Matemáticas: Fundamentos Básicos MATEMÁTICAS: FUNDAMENTOS BÁSICOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Es habitual que, cuando pensamos en las operaciones aritméticas, nos remitimos sólo al sistema decimal que se usa en la vida diaria. Sin embargo, existen otros muchos sistemas de numeración, algunos de los cuales forman parte también de las actividades cotidianas. Así, el sistema binario es básico en el funcionamiento de los ordenadores, y el sexagesimal se utiliza para medir los valores de los ángulos y el cómputo del tiempo de los relojes, entre otras tareas. Elementos de los sistemas de numeración En esencia, un sistema de numeración puede definirse como un conjunto de signos, relaciones, convenios y normas destinados a expresar de modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades numéricas. En la actualidad, se usan predominantemente sistemas de numeración de carácter posicional, donde cada numeral o guarismo representa un valor distinto según la posición que ocupa en la cadena numérica (por ejemplo, el numeral 1 significa unidad en la cantidad 1, pero es decena en 13, centena en 148, etcétera). En un sistema de numeración se contemplan varios elementos fundamentales: La base del sistema, que se define como un convenio de agrupación de sus unidades. Por ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez unidades, mientras que la binaria únicamente agrupa dos. Los numerales del sistema, o cifras elementales que se utilizan, según la base. En el sistema decimal, se usan los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan sólo se emplean el 0 y el 1. Lasnormas de combinación de los numerales para formar los números. Según ello, a cada cifra se le asocian dos propiedades: su valor absoluto intrínseco y su valor posicional o relativo, que depende de la posición que ocupa en la cantidad numérica. Dado un número n escrito como la sucesión de numerales a0a1a2...an-1, an en la base b, puede descomponerse en forma polinómica del modo siguiente:
Nombre de las posiciones relativas en el sistema decimal.
El sistema decimal El sistema decimal, el más utilizado en todos los ámbitos de la actividad humana, se distingue por las siguientes características: Utiliza una base 10. Sus numerales son las cifras del 0 al 9, ambas incluidas. Las posiciones relativas de los números se denominan unidades, decenas, centenas, unidades de millar,
decenas de millar, centenas de millar, unidades de millón, etc. La forma polinómica de un número en el sistema decimal es la siguiente: Por ejemplo, en esta forma, 3.892 se escribiría como 2 + 9  10 + 8  102 + 3  103. El sistema binario Utilizado por los ordenadores y otros tipos de dispositivos y sistemas, el sistema binario se caracteriza por emplear una base 2 y los numerales 0 y 1. Este sistema, muy práctico para los cálculos automatizados con sistemas electrónicos digitales, es sin embargo un tanto engorroso en la escritura cotidiana, ya que la expresión de las cantidades resulta muy larga. Así, por ejemplo, el número 15 de la base decimal se expresaría en base binaria como 1111, según el esquema de descomposición mostrado.
Expresión del número 15 en basebinaria Cambios de base Las equivalencias entre cantidades numéricas escritas en diferentes bases de numeración se obtienen habitualmente mediante una conversión intermedia a la base decimal. Así, por ejemplo, para escribir 341(5 en base 4 se procedería del modo siguiente: Se convertiría 341(5 a base 10. Se transformaría el resultado decimal obtenido a base 4. Para pasar un número de una base cualquiera a la decimal, se recurre a la forma polinómica. Por ejemplo: Para transformar un número de base decimal a otra base, se divide por esta base tantas veces como sea necesario hasta obtener un resto menor que la base; después, se anotan como numerales el último cociente y, en orden inverso, los sucesivos restos obtenidos. Expresión del número 96 en base 4.
REGLA DE TRES La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla operación que nos va a permitir encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Así, por ejemplo, nos permite saber cuánto cuestan dos kilos de patatas si el cartel del mercado marca el precio de un kilo, o calcular el precio de 150 bolígrafos si la caja de cinco unidades vale 60 céntimos de euro. Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido. Las proporciones Una proporción es la igualdad entre dos cocientes (a / b = c / d). Cuando dos cocientes son iguales, el producto de los extremos (a y d) es igual al producto de los medios (b yc); por tanto, en la proporción se cumple que: a · d = b · c. Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando su cociente se mantiene constante, es decir, si una
de las dos magnitudes aumenta o disminuye, la otra magnitud también aumentará o disminuirá en la misma medida. Por ejemplo, cuantos más kilómetros haga un coche, más combustible gasta y, por tanto, se dice que ambas magnitudes son proporcionales (cociente constante). La regla de tres se utiliza para calcular valores desconocidos de magnitudes proporcionales. Las operaciones con las que se resuelve son muy sencillas: la multiplicación y la división. Lo realmente importante es saber plantear la regla de tres. En el dibujo observarás que los árboles son proporcionales en cuanto al tamaño, pues los más pequeños son la mitad de los más grandes. Determinación del cuarto término Es una operación que nos sirve para calcular uno de los términos de una proporción conociendo los otros tres. Se llama supuesto a la parte del problema que conocemos e incógnita a la que debemos calcular. Para poder plantear la relación de proporción es necesario que los términos a y b pertenezcan a una misma magnitud y que los términos c y d pertenezcan a otra magnitud, pero relacionada con la anterior. Esta relación se expresa matemáticamente así: a / b = c / d. Veámoslo con un ejemplo: Queremos saber cuánto nos costarán 1.356 bolígrafos si una caja que contiene 10 bolígrafos cuesta 3 euros. El número de bolígrafos sería una magnitud (a = 10 bolígrafos y b = 1.356 bolígrafos) y el dinero sería la otra magnitud (c = 3 euros y d= x euros). De esta forma, si 10 bolígrafos cuestan tres euros, 1.356 bolígrafos nos costarán x (la incógnita que debemos averiguar). Así, la relación de proporción que se plantea es: 10 / 1356 = 3 / x. La regla de tres simple La relación entre ellas puede ser: directamente proporcional, si cuando una de ellas aumenta la otra también (a más tiempo trabajado, más dinero ganado); o inversamente proporcional, si cuando una aumenta la otra disminuye (más tiempo trabajado, menos tiempo de ocio). Una de las formas de plantear la regla de tres es mediante el método tradicional. Si de a tenemos b, entonces de c tendremos d: Si la relación entre las dos magnitudes es directamente proporcional, para resolver la regla de tres multiplicamos "en cruz", es decir: a·d=c·b Si la relación es inversamente proporcional, multiplicamos "por filas", es decir: a·b=c·d Por ejemplo, si Jon compró 15 cromos por 60 céntimos, ¿cuánto le costarán a Miren 25 cromos? Si por 15 cromos pagamos 60 céntimos por 25 cromos pagaremos x céntimos. La relación de proporción que se plantea será entonces: Para resolver multiplicamos "en cruz" y tenemos que 15 · x = 25·60. Por lo que x = 25 · 60 / 15 = 100 céntimos = 1 euro. Es decir, 25 cromos cuestan 1 euro. Otros métodos de cálculo
