Capitulo 8 – Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Anuidades Periódicas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P. A.
S PAC
1 i n 1 G 1 i n 1 G R n R sn i sn i n i i i i
CPAC
1 i n 1 1 i n 1 G n n R an i R an i n n n i i 1 i 1 i i 1 i i G
Anuidades Gradientes Postecipadas
SGP
n G 1 i 1 n i i
;
CGP
1 i n 1 n n i i 1 i G
Anuidades Gradientes Antecipadas
SGA
G (1 i)n 1 n (1 i) i i
SGA SGP (1 i)
(1 i )n 1 G n i (1 i)n 1 i
;
CGA
;
CGA CGP (1 i)
Anuidades Gradientes, Decrescentes e Postecipadas
SGDP
n 1 i 1 G G n n n 1 i 2 n i 1 1 i 1 i i i
CGDP
G 1 i n 1 G 1 2 n i 1 n n i 1 i n i 1 i i
Anuidades Gradientes, Decrescentes e Antecipadas
CGDA
G 1 n i 1 (1 i) n 2 i 1 i
e o montante correspondente, na época n-1, é dado por:
SGDA
G 1 n i 1 (1 i ) n n 2 i 1 i
e o montante correspondente, na época n, é dado por:
SGDA 1 i SGDP 1 i SGDA Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Anuidades Infinitas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P. A.
Ca ,
G R i2 i
Anuidades Periódicas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P.G. Para q 1 i CGG
Rn q
Para q 1 i CGG
R qn 1 1 i q 1 i n
;
SGG n R 1 i
;
n 1
SGG
R n 1 i q n 1 i q
Anuidades Periódicas, Infinitas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P.G. se q 1 i CG ,
R 1 i q
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios 8.10 — Exercícios Propostos 1) Quanto devemos aplicar, no dia de hoje, em um investimento que rende 5% a.m. para que possamos sacar dez parcelas mensais, considerando que as mesmas formem: a) Uma anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês? b) Uma anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 2.000,00 e razão igual a R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses? c) Uma anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês? d) Uma anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 4.000,00 e razão igual a R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses? e) Uma anuidade crescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6% de crescimento mensal), com a primeira parcela daqui a 2 meses? f) Uma anuidade decrescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 0,94, com a primeira parcela daqui a 2 meses? Solução 1) anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês
C CPAC
R$
1 i n 1 1 i n 1 n R n n i i 1 i i 1 i G
1 0, 05 10 1 1 0, 05 10 1 C 10 3000 10 10 0, 05 0, 05 1 0, 05 0, 05 1 0, 05 300
C 3683, 47952 2,57789 23165, 20479 R$ 32.660,81
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios b) anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 2.000,00 e razão igual a 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses
C CPAC
R$
1 i n 1 1 i n 1 1 G 1 n R n n 1 i i 1 i i i 1 i 1 i
1 0, 05 10 1 1 0, 05 10 1 200 1 C 10 2000 10 10 0, 05 1 0, 05 0, 05 1 0, 05 0, 05 1 0, 05 1 C 2455, 65301 2, 57789 15443, 46986 R$ 20.737, 02 1 0, 05 A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
c) anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês Observando que o termo inicial é igual a 10 vezes a razão, e que temos 10 termos, podemos lançar mão da expressão do valor atual de uma anuidade gradiente, decrescente e postecipada; ou seja:
CGDP
n 10 1 0, 05 1 G 1 i 1 300 n 10 R$13.669,59 n 10 i i 1 i 0, 05 0, 05 1 0, 05
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios d) anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 4.000,00 e razão igual a R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses Note que neste caso podemos considerar essa anuidade como a soma de uma anuidade uniforme, diferida em 1 período e com termo igual a R$ 2.000,00, com uma anuidade gradiente, decrescente e postecipada, diferida em 1 período. Logo, seu valor atual pode ser calculado como a soma dos valores atuais de cada uma das duas anuidades. O primeiro valor atual, C1 , da anuidade uniforme, é dado por:
