Gymnasieskolen #06 2020

I N D B L I K

Medlemsblad for Gymnasieskolernes Lærerforening

Oktober 2020

&

O V E R B L I K _

No_06

e

T E M A _

KLIMABEVIDSTE GYMNASIER

Et stort flertal af gymnasierne gør en indsats for at mindske deres klimaaftryk. s_10 Underskud. Halvdelen af

Problemløsning. Interview

Karrierelæring. Brætspil

landets gymnasier kører

med forfatteren bag ny bog

giver indblik i uddannelser

med røde tal. s_06

om ‘reframing’. s_26

og job. s_32

MP Pension har skiftet navn

9% Afkast & ansvarlighed går hånd i hånd 9 procent i afkast pr. år fra 2009 til 2019. I 2020 forventer vi dog et lavere afkast på grund af corona. Lige nu har vi et afkast på +2 procent. Vi respekterer menneskerettigheder i de selskaber, vi investerer i. Vi arbejder for rimelig aflønning af topledelsen i selskaberne. Vi presser på for at få flere kvinder på direktionsgangene.

Vi har frasolgt aktier i olie, kul og tjæresand. Vi har sagt farvel til investeringer i tobak. Vi modarbejder skattesvig, skatteunddragelse og aggressiv skatteplanlægning. Vi siger nej til atomvåben, til kemiske og biologiske våben og til klyngevåben.

akademikerpension.dk

Gymnasieskolen | Medlemsblad for Gymnasieskolernes Lærerforening | Redaktion: Morten Jest (ansvarshavende), jest@gl.org • Tina Rasmussen, tina@gl.org • Malene Romme-Mølby, mrm@gl.org • Johan Rasmussen, johan@gl.org | Adresse: Vesterbrogade 16, 1620 København V. Telefon: 33 29 09 00 | Hjemmeside: www.gymnasieskolen.dk | Rejse-, stillings- og forretningsannoncer: Sofia Malta Velling, Rosendahls A/S, telefon: 45 7610 1155, smv@rosendahls.dk | Design og koncept: Creative ZOO, www.creativezoo.dk | Forside: Mia Mottelson | Tryk: Rosendahls A/S | Oplag: 14.500 | Tilmeldt Fagpressens Medie Kontrol | Medlem af Danske Specialmedier | Næste deadline: 22. oktober 2020.

s_03

INDHOLD

s_04 s_06 s_08 s_10 s_22 s_24 s_26

Leder og temaintro Eftersyn Kort om løn og ansættelse Tema Kort om uddannelsespolitik Perspektiv Udsyn

s_30 s_32 s_36 s_38 s_42 s_46

Kort om undervisning Hverdag Anmeldelser Kronik GL’s sider Diskussion

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

e

·

2 0 2 0

T E M A _

Mange store Klimabevidste gymnasier kampe Skiftende og i­nkonsistente vejledninger og a ­ nbefalinger, utryghed over sikkerhed i daglig­dagen etc.

s_04

Jeg bliver ikke udråbt til en ny Nostra­damus med påstanden om, at vi ikke har hørt det sidste til s amlivsproblemer i forholdene ­ mellem corona, undervisning og ­ myndigheder.

Kampen bliver dog næppe – set i et livsperspektiv – lige så lang som en anden kamp, der i virus­ sens skygge er røget lidt i baggrun­ den: Kampen om klimaet. Den kan du læse meget mere om, set fra et gymnasieperspektiv, i dette blad, der blandt andet også handler om problemløsning.

Problemløsning kan der (som ­altid) hurtigt blive brug for. Som om ovenstående kampe ikke var nok, vakler økonomien flere steder i ­sektoren efter årrækken med ned­ skæringer. Senest har regeringen så bebudet en beskæring af skoler­ nes markedsføringsmidler ( ja ja, I sagde måske inden valget, at I vil­ le ­gøre det – men I sagde også, at I ­ikke ville tillade flere besparelser på ­uddannelse).

Men hov, er skolerne ikke selv­ ejende institutioner? Og kan man lave en for alle gymnasiale uddan­ nelsesretninger objektiv grænse mellem reklame og nødvendig, legi­ tim information? Betyder det mon, at vi kan forvente et snarligt opgør med selvejet? For ellers synes rege­ ringen da at handle paradoksalt. Det er i så fald ikke den første regering, det sker for. Men det er vel ingen naturlov?

Morten Jest Chefredaktør

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

”

Men skolerne kan ikke læne sig tilbage og pudse glorien.

Er gymnasierne gået ind i klimakam­ pen? Og hvilke tiltag har de i givet fald taget?

De spørgsmål stillede vi os selv her på Gymnasieskolens redaktion, og for at finde svarene sendte vi et spørgeskema ud til rektorerne på alle landets gymnasiale uddannelser. Re­ sultatet har været udgangspunktet for temaet i dette nummer.

102 rektorer har svaret på under­ søgelsen, og billedet er klart: På hele 93 procent af gymnasierne gør man noget for at mindske skolens klima­ aftryk.

Hvilke tiltag, man har valgt, er forskelligt fra skole til skole, men u ndersøgelsen viser, at skolerne i ­ hvert fald ikke lukker øjnene for forandringerne, men tvært­ klima­ imod forsøger at gøre en forskel.

Men skolerne kan ikke læne sig tilbage og pudse glorien. Flere klima­ eksperter peger på, at der er områder, hvor skolerne kan – og bør – gøre det bedre. Helt grundlæggende efterlyser de, at langt flere skoler får lavet en strategi for deres klimatiltag.

Som uddannelsesinstitutioner har gymnasierne et enormt potentiale, fordi de gennem den daglige kontakt med tusindvis af unge kan præge de kommende generationer og skabe po­ sitiv forandring. Derfor er det ifølge eksperterne heller ikke godt nok, når det for eksempel kun er 25 procent af skolerne, som har kødfrie dage i kan­ tinen.

Vi håber, at temaet kan i­nspirere til, at man ude på skolerne giver klima­indsatsen et eftersyn og måske sætter ekstra skub i de grønne tiltag. ­ øre Ingen kan gøre alt, men alle kan g noget.

God læselyst!

Gymnasieskolens redaktion

Webinarer Din genvej til faglig inspiration

Sep Fysik Få en ny tilgang til arbejdet med elektriske kredsløb.

Okt Engelsk Gør undervisningen i litteraturhistorie vedkommende.

Nov Billedkunst Tilrettelæg undervisningen, så den pirrer elevernes nysgerrighed.

Sep Dansk Hvad kendetegner klimalitteratur, og hvordan bidrager den til samtalen om klimakrisen ?

Okt Religion Få inspiration til undervisning i sikhisme.

Nov Historie Hvordan kan arbejdet med komparation gribes an i historieundervisningen ?

Dec Dansk Hvordan skriver og underviser man i litteraturhistorie i 2020 ?

webinar.systime.dk Deltag i livestreamede faglige oplæg Stil spørgsmål til erfarne undervisere og forfattere Få inspiration til din undervisning.

EFTERSYN

Fik det politiske tiltag den ønskede effekt, og hvad kom der ud af det særlige indsatsområde på skolen?

Vi kigger tilbage og gør status.

e

Halvdelen af gymnasierne kører med underskud s_06

Gymnasiernes økonomi er blevet væsentligt ringere i de senere år.

50 procent af skolerne har under­ skud, viser de seneste regnskabs­ tal. Sektoren er skuffet over, at regeringen vil indføre yderligere nedskæringer til næste år.

e Tekst_ Johan Ra smu s s en

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

F

ire år med omprioriteringsbidrag på uddannelse har sat sine tydelige spor i skolernes økonomi.

Ikke mindre end halvdelen af skolerne, som udbyder gymnasiale uddannelser, havde røde tal på bundlinjen.

Det viser de samlede regnskabs­tal fra 2019, som Børne- og Undervisnings­ ministeriet har offentlig­g jort.

119 millioner kroner lyder det samlede underskud for skolerne på i 2019. Til sammenligning landede det samlede resultat på et rundt nul i 2018, mens skolerne i 2017 havde et samlet overskud på en kvart milliard kroner.

“Underskuddet viser med al tyde­ lighed, hvor hårdt nedskæringerne har ramt skolerne. Det er bydende nødvendigt at få ført penge tilbage til sektoren, som er blevet skubbet længere og længere ud over kanten. Det er jo ikke holdbart i længden, at skoler kører med underskud,” siger ­Tomas Kepler, formand for Gymnasie­ skolernes Lærer­forening (GL).

Nedskæringer siden 2016 I 2016 blev omprioriteringsbidraget på 2 procent om året indført for hele uddannelsessektoren. Derudover har især stx og VUC været ramt af yderligere besparelser på taxameteret.

Skolernes økonomi har med andre ord ændret sig markant siden 2015.

Den nuværende regering satte en stopper for omprioriteringsbidraget i 2020, og selvom det vakte glæde ude på skolerne, så er skolernes budgetter i år stadig markant lavere end i 2015.

Derudover har regeringen for nylig foreslået, at et kommende politiforlig blandt andet finansieres ved at skære i markedsføringsudgifter i uddannelses­s ektoren. I alt skal der hentes over 500 millioner kroner over de næste fire, foreslår regeringen.

Fra hele sektoren lyder kritikken, at regeringen igen sparer på uddannelse, og at skolerne ikke har særskilte budgetter til markedsføring, som de bare kan skære ned på.

“Det er en stor gang politisk spin for at sminke yderligere ned­skær­

inger på uddannelse. Regeringen gik ellers til valg på, at det var slut med nedskæringer på uddannelse,” siger Tomas ­Kepler.

Risiko for sygemeldinger På Virum Gymnasium bekræfter rektor Mette Kynemund, at økonomi­ en er hårdt presset.

“Hvis omprioriteringsbidraget ­ikke var stoppet, så havde det v ­ æret mere end kritisk. Det har gennem de seneste år været en voldsom om­ gang og har i høj grad presset lærer­ ne og det, vi kan tilbyde eleverne,”

siger hun og henviser til, at besparel­ serne har betydet, at lærerne løber ­stærkere nu end før besparelserne.

“Jeg er bange for, at yderligere be­ sparelser vil føre til langtidssyge­ meldinger blandt medarbejderne,” ­siger Mette Kynemund.

På Virum Gymnasium var der i 2019 et underskud på 9,5 procent af omsætningen. En del af underskud­ det skyldes, at skolen har omlagt lån, som på lang sigt er bedre for ­skolen.

Bestyrelsen og ledelsen gik ind til dette underskud med åbne øjne, under­streger Mette Kynemund.

FAKTA U N D E R S K U D

2 0 1 9

-62 -7 -49 -1

mio. kr. mio. kr. mio. kr. mio. kr.

I alt -119 mio. kr.

F O R D E L I N G A F S K O L E R E F T E R R E S U L T A T E R

50 %

8 %

37 %

5 %

Overskudsgrad mellem 0 - 2 pct.

På Køge Handelsskole var der i 2019 et underskud på cirka 7 procent af omsætningen. Det skyldtes blandt andet et fald i antallet af nye ele­ ver, som førte til flere afskedigelser ­sidste år. Derudover omlagde skolen også sine lån, og det giver i første om­ gang et underskud på regnskabet.

“Selvom vi får færre elever og skal spare, har vi stadig udgifter til loka­ ler, rengøring og så videre. Omprio­ riteringsbidraget har derfor betydet, at lærerne har fået flere konfronta­ tionstimer, samtidig med at de har skullet implementere en ny reform.

Arbejdsbyrden er øget gevaldigt,” ­siger Tim Christensen, der er direk­ tør på Køge Handelsskole.

Udgifter til bygninger og it

Almene gymnasier og hf-kurser: Erhvervsskoler med gymnasialt udbud: VUC: Private gymnasier:

Underskud

Flere afskedigelser

Overskudsgrad mellem 2 - 4 pct

Overskudsgrad over 4 pct.

På VUC Djursland var der i 2019 et underskud på 10 procent af om­ sætningen. En del af underskuddet skyldtes, at der er blevet færre årsele­ ver på grund af den nye Forbereden­ de Grunduddannelse (FGU). Det be­ tyder, at nogle bygninger er blevet afviklet, at it-udstyr er blevet flyttet og så v ­ idere.

“Selvom vi mister elever, er der omkostninger, som ikke bare kan skæres ned fra den ene dag til den anden,” siger forstander Lars Øster­ gaard.

En del af underskuddet skyldtes dog ifølge Lars Østergaard også om­ prioriteringsbidraget.

“Tidligere havde vi et lille over­ skud, men nu er alt på driften barbe­ ret ned. Vi har for eksempel ikke så mange valgfag som tidligere,” siger Lars Østergaard.

I forhold til regeringens udspil om, at skolerne skal skære ned på markeds­føringsudgifter, siger han: “Vores udgifter til markeds­føring er i forvejen gået 30-40 procent ned. Men vi bliver nødt til at bruge ­nogle penge på at gøre opmærksom på vores tilbud til for eksempel ord­ blinde.” •

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_07

KORT

Virologiprofessor: Visir og mundbind på gymnasier er en frygt­drevet ­overreaktion

OM Løn og ansættelse Læs mere på gymnasieskolen.dk

e

GL: Der er inspiration til OK 21 i lærernes nye arbejdstidsaftale s_08

Timetal på opgaverne, fokus på lo­ kalt samarbejde og TR's centrale r­ olle er nogle af elementerne i lærernes nye arbejdstidsaftale, som også ville gavne gymnasielærernes arbejdsfor­ hold. Det mener Gymnasieskolernes Lærer­forening.

GL hæfter sig blandt andet ved, at der skal foreligge en opgaveoversigt over lærerens opgaver i løbet af et skoleår fem uger før normperiodens start, og at ledelsen har pligt til at sætte tidsestimater i form af timetal på opgaverne. Desuden skal der ske en løbende opgørelse af arbejdstiden.

“Jeg synes, at det overordnet set lyder som en rigtig god måde, hvor man konkret får vist, hvordan trans­ parens kan realiseres. Læreren får en tydelig indikation på, hvor mange ressourcer man forventer, at opgaven kræver,” siger Tomas Kepler, formand for GL, og tilføjer: “Jeg tror, at det ville være et væ­ sentligt fremskridt på mange skoler, hvis der blev sat timer på alle gym­ nasielærernes opgaver. Vi vil gerne sikre mere ensartede arbejdsforhold i sektoren, og på det punkt er en ledel­ sespligt til at sætte timer på opgaver­ ne et godt sted at starte.”

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

Lærere skal undervise med visir Den store uddannelsesinstitution Niels Brock i København er muligvis den skole i Danmark, som går længst for at undgå coronasmitte på skolen.

Lærerne skal have visir på, når de underviser, eller mundbind, hvis de er nødt til at gå tættere på en elev.

Skolen har også i enkelte lokaler sat plexiglas-plader op, som man ken­ der det fra butikker, så læreren kan ­ nakke. Til stå adskilt fra eleverne og s gengæld skal eleverne endnu ikke gå med mundbind.

Tiltagene blev iværksat ved skole­ start, hvor otte klasser blev sendt hjem i 14 dage på grund af ­smitte blandt klassernes elever. Skolen har i alt 150 klasser på ungdoms­ uddannelserne.

Fællestillidsrepræsentant Allan Nørgaard Andersen, som også ­sidder med i skolens beredskabsgruppe for corona, siger, at holdningerne til ­tiltagene er blandede blandt lærerne.

“Alle synes, det er rædselsfuldt at undervise med et visir på, men der er også stor forståelse for det hos ­mange af lærerne,” siger Allan Nørgaard ­Andersen, som selv bakker op om til­ tagene for at undgå at sprede smitte på skolen.

Visir, mundbind eller ingenting?

Landets gymnasier går i forskellige ­retninger, når det kommer til hånd­ tering af de seneste ugers stigning i smittetal.

Men det er ikke optimalt, mener Søren Riis Paludan, der er professor i virologi og immunologi på Aarhus Universitets Institut for Biomedicin.

For lokale retningslinjer kan let ­blive påvirket af følelser i stedet for evidens og fakta. Han mener, at til­ tagende brug af visir og mundbind på gymnasier er udtryk for en over­ reaktion.

“Folkeskolerne har været i stand til at starte igen med almindelig menneskelig interaktion. Der k ­ ører man en stil, hvor en positiv corona­ test medfører, at man lukker den ­pågældende klasse, indtil elever og lærere kan fremvise to negative test.

Og så går man tilbage til normalen,” lyder det fra professoren, der undrer sig over de forskellige retningslinjer fra gymnasium til gymnasium.

“Jeg har meget svært ved at se, hvorfor man ikke gør det samme i gymnasiet. Det virker frygtdrevet og som en overreaktion.”

Han mener dog, at individuelle løs­ ninger kan komme på tale, hvis der er en lærer, der er i risikogruppen.

Besparelserne har kun været i stand til at blive udført, fordi der ikke er klare regler for vores arbejdstid!

René Vester Kjær Lærer og blogger College 360 I blogindlæg på gymnasieskolen.dk

s_09

FAKTA OG FAKE Læringsplatform om misinformation, sandhed og fup Kampen om den offentlige dagsorden er spidset til. At navigere på det digitale hav af informationer og nyheder bliver stadig sværere. Misinformation, fake news, spin og spam stiller større krav om at kunne sortere i mediernes informationsstrømme.

FAKTA OG FAKE er en lærings- og studieplatform til de gymnasiale uddannelser om oplysning, journalistik og debatkultur med en overbygning for særligt motiverede og højtbegavede elever.

FAKTA OG FAKE består af tre felter til undervisning og fordybende studier: LÆRINGSFELT STUDIEFELT MENTORFELT Selvstudier i fakta Indsigtsfulde fagfolk Undervisningsforløb stller sig til rådighed for om oplysning, presse, og fake for særligt interesserede elever særligt talentfulde elever medier og fake news DER ER FRI ADGANG TIL

FAKTAOGFAKE.DK

Materialet er produceret af Henrik Poulsen I/S i samarbejde med Kruses Gymnasium i Farun, og er støttet af Undervisningsministeriet og Den A.P.Møllerske Støttefond G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

T E M A _

K L I M A B E V I D S T E

G Y M N A S I E R

Klimabevidste gymnasier Te k s t _ T i n a R a s m u s s e n Illustration_ Mia Mottelson

­G ymnasierne lukker ikke øjnene for klimaforandringerne. Tvært­ imod. ­Hele 93 procent af skolerne gør noget for at mindske deres klima­ aftryk. Det viser en ny undersøgelse, som Gymnasieskolen har ­lavet. Nogle skoler har in­ vesteret i solceller og nye vinduer, andre har ind­ ført kødfrie dage i kantinen og forsøger at und­ gå flyrejser på studieturene. Flere klimaeksperter ­giver dog både ris og ros til skolerne. Selvom de har iværksat tiltag, der reducerer udledningen af CO2, er der områder, hvor de bør gøre det ­bedre, lyder meldingen. Ikke mindst fordi gymnasierne har en helt unik mulighed for at præge fremtidens generatio­ ner til at træffe ­klimabevidste og bæredygtige valg.

s_10

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_11

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_13

Hvad gør gymnasierne for at begrænse deres klimaaftryk og blive mere grønne? Det har Gymnasieskolen kortlagt.

102 rektorer har svaret på en spørgeskemaundersøgelse.

Få overblikket her.

Te k s t _ T i n a R a s m u s s e n Illustration_ Mia Mottelson

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

T E M A _

K L I M A B E V I D S T E

G Y M N A S I E R

Ekspert:

Gymnasierne gør mere end en gennemsnitlig dansk familie Klimaeksperter er generelt positive over for ­gymnasiernes klima­tiltag. Men der er også plads til forbedringer. Mange skoler har eksempelvis ingen strategi.

Te k s t _ T i n a R a s m u s s e n

s_14

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

S

olceller på taget, affaldssorte­ ring og et mindre forbrug af vand og strøm. Et stort flertal af landets gymnasier forsøger at gøre en indsats for at reducere udslippet af CO2 og der­ med mindske skolens klimaaftryk. Det viser en undersøgelse, som Gymnasie­ skolen har lavet.

I undersøgelsen siger hele 93 procent af rektorerne, at deres skole gør noget for at mindske klimaaftrykket.

Undersøgelsen viser, at mange skoler blandt andet har mindsket forbruget af el, vand og varme inden for de sene­ ste fem år, og mange steder har man la­ vet energibesparende renoveringer, for eksempel har 37 procent fået et varme­ styringsanlæg, og 33 procent har instal­ leret solceller.

Torben Chrintz, der er videnschef i den grønne tænketank Concito, har kigget på tallene.

“Overordnet virker det til, at gymna­ sierne tager klimaforandringerne alvor­ ligt og forsøger at gøre noget. De gør mere end en gennemsnitlig dansk fami­ lie,” siger han.

Torben Chrintz peger dog på, at ­ ndersøgelsen næppe er helt repræsen­ u tativ, og at man derfor skal ‘trække lidt fra’ for at få det reelle billede.

“De, der har svaret, vil typisk være dem, der har gjort noget,” påpeger han.

Det er meget forskelligt fra skole til skole, hvilke knapper der vil være de bedste at skrue på for at opnå den stør­ ste klimamæssige effekt. Ikke mindst skolens alder og bygningernes stand har stor betydning, forklarer Torben Chrintz.

Derfor er der også nogle af tallene i undersøgelsen, man ikke direkte kan afkode som gode eller dårlige, fastslår han og nævner som eksempel de 28 procent af skolerne, som har fået efter­ isoleret bygninger.

“Det kan være både et lavt og et højt tal. Om efterisolering er et fornuftigt til­ tag, afhænger jo af bygningens stand.”

Gymnasieskolen har sendt undersø­ gelsen ud til 246 rektorer på alle fire gym­ nasiale uddannelser – 102 har svaret.

Flertallet har ingen plan Regeringens mål er, at udledningen af CO2 i Danmark skal reduceres med 70 procent inden 2030. Hvis det mål skal nås, er både privatpersoner, virksom­ heder og offentlige institutioner nødt til at ændre forbrug og adfærd – også gymnasierne, fastslår Torben Chrintz.

Undersøgelsen viser, at syv ud af ti gymnasier ikke har en plan for deres klimaindsats, og det er et problem, ­mener han.

“Uden en strategi bliver det for til­ fældigt og ad hoc-agtigt. Skolen mister overblikket,” siger Torben Chrintz.

Det øger også risikoen for, at der går “populisme i den”, så skolerne prioriterer de mest synlige tiltag, pointerer han.

“Det undrer mig for eksempel, at h ­ ele 33 procent af skolerne har installeret solceller. Det er et meget synligt tiltag, hvor man viser omverdenen, at man gør noget. Men det er langtfra sikkert, at det alle steder har været det mest effektive at gøre,” siger Torben Chrintz.

Alt for få kødfrie dage Jens Friis Lund er professor på Institut for Fødevare- og Ressourceøkonomi på Københavns Universitet. Også han har både ris og ros til gymnasierne. På plussiden nævner han, at skolerne har skåret ned på forbruget af strøm og vand og gør en indsats for at mindske madspild i kantinen. Til gengæld undrer han sig over, at kun hver fjerde skole har indført kødfrie dage.

“Det, synes jeg, er skuffende. Vi ved, at rødt kød har et virkelig højt klima­ aftryk, så her bør skolerne virkelig tage fat. I mine øjne har offentlige institutioner et stort ansvar for at vise, at der er masser af gode alternativer,” siger Jens Friis Lund, der beskæftiger sig med klima i bred forstand.

Ligesom Torben Chrintz mener han, at der er et problem i, at størstedelen af gymnasierne ikke har en overordnet strategi på området.

“Uden en strategi bliver det for tilfældigt og ad hoc-agtigt.”

Torben Chrintz Videnschef Tænketanken Concito

“En strategi er eksempelvis vigtig i forhold til udskiftning af it. Uden en strategi vil den indkøbsansvarlige typisk ­købe det billigste udstyr, men det vil sjældent være det miljømæssigt rigtige valg,” siger Jens Friis Lund.

I det hele taget bliver de projekter, man får sat i søen, alt for tilfældige og kommer let til at afhænge af enkelte ildsjæle, vurderer han.

Normbærende gymnasier Ifølge Jens Friis Lund har politikerne brug for alles indsats, hvis målsætningen om 70 procent mindre CO2-udslip skal indfries. Og 70-procentsmålsætningen er endda kun første skridt på vejen – men slet ikke tilstrækkeligt – hvis

Torben Chrintz, videnschef, Concito

er i spil, er færre flyrejser, færre parkeringspladser ved de forskellige institutter samt mindre kød og forbud mod engangsservice i kantinen.

“Vi skal have skabt et mere bæredygtigt samfund. Vi kan ikke fortsætte med at flyve til udlandet flere gange om året, køre rundt i vores biler og spise masser af kød. Derfor vil det være tåbe­ ligt at holde fast i en norm om, at de ting er helt normale. Det er ikke den fremtid, vi kigger ind i, hvis vi skal have løst klimaproblemerne,” siger Jens Friis Lund.

Stort standbyforbrug

Jens Friis Lund, professor, urceøkonomi Institut for Fødevare- og Resso på Københavns Universitet

Christian Anker Hviid, lektor, på DTU Institut for Byggeri og Anlæg

Danmark skal yde et bidrag til at begrænse den globale opvarmning, som flugter med vores velstand og historiske ansvar, understreger han.

Han mener, at gymnasierne og alle øvrige uddannelsesinstitutioner har en særligt vigtig rolle, fordi de kan præge de fremtidige generationer til at træffe klimabevidste valg.

“Gymnasierne kan være normbærende. Normer er nemmere at forandre, hvis vi gør det i fællesskab. Det bliver nemmere at være Peter i 2.g, der ikke kommer på studietur til Chile, hvis det er det normale. Er det normalt at komme til Chile, er det svært kun at skulle til Bornholm,” siger Jens Friis Lund.

På Københavns Universitets Science fakultet sidder han selv i en arbejdsgruppe, som i godt et år har haft fokus på at finde grønne tiltag, der kan mindske fakultetets klimaaftryk. Ledelsen skal i efteråret træffe den endelige ­beslutning, men nogle af de idéer, der

Christian Anker Hviid er lektor på Institut for Byggeri og Anlæg på DTU. Han har i flere år arbejdet med at nedbringe energi­forbruget på landets folkeskoler.

Her har han opdaget flere “meget lavt­ hængende frugter”, som mange skoler ikke er opmærksomme på.

“Det elforbrug, der bliver brugt på, at lyset brænder, og at computere og andet står på standby uden for skole­ tiden, udgør en betydelig del af en skoles totale elforbrug. 30-40 procent er ­ikke usædvanligt. Det er jo totalt spild,” siger Christian Anker Hviid, der vurderer, at billedet er det samme på gym­ nasierne.

Ud over at gøre noget ved standbyforbruget anbefaler han, at gymnasierne får foretaget en grundig gennemgang af deres varmesystem. Fra folkeskolerne er hans erfaring, at der er fejl på mange af dem, og at vedligeholdelsen halter.

