Matemática e suas Tecnologias
COMPETÊNCIA
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Estatística e probabilidade Competência de área 7
Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. H27 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. H30 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos deestatística e probabilidade.
Organizador:
Mateus Prado
Expediente
Edição M7-B
Idealizador e Organizador: Mateus Prado Gestora Pedagógica: Ana Paula Dibbern Diretor de Criação: José Geraldo da Silva Junior Projeto Gráfico: Daniel Paiva Matemática Linguagens
Nota:
Designers: Daniel Paiva e Lucas Paiva
Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, por se tratarem de questões já utilizadas nas provas do ENEM, podem ocorrer casos de erros gramaticais ou discussões quanto à exatidão das respostas e conceitos empregados nas questões. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente (errata@guiaenem.org.br), para que possamos esclarecer ou encaminhar cada caso.
Estatística e Probabilidade
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mpetência dessa co Incidência a de Matemática: na prov
14%
Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
A última competência da matriz de Matemática trata da distribuição e do comportamento das informações e dados presentes na nossa vida. A partir de pesquisas, estudos e jogos envolvendo elementos de nossa realidade, alguns conteúdos mínimos serão cobrados. Os principais são: princípio fundamental da contagem, análise combinatória (arranjo, permutação e combinação), probabilidade e progressões aritmética e geométrica. A estatística também aparece bastante. Procure pesquisar os conceitos e fundamentos da estatística utilizados no cotidiano (população, amostra, variável e frequências). Além disso, dedique-se ao estudo da média, moda e mediana, que estão sempre presentes nas provas e que, com certeza, poderão lhe conferir alguns pontos a mais. Apesar de os exercícios dessa competência tenderem à simplicidade, o aluno normalmente precisa ter domínio dos conceitos e das operações relacionados à estatística e probabilidade para conseguir resolvê-los. Também é preciso estar atento ao enunciado da questão, que muitas vezes pode confundir o aluno.
Reprodução proibida. A cópia dessa distribuição das questões do ENEM por competência caracteriza dano ao direito autoral. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
COMPETÊNCIA
Propondo essa competência, o ENEM quer saber se você é capaz de: • Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. • Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. • Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. • Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos deestatística e probabilidade.
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Reprodução proibida. A cópia dessa distribuição das questões do ENEM por competência caracteriza dano ao direito autoral. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Matemática
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Desenvolvendo e aprimorando habilidades e competências 1. Pesquise a diferença entre média, mediana e moda. Reúna os dados de altura e peso de ao menos 11 pessoas que você conheça. Com esses dados, encontre a média, a mediana e a moda da altura e do peso desse grupo. 2. Em uma casa lotérica, pegue cartelas de diferentes jogos. Calcule a probabilidade de ganhar o prêmio, para cada um desses jogos. 3. Faça uma pesquisa sobre os trabalhos desenvolvidos pelo IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Observe os dados do último Censo e pense sobre as tendências para os próximos anos.
Leve para a sala de aula imagens representando as roupas de um guarda-roupa feminino que contenha diversas peças, como camisetas, regatas, calças, shorts, saias, tênis, sapatos e chinelos. Você deverá estabelecer um número de peças para cada categoria. Depois, peça aos alunos que calculem o número de possibilidades que a dona do guarda-roupa tem de se vestir de forma diferente. Lembre-se de avisar que eles não deverão considerar a beleza das combinações: vale tudo!
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Uma empresa aérea lança uma promoção de final de semana para um voo comercial. Por esse motivo, o cliente não pode fazer reservas e as poltronas serão sorteadas aleatoriamente. A figura mostra a posição dos assentos no avião:
16 17 18 19 20 21 22 23 24
Avião com 38 fileiras de poltronas 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
11 12 13 14 15
Uma fábrica possui duas máquinas que produzem o mesmo tipo de peça. Diariamente a máquina M produz 2 000 peças e a máquina N produz 3 000 peças. Segundo o controle de qualidade da fábrica, sabe-se que 60 peças, das 2 000 produzidas pela máquina M, apresentam algum tipo de defeito, enquanto que 120 peças, das 3 000 produzidas pela máquina N, também apresentam defeitos. Um trabalhador da fábrica escolhe ao acaso uma peça, e esta é defeituosa.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
63 1
Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina M? d) e)
3 7 2 3
64 1
Ao realizar uma compra em uma loja de departamentos, o cliente tem o direito de participar de um jogo de dardo, no qual, de acordo com a região do alvo acertada, ele pode ganhar um ou mais prêmios. Caso o cliente acerte fora de todos os quatros círculos, ele terá o direito de repetir a jogada, até que acerte uma região que dê o direito de ganhar pelo menos um prêmio. O alvo é o apresentado na figura:
Torradeira Liquidificador
Por ter pavor de sentar entre duas pessoas, um passageiro decide que só viajará se a chance de pegar uma dessas poltronas for inferior a 30%. Avaliando a figura, o passageiro desiste da viagem, porque a chance de ele ser sorteado com uma poltrona entre duas pessoas é mais aproximada de a) 31%. b) 33%. c) 35%.
d) 68%. e) 69%.