1 i n 1 1 C1 R , onde m é o prazo do diferimento n m i 1 i 1 i 1 0, 0510 1 1 C1 2000 14708, 06653 10 0, 05 1 0, 05 1 0, 05 O segundo valor atual, C2 , da anuidade gradiente decrescente, é dado por: n G 1 i 1 1 C2 n , onde m é o prazo do diferimento n m i i 1 i 1 i 10 1 0, 05 1 200 1 C2 10 8679,105029 10 0, 05 0, 05 1 0, 05 1 0, 05
Logo o valor atual da anuidade original, C , é dado por:
C C1 C2 14708,06653 8679,10503 R$ 23.387,17 A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios e) anuidade crescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6% de crescimento mensal), com a primeira parcela daqui a 2 meses
q 1 i CGG
CGG
R qn 1 , onde m é o prazo do diferimento 1 n 1 i q 1 i 1 i m
3000 1, 0610 1 1 R$ 28.407,18 10 1 0, 05 1, 06 1 0, 05 1 0, 05
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
f)
anuidade decrescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 0,94, com a primeira parcela daqui a 2 meses
q 1 i CGG
CGG
R qn 1 , onde m é o prazo do diferimento 1 n 1 i q 1 i 1 i m
3000 0,9410 1 1 R$17.385,38 10 1 0, 05 0,94 1 0, 05 1 0, 05
A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios 2) Pedro contraiu um empréstimo de R$ 10.000,00 que será pago em 10 parcelas mensais, que formam uma anuidade gradiente, crescente com o primeiro pagamento ao final de 6 meses. Se a taxa de juros que o banco cobra de Pedro é de 5% a.m., quais os valores da primeira e décima parcelas? Solução O fluxo de caixa representativo do problema é:
Logo, a equação de valor é dada por:
1 0, 0511 1 1 10000 11 11 4 0, 05 0, 05 1 0, 05 1 0, 05 G
Vale ressaltar que o último pagamento de uma anuidade gradiente crescente e postecipada, tem o valor n 1 G ; o que acarretou fazermos n = 11, na equação acima.
10000
G 3, 206787 0,822702 G R$ 324,14 0, 085517
Portanto o valor da 1ª parcela é R$ 324,14; e o da última parcela corresponde a R$ 3.241,40. Podemos modelar este problema de diversas maneiras. Vamos, neste caso, utilizar as funções VPL e Solver do Excel; como mostrado nas planilhas abaixo
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios 3) Thiago pretende fazer dez retiradas mensais, formando uma anuidade gradiente, crescente, com termo inicial e razão de R$ 500,00; com a primeira retirada devendo ser realizada daqui a 6 meses. Sabendo que Thiago tem uma caderneta de poupança, com aniversário no dia de hoje, e saldo de R$ 1.000,00, quanto deverá depositar regularmente (depósitos uniformes e mensais), de hoje até a data de sua última retirada, para que o saldo final da caderneta (juros de 6%a.a.c.m.) seja R$ 2.000,00, imediatamente após a última retirada? Solução Como o saldo final na época 15 (data da última retirada) deve ser R$ 2.000,00, consideraremos esta data como a data focal para estabelecimento da equação de valor. Representando retiradas como setas para cima, e depósitos como setas para baixo, temos a seguinte ilustração para o fluxo de caixa:
Logo, temos a seguinte equação de valor:1 11 1 0, 005 15 1 500 1 0, 005 1 15 1000 R 1 0, 005 R 2000 11 0, 005 0, 005 0, 005
onde, para o emprego da fórmula do montante da anuidade gradiente, crescente, tendo em vista 10 retiradas, fez-se n 1 10 n 11 . Assim:
1077, 682738 1, 077683R 15,536548R 2000 27916, 66 16, 614231R 28838,97726 R R$1.735,80 A planilha a seguir mostra uma das possíveis modelagens para resolução do problema no Excel.