“Rigtig mange varmesystemer fungerer ineffektivt. En indsats på det område vil betyde, at skolen kan opvarme sine bygninger med en lavere temperatur og dermed mere effektivt,” siger Christian Anker Hviid, der i øjeblikket arbejder med et EU-finansieret projekt om databaseret energistyring.

Han mener, at man mange steder har for meget fokus på tekniske løsninger som varmestyringsanlæg og solceller og for lidt fokus på, at der ligger store energibesparelser i god drift.

“Men det kræver, at man får synlig­ gjort, hvor meget varme man bruger til det varme vand, til radiatorerne, til ventilationen og så videre. Min erfaring er, at man finder de særeste fejl, og at en lille indsats kan betyde en stor besparelse,” siger Christian Anker Hviid.

•

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_15

T E M A _

K L I M A B E V I D S T E

G Y M N A S I E R

K ­ limakamp som dannelses­proces At blive et grønt ­gymnasium ­handler ikke kun om ­klimaet.

Det handler om at gøre eleverne i stand til at handle selv. Det er tanke­gangen på en af de skoler, der har flest grønne initiativer. s_16

Te k s t _ A n d r e a s R a s m u s s e n Foto_ Jesper Voldgaard

D

er findes ikke en officiel konkur­ rence om at være det grønneste gymnasium i Danmark. Men hvis der gjorde, så ville Risskov Gymnasium i Aarhus være med i kampen om guldet.

Skolen har nemlig gennemført og igang­ sat en lang række indsatser inden for ­klima, miljø og bæredygtighed.

Risskov Gymnasium var det første gymnasium i Aarhus, der fik Frilufts­ rådets grønne flag, skolen er den før­ ste institution i kommunen, der affalds­ sorterer mere, end kommunen ­kræver, og kantinen har Det Økologiske Spise­ mærke i bronze. Men for lærerne på ­skolen er processen vigtigere end ­re ­ sultatet.

Uden for gymnasiet sætter to unge piger sig ind på forsædet af en stor ny BMW og triller ud fra skolens parkerings­ plads. Benzinslugeren står i skærende kontrast til de grønne områder, der ­omgiver Risskov Gymnasium, og til de ambitioner, som både ledelse, lærere og en stor gruppe elever har.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

“Det er fem år siden, at lærerne be­ gyndte at snakke om det, og så er jeg løbende kommet mere og mere ind over det. De sidste to år har det fyldt rigtig meget,” siger rektor Gitte Horsbøl.

På skolen er der oprettet et miljøråd, der består af både lærere og elever. ­Rådet er i samarbejde med skole­ udviklings­udvalget den vigtigste driv­ kraft i at gøre skolen grøn.

“Det er et projekt, der passer godt til vores DNA, fordi vi går meget ind for, at eleverne skal trække udviklingen. I­kke bare fordi det bliver spændende, men fordi det er et dannelsesprojekt. De er her for at lære at påvirke deres egen dagligdag,” siger hun.

Gitte Horsbøl fortæller, at skolen har gennemført en række forbedringer af bygningerne, der resulterer i et mindre ressourceforbrug, men også har givet f en økonomisk besparelse.

Drømmer om klimastudieretning Parallelt med miljørådet arbejder skolen på at starte en klima/ bæredygtighedsstudieretning. Den skal indeholde samfundsfag, naturgeografi og mediefag og være en ABB-studieretning.

“Vi vil gerne lave et koncentreret mikrokosmos, hvor vi kan arbejde med emnet,” siger lærer Anton Hammer Bønnerup Odgaard.

s_17

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

FN’s 17 verdensmål

s_18 Risskov Gymnasium har vandautomater, hvor eleverne kan fylde deres genbrugsflasker.

Temadag gav wakeupcall Når elever og lærere fortæller om miljø­ rådets arbejde og skolens grønne profil, er der én dag, de bliver ved med at ven­ de tilbage til.

Arrangementet We’re gonna save the motherfucking planet, eller WGSMP, som især lærerne ynder at forkorte det, blev afholdt i februar, før Risskov Gym­ nasium corona-lukkede sammen med resten af landet.

Sammen med bæredygtighedsbu­ reauet Worldperfect arrangerede miljø­ rådet en hel temadag for skolens cirka 850 elever og lærere, der deltog på sam­ me præmisser. Der var gratis kaffe og croissanter, liveband og 30 workshops om FN’s 17 verdensmål, hvor en lang række eksterne aktører deltog, blandt andet byens universitet, basketholdet Bakken Bears, musikfestivalen North­Side og kommunens klimasekretariat. Her G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

skulle eleverne få inspiration og viden til at agere bæredygtigt i hverdagen.

“De andre elever var blown away over alt det, vi havde lavet. Det var et wakeupcall for dem. De begyndte at ­lytte til det,” fortæller Freia Lotus R ­ iekehr Møller, der går i 3.g på skolen og sidder i miljørådet.

“Vi har åbnet en bæredygtigheds­ agenda, som eleverne frivilligt har deltaget i.”

Anton Hammer Bønnerup Odgaard Lærer Risskov Gymnasium

“Der var virkelig opmærksomhed, og det er noget af det vigtigste at skabe,”

FN's 17 verdensmål for bæredygtig ud­ vikling handler ikke kun om klima og miljø, men også om ligestilling, fattig­ dom og uddannelse. Grøn udvikling er dog helt centralt i de 17 verdensmål. De 17 verdensmål er omdrejningspunkt for ­ lima ­Risskov Gymnasiums arbejde med k og bæredygtighed. Se alle 17 mål på ­verdensmaalene.dk.

supplerer 2.g’eren Theis Krog Bruhn, der også sidder i miljørådet.

Høj prioritet fra ledelsen En af dem, der har været med i hele pro­ cessen, er Poul Eriksen, der underviser i religion og naturgeografi. Han tog initi­ ativ til miljørådet i 2016.

“Vi har nået mange konkrete forbed­ ringer. Vi arbejder meget projektorien­ teret, hvor vi fokuserer på for eksempel kantinen i en periode. Det er vigtigt med et tæt samarbejde med de andre perso­ nalegrupper, for at det kan lykkes.”

En anden nødvendighed for at kunne arbejde med bæredygtighed og klima på skolen er, at ledelsen prioriterer det.

“De bakker op om det. Jeg får tildelt timer i mit skema til arbejde med miljø­ rådet,” fortæller Poul Eriksen.

Han bakkes op af kollegaen Anton Hammer Bønnerup Odgaard, der sidder i skoleudviklingsudvalget og var en af tovholderne på WGSMP-dagen.

“Det kræver en fleksibel skole og en fleksibel ledelse. Projektet er ­vokset ­meget, så i tiden op til WGSMP-dagen fik jeg lov til at få fjernet SRP-­vejledning.

Det kan vi, fordi processen er ­forankret på alle niveauer, og ledelsen hele ­tiden bliver orienteret og inddraget,” ­siger han.

Rektor Gitte Horsbøl supplerer: “Vi understøtter det ved at give plads til de medarbejdere, der brænder for projekterne. Som ledelse prioriterer vi det og har det som en del af kvalitets­ planen, der har været forelagt bestyrel­ sen. Vi bruger timer og ressourcer på at gå i den her retning.”

Inddragelse og dannelse For både elever, ledelse og lærere fylder det dannende aspekt i processen rigtig meget.

“Det allerbedste med arbejdet er, at processen frem til målet er lige så vigtig.

Vi vil have så mange som muligt med.

Lige pludselig hører man elever sidde og tale med hinanden om, at de skal ­cykle i stedet for at tage bilen. Vi har åbnet en bæredygtighedsagenda, som elever­ ne frivilligt har deltaget i,” siger Anton Hammer Bønnerup Odgaard, der under­ viser i engelsk og mediefag.

Ida Schou Wolbro Olsen fra 3.g, der også sidder i miljørådet, er enig: “I min klasse er vi for eksempel be­ gyndt at affaldssortere. Der er blevet plantet en tanke i hovedet på folk.”

Gitte Horsbøl konstaterer: “Det er dejligt, hvis driften er grøn og rentabel. Det er jeg stolt af. Men det vigtigste er at få det i spil som en dan­ nelsesproces. Det er vigtigere for mig, at eleverne går herfra med en viden om, hvordan de selv handler bæredygtigt, end at vi lige har alle detaljer på plads i driften.”

•

s_19

Udpluk af Risskov Gymnasiums initiativer: • Nye vinduer • Isolering af vægge og tag • Nye vandfontæner til at fylde genbrugsflasker • Affaldssortering • Kødfri dag i kantinen • Forbud mod plastikbestik • Begrænsning af indpakning i kantinen • Selvvalgte portionsstørrelser i kantinen for at forhindre madspild • Nye strømbesparende lamper • Besøg fra energirådgiver resulterede i selvlukkende dør

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

T E M A _

K L I M A B E V I D S T E

G Y M N A S I E R

s_20

Kun to procent af gymnasierne har indført flyforbud Selvom mange skoler arbejder for at nedbringe deres klimaaftryk, har et flertal ikke gjort noget ved studieturene.

Te k s t _

Andreas Rasmussen

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

L

angt hovedparten af landets gym­ nasier forsøger aktivt at begrænse, hvor meget de belaster ­klimaet.

Men på ét område går det ikke så stærkt.

Seks ud af ti skoler har nemlig ­ikke gjort noget for at gøre studierejserne mere ­klimavenlige.

Gymnasieskolen har kortlagt skoler­ nes ageren i forhold til studierejserne, og 38 procent af de rektorer, der har del­ taget i undersøgelsen, svarer, at deres

skole forsøger at begrænse antallet af flyrejser. Kun to procent af skolerne har besluttet, at studierejserne ikke må fore­ gå med fly.

“Det er vigtigt at forstå proportioner­ ne. Folk undervurderer, hvor ­mange kilo­meter man kan køre i bil for det ­samme CO2-udslip som en flytur. Det kan man ikke udligne ved at cykle til ­gymnasiet i hverdagen,” siger Brian Vad ­Mathiesen, der er professor på Institut

for Planlægning på Aalborg ­Universitet.

Han forsker blandt andet i klima og transport.

“Iskolde elever“ Sidste forår trådte Sara Mac Dalland til som ny rektor på Det frie Gymnasium på Nørrebro i København. På et af hendes første skolemøder, hvor elever og lærere ugentligt mødes for at diskutere nye tiltag på skolen, blev det vedtaget, at skolens studierejser fremover ikke må foregå med fly.

“Det var fantastisk at være med til,” siger hun.

“Lærerne og eleverne havde a ­ rbejdet med det i et udvalg, de havde gennemført to arbejdsdage med workshops om bæredygtighed og doughnut-økonomi og sluttede med et ekstraordinært langt skolemøde, hvor beslutningen blev ­taget.

Eleverne var iskolde: ‘Vi skal ikke flyve.

Det handler om vores fremtid’. Mange af dem flyver heller ikke privat,” siger hun.

Ærø i stedet for Barcelona Hun fortæller, at der primært var bekymring for, hvad beslutningen ville betyde for sprogfagene.

“For fransk og tysk er det ikke et problem at køre med bus. Men for spansk er det et problem. Du kan lige nå til Barcelona og være der en halv dag, før du skal køre hjem igen. Men spansklæreren bakkede op, så eleverne stemte for et forbud,” fortæller Sara Mac Dalland.

Der er endnu ingen spanskhold, der har været i Spanien.

“Vi havde et hold, der forsøgte at lægge en plan for det før corona, men spansk er en valgfagsblok, så de m ­ ister en masse undervisning, hvis de er væk for længe. Der var en masse skema­ tekniske udfordringer i forhold til at få det til at lykkes. Man bliver hurtigt afhængig af, at en lærer vil bruge sin weekend på at være på studierejse, og det kan man ikke kræve,” siger ­rektoren.

På grund af corona er mange af stu­ ogle dierejserne forlagt til Danmark. N skal til Ærø og andre til Sønderjylland.

Før corona har eleverne været i Krakow og Leipzig med bus eller tog.

“Der er ingen beklagelser fra lærer­ ne. De er gode til at finde på noget spændende fagligt indhold. Bare tag en

historielærer med til Nordtyskland,” siger hun og griner.

For Sara Mac Dalland er der ingen tvivl om, at beslutningen var den rigtige for Det frie Gymnasium, netop fordi eleverne stod bag den.

“Hvis vi vil have en global klasse, så må vi acceptere, at nogle flyver.”

Christian Alnor Rektor Middelfart Gymnasium

“Det er enormt besværligt. Demokrati tager lang tid. Men alle bakker op om beslutningen, og så har eleverne stort medejerskab. Det er så fedt at opleve det engagement,” siger hun.

Vigtigt at kunne komme til Ghana Middelfart Gymnasium er en af de skoler, der ikke har indført flyforbud. Her er rejser til for eksempel Ghana og USA vigtige, fortæller rektor Christian Alnor.

“Hvis formålet er at opleve noget, som man ikke kan opleve herhjemme, så kan det være svært at undgå fly. Vi har en klasse, der har et samarbejde med en skole i Ghana. Der skal man flyve. Der må afvejningen være, at hvis vi vil ­have en global klasse, så må vi a ­ cceptere, at nogle flyver. Men så skal vi måske ­finde ud af, hvad prisen for det er, om de for eksempel skal klimakompensere.

Så langt er vi dog ikke kommet endnu,” ­siger Christian Alnor.

Han fortæller, at klimadiskussionen og corona-begrænsningerne har sat en proces i gang på skolen.

“Vi diskuterer det med eleverne og lærerne. Hvad skal vi med studierejserne, og hvordan fungerer de bedst muligt? Hvis formålet er at lave noget med klassen, som ryster dem sammen, så kan man godt opnå det uden at skulle rejse langt væk.”

Christian Alnor konstaterer: “Vi har en biologiklasse, der har været i Florida og samarbejdet med universitetet der. Det er en helt unik studietur,

hvor de kommer ud i Everglades og kommer ud på stranden og ser havskildpadder. Det er jo noget andet end at tage til Flensborg.”

DGS: En god start Ingrid Kjærgaard, der er forkvinde for elevorganisationen DGS, synes, at tal­ lene er positive.

“At mere end en tredjedel har gjort noget for at gøre studieturene klimavenlige, er positivt, i forhold til hvor kort tid der har været fokus på at have en ­mere klimavenlig skolegang. Men der er et stykke vej igen til mere bæredygtighed,” siger hun.

Hun synes dog ikke, at det gør ­noget, hvis eleverne prioriterer noget andet end klimavenlige rejser.

“Vi mener, at det er vigtigt, at det er elevernes initiativ, hvis de vil gøre ­noget for en bæredygtig skole. Det skal ikke blive et krav, at elevrådet skal ­forholde sig til det. Der stilles meget store krav til, at vi skal kunne færdes i en globaliseret verden, og samtidig har vi en generation med stor mistrivsel. Derfor kan jeg godt forstå, hvis nogle elevråd prioriterer andre projekter højere end for ­eksempel grøn kantinemad,” siger Ingrid Kjærgaard

•

På ni ud af ti gymnasier er klima en del af undervisningen.

Læs mere på gymnasieskolen.dk G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_21

KORT

OM

e

Uddannelsespolitik Læs mere på gymnasieskolen.dk

s_22

Ministeren: Jeg bliver irriteret over store klassestørrelser Det er ikke i orden, at skoler overskrider det fleksible klasseloft på 28 elever. Det slog børne- og undervisningsminister Pernille Rosenkrantz-Theil fast på et samråd. Hun mener, at problemet skal løses med en helt ny taxameterstruktur.

“Jeg bliver irriteret over at h ­ øre om store klassestørrelser. Vi vil ­ikke have overfyldte klasseværelser i Danmark. Det er ikke for sjov, at vi har indført et fleksibelt klasseloft,” sagde hun på det åbne samråd, som de to SF’ere Astrid Carøe og Jacob Mark havde taget initiativ til.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

13 afslag og et interview: Undervisnings­ ministeren stiller sjældent op

Hvidovre Gymnasium mistede 50 elever i sommerferien: “Udskydelse af fordelings­aftale er en voldsom udfordring” Før ferien udskød undervisningsministeren forhandlingerne om en ny elevfordeling. Hvidovre Gymnasium & HF har oplevet elevflugt, og rektor er frustreret over, at en ny fordeling har lange udsigter.

“Der kom en grædende pige ind på mit kontor for nylig. Hun fortalte, at hun var glad for skolen, men hun ville gerne skifte alligevel. Hun brugte nemlig en time og et kvarter på transport hver vej hver eneste dag, og det kunne hun ikke få til at fungere.”

Det fortæller Tania Sheikh Larsen, der er rektor på Hvidovre Gymnasium & HF. Det er ikke et enestående t­ ilfælde.

Faktisk har skolen mistet 50 ­elever hen over sommerferien – hoved­ parten på grund af lang transporttid, vurderer Tania Sheikh Larsen.

I stedet for at starte med fem store 1.g-klasser blev det derfor kun til tre.

Det kan få økonomiske konsekvenser for skolen.

13 afslag på 14 måneder. Læg dertil yderligere afvisninger, som har 'dræbt' historien.

Det er ikke let for nærværende fagblad at få en kommentar fra børne- og undervisningsminister Pernille Rosenkrantz-Theil (S). Siden hun trådte til sidste sommer, har Gymnasieskolen fået væsentlig flere afslag end svar fra ministeren. Det viser en optælling, som bladet har gennemført.

Chefredaktør Morten Jest er alt andet end tilfreds med situationen: “Vi har naturligvis forståelse for, at en minister har travlt og ikke kan besvare alle henvendelser, men jeg synes, at situationen under den nuværende undervisningsminister er under al kritik. Det er jo ikke sådan, at vi konstant har rendt hende på dørene. Samtidig har vi kunnet se ­hende optræde i store interview i ­medier som Alt for damerne og forfeel-good' tv-programmer, skellige '­ hvor det ikke har handlet ret meget om uddannelsespolitik. Når det så bliver alvor, eller hvis der kommer kritik, er hun oftest lukket som en østers – uden yderligere begrundelse, end at hun ­ikke ønsker at svare. Det er jo en ­eller anden form for censur af, hvad dialogen og dagsordenen i sektoren skal handle om.”

Jeg forestiller mig lærerne stå som orkestret på den synkende Titanic og spille for de skibbrudne. Der må være en anden vej.

Karen Richter Hansen Lærer og blogger Aalborg Katedralskole I blogindlæg på gymnasieskolen.dk

GALAKSER, PLANETER OG SORTE HULLER

Det levende univers giver en saglig, letforståelig introduktion til universet ud fra et astrofysisk perspektiv.

Forfatterne Helle og Henrik Stub fortæller om stjerner og planeter; galakser og kvasarer; stjernefødsel og stjernedød; de fysiske love og spekulationerne, også sat ind i et historisk perspektiv. Denne 4. udgave af bogen er opdateret og bl.a. fornyet med et kapitel om Einstein og de sorte huller.

Skolelicens Som underviser på en gymnasial uddannelse kan du benytte dig af den særlige skolelicens på vores digitalt undervisningsmateriale til området. Du får altid nyeste udgave til nye hold, og så sparer du på administrationsudgifterne.

LÆS MERE, OG SE ET GRATIS UDDRAG AF BOGEN PÅ PRAXIS.DK/DET-LEVENDE-UNIVERS

Kontakt Morten Lykke Nielsen på mln@praxis.dk eller tlf. 2222 7376 hvis du vil høre mere eller har lyst til at se nærmere på vores gymnasietitler.

PERSPEKTIV

Slut med natarbejde Eleverne på Svendborg Gymnasium må ikke længere lave dansk stil og matematikrapporter til ud på natten. Nu skal opgaverne afleveres senest klokken 22.

Tekst_ Tina Ra smu s s en

s_24

Illustration_ Helle Scheffmann

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_25

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

UDSYN

Vi vender blikket udad og interviewer forskere, samfundsdebattører, kunstnere og andre med viden, erfaring og idéer, der på den ene eller anden måde har med gymnasiet at gøre.

Tekst_ Morten Jest Foto_ Gre g ers Heering

e

Identificer det rigtige problem s_26

Vi spilder både tid, penge og energi på at løse de forkerte problemer. Det kan reframing ­ hjælpe os med at lave om på, ­mener den internationalt aner­ kendte innovationsekspert Tho­ mas ­Wedell-Wedellsborg, der ud­ giver en bog om emnet. Vi skal turde se os selv gennem andres øjne, siger han.

D

anske Thoma s We dell-­ Wedellsborg har i de seneste 10 år beskæftiget sig med innovation og problemløsning på arbejdspladsen og har i den forbindelse undervist og rådgivet en stor mængde ledere verden over. Herigennem har han udviklet sin egen reframing­ edre, metode, der går ud på at skabe b mere innovative løsninger – ja, det kan sågar give os et rigere liv, mener han og peger på de godt 50 års forskning, der eksisterer i emnet.

På den baggrund udgav han i foråret bogen What’s Your Problem? på det prestigefulde amerikanske forlag Harvard Business Review Press.

Bogen kommer nu også i en dansk oversættelse, der udgives den 30. oktober med undertitlen Løs dine størproblemer gennem reframing. ste ­ ­B ogens formål er, med forfatterens egne ord, “at vi skal have opgraderet verdens evne til at løse problemer”.

Intet mindre.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

Reframing i en nøddeskal Hvad er kerneidéen i reframing? Kort fortalt handler det om, at man skal passe på med at gå for hurtigt i ‘løsningsmode’, når man står over for et problem. I stedet skal man tage et grundigt kig på selve problemet og under­søge, om det egentlig er det rigtige problem at løse – altså nytænke eller reframe problemets natur.

”

En kardinal­ synd er, at vi på forhånd forelsker os i at definere problemer, så de passer til vores foretrukne svar.

Gymnasieskolen har sat Thomas Wedell-Wedellsborg stævne – over en Zoom-forbindelse fra New York, hvor han bor og arbejder – til en snak om denne form for problemløsning, og hvordan den er relevant for dette blads læsere. For, som han påpeger, stammer selve idéen om reframing faktisk fra undervisningsverdenen.

En tidlig forløber var underviseren John Deweys bog How We Think helt tilbage fra 1910, fortæller Thomas Wedell-Wedellsborg og holder Deweys bog frem foran kameraet. I 1960’­erne og 1970’erne kom der så for alvor skub

i den empiriske forskning inden for problemdiagnose og reframing, og metoden anses i dag for at være et centralt redskab for problemløsere.

Noget andet end analyse Skulle det nu være nødvendigt at ­b elære højtuddannede akademikere om? De er jo vant til både komplekse problemstillinger og detaljerede analyser. Javist – men en af pointerne ved reframing er netop, at det ikke er det samme som at analysere et problem. God analyse handler om at ­være præcis, metodisk, detaljeorienteret og god til tal. At være god til reframing handler ikke nødvendigvis om detaljerne. Det handler mere om at se helheden og at kunne betragte en situation fra forskellige perspektiver: Er det nu det rette at fokusere på? Det er en disciplin, som undervisere ifølge Wedell-Wedellsborg både selv bør mestre, og som de gerne skal kunne give videre til deres studerende.

Alt for mange mennesker i ­både arbejds- og privatlivet ender ­ifølge bogens budskab med en ­dårligere løsning, fordi de ikke fokuserer på det rigtige problem. I en international undersøgelse blandt over 100 virksomheder fandt Thomas Wedell-­ Wedellsborg således, at 85 procent af dem ofte løser de forkerte problemer.

“Og hvad værre er,” fortæller han, “selv folk, som er gode til reframing, er ikke nødvendigvis i stand til at

U D S Y N _

O M T H O M A S W E D E L L W E D E L L S B O R G _ __

Tidligere officer ved Den Kongelige Danske Livgarde og bosat i New York, hvor han i dag arbejder internationalt som innovationsekspert og ledelsesrådgiver for en lang række kunder verden over (blandt andet Cisco, Microsoft, UPS, Deloitte, FN, CreditSuisse m.fl.).

__

MBA fra IESE Business School og MA i medievidenskab fra Københavns Universitet.

__

Fik i 2013 – i øvrigt som den første dansker – udgivet en bog på Harvard Business Review, Innovation as Usual, sammen med Paddy Miller.

__

“What’s Your Problem – Løs dine største problemer gennem reframing” af Thomas WedellWedellsborg udkommer på Content Publishing den 30. oktober.

spørge: Hvad er det egentlig for et problem, vi prøver at løse? Og skriv svaret ned, hvis du kan, uden at der er en bestemt løsning indbagt i beskrivelsen.”

Når man har beskrevet problemet, er næste skridt at samle et par andre mennesker og så bruge lidt tid – måske bare 5-10 minutter – på at udfordre egne tanker og antagelser om problemet. Det er her, selve reframingen kommer ind i billedet.

“Tænk på problemløsning som en lige linje, der repræsenterer folks naturlige fremdrift. Reframing er en sløjfe på linjen, hvor man et kort øjeblik træder et skridt tilbage og prøver at se helhedsbilledet.” f­orklare, hvad de gør, eller give det ­videre til andre. Det er det, jeg gerne vil rette op på gennem min bog.”

Bliv ikke forelsket Hvordan reframer man så et problem i praksis? Ifølge bogen er det en tretrinsproces, der starter med noget så enkelt som at beskrive problemet.

“Mit overordnede råd vil helt simpelt være – også til undervisere: Sørg for

at adskille problem og løsning,” siger Wedell-Wedellsborg.

En kardinalsynd i problemløsning er, at man selv eller andre i gruppen forelsker sig i et bestemt svar på forhånd og dernæst forsøger at definere problemet retroaktivt, så det understøtter ens foretrukne løsning.

“Vi ‘framer’ alt for ofte vores problemer, så de passer til vores løsninger. Start i stedet samtalen med at

Find lyspunkterne En af bogens strategier handler om at lede efter de positive undtagelser.

“Det er altid fristende at fokusere på det negative. Hvis der for eksempel er en kollega på lærerværelset, man har det svært med, tænker folk endeløst på de negative oplevelser, de har haft med vedkommende. Men det er ikke altid en god idé,” mener Thomas f Wedell-Wedellsborg.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_27

Frustration er en naturlig del af at finde nye løsninger og vokse som menneske.

s_28

Man bør huske at spørge: Hvornår var problemet der IKKE? Har du haft bare en enkelt oplevelse med personen, som var mere positiv? Hvad var anderledes den dag? Eller er der måske andre, der har fundet en bedre måde at håndtere vedkommende på?

Nogle gange kan det være helt banale ændringer, der kan gøre en forskel: Tidspunktet på dagen – sene eftermiddage er en slem synder – eller om diskussionen tages, mens andre er til stede.

Det samme gælder på organisationsniveau, siger Wedell-Wedellsborg.

“Der er jo næsten altid nogle ­gode eksempler på arbejdspladsen, som man kan gøre mere synlige gennem storytelling. Pointen er ikke nødvendigvis, at alle bevidstløst skal følge den samme opskrift. Det handler mere om at vise, at det kan lade sig gøre, så kynismen ikke vinder for meget frem, og så folk inspireres til at skabe deres egne løsninger.”

Husk det tavse flertal En anden vigtig strategi er at ‘kigge uden for rammerne’, som han kalder det i bogen, og spørge, om der er noget, man glemmer at fokusere på.

