Guia 8º básico 2012 by Cristina Caipillan

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 2

GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE INCLUYE TEXTO DEL ESTUDIANTE

Matemática

º 8

Educación Básica

Autores del Texto del Estudiante

Autoras de la Guía Didáctica del Docente

EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO LICENCIADO EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MARIBEL DONOSO SILVA LICENCIADA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN, PROFESORA DE ESTADO EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN, UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA, MAGÍSTER EN ESTADÍSTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MARIO ZAÑARTU NAVARRO LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MAGÍSTER EN HISTORIA DE LA CIENCIA: CIENCIA, HISTORIA Y SOCIEDAD, UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BARCELONA.

LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 2

La Guía del Docente Matemática 8, para Octavo Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DEL PROYECTO: COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: EDICIÓN: AUTORES DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE:

AUTORAS DE LA GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE: CORRECCIÓN DE ESTILO: DOCUMENTACIÓN:

EUGENIA ÁGUILA GARAY VIVIANA LÓPEZ FUSTER CAROLINA HENRÍQUEZ RIVAS EDUARDO BÓRQUEZ AVENDAÑO FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO MARIO ZAÑARTU NAVARRO MARIBEL DONOSO SILVA LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ ISABEL SPOERER VARELA GABRIELA PRECHT ROJAS PAULINA NOVOA VENTURINO

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA:

CARLOTA GODOY BUSTOS

COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:

XENIA VENEGAS ZEVALLOS

JEFA DE DISEÑO ÁREA MÁTEMÁTICA:

MARIELA PINEDA GÁLVEZ

DIAGRAMACIÓN:

XIMENA MONCADA LOMEÑA

ILUSTRACIONES:

MARTÍN OYARCE GALLARDO

FOTOGRAFÍAS: CUBIERTA: PRODUCCIÓN:

ARCHIVO SANTILLANA LA PRÁCTICA S.P.A. GERMÁN URRUTIA GARÍN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. © 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por WorldColor S.A. ISBN: 978-956-15-1763-9 Inscripción N˚: 198.046 Se terminó de imprimir esta 1a edición de 4.900 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010. www.santillana.cl

Referencias de las Guías Didácticas Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Proyecto Futuro y de los Textos Matemática 7 y Matemática 8, Educación Básica, Mineduc, de los autores: Rossana Herrera Concha, Francisco Rojas Sateler, Jaime Ávila Hidalgo, Ana Rojas Fernández, Javiera Setz Mena, Lorna Jiménez Martínez, Florencia Darrigrandi Navarro. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2003 y 2010.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 3

Índice Introducción

Organización de la Guía Didáctica

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

Hipertexto

Habilidades del pensamiento

Evaluación en Matemática

Instrumentos de evaluación

Razonamiento matemático y Resolución de problemas

Estructura del Texto del Estudiante

Índice del Texto del Estudiante

Números enteros

Unidad

Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

34 34 35 36 38 39

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 10 a 35 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

41 42 75

Evaluación. Números enteros

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 4

Unidad

Potencias Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Unidad

79 80 82

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 36 a 71 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

86 129

Evaluación. Potencias

130

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

132 132 132 133 134 136

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 72 a 101 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

140 177

Evaluación. Geometría y medición

178

139

137

Movimientos en el plano Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

78 78

Geometría y medición Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Unidad

180 180 180 181 182 184 185

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 102 a 129 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

187 188 223

Evaluación. Movimientos en el plano

224

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 5

Unidad

Datos y azar Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Unidad

226 226 226 227 228 231

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 130 a 163 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

234 275

Evaluación. Datos y azar

276

232

Funciones y relaciones proporcionales Propósito de la Unidad Esquema de la Unidad Relación entre los CMO tratados en la Unidad y los de otros años Propuesta de planificación de la Unidad Errores frecuentes Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

233

278 278 278 279 280 282

Bibliografía Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 164 a 199 del Texto del Estudiante) Indicaciones y orientaciones para la Evaluación fotocopiable

285 286 329

Evaluación. Funciones y relaciones proporcionales

330

283

Evaluación final

332

Solucionario (páginas 200 a 219 del Texto del Estudiante)

336

Índice temático (páginas 220 a 222 del Texto del Estudiante)

346

Bibliografía (páginas 223 a 224 del Texto del Estudiante)

347

Bibliografía de la Guía Didáctica

349

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 6

Introducción El año 2007, el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, para responder a diversos requerimientos sociales y poder mantener su vigencia y relevancia. En este contexto, el Ministerio ha elaborado una propuesta de Ajuste Curricular que tiene como propósito mejorar la definición curricular nacional para responder a problemas detectados, así como a diversos requerimientos sociales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico. Aunque es un proceso de ajuste de mayor envergadura que las modificaciones realizadas a la fecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum sigue manteniendo su enfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que son relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos en la sociedad actual. Este Ajuste considera que el aprendizaje de la Matemática requiere consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en los niveles anteriores. Busca, asimismo, promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así profundizar su comprensión acerca de ella; el desarrollo de su confianza en las propias capacidades para aprender; la generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de la Matemática; apropiarse de formas de razonar matemáticamente; adquirir herramientas que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza y seguridad en sí mismos, al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad. La presente propuesta didáctica para Matemática 8 aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivel establecidos en el Ajuste Curricular aprobado por el Consejo Superior de Educación (CSE) el año 2009, e integra y articula el tratamiento de Objetivos Fundamentales Transversales con los contenidos y actividades centrales, dando énfasis especialmente a los siguientes: aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de género, condición física, opinión u otras; respeto a la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberes de todas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente; desarrollo de habilidades de pensamiento. Tanto el Texto del Estudiante Matemática 8 como la Guía Didáctica del Docente se organizan a partir de los cuatro ejes temáticos considerados para el sector: Números, Álgebra, Geometría y Datos y Azar, considerando como eje transversal el de razonamiento, que incluye tanto la resolución de problemas, exploración de caminos alternativos y modelamiento de situaciones o fenómenos como el desarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de 6

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones, y discusión de la validez de las conclusiones. Si desea saber más sobre el Ajuste Curricular, visite: www.curriculum–mineduc.cl/curriculum/marcos–curriculares/educacion–regular/ Desde esta perspectiva, esta Guía Didáctica del Docente es un instrumento complementario al Texto del Estudiante Matemática 8 y ha sido elaborada con el propósito de orientar el trabajo de los contenidos, recursos y actividades presentes a lo largo del Texto, apoyando la activación de experiencias y conocimientos previos; el desarrollo, aprendizaje, consolidación y aplicación de los contenidos; la evaluación diagnóstica, formativa y sumativa, y reforzando y profundizando el aprendizaje. El acercarse al conocimiento matemático implica un proceso de construcción social, en donde los objetos matemáticos no están totalmente acabados, sino en continua construcción, y en el que los y las estudiantes son considerados protagonistas fundamentales, otorgando significado a los conocimientos desde su experiencia. A partir de este fundamento, las actividades que se plantean en el Texto del Estudiante y en esta Guía son significativas y cercanas a la realidad y a las experiencias de los y las estudiantes. Así, al inicio de cada Unidad se presenta una imagen en la cual se pueden observar situaciones y contextos cotidianos o familiares, a través de los que se invita a las alumnas y alumnos a comentar, opinar y participar a través de preguntas orientadoras relacionadas con ella, que permiten activar sus experiencias y conocimientos previos con respecto al contenido que se trabaja. Del mismo modo, durante el desarrollo de cada Unidad se presentan situaciones de la vida cotidiana y actividades relacionadas con la misma, que promueven el razonamiento y la comprensión de los contenidos. Considerando que el razonamiento matemático constituye un eje central de la actividad matemática y, en consecuencia, debe ocupar un lugar importante de esta disciplina desde los niveles más elementales, es que todos los contenidos son trabajados a partir de situaciones que promueven el razonamiento y desarrollan las habilidades relacionadas con la resolución de problemas. Enfatizando lo anterior, cada Unidad del Texto incluye la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS, donde se trabajan específicamente las habilidades de resolución de problemas, intencionando los pasos o etapas necesarios para su desarrollo. A partir de las actividades propuestas en el Texto y en esta Guía, se potencia el desarrollo de las habilidades, entendidas como el proceso mental o el conjunto de operaciones mentales por medio de las cuales una persona opera sobre una realidad o sobre un conjunto de conocimientos, de tal modo de integrarlos dándoles un sentido.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 7

Es así como el desarrollo de las habilidades es intencionado en la Guía y en el Texto a través de actividades que desafían a el o la estudiante a poner en interacción sus capacidades con los contenidos a trabajar, de manera de ir potenciando e integrando las distintas habilidades. En general, podemos resumir los objetivos generales de nuestra propuesta en los siguientes: • Consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en cursos anteriores. • Enriquecer la comprensión de la realidad de los y las estudiantes, a través del aprendizaje de conceptos y procedimientos matemáticos, que les permitan intervenir activamente en ella. • Desarrollar en los y las estudiantes habilidades propias del razonamiento matemático como deducir, argumentar, realizar operaciones concretas, involucrados en diversas situaciones. • Aplicar habilidades propias del proceso de resolución de problemas, a través de diversas situaciones que permitan la integración entre diversos registros de representación semiótica de la matemática (algebraico, lenguaje natural, gráfico, tablas, etc). • Promover en los y las estudiantes una actitud positiva frente a la matemática, desarrollando el placer de hacer matemática, el aprecio por la belleza y poder de la matemática, la confianza en el uso de la matemática y la perseverancia en la resolución de problemas. En cuanto a la metodología de la propuesta, esta se basa en la concepción de aprendizaje constructivista y en el concepto de evaluación para el aprendizaje. En este sentido, los ejes metodológicos en los que se sustenta nuestra propuesta son: • Desarrollar los contenidos de manera articulada, secuenciada y progresiva, en un nivel de complejidad creciente, según las exigencias del subsector y nivel señaladas en los Ajustes Curriculares y en el Mapa de Progreso de Aprendizaje de Números. • Presentar los contenidos en contextos significativos. • Conectar las experiencias y conocimientos previos de los y las estudiantes con los nuevos contenidos, promoviendo, además, operaciones concretas y/o argumentaciones espontáneas respecto del nuevo contenido. • Promover en los y las estudiantes la observación y comprensión de los procesos involucrados, mediante la ejemplificación y análisis de los mismos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Incluir justificaciones simples de los conceptos y procedimientos, cuando sea pertinente. • Formalizar claramente los conceptos y procedimientos centrales de cada contenido, a través de un discurso formal, pero en un lenguaje adecuado al nivel de los estudiantes. • Proponer actividades variadas de ejercitación de los contenidos, que permitan naturalizar los conceptos y procedimientos estudiados y que puedan convertirse en instancias de evaluación permanente. • Proponer actividades de generalización de los aprendizajes, que promuevan la aplicación de los conceptos y procedimientos construidos en situaciones nuevas y diversas. • Orientar el desarrollo de las habilidades propias del razonamiento matemático en la resolución de problemas en particular, como son la selección y análisis de los datos, la búsqueda y puesta en práctica de estrategias de resolución y la interpretación de resultados en función del contexto, de forma integrada con las actividades de aprendizaje. • Presentar actividades específicas de resolución de problemas que desarrollen la heurística de la resolución de problemas. • Incluir actividades de síntesis, donde los y las estudiantes puedan organizar los contenidos y procedimientos centrales estudiados. • Promover habilidades de metacognición, incluyendo instancias que permitan tomar conciencia de los procesos y sus resultados y monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas. • Promover el desarrollo de los Objetivos Fundamentales Transversales, de forma integrada con el tratamiento de los contenidos. • Promover el desarrollo de actitudes positivas frente a la matemática, de forma integrada con el tratamiento de los contenidos. • Incluir instancias evaluativas diagnósticas, procesuales y sumativas en las cuales se evalúen contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. Orientar estas evaluaciones hacia la medición de destrezas, habilidades y conocimientos, a través de actividades diversas y desafiantes. • Incorporar de forma permanente instancias de autoevaluación y reflexión sobre los propios procesos y sus resultados, con el propósito de promover el desarrollo de la autonomía y habilidades de metacognición en los y las estudiantes. • Incluir problemas que permitan al alumno o alumna, en la resolución, integrar más de un registro de representación semiótico (gráfico, algebraico, lenguaje natural, tablas, etc.).

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 8

Para organizar con mayor claridad el año escolar, se presenta una propuesta de planificación por Unidad, la cual contempla los Contenidos Mínimos Obligatorios, los Aprendizajes esperados, los recursos didácticos utilizados y las evaluaciones correspondientes en cada una de ellas. Esta propuesta de planificación permite tener una mirada global del trabajo correspondiente al Octavo Año Básico, así como también, permite al profesor o profesora organizar y preparar las actividades sugeridas, contemplando los recursos didácticos especificados en dicha planificación. Finalmente, es importante considerar que el aprendizaje es un proceso dinámico y gradual, que evoluciona desde lo más simple a lo más complejo. Por ello se han tomado como referentes, antes de realizar la planificación y la organización del Texto, los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA), ya que en estos se definen los distintos niveles del aprendizaje y se explicitan los aprendizajes a lograr en cada uno de ellos. Del mismo modo, la secuencia de las Unidades y de las actividades propuestas en esta Guía tienen un carácter progresivo en cuanto a complejidad de los contenidos y de las mismas actividades. Fuente: Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular. Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado por el Decreto N° 256 para la Educación Básica y publicado en el Diario Oficial de la República de Chile el 19 de agosto de 2009.

Organización de la Guía Didáctica La Guía Didáctica del Docente está organizada a partir de las siguientes secciones. • Propósito de la Unidad: en esta se entrega una orientación sobre el trabajo que se debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la Unidad. • Propuesta de planificación: en una tabla se organizan y vinculan los CMO, los contenidos de la Unidad, los aprendizajes esperados, las actividades asociadas (incluidas las de evaluación), los recursos didácticos y los indicadores de evaluación de cada Unidad. Además, se indican los tiempos estimados para su desarrollo. • Relación de los aprendizajes de la Unidad y los de otros años: en un diagrama se relacionan los CMO desde Quinto a Octavo Año Básico, que tienen relación con los de la Unidad y que permiten al docente visualizar qué debieran saber sus estudiantes y en qué utilizarán posteriormente los aprendizajes que se espera que logren en la Unidad.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Esquema de la Unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidos trabajados en la Unidad. • Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la Unidad y las sugerencias para poder subsanarlas o evitarlas. • Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos, que pueden apoyar el trabajo de los contenidos de la Unidad. • Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos: se incluye una presentación teórica de apoyo que le permite actualizar los conocimientos respecto de los contenidos que se trabajan en la Unidad, conocer estrategias para lograr un mejor aprendizaje de los contenidos, aclarar dudas conceptuales, etc. Además, de acuerdo con los momentos didácticos considerados en cada Unidad, se distinguen:

Páginas de inicio • Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permiten orientar la activación de los conocimientos previos de los y las estudiantes con respecto a los contenidos de la Unidad. Esto se complementa con un cuadro en donde se detallan las habilidades que se desarrollan en la actividad inicial, llamada CONVERSEMOS DE… • Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan las del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje. • Evaluación diagnóstica: tiene como objetivo orientar a el o la docente en la identificación de los aprendizajes previos de los y las estudiantes, a partir de las actividades de la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto del Estudiante. Detalla las habilidades que se evalúan en cada actividad, sugerencias para evaluar las respuestas de los y las estudiantes y las posibles dificultades en la evaluación y remediales.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 9

Páginas de desarrollo • Contenidos Mínimos Obligatorios: se especifican los Contenidos Mínimos Obligatorios que se trabajan en las actividades propuestas, extraídos del Ajuste Curricular. • Actividad inicial: se plantean orientaciones que permitan detectar los conocimientos de entrada de sus alumnos y alumnas, relacionados con los contenidos a trabajar, a partir de la situación de inicio. • Habilidades que se desarrollan en las actividades del Texto: se especifican las habilidades que se trabajan en cada actividad. • Orientaciones para el desarrollo de las actividades: se dan indicaciones con respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso de recursos, estrategias pedagógicas, etc., para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidades en los y las estudiantes. • Indicaciones respecto del contenido: en esta sección se plantean sugerencias o aclaraciones específicas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades, formalizaciones, etc. • Actividades complementarias: para cada página del Texto se plantean actividades que permiten reforzar y profundizar el contenido y las habilidades que se están trabajando. Además, podrá encontrar dos páginas con actividades de refuerzo y de profundización, después de las orientaciones que se sugieren para cada Evaluación Formativa, que podrá utilizar según los avances de sus estudiantes. • Evaluación formativa: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación del logro de los aprendizajes referidos a los contenidos específicos que se hayan trabajado hasta el momento. Se presenta en la sección MI PROGRESO, del Texto del Estudiante, e incluye un cuadro de las habilidades que se evalúan en ella.

Páginas de cierre • Buscando estrategias: en esta sección se plantean orientaciones para trabajar la resolución de problemas, paso a paso, a partir de las actividades de esta sección del Texto del Estudiante. Además, se especifican las habilidades que se desarrollan y se proponen actividades complementarias que permiten reforzar y/o ampliar el contenido trabajado, cuando es pertinente.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Conexiones: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de esta sección y actividades complementarias que potencian el establecimiento de vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad. • Síntesis: en esta sección se entregan sugerencias para organizar y sintetizar lo aprendido, a través de las actividades presentadas en esta sección del Texto del Estudiante. Además, se propone otra técnica de estudio para organizar los contenidos trabajados en la Unidad. • Evaluación sumativa: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la sección ¿QUÉ APRENDÍ?, permitiendo evaluar los logros alcanzados por sus alumnos y alumnas en la Unidad. Se explicitan también posibles dificultades y remediales. • Evaluación fotocopiable: se incluye una evaluación sumativa al final de cada Unidad de la Guía, de forma complementaria a la presentada en el Texto del Estudiante. Además, se sugiere una rúbrica para cada ítem.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 10

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al y a la docente para monitorear el progreso en el aprendizaje de sus alumnos y alumnas, identificando distintos niveles de logro. Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos y alumnas, y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los del nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciando ese proceso. Ya sabemos que todos somos distintos y, por lo mismo, no todos aprendemos de la misma manera o al mismo ritmo; por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos y alumnas le servirá para atender la diversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los niveles de logro de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promueven el logro de los aprendizajes en forma gradual, proponiéndose, además, evaluaciones en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, para conocer los avances de los y las estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados en el nivel.

• Comprensión y uso de las operaciones: se refiere a la comprensión del significado de las operaciones, los contextos numéricos en los que se realizan, las relaciones entre ellas, así como sus propiedades y usos para obtener nueva información a partir de información dada. • Razonamiento matemático: involucra habilidades relacionadas con la selección, aplicación y evaluación de estrategias para la resolución de problemas; la argumentación y la comunicación de estrategias y resultados. Nivel

Descripción

Nivel 5

Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas.

A continuación, se presentan los niveles 2, 3, 4 y 5 (correspondientes a los niveles de 3º y 4º Básico, 5º y 6º Básico, 7º y 8º Básico y 1º y 2º Medio, respectivamente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados hasta el momento por la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebra y Datos y Azar.

Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden resolver problemas que no admiten solución en los números naturales, reconoce sus propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuantificar magnitudes. Establece proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros.

Mapa de Progreso de Números y Operaciones Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones, progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: • Comprensión y uso de los números: se refiere a la comprensión del significado de los números, la forma de expresarlos y los contextos numéricos a los que pertenecen, así como las aplicaciones y los problemas que los originaron y/o permiten resolver. 10

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Nivel 4

Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva, decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 11

Nivel

Descripción

Nivel 3

Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores. Comprende el significado de potencias de base y exponente natural, y las aplica en situaciones diversas. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales, para calcular porcentajes. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números positivos escritos tanto en forma decimal como fracción y en forma mental y escrita. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.

Nivel 2

Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar, comparar, estimar y calcular. Comprende que las fracciones simples y los números decimales permiten cuantificar las partes de un objeto, una colección de objetos o una unidad de medida. Realiza comparaciones entre números decimales o entre fracciones y establece equivalencias entre ambas notaciones. Multiplica y divide (por un solo dígito) con números naturales, comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas y con la adición y sustracción. Realiza estimaciones y cálculos mentales de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simples. Resuelve problemas en contextos familiares en que los datos no están necesariamente explícitos o requieren seleccionar información del enunciado. Justifica la estrategia utilizada, explicando su razonamiento. Formula conjeturas y las verifica a través de ejemplos.

ciones, inecuaciones o funciones y a la capacidad para aplicar reglas y procedimientos que permitan transformarlas en expresiones equivalentes. • Razonamiento matemático. Involucra habilidades relacionadas con el reconocimiento y descripción de regularidades, el modelamiento de situaciones o fenómenos y la argumentación matemática. Nivel

Descripción

Nivel 5

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición de funciones, modelos lineales y afines o sistemas de ecuaciones lineales. Justifica la pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.

Nivel 4

Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa. Reduce expresiones algebraicas por medio de la aplicación de propiedades de las operaciones. Resuelve problemas en diferentes contextos que involucran ecuaciones de primer grado con la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizando propiedades y convenciones del álgebra. Reconoce funciones en contextos cotidianos y sus elementos constituyentes, distinguiendo entre variables independientes y dependientes. Resuelve problemas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional, explicando la relación entre las variables. Justifica la pertinencia de los procedimientos aplicados aludiendo a la situación que modela.

Nivel 3

Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden representar distintos valores de acuerdo al contexto. Reconoce las expresiones algebraicas que representan las propiedades de las operaciones e interpreta expresiones algebraicas que representan la generalización de una operación matemática. Comprende que una misma expresión tiene distintas representaciones algebraicas equivalentes. Resuelve ecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a un solo lado de la igualdad, utilizando estrategias informales. Justifica sus soluciones explicitando las estrategias utilizadas.

Mapa de Progreso de Álgebra Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan considerando tres dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada: • Comprensión y uso del lenguaje algebraico. Se refiere a las habilidades para interpretar el significado y escribir expresiones algebraicas haciendo uso de las convenciones del álgebra, representarlas de diversas maneras y usarlas en la designación de números, variables, constantes u otros objetos matemáticos. • Comprensión y uso de relaciones algebraicas. Se refiere a la habilidad para establecer relaciones entre expresiones simbólicas mediante igualdades, ecua11

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 12

Nivel

Descripción

Nivel 2

Expresa relaciones de orden utilizando la simbología correspondiente. Determina el valor desconocido en situaciones de multiplicación y división. Identifica, describe y continúa patrones numéricos y geométricos con figuras conocidas, mencionando alguna regla que genere la secuencia. Explica las estrategias aplicadas en la determinación de un valor desconocido y justifica la regla elegida para continuar un patrón aludiendo a los términos dados.

Nivel

Descripción

Nivel 5

Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de frecuencia acumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas de dispersión y de posición. Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas de dispersión y posición. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igual tamaño, desde una población finita, el promedio de las medias aritméticas muestrales se aproxima a la media de la población. Asigna probabilidades mediante el modelo de Laplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del experimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades.

Nivel 4

Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones, ventajas y desventajas de distintos tipos de representación. Extrae e interpreta información desde tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Comprende los conceptos de representatividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusiones e inferencias acerca de una población determinada. Comprende que a través del modelo de Laplace es posible predecir el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples de probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también las frecuencias relativas.

Nivel 3

Reconoce aquellas variables que aportan información relevante para resolver un problema y organiza datos en gráficos de línea, circulares y barras múltiples. Extrae información respecto de situaciones o fenómenos presentados en los gráficos anteriores y calcula medidas de tendencia central. Comprende los conceptos de población y muestra y la conveniencia de seleccionar muestras al realizar estudios para caracterizar poblaciones. Evalúa la posibilidad de ocurrencia de un evento en contextos cotidianos como posible, imposible, probable o seguro, a partir de su experiencia y la observación de regularidades en experimentos aleatorios simples. Conjetura acerca de las tendencias que se desprenden desde un gráfico, desde la lectura de medidas de tendencia central o de los resultados de un experimento aleatorio simple, justificando en base a la información disponible.

Mapa de Progreso de Datos y Azar Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollan considerando cuatro dimensiones que se interrelacionan. • Procesamiento de datos. Se refiere a las habilidades para clasificar, organizar, resumir y representar datos en distintos formatos, tales como tablas y gráficos. • Interpretación de información. Se refiere a las habilidades para analizar críticamente y para obtener información a partir de datos organizados en tablas y gráficos. • Comprensión del azar. Se refiere a la comprensión y uso de un lenguaje de probabilidades, y a la habilidad para determinar la probabilidad de ocurrencia de eventos, en forma experimental y teórica, a partir de fenómenos aleatorios y el análisis de sus resultados. • Razonamiento matemático. Se refiere a la habilidad para resolver problemas, reconocer patrones, formular preguntas pertinentes y hacer conjeturas a partir de datos o situaciones en las que interviene el azar, así como a la capacidad para argumentar acerca de la validez de respuestas a las preguntas formuladas y acerca de las conjeturas propuestas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 13

Nivel

Descripción

Nivel 2

Organiza datos simples relativos a situaciones o fenómenos diversos, en gráficos de barras simples. Extrae información respecto de un fenómeno o situación desde tablas y gráficos de barras simples. Saca conclusiones y verifica afirmaciones que requieren integrar los datos disponibles, o bien realiza algunas operaciones simples. Justifica dando cuenta del procedimiento utilizado.

Extraído de: Mapas de Progreso del Aprendizaje. Ministerio de Educación. Julio de 2009. www.curriculum-mineduc.cl

Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese a www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/ Otro aspecto considerado en nuestra propuesta se refiere a las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC). Con relación a ellas, el Ajuste Curricular postula fortalecer su presencia a través de la incorporación de las habilidades de uso de estas tecnologías como un quinto eje transversal. En ese sentido, el documento Aprendizajes K-12 funciona como un Mapa de Progreso del Aprendizaje de las TIC y es considerado al momento de formular las actividades ya que, por un lado, nos muestra lo que los alumnos y alumnas debieran ser capaces de hacer utilizando estos medios y, por otro lado, lo que se espera que logren desarrollar en un nivel determinado.

Dimensión Tecnológica Niveles

Variables

Indicadores

Utiliza y combina distintos programas como procesador Nivel 5 de texto, planillas de cálculo, 13 – 14 años plantillas de presentación, y 1º y 2º medio dispositivos periféricos, para desarrollar productos multimediales simples.

• Produce hipertextos. • Traspasa/incorpora video o sonido a presentaciones PowerPoint. • Incorpora movimiento en sus presentaciones. • Graba y edita videos.

Utiliza diversos programas como procesador de texto, planillas de cálculo y de plantillas de presentación, para escribir, editar y ordenar Nivel 4 información, exportando in11 – 12 años formación de un programa 7º y 8º básico a otro y de algunos dispositivos periféricos.

• Exporta gráficos a formato de procesador de texto. • Utiliza cámara digital. • Crea presentaciones con incorporación de movimiento en plantillas de PP. • Vincula información en las presentaciones. • Mezcla música con imágenes estáticas y en movimiento en sus presentaciones. • Utiliza corrector ortográfico.

El Mapa de Progreso de las TIC se organiza en cuatro dimensiones. • Tecnológica. Utilización de aplicaciones y generación de productos que resuelvan las necesidades de información y comunicación dentro del entorno social real/ inmediato/ próximo (no virtual). • Información. Búsqueda y acceso a información de diversas fuentes virtuales y evaluación de su pertinencia y calidad. • Comunicación. Interacción en redes virtuales de comunicación, con aportes creativos propios. • Ética. Uso responsable de la información y comunicación. Cada una de las dimensiones anteriores presenta distintos niveles, y para cada uno de ellos se describen variables e indicadores que señalan lo que los alumnos y alumnas serán capaces de realizar al finalizar ese nivel. Estos niveles, por dimensión, son:

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Utiliza diversos programas • Crea presentaciones combicomo procesador de texto, nando textos con fotografías planillas de cálculo y de o dibujos en plantillas de PP. plantillas de presentación, • Crea tablas en el procesador Nivel 3 de texto para para escribir, editar y or9 – 10 años ordenar información. denar información. 5º y 6º básico • Ordena datos en planillas de cálculo. • Utiliza distintos tipos de gráficos (barras, torta, lineales).

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 14

Niveles

Nivel 2 7 – 8 años 3º y 4º básico

Variables Utiliza programas en forma elemental, como procesador de texto para escribir ilustrar y editar textos simples y planillas de cálculo para ordenar datos y elaborar gráficos simples.

Indicadores • Crea y guarda archivos. • Utiliza los comandos de cortar, copiar y pegar. • Chatea con sus amigos. • Compone y edita textos simples. • Usa aplicaciones gráficas para ilustrar información. • Utiliza los nombres de los componentes y capacidades del computador (teclado, mouse, funciones como guardar).

Dimensión Información Niveles

Variables

Recupera, guarda y organiza información en disNivel 5 tintos formatos, obtenida 13 – 14 años de Internet en forma 1º y 2º medio autónoma utilizando buscadores, metabuscadores y búsqueda avanzada.

Indicadores • Utiliza operadores booleanos para buscar información. • Evalúa con diversos criterios la calidad de una página web. • Sabe utilizar un tesauro. • Realiza búsquedas en metabuscadores.

Niveles

Variables

Recupera, guarda y organiza información en distintos formatos, extraída de sitios web recomendados por el profesor y navegación libre en Internet. Identifica y utiliza los criterios básicos de evaluación Nivel 4 de la información: la actua11 – 12 años lidad, autoría, pertenencia. 7º y 8º básico

Indicadores • Utiliza diversos buscadores electrónicos. • Guarda URL que le interesan. • Busca música y videos en sitios especializados. • Busca elementos que le permiten analizar la validez de la información (autor, fecha, fuente). • Busca fuentes de información en catálogos por autor, materia o título. • Identifica en los datos de la URL la relevancia e interés del sitio (extensiones). • Identifica fuentes primarias y secundarias. • Diferencia hechos de opiniones.

Recupera, guarda y orga- • Identifica palabras clave para niza información extraída buscar información. Nivel 3 de algunas fuentes off line, • Selecciona textos específicos 9 – 10 años y navegación en Internet para responder a sus preguntas. 5º y 6º básico con criterios de búsqueda definidos previamente. Recupera y guarda infor- • Identifica en forma precisa mación extraída de algula información que necesita nas fuentes off line o sitios a través de una Nivel 2 web seleccionados por pregunta específica. 7 – 8 años el profesor. • Selecciona y guarda la 3º y 4º básico información en carpetas. • Navega por un sitio web acotando las búsquedas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 15

Dimensión Comunicación Niveles

Variables

Dimensión Ética Indicadores

Publica información propia • Mantiene actualizado su sitio Nivel 5 en plataformas virtuales, (blog, fotolog o página web). 13 – 14 años como blogs y retroalimenta • Inicia debates virtuales. 1º y 2º medio a otros. Participa en espacios inter- • Utiliza el control de cambios. Nivel 4 activos de sitios web, de • Participa en foros de curso. 11 – 12 años debate e intercambio de in7º y 8º básico formación y produce documentos en forma colectiva. Intercambia información a • Envía mensajes electrónicos través de herramientas de a varios destinatarios. comunicación para la gene- • Reconoce y sabe utilizar ración de documentos simlos archivos adjuntos de un Nivel 3 ples en forma colaborativa mensaje electrónico. 9 – 10 años o colectiva. • Ocupa técnicas simples para 5º y 6º básico aportar en la construcción de documentos (letras de color, subrayados). • Adjunta archivos en correo electrónico. Mantiene conversaciones • Organiza listas de direcciones virtuales en forma autónode correo electrónico. ma con sus compañeros, • Se conecta a Messenger. Nivel 2 7 – 8 años por ejemplo, a través • Activa y desactiva su 3º y 4º básico del Chat. participación en el Chat. • Activa y desactiva a los integrantes de una sala de Chat.

Niveles

Variables

Indicadores

Conoce la regulación legal • Conoce las consecuencias lede utilización del espacio gales de interferir en la comuvirtual y las normas de senicación on line. Nivel 5 guridad de la red. (Claves, • Identifica en el contenido de 13 – 14 años pirateo, hackeo) y aplica crilas páginas mensajes discrimi1º y 2º medio terios de buenas prácticas. natorios o ilegales. • Emplea buenas maneras al usar correo electrónico (Netiquette). Cita las fuentes desde don- • No abre correos desconocidos. de ha extraído información • Borra los spam. y utiliza convenciones bi- • Cita correctamente las fuentes bliotecológicas básicas pavirtuales de información (imNivel 4 ra registrarlas. (bibliografía plica conocer nociones de pro11 – 12 años o linkografía). Discrimina y piedad intelectual, derechos 7º y 8º básico se protege de la informade autor, plagio). ción y ofertas de servicios que pueden ser perjudiciales para él/ella. Identifica la fuente desde donde es extraída la inNivel 3 formación. Autolimita el 9 – 10 años tiempo dedicado a la 5º y 6º básico navegación e intercambios virtuales.

• Se programa para limitar el tiempo de uso del computador y desarrollar otro tipo de actividades. • Declara la fuente desde donde extrae la información. • Utiliza cremillas para citar.

Identifica y aplica las normas de seguridad básicas para evitar la contamiNivel 2 nación virtual. Identifica y 7 – 8 años aplica las normas de cui3º y 4º básico dado personal y respeto por el otro en la comunicación virtual.

• Actualiza los programas antivirus. • Copias de seguridad. • No descarga software ilegales. • Elimina información innecesaria. • Utiliza la papelera de reciclaje del sistema.

Extraído de: Aprendizajes K-12. Ministerio de Educación. Agosto de 2009. http://portal.enlaces.cl

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 16

Considerando los avances tecnológicos, el fácil acceso a Internet y los diferentes grados de confiabilidad que presentan los distintos sitios, es necesario guiar a nuestros estudiantes en el uso de estas tecnologías. A continuación, se presentan algunos criterios que le permitirán a usted y a sus alumnos y alumnas evaluar fuentes de información provenientes de sitios web.

Información sobre la Web Para evaluar si la información que se localiza en Internet es confiable, se pueden plantear tres preguntas cuando se lee una dirección web (URL): • ¿Reconoce el Nombre de Dominio? • ¿Cuál es la extensión del Nombre de Dominio? Por ejemplo: .edu: hace referencia a instituciones educativas. .gov: corresponde a sitios web de instituciones gubernamentales. • ¿La página localizada es personal? Si presentan caracteres especiales como ~, % indican que a partir de ese carácter la información corresponde a la opinión personal de una persona.

Información sobre el contenido de la página

Hipertexto Junto al Texto escolar, los y las estudiantes tendrán a su disposición el apoyo de un Hipertexto, que es un conjunto de recursos multimedia que se estructuran a partir del Texto del Estudiante y que incorporan elementos que permiten al usuario utilizar el recurso, con una secuencia de lectura dinámica, combinando imágenes fijas y en movimiento, animaciones y sonidos. Nuestra propuesta didáctica de Hipertexto se organiza en función de los momentos pedagógicos expuestos en la estructura didáctica de cada Unidad del Texto impreso: inicio, desarrollo y cierre. A partir de estos momentos se presentan diversos recursos que incluyen, entre otros: animaciones, diccionarios y enciclopedias electrónicas, actividades y mapas conceptuales interactivos, vinculados al tratamiento de los contenidos abordados en el Texto. Entre las funciones pedagógicas de estos recursos destacan: motivar y consolidar el aprendizaje, evaluar conductas de entrada, enriquecer el Texto, ejercitar y/o profundizar los contenidos y aplicarlos en contextos distintos, evaluar sumativamente y sintetizar. La propuesta didáctica que presentamos se muestra en el siguiente cuadro: Momento pedagógico

Recurso

Inicio

– Introducción: animación que motiva el aprendizaje de la Unidad. – Diagnóstico: evaluación interactiva que permite conocer los conocimientos previos de los estudiantes. – Links de apoyo: vínculos a sitios webs que enriquecen la actividad inicial de la unidad y que activan los conocimientos previos de los estudiantes.

Desarrollo

– Recursos digitales vinculados con el contenido de la Unidad y que enriquecen las actividades del Texto. – Recursos digitales que permiten ejercitar y/o profundizar los contenidos tratados en el Texto. – Recursos digitales que permiten consolidar a partir de la aplicación en un contexto distinto, los contenidos tratados en el Texto.

Cierre

– Mapa conceptual: actividad interactiva que permite sintetizar, organizar y jerarquizar los contenidos tratados en el Texto. – Autoevaluación: se presentan dos autoevaluaciones, una interactiva y otra imprimible que permitirá evaluar, en cada Unidad, el nivel de logro de sus estudiantes.

Es pertinente hacerse preguntas como las siguientes para evaluar una página web: • ¿Es útil la información para el tema sobre el que me estoy informando o que estoy investigando? • ¿En qué fecha se publicaron los contenidos?, ¿son actuales, están vigentes? • ¿Si la información publicada en la página web proviene de otras fuentes, se citan estas correctamente?

Información sobre los autores y editores Para evaluar la validez de la autoría de una página, se pueden utilizar las siguientes preguntas: • ¿En la página aparece el nombre del autor o autores? • ¿Qué información se encuentra en la Web sobre el autor? Fuente: Artículo elaborado por Eduteka con información proveniente del libro “Web Literacy for Educators”, escrito por el Dr. Alan November. Para saber más sobre este tema puede visitar www.eduteka.org/CompetenciaWeb.php

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 17

Habilidades del pensamiento El trabajo en el aula de matemática orientado al desarrollo de habilidades es de gran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesidad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito matemático, de forma autónoma y eficaz. De esta forma, las actividades a desarrollar por los alumnos y alumnas de Octavo Año Básico, propuestas en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente, buscan promover el desarrollo de estas habilidades, mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición. Para ello, tanto en las actividades como en los ítems de evaluación diseñados han jugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio internacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto de la Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA). Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían manifestar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación de esta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores. A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en esta propuesta, agrupadas en cuatro dominios cognitivos: Conocimiento de hechos y procedimientos, Utilización de conceptos, Resolución de problemas habituales y Razonamiento, los cuales están formados por las descripciones de las destrezas y habilidades. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primeras habilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde el conocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de este conocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad no debe confundirse con la de la actividad o del ítem de evaluación, pues esta también depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para sumar, restar, multiplicar, dividir o una combinación de estas operaciones; conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expresiones algebraicas y numéricas; reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leer escalas: dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para construir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

Utilización de conceptos

Saber

Saber que la longitud, el área y el volumen se conservan en determinadas condiciones; tener una apreciación de conceptos tales como inclusión y exclusión, generalidad, igualdad de probabilidades, representación, prueba, cardinalidad y ordinalidad, relaciones matemáticas, valor posicional de las cifras.

Clasificar

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes; tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase; ordenar números y objetos según sus atributos.

Representar

Recordar

Recordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéricos; propiedades de los números; propiedades de las figuras planas; convenciones matemáticas.

Representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros, gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada.

Formular

Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.

Reconocer/ Identificar

Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partes de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes; expresiones algebraicas simplificadas; figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.

Distinguir

Distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada, por ejemplo un conjunto de datos, de aquellas que no se pueden plantear así.

Conocimiento de hechos y procedimientos

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 18

Resolución de problemas habituales

Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperar que resultase conocido para los y las estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

Evaluar

Discutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etcétera.

Generalizar

Extender el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.

Representar

Generar una representación apropiada, por ejemplo, una ecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

Interpretar

Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instrucciones matemáticas.

Conectar

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos relacionados.

Aplicar

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablemente hayan visto los y las estudiantes en clase.

Sintetizar o integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados; combinar resultados para llegar a un resultado ulterior.

Verificar o comprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

Resolver problemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Justificar

Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referencia a propiedades o resultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticos para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.

Razonamiento Formular hipótesis, conjeturar o predecir

Analizar

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar conjuntos de conjeturas o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad, transformación, etcétera) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo. Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticos univariantes; descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólido dado poco conocido; hacer inferencias válidas a partir de información dada.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación (INCE), Madrid, 2002.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 19

Evaluación en Matemática La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende como un proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juicios profesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir de lo observado. En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones: medición, evaluación y calificación. Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estructuración. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categorías a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con categorías o escalas conocidas. Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que pertenecen los y las estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resultados de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el o la estudiante y el estándar o criterio seleccionado. Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indica una posición en una escala dada) el resultado de ese juicio. El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acerca de cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al educando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje y qué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los aprendizajes de los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el profesor crea un plan de acción que permita mejorar los resultados obtenidos, a través de actividades remediales o de reforzamiento de los contenidos. Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad, se proponen en esta Guía la aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

• Evaluación formativa. Se desarrolla durante la Unidad y, dado su carácter procesal, permitirá a cada estudiante retroalimentar su desempeño, y al o la docente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. La evaluación formativa también es considerada dentro de cada Unidad de esta Guía en la sección MI PROGRESO, en la cual se busca monitorear el proceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados. • Evaluación sumativa. Entrega información acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al término de la Unidad, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles, a través de la aplicación de actividades remediales. Al finalizar cada Unidad de la Guía se presenta una evaluación fotocopiable de carácter sumativo, que evalúa el aprendizaje de los contenidos trabajados a lo largo de toda la Unidad. Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes busca determinar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad para resolver problemas y comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamiento empleado, identificar los conceptos que manejan, los procedimientos que aplican y la actitud presentada frente al problema a resolver; además, permite aproximarse al estado del pensamiento matemático de los y las estudiantes. Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se parte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos: el conceptual y el procedimental. El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructura conceptual. El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él se distinguen tres niveles:

• Evaluación diagnóstica. Se integra al inicio de cada Unidad, para identificar los conocimientos previos con los cuales los y las estudiantes se enfrentarán a los nuevos aprendizajes, y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales. En esta Guía podemos encontrar esta instancia de evaluación al comienzo de cada Unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES?

• Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezas aritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de representación. • Razonamiento matemático: conjunto de argumentaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y reglas de inferencia. • Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual; implica tener una gran creatividad e imaginación.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 20

Instrumentos de evaluación En el proceso de Evaluación es importante considerar distintos instrumentos que permitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, se presentan algunos instrumentos que puede utilizar para la evaluación del aprendizaje matemático.

Procedimientos evaluativos

Propósitos

Informes, críticas, artículos

Para juzgar nivel de conocimientos y para evaluar habilidades de análisis y de expresión escrita sobre asuntos varios, p. ej. de actualidad.

Trabajo realizado o proyecto de trabajo

Para comprobar la calidad del trabajo, su relevancia en función del propósito, la originalidad de la producción. (A menudo se combina con la entrevista o con la prueba oral).

Carpeta

Para validar el aprendizaje del alumno a través de un conjunto de materiales que reflejen sus progresos. Incluye su trabajo, sus reflexiones sobre su propia práctica y evidencias de otras personas calificadas para hacer comentarios.

Procedimientos evaluativos El procedimiento de evaluación más utilizado son las pruebas; sin embargo, no es el único existente. A continuación le presentamos otros procedimientos evaluativos complementarios a las pruebas y su posible uso. Procedimientos evaluativos

Propósitos

Ensayo

Para comprobar la calidad de la expresión escrita, uso de referencias, la habilidad para desarrollar un argumento coherente, la comprensión y transferencia del conocimiento y la evaluación crítica de ideas.

Observación espontánea o estructurada

Para recabar información sobre el ámbito afectivo-valórico, para juzgar desempeños tales como expresión oral, creación plástica, manipulación en laboratorio, y en general, para evaluar la forma en que el alumno actúa mientras desarrolla su aprendizaje.

Entrevista espontánea o estructurada

Para examinar con el alumno el trabajo realizado, para aclarar asuntos que surgen de documentos o revisar la profundidad y amplitud del aprendizaje, para evaluar la aplicación de estrategias a una tarea de aprendizaje.

Desempeño

Para evaluar aplicaciones de la teoría en un contexto estructurado (puede ser en un ambiente simulado, en el taller, el laboratorio). Para verificar capacidades o habilidades (ej. de resolución de problemas), aplicación de conocimientos y habilidades.

Presentación

Para verificar la capacidad de presentar información atendiendo a la audiencia y al tema. Para comprobar comprensión del tema.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Extraído de: La evaluación en el nuevo currículo: equívocos y equilibrios. Documento de Trabajo: Unidad de Currículum y Evaluación. Ministerio de Educación. Santiago, 2002. www.rmm.cl/biblio/doc/200403101109420.uce.doc

Es importante mencionar que todo procedimiento o instrumento de evaluación será valido si es coherente con los tipos de aprendizajes que busca evaluar, los conocimientos y habilidades que involucran los OF/CMO y los aprendizajes esperados que el docente haya seleccionado. En el proceso de evaluación es importante considerar instrumentos que permitan evaluar el desempeño de los alumnos y alumnas, y que a la vez no solo se enfoquen en que el resultado sea el correcto, sino también en el proceso que se utiliza. A continuación, se presentan algunas rúbricas con criterios específicos y fundamentales que permiten averiguar cómo está aprendiendo el o la estudiante.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 21

Rúbricas para mapas conceptuales Indicadores

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Conceptos y terminología

Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático y una notación y una terminología adecuada.

Comete algunos errores en la terminología empleada y muestra algunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio.

Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíos conceptuales profundos.

Conocimiento de las relaciones entre conceptos

Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendo ejemplos, colocando los conceptos en jerarquías y conexiones adecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dando como resultado final un mapa que es fácil de interpretar.

Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuada, estableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dando como resultado un mapa fácil de interpretar.

Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada y usa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando como resultado un mapa difícil de interpretar.

Habilidad para comunicar conceptos a través del mapa conceptual

Identifica todos los conceptos importantes y demuestra un conocimiento de las relaciones entre estos.

Identifica importantes conceptos, pero realiza algunas conexiones erradas.

Realiza muchas conexiones erradas.

Rúbricas para trabajos escritos Indicadores

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Ideas y contenido

El escrito es claro, enfocado e interesante. Mantiene la atención del lector. El tema o historia central se enriquece con anécdotas y detalles relevantes.

El escrito es claro y enfocado; sin embargo, el resultado general puede no captar la atención. Hay un intento por sustentarlo, pero puede ser limitado, irreal o muy general.

El escrito carece de una idea o propósito central. El lector se ve forzado a hacer inferencias basándose en detalles muy incompletos.

Organización

La organización resalta y focaliza la idea o tema central. El orden, la estructura o la presentación comprometen y mueven al lector a lo largo del texto.

El lector puede inferir lo que va a suceder en la historia, pero, en general, la organización puede ser, en algunos casos, inefectiva o muy obvia.

La organización es casual y desarticulada. La escritura carece de dirección, con ideas, detalles o eventos que se encadenan unos con otros, atropelladamente.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:45 Página 22

Voz

Elección de palabras

Fluidez en las oraciones

Convenciones

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

El escritor habla directamente al lector en forma directa, expresiva y que lo compromete con el relato. El escritor se involucra abiertamente con el texto y lo escribe para ser leído.

El escritor parece sincero, pero no está completamente involucrado en el tema. El resultado es ameno, aceptable y a veces directo, pero no compromete.

El escritor parece completamente indiferente, no involucrado o desapasionado. Como resultado, la escritura es plana, sin vida, rígida o mecánica. Y, dependiendo del tema, resulta abiertamente técnica o incoherente.

Las palabras transmiten el mensaje propuesto en forma interesante, natural y precisa. La escritura es completa y rica, pero concisa.

El lenguaje es totalmente corriente, pero transmite el mensaje. Es funcional, aunque carece de efectividad. Frecuentemente, el escritor decide por comodidad o facilidad de manejo, producir una especie de “documento genérico”, colmado de frases y palabras familiares.

El escritor hace esfuerzos con un vocabulario limitado, buscando a ciegas las palabras que transmitan el significado. Frecuentemente, el lenguaje es tan vago y abstracto o tan redundante y carente de detalles que solamente el mensaje más amplio y general llega a la audiencia.

La escritura fluye fácilmente y tiene buen ritmo cuando se lee en voz alta. Las oraciones están bien construidas, son muy coherentes y la estructura variada hace que, al leerlas, sean expresivas y agradables.

Las oraciones tienden a ser más mecánicas que fluidas. El texto se desliza eficientemente durante la mayor parte del escrito, aunque puede carecer de ritmo o gracia, tendiendo a ser más ameno que musical. Ocasionalmente, las construcciones inadecuadas hacen lenta la lectura.

El escrito es difícil de seguir o de leer en voz alta. Las oraciones tienden a estar cortadas, incompletas, inconexas, irregulares o muy toscas.

El escritor demuestra una buena comprensión de los estándares y convenciones de la escritura (gramática, puntuación, utilización adecuada del lenguaje, ortografía) y los usa efectivamente para mejorar la facilidad de lectura. Los errores tienden a ser muy pocos y de menor importancia.

Hay errores en las convenciones para escribir que, si bien no son demasiados, perjudican la facilidad de lectura. Aun cuando los errores no bloquean el significado, tienden a distraer.

Hay numerosos y repetidos errores en la utilización adecuada del lenguaje, en la estructura de las oraciones, en la ortografía o la puntuación que distraen al lector y hacen el texto difícil de leer. De hecho, la gravedad y frecuencia de los errores tiende a ser tan notoria que el lector encontrará mucha dificultad para concentrarse en el mensaje y deberá releerlo para entender.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 23

Rúbricas para presentaciones orales Logrado

Por lograr

Cumplido en la presentación de los resúmenes aprovecha el tiempo para aclaraciones.

Presenta el resumen y la actividad planeada sucintamente.

Sustentación teórica

Domina el tema propuesto, logra conectarlo y explicarlo en sus diferentes aspectos. La evaluación logra analizar el tema.

Logra explicar el tema, relacionando los diferentes aspectos de éste. La evaluación tiene en cuenta los diversos aspectos presentados.

Conoce el tema superficialmente, logra explicar los puntos planteados. La actividad de evaluación es poco adecuada.

Manejo de la discusión

Bien liderada, suscita controversia y participación.

Es organizada; puede contestar los diferentes interrogantes.

La dirige, no resalta los puntos más importantes, no llega a conclusiones.

Participación

Pertinente. Activa; es fundamental para el buen desarrollo de cada uno de los temas.

Oportuna, aporta buenos elementos, presta atención a las distintas participaciones.

Está presente. Presta poca atención a las distintas participaciones.

Preparación

Buen proceso de preparación, muestra profundidad en el desarrollo del tema.

Medianamente logrado

Extraído de: Matriz de Valoración en www.eduteka.org

Formulación

Pauta de proyectos realizados por estudiantes

Bien

Mal

Necesita mejorar

Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros para orientar su investigación. Plantea en forma clara el problema a investigar. Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación (plan de trabajo).

Desarrollo

Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor).

Presentación de resultados

Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo.

Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase para presentar los resultados de su investigación.

Discute con otros compañeros y compañeras acerca de los avances de su investigación. Presenta avances parciales de su trabajo.

Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia del proyecto. Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados de su trabajo. Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan a la claridad de la información presentada. Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes con el problema investigado y con los objetivos planteados. Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 24

Razonamiento matemático y Resolución de problemas En la interacción con el entorno y con los otros, las personas nos enfrentamos diariamente a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de la manera más óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia, la creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver un problema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas situaciones o que impliquen un desafío. Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en la que el o la docente genera situaciones para que los alumnos y alumnas puedan explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, construir conceptos, aprender procedimientos, algoritmos u otros tópicos matemáticos. Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante, interactuando con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente cooperativo y estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estas situaciones pueden ser: • Explorar una situación problema con el objeto de acercarse a un concepto o generar procedimientos para buscar y reconocer una solución. • Analizar una situación problema insuficientemente definida con el objeto de aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule preguntas. • Investigar una situación con el objeto de reunir y sistematizar información que involucre el uso de modelos matemáticos. En nuestra propuesta, el trabajo de Razonamiento matemático y Resolución de problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera cinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitudes y metacognición. • Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para resolver problemas matemáticos. • Habilidades: son las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean capaces de desarrollar en cada contenido. • Procesos: apunta al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución de problemas matemáticos. • Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática. • Metacognición: consiste en la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas. 24

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Polya propone un modelo para resolver situaciones problema, en un plan que consiste en cuatro pasos. 1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponibles dentro del contexto del problema. ¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras?, ¿cuál es la pregunta del problema?, ¿qué datos te entrega el problema?, ¿sabes a qué quieres llegar?, ¿son suficientes los datos que te entregan para resolver el problema?, ¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema? 2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido. ¿Qué puedo hacer con los datos que tengo para responder correctamente la pregunta? 3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado. Implementar la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso. Al desarrollar tu plan verifica cada uno de los pasos. ¿Puedes estar seguro de que cada uno está correcto?, ¿puedes demostrar (o argumentar) que está correcto? 4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida. ¿Puedes comprobar la respuesta?, ¿puedes comprobar los argumentos?, ¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes “ver” la respuesta de una sola mirada?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema? Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades a través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasos descritos. En la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS (del Texto del Estudiante) se plantean problemas en contextos cercanos y familiares a los alumnos y alumnas, con el objetivo de que sean recepcionados por ellos y ellas como un desafío y los estimule a utilizar todos los recursos de los cuales dispongan. Además, se determina una estructura clara de los pasos a seguir para resolverlos. Para evaluar la resolución de problemas, se propone la siguiente tabla, que especifica los indicadores de logro de acuerdo con cada etapa de la Resolución de problemas.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 25

No comprende

Comprensión del problema o de la situación

Comprensión de conceptos

Medición (longitud, masa, capacidad)

En proceso, logro parcial

Logro, aplicación

• No intenta entender el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina, pide explicaciones.

• Copia el problema. • Identifica palabras clave. • Puede que malinterprete parte del problema. • Puede que tenga alguna idea acerca del problema.

• Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. • Comprende las condiciones principales. • Elimina la información innecesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede encontrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. • Puede crear problemas relacionados. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

• Hace comparaciones directas entre objetos. • No puede ordenar objetos de acuerdo a su medida. • No distingue diferencias entre distintas unidades de medida.

• Puede ordenar y comparar usando

• Puede estimar y medir usando unidades estándares. • Puede utilizar incrementos fraccionarios para medir. • Puede resolver problemas relacionados.

• Hace conjeturas poco realistas. • No usa estrategias para refinar la estimación. • No puede modelar o explicar la estrategia especificada. • No puede aplicar estrategias unidas a explicaciones.

• Refina conjeturas o estimaciones

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

unidades no estándares. • Puede estimar y medir usando unidades no estándares. • Puede resolver algunos problemas relacionados con medida.

mediante particiones/comparaciones. • Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan. • Demuestra poseer estrategias; otras, le faltan. • Usa estimación cuando es apropiado.

• Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones, comparaciones. • Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan. • Demuestra poseer estrategias; otras, le faltan. • Usa estimación cuando es apropiado.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 26

No comprende Verificación de resultados y/o progresos

En proceso, logro parcial

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Logro, aplicación

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• Chequea racionalidad de los resultados. • Reconoce sinrazones.

Recolección y organización de datos

• No hace planteamientos. • No puede proceder sin instrucciones ni asistencia. • Comete graves errores al recolectar o mostrar datos.

• Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma de registrarlos. • Tiene errores menores al recolectar y desplegar datos. • Puede corregir errores en momentos críticos.

• Puede recolectar y desplegar en forma organizada. • Clasifica en forma exacta y apropiada.

Interpretación y síntesis de resultados

• No hace planteamientos para resumir y describir datos. • Puede responder preguntas simples relacionadas con los datos, si es requerido. • No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Resume y describe datos apropiadamente. • Puede generar una respuesta a una pregunta relacionada con los datos. • Puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

• Expresa conclusiones e interpretaciones válidas. • Hace generalizaciones. • Comunica resultados en forma clara y lógica.

Aplicación de conceptos, procedimientos y estrategias

• No lo intenta. • Se apoya en otros para seleccionar y aplicar estrategias. • Su trabajo no es comprensible. • No puede explicar su trabajo o estrategia adecuadamente. • Selecciona estrategias inadecuadas. • Su implementación no es lógica ni ordenada.

• • • • •

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Usa estrategias si se lo piden. Reconoce estrategias. Puede explicar estrategias. Usa un limitado número de estrategias. Puede seleccionar una estrategia, pero necesita ayuda en su implementación. • Puede presentar su trabajo en una forma aceptable.

Genera nuevos procedimientos. Extiende o modifica la estrategia. Conoce o usa diversas estrategias. Usa estrategias en forma flexible. Reconoce cuando una estrategia es aplicable. • Presenta su trabajo en forma lógica y coherente.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 27

Disposiciones (valores, actitudes)

Generalización y conexiones

• • • •

No comprende

En proceso, logro parcial

Demuestra ansiedad o disgusto. Se retira o es pasivo durante la clase. Cede fácilmente y se frustra en la clase. Necesita un apoyo frecuente, atención y retroalimentación.

• Se aplica a la tarea. • Participa activamente en las actividades de aprendizaje. • Está dispuesto a intentar nuevos métodos. • Responde si le preguntan, pero puede que no tome la iniciativa.

• Demuestra confianza en su trabajo. • Es persistente cuando intenta varios enfoques. • No se da por vencido. • Es curioso, muestra flexibilidad. • Hace muchas preguntas.

• Puede reconocer problemas o aplicaciones similares. • Hace conexiones.

• Propone y explora conexiones. • Puede crear problemas paralelos variando las condiciones del problema original. • Puede aplicar ideas en nuevas aplicaciones.

• No intenta hacer conexiones. • No hace conexiones. • No puede extender ideas en nuevas aplicaciones. • Hace el mínimo esperado.

Logro, aplicación

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm Fuentes consultadas: • Chamorro, C. (1991). El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Madrid: Alambra Longmam. • Sternberg, R., Spears-Swerling, L. (1996). “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”, en: Teaching for thinking, trad. de R. Llavori. Enseñar a pensar. Madrid: Santillana.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 28

Estructura del Texto del Estudiante

Estructura del Texto El Texto Matemática 8 está organizado en 6 unidades. En cada Unidad encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio

En esta Unidad podrás...

En esta Unidad podrás... • Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo. • Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros. • Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros. • Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros y aplicarlo. • Calcular operaciones combinadas con números enteros. • Resolver problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan las cuatro operaciones aritméticas con números enteros.

Números enteros

Unidad

En esta sección conocerás los principales objetivos que se espera que logres con el desarrollo de la Unidad.

Conversemos de... La atmósfera es una masa gaseosa que envuelve a la Tierra. Sus componentes cumplen un papel muy importante para que en nuestro planeta pueda existir la vida; además, no solo nos protege de la radiación solar, sino que filtra radiaciones nocivas e impide que el calor emitido por el Sol se escape al espacio. Sin la atmósfera, la temperatura de la Tierra se volvería insoportable, aumentaría en 100 ºC por el día y variaría cerca de –150 ºC en la noche. La atmósfera se divide en diferentes capas. Una de ellas es la tropósfera, que corresponde a la zona más baja de la atmósfera, donde se producen todos los fenómenos meteorológicos y cuya temperatura disminuye con la altura. Fuente: Dirección Meteorológica de Chile, www.meteochile.cl/ayudaest.html, septiembre 2009.

La fotografía fue tomada en un avión que volaba en la tropósfera, sobre una zona en que la temperatura de la superficie era de 24 ºC y esta disminuía, según la altura, a razón de 6 ºC por kilómetro. 1. ¿Cuál era la temperatura a 2 km de altura? 2. ¿A qué altura la temperatura fue de 0 ºC? 3. ¿A qué altura volaba el avión, si la temperatura del aire varió a –24 ºC?

10 Unidad 1

Números enteros 11

Conversemos de... Sección que te plantea preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la Unidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias. Unidad 1

ente: 6. Calcula mentalm

s? ¿Cuánto sabe 1. Completa con

los signos <, >

b) –8

nda. o =, según correspo

–15

c) –10

–5

a) –7

d) 4

e) –3

a) 45 : 9 = b) 50 • 6 = c) 13 • 4 = d) 180 : 6 =

3 –8

f) 8

–1

s. as son correcta si tus respuest ario del Texto y resuelve Verifica en el solucion fue el error? Explícalo en alguna?, ¿cuál ¿Te equivocaste el ejercicio. correctamente

menor a mayor. es números de

siguient 2. Ordena los 20; 29; –29 a) 49; –14; –28; 1; 3; 5 b) –4; –5; –1; –1; 5; 18 c) 101; 111; –111;

–18; 1; 0 d) –7; –10; –16; –23; 10; –5 e) –14; –19; 22; 2; –6; 6 f) –18; –20; –40;

–1, 3, –2 : –6, –4, 7, –5, numérica los números

recta 3. Ubica en la inversos aditivos.

¿Cuánto sabes?

–2 –1 0 –6 –5 –4 –3 –10 –9 –8 –7

Podrás resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a recordar conocimientos que serán la base para el desarrollo de la Unidad.

4. Calcula mentalm

ente:

a) (–2) + 8 = b) (–14) + 6 = = c) (–3) + (–8) = d) –11 – (–4) as siguientes problem 5. Resuelve los que utilizaste.

y sus

ar? ¿Qué debes record 9 10

e) 22 – 30 = (9 – 5) = f) –(–4 + 2) – + 8) = g) (5 – 18) – (–8 – 3) + 10 = h) –4 – 7 + (9 y explica, paso

= e) 2 • 3 • 10 f) 540 : 60 = g) 121 : 11 = h) 12 • 5 =

ia a paso, la estrateg

corte de Después de un o es de –10 ºC. baja rápidamente tura de un frigorífic a) La tempera vuelve la energía, luego, cuando después de esta luz sube 15 ºC, del frigorífico la temperatura 12 ºC. ¿Cuál es temperatura? . Si le paga disminución de a su hermano madre y $ 5500 ahora $ 12 000 a su , ¿cuánto debe hermano b) Camila le debe su a 3800 madre y $ $ 10 500 a su sube hacia la en total? el nivel del mar se 9 metros bajo qué profundidad se encuentra a e 6 metros. ¿A c) Un buzo que luego, desciend superficie 5 metros, e encuentra ahora? mar, primero desciend bajo el nivel del del mar está a 5 metros distancia del nivel qué ¿A d) Un pez que sube 6 metros. a. 3 metros y, luego, en la recta numéric Represéntalo ahora? ra se encuent

s (⺞), los números naturale compuesto por s enteros está ⺪. de los número simboliza por • El conjunto s negativos. Se el cero y los número –1, 0, 1, 2, 3,… ⺪ = …, –3, –2, a través del valor la representaremos cero el y un número mos a . a que hay entre número a lo escribire • La distanci s –20 = 20. absoluto de un a es 20, entonce absoluto. El valor la recta numéric –20 y cero en los números que la distancia entre Por ejemplo: mayor que todos él. o negativo, es a la derecha de número, positivo número que esté numérica, un que cualquier • En la recta la siguiente a de él y es menor se observa en están a la izquierd del –4, como derecha la a está el –2 –2 > –4, ya que Por ejemplo, a: recta numéric 4 3 2 1 0 –1 –3 –2 s y conservamos –4 –5 valores absoluto sumamos los de igual signo, números enteros s y, • Para sumar valores absoluto restamos sus el signo. de distinto signo absoluto. números enteros de mayor valor Para sumar dos el signo del número le asignamos al resultado, + (–5) = –8 Ejemplo: (–3) 6 + (–9) = –3 enteros, se suma dos números • Para restar = 25 (–10) = 15 + 10 Ejemplo: 15 – + (–22) = –40 –18 – 22 = –18

al minuendo

el opuesto del

sustraendo.

Números enteros

12 Unidad 1

¿Qué debes recordar? Encontrarás el resumen de los principales conceptos trabajados en años anteriores y que te servirán como apoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad.

4 Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

En la estructura del Texto del Estudiante se muestran las diferentes páginas y secciones que componen cada Unidad, con su respectiva descripción, distinguiéndose en su estructura didáctica los tres momentos pedagógicos presentes en ellas (inicio, desarrollo y cierre). • En las páginas de inicio se explicitan los aprendizajes que se espera que logren los y las estudiantes con el desarrollo de la Unidad; además, se presentan actividades de motivación y activación de experiencias y conocimientos previos, junto con una evaluación diagnóstica que le permitirá conocer los conocimientos que tienen sus alumnos y alumnas y que serán el punto de partida para el trabajo de la Unidad.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 29

• Las páginas de desarrollo incluyen variadas actividades de exploración, construcción y aplicación de los contenidos; algunas para desarrollarlas en forma individual, otras para comentar y discutir, y otras para realizar con metodología de trabajo colaborativo. En estas páginas se destacan las ideas o conceptos fundamentales a través de una formalización.

Páginas de desarrollo No olvides que...

Unidad 1

Multiplicación de números enteros Un grupo de 4 amigos inventaron un juego en el que obtenían puntos al responder ciertas preguntas. Si no respondían correctamente, se anotaban puntos negativos o cero. Aquí está el resumen después de 5 etapas. Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Etapa 4

Etapa 5

Beatriz

Cristián

–10

Gonzalo

Alejandra

–12

Para discutir • ¿Con cuántos puntos terminó cada jugador? • ¿Quién obtuvo más puntos? • Si Alejandra jugara hasta la tercera etapa, ¿cuántos puntos dejaría de perder con las dos etapas que no jugó? Como Beatriz obtuvo 15 puntos en cada etapa, la expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las 5 etapas es: 15 • 5 = 75, es decir, terminó con 75 puntos.

Ayuda Recuerda que, usualmente, cuando el número es positivo, no se escribe el signo +. Por ejemplo: (+3) se escribe también 3.

La expresión que permite calcular con cuántos puntos terminó Cristián al final de las 5 etapas, si obtuvo –10 en cada una es: (–10) • 5 = –50, o bien: 5 • (–10) = –50. Por lo tanto, Cristián terminó con –50 puntos al final del juego. Gonzalo hizo 0 puntos en cada etapa. En este caso, la expresión que permite calcular la cantidad de puntos al finalizar el juego es: 0 • 5 = 0, es decir, terminó con 0 puntos.

Ayuda

Si Alejandra hizo –12 puntos en cada etapa, la expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las etapas es: (–12) • 5 = –60. En este caso, Alejandra terminó el juego con –60 puntos.

Te recuerda un contenido o procedimiento.

Beatriz fue quien obtuvo más puntos. La expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo Alejandra en las 2 últimas etapas, si en cada una obtuvo (–12) puntos, es: (–12) • 2 = –24 puntos. Entonces, al no jugar las últimas dos etapas dejó de perder 24 puntos. La expresión matemática en este caso, considerando que representaremos con (–2) a las dos etapas que no jugó, es: (–12) • (–2) = 24. Notemos que (–12) • (–2) = 12 • 2 = 24.

No olvides que... • Para cualquier número entero a, se tiene que a • 0 = 0 • a = 0. • Para multiplicar números enteros, se deben multiplicar sus valores absolutos y al resultado anteponer el signo + si los factores tienen el mismo signo, o el signo – si tienen distinto signo. • La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos. • Al multiplicar dos números que tienen igual signo, el resultado es positivo. Por ejemplo: (+5) • (+7) = +35 (–6 • (–2) = +12

Signo del 1er factor

Signo del 2o factor

• Al multiplicar dos números que tienen diferente signo, el resultado es negativo. Por ejemplo: (+8) • (–9) = –72 (–6) • (+4) = –24

Encontrarás explicaciones, descripciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.

Signo del producto

–

Actividades 1. Calcula el resultado de los siguientes productos. a) 3 • (–5) b) 0 • (–3)

c) (–11) • 3 d) (–5) • (–6)

e) (–4) • (–1) f) 1 • (–7)

g) 7 • (–2) h) (–9) • (–5)

2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números. a) –20

b) –16

c) –18

d) +8

3. Completa con el factor que falta. a) b) 5 •

•

(–7) = 21 = –35

c) d) 6 •

•

9 = –72 = 18

e) (–4) • f) (–4) •

=4 = –64

4. En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser el producto de los dos números de las casillas sobre las que está apoyada dicha casilla. Complétala. +1080 –12 +6 +3

16 Unidad 1

Números enteros

Actividades Para discutir Por medio de preguntas, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

Resolverás variadas actividades para ir descubriendo los conceptos y reforzar así su aprendizaje.

Unidad 1

b en cada caso, valores de a y

5. Remplaza los tabla. y completa la

b :a

realiza los cálculos

–3

–18

–2

–28

– (b : a)

b : a

correspondientes

Marca la opción

b : a

d anterior, tabla de la activida ¿por qué? 6. en : a y –(b : a)?, siempre lo mismo os al calcular b los mismos resultad : a y b : a ?, ¿ocurrirá a) ¿Obtienes os al calcular b los mismos resultad siempre lo b) ¿Obtienes b a y b : a ?, ¿ocurrirá ¿por qué? divisiones : estos casos?, os al calcular las aciones? los mismos resultad ¿y si fueran multiplic c) ¿Obtienes qué?, ¿por casos?, es un mismo en estos idad que logra piscina. Si la profund una respecto a alcanza metros 12 profundidad que una altura de representa la ta se lanza de ¿qué número 7. Un clavadis a la que se lanzó, tercio de la altura del nivel del agua?

para calcular y una moneda En equipo seis tarjetas rojas cuatro seis tarjetas azules, enteros. Formen grupos de d deberán utilizar números En esta activida y divisiones con multiplicaciones mentalmente ones. –350, +400. sigan las instrucci +200, –250, +300, integrantes y es números: –150, 5. con los siguient –10, –5, –1, 2, tarjetas azules s números: –25, 1. Elaboren seis con los siguiente rojas tarjetas 2. Elaboren seis te, por turno: 3. Cada integran azar. s; tarjeta azul al 1º Saca una los números obtenido roja al azar. mentalmente ar tarjeta una multiplic por el de la deben 2º Saca la tarjeta azul , si sale cara se el número de 3º Lanza la moneda mentalmente (sello), se divide de lo contrario punto. si no, pierde 1 tarjeta roja. gana 1 punto; e correctamente, 4º Si respond complete 10 puntos. los integrantes de alguno que 4. Jueguen hasta

20 Unidad 1

Desarrollarás en grupo entretenidas e interesantes actividades que te permitirán progresar en tu aprendizaje

2. preguntas 1 y

n (–36) : x = –4,

el valor de x es:

A. 4 + x

, ¿cuál de estos entero negativo C. 4 : x B. 4 • x

valores de 3. Remplaza los

m y n en cada caso, m –20

D. –12

C. 6

B. 9

A. –9 2. Si x es un número

obtenidos en la

En equipo

correcta en las

1. En la expresió

responde:

resultados A partir de los

Mi progreso

más grande?

D. 4 – x

realiza los cálculos

m•m

números es el

m:n

tabla. y completa la correspondientes

m•n

m • m

–6

–450

–90

e: s en la tabla, respond qué? resultados obtenido : n y m • n?, ¿por s al calcular m siempre lo mismo soluciones obtenida • m ?, ¿ocurrirá en común las • m y m a) ¿Qué tienen os al calcular m los mismos resultad b) ¿Obtienes ¿por qué? gana la en estos casos?, contra. Si Carlos 10 puntos en tienen ahora y Carlos tiene ¿cuántos puntos puntos a favor 60 puntaje, tiene su Emilia dobla y, luego, Emilia 4. En un juego, que Emilia tiene mitad de puntos hora. Emilia y Carlos? tura 4 ºC cada descender la tempera puede a frigorífic bajar 16 ºC? de una cámara 20 ºC?, ¿y en 5. En el interior la temperatura tardará en bajar responde. ¿Cuántas horas e tabla y, luego, completa la siguient ario del Texto; s as en el solucion Respuestas correcta Ítem Revisa tus respuest A partir de los

Criterio 1 s enteros. n asociada a número 2 en una expresió s enteros. Reconocer el divisor asociadas a número 3 nes algebraicas Analizar expresio enteros. dos números o o cociente de 4y5 y división de Calcular el product multiplicación a que requiere Resolver un problem ra enteros. s número compañero o compañe y explica a un mente el ejercicio correcta Resuelve error?, ¿cuál? 21 ¿Tuviste algún Números enteros . la estrategia utilizada

Te invitamos a ingresar al hipertexto donde encontrarás diferentes recursos y actividades interactivas que complementarán tu aprendizaje. Estructura del Texto

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 30

Mi progreso Resolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso en el logro de los aprendizajes.

Unidad 1

Herramientas tecnológicas

Mi progreso

Usando una planilla de cálculo, resuelve operaciones combinadas con números enteros. Sigue las instrucciones.

Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.

1º En A1 escribe “Positivo”, en B1 “Negativo”, en C1 “Operación 1”, en D1 “Operación 2”, en E1 “Operación 3” y en F1 “Operación 4”. 2º En las celdas A2 y B2 anota 600 y –30, respectivamente. 3º En la celda C2 correspondiente a “Operación 1” haz doble clic y anota = A2*B2-B2*A2. Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 • (–30) – (–30) • 600. 4º En la celda D2 correspondiente a “Operación 2” haz doble clic y anota = A2/B2-B2. Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) – (–30). 5º En la celda E2 correspondiente a “Operación 3” haz doble clic y anota = A2/B2+ABS(B2). Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) + –30 . 6º En la celda F2, inventa una operación combinada usando los números que aparecen en las celdas A2 y B2 (como en los puntos 3, 4 y 5) y los símbolos +, – , * y /. 7º En las celdas de la columna “Positivo” escribe números enteros positivos hasta A10. En las celdas de la columna “Negativo” escribe números enteros negativos que sean divisores del número positivo de su fila correspondiente. 8º Con el mouse, selecciona la celda C2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda C10. Así, deberían aparecer todos los resultados correspondientes. 9º Repite el paso anterior para las celdas D2, E2 y F2. Deberías obtener:

Herramientas tecnológicas Aprenderás a ocupar la calculadora para resolver diversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programas computacionales.

1. Juan trabaja en un supermercado. Durante el primer semestre del año pasado tuvo un sueldo fijo mensual de $ 300 000. En julio recibió un aumento de $ 50 000. ¿Qué expresión permite calcular cuánto ganó Juan el año pasado? A. 300 000 • 6 + 50 000 • 6 B. 300 000 • 12 + 50 000

C. 300 000 • 6 + 350 000 • 6 D. 300 000 • 12 + 350 000

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. Una división de números enteros es siempre exacta. B. El resto en una división de números negativos, es negativo. C. El producto de dos números enteros negativos es un número entero negativo. D. El dividendo en la división exacta con números enteros es igual al divisor por el cociente. 3. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla con los resultados que obtengas. Luego, responde. b

–18

–12

–28

–7

–14

a:b•c

a•b:c

c • (a – b) + a

c•a–c•b+a

• ¿Obtienes los mismos resultados en las columnas 4 y 5?, ¿y en las columnas 6 y 7?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué? 4. Un objeto se encuentra a 32 metros bajo el nivel del mar. Si cada 5 minutos desciende 3 metros, ¿qué número representa la profundidad en que se encontrará 35 minutos después? Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde: a) ¿Por qué en “Operación 1” los resultados son siempre cero?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Justifica. b) ¿Por qué los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” son iguales?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Justifica. c) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿obtienes como resultado cero en la columna “Operación 1”?, ¿por qué? d) Si los números de la columna “Negativo” fueran positivos, ¿los resultados de “Operación 2” y “Operación 3” serían iguales?, ¿por qué? Verifica en tu planilla de cálculo.

Ítem

Representar en lenguaje matemático una situación escrita en lenguaje natural.

Analizar expresiones relacionadas al algoritmo de la división.

Calcular operaciones combinadas con números enteros.

Resolver un problema, que involucra las cuatro operaciones con números enteros.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

28 Unidad 1

Números enteros

Unidad 1 mercadería y $ 50 000 $ 100 000 de arriendo, $ 65 000 en 5. Una familia gasta mensualmente $ 1 200 000, dando de un automóvil a crédito que cuesta en gas, luz y agua. Si desean comprar iguales, calcula: 000 y el resto en 24 cuotas mensuales pie unos ahorros que equivalen $ 150

que 11. Escribe en cada línea el número

a) ¿Cuánto pagan anualmente? mensual? b) ¿Cuál es el valor de cada cuota 5 años? c) ¿Cuánto han pagado después de 7. El valor de las acciones de una Hoy tienen un valor de $ 690.

12. En cada caso, escribe una pregunta se indican. Luego, resuélvelos.

$ 12 cada día. empresa en la bolsa de comercio disminuye

8 días? calcular cuánto costarán dentro de a) ¿Qué expresión matemática permite ¿y en 15 días? b) ¿Cuánto costarán dentro de 8 días?,

de 20 ºC. de refrigeración a las 14:45 horas es 8. La temperatura en una cámara ºC cada minuto. Se sabe que la temperatura baja 2 las 15:03 horas? calcular cuál será la temperatura a a) ¿Qué expresión matemática permite horas. b) Calcula la temperatura a las 15:03 en 9. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla. b

cada caso, realiza los cálculos correspondientes

–36

–2

–9

–96

–10

–50

–5

–2

(b : c) • a

10. A partir de los resultados obtenidos

b : (c • a)

a • (b • c)

= –7 e) –5 • –7 • 2 : : –9 • 2 = –10 f) ) = –50 g) 100 : (20 : • –6 : 2 = 9 h)

= –8 a) 6 : –3 • : –5) = 9 b) –3 • ( ) • (–8 : 2) = –40 c) (–20 : : 3 = –3 d) 45 :

las 24 cuotas del auto? a) ¿Cuál es el valor de cada una de cuentas? dinero gastarán mensualmente en b) Si deciden comprar el auto, ¿cuánto en cuotas fijas a 20 años. enero del año 2011 con un crédito 6. Una familia compra una casa en incluidos los intereses. El valor de la casa es de $ 12 000 000

falta para que se cumpla la igualdad.

(a • b) • c

para que el problema sea resuelto

con las operaciones que

a) Operaciones: adición y multiplicación. ºC. mínima a las 7:00 horas fue de –2 En una ciudad del país, la temperatura 11:00 horas. Cada hora aumentó 3 ºC hasta las Pregunta: Respuesta: b) Operaciones: adición y división. En junio pudo una alcancía desde enero hasta mayo. Patricio logró ahorrar $ 95 000 en parte del total. $ 15 000 y en agosto retiró la cuarta guardar $ 20 000, en julio ahorró Pregunta: Respuesta:

Estrategia mental

Estrategia mental multiplicación o corresponde al resultado de una Para saber en forma rápida qué signo de la expresión: la cantidad de números negativos división entre números enteros, cuenta el resultado es negativo. de lo contrario (cantidad impar), si es par, el resultado será positivo;

Podrás aprender y practicar diversas estrategias de cálculo mental.

Observa los ejemplos: (–20 : 2 • (–5) • (–2) = –100

25 • (–4) : 20 • 6 : (–10) = +3

(3 números negativos)

(2 números negativos)

responde: en la tabla de la actividad anterior,

siempre al calcular (b : c) • a y b : (c • a)?, ¿ocurrirá a) ¿Obtienes los mismos resultados lo mismo en estos casos?, ¿por qué? siempre al calcular a • (b • c) y (a • b) • c?, ¿ocurrirá b) ¿Obtienes los mismos resultados lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

Calcula mentalmente, aplicando la

estrategia aprendida.

a) (–2) • 2 • (–2) • 2 • (–2) = b) (–15) : (–3) • (–4) • 2 : (–5) = = c) (–10) • (–100) • (–1000) • (–10 000) d) 2500 : (–5) : (–10) = e) 3 • 3 • (–4) : (–2) : 9 • (–1) = f) 4 • 4 • 4 : (–4) • 1 : (–1) =

g) 2 • (–5) • (–10) : 4 • (–3) = h) 300 : 15 • (–3) : 2 • 6 = = i) (–1) : 1 • (–1) : 1 • (–1) • (–1) : (–1) j) (–24) : (–8) : 3 • (–1) • (–2) = k) 12 • 10 : (–4) • (–3) : (–9) = = • l) (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) (–1) Números enteros

26 Unidad 1

Unidad 1

Buscando estrategias El año 2005, Marcos inició una empresa. Ese año perdió $ 12 000 000, el segundo año perdió el doble que el primero, el tercer año ganó el triple que las pérdidas de los dos anteriores juntos. El cuarto tuvo ingresos de $ 18 000 000, y el quinto año obtuvo ganancias iguales a la mitad de las ganancias del tercer año. ¿Cuál fue el saldo final de la empresa?

Buscando estrategias Observarás un problema resuelto paso a paso a través de una determinada estrategia. Podrás aprender y practicar la estrategia utilizada y buscar otras que te permitan encontrar la solución.

Comprender • ¿Qué sabes del problema? Que el primer y segundo año perdió, y los tres años siguientes tuvo ganancias.

• ¿Qué debes encontrar? La cantidad de dinero correspondiente al saldo final de la empresa.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para facilitar los cálculos, representaremos con signo + los números correspondientes a ganancias, y con signo –, los números que corresponden a pérdidas. Luego, calculamos los valores correspondientes a cada año y, por último, los sumamos para obtener el saldo final.

Resolver • Calculamos los valores correspondientes a cada año: Año 2005: –12 000 000 Año 2006: 2 • –12 000 000 = –24 000 000 Año 2007: 3 • (+12 000 000 + +24 000 000) = 3 • +36 000 000 = +108 000 000 Año 2008: +18 000 000 Año 2009: +108 000 000 : 2 = +54 000 000 Luego, sumamos los valores obtenidos: (–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) = 144 000 000

Responder

a) Marcelo, el tesorero del Octavo Año Básico de un colegio de Coquimbo, debe rendir cuentas al curso cada término de semestre. Dice lo siguiente: “Por aportes voluntarios en marzo reunimos $ 88 000; en abril, $ 65 000; en mayo, $ 100 000, y en junio, $ 55 000. En la fiesta de curso gastamos $ 140 000; el regalo a la profesora costó $ 35 000, y en la rifa de curso ganamos $ 63 000”. ¿Cuál fue el saldo final del curso? b) Claudio puso un negocio de comida rápida. El primer mes ganó $ 300 000, el segundo mes ganó el doble que en el primero, en el tercero ganó el triple del segundo, el cuarto mes perdió la mitad de las ganancias de los primeros meses juntos, y en el quinto tuvo ingresos de $ 255 000. ¿Cuál fue el saldo final? c) Un día de julio, en Calama, la temperatura mínima que se registró a las 7:30 horas, fue de –3 ºC. Durante las siguientes 8 horas, la temperatura subió 3 ºC por hora y, luego, descendió 2 ºC por hora. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 23:30 horas?, ¿y a las 00:30 horas? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Un día de agosto, a las 9:00 horas, un submarino se encuentra a 150 m de profundidad. Si durante una hora baja con rapidez de 12 m cada 10 minutos, y luego sube hacia la superficie durante una hora y media con rapidez de 18 m cada 15 minutos, y durante los siguientes 40 minutos sigue subiendo aumentando la rapidez a 20 m cada 10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará a las 12:10 horas?

• El saldo final de la empresa corresponde a una ganancia de $ 144 000 000.

Revisar • Para comprobar el resultado, puedes asociar la suma de otra manera: (–12 000 000) + (–24 000 000) + (+108 000 000) + (+18 000 000) + (+54 000 000) = (–12 000 000 + –24 000 000) + (+108 000 000 + +18 000 000 + +54 000 000) = (–36 000 000) + (+180 000 000) = –36 000 000 + 180 000 000 = +144 000 000

30 Unidad 1

6 Matemática 8

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

b) La señora Carmen, dueña de un almacén, calcula mensualmente las ganancias y gastos de su negocio. En el mes de junio, la primera semana vendió $ 210 000, la segunda semana vendió $ 180 000, la tercera gastó $ 140 000 en el arriendo del local y vendió $ 270 000, y la cuarta semana ganó $ 192 000 y pagó $ 25 000 en luz, $ 10 000 en agua y $ 300 000 en mercadería. ¿Cuál fue el saldo final de junio?

Números enteros

Además, las páginas de desarrollo contienen secciones que permitirán que sus estudiantes aprendan estrategias de cálculo mental y otras en que deberán utilizar herramientas tecnológicas como calculadora y computador. También presentan páginas con actividades específicas para la resolución de problemas, que, a pesar de que se trabajen transversalmente, acá se muestran estrategias específicas para que los y las estudiantes las aprendan y apliquen en otras situaciones. Las evaluaciones formativas que aquí se presentan le permitirán obtener información sobre el proceso de aprendizaje de sus estudiantes.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 31

Páginas de cierre Síntesis Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un organizador gráfico. Además, aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre estos y sus relaciones.

Unidad 1

Conexiones

NACIONAL

KR2KP2WOMPS2FF ER2ISQKXG2ZOWXS2

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

EXACTA

R2ISQKXG 238B7@GPPK\42KW2Y

?P2ISQKXG2@GPPK\ JSV2JKP2CSP2IGJG K2UYK2SVHOXG2GPVKJK ISQKXGW2 Q^W PS2 HVOPPGRXK2\2MVGRJ S62 ?W2 YRS2 JK2 OHPK2KWXYJOGV2PGW ::2 GaSW2 KR2 TVSQKJO V2JK2_P2NG2WOJS2TSW XGW62?WXK2ISQKXG ISRSIOJSW=2G2TGVXO 2PSW2JKQ^W2ISQK JK2KP2KWTGIOS62AG IGVGIXKV`WXOIGW2JK 2LSXSMVGLOGVWK2JKW GW2JK2PG2bVHOXG2JK LYK2KP2TVOQKVS2KR Wb2TSV2PGW2IKVIGR` SQKXGW5 cPXOQG2ZK]2UYK2TG OKR2K[OWXKR2SXVSW2I IYGP <;962CO2H PG2DOKVVG2LYK2KR28 ZOWXG52 TSV2 PS2 SHWKVZGV2 G2 WOQTPK2 KW52ORIPYWS2GRXKW KWXK2 WK2 TYKJK2 GTGVOIOSR W2JK2WYW2 K[OWXKR2VKLKVKRIOG JK2>VOWXS6

DIVISIÓN MULTIPLICACIÓN

INEXACTA

OPERACIONES

de Canarias, de Astrofísica e 2009. Fuente: Instituto .htm, septiembr /difus/cometas/halley www.iac.es/gabinete

A partir de una noticia o tema, desarrollarás en equipo una actividad que te permitirá aplicar lo que aprendiste en la Unidad. Además, te invitamos a evaluar tu actitud y la de cada integrante del grupo para que puedas mejorar tu forma de trabajar.

Para facilitar el aprendizaje y el trabajo con el Texto, se espera que los alumnos y alumnas logren distinguir con claridad estas páginas y secciones, para lo cual es conveniente que, antes de iniciar el trabajo en las Unidades del Texto, revise con ellos y ellas esta organización, deteniéndose en cada una de las páginas y secciones correspondientes y realizando preguntas que le permitan verificar la comprensión de sus estudiantes respecto del tipo de información que encontrarán en cada tipo de página y sección.

Síntesis

a los principales al, que relacion mapa conceptu las esquema llamado enlace que indican se presenta un las palabras de A continuación, Complétalo con os en la Unidad. s. conceptos estudiad hay entre los concepto relaciones que

Para finalizar

COMBINADAS

integrantes. de tres o cuatro Trabajen en grupos ¿en qué años? la siguiente visita? el año 2217?, la calcula que será cometa hasta cuál debería ser 1. ¿Cuándo se habrá hecho el te y discutan sobre ¿cuántas visitas cada integran 2. Desde 1986, os obtenidos. obtenidas por ias entre los resultad las soluciones por primera vez. 3. Comparen existan diferenc fue observado en caso de que y en qué año todos los años solución correcta tiene ese nombre alemán. Anoten cometa el qué por las por un astrónomo año que pasó 4. Averigüen observado por e con el último el cometa fue la fecha. ¿Coincid 5. En el año 1472, hasta 1472 desde que el Halley pasó, ¿por qué? en 1986. órbita de la Tierra?, Halley a la Tierra cercanías de la más cercana del cuál fue la distancia 6. Averigüen

o. ual?, ¿cuál? Agrégal en el mapa concept o importante algún concept negativo? número entero natural por un as un número 2. ¿Cómo multiplic as números enteros? 3. ¿Cómo multiplic enteros? s número das? 4. ¿Cómo divides y divisiones combina multiplicaciones ria combinada? s ejercicios con s con operato 5. ¿Cómo resuelve resolver ejercicio operaciones al s enteros?, prioridad de las 6. ¿Cuál es la y división de número la multiplicación zas observas en 7. ¿Qué semejan qué? ias? a • b + a • c?, ¿por • (b + c) = ¿y qué diferenc afirmar que a ¿podrías números enteros, 8. Si a, b y c son tela en s. , ¿cuál? Compár Da dos ejemplo os en la Unidad? conceptos trabajad duda sobre los . 9. ¿Tienes alguna aclararla en conjunto tu curso e intenten

faltó 1. ¿Crees que

trabajo Evaluamos nuestro

cuaderno. y cópialos en tu es indicadores 1. Lee los siguient integrantes. de los demás las opiniones • Respeté/respetó se comprometió. con las tareas que ar el trabajo. • Cumplí/cumplió tes para desarroll y haz tu aportes interesan dote a ti mismo, • Hice/hizo Luego, tu grupo, incluyén corresponda. integrante de nunca, según tabla con cada A veces o Casi a. Dibuja una mente, General do: en equipo? evaluación escribien as. n sus respuest próximo trabajo mejorar para el comparen y comente ¿en qué podrían y respondan: b. Comenten

Números enteros

32 Unidad 1

¿Qué logré? ¿Qué aprendí?

Unidad 1

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. Si n es un número entero positivo, ¿cuál de estos números es menor que cero?

¿Qué aprendí? En estas dos páginas responderás preguntas de selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluar lo que has aprendido en la Unidad.

A. 5 + n B. 2 • n C. n : (–n) D. –2 • (–n) 2. Un tiburón gris se encuentra a 250 metros de profundidad. Si desciende un quinto de la profundidad a la que se encuentra, ¿qué número representa la profundidad que está con respecto al nivel del mar? A. –300 B. 300 C. –200 D. 200 3. Un día de julio en Santiago, la temperatura a las 7:30 horas fue de –4 ºC, y tres horas más tarde subió 7 ºC. Si la máxima fue el triple de la temperatura registrada a las 10:30 horas, ¿cuál fue la temperatura máxima del día? A. –9 ºC B. –8 ºC C. 9 ºC D. 6 ºC 4. Si n, m son números enteros, n es el antecesor de m y –8 es el sucesor de m, ¿cuál es el sucesor de (n • m)?

5. ¿Cuál de las siguientes frases es incorrecta? A. Si se multiplican dos números enteros negativos, el resultado es mayor que cero. B. Si se dividen dos números enteros negativos, el resultado es mayor que cero. C. Si se multiplica el valor absoluto de un número entero negativo por un número natural, el resultado es negativo. D. Si se multiplica un número natural por un número entero negativo, el resultado es un número entero negativo.

Evaluarás y reflexionarás sobre los aprendizajes que adquiriste en esta Unidad.

a) Si estamos a 50 m de profundidad, ¿en qué galería nos encontramos? b) Tras subir 30 m, Carlos está en la galería 7. ¿En qué galería estaba antes? c) Antes de subir 20 m, Luis estaba en la galería 6, ¿en qué galería se encuentra ahora?

6. Si a = –5, entonces (a • a) es igual a: A. a • a B. a • a C. a • 1 D. –(a • a) 7. Al calcular –9 + 3 : –2 + (–1 • 1) , resulta: A. 10 B. –9 C. –10 D. –6 8. En la expresión –5 • x : –2 = 10, el valor de x es: A. –4 B. –20 C. 20 D. 4

A. 91 B. –90 C. –89 D. 90

34 Unidad 1

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Multiplicación de un número natural por un número entero negativo Multiplicación de números enteros División exacta de números enteros División inexacta de números enteros Operaciones combinadas Resolución de problemas

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 11 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Números enteros

Estructura del Texto

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• En las páginas de cierre se presentan actividades de consolidación a partir de una noticia de actualidad y de síntesis, y finalizan con una evaluación sumativa que integra los contenidos tratados a lo largo de la Unidad e incluye una autoevaluación que permite que los y las estudiantes sean conscientes del logro de sus aprendizajes y que reflexionen sobre cómo aprenden, las dificultades que encontraron y cómo las superaron. Además, encontrarán talleres de evaluación propuestos para el cierre de cada semestre, en los que se plantean actividades que integran contenidos trabajados en las Unidades desarrolladas.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 32

Índice del Texto del Estudiante El índice del Texto permite distinguir las Unidades en que se encuentra dividido este y los contenidos que se trabajan en cada una de ellas.

Índice

Unidad

Números enteros ¿Cuánto sabes? Multiplicación de un número natural por un número entero negativo Multiplicación de números enteros División exacta de números enteros Mi progreso División inexacta de números enteros Operaciones combinadas

Unidad

8 Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

29 30 32 34

36 38 40 42 44 46 48 50 52

Mi progreso Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural Potencias de base decimal positiva y exponente natural Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

Geometría y medición ¿Cuánto sabes? Circunferencia y círculo como lugar geométrico Elementos de la circunferencia Número y su relación con la circunferencia Longitud de la circunferencia Área del círculo

14 16 18 21 22 24

Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

Potencias ¿Cuánto sabes? Potencias de base entera y exponente natural Valor de la potencia Multiplicación de potencias de igual base División de potencias de igual base Multiplicación de potencias de igual exponente División de potencias de igual exponente Potencia de una potencia

Unidad

10 12

55 56 58 60 62 65 66 68 70

72 74 76 78 80 82 84

Mi progreso Área del cilindro y cono Volumen del cilindro y cono Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

87 88 92 95 96 98 100

En cada Unidad es posible observar que hay páginas agrupadas por colores; estas corresponden a las evaluaciones que se presentan en la Unidad.

INICIALES GUIA (1-33)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 33

Unidad

Movimientos en el plano ¿Cuánto sabes? Transformaciones de figuras y objetos Traslaciones de figuras planas Reflexiones de figuras planas Rotaciones de figuras planas Mi progreso Teselaciones

Unidad

106 108 110 112 117 118

Teselaciones regulares y semirregulares Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

120 123 124 126 128

Datos y azar ¿Cuánto sabes? Interpretación de tablas de frecuencias Construcción de tablas para datos agrupados Media aritmética para datos agrupados Moda para datos agrupados Censo y muestreo Análisis de encuestas

Unidad

102 104

130 132 134 136 138 140 142 144

Mi progreso Espacio muestral y principio multiplicativo Sucesos equiprobables Regla de Laplace Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

149 150 152 154 157 158 160 162

Funciones y relaciones proporcionales ¿Cuánto sabes? Situaciones con dos variables Noción de función Variables dependientes e independientes Dominio y recorrido Mi progreso Variaciones proporcionales y no proporcionales

Solucionario Índice temático Bibliografía

166 168 172 174 178 181

164

Relación de proporcionalidad directa Relación de proporcionalidad inversa Mi progreso Buscando estrategias Para finalizar ¿Qué aprendí?

184 188 193 194 196 198

182

200 220 223 Índice

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Es conveniente revisar este índice con los alumnos y alumnas, de modo que logren visualizar las diferentes Unidades que trabajarán a lo largo del año escolar y cómo estas incorporan diferentes instancias de aprendizaje y evaluación. Para ello, puede pedirles que formulen preguntas que se puedan responder a partir de la información que entrega el índice, y las compartan con sus compañeros y compañeras.

U1 (PAG 34-39)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 34

Números enteros

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD

En esta Unidad se plantean distintas actividades que promueven el logro de estrategias mentales, sistematización de procedimientos, definición y aplicación de algoritmos para multiplicar y dividir números enteros. También se utilizan herramientas tecnológicas que permiten a los y las estudiantes resolver de forma eficaz diferentes tipos de problemas. Durante el desarrollo de la Unidad, se pretende que el alumno o alumna analice y comprenda diversas situaciones que se presentan a su alrededor, reconociendo la utilidad de los números enteros y, con ello, la necesidad de definir y aplicar diversas estrategias para la resolución de problemas, ya sea de la vida cotidiana o del ámbito matemático, en que estén involucradas la adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros.

Números enteros

Operatoria

Adición

Sustracción

Multiplicación

aplicaciones en

División

aplicaciones en se debe respetar

Al final de la Unidad, aparece una evaluación en que el alumno o alumna podrá poner a prueba sus conocimientos y así saber cuánto es lo que aprendió, cuáles fueron sus errores y cómo superarlos.

La prioridad de las operaciones en el cálculo que involucra

Operaciones combinadas

Resolución de problemas

Situaciones del mundo real

pueden involucrar

por ejemplo, en

Ganancias y pérdidas de dinero 34

Unidad 1 – Números enteros

Temperaturas (bajo y sobre 0)

Distancias (bajo y sobre el nivel del mar)

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 34-39)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 35

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito de los números enteros, empleo de procedimientos de cálculo de dichas operaciones, argumentación en torno al uso del neutro e inverso aditivo y su aplicación en la resolución de problemas.

Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros.

Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de estos últimos.

Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números racionales a los números reales, reconocimiento de algunas de las propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.

Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas.

Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan adiciones y sustracciones con números enteros, […], enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la pregunta, los datos y el contexto del problema.

Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros, […], enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales […], enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 34-39)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 36

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros.

Contenidos

Aprendizajes esperados

• Determinar y emplear Multiplicación de un procedimientos para número natural por un multiplicar un número número entero negativo. natural por un número entero negativo. Multiplicación de números enteros.

Extensión del División exacta de algoritmo de la división números enteros. de números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

División inexacta de números enteros.

• Ampliar los procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros. • Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros. • Analizar la validez de los resultados obtenidos en divisiones exactas de números enteros. • Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros. • Aplicar el algoritmo de la división de números enteros.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: páginas 14, 16 y 18. De construcción de conceptos: páginas 15, 17, 19 y 20. De consolidación: página 32. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 47, 49, 51, 54, 72 y 73. De profundización: páginas 47, 49, 51, 54 y 73.

Indicadores de evaluación • Calculan el producto de números enteros. • Calculan el cociente de dos números enteros.

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos Diagnóstica: • Lápices de páginas 12 y 13 colores. del Texto del • Tabla de Estudiante. datos.

• Aplican el algoritmo de Formativa: la división de números en- páginas 21 y 29 teros en divisiones exactas. del Texto del Estudiante. • Resuelven problemas que involucran multiplicación Sumativa: y división de páginas 34 y 35 números enteros. del Texto del Estudiante, y 76 y 77 de la Guía Didáctica del Docente.

• Pirámide con números enteros. • 6 tarjetas azules y 6 tarjetas rojas. • Una moneda. • Un plumón. • Computador con planilla de cálculo.

En el Texto De exploración: páginas 22 y 24. De construcción de conceptos: páginas 23, 25, 26 y 27. De consolidación: página 32. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 57, 61, 64, 72 y 73.

• Aplican el algoritmo de la división de números enteros en divisiones inexactas. • Calculan operaciones combinadas con números enteros. • Resuelven problemas que involucran las 4 operaciones con números enteros.

De profundización: páginas 57, 61, 64, 65 y 73. 36

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 34-39)_Maquetación 1 04-08-11 18:46 Página 37

CMO

Contenidos

Actividades asociadas

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

Operaciones combinadas. • Determinar y aplicar estrategias para calcular operaciones combinadas con números enteros. • Resolver problemas que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros.

Buscando estrategias.

Aprendizajes esperados

Unidad 1 – Números enteros

• Aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos. • Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

En el Texto De exploración: página 30. De construcción de conceptos: página 31. De consolidación: página 32.

• Resuelven problemas que involucran las 4 operaciones con números enteros empleando diversas estrategias.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 67, 72 y 73. De profundización: páginas 67 y 73.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 34-39)_Maquetación 1 04-08-11 18:47 Página 38

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes En la multiplicación de números enteros se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • En la multiplicación de números enteros, el alumno o alumna resuelve la multiplicación sin considerar el signo de los factores, ignorándolo completamente. • En la multiplicación de números enteros negativos, los y las estudiantes resuelven la multiplicación, manteniendo el signo de los factores, confundiéndolo con los procedimientos de la adición. • En la multiplicación de números enteros de distinto signo, los y las estudiantes resuelven la multiplicación, manteniendo el signo del número mayor, confundiéndolo con los procedimientos de la adición.

En la división de números enteros es posible encontrar los siguientes inconvenientes: • En la división de números enteros, los y las estudiantes resuelven la división sin considerar el signo del dividendo y divisor. • En la división de números enteros negativos, los y las estudiantes resuelven la división, manteniendo el signo del dividendo o divisor, confundiéndolo con los procedimientos de la adición. • En la división de números enteros de distinto signo, los y las estudiantes resuelven la división, manteniendo el signo del número mayor, confundiéndolo con los procedimientos de la adición. • En la aplicación del algoritmo de la división de números enteros, los y las estudiantes olvidan que el resto debe ser positivo. En las operaciones combinadas de números enteros, pueden aparecer las siguientes dificultades: • En las operaciones combinadas de números enteros, los y las estudiantes ignoran la prioridad de las operaciones. • En las multipliaciones y divisiones combinadas, los y las estudiantes resuelven primero las multiplicaciones, no considerando el orden en que aparecen dichas operaciones. • En la operatoria combinada de números enteros, en que sí aparece paréntesis, los y las estudiantes olvidan resolver primero el paréntesis.

Unidad 1 – Números enteros

Cómo subsanarlos • A través de la evaluación diagnóstica podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de los y las estudiantes. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad. • Es conveniente recordar la multiplicación de números naturales como adición de sumandos iguales. • Comparar, de forma paralela, los distintos procedimientos de cálculo empleados para resolver adiciones y multiplicaciones de números enteros. • Usar colores para diferenciar adiciones y multiplicaciones. Ejemplo: (–4) + (–7) = –11 (–4) • (–7) = 28 • Plantear actividades en que los alumnos y alumnas tengan que identificar los errores cometidos en ejercicios resueltos y explicar por qué es incorrecto, así como también argumentar cuando crean que están correctos. • Comparar de forma paralela, los distintos procedimientos de cálculo empleados para resolver adiciones y divisiones de números enteros. • Usar colores para diferenciar adiciones y divisiones. Ejemplo: 24 + (–3) = 21 24 : (–3) = –8 • Plantear actividades en que los alumnos y alumnas tengan que identificar los errores cometidos en ejercicios resueltos y explicar por qué es incorrecto, así como también argumentar cuando crea que están correctos. • Es conveniente aplicar el algoritmo de la división de números naturales en divisiones con resto mayor que cero, previo a la extensión del algoritmo para números enteros.

• Enmarcar con colores la prioridad de las operaciones. • Destacar la presencia de un paréntesis. • Desarrollar un cuadro de procedimientos, en el cual se especifique de acuerdo al ejercicio, cuál es el primer paso, después el segundo paso a seguir etc., hasta obtener el resultado final. • Fomentar la utilización de la prioridad de las operaciones, tanto dentro como fuera de un paréntesis. • Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar los errores cometidos en ejercicios resueltos y realizar el correcto desarrollo de ellos, argumentando cada paso. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 34-39)_Maquetación 1 04-08-11 18:47 Página 39

En la resolución de problemas, se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • • • • •

• Promover la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver, responder y revisar. De este modo, los y las estudiantes identificarán los Los y las estudiantes tienen dificultades de comprensión lectora, impidiendo una datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, así como buena interpretación y su posterior resolución. responder y analizar la veracidad de la solución. Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta al problema planteado. • Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar, en el Utilización incorrecta de los datos entregados en el problema. problema resuelto, cada uno de los pasos de la estrategia propuesta. En problemas que involucran más de una operación, los y las estudiantes confunden las operaciones que permiten resolver el problema. Los y las estudiantes olvidan analizar las soluciones obtenidas en problemas.

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS La Matemática ofrece una diversidad de procedimientos que permiten el análisis, modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, permitiendo relacionar los más diversos aspectos de la realidad. El aprendizaje de esta ciencia ayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategias para resolver problemas y contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo. Es por ello que los números han sido un tema fundamental. Uno de los conjuntos numéricos que se estudian durante este período corresponden a los números enteros, en particular la multiplicación y división, así como también la resolución de problemas en diversos contextos que involucran las cuatro operaciones aritméticas con dicho conjunto. A continuación se presentan algunas referencias teóricas acerca del conjunto de los números enteros: • El conjunto de los números enteros (⺪) está formado por: - Los números enteros positivos (⺪+): 1, 2, 3, … - El cero: 0. - Los números enteros negativos (⺪–): –1, –2, –3, … - El conjunto de los números enteros se denota por: ⺪ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ....} • El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado, infinito y sin primer elemento. • En el conjunto de los números enteros se pueden definir las mismas relaciones de orden que en los números naturales: menor que, mayor que o igual que. Es

Unidad 1 – Números enteros

así que dado dos números enteros cualesquiera, siempre hay uno menor y otro mayor, salvo que ambos números sean iguales. • Los números enteros se representan de forma ordenada en la recta numérica, como se observa: –4

–3

–2

–1

• La distancia que hay entre un número entero y el cero la representaremos a través del valor absoluto. El valor absoluto de un número a se representa por a . Ejemplo: 3 = 3, pues representa tres unidades de distancia al cero. –3 = 3, pues representa tres unidades de distancia al cero. Algunas propiedades del valor absoluto de dos números enteros a, b, son: - a•b = a

•

- –a = a -

a a = ;b≠0 b b

- a 2 = a2

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 40

• Propiedades en los números enteros Las propiedades de la adición y la multiplicación sobre son: Operaciones

Adición

Multiplicación

Clausura

Al sumar dos números enteros, su resultado también será un número entero. ∀ a ∈ y ∀ b ∈ , a + b = c, con c ∈ .

Al multiplicar dos números enteros, su producto también será un número entero. ∀ a ∈ y ∀ b ∈ , a • b = c, con c ∈

Conmutatividad

∀ a ∈ y ∀ b ∈ , a+b=b+a

∀ a ∈ y ∀ b ∈ , a•b=b•a

Asociatividad

∀ a ∈ , ∀ b ∈ y c ∈ (a + b) + c = a + (b + c)

∀ a ∈ , ∀ b ∈ y c ∈ (a • b) • c = a • (b • c)

Elemento neutro

∀ a ∈ , ∃ 0 ∈ , tal que a + 0 = 0 + a = a

∀ a ∈ , ∃ 1 ∈ , tal que a • 1 = 1 • a = a

Elemento inverso

∀ a ∈ , ∃ –a ∈ , tal que a + (–a) = (–a) + a = 0

No se cumple.

Distributividad

∀ a ∈ , ∀ b ∈ y c ∈ , a • (b + c) = a • b + a • c

Propiedades

• Para los números enteros, están definidas las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. • Al resolver ejercicios que presentan varias operaciones, la prioridad para resolverlas es la siguiente: 1º Paréntesis.

• El CMO 2 propuesto en el Ajuste Curricular dice: “Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de los números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo”. El algoritmo de la división dice lo siguiente: Dado dos enteros a y b, con b ≠ 0, existen únicos enteros q y r, tal que: a=b•q+r

0≤r< b

Observación: el número q es el cociente de a dividido por b y r es el resto o residuo.

2º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

Unidad 1 – Números enteros

Fuente: Kumanduri, R. (1998). Number theory with computer applications (p. 9). Department of Mathematics, Columbia University: Prentice Hall.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 41

Al aplicar el algoritmo de la división de números enteros, se tiene que: el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, teniendo en consideración que el resto es mayor o igual a cero. Este algoritmo fue estudiado en cursos anteriores para números naturales: es frecuente aplicarlo para comprobar si el resultado de una división exacta de números naturales es correcta. Por ejemplo: 10 : 5 = 2; luego, para verificar que el resultado es correcto se tiene que: 10 = 5 • 2 + 0.

Es importante que los y las estudiantes sepan que en cursos posteriores calcularán el cociente (racional) en divisiones inexactas de números enteros. Por otro lado, el hecho de extender el algoritmo de la división a los números enteros permitirá que los y las estudiantes comprendan la relación entre dividendo, divisor y cociente, pues muchas veces la enseñanza de este contenido se remite a la aplicación de la regla de los signos, que, si bien sirve de apoyo, no debería ser el objetivo central.

En los casos en que la división de números naturales no es exacta, como en:

Más información acerca de los números enteros y ejercicios: • Manual esencial. (2008). Números. Aritmética y álgebra, (pp. 48–55). Santiago de Chile: Santillana.

10 : 4 = 2, se aplica el algoritmo de la división: 10 = 4 • 2 + 2 2 En este curso, el algoritmo se extiende a los números enteros, para lo cual se debe tener en consideración que, al igual que la división de números naturales, esta puede o no ser exacta. Si es exacta (el resto es cero), al aplicar el algoritmo, el dividendo es igual al divisor por el cociente (previamente se estudió multiplicación de números enteros). Por ejemplo: –10 : 5 = –2, entonces –10 = 5 • –2 + 0. Si la división no es exacta, al aplicar el algoritmo se debe tener en consideración que el resto es mayor que cero; entonces, el cociente dependerá de los signos del dividendo y divisor. En estos casos, deja de ser intuitivo (como en los números naturales). Por ejemplo: Si el dividendo es 10 y el divisor 4, entonces: 10 = 4 • 2 + 2. Además, 10 : 4 = 2,5.

Bibliografía • Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. • Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática-Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Andrés Bello.

Sitios webs • De forma interactiva, todo sobre números enteros. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/index.htm • Operatoria con números enteros: multiplicación y división http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enteros2/ Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Si el dividendo es –10 y el divisor 4, entonces: –10 = 4 • (–3) + 2. Además, –10 : 4 = –2,5. Si el dividendo es –10 y el divisor –4, entonces: –10 = (–4) • 3 + 2. Además, –10 : –4 = 2,5. Si el dividendo es 10 y el divisor –4, entonces: 10 = (–4) • (–2) + 2. Además, 10 : –4 = –2,5.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 42

TEXTO DEL ESTUDIANTE 10 Y 11

1 Unidad

En esta Unidad podrás...

Números enteros

• Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo. • Emplear procedimientos de cálculo para multiplicar números enteros. • Emplear procedimientos de cálculo en divisiones exactas de números enteros. • Ampliar el algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros y aplicarlo. • Calcular operaciones combinadas con números enteros. • Resolver problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan las cuatro operaciones aritméticas con números enteros.

10 Unidad 1

La atmósfera es un concepto conocido para el o la estudiante; han escuchado, visto o leído sobre el tema y la importancia que adquiere debido al tema del agujero en la capa de ozono o el calentamiento global. Con esto, se pretende utilizar el propio entorno como medio de exploración y análisis, para activar sus conocimientos y experiencias previas.

Unidad 1 – Números enteros

Números enteros

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conversemos de... Ítems 1, 2 y 3: analizar, calcular y determinar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 43

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES

En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lea en voz alta y, luego, puede preguntarles qué saben sobre los números enteros, la operatoria con dichos números y la resolución de problemas.

Es conveniente que esté informado o informada sobre los siguientes conceptos para el desarrollo de la actividad exploratoria:

Con las ideas que surjan a partir de los y las estudiantes puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información respecto de sus conocimientos previos y, a la vez, les permitirá recordar los conceptos trabajados en años anteriores, que les servirán para lograr los aprendizajes esperados de esta Unidad.

• La atmósfera se puede dividir en capas en función al comportamiento de la temperatura con la altura. Estas son: - Tropósfera: desde la superficie terrestre hasta los 18 km de altura en el Ecuador. La temperatura del aire disminuye con la altura. - Estratósfera: hasta una altitud de 50 km, aprox. La temperatura aumenta con la altura. - Mesósfera: hasta una altura de 80 km. La temperatura vuelve a disminuir con la altura. - Termósfera o Ionósfera: hasta los 700 km de altitud, aprox. La temperatura aumenta con la altura. - Exósfera: es la zona de transición entre nuestra atmósfera y el espacio interplanetario.

ACTIVIDAD INICIAL Se recomienda que los alumnos y alumnas comenten la imagen y respondan preguntas como las siguientes: • ¿qué significa que la temperatura disminuye a razón de 6 ºC por kilómetro? • ¿cuál era la temperatura a un kilómetro de altura?, ¿por qué? Es conveniente que tenga más de una estrategia para resolver el problema; una de ellas, con una tabla que muestre la temperatura por kilómetro, o bien, utilizando una recta numérica o utilizando la función: y = 24 – 6 • x, donde x representa los kilómetros e y es la temperatura (las funciones se estudiarán más adelante). Por ejemplo, si utiliza el procedimiento con tabla: Altura (km) Temperatura (°C)

0 24 – 6 • 0 = 24

1 24 – 6 • 1 = 18

2 24 – 6 • 2 = 12

Para explorar los conocimientos de los y las estudiantes, puede realizar las siguientes preguntas: • ¿Cuál fue la temperatura mínima ayer en tu cuidad?, ¿y la máxima?, ¿cómo lo supiste? • El cerro Tololo se ubica en el Valle del Elqui, a unos 80 km de La Serena, a una altura de 2200 metros sobre el nivel del mar. Un día de verano, la temperatura en el valle del Elqui fue de 33 ºC; ¿crees que la temperatura en la cúspide del cerro Tololo es la misma? • ¿Qué sucederá con la temperatura a mayor altura?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? Se pretende que, a través de la imagen, la información entregada al respecto, las preguntas planteadas y su propia experiencia, los alumnos y alumnas reconozcan que, en ciertos casos, la temperatura disminuye con la altura. Además, se espera que los y las estudiantes descubran que en algunas situaciones es necesario emplear procedimientos de multiplicación de números enteros para facilitar los cálculos.