1
Como estudado na seção 10.2.1 do capítulo 10, as cadernetas de poupança, além de pagarem juros à taxa de 6% a.a.c.m, consideram também a taxa referencial, TR. No caso, estaremos supondo que a TR fique nula durante todo o prazo considerado.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios
4) João fez um financiamento para compra de um carro no valor de R$ 50.000,00. O vendedor apresentou diversas opções de pagamento, descritas a seguir, nas quais a primeira parcela tem carência de 3 meses: a. 50 parcelas mensais iguais no valor de R$ 1.500,00 b. 50 parcelas mensais formando uma anuidade com termos em P.A., com termo inicial de R$ 500,00 e razão de R$ 50,00. c. 30 parcelas mensais formando uma anuidade com termos em P.G., com termo inicial de R$ 2000,00 e taxa de crescimento de 2% a.m. Se João quer pagar a menor taxa de juros, qual das três opções deve escolher? Solução Por se tratar, em cada opção, de um fluxo de caixa com apenas uma variação de sinal, podemos garantir que existe apenas uma taxa interna de retorno. Isso possibilita que a análise possa ser feita através da escolha do financiamento com a menor taxa interna de retorno. Financiamento do tipo (a) A equação de valor é:
1 i 50 1 1 50000 1500 50 2 i 1 i 1 i ou
1 i 1 33,333333 0 52 i 1 i 50
Por se tratar de uma função muito complexa, utilizaremos a análise gráfica da função para saber uma estimativa da taxa interna de retorno. Para tal, chamaremos de f (i) a função Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios representada pelo lado esquerdo da equação. O gráfico de f (i) é representado a seguir, para dois intervalos ( 0 ; 1) e (0 ; 0,1), nos qual podemos verificar a existência de apenas uma raiz e ter uma boa estimativa de seu valor.
Logo, a raiz da equação está no intervalo aberto (1% ; 2%). Portanto, lançando mão do método da bisseção, começaremos nossa análise pela taxa 1,5%a.m.. Para i = 1,5%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,63953; isto é, maior que zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 2%. Para i = 1,75%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -1,32231; isto é, menor que zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 1,75%. Para i = 1,625%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,36161; isto é, menor que zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 1,625%. Para i = 1,5625%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,13378; isto é, menor que zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5625% e 1,625%. Realizando mais algumas iterações chegaríamos a i = 1,57925%a.m. que tem uma aproximação da ordem de 10-6. Este mesmo problema poderia ser resolvido utilizando o Excel, de diversas maneiras. Mostraremos aqui apenas duas delas. Na primeira, utilizamos a função TIR do Excel e explicitamos o fluxo de caixa. Na segunda, utilizamos as funções financeiras e a função Solver do Excel. Vale ressaltar que como a função TIR exige apenas uma sequência de valores para indicar o fluxo de caixa, tivemos que dividir a figura em duas partes; mostradas a seguir, uma ao lado da outra. Como de costume, a fórmula apresentada na célula D2 representa a efetivamente inserida na célula D1.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Solução 1
Solução 2
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Alternativamente, usando a função [TIR] da HP 12C, tem-se: [f][REG]50000[CHS][g][CF0]0[g][CFj][g][CFj]1500[g][CFj]50[g][Nj][f][IRR]1,579251
Financiamento do tipo (b) Tendo em vista a fórmula para CPAC e o diferimento de 2 meses tem-se:
1 i 50 1 1 i 50 1 50 1 50000 50 500 50 50 2 i i 1 i 1 i i 1 i ou 1 i 50 1 1 i 50 1 50 500 50000 0 52 52 i i 1 i i 1 i 50
Como já observado o fluxo de caixa só troca de sinal uma vez; podemos, pois, garantir que só existirá uma taxa interna de retorno. Portanto, fazendo o gráfico da função f (i), formada pelo lado esquerdo da equação, podemos ter uma estimativa do seu valor. O gráfico abaixo representa f (i) no intervalo (0 ; 0,1).