Det kan typisk være grupper af personer, som man overser. Gymnasieskolernes Lærerforening (GL) iværksatte sidste år et større, fortløbende projekt om den involverende fagforening. Altså en bestræbelse på at involvere flere medlemmer i det lokale organisatoriske arbejde med særligt fokus på medlemmer, der ellers ikke har så meget kontakt med fagforeningen.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

“Når man har med store grupper at gøre, falder det ofte naturligt at bruge sin energi på dem, der aktivt byder ind og giver deres tanker til kende – og dermed kan man hurtigt glemme den tavse midtergruppe,” forklarer Thomas Wedell-Wedellsborg.

Han nævner en undersøgelse fra researchfirmaet Forrester, der via 120.000 forbrugere over hele verden så på, hvem det gav mest mening at yde størst opmærksomhed – de kunder, der klagede mest, eller den tavse midtergruppe. Resultatet var, at det gav ni gange så meget pote, når man fokuserede på det tavse flertals behov sammenlignet med kun at hjælpe dem, der måske råbte højest.

Kig under overfladen Man kan også med fordel lægge e ­ nergi i at indtage de andre parters perspektiv. Hvordan ser situationen ud fra deres side? Hvad er deres underliggende og måske uudtalte behov? Nogle ­gange kan selv de mest hårdknude­ agtige konflikter løses, når man forstår, hvad der ligger under overfladen.

Et klassisk eksempel fra WedellWedellsborgs bog er konflikten om Sinai-halvøen fra 1978, hvor det lykkedes Carter-regeringen at få forhandlet en fredsaftale mellem Israel og Egypten på plads.

Sinai-halvøen var oprindeligt egyptisk, men havde været under israelsk besættelse siden seksdages-krigen i 1967. Egypten ville have hele området tilbage, mens Israel som minimum ville beholde en del af det. Parternes positioner var dermed grundlæggen-

de uforenelige, og ethvert forsøg på at trække en grænse var blevet afvist.

Konflikten blev først løst, da parternes underliggende interesser kom i fokus: Egypten ville eje landet, mens israelerne derimod var bekymrede om sikkerhed. De så Sinai-halvøen som en buffer mod fremtidige invasioner. Løsningen blev derfor, at Egypten fik Sinai, men med en demilitariseret zone, hvor væbnede styrker ikke kunne udstationeres.

“Hvis du bruger krudt på oprigtigt at forstå din modparts behov, kan det føre til kreative løsninger. Man åbner samtidig døren for at se dem som mennesker,” siger Thomas Wedell-Wedellsborg.

Opsøg det gode i folk Det er også relevant i forhold til de følelser, der kan opstå i konfliktsituationer. What’s Your Problem? nævner for eksempel ‘the fundamental attribution error’ – vores tendens til at tro, at når en person gør noget uhensigtsmæssigt, må det være, fordi vedkommende er enten dum, ond eller begge dele. Wedell-Wedellsborg bruger gymnasiet som eksempel:

G O D E

R Å D

__

Bekend dig aldrig til en enkelt forklaring på forhånd.

__

Undersøg mange forskellige forklaringer samtidigt, indtil du ved tilstrækkelig empirisk testning har afdækket det bedste valg.

__

Vær åben over for tanken om, at det bedste svar kan være en blanding af flere forskellige forklaringer.

__

Vær parat til at ændre mening, hvis en bedre forklaring dukker op.

__

Fortæl dit team om metoden, så de ved, hvad der foregår (og kan hjælpe), når du begynder at tale om behovet for at reframe et fælles problem.

__

I privatlivet kan du dele metoden med din partner eller en god ven – samt med personer, der opsøger din hjælp til problemløsning.

__

Snak med din chef, HR-afdeling eller hvem der ellers er i stand til at gøre reframing mere almenkendt på din arbejdsplads.

U D S Y N _

“Hvis man som lærer er i konflikt med ledelsen, kan det være fristende at mene, at rektor grundlæggende er et magtmenneske og ikke vil lærerne det godt – i stedet for at spørge, om der måske er i hvert fald delvis valide grunde til tingene. Og det går selvfølgelig den anden vej også. En rektor kan alt for nemt tænke, at lærere bare hader forandring som princip – og dermed overse, at der en gang imellem ER gode grunde til at modsætte sig bestemte forandringer.”

Hvis man vil undgå den fælde, skal man bruge tid på at forstå modpartens hverdag og virkelighed. Et eksempel herpå kunne være supervision af undervisningen, som i teorien kan give ledelsen en bedre forståelse af lærernes hverdag. Men supervision kan dog også hurtigt opfattes som en kontrolfunktion, hvilket natur­ ode ligvis risikerer at kuldsejle den g ­intention.

“Kunne man vende supervision og overværelse af undervisningen om?

Altså lade lærergrupper overvære ledelsesarbejdet og derigennem forstå de udfordringer og begrænsninger, som lederne kæmper med? Det kræver naturligvis, at ledelsen er villig til at skabe mere transparens og involvering, hvilket naturligt nok kan føles risikabelt – lidt som lærerne måske ville føle, hvis eleverne pludselig skulle inddrages mere i lærerens beslutninger. Men man skal selv turde flytte sig for at flytte andre. Det er sådan, man skaber ægte dialog.”

Opsøg det ubehagelige Det bringer os ind på endnu et greb, som Thomas Wedell-Wedellsborg peger på i sin bog: ‘Se dig i spejlet’. Strategien handler om, at man skal være villig til at se sig selv i et kritisk lys.

Spørg, hvordan du måske selv delvis er med til at skabe problemet.

“Lige siden barndommen har vi jo lært at fortælle historier, hvor vi er helt uskyldige ofre for situationen.

Vasen faldt på gulvet, sådan helt af sig selv,” siger han.

Det kan hjælpe at vende problemet med en udenforstående – måske en ven eller partner, som er på din side, men som også er villig til at udfordre dig. Og det kræver mod at kigge sig i spejlet på den måde. Thomas We-

dell-Wedellsborg påpeger, at gode problemløsere ikke bare er selvreflekterende, men også har en tendens til ligefrem at opsøge smertefulde diskussioner af den art.

“Når vi er i vores komfortzone, føler vi os mest trygge. Men det er, når vi er uden for vores komfortzone, vi føler os mest levende.”

Frustration er ifølge ham ikke kun negativt; det er en naturlig del af processen med at finde nye løsninger og at vokse som menneske.

T J E K L I S T E

__

Beskriv problemet (Hvad er problemet? Hvem er involveret?)

__

Kig uden for rammerne (Hvad overser vi?)

__

Nytænk målet (Er der et bedre mål at stræbe efter?)

__

Undersøg lyspunkterne (Er der positive undtagelser?)

__

Se dig i spejlet (Hvad er min rolle i årsagen til problemerne?)

__

Indtag de andres perspektiv (Hvilket problem prøver de at løse?)

__

Gå videre (Hvordan bevarer vi momentum?)

Gør noget, og kom videre En afsluttende pointe, som reframingmetoden byder på, er, at man ikke må lade sig fange i endeløse ­ overvejelser.

“Især for kloge mennesker kan det være fristende at sidde og koge suppe på problemet i årtier. Men i sidste ende er man nødt til at tage affære og få gjort noget,” siger Thomas Wedell-Wedellsborg.

Det tredje og sidste trin i reframingprocessen er derfor at finde ud af, hvad næste skridt er, og så komme tilbage i løsningsmode.

Men hvornår ved man, at man har fat i det rigtige problem?

“Nogle gange er svaret klart, i det sekund du stiller den alternative diagnose. Det kan måske være, at den pludselig forklarer et adfærdsmønster, man har set, men ikke tidligere har forstået. Andre gange ved du det ikke med det samme, men er nødt til at gå ud og teste dine antagelser, for eksempel med små eksperimenter eller nærmere undersøgelser. Det handler om, at vi skal have virkeligheden med i diskussionen.”

Det betyder også, at ens problemdiagnose ikke behøver at være endegyldig i første omgang. Det er nemlig ikke realistisk at tro, at vi kan regne det hele ud fra starten, mener han.

Man er i stedet nødt til at kombinere reframing og handling og gøre det til en vane at skifte mellem de to perspektiver.

I praksis starter man måske med en reframingdiskussion mandag. Så går man i løsningsmode resten af ugen, og næste mandag spørger man så igen: Lærte vi noget nyt i denne uge? Har vi stadig fat i det rigtige problem?

Y D E R L I G E R E L Æ S N I N G O M R E F R A M I N G

__

Wedellsblog.com

__

Howtoframe.com med indføring i teorien bag reframing samt tjeklister (som findes på dansk på contentpub.eu) samt meget mere.

__

Make Just One Change: Teach Students to Ask Their Own Questions (Cambride, MA: Harvard Education Press 2011 – bogen bygger på Rothsteins og Santanas arbejde ved The Right Question Institute)

Reframing, pointerer Wedell-­ Wedellsborg, skal være en vane; den fulde effekt opnås, når metoden er blevet en fast bestanddel af ens måde at arbejde med problemstillinger på, store som små. Og så kommer han med et sidste råd: “Reframing er faktisk ikke så svært at lære – men det kan være udfordrende at nytænke et bestemt problem, hvis man er den eneste i ­lokalet, som forstår, hvorfor det er vigtigt at udfordre problemet. Så del denne artikel eller min bog med en kollega eller to, og prøv så metoden af på nogle af jeres problemer. Som så meget andet her i livet bliver tingene nemmere, når du har gode kolleger ved din side.” • G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_29

KORT

Ny undersøgelse: Stor faglig spredning i engelsk

OM

e

Undervisning Læs mere på gymnasieskolen.dk

Undersøgelse: VUC løfter en stor samfundsopgave

s_30

Skeptiske lærere om nødundervisning: Hvordan skal vi nå det?

Gymnasieelever, der er sendt hjem og venter på en coronatest, skal ­have nødundervisning. Det er konsekvensen af den såkaldte nødprocedurebekendtgørelse, som trådte i kraft i starten af skoleåret.

Men kravet bliver mødt med ­skepsis ude på skolerne. Flere steder er man bekymret for den ekstra opgave, lærerne bliver pålagt.

Sådan er det blandt andet på H.C. Ørsted Gymnasiet i Ballerup.

“I den snak, der er blandt lærerne, er kernen, at man ikke kan se, hvordan man skal få tid til både at passe sin almindelige undervisning og lave nødundervisning. Vi har ikke haft situationen endnu, men det kan hurtigt blive aktuelt,” siger tillidsrepræsentant Birgit Jensen Hamming.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

Hf-uddannelsen på VUC er en samfundsmæssig gevinst.

Både økonomisk og menneskeligt gør VUC en kæmpe forskel, dokumenterer en ny undersøgelse fra Arbejder­b evægelsens Erhvervsråd (AE) Ni ud af ti elever, som afslutter en hf-uddannelse, er i uddannelse eller beskæftigelse to år efter, viser undersøgelsen. Og VUC leverer mange færdig­uddannede, som siden begynder på en mellemlang velfærds­ uddannelse som pædagog, folkeskolelærer eller sygeplejerske, der bliver mangelvarer i fremtiden ifølge AE. “Undersøgelsen viser, at VUC lykkes med at samle unge op, som har det svært, og som har dårlige kort på hånden i forhold til at tage en uddannelse. VUC løfter en vigtig opgave i samfundet,” siger Mie Dalskov Pihl, som er chefanalytiker i AE.

De svageste elever er blevet ­dårligere til engelsk, og de dygtigste elever dygtigere. Det viser en ny under­søgelse, som ser på niveauet på tværs af uddannelserne.

Resultaterne kan formanden for Engelsklærerforeningen for stx og hf nikke genkendende til: “I klasselokalet oplever vi, at selvom der er rigtig mange dygtige elever, så er der også det modsatte. Den store middelgruppe er væk, og det er svært at nå ud til alle elever, når der er så stor faglig spredning,” fortæller Bodil Aase Frandsen Schmidt.

Engelsklærerne i undersøgelsen fortæller også om, hvordan de fagligt svage elever ikke deltager aktivt i undervisningen, og hvordan polariseringen ikke alene får konsekvenser for de svageste elever, men også for de stærkere elever, som det er vanskeligt at give passende udfordringer.

Virtuel under­visning må og skal anerkendes som ringere undervisning end ved fysisk fremmøde.

Marie Trier Lærer og blogger Rødovre Gymnasium I blogindlæg på gymnasieskolen.dk

Vores verdenshistorie Serien er komplet Peter Frederiksen

Vores verdenshistorie 1-3 er en moderne fremstilling til det nye historiefag med kilder og faglige fokuspunkter, der rammer eleverne og gør historiefaget nærværende.

Serien dækker perioden fra det athenske demokrati til nutidens klimakrise og globale pandemi.

På den tilhørende hjemmeside findes en guldgrube af undervisningsressourcer.

”Den ultimative pakkeløsning” - Gymnasieskolen

RELIGION

ERHVERVSØKONOMI

SAMFUNDSFAG

En temabog til religionsfagets fjerde emne.

Det du har allermest brug for at vide i erhvervsøkonomi.

En introduktion til det moderne Storbritannien.

forlaget © columbus

Tlf. 3542 0051 • www.forlagetcolumbus.dk

Ø R E S T A D

s_32

G Y M N A S I U M _

HVERDAG Et skoleår består af cirka 200 skoledage og en næsten uendelig række af stunder.

I denne serie indfanger Gymnasieskolen i billeder og tekst glimt fra hverdagens gymnasieliv.

Tekst_ Malene Romme-Mølby Foto_ Jac ob Niels en Sted_ Øre stad Gymna sium Dato_ 17. s ept emb er 2020

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

e

s_33

“Vælg en person, du vil være, og spil personens livsforløb igennem,” siger historie- og informatiklærer Claus Witfelt til 3.i, inden de går i gang med at spille Karrierespillet. Der er flere grunde til, at han er glad for at bruge spillet. “Det er et sjovt og realistisk spil, som sætter eleverne i gang med at tænke lidt længere frem i livet end bare sabbatåret. Spillet har også en ekstra dimension i informatik, hvor det at se på brætspil er relevant i forhold til konceptudvikling til for eksempel apps,” fortæller han.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

Spurten er sat ind mellem Klara og Lesley. De har godt styr på at spille de rigtige kort til at få de rette kompetencer til de forskellige job, men privatlivet er en udfordring.

“Alt i fritiden er fucking dyrt, det er ligesom i virkeligheden,” siger Lesley, der ender med at vælge at få en baby. Klara vælger drømmeboligen.

s_34

Der er fuld koncentration ved bordene. Eleverne starter spillet med at vælge den person, de vil være. Personen har en studentereksamen, og første træk er at vælge uddannelse.

Spillet fører eleverne gennem et livsforløb med forskellige job, projekter, uddannelser og fritidsaktiviteter.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

H V E R D A G _

s_35

“Hvordan kan Benjamin tjene tre gange så meget som mig – jeg er astronaut!” siger Cilas. “Du er gået ned i løn, men til gengæld er du blevet et bedre familiemenneske,” forklarer Claus Witfelt og tilføjer: “Det er ikke vigtigt at vinde, men om man får et godt liv med ­spændende job og projekter.”

Det er Engineer the Future, der har skabt spillet. Du kan gratis få fat i det på engineerthefuture.dk.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

ANMELDELSER

s_36

s

I pædagogisk topform!

Fag_ Kristendom Titel_ Kristendommen.

Fra oldkirke til folkekirke.

Forfatter_ Allan Poulsen Forlag_ Det ny Forlag Pris_ 200 kr., 226 sider Vurdering og anmeldelse_ Hans Jørgen B. Thomsen Vurdering_ j j j j j q

Med en humoristisk forsideillustration af Martin Bigums maleri Prisme præsenteres kristendommen med et glimt i øjet – der er jo i dag mange ‘kristendomme’.

Efter en indledning med en kortere gennemgang af den jødisk-kristne religionshistorie frem til i dag G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

koncentrerer lærebogen sig om den danske folkekirke: den danske kirkes historie, dens skrifter, myter og ritualer. Og ud fra den apostolske trosbekendelsens tre led redegøres der for teologien i mainstream-folkekirkekristendommen. Derefter uddybes og perspektiveres trosbekendelsens tre led, og her kommer fløjkampen til s ­ yne inden for folkekirken. Bogen slutter med aktuelle udvalgte emner som klimadebatten, kirken og politik, kristendom og ateismen og Grosbøll-­ s agen. Til fremstillingerne knytter der sig 40 tekster, både klassiske og nutidige, som er velvalgte og inspirerende. Det gælder også for billedmaterialet, hvor forfatteren også har nået at få et hyper­ aktuelt billede med af Jim Lyngvilds fotostat fra Fåborg Kirke. Kvaliteten af det kan man så diskutere. Forslag

En række gymnasielærere anmelder fagbøger og øvrige undervisningsmaterialer for Gymnasieskolen.

e

til undervisningsforløb, analyse­ modeller og arbejdsspørgsmål kan hentes på forfatterens hjemmeside.

Det er en meget erfaren lærer og flittig lærebogsforfatter, man her har for sig. Stoffet er knivskarpt skåret til, og sproget er kort, præcist og letforståeligt, og øvelser og faktabokse sidder, ja, lige i skabet!

Et gennemgående spørgsmål er, hvordan kristendommen siden oplysningstiden har kunnet komme til orde over for modernitetens r­ ationelle og evidensbærende sprog. N ­ ogle kristne grupper som fundamentalismen og kreationismen har undsagt og forsager moderniteten og al dens væsen, men mainstream-teologien har på forskellig måde søgt at gøre ‘plads’ til religionen i moderniteten, som for eksempel R. Bultmanns afmytologisering. Der redegøres grundigt for K.E. Løgstrups fænomenologiske metafysik, som ud fra dens præmisser kunne lægge op til en religiøs tydning af tilværelsen. Ligeledes omtales Løgstrups kollega og kritiker på Aarhus universitet J. Sløk og hans eksistensteologi.

Desværre kommer bogen ikke ind på den teologiske udvikling, som Sløk og flere andre danske teologer bidrog med i den narrative teologi. Baggrunden for denne teologi var ‘den litterære vending’, der med afsæt i L. Wittgensteins teorier om ‘sprogspil’, herunder det religiøse, betød en radikalt anderledes forståelse af sprogets muligheder end oplysningsprojektets sproglige dikotomi mellem ­ myter som noget uforklarligt og faktasproget. En sproglig diskurs, som både den offentlige debat og megen religionsundervisning sidenhen og stadigvæk trasker rundt i, når ‘evergreenen’ – tro og viden er oppe at vende. ­ ille være godt, om vi her kunne Det v komme videre. I hvert fald på fagets B-niveau.

Trods denne mangel er bogen meget anbefalet. Pædagogikken er i top.

Og med det i mente skal bogen have fem stjerner.

A N M E L D E L S E R _

s

Glimrende opslagsbog, men …

Fag_ Historie Titel_ På sporet af historien.

Opslagsbog til historiefagets teori og metode Forfattere_ Christian Lund & Brian Dupont Larsen Forlag_ Gyldendal Pris_ 186 kr., 124 sider Vurdering og anmeldelse_ Morten Lassen Vurdering_ j j j j q q

På bagsiden af nærværende udgivelse kan man læse, at opslagsbogen er tænkt som en “hjælp til eleverne i det historiefaglige arbejde med kilder, problemstillinger og analy­ ser og er i særlig grad tænkt som en konkret vejledning i, hvordan man anvender en række forskellige historiske metoder”, og at de 26 opslag af historie­fagets teorier, begreber og metoder (der skelnes på intet tidspunkt) præsenteres i et “anvendelsesorienteret perspektiv med masser af eksempler”. Tanken er, at bogen skal inddrages i den konkrete

undervisning samt kunne anvendes af elever i forbindelse med ­større skriftlige opgaver. Opslags­værker er jo sjældent særlig anvendelsesorienterede, men stort set lykkes det at koble det leksikalske med det metodiske, således at eleven vil forstå for eksempel øko- og begrebshistorie i praksis. Som sådan er det en glimrende opslagsbog, der bestemt har sin berettigelse i undervisningen. De mange konkrete eksempler er relevante og inviterer til refleksion.

Men den har også sine mangler, for trods de mange eksempler er det forbavsende, hvor lidt eleven rent ­faktisk inkluderes. Der er masser af eksemplariske skemaer, men ingen, som eleven selv skal udfylde. Kort sagt er det op til læreren selv at finde på for eksempel periodiseringsproblemstillinger og så videre. Her ­kunne man godt have gjort bogen endnu mere anvendelsesorienteret (i form af konkrete arbejdsopgaver), men hensigten har sikkert været, at opslagene skulle være så åbne som mulige.

Lad os tage et eksempel: Mikrohistorie. For at forstå teksten skal man først læse om “aktør og struktur”, “mentalitetshistorie” og om “historisk fortælling”, og når det er gjort, kan man så læse om Ginzburgs bane­brydende bog Osten og ormene, ­inden man får en fin oversigt over vigtige mikrohistoriske begreber.

Til sidst afsluttes der med nogle abstrakte grundspørgsmål, for eksempel: “Hvordan levede helt almindelige mennesker på en bestemt lokalitet i en bestemt historisk periode?” Alt sammen udmærket, men hvorfor ­ikke lade eleven selv enten analysere en mikrohistorisk tekst eller agere mikrohistoriker? Opslagsværker har det med at samle støv i reolen, og det vil kræve en indsats – og hjælp – fra læreren, hvis det ikke skal overgå denne ellers glimrende udgivelse.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_37

KRONIK

e

Tekst_ Mart Tiemensma

Gymnasielærernes brug af Bloom er synd for eleverne og synd for Bloom Mange opgaveformuleringer på gymnasierne og i ministerielle ­vejledninger har ikke et klart fokus, mener kronikøren. Han synes, at det er på høje tid at diskutere Blooms taksonomi. s_38

I

1956 udkom Blooms Taxonomy Of Educational Objectives, Handbook 1 Cognitive Domain (Bloom 1956). I 1964 udkom Handbook 2 (Affective Domain), som groft sagt handler om, hvordan vi kan lære ­vores elever at kunne lide undervisningen. Handbook 3, om ‘psychomotor domain’, det vil sige en taksonomi om, hvor godt bevægeapparatet og hjernen arbejder sammen om at udføre opgaver, er ikke udkommet.

Blooms domæne 2 og 3 har vi i den gymnasiale undervisning glemt. Vi henviser og anvender Blooms taksonomi fra domæne 1, og vel at mærke fra de første udgaver. Den opdaterede version fra 2001 har ikke ændret taksonomiens anvendelse i gymnasieverdenen.

Den oprindelige bog om ­domæne 1 er bestemt værd at læse, skønt jeg ikke deler Blooms og vennernes

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

behavioristiske ideologi, og jeg er heller ikke interesseret i bogens overvejende formål, nemlig at ­lære underviserne at udvikle multiple choice-spørgsmål til eleverne.

”

Denne misopfattelse af Bloom bliver efterfølgende brugt som undskyldning til at spænde eleverne fast i en Bloom-spændetrøje.

Stakkels elever.

Hvad stræber vi efter?

De tre bøger tilsammen peger på en ret vigtig pointe i Blooms idé om undervisning i 1956. Også for

O M M A R T T I E M E N S M A _ __

Ekstern lektor på Københavns Universitet Institut for Kunst- og Kulturvidenskab, hvor han under­ viser i fagene billedkunst/design og gymnasial praksis samt visua­ lisering og analyse.

__

Desuden er han lektor i billedkunst og design på Hillerød Tekniske Gymnasium.

K R O N I K _

Læreren har dybest set gjort arbejdet.

Elevens opgave er at gentage lærerens succes. behaviorister er det kognitive blot en del af det, vi bør lære vores elever.

Det er ikke i deres ånd at skære de andre to domæner strategisk ud – heller ­ikke når eleverne skal skrive en større opgave – og lade som om, at der kun findes én taksonomi: den kognitive.

Som Olga Dysthe (2010) peger på, må vi undervisere være klar over, at der er en direkte forbindelse mellem evalueringspraksis og ideologi, og det gælder selvfølgelig også andre aspekter af undervisning. Hvis vi vil bruge Blooms taksonomi, må det første spørgsmål være: Er det behaviorisme, vi stræber efter? Er det det, læreplanerne stræber efter? Blooms taksonomi-narrow, som er den afart af Blooms taksonomi, som bruges i den gymnasiale verden, er ikke en smule

behavioristisk, men den kan betegnes som en snæver variation af behavioristisk didaktik – også set med Blooms briller.

Forfatterne har ikke læst Bloom Blooms taksonomi (1956-version) i narrow-udgaven er efterhånden blevet norm og normalt, specielt når det drejer sig om opgaveformuleringer og evalueringer både ude på gymnasier og i forskellige ministerielle vejledninger. Og ikke nok med at undervisere formulerer opgaverne med Bloom-narrow i hånden, der er gymnasielærere, som tror, at de skal lære eleverne at disponere deres opgave ­efter Blooms taksonomi. Det første afsnit skal kaldes ‘redegørelse’, det andet ‘analyse’ og så fremdeles. Det er

s_39

ikke særlig bloomsk, det vil sige set med 1956-Bloom-briller, idet Bloom udviklede en taksonomi, som undervisere kunne bruge til at evaluere elev­opgaver (ibid s. 4) med, men han får ansvaret for taksonomimisbruget alligevel. Stakkels Bloom.

En af årsagerne til denne misopfattelse må være, at forfatterne til bloomske spørgsmål aldrig har læst Bloom, ellers ville de ikke gøre, som de gør. De kender ham fra hören-sagen, hvilket af en anden taksonomisk tænker, Spinoza (2002) i 1677, blev betegnet som det allerlaveste forståelsesniveau. Denne misopfattelse af Bloom bliver efterfølgende brugt som undskyldning til at spænde eleverne fast i en Bloom-spændetrøje. f Stakkels elever.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

K R O N I K _

Ikke en absolut størrelse Mange af de udfordringer og problemer, som elever og kritiske lærere oplever med en Bloom narrow-­ taksonomi – nu også som disposition – kunne de, lærere og ansatte i ministeriet, nemlig have læst om i ­bogen, som udkom i 1956. At skrive i Blooms taksonomi-rækkefølge giver ingen mening. Et essay er ikke et regnestykke. Et godt argument kan meget vel bestå af en blanding af alle bloomske niveauer i en sætning. En essay-opgave bør være med til at udvikle elevens individuelle personlighed. Skriver Bloom i 1956 (i afsnittet om syntese, side 162 ff.).

s_40

”

Denne strategi forbereder ikke eleverne til at skrive opgaver senere i livet i deres universitære uddannelser. Det er ikke studie­ forberedende, men præcis det modsatte.

Bloom og vennerne var klar over, at en taksonomi ikke kan opfattes som en absolut størrelse. En a ­ nalyse af sammenhængen i et kunstværk nævner Bloom som et eksempel på noget, som er svært, og hvor, siges det, vurderingen meget vel kan ­være på et lavere taksonomisk niveau. At referere, hvad Hegel mener, er bestemt sværere end at referere, hvornår han blev født. Hos Bloom er det ikke unormalt, at sværhedsgraden og rækkefølge skifter og ikke med taksonomiske niveauer, men med den sag, som undersøges (som Bloom illustrerer i del 2 af domæne 1).