La regla de tres mediante proporciones Otra forma de resolver una regla de tres es mediante las proporciones. Una proporción es la igualdad entre dos cocientes: (a / b = c / d). Aplicando las proporciones al cálculo del cuarto término, o incógnita, de una regla de tres tendríamos: (a / b = c/ x). Como el producto de los extremos (a y x) es igual al producto de los medios (b y c), a · x = b · c, de donde obtendríamos el valor de la incógnita o cuarto término. El ejemplo de los cromos que aparece en la pantalla anterior (la regla de tres simple) también podemos resolverlo mediante las proporciones: (15 cromos / 25 cromos) = (60 céntimos / x céntimos) Luego 15 · x = 60 · 25, de donde x = 60 · 25 / 15 = 100 céntimos = 1 euro. La regla de tres reduciendo a la unidad Con este método lo que buscamos es que una de las razones (a, b, c ó d) sea 1 para simplificar los cálculos. Siguiendo con el ejemplo anterior, si por 15 cromos Jon pagó 60 céntimos, por un cromo pagó: 60 / 15 = 4 céntimos. Como queríamos saber cuánto le habría costado comprar 25 cromos, tendremos que multiplicar 25 · 4 = 100 céntimos, o, lo que es lo mismo, 1 euro. En este ejemplo, hemos calculado el precio de un cromo para poder calcular el precio de cualquier número de cromos tan sólo multiplicando el precio unitario por el número de cromos comprado. La regla de tres compuesta Cuando aparecen más de dos tipos de magnitudes distintas, nos enfrentamos a un problema que se puede resolver mediante una regla de tres compuesta. Como casi todo en la regla de tres, la solución es en la práctica muy sencilla: descomponer en reglas de tres simples, teniendo en cuenta que pueden ser directa o inversamente proporcionales. Veamos un ejemplo: Koldo compra al carpintero de su barrio 3 mesas por 285 euros. Si sabemos que en hacer una mesa el carpintero tarda 3 horas, ¿cuántas horas habrá trabajadoel carpintero si Koldo se gasta 950 euros en mesas? Para resolverlo, calculamos cuántos euros cuesta cada mesa (285 / 3 = 95 euros). Luego, hallamos cuántas mesas nos dará el carpintero por 950 euros (950 / 95 = 10 mesas). Y por último calcularemos cuántas horas tarda el carpintero en fabricar las mesas por las que Koldo ha pagado los 950 euros (10 mesas · 3 horas que tarda en cada una = 30 horas). Por tanto, para recibir los 950 euros de Koldo, el carpintero ha tenido que trabajar durante 30 horas. Al utilizar el método tradicional, es más rápido plantear todas las reglas de tres simples a la vez. La regla de tres compuesta directa La forma tradicional en la regla de tres compuesta se puede simplificar si utilizamos el método directo en lugar de descomponer en pequeñas reglas de tres simples, ya que el planteamiento es inmediato. Debemos recordar que hay que multiplicar "en cruz" si la relación entre las magnitudes es directamente proporcional o "en fila" si la relación es inversamente proporcional. Un ejemplo podrá ser el siguiente: para construir 0,5 km de autopista, 45 operarios han empleado 10 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 60 operarios trabajando 9 horas al día en construir 2,7 km más de autopista? La solución es:
km construidos trabajadores días horas 1º caso 0,5 45 10 8 2º caso 2,7 60 x 9 Las relaciones que existen entre las magnitudes del problema son las siguientes: a más trabajadores menos días (inversa), a más horas menos días (inversa) y a más kilómetros más días (directa). Y por tanto: Porque 2.7 · 45 ·10 · 8 = 0.5 · 60 · x · 9 x = (2.7 · 45 · 8 · 10) / (0.5 · 60 · 9) = 9,720 / 270 = 36 días. La regla de tres en la resolución de problemas Existen muchas operaciones que diariamente realizamos y en las que aplicamos reglas de tres sin ser conscientes de que lo estamos haciendo. Los casos o situaciones en los cuales aplicamos reglas de tres o porcentajes son muy diversos. Descuentos en los precios de artículos o incrementos. Cálculo del IVA de los productos. Cálculo de interés simple y compuesto. Cálculo del índice de precios al consumo. SUPERFICIES Cuando nos preguntamos qué extensión tiene un campo de fútbol, cómo es de grande mi casa o cuánto mide la mesa en la que estudio, lo que queremos saber es cuál es su superficie. Para esto, lo que hacemos es tratar al espacio como una forma geométrica llamada polígono. Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada, que se forma al unir tres o más segmentos rectilíneos llamados lados. Los polígonos se clasifican en regulares e irregulares. Su extensión ocupa una determinada superficie, que se puede medir de diferentes formas. ¿Qué es la superficie de un polígono? Llamamos área o superficie de un polígono a la región interior del plano delimitada por sus lados. A menudo, nos interesa conocer lo que mide el área o superficie de un polígono. La unidad de medida de cualquier superficie en el sistema internacional (SI) es el m2 (metro cuadrado), según el sistema métrico decimal. En el siguiente cuadro podemos ver otras formas de expresar la medida de una superficie, en función de múltiplos y submúltiplosdel m2. kilómetros S2
hectómetros S2 decámetros S2 metros S2 decímetros S2 centímetros S2 milímetros S2 En algunos sitios se usan también otro tipo de medidas de superficie, que han llegado a nosotros a través de una tradición de siglos, y que normalmente están relacionadas con los procesos agrícolas. Por ejemplo, una medida de capacidad de grano se corresponde con la superficie de tierra que se puede sembrar con ella. Éstas son las equivalencias de algunas de las medidas agrícolas históricas: Nombre Equivalencia Fanega de Álava 2.511 m2 Fanega de Albacete 7.006 m2 Tabulla de Murcia 1.118 m2 Día de bueyes de Oviedo 1.258 m2 Jornal de Lleida 4.358 m2 Aranzada de Cordoba 3.673 m2 Puesto que ya conocemos la unidad de medida que tenemos que utilizar, a continuación veremos cómo se mide la superficie de un polígono. Éstos se dividen en: Regulares: aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales. Irregulares: aquellos que tienen al menos un lado o ángulo desigual. Área del paralelogramo El paralelogramo es un tipo de polígono de cuatro lados o cuadrilátero, que se caracteriza porque sus lados son paralelos dos a dos. Dentro de este grupo de polígonos se incluyen el rectángulo, el cuadrado, el rombo y el romboide.
Área del rectángulo Para calcular el área de un rectángulo multiplicamos su base por su altura.
A=o·h Área del cuadrado Como un cuadrado es un polígono regular que tiene todos sus lados iguales, la longitud de su altura y su base coinciden. Para hallar el área del cuadrado, entonces, semultiplica el lado por sí mismo. A = l · l = l2 Área del romboide y rombo El área de un romboide se obtiene multiplicando su base por su altura. A=o·h Área del triángulo El triángulo es un polígono de tres lados, y, por tanto, es el polígono más elemental. El área de un triángulo se obtiene al dividir entre dos el producto de su base por su altura.
En el caso particular de un triángulo rectángulo, el área es igual al producto de los catetos dividido entre dos. Un cateto es cada uno de los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto. La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Es el mayor de los tres lados de este triángulo. Según el teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto nos sirve para calcular la medida desconocida de cualquier lado de un triángulo rectángulo, conocidos los dos. h2 = k2 + k2 Área del trapecio y del trapezoide Un trapecio es un polígono de cuatro lados en el que dos de sus lados son paralelos. Un trapezoide es un polígono en el que ninguno de sus lados es paralelo, como por ejemplo, la clásica cometa.