• La atmósfera está constituida por una mezcla de gases, como nitrógeno, oxígeno, vapor de agua, ozono, entre otros.

• Podría reflexionar con sus estudiantes en torno a la destrucción de la capa de ozono y los efectos en seres humanos, animales y plantas. También podría plantear preguntas sobre el cambio climático. Algunas fuentes para obtener información al respecto son: Dirección General de Aeronáutica Civil, Ayuda al estudiante (2009). Agujero de ozono y Cambio climático, [en línea]. Dirección Meteorológica de Chile. Disponible en: www.meteochile.cl/ayudaest.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Un avión con pasajeros vuela en la tropósfera, sobre una zona en que la temperatura de la superficie es de 36 ºC. Si la temperatura disminuye a razón de 8 ºC por kilómetro, determina: a) ¿cuál era la temperatura a 10 km? b) ¿a qué altura volaba el avión si la temperatura del aire varió a 4 ºC?, ¿y a –12 ºC? (Habilidades que desarrolla: analizar, calcular y determinar). De profundización 1. Un avión con pasajeros vuela en la tropósfera a una altura de 10 km. Si la temperatura disminuye a razón de 6 ºC por kilómetro, determina: a) si la temperatura a la altura que vuela el avión era de –48 ºC, ¿qué temperatura hay en la superficie? b) si en la superficie hay 24 ºC, ¿a qué altura la temperatura empieza a ser bajo cero? (Habilidades que desarrolla: comprender, analizar y calcular).

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 44

TEXTO DEL ESTUDIANTE 12 Y 13

Unidad 1

¿Cuánto sabes? 6. Calcula mentalmente:

1. Completa con los signos <, > o =, según corresponda. a) –7 b) –8

–5 5

c) –10 d) 4

–15

e) –3

–1

f) 8

–8

2. Ordena los siguientes números de menor a mayor. a) 49; –14; –28; 20; 29; –29 b) –4; –5; –1; 1; 3; 5 c) 101; 111; –111; –1; 5; 18

d) –7; –10; –16; –18; 1; 0 e) –14; –19; 22; –23; 10; –5 f) –18; –20; –40; 2; –6; 6

3. Ubica en la recta numérica los números: –6, –4, 7, –5, –1, 3, –2 y sus inversos aditivos.

a) b) c) d)

45 : 9 = 50 • 6 = 13 • 4 = 180 : 6 =

e) f) g) h)

2 • 3 • 10 = 540 : 60 = 121 : 11 = 12 • 5 =

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué debes recordar? –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

9 10

4. Calcula mentalmente: a) b) c) d)

(–2) + 8 = (–14) + 6 = (–3) + (–8) = –11 – (–4) =

e) f) g) h)

22 – 30 = –(–4 + 2) – (9 – 5) = (5 – 18) – (–8 + 8) = –4 – 7 + (9 – 3) + 10 =

5. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste. a) La temperatura de un frigorífico es de –10 ºC. Después de un corte de luz sube 15 ºC, luego, cuando vuelve la energía, baja rápidamente 12 ºC. ¿Cuál es la temperatura del frigorífico después de esta disminución de temperatura?

• El conjunto de los números enteros está compuesto por los números naturales ( ), el cero y los números negativos. Se simboliza por . = …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… • La distancia que hay entre un número y el cero la representaremos a través del valor absoluto. El valor absoluto de un número a lo escribiremos a . Por ejemplo: la distancia entre –20 y cero en la recta numérica es 20, entonces –20 = 20. • En la recta numérica, un número, positivo o negativo, es mayor que todos los números que están a la izquierda de él y es menor que cualquier número que esté a la derecha de él. Por ejemplo, –2 > –4, ya que el –2 está a la derecha del –4, como se observa en la siguiente recta numérica:

–5 b) Camila le debe $ 12 000 a su madre y $ 5500 a su hermano. Si le paga $ 10 500 a su madre y $ 3800 a su hermano, ¿cuánto debe ahora en total? c) Un buzo que se encuentra a 9 metros bajo el nivel del mar sube hacia la superficie 5 metros, luego, desciende 6 metros. ¿A qué profundidad se encuentra ahora? d) Un pez que está a 5 metros bajo el nivel del mar, primero desciende 3 metros y, luego, sube 6 metros. ¿A qué distancia del nivel del mar se encuentra ahora? Represéntalo en la recta numérica.

12 Unidad 1

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, e incluye los siguientes criterios: Ítem 1: comparar pares de números enteros, involucrando el valor absoluto y utilizando los signos <, > o =. 44

Unidad 1 – Números enteros

–4

–3

–2

–1

• Para sumar números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y conservamos el signo. Para sumar dos números enteros de distinto signo restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplo: (–3) + (–5) = –8 6 + (–9) = –3 • Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo: 15 – (–10) = 15 + 10 = 25 –18 – 22 = –18 + (–22) = –40

Números enteros

Ítem 2: ordenar de menor a mayor conjuntos con números enteros. Ítem 3: ubicar un conjunto de números enteros con sus respectivos inversos aditivos en la recta numérica. Ítems 4 y 6: calcular mentalmente operaciones con números enteros. Ítem 5: resolver diversos problemas que involucran cálculos de adiciones o sustracciones y explicar la estrategia utilizada. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 45

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: reconocer, identificar y clasificar. Ítem 3: representar. Ítems 4 y 6: calcular. Ítem 5: analizar, resolver problemas y justificar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, podrían ordenar de forma errónea los números negativos. Es recomendable recordar la relación de orden en . Además, es conveniente que represente los números enteros en una recta numérica. • En el ítem 1, debido a que se involucran valores absolutos de números enteros, es posible que sus estudiantes ignoren dicho concepto. Es recomendable recordar

que el valor absoluto de un número entero a se puede relacionar con la distancia en la recta numérica entre a y el cero. • En los ítems 4 y 6, es posible que calculen incorrectamente. Es conveniente que verifiquen usando calculadora científica. • En el ítem 5, se pide la justificación de la estrategia empleada, lo que podría ser complejo para el alumno o alumna. Para ello, se recomienda que continuamente justifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprenden lo que están realizando y desarrollar en ellos habilidades comunicativas para argumentar, exponer ideas y opiniones bien fundamentadas. • Se sugiere corregir en conjunto con los alumnos y alumnas la sección ¿CUÁNTO SABES? y analizar los errores cometidos. De este modo, podrá evidenciar los aprendizajes ya adquiridos por los alumnos y alumnas y los que aún no se adquieren.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Compara correctamente los pares de números dados, por medio de la relación de orden y considerando que todo valor absoluto de un número es positivo, asignándoles así el símbolo correspondiente. Ordena correctamente, de menor a mayor, los conjuntos de número dados, por medio de la relación de orden de forma eficiente.

Compara correctamente los pares de números dados, teniendo que calcular cada valor absoluto y, luego, comparando, asignándoles así el símbolo correspondiente.

Compara erróneamente algunos de los pares de números dados, confundiendo la relación de orden en los números negativos, asignándoles así el símbolo incorrecto.

Ubica correctamente los números dados, por medio de la relación de orden, y establece de forma eficiente sus inversos aditivos.

Ubica correctamente los números dados, teniendo primero que determinar sus inversos aditivos y, luego, ubicarlos por medio de la relación de orden.

Ubica erróneamente alguno de los números dados, confundiendo la relación de orden en los números negativos, asignándoles así una ubicación invertida.

Ubica erróneamente los números dados, confundiendo la relación de orden en los negativos y los inversos aditivos, ordenándolos de forma invertida.

Calcula correctamente los ejercicios, por medio de una única estrategia mental y respetando la prioridad de las operaciones.

Calcula erróneamente algunos de los ejercicios, por medio de una estrategia mental.

Calcula erróneamente los ejercicios dados, por medio de una estrategia mental; no respeta la prioridad de las operaciones.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas dados, indicando de forma detallada cada uno de sus pasos, sin justificarlos.

Resuelve erróneamente alguno de los problemas dados, calculando de forma inadecuada y sin responder todas las preguntas planteadas.

Resuelve erróneamente cada uno de los problemas dados, calculando de forma inadecuada, sin responder todas las preguntas planteadas en cada uno de ellos, y no justifica cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente los ejercicios, por medio de diversas estrategias 4y6 mentales y respetando la prioridad de las operaciones.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas dados, indicando de forma detallada cada uno de sus pasos y justificando cada uno de ellos.

Unidad 1 – Números enteros

Por lograr

Compara erróneamente los pares de números dados, confundiendo la relación de orden en los negativos y comparando los valores absolutos sin distinguir que son siempre positivos, asignándoles así el símbolo incorrecto. Ordena correctamente, de menor a Ordena erróneamente, de menor a Ordena erróneamente, de menor a mayor, los conjuntos de número dados, mayor, algunos de los conjuntos de mayor, los conjuntos de número dados, por medio de la relación de orden números dados, confundiendo la confundiendo la relación de orden en teniendo que separar por negativos y relación de orden en los negativos, los negativos y los positivos, ordenánpositivos y, luego, ordenarlos. asignándoles así una ubicación invertida. dolos de mayor a menor.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 46

TEXTO DEL ESTUDIANTE 14 Y 15

Multiplicación de un número natural por un número entero negativo Claudia y Juan aprendieron a multiplicar dos números naturales utilizando diferentes procedimientos. Claudia lo hace como adición de sumandos iguales. Juan lo hace descomponiendo el primer factor. Observa.

Unidad 1

Ayuda

¿Cómo calcular 5 • (–14)? En el caso que el número negativo sea el segundo factor, como 5 • (–14), se puede escribir como (–14) • 5, por la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Propiedad conmutativa de la multiplicación: a • b = b • a, con a y b números enteros.

Por lo tanto, 5 • (–14) = (–14) • 5 = –70

No olvides que... • Para multiplicar un número natural por un número entero negativo, la expresión se puede escribir como una adición iterada de sumandos iguales y, luego, calcular la operación. Ejemplos: (–12) • 3 = (–12) + (–12) + (–12) = –12 – 12 – 12 = –36

Para discutir

2 • (–7) = (–7) • 2 = (–7) + (–7) = –7 – 7 = –14

• ¿Cuál de los dos procedimientos utilizas frecuentemente?, ¿qué otro procedimiento conoces? Explícalo. • ¿Se puede escribir como multiplicación una adición de sumandos iguales, si el sumando que se repite es un número entero menor que cero?, ¿cómo?, ¿por qué? • Las expresiones (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) y (–14) • 5 ¿son equivalentes?, ¿por qué?, ¿cuál es el resultado en cada caso? • ¿Cuál es el signo del resultado de una multiplicación entre dos números si uno de los factores es un número natural y el otro es un número entero negativo?

Actividades 1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, resuelve. a) (–3) • 5 = b) 2 • 10 =

c) 4 • (–6) = d) (–10) • 3 =

e) (–1) • 8 = f) 1 • (–8) =

g) 9 • (–4) = h) (–13) • 4 =

2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números.

En la situación anterior, si consideramos el procedimiento de Claudia, el sumando 14 se repite 5 veces, lo que, escrito como multiplicación, es 14 • 5.

a) –1

b) –16

c) 8

d) –10

e) –36

f) –7

3. Escribe como una multiplicación cada adición de sumandos iguales.

Luego, para escribir como multiplicación (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14), el sumando (–14) se repite 5 veces, entonces se escribe (–14) • 5.

a) (+14) + (+14) + (+14) + (+14) b) (–1) + (–1) + (–1) + (–1) + (–1) c) (–21) + (–21) + (–21)

Podemos calcular (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) apoyándonos en la recta numérica:

d) (–4) + (–4) + (–4) + (–4) e) (–5) + (–5) f) (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6) + (–6)

4. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. –80

–70

–56 –42 –60 –50 –40

–28 –14 –30 –20 –10

a) En una multiplicación, si los factores son dos números naturales, el producto también lo es. b) La multiplicación de un número natural por un número entero negativo resulta un número entero positivo o negativo, según el caso. c) En una multiplicación, donde un factor es un número natural y el otro es un número entero negativo, el producto es siempre menor que cada uno de los factores.

Obtenemos: (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = –14 – 14 – 14 – 14 – 14 = –70. Como (–14) + (–14) + (–14) + (–14) + (–14) = (–14) • 5, tenemos que (–14) • 5 = –70.

14 Unidad 1

Números enteros

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo […].

Para discutir

Actividades

Ítem 1: Ítem 2: Ítem 3: Ítem 4:

Unidad 1 – Números enteros

analizar, recordar y justificar. analizar, conectar y justificar. calcular, analizar y justificar. analizar y generalizar.

representar y calcular. conectar, calcular y representar. conectar y representar. analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 47

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a introducir la multiplicación de un número natural por un número entero negativo. Esta actividad pretende que el alumno o alumna relacione sus conocimientos previos, relacionados con la multilplicación de números naturales, y los utilice para multiplicar un número natural por un número entero negativo.

De refuerzo 1. Escribe como adición las siguientes multiplicaciones y, luego, calcula usando la recta numérica: a) 2 • 3 = b) (–5) • 2 =

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

c) 3 • (–4) =

• Antes de comenzar el ítem 1, pregunte a los alumnos y alumnas cómo se escribirían en forma de adición algunas multiplicaciones con números naturales y, luego, las resuelvan. Las multiplicaciones podrían ser similares a las propuestas en el Texto del Estudiante (por ejemplo: 3 • 5; 4 • 6 y 9 • 4). Luego, permítales que comparen las respuestas obtenidas. Para apoyar a los o las estudiantes que presentan dificultades en el cálculo de una adición iterada de sumandos iguales, sugiérales utilizar la recta numérica para efectuar dichas operaciones. • En el ítem 2, para comprobar que los factores encontrados por los y las estudiantes son correctos, pídales que escriban las multiplicaciones como adiciones y, luego, calculen. • En el ítem 3, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, pídales a los y las estudiantes que calculen las adiciones con calculadora, así como también las multiplicaciones encontradas y, luego, las comparen. • En el ítem 4, podría proponer a los alumnos y alumnas que den tres ejemplos en cada caso, pues, por medio de esos ejemplos concretos (inicialmente), se facilitaría la abstracción en cada caso.

d) (–1) • 6 = (Habilidades que desarrolla: interpretar, representar y calcular). De profundización 1. En cada uno de los siguientes problemas, representa la multiplicación que se debe utilizar y, luego, resuelve: a) En la Antártica, la temperatura ha disminuido 7 ºC cada hora durante 5 horas. ¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura durante las últimas 5 horas? b) En una ciudad ubicada en el norte de América, es común que en período de invierno, desde las 22:00 horas, la temperatura disminuya 3 ºC por hora, aproximadamente. ¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura hasta las 4:00 horas del día siguiente? c) Un día de invierno en Santiago la temperatura bajó 2 ºC por hora desde las 00:00 horas. ¿Cuántos grados disminuyó la temperatura hasta las 5:00 horas? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Podría generalizar la multiplicación de un número natural por un número entero negativo, realizando la siguiente demostración: Por demostrar: (–a) • b = –(a • b); ∀ a, b + Demostración: Como (–a) ∈ –, entonces: a + (–a) = 0

/•b

[a + (–a)] • b = 0 • b

/ aplicamos la propiedad distibutiva

a b + (–a) b = 0 •

/ sumamos el inverso aditivo de (a • b)

•

a b + (–a) b + –(a b) = 0 + –(a b) •

•

/ reducimos términos semejantes

∴ (–a) b = –(a b); ∀ a, b ∈ + •

•

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 48

TEXTO DEL ESTUDIANTE 16 Y 17

Unidad 1

Etapa 2

Etapa 3

Etapa 4

Etapa 5

Beatriz

Cristián

–10

Gonzalo

Alejandra

–12

Ayuda Recuerda que, usualmente, cuando el número es positivo, no se escribe el signo +. Por ejemplo: (+3) se escribe también 3.

Como Beatriz obtuvo 15 puntos en cada etapa, la expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las 5 etapas es: 15 • 5 = 75, es decir, terminó con 75 puntos. La expresión que permite calcular con cuántos puntos terminó Cristián al final de las 5 etapas, si obtuvo –10 en cada una es: (–10) • 5 = –50, o bien: 5 • (–10) = –50. Por lo tanto, Cristián terminó con –50 puntos al final del juego. Gonzalo hizo 0 puntos en cada etapa. En este caso, la expresión que permite calcular la cantidad de puntos al finalizar el juego es: 0 • 5 = 0, es decir, terminó con 0 puntos. Si Alejandra hizo –12 puntos en cada etapa, la expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo al final de las etapas es: (–12) • 5 = –60. En este caso, Alejandra terminó el juego con –60 puntos. Beatriz fue quien obtuvo más puntos. La expresión que permite determinar cuántos puntos obtuvo Alejandra en las 2 últimas etapas, si en cada una obtuvo (–12) puntos, es: (–12) • 2 = –24 puntos. Entonces, al no jugar las últimas dos etapas dejó de perder 24 puntos. La expresión matemática en este caso, considerando que representaremos con (–2) a las dos etapas que no jugó, es: (–12) • (–2) = 24. Notemos que (–12) • (–2) = 12 • 2 = 24.

Signo del 1er factor

Signo del 2o factor

Signo del producto

–

• Al multiplicar dos números que tienen diferente signo, el resultado es negativo. Por ejemplo: (+8) • (–9) = –72 (–6) • (+4) = –24

Actividades 1. Calcula el resultado de los siguientes productos. a) 3 • (–5) b) 0 • (–3)

c) (–11) • 3 d) (–5) • (–6)

e) (–4) • (–1) f) 1 • (–7)

g) 7 • (–2) h) (–9) • (–5)

2. Expresa como producto de dos factores los siguientes números. a) –20

b) –16

c) –18

d) +8

3. Completa con el factor que falta. a) b) 5 •

•

(–7) = 21 = –35

c) d) 6 •

•

9 = –72 = 18

e) (–4) • f) (–4) •

=4 = –64

4. En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser el producto de los dos números de las casillas sobre las que está apoyada dicha casilla. Complétala. +1080 –12 +6 +3

16 Unidad 1

Números enteros

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: interpretar y calcular. Ítem 2: analizar y clasificar. Ítem 3: analizar y calcular.

Ítem 1: calcular. Ítem 2: representar, conectar y calcular. Ítem 3: analizar y calcular. Ítem 4: analizar, aplicar y calcular.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 49

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a ampliar los procedimientos anteriores a la multiplicación de números enteros. Para complementar las preguntas de la sección, se sugiere plantear al curso preguntas como las siguientes: • ¿es posible determinar con cuántos puntos terminó cada jugador usando el procedimiento de la página anterior?, ¿cómo lo harías? • utilizando la recta numérica, ¿es posible calcular la cantidad de puntos obtenidos por Cristián?, ¿cómo lo harías? • ¿por qué Gonzalo obtuvo 0 puntos? Además, sería conveniente destacar que (–12) • 5 = 12 • (–5) = –(12 • 5) = –60.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Previo a la resolución del ítem 1, se recomienda destacar la multiplicación de un número natural por un número entero negativo, estudiada anteriormente. Además, sería pertinente mencionar que la regla de los signos se utiliza para multiplicar (y dividir) números enteros y no en adición y sustracción. Por ejemplo: 3 • (–2) = –6 y 3 – 2 = 1. • En los ítems 2 y 3, pídales a los y las estudiantes que utilicen calculadora para comprobar que los resultados obtenidos son correctos. • En el ítem 4, podría proponer a los alumnos y alumnas elaborar otra pirámide, con valores distintos a los que aparecen en el Texto; por ejemplo, podría decirles el número de la cúspide y uno de la base y, luego, podría preguntarles las estrategias empleadas para que las compartan con el resto del curso.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Podría generalizar la multiplicación de dos número enteros negativos realizando la siguiente demostración: Por demostrar: (–a) • (–b) = a • b; ∀ a, b ∈ + Demostración:

[a + (–a)] • (–b) = 0 • (–b)

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) b) c) d)

(–3) • 6 = (–10) • 8 = (–2) • (–9) = 10 • (–8) =

2. Expresa como producto de tres factores los siguientes números. a) –64 b) –36 c) 100 (Habilidades que desarrollan: calcular y representar). De profundización 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) (–2) • 5 • (–3) = b) (–4) • (–5) • (–2) = c) (–1) • 7 • 3 = 2. Completa con el resultado correspondiente. a) Al multiplicar el inverso aditivo de (–3) por el sucesor de (–2), resulta: b) Al multiplicar el inverso aditivo de 7 por el antecesor de (–5), resulta: c) Al multiplicar el antecesor de (–11) por el sucesor de 5, resulta: (Habilidades que desarrollan: calcular, conectar y representar).

Como (–a) ∈ – y (–b) ∈ –, entonces: a + (–a) = 0

De refuerzo

/ • (–b) / aplicamos la propiedad distibutiva

a • (–b) + (–a) • (–b) = 0 Por otra parte, ya se demostró: a • (–b) = –(a • b), luego: –(a • b) + (–a) • (–b) = 0

/ sumamos el inverso aditivo de –(a • b)

–(a • b) + (–a) • (–b) + (a • b) = 0 + (a • b) / reducimos términos semejantes ∴ (–a) • (–b) = a • b; ∀ a, b ∈ + 49

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 50

TEXTO DEL ESTUDIANTE 18 Y 19

Unidad 1

División exacta de números enteros Carlos y Francisca tienen una libreta donde ingresan sus transacciones de dinero mensual. Estas son las anotaciones del mes de abril: Concepto

Arriendo

Luz

Sueldos

Gas

Supermercado

Movimiento (en pesos)

80 000

9000

415 000

12 000

55 000

Para discutir • ¿Con qué número entero relacionarías cada movimiento de dinero?, ¿por qué? • Si ambos tienen el mismo sueldo, ¿cuánto recibe cada uno? • Si el consumo diario de gas y luz fue aproximadamente el mismo, ¿cuánto gastaron cada día por concepto?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cómo comprobarías que los resultados obtenidos en cada caso son correctos?

No olvides que... • Para calcular el cociente de dos números enteros, se deben dividir sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo + si ambos números, dividendo y divisor, son de igual signo, o el signo – si son de signos diferentes. • La tabla que se muestra a la derecha te permite recordar la regla de los signos: • La división es la operación inversa de la multiplicación. Cuando la división de números enteros es exacta, se verifica que el resultado obtenido o cociente es correcto, si el dividendo es igual al divisor por el cociente. Por ejemplo: 14 : 2 = 7 14 = 2 • 7 15 : (–3) = –5 15 = (–3) • (–5)

Si asociamos las ganancias con el signo +, y los gastos con el signo –, en la situación anterior, el sueldo se escribirá entonces como +415 000 ó 415 000 y los otros movimientos son gastos, por consiguiente se escribirán como –80 000, –9000, –12 000 y –55 000, por concepto de arriendo, luz, gas y supermercado, respectivamente.

Ayuda En una división exacta, el resto es igual a cero. Por ejemplo, en 30 : 5 = 6, significa que 30 = 5 • 6 + 0.

Signo del divisor

Signo del cociente

–

(–20) : (–4) = 5 (–18) : 9 = –2

Para determinar el sueldo que recibieron Carlos y Francisca en abril, si reciben lo mismo, calculamos: 415 000 : 2 = 207 500. Es decir, cada uno recibió un sueldo de $ 207 500 ese mes. Para comprobar que el resultado obtenido es correcto, multiplicamos el divisor por el cociente, que debe ser igual al dividendo, es decir, 415 000 = 2 • 207 500.

1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos.

Sabemos que el mes de abril tiene 30 días; para determinar cuánto dinero gastaron diariamente en gas, calculamos: 12 000 : 30 = 400. Luego, gastaron $ 400 por día en gas. Como asociamos a los gastos el signo –, podemos escribir –12 000 : 30 = –400. Al comprobar en este caso, tenemos: –12 000 = 30 • (–400). Para determinar el gasto diario en luz, calculamos: –9000 : 30 = –300. Por lo tanto, gastaron $ 300 en luz diariamente. Luego, para verificar que el cálculo realizado es correcto, tenemos: –9000 = 30 • (–300).

2. Obtén dos números cuyo cociente sea el indicado.

Ten presente que en las divisiones realizadas el dividendo es igual al divisor por el cociente, es decir, las divisiones son exactas.

a) 120 : 2 = b) 164 : (–4) = c) (–225) : 5 =

= 48

d) 270 : (–27) = e) (–333) : 3 = f) (–456) : (–6) =

= –54

g) 120 : (–2) = h) (–108) : (–12) = i) 300 : ((–30) : 6) =

= –1024

3. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad. a) 180 : (–9) = b) 240 : = –24

c) d)

: (–9) = 7 : 12 = 4

e) : (–14) = –9 f) (–720) : = –6

4. Lee atentamente, comenta y, luego, responde: a) Considera la expresión: x : y = 2. Si x es un número entero negativo mayor que –11, ¿qué valores pueden tomar x e y? b) El cociente de dos números enteros ¿es siempre un número natural? Justifica. Números enteros

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

Para discutir

Unidad 1 – Números enteros

(–20) = (–4) • 5 (–18) = 9 • (–2)

Actividades

18 Unidad 1

Signo del dividendo

Ítem 1: relacionar y justificar. Ítem 2: analizar y calcular. Ítem 3: analizar, calcular y justificar. Ítem 4: comprobar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 51

Actividades Ítem 1: calcular y verificar. Ítems 2 y 3: analizar, conectar y calcular. Ítem 4: analizar, evaluar, conjeturar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a ampliar el algoritmo de la división (exacta) de números naturales a la división (exacta) de números enteros. Para ello, se presenta una situación relacionada con los ingresos y gastos mensuales de una familia. En esta actividad se pretende que los alumnos y alumnas observen que al dividir dos números enteros (las divisiones son exactas) se puede comprobar que el resultado obtenido es correcto, utilizando el mismo procedimiento que utilizaban en años anteriores para números naturales, es decir, el algoritmo de la división. Al finalizar esta sección, se sugiere relacionar el signo del cociente (al aplicar el algoritmo de la división) con la regla de signos, para facilitar en cálculo mental.

números enteros y en comprobar que el resultado obtenido es correcto, utilizando dicho algoritmo, por ejemplo: (–45) : 9 = (–5), luego (–45) = 9 • (–5). La regla de los signos es solo un mecanismo que facilita el cálculo mental. • Se sugiere tener presente algunas propiedades del valor absoluto y ejemplificar con valores numéricos. Por ejemplo, en la propiedad: a • b = a • b , en este caso puede ejemplificar con: 2 • (–3) = –6 = 6 y 2 • –3 = 2 • 3 = 6. Luego, para a a ejemplificar la propiedad = , con b ≠ 0, puede calcular: (–8) : 2 = –4 = 4 b b y (–8) : 2 = 8 : 2 = 4.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos. a) (–12) : 3 =

b) (–32) : (–4) =

c) 45 : (–5) =

d) (–24) : (–8) =

2. Expresa como división los siguientes números.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, además de verificar los resultados obtenidos aplicando el algoritmo de la división, por ejemplo 270 : (–27) = –10, luego, 270 = (–27) • (–10), es conveniente que relacione la regla de los signos con el signo del cociente al aplicar el algoritmo de la división. • En los ítems 2 y 3, luego de resolver las actividades, se sugiere comprobar que los números obtenidos son los correctos; de este modo, no solo aplicará el algoritmo de la división, sino que relacionará un procedimiento que aplicaban en años anteriores con este contenido nuevo. • En el ítem 4, puede pedirles a los alumnos y alumnas que expliquen sus estrategias empleadas; de este modo, las pueden compartir, comparar y, además, analizar cuál de ellas les parece más adecuada.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para comenzar esta sección, se sugiere recordar a los y las estudiantes que en una división exacta de números naturales a : b = c, a es el dividendo, b el divisor y c el cociente. Es pertinente recordar que para comprobar que una solución es correcta, se puede cacular a = b • c. Además, como el resto es cero, a es divisible por b. Por ejemplo: 30 : 6 = 5, luego, al comprobar: 30 = 6 • 5, entonces, 30 es divisible por 6. • Para evitar que el aprendizaje de este contenido se transforme en un procedimiento mecánico, el énfasis debe centrarse en el algoritmo de la división (exacta) de 51

Unidad 1 – Números enteros

a) +4

b) +3

c) –15

d) –12

(Habilidades que desarrollan: calcular y representar). De profundización 1. Calcula y verifica que los resultados obtenidos sean correctos. a) [450 : (–10)] : (–9) =

c) [80 : 4] : (–4) =

b) [(–20) : (–2)] : (–5) =

d) 48 : [16 : (–2)] =

2. Completa con el resultado correspondiente. a) b) c) d)

Al dividir el inverso aditivo de (–40) con el sucesor de (–6), resulta: Al dividir el inverso aditivo de 60 con el sucesor de (–11), resulta: Al dividir el sucesor de (–46) con el antecesor de (–8), resulta: Al dividir el antecesor de 10 con el antecesor de (–2), resulta:

3. Completa con el número correspondiente. a) Si el dividendo es (–10) y el divisor es 2, entonces el cociente es . b) (–8) es divisor de 24, porque 24 = (–8) • . • 7. c) es divisor de (–63), porque (–63) = d) Si el dividendo es (–26) y el divisor es , entonces el cociente es 2. (Habilidades que desarrollan: interpretar, representar, calcular, aplicar y analizar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 52

TEXTO DEL ESTUDIANTE 20 Y 21

Unidad 1

5. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. a

–3

–18

–2

–28

b :a

– (b : a)

b : a

6. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde: a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y –(b : a)?, ¿por qué? b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular b : a y b : a ?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué? c) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular las divisiones b : a y b : a ?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?, ¿y si fueran multiplicaciones? 7. Un clavadista se lanza de una altura de 12 metros a una piscina. Si la profundidad que logra es un tercio de la altura a la que se lanzó, ¿qué número representa la profundidad que alcanza respecto del nivel del agua?

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. En la expresión (–36) : x = –4, el valor de x es: A. –9

B. 9

C. 6

D. –12

2. Si x es un número entero negativo, ¿cuál de estos números es el más grande? A. 4 + x

B. 4 • x

C. 4 : x

D. 4 – x

3. Remplaza los valores de m y n en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. m –20

m•m

m:n

m•n

m • m

–6

–450

–90

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde: a) ¿Qué tienen en común las soluciones obtenidas al calcular m : n y m • n?, ¿por qué? b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular m • m y m • m ?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

En equipo En esta actividad deberán utilizar seis tarjetas azules, seis tarjetas rojas y una moneda para calcular mentalmente multiplicaciones y divisiones con números enteros. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones. 1. Elaboren seis tarjetas azules con los siguientes números: –150, +200, –250, +300, –350, +400. 2. Elaboren seis tarjetas rojas con los siguientes números: –25, –10, –5, –1, 2, 5. 3. Cada integrante, por turno: 1º 2º 3º

4º

Saca una tarjeta azul al azar. Saca una tarjeta roja al azar. Lanza la moneda, si sale cara se deben multiplicar mentalmente los números obtenidos; de lo contrario (sello), se divide mentalmente el número de la tarjeta azul por el de la tarjeta roja. Si responde correctamente, gana 1 punto; si no, pierde 1 punto.

4. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.

4. En un juego, Emilia tiene 60 puntos a favor y Carlos tiene 10 puntos en contra. Si Carlos gana la mitad de puntos que Emilia tiene y, luego, Emilia dobla su puntaje, ¿cuántos puntos tienen ahora Emilia y Carlos? 5. En el interior de una cámara frigorífica puede descender la temperatura 4 ºC cada hora. ¿Cuántas horas tardará en bajar la temperatura 20 ºC?, ¿y en bajar 16 ºC? Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto; completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Reconocer el divisor en una expresión asociada a números enteros.

Analizar expresiones algebraicas asociadas a números enteros.

Calcular el producto o cociente de dos números enteros.

Resolver un problema que requiere multiplicación y división de números enteros.

Respuestas correctas

4y5

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

20 Unidad 1

Números enteros

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Extensión del algoritmo de la división de números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

Actividades

En equipo

Ítem 5: evaluar, aplicar y calcular. Ítem 6: analizar y conjeturar. Ítem 7: resolver problemas y representar.

Calcular.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 53

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

• Luego de completar la tabla del ítem 5, los alumnos y alumnas responderán las preguntas del ítem 6 relacionadas con propiedades del valor absoluto, el cual es un conocimiento previo y que puede ser aplicado en la división de números enteros. Se sugiere que promueva la discusión en estos casos, para que sean los y las estudiantes quienes generalicen. Al finalizar esta actividad, podría destacar los resultados obtenidos en la pregunta c del ítem 6 y mencionar que se trata de una propiedad del valor absoluto. Además, puede indicar que en el caso de la multiplicación, es decir, a • b = a • b , también corresponde a una propiedad del valor absoluto; ejemplifique con 3 ó 4 casos numéricos en este caso. • En el ítem 7, mencione a los y las estudiantes que para representar la profundidad (bajo el nivel del mar), en este caso, usaremos números negativos. • En la actividad EN EQUIPO podría proponer a los y las estudiantes, después que realicen la actividad, cambiar los valores de las tarjetas y seguir jugando a partir de las instrucciones; si alguna de las divisiones no es exacta con los valores que escogieron, plantee preguntas como: ¿qué sucederá en estos casos?, ¿cómo lo resolverás? Luego, indique que estos casos se estudiarán en cursos posteriores.

Mi progreso

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

Ítem 1: analizar, identificar y calcular. Ítem 2: analizar, conjeturar y evaluar. Ítem 3: evaluar, aplicar, calcular y analizar. Ítems 4 y 5: resolver problemas, analizar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En el ítem 3, debido a que se involucra valor absoluto, es posible que los alumnos y alumnas ignoren u olviden dicho concepto y no lo apliquen. Para ello, es necesario recordar el valor absoluto con algunos casos particulares. • El los ítems 4 y 5 es posible que los y las estudiantes confundan qué operaciones están asociadas. Para evitarlo, es conveniente que sugiera una estrategia a emplear. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3, 4 y 5. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla, analizando cada respuesta de forma general.

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla. Analizando cada respuesta con casos particulares.

Evalúa, aplica, calcula y completa erróneamente partes de la tabla, analiza y responde erróneamente alguna pregunta.

Evalúa, aplica, calcula y completa erróneamente partes de la tabla, confundiendo los signos y sin responder cada pregunta.

Analiza y calcula correctamente el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y calcula correctamente el problema.

Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, el problema, confundiendo el signo del resultado y su valor.

Analiza y calcula correctamente el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y calcula correctamente el problema.

Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, el problema, confundiendo el signo del resultado y su valor.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 54

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

4. En un juego inventado por un grupo de 4 amigos (Macarena, Camila, Carlos y Luis), al responder ciertas preguntas se anotaban puntos positivos si respondían correctamente y puntos negativos en caso de error. Si Carlos terminó el juego con 90 puntos y Camila con –20 puntos:

De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. a

–12

–7

–4

–2

–5

–32

–2

–1

–42

–5

–100

a•b

a:b

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde: a) ¿obtienes los mismos signos en los resultados de a • b y a : b?, ¿por qué? b) ¿en qué casos a • b = a : b?, ¿por qué? 2. Una sustancia química que está a 30 ºC bajo cero se calienta en un mechero, aumentando su temperatura a razón de 2 ºC por minuto. a) ¿Qué temperatura alcanza después de 25 minutos?, ¿y después de 1 hora? b) ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que alcance una temperatura de –12 ºC?, ¿y 14 ºC? 3. Un submarino se encuentra en la superficie del mar. Si cada una hora desciende 50 metros: a) ¿qué profundidad alcanza después de 3 horas? b) ¿cuánto tiempo ha transcurrido después de haber bajado 350 metros? c) al situarse a 600 metros bajo el nivel del mar, el submarino comienza a subir a razón de 40 metros por hora. ¿Cuánto demora desde esa ubicación en llegar a la superficie?

Unidad 1 – Números enteros

a) ¿Con cuántos puntos terminó Macarena, si obtuvo un tercio de los puntos de Carlos? b) ¿Con cuántos puntos terminó Luis si hasta la mitad del juego tenía la misma cantidad de puntos con que terminó Camila, y en la otra parte del juego ganó la mitad de puntos con que Carlos terminó? De profundización 1. Completa la siguiente tabla. a

a•b

a:b

–48

–3

1 –3

–9

–5 –81

100 –4

20 32 –29

–29

–16

–1

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde: a) ¿en qué casos el producto es igual al cociente?; ¿ocurrirá siempre lo mismo en esos casos?, ¿por qué? b) ¿en qué casos el cociente es igual a 1 ó –1?; ¿ocurrirá siempre lo mismo en esos casos?, ¿por qué? 2. Si a es un número entero positivo (distinto de 1) y b es su inverso aditivo, ubica en la recta numérica: a, b, 2 • a, 2 • b 0

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 55

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 54 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización

De refuerzo

a•b

a:b

–36

–4

–147

–3

–50

–2

–13

–252

–7

–125

–5

–400

–25

a) Sí, ya que la regla de los signos es igual en ambos casos. b) Cuando a = 13, b = –1 y a = 17, b = 1, el producto es igual al cociente. Esto ocurre cuando b = 1 o b = –1.

a•b

a:b

–48

–3

144

–3

–45

–5

–9

–81

–1

100

500

–8

–4

29 –29

–1 1

–29

30 –30 4 –4

1 –1 –4 4

–16

–1

12 –12 12

–4 4 12

a) En las filas 8 y 9. Sí, ocurre si el divisor (segundo factor) es 1 ó –1. b) En las filas 3, 5 y 10. Sí, pues si se divide un número por sí mismo o por su inverso aditivo, el cociente es 1 ó –1, respectivamente.

2. a) 20 ºC, 90 ºC b) 9 min, 22 min 2. 3. a) 150 m b) 7 h c) 15 h

2 •b

2 •a

4. a) 30 puntos. b) 25 puntos.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 56

TEXTO DEL ESTUDIANTE 22 Y 23

Unidad 1

División inexacta de números enteros Una profesora recuerda a sus alumnas y alumnos el algoritmo de la división de números naturales, cuando el resto o residuo es mayor que cero. Observa: Divisor

Dividendo

17 : 5 = 3 2 Resto

Cociente

No olvides que... Según el algoritmo de la división: • El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo. • Si la división es exacta, el residuo es igual a cero. • Si la división no es exacta, el residuo es mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.

Para discutir • La división anterior, ¿es exacta?, ¿por qué? • ¿Se puede comprobar que el resultado es correcto en este caso?, ¿cómo lo harías? • Si el dividendo o divisor fuera negativo, ¿se podrá comprobar que el resultado es correcto de la misma forma anterior?, ¿cómo lo harías? • En la división –17 : 5, ¿qué sucederá con el resto?, ¿será 2?, ¿por qué?

Actividades 1. Completa la siguiente tabla, guiándote por el ejemplo.

La división que muestra la profesora no es exacta, ya que el residuo o resto es mayor que cero, es 2. Luego, podemos escribir 17 = 5 • 3 + 2. En general, según el algoritmo de la división de números naturales, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo. En el caso que el dividendo o divisor sea negativo, debemos considerar algunos aspectos nuevos. En la división: –17 : 5, el dividendo se puede escribir de dos formas. Observa: a) –17 = 5 • (–3) –2

b) –17 = 5 • (–4) + 3

Si queremos escribir el dividendo como la multiplicación entre divisor por el cociente más el resto, ¿cuál de las dos formas es correcta? La respuesta es la letra b, pues según el algoritmo que se extiende a los números enteros, el resto debe ser positivo (y menor que el valor absoluto del divisor), cuando no es cero. Entonces, para: 17 : –5, significa que 17 = (–5) • (–3) + 2, ya que, 0 < 2 < –5 –17 : –5, significa que –17 = (–5) • 4 + 3, ya que, 0 < 3 < –5

Dividendo

Divisor

Cociente

Resto

El dividendo es igual a

–6

–5

30 = (–6) • (–5) + 0

–42

–5

–12

–6

–27

–6

–20

–4

2. Observa los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior y responde: a) Observa los casos en que el dividendo es igual, ¿por qué el cociente es distinto?, ¿de qué depende? b) ¿Existirá otra forma de escribir el dividendo en cada caso?, ¿por qué? 3. Utilizando lo aprendido hasta ahora, responde: a) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que a : 0 no tiene solución? b) Si a es un número entero, ¿cómo justificarías que 0 : a = 0?

22 Unidad 1

Números enteros

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.

Para discutir

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 1: analizar y justificar. Ítem 2: recordar y comprobar. Ítems 3 y 4: analizar, conectar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 57

Actividades Ítem 1: aplicar. Ítem 2: analizar y justificar. Ítem 3: analizar, generalizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a ampliar el algoritmo de la división de números naturales (cuando el resto es mayor que cero) a la división de números enteros. Para ello, se recuerda, por medio de un ejemplo, el algoritmo de la división de números naturales. En esta actividad se pretende que los alumnos y alumnas analicen qué sucede con el cociente y el resto cuando el dividendo o divisor es un número entero negativo, es decir, que noten que, al ampliar dicho algoritmo, se deben respetar ciertas condiciones que hasta este momento se aplicaban sin ser formalizadas. Al finalizar esta sección, se sugiere indicar a los y las estudiantes que el cociente (racional) de divisiones inexactas con números enteros se estudiará el próximo año, y el cociente estudiado (según el algoritmo) es en el ámbito de los números enteros.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa con el número correspondiente en cada caso. a) Si el dividendo es 19 y el divisor es 5, entonces, el cociente es el resto es . b) Si el dividendo es el resto es 1.

y el divisor es 3, entonces, el cociente es (–7) y

c) Si el dividendo es (–33) y el divisor es el resto es 3.

, entonces, el cociente es 9 y

d) Si el dividendo es –90 y el divisor es 3, entonces, el cociente es el resto es . e) Si el dividendo es el resto es 7.

y el divisor es (–8), entonces, el cociente es 6 y

(Habilidades que desarrolla: interpretar, representar, aplicar y calcular).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De profundización

• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente que destaque las condiciones del algoritmo de la división cuando esta es inexacta, es decir, que el resto es mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor. • En el ítem 2, guíe a los alumnos y alumnas, para que descubran que el cociente y resto son únicos en cada caso. • En el ítem 3, si los alumnos o alumnas tienen dificultad para justificar utilizando el algoritmo de la división, muestre algunos casos particulares, como 12 : 0 y 0 : 12, y, a partir de estos, guíe a los alumnos y alumnas para que analicen lo que sucede en cada caso.

1. Completa la siguiente tabla.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Dividendo

Divisor

Cociente

Resto

–20

–20 = (–6) •

–2

–5

37 –28

El dividendo es igual a

2 –28 =

•

(–10) + 2

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar, calcular y representar).

• Podría explicar por qué 1 : 0 no tiene solución, o bien, no está definido. Aplicando el algoritmo de la división, se tiene: Si x es el cociente, entonces 1 = 0 • x, luego no hay ningún número que al multiplicarse por cero dé como resultado 1. • Podría explicar por qué 0 : 1 = 0. Si aplicamos el algoritmo de la división, tenemos que: 0 = 1 • 0, y se concluye que cualquier número multiplicado por cero da por resultado cero. En ambos casos, observe que no es necesario considerar el resto, ya que debe ser mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 58

TEXTO DEL ESTUDIANTE 24 Y 25

La temperatura máxima en Temuco se registró a las 15 horas.

Un día de invierno, en Temuco, la temperatura mínima registrada a las 7:00 horas fue de –2 ºC, dos horas más tarde subió 5 ºC. A las 12:00 horas, la temperatura fue el doble de la temperatura registrada a las 9:00 horas. La máxima del día se registró tres horas después, y subió 7 ºC.

Para discutir Glosario amplitud térmica: es la diferencia entre la temperatura más alta y la más baja registrada en un lugar, durante un período de tiempo.

• ¿Cuál fue la temperatura registrada a mediodía en Temuco?, ¿y a las 15:00 horas?, ¿cómo lo supiste? • ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica) en grados ese día? • Averigua la temperatura mínima y máxima para mañana en tu ciudad.

En la situación anterior, una forma de determinar cuál fue la temperatura registrada a las 12:00 horas, es calculando la expresión: (–2 + 5) • 2.

Ayuda Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a • (b + c) = a • b + a • c; con a, b y c números enteros. Ejemplo: (–2) • [(–4) – (+6)] = (–2) • (–4) – (–2) • (+6) = (+8) – (–12) = 20

Unidad 1

Operaciones combinadas

Esta expresión se puede calcular de dos formas: 1º resolver primero las operaciones entre paréntesis y luego multiplicar; 2º aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Forma 1: (–2 + 5) • 2 = 3 • 2 =6

• Si al resolver un problema aparecen operaciones combinadas, debes calcular siguiendo el orden:

1º Se resuelven los paréntesis. 2º Después se realizan las multiplicaciones y divisiones en orden, de izquierda a derecha. 3º Se efectúan, por último, las sumas y las restas en orden, de izquierda a derecha.

Actividades 1. Resuelve. a) (–18 : 6) • –2 b) 36 : (–4 : 1) c) (–9 : 3) • (10 : –5)

d) (–640 : –4) • (12 : 2) e) (30 • 0) : (–2 • 3) f) (10 : –10) • 10

g) (24 : –12) • (7 • 0) h) (8 • –3) : (4 : –2) i) (8 : –8) • (–7 : 7)

2. Calcula aplicando la propiedad distributiva. a) (–5) • (–4 + 8) b) (–10) • (5 + (–3))

c) (7 – 9) • (+5) d) (–9 – 12) • (+2)

e) (20 –30) • (–10) f) (–15) • (–2 + 10)

3. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

Forma 2: (–2 + 5) • 2 = 2 • (–2) + 2 • 5 = –4 + 10 =6 Así, la temperatura a las 12:00 horas fue 6 ºC. Para determinar la temperatura registrada a las 15:00 horas, una forma es resolver la expresión: (–2 + 5) • 2 + 7 Entonces:

No olvides que...

d) 4 • (14 : –2) + 9 • (–3) – 2 : –2) e) –7 – (–49 : 7) + 14 • 2 + 7 f) –20 : (16 – 12) • –5 – 14

a) 16 : (–2) – (–4 + 2) + 5 • (–1) b) 25 : 5 – (4 – 9) • 3 – (9 –12) : 3 c) 2 + (8 : 4) – (–2 • 3) + (9 : –3)

4. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. a

(–2 + 5) • 2 + 7 = 3 • 2 + 7

–4

–2

=6+7 = 13

–10

–15

(a + b) • a

(a • b) : (a + b)

(a + b) • (a – b)

Luego, la temperatura registrada a las 15:00 horas fue 13 ºC. Por lo tanto, la amplitud térmica ese día fue 15 ºC, ya que: 13 – (–2) = 15

24 Unidad 1

Números enteros

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros [...], enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Para discutir

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 1: analizar, representar y calcular. Ítem 2: analizar y calcular. Ítem 3: conectar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 59

Actividades Ítems 1, 2 y 3: calcular. Ítem 4: evaluar y calcular.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Se sugiere que destaque a los y las estudiantes que en una operación combinada con paréntesis, si dentro del paréntesis hay más de una operación, entonces, se aplica la prioridad de las operaciones en dichas operaciones. Por ejemplo:

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a resolver problemas que involucran las operaciones aritméticas de adición y multiplicación. En esta situación, relacionada con la temperatura de una ciudad, se pretende que los alumnos y alumnas analicen y determinen cuál es la temperatura a cierta hora del día, planteando la expresión que permite resolver cada caso y utilizando diversas estrategias en la resolución. Es conveniente que los y las estudiantes observen que en la actividad inicial se presentan dos estrategias para resolver y, en ambos casos, se obtienen los mismos resultados: la primera, respetando la prioridad de las operaciones y, la segunda, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, en conveniente que recuerde a los y las estudiantes la prioridad de las operaciones, ya que en los ítems 1 y 3 aparecen operaciones combinadas. • En el ítem 2, los y las estudiantes aplicarán la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Una vez terminada esta actividad, se sugiere que pida a los alumnos y alumnas que resuelvan estas operaciones utilizando otra estrategia (aplicando la prioridad de las operaciones). De este modo, no solo comprobarán que sus soluciones son correctas, sino que evidenciarán que muchas veces en Matemática es posible seguir más de un camino en la resolución de un ejercicio o problema. • En el ítem 4, permítales a los y las estudiantes, si es posible, que resuelvan cada operación mentalmente, utilizando la estrategia que ellos escojan. Por ejemplo, en la tercera columna podrían aplicar la prioridad de las operaciones o la propiedad distributiva.

Unidad 1 – Números enteros

–24 : (–4 + 5 • 2) = –24 : (–4 + 10) = –24 : 6 = –4 • Se sugiere que destaque a los y las estudiantes que en una operación combinada, si hay paréntesis en el interior de otro paréntesis, estos se resuelven de adentro hacia afuera, respetando la prioridad de las operaciones. Por ejemplo: –3 • [–2 + (12 : (–4) • 2) – 1] = –3 • [–2 + (–3 • 2) – 1] = –3 • [–2 + (–6) – 1] = –3 • [–9] = +27

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 60

TEXTO DEL ESTUDIANTE 26 Y 27

5. Una familia gasta mensualmente $ 100 000 de arriendo, $ 65 000 en mercadería y $ 50 000 en gas, luz y agua. Si desean comprar un automóvil a crédito que cuesta $ 1 200 000, dando de pie unos ahorros que equivalen $ 150 000 y el resto en 24 cuotas mensuales iguales, calcula: a) ¿Cuál es el valor de cada una de las 24 cuotas del auto? b) Si deciden comprar el auto, ¿cuánto dinero gastarán mensualmente en cuentas? 6. Una familia compra una casa en enero del año 2011 con un crédito en cuotas fijas a 20 años. El valor de la casa es de $ 12 000 000 incluidos los intereses.

7. El valor de las acciones de una empresa en la bolsa de comercio disminuye $ 12 cada día. Hoy tienen un valor de $ 690. a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuánto costarán dentro de 8 días? b) ¿Cuánto costarán dentro de 8 días?, ¿y en 15 días? 8. La temperatura en una cámara de refrigeración a las 14:45 horas es de 20 ºC. Se sabe que la temperatura baja 2 ºC cada minuto. a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será la temperatura a las 15:03 horas? b) Calcula la temperatura a las 15:03 horas. 9. Remplaza los valores de a, b y c en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla. b

–36

–2

–9

–96

–10

–50

–5

–2

(b : c) • a

11. Escribe en cada línea el número que falta para que se cumpla la igualdad. a) b) c) d)

6 : –3 • = –8 –3 • ( : –5) = 9 (–20 : ) • (–8 : 2) = –40 45 : : 3 = –3

e) –5 • –7 • 2 : = –7 f) : –9 • 2 = –10 g) 100 : (20 : ) = –50 • –6 : 2 = 9 h)

12. En cada caso, escribe una pregunta para que el problema sea resuelto con las operaciones que se indican. Luego, resuélvelos.

a) ¿Cuánto pagan anualmente? b) ¿Cuál es el valor de cada cuota mensual? c) ¿Cuánto han pagado después de 5 años?

Unidad 1

b : (c • a)

a • (b • c)

(a • b) • c

10. A partir de los resultados obtenidos en la tabla de la actividad anterior, responde: a) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular (b : c) • a y b : (c • a)?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué? b) ¿Obtienes los mismos resultados al calcular a • (b • c) y (a • b) • c?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos?, ¿por qué?

a) Operaciones: adición y multiplicación. En una ciudad del país, la temperatura mínima a las 7:00 horas fue de –2 ºC. Cada hora aumentó 3 ºC hasta las 11:00 horas. Pregunta: Respuesta: b) Operaciones: adición y división. Patricio logró ahorrar $ 95 000 en una alcancía desde enero hasta mayo. En junio pudo guardar $ 20 000, en julio ahorró $ 15 000 y en agosto retiró la cuarta parte del total. Pregunta: Respuesta:

Estrategia mental Para saber en forma rápida qué signo corresponde al resultado de una multiplicación o división entre números enteros, cuenta la cantidad de números negativos de la expresión: si es par, el resultado será positivo; de lo contrario (cantidad impar), el resultado es negativo. Observa los ejemplos: 25 • (–4) : 20 • 6 : (–10) = +3

(–20 : 2 • (–5) • (–2) = –100

(2 números negativos)

(3 números negativos)

Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida. a) (–2) • 2 • (–2) • 2 • (–2) =

g) 2 • (–5) • (–10) : 4 • (–3) =

b) (–15) : (–3) • (–4) • 2 : (–5) =

h) 300 : 15 • (–3) : 2 • 6 =

c) (–10) • (–100) • (–1000) • (–10 000) =

i) (–1) : 1 • (–1) : 1 • (–1) • (–1) : (–1) =

d) 2500 : (–5) : (–10) =

j) (–24) : (–8) : 3 • (–1) • (–2) =

e) 3 • 3 • (–4) : (–2) : 9 • (–1) =

k) 12 • 10 : (–4) • (–3) : (–9) =

f) 4 • 4 • 4 : (–4) • 1 : (–1) =

l) (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) • (–1) =

26 Unidad 1

Números enteros

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Actividades

Unidad 1 – Números enteros

Ítems 5 y 6: analizar, aplicar y calcular. Ítems 7 y 8: representar, aplicar y calcular. Ítem 9: evaluar y calcular. Ítem 10: analizar, generalizar y justificar.

Ítem 11: identificar y calcular. Ítem 12: formular y resolver problemas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 61

Estrategia mental Aplicar y calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 5 y 6 es conveniente que pida a los alumnos y alumnas que escriban la estrategia y las operaciones empleadas. Luego, un o una estudiante explica cómo resolvió la pregunta 5 a otro compañero o compañera, y este último explica cómo resolvió la 6 a su compañero o compañera (que explicó la 5). De este modo, permite que discutan sobre la pertinencia de los resultados obtenidos, así como también sobre los procedimientos empleados. • En los ítems 7 y 8, es conveniente que analice en la pizarra las expresiones matemáticas que permiten resolver cada caso, pues el objetivo de ambos problemas no solo tiene relación con las operaciones combinadas y la prioridad para resolverlas, sino que es una primera aproximación a las funciones, que es un contenido que se tratará más adelante. • Luego de completar la tabla del ítem 9, los alumnos y alumnas reponderán las preguntas del ítem 10 relacionadas con la prioridad de las operaciones. Se sugiere que promueva la discusión en estos casos, para que sean los y las estudiantes quienes generalicen. Al finalizar esta actividad podría destacar que en el caso de la pregunta b, del ítem 10, se trata de la propiedad asociativa de los números enteros. • En el ítem 11, luego que los y las estudiantes escriban el número que falta, podrían comprobar utilizando calculadora científica y verificar que la operación da como resultado, efectivamente, el número que aparece en el Texto. • En el ítem 12, se sugiere que los y las estudiantes expongan las preguntas que escribieron, pues de este modo conocerán y compararán las diversas preguntas que surgieron espontáneamente para una misma situación; además, podrían analizar la pertinencia de estas. • En la sección ESTRATEGIA MENTAL, es conveniente destacar que dicha estrategia se puede emplear no solo en esta Unidad, sino que en las potencias, que se estudiarán en la Unidad siguiente, pues permite saber de forma rápida el signo del resultado.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

2. Resuleve utilizando dos estrategias distintas, en cada caso. a) [(–10 – 4) • 3 – 2] –1 = b) 25 • (5 • –10) • 2 = 3. Calcula mentalmente, indicando la estrategia utilizada en cada caso. a) (–10 • –3) • –6 = b) –30 • (–15 + 10) = c) 4 • (–5 + 3) = (Habilidades que desarrollan: calcular, aplicar y formular). De profundización 1. Determina el o los errores en cada caso y, luego, resuelve correctamente. a) (–18) + 4 • (–2) + 35 : (–7) = –14 • –2 + 5 = –14 • 3 = –42 b) (–4) : (–1) + 20 : (–5) + 13 = –4 + 4 + 13 = 0 + 13 = 13 c) (–4) • [–12 : –3 – 18 : –2] = (–4) • [4 – 18 : –2] = (–4) • [–14 : –2] = (–4) • 7 = –28 2. Un día de julio, en una ciudad del norte del país, la temperatura registrada a las 6:00 horas fue de –5 ºC; tres horas más tarde subió 4 ºC. Dos horas después, subió 6 ºC. A las 12:30 horas, la temperatura fue el doble de la temperatura registrada a las 11:00 horas. La temperatura máxima del día se registró tres horas después y fue el doble de la temperatura registrada a las 12:30 horas.

a) –36 : (–18 : 3) =

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular la temperatura registrada a las 12:30 horas?, ¿y a las 15:30 horas? b) ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 11:00 horas? c) ¿Cuál fue la máxima temperatura de ese día?

b) 14 – 2 • (–5) + 18 : (–2) =

(Habilidades que desarrollan: analizar, calcular e identificar).

De refuerzo 1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

c) 28 : [(–12 • 2) : (54 : –9)] = d) 2 • [(11 • 3 – 5) + (16 : –4)] =

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 62

TEXTO DEL ESTUDIANTE 28 Y 29

Unidad 1

Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, resuelve operaciones combinadas con números enteros. Sigue las instrucciones. 1º En A1 escribe “Positivo”, en B1 “Negativo”, en C1 “Operación 1”, en D1 “Operación 2”, en E1 “Operación 3” y en F1 “Operación 4”. 2º En las celdas A2 y B2 anota 600 y –30, respectivamente. 3º En la celda C2 correspondiente a “Operación 1” haz doble clic y anota = A2*B2-B2*A2. Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 • (–30) – (–30) • 600. 4º En la celda D2 correspondiente a “Operación 2” haz doble clic y anota = A2/B2-B2. Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) – (–30). 5º En la celda E2 correspondiente a “Operación 3” haz doble clic y anota = A2/B2+ABS(B2). Presiona enter. Así aparecerá el resultado de 600 : (–30) + –30 . 6º En la celda F2, inventa una operación combinada usando los números que aparecen en las celdas A2 y B2 (como en los puntos 3, 4 y 5) y los símbolos +, – , * y /. 7º En las celdas de la columna “Positivo” escribe números enteros positivos hasta A10. En las celdas de la columna “Negativo” escribe números enteros negativos que sean divisores del número positivo de su fila correspondiente. 8º Con el mouse, selecciona la celda C2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda C10. Así, deberían aparecer todos los resultados correspondientes. 9º Repite el paso anterior para las celdas D2, E2 y F2. Deberías obtener:

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. Juan trabaja en un supermercado. Durante el primer semestre del año pasado tuvo un sueldo fijo mensual de $ 300 000. En julio recibió un aumento de $ 50 000. ¿Qué expresión permite calcular cuánto ganó Juan el año pasado? A. 300 000 • 6 + 50 000 • 6 B. 300 000 • 12 + 50 000

C. 300 000 • 6 + 350 000 • 6 D. 300 000 • 12 + 350 000

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. B. C. D.

Una división de números enteros es siempre exacta. El resto en una división de números negativos, es negativo. El producto de dos números enteros negativos es un número entero negativo. El dividendo en la división exacta con números enteros es igual al divisor por el cociente.

3. Remplaza los valores de a, b y c y completa la tabla con los resultados que obtengas. Luego, responde. a

–18

–12

–28

–7

–14

a:b•c

c • (a – b) + a

a•b:c

c•a–c•b+a

Ítem

Representar en lenguaje matemático una situación escrita en lenguaje natural.

Analizar expresiones relacionadas al algoritmo de la división.

Calcular operaciones combinadas con números enteros.

Resolver un problema, que involucra las cuatro operaciones con números enteros.

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

28 Unidad 1

Números enteros

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN CON:

Herramientas tecnológicas

Unidad 1 – Números enteros

Respuestas correctas

Ítems 1 a 8: usar herramientas. Ítem 9: analizar, generalizar, justificar y usar herramientas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 63

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Al utilizar la planilla de cálculo, debe tener en consideración que los símbolos empleados: +, –, *, /, corresponden a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, respectivamente. • Es conveniente que supervice permanentemente a los alumnos y alumnas en el desarrollo de la actividad, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuda y orientación. • Se recomienda que recuerde a sus estudiantes que al ingresar una función se antepone el símbolo =. • Al finalizar la actividad, destaque que en “Operación 1” el resultado siempre es cero, pues A2*B2 = B2*A2, por la propiedad conmutativa.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: analizar y representar. Ítem 2: analizar y evaluar. Ítem 3: evaluar, aplicar, calcular, analizar y generalizar. Ítem 4: analizar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Realiza lo siguiente en una planilla de cálculo. Dividan por dos los números de la columna “Positivo” y, luego, escríbanlos en dicha columna (en remplazo de los que estaban). Luego, vuelvan a repetir los pasos realizados anteriormente y respondan las preguntas del ítem 9. (Habilidades que desarrolla: analizar, generalizar y justificar). De profundización 1. Para cualquier par de números enteros a y b, con b ≠ 0: a) La expresión: a • b – b • a, ¿es siempre igual a cero? Justifica. b) Las expresiones: (a : b – b) y (a : b + |b|), ¿son iguales? Justifica. (Habilidades que desarrolla: analizar, generalizar y justificar).

• En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En el ítem 2, se debe analizar la pertinencia de afirmaciones; como no se trata de casos concretos, el alumno o alumna podría confundirse en dichos casos. Es conveniente que visualicen casos particulares que se relacionen con cada afirmación, para luego analizar su veracidad a través de estos. • En el ítem 3, es posible que los alumnos y alumnas ignoren la prioridad de las operaciones; es conveniente recordarla. • En el ítem 4, recuerde a los y las estudiantes que para representar una distancia bajo el nivel del mar, se pueden usar los números negativos. Por ejemplo, 32 m bajo el nivel del mar, lo representaremos como –32. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se representa una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla. Responde cada pregunta correctamente.

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente la tabla. Responde cada pregunta.

Evalúa, aplica, calcula y completa correctamente algunas partes de la tabla. Responde algunas de las preguntas.

Evalúa, aplica, calcula y completa erróneamente la tabla. No responde las preguntas.

Analiza y calcula correctamente el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y calcula correctamente el problema.

Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo el signo del resultado.

Analiza y calcula erróneamente, el problema, confundiendo el signo del resultado y su valor.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 64

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

6. Felipe trabaja como vendedor en una casa comercial; su sueldo base es de $ 180 000. Por cada producto vendido que tiene un valor superior o igual a $ 40 000, recibe una comisión de $ 5000. Durante el mes de agosto vendió los productos que se detallan en la siguiente tabla con sus respectivos costos:

De refuerzo Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. Si el dividendo es (–37) y el divisor es 5, entonces:

Cantidad

Producto

Costo ($)

Plancha

20 000

Celular

40 000

Microondas

75 000

DVD

45 000

Televisor

90 000

A. el cociente es 8 y el resto es 3. B. el cociente es (–8) y el resto es 3. C. el cociente es (–7) y el resto es (–2). D. el cociente es 7 y el resto es 2. 2. Las transacciones de dinero de Carla en el mes de septiembre fueron: $ 45 000 en agua, luz, teléfono y gas, $ 100 000 de dividendo, $ 380 000 de sueldo y en mercadería gasta la mitad de lo que gasta en dividendo. ¿Qué expresión permite calcular cuánto dinero le queda a Carla para otros gastos? A. 380 000 – 45 000 + 100 000 + 100 000 : 2 B. (45 000 + 100 000 + 100 000 : 2) – 380 000 C. 380 000 – 45 000 – 100 000 + 100 000 : 2 D. 380 000 – (45 000 + 100 000 + 100 000 : 2) 3. Un pez que se encuentra a 10 metros bajo el nivel del mar, desciende 2 metros cada 2 minutos, ¿a qué profundidad se encuentra después de 16 minutos? A. 26 metros bajo el nivel del mar. B. 18 metros bajo el nivel del mar.

C. 6 metros bajo el nivel del mar. D. –36 metros bajo el nivel del mar.

4. Completa la siguiente tabla. a

–2

–10

–5

–2

–8

–2

–1

–9

(b + c) : a

c • (b – a)

(a – b) + c

a • (b • c)

5. A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

a) ¿Qué expresión matemática permite calcular cuál será el sueldo de Felipe correspondiente al mes de agosto? b) ¿Cuál será su sueldo ese mes? 7. El frigorífico de una empresa de productos congelados se encuentra a 30 ºC bajo cero durante todo el día. Un día la máquina presentó fallas, provocando un aumento de la temperatura a razón de 3 ºC por hora; ¿cuál será la temperatura del frigorífico despues de 6 horas? 8. Un equipo sumergible, provisto de cámaras sensibles a la oscuridad, descubrió restos de un barco a 2000 metros de la superficie. a) Si el equipo sumergible descendió 100 metros cada media hora, ¿cuánto tardó en llegar a los restos del barco, aproximadamente? b) Si enviaron otro equipo sumergible, que tardó 5 horas en llegar a los restos del barco, ¿a cuántos metros por hora descendía, aproximadamente? De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. Si a, b y c son números enteros, b ≠ 0 y b es divisor de a, ¿cuál de las siguientes expresiones resulta siempre cero? A. a • c – |a • c|

a) Aplica otra estrategia para resolver en cada caso.

B. (a : b) • c – c • (a : b)

b) Si cambiaras los números de la columna b, ¿con qué número entero es posible obtener resultado cero en (b + c) : a?

C. (a : b) – c

Unidad 1 – Números enteros

D. (a : b) • c + c • (a : b)

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 65

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 64 Y 65 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

2. Al resolver 12 – 7 • 3 – 24 : (–6) resulta : A. 29

De refuerzo

B. –13 C. –5

1. B

D. 37

2. D

3. A

(b + c) : a

c • (b – a)

(a – b) + c

a • (b • c)

–16

–10

–40

–5

150

A. –5

–24

B. 12

–44

–24

–208

C. 5

–9

3. En la expresión: (–60) : x = –12, el valor de x es:

D. 1

5. b)

4. Completa la siguiente tabla: a

–2

–9

–5

–22

–2

–1

–8

c (b – a) •

–4

6. a) 180 000 + 5000 • 14 (a – b) + c

a (b c) •

•

a:b c •

a) ¿Puedes aplicar alguna propiedad de los números enteros para resolver en cada caso?, ¿cuál? b) Si cambiaras los números de la columna a, ¿con qué número entero es posible obtener resultado cero en c • (b – a)?, ¿y en (a – b) + c? 6. Camilo y Lorena son hermanos. Camilo ahorró en enero $ 12 500 y en febrero $ 18 600. Lorena en enero ahorró el doble que su hermano ese mismo mes y en febrero la tercera parte de lo ahorrado por su hermano en febrero. En marzo, entre los dos, juntaron $ 21 500. a) ¿Qué expresión permite calcular cuánto ahorraron el primer trimestre de ese año?

b) $ 250 000

7. –12 ºC. 8. a) 10 horas.

b) A 400 metros por hora.

De profundización 1. B 4.

5. A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

2. C c • (b – a)

3. C

(a – b) + c

a • (b • c)

a:b•c

–72

–8

–60

–17

135

132

–29

–968

–8

–504

–14

–8

5. a) Sí, la propiedad distributiva y propiedad asociativa. En la última columna aplicamos la prioridad de las operaciones. b) Para c • (b – a) = 0, se tiene

–1

Para (a – b) + c = 0, se tiene

b) ¿Cuánto ahorraron el primer trimestre? 6. a) (12 500 + 18 600) + (12 500 • 2 + 18 600 : 3) + 21 500 b) $ 83 800 65

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:51 Página 66

TEXTO DEL ESTUDIANTE 30 Y 31

Unidad 1

Comprender • ¿Qué sabes del problema? Que el primer y segundo año perdió, y los tres años siguientes tuvo ganancias.

• ¿Qué debes encontrar? La cantidad de dinero correspondiente al saldo final de la empresa.

Responder

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones. a) Marcelo, el tesorero del Octavo Año Básico de un colegio de Coquimbo, debe rendir cuentas al curso cada término de semestre. Dice lo siguiente: “Por aportes voluntarios en marzo reunimos $ 88 000; en abril, $ 65 000; en mayo, $ 100 000, y en junio, $ 55 000. En la fiesta de curso gastamos $ 140 000; el regalo a la profesora costó $ 35 000, y en la rifa de curso ganamos $ 63 000”. ¿Cuál fue el saldo final del curso? b) Claudio puso un negocio de comida rápida. El primer mes ganó $ 300 000, el segundo mes ganó el doble que en el primero, en el tercero ganó el triple del segundo, el cuarto mes perdió la mitad de las ganancias de los primeros meses juntos, y en el quinto tuvo ingresos de $ 255 000. ¿Cuál fue el saldo final? c) Un día de julio, en Calama, la temperatura mínima que se registró a las 7:30 horas, fue de –3 ºC. Durante las siguientes 8 horas, la temperatura subió 3 ºC por hora y, luego, descendió 2 ºC por hora. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 23:30 horas?, ¿y a las 00:30 horas? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Un día de agosto, a las 9:00 horas, un submarino se encuentra a 150 m de profundidad. Si durante una hora baja con rapidez de 12 m cada 10 minutos, y luego sube hacia la superficie durante una hora y media con rapidez de 18 m cada 15 minutos, y durante los siguientes 40 minutos sigue subiendo aumentando la rapidez a 20 m cada 10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará a las 12:10 horas?

• El saldo final de la empresa corresponde a una ganancia de $ 144 000 000.

30 Unidad 1

Números enteros

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

Buscando estrategias

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 1: analizar, formular, aplicar y calcular. Ítems 2 y 3: seleccionar, analizar, resolver problemas y evaluar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 67

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en la Unidad; sin embargo, en estas páginas se presenta una estrategia específica para que los alumnos y alumnas la aprendan, la apliquen en otros problemas y, luego, busquen otras estrategias de resolución.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto del Estudiante es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser la siguiente: Plantear la situación como un ejercicio combinado y, luego, aplicar la prioridad de las operaciones, es decir (en miles): –12 000 – (2 • 12 000) + 3 • (12 000 + 2 • 12 000) + 18 000 + [3 • (12 000 + 2 • 12 000)] : 2 = –12 000 – 24 000 + 108 000 + 18 000 + 54 000 = 144 000

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Un grupo de 6 personas (Pablo, Francisca, Pedro, Felipe, Lorena y Cecilia) está reuniendo dinero para realizar un paseo. Han determinado que cada persona necesita $ 9500 para asistir a dicha actividad. Pablo ha juntado $ 3500, Francisca el doble de lo que ha reunido Pablo, Pedro $ 2000 más que lo reunido por Francisca, Felipe la tercera parte de lo reunido por Pedro, y Lorena y Cecilia ya juntaron el dinero necesario. a) ¿Cuánto dinero deben juntar en total? b) Si consideras el dinero reunido por el grupo de amigos, ¿cuánto les falta por reunir? Utiliza la estrategia propuesta en la página 30. (Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar y calcular).

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación, se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados. Logro, aplicación

En proceso, logro parcial

No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• • • •

Comprensión de conceptos

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los y/o progreso resultados. • Reconoce sin dar argumentos.

Copia el problema. • No entiende el problema. Identifica palabras clave. • Entiende mal el problema. Puede que interprete mal parte del problema. • Como rutina pide explicaciones. Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 09-08-11 13:43 Página 68

TEXTO DEL ESTUDIANTE 32 Y 33

Unidad 1 A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

NACIONAL

Un cometa visto en el siglo XX El cometa Halley (1P/Halley) es un cometa brillante y grande que orbita alrededor del Sol cada 77 años en promedio. Es uno de lo cometas más conocidos; a partir de él ha sido posible estudiar las características de los demás cometas. Este cometa fue el primero en fotografiarse desde el espacio. La última vez que pasó por las cercanías de la órbita de la Tierra fue en 1986. Si bien existen otros cometas, este se puede observar a simple vista, por lo cual existen referencias de sus apariciones, incluso antes de Cristo.

Síntesis

Conexiones

Para finalizar

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

EXACTA MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN INEXACTA

Fuente: Instituto de Astrofísica de Canarias, www.iac.es/gabinete/difus/cometas/halley.htm, septiembre 2009.

OPERACIONES COMBINADAS

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. ¿Cuándo se calcula que será la siguiente visita? 2. Desde 1986, ¿cuántas visitas habrá hecho el cometa hasta el año 2217?, ¿en qué años? 3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. 4. Averigüen por qué el cometa tiene ese nombre y en qué año fue observado por primera vez. 5. En el año 1472, el cometa fue observado por un astrónomo alemán. Anoten todos los años que el Halley pasó, desde 1472 hasta la fecha. ¿Coincide con el último año que pasó por las cercanías de la órbita de la Tierra?, ¿por qué? 6. Averigüen cuál fue la distancia más cercana del Halley a la Tierra en 1986.

1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cómo multiplicas un número natural por un número entero negativo? 3. ¿Cómo multiplicas números enteros? 4. ¿Cómo divides números enteros? 5. ¿Cómo resuelves ejercicios con multiplicaciones y divisiones combinadas?

Evaluamos nuestro trabajo

6. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada?

1. Dibuja una tabla con cada integrante de tu grupo, incluyéndote a ti mismo y copia en ella los siguientes indicadores:

7. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de números enteros?, ¿y qué diferencias?

• Respeté/respetó las opiniones de los demás integrantes. • Cumplí/cumplió con las tareas que se comprometió. • Hice/hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

8. Si a, b y c son números enteros, ¿podrías afirmar que a • (b + c) = a • b + a • c?, ¿por qué? Da dos ejemplos. 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

a. Haz tu evaluación escribiendo: Generalmente, A veces o Casi nunca, según corresponda. Luego, comparen y comenten sus respuestas. b. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

32 Unidad 1

Números enteros

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: calcular. Ítem 3: evaluar. Ítem 4: relacionar. 68

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 5: calcular, verificar y justificar. Ítem 6: interpretar.

Síntesis Recordar y conectar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 69

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular los números enteros con los fenómenos que ocurren en nuestro entorno, en este caso relacionados con la astronomía. Durante esta actividad puede comentar y discutir con sus estudiantes sobre temas relacionados con el cometa Halley, el Sol, los planetas, así como también sobre otros cometas que no podemos ver a simple vista. Más información sobre astronomía puede encontrar en la revista Astronomía Digital: www.astro-digital.com/11/cometas.html

TÉCNICA DE ESTUDIO A continuación, presentamos una técnica de estudio que le puede enseñar a los alumnos y alumnas: el cuestionario. El cuestionario consiste en plantear preguntas sobre un tema, y a través de las respuestas a esas preguntas obtener toda la información necesaria para saber de qué se trata el contenido que estudiamos, destacando las ideas fundamentales. • La creación del cuestionario debe realizarse individualmente y se sugiere que se haga en clases, para que oriente y guíe a los y las estudiantes en su trabajo. • Se deben confeccionar al menos 6 preguntas relacionadas con los temas incluidos en la Unidad, con un ejemplo numérico o un problema de aplicación en cada caso. • Las preguntas deben ser claras. • Puede revisar los cuestionarios en el curso guiando con preguntas como las siguientes: ¿cómo encuentran las preguntas planteadas?, ¿faltó alguna pregunta?, ¿cuál?

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una técnica de estudio que permite a los y las estudiantes consolidar, organizar y clasificar sus aprendizajes.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Construye un cuadro resumen sobre los principales temas de esta Unidad. 2. ¿Qué estrategias conoces para resolver problemas? Menciona sus pasos. 3. Inventa un ejercicio que involucre las 4 operaciones aritméticas con números enteros; luego, resuélvelo, respetando la prioridad de las operaciones. 4. Menciona y aplica dos estrategias para calcular: [(–2) + 4 – 6] • 3. 5. ¿Cómo jutificarías que (–36) : 9 = (–4)? (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, aplicar y calcular). De profundización 1. Construye un cuadro resumen sobre la multiplicación de números enteros. Da tres ejemplos. 2. Construye un cuadro resumen sobre la división de números enteros, involucrando el algoritmo de la división. Da tres ejemplos. 3. Inventa un problema que involucre las operaciones aritméticas con números enteros. Luego, resuélvelo, indicando la estrategia a utilizar. (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, formular, aplicar y calcular).

De refuerzo 1. En relación al Sol, los cometas y los planetas, responde: a) ¿Sabes a qué distancia está nuestro planeta del Sol?, ¿cómo lo supiste? b) ¿Conoces otros cometas aparte del Halley?, ¿cuáles? c) ¿Haz escuchado hablar de otros planetas?, ¿cuáles? (Habilidades que desarrollan: conectar y justificar).

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 70

TEXTO DEL ESTUDIANTE 34 Y 35

¿Qué aprendí?

Unidad 1

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. Si n es un número entero positivo, ¿cuál de estos números es menor que cero? A. B. C. D.

5+n 2•n n : (–n) –2 • (–n)

2. Un tiburón gris se encuentra a 250 metros de profundidad. Si desciende un quinto de la profundidad a la que se encuentra, ¿qué número representa la profundidad que está con respecto al nivel del mar? A. B. C. D.

–300 300 –200 200

3. Un día de julio en Santiago, la temperatura a las 7:30 horas fue de –4 ºC, y tres horas más tarde subió 7 ºC. Si la máxima fue el triple de la temperatura registrada a las 10:30 horas, ¿cuál fue la temperatura máxima del día? A. B. C. D.

–9 ºC –8 ºC 9 ºC 6 ºC

4. Si n, m son números enteros, n es el antecesor de m y –8 es el sucesor de m, ¿cuál es el sucesor de (n • m)? A. B. C. D.

91 –90 –89 90

9. La temperatura de un meteorito al ingresar a la atmósfera terrestre varía de –150 ºC a 2230 ºC en diez minutos. Si en cada minuto que transcurre, la temperatura aumenta de igual manera, ¿cuánto aumenta por minuto? 10. La estructura de una mina subterránea de carbón está formada por galerías horizontales. La distancia vertical entre cada dos galerías es de 10 m, estando, por ejemplo, la galería 2 situada a 20 m de profundidad. a) Si estamos a 50 m de profundidad, ¿en qué galería nos encontramos? b) Tras subir 30 m, Carlos está en la galería 7. ¿En qué galería estaba antes? c) Antes de subir 20 m, Luis estaba en la galería 6, ¿en qué galería se encuentra ahora?

6. Si a = –5, entonces (a • a) es igual a: A. B. C. D.

a • a a • a a•1 –(a • a)

7. Al calcular –9 + 3 : –2 + (–1 • 1) , resulta: A. B. C. D.

10 –9 –10 –6

8. En la expresión –5 • x : –2 = 10, el valor de x es: A. –4 B. –20 C. 20 D. 4

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

34 Unidad 1

Números enteros

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítem 1: analizar, conjeturar y evaluar. Ítems 2 y 3: analizar, interpretar y calcular. Ítem 4: analizar, conjeturar y evaluar. Ítem 5: analizar y evaluar. 70

Unidad 1 – Números enteros

Ítem 6: evaluar y calcular. Ítem 7: calcular. Ítem 8: analizar e identificar. Ítems 9 y 10: analizar, interpretar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 71

EVALUACIÓN SUMATIVA

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Números enteros, y con esta información seguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta Unidad.

• En los ítems 1 al 8, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En los ítems 9 y 10, es conveniente pedirles a los y las estudiantes que una vez comprendido el problema y planificada la estrategia, sean ordenados en el desarrollo de este. De este modo, pueden ayudar a sus compañeros y compañeras que tienen más dificultad, o bien, en caso de cometer errores, facilitará detectarlos y corregirlos.

Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

La siguiente se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Resuelve correctamente cuánto Resuelve correctamente cuánto aumenta por minuto, utilizando diversas aumenta por minuto, utilizando estrategias que permiten realizar un una estrategia. trabajo más eficientemente.

Resuelve erróneamente cuánto aumenta Resuelve erróneamente cuánto por minuto, aplicando la prioridad de las aumenta por minuto, sin respetar la operaciones y confundiendo los signos. prioridad de las operacione ni la regla de los signos.

Resuelve correctamente los valores Resuelve correctamente los valores pedidos, utilizando diversas estrategias pedidos, sin explicar la estrategia usada. que permiten realizar un trabajo más eficientemente.

Resuelve erróneamente alguno de los valores pedidos, por medio de la aplicación inadecuada de la prioridad de las operaciones, respetando los signos.

Unidad 1 – Números enteros

Resuelve erróneamente los valores pedidos, por medio de la aplicación inadecuada de la prioridad de las operaciones, sin respetar los signos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 72

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 6. 1. Al resolver (–12) : 4 • (–5) – 20 : (–2) resulta: A. 25 B. –5 C. –25 D. 5 2. Si el dividendo es –360 y el divisor es 4, entonces el cociente es: A. 90 B. –9 C. –90 D. –1 440

6. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? I. (–18 : 3 – 4) • 2 = –20 II. (–8) + (–8) + (–8) + (–8) = 8 • 4 III.(10 – 2 • 5) : 2 = 0 A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III 7. En una ciudad del sur del país se registraron las siguientes temperaturas en las fechas que se indican a continuación. Completa la tabla según la información entregada. Fecha

Temperatura mínima

27 de febrero

8 °C

13 de junio

–8 °C

Temperatura máxima

11 de noviembre

25 °C

3. El resultado de (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) es: A. 20 B. –16 C. –20 D. 16 4. ¿Qué número dividido por –9 resulta 3? A. 3 B. –27 C. –3 D. 27

a) El 27 de febrero la temperatura máxima fue el triple de la mínima. b) El 13 de junio la temperatura máxima fue 14 ºC más que la mínima. c) El 11 de noviembre la temperatura mínima fue la quinta parte de la máxima. 8. Un buzo está a 200 metros bajo el nivel del mar; luego, baja 50 metros más y, finalmente, desciende la mitad de lo que había bajado hasta ese momento. a) ¿Qué expresión matemática permite calcular la profundidad alcanzada por el buzo? b) ¿A cuántos metros de la superficie se encontraba? 9. Martina, Andrea y Guillermo realizaron los siguientes cálculos:

5. Si x es un número entero negativo, entonces el doble de x es: I. mayor que cero. II. menor que cero. III.menor que x. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. II y III

Unidad 1 – Números enteros

Martina 9 + (–14) • 5 = –5 • 5 = –25

Andrea 16 : [–2 – 6] = –8 – 6 = –14

Guillermo 20 : –5 • 2 = –4 • 2 = –8

• En los tres procedimientos realizados, ¿observas algún error?; ¿cuál? Corrígelo.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 73

10. Calcula: a) b) c) d)

4. Si a es un número entero positivo, entonces el triple de a es:

(–2 –8) : (1 – 3) = [–4 • (3 – 7) + 1] • (–2) = (–36) : 4 • (–6) : (–3) : 2 • (–4) = (–3) • [–1000 : (–10 – 90) – 50] =

I. mayor que cero. II. menor que cero. III.mayor que a. A. Solo I B. Solo II

11. Completa la siguiente tabla.

C. I y III a

–5

–3

–12

–2

–3

–18

a • (b – c)

a • (b • c)

c:a–c•b

c : b •a

D. II y III 5. Completa la siguiente tabla. Utiliza dos estrategias para resolver en cada caso. a

–5

–30

De profundización

–2

–4

–16

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4.

–28

1. Al resolver [(–4) • 7 – 45 : (–9) + 5] • (–2), resulta: A. –36 B. 46 C. 56 D. 36

3. Si x y z son números enteros, x es el antecesor de z y –4 es el antecesor de x. ¿Cuál es el sucesor de (x • z)? A. 6 B. –7 C. –5 D. 7

Unidad 1 – Números enteros

a • (b • c)

c:a–c:b

(b • a) – (c + a)

6. Completa las secuencias numéricas. : (–5) a)

2. El resultado de la expresión (–120) : (–5) • 4 es: A. 96 B. –96 C. 6 D. –6

a • (b – c)

•

(–3)

: (–2)

•

–50 : (–7)

(–3)

: (–1)

–9 •

•

: (–2)

•

(–4)

: (–1)

7. Obtén el número –8 utilizando números del conjunto A = {–3, –2, –1, 1, 2, 3} y al menos dos operaciones aritméticas. Escribe dos formas distintas de obtener el número.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 74

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 72 Y 73 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización

De refuerzo

1. D

1. A

2. C

3. C

4. B

5. D

6. B

3. D

a • (b – c)

a • (b • c)

c:a–c:b

(b • a) – (c + a)

–165

450

–24

–128

224

–784

6. : (–5)

Martina 9 + (–14) • 5 = 9 – 70 = –61

10. a) 5

b) –34

Andrea 16 : [–2 – 6] = 16 : –8 = –2 c) 36

250

d) 120

a • (b – c)

a • (b • c)

c:a–c•b

c : b •a

–1 000

–204

–10

–48

144

–30

–108

–45

–12

–84

–4

(–3)

–50

: (–2) 150

:4 12

•

Unidad 1 – Números enteros

•

: (–7)

11.

4. C

7. a) 24 ºC b) 6 ºC c) 5 ºC 8. a) –200 – 50 –250 : 2 b) 375 metros.

2. A

4 –16

–75 •

(–3)

3 : (–2)

•

–450 : (–1)

–9 •

(–4)

9 : (–1)

–32

7. Algunas formas: (–3) • 2 + (–2) ó (–2) • 2 + (–2) • 2.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 75

EVALUACIÓN FINAL

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En las páginas 76 y 77, se presenta una evaluación fotocopiable que usted puede utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los y las estudiantes en la Unidad de Números enteros, y con esta información determinar líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se esperaba lograr en esta Unidad.

Se sugiere pedirles a sus estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, para detectar en qué se equivocan, y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren, si fuera necesario.

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 76 Y 77

El tiempo estimado para la realización de la evaluación es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

1. D

Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la siguiente pauta:

9. a) –27

Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Analizar, aplicar y calcular.

2 puntos cada una

16 puntos

Analizar, evaluar, representar, aplicar y calcular.

6 puntos cada una

18 puntos

Puntaje total de la evaluación: 34 puntos Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente 6 ó 7 preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente 4 ó 5 preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de cuatro preguntas.

10.

2. D

3. A

4. A

5. C

6. A

7. C

8. A

b) –200

a • (b + c)

a • (b • c)

c:a•b

–5

–20

400

–10

–14

–60

–15

–3

–2

–9

–54

–6

–12

–32

–192

–12

–4

–88

–160

–10

11. a) –49

b) 6

c) –6

d) –5 y 2

e) –162

f) –5 y 0

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10 y 11. Ítem 9

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente cada expresión, empleando más de una estrategia.

Calcula correctamente cada expresión. Calcula érronemente una de las expresiones, pues confunde los signos del resultado.

Calcula érronemanete cada expresión, sin respetar la prioridad de las operaciones.

Analiza, evalúa, calcula y completa correctamente la tabla, verificando las soluciones con otra estrategia.

Analiza, evalúa, calcula y completa correctamente la tabla.

Analiza, evalúa, calcula y completa erróneamente partes de la tabla.

Analiza, evalúa, calcula y completa erróneamente la tabla.

Calcula erróneamente algunas expresiones, confundiendo el sucesor de o el antecesor de o el inverso aditivo. Aplica el algoritmo de la división, confundiendo sus condiciones.

Calcula erróneamente las expresiones, confundiendo el sucesor de, el antecesor de y el inverso aditivo. Aplica el algoritmo de la división, confundiendo sus condiciones.

Calcula correctamente cada expresión, Calcula correctamente cada expresión y interpretando mentalmente el sucesor aplica el algoritmo de la división. de, el antecesor de y el inverso aditivo. Aplica el algoritmo de la división.

Unidad 1 – Números enteros

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 76

EVALUACIÓN

4. Si a y b son números enteros, a es el sucesor de b y –7 es el sucesor de a, ¿cuál es el antecesor de (a • b)?

Números enteros Nombre:

Curso: 8º Puntaje:

Fecha: Nota:

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. 1. Si x es un número entero distinto de cero, el resultado de (–6) • x es: I. mayor que cero si x > 0 II. menor que cero si x > 0 III. mayor que cero si x < 0 A. B. C. D.

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III

2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? I. (–5) • 4 + 12 = –8 II. 15 : (–3) + 20 : (–5) = –3 III. (–7) • (–4) = –28 A. B. C. D.

Solo I Solo II I y II II y III

3. Un alpinista asciende una montaña 22 metros por hora durante 5 horas. Luego, durante 3 horas, asciende 28 metros por hora. ¿Cuántos metros asciende durante ese período? A. B. C. D. 76

A. B. C. D.

71 72 73 –73

5. ¿Qué número dividido por –4 resulta –20? A. 5 B. –5 C. 80 D. –80 6. Al calcular: –4 – (–25 : 5) + 2 – 15 : 3, resulta: A. –2 B. –12 C. 2 D. –4 7. Don Felipe es dueño de un negocio. El primer trimestre del año pasado obtuvo una ganancia de $ 1 500 000; el segundo trimestre perdió $ 650 000; el tercer trimestre ganó el doble de lo obtenido el primer trimestre y el cuarto trimestre obtuvo ganancias iguales a la mitad de las ganancias del primer periodo. ¿Cuál fue el saldo final del año pasado? A. B. C. D.

$ 6 650 000 $ 5 900 000 $ 4 600 000 $ 5 350 000

194 m 26 m 50 m 400 m

Unidad 1 – Números enteros – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U1 (PAG 40-77)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 77

8. La temperatura mínima registrada en Santiago un día de invierno a las 7:00 horas fue –5 ºC. Si la temperatura aumentó 4 ºC por hora (aproximadamente), hasta llegar a la máxima del día, que fue 27 ºC, ¿a qué hora se registró la temperatura máxima? A. B. C. D.

A las 15:00 horas. A las 14:00 horas. A las 13:00 horas. A las 16:00 horas.

II. Resuelve los siguientes ejercicios, mostrando su desarrollo. 9. Resuelve las siguientes operaciones combinadas. a) 12 : (–4) – 15 • 2 – 30 : (–5) =

10. Completa la siguiente tabla. a

–5

–20

2 –3

a • (b + c)

–10

–4

c:a•b

–14

–2 4

a • (b • c)

–54 –12

–32

–10

11. Completa con el número correspondiente en cada caso. a) Al multiplicar el sucesor de –8 por el inverso aditivo de (–7), resulta

b) Al dividir el inverso aditivo de 48 con el sucesor de (–9), resulta

c) Al dividir el antecesor de 25 con el inverso aditivo de 4, resulta

d) Si el dividendo es (–23) y el divisor es 5, entonces, el cociente es y el resto es . b) [–6 • (3 – 10) – 2] • (–5) =

e) Al multiplicar el antecesor de 19 por el inverso aditivo de 9, resulta

f) Si el dividendo es (–45) y el divisor es 9, entonces, el cociente es

Unidad 1 – Números enteros

y el resto es

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 78

Potencias

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD En esta Unidad se plantean diversas actividades que promueven el logro de estrategias de cálculo mental, sistematización de procedimientos, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. También se utilizan herramientas tecnológicas que permiten a los y las estudiantes resolver de forma eficaz diferentes tipos de problemas. Durante el desarrollo de la Unidad, se pretende que el alumno y alumna analice y comprenda diversas situaciones que se presentan a su alrededor, reconociendo la utilidad de las potencias y, con ello, la necesidad de definir y aplicar diversas estrategias para la resolución de problemas, ya sea de la vida cotidiana o del ámbito matemático en que estén involucradas las potencias y la aplicación de sus propiedades. Al final de la Unidad, aparece una evaluación en que el alumno o alumna podrá poner a prueba sus conocimientos y así saber cuánto es lo que aprendió, cuáles fueron sus errores y cómo superarlos.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Potencias de base entera y exponente natural se aplican las propiedades

Multiplicación y división de potencias de igual base

Multiplicación y división de potencias de igual exponente

Potencia de una potencia permiten

Resolver problemas

se extienden a

Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural.

Potencias de base decimal positiva y exponente natural.

asociados a

permiten

Figuras planas

Unidad 2 – Potencias

Cuerpos geométricos

Crecimiento exponencial

Decrecimiento exponencial

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 79

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Interpretación de potencias que tienen como base un número natural, una fracción positiva o un número decimal positivo y como exponente un número natural, establecimiento y aplicación en situaciones diversas de procedimientos de cálculo de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente, formulación y verificación de conjeturas relativas a propiedades de las potencias utilizando multiplicaciones y divisiones.

Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos.

Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, su relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus propiedades.

Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de 10 con exponente entero y su aplicación para representar números decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero.

Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […], potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Resolución de problemas en contextos diversos que involucran […] potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Interpretación de logaritmos y su relación con potencias y raíces, deducción de sus propiedades y aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento.

Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en que se utilizan […] potencias […], enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la pregunta, los datos y el contexto del problema.

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 80

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Contenidos Potencia de base entera y exponente natural. Valor de la potencia.

Multiplicación de potencias de igual base. División de potencias de igual base.

Aprendizajes esperados • Emplear estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural. • Determinar y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural.

Multiplicación de potencias de igual exponente. División de potencias de igual exponente. Potencia de una potencia. • Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base fraccionaria o Potencia de base decimal decimal positiva y positiva y exponente exponente natural. natural. Potencia de base fraccionaria positiva y exponente natural.

Unidad 2 – Potencias

Actividades asociadas

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos

Indicadores de evaluación

En el Texto De exploración: páginas 40, 42, 44, 46, 48, 50 y 52.

• Calculan potencias de base entera y exponente natural. • Aplican propiedades relativas a la multipliDe construcción de cación y división de conceptos: páginas 41, potencias que tienen 43, 45, 47, 49, 51 y 53. base entera y De consolidación: exponente natural. página 68. • Analizan y resuelven situaciones que En la Guía Didáctica involucran potencias de De refuerzo: páginas 87, base entera y 91, 93, 95, 97, 99, 101, exponente natural. 103, 105, 106, 126 y 127.

Diagnóstica: página 38 del Texto del Estudiante.

• Tabla de datos • Computador. • Calculadora científica. Formativa: • 36 cubos de páginas 55 y 65 cartulina. del Texto del • Tijeras. Estudiante. • Pegamento. • Regla. Sumativa: • Cartulina. páginas 70 y 71 • Hoja del Texto del tamaño Estudiante, y carta. 130 y 131 de la Guía Didáctica del Docente.

De profundización: páginas 87, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 106, 107 y 127.

En el Texto De exploración: páginas 56, 58, 60 y 62. De construcción de conceptos: páginas 57, 59, 61 y 63.

• Aplican propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

• Analizan y resuelven situaciones que involucran potencias de base fraccionaria o En la Guía Didáctica decimal positiva y De refuerzo: páginas exponentenatural. 109, 111, 113, 115, 117, 118, 126 y 127. • Resuelven problemas sobre crecimiento y deDe profundización: crecimiento exponencial. páginas 109, 111, 113, De consolidación: página 68.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 81

CMO Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […] potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Contenidos

Aprendizajes esperados

Actividades asociadas

Crecimiento exponencial • Aplicar estrategias para resolver problemas que Decrecimiento involucran crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial. • Resolver problemas que involucran potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

115, 117, 118 y 127.

Buscando estrategias

En el Texto De exploración: página 66.

• Aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos. • Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

De construcción de conceptos: página 67.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Resuelven problemas que involucran potencias de base entera y exponente natural, empleando diversas estrategias.

De consolidación: página 68. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 121, 126 y 127. De profundización: páginas 121 y 127.

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 82

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes En el concepto de potencia pueden aparecer los siguientes errores: • En las potencias que la base es un número entero negativo, el alumno o alumna le asigna al valor de la potencia signo negativo, sin considerar si el exponente es par o impar. • En las potencias que la base es una fracción o decimal positiva, el alumno o alumna, al calcular, puede tener dificultades en la multiplicación o división. • En las potencias de base negativa, el o la estudiante podría no diferenciar casos como: –22 y (–2)2.

Cómo subsanarlos • Es conveniente recordar el cálculo de potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. • Comparar y calcular de forma paralela las potencias de base entera negativa y exponente par e impar. Destacar con distinto color, cuando los exponentes pares e impares. Por ejemplo: (–2)2 = (–2) • (–2) = 4 (–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8 • Plantear actividades en que los alumnos y alumnas identifiquen errores en ejercicios resueltos, así como también argumentar en el caso de que estén correctos. • Diferenciar y calcular casos como: –22 = – 2 • 2 = –4 (–2)2 = –2 • –2 = 4

En la multiplicación y división de potencias de igual base o igual exponente, pueden aparecer los siguientes errores: • En la aplicación de las propiedades de potencias de multiplicación o división de potencias de igual base o exponente, el alumno o alumna confunde dichas propiedades y aplica ambas a la vez. Por ejemplo: 24 • 34 = 68. • En los casos que se puede aplicar cualquiera de estas dos propiedades, el alumno o alumna aplica ambas, sin notar que puede aplicar cualquiera de las dos. Por ejemplo: 32 • 32 = 94.

• A través de actividades que le permitan al alumno o alumna comparar de forma paralela las distintas aplicaciones de las propiedades que se utilizan para resolver multiplicaciones y divisiones con igual base o exponente. • Plantear actividades en que los alumnos y alumnas identifiquen errores en ejercicios resueltos, así como también argumentar en el caso de que estén correctos. • Resolver ejercicios sin aplicar las propiedades, paso a paso y, luego, aplicar la propiedad correspondiente para comprobar los resultados obtenidos. Por ejemplo: 24 • 34 = 16 • 81 = 1296 Comprobación: 24 • 34 = 64 = 1296. • Resolver ejercicios en los que el alumno o alumna pueda escoger una de las dos propiedades para resolver y, luego, aplicar la otra propiedad para comprobar los resultados obtenidos. Por ejemplo: 32 • 32 = 32 + 2 = 34 = 81. Comprobación: 32 • 32 = (3 • 3)2 = 92 = 81.

En la potencia de una potencia puede aparecer el siguiente error: • El alumno o alumna confunde la propiedad y en vez de multiplicar los exponentes, los suma.

• Se sugiere resolver, paso a paso, por medio de casos particulares, para explicar la propiedad. Por ejemplo: 3

(22) = (2 • 2)3 = (2 • 2) • (2 • 2) • (2 • 2) = 26.

Por ejemplo: (22) = 25.

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 83

En la resolución de problemas, se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Los y las estudiantes tienen dificultades de comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y su posterior resolución. • Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta al problema planteado. • Utilización incorrecta de los datos entregados en el problema. • Los y las estudiantes olvidan analizar las soluciones obtenidas en problemas.

• Promover la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver, responder y revisar. Con estos pasos, los y las estudiantes identificarán los datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, así como responder y analizar la veracidad de la solución. • Plantear actividades en que los y las estudiantes tengan que identificar, en el problema resuelto, cada uno de los pasos de la estrategia propuesta.

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS La Matemática ofrece una diversidad de procedimientos que permiten el análisis, modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, permitiendo relacionar los más diversos aspectos de la realidad. El aprendizaje de esta ciencia ayuda a enriquecer la comprensión de la realidad, facilita la selección de estrategias para resolver problemas y contribuye al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo. Es por ello que las potencias han sido un tema fundamental. En la Unidad anterior se estudió multiplicación de números enteros, contenido fundamental para estudiar potencias de base entera y exponente natural, estudiado en esta Unidad. Luego, se aplican las propiedades relativas a la multiplicación y división de dichas potencias y se extienden a potencias de base fraccionaria y decimal positiva y exponente natural. Estos aprendizajes son utilizados para resolver problemas en contextos diversos y significativos por medio de diversas estrategias de resolución. En esta Unidad es posible utilizar calculadora científica como una herramienta útil y práctica que permite al alumno o alumna comprobar los resultados obtenidos. A continuación, se presentan algunas referencias teóricas acerca de las potencias y sus propiedades.

• El factor repetido (a) se denomina base y el número que indica la cantidad de veces que se multiplica (n) se llama exponente. • La potencia an se lee “a elevado a n”. El producto resultante se denomina valor de la potencia. Exponente

Ejemplo: (–4)3 = (–4) • (–4) • (–4) = –64 Base

• El concepto de potencia se puede ampliar a potencias de base y exponente entero o potencias de base racional y exponente entero o exponente racional. Para extender el concepto de potencia, a continuación profundizaremos en los dos primeros casos. Potencia de base y exponente entero Si a y b son números enteros con a ≠ 0, entonces se tiene que: ab = a • a • … • a

• Una potencia es la multiplicación de un factor por sí mismo, tantas veces como indique el exponente. Es decir, an = a • a • … • a n factores

Unidad 2 – Potencias

con a número entero y n número natural

Valor de la potencia

b factores

a–b = (a–1) =

1b 1 1 = b= b a a a

()

Ejemplos: 1. (–3)5 = –3 • –3 • –3 • –3 • –3 = –243

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 84

2. 8–3 =

3. (–2)–2 =

1 1 = 8 i 8 i 8 512

División de potencias de distinta base e igual exponente El cociente de dos potencias de distinta base e igual exponente equivale a una potencia de igual exponente y de base igual al cociente entre la base del dividendo y la base del divisor. Es decir, am : bm = (a : b)m

1 1 1 = = 2 −2 i − 2 4 ( −2)

Potencia de base racional y exponente entero Si a y b son números enteros distintos de cero y n un número entero, entonces: n

( ab ) = ab i ab i . . . i ab = ab

−n

( ab )

n factores

()

b 1 1 b = = = a n an an a n b b

Potencia de una potencia La potencia de una potencia equivale a la base elevada al producto de los exponentes. Es decir, m (an) = an • m • Al calcular potencias es importante que tenga en cuenta algunas consideraciones:

−2

Ejemplo:

( 34 ) = ( 43 ) = 169

• El valor de una potencia de exponente cero y base distinta de cero es 1. Es decir, a0 = 1, a ≠ 0 Ejemplos: 20 = 1

( 53 ) = 1

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Para todo a, b ∈ ⺡ y n, m ∈⺪, se cumplen las siguientes propiedades:

– La adición iterada de un mismo número puede escribirse en forma de producto, por ejemplo: 5 + 5 + 5 = 5 • 3 = 15. En cambio, la multiplicación de factores iguales, como: 5 • 5 • 5, puede escribirse como potencia, es decir, 5 • 5 • 5 = 53 = 125. En general: n • a ≠ an – No son distributivas respecto a la adición y sustracción, por ejemplo: (2 + 4)2 = 62 = 36. En cambio: 22 + 42 = 4 + 16 = 20. En general: (a ± b)n ≠ an ± bn – No son conmutativas, excepto cuando la base y el exponente tienen el mismo valor (como 33), por ejemplo: 23 = 8. En cambio 32 = 9. En general: ab ≠ ba – Observe y diferencie los siguientes casos: 3

Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos o más potencias de igual base equivale a una potencia con la misma base y exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Es decir, an • am = an + m División de potencias de igual base El cociente de dos potencias de igual base equivale a una potencia con la misma base y exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Es decir, an : am = an – m Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente El producto de dos o más potencias de distinta base e igual exponente equivale a una potencia de igual exponente y base igual al producto de las bases de los factores. Es decir, am • bm = (a • b)m 84

Unidad 2 – Potencias

b) ( 2

a) 2 = 2 = 256

)

= 2 = 64

• Las propiedades de las potencias, estudiadas en este curso, se pueden aplicar en casos en que, para facilitar los cálculos, es conveniente representar números grandes como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente natural, estudiado en 7º Básico. Por ejemplo:

(

)(

)

9 4000 i 5 000 000 4 i10 i 5 i 10 20 i 10 = = = 7 7 10 000 000 1 i 10 10

20 • 109 – 7 = 20 • 102 = 2 • 101 • 102 = 2 • 103 En estos casos, en que se pueden escribir los números de forma abreviada, utilizando potencias de base 10, se puede usar notación científica.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:52 Página 85

• Un número real x escrito en notación científica, es de la forma: x = a • 10n, con 1 ≤ a < 10 y n un número entero Ejemplos:

En los siguientes ejemplos, se muestran dos funciones exponenciales y su representación gráfica. x

f(x) = 2x con x ∈ ⺢, es creciente

400 000 000 = 4 • 108

g(x) =

1 con x ∈ ⺢, es decreciente 3

0,0005 = 5 • 10–4 Más información acerca de las potencias y ejercicios: • Manual esencial. (2008). Números. Aritmética y álgebra (p. 104–117). Santiago: Santillana. En las páginas 60, 61, 62 y 63 del Texto del Estudiante se trabajan los conceptos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Cabe destacar que dichos conceptos son tratados de forma simple, pues se estudiarán con profundidad en cursos posteriores. En estas páginas se mencionan algunas funciones exponenciales, como f(x) = 2x x 1 y g(x) = , con dominio en los números naturales más el cero. Además, se men3 cionan algunos conceptos relacionados a las funciones, como variables dependientes e independientes, pero se introducen sin ser definidos formalmente, pues la idea es que el alumno o alumna se familiarice con ellos de forma natural e intuitiva.

A continuación, se presentan algunas referencias teóricas sobre función exponencial, crecimiento y decrecimiento exponencial. Función exponencial Una función exponencial es toda función cuya variable se encuentre en el exponente de una potencia. En general, una función exponencial es de la forma f(x) = ax, con a ∈ ⺢+ – {1} y x ∈ ⺢. Esta función posee las siguientes características: • • • •

El dominio de la función son los números reales. El recorrido de la función son los números reales positivos. La curva asociada a la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). Si a > 1, la función es creciente y si 0 < a < 1, la función es decreciente.

Una función se dice creciente si x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2). En cambio, si cuando x1 < x2, se tiene que f(x1) > f(x2), la función se dice que es decreciente.

El caso particular p(x) = 1x, con x ∈ ⺢, corresponde a una función constante, por lo que no se habla de función exponencial. Crecimiento exponencial Si el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f(x) = c • ax, con c > 0, a > 1, se dice que crecen exponencialmente, o bien, que presentan un crecimiento exponencial. Por ejemplo: el número de un tipo de bacterias de un cultivo está dado por la fórmula B(t) = 600 • e0,55 • t, donde t se mide en horas. Decrecimiento exponencial Si el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante la función g(x) = c • ar • x, con c > 0, a > 1 y r < 0, se dice que decrecen exponencialmente, o bien, que presentan un decrecimiento exponencial. Por ejemplo: la cantidad de un tipo de sustancia radiactiva en un organismo muerto que queda después de x años está dada por P(t) = 500 • e–0,000115 • x mg.

Bibliografía • Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica. • Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Cali: Universidad del Valle.

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 86

TEXTO DEL ESTUDIANTE 36 Y 37

En esta Unidad podrás...

Potencias

Unidad

• Emplear estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural. • Determinar y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural. • Aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. • Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial. • Resolver problemas en contextos diversos y significativos que involucran potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Conversemos de... Las bacterias son microorganismos unicelulares de tamaño muy pequeño y son los organismos más abundantes del planeta. Muchas especies bacterianas son tan parecidas que es imposible diferenciarlas solo con el uso del microscopio; para identificarlas, se estudian sus características “sembrándolas” en medios de cultivo especiales, que es un método para multiplicar los microorganismos. Los cultivos suelen usarse en medicina para identificar y estudiar las enfermedades. Si un cultivo de bacterias se inicia con 10 000 bacterias y su número se duplica cada media hora. 1. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 2 horas?, ¿y al cabo de 4 horas?; ¿cómo lo calculaste? 2. ¿Cuántas bacterias hay después de 9 horas? 3. ¿Después de cuántos minutos habrán 40 960 000 bacterias?

36 Unidad 2

Las bacterias son los organismos más abundantes del planeta; crecen en el suelo, en desechos radioactivos, incluso en las profundidades del mar; están presentes en todo hábitat de la Tierra. En la industria, son importantes para producir queso, yogur, mantequilla, entre otros. Algunas de ellas pueden causar graves enfermedades infecciosas; para estudiar las bacterias causantes de enfermedades y los

Unidad 2 – Potencias

Potencias

antibióticos sensibles a dichas bacterias, se siembran en medios de cultivo especiales. Con esto, se pretende utilizar el propio entorno como medio de exploración y análisis, activar sus conocimientos y experiencias previas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 87

Estas preguntas se enmarcan en una situación real, que requiere reflexión y asociación con la actividad inicial de la Unidad. Se pretende que, a través de la imagen, la información entregada al respecto, las preguntas planteadas y su propia experiencia, los alumnos y alumnas reconozcan que, en ciertos casos, se pueden usar las potencias para resolver problemas y facilitar los cálculos.

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conversemos de... Ítems 1, 2 y 3: analizar, representar y calcular.

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lea en voz alta y, luego, puede preguntarles qué saben sobre las potencias, el cálculo de estas y la resolución de problemas. Con las ideas que surjan a partir de los y las estudiantes puede hacer un esquema o mapa semántico en la pizarra; esto le permitirá obtener información respecto de sus conocimientos previos y, a la vez, les permitirá recordar los conceptos trabajados en años anteriores, los que les servirán para lograr los aprendizajes esperados de esta Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL Se recomienda que los alumnos y alumnas comenten la imagen y respondan preguntas como las siguientes: • ¿Qué significa que el número de bacterias se duplica cada media hora? • ¿Cuál será la cantidad de bacterias al cabo de media hora?, ¿por qué? Es conveniente que tenga más de una estrategia para resolver el problema; una de ellas, con una tabla que muestre la cantidad de bacterias por período de tiempo (30 min), o bien, utilizando la función: y = 10 000 • 2x, donde x representa los períodos de tiempo, que son de media hora e y es la cantidad de bacterias (las funciones se estudiarán más adelante); también podría explicar el crecimiento de la población bacteriana utilizando un gráfico. Por ejemplo, si utiliza el procedimiento con tabla: Período de tiempo (30 min)

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES Es conveniente que esté informado o informada sobre los siguientes conceptos para el desarrollo de la actividad exploratoria. Las bacterias son los seres vivos más pequeños y más simples desde el punto de vista estructural. A pesar de su simplicidad estructural, las bacterias son seres complejos y diversificados desde un punto de vista bioquímico, lo que ha permitido su adaptación a las más variadas condiciones de vida. Aunque muchas especies tienen formas irregulares, en general, las bacterias presentan algunas formas básicas: las cocáceas o cocos (forma esférica); los bacilos (forma cilíndrica); las espiroquetas (forma de espiral), y los vibriones (forma de coma). Las bacterias se reproducen por simple división. De esta manera, a partir de una bacteria progenitora se generan dos bacterias hijas y, si cada una de estas se duplica, luego existirán cuatro. La cantidad de bacterias presentes en un medio determinado, donde existan condiciones óptimas de nutrientes, temperatura, luminosidad, entre otros factores, puede aumentar en el tiempo en forma exponencial (1, 2, 4, 8, 16, etc.).

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Un cultivo se inicia con 4000 bacterias, las que se duplican cada dos horas. a) ¿Cuántas bacterias hay después de 4 horas? b) ¿Después de cuantas horas hay 128 000 bacterias? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

Cantidad de 10 000 • 20 = 10 000 10 000 • 21 = 20 000 10 000 • 22 = 40 000 bacterias

De profundización 1. En un laboratorio de microbiología un cultivo de bacterias comenzó a las 9:30 horas y se inicia con 500 bacterias, las que se duplican cada una hora.

Para explorar los conocimientos de los y las estudiantes, puede realizar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántas bacterias hay a las 12:30 horas del mismo día? b) ¿A qué hora hay 256 000 bacterias?

• ¿Qué enfermedades pueden causar las bacterias? • ¿Existen enfermedades mortales causadas por bacterias?, ¿cuáles? • ¿Para qué se utilizan los antibióticos?

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, conectar y calcular).

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 88

TEXTO DEL ESTUDIANTE 38 Y 39

Unidad 2

¿Cuánto sabes? 1. Escribe como potencia los siguientes enunciados. a) Tres elevado a dos. b) Siete elevado a seis. c) Cuatro décimos elevado a cuatro.

6. Un grupo scout formado por 120 personas, organizó una campaña para plantar árboles en 4 plazas de la ciudad. Si el grupo se dividió en 4 subgrupos y cada subgrupo debe plantar 4 árboles por plaza, ¿cuántos árboles plantarán en total?

d) Tres cuartos al cuadrado. e) Cinco al cubo. f) Dos tercios elevado a cinco.

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

2. Escribe el desarrollo de cada potencia. a) 52

冢冣

b) 4 9

c) 183

e) 28

d) (0,2)5

f) (1,3)2

¿Qué debes recordar?

3. Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula su valor. a) 34

d) (0,4)2

b) 153

e) 1 3

c) (0,3)3

f) 64

冢冣

• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. En ella se reconocen la base y el exponente. En general:

g) 26

h) 252 i)

冢 25 冣

Exponente

4. Completa el exponente de cada potencia para que la igualdad sea verdadera. a) 2 b) 11

= 32 = 161 051

冢 56 冣

c) 26

d) 0,1

= 0,0001

f) 3

an ;

Base

125 216

= 243

5. Un grupo de 10 amigos organiza una campaña solidaria con el fin de recaudar dinero para un hogar de ancianos. Para ello, cada uno dona $ 500 el primer día y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 500 a otras 10 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estas personas les pedirán $ 500 a otras 10 personas diferentes el tercer día, y así sucesivamente los siguientes días. a) ¿Cuántas personas participaron en la campaña solidaria al finalizar el quinto día?; ¿cómo lo calculaste? b) ¿Cuánto dinero recaudaron al finalizar el tercer día?, ¿y el séptimo día?; ¿cómo lo calculaste?

n es un número natural.