Pela comparação dos gráficos de f (i), dos financiamentos (a) e (b), poderíamos constatar, por inspeção visual, que o financiamento (a) apresenta uma taxa interna de retorno inferior a do financiamento (b); sendo, portanto, uma melhor opção que o financiamento (b). Poderíamos utilizar o método iterativo para descobrir o valor da TIR. Porém, resolveremos o problema utilizando o Excel e sua função TIR, a partir do fluxo de caixa. A planilha a seguir mostra, portanto, apenas um possível encaminhamento para a solução. Vale ressaltar que como a função TIR exige apenas uma sequência de valores para indicar o fluxo de caixa, tivemos que dividir a figura em duas partes; mostradas a seguir, uma ao
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios lado da outra. Como de costume, a fórmula apresentada na célula D2 representa a efetivamente inserida na célula D1.
Financiamento do tipo (c) Em casos tais como este, o primeiro passo é testar a solução q 1 i . Se esta fosse válida, deveríamos ter, considerando o diferimento de 2 meses:
CGG 50000 1 0, 02 52020 2
Como
a
igualdade
R n 2000 30 58823,52941 q 102
não
é satisfeita, sabemos que teremos q 1 i i q 1 1,02 1 0,02. Portanto, a equação de valor que define a taxa i
cobrada no financiamento é:
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios 1700 1, 0230 1 50000 1 30 1 i 1, 02 1 i 1 i 2 ou 1 i 30 1, 0230 1700 50000 0 1 i 1, 02 1 i 32 Como o fluxo de caixa só troca de sinal uma vez, podemos garantir que só existirá uma taxa interna de retorno. Portanto, fazendo o gráfico da função f (i), formada pelo lado esquerdo da equação, podemos ter uma estimativa do seu valor. O gráfico abaixo representa f (i) no intervalo (0 ; 0,1).
Poderíamos utilizar o método iterativo para descobrir o valor da TIR. Porém, resolveremos o problema utilizando o Excel e sua função TIR, a partir do fluxo de caixa. A planilha a seguir mostra esse encaminhamento.
Pela comparação dos gráficos de f (i), dos financiamentos (a) e (c), poderíamos constatar, por inspeção visual, que o financiamento (a) apresenta uma taxa interna de retorno inferior à do financiamento (c); sendo, portanto, uma melhor opção que o financiamento Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios (c); Logo, João deveria optar pelo financiamento (a), pois é o que apresenta a menor taxa interna de retorno. 5) O Governo do Estado do Rio de Janeiro deve realizar obras para revitalização na Av. Brasil, principal acesso rodoviário à cidade do Rio de Janeiro. Existem duas propostas para tal obra. A primeira, utilizando asfalto normal, com vida útil de cinco anos, ao custo inicial de R$ 500.000,00/km, e custo anual de manutenção formando uma P.A., postecipada, com termo inicial de R$ 50.000,00 e razão de R$10.000,00. A segunda, utilizando um novo tipo de asfalto, denominado asfalto emborrachado, que utiliza pneus velhos em sua composição; sendo, portanto, ecologicamente correto e com vida útil de 12 anos. Seu custo inicial é de R$ 1.000.000,00/km, e custo anual de manutenção formando uma P.G., postecipada, com termo inicial de R$ 30.000,00 e taxa de crescimento de 1%a.a. Considerando que existe disponibilidade orçamentária para ambas as opções, qual deve ser a escolhida, considerando um custo de capital de 5%a.a.? Solução Como as duas opções têm vidas úteis distintas devemos comparar o custo médio de cada opção, nas suas respectivas vidas úteis.2 Para tal, devemos encontrar o valor atual de cada uma das anuidades e soma-los com seu respectivo custo inicial; e a seguir, e ai distriuí-lo uniformemente pela duração de sua vida útil. Opção do Asfalto Normal (custo médio RAN ) CPAC
1 0, 055 1 1 0, 05 5 1 5 50000 R$ 298.843, 00 5 5 0, 05 0, 05 1 0, 05 0, 05 1 0, 05 10000
Logo
RAN
0, 05 1 0, 055 298843 500000 R$184.512, 60 5 1 0, 05 1
Opção do Asfalto Emborrachado (custo médio RAE ) q 1 i CGG
30000 1, 0112 1 R$ 279.406, 24 1 0, 05 1, 01 1 0, 0512
Logo
RAE
0, 05 1 0, 0512 279406, 24 1000000 R$144.349,53 12 1 0, 05 1
Portanto, a opção pelo asfalto emborrachado deve ser a preferida.