El trapecio El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura. O = base mayor o = base menor h = altura El trapezoide El trapezoide, cuadrilátero cuyos lados no son ni iguales ni paralelos, se descompone en tres polígonos: dos triángulos y un trapecio. Así, su área será igual a la suma de las áreas de los dos triángulos más elárea del trapecio. Área de los polígonos regulares de más de cuatro lados En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono.
El área de un polígono regular de más de cuatro lados será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de lados. El área de cada triángulo es el producto del lado del polígono por la apotema, partido por dos. La apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados. a = apotema Si el polígono tiene n lados, se forman n triángulos. Entonces,
Por tanto, el área de un polígono regular de más de cuatro lados será igual al área de cada triángulo formado multiplicada por el número de lados (que coincide con el número de triángulos formados en el interior del polígono): p = perímetro a = apotema Área de los polígonos irregulares Por ejemplo: el octágono Para hallar el área de los polígonos irregulares los descomponemos en figuras equivalentes con áreas conocidas o fáciles de determinar. Cualquier polígono, regular o irregular, puede descomponerse en triángulos. Es lo que se llama triangulación. El número de triángulos resultante siempre es dos veces menor que el número de lados del polígono. Por lo general, los polígonos irregulares de más de cuatro lados se descomponen en triángulos y su área es el resultado de la suma de las áreas de todos sus triángulos.
Pero los polígonos irregulares se pueden descomponer en otros polígonosdiferentes, sin necesidad de que todos sean triángulos.
Área del círculo
Un círculo es la parte de plano delimitada por una circunferencia. Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto llamado centro. El área de un círculo es igual al número P (pi) por el cuadrado del radio, siendo el radio un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. A = P · r2 El numero P es una noción fundamental en geometría. P es la decimosexta letra del alfabeto griego, que se utiliza como un número real en aritmética. Indica la relación entre la longitud de una circunferencia y su radio. Es un número decimal ilimitado no periódico. Esto quiere decir que sus decimales no acaban nunca. La búsqueda de estos decimales ha apasionado a los matemáticos a lo largo de toda la historia. El primero en intentarlo fue el griego Arquímedes, quien halló los cuatro primeros. Actualmente, a través de sencillos algoritmos y con la ayuda de potentes ordenadores, se conocen más de 6.000 millones de decimales. Aunque aquí no nos cabrían todos, veamos unos pocos: P = 3.141592653589793238...
NÚMEROS RACIONALES El concepto de fracción surge intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del mismo tamaño (por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es una parte fraccionaria de la unidad. Conceptualmente, el conjunto de los números enteros y los fraccionarios así obtenidos conforma un conjunto más general, llamado de los números racionales. Númerosfraccionarios Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de números enteros (a, b), siendo a, b  Z, que se expresa también como, tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de ser distinto de cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser: Fracciones propias, cuando el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo: etcétera. Fracciones impropias, en caso contrario. Por ejemplo,etcétera. Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos, constituidos por la suma de un entero y una fracción propia. Por ejemplo, puede escribirse también como la suma de 1 y, que corresponde al número mixto 1. Si se considera a la fracción impropia como una división, el numerador es el dividendo (D) y el denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto que la representa tendrá la forma genérica: siendo c el cociente y r el resto de la división. El conjunto de los números racionales El conjunto que engloba a los números enteros y a los fraccionarios positivos y negativos conforma el conjunto de los números racionales, que se denota por Q. Un número racional se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia Z x Z*, siendo Z* = Z - {0}, de modo que a cada par (z1, z2) le hace corresponder un número racional z definido como z = z1/z2. Por ejemplo, los pares (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), etcétera, son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia
representada por el número racional 1/3. Representación de los números racionales El conjunto Q de los números racionales serepresenta, al igual que el de los enteros, como una serie de valores discretos sobre una recta. Los números racionales tampoco llenan la recta, aunque intercalan infinidad de valores entre los enteros. Dados dos números racionales n y m, n es mayor o igual que m (n  m) si n - m es un número racional positivo o cero; es decir, el conjunto de los números racionales está ordenado. Representación gráfica del conjunto Q.
Operaciones con números racionales En el conjunto de los números racionales se definen dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números racionales a = (a1, a2) y b = (b1, b2), la suma se define como: El producto de dos números racionales se obtiene como:
Expresión decimal de una fracción Las fracciones pueden expresarse como números decimales, efectuando la división correspondiente entre el numerador y el denominador. Entonces, se distingue entre: Expresiones decimales exactas, que corresponden a las fracciones decimales aquellas que su denominador es una potencia de 10) y a las fracciones que son equivalentes a una fracción decimal. Por ejemplo Expresiones decimales periódicas, divididas a su vez en dos grupos: periódicas puras, en las que el periodo empieza inmediatamente después de la coma (por ejemplo, , y periódicas mixtas, en las que el periodo no se inicia justo después de la coma (como sucede en Expresión fraccionaria de un número decimal Dado un número decimal o exacto o de naturaleza periódica (ya sea pura o mixta), siempre es posible hallar una fracción que lo represente, llamada sufracción generatriz. Cuando el decimal es exacto, la fracción generatriz se calcula colocando en el numerador el número sin decimales y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya; si es periódico puro o mixto, se procede según el ejemplo.
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y determinantes.
Sistemas de ecuaciones lineales Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + ¿ = k, donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante). Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas, que adopta la forma general siguiente:
Tipos de sistemas lineales En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos: Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado. Cuando presenta variassoluciones posibles, es compatible indeterminado. Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible. Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlos en otros cuya resolución sea más sencilla.
