ECUACIONES Y GRAFICAS
Ecuaciones de Primer Grado Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denomina ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.
Características Generales Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer grado cuando la x (la variable o incógnita) esta elevado a uno. Las letras que intervienen en las ecuaciones reciben el nombre de incógnitas o variables. Por lo general las incógnitas se indican mediante las ultimas letras del alfabeto (x, y, z). En una ecuación, la expresión que se antepone al signo = se llama primer miembro de la ecuación; la expresión que sigue al signo = se llama el segundo miembro de la ecuación.
Ejemplos 5x = 8x – 15 5x – 8x = - 15 -3x = - 15 -3x = - 15 -3x = - 3 x=5
Pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiando el signo. 8x pasa como – 8x Redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = - 3x Dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x” -15 dividido – 3 es igual a 5. Numero negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo.
Ecuaciones de Segundo Grado Son ecuaciones de segundo grados aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2).
Características Generales Si en la ecuación la incógnita esta elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. Para este tipo de ecuación puede presentarse en diferentes formas:
Solución por factorización: en toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de “x” de cada uno, para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable, igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicados, o ambos, es igual a cero. Solución por completación de cuadrados: se llama método de la completacion de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo: (ax + b)2 = 0. Solución por formula general: la formula general genera dos respuestas, una con el signo más (+) y otra con el signo menos (-) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores. La formula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta.
Ejemplos
Ecuaciones de Tercer Grado Una ecuación algebraica de tercer grado ecuación cubica con una incógnita es aquella de grado tres que se puede poner bajo la forma canónica. Ax3 + bx2 + cx + d = 0 Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales.
Características Generales En general puede tener entre una o tres soluciones, según los factores en que se pueda descomponer el polinomio correspondiente al primer miembro. Para este tipo de ecuación pueden presentarse diferentes formas:
Función cubica: la función cubica es una función polinomica de tercer grado, tiene la forma de: f (x) = ax3 + bx2 + cx + d donde el coeficiente “a” es distinto de 0. Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales. La derivada de una función cubica genera una función cuadrática y su integral una función cuartica. El caso general: sea “K” un cuerpo conmulativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación. En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cubica) tiene 3 raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Algebra. (método cardano)
Ejemplos
Ecuaciones de 2 Variables Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación de la forma: ax + by = c donde a, b y c son constantes con “a” diferente de cero, “b” diferente de cero, “x, y” son variables. El conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta. La grafica de la ecuación es una línea recta que contiene los pares ordenados que son solución de la ecuación.
Características Generales Existen varios métodos para realizar la grafica de una ecuación lineal de dos variables.
Método de tabla de valores: para dibujar la grafica de una ecuación lineal en dos variables usamos el sistema de coordenadas cartesianas. En este método se le asignan valores a la variable “x” y se determina cuento es “y”. Método de los Interceptos: para graficar una línea se necesitan por lo menos dos puntos. En este método se busca el intercepto en “x” y el intercepto en “y” para graficar la línea. El intercepto en “x” es el punto donde la línea cruza el eje de “x”. se determina el intercepto en “x” haciendo y = 0. Tiene coordenadas (x, 0). El intercepto en “y” es el punto donde la línea cruza el eje de “y”. se determina el intercepto en “y” haciendo x = 0. Tiene coordenadas (0, y). Método Intercepto-pendiente: en este método se localiza el intercepto en “y” en el plano cartesiano y luego se utiliza la pendiente para buscar otro punto que es solución de la ecuación. Una ecuación lineal esta en la forma intercepto-pendiente cuando esta despejada para “y” (y = m x + b) donde “m” es la pendiente y “b” es el intercepto en “y”.
Ejemplos
Direcciones Electrรณnicas https://es.slideshare.net/AlmaVega1/ecuaciones-lineales-en-dos-variables15192444 https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html http://www.vadenumeros.es/tercero/ecuaciones-de-segundo-grado.htm https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado https://es.slideshare.net/MagalyBustamante/ecuaciones-de-tercer-grado5975267 http://enciclopedia.us.es/index.php/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado