Matemática Maravillosa - Fundación Polar by Daniel Felipe García Pulgarín

Introducciรณn

2006 Espiral de Fibonacci (2006) La imagen representa el desarrollo de la espiral de Fibonacci utilizando al รกtomo como inicio y al Universo como la representaciรณn del infinito. Esta espiral pasa por los distintos estadios de la complejidad universal: รกtomo, organismo multicelular, girasol, el hombre, el planeta Tierra y el Universo. Ilustraciรณn: Rogelio Chovet

Fascículo 1 • Introducción

Nuevamente ponemos en tus manos, amigo lector, joven estudiante, respetado educador, un material de estudio cuidadosamente elaborado que, estamos seguros, se convertirá en una herramienta útil para una mejor comprensión y dominio de los conceptos y técnicas propias de la matemática. Matemática Maravillosa, como hemos titulado la colección que hoy iniciamos, está particularmente dirigida a los estudiantes de los últimos años del bachillerato, educación técnica y preuniversitaria. En esta obra que presentaremos en 30 fascículos se aborda la matemática de las formas y las transformaciones a través de temas tales como: polígonos y poliedros, trigonometría, cónicas y cuadráticas, matrices, fractales y para cerrar la colección disfrutarán de unos fascículos finales que vinculan la matemática con las artes, la arquitectura y la ingeniería. Como en las colecciones anteriores, Matemáticas para todos y El mundo de la matemática, donde se expusieron los contenidos propios de la educación básica y media, en esta obra sus autores, luego de un arduo trabajo, han volcado lo mejor de sus talentos, formación y experiencia y han puesto especial cuidado en presentar los temas tratados de una manera sencilla, atractiva y motivante, con profusión de imágenes y gráficos que ilustran los diversos conceptos desarrollados, relacionándolos permanentemente con hechos de la vida cotidiana y estableciendo numerosas conexiones entre esta importante disciplina y otras áreas del conocimiento tales como: física, química, geografía, economía, entre otras, lo cual le imprime a estas colecciones un carácter decididamente innovador. Empresas Polar, de la mano con su fundación y el decidido apoyo del diario Últimas Noticias, harán posible que cada martes, miércoles y jueves, durante los próximos meses, llegue gratuitamente Matemática Maravillosa a cientos de miles de hogares venezolanos trayendo luces para todos. Impulsados por nuestra fe en el porvenir, desde Fundación Polar seguiremos aportando soluciones. Leonor Giménez de Mendoza

Fascículo 1 • Introducción

Matemática Maravillosa concluye la colección de tres volúmenes cuyos dos primeros se publicaron en los años 2004 y 2005 y llevan por título, respectivamente, Matemática para todos y El mundo de la matemática. Esta trilogía constituye una unidad dentro de la multiplicidad de temas presentados, abarcando desde el nivel de la tercera etapa de la educación básica hasta el primer semestre universitario y recorriendo el espectro de una variedad temática integrada por contenidos de aritmética, álgebra, geometría, medidas, trigonometría, gráficos, curvas y superficies, estadística y probabilidades, llegando hasta temas más recientes como los códigos, los fractales, los splines, los modelos matemáticos, y ciertos aspectos de estadística utilizados actualmente como tallos, hojas y cajas, los cuales impregnan el dinamismo de la matemática y suministran una característica de su vitalidad. Esta tercera colección de fascículos, Matemática Maravillosa, se orienta básicamente hacia los alumnos y docentes de la educación media, diversificada y profesional, y los del primer semestre universitario. Asimismo, para aquellos bachilleres en ciencias, profesionales y técnicos que cursaron algunas asignaturas de matemática y quisieran revisar ciertos contenidos de una manera actualizada y vinculada a diversas disciplinas como la de ellos mismos. Ha sido un esfuerzo de trabajo sostenido durante más de cuatro años de un equipo multidisciplinario de profesionales (matemáticos, docentes de matemática de educación básica y media diversificada, especialistas en educación matemática, especialistas de lenguaje, físicos, estadísticos y diseñadores) que, bajo el patrocinio de la Fundación Polar y con el apoyo para su publicación del diario Últimas Noticias, han permitido alcanzar la meta de producción de esta obra que en su totalidad cubre más de 600 páginas.

Fascículo 1 • Introducción

A través de toda la obra los temas se presentan en una forma sencilla, prestando atención especial al uso de imágenes y gráficas que ilustran los diversos conceptos y temas desarrollados. Estos temas cubren parte de la matemática que figura en los programas oficiales de los niveles educativos en referencia, pero son expuestos de una forma más atractiva a lo cotidiano del aula puesto que incluyen diversas secciones, a saber: reseñas históricas, situaciones interesantes, retos, tengo que pensarlo, juegos, ayer y hoy, ventana didáctica y orientaciones metodológicas, información actualizada de libros y páginas web, y numerosas conexiones de la matemática con otras áreas: arquitectura, ingeniería, artes, medicina, geografía, béisbol, poblaciones, economía, química, física, entre otras, que usualmente no se contemplan en esos programas de estudio. Tanto el equipo de redacción y diseño de los fascículos como los patrocinantes: Empresas Polar, Fundación Polar y Últimas Noticias, aspiran que esta publicación y la colección completa, contribuyan a refrescar y aumentar el caudal cultural de los habitantes de nuestro país en cuanto a la ciencia matemática y sus vinculaciones con una vasta gama de otras disciplinas y, por otra parte, favorezcan y mejoren el proceso de enseñanzaaprendizaje. La colección de los tres volúmenes se propuso ser un canal de divulgación de la matemática para un público amplio, escrito de una manera actualizada y de fácil entendimiento. Esperamos haber alcanzado dicha meta, pues ello incide positivamente en mejorar la percepción que puedan tener los ciudadanos de la matemática y a acrecentar su importancia para el desarrollo de la sociedad.

Fascículo 1 • Introducción

El mayor porcentaje de los temas desarrollados en estos fascículos es de geometría o están vinculados con esta rama de la matemática. Igualmente, incluye trigonometría la cual aborda aspectos geométricos sobre ángulos y lados de un triángulo. Asimismo, en los contenidos sobre matrices se ha puesto especial atención a las transformaciones geométricas en un plano y en el espacio, y en los últimos fascículos que relacionan la matemática con las artes y la arquitectura, además de las vinculaciones geométricas se ha desarrollado el tema de construcciones con regla y compás y de perspectiva. En este sentido podemos afirmar que, de manera general, es una colección sobre La matemática de las formas y sus transformaciones. Los distintos temas se agrupan en los títulos que se describen a continuación.