Mange opgaveformuleringer i vejledninger og på gymnasier har ikke engang et klar fokus. Eleverne skal referere noget bestemt, analysere noget andet bestemt og synte­ oget helt tredje og perspektisere n tivere til igen noget andet. Vel at forstå i den rækkefølge. Læreren har

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

en idé om, hvordan de tre eller fire punkter ­hænger sammen. Læreren har således dybest set gjort arbejdet og i smug eller i fantasi skrevet opgaven. Elevens opgave er at gentage lærerens succes. Det er ikke sikkert, at eleverne har brug for denne beskrivelse, denne analyse og så videre for selvstændigt at kunne besvare opgaven, men nu skal de, da det står i opgaveformuleringen. Hverken manglende fokus eller ­lærerudviklet disposition er i overensstemmelse med Blooms anbefalinger vedrørende essayistiske opgaver. (ibid side 115 ff.).

Hvis vi gerne vil følge Bloom, må vi formulere et klart fokus, anbefale, hvilke teorier der skal inddrages, og/ eller hvilke skrivehandlinger der forventes i hele opgaven. Ikke i en bestemt rækkefølge, men der hvor de passer bedst i elevens argumentation (se eksemplet på side 177). Eleverne skal lære at gøre dispositionsarbejdet selv og at holde fast i et fokus, som læreren kan hjælpe med at formulere.

De skal lære at stole på sig selv.

at skrive skabelonagtigt. Her burde vi lytte til Bloom (1977), som i forbindelse med det affektive domæne ­skriver: A good self-concept is the foundation of a happy and successful ­life.

But the school [fx Bloom-narrow (mt)] systematically destroys self-­ concepts for many children…

Og så til sidst, men ikke mindst: Denne Blooms narrow-strategi forbereder ikke eleverne til at skrive opgaver senere i livet i deres universitære uddannelser. Det er ikke studieforberedende, men præcis det modsatte.

Således er gymnasielærernes brug af Blooms taksonomi synd for eleverne og synd for Bloom. •

Svage svar på svage spørgsmål Som undskyldning har jeg hørt, at det at formulere en ­eksamensopgave ved hjælp af Blooms narrow-­taksonomi hjælper de svage elever til en form for overskuelig disposition. I praksis giver de svage elever fire svage svar på fire svage spørgsmål, og i deres besvarelse blander de glædeligt ­alle niveauer, hvorefter lærer og censor kan straffe dem for det. Hvor præcis er overgangen fra redegørelse til ­analyse?

”

Også for behaviorister er det kognitive blot en del af det, vi bør lære vores elever.

En bloomsk narrow-formulering hjælper slet ikke de fagligt s ­ tærkere elever med at udvikle noget som helst. De holder krampagtigt fast i lærerens semidisposition og lærer

K I L D E R Bloom, Benjamin S., ed. 1956.

Taxonomy of Educational Objectives. Ann Arbor, Michigan: DAVID McKAY COMPANY, INC. Bloom, Benjamin S. 1977. Affective Outcomes of School Learning.

The Phi Delta Kappan 59: 193-198.

JSTOR. Dysthe, Olga. 2010. Læringssyn og vurderingspraksis. In Evaluering i et dialogisk perspektiv, ed.

Jørgen Frost, Kari Smith, and Ole Thornye, 1. udgave, 1. oplag. Dansk Psykologisk Forlag.

Spinoza, Baruch de. 2002.

Verhandeling over de verbetering van het verstand. 1st ed.

Groningen: Historische Uitgeverij.

LÆS MERE PÅ

gymnasieskolen.dk

s_41

Vores nyhedssite, hvor vi har daglige nyheder, debat og blogindlæg

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

GL MENER

s_42

GL’s formand Tomas Kepler

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

Vi har gang i endnu et ekstraordinært skoleår I foråret håbede vi, at skoleåret 2020-2021 ville blive mere normalt end månederne op til sommerferien. Nu er vi i gang – og selvom vi i udgangspunktet har eleverne tilbage på skolerne, så er meget fortsat unormalt. Efter ferien fik gymnasie­ uddannelserne i Aarhus ikke lov til at komme i gang, og efterfølgende har en ­række skoler været nødt til at ­lukke mere eller mindre ned på grund af corona­smitte. Jeg ved, at det for mange medlemmer er afgørende, at vi ikke lukker ned igen og overgår til virtuel nødundervisning. Derfor var jeg også glad for statsministerens udmelding om, at man prioriterer at holde uddannelserne i gang.

Jeg får også henvendelser fra medlemmer, som gerne så en mere forsigtig tilgang med virtuel undervisning. I GL har vi fra første færd, da pandemien ramte – i samarbejde med ministeren, ministeriet, leder­ foreningerne med videre – a ­ rbejdet for så høj en grad af sikkerhed og tryghed i hverdagen som muligt.

På mange skoler er der et godt samarbejde mellem lærere og ledere om at sikre en fornuftig skolehverdag. Men vi hører også om skoler, hvor der mangler dialog og samarbejde, med utryghed og dårligt arbejdsmiljø til følge. Hvor ledelsen holder sig på distancen og via mail henviser til håndsprit og afstandsregler. Det holder ikke. Var jeg skole­leder, ville jeg ikke arbejde hjemmefra. Så ville jeg være fysisk til stede på skolen hver eneste dag, jeg ville stå om morgenen og sige “godmorgen” og “hold nu coronareglerne” til eleverne. Jeg ville opholde mig på gangene i samtlige pauser og hjælpe de unge med at huske reglerne. Jeg ville komme på besøg i klasserne og hjælpe lærerne med at opretholde sikre rammer. Jeg ville stå ved udgangen og sige farvel til eleverne og “husk nu også reglerne, indtil vi ses igen”. Jeg ville skære

al unødig tilstedeværelse på skolen væk. Jeg ville være i tæt dialog med lærerne om, hvordan man konkret kan indrette sig i dagligdagen for at ­optimere trygheden, og med tillidsog arbejdsmiljørepræsentanterne, så vi sammen kunne tage bestik af situationen. Jeg skriver dette, fordi v ­ ores tilbagemeldinger fra landet over indikerer, at det gør en forskel: samarbejde med lærerne og synlig, troværdig ledelse.

Jeg mener, at situationen nødvendiggør, at vi allerede nu kigger på resten af skoleåret. Hvad skal der til, for at vi kan komme godt igennem et skoleår, som måske vil ­være i undtagelsestilstand frem til næste sommer? Punktnedluknin­ ger og coronafravær lægger nye lag på et i forvejen hårdt arbejdspres og sætter yderligere spørgsmålstegn ved, om vi kan nå et tilfredsstillende fagligt niveau. Hvilke tiltag kan råde bod på et radikalt anderledes, ekstra­ordinært belastende skoleår?

GL’s sekretariat har netop afdækket, at lærer-/elevrationen fra 2012 til 2020 er faldet med 10 procent.

Vi har således – selv med en normal hverdag – langt færre ressourcer at mobilisere. Jeg tænker, at vi er nødt til at være proaktive, for at de elever, der måtte ­nøjes med nødundervisning i foråret, og som i år får et skoleår med huller, får en uddannelse med den faglighed og almendannelse, som de skal bygge videre på resten af deres liv – og for, at gymnasielærerne i­ kke mases komplet flade i processen. Hvad skal der til for at undgå den situation? Vil politikerne anerkende situationens alvor for vores sektor? Finanslovsforhandlingerne er i gang. Det er et rigtig vigtigt sted at starte. Vi har i dén grad brug for en økonomisk vitaminindsprøjtning – men der skal også beslutninger til, for at vi kommer godt gennem dette coronaskoleår.

BREVKASSEN GL’s sekretariat svarer hver dag på spørgsmål fra medlemmerne. Gymnasieskolen ­bringer fremover nogle af de spørgsmål, der har en bred relevans og interesse for medlemmerne.

h

UNDERVISNING

Fordeling og taxameter Mange gymnasier har længe efterspurgt løsninger på de udfordringer, som gymnasieelevernes søgemønstre skaber. Hvornår kan vi forvente, at der sker noget på området?

l

ARBEJDSMILJØ

Erstatnings­ muligheder Kan man få arbejdsskadeerstatning, hvis man får COVID-19?

t

Har du et godt spørgsmål?

Send det til gymnasieskolen@gl.org

Morten Bayer & Ditte Rask

Morten Bayer, konsulent i GL, svarer

Den tidligere regering nedsatte en ekspertgruppe, der i februar 2020 fremlagde en række forslag til modeller for elevfordelingen – blandt andet en såkaldt ‘klyngemodel’, der indebærer en fordeling inden for en klynge af gymnasier, der ligger geografisk tæt på hinanden.

GL mener, at der er brug for en ny måde at fordele eleverne på, så l­ okale uddannelsesinstitutioner ikke må lukke, og så eleverne møder ­nogle med en baggrund, der er forskellig fra deres egen. Fordelingen skal selvfølgelig respektere de unges valg af gymnasial uddannelse, men ikke nødvendigvis valg af skole.

t

Ditte Rask, konsulent i GL, svarer

Det er Arbejdsmarkedets Erhvervssikring (AES), der i sidste ende vurderer sager om arbejdsskadeerstatning.

AES skriver, at smitte med COVID-19 i nogle tilfælde, efter en konkret vurdering, vil kunne anerkendes som arbejdsskade – enten som arbejds­ ulykke eller erhvervssygdom. ​ Almindeligt forekommende virus­ sygdomme, som for eksempel influenza, anerkendes ifølge AES normalt ikke som arbejdsskade, da der er en betydelig risiko for at blive smittet uden for arbejdssituationen, hvorfor det er vanskeligt at sandsynliggøre, at smitten er en følge af arbejdets forhold. Dette vil også gælde ved de fleste tilfælde af smitte med COVID-19.

For at kunne anerkende s ­mitte med COVID-19 som arbejdsskade skal det kunne sandsynliggøres, at personen har været udsat for konkret smitte i forbindelse med arbejdet,

GL ser mange positive elementer i forslaget, men det er vigtigt, at ­alle gymnasiale uddannelser omfattes af reglerne, og at man tager h ­ øjde for de økonomiske konsekvenser for skolerne.

Børne- og undervisningsministeren har koblet de nye elevfordelingsregler sammen med en forestående taxameterreform for ungdomsuddannelserne og har inviteret folketingspartierne til de indledende forhandlinger i slutningen af september. Da den midlertidige ordning med mulighed for at fastsætte lokale fordelingsregler er blevet forlænget med et år, vil en ny model tidligst træde i kraft for søgning til skoleåret 2022/23.

eller at den smittede er udsat for særlig risiko i forbindelse med sit ­arbejde.

Det gælder for eksempel for sundhedspersonale.

På AES' hjemmeside kan man læse mere om, hvornår arbejdsgiver skal anmelde smitte med COVID-19 som arbejdsskade. Der er også information om, hvordan en anmeldelse typisk foregår: https://www.aes.dk/presseog-nyheder/kan-covid-19-vaere-enarbejdsskade Hvis der er tale om en erhvervs­ betinget lidelse, vil egen læge eller arbejdsmedicinsk klinik typisk være inde over vurderingen.

Som GL-medlem kan man få hjælp af en konsulent fra Danske Underviserorganisationers Samråd til at følge sin sag, hvis man (eller arbejdspladsen) har anmeldt en arbejdsskade. På GL’s hjemmeside kan man læse mere om ordningen og om anmeldelse af arbejdsskader generelt: https://www.gl.org/loenogans/arbejdsmiljoe/Sider/Arbejdsskade.aspx G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_43

GLE

Her finder du GL-E’s nye kurser og andre kurser, som du stadig kan nå at tilmelde dig.

Kontakt GL-E på gl-e@gl.org eller telefon 33 29 09 00.

EFTERUDDANNELSE

b

Aktuelle kurser

Styrkelse af elevernes digitale kompetencer i sprogfagene fransk, spansk og italiensk på stx, hf, VUC og hhx

Kurser i GL-E’s udbud ­ a f holdes i h ­enhold til de til enhver tid ­gældende retningslinjer vedrørende ­coronavirus.

Kurser fra GL-E afholdes på små hold og med god afstand både under ­undervisning og pauser.

s_44

Hvordan opøver vi eleverne i at forholde sig kritisk til de nyhedsinformationer, de udsættes for på nettet, samt ­ igitale til deres egen anvendelse af d medier og værktøjer i deres faglige læring? Kurset sætter fokus på, at eleverne også selv producerer træningsopgaver, da netop udarbejdelse af opgaver er en vigtig indlærings­faktor.

I praksis vil vi arbejde med læringsforløb, der har fokus på opgaver med informationssøgning, intensiveret træning af ordforråd og grammatik, undervisningsforløb med fællesskrivning, intensiveret træning af mundtlig sprogfærdighed, undervisningsforløb, hvor eleverne laver filmklip med spørgsmål og opgaver, der diskuteres og løses på målsproget, samt undervisningsforløb med kontakt til elever fra målsprogsområdet.

Alt dette med fokus på og anvendelse af forskellige digitale platforme.

Kurset afholdes den 16. november 2020 i Aarhus og den 17. november 2020 i København.

b

Få dine elever med!

Undervisnings­ differentiering i praksis

Formålet med kurset er at give gymnasielærere en bred palet af redskaber til at tilrettelægge og gennemføre en undervisning, der både samler klassen og rammer den enkelte. På den måde støtter man den enkelte elevs faglige og personlige udvikling og motivation, mens klassen er sammen om et fælles fagligt indhold. På kurset præsenteres du for forskellige motiverende differentieringsmuligheder, som de kan udfolde sig i­ nden for gymnasiets fagrække, og som har G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

Du kan se mere om kursernes indhold og tilmelding på gl.org/GLE. Her kan du også finde GL-E’s mange andre ­kurser for gymnasiale lærere og ledere.

elevmotivation som omdrejningspunkt. Du får praksiseksempler på, hvordan man bl.a. kan ­differentiere stoffet efter elevtype, tempo, materialevalg, sværhedsgrad, elevernes grad af forberedelse og taksonomiske niveau. Kurset vil også inddrage differentieringsprincipper med ­afsæt i mindset-baseret undervisning, peer-feedback og peer-undervisning.

Derudover kommer der eksempler på, hvordan elevernes progressionsniveau kan øges, når undervisningen tilrettelægges differentieret.

Kurset afholdes den 17. november 2020 i Odense.

b

Den motiverende samtale – hjælp unge med at vælge retning og holde kurs ‘Den motiverende samtale’ er en tilgang til at tale om forandringer, der virker. Metoden er internationalt ­anerkendt og virksom på tværs af en lang række områder – fx i forhold til unge med en høj fraværsprocent, et misbrug eller afbrudte uddannelser bag sig. I arbejdet med den unge kommer man nemt til at være den, der argumenterer for forandring, mens den unge argumenterer imod. ‘Den motiverende samtale’ giver dig redskaber til at undgå dette og i stedet – på en empatisk og støttende måde – hjælpe den unge til at fremkalde og ­afklare egne overvejelser om forandring.

Gennem træning bliver metoderne i ‘Den motiverende samtale’ så velkendte for dig, at du rutinemæssigt vil kunne anvende dem i samtaler med unge. På kurset får du afprøvet alle de metoder, redskaber og teknikker, du præsenteres for, og du kvalificeres til at gennemføre ‘Den motiverende samtale’, hvormed du får lettere ved at hjælpe unge.

Kurset afholdes den 17. november 2020 i Middelfart.

b

Nye arbejdsformer til det mangfoldige læringsmiljø

Elever lærer, husker og motiveres på forskellige måder. På kurset får du inspiration til god og varieret undervisning, som ikke tager al din tid, men som udvider din palet og mulighed for variation i undervisningen, kan overføres direkte til din undervisning ­eller blot kræver få tilpasninger, som du får tid til på kurset, samt sætter eleverne i centrum i læringsrummet. Derudover får du mulighed for at afprøve og få inspiration til otte forskellige arbejdsformer, der sætter eleverne i centrum i læringsrummet og udfordrer dem til at være kreative.

Arbejdsformerne kendetegnes endvidere ved, at eleverne kun i et begrænset omfang benytter elektroniske hjælpemidler, og at de skal samarbejde og formidle faglig viden på forskellige måder. Formålet med kurset er således at give dig inspiration til en alsidig undervisning, hvor eleverne har hovedrollen i læringsrummet, og kurset tilgodeser, at eleverne lærer, husker og motiveres forskelligt.

Kurset afholdes den 10. december 2020 i Odense.

b

Undervisning for bæredygtig udvikling

Økologisk krise og klimaforandringer er nogle af vor tids vigtigste samfundsudfordringer, og bæredygtighedstænkningen og den store politiske interesse giver spændende åbninger for udvikling af nye pædagogiske og didaktiske tilgange og samarbejdsformer. Kurset sætter fokus på, hvordan bæredygtighed kan komme på dagsordenen i gymnasiet, og giver dig en introduktion til, hvordan bæredygtighed udfordrer vores nuværende uddannelsesinstitutioner, hvordan bæredygtighed rammesættes politisk som uddannelsesmæssig udfordring, samt hvordan denne udfordring kan gribes i gymnasieskolen. Vi skal arbejde med pædagogiske og didaktiske tilgange til bæredygtighed med fokus på kompleksitet og dilemmaer, deltagelse og inddragelse, engagement i følelser samt systemtænkning og tværgående samarbejder.

Kurset afholdes den 20. oktober 2020 i København.

b

Motiverende mål – motiverende læring

På dette kursus lærer du, hvordan du kan støtte dine elever i at sætte motiverende mål for deres sproglæring, og hvordan de kan lave realistiske handlingsplaner for at nå dem. Samtidig får du konkrete værktøjer, som ­ ommunikative du kan integrere som k øvelser i din daglige undervisning i fremmedsprog. Vi arbejder med, hvordan du i højere grad kan involvere dine elever i deres eget læringsforløb. Du lærer de væsentlige elementer fra sprogcoaching, og du lærer ydermere bl.a. at støtte dine elever i at definere og konkretisere de ressourcer, de har til rådighed, for at nå ­egne motiverende mål. På kurset får du konkrete skabeloner til målarbejde, ­ressourcearbejde og udarbejdelse af handlingsplan, konkrete skabeloner til kommunikative undervisningsforløb, der integrerer målarbejde i din undervisning, samt en praktisk håndbog, der støtter dig i dit fremtidige arbejde med emnet.

Kurset afholdes den 9. november 2020 og den 24. marts 2021 i København.

b

SU-grundkursus for alle SU-medlemmer på gymnasierne

Gennem SU-grundkurset bliver du bevidst om din rolle som SU-medlem, og du får en grundlæggende forståelse for samarbejdsudvalgets arbejde og opgaver på en gymnasiearbejdsplads.

Du får også indblik i samarbejdets muligheder og begrænsninger samt bliver bevidst om de holdninger, der kan føre til et bedre samarbejde. Kurset tager afsæt i SU’s hverdag i gymnasieverdenen og bygger på en høj grad af deltageraktivitet. Der vil bl.a. være gruppeøvelser, hvor du får mulighed for at afprøve og drøfte synspunkter og erfaringer fra gymnasierne som arbejdsplads. Formålet med dette kursus er at tilbyde nyvalgte SU-medlemmer en branchenær SU-uddannelse. Medlemmer af samarbejdsudvalg skal efter § 11 i Samarbejdsaftalen have tilbudt et kursus inden for de første seks måneder efter udpegningen. GL og Danske Gymnasier er enige om, at det er vigtigt, at der udbydes et kursus rettet mod

gymnasieverdenen med deltagelse af såvel ledelses- som medarbejder­ siden for at skabe en fælles forståelse og platform for arbejdet i SU. Kurset afholdes den 29. oktober 2020 i Odense.

b

Tænk højt, tal sammen – værktøjer til at styrke en åben klassedialog Øget fokus på mundtlighed og behov for elevaktivering, selvstændig tænkning, bedre argumentation og refleksion kalder på en filosofisk under­ visningsform. Teknikkerne adskiller sig fra den klassiske undervisning ved, at læreren ikke leverer det faglige stof, men faciliterer en diskussion, hvor eleverne selv bidrager med det faglige indhold. Undervisningsformen er meget engagerende og inddragende og har sine styrker i forbindelse med åbne klassedialoger om fx litteratur, religion, samfundsspørgsmål eller vanskelige diskussioner om etik og politiske værdier. Den kan også bruges som bidrag til at udvikle undervisning, der er inkluderende i forhold til fx tilbageholdende elever.

Kurset giver en introduktion til feltets teknikker og potentiale og idéer til, hvordan man efterfølgende kan arbejde videre på egen hånd. Kurset introducerer dig bl.a. for ­filosofiske samtalesessioner som alternativ undervisningsform, grundteknikker for den filosofiske facilitator, samt hvordan teknikkerne kan trænes.

Kurset afholdes den 4. november 2020 i Odense.

Kender du GL-E's nyhedsbrev?

Her sender vi information om ­aktuelle kurser. Kunne du eller din skole tænke dig at få tilsendt v ­ ores ­nyhedsbrev? Skriv til kursus­sekretær Lene Daring på ld@gl.org.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_45

DISKUSSION

e

Indlæg til diskussion må maks. indeholde 2.500 enheder inkl. mellemrum. Send indlæg til gymnasieskolen@gl.org.

Hvorfor papirblad?

s_46

Hvorfor har vi egentlig papirbladet Gymnasieskolen?

Det er ikke mit indtryk, at det er udsat for den store læselyst blandt kolleger. Bevares, der er da o.k. artikler, men de har mere karakter af det sædvanlige fagforeningsstof ­forstået på den måde, at det altid er eksperter, konsulenter og andet pædagogisk godtfolk, der har synspunkter, der sjovt nok flugter med GL’s holdning til dette og hint.

Hvad angår diskussioner og debat – der vel burde være adelsmærket for et fagblad – så må jeg bare konstatere, at det er totalt fraværende.

Det virker, som om alle har opgivet ­dette papirbårne medie og i øvrigt er for udmattede til at have en mening om n ­ oget som helst. Jeg savner sgu næsten – men også kun næsten – de gamle hanelefanter (Allan Tarp, Erik Jerlung og Leif Carlsen), der gennem

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

årene har givet den gas i Gymnasieskolen.

Så mit spørgsmål er: Hvorfor ­bliver vi ved med at holde liv i dette fagblad? Debatten er jo alligevel rykket over på Facebook – hvilket ikke altid hæver niveauet.

Jeg har selv været tilmeldt ‘gymnasielærernes chatroom’, men meldte mig ud igen, da niveauet simpelthen blev for lavt. En ting er, at gymnasielærere sidder og blokerer hinanden i tide og utide, men bunden blev nået, da voksne mennesker brugte tid på at diskutere, om et billede var et billede af en narhvalstand eller en narhvalspenis.

Jeg mener, at der er for meget automatreaktion omkring et fagblad.

Hvorfor har vi et fagblad? Fordi det har man bare, og det har vi altid haft.

Det vil være standardsvaret hos alle fagforeninger.

Redaktionen på Gymnasie­skolen gør da et hæderligt stykke ­arbejde, men jeg tror bare, at tiden er løbet fra den museumsgenstand, som et fagforeningsblad er. Jeg kan se, at GL er begyndt at opruste på Facebook. ­Jamen, så lad os køre den derfra. Luk Gymnasieskolen, og lad redaktøren sidde og facilitere debatten på GL’s FB-side, så det ikke ender a la Nationen på Ekstra Bladet.

Man kan selvfølgelig have den holdning, at man ikke ønsker at ­være en del af Mark Zuckerbergs overvågningsplatform, men vi ville godt nok spare en hulens masse penge. Og jeg har det egentlig bedre med, at vi ­kører debatten over Facebook­imperiet, end at vi poster penge i et fagblad, som ingen læser.

Jan Havreland VUC Holbæk

D I S K U S S I O N _

Svar på læserbrev

Kære Jan Havreland Tak for interessen for og spørgs­ målene til vores fælles fagblad, Gym­ nasieskolen.

Vi skal have et fagblad, hvis det kan levere en lødig journalistisk dæk­ ning af gymnasiesektoren og deri­ gennem være af værdi for vores med­ lemmer. Min egen oplevelse er, at Gymnasieskolen lever op til det for­ mål. Bladet fortæller de historier fra landets gymnasiale uddannelser, som andre medier fravælger eller dæk­ ker utilstrækkeligt. Bladet giver og­ så medlemmerne og sektorens øvrige interessenter mulighed for at debat­ tere inden for rammerne af et medie, som eksisterer for medlemmernes og gymnasiesektorens skyld. Derigen­ nem giver bladet medlemmerne en stemme i den offentlige debat, som også høres uden for vores egne ræk­ ker. Medlemmerne, og GL, har gavn af et selvstændigt, moderne medie med det fokus.

Du henviser til, at din oplevelse er, at papirudgaven af bladet ikke læses meget; Gymnasieskolens egne læser­ undersøgelser peger på, at bladet fak­ tisk læses i et ganske pænt omfang i forhold til andre organisationsblade,

og at et flertal af læserne finder, at den nuværende frekvens med otte år­ lige udgivelser er passende. Det kor­ te svar på, hvorfor vi fortsat skal ha­ ve et trykt fagblad, kunne derfor være: ­Fordi medlemmerne forventer det. Men bag tallene og læserunder­ søgelserne ligger også en udvikling, hvor man over en årrække er gået fra 23 årlige udgivelser til det nuværen­ de antal, og hvor den digitale del af Gymnasieskolen er kommet til. I dag ­eksisterer platformene i et samspil.

De færre papirudgivelser betyder, at bladene ikke længere kan være det samme rum for levende debat mel­ lem medlemmerne i form af debat­ indlæg som før. De fleste har vænnet sig til mere eller mindre øjeblikkeli­ ge svar på spørgsmål og kommenta­ rer, og vores udveksling her er vel en reminiscens af en debatform, som jeg dog håber på, at medlemmerne fort­ sat vil benytte.

Jeg synes, du selv meget præcist peger på problemerne i bare at lade Facebook være platform for debatten.

En ting er Facebooks forretnings­ model, som folk må købe ind på for at være med, men jeg mener også, der er grund til at se kritisk på, om Face­ book-formatet egentlig understøtter

reel debat særlig godt – eller om vi efterhånden er ved at kunne sige, at det nærmere fremmer polarisering, forfladigelse og ­ekkokammer-effekt.

Gymnasieskolen er desuden ­allerede sammen med GL til stede på Face­ book med siden ‘gymnasie­ l ærer’, uden at vi oplever, at det har løst al­ le problemer med at facilitere en ­levende medlemsdebat.