Se lee: “a elevado a n”. Ejemplo: 34, se lee “tres elevado a cuatro”. • La base corresponde al factor que se repite; el exponente indica cuántas veces debe repetirse dicho factor. • El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente, es decir:

an = a • a • a • … • a = b n factores

• Si la base de una potencia es 1, el valor de la potencia para cualquier exponente es 1. Si el exponente de una potencia es 1, el valor de la potencia es igual a la base. Si el exponente de una potencia es 0, el valor de la potencia es 1. En general: 1n = 1 a1 = a a0 = 1 con a = 0 • Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo:

冢 23 冣

冢b冣

Ejemplo: a

2 3

•

2 3

•

= a

•

a b

•

23 2 •2 •2 8 2 = = 3 = 3 •3 •3 27 3 3 n veces

a • ... • a = a • a • a • ... a = an b b b • b • b • ... b bn

n veces

38 Unidad 2

valor de la potencia

Ejemplo: 43 = 4 • 4 • 4 = 64 (0,5)2 = 0,5 • 0,5 = 0,25

n veces Potencias

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: representar como potencia expresiones en lenguaje natural. Ítem 2: representar como multiplicación una potencia. 88

Unidad 2 – Potencias

Ítem 3: representar como multiplicación una potencia y calcular su valor. Ítem 4: analizar igualdades con potencias e identificar el exponente que falta. Ítem 5: resolver problemas que involucran potencias y justificar la estrategia empleada. Ítem 6: resolver un problema que involucra una potencia de base y exponente natural.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 89

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: representar. Ítem 3: representar y calcular. Ítem 4: analizar e identificar. Ítem 5: analizar, resolver problemas, calcular y justificar. Ítem 6: analizar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, pueden confundir la base con el exponente. Es recomendable recordar que el exponente indica la cantidad de veces que se repite el factor. • En el ítem 4, la incógnita está en el exponente. Es conveniente que escriban el valor de la potencia, como potencia, pues de este modo encontrarán el exponente que

falta. Es una aproximación intuitiva a las ecuaciones exponenciales, que se estudiarán en cursos posteriores. • En el ítem 5, se pide la justificación de la estrategia empleada, lo que podría ser complejo para el alumno o la alumna. Para ello, se recomienda que continuamente justifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprenden lo que están realizando y desarrollar en ellos habilidades comunicativas para argumentar, exponer ideas y opiniones bien fundamentadas. • En el ítem 6, el número de personas podría ser un distractor para los y las estudiantes. Si es necesario, sugiera que empleen diversas estrategias, como dibujos, o bien, un diagrama de árbol. • Se sugiere corregir en conjunto con los y las estudiantes la sección ¿CUÁNTO SABES? y analizar los errores cometidos para corregirlos. De este modo, podrá evidenciar los aprendizajes ya adquiridos por los alumnos y alumnas y los que aún no se adquieren.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Escribe correctamente las potencias correspondientes, agregando otros ejemplos pertinentes.

Escribe correctamente las potencias correspondientes, aplicando su definición.

Escribe erróneamente algunas de las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe erróneamente todas las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe correctamente el desarrollo de las potencias, agregando otros ejemplos pertinentes.

Escribe correctamente el desarrollo de las potencias, aplicando la definición de potencia.

Escribe erróneamente el desarrollo de algunas de las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe erróneamente el desarrollo de todas las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula correctamente las potencias, empleando una estrategia mental.

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula correctamente las potencias, aplicando la definición de potencia.

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula erróneamente alguna de las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Escribe como multiplicación de factores iguales y calcula erróneamente todas las potencias, confundiendo la base con el exponente.

Identifica correctamente los exponentes, usando una estrategia mental.

Identifica correctamente los exponentes, aplicando la definición de potencia.

Identifica correctamente algunos de Identifica erróneamente todos los los exponentes, aplicando la definición exponentes, aplicando la definición de potencia. de potencia.

Resuelve correctamente los problemas dados, indicando de forma detallada cada uno de sus pasos y justificando la estrategia empleada.

Resuelve correctamente los problemas dados, indicando de forma detallada cada uno de sus pasos sin justificar la estrategia empleada.

Resuelve erróneamente uno de los problemas dados, calculando de forma incorrecta y sin responder todas las preguntas planteadas en cada uno de ellos.

Resuelve correctamente el problema, indicando detalladamente los pasos de resolución.

Resuelve correctamente el problema; Resuelve erróneamente el problema, no indica todos los pasos de resolución. calculando de forma incorrecta la potencia.

Unidad 2 – Potencias

Resuelve erróneamente cada uno de los problemas dados, calculando de forma incorrecta, sin responder todas las preguntas planteadas en cada uno de ellos, y no justifica la estrategia empleada. Resuelve erróneamente el problema, confundiendo la base con el exponente al calcular. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 90

TEXTO DEL ESTUDIANTE 40 Y 41

Unidad 2

Potencias de base entera y exponente natural En un restaurante se ofrece un menú a elección a la hora de almuerzo, que incluye: entrada, plato de fondo, agregado, postre y algo para beber. Las alternativas para la selección del menú se muestran en la carta.

Para discutir • ¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?; ¿cómo lo calculaste? • Para determinar cuántas alternativas de menús hay, se puede calcular el producto de 3 • 3 • 3 • 3 • 3, ¿por qué?, ¿cómo se escribe en forma abreviada?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente? • Si en una multiplicación de factores iguales el factor que se repite es un número negativo, ¿cómo lo escribirías en forma de potencia?, ¿por qué? • ¿Cómo escribirías en forma abreviada (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3)?; ¿cuál es el resultado?, ¿por qué?

• El valor de la potencia se obtiene de la siguiente manera:

an = a • a • a • … • a = b n factores valor de la potencia Ejemplo: 73 = 7 • 7 • 7 = 343 3 (–7) = (–7) • (–7) • (–7) = –343 La potencia del ejemplo, (–7)3, se lee: “menos siete elevado a tres” o “menos siete al cubo”.

Actividades 1. Escribe como potencia los siguientes enunciados. a) Tres al cuadrado. b) Menos cinco elevado a cuatro. c) Menos seis al cubo.

d) Diez elevado a once. e) Menos quince elevado a ocho. f) Tres elevado a tres.

En la situación anterior, cada una de las 5 partes que conforman el menú tiene 3 opciones. Una forma de determinar cuántos menús diferentes se pueden escoger es calculando: 3 • 3 • 3 • 3 • 3.

2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

Como 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243, entonces hay 243 opciones para escoger. Verifica con un diagrama de árbol.

3. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.

Observa que la multiplicación anterior tiene 5 factores iguales, lo que se puede escribir en forma abreviada como 35. Luego, 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243.

a) 54

b) (–6)5

c) (–10)6

a) (–4)

= 256

c) 8

b) (–1)

= –1

d) (–10)

d) 73

= 512

e) (–14)3

e) (–2)

= 1 000 000

f) 9

f) (–2)8

= –32 = 81

4. Remplaza los valores de a y b en cada caso, realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla.

En una multiplicación de factores iguales, si estos son negativos, como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), que tiene 5 factores iguales, al escribir como potencia, queda (–3)5. Al calcular (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3), obtenemos: (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = –243. Como (–3) • (–3) • (–3) • (–3) • (–3) = (–3)5, tenemos que (–3)5 = –243.

–2

–4

–6

(a + b)2

a2 + b2

(a – b)2

a2 – b2

A partir de los resultados obtenidos en la tabla, responde:

No olvides que... • Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales; en ella se reconocen la base y el exponente.

a) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a + b)2 y a2 + b2?, ¿por qué? b) ¿obtienes los mismos resultados al calcular (a – b)2 y a2 – b2?, ¿por qué? c) ¿crees que siempre ocurre lo mismo?, ¿existirán casos en que los resultados sean iguales? Explica.

40 Unidad 2

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural […].

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: calcular y justificar. Ítem 2: representar y analizar. Ítem 3: analizar, representar y justificar. Ítem 4: representar, calcular y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 91

pescado carne pollo

Actividades Ítem 1: representar. Ítem 2: representar y calcular. Ítem 3: analizar e identificar. Ítem 4: evaluar, calcular, analizar y justificar.

crema

pescado carne pollo

consomé Menú

ensalada

pescado carne pollo

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a ampliar el concepto de potencia a los números negativos, es decir, a las potencias de base entera y exponente natural. Esta actividad pretende que el alumno o alumna relacione sus conocimientos previos, asociados a las potencias de base y exponente natural, y los utilice para calcular y escribir potencias de base entera y exponente natural. Además, aplicarán lo aprendido en la Unidad 1 sobre multiplicación de números enteros.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, pregunte a los alumnos y alumnas cómo se escribirían en forma de potencia algunas multiplicaciones de factores iguales y, luego, pídales que las resuelvan. Las multiplicaciones podrían ser: 2 • 2 • 2 y 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5. Permítales que comparen las respuestas obtenidas. • En el ítem 2, puede pedir a los y las estudiantes que comparen los valores de las potencias con el resto de sus compañeros y compañeras y, luego, determinar cuál es la solución correcta en cada caso. • En el ítem 3, al no tratarse de un cálculo de potencias propiamente tal, sino que, deben encontrar el exponente, podrían confundirse. Es conveniente que escriban el valor de la potencia, como potencia, para encontrar el exponente que falta. Es una aproximación intuitiva a las ecuaciones exponenciales, que se estudiarán en cursos posteriores. • En el ítem 4, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan dar respuesta a las preguntas planteadas mostrando, si es necesario, algunos ejemplos concretos. Luego, comparen las respuestas en conjunto para llegar a una puesta en común.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Recuerde a los y las estudiantes el diagrama de árbol, pues les servirá para resolver la situación inicial propuesta u otras similares; incluso su utilidad va más allá de las potencias; servirá para las probabilidades, más adelante. Podría hacer una parte del diagrama de árbol en la pizarra, para que los alumnos y alumnas lo terminen en sus cuadernos. Por ejemplo:

Unidad 2 – Potencias

• Destaque la diferencia entre casos como: –42 y (–4)2, pues –42 = –16 y (–4)2 = 16. Para generalizar, puede escribir: Si a es un número natural y b es un número natural y par, entonces: –ab ≠ (–a)b

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. Se lee

Potencia

Multiplicación de factores iguales

Valor de la potencia

Menos cuatro elevado a tres

–32 (–7) • (–7) • (–7) • (–7) • (–7) 27 (Habilidades que desarrolla: interpretar, representar, aplicar y calcular). De profundización 1. Completa la siguiente tabla. a

–2

–4

–2

–5

–1

(a + b)2

a2 + b2

(a – b)2

a2 – b2

(Habilidades que desarrolla: evaluar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 92

TEXTO DEL ESTUDIANTE 42 Y 43

Unidad 2

Valor de la potencia Observa los cálculos realizados por Felipe para cada potencia: 32 = 3 • 3 = 9

(–3)2 = (–3) • (–3) = 9

33 = 3 • 3 • 3 = 27

(–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27

Actividades 1. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado. a) (–4)2 = b) (–5)3 =

Para discutir • ¿Por qué uno de los resultados obtenidos por Felipe es negativo?, ¿qué relación tiene con la base y el exponente? • Si la base de la potencia es negativa, ¿por qué los resultados pueden ser positivos o negativos?, ¿de qué depende? • Si el exponente de una potencia es impar, ¿el resultado es negativo?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué? • Si la base de la potencia es positiva, ¿el resultado puede ser negativo?, ¿por qué?

32 = 3 • 3 = 9 ó 33 = 3 • 3 • 3 = 27 Si la base es negativa, el resultado puede ser positivo o negativo, dependiendo del exponente:

e) (–10)9 = f) 122 =

g) (–1)15 = h) (–12)2 =

2. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) b) c) d)

Los valores de las potencias de exponente par son siempre positivos. Si el valor de la potencia es un número natural, el exponente de la potencia es siempre impar. Si la base de una potencia es un número negativo, el valor de la potencia también lo es. Los valores de las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

3. Compara los resultados en cada caso y completa con <, > o =, según corresponda. a) 23 b) 54

En la situación anterior, podemos observar que el resultado puede ser positivo o negativo, dependiendo de la base y exponente de la potencia. Si la base es positiva, el resultado siempre será positivo, pues los factores que se multiplican son positivos (e iguales), como:

c) 33 = d) 24 =

(–2)2 (–5)4

c) (–1)10 d) (–4)3

70 (–4)2

e) (–1)6 (–2)1 f) (–100)4 100

No olvides que... • En una potencia que tiene como base un número entero positivo y como exponente un número natural, el resultado es siempre positivo. Ejemplo: 23 = 2 • 2 • 2 = 8. • En una potencia que tiene como base un número entero negativo, el resultado es: – positivo, si el exponente es un número natural par. Ejemplo: (–2)2 = (–2) • (–2) = 4 – negativo, si el exponente es un número natural impar. Ejemplo: (–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8

Cuando es par, el resultado será positivo, pues la cantidad de factores es par, como: (–3)2 = (–3) • (–3) = 9 (dos números negativos) Cuando es impar, el resultado será negativo, pues la cantidad de factores es impar, como: (–3)3 = (–3) • (–3) • (–3) = –27 (tres números negativos)

Herramientas tecnológicas En las calculadoras científicas la tecla xy o la tecla ^ , dependiendo de la calculadora, se usan para elevar un número a cualquier exponente. Si la base es un número negativo, utiliza paréntesis

y la tecla (–) . Ejemplo:

(–4)6

(–)

4096

(–4)6

(–)

4096

Utiliza la calculadora para verificar tus respuestas de los ítems 1 y 3.

42 Unidad 2

Potencias

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural […].

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

Ítems 1 y 2: analizar y justificar. Ítem 3: analizar, generalizar y justificar. Ítem 4: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 93

Actividades

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Ítem 1: calcular. Ítem 2: analizar y justificar. Ítem 3: calcular y clasificar.

De refuerzo 1. Calcula el valor de cada potencia y, luego, ordena los valores obtenidos en orden creciente.

Herramientas tecnológicas Usar herramientas y verificar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a emplear estrategias de cálculo mental y escrito en el uso de potencias de base entera y exponente natural. Esta actividad pretende que el alumno o alumna generalice respecto de la relación del exponente con el signo del valor de la potencia, cuando estas tienen base entera.

a) b) c) d) e) f)

42 = (–1)10 = (–2)7 = (–2)2 = (–11)3 = 1003 =

2. Une cada potencia con el valor correcto.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si algunos alumnos o alumnas no pueden realizar el cálculo mental, permítales que escriban las potencias como multiplicaciones de factores iguales y, luego, calculen. • En el ítem 2, puede perdirles a los y las estudiantes que expliquen sus estrategias empleadas al resto del curso; cómo determinaron si las expresiones son o no verdaderas, promueva el debate entre los alumnos y alumnas. Si es necesario, sugiera que evalúen casos particulares, por ejemplo, en la primera afirmación, podrían analizar a partir de: 24 = 16 y (–2)4 = 16. • En el ítem 3, pregunte a los alumnos y alumnas si pueden comparar las potencias sin calcular su valor, solo analizando cada una, para favorecer el cálculo mental. Luego, pregunte cómo lo hicieron y, si es necesario, escriba más ejercicios de este tipo en la pizarra.

a) 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 4 = 8

b) 2 • 2 • 2 • 2 = 24 = 16

–8

(–3)3

–27

(–2)3

(Habilidades que desarrollan: calcular, ordenar y relacionar). De profundización 1. Completa la siguiente tabla. Base

Exponente

Potencia

Valor de la potencia

–2

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Recuerde a los alumnos y alumnas la diferencia entre adición de sumandos iguales (estudiada en la Unidad 1) y multiplicación de factores iguales. Puede utilizar los siguientes ejemplos:

(–3)2

64 2

121

–243

–4

256

–5

–125

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y calcular).

Para gereralizar en estos casos, puede mencionar que, si a es un número entero y b un número natural, entonces: a • b ≠ ab

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 94

TEXTO DEL ESTUDIANTE 44 Y 45

Unidad 2

Multiplicación de potencias de igual base Carolina desea calcular el área del rectángulo de la figura. Observa:

8 cm

No olvides que... • Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puede conservar la base y sumar los exponentes. Ejemplo: (–3)2 • (–3)4 = (–3)2 + 4 = (–3)6 = 729

16 cm

En general: Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces:

an • am = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) = a • a • a • … • a = an + m

Para discutir

n factores

• ¿Cómo calcularías el área del rectángulo?, ¿por qué? • Carolina calcula el área de la siguiente manera: 23 • 24 = 27. ¿Consideras correcto el cálculo realizado?, ¿por qué? • ¿Se relacionan los exponentes de los factores y el exponente del resultado?, ¿cuál es la relación? • Si las bases de los factores fueran números negativos, ¿los exponentes se relacionarán de la misma forma anterior?, ¿por qué?

m factores

n + m factores

• Esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual base. Ejemplo: 22 • 23 • 24 = 22 + 3 + 4 = 29 = 512

Actividades 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.

En la situación anterior, para calcular el área del rectángulo se multiplica el largo por el ancho, es decir: 8 • 16 = 128. Entonces, el área del rectángulo es 128 cm2. Como 8 = 23, 16 = 24 y 128 = 27, podemos escribir el cálculo anterior utilizando potencias, es decir: 23 • 24 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2) = 27 = 128

Ayuda En algunas ocasiones los números negativos aparecen escritos entre paréntesis, sin embargo, también se pueden escribir sin estos. Ejemplo: (–2) • (–2) = –2 • –2 Pero al trabajar con potencias de base negativa, siempre conviene escribir los números negativos entre paréntesis. De este modo podemos distinguir si el signo negativo corresponde a la base o bien, al valor de la potencia.

3 factores

4 factores 7 factores

Al observar lo anterior, podemos notar que al multiplicar potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y sumar los exponentes. ¿Sucederá lo mismo si la base de las potencias es negativa, como (–2)3 • (–2)4? Realizamos la multiplicación de las potencias: (–2)3 • (–2)4 = (–2 • –2 • –2) • (–2 • –2 • –2 • –2) = –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 3 factores

4 factores

7 factores

= (–2) = –128 Luego, al multiplicar potencias de igual base (negativa), se puede conservar la base y sumar los exponentes.

c) (–5)3 • (–5 2 = d) 2 • 2 • 2 • 22 =

a) 4 • 42 • 43 = b) 103 • 106 =

2. Encuentra el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) (–3)

•

(–3)4 = (–3)9

b) (–2 2 • (–2)

•

c) 113 • 11

(–2)5 = (–2)10

d) (–10)

a) 25 • (–125) =

•

(–10) • (–10)2 = (–10)4

b) 8 • 16 • 64 =

c) 64 • (–8) • 16 =

4. Aplica la propiedad de las potencias que corresponde y resuelve. a) 24 • 23 – 5 • 52 =

b) (–3)2 • (–3)3 + 2 • 22 =

c) (–2)3 • (–2)2 + (–1)5 • (–1)4 =

5. Lee y resuelve usando las potencias. a) Una empresa inmobiliaria construirá 4 edificios. Cada edificio tendrá 16 pisos y cada piso tendrá 8 departamentos. ¿Cuántos departamentos habrá en total? b) Las bailarinas de un grupo folclórico deben elegir la tenida para una de sus presentaciones. Las alternativas son: 3 pañuelos, 9 zapatos de distintos colores, 9 faldas y 27 blusas. ¿Cuántas tenidas distintas pueden escoger?

Potencias

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, […].

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

= 1112

3. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como una sola potencia. Guíate por el siguiente ejemplo: 9 • (–27) = (–3)2 • (–3)3 = (–3)5

44 Unidad 2

e) (–1)2 • (–1)3 • (–1)5 = f) (–6)2 • (–6)5 • (–6) =

Ítem 1: formular y justificar. Ítems 2 y 3: analizar y justificar. Ítem 4: representar, analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 95

Actividades Ítem 1: aplicar y calcular. Ítem 2: reconocer. Ítem 3: representar y aplicar. Ítem 4: aplicar y calcular. Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Escribe cada multiplicación como una sola potencia. a) 3 • 35 • 33 = b) (–10)3 • (–10)5 • (–10)4 = c) (–9)6 • (–9)9 • (–9)5 = d) 114 • 119 = 2. Transforma a potencias de igual base y, luego, expresa el resultado como una sola potencia. a) 64 • (–512) = b) 10 • 100 • 10 000 =

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, se sugiere que plantee a los y las estudiantes expresiones con potencias de base y exponente natural, pues, a partir de sus conocimientos previos, podrán integrar el conocimiento nuevo. • En el ítem 2, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, los alumnos y las alumnas pueden utilizar calculadora científica para calcular el valor de cada potencia. • En el ítem 3, recuerde que si el valor de la potencia es positivo, la base puede ser positiva o negativa; si se trata de este último caso, el exponente es par, como en: 25 • (–125) = (–5)2 • (–5)3 = (–5)5. • En el ítem 4, mencione a los alumnos y alumnas que la propiedad de potencias estudiada se aplica en la multiplicación de potencias de igual base, y no en la adición de potencias de igual base. Por ejemplo: 22 + 23 ≠ 22 • 23, pues 22 + 23 = 4 + 8 = 12 y 22 • 23 = 25 = 32. • En el ítem 5, mencione a los alumnos y alumnas que las situaciones se podrían resolver empleando otros procedimientos, como el diagrama de árbol, pero que en casos como estos, es más conveniente usar potencias y sus propiedades para facilitar los cálculos.

c) 64 • (–32) • 16 = d) (–216) • 36 = (Habilidades que desarrollan: representar, aplicar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x para se cumpla cada igualdad. a) 4x • 42 = 4096 b) 5 • 5x • 52 = 3125 c) (–2)3 • (–2)x = –128 d) (–3)x • (–3)3 = 729 e) (–2)4 • (–2)3 • (–2)x = 256 f) (–6)x • (–6) = –216 (Habilidades que desarrolla: aplicar, identificar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarrolle casos particulares en la pizarrra, paso a paso, con potencias de igual base para explicar dicha propiedad. Por ejemplo: 52 • 53 = (5 • 5) • (5 • 5 • 5) = 55 = 52 + 3 (–7)4 • (–7)2 = (–7 • –7 • –7 • –7) • (–7 • –7) = (–7)6 = (–7)4 + 2

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 96

TEXTO DEL ESTUDIANTE 46 Y 47

Unidad 2

División de potencias de igual base 4096 dividido en 128, resulta 32.

Un agricultor desea cultivar lechugas en un terreno rectangular de área 4096 m2 y ancho 128 m. Para organizar el cultivo, necesita saber el largo del terreno.

Para discutir

Para saber cuánto mide el largo del terreno, podemos calcular 4096 : 128 = 32. Por lo tanto, el largo mide 32 m. Como 4096 = 212, 128 = 27 y 32 = 25, podemos escribir la división anterior utilizando potencias de igual base, esto es: 12 factores

• Las fracciones se pueden representar de diversas formas. Una de ellas es escribir la expresión fraccionaria como una división. 2 Por ejemplo: se puede 3 escribir como 2 : 3. • Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo: 12 = 2 • 2 • 3 = 1 36 2 • 2 • 3 • 3 3

212 : 27 =

• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual base, se puede conservar la base y restar los exponentes. Ejemplo: (–5)4 : (–5)2 = (–5)4 – 2 = (–5)2 = 25

• ¿Es adecuado calcular el largo del terreno de la siguiente manera: 4096 : 128 = 32?, ¿por qué? • Si escribes los números de la división anterior como potencias de bases iguales, ¿cómo se relacionan los exponentes? • Si las bases de las potencias fueran números negativos, ¿cómo se relacionarían los exponentes?

Ayuda

No olvides que...

2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 212 = 2 •2 •2 •2 •2 •2 •2 27

En general: Si a es un número entero distinto de cero, n y m son números naturales y n > m, se tiene:

m factores n – m factores an : am =

a • a • ... • a • a • ... • a a = = an – m a • a • ... • a am

m factores an an • Si n = m y a es distinto de cero, entonces: a : am = m = n = an – n = a0 = 1 a a 3 3 3 –3 0 n

Por ejemplo: 2 : 2 = 2

=2 =1

Actividades 1. Resuelve las siguientes divisiones de potencias. Guíate por el ejemplo. (–4)5 : (–4)3 = (–4)2 = 16

7 factores

= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 = 32

c) 66 : 65 = d) (–12)20 : (–12)18 =

a) (–10) : (–10) = b) (–5)4 : (–5) =

5 factores

Al observar lo anterior, podemos notar que al dividir potencias de igual base (positiva), se puede conservar la base y restar los exponentes.

• Calcula cada potencia usando calculadora científica, luego divide y comprueba los resultados obtenidos anteriormente. 2. Completa con el exponente que falta, en cada caso, para que se cumplan las igualdades.

¿Sucederá lo mismo en (–2)12 : (–2)7? Al escribir la expresión como fracción, obtenemos: 12 factores

(–2)12 (–2)7

–2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 7 factores

= –2 • –2 • –2 • –2 • –2 = (–2)5 = –32

a) 7

: 74 = 76

b) 87 : 8

= 82

a) (–125) : 25

b) 216 : 36

= (–2)2

c) 64 : (–8)

4. Si ambos rectángulos, el amarillo y el azul tienen la misma área, ¿cuánto mide el largo (x) del rectángulo amarillo? 23 cm

22 cm

x cm

Luego, al dividir potencias de igual base (negativa), se puede conservar la base y restar los exponentes.

46 Unidad 2

24 cm

Potencias

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

c) (–2)5 : (–2)

3. Transforma a potencias de igual base y expresa el resultado como una única potencia.

5 factores

e) (–81)12 : (–81)12 = f) 73 : 7 =

Ítem 1: calcular y justificar. Ítem 2: representar y relacionar. Ítem 3: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 97

Actividades

para explicar dicha propiedad. Además, destaque que una división también puede escribirse como fracción. Por ejemplo:

Ítem 1: aplicar, calcular y usar herramientas. Ítem 2: analizar e identificar. Ítem 3: representar y aplicar. Ítem 4: interpretar, aplicar y calcular.

55 : 52 =

ACTIVIDAD INICIAL

5i5 i5 i5 i5 = 53 = 55 – 2 5i5

• Mencione que en este curso aplicarán la propiedad solo cuando el exponente del dividendo es mayor que el exponente del divisor. La ampliación a potencias de base racional y exponente entero la estudiarán en 1º Medio. Por ejemplo:

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando se dividen potencias de igual base. Esta actividad pretende que el alumno o alumna aplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, que analice si se puede ampliar a potencias de base entera negativa y exponente natural.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De refuerzo

• En el ítem 1, los y las estudiantes deben comprobar los resultados obtenidos usando calculadora científica. Para calcular usando dicha herramienta teconológica, deben calcular el valor de cada potencia con la calculadora y, luego, dividir estos valores. • En el ítem 2, los alumnos y alumnas pueden verificar usando calculadora científica; puede enseñarles a ingresar la expresión completa en la calculadora, en vez de calcular el valor de cada potencia una a una. Debe ingresar la expresión de la siguiente forma:

1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.

∧

2–4

1 2

–2

1 2

a) 37 : 33 = b) (–11)7 : (–11)4 = c) 125 : 125 = d) (–8)10 : (–8)8 = 2. Resuelve las siguientes divisiones, usando las potencias y la propiedad aprendida. a) 1000 : 102 = b) 64 : (–32) =

No olvide que si la potencia tiene base negativa, debe usar los paréntesis de la calculadora. • En el ítem 3, es conveniente que recuerde a los y las estudiantes que si el valor de la potencia es positivo, la potencia puede ser de base negativa con exponente par. Por ejemplo: 25 = (–5)2. • En el ítem 4, deben calcular el área de los rectángulos; para ello, recuerde que el área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho. Además, para calcular el área del rectángulo azul debe aplicar la propiedad estudiada anteriormente, es decir: 24 • 23 = 27

c) 81 : (–9) = d) (–216) : 36 = (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x, en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) 54 : 5x = 25 b) (–2)8 : (–2)x = –32 c) (–10)x : (–10)4 = 1000 000

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

d) 83 : 8x = 64

• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarrolle casos particulares en la pizarrra, paso a paso, con potencias de igual base

e) (–2)x : (–2)5 = –8 f) (–2)x : (–2)5 = 16 (Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 98

TEXTO DEL ESTUDIANTE 48 Y 49

Unidad 2

Multiplicación de potencias de igual exponente El paralelepípedo de la figura tiene las siguientes medidas: 8 cm de ancho, 27 cm de largo y 64 cm de alto.

Para discutir • ¿Cómo calcularías el volumen del paralelepípedo? • Si escribes las medidas como potencias, ¿puedes calcular el volumen de otra manera?, ¿cómo lo harías? • Al calcular (2 • 3 • 4)3, ¿obtienes el mismo resultado que calculaste al principio?, ¿por qué? • Si en la multiplicación de potencias una de las bases fuera un número negativo, por ejemplo (–2)3 • 33 • 43, ¿obtienes el mismo resultado que al calcular (–2) • 3 • 4 3?, ¿por qué?

No olvides que... • Para multiplicar potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente, se pueden multiplicar las bases y conservar el exponente. Ejemplo: (–2)2 • 52 = (–2) • 5 2 = (–10)2 = 100 En general: Si a y b son números enteros y n es un número natural, entonces:

an • bn = (a • a • … • a) • (b • b • … • b) = (a • b) • (a • b) • … • (a • b) = (a • b)n n factores

n factores

• Como vimos al inicio, esta propiedad también es aplicable al producto de tres o más potencias de igual exponente. Ejemplo: (–2)3 • (–4)3 • (–5)3 = (–2) • (–4) • (–5) 3 = (–40)3 = –64 000

Ayuda

Para saber cuál es el volumen del paralelepípedo de la figura, debemos multiplicar el ancho por el largo por el alto, es decir, 8 • 27 • 64 = 13 824. Por lo tanto, el volumen es 13 824 cm3. 3

Recuerda que un paralelepípedo es un prisma que tiene sus caras basales cuadradas o rectangulares.

Como 8 = 2 , 27 = 3 , 64 = 4 y 13 824 = 24 , podemos realizar el cálculo anterior usando potencias, esto es: 3 factores

3 factores

Actividades 1. Escribe cada expresión como una sola potencia. a) 34 • 44 = b) (–2)8 • (–7)8 =

c) 26 • (–5)6 = d) 43 • 53 • 63 =

e) (–6)7 • 117 = f) (–3)2 • (–4)2 • (–2)2 =

23 • 33 • 43 = (2 • 2 • 2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4) = (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) • (2 • 3 • 4) = (2 • 3 • 4)3 = 243

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo. (–3)2 • 52 = (–3) • 5 2 = (–15)2 = 225

3 factores 3

Luego: 2

•

a) 5

4 = (2 • 3 • 4) = 24 = 13 824.

¿Qué sucederá en la multiplicación de potencias con igual exponente si alguna de las bases es un número negativo?

•

b) (–10)5 • (–2)5 =

(–2) =

c) 22 • 22 • 32 =

d) (–25)3 • 43 =

3. Al calcular: (–5)3 • (–5)3, ¿obtienes los mismos resultados si lo resuelves de la siguiente manera: (–5)3 + 3, o bien: (–5) • (–5) 3?, ¿por qué?

Consideremos el siguiente caso: 3 factores

3 factores

(–2)3 • 33 • 43 = (–2) • (–2) • (–2) • (3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4) = (–2) • 3 • 4 • (–2) • 3 • 4 • (–2) • 3 • 4 = (–2) • 3 • 4 3 = (–24)3

b) 42 cm

3 factores

43 cm

Luego: (–2)3 • 33 • 43 = (–2) • 3 • 4 3 = (–24)3 = –13 824. Si observas lo realizado anteriormente, podemos concluir que, al multiplicar potencias con igual exponente, podemos multiplicar las bases y conservar el exponente.

32 cm

4. Completa y resuelve en cada caso.

22 cm

53 cm

Área =

•

Volumen =

48 Unidad 2

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

•

cm3

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

•

Ítem 1: analizar. Ítem 2: representar y conectar. Ítem 3: calcular y conectar. Ítem 4: calcular, reconocer y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 99

Actividades

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Ítem 1: aplicar. Ítem 2: aplicar y calcular. Ítem 3: calcular y analizar. Ítem 4: interpretar, aplicar y calcular.

• Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarrolle casos particulares en la pizarra, paso a paso, con potencias de igual exponente para explicar dicha propiedad. Por ejemplo:

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; cuando se multiplican potencias de igual exponente. Esta actividad pretende que el alumno o alumna aplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, que analice si se puede ampliar a potencias de base entera y exponente natural. Es conveniente que antes de analizar la actividad inicial, recuerde que para calcular el volumen de un paralelepípedo se multiplica el ancho por el largo por el alto. Por otro lado, recuerde que la multiplicación entre dos números enteros es conmutativa, es decir, (2 • 2) • (3 • 3) = (2 • 3) • (2 • 3).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

4 = (3 • 3 • 3 • 3) • (4 • 4 • 4 • 4) = (3 • 4) • (3 • 4) • (3 • 4) • (3 • 4) = (3 • 4) = 12

• En el ítem 2, sería conveniente que los y las estudiantes verifiquen que los resultados obtenidos son correctos, usando calculadora científica. Para calcular, usando dicha herramienta teconológica, deben calcular el valor de cada potencia con la calculadora y, luego, multiplicar los valores obtenidos. • En el ítem 3, pregunte a los alumnos y alumnas la estrategia empleada para responder; discutan al respecto para hacer una puesta en común. En los casos en que las bases son iguales y los exponentes también lo son, se pueden aplicar ambas propiedades, pues, si a es un número entero y n un número natural, entonces: b

b+b

• Es importante recordar que un prisma es un poliedro que tiene dos caras basales paralelas e iguales y sus caras laterales son paralelógramos. La línea que se forma al intersectarse dos caras es una arista. Los puntos donde concurren tres aristas se llaman vértices. Los prismas rectos son aquellos en que sus caras basales son perpendiculares a sus caras laterales.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor.

• En el ítem 1, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos al aplicar la propiedad estudiada, pídales a los y las estudiantes que resuelvan paso a paso cada expresión, sin aplicar la propiedad. Por ejemplo: 34 •

a) 72 • 52 = (7 • 7) • (5 • 5) = (7 • 5) • (7 • 5) = (7 • 5)2 = 352 b) (–2)3 • (–5)3 = (–2 • –2 • –2) • (–5 • –5 • –5) = (–2 • –5) • (–2 • –5) • (–2 • –5) = (–2 • –5)3 = 103

a) 27 • 37 = b) (–11)5 • (–10)5 = c) 125 • 125 = d) (–10)10 • (–1)10 = 2. Resuelve las siguientes multiplicaciones usando las potencias y la propiedad aprendida. a) 1000 • 53 = b) 64 • 36 = c) 92 • 16 = d) (–216) • (–2)3 = (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular).

ab •

a =a

ab •

a = (a • a)b = (a2) = a2b (multiplicación de potencias de igual exponente)

= a (multiplicación de potencias de igual base)

• En el ítem 4, deben calcular el área y volumen del rectángulo y prisma recto, respectivamente; para ello, recuerde que el área de un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho y el volumen multiplicando el ancho por el largo por el alto.

De profundización 1. Determina el valor de x en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) 54 • x4 = 10 000 b) (–2)3 • x3 = –216 c) x2 • (–6)2 = 3600 d) 23 • x3 = 64 (Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 100

TEXTO DEL ESTUDIANTE 50 Y 51

Unidad 2

División de potencias de igual exponente ¿49 •

= 3136?

No olvides que... Don Luis, un jardinero, desea poner pasto en un parque de forma rectangular, cuyo ancho mide 49 m. Para ello, calculó el área del terreno, obteniendo 3136 m2.

• Para dividir potencias de base entera y exponente natural, si tienen igual exponente, se pueden dividir las bases y conservar el exponente. Ejemplo: (–20)3 : (–5)3 = (–20) : (–5) = 43 = 64 3

Para discutir • • • •

En general:

¿Cuánto mide el largo del parque?, ¿cómo lo calculaste? Si escribes los números como potencias, ¿cómo calcularías? ¿Qué relación tiene (56 : 7)2 con lo del principio? Si en la división de potencias anterior una de las bases fuera un número negativo, por ejemplo (–56)2 : 72, ¿obtienes el mismo 2 resultado que al calcular (–56) : 7 ?, ¿por qué?

En la situación anterior, el área es 3136 m2 y el ancho mide 49 m, entonces para calcular el largo podemos realizar la siguiente división: 3136 : 49 = 64. Por lo tanto, el largo mide 64 m. Al escribir los números como potencias de igual exponente, tenemos: 49 = 72, 3136 = 562 y 64 = 82. Luego, podemos realizar el cálculo anterior de la siguiente manera:

Si a y b son números enteros, b es distinto de cero y n es un número natural, entonces:

n factores an a • a • ... • a a a a n a a :b = n= = 冢冣 • 冢冣 • ... • 冢冣 = 冢冣 = (a : b)n b • b • ... • b b b b b b n

n factores

Actividades 1. Escribe cada expresión como una sola potencia. a) 1004 : (–25)4 = b) (–36)9 : (–4)9 =

c) 816 : 96 = d) (–96)3 : 123 =

e) (–21)11 : 311 = f) 487 : 67 =

2 factores

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Guíate por el ejemplo. 562 : 72 =

冢冣冢 567 冣 = 冢 567 冣

56 • 56 56 56 = = 7 •7 7 72 2 factores

•

= (56 : 7)2 = 82

¿Qué sucederá en la división de potencias de igual exponente si una de las potencias tiene como base un número negativo? Calculemos (–56)2 : 72, utilizando el mismo procedimiento anterior: 2 factores 2

(–56) : 7 =

(–56)2 72

(–56) • (–56) = = –56 7• 7 7

冢

2 factores

冣冢 –56 冣 = 冢 –56 冣 7 7 •

a) 2252 : (–25)2 = b) (–24)3 : 33 =

2 factores

Luego: 562 : 72 = (56 : 7)2 = 82 = 64.

(–18)3 : 93 = (–18) : 9 = (–2)3 = –8

= (–56 : 7)2 = (–8)2

2 factores

Entonces: (–56)2 : 72 = (–56 : 7)2 = (–8)2 = 64.

c) (–200)5 : (–2)5 = d) 154 : 54 =

3. Calcula aplicando lo aprendido hasta ahora y ten en cuenta la prioridad de las operaciones. a) 162 : (–8)2 + –2)3 =

b) 42 : 42 – 153 : 53 =

c) (–36)2 : 92 + 32 • 42 =

4. En un restaurante se ofrece, a la hora de colación, un menú con plato de fondo y postre. Si hay 4 opciones de postre y en total se pueden escoger 36 menús diferentes, ¿cuántos platos de fondo hay para escoger? Usa potencias para resolver. 5. El equipo de básquetbol de un colegio debe elegir su tenida deportiva para el próximo año. Como propuesta tienen 64 combinaciones, que pueden formar con 16 poleras y una cantidad de pantalones. ¿Cuántos pantalones tienen para escoger? Usa potencias para resolver.

Si observas los cálculos anteriores, podemos concluir que, al dividir potencias con igual exponente, podemos dividir las bases y conservar el exponente.

50 Unidad 2

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

100

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: calcular y justificar. Ítem 2: representar y calcular. Ítem 3: calcular y conectar. Ítem 4: calcular, reconocer y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 101

Actividades

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Ítem 1: aplicar. Ítems 2 y 3: aplicar y calcular. Ítems 4 y 5: resolver problemas, analizar, aplicar y calcular.

De refuerzo 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor. a) 126 : 36 =

b) 1105 : (–10)5 = c) 125 : 125 = d) (–10)6 : (–1)6 = 2. Resuelve las siguientes divisiones usando las potencias y la propiedad aprendida. a) 1000 : 53 = b) –216 : 23 =

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, para verificar que la potencia obtenida es correcta al aplicar la propiedad, pida a los alumnos y alumnas que resuelvan paso a paso las expresiones, sin aplicar la propiedad. • En el ítem 2, sería conveniente que los y las estudiantes verifiquen que los resultados obtenidos son correctos usando calculadora científica. Para calcular usando dicha herramienta teconológica, deben determinar el valor de cada potencia con la calculadora y, luego, dividir los valores obtenidos. • En el ítem 3, se sugiere recordar a los y las estudiantes la prioridad de las operaciones, es decir, primero paréntesis, luego, multiplicación y división y, finalmente, adición y sustracción. • En los ítems 4 y 5, una vez resueltos los problemas, pida a los alumnos y alumnas que verifiquen las soluciones obtenidas; para ello deberán aplicar una de las propiedades de potencias estudiada en las páginas anteriores (multiplicación de potencias de igual exponente), o bien, las pueden verificar usando un diagrama de árbol.

c) (–16)2 : 4 = d) (–100 000) : (–2)5 = (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x en cada caso, para que se cumplan las igualdades. a) 104 : x4 = 625 b) (–12)3 : x3 = –27 c) x6 : 26 = 1 000 000 d) (–20)3 : x3 = –64 (Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para la comprensión de esta propiedad de las potencias, es conveniente que desarrolle casos particulares en la pizarra, paso a paso, con potencias de igual exponente para explicar dicha propiedad. Por ejemplo: 2

202 : 52 = 20 = 20 i 20 = 20 i 20 = 20 2 5i5 5 5 5 5

( )

= (20 : 5)2 = 42

3 (–12)3 : (–3)3 = ( −12) = −12 i − 12 i −12 = −12 i −12 i −12 = −12 −3 i −3 i −3 −3 −3 −3 −3 ( −3)3

( ) =4

101

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 102

TEXTO DEL ESTUDIANTE 52 Y 53

Unidad 2

Potencia de una potencia Marcela y Patricio quieren calcular el volumen del cubo representado en la imagen, cuya arista mide 25 cm. Observa el procedimiento realizado por cada uno: Marcela

Patricio

No olvides que... • Para calcular el valor de la potencia de una potencia, basta con mantener la base y multiplicar los exponentes. Ejemplo: (–2)3 = (–2)3 • 3 = (–2)9 = –512 3

25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52 = (5 • 5 • 5)2 = 1252 V = 1252 cm3

25 • 25 • 25 = 52 • 52 • 52 + + = 52 2 2 = 56 V = 56 cm3

En general: Si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces: m

(an ) = (a

Para discutir • ¿Son correctos ambos procedimientos?, ¿obtienes los mismos resultados en cada caso?, ¿cómo lo supiste? • ¿Podrías utilizar otro procedimiento usando potencias?, ¿cómo lo harías? • Si encontraste otro procedimiento, ¿lo puedes aplicar para potencias de base negativa?, ¿por qué?

•

a • … • a)m = (a • a • … • a) • (a • a • … • a) • … • (a • a • … • a) = an • m (n • m) factores a

n factores a

• Esta propiedad también es aplicable a la potencia de una potencia de una potencia, 2 3

y así sucesivamente. Ejemplo: (22) = 22 • 2 • 3 = 212

Actividades 1. Si la arista de un cubo mide 9 cm, expresa como potencia:

Al calcular 1252 = 125 • 125 = 15 625 y 56 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 15 625. Por lo tanto, ambos procedimientos son correctos. Consideremos el procedimiento de Marcela, que escribió (5 • 5 • 5)2, 2 lo cual se puede escribir como (53) , ya que hay 3 factores 5 elevados a 2. Entonces, al calcular, tenemos: (53) = (5 • 5 • 5 2 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 56 2

a) el área de cada cara del cubo. b) el área total del cubo. c) el volumen del cubo. 2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

6 factores

e) (22) =

d) (–1)3 = 5 2

b) (–2)3 = 3

3 factores

2 2

c) (–3)2 =

a) (32) =

f) (–5)2 = 4

Luego, (53) = 56. Esta es otra forma de calcular el volumen. 2

Notemos que la expresión (53) es la potencia de una potencia, ya que su base corresponde a una potencia, en este caso 53. Para calcular el valor de dicha potencia, podemos mantener la base 2 y multiplicar los exponentes, es decir: (53) = 53 • 2 = 56. En el caso de que la base sea negativa, tenemos:

3. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad. c) (22)

a) (35) = 3 b) (–7 )

= (–7)10

d) (–7)9 = (–7 3

4. Escribe cada expresión como una sola potencia de base 2 ó (–2), según el caso, aplicando lo aprendido. Guíate por el ejemplo. 3

a) (163 : 23) =

= (–5) • (–5) • (–5) • (–5) • (–5) • (–5) = (–5)6 6 factores

(82 : 22) = (42) = 46 = (22) = 212

(–5)3 2 = (–5) • (–5) • (–5) 2 3 factores

5 = 220

b) (–12)5 : 65 =

c) (–2)2 • (–2)5 =

d) 46 : 44 = y

5. Si b es un número entero, x e y son números naturales, las expresiones (b x ) y (b y ) , ¿tienen el mismo valor?, ¿por qué? Da dos ejemplos.

Por lo tanto: (–5)3 = (–5)6 = 15 625. 2

52 Unidad 2

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

102

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: evaluar y comprobar. Ítem 2: analizar y seleccionar. Ítem 3: calcular y conectar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 103

Actividades Ítem 1: representar y aplicar. Ítem 2: aplicar y calcular. Ítem 3: aplicar e identificar. Ítem 4: aplicar y representar. Ítem 5: analizar, justificar y verificar.

• Sobre los prismas rectos es importante tener presente lo siguiente: si la base tiene n lados, entonces el número de caras del prima es n + 2, el de aristas es 3n y el número de vértices es 2n. • El volumen de un cuerpo indica la medida que ocupa dicho cuerpo en el espacio. • Recuerde que se deben igualar las unidades de medida antes de resolver un ejercicio o problema.

ACTIVIDAD INICIAL

• El área de cada cara de un cubo cuya arista mide a, es igual a2.

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a determinar y aplicar una propiedad de las potencias; la potencia de una potencia. Esta actividad pretende que el alumno o alumna aplique dicha propiedad en potencias cuya base y exponente es natural y, luego, que analice si se puede ampliar a potencias de base entera y exponente natural.

• El área total de un cubo cuya arista mide a, es igual es 6 • a2.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente recordar que un cubo es un prisma formado por 6 caras cuadradas e iguales. Dibuje un cubo en la pizarra y pregunte a los y las estudiantes cuántos vértices y aristas tiene e identifíquelos. • En el ítem 2, para comprobar que los resultados obtenidos son correctos, permítales a los alumnos y alumnas utilizar calculadora científica, calculando como 4 multiplicación de factores iguales, por ejemplo, en la expresión (32) , calcular 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3. • En el ítem 3, para verificar que el exponente encontrado es correcto, pídales a los y las estudiantes que resuelvan paso a paso cada expresión y, luego, comparen el valor obtenido al multiplicar los factores iguales con el valor de la potencia usando calculadora científica. • En el ítem 4, para comprobar los resultados obtenidos, es conveniente que los alumnos y alumnas usen calculadora científica. Pueden calcular cada expresión sin aplicar las propiedades de las potencias y, luego, calcular el valor de la potencia obtenida, 3 por ejemplo: (82 : 22) = (64 : 4)3 = 163 = 4096 y 212 = 4096. • En el ítem 5, pida a los y las estudiantes que expliquen al resto del curso la estrategia empleada para responder la pregunta. Escoja a algunos alumnos y alumnas para que escriban sus ejemplos en la pizarra.

• El volumen de un cubo cuya arista mide a, es igual a3.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y calcula su valor. d) (–2)

a) (42) =

= 3

(–1)6

(–4)2

b) [(–3)3] =

c) [(–7)2] =

2. Escribe como potencia de una potencia de base 2, (–2), 3 ó (–3), según corresponda. a) 93 = b) 163 = c) (–8)4 = d) (–27)3 = (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x en cada caso, para que se cumplan las igualdades. 3

a) (36) = (32)

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para evitar confusiones en los y las estudiantes, recuerde que un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son figuras planas. Un prisma es un poliedro que tiene dos caras basales paralelas e iguales y sus caras laterales son paralelogramos. El cubo es un prima recto.

b) [(–6)x] = (–6)24 x6

c) (42)

= 436 x

d) [(–16)2] = (–16)22 (Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

103

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 104

TEXTO DEL ESTUDIANTE 54 Y 55

Unidad 2

Estrategia mental 4. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? Para calcular en forma rápida el valor de una potencia que tiene como base un número en que la cifra de las unidades es 5 y el exponente es 2 (comenzando por 152, luego, 252, 352, …), multiplica el número de la base que se forma sin la cifra de la unidad (sin el 5) por su sucesor. El valor de la potencia será el número formado por el resultado de la multiplicación anterior, seguido por 25. Observa los ejemplos:

C. (–9)3 • (–93) = (–9)12 D. (–2)2 • 42 = (–8)4

A. (612 : 62) = 620 B. 64 : 34 = 24

5. Para hacer su árbol familiar, Carlos parte por él, luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos y tatarabuelos. ¿Qué potencia representa la cantidad de tatarabuelos de Carlos?

• Para 15 , multiplicamos 1 por su sucesor, es decir por 2, esto es 2. Luego el resultado es 225. • Para 1052, multiplicamos 10 por su sucesor, es decir por 11, esto es 110. Luego el resultado es 11 025. • Si la base es negativa, utiliza el mismo procedimiento anterior (como si fuera de base positiva), pues al tener exponente 2, el resultado queda siempre positivo. Calcula mentalmente, aplicando la estrategia aprendida. 2

A. 24

B. 25

C. 44

D. 23

6. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo es 44 cm y su ancho 24 cm? A. 88 cm2

B. 27 cm2

C. 212 cm2

D. 64 cm2

7. ¿En cuál de las siguientes potencias se obtiene el número mayor? 2

a) 25 =

g) (–85) =

b) (–65)2 =

h) 552 =

c) 452 =

i) 2052 =

d) (–35) =

j) (–95) =

e) 952 =

k) 10052 =

f) 9952 =

l) (–125)2 =

A. (–2)3

B. (–3)2

C. (–2)2

D. (–4)3

8. Paula tiene 2 pares de zapatos, 4 pantalones y un número desconocido de poleras. Si puede formar 64 tenidas diferentes combinando su vestuario, ¿cuántas poleras tiene? Usa potencias para resolver.

9. La arista de un cubo mide 16 cm. Si se duplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado como potencia de base 2? Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 7. 1. El valor de la potencia (–2)8 es: A. 16

B. 64

C. 128

D. 256

2. La relación incorrecta es: A.

an = a b bn

( )

B. a

•

C. an + bn = (a + b)n

b = (a b) •

3. La expresión 3 A. 6 • 8 • 10

•

D. a •

•

b =a

Respuestas correctas

2y4

Analizar una situación asociada a una potencia de base entera y exponente natural.

Aplicar propiedades relativas a la multiplicación de potencias de base entera y exponente natural.

3y6

Calcular potencias de base entera y exponente natural.

1y7

Resolver un problema que requiere aplicar propiedades de potencias de base entera y exponente natural.

8y9

(n + m)

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

5 corresponde a: B. 3 • 4 • 5 • 2

Ítem

Reconocer y aplicar propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural.

C. (3 • 4 • 5)2

D. (3 + 4 + 5)2

54 Unidad 2

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS • Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, […].

104

Unidad 2 – Potencias

• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […], potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 105

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

c) ¿Cuál es el volumen del cubo grande? d) Si elevas a 3 el volumen del cubo grande, ¿cómo lo expresarías en forma de una sola potencia de base 2?

Estrategia mental Conectar y calcular.

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar, representar y calcular).

En equipo Ítems 1 y 2: representar. Ítem 3: integrar, analizar y calcular. Ítem 4: analizar y aplicar.

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la sección ESTRATEGIA MENTAL, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan aplicar la estrategia presentada. Mencione que la estrategia es muy útil para determinar con mayor rapidez los valores de las potencias de base entera y exponente 2. • En la sección EN EQUIPO, es conveniente que constate que en los cubos construidos por los y las estudiantes la arista efectivamente mide 4 cm, pues si necesitan medir para completar la tabla, las medidas de los cubos deben ser las indicadas.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: aplicar. Ítem 2: analizar y representar. Ítem 3: analizar y aplicar.

Ítem 4: calcular. Ítem 5: analizar, aplicar y calcular. Ítem 6: analizar y aplicar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Calcula mentalmente aplicando la estrategia aprendida. a) (–10 005)2 =

b) (–195)2 =

c) (–2005)2 =

d) 1152 =

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular). De profundización 1. Si tienes 64 cubos de arista 8 cm, y con ellos forman un cubo grande, responde: a) ¿Cuál es la medida de la arista del cubo grande? b) ¿Cuál es el área de cada cara del cubo grande?, ¿cuál es su área total?

• En los ítems 1, 2, 3 y 4, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En el ítem 5, es posible que los y las estudiantes no distingan qué operaciones deben realizar. Para guiarlos, puede construir un diagrama de árbol en la pizarra, en el cual sea posible deducir el número de poleras para poder formar 64 tenidas. • En el ítem 6, recuerde a los alumnos y alumnas que la arista se duplica y, luego, deben expresar la arista como potencia de base 2, para calcular el volumen. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 5 y 6. Ítem

Completamente logrado

Analiza y aplica correctamente la propiedad de potencias en el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y aplica correctamente la propiedad de potencias en el problema.

Analiza y calcula correctamente partes del problema, sin usar potencias para resolver.

Analiza y calcula erróneamente el problema, confundiendo las potencias y sus propiedades.

Analiza y aplica correctamente la propiedad de potencias en el problema, empleando más de una estrategia.

Analiza y aplica correctamente la propiedad de potencias en el problema.

Analiza y calcula correctamente partes del problema, sin expresar el resultado como potencia de base 2.

Analiza y calcula erróneamente el problema, sin expresar el resultado como potencia de base 2.

105

Unidad 2 – Potencias

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 106

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

5. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

De refuerzo Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Al dividir potencias de igual exponente (natural), se conserva la base (entera) y se restan los exponentes. II. Al multiplicar potencias de igual base (entera), se conserva la base y los exponentes (naturales) se suman. III. Al dividir potencias de igual exponente (natural), las bases (enteras) se dividen y se conserva el exponente. A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III

a) 62 : (–2)2 + (–3)3 =

i) (–3)3 • (–2)3 =

b) 52 : 52 – 113 : 113 =

j) 43 • (–1)3 • 33 =

c) (–30)2 : 32 + 32 • 22 =

k) (–25)3 • (–25)3 =

d) 253 : (–5)3 =

l) 3 • 32 – 4 • 42 =

e) (–14)8 : (–14)5 =

m)(–5)2 • (–1)2 + 4 • 42 =

f) (–100)3 : 253 =

n) 62 : 62 – 112 : 11 =

g) 324 : 84 =

ñ) [(–10)2] – 10052 =

h) 72 • (–3)2 =

o) (22)

2 2

–

(–2)2

6. Resuelve los siguientes problemas, usando potencias para resolver. a) En un edificio de 32 pisos, cada piso tiene 8 departamentos y en cada departamento hay 2 baños. ¿Cuántos baños hay en total? 3

b) En una tienda de ropa hay 25 zapatos de distinto tipo, 125 diseños de blusas y 25 tipos de pantalones. Si se quiere escoger una tenida cualquiera, ¿cuántas opciones hay?

2. Para que la igualdad: [(–2)x] = –512, sea verdadera, el valor de x es: A. 6 B. 9

C. 3 D. 2

c) La arista de un cubo mide 27 cm. Si se triplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado como potencia de base 3?

3. La expresión (–14)6 : 26, equivale a:

d) El área de un rectángulo es 216 cm2. Si el ancho mide 8 cm, ¿cuánto mide el largo?

A. (–7)6 B. –76 C. (–7)12 D. 1

e) El volumen de un paralelepípedo es 602 cm3. Si el ancho mide 32 cm, el largo mide 42 cm, ¿cuánto mide el alto?

4. Completa la siguiente tabla, escribiendo cada expresión como una sola potencia. a

a6 : a2

–4

–64

–4

–1000 –100

–10

106

–1

–2

a 3 • b 3 • c3

(c2)

a 4 : b4

De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. La expresión (–5)3 • (–5)3 equivale a: A. 256 B. 253 C. (–25)3 D. 259

Unidad 2 – Potencias Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 107

2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. (–12)4 : (–12)4 = 1 II. (–6)5 • (–6)5 = 3610 III. 22 • 23 – (–10)2 : 52 = 28

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 106 Y 107 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. D

A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III

–8

–4

–27

–3

–2

a :a

a2 •

b 2 • c2

(c2)

a4 : b4

(–64)3

(–4)6

254

12503

106

274

21873

–64

–4

(–64)4

20483

(–4)6

(–8)4

–1000 –100

–10

(–1000)4

1 000 0003

(–10)6

104

–1

(–1)4

(–1)3

(–1)4

–2

504

(–1000)3

106

(–25)4

5. a) –18 b) 0 c) 136 d) –125

Salsa - chocolate - manjar - frutilla - mora

a 3 • b 3 • c3

–4

6. a) 512

Sabor de helado - chocolate - coco - frutilla - vainilla - manjar - piña - frambuesa - lúcuma

a6 : a2

c 2

(b )

4. Una gelatería ofrece una promoción especial en sus copas de helado: un sabor más una salsa por $ 500. ¿Cuántas combinaciones de helado distintas ofrece la gelatería en la promoción, si los sabores de helado y las salsas son las siguientes? Usa potencias para resolver.

3. A

3. Completa la siguiente tabla escribiendo cada expresión como una sola potencia de base 2, (–2), 3 ó (–3), según corresponda. a

2. C

e) f) g) h)

–2744 –64 256 441

b) 78125

c) 312

i) j) k) l)

216 –1728 244 140 625 –37

d) 27 cm

m) n) ñ) o)

89 –10 98 989 975 0

e) 25 cm

De profundización 1. B 3.

2. C b

a8 : a5

–8

–4

(–2)9

212

214

–27

–3

(–3)9

312

(–3)8

a 2 • b 2 • c2

(b2)

316

–3

(–3)

–2

(–2)3

(–2)6

(–2)8

4. 25 opciones.

107

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 108

TEXTO DEL ESTUDIANTE 56 Y 57

Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural Observa las siguientes expresiones: 5

冢 12 冣 : 冢 12 冣

冢 35 冣冢 27 冣

2 3

•

冢 23 冣

En las expresiones anteriores, observamos que la primera (a) es una división de potencias de igual base; la segunda (b) es una multiplicación de potencias de igual exponente y, la tercera (c) es la potencia de una potencia. Al calcular la primera expresión, obtenemos: 5 factores

冢冣冢1冣冢1冣冢1冣冢1冣 2 2 2 2 1 1 3 1 1 = 冢冣冢冣冢冣= 冢冣冢冣冢冣冢1冣冢1冣 2 2 2 2 1 1 2 2 : = 2

•

2 2 3 = 7 5

冢冣冢冣冢 •

•

2 3

= 23

•

2 3

23 •

•

2 3

23 •

•

2 3

= 冢 23 冣

6 factores

2 factores 2 3

2 2

冢 3 冣 = 冢 3 冣

64 2 = . En este caso, podemos notar 36 729 que, en la potencia de una potencia, se mantiene la base (en este caso fraccionaria) y se multiplican los exponentes.

Por lo tanto:

No olvides que... Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de las potencias que tienen base entera y exponente natural se pueden aplicar a potencias de base fraccionaria positiva o negativa, y exponente natural. En general: Si a, b, c, d, n y m son números naturales y n ⱖ m, entonces:

•

冢b冣冢b冣 =冢b冣

•

冢b冣冢d冣 =冢b

•

n+m

•

c n d冣

n–m

•

冢 b 冣 :冢 b 冣 = 冢 b 冣

•

冢 b 冣 :冢 d 冣 = 冢 b : d 冣

n m

冢 b 冣 = 冢 b 冣

•

n•m

3 5

冣冢 •

2 7

•

冣冢

2 3 = 7 5

2 factores 2 factores

•

2 7

冣冢 •

3 5

Actividades 1. Escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor. 3

Si calculamos la segunda expresión, obtenemos: 3 5

冣冢冣

•

1 13 = . Si observamos lo realizado 8 23 anteriormente, podemos notar que, en la división de potencias de igual base (en este caso fraccionaria), se conserva la base y se restan los exponentes.

冢 12 冣 : 冢 12 冣 = 冢 12 冣

冢 23 冣 = 23

3 factores

2 factores

Luego:

•

2 3

• ¿Podrías escribir como una sola potencia cada expresión?, ¿cómo lo harías? • ¿Qué resultados obtienes al calcular cada expresión? • Las propiedades estudiadas en las páginas anteriores, ¿se pueden aplicar en estos casos?, ¿por qué?

36 2 2 6 2 62 = = 2 = . En este caso, 1225 7 35 35 observamos, que en la multiplicación de potencias de igual exponente se multiplican las bases (en este caso fraccionarias) y se conserva el exponente. 2

冢 35 冣冢 27 冣 = 冢 35

Luego:

Al calcular la tercera expresión, obtenemos:

Para discutir

1 2

Unidad 2

•

冣冢

2 3 = 7 5

•

2 7

冣

冢 23 冣冢 49 冣 =

•

冢冣冢冣

10 : 冢 10 11 冣冢 11 冣

3 3

b) 2 : 1 = 9 4

冢 37 冣

冢 14 冣冢 278 冣 = •

冢 47 冣 : 冢 47 冣

2 factores

2. Completa con los exponentes que faltan para que se cumpla cada igualdad. 6

= 12

冢 12 17 冣冢 17 冣

冢 132 冣

冢 132 冣 = 冢 132 冣

56 Unidad 2

冢 14 冣

冢 23 冣 = 冢 38 冣

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […], determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: analizar y conectar. Ítem 2: aplicar y calcular. Ítem 3: conectar y justificar.

Ítem 1: identificar, aplicar y calcular. Ítem 2: aplicar e identificar.

108

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 109

ACTIVIDAD INICIAL

• Al aplicar la propiedad en la división de potencias de igual exponente, resulta: 3

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a extender las propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural a potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural.

23 : 12 = 23 : 12 = 23 21 = 43

•

43 64 = 33 27

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De refuerzo

• Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que recuerde en la pizarra las propiedades estudiadas anteriormente de potencias, cuya base es un número entero y el exponente es un número natural, pues es parte de los conocimientos previos necesarios para desarrollar las actividades. Si es necesario, escriba más ejercicios de este tipo en la pizarra. • En el ítem 2, para comprobar que el exponente encontrado es correcto, pida a los y las estudiantes que calculen el valor de la potencia y, luego, que calculen paso a paso las expresiones, sin aplicar propiedades, para que comparen los valores obtenidos.

1. Aplica la propiedad correspondiente de las potencias, escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para aplicar las propiedades que involucran multiplicación o división de potencias de igual exponente, los alumnos y alumnas deben multiplicar o dividir fracciones. Es por ello que sería conveniente que recuerde dichas operaciones con fracciones. • El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corresponde al producto de los denominadores, y el numerador es el producto de sus 2 3 6 numeradores. Por ejemplo: • = 5 7 35 a c a•c En general: si a, b, c, d son números naturales, entonces: • = b d b•d • Dividir un número natural por una fracción es multiplicar el número natural por 2 5 7 • 5 35 el recíproco de la fracción. Por ejemplo: 7 : = 7 • = = 5 2 2 2 b c a•c En general: si a, b, c son números naturales, entonces: a : =a• = c b b • Dividir una fracción por otra fracción es multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. Por ejemplo:

3 2 3 : = 4 5 4

•

5 3 • 5 15 = = 2 4•2 8

a c a d a•d En general: si a, b, c, d son números naturales, entonces: : = • = b d b c b•c

23 : 23 3

•

3 7

8 9

1 4

2 3

1 : 5

1 e) 5

2 7

16 16

3 b) 7

•

9 10

11 12 1 3

2 3

11 = 12

2 5

•

2 3

4 2

(Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular). De profundización 1. Determina el valor de x para que se cumpla cada igualdad. x

2 3

2 7

•

1 2

x 2

4 36

16 2 401

25 : 25

•

3 5

3 4

27 512

16 625

1 3 25 : = 10 5 900

1 2

x •

3 27 = 5 125

(Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular).

109

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 110

TEXTO DEL ESTUDIANTE 58 Y 59

Unidad 2

Potencias de base decimal positiva y exponente natural Pedro y Macarena quieren escribir como una sola potencia las siguientes expresiones: (0,3)3 • (0,3)3

(1,2)3 3

No olvides que... Por lo realizado y estudiado anteriormente, podemos concluir que las propiedades de las potencias que tienen base entera y exponente natural también se pueden aplicar a potencias de base decimal positiva y negativa, y exponente natural. Por ejemplo: (1,5)5 : (1,5)3 = (1,5)5 – 3 = (1,5)2 = 1,5 • 1,5 = 2,25

Para discutir • ¿Cómo escribirías cada expresión como una sola potencia? • Pedro escribió la primera expresión como 0,3 6 y Macarena como 0,09 3, ¿cuál consideras correcta?, ¿por qué? • De lo estudiado hasta ahora, ¿con qué puedes relacionar lo realizado por Pedro y por Macarena? • ¿Las propiedades estudiadas anteriormente se pueden aplicar en potencias de base decimal positiva?

Sabemos, que en matemática, muchas veces hay más de un camino para resolver problemas. En este caso, Pedro y Macarena utilizaron dos caminos diferentes para escribir como una sola potencia la primera expresión. Analicemos el procedimiento de cada uno y, luego, calcularemos ambos resultados para ver cuál es el correcto. Pedro observó que las bases eran iguales; entonces, conservó la base y sumó los exponentes, es decir: (0,3)3 • (0,3)3 = (0,3)3 + 3 = (0,3)6. Macarena observó que los exponentes eran iguales; entonces, multiplicó las bases y conservó el exponente, es decir: (0,3)3 • (0,3)3 = (0,3 • 0,3)3 = (0,09)3

Actividades 1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia. a

(2,5)2

0,0625

(0,5)4

0,0001

(0,1)3

2. Escribe cada expresión como una sola potencia y completa con los signos <, > o =, según corresponda. c) (0,1)5 • 65 (0,6)2 d) (5,5)8 : (5,5)6 (11)3 • (0,5)3 2

a) (0,2)3 : (0,2)3 (0,5)4 : (0,5)3 b) 53 • (0,5)3 (2,5)5 : (2,5)2

3. Completa la siguiente tabla, escribiendo el valor de cada potencia.

Calcularemos la segunda expresión:

(1,2)3 3 = 1,2 • 1,2 • 1,2 3 = 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2 • 1,2

Nº fila

0,5

1 2

0,25

1 4

9 factores

Luego: (1,2)3 = (1,2)9. 3

Como vimos, en este caso, al ser la potencia de una potencia, se mantiene la base (decimal) y se multiplican los exponentes.

(a2)

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

a5 : a2

a) Los resultados obtenidos en las filas 1 y 2, ¿representan el mismo número?, ¿por qué?, ¿y los de las filas 3 y 4? b) Si escribes un número decimal como fracción o viceversa y elevas ambos al cuadrado, ¿los resultados obtenidos siempre representan el mismo número?, ¿por qué?

58 Unidad 2

110

(a : b)4

a:b

a •b

0,3

• ¿En qué caso puedes utilizar otra propiedad para resolver?, ¿por qué?

Al calcular la potencia obtenida por cada uno, obtenemos: (0,3)6 = 0,000729 y (0,09)3 = 0,000729. Por lo tanto, ambos, Pedro y Macarena, llegaron al mismo resultado empleando caminos diferentes.

3 factores

0,027

Ítem 1: analizar y conectar. Ítem 2: analizar, evaluar y justificar. Ítem 3: conectar. Ítem 4: conectar y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 111

Actividades Ítem 1: aplicar, analizar y justificar. Ítem 2: identificar, aplicar y clasificar. Ítem 3: aplicar, calcular, generalizar y justificar.

• Para dividir dos números decimales o un número decimal por un entero o viceversa, se puede multiplicar el dividendo y divisor por una potencia de base 10 (10, 100, 1000, etc.), de tal forma que los números obtenidos sean enteros. Por ejemplo: 14 : 0,2 = ? / se multiplica por 10, pues 0,2 tiene una cifra decimal 140 : 2 = 70 → 14 : 0,2 = 70

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a extender las propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural a potencias de base decimal positiva y exponente natural.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Aplica la propiedad correspondiente de las potencias, escribe en forma de una sola potencia y calcula su valor.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

a) (0,2)3 • (0,2)2 =

f) 1,1 • (1,1)3 =

• Antes de comenzar a desarrollar los ítems, sería conveniente que recuerde en la pizarra las propiedades estudiadas anteriormente de potencias, cuya base es un número entero y el exponente es un número natural. Además, mencione que las propiedades se extienden a las potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural y pregunte: ¿ocurrirá lo mismo si la base es decimal positiva? • En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deberán reconocer cuál propiedad deben aplicar; es por esto que las propiedades anteriormente estudiadas deben ser parte de sus conocimientos previos. • En el ítem 3, guíe a los alumnos y alumnas para que puedan deducir que los números, a pesar de estar escritos en distintos registros de representación (fracción y número decimal), en algunos casos, representan el mismo valor; por lo tanto, las potencias con dichas bases también representarán el mismo valor. 2 1 Por ejemplo: (0,5)2 = . 2

b) (0,4)2 • (0,3)2 =

g) (2,5)7 : (2,5)4 =

c) (0,3)10 : (0,3)8 =

h) 1002 • 0,62 =

d) 104 : (0,5)4 =

i) (0,2)3 : (0,5)3 =

e) [(0,4)3]2 =

j) (1,2)2 • (0,3)2 =

Es conveniente que les recuerde cómo escribir un número decimal (finito) en forma de fracción y viceversa.

111

Unidad 2 – Potencias

(Habilidades que desarrolla: identificar, aplicar y calcular). De profundización 1. Une el valor correspondiente a cada expresión, expresado como fracción. [(0,4)3]

1 8

(2,5)2 : (0,2)2

27 1 000 000

(0,5)2 • 0,5

64 15 625

(0,3)3 • (0,1)3

1 1 000 000

(0,1)8 : (0,1)2

625 4

(Habilidades que desarrolla: identificar, generalizar, aplicar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 112

TEXTO DEL ESTUDIANTE 60 Y 61

Unidad 2

Crecimiento exponencial Un grupo de estudiantes está analizando la pudrición de una hortaliza. Ellos consideran que la infección es extensa, es decir, la hortaliza no puede ser consumida cuando tiene 1024 o más bacterias por milímetro cuadrado (mm2). Además, observaron que las bacterias que producen la pudrición de la hortaliza se duplican cada una hora.

Para discutir • Si en un comienzo hay una bacteria por mm2, ¿en cuántas horas la hortaliza ya no podrá ser consumida?, ¿cómo lo supiste? • Si parten el estudio a las 8:30 h; ¿a qué hora la hortaliza no servirá para el consumo?, ¿y a qué hora habrá 64 bacterias por mm2? • ¿Podrías explicar la reproducción de las bacterias utilizando potencias?, ¿por qué? • ¿Cómo graficarías el comportamiento de las bacterias?

Como las bacterias se duplican cada una hora, cada vez se multiplica por dos. Entonces, si queremos expresar como potencia, la base será 2 y el exponente corresponde a las horas transcurridas.

Crecimiento de una población de bacterias No de bacterias 90 80 70

Además, en este caso observamos dos variables, una dependiente de la otra, ya que el número de bacterias depende de las horas transcurridas; dicho de otro modo, a medida que el tiempo transcurre, la cantidad de bacterias aumenta. Para analizar la relación entre las variables, observa el gráfico:

60 50 40 30 20 10 1

Tiempo transcurrido (h)

No olvides que... La situación anterior se puede resumir en la siguiente tabla: Tiempo transcurrido

Número de bacterias

Número de bacterias como potencia

1 hora

2 horas

3 horas

4 horas

5 horas

6 horas

7 horas

128

8 horas

256

9 horas

512

10 horas

1024

210

Este tipo de relación entre las variables se llama crecimiento exponencial, o se dice que crecen exponencialmente. Este tema lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

Actividades 1. Luisa llama a cuatro compañeras y les informa sobre una campaña de recolección de alimentos. Cada una de estas amigas llama a otras cuatro amigas para contarles sobre la campaña, y así, una a una, van contando a 4 nuevas amigas. Completa la tabla, el gráfico y responde. Personas informadas en el nivel

Potencia relacionada

Si observamos la tabla, hay 64 bacterias por mm en la hortaliza transcurridas 6 horas, es decir, si comenzaron el estudio a las 8:30 horas, dicha cantidad está presente a las 14:30 horas. Por otra parte, la hortaliza no podrá ser consumida transcurridas 10 horas, es decir, a las 18:30 horas la infección será considerada extensa por los estudiantes.

No de personas

Nivel de llamados

225

175 150

125

100 75

a) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4? b) ¿Cuál es la variable dependiente de la otra?, ¿por qué?

50 25 0

Nivel

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

200

60 Unidad 2

112

250

Ítem 1: analizar, calcular y justificar. Ítem 2: analizar y calcular. Ítem 3: conectar y justificar. Ítem 4: analizar y representar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 113

Actividades Ítem 1: analizar, resolver problemas, calcular y representar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a resolver un problema que involucra potencias de base entera y exponente natural. Esta situación está relacionada con el crecimiento exponencial, en particular, el crecimiento de una población de bacterias en una hortaliza infectada.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Pedro organiza una campaña solidaria con el fin de recaudar dinero para una protectora de animales; el primer día, le informa a 3 amigos: cada uno dona $ 100 y, a su vez, se comprometen a que cada uno pedirá $ 100 a otras 3 amistades diferentes el segundo día, y que cada una de estas personas les pedirán $ 100 a otras 3 personas diferentes el tercer día, y así, sucesivamente, los siguientes días. Completa la siguiente tabla y responde.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que analicen en conjunto el gráfico del crecimiento de una población de bacterias, propuesto en la página 61 del Texto del Estudiante. De este modo, podrán construir por sí mismos en gráfico de la actividad.

Días transcurridos

Número de personas

Número de personas como potencia

Cantidad de dinero recaudado por día

100 • 30

Destaque que esta actividad se puede representar con diversos registros de representación: con una tabla, con gráfico, con un diagrama de árbol, con funciones. Esta última se estudiará más adelante, por lo que no es necesario que se represente. Pida a sus alumnos y alumnas que construyan el diagrama de árbol que representa la situación. • Para responder la segunda pregunta del ítem 1, el concepto de variable dependiente e independiente aún no se ha formalizado. Los alumnos y alumnas deberán responder de acuerdo a su intuición y experiencia.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Mencione a los y las estudiantes que el crecimiento exponencial es una función en la que se utilizan potencias con base mayor que uno, que estudiarán en cursos posteriores y que es usada para describir el crecimiento de una población de animales o bacterias. Algunos ejemplos de situaciones que pueden representar crecimiento exponencial son: • El aumento de la población del mundo, la cual crece a una determinada tasa. • Un cultivo de bacterias que crece bajo condiciones favorables. • Una población de ranas que crecen en un estanque.

a) ¿Cuánto dinero juntaron el tercer día?, ¿y el sexto? b) ¿Qué variable depende de la otra?, ¿por qué? (Habilidades que desarrolla: analizar, resolver problemas, calcular y representar). De profundización 1. Considerando la situación de la actividad de reforzamiento: a) construye el gráfico que relaciona los días transcurridos con el número de personas. b) construye el diagrama de árbol correspondiente. 2. ¿Cuánto dinero juntaron en total al finalizar el quinto día?, ¿y el sexto?, ¿cómo lo supiste? (Habilidades que desarrollan: conectar, analizar, calcular y representar).

113

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 114

TEXTO DEL ESTUDIANTE 62 Y 63

Unidad 2

Decrecimiento exponencial Científicos de diversos países se han reunido con el fin de inventar una vacuna para combatir un virus respiratorio. Esperan que, al momento de vacunar a la población, la cantidad de contagiados disminuya a un tercio de la población cada día.

Para discutir

Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento de vacunar a la población, la cantidad de contagiados del segundo día sería 2187; del quinto día, 81 contagiados y el noveno día se contagiaría solo una persona.

Decrecimiento de una población de contagiados No de contagiados 20 000 18 000 16 000

• Si se vacunara a la población, ¿en cuánto disminuirían los contagiados luego de 3 días?, ¿y luego de 6 días?, ¿por qué? • ¿Podrías explicar la disminución de los contagiados utilizando potencias?, ¿cómo lo harías? • Si inicialmente hubiera 19 683 contagiados al momento de vacunar a la población, ¿cuál sería el número de contagiados luego de 2 y 5 días?; ¿cuál es el gráfico que representa la cantidad de contagiados por día? • Considerando la información de la pregunta anterior, ¿al cabo de cuántos días se contagiará solo una persona?

En esta situación, observamos la relación entre dos variables y, al igual que en el crecimiento exponencial, una depende de la otra. En este caso, la cantidad de contagiados depende de los días transcurridos, pues, a medida que pasan los días, la cantidad de contagiados disminuye. Para analizar la relación entre las variables, observa el gráfico:

14 000 12 000 10 000 8000 6000 4000 2000 0

Tiempo transcurrido (días)

No olvides que... Suponiendo que se vacunara a la población e inicialmente hubiera 19 683 contagiados, la información se resume en la siguiente tabla: Días transcurridos

Factor de decrecimiento

冢3冣

冢冣

1 3

冢冣

1 3

冢3冣

5 6

冢3冣

Cantidad de contagiados

冢 13 冣

19 683 •

冢 13 冣

19 683 •

冢 13 冣

19 683 • 19 683 • 19 683 • 19 683 • 19 683 •

= 19 683

Actividades

= 6561

1. Una población de aproximadamente 262 144 insectos decrece por acción de un depredador natural a la mitad de su población cada año. Completa la tabla, grafica y responde.

= 2187

1 3 = 729 3

Años Factor de transcurridos decrecimiento

冢冣冢 13 冣

冢 13 冣

= 243 = 81

1 2

冢冣

Tamaño de población

262 144 •

1 0 = 262 144 2

冢冣

250 200 150

100

50 0

a) ¿En qué año la población es de 32 768? b) ¿Cuántos insectos hay el 4º año? c) ¿Se extinguirá este tipo de insecto?, ¿después de cuántos años?

Años transcurridos

冢冣

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Para discutir

Unidad 2 – Potencias

300

62 Unidad 2

114

Población en miles de individuos

= 27

Si observamos la tabla, en tres días los contagiados disminuirían 1 6 1 3 en de su población y en 6 días . 3 3

冢冣

Este tipo de relación entre las variables se llama decrecimiento exponencial, o se dice que decrecen exponencialmente, porque se usa en ellas una potencia con base mayor que 0 y menor que 1. Este tema también lo estudiarás con más profundidad en cursos posteriores.

Ítem 1: analizar, calcular y justificar. Ítem 2: conectar y justificar. Ítem 3: calcular, analizar y representar. Ítem 4: calcular. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 115

Actividades Ítem 1: analizar, resolver problemas, calcular y representar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a resolver un problema que involucra potencias de fraccionaria positiva y exponente natural. Esta situación está relacionada con el decrecimiento exponencial, en particular, el decrecimiento de los contagiados por un virus respiratorio al ser vacunada la población.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Una sustancia que tiene una masa de 16 777 216 mg se desintegra a un cuarto de su masa cada un año. Completa la siguiente tabla y responde. Años transcurridos

Factor de decrecimiento

Masa de la sustancia 0

16 777 216 •

= 16 777 216

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar el ítem 1, sería conveniente que analicen en conjunto el gráfico del decrecimiento de una población de contagiados, propuesto en la página 63 del Texto del Estudiante. De este modo, podrán construir por sí mismos el gráfico de la actividad. Destaque que esta actividad se puede representar con diversos registros de representación: con una tabla, con gráfico, con funciones. Esta última se estudiará más adelante, por lo que no es necesario que se represente. • Para responder la última pregunta del ítem 1, es necesario que los y las estudiantes sigan calculando el tamaño de la población; para ello, sugiera que extiendan la tabla.

a) ¿Cuánto tardará para que la sustancia se desintegre hasta tener una masa de 65 536 mg? b) Determine la masa que queda después de 7 años.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

(Habilidades que desarrolla: analizar, resolver problemas, calcular y representar).

Mencione a los y las estudiantes que el decrecimiento exponencial es una función que utiliza potencias con base mayor que 0 y menor que 1 y que estudiarán en cursos posteriores. Un ejemplo de ello lo podemos observar en las sustancias radiactivas que se desintegran a medida que pasa el tiempo.

De profundización 1. Considerando la situación de la actividad de reforzamiento: a) construye el gráfico correspondiente. b) ¿después de cuantos años se desintegrará este tipo de sustancia? (Habilidades que desarrolla: conectar, analizar, calcular y representar).

115

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 116

TEXTO DEL ESTUDIANTE 64 Y 65

Unidad 2

Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para construir un gráfico: 1º En la columna A escribe el valor de la potencia de base 3 y exponente, partiendo desde 0 hasta 10, en orden creciente, es decir, en A1 escribe el valor de la potencia 30, en la celda A2 el valor de 31, en A3 el valor de 32, y así sucesivamente. 2º Selecciona los todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. La expresión: 0,3 • 0,09 • 0,027, escrita como un sola potencia es: A. 36

B. 0,36

C. 0,35

D. 0,095

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A.

冢 18 冣冢 12 冣 = 冢 12 冣

冢 56 冣 = 冢 56 冣

•

6 2

冢 49 冣冢 49 冣 = 冢 16 81 冣

64 : 4 = 4 冢 125 冣冢5冣冢5冣

•

3. Para que la igualdad: 0,2 x : 0,2 2 = 0,2 4, sea verdadera, el valor de x, es: A. 2 3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”, como se observa en la siguiente imagen:

4º En las opciones de gráficos, selecciona “XY Dispersión”. 5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla. Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Exponentes de la potencia de base 3 y sus respectivos valores. Finalmente, observa el gráfico y responde: a) b) c) d)

¿A qué gráfico se parece?, ¿por qué? Los valores: 0, 1, 2, 3, … del eje horizontal, ¿qué representan?, ¿y los valores del eje vertical? ¿Por qué este gráfico es con puntos y no con líneas? ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base 4?, ¿qué tiene en común con el gráfico que acabas de hacer? 1 e) ¿Cómo será el gráfico si la potencia es de base ?, ¿tiene algo en común con el gráfico que 4 acabas de hacer?, ¿por qué? f) Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 5. Luego, responde las preguntas a y b.

冢冣

B. 4

C. 8

D. 6

4. Las bacterias se reproducen dividiéndose en 2. En un determinado ambiente, la división se produce cada un minuto. a) ¿Qué tipo de crecimiento representa la relación entre los minutos transcurridos y la cantidad de bacterias?, ¿por qué? b) ¿Cuál es la potencia que representa la cantidad de bacterias al término de 12 minutos, considerando que el ciclo de reproducción comienza con una bacteria? 5. Jorge y Mario inventaron un juego en el que cada jugador parte con un punto y, cada vez que gana, su puntaje se duplica, y si pierde, su puntaje será la mitad de lo que tenía. Jorge ganó 6 veces y Mario perdió 5 veces. ¿Cuántos puntos obtuvo Jorge?, ¿y Mario? Expresa cada resultado como una sola potencia. Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Aplicar propiedades de potencias que tienen base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.

Respuestas correctas

1, 2 y 3

Resolver un problema sobre crecimiento exponencial.

Resolver un problema, aplicando propiedades de potencias de base entera y fraccionaria positiva y exponente natural.

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

64 Unidad 2

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Herramientas tecnológicas

116

Unidad 2 – Potencias

Usar herramientas, analizar, conectar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 117

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Al utilizar la planilla de cálculo, debe considerar que los valores de las potencias que deben escribir son aquellos cuya base es 3 y el exponente, 0, 1, 2, 3, ..., 10. Los valores se escriben sin puntos ni espacios en la planilla. • Para seleccionar los valores debe partir desde 1, y sin dejar de presionar el botón izquierdo del mouse hasta el útimo valor, es decir, hasta 59 049. • La función graficada es 3x, con x ∈ ⺞0. • Es conveniente que supervice permanentemente a los alumnos y alumnas en el desarrollo de la actividad, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuda y orientación. • Se recomienda que, una vez desarrollada la actividad, discutan y compartan las respuestas obtenidas para hacer una puesta en común.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Sigue los pasos anteriores para graficar la potencia de base 6 y exponente, partiendo desde 0 hasta 10. Luego, responde las preguntas a y b. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, analizar, conectar y justificar). De profundización 1. Una sustancia que tiene una masa de 16 777 216 mg se desintegra a un cuarto de su masa cada un año. a) En la columna A escribe la masa que queda hasta el 6º año, partiendo por 16 777 216 (considera los valores de la tabla de la página 115). b) Luego, repite los pasos de la página 64 del Texto del Estudiante y responde las preguntas a y b.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1, 2 y 3: identificar y aplicar. Ítem 4: resolver problemas, analizar, conectar y justificar. Ítem 5: resolver problemas, analizar, aplicar y representar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta, esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En el ítem 4, es posible que los y las estudiantes no relacionen la situación con el crecimiento exponencial, para evitarlo, sugiérales que construyan una tabla para analizar qué sucede con las bacterias, o bien, un diagrama de árbol. • En el ítem 5, es posible que los alumnos y alumnas no puedan determinar el puntaje obtenido por Mario expresándolo como potencia, para ello mencione que 1 dividir por 2, es equivalente a multiplicar por . 2 En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, analizar, conectar y justificar). A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 4 y 5. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Analiza y conecta adecuadamente la Analiza y conecta adecuadamente la situación con el crecimiento exponencial. situación con el crecimiento exponenResponde cada pregunta correctamente. cial. Responde cada pregunta sin justificar la a).

Analiza y conecta adecuadamente la No conecta la situación con el situación con el crecimiento exponencial. crecimiento exponencial. Responde Responde correctamente una de erróneamente las preguntas. las preguntas.

Aplica las propiedades de potencias y responde correctamente el problema, empleando más de una estrategia.

Aplica las propiedades de potencias y No aplica las propiedades de potencias responde el problema expresando y responde el problema erróneamente. erróneamente la potencia de la solución.

117

Unidad 2 – Potencias

Aplica las propiedades de potencias y responde correctamente el problema.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 118

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

3. La población en una ciudad el año 1960 era de 100 000 habitantes. Si a partir de esa fecha el ritmo de crecimiento de la población se ha duplicado cada 20 años, determina:

De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia. a

0,1

0,001

1 2

1 16

4 5

16 25

0,4

0,0256

1,3

1,69

3 5

81 625

b (con base a)

a2 • b

b2 : a 2

(con base a)

a) la cantidad de habitantes 40 años después. b) la cantidad de habitantes que se espera hayan en el año 2020. c) ¿qué tipo de crecimiento representa la relación entre los años transcurridos y la cantidad de habitantes? 4. Una población de aproximadamente 9 765 625 peces decrece por la contaminación de las aguas a un quinto de su población anualmente. a) ¿Cuántos peces hay el tercer año? b) ¿Después de cuántos años la población es de 15 625 peces? c) ¿Cómo se relacionan las variables involucradas?, ¿cuál depende de la otra? De profundización 1. Une cada expresión con la potencia correspondiente expresada como fracción o número decimal.

4 7

•

1 81 0,512

(1,5)2

(0,26)3 : (1,3)3

0,000001

(0,8)14 : (0,8)11

0,008

256 2 401

1 9

[(0,1)2]

1 4

21 10

(0,7)4 • 34

(0,25)2

3 1 : 4 2

3 4

2. Responde observando el gráfico de la imagen. 150

1 9

1 4

2. Une cada expresión con el valor de la potencia correspondiente. (0,5)5 • 45

(0,75)2 • (0,75)3

100

a) ¿Qué tipo de crecimiento observas?, ¿por qué? b) ¿Con qué potencia lo relacionas?, ¿cuál es la base?, ¿y el exponente? c) ¿Cómo se relacionan las variables?, ¿cuál depende de la otra?, ¿por qué? 118

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 119

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 118 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización 5

1. (0,75)2 • (0,75)3 =

De refuerzo (con base a)

a2 • b

b2 : a 2

(con base a)

(0,1)3

(0,1)5

(0,1)4

(0,1)15

1 2

(0,4)4

(0,4)6

(0,4)20

(1,3)2

(1,3)4

(1,3)2

(1,3)10

1 4

1 = (0,25)2 4 2

3 4

1 = (1,5)2 2 4

(0,7)4 • 34 =

21 10

2. a) Crecimiento exponencial, pues a medida que aumenta una variable, la otra aumenta exponencialmente. b) Con la potencia de base 5 y exponente ⺞0. c) El valor de la potencia (eje Y) depende del exponente (eje X) de la potencia cuya base es 5.

2. (0,5)5 • 45 = 32 2

47 47 •

1 9

256 2 401

1 81

1 9

(0,26)3 : (1,3)3 = 0,008 (0,8)14 : (0,8)11 = 0,512 3

[(0,1)2] = 0,000001 3. a) 400 000 habitantes. b) 800 000 habitantes. c) Crecimiento exponencial. 4. a) 78 125 peces. b) 4 años. c) La cantidad de peces disminuye exponencialmente a medida que pasan los años. La cantidad de peces depende de los años.

119

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 120

TEXTO DEL ESTUDIANTE 66 Y 67

Unidad 2

Buscando estrategias Considera la potencia 415, el valor de esta potencia tiene 10 cifras. ¿Cuál es el último dígito de este número?, ¿y de 448?

a) 4289 b) 4274 c) 229

Comprender • ¿Qué sabes del problema? 415 = 4 • 4 • 4 • … • 4

448 = 4 • 4 • 4 • 4 • … • 4 • 4

15 factores

48 factores

El valor del último dígito de las potencias anteriores.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? En el caso de 415 podríamos utilizar la calculadora científica para saber cuál es el último dígito del valor de la potencia, pero en 448 la calculadora no puede dar respuesta, ya que la mayoría no tiene tanta capacidad. Sin embargo, podemos comenzar resolviendo los primeros 8 casos y, luego, observaremos la cifra de las unidades para encontrar alguna regularidad.

Resolver • Calculamos los valores de las potencias de base 4 y exponente desde 1 hasta 8: 43 = 64 44 = 256

45 = 1024 46 = 4096

d) 286 e) 2104 f) 319

g) 385 h) 352 i) 3222

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

• ¿Qué debes encontrar?

41 = 4 42 = 16

1. Aplica la estrategia aprendida para calcular la cifra de las unidades de los valores de las siguientes potencias.

47 = 16 384 48 = 65 536

Luego, observamos que en las potencias de base 4 y exponente: a) par, la última cifra del resultado es 6. b) impar, la última cifra del resultado es 4.

Responder • Como en 415 el exponente es impar, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 4. • Como en 448 el exponente es par, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 6.

Revisar

3. Calcula la cifra de las unidades de los valores de las siguientes potencias, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) 547 b) 622

c) 733 d) 840

e) 919 f) 10521

4. Imagina que tienes una hoja de papel rectangular muy grande, y que comienzas a doblarla por la mitad, una y otra vez. Si la abres, observarás que se forman rectángulos iguales. a) ¿Qué relación tiene esta situación con las potencias?, ¿cuál es la base?, ¿qué representa el exponente en este caso? b) Si doblas el papel 3 veces por la mitad, ¿cuántos rectángulos se forman al abrir el papel? Utiliza potencias para responder. c) Y si doblaras 5 veces el papel por la mitad, ¿cuántos rectángulos se formarían? Utiliza potencias para responder. d) Comprueba los resultados obtenidos utilizando una hoja tamaño carta. e) Sin utilizar papel para comprobar, ¿cuál es la cifra de las unidades equivalente a la cantidad de rectángulos que se forman al doblar un papel rectangular 15 veces por la mitad?, ¿cómo lo supiste?

• Para comprobar cada resultado, puedes utilizar las propiedades de las potencias, luego, calcular cada expresión (utilizando calculadora si es necesario) y, finalmente, multiplicar las últimas cifras: Utilizando propiedades de potencias, tenemos: 415 = 47 • 48 = 16 384 • 65 536. Entonces, al multiplicar las últimas cifras de los factores, obtenemos: 4 • 6 = 24. Luego, la última cifra es 4. En el segundo caso, tenemos que: 448 = 410 • 410 • 410 • 415 • 43 = 1 048 576 • 1 048 576 • 1 048 576 • 1 073 741 824 • 64. Luego, multiplicamos las últimas cifras de los factores, es decir: 6 • 6 • 6 • 4 • 4 = 3456. Entonces, la última cifra es 6.

66 Unidad 2

Potencias

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran […] potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Buscando estrategias

120

Unidad 2 – Potencias

Ítem 1: analizar, aplicar y calcular. Ítems 2 y 3: seleccionar, analizar y evaluar. Ítem 4: resolver problemas, analizar, conectar, comprobar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 121

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto del Estudiante es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser la siguiente: Agrupar las potencias (usando una propiedad) de tal forma que permita calcular fácilmente su valor y, finalmente, multiplicar dichos números. Así, encontramos el último dígito, por ejemplo: 415 = 44 • 44 • 44 • 43 = 256 • 256 • 256 • 64 = 1 073 741 824

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Considera las potencias 421 y 456, ¿cuál es el último dígito de la expresión (421 + 456)? 2. Considera las potencias 229 y 478, ¿cuál es el último dígito de la expresión (229 • 478)? Utiliza la estrategia propuesta en la página 66 (del Texto del Estudiante). (Habilidades que desarrollan: analizar, aplicar y calcular). De profundización 1. Crea un problema similar a los vistos en el libro y, luego, utiliza la estrategia que tú quieras, explicando los pasos de ella. No olvides responder a la pregunta del problema. (Habilidades que desarrolla: formular, aplicar y calcular).

Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

En proceso, logro parcial

• Puede expresar en sus propias palabras e • Copia el problema. interpretar coherentemente el problema. • Identifica palabras clave. • Identifica la información necesaria. • Puede que interprete mal parte del problema. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los resultados. • Revisa cálculos y procedimientos. y/o progreso • Reconoce sin dar argumentos. • Puede investigar razones si existen dudas.

No comprende

• No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones. • No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

121

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 09-08-11 13:44 Página 122

TEXTO DEL ESTUDIANTE 68 Y 69

Unidad 2 A continuación, se presenta un mapa conceptual que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

NACIONAL

Síntesis

Conexiones

Para finalizar

Los efectos del alcohol en el organismo POTENCIAS DE BASE ENTERA

El alcohol es un depresor del sistema nervioso central. Sus efectos en el organismo son a corto y largo plazo. Algunos efectos inmediatos son: afección a la frecuencia cardiaca, al habla, al entendimiento, al juicio y, al llegar a la intoxicación alcohólica, puede provocarse un estado de coma e, incluso, la muerte. Algunos riesgos a largo plazo son: daño al corazón, al hígado y su abuso puede generar trastornos mentales. En Chile, el alcohol es la droga más consumida, de hecho, un 68,5% de los encuestados, en un estudio realizado por el Conace, declaró haber consumido alcohol el año 2008. Su uso genera graves problemas sociales, entre otros, causando accidentes automovilísticos.

Y EXPONENTE NATURAL

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE

POTENCIAS DE IGUAL BASE

POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

POTENCIA DE UNA POTENCIA

Fuentes: Ministerio del Interior, www.conacedrogas.cl, septiembre 2009. Octavo Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile, 2008. Informe de principales resultados, Conace, Chile.

POTENCIAS DE BASE FRACCIONARIA Y EXPONENTE NATURAL

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Un profesor universitario encontró una fórmula para calcular el porcentaje de riesgo de tener un accidente si se conduce bajo los efectos del alcohol. La fórmula es igual a: 6 • (1,14)x, donde x es el porcentaje de alcohol en la sangre.

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees qué faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

• Si una persona tiene un 4% de alcohol en la sangre, ¿cuál es el porcentaje de riesgo de tener accidente?, ¿y si tiene un 20% de alcohol en la sangre? 2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

2. ¿Cómo calculas una potencia de base entera y exponente natural? 3. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual base?, ¿y qué diferencias? 4. ¿Qué semejanzas observas en la multiplicación y división de potencias de igual exponente?, ¿y qué diferencias?

Evaluamos nuestro trabajo 1. Dibuja una tabla con cada integrante de tu grupo, incluyéndote a ti mismo y copia en ella los siguientes indicadores:

5. ¿Cómo calculas la potencia de una potencia de base entera y exponente natural?, ¿y de base decimal positiva? Da tres ejemplos. w x z •w x z = ?, ¿por qué? 6. Si w, x, y, z son números naturales, ¿podrías afirmar que y y Da 2 ejemplos.

冤冢冣冥冢冣

• Respeté/respetó las opiniones de los demás integrantes. • Cumplí/cumplió con las tareas que se comprometió. • Hice/hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

7. ¿Qué caracteriza al crecimiento exponencial?, ¿y al decrecimiento exponencial?

8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

68 Unidad 2

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

POTENCIAS DE BASE DECIMAL Y EXPONENTE NATURAL

Potencias

Síntesis Recordar y conectar.

Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: evaluar, analizar y justificar.

122

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 123

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular las potencias con una situación recurrente en nuestro país: el consumo de alcohol, sus efectos y el riesgo de sufrir accidentes por conducir bajo sus efectos. El alcohol es la droga más consumida en nuestro país, por lo tanto, durante el desarrollo de esta actividad, sería conveniente conversarlo con sus estudiantes respecto de las afecciones producidas por el consumo de alcohol y contrástelo con los beneficios de hacer deporte para nuestro organismo. Más información sobre drogas y prevención en: www.conacedrogas.cl

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En relación al consumo de alcohol y su prevención: a) ¿Qué puedes hacer para prevenir el consumo de alcohol en la juventud? b) ¿Qué beneficios produce el deporte en nuestro organismo? c) Haz un listado de las afecciones producidas por el consumo de alcohol y otro, con los beneficios del deporte. (Habilidades que desarrolla: conectar y justificar).

• Se sugiere que los y las estudiantes incluyan en cada una de las fichas un título, la descripción del tema, ejemplos numéricos resueltos, un problema relacionado con el tema abordado en la ficha y conclusiones. • Es fundamental que la forma de abordar los contenidos de las fichas sea lo suficientemente claro, de tal modo que pueda ser comprendido por cualquier persona, conocedora o no del tema. Sería interesante complementar el trabajo con las fichas pidiendo la opinión de otros compañeros y compañeras del curso, y de esta forma mejorar el trabajo de cada estudiante con la ayuda de sus pares y, además, fomentar en el curso el trabajo colaborativo.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Construye un cuadro resumen sobre los principales temas de esta Unidad. 2. ¿Qué estrategias conoces para resolver problemas? Menciona sus pasos. 3. Inventa un ejercicio que involucre potencias de igual base y, luego, resuélvelo. 4. Menciona dos estrategias para calcular: (0,3)2 • (0,3)5. 5. ¿Cómo justificarías que (–4)5 : (–4)2 = (–4)3?

6. ¿Cómo justificarías que

3 4

(Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, aplicar y calcular).

Esta manera de sintetizar es una técnica de estudio, pues los estudiantes consolidan, organizan y clasifican sus aprendizajes.

TÉCNICAS DE ESTUDIO Sintetizar un tema por medio de un esquema es una forma efectiva de resumir y estudiar sobre los principales tópicos de una Unidad; sin embargo, existen muchas otras. A continuación, presentamos una de ellas: fichas de resumen. Las fichas de resumen consisten en distinguir la información más relevante de cada tema trabajado y escribirlo en fichas o tarjetas. Para confeccionarlas y, posteriormente utilizarlas, se deben considerar los siguientes puntos: • La creación de las fichas debe ser realizada en forma individual y en clases, para que pueda orientar y guiar el trabajo de los y las estudiantes. • Se deben confeccionar fichas para cada uno de los temas incluidos en la Unidad y en cada uno de estos se deben ocupar como máximo dos fichas, procurando que logren determinar los aspectos más importantes de cada tema.

123

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 124

TEXTO DEL ESTUDIANTE 70 Y 71

¿Qué aprendí?

Unidad 2

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa? A. (–15)11 :(–15 8 = –3375 2 3

冢 14 冣

1 4096

C. (0,5)2 • (0,8)2 = (0,4)4 3

D. (–2)2 = (–2)3

2. Una profesora compró lápices de colores para regalar a sus alumnos y alumnas. Si compró 8 cajas que contienen 16 estuches cada una y cada estuche tiene 4 lápices, ¿cuántos lápices tiene para regalar? A. B. C. D.

26 29 228 22 • 7

A. a : a = a c

a b •c a b B. 冢冣 = 冢冣 b b a b a c a b +c C. 冢冣 : 冢冣 = 冢冣 b b b D. ab • cb = (a • c)2

4. El volumen de un cubo cuya arista mide 216 cm, es: A. B. C. D.

5. La directiva de un curso quiere hacer un diario mural rectangular para su sala de clases. Si solo saben que el área disponible es de 19 683 cm2 y el ancho mide 81 cm, ¿cuánto mide el largo? A. B. C. D.

66 cm3 63 cm3 65 cm3 69 cm3

a) ¿Cuánto queda después de 3 cortes?, ¿y después de 6? b) Construye en tu cuaderno, un gráfico para esta situación. 10. Se sabe que el volumen de un paralelepípedo es 729 cm3. Si su ancho mide 3 cm, su largo 9 cm, ¿cuánto mide el alto? Usa potencias para resolver.

35 cm 39 cm 34 cm 53 cm

6. El valor de (0,5)13 : (0,5)11, escrito como fracción, es: A.

1 2

1 16

1 4 1 D. 25 C.

3. Si a, b, c son números naturales mayores que 1 y b > c, entonces, es cierto que: a

9. Una cuerda tiene 16 384 m de longitud y se corta sucesivamente un cuarto de su longitud.

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Concepto de potencia. Potencia de base entera y exponente natural.

7. Un grupo de 78 125 bacterias decrecen exponencialmente a un quinto de su población cada día. ¿Cuántas bacterias quedarán al cabo de 5 días? A. B. C. D.

55 54 52 53

Multiplicación y división de potencias de igual base. Multiplicación y división de potencias de igual exponente. Potencia de una potencia. Potencias de base fraccionaria y exponente natural. Potencias de base decimal y exponente natural. Crecimiento y decrecimiento exponencial.

8. Para que la igualdad: (1,3)x • (0,1)9 = (0,13)9, sea verdadera, el valor de x es: A. B. C. D.

9 1 0 18

Resolución de problemas.

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 37 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”; ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

70 Unidad 2

Potencias

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítem 1: identificar y aplicar. Ítem 2: analizar y aplicar. Ítem 3: analizar y generalizar. Ítem 4: aplicar. 124

Unidad 2 – Potencias

Ítem 5: analizar y aplicar. Ítem 6: representar, aplicar y calcular. Ítem 7: analizar, calcular y representar. Ítem 8: analizar y aplicar. Ítems 9 y 10: analizar, aplicar, representar y calcular. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 125

EVALUACIÓN SUMATIVA

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿Qué aprendí? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Potencias, y con esta información seguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta Unidad.

• En los ítems 1 al 8, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta; esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es recomendable pedirles a los y las estudiantes que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, lo que facilitará detectar si hay o no errores en las estrategias empleadas. • En los problemas de los ítems 9 y 10, es conveniente pedirles a los y las estudiantes que una vez comprendido el problema y planificada la estrategia a utilizar, sean ordenados en el desarrollo de este. De este modo, pueden ayudar a sus compañeros y compañeras que tienen más dificultad, o bien, en caso de cometer errores, facilitará su detección y corrección.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Resuelve correctamente cuánto queda Resuelve correctamente cuánto después de los cortes, utilizando diversas queda después de los cortes y representaciones, entre otras, un gráfico, construye adecuadamente el gráfico. que permitan realizar un trabajo más eficientemente.

Resuelve correctamente cuánto queda después de los cortes y confunde el gráfico.

Resuelve erróneamente cuánto queda después de los cortes y confunde el gráfico.

Resuelve correctamente aplicando la Resuelve correctamente, expresando la propiedad adecuada, usando potencias solución como potencia. para resolver y para responder.

Resuelve erróneamente, ya que, confunde la propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no usa potencias para resolver.

125

Unidad 2 – Potencias

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 126

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

{

De refuerzo Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 6. 1. El resultado de (–6)2 • (–6)5 • –6, es: A. –68

C. (–6)7

B. (–6)8

D. 66 2

2. Para que la igualdad: [(0,2)x ] = 0,0016, sea verdadera, el valor de x es: A. 4 B. 3

C. 1 D. 2

3. ¿Cuál es el valor de y para que se cumpla la igualdad? 7

2 5

2 : 5

8 = 125

A. 3 B. 4

27 512

2 , es: 3

A. (–10)45 B. 1045 C. (–10)11 D. (–10)18 7. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado. a) (–2)7 =

e) (–45)2 =

b) (–3)4 =

1 8

D. 1

5. ¿En cuál o cuáles de las siguientes expresiones el resultado es 1?

a) (–8)

•

h) 1052 =

53 = –64 000

25 : 25

8 125

d) (1,1)2 • (0,2) = 0,0484

e) (–2)2 f)

II. (0,2)2 • 52

g) (–7)2 • (–7) = 2401

1 3

h) (–5)

•

(–5)4 = –78 125

i) 33 • 0,4 = 1,728

= 1564625 2 5

= 256

k) (0,1)

1 81

l) (–12) : (–12)22 = 144

= 0,000000001

59 : 59

A. Solo I B. Solo II 126

•

g) (–5)3 =

d) (0,1)2 • 0,1 =

I. (–4)4 • (–4)4

1 2

2 4

1 2

b) (0,5)3 • (0,6) = 0,027

512 B. 27

III.

escrita como una sola potencia es:

1 4

8. Completa con el exponente que falta para que la igualdad sea verdadera.

C. 7 D. 10

4. El resultado de

}

6. La expresión [(–10)3]

Unidad 2 – Potencias

C. I y III D. II y III Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 127

9. Remplaza los valores de a y b en cada caso; realiza los cálculos correspondientes y completa la tabla con los valores de las potencias. a

0,9

9 10 1 4 11

1 2 1 5 11

0,7

0,1

–2

–50

a3 •

a2 •

a :b

3. Para que la igualdad: 614 : 6x = 62, sea verdadera, el valor de x es: A. 16 B. 12

C. 2 D. 7

4. ¿Cuál es el valor de z para que se cumpla la igualdad? (–27) • 9 • (–3) • 81 • (–243) = (–3) z A. 13 B. 14

C. 15 D. 16

5. Calcula el valor de las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las potencias. 2

a) 25 : 22 – 72 • 42 =

e) (–100)5 : 105 + [(–10)3] =

10. Calcula el área de las siguientes figuras. Usa potencias para resolver. a)

b) 32 cm

52 cm

32 cm

72 cm

2 4 + 7 9

c) (0,2)5 : (0,2)2 + 0,12 =

g) (42) + (–3)5 =

3 – 5

1 2

•

9 = 4

2 2

1 5

2 7

b) [(–3)2] – 203 : 23 =

h) 53 • (0,1)3 – (0,5)3 =

6. Calcula el volumen de los siguientes cubos. Usa potencias para resolver. a)

De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4. 1. ¿En cuál o cuáles de las siguientes expresiones el resultado es mayor que 1? I. [(0,1)3 • 103] • 2 A. Solo I B. Solo II

II. (–2)4 • (–2)2

III.

1 2

8 6

C. I y II D. II y III

2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. (–8)12 : (–8)5 = (–8)7 A. Solo I B. Solo II

127

Unidad 2 – Potencias

II. (0,5)3 : 23 = 23 C. I y III D. II y III

{

7 43

III. [(–5)

]

}

= (–5)14

24 cm

32 cm

7. Una empresa que fabrica cajas de cartón de distintos tamaños, ha sacado al mercado una caja cuyo volumen es 1 728 000 cm3. Si su ancho mide 64 cm, su alto 216 cm, ¿cuánto mide el largo? Usa potencias para resolver. 8. Un grupo de investigadores estudia un tipo de bacteria que produce una enfermedad. Para ello, usaron un cultivo de bacterias que se inició con 3000 microorganismos. Si su número se duplica cada una hora, responde: a) ¿cuántas bacterias hay al cabo de 5 horas?, ¿y al cabo de 7 horas? b) ¿después de cuántas horas hay 3 072 000 bacterias? c) ¿qué tipo de crecimiento observas en este caso?, ¿por qué? Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 128

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 126 Y 127 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

1. C

De refuerzo 1. B

2. D

De profundización

3. B

7. a) –128

4. A

5. D

6. A

e) 2025

b) 81

f) 9

1 256

2. A

3. B

4. C 7 144

g) 13

b) –919

e) 900 000

h) 0

c) 0,018

5. a) –776

351 343

g) –125

6. a) 212 cm3

h) 11 025

7. 53 cm

8. a) 3

g) 2

8. a) 96 000 en 5 horas y 384 000 en 7 horas.

b) 3

h) 3

b) 10 horas.

c) 6

i) 3

d) 2

j) 3

c) Crecimiento exponencial, pues, a medida que pasa el tiempo, las bacterias aumentan exponencialmente.

e) 2

k) 3

f) 2

l) 24

d) 0,001

a 3 • b3

a2 • 32

a 3 : b3

b12 : b10

5,832

7,29

0,091125

729 8000 1 8000 1 771 561

729 100 9 16 1089

729 125 125 64 1

1 4 1 25 121

0,000343

4,41

343

0,01

–21 952

1 764

–343

–125 000 000

22 500

–125

100

10. a) 34 cm2

128

Unidad 2 – Potencias

b) 36 cm3

b) 352 cm2

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 129

EVALUACIÓN FINAL En las páginas 130 y 131, se presenta una evaluación fotocopiable que usted puede utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los y las estudiantes en la Unidad de Potencias, y con esta información determinar líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se esperaba lograr en esta Unidad.

Puntaje total de la evaluación: 40 puntos. Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas.

El tiempo estimado para la realización de la evaluación es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes.

Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizar la siguiente pauta:

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 130 Y 131

Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

1. B

2. C

3. A

9. a) 4096 ranas.

Analizar, aplicar, representar y calcular.

2 puntos cada una

16 puntos

Analizar, representar, aplicar y calcular.

6 puntos cada una

24 puntos

4. A

5. C

b) 4 años.

6. D

7. B

8. B

c) A partir del 6° año, aproximadamente.

10. 27 opciones. 11. Volumen = (0,2)6 cm3 12. 33 lápices.

A continuación, se representa una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10, 11 y 12. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Analiza y calcula correctamente sobre la Analiza y calcula correctamente sobre Analiza y calcula erróneamente alguno cantidad de ranas, utilizando representa- la cantidad de ranas, utilizando de los problemas. ciones que permiten realizar un trabajo una estrategia. más eficientemente.

Analiza y calcula erróneamente los problemas.

Resuelve correctamente aplicando la Resuelve correctamente, expresando propiedad adecuada, usando potencias la solución como potencia. para resolver y para responder.

Resuelve erróneamente, ya que confunde la propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no usa potencias para resolver.

Resuelve correctamente aplicando la propiedad adecuada, expresando la respuesta con la base indicada.

Resuelve erróneamente confundiendo la propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no considera que la arista se duplica y no usa potencias para resolver.

Resuelve correctamente aplicando la Resuelve correctamente, expresando propiedad adecuada, usando potencias la solución como potencia. para resolver y para responder.

Resuelve erróneamente, ya que confunde la propiedad de potencias utilizada.

Resuelve erróneamente, no usa potencias para resolver.

129

Unidad 2 – Potencias

Resuelve correctamente, expresando la respuesta con base distinta a 0,2.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 130

EVALUACIÓN

4. El volumen de un paralelepípedo cuyas medidas son: 22 cm de ancho, 24 cm de largo y 26 cm de alto es:

Potencias Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

A. 212 cm3 B. 236 cm3

Nota:

C. 23 cm3 I.

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Las potencias que tienen exponente par tienen el mismo signo de la base. II. Si la base de la potencia es negativa, el valor de la potencia puede ser positivo. III. Las potencias de exponente impar son siempre negativas. A. B. C. D.

Solo I Solo II I y II II y III

D. 248 cm3

5. Para que la igualdad: (0,5)x : (0,5)9 = 0,25, sea verdadera, el valor de x es: A. 9

B. 7

C. 11

D. 2

6. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide 0,09 m? A. (0,3)5 m3 B. (0,09)2 m3 C. (0,3)3 m3 D. (0,3)6 m3

2. La expresión: 25 • (–125) • 625 • (–5), escrita como una sola potencia es igual a: 7. El valor de la expresión: (–45)3 : 53, es: A. B. C. D.

511 59 (–5)10 (–5)9

A. 729

B. –729

8. La expresión: 3. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

130

18 • 18 = 641

A. (0,4)2 • 4 = (1,6)2

B. (–60)3 : 123 = –125

D. [(–3)2] = 6561

Unidad 2 – Potencias

D. –1

4 • 8 • 32 , escrita como una sola potencia, es: 49 343 16 807

4 49

C. –9

2 7

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U2 (PAG 78-125)_Maquetación 1 04-08-11 18:53 Página 131

II. Resuelve los siguientes ejercicios mostrando su desarrollo. 9. Una población de aproximadamente 1 048 576 ranas que habitan una laguna decrece por la acción de un depredador a un cuarto de su población semestralmente.