2
Justificaremos tal critério de seleção no capítulo 11.
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios A planilha abaixo mostra os cálculos, para ambas as opções, utilizando as funções VPL e PGTO do Excel. Mais uma vez, as fórmulas apresentadas nas colunas C e F representam as efetivamente inseridas nas respectivas células das colunas B e E.
6) Reconsidere o exercício 5, na hipótese de previsão de inflação futura à taxa de 3%a.a. Qual seria, nesse caso, a opção preferível? Solução Primeiramente, deveremos explicitar a taxa de juros real iR , a partir da taxa de juros aparente (i=5%a.a.) e da taxa de inflação (I=3%a.a.).
1 i 1 iR 1 I 1,05 1,03 1 iR iR
1,05 1 0,019417 ou 1,9417%a.a. 1,03
Por outro lado, supondo que os custos de manutenção não sejam reajustados, devemos calcular o fluxo de caixa real de ambos os casos deflacionando os fluxos do exercício 5. Os fluxos reais, isto é, os fluxos a preços da data atual, são os apresentados na tabela abaixo (onde a coluna “ Valores Aparentes” representam os custos de manutenção a preços correntes). Período
Val.Aparentes Valores Reais 0 1 2 3 4 5
50000 60000 70000 80000 90000
48543,68932 56555,75455 64059,91615 71078,96383 77634,79059
Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Val.Aparentes Valores Reais 30000 30300 30603 30909,03 31218,1203 31530,3015 31845,60452 32164,06056 32485,70117 32810,55818 33138,66376 33470,0504
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
29126,21359 28560,65605 28006,0802 27462,27282 26929,0248 26406,13112 25893,39071 25390,60642 24897,58494 24414,13669 23940,07578 23475,21994 Página 111
Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Matematicamente, as expressões que representam as parcelas reais de manutenção do asfalto normal RNj e do asfalto emborrachado REj , são dadas por:
RN j
RE j
50000 10000 j 1
1 I
j
30000 1 0, 01
1 I
j
,
j 1, 2,...,5
j 1
,
j 1, 2,...,12
Devemos, agora, descontar os respectivos fluxos reais à taxa real, para somar com o respectivo custo inicial; e, a seguir, expressa-los em termos de custos médios, ao longo das respectivas vidas úteis. Comparando, então, seus custo médios reais. Vale notar que os valores atuais na época zero, considerando os fluxos aparentes, à taxa aparente, se igualam aos dos respectivos fluxos reais, à taxa real. Portanto, os valores atuais calculados no exercício 5 podem ser utilizados para obter os custos médios reais de cada opção. Ou seja, o custo médio real do asfalto normal (RAN ) e do emborrachado (RAE ) são, tendo em vista a taxa real de 1,9417%a.a.
0, 019417 1 0, 019417 5 RAN 298843 500000 R$169.194,58 5 1 0, 019417 1 0, 019417 1 0, 019417 12 RAE 279406, 24 1000000 R$120.547,39 12 1 0, 019417 1 A planilha abaixo mostra os cálculos, para ambas as opções, utilizando as funções VPL e PGTO do Excel. Mais uma vez, as fórmulas apresentadas nas colunas D e H representam as efetivamente inseridas nas respectivas células das colunas C e G.
