P´endulo Cruz Daniel Garc´ıa Molina Departamento de F´ısica
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Introducci´ on
Resolver las ecuaciones de movimiento para un p´endulo es uno de los problemas m´as comunes que se presentan en la licenciatura en f´ısica. Sin embargo, jam´as se resuelve la ecuaci´on del p´endulo en s´ı, sino una aproximaci´on para peque˜ nas oscilaciones (p´endulo simple). Esto sucede porque la soluci´on aproximada para peque˜ nas oscilaciones es algebr´aica. En ´este caso se resolver´a la ecuaci´on del p´endulo: d2 θ g = − sin θ 2 dt l
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donde: θ es el a´ngulo del p´endulo de longitud l g = 9.81 sm2 es la aceleraci´on debido a la fuerza de gravedad Para cualquier amplitud de oscilaci´on, la ecuaci´on (1), es una ecuaci´on trascendental por lo que se requerir´a de un m´etodo num´erico.
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M´ etodo Euler semi-impl´ıcito
El m´etodo de Euler semi-implicito es una herramienta para resolver las ecuaciones de Hamilton por lo que el m´etodo de Euler semi-impl´ıcito puede ser aplicado para resolver ecuaciones de la forma dx = f (t, v) dt
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dv = g(t, x) dt
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donde f y g son funciones dadas. Las ecuaciones de movimiento en la mec´anica Hamiltoneana adquieren esta forma si el Hamiltoneano es de la forma: H = T (t, v) + V (t, x) (4) Donde las ecuaciones se resuelven bajo condiciones iniciales x(t0 ) = x0 ,
v(t0 ) = v0 .
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El m´etodo produce una soluci´on aproximanda mediante un proceso iterado: vn+1 = vn + g(tn , xn ) ∆t ;
xn+1 = xn + f (tn , vn+1 )
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donde ∆t es el tama˜ no de paso y tn = t0 + n∆t es el tiempo despu´es de n pasos. El m´etodo de Euler semi-impl´ıcito es un integrador de primer orden por lo que el error cometido es del orden de ∆t. La desventaja de este m´etodo es que cuando el Hamiltoneano es independiente del tiempo la energ´ıa no se conserva, a diferencia de lo que ocurre f´ısicamente.
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Soluci´ on de la ecuaci´ on del p´ endulo
Aplicando la segunda ley de Newton al p´endulo tenemos que: F~ · ˆı = −mgsenθ
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Ahora como la aceleraci´on es la segunda derivada de la posici´on con respecto al tiempo d2 θ (8) ml 2 = −mgsenθ dt Luego d2 θ g = − senθ 2 dt l
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Como ya se dijo en la introducci´on, la ecuaci´on diferencial anterior no puede ser resulta por m´etodos anal´ıticos. Ahora como el Hamiltoneano del p´endulo satisface (4), se puede implementar el m´etodo de Euler semiimpl´ıcito. Para realizar el proceso iterado de dicho m´etodo se utiliz´o el siguiente programa en FORTRAN 95: Program Pendulo implicit none real :: ai, wi, h, q, w, l, a, qi integer :: N, i, e, f character(len=15) :: Archivo real, parameter :: pi =4*atan(1.) real, parameter :: g=9.8 print *, "El programa resuelve la ecuacion del pendulo & mediante el metodo de Euler semi-implicito." print *, "Velocidad angular en tiempo t=0?:" read *, wi print *, "Introduzca el angulo al tiempo t0 (radianes)" read *, ai print *, "Que tamano de paso" read *, h print *, "Longitud del pendulo:" read *, l print *, "Numero de iteraciones deseadas:" read *, N print *, "Nombre del archivo donde se guardaran los resultados:" read *, Archivo open(23, file=Archivo, status="UNKNOWN", action="WRITE") do f=0,8 wi=wi+f*pi/12.*cos(f*pi) do e=-10,10 ai=ai+e*pi/32. 3
w = wi - (g/l)*sin(Qi)*h a = ai + (W*h) do i = 0,N W = W - (g/l)*sin(a)*h a = a + (W*h) write (23,*) a, W end do end do end do CLOSE(15) end program
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”./pendulo”
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
-2
-1
0
1
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La figura es el resultado de graficar los resultados obtenidos por el programa antes mostrado. En ´esta se pueden apreciar claramente dos tipos de curvas: circunferencias y elipses conc´entricas. Luego, la familia de curvas que se encuentra justo por encima o por debajo de las elipses son curvas que jam´as se cierran. Las primeras corresponden a peque˜ nas aplitudes (p´endulo simple), las segundas corresponden al movimiento del p´endulo para amplitudes grandes y las terceras corresponden al momento en el que el p´endulo se coloca en el m´aximo o el m´ınimo, ah´ı el per´ıodo es infinito, por lo que la curva nunca se cierra.
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Conclusiones
El m´etodo de Euler semi-impl´ıcito, nos sirvi´o para obtener la soluci´on general para el p´endulo, y pudimos obtener la gr´afica de una familia de curvas en el espaciofase caracter´ısticas del movimiento del p´endulo. La gr´afica del espaciofase tambi´en nos permiti´o observar con mayor claridad que la soluci´on del p´endulo en general es diferente a la soluci´on del p´endulo simple.
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Bibliograf´ıa
se recuper´o de la p´agina http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Cromer_algorithm con acceso 3 de octubre de 2010
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