10. En el casino de una empresa se ofrece a la hora de almuerzo un menú con plato de fondo, postre y algo para beber. Si hay 4 opciones de bebidas, 8 platos de fondo distintos y 4 postres, ¿cuántos menús diferentes se pueden escoger? Usa potencias para resolver.

a) ¿Cuántas ranas hay al finalizar el 2º año?

11. La arista de un cubo mide 0,02 m. Si se duplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado como potencia de base 0,2? b) ¿Después de cuántos años la población es de 16 ranas?

c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se extinguirán las ranas de la laguna?

131

Unidad 2 – Potencias

12. El centro de alumnos de un colegio ha decidido regalar a los y las estudiantes lápices de distintos colores. Compraron 3 cajas que contienen 34 estuches cada una y cada estuche tiene una cantidad de lápices. Si en total hay 38 lápices, ¿cuántos lápices vienen en cada estuche? Usa potencias para resolver.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 132

Geometría y medición

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Esta Unidad está orientada al estudio de la circunferencia, el círculo y sus elementos, y algunos cuerpos geométricos. Se pretende que los y las estudiantes utilicen sus conocimientos previos y la propia experiencia para calcular la longitud de una circunferencia, el área del círculo, por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia, y el área total y volumen del cilindro y cono. También se espera que los y las estudiantes sean capaces de resolver problemas en situaciones y contextos significativos que involucren los contenidos mencionados anteriormente. Durante el desarrollo de esta Unidad, se realizarán actividades exploratorias y se utilizará la calculadora. Además, se emplearán dos procesadores geométricos, uno para calcular área y perímetro de figuras planas, y otro para calcular área total y volumen del cilindro y cono.

Geometría y medición estudio de

Arco Cuerda Secante

sus elementos Circunferencia son

cálculo de

Círculo

Cuerpos geométricos

cálculo de

pueden ser

Tangente Longitud

Área

Cuerpos redondos

se relaciona con

por medio de

como

Número π

Polígonos regulares

Radio Diámetro se relaciona con

Cono

Cilindro cálculo de

Área total 132

Unidad 3 – Geometría y medición

Volumen

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 133

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Verificación, en casos particulares, en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico del teorema de Pitágoras, del teorema recíproco de Pitágoras y su aplicación en contextos diversos.

Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.

Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas, formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos.

Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de prismas rectos de base rectangular o triangular y de pirámides, cálculo del volumen en dichos cuerpos expresando el resultado en milímetros, centímetros y metros cúbicos y aplicación a situaciones significativas.

Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el perímetro de polígonos y volumen de cuerpos geométricos, al variar la medida de uno o más de sus elementos lineales, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia, demostración del teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámide y el volumen del cilindro y cono.

133

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 134

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.

Contenidos • Circunferencia y círculo como lugar geométrico. • Elementos de la circunferencia.

Aprendizajes esperados • Identificar la circunferencia y el círculo como lugar geométrico y representarlos con lenguaje conjuntista. • Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: páginas 76 y 78. De construcción de conceptos: páginas 77 y 79. De consolidación: página 98. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 141, 145 y 147.

Indicadores de evaluación • Reconocen la circunferencia y el círculo como lugar geométrico. • Representan la circunferencia y el círculo con lenguaje conjuntista. • Identifican el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.

De profundización: páginas 141, 145 y 147.

Definición del número • Número π y su pi y su relación con el relación con la diámetro y la longitud circunferencia. de una circunferencia. • Longitud de la circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia • Área del círculo. y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

• Relacionar el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia. • Calcular la longitud de una circunferencia. • Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

En el Texto De exploración: páginas 80, 82 y 84. De construcción de conceptos: páginas 81, 83 y 85. De consolidación: página 98. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 149, 151, 153, 155 y 156.

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos Diagnóstica: páginas 74 y 75 del Texto del Estudiante.

• • • • •

Formativa: páginas 87 y 95 del Texto del • Estudiante. • • Sumativa: • páginas 100 y • 101 del Texto del Estudiante, y 178 y 179 de la Guía Didáctica del Docente.

Regla. Compás. Transportador. Calculadora. Computador con conexión a Internet. Lana. Tijeras. Cartulina. Pegamento. Arena.

• Relacionan el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia. • Calculan la longitud de una circunferencia. • Estiman el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

De profundización: páginas 149, 151, 153, 156 y 157.

134

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 135

CMO Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Contenidos • Área del cilindro y cono. • Volumen del cilindro y cono.

Aprendizajes esperados • Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono. • Calcular el área del cilindro y cono. • Verificar el área total y volumen del cilindro y cono usando un procesador geométrico.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: páginas 88 y 92. De construcción de conceptos: páginas 90 y 91, 93 y 94. De consolidación: página 98.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Calculan el volumen del cilindro y cono. • Calculan el área del cilindro y cono. • Calculan elementos del cilindro y cono, tales como base y altura, a partir de su área total y volumen.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 159, 161, 165 y 166. De profundización: páginas 166 y 167.

Resolución de • Buscando estrategias. problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, él área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono.

• Resolver problemas en contextos diversos que involucran el cálculo del área total y volumen del cilindro, cono y pirámide.

En el Texto De exploración: páginas 96. De construcción de conceptos: página 97.

• Resuelven problemas que implican el cálculo del área total y volumen del cilindro, cono y pirámide.

De consolidación: página 98. En la Guía Didáctica De refuerzo: página 169. De profundización: página 169.

135

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 136

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Si los conocimientos previos sobre elementos básicos de geometría, como puntos, rectas, ángulos y polígonos, son insuficientes, se pueden presentar dificultades en el aprendizaje del círculo, la circunferencia y sus elementos.

• Por medio de la evaluación diagnóstica, podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, para prevenir dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad. • Se sugiere que después de la evaluación diagnóstica realice un repaso de los contenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En las actividades que involucran el cálculo del área de diversos polígonos regulares, es posible encontrar los siguientes inconvenientes:

• Para evitar errores y/o confusiones, es conveniente repasar el cálculo de áreas de polígonos regulares, ya que son necesarios para estimar el área de un círculo y el volumen de algunos cuerpos geométricos.

• No recuerdan cómo realizar dichos procedimientos. • Confunden la apotema de un polígono regular con los lados de este, o bien, con el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Al calcular el área total y volumen del cono, puede ocurrir que los alumnos y alumnas no recuerden cómo aplicar el teorema de Pitágoras.

• Para evitar este inconveniente, es recomendable recordar el teorema de Pitágoras y su recíproco, ya que será utilizado en el estudio del área total y volumen del cono.

Si los conocimientos previos de los y las estudiantes sobre números decimales y su operatoria no son suficientes, o bien, no los recuerdan, es posible que tengan dificultades al realizar diversos cálculos empleando estos números.

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente realizar un repaso de las cuatro operaciones básicas con números decimales.

136

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 137

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

El área de la corona circular de la figura se puede calcular con la expresión:

A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para un desarrollo conceptual más profundo o amplio de los temas tratados en la Unidad.

Á = (R2 – r 2) • π

POLÍGONOS INSCRITOS CÍRCULO Y SUS REGIONES

• Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella.

• El círculo es la región del plano delimitada por una circunferencia. El área del círculo está dada por la expresión:

F G

Á = π • r 2; donde r es el radio. • El semicírculo corresponde a la parte del círculo delimitado por un diámetro y una de las semicircunferencias definidas por él. Dos semicírculos forman un círculo completo.

E r O

A ρ B

• Si un polígono regular está inscrito en una circunferencia, entonces: – El radio de la circunferencia (r) se llama también radio del polígono regular.

• Un sector circular es la región del círculo delimitada por dos radios y uno de los arcos comprendidos entre ellos. El perímetro del sector circular de la figura se puede calcular con la expresión: r α O

P=2•r+

2•r•π•a 360°

– El segmento trazado desde el centro al punto medio de un lado se llama apotema (ρ) del polígono regular. – El ángulo formado por dos radios consecutivos de un polígono regular se llama ángulo central del polígono. – Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes (de igual medida) y suman 360º. • Un polígono se dice inscriptible si se puede inscribir en una circunferencia. • Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia si sus ángulos opuestos son suplementarios (suman 180º).

El área del sector circular de la figura se puede calcular con la expresión: r2 •

π•a 360° • Una corona circular es la región del plano delimitada por dos círculos concéntricos. Á=

• En todo triángulo inscrito, el centro de la circunferencia coincide con el circuncentro (punto de intersección de las simetrales del triángulo).

El perímetro de la corona circular de la figura se puede calcular con la expresión: R

r O

P = 2 • π • (R + r) F

137

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 138

POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

CUERPOS GEOMÉTRICOS

• Un polígono está circunscrito en una circunferencia si todos sus lados son tangentes a la circunferencia.

• Los cuerpos geométricos están limitados por superficies planas o curvas y, a diferencia de las figuras geométricas, poseen volumen. Ejemplo:

• Un polígono se dice circunscriptible si se puede circunscribir en una circunferencia. E

D Figura plana (dos dimensiones)

Cuerpo geométrico (tres dimensiones) F

• Los cuerpos geométricos pueden clasificarse en: poliedros regulares o no regulares y cuerpos redondos.

• En un cuerpo poliedro se pueden distinguir los siguientes elementos: caras, aristas y vértices.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS INSCRITOS Usando regla, compás y transportador, es posible inscribir cualquier polígono regular en una circunferencia. A continuación, realizaremos el procedimiento para inscribir un E octágono regular. F

G 45º

45º

• Los poliedros regulares están delimitados por polígonos regulares congruentes entre sí. También son conocidos como sólidos platónicos. Existen cinco poliedros regulares, estos son: Tetraedro

Formado por 4 triángulos equiláteros.

45º

45º 45º

Las caras son figuras planas que delimitan el cuerpo geométrico. Las aristas son segmentos de rectas comunes entre dos caras. Los vértices son puntos en los que se unen tres o más aristas.

45º

Hexaedro

Formado por 6 cuadrados congruentes.

Octaedro

Formado por 8 triángulos equiláteros.

Dodecaedro

Icosaedro

Formado por Formado por 12 pentágonos 20 triángulos regulares. equiláteros.

Para inscribir un octágono regular en una circunferencia, podemos seguir los siguientes pasos: 1. Con el compás, dibujamos una circunferencia de cualquier radio. 2. Para determinar la medida del ángulo central, divide 360º por el número de lados del polígono, es decir, 360º : 8 = 45º. 3. Usando un transportador y con vértice en el centro, dibuja los ocho ángulos del centro, que miden 45º cada uno. 4. Prolonga los lados de los ángulos, de tal forma que intersequen a la circunferencia, determinando los puntos A, B, C, D, E, F, G y H. 5. Finalmente, une los puntos, obteniendo el octágono regular. 138

Unidad 3 – Geometría y medición

• Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas y congruentes llamadas bases, y sus otras caras son paralelogramos. Para nombrar un prisma se utilizan los polígonos que forman sus bases. Ejemplo: Prisma triangular

Prisma pentagonal

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 139

En los prismas se pueden distinguir los siguientes elementos: caras laterales, caras basales, aristas basales, aristas laterales y altura (distancia entre los planos que contienen a las bases). Si las aristas laterales son perpendiculares a las caras basales, se dice que el prisma es recto. En caso contrario, es oblicuo. • Las pirámides son poliedros que tienen como base un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que concurren en un vértice común, llamado cúspide.

BIBLIOGRAFÍA • Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. • Manual esencial. (2008). Capítulo 2, Geometría Elemental. Geometría y Trigonometría. (pp. 30–158). Santiago: Santillana. • Rencoret M., (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Andrés Bello.

Ejemplo:

Pirámide triangular

Pirámide hexagonal

En las pirámides se pueden distinguir los siguientes elementos: caras laterales, cara basal, cúspide, aristas basales, aristas laterales y altura (distancia entre la cúspide y el plano que contiene a la base). Si todas las caras laterales de una pirámide son triángulos isósceles o equiláteros, la pirámide es recta. En caso contrario, es oblicua. • Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos delimitados por superficies curvas o superficies planas y curvas. Los cuerpos redondos más conocidos son: el cilindro, el cono y la esfera.

139

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 140

TEXTO DEL ESTUDIANTE 72 Y 73

3 Unidad

En esta Unidad podrás...

Geometría y medición

• Identificar la circunferencia y círculo como lugar geométrico y representarlos mediante lenguaje conjuntista. • Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia. • Relacionar el número con el diámetro y la longitud de la circunferencia. • Calcular la longitud de una circunferencia. • Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. • Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono. • Calcular el área del cilindro, cono y pirámide y verificarlas, usando un procesador geométrico.

Conversemos de... Para preservar de mejor forma los alimentos durante un largo período de tiempo, se realiza un proceso de manipulación de estos, llamada conserva alimenticia. El objetivo de la conserva es proteger a los alimentos de microorganismos que podrían modificar sus condiciones sanitarias y su sabor. Las conservas se pueden encontrar en envases de vidrio o de hojalata. El envase de hojalata conserva por más tiempo los alimentos y evita los efectos de la luz, que deteriora su contenido vitamínico. La fotografía muestra distintas conservas en envases de hojalata de una empresa. Si desean modificar las dimensiones de los tarros, responde las siguientes preguntas. 1. ¿Qué variará si desean agrandar los envases sin modificar su altura? 2. ¿Qué sucederá con el volumen del envase si modifican la altura al doble?, ¿cómo lo supiste? 3. ¿Con qué forma geométrica asocias estos tarros de conservas? 4. ¿Has consumido algún alimento en conserva?, ¿cuál?

72 Unidad 3

La imagen inicial presentada en el texto muestra diversos envases de hojalata, los que son familiares para sus estudiantes. Su propósito es motivarlos en el estudio de la Geometría, especialmente activar sus conocimientos sobre el círculo, la circunferencia y sus elementos, conos y cilindros, y algunos cálculos importantes, como longitud, área y volumen, aplicados a la resolución de diversos problemas en contextos variados y significativos. 140

Unidad 3 – Geometría y medición

Geometría y medición

Con la introducción y actividad inicial podrá activar los conocimientos y experiencias previas de sus estudiantes, ya que algunos de los contenidos fueron trabajados en años anteriores.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 141

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES

Conversemos de...

La actividad inicial presentada en el Texto está relacionada con los alimentos y sus formas de conservación. Para evitar la descomposición de ellos, y también para impedir la pérdida de vitaminas, se utilizan los envases de hojalata.

Ítems 1 y 2: analizar y conjeturar. Ítem 3: recordar. Ítem 4: conectar.

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego, puede preguntarles lo siguiente: • ¿Qué diferencias hay entre círculo y circunferencia?, ¿y qué semejanzas? • ¿Han escuchado hablar de arco, cuerda, secante o tangente?, ¿cómo relacionarías estos conceptos con la circunferencia? • ¿Qué diferencias observan entre el radio y el diámetro de una circunferencia?, ¿cómo se relacionan? • ¿Qué semejanzas hay entre el cono y el cilindro?, ¿y qué diferencias? Con estas preguntas y con las respuestas de sus alumnos y alumnas puede realizar un esquema que vincule los contenidos de la Unidad, y de esta forma podrá obtener información sobre las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas, y partir de ellos guiar el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL Para motivar el desarrollo de la actividad inicial y la Unidad, podría llevar a la clase latas de conservas de distintas dimensiones, o bien pedir a sus alumnos y alumnas (en la clase anterior) que traigan envases que tengan forma de cono o cilindro. A partir de la observación que hagan de ellas podría plantear a sus estudiantes preguntas como las siguientes: • • • •

En muchos países, debido a diversos factores, por ejemplo climáticos, es común que no sea posible producir algunos alimentos. Por esto la población acostumbra consumir alimentos en envases de hojalata o conservas, traídos de otras cuidades o países del mundo. Podría aprovechar este tema para conversar con sus estudiantes sobre la importancia de tener una alimentación equilibrada y saludable. El INTA (Instituto de Nutrición y Tecnología de los Alimentos) es un centro de investigación que depende de la Universidad de Chile, se encarga de investigar y dar solución a los problemas alimentario-nutricionales del país, desde lo molecular hasta lo poblacional. Interesante información sobre los alimentos y nutrición en general puede encontrar en el sitio web del INTA: www.inta.cl. Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. Guíate por el ejemplo Producto u objeto

Cuerpo geométrico asociado

Sus caras son

Cilindro

Planas y curvas

¿Qué formas geométricas observan en cada envase? ¿Cómo son las caras laterales de las conservas o de los envases que trajeron? ¿Con qué figura geométrica relacionas la base del envase? ¿Qué otros cuerpos geométricos conoces?

Estas preguntas y las respuestas que obtenga de sus estudiantes le permitirán motivarlos e introducir el estudio de la Unidad. Además, están relacionadas con la circunferencia, el círculo, el cilindro y el cono. La actividad inicial presentada en el Texto está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores, tales como figuras geométricas, cuerpos geométricos y cálculo del volumen. (Habilidades que desarrolla: analizar y reconocer). 141

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 142

TEXTO DEL ESTUDIANTE 74 Y 75

Unidad 3

¿Cuánto sabes? 1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste. a) ABCD cuadrado D

c) LMNO romboide

5 cm

b) HGFE trapecio isósceles E

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

8 cm

IJK equilátero

5 cm

¿Qué debes recordar? 4 cm

9 cm

3,5 cm

2. Calcula el área de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste. a)

c) D

6. Si el área de un terreno cuadrado es 100 m2, ¿cuántos metros de alambre se necesitan para cercar el terreno con una vuelta?

6 cm

5 cm A

5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto mide su perímetro?; ¿y su área?, ¿y si los catetos se duplican?

EFG isósceles de base EF

• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Según el número de sus lados, se clasifican en: triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), etc. • Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de sus lados, reciben el nombre de polígono regular. • La apotema de un polígono regular es la distancia perpendicular entre el centro y cualquiera de sus lados. apotema del pentágono

2,6 cm 10 cm

• El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de su frontera o contorno, expresada como unidad de longitud. • El área es la medida de la superficie de una figura. • Para calcular el área de un cuadrado de lado a, se puede utilizar la fórmula a2. • Para calcular el área de un rectángulo de lados a y b, se puede utilizar la fórmula a • b.

A 2,6 cm B E

b) H

12 cm L 5 cm

• Para calcular el área de un triángulo de base b y altura h, se puede utilizar la fórmula

12 cm I

17,5 cm

4 cm

3. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a)

b) 3m

5,5 cm

4 cm

4. El perímetro de un triángulo equilátero es 24 cm. Si la medida de uno de sus lados aumenta en 3 cm, ¿cuánto mide ahora el perímetro del triángulo?, ¿sigue siendo equilátero?, ¿por qué?

74 Unidad 3

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular el perímetro de los polígonos dados. Ítem 2: calcular el área de los polígonos dados. 142

Unidad 3 – Geometría y medición

2 • En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su base B y su altura, ya que son perpendiculares entre sí. • En un triángulo ABC rectángulo en C se cumple que: c 2 2 2 a

4 cm

b •h

a +b =c

(Teorema de Pitágoras)

• Un prisma recto es aquel poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos iguales llamados bases. El resto de las caras son rectángulos perpendiculares a las bases y se llaman caras laterales. • Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos, que concurren en un punto llamado cúspide. Las pirámides rectas son aquellas cuyas caras laterales son triángulos isósceles. De lo contrario, se denominan oblicuas. Las pirámides regulares son aquellas cuya base es un polígono regular.

Geometría y medición

Ítem 3: calcular el área total y volumen de los cuerpos geométricos dados. Ítem 4: calcular el perímetro de un triángulo y determinar si sigue siendo equilátero al variar la medida de uno de los lados del triángulo inicial. Ítem 5: calcular área y perímetro de un triángulo rectángulo. Ítem 6: determinar la cantidad de metros necesarios para cercar un terreno cuadrado, sabiendo su área. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 143

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

cateto faltante en el triángulo rectángulo. Si ocurre esto, presénteles un ejemplo en donde deban encontrar la medida de algún cateto o de la hipotenusa.

¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: calcular y justificar. Ítem 3: calcular. Ítem 4: analizar, calcular y justificar. Ítems 5 y 6: analizar, aplicar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes hayan olvidado cómo calcular el perímetro de los polígonos dados. Recuérdeles que el perímetro es la medida de la longitud del contorno de una figura, y se obtiene sumando las medidas de sus lados. • En el ítem 2, si tienen dudas respecto a cómo calcular el área de algunos de los polígonos dados, recuérdeles que el área corresponde a la medida de la superficie de una figura. Por otro lado, podrían tener problemas para determinar la medida del

• En el ítem 3, puede que los alumnos y alumnas presenten dificultad para determinar el área total y el volumen del prisma y de la pirámide, debido a que no recuerdan cómo hacerlo. Para ayudarlos, explique en la pizarra cómo hacer los cálculos en ambos casos. • En el ítem 4, los alumnos y alumnas se podrían confundir al pensar que cada lado del triángulo equilátero se aumenta en 3 cm. En este caso, enfatice a sus estudiantes que solo aumenta en 3 cm un lado. • En el ítem 5, podría ocurrir que sus alumnos se confundan y determinen preliminarmente que el área del triángulo rectángulo se duplica si se duplican las medidas de los catetos. Para corregir este error, pídales que hagan el ejercicio y, luego, concluyan, a partir de los resultados obtenidos, que el área se cuadriplica. • En el ítem 6, podrían dividir el área por 2 en vez de calcular la raíz cuadrada. Para evitarlo recuérdeles el proceso inverso y pregunte ¿qué operación deben hacer para obtener el área de un cuadrado?

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Calcula correctamente todos los perímetros y áreas de los polígonos 1y2 pedidos, justificando de forma detallada cada uno de sus pasos.

Logrado Calcula correctamente todos los perímetros y áreas de los polígonos pedidos, sin justificar cada uno de sus pasos.

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula erróneamente dos o tres de Calcula erróneamente más de tres de los perímetros o áreas de los polígonos los perímetros o áreas de los polígonos pedidos, sin justificar sus pasos. pedidos, sin justificar sus pasos.

Calcula correctamente todas las áreas y Calcula correctamente todas las áreas y Calcula erróneamente una o dos de las volúmenes de los cuerpos geométricos volúmenes de los cuerpos geométricos áreas o volúmenes de los cuerpos geopedidos, indicando de forma detallada pedidos, sin indicar sus pasos. métricos pedidos, sin indicar sus pasos. sus pasos.

Calcula erróneamente más de dos de las áreas o volúmenes de los cuerpos geométricos pedidos, sin indicar sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro del triángulo, justificando por qué no corresponde a un triángulo equilátero.

Calcula correctamente el perímetro del triángulo, indicando que no corresponde a un triángulo equilátero sin justificar por qué.

Calcula erróneamente el perímetro del triángulo, indicando que no corresponde a un triángulo equilátero, sin justificar por qué.

Calcula erróneamente el perímetro del triángulo, indicando que sí corresponde a un triángulo equilátero.

Calcula correctamente el perímetro y área pedidos, aplicando el teorema de Pitágoras, indicando cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro y área pedidos, aplicando el teorema de Pitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro o área, aplicando el teorema de Pitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro y área, aplicando de forma incorrecta el teorema de Pitágoras, sin indicar cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el perímetro del Calcula correctamente el perímetro del Determina la medida del lado pero cuadrado, indicando detalladamente cuadrado, sin indicar cada uno de calcula erróneamente su perímetro. cada uno de sus pasos. sus pasos.

Calcula erróneamente el perímetro del cuadrado, sin indicar cada uno de sus pasos.

143

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 144

TEXTO DEL ESTUDIANTE 76 Y 77

Unidad 3

Circunferencia y círculo como lugar geométrico No olvides que... Dispositivo

Tomás

Hernán

Gabriel

G C

Carolina F Francisca

O D B

Bernardo

Eduardo Daniela Sara

Límite de la señal

En el patio de una universidad se ha instalado un dispositivo emisor de Internet, para que los y las estudiantes que dispongan de tarjetas receptoras en sus computadores personales puedan acceder a la Web. El dispositivo receptor tiene un alcance hasta los 500 metros a la redonda. Observa la imagen que muestra el punto del patio donde se instaló el dispositivo emisor y a los y las estudiantes que, en ese momento, estaban con sus computadores usando internet.

Glosario

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado centro; dicha distancia se denomina radio. Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a una circunferencia de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

Para discutir • ¿Cuántos metros hay desde el dispositivo hasta E?, ¿y hasta B y H?, ¿cómo lo supiste? • ¿Qué sucede con los estudiantes que están a menor distancia que 500 m del dispositivo?, ¿y los que están a más de 500 m a la redonda?, ¿cómo lo expresarías geométricamente? • Si los estudiantes que están ubicados a menos de 500 m del dispositivo se ubicaran justo a 500 m de este, ¿dónde se encontrarían geométricamente?, ¿por qué? • ¿Con qué conceptos geométricos puedes relacionar a las personas que están a menor distancia de 500 m a la redonda del dispositivo?, ¿y los que están a 500 m?, ¿por qué?

conjunto: es toda agrupación de objetos. Los objetos agrupados toman el nombre de elementos del conjunto. pertenece: corresponde a todos los elementos que forman parte de un conjunto dado. Se simboliza 僆. no pertenece: corresponde a todos los elementos que no forman parte de un conjunto dado. Se simboliza 僆.

• Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

En la situación anterior, los puntos que se encuentran a 500 metros del dispositivo emisor son H, B y E. Estos puntos y todos aquellos que están a 500 metros del dispositivo emisor O, pertenecen a la circunferencia. El dispositivo corresponde al centro de la circunferencia; la distancia desde el centro O a la circunferencia se denomina radio; en este caso, el radio es de 500 metros. El conjunto de todos los puntos que están en el interior de la circunferencia de centro O, como C, F, G y D, pertenecen al círculo. Luego, la circunferencia es el contorno del círculo. Los puntos S y T se encuentran a más de 500 m del centro O de la circunferencia, por lo tanto, no pertenecen a ella (ni al círculo). Esto quiere decir que Sara y Tomás no pueden acceder a la web.

C = 冦p 僆 P / d ( p, O ) = r 冧 • El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a un círculo de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = 冦p 僆 P / d ( p, O )ⱕ r 冧 La notación d ( p, O ) representa la distancia desde cualquier punto p del plano P al centro O.

Actividades 1. Observa la siguiente circunferencia de centro O y el círculo de centro C, respectivamente y, luego, responde. a) ¿En qué se parecen ambas figuras?, ¿en qué se diferencian? b) ¿Qué aspectos caracterizan a cada figura? c) ¿Cuándo un punto pertenece al círculo?, ¿y a la circunferencia? Da 2 ejemplos para cada caso.

• pertenecen • no pertenece a) b) c) d) e) f)

• radio • pertenecen

• no pertenecen • pertenece

El de la circunferencia de centro O mide 1 cm. El punto C al círculo. Los puntos D y E al círculo. Los puntos D y E a la circunferencia. Los puntos B y F a la circunferencia. El punto E al círculo.

D O B

C F

Geometría y medición

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista […].

Para discutir

Unidad 3 – Geometría y medición

2. Observando la figura, completa cada una de las siguientes expresiones con:

76 Unidad 3

144

Ítem 1: analizar y justificar. Ítems 2 y 3: analizar, conectar y justificar. Ítem 4: analizar, conectar, reconocer y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 145

Actividades Ítem 1: analizar y reconocer. Ítem 2: analizar e identificar.

ACTIVIDAD INICIAL La situación presentada en el Texto es muy familiar para sus estudiantes, pues está relacionada con conexiones a Internet, tema muy actual. A partir de la contextualización y de las preguntas exploratorias planteadas en la sección PARA DISCUTIR, se pretende que los alumnos y alumnas descubran las características de la circunferencia y del círculo. Para complementar la situación presentada, podría dibujar en la pizarra algo similar al dibujo de la página y sacar a algunos o algunas de sus estudiantes al pizarrón para que realicen la actividad en conjunto. A otros estudiantes podría pedirles que lean las preguntas, procurando la participación del resto de los alumnos y alumnas y, luego, respondan las preguntas entre todos. Para complementar el tema y la información, podría plantear preguntas como las siguientes: • ¿Sabes qué es un círculo?, ¿y qué es una circunferencia? • ¿La circunferencia y el círculo corresponden a la misma figura?, ¿por qué? • ¿Conoces los elementos de una circunferencia?, ¿cuáles son?

La próxima clase (después de la tarea), invítelos a que expongan al resto del curso los resultados obtenidos de la observación y de la exploración en Internet. • Es importante que sus estudiantes noten la diferencia entre círculo y circunferencia, ya que, en muchos casos, suelen pensar que ambos conceptos son equivalentes. Podría aclarar, en términos simples, la diferencia entre cada figura. • Es posible que los alumnos y alumnas no estén muy familiarizados con el tipo de notación matemática en lenguaje conjuntista. Por ello es importante mencionar lo que representa cada símbolo, por ejemplo: <: menor que

>: mayor que

∈: pertenece

≤: menor o igual que

≥: mayor o igual que

∉: no pertenece

De esta forma se familiarizarán con este tipo de lenguaje matemático. La idea es introducirlo de manera progresiva, para que los y las estudiantes noten que es posible usar otra notación sin que se transforme en una dificultad.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. Nombre

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, podría pedir a sus alumnos y alumnas que, usando sus cuadernos, escriban las características de un círculo y de una circunferencia, para que respondan con más facilidad las preguntas planteadas. Al finalizar esta actividad, pregunte a los y las estudiantes qué respondieron y si están de acuerdo, para que finalmente, puedan llegar a una puesta en común. • En el ítem 2, para evitar confusiones, puede pedirles que lean cada una de las oraciones dadas y, luego, las opciones. De esta forma podrán completar con menos dificultad las expresiones. Además, si es necesario, permítales que utilicen regla para medir el radio.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Muchos objetos que utilizamos tienen forma circular. Como tarea, podría pedirles a sus estudiantes que observen qué objetos que nos rodean tienen dicha forma. De este modo, podrá conectar un contenido matemático con la realidad. En el arte es posible observar circunferencias y círculos en maravillosas creaciones, como pinturas, esculturas, construcciones, etc. Podría pedir, como tarea, que busquen en Internet obras de arte, esculturas o construcciones con estas formas. 145

Unidad 3 – Geometría y medición

Dibujo

Definición

Circunferencia

Círculo (Habilidades que desarrolla: reconocer y recordar). De profundización 1. Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Justifica tus respuestas. a)

Círculo y circunferencia son conceptos equivalentes.

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a igual distancia del centro.

El círculo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya

distancia al centro es menor que el radio. d)

El radio se puede medir considerando dos puntos de la circunferencia.

(Habilidades que desarrolla: recordar y analizar). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 146

TEXTO DEL ESTUDIANTE 78 Y 79

Unidad 3

Elementos de la circunferencia C

Observa la siguiente circunferencia de centro O y los elementos marcados en ella.

No olvides que...

En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos: • Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

G H

A B

Para discutir • Si mides con una regla OE y OI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué? • ¿Qué diferencias observas entre la parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y G y el trazo FG?, ¿cómo lo supiste? • Si mides con una regla OE y HI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué? • ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre GF y AB ?, ¿y entre AB y CD ? • ¿Cuánto miden los ángulos OED y CEO? Usa transportador. • ¿Ocurrirá siempre lo mismo con las medidas de los ángulos formados entre el radio y la recta que interseca a la circunferencia en un solo punto?, ¿cómo lo supiste?

Glosario En Matemática puedes utilizar la siguiente notación: ᎏ Segmento HI: HI Recta AB: AB ៣ Arco FG: FG

En la circunferencia anterior, tenemos que OE y OI corresponden a segmentos que unen un punto de la circunferencia con su centro O; estos segmentos corresponden al radio de la circunferencia.

• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. • Diámetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerda de mayor longitud en la circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida del diámetro corresponde al doble de la medida del radio. • Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. • Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos. • Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

Actividades 1. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno una circunferencia de centro O y radio 3 cm. Luego, sigue las instrucciones y responde las preguntas. a) Traza un diámetro: ¿cuánto mide? b) Traza una recta secante y marca con distintos colores los arcos determinados por ella. c) Traza un radio OA y, luego, una tangente a la circunferencia que pase por A. Para esto, utiliza escuadra. d) Traza una cuerda de menor longitud que el diámetro, ¿qué sucede si son de igual longitud? 2. Considera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla.

La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y G ៣ ), es decir, corresponde a todos los puntos se denomina arco (FG pertenecientes a la circunferencia entre dichos puntos, a diferencia de FG, que contiene solo a dos puntos de la circunferencia. Este segmento se denomina cuerda.

El arco de una circunferencia se lee en sentido inverso al giro de los punteros del reloj.

Al observar AB y CD , podemos notar que la primera recta corta a la circunferencia en dos puntos, a diferencia de CD , que toca a la circunferencia en un solo punto (E ). En el caso de AB , la recta se llama secante a la circunferencia, y en el caso de CD , tangente a la circunferencia. Además, el ángulo formado entre la tangente y el radio, en el punto de intersección (E ) es recto (mide 90º).

Secante(s) Tangente(s) Arco(s)

a) b) c) d) e)

Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arcos. El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio. Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos. Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia. El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida. Geometría y medición

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos […] e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.

Para discutir

Unidad 3 – Geometría y medición

O C

3. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

78 Unidad 3

146

Radio(s)

Por otra parte, HI mide el doble del radio; este segmento que une dos puntos de la circunferencia y, además, pasa por el centro de ella se llama diámetro.

Ayuda

Cuerda(s) Diámetro(s)

Ítem 1: usar herramientas y analizar. Ítem 2: analizar y justificar. Ítem 3: usar herramientas, analizar y justificar.

Ítem 4: analizar. Ítem 5: usar herramientas. Ítem 6: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 147

Actividades

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Ítem 1: usar herramientas y analizar. Ítem 2: reconocer. Ítem 3: analizar y justificar.

De refuerzo 1. Completa la siguiente tabla. Elemento de la circunferencia (rojo)

ACTIVIDAD INICIAL El propósito de esta actividad es mostrar a los y las estudiantes los elementos de la circunferencia y las propiedades de cada uno de ellos. La idea es que midan los segmentos pedidos y respondan las preguntas planteadas y, a partir de esto, puedan deducir las características de cada elemento.

Nombre

Característica

Sería conveniente que analicen las preguntas de la sección PARA DISCUTIR en conjunto y, luego, hagan una puesta en común.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, los alumnos y alumnas deben dibujar los elementos de una circunferencia. Por ello, es recomendable que lean cuidadosamente las instrucciones de lo que deben realizar para evitar confusiones. Además, en la actividad c), deben dibujar una recta tangente; en este caso puede O guiarlos al momento de usar la escuadra. Entonces, pueden hacer algo similar a la imagen del lado derecho. • En el ítem 2, mencione a sus estudiantes que deben colocar las nomenclaturas matemáticas correspondientes de segmentos, rectas y arcos, y con las letras ade . cuadas. Por ejemplo, recta AB: AB ; radio OA: OA; arco CF: CF • En el ítem 3, recuerde a sus estudiantes que deben justificar por escrito aquellas oraciones que consideren falsas. Se sugiere que revisen esta actividad leyendo en voz alta cada expresión y determinando en conjunto si son verdaderas o falsas, incluyendo las justificaciones.

(Habilidades que desarrolla: reconocer y recordar). De profundización 1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica. a)

El radio y la tangente forman un ángulo de 90º en el punto de tangencia.

El diámetro de una circunferencia siempre pasa por el centro de esta.

Una recta secante corta a la circunferencia en dos puntos.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Una recta tangente no interseca a la circunferencia.

• Algunos elementos de la circunferencia (radio y diámetro), que ya se han estudiado en cursos anteriores, en este semestre se formalizan. Con respecto a los nuevos elementos (arcos, cuerdas, rectas secantes y rectas tangentes), es importante que queden consolidados, pues en niveles posteriores estudiarán relaciones entre cuerdas y rectas en la circunferencia, entre otras cosas. • Es importante que tenga en consideración la siguiente propiedad: toda recta tangente a una circunferencia es perO pendicular al radio trazado desde el punto de tangencia (T).

El diámetro es la mayor cuerda de una circunferencia.

2. Dibuja, usando regla y escuadra, en la siguiente circunferencia: – el centro (O). – un radio (OA). – una cuerda (AB). – una recta tangente (que pase por B). – una recta secante (BC). – un diámetro (CD). (Habilidades que desarrollan: recordar, analizar, reconocer y usar herramientas).

147

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:54 Página 148

TEXTO DEL ESTUDIANTE 80 Y 81

Unidad 3

Número y su relación con la circunferencia No olvides que... En equipo En esta actividad deberán utilizar 1 metro y medio (aprox.) de lana, regla, compás y calculadora para medir la longitud y el diámetro de circunferencias y calcular el cociente entre dichas medidas. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm. 2. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente lo mismo que cada una de estas figuras. 3. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la longitud de las circunferencias. 4. Completen la tabla. Circunferencia

Medida del diámetro (cm)

Medida de la longitud (cm)

Valor de la razón entre la longitud y el diámetro

La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante que llamamos número . Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primeras cifras es: 艐 3,1415926535…

Actividades 1. Usando calculadora, determina cuál de las siguientes expresiones corresponde a una mejor aproximación al número . a)

22 7

256 81

377 120

355 113

25 8

3927 1250

2 3

2. Agustín dice que para calcular la longitud de una circunferencia basta con multiplicar el diámetro de esta. ¿Consideras correcto lo que afirma?, ¿por qué?

Ayuda Recuerda que el valor de la razón es el cociente entre dos cantidades.

Para discutir • ¿Cómo calculaste la medida del diámetro?, ¿y la longitud de cada circunferencia? • Los valores obtenidos en la última columna, ¿tienen algo en común?, ¿por qué? • Si dibujaras otras circunferencias, con distintos radios, ¿qué valores obtendrías al calcular el cociente entre su longitud y el diámetro?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué? • ¿Reconoces los valores obtenidos en la última columna con algún número especial?, ¿cuál?

por

3. ¿Puedes obtener la longitud de una circunferencia si conoces la medida de su radio?, ¿cómo lo harías? 4. Utilizando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera el número , redondeado a los centésimos ( = 3,14). Circunferencia

Medida del radio (cm)

Medida del diámetro (cm)

Medida de la longitud (cm)

37,68

62,8

31,4

4 5

15 10,5

En la actividad anterior, podemos notar que el cociente obtenido en la última columna de la actividad experimental es aproximadamente 3,14 en todos los casos. Si realizáramos el mismo experimento con circunferencias cuyo radio fuera diferente, observaríamos que dicho valor se mantiene constante. Este valor se representa con la letra griega , y se pronuncia número pi.

314 6,5

125,6

80 Unidad 3

Geometría y medición

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia […].

En equipo

Para discutir

Ítems 1, 2 y 3: usar herramientas. Ítem 4: clasificar.

Ítem 1: justificar. Ítems 2 y 3: analizar y justificar. Ítem 4: reconocer.

148

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 149

Actividades Ítem 1: usar herramientas y reconocer. Ítems 2 y 3: analizar y justificar. Ítem 4: calcular y usar herramientas.

ACTIVIDAD INICIAL El propósito de la actividad EN EQUIPO es que los alumnos y alumnas, por medio de la exploración, puedan establecer que el valor de la razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia es aproximadamente 3,14. De este modo, se dará paso a un valor constante, que se denomina número π. Es importante que todos los alumnos y alumnas tengan los materiales necesarios para el desarrollo de la actividad, supervise que en los grupos todos la realicen. Además, procure que trabajen con precisión, pues de esta manera lograrán resultados esperados. Al final de la actividad, podría realizar una revisión general con el curso sobre los resultados obtenidos, para luego hacer una puesta en común.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Usando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera π = 3,14. Circunferencia

Radio (m)

Diámetro (m)

Longitud (m)

94,2

157

(Habilidad que desarrolla: calcular y usar herramientas).

De profundización

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si es necesario, recuerde a sus estudiantes que la mejor aproximación al número π debe ser verificada con las cifras que coinciden en la misma posición, partiendo desde la parte entera hasta las cifras decimales. • En el ítem 2, podría sugerir a sus estudiantes que verifiquen la afirmación de Agustín utilizando los datos de la tabla de la actividad inicial. • En el ítem 3, si es necesario, puede recordarles la relación entre el radio y el diámetro de una circunferencia. De esta forma, será más sencillo analizar la relación entre la longitud de una circunferencia y el radio. Además, sugiera analizar la tabla de la actividad inicial. • En el ítem 4, si lo estima conveniente, realice, a modo de ejemplo, algunos de los ejercicios planteados en el Texto.

1. Usando calculadora, responde las siguientes preguntas. Escribe, paso a paso, cómo llegaste a la solución. Considera π = 3,14. a) ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia si su longitud es 314 cm? b) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su longitud es 62,8 m? c) ¿Cuál es la longitud de una circunferencia si su diámetro es 23 mm? d) ¿Cuál es la longitud de una circunferencia si su radio es 17 cm? e) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su diámetro es 19 cm? f) ¿Cuál es el radio de una circunferencia si su longitud es 34,54 cm? g) ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia si su longitud es 78,5 cm? (Habilidades que desarrolla: calcular y justificar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante que mencione a sus estudiantes que el número π es un número irracional. Es decir, no se puede expresar como fracción y tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Sus primeras cifras son: π = 3,14159265358979… • En las calculadoras científicas existe una tecla destinada a entregar una aproximación al número π, sin embargo, en el texto utilizaremos la aproximación 3,14. • Para obtener el valor del número π en una calculadora científica, se deben presionar las teclas: π = Shift 149

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 150

TEXTO DEL ESTUDIANTE 82 Y 83

Unidad 3

Longitud de la circunferencia E

La siguiente figura muestra un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia. El hexágono regular está dividido en 6 triángulos equiláteros, que tienen un vértice común en el centro de la circunferencia.

Luego, si consideramos lo anterior y, además, que el diámetro es igual a 2 veces el radio (2 • r ), verificamos que: longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro • d> 3 • d (2 • r ) > 3 • (2 • r ) Por lo tanto, 2 • • r > 2 • 3 • r

Para discutir A

•

• ¿Con qué elemento de la circunferencia puedes igualar los lados del hexágono?, ¿por qué? • Observa el perímetro del hexágono y la longitud de la circunferencia, ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo supiste? • Según lo estudiado hasta ahora, ¿cómo relacionarías la longitud de la circunferencia con el diámetro y el número ?

Lo anterior se confirma con que

> 3.

No olvides que... La longitud de una circunferencia (l ) es igual al producto de 2 por l=2• •r

En la situación anterior, el hexágono regular inscrito en la circunferencia con centro en O se ha dividido en 6 triángulos equiláteros y cada lado de los 6 triángulos coincide con el radio de la circunferencia. Los arcos que se forman con los lados del hexágono tienen medida un poco mayor que dichos lados y, por lo tanto, es un poco mayor que el radio. Luego, si comparamos la longitud de la circunferencia, que es igual a la suma de todos los arcos; con el perímetro del hexágono, que es igual a 6 veces el radio, tenemos que:

por su radio (r ). Es decir,

Actividades 1. Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). Considera 7 cm 2

a) r = 4 cm

c) r = 4,7 cm

e) r =

b) r = 0,5 m

d) r = 1,7 km

f) r = 9 cm

= 3,14.

g) r = 1000 cm h) r = 10 000 cm

2. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l ). Considera

circunferencia (l ) y su diámetro (d ), es decir,

l d l • • d = d d =

Por lo tanto, l =

•

l . Entonces: d

c) l = 1256 km d) l = 6,28 cm

e) l = 3,14 m f) l = 188,4 cm

3. Calcula la longitud de cada circunferencia. Considera a)

/ multiplicamos por d

= 3,14.

g) l = 31,4 cm h) l = 50,24 m

= 3,14. c)

15 cm L

5 cm

Por otro lado, estudiamos en la actividad experimental de la página 80 que el número es igual a la razón entre la longitud de una

a) l = 28,26 cm b) l = 11,304 m

3c m

longitud de la circunferencia > perímetro del hexágono longitud de la circunferencia > 6 veces la medida del radio longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro

82 Unidad 3

Geometría y medición

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […]. Cálculo de la longitud de una circunferencia […]

Para discutir

Ítems 1 y 2: reconocer y justificar. Ítem 3: analizar.

150

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 151

Actividades la función del software que calcula perímetros, determine los perímetros de las circunferencias y de los polígonos para que observen que, efectivamente, los perímetros se aproximan mientras más lados tiene el polígono regular.

Ítems 1, 2 y 3: calcular.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es presentar el estudio del cálculo de la longitud de una circunferencia, a partir de un hexágono regular inscrito en ella. La idea es que sus estudiantes relacionen el perímetro de este polígono con la longitud de la circunferencia. De acuerdo con el ejemplo mostrado en la actividad inicial, se concluye que la longitud de la circunferencia es tres veces mayor que la medida del diámetro.

Esta manera de probar lo mencionado anteriormente respecto de los polígonos, es una instancia que puede aprovechar para mostrarles a sus estudiantes cómo funciona GeoGebra, ya que tendrán que trabajar con él en la página 86. • Es conveniente reforzar la multiplicación y división con números decimales antes de comenzar a estudiar la longitud de la circunferencia. Por otro lado, también es importante que permita a sus alumnos y alumnas trabajar con calculadora. Lo importante es no centrarse en una sola forma de resolver, sino que combinar ambas.

Luego de responder las preguntas, podría plantear lo siguiente, para complementarlas: • Si inscribimos en una circunferencia un pentágono regular, ¿qué sucederá con la longitud de la circunferencia y la de este polígono regular?, ¿sus valores serán más similares?, ¿y si inscribimos un octágono regular?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, pida a sus estudiantes que revisen las respuestas obtenidas, utilizando calculadora. Además, podrían chequearlas en conjunto, para que los alumnos o alumnas que tengan algún error lo corrijan inmediatamente. • En el ítem 2, pídales que planteen la ecuación que permite encontrar el radio; por ejemplo, en la actividad a), sería: 2 • 3,14 • r = 28,26 6,28 • r = 28,26 ∴ r = 4,5

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina la longitud de las siguientes circunferencias. Considera π = 3,14. a)

b) 3,5 cm 5 cm

(Habilidades que desarrolla: calcular). / : 6,28

Pregunte si existe otra forma de resolver, para que la compartan y discutan con los demás. • En el ítem 3, propóngales que realicen los cálculos de forma manual, para que practiquen la multiplicación con números decimales y, luego, comprueben con la calculadora.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante destacar que un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella. • Es importante mencionar a sus estudiantes que a medida que aumenta el número de lados del polígono regular, el perímetro de este se aproxima a la longitud de la circunferencia circunscrita. Si dispone de un proyector y un procesador geométrico (como GeoGebra), podría dibujar tres circunferencias con radios de igual medida e inscribir un polígono regular en cada una, que sean distintos entre sí. Luego, con

De profundización 1. Determina la longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado, considerando que el perímetro del cuadrado es 60 cm. Considera π = 3,14.

2. El perímetro de la siguiente figura es 41,12 cm. Determina la medida del diámetro EG. Considera π = 3,14.

(Habilidades que desarrollan: analizar y calcular). 151

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 152

TEXTO DEL ESTUDIANTE 84 Y 85

Unidad 3

Área del círculo Observa los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

No olvides que... El área de un círculo (Á) es igual al producto de

por su radio al cuadrado (r 2). Es decir, Á =

•

Actividades Para discutir • ¿Cómo son entre sí el área del círculo y el área de cada polígono regular?, ¿qué sucede con estas áreas a medida que aumenta la cantidad de lados del polígono regular? • ¿Con qué elemento del círculo relacionas la apotema?, ¿qué relación tiene con el número de lados del polígono regular? • ¿Puedes aproximar el área del círculo conociendo la medida de la apotema y de uno de sus lados?, ¿cómo?

1. Dados los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia, usa escuadra para dibujar la apotema, y con una regla mide uno de los lados y la apotema dibujada. Luego, aproxima el área de cada círculo. a)

c) G

¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área del círculo correspondiente? Justifica.

Ayuda Recuerda que la fórmula para calcular el área de un polígono regular es: perímetro • apotema 2

Como puedes observar en las figuras de la situación anterior, mientras más lados tenga el polígono regular, su área será una mejor aproximación al área del círculo. Por otra parte, la medida de la apotema del polígono se aproxima cada vez más al radio del círculo. Para aproximar el área del círculo, podemos calcular el área de un polígono regular inscrito en la circunferencia y, mientras más lados tenga el polígono, la aproximación será mejor. Por ejemplo, el polígono regular de la siguiente figura tiene 10 lados, si cada lado mide 2,5 cm y su apotema mide 3,85 cm, entonces:

2. Observa los siguientes círculos cuyos radios miden lo mismo y los polígonos inscritos en ellos. Utilizando regla, escuadra y calculadora, completa la tabla. Considera el número , redondeado a los centésimos ( = 3,14).

Nº lados del polígono

Área polígono regular = (10 • 2,5) • 3,85 = 48,125 cm2 2

Medida de la apotema (cm)

Medida del radio (cm) 1,5

Área polígono (cm2)

Área círculo (cm2) 3,14 • 1,52 = 7,065

Por lo tanto, el área del círculo se aproxima a 48,125 cm2. Luego, como la longitud de la circunferencia es igual a 2 • • r , y el área del círculo (Á) se aproxima a la de un polígono regular de muchos lados, entonces: (2 • • Á = perímetro apotema = 2

•

r) • r

•

3. Utiliza la fórmula: Área = • r 2, para calcular el área de los círculos de la pregunta 1 y, luego, compara los valores obtenidos con las aproximaciones. Considera 3,14. 4. Dado un círculo cuyo radio mide 3 cm, ¿qué sucede con su área si duplicas el radio?, ¿y si lo triplicas? Calcula el área en cada caso. Considera 3,14.

84 Unidad 3

Geometría y medición

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […] estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

Para discutir

152

Unidad 3 – Geometría y medición

Ítems 1 y 2: analizar. Ítem 3: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 153

Actividades Ítem 1: usar herramientas, calcular, analizar y justificar. Ítem 2: usar herramientas y calcular. Ítem 3: calcular. Ítem 4: calcular y analizar.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial es presentar a los y las estudiantes el cálculo del área del círculo, a partir de diversos polígonos regulares inscritos en una circunferencia. La idea es que sus estudiantes relacionen el área de cada polígono regular con el área del círculo, en donde la apotema de cada polígono regular se aproxima al radio de la circunferencia a medida que aumenta el número de lados del polígono. La intención de esta actividad es que descubran que mientras más lados tenga el polígono regular inscrito, su área será una mejor aproximación del área del círculo. Luego de realizar la actividad, podría plantear la siguiente pregunta:

• Para evitar futuras confusiones, es conveniente que al finalizar el estudio de este contenido, mencione que la obtención del área de un círculo estudiada es a través de polígonos regulares inscritos en la circunferencia; por lo tanto, se trata de una estimación del área real. Luego, el área del círculo se calcula con la fórmula πr 2. • Si bien es importante que los alumnos y alumnas trabajen con calculadora, no es conveniente centrarse en una sola forma de resolver; también permítales realizar los cálculos mentalmente.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Utilizando escuadra, dibuja el apotema de cada polígono. Mide los lados y el apotema dibujado. Luego, aproxima el área de cada círculo. Considera π = 3,14. a)

• Si inscribimos un pentágono regular y un octágono regular en una circunferencia, ¿qué sucederá con el área del círculo y la de cada polígono regular?, ¿sus valores serán similares?, ¿cuál de las áreas de los polígonos será una estimación mejor del área del círculo?, ¿por qué?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 1 y 2, es conveniente recordarles a los y las estudiantes que la apotema es perpendicular al lado del polígono en su punto medio. • En los ítems 1, 2 y 3, si considera necesario reforzar la multiplicación con números decimales, pida a sus estudiantes que resuelvan algunos de los ejercicios sin calculadora y que la utilicen para revisar sus resultados. • En el ítem 3, pregúnteles cuáles fueron sus conclusiones. De este modo, podrán llegar a una puesta en común. • En el ítem 4, solicite que realicen los cálculos, en sus cuadernos, cuando el radio se duplica y cuando se triplica, pues, en muchos casos, suelen creer a priori que el área se duplica y triplica también.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas y calcular). De profundización 1. Calcula el área de las siguientes figuras, usando la fórmula área = πr 2. Considera π = 3,14. a)

c) 7 cm 11 cm

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante que recuerde a sus estudiantes que la apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados; además, es perpendicular a dicho lado.

8,2 cm

6 cm

J apotema del pentágono

153

Unidad 3 – Geometría y medición

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 154

TEXTO DEL ESTUDIANTE 86 Y 87

Unidad 3

Herramientas tecnológicas Usando Geogebra puedes calcular la longitud de una circunferencia y área de un círculo, entre otras cosas. Para descargar este software ingresa a: www.geogebra.at; en el menú de la izquierda selecciona Webstart-TeleInicio, luego, el botón Webstart y sigue las instrucciones.

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

Longitud de la circunferencia y área del círculo 1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono regular . Haz dos clic en puntos distintos del plano; luego, indica la cantidad de vértices del polígono (menor que 16) y, finalmente, presiona OK; aparecerá el polígono regular. 3º Selecciona Circunferencia dados tres de sus puntos . Haz clic en tres vértices del polígono regular; aparecerá la circunferencia circunscrita en el polígono. 4º Repite los pasos 2º y 3º (en el mismo plano); pero, en este caso, el polígono debe tener 20 lados. 5º Selecciona Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su perímetro. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud. 6º Selecciona Área . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su área. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo. Luego de realizar los pasos anteriores, responde. a) ¿En cuál de los casos el perímetro del polígono se aproxima más a la longitud de la circunferencia?, ¿y en el caso del área?, ¿por qué? b) Verifica en una nueva aplicación de Geogebra para otros polígonos. Compara los resultados obtenidos con tus compañeros y compañeras.

I. La circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. II. El número se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. III. Una recta tangente es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. A. Solo I

B. Solo II

C. I y II

D. I, II y III

2. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de dos circunferencias de diámetros 18 cm y 4 cm? (Considera = 3,14) A. 56,52 cm

B. 43,96 cm

C. 12,56 cm

3. El área de la corona circular es (considera A. B. C. D.

D. 87,92 cm

= 3,14):

28,26 cm2 172,7 cm2 69,08 cm2 229,22 cm2

5 cm

3 cm

4. El área del cuadrado de la figura es 16 cm2, ¿cuál es el área del círculo inscrito? (Considera = 3,14).

Corona circular 1º En una nueva aplicación de Geogebra, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Circunferencia dado su centro y uno de sus puntos . Haz dos clic en lugares distintos del plano; aparecerá una circunferencia. 3º Usando la misma herramienta anterior, haz un clic sobre el centro de la circunferencia y, luego, un clic que esté contenido en la circunferencia (no debe pertenecer c a ella), como se observa en la figura. La parte de la superficie que hay entre ambos círculos corresponde a la dA C corona circular. B 4º Selecciona Distancia o Longitud. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud. 5º Selecciona Área. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo. Luego responde: ¿cuál es el área de la corona circular?, ¿y el perímetro?, ¿cómo lo hiciste?

5. Para una presentación de gimnasia de un colegio se necesita elaborar 15 argollas de diámetro 80 cm, ¿cuántos metros de tubo plástico se debe comprar para su elaboración? (Considera = 3,14). Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Calcular la longitud de circunferencias.

Calcular el área de una corona circular.

Resolver problemas que involucran área de círculo y longitud de circunferencia.

4y5

Geometría y medición

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

Herramientas tecnológicas

Unidad 3 – Geometría y medición

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

86 Unidad 3

154

Ítem

Analizar afirmaciones asociadas a la circunferencia, círculo y .

Usar herramientas y analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 155

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Esta actividad debe ser desarrollada con el software GeoGebra, por lo cual se sugiere que la realice antes de trabajar con sus estudiantes. • Para el correcto desarrollo de la actividad, solicíteles que trabajen de manera individual; solo en caso de que no cuente con la cantidad de computadores necesarios, propóngales trabajar en grupos. • La primera parte de la actividad, sobre longitud de la circunferencia y área del círculo, como se trata de contenidos que fueron trabajados en las páginas anteriores del Texto, es una buena instancia para consolidar los aprendizajes y aclarar posibles dudas. • En la segunda parte se muestra a los alumnos y alumnas cómo construir una corona circular usando GeoGebra y, luego, determinar su área y perímetro. Es conveniente que, en este caso, comenten sus conclusiones y puedan llegar a una puesta en común. Además, sería interesante que les planteara un ejemplo en la pizarra, donde deban determinar dichos cálculos, sin usar el software computacional.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina el área y perímetro de la siguiente corona circular, AB = 18 cm y DB = 3 cm (considera π = 3,14). Explica cómo lo hiciste.

D B

2. ¿Es posible escribir una fórmula para determinar el área y otra para el perímetro de una corona circular?, ¿cuál? (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, calcular y generalizar).

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: analizar. Ítems 2, 3 y 4: analizar y calcular. Ítem 5: analizar, aplicar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, deben marcar la alternativa correcta; sin embargo, pídales que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, ya que esto le facilitará detectar si hay o no errores en la estrategia empleada. • En el ítem 4, puede que sus estudiantes se confundan y dividan el área del cuadrado en 2, en vez de sacar la raíz cuadrada. Para evitar este inconveniente, recuérdeles que deben aplicar la operación inversa de elevar al cuadrado. • En el ítem 5, puede que tengan problemas para abordar el problema. Si es necesario, oriéntelos diciéndoles que calculen la cantidad de metros de tubo plástico para una argolla y, luego, que calculen el total pedido. • Es posible que no recuerden aspectos específicos de los contenidos aprendidos hasta acá. Para superarlo, podría pedirles que realicen un mapa conceptual o cuadro resumen con los principales contenidos estudiados hasta este momento. También se sugiere una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantes conozcan las respuestas correctas y una forma de resolución. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 4 y 5. Ítem

155

Completamente logrado Calcula correctamente el área pedida, justificando detalladamente cada uno de sus pasos.

Logrado Calcula correctamente el área pedida, pero no justifica de manera adecuada los pasos de resolución.

Calcula correctamente los metros Calcula correctamente los metros de de tubo plástico, justificando tubo plástico, pero no justifica de detalladamente cada uno de sus pasos. manera adecuada los pasos de resolución. Unidad 3 – Geometría y medición

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula erróneamente el área pedida, confundiendo el radio como el lado del cuadrado.

Calcula erróneamente el área pedida, confundiendo el radio como el lado del cuadrado y no calcula correctamente la raíz cuadrada de 16.

Calcula erróneamente los metros de tubo plástico, confundiendo el diámetro con el radio.

Calcula erróneamente los metros de tubo plástico, confundiendo el diámetro con el radio, y no considera que son quince argollas. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 156

2. Determina la longitud de las siguientes circunferencias. Considera π = 3,14.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo

1. En cada línea de la columna “definición” escribe el número correspondiente, según el concepto matemático relacionado. Concepto matemático

1. Circunferencia

C 8 cm 6 cm

Definición

Recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

2. Círculo

Segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro.

17 cm

O 4,8 cm

3. Radio

Razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

4. Cuerda

Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

3. Determina el área de los siguientes círculos. Considera π = 3,14. a)

5. Diámetro

Segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

11 cm 12 cm

6. Arco

Lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo llamado centro.

7. Secante

Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

8. Tangente

Recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.

O 6,7 cm

9. Número π

156

Lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

Unidad 3 – Geometría y medición Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 157

4. Una circunferencia tiene una longitud de 106,76 m. ¿Cuánto mide su radio? Considera π = 3,14. 5. Un círculo tiene un área de 1133,54 m2. ¿Cuánto mide su radio? Considera π = 3,14. De profundización 1. Determina la longitud y el área de las siguientes figuras. Considera π = 3,14. a)

13 cm

3,5 cm

2. Determina el perímetro y el área de la siguiente corona circular, sabiendo que la diferencia entre el radio del círculo mayor y el menor es 1 cm, y el diámetro del círculo menor mide 9 cm. Considera π = 3,14.

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 156 Y 157 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. Los números (ordenados) son: 8, 5, 9, 6, 3, 1, 4, 7, 2. 2. a) l = 37,68 cm b) l = 30,14 cm c) l = 25,12 cm d) l = 53,38 cm 3. a) Á = 379,94 cm2 b) Á = 140,95 cm2 c) Á = 113,04 cm2 d) Á = 415,27 cm2 4. r = 17 m 5. r = 19 m De profundización 1. a) l = 12,495 cm b) l = 33,41 cm 2. l = 62,8 cm

Á = 9,62 cm2 Á = 66,33 cm2

Á = 31,4 cm2

3. El área sombreada es 42,14 cm2.

3. El radio del círculo de la figura mide 7 cm. Si el círculo está inscrito en el cuadrado, ¿cuál es el área sombreada? Considera π = 3,14.

157

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 158

TEXTO DEL ESTUDIANTE 88 Y 89

Unidad Unidad 33

Área del cilindro y del cono El cono se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y h alrededor de uno de sus catetos. El otro cateto determina un círculo llamado base.

Pedro y Lorena elaboraron las redes que se muestran a continuación, para construir dos cuerpos geométricos diferentes. Observa.

h: altura g: generatriz r : radio

Para discutir • Si armas estas redes, ¿qué cuerpos geométricos obtendrías? • Si armas las redes, ¿qué diferencias y semejanzas observas en cada cuerpo geométrico? • Si rotaras un rectángulo en torno a uno de sus lados, ¿cuál de estos cuerpos geométricos obtienes?, ¿y si rotaras un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos? • ¿Es necesario conocer algunos elementos para construir cada una de las redes?, ¿cuáles? • ¿Cómo calcularías el área total de cada cuerpo geométrico?, ¿puedes apoyarte en las redes?, ¿cómo lo harías?

Si quieres dibujar una red para construir un cilindro recto, debes conocer el radio del círculo de la base para dibujar un rectángulo en el que el lado a de este coincide con la longitud de las circunferencias y, luego, dibujas los círculos con el radio conocido. Para calcular el área total del cilindro, sumamos el área del rectángulo y el área de las bases circulares, es decir:

Á = área rectángulo + 2 • área círculo = ( 2 •

•

r • h) + (2 •

•

r : radio

Glosario cilindro recto: cuerpo geométrico obtenido al rotar un rectángulo en torno a uno de sus lados. cono recto: cuerpo geométrico obtenido al rotar un triángulo rectángulo en torno a un cateto.

Las redes de la situación anterior se obtienen al desarmar dos cuerpos geométricos. Con la primera red es posible construir un cilindro recto y, con la segunda red, se puede construir un cono recto. Si armamos las redes para construir los cuerpos correspondientes, observamos que el cilindro y el cono están compuestos por al menos una cara curva; estos cuerpos se denominan redondos. En cambio, aquellos cuerpos formados solamente por figuras geométricas planas, como la pirámide, se denominan poliedros. Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo de lados r y h alrededor de uno de sus lados. Los lados no paralelos al eje de giro determinan círculos llamados bases.

h r

h: altura

g: generatriz h

cara lateral b: base

Si quieres dibujar una red para construir un cono recto, conociendo el radio r de la base y la generatriz g (radio del sector circular) podemos calcular el ángulo del sector circular, para esto utilizamos la siguiente fórmula: r • 360º =

Con esta información, construyes una circunferencia de radio g y marcas un ángulo en el centro, de esta forma obtienes el sector circular; luego, dibuja la circunferencia de radio r, como se observa a continuación en la figura. Para calcular el área del cono, sumamos el área de la base y el área del sector circular. Si r es el radio de la base, su área es: Áb =

•

Si g es la generatriz, el área del sector circular es: Ásc =

88 Unidad 3

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […]; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, […].

Para discutir Ítem 1: analizar y justificar. Ítem 2: analizar e identificar. Ítem 3: analizar y conjeturar.

Unidad 3 – Geometría y medición

•

r •g Geometría y medición

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

158

r 2)

Ítem 4: analizar y reconocer. Ítem 5: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 159

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

El objetivo de la actividad propuesta en la sección PARA DISCUTIR es que los alumnos y alumnas observen y analicen las redes del cilindro y cono, y que sean capaces de deducir qué cuerpos geométricos se forman con las redes. Además, se espera que sean capaces de imaginar qué sucede si se hace rotar un rectángulo y un triángulo rectángulo en torno a uno de sus lados y catetos, respectivamente. Para motivar esta actividad, podría proponer a sus estudiantes que la realicen con rectángulos y triángulos rectángulos de papel o cartulina y, luego, que escriban sus conclusiones en sus cuadernos.

De refuerzo 1. Dados los siguientes polígonos, indica: a) ¿Con qué figuras es posible generar cilindros o conos rectos, si los hicieras rotar en torno a uno de sus lados? b) Alrededor de qué lado rotarías la figura seleccionada. ¿Hay más de una posibilidad para formar con ese polígono un cilindro o un cono?, ¿por qué? c) Esboza, en tu cuaderno, cómo quedaría cada cuerpo geométrico.

A partir de este trabajo inicial se pretende lograr que los alumnos y alumnas descubran cómo calcular el área total de conos y cilindros, utilizando contenidos previamente aprendidos en esta Unidad y en años anteriores.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Puede mostrar a sus estudiantes distintas redes asociadas al cono y al cilindro, para que, por medio de la observación e imaginación, analicen algunas características de estos cuerpos. Además, podrán visualizar la relación entre las fórmulas para calcular las áreas totales de dichos cuerpos y las redes. • Esta forma de iniciar el contenido, permitirá que las alumnas y los alumnos analicen y reflexionen respecto de cómo deducir fórmulas y no simplemente memorizarlas; asimismo, estará facilitando en ellos el razonamiento matemático y el aprendizaje significativo.

(Habilidades que desarrolla: analizar, reconocer y representar). 159

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 160

TEXTO DEL ESTUDIANTE 90 Y 91

Unidad 3

Luego, el área total del cono es:

Ayuda Recuerda que el área de una pirámide se obtiene al sumar el área de todas sus caras y el área de la base.

Á = área base + área sector circular = (

•

r 2) + (

•

r • g) 2. El ancho del rectángulo que gira mide 30 cm y su largo mide 45 cm, calcula (considera

r: radio g: generatriz

b: base

3,14):

a) el área de la base del cilindro que se genera. b) el área total del cilindro.

sector circular r

3. Calcula el área lateral de un cilindro recto, cuya base es un círculo de 452,16 cm2 de área y cuya altura es igual al diámetro de la base (considera 3,14).

No olvides que... • Si r es el radio de la base y h la altura, el área total de un cilindro está dada por:

Ácilindro = (2 •

•

r • h) + (2 •

•

r 2)

• Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área total del cono está dada por:

Ácono = (

•

r 2) + (

•

r • g)

3,14).

5. Si el radio de la base de un cono recto mide 4 cm y el ángulo del sector circular mide 60º, ¿cuál es el área total del cono? (Considera 3,14). 6. Un recipiente tiene forma de cilindro circular recto. El área de cada base es de 1256 cm2 y la altura del cilindro mide 15 cm (considera 3,14).

Actividades 1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos (considera a)

4. Calcula el área total de un cono recto donde r = 3 cm y g = 10 cm (considera

3,14).

a) ¿Cuánto mide el diámetro de la base? b) ¿Cuál es el área lateral del recipiente? c) ¿Cuánto mide el área total? 7. El área total de un cilindro recto es 565,2 cm2, su radio mide 5 cm y su generatriz mide 13 cm. Si su radio aumentara en 2 cm (considera 3,14):

a) ¿cuál es el área total del nuevo cilindro? b) ¿en cuántos cm2 aumenta su área? radio de base = 7 cm generatriz = 20 cm

arista de la base = 10 cm altura = 12 cm b)

radio de la base = 6 cm generatriz = 10 cm

8. El perímetro de la base de la pirámide recta cuya base es un polígono regular mide 36 cm, la apotema lateral mide 20 cm. Calcula: a) la apotema de la base. b) el área de la base. c) el área total.

altura = 24 cm generatriz = 26 cm

9. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro recto mide 62,8 cm y su altura mide 18 cm (considera 3,14). a) ¿Cuál es su área lateral?

b) ¿Cuál es el área total del cilindro?

10. El radio de un cono recto mide 5 cm y su altura mide 12 cm, calcula: (Considera a) la medida de la generatriz.

b) ¿cuál es su área total?

90 Unidad 3

Geometría y medición

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […]; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, […].

Actividades Ítems 1 y 2: calcular. Ítem 3: analizar y calcular. Ítem 4: calcular.

160

Unidad 3 – Geometría y medición

3,14)

Ítem 5: aplicar y calcular. Ítems 6, 7, 8 y 9: analizar y calcular. Ítem 10: aplicar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 161

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para que sus estudiantes continúen practicando la operatoria con números decimales, pídales, en algunos ejercicios, que los resuelvan sin calculadora y que utilicen esta herramienta para revisar sus soluciones. • Es importante que los alumnos y alumnas realicen un desarrollo completo y ordenado de los procedimientos que aplican en cada ejercicio. De esta forma comprenderán mejor lo que están realizando y, además, será más sencillo detectar posibles errores. • Es importante que recuerde a sus alumnos y alumnas el teorema de Pitágoras, pues en esta Unidad es fundamental para el cálculo de áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos. Si es necesario, podría recordarlo en la pizarra y realizar algunas aplicaciones. Por ejemplo: A

12 cm

122 + 162 = x 2 144 + 256 = x 2 400 = x 2 20 = x

16 cm

/ T. de Pitágoras /

• En los ítems 6 y 9, puede suceder que sus estudiantes no comprendan qué es el área lateral de un cuerpo geométrico. Explique que en este caso no se contemplan las áreas de las bases, es decir, es el área total menos el área de las bases. • En el ítem 7, los alumnos y alumnas se podrían confundir, ya que el ejercicio trata de un cilindro y uno de los datos es la medida de la generatriz. Aclare que en un cilindro recto la generatriz es igual a la altura. • En el ítem 8, si tienen problemas para calcular él área de la base, recuérdeles que, al ser un polígono regular, su área (Á) se calcula multiplicando su perímetro (P) por su apotema (a) y, luego, se divide por dos, es decir: Á=

Pia 2

• En el ítem 10, para facilitarles el cálculo de la generatriz del cono, recuérdeles que un cono se genera el girar un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus catetos; por lo tanto, la generatriz es la hipotenusa de este triángulo rectángulo y se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras, donde el radio y la altura son los correspondientes catetos.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo • En el ítem 1, puede que sus alumnos y alumnas no recuerden cómo calcular el área total de una pirámide. Ayúdelos pidiendo que hagan un bosquejo de la red de este cuerpo, así podrán deducir cómo calcular esta área. Señale que la base de dicha pirámide es cuadrada. • En el ítem 2, sus estudiantes deben tener cuidado al asignar los valores de r y h; en este caso r es el ancho y h es su largo. • En el ítem 3, es posible que tengan dificultades para abordar el problema. Oriéntelos diciendo que a partir del área del círculo pueden obtener el radio, luego el diámetro y finalmente la altura (que es igual al diámetro). Situación similar ocurre en el ítem 6, con el área de cada base de un cilindro circular recto. En el ítem 3, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para obtener el radio (r) de la base del cilindro, propóngales que resuelvan la siguiente ecuación: π • r 2 = 452,16. Al resolverla, se obtiene: 3,14 • r 2 = 452,16 / : 3,14 r 2 = 144

• En el ítem 5, al saber la medida del ángulo del sector circular (60º), pueden 4 i 360º obtener la generatriz resolviendo la ecuación: 60º = . g Unidad 3 – Geometría y medición

radio = 15 cm altura = 20 cm

radio = 9 cm altura = 16 cm

radio = 13 cm altura = 22 cm

altura = 36 cm generatriz = 39 cm

r = 12 • En el ítem 4, para evitar errores o confusiones, pídales que realicen los procedimientos, paso a paso, y de manera ordenada.

161

1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos. Considera π = 3,14.

(Habilidades que desarrolla: aplicar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 162

TEXTO DEL ESTUDIANTE 92 Y 93

Unidad 3

Volumen del cilindro y cono En equipo

No olvides que...

En esta actividad deberán utilizar cartulina, pegamento, tijeras, regla, transportador y arena para dibujar redes de cilindro y cono y, luego, con los cuerpos geométricos que construyeron y la arena, realizarán una actividad exploratoria. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

• El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cilindro de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcilindro = área base • altura =

a) Dibujen sobre la cartulina dos redes, una para armar un cilindro recto y otra para un cono recto. El radio de la base del cilindro mide 6 cm y su altura mide 8 cm. El radio de la base del cono mide 6 cm y su generatriz mide 10 cm; con esta información pueden calcular el ángulo del sector circular. b) Llenen el cono con arena y, luego, vacíenla en el cilindro. Repitan este procedimiento hasta que el cilindro quede completamente lleno.

Para discutir

Recuerda que, cuando hablamos de volumen, nos referimos a la medida del espacio que ocupa un cuerpo. Para calcular el volumen de un prisma recto, puedes utilizar la fórmula:

Después de realizar la actividad anterior, se debe considerar que el área de un círculo se puede aproximar por medio del cálculo del área de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y, además, que dicha aproximación será mejor mientras mayor sea el número de lados del polígono inscrito. Entonces, para calcular el volumen del cilindro podemos utilizar la fórmula: área base • altura Luego, el volumen del cilindro construido es (considerando

Volumen = área base • altura

= 3,14):

V = 3,14 • 62 • 8 = 904,32 cm3 Por otra parte, notemos que la cantidad de arena que puede contener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contener el cono. Entonces, para calcular el volumen del cono, podemos dividir por 3 el volumen del cilindro calculado anteriormente. Es decir, el volumen del cono es 904,32 : 3 = 301,44 cm3. Notemos que ambos cuerpos redondos tienen la misma altura (8 cm).

• El volumen del cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cono de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcono = 1 • área base • altura = 1 3

Considera

•

r2 • h

1. El radio de un cilindro mide 3,5 cm y su altura mide 10 cm, calcula su volumen. 2. Considera un cilindro cuya base es un círculo de 4 cm de radio y su altura mide 11 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se duplica?, ¿y si se triplica? 3. Considera un cono cuya base tiene 5 cm de radio y su altura mide 12 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su radio se duplica?, ¿y si se triplica? 4. Considera un cono cuya altura mide 24 cm y su generatriz mide 26 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se reduce a la mitad?, ¿y si se reduce al tercio? 5. El volumen de un cilindro es 240,21 cm3 y el radio de su base mide 3 cm; ¿cuánto mide su altura? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. 6. El volumen de un cono es 1017,36 cm3 y el área de su base es 254,34 cm2; ¿cuánto mide su altura?, ¿y el radio de su base? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. Geometría y medición

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; […] y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Para discutir

Unidad 3 – Geometría y medición

= 3,14 en cada caso.

92 Unidad 3

162

r2 • h

Actividades

• ¿Podrían establecer una fórmula para calcular el volumen del cilindro?, ¿cuál? • ¿Cuál es el volumen del cilindro construido?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuánto mide la altura del cono?, ¿cómo la calculaste? • ¿Cuántas veces puedes vaciar la arena que contiene el cono en el cilindro?, ¿por qué? • Usando la información anterior, ¿puedes encontrar una fórmula para calcular el volumen del cono?, ¿cuál?

Ayuda

•

Ítem 1: conjeturar. Ítems 2, 3 y 4: calcular y justificar. Ítem 5: conjeturar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 163

Actividades Ítem 1: calcular. Ítems 2, 3 y 4: calcular y predecir. Ítems 5 y 6: analizar, calcular y justificar

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial, EN EQUIPO, propuesta en el Texto, es que los alumnos y alumnas observen la relación entre el volumen del cilindro y cono (el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro, con el radio de la base y altura de igual medida que el cilindro). Adicionalmente, basándose en contenidos aprendidos previamente en la Unidad y en cursos anteriores con respecto al volumen de otros cuerpos geométricos, se pretende que los alumnos y alumnas, por medio de la experimentación y sus conocimientos previos, sean capaces de deducir y entender las fórmulas. Es importante que todos sus estudiantes participen en la actividad, formen grupos de trabajo, para que compartan ideas y experiencias, respeten opiniones, y el trabajo sea colaborativo.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Permítales a sus estudiantes que utilicen calculadora en algunos casos; así podrán ahorrar tiempo e invertirlo en otras actividades o nuevos contenidos. • Es importante que los alumnos y alumnas realicen un desarrollo, paso a paso, y ordenado de los procedimientos en cada ejercicio. De este modo, comprenderán de mejor forma lo que están realizando y será más fácil detectar posibles errores y corregirlos. • En el ítem 1, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para esta actividad, pídales que hagan el dibujo del cilindro, en sus cuadernos, asignándole las medidas indicadas. Para algunos, es más fácil realizar los cálculos correspondientes visualizando la figura. • En los ítems 2, 3 y 4, es posible que sus alumnos y alumnas tengan dificultad para predecir qué sucede con el volumen si alguna de las medidas del cono o cilindro aumenta o disminuye. Si esto ocurre, pídales que calculen dichos volúmenes con los valores numéricos correspondientes y, a partir de los resultados obtenidos, saquen conclusiones. • En el ítem 5, según el volumen del cilindro y del radio de la base deben determinar la medida de su altura. Como es el proceso inverso, deben tener especial cuidado en las operaciones que realizan para obtener la respuesta correcta. Si es necesario, oriéntelos diciendo que pueden plantear una ecuación, como la siguiente: 3,14 • 32 • h = 240,21.

163

Unidad 3 – Geometría y medición

• En el ítem 6, a partir del volumen del cono y del área de la base deben determinar la medida de la altura y del radio de la base. Como es el proceso inverso, deben tener especial cuidado en las operaciones que realizan para obtener la respuesta correcta. En este caso, pueden plantear dos ecuaciones, una para determinar 1 la altura, y la otra para el radio, como las siguientes: i 254, 34 i h = 1017, 36 y 3 3,14 • r 2 = 254,34, respectivamente. Solo si es necesario, muéstreles las ecuaciones anteriores, ya que la idea es que surjan de sus propios estudiantes.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Sabemos que el volumen de un cuerpo es la medida que este ocupa en el espacio. Mostrar a sus estudiantes el volumen de conos y cilindros a través de la cantidad de arena que puede contener cada uno de ellos, clarifica este contenido. La idea de la actividad exploratoria, es que puedan llegar a la conclusión: Volumen cono =

Volumen cilindro 3

y, luego, mediante sus conocimientos previos, puedan llegar a la fórmula: Vcilindro = área base • altura Por lo tanto, si el radio de la base y la altura del cono miden lo mismo que el radio de la base y altura del cilindro: Vcono =

1 3

•

área base • altura

• Podría aprovechar esta instancia para recordar a sus estudiantes que los prismas y las pirámides también se relacionan respecto a su volumen. El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del volumen de un prisma con base y altura de igual medida. Volumen pirámide =

1 3

•

Volumen prisma

Por lo tanto: Vprisma = área base • altura Vpirámide =

1 • área base • altura 3

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 164

TEXTO DEL ESTUDIANTE 94 Y 95

7. Calcula el área total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos (considera a)

Unidad 3

= 3,14).

Mi progreso

f) 2,5 cm

9 cm

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. Considera

= 3,14 en todos los casos.

15 cm

8,5 cm

1. ¿Cuál es el área lateral del cilindro recto cuya base es un círculo de 3,5 m de radio y su altura mide 12 m?

7,3 cm

A. 340,69 m2

7 cm

B. 76,93 m2

C. 461,58 m2

D. 263,76 m2

15 cm

2. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen si su radio se triplica?

3,6 cm

A. 1017,36 cm3

15 cm 10 cm 4 cm

A. 15 cm

i) 2 cm

D. 942 cm3

B. 5 cm

C. 1,7 cm

D. 45 cm

4. La red dibujada es la de un cono recto. Calcula:

11,2 cm 16,3 cm

C. 339,12 cm3

3. El volumen de un cono recto es 1004,8 cm3 y su área basal es 200,96 cm2, ¿cuánto mide su altura?

7,6 cm

B. 37,68 cm3

4,5 cm

a) el área total. b) el volumen.

12 cm

20 cm 15 cm

39 cm

15 cm 7 cm

5. En una empresa de conservas están haciendo una revisión de sus envases para modificar sus dimensiones, si fuese necesario. Los tipos de envases actuales se muestran a continuación:

Tipo B Tipo A 10 cm

8 cm 5 cm

Herramientas tecnológicas Usando el programa Limix Geometric puedes representar gráficamente distintos cuerpos geométricos y calcular su área y volumen. Para descargar este programa ingresa a: www.limix.net. Luego, descarga Limix Geometric 1.2.16, haciendo clic sobre este link. Sigue los siguientes pasos para verificar con el software que tus resultados obtenidos en el ítem 7 son correctos: a) Después de abrir el programa, selecciona figura 3D ; aparecerá una lista de cuerpos geométricos. Selecciona cilindro y cono, según corresponda. b) Luego, debes ingresar los datos solicitados, como se muestra en el ejemplo . c) Presiona Calcular y obtendrás los resultados respectivos. d) Repite los pasos anteriores en una nueva aplicación cada vez, para verificar tus resultados.

4 cm

a) ¿Cuánto material más necesitan si la altura del envase tipo A aumenta al doble? b) ¿Cuál es la capacidad del envase tipo B, si su radio se modifica a la mitad y su altura se triplica? Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Calcular el área lateral de un cilindro recto.

Calcular el volumen de un cono recto.

Determinar la altura de un cono, dado el volumen y área basal.

Resolver problemas sobre el área y volumen del cilindro y cono.

4y5

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

94 Unidad 3

Geometría y medición

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.

Actividades

Ítem 7: usar herramientas.

Herramientas tecnológicas Usar herramientas y verificar. 164

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 132-166)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 165

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Para realizar la actividad del ítem 7, recuerde que, para obtener el valor del número π en una calculadora científica, se deben presionar las teclas:

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

Shift

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

• Es conveniente que sus estudiantes realicen individualmente la sección HERRAMIENTAS TENOLÓGICAS. Si no cuenta con los computadores suficientes, formen grupos de no mas de tres integrantes. Procure la participación de cada uno, para que todos aprendan a utilizar este nuevo software. • Esta actividad computacional permitirá a sus estudiantes verificar las respuestas obtenidas en el ítem 7 del Texto del Estudiante. A futuro podrá trabajar con este programa para calcular áreas y volúmenes de variadas figuras y cuerpos geométricos.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Usando el software Limix Goemetric 1.2.16, calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos, considerando los datos entregados. Completa la tabla con los resultados obtenidos. Cuerpo

Radio

Altura

Cilindro

Cono

5 cm

12 cm

Cilindro

11 m

Cono

9 cm

12 cm

Área

Volumen

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, aplicar y calcular).

Mi progreso Ítems 1 y 2: calcular. Ítems 3 y 4: analizar y calcular. Ítem 5: resolver problemas y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • Indique que los resultados se deben redondear a los centésimos (dos cifras decimales). • En los ítems 1 al 3, deben seleccionar la alternativa correcta, por lo tanto, pídales que escriban los desarrollos al lado de cada pregunta. • En el ítem 4, sus estudiantes podrían pensar que la medida 20 cm, que aparece en la red, corresponde a la altura. Para evitar este tipo de errores, si es necesario, podría dibujar en la pizarra un cono recto indicando cuál es la altura, la generatriz y el radio. • En el ítem 5, los alumnos y alumnas podrían tener dificultades al calcular el área en el envase A, pues deben calcular solo el área lateral. Mencione, en este caso, que para cubrir un envase de conservas, solo se cubre la parte lateral, y no las bases. Además, destaque que se pide determinar cuánto material más se necesita, es decir, deben calcular la diferencia entre ambas áreas. • Al término de la evaluación formativa es fundamental que realice una revisión individual para que conozca las realidades de cada estudiante y puedan corregirlas. También es aconsejable una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantes conozcan las respuestas correctas y una forma de resolución. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 4 y 5. Ítem

165

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente el área y Calcula correctamente el área y Calcula erróneamente en uno de los volumen pedido, indicando volumen pedido, pero no indica de dos casos (área total o volumen), detalladamente cada uno de sus pasos. forma adecuada cada uno de sus pasos. confundiendo los pasos de resolución.

Calcula erróneamente el área y volumen pedido, confundiendo la generatriz con la altura, y los procedimientos para obtener el área y volumen.

Resuelve correctamente ambos problemas, indicando detalladamente cada uno de sus pasos.

Resuelve erróneamente, en ambos casos, confundiendo los pasos de resolución

Unidad 3 – Geometría y medición

Resuelve correctamente ambos problemas, pero no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente solo uno de los problemas, confundiendo los pasos de resolución.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 166

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De profundización

De refuerzo

Considera π = 3,14 en cada caso, y aproxima tus resultados a los centésimos.

Considera π = 3,14 en cada caso, y aproxima tus resultados a los centésimos. 1. Calcula el área total de los siguientes cilindros rectos, sabiendo que: a) b) c) d)

r = 4 cm y h = 12 cm r = 11 m y h = 8 m d = 10 mm y h = 9,5 mm d = 8 cm y h = 4,6 cm

2. Calcula el área total de los siguientes conos rectos, sabiendo que: a) b) c) d)

r = 8 cm y g = 10 cm r = 30 mm y h = 40 mm r = 5 m y h = 12 m r = 7 cm y h = 9 cm

3. Calcula el volumen de los siguientes cilindros rectos, sabiendo que:

1. Completa la siguiente tabla asociada al cilindro recto. Radio

4 cm 5 mm 8 cm 6 cm 3 mm 10 cm 6,5 cm 2,2 m

r = 4 cm y h = 8 cm r=7myh=9m d = 10 mm y h = 10 mm d = 12 cm y h = 5 cm

4. Calcula el volumen de los siguientes conos rectos, sabiendo que: a) b) c) d)

166

r = 6 cm y h = 7 cm r = 8 mm y h = 9 mm r = 13,6 m y g = 20 m r = 10,5 cm y h = 13 cm

Área lateral

Área total

Volumen

86 cm2 7,6 mm 144 cm2 500 cm2 5 mm 26,5 cm 10 cm 13 cm 3,5 m

16 309,16 cm3 3000 cm3 734,76 cm2

2. Completa la siguiente tabla asociada al cono recto. Radio

4 cm a) b) c) d)

Altura

5 cm 7,6 mm

4m 12 cm

Generatriz

Área sector circular

Área total

Volumen

9 mm 5m 753,6 cm3 4,57 mm 31,57 mm2

3 cm 3,8 m 30 cm

301,44 mm3

8 mm 7 cm 12 cm

314 cm3 10 m

40 cm

Unidad 3 – Geometría y medición Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 167

3. Determina la medida de la altura de un cilindro cuyo radio mide 2 m y el área total es 38 m2.

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 166 Y 167 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo

4. Determina la medida de la generatriz de un cono, cuya área del sector circular es 20 cm2 y su radio mide 3 cm. 3

5. Determina la medida del radio de un cono, cuyo volumen es 700 m y su altura mide 7 m.

1. a) 401,92 cm2

b) 1312,52 m2

c) 455,3 mm2

d) 216,03 cm2

2. a) 452,16 cm2

b) 7536 mm2

c) 282,6 m2

d) 404,43 cm2

3. a) 401, 92 cm3

b) 1384,74 m3

c) 785 mm3

d) 565,2 cm3

4. a) 263,76 cm3

b) 602,88 mm3

c) 2838,05 m3

d) 1500,14 cm3

6. Determina la medida de la altura de un cilindro, si su volumen es 300 cm y su radio mide 3 cm. 7. Determina la medida del radio de un cilindro, si su volumen es 120 mm3 y su altura mide 7 mm.

De profundización 1.

8. Determinar la medida de la altura de un cono cuyo volumen es 250 m3, y su radio mide 5 m. 9. El volumen de un cilindro es 452,16 cm3, y el diámetro de la base mide 12 cm. ¿Cuál es su área total? 10. La altura de un cilindro mide 8 m y su radio 6 m. Si se quiere pintar el cilindro completo, ¿cuál es su costo, si el metro cuadrado tiene un valor de $ 1100?

Radio

Altura

Área lateral

4 cm 5 mm 8 cm 6 cm 3 mm 14 cm 10 cm 6,5 cm 9 cm 2,2 m

3,42 cm 7,6 mm 2,87 cm 7,27 cm 5 mm 26,5 cm 9,55 cm 10 cm 13 cm 3,5 m

86 cm2 238,64 mm2 144 cm2 273,92 cm2 94,2 mm2 2329,88 cm2 599,74 cm2 408,2 cm2 734,76 cm2 48,36 m2

2. Radio

4 cm 4,82 mm 4m 12 cm 2,2 mm 6 mm 3 cm 5 cm 3,8 m 30 cm 3. h = 1,03 m 4. g = 2,12 cm

167

Unidad 3 – Geometría y medición

Altura

5 cm 7,6 mm 3m 5 cm 4 mm 8 mm 7 cm 12 cm 9,25 m 40 cm

Área total

Generatriz

Área sector circular

6,4 cm 9 mm 5m 13 cm 4,57 mm 10 mm 7,62 cm 13 cm 10 m 50 cm

80,38 cm2 136,21 mm2 62,8 m2 489,84 cm2 31,57 mm2 188,4 mm2 71,78 cm2 204,1 cm2 119,32 m2 4710 cm2

5. r = 9,77 m 6. h = 10, 62 cm

Volumen

186,48 cm2 171,82 cm3 395,64 mm2 596,6 mm3 2 545,92 cm 576,76 cm3 500 cm2 821,8 cm3 150,72 mm2 141,3 mm3 2 3560,76 cm 16 309,16 cm3 1227,74 cm2 3000 cm3 673,53 cm2 1326,65 cm3 1243,44 cm2 3306,42 cm3 78,75 m2 53,19 m3

Área total

Volumen

130,62 cm2 83,73 cm3 209,16 mm2 184,86 mm3 2 113,04 m 50,24 m3 942 cm2 753,6 cm3 2 46,77 mm 20,26 mm3 301,44 mm2 301,44 mm3 100,04 cm2 65,94 cm3 2 282,6 cm 314 cm3 164,66 m2 139,8 m3 2 7536 cm 37 690 cm3

7. r = 2,34 mm 8. h = 9,55 m

9. Á = 376,8 cm2 10. $ 580 272

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 168

TEXTO DEL ESTUDIANTE 96 Y 97

Unidad 3

Buscando estrategias Sobre la base superior de un cilindro recto de 6 cm de radio de la base y 12 cm de altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro y el radio es el mismo. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? (Considera = 3,14).

Comprender

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones, donde los radios basales se mantienen en cada caso (considera = 3,14).

12 cm

• ¿Qué sabes del problema?

6 cm

Que el cono se encuentra en la base superior del cilindro. Ambos cuerpos tienen el mismo radio y la altura del cono es el triple que la altura del cilindro.

• ¿Qué debes encontrar? El volumen del cuerpo formado por el cilindro y el cono.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Podemos calcular el volumen del cilindro y el del cono. Luego, sumamos ambos valores obtenidos para obtener el volumen del cuerpo que se forma.

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

Resolver • Calculamos los volúmenes de cada cuerpo redondo: El volumen del cilindro es

•

62 • 12 = 3,14 • 36 • 12 = 1356,48 cm3.

62 • 36 = 3,14 • 36 • 36 = 1356,48 cm3. 3 3 Luego, sumamos los valores obtenidos: 1356,48 + 1356,48 = 2712,96 cm3.

El volumen del cono es

a) Sobre cada base de un cilindro recto de 8 cm de radio de la base y 15 cm de altura, se construye un cono recto, uno de altura 20 cm y el otro de altura el doble que el cilindro. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? b) Sobre la base de un cono recto de 6 cm de radio de la base y 10 cm de generatriz, se construye un cono recto cuya altura es la mitad del otro cono. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? c) Sobre la base superior de un cilindro recto de 5 cm de radio de la base y 4 cm de altura, se construye un cono recto cuya altura es el triple que el cilindro. ¿Cuál es el área total del cono? d) Dentro de un cubo de arista 6 cm, se construye una pirámide recta de base cuadrada la cual coincide con una de las caras del cubo. ¿Cuál es el área total de la pirámide recta si su altura es 6 cm?

•

Responder • El volumen del cuerpo formado es 2712,96 cm3.

3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) ¿Cuál es el volumen del cuerpo redondo que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos 10 cm y 24 cm, alrededor del vértice que se observa en la figura? 24 cm

Revisar • Para comprobar el resultado, puedes realizar la adición algebraicamente y, luego, 10 cm

remplazar los datos correspondientes. El volumen del cuerpo generado, considerando que la altura del cono (hco ) es el triple de la altura del cilindro (hci ), es decir, hco = 3 • hci , entonces: •

r 2 • hci +

•

r 2 • hco 3

= = =

•

r 2 • hci +

•

r 2 • hci +

•

r 2 • hco

•

r 2 • (3 • hci )

b) Si la arista del cubo mide 14 cm, ¿cuál es el volumen del espacio limitado entre la pirámide recta y el cubo?

3 14 cm

3 6

•

r 2 • hci

•

r 2 • hci

Remplazando, 2 • 3,14 • 36 • 12 = 2712,96 cm3

96 Unidad 3

Geometría y medición

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, él área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono.

Buscando estrategias

168

Unidad 3 – Geometría y medición

Analizar, aplicar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 169

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina el volumen y el área total de la siguiente figura.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO

4 cm

El problema presentado en el Texto pretende que sus estudiantes apliquen parte de los contenidos aprendidos en la Unidad y, además, desarrollen habilidades propias de la resolución de problemas. Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas maneras. La estrategia presentada en el Texto es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser usando el software Limix Goemetric 1.2.16, para calcular el volumen del cilindro y del cono y, luego, sumarlos. Además, podría cambiar las medidas del radio y altura del cilindro (por ende, variarán las del cono) para calcular el volumen de este nuevo cuerpo geométrico. Monitoree constantemente a sus estudiantes para que realicen un trabajo ordenado, escribiendo, paso a paso, los procedimientos. Esto les permitirá detectar y corregir errores, si los tuvieran.

6 cm

4 cm

(Habilidades que desarrolla: analizar, aplicar y calcular). De profundización 1. Inventen un problema que integre uno o más de los contenidos de la Unidad. Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo, utilizando las estrategias para la resolución de problemas que conozcan, u otra. Revisen ambos problemas en conjunto y discutan sobre los resultados obtenidos. (Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar, calcular y verificar).

En proceso, logro parcial

No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• • • •

Comprensión de conceptos

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los y/o progreso resultados. • Reconoce sin dar argumentos.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

169

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 09-08-11 13:45 Página 170

TEXTO DEL ESTUDIANTE 98 Y 99

Unidad 3 A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

NACIONAL

Una técnica para obtener dibujos Existe una técnica para dibujar objetos de forma sencilla y rápida; esta técnica consiste en “envolver” el objeto con alguna figura o cuerpo geométrico, la cual se denomina encaje. En nuestro alrededor existen muchos objetos que podemos encajar en cubos, cilindros, conos y esferas, o bien, por combinaciones de ellas. En la imagen podemos observar que el árbol de Navidad es, básicamente, la combinación de un cilindro y un cono. Utilizando esta técnica podemos aproximar la medida que ocupa un cuerpo en el espacio, calculando el volumen de el o los cuerpos asociados al objeto.

Síntesis

Conexiones

Para finalizar

MEDICIONES

FIGURAS PLANAS

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Fuente: www.purpuraplastika.org/libros/10.pdf (consultado en noviembre de 2009, biblioteca on line Púrpura Plástica (PPK), libros para consulta).

CUERPOS GEOMÉTRICOS

• ARCO • CUERDA • SECANTE • TANGENTE

CILINDRO, CONO Y PIRÁMIDE

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Si el radio del cilindro que envuelve a la base del árbol navideño mide 20 cm y su altura mide 10 cm y, el radio del cono que envuelve al árbol mide 35 cm y su altura mide 1,5 m, ¿cuánto mide aproximadamente el volumen del árbol de Navidad? 2. Escojan un objeto (por persona) de su entorno que se pueda encajar en un cilindro, cono o cubo, o la combinación de estos. Dibújenlo y calculen su volumen aproximado. 3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. 4. ¿Cuál o cuáles cuerpos geométricos escogerían para dibujarse?, ¿por qué? Utilicen esta técnica para calcular el volumen de cada uno.

PERÍMETRO

VOLUMEN

ÁREA

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué diferencias existen entre la circunferencia y el círculo?, ¿y qué semejanzas? 3. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?, ¿qué características tienen?

Evaluamos nuestro trabajo

4. ¿Qué relación tiene el número

1. Dibuja una tabla con cada integrante de tu grupo, incluyéndote a ti mismo y copia en ella los siguientes indicadores:

5. ¿Cómo calculas la longitud de una circunferencia?, ¿qué otra forma conoces? 6. ¿Cómo calculas la el área del círculo?, ¿qué otra forma conoces?

• Respeté/respetó las opiniones de los demás integrantes. • Cumplí/cumplió con las tareas que se comprometió. • Hice/hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

7. Explica cómo calcular el área de un cono y un cilindro. 8. ¿Qué datos necesitas para calcular el volumen de un cono recto?, ¿y de un cilindro recto?

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

98 Unidad 3

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

con la circunferencia? Da 3 ejemplos.

Geometría y medición

Síntesis Recordar y conectar.

Conectar, analizar y aplicar.

170

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 171

INFORMACIÓN RESPECTO DEL CONTENIDO

TÉCNICAS DE ESTUDIO

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular los cuerpos geométricos estudiados en esta Unidad, y otros ya conocidos, como el cubo, con una técnica que se usa para dibujar objetos, llamada encaje. Además, con esta técnica se puede aproximar la medida que ocupa el objeto en el espacio.

A continuación, proponemos otra forma de estudiar los contenidos trabajados en esta Unidad: el resumen.

La técnica de encaje permite dibujar cualquier objeto, ya sea una figura plana o tridimensional, pues se puede encerrar dentro de una figura o cuerpo geométrico, o bien combinaciones de varias formas. Antes de encajar el objeto, debemos observarlo atentamente para escoger las figuras o cuerpos geométricos adecuados. En el ejemplo, podemos observar que la estructura geométrica de la hoja es análoga a un triángulo.

Para que el resumen de la Unidad esté completo sería apropiado que indique cuáles son los contenidos que deben incluir. Asimismo, podría presentar al curso uno realizado por usted y revisarlo en conjunto con el curso, guiados por preguntas como las siguientes: • • • •

¿Es correcta la definición dada?, ¿está completa? ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna? ¿Es adecuado el ejemplo propuesto? ¿Es adecuado el problema de aplicación?

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, responde las siguientes preguntas:

Más información sobre dibujos, búsquela en el manual Forma, Encaje y Perspectivas, del sitio web sugerido a continuación. Un interesante archivo bibliográfico online, donde se pueden encontrar libros, manuales y talleres (de consulta) centrados en la cultura y el arte, está disponible en el sitio web: www.purpuraplastika.org/eventos/biblioteca.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En relación con la técnica para dibujar llamada encaje, responde las siguientes preguntas: a) ¿Consideras que la técnica aprendida es una forma sencilla de dibujar figuras?, ¿por qué? b) Escoge tres figuras de tu entorno y, luego, utiliza la técnica de encaje para dibujarlas en tu cuaderno. c) Usando una huincha para medir, determina el volumen aproximado de cada una. (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar, usar herramientas y justificar).

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Los mapas conceptuales son un recurso visual muy atractivo y efectivo para los alumnos y alumnas, ya que les permite organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. 171

Unidad 3 – Geometría y medición

1. ¿En qué objetos de la realidad podemos encontrar círculos, circunferencias, conos y cilindros? 2. Construye en tu cuaderno un cuadro resumen con los principales temas de esta Unidad. 3. Inventa un problema que involucre cálculo de la longitud de la circunferencia y, luego, resuélvelo. 4. Inventa un problema que incluya el área del círculo; luego, resuélvelo. 5. Inventa un problema referido al volumen del cilindro y cono; luego, resuélvelo. 6. ¿Cómo justificarías que la fórmula para calcular el área total de un cilindro es (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2)? 7. ¿Cómo calcularías el área total de un cono cuya altura mide 13 cm y el radio de la base mide la mitad? (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, justificar y calcular). De profundización 1. Construye un cuadro resumen sobre: la circunferencia, su longitud y sus elementos; el círculo y la estimación de su área. Da tres ejemplos. 2. Construye un cuadro resumen sobre el cono y cilindro, su área total y volumen. Da tres ejemplos. 3. Inventa un problema que implique calcular el volumen de un cuerpo formado por dos o más cuerpos geométricos; luego, resuélvelo, indicando la estrategia utilizada. (Habilidades que desarrollan: recordar, conectar, formular y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 172

TEXTO DEL ESTUDIANTE 100 Y 101

¿Qué aprendí?

Unidad 3

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Considera 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Toda recta secante a una circunferencia determina una cuerda. II. Toda cuerda determina dos arcos de igual medida. III. En una circunferencia, si el radio mide 6 m, entonces, su diámetro mide 12 m. A. Solo I B. Solo II 2. El número

se define como:

A. B. C. D.

153,86 cm2 329,7 cm2 50,24 cm2 379,94 cm2

A B

10. Tres albañiles pintarán el exterior de un estanque de almacenamiento de agua que tiene forma de cilindro, cuyas medidas son 20 m de diámetro y 15 m de altura. a) ¿Cuál es el área que pintarán? b) Si cobran $ 860 por m2, ¿cuánto cobrarán por el trabajo completo?

11. La base de una pirámide regular es un hexágono cuyo perímetro es 60 cm, la apotema lateral mide 28 cm. Calcula el área de la base y el área total.

10 cm2 87,92 cm2 75,36 cm2 157 cm2

A. B. C. D.

12,56 m3 47,1 m3 37,68 m3 113,04 m3

12. Si los radios de dos circunferencias están en la razón 1 : 3 y el radio menor mide 4 cm, responde: a) ¿cuál es la longitud de cada circunferencia? b) ¿cuál es el área de cada círculo?, ¿cuál es la razón entre sus áreas? Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

7. ¿Cuál es el volumen del cono generado al rotar el triángulo rectángulo RST respecto de SR? R

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

5m S

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Circunferencia y círculo como lugar geométrico. Elementos de la circunferencia.

8,5 m 26,69 m 6,28 m 17 m

Número 8. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y su altura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área total del cono recto?

4. Los polígono regulares de la figura están inscritos en la circunferencia de centro O. La mejor aproximación para el área del círculo es: 45,4 cm2 50 cm2 46,8 cm2 52 cm2

5. Si BC = 7 cm y AC = 11 cm, entonces, el área de la corona circular es:

A. B. C. D.

3. Si la longitud de una circunferencia es 53,38 m, entonces, su diámetro mide:

A. B. C. D.

9. Laura necesita forrar un envase cilíndrico recto cuyo radio mide 6 cm y su altura mide 21 cm. Si solo forrara su cara lateral, ¿cuánto papel necesitará?

6. En el rectángulo ABCD, AD = 5 cm, DC = 2 cm, entonces, el área total del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto de AD es:

C. I y III D. I, II y III

A. la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. B. la razón entre la longitud de una circunferencia y su radio. C. la razón entre el diámetro de una circunferencia y su longitud. D. la razón entre el radio de una circunferencia y su diámetro.

A. B. C. D.

= 3,14, en todos los casos.

A. B. C. D.

1130,4 cm 2135,2 cm2 816,4 cm2 62,8 cm2

y su relación con la circunferencia.

Longitud de la circunferencia. Área del círculo. Área del cilindro y cono. Volumen del cilindro y cono.

2. Reflexiona y responde.

2,6 cm 4,2 cm 4 cm

O 3,6 cm

100 Unidad 3

a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 73 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Geometría y medición

101

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítems 1 y 2: recordar y analizar. Ítems 3, 4, 5, 6, 7 y 8: analizar y calcular. Ítems 9, 10, 11 y 12: analizar, aplicar y calcular. 172

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 173

EVALUACIÓN SUMATIVA En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Geometría y medición, y con esta información seguir determinadas líneas de acción, por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente, en los ítems de selección múltiple, se

sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, pues de este modo podemos detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En el ítem 9, sus estudiantes podrían confundirse al determinar cuánto papel se necesita, ya que no se pide explícitamente el área o volumen. Con este problema podrá apreciar quiénes comprenden dichos conceptos y sus aplicaciones en situaciones significativas. Si es necesario, muestre con un envase cilíndrico qué deben calcular. • En los ítems 10 y 11, si sus alumnos y alumnas tienen dificultades para responder, es conveniente pedirles que dibujen los cuerpos geométricos en sus cuadernos y, además, que sean ordenados en el desarrollo de su estrategia, pues, si cometen errores, será más fácil corregirlos y detectarlos. • En el ítem 12, podrían tener dificultades para determinar la medida del radio de la circunferencia mayor, considerando la razón entre ellos. Puede guiarlos pidiendo que determinen el término que falta en la proporción 1 : 3 = 4 : x, para determinar el radio desconocido. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9, 10, 11 y 12. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente el área de la Calcula correctamente el área de la cara lateral, indicando adecuadamente cara lateral, pero no indica de manera cada uno de sus pasos. adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula solo el área total del cilindro; Calcula erróneamente el área solicitada; además, no indica de manera adecuada además, no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos. cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área y cobro pedido, indicando adecuadamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área y cobro pedido, pero no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el área a pintar y Calcula erróneamente el área y cobro erróneamente el cobro pedido; además, pedido, confundiendo procedimientos confunde algunos de sus pasos. para obtener el área.

Calcula correctamente las áreas pedidas, indicando adecuadamente cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente las áreas pedidas, pero no indica de manera adecuada cada uno de sus pasos.

Calcula erróneamente alguna de las Calcula erróneamente las áreas áreas pedidas, ya sea el área de la base pedidas, confundiendo los o el área total; además, confunde procedimientos para obtener ambas. algunos de sus pasos.

173

Calcula correctamente la longitud, Calcula correctamente la longitud, el área y la razón pedidas, indicando el área y la razón pedidas, pero no adecuadamente cada uno de sus pasos. indica de manera adecuada cada uno de sus pasos. Unidad 3 – Geometría y medición

Calcula erróneamente ya sea la longitud, el área o la razón pedidas; además, confunde algunos de sus pasos.

Calcula erróneamente la longitud, el área y la razón pedidas, confundiendo los procedimientos para obtener los resultados. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 174

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

3. Aproxima el área de cada círculo por medio de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

De refuerzo 1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a)

2 cm

1,54 cm

Una recta tangente interseca en un único punto a la circunferencia.

1,73 cm

El radio es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro.

Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

2,12 cm

d) 1 cm 2 cm

Un arco es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

El área de un círculo es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

O 1,54 cm

3,08 cm

4. Determina la longitud y el área de las siguientes figuras. Considera π = 3,14. a)

2. Completa la siguiente tabla, redondeando tus resultados a los centésimos. Considera π = 3,14. Radio

Longitud de la circunferencia

14 cm

Área del círculo

9 cm

7 cm 5,4 m 3 mm

4 cm

4,3 cm 3,7 cm

6m C

174

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 175

5. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos rectos. Considera π = 3,14. a)

3. Determina la longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado, si el perímetro de dicho polígono es 80 cm.

radio = 60 m generatriz = 100 m

radio = 15 cm altura = 18 cm

4. La longitud de una semicircunferencia es 131,88 m. ¿Cuánto mide su radio?

5. La longitud de una circunferencia es 28,26 cm. Determina la medida de su diámetro.

radio = 11 cm altura = 25 cm

altura = 24 mm radio = 10 mm

6. ¿Qué condición debe cumplir el radio y la altura de un cilindro recto para que su área lateral sea equivalente a la suma de las áreas basales? 7. Hallar la altura de un cono recto si el área lateral mide 62,8 cm2 y el radio basal mide 4 cm.

De profundización Resuelve los siguientes problemas considerando π = 3,14. 1. Determina el área y el perímetro de la siguiente corona circular, sabiendo que la circunferencia menor tiene un diámetro que mide 7 cm, y el diámetro de la mayor mide el doble que el diámetro de la menor.

8. Calcula el área total de un cono recto cuya generatriz mide 25 cm y el radio basal mide 15 cm. 9. Para la fiesta de cumpleaños de Luisa, sus padres quieren fabricar gorros de cartulina con forma de cono. Estimaron que el diámetro de estos debe medir 20 cm y la altura 25 cm. Si en total serán 30 personas, ¿cuántos metros cuadrados de cartulina necesitan, aproximadamente? 10. Un comerciante vende helados bañados en chocolate. Si el diámetro de la base del cono mide 5 cm y la altura del cono mide 12 cm, ¿cuál es el volumen del cono de helado?

2. El radio de la circunferencia que se muestra a continuación mide 19 cm. Si está inscrita en el cuadrado, ¿cuál es el valor del área sombreada?

175

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 176

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 174 Y 175 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización

De refuerzo

1. P = 65,94 cm; Á = 115,4 cm2

1. a) Verdadero. b) Falso. c) Verdadero. d) Verdadero. e) Falso. f) Verdadero.

2. Á = 310,46 cm2 3. L = 62,8 cm 4. r = 42 m 5. d = 9 cm

Radio

Longitud de la circunferencia

Área del círculo

6. Deben ser de igual medida.

7 cm

43,96 cm

153,86 cm2

5,4 m

33,91 m

91,56 m2

7. h = 3 cm

3 mm

18,84 mm

28,26 mm2

8. Á = 1884 cm2

4,3 cm

27 cm

58,06 cm2

37,68 m

113,04 m2

9. Se necesitan 25 368,06 cm2, aproximadamente. 10. V = 78,5 cm3

3. a) Á = 10,38 cm2 b) Á = 30,8 cm2 c) Á = 14,69 cm2 d) Á = 7,7 cm2 4. a) L = 71,96 cm; Á = 307,72 cm2 b) L = 19,02 cm; Á = 21,49 cm2 c) L = 32,13 cm; Á = 63,59 cm2 d) L = 26,84 cm; Á = 37,68 cm2 5. a) Á = 30 144 m2; V = 301 440 m3 b) Á = 2486,88 cm2; V = 9498,5 cm3 c) Á = 3108,6 cm2; V = 12 717 cm3 d) Á = 1130,4 mm2; V = 2512 mm3

176

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 177

EVALUACIÓN FINAL En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad Geometría y medición. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Identificar, analizar, recordar y calcular.

2 puntos cada una

16 puntos

Resolver problemas, aplicar y calcular.

6 puntos cada una

36 puntos

Puntaje total de la evaluación: 52 puntos. Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudiantes es limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa,

entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En los ítems de desarrollo, monitoree constantemente el trabajo de los y las alumnas, con la finalidad de que trabajen según las instrucciones. Pídales a sus estudiantes que lean detalladamente cada problema, para evitar confusiones. Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evaluación, se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadas en esta evaluación, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudas que tengan. Si considera que sus estudiantes requieren apoyo adicional, vuelva a enseñar aquellos contenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado.

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 178 Y 179 I. 1. D

2. B

II. 9. 6437 cm2

3. C

4. C

5. A

10. 56 viajes

6. B

11. 314 m

7. D

8. C

12. 490,625 m2

13. a) 20 cm y 26 cm, respectivamente. b) 816,4 cm2

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem II. Ítem

177

Completamente logrado Resuelve correctamente ambos problemas, indicando de forma adecuada cada uno de sus pasos.

Unidad 3 – Geometría y medición

Logrado Resuelve correctamente ambos problemas, pero no indica de forma adecuada cada uno de sus pasos.

Medianamente logrado Resuelve correctamente uno de los dos problemas; además, no indica de forma adecuada todos sus pasos.

Por lograr Resuelve erróneamente ambos problemas, y no indica de forma adecuada cada uno de sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 178

EVALUACIÓN

4. Si el radio del cono recto de la figura mide 3 cm y su altura es el triple del radio, ¿cuál es su volumen?

Potencias Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

Nota:

A. B. C. D.

18,84 cm3 28,26 cm3 84,78 cm3 254,34 cm3

Marca la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. Considera π = 3,14. 1. El lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado centro, corresponde a: A. B. C. D.

A. B. C. D.

cuerda. círculo. radio. circunferencia.

2. El área sombreada de la figura es: A. B. C. D.

28,26 cm 19,74 cm2 12,8 cm2 9,42 cm2

6 cm

3 cm

8 cm

3. Si la altura del cilindro recto de la figura mide 15 m y su radio 5 m, ¿cuál es su volumen? A. B. C. D.

178

5. La longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 24 mm es: L = 75,36 mm L = 37,68 mm L = 150,72 mm L = 452,16 mm

6. Si el perímetro del polígono regular verde de la figura es 36 cm y su apotema mide 5,5 cm, y el perímetro del polígono regular naranjo es 36,3 cm y su apotema mide 5,7 cm, entonces la mejor estimación del área del círculo de centro O es: A. B. C. D.

99 cm2 103,46 cm2 198 cm2 206,91 cm2 O

1157 m3 1175 m3 1177,5 m3 177,5 m3

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U3 (PAG 166-179)_Maquetación 1 04-08-11 18:55 Página 179

7. El área total del cono recto de la figura, de altura 3 cm y radio 4 cm es: A. B. C. D.

62,8 cm2 50,24 cm2 87,92 cm2 113,04 cm2

8. El área total del cilindro recto de la figura, de altura 10 cm y radio 7 cm es: A. B. C. D.

11. Don Luis quiere cercar con alambre un terreno de forma circular, como se observa en la imagen. Si requiere que el alambre dé 4 vueltas y el terreno tiene un diámetro de 25 m, ¿cuántos metros de alambre necesita?