At de fleste (heriblandt under­ tegnede) har valgt at leve med Facebooks udfordringer, skal ­ ­ ikke forhindre ­vores fagblad i at have hø­ jere ambitioner for den debat, ­mediet skal kunne rumme, og jeg ved, at Gymnasieskolen har et ønske om at f lytte medlemsdebatten ­ ­ mere ind i sit ‘eget’ digitale rum i forbindel­ se med en planlagt relancering af ­ åber, ­gymnasieskolen.dk i 2021. Jeg h at man vil kunne præsentere en ­model, som medlemmerne vil synes om og tage til sig. Vi har behov for et virtuelt debatforum, som gør det at­ traktivt for medlemmerne at deltage på andre præmisser end Facebooks.

Tomas Kepler, formand for GL

MØD OS PÅ

Nyhedsbrevet Modtager du ikke Gymnasieskolens nyhedsbrev?

På gymnasieskolen.dk kan du tilmelde dig det ugentlige nyhedsbrev og følge med i nyheder, debat og blogindlæg om den gymnasiale verden.

f G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_47

“Entydig” kritik af grundforløbet?

s_48

I seneste nummer af Gymnasie­ skolen forudser GL-formand Tomas Kepler “en stor kritik af grundfor­ løbet” og ytrer sin tvivl om, hvorvidt grundforløbet virker efter hensigten.

I forrige nummer af Gymnasieskolen kunne man under overskriften Refor­ men fejler: Færre elever vælger sprog læse, at sprogene er gået tilbage.

Engelsk A er ganske vist gået 12 procentpoint tilbage, men er det nu så farligt? Hele 55 procent af 2020-stu­ denterårgangen havde engelsk på højniveau, altså flere end hver anden!

Latin er gået meget frem, og spansk A er gået lidt frem, og latin og spansk er altså sprog. De andre sprog holder stort set stand, dog ses et fald i tysk A. Det fremgår dog af artiklen, at den reelle nedgang i oprettelsen af sprog­ lige studieretninger er på et procent­ point, fra 9 til 10 procent på stx. Selv­ ­ ået lidt om sprogene samlet set er g tilbage, kender vi ikke de præcise år­ sager, og man kunne f­ ormode, at det ville være gået værre uden grund­ forløbet. Langt de fleste sproglærere, vi kender, er glade for grundforløbet og ikke mindst faget almen sprogfor­ ståelse i dets nye, intensiverede form.

Det er ganske rigtigt, at grund­ forløbet, som Kepler skriver, “stres­ ser både lærere og elever”. Det er ­ikke er noget argument mod effekten af grundforløbet i forhold til elevernes

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

valg af studieretning, snarere tvært­ imod. Valgfrihed er i sagens natur stressende. Men hvad er alternativet?

Nyder de kunstneriske studieretnin­ ger ikke stor gavn af grundforløbet? r etningen uden Vil mat-fys-studie­ grundforløbet forsvinde over på htx og efterlade biologi og b ­ ioteknologi som de eneste ­naturvidenskabelige studieretningsfag på stx? Det er i hvert fald spørgsmål, der bør a ­ fklares inden eventuelle justeringer. Det al­ mene gymnasium har i en årrække bevæget sig hen imod at blive for­ vandlet til et rent samfundsfagsgym­ nasium, men på nogle skoler har man set en anden udvikling efter indførel­ sen af “Silkeborgmodellen” opkaldt efter et stort gymnasium, der har en lang ­tradition for at oprette forskel­ lige fag. For at undgå misforståelser: Vi er ikke modstandere af hverken samfundsfag e ­ ller biologi og biotek­ nologi, men fortalere for faglig mang­ foldighed.

Det er forståeligt, at lærere i obli­ gatoriske fag som historie, engelsk og dansk er trætte af grundfor­løbet.

Men en række fag kan kun opret­ tes i særlige studieretninger og er derfor afhængige af en reel udfor­ dring af elevernes valg af faglig ret­ ning. I stedet for at nedlægge grund­ forløbet kunne man se på praksis på de skoler, der har held til at udfordre

elevernes studievalg. Man kunne og­ så gøre så meget andet. Vi vil hermed minde GL’s formand om, at han og­ så er formand for landets musiklære­ re, fysiklærere og latinlærere. Grund­ forløbet er givet­vis ikke perfekt, men kritikken af grundforløbet er ikke “entydig”, som han skriver i sin leder.

Andreas Hjort Møller, lektor i latin, græsk og tysk, Herning Gymnasium (orlov) Louise Hjort Hinkbøl, lektor i latin og engelsk, Herning Gymnasium

D I S K U S S I O N _

Svar på læserbrev

Kære Andreas Hjort Møller og Louise Hjort Hinkbøl Tak for jeres kommentar. Sjældent finder man en helt entydig holdning til forhold i vores sektor blandt v ­ ores medlemmer. Således heller ikke til grundforløbet – men jeg kan sige, at af alle de emner, jeg indtil videre har haft lejlighed til at drøfte med gym­ nasielærere, på medlemsmøder, i per­ sonlige samtaler, i mails og så videre, ­ æret har meget få tilbagemeldinger v så entydige som den, jeg har fået og stadig får vedrørende grundforløbet.

Om noget synes jeg faktisk, at kri­ tikken af grundforløbet har været ­tiltagende i den tid, jeg har været ­formand. Dette skrevet i fuld respekt for og anerkendelse af, at der selv­ følgelig også er modsatrettede syns­ punkter – som eksemplificeret i jeres indlæg.

Jeg er selvsagt enig i, at vi skal h ave et gymnasium med faglig ­ mangfoldighed – det ser jeg blandt andet som en forudsætning for, at vi kan levere den almendannelse, som ­alle er enige om er så vigtig. Jeg mener så også, at vi havde et fag­ ligt mangfoldigt gymnasium, før vi fik grundforløbet i dets ­nuværende form. Det er korrekt, som I m ­ inder om, at elevernes introduktion til gymnasiets fag bidrager til, at de vælger mere bredt på fag og studie­ retninger. Her gør skolerne også nu en stor indsats omkring brobyg­ ningen og den ­obligatoriske intro­ duktion til fagene. Jeg er bekymret over den ringe tilslutning til fort­ sættersprogene, men glæder mig

over, at flere vælger latin. Jeg tviv­ ler imidlertid på, i hvilket omfang det kan tilskrives grundforløbet, i og med at vi ved, at der er noget struk­ turelt i reformen og den måde, man kan tilrettelægge de super­sproglige studieretninger på, som også har be­ tydning for latins status.

Samme struktur med fagbindinger og færre studieretninger har begræn­ set de kunstneriske fag, hvilket de faglige foreninger har kritiseret. Tal­ lene viser især en nedgang i tilslut­ ningen til mediefag, musik og dra­ matik på B-niveau og en marginal stigning på tilslutningen til musik på A-niveau. Således tror jeg ikke, at elevernes valg først og fremmest ­skyldes grundforløbet (ligesom man vanskeligt kan påstå, at de omtalte fag sikres af grundforløbet), men sna­ rere de nye begrænsende rammer for studie­retninger.

Det centrale i min kritik er, at omkostningerne ved grundforløbet overstiger de mulige gevinster. Der er nogle alvorlige slagsider ved grund­ forløbets struktur, der påvirker læ­ rernes arbejdsmiljø og elevernes fag­ lige og sociale trivsel. Grundforløbet betyder en skæv arbejdsbelastning for mange lærere, en ekstra belast­ ning ved at skulle opbygge relationer ad flere omgange og moralsk stress ved ikke at kunne udføre arbejdet med en kvalitet, man kan stå inde for – herunder bare nå at lære navne­ ne på de elever, man skal undervise i grundforløbet og for nogles vedkom­ mende endda føre frem til eksamen få måneder efter skolestart. Det er vi nødt til at tage alvorligt.

Samtidig presses eleverne også af de psykisk belastende klasseskift, og mange har svært ved at komme i gang med fagene, når faglæreren skifter efter kort tid. Vi forpasser en mulighed for, at eleverne kan opbyg­ ge de bånd til lærere og andre elever, der er så vigtige for et godt udbytte af årene i gymnasiet. Og problemer­ ne må holdes op imod, at eleverne ek­ sempelvis kunne få lov til at starte i studieretningerne med det samme.

Af de grunde mener jeg, at vi er nødt til få ændret på gymnasiets struktur. GL vil i efteråret sammen med lærerne evaluere grundforløbet.

Vi skal sikre, at gode og dårlige erfa­ ringer kommer frem og bruges til at forme en bedre model for indgangen til gymnasiet.

Tomas Kepler, formand for GL

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

s_49

Rektor Birkerød Gymnasium Skolens rektor gennem 18 år har valgt at gå på pension. Derfor søger vi en ny visionær rektor, der brænder for at stå i spidsen for et attraktivt gymnasium med STX, HF, IB og Kostskole og en stærk international profil.

Birkerød Gymnasium er et velfungerende gymnasium med høje dannelses- og uddannelsesmæssige ambitioner. Skolens nye rektor skal være en samarbejdsorienteret og handlekraftig rektor med visioner for skolens fortsatte udvikling. s_50

Opgaven Birkerød Gymnasium er en lokalt forankret skole med internationalt udsyn. Kulturen præges af et stærkt fællesskab, international mangfoldighed, høj faglighed og stort engagement. Skolen har ca. 1100 elever, 130 medarbejdere og 50 nationaliteter samlet på et sted.

Rektor skal fungere som den samlende figur i en tydelig og involverende ungdoms- og læringskultur og som en leder, der klart kommunikerer værdier, mål og rammer.

En vigtig opgave er at sætte Birkerød Gymnasium på dagsordenen og skabe synlighed om skolen i lokalområdet og nationalt som en stor international skole og kostskole.

Kompetencer Den nye rektor skal være en synlig og imødekommende leder med en udviklingsorienteret og værdibaseret ledelsesstil. Der lægges vægt på, at rektor har visioner og ambitioner for den faglige og pædagogiske udvikling og tør gå nye veje sammen med skolens medarbejdere og elever.

Rektor skal være en tillidsvækkende leder, der skaber resultater gennem samspil og samarbejde. Ledelsesstilen skal være anerkendende og involverende.

Desuden skal rektor have indgående erfaring med rammer og vilkår for drift af en gymnasieskole og være i stand til at håndtere en mangfoldighed af strategiske og praktiske ledelsesopgaver og udfordringer med en proaktiv og pragmatisk tilgang.

Den rette kandidat er en dygtig formidler – både internt og eksternt – og skal kunne sætte tydelig retning for realiseringen af skolens indsatser og målsætninger.

Fokus på og forståelse for økonomi og administration er en forudsætning.

Se den uddybende stillings- og personprofil på www.muusmann.com/stillinger.

Ansøgningsfrist: Søndag den 18. oktober 2020.

Rektor forventes at være aktiv i netværk og understøtte og udvikle skolens profil – og dermed spille en vigtig rolle i udvikling og realisering af skolens strategi og indsatser.

Rektor skal inspirere og motivere elever og medarbejdere og være en nærværende aktør i skolens udviklingsprocesser.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

Kontakt gerne bestyrelsesformand Frank Christensen, tlf. 40 35 62 27, eller chefkonsulent Iben Munck Adamsen, MUUSMANN A/S, tlf. 22 91 20 06.

Søg stillingen på www.muusmann.com/stillinger.

Store oplevelser - tæt på!

Få et tilbud på jeres næste studietur ganske uforpligtende.

Vi sammensætter tilbuddet 100 % ud fra netop jeres ønsker.

I denne særlige tid er det oplagt at tage på studietur til et af de nære rejsemål, som kan nås med bus, tog eller færge.

Studietur til Hamborg

Studietur til Bremen

Inkl. bl.a. 3 overnatninger, togrejse t/r og morgenmad

Inkl. bl.a. 3 overnatninger, togrejse t/r og morgenmad

Fra kr.

798

Fra kr.

1.098

Fagligt studieprogram Bestiller du et tilbud hos os, får du tilknyttet en personlig rejserådgiver, som naturligvis også gerne hjælper med planlægningen af et godt og fagrelevant studieprogram.

Vi har et væld af forslag til både klassiske og anderledes oplevelser!

Studietur til Göteborg

Studietur til Nordjylland

Inkl. bl.a. 3 overnatninger, færgerejse med Stena Line t/r og morgenmad

Inkl. bl.a. 4 overnatninger, morgenmad og aktiviteten Kajak & Surf

Fra kr.

1.398

Kirsten, Brian og Lise er dine rejserådgivere kirsten@alfatravel.dk brian@alfatravel.dk lise@alfatravel.dk

Nygade 5 7500 Holstebro

+45 96 10 04 28 +45 96 10 04 27 +45 96 10 04 23

+45 70 22 88 70 info@alfatravel.dk

Se alle rejser på alfatravel.dk

Fra kr.

1.948

Var det noget med en studietur til Island, Færøerne eller Grønland?

Når du køber studieturen hos BENNS, får du: 56 års erfaring • Lave priser • Skræddersyet produkt • Tidsbesparelse Hjælp til fagligheden • Egen rejsekonsulent • 24H vagttelefon Grønland | Fly | 5 dg/4 nt.

5.695

Island | Fly | 5 dg/4 nt.

2.798

Færøerne | Fly | 5 dg/4 nt.

3.395

Inkl. helpension

Ekskl. morgenmad

Inkl. morgenmad

Mulige faglige besøg: • Tundrasafari • Moskussafari • Isfiskeri • Hundeslædetur • Overnatning i Sisimiut

Mulige faglige besøg: • Foredrag om geothermal energi • Den Gyldne Cirkel • Byrundtur i Reykjavik • Ridetur på islandske heste • Gletschertur

Mulige faglige besøg: • Klippeøen Mykines • Ridetur til Trælanipan • Bøsdalafossur-vandfaldet • Midvágur • Færøsk aften • Fjeldvandring • Besøg i Gjógv

Andre rejser med bus fx.

685,-

Berlin | 3 dg/2 nt München | 6 dg/3 nt

1.615,-

Amsterdam | 6 dg/3 nt 1.125,-

Hamborg | 3 dg/2 nt

820,-

Prag | 6 dg/3 nt

1.295,-

Wien | 6 dg/3 nt

1.648,-

Cesky Raj | 6 dg/3 nt

1.695,-

Strasbourg | 6 dg/3 nt

1.825,-

Budapest | 6 dg/3 nt

1.468,-

Priser er FRA-pris i kr./person inkl. transport i 3-stjernet bus eller fly på økonomiklasse, overnatning på hotel eller hostel i flersengsværelser inkl. morgenmad. Flere rejsemål og priser på www.benns.dk - forbehold for prisændringer.

Ring på 65 65 65 63 group@benns.dk benns.dk

Studierejser med indhold !

Vi er et uafhængigt privatejet rejsebureau med mere end 20 år på bagen og vi arrangerer alle former for studie- og grupperejser i Europa og USA. Vores kunder er skoler, gymnasier, lærerrejser, erhvervsuddannelser, kommuner og regioner, foreninger, institutioner, firmaer og virksomheder.

I skal blot være min. 10 rejsende.

Vi samarbejder med alle de europæiske flyselskaber, rutefly som lavprisselskaber, og har derfor altid fingeren på pulsen når det gælder billige flybilletter for grupper. På de nære destinationer benytter vi naturligvis også busser og tog.

Beliggenhed, beliggenhed, beliggenhed - det er både tidskrævende og dyrere i transport at bo udenfor centrum, derfor ved vi hvor vigtigt, det er at bo centralt ! Og vi bruger megen tid på at inspicere vores hostels og hoteller da der kan være stor forskel på standarden, rengøring, atmosfære m.m.

Vi har mange kontakter til spændende studie- og virksomhedsbesøg og masse af sjove aktiviteter til lands og til vands.

Vi følger jer på rejsen fra A-Z, har højt serviceniveau, ingen skjulte gebyrer og højt fagligt niveau på studiebesøg.

Studierejser med indhold Berlin Prag London København Dublin Edinburgh Rom

fra kr. 850,fra kr. 1.325,fra kr. 1.650,fra kr. 1.825,fra kr. 1.845,fra kr. 1.890,fra kr. 2.320,-

Kontakt os og få et tilbud!

Tlf. 98 12 70 22 • www.eurotourist.dk

s_54

MØD OS PÅ

Facebook Find Gymnasieskolen og Gymnasieskolernes Lærerforening på Facebook på den fælles side Gymnasielærer.

G Y M NA S I E S K O L E N

·

N0 _ 0 6

·

2 0 2 0

DE BEDSTE STUDIETURE SE ALLE PRISER HER: KILROY.DK/STUDIETURE

Gratis skræddersyet tilbud Det er altid gratis og uforpligtende at modtage et tilbud på transport og overnatning for hele gruppen.

Personlig rejsekonsulent Under rejsen kan I ringe til vores nødtelefon 24/7.

Spar penge Vi har adgang til de bedste priser og alle studerende og lærere får et ISIC- og ITIC-kort som giver rabat på destinationen

Fagligt program, oplevelser & teambuilding Vi kan hjælpe jer med at arrangere virksomhedsbesøg, skolebesøg, foredrag og oplevelser med teambuilding.

kilroy.dk/studieture | Tlf. 70 22 05 35

a s i n(A ) a s i n(A ) a s i n(A ) s i n(A ) a a s i n(A s i na(A )) a s n(A i n a(A )

b s i n(B) b s i n(B) b s i n(B) s i n(B) = b = b(B) s i n i nb(B) =s = b s n(B) i b =

c s i n(C ) c s i n(C ) c s i n(C ) s i n(C ) = c = c(C ) s i n i nc(C ) = s = c s n(C ) i c

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= = a b c s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C )

a ) b(B) c(C ) s i n(A s n s i n 2 2 2i =c −2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) a ) b(B) c(C ) s i n(A s i n s i n 2 2 =c 2−2 a =b + ⋅b⋅= c ⋅c os(A) a b c 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A) b = a + c −2 ⋅a⋅c ⋅c os(B) 2 2 2 b2 = =b a2++ cc2− −2 2 ⋅b a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) a ⋅ o s Cosinusrelationerne 2

2

Regnearternes hierarki

2

2 2 2 b a2 + c2 −2 ⋅a os(B) a2 = b b⋅c ⋅c (A) c = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) 2 2 2 a2 = b2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A)

LINDHARDT OG RINGHOF UDDANNELSE

c på =a abagflappen. + cb − −2 2 ⋅a a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) tionerne b = + ⋅ o s (B) 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

- Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4 ⋅5− 3 = 8+ 2 0− 3 = 2 5 - Potenser og rødder 3 -2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4 ⋅5− 3 = 8+ 2 0− 3 = 2 5 - Addition og subtraktion

c = abagflappen. +b ⋅a⋅b (C ) b på c −2 c ⋅c os(B) tionerne = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) tionerne ionerneb på på bagflappen. b + c ⋅− 2

2

4

3 8 = 38= −2 4 0 +⋅2 9 1+ 2 2− +7 4 ⋅+√2 2 5− 8 +1 4 5−= 32 =3 8 0− 3 = 2 5

2 2 2 o s cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) ⋅b2 ⋅c 2 22 2 2 b2+ c − a tionerne på cos =(A) abagflappen. + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c = ⋅b2 ⋅c 2 22 2 2 b2+ c − a cos =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c 2 ⋅b2⋅c 2 2 a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 ⋅a2⋅c 2 c os(A) = a22 +⋅cb⋅ b2 2 2− 2 c c os(B )= b + c − a c os(A) = 22 ⋅a2⋅c 2 a22 +⋅cb2 − b 2 ca c os(B )= b + c ⋅− c os(A) = 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 b⋅− cc a2 +⋅b c os(C ) = a2+ c 2− b2 ⋅a2 ⋅b 2 c os(B )= a22 + b2 c −c2 c os(C ) = a22 +⋅ca⋅− b c os(B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2 a +⋅b c2 2− cb c os(C ) = a22 + ca⋅− c os(B )= 2 ⋅a⋅b Potenser 2 ⋅a⋅c 2 2 2 a + b −c c o (C ) = 0s a =1 2 ⋅a⋅ 2b 2 a2 +b − c c os(C ) = 2m⋅a2 ⋅b 2 n m an +2 + b −c ao ⋅a c s (C )==a 2 ⋅a⋅b

4

3 8 = 38= −2 4 0 +⋅2 9 1+ 2 2− +7 4 ⋅+√25− 8 +1 4 5−= 32 =3 8 0− 3 = 2 5

Kernestof Mat 1

NYHED Matematik

Let og overskuelig opbygning. Hvert opslag er et afgrænset, øvelsesbaseret læringsforløb. Facitliste til alle øvelser findes bagerst i bogen.

a ⋅ b = (a ⋅ b ) n

n

n

a−n =

1 an

( )

= an⋅m

m

an

Flere end 100 QR-koder linker til screencasts med uddybende forklaringer på begreber, formler, sætninger og beviser.

Også velegnet til flipped classroom-undervisning og til eksamensforberedelse.

n

a n  a =  bn  b 

Kernestof Mat 1 hhx

stx

Denne udgave af Kernestof 1 er målrettet matematikundervisningen på stx-uddannelsen. Bogen dækker kernestoffet på C-niveau eller kan bruges som første del af undervisningen på B-niveau.

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

4

4

2 (8 −−7 )5 +)⋅2 =− 1 1 +)⋅2 (4 1 4+=2 1+ 2 (1 6 5 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √49 4 2 (8 −7 )5 + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3 (4 −1 )⋅4+ 2 (1 6− 1 5 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9 2

(4− 1 5 )⋅4+ 2

(1 6− 1 5 )⋅4+ 2

1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = 2 3 3 (1 6− 1 5 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = 2 3 3 3 x+ − x =3 x− 33· x1 +=1 = x –x7− 7 7− x

=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3 9 −4 x+ √2 = −6 x+ 1= x −3 7 2

(4− 1 5 )⋅4+ 2

=

92 −4 x 6− 6− 2 –4 · +x√2 +−= 2 =−=–6

−4 8 x − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2=

x 3 32 · +x1 +−= 1x–−=x7=x x−–7− 7 –x x

−4 −8 –4 ·xx= −4 x 8 ==−–8

22x ·+x1 +−= 11= −=–7 7− 7− 1

−4 x+ 2= − 6

−4 4 −2 4 −=6− 6− 2 − x+ 2−=

− −x− 4 4⋅4 −− 88 x⋅x x−=2− 8 = ==−−−−2 −4 4 4= − 6− 2 x+==2 − 8 −− 44 −− 44

x = −2

1 stx

Mellem de 13 kapitler er der træningssider med små opgaver, der vedligeholder de basale regnefærdigheder som regnearternes hierarki, parentesregneregler, brøkregning mv.

(a + b ) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

4

8−7+42 = 8−42 4 0 1+ 2 = 2 3 9 1 (8− 7 ) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

x− 4 =x− 2− 8 =−8 x−=4x 2= −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4

Alle kapitler afsluttes med opgaver, der følger den faglige progression.

Facitliste til alle opgaver på bogens website.

Parenteser

4

8−7+42 = 8−42 4 0 1+ 2 = 2 3 9 1 (8− 7 ) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

4 ⋅(x − 3)= 0

xx–=33 =0

4 ⋅(x − 3)= 0

x(x = +3 1)⋅(7− x ) = 0

Per Gregersen og Majken Sabina Skov

x =3

1 )⋅·(7 x )x)==0 (x(x++1) (7− – 0 x =3

xx+ = 1= ellerx 7=– 7 x=0 −0 1eller

ISBN 978-87-7066-835-4

(x + 1 )⋅(7− x ) = 0

xx= = –1− 1 eller x=7 eller (x + 1 )⋅(7 − x ) x= =07

9 788770 668354 www.lru.dk

x = − 1eller x = 7 x = − 1eller x = 7

x = 2 xx == 2 2

b s i n(B) b s i n(B) b s i n(B) s i n(B) = b = b(B) s i n i n =s b(B) = b s n(B) i b = = b s i n(B) s i n(B) = = =

Andre titler i serien

c s i n(C ) c s i n(C ) c s i n(C ) s i n(C ) = c = c(C ) s i n i n = s c(C ) = c s n(C ) i c = = c s i n(C ) s i n(C ) = = =

x = 2 381, 7 l og 33, 5 a = = = 381 , 7 5 a ) b(B) c(C ) l o gg 4, l o s i n(A s n s i n 2 2 2i 33 , 5 2 =c −2 a =b + ⋅b⋅= c ⋅c os(A) 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 a = l o l o g g 4, a ) b(B) c(C ) 5 s i n(A s i n s i n 3 3 3 , 5 , 5 l og3 2 2 =c 2−2 a =b + ⋅b⋅= c ⋅c os(A) 2 4 4 , 5 , 57 a b c l o l o g g381, l o g 2 2 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A) 3 3 , 5 2 , 4 4 = t va = a n−1 b = a + c −2 ⋅a⋅c ⋅c os(B) 4 , 5 2 0 l og 2, 2 2 2 44 b2 = =b a2++ cc2− −2 2 a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) v = t a n−1 2 a ⋅⋅b o s 20 Sinusrelationerne Cosinusrelationerne 2 4 , 4 4 4 a b, c −− 1 12 2 2 2 2 2 2 vv == t t a a n n = = b ⋅a os(B) a2 = a b2+ c 2−2 b⋅c ⋅c (A) 2 2 0 0 s i n(A ) s i n (B) s i n(C ) c = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) a b c 2 2 2 = −1 2 , 44= a2 = b2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A) vi = a ns 2+ b2−2 n (A ) t i n(B) s i n(C ) c2 på =a abagflappen. a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) H:s ind under Cosinusrelationerne 20 b = + c −2 ⋅⋅a o s (B)

( ) (( )) (( ( ))) ( ( )) ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( )

aa ==

2 2

2 2

2

2

2

2 2

2

2 2 2

2

2

2 2

Regnearternes hierarki - Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Potenser og rødder 3 -2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Addition og subtraktion

c = abagflappen. +b ⋅a⋅b (C ) b på c −2 c ⋅c os(B) H:si ind) under Cosinusrelationerne n(A s i n(B) s i n(C ) = = Kvadratsætningerne b på = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) H: H: ind ind under Cosinusrelationerne på bagflappen. a under b Cosinusrelationerne c b + c ⋅− s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) os cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) = = Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c a under b Cosinusrelationerne c b +c − a H: ind på cos =(A) abagflappen. + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c = Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c (a + b)

2

2

2

= a + b + 2ab

2

2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

2 2 a = b 22+ c= ⋅+bb ⋅c2+ ⋅c o s (A) (a− + b) 2 ab (a = −a2 − 2 ab 2 2

2 2

2 2

(a (a2−−b) b)2 ==2 aa ++bb −−2 2 ab ab 2 b a +− c b) −2 ⋅= a⋅ca⋅2c os (a +=b)(a − b(B)

Kernestof Mat b(a1 =−hfb)a + c=−a2⋅a+⋅bc⋅−co2sab(B) 2

22

2

2

2

2

2

2 2

2 2

(a + b)(a − b) = a − b

(a (a++b)(a b)(a−−b) b) == aa −−bb

2 2 2 = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) Denne udgave af Kernestof 1 er målrettet cmatematikundervisningen Brøkregneregler 2 2 på 2 C-niveau 2 på hf-uddannelsen. Bogen dækker kernestoffet eller c(a = a + b− −2 ⋅= a⋅ba⋅2 c os ) + b)(a b) − b(C a b a +på b B-niveau. kan bruges som første del af undervisningen + =

c

c

c

2

2

2

2

4

3 8 = 38= −2 4 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√2 25− 80 +1 4 5−=3 2 =3 8

2

2

4

3 8 = 38= −2 4 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√25− 80 +1 4 5−=3 2 =3 8

2

Kernestof Mat 1 hf

2b c a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 ⋅a2⋅c 2 c os(A) = a22 + c 2− 2 cb c os(B )= b22 +⋅cb⋅− a c os(A) = 22 ⋅a2⋅c 2 a +⋅cb2⋅−c b 2 c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 cc a2 +⋅b⋅− c os(C ) =a2+ c 2− b2 ⋅a2 ⋅b 2 c os(B )= a22 + b2 c −c2 c os(C ) = a22 +⋅ca⋅− b c os(B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2 a +⋅b c2 2− cb c os(C ) = a22 + ca⋅− c os(B )= 2 ⋅a⋅b Potenser 2 ⋅a⋅c 2 2 2 a + b −c c os(C ) = a0 = 1 2 ⋅a⋅ 2b 2 a2 +b − c c os(C ) = 2m⋅a2 ⋅b 2 n m an +2 + b −c ao ⋅a c s (C )==a 2 ⋅a⋅b

2a (a (a2++=b) b) a2 ++bb⋅c++⋅2 2 ab ab a b +== c= − o s (A) (a − b) a ⋅+bb −c 2 ab 2

2

2

2 2 2+ c − a cos =(A) a =+ b b − 2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c

Kvadratsætningerne

Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab

2

b et +c − a Let og overskuelig opbygning. Hvert opslag er c osb (A) =a ⋅ b afgrænset, a ⋅ = 22 ⋅b2 ⋅c 2 bøvelser + c − a findes øvelsesbaseret læringsforløb. Facitliste til alle c(A) c os = c 2 ⋅b⋅c bagerst i bogen.