Método de igualación Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iniciales. Sea, por ejemplo el sistema: Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene: Entonces, Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2. Método de sustitución La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita. Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si se despeja, y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que: -17 y = -17, y = 1. Como, entonces x = 2. Método de reducción La terceratécnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de reducción,
consta de los siguientes pasos: Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita. Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda. Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:
conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas ecuaciones:
NÚMEROS IRRACIONALES En la resolución de problemas mediante ecuaciones cuadráticas con coeficientes enteros o fraccionarios (racionales) aparecen continuamente soluciones que no son números racionales, como las raíces de 2, 3, 5, etcétera. Estos números, llamados irracionales, que no pueden ser representados por fracciones, eran ya conocidos por los antiguos griegos, si bien su estudio no se sistematizó hasta la Edad Moderna europea. Cantidades conmensurables e inconmensurables Cuando se comparan entre sí dos cantidades, la segunda de las cuales se considera que es la unidad, puede producirse que: La primera cantidad contenga exactamente la unidad o alguna de sus partes (fracciones). En tal caso, la cantidad se dice que es conmensurable, y el número que la representa, racional (ya sea entero o fraccionario). La primera cantidad no contiene exactamente la unidad ni ninguna de sus partes, por pequeña que sea.Entonces, la cantidad es inconmensurable, y el número que la representa es irracional. Los números irracionales pueden definirse como aquellos cuya expresión decimal contiene infinitas cifras decimales no periódicas. El conjunto de los números irracionales tiene infinitos elementos, algunos de los cuales son: 2 == 1,4142135623..., ï ﾁﾐ = 3,1415926535..., e = 2,7182818285... (base de los logaritmos naturales o neperianos), el número áureo de las proporciones perfectas ï ﾁ ª = 1,618033989..., etcétera. Potencias de base racional Al elevar un número racional a = a1 / a2 a un exponente n, donde n es un número entero, se obtiene que: an = (a1 / a2)n = a1n / a2n, siendo a1, a2  Z y a2  0. Dados dos números racionales a, b  Q y dos enteros m, n  Z, se tiene que: a-n = 1/an an  am = an+m, an/am = an-m (an)m = anm an  bn = (a  b)n, an/bn = (a/b)n Exponentes de base racional En sentido genérico, una base racional puede elevarse a un exponente también racional. Si dicho exponente corresponde al subconjunto de los números fraccionarios, se habla de operación de radicación,
que, en su forma más simple, se expresa como: El número n, un número natural mayor que 1, se llama índice de la raíz; a es el radicando y b es la raíz propiamente dicha. El símbolo  es el radical. En sentido genérico, la operación de radicación se escribe como:
Radicales equivalentes Dos expresiones radicales se dicen equivalentes cuando tienen las mismas raíces. Sobre este concepto es posible realizar dos tipos de operaciones útiles en el manejo de radicales: Simplificación, queconsiste en dividir el índice y el exponente del radicando por un divisor común. Así, Cuando el índice y el exponente son primos entre sí, la raíz se dice irreducible. Reducción a índice común, basada en el cálculo del mínimo común múltiplo de todos los índices de una operación con raíces que permite englobar a varios radicandos bajo un mismo índice común. Operaciones con radicales En las expresiones con radicales es posible realizar diversas operaciones: Suma: sólo posible cuando los radicales son semejantes (es decir, tienen el mismo índice y el mismo radicando). Por ejemplo, Producto: definido como Si los dos radicales tuvieran índices diferentes, se calcularía el mínimo común múltiplo entre ambos y se reducirían ambos radicales a un índice común. Por ejemplo, Cociente: con las mismas salvedades que el producto. Potencia: Radicación: definido como
La relación entre la altura y la anchura de la fachada del Partenón de Atenas es igual al número áureo. Las proporciones áureas han sido utilizadas por artistas de todas las épocas, tanto en arquitectura como en pintura, escultura o fotografía. Extracción y racionalización de un radical Dentro de las operaciones con radicales, cabe distinguir entre dos tipos de manipulaciones interesantes. Por una parte, cuando en el radicando existen números que pueden expresarse como potencias de orden superior al índice de la raíz, ésta puede extraerse, según la fórmula: Donde m  n, c es el cociente de m/n y r el resto. Por ejemplo, Por otra parte, cuando en una fracción existen radicales en el denominador,éstos pueden trasladarse al numerador en una operación llamada racionalización. Así, si el denominador es un radical de índice n, se tiene que: , con n > m. Los números irracionales aparecen en las construcciones geométricas más sencillas. Por ejemplo, en un
cuadrado de lado igual a 1, la diagonal adopta como valor Ö2, un número irracional.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas. Progresiones aritméticas Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1. an = a1 + (n - 1) d. Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R. Suma de los términos de una progresión aritmética Para determinar la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética, denotada por a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an, basta con considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2, etcétera, son equidistantes, de maneraque todos estos pares suman una misma cantidad. Generalizando esta consideración, se tiene que la suma de todos los términos de una progresión aritmética es igual a: Interpolación de términos en una progresión aritmética Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar otros m términos, llamados medios diferenciales, de manera que todos ellos integren una nueva progresión aritmética (con m + 2 términos) donde a y b sean los extremos. La diferencia de esta progresión se determinará con arreglo a la siguiente fórmula:
Progresiones geométricas Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón. El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como: an = a1  rn-1 Suma y producto de los términos de una progresión geométrica La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones: Esta fórmula sólo es válida si r  1, ya que si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la
suma sería Sn = a1  n. Cuando r > 1, la progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito. En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y la progresión se irá acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando | r | < 1, puede demostrarse que la suma se convierte en: Por otraparte, es fácil obtener que el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual a: Interpolación de términos en una progresión geométrica Entre dos términos a y b de una progresión geométrica es posible intercalar m términos, denominados medios geométricos o proporcionales, tales que todos ellos (los m + 2 términos resultantes) constituyan una nueva progresión geométrica de razón r determinada como:
ORIGEN DE LOS NÚMEROS Desde los tiempos primitivos, el hombre ha sentido la necesidad de contar, ya fuera sus piezas de caza, sus utensilios o el número de miembros de su tribu. En este sentido cabe tal vez interpretar algunos vestigios antropológicos singulares, como las muescas ordenadas que aparecen incisas en algunas paredes rocosas o en los útiles prehistóricos. Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones Desde el Neolítico, los sistemas de cómputo y numeración se fueron complicando y enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos. Así, por ejemplo: Los primeros signos numéricos egipcios conocidos datan de hace unos 7.000 años. Su método se basaba en agrupar los elementos de diez en diez, y asignar a cada grupo de diez un símbolo diferente. Los babilonios utilizaban, hacia el año 1700 a. C., un sistema de numeración de base 60, enormemente complicado por la cantidad de numerales que consideraba. La civilización grecolatina utilizó lasletras del alfabeto como signos numerales. Su sistema de numeración contaba de diez en diez. En América, la cultura maya usaba desde el siglo IV d. C. un sistema de numeración de base 20, en el que, por primera vez en la historia, se utilizó la noción de número cero. En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual, que fue transmitido a Occidente a través de los árabes. La numeración romana El Imperio romano difundió en toda Europa, norte de África y Asia occidental su propio sistema de numeración, que todavía se utiliza en algunos contextos especiales. Este sistema, de base decimal, utiliza letras como símbolos de varias unidades elementales (I para 1;V para 5; X para 10; L para 50; C para 100; D para 500 y M para 1.000).