25 m

439,6 cm2 307,72 cm2 747,32 cm2 1067,6 cm2 12. Considerando la pregunta anterior: Si Don Luis quiere sembrar lechugas en el terreno circular, ¿de cuántos metros cuadrados dispone, aproximadamente?

II. Resuelve los siguientes problemas. Considera π = 3,14. 9. ¿Cuál es el área total de un tubo de acero con forma cilíndrica, si su radio basal mide 5 cm y su largo 2 m?

13. El gorro que usó Andrés para su cumpleaños tiene forma de cono recto. Si su altura mide 24 cm y el volumen es 2512 cm3, responde: a) ¿Cuánto mide su diámetro?, ¿y su generatriz? b) ¿Cuál es su área lateral?

10. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros con forma de cono recto cuyo radio mide 40 m y su altura 10 m. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camión con capacidad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes deberá realizar el camión para transportar el mineral de un cerro?

179

Unidad 3 – Geometría y medición

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 180

Movimientos en el plano

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Esta Unidad está orientada al estudio de transformaciones isométricas de figuras geométricas planas y a la aplicación de dichas transformaciones en contextos diversos. Se pretende que los y las estudiantes utilicen sus conocimientos previos sobre puntos, rectas, ángulos, polígonos y construcciones para la realización de transformaciones isométricas (traslaciones, rotaciones, y reflexiones) de diferentes polígonos (regulares e irregulares), así como también, que sean capaces de reconocer y discutir respecto de los aspectos que se mantienen y de los que varían luego de la aplicación de una transformación isométrica en el plano.

Transformaciones de polígonos pueden ser

El objetivo de esta Unidad es que los alumnos y alumnas caractericen y efectúen transformaciones isométricas de figuras geométricas planas con regla y compás, empleando un procesador geométrico; además, que construyan algunas teselaciones y argumenten respecto de las transformaciones isométricas involucradas en ellas.

se pueden crear

En la segunda parte de la Unidad son presentadas las teselaciones regulares y semirregulares, como una aplicación concreta de las transformaciones isométricas.

Isométricas

No isométricas

tipos

como

Traslación

Reflexión

según un

respecto de

Vector de traslación

Eje de simetría

Rotación

Ampliación

Reducción

respecto de

Centro de rotación

Ángulo de rotación

Teselaciones pueden ser

Regulares

Semirregulares

contienen un

contienen dos o más

Polígono regular

180

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 181

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Transporte de segmentos y ángulos, construcción de ángulos y bisectrices de ángulos, construcción de rectas paralelas y perpendiculares, mediante regla y compás o un procesador geométrico.

Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas manualmente y haciendo uso de un procesador geométrico.

Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno.

Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas.

Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.

Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

181

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 182

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO

Contenidos

Aprendizajes esperados

Actividades asociadas

• Transformaciones de figuras y objetos. • Traslaciones de figuras planas. • Reflexiones de figuras planas. • Rotaciones de figuras planas.

En el Texto De exploración: páginas 106, 108, 110 y 112.

Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

• Teselaciones. • Teselaciones regulares y semirregulares.

• Construir teselaciones regulares y semirregulares. • Reconocer y argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas en teselaciones regulares y semirregulares.

En el Texto De exploración: páginas 154 y 156. De construcción de conceptos: páginas 155, 157 y 158.

Tiempo estimado: 5 a 6 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos

Indicadores de evaluación

• Identifican características de figuras que representan una transformación isométrica. • Determinan si ciertas De construcción de figuras se pueden obtener conceptos: páginas 107, aplicando una transfor109, 111, 113, 114, mación isométrica. 115 y 116. • Construyen con regla y De consolidación: compás la imagen de una páginas 126 y 127. figura al aplicar una transformación isométrica. En la Guía Didáctica • Realizan transformaciones De refuerzo: páginas isométricas empleando un 193, 195, 197, 199, 201, procesador geométrico. 204 y 205. • Determinan los elemenDe profundización: tos que no varían, al páginas 193, 195, 197 aplicar una transformay 199. ción isométrica a una figura plana.

De consolidación: páginas 126 y 127.

Diagnóstica: páginas 104 y 105 del Texto del Estudiante.

• • • •

Formativa: páginas 117 • y 123 del Texto del Estudiante. • Sumativa: • páginas 128 y • 129 del Texto del Estudiante, y 224 y 225 de la Guía Didáctica del Docente.

Regla. Compás. Transportador. Computador con software Geogebra. Cartón piedra de 40 cm x 30 cm. Pegamento. Tijeras. Papeles de colores.

• Construyen teselaciones regulares. • Construyen teselaciones semirregulares. • Distinguen las transformaciones isométricas involucradas en una teselación.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 207, 209, 211, 212 y 213. De profundización: 207, 209, 212 y 213.

182

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 183

CMO Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […].

Contenidos • Buscando estrategias.

Aprendizajes esperados • Resolver problemas en contextos diversos que involucran la aplicación de transformaciones isométricas. • Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: página 124.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Resuelven problemas que involucran traslaciones, reflexiones o rotaciones.

De construcción de conceptos: página 125. De consolidación: páginas 126 y 127. En la Guía Didáctica De refuerzo: página 215. De profundización: página 215.

183

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 184

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Si los conocimientos sobre puntos, rectas, ángulos, polígonos y sus características son insuficientes, se pueden producir complicaciones en el aprendizaje de los polígonos y sus transformaciones en el plano.

• Por medio de la evaluación diagnóstica, podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante recordar los conceptos necesarios, clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad. • Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad es conveniente que, después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los contenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En las construcciones con regla y compás es posible encontrar los siguientes Inconvenientes:

• Para aclarar cómo se transportan segmentos y ángulos, sería conveniente que recuerde en la pizarra cómo se realizan estas construcciones geométricas. • Para que los alumnos y alumnas construyan rectas paralelas al vector de traslación, es aconsejable que recuerde en la pizarra o usando un procesador geométrico esta construcción. De forma similar, recuerde la construcción de rectas perpendiculares en la reflexión. Además, puede pedir a sus estudiantes que describan en sus cuadernos, paso a paso, los procedimientos empleados.

• Realización incorrecta de la copia de trazos y ángulos. • Construcción incorrecta de rectas paralelas y perpendiculares.

En la construcción de teselaciones regulares y semirregulares, se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Dificultades para identificar qué polígonos regulares teselan el plano. • Problemas para argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas en algunas teselaciones.

184

Unidad 4 – Movimientos en el plano

• Para ayudar a que los y las estudiantes identifiquen cuándo es posible teselar el plano usando uno o más polígonos regulares, es conveniente recordar que la suma de los ángulos de las figuras que concurren a un vértice es 360º, y constatarlo calculando la suma de dichos ángulos. • Para que los alumnos y alumnas distingan correctamente las transformaciones isométricas empleadas en una teselación, es conveniente que muestre en la pizarra, a partir de la figura inicial, cómo se construye una teselación, identificando con distintos colores las traslaciones, rotaciones y reflexiones presentes en ella.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 185

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS

Polígonos regulares e irregulares

A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para un desarrollo conceptual más amplio de los temas tratados en la Unidad.

Un polígono regular es aquel que tiene todos sus ángulos y lados de igual medida; de lo contrario, es un polígono irregular. La expresión que permite obtener la medida de un ángulo interior de un polígono regular de n lados está dada por:

POLÍGONOS Y SUS ELEMENTOS BÁSICOS Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.

α=

180° i (n − 2) n

α: medida de cada ángulo interior

Los elementos básicos de un polígono son: • Lados: segmentos que delimitan el polígono. Si están trazados uno a continuación del otro son lados consecutivos. • Vértices: puntos de intersección entre dos lados consecutivos de un polígono. • Ángulos: estos pueden ser interiores o exteriores.

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Previo a la construcción con regla y compás de rectas paralelas y perpendiculares, copiaremos un segmento y un ángulo dados. • Copiar un segmento AB dado

• Diagonales: segmentos que unen cada uno de los vértices no consecutivos. Nº de lados

Nombre

Triángulo

Cuadrilátero Pentágono

Hexágono

Heptágono

Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados. Por ejemplo: Polígonos cóncavos y convexos Un polígono se denomina cóncavo, si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º; se denomina convexo, si cada uno de sus ángulos interiores mide menos de 180º.

1° Se dibuja una recta L y se elige un punto A sobre ella. 2° Se mide con el compás el segmento y, luego, con centro en A y esta medida, se construye un arco que corte a la recta L. El punto de intersección corresponde al punto B.

• Copiar un ángulo AOB dado 1° Se copia el segmento OB sobre una recta L.

2° Con centro en O, se dibuja un arco con el mismo radio de medida OA. Polígono cóncavo

Polígono convexo

Ángulos interiores y exteriores de un polígono La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados, está dada por la expresión: 180º • (n – 2)

3° Con centro en B, se dibuja un arco con radio de medida AB.

4° Donde se intersecan ambos arcos estará el punto A. Se une O con A, para obtener el ángulo pedido.

La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono cualquiera es siempre igual a 360º. O

185

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 186

A continuación, veremos cómo se construyen, paso a paso, rectas paralelas y perpendiculares. • Construir una recta paralela a una recta L dada, que pasa por un punto P que no pertenece a dicha recta.

1° Se dibuja un punto P, que no pertenezca a la recta L. 2° Se dibuja un punto O cualquiera en la recta L. P

3° Con centro en O y radio OP se dibuja una circunferencia. A y B son los puntos de intersección entre la recta L y la circunferencia de centro O. 4° Se mide AP con el compás y, luego, se dibuja un arco con centro en B y radio AP que interseque a la circunferencia de centro O, determinando el punto Q.

5° Se une P con Q, obteniendo la recta PQ paralela a la recta L, como se observa en la imagen.

TESELACIONES A

Una teselación es un patrón de figuras que cubre una superficie sin dejar espacios ni sobreponer figuras. Q

Las teselaciones se obtienen a partir de la aplicación de transformaciones isométricas sucesivas sobre una figura inicial. En una teselación con figuras planas, la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º.

Construir la perpendicular a una recta L dada, desde un punto P que no pertenece a dicha recta. 1° Se dibuja un punto P, que no pertenezca a la recta L.

Teselaciones regulares Las teselaciones regulares son aquellas que cubren una superficie utilizando solo un polígono regular. Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Por ejemplo:

2° Se dibuja un arco con centro en P que interseque a la recta L en dos puntos, que denominaremos A y B (AP ≅ PB). 3° Con la misma abertura del compás y con centro en A y, luego, en B, se dibujan dos arcos que se intersequen en un punto (distinto de P) que denominaremos C. 4° Se une P con C, obteniendo la recta PC perpendicular a la recta L. 186

Teselación utilizando cuadrados Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 187

Teselaciones semirregulares Una teselación semirregular es aquella que está formada por 2 o más polígonos regulares. Algunas teselaciones semirregulares se pueden realizar utilizando: • Octágonos y cuadrados (como la imagen)

Bibliografía • Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica. • Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

• Cuadrados y triángulos equiláteros • Hexágonos y triángulos equiláteros

• Manual esencial. (2008). Composición de isometrías. Geometría y Trigonometría. (pp. 130 y 131). Santiago: Santillana.

• Hexágonos, cuadrados y triángulos equiláteros

• Manual esencial. (2008). Composición de isometrías. Geometría y Trigonometría (pp. 30–51). Santiago: Santillana.

Teselación no regular Una teselación no regular es aquella que está formada por polígonos irregulares. Por ejemplo:

• Rencoret, M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Andrés Bello.

Sitios webs • Construcciones de rectas y trazos: www.fisica.usach.cl/~ctoledo/licfismat/guia1geom.doc Teselación usando romboides • Transformaciones Isométricas en la Educación General Básica. XIII Jornadas Nacionales de Educación Matemática, SOCHIEM: www.sochiem.cl/jornadas2006/talleres_nacionales/06.pdf

Construcción de una teselación A partir de cualquier polígono que permita teselar una superficie, se pueden formar plantillas de diseño para realizar distintos modelos. Los pasos para crear una teselación son:

• Teselaciones del artista M. C. Escher (página en inglés). Disponible en: www.mcescher.com/

1° Elegir un polígono

Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

2° Determinar el diseño 3° Determinar las transformaciones isométricas a utilizar.

Rotación de arco

187

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Teselación

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 188

TEXTO DEL ESTUDIANTE 102 Y 103

Movimientos en el plano

• Efectuar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas por medio de construcciones con regla y compás. • Realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas por medio de un procesador geométrico. • Reconocer las invariantes que se generan al realizar transformaciones isométricas. • Construir teselaciones regulares y semirregulares. • Reconocer y argumentar respecto de las transformaciones isométricas utilizadas en teselaciones regulares y semirregulares.

Symmetry drawing E70, Maurits Cornelis Escher. The M.C. Escher Company.

Unidad

En esta Unidad podrás...

Conversemos de... Maurits Cornelis Escher (1898-1972), artista holandés, es uno de los artistas gráficos más grandes del siglo XX. Sus trabajos han sido del interés de muchos matemáticos, porque utiliza patrones de figuras que cubren una superficie plana sin superponer las figuras ni dejar espacios libres entre ellas. Escher trabaja principalmente con figuras obtenidas a partir de cuadriláteros y triángulos, las que modifica para crear un patrón que, al repetirlo, encaja con los demás, embaldosando una superficie plana. La imagen corresponde a una de las obras de Escher. Observa y responde. 1. ¿Observas alguna regularidad o patrón?, ¿cuál? 2. ¿Qué figuras observas en la imagen?, ¿se repite alguna?, ¿cuál? Comenta con tus compañeros y compañeras de qué manera se va repitiendo la imagen. 3. ¿Te imaginas esta imagen girando alrededor de un punto?, ¿de cuál?

102 Unidad 4

La imagen inicial de la Unidad está destinada a motivar a sus estudiantes en el estudio de la Geometría, específicamente en las transformaciones isométricas y teselaciones. Para muchos de sus alumnos y alumnas, puede parecer extraño que la Matemática esté vinculada con el arte; sin embargo, el autor de esta obra es un gran exponente de la relación entre estas dos distintas áreas del saber. Por años, muchos artistas y matemáticos se han inspirado en los maravillosos trabajos de M. C. Escher. 188

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Movimientos en el plano

103

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conversemos de... Ítems 1 y 2: reconocer. Ítem 3: analizar e identificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 189

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego, puede preguntarles lo siguiente: • ¿Qué es una transformación?, ¿observas ejemplos presentes en la naturaleza? • ¿Han escuchado hablar de traslación, rotación o reflexión? • ¿Qué tipo de embaldosamientos han visto a su alrededor? Con estas preguntas, y las ideas que vayan surgiendo por parte de sus alumnos y alumnas, puede hacer un mapa semántico en la pizarra, que le permitirá obtener información acerca de las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas; a partir de ellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL

Escher fue un observador del mundo, siendo este su fuente de inspiración. Sus obras tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios de 2 ó 3 dimensiones. Es por esto que su trabajo ha sido del interés de muchos matemáticos. Actualmente sus trabajos se pueden encontrar en diversos sitios web: • www.mcescher.com/ (página en inglés) • www.uv.es/buso/escher/escher.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Observa la siguiente imagen y, luego, responde.

Es recomendable comentar con los y las estudiantes la imagen inicial presentada en el Texto. Puede complementar la conversación con preguntas como las siguientes: • • • • •

¿Hay figuras que no se repiten?, ¿cuáles? ¿Las imágenes repetidas están a igual distancia? ¿Hay espacios sin cubrir en la imagen? ¿Hay algunas figuras superpuestas (una sobre otra)? ¿Tiene algún nombre especial este tipo de imagen?

Estas preguntas están relacionadas con la obra del artista Escher y la geometría. La obra que aparece corresponde a una teselación. Pida a sus estudiantes que copien algunas mariposas y en una hoja blanca las peguen para que descubran cuál es la regularidad de la obra y, además, constaten empíricamente que las figuras no se sobreponen. De esta forma podrán responder por medio de la experiencia las preguntas del primer y segundo punto. La actividad inicial está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores, tales como las figuras geométricas y sus características.

a) ¿Observas alguna regularidad? b) ¿Cuál es el movimiento de las figuras? c) ¿A partir de qué figura geométrica crees que se formó la imagen anterior?, ¿por qué? (Habilidades que desarrolla: analizar, reconocer y justificar).

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES Maurits Cornelis Escher (1898-1972) ha sido uno de los artistas gráficos más relevantes del mundo, y hoy, a casi cuatro décadas de su muerte, continúa maravillando a miles de personas con su arte. Escher no fue un estudiante brillante en la escuela. Posteriormente, al estudiar arte gráfico, motivado por un profesor, explotó todo su potencial, convirtiéndose en un artista reconocido. 189

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 190

TEXTO DEL ESTUDIANTE 104 Y 105

Unidad 4

¿Cuánto sabes? 1. Calcula las medidas de los ángulos x e y. En cada caso L1 // L2. a)

4. Copia la siguiente recta L en tu cuaderno y construye usando regla y compás: a) una recta paralela a la recta L.

140º x

L1 y 72º

L2 L1

2. Completa la siguiente tabla. Utiliza regla y transportador para efectuar las mediciones de lados y ángulos, respectivamente. Figura

Nombre

Medida de ángulos

Medida de lados

• Los ángulos se pueden clasificar según sus medidas en: agudo (mide más de 0º y menos de 90º), recto (mide 90º), obtuso (mide más de 90º y menos de 180º), extendido (mide 180º) y completo (mide 360º). • Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90º, y suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180º. • Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.

D C

¿Qué debes recordar? Dos rectas son paralelas, cuando no se intersecan en ningún punto o cuando son coincidentes. Dos rectas son secantes, cuando se cortan en un único punto. Dos rectas son perpendiculares, cuando al intersecarse forman 4 ángulos rectos. Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados, que tienen un origen común, llamado vértice. A • Un ángulo como el de la figura se puede nombrar utilizando la O notación ⱔBOA, siendo O el vértice del ángulo. La medida de este ángulo es . B

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

• • • •

b) una recta perpendicular a la recta L.

A D

3. Sigue las siguientes instrucciones. Usa regla y compás para realizar las construcciones en tu cuaderno. a) Copia los segmentos y el ángulo que aparecen a continuación para construir un triángulo. b) Construye la circunferencia circunscrita al triángulo. a

• ¿Cómo lo hiciste?, ¿cuál es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo?

104 Unidad 4

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Para identificar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: calcular medidas de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal. Ítem 2: recordar el nombre de figuras geométricas planas, y medir sus ángulos y lados con regla y transportador. 190

Unidad 4 – Movimientos en el plano

En el polígono ABCD: ⱔ , ⱔ ,ⱔ , y ⱔ son ángulos interiores. ⱔ , ⱔ ,ⱔ , y ⱔ son ángulos exteriores.

• Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados en: triángulos (3 lados), cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), etc. • Si un polígono tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes, se llama polígono regular. • Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores que 180º. • La suma de todos los ángulos interiores de un polígono de n lados se puede calcular con la siguiente fórmula: (n – 2) • 180º. • La suma de todos los ángulos exteriores de un polígono convexo es 360º.

Movimientos en el plano

105

Ítem 3: construir con regla y compás un triángulo, dados dos ángulos, un lado y una circunferencia circunscrita al triángulo. Ítem 4: construir con regla y compás una recta paralela a la recta L dada, y una perpendicular a la recta L.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 191

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: recordar y usar herramientas. Ítems 3 y 4: usar herramientas y representar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes no recuerden las igualdades de medidas de los ángulos entre paralelas cortados por una transversal. Para corregir esta posible dificultad, presente un esquema general que ilustre cuáles ángulos tienen igual medida y cuáles son suplementarios. Es recomendable no presentar ejemplos numéricos, pues con esto se perdería la intencionalidad del ítem. • En el ítem 2, es posible que los alumnos y alumnas no recuerden el nombre del polígono de seis lados (hexágono) o el nombre específico del cuadrilátero (rectángulo). En cuanto a los triángulos, puede que los alumnos y alumnas no recuerden

el nombre específico del triángulo, considerando su clasificación según sus lados y sus ángulos. Por ejemplo: triángulo escaleno obtusángulo, triángulo isósceles acutángulo, triángulo isósceles rectángulo. Para ayudar a sus estudiantes, podría presentar una breve clasificación general o mapa conceptual de los polígonos y de los tipos de triángulos y cuadriláteros. Es conveniente que no presente ejemplos numéricos, pues se podría perder la intención del ítem. • En los ítems 3 y 4, puede que los alumnos y alumnas presenten dificultad para construir rectas paralelas, rectas perpendiculares, triángulos y circunferencias circunscritas, utilizando regla y compás, ya que estas construcciones involucran conocimientos previos y práctica. Podría ocurrir que los alumnos y alumnas construyan mecánicamente, sin justificar o entender los procedimientos empleados. Para solucionar este inconveniente, y verificar si los y las estudiantes logran o no construir las figuras solicitadas, se recomienda mostrar en la pizarra un ejemplo para cada tipo de construcción, y una breve argumentación de cada una. Es conveniente que destaque que en las construcciones realizadas son más importantes las propiedades o definiciones puestas en juego que la precisión de la representación.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente los valores de los Calcula correctamente los valores de ángulos incógnitos por medio de las los ángulos incógnitos, utilizando el igualdades de medidas de los suplemento de un ángulo. ángulos entre paralelas cortados por una transversal.

Calcula erróneamente uno de los valores de los ángulos incógnitos, confundiendo la relación entre los ángulos.

Calcula erróneamente todos los valores de los ángulos incógnitos, confundiendo la relación entre los ángulos.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, obteniendo las medidas de los lados y ángulos, así como también recuerda los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, obteniendo las medidas de los lados y ángulos, pero no recuerda todos los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza erróneamente alguna de las herramientas geométricas, obteniendo las medidas incorrectas de uno o dos de los lados o ángulos; no recuerda todos los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas, obteniendo todas las medidas incorrectas de los lados y ángulos, y no recuerda los nombres de las figuras involucradas.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, copiando el segmento y ángulos para construir el triángulo y, luego, la circunferencia circunscrita al triángulo, justificando cada uno de sus pasos.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas, copiando el segmento y ángulos para construir el triángulo y, luego, la circunferencia circunscrita al triángulo, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas, copiando de forma incorrecta el trazo, o bien, los ángulos, sin poder construir la circunferencia circunscrita al triángulo.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas, copiando de forma incorrecta el trazo, y también los ángulos, sin poder construir la circunferencia circunscrita al triángulo.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas y construye de forma correcta la recta paralela y la recta perpendicular, justificando cada uno de sus pasos.

Utiliza correctamente las herramientas geométricas y construye de forma correcta la recta paralela y la recta perpendicular, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas y construye de forma incorrecta la recta paralela, o bien, la recta perpendicular, sin justificar sus pasos.

Utiliza erróneamente las herramientas geométricas y construye de forma incorrecta ambas rectas, sin justificar sus pasos.

191

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 192

TEXTO DEL ESTUDIANTE 106 Y 107

Unidad 4

Transformaciones de figuras y objetos A partir de la figura 1 y 3 se obtuvieron las figuras 2 y 4, respectivamente. Obsérvalas. Figura 1

No olvides que... • Cuando se aplica una transformación a una figura u objeto, modificando su posición, sin alterar su tamaño ni su forma, se habla de que se le ha aplicado una transformación isométrica.

Figura 2

Figura inicial Imagen A

A C

• Al aplicar una transformación isométrica a una figura, se obtiene otra figura, que se denomina imagen de la figura inicial. En general, usaremos la misma letra con un apóstrofo para señalar el vértice obtenido luego de una transformación. Por ejemplo: El A B C es la imagen del ABC

Figura 3

C B

A y A; B y B ; C y C son vértices correspondientes entre sí.

Figura 4

Para discutir • ¿Qué cambió en la figura 1 para obtener la figura 2?, ¿cómo lo supiste? • ¿Qué cambió en la figura 3 para obtener la figura 4?, ¿cómo lo supiste? • ¿Podrías decir que los cambios corresponden a transformaciones en cada caso?, ¿por qué?, ¿de qué tipo? • ¿Qué sucede con las medidas de los lados y ángulos en cada caso? Comúnmente utilizamos la palabra transformación para referirnos a algún cambio, ya sea en el tamaño, en la forma o en la posición de un objeto o un cuerpo. En matemática, hablamos de una transformación cuando un conjunto de puntos se ha movido siguiendo una regla o condición dada.

Glosario isometría: La palabra isometría es de origen griego y significa “igual medida” (iso = igual o mismo, metría = medir).

Como puedes observar, para obtener la figura 2 a partir de la figura 1, fue necesario aplicar una transformación. En este caso, cambió su posición, pero no su tamaño ni su forma, pues las medidas de sus lados y ángulos son iguales (congruentes). Esta transformación se denomina reflexión y corresponde a una transformación isométrica porque los puntos de la figura 1 se han movido de manera tal que se conservan todas sus medidas.

Actividades 1. Observa las imágenes de cada recuadro y, luego, responde.

• ¿Podrías decir que corresponden a transformaciones isométricas?, ¿por qué? 2. En cada caso, determina si las siguientes figuras pueden obtenerse a partir de la aplicación de una transformación isométrica. Justifica. a)

Observa que también se aplicó una transformación a la figura 3 para obtener la figura 4; sin embargo, no corresponde a una transformación isométrica, porque cambia el tamaño de la figura, aunque no su forma. En este caso, las medidas de los lados de la figura 4 son el doble de los de la figura 3 y las medidas de los ángulos correspondientes son las mismas.

106 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Para discutir

192

Unidad 4 – Movimientos en el plano

107

Ítems 1 y 2: analizar y justificar. Ítem 3: analizar, justificar y reconocer. Ítem 4: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 193

Actividades Ítem 1: reconocer, analizar y justificar. Ítem 2: analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL El propósito de las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR es de carácter exploratorio y tiene por objetivo que los alumnos y alumnas analicen figuras y reconozcan cuáles de ellas corresponden a la aplicación de una transformación isométrica. Para motivar a sus estudiantes, sería interesante tener distintas figuras geométricas, semejantes y congruentes, pegarlas en la pizarra y hacer preguntas en relación a ellas. Además, podría anotar las observaciones que van aportando y, luego, discutir respecto de ellas. De esta forma mostraría y analizaría las transformaciones isométricas y no isométricas. Para complementar el tema y la información del Texto, plantee preguntas como las siguientes:

• En el caso de las figuras 3 y 4 de la actividad inicial se trata de una homotecia, concepto que estudiarán en cursos posteriores. Una homotecia es una transformación geométrica que permite obtener un polígono semejante a otro dado. En cambio, una transformación isométrica permite obtener un polígono congruente a otro dado. • Es importante considerar que una transformación geométrica asocia cada punto del plano con otro punto del mismo plano, de modo que una figura, siendo un conjunto de puntos, queda asociada a su figura imagen.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Completa el siguiente cuadro.

Figura original

¿Qué cambió?

¿Qué se mantuvo?

¿Es una transformación isométrica?

• ¿Ampliar o reducir una imagen es una transformación isométrica?, ¿por qué? • ¿Mover un objeto de un lugar a otro, sin que varíen sus medidas, es una transformación isométrica?, ¿por qué?, ¿qué cambió?, ¿qué se mantuvo igual?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, complemente la pregunta del Texto con otras como las siguientes: ¿cambió la posición?, ¿y el tamaño? Al contestar estas preguntas les podría resultar más fácil identificar si cada fotografía corresponde o no a una transformación isométrica. En el caso de las imágenes de los palafitos y la mariposa, sugiera a sus estudiantes que constaten que se trata de una transformación isométrica, doblando la hoja por un eje imaginario justo en la mitad. • En el ítem 2, es importante recordar a sus estudiantes las características de una transformación isométrica: la imagen mantiene la forma y el tamaño de la figura original. De este modo, los alumnos y alumnas podrán identificar con mayor facilidad cuáles imágenes se obtuvieron a partir de una transformación isométrica. • Permita que los y las estudiantes compartan sus ideas, razonamientos y procedimientos al finalizar la actividad, pues esto les permitirá ampliar sus conocimientos, al conocer otros puntos de vista y métodos de resolución.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es fundamental que sus estudiantes comprendan la diferencia entre transformaciones isométricas y no isométricas, así como los elementos que se mantienen y los que cambian luego de aplicar cada transformación, ya que estos conocimientos serán la base para los temas que se tratarán en la Unidad.

(Habilidades que desarrolla: analizar y reconocer). De profundización 1. Dibuja un polígono en tu cuaderno usando regla y, luego, una imagen que podrías obtener al aplicar una transformación isométrica a la figura. Explica cómo lo hiciste. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, aplicar y justificar).

193

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 194

TEXTO DEL ESTUDIANTE 108 Y 109

Unidad 4

Traslaciones de figuras planas C C

Observa el cuadrilátero A B C D que se obtuvo al aplicar una transformación isométrica al cuadrilátero ABCD.

D D

a partir del vértice en el sentido que indica el vector. De este modo, obtenemos los vértices de la imagen, como se observa en la figura 2.

C D D B

Para discutir

B A

Ayuda Para realizar la construcción geométrica de una recta paralela a una recta L que pasa por un punto D, exterior a L, podemos dibujar una circunferencia con centro en cualquier punto de la recta L que contenga a D. Luego, llamamos F y G a los puntos de intersección entre L y la circunferencia. Con el compás, medimos el trazo FD y, luego, dibujamos un arco con centro en G y radio FD que interseque a la circunferencia, determinando el punto J. Finalmente, se une D con J, obteniendo la recta DJ, paralela a la recta L.

• ¿Cómo describirías la transformación isométrica que se le aplicó?, ¿qué cambió?, ¿y qué se mantuvo? • ¿Cuánto miden los lados y ángulos correspondientes en las figuras?, ¿ocurrirá siempre lo mismo en estos casos? • Si unes los vértices correspondientes (A con A , B con B , etc.) con una línea y, luego, las mides, ¿cómo son entre sí?, ¿qué otra característica observas? • Si tuvieras solo la figura inicial y la flecha que representa el movimiento de A hasta A , ¿cómo podrías obtener la imagen usando regla y compás?

B A

3º Unimos los vértices de la imagen, determinando el cuadrilátero

Figura 3 C

trasladado, según el vector dado, como se observa en la figura 3.

C D D B A

B A E F

No olvides que... En la situación presentada, cada uno de los puntos de la figura inicial (ABCD) se desplazó en la misma magnitud, dirección y sentido para obtener su imagen (A B C D ), además, al medir los lados y ángulos correspondientes de ambas figuras, podrás constatar que dichas medidas se mantienen; esto ocurre cuando la transformación isométrica que se aplica a la figura inicial corresponde a una traslación. Para representar gráficamente el movimiento realizado, podemos utilizar una flecha, que se llama vector de traslación. En las figuras presentadas, al unir sus vértices correspondientes, obtenemos los vectores de traslación que miden lo mismo, tienen el mismo sentido y son paralelos entre sí.

Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura en una misma magnitud, dirección y sentido.

Actividades 1. Construye un triángulo isósceles en tu cuaderno y dibuja un vector con la magnitud, dirección y sentido que tú quieras. Luego, usando regla y compás, trasládalo según el vector. 2. Usando regla y compás, traslada el ABC según el vector DT y, luego, a la imagen obtenida, trasládala según el vector FK.

C A

Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás, la traslación de una figura dada conociendo el vector de traslación (EF ).

Figura 1

K B

1º Realizamos la construcción geométrica de rectas paralelas al vector dado que pasen por cada vértice (A, B, C y D). En este caso, tenemos que construir 4 rectas paralelas al vector EF,

D B A

D T

como se observa en la figura 1. E F

3. ¿Podrías trasladar el ABC del ítem anterior, según un solo vector, obteniendo la segunda imagen?, ¿cuál es el vector?, ¿cómo lo construirías manteniendo la magnitud, dirección y sentido? Construye la traslación en tu cuaderno, usando regla y compás.

108 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de traslaciones […] de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Para discutir

194

Figura 2

2º Copiamos la medida del vector en cada recta construida,

Unidad 4 – Movimientos en el plano

109

Ítem 1: analizar. Ítems 2, 3 y 4: usar herramientas y analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 195

Actividades

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Ítems 1 y 2: usar herramientas, aplicar y representar. Ítem 3: analizar, usar herramientas, aplicar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL El propósito de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantes las características que presenta una traslación de figuras planas. Esto se realiza a través de preguntas que permiten explorar y analizar lo que sucede cuando se realizan traslaciones. Para ello, se presenta un cuadrilátero y su imagen, luego de aplicar una traslación. Para reforzar la comprensión del tema por los alumnos y alumnas con más dificultades, podría presentarles una nueva figura (que no sea cuadrilátero) con su correspondiente imagen, y pedirles que identifiquen los elementos que varían y los que no al aplicar una traslación, y también que midan la distancia entre cada vértice y su imagen respectiva. Para analizar las características de la traslación presentada, es de gran ayuda que cada alumno y alumna utilice una regla para realizar las mediciones respectivas.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de comenzar los ítems 1 y 2, es conveniente que recuerde a sus estudiantes la construcción de una recta paralela a una recta L dada, que pasa por un punto P exterior a la recta L que encontrará en la página 186 de esta Guía. Si algún alumno o alumna no recuerda dicha construcción, esto no le permitirá alcanzar completamente los objetivos de la Unidad. • En el ítem 3, es importante que los alumnos y alumnas concluyan que al trasladar una figura según un vector y, luego, la imagen obtenida según otro vector, es posible trasladar la figura inicial y obtener la segunda imagen aplicando una traslación según un solo vector. La dificultad es determinar cuál es ese vector de traslación. A continuación, se muestra una posibilidad (gráfica) para determinar el vector:

• Para una mejor comprensión de la realización de la traslación de una figura con regla y compás es recomendable que cada alumno y alumna copie en su cuaderno un cuadrilátero como el que aparece en el Texto y que los guíe en la realización de cada uno de los pasos que se proponen en él. • Es importante supervisar el trabajo de cada uno de los y las estudiantes para determinar si trasladan y realizan las construcciones geométricas correctamente. Recuerde que los conceptos de transformaciones isométricas y de traslación son importantes para que los alumnos y alumnas los apliquen al momento de realizar las actividades. De no ser así, las construcciones con regla y compás serán solo procedimientos mecánicos. • Es fundamental tener presente que para trasladar una figura, basta con trasladar los vértices de la figura, en la dirección, sentido y magnitud que indica la flecha o vector de traslación y, luego, unir estos vértices. • Para los alumnos y alumnas que tienen dificultad al realizar las traslaciones con regla y compás, sería conveniente que previamente trabajen con cuadrículas para contar cuántos cuadraditos se traslada la figura según un determinado vector. Por ejemplo: traslada el cuadrado una unidad a la derecha y, luego, tres unidades hacia arriba. Dibuja el vector de traslación.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo D

1. Realiza la traslación de la siguiente figura, usando regla y compás, según el vector MN.

1° Se dibujan ambos vectores, de manera que

A B

→

el origen de b coincida con el extremo de →

→

a , obteniendo el vector c . →

→

2° La suma de los vectores a y b será el vector →

N →

→

c , cuyo origen coincide con el origen de a →

y cuyo extremo coincide con el extremo de b .

→

• Es importante que una vez finalizada la actividad, los y las estudiantes comparen los resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.

(Habilidades que desarrolla: usar herramientas, aplicar y representar). De profundización 1. Construye en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 6 cm y trasládalo usando regla y compás, según un vector que escojas. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar y aplicar).

195

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 196

TEXTO DEL ESTUDIANTE 110 Y 111

Unidad 4

Reflexiones de figuras planas Observa la figura inicial y su A imagen obtenida al aplicarle una transformación isométrica.

A D

2º Con centro en P y el mismo radio anterior dibujamos una circunferencia y con centro en Q dibujamos otra circunferencia con el mismo radio. El vértice D y su imagen D corresponden a la intersección de las circunferencias con centros P y Q; como se

Figura 2 L A P

observa en la figura 2.

Para discutir

• ¿Qué ocurriría con las figuras si doblaras la hoja por la recta L? • Si se le aplicó una transformación isométrica a la figura inicial, ¿qué se mantiene?, ¿y qué cambia? • Une con una línea recta los puntos correspondientes (A con A , B con B , etc.). ¿Cómo son estas líneas en relación a la recta L? • Mide la distancia entre el punto A y la recta y, luego, la distancia entre el punto A y la recta. ¿Cómo son entre sí? • Haz lo mismo con las medidas de los demás puntos. ¿Se cumple siempre?

Ayuda Recuerda que, la simetral o mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por el punto medio del segmento. Todos los puntos de una simetral están a igual distancia de los extremos del segmento.

En la situación anterior, el pentágono A B C D E es la imagen del pentágono ABCDE. Si dobláramos la hoja por la recta L, los vértices y lados de la figura inicial coinciden con los de la imagen. Además, al unir cada par de puntos correspondientes, podrás verificar que la recta L es perpendicular a estos trazos (AA L, BB L, etc.) y que los vértices correspondientes se ubican a igual distancia de la recta L. Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada se llama reflexión. En esta transformación isométrica, todos los puntos se reflejan respecto de una línea recta, llamada eje de simetría, ubicándose a la misma distancia del eje, pero al lado contrario. En el ejemplo anterior, el eje de simetría es la recta L.

E B

D Q

La recta DD corresponde a la simetral del trazo PQ. C Figura 3

3º Finalmente, realizamos la misma construcción para cada vértice de la figura inicial; de este modo, obtenemos la imagen de cada vértice, los cuales unimos determinando la imagen, como se observa en la figura 3.

D D

No olvides que...

Una reflexión es una transformación isométrica en la cual a cada punto de una figura se le asocia otro punto, llamado imagen, de modo que: • El punto y su imagen están a igual distancia del eje de simetría. • El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.

Actividades 1. Construye un cuadrilátero en tu cuaderno y dibuja una recta que no interseque al cuadrilátero. Luego, usando regla y compás, aplícale una reflexión con respecto a la recta. 2. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo isósceles MNR (de base MN) respecto de la recta MN.

Observa ahora cómo podemos realizar, con regla y compás la reflexión de una figura dada respecto de un eje de simetría (recta L). Figura 1

1º Dibujamos un arco con centro en uno de los vértices (D) de la

P E B

figura inicial que interseque al eje de simetría en dos puntos, que denominaremos P y Q, como se observa en la figura 1.

3. ¿Qué tipo de cuadrilátero se formó al reflejar el MNR del ítem anterior respecto de la recta MN?, ¿por qué?, ¿qué otro triángulo podrías reflejar para obtener el cuadrilátero?

110 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de […] reflexiones […] de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Para discutir

196

Unidad 4 – Movimientos en el plano

111

Ítems 1, 2 y 3: analizar. Ítems 4 y 5: usar herramientas y analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 197

Actividades Ítems 1 y 2: usar herramientas, aplicar y representar. Ítem 3: analizar, usar herramientas, aplicar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial tiene como propósito introducir los conceptos referentes a una transformación isométrica: las reflexiones. En esta actividad se plantean diversas preguntas para que los alumnos y alumnas puedan concluir sobre las características de esta transformación y, además, analizar qué aspectos cambian y cuáles se mantienen en la imagen de la figura inicial. En el Texto del Estudiante se realiza y explica, paso a paso, la reflexión de uno de los vértices de un pentágono, usando regla y compás. Para comenzar el estudio de este contenido, es de gran ayuda que doblen la hoja por la recta o eje de simetría para que verifiquen que en una reflexión las figuras coinciden al realizar este procedimiento y, además, que las medidas de lados y ángulos se mantienen. Por otro lado, es conveniente que copien la figura 1 (ubicada al lado inferior izquierdo de la página) en sus cuadernos y, paso a paso, reflejen el vértice D, como se muestra en el Texto del Estudiante. Luego, cada alumno y alumna podría reflejar los otros vértices siguiendo los mismos pasos anteriores, para que sean ellos quienes apliquen reflexión a la figura usando regla y compás.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Podría mostrar a sus estudiantes que una forma de observar la reflexión es usando un espejo. Para ello pídales que dibujen un polígono en sus cuadernos y, luego, que pongan el espejo como eje de simetría. Además, puede mencionar que para constatar que una figura es el reflejo de la otra, al doblar la hoja por el eje de simetría, estas debiesen coincidir. Eje de simetría

O’ N

N’

P’

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Dada la siguiente figura, dibuja su eje de simetría. Explica cómo lo hiciste. 2,5 cm

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de realizar los ítems 1 y 2, es conveniente que recuerde a sus estudiantes la construcción de una recta perpendicular a una recta dada que pasa por un punto P exterior a la recta L que se muestra en la página 186 de esta Guía. Si algún alumno o alumna no recuerda dicha construcción, esto será un impedimento para alcanzar completamente los objetivos de la Unidad. • En el ítem 2, al reflejar el triángulo respecto de la recta MN, los alumnos y alumnas deberán reflejar solamente el vértice R, obteniendo como imagen el ΔMNR . • En el ítem 3, los alumnos y alumnas deben generalizar respecto del cuadrilátero que se formó en el ítem anterior; este es un rombo, pues el ΔMNR es isósceles de base MN. Sería conveniente que pregunte a sus estudiantes las características de un rombo y que las relacionen con la figura inicial y la imagen obtenida. • Es importante que una vez finalizada la actividad los y las estudiantes comparen los resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.

2,5 cm

2. Realiza la reflexión de la siguiente figura, usando regla y compás, según la recta L.

(Habilidades que desarrollan: reconocer, usar herramientas, aplicar y representar). De profundización 1. Construye en tu cuaderno un triángulo que tenga dos lados de medidas 6 cm y 4 cm y que el ángulo formado por ellos mida 36º. Luego, aplícale una reflexión, usando regla y compás, respecto del lado cuya medida es 6 cm. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar y aplicar).

197

Unidad 2 – Potencias – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:56 Página 198

TEXTO DEL ESTUDIANTE 112 Y 113

Unidad 4

Rotaciones de figuras planas A la siguiente pieza de un rompecabezas, se le aplicó la misma transformación isométrica 2 veces. Observa lo que se obtuvo cada vez.

2º Repetimos el mismo procedimiento para los demás vértices y,

Figura 3 J

luego, unimos los puntos, obteniendo la imagen del triángulo, como se observa en la figura 3.

Ayuda Si observas los movimientos de la pieza de rompecabezas de la situación anterior, en el siguiente movimiento, la pieza volverá a su posición inicial, siempre y cuando el movimiento realizado sea igual a los anteriores. En esta transformación, todos los puntos de la figura se mueven en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, en un ángulo determinado, que es el ángulo de rotación.

Recuerda que, para copiar un ángulo AOB dado, copiamos el trazo OB sobre una recta L. Con centro en O, dibujar una circunferencia con radio OA. Luego, con centro en B, dibujar una circunferencia con radio AB. La intersección de ambas circunferencias determina el punto A.

Cuando esto ocurre, la transformación isométrica aplicada se llama rotación. El centro de rotación puede estar dentro o fuera de la figura. El ángulo de rotación puede tener sentido positivo (en sentido contrario a los punteros del reloj) o negativo (en el sentido de los punteros del reloj).

Finalmente, unir O con A para obtener el ángulo requerido.

Figura 1 J A

K B

C’

A’

B’

No olvides que... Una rotación es una transformación isométrica, en la cual todos los puntos se mueven respecto a un punto fijo llamado centro de rotación, en un determinado ángulo, llamado ángulo de rotación.

Actividades 1. Construye un triángulo escaleno en tu cuaderno. Luego, usando regla y compás, rótalo respecto de uno de sus vértices en un ángulo que tú escojas. 2. Usando regla y compás (si es necesario transportador), aplícale una rotación al PQR en torno al punto O en el ángulo = 70º y, luego, a la imagen obtenida aplícale otra rotación respecto del mismo punto O en el ángulo = 110º.

P E

B D Q R O

Observa ahora cómo realizar, con regla y compás, la rotación del ABC respecto del centro O y en un ángulo de rotación = 75º (en sentido positivo), como se observa en la figura 1

1º Dibujamos una circunferencia con centro O y radio OC

Figura 2 J A

En el ejemplo anterior, el centro de rotación está dentro de la figura y el ángulo de rotación es de 90º cada vez que rota (en sentido positivo).

Para discutir • ¿Cómo describirías cada movimiento de la pieza?, ¿por qué? • Según los movimientos realizados por la figura, ¿cuántas veces debes aplicar la misma transformación isométrica para que quede como la figura del principio?, ¿cómo lo supiste? • ¿Existe algún punto de esta pieza que quede siempre fijo al realizar los movimientos anteriores?, ¿cuál?

y copiamos el ángulo (o usamos transportador) en sentido positivo, respecto al radio OC y con vértice O. Marcar la imagen C en la circunferencia, como se observa en la figura 2.

K O

3. En el ítem anterior, ¿puedes obtener la imagen final mediante una sola rotación de la figura inicial respecto del punto O?, ¿cómo? Realiza la rotación en tu cuaderno utilizando regla, compás y transportador.

112 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de […] rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […], discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Para discutir

198

Unidad 4 – Movimientos en el plano

113

Ítems 1 y 2: analizar y justificar. Ítem 3: analizar, identificar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 199

Actividades Ítems 1 y 2: usar herramientas, aplicar y representar. Ítem 3: analizar, usar herramientas, aplicar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es introducir el estudio de rotaciones de figuras planas y su realización a través de construcciones con regla y compás. Antes de trabajar en esta actividad, podría motivar a sus alumnos y alumnas mostrando distintas figuras sencillas y su imagen rotada con distintos ángulos de rotación y respecto de centros distintos. Luego, preguntar qué características observan entre la figura inicial y su imagen. De este modo podrá observar si los alumnos y alumnas identifican las características de una rotación y, además, los aspectos que varían y los que se mantienen. Luego de realizar las preguntas de la sección PARA DISCUTIR presentada en el Texto, podría plantear las siguientes preguntas: Al rotar una figura, ¿se mantiene la medida de los ángulos de la figura?, ¿se mantiene la medida de los lados de la figura?, ¿cómo lo supieron? En el Texto del Estudiante se realiza y explica, paso a paso, la rotación de uno de los vértices de un triángulo usando regla y compás. Por lo tanto, es conveniente que copien la figura 1 (ubicada al lado inferior izquierdo de la página) en sus cuadernos y, paso a paso, roten el vértice C, como se muestra en el Texto del Estudiante. Luego, cada alumno y alumna podría rotar los otros vértices siguiendo los mismos pasos anteriores, para que sean ellos quienes apliquen la rotación a la figura usando regla y compás.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de realizar el ítem 1, es conveniente que recuerde a sus estudiantes cómo copiar ángulos, como se muestra en la página 185 de la Guía, pues si algún alumno o alumna no recuerda cómo se realiza, será un impedimento para alcanzar completamente los objetivos de la Unidad. • En el ítem 1, pida a sus estudiantes verificar que la rotación de cada vértice está correctamente realizada, midiendo con un transportador los ángulos formados por cada vértice, el centro de rotación y sus imágenes. Por ejemplo, si rotó un triángulo ABC respecto del vértice B en 120º; pídales que midan los ángulos ABA y CBC y verifiquen que miden 120º. • En el ítem 2, no se especifica que el sentido de la rotación es positivo; por lo tanto, es conveniente que mencione a sus estudiantes que en estos casos debemos asumir que el sentido es positivo (antihorario). • En el ítem 3, sería interesante plantear a los alumnos y alumnas que roten primero con centro en O y ángulo β‚ y, luego, la imagen obtenida rotarla con centro O y ángulo α y preguntar: ¿Se obtiene la misma imagen que en el orden propuesto en el Texto en el ítem 2?, ¿siempre ocurrirá lo mismo?, ¿por qué? 199

Unidad 4 – Movimientos en el plano

• En importante que una vez finalizada esta actividad, los y las estudiantes comparen las respuestas y puedan llegar a concluir que la imagen final se puede obtener mediante una rotación a la figura inicial de centro O y ángulo α + β, que en este caso mide 180º.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para cualquier transformación, es recomendable asignar letras a los vértices y a su correspondiente imagen (con los apóstrofos) para evitar confusiones. Si una figura no tiene asignada letras, etiquete cada vértice antes de comenzar a aplicar cualquier transformación isométrica. • Es conveniente que monitoree constantemente los procedimientos y resultados obtenidos por sus estudiantes. Si lo considera necesario, podría trabajar con cuadrículas en las primeras rotaciones y con ángulos sencillos como 90º, 180º, 45º, 270º y, posteriormente, utilizando regla y compás, sobre todo, para aquellos estudiantes que tienen mayor dificultad. • Sería conveniente que trabaje con sus alumnos y alumnas algunas rotaciones para que concluyan lo siguiente (como actividad de refuerzo): – Al rotar una figura en 360º en sentido positivo o negativo se obtiene la misma imagen. – Una rotación en 270º en sentido positivo es equivalente a una rotación en 90º en sentido negativo. – Una rotación en 270º en sentido negativo es equivalente a una rotación en 90º en sentido positivo.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo

1. Realiza la rotación de la siguiente figura, usando regla y compás, respecto del centro O en 180º.

B O

2. Rota el cuadrilátero del ítem anterior en 180º pero en sentido negativo (sentido horario). ¿Qué puedes concluir al rotar una figura en 180º en sentido horario y antihorario? (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, aplicar, analizar y conjeturar). De profundización 1. Construye en tu cuaderno un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 6 cm y 8 cm. Luego, aplícale una rotación, usando regla y compás, respecto del vértice del ángulo recto. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas y representar). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 200

TEXTO DEL ESTUDIANTE 114 Y 115

Unidad 4

Herramientas tecnológicas Traslaciones, reflexiones y rotaciones usando software geométrico

Luego de realizar los pasos anteriores, responde:

Usando el programa Geogebra puedes construir transformaciones isométricas, siguiendo los pasos que se dan a continuación. Para descargar este programa ingresa a: www.geogebra.at y en el menú de la izquierda, selecciona Webstart-TeleInicio y, luego, el botón Webstart.

a) b) c) d)

Traslación de un triángulo 1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y selecciona Cuadrícula. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un triángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vértice del primer clic del triángulo. 3º Selecciona la herramienta Vector entre Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic en distintos puntos para dibujar el vector de traslación, con la magnitud y sentido que quieras. 4º Selecciona la herramienta Traslada objeto por un Vector luego, sobre el vector; aparecerá el triángulo trasladado. 5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud 6º Selecciona la herramienta Área

. Haz clic sobre el triángulo y

¿Cuánto mide cada lado de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan? Calcula el perímetro y área de ambas figuras, usando las herramientas del software. ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier polígono que apliques una reflexión?, ¿cómo lo supiste? En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea cuadrilátero), realiza los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a, b y c.

Rotación de un triángulo 1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y seleccionar Cuadrícula. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un triángulo haciendo tres clic en distintos puntos; el cuarto clic lo debes hacer sobre el vértice del primer clic del triángulo. 3º Selecciona la herramienta Nuevo Punto . Haz clic en cualquier parte de la cuadrícula para dibujar el centro de rotación. 4º Selecciona la herramienta Rota Objeto en torno a un Punto,

. Haz clic sobre cada uno de los triángulos.

Luego de realizar los pasos anteriores, responde: a) ¿Cuánto mide el perímetro y área de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan? b) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier traslación de figuras?, ¿cómo lo supiste? c) En una nueva aplicación de Geogebra, dibuja otro polígono (que no sea un triángulo), realiza los mismos pasos anteriores y responde las preguntas a y b. Reflexión de un cuadrilátero 1º Utiliza una hoja nueva, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. Presiona nuevamente el botón derecho y selecciona Cuadrícula. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono . Luego, en la cuadrícula dibuja un cuadrilátero haciendo cuatro clic en distintos puntos, el quinto clic lo debes hacer sobre el vértice del primer clic del cuadrilátero. 3º Selecciona la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, haz dos clic en distintos puntos para dibujar el eje de simetría. 4º Selecciona la herramienta Refleja objeto en recta . Haz clic sobre el cuadrilátero y, luego, sobre la recta, aparecerá la imagen. 5º Selecciona la herramienta Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada lado de la figura inicial y, luego, sobre cada lado de la imagen; aparecerán las medidas de todos los lados.

el Ángulo indicado . Haz clic sobre el triángulo y, luego, sobre el centro de rotación. Aparecerá una tabla en la cual debes ingresar el ángulo de rotación, puede ser 70º (o el que tú quieras). Para escribir el símbolo º, selecciónalo en las opciones que aparecen en la tabla que se muestra en la figura. Una vez ingresado el ángulo de rotación, presiona OK; aparecerá la imagen rotada en sentido positivo. 5º Selecciona la herramienta Ángulo . Haz clic sobre cada vértice correspondiente al ángulo interior que deseas medir del triángulo de la figura inicial, en sentido antihorario; aparecerán las medidas de los ángulos interiores del triángulo como se muestra en la figura. Luego, repite el mismo procedimiento para medir los ángulos interiores de la imagen.

= 85.54º A

a) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de la figura inicial y de la imagen?, ¿cómo se relacionan? b) Calcula el perímetro, área y medidas de cada lado de ambas figuras, usando las herramientas del software, ¿qué observas? c) ¿Ocurrirá lo mismo en cualquier transformación isométrica?, ¿por qué?

Movimientos en el plano

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas […] empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

Herramientas tecnológicas

Unidad 4 – Movimientos en el plano

= 57.95º c

Luego de realizar los pasos anteriores, responde:

114 Unidad 4

200

B = 36.51º

115

Usar herramientas, analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 201

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • La actividad propuesta debe desarrollarse usando el software geométrico GeoGebra. Para ello, los computadores deben contar con conexión a Internet. Para descargar el programa, pueden ingresar a www.geogebra.at y en el menú de la izquierda, seleccionar Webstar-TeleInicio y, luego, el botón Webstar. • Si no conoce el programa, es fundamental que practique y realice la actividad previamente, para que al momento de la clase pueda ayudar a sus estudiantes. • Cada vez que utilice el software, es conveniente que seleccione la herramienta , pues permitirá que mueva las figuras o textos de su archivo. • Para que la actividad se realice de manera correcta, se sugiere que sus estudiantes trabajen de manera individual o en parejas si no cuentan con la cantidad suficiente de computadores. Lo importante es que todos los alumnos y alumnas puedan trabajar en la actividad propuesta. • Si considera conveniente, no seleccione la cuadrícula, pues así la pantalla estará en blanco. • La primera parte de la actividad consiste en trasladar un triángulo. Al finalizar esta parte, pida a los alumnos y las alumnas que realicen lo siguiente: – mueve un vértice del triángulo original, ¿qué sucedió con la imagen del triángulo?, ¿qué ocurrió con las áreas y los perímetros de ambos triángulos?, ¿por qué crees que sucede eso? • La segunda parte de la actividad consiste en reflejar un cuadrilátero con respecto a una recta (eje de simetría). Al término de esta parte podría pedir a los alumnos y las alumnas que realicen lo siguiente: – mueve un punto del cuadrilátero original, ¿qué sucedió con la imagen del cuadrilátero?, ¿qué ocurrió con las áreas y los perímetros de ambos cuadriláteros?, ¿por qué crees que sucede eso? – mueve la recta o eje de simetría, ¿qué sucedió con la imagen del cuadrilátero?, ¿por qué crees que sucede eso? • La tercera parte de la actividad consiste en rotar un triángulo con respecto a un punto. Al finalizar esta parte, podría pedir a los alumnos y las alumnas que realicen lo siguiente: – mueve el centro de rotación, ¿qué sucedió con la imagen del triángulo?, ¿el triángulo sigue rotado según el mismo ángulo?, ¿por qué crees que sucede eso?

b) ¿Qué sucede con la imagen, si se mueven uno o más vértices del cuadrado? c) ¿Qué sucede con la imagen si se modifica el vector, ya sea en magnitud o sentido? 2. Dibuja en la cuadrícula un triángulo usando la herramienta Polígono recta usando Recta que pasa por Dos Puntos .

y una

a) Refleja el triángulo con respecto a la recta. b) Si se mueven uno o más vértices del triángulo original, ¿qué sucede con la imagen? c) ¿Qué sucede con la imagen si se mueve la recta? (Habilidades que desarrollan: usar herramientas y analizar). De profundización 1. Dibuja en la cuadrícula un cuadrilátero usando la herramienta Polígono y dos vectores de traslación distintos en cualquier parte de la cuadrícula, usando Vector entre Dos Puntos . a) Traslada el cuadrilátero con respecto a uno de los vectores. b) Traslada la imagen obtenida en a respecto del segundo vector. c) Si quisieras trasladar el cuadrilátero en un solo vector y obtener la misma imagen de b), ¿cuál sería ese vector? Dibújalo en la cuadrícula y comprueba tu respuesta. d) ¿Qué sucede si se invierte el orden de los vectores para trasladar?, ¿se obtiene la misma imagen final? Haz la prueba y explica. 2. Dibuja en la cuadrícula un pentágono usando la herramienta Polígono una recta (eje de simetría) usando Recta que pasa por Dos Puntos

a) Refleja el pentágono con respecto al eje de simetría. b) Modifica la figura inicial moviendo alguno de sus vértices, ¿qué sucedió con la imagen? c) Mueve el eje de simetría, ¿qué sucede con la figura inicial y su imagen? d) ¿Qué ocurre si el eje de simetría coincide con uno de los lados del pentágono? 3. Dibuja en la cuadrícula un cuadrilátero usando la herramienta Polígono punto usando Nuevo Punto .

, y un

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

a) Rota el cuadrilátero en un ángulo de 90º, selecciona la opción Sentido Antihorario.

De refuerzo

b) Rota el cuadrilátero con un ángulo de 270º, selecciona la opción Sentido Horario.

1. Dibuja en la cuadrícula un cuadrado usando la herramienta Polígono Regular y un vector usando Vector entre Dos Puntos .

c) ¿Qué puedes concluir sobre las imágenes obtenidas en a) y b)? (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar y conjeturar).

a) Traslada el cuadrado en el vector indicado. 201

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 202

TEXTO DEL ESTUDIANTE 116 Y 117

4 Unidad 5

En equipo En esta actividad deberán usar el software Geogebra. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón derecho y seleccionen Cuadrícula. 2. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Dibujen un triángulo escaleno obtusángulo haciendo tres clic en distintos puntos, luego, hagan un clic sobre el vértice del primer clic del triángulo. 3. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos . En la cuadrícula, hagan dos clic en distintos puntos para dibujar el eje de simetría. 4. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta . Hagan clic sobre el triángulo y, luego, sobre la recta; aparecerá la imagen. 5. Seleccionen la herramienta Recta Paralela . En la cuadrícula, hacer un clic por donde deseen que pase la recta paralela al eje de simetría y, luego, hagan clic sobre dicho eje; aparecerá la recta paralela al eje de simetría. 6. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida anteriormente según la segunda recta dibujada; aparecerá la imagen de la primera imagen. 7. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica es equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquen sus respuestas utilizando el software. 8. En una hoja nueva, presionen el botón derecho y seleccionen Ejes. Presionen nuevamente el botón derecho y seleccionen Cuadrícula. 9. En las herramientas del software, seleccionen Polígono . Luego, dibujen el polígono que ustedes quieran. 10. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos y hagan una recta vertical. 11. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta

y reflejen el polígono respecto de la recta.

12. Seleccionen la herramienta Recta que pasa por Dos Puntos perpendicular a la otra recta como se observa en la figura 1.

y hagan una recta horizontal,

13. Seleccionen la herramienta Refleja Objeto en Recta y reflejen la imagen obtenida respecto de la recta horizontal. 14. Luego de realizar los pasos anteriores, comenten y respondan: ¿qué transformación isométrica es equivalente a las dos transformaciones sucesivas aplicadas anteriormente?, ¿por qué? Verifiquen sus respuestas utilizando el software. B b

A a

b a

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una traslación según un determinado vector? A.

2. ¿En cuál de los siguientes casos se representa mejor una reflexión según la recta dada? A.

3. Al aplicar una rotación a una figura con el centro de rotación en uno de los vértices de ella, siempre se cumple que: A. B. C. D.

un punto de la figura queda fijo. ningún punto de la figura queda fijo. todos los puntos de la figura cambian de posición. los vértices de la figura no cambian de posición.

4. Construye en tu cuaderno un triángulo ( MNT ), además, dibuja un vector M (DE ) y una recta (L), como se observa en la figura. Luego, usando regla y compás, aplica una traslación al triángulo, según el vector. A la imagen N obtenida, aplícale una reflexión según la recta. A esta última imagen, rotar con D centro de rotación en uno de sus vértices y en un ángulo de rotación de 100º.

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Identificar una traslación según un vector.

Identificar una reflexión según una recta dada.

Analizar expresiones asociadas a la rotación de una figura.

Realizar transformaciones isométricas usando regla y compás.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

116 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

En equipo

Unidad 4 – Movimientos en el plano

c Figura 1

202

117

Usar herramientas, analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 203

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Esta actividad debe ser desarrollada con el software computacional GeoGebra, por lo cual se sugiere que realice la actividad antes de trabajar con sus estudiantes. • Para el correcto desarrollo de la actividad se sugiere que trabajen en grupos de tres integrantes como máximo; solo en caso que no cuente con la cantidad de computadores necesarios, se sugiere que trabajen en grupos de más integrantes o por turnos. En este caso, asegúrese de que todos los alumnos y alumnas tengan la posibilidad de realizar la actividad y que no ocurra que un integrante de cada grupo utiliza el computador y el resto solo mira. • Si algún estudiante aún no comprende alguno de estos temas, es un buen momento para reforzar y así lograr adquirir los aprendizajes esperados. El uso de GeoGebra ayudará bastante, ya que facilita el trabajo en Geometría. También puede apoyarse en la actividad complementaria que se presenta a continuación. • Es importante que una vez finalizada la actividad, los y las estudiantes comparen los resultados obtenidos, como una forma de corregir y detectar errores.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA De refuerzo 1. Realiza las mismas reflexiones que hiciste con el programa computacional GeoGebra con regla y compás en tu cuaderno. Verifica la respuesta de la pregunta 14, usando regla y compás. (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar y verificar).

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

Ítem 2: analizar, conjeturar e identificar. Ítem 3: analizar. Ítem 4: usar herramientas, aplicar y representar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1, 2 y 3, es posible que sus estudiantes no recuerden, no relacionen o confundan las características de una traslación, reflexión y rotación, respectivamente. Para superarlo, podría pedirles que realicen un mapa conceptual o un cuadro resumen con los principales contenidos estudiados hasta este momento. En estos casos deben marcar la alternativa correcta; sin embargo, pídales que realicen el desarrollo correspondiente al lado de cada pregunta, ya que esto les facilitará detectar si hay o no errores en la estrategia empleada. • En el ítem 4, podría ocurrir que los alumnos y alumnas se confundan al tener que realizar una composición de transformaciones isométricas (es la aplicación sucesiva de transformaciones isométricas sobre una misma figura). Para ayudarlos, sugiérales que lean con detención las instrucciones, fijándose en cada una de las transformaciones que deben realizar. Además, es importante enfatizar en la importancia de poner las letras con los apóstrofos a los vértices de las imágenes obtenidas, para evitar confusiones. • Al término de la evaluación formativa, es fundamental que realice una revisión individual para que conozca las realidades de cada estudiante y puedan corregirlas. También es aconsejable una revisión general en la pizarra, para que sus estudiantes conozcan las respuestas correctas y una forma de resolución. Además, con esta instancia de revisión los alumnos y alumnas pueden realizar aportes significativos al desarrollo de la corrección de la evaluación, y así pueden reforzar y potenciar sus conocimientos. Luego de la revisión, pida que reflexionen acerca de los contenidos que han aprendido, y que realicen un listado con los conceptos que entendieron, que escriban y aclaren las dudas, si aún las tienen.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

Mi progreso Ítem 1: analizar e identificar.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 4. Ítem

203

Completamente logrado Utiliza la regla y compás, aplicando de forma correcta la traslación, rotación y reflexión a la figura dada, justificando sus pasos de construcción.

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Utiliza la regla y compás, aplicando de Utiliza la regla y compás, aplicando, de Utiliza la regla y compás, aplicando de forma correcta la traslación, rotación y forma incorrecta, ya sea la traslación, forma incorrecta las 3 transformareflexión a la figura dada, pero no justi- rotación o reflexión a la figura dada. ciones isométricas a la figura dada. fica de manera adecuada los pasos de la construcción. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 204

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

3. Usando regla y compás, traslada el cuadrilátero RSTU según el vector AB.

T S

a) Al aplicar una transformación isométrica a una figura, puede cambiar el tamaño de la figura, pero no su forma. b) Para reflejar una figura es necesario conocer el vector que determina la reflexión. c) Para trasladar una figura, es necesario conocer el vector de traslación. d) La distancia desde cualquier punto de una figura al eje de simetría es igual a la distancia desde cualquier punto de su imagen al eje. e) Para rotar un triángulo, solo es necesario conocer el ángulo de rotación. f) Rotar una figura en 180º en sentido positivo es equivalente a rotar la misma figura en 180º en sentido negativo.

B R C

4. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo ABC respecto de la recta DE.

A B

2. En cada caso, identifica qué trasformación isométrica se aplicó a las siguientes figuras y, luego, dibuja el vector de traslación o el eje de simetría o el centro y ángulo de rotación, según corresponda. a)

5. Usando regla y compás, aplica una rotación al pentágono ABCDE en torno al punto O en el ángulo α = 115º.

E A

D O

De profundización b)

e) 1. Usando regla y compás, aplica una reflexión al triángulo rectángulo HIJ respecto de la recta HI. H

• ¿Qué tipo de triángulo es el ΔJ JH?, ¿por qué?

204

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 205

2. Usando regla y compás, aplica una rotación al cuadrilátero ABCD en torno al vértice C en el ángulo β = 90º. W

5. U

E` A` U´ R

115º O

T´

D C

B` S´

R´

3. Usando regla y compás, refleja el ΔTVW respecto de la recta TV. Luego, a la imagen obtenida, traslada según el vector AB y, finalmente, a esta última imagen, rota en torno al vértice T en el ángulo α = 80º.

C` A B B`

D A`

A T

De profundización

1. El ΔJ’JH es isósceles, pues HJ’ ≅ HJ.

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 204 Y 205 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. a) Falsa. b) Falsa.

2. c) Verdadera.

e) Falsa.

d) Falsa.

f) Verdadera.

2. a) Reflexión, rotación y traslación.

e) Reflexión.

c) Dos reflexiones.

f) Reflexión y rotación en 180°.

W V

D A

d) Traslación.

b) Traslación.

V T

B D W

205

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 206

TEXTO DEL ESTUDIANTE 118 Y 119

Unidad 4

Teselaciones Observa el siguiente diseño.

Para discutir • ¿Qué características observas en el diseño anterior?, ¿qué tipo de polígono se repite?, ¿es posible realizar un diseño similar con cuadrados?, ¿y con círculos? • ¿Puedes cubrir una superficie plana con otros polígonos?, ¿cuáles?, ¿cómo lo harías?, ¿qué condiciones se deben cumplir? • ¿Es posible que queden espacios al cubrir una superficie plana muy grande con el diseño anterior?, ¿por qué? • ¿Se utilizaron transformaciones isométricas para realizar el diseño anterior?, ¿cuáles? El polígono que se repite en el diseño anterior es un triángulo equilátero, el cual puede cubrir o pavimentar una superficie plana de modo que no queden espacios y no se sobrepongan las figuras.

Glosario mosaico: corresponde a una obra realizada con fracciones diversas empleando materiales como rocas, vidrios o madera. Diversas culturas han decorado paredes o han pavimentado pisos incursionando en este arte.

Esta regularidad de las figuras se llama teselación, técnica utilizada por diversas culturas para pavimentar o formar un mosaico. Las teselaciones se construyen realizando traslaciones, reflexiones o rotaciones sobre una figura inicial. En el diseño anterior, para cubrir la superficie, se pueden aplicar sucesivas traslaciones, según el mismo vector, como se observa a continuación:

Así, se deben seguir aplicando transformaciones isométricas para cubrir completamente una superficie plana. Si observas la teselación anterior, los ángulos que concurren a un vértice suman 360º, pues concurren 6 ángulos que miden 60º cada uno.

No olvides que... • Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana y que cumple con dos requisitos: que no queden espacios y que no se sobrepongan o traslapen las figuras. • Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una o varias figuras iniciales. • Para construir una teselación, se debe considerar que la suma de los ángulos de las figuras que concurren a un vértice es 360º.

Actividades 1. Señala si los siguientes diseños pueden ser parte de una teselación. Explica tu decisión. a)

Figura inicial Luego, cada triángulo obtenido se puede reflejar con respecto al lado de la base, es decir: 2. Indica con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano. Justifica tu respuesta. a)

Los triángulos obtenidos se pueden trasladar con vectores de igual magnitud, y sentido contrario. De este modo, la imagen de cada triángulo, será la pintada del mismo color, como se observa:

3. Construye teselaciones en tu cuaderno, a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior. Indica las transformaciones isométricas que utilizaste para teselar. Aplicando estas transformaciones se obtiene el diseño inicial.

118 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

Para discutir

206

Unidad 4 – Movimientos en el plano

119

Ítems 1, 2 y 3: analizar y justificar. Ítem 4: analizar, reconocer y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 207

Actividades Ítems 1 y 2: analizar, identificar y justificar. Ítem 3: usar herramientas, analizar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

• En el ítem 3, podría pedirle a los y las estudiantes que presenten más dificultades que calquen las figuras de cada ejercicio en papeles de distintos colores, para que tengan, por ejemplo, cuadrados de distintos colores y, luego, realicen las teselaciones pegando las figuras en sus cuadernos, como la que se muestra a continuación:

El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas comprendan qué es una teselación, estudien sus características, analicen y argumenten respecto de las transformaciones isométricas que se pueden utilizar en ellas y, además, que descubran con qué polígonos es posible teselar el plano. Es importante que en esta actividad sus estudiantes observen que, a partir de un triángulo equilátero, es posible teselar el plano al aplicar transformaciones isométricas. Sería conveniente que realice en la pizarra, o bien que les pida que dibujen en sus cuadernos las transformaciones isométricas que permiten teselar. Podría preguntarles: • ¿Es posible teselar el plano con triángulos equiláteros, pero aplicando otras transformaciones isométricas?, ¿cómo lo harías? Además, se pretende que analicen y verifiquen que, para construir teselaciones, la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice es 360º. En este caso la suma es: 60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º, pues se trata de triángulos equiláteros. Luego, podría preguntarles: • ¿Es posible teselar con un hexágono regular?, ¿cómo lo harías?, ¿qué transformaciones isométricas utilizarían? • ¿Cuánto suman los ángulos interiores que concurren en un vértice?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Si sus estudiantes cometen algún error al determinar con qué figuras es posible teselar el plano, o si un diseño es o no una teselación, es importante que lo detecten e identifiquen cuál fue el error, de modo que puedan corregirlo. Considérela como una instancia de reflexión y construcción del conocimiento.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. ¿Con cuál de las siguientes figuras se puede teselar el plano? Justifica tus respuestas.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, es importante que los alumnos y alumnas expliquen cada una de sus respuestas, argumentando, por ejemplo, en la primera (letra a), que no se trata de una teselación, ya que quedan espacios con esa figura. Pídales que midan sus lados para que verifiquen que el pentágono utilizado es regular, pues así podrán calcular cuánto mide cada ángulo interior con la fórmula: (5 − 2) i 180° = 108º 5 y, luego, sumar los ángulos interiores que concurren en un vértice, esto es: 108º + 108º + 108º = 324º. Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados; de esta forma, podrán ver distintas estrategias de resolución y, además, fomentará el trabajo en equipo. • De manera similar, en el ítem 2, es importante que sus estudiantes justifiquen cada una de sus respuestas. Pídales que calculen la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice para determinar si es posible o no teselar el plano. 207

Unidad 4 – Movimientos en el plano

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar). De profundización 1. Construye teselaciones a partir de las figuras seleccionadas del ítem anterior y, luego, indica las transformaciones isométricas que usaste. 2. Diseña en tu cuaderno, baldosas cuadradas para algún lugar de su casa, considerando el tamaño de la superficie que quieren embaldosar y el tamaño de cada baldosa. Presenta tu trabajo en clases, elijan los tres mejores, justificando la elección, y expongan en el diario mural de su sala de clases, indicando las teselaciones utilizadas en cada caso. (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, reconocer y representar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 208

TEXTO DEL ESTUDIANTE 120 Y 121

Unidad 4

Teselaciones regulares y semirregulares Observa las siguientes teselaciones.

Actividades 1. Si las bases en las teselaciones de la página anterior, son las que están pintadas, indica las transformaciones isométricas involucradas en cada una de ellas. a)

Para discutir • ¿Qué diferencias observas en cada teselación?, ¿qué semejanzas? • ¿Qué polígonos se utilizaron para construir cada teselación?, ¿son polígonos regulares? • ¿Con qué polígono regular es posible construir teselaciones?, ¿cómo lo supiste? • ¿Es posible construir teselaciones combinando otros polígonos regulares?, ¿cuáles?

Ayuda Recuerda que un polígono regular tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes. Cada ángulo interior de un polígono regular de n lados está dado por: (n – 2) • 180 n

En las teselaciones anteriores puedes observar que ambas están construidas con polígonos regulares. La primera está construida usando solo un polígono regular (hexágono), por lo que se llama teselación regular. La segunda, en cambio, se construyó usando combinaciones de polígonos regulares (hexágono y triángulo equilátero), por lo que se llama teselación semirregular.

2. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un cuadrado y, a partir de esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas. 3. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm por lado y, a partir de esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas involucradas. 4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular para cada caso y, luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con cada combinación de polígonos regulares. Indica las transformaciones isométricas involucradas. a)

En una teselación, la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 360º. En las teselaciones anteriores, podemos verificarlo:

120º 120º 120º

120º60º 120º 60º

No olvides que... • Una teselación es regular cuando se construye usando solo un polígono regular.

5. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Es posible construir teselaciones con pentágonos regulares?, ¿y con heptágonos?, ¿por qué? b) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con pentágonos regulares y triángulos equiláteros?, ¿cómo? c) ¿Es posible construir teselaciones semirregulares con dodecágonos regulares y triángulos equiláteros?, ¿cómo?

• Una teselación es semirregular cuando se construye usando combinaciones de polígonos regulares. Llamaremos base a la combinación de polígonos que generan dicha teselación.

120 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

Para discutir

208

Unidad 4 – Movimientos en el plano

121

Ítems 1 y 2: analizar e identificar. Ítems 3 y 4: analizar, identificar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 180-209)_Maquetación 1 04-08-11 18:57 Página 209

Actividades Ítem 1: identificar. Ítems 2, 3 y 4: aplicar, usar herramientas e identificar. Ítem 5: analizar, identificar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL

plano solo con pentágonos regulares, pues los ángulos que concurren en un vértice no suman 360º. • Las teselaciones semirregulares son aquellas que se construyen usando combinaciones de dos o más polígonos regulares. Es importante destacar que existen ocho teselaciones semirregulares. Estas son:

El propósito de esta actividad es que los y las estudiantes sean capaces de: diferenciar entre teselaciones regulares y semirregulares; que puedan construirlas; que descubran con qué tipo de polígonos es posible realizar cada tipo de teselaciones, considerando que la suma de los ángulos que concurren en un vértice sea 360º; y, además, que identifiquen las transformaciones isométricas utilizadas en cada caso. Para guiar el análisis de sus alumnos y alumnas en esta actividad, podría plantear las siguientes preguntas: • ¿Cuántas figuras distintas tiene la primera teselación?, ¿y la segunda? • ¿Cuántos ángulos interiores concurren en un vértice en la primera teselación?, ¿cuánto mide cada uno?, ¿cuánto suman estos los ángulos? • ¿Cuántos ángulos interiores concurren en un vértice en la segunda teselación?, ¿cuánto mide cada uno?, ¿cuánto suman los ángulos?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, es importante que aclare a sus estudiantes que deben indicar las transformaciones usadas en cada teselación (traslaciones, reflexiones o rotaciones) y no construirlas o indicar aspectos más específicos, como eje de simetría, vector de traslación o ángulo y centro de rotación. • En los ítems 2 y 3, es fundamental que trabajen aplicando lo aprendido en páginas anteriores: uso de regla y compás; realización de construcciones geométricas para trasladar, rotar o reflejar figuras geométricas planas; construir las teselaciones regulares. • En el ítem 4, si es necesario, oriente a sus estudiantes para que puedan formar las bases de las teselaciones. En el caso del ejercicio b), es posible formar dos teselaciones diferentes a partir de los mismos polígonos; guíelos para que surjan ambos casos y los muestren al resto del curso. • En el ítem 5, para orientar a sus alumnos y alumnas, puede recordar que los ángulos interiores que concurren en un vértice deben sumar 360º. Es conveniente que concluya junto con sus estudiantes que es posible construir teselaciones regulares solo con cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares y, en el caso de teselaciones semirregulares, existen solo ocho tipos.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Al estudiar las teselaciones regulares y semirregulares, es conveniente que enfatice que no todos los polígonos teselan el plano. Por ejemplo, no es posible teselar el 209

Unidad 4 – Movimientos en el plano

• Para construir teselaciones regulares y semirregulares, puede realizar una actividad que involucre el uso del software geométrico GeoGebra y sus herramientas para realizar transformaciones isométricas: Refleja Objeto en Recta, Refleja Objeto por Punto (rotación en 180º), Rota Objeto en torno a punto, el Ángulo Indicado y Traslada Objeto por un Vector.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina el tipo de teselación en cada caso. Justifica tu respuesta. a)

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar). De profundización 1. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con hexágonos regulares. Justifica por qué se puede realizar esta teselación. 2. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con dodecágonos regulares y triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación. (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, analizar y justificar). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 210

TEXTO DEL ESTUDIANTE 122 Y 123

Unidad 4

En equipo En esta actividad deberán utilizar un trozo de cartón piedra de 40 cm por 30 cm, pegamento, tijeras, papeles de colores, regla y compás. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones. 1. Algunas teselaciones se pueden obtener realizando algunas transformaciones sobre una figura. Observa.

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. Se puede teselar el plano combinando: A. B. C. D.

cuadrado

rotación de semicircunferencia

teselación

pentágonos regulares y cuadrados. octágonos regulares y cuadrados. hexágonos y pentágonos regulares. Todas las anteriores.

2. ¿Qué polígono no tesela el plano? A. Cuadrado.

B. Rectángulo.

C. Pentágono.

D. Hexágono regular.

3. Identifica con cuál o cuáles transformaciones isométricas se realizaron las siguientes teselaciones. a) triángulo equilátero

rotación de arco

teselación

2. Escojan alguna de las teselaciones anteriores o construyan otra usando la misma técnica (para triángulo equilátero o cuadrado), para teselar sobre el cartón utilizando los papeles de colores. 3. Identifiquen y describan las transformaciones isométricas involucradas en su teselación. 4. Expongan al resto del curso el trabajo realizado y expliquen acerca de las transformaciones isométricas utilizadas.

4. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

Herramientas tecnológicas M. C. Escher es un artista clave en el tema de las teselaciones. Legó gran cantidad de obras de arte en las cuales se observa la aplicación de teselaciones. En la página que se sugiere a continuación, podrás observar algunas de las obras de este artista: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm Usando la página web anterior, sigue las instrucciones y responde las preguntas. a) b) c) d) e)

Selecciona una de las teselaciones de Escher, haciendo un clic en el número correspondiente. Mueve el deslizador hacia abajo. ¿A partir de qué polígono se genera la teselación? ¿Qué transformaciones se aplicaron al polígono para obtener la figura de la teselación? ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan en la teselación? Selecciona otra teselación, repite los pasos anteriores y responde las preguntas.

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Reconocer con qué polígonos se pueden construir teselaciones semirregulares y regulares.

1y2

Identificar las transformaciones isométricas en una teselación.

Construir una teselación semirregular y argumentar acerca de las transformaciones isométricas involucradas.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

122 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.

En equipo

123

Aplicar, usar herramientas, identificar y justificar.

Herramientas tecnológicas Usar herramientas y analizar. 210

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 211

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• La actividad EN EQUIPO propuesta debe desarrollarse usando diversos materiales (cartón, pegamento, tijeras, papeles de colores, regla y compás). Para el correcto desarrollo de la actividad, asegúrese de que sus estudiantes cuentan con los materiales necesarios. Es importante que supervise que todos los integrantes de cada grupo trabajen. Por otro lado, es importante que no todos los grupos trabajen con la misma teselación, pues, en caso contrario, el ítem 4, en el cual deben exponer; solo bastaría con que un grupo muestre el trabajo al resto del curso y, la idea es que compartan sus trabajos. • La actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS debe desarrollarse en computadores que tengan conexión a Internet. Para el correcto desarrollo de la actividad, se sugiere que trabajen individualmente o en parejas. En caso que no cuente con los computadores necesarios, puede realizar el trabajo por turnos. Si es así, asegúrese que todos sus estudiantes tengan la posibilidad de realizar la actividad. Además, es una instancia para que discutan y analicen algunas obras del artista Escher.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Utiliza la misma técnica (sacar una parte del polígono, moverla y ponerla en otro lado) de la actividad EN EQUIPO para teselar utilizando un hexágono regular. Puedes guiarte por las teselaciones de Escher vistas en la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS. Luego, identifiquen y describan las transformaciones isométricas utilizadas en la teselación. (Habilidades que desarrolla: aplicar, usar herramientas e identificar).

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1, 2 y 3: analizar e identificar. Ítem 4: aplicar, usar herramientas e identificar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 y 2, es posible que los estudiantes no reconozcan con qué tipo de polígonos regulares se puede teselar el plano. Para ayudarlos, puede sugerirles que hagan un pequeño bosquejo de cada opción. Con ello podrán responder con mayor claridad. • En el ítem 3, es posible que sus estudiantes presenten dificultades para determinar las transformaciones isométricas involucradas en las teselaciones dadas. Para facilitar el trabajo de sus alumnos y alumnas, sugiérales observar aquellas figuras que tienen igual color para encontrar la figura inicial. De esta manera será más fácil ver los movimientos realizados. Por ejemplo, en la pregunta a) la figura inicial puede ser la que se observa al lado derecho, y, a partir de ella, se aplican traslaciones. • En el ítem 4, deben encontrar la figura base para luego teselar con ella. Podría mencionar que es posible formar una combinación de polígonos para teselar con las figuras dadas (en el caso semirregular). Además, es importante que los alumnos y alumnas constaten que no quedan espacios o figuras superpuestas. Para ello supervise que las teselaciones estén bien construidas. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Analiza e identifica correctamente la o Analiza e identifica correctamente las transformaciones isométricas que se la o las transformaciones isométricas utilizaron, justificando su respuesta. que se utilizaron, pero no justifica todas sus respuestas.

Analiza e identifica erróneamente alguna de las transformaciones isométricas que se utilizaron.

Analiza e identifica erróneamente las transformaciones isométricas que se utilizaron.

Utiliza herramientas geométricas e identifica las transformaciones isométricas involucradas en la construcción, justificando su respuesta.

Utiliza herramientas geométricas e identifica de forma incorrecta alguna de las transformaciones isométricas involucradas en la construcción.

Utiliza herramientas geométricas e identifica de forma incorrecta las transformaciones isométricas involucradas en la construcción.

211

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Utiliza herramientas geométricas e identifica las transformaciones isométricas involucradas en la construcción, pero no justifica todas sus respuestas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 212

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo 1. Identifica con cuál de los siguientes polígonos es posible teselar el plano. Justifica tu respuesta. a)

d) De profundización

2. Copia cada figura en tu cuaderno y realiza una teselación con ellas. Explica por qué es posible teselar con cada figura. a)

1. Usando regla y compás, dibuja un hexágono regular de 1,5 cm por lado y, a partir de esta figura, construye una teselación regular. Indica las transformaciones isométricas utilizadas. 2. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular. Luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Explica por qué es posible teselar con estas figuras.

3. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Explica por qué es posible teselar con estas figuras.

4. En la casa de Luis, el patio es un terreno de forma rectangular de 10 m de ancho y 12 m de largo. Si quiere cubrir la superficie con baldosas cuadradas de 25 cm por lado, responde: a) ¿en este caso se trata de una teselación?, ¿es regular o semirregular?, ¿por qué? b) ¿cuántas baldosas necesita en total?, ¿por qué? c) ¿y si las baldosas cuadradas miden 20 cm por lado?, ¿cuántas necesitaría? 5. Indica las transformaciones isométricas involucradas en cada teselación. En el caso de que la teselación sea semirregular, identifica su base. a)

3. Usando regla y compás, dibuja un hexágono regular de 2 cm por lado y un triángulo equilátero de 2 cm por lado. Con estas figuras, forma la base de una teselación semirregular y construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas utilizadas. 4. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación. 5. Usando el programa GeoGebra, construye una teselación con hexágonos regulares y triángulos equiláteros. Justifica por qué se puede realizar esta teselación. 6. La sala de clases del 8º básico de un colegio de Rancagua es un terreno cuadrado de 10 m por lado. Si se quiere cubrir la superficie con baldosas cuadradas de 20 cm por lado, responde: a) ¿la teselación en este caso es regular o semirregular?, ¿por qué? b) ¿cuántas baldosas se necesitan en total?, ¿por qué? c) si las baldosas fueran rectangulares de 10 cm de ancho y 20 cm de largo, ¿la teselación sería regular o semirregular?, ¿por qué?, ¿cuántas baldosas necesitarían?

212

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 213

SOLUCIONARIO DE LA PÁGINA 212 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. a) b) c) d)

Es posible. Es posible. Es posible. No es posible.

De profundización 1. Se puede utilizar: traslación o reflexión. 2. La teselación es:

2. En cada caso es posible teselar, porque los ángulos interiores que concurren en un mismo vértice suman 360º. 3. En este caso, se pueden formar dos teselaciones diferentes a partir de los mismos polígonos regulares; estas son:

En este caso es posible teselar, ya que la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice es 150º + 120º + 90º = 360º. 3. Se puede utilizar traslación. En ambos casos, es posible teselar porque los ángulos interiores que concurren en un mismo vértice suman 360º: en el primer caso 120º + 60º + 120º + 60º y, el segundo caso 60º + 60º + 60º + 60º + 120º. 4. a) Corresponde a una teselación regular, ya que todas las baldosas son cuadradas. b) Se necesitan 1920 baldosas. c) 3000 baldosas. 5. a) b) c) d)

213

Una posibilidad es: traslación y reflexión. Una posibilidad es: traslación. Una posibilidad es: traslación y rotación. Una posibilidad es: traslación y reflexión.

Unidad 4 – Movimientos en el plano

4. Es posible construir una teselación, ya que los ángulos interiores que concurren en un mismo vértice suman 360º (60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º). 5. Es posible construir una teselación, ya que los ángulos interiores que concurren en un mismo vértice suman 360º (60º + 60º + 60º + 60º + 120º o también, 120º + 60º + 120º + 60º). 6. a) Una teselación regular, ya que todas las baldosas son cuadradas. b) 2500 baldosas. c) Ninguna de las dos, ya que el rectángulo no es un polígono regular. Necesitarían 5000 baldosas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 214

TEXTO DEL ESTUDIANTE 124 Y 125

Unidad 4

Buscando estrategias Responder

Un grupo de amigos y amigas organizó un juego, que consiste en partir desde un lugar y llegar a otro, pasando a buscar agua al río. Gana la persona que escoge el camino de menor longitud. Si llamaron punto A al lugar inicial, punto B al lugar de llegada y recta L al río, ¿qué estrategia permite ganar el juego?, ¿por qué?

C2 L

Revisar

A B

Comprender • ¿Qué sabes del problema?

• ¿Qué debes encontrar? El camino de menor longitud justificando la estrategia empleada.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para resolver el problema aplicaremos una reflexión y, luego, justificaremos la estrategia empleada con la desigualdad triangular.

Si Loreto está planeando golpear la bola A para dar a la bola B después de tocar en dos bandas, ¿qué recorrido tendrá que hacer la bola A? Justifica tu respuesta.

3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?, ¿por qué?

C x

L e

A B

Finalmente, podemos concluir que el punto C determina el menor camino.

El Tetris es un video juego inventado en 1984, en el cual se deben aplicar repetidas veces transformaciones isométricas a 4 figuras diferentes para hacerlas encajar. Considerando la jugada que aparece a la derecha, ¿qué transformaciones isométricas debes realizar para hacer encajar correctamente la figura 1 en A?, ¿y para encajar la figura 2 en B?

2 1

Puedes jugar Tetris online en: www.juegostetris.com/juegos/tetris-ii/

124 Unidad 4

Movimientos en el plano

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás […].

Buscando estrategias

Unidad 4 – Movimientos en el plano

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

Para justificar la estrategia empleada, consideremos que el trazo A C es el reflejo del trazo AC, entonces dichos trazos (x) tienen igual medida.

214

G llegada

más corto.

Por la desigualdad triangular, sabemos que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado, además, A B = x + y, y A D = AD = d. Por lo tanto: x + y < d + e.

a) Luis, Marcela y Paula están jugando en el gimnasio de su colegio, el cual tiene forma rectangular. El juego consiste en partir desde un E punto del gimnasio, tocar una de sus paredes, llegar a otro punto, F tocar nuevamente la pared y, finalmente, llegar a otro punto del partida gimnasio. Gana quien escoge el camino más corto; para ello, Paula es la que determina quién ganó, midiendo con una huincha el camino de cada competidor. ¿Cuál es la estrategia que permite ganar el juego? Justifica tu respuesta. b) El billar es un juego que se practica en una mesa, generalmente rectangular, rodeada de bandas. El juego se basa en choques de bolas entre sí y con las bandas, impulsadas con un taco. Camilo y Loreto, están jugando billar. Al poco tiempo de jugar, las bolas A y B quedan en la ubicación que se observa en la figura.

Resolver

Consideremos cualquier otro camino que vaya de A a B y que recoja agua en un punto D del río.

• Para comprobar que el punto C determina el menor camino marcamos distintos puntos en la recta L y, luego, medimos la distancia desde A hasta cada punto y desde el punto (incluido C) hasta B. De este modo verificamos que el punto C determina el menor camino. 1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.

Que cada jugador estará ubicado en un punto, denominado punto A y debe llegar a otro punto denominado B, pasando a buscar agua a un río, denominado recta L.

• Debemos encontrar un punto C en el río, de manera que la distancia desde A hasta C y, luego, desde C hasta B, sea la mínima. Para ello, reflejamos el punto A en la recta L, determinando A . Unimos con una recta A con B. El trazo A B corta a la recta L en C. De este modo, el camino desde A hasta C y, luego, desde C hasta B, es el

• Al aplicar una reflexión al punto A, según la recta L, determinamos el punto A . Luego, unimos A con B, la intersección entre el segmento A B con la recta L es C, que corresponde al punto del río que determina el menor camino.

125

Ítem 1: analizar, usar herramientas, formular, aplicar y verificar. Ítems 2 y 3: analizar, seleccionar, usar herramientas y evaluar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 215

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO Es importante que muestre a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas formas. La estrategia presentada en el Texto es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. Otra forma de abordar el problema podría ser usando el software geométrico GeoGebra para encontrar el punto que determina el camino más corto (C) reflejando el punto A en la recta. Luego, unir A con B y con la herramienta Intersección de Dos Objetos se puede determinar el punto C. Además, podría verificar que el camino es más corto ubicando un punto cualquiera en la recta (D) y usando las herramientas del software para medir trazos cm Distancia o Longitud . Puede pedirle a sus estudiantes que muevan el punto D para que constaten que C determina el camino más corto.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Lorena tiene una hoja blanca con dos puntos, A y B. Ella quiere rotar el punto A en 180º respecto del punto B, pero no cuenta con ningún material para hacerlo. ¿Es posible realizar esa rotación?, ¿cómo lo harías? (Habilidades que desarrolla: seleccionar, analizar y aplicar). De profundización 1. Inventen un problema que involucre uno o más de los contenidos de la Unidad. Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo utilizando las estrategias para la resolución de problemas que conozcan, u otra. (Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar y verificar).

En proceso, logro parcial

No comprende

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• • • •

Comprensión de conceptos

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los resultados. y/o progreso • Reconoce sin dar argumentos.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

215

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 09-08-11 13:46 Página 216

TEXTO DEL ESTUDIANTE 126 Y 127

Unidad 4 A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

NACIONAL

Museos de medianoche El viernes 23 de enero de 2009 se realizó la 19ª versión de la iniciativa que reúne a varios museos y centros culturales de la capital, que abrieron de 18:00 a 24:00 horas. Algunos museos y centros culturales que participaron fueron: el Museo de Artes Visuales (MAVI), el Museo Arqueológico de Santiago (MAS), el Museo de Arte Contemporáneo (MAC), el Museo de la Solidaridad Salvador Allende, el Centro de Extensión de la Universidad Católica, el Centro Cultural Palacio de la Museo Nacional de Bellas Artes, Moneda (CCPLM), la sede de la Sociedad Nacional de Bellas Santiago. Artes, que es el palacio La Alhambra, entre otros. El palacio La Alhambra fue encargado en 1860 por Francisco Ignacio Ossa Mercado al arquitecto Manuel Aldunate Avaria, quien viajó a España a tomar apuntes para realizar la obra. En 1940 el palacio fue donado a la Sociedad Nacional de Bellas Artes por Julio Garrido Falcón.

Síntesis

Conexiones

Para finalizar

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

TRASLACIONES

REFLEXIONES

ROTACIONES

DE FIGURAS PLANAS

TESELACIONES

Fuentes: www.portaldearte.cl/agenda/actividades/2009/19_version.html www.snba.cl/paginas/palacio.htm, consultado en febrero de 2010.

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Busquen fotografías del palacio La Alhambra de Santiago u otro edificio de arquitectura morisca, como el casino Español de Iquique. 2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. a) ¿Qué caracteriza a estos diseños?, ¿qué tipo de transformaciones isométricas es posible identificar? b) ¿En qué se parecen?, ¿en qué se diferencian? 3. Busquen imágenes de la obra de Matilde Pérez, pintora y escultora chilena. Averigüen y comenten qué relación tiene su obra con la Geometría.

REGULARES

SEMIRREGULARES

Evaluamos nuestro trabajo

3. ¿Cómo trasladas un triángulo con regla y compás?, ¿cómo lo rotas?

1. Dibuja una tabla con cada integrante de tu grupo, incluyéndote a ti mismo y copia en ella los siguientes indicadores:

4. ¿Qué características tiene la imagen de una figura, luego de aplicar una reflexión?, ¿cómo confirmas que se aplicó dicha transformación? 5. ¿Qué caracteriza a una teselación?, ¿cómo se construye?

• Respeté/respetó las opiniones de los demás integrantes. • Cumplí/cumplió con las tareas que se comprometió. • Hice/hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

6. ¿Qué diferencias observas en las teselaciones regulares y semirregulares?, ¿y qué semejanzas? 7. ¿Con qué polígonos puedes construir una teselación regular?, ¿y una semirregular?

8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

126 Unidad 4

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

Movimientos en el plano

127

Síntesis Recordar y conectar.

Conectar, analizar y aplicar.

216

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 217

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito vincular las transformaciones isométricas y las teselaciones con el arte, en particular con la arquitectura, pintura y escultura de los museos. En nuestro país existen diversos museos. En el Palacio de La Alhambra de Santiago es posible observar algunas teselaciones de distinto tipo, donde nos podemos deleitar con la maravilla que se produce al combinar arte y geometría.

Para que la tabla incluya todos los contenidos necesarios, sería apropiado que les indique cuáles son los contenidos que deben ubicar en la primera columna. A continuación, se presenta un ejemplo para el contenido de traslación trabajado en la Unidad: Contenido

Traslación

La artista Matilde Pérez es una reconocida pintora y escultora chilena. Su trabajo se destaca por sólidas estructuras, rigor de composición y control racional del color y la línea. Interesante información sobre la artista; su vida, trayectoria, entrevistas y obras, disponible en el sitio web: www.portaldearte.cl/autores/perez_matilde.htm.

Definición

Datos

Una traslación es el desplazamiento de todos los puntos de una figura en la misma magnitud, dirección y sentido.

Para realizar una traslación necesitamos la figura que queremos trasladar y el vector de traslación.

Ejemplo

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En relación a la arquitectura morisca presente en el Palacio de La Alhambra de Santiago, busca imágenes del palacio y, luego, responde las siguientes preguntas: a) ¿te gustó su arquitectura?, ¿por qué? b) ¿qué figuras geométricas observaste en su arquitectura? c) ¿encontraste transformaciones isométricas en la arquitectura?, ¿cuáles? (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y justificar).

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Piensa y responde. a) ¿En qué situaciones cotidianas podemos encontrar transformaciones isométricas? b) ¿Qué transformaciones aprendiste en esta Unidad? c) ¿Se puede realizar más de una transformación a una figura?

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

d) ¿Qué datos necesitas para trasladar una figura?

Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permiten a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estudiantes consolidan, organizan y clasifican sus aprendizajes.

e) ¿Qué datos necesitas para rotar una figura? f) ¿Qué datos necesitas para reflejar una figura? g) ¿Qué es una teselación? h) ¿Qué tipos de teselaciones existen?, ¿cuáles son la características de cada una?

TÉCNICAS DE ESTUDIO La tabla es otra técnica de estudio que le puede enseñar a sus alumnos y alumnas. Consiste en organizar los contenidos que hemos visto en la Unidad de la siguiente forma: • Hacer una tabla con cuatro columnas y el número de filas, según la cantidad de contenidos que quiera ubicar en ella. • Las columnas deben incluir los contenidos, definición, datos y un ejemplo de cada contenido.

217

Unidad 4 – Movimientos en el plano

i) ¿Todos los polígonos regulares se pueden utilizar para realizar una teselación? Justifica y da algunos ejemplos. j) ¿Qué condición deben cumplir los polígonos regulares para que formen una teselación regular? k) ¿Se puede realizar una teselación con más de un polígono regular? Da un ejemplo. (Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y justificar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 218

TEXTO DEL ESTUDIANTE 128 Y 129

¿Qué aprendí?

Unidad 4

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras corresponden a una reflexión? A. B. C. D.

RyS SyV SyT RyV

2. En la transformación de la imagen se aplicó una rotación con centro en O y ángulo de rotación de: A. B. C. D.

60º 360º 90º 180º

3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la estrella de David? A. B. C. D.

8 2 4 6

4. ¿Por qué es posible teselar con triángulos equiláteros? A. Porque la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 180º. B. Porque la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 360º. C. Porque la suma de sus ángulos interiores es 180º. D. Porque la suma de sus ángulos exteriores es 360º. 5. ¿Con cuál de los siguientes polígonos se puede construir una teselación regular? A. Cuadrado. B. Rectángulo.

6. Para trasladar una circunferencia según un vector dado, con regla y compás, basta con trasladar: A. el centro de la circunferencia, según dicho vector. B. dos puntos de la circunferencia, según dicho vector. C. un punto cualquiera de la circunferencia, según dicho vector. D. el centro y un punto cualquiera de la circunferemcia, según dicho vector.

9. Usando regla y compás, aplica una reflexión al ABC respecto de la recta L. Luego, a la imagen obtenida, rotar respecto del vértice C y ángulo de rotación de 60º (usa transportador).

B L

10. Dadas las siguientes figuras, forma la base de una teselación semirregular y, luego, usando regla y compás, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas involucradas.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. No es posible teselar una superficie plana con romboide. B. El eje de simetría es perpendicular a los trazos que unen cada par de puntos correspondientes. C. Al aplicar una rotación, todos los puntos de la figura se mueven en torno a un punto fijo. D. Al aplicar una traslación, todos los puntos de la figura se mueven según una flecha. 8. Al aplicar una transformación isométrica se obtiene una figura: A. que mantiene la posición de la figura original. B. que mantiene la forma, tamaño y posición original. C. que mantiene la forma y tamaño original, solo varía su posición. D. que mantiene el tamaño original y varía su forma y posición.

C. Rombo. D. Romboide.

128 Unidad 4

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Transformaciones de objetos Traslaciones de figuras planas Reflexiones de figuras planas Rotaciones de figuras planas Teselaciones Teselaciones regulares y semirregulares Resolución de problemas

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 103 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

Movimientos en el plano

129

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítems 1, 2, 3, 5 y 7: analizar. Ítems 4, 6 y 8: recordar. Ítems 9 y 10: aplicar, usar herramientas e identificar. 218

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 219

EVALUACIÓN SUMATIVA En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Movimientos en el plano, y, con esta información, seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, con el objetivo de aprender los contenidos de esta Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, así se podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En el ítem 9, sus estudiantes se podrían confundir debido a que no se especifica el sentido de orientación de la rotación. Mencione que siempre que ocurra esto se entiende que es en sentido positivo; es decir, contrario a los punteros del reloj. • En el ítem 10, podría ocurrir que los alumnos y alumnas se equivoquen al realizar la teselación, porque no construyen la base que utilizarán de forma adecuada. Para evitarlo, es recomendable que no la realicen de inmediato; primero pueden hacer el bosquejo de la teselación; y, luego, hacerla en el cuaderno. Además, pídales que cubran toda la plana del cuaderno para que puedan apreciar la teselación. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa, y según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10. Ítem

Completamente logrado

Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma correcta la rotación y reflexión a la figura dada, justificando sus pasos.

Utiliza las herramientas geométricas, Utiliza las herramientas geométricas, Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma correcta la rotación aplicando de forma incorrecta, ya sea aplicando de forma incorrecta la y reflexión a la figura dada, sin justificar la rotación o reflexión a la figura dada. rotación y reflexión a la figura dada. todos sus pasos.

Construye correctamente la teselación semirregular, identificando las isometrías involucradas y justificando sus pasos.

Construye correctamente la teselación semirregular, identificando las isometrías involucradas, sin justificar todos sus pasos.

219

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Logrado

Medianamente logrado

Construye de forma incorrecta la teselación semirregular, identificando alguna de las isometrías involucradas.

Por lograr

Construye de forma incorrecta la teselación semirregular, sin identificar las isometrías involucradas. Además, no justifica los pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 220

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

6. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es semirregular?

De refuerzo

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. Una transformación isométrica se caracteriza por: A. cambiar el tamaño y posición de la figura. B. cambiar el tamaño y forma de la figura. C. conservar el tamaño y forma de la figura. D. conservar el tamaño y cambiar la forma de la figura. 2. La imagen de una circunferencia coincide exactamente con la circunferencia original al aplicar: A. una traslación cuyo vector de traslación tiene la misma magnitud que un radio. B. una reflexión cuyo eje de simetría no pase por el centro de la circunferencia. C. una rotación cuyo centro de rotación coincida con el centro de la circunferencia. D. todas las anteriores. 3. Al aplicar una rotación la imagen puede coincidir exactamente con la figura original si se rota en: A. 180º

B. 90º

C. 270º

7. ¿Cuál de las siguientes opciones no representa una transformación isométrica? A.

D. 360º

4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? A. El eje de simetría es perpendicular a los trazos que unen cada punto y su imagen. B. Al aplicar dos rotaciones sucesivas a una figura, siempre se obtiene la figura original. C. Al aplicar una rotación, todos los puntos se mueven en torno a un punto fijo. D. Al aplicar una reflexión a una figura sobre una recta L y, luego, reflejar la imagen sobre una recta paralela a la recta L, equivale a la traslación de la figura geométrica. 5. Es posible teselar un plano usando: A. hexágonos regulares. B. octágonos regulares. C. pentágonos y cuadrados. D. hexágonos y cuadrados.

220

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 221

8. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación en 180º respecto del vértice B?

De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 4.

C. C

1. Una teselación es regular cuando:

A. se construye usando solo un tipo de polígono. B. se construye usando combinaciones de polígonos regulares. C. se construye usando uno o dos polígonos regulares. D. se construye usando solo un polígono regular.

A A

2. En una traslación: A B

A B

9. Usando regla y compás, dibuja la base de una teselación semirregular y, luego, construye en tu cuaderno una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas utilizadas y explica por qué es posible realizar la teselación.

A. se desplazan todos los puntos de una figura respecto de un eje de simetría. B. se mueven todos los puntos de una figura en un ángulo determinado. C. se desplazan todos los puntos de una figura según un vector de traslación. D. cambia la posición y forma de la figura inicial. 3. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es regular? A.

10. Usando regla y compás, traslada el siguiente cuadrilátero según el vector EF. Luego, rota la imagen obtenida respecto del vértice C en el ángulo α = 125º (utiliza transportador). A B D C

F E

4. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una reflexión respecto de la recta AB?

221

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 222

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 220, 221 Y 222 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

C. C

De refuerzo

1. C 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. B 8. D 9. Puede ser cualquiera de los ocho tipos de teselaciones semirregulares. 10. A

A B B D

C C

E A B

De profundización

B A

1. 2. 3. 4.

5. Usando regla y compás, refleja el cuadrado ABCD respecto de la recta E.

D C A A

5. D

DD C AE

6. Observa la circunferencia de centro O que se observa a continuación y responde.

222

Unidad 4 – Movimientos en el plano

a) ¿Es posible trasladar una circunferencia?, ¿cómo lo harías? b) ¿Cuántos puntos de la circunferencia debes trasladar para obtener la imagen?, ¿cuáles son? c) Traslada la circunferencia de centro O según el vector TV.

6. a) Sí es posible, se traslada el centro y un punto cualquiera de la circunferencia, según un vector de traslación. b) Dos puntos, el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.

O O V

O V

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 223

EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Movimientos en el plano. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 40 minutos, que puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Analizar e identificar.

2 puntos cada una

16 puntos

Usar herramientas, aplicar, analizar y justificar.

6 puntos cada una

18 puntos

múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En los ítems de desarrollo, podría ocurrir que sus estudiantes trabajen sin regla y compás. Para evitarlo, recuérdeles, una clase antes de la evaluación, que traigan dichos materiales. Además, durante el desarrollo de la evaluación monitoree constantemente el trabajo de los y las alumnas, con la finalidad que trabajen según las instrucciones. La importancia de las construcciones geométricas radica en las definiciones y propiedades puestas en juego al efectuarlas. Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evaluación, se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadas en esta evaluación, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudas que tengan.

Puntaje total de la evaluación: 34 puntos.

Si considera que sus estudiantes requieren apoyo adicional, vuelva a enseñar aquellos contenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado.

Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 224 Y 225

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

I. 1. B

2. D

3. A

4. B

5. C

6. B

7. D

8. A

II. 9. Las respuestas para a) y b) es que las rotaciones conservan las distancias y las medidas de los ángulos. 10. No se obtiene la misma imagen final en a) y b). 11. La transformaciones isométricas involucradas pueden ser traslaciones.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus alumnos y alumnas en el ítem II. Ítem

III

223

Completamente logrado Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma correcta las transformaciones isométricas a las figuras dadas, justifica sus pasos y responde correctamente las preguntas.

Unidad 4 – Movimientos en el plano

Logrado Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma correcta las transformaciones isométricas a las figuras dadas y, responde correctamente las preguntas.

Medianamente logrado Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma incorrecta algunas transformaciones isométricas a las figuras dadas, y responde correctamente algunas de las preguntas.

Por lograr Utiliza las herramientas geométricas, aplicando de forma incorrecta las transformaciones isométricas a las figuras dadas, y responde incorrectamente las preguntas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 224

EVALUACIÓN

3. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación de la figura en 45º con centro en O?

Movimientos en el plano Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

Nota: O

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta.

O’

D. O’

1. ¿Cuáles de estas figuras corresponden a una traslación? O’

O’

F4 4. Dado el eje R y el punto M de la figura, ¿qué transformación isométrica hay que aplicar en la mitad izquierda para obtener la mitad derecha del dibujo?

A. F1 y F2

B. F2 y F4

C. F1 y F3

2. La figura base de la siguiente teselación es:

D. F2 y F3

A. B. C. D.

Una rotación en 90º y centro M. Una reflexión con respecto al eje R. Una rotación en 180º y centro M. Una traslación.

5. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas?

224

Unidad 4 – Movimientos en el plano

I. Es posible teselar solo con rectángulos. II. Los círculos no permiten construir teselaciones. II. En una teselación con heptágonos regulares los ángulos que concurren en un mismo vértice suman 360º. A. B. C. D.

Solo I Solo II I y II I, II y III

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U4 (PAG 210-225_Maquetación 1 04-08-11 18:59 Página 225

6. En la figura, la imagen reflexiva del punto E, con respecto al eje de simetría T, es el punto: A. B. C. D.

C K M I

10. Realiza las siguientes transformaciones isométricas con regla y compás y, luego, responde la pregunta c).

E D

L H

N M

G F

7. Las teselaciones regulares son aquellas que: A. B. C. D.

están compuestas por cualquier polígono regular. son deformaciones del triángulo equilátero. están formadas por hexágonos y cuadrados. están formadas solo por un polígono regular.

H L K

8. El ángulo de rotación usado para pasar de T a T es: A. B. C. D.

270º 180º 45º 90º

a) Refleja el triángulo FHG respecto de la recta R. Luego, traslada la imagen obtenida según el vector LK. b) Repite el proceso anterior pero en forma inversa sobre el triángulo FHG. c) ¿Obtienes la misma imagen final en a) y b)? Justifica tu respuesta.

T’ O T

II. Resuelve los siguientes ejercicios usando regla y compás, en cada caso. 9. Aplica una rotación al cuadrilátero IJKL con centro en O y en un ángulo β = 95º. Luego, responde las preguntas.

a) ¿Qué sucede con las distancias de cada vértice al centro de rotación?, ¿se conservan o varían? b) ¿Qué sucede con los ángulos interiores de las figuras? 225

Unidad 4 – Movimientos en el plano

11. A partir de la técnica presentada, aplicada al cuadrado de la figura (eliminando partes de lados del cuadrado para añadirlas en otro), construye una teselación con ella. Indica las transformaciones isométricas utilizadas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 226

Datos y azar

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD Esta Unidad está orientada al análisis e interpretación de datos provenientes de diversas fuentes y en contextos diversos; a comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras; a determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, usando el modelo de Laplace.

ESQUEMA DE LA UNIDAD Datos estudio de

Población En el desarrollo de esta Unidad los alumnos y alumnas observarán y analizarán información obtenida del Censo 2002, así como también extraída de otros contextos, como educación, medios de comunicación, cultura, entre otros. El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes utilicen los conocimientos adquiridos en años anteriores para la comprensión y el aprendizaje de los nuevos contenidos que serán enseñados, por ejemplo tablas de frecuencia, cálculo de medidas de tendencia central y cálculo de probabilidades, conocimientos que son ampliados y profundizados en este nivel. Además, se realizan actividades en las que son utilizadas herramientas tecnológicas.

Azar

estudio de se realiza

Encuesta

Experimentos aleatorios

se selecciona se identifica

Muestra se construyen

Espacio muestral

Frecuencia absoluta

Tablas de frecuencia

Principio multiplicativo

se determina

Frecuencia relativa

para

se usa

Probabilidad en

En esta Unidad los alumnos y alumnas aprenderán, entre otras cosas, a construir e interpretar tablas de frecuencias para datos agrupados en intervalos. Además, aprenderán a calcular medidas de tendencia central, como la moda y la media aritmética, en dichos casos. Por otro lado, determinarán la probabilidad de ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios, para resultados finitos y equiprobables, aplicando el modelo de Laplace.

Datos no agrupados

Datos agrupados

Sucesos equiprobables

se determinan

Sucesos no equiprobables

se usa

Medidas de tendencia central

Regla de Laplace

son

Media aritmética

226

Unidad 5 – Datos y azar

Moda

Mediana

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 227

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Establecimiento y aplicación de criterios para la selección del tipo de tablas o gráficos a emplear para organizar y comunicar información, obtenida desde diversas fuentes, y construcción de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas.

Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.

Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones.

Determinación del rango, varianza y desviación estándar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

Caracterización de la representatividad de una muestra, a partir del tamaño y los criterios en que ésta ha sido seleccionada desde una población. Discusión acerca de cómo la forma de escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la población. Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la muestra, el método de selección, y el tamaño de ella, afectan los datos recolectados y las conclusiones relativas a la población. Predicción respecto a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio simple y contrastación de ella mediante el cálculo de la frecuencia relativa asociada a dicho evento e interpretación de dicha frecuencia a partir de sus formatos decimal, como fracción y porcentual.

Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

Uso de técnicas de combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo.

Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas. Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos.

Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin remplazo. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.

Análisis de las características de dos o más muestras de datos, haciendo uso de indicadores de tendencia central, posición y dispersión. Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple, en diversos experimentos, para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas. Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de ésta como una función. Exploración de la Ley de los Grandes Números, a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de probabilidades. Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operatoria básica con conjuntos, propiedades de la suma y producto de probabilidades.

Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace. 227

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 228

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO

Contenidos

Aprendizajes esperados

Actividades asociadas

Resolución de Interpretación de tablas problemas en los de frecuencia. cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.

• Analizar información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados en intervalos.

En el Texto De exploración: página 134.

Construcción de tablas Construcción de tablas de frecuencia con para datos agrupados. datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

• Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante una planilla de cálculo. • Interpretar la información que entregan las tablas.

En el Texto De exploración: página 136.

Discusión respecto de la Censo y muestreo. importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

• Analizar situaciones donde es necesario tomar muestras al azar en experimentos aleatorios. • Determinar el comportamiento de una población, usando medidas de tendencia central.

En el Texto De exploración: página 142.

De construcción de conceptos: página135.