66 1
Uma fábrica de brinquedos educativos vende uma caixa com fichas pretas e fichas brancas para compor sequências de figuras seguindo padrões. Na caixa, a orientação para representar as primeiras figuras da sequência de barcos é acompanhada desde desenho:
A
? ?
B
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ? ?
? ??
? ? ?
? ? ? ? ?
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? ?
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d) 4. e) 5.
? ? ?
a) 1. b) 2. c) 3.
? ? ? ?
João Maurício fez uma compra nessa loja e teve o direito de jogar o dardo. A quantidade de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente:
? Batedeira
Ao acertar uma das regiões do alvo, ele terá direito ao(s) prêmio(s) indicado(s) nesta região. Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD.
? ?
Cafeteira
? ? ?
C
? ?
D
?
3 100 b) 1 25 c) 1 3
a)
?
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Matemática
1ª figura 2ª figura
3ª figura
4ª figura
Qual é o total de fichas necessárias para formar a 15ª figura da sequência? a) 45 b) 87 c) 120
d) 240 e) 360
56 1
As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Conhecimentos específicos
Notas (em pontos) 20 18 16
Conhecimentos pedagógicos
19
18 16
Anotações
17
16
14
13
14
14 12
12 10 8 6 4 2
1
0 Avaliador A Avaliador B
Avaliador C
Avaliador D Avaliador E
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor.
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COMPETÊNCIA 7 - Estatística e Probabilidade
A nova média, em relação à média anterior, é a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor.
57 1
Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. 54 Em setembro, a máquina I produziu 100 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa má25 eram defeituosos. Por sua vez, 38 dos parafusos quina, 1000 1000 produzidos no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. 2
0 ≤ P < 100
Excelente
2 100
≤P<
4 Bom 100
4 100
≤P<
6 Regular 100
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Matemática doença crônica é
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Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:
PERFIL DA ILHA DE CALOR URBANA
F
0
C
0
92 91 90 89 88 87 86 85
33 32 31 30
Rural
Comercial
Centro
Residencial Residencial Urbano Suburbano Fonte: EPA
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é d) 35
a) 15 b) 14
e) 34
c) 25
27
Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação. Campanha de vacinação contra a gripe suína Datas da vacinação
Público-alvo
Quantidade de pessoas vacinadas
8 a 19 de março
Trabalhadores da saúde e indígenas
42
22 de março a 2 de abril
Portadores de doenças crônicas
22
5 a 23 de abril
Adultos saudáveis entre 20 e 29 anos
56
24 de abril a 7 de maio
População com mais de 60 anos
30
10 a 21 de maio
Adultos saudáveis entre 30 e 39 anos
50
Disponível em http://img.terra.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado)
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de 12
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a) 8%. b) 9%. c) 11%.
d) 12%. e) 22%.
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Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida). O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
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Os alunos da 3ª série do ensino médio da escola Z fizeram dois simulados de matemática, cada um com 8 questões de múltipla escolha, no valor de 0,5 ponto cada. Há apenas uma alternativa correta por questão. O quadro mostra o percentual de alunos que acertaram cada questão, em cada um dos simulados. Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
SIMULADO A
60% 50% 80% 30% 20% 60% 30% 10%
SIMULADO B
80% 30% 60% 30% 40% 90% 10% 10%
Sabendo-se que o número de alunos que fizeram os simulados foi o mesmo, a média geral da turma, considerando as notas dos dois simulados, mais aproximada, é de, a) 7,4. b) 3,7. c) 3,4.
d) 1,9. e) 1,7.
Considerando os dados apresentados, a média de machucados em 2009, em milhares, nos EUA, foi igual a a) 200. b) 268. c) 290.
Anotações
d) 300. e) 330.
36
Uma coleta de dados em mais de 5 mil sites da internet apresentou os conteúdos de interesse de cada faixa etária. Na tabela a seguir estão os dados obtidos para a faixa etária de 0 a 17 anos.
Preferências
Porcentagem
Música
22,5
Blogs
15
Serviços Web*
10,2
Games
10
Horóscopo
9
Games on-line
7,4
Educação **
6,5
Teen
4
Compras
3,4
Outras
12
* Serviços web: aplicativos on-line, emoticons, mensagens para redes socias, entre outros. ** Sites sobre vestibular, ENEM, páginas com material de pesquisa escolar.
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COMPETÊNCIA 7 - Estatística e Probabilidade
Considere que esses dados refletem os interesses dos brasileiros desta faixa etária. Disponível em: www.navegg.com. Acesso em: 12 nov. 2011(adaptado).
Selecionando, ao acaso, uma pessoa desta faixa etária, a probabilidade de que ela não tenha preferência por horóscopo é a) 0,09. b) 0,10. c) 0,11.
d) 0,79. e) 0,91.