POLÍGONOS Y POLIEDROS Iniciando por los polígonos regulares convexos y estrellados, que habíamos tratado brevemente en “Matemática para todos”, especialmente lo referido a los triángulos, ahora se insiste en sus conexiones con las artes, la arquitectura, la biología y la química, abordando el tópico de “teselaciones” con mosaicos regulares, mosaicos semirregulares, mosaicos de Escher y teselaciones de Penrose. Esto último sirve de introducción a los cuasicristales. De aquí pasamos a la dimensión tres, extendiéndonos hasta la cuarta dimensión y utilizando tanto el lenguaje de coordenadas como el de grados de libertad. Desarrollamos lo referente a los poliedros regulares convexos y estrellados e, igualmente, sus vinculaciones con las artes, la arquitectura y la ingeniería, y con la química al abordar lo relativo a los fulerenos y los nanotubos. En “Matemática para todos” ya se había iniciado el tratamiento de este tema. Al pasar a la cuarta dimensión nos referimos previamente al famoso libro de Edwin A. Abbot “Flatland. A Romance of Many Dimensions” (“Planilandia. Un romance de muchas dimensiones”, 1884) que nos sirve de introducción al tema, en donde se estudia especialmente el hipercubo mostrando algunas de sus aplicaciones.

TRIGONOMETRÍA La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones de ángulos con conceptos geométricos. Además de las funciones definidas sobre los ángulos, se tienen las funciones trigonométricas definidas sobre conjuntos de números reales, donde la vinculación entre ambas está dada por la medida de ángulos. La trigonometría de ángulos tiene importancia especial en la astronomía, la geodesia, la geografía, la navegación, las construcciones civiles, entre otras. Las funciones trigonométricas de números reales son utilizadas en el cálculo infinitesimal y en los fenómenos oscilatorios y periódicos.

Fascículo 1 • Introducción

Los fascículos dedicados a trigonometría contemplan los siguientes tópicos en cuanto a la trigonometría de ángulos: Ángulos y medida de ángulos; las funciones trigonométricas de ángulos, la identidad fundamental sen2 α + cos2 α = 1 y su equivalencia con el teorema de Pitágoras; la ley de los senos y la ley del coseno, y, finalmente, algunos aspectos de la geometría de la esfera y las coordenadas geográficas. Luego se estudian las funciones trigonométricas con dominio en un y sus gráficas respectivas. Se aplican las funciones subconjunto trigonométricas a las artes (construcción de Durero) y a la música (con las aproximaciones de Fourier). Asimismo, para honrar a un grupo de venezolanos que llegó hasta el Polo Norte, se desarrolla una aplicación referida a esta excursión.

CÓNICAS Y CUÁDRICAS La geometría del espacio ha sido un tema descuidado en los programas instruccionales previos a la educación universitaria. La visualización de figuras en el espacio desde diferentes ángulos, sus secciones con planos y sus propiedades y características, es un tema que presenta dificultades de aprendizaje para estudiantes tanto a nivel de la educación secundaria como la superior. Por ello se incluyó el estudio de las cuádricas como lo análogo de las cónicas en un plano, con el fin de explorar un tema geométrico en el espacio, además de su importancia en varias áreas de la matemática y de la arquitectura e ingeniería. Definimos las cónicas como lugares geométricos de puntos de un plano así como secciones planas de una superficie cónica. Presentamos diversas aplicaciones de las cónicas, desde las tradicionales de órbitas elípticas de los planetas al moverse alrededor del Sol y los rayos de luz en una linterna, y otras vinculantes con la arquitectura y la ingeniería. Incluimos otras curvas como la catenaria y la cicloide. El espacio lo iniciamos presentando las rectas y planos y sus posiciones relativas. Luego, al pasar del plano al espacio mediante rotación de curvas planas en torno de ejes, se obtienen superficies cuádricas de revolución: esferas, cilindros, elipsoides, paraboloides e hiperboloides. Las cuádricas son superficies muy utilizadas en la arquitectura y la ingeniería, desde las clásicas como los conos, los cilindros (que son cuádricas regladas) y las cúpulas esféricas, hasta las otras cuádricas regladas como los hiperboloides de una hoja y el paraboloide hiperbólico. De esto se muestran diversos ejemplos de obras civiles.

MATRICES Y TRANSFORMACIONES Las matrices (cuadros rectangulares de números) constituyen una herramienta fundamental en el tratamiento de los problemas lineales. De hecho, su estudio es parte del Álgebra Lineal. Mediante las mismas se pueden estudiar las transformaciones geométricas del plano y del espacio: rotaciones, reflexiones, homotecias, lo cual las vincula con la geometría. Asimismo, cabe destacar que los sistemas lineales de ecuaciones se formulan y estudian en términos matriciales.

Fascículo 1 • Introducción

El desarrollo del tema se inicia con algunas situaciones conducentes a plantear matrices y sigue con sus operaciones (adición y sustracción, producto por un número, multiplicación) y algunas matrices especiales. Se expresan diversas transformaciones geométricas del plano y del espacio con matrices y se estudian los cuadrados mágicos y los códigos como aplicaciones del álgebra matricial.

FRACTALES Este es un tema novedoso para los estudiantes y docentes, y en general para el público, puesto que no está incluido en los programas de la educación secundaria ni en el primer año universitario y, por lo tanto, gran parte de los lectores que habrán escuchado tal nombre no lo conocen, pues no tuvieron oportunidad de estudiarlo. Sin embargo, ya en “El mundo de la matemática” se motivaron las sucesiones con el fractal de Sierpinski y en el “Tengo que pensarlo” correspondiente se propuso el fractal copo de nieve de von Koch. La geometría fractal es la “geometría de la naturaleza”. Fue creada por Benoît Mandelbrot en 1975 y desde entonces se ha desarrollado vastamente, pasando a ser una teoría matemática con numerosas aplicaciones a otras ciencias e inclusive es utilizada en las artes. Presentamos ejemplos diversos de fractales: fractal de Sierpinski, fractal H, el polvo de Cantor, y se define la dimensión fractal que es, junto con la autosemejanza, la característica clave de los fractales. Además de los fractales en dos dimensiones, se construyen algunos en tres dimensiones y se dan ejemplos de fractales en obras de arte.