Indicadores de evaluación • Interpretan información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados en intervalos.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 247.

De consolidación: páginas 160 y 161.

Diagnóstica: páginas 132 y 133 del Texto del Estudiante. Formativa: páginas 149 y 157 del Texto del Estudiante.

De consolidación: páginas 160 y 161.

De construcción de conceptos: página 137.

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos

• Construyen tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas.

Sumativa: páginas 162 y 163 del Texto del Estudiante, y 284 y 285 de la Guía Didáctica del Docente.

• Calculadora. • Computador con planilla de cálculo y conexión a Internet. • Bolsa • Hojas blancas. • Regla. • Tijeras. • Lápices de colores.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 249. De profundización: página 249.

De construcción de conceptos: página 143. De consolidación: páginas 160 y 161. En la Guía Didáctica De refuerzo: página 255.

• Discuten respecto de la importancia de tomar muestras al azar en experimentos aleatorios. • Analizan el comportamiento de una población, usando medidas de tendencia central.

De profundización: página 255. 228

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 229

CMO Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

Contenidos Media aritmética para datos agrupados. Moda para datos agrupados.

Aprendizajes esperados • Analizar muestras de datos, determinar la media aritmética y moda en estos casos para estudiar su comportamiento.

Análisis de encuestas.

En el Texto De exploración: páginas 138, 140 y 144. De construcción de conceptos: páginas 139, 141, 145, 146, 147 y 148.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Analizan muestras de datos en experimentos aleatorios, y estudian su comportamiento, determinando la media aritmética y la moda.

De consolidación: páginas 160 y 161. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 251, 253, 257, 259 y 261.

Actividades asociadas

De profundización: páginas 253 y 257.

• Analizar situaciones donde los resultados son equiprobables en experimentos aleatorios, en diversas situaciones y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

En el Texto De exploración: página 152. De construcción de conceptos: página 153. De consolidación: páginas 160 y 161.

• Analizan situaciones donde los sucesos son equiprobables, en diversas situaciones y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 267. De profundización: página 267.

229

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 230

CMO

Contenidos

Aprendizajes esperados

Identificación del con- Espacio muestral y junto de los resultados principio multiplicativo. posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos.

• Identificar el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usar el principio multiplicativo para obtener su cardinalidad.

Asignación en forma Regla de Laplace. teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

• Asignar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando la Regla de Laplace.

Discusión respecto de Buscando estrategias. la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

• Analizar información proveniente de diversas encuestas, para inferir sobre las características de una población. • Aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos.

230

Unidad 5 – Datos y azar

Actividades asociadas En el Texto De exploración: página 150. De construcción de conceptos: página 151. De consolidación: páginas 160 y 161.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

• Identifican el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usan el principio multiplicativo para obtener su cardinalidad.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 265.

En el Texto De exploración: página 154. De construcción de conceptos: página 155. De consolidación: páginas 160 y 161.

• Asignan la probabilidad teórica de un evento en un experimento aleatorio.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 269 y 271. De profundización: página 269. En el Texto De exploración: página 158. De construcción de conceptos: página 159. De consolidación: páginas 160 y 161.

• Resuelven problemas que implican el análisis de datos e interpretación de diversos gráficos estadísticos, provenientes de diversas fuentes.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 275. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 231

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes Es posible que sus estudiantes tengan problemas para: • Expresar números decimales como fracción, porcentaje, y viceversa. • Amplificar o simplificar una fracción. • Calcular porcentajes.

Cómo subsanarlos • Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los temas que provocan confusiones o errores en sus estudiantes.

Puede que sus estudiantes tengan dificultades para realizar el análisis e interpretación de información proveniente de diversos medios y fuentes.

• Para desarrollar estas habilidades, es importante que continuamente los alumnos y alumnas se vean enfrentados a situaciones en donde tengan que analizar, inferir, interpretar y concluir. De este modo, se acostumbrarán a desarrollar estas habilidades y en situaciones futuras, este tipo de trabajo no provocará complicaciones.

Es posible que sus estudiantes tengan problemas para:

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que mencione este error y destine un tiempo adecuado para enseñar cómo se calcula la media aritmética correctamente en datos agrupados en intervalos. Si lo estima conveniente, puede pedirles que utilicen calculadora, para facilitar los cálculos.

• Determinar la media aritmética en datos que se encuentran agrupados en intervalos, pues piensan que la media se calcula de igual forma que para datos no agrupados, es decir, suman todas las frecuencias absolutas y dividen el resultado por el total de observaciones. Es posible que sus estudiantes tengan problemas para: • Determinar la moda en datos que se encuentran agrupados en intervalos, pues piensan que la moda en estos casos corresponde a la marca de clase de la categoría con mayor frecuencia. Es posible que los alumnos y alumnas tengan problemas para: • Calcular la probabilidad de eventos simples, debido a que determinan de forma incorrecta el espacio muestral y la cantidad de resultados posibles. En la resolución de problemas se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y posterior resolución. • Utilización incorrecta de los datos que entrega un problema. • Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir la respuesta asociada. • Aplicación incorrecta de las estrategias utilizadas y soluciones encontradas.

231

Unidad 5 – Datos y azar

• Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad, es conveniente que mencione este error y destine un tiempo adecuado para enseñar cómo se calcula la moda correctamente en datos agrupados en intervalos.

• Para ayudar a sus estudiantes, permita que organicen la información en tablas, o bien, que usen diagramas de árbol, ya que esta forma visual permite clarificar la situación y les ayuda a obtener las probabilidades correctamente. • Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamental que los contenidos de la Unidad estén relacionados con una situación problemática apropiada, para que sus estudiantes se familiaricen con la resolución de problemas. • Incentivar la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver y revisar. Con esto sus estudiantes identificarán los datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, ejecutar la estrategia de resolución, dar solución al problema y analizar la solución.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 232

REFERENCIAS TEÓRICAS Y CONSIDERACIONES SOBRE ALGUNOS CONTENIDOS A continuación, le entregamos información complementaria actualizada para un desarrollo conceptual más profundo o amplio de los temas tratados en la Unidad.

Las variables continuas son aquellas en las cuales los posibles valores surgen frecuentemente de una medición. Estas variables pueden tomar tanto valores reales como sea posible en un intervalo.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Por ejemplo: la estatura de una persona, la masa de alguien. En resumen:

Conceptos básicos La estadística consiste en un conjunto de técnicas y procedimientos que permiten recoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, de manera que, a partir de ellos, se puedan inferir conclusiones.

Nominal

Cualitativa Ordinal Variable estadística Discreta

Población y muestra La población es un conjunto de objetos o de individuos que se desea estudiar y que, a su vez, presentan una característica que interesa medir. Generalmente, el tamaño de la población se denota con la letra N. Se llama muestra a un subconjunto representativo de la población que se desea estudiar. Generalmente, el tamaño de la muestra se denota con la letra n. Variables estadísticas Una variable estadística corresponde a la o las características que se miden en la muestra. Las variables pueden ser cuantitativas o cualitativas. • Variables cualitativas: son aquellas que no se pueden medir numéricamente, están relacionadas con características. Los valores que toma este tipo de variable son etiquetas que representan una categoría o cualidades. Una variable cualitativa puede ser nominal u ordinal. Las variables nominales corresponden a aquellas en las cuales no existe ninguna ordenación. Por ejemplo: estado civil. Las variables ordinales son aquellas en las cuales existe un orden intuitivo. Por ejemplo: nivel educacional (básico, medio, superior). • Variables cuantitativas son aquellas que se pueden medir numéricamente, es decir, los valores que toma este tipo de variables son números. Una variable cuantitativa puede ser discreta o continua. Las variables discretas son aquellas en las cuales los posibles valores surgen frecuentemente de un conteo. En cada tramo o intervalo la variable solo puede tomar un número determinado de valores (enteros). Por ejemplo: número de hijos, número de páginas de un libro. 232

Unidad 5 – Datos y azar

Cuantitativa Continua

PROBABILIDAD Y AZAR Conceptos básicos • Experimentos determinísticos: en este tipo de experimentos, se conoce de antemano el resultado. • Experimentos aleatorios: este tipo de experimentos, repetidos una cierta cantidad de veces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes. En los experimentos aleatorios no se conocen los resultados de antemano. Espacio muestral y eventos • El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral (Ω) y cada uno de estos resultados es conocido como suceso o evento elemental. • Un evento puede ser: Evento seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento. Coincide con el espacio muestral y siempre ocurre. Evento imposible: nunca ocurre. No se presenta al realizar un experimento aleatorio. Se denota por el símbolo ∅. Eventos mutuamente excluyentes: dos eventos que no pueden suceder simultáneamente. Por ejemplo: si se lanza un dado, se puede obtener cualquier número entero entre 1 y 6. Entonces, el experimento es aleatorio, su espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los sucesos elementales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Un evento seguro sería obtener un número entre 1 y 6, y un evento imposible, obtener un número mayor que 6. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 233

Probabilidad de un suceso

Bibliografía

Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones, la probabilidad de que el evento A ocurra se denota por P(A) y corresponde a un valor comprendido entre 0 y 1.

• Iglesias Z., P., Del Pino M., G., y Aravena C., R. (2003). Análisis estadístico: Interpretando problemas de la vida cotidiana. Santiago: Ministerio de Educación.

Eventos equiprobables

• Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los sucesos son equiprobables. Si en un experimento aleatorio los sucesos son equiprobables, entonces, la probabilidad de que el evento A ocurra está dado por la expresión: P(A) =

número de casos favorables al suceso A número de casos posibles

Este modelo es conocido como la Regla de Laplace.

• Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Editorial Andrés Bello. • Manual esencial. (2008). Capítulo 2: Estadística. Estadística, probabilidad y precálculo. (pp. 34–45). Santiago: Santillana. • Manual esencial. (2008). Capítulo 3: Probabilidad y combinatoria. Estadística, probabilidad y precálculo. (pp. 86–89). Santiago: Santillana. • Morris, K.(1992). Matemáticas para los estudiantes de humanidades. México: Fondo de Cultura Económica.

Ley de los grandes números Se refiere a que a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso A se aproxima cada vez más a su probabilidad.

• Gardner, M. (1985). Carnaval Matemático. España: Alianza Editorial. • Guzmán, M. (1992). Tendencias innovadoras en Educación Matemática. Buenos Aires: Red Olímpica. • Matemáticas y Olimpíadas (1994). Santiago: Sociedad de Matemáticas de Chile. • Perero, M. (1994). Historia e historias de matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Sitios webs En los siguientes sitios web puede encontrar distintos resultados de estudios públicos que puede utilizar en sus clases: • www.ine.cl • www.cepchile.cl • www.sernam.gov.cl • www.fundacionfuturo.cl Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

233

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 234

TEXTO DEL ESTUDIANTE 130 Y 131

En esta Unidad podrás...

Datos y azar

Unidad

• Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, con datos agrupados en intervalos. • Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, y determinar la media aritmética y moda en estos casos. • Discutir respecto de la importancia de tomar muestras al azar en experimentos aleatorios, y analizar su comportamiento usando medidas de tendencia central. • Analizar situaciones donde los resultados son equiprobables en experimentos aleatorios, mediante el uso de herramientas tecnológicas. • Identificar el espacio muestral en experimentos aleatorios, y usar el principio multiplicativo para obtener su cardinalidad. • Asignar la probabilidad de un evento en un experimento aleatorio, usando el modelo de Laplace.

Conversemos de... En Chile, los censos se realizan cada diez años, aproximadamente. El último se realizó en el año 2002 y el próximo se efectuará en el año 2012. Los siguientes datos corresponden a los resultados del Censo 2002. Observa. Población de cinco años o más por grupos de edad, según región, provincia, sexo, su nivel de instrucción y el último curso aprobado Provincia de Valdivia / ambos sexos Grupos de edad Enseñanza Media común

6 a 14 años

15 a 19 años

20 a 29 años

30 a 49 50 años o años más

1 año

1825

4436

3173

6170

1237

2 años

565

3841

2552

4818

986

3 años

3465

1486

3095

709

4 años

4323

9529

14 536

3183

Fuente: www.ine.cl/cd2002/index.php, consultado en febrero de 2010.

1. En Valdivia, ¿cuántas personas terminaron la Educación Media hasta el año 2002? 2. ¿Cuál es nivel de Educación Media promedio alcanzado por los jóvenes entre 20 y 29 años?, ¿cómo lo supiste? 3. ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿cómo la interpretarías?

130 Unidad 5

La imagen inicial presentada en la Unidad está destinada a introducir a sus alumnos y alumnas en un estudio muy común en la sociedad: el Censo. Además, se muestra una tabla que relaciona el nivel de instrucción alcanzado hasta el año 2002 por los habitantes de la Provincia de Valdivia, según su edad.

Datos y azar

131

estado civil, integrantes del grupo familiar, tipo de vivienda, años de escolaridad, etc. Esta actividad introductoria permitirá activar los conocimientos y experiencias previas de sus estudiantes relacionados con este tema, y además podrá aproximarse al estudio de los nuevos contenidos de la Unidad.

El censo es una encuesta nacional que se realiza cada 10 años y su objetivo es obtener información de toda la población en relación con diversas variables, como por ejemplo: edad, 234

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 235

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Índice de Precios al Consumidor (IPC), entre otros.

Conversemos de...

El INE cuenta con más de 600 encuestadores que aumentan a 400 000 para los Censos de Población y Vivienda. Ellos recorren el territorio nacional en busca de datos relevantes, que luego serán procesados, analizados y difundidos para las políticas públicas y los proyectos privados.

Ítems 1 y 2: analizar y calcular. Ítem 3: recordar y conectar.

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego, podría plantear preguntas como las siguientes: • • • • •

¿Qué es una tabla de frecuencias? ¿Qué es la moda?, ¿cómo la determinas? ¿Qué es la media aritmética?, ¿cómo la determinas? ¿Qué es un experimento aleatorio? Cita dos ejemplos. ¿Qué diferencias existen entre población y muestra?

Con estas preguntas, y con las respuestas de sus alumnos y alumnas, puede realizar un esquema que vincule los contenidos de la Unidad, y de esta forma podrá obtener información sobre sus experiencias y conocimientos previos. A partir de ellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo que se realizará.

ACTIVIDAD INICIAL Para motivar el desarrollo de la actividad inicial, puede complementar las preguntas del texto con las siguientes: • • • • • •

¿Qué es un censo? ¿Cada cuántos años se realiza en Chile?, ¿por qué no se realiza cada año? ¿Cuál es el objetivo de un censo? ¿Cuántas personas entre 30 y 49 años terminaron la Educación Media? ¿Cuántas personas tienen 2 años de Educación Media? ¿Por qué crees que terminaron la Educación Media más personas entre 20 y 29 años que entre 50 años y más? • La tabla presentada, ¿corresponde a una muestra o a la población de Valdivia?, ¿cómo lo supiste? Estas preguntas y las respuestas que obtenga de sus estudiantes, le permitirán motivarlos e introducirlos en el estudio de la Unidad de manera más profunda.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) es el organismo encargado de las estadísticas públicas del país en el área económica, social, demográfica, medioambiental y censal. Por ejemplo, el INE se encarga de los Indicadores de Empleo y también del 235

Unidad 5 – Datos y azar

El INE trabaja con las más modernas tecnologías y metodologías disponibles. En el año 2012 tendrá estándares de calidad y transparencia comparables a las mejores prácticas de los países miembros de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), tanto en el desarrollo de su capital humano como en la cobertura de sus productos y servicios. Para más información, visita el sitio web del INE en: www.ine.cl.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Según el Censo de 2002, la población con discapacidad por sexo y tipo de discapacidad fue resumida en la siguiente tabla: Tipo de discapacidad

Hombre

Mujer

Ceguera total

20 341

22 590

Sordera total

35 280

31 244

6037

5053

Lisiado / parálisis

73 988

61 041

Deficiencia mental

53 041

45 108

Con más de 1 discapacidad

178 563

155 814

Total

367 250

320 850

Mudez

a) ¿Cuántas personas presentan sordera total? b) ¿Cuántas personas presentan mudez o deficiencia mental? c) ¿Cuántos hombres presentan ceguera o sordera? d) ¿Cuántas mujeres presentan deficiencia mental o ceguera? e) Si se elige una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea ciega? f) Si se elige una de estas personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga más de una discapacidad? g) Si se elige un hombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mudo? h) ¿Cuál es la moda en este caso?, ¿qué puedes concluir? (Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, recordar y conectar). Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 236

TEXTO DEL ESTUDIANTE 132 Y 133

Unidad 5

¿Cuánto sabes? 1. En una ciudad del norte del país, durante el mes de enero, se han registrado las siguientes temperaturas máximas en grados Celsius: 32, 31, 28, 30, 28, 30, 31, 33, 29, 30, 30, 32, 28, 31, 29, 29, 32, 30, 29, 33, 30, 31, 30, 29, 30, 33, 34, 28, 30, 30, 29

a) ¿Cuál sería la población?, ¿qué muestra escogerías?, ¿por qué? b) ¿Cuál sería la variable de estudio?, ¿de qué tipo es? Explica tu decisión.

a) Completa la tabla de frecuencias. Temperatura (ºC)

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

3. Antonia necesita averiguar la cantidad de horas diarias que los alumnos y alumnas de su colegio destinan a ver televisión. Si tuvieras que realizar la misma investigación que Antonia:

4. Se lanza 50 veces un dado con las caras numeradas del 1 al 6, y se obtiene 10 veces uno, 3 veces dos, 6 el tres, 12 el cuatro, 9 el cinco y 10 el seis.

Frecuencia relativa porcentual

a) b) c) d)

28 29 30

Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencias. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de que se obtenga 2?, ¿y 4? ¿Cuál es la frecuencia relativa de que se obtenga 3?, ¿y 5? ¿Cuáles son las probabilidades de que salga cada una de las caras?

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.

32 33

¿Qué debes recordar?

b) ¿Cuántos días hubo con temperatura máxima de 29 ºC? c) ¿Qué porcentaje del mes hubo 31 ºC? d) Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Cómo interpretarías los resultados obtenidos en cada caso? 2. El siguiente gráfico circular representa la cantidad de horas semanales que los 40 estudiantes del 8ºA de un colegio de Arica destinan a hacer deportes. a) Completa la tabla de frecuencias.

15%

Nº de Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa horas absoluta relativa porcentual 1

10%

20%

2 3

10%

4 5 6

1 hora 2 horas 3 horas

40% 4 horas 5 horas 6 horas

b) ¿Cuántos alumnos y alumnas dedican 4 horas semanales a hacer deportes?, ¿y una hora semanal? c) ¿Cuántas horas semanales, en promedio, destinan los y las estudiantes a hacer deportes?, ¿cómo lo calculaste? d) Calcula e interpreta la mediana y moda, en cada caso.

132 Unidad 5

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Para medir los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: completar tabla de frecuencias y analizar la información que entrega, determinar las medidas de tendencia central e interpretar los resultados. 236

Unidad 5 – Datos y azar

• En una encuesta, el conjunto total de individuos que son objeto de estudio y que poseen al menos una característica en común se denomina población. Una muestra es una parte o subconjunto de la población. • Una variable estadística corresponde a la característica que se observa en cada uno de los elementos de la población, y que se mide en la muestra. Las variables pueden ser cuantitativas (pueden tomar valores numéricos) o cualitativas (clasifica a los individuos en categorías que no se pueden expresar con números). • La frecuencia absoluta es el número de repeticiones de cada dato de una muestra. La razón entre la frecuencia absoluta y el número total de datos de la muestra es la frecuencia relativa. • Las medidas que permiten analizar los datos en torno a un valor central se denominan medidas de tendencia central. Generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. Estas son: la media aritmética ( x ), la mediana y la moda ( Mo). • Una forma de calcular la media aritmética o promedio es sumar todos los datos y dividir el resultado por el número total de observaciones. • La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. Si la cantidad de datos es impar, la mediana es justo el valor del centro. En el caso de tener una cantidad par de datos, se debe calcular el promedio entre los valores centrales. • La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda. • El número hacia el cual se aproxima la frecuencia relativa de un resultado, a medida que aumenta el número de repeticiones de un mismo experimento aleatorio, se llama probabilidad. La probabilidad se puede expresar como un número entre 0 y 1.

Datos y azar

133

Ítem 2: analizar la información de un gráfico circular y completar la tabla de frecuencias, determinar e interpretar las medidas de tendencia central. Ítem 3: determinar la población de interés para un estudio y la muestra apropiada para este caso. Determinar variable de estudio y su tipo. Ítem 4: realizar un experimento aleatorio y construir una tabla de frecuencias para los resultados obtenidos. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 237

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: representar, interpretar, calcular y analizar. Ítem 3: analizar y reconocer. Ítem 4: representar, interpretar y calcular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 y 2, es posible que los y las estudiantes no recuerden la frecuencia absoluta, relativa y porcentual, y que por ello no puedan completar la tabla de frecuencias y contestar de manera adecuada las preguntas planteadas en la evaluación. Para evitar este posible inconveniente recuérdeles cada uno de estos conceptos. Podría hacerlo con un ejemplo sencillo, pero no con los ejercicios planteados en la evaluación, porque de esa forma no podría determinar correctamente el nivel de conocimientos previos de los alumnos y alumnas.

• En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes no recuerden qué significa población y qué muestra, y la diferencia entre ambas. Para evitar este posible inconveniente recuérdeles que la población se refiere a los objetos en estudio, y la muestra se refiere a tomar una parte de la población para analizarla y extraer conclusiones de toda la población. Si es necesario, muestre algunos ejemplos. • En el ítem 4, los alumnos y alumnas podrían calcular las frecuencias relativas de cada uno de los resultados posibles al lanzar un dado, o bien, la probabilidad teórica de que salga un número al lanzar un dado. Si es necesario, explique la diferencia entre ambos casos. • Es importante que después realice una revisión individual de cada evaluación diagnóstica, para detectar las debilidades y fortalezas de cada estudiante. Del mismo modo, también es conveniente realizar la pauta de la evaluación en la pizarra, para que sus alumnos y alumnas conozcan las respuestas y procedimientos correctos, de modo que puedan detectar y corregir sus errores. Con estas instancias podrá determinar las áreas más débiles de sus estudiantes, y preparar un plan de reforzamiento para corregirlas.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Interpreta correctamente los valores de la tabla, los porcentajes y las medidas 1 y 2 de tendencia central, justificando cada uno de sus pasos.

Interpreta correctamente los valores de la tabla, los porcentajes y las medidas de tendencia central, sin justificar todos sus pasos.

Interpreta erróneamente uno o dos valores de la tabla, confundiendo los porcentajes y/o las medidas de tendencia central.

Reconoce correctamente la población, muestra y variable de estudio, justificando cada uno de sus pasos.

Reconoce correctamente la población, muestra y variable de estudio, sin justificar todos sus pasos.

Reconoce erróneamente la población Reconoce erróneamente la población, y muestra, o bien la variable de estudio, la muestra y variable de estudio. sin justificar sus pasos.

Representa correctamente la tabla de frecuencias e interpreta la información que entrega, justificando cada uno de sus pasos.

Representa correctamente la tabla de frecuencias e interpreta la información que entrega, sin justificar todos sus pasos.

Representa erróneamente alguno de los elementos de la tabla de frecuencias, confundiendo la solución en una o dos preguntas.

237

Unidad 5 – Datos y azar

Interpreta erróneamente todos los valores de la tabla, confundiendo los porcentajes y las medidas de tendencia central.

Representa erróneamente la tabla de frecuencias, confundiendo la solución en todas las preguntas.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 238

TEXTO DEL ESTUDIANTE 134 Y 135

Unidad 5

Interpretación de tablas de frecuencias Completa la tabla que muestra el número de primos que tienen los y las estudiantes de los 8º Básico de un colegio. Intervalo (i)

Nº de primos

1-4

5-8

Frecuencia absoluta

F. absoluta acumulada

Frecuencia relativa

4 艐 0,06 70

6 艐 0,09 70

9 - 12

13 - 16

17 - 20

21 - 24

25 - 28

29 - 32

F. relativa acumulada

Para discutir • ¿Qué puedes deducir del intervalo 2 (5 - 8)? • ¿Cuántos alumnos o alumnas tienen 12 primos o menos?, ¿por qué? • Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 25 y 28 primos?, ¿y de que tenga 8 primos, o menos?

En la situación anterior, se puede deducir del intervalo 2, que existen 6 estudiantes que tienen entre 5 y 8 primos. También, es posible observar que si sumamos el número de estudiantes de los intervalos 1, 2 y 3, hay 28 alumnos o alumnas que tienen 12 primos o menos. Este valor corresponde a la frecuencia absoluta acumulada hasta ese intervalo.

Ahora, la probabilidad de tener 8 primos o menos, es igual a la suma de frecuencias relativas hasta 8, es decir, 0,06 + 0,09 = 0,15. Luego, un 15% de los alumnos y las alumnas tiene 8 primos, o menos. Llamamos a ese valor frecuencia relativa acumulada.

No olvides que... • La frecuencia absoluta acumulada en el intervalo i es la suma de las frecuencias absolutas observadas hasta el intervalo i. Se escribe Fi. • La frecuencia relativa de la categoría i corresponde a la probabilidad de pertenecer a esa categoría. Lo calculamos dividiendo la frecuencia absoluta ( f i ) por el total de datos de la muestra. Denotamos este valor por hi. • La frecuencia relativa acumulada en la categoría i, es la probabilidad de observar un valor menor o igual al mayor valor que toma la variable en estudio en ese intervalo. Lo calculamos dividiendo Fi por el total de datos de la muestra. Denotamos este valor por Hi.

Actividades 1. Responde la siguientes preguntas observando la tabla de la página anterior. a) ¿Cuántos estudiantes tienen a lo más 20 primos?, ¿cómo lo calculaste? b) ¿Cuántos estudiantes tienen 25 primos o más?, ¿por qué? c) Si le preguntas a un o una estudiante cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 9 y 12 primos?, ¿y 16 primos o menos? 2. Una encuesta referida al día en que 60 personas eligen para ir al cine, dio los siguientes resultados. Completa la tabla. Día

Por otro lado, si preguntamos a un alumno o alumna cualquiera de ese colegio que cursa 8º Básico, cuál es la probabilidad de que tenga entre 25 y 28 primos, esta se puede obtener calculando la razón entre su frecuencia absoluta por el total de observaciones, es decir: 3 艐 0,04 70

Lunes Martes Miércoles

Esta razón es la frecuencia relativa. Otra manera de representar este valor es con porcentajes: si multiplicamos el resultado anterior por 100, se obtiene que la probabilidad de tener entre 25 y 28 primos es igual a un 4%.

Frecuencia absoluta ( f i )

Frecuencia relativa ( hi )

Frecuencia relativa acumulada ( Hi )

5 7 10

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Frecuencia absoluta acumulada ( Fi )

134 Unidad 5

Datos y azar

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: analizar. Ítems 2, 3 y 4: calcular

Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: analizar e interpretar.

238

Unidad 5 – Datos y azar

135

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 239

ACTIVIDAD INICIAL

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

La preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen la información presentada en la tabla de frecuencias, para luego interpretarla. A partir de esta situación, se inicia el estudio de las tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos.

Las tablas de frecuencias se utilizan para resumir la información de un conjunto de datos. Las frecuencias incluidas en esta tabla son:

Para motivarlos, podría pedirles que realicen una encuesta a sus compañeras y compañeros de curso, sobre el número de hermanos que tienen. A partir de estos datos, mostrarles cómo se construye una tabla de frecuencias, explicando qué significan y cómo se calculan cada una de las frecuencias que ahí se incluyen. Debe notar que sus estudiantes deben tener una tabla con los mismos resultados, ya que todos están trabajando con datos del mismo curso. Es interesante que haga el paralelo con el ejemplo que presenta el texto sobre el número de primos y el uso de intervalos, y explicar por qué en el caso de la cantidad de hermanos no es necesario formar intervalos en la tabla de frecuencia. Para complementar la actividad inicial del Texto podría plantear preguntas como las siguientes: • • • •

¿Qué cantidad de primos es más frecuente?, ¿a qué intervalo corresponde? Al sumar todas las frecuencias absolutas, ¿qué se obtiene?, ¿siempre ocurre lo mismo? Al sumar todas las frecuencias relativas, ¿qué se obtiene?, ¿siempre ocurre lo mismo? ¿Cuál es el valor de la frecuencia absoluta acumulada en la última categoría?, ¿siempre ocurre lo mismo? • ¿Cuál es el valor de la frecuencia relativa acumulada en la última categoría?, ¿siempre ocurre lo mismo?

• La frecuencia absoluta, que corresponde al número de observaciones de una determinada clase. La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra. • La frecuencia relativa, que corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta de una clase y el tamaño muestral. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. • La frecuencia absoluta acumulada, que corresponde al número de datos cuyo valor es menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas. • La frecuencia relativa acumulada, que corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos. • En algunas tablas también se incluye la frecuencia relativa porcentual, que corresponde a la frecuencia relativa de un evento, expresada en porcentaje. Se calcula multiplicando la frecuencia relativa por 100. La suma de las frecuencias relativas porcentuales da como resultado 100%. • El hecho de que en cualquier conjunto de datos la suma de las frecuencias relativas es 1 y que la suma de las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra, es un indicador para verificar si los cálculos que han realizado son correctos.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultad para responder correctamente, recuerde que pueden utilizar la frecuencia absoluta acumulada, en estos casos. Por otro lado, recuerde que pueden simplificar las fracciones obtenidas de las probabilidades solicitadas. Además, mencione que esta probabilidad es empírica, pues corresponde a la frecuencia relativa de la categoría pedida. • En el ítem 2, recuérdeles que para verificar que su tabla está completada correctamente, deben fijarse que la suma de las frecuencias absolutas sea igual al tamaño de la muestra, que la suma de las frecuencias relativas sea igual a 1 y también, que la suma de todas las frecuencias relativas acumuladas hasta la última categoría sean iguales a 1. Si es necesario, pueden comparar las tablas con las de otros compañeros, para detectar errores y corregirlos de inmediato.

239

Unidad 5 – Datos y azar

1. Los datos que aparecen a continuación corresponden a las estaturas (en m) de los y las estudiantes de Segundo Medio de un colegio de Santiago. 1,62 1,59 1,70 1,57 1,64 1,50 1,48 1,68 1,62 1,50 1,72 1,83 1,71 1,62 1,79 1,57 1,70 1,65 1,78 1,64 1,67 1,78 1,68 1,76 1,72 1,51 1,73 a) Organiza estos datos en una tabla de distribución de frecuencias. b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas? c) ¿En cuál intervalo hay más personas? d) ¿Cuántas personas miden 1,74 cm o menos? (Habilidad que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 240

TEXTO DEL ESTUDIANTE 136 Y 137

Construcción de tablas para datos agrupados Un grupo de 40 pacientes, entre 25 y 50 años, se realizaron un examen para medir su nivel de colesterol (en mg/dl). Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 184

115

174

222

156

185

177

228

189

181

194

120

100

258

190

166

207

200

184

198

191

175

214

211

206

199

206

218

296

155

195

Para discutir • ¿Es posible agrupar los datos en intervalos o clases?, ¿cómo? • ¿Cuántos pacientes tienen mediciones menores o iguales que 150 mg/dl? • Si consideramos a las personas que tienen una concentración de colesterol en la sangre de 200 mg/dl o menos, con bajo riesgo cardiovascular y las que tienen colesterol mayor, con riesgo, ¿cuántas personas podrían sufrir un evento cardiovascular?

Glosario rango: diferencia entre el mayor y menor valor de una variable.

En la situación anterior, el conjunto de datos es numeroso y, además, el rango es amplio (296 – 51 = 245). En este caso y en todos aquellos con similares características, es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos o clases. El tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener. Si agrupamos los datos en 5 intervalos, resulta: 296 – 51 245 = = 49 5 5 Luego, cada intervalo es de amplitud 49 (tamaño del intervalo). La tabla de frecuencias correspondiente es: Nivel de colesterol

F. absoluta F. absoluta acumulada (f i) ( Fi )

F. relativa ( hi )

51 - 100

9 : 40 = 0,225

101 - 150

2 : 40 = 0,05

151 - 200

19 : 40 = 0,475

201 - 250

8 : 40 = 0,2

251 - 300

2 : 40 = 0,05

Unidad 5

Después de construir la tabla, observamos que 11 pacientes tienen mediciones iguales o menores que 150 mg/dl. En este caso, usamos la frecuencia absoluta acumulada. Por otro lado, 10 personas tienen más de 200 mg/dl, es decir, un 25% de los pacientes examinados tiene riesgo de sufrir un evento cardiovascular. En este caso, usamos la frecuencia relativa.

No olvides que... • Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio, es usual presentarlos agrupados y ordenados en intervalos o clases. • La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.

Actividades 1. En un centro comercial, se consultó la edad a todas las personas que entraban entre las 12:00 h y 12:30 h. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

4 17 48 25 36 11 4 a) Construye una tabla de frecuencias 54 70 51 3 34 26 10 cuyos datos estén agrupados en ocho intervalos. b) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen entre 31 y 40 años? c) Del total de personas encuestadas, ¿cuántas personas tienen 60 o menos años? d) ¿Cuál es la probabilidad de, que al elegir al azar a una persona consultada, esta tenga entre 11 y 20 años?

2. Los datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas que un grupo de personas realiza durante el día. 0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20 a) b) c) d) e)

Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cuatro intervalos. ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo? ¿Cuántas personas hicieron entre 0 y 5 llamadas? ¿Cuántas personas hicieron 17 llamadas o menos? ¿Cuál es la probabilidad que una persona realice más de 17 llamadas diarias?

136 Unidad 5

Datos y azar

137

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual […] a partir de diversos contextos […].

Para discutir

Actividades

Ítems 1 y 2: analizar. Ítem 3: analizar y calcular.

Ítems 1 y 2: analizar, representar, interpretar y calcular.

240

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 241

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

El propósito de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantes, que en determinados casos resulta necesario agrupar los datos en intervalos para poder resumirlos y analizarlos de una manera óptima, debido a la cantidad de datos que tiene la muestra, o porque el rango de los datos es muy amplio.

De refuerzo 1. La profesora jefe del 8º Básico de un colegio de Calama hizo un estudio sobre la edad de las mamás de sus alumnos y alumnas, obteniendo los siguientes resultados: 46 30 31 32 47 48

Sería conveniente que junto con sus estudiantes, confeccionen una tabla similar a la presentada en el Texto, definiendo una cantidad de intervalos distinta a la allí propuesta. De esta forma, los alumnos y alumnas observarán que para un mismo caso es posible obtener distintas soluciones.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 1 y 2, recuerde a sus estudiantes que deben ser cuidadosos en el conteo de datos correspondientes a cada categoría, pues errores de este tipo provocarán resultados incorrectos en toda la tabla. • En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes formen intervalos de distinta amplitud, indíqueles que la cantidad de intervalos está propuesta en el Texto (8 y 4, respectivamente). Además, es posible que sus alumnos y alumnas incluyan datos en dos categorías, límites de los intervalos. Para evitar este tipo de inconvenientes recuerde a sus estudiantes que los intervalos deben ser de igual magnitud, a excepción de los datos extremos en algunas situaciones especiales. Por otro lado, para evitar confusiones, procure que sus alumnos y alumnas no definan intervalos del tipo a - b, b - c, c - d, por ejemplo.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para evitar confusiones, es conveniente que considere lo siguiente: • El rango de un conjunto de datos corresponde a la diferencia numérica entre el dato de mayor valor y el de menor valor. • La amplitud de un intervalo se obtiene dividiendo el rango por el número de intervalos que se quieren. • En una tabla de frecuencias, la amplitud de los intervalos debe ser igual. En algunos casos, el primer y último intervalo tienen una amplitud diferente. • De una tabla de frecuencias también se puede obtener otro tipo de información, como las medidas de tendencia central, que se estudiarán en páginas siguientes.

31 45 36 45 49 44

36 46 48 46 47 49

41 29 36 42 45 44

49 36 36 46 45 36

a) Construye una tabla de frecuencia cuyos datos estén agrupados en 5 intervalos, partiendo del intervalo 28 – 32. b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?, ¿cómo lo obtuviste? c) ¿Cuántas mamás tienen entre 33 y 37 años? d) ¿Cuántas mamás tienen entre 43 o más años? e) ¿Qué porcentaje de mamás tienen entre 33 y 42 años? f) Si escoges a una mamá al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 37 años o menos? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular). De profundización 1. Los siguientes datos corresponden a un estudio realizado por una compañía de telefonía móvil entre los trabajadores de una empresa, sobre la cantidad de minutos que ocupan mensualmente en sus teléfonos móviles. 107 204 169 100 82 109 108 210

120 115 118 224 325 209 206 310

279 120 135 116 227 308 421 407

125 446 440 401 237 238 431 302

446 347 412 375 386 392 291 178

305 276 235 321 125 170 402 274

256 324 388 105 57 115 260 449

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 8 intervalos, partiendo de 50 min. b) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?, ¿cómo lo supiste? c) ¿Cuántas personas hablaron menos de 300 min mensuales? d) ¿Qué porcentaje de personas habló entre 200 min y 249 min? e) Si escoges una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hable entre 400 min y 449 min mensuales? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar, interpretar y calcular).

241

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 242

TEXTO DEL ESTUDIANTE 138 Y 139

Unidad 5

Media aritmética para datos agrupados La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra la puntuación obtenida por 1500 estudiantes de 5º a 8º Básico en una encuesta de 65 preguntas acerca de su desempeño durante el año. Categoría Puntaje Frecuencia absoluta

Muy bajo

Bajo

Regular

Bueno

Muy bueno

Sobresaliente

0 - 10

11 - 21

22 - 32

33 - 43

44 - 54

55 - 65

350

400

420

200

No olvides que... • La marca de clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promedio de los extremos del intervalo. • Podemos calcular la media aritmética ( x ) para datos agrupados, sumando todos los productos de marca de clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número total de datos, es decir: suma (marca de clase • frecuencia absoluta) x= total de datos • Para datos agrupados la media aritmética que se obtiene al calcular corresponde a una estimación de la media aritmética real.

Para discutir • ¿Es posible determinar un puntaje “representante” de cada intervalo?, ¿cuál es ese valor? • Utilizando el “representante” de cada intervalo, ¿puedes calcular el promedio de puntaje obtenido en el cuestionario por los y las estudiantes?, ¿cómo lo harías? • ¿En qué categoría se encuentra el promedio obtenido?

Actividades 1. Los datos que se muestran a continuación corresponden a la cantidad de horas diarias que un grupo de personas utiliza Internet. 4, 2, 5, 7, 6, 6, 4, 3, 5, 10, 7, 8, 8, 4, 2, 4, 12, 13, 3, 11 1, 12, 8, 10, 9, 13, 2, 2, 1, 4, 5, 8, 9, 4, 2, 10, 12, 13, 5, 8

Como podemos observar en la situación anterior, los datos están agrupados en intervalos. Para calcular el promedio en estos casos, primero, se busca un representante de cada intervalo o clase. Este representante es el promedio de los extremos del intervalo, y se conoce como marca de clase. Observa y verifica los valores obtenidos: Categoría Puntaje Marca de clase Frecuencia absoluta

Muy bajo

Bajo

Regular

Bueno

Muy bueno

Sobresaliente

0 - 10

11 - 21

22 - 32

33 - 43

44 - 54

55 - 65

350

400

420

200

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en tres intervalos. b) ¿Cuántas personas usan Internet 10 horas diarias, o menos? c) ¿En promedio cuántas horas usan Internet al día? 2. Los alumnos y las alumnas de 8º Básico realizaron una prueba de 24 preguntas. En la siguiente tabla aparece el número de respuestas correctas obtenidas. Nº de respuestas correctas 0-4

Luego, el promedio se calcula sumando los productos de cada marca de clase por su frecuencia absoluta respectiva (cantidad de alumnos y alumnas), y dividiendo por el total de estudiantes, es decir: 5 • 350 + 16 • 400 + 27 • 420 + 38 • 200 + 49 • 80 + 60 • 50 34 010 = = 22,67 1500 1500 Entonces, el promedio es 22,67. Esto significa que, en promedio, los alumnos y las alumnas consideran que su nivel de desempeño es “regular”.

Marca de clase

(f i)

5-9

10 - 14

15 - 19

20 - 24

a) b) c) d)

( Hi )

Completa la tabla de frecuencias. ¿Cuántos alumnos y alumnas tuvieron 14 o menos respuestas correctas? ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno o alumna tenga 20 o más respuestas correctas? Calcula e interpreta la media aritmética.

Datos y azar

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual […] a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética […] en estos casos. • Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.

Para discutir

Unidad 5 – Datos y azar

( hi )

Total estudiantes:

138 Unidad 5

242

( Fi )

139

Ítem 1: analizar y calcular. Ítem 2: recordar, analizar y justificar. Ítem 3: analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 243

Actividades Ítems 1 y 2: analizar, representar, interpretar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial presentada en el Texto tiene como propósito introducir a los y las estudiantes en el concepto y cálculo de la media aritmética para datos agrupados en intervalos. El cálculo de la media aritmética es familiar para los estudiantes, pues ya han lo han visto en cursos anteriores, para datos no agrupados, además, continuamente suelen calcular su promedio de notas en las distintas asignaturas. En esta parte de la Unidad ampliarán sus conocimientos previos, aprendiendo a calcular la media aritmética en este tipo de casos. Para iniciar este tema, podría mostrarles un ejemplo simple del cálculo e interpretación de la media aritmética en datos que no estén agrupados en intervalos.

por el total de datos, en donde la marca de clase de un intervalo es el promedio de los extremos del intervalo. • La media aritmética tiene diversos comportamientos, dependiendo de los datos de la muestra o población de estudio. Estas características las pueden visualizar fácil y rápidamente con una planilla de cálculos como Excel, ya que pueden variar algunos datos de un conjunto y verán cómo se altera la media aritmética. • La media aritmética solo puede determinarse en datos cuantitativos, ya que no es posible determinar un valor numérico a categorías o atributos.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En una librería se hizo un estudio sobre la cantidad de libros de ciencia ficción que se venden durante 25 días.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, recuerde a sus estudiantes que deben ser cuidadosos en el conteo de datos que realizarán para cada categoría, pues errores de este tipo producen resultados incorrectos en el cálculo de la media y en la construcción de la tabla de frecuencias. Además, podrían formar intervalos de diferente amplitud, obteniendo también resultados erróneos. Para evitar este tipo de inconvenientes, recuerde a sus estudiantes que los intervalos deben ser de igual magnitud en los casos planteados, y verifique que cada uno de sus estudiantes haya definido bien cada uno de estos. • En el ítem 2, los alumnos y alumnas se podrían confundir y calcular la media aritmética con la frecuencia absoluta acumulada, en vez de la frecuencia absoluta. Evite este posible inconveniente, recordando que esta medida de tendencia central se obtiene con las frecuencias absolutas. Por otro lado, puede que sus estudiantes se compliquen al momento de analizar el resultado obtenido. Ayúdelos con algunos ejemplos de interpretación relacionados con la situación presentada en la actividad.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Una forma de analizar la información que nos entrega un conjunto de datos es utilizando las medidas de tendencia central. Ellas son media aritmética, moda y mediana. • La media aritmética es el promedio entre todos los valores de la variable y se calcula sumando todos estos y dividiendo por el número total de ellos. • Si los datos están organizados en una tabla de frecuencias, la media aritmética se calcula sumando los productos de la variable por la frecuencia correspondiente, y dividiendo por el tamaño de la muestra. Si además los datos están agrupados en intervalos, el promedio se calcula sumando los resultados de la multiplicación entre cada marca de clase y su correspondiente frecuencia absoluta y dividiendo

243

Unidad 5 – Datos y azar

4 23 35 47 51

17 53 45 37 26

12 24 36 8 58

23 56 44 36 24

42 39 48 45 16

a) Completa la tabla de frecuencias. Cantidad de libros

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada

0-9 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 b) ¿Qué porcentaje de personas compraron menos de 20 libros? c) Calcula e interpreta la media aritmética. (Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, analizar y calcular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 244

TEXTO DEL ESTUDIANTE 140 Y 141

Unidad 5

Moda para datos agrupados En una empresa, las edades del personal se resumen en la siguiente tabla. Observa y completa. Edades (en años)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

20 - 25

26 - 31

32 - 37

38 - 43

44 - 49

50 - 55

Para discutir • ¿Cuál es el intervalo que agrupa la menor cantidad de personal? • ¿En qué intervalo está la mayor frecuencia absoluta? • ¿Podrías estimar la edad que más se repite o representar la moda en esta situación?, ¿cómo lo harías?

6º Obtener el número que representa el extremo inferior del intervalo modal (Li ). En el ejemplo es 32. Luego, el cálculo de la moda (Mo) se puede obtener por medio de la expresión: d1 • t Mo = Li + d1 + d2 En la situación anterior, el valor aproximado de la moda corresponde a 36, ya que: 15 • 5 = 35,75 Mo = 32 + 15 + 5 Esto significa que una estimación de la edad más repetida por el personal de la empresa es de 36 años.

No olvides que... • Para obtener la moda (Mo) para datos agrupados, podemos utilizar la expresión:

Mo = Li + En la situación anterior, observamos que la cantidad menor de personas tiene entre 20 a 25 años. Por otra parte, el intervalo que presenta la mayor frecuencia absoluta o intervalo modal, corresponde a 32 - 37. Para obtener la moda para datos agrupados, podemos seguir los siguientes pasos: 1º Identificar el intervalo modal, en este caso es 32 - 37, con una frecuencia de 45 personas. 2º Identificar las frecuencias absolutas del intervalo anterior y posterior al intervalo modal. En este caso, el intervalo anterior corresponde a 26 - 31, con una frecuencia de 30 personas; y el intervalo posterior a 38 - 43, con una frecuencia de 40 personas. 3º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo anterior (d1). Entonces, tenemos que, 45 – 30 = 15. 4º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo posterior (d2). Entonces, tenemos que, 45 – 40 = 5. 5º Obtener el tamaño de los intervalos (t ; debe ser constante). La amplitud de los intervalos es 5.

d1 d1 + d2

•

Li: extremo inferior del intervalo modal. d1: diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo anterior. d2: diferencia de las frecuencias del intervalo modal y del intervalo posterior. t: amplitud de los intervalos. • Para datos agrupados la moda que se obtiene al calcular corresponde a una estimación de la moda real.

Actividades 1. A continuación, se muestra el promedio obtenido en Matemática por los alumnos y las alumnas de un curso: 4,4 5,5 5,0 4,9 5,9 6,0 4,2 6,8 7,0 6,1 7,0 3,7 4,5 4,8 6,3 4,1, 3,4 5,3 5,0 6,0 2,6 3,8 4,0 2,0 5,6 6,7 6,0 4,9 3,3 7,0 6,3 5,0 a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos. b) Determina la media aritmética y moda. Interpreta los valores obtenidos. 2. Las estaturas de los y las estudiantes de un 8º Básico se resumen en la siguiente tabla. Complétala. • Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

Estatura (m) 1,40 - 1,47 1,48 - 1,55 1,56 - 1,63 1,64 - 1,71 1,72 - 1,79

Frecuencia absoluta 3 12 22 6 2

140 Unidad 5

Marca de clase

Datos y azar

141

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual […] a partir de diversos contextos y determinación de la […] moda en estos casos. • Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.

Para discutir

Actividades

Ítems 1 y 2: analizar. Ítem 3: recordar, interpretar y justificar.

Ítem 1: analizar, representar, interpretar y calcular. Ítem 2: calcular e interpretar.

244

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 245

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

La actividad inicial presentada en el Texto tiene como propósito introducir a los y las estudiantes en el cálculo e interpretación de la moda para datos agrupados en intervalos. El cálculo de la moda es familiar para los estudiantes, ya que en años anteriores han calculado la moda para conjuntos de datos que no están agrupados en intervalos.

De refuerzo

En esta parte de la Unidad ampliarán sus conocimientos previos, aprendiendo a calcular la moda en este tipo de datos. Para introducir a los alumnos y alumnas en este tema, podría mostrarles un ejemplo simple del cálculo de la moda en datos que no estén agrupados en intervalos.

1. La siguiente tabla resume la cantidad de reclamos que recibe una empresa de telefonía fija durante 316 días. a) Completa la tabla de frecuencias. Cantidad de reclamos

Marca de clase

1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30

32 44 51 89 70 30

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 1 y 2, podría ocurrir que los alumnos y alumnas calculen la moda de forma incorrecta, porque no comprenden la fórmula de esta. Para evitar este tipo de inconvenientes, antes de la actividad recuérdeles a qué corresponde cada valor de dicha fórmula. Si es preciso, anote la fórmula en la pizarra para que sus estudiantes la visualicen y no se confundan. Además, se podrían confundir con las prioridades de las operaciones. Para evitar esta dificultad, indíqueles cuáles son estas prioridades y, en particular, cuál es el orden de los procedimientos que deben aplicar para calcular la moda. Luego, sería conveniente que ejemplifique con otros datos numéricos cómo obtener la moda, cuál es el orden que deben seguir, y por otro lado, qué procedimientos son incorrectos.

b) c) d) e) f)

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

Calcula e interpreta la moda. Calcula e interpreta la media aritmética. ¿Cuántos días se recibieron 16 o más reclamos? ¿Cuántos días se recibieron menos de 26 reclamos? ¿Qué porcentaje de los días se realizaron entre 21 y 25 reclamos?

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, calcular y analizar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Una forma de analizar la información que nos entrega un conjunto de datos, es utilizando las medidas de tendencia central. Ellas son media aritmética, moda y mediana. • La moda, como medida de tendencia central, corresponde al valor de una variable que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Cuando se trabaja con datos agrupados en intervalos, la moda que se obtiene es una estimación de la moda real, la cual se consigue directamente del conjunto de datos sin agrupar en intervalos. • Es posible que en datos sin agrupar en intervalos se presenten dos modas (bimodal) o más (multimodal). En el caso de datos agrupados en intervalos, esto no ocurre, ya que solo es una estimación de la moda real. • Para que la media aritmética y la moda sean representativas del conjunto de datos que se está estudiando, es fundamental que estas se obtengan utilizando un buen método de muestreo. Más sobre esto aparece en las próximas páginas.

De profundización 1. Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por 50 personas en un test de habilidades. 102 104 106 108 110

110 112 114 116 118

130 136 106 108 110

140 106 116 118 112

132 144 146 128 120

128 132 150 142 152

126 142 142 144 150

112 132 148 106 108

106 116 118 106 108

144 146 128 114 116

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 6 intervalos. b) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda. c) ¿Cuántas personas se encuentran en el intervalo con mayor puntaje?, ¿a qué porcentaje corresponde? (Habilidades que desarrolla: representar, interpretar, calcular y analizar).

245

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 246

TEXTO DEL ESTUDIANTE 142 Y 143

Unidad 5

Censo y muestreo No olvides que...

El Ministerio de Salud está planificando una campaña de vacunación contra un virus respiratorio. Debe pedir vacunas al laboratorio, pero no sabe cuántas encargar. Se considera que la población de mayor riesgo son los niños entre 0 y 4 años, y los adultos mayores de 65 años.

Para discutir • ¿Qué información se necesita en este caso? • ¿Existe una forma de obtener la información necesaria?, ¿cuál? • Si se realizara una investigación respecto de los efectos posvacunación, ¿es posible estudiar a toda la población vacunada?, ¿por qué?

En el caso anterior, para pedir las vacunas se necesita saber la cantidad total de población que hay en Chile, entre los 0 y 4 años, y mayor que 65 años. Existe un estudio a través del cual podemos obtener esta información: el Censo. En Estadística, se conoce como Censo al recuento de todos los individuos que conforman una población. Un caso particular es el Censo de población y vivienda, cuyo objetivo es determinar el número de personas que componen un grupo (normalmente todo el país). En él se realiza la enumeración de los habitantes de un país por sexo, edad, distribución geográfica y características socioeconómicas. En Chile, se realiza aproximadamente cada 10 años. A su vez, hay otros tipos de situaciones que necesitan de información que no es entregada por el Censo. En ciertos casos, no es necesario, o bien, no es posible estudiar a toda la población en cuestión, pues sería muy costoso. En estos casos se toma una muestra de la población para llevar a cabo el estudio y, a partir de sus características, se deduce el comportamiento de la población.

• El Censo es un estudio que permite conocer la cantidad de habitantes que pertenece a una población, y sus características. • Cuando las poblaciones son muy grandes y se quieren estudiar solo algunas de sus características, se selecciona una muestra y, a partir de sus características, se deduce el comportamiento de la población. Dicha muestra debe ser representativa de la población. • La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente, con el tamaño de esta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.

Actividades 1. Pía controla dos máquinas embotelladoras (A y B), en una fábrica de bebidas. Los estándares de calidad establecen que cada botella debe contener 660 cc de bebida, con una desviación de 5 cc. Cada día se envasan 2160 botellas, organizadas en lotes de 40 botellas, cada uno. a) ¿Cómo puede Pía garantizar que se están cumpliendo los estándares de calidad?, ¿es conveniente analizar diariamente las 2160 botellas?, ¿por qué? b) Pía decide que, para validar que se estén cumpliendo los estándares de calidad, seleccionará una muestra de dos botellas de cada lote producido. Observa: Tabla de frecuencias Máquina A cc Frecuencia absoluta

Tabla de frecuencias Máquina B

650

652

658

660

658

659

660

661

• Calcula la media aritmética y moda de las muestras de cada máquina. Interpreta los resultados obtenidos en cada caso. ¿Qué le recomendarías a Pía?

En equipo En esta actividad, deberán utilizar Internet para averiguar información respecto del Censo 2002. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Investiguen acerca de la información que pueden obtener a partir del Censo 2002. Para ello, ingresen a la página web del INE: www.ine.cl y en Microdatos, Censos de Población, Censo 2002, Datos Tabulados, allí pueden acceder a los datos del estudio. Identifiquen tres variables observadas y comenten situaciones donde podría ser de utilidad manejar dicha información. 2. Seleccionen una muestra representativa para calcular e interpretar la media aritmética y la moda, respecto del nivel de instrucción de la población y el último curso aprobado. 3. Propongan un plan para los casos donde la información no se puede obtener del Censo.

142 Unidad 5

Datos y azar

143

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

Para discutir

Actividades

Ítems 1 y 2: analizar. Ítem 3: analizar y justificar.

Ítem 1: analizar, calcular e interpretar.

246

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 247

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto, es introducir a los y las estudiantes en el estudio del censo y muestreo. Para ello se presenta una situación que es común para sus estudiantes, ya que continuamente escuchamos en los medios de comunicación sobre campañas de vacunación para prevenir diversas enfermedades. Por ejemplo, en invierno el Ministerio de Salud realiza campañas de vacunación contra la influenza estacionaria, en donde la población de riesgo, niños y los adultos mayores, es vacunada gratuitamente.

De refuerzo 1. Se quiere determinar el porcentaje de calcio presente en 4 marcas de yogur. Para esto se tomó una muestra de 5 cajas de cada marca. Se supone que el porcentaje promedio de calcio es 31,6%. Los resultados de la muestra son:

Para motivar a sus alumnos y alumnas, converse sobre las características y objetivos de un censo poblacional, cuáles son sus ventajas y desventajas, cómo se realiza el censo, cada cuánto tiempo se realiza, para qué sirve, entre otros.

Puede acceder a más información en: www.ine.cl/cd2002/index.php

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, es posible que sus estudiantes se confundan con la estructura de la tabla de frecuencias, ya que estas aparecían anteriormente por columnas, y en este caso aparecen por fila. Acláreles que se tomó una muestra de 54 botellas de cada máquina. Las frecuencias absolutas presentadas corresponden a la cantidad de botellas que tienen cierta capacidad (en centímetros cúbicos), para cada una de las máquinas. Por otro lado, enfatice en que el cálculo de la media aritmética y la moda se debe realizar a cada máquina por separado, y no a la tabla completa. • En la actividad en equipo, verifique que sus estudiantes accedan a la página web solicitada; es la que aparece más arriba (www.ine.cl/cd2002/index.php). Luego, deben seleccionar: una Región, Provincia, Comuna, Población y, finalmente, hacer clic en “Abrir”.

a) Determina la moda de cada marca. Explica los resultados obtenidos. b) Determina la media aritmética de cada marca. Explica los resultados obtenidos. c) Según los resultados y conclusiones obtenidas, ¿qué marca de yogur comprarías? (Habilidades que desarrolla: interpretar, calcular y analizar). De profundización 1. Utiliza Internet para averiguar información sobre el Censo 2002, ingresando a la página web del Instituto Nacional de Estadísticas (INE): www.ine.cl/cd2002/index.php.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

a) Selecciona información sobre Viviendas, indicando la Región, la Provincia, la Comuna, el tipo de información, para una comuna. b) Indica el tipo de variable que se estudia. c) Realiza un resumen de la información que aparece y coméntala con el resto del curso.

Es importante que tenga presente lo siguiente:

(Habilidades que desarrolla: representar, seleccionar y analizar).

• Una muestra se toma cuando la población es muy grande y no es posible realizar un estudio con todos los integrantes de esta. Es importante que la muestra se escoja correctamente, pues de lo contrario, las conclusiones obtenidas no serán representativas de la población. • Puede comentarles a sus estudiantes los siguientes aspectos históricos relacionados con la Estadística: en el año 2000 a. C., en China ya se realizaban estudios estadísticos relacionados con el censo de la población. Por otro lado, los romanos, cada cinco años, realizaban un recuento de la población, que consideraba cantidad de nacimientos, defunciones, ganado, entre otros datos.

247

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 248

TEXTO DEL ESTUDIANTE 144 Y 145

Unidad 5

Análisis de encuestas Los profesores de educación física de un colegio, que tiene un total de 1200 estudiantes, decidieron realizar un sondeo sobre los hábitos deportivos de sus alumnos y alumnas. Elaboraron una pauta para diseñar la encuesta y sacar conclusiones de ella. Se encuestó a 120 alumnos y alumnas escogidos al azar. Observa los resultados que se muestran en las tablas y complétalas. Distribución de los alumnos y alumnas por edad Edad (años) Marca de clase

(f i)

5-8

9 - 12

13 - 16

17 - 20

( Fi )

( hi )

( Hi )

Marca de clase

(f i)

2-6

7 - 11

12 - 16

17 - 21

Actividad

(f i) 48

Jugar fútbol

Trotar

Nadar

Otro

( Fi )

Tiempo en horas que dedican semanalmente al deporte

Nº de estudiantes

( hi )

( Hi )

( hi )

( Hi )

Para discutir • ¿Cómo representarías la información en gráficos? • ¿Cómo interpretarías la información que los gráficos entregan? • ¿Qué pasos crees que debes seguir para realizar una encuesta que te permita obtener conclusiones?

Bicicleta

Otros Nadar Trotar

Años

2-6

7 - 11 12 - 16 17 - 21

Horas

Fútbol

De los gráficos anteriores, podemos interpretar que: la mayor parte de los alumnos y alumnas encuestados es mayor de 12 años; la mayoría de los y las estudiantes dedica 11 horas o menos a la actividad deportiva, y solo el 10% realiza por lo menos 17 horas de ejercicios; la actividad preferida por los alumnos y alumnas es andar en bicicleta. Para diseñar una encuesta que te permita recolectar información, interpretarla y sacar conclusiones, en primer lugar, debes establecer los objetivos de estudio y la población a quien está dirigida; luego, seleccionar una muestra representativa de la población. En segundo lugar, plantear un cuestionario que responda a los objetivos de estudio y recolectar la información en tablas. En tercer lugar, representar en gráficos la información obtenida e interpretarlos. Por último, presentar las conclusiones del estudio.

No olvides que... • Las encuestas aplicadas a una muestra son una manera útil de obtener información cuando no podemos acceder a ella desde el total de la población. • Los pasos que se recomiendan para realizar una encuesta son: 1º Establecer objetivos, población y muestra. 2º Plantear un cuestionario que responda a los objetivos de estudio y agrupar los datos en tablas de frecuencias. 3º Representar la información en gráficos e interpretarlos. 4º Presentar las conclusiones. Datos y azar

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ella entrega.

Para discutir

Unidad 5 – Datos y azar

144 Unidad 5

248

48 21

10 5 - 8 9 - 12 13 - 16 17 - 20

( Fi )

Actividad deportiva preferida

Andar en bicicleta

Edad de los y las estudiantes

Cantidad de horas semanales que destinan a hacer ejercicios Horas

La información recolectada en las tablas anteriores se puede representar en los siguientes gráficos. Observa:

145

Ítem 1: representar. Ítem 2: interpretar. Ítem 3: analizar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 249

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto es mostrar a los y las estudiantes cómo se analiza una encuesta y la información que podemos extraer de ella. Para ello, se presenta una situación relacionada con los hábitos deportivos de una muestra de 120 estudiantes de un colegio, donde la población es 1200 estudiantes. La información se agrupa en tres tablas de frecuencias: edad de los alumnos y alumnas, horas semanales que destinan a hacer ejercicios y su actividad deportiva favorita. Además, la información recopilada es resumida en dos gráficos de barras y uno circular. Es importante que sus alumnos y alumnas completen las tablas de frecuencias que aparecen en el texto, también que expliquen los diversos gráficos presentados, la información que proporcionan y establezcan en conjunto, las principales conclusiones del estudio estadístico planteado. Para complementar la información que aparece en el Texto, plantee a sus estudiantes lo siguiente: • ¿Qué otros aspectos relacionados con el deporte podrías preguntar en una encuesta?, ¿cómo lo harías? • Construyan, en sus cuadernos, para las dos primeras tablas, gráficos circulares y para la tercera tabla, un gráfico de barras.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Los gráficos nos permiten obtener información de forma ordenada y resumida sobre las variables en estudio. Los gráficos más utilizados son: Gráfico de barras: es un diagrama con barras rectangulares, cuya altura de cada barra indica la frecuencia absoluta de cada valor de la variable. Las barras pueden estar orientadas de forma horizontal o vertical. Estos gráficos se usan para comparar dos o más valores. Este gráfico sirve para representar variables cualitativas y cuantitativas.

• La elección del gráfico más adecuado para representar cierto tipo de variable, dependerá de si esta es cualitativa o cuantitativa. Generalmente: Variable

Gráfico

Cualitativa

Circular

Cuantitativa discreta

Circular

Cuantitativa continua

Histograma

Gráfico de barras Polígono de frecuencias Polígono de frecuencias

• Para analizar e interpretar información debemos tener presente el contexto en el que se desarrolla determinada situación, ya que de ello dependerá si nuestros análisis y conclusiones son acertadas y coherentes. • Es importante obtener información de medios de comunicación confiables, pues ellos permitirán encontrar datos verdaderos en distintos contextos. En Internet podemos encontrar mucha información, pero debemos ser cuidadosos con ella, ya que muchos sitios la entregan en forma imprecisa o errónea.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Realiza una encuesta en tu curso sobre los lugares favoritos para vacacionar (playa, campo, lago, montaña, etc.) y las actividades que realizan durante este período (nadar, andar en bicicleta, visitar lugares turísticos, leer, hacer excursiones, etc.). Luego, sigan las siguientes instrucciones: a) b) c) d)

Diseñen un cuestionario que responda a los objetivos del estudio. Recopilen la información en tablas de frecuencias. Representen la información en gráficos e interprétenlos. Presenten las conclusiones al resto del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y analizar). Gráfico circular: es un gráfico formado por un círculo dividido en sectores. Se utiliza para representar cualquier tipo de frecuencia aunque, generalmente, se utiliza para frecuencias relativas porcentuales. Este gráfico sirve para representar variables cualitativas y cuantitativas. Histograma: es un gráfico cuya altura es proporcional a la frecuencia absoluta, frecuencia relativa o frecuencia porcentual, y la base está formada por segmentos cuyos extremos representan los extremos de cada intervalo. Este gráfico sirve para representar variables cuantitativas. Polígono de frecuencias: se obtiene al unir los puntos medios de los intervalos representados por cada barra en un histograma, es decir, al unir la marca de clase de cada intervalo mediante una línea poligonal. 249

Unidad 5 – Datos y azar

De profundización 1. Realiza una encuesta a 50 personas sobre su fruta favorita y la cantidad de estas que consumen al día. Luego, sigue las siguientes instrucciones: a) b) c) d)

Diseña un cuestionario que responda los objetivos del estudio. Recopila la información en tablas de frecuencias. Representa la información en gráficos e interprétalos. Presenta las conclusiones al resto del curso.

(Habilidades que desarrolla: representar, interpretar y analizar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 250

TEXTO DEL ESTUDIANTE 146 Y 147

Unidad 5

Actividades 1. Los siguientes resultados fueron obtenidos de la Sexta Encuesta Nacional de Juventud, 2009 (Instituto de la Juventud, Gobierno de Chile) y se refieren a la realidad juvenil del país. Observa las tablas y responde las preguntas relacionadas. A. Jóvenes que hoy estudian, según edad y localidad Grupos de edad (años)

% de jóvenes que estudian

Zona

% de jóvenes que estudian

15 – 19

79,9%

Urbano

51,5%

20 – 24

44,5%

Rural

36,4%

25 – 29

19,8%

Herramientas tecnológicas En esta actividad deberás usar una planilla de cálculo para construir tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Sigue las instrucciones. 1º Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada, en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa. 2º Ingresa los siguientes datos en la columna Datos, que corresponden al número de pasajeros que en los últimos días tomó un bus de Santiago a Puerto Montt.

B. Situación de endeudamiento, según sexo y edad Edad

Mujer

Sí

48,5%

54,2%

48,2%

40,6%

3,3%

5,2%

No responde

102

20 - 24

25 - 29

101

Sí

16,7%

50,8%

57,6%

69,9%

45,7%

40,0%

No responde

13,3%

3,5%

2,4%

Fuente: www.fundacionfuturo.cl, consultado en enero de 2010.

a) b) c) d)

72 15 - 19

Sexo Hombre

¿Qué tramo etario tiene mayor presencia entre los jóvenes que estudian?, ¿por qué? ¿Existe una brecha entre la juventud urbana y rural que estudia?, ¿por qué? ¿Quién tiene mayor nivel de endeudamiento entre los jóvenes? Justifica tu respuesta. ¿Entre qué edades se encuentran los jóvenes con mayor endeudamiento?, ¿por qué crees que puede ocurrir?

En equipo En esta actividad deberán investigar sobre las actividades realizadas durante el tiempo libre y el tiempo dedicado a ello. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Inventen un nombre para su encuesta. Luego, establezcan los objetivos de esta. 2. Determinen a quiénes está dirigido el estudio. Seleccionen una muestra de, al menos 40 personas. Indiquen la fecha en que se realizó la encuesta. 3. Diseñen un cuestionario que responda los objetivos del estudio. Este puede considerar aspectos como: edad, sexo, días que dedica para ocio, etc. Previo a su aplicación, se deben mencionar las posibles respuestas. Indiquen cómo se llevó a cabo: por teléfono, Internet o cara a cara. 4. Recolecten y ordenen la información obtenida en tablas de frecuencias, indicando el nombre de cada una. 5. Representen la información en gráficos, interpretando la información que ellos entregan. 6. Presenten las conclusiones al resto del curso.

3º Selecciona todos los datos desde A2 hasta A43; ordénalos de menor a mayor, haciendo clic en . 4º Observa que el dato menor es 48, y el mayor es 102. Por lo tanto, el rango es 54. Agrupa los datos en 6 intervalos. Cada intervalo es de amplitud 9. Escribe en la columna Intervalos, las clases correspondientes partiendo por 45 - 54; en la columna Marca de clase, escribe la información correspondiente. 5º Con la ayuda de una función, determinaremos la frecuencia absoluta acumulada de cada intervalo. Para el intervalo 45 - 54, haz un clic en la celda D2 y escribe la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<55”), luego, presiona enter. Para el intervalo 55 - 64, haz clic en la celda D3 y escribe la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<65”), luego, presiona enter. Repite el procedimiento hasta el último intervalo. 6º La frecuencia absoluta de cada clase se puede calcular restando las frecuencias acumuladas consecutivas. Por ejemplo, la frecuencia del intervalo 95 - 104 es igual a la frecuencia acumulada de dicho intervalo, menos la frecuencia acumulada del intervalo anterior; es decir: 42 – 39 = 3. Así, hasta obtener la frecuencia de cada intervalo. 7º Para calcular la frecuencia relativa de cada intervalo, haz clic en F2 y escribe la función: =E2/42, luego, presiona enter. Selecciona la celda F2, anda a su vértice inferior derecho, y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda F7. Así, deberían aparecer todos los resultados correspondientes. Deberías obtener:

146 Unidad 5

Datos y azar

147

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ella entrega. • Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, […] mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

Actividades

En equipo

Ítem 1: analizar, justificar e interpretar.

Representar, identificar, analizar e interpretar.

250

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 251

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, es conveniente que analicen en conjunto las tablas y puedan sacar conclusiones de ellas. Si lo estima conveniente, puede buscar otro tipo de encuestas en la página web: www.fundacionfuturo.cl, en la opción Banco de Encuestas y, luego, en Buscador de Encuestas, seleccione la encuesta que es de su interés para trabajar con sus estudiantes. • En la actividad En equipo, es importante que los y las estudiantes tengan algunos días para realizarla, podría darles como plazo de entrega una semana. Esta actividad podrían desarrollarla en forma de ensayo. Finalmente, pueden presentar las conclusiones al resto del curso. • La actividad Herramientas tecnológicas, es conveniente que la realice antes de la clase que trabajará con sus estudiantes, de este modo, estará más preparado/a para las preguntas que puedan surgir. Recuerde que al digitar cada función, es fundamental que aparezca el signo “=” para que se ejecute; por ejemplo, para determinar el promedio de los datos que se encuentran desde la celda A2 hasta la celda A43 debe digitar:

2. Para calcular la moda, ubicarse en B13 y pulsar sobre el comando Insertar función. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Moda. Luego, pulsar en Aceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y, luego, Aceptar. En la celda B13 aparecerá la moda de las alturas. 3. Para calcular la mediana, ubicarse en B14 y pulsar sobre el comando Insertar función. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Mediana. Luego, pulsar en Aceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y, luego, Aceptar. En la celda B14 aparecerá la mediana de las alturas. En la imagen se encuentran los resultados obtenidos para este caso.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Utiliza una planilla de cálculo para la siguiente actividad: Las estaturas (en metros) de los 25 integrantes de un equipo de básquetbol son:

=PROMEDIO(A2,A43) 1,78 1,82 1,79 1,84 1,96

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

1,81 1,91 1,94 1,90 1,88

En Excel se puede calcular el promedio, la moda y la mediana. Para mostrar cómo se aplican estas funciones estadísticas, se utilizarán como ejemplo las estaturas de 10 personas.

1,80 1,87 1,92 1,89 1,89

Antes de comenzar, escriba en B1 “Altura” y, luego, ingrese las siguientes alturas: 1,54; 1,86; 1,74; 1,86; 1,66; 1,70; 1,88; 1,59; 1,63; 1,77.

1. Para calcular el promedio, ubicarse en B12 y pulsar sobre el comando Insertar función. Seleccionar la categoría Estadísticas y la función Promedio. Luego, pulsar en Aceptar. Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B11 y, luego, Aceptar. En la celda B12 aparecerá el promedio de las alturas.

251

Unidad 5 – Datos y azar

1,81 1,92 1,89 1,86 1,91 1,83 1,85 1,88 1,79 1,86 a) Construye una tabla de frecuencias dividiendo la información en 3 intervalos y sigue las instrucciones dadas en las páginas 147 y 148 del Texto. b) Calcula la moda y la media aritmética del conjunto de datos. Luego, interpreta los valores obtenidos. c) ¿Cuál es la estatura mínima?, ¿y cuál es la máxima? (Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas, calcular, interpretar y analizar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 252

TEXTO DEL ESTUDIANTE 148 Y 149

Unidad 5 8º Para determinar el promedio, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G1 y escribe la función: =PROMEDIO(A2:A43). Luego, presiona enter. 9º Para determinar la moda, haz clic en una celda que esté en blanco, por ejemplo en G2 y escribe la función: =MODA(A2:A43). Luego, presiona enter. Luego de realizar los pasos anteriores, haz la siguiente actividad en una nueva planilla de cálculo. 1. Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 60 alumnos y alumnas de un colegio de Concepción: 45

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. En una clase de Educación Física, los alumnos y las alumnas del 8ºA, 8ºB y 8ºC realizaron una carrera desde el colegio hasta una plaza cercana, ida y vuelta. Los profesores de la asignatura registraron el tiempo de llegada de cada estudiante, y organizaron la información en la siguiente tabla: • ¿Qué porcentaje de los y las estudiantes tardó 31 minutos o menos en llegar? A. 20% B. 27%

4. 5.

6. 7.

8. 9. 10.

ordénalos de menor a mayor, haciendo clic en . Calcula el rango para agrupar los datos en 7 intervalos. Escribe en la columna Intervalos, las clases correspondientes. En la columna Marca de clase, escribe la información correspondiente. Determina la frecuencia absoluta acumulada de cada intervalo. Por ejemplo, si el primer intervalo es 34 - 41, debes ingresar, en la celda D2, la función: =CONTAR.SI(A2:A43; “<42”) y presionar enter. Repite el procedimiento hasta el último intervalo. Calcula la frecuencia absoluta de cada intervalo, restando las frecuencias acumuladas de cada clase y la anterior, salvo la primera. Calcula la frecuencia relativa de cada intervalo, haciendo clic en F2 y escribiendo la función: =E2/60, luego, presiona enter. Selecciona la celda F2, anda a su vértice inferior derecho y cuando aparezca una cruz negrita, arrastra hasta la celda F7. Así, deberían aparecer las frecuencias relativas correspondientes. Determina el promedio haciendo clic en la celda G1 y escribe la función: =PROMEDIO(A2:A61). Luego, presiona enter. Finalmente, determina la moda haciendo clic en la celda G2 y escribe la función: =MODA(A2:A61). Luego, presiona enter. En tu cuaderno, interpreta los resultados obtenidos en los puntos 8 y 9. Determina e interpreta la frecuencia relativa porcentual de cada intervalo.

Nº alumnos y alumnas 28

21 - 31

32 - 42

2. En la situación anterior, ¿en promedio, cuántos minutos tardaron en llegar a la meta? A. 27 min aprox.

2. Escribe en A1 Datos, en B1 Intervalos, en C1 Marca de clase, en D1 Frecuencia Acumulada, en E1 Frecuencia absoluta y en F1 Frecuencia relativa. 3. Ingresa la información en la columna Datos. Luego, selecciónalos desde A2 hasta A61 y

C. 53% D. 73%

Tiempo de llegada (minutos) 10 - 20

B. 47 min aprox.

C. 25 min aprox.

D. 37 min aprox.

3. En la tabla presentada en el ítem 1, el valor aproximado de la moda corresponde a: A. 28,6 min

B. 25,3 min

C. 26,6 min

D. 26 min

4. En una empresa hay 280 trabajadores. Para realizar un estudio respecto del nivel de satisfacción del personal, se consideró una muestra que es igual al 10% de la población. Los resultados de la encuesta se expresan y se muestran a continuación: 4, 12, 15, 20, 25, 2, 6, 18, 20, 23, 11, 5, 16, 23 2, 9, 13, 19, 25, 24, 15, 3, 6, 6, 10, 20, 21, 30 a) Construye una tabla de frecuencias, agrupando los datos en cuatro intervalos. b) Si las categorías de los intervalos son: “No conforme”, “Medianamente conforme”, “Conforme” y “Muy conforme”, ¿qué porcentaje de trabajadores se encuentra “Muy conforme”? c) Determina e interpreta la media aritmética y la moda. Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Analizar una tabla de frecuencias con datos agrupados.

Determinar la media aritmética de una tabla con datos agrupados.

Determinar la moda de una tabla con datos agrupados.

Construir una tabla con datos agrupados y analizarla.

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

148 Unidad 5

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS • Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ella entrega. • Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, […] mediante

Datos y azar

149

herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y la moda en estos casos.

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Herramientas tecnológicas Aplicar, usar herramientas, calcular, interpretar y analizar.

252

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:00 Página 253

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Se sugiere que esta actividad se realice en forma individual, o en parejas, según la disponibilidad de computadores que tenga su colegio. Además, es importante que el primer ejemplo que presenta el Texto se realice en forma simultánea por todo el curso junto con su ayuda, y que el segundo ejercicio sea realizado de manera autónoma, pero permitiendo la realización de preguntas al profesor y el apoyo entre los alumnos y alumnas. • Por otro lado, es importante que los alumnos y alumnas sean cuidadosos y ordenados en el desarrollo de esta actividad, ya que ubicar o seleccionar mal los datos, produce resultados incorrectos. • Permita que sus estudiantes exploren la planilla de cálculo y descubran nuevas funciones que les permiten obtener los mismos resultados, utilizando un método alternativo. Es conveniente que compartan sus procedimientos y respuestas con el curso. Al final de la actividad, es fundamental que realicen una revisión individual y colectiva del trabajo realizado.

b) Calcula la moda y la media aritmética del conjunto de datos. Luego, interpreta los valores obtenidos. c) ¿Qué puedes concluir sobre el IMC de estas bailarinas? (Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas, calcular, interpretar y analizar).

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítems 1, 2, 3: analizar y calcular. Ítem 4: aplicar, representar, calcular, interpretar y analizar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

De refuerzo

• En los ítems 1, 2 y 3, sus estudiantes deben marcar la alternativa correcta, esto dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es conveniente que les pida que realicen los pasos al lado de cada pregunta, ya que si hay errores en el desarrollo, será más sencillo detectarlos y corregirlos. • En el ítem 2, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde que deben calcular la media aritmética de datos agrupados en intervalos, y no sumar las frecuencias absolutas y dividir por el total. • En el ítem 3, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde que deben calcular la moda de datos agrupados en intervalos y no buscar la categoría que tiene mayor frecuencia. • En el ítem 4, es importante que sus estudiantes noten que cada intervalo tiene una categoría asignada dependiendo del puntaje obtenido. Si lo estima conveniente, permítales utilizar calculadora para facilitar los cálculos.

1. Utiliza una planilla de cálculo para realizar la siguiente actividad. En una academia de ballet están preocupados por el Índice de Masa Corporal (IMC) de sus bailarinas. Los rangos normales van desde 18,5 hasta 24,9. Por ello, se calculó el IMC a las 60 bailarinas de la academia. Los resultados son los siguientes: 19,5 18,3 17,7 18,8 18,1 19,5 18,3 17,7 18,8 18,1 19,5 18,3 20,3 19,1 16,9 18,4 17,9 18,4 19,1 16,9 18,4 17,9 20,3 19,1 17,3 17,9 16,7 18,6 18,3 17,3 17,9 16,3 18,1 18,3 17,3 17,9 19,1 18,4 17,3 18,4 17,7 19,1 18,4 17,3 18,4 17,7 18,6 18,4 18,8 19,3 18,6 17,7 18,2 18,8 19,3 18,6 17,7 18,2 18,8 19,3 a) Construye una tabla de frecuencias dividiendo la información en 4 intervalos; luego, sigue las instrucciones dadas en las páginas 147 y 148 del Texto.

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantear a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 4. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Representa e interpreta correctamente la tabla de frecuencias, y calcula la media aritmética y la moda, justifica cada uno de sus pasos.

Representa e interpreta correctamente la tabla de frecuencias, y calcula la media aritmética y la moda, sin justificar todos sus pasos.

253

Unidad 5 – Datos y azar

Medianamente logrado Representa e interpreta erróneamente alguna de las frecuencias, confundiendo la media aritmética o la moda.

Por lograr Representa e interpreta erróneamente alguna de las frecuencias, confundiendo la media aritmética y también la moda. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 254

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

a) ¿Cuál es la mínima edad observada?

De refuerzo

b) ¿Cuál es la máxima edad observada?

1. La siguiente tabla entrega los resultados de una encuesta realizada sobre los usos de Internet a un grupo de personas de entre 15 y 30 años. Usos de Internet

Entretención

Trabajo

Compras

Búsquedas de información

Frecuencia

200

360

300

140

c) Organiza la información en la siguiente tabla de frecuencias. Edad (años)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada porcentual

28 - 32 33 - 37

Según los datos obtenidos, responde las siguientes preguntas: a) b) c) d)

2. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de personas que asisten a un banco durante 30 días. 113

108

104

103

110

101

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en 4 intervalos, partiendo del intervalo 75 - 84. b) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda. 3. Una salsoteca está interesada en obtener información de la edad de sus clientes para organizar nuevas actividades y promociones. Para ello encuestaron a 30 personas, obteniendo los siguientes resultados: 44 40 32 33 35 32 254

38 - 42

¿Cuántas personas fueron encuestadas? ¿Cuál es el uso más frecuente de Internet? ¿Cuál es el uso menos frecuente de Internet? Si una de las personas encuestadas se escoge al azar, ¿cuál es la probabilidad de que use Internet para trabajar?

Unidad 5 – Datos y azar

36 37 39 38 45 29

34 38 33 30 39 39

38 37 39 39 37 38

32 42 30 33 31 36

43 - 47 TOTAL

d) e) f) g)

¿Cuántas personas tienen más de 32 años? ¿Qué porcentaje de personas tienen más de 42 años? Determina e interpreta la moda de este conjunto de datos. Calcula e interpreta la media aritmética del conjunto de datos.

De profundización 1. Una empresa salmonera del sur de Chile está interesada en conocer la masa (en kg) de sus salmones. Para ello tomó una muestra de 50 salmones obteniendo los siguientes resultados: 3,9 2,7 3,3 3,8 2,8 3,8 3,9 3,3 3,6 4,3

3,2 2,8 3,3 2,8 3,1 3,6 3,2 3,4 3,5 3,1

4,5 3,8 3,3 3,2 2,7 3,4 3,2 2,8 3,2 4,1

4,1 3,6 3,7 2,9 3,8 4,0 3,8 3,2 2,8 3,1

4,2 3,5 4,2 3,9 3,6 3,2 4,0 2,8 3,3 4,5

a) ¿Cuál es la mínima masa observada?, ¿y cuál es la máxima?

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 255

b) Organiza la información en la siguiente tabla de frecuencias. Edad (años)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada porcentual

2,6 - 3,2

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 254 Y 255 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. a) 1000 personas. b) Trabajo. 2. a)

3,3 - 3,9

Cantidad de Marca de clase personas

4,0 - 4,6

d) Si escogieras uno de estos salmones al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su masa esté entre 2,6 kg y 3,2 kg? e) Determina e interpreta la media aritmética y la moda de este conjunto de datos.

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa porcentual

75 - 84

79,5

0,17

17%

85 - 94

89,5

0,47

47%

95 - 104

99,5

0,27

27%

105 - 114

109,5

0,1

10%

TOTAL

c) ¿Qué porcentaje de los salmones tiene una masa menor a 4,0 kg?

c) Búsqueda de información. d) 36%

b) x– = 92,5; Mo = 90,4 3. a) 29 años. c)

b) 45 años.

Edad (años)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

28 - 32 33 - 37 38 - 42 43 - 47

30 35 40 45 TOTAL

7 10 11 2

d) 23 personas.

e) 7%

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada porcentual

7 17 28 30

f) Mo = 38,4

0,23 0,33 0,37 0,07

23% 37% 37% 7%

g) x– = 36,33

De profundización 1. a) 2,7 kg y 4,5 kg b)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

2,6 - 3,2

2,9

0,38

38%

3,3 - 3,9

3,6

0,44

44%

4,0 - 4,6

4,3

0,18

18%

TOTAL

c) 82% 255

Unidad 5 – Datos y azar

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada porcentual

Edad (años)

d) 38%

e) x– = 3,476 ; Mo = 3,2

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 256

TEXTO DEL ESTUDIANTE 150 Y 151

Unidad 5

Espacio muestral y principio multiplicativo

El procedimiento realizado se denomina principio multiplicativo, el cual establece que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas (en este ejemplo, 4 colores) y es seguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas (en este ejemplo 3, que representa la cantidad de puertas), entonces hay m • n maneras de que puedan ocurrir ambos simultáneamente (en el caso anterior, 12 categorías según color y cantidad de puertas).

Camila se encuentra en una plaza mirando el color de los autos que van pasando. Los colores que observa son: rojo, azul, verde y gris. También mira el número de puertas que cada auto tiene, y nota que pueden ser de 3, 4 ó 5 puertas.

Ayuda

Para discutir

Recuerda que aquellas situaciones en que no se puede predecir con certeza cierto resultado se denominan experimentos aleatorios.

• La situación anterior, ¿es un experimento aleatorio?, ¿por qué? • Si clasificaras los autos por color, ¿cuántas categorías existirán? • Si clasificaras los autos por el número de puertas, ¿cuántas categorías existirán? • Si quisiera clasificar los autos por color y número de puertas, ¿cuántas categorías existirán?

No olvides que... • El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral ( ). • La cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.

Efectivamente, la situación que observó Camila corresponde a un experimento aleatorio, pues si bien sabe cuál puede ser el color del auto que pasará o su número de puertas, no sabe con exactitud cómo será el auto. Si solo observa el color, el conjunto de posibles resultados o espacio muestral es = 兵rojo, azul, verde, gris其. En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 4. Si solo observa el número de puertas, el espacio muestral es = 兵3, 4, 5其. En consecuencia, el tamaño del espacio muestral es 3.

3 4 5

3 Azul

4 5

3 Verde

Actividades 1. Describe los espacios muestrales de cada uno de estos experimentos e indica su tamaño. a) b) c) d)

Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 5. Las patentes con letras TBPR, seguidas del dígito 2 ó 3. Lanzar dos dados, uno rojo y uno verde. Lanzar dos dados simultáneamente y sumar sus puntos.

2. Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que: puede levantar los cimientos de concreto o block de cemento; las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo; el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada; y por último, los acabados los puede realizar de una sola manera. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?, ¿cómo lo supiste?

Si observa color y número de puertas, conviene realizar un diagrama de árbol, para determinar el tamaño muestral, como se muestra a continuación:

Rojo

• El principio multiplicativo señala que si un evento puede ocurrir de m maneras distintas y es seguido por otro que puede ocurrir de n maneras distintas, entonces hay m • n maneras de que puedan ocurrir ambos simultáneamente.

3 Gris

4 5

Si contamos el total de ramas, vemos que hay 12, es decir, hay 12 maneras de clasificar un auto por color y por número de puertas. Entonces, el tamaño del espacio muestral en ese caso es 12. Observa que 12 es igual a 4 • 3, donde 4 es la cantidad de colores de autos y 3 la cantidad de categorías para el número de puertas.

3. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al C y de regreso al pueblo A? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. 4. En el casino de una Universidad a la hora de almuerzo se ofrece un menú con plato de fondo, bebida o jugo y postre. Las opciones del plato de fondo son: arroz con carne, puré con pollo o legumbre. De postre puede ser: helado, jalea, flan o fruta. a) ¿Cuántas opciones de menú se pueden escoger? b) ¿Cuáles son todas las posibilidades de menú? Anótalas en tu cuaderno.

150 Unidad 5

Datos y azar

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: analizar y justificar. Ítems 2, 3 y 4: calcular.

Ítem 1: reconocer y calcular. Ítems 2, 3 y 4: calcular y justificar.

256

Unidad 5 – Datos y azar

151

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 257

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial propuesta en el Texto tiene como propósito que los alumnos y alumnas sean capaces de determinar el número de posibilidades en diversos experimentos aleatorios, a través del principio multiplicativo. Para motivar a sus estudiantes en el estudio de esta parte de la Unidad y complementar la actividad propuesta en el Texto, podría utilizar fichas de diversos colores y colocarlas en un recipiente o en una bolsa, por ejemplo: 3 fichas rojas, 2 fichas amarillas y 4 azules, y realizar el experimento aleatorio de extraer una ficha. Luego, lanzar un dado y anotar en una tabla las combinaciones de color de ficha y número de dado que van saliendo. Repita el experimento varias veces y permítales participar a distintos alumnos y alumnas, para que observen que se pueden obtener diversos resultados. A partir de esta experiencia, explíqueles los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral, su cardinalidad y principio multiplicativo.

En este caso, no es necesario usar principio multiplicativo, pues los posibles resultados son: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} • En el ítem 2, sugiérales a sus estudiantes traducir el enunciado del ejercicio a números, para que no se confundan con toda la información que entrega el problema y apliquen posteriormente, el principio multiplicativo. • En el ítem 3, permítales a sus alumnos y alumnas realizar algún esquema para graficar la situación presentada; esto les ayudará a ver con claridad el problema, para luego aplicar el principio multiplicativo. • En el ítem 4, mencione a sus estudiantes que en el ejercicio a), los alumnos deben determinar la cantidad de resultados posibles y en el ejercicio b), listar todos los resultados posibles. Si es necesario, sugiérales que utilicen diagrama de árbol para visualizar las posibilidades de menú.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, para los ejercicios a) y b), aclare a sus estudiantes que las patentes deben ser aquellas con esas letras y en ese orden. Para aclarar estas actividades, puede dibujar en la pizarra lo siguiente (para ejercicio b): Letra

Letra

Dígito

0 al 9

• Un experimento aleatorio es aquel experimento en cual no se puede predecir el resultado. Los juegos de azar son un tipo de experimento aleatorio. • Una forma de organizar los resultados obtenidos en experimentos aleatorios es a través de un diagrama de árbol. Por ejemplo, el diagrama correspondiente al lanzamiento de dos monedas es: Cara

Posibilidades

Cara Sello Moneda

Usando el principio multiplicativo: 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 10 = 10 (maneras distintas). • En el ítem 1, para los ejercicios c), d) y e) sugiérales a sus estudiantes realizar alguna tabla o diagrama de árbol para determinar los espacios muestrales y los resultados posibles; y a la vez, que utilicen el principio multiplicativo. Ambas formas de trabajo ayudarán a aclarar y a consolidar los conceptos aprendidos en esta parte de la Unidad. Por ejemplo, en la d), para sumar los puntajes obtenidos al lanzar dos dados, pueden completar una tabla como la siguiente: + 1 2 3 4 5 6

1 2

Cara Sello Sello

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Indica el espacio muestral (Ω) y la cardinalidad (#) de los siguientes experimentos. Guíate por el ejemplo. Ejemplo: Lanzar una moneda: Ω = {cara, sello}, # = 2

4 6 8 10 12

a) b) c) d)

Lanzar dos monedas. Lanzar tres monedas. Lanzar un dado y una moneda. Lanzar dos monedas y un dado.

(Habilidades que desarrolla: reconocer y calcular). 257

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 258

TEXTO DEL ESTUDIANTE 152 Y 153

Unidad 5

Sucesos equiprobables Seis amigos y amigas (Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto y Rosita) salieron de excursión al campo, para investigar acerca de algunos insectos. Decidieron que uno de ellos escribiría todo lo observado; para escogerlo realizaron un sorteo, que consistía en anotar el nombre de cada uno en un papel y, luego, sacar uno, sin mirar, que indicaría quién escribiría el informe.

Para discutir • El sorteo realizado, ¿corresponde a un experimento aleatorio?, ¿por qué? • ¿Cuál es el espacio muestral en este caso? • ¿Todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos?

En este caso, se puede decir que el sorteo realizado es un experimento aleatorio, pues al sacar el papel sin mirar, no sabemos cuál será el resultado. El espacio muestral de este experimento corresponde a: = 兵Camila, Josefa, Andrea, Carlos, Alberto, Rosita其, ya que, son todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar el sorteo. Además, en este ejemplo podemos ver que todos tienen la misma probabilidad de salir, por lo que ninguno de ellos se verá favorecido o desfavorecido con el sorteo.

Glosario sucesos elementales: corresponden a cada uno de los resultados de un espacio muestral.

Cuando sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir, los llamaremos sucesos equiprobables.

No olvides que...

Actividades

Unidad 3

1. Dados los siguientes experimentos, escribe el espacio muestral de cada uno y, luego, determina si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión. a) Extraer, sin mirar, una bolita de una caja que contiene tres blancas y dos rojas y observar su color. b) Lanzar una moneda. c) Escoger una persona al azar, de un curso de 20 niñas y 15 niños. d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés y observar su pinta. e) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 3 números pares y 3 impares. 2. Romina dice: si en un experimento los sucesos elementales están en igualdad de condiciones, entonces hablamos de sucesos equiprobables. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué? 3. Carlos dice: si un experimento no es aleatorio, entonces los sucesos no tienen la misma probabilidad de ocurrir. ¿Es correcto lo que dice?, ¿por qué?

En equipo En esta actividad, deberán utilizar una bolsa, hojas blancas, regla, tijeras y lápices rojo, azul y amarillo. Junto a un compañero o compañera, realicen el siguiente experimento. 1. Recorten 9 rectángulos de papel de 3 cm por 5 cm. 2. Pinten 3 papeles de color rojo, 2 de color azul y 4 de color amarillo. Luego, deposítenlos en la bolsa doblados de igual forma. 3. Extraigan un papelito, sin mirar. Registren en una tabla (en sus cuadernos) el color del papelito que sacaron y obtengan su frecuencia absoluta. Vuelvan a meter el papelito en la bolsa. 4. Realicen la misma extracción 50 veces, registrando los resultados obtenidos en la tabla. 5. Repitan lo mismo para 100 extracciones y, luego, respondan las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento? b) ¿Son equiprobables los resultados de este experimento? Expliquen.

• Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los sucesos son equiprobables.

152 Unidad 5

Datos y azar

153

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios […].

Para discutir

Actividades

Ítem 1: analizar y justificar. Ítem 2: reconocer. Ítem 3: analizar.

Ítem 1: reconocer, analizar y justificar. Ítems 2 y 3: analizar y justificar.

258

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 259

En equipo

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Aplicar, usar herramientas, calcular, reconocer, analizar y justificar. De refuerzo

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para el Estudiante, es introducir el estudio de los sucesos equiprobables. Para ello, se presenta una situación problemática que ilustra este tipo de eventos. Para motivar a sus estudiantes en el estudio de esta parte de la Unidad y complementar la actividad propuesta en el Texto, podría hacer papelitos con los nombres de sus alumnos y alumnas, echarlos en una bolsa, y preguntarles quién creen que saldrá, quién tiene más posibilidades etc. De esta forma podrá introducirlos en el concepto de sucesos equiprobables, al concluir que todos tienen la misma probabilidad de salir.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, sugiérales a sus estudiantes realizar alguna tabla o esquema en los casos que considere necesario, para determinar los espacios muestrales y sus resultados posibles y, luego, que utilicen el principio multiplicativo. Esta forma de trabajo ayudará a aclarar y consolidar los conceptos aprendidos. • En los ítems 2 y 3, pídales que busquen ejemplos para ilustrar las situaciones planteadas, de este modo podrán obtener sus conclusiones con mayor facilidad. • En la actividad EN EQUIPO, sus estudiantes necesitarán diversos materiales, es por ello que se los debe pedir anticipadamente, para que el día de la actividad todos dispongan de los materiales y puedan realizar la experiencia sin dificultades.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Los experimentos determinísticos son aquellos en que se conoce de antemano el resultado.

1. En los siguientes experimentos, indica el espacio muestral (Ω) y si sus resultados son equiprobables. Explica tu decisión. a) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 10 fichas blancas, 10 fichas negras y 10 amarillas. b) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 9 fichas blancas y 10 fichas negras. c) Extraer, sin mirar, una bolita de una urna que contiene 2 fichas blancas, 2 fichas negras, 2 azules y dos amarillas. d) Extraer, sin mirar, una carta de un naipe inglés. e) Lanzar dos monedas. f) Lanzar tres monedas. g) Lanzar un dado y una moneda, simultáneamente. h) Lanzar dos monedas y un dado, simultáneamente. i) Lanzar dos monedas y dos dados simultáneamente. (Habilidades que desarrolla: reconocer, analizar y justificar). De profundización 1. Menciona 3 experimentos en que sus resultados sean equiprobables. Indica el espacio muestral. 2. Menciona 3 experimentos en que sus resultados no sean equiprobables. Justifica en cada caso. (Habilidades que desarrollan: formular, identificar y justificar).

Por ejemplo, en un laboratorio se mezclan en proporciones adecuadas hidrógeno y oxígeno, resultando agua. Se sabe de antemano el resultado, por lo tanto, es un experimento determinístico. • Los experimentos aleatorios son aquellos que, repetidos una cierta cantidad de veces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes. En los experimentos aleatorios no se conocen de antemano los resultados. Por ejemplo, si se introducen bolitas en una tómbola y se extrae una, no se sabe de antemano cuál va a salir, por lo tanto, este tipo de experimentos es aleatorio.

259

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 260

TEXTO DEL ESTUDIANTE 154 Y 155

Unidad 5

Regla de Laplace En un curso se realizará la elección de presidente, entre los siguientes candidatos:

No olvides que... • La probabilidad de un suceso A, se denota por P (A). • Regla de Laplace: si en un experimento aleatorio los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir, son equiprobables, la probabilidad de que un suceso A ocurra se puede calcular utilizando: número de casos favorables al suceso A P (A) = número de casos totales

Cada estudiante del curso puede votar por un solo candidato.

Para discutir • ¿Los resultados de la elección corresponden a sucesos equiprobables?, ¿por qué? • ¿Podrías calcular la probabilidad de escoger a Daniela como presidenta?, ¿cómo lo harías? • ¿La probabilidad de que una mujer sea presidenta es de 60%?, ¿o es de 0,6?, ¿cuál es la correcta?, ¿cómo lo supiste? • ¿Cómo obtienes la probabilidad de que ocurra un suceso?, ¿se puede expresar de diversas formas?, ¿cómo?

Ayuda Una fracción se puede representar como número decimal y como porcentaje. Por ejemplo: 1 = 0,25 = 25% 4

Como puedes observar, en la situación anterior, todos los candidatos tienen la misma probabilidad de salir electos, por lo que podemos decir que los resultados corresponden a sucesos equiprobables. Cuando esto sucede, la probabilidad se puede obtener mediante una fracción, donde su numerador representa el número de casos favorables, mientras que el denominador representa a todos los posibles resultados. Por ejemplo: 1 • La probabilidad de escoger a Daniela de presidenta es , pues 5 corresponde a un candidato de un total de 5. • La probabilidad de escoger a una mujer presidenta corresponde 3 a , pues son 3 las mujeres, de un total de 5 candidatos. 5 • También podemos decir que, la probabilidad de que una mujer sea presidenta es 0,6 ó 60%, ya que entregan la misma información, mediante distintas representaciones: fracción, número decimal y porcentaje, respectivamente.

Ejemplo: 1 Al lanzar un dado de seis caras, la probabilidad de que el número sea primo es de 2 ó 0,5 ó 50%, ya que, Suceso A: obtener un número que sea primo 3 casos favorables Casos favorables: 兵2, 3, 5其 6 casos totales Casos totales: 兵1, 2, 3, 4, 5, 6其

P (A) = 3 = 1 ó 0,5 ó 50% 6

Actividades 1. Dado el siguiente experimento: “poner en una caja las letras de la palabra PARALELEPÍPEDO, y sacar una”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada caso. Calcula su probabilidad expresándola como fracción, número decimal y porcentaje. a) Obtener una vocal.

b) Obtener una consonante.

2. Dado el siguiente experimento; “lanzar un dado de seis caras”. Escribe el número de resultados favorables y el de casos totales, en cada situación. Calcula su probabilidad, expresándola como fracción, número decimal y porcentaje. a) Obtener un número impar. b) Obtener un número menor o igual a 5. c) Obtener un número mayor que 5. 3. De una urna donde hay 7 bolitas verdes, 5 bolitas azules y 3 bolitas rojas, extraer, sin mirar, una bolita. Calcula la probabilidad de: a) b) c) d)

extraer una bolita de color verde. extraer una bolita que no sea de color verde. extraer una bolita que no sea de color rojo. extraer una bolita que no sea de color azul.

154 Unidad 5

Datos y azar

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

Para discutir

260

Unidad 5 – Datos y azar

c) Obtener una P .

155

Actividades

Ítem 1: analizar y justificar. Ítems 1 y 2: analizar, calcular y representar. Ítem 2: calcular y justificar. Ítem 3: analizar y calcular. Ítem 3: analizar y justificar. Ítem 4: analizar, calcular, representar y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 261

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para el Estudiante es introducir a los alumnos y alumnas en el concepto de probabilidad usando el modelo de Laplace. Para ello, se presenta una situación que ilustra cómo obtener probabilidades de eventos equiprobables. Para complementar esta actividad, podría considerar a 2 mujeres del curso y a 2 hombres, anotar sus nombres en una tabla en la pizarra y preguntarles a quién escogerían como presidente, e ir registrando los resultados. Después de que todo el curso haya participado, pregúnteles: • Si se escoge uno de los candidatos del curso al azar, ¿cuál es la probabilidad que sea hombre?

• Una probabilidad se puede expresar como número decimal, fracción o porcentaje; por ejemplo, si la probabilidad de un evento es 0,3, también podemos decir que 3 es ó 30%. 10 • La Regla de Laplace se debe al científico Pierre Simon Marqués de Laplace (1749 - 1827). Su primer trabajo fue sobre la aplicación de las matemáticas en la mecánica celeste. Posteriormente, realizó investigaciones sobre la naturaleza y el universo. En 1812 publicó su famosa obra Teoría analítica de las probabilidades. Laplace fue admirado por sus conocimientos, pero también fue despreciado por su oportunismo político. Laplace dijo: “El azar no se deriva de la realidad sino de la ignorancia acerca de esa realidad y la probabilidad, su extensión matemática”.

Finalmente, haga una confrontación entre la probabilidad empírica obtenida de los resultados experimentales y la probabilidad teórica empleando el modelo de Laplace.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Por ejemplo:

De refuerzo

Carolina

Jorge

Isabel

Felipe

Este caso, la probabilidad empírica es 40%, mientras que la probabilidad teórica es 25%.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, mencióneles a sus estudiantes que deben considerar todas las letras de la palabra PARALELEPíPEDO, incluyendo las que se repiten. • En el ítem 2, recuérdeles a sus alumnos y alumnas, qué es un número par y dé algunos ejemplos si es necesario, ya que pueden haber olvidado este concepto. • En el ítem 3, recuérdeles a sus estudiantes que deben considerar la cantidad de bolitas de cada color, y con esto determinar la cantidad de casos favorables y totales, ya que pueden confundirse y considerar solamente que son 3 colores, y asignar 1 2 la probabilidad de a que sea de un color determinado y a que no sea de un 3 3 color determinado.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • • • •

La probabilidad de cualquier suceso puede tomar un valor entre 0 y 1. La probabilidad de que ocurra un suceso imposible es 0. La probabilidad de que ocurra un suceso seguro es 1. La probabilidad de que ocurra un suceso incierto es mayor que cero y menor que 1.

1. Una caja contiene 6 botones azules, 5 botones verdes y 4 botones amarillos. Si se extrae un botón al azar, calcula la probabilidad de: a) obtener un botón verde. b) obtener un botón amarillo. c) obtener un botón azul. 2. Una letra de la palabra MATEMATICA es elegida al azar. Determina la probabilidad de seleccionar: a) una A. b) una E. c) una C. (Habilidad que desarrollan: calcular). De profundización 1. Se escriben los números del 1 al 15 en tarjetas. Las 15 tarjetas se mezclan y colocan hacia abajo. Se elige una tarjeta al azar. Determina la probabilidad de que la tarjeta elegida sea: a) b) c) d) e)

par. mayor que 8. menor que 10. divisor de 20. primo.

(Habilidad que desarrolla: calcular). 261

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 262

TEXTO DEL ESTUDIANTE 156 Y 157

Unidad 5

Herramientas tecnológicas En esta actividad deberán usar una planilla de cálculo para simular el lanzamiento de un dado. Sigue las siguientes instrucciones. 1º Seleccionar la secuencia Herramientas - Complementos Herramientas para análisis; haz clic en Aceptar. 2º Selecciona nuevamente Herramientas y, luego, en la secuencia , Análisis de datos - Generación de números aleatorios, haz clic en Aceptar. Aparecerá una tabla en la que simularemos el lanzamiento de un dado. 3º En Número de variables debes poner 1, al igual que en Cantidad de números aleatorios, pues estamos simulando el lanzamiento de un dado. 4º En Distribución debes seleccionar Uniforme; esto significa que los sucesos son equiprobables. 5º En Parámetros, anota entre 1 y 6, pues son los valores que se pueden obtener al lanzar el dado. 6º En Opciones de salida, selecciona Rango de salida y escribe A1 (como se observa a continuación), que corresponde a la celda de la planilla donde quedará el dato. 7º Finalmente, haz clic en Aceptar. Observa que el número obtenido no es entero, por lo tanto debemos utilizar una función que redondee el número, de tal forma que aparezca 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Escribe la siguiente función en la celda B1: =REDONDEAR(A1;0). A1 corresponde a la celda donde está el número que queremos redondear, y 0 es la cantidad de decimales que consideramos; en nuestro caso, necesitamos solo números enteros. Luego, presiona enter. Aparecerá el número equivalente al lanzamiento de un dado. Por ejemplo:

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. El espacio muestral del experimento aleatorio: “lanzar una moneda (C : cara, S: sello) y un dado de seis caras”, es: = 兵C 1, S 2, C 3, S4, C 5, S6其 = 兵C , S, 1, 2, 3, 4, 5, 6其 = 兵C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6, S1, S2, S3, S4, S5, S6其 = 兵C 1, C 2, C 3, C 4, C 5, C 6, S1, S2, S3, S4, S5, S6, C , S其

A. B. C. D.

2. Considera el experimento: “lanzar un dado dos veces”. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? A. 4

B. 11

C. 12

D. 36

3. Determina si en cada experimento los sucesos son equiprobables. Explica tu decisión. a) b) c) d)

Lanzar un dado dos veces y sumar los resultados. Lanzar una moneda al aire. Sacar, sin mirar, una bola de una urna que tiene 2 bolas rojas, 2 azules y 2 blancas. Escoger una persona al azar, de un curso con 15 niños y 15 niñas.

4. Eduardo tiene 5 poleras de distintos colores (amarilla, azul, blanca, negra y roja) y tres pantalones: uno negro, uno café y uno gris. El fin de semana asistirá a una fiesta y no sabe qué ropa elegir. a) ¿Cuántas tenidas puede escoger?, ¿cuáles son? b) Si escoge una tenida al azar, ¿cuál es la probabilidad que salga polera blanca y pantalón gris?, ¿cómo lo supiste?

8º Repite el mismo procedimiento para simular más lanzamientos, pero en Rango de salida escribe A2, A3, …, hasta A20. Además, redondea cada número obtenido, cambiando la celda donde está el número a redondear. Por ejemplo: =REDONDEAR(A2;0), hasta B20. Obtendrás algo similar a la imagen de la derecha. Luego de realizar los pasos anteriores, construye, en tu cuaderno, una tabla de frecuencias para esta situación y responde: a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 3?, ¿cuál es la probabilidad de que salga 3?, ¿se relacionan ambos valores? b) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?, ¿los resultados son equiprobables?, ¿por qué? c) En una nueva planilla repite el mismo procedimiento hasta las celdas A50 y B50. ¿Qué sucede con la frecuencia relativa y la probabilidad en cada caso?

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Ítem

Identificar el espacio muestral en un experimento aleatorio.

Determinar la cardinalidad de un espacio muestral.

Analizar situaciones donde los resultados pueden o no ser equiprobables.

Identificar el espacio muestral, su cardinalidad y calcular la probabilidad de una situación.

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

156 Unidad 5

Datos y azar

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN CON:

• Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas.

Herramientas tecnológicas

262

Unidad 5 – Datos y azar

Respuestas correctas

157

Aplicar, usar herramientas, identificar, calcular y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 263

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Se sugiere que esta actividad se realice en forma individual o en parejas, según la disponibilidad de computadores que tenga su colegio. Además, es importante que el primer ejemplo que presenta el texto sea realizado en forma simultánea por todo el curso con su ayuda, y que el segundo ejercicio sea realizado de manera más autónoma, pero permitiendo la realización de preguntas al profesor y el apoyo entre los alumnos y alumnas. • Es conveniente que realice esta actividad, a modo de prueba, antes de llevarla a cabo con sus alumnos y alumnas. • Es importante que los alumnos y alumnas comprendan que los números aleatorios cambian cada vez que se abre el archivo; además sus estudiantes obtendrán resultados diferentes, por lo tanto sus frecuencias relativas también serán distintas. • Permita que sus estudiantes exploren la planilla de cálculo y descubran nuevas funciones que les permitan obtener los mismos resultados, utilizando un método alternativo. Además, es bueno que compartan sus descubrimientos con el curso. Al final de la actividad, es fundamental que realicen una revisión individual y colectiva del trabajo realizado.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Utiliza una planilla de cálculo para realizar el lanzamiento de un dado 40 veces. Luego, completa la tabla y responde: Puntuación

Frecuencia absoluta

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es par?, ¿cuál es la probabilidad de que salga par?, ¿se relacionan ambos valores? (Habilidad que desarrolla: usar herramientas, calcular e identificar).

EVALUACIÓN FORMATIVA Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: reconocer. Ítem 2: calcular.

Ítem 3: analizar, identificar y justificar. Ítem 4: calcular, identificar y justificar.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1 y 2, podría ocurrir que sus estudiantes no distingan todos los elementos del espacio muestral. Para ayudarlos, sugiérales que realicen un esquema o una tabla de doble entrada para representar todos los resultados posibles, o bien, con un diagrama de árbol. De esta forma podrán responder correctamente con mayor facilidad. • En el ítem 3, para evitar confusiones entre sus estudiantes, recuerde qué significa que los sucesos sean equiprobables. • En el ítem 4, recuérdeles a sus estudiantes el principio multiplicativo para determinar todos los casos posibles y con esto puede determinar la probabilidad pedida. Para determinar las posibles tenidas, pueden dibujar un diagrama de árbol en sus cuadernos. Al término de la evaluación formativa es fundamental que realice una revisión individual para que conozca las realidades de cada estudiante, y pueda corregirlas.

Frecuencia relativa

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando el número del dado es 6?, ¿cuál es la probabilidad de que salga 6?, ¿se relacionan ambos valores?

En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Identifica correctamente los sucesos equiprobables, justificando cada uno de sus pasos.

Identifica correctamente los sucesos equiprobables, sin justificar todos sus pasos.

Identifica y calcula correctamente las tenidas y la probabilidad, justificando cada uno de sus pasos.

Identifica y calcula correctamente las Calcula correctamente el número de tenidas y la probabilidad, sin justificar tenidas, pero confunde la probabilidad. todos sus pasos.

263

Unidad 5 – Datos y azar

Identifica erróneamente uno de los sucesos equiprobables, sin justificar todos sus pasos.

Por lograr Identifica erróneamente dos o más sucesos equiprobables, sin justificar sus pasos. Calcula erróneamente todas las tenidas y confunde la probabilidad.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 264

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

5. Se lanzan 3 monedas simultáneamente.

De refuerzo

a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño?

1. Describe los espacios muestrales en cada caso e indica su tamaño.

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo sellos?

a) Vania quiere ir al cine con un amigo y una amiga. Si tiene 4 amigos (Luis, Pablo, Hernán y José) y 3 amigas (Ana, Pía, Marta), ¿de cuántas formas puede ir acompañada? b) Carolina tiene una fiesta y quiere elegir con qué ropa irá. Si tiene 5 poleras (P1, P2, P3, P4, P5), 3 pantalones (T1, T2, T3) y 2 pares de zapatillas (Z1, Z2), ¿de cuántas maneras diferentes se podría vestir? c) Un equipo de fútbol debe elegir su ropa deportiva para el próximo año. Una empresa ofrece 4 marcas distintas de zapatos de fútbol (Z1, Z2, Z3, Z4), 2 poleras (P1, P2) y 3 pantalones (T1, T2, T3). ¿Cuántas combinaciones de ropa se pueden formar? d) Para mejorar la alimentación de niños y niñas, un jardín infantil ofrece para el almuerzo 2 platos distintos (A1, A2), 2 postres diferentes (P1, P2) y 2 tipos de jugos (J1, J2). ¿De cuántas maneras se puede formar un almuerzo en este jardín infantil? 2. Un dado de seis caras es lanzado. Calcula las siguientes probabilidades:

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras? e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más un sello? f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos? 6. Alicia tiene una caja con 15 dulces de chocolate, 12 dulces de miel y 18 dulces de anís. Si Alicia elige un dulce al azar, determina la probabilidad de que saque: a) un dulce de anís. b) un dulce de chocolate. c) un dulce de miel. d) un dulce que no sea de chocolate. e) un dulce que no sea de miel. f) un dulce que no sea de anís. g) un dulce que sea de miel o chocolate. h) un dulce que sea de anís o chocolate.

a) obtener un número impar. b) obtener un número mayor que 2.

De profundización

c) obtener un 3 ó 6.

1. Se lanzan 4 monedas simultáneamente. 3. Dos monedas son lanzadas simultáneamente. Lista todos los resultados posibles y determina la probabilidad de obtener:

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?

a) dos sellos.

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de una cara?

b) un sello y una cara.

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro sellos?

c) ningún sello.

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más tres sellos?

d) al menos un sello.

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

4. Una letra de la palabra DEMOCRACIA es elegida al azar. Determina la probabilidad de seleccionar: a) una M.

d) una R.

g) una D o E o M.

b) una O.

e) una A.

h) una S.

c) una C.

f) una I.

264

Unidad 5 – Datos y azar

a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño?

g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y dos sellos?