37
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. Guia ENEM - Atividades / Mateus Prado / www.guiaenem.org.br/resolucao/atividades
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Matemática
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Em um blog de variedades, música, mantras e informações diversas, foram postados ‘’Contos de Halloween’’. Após a leitura os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: ‘’Divertido’’, ‘’Assustador” ou ‘’Chato’’. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.
Investidor
Hora da Compra
Hora da Venda
1
10:00
15:00
2
10:00
17:00
3
13:00
15:00
4
15:00
16:00
5
16:00
17:00
O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.
Contos de Halloween opinião dos visitantes 52%
Divertido 15%
Assustador Chato
Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio?
12%
a) 1 b) 2 c) 3
21%
Não opinaram 0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem ‘’Contos de Halloween’’. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto ‘’Conto de Halloween’’ é ‘’Chato’’ é mais aproximada por a) 0,09. b) 0,12. c) 0,14. d) 0,15. e) 0,18.
d) 4 e) 5
34
Cinco times de futebol (A, B, C, D e E) ocuparam as primeiras colocações em um campeonato realizado em seu país. A classificação final desses clubes apresentou as seguintes características: • O time A superou o time C na classificação; • O time C ficou imediatamente à frente do time E; • O time B não ficou entre os 3 últimos colocados; • O time D ficou em uma classificação melhor que a do time A. Assim, os dois times mais bem classificados foram a) A e B b) A e C c) B e D
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O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. Valor da Ação (em reais) 460
d) B e E e) C e D
35
Acidentes banais como escorregões, quedas e tropeços se tornaram a segunda maior causa de morte na humanidade. A tabela a seguir mostra alguns tipos de acidentes e sua incidência, em milhares, no ano de 2009, nos EUA.
Machucados em 2009
380
Andando a cavalo
80
330
Andando de bicicleta
400
280
Acidentes na cama
500
200 150
Acidentes na piscina
160
Acidentes no banheiro
400
Jogando futebol
200
10
11
12
13
14
15
16
17
Tempo (em horas)
Tipos de acidentes
100
14
Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela.
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SOLEIRO, R. et al. Os novos jeitos de morrer. Superinteressante, dez. 2011 (adaptado).
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As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Conhecimentos específicos
Notas (em pontos) 20 18 16
Conhecimentos pedagógicos
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18 16
Anotações
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16
14
13
14
14 12
12 10 8 6 4 2
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0 Avaliador A Avaliador B
Avaliador C
Avaliador D Avaliador E
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor.
Reprodução proibida. A cópia dessa distribuição das questões do ENEM por competência caracteriza dano ao direito autoral. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
COMPETÊNCIA 7 - Estatística e Probabilidade
A nova média, em relação à média anterior, é a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor.
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Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. 54 Em setembro, a máquina I produziu 100 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa má25 eram defeituosos. Por sua vez, 38 dos parafusos quina, 1000 1000 produzidos no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. 2
0 ≤ P < 100
Excelente
2 100
≤P<
4 Bom 100
4 100
≤P<
6 Regular 100
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frota de veículos acidentes com vítimas veículos por 100 habitantes acidentes com vítimas a cada 10.000 veículos
2003
2004
2005
2006
36.658.501
39.240.875
42.071.961
45.400.000
333.592
344.927
383.276
dados não disponíveis
20,7
21,6
22,8
24,3
91,0
87,9
91,1
dados não disponíveis
Anuário Estatístico de Acidentes de Trânsito. DENATRAN/RENAEST, 2006 (com adaptações).
Suponha que, em 2006, o indicador relativo à quantidade de acidentes com vítimas a cada 10.000 veículos tenha sido a média dos valores correspondentes a esse indicador nos anos de 2003 a 2005. Nesse caso, o total de acidentes com vítimas ocorridos em 2006 foi igual a
54 1
Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:
Número de compradores
Reprodução proibida. A cópia dessa distribuição das questões do ENEM por competência caracteriza dano ao direito autoral. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Matemática
a) 353.932. b) 399.066. c) 408.600. d) 413.594. e) 433.053.
80 60 A B
30 20
20
10 Janeiro
Março
Fevereiro
A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?
52 1
Os alunos de uma escola fizeram uma rifa para arrecadação de fundos para uma festa junina. Os 1.000 bilhetes da rifa foram numerados com os múltiplos de 3, iniciando-se com o número 3. Serão sorteados, aleatoriamente, 3 números, correspondendo ao primeiro, ao segundo e ao terceiro prêmios. A probabilidade de o número do primeiro bilhete sorteado ser par e maior que 2.991 é igual a a) 0,001. b) 0,002. c) 0,003.
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
d) 0,004. e) 0,005.
1 a) 20 b) 3 242 c) 5 22
6 d) 25 e) 7 15
55 1
Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária.
53 1
Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
40% C
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
D B
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? 1 2 b) 5 8 c) 1 4 a)
20
5 6 e) 5 14 d)
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25%
A
10%
25% O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é a) 300,00. b) 345,00. c) 350,00.
d) 375,00. e) 400,00.
Matemรกtica
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