El sistema romano resultaba muy práctico para realizar sumas y restas, aunque no multiplicaciones y divisiones. Por ello, aun cuando se conserva para indicar ciertas cantidades (por ejemplo, años), desde el Renacimiento fue desplazado por el sistema indo-arábigo. Símbolos indo-arábigos La notación numérica usada universalmente en la actualidad procede de sistemas de numeración hindúes ya existentes hacia el siglo VI d. C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en Europa dos ventajas sustanciales: El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve cifras del sistema. (La noción del cero había sido también desarrollada en América por la cultura maya.)La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica. Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (h. 780-h. 850), autor del primer manual de aritmética inspirado en el sistema decimal posicional. En el siglo XIII, las traducciones al latín de las obras de los matemáticos árabes hicieron posible que los sabios escolásticos medievales conocieran los principios del sistema numeral posicional. No obstante, fue el italiano Leonardo de Pisa quien, en su obra Liber abaci (1202), ofreció una exposición de las cifras hindúes en la que se sitúa el origen del sistema moderno de numeración. La grafía de los numerales tomados del sistema de numeración indo-arábigo experimentó ciertos cambios desde su adopción en Europa en el siglo XII hasta su expresión actual. El lenguaje universal de los números Con respecto al sistema romano, el indo-arábigo proporciona indudables ventajas en el plano práctico y conceptual: Se crea a partir de una notación sencilla, basada en el uso de diez guarismos, entre los que se incluye el cero, y conceptualmente rica, por la idea del valor posicional de los numerales. Permite simplificar de forma muy notable las operaciones aritméticas de multiplicación y división, sin complicar las de suma y resta. Resulta adecuado para los desarrollos de la matemática moderna. Por todo ello, el sistema indo-arábigo se ha impuesto progresivamente entodas las culturas del mundo, hasta el punto de que en la actualidad constituye un lenguaje escrito universal comprendido por todos los seres humanos, que utiliza una misma grafía incluso en idiomas cuyos alfabetos son diferentes (latino, cirílico, alfabetos orientales, etcétera). OPERACIONES SENCILLAS Es posible que en algún momento hayas oído la expresión "estamos en números rojos", es decir, que el saldo de la cuenta bancaria está por debajo de 0 euros y por tanto se le debe dinero al banco. Se dice entonces que existe un saldo negativo en la cuenta, que se representa con un número entero, por ejemplo, -100 euros. También utilizamos los números enteros cuando expresamos temperaturas, por ejemplo, cuando hace mucho frío y la temperatura está bajo cero ("la mínima ayer fue de -2º C"), cuando bajamos a
las plantas subterráneas de algunos edificios y en el ascensor pulsamos el botón -1, o cuando un submarinista se adentra en las profundidades del mar a -1.000 metros. Los números enteros El conjunto de números enteros se designa con la letra Z y está compuesto por: Los números enteros negativos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1}. El número cero: 0. Los números enteros positivos: Z+ = {..., 1, 2, 3, 4}. Los números naturales se consideran números enteros positivos y van precedidos del signo positivo (+), aunque no es obligatorio utilizarlo y no suele escribirse. A cada entero positivo le corresponde un número entero negativo, precedido obligatoriamente por el signo negativo (-). Si representamos los números enteros en una recta numérica, veremos que un númeroentero A es menor a otro número entero B si al representarlo se ubica a la izquierda del mismo. El sentido positivo es el que va desde 0 hacia la derecha o hacia arriba y el sentido negativo el que va de 0 a la izquierda o hacia abajo. Existen una serie de reglas para la ordenación y comparación de números enteros: Si los dos números enteros son positivos, es menor el que tenga menor valor absoluto: 4 < 8 Si los dos números enteros son negativos, es menor el que tenga mayor valor absoluto: -8 < -4 Si uno es positivo y el otro negativo, es menor el negativo: -8 < 4 Todos los números negativos son menores que cero: -8 < 0 Todos los números positivos son mayores que cero: 4 > 0 El valor absoluto El valor absoluto de un número entero es el número de unidades que dista de cero. Por este motivo, la ordenación de los números enteros se realiza con respecto al 0. Así mismo, el valor absoluto también puede expresarse como el número natural que se obtiene tras suprimir el signo positivo (+) o negativo (-). Se expresa poniéndolo entre barras: Número entero Representación del valor absoluto Valor absoluto +5 |+5| 5 -5 |-5| 5 Suma de números enteros Si cogemos el ascensor de unos grandes almacenes en el 2º piso (+2) y subimos 3 pisos (+3), nos encontraremos en la planta 5ª (+5). Con este sencillo ejemplo vemos cómo, aunque no nos demos cuenta, utilizamos constantemente la suma de números enteros.
Se presentan varios casos de suma de números enteros: Suma de números enteros positivos: se suman los valores absolutos de los números. Al resultado se le poneel signo positivo. (+3) + (+5) = (+8) Suma de números enteros negativos: se suman los valores absolutos de los números. Al resultado se le pone signo negativo. (-3) + (-5) = (-8) Suma de dos números enteros de distinto signo: se restan los valores absolutos. El signo será el que tenga el número de mayor valor absoluto. (+3) + (-8) = (-5) Además, la suma de números enteros cuenta con algunas propiedades.
Resta de números enteros Si cogemos el ascensor de unos grandes almacenes en el 2º piso (+2) y bajamos 3 pisos (-3), nos encontraremos en la planta -1 (-1). La resta que hemos realizado, 2 - 3 = -1, podemos convertirla en una suma de números enteros: 2 - 3 = -1 = 2 + (-3) = -1 Esto es porque sumamos a nuestro desplazamiento 3 pisos hacia abajo (movimiento descendente, representado con un número negativo). Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto. Por tanto, para restar números enteros: 7 - (-2) = 7 + op (-2) = 7 + 2 = 9 Combinación de sumas y restas Cuando realizamos una operación con números enteros que combina sumas con restas usamos paréntesis para evitar que aparezcan dos signos seguidos: 2 + (-9) + (5 + 1) - (3 - 4) Podemos actuar de dos maneras diferentes: Eliminar todos los paréntesis, y sumar y restar normalmente. Operar primero con los números que están dentro de los paréntesis y eliminarlos después. En ambos casos tenemos que suprimir los paréntesis, operación que varía en función del signo que lo precede. Cuando el paréntesis va precedido del signo negativo (-). Para suprimirlo hay quecambiar el signo a todos los números que hay dentro de él. (5 + 1) - (3 - 4) = (5 + 1) - 3 + 4 Cuando el paréntesis va precedido del signo positivo (+). El paréntesis se puede suprimir sin alterar el signo
de los números que hay dentro de él. (5 + 1) - (3 - 4) = 5 + 1 - (3 - 4) Pero a veces los paréntesis están, a su vez, dentro de otros a los que llamamos corchetes.