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 265

2. Se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y otro verde, y se multiplican sus puntuaciones. a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

d) Ω = {A1 P1 J1, A1 P1 J2, A1 P2 J1, A1 P2 J2, A2 P1 J1, A2 P1 J2, A2 P2 J1, A2 P2 J2}. Tamaño 8. 2. a)

1 2

2 3

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 3?

3. Cara: C, Sello: S. a) 0,25 b) 0,5

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar?

4. a) 10%

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo?

b) 10%

1 3

Ω = {CS, CC, SC, SS} c) 0,25 d) 0,75

c) 20%

d) 10%

e) 20%

f) 10% g) 30%

h) 0%

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 18? g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número al cuadrado? 3. Se lanza un dado y una moneda. a) ¿Cuál es el espacio muestral?, ¿cuál es su tamaño? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar en el dado? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello? d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda y un número par en el dado? e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello en la moneda y un número mayor que 2 en el dado?

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 264 Y 265 DE LA GUÍA DIDÁCTICA De refuerzo 1. a) Ω = {Luis Ana, Luis Pía, Luis Marta, Pablo Ana, Pablo Pía, Pablo Marta, Hernán Ana, Hernán Pía, Hernán Marta, José Ana, José Pía, José Marta}. Tamaño 12. b) Ω = {P1 T1 Z1, P1 T1 Z2, P1 T2 Z1, P1 T2 Z2, P1 T3 Z1, P1 T3 Z2, P2 T1 Z1, P2 T1 Z2, P2 T2 Z1, P2 T2 Z2, P2 T3 Z1, P2 T3 Z2, P3 T1 Z1, P3 T1 Z2, P3 T2 Z1, P3 T2 Z2, P3 T3 Z1, P3 T3 Z2, P4 T1 Z1, P4 T1 Z2, P4 T2 Z1, P4 T2 Z2, P4 T3 Z1, P4 T3 Z2, P5 T1 Z1, P5 T1 Z2, P5 T2 Z1, P5 T2 Z2, P5 T3 Z1, P5 T3 Z2,}. Tamaño 30.

5. Cara: C, Sello: S. a) Ω = {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}. Tamaño 8. 1 7 1 1 3 b) c) d) e) f) 8 8 8 2 8 6. a) 40% b) 33,3% c) 27% d) 67% e) 73,3% f) 60% g) 60% h) 73,3% De profundización 1. Cara: C, Sello: S. a) Ω = {CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS, SCSC, SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS}. Tamaño 16. b) 0,38

c) 0,69

d) 0,06

e) 0,94

f) 0,25

g) 0,38

2. a) Ω = {1 • 1, 1 • 2, 1 • 3, 1 • 4, 1 • 5, 1 • 6, 2 • 1, 2 • 2, 2 • 3, 2 • 4, 2 • 5, 2 • 6, 3 • 1, 3 • 2, 3 • 3, 3 • 4, 3 • 5, 3 • 6, 4 • 1, 4 • 2, 4 • 3, 4 • 4, 4 • 5, 4 • 6, 5 • 1, 5 • 2, 5 • 3, 5 • 4, 5 • 5, 5 • 6, 6 • 1, 6 • 2, 6 • 3, 6 • 4, 6 • 5, 6 • 6}. Tamaño: 36. b) 75%

c) 17%

d) 56%

e) 25%

f) 22%

g) 22%

3. Cara: C, Sello: S. a) Ω = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, S1, S2, S3, S4, S5, S6}. Tamaño 12. 1 1 1 b) c) d) 25% e) 2 2 3

c) Ω = {Z1 P1 T1, Z1 P1 T2, Z1 P1 T3, Z1 P2 T1, Z1 P2 T2, Z1 P2 T3, Z2 P1 T1, Z2 P1 T2, Z2 P1 T3, Z2 P2 T1, Z2 P2 T2, Z2 P2 T3, Z3 P1 T1, Z3 P1 T2, Z3 P1 T3, Z3 P2 T1, Z3 P2 T2, Z3 P2 T3, Z4 P1 T1, Z4 P1 T2, Z4 P1 T3, Z4 P2 T1, Z4 P2 T2, Z4 P2 T3}. Tamaño 24. 265

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 266

TEXTO DEL ESTUDIANTE 158 Y 159

Unidad 5

Buscando estrategias Loreto se está preparando para correr en una competencia anual de su colegio. Para ello, investigó sobre la vida de Felipe, el ganador del último año. La información que obtuvo es la siguiente: Tiempo en minutos que entrena diariamente Tiempo (minutos)

Horas que duerme diariamente

Edad de sus hermanos

57% de los días duerme 8 horas

Edad

150

10 8

100

200

Revisar • Para comprobar las interpretaciones de los gráficos 1 y 2, puedes utilizar calculadora cuando sea necesario. 1. Aplica la estrategia aprendida para resolver la siguiente situación. Álvaro necesita información sobre la frecuencia con la que leemos los chilenos. Para obtenerla, recurre a la “Encuesta de Consumo Cultural”, realizada a 600 personas mayores de 18 años por El Mercurio / Opina, en diciembre de 2009. De allí obtuvo la siguiente información: ¿Usted asiste a obras de teatro?

50 Lu ne s M art es M iér co les Ju ev es Vie rn es

Día Hermanos 7 horas (14% de los días) 10 horas (29% de los días)

¿Cuál o cuáles de estos gráficos le sirven a Loreto para su preparación física?

Los gráficos corresponden a aspectos de la vida de Felipe.

• ¿Qué debes encontrar? Seleccionar aquellos gráficos cuya información le sirva a Loreto.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Debemos interpretar cada gráfico y sacar conclusiones de ello.

Resolver • Interpretamos cada uno de los gráficos. En el gráfico 1, observamos que cada lunes, Felipe entrena 1 hora 40 minutos. Los martes, 2 horas con 5 minutos; los miércoles 2 horas y media; los jueves 3 horas con 20 minutos, y los viernes, 2 horas y media. El gráfico 2, nos dice que el 57% de los días de una semana, es decir 4 días, Felipe duerme 8 horas; el 29% de los días duerme 10 horas, que equivale a dos días; y un 14% de los días duerme 7 horas, es decir un día de la semana. El gráfico 3, nos dice que Felipe tiene 2 hermanos, uno de 10 y otro de 8 años, y una hermana de 5 años.

Responder

De 2 a 5 veces

150

Casi todos los días

400

1 vez

120

Una vez por semana

300

No recuerda en los últimos 12 meses

200 100

Asistencia al teatro (Nº veces)

Frecuencia (Nº)

• ¿Cuál o cuáles gráficos le sirven a Álvaro para conocer cada cuánto leemos los chilenos? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es el más simple?, ¿por qué? Ana está realizando un estudio comparativo sobre la deserción escolar en Chile a través de los años. Recurrió al estudio “Estadísticas de Educación, Cultura y Medios de Comunicación”, realizado por el Ministerio de Educación en el año 2008. Allí encontró lo siguiente: Alumnos matriculados en la educación regular (Incluye educación de adultos) Nº de alumnos 4 550 000 4 500 000 4 450 000 4 400 000 4 350 000 4 300 000 4 250 000 2003

2004

2005

Alumnos matriculados en la educación regular por sexo en el año 2007 Nº de alumnos

2006

2007

Año

1 000 000 900 000 800 000 700 000 600 000 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000 0

Región I II III Hombres

V VI VII VIII Mujeres

XII

R.M.

• ¿Cuál gráfico le sirve a Ana para averiguar sobre la deserción escolar?

Datos y azar

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

• Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos.

Buscando estrategias

Unidad 5 – Datos y azar

Período mayor

158 Unidad 5

266

Una vez al mes

No ha asistido en los últimos 12 meses

• Los gráficos 1 y 2 le sirven a Loreto para imitar a Felipe y comenzar a entrenar. En cambio, la información obtenida del gráfico 3 no es relevante para su preparación.

Todos los días

Nº de personas

500

Comprender • ¿Qué sabes del problema?

¿Usted lee libros?

6 o más veces

Nº de personas

159

Ítem 1: analizar, aplicar y seleccionar. Ítems 2 y 3: analizar, aplicar, seleccionar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 267

Es importante que mencione a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de distintas maneras. La estrategia presentada en el Texto es solo una forma de dar solución a las preguntas planteadas. El procedimiento detallado y ordenado es fundamental en la resolución de problemas, ya que permite razonar sobre lo que estamos realizando y además es menos probable cometer errores.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO A través del problema presentado en el Texto se pretende que sus estudiantes apliquen parte de los contenidos aprendidos en la Unidad y, además, desarrollen habilidades propias de la resolución de problemas. El problema planteado en el Texto tiene como objetivo que los alumnos y alumnas aprendan a leer e interpretar información proveniente de diversos tipos de gráficos. Para ello, se muestra la información que proporciona cada uno de los gráficos y se determina de cuáles se pueden extraer conclusiones relevantes, según el problema planteado, en este caso, obtener información sobre la vida de Felipe, en cuanto a sus actividades cotidianas, dado que fue el ganador de la última competencia del colegio donde también está Loreto. Con este análisis se puede determinar que son relevantes los gráficos que están relacionados con el tiempo de entrenamiento diario y las horas que duerme diariamente. Sin embargo, el gráfico sobre las edades de los hermanos de Felipe no proporciona información relevante para que Loreto se prepare para correr en la competencia de su colegio.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Los robos en un supermercado del país se han triplicado entre los años 2008 y 2009. ¿Cuál de los siguientes gráficos permite extraer información al respecto? Robos en supermercado entre el 2008 y 2009 5000

Robos en supermercado entre el 2008 y 2009

75% 2008 25%

4000 3000 2000

2009 75%

25%

1000 0

2008

2009

(Habilidades que desarrollan: aplicar, analizar y verificar).

En proceso, logro parcial

Comprensión del problema o situación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• • • •

Comprensión de conceptos

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona conceptos con conocimiento y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Verificación de resultados • Chequea la racionalidad de los y/o progreso resultados. • Reconoce sin dar argumentos.

Copia el problema. Identifica palabras clave. Interpreta mal parte del problema. Tiene alguna idea acerca de la respuesta.

No comprende

• No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

267

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 09-08-11 13:46 Página 268

TEXTO DEL ESTUDIANTE 160 Y 161

Unidad 5

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos.

NACIONAL

Algunas de las principales tendencias de Internet en Chile

DATOS

Internet tiene cada vez más presencia en la vida de todos. Considerando esto, fue que la empresa AyerViernes realizó el estudio “Soy Digital 2010”, sobre el consumo de Internet en el país y cómo este ha cambiado. El reporte concluyó que los usuarios se conectan principalmente por entretención, siendo sus principales actividades revisar correos electrónicos (93%), buscar información (91%) y leer noticias (81%). Otra tendencia, es que el 80,2% de los usuarios ha realizado una compra online, lo que confirma que es un medio válido para adquirir algo, en su mayoría un artículo tecnológico (65,4%). También se destaca que el 41,4% cree que la publicidad es invasiva. Un desafío pendiente para las empresas que prestan servicios online tiene relación con crear espacios donde se pueda escuchar a los clientes para saber qué ofrecer, cómo y cuándo.

Síntesis

Conexiones

Para finalizar

AZAR

TABLAS DE

ESPACIO

PRINCIPIO

FRECUENCIA

MUESTRAL

MULTIPLICATIVO

DATOS NO

DATOS

AGRUPADOS

PROBABILIDAD

SUCESOS EQUIPROBABLES

MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA

REGLA DE LAPLACE

Fuente: Adaptado de www.emol.com/noticias/tecnologia/detalle/detallenoticias.asp?idnoticia=392589 Publicado el miércoles 6 de enero de 2010.

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Hagan un listado de las 5 actividades que consideran principales a la hora de conectarse a Internet. Luego, realicen una encuesta considerando una muestra de 30 personas, que respondan: ¿cuál de estas 5 actividades son las que más utilizas cuando te conectas a Internet? 2. Organicen los resultados obtenidos en una tabla, construyan un gráfico y confronten sus resultados con los del estudio “Soy Digital 2010”. 3. ¿Piensan que el estudio “Soy Digital 2010” se realizó mediante censo o muestreo? Justifiquen sus respuestas.

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cómo calculas la media aritmética para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo. 3. ¿Cómo determinas la moda para datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo. 4. ¿Qué diferencias observas entre el Censo y el muestreo?, ¿qué utilidad tienen? 5. ¿Qué aspectos debes considerar para el diseño de una encuesta? Realiza una encuesta, en tu cuaderno, sobre el tema que tú quieras.

Evaluamos nuestro trabajo 1. Dibuja una tabla con cada integrante de tu grupo, incluyéndote a ti mismo y copia en ella los siguientes indicadores:

6. ¿Cuándo los sucesos son equiprobables? Da un ejemplo. 7. ¿Cómo puedes obtener la cantidad de elementos de un espacio muestral? Da un ejemplo.

• Respeté/respetó las opiniones de los demás integrantes. • Cumplí/cumplió con las tareas que se comprometió. • Hice/hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

8. ¿Cómo determinas la probabilidad de ocurrencia del evento?, ¿de qué formas se puede representar? Da un ejemplo.

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

160 Unidad 5

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

Datos y azar

161

Síntesis Recordar y conectar.

Conectar, aplicar y analizar.

268

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 269

CONEXIONES es una sección del Texto que tiene como objetivo relacionar los contenidos aprendidos en la Unidad con su aplicación real. Para ello se presenta una actividad relacionada con una encuesta que se realizó sobre los principales usos de Internet en Chile.

TÉCNICAS DE ESTUDIO

Internet hoy en día es un medio que tiene innumerables utilidades, que hace unos años atrás eran impensadas. Podemos comprar, informarnos de lo que sucede en todo el mundo, escuchar música, ver videos, comunicarnos con otras personas, etc.

Para verificar que el esquema realizado por sus estudiantes sobre la Unidad está completo, haga usted uno y revísenlo en conjunto. Luego, pídales que analicen las siguientes preguntas:

Sin embargo, en Internet también es posible encontrarse con sitios poco confiables que entregan información errónea, o sitios peligrosos que se encargan de realizar actividades ilícitas y muy reprochables. Esta instancia es una buena oportunidad para conversar con sus estudiantes sobre los usos de Internet y los cuidados que deben tener cuando la utilicen.

• • • • •

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo

1. Con relación a Internet y los usos que le damos:

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, responde las siguientes preguntas:

a) b) c) d) e)

¿Cuáles son las actividades que comúnmente haces? ¿Utilizas Internet para tus tareas escolares?, ¿para cuáles? ¿Cuáles son los sitios que sueles visitar frecuentemente para tus tareas? ¿Cómo podrías incentivar el uso seguro de Internet? ¿Realizas actividades de ocio usando Internet?, ¿cuáles?, ¿cuántas horas le dedicas diariamente? f) ¿Cuáles crees que son las ventajas y desventajas de Internet? (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y justificar).

269

Unidad 5 – Datos y azar

A continuación, proponemos otra forma de sintetizar los conocimientos trabajados en esta Unidad: el esquema.

¿Es correcta la idea principal? ¿Son correctas las ideas secundarias?, ¿falta alguna? ¿Las definiciones son correctas?, ¿están completas?, ¿qué falta? ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna? ¿Los ejemplos son adecuados?

1. ¿Para qué sirven los gráficos y las tablas de frecuencias? 2. ¿Qué sucede si la cantidad de datos obtenidos en un estudio son muchos o tienen un rango muy amplio?, ¿qué conviene en esos casos? Da un ejemplo. 3. ¿Cómo puedes registrar la información recopilada de una muestra de datos? 4. ¿Qué frecuencias conoces? Explica cada una de ellas. 5. ¿Cómo se calcula la moda y la media aritmética con datos agrupados en intervalos? Da un ejemplo para cada caso. 6. ¿En qué consiste el principio multiplicativo?, ¿para qué sirve? 7. ¿Qué diferencia existe entre frecuencia relativa y probabilidad? 8. ¿Qué significa que los sucesos sean equiprobables? Da un ejemplo. 9. ¿En qué consiste la regla de Laplace?, ¿para qué sirve? Da un ejemplo. (Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y justificar).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 270

TEXTO DEL ESTUDIANTE 162 Y 163

¿Qué aprendí?

Unidad 5

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. La cardinalidad del espacio muestral del experimento “lanzar cuatro monedas simultáneamente” es: A. B. C. D.

2 6 8 16

30% 70% 3% 9%

3. Se ha determinado la masa de 100 estudiantes de un colegio, obteniéndose la tabla adjunta. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene una masa menor de 71 kg? A. B. C. D.

7% 20% 70% 93%

4. De la situación anterior, ¿qué porcentaje de estudiantes pesa más de 60 kg? A. B. C. D.

2. En una caja hay 7 bolitas rojas, 10 negras, 9 amarillas y 4 azules. Si se extrae una bolita, sin mirar, la probabilidad de que sea amarilla es: A. B. C. D.

9. El siguiente gráfico, corresponde a una encuesta realizada por el Consejo Nacional de Televisión, en el año 2009.

46 - 50

Nº de estudiantes 4

51 - 55

56 - 60

61 - 65

66 - 70

71 - 75

76 - 80

Masas (kg)

28% 45% 55% 93%

5. De la tabla del ítem 3, la frecuencia absoluta acumulada en el intervalo 56 - 60, corresponde a: A. 45 B. 30 C. 15 D. 19 6. De tabla del ítem 3, ¿qué clase tiene la probabilidad 0,2? A. B. C. D.

51 - 55 66 - 70 71 - 75 76 - 80

7. De la tabla del ítem 3, el valor aproximado de la moda corresponde a: A. B. C. D.

58 kg 59,6 kg 61,6 kg 60,5 kg

8. De la tabla del ítem 3, la media aritmética es: A. B. C. D.

4,11 kg 63 kg 58 kg 61,6 kg

¿Con qué frecuencia ve TV abierta chilena? Hombres (2419 en total)

Porcentaje 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00%

Mujeres (2589 en total) Todos los días 5-6 días a la semana 3-4 días a la semana 1-2 días a la semana Menos de 1 vez a la semana Nunca o casi nunca No sabe / no contesta Frecuencia (TV)

• ¿Cuántas personas ven TV abierta 5 días a la semana, o más?, ¿y los que ven todos los días?, ¿qué puedes concluir? Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Construcción e interpretación de tablas de frecuencia para datos agrupados Media aritmética y moda para datos agrupados Censo y muestreo Análisis de encuestas Espacio muestral y principio multiplicativo Sucesos equiprobables y regla de Laplace Resolución de problemas

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 131 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

162 Unidad 5

Datos y azar

163

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítem 1: calcular. Ítem 2: identificar. Ítem 3: analizar. Ítems 4 y 5: analizar e identificar. 270

Unidad 5 – Datos y azar

Ítem 6: analizar e identificar. Ítems 7 y 8: calcular. Ítem 9: analizar, interpretar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 271

EVALUACIÓN SUMATIVA

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

En estas páginas se presenta la evaluación sumativa ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Datos y Azar, y con esta información seguir determinadas líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta Unidad.

• En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las alumnas es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, así se podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En el ítem 9, podría ocurrir que algunos de sus alumnos y alumnas presenten dificultades para interpretar la información que entrega el gráfico. Si es necesario resuelva sus dudas de manera individual, para que puedan responder correctamente las preguntas planteadas. • Una vez terminada la actividad, permítales que revisen sus respuestas con dos o tres compañeros o compañeras y, luego, que lleguen a una puesta en común. Podría preguntarles qué información adicional pueden extraer del gráfico del ítem 9 y que lo discutan en conjunto.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 9. Ítem

Completamente logrado

Interpreta correctamente la información que entrega el gráfico, justificando cada uno de sus pasos.

271

Unidad 5 – Datos y azar

Logrado Interpreta correctamente la información que entrega el gráfico, sin justificar cada uno de sus pasos.

Medianamente logrado Interpreta erróneamente la información que entrega el gráfico en una de las preguntas, sin justificar cada uno de sus pasos.

Por lograr Interpreta erróneamente la información que entrega el gráfico en cada una de las preguntas, sin justificar sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 272

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

4. Si se lanzan dos dados simultáneamente y se suman sus puntuaciones:

De refuerzo 1. La siguiente tabla entrega los resultados de una encuesta realizada a un grupo de personas de distintos lugares del país sobre los noticieros en la televisión abierta. Las respuestas a la pregunta ¿qué noticiero ve a las 21.00 horas?, son las siguientes: Noticieros

Noticias TV

Informa TV

Al día TV

Hoy TV

Frecuencia

480

600

360

960

a) Organiza la información anterior en la siguiente tabla de frecuencias. Noticiero

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

a) b) c) d) e)

¿cuál el espacio muestral? ¿cuál es la probabilidad de obtener suma impar? ¿cuál es la probabilidad de obtener suma mayor que 10? ¿cuál es la probabilidad de obtener suma menor que 6? ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea un cuadrado perfecto?

5. Una caja contiene 7 tarjetas verdes, 8 tarjetas azules y 9 tarjetas amarillas. Si se extrae una tarjeta al azar, calcula la probabilidad de: a) obtener una tarjeta azul. b) obtener una tarjeta amarilla. c) obtener una tarjeta verde. 6. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de amigos que cada integrante de Primero Medio de un colegio declaró tener:

Noticias TV Informa TV

28 16 27 16

Al día TV Hoy TV b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas? c) ¿Cuál es el noticiero con mayor audiencia?, ¿cuál es el noticiero menos visto? d) Si una de las personas encuestadas es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea Informa TV? e) Si una de las personas encuestadas es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea Noticias TV?

12 18 22 17

15 5 28 18

20 6 1 14

12 8 26 13

7 11 2 20

1 13 3 10

3 14 5 9

5 21 4 1

6 15 11 27

a) Organiza los datos en la siguiente tabla de frecuencias. Agrúpalos en 3 intervalos, partiendo de 1 - 10. Número de amigos

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada

2. Daniela debe elegir bocadillos dulces para ofrecer el día de su matrimonio. Si una empresa de banquetes le ofrece 5 tipos de postres, 6 tipos de torta y 8 tipos de fruta, ¿cuántas opciones tiene de menú dulce? 3. Una letra de la palabra ALEATORIO es elegida al azar. Determina la probabilidad de seleccionar: a) b) c) d)

272

una A. una E. una O. una R.

Unidad 5 – Datos y azar

e) una T. f) una I. g) una L.

b) ¿Cuántas personas tienen menos de 21 amigos? c) ¿Qué porcentaje de personas tiene entre 11 y 20 amigos? d) Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 273

De profundización 1. En una fábrica de productos congelados, el tamaño de los camarones se divide en tres categorías: small, medium y large. Se registró el tamaño (en cm) de algunos camarones. Los resultados obtenidos aparecen a continuación. 35 39 37 23 31 40 21 39 44 26 36 40 38 25 33 41 20 30 45 28 37 41 35 27 35 42 22 31 46 29 38 42 32 29 37 43 24 32 47 22 42 30 44 34 47 36 41 28 32 26 45 31 45 32 43 37 42 29 33 24 47 32 46 33 35 31 46 27 34 26

2. Patricia tiene un bautizo y debe elegir con qué ropa irá. Si tiene 4 vestidos, 6 pañuelos, 5 pares de zapatos y 3 carteras, ¿de cuántas maneras diferentes se podría vestir? 3. Los números del 1 al 30 son escritos en tarjetas. Las 30 tarjetas son mezcladas y colocadas hacia abajo. Una tarjeta es elegida al azar. Determina la probabilidad de que la tarjeta elegida sea: a) b) c) d) e) f)

impar. mayor que 22. menor que 14. divisor de 30. primo. cuadrado perfecto.

40 33 47 34 36 38 43 22 35 29 33 47 21 37 42 35 40 24 39 44 34 47 23 38 43 36 41 25 30 45 a) Organiza estos datos en la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Categoría

Tamaño (cm)

Small

20 - 29

Medium

30 - 39

Large

40 - 49

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada

b) ¿Cuántos camarones fueron testeados? c) ¿Cuántos camarones miden más de 29 cm? d) ¿Cuántos camarones miden entre 20 y 39 cm? e) Calcula e interpreta la media aritmética de los datos agrupados. f) Calcula la moda de los datos agrupados. g) Si se elige un camarón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida entre 30 cm y 39 cm? h) Si se elige un camarón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida entre 30 cm y 49 cm?

273

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 274

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 272 Y 273 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

5. a) 0,33

De refuerzo

6. a)

1. a)

b) c) d) e)

Noticiero

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

Noticias TV

480

0,20

Informa TV

600

1080

0,25

0,45

Al día TV

360

1440

0,15

0,60

Hoy TV

960

2400

0,40

2400 personas. Hoy TV y Al día TV, respectivamente. 25% 20%

2. 240 opciones. 3. a) b) c) d)

22,2% 11,1% 22,2% 11,1%

e) 11,1% f) 11,1% g) 11,1%

4. a) Ω = {1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, 1 + 4, 1 + 5, 1 + 6, 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3, 2 + 4, 2 + 5, 2 + 6, 3 + 1, 3 + 2, 3 + 3, 3 + 4, 3 + 5, 3 + 6, 4 + 1, 4 + 2, 4 + 3, 4 + 4, 4 + 5, 4 + 6, 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4, 5 + 5, 5 + 6, 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, 6 + 4, 6 + 5, 6 + 6} b)

1 2

1 12

5 18

7 36

274

Unidad 5 – Datos y azar

b) 0,38

Número de amigos

c) 0,29

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada 16 0,4 0,4

1 - 10

5,5

11 - 20

15,5

0,425

0,825

21 - 30

25,5

0,175

b) 33

c) 42,5%

d) x– = 12,75; Mo = 1

De profundización 1. a) Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa relativa acumulada acumulada

Categoría

Tamaño (cm)

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Small

20 - 29

24,5

0,24

Medium

30 - 39

34,5

0,43

0,67

Large

40 - 49

44,5

100

0,33

b) c) d) e) f) g) h)

100 camarones. 76 camarones. 67 camarones. 35,4 cm 35,9 cm 43% 76%

2. 360 maneras. 3. a) 0,5 b) 0,266 c) 0,433

d) 0,27 e) 0,333 f) 0,17

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 275

EVALUACIÓN FINAL En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es determinar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad Datos y azar. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 40 minutos. Usted puede variarlo de acuerdo al ritmo de trabajo de sus estudiantes. Para facilitar la evaluación se sugiere aplicar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando, y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En la segunda parte se podrán presentar las siguientes dificultades: Para completar la tabla con las frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas, permita que sus estudiantes trabajen con números decimales o fracciones, según lo que les resulte más fácil. Aclare a sus estudiantes que deben responder las preguntas planteadas con base en los datos agrupados en intervalos en la tabla de frecuencias. Enfatice esto, especialmente para el cálculo de la moda y la media aritmética.

Analizar, identificar, recordar y calcular.

2 puntos cada una

16 puntos

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 276 Y 277

Aplicar, interpretar, representar, calcular y analizar.

15 puntos cada una

30 puntos

I. 1. B

Puntaje total de la evaluación: 46 puntos Los ejercicios presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere:

II. 9. a)

2. A

4. B

5. A

6. C

7. C

8. D

Horas de estudio

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 90

62 67 72 77 82 87

17 15 17 13 20 18

17 32 49 62 82 100

0,17 0,15 0,17 0,13 0,20 0,18

0,17 0,32 0,49 0,62 0,82 1

d) 18%

e) 32%

Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, la información que entregan las respuestas de los y las estudiantes es limitada, ya que sin el desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen (pueden ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras). Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple, se

3. D

b) 32

c) 32

f) 74,9 h

g) 83,1 h

10. Actividad exploratoria.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus alumnos y alumnas en el ítem II. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Representa e interpreta correctamente las tablas y las preguntas, justificando cada uno de sus pasos.

Representa e interpreta correctamente las tablas y las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamente una de las tablas y responde incorrectamente dos o tres preguntas. Además, no justifica todos sus pasos.

Representa e interpreta erróneamente las dos tablas y responde incorrectamente las preguntas. Además, no justifica sus pasos.

275

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 276

EVALUACIÓN

5. Se elige al azar una letra de la palabra EXPERIMENTO, ¿cuál es la probabilidad de que sea E?

Datos y azar Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

1 3

1 9

9 11

Nota:

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. 1. Se ha lanzado un dado 120 veces obteniéndose 18 veces 4. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las veces que salió 4? A. B. C. D.

3 11

6. La siguiente tabla muestra la cantidad de horas que los estudiantes de 8º Básico de un colegio de Valdivia dedican a estudiar semanalmente. ¿Qué porcentaje de estudiantes estudia menos de 10 horas semanales?

0,17 0,15 0,22 0,03

2. La suma de todas las frecuencias relativas de cualquier conjunto de datos es igual a: A. 1

A. B. C. D.

Horas

Frecuencia absoluta

2-5

6-9

10 - 13

14 - 17

15% 30% 47,5% 85%

B. El número total de observaciones. C.

7. Según la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es la moda?

1 100

D. 100% 3. La probabilidad de que salga un 6 al lanzar un dado es: A.

5 6

1 36

1 2

1 6

4. Una caja contiene 10 fichas blancas, 20 fichas azules y 30 fichas rojas. Si se saca una ficha al azar de esta caja, ¿cuál es la probabilidad de que no sea azul? A. 17% B. 67% 276

Unidad 5 – Datos y azar

A. B. C. D.

15 h 11,5 h 10,75 h 9,5 h

8. Según la tabla de la pregunta anterior, ¿cuál es la media aritmética? A. B. C. D.

11,5 h 10,75 h 10 h 9,5 h

C. 33,3% D. 50% Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U5 (PAG 226-277)_Maquetación 1 04-08-11 19:01 Página 277

II. Resuelve los siguientes ejercicios, anotando los pasos de resolución en cada caso. 9. Una universidad está interesada en conocer cuántas horas al mes los alumnos de medicina destinan a estudiar. Para ello tomaron una muestra de 100 estudiantes de la carrera. Las respuestas obtenidas se encuentran en la siguiente tabla. 63 89 78 71 77 68 63 78 70 79

70 84 72 67 62 79 67 61 64 86

65 89 83 64 84 83 82 77 60 67

89 61 88 64 66 86 73 73 60 86

60 73 68 78 84 80 68 70 84 86

81 64 70 68 86 63 78 76 85 72

75 84 86 80 87 67 66 83 61 75

72 71 72 60 85 83 86 72 61 80

60 83 73 82 87 86 83 84 68 79

67 67 70 77 90 89 81 72 69 84

f) Calcula e interpreta la media aritmética de los datos agrupados en intervalos. g) Calcula e interpreta la moda de los datos agrupados en intervalos. 10. Utiliza dos dados para realizar lanzamientos de estos simultáneamente 50 veces y, luego, suma las puntuaciones. Completa la tabla y responde. Resultado de la suma

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa cuando los números de ambos dados suman 10? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea 10?

a) Completa la siguiente tabla. Horas de estudio

Marca de clase

Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia absoluta relativa absoluta relativa acumulada acumulada

c) ¿Qué relación tiene la frecuencia relativa cuando la suma de las puntuaciones es 6, y la probabilidad de que la suma sea 6?, ¿y qué diferencias?

60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 90 b) ¿Cuántas personas estudian entre 65 y 74 horas al mes? c) ¿Cuántas personas estudian menos de 70 horas al mes? d) Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estudie entre 85 y 90 horas al mes? e) Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estudie menos de 70 horas al mes? 277

Unidad 5 – Datos y azar

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 278

Funciones y relaciones proporcionales

Unidad

PROPÓSITO DE LA UNIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Esta Unidad está orientada al estudio de las funciones en diversos contextos y al reconocimiento de sus elementos constituyentes. Se pretende que los y las estudiantes utilicen sus conocimientos previos sobre lenguaje algebraico, ecuaciones y su representación en situaciones diversas y significativas, así como también, en actividades que involucran los conceptos de razón y proporción.

Ecuaciones representan

Relaciones entre dos variables

En la segunda parte de la Unidad se estudian situaciones que incluyen magnitudes proporcionales y no proporcionales, y relaciones de proporcionalidad directa e inversa como una función.

pueden ser

Funciones

El objetivo de esta Unidad es que los y las estudiantes planteen y analicen algunas funciones sencillas, comparen variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional, y que representen como una función relaciones de proporcionalidad directa e inversa mediante tablas, gráficos, algebraicamente, o bien usando un software gráfico.

se distinguen

Dominio

sus valores son

Variables independientes (x)

Variables dependientes (y)

sus valores son

Recorrido

pueden ser

Variaciones proporcionales

Variaciones no proporcionales

pueden ser

278

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Proporcionalidad directa

Proporcionalidad inversa

se representa

Función y = kx

k Función y = x Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 279

RELACIÓN ENTRE LOS CMO TRATADOS EN LA UNIDAD Y LOS DE OTROS AÑOS 7º básico

8º básico

1º medio

2º medio

Traducción de expresiones algebraicas en lenguaje natural a lenguaje simbólico y viceversa.

Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado.

Reconocimiento de sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o fenómenos.

Análisis de las distintas representaciones de la función lineal, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa.

Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, en contextos variados, representación en el plano cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones.

Resolución de problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita, interpretación de la ecuación como la representación matemática del problema y de la solución en términos del contexto.

Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.

Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional.

Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas. Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín; análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

Uso de software gráfico en la interpretación de funciones exponenciales, logarítmicas y raíz cuadrada, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.

Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico.

Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

279

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 280

PROPUESTA DE PLANIFICACIÓN DE LA UNIDAD

CMO

Contenidos

Planteamiento de • Situaciones con ecuaciones que dos variables. representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

Aprendizajes esperados • Plantear ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos contextos. • Analizar situaciones a través de tablas y gráficos.

Actividades asociadas En el Texto De exploración: página 168. De construcción de conceptos: páginas 169, 170 y 171. De consolidación: páginas 196 y 197. En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 299 y 301.

Indicadores de evaluación • Plantean ecuaciones que representan diversas situaciones o fenómenos de la vida cotidiana. • Resuelven ecuaciones que representan la relación entre dos variables. • Analizan situaciones cotidianas a través de tablas y gráficos.

De profundización: página 301.

• Noción de Función. • Variables dependientes e independientes. • Dominio y recorrido.

Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos

• Variaciones proporcionales y no proporcionales. • Relación de proporcionalidad directa.

280

• Reconocer y representar funciones en diversos contextos. • Distinguir entre variables dependientes e independientes en una función. • Identificar dominio y recorrido de una función. • Utilizar notación de funciones.

Tiempo estimado: 6 a 7 semanas Tipos de Recursos evaluación didácticos Diagnóstica: páginas 166 y 167 del Texto del Estudiante. Formativa: páginas 181 y 193 del Texto del Estudiante. Sumativa: páginas 198 y 199 del Texto del Estudiante, y 338 y 339 de la Guía Didáctica del Docente.

• Palitos de fósforo. • Computador con acceso a Internet. • Regla. • Computador con programa Excel.

En el Texto De exploración: páginas 172, 174 y 178.

• Reconocen funciones en contextos diversos y significativos. • Distinguen entre De construcción de variables dependientes conceptos: páginas 173, 175, 176, 177, 179 y 180. e independientes en funciones. De consolidación: • Identifican el dominio páginas 196 y 197. y recorrido de una función. En la Guía Didáctica • De refuerzo: páginas 303, Usan e interpretan la notación de funciones. 305, 307 y 309. De profundización: páginas 305, 307 y 309.

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

• Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional. • Reconocer y representar, como una función,

En el Texto De exploración: páginas 182, 184 y 188.

• Diferencian y analizan variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional. De construcción de conceptos: páginas 183, • Analizan, usando un software gráfico, 185, 186, 187, 189, 190, Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 281

CMO

Contenidos

variables, en contextos • Relación de significativos. proporcionalidad inversa. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico.

Aprendizajes esperados situaciones que involucran relaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Actividades asociadas 191 y 192. De consolidación: páginas 196 y 197.

• Analizar situaciones, sus gráficos o tablas, asociadas a variaciones proporcionales y no proporcionales, utilizando un software gráfico en algunos casos.

En la Guía Didáctica De refuerzo: páginas 315, 317, 319, 321 y 323.

• Resolver problemas que involucran planteamiento y análisis de funciones.

En el Texto De exploración: página 194. De construcción de conceptos: página 195. De consolidación: páginas 196 y 197.

De profundización: páginas 317, 319, 321 y 323.

Indicadores de evaluación

Tipos de evaluación

Recursos didácticos

situaciones que representan magnitudes proporcionales y no proporcionales. • Representan como una función relaciones de proporcionalidad directa e inversa. • Representan, en gráficos y tablas, relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables. • Resuelven problemas que involucran la relación de proporcionalidad directa e inversa.

Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […].

• Buscando estrategias.

• Resuelven problemas que involucran el planteamiento de funciones y su análisis.

En la Guía Didáctica De refuerzo: página 329. De profundización: página 329.

281

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 282

ERRORES FRECUENTES Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Si los conocimientos sobre lenguaje algebraico, planteamiento y resolución de ecuaciones son insuficientes, pueden producir complicaciones en el aprendizaje de las funciones y relaciones proporcionales.

• Por medio de la evaluación diagnóstica podrá conocer los conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la Unidad. • Para evitar estos errores en el desarrollo de la Unidad es conveniente que, después de la evaluación diagnóstica, realice un repaso de los contenidos donde detectó errores o confusiones en sus alumnos y alumnas.

En la representación algebraica de situaciones de la vida cotidiana y en la resolución de ecuaciones pueden aparecer los siguientes inconvenientes:

• Se sugiere que junto con sus alumnos y alumnas analicen, paso a paso, la situación, realizando una lectura atenta del enunciado, para determinar cuáles son los datos y cuál sería la incógnita o pregunta del problema. • Para que sus estudiantes con más dificultades puedan plantear y resolver ecuaciones, es conveniente que comience con problemas sencillos y, luego, aumente la dificultad gradualmente. • Es aconsejable que recuerde a sus estudiantes lo siguiente: si a ambos lados de una igualdad se suma, resta, multiplica o divide un mismo número, la igualdad se mantiene. Por ejemplo: 2x + 15 = 25 / – 15 2x + 15 – 15 = 25 – 15 2x = 10 /:2 2x = 10 2 2 x=5

• No se identifica la incógnita o término desconocido, planteando de forma incorrecta la ecuación correspondiente. • Suman, restan, multiplican o dividen expresiones solo a un lado de la igualdad, obteniedo un resultado erróneo.

En el reconocimiento de una función y en la distinción de sus variables, es posible que surjan los siguientes errores: • Identificación incorrecta de la función que modela una situción. • Confusión entre las variables; la dependiente, con la independiente y viceversa.

En la identificación del dominio y recorrido es posible que los y las estudiantes confundan el dominio con el recorrido de una función, y viceversa.

282

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

• Es importante explicar el concepto de función, analizar ejemplos y las variables involucradas, comenzando con situaciones sencillas y, luego, con las más complejas. • Se sugiere que para reconocer la variable dependiente e independiente en una función, pídales que anoten los valores en una tabla y, luego, puede hacer preguntas como: ¿qué variables están en juego?, ¿qué datos tengo?, ¿qué valores puede tomar x e y?, ¿qué caracteriza a estos valores?, ¿de qué depende el valor de la variable y? • Para que los alumnos y alumnas identifiquen y diferencien entre el dominio y recorrido de una función, es conveniente analizar junto con sus estudiantes primero la variable independiente y la dependiente de funciones concretas sencillas y, a partir del análisis, determinar el dominio y recorrido en estas funciones.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 283

En las situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, es posible que surjan los siguientes errores: • No se relaciona que en las variaciones proporcionales el valor de la razón entre las variables sea un número constante. • En ejemplos relacionados con la visualización, es posible que se guíen por la percepción en vez de analizar matemáticamente las imágenes.

• Es conveniente que guíe a sus estudiantes para que escriban las razones sin cometer errores y, luego, calculen el valor de la razón correspondiente. • Si es necesario, permítales utilizar instrumentos, como la regla, para que midan las figuras en cuestión y, a partir de los resultados obtenidos, analicen si representan magnitudes proporcionales o no.

Ejemplos: Monomios

Binomios

Trinomios

Polinomios

Conceptos algebraicos básicos • Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más variables literales.

2x + y

2x + y – z

x + y + z + 3p

5a5b2

4a – 2b

9x2 – 12xyz + 4y2

4x7 – xy + y2

rn + 2

4x2 – y2

27a3 + bc + d5

3 2 a3 21x + – s + 2t 7 2

• En cada término algebraico se distinguen el coeficiente numérico (que incluye el signo y constantes matemáticas) y la parte literal (que incorpora variables). • Se define el grado como la suma de los exponentes de cada factor de la parte literal. Ejemplos: Término algebraico

Coeficiente numérico

Parte literal

Grado

a3b2c

3+2+1=6

5 π 7

x2y6

2+6=8

5 5 πr 7 6x2y6

• El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los grados de los términos que la componen. Ejemplo: el grado del trinomio 3x 4 + 5x 4y 6 – y 9 es 10, ya que los términos tienen grados 4, 10 y 9, respectivamente. Valoración de expresiones algebraicas Valorar una expresión algebraica consiste en asignar un valor numérico a cada variable que aparece en la expresión y resolver las operaciones aritméticas que correspondan para obtener el valor numérico final de la expresión. Ejemplo:

Expresiones algebraicas • Una expresión algebraica es la suma de dos o más términos algebraicos.

Al remplazar x = –2, en 5x 2 + 3x 3 – 4x 4 – x 5, resulta:

• De acuerdo con el número de términos que componen una expresión algebraica, estas se clasifican en: monomios (un término) y multinomios. A los multinomios con dos términos se les llama binomios, y a los de tres términos, trinomios. • Si los exponentes de la parte literal son todos positivos, llamaremos a la expresión algebraica polinomio.

5x 2 + 3x 3 – 4x 4 – x 5 = 5 • (–2)2 + 3 • (–2)3 – 4 • (–2)4 – (–2)5 = 5 • 4 + 3 • (–8) – 4 • 16 – (–32) = 20 – 24 – 64 + 32 = –36 Luego, el valor numérico de 5x 2 + 3x 3 – 4x 4 – x 5 para x = –2 es –36.

283

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 284

Ecuaciones de primer grado • Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que hay una o más variables desconocidas, llamadas incógnitas. Ejemplos: 2x + 6 = 1 (una incógnita)

x + 2y = –3 (dos incógnitas)

x 1 – =2 3 5 5x – 3 = 30

/+3

5x – 3 + 3 = 30 + 3

• El grado de una ecuación con una incógnita corresponde al mayor exponente de la incógnita. Ejemplos:

/ multiplicar por el m.c.m. (3,5) que es 15

5x = 33

/:5

• Para resolver ecuaciones literales se utilizan los mismos procedimientos de resolución para ecuaciones comunes, pero es fundamental identificar claramente qué variables son las incógnitas de la ecuación.

Ecuación

Incógnita

Grado de una ecuación

3x + 2 = 5x

1er grado

Ejemplo:

y 3 + 2y – 1 = 3y 2

3er grado

Al resolver la ecuación 4x + 2b = 3a, considerando x como la incógnita, se tiene: 4x + 2b = 3a

• Resolver una ecuación es determinar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la igualdad. A estos valores se les llama soluciones de la ecuación. Para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita utilizando las propiedades de la igualdad. Ejemplo:

/+8

3x – 8 + 8 = 16 + 8 3x = 24 3x 24 3 = 3

/:3

x=8 Para verificar que la solución encontrada es correcta, basta con remplazar x = 8 en la ecuación original. Es decir: 3 • 8 – 8 = 24 – 8 = 16. Como la igualdad se cumple, la solución obtenida es correcta. • Para resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios se puede transformar la ecuación en una con coeficientes enteros, multiplicando cada miembro de ella por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las expresiones fraccionarias. Ejemplo: x 1 Al resolver la ecuación – = 2, se tiene: 3 5 284

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

4x + 2b – 2b = 3a – 2b 4x = 3a – 2b

/:4

Funciones • Una función f es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento, llamado f(x), de un conjunto B. • Si x es un elemento de A relacionado con un elemento y de B bajo la función f, se escribe y = f(x).

Resolver la ecuación 3x – 8 = 16. Usando las propiedades de la igualdad, se tiene: 3x – 8 = 16

/ – 2b

Como en la expresión y = f(x) el valor de y depende del valor de x, se dice que y está “en función de x”, y se denomina a la variable x variable independiente, y a la variable y, variable dependiente. Ejemplo: la función real que relaciona cada número con su doble más una unidad se puede representar por: f(x) = 2x + 1. • Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x. Ejemplo: Sea f una función real definida por la expresión f(x) = 6x – 9. Evaluar la función para x = 5 es equivalente a calcular f(5). Es decir: f(5) = 6 • 5 – 9 = 30 – 9 = 21. Por lo tanto, f(5) = 21. • Se llama dominio de una función (Dom (f )) al conjunto de todos los elementos para los que la función está definida, o sea, valores que la variable independiente (x) puede tomar. Ejemplos: 1. Dada la función f(x) = x + 7, su dominio está definido por el conjunto de todos los números reales. Se expresa por: Dom (f ) = . Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 285

2x , su dominio está dado por todos los números reales x–4 menos el 4, ya que para x = 4, la función se indetermina (4 – 4 = 0). Este se

2. Para la función f(x) =

denota por: Dom (f ) = {x ∈ / x ≠ 4}. • Se llama recorrido de una función (Rec (f )) al conjunto de los valores que toma la variable dependiente (y), es decir, todos los valores que son imagen de algún valor de la variable independiente. Una forma de obtener el recorrido es despejar, en la expresión algebraica de la función, la variable independiente (x) “en función” de la variable independiente (y).

Algunas funciones • Función lineal: su representación gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano, cuya expresión está dada por f(x) = mx, con m un valor real. En una función lineal, f(x) y x son directamente proporcionales, ya que

f(x) =m x

para cualquier valor de x. Ejemplos: 1. f(x) = 2x

2. f(x) =

1 x 5

Y luego evaluar para qué valores reales está definida esta expresión. Ejemplo: El recorrido de f(x) = x – 4 corresponde a todos los reales, ya que al despejar la variable x, en función de y, se obtiene: y = x – 4 ⇒ x = y + 4, y para esta expresión, la variable dependiente está definida para cualquier valor real. Luego, Rec (f ) = . Representación gráfica de una función Si a cada pareja de valores x e y relacionados bajo una función f se le asocia el par ordenado (x,y) del plano cartesiano, obtenemos el gráfico de la función f. En el eje de las abscisas (horizontal) se representan los valores de x, y en el eje de las ordenadas (vertical), los valores de y.

• Función afín: su representación gráfica es una recta que no pasa por el origen, cuya expresión está dada por g(x) = mx + n, con m y n números reales, y n distinto de cero. Ejemplos: 1. f(x) = 3x + 1

2. g(x) = –x – 2

• Función constante: si en una función afín f(x) = mx + n, m = 0 y n ≠ 0, se obtiene f(x) = n, siendo esta la función constante. La gráfica de esta función es una recta paralela al eje X. Ejemplos: 1. g(x) = 6

2. f(x) = –3

Ejemplo: la representación gráfica de la función f(x) = 3x + 1 está en la imagen a continuación.

BIBLIOGRAFÍA • Guzmán R., I. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. • Manual esencial. (2008). Capítulo 4: Álgebra. Aritmética y Álgebra. (pp. 182–241). Santiago: Santillana. • Manual esencial. (2008). Capítulo 4: Funciones. Aritmética y Álgebra. (pp. 286–372). Santiago: Santillana. • Rencoret B., M. (2002). Iniciación matemática–Un modelo de jerarquía de enseñanza. Santiago: Andrés Bello.

285

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 286

TEXTO DEL ESTUDIANTE 164 Y 165

6 Unidad

En esta Unidad podrás...

Funciones y relaciones proporcionales

• Plantear ecuaciones que representan situaciones de la vida cotidiana, y analizarlas a través de tablas y gráficos. • Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y utilizarlos para representar variadas situaciones. • Distinguir entre variables dependientes e independientes en las funciones, e identificar el dominio y recorrido de estas. • Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional. • Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa e inversa. • Analizar y comparar situaciones que representan variaciones proporcionales y no proporcionales; uso de software gráfico en estos casos. • Resolver problemas que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.

Conversemos de... En la actualidad, el sedentarismo afecta a un gran porcentaje de la población, a pesar de que se ha demostrado que hacer deporte regularmente produce numerosos beneficios para la salud, tanto físicos como psicológicos: fortalece los huesos, previene la obesidad y la hipertensión arterial, ayuda a liberar tensiones, entre muchos otros. Incluso, se ha probado que las personas que practican ejercicio físico de forma regular, suelen vivir más que aquellas que no lo realizan. La fotografía muestra a Carlos; él se moviliza en bicicleta diariamente. Considerando que avanza en promedio a 21 km/h, piensa y responde. 1. Después de cinco horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer Carlos, si no se detiene y mantiene el mismo ritmo? 2. Si el trabajo de Carlos está a 31,5 km de su casa, y va en bicicleta, ¿cuánto demora aproximadamente en llegar al trabajo si no se detiene en ningún momento? 3. El fin de semana visitará a su hermana que vive a 84 km de su casa. Si va en bicicleta, ¿cuántas horas tardaría en llegar si no realiza detenciones?, ¿a qué hora llegaría a destino si comienza el viaje a las seis de la mañana? 4. ¿Existe alguna ecuación que permita representar la distancia que recorre Carlos en un determinado período de tiempo?, ¿cuál?

164 Unidad 6

La imagen inicial de la Unidad está destinada a motivar a sus alumnos y alumnas en el estudio del Álgebra, específicamente el planteamiento de ecuaciones, análisis de fenómenos que representan la relación entre dos variables y la representación algebraica de una función. Actualmente, un número importante de la población es sedentaria. En el caso de la gente que trabaja, muchos de ellos permanecen gran parte del día sentados, ya sea en oficinas o bien en automóviles. La población joven no es la excepción, pues muchos privilegian la televisión o el computador en desmedro de la actividad física. 286

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Funciones y relaciones proporcionales

165

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conversemos de... Ítems 1, 2 y 3: analizar y calcular. Ítem 4: analizar y representar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 287

APRENDIZAJES ESPERADOS DE LA UNIDAD En la sección EN ESTA UNIDAD PODRÁS… se explicitan los aprendizajes que se espera que los alumnos y alumnas logren en la Unidad. Se sugiere que los lean en voz alta y, luego, puede preguntarles lo siguiente: • ¿Qué estrategia usaron para determinar la distancia que puede recorrer Carlos? • ¿Qué estrategia consideran más adecuada para definir el tiempo que tardará en llegar a un lugar cualquiera? • Comparen la ecuación que permite representar la distancia que Carlos recorre en un determinado período con la ecuación que permite definir el tiempo que se demora en recorrer cierta distancia: ¿son iguales?, ¿tienen algo en común?, ¿representan lo mismo?, ¿por qué? Con estas preguntas, y las ideas que vayan surgiendo por parte de sus alumnos y alumnas, puede hacer un mapa semántico en la pizarra, que le permitirá obtener información acerca de las experiencias y conocimientos previos de sus alumnos y alumnas; a partir de ellos, podrá guiar de mejor forma el trabajo de la Unidad.

ACTIVIDAD INICIAL Es recomendable comentar con los y las estudiantes la imagen inicial presentada en el Texto. Puede complementar la conversación con preguntas como las siguientes: • Después de dos horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer Carlos si no se detiene y mantiene el mismo ritmo? • Si la casa de sus padres está a 52,5 km, y va en bicicleta, ¿cuánto demora aproximadamente en llegar a la casa de sus padres si no se detiene en ningún momento? En el caso de la primera pregunta, puede guiar a sus estudiantes para que reconozcan las variables en juego. Luego, si es necesario, puede mostrarles y analizar que la ecuación (función) que permite saber la distancia recorrida (y) cada cierto tiempo (x) es: y = 21 • x. Es decir, después de dos horas, la distancia recorrida se puede calcular: y = 21 • 2 = 42. Entonces, recorrerá 42 km/h en dos horas.

Estas preguntas están orientadas a trabajar con la propia experiencia y conocimientos previos de sus estudiantes para motivarlos y discutir sobre la salud, los beneficios del deporte y de tener una vida sana.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES El sedentarismo, según la Real Academia Española, se define como un modo de vida con poca agitación o movimiento. Según la Organización Mundial de la Salud (OMS), algunos de los factores que influyen en la propagación de estilos de vida sedentarios son: • Dedicar demasiado tiempo a mirar la televisión, jugar con juegos informáticos y utilizar computadores. • No practicar regularmente actividad física, debido a la falta de tiempo y de motivación, a los sentimientos de vergüenza o incompetencia, a la falta de instalaciones y locales seguros para la actividad física y a la ignorancia de las ventajas que proporciona. Es muy importante promover la actividad física en los niños y en los jóvenes, pues tiene muchos beneficios, tales como: • Beneficiar la salud física y mental y la integración social de los jóvenes. La práctica regular de actividad física ayuda a los niños y a los jóvenes a desarrollar y a mantener en buena salud los huesos, los músculos y las articulaciones, a controlar el peso corporal, a reducir las grasas y al buen funcionamiento del corazón y de los pulmones. Contribuye, asimismo, al desarrollo del movimiento y de la coordinación, y ayuda a prevenir y a controlar los sentimientos de ansiedad y la depresión. • La participación en actividades físicas y la práctica de deportes ayudan a no consumir tabaco, alcohol, drogas y los comportamientos violentos. Puede propiciar además una dieta sana, un descanso adecuado y estilos de vida más seguros. Para una mayor información sobre el sedentarismo y sus consecuencias en nuestra salud, puede visitar los siguientes sitios web: • Organización Mundial de la Salud: www.who.int/topics/physical_activity/es/ • Estrategia Global contra la Obesidad EGO-Chile: www.ego-chile.cl/index.html

En el segundo caso, puede resolver 52,5 = 21 • x, esto es, x = 52,5 : 21 = 2,5. O sea, tardará dos horas y media en recorrer 52,5 km/h. La actividad inicial está relacionada con contenidos trabajados en años anteriores, tales como planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Además, antes de comenzar con esta actividad, podría preguntarles lo siguiente:

1. Fernando recorre en su vehículo un tramo de 360 km en una carretera de norte a sur a una velocidad promedio de 90 km/h.

• ¿Eres una persona sedentaria?, ¿por qué? • ¿Realizas alguna actividad deportiva?, ¿cuál? • Organiza un horario semanal que te permita incluir una o más actividades relacionadas con el deporte de al menos 30 minutos, tres veces a la semana. Puedes agregar caminatas.

De refuerzo

a) ¿Cuánto demora aproximadamente en recorrer dicha distancia si no se detiene en ningún momento? b) Después de tres horas ¿qué distancia recorre aproximadamente si no se detiene y mantiene el ritmo? (Habilidades que desarrolla: analizar y calcular).

287

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 288

TEXTO DEL ESTUDIANTE 166 Y 167

Unidad 6

¿Cuánto sabes? 1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases. a) b) c) d) e) f) g) h)

6. Resuelve los siguientes problemas. Explica el procedimiento utilizado.

El triple de un número. El doble de la suma de 3 y –8 La tercera parte del doble de un número. La suma del cuarto de un número y el triple de otro número. El valor de n paltas a t pesos cada una. El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una. El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno. El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos.

a) Un padre tiene veintitrés años menos que su madre, y su hijo tiene 35 años menos que él. Si la suma de las tres edades es 168 años, ¿qué edad tiene cada uno? b) En un negocio, Matías y Josefa ganaron $ 155 000. Como no trabajaron de igual forma, el dinero será repartido en la razón 2 : 3. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno por el trabajo realizado? c) En un supermercado, todos los lunes se efectúa un descuento de 3% sobre la compra total. Si Carmen compró el lunes pasado la mercadería para el mes y pagó $ 44 232, ¿cuánto habría pagado sin el descuento?

2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de las siguientes figuras. a)

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

a+3

¿Qué debes recordar?

a+3 r

• Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste. 3 z + 2 = 62 7

a) 4 + 10y – 8 = 2y + 12

b) 3x – 6 = x + 2

e) 1,4 a – 0,72 = 11,28 – 0,6 a

c) 0,8x – 3 = 12 – 2,2x

2 2 –3=5+ x 3 5

4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los números desconocidos. a) b) c) d)

Si a un número le quito 27 se obtiene 77. La suma de un número y su antecesor es 49. La suma de tres números impares consecutivos es 177. Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del número aumentado en 12.

5. En un curso de cuarenta estudiantes, el 20% obtuvo nota igual o superior a 6,0 en una prueba; el 30% entre 5,0 y 5,9; el 35% entre 4,0 y 4,9, y el resto del curso obtuvo nota inferior a 4,0. a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 6,0? b) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron la prueba? c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota entre 4,0 y 5,9?

166 Unidad 6

Ejemplo:

a b

antecedente consecuente

• El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su 4 5 5 4 valor es el mismo. Ejemplo: es equivalente a , ya que = 0,5 y = 0,5. 8 10 10 8 • Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades

a, b, c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien a = c y se lee “a es a b, como c es a d”. b d a c • En toda proporción se cumple que = , si y solo si a • d = b • c. b d • Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje es una razón cuyo consecuente es 100. • Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego, calcular el cociente. 4 • 400 Ejemplo: 100 = = 80% “4 representa el 80% de 5”. 5 5 • En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables diferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentado en el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y. • Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidos para los cuales se cumple la igualdad.

Funciones y relaciones proporcionales

167

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Esta evaluación diagnóstica es una herramienta útil para determinar los conocimientos previos de los alumnos y alumnas; tiene como título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: representar en lenguaje algebraico diferentes expresiones en lenguaje natural. Ítem 2: representar en lenguaje algebraico el área y el perímetro de figuras geométricas. 288

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítem 3: calcular el valor de la incógnita en diversas ecuaciones de primer grado con una incógnita, explicando los procedimientos utilizados. Ítem 4: formular y calcular ecuaciones de primer grado con una incógnita. Ítem 5: analizar una situación que involucra el cálculo de porcentajes. Ítem 6: resolver problemas enmarcados en contextos de la vida cotidiana. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 289

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Cuánto sabes? Ítems 1 y 2: representar. Ítem 3: calcular y justificar. Ítem 4: formular y calcular. Ítem 5: analizar y calcular. Ítem 6: resolver problemas, formular y calcular.

•

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En el ítem 1, es posible que confudan las expresiones en lenguaje natural y su representación en lenguaje algebraico. Es recomendable dar ejemplos sencillos antes de efectuar esta actividad, como “la mitad de un número”, “el doble de un número”, etcétera. • En el ítem 2, sus alumnas y alumnos pueden olvidar los procedimientos para determinar el área y el perímetro de las figuras dadas; si es necesario, recuerde cómo hacerlo. • En el ítem 3, las y los estudiantes pueden realizar incorrectamente los pasos para determinar el valor de la incógnita. Es conveniente recordar cómo resolver ecuaciones

•

con un ejemplo concreto y sencillo. Se les solicita la justificación de cada procedimiento; es aconsejable que pida continuamente que expliquen sus pasos. En el ítem 4, la dificultad está en plantear la ecuación correcta, o bien en los procedimientos para su resolución. Es recomendable que exponga ejemplos sencillos en la pizarra para recordar el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. En el ítem 5, es posible que no recuerden los porcentajes. Si es necesario, recuerde cómo calcular el tanto por ciento de una cantidad dada y cómo determinar qué porcentaje es una cantidad de otra. En el ítem 6, pídales a sus estudiantes que revisen las soluciones con sus compañeros o compañeras. Si surgen estrategias diversas para un problema, solicíteles que las compartan y expliquen al resto del curso. Es importante que después realice una revisión individual de cada evaluación con el fin de detectar las debilidades y fortalezas de cada estudiante. Del mismo modo, es conveniente resolver en conjunto la evaluación en la pizarra para que conozcan las respuestas y procedimientos correctos, y puedan detectar y corregir sus errores. Así podrá detectar las áreas más débiles de sus estudiantes y podrá preparar un plan para corregirlas.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para diagnosticar a sus estudiantes. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Representa correctamente todas las frases en lenguaje algebraico.

Representa correctamente siete frases en lenguaje algebraico.

Representa erróneamente cuatro o menos frases en lenguaje algebraico.

Representa erróneamente más de cuatro frases en lenguaje algebraico.

Representa correctamente todas las áreas y perímetros.

Representa correctamente las áreas y perímetros, confundiendo solo una de ellas.

Representa erróneamente dos o tres áreas o perímetros.

Representa erróneamente todas las áreas y perímetros.

Calcula correctamente el valor de las incógnitas, justificando cada uno de sus pasos.

Calcula correctamente el valor de las Calcula erróneamente uno o dos incógnitas; no justifica todos sus pasos. valores de las incógnitas sin justificar sus pasos.

Calcula erróneamente más de dos valores de las incógnitas sin justificar sus pasos.

Formula correctamente las ecuaciones Formula correctamente las ecuaciones y calcula los números, justificando cada y calcula los números; no justifica uno de sus pasos. todos sus pasos.

Formula, erróneamente una o dos ecuaciones, confundiendo los resultados en estos casos.

Analiza y calcula correctamente la cantidad de estudiantes, justificando cada uno de sus pasos.

Analiza y calcula correctamente la cantidad de estudiantes; no justifica todos sus pasos.

Analiza y calcula erróneamente uno Analiza y calcula erróneamente todos de los problemas, confundiendo el los problemas, confundiendo el cálculo cálculo de porcentaje; justifica algunos de porcentajes; no justifica sus pasos. de sus pasos.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas, justificando cada uno de sus pasos.

Resuelve correctamente cada uno de los problemas, justificando algunos de sus pasos.

Resuelve erróneamente uno de los problemas, justificando algunos de sus pasos.

289

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Formula erróneamente todas las ecuaciones, confundiendo los resultados en estos casos.

Resuelve erróneamente dos o tres problemas sin justificar sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 290

TEXTO DEL ESTUDIANTE 168 Y 169

Unidad 6

Situaciones con dos variables Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400. El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500.

Para discutir • ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación? • ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué? • ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los kilogramos de mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo?

Ayuda • En una ecuación se debe verificar que la solución obtenida sea correcta. Por ejemplo: 5x + 5 = 2x + 20 / – 2x 3x + 5 = 20 /–5 3x = 15 /:3 x=5 Verificamos que la solución x = 5 es correcta remplazando: 5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 20 30 = 30 • Si se trata de un problema, además se debe verificar si la solución es pertinente.

En esta situación, si representamos con x cada kilogramo de mandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad de kilogramos de mandarinas que Tomás compró es: kilogramo de mandarinas

650x + 500 = 4400

gasto total

pimentón

Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos: 650x + 500 = 4400 / – 500 650x = 3900 / : 650 x=6

Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos de mandarinas y su precio. Precio ($) Kilogramos de mandarinas

Precio ($)

650 • 1 = 650

650 • 2 = 1300

650 • 3 = 1950

650 • 4 = 2600

650 • 5 = 3250

650 • 6 = 3900

650 • 7 = 4550

650 8 = 5200 •

5200 4550 3900 3250 2600 1950 1300 650 0 1

Para saber cuánto costarán 7 kg de mandarinas, podemos ver la tabla y conocer de inmediato el valor. En el caso del gráfico, para determinar cuánto costarán 5 kg de mandarinas, debemos ubicar en el eje de las abscisas el número 5, luego, en el punto que tiene en dicho eje observamos qué valor le corresponde en el eje de las ordenadas. En este caso es 3250.

Glosario eje de las abscisas: corresponde al eje horizontal o eje X. eje de las ordenadas: corresponde al eje vertical o eje Y.

No olvides que... • Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representar planteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión. • Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio de diversos registros, como una tabla o un gráfico.

Actividades

Por lo tanto, Tomás compró 6 kg de mandarinas. Por otro lado, si queremos saber cuánto costarán 9 kg de mandarinas, podemos multiplicar el valor de cada kilogramo de mandarinas por 9, es decir, 650 • 9 = 5850, lo que significa que 9 kg de mandarinas costarán $ 5850. Para saber el valor de 13 kg de mandarinas calculamos 650 • 13 = 8450, entonces, costarán $ 8450. Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datos en una tabla o representarlos en un gráfico.

1. Resuelve las siguientes situaciones planteando una ecuación, que en cada caso, permita resolver el problema. Luego, encuentra el valor de la incógnita. a) Manuel tiene x cantidad de dinero en un bolsillo, y el triple en el otro. Si en total tiene $ 6000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo? b) Marcela compró un ramo de flores por $ 8900 y 4 jarrones. Si el valor total de la compra es $ 14 700, ¿cuánto costó cada jarrón? c) En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. Si el perímetro es 72 cm, ¿cuánto mide cada lado?, ¿cuánto mide su área?

168 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: calcular. Ítem 2: formular. Ítem 3: calcular y justificar. Ítem 4: representar y justificar.

Ítem 1: formular y calcular.

290

Kilogramos de mandarinas

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

169

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 291

ACTIVIDAD INICIAL

sintética y global del fenómeno observado y de las relaciones entre sus diversas características o variables.

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una actividad que representa una relación entre dos variables, planteen una ecuación y sean capaces de construir y analizar la situación mediante tablas y gráficos. Es importante que los alumnos y alumnas manejen el lenguaje algebraico previamente, así como también la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Un gráfico se refiriere generalmente a las representaciones numéricas mediante su equivalencia en relaciones en el plano o espacio. Entre las funciones que cumple un gráfico están: hacer más visibles los datos, evidenciar las relaciones entre dos o más variables y aclarar y complementar las tablas. En el caso de esta Unidad, se utilizarán gráficos como una forma de representar diversas funciones.

Para complementar el tema y la información presentada en el Texto, así como también iniciar a sus alumnos y alumnas en el reconocimiento y representación de funciones, plantee preguntas como las siguientes:

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

• ¿Cuánto costarán 15 kg de mandarinas?, ¿y 26 kg?

1. Plantea las ecuaciones y resuélvelas.

• ¿Es posible encontrar una expresión algebraica que permita determinar el precio (y) de x kg de mandarinas?, ¿cuál?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Antes de desarrollar el ítem 1, si es necesario, escriba en la pizarra una tabla con dos columnas en que aparezcan expresiones escritas en lenguaje natural en una columna y en la otra la expresión algebraica. Además, podría incluir expresiones que involucren el planteo de ecuaciones sencillas que los y las estudiantes completen en sus cuadernos. Por ejemplo: Frase

El triple de un número más cinco.

Expresión algebraica

3x + 5

De refuerzo

a) En un bolsillo, Mariana guarda p cantidad de dinero y en el otro, el doble. Si en total tiene $ 45 000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo? b) Isidora compró una caja de bombones por $ 3800 y 4 bebidas en lata. El valor total de la compra es $ 6400. ¿Cuál fue el costo de cada bebida? c) En un rectángulo, el largo mide el triple del ancho. Si el perímetro es 64 cm, ¿cuánto mide cada lado?, ¿y su área? d) Un bus viaja de norte a sur a velocidad constante. Si en seis horas recorre 510 km, ¿a qué velocidad viaja? e) En un triángulo isósceles, la medida de los lados no basales es el triple de la base, cada uno. Si el perímetro es 35 cm, ¿cuánto mide cada lado?

La suma de dos números consecutivos es 70.

a + (a + 1) = 70

Cinco pasajes de bus desde Santiago a San Antonio tienen un costo de $17 500.

f) Un grupo de 14 amigos compró entradas para un concierto de rock chileno, que se realizará en una ciudad del sur del país. Si en total gastaron $ 95 200, y todas las entradas tenían el mismo valor, ¿cuánto les costó cada entrada?

5 • x = 17 500

(Habilidades que desarrolla: analizar, formular y calcular).

• Si sus alumnos y alumnas tienen dificultades relacionadas con las expresiones algebraicas, sería conveniente que recuerde qué es un término algebraico y, luego, presente términos semejantes para reducirlas, considerando la eliminación de paréntesis y las propiedades de las operaciones.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es fundamental que sus estudiantes recuerden y comprendan qué es una tabla y qué es un gráfico. • Una tabla es un cuadro que organiza la información en filas y columnas. Las tablas sistematizan los resultados cuantitativos y ofrecen una visión numérica, 291

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 292

TEXTO DEL ESTUDIANTE 170 Y 171

2. En uno de sus planes, una compañía de teléfonos celulares cobra $ 2,5 por segundo al realizar llamadas a cualquier compañía nacional y en cualquier horario. Camila, que tiene este plan, habló con su amiga Francisca (que tiene un celular de otra compañía) y gastó $ 900 en esa llamada. a) ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos minutos habló Camila con su amiga? Resuélvela. b) Si una llamada le costó $ 300, ¿cuántos minutos habló? c) Si Camila llama nuevamente a su amiga Francisca, ¿cuánto gastará si habla 3 minutos?, ¿y si habla 5 minutos? d) Completa la tabla que relaciona la cantidad de segundos hablados, y su respectivo costo. Segundos

Precio ($)

Unidad 6

3. Sandra se encarga de los pedidos en una empresa de decoración. En una de las compras gastó $ 27 250, al adquirir un florero a $ 1250 y claveles rojos y blancos. Los primeros tienen un costo de $ 140, los segundos de $ 120. Compró la misma cantidad de claveles de cada color. a) ¿Cuántos claveles compró en total?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? b) ¿Cuánto gastaría si comprara treinta claveles en total?, ¿y cuarenta? c) ¿Cuánto gastaría, incluyendo el florero, si comprara ochenta y seis claveles en total? d) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de claveles y el gasto asociado.

2,5

Cantidad de claveles

180

300

Precio ($) 260

30 50

e) Si a fin de mes habló 65 minutos a compañías nacionales, ¿cuánto pagará en total ese mes? f) Completa el siguiente gráfico, que relaciona los minutos hablados con el valor mensual del plan.

80 114

Precio ($)

e) Observa la tabla: ¿podría Sandra comprar siete claveles en el pedido realizado?, ¿y quince?, ¿cuánto gastaría? f) Completa el siguiente gráfico.

5000 4000 3000

Precio ($)

2000 1500 1000 1250 5

Minutos hablados (Nº) 1000 750

g) Si Camila hablara 4 minutos y 12 segundos, ¿cuánto dinero gastaría? h) Francisca tiene un plan de otra compañía de teléfonos celulares. Los costos de su plan aparecen en la siguiente tabla: Cargo fijo ($)

Minutos incluidos

Valor del segundo adicional ($)

14 490

100

Si en un mes habla 200 minutos, ¿cuánto debería pagar? i) Si cada mes hablaras 180 minutos por teléfono celular, ¿qué plan sería más conveniente, el de Camila o el de Francisca?, ¿por qué?

500 250 2

g) ¿Cuánto gastará Sandra en total si compra doce claveles y un florero que cuesta $ 1450 más que el anterior?

170 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Actividades

292

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Cantidad de claveles (Nº)

171

Ítems 2 y 3: analizar, formular, representar y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 293

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ítems 2 y 3, es conveniente que sugiera a sus estudiantes hacer una segunda tabla con los valores de x (segundos y cantidad de claveles, respectivamente) que aparecen en el eje de las abscisas, para que puedan construirlas de manera más sencilla. • Los planes de compañías de teléfonos celulares considerados en el ítem 2 corresponden a los de dos compañías chilenas, con fecha diciembre de 2009.

(Habilidades que desarrolla: analizar, formular, representar y calcular). De profundización

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Carmen es una escritora de cuentos infantiles que redacta en su computador, en promedio, una página cada cuatro minutos. Cantidad de páginas

b) ¿Cuánto obtiene, en promedio, en cinco horas y media?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? c) ¿Cuántas horas necesita trabajar para ganar $ 24 750? d) Construye el gráfico que relaciona la cantidad de horas que trabaja Luis con el dinero que obtiene.

Minutos

1 2 7 10

1. Esteban compra los siguientes útiles escolares: 8 cuadernos a $ 800 cada uno, una témpera a $ 1200, una acuarela a $ 600, y 4 cajas de lápices de colores iguales, gastando un total de $12 000. a) ¿Cuánto cuesta cada caja de lápices de colores?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? b) ¿Cuánto gastaría si solo comprara 6 cuadernos, 2 témperas, una acuarela y 6 cajas de lápices de colores iguales? c) Construye una tabla y un gráfico que relacionen la cantidad de cuadernos comprados y su precio. (Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, representar y formular).

26 101 a) Completa la siguiente tabla que relaciona cantidad de páginas con los minutos. b) ¿Cuántos minutos se demora en escribir 13 páginas?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? c) ¿Cuántas páginas redacta en 68 minutos?, ¿cómo lo supiste? d) Construye el gráfico que relaciona la cantidad de páginas con los minutos. 2. Luis es un taxista que en promedio gana $ 2750 por hora. a) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de horas que trabaja Luis con el dinero que gana. Horas

293

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Dinero ($)

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 294

TEXTO DEL ESTUDIANTE 172 Y 173

Unidad 6

Noción de función Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000, y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión de $ 35 000. Observa la tabla de valores: Cantidad de automóviles vendidos

Sueldo recibido ($)

180 000 + 35 000 • 1 = 215 000

180 000 + 35 000 • 2 = 250 000

180 000 + 35 000 • 3 = 285 000

180 000 + 35 000 • 4 = 320 000

No olvides que... • Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. • Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con una ecuación, una tabla de valores o un gráfico.

Actividades 1. Construye, en tu cuaderno, un gráfico que represente la situación descrita en la página anterior.

Para discutir • ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles durante un mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué? • Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?, ¿cuántas variables tiene? • ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?, ¿cómo lo supiste?

2. Determina, en cada caso, si la relación entre las variables corresponde o no a una función. Justifica tus respuestas. a) b) c) d)

Un número natural y su opuesto aditivo. Los sabores preferidos de helado por los integrantes de un curso. La longitud del lado de un cuadrado y su área. La cantidad de respuestas correctas en una prueba y la nota final obtenida.

3. Andrea compara los planes que le ofrece una compañía de telefonía celular.

Ayuda Recuerda que la expresión algebraica 35 000x también puede escribirse como 35 000 • x.

Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemos calcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000, es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos 180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000. Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al vender x automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresión y = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e y de manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le corresponde un único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función. Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió $ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación: 530 000 = 180 000 + 35 000x 350 000 = 35 000 • x 10 = x

/ – 180 000 / : 35 000

Tarifas

Minutos incluidos en el plan

Valor minuto adicional

Plan A

Cargo fijo 9490

220

Plan B

12 990

160

Plan C

14 490

100

120

a) Completa la tabla con los valores que debería pagar en cada caso, según la cantidad de minutos que va a utilizar. Minutos

Costo plan A

9490

Costo plan B

100

120

150

12 990

Costo plan C

14 490

b) Si Andrea hablara 80 minutos, ¿qué plan le convendría?, ¿y si hablara 120?, ¿por qué? c) Si x representa la cantidad de minutos no incluidos en el plan, ¿qué función representa el monto y de la cuenta de telefonía celular en cada caso?

Por lo tanto, ese mes vendió diez automóviles.

172 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

173

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […] uso e interpretación de la notación de funciones.

Para discutir

Actividades

Ítems 1 y 3: calcular y justificar. Ítem 2: representar y formular. Ítem 4: analizar, calcular y justificar.

Ítem 1: representar. Ítem 2: analizar, evaluar y justificar. Ítem 3: analizar, calcular y representar.

294

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 295

ACTIVIDAD INICIAL

Ejemplo:

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación que presente la relación entre dos variables, de manera que a cada valor de x (cantidad de automóviles vendidos) le corresponde un único valor de y (sueldo recibido), es decir, esta relación es una función. Dada esta función, los alumnos y alumnas pueden representarla y analizarla por medio de tablas o gráficos, los que facilitan su comprensión y análisis.

Sean: A = {1,3,4}, B = {a,b}, entonces: A x B = {(1,a), (1,b), (3,a), (3,b), (4,a), (4,b)} Definición: sean A, B conjuntos no vacíos. Un conjunto R se dice que es una relación de A en B si R es subconjunto de A x B. Es decir: R ⊆ A x B⇔ R

es relación de A en B

Para complementar el tema y la información del Texto, plantee preguntas como las siguientes:

• Si el par (x,y) pertenece a una relación R, se dice que x está en relación R con y. Se escribe x R y ; es decir: (x,y) ∈R ⇔ x R y

• ¿Cuánto ganará Miguel si no vende automóviles en un mes?, ¿por qué? • ¿Cuántos automóviles vendió si su sueldo fue de $ 985 000?, ¿cómo lo calculaste?

Funciones

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

Definición: Dados dos conjuntos A y B no vacíos, una relación f ⊆ A x B se dice que es una función de A en B, si y solo si:

• Antes de comenzar el ítem 1, es conveniente destacarles a sus estudiantes que una función puede ser representada mediante diversos registros, en nuestro caso, estudiamos la representación algebraica, la tabla y el gráfico. Si sus estudiantes tienen dificultades para construir el gráfico, solicíteles que agreguen filas a la tabla de la página 170. Podría preguntar lo siguiente: ¿qué forma tiene el gráfico?, ¿qué características observas en él? • En el ítem 2 es importante que los alumnos y alumnas comprendan que en una función la relación entre las variables x e y se da de tal manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Por ejemplo, la relación b) no es función, pues puede ocurrir que una persona tenga más de un sabor preferido de helado. • En el ítem 3 sería conveniente solicitarles a sus estudiantes que construyan en un mismo gráfico las funciones correspodientes a cada plan y, luego, que las comparen y analicen. Podrían utilizar colores distintos para que las diferencien.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es importante que comprenda que una función no es sino un tipo especial de relación. Además, destaque que para expresar funciones podemos usar otros nombres, distintos de f, como g, h. Por ejemplo, la función g(x) = 2x + 5. A continuación, presentamos algunos conceptos importantes relacionados, que permiten ampliar el concepto de función. Producto cartesiano El conjunto producto cartesiano de A y B se denota A x B, y está constituido por: A x B = {(x,y) / x ∈A ∧ y ∈B}

(i) Dom f = A (ii) ∀ x ∈A, ∀ y ∈B (x f y ∧ x f z ⇒ y = z) Por ejemplo: La relación f(x) = ± x , donde x ≥ 0, no es una función, pues f (9) = 3 y f (9) = –3, es decir, x = 9 tiene dos imágenes diferentes, 3 y –3. Fuente: Orellana A. (1998). Apuntes Álgebra I. (p. 35, 36 y 56). Santiago: Universidad de Santiago de Chile.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Felipe compara las promociones de una pizza napolitana individual en diferentes lugares. Pizzería

Valor pizza napolitana ($)

Valor ingrediente adicional ($)

3590

540

3990

450

4490

400

a) ¿Cuánto costarán 3 pizzas en cada lugar?, ¿y 7 pizzas? b) ¿Cuál es la función que modela el precio de x pizzas para cada lugar? c) Si se quieren incluir 3 ingredientes adicionales, ¿cuánto costarán 5 pizzas en cada lugar?, ¿dónde es más conveniente? d) ¿Cuál es la función que representa el precio con 3 ingredientes incluidos de x pizzas para cada lugar? (Habilidades que desarrolla: analizar, representar y calcular).

295

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 296

TEXTO DEL ESTUDIANTE 174 Y 175

Variables dependientes e independientes En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una. Observa y completa la siguiente tabla. Cantidad de empanadas

Precio ($)

850 • 1 = 850

Unidad 6

Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio. Precio ($) 9000 8000 7000 6000

5000

4000 3000 2000

4 5 6

1000 1 2

Para discutir • ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa la variable x y la variable y, en este caso? • ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste? • ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas?

4 5

6 7

8 9 10 11 12 13

Cantidad de empanadas (Nº)

En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas) se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas). Además, el valor total de las empanadas compradas depende de la cantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y depende del valor de la variable x.

No olvides que... Después de completar la tabla de la situación presentada, podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100, ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica que modela esta situación es:

y = 850x, o bien f (x) = 850x donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e y representa el valor total a pagar por las empanadas compradas. Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que, para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien f (19) = 850 • 19 = 16 150. Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien f (32) = 850 • 32 = 27 200.

• Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación tal que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende del valor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente. • Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente se representan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas. • La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”. Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000 x, también se puede escribir como f 共x兲 = 150 000 + 25 000x.

Actividades 1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente. a) El volumen de un cubo y su arista. b) Un número y su sucesor. c) La cantidad de kilogramos de pan y el precio total.

174 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas [...], uso e interpretación de la notación de funciones.

Para discutir

Actividades

Ítem 1: calcular y justificar. Ítem 2: representar y formular. Ítem 3: representar y justificar. Ítem 4: analizar.

Ítem 1: identificar.

296

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

175

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 297

ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los y las estudiantes analicen información presentada en una tabla y, luego, diferencien entre una variable independiente y dependiente de dicha situación, las que son representadas por medio de una función que relaciona la cantidad de empanadas y el precio. En esta actividad, asocian sus conocimientos previos y los estudiados recientemente. La idea es que conecten lo aprendido con estos conceptos nuevos y que completar la tabla y analizarla contribuya a la comprensión de los conceptos en cuestión.

De refuerzo

Podría ayudar a sus estudiantes con más dificultad para identificar la función que modela la situación, pidiéndoles que agreguen más filas a la tabla de la página 176 y, luego, las completen. Para reforzar el concepto de función, podría preguntar: • Si una persona gasta $ 19 550 en empanadas, ¿cuántas compró?, ¿cómo lo supiste?

1. Determina en cada función las variables dependiente e independiente. a) b) c) d)

Un número y su antecesor. El número de lados de un polígono y la cantidad de ángulos interiores. Un número y su triple. Los kilogramos de pan comprados diariamente y el valor total de la semana.

2. Eduardo compra x empanadas de pino y la misma cantidad de empanadas de queso. Las empanadas de pino tienen un costo de $ 860 cada una y las de queso $ 750. ¿Cuál es la función que permite determinar el precio final al comprar x empanadas de pino y de queso?, ¿cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente en este caso? (Habilidades que desarrolla: identificar, representar, formular y analizar).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si sus alumnos y alumnas tienen dificultades para identificar las variables dependiente e independiente, pídales que escriban las funciones asociadas. Esto les permitirá reconocer las variables x e y.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para ampliar los conceptos estudiados en el Texto para el Estudiante es importante tener en consideración lo siguiente: • Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x. Podría pedirles a sus estudiantes que evalúen algunas funciones en casos particulares. Puede escribir en la pizarra una función como f(x) = 2x + 2, y explicar que al evaluar la función en x = 3, resulta: f (3) = 2 • 3 + 2 = 6 + 2 = 8. Luego, f (3) = 8. • En una función, la imagen de un número equivale al resultado de evaluar el número en la función. • La preimagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtener dicho número.

297

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

De profundización 1. Determina en cada caso la función que modela la situación y, luego, identifica las variables dependiente e independiente. a) b) c) d) e) f)

El área total de un cubo y su arista. Un número y su inverso aditivo. El número de lados de un polígono regular y la cantidad de diagonales. La cantidad de kilogramos de pan y el total a pagar (a $ 760 el kg). La longitud del radio de una circunferencia y la longitud de la circunferencia. Un número y la suma de este con su sucesor.

(Habilidades que desarrolla: identificar, representar y formular).

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 298

TEXTO DEL ESTUDIANTE 176 Y 177

Unidad 6

2. Las entradas para asistir a un concierto de hip hop tienen un valor general de $ 10 500. a) b) c) d)

¿Cuál es el precio de siete entradas?, ¿y de doce? ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente? Completa la siguiente tabla según corresponda.

x y

6. Consuelo hace clases particulares a domicilio. Completa la siguiente tabla con el dinero que Consuelo puede reunir durante un mes.

Cantidad de clases

Dinero reunido ($)

4500

16 40 500

54 000

e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación. 3. Observa los valores de la siguiente tabla y complétala. Lado del cuadrado (cm)

Perímetro del cuadrado (cm)

a) Si el lado del cuadrado mide 9 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿y si mide 15 cm? b) ¿Cuál es la función que representa esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? 4. El maestro Camilo pinta todo tipo de muros. Él cobra $ 5000 por metro cuadrado pintado y $ 6800 por la evaluación en terreno del trabajo antes de realizarlo. a) Completa la siguiente tabla que relaciona los metros cuadrados por pintar y el costo completo del trabajo.

a) b) c) d)

¿Cuánto dinero reúne Consuelo en seis clases?, ¿y en dieciséis? ¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente.

En equipo En esta actividad deberán utilizar palitos de fósforo para formar triángulos. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones. 1. Formen un triángulo con tres palitos de fósforo. 2. Luego, con dos palitos más formen dos triángulos, como se observa en la figura. Un triángulo

m2 Total a pagar

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?, ¿por qué? d) Si el maestro Camilo no cobrara por la evaluación y pidiera $ 6000 por metro cuadrado pintado, ¿cuál es la función que representa esta situación? Muéstrala en un gráfico. 5. Observa en el siguiente gráfico, la relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro. a) ¿Cuál es la variable dependiente? ¿y la independiente? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? c) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 42 cm, ¿cuánto mide cada uno de sus lados?, ¿por qué?

Dos triángulos

Perímetro (cm) 20 15

3. Con dos palitos más formen tres triángulos, con dos más cuatro triángulos y así, vayan agregando dos palitos más para formar un triángulo más cada vez. 4. Según lo obtenido, comenten y respondan: a) ¿Qué tipo de triángulos son los que se forman?, ¿por qué? b) En una tabla anoten la cantidad de triángulos que se forman y la cantidad de palitos utilizados en cada caso, ¿qué observan? c) ¿Cuántos palitos son necesarios para formar siete triángulos?, ¿y veinte?, ¿y ciento tres?, ¿por qué? d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? e) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?

10 5 1

Lado triángulo equilátero (cm)

176 Unidad 6

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS • Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas […], uso e interpretación de la notación de funciones.

298

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Funciones y relaciones proporcionales

177

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Actividades Ítem 2: calcular, representar e identificar. Ítem 3: calcular, saber e identificar. Ítem 4: formular, identificar y representar. Ítem 5: identificar, representar, calcular y saber. Ítem 6: calcular, formular, identificar y representar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 299

En equipo Analizar, representar e identificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 2, si es necesario, agregue valores adicionales a la tabla para que sea más sencillo graficar. Al finalizar esta actividad, pregunte a sus estudiantes: ¿cómo es el gráfico construido?, ¿qué forma tiene?, ¿qué sucedería con el gráfico si las entradas bajaran a mitad de precio? • En el ítem 3, si tienen dificultades para determinar cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente, podría preguntarles: ¿de qué depende que el perímetro del triángulo aumente o disminuya? Además, para continuar trabajando con este ejercicio, pregunte: ¿qué sucede con la función que permite determinar el perímetro si la figura es un rectángulo donde el largo mide el doble del ancho?, ¿cuál será? Responde las preguntas b y c para este caso. • En el ítem 4, puede que sus estudiantes confundan la expresión que modela esta situación, pues a diferencia de la anterior, esta considera un valor fijo ($ 6800) que se suma al valor de los metros cuadrados pintados, es decir, la expresión algebraica que representa el costo del trabajo completo al pintar x metros cuadrados pintados es: f(x) = 5000x + 6800. Si es necesario, pídales que grafiquen la función en sus cuadernos y, luego, la comparen con el gráfico del ítem 5. • En el ítem 5, para determinar con mayor facilidad la expresión que modela esta situación, pídales que hagan una tabla similar a la del ítem 3, y que además comparen este gráfico con el del ítem anterior. Esta es una buena instancia para referirse a las funciones lineal y afín. • En el ítem 6, para completar, podría preguntarles qué técnica o estrategia utilizaron. Además, pídales que revisen con dos compañeros o compañeras sus resultados obtenidos, pues de este modo pueden corregir errores si los tuvieran. • En la actividad EN EQUIPO, supervice que todos dispongan de los materiales necesarios para trabajar. Si no cuentan con ellos, pueden dibujar, en sus cuadernos, los triángulos que se forman con los palitos de fósforo.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente. a) b) c) d)

El número de lados de un polígono y la cantidad de ángulos exteriores. Un número y su mitad. La cantidad de boletos de bus comprados y su costo. Un número y su quinta parte.

2. En una botillería se venden a $ 1200 las bebidas desechables de 3 litros. a) Completa la siguiente tabla. Cantidad de bebidas

Costo ($)

b) c) d) e) f)

¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente? ¿Cuál es el precio de 9 litros?, ¿de 18 litros?, ¿y de 5 bebidas? ¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Cuántas botellas se pueden comprar con $ 8400?, ¿a cuántos litros corresponde? Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular, analizar, representar y formular). De profundización 1. En una panadería se vende diariamente cierta cantidad de pan. Completa la siguiente tabla que representa la relación entre los kilogramos de pan y su costo. Kilogramos de pan Precio ($)

a) b) c) d) e)

24 8160

20 400

¿Cuál es el precio de un kilogramo de pan?, ¿cómo lo supiste? ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente? ¿Cuántos kilogramos de pan se pueden comprar con $ 10 880? Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

(Habilidades que desarrolla: identificar, analizar, calcular, representar y formular).

299

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 300

TEXTO DEL ESTUDIANTE 178 Y 179

Unidad 6

Dominio y recorrido Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la siguiente tabla. Cantidad de cajas

Cantidad de alfajores por caja

13,3

No olvides que...

30 5,3

• Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que la variable independiente x puede tomar en la función f . • Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar los valores del dominio en la función f .

Para discutir • • • •

¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué? ¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué?

Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamente en las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamos que no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría que partir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad. 160 , donde la Luego, la función que modela esta situación es y =

variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso, los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos. Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar la variable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160. El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de la función y son todos aquellos valores que la variable independiente x puede tomar. En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores del dominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1. Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todos aquellos valores que toma la variable dependiente y. Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función

f (x) = 160 son: x Dom ( f ) = 兵1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160其

Actividades 1. Entre dos ciudades hay una distancia de 360 km. Construye una tabla de valores que relacione la rapidez constante y el tiempo que emplearían diversos automóviles en recorrer esta distancia, considerando que la rapidez máxima es de 120 km/h. A partir de la tabla, determina el dominio y el recorrido de la función. 2. El valor general de las entradas para asistir a un teatro es de $ 4500 y su capacidad máxima es para ciento cincuenta personas. a) b) c) d)

¿Cuánto dinero se recauda si asisten ochenta y seis personas?, ¿y si van ciento treinta y tres? ¿Cuál es la función que determina esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? Determina el dominio y recorrido de esta función.

3. Romina tiene trescientos caramelos que reparte entre los niños del barrio, entregándoles la misma cantidad de dulces a cada uno. a) b) c) d)

¿Cuántos caramelos les regala a cada niño si son quince?, ¿y a veinticinco? Determina la expresión algebraica que representa esta situación. Si uno de los niños recibe cinco dulces, ¿a cuántos niños les repartió los caramelos? Determina el dominio y recorrido de esta función.

4. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los ángulos agudos se puede representar por la función y = 90 – x. a) b) c) d)

¿Qué representa la variable independiente x en este caso? ¿Qué valores puede tomar la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué? ¿Qué sucede con el ángulo x si el triángulo es isósceles? Construye en tu cuaderno una tabla que represente esta situación.

Rec ( f ) = {160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1}

178 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, […] identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.

Para discutir

300

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

179

Ítem 1: analizar, calcular y justificar. Ítem 2: representar y formular. Ítem 3: identificar y justificar. Ítem 4: analizar y justificar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 301

Actividades

• Por definición de recorrido de una función se tiene:

Ítem 1: calcular, representar e identificar. Ítems 2 y 3: calcular, identificar, formular y representar. Ítem 4: analizar, identificar, representar y justificar.

Rec (f) = {y ∈B / ∃ x ∈A : y = f(x)} Fuente: Orellana A. (1998). Apuntes Álgebra I. (p. 35, 36 y 56). Santiago: Universidad de Santiago de Chile.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen la información presentada en una tabla, la que les permite comprender qué es el dominio y recorrido de una función. Si sus alumnos y alumnas presentan dificultades para comprender estos conceptos, plantee otras funciones contextualizadas; por ejemplo: el valor de una bebida en lata es $ 600, la función que representa el valor (y) de una cierta cantidad de bebidas (x) es: y = 600x, o bien f(x) = 600x, donde Dom (f) = 0 y Rec (f) = {600 • n / n ∈ 0}.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si es necesario, pídales a sus estudiantes que confeccionen una tabla para facilitar la identificación del dominio y recorrido de la función. • En los ítems 2 y 3, es fundamental que hayan comprendido lo de las páginas anteriores sobre funciones, pues se solicita determinar la función, identificar la variable dependiente y la independiente, además del dominio y recorrido. Al finalizar estas actividades, es conveniente que las revisen en conjunto para detectar y corregir posibles errores. • En el ítem 4, si sus estudiantes tienen dificultades para responder, pídales que comiencen por construir la tabla que representa la situación, pues al observar los valores puede resultarles más sencillo analizar y responder las preguntas.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Una abuelita repartirá 120 caramelos entre los nietos que vayan a verla el sábado a su casa. Todos recibirán la misma cantidad de caramelos. a) Si la visitan tres de sus nietos, ¿cuántos caramelos les toca cada uno? b) Determina la expresión algebraica que modela esta situación. c) Determina el dominio y recorrido de esta función. 2. Roberto quiere repartir sus 150 cartas de mitos entre sus amigos presentes. Cuando las reparte, decide que todos recibirán la misma cantidad. a) b) c) d)

¿Cuántas cartas les toca a cada uno si son 10 sus amigos presentes? ¿Cuál es la función que determina esta situación? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? Determina el dominio y recorrido de esta función.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular, representar y formular). De profundización 1. Observa la función que representa el área de un cuadrado dado su lado. Área (cm2)

Para ampliar los conceptos estudiados en el Texto para el Estudiante es importante tener en consideración lo siguiente: • En una función de A en B, cada elemento de A tiene una y solo una imagen en B. Por comprensión, lo anterior se escribe: ∀ x ∈A, ∃! y ∈B / f(x) = y • Si f es una función de A en B, entonces f describe un proceso en donde los elementos de A se transforman en elementos del conjunto B. Luego, la expresión f : A → B traduce dicha idea. Además, y = f(x) significa que y es el resultado de “procesar” al elemento x mediante la función f. • Por definición de dominio de una función se tiene: Dom (f) = {x ∈A / ∃ y ∈B : y = f(x)}

Lado (cm)

a) ¿Qué valor toma la variable y si la variable x es 3 cm?, ¿y si x es 7 cm? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a esta función? c) ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? (Habilidades que desarrolla: interpretar, identificar, representar y formular).

301

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 302

TEXTO DEL ESTUDIANTE 180 Y 181

Unidad 6

Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones, determinar la expresión algebraica asociada y observar su dominio y recorrido. Gráfico de una función en Excel 1º En la columna A escribe el doble de los siete primeros números naturales, en orden creciente, es decir, en la celda A1 escribe el doble de 1, en A2 el doble de 2, en A3 el doble de 3, así sucesivamente, hasta A7. 2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”. 4º En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”. 5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla, como el que aparece a continuación: 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. En una florería, cada rosa vale $ 1200. Si x representa la cantidad de rosas de un ramo e y su costo, ¿cuál es la función que representa el precio de un ramo de rosas? 1200 A. y = 1200 B. y = 1200 + x C. y = 1200x D. y =

2. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta? A. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente. B. Si el dominio de la función y = 3x corresponde al conjunto de los números naturales, el recorrido está compuesto por los divisores de tres. C. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. D. La relación entre un número natural y su doble es una función que algebraicamente se representa como y = 2x. 3. La función y = 130x representa el dinero (y) que se recauda en un día según la cantidad (x) de sopaipillas vendidas en una panadería. a) b) c) d)

6º Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Relación entre un número natural y su doble. Luego de desarrollar los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades. a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al gráfico anterior?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? b) En una nueva planilla de cálculo, escribe el área de seis cuadrados, cada uno tiene como medida de sus lados un número natural (en cm), partiendo desde 1 hasta 6, en orden creciente. Luego, sigue nuevamente los seis pasos y responde las preguntas anteriores. c) En el almacén de don Luis se venden masticables a $ 40 cada uno. • • • • •

Mi progreso

¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? Sigue los seis pasos anteriores para graficar esta función, en una nueva planilla de cálculo. ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? ¿Cuánto costarán diecisiete masticables?, ¿por qué?

Si un día contabilizaron $ 12 610, ¿cuántas sopaipillas se vendieron? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste. Grafica esta función en tu cuaderno.

4. ¿Puedes determinar una expresión algebraica que modela los valores de la siguiente tabla? x

Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio

Analizar la veracidad de afirmaciones asociadas a funciones.

Resolver un problema que requiere analizar una función.

Analizar una función escrita en tabla y escribirla algebraicamente.

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.

Herramientas tecnológicas

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

180 Unidad 6

302

Ítem

Reconocer la función que representa una situación dada.

181

Usar herramientas, identificar, formular, representar, calcular y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 303

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Para realizar las actividades con sus estudiantes, es conveniente que realice todas las actividades propuestas previamente. Además, es fundamental que identifique las funciones que se solicitan, pues no todas las representaciones gráficas son una recta. Por ejemplo, la primera función es f(x) = 2x, donde x ∈ , la segunda es g(x) = x2, donde x ∈ ; y la tercera función es p(x) = 40x, donde x ∈ . • Durante el desarrollo de la actividad, supervise permanentemente a sus alumnos y alumnas, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuda y orientación. • Es conveniente que una vez que terminen la actividad, discutan y comenten los resultados obtenidos para hacer una puesta en común.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Resuelve los mismos problemas de la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS en tu cuaderno, graficando las funciones de forma manual. Luego, justifica cada uno de tus pasos. (Habilidad que desarrolla: usar herramientas, formular, calcular, justificar y representar). De profundización 1. Utiliza una planilla de cálculo para graficar el problema 2 de la página 181, indicando cada uno de los pasos. (Habilidad que desarrolla: usar herramientas, conectar, recordar, formular, representar y justificar).

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: Mi progreso Ítem 1: analizar, representar y formular. Ítem 2: analizar y distinguir. Ítem 3: analizar, calcular, identificar, representar y justificar. Ítem 4: analizar y formular.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 y 2, los alumnos y alumnas deben marcar la alternativa correcta, lo que dificulta el monitoreo respecto de los procedimientos empleados. Es conveniente que les pida que realicen los pasos al lado de cada pregunta, ya que si hay errores en el desarrollo, será más sencillo detectarlos y corregirlos. • En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar la función correcta, pídales que reconozcan primero las variables dependiente e independiente. • En el ítem 2 es importante que les solicite que justifiquen aquellas afirmaciones que consideran incorrectas; es decir, mencionar por qué cierta afirmación es falsa. • En el ítem 3, cada pregunta está orientada a recordar y aplicar lo aprendido hasta ahora, es por ello que debe monitorear las soluciones obtenidas, pues podrá detectar a aquellos alumnos y alumnas que tienen más dificultades. Se sugiere que revisen en la pizarra el desarrollo de las preguntas. • En el ítem 4, si sus alumnos y alumnas tienen dificultad para reconocer la función que representa la situación, pídales que sigan completando la tabla, a fin de reconocer la regularidad. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 3 y 4. Ítem 3

303

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Responde correctamente cada una de las preguntas, justificando sus pasos.

Responde correctamente cada una de las preguntas sin justificar todos sus pasos.

Responde erróneamente una o dos preguntas; no justifica todos sus pasos.

Responde erróneamente más de dos preguntas; no justifica sus pasos.

Formula correctamente la función asociada de forma mental.

Formula correctamente la función asociada, recurriendo a la visualización de algún diagrama para obtenerla.

Identifica el comportamiento de la función, pero no identifica la expresión algebraica asociada.

No identifica el comportamiento de la función ni la expresión algebraica asociada.

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 304

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

3. Observa el siguiente gráfico, completa la tabla y responde.

De refuerzo

1. Claudio recorre en su bicicleta un tramo de 45 km, desde su casa al parque, a una velocidad promedio de 10 km/h.

y = f(x)

1 2

a) ¿Cuánto demora aproximadamente en recorrer dicha distancia si no se detiene en ningún momento?, ¿por qué?

2,5

b) Después de 3 horas, ¿qué distancia recorre aproximadamente si no se detiene y mantiene el ritmo?, ¿alcanza a llegar al parque?

3,5

3 4

c) ¿Qué expresión algebraica representa la distancia recorrida (y) por hora (x) transcurrida? d) ¿Cuál es la variable independiente?, ¿y la dependiente?, ¿por qué? e) Si Claudio recorrió 62,5 km sin realizar detenciones y a velocidad constante, ¿cuánto tiempo tardó? f) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.

a) ¿Qué expresión algebraica representan el gráfico y la tabla anteriores?

g) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

b) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido? c) Si x = 4, ¿cuál es el valor de y?

2. Una persona, en promedio, quema 130 calorías por bailar durante media hora (sin parar). Minutos Calorías quemadas a) Completa la tabla. 30 60 90 120 150 180 b) ¿Cuántas calorías quema si baila una hora y media?, ¿y dos horas con quince minutos? c) ¿Cuál es la función que permite calcular la cantidad de calorías quemadas por hora? d) ¿Cuál es la variable independiente?, ¿y la dependiente?, ¿por qué? e) Si una persona quema 325 calorías bailando, ¿cuántos minutos bailó?

304

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

4. En un kiosco se venden diferentes revistas de “ciencias”, las que traen diversas fichas anexas. a) Completa la siguiente tabla con los valores que se pagarían por cada revista, según si traen 4, 5 ó 6 fichas. Revista

Precio unitario ($) Valor por ficha adicional ($)

2890

1000

3690

900

4790

500

Revista

A B C b) ¿Qué revista conviene (por precio) si se compran 4, 5 ó 6 fichas? c) ¿Qué funciones representan el precio de cada revista si se compran x fichas?

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 305

De profundización

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 304 Y 305 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

1. Andrea compra una blusa en $ 5400, la que estaba rebajada en 60%.

De refuerzo

a) ¿Cuánto costaba la blusa inicialmente?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? b) Completa la siguiente tabla y el gráfico que relaciona la cantidad de blusas, con descuento incluido, con el gasto asociado. N° de blusas

Precio ($)

5400

1. a) b) c) d) e) f)

2. a)

2 3 4 7 9 Precio ($)

4 h 30 min 30 km y = 10x Variable independiente: horas; variable dependiente: distancia recorrida. 6 h 15 min El Dom (f) son los números positivos ( +) y el Rec (f) son los números positivos ( +).

Minutos 30 60 90 120 150 180

Calorías quemadas 130 260 390 520 650 780

b) 390 calorías y 585 calorías, respectivamente. c) f(x) = 260x d) Variable independiente: horas; variable dependiente: calorías quemadas. e) 1 h 15 min

55 000

3. a) f(x) = x b) El Dom (f) son todos los números positivos y negativos, incluido el cero ( ), y el Rec (f) = . c) y = 4

50 000 45 000 40 000 35 000 30 000

4. a) Revista A B C

25 000 20 000 15 000 10 000

9 10 11 12 Cantidad de blusas

1. a) $ 13 500, x = b)

2. La función y = 3790x representa el dinero que se recauda en un día, según la cantidad de pollos asados vendidos en un local de comida rápida.

305

5 7890 8190 7290

6 8890 9090 7790

b) La revista C. c) A: f(x) = 2890 + 1000x B: g(x) = 3690 + 900x C: p(x) = 4790 + 500x

De profundización

5000

a) b) c) d)

4 6890 7290 6790

Si un día contabilizaron $ 49 270, ¿cuántos pollos asados vendieron? ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste. Construye en tu cuaderno el gráfico de esta función.

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

5400 • 100 40

N° de blusas 1 2 3 4 7 9 11

Precio ($) 5400 10 800 16 200 21 600 37 800 48 600 59 400

2. a) 13 b) Variable independiente: cantidad de pollos; variable dependiente: dinero recaudado. c) Dom (f) = 0 y Rec (f) = {3790 • n / n ∈ 0}.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 306

TEXTO DEL ESTUDIANTE 182 Y 183

Unidad 6

Variaciones proporcionales y no proporcionales Marisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuenta de que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no se ve igual que la fotografía original.

No olvides que... • Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variables son proporcionales.

Completa la tabla. Fotografía original (1)

Fotografía 2

Actividades 1. Mide el largo y ancho de las siguientes fotografías y determina si son proporcionales a la fotografía original.

Fotografía 3

Fotografía original

Largo (cm)

Ancho (cm)

Fotografía (1)

Fotografía (2)

Fotografía (3)

Razón entre largo y ancho

2. Un padre tiene 40 años de edad y su hijo, 20 años. Completa la siguiente tabla y, luego, responde. Tiempo transcurrido en años

Para discutir • ¿Cuál es el valor de la razón en cada caso? • ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las fotografías forman una proporción?, ¿por qué? • ¿Cuál es la fotografía “distorsionada”?, ¿por qué?

Glosario constante: es un valor de tipo permanente, que no se modifica, en una situación dada.

En la situación presentada, al calcular el valor de la razón de la fotografía original, de la fotografía 2 y de la fotografía 3, obtenemos 2, 3 y 2, respectivamente. Notemos que en la fotografía original y en la fotografía 3 el valor de la razón se mantiene constante, por lo tanto, la fotografía 3 está correctamente ampliada; en este caso, diremos que las fotografías 1 y 3 son proporcionales, mientras que las fotografías 1 y 2 no son proporcionales, ya que sus razones no forman una proporción, es decir, la fotografía 2 es la que se ve distorsionada.

1 Padre

Hijo

3. Observa los datos respecto de la temperatura de un paciente en un día cualquiera. Hora (h) Temperatura (ºC)

37,5

38,5

37,5

a) ¿Cuáles son las variables que intervienen? b) Estas variables ¿son proporcionales o no proporcionales?, ¿por qué? c) Construye el gráfico correspondiente.

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

• […] Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional.

Para discutir

306

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

• ¿La edad del padre y la del hijo son proporcionales a medida que transcurren los años?, ¿por qué?

182 Unidad 6

• Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

183

Ítem 1: calcular. Ítem 2: identificar y justificar. Ítem 3: analizar y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 307

Actividades Ítem 1: usar herramientas, analizar e identificar. Ítem 2: analizar, calcular y justificar. Ítem 3: identificar, analizar, representar y justificar.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de la vida diaria en la que una de las fotografías está distorsionada con respecto a la original. Esto permite relacionar directamente la Matemática con actividades que realizamos habitualmente y que muchas veces pasamos por alto.

• Los términos a y d se denominan téminos extremos, y c y d, términos medios. • Teorema fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos. Es decir: c a = ⇔ a • d = b • c, con b ≠ 0, d ≠ 0 d b Demostración: Sean a, b, c, d ∈ y b ≠ 0, d ≠ 0, y tenemos que

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por “bd”, es decir: c a = d b

Esta instancia es propicia para que comente sobre los dibujos a escala, que representan la realidad en un mapa o plano, es decir, relaciona las dimensiones reales y las del dibujo; por ejemplo, la escala 1 : 5000 significa que 1 cm del plano equivale a 50 m en la realidad, pues el primer término (antecedente) indica el valor del plano, mientras que el segundo término (consecuente) señala el valor de la realidad.

a b

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es conveniente recordar y profundizar respecto de los conceptos de razón y proporción: • Se llama razón a la comparación por cociente entre dos cantidades a y b cualesquiera. Una razón se puede expresar como: a a : b, o , ∀ a, b ∈ , b ≠ 0 b Se lee “a es a b”. Toda razón tiene asociado un cociente llamado valor de la razón. Así: a = k, k ∈ donde k es el valor de la razón. b • Se llama proporción a la igualdad entre dos razones. Dada una proporción c a a : b = c : d, o bien = , donde a, b, c, d ∈ y b ≠ 0, d ≠ 0. d b

•

bd =

c d

/ • bd •

/ simplificando

a•d=c•b

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE PROBLEMAS • En el ítem 1, solicíteles a sus estudiantes que midan con regla y anoten las medidas respectivas al lado del largo o ancho, según corresponda. Además, para determinar si son proporcionales, monitoree que calculen el valor de la razón que corresponde, sin invertir los valores. • En los ítems 2 y 3, pídales que justifiquen su decisión con ejemplos concretos. Mencione que para refutar una idea o afirmación, basta con dar un contraejemplo, mostrando que si no se cumple en uno de los casos, la afirmación no es cierta. De lo contrario, se debe probar si son verdaderas.

c a = . d b

∴ a • d = c • b ∀ a, b, c, d ∈ y b ≠ 0, d ≠ 0

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Don Manuel es un comerciante y vende juguetes en temporada de Navidad. Desde el 15 de diciembre, sus ventas aumentan en 4 juguetes más por cada día transcurrido, es decir, si un día normal vende 20, al otro, 24 y al siguiente, 28, etcétera. a) Completa la siguiente tabla y responde: Días del mes de diciembre

Juguetes vendidos

¿Los días del mes de diciembre y los juguetes vendidos son proporcionales a medida que transcurren los días?, ¿por qué? b) ¿Cuánto vendió el día 22 de diciembre? c) ¿Cuántos vendió en total hasta el 24 de diciembre? (Habilidades que desarrolla: analizar, justificar, representar y calcular).

Se lee “a es a b como c es a d”. 307

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 308

TEXTO DEL ESTUDIANTE 184 Y 185

Unidad 6

Relación de proporcionalidad directa En una ciudad del país, el valor de un boleto de locomoción pública cuesta $ 430. El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la relación entre la cantidad de boletos vendidos y el precio. Completa la tabla.

En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos vendidos es constante, ya que, 430 860 1290 = = = 430. 1 2 3 En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta forma, es decir, si el valor de la razón

Cantidad Total por pagar de boletos ($)

Precio ($) 2000

430 • 1 = 430

1500

430 • 2 = 860

1000

y es constante, las variables x

son directamente proporcionales. Además, notemos que, en este ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero debemos pagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa si una de las variables aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma razón.

500

5 1

Cantidad de boletos (Nº)

No olvides que...

Para discutir • ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por veinticuatro? • ¿Cuál es la función que modela esta situación? • ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?, ¿cuál es su dominio y recorrido? • ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos vendidos?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es siempre el mismo?

La situación presentada se puede modelar mediante la función

• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son directamente proporcionales si el valor de la razón

y es constante, es decir, y = k, donde k es la constante x x

de proporcionalidad. • Esta relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una misma recta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas. • En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra también aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuye en un mismo factor.

f (x) = 430x. En este caso, el precio total (variable y) depende de la cantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto, el total corresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a la variable independiente. Además, dado que se trata de cantidad de boletos, podemos notar que los valores que puede tomar la variable x, son el conjunto de los números naturales, es decir, Dom ( f ) = y los valores que resultan al remplazar los números naturales en la función son múltiplos de 430, es decir, Rec ( f ) = 兵430, 860, 1290, 1720, …其. Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular el valor de la función para x = 5, remplazando obtenemos: f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150. Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletos calculamos f (24) = 430 • 24 = 10 320, es decir, se pagará $ 10 320.

Actividades 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Justifica tus respuestas. a) b) c) d) e) f)

El número de hojas de un libro y su peso. La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro. Las longitudes de los lados de un triángulo y su área. El precio de las entradas para ir al cine y la cantidad comprada. El número de trabajadores y los días que demoran en terminar su trabajo. La longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

184 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN:

• Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. […]. • Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

Para discutir

308

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

185

Ítem 1: calcular. Ítem 2: representar. Ítem 3: identificar. Ítem 4: calcular y analizar. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 278-309)_Maquetación 1 04-08-11 19:06 Página 309

ACTIVIDAD INICIAL

Ejemplo:

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de su entorno que se relaciona con actividades cotidianas. Además, sus conocimientos y experiencias previas les facilitarán la comprensión y asimilación de los nuevos conceptos involucrados y de los modelos matemáticos que les permitirán solucionar diversos problemas, como el que se les presenta en esta página.

Un niño da un paseo en bicicleta a velocidad constante y, así, recorre 8 kilómetros en una hora.

Para complementar las preguntas de esta sección, podría plantear lo siguiente:

En este caso la constante de proporcionalidad es 8; por lo tanto, la gráfica que representa esta situación está dada por y = 8x.

• En esta función, ¿la variable independiente puede tomar valores decimales?, ¿por qué? • ¿Qué sucede si el boleto aumenta en $ 20?, ¿cómo representarías la función en este caso? • ¿Qué ocurre ahora con la razón entre el total que se debe pagar y la cantidad de boletos vendidos?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

• En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar que las variables se relacionan de manera directamente proporcional, pídales que les asignen valores en cada caso y completen una tabla para así analizar y calcular si la razón entre ellos es constante. Por ejemplo, para la actividad f, “la longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro”, podemos darles los siguientes valores:

De refuerzo

Longitud del lado (cm)

Perímetro (cm)

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Justifica tu respuesta. a) Lo que lee diariamente Carlos de un libro y lo que le falta para terminarlo. b) El tiempo de encendido de un televisor y la energía que gasta. c) La cantidad de harina que se necesita para hacer un número determinado de panes. d) El total de artículos vendidos en una tienda y las ganancias adquiridas. (Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar).

Comprobamos que el valor de la razón entre las variables en este caso es cons6 12 30 tante = = = 3 . Por lo tanto, sí se relacionan de manera directamente 2 4 10 proporcional.

冢

冣

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es importante profundizar respecto de la representación gráfica de una relación de proporcionalidad directa: Dadas dos variables, x e y, directamente proporcionales, con constante de proporcionalidad k, se tiene que su gráfica está dada por y = k • x, es decir, el gráfico es una línea recta que pasa por el origen.