MATEMÁTICA, ARTE Y ARQUITECTURA A lo largo de todos los fascículos que componen los tres volúmenes de la colección de matemática, se han incluido, de manera sistemática, conexiones de los temas tratados con las artes (pintura, escultura y música) y la arquitectura e ingeniería. En el cierre de la colección presentamos una visión unificadora en cuanto a esas conexiones y una comparación entre la evolución de la matemática y la de las artes (básicamente pintura y escultura), resaltándolas con pensamientos de artistas venezolanos como Jesús Soto, Mercedes Pardo y Manuel Quintana Castillo. Asimismo, dedicamos un fascículo a construcciones geométricas; entre éstas a los polígonos regulares y a la perspectiva, puesto que como se observa a través de la colección, ellas tiene incidencia en arte, arquitectura e ingeniería. Este campo de relaciones fructíferas matemática-arte-arquitectura se ha desarrollado a nivel internacional con énfasis durante la segunda mitad del siglo XX, y mayor ímpetu a partir de los años setenta, lo que se refleja en congresos y seminarios internacionales, sociedades y revistas creadas al respecto y publicación de libros. Se espera que dicho campo se convierta en un factor útil para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, camino donde todavía hay bastante por realizar y profundizar.

Fascículo 1 • Introducción

Polígonos y poliedros

Fotografía del enrejado de la pirámide de Pei que es la cubierta de la entrada del Museo del Louvre en París, Francia.

“Si no puedo dibujarlo es que no lo comprendo” Albert Einstein (Alemania, 1879-1955).

Tributo a Einstein Bruni Sabian. Artista brasileña.

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma errónea es mejor que no pensar” Hipatia de Alejandría (Egipto, 370-415 d.C.)

El mundo de las formas poligonales y poliédricas La geometría euclidiana establece como elementos básicos puntos, rectas, planos y el espacio. Estudia las diferentes figuras que se pueden construir con esos elementos, con parte de ellos y con otras figuras como cónicas, cuádricas, etc. Así, con semirrectas y segmentos como partes de rectas se comienzan a construir ángulos, polígonos y poliedros.

Punto. Dimensión 0: no tiene largo, ancho ni altura

Recta. Dimensión 1: tiene largo, no tiene ancho ni altura

El mundo de los polígonos Lo anterior nos indica que los polígonos (poli=muchos y gonos=ángulo) son figuras de muchos ángulos, pero es necesario establecer que los polígonos se definen de tal forma que el número de ángulos, de lados y vértices son iguales. Una definición de polígono es: una figura plana, cerrada, formada por segmentos que se unen sólo en sus extremos y en donde dos segmentos adyacentes no son colineales.

Estos son polígonos

Plano. Dimensión 2: tiene largo y ancho, no tiene altura

Espacio. Dimensión 3: tiene largo, ancho y altura

Estos no son polígonos

Lado

Vértice

Un segmento, diferente a los lados, que une a dos vértices, se denomina diagonal del polígono. La unión de dos lados consecutivos del polígono determina un ángulo del mismo llamado ángulo interior del polígono. Un lado y la prolongación del otro determinan un ángulo exterior.

Ángulo interior

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

Ángulo exterior

Clasificación de polígonos Una clasificación de los polígonos es:

Polígonos

Convexos

No convexos (cóncavos) P

P Q

Q P

Se caracterizan porque si elegimos en el polígono dos puntos P y Q cualesquiera, el segmento PQ también está en el polígono. Otra caracterización de los polígonos convexos es que todos sus ángulos internos miden menos de 180°.

Regulares

Se caracterizan porque se puede elegir dos puntos P y Q cualesquiera en el polígono, pero el segmento PQ no está completamente contenido en el polígono. Otra caracterización es que al menos uno de sus ángulos internos mide más de 180°.

Equiláteros (lados iguales)

No regulares

Se obtienen al dividir una circunferencia en partes iguales y luego al unir los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, puede resultar un poligono regular estrellado

Se caracterizan porque son polígonos equiángulos (todos sus ángulos son iguales) y equiláteros (todos sus lados son iguales)

Decide: ¿cuáles de las siguientes figuras son polígonos? ¿Cuáles son convexos? ¿Cuáles son equiángulos? ¿Cuáles son equiláteros? ¿Cuáles son regulares? y ¿cuáles son no regulares? Explica en cada caso el porqué de tu decisión. Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

No equiláteros

El mundo de los polígonos regulares Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Por ello un polígono regular es inscrito en una circunferencia (todos sus vértices son puntos de la circunferencia) y es circunscrito en una circunferencia (todos sus lados son tangentes a una circunferencia). Se denomina ángulo central de un polígono regular el ángulo que tiene de vértice el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos.

Hexágono regular

Octágono regular

Cada ángulo central de un triángulo equilátero mide 360° =120°. 3 Cada ángulo central del pentágono regular mide 360° =72°. 5

Ángulo central 72° Apotema

¿Cuánto mide cada ángulo central de un hexágono regular? ¿El de un octágono regular? En general, ¿cuánto mide cada ángulo central de un polígono regular de n lados? Se denomina apotema de un polígono regular al segmento determinado por el centro del polígono y el punto medio de un lado del polígono. La medida de un ángulo interior de un polígono regular es igual a 180° menos la medida del ángulo central. ¿Por qué? El ángulo interior de un pentágono mide 108°. ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular y el de un octágono regular? En general, ¿cuánto mide cada ángulo interior de un polígono regular de n lados? A partir de un polígono regular de n lados se pueden construir polígonos estrellados o formas estrelladas (que son no convexas) y se clasifican en dos categorías: polígonos estrellados y polígonos falsos estrellados. Para construir una forma estrellada partimos de un polígono regular de n vértices. Enumeramos todos los vértices. Partimos de uno de éstos, por ejemplo del número 1, uniéndolos mediante segmentos de la siguiente manera: El vértice 1 lo unimos con el 3, luego el 3 con el 5, el 5 con el 7 y así sucesivamente de dos en dos (p=2). Podemos saltar de tres en tres, 1 - 4 - 7 .... (p=3), etc. Si al final se han unido todos los vértices y se llega al vértice inicial se obtiene una figura estrellada (polígono estrellado).

n=6

4 Pentagrama 1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 (p=2)

3 4

1 2

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

2α = 180°- 360° = 6 180 (6-2) = 2 x180 6 3

360°/n

Cuando resulta más de un polígono éste se llama polígono compuesto o falso estrellado.