CÁLCULO CON CORCHETES Los corchetes son paréntesis que tienen esta forma: [ ]. Se utilizan cuando en una operación matemática hay más de un paréntesis, unos dentro de otros. Por ejemplo, 10 - [8 - (5 - 2) + (-2 + 3)] + 1 Podemos calcular esta operación con corchetes de dos formas: 1. Primera 1. Se hace la operación del interior del paréntesis. 2. Se hace la operación del interior del corchete. 10 - [8 - 3 + 1] + 1 = 10 - [6] + 1 = 5 2. Segunda 1. Se suprimen los paréntesis. 2. Se suprimen los corchetes. 10 - [8 - 5 + 2 - 2 + 3] + 1 = 10 - 8 + 5 - 2 + 2 - 3 + 1 = 5 Al quitar un corchete precedido de un signo negativo (-) hay que cambiar todos los signos de los números que hay dentro de él. Multiplicación con números enteros Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto será positivo si los factores tienen el mismo signo y negativo si los signos son distintos. La multiplicación se representa con el signo × (equis) o con el signo · (punto). En esta tabla tienes las combinaciones de signos posibles en los resultados de la operación multiplicación de números enteros. Regla de los signos del producto + x + = + x = ++ x = x +
= -
Algunos ejemplos de estos productos son: (+8) · (+2) = + 16 (- 8) · (- 2) = + 16 (+8) · (- 2) = - 16 (- 8) · (+2) = - 16 El producto de números enteros cumple las mismas propiedades que el producto de números naturales. El matemático y astrónomo Brahmagupta fue el primero en utilizar los números negativos y, además, enunció las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división). Este matemático realizaba las operaciones básicas con lo que él llamaba "bienes" (números positivos), "deudas" (números negativos) y "la nada" (el cero). Propiedades del producto de números enteros Propiedad conmutativa. El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: (a) · (b) = (b) · (a) Propiedad asociativa. Los factores de un producto de números enteros pueden asociarse de diferentes formas. Ejemplo: (a) · [(b) · (c)] = [(a) · (b)] · (c) Elemento neutro. El producto de cualquier número entero por 1 es el mismo número. Ejemplo: (a) · 1 = (a) Propiedad distributiva respecto a la suma o la resta. Para multiplicar una suma o una resta por un número, se multiplican cada uno de los términos de la suma o de la resta por ese número y, a continuación, se suman o se restan los resultados. Ejemplo: a · (b + c) = a · b + a · c División con números enteros Para dividir dos números enteros se dividen primero sus valores absolutos y al cociente se le pone signo positivo (+) o negativo (-), según tengan el dividendo y el divisor igual o diferente signo. La división se representa con el signo /, con el signo: (dospuntos) o con el signo ÷. Regla de los signos del producto + / + = + / = +
+ / = / + = La división de números enteros no cumple la propiedad conmutativa del producto, es decir, no se puede cambiar el lugar del dividendo y del divisor. Pero tiene otras propiedades: El número 1 actúa como elemento neutro. Cualquier número entero dividido entre 1 dará el mismo número: (+8): (+1) = 8(-9): (+1) = -9 No se puede dividir entre 0, pues no hay ningún número que, al multiplicarlo por 0 (que sería el divisor) nos dé algo distinto de cero (que sería el dividendo). El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero. Sabemos que el producto de dos números enteros da lugar a un número entero, pero no ocurre lo mismo en la división. ¿Por qué? Veamos un ejemplo: (-2): (+4) = ¿? No hay ningún número entero que al multiplicarlo por (+4) nos dé (-2).
Jerarquía de las operaciones Cuando se realizan operaciones combinadas con números enteros, es decir, cuando tenemos a la vez suma, resta, multiplicación o división, no podemos realizarlas de forma arbitraria. Aunque no es obligatorio, se suele empezar a operar por la izquierda. Pero si existe una jerarquía de las operaciones que debe respetarse, y es la siguiente: Si hay paréntesis y corchetes, primero se resuelven las operaciones que hay en su interior. Se realizan las multiplicaciones y divisiones. Se realizan las sumas y restas. Veamos un ejemplo para comprenderlo mejor: 1. -4 · 2 + (-3) · 7 - (2 + 2). Primero se resuelve el paréntesis. 2. -4 · 2 + (-3) · 7 - 4.Después se realizan las multiplicaciones. 3. -8 + (-21) - 4. Finalmente se resuelven las sumas y las restas. El resultado es -33.
CÁLCULO MENTAL Todos alguna vez hemos sumado y restado utilizando los dedos. Pero está claro que este sistema no es
precisamente el más rápido. Si nos acostumbramos a realizar operaciones sencillas sin utilizar la calculadora, observaremos cómo vamos progresando satisfactoriamente en otras más complicadas. Nuestra mente se volverá así más ágil a la hora de resolver otros tipos de situaciones que necesitan de una respuesta rápida. No es necesario papel ni calculadora, sólo pensar. Las reglas de cálculo son muy sencillas, es una cuestión de práctica y concentración. Desarrollo del cálculo mental Es posible que te hayas encontrado en algún momento con esta situación: estás en el supermercado y quieres saber si llevas suficiente dinero para pagar la compra, pero no tienes una calculadora. No necesitas saber con exactitud cuánto llevas gastado, bastaría con una aproximación. Esta situación puede ser resuelta de forma rápida utilizando el cálculo mental. Es posible conseguir resultados rápidos y sorprendentes con estas sencillas indicaciones: 1. Utilizar las tablas de multiplicar y la forma en que se realizaban las sumas en nuestra primera etapa escolar. 2. Repasar dichas tablas unas cuantas veces hasta que se hayan recordado y realizar sumas desde las más sencillas a las más complicadas. 3. Adquirir unos mínimos conocimientos matemáticos, ya que a veces puede ser necesario descomponer números complicados en otros mássencillos que faciliten el cálculo. 4. Utilizar el sentido común en estas situaciones. Las bases de la operación suma Las reglas para realizar mentalmente una suma parecen complicadas. Pero si las lees detenidamente verás que muchas ya las conoces. Conmutatividad. Es más sencillo sumar el número mayor con el menor que el menor con el mayor (6 + 3 y no 3 + 6). Y debido a esta propiedad de la suma, el resultado es el mismo. Conteo ascendente. Es más fácil contar de dos en dos o de tres en tres. Prueba a contar las monedas que llevas de esta forma.
Dieces. Para sumar 10 a un número de una cifra, añadimos un 1 a la izquierda de dicho número. Dobles. Al sumar dos cifras iguales, doblamos el número. Dobles más uno. 57 + 58 se suma más fácil doblando el 57 (114) y añadiéndole 1, operación que da 115. Número misterioso. Para sumar dos números casi consecutivos, como 7 y 9, doblamos el número intermedio. Es decir, 8 + 8 = 16. Los nueves. Para sumar 9 a cualquier número, sumamos 10 y restamos uno.
La familia del 10. Para sumar muchos números, es más sencillo comenzar emparejando los que sumen diez. Buscando el diez. En una suma, descomponemos uno de los números para poder llegar a diez con el otro sumando.