De profundización 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Determina la constante de proporcionalidad directa en los casos que lo sean. a)

144

180

500

600

200

(Habilidades que desarrolla: analizar e identificar).

309

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 310

TEXTO DEL ESTUDIANTE 186 Y 187

Unidad 6

2. En los días de calor, el dueño de un kiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla con los posibles pedidos. Complétala. Cantidad de helados

Precio ($)

4. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en un tiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo.

360

Distancia (km)

a) ¿Cuál es la razón entre el precio y la cantidad de helados?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio? c) ¿Cuánto costarán dieciocho helados?, ¿y treinta y cinco?, ¿por qué? d) Completa el gráfico de esta función.

120 110 100 90 80

Precio ($)

1600

40 30 20

1200 800

10 0

400 1

Cantidad de helados (Nº)

3. Observa el rectángulo. Luego, completa la tabla y el gráfico correspondiente y responde. 3x

Perímetro rectángulo (y)

Perímetro (y)

Tiempo (h)

Distancia (km)

a) b) c) d) e) f) g)

Tiempo (h)

Completa las tablas según el gráfico. ¿Cuál de los dos autos va más rápido?, ¿por qué? ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km? ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde? ¿A qué distancia del punto inicial se encontrará el auto verde en 10 horas más? ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km? ¿Cuál es la función que representa la distancia recorrida por el auto rojo?, ¿y la del auto verde?

En equipo Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. En esta actividad deberán buscar información en diversas fuentes para completar y responder las siguientes preguntas.

5 1

Ancho (x)

a) ¿Qué sucede con el perímetro a medida que x aumenta?, ¿y si disminuye? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? Explica cómo la encontraste.

a) Los trenes del Metro de Santiago viajan con una rapidez promedio de por hora entre cada estación. b) Si la distancia desde Santiago a Talca es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones? c) Si la distancia desde Valparaíso a Temuco es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones? d) Si el Metro logró llegar a su destino en 2,8 horas, ¿cuántos kilómetros recorrió aproximadamente sin considerar las detenciones?

186 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. […].

Actividades

• Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. 310

Distancia (km)

1 2

Tiempo (h)

70 60 50

2000

Trayectoria de 2 autos

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

187

Ítems 2 y 3: analizar, identificar, calcular, representar y justificar. Ítem 4: analizar, interpretar, calcular, identificar, formular y justificar.

En equipo Conectar y calcular. Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 311

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De profundización

• En el ítem 2, para facilitar el desarrollo de la actividad, es conveniente que sus estudiantes comiencen por llenar la tabla, para luego responder las preguntas. Una vez identificada la expresión algebraica que modela la situación, es aconsejable que hagan el gráfico. • En el ítem 3, si tienen dificultades para responder, pídales que le agreguen más valores a la tabla para que observen el comportamiento de la función más ampliamente. • En el ítem 4, es importante que analicen la información entregada en la representación gráfica para completar la tabla correctamente, lo que facilitará la obtención de las respuestas a las preguntas planteadas sin mayores dificultadades ni errores.x • En la actividad EN EQUIPO es necesario que sus estudiantes cuenten con un computador con conexión a Internet para encontrar la información requerida.

1. Una empresa de turismo aventura formó dos grupos por edades (A: niños, B: adultos) para efectuar un paseo. Para el grupo A, se asignan 2 kg de alimento por persona; y para el grupo B, se asignan 3 kg de alimento por persona. a) Grafica los kilogramos de alimento de los dos grupos de turistas, A y B, según el número de personas. kg de alimento 20 18 16 14

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo

1. En cada sobre de jugo en polvo de una marca cualquiera hay 5 gramos de azúcar. Completa la siguiente tabla y responde: 1

Sobre de jugo

Gramos de azúcar

8 6 4 2 0

a) ¿Cuál es la razón entre los gramos de azúcar y los sobres de jugo?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido? c) ¿Cuántos gramos de azúcar tendrán 20 sobres?, ¿y 45 sobres? d) Completa el gráfico de esta función.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Número de personas

a) ¿Cuántos kilogramos de alimento en total se necesitan para 25 personas del grupo A y 12 del grupo B? b) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el grupo A?, ¿y para el grupo B? c) ¿Cuántos turistas del grupo A necesitan 80 kilos?, ¿cómo lo supiste?

Gramos de azúcar

d) ¿Cuál es la función que representa los kilogramos de alimento del grupo A?, ¿y del grupo B?

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, representar y formular).

60 50 40 30 20 10 2

10 12 14 16

Sobres de jugo

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, identificar, formular y calcular). 311

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 312

TEXTO DEL ESTUDIANTE 188 Y 189

Unidad 6

Relación de proporcionalidad inversa Para terminar la construcción de un edificio, el ingeniero a cargo ha calculado que con diez obreros igualmente calificados y trabajando en las mismas condiciones, termina la obra en treinta días.

Nº de días 70 60

El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la relación entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio. Completa la tabla.

50 40 30 20

Número de obreros

10 10

20 30

Nº de obreros

Número de días

10 30

50 6

Por otro lado, notemos que si aumenta la cantidad de obreros, disminuye la cantidad de días que demoran en realizar el trabajo en la misma razón y, si la cantidad de obreros disminuye, aumenta la cantidad de días que tardarán en realizar la obra en la misma razón. 300 Luego, la función que modela esta situación es y = , donde x

corresponde al número de obreros y son números naturales e y corresponde a los días, por lo que son números naturales también. Los valores que puede tomar la variable x son números naturales divisores de 300, es decir, Dom ( f ) = 兵1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, …, 300其 y los valores que resultan al remplazar estos números corresponden al recorrido de la función, es decir, Rec ( f ) = 兵300, 150, 100, …, 2, 1其.

Para discutir • ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y trabajaran todos al mismo ritmo?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿y si contratara a la mitad de obreros considerados inicialmente? • ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio?, ¿es constante? • ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio y su recorrido?

No olvides que... • Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, están en proporción inversa cuando el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x • y = k, donde k es la constante de proporcionalidad. • Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma

k y = x . La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva, En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinte obreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues al duplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían la mitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contrataran a cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar el trabajo, ya que como corresponden a la mitad de los considerados inicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo. Notemos que la variable independiente x es el número de obreros y la variable dependiente y es el número de días. Observa que, el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio es constante, pues 5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300. En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta forma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables son inversamente proporcionales.

llamada hipérbola. • En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor.

Actividades 1. Indica si las siguientes variables son inversamente proporcionales. Justifica tus respuestas. a) b) c) d) e) f)

La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetro El número de días que tardan en realizar un trabajo un cierto número de secretarias. El número de dulces del mismo tipo que compró y lo que pagó por ellos. La rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre. Litros de bencina del estanque de un automóvil y los kilómetros que rinde. El caudal de una llave y el tiempo que se demora en llenar un estanque.

188 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

189

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Actividades

Para discutir

Ítem 1: calcular. Ítem 2: analizar y calcular. Ítem 3: representar e identificar.

Ítem 1: analizar, identificar y justificar.

312

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 313

ACTIVIDAD INICIAL

Ejemplo:

Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio, y tienen por objetivo que los alumnos y alumnas analicen una situación de su entorno que se relaciona con su diario vivir. Además, sus conocimientos y experiencias previas les facilitarán la comprensión y asimilación de los nuevos conceptos involucrados y de los modelos matemáticos que les permitirán solucionar diversos problemas como el que se les presenta en esta página.

En una fábrica de alimentos envasados se embala una producción mensual (que es constante) de aceitunas en 3000 cajas que pueden contener 24 latas cada una.

Para complementar las preguntas de esta sección, podría plantear lo siguiente:

Se quiere variar el tamaño de las cajas para que su capacidad sea de: 8 latas, 12 latas, 48 latas y 72 latas.

• En esta función, ¿la variable independiente puede tomar valores decimales?, ¿por qué? • ¿Qué sucede con la cantidad de días que tardan si el número de obreros es 40?, ¿y si es 60?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ítem 1, si sus estudiantes tienen dificultades para identificar que las variables se relacionan de manera inversamente proporcional, pídales que les asignen valores en cada caso y completen una tabla para así analizar y calcular si la razón entre ellos es constante. Por ejemplo, la actividad k) “la rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre” podemos darles los siguientes valores, considerando que se recorre a rapidez constante una distancia de 450 km: Rapidez (km/h)

Tiempo (horas)

150

Así comprobamos que el valor de la razón entre las variables en este caso es constante (50 • 90 = 90 • 5 = 150 • 3 = 450). Por lo tanto, sí se relacionan de manera inversamente proporcional.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es importante profundizar respecto de la representación gráfica de una relación de proporcionalidad inversa: Dadas dos variables, x e y, inversamente proporcionales con constante de propork cionalidad k, su gráfica está dada por la expresión y = o x • y = k; es decir, el x gráfico es una curva llamada hipérbola.

Como las variables se relacionan de manera inversamente proporcional, la constante de proporcionalidad se obtiene por el producto de sus variables, que es 72 000 . 72 000. Luego, la gráfica está dada por la función y = x

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera inversamente proporcional. Justifica tu respuesta. a) b) c) d)

La cantidad de lados de un polígono y la medida de sus ángulos interiores. El número de albañiles y el tiempo que demoran en terminar una obra. Los litros de bencina en el estanque de un automóvil y los kilómetros recorridos. La rapidez con que Carolina camina a su colegio y el tiempo que demora.

(Habilidades que desarrolla: analizar, identificar y justificar). De profundización 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera inversamente proporcional. Determina la constante de proporcionalidad inversa en los casos que lo sean. a)

12 20

120

(Habilidades que desarrolla: analizar e identificar). 313

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 314

TEXTO DEL ESTUDIANTE 190 Y 191

2. El 8º A irá a una ciudad del sur de Chile como gira de estudios. Los apoderados quieren que el lugar de destino sea sorpresa y la única información que les dan es que si el bus va a 80 km/h, tardarían 6 horas en llegar al lugar. a) ¿A qué distancia se encuentran de esta ciudad? b) Completa la siguiente tabla que indica la rapidez posible del vehículo y el tiempo que tardarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. Completa el gráfico correspondiente.

Unidad 6

4. Descubre qué tablas expresan funciones de proporcionalidad inversa y cuáles directa. En cada caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponde. Luego, escribe la función que modela los datos en cada tabla. x

525

120

875

100

350

0,5

1750

Rapidez (km/h)

Tiempo (h)

Rapidez (km/h)

4 6

¿Cuál es la función que relaciona la rapidez y el tiempo, en este caso?, ¿cuál es su dominio? ¿A qué rapidez debe ir el vehículo para tardar 5 horas en llegar? Si el vehículo fuese a una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino? Si la rapidez promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una persona en realizar el mismo viaje? g) Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes? 3. En cada caso, completa la tabla, explica por qué las variables están inversamente relacionadas, determina la función que las modela y construye el gráfico en tu cuaderno. a) El área de un rectángulo es 6 cm2. base (cm)

1,5

altura (cm)

b) Un tren debe recorrer 600 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardará si lleva una rapidez constante? Rapidez constante (km/h)

100

Tiempo (h)

120

c) Un panadero elaboró 144 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. ¿Cuántas cajas podría armar según la cantidad de alfajores que se indican en la tabla? Cantidad de alfajores por caja

1,5

Tiempo (h)

c) d) e) f)

Área 6 cm2

0,5

5. Resuelve en tu cuaderno y, luego, completa la tabla.

Problema

Tipo de proporcionalidad

Función que la representa

Respuesta al problema

Quince máquinas iguales hacen su trabajo en cinco días. ¿Cuántas máquinas se necesitan para hacer el trabajo en un día? Una persona acumula en promedio 1 kg de basura diaria. ¿Cuántos kilogramos juntará en diez días? Si van doce niños a un campamento, los alimentos durarán seis días. Si todos comen la misma cantidad, ¿cuántos días durará la comida si van seis niños más? Dos ciclistas demoran cuatro horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 30 km por hora. ¿Con qué rapidez tendrían que viajar para tardar tres horas? La impresora de un colegio reproduce cincuenta y cuatro informes de notas en tres minutos. ¿Cuántos informes imprime en cinco minutos?

Cantidad de cajas

190 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

Actividades

314

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

191

Ítems 2 y 3: analizar, identificar, calcular, representar, formular y justificar. Ítems 4 y 5: analizar, identificar, calcular y formular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 315

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

De profundización

• En el ítem 2, es conveniente completar la tabla previamente para identificar la función, pues una vez planteada, es más sencillo construir el gráfico. • En el ítem 3, si sus estudiantes tienen dificultades para completar las tablas, permítales trabajar con otro compañero o compañera, ya que así pueden discutir e intercambiar ideas. Al finalizar esta actividad, pregunte por los resultados obtenidos y guíelos para que lleguen a una puesta en común. • En el ítem 4, es conveniente recordar y comparar las relaciones de proporcionalidad directa e inversa; por ejemplo, identificar cómo se relacionan las variables en cada caso al aumentar o disminuir, y, también, analizar la constante de proporcionalidad. • En el ítem 5, es conveniente promover la lectura de los problemas planteados y crear un clima de concentración y discusión constructivo. Además, pídales que anoten en sus cuadernos la estrategia de solución. De este modo, al revisarlas en la pizarra pueden analizarlas y mostrarlas al resto del curso.

1. En una empresa de agua mineral se envasan 200 litros diariamente. Para ello disponen de botellas con capacidad de medio litro, un litro, dos litros y 2,5 litros. a) ¿Cuántas botellas de medio litro se necesitarían al día?, ¿y de 2,5 litros? b) ¿Cuál es la variable dependiente (y)?, ¿y la independiente (x)?, ¿por qué? c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste? d) ¿Cuál es la función que modela esta situación? e) Construye una tabla con los datos dados. f) Construye en tu cuaderno el gráfico de esta función. 2. Las siguientes tablas muestran valores de x e y, que representan relaciones de proporcionalidad inversa. Determina los valores desconocidos de cada tabla.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

De refuerzo

1. Seis obreros cavan en dos horas una zanja. Completa la siguiente tabla y responde:

Número de obreros

Tiempo que demoran (horas)

1 18

2 60 20

90 60

12 20

(Habilidades que desarrolla: analizar, calcular, identificar, representar y formular).

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio? c) ¿Cuánto tiempo demoran tres obreros trabajando en las mismas condiciones?, ¿y nueve obreros? d) Completa el gráfico de esta función. Tiempo (horas) 12 10 8 6 4 2 0

Número de obreros

(Habilidades que desarrolla: analizar, representar, identificar, formular y calcular). 315

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 316

TEXTO DEL ESTUDIANTE 192 Y 193

Unidad 6

Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones de proporcionalidad directa e inversa. Gráfico de funciones proporcionales y no proporcionales

Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

1º Para graficar la función que representa la relación entre un número natural y su triple, en la columna A escribe los primeros seis valores del recorrido de la función, es decir: 3, 6, 9, 12, 15 y 18. 2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

A. La cantidad de kilogramos de pan y su costo son proporcionales a medida que aumenta la cantidad de pan. B. En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta la otra también aumenta. C. La edad de Juan (12) y su hermano Luis (15) son proporcionales a medida que transcurren los años. D. En una función de proporcionalidad inversa el producto entre las variables es constante. 2. Carlos viajó a la costa la semana pasada. Tardó dos horas en llegar al destino viajando a 100 km/h durante todo el trayecto. ¿Cuánto hubiese demorado si fuera a 80 km/h durante todo el viaje? A. 2 h y 5 m

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego la opción “Gráfico”. En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”. 4º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que aparezca en la planilla un gráfico como el siguiente: 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

B. 4 h

C. 2 h y 50 m

3. La función que relaciona el tiempo y la rapidez en la pregunta anterior es: A. y =

200

B. y =

x 200

C. y = 200x

D. y = 2 • 100

4. Laura hará un queque para quince personas, usando una receta que necesita cinco huevos. a) Si usa esta receta, ¿cuántos huevos necesitará para hacer un queque para veintiún personas? b) ¿Qué función representa esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? c) Construye el gráfico que representa esta situación. Revisa tus respuestas en el solucionario del Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. 0

Luego de realizar los pasos anteriores: a) Grafica la función que representa la relación entre un número natural y su sucesor. b) Grafica la función que representa la relación entre un grupo de amigos que están de vacaciones y la cantidad de días que les alcanzará el alimento, considerando que para tres personas el alimento alcanza cuatro días y todos los días consumen la misma cantidad. c) Escribe función que modela cada situación. d) ¿Cuál es el dominio de cada función anterior?, ¿y su recorrido? e) En las funciones anteriores ¿las variables se relacionan en forma proporcional? Explica. f) ¿Qué semejanzas observas en los gráficos de cada función?, ¿y qué diferencias? g) ¿Alguna de las situaciones anteriores no representa una variación proporcional?, ¿cuál?, ¿por qué?

Criterio

Ítem

Analizar afirmaciones relacionadas con magnitudes proporcionales y no proporcionales.

Analizar una situación de proporcionalidad inversa.

Reconocer una función de proporcionalidad inversa escrita en lenguaje algebraico. Resolver un problema sobre función de proporcionalidad directa.

3 4

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico.

Herramientas tecnológicas

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Respuestas correctas

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada.

192 Unidad 6

316

D. 2 h y 30 m

193

Usar herramientas, identificar, formular, representar, calcular y justificar.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 317

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

EVALUACIÓN FORMATIVA

• Para efectuar la actividad con sus estudiantes, es conveniente que realicen todos los ejercicios propuestos previamente. Además, es fundamental que identifiquen las funciones que se solicitan, pues son de proporcionalidad directa e inversa. Por ejemplo, la primera función es f(x) = 3x, donde Dom(f) = ⺞, la segunda es 12 , donde g(x) = x + 1, donde Dom(g) = ⺞; y la tercera es p(x) = x Dom(p) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Para observar los conocimientos adquiridos hasta este momento en la Unidad, se presenta la evaluación formativa MI PROGRESO.

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN:

• Es importante que les indique a sus estudiantes que las funciones que aparecen en los ítems a y b se deben graficar usando la planilla de cálculo y siguiendo los pasos señalados en el Texto. • Durante el desarrollo de la actividad, supervise permanentemente a sus alumnos y alumnas, pues podrían aparecer diversas dificultades que requieran de su ayuda y orientación. • Es conveniente que una vez que terminen la actividad, discutan y comenten los resultados obtenidos para hacer una puesta en común.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Resuelve los mismos problemas de la actividad HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS en tu cuaderno, graficando las funciones de forma manual. Luego, justifica cada uno de tus pasos. (Habilidad que desarrolla: usar herramientas, formular, calcular, justificar y representar). De profundización 1. Utiliza una planilla de cálculo para graficar los problemas del ítem 5 de la página 191. Indica cada uno de los pasos.

Mi progreso Ítem 1: analizar e identificar. Ítem 2: distinguir y calcular. Ítem 3: analizar e identificar. Ítem 4: analizar, representar, formular y calcular.

• En el ítem 1, es posible que los y las estudiantes identifiquen de manera incorrecta la afirmación que es falsa. Por ello, se recomienda analizar comprensivamente dichas afirmaciones utilizando, si es necesario, casos particulares. • En el ítem 2, es posible que los y las estudiantes expresen la solución en horas y minutos, sin convertir la parte decimal a minutos. Por ello es conveniente recordar la conversión de horas a minutos, y viceversa. Por ejemplo, si el resultado es 3,6 horas, podemos multiplicar 0,6 • 60 = 36. Entonces, el resultado se puede escribir como 3 h y 36 min. • En el ítem 3, es posible que los y las estudiantes confundan el tipo de proporcionalidad. Por ello, si es necesario, recuérdeles las relaciones de proporcionalidad estudiadas en esta Unidad. • En el ítem 4, se sugiere que guíe a sus estudiantes para que lean y analicen cada pregunta de forma individual. Además, pídales que anoten las soluciones y los gráficos en sus cuadernos, pues si cometen errores, es más fácil detectarlos y corregirlos. En las páginas siguientes se presentan actividades complementarias que podrá plantearles a sus estudiantes, según sus ritmos de aprendizaje.

(Habilidad que desarrolla: usar herramientas, conectar, recordar, formular, representar y justificar).

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en el ítem 4. Ítem

Completamente logrado

Representa, formula y calcula correctamente cada una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos.

317

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Logrado

Medianamente logrado

Representa, formula y calcula correc- Representa, formula y calcula erróneatamente cada una de las preguntas mente una de las preguntas y no justifica sin justificar todos sus pasos. todos sus pasos.

Por lograr Representa, formula y calcula erróneamente dos o tres preguntas y no justifica sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:09 Página 318

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

b) Relación de proporcionalidad

De refuerzo 1. Completa cada una de las situaciones según si corresponden o no a una relación proporcional.

¿Es proporcional? ¿Por qué?

Situaciones

La edad y la altura de las personas. La cantidad de horas extras trabajadas y el pago de ellas.

La cantidad de llaves abiertas y el tiempo que demora en llenarse un estanque.

f(x) =

La cantidad de naranjas y su peso. c) Relación de proporcionalidad

Los metros cuadrados de una sala y la altura de los muros.

La cantidad de litros de bencina y su precio. La cantidad de dólares y su equivalente en moneda nacional. La altura de una persona y la sombra que proyecta a una determinada hora.

28 8

La estatura y el peso de las personas.

La cantidad de CD de un cantante y el precio de ellos. X

La velocidad de un vehículo y el tiempo que demora en recorrer una distancia.

2. Completa las tablas que representan funciones de proporcionalidad directa o inversa. En cada caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponda. Luego, escribe la función que modele los datos de la tabla y construye el gráfico que representa dicha tabla. a) Relación de proporcionalidad x

d) Relación de proporcionalidad x

14 7

18 6

f(x) =

k= 318

f(x) =

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 319

De profundización

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 318 Y 319 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

1. Un libro tiene 75 páginas de 40 líneas cada una. Se quiere hacer una nueva edición del libro, con otra cantidad de páginas. Para ello se realizó el siguiente análisis:

De refuerzo

Nº de páginas

100

Nº de líneas por páginas

Sí

2. a) Relación de proporcionalidad directa.

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo la obtuviste? k=6 f(x) = 6x

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido? c) ¿Cuántas páginas tendrá un libro con 75 líneas por página? d) Completa el gráfico de esta función.

f(x) =

40 35

144 x

Sí

6 9

k = 144

Sí

x 50

Sí

c) Relación de proporcionalidad directa. k=4 f(x) = 4x

b) Relación de proporcionalidad inversa.

Nº de líneas por página

Sí

d) Relación de proporcionalidad inversa.

k = 42 f(x) =

42 x

25 20

De profundización

15 10

5 20

100

120

140

Nº de páginas

100

Nº de líneas por páginas

Nº de páginas

a) k = 3000 3000 , el dominio y recorrido de la función son todos los números x naturales divisores de 3000.

b) f(x) =

c) 40 páginas.

319

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 320

TEXTO DEL ESTUDIANTE 194 Y 195

Unidad 6

Buscando estrategias En una distribuidora de productos al por mayor se venden cajas de galletas según la siguiente regla: la primera caja cuesta $ 5000, la segunda cuesta $ 100 menos, la siguiente cuesta $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente, con un límite de veinticinco cajas. Si Diego compra veinte cajas de galletas, ¿cuánto pagó por la última caja?

Comprender • ¿Qué sabes del problema? Que la primera caja cuesta $ 5000, la segunda $ 100 menos, la tercera $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente.

• ¿Qué debes encontrar? El costo de la vigésima caja, si se sigue la regla.

Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para resolver el problema encontraremos la expresión algebraica que modela esta situación. Es conveniente construir una tabla de valores, a modo de observar el comportamiento de la función, para así encontrar una expresión algebraica que la represente y, finalmente, evaluar la función en el valor pedido (20) para responder a la pregunta.

Resolver

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones. a) Claudia solicitó un crédito para comprar una camioneta para su taller. Si el monto total del crédito es de $ 3 600 000, y lo cancelará en 36 cuotas iguales, ¿cuál es el monto por pagar después de pagar la octava cuota?, ¿y la cuota número 25?, ¿cuál es la función que representa esta situación? b) María Elena compró un saco de 20 kg de cebollas en la vega. Si cada día utiliza 400 g en las distintas recetas que prepara, ¿cuánta cebolla le queda después de dos semanas?, ¿cuál es la función que representa esta situación? c) Un veterinario cobra $ 7000 por realizar un aseo completo a un perro. Si se asean más perros, se efectúa el siguiente descuento: el segundo $ 350 menos, el tercero $ 350 menos que el anterior, y así se sigue esta regla sucesivamente hasta el décimo perro. Si Manuel llevó a asear a sus ocho perros: • ¿cuánto pagó por el octavo perro?, ¿y cuánto pagó en total? • ¿cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? • ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?

• En la siguiente tabla se muestran algunos valores para cada caja de galletas y el monto 2. Ahora, resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

por pagar: Cajas de galletas Costo de la caja ($)

5000

4900

4800

4700

4600

4500

Luego, podemos escribir la función que representa el costo de una caja, considerando cuántas ya se han comprado:

y = 5000 – 100(x – 1) donde x es la cantidad de cajas de galletas, e y es el costo de la caja. Finalmente, evaluamos la función en x = 20 y obtenemos:

y = 5000 – 100(20 – 1) = 5000 – 100 19 = 3100 •

Responder • El valor de la vigésima caja, si se sigue la regla, es de $ 3100.

3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Carolina tiene una deuda con su amiga Beatriz. Acordaron que Carolina le pagaría en doce cuotas de la siguiente forma: el primer mes abonaría $ 9000, el segundo $ 700 más, el tercero $ 700 más que el mes anterior, y así sucesivamente hasta saldar la deuda completa. • ¿Cuánto canceló Carolina el séptimo mes?, ¿y el décimo? • ¿Cuánto debe en total Carolina a su amiga? • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? b) En una fábrica de empanadas compran 5 kg de aceitunas semanalmente para su elaboración. La semana pasada utilizaron 800 g diarios de aceitunas. ¿Cuántas aceitunas quedaron, si fabrican empanadas de lunes a sábado?

Revisar • Para comprobar que la vigésima caja tiene un costo de $ 3100, podemos completar la tabla hasta la caja número 20.

194 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN:

• Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

Buscando estrategias

320

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

195

Ítem 1: analizar, identificar, formular, aplicar y calcular. Ítems 2 y 3: analizar, seleccionar, formular y calcular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 321

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En una tienda de mascotas se venden alimentos al por menor y al por mayor. Hasta 3 paquetes se venden al por menor, y si se compran más, al por mayor, con una rebaja de acuerdo al producto. Si el alimento para perros tiene un costo de $ 2500 y al por mayor el primero cuesta $ 2400; el segundo, $ 50 menos que el anterior; el tercero, $ 50 menos que el anterior, y así sucesivamente, con un límite de 20 paquetes: a) ¿Cuánto paga Leticia por el último paquete si compra 20? b) ¿Cuánto paga Fernanda en total si compra 7 paquetes? (Habilidades que desarrolla: aplicar, verificar y calcular).

/ propiedad distributiva / sumando se obtiene

De profundización

Entonces, evaluamos la función f(x) = 5100 – 100x, en x = 20. Esto es: f (20) = 5100 – 100 • 20 = 5100 – 2000 = 3100. Finalmente, se obtiene el mismo resultado para la vigésima caja ($ 3100).

1. Inventen un problema que involucre a uno o más de los contenidos de la Unidad. Intercámbienlo con algún compañero o compañera y resuélvanlo utilizando las estrategias para la resolución de problemas que conozcan u otra. (Habilidades que desarrolla: formular, seleccionar, aplicar y verificar).

Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

En proceso, logro parcial

No comprende

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

• Copia el problema.

• No entiende el problema.

• Identifica palabras clave.

• Entiende mal el problema.

• Puede que interprete mal parte del problema.

• Como rutina pide explicaciones.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos.

• Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

• Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

321

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 09-08-11 13:48 Página 322

TEXTO DEL ESTUDIANTE 196 Y 197

Unidad 6

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace.

NACIONAL

Día Mundial sin Tabaco SITUACIONES CON DOS VARIABLES

FUNCIONES

VARIABLES DEPENDIENTES

Gentileza MINSAL.

La adicción al tabaco es una enfermedad crónica, considerada por la Organización Mundial de la Salud (OMS) como la causa principal de enfermedades, invalidez y mortalidad prematura a nivel mundial. Además, no solo afecta a los fumadores, sino que a aquellas personas que están cerca de un fumador y respiran el mismo aire (los fumadores pasivos). En Chile, el 17% de las muertes que cada año ocurren se atribuyen al consumo de tabaco. La OMS ha establecido el 31 de mayo como el Día Mundial sin Tabaco y nuestro país no está ajeno a esta cruzada, en la que se llama a tomar conciencia para frenar su consumo, pues ha alcanzado niveles alarmantes, situándonos como el país con la población más fumadora de la región: en promedio ocho cigarrillos diarios (Estadísticas de consumo de tabaco en Chile).

Síntesis

Conexiones

Para finalizar

Fuentes: Ministerio de Salud, www.redsalud.gov.cl/noticias/noticias.php?id_n=449&show=5-2009 , publicada el 29 de mayo de 2009.

VARIABLES INDEPENDIENTES

VARIACIONES PROPORCIONALES

VARIACIONES NO PROPORCIONALES

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Consideren la cantidad promedio de cigarrillos que fuma una persona chilena y, luego, respondan. a) ¿Cuántos cigarrillos fumará una persona en un año?, ¿y en ocho años?, ¿cuáles son las consecuencias a corto y largo plazo de fumar? b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido? 2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. 3. Averigüen qué programas o actividades se han realizado este año en nuestro país para promover la vida sana libre del tabaquismo.

DIRECTA

INVERSA

Evaluamos nuestro trabajo

3. ¿Qué diferencias hay entre variables dependientes e independientes?, ¿y qué semejanzas?

1. Dibuja una tabla con cada integrante de tu grupo, incluyéndote a ti mismo y copia en ella los siguientes indicadores:

4. ¿Qué caracteriza al dominio de una función?, ¿y al recorrido? 5. ¿Cuándo las variables se relacionan proporcionalmente?, ¿y cuándo no son proporcionales?

• Respeté/respetó las opiniones de los demás integrantes. • Cumplí/cumplió con las tareas que se comprometió.

6. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad directa? Da un ejemplo.

• Hice/hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

7. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad inversa? Da un ejemplo.

8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

196 Unidad 6

HABILIDADES QUE DESARROLLAN EN: Conexiones

Funciones y relaciones proporcionales

197

Síntesis Recordar y conectar.

Conectar, analizar, formular y aplicar.

322

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 323

INFORMACIÓN RESPECTO DEL CONTENIDO

TÉCNICAS DE ESTUDIO

La actividad de la sección CONEXIONES tiene como propósito relacionar las funciones con una enfermedad muy común por estos días, el tabaquismo, pues afecta a una gran parte de la población, produciendo graves enfermedades.

La lectura comprensiva es otra técnica de estudio que les puede enseñar a sus alumnos y alumnas. Para hacer una lectura eficiente es importante:

El tabaquismo es el cuarto factor de riesgo más importante en el mundo. Chile presenta uno de los índices de consumo más altos de Latinoamérica, con un promedio de 1150 cigarrillos anuales por cada adulto del país. Los estudios de CONACE muestran que el 43% de la población chilena de 12 a 64 años es fumadora, siendo mayor la prevalencia en este grupo etario en los hombres (47,8%) que en las mujeres (39,6%), a diferencia del grupo de escolares entre 8° Básico y 4° Medio, donde las mujeres superan a los hombres (45% versus 38,7%). Es necesario recordar que el tabaco es una droga de inicio y suele ser la puerta de entrada al consumo de otras drogas. El tabaquismo es una enfermedad crónica, y constituye uno de los problemas de salud que se presentan con mayor frecuencia en la Atención Primaria. Información relevante sobre el consumo de tabaco y cómo este afecta nuestra salud puede encontrar en el sitio web: www.redsalud.gov.cl/portal/url/page/minsalcl/g_proteccion/g_tabaco/prev_tabaco.html

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. En relación con el tabaquismo y cómo esta enfermedad afecta nuestra salud: a) ¿Qué enfermedades están asociadas a su consumo?, ¿cómo se pueden prevenir? b) Comenta con tus compañeros o compañeras. ¿Qué actividades o programas implementarían para evitarlo? c) ¿Existen programas y acciones para proteger a la población de la exposición al humo de tabaco?, ¿cuáles? (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y justificar).

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

• Leer por frases y no palabra a palabra. • Distinguir los párrafos importantes, pues no todo lo que leemos tiene la misma trascendencia. • Colocar mayor atención en los puntos más relevantes. • Subrayar las ideas principales de un párrafo. Para diferenciar niveles de importancia o temas se pueden utilizar lápices de distintos colores. • Si al leer hay un párrafo que no se entiende, no continuar, hasta comprenderlo. • Es necesario aumentar la velocidad de lectura, sin dejar de lado la comprensión. • Variar la forma de leer: voz alta, en silencio, sentado, de pie, etc. De esta manera el estudio no será tan aburrido.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo 1. Piensa y responde. a) ¿En qué situaciones cotidianas podemos encontrar funciones proporcionales?, ¿y no proporcionales? b) ¿Qué aprendiste sobre funciones en esta Unidad?, ¿y sobre las relaciones de proporcionalidad directa e inversa? c) ¿Cómo determinas el dominio de una función?, ¿es siempre el mismo?, ¿por qué? d) ¿Cómo determinas el recorrido de una función?, ¿es siempre el mismo?, ¿por qué? e) ¿En qué se diferencian las relaciones de proporcionalidad directa e inversa? f) ¿En qué se diferencian los gráficos de una relación directamente proporcional de los de una inversamente proporcional? Da un ejemplo de cada una. g) ¿Qué caracteriza a las variables dependientes?, ¿y a las independientes? h) ¿Has escuchado hablar de funciones distintas a las estudiadas en esta Unidad?, ¿cuáles? (Habilidades que desarrolla: recordar, conectar y justificar).

323

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 324

TEXTO DEL ESTUDIANTE 198 Y 199

¿Qué aprendí?

Unidad 6

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. En una librería, el precio de cada cuaderno es de $ 890. La función que relaciona la cantidad de cuadernos y su costo es: A. y = 890 + x B. y = 890

C. y = 890 – x D. y = 890x 2. ¿Cuál de las siguientes situaciones no corresponde a una función? A. Un número natural y su mitad. B. La cantidad de pasajes de metro comprados y su costo. C. Los kilómetros recorridos por un automóvil (va a velocidad constante) y el tiempo que tarda. D. Los deportes que practican los integrantes de un curso. 3. Si cinco pintores logran pintar una casa en cuatro días, ¿cuántos días se demoran diez pintores, trabajando en las mismas condiciones? A. B. C. D.

Dos días. Veinte días. Cuarenta días. Ocho días.

4. En la función: “el doble de un número natural”, ¿cuál es el recorrido? A. B. C. D.

Rec ( f ) = 兵1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …其 Rec ( f ) = 兵1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …其 Rec ( f ) = 兵2, 4, 6, 8其 Rec ( f ) = 兵2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …其

9. Los valores x e y de la tabla representan una función de proporcionalidad directa. Completa con los valores que faltan y construye en tu cuaderno un gráfico. 5. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es proporcional? A. Distancia recorrida y tiempo utilizado (a velocidad constante). B. El peso de una mochila y la cantidad de cuadernos que lleva dentro. C. El lado de un cuadrado y su área. D. La velocidad de un automóvil y el tiempo utilizado en un recorrido de 40 km. 6. En una chocolatería, el precio de un tipo de bombón es de $ 220 la unidad. ¿Cuál es la variable dependiente? A. B. C. D.

La cantidad de bombones. El precio a pagar por los bombones. El tipo de bombón. La cantidad de bombones y su costo.

• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? 10. El gráfico representa la relación entre la cantidad de secretarias y el tiempo que se demoran en organizar un archivo (días), trabajando todas en igualdad de condiciones y la misma cantidad de tiempo.

320

Tiempo (días) 120 100 80 60 40 20

a) ¿Qué tipo de función representa el gráfico?, ¿por qué? 1 2 3 4 5 6 b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?

Cantidad de secretarias (Nº)

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿Qué logré? 7. El sueldo fijo mensual de un vendedor de computadores es $ 150 000 más una comisión de $ 9000 por unidad vendida. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa el sueldo del vendedor?

1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Análisis de relaciones entre variables. Noción de función.

A. B. C. D.

y = 150 000x + 9000 y = 159 000 + x y = 9000x + 150 000 y = 159 000x

8. Si 1200 g de mermelada se pueden envasar en seis frascos de 200 g. ¿Cuántos frascos de 150 g se necesitan para envasar 1200 g de mermelada? A. B. C. D.

Ocho frascos. Treinta y tres frascos. Cincuenta frascos. Trece frascos.

Variables dependientes e independientes. Dominio y recorrido. Variaciones proporcionales y no proporcionales. Relación de proporcionalidad directa. Relación de proporcionalidad inversa. Resolución de problemas.

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 165 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

198 Unidad 6

Funciones y relaciones proporcionales

199

HABILIDADES QUE SE EVALÚAN EN: ¿Qué aprendí? Ítems 1 y 2: analizar y formular. Ítems 2 y 5: analizar y distinguir. Ítems 3 y 8: calcular. 324

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Ítems 4 y 6: analizar e identificar. Ítems 9 y 10: calcular, analizar, representar y formular.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 325

EVALUACIÓN SUMATIVA En estas páginas se presenta una evaluación sumativa bajo el nombre de ¿QUÉ APRENDÍ? Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Funciones y relaciones proporcionales, y con esta información, seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional para que aprendan los contenidos de esta Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los alumnos y alumnas es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que pueden ser por falta de conocimiento o por equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítems de selección múltiple se sugiere que realicen algún tipo de desarrollo para cada pregunta, ya que así podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren.

• En el ítem 9, es posible que los y las estudiantes completen erróneamente la tabla al aplicar equivocadamente procedimientos de proporcionalidad inversa. Es imprescindible que analicen la tabla y establezcan la constante de proporcionalidad (k = 5), la que les permitirá determinar la función que representa la situación (y = 5x), y que completen la tabla. Con esta información, podrán construir el gráfico. • En el ítem 10, es posible que los y las estudiantes confundan el gráfico correspondiente a una proporcionalidad inversa, o bien no interpreten correctamente la información que en él aparece, lo que les llevará a determinar erróneamente la constante de proporcionalidad (k = 120) y la expresión algebraica que modela 120 esta situación (y = ). Es por ello que se recomienda analizar el gráfico y, si es x necesario, construir una tabla que permita analizar la información mediante otro registro para facilitar la solución del ítem. A continuación, se presentan actividades complementarias que permitirán reforzar o profundizar los contenidos trabajados en la Unidad. Usted podrá plantearles las actividades que considere pertinentes, dependiendo de los resultados que obtengan en la evaluación sumativa, según los ritmos de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes.

La siguiente rúbrica se puede utilizar para evaluar los avances de sus estudiantes en los ítems 9 y 10. Ítem

325

Completamente logrado

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula, formula y representa correcta- Calcula, formula y representa correcta- Calcula, formula y representa mente cada una de las preguntas, mente cada una de las preguntas, erróneamente una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos. sin justificar todos sus pasos. sin justificar todos sus pasos.

Calcula, formula y representa erróneamente dos o más preguntas, sin justificar sus pasos.

Analiza, formula y representa correcta- Analiza, formula y representa correcta- Analiza, formula y representa mente cada una de las preguntas, mente cada una de las preguntas, sin erróneamente una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos. justificar todos sus pasos. sin justificar todos sus pasos.

Analiza, conecta, formula y representa erróneamente todas las preguntas, confundiendo la proporcionalidad que representa el gráfico y con ello la función asociada, la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica.

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 326

8. En una tienda de artículos de oficina, el precio de un archivador es de $ 1200. La función que relaciona la cantidad de archivadores y su costo es:

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De refuerzo

1200 x

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8.

A. y = 1200 + x

C. y =

1. Una modista confecciona 6 blusas en 8 horas. ¿Cuántas horas tardará en confeccionar 24 blusas?

B. y = 1200 – x

D. y = 1200x

A. 144

B. 32

C. 4

D. 3

2 Cinco llaves llenan un estanque en 4 horas. ¿En cuánto tiempo lo llenarían 8 llaves? A. 2 h y 30 min. B. 2 h y 5 min.

C. 2 h y 50 min. D. 25 horas.

3. La sombra de una persona que mide 1,60 m es de 40 cm a una hora determinada. ¿De cuánto será la sombra a la misma hora de una persona que mide 1,80 m? A. 45 cm

B. 50 cm

C. 35 cm

D. 60 cm

4. Alejandra necesita comprar 15 metros de elástico. En la tienda venden a $ 400 los 6 metros. ¿Cuánto deberá pagar por los 15 metros de elástico? A. $ 1600

B. $ 500

C. $ 800

D. $ 1000

5. Para terminar una ampliación en 15 días, se necesitan 4 obreros. Si solo se pueden contratar a 3 obreros, ¿cuántos días se demorarán? A. 10

B. 11

C. 20

D. 12

6. En una relación de proporcionalidad inversa: A. el gráfico es siempre una línea recta. B. el cociente entre las variables no es constante. k C. se puede representar como una función de la forma y = , donde k es la x constante de proporcionalidad. D. si una de las variables aumenta, la otra aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra disminuye en un mismo factor. 7. En un plano aparece la plaza de la ciudad, con un largo de 16 cm y un ancho de 10 cm; en la realidad la plaza mide 120 m de largo. ¿cuál sería el ancho? A. 192 m

B. 384 m

C. 150 m

D. 75 m

9. En una excursión, las provisiones para 12 personas durarán 6 días. Si la cantidad de personas varía y la cantidad de alimentos es la misma, completa la tabla y responde. Número de personas

Días

a) b) c) d) e)

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo lo obtuviste? ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente? ¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Para cuántos días alcanza la provisión si son 9 personas?, ¿ y 24? Construye el gráfico de esta función.

10. Para fabricar 30 kg de chocolate se necesitan 10 kg de cacao. Completa la tabla y responde. Cacao (kg)

130

150

Chocolate (kg)

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo lo obtuviste? b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente? c) ¿Cuál es la función que modela esta situación? d) ¿Cuánto chocolate tendré con 70 kg de cacao? ¿y con 110? e) Construye el gráfico de esta función. De profundización Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 6. 1. Si x e y son variables directamente proporcionales, entonces podemos afirmar que: y A. la constante de proporcionalidad es k = . x B. la constante de proporcionalidad es k = xy. C. la constante de proporcionalidad cambia según los valores de las variables. D. es siempre un valor entero positivo.

326

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales – Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 327

2. Dado el siguiente gráfico podemos afirmar que:

5. Si x e y son variables inversamente proporcionales, entonces el valor que falta en la tabla es: A. 6 B. 24 C. 12 D. 4

3,5 6

6. El dominio de una función corresponde a: A. todos los valores que puede tomar la variable independiente. B. todos los valores que toman las variables dependientes o independientes, según corresponda. I. Representa una relación de proporcionalidad inversa. II. Mientras más llaves estén abiertas más tiempo tarda en llenarse el estanque. III.Se puede representar como y = 12x.

140 ? x

A. En un kiosco cada lápiz cuesta $ 140. B. Una piscina con veinte llaves se llena en 7 horas. C. En un almacén, cada paquete de papas fritas cuesta $ 140. D. Un ciclista recorre 140 m a 40 km/hr. 4. La sombra de un edificio que mide “a” metros es de “b” metros a una hora determinada. ¿De cuántos metros será la sombra de un poste que mide “c” metros a la misma hora? ba A. c B. abc C.

bc a

D. Ninguna de las anteriores.

327

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

D. todos los valores que toman las variables. 7. Observa la siguiente tabla, complétala y responde.

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I y III 3. ¿Cuál de las siguientes situaciones representa a la función f(x) =

C. todos los valores que puede tomar la variable dependiente.

Cantidad de zapatos

Precio ($)

37 680

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? b) ¿Cuál es la función que representa a esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente? d) ¿Cuál es el dominio de la función?, ¿y su recorrido? e) Construye el gráfico que representa a esta función. 8. Los valores de x e y de la tabla son inversamente proporcionales. Completa la tabla con los datos que faltan y responde. x y

6 72

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? c) ¿Cuál es el valor de y si x = 4?, ¿y si x = 18? d) Construye el gráfico que representa a esta función.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 328

SOLUCIONARIO DE LAS PÁGINAS 326 Y 327 DE LA GUÍA DIDÁCTICA

De profundización

De refuerzo

1. A

1. B

2. A

3. A

9. Número de personas Días

4. D

5. C

6. C

7. D

8. D

2. A

3. B

4. C

5. C

6. A

Cantidad de zapatos

Precio ($)

37 680

62 800

100 480

163 280

238 640

a) k = 12 560 a) k = 72

b) y = 12 560x

b) Variable independiente: Nº de personas. Variable dependiente: Días.

c) Variable independiente: cantidad de zapatos. Variable dependiente: precio.

c) f(x) =

72 x

d) Dom (f) = ⺞0, Rec (f) = {12 560 • n / n ∈⺞0}. 8.

d) 8 y 3 personas, respectivamente. 10.

Cacao (kg)

130

150

Chocolate (kg)

180

270

390

450

108

a) k = 216 216 x

a) k = 3

b) f(x) =

b) Variable independiente: kg de cacao. Variable dependiente: kg de chocolate.

c) 54 y 12, respectivamente.

c) y = 3x d) 210 kg y 330 kg, respectivamente.

328

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 329

EVALUACIÓN FINAL En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la Unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la Unidad de Funciones y relaciones proporcionales. El tiempo estimado para la realización de la prueba es de 40 minutos, que puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus alumnos y alumnas, se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Calcular, analizar, reconocer, identificar y formular

Analizar, calcular, formular y representar

Puntaje

Total

2 puntos cada una

16 puntos

10 puntos cada una

30 puntos

Puntaje total de la evaluación: 46 puntos. Los ejercicios y problemas presentados permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la Unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8), considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas.

• En el ítem 10, es posible que los y las estudiantes confundan el gráfico correspondiente a una proporcionalidad inversa, lo que les llevará a determinar erróneamente la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica. Es por ello que se recomienda analizar el gráfico detalladamente y, luego, responder las preguntas. • En el ítem 11, es posible que los y las estudiantes confundan el tipo de proporcionalidad de las variables y por ello completen erróneamente la tabla y todos los demás aspectos. Es necesario que analicen la tabla y observen qué relación es la que se mantiene según los datos que entrega y lo que significan, para definir el tipo de proporcionalidad y sus características. Después de que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evaluación se recomienda que revise junto con ellos cada una de las preguntas presentadas, con el fin de detectar los errores que cometieron y aclarar las dudas que tengan. Luego, puede utilizar como evaluación sumativa final la que le presentamos en las páginas 332 a 335 de esta Guía.

SOLUCIONARIO DE LA EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE DE LAS PÁGINAS 330 Y 331 I. 1. B

2. B

3. D

4. C

5. C

6. B

7. B

8. C

Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. Por lograr, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES • En los ítems 1 a 8, se sugiere pedirles a sus estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo se podrá detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En el ítem 9, es posible que los y las estudiantes completen erróneamente la tabla. Es importante que analicen la tabla y establezcan la constante de proporcionalidad que les permitirá determinar de forma correcta los elementos desconocidos de la tabla, así como la representación algebraica y con ello la construcción adecuada del gráfico según la tabla.

II. 9. a) k = 1,5 b) Variable independiente: comedores. Variable dependiente: días. c) y = 1,5x. Dom (f) = ⺞0, Rec (f) = {1,5 • n / n ∈ ⺞0}. d) 21 y 24 días, respectivamente. 10. b) k = 450

d) f(x) =

c) Variable independiente: rapidez. Variable dependiente: tiempo. 11. a) Proporcionalidad inversa.

450 x

e) 4 h y 30 min; 3 h y 36 min.

b) k = 288

c) f(x) =

288 x

d) x = 2,4

A continuación, se presenta una rúbrica que puede utilizar para evaluar los avances de sus alumnos y alumnas en el ítem II. Ítem

329

Completamente logrado Analiza, calcula, formula y representa correctamente cada una de las preguntas, justificando cada uno de sus pasos. Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Logrado Analiza, calcula, formula y representa correctamente cada una de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Medianamente logrado Analiza, calcula, formula y representa erróneamente cuatro o menos de las preguntas, sin justificar todos sus pasos.

Por lograr Analiza, conecta, formula y representa erróneamente más de cuatro preguntas y no justifica sus pasos.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 330

EVALUACIÓN Funciones y relaciones proporcionales Nombre:

Curso: 8º Puntaje:

Fecha: Nota:

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Realiza el desarrollo al lado de cada pregunta. 1. En un día, Macarena bebe tres vasos de leche. ¿Cuántos vasos de leche se toma en 8 días? A. B. C. D.

11 24 12 5

2. Para preparar en 8 horas las tortas para una fiesta hacen falta 6 cocineros. ¿Cuántos cocineros se necesitan para prepararlas en 4 horas, si trabajan al mismo ritmo? A. B. C. D.

4. Un conductor de maquinaria pesada traslada 60 toneladas de ripio en 8 viajes. Si debe transportar 180 toneladas, ¿cuántos viajes debe realizar?

3 12 6 8

A. B. C. D.

18 32 24 28

5. En una construcción, 12 trabajadores terminan una obra en 10 días. Para concluirla en 6 días menos, ¿cuántos trabajadores más se necesitarán? A. B. C. D.

18 32 30 48

6. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la relación entre dos variables inversamente proporcionales? A.

3. Un automóvil gasta 30 litros de bencina para recorrer 450 kilómetros. ¿Cuántos litros gastará al recorrer 960 kilómetros? A. B. C. D.

330

32 24 36 64

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

U6 (PAG 310-331)_Maquetación 1 04-08-11 19:10 Página 331

7. Un vendedor de calzado tiene un sueldo fijo mensual de $ 180 000 más un bono de $ 1500 por par de calzado vendido. ¿Cuál es la función que representa el sueldo del vendedor? A. B. C. D.

10. Observa el siguiente gráfico que relaciona la rapidez y el tiempo que un automóvil tarda en llegar a un determinado lugar; luego, responde. Tiempo (min)

y = + 180 000 y = 1500x + 180 000 y = 181 500 + x y = 181 500x

50 45

8. Dada la siguiente tabla, podemos afirmar que: Cantidad de libros

Precio ($)

39 000

59 500

69 990

18 15

A. cada libro cuesta $ 6800. B. la cantidad de libros corresponde a la variable independiente, y el precio a la dependiente. C. las variables no se relacionan proporcionalmente. D. las variables son inversamente proporcionales.

10 9

20 25 30

Rapidez (km/h)

a) Construye la tabla correspondiente al gráfico. II. Resuelve los siguientes ejercicios, anotando los pasos de resolución, en cada caso. 9. En una empresa de muebles, al solicitar 4 comedores se demoran 6 días. Completa la tabla que relaciona los días que tarda la empresa en fabricar comedores y, luego, responde. Comedores

Días

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

c) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente? d) ¿Cuál es la función que modela esta situación? e) ¿Cuánto tiempo demorará a 100 km/h?, ¿y a 125 km/h? 11. Los valores de x e y de la tabla tienen un relación de proporcionalidad. Completa la tabla con los valores que faltan y responde. x y

96 9

b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?

a) ¿Qué relación de proporcionalidad tienen las variables?

c) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

d) ¿Cuántos días se demorarán en hacer 14 comedores?, ¿y 16? e) Construye el gráfico que representa esta función.

331

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Unidad 6 – Funciones y relaciones proporcionales

c) ¿Cuál es la función que modela esta situación? d) ¿Cuál es el valor de x si y = 120?

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 332

EVALUACIÓN FINAL

Unidad 2: Potencias

Nombre:

Curso: 8º

Fecha:

Puntaje:

A. –144

Nota:

Marca la opción correcta en las siguientes preguntas.

La expresión [(–2) + (–10)]2 es igual a: B. 144

C. 64

D. –64

En la expresión (–6) = –216 el valor de x es: A. 3

B. –3

C. 2

D. 6

Unidad 1: Números enteros 1.

La adición (–4) + (–4) + (–4) + (–4) + (–4) se puede expresar como:

B. 4 • (–4) D. (–5) • (–4)

A. 118

C. –368

B. –118

D. 368

El resultado de (–8) 11 es: B. –88

C. –19

D. –11

En la expresión x 4 = –20, el factor x es: •

A. 5

B. –4

C. –80

D. –5

El resultado de (–12) • (–6) es: A. 72

B. –72

11. La solución de (–7)12 : (–7)9 es: A. 343

C. –49

B. –343

D. 49

12. La solución de (–2)7 • 57 es: A. 10 000 000

C. –18

D. 18

B. –10 000 000 C. –100 000 000

D. –70 000 000

El resultado de (–55) : 5 es: A. –11

B. –275

C. 11

D. –60

B. –22

C. 22

13. La expresión ((0,2)2) es igual a: A. 0,00032

El resultado de (–2) • [(–45) : 9 + 6] es igual a: A. 2

D. –2

B. 0,00064 C. 0,000064 D. 64

332

C. (–2)7

•

A. 88

B. (–2)8

10. La solución de (–5)2 • (–5) – (–3)2 • (–3)3 es:

C. 5 • (–4)

La expresión (–2) • (–2)2 • (–2) • (–2)5 escrita como una sola potencia es: A. 29

A. 5 • 4

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

D. (–2)9

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 333

19. El área pintada es (considera π = 3,14):

Unidad 3: Geometría y medición

A. 7,74 cm2

14. El número π es igual a: A. La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

B. 19,26 cm2

B. La razón entre el diámetro de una circunferencia y su longitud.

C. 28,26 cm

C. La razón entre la longitud de una circunferencia y su radio.

3 cm

D. 64,26 cm2

D. La razón entre la longitud de una circunferencia y el área del círculo. Unidad 4: Movimientos en el plano 15. Si la longitud de una circunferencia es 59,66 cm, entonces, su diámetro mide: (considera π = 3,14) A. 9,5 cm

B. 19 cm

C. 38 cm

D. 4,75 cm

20. ¿Cuál de las siguientes opciones representa la rotación del triángulo ABC en 180º con centro en el vértice A? B

B C

16. El área de un círculo cuyo radio mide 3,5 cm es: (considera π = 3,14)

A. 21,98 cm

C’

B. 10,99 cm2 C. 19,23 cm2

B’ 2

D. 38,465 cm

B’

C’

17. El volumen de un cono cuyo radio de la base mide 60 cm y su generatriz mide 100 cm, es: (considera π = 3,14)

A. 904 320 cm3

B. 452 160 cm

C. 301 440 cm3

B’

D. 376 800 cm3

21. ¿En cuál de las siguientes opciones las figuras corresponden a una traslación?

18. El área total del cilindro de la figura es (considera π = 3,14): A. 8138,88 cm2 2

C. 2260,8 cm

A. R y S

B. S y T

12 cm 18 cm

B. 1582,56 cm2

C’

D. 1808,64 cm2

333

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

C. R y T

D. V y R

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 334

22. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posible teselar el plano? A. Círculo

Unidad 5: Datos y azar 25. La siguiente tabla muestra el número de tíos que tienen los alumnos y alumnas de Primero Medio de un colegio de Arica. Complétala.

B. Pentágono regular C. Hexágono regular

N° de tíos

D. Octágono regular 23. ¿Con cuál de las siguientes combinaciones de polígonos regulares es posible teselar el plano? A. Hexágono y triángulo B. Hexágono y cuadrado

Marca de clase

1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa

5 12 23 21 16 11

C. Pentágono y triángulo ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene menos de 16 tíos?

D. Octágono y cuadrado

A. 26%

B. 14%

C. 69%

D. 45%

24. ¿Cuál de las siguientes teselaciones es semirregular? A.

26. De la situación anterior, la frecuencia absoluta acumulada en el intervalo 21 - 25 corresponde a: A. 61

B. 77

C. 16

D. 27

27. De la tabla del ítem 25, el valor aproximado de la media aritmética corresponde a: A. 16 B.

B. 14,4

C. 16,6

D. 13,5

28. De la tabla del ítem 25, el valor aproximado de la moda corresponde a: A. 14,4

B. 16,6

C. 13

D. 23

29. De la tabla del ítem 25, ¿cuántos estudiantes tienen 21 tíos o más? A. 27

B. 16

C. 11

D. 61

30. La cardinalidad del espacio muestral del experimento “lanzar un dado y una moneda simultáneamente” es: A. 8 334

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

B. 12

C. 24

D. 6

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 335

31. En una urna hay 12 bolitas rojas, 10 blancas y 15 azules. Si se extrae una bolita, sin mirar, la probabilidad de que no sea roja es: A.

12 37

10 37

25 37

15 37

35. La función que relaciona el tiempo (x) y la rapidez (y) en la pregunta anterior es: A. y = B. y =

240 x x

240

Unidad 6: Funciones y relaciones proporcionales

C. y = 240x

32. En una tienda, el precio de cada polera es de $ 4560. Si x representa la cantidad de poleras e y su costo, ¿cuál es la función que representa el precio de una cantidad de poleras?

D. y = 80x

A. y = 4560 B. y = 4560 + x 4560 C. y = x D. y = 4560x 33. Del ítem anterior, ¿cuál es el dominio? A. Dom ( f ) = ⺪ B. Dom ( f ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} C. Dom ( f ) = {4560, 9120, 13 680, 18 240 , …} D. Dom ( f ) = ⺞0 34. Luis demoró tres horas en llegar a la playa con una rapidez constante de 80 km/h. ¿Con qué rapidez tendría que viajar para llegar en 4 horas?

36. Los pasajes para viajar desde Santiago a Valparaíso en una línea de buses tienen un costo de $ 5600. ¿Cuántos pasajes se pueden comprar con $ 128 800? A. 20 B. 21 C. 23 D. 25 37. Del ítem anterior, la función que permite determinar el costo de x pasajes es: A. f(x) = 5600 + x B. f(x) = 5600x C. f(x) =

5600 x

D. f(x) = 5600x + x

A. 32 km/h B. 120 km/h C. 70 km/h D. 60 km/h

335

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Solucionario 1. C

5. A

9. D

13. C

17. C

21. B

25. D

29. A

33. D

2. B

6. D

10. A

14. A

18. C

22. C

26. B

30. B

34. D

3. D

7. B

11. B

15. B

19. A

23. A

27. C

31. C

35. A

4. A

8. A

12. B

16. D

20. A

24. B

28. A

32. D

36. C

37. B

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 336

TEXTO DEL ESTUDIANTE 200 Y 201

Solucionario 4. a) 2. Puede ser:

Unidad 1 Números enteros

a) 1 • (–1) b) 8 • (–2)

Página 11 1. 12 km

2. 4 km

3. 8 km

Página 12 1. a) –7 < –5 b) 冏–8冏 > 5 c) 冏–10 冏 < 冏–15冏 2. a) b) c) d) e) f) 3.

4. a) 6 b) –8 5. a) b) c) d)

d) 4 > –1 e) 冏–3冏 = 3 f) 8 > –8

e) –8 f) –2

1. a) –15 b) 0

3. a) –3 b) –7 4. g) –13 h) 5

1. B

c) 52 d) 30

e) 60 f) 9

g) 11 h) 60

e) 4 f) –7

g) –14 h) 45

c) Puede ser –6 • 3. d) Puede ser 8 • 1. e) –1 f) 16

3. 400 2304 202 500

b) No, por ejemplo en la operación 6 : 5 = 1,2; el número 1,2 no es un número entero sino que un racional.

c) –24 d) –30

e) –8 f) –8

g) –36 h) –52

200 Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

–100 400 –288 2304 40 500 202 500

4. Emilia 120 puntos y Carlos 20 puntos. 3 6 –2 –7

–3 –6 2 7

3 6 2 7

5. 5 horas y 4 horas, respectivamente. Página 23

6. a) No, porque uno es el inverso aditivo del otro. b) No, porque el valor absoluto de un número es siempre positivo. c) Sí, porque ambas expresiones son siempre positivas. Además, 冏b冏 • 冏a冏 = 冏b冏 • 冏a冏. 7. –4

Las posibilidades

–25 –10 –5 –1 2 5

150 200 –250 300 –350 400 3750 –5000 6250 –7500 8750 –10 000 1500 –2000 2500 –3000 3500 –4000 750 –1000 1250 –1500 1750 –2000 150 –200 250 –300 350 –400 –300 400 –500 600 –700 800 –750 1000 –1250 1500 –1750 2000

: –25 –10 –5 –1 2 5

150 6 15 30 150 –75 –30

•

d) –10 e) –111 f) 76

g) –60 h) 9 i) –60

b) –162 : 3

c) 4096 : (–4)

c) –63 d) 48

e) 126 f) 120

2. Puede ser:

3. a) –20 b) –10

–4 –8 5

a) Los signos del cociente y producto, respectivamente. b) Sí, pues en ambos casos el resultado es siempre positivo.

Página 20

En equipo

1080 –12 –90 –2 6 –15 –1 +2 3 –5

a) 96 : 2

2. D

1. c) –33 d) 30

c) –8 d) 3

1. a) 60 b) –41 c) –45

Página 15

336

Página 21

•

Página 19

Página 13

1. a) –15 b) 20

e) 2 (–5) f) 6 • (–6)

2. a) Puede ser –4 • 5. b) Puede ser 8 • –2.

–7 ºC $ 3200 A 10 m bajo el nivel del mar. A 2 m bajo el nivel del mar.

6. a) 5 b) 300

c) 3 (–21) d) 4 • (–4) •

y –5 –4 –3 –2 –1

Página 17

Inverso Aditivo 6 4 –7 5 1 –3 2 c) –11 d) –7

e) 4 • (–9) f) 7 • (–1)

4. a) Verdadero b) Falso, el resultado de la multiplicación de un número natural (positivo) por un número entero negativo siempre es un número negativo, por la regla de los signos. c) Falso, ya que 1 • –1 = –1. d) Falso, porque el número puede ser negativo y si se multiplica por dos el resultado es menor que el factor.

–29 < –28 < –14 < 20 < 29 < 49 –5 < –4 < –1 < 1 < 3 < 5 –111 < –1 < 5 < 18 < 101 < 111 –18 < –16 < –10 < –7 < 0 < 1 –23 < –19 < –14 < –5 < 10 < 22 –40 < –20 < –18 < –6 < 2 < 6 Número –6 –4 7 –5 –1 3 –2

3. a) 14 4 b) 5 • (–1) •

c) 2 • 4 d) 2 • (–5)

x –10 –8 –6 –4 –2

200 –8 –20 –40 –200 100 40

–250 10 25 50 250 –125 –50

300 –12 –30 –60 –300 150 60

–350 14 35 70 350 –175 –70

400 –16 –40 –80 –400 200 80

–6 6 5 –5 8 8 –6 –6 6 4 –4

–5 5 8 9 –2 1 –4 5 4 –5 –5

0 0 2 3 4 4 3 3 3 0 0

30 = (–6) • (–5) + 0 30 = 6 • 5 + 0 42 = 5 • 8 +2 –42 = (–5) • 9 + 3 –12 = 8 • (–2) + 4 12 = 8 • 1 + 4 27 = (–6) • (–4) + 3 –27 = (–6) • 5 + 3 27 = 6 • 4 + 3 –20 = 4 • (–5) + 0 20 = (–4) • (–5) + 0

2. a) Del dividendo y divisor. b) En algunos casos, pero según el algoritmo de la división, el cociente y resto son únicos en cada caso. 3. a) Si a : 0 = x, se tendría que a = 0 • x, pero no existe un número entero x que multiplicado por cero resulte a. b) Si 0 : a = 0, se tiene que 0 = a • 0. Luego, todo número entero multiplicado por cero es cero.

Solucionario

201

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 337

TEXTO DEL ESTUDIANTE 202 Y 203

Estrategia mental

Página 25 1. a) 6 b) –9 c) 6

d) 960 e) 0 f) –10

g) 0 h) 12 i) 1

2. a) –20 b) –20

c) –10 d) –42

e) 100 f) –120

3. a) –11 b) 19

c) 7 d) –54

e) 35 f) 11

a) –32 b) 8 c) 10 000 000 000 d) 50 e) –2 f) 16

g) –75 h) –180 i) –1 j) 2 k) –10 l) 1

Página 34 1. C 2. A

Página 41 3. C 4. A

5. C 6. A

7. C 8. D

Página 35 Página 28

9. Aumenta 238 ºC por minuto.

Herramientas tecnológicas 10. a) Galería 5.

4. 96 –2 250

–6 –6 –6

128 –5 –125

9. a) Ocurre siempre lo mismo ya que A2 • B2 = B2 • A2. b) Ocurre lo mismo siempre que B2 sea un número entero negativo. c) Sí d) No

c) Galería 10.

e) Galería 4.

1. a) 32 b) (–5)4

c) (–6)3 d) 1011

e) (–15)8 f) 33

2. a) 625 b) –7776

c) 1 000 000 d) 343

e) –2744 f) 256

3. a) 4 b) Puede ser 3

c) 3 d) 6

e) 5 f) 2

4. Unidad 2 Potencias

16 1 100 49

Página 37

Página 26 5. a) $ 43 750

1. 160 000 bacterias, 2 560 000 bacterias, 10 000 • 2n, donde n es el tiempo transcurrido.

Página 29

d) $ 258 750

1. C 6. a) $ 600 000 b) $ 50 000 c) $ 3 000 000

2. 2 621 440 000 bacterias. – 108 –56

7. a) 690 – 12 • 8 b) $ 594 y $ 510, respectivamente. 8. a) 20 – 2 • 18

b) –16 ºC

– –18 4 –48 –100 –128

–2 1 –3 –1 –2

–648 –648 324 324 –3072 –3072 –2500 –2500 –512 –512

3 –14

222 266

¿Obtiene los mismos resultados en las columnas 4 y 5? No, ¿y en las 6 y 7? Sí ¿Ocurrirá siempre los mismo en estos casos? Ocurre siempre lo mismo en las columnas 6 y 7, ya que en la columna 7 se aplica la propiedad distributiva. 4. –53 Página 31 Buscando estrategias

10. a) No, serán iguales solo si a es 1 ó –1. b) Sí, pues se trata de la propiedad asociativa. Página 27 11. a) 4 b) 15

c) –2 d) –5

e) –10 f) 45

g) –10 h) –3

12. a) Pregunta: ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 11:00 h? Respuesta: La temperatura a las 11:00 h fue de 10 ºC b) Pregunta: ¿Cuánto dinero retiró en agosto Patricio? Respuesta: Patricio retiró $ 32 500.

202 Matemática 8

337

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

1. a) $ 196 000 b) $ 1 605 000 c) 5 ºC y 3 ºC, respectivamente. 3. a) A 34 m bajo el nivel del mar. b) $ 377 000 Página 32 1. 2063

3. Después de 6 horas.

b) 7

b) 3375 c) 0,027 4. a) 5 b) 5

冢冣 3 4

冢冣 4 10

e) 53 f)

25 3

冢冣

d) 0,16

g) 64

e) 1 81 f) 1296

h) 625

c) 0 d) 4

e) 3 f) 5

5. a) 100 000 personas. b) $ 500 000 y $ 5 000 000 000

2. 3 y 2063, 2140, 2217 Página 39 5. No coincide, ya que el cometa tiene como promedio pasar cada 77 años, pero este rango puede variar entre 74 y 79 años.

c) (0,4)4 ó

2. a) 5 • 5 4•4•4•4 b) 9•9•9•9 c) 18 • 18 • 18 d) 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 • 0,2 e) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 f) 1,3 • 1,3 3. a) 81

6. 64 árboles.

0 –5 –20 –21

Página 43

Página 38 1. a) 32

0 25 4 9

a) No b) No, solo cuando a = b. c) Existen casos en que los resultados son iguales.

2. D

8 13 52 29

32 3125

1. a) 16 b) –125 c) 27 d) 16

e) –1 000 000 000 f) 144 g) –1 h) 144

2. a) Verdadero b) Falso

c) Falso d) Verdadero

3. a) 8 > 4 b) 625 = 625 c) 1 = 1

d) –64 < 16 e) 1 > –2 f) 100 000 000 > 100

Página 45 1. a) b) c) d) e) f)

46 = 4096 109 = 1 000 000 000 (–5)5 = –3125 25 = 32 (–1)10 = 1 (–6)8 = 1 679 616

2. a) 5

b) 3 5

c) 9 13

d) 1

3. a) (–5)

b) 2

c) (–2)13

4. a) 3

b) –235

c) –33

5. a) 512 departamentos. b) 6561 tenidas. Solucionario

203

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 338

TEXTO DEL ESTUDIANTE 204 Y 205

Página 47

Página 54

1. a) 1 000 000 b) –125

c) 6 d) 144

e) 1 f) 49

2. a) 10

b) 5

c) 3

3. a) (–5)

Estrategia mental a) 625 b) 4225 c) 2025 d) 1225

b) 6

c) (–2)

e) 9025 f) 990 025 g) 7225 h) 3025

4. 2 cm Página 49 1. a) 124 b) 148

c) (–10)6 d) 1203

2. a) 10 000 b) –3 200 000

e) (–66)7 f) (–24)2

c) 144 d) –1 000 000

3. Sí, porque se pueden aplicar ambas propiedades.

Página 51 1. a) (–4)4 b) 99

c) 96 d) (–8)3

2. a) 81 b) –512

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

e) (–7)11 f) 87

c) 10 000 000 000 d) 81

3. a) –4

b) –26

4. 32 platos de fondo.

c) 160

D C C D A C B 8 poleras. Volumen = 215 cm3

5. 22 pantalones.

Página 53 1. a) 92 cm2

b) 6 • 92 cm2

c) 93 cm3

2. a) 6561 b) –512

c) 81 d) 1

e) 256 f) 390 625

b) 5

c) 2 15

b (–2)

d) 27 21

c) (–2)

d) 2

5. Sí, porque x • y = y • x.

1 64

1 256

b) Sí.

Página 61

2. a) 3

b) 10

c) 9

Página 59

0,34 52 0,58 ó 0,254 0,17

冢 0,32 0,82 1 0,11

c) (0,6)5 < (0,6)4 d) (5,5)2 < (5,5)3

0,38 0,88 14 0,14

冢2冣

8 c) 1000 e) 1331 1728 19 683 d) f) 1 40 352 607

2. a) 1 > 0,5 b) (2,5)3 = (2,5)3

0,0625

1 1 1 4 8 16 0,0625 0,015625 0,00390625

a) Sí.

1. a) 32 243 64 b) 81

0,33 22 0,54 0,14

0,125

1 16

4. a) 2

Página 63 0,25

41 42 43 44

16 64 256

Página 57

4. a) Área = 8000 cm2 b) Volumen = 576 cm3

Página 55

3. a) 15

i) 42 025 j) 9025 k) 1 010 025 l) 15 625

131 072 65 536 32 768

Población en miles de individuos 300 250

N de personas

200 250

150

225

100

200

175

338

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

150

Años transcurridos

125

a) En el 3º año. b) 16 384 c) En 19 años.

100 75 50

Página 65

25 0

Nivel

a) 256 personas. b) El número de personas depende del nivel de llamados, porque a medida que aumentan los niveles, aumenta la cantidad de personas informadas.

1. B 2. C 3. D 4. a) El tipo de crecimiento es crecimiento exponencial, ya que a medida que transcurre el tiempo aumenta exponencialmente el número de bacterias. b) 212 5. Jorge: 26 puntos; Mario:

204 Matemática 8

16 384

冢 2冣

puntos.

Solucionario

205

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 339

TEXTO DEL ESTUDIANTE 206 Y 207

2. Si la altura aumenta al doble, el volumen también aumenta al doble.

Página 67 Buscando estrategias 1. a) 4 b) 6 c) 2

d) 4 e) 6 f) 7

3. a) 5

b) 6

c) 7

d) 6

e) 9

Página 81

3. Con los cilindros.

g) 3 h) 1 i) 9

1. a) b) c) d) e) f)

4. Sí, duraznos en conserva. f) 0

Página 74

4. a) La base es 2 y el exponente representa la cantidad de veces que se dobla la hoja por la mitad. El valor de la potencia representa la cantidad de rectángulos. b) 23 = 8 rectángulos c) 25 = 32 rectángulos e) 8

1. a) 20 cm b) 22 cm

Página 68 1. El porcentaje de riesgo es de 10,13% y 82,46%, respectivamente.

4. Perímetro = 27 cm. No sigue siendo equilátero, ya que al aumentar uno de sus lados, dos de ellos medirán 8 cm y el otro 11 cm, por lo tanto el triángulo es isósceles.

Página 70

Página 75

1. C 2. B

3. B 4. D

5. A 6. C

c) 28 cm d) 10,5 cm

2. a) 6,76 cm2 b) 210 cm2 c) 48 cm2 2

d) 6 cm2

2. Sí, ya que el perímetro se puede calcular usando la fórmula 2 • • r. Luego, 2 • r = d.

3. a) Área = 120 cm , volumen = 88 cm b) Área = 64 cm2, volumen = 25 cm3

7. C 8. A

3,1428 3,14159, es la mejor aproximación al número . 3,1604 3,125 3,1466 3,1416

3. Sí es posible.

9. a) 256 m y 4 m, respectivamente. b) Longitud de la cuerda (m) 20 000

6 10 5 7,5

16 000 14 000 12 000 10 000

12 20 10

Página 77

1. a) 25,12 cm b) 3,14 m c) 29,516 cm d) 10,676 km

4000 2000 0

d) No pertenecen. e) Pertenecen. f) Pertenece.

Página 79 1

Cortes de la cuerda 10. 27 cm Unidad 3 Geometría y medición

Página 73

2. Cuerda(s) Diámetro(s) Radio(s) Secante(s) Tangente(s) Arco(s) 3. a) F

b) F

AB Recta E ៣ AC, ៣ CF, ៣ FE, ៣ ED ៣ y DB ៣ BA, c) V

d) F

Página 90 1. a) 360 cm2 b) 301,44 cm2

e) 1186,92 cm2 f) 1130,4 cm2

2. a) 4,5 cm b) 1,8 cm

5. 351,68 cm2 6. a) 40 cm

e) 21,98 cm f) 56,52 cm g) 6280 m h) 62 800 cm

b) 47,1 cm

c) 15,7 cm

Página 85 1. a) Apotema = 1,1 cm. Área = 3,79 cm2. b) Apotema = 0,8 cm. Área = 2,01 cm2. c) Apotema = 0,6 cm. Área = 1,3 cm2.

8 4 10

4. 122,46 cm2

40,82

c) 200 cm e) 0,5 cm g) 5 cm d) 1 cm f) 30 cm h) 8 cm

3. a) 18,84 cm

1,3 1,4 1 1,4

1,5 1,5 1,5

b) 14 130 cm

3. 1808,64 cm 47,1 65,94

5,8 6,72 4,47 7

8. a) 5,2 cm 9. a) 1130,4 cm2 10. a) 13 cm

b) 1884 cm2

c) 4396 cm2

b) 314 cm2 b) 93,6 cm2

c) 453,6 cm2

b) 1758,4 cm2 b) 282,6 cm2

Página 93 1. 384,65 cm3 2. a) 552,64 cm3 b) El volumen también se duplicaría y si la altura se triplica el volumen también aumenta tres veces. 3. a) 314 cm3 b) Su volumen aumenta 4 veces y si el radio se triplica el volumen aumenta 9 veces.

FE , CD y AB CD OC , OD y OA

3. B 5. 3768 cm de plástico.

7. a) 879,2 cm2

Página 83

2. a) Radio. b) No pertenece. c) Pertenecen.

2. B

4. 12,56 cm2

8000 6000

1. C

2. a) 2826 cm2

21 100 13 40

6. 40 m

1. a) En que ambas tienen el mismo perímetro. Se diferencian en que una tiene área y la otra no. b) Que una considera el interior y la otra solo el contorno. Ambas tienen un centro y radio. c) Cuando el punto se encuentra en contorno del círculo, y cuando el punto se encuentra en el interior de la circunferencia.

18 000

Página 87

Página 91

5. Perímetro = 36 cm y su área = 54 cm2. Si sus catetos se duplican, cada uno medirá 18 cm y 24 cm, su perímetro será de 72 cm y su área de 216 cm2.

Página 71

4. Aumenta 4 veces (113,04 cm2). Aumenta 9 veces (254,34 cm2).

7,065 7,065

4. a) 2512 cm3 b) El volumen también disminuye a la mitad y si su altura se reduce a un tercio el volumen disminuye un tercio.

e) V

1. El radio de los envases.

206 Matemática 8

339

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Solucionario

207

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 340

TEXTO DEL ESTUDIANTE 208 Y 209

Página 94 7. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

2. Mariposas, se repiten en toda la imagen.

Área = 172,7 cm2 y Volumen = 166,81 cm3. Área = 129,67 cm2 y Volumen = 94,95 cm3. Área = 185,5 cm2 y Volumen = 167,47 cm3. Área = 229,85 cm2 y Volumen = 204,73 cm3. Área = 967,12 cm2 y Volumen = 2307,9 cm3. Área = 678,24 cm2 y Volumen = 1017,36 cm3. Área = 1022,32 cm2 y Volumen = 2509,96 cm3. Área = 2128,92 cm2 y Volumen = 5369,4 cm3. Área = 234,14 cm2 y Volumen = 237,38 cm3. Área = 2543,4 cm2 y Volumen = 8478 cm3.

3. La imagen gira alrededor del punto que se encuentra en un ala de la mariposa.

Página 111

Página 104

1. Por ejemplo:

1. a) x = 72º, y = 108º

2. C

4. a) Á = 1205,76 cm2

D´

A´

C´

B´

Rectángulo

NR = 4,8 cm MN = 2,5 cm RM = 2,6 cm

= 140º = 20º = 20º

Triángulo

3. A

JL = GH = 4,4 cm IH = JG = 1,5 cm

= = = = 90º

AB = BC = CD = DE = = Hexágono = = = 120º = EF = FA = 1,1 cm =

b) V = 2411,52 cm3

5. a) Necesitaría el doble de material. b) La capacidad del envase es de 376,8 cm3.

b) Se puede construir aplicando reflexión.

3. Un rombo. Un triángulo equilátero. Página 113 1. Por ejemplo:

A´

c) No se puede teselar el plano con esa figura.

Página 107

Buscando estrategias c) 282,6 cm2 d) 116,4 cm2

3. a) 5024 cm3

b) 1829,3 cm3

2. a) No

b) Sí

c) Sí

B´

d) No

Página 109

Página 98

d) Se puede construir aplicando simetría y traslación.

O´

1. • Sí, porque cambia la posición de las figuras, no su tamaño ni forma.

1. a) 6363,73 cm3 b) 452,16 cm3

R´

3. El centro es el centro de las simetrales, es decir, el circuncentro.

Página 97

Página 95 1. D

b) x = 140º, y = 40º

3. a) Se puede construir aplicando traslación. 2.

P´

R O R´ R´´

1. Por ejemplo:

Página 121

Q´´

1. a) Traslación.

Q´

1. V = 589 535 cm

P´´

Página 100 1. C 2. A

3. D 4. D

5. B 6. B

3. Sí, haciendo una rotación en torno al punto O en un ángulo de 180º.

7. C 8. A

b) Traslación y reflexión.

2. Se puede construir aplicando traslación. 3. Se puede construir aplicando traslación y reflexión.

Página 117 Página 101

C´´

9. 791,28 cm2

10. a) 942 m2

1. A

A´´

2. B

T´

b) 810 120

T´´

M´ T

C´ B´´

11. 259,81 cm2 y 1099,81, respectivamente.

A´

12. a) 25,12 cm y 75,36 cm b) 50,24 cm2 y 452,16 cm2. La razón entre sus áreas es 1 : 9.

M´´

T´´´

5. a) No

Página 119 1. a) No

N´´´

E D

B´ T

4. a)

M´´´

N´

Unidad 4 Movimiento en el plano

3. A

b) Sí

c) Sí

d) No

b) No

c) Sí

Página 123

103

Página 103

3. Si se puede trasladar con un solo vector.

2. a) Si es posible teselar. c) No es posible teselar. b) Sí es posible teselar. d) Sí es posible teselar.

1. B

2. C

3. a) Traslación.

b) Traslación y reflexión.

1. Sí, se puede observar un hexágono.

208 Matemática 8

340

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Solucionario

209

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 341

TEXTO DEL ESTUDIANTE 210 Y 211

4. Se puede construir aplicando traslación y rotación.

10. Traslación. 2. a)

6 40

15%

4 40

10%

8 40

20%

4 40

10%

16 40

40%

Página 125 Buscando estrategias F´

1. a)

Unidad 5 Datos y azar

E´ P1

131

Página 131 G

1. 31 571 personas.

2. E años en promedio. El reflejo de E en una de las paredes (E ) se une con F, obteniendo P1. El reflejo de F en la misma pared (F ) se une con G, obteniendo P2. Entonces, se parte en E, luego ir a P1, luego a F, después a P2 y, finalmente, llega a G. b)

3. Una estimación del nivel de instrucción más repetido es de 4 años (31 571 personas).

1. a) P2

A P1

– 4

4 31

13%

6 31

19%

10 31

32%

4 31

13%

3 31

10%

3 31

10%

1 31

A´

El reflejo de la bola A en uno de los bordes se une con el reflejo de la bola B en la otra pared que es perpendicular a la pared anterior, obteniendo los puntos P1 y P2. Entonces, el recorrido de la bola A será a P1, luego a P2 y, finalmente, golpeará a B. 3. Para encajar la figura 1 en A, se debe realizar traslación y rotación y, para encajar 1 en B, también. Página 128 1. C 2. D

3. D 4. B

Página 129 9.

7. A 8. C

A´´

b) 6 días. c) 13% d) x = 30,29, mediana: 30, Moda: 30.

1 2 3 4 5 6

F. absoluta F. Relativa 10 3 6 12 9 10

0,2 0,06 0,12 0,24 0,18 0,2

b) 3 y 12, respectivamente. 6 9 y , respectivamente. 50 50 1 d) 6 c)

Página 135

F. relativa Porcentual 20% 6% 12% 24% 18% 20%

1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 b) 6

c) 36

d) 14,28%

2. a)

Llamadas 0- 5 6 - 11 12 - 17 18 - 23

F. F. Absoluta F. F. relativa absoluta acumulada Relativa Porcentual 8 8 0,27 27% 10 18 0,33 33% 9 27 0,3 30% 3 30 0,1 10%

b) 5

c) 8

d) 27

e) 10%

Página 139 1. a) Horas

Marca F. F. Absoluta F. F. relativa de clase absoluta acumulada Relativa Porcentual

1- 5 6 - 10 11 - 15 b) 33

C´

F. F. Absoluta F. F. relativa absoluta acumulada Relativa Porcentual 7 7 0,17 17% 6 13 0,14 14% 8 21 0,19 19% 6 27 0,14 14% 5 32 0,12 12% 4 36 0,1 10% 4 40 0,1 10% 2 42 0,05 5%

3 8 13

19 14 7

19 33 40

0,475 0,35 0,175

47,5% 35% 17,5%

B´

c) x = 6,5

A´

210 Matemática 8

341

Edad

3. a) Población: alumnos y alumnas del colegio. Muestra: pueden ser los compañeros de curso. b) Variable cuantitativa: horas destinadas a ver TV.

Nº de caras

0,08 0,2 0,37 0,42 0,64 0,87 1

Página 137

b) 8 alumnos y 2 alumnos, respectivamente. c) 4 h y 21 min. d) Mediana: 4,5; Moda: 6.

4. a)

0,08 0,12 0,17 0,05 0,22 0,23 0,13

1. a)

1. a) 60 b) 5 c) 26% y 69%, respectivamente.

B B´´

5. A 6. D

5 12 22 25 38 52 60

Página 133

Página 132

B´

– 2 40

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Solucionario

211

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 342

TEXTO DEL ESTUDIANTE 212 Y 213

2. a) 2 7 12 17 22

3 11 26 41 45

0,07 0,18 0,33 0,33 0,09

7% 18% 33% 33% 9%

c) Las mujeres jóvenes tienen mayor nivel de endeudamiento. d) Entre 25 a 29 años. Página 149 1. D

2. A

3. C

4. a) b) 26

d) x = 13

c) 9%

Página 141

Categoría

1. a)

No conforme Marca F. F. Absoluta F. F. relativa de clase absoluta acumulada Relativa Porcentual

Notas

2,0 - 3,0 3,1 - 4,1

2,5 3,6

2 6

2 8

0,06 0,19

6% 19%

4,2 - 5,2

4,7

0,28

28%

5,3 - 6,3

5,8

0,31

31%

6,4 - 7,4

6,9

0,16

16%

b) x = 5,0

Marca F. F. Absoluta Clase Absoluta acumulada 0- 7 3,5 8 8

Medianamente 8 - 15 conforme

11,5

Conforme

16 - 23

19,5

Muy conforme 24 - 31

27,5

F. relativa 0,29

Mo = 5,5

0,25

2. • 1,40 - 1,47 1,48 - 1,55 1,56 - 1,63 1,64 - 1,71 1,72 - 1,79

x = 1,58

3 12 22 6 2

1,435 1,515 1,595 1,675 1,755

b) 14%

Media aritmética

652,63

659,81

Moda

652

660

La máquina A está debajo del nivel de calidad, es recomendable revisarla.

2. 12 maneras.

1. a) 15 a 19 años. b) Sí

4. a) 24 tipos de menú.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

32%

0,14

14%

c) x = 14,07 Mo = 5,5

= 兵Blanca, Roja其. No son equiprobables. = 兵Cara, Sello其. Sí son equiprobables. = 兵niña, niño其. No son equiprobables. = 兵13 cartas , 13 cartas , 13 cartas , 13 cartas 其. Sí son equiprobables. = 兵par, impar其. Sí son equiprobables.

Página 159

2. Es correcto lo que dice Romina, ya que si están en igualdad de condiciones, tienen la misma probabilidad de salir (son equiprobables).

Página 162

1. a) b) c) d) e)

3. Sí es correcto.

1. a) = {Rojo, azul, amarillo}. b) No son equiprobables.

3. De 4 formas distintas.

1. a) 1 2

b) 1 2

1 ó 0,5 ó 50% 2 5 b) ó 0,83 ó 83% 6

2. a)

3. a) 47%

Buscando estrategias 1. Le sirve el gráfico “¿Usted lee libros?” 3. Ambos gráficos le permiten extraer la información que necesita.

1. D 2. A

3. D 4. C

5. A 6. B

7. B 8. D

Página 163

Página 155

= 兵TBPR50, TBPR51, TBPR52, TBPR53, TBPR54, TBPR55, TBPR56, TBPR57, TBPR58, TBPR59其. Tamaño 10. = 兵TBPR20, TBPR21, TBPR22, TBPR23, TBPR24, TBPR25, TBPR26, TBPR27, TBPR28, TBPR29, TBPR30, TBPR31, TBPR32, TBPR33, TBPR34, TBPR35, TBPR36, TBPR37, TBPR38, TBPR39其. Tamaño 20. = 兵1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)其. Tamaño 36. = 兵2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12其. Tamaño 11.

Página 146

212 Matemática 8

0,32

Página 151

1. a) Seleccionando una muestra. No es conveniente analizar las 2160 botellas, ya que le tomaría demasiado tiempo y es un procedimiento costoso. b) Máquina A Máquina B

25%

Polera Blanca, pantalón Negro. Polera Blanca, pantalón Café. Polera Blanca, pantalón Gris. Polera Negra, pantalón Negro. Polera Negra, pantalón Café. Polera Negra, pantalón Gris. Polera Roja, pantalón Negro. Polera Roja, pantalón Café. Polera Roja, pantalón Gris. b) La probabilidad es 0,07.

Página 153

En equipo

1. a)

Mo = 1,59

Página 143

342

F. relativa Porcentual 29%

b) Las opciones de plato de fondo son: arroz con carne (A), puré con pollo (P), legumbre (L). Las opciones para beber son: bebida (B) o jugo (J). Las opciones de postre son: helado (1), jalea (2), flan (3) o fruta (4). Entonces, todas las posibilidades de menú son: 兵AB1, AB2, AB3, AB4, AJ1, AJ2, AJ3, AJ4, PB1, PB2, PB3, PB4, PJ1, PJ2, PJ3, PJ4, LB1, LB2, LB3, LB4, LJ1, LJ2, LJ3, LJ4其

b) 53%

c) 3 14 c)

1 ó 0,17 ó 17% 6

c) 80%

d) 67%

9. • La mayoría de las personas encuestadas (hombres y mujeres) ven TV abierta 5 días a la semana, o más. A pesar que son más mujeres que hombres los que ven TV abierta todos los días, son similares los porcentajes, pues la diferencia es de 3% aproximadamente.

Unidad 6 Funciones y relaciones proporcionales

165

Página 165 1. 105 km

2. 1 h y 30 min

Página 157 3. Tardaría 4 h y llagaría a las 10 de la mañana. 1. C

2. D 4. Sí, y = 21 • x, donde x son horas.

3. a) No.

b) Sí.

c) Sí.

d) Sí. Página 166

4. a) 15 tenidas, estas son: Polera Amarilla, pantalón Negro. Polera Amarilla, pantalón Café. Polera Amarilla, pantalón Gris. Polera Azul, pantalón Negro. Polera Azul, pantalón Café. Polera Azul, pantalón Gris.

1. a) 3x b) 2 • (3 + (–8)) 2x c) 3 x d) + 3y 4

e) t • n f) 15 • x g) 750 • y h)

x 12 Solucionario

213

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 343

TEXTO DEL ESTUDIANTE 214 Y 215

t•r 2 b) P = 4 • a + 12, A = (a + 3)2 c) P = 2x + 2y, A = x • y

2. a) P = t + r + s, A =

3. a) y = 2 b) x = 4

g) $ 630 h) $ 26 490 i) El plan de Francisca es más conveniente, porque Camila pagaría $ 27000 y Francisca $ 24 090.

d) z = 140 e) a = 6 55 f) a = – 3

c) x = 5

b) 6

13 890

Página 171 12 990 14 490

3. a) 200 claveles. La ecuación es: 1250 + 140x + 120x = 27250 b) $ 3900 y $ 5200 c) $ 12 430 d)

4. a) x – 27 = 77, x = 104 b) x + (x – 1) = 49, x = 25 c) (2x – 1) + (2x + 1) + (2x + 3) = 177, los números son: 57, 59, 61. d) 4x – 3 = 3x + 12, x = 15 5. a) 8

3. a)

Página 167 6. a) Padre: 60 años, hijo: 25 años, madre: 83 años. b) Matías: $ 62 000, Josefa: $ 93 000 c) $ 45 600 Página 169 1. a) En un bolsillo hay $ 1500 y en el otro $ 4500. b) $ 1450 cada jarrón. c) 12 cm y 24 cm. Área = 288 cm2

Precio

2. a) 2,5 • 60 • x = 900 b) 2 min c) $ 450 d)

1250

b) f (x) = 5000x + 6800 c) Variable dependiente: total a pagar. Variable independiente: m2. d) f (x) = 6000x Total a pagar ($) 40 00 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5000

2. a) $ 73 500 y $ 126 000, respectivamente. b) y = 10 500x c) Variable dependiente: precio total recaudado. Variable independiente: número de entradas. d) 10 500 31 500 73 500 105 000 126 000 210 000

750 500

70 000

4000

2000

Sí es función. No es función. Sí es función. Sí es función.

30 000

10 000 0

18 000 27 000

40 000

Página 173

3000

20 000

2. a) b) c) d)

5. a) Variable dependiente: perímetro. Variable independiente: lado del triangulo. b) f (x) = 3x c) Cada uno de sus lados mide 14 cm, porque es equilátero.

50 000

Cantidad de claveles

g) $ 4260

e) $ 9750 f) Precio ($)

m2 0

60 000

250 0

Página 177

72 000

a) $ 27 000 y $ 72 000, respectivamente. b) f (x) = 4500x c) Variable dependiente: dinero reunido. Variable independiente: cantidad de clases. d) Dinero reunido ($) 60 000

3. 12

50 000 40 000 30 000 20 000

1000 0 0

Minutos hablados

214 Matemática 8

343

11 800 16 800 21 800 26 800 31 800 36 800

Página 176

1000

2,5 25 150 225 450 750

4. a)

1. a) Independiente: arista. Dependiente: volumen. b) Independiente: número. Dependiente: sucesor. c) Independiente: kilogramos de pan. Dependiente: precio total.

1750 1500

29 290 24 190 20 490

Página 175

e) No, porque debe comprar la misma cantidad de claveles de cada color. f)

Página 170

14 490

22 690 19 390 16 890

b) Para 80 min, el Plan B, y para 120 min, el Plan C. c) Plan A y = 9460 + 220x Plan B y = 12 990 + 160x Plan C y = 14 490 + 120x

260 520 1560 2600 3900 6500 10 400 14 820

c) 26

18 290 16 190

a) 36 cm y 60 cm, respectivamente. b) f (x) = 4x c) Variable dependiente: perímetro. Variable independiente: lado del cuadrado.

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

10 00 0

Cantidad de clases (Nº)

Solucionario

215

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 344

TEXTO DEL ESTUDIANTE 216 Y 217

En equipo

x (grados)

y (grados)

89 10 20 35 45 50 89

1 80 70 55 45 40 1

4. a) Triángulos equiláteros, porque como los palitos representan los lados, cada palito mide lo mismo (aproximadamente). b) Número Triángulos de palitos 1 2 3 4 5

3 5 7 9 11

7,2

60 80 6

7,2

100

120

3,6

1. a) No

2. a) $ 387 000 y $ 598 500, respectivamente. b) f (x) = 4500x c) Variable dependiente: dinero recaudado. Variable independiente: cantidad de personas. d) Dominio: desde 0 a 150 (personas). Recorrido: 兵4500 • 1, 4500 • 2, 4500 • 3, …, 4500 • 150其

3. a) Las horas y la temperatura. b) No son proporcionales, ya que la razón entre las variables no es constante. c) Temperatura (ºC)

4. a) La medida de un ángulo agudo. b) 0º < x < 90º y el ángulo y es el complemento de x. c) Mide 45º.

216 Matemática 8

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Perímetro (y)

3. a) 97 sopaipillas. b) Dependiente: dinero recaudado en un día. Independiente: cantidad de sopaipillas. c) Dom (f ) = ⺞0 Rec (f ) = 兵130 • n / n ⺞0 其 d) Dinero recaudado ($)

800 700

10 Ancho (x)

0 1

2 3

Página 186 2. 360

720 1800 2880

4320

6120

a) 360 : 1 El valor de la razón es constante y su valor es 360. b) f (x) = 360x c) $ 6480 y $ 12 600, respectivamente. d)

1600

1. a) No b) Sí

1200

Página 190

800 1

7 Cantidad de sopaipillas (Nº)

60 90

120

Página 189

2000

b) El auto rojo, porque recorre más distancia en menos tiempo. c) En 2 horas. d) 40 : 1 para el auto rojo y 30 : 1 para el auto verde. e) A 300 km. f) 12 horas. g) f (x) = 40x y g (x) = 30x, respectivamente.

300

Página 187

400

100

Horas

e) No f) Sí

Precio ($)

200

4. a) c) No d) Sí

2400

500

a) Si aumenta x el perímetro aumenta, mientras que si x disminuye el perímetro también disminuye. b) f (x) = 8x

1. a) Sí b) Sí

2. D

39,5 39 38,5 38 37,5 37

Página 185

1. C

600

55 35

• No son proporcionales, ya que la razón entre las edades no se mantiene con el tiempo.

c) • y = 40x • Variable dependiente: precio. Variable independiente: número de masticables. • Dom (f ) = ⺞0 Rec (f ) = 兵40 • n / n ⺞0 其 • $ 680

c) A 60 niños. d) Dom (f ) = 兵1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300其 Rec (f ) = 兵1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300其. En ambos casos, divisores de 300.

50 30

8 16 24 32 40

b) y = x 2 Dom (f ) = 兵1, 2, 3, 4, 5, 6其 Rec (f ) = 兵1, 4, 9, 16, 25, 36其

900

c) Sí

45 25

a) y = 2x Dom (f ) = 兵1, 2, 3, 4, 5, 6, 7其 Rec (f ) = 兵2, 4, 6, 8, 10, 12, 14其

3. a) 20 caramelos y 12 caramelos, respectivamente. 300 b) f (x) =

344

b) No

Página 181 Dominio: números positivos entre 30 y 120. Recorrido: números positivos entre 3 y 12.

3 6 9 12 15

Página 183

Herramientas tecnológicas

Página 179

Tiempo (h) 12

Página 180

Se observa que cada triángulo nuevo, se suman dos palitos. c) 15 palitos, 41 palitos y 207 palitos, respectivamente. d) f (x) = 2x + 1 e) Variable dependiente: número de palitos. Variable independiente: número de triángulos.

1. Rapidez constante 30 40 50 (km/h)

4. y = 2x + 3

c) No d) Sí

e) No f) Sí

2. a) A 480 km.

400 0 0

Cantidad de helados (Nº)

Solucionario

217

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 345

TEXTO DEL ESTUDIANTE 218 Y 219

Rapidez (km/h)

Cantidad de cajas (Nº) 30 25 20 15 10 5 0

120 100 80

8 48 40

60 40 20

Tiempo (h) 10 12 14 16

0 0

c) y = d) e) f) g)

480

Cantidad de alfajores (Nº) 30

Tipo de proporcionalidad

Función que la representa

y = 75 x y=x

Inversa Directa 6

1,5

1 Inversa

y = 72 x

Inversa

Altura (cm) 7 6 5 4 3 2 1 0

x b) Proporcionalidad directa. k = 3. f (x) = 3x c) Proporcionalidad directa. k = 175. f (x) = 175x

120

x y = 18x

Directa

Respuesta al problema 75 máquinas 10 kg 4 días 40 km/h 90 informes

Página 192 0

b) y =

Base (cm)

600

Herramientas tecnológicas c) f (x) = x + 1, g(x) =

3. A 4. D

5. C 6. B

7. C 8. A

Página 199

d) Proporcionalidad inversa. k = 24. f (x) =

1. D 2. D

25 15

4. a) Proporcionalidad inversa. k = 20. f (x) =

Página 198 Cantidad de personas (Nº)

Página 191

. El dominio son los números positivos

menores o iguales a 480. Debe ir a 96 km/h. Tardaría 9 h y 36 min en llegar. Demoraría 96 horas. Una hipérbola.

3. a) y =

5 0 0

Cantidad de huevos 8 (Nº)

Página 195

x y

3. a) • $ 13 200 y $ 15 300, respectivamente. • $ 154 200 • f (x) = 9000 + 700(x – 1) b) Quedaron 200 gramos de aceitunas.

64 80

160

• f (x) = 5x

Buscando estrategias 1. a) $ 2 800 000 y $ 1 100 000, respectivamente. La función es f (x) = 3 600 000 – 100 000x b) 14 kg y 400 g. La función es: f (x) = 20 000 – 400x c) • $ 4550 y $ 46 200, respectivamente. • f (x) = 7000 – 350(x – 1) • Dom f (x) 兵1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …, 19, 20其 y Rec f (x) = 兵7000, 6650, 6300, 5950,..., 700, 350其.

y 40 35 30 25 20 15 10 5 0

x 0

10. a) De proporcionalidad inversa, ya que el gráfico es una hipérbola. b) k = 120 120 c) f (x) =

d) En la primera función: Dom (f ) = ⺞ y 15

Rec (f ) = 兵2, 3, 4, 5, …其 o Rec (f ) = ⺞ – {1} En la segunda función: Dom (f ) = 兵1, 2, 3, 4, 6, 12其 y Rec (f ) = 兵1, 2, 3, 4, 6, 12其 e) En la función f (x) = x + 1 no se relacionan en 12 forma proporcional, mientras que en g(x) = , x sí se relacionan proporcionalmente.

Rapidez (km/h) 140 120 100 80 60 40 20 0

Página 193 0

c) y =

Tiempo (h) 16

144

1. C

2. D

4. a) 7 huevos. b) f (x) = 3x. Dom (f ) = ⺞0 y

Rec (f ) = 兵3 • n / n 24

⺞0 其

218 Matemática 8

345

3. A

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Solucionario

219

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 346

TEXTO DEL ESTUDIANTE 220 Y 221

Índice temático A Adición con números enteros, 13 Algoritmo de la división, 23 Amplitud - de un intervalo, 137 - térmica, 24

Construcción geométrica - copiar un ángulo, 112 - de rectas paralelas, 108 - de simetral de un trazo, 111

Exponente de una potencia, 39

Crecimiento exponencial, 60, 61

Expresión algebraica, 172

Apotema de un polígono, 75

Cuerpos geométricos - cilindro recto, 88 - cono recto, 88 - paralelepípedo, 48 - pirámides, 75 - poliedros, 88 - prisma recto, 75 - redondos, 88

Arco de una circunferencia, 78, 79

Cuerda, 78, 79

Análisis de encuestas, 144, 145 Ángulo, 105 - de rotación, 112 - interior de un polígono regular, 120

Área, 75 - del cilindro 88, 89, 90 - del círculo, 84, 85 - del cono 88, 89, 90 - de un cuadrado, 75 - de un polígono regular, 84 - de un rectángulo, 75 - de un triángulo, 75 - de una pirámide, 90

B Base de una potencia, 39

Centro - de una circunferencia, 76, 77 - de rotación, 112 Censos, 131, 142, 143 - Censo y muestreo, 142 Circunferencia y círculo como lugar geométrico, 76, 77

346

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

Fracciones (representación), 46, 154 Frecuencia - absoluta, 133, 134, 135 - absoluta acumulada, 135 - relativa, 133, 134, 135 - relativa acumulada, 135 Funciones y relaciones proporcionales, 164 - proporcionalidad directa, 184, 185 - proporcionalidad inversa, 188, 189

Datos y azar, 130

Diámetro de una circunferencia, 78, 79 División - de potencias de igual base, 46, 47 - de potencias de igual exponente, 50, 51 - exacta de números enteros, 18, 19 - inexacta de números enteros, 22

Generatriz, 89, 90 Geometría y medición, 72

H Hipérbola, 189

Mosaico, 118 Movimientos en el plano, 102 Muestra, 133, 143 Multiplicación - de números enteros, 16, 17 - de potencias de igual base, 44, 45 - de potencias de igual exponente, 48, 49 - de un número natural por un número entero negativo, 14, 15

N Noción de función, 172, 173 Número(s) - enteros, 10 - y su relación con la circunferencia, 80, 81 - positivo, 16

Dominio de una función, 178, 179

Medidas de tendencia central - media aritmética, 133 - media aritmética para datos agrupados, 138, 139 - mediana, 133 - moda, 133 - moda para datos agrupados, 140, 141

Decrecimiento exponencial, 62, 63

Operaciones combinadas, 24, 25

Intervalos, 137 Intervalo modal, 140

Ecuación, 168 - verificación, 168 Eje - de las abscisas, 169 - de las ordenadas, 169 - de simetría, 110

Isometría, 106

Perímetro de un polígono, 75

L Longitud de una circunferencia, 82, 83 Lugar geométrico, 77

Encaje (técnica), 98 Marca de clase, 139

Población, 133 Polígono, 75, 105 - regular, 75, 105 Porcentaje, 167

Elementos de una circunferencia, 78, 79

Encuestas, 145

220 Matemática 8

Experimentos aleatorios, 150

C Cardinalidad del espacio muestral, 151

Espacio muestral, 150, 151

Potencia(s), 36, 39 - de base decimal positiva y exponente natural, 58, 59

Índice temático

221

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 347

TEXTO DEL ESTUDIANTE 222 Y 223

- de base entera y exponente natural, 40, 42, 43 - de base fraccionaria positiva y exponente natural, 56, 57 - de una potencia, 52, 53

Sucesos - elementales, 152 - equiprobables, 152 DOCUMENTOS OFICIALES

Principio multiplicativo, 150, 151 Probabilidad, 133 - regla de Laplace, 154, 155 Propiedad - conmutativa de la multiplicación, 15 - distributiva de la multiplicación respecto de la suma, 24

Tablas de frecuencia, 134 - construcción para datos agrupados, 136, 137 - interpretación, 134, 135 Teselaciones, 118, 119 - regulares y semirregulares, 120

• Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica. Ministerio de Educación de Chile, 2001. • Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular. Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado por el Decreto N° 256 para la Educación Básica y publicado en el Diario Oficial de la República de Chile el 19 de agosto de 2009.

• Rodríguez, José y otros. Razonamiento matemático. International Thompson Editores, México, 1997, 1ª ed. Organizado en cinco capítulos, el texto trata el modelo de Polya y presenta estrategias utilizadas para resolver problemas, conceptos de álgebra relacionados con ecuaciones de primer grado, interpretación gráfica y las matemáticas de finanzas. • Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las matemáticas. Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed. Pretende mostrar que es posible desarrollar el pensamiento matemático mediante experiencias informales a muy temprana edad, mucho antes de que los niños lleguen al punto de poder comprender fórmulas algebraicas.

Transformaciones - de figuras y objetos, 106 - isométricas, 106, 107

• Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio. Octavo Año Básico. Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación. Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación, diciembre 2009.

Radio de una circunferencia, 76, 77, 78, 79

Traslaciones de figuras planas 108, 109

MATERIAL CRA

Rango, 136, 137

Triángulo rectángulo, 75

• Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1997.1ª ed. [r. 1996] Las actividades propuestas están orientadas a la enseñanza del código algebraico como herramienta para expresar generalizaciones y resolver problemas, e introducir la noción de función a partir de la construcción e interpretación de gráficas.

• Varios autores. Enseñanza efectiva de las Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed. Guía básica que sugiere técnicas y habilidades para la enseñanza de las matemáticas; incluye aspectos que abarcan desde la preparación y desarrollo de una clase hasta la elaboración y aplicación de pruebas y exámenes.

• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. Ediciones Pirámide, España, 1995, 2ª ed. El objetivo de la obra es mostrar cómo la exploración de los propios métodos de pensamiento es una tarea que puede mejorar la calidad del pensar y los aportes de la Matemática en este ámbito.

LIBROS

Tetris (juego), 125

Proporción, 167

Razón, 167

Recorrido de una función, 178, 179 Recta(s) - numérica, 13 - paralelas, 105 - perpendiculares, 105 - secantes, 105 - secante a una circunferencia, 78, 79 - tangente a una circunferencia, 78, 79 Reflexiones de figuras planas, 110, 111 Regla de los signos, 17, 19

Valor - absoluto, 13 - de la potencia, 39, 41, 54 - de la razón, 80, 167 Variable - dependiente, 174, 175 - independiente, 174, 175 - estadística cuantitativa y cualitativa, 133

Representatividad de una muestra, 143

Variaciones proporcionales y no proporcionales, 182, 183

Resto, 18, 22

Vector de traslación, 108

Rotaciones de figuras planas, 112, 113

Volumen, 92 - del cilindro 92, 93 - del cono, 92, 93

S Simetral de un segmento, 110 Simplificación de fracciones, 46 Situaciones con dos variables, 168, 169

222 Matemática 8

347

Bibliografía

Sustracción con números enteros, 13

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Hitt, Fernando. Investigaciones en Matemática Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1996, 1ª ed. Reúne un conjunto de artículos sobre diversas investigaciones que tratan la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas desde el nivel básico hasta el universitario. • Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y desarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia, 1997, 1ª ed. El autor propone una estrategia pedagógica que implica la comprensión del desarrollo de los sujetos, el proceso de construcción y estructuración lógica de los conceptos y de los saberes específicos abordados con los alumnos y alumnas.

Bibliografía

223

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 348

TEXTO DEL ESTUDIANTE 224

• E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada S.A., Buenos Aires, 1948. • Figueroa, Lourdes. “Para qué sirve medir”. Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España, 2001. • Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza Editorial, Madrid, 1980. • Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989. • Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B S.A., Barcelona, 1998. • Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002. • Jouette André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000. • Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002. • Linares, Salvador. Fracciones, la relación partetodo. Síntesis, Madrid, 1988. • Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique, Buenos Aires, 2001. • Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988. • Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España, 1993. • Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987. • Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1994.

• Software geométrico GeoGebra. En este sitio encontrará un programa geométrico libre, para descargar, que le permitirá enseñar y trabajar con sus alumnos y alumnas. http://www.geogebra.org • Software geométrico Limix Geometric. En este sitio encontrará un programa gratuito que podrá descargar, permite obtener el área y volumen de distintos cuerpos geométricos. http://www.limix.net PÁGINAS WEBS • Ministerio de Educación de Chile http://www.mineduc.cl • Centro Comenius. Software educativos, en especial de matemáticas, recursos y muchas cosas más. Patrocinado por la USACH. http://www.comenius.usach.cl • Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat. html • Base de datos de documentos para Educación. http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm • REDUC. Red Latinoamericana de información y documentación en educación. Contiene base de datos sobre investigaciones, textos completos, recortes de prensa. http://www.reduc.cl • Sociedad de Matemática de Chile http://www.sochiem.cl

• Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje. Morata, Madrid, 1990.

• Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat. html

• R. David Gustafson. Álgebra Intermedia. International Thomson Editores, México, 1997.

• Instituto Nacional de Estadísticas. http://www.ine.cl

• Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002.

• Ministerio de salud. http://www.redsalud.gov.cl

• Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996.

• Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes (Conace). http://www.conacedrogas.cl

• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.

• Fundación Futuro. http://www.fundacionfuturo.cl/

• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf, S.A., Barcelona, 1995. • Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales Transversales. Lom Ediciones, 2001.

224 Matemática 8

348

RECURSOS TECNOLÓGICOS

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

BUSCADOR RECOMENDADO • Sitio educativo con diversos recursos, planificaciones e información de todas las áreas. Incluye buscador. http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 349

BIBLIOGRAFÍA DE LA GUÍA DIDÁCTICA Documentos oficiales • Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica. Ministerio de Educación de Chile, 2001. • Mineduc. Propuesta de Ajuste Curricular. Matemática, junio 2009. Ajuste promulgado por el Decreto N° 256 para la Educación Básica y publicado en el Diario Oficial de la República de Chile el 19 de agosto de 2009.

• Figueroa, Lourdes. “Para qué sirve medir”. Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España, 2001. • Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza Editorial, Madrid, 1980. • Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989. • Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B S.A., Barcelona, 1998.

• Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002.

Libros

• Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002.

• Arenas, F., y otros. Geometría elemental. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago, 1993.

• Linares, Salvador. Fracciones, la relación parte-todo. Síntesis, Madrid, 1988.

• Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática. Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE, 1994.

• National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sociedad Andaluza, Sevilla, 2003.

• Artigue, M., y otros. Ingeniería didáctica en educación matemática. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1ª edición, 1995.

• Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988.

• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago,1993. • Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago, 1994. • Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995. • Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, EE.UU., 1967. • Chevallard Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Aique, Buenos Aires, 1991. • Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Horsori, Barcelona, 1997. • Díaz, J. y otros. Azar y probabilidad. Ed. Síntesis, Madrid, 1987. • Dickson, L. Brown, M. y Gibson, O. El aprendizaje de las Matemáticas. Ed. Labor, Barcelona, 1991. • Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998. • E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada S.A., Buenos Aires, 1948. 349

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Jouette André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000.

• Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique, Buenos Aires, 2001.

• Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España, 1993. • Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987. • Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1994. • Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje. Morata, Madrid, 1990. • R. David Gustafson. Álgebra Intermedia. International Thomson Editores, México, 1997. • Rencoret, M. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002. • Saavedra, E., y otros. Contenidos básicos de estadística y probabilidad. Editorial Universidad de Santiago, colección ciencias, 2005. • Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996. • Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990. • Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf S.A., Barcelona, 1995. • Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales Transversales. Lom Ediciones, 2001.

Finales (PAG 332-352)_Maquetación 1 04-08-11 19:15 Página 350

Recursos tecnológicos • Recursos educativos digitales. http://www.catalogored.cl/recursos-educativos-digitales

• REDUC. Red Latinoamericana de información y documentación en educación. http://www.reduc.cl

• Software geométrico GeoGebra. http://www.geogebra.org

• Sociedad de Matemática de Chile. http://www.sochiem.cl

• Software geométrico Limix Geometric. http://www.limix.net

• Servicio Europeo de Información Matemática (EMIS). http://www.emis.de

Páginas webs sugeridas

• Instituto Nacional de Estadísticas. http://www.ine.cl

• Ministerio de Educación de Chile. http://www.mineduc.cl • Centro Comenius. Patrocinado por la USACH. http://www.comenius.usach.cl • Recursos matemáticos Redemat. http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html • Currículum Nacional del Ministerio de Educación de Chile. http://www.curriculum-mineduc.cl/ • Red Maestros de Maestros. http://www.rmm.cl • Centro de perfeccionamiento, experimentación e investigaciones pedagógicas (CPEIP). http://www.cpeip.cl

350

Guía Didáctica del Docente – Matemática 8

• Fundación Futuro. http://www.fundacionfuturo.cl/ • Ministerio de salud. http://www.redsalud.gov.cl • Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes (Conace). http://www.conacedrogas.cl • Dirección Metereorológica de Chile. http://www.meteochile.cl

Finales (PAG 332-352)_Maquetaci贸n 1 04-08-11 19:15 P谩gina 351

Finales (PAG 332-352)_Maquetaci贸n 1 04-08-11 19:15 P谩gina 352