Ángulo interno 108°

Hexagrama Falso estrellado 1-3-5-1 2-4-6-2

Falso estrellado 1-3-5-7-1 2-4-6-8-2

Otro ejemplo de polígonos estrellados

30°

A partir de un dodecágono regular (n=12), el cual se puede construir por duplicación de un hexágono regular o, también, utilizando un transportador y marcando sobre la circunferencia un ángulo central de 360°/12 = 30°. Tomar un compás y con esta abertura trazar los vértices del dodecágono. Numeramos las marcas del 1 al 12.

360° =30° 12

1 12

3 p=5

1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8-1 Resulta un dodecágono estrellado 10

p=2

1-3-5-7-9-11-1 2-4-6-8-10-12-2

6 7

p=3

Resultan dos hexágonos por

1-4-7-10-1

lo que es un estrellado compuesto o falso estrellado

2-5-8-11-2

3-6-9-12-3

Resultan tres cuadrados por

lo que es un falso estrellado 11

6 7

¿Cuántos octágonos estrellados hay? ¿Cuantos undecágonos estrellados hay? Sugerencia: Determina los números primos con 8 menores que 4 y aquellos primos con 11 y menores a 5.

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

El mundo de los cuadriláteros concíclicos Todo triángulo es inscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las mediatrices de los lados del triángulo y es circunscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo. Además, todos los polígonos regulares satisfacen las mismas propiedades. En el caso especial de los cuadriláteros, existen los que se pueden inscribir en una circunferencia denominados concíclicos o inscriptibles, como los cuadrados (polígonos regulares de 4 lados) y los rectángulos. Además de los rectángulos, hay otros cuadriláteros no regulares que son concíclicos. Mostramos varios ejemplos de estos cuadriláteros.

Una caracterización de los cuadriláteros concíclicos es la siguiente: “Un cuadrilátero es concíclico sí y solo sí tiene dos ángulos opuestos suplementarios”. Veamos porqué si un cuadrilátero es concíclico entonces tiene dos ángulos opuestos suplementarios. El cuadrilátero ABCD es concíclico. Los ángulos ADC y ABC son ángulos inscritos en la circunferencia por ello m ( ADC) es la mitad de la medida del arco ABC (en fucsia) y m ( ABC) es la mitad del arco ADC (en azul). Pero la medida del arco ABC más la medida del arco ADC es 360º, luego m( ADC) + m( ABC) = 180°. Por tanto, los ángulos ADC y ABC, opuestos en el cuadrilátero concíclico, son suplementarios. De igual forma se demuestra que los ángulos BAD y BCD son suplementarios. Observa en la figura los ángulos del cuadrilátero y los diferentes ángulos que se forman al trazar las diagonales del cuadrilátero. Se establece que si el cuadrilátero es concíclico entonces se cumple cada una de las siguientes relaciones: i) m (

BAD) + m(

BCD)=180° ii) m(

ABC) + m(

ADC)=180°

iii) a = w iv) b = u v) c = d vi) x = y Y recíprocamente, si alguna de las relaciones es verdadera el cuadrilátero es concíclico. Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

C A O

D d w A

x a

O b y

u c C

Los polígonos en el diseño, las artes y la arquitectura Desde tiempos remotos los polígonos se han utilizado en la pintura, en la arquitectura y en la decoración de monumentos, además de su sentido místico-religioso. A los pitagóricos, conocedores del dodecaedro que representa El Universo, con sus doce caras pentagonales, les fascinaba este poliedro por su relación con el pentagrama o estrella de cinco puntas que era el símbolo místico y de identificación de esa hermandad, lo que a su vez está relacionado con el número de oro. Éste fue también el signo cabalístico con el que el Fausto del gran escritor alemán Göethe (1749-1832) atrapó a Mefistófeles. Diseño de un teatro romano realizado por Vitruvio. Se observa una circunferencia para representar el perímetro interior y las filas de asientos. Se inscriben cuatro triángulos equiláteros que reproducen el polígono estrellado compuesto de 12 lados (n=12 y p=4). Los astrólogos utilizan desde tiempos inmemoriales una figura semejante a ésta para representar los 12 signos del zodíaco. En el diseño de edificaciones como templos, monumentos, edificios, también es común encontrar polígonos.

El gran genio del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci (1452-1519), en sus planos para construir iglesias utilizaba los polígonos regulares como una parte esencial del diseño. Allí vemos una planta octogonal en la que se agregan capillas a la iglesia sin que se afecte la simetría del edificio principal.

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

En la circunferencia externa del borde del teatro se situaron las columnas.

Muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de polígonos, como mostramos a continuación con Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation.

El eminente arquitecto italiano de origen suizo, Francesco Castelli, conocido como Borromini (1599-1667), uno de los maestros del barroco italiano, igualmente se valía de los polígonos. Observemos, a la derecha, el esquema geométrico de la planta de San Ivo alla Sapienza, Roma (1650), que se refleja en su parte superior. La decoración, el diseño artístico, las artes en general, tienen en los polígonos un gran aliado. Es innumerable la utilización de los polígonos en estos campos, de los que suministramos unas pocas muestras en estos fascículos.

Composición de Víctor Vasarely (Hungría, 19081997). Observa los cuadrados y los rombos, que al mantener fija la vista crean una sensación de movimiento.Vasarely es uno de los maestros del arte cinético virtual. Mediante “trucos perceptivos” se observa un movimiento debido a los ángulos de enfoque y al desplazamiento del observador.

Fascículo 2 • Polígonos y poliedros

En la fotografía observamos el famoso Pentágono sede del departamento de defensa de los Estados Unidos. Éste es el edificio más grande del mundo con forma de pentágono, consistente de cinco anillos consecutivos de cinco plantas cada uno.