La tabla de multiplicar Al igual que con la suma, sólo tendrás que recordar unas reglas que ya aprendiste cuando estudiabas en el colegio. Conmutar: si sabes cuánto es 7 · 8 sabrás cuánto es 8 · 7. Escoge la opción que te resulte más fácil. Doblar: multiplicar por dos es lo mismo que sumar el número dos veces. Añadir un cero: si tienesque multiplicar un número por diez, añádele un cero a su derecha ¡y ya está! Doble y mitad: si tenemos, por ejemplo, 25 · 14, es más fácil doblar el 25 y después dividir entre dos 14. Es decir, 50 · 7 = 350. Cero y mitad: si tienes que multiplicar un número por 5, simplemente multiplícalo por diez y divídelo entre dos. Descomposición: si los números son de varias cifras, es más rápido descomponer uno de ellos en sumas o restas de números más pequeños. Por ejemplo, 57 ·13 equivale a (57 · 10) + (57 · 3). Patrones: los resultados se memorizan porque son curiosos o chocantes. Multipliquemos con los dedos de las manos Todos alguna vez hemos contado con los dedos de las manos. Pero lo que no todos saben es que también se puede multiplicar de una forma rápida y segura con ellos. Si te resulta difícil multiplicar a partir de número 5, sólo tienes que seguir las indicaciones que aparecen a continuación. Asignamos a cada dedo un valor: desde el 6 para el pulgar hasta el 10 para el meñique. Con los pulgares hacia arriba, juntamos los dedos que corresponden en cada mano a cada uno de los números que queremos multiplicar. Mentalmente, asignamos a los dedos unidos y a los que queden por encima de los unidos el valor 10, y los sumamos. Contamos el número de dedos que quedan por debajo de los dedos unidos, el número de dedos en la mano derecha y el número de dedos en la izquierda. Se multiplican estos números y se suma el resultado de esta multiplicación a la cifra obtenida anteriormente. Como posiblemente te habrás hecho un lío, pincha sobre el siguiente ejemplo paraverlo mucho más claro. Sumas rápidas o cálculo pensado aditivo Para calcular sumas de forma rápida existen varios métodos: Redondeo: buscamos que uno de los números acabe en cero mediante sumas y restas. Ejemplo: 57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95 Conteo: sumamos progresivamente a uno de los números, de izquierda a derecha, el otro; es decir, lo
último que sumaremos serán las unidades, antes sumaremos las decenas, antes las centenas... Ejemplo: 283 + 435 = (283 + 400) + 35 = 683 + 35 = (683 + 30) + 5 = 713 + 5 = 718 Recolocación: agrupamos los números cuyas unidades sumen diez. Es más fácil sumar números que acaban en cero. Ejemplo: 57 + 86 + 53 + 34 = (57 + 53) + (86 + 34) = 110 + 120 = 230 Descomposición: separamos los sumandos en otros fáciles de sumar, intentando que acaben en cero o que sumen diez. Ejemplo: 77 + 148 = 70 + 7 + 140 + 8 = (70 + 140) + (5 + 3) + 7 = 210 + (3 + 7) + 5 = 225 Estas mismas reglas sirven también para la resta, ya que esta operación es la inversa de la suma. Cálculo pensado multiplicativo Para calcular el resultado de una multiplicación podemos recurrir a algunos métodos que nos ayuden a hacerlo más rápidamente: Imagina que coges un lápiz y un papel, y representa mentalmente la operación. Utiliza el Método de la distribución, que consiste en descomponer uno de los factores en una suma de otros más sencillos. Ejemplo: 8 · 4,211 = 8 (4,000 + 200 + 10 + 1) = 32,000 + 1,600 + 80 + 8 = 33,688
8,4211 8. (4,000+200+10+1) 32,000+1,600+80+8 33,688 Utiliza el Método de factorización, queconsiste en transformar cada factor en pequeños productos de números más sencillos. Ejemplo: 25 · 48 = (5 · 5) · (6 · 8) = (5 · 8) · (5 · 6) = 40 · 30 = 1.200 Estos mismos trucos se pueden aplicar también a la división, ya que esta operación se puede expresar como una multiplicación. Resultados aproximados Cuando nos interesa más obtener un resultado de forma rápida que la exactitud del cálculo en sí mismo, podemos recurrir a dos técnicas que nos dan resultados aproximados. Eso sí, hay que tener en cuenta que conllevan un error que será mayor cuanto más nos alejemos de las cifras reales. Redondeo: consiste en sustituir cifras por ceros. Para entenderlo, vamos a calcular el sueldo anual de un trabajador que cobra 1.207,75 euros al mes. Si multiplicamos 1.200 euros por 12 meses, obtendremos el
resultado aproximado de 14.400 euros anuales, aunque la cifra real que esta persona percibe es de 14.493 euros. Truncamiento: con esta operación eliminamos decimales, que siempre dificultan la operación del cálculo matemático. Supongamos que Iñaki utiliza la calculadora para saber lo que se gastarán él y su mujer Ainhoa en la compra doméstica. Ella lo va calculando mentalmente: tiene en cuenta que si los céntimos son inferiores a 50 suma los euros que marca el precio, y si los céntimos son 50 o más añade un euro al precio. Antes de pasar por caja, Ainhoa le dice a su marido que la compra les costará unos 55 euros ¡y sin calculadora! Iñaki mira el resultado en la pantalla y observa sorprendido que el resultado son 54,68 euros. Así por ejemplo, si han comprado dosproductos de 48,56 y 6,12 euros respectivamente (54,68 euros en total), Ainhoa ha podido calcular de forma aproximada que van a costar un total de 55 euros (49 + 6).
NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales. Concepto de número natural El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos. El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4,...}. En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4,...}. Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que). Números enteros De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...}.Este conjunto se denota por Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N  Z. En sentido estricto, un número entero se define como una clase de equivalencia del conjunto de pares de la correspondencia N x N, de manera que a cada par de elementos (n1, n2) le hace corresponder un número entero z definido como z = n1 - n2. Por ejemplo, los pares (1,3), (2,4), (14,16), (20,22), etc., son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número entero -2. El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras decimales.
Representación de los números enteros El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z. En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n  m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado. Representación gráfica del conjunto Z. Operaciones con números enteros En el conjunto de los números enteros se definen habitualmente dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados dos números enteros a 5 (a1, a2) y b 5 (b1, b2), la suma se define como:
Por ejemplo, la suma de 4 y (21) puede escribirse como: (4) + (-1) = (5, 1) + (3, 4) = (8,5) = 3. Por su parte, el producto se obtiene como: Así, el producto de 4 por (-1) se calcularía como: (4)  (-1) = (5, 1)  (3, 4) = = (5  3 + 1  4, 5  4 + 1  3) = (19, 23) = 24.
Múltiplos y divisores En el conjunto de los números enteros, se dice que un número n es divisor de otro m, y se escribe n | m, si existe un entero q tal que n  q = m. También se dice entonces que n divide a m, o que m es múltiplo de n o es divisible por n. Por ejemplo, 4 es divisor de (-12), ya que 4  (-3) = (-12) y -3 es un número entero. Según las reglas de la divisibilidad, cabe distinguir dos clases genéricas de números enteros: Números primos: son aquellos distintos de la unidad que sólo admiten como divisores a él mismo, a su opuesto y a la unidad. Números compuestos: son todos los restantes. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Dados dos o más números enteros, el máximo común divisor (m. c. d.) de todos ellos es el mayor de sus divisores comunes. Por su parte, el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números enteros es el menor de sus múltiplos comunes. Para calcular estos dos valores se han de descomponer en sus factores primos los números de partida, es decir, en un producto de números enteros que sean números primos. Entonces, el m. c. d. se calcula como el producto de todos los factores primos comunes de los números elevados al menor exponente; el m. c. m. se obtiene como el producto de los factores primos comunes y no
comunes elevados al mayor exponente. ECUACIONES DE PRIMER GRADO El planteamiento de ecuaciones enmatemáticas responde a la necesidad de expresar simbólicamente los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notación simbólica, y no sólo lógica, para explicar sus proposiciones matemáticas fue el griego Diofanto de Alejandría, en el siglo III a.C., por cuya razón las primeras ecuaciones algebraicas se dieron en llamar diofánticas. Igualdades, identidades y ecuaciones Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad. Una igualdad de expresiones algebraicas se denomina ecuación cuando sólo se cumple para determinados valores de la variable o variables (soluciones de la ecuación), e identidad si se cumple para todo valor de la variable o variables (incógnitas) que contiene. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Epigrama del siglo V o VI d.C. propuesto a modo de ecuación por un discípulo de Diofanto para explicar datos de la vida de este sabio griego: ¡Transeúnte!, en esta tumba yacen los restos de Diofanto. De la lectura de este texto podrás saber un dato de su vida. Su infancia ocupó la sexta parte de su vida, después transcurrió una doceava parte hasta que su mejilla se cubrió de vello. Pasó aún una séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio. Cinco años más tarde tuvo lugar el nacimiento de su primogénito, que murió al alcanzar la mitad de la edad que su padre llegó a vivir. Tras cuatro años de profunda pena por la muerte de su hijo, Diofanto murió. De todo esto, dime cuántosaños vivió Diofanto.