⋅ 2⋅

2

Kernestof Mat 2

Denne udgave af Kernestof 1 er målrettet matematikundervisningen på hf-uddannelsen. Bogen dækker kernestoffet på C-niveau eller kan bruges som første del af undervisningen på B-niveau.

Let og overskuelig opbygning. Hvert opslag er et afgrænset, øvelsesbaseret læringsforløb. Facitliste til alle øvelser findes bagerst i bogen.

a n⋅ b n = ( a ⋅ b )

n

a−n =

1 an

(a )

= an⋅m

a a :c = 2 2 2 b b ⋅ac + c − b

c os(B )=med uddybende Flere end 150 QR-koder linker til screencasts ⋅a2⋅c 2 22 a +c − b c forklaringer på begreber, formler, sætninger og bbeviser. aos(B b )=a ⋅ d2 ⋅ c ad + bc ⋅+a⋅c = + = Også velegnet til flipped classroom-undervisning c d c ⋅ d d ⋅ cog tilcd 2 2 2 eksamensforberedelse. a + b −c

n m

Flere end 100 QR-koder linker til screencasts med uddybende forklaringer på begreber, formler, sætninger og beviser.

Også velegnet til flipped classroom-undervisning og til eksamensforberedelse.

n

a n  a =  bn  b 

c aosc(C ) = ac ⋅a2⋅b 2 ⋅ = a22 + b −c bosd(C ) = bd c

Alle kapitler afsluttes med opgaver, der følger den faglige 2 ⋅a⋅b progression.

Facitliste til alle opgaver på bogens website. a c a d

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

4

4

2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +)⋅2 (4−−7 15 )⋅4+ 2 (16− 15 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √49 4 2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +2 = 3 (4−−7 15 )⋅4+ 2 (16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

Nyhed: Kernestof HHX

2

(4− 15 )⋅4+ 2

(16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = 2 3 3 2 (4− 15 )⋅4+ 2 (16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3x+ 1− x =3 9 = x −x 7− 7− x

=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3x+ 1= x −3 9 −4 x+ √2 = −6 7 −4 x 6− 6− 2 –4 · +x√2 +−= 22 =−=–6

3 · x+1=x– 7

−4 8 x − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2=

x 3 32 · +x1 +−= 1x–−=x7=x x−–7− 7 –x x

−4 −8 –4 ·xx= −4 x 8 ==−–8

22x ·+x1 +−= 11= −=–7 7− 7− 1

−4 x+ 2= − 6

−4 4 −2 4 −=6− 6− 2 − x+ 2−=

− −x− 4 4⋅4 −− 88 x⋅x x−=2− 8 = ==−−−−2 −4 4 4= − 6− 2 x+==2 − 8 − −4 4 − −4 4

x = −2

3x+ 1= x − 7

3x+ 1−=x x=− x7− 7− x

22x ·+x=1 +− –=1 − =7 –−71 –1 −11 8 3 2 x+ 1−=x −=7x − 7− x

22x · x = –88

2 x== − −8 2 x −=7− 7− 1 2 2 x+ +1 1−=12 22 ⋅x 88 x =−−−4 xx+== 1 − = − 7− 1 2 2 −1 8 2 = 22 x = −4 2 2 2x 8 x2==−−42

2 x–4 8 x = x2 = =− −8

4 ⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen

”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”.

4 ⋅(x −produktet 3)= 0

www.lru.dk/kernestof

www.lru.dk/kernestof

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

x− 4 =x− 2− 8 −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4

Mellem de 12 kapitler er der træningssider med små opgaver, der vedligeholder de basale regnefærdigheder som regnearternes hierarki, parentesregneregler, brøkregning mv.

2 hf

1 hf

(a + b ) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

=−8 x−=4x 2=

Alle kapitler afsluttes med opgaver, der følger den faglige progression.

Facitliste til alle opgaver på bogens website.

Parenteser

: = ⋅ b d b c

Mellem de 12 kapitler er der træningssider med små opgaver, der vedligeholder de basale regnefærdigheder som regnearternes hierarki, parentesregneregler, brøkregning mv.

Kernestof Mat 2 hf

hf

Virkelighedsnært og træningsbaseret

4x·=(x3– 3) = 0

4 ⋅(x − 3)= 0

Lindhardt og Ringhof

Lindhardt og Ringhof

xx–=33 =0

4 ⋅(x − 3)= 0

x(x = +3 1)⋅(7− x ) = 0

Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard

Per Gregersen og Majken Sabina Skov ISBN 978-87-7066-845-3

ISBN 978-87-7066-845-3

ISBN 978-87-7066-845-3

ISBN 978-87-7066-845-3

x =3

xx+ = 1= ellerx 7=– 7 x=0 −0 1eller (x + 1 )⋅(7− x ) = 0

xx= = –1− 1 eller x=7 eller (x + 1 )⋅(7 − x ) x= =07

9 788770 668453

9 788770 668453

x =3 1 )⋅·(7 (x(x++1) (7− –x )x)==0 0

www.lru.dk

www.lru.dk

x = − 1eller x = 7 x = − 1eller x = 7

Kernestof Serien Kernestof findes i forskellige udgaver rettet mod stx, hf og hhx: a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) = = a b c a )= s b(B) = s c(C ) s i n(A i n i n s i n i n i n a(A ) = s b(B) = s c(C ) = = a b c s n(A ) sn(B) s n(C ) i n i a(A = ib c = = = a b c s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C )

x = 2 x = 2 xx == 2 2 x = 2 381, 7 l og 33, 5 a = 381 , 7 5 l o gg 4, l o 33 , 5 2 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 a = l o l o g g 4, 5 3 3 3 , 5 , 5 l og3 aa == 2 4 4 , 5 , 57 l o l o g g381, l o g 2 2 3 3 , 5 2 , 4 4 = t va = a n−1 4 , 5 2 0 l og 2, 44 −1 v = t a n 2 20 Sinusrelationerne 2 4 , 4 4 4 a b, c −−1 12 vv == t t a a n n = = 2 2 0 0 s i n(A ) s i n (B) s i n(C ) a b c = −1 2 , 44=

( ) (( )) (( ( ))) ( ( )) ) ( ) ( ) ( ) (( ))

=

=

a ) b(B) c(C ) s i n(A s n s i n 2 2 2i =c −2 a =b + ⋅b⋅= c ⋅c os(A) a ) b(B) c(C ) s i n(A s i n s i n 2 2 =c 2−2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) a b c 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A) b = a + c −2 ⋅a⋅c ⋅c os(B) 2

2

2

b2 = =b a2++ cc2− −2 2 a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) a ⋅⋅b o s Cosinusrelationerne 2

2

Regnearternes hierarki

2

2 2 b a22+ c 2 −2 ⋅a os(B) a2 = b b⋅c ⋅c (A) c = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) 2 2 2 a2 = b2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A)

- Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Potenser og rødder

vi = a ns n (A ) t i n c på =a abagflappen. −2 2 a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) ( (B) ) sin(C ) H:s ind under Cosinusrelationerne 20 b = ++ cb − ⋅⋅a o s (B) 2

2

2 2

2 2

2 2

2

s i n(A )

=

s i n(B)

s i n(C )

=

2

2 2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

1 an = an⋅m

3

4

3 8 = 38= −2 4 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√2 25− 80 +1 4 5−=3 2 =3 8 4

3 8 = 38= −2 4 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√25− 80 +1 4 5−=3 2 =3 8

= F (b ) − F ( a )

Det bestemte integral 4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

F(b) – F(a), hvor F(x) er en stamfunktion til f(x)

∫

b

∫

f ( x )dx =

c

f ( x )dx +

a

∫

b

f ( x )dx =

[F ( x )]ba

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

= F (b ) − F ( a )

4

Kernestof Mat 1 stx Indskudssætningen

f ( x )dx

c

b

a

f ( x )dx opdeles = [ F ( x )]i asummen = F (b ) −afF (to a) integraler

Denne udgave af Kernestof 1 er målrettet Hvis matematikundervisningen tallet c ligger mellem a og b (a ≤ c ≤ b), så kan b på stx-uddannelsen. Bogen dækker kernestoffet = [ Fpå ( x )C-niveau = F (b ) eller −afF (to a) integraler ]i basummen ∫a f ( x )dx opdeles kan bruges som første del af undervisningen på B-niveau. b c b

∫

a

f ( x )dx =

∫

a

f ( x )dx +

∫

c

f ( x )dx

Indhold i opslag

af på den ene side grafen for f(x) og påLet denog anden side x–aksen, overskuelig opbygning. Hvert opslag er et afgrænset, er bestemt ved

∫

b

a

[F ( x )]ba

f ( x )dx =

= F (b ) − F ( a )

øvelsesbaseret læringsforløb. Facitliste til alle øvelser findes Areal bagerst i bogen.

KERNESTOF MAT B

Opslagene indeholder en introcase, matematikteori, eksempler og øvelser.

b. Arealet mellem graferne for f(x) og g(x) i intervallet [a ; b] b

A =

n

∫

f ( x )dx =

[F ( x )]a

= F (b ) − F ( a )

b

Facitliste bag i bogen.

a

Facitliste til alle opgaver på bogens website.

Stamfunktioner og regneregler Mellem de 13 kapitler er der træningssider med små opgaver, for ubestemte integraler der vedligeholder de basale regnefærdigheder som Funktionsforskrift f(x) Stamfunktion F(x) regnearternes hierarki, parentesregneregler, brøkregning mv.

Kernestof Mat 2 stx www.lru.dk/kernestof a

1 ⋅ ax + c ln ( a )

ax

1 k⋅ x ⋅e + c , k ≠ 0 k

ek · x

= x −1

3

2 2 ⋅ x⋅ x + c = x2 + c 3 3

1 x

2

(4− 15)⋅4+ 2

(16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = 2 3 3 2 (4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3x+ 1− x =3 9 = x −x 7− 7− x

−4 x 6− 6− 2 –4 · +x√2 +−= 22 =−=–6

www.lru.dk/kernestof

Lindhardt og Ringhof Per Gregersen og Majken Sabina Skov

Funktions forskrift f(x) k (konstant)

a a · x0a – 1 ln(a) · ax0 e x0 k · e k · x0

ek · x

1 x

1 x0

−

= x −1

2⋅

Frihedsgrader 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( ) (( )) (( ( ))) ( ( )) ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( )

2 2

2 2

2

s i n(A )

=

s i n(B)

s i n(C )

=

2

2 2

2

2

2

2

= a + b + 2ab

2

2 2

2

2

2 2

2 2

x = 2 x = 2 xx == 2 2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

22

2

( ) (( )) (( ( ))) ( ( )) ) ( ) ( ) ( ) (( ))

=

b(a = a + c=−a 2 ⋅a c o s (B) 2 2 − b) +⋅bc ⋅− 2 ab (a + b)(a − b) = a − b

=

s i n(B)

=

2

2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

2

( ) (( )) (( ( ))) ( ( )) ) ( ) ( ) ( ) (( ))

2

2

2

2

2 2 a = b 22+ c= ⋅+bb ⋅c2+ ⋅c o s (A) (a− + b) 2 ab (a = −a2 − 2 ab 2 2

2

2

2 2

2

2 2

2 b(a = a2 + c=−a 2⋅2a c o s (B) 2 2 b) +⋅bc ⋅− 2 ab (a +−b)(a − b) = a − b 2 2

2

2

c os(A) =

= 10 = 100000

2

2

2 2

2

s i n(A )

3 ⋅ 2 = 15 ⇔ 2 =

15 ⇔ 2 = 5⇔ x = 3

s i n(B)

(a + b)

=

2

=

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

x = 2

x = 2 381, 7 l og 33, 5 a = 381 , 7 5 l o gg 4, l o 33 , 5 2 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 a = l o l o g g 4, 5 3 3 3 , 5 , 5 l og3 aa == 2 4 4 , 5 , 57 l o l o g g381, l o g 2 2 3 , 5 2 , 4 4 −1 3 = t va = a n 4 , 5 2 0 l og 2, 44 v = t a n−1 2 20 Sinusrelationerne 2 4 , 4 4 4 a b, c −−1 12 vv == t t a a n n = = 2 2 0 0 s i n(A ) s i n (B) s i n(C ) a b c = −1 2 , 44=

( ) (( )) (( ( ))) ( ( )) ) ( ) ( ) ( ) (( ))

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2 2

Kernestof Mat 3 2 2 a = b 22+ c= ⋅+bb ⋅c2+ ⋅c o s (A) (a− + b) 2 ab (a = −a2 − 2 ab 2

2

2

2 2

2 2

stx

2 2

(a (a2−−b) b)2 ==2 aa ++bb −−2 2 ab ab 2 b a +− c b) −2 ⋅= a⋅ca⋅2c os Indhold i opslag (a +=b)(a − b(B) 2

2

2

2 2 b(a = a2 + c=−a 2 ⋅a c o s (B) 2 2 b) +⋅bc ⋅− 2 ab (a +−b)(a − b) = a − b

2

2 2

2

c os(C ) =

10 = 522,73529...

7

2

c os(C ) =

a⋅− bc a2 +⋅b 2

c os(C ) =

2

b +c − a ⋅b2 ⋅c 2 22

2 − 1,1414 = 0,000213...

c os(A) =

3 ⋅ 2 = 15 ⇔ 2 =

15 ⇔ 2 = 5⇔ x = 3

2

2

2

2 2

2 2

2 2

- Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Potenser og rødder -2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Addition og subtraktion

13,28 15,09

2

2

2

2 c(a = a + b− b) −2 ⋅= a⋅ba⋅2 c os + b)(a − b(C )

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2 2

3

2

2 2

2 2

2

2 b(a = a2 + c=−a 2⋅2a c o s (B) 2 2 − b) +⋅bc ⋅− 2 ab 2 2

2 2

(a + b)(a − b) = a − b

a

+

b

=

a+b

2

2 2

2

2

2 2

−

4

2

2

Kernestof Mat 1 4

3 8 = 38= −2 40 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√2 25− 8 +1 4 5−=3 2 =3 8

4

4

3 8 = 38= −2 40 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√25− 8 +1 4 5−=3 2 =3 8

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

Kernestof Mat 1 stx 4

3 · x+1=x– 7

Kernestof Mat 1 23stx x+ 1−=x −=7x − 7− x

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3 4

4

2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +)⋅2 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √49 4 2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +2 = 3 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

2

(4− 15)⋅4+ 2

(16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = 2 3 3 2 (4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3x+ 1− x =3 9 = x −x 7− 7− x

=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3x+ 1= x −3 9 −4 x+ √2 = −6 7

3·x+1–x=x– 7–x

hf

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

4

2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +)⋅2 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √49 4 2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +2 = 3 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

(16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = 2 3 3 2 (4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3x+ 1− x =3 9 = x −x 7− 7− x

−4 x+ 2= − 6

3

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

4

2

(4− 15)⋅4+ 2

−4 x 6− 6− 2 –4 · +x√2 +−= 22 =−=–6

−4 8 x − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2=

Facitliste bag i bogen.

2 2

= 25,95455...

2

a +c − b ⋅a2⋅c 2 22 b 3 a + c( 1 − 1 +3) 1 c os 4(B )= 4 4 10 ⋅10 4 = 10 2 ⋅a⋅c = 10 = 10 c os(B )=

2

2

2

2

c os(A) =

a

2

= 25,95455...

:c =

aos ⋅ a(C )==aa + b −c c 2 ⋅a⋅b

2

2

π

e10 = 22026,46579...

c

d

c ⋅d

2

2

a

2

d ⋅c

2

cd

2

a + b −c c aosc(C ) =ac 22 b 2 ⋅ = a +⋅ba2⋅− c bosd(C ) = bd c 2 ⋅a⋅b

a c a d : = ⋅ b d b c

m

−4 x 6− 6− 2 –4 · +x√2 +−= 22 =−=–6

3 · x+1=x– 7

−4 8 x − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2=

2

(4− 15)⋅4+ 2

(16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = 2 3 3 2 (4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3x+ 1− x =3 9 = x −x 7− 7− x

=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3x+ 1= x −3 9 −4 x+ √2 = −6 7

3x 32 · +x1 +−= 1x–−=x7=x x−–7− 7 –x x

−4 x+ 2= − 6

3x+ 1= x − 7

−4 −8 –4 ·xx= −4 x 8 ==−–8

2x==−−8

n

ISBN 9788770665667

9 788770 665667

www.lru.dk

−4 x 6− 6− 2 +−= 22 =−=–6 –4 · +x√2

3x+ 1−=x x=− x7− 7− x

22x ·+x=1 +− –=1 − =7 –−71 –1 −11 8

−4 8 x − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2=

3x+ 1−=x −=7x − 7− x 2

−4 x+ 2= − 6

−4 −8 –4 ·xx= −4 x 8 ==−–8

2 x+== − −8 2 x 1− = −=7− 7− 1 2 2 x +1 12

−4 4 −2 4 −=6− 6− 2 − x+ 2−=

x = 4 ⇔ x = 4 ⇔ x = 1024

2x 8 xx+== −− 4 = − 7− 1 2 =1− 2 2 −1 8

− x⋅x −x− 4 4⋅4 −− 88 x−=2− 8 = ==−−−−2 −4 4 4= − 6− 2 x+==2 − 8 − −4 4 − −4 4

x = −4 2 2 2x 8 x2==−−42

x−4 =x− 2− 8 −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4

2 x–4 8 x = x2 = =− −8

x = −2

Alle kapitler afsluttes med opgaver, der følger den faglige progression.

Facitliste på bogens website.

4x·=til (x3–alle 3) =opgaver 0

=−8 x−=4x 2=

4⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen

4⋅(x − 3)= 0

x = −2

”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”.

4⋅(x −produktet 3)= 0

x–3=0

x4⋅= (x3 −3 )=der 0 træningssider med små opgaver, Mellem de 13 kapitler er − x basale ) = 0 regnefærdigheder som der vedligeholder de x(x = +3 1)⋅(7 x = 3 parentesregneregler, brøkregning mv. regnearternes hierarki,

Lindhardt og Ringhof

1)⋅·(7 (x(x++ 1) (7− –x )x)==0 0 x =3

www.lru.dk/kernestof xx+ = 1= ellerx 7=– 7 x=0 −0 1eller

4x·=(x3– 3) = 0

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

(x + 1)⋅(7− x ) = 0

3 · x+1=x– 7

3x 32 · +x1 +−= 1x–−=x7=x x−–7− 7 –x x 3x+ 1= x − 7

22x ·+x1 +−= 11= −=–7 7− 7− 1

3x+ 1−=x x=− x7− 7− x

22x ·+x=1 +− –=1 − =7 –−71 –1 −11 8 3x+ 1−=x −=7x − 7− x 2

22x · x = –88

2 x+== − −8 2 x 1 −=7− 7− 1 2 2 x+ 1−=12 22 ⋅x 88 x =−−−4 xx+== 1 − = − 7− 1 2 2 −1 8 2 = 22

a−n =

1 an

(a )

= an⋅m

n m

”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”.

4 ⋅(x −produktet 3)= 0

4⋅(x − 3)= 0

4 ⋅(x − 3)= 0

Lindhardt og Ringhof

x =3

xx+ = 1= ellerx 7=– 7 x=0 −0 1eller

xx–=33 =0

4 ⋅(x − 3)= 0

x(x = +3 1)⋅(7− x ) = 0

(x + 1)⋅(7− x ) = 0

xx= = –1− 1 eller 77 eller xx==

Per Gregersen og Majken Sabina Skov

(x + 1)⋅(7− x ) = 0

x = − 1eller x = 7

ISBN 978-87-7066-835-4

x =3

1)⋅·(7 (x(x++ 1) (7− –x )x)==0 0 x =3

xx+ = 1= ellerx 7=– 7 x=0 −0 1eller (x + 1)⋅(7− x ) = 0

x = − 1eller x = 7

xx= = –1− 1 eller 77 eller xx== (x + 1)⋅(7− x ) = 0

x = − 1eller x = 7

x = − 1eller x = 7

x = 2

( ) (( )) (( ( ))) ( ( )) ) ( ) ( ) ( ) (( ))

a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) = = a b c a )= s b(B) = s c(C ) s i n(A i n i n s i n i n i n a(A ) = s b(B) = s c(C ) = = a b c n(A n(B) s i n(C ) s i n i a(A ) = s b c = = = a b c s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) =

=

a ) b(B) c(C ) s i n(A s n s i n 2 2 2i =c −2 a =b + ⋅b⋅= c ⋅c os(A) a ) b(B) c(C ) s i n(A s i n s i n 2 2 =c 2−2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) a b c 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2⋅b⋅c ⋅c os(A) b = a + c −2⋅a⋅c ⋅c os(B)

2

2

Regnearternes hierarki

2

2 2 b a22+ c 2 −2 ⋅a os(B) a2 = b b⋅c ⋅c (A) c = a + b −2⋅a⋅b⋅c os(C ) 2 2 2 a2 = b2+ c 2−2⋅b⋅c ⋅c os(A) 2

2

2 2

2

=

s i n(B)

s i n(C )

=

2

2

2

= a + b + 2ab

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

Kernestof Mat 2 2

2 2 a = b 22+ c= ⋅+bb ⋅c2+ ⋅c o s (A) (a− + b) 2 ab (a = −a2 − 2 ab 2 2

2 2

2 2

2

2

2

cBrøkregneregler = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) 2

2

2

2 2

2

3

2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25

2

4

Kernestof Mat 2 hf

2

2

2

2

2

⋅ 2⋅

2

2

2

2

c os(B )= b2+ c 2− a 2 c os(A) = 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 cc a2 +⋅b⋅−

c os(B )= 2 ⋅a⋅b Potenser 2 ⋅a⋅c 2

2

Kernestof Mat 1

2

2

2 ⋅a⋅b

n

(a )

2 hf

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

4

3 8 = 38= −2 40 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√25− 8 +1 4 5−=3 2 =3 8

4

8−7+ 2 = 8− 2401+ 2 = 2391

4

4

4

4

1 hf

4⋅(x − 3)= 0 4⋅(x − 3)= 0 x =3

4

(x + 1)⋅(7− x ) = 0

www.lru.dk

x = −2

3 · x+1=x– 7

3x 32 · +x1 +−= 1x–−=x7=x x−–7− 7 –x x 3x+ 1= x − 7

22x ·+x1 +−= 11= −=–7 7− 7− 1

3x+ 1−=x x=− x7− 7− x

22x ·+x=1 +− –=1 − =7 –−71 –1 −11 8 3x+ 1−=x −=7x − 7− x 2

22x · x = –88

2 x+== − −8 2 x 1 −=7− 7− 1 2 2 x+ 1−=12 22 ⋅x 88 x =−−−4 xx+== 1 − = − 7− 1 2 2 −1 8 2 = 22

Kernestof Mat 1 Kernestof Mat 2 2

(16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = 2 3 3 2 (4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3x+ 1− x =3 9 = x −x 7− 7− x

−4 x 6− 6− 2 –4 · +x√2 +−= 22 =−=–6

3 · x+1=x– 7

−4 8 x − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2=

3x 32 · +x1 +−= 1x–−=x7=x x−–7− 7 –x x

−4 x+ 2= − 6

3x+ 1= x − 7

−4 −8 –4 ·xx= −4 x 8 ==−–8

22x ·+x1 +−= 11= −=–7 7− 7− 1

−4 4 −2 4 −=6− 6− 2 − x+ 2−=

3x+ 1−=x x=− x7− 7− x

22x ·+x=1 +− –=1 − =7 –−71 –1 −11 8 3x+ 1−=x −=7x − 7− x 2

22x · x = –88

x− 4 =x− 2− 8 −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4

2 x+== − −8 2 x 1 −=7− 7− 1 2 2 x+ 1−=12 22 ⋅x 88 x =−−−4 xx+== 1 − = − 7− 1 2 2 −1 8 2 = 22 x = −4 2 2 2x 8 x2==−−42

2 x–4 8 x = x2 = =− −8

x = −2

1 hf

Mellem bogens kapitler er der repetitions- og træningssider med enkle forklaringer og små opgaver til vedligeholdelse og repetition af basale regnefærdigheder, ligningsløsning, geometriske formler, potensregneregler, funktionsteori mv.

www.lru.dk/kernestof

4 ⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen

”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”.

4 ⋅(x −produktet 3)= 0

4x·=(x3– 3) = 0

4 ⋅(x − 3)= 0

2 hf

På bogens website findes også facitlister til træningsopgaverne.