Polígonos y poliedros

Rojo central (1980). El científico se ocupa de demostrar hechos, para comprobarlos, las mentes más estrictas utilizan ecuaciones matemáticas, luego vienen otros hombres, que aplican estos conocimientos y los traducen en objetos concretos con aplicabilidad práctica. El artista por su parte demuestra la otra realidad del universo, aquella que no es tangible, aquella que no se puede demostrar a través de esas fórmulas matemáticas: es la realidad sensible, son dos formas de explorar, descubrir y explicar el universo, los cuales normalmente marchan paralelas" Jesús Rafael Soto (Venezuela, 1923 -2005).

El mundo de los poliedros Pasamos del mundo de los polígonos (figuras planas o bidimensionales) al mundo de los poliedros (cuerpos en el espacio tridimensional). En el proceso de fabricación de piezas y en la construcción de edificios tiene especial importancia la interpretación del plano de la pieza o del edificio, para luego construir el modelo, réplica de la pieza que se producirá posteriormente. Así también construimos cuerpos a partir de sus respectivas redes o planos, lo que nos permite proyectar edificios y estructuras de uso en la construcción y el diseño. Las figuras representadas son cuerpos geométricos en el espacio, limitados por un número finito de superficies planas. Estos cuerpos reciben el nombre de poliedros. Las superficies planas en cuestión son polígonos y se denominan caras del poliedro.

Vértice Observa cualquiera de los poliedros que están dibujados y algunos de sus elementos característicos: a) ¿Cómo definirías cada uno de sus elementos? b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene? c) ¿Cuántas caras, como mínimo, habrá que juntar en un vértice? d) ¿Cuánto pueden sumar, como máximo, los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice? Se denomina orden del vértice al número de caras que concurren a un mismo vértice. Este poliedro tiene orden del vértice 3.

Este es un poliedro que tiene 14 vértices, 21 aristas y nueve caras.

Cara

Este cuerpo geométrico no es un poliedro.

¿Por qué el cuerpo de la derecha no es un poliedro? Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

Clasificación de poliedros Una clasificación de los poliedros es la siguiente:

Poliedros

Convexos

No convexos (cóncavos)

Se caracterizan porque cada uno de ellos se puede apoyar en una superficie plana sobre cada una de sus caras.

Regulares (sólo hay 5)

Se caracterizan porque todas sus caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras.

Se caracterizan porque cada uno de ellos no se puede apoyar en una superficie plana sobre alguna de sus caras.

Regulares estrellados (hay 4)

No regulares

Se caracterizan porque son poliedros con caras no congruentes y en el caso de la segunda figura, aunque sus caras son congruentes no tienen el mismo número de caras en cada vértice.

Decide: ¿cuáles de los siguientes cuerpos son poliedros? ¿Cuáles son convexos? ¿Cuáles son cóncavos? ¿Cuáles son regulares? y ¿cuáles son irregulares?

Explica en cada caso el porqué de tu decisión.

Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

El mundo de los poliedros regulares

Icos a (aguedro a)

Observa los cinco poliedros regulares, las caras idénticas que se encuentran en cada vértice y el elemento que representan.

Do (u de c n ive aed rso ro )

Hexaedro regular o cubo

Tetraedro (fuego)

ro ed ta e) Oc (air

Poliedro regular

Platón (Grecia 428-347 a.C.)

o Cubra) (tier

Los poliedros regulares convexos son conocidos con el nombre de sólidos platónicos en honor al filosofo griego Platón (428-347 a.C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en que época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, el tetraedro y el dodecaedro a Pitágoras (siglo IV a.C.) y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a.C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro (el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el elemento mas pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mas sólido de los cinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro (el agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o "semilla , el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que al dodecaedro le asignó el Universo. Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja al dodecaedro, por lo que lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro. La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final. En cada uno de los poliedros abajo representados cuenta el número de vértices V, el número de aristas A y el número de caras C. Calcula V-A+C. ¿Qué número se obtiene? La relación resultante fue demostrada por Euler. Tetraedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

Octaedro regular

6 cuadrados

4 triángulos equiláteros

12 pentágonos regulares

20 triángulos equiláteros

8 triángulos equiláteros

Vértices

Aristas

Aristas por vértice

Modelo

Caras

Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

Euclides (Grecia, s. III a.C.) demostró, de forma algebraica, porqué sólo existen cinco tipos de poliedros regulares convexos. Supongamos que se pueda construir un poliedro regular convexo cuyas caras sean polígonos regulares de n lados. Luego, el ángulo de cada vértice del polígono mide (n-2) n x 180°. Si el orden del vértice de un poliedro regular es p, entonces la suma de los ángulos de un vértice del poliedro es: p [ (n-2) x 180°]. Pero esta suma tiene que ser menor que 360°, n porque si fuera igual a 360° las caras estarían en un plano y no se tendría una figura sólida. Luego: p[ (n-2) n x 180°] < 360° p[ (n-2) p(n-2) < 2n n ]<2 pn -2p -2n < 0 pn - 2p - 2n +4 < 4 p (n-2) - 2 (n-2) < 4 (p-2)(n-2) < 4

2α = 180°- 360° = (n-2)·180° n n

360°/n

n 3 3 3 4 5

p 3 4 5 3 3

n-2 p-2 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1

(n-2)(p-2) 1 2 3 2 3

Como cada cara de un poliedro regular debe tener más de dos lados y más de dos caras deben concurrir en cada vértice, vemos que p y n deben ser mayores que 2. Las únicas soluciones (n,p) a esta desigualdad son (3,3), (3,4), (3,5) (4,3) y (5,3). La tabla a la derecha justifica lo anterior.

Figura Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo Dodecaedro

Proyección de Schlegel B

Los sólidos platónicos pueden además ser proyectados sobre un plano. Esta proyección se obtiene eligiendo una cara y proyectando los lados del poliedro platónico desde un punto O por encima del centro de esta cara. La figura que se obtiene se llama diagrama de Schlegel. También se pueden obtener si rompemos una cara y estiramos las restantes caras sobre la pared, sin romper las aristas. Observa el diagrama de Schlegel del cubo. Parte de las características del poliedro (como la conexión entre vértices y lados) se preserva en su correspondiente diagrama de Schlegel. Esto facilita el estudio de determinados problemas, tales como recorrido y coloración. En el caso de los sólidos platónicos estos diagramas son únicos (no depende de la cara desde la que se proyecte). También se pueden hacer los desarrollos planos tal como se enseñan en Educación Básica (1ª y 2ª etapas) además de los diagramas de Schlegel de los poliedros platónicos. Estos desarrollos los presentamos en la página siguiente.

Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

A’ D

H E’

B’

F’

A’

B’

21 E’

F’

Vista

Desarrollo plano

Hexaedro regular o cubo

Tetraedro

Dodecaedro

Icosaedro

Octaedro

Como hemos visto sólo existen cinco poliedros regulares convexos. Si eliminamos la condición de ser convexo tenemos cuatro más. Éstos son conocidos como los poliedros de KeplerPoinsot o poliedros regulares estrellados. Johannes Kepler (Holanda, 1571-1630), en 1619, se dio cuenta que existían dos maneras diferentes de pegar 12 pentagramas (pentágonos estrellados) a lo largo de sus aristas para obtener un sólido regular. Si 5 de ellos se unen en un sólo vértice, obtendremos el pequeño dodecaedro estrellado que tiene doce vértices. Si son 3 pentagramas los que se encuentran en cada vértice, obtenemos el gran dodecaedro estrellado que tiene 20 vértices. Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

Diagrama de Schlegel

Pequeño dodecaedro estrellado

Gran dodecaedro estrellado

Posteriormente, en 1809, Louis Poinsot (Francia, 1777-1859) descubrió los otros dos poliedros no convexos regulares, el gran icosaedro y el pequeño dodecaedro.

Pequeño dodecaedro

Universo Icosaedro 2, 1980. Material: acero inoxidable.

Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

Gran icosaedro

Icosaedro stellato, 1981.

Materiales: acero inoxidable y cemento.

El escultor Attilio Pierelli (Italia, 1924- ) utilizó, en la década de los 80, figuras como el dodecaedro, el icosaedro, el hipercubo y otras para realizar sus obras. Fuente: http://www.pierelli.it

Pero, ¿existen otros tipos de poliedros? Sí, entre estos se encuentran los poliedros semirregulares que son 17. Un poliedro convexo es semirregular si sus caras son polígonos regulares de dos o tres tipos. Entre estos sólidos están los arquimedianos, ya que se creen fueron descubiertos por Arquímedes, aunque no se tiene ninguna prueba documental que lo acredite. Existen 13 sólidos arquimedianos. Siete de ellos se obtienen por truncamiento de los sólidos platónicos, es decir, por cortes de esquinas, acción que se puede ejecutar de varias maneras. Así, los denominados con el nombre del sólido platónico de origen más el término “truncado”, se obtienen al dividir cada arista en tres partes y cortar por estas divisiones. Si dividimos la arista a la mitad y truncamos, sólo obtenemos dos nuevos poliedros: el cuboctaedro y el icosidodecaedro. Sus nombres se deben al hecho de que al realizar el proceso de truncamiento que acabamos de describir, en el caso de un cubo y un octaedro (respectivamente, icosaedro y dodecaedro) obtenemos el mismo poliedro. El cubo chato y el dodecaedro chato se obtienen con otro procedimiento.

Tetraedro truncado

Cubo truncado

Cuboctaedro

Octaedro truncado

Rombocuboctaedro Cuboctaedro truncado

Icosidodecaedro

Fascículo 3 • Polígonos y poliedros

Dodecaedro truncado

Cubo chato

Icosaedro truncado

Dodecaedro chato

Romboicosidodecaedro

Icosidodecaedro truncado

Polígonos y poliedros

La disposición de los pétalos de las flores es, frecuentemente, en forma poligonal. Aquí tenemos una fotografía de la malva (Malva sylvestris) que tiene simetría pentagonal. Esta planta, cuyas flores son de color rosado o violáceo, se usa para infusiones calmantes y laxantes.

“La simetría, ya sea que se defina en un sentido amplio o restringido, es una idea por medio de la cual el hombre de todas las épocas ha tratado de comprender y crear belleza, el orden y la perfección.” H. Weyl, “La Simetría”, p. 5.

Los polígonos y los poliedros en las ciencias naturales Desde la antigüedad se han estudiado los polígonos y los poliedros. Se ha encontrado un dodecaedro en esteatita de civilización etrusca que data de unos 500 años a.C. Asimismo, hay un par de dados icosaédricos de la dinastía de los Ptolomeo que se conserva en el Museo Británico de Londres. Diversas formas matemáticas aparecen en muchos fenómenos naturales. Las formas poligonales y poliédricas son frecuentes en la naturaleza. Algunos esqueletos de radiolarios tienen forma poliédrica, como los aquí mostrados a la derecha; unos son un octaedro, otros un dodecaedro y los hay con forma de icosaedro regular. Los radiolarios son protozoos marinos que en su mayoría tienen un esqueleto formado por agujas muy finas o varillas silíceas sueltas o articuladas entre sí. Miden una fracción de milímetro de diámetro.

Los cristales Igualmente encontramos los poliedros convexos en una variedad de formas, como los cristales de sal en forma de cubos, los diamantes naturales en forma octaédrica y otras estructuras cristalinas. A diferencia de un cristal, el vidrio es una estructura amorfa, translúcida y frágil a la temperatura ambiente. Un cristal es la repetición de un motivo básico que está compuesto de un mínimo de átomos (la malla elemental o célula unitaria). Así, el cristal está compuesto de un arreglo “periódico de bloques idénticos”, que son las mallas elementales que definen la estructura molecular interna del cristal. Pero no siempre es de esta forma como encontramos los cristales a escala macroscópica. Por ejemplo, los diamantes naturales se presentan como octaedros. Sin embargo, en 1913, los cristalógrafos William H. Bragg y su hijo Lawrence bombardearon los diamantes con rayos X y descubrieron que la malla elemental es un cubo en donde los 8 vértices y los centros de las 6 caras están ocupados por átomos de carbono y cada átomo de carbono está ligado a sus cuatro vecinos más próximos formando una configuración tetraédrica. A partir de esta malla elemental se construye todo el cristal mediante simple yuxtaposición a sí misma y por traslación paralela. La malla elemental tesela el espacio. La imagen de la derecha nos muestra el ordenamiento de los iones para formar la malla de un cristal de diamante.