Mais uma vez, o asfalto emborrachado seria o preferido; já que apresenta o menor custo médio anual. 7) Calcular o primeiro termo de uma anuidade mensal, postecipada e de 10 termos, cujo valor presente é R$ 40.000,00, à uma taxa de juros de 5% a.m. , nos casos em que: a) a anuidade é em P.A. com razão R$ 200,00. b) a anuidade é em P.G. com taxa de decrescimento de 5%a.m. Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Solução a) Anuidade em P.A. com razão R$ 200,00. A equação de valor é dada por:
1 0, 05 10 1 1 0, 05 10 1 40000 10 R 10 10 0, 05 0, 05 1 0, 05 0, 05 1 0, 05 200
ou 40000 6330, 409585 7, 721735R Logo o primeiro termo, R , é:
R
40000 6330, 409585 R$ 4.360,37 7, 721735
b) Anuidade em P.G. com taxa de decrescimento de 5%a.m. Como q 1 0,05 0,95 1 i 1,05 , tem-se
40000
0,95 10 R 1 1 0, 05 0,95 1 0, 05
ou 40000 6,324275 R Logo o primeiro termo, R , é dado por:
R
40000 R$ 6.324,84 6.324275
8) Um financiamento deve ser pago em cinco parcelas mensais, que formam uma P.A., postecipada, com termo inicial e razão iguais a R$ 1.000,00. O tomador do empréstimo pretende sugerir que o financiamento seja pago em cinco parcelas iguais. Calcular o valor das parcelas se o banco trabalha com taxa de juros compostos de 12%a.a., e a primeira parcela tem vencimento de hoje a 1 mês. Solução 1
1
im 1 ia 12 1 1,12 12 1 0, 009489 ou 0,9489%a.m. 5 1 0, 009489 5 1 1 0, 009489 1 5 1000 5 5 0, 009489 0, 009489 1 0, 009489 0, 009489 1 0, 009489 14490, 46581
CGAP CGAP
1000
Queremos que:
CGAP
5 1 0, 00949 1 R 4,860758R 5 0, 00949 1 0, 00949
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final
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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios Logo, temos:
14490, 40794 4,86074 R R R$ 2.981,11 9) Um financiamento deve ser pago em cinco parcelas mensais, que formam uma P.G. com termo inicial igual a R$ 1.000,00 e taxa de decrescimento de 5%. O tomador do empréstimo pretende sugerir que o financiamento seja pago em dez parcelas iguais. Calcular o valor das parcelas constantes se o banco trabalha com taxa de juros compostos de 2%a.m., e as primeiras prestações, em ambos os casos, têm vencimento de hoje a 1 mês. Solução
q 1 i CGG
1000 0,955 1 4273, 753784 1 0, 02 0,95 1 0, 02 5
Queremos que:
CGG
1 0, 02 10 1 R 8,982585R 10 0, 02 1 0, 02
Logo, temos:
4273,753784 8,982585R R R$ 475,78 10) Uma empresa está fazendo seu planejamento financeiro de curto prazo (12 meses, de janeiro a dezembro), e projeta que os custos com a folha de pessoal, prevista para janeiro, no valor de R$ 100.000,00, decresçam à taxa de 5%a.m., durante o ano; devido a uma política de aposentadorias incentivadas. Sabendo-se que o diretor financeiro pretende fazer uma aplicação que rende 1%a.m., que valor C deve depositar no dia 26 de dezembro para fazer frente às despesas com a folha de pessoal no próximo ano, paga no dia 26 de cada mês, considerando o pagamento do 13º salario junto com o salário de dezembro? Solução Como q 0,95 1 i 1 0,01 , tem-se:
11 100000 0,9512 100000 0,95 C 1 R$ 917.907,88 12 1 0, 01 0,95 1 0, 0112 1 0, 01
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