Lindhardt og Ringhof

xx–=33 =0

4 ⋅(x − 3)= 0

x(x = +3 1)⋅(7− x ) = 0 x =3

Per Gregersen og Majken Sabina Skov

1)⋅·(7 (x(x++1) (7− –x )x)==0 0 x =3

Lindhardt og Ringhof

xx+ = 1 =−01eller ellerx 7=– 7 x=0 (x + 1)⋅(7− x ) = 0

xx= = –1− 1 eller 77 eller xx== (x + 1)⋅(7− x ) = 0

Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard

www.lru.dk

x = − 1eller x = 7 x = − 1eller x = 7

x = 2

Mellem bogens kapitler er der repetitions- og træningssider med enkle forklaringer og små opgaver til vedligeholdelse og repetition af basale regnefærdigheder, ligningsløsning, geometriske formler, potensregneregler, funktionsteori mv. x = 2

xx == 2 2

x = 2 381, 7 l og 33, 5 a = 38 1 , 7 4 , 5 l o gg l o 33 , 5 2 a = 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 5 l o l o g gg 4, l o 3 3 3 3 , 5 , 5 2 4 4 , 5 , 57 l o l o g g381, l o g 2 2 , 4 4 5 va = a n−1 33, = t 2 0 4 , 5 l og 2, 44 −1 v = t a n 2 20 2 2 , 4 , 4 4 4 2 2 0 0 , 44 −1 2

( ) (( )) (( ( ))) ( ( )) ) ( ) ( ) ( ) (( ))

−−1 1 vv == t t a a n n

= t a n ( Cosinusrelationerne H:v ind under på bagflappen.

20 )

H: ind under Cosinusrelationerne på bagflappen.

Kvadratsætningerne H: H: ind ind under under Cosinusrelationerne Cosinusrelationerne på på bagflappen. bagflappen.

Kvadratsætningerne H: ind under Cosinusrelationerne på bagflappen.

Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab 2

2

Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab 2

2

2 2

2 2

2 2 2 (a +b) b) 2 2 ab ab (a+− b) === aaa+++bbb++− 2 ab 2

2

2 2

2 2

2

2

2 2 2 (a− + b) = ab (a = a +b + −2 2 ab

(a (a−−b) b) == aa ++bb −−22 2 ab ab 2 (a + b)(a − b) = a − b

2 2

2

2

(a a + bb)(aa−+b) b = a −b

c

+

a⋅

c

=

c

b a ⋅b = c c

KERNESTOF MAT C hhc

a a :c = b b⋅c

Indhold i opslag

a b a ⋅ d b ⋅ c ad + bc + = + = c d c ⋅d d ⋅c cd

Opslagene indeholder en introcase, matematikteori, eksempler og øvelser.

Hvert kapitel indeholder mellem tre og seks opslag.

a c ac ⋅ = b d bd

Der er opgaver bagerst i hvert kapitel og en formelsamling på coverets flapper.

Kernestof Mat

a c a d : = ⋅ b d b c

QR-koder linker til små film med uddybninger og eksempler.

www.lru.dk/kernestof Facitliste bag i bogen.

a0 = 1 a n⋅ a m = a n + m

www.lru.dk/kernestof

n

a−n =

1 an = an⋅m

Kernestof Mat C hhx

4

4

4

4 4 8−−7 ==8− 01 + 21 = 3 1 (8 7)+ 2 +2 12 +4 2 = + 22 =9 3

2

(4− 1 5)⋅4+ 2 4 (16− 15)⋅4+ 2 4 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 (8− 7) + 2 = 1 =+ 2 = 1+ 2 = 3 = = = = 2 3 3 3 3 √9 2

4

4

(4−−7 1 4+=2 1+ 2 (16 5 4+=2 3 1 (8 )5 +)⋅2 =− 1 1 +)⋅2 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

Ligningsløsning ved omformning 2

(4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 −4 x+ 2= − 6 = 3x+ 1 == x − 7 = = = 2 3

9

–4 2· x√+ 2 = –6

3

3 · x+1=x– 7

3

3

(4 −+1 5 )⋅2 4+=2− 6− 2 (16− 15)⋅4 +x 2 ⋅4+ 3 +1 −x 1 = x2 −7 − x 4+ 2 = 6 = 2 − 4x 2 − = = = 3 3 33x · +x1 +=1 –x x−3 =7x – 7 – x3

−4 x = –4 · +x√2 +9 2 –−26= –6 – 2 −4 x= − 8 −4 x 2= − 6− 2 –4 · +x 2 =−–8 − x + 2= −6 −4 4 x −8 = −− ⋅4 xx −8 84 −4−44 ⋅ x= −− − 8 ==−−−=2−=6− 6− 2 − x −4 4 x+ +=2 2 − −4 4 4x− 2− x−−−44 = 8 = −4 4 x −−2 8 −=4 4x = − 6− 2 x− 2+=2−

x− 4 =x− 2− 8 =−8 −4 x= −4 −4

2x+ 1= − 7

23x ·+x1 +−1x ==–7x − 7− x 3x+ 1= x − 7 2x+ 1− 1= − 7− 1

22x ·+x1 += 1 –−17= – 7 – 1 3 3x x+ +1 1−=x x=− x7− 7− x 2x= − 8

22x ·+x1 =−–8 1= − 7− 1

Denne bog i serien Kernestof er målrettet matematikundervisningen på stx-uddannelsen, hvor den dækker tredje del af kernestoffet på A-niveau.

Bogen er opbygget, så hvert sideopslag er et lille afgrænset læringsforløb med introduktionscase, teori og øvelser. Der er facitlister til alle øvelserne bagerst i bogen.

I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne på begreber, formler, sætninger og beviser.

Alle kapitler afsluttes med opgaver, som følger afsnittenes faglige progression.

Der er facitliste til alle opgaver på bogens website.

Mellem bogens kapitler er der afsnit med repetitions- og træningsopgaver.

Endvidere er der målrettede forløb med teori og opgaver om vektorregning, omvendte funktioner og reelle tal.

På bogens website findes også facitlister til træningsopgaverne. www.lru.dk/kernestof

Kernestof Mat 3 stx

2 x + −=7x − 7− x 3 x +1 1−=x 8 2 x = −8 22 ⋅ x= 2 2 x =− −8 2x 2 + 1−=1 2−=7− 7− 1 x2x= − 48 =−

−4 x −8 x = −=2 −4 −4

2 2= − 7− 1 = −1 8 x2 =+–4 x 1−

x = −2

x2x= − 48 2x==−−8 2 2 2x

8

x ==−−4 Ligningsløsning med Nulreglen 2 2 4 ⋅(x − 3)= 0

”Hvis produktet giver 0, er en af faktorerne 0”. x = −4

hhx

n m

a n  a =  bn  b 

3

4

a n⋅ b n = ( a ⋅ b )

(a )

8−7+ 2 = 8− 2401+ 2 = 2391

4) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 7 +2 =9 3 8−−7 + 2 = 8− 2 401+ 2 = 23 1 –2391

På bogens website findes også facitlister til træningsopgaverne.

Potenser

Regnearternes hierarki 3

2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Parenteser 3 -2 Potenser +4 ⋅√ 2 5−og 3 rødder = 8+ 4 ⋅5− 3 = 8+ 2 0− 3 = 25

- Multiplikation og division 4

-2 Addition +4 ⋅√ 2 5−og 3 subtraktion = 8+ 4 ⋅5− 3 = 8+ 2 0− 3 = 25 83−7+ 2 = 8− 2401+ 2 = 2391 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25

22 2 (a − b) = a + b − ab (a + b)(a − b) = a − b

(a (a ++b)(a b)(a−−b) b) == aa −−bb Brøkregneregler 2 2

16,81 18,48 20,09 21,67 23,21

(4− 15)⋅4+ 2

=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3x+ 1= x −3 9 −4 x+ √2 = −6 7

Alle kapitler afsluttes med opgaver, som følger afsnittenes faglige progression. Der er facitliste til alle opgaver på bogens website.

4⋅(x − 3)= 0

x =3

(x + 1)⋅(7− x ) = 0

x = − 1eller x = 7

9 788770 668453

2

15,09

4

− −x− 4 4⋅4 −− 88 x⋅x x−=2− 8 = ==−−−−2 −4 4 4= − 6− 2 x+==2 − 8 − −4 4 − −4 4

x = −4 2 2 2x 8 x2==−−42

4⋅(x − 3)= 0

x =3

ISBN 978-87-7066-845-3

2

1% 6,63 9,21 11,34 13,28

4

ISBN 978-87-7066-845-3

2 2

3,84 5,99 7,81 9,49

12,59 14,07 15,51 16,92 18,31

4

xx= = –1− 1 eller 77 eller xx==

www.lru.dk/kernestof

2

5%

11,07

4

2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +)⋅2 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √49 4 2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +2 = 3 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

2 x–4 8 x = x2 = =− −8

”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”.

4⋅(x −produktet 3)= 0

1)⋅·(7 (x(x++ 1) (7− –x )x)==0 0

Mellem de 12 kapitler er der træningssider med små opgaver, der vedligeholder de basale regnefærdigheder som regnearternes hierarki, parentesregneregler, brøkregning mv. (x + 1)⋅(7− x ) = 0

x = − 1eller x = 7

x = − 1eller x = 7

2

x0

3

3 8 = 38= −2 4 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√25− 80 +1 4 5−=3 2 =3 8

=−8 x−=4x 2=

(16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = 2 3 3 2 (4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3x+ 1− x =3 3 3 9 = x −x 7− 7− x

−4 x+ 2= − 6

−4 4 −2 4 −=6− 6− 2 − x+ 2−=

x− 4 =x− 2−8 −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4

=−8 x−=4x 2=

4⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen

4x·=(x3– 3) = 0 xx–=33 =0

x(x = +3 1)⋅(7− x ) = 0

Per Gregersen og Majken Sabina Skov

xx+ = 1= ellerx 7=– 7 x=0 −0 1eller

ISBN 978-87-7066-845-3

9 788770 668453

2 2

= −1⋅ x0−2

1

h′(x0) = f ′(x0) ± g′(x0)

2,71 4,61 6,25 7,78 9,24

3 8 = 38= −2 4 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√2 25− 80 +1 4 5−=3 2 =3 8

kapitler afsluttes med opgaver, som følger afsnittenes faglige progression.

Der er facitliste til alle opgaver på bogens website.

aa ==

1 x02

h′(x0) = k · f ′(x0)

10%

10,64 12,02 13,36 14,68 15,99

Kernestof Mat 2 stx KERNESTOF MAT 3

1 x0

−

2⋅

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

I mere end 150 screencasts uddybes forklaringerne på begreber, formler, sætninger og beviser.

2

(4− 15)⋅4+ 2

−4 x 6− 6− 2 +−= 22 =−=–6 –4 · +x√2

−4 8 x − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2= −4 −8 –4 ·xx= −4 x 8 ==−–8

− x⋅x −x− 4 4⋅4 −− 88 x−=2− 8 = ==−−−−2 −4 4 4= − 6− 2 x+==2 − 8 − −4 4 − −4 4

Alle kapitler afsluttes med opgaver, der følger den faglige progression.

Facitliste til alle opgaver på bogens website.

Lindhardt og Ringhof

x =3 (x + 1)⋅(7− x ) = ISBN 978-87-7066-845-3

4

2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +)⋅2 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √49 4 2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +2 = 3 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3x+ 1= x −3 9 −4 x+ √2 = −6 7

3x+ 1= x − 7

3x+ 1−=x x=− x7− 7− x 3x+ 1−=x −=7x − 7− x 2 2x +1 1−=1−=7− 7− 1 2 x+ 2x+=1− −1 8= − 7− 1 2 x= − 8 8 2 x =− 2 2 2x 8 x2==−−42 x = −4

Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard

Denne udgave af Kernestof Mat2 er målrettet matematikundervisningen på hf-uddannelsen. Bogen dækker anden del af kernestoffet på B-niveau.

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

2

(4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9 2 (4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

Lindhardt og Ringhof

www.lru.dk/kernestof

Bogen er opbygget, så hvert sideopslag er et lille afgrænset læringsforløb med introduktionscase, teori og øvelser. Der er facitlister til alle øvelserne bagerst i bogen.

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

(8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

x = −2

Alle kapitler afsluttes med opgaver, der følger den faglige progression.

Facitliste til alle opgaver på bogens website.

Mellem de 12 kapitler er der træningssider med små opgaver, der vedligeholder de basale regnefærdigheder som regnearternes hierarki, parentesregneregler, brøkregning mv.

3 8 = 38= −2 40 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√2 25− 8 +1 4 5−=3 2 =3 8

4

8−7+ 2 = 8− 2401+ 2 = 2391

(8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

−4 x+ 2= − 6

−4 x+ 2−=2−=6− 6− 2

x+=2− 2 −4 8= − 6− 2 −4 4 x= −−8 8 − x = −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4

Flere end 100 QR-koder linker til screencasts med uddybende forklaringer på begreber, formler, sætninger og beviser.

Også velegnet til flipped classroom-undervisning og til eksamensforberedelse.

=a

a c ac 22 b 2 ⋅ = a +⋅ba2⋅− c bosd(C ) = bd c

www.lru.dk/kernestof ( a + b ) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

Kernestof Mat 1 hf

Let og overskuelig opbygning. Hvert opslag er et afgrænset, øvelsesbaseret læringsforløb. Facitliste til alle øvelser findes bagerst i bogen.

n

n

⋅ d dopgaver, ⋅c c d cmed cdder følger denn faglige Alle kapitler afsluttes n progression. a  a 2 2 2 =  a + b −c Facitliste n c os(C ) = til alle opgaver på bogensbwebsite.  b 2 ⋅a⋅er b der træningssider med små opgaver, Mellem de 12 kapitler Parentesersom der vedligeholder de basale regnefærdigheder a c a d : = ⋅ regnearternes parentesregneregler, brøkregning mv. b d hierarki, b c

hf

Denne udgave af Kernestof 1 er målrettet matematikundervisningen på hf-uddannelsen. Bogen dækker kernestoffet på C-niveau eller kan bruges som første del af undervisningen på B-niveau.

2

c(a = a + b− b) − 2 ⋅= a⋅ba⋅c os ) a + b −c + b)(a − b(CHvert Let og overskuelig opbygning. opslag er(Cet) =afgrænset, c os a b a+b a0 = 1 2 ⋅a⋅ 2b 2 + = a2 + findes b − c øvelsesbaseret Facitliste til alle øvelser c os(C )= c c læringsforløb. c 22 ⋅a2 ⋅b 2 n i bogen. ao ⋅ a(Cm)==aan + m+ b −c 2 2bagerst 2 c s

b +c − a ⋅ b = uddybende (a ⋅ b ) Flere endc 100 QR-koder linker til screencastsa med osc (A) = c 2 ⋅b⋅c forklaringer på begreber, formler, sætninger og 1 beviser. a a a−n = n :c = 2 2 2 a Også velegnet classroom-undervisning og til −b bos(B )= b ⋅actil+ cflipped c 2 ⋅a2⋅c 2 2eksamensforberedelse. n m n⋅m

a +c − b c aos(B b )=a ⋅ d ⋅a⋅bc⋅ c ad + bc + = 2 + =

-2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Addition og subtraktion 3

2 2

2 2 2+ c − a cos =(A) a =+ b b − 2⋅a⋅b⋅c os(C ) c

2b c a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 ⋅a2⋅c 2 c os(A) = a22 +⋅cb⋅ 2− 2 cb c os(B )= b22 +c − a

⋅a⋅c hfcos(A) = a 2 +⋅cb⋅− 2 cb

b =b)(a a +− c b) −2 ⋅= a⋅ca⋅c os c os(C ) = a2+ c 2− b2 (a +af b(B) Denne udgave Kernestof 1 er− målrettet matematikundervisningen ⋅a2 ⋅b 2 c os(B )= a22 2 2 2 2 2 + b2 − 2 b(a = a2 + c=Bogen −a 2 ⋅a c o s (B) 2 2 c bceller b) +⋅bc ⋅− 2 ab på hf-uddannelsen. kernestoffet c ospå (C )C-niveau = a22 +⋅ca⋅− (a +−b)(a − b) = adækker −b c os(B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2 a2+⋅b 2 2 af 2 2 2− c bc2 kan bruges som del på) =B-niveau. (a (a2++b)(a b)(a −første b) b) == a a −−b b undervisningen 2 − 2 c os(C a2 + ca⋅−

b +c − a c osb (A) =a ⋅ b a ⋅ = 22 ⋅b2 ⋅c 2

- Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Potenser og rødder

3

2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25

2

2 2 2 o s cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) ⋅b2 ⋅c 2 22 2

2

Kvadratsætningerne

2a (a (a2++=b) b)b 22+== a +2 ++⋅2 2 ab ab a ⋅++bbbb ⋅c2 o s (A) (a − b) c= −a2 −c 2 ab

(a (a2−−b) b)2 ==2 aa ++bb −−2 2 ab ab

Flere end 100 QR-koder linker til screencasts med uddybende forklaringer på begreber, formler, sætninger og beviser.

Også velegnet til flipped classroom-undervisning og til eksamensforberedelse.

2 2 2 b2 = =b a2++ cc2− −2 2 a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) a ⋅⋅b o s Cosinusrelationerne

2 2

s i n(A )

(a + b)

Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab

n

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

(a + b ) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

hf

4x·=(x3– 3) = 0

x =3

1)⋅·(7 (x(x++1) (7− –x )x)==0 0

Let og overskuelig opbygning. Hvert opslag er et afgrænset, øvelsesbaseret læringsforløb. Facitliste til alle øvelser findes bagerst i bogen.

x = − 1eller x = 7

9 788770 668354 www.lru.dk

x = 2

xx == 2 2

x = 2 381, 7 l og 33, 5 a = 381 , 7 5 l o gg 4, l o 33 , 5 2 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 a = l o l o g g 4, 5 3 3 3 , 5 , 5 l og3 aa == 2 4 4 , 5 , 57 l o l o g g381, l o g 2 2 3 , 5 2 , 4 4 −1 3 = t va = a n 4 , 5 2 0 l og 2, 44 v = t a n−1 2 20 Sinusrelationerne 2 4 , 4 4 4 a b, c −−1 12 vv == t t a a n n = = 2 2 0 0 s i n(A ) s i n (B) s i n(C ) a b c = −1 2 , 44=

vi = a ns n (A ) t i n c på =a abagflappen. + cb − −2 2 a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) ( (B) ) sin(C ) H:s ind under Cosinusrelationerne 20 b = + ⋅⋅a o s (B)

c = abagflappen. +b ⋅a⋅b b på c −2 c ⋅c os(C (B)) H:si ind) under Cosinusrelationerne n(A s i n(B) s i n(C ) = = Kvadratsætningerne b på = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) H: H: ind ind under Cosinusrelationerne på bagflappen. a under b Cosinusrelationerne c b + c ⋅−

Kvadratsætningerne a under b Cosinusrelationerne c b + c ⋅− H: ind på cos =(A) abagflappen. + b −2 a⋅ab⋅c os(C ) c = Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c

a n  a =  bn  b 

Parenteser

Kernestof Mat 2

x = −4 2 2 2x 8 x2==−−42

2 x–4 8 x = x2 = =− −8

4 ⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen

4⋅(x − 3)= 0

xx–=33 =0

x(x = +3 1)⋅(7− x ) = 0

(x + 1)⋅(7− x ) = 0

xx= = –1− 1 eller 77 eller xx==

x = − 1eller x = 7

cd

2

0 a a · x0a – 1 ln(a) · ax0 e x0

Frihedsgrader

Kernestof Mat 3 stx

ISBN 978-87-7066-566-7

22x · x = –88

x− 4 =x− 2− 8 −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4

”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”.

4⋅(x −produktet 3)= 0

Lindhardt og Ringhof

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

22x ·+x1 +−= 11= −=–7 7− 7− 1

−4 4 −2 4 −=6− 6− 2 − x+ 2−= −4 x −8 x = −==2 −4 4 4= − 6− 2 x+=2−−2 − 8

=−8 x−=4x 2=

x = −4

2 x–4 8 x = x2 = =− −8

x = −2

2 med 2uddybende Flere end 100 QR-koder linker til screencasts 2x 8 forklaringer på begreber, formler, sætninger beviser. x2==−−4og 2 Også velegnet til flipped classroom-undervisning og til 4⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen eksamensforberedelse.

= an⋅m

a n  a =  bn  b 

Parenteser

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

(a + b ) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

www.lru.dk

n

1 stx

ISBN 9788770665667

9 788770 665667

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

ISBN 978-87-7066-566-7

x = 4 ⇔ x = 4 ⇔ x = 1024

Facitliste bag i bogen. a − n = 1n

( )

Parenteser

10 = 1385,4557...

22x · x = –88

x−4 =x− 2−8

= 2 x+ +1 1 −=7 2 2 =−8 Let og overskuelig Hvert opslag er et afgrænset, 2 x −=1 − 7− 1 x−=4x 2opbygning. −4 −4 2x 8 øvelsesbaseret − læringsforløb.

Facitliste til alle øvelser findes 4x −8 =−− xx+=1 4 = 2 − 12= − 7− 1 x− = 4− 2 −4 bagerst i bogen. 2 = − 8

2 ⋅b⋅c

a

bos(B )= b ⋅ac + c − b c ⋅a2⋅c 2 22 a +c − b an c aos(B b )=a ⋅ d ⋅a⋅bc⋅ c ad + bc + = 2 +www.lru.dk/kernestof =

2

a + b −c (10 ) = 10 10 = 100 c os(C )== ⋅a2 ⋅b 2 22 a + b −c c os(C ) = 2 ⋅a⋅b 10

2

= til a ⋅linker ⋅b2 ⋅c 2 n 22 QR-koder bc + csmå − a film med uddybninger a n⋅ b n =og ⋅ b) (aeksempler. c

x 5 = 32 ⇔ x = 5 32 = 2

www.lru.dk/kernestof

Parenteser

a n⋅ b n = ( a ⋅ b )

d ⋅c

2

b +c − a c osb (A) =a ⋅ b

2

2

2

π

2

2

2

10

e10 = 22026,46579...

2

2

c ⋅d

d

a + b −c (10 ) = 10 10 = 100 c os(C )== ⋅a2 ⋅b 2 22 a + b −c c os(C ) = 2 ⋅a⋅b

10 = 1385,4557...

2

2

a

:c =

a c a d : = ⋅ b d b c

Tangenthældning f ′(x0)

k · e k · x0

= x −1

h(x) = f(x) ± g(x)

y = f ′(x0) · (x – x0) + f(x0)

Kernestof Mat 2 stx

Denne udgave af Kernestof 1 er målrettet matematikundervisningen på hf-uddannelsen. Bogen dækker kernestoffet på C-niveau eller kan bruges som første del af undervisningen på B-niveau.

3x+ 1= x − 7

−4 −18er målrettet matematikundervisningen Denne udgave af Kernestof –4 ·xx= 22x ·+x1 +−= 11= −4 x 8 −=–7 7− 7− 1 ==−–8 −4 4 −2 4 −=6− 6− 2 3x+ 1−=x x=− x7− 7− x − x+ 2−= på stx-uddannelsen.

Bogen dækker kernestoffet på C-niveau eller −4 x −8 22x ·+x=1 +− –=1B-niveau. =7 –−71 –1 − x = −= −11 8 kan bruges som første del undervisningen =2 −4 4 4 3x+ 1−=xpå x+=2 −−2 = −af 6− 2 − 8 2 −=7x − 7− x

2

c os(C ) = på coverets flapper. c c Der er opgaver bagerst ichvert kapitel, og formelsamling ⋅b 2 n m n2 +2 m⋅a2

-2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Addition og subtraktion

4

=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3x+ 1= x −3 9 −4 x+ √2 = −6 7

2 2

⋅ ⋅

2

3 8 = 38= −2 40 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√25− 8 +1 4 5−=3 2 =3 8

2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +)⋅2 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √49 4 2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +2 = 3 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

2

2

+

a⋅− bc a2 +⋅b

3 8 = 38= −2 40 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√2 25− 8 +1 4 5−=3 2 =3 8

4

Kernestof Mat 2 stx

2

⋅ 2⋅

2

2 2

= Potenser

a =1

4

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

2

2

⋅b2 ⋅c 2 22 2 2 2+ c − a cos =(A) a =+ b b − 2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c

a ⋅cb⋅c b c os(B )= b 2 +c − a c os(A) = 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 cc a2 +⋅b⋅− c os(C ) =a2+ c 2− b2 ⋅a2 ⋅b 2 c os(B )= a22 +⋅a b2⋅− c c2 c os(C ) = 22 a +⋅a b2 − c2 cb c os(C ) = a22 + c ⋅− c os(B ) 2a b c o (C ) = 0s

Regnearternes hierarki

- Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Potenser og rødder

4

2b c a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 ⋅a2⋅c 2 c os(A) = a22 +c − b

ca c os(B )= b 2 +⋅cb⋅− Kernestof Mat 2 stx c os(A) = 2 ⋅a⋅c

2 2

2

2 2 2

2

2

2

= a + b + 2ab

2

2 2

2

2 2 a = b 22+ c= ⋅+bb ⋅c2+ ⋅c o s (A) (a− + b) 2 ab (a = −a2 − 2 ab

(a (a2−−b) b)2 ==2 aa ++bIndhold b −−2 2 ab ab i opslag 2 b a +− c b) −2 ⋅= a⋅ca⋅2c os (a +=b)(a − b(B)

(a (a2++b)(a b)(a −b) b) == aa −−bb 2 − 2 cBrøkregneregler = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C )

-2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Addition og subtraktion

4

2 stx

a

c

3 stx

a b a+b + = c c c

b +c − a c osb (A) =a ⋅ b a ⋅ = 22 ⋅b2 ⋅c 2 b +c − a c osc (A) = c 2 ⋅b⋅c

bos(B )= b ⋅ac + c − b c ⋅a2⋅c 2 22 a +c − b c aos(B b )=a ⋅ d ⋅a⋅bc⋅ c ad + bc + = 2 + =

16,81 18,48 20,09 21,67 23,21

Regnearternes hierarki

4

- Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Potenser og rødder

4

3 8 = 38= −2 40 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√25− 8 +1 4 5−=3 2 =3 8

2 ⋅a⋅c Hvert 2 kapitel 2 2 indeholder 2 2 2 2 mellem tre og seks opslag. c = a + b −2⋅a⋅b⋅2 c os(C ) a + b −c

 2,322

2 ⋅b⋅c

= 10 = 100000

Regnearternes hierarki

3

3 8 = 38= −2 40 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√2 25− 8 +1 4 5−=3 2 =3 8

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

a + c − b og øvelser. (a + b)(a −en b) introcase, = a − b matematikteori, eksempler Opslagene indeholder c os(B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2

2

2 ⋅a⋅b

b +c − a QR-koder linker c os(A) til = små film med uddybninger og eksempler.

10 ⋅10 = 10

2

Kvadratsætningerne

2a (a (a2++=b) b)b 22+== a +2 ++⋅2 2 ab ab a ⋅++bbbb ⋅c2 o s (A) (a − b) c= −a2 −c 2 ab

c os(C ) = a + c − b c os(B )= 2 ⋅a⋅b Potenser 2 ⋅a⋅c

(a (a2++b)(a b)(a −b) b) == aa −−bb 2 − 2 cBrøkregneregler = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C )

2 2 2 2 2 2 2 Hvert c1kapitel mellem tre og seks opslag. = a + indeholder b− b) −2 ⋅= a⋅ba⋅2 c os a + b −c (a + b)(a − b(C ) = 0,14285...  0,14286

22 ⋅a2 ⋅b 2 Der er opgaver bagerst i hvert kapitel, og formelsamling på acoverets + b −c flapper.

x 5 = 32 ⇔ x = 5 32 = 2

Regnearternes hierarki

=

2

2

(a + b)

Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab

c os (B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2 Opslagene indeholder en introcase, matematikteori, eksempler a22 +⋅b − 2 2 2 2 a2⋅og c c2øvelser.