Fascículo 4 • Polígonos y poliedros

Estrellas de mar: tienen sobre todo formas pentagonales

La forma externa refleja la estructura molecular interna de la molécula de sal que es una red cúbica, constituida por iones de sodio (Na, esferas rojas) e iones de cloruro (Cl, esferas amarillas) que se alternan en diferentes direcciones. Al intersectar planos paralelos y observar la estructura bidimensional resulta la de un mosaico regular con cuadrados. La forma del cristal del mineral de hierro (pirita) al igual que la de la sal es de tipo cúbica, reflejando su estructura molecular interna. Las formas cristalinas se estudiaron desde la época de Kepler (s. XVII) y posteriormente, a inicios del s. XX, se utilizaron los rayos X para su estudio mediante diagramas de difracción. Los mineralogistas clasificaron esas formas en 7 sistemas (cúbico, tetragonal, rómbico, triclínico, hexagonal, romboédrico y monoclínico) y 32 grupos cristalográficos o clases de cristales (2D) de acuerdo con sus simetrías macroscópicas. Por ejemplo: todos los cristales poseen una simetría rotacional de orden 4 (1/4 de vuelta o giro de 90° alrededor de un eje privilegiado –eje principal–). El orden de la rotación significa que si la aplicamos cuatro veces consecutivas se obtiene la transformación identidad pues 4 · 90° = 360° y la figura que se rota retoma su posición inicial. En el cubo dibujado se han marcado ejes de rotación con 2-2, 3-3, 4-4, que indican, respectivamente, rotaciones de órdenes 2, 3 y 4 (180° , 120°, 90°). Cada una de esas rotaciones deja invariante el cubo (transforma el cubo en sí mismo). Se dice que son simetrías rotacionales del cubo. Asimismo, el plano que pasa por el centro del cubo y por los puntos medios de las aristas AB y CD es un plano de simetría del cubo (simetría especular). La simetría externa de los cristales se caracteriza mediante planos de reflexión (simetrías especulares) y ejes de rotación (simetrías rotacionales), tal como los poliedros, pues las formas cristalinas son formas poliédricas. Los cristales son formas muy bellas de “teselación” del espacio.

Estructura molecular y cristal del cuarzo

Fascículo 14 • Polígonos y poliedros

Cristal de Sal

4 E

Estructura molecular y cristal del grafito

En las décadas de los 80 y de los 90, se produjeron tres descubrimientos importantes en el campo de la química y de la física, uno de los cuales hizo cambiar la concepción tradicional de lo que es un cristal. Estos tres descubrimientos, en orden cronológico, fueron: los cuasicristales (1984), los fulerenos (1985) y los nanotubos (1991), que han encontrado gran variedad de aplicaciones en el mundo industrial y los mismos están vinculados a los polígonos y poliedros debido a sus configuraciones geométricas.

Los cuasicristales En 1984, el químico Daniel Shechtmann y sus colaboradores Ilan Blech, John W. Cahn y Denis Gratias, descubrieron una forma de hacer una aleación de Aluminio (Al) con Manganeso (Mn), la Al 6Mn, con el fin de lograr una aleación bastante fuerte. Cuando examinaron este “cristal” con rayos X, en el diagrama de difracción el material tenía una ordenación como la de un cristal pero no encontraron simetrías rotacionales de órdenes 3, 4 ó 6 que son propias de los cristales. En cambio encontraron una simetría rotacional pentagonal (de orden 5), lo que no es posible en los cristales, pues éstos únicamente pueden tener simetrías rotacionales de órdenes 2, 3, 4 ó 6 (teorema de restricción cristalográfica).

Patrón de difracción para un icosaedro cuasicristal (se muestran en blanco aquellos puntos de mayor intensidad). Hemos marcado en rojo algunos pentágonos de este patrón. Fuente: Levine, D. & Steinhardt, P.J. (1984). Cuasicristales: una nueva clase de estructuras ordenadas en Physical Review Letters, Vol 53, Nº 26.

¿Cómo era posible esto? ¿Había algún error? ¿Cuál era la naturaleza de este “cristal imposible”? En el ínterin, 1984, los físicos Paul J. Steinhardt y Don Levine, mediante simulación en computador modelaron ese “cristal” Al-Mn y le dieron el nombre de cuasicristal (cristal cuasiperiódico) y la aleación respectiva se conoce como Shechtmanite. Hoy hay cerca de cien de tales aleaciones. Algunas tienen simetrías rotacionales de orden 8, 10 ó 12. Se tienen aleaciones como la del V-Ni-Si (vanadio-níquel-silicio) o la del Cr-Ni-Si (cromo-níquel-silicio). La estructura molecular interna de ese tipo de cuasicristal produce una teselación del plano (un embaldosado) que tiene simetría pentagonal. Estas teselaciones (embaldosados) del plano con simetría pentagonales habían sido descubiertas en 1973 por el matemático británico Roger Penrose. Son teselaciones no periódicas (son cuasiperiódicas) como lo indicamos en la sección de teselaciones. Al nivel bidimensional, tal cuasicristal luce como el embaldosado de Penrose presentado a la derecha.

Imagen de microscopio de un cuasicristal donde se puede observar su forma pentagonal de ordenación.

Fascículo 4 • Polígonos y poliedros

Los fulerenos El carbono C se encuentra en la naturaleza en dos formas distintas: diamante y grafito. El diamante es el material más duro conocido, es transparente y aislante. El grafito es opaco, conductor y se rompe fácilmente o se desmenuza. Lo utilizamos con frecuencia en la minas de los lápices. Su estructura geométrica es mediante capas o planos paralelos de átomos de carbono y en cada plano los átomos se ligan entre ellos por enlaces químicos formando una red con hexágonos regulares (imagen superior). El diamante presenta un entretejido más complejo que le da la dureza característica de ese material (imagen inferior). En 1985, los químicos R. F. Curl y R. E. Smalley (Universidad de Rice) y Harry Kroto (Universidad de Sussex), vaporizaron el grafito y obtuvieron una forma estable de la molécula de carbono conformada por 60 átomos de carbono localizados en los vértices de un icosaedro truncado (poliedro arquimediano con 12 caras pentagonales y 20 caras hexagonales), el C60 (carbono sesenta). Por esta razón se le dio el nombre de buckminsterfulereno (la buckyball), en honor de Buckminster Fuller, debido a su resemblanza con los domos o cúpulas geodésicas creados por Fuller. Posteriormente se ha encontrado toda una familia de moléculas, con átomos exclusivamente de carbono, que los químicos denominan los fulerenos pues su disposición espacial es parecida a las construcciones de Fuller: un fulereno es una molécula en forma de jaula convexa con caras únicamente hexagonales y pentagonales. Se cree que el C60 puede ser un elemento común en el polvo interestelar. La buckyball se sintetiza en forma sólida y tiene usos en lubricantes y procesos catalíticos, entre otros. Los investigadores han modificado la estructura arquitectónica del C60 para producir nuevas moléculas más estables y fuertes, como el C 70 y la del carbono 168 denominada la buckygim. Los fulerenos también han encontrado uso en la superconductividad y en la medicina. El descubrimiento del carbono sesenta recompensó a los tres científicos con el premio Nobel de química en 1996.