Clases de ecuaciones Las ecuaciones algebraicas se clasifican según distintos criterios: Según el número de incógnitas: Ecuaciones de una incógnita, de dos, de tres, ?, de n incógnitas. Según el término de mayor grado: de primer grado (lineales), segundo grado (cuadráticas), tercer grado (cúbicas), de grado n. Según la forma de presentación de las variables: enteras, cuando no existe ninguna incógnita en el denominador; fraccionarias, con incógnitas en algún denominador; racionales, si las incógnitas no aparecen dentro de raíces cuadradas, cúbicas, etcétera, e irracionales, si las incógnitas se presentan dentro de alguna de estas raíces. Propiedades de las igualdades Para la resolución de ecuaciones algebraicas es preciso tener en cuenta las propiedades elementales de las igualdades: Cuando se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente. Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen globalmente por un mismo número, el resultado es también una ecuación equivalente. Cuando se divida tiene que ser por un número distinto de cero.
Estas propiedades suelen utilizarse para transponer términos, mediante dos técnicas complementarias: Sumar en ambos miembros de una ecuación el valor opuesto (cambiado de signo) de un término que se quiera transponer de un miembro a otro. Multiplicar ambos miembros por el inverso del término que se quiera transponer. Ecuaciones de primer grado con una incógnita La resolución de problemas algebraicos se basa en elconcepto de ecuaciones equivalentes. Esta idea tiene particular aplicación en el caso de las ecuaciones lineales o de primer grado en las que sólo existe una incógnita (normalmente denotada por x), siempre en el numerador de los términos y elevada al grado 1. Un ejemplo de ecuación de primer grado, con una incógnita sería 3x + 5 = 4  (1 - x) + 2x. Para resolver las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se emplea un procedimiento genérico que se ilustra en el ejemplo adjunto: Sea la ecuación: Para resolverla se aplican los siguientes pasos: 1. Se eliminan denominadores, multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que aparezcan (en el ejemplo, sería 12). Entonces, se obtiene: 9x + 48 = 48 (1 - x) + 16x 2. Se eliminan los paréntesis, con lo que queda: 9x + 48 = 48 - 48x + 16x 3. Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita en un miembro y los que no la tengan en el otro: 9x + 48x - 16x = 48 - 48 4. Se simplifican los dos miembros, efectuando las operaciones necesarias: 41x = 0 5. Se despeja la incógnita: x = 0 6. Se comprueba la solución sustituyéndola por la incógnita en la ecuación inicial. Inecuaciones Paralelamente a los conceptos de igualdad y ecuación pueden definirse los de desigualdad e inecuación. Una desigualdad resulta de la comparación entre dos expresiones algebraicas separadas por los símbolos menor (), menor o igual (ï‚£) o mayor o igual (). El resultado de esta desigualdad es una inecuación. Resolver una inecuación es hallar el valor o conjunto de valores(raíces) que la verifican, de manera que distintas inecuaciones con iguales soluciones se dicen equivalentes. Un ejemplo de inecuación podría ser 3x + 5  4  (1 - x) + 2x. Propiedades de las desigualdades Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades de las desigualdades: Cuando se suma o resta un mismo término en ambos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por un número o cantidad positivos, la inecuación resultante es equivalente; si este número o cantidad son negativos, la inecuación resultante es
también equivalente, pero ha de invertirse el signo de la desigualdad. Estas propiedades se utilizan, al igual que en las ecuaciones, para transponer términos y obtener las raíces o soluciones. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO En el planteamiento de numerosos problemas, como la resolución de triángulos rectángulos o el estudio de movimientos físicos con aceleración, aparecen términos desconocidos elevados al cuadrado. Tales problemas se resuelven por medio de ecuaciones de segundo grado, también llamadas cuadráticas. Ecuaciones cuadráticas Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda aquella que tiene la forma general reducida ax2 + bx + c = 0, siendo a  0. El coeficiente a se llama cuadrático o principal, b es el Resolución y discusión de coeficiente lineal y c el término independiente. Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa. Si el coeficiente lineal o el términoconstante son nulos, la ecuación es incompleta. Ecuaciones cuadráticas En el planteamiento de la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita pueden darse varios casos: Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término independiente (ax2 = 0), la solución es x = 0 (doble). Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax2 + c = 0), las raíces son Cuando es incompleta sin término independiente (ax2 + bx = 0), tiene dos raíces: x1 = 0, y x2 = -b/a. Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula:
El valor b2 - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que si es mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces reales distintas; si es igual a cero, existe una única solución doble dada por x = -b/2a, y si es menor que cero, las soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos (no son reales). Relación entre las raíces y los coeficientes Del estudio comparado de las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado con una incógnita se extraen algunas conclusiones interesantes: La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x1 + x2 = -b/a. El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal: x1  x2 = c/a. Si se conocen la suma s = x1 + x2 Telefónica Coste moderado con interacción personal. Informaciones complementarias. Ausencia de contacto directo. Falta de anonimato.
Personal Resultados fiables. Información más completa. Mayor índice de respuestas. Información complementaria. Alto coste. Falta de intimidad del encuestado. Ausencia de anonimato. Por correo Bajo coste. No requiere encuestador. Mayor dispersión de la muestra. Intimidad del encuestado. Falta de control en las respuestas. Muchos cuestionarios no se rellenan. Preguntas sin responder.Tabulación de respuestas Los cuestionarios de las encuestas pueden formular varios tipos de preguntas: abiertas, cerradas parcialmente o totalmente cerradas: 1. Ejemplos de preguntas totalmente abiertas son las que aparecen en un cuestionario bajo el epígrafe respuesta libre, o que simplemente dejan un espacio amplio para que el encuestado aporte sus opiniones acerca de la pregunta. 2. Las preguntas totalmente cerradas son las de tipo test y respuesta única (de estilo sí/no, o de elección entre un número predefinido de respuestas posibles). 3. Finalmente, existen preguntas parcialmente cerradas, o de respuesta múltiple, que permiten al encuestado señalar varias contestaciones posibles dentro de una lista acotada de posibilidades. Ejemplo de una pregunta de cuestionario de respuesta única. Todos los días 29,4 Dos o tres veces por semana 14,3 Una vez por semana 10,7 De vez en cuando 21,5 Nunca 24,1 Total 100 Ficha técnica En todas las encuestas se aporta una ficha técnica que resume las características del estudio. Esta ficha técnica es obligatoria en las conclusiones y resultados de la encuesta. En la ficha, se incluyen los siguientes datos: Marco de referencia: local, regional, nacional, mundial. Características de los encuestados. Procedimiento de muestreo y de selección de los encuestados. Propiedades de la muestra: tamaño, error muestral, nivel de confianza o intervalo de confianza. Fecha de realización y duración de la recogida de datos. Autores de la encuesta.