 2,322

2

a +c − b ⋅a2⋅c 2 22 b 3 a + c( 1 − 1 +3) 1 c os 4(B )= 4 4 10 ⋅10 4 = 10 2 ⋅a⋅c = 10 = 10

=

a ) b(B) c(C ) s i n(A s n s i n 2 2 2i =c −2 a =b + ⋅b⋅= c ⋅c os(A) a ) b(B) c(C ) s i n(A s i n s i n 2 2 =c 2−2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) a b c 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A) b = a + c −2 ⋅a⋅c ⋅c os(B)

2 2 2 2 2 b a22+ c 2 −2 ⋅a os(B) a2 = b b⋅c ⋅c (A) c = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) 2 2 2 a2 = b2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A)

c = abagflappen. +b ⋅a⋅b (C ) b på c −2 c ⋅c os(B) H:si ind) under Cosinusrelationerne n(A s i n(B) s i n(C ) = = Kvadratsætningerne b på = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) H: H: ind ind under Cosinusrelationerne på bagflappen. a under b Cosinusrelationerne c b + c ⋅− s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) os cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) = = Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c a under b Cosinusrelationerne c b +c − a H: ind på cos =(A) abagflappen. + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c = Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne

2

mere end 150 screencasts uddybes forklaringerne på begreber, formler, hf sætninger og beviser. hf a + b −c c aosc(C ) =ac 22 b 2 ⋅ = a +⋅ba2⋅− c bosd(C ) = bd c 2 ⋅a⋅b

1% 6,63 9,21 11,34

9,49

12,59 14,07 15,51 16,92 18,31

8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3

a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) = = a b c a )= s b(B) = s c(C ) s i n(A i n i n s i n i n i n a(A ) = s b(B) = s c(C ) = = a b c n(A s i n(B) n(C ) s i n s i a(A ) = b c = = = a b c s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C )

Kernestof Mat 3 stx

2

cos =(A) a =+ b b + −c2 ⋅− a⋅ab⋅c os(C ) c 2 ⋅b2⋅c 2 2 a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 ⋅a2⋅c 2 c os(A) = a22 +⋅cb2 − 2 cb c os(B )= b22 + c ⋅− a c os(A) = 22 ⋅a2⋅c 2 a +⋅cb2⋅−c b 2 c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 cc a2 +⋅b⋅− c os(C ) =a2+ c 2− b2 ⋅a2 ⋅b 2 c os(B )= a22 + b2 − c2 cb c os(C ) = a22 +⋅ca⋅−

Kvadratsætningerne

Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab 2a (a (a2++=b) b)b 22+== a +2 ++⋅2 2 ab ab a ⋅++bbbb ⋅c2 o s (A) (a − b) c= −a2 −c 2 ab

2

2

2 2 2 b2 = =b a2++ cc2− −2 2 a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) a ⋅⋅b o s Cosinusrelationerne

vi = a ns n (A ) t i n c på =a abagflappen. −2 2 a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) ( (B) ) sin(C ) H:s ind under Cosinusrelationerne 20 b = ++ cb − ⋅⋅a o s (B)

2 2 2 o s cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) ⋅b2 ⋅c 2 22

2

= a + b + 2ab

1 x

x

3,84 5,99 7,81

11,07

4

x = 2

xx == 2 2

=

2

2

s i n(C )

Kvadratsætningerne a under b Cosinusrelationerne c b +c − a H: ind på cos =(A) abagflappen. + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c = Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c

2

2

=

a ) b(B) c(C ) s i n(A s n s i n 2 2 2i =c −2 a =b + ⋅b⋅= c ⋅c os(A) a ) b(B) c(C ) s i n(A s i n s i n 2 2 =c 2−2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) a b c 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A) b = a + c −2 ⋅a⋅c ⋅c os(B)

2 2 2 2 2 b a22+ c 2 −2 ⋅a os(B) a2 = b b⋅c ⋅c (A) c = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) 2 2 2 a2 = b2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A)

c = abagflappen. +b ⋅a⋅b (C ) b på c −2 c ⋅c os(B) H:si ind) under Cosinusrelationerne n(A s i n(B) s i n(C ) = = Kvadratsætningerne b på = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) H: H: ind ind under Cosinusrelationerne på bagflappen. a under b Cosinusrelationerne c b + c ⋅−

2

2

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

2

b +c − a ⋅b2 ⋅c 2 22 b +c − a 2 ⋅b⋅c

2 − 1,1414 = 0,000213...

c os(A) =

c os(B )=

2

⋅ 2⋅

2 2 2 b2 = =b a2++ cc2− −2 2 a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) a ⋅⋅b o s Cosinusrelationerne

vi = a ns n (A ) t i n c på =a abagflappen. −2 2 a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) ( (B) ) sin(C ) H:s ind under Cosinusrelationerne 20 b = ++ cb − ⋅⋅a o s (B)

2

2

Kernestof

x = 2

2 2

2 2

a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) = = a b c a )= s b(B) = s c(C ) s i n(A i n i n s i n i n i n a(A ) = s b(B) = s c(C ) = = a b c n(A n(B) n(C ) s i n i s i a(A ) = s b c = = = a b c s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C )

x = 2

xx == 2 2

x = 2 381, 7 l og 33, 5 a = 381 , 7 5 l o gg 4, l o 33 , 5 2 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 a = l o l o g g 4, 5 3 3 3 , 5 , 5 l og3 aa == 2 4 4 , 5 , 57 l o l o g g381, l o g 2 2 3 , 5 2 , 4 4 −1 3 = t va = a n 4 , 5 2 0 l og 2, 44 v = t a n−1 2 20 Sinusrelationerne 2 4 , 4 4 4 a b, c −−1 12 vv == t t a a n n = = 2 2 0 0 s i n(A ) s i n (B) s i n(C ) a b c = −1 2 , 44=

2

2

2 c(a = a + b− b) −2 ⋅= a⋅ba⋅2 c os + b)(a − b(C ) = 0,14285...  0,14286

1 7

10 ⋅10 = 10

2

2 2 2+ c − a cos =(A) a =+ b b − 2⋅a⋅b⋅c os(C ) c

2b c a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 ⋅a2⋅c 2 c os(A) = a22 +⋅cb⋅ 2− 2 cb c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 22 ⋅a2⋅c 2 a +⋅cb2⋅−c b 2 c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 cc a2 +⋅b⋅− c os(C ) = a2+ c 2− b2 ⋅a2 ⋅b 2 c os(B )= a22 + b2 − c2 cb c os(C ) = a22 +⋅ca⋅− c os(B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2 a +⋅b c2 2− cb c os(C ) = a22 + ca⋅− c os(B )= 2 ⋅a⋅b Potenser 2 ⋅a⋅c 2 2 2 a + b −c 10 = 522,73529... c o s(C ) = 2 ⋅a⋅ 2b 2 a2 +b − c c os(C ) = 2 ⋅a2 ⋅b 2 a2 + b −c c os(C ) = 2 ⋅a⋅b

(a (a2−−b) b)2 ==2 aa ++bb −−2 2 ab ab 2 b a +− c b) −2 ⋅= a⋅ca⋅2c os (a +=b)(a − b(B)

2

2 2

2

2 2 2 o s cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) ⋅b2 ⋅c 2 22

2

= a + b + 2ab

Serien Kernestof findes i forskellige udgaver rettet mod stx, hf og hhx:

2

2 2 2 2 2 b a22+ c 2 −2 ⋅a os(B) a2 = b b⋅c ⋅c (A) c = a + b −2⋅a⋅b⋅c os(C ) 2 2 2 a2 = b2+ c 2−2⋅b⋅c ⋅c os(A)

s i n(C )

2

2

2 2

2a (a (a2++=b) b)b 22+== a +2 ++⋅2 2 ab ab a ⋅++bbbb ⋅c2 o s (A) (a − b) c= −a2 −c 2 ab

(a (a2++b)(a b)(a −b) b) == aa −−bb 2 − 2 cBrøkregneregler = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C )

2 2

2

=

a ) b(B) c(C ) s i n(A s n s i n 2 2 2i =c −2 a =b + ⋅b⋅= c ⋅c os(A) a ) b(B) c(C ) s i n(A s i n s i n 2 2 =c 2−2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) a b c 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2⋅b⋅c ⋅c os(A) b = a + c −2⋅a⋅c ⋅c os(B)

2 2 2 b2 = =b a2++ cc2− −2 2 a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) a ⋅⋅b o s Cosinusrelationerne

2

s i n(A )

(a + b)

Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab 2

(a (a2++b)(a b)(a −b) b) == aa −−bb 2 − 2 cBrøkregneregler = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C )

2 2

a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) = = a b c a )= s b(B) = s c(C ) s i n(A i n i n s i n i n i n a(A ) = s b(B) = s c(C ) = = a b c n(A n(B) s i n(C ) s i n i a(A ) = s b c = = = a b c s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C )

x = 2 381, 7 l og 33, 5 a = 381 , 7 5 l o gg 4, l o 33 , 5 2 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 a = l o l o g g 4, 5 3 3 3 , 5 , 5 l og3 aa == 2 4 4 , 5 , 57 l o l o g g381, l o g 2 2 3 3 , 5 2 , 4 4 = t va = a n−1 4 , 5 2 0 l og 2, 44 −1 v = t a n 2 20 Sinusrelationerne 2 4 , 4 4 4 a b, c −−1 12 vv == t t a a n n = = 2 2 0 0 s i n(A ) s i n (B) s i n(C ) a b c = −1 2 , 44=

vi = a ns n (A ) t i n c på =a abagflappen. + cb − −2 2 a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) ( (B) ) sin(C ) H:s ind under Cosinusrelationerne 20 b = + ⋅⋅a o s (B) c = abagflappen. +b ⋅a⋅b b på c −2 c ⋅c os(C (B)) H:si ind) under Cosinusrelationerne n(A s i n(B) s i n(C ) = = Kvadratsætningerne b på = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) H: H: ind ind under Cosinusrelationerne på bagflappen. a under b Cosinusrelationerne c b + c ⋅−

Kvadratsætningerne a under b Cosinusrelationerne c b +c − a H: ind på cos =(A) abagflappen. + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c = Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c Kvadratsætningerne

2

2

cos =(A) a =+ b b + −c2 ⋅− a⋅ab⋅c os(C ) c 2 ⋅b2⋅c 2 2 a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 ⋅a2⋅c 2 c os(A) = a22 +⋅cb⋅ 2− 2 cb c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 22 ⋅a2⋅c 2 a +⋅cb2⋅−c b 2 c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 cc a2 +⋅b⋅− c os(C ) =a2+ c 2− b2 ⋅a2 ⋅b 2 c os(B )= a22 + b2 c −c2 c os(C ) = a22 +⋅ca⋅− b c os(B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2 a +⋅a b2 − c bc2 c os(C ) = a22 + c ⋅− c os(B )= 2 ⋅a⋅b Potenser 2 ⋅a⋅c 2 2 2 a + b −c c os(C ) = a0 = 1 2 ⋅a⋅ 2b 2 a2 +b − c c os(C ) = 22 ⋅a2 ⋅b 2 n ao ⋅ a(Cm)==aan + m+ b −c c s 2 ⋅a⋅b 2

Kvadratsætningerne

2 2 a = b 22+ c= ⋅+bb ⋅c2+ ⋅c o s (A) (a− + b) 2 ab (a = −a2 − 2 ab

k (konstant) a·x+b xa

ek · x

h(x) = k · f(x)

5%

7,78 9,24

- Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Potenser og rødder

2

2 2 2 o s cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) ⋅b2 ⋅c 2 22 2

(a + b)

2a (a (a2++=b) b)b 22+== a +2 ++⋅2 2 ab ab a ⋅++bbbb ⋅c2 o s (A) (a − b) c= −a2 −c 2 ab

(a (a2−−b) b)2 ==2 aa ++bb −−2 2 ab ab 2 b a +− c b) −2 ⋅= a⋅ca⋅2c os (a +=b)(a − b(B)

Funktions forskrift f(x)

ax ex

ln(x)

Ligningen for tangenten til grafen for f med røringspunkt

2,71 4,61 6,25

-2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Addition og subtraktion

2 2

c = abagflappen. +b ⋅a⋅b (C ) b på c −2 c ⋅c os(B) H:si ind) under Cosinusrelationerne n(A s i n(B) s i n(C ) = = Kvadratsætningerne b på = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) H: H: ind ind under Cosinusrelationerne på bagflappen. a under b Cosinusrelationerne c b + c ⋅−

Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab

Regneregler for differentialkvotienter

Tangentligning

i ( x0 ,f(x0)) er: 10%

10,64 12,02 13,36 14,68 15,99

Lindhardt og Ringhof

x = 2

Kvadratsætningerne a under b Cosinusrelationerne c b +c − a H: ind på cos =(A) abagflappen. + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c = Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c

= −1⋅ x0−2

h′(x0) = f ′(x0) ± g′(x0)

y = f ′(x0) · (x – x0) + f(x0)

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

x = 2

a =

x0

h′(x0) = k · f ′(x0)

Ligningen for tangenten til grafen for f med røringspunkt

og Ringhof

www.lru.dk

9 788770 668668

a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) a b c = = s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) = = a b c a )= s b(B) = s c(C ) s i n(A i n i n s i n i n i n a(A ) = s b(B) = s c(C ) = = a b c s n(A ) sn(B) s n(C ) i n i a(A = ib c = = = a b c 381, 7 s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) l og s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) 33, 5 = = 381 , 7 5 a ) b(B) c(C ) l o gg 4, l o s i n(A s n s i n 2 2 2i 33 , 5 2 =c −2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 l o l o g g 4, a ) b(B) c(C ) 5 s i n(A s i n s i n 3 3 3 , 5 , 5 l og3 2 2 =c 2−2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) 2 4 4 , 5 , 57 a b c l o l o g g381, l o g 2 2 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A) 3 3 , 5 2 , 4 4 = t va = a n−1 b = a + c −2 ⋅a⋅c ⋅c os(B) 4 , 5 2 0 l og 2, 2 2 2 44 b2 = =b a2++ cc2− −2 2 a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) v = t a n−1 2 a ⋅⋅b o s 20 Sinusrelationerne Cosinusrelationerne 2 4 , 4 4 4 a b, c −−1 12 2 2 2 2 2 2 vv == t t a a n n = = b os(B) a2 = a b2+ c 2−2⋅a b⋅c ⋅c (A) 2 2 0 0 s i n(A ) s i n (B) s i n(C ) c = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) a b c 2 2 2 = −1 2 , 44= a2 = b2+ c 2−2 ⋅b⋅c ⋅c os(A) vi = a ns 2+ b2−2 n (A ) t i n(B) s i n(C ) c2 på =a abagflappen. a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) H:s ind under Cosinusrelationerne 20 b = + c −2 ⋅⋅a o s (B) x = 2

xx == 2 2

ogen er opbygget, så hvert sideopslag er et lille afgrænset læringsforløb ed introduktionscase, teori og øvelser. Der er facitlister til alle øvelserne bagerst i bogen. a =

1 x02 1

x

Tangentligning

i ( x0 ,f(x0)) er:

x = −4 2 2 2x 8 x2==−−42

www.lru.dk

9 788770 668668

ISBN 978-87-7066-866-8

aa ==

Tangenthældning f ′(x0) 0

a·x+b xa

ax

h(x) = f(x) ± g(x)

3x+ 1−=x x=− x7− 7− x 3x+ 1−=x −=7x − 7− x 2 2 x+== − −8 2 x 1 −=7− 7− 1 2 2 x+ 1−=12 22 ⋅x 88 x =−−−4 xx+== 1 − = − 7− 1 2 2 −1 8 2 = 22

2 x–4 8 x = x2 = =− −8

4 ⋅(x − 3)= 0

x =3

x = − 1eller x = 7 x = − 1eller x = 7

∫h(x)dx = k · ∫f(x)dx

∫h(x)dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

ex

3x+ 1= x − 7

22x ·+x1 +−= 11= −=–7 7− 7− 1

22x ·+x=1 +− –=1 − =7 –−71 –1 −11 8 22x · x = –88

4 ⋅(x − 3)= 0

x =3

(x + 1)⋅(7− x ) = 0

ISBN 978-87-7066-866-8

3

2 2 ⋅ x⋅ x + c = x2 + c 3 3

1

x = x2

h(x) = f(x) ± g(x)

ln(x)

3x 32 · +x1 +−= 1x–−=x7=x x−–7− 7 –x x

−4 x+ 2= − 6

−4 4 −2 4 −=6− 6− 2 − x+ 2−=

x− 4 =x− 2− 8 −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4

=−8 x−=4x 2=

4 ⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen

”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”.

4 ⋅(x −produktet 3)= 0 4x·=(x3– 3) = 0 xx–=33 =0

x(x = +3 1)⋅(7− x ) = 0 1)⋅·(7 0 (x(x++1) (7− –x )x)==Lindhardt 0

xx+ = 1 =−01eller ellerx 7=– 7 x=0 xx= = –1− 1 eller x=7 7 Per Gregersen &eller Henrik Bindesbøll Nørregaard (x + 1 )⋅(7 − x ) x= =0

enne udgave af Kernestof Mat2 er målrettet matematikundervisningen på stx-uddannelsen. Bogen dækker anden del af kernestoffet på B-niveau. h(x) = k · f(x)

h(x) = k · f(x)

3 · x+1=x– 7

−4 8 x − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2= −4 −8 –4 ·xx= −4 x 8 ==−–8

− −x− 4 4⋅4 −− 88 x⋅x x−=2− 8 = ==−−−−2 −4 4 4= − 6− 2 x+==2 − 8 − −4 4 − −4 4

x = −2

Facitliste bag i bogen.

ln|x| + c 9 788770 668354 www.lru.dk

= x −1

4

2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +)⋅2 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √49 4 2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +2 = 3 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 )⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9

=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3x+ 1= x −3 9 −4 x+ √2 = −6 7

Hvert kapitel indeholder mellem tre og seks opslag.

ISBN 978-87-7066-835-4

1 k⋅ x ⋅e + c , k ≠ 0 k

ek · x

∫h(x)dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

QR-koder linker til små film med uddybninger og eksempler.

1 ⋅ ax + c ln ( a )

ex + c

ex

∫h(x)dx = k · ∫f(x)dx

h(x) = f(x) ± g(x)

Der er opgaver bagerst i hvert kapitel, og formelsamling på coverets flapper.

a 2 ⋅ x + bx + c 2

1 ⋅ x a+1 + c , a ≠ −1 a +1

xa

ax

ln|x| + c 1

x = x2

h(x) = k · f(x)

www.lru.dk/kernestof

ax + c

ax + b

ex + c

ex

c

0

1 stx

a 2 ⋅ x + bx + c 2

1 ⋅ x a+1 + c , a ≠ −1 a +1

Kernestof Mat 3 stx

c ax + c

xa

1 x

a

er bestemt ved

Alle kapitler afsluttes med opgaver, der følger Stamfunktion F(x) A A== den ) − g( x ))progression. dx (f ( xfaglige

Funktionsforskrift f(x) 0 a ax + b

∫

eksamensforberedelse. b. Arealet mellem graferne for f(x) og g(x) i intervallet b] til små film med uddybninger og eksempler.

QR-koder [a; linker

Stamfunktioner og regneregler for ubestemte integraler

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

(a + b ) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

KERNESTOF MAT B

a. Arealet af den punktmængde, der i intervallet Hvert [a; b] erkapitel begrænset indeholder mellem tre og seks opslag.

Indhold i opslag Flere end 100 QR-koder linker til screencasts uddybende af på denmed ene side grafen for f(x) og på den anden side x–aksen, forklaringer på begreber, formler,er sætninger og beviser. bestemt ved Der er opgaver bagerst i hvert kapitel, og formelsamling på coverets flapper.

Opslagene indeholder en introcase, matematikteori, eksempler og øvelser. b Også velegnet til flipped classroom-undervisning og tilb

er bestemt ved A A== ∫ (f ( x ) − g( x )) dx a

a n  a =  bn  b 

Parenteser

Regneregler for differentialkvotienter

KernestofKernestof Mat 1 stxMat 2 stxKernestof Mat 3 stx

Det bestemte integral af f(x) i intervallet [a; b] er tallet

b

b

a

a

A =

a−n =

(a )

n m

cd

2

a c a d : = ⋅ b d b c

[F ( x )]ba

f ( x )dx =

Hvis tallet c ligger mellem a og b (a ≤ c ≤ b), så kan

a. Arealet af den punktmængde, der i intervallet [a; b] er begrænset

n

d ⋅c

2

a + b −c c aosc(C ) =ac 22 b 2 ⋅ = a +⋅ba2⋅− c bosd(C ) = bd c 2 ⋅a⋅b

b

a

Indskudssætningen

∫ ∫

Areal

Kernestof Mat 2 stx

c ⋅d

d

∫

2

a n⋅ b n = ( a ⋅ b )

a

:c =

2

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

a

2 2

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

2

2

b +c − a c osb (A) =a ⋅ b a ⋅ = 22 ⋅b2 ⋅c 2 b +c − a c osc (A) = c 2 ⋅b⋅c

bos(B )= b ⋅ac + c − b c ⋅a2⋅c 2 22 a +c − b c aos(B b )=a ⋅ d ⋅a⋅bc⋅ c ad + bc + = 2 + = c

F(b) – F(a), hvor F(x) er en stamfunktion til f(x)

2

2

c o (C ) = 0s

a b a+b + = c c c

Per Gregersen & Henrik Bindesbøll Nørregaard

2 2

2

2

cos =(A) a =+ b b + −c2 ⋅− a⋅ab⋅c os(C ) c 2 ⋅b2⋅c 2 2 a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 ⋅a2⋅c 2 c os(A) = a22 +⋅cb⋅ 2− 2 cb c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 22 ⋅a2⋅c 2 a +⋅cb2⋅−c b 2 c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 cc a2 +⋅b⋅− c os(C ) =a2+ c 2− b2 ⋅a2 ⋅b 2 c os(B )= a22 + b2 c −c2 c os(C ) = a22 +⋅ca⋅− b c os(B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2 a +⋅a b2 − c bc2 c os(C ) = a22 + c ⋅− c os(B )= 2 ⋅a⋅b Potenser 2 ⋅a⋅c 2 2 2 a + b −c a =1 2 ⋅a⋅ 2b 2 a2 +b − c c os(C ) = 22 ⋅a2 ⋅b 2 n ao ⋅ a(Cm)==aan + m+ b −c c s 2 ⋅a⋅b

2

2 2 a = b 22+ c= ⋅+bb ⋅c2+ ⋅c o s (A) (a− + b) 2 ab (a = −a2 − 2 ab

2 2 b(a = a2 + c=−a 2 ⋅a c o s (B) 2 2 − b) +⋅bc ⋅− 2 ab (a + b)(a − b) = a − b

2 c(a = a + b− b) −2 ⋅= a⋅ba⋅2 c os + b)(a − b(C )

Formelsamling

= a + b + 2ab

Kvadratsætningerne

2a (a (a2++=b) b)b 22+== a +2 ++⋅2 2 ab ab a ⋅++bbbb ⋅c2 o s (A) (a − b) c= −a2 −c 2 ab

(a (a2−−b) b)2 ==2 aa ++bb −−2 2 ab ab 2 b a +− c b) −2 ⋅= a⋅ca⋅2c os (a +=b)(a − b(B)

(a (a2++b)(a b)(a −b) b) == aa −−bb 2 − 2 cBrøkregneregler = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C )

-2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Addition og subtraktion

Det bestemte integral Det bestemte integral af f(x) i intervallet [a;b] er tallet

2

2 2 2 o s cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) ⋅b2 ⋅c 2 22 2

(a + b)

Kvadratsætningerne (a + b) = a + b + 2ab

Formelsamling

2

c = abagflappen. +b ⋅a⋅b (C ) b på c −2 c ⋅c os(B) H:si ind) under Cosinusrelationerne n(A s i n(B) s i n(C ) = = Kvadratsætningerne b på = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) H: H: ind ind under Cosinusrelationerne på bagflappen. a under b Cosinusrelationerne c b + c ⋅−

Kvadratsætningerne a under b Cosinusrelationerne c b +c − a H: ind på cos =(A) abagflappen. + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c = Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c

n

44 ·⋅(x (x − –3 3))==0 0 xx–=33 =0

4 ⋅(x − 3)= 0

Lindhardt og Ringhof

x=3

x =3 4 ⋅(x − )= (x +1 )⋅3 (7 −0 x) = 0

Parenteser

(xx + 1) · (7 – x) = 0 =3

Per Gregersen og Majken Sabina Skov

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

(a + b ) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd

(x + 1)⋅(7− x ) = 0

x + 1 = 0 eller 7 – x = 0 x ==3 − 1eller x = 7

ISBN 978-87-7066-565-0 ISBN 9788770665650

Lindhardt og Ringhof

Lindhardt og Ringhof

Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard

Henrik Bindesbøll Nørregaard og Per Gregersen

− x )x = x(x = +–11)⋅(7 eller = 70

x = − 1eller x = 7 (x + 1)⋅(7− x ) = 0

9 788770 665650 www.lru.dk

x = − 1eller x = 7 x = − 1eller x = 7

ISBN 978-87-7066-866-8

www.lru.dk/kernestof 9

www.lru.dk

788770

668668

Serien Kernestof har en knivskarp struktur.

Hvert emne behandles som et lille afgrænset læringsforløb, hvor det nye, der skal læres, forbindes med det kendte stof.

Kernestof favner alle niveauer – eleverne motiveres til at udvikle deres matematiske færdigheder med udgangspunkt i cases fra virkeligheden.

02/04/2020 12.51

Beviser og eksempler bliver gennemgået i de mere end 100 faglige videoer, der kan ses ved at scanne bogens QR-koder hjemme eller i skolen.

Hent din gratis læseprøve på LRU’s hjemmeside.

Kernestof HHX 2+3 kommer i 2021 Kernestof til HTX kommer ultimo 2020

3 2 x+ 1−=x −=7x − 7− x 2 x+= − 8 = − 2 x 1− =1 −=7− 7− 1 2 2 2 x +1 22 ⋅x 88 x =−−−4 xx+== 1 − = − 7− 1 2 2 −1 8 2 = 22

x = −4 2 2 2 x 8 x2==−− 42

2 x–4 8 x = x2 = =− −8

”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”.

4 ⋅(x −produktet 3)= 0 4x·=(x3– 3) = 0

Lindhardt og Ringhof

a s i n(A ) a s i n(A ) a s i n(A ) s i n(A ) a a ) s i n(A s i n a(A ) a s n(A ) i n a(A a s i n(A ) s i n(A )

7− 7− x 3 x+ 1−=x x=− x

22x · x = –88

4 ⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen

www.lru.dk/kernestof

x = 2

3 x+ 1= x − 7

22x ·+x=1 +− –=1 − =7 –−71 –1 −11 8

Lindhardt og Ringhof Uddannelse Vognmagergade 11 1148 København www.lru.dk