Fascículo 4 • Polígonos y poliedros

Molécula de grafito

Molécula de diamante

El 13 y el 14 de octubre de 2003, en Manchester (Inglaterra), se celebró el bicentenario de la publicación de la Teoría Atómica de John Dalton. A este evento acudieron diversas celebridades entre quienes destacaron Sir Harry Kroto (Premio Nobel) y Diego Forlán (equipo de fútbol Manchester United), los cuales presentaron la similitud de un balón de fútbol y una molécula de C60.

Los nanotubos El prefijo nano indica 10-9 y hoy en día es muy común en las denominadas nanotecnologías. Los nanotubos fueron descubiertos en 1991 por Sumio Iijima de la NEC Corporation (Japón). Los nanotubos son “gigantescos” fulerenos rectilíneos (la dimensión rectilínea es muy grande en comparación con su diámetro). Los fulerenos son el ladrillo elemental de la construcción de los nanotubos. En sus paredes, el nanotubo hereda de uno de sus ancestros, el grafito, una característica: el motivo hexagonal. Para el químico, el nanotubo es un polímero compuesto únicamente de átomos de carbono que puede tener hasta un millón de átomos. Desde el punto de vista físico, es un cristal unidireccional donde se reproduce periódicamente una misma célula de base. Es como un tubo cerrado en sus dos extremos, de diámetro nanométrico. Los nanotubos son materiales ligeros y sólidos y han encontrado utilidad en electrónica.

Fuente: www.nanotech-now.com

Hoy en día estudiamos el mundo tridimensional que nos rodea y percibimos con nuestros sentidos. Además, el macromundo, esto es el Universo: los planetas, las estrellas, las galaxias, con distancias dadas en años luz. Y también tenemos el micromundo o nanomundo y en éste hablamos de nanotecnologías y conceptos con el prefijo nano: los nanotubos, las nanobacterias, los nanocircuitos, las nanomáquinas, son parte de esta terminología. Fuente: www.csc.com/features/2003/images/nanotube.jpg

En el Universo las medidas se hacen con millones de kilómetros y con años luz. En las nanotecnologías las medidas se hacen en nanosegundos (10-9s), nanometros (10-9m), etc.

Fascículo 4 • Polígonos y poliedros

Los poliedros en las artes, la arquitectura y la ingeniería Al igual que los polígonos, los poliedros se han utilizado en las artes y en la arquitectura desde siglos anteriores. Además han sido objeto de interpretaciones místico-religiosas, como lo atestigua la representación del fuego, de la tierra, del aire, del agua y del universo, mediante los cinco sólidos platónicos, símbolos de perfección y armonía, y la representación de estos poliedros, inscritos y circunscritos a esferas, realizada por Kepler en su búsqueda de por qué sólo existían seis planetas (los únicos conocidos en su época). Ya el eminente artista, diseñador, arquitecto e ingeniero del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci, utilizó los poliedros para la decoración del libro “La Divina Proporción” (1509) del fraile franciscano Luca Pacioli (1445-1514), quien fue su maestro en matemática. Leonardo dibujó los poliedros (llenos y vacíos), de los que presentamos el dodecaedro vacío. Antes de esta forma de representar los poliedros, los mismos se ilustraban como sólidos opacos que ocultaban la parte trasera o con segmentos transparentes en el cual el efecto producido no necesariamente permite distinguir si una línea es del frente o del trasero de la superficie. En la representación de Leonardo, con los poliedros huecos o vacíos, se observan las dos partes (frontal y trasera).

Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia. http://www.imss.fi.it

Asimismo, en el primer retrato que se conoce de un matemático, el de Luca Pacioli, podemos observar en la mesa un dodecaedro y en la parte superior izquierda un poliedro semirregular (arquimediano) transparente. Este retrato fue realizado por el pintor veneciano Jacopo de Barbari, en el que Pacioli está haciendo una demostración geométrica al joven Duque de Urbino. En el cuadro, el pintor coloca una serie de valores asociados al estudio de las formas geométricas: orden, armonía, pureza, rigor.

Fascículo 4 • Polígonos y poliedros

Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia. http://www.imss.fi.it

Igualmente, el pintor y grabador holandés Maurits Escher (1898-1972), a quien se considera uno de los artistas del s. XX más vinculados a la matemática por el uso que hizo de ésta mediante polígonos y teselaciones, espirales, geometría no euclidiana, el infinito, mundos imposibles, entre otros, también utilizó los poliedros en su arte. En el siguiente grabado en madera (1948) observamos una de sus obras titulada Estrellas: hay en el medio tres octaedros regulares huecos, representados por sus aristas, en donde viven dos camaleones que se fijan a las aristas mediante sus patas y cola. En el espacio podemos admirar otros poliedros, entre los que señalamos: 1) En la parte superior un cubo y emergiendo de éste un octaedro, un icosaedro, dos tetraedros que se cruzan, un rombododecaedro; 2) En la parte inferior, dos tetraedros que se cruzan, dos cubos penetrándose, tres octaedros que se cruzan y un dodecaedro.

Fascículo 4 • Polígonos y poliedros

Polígonos y poliedros

En el diseño de edificaciones, monumentos y pabellones encontramos los poliedros. El Complejo Cultural Teresa Carreño, en Caracas, tiene una forma tronco-piramidal resaltada por una vertiente de estructuras salientes. En el mismo, a la entrada de la Sala Ríos Reyna, podemos admirar en el techo una obra de Jesús Soto, artista cinético venezolano (1923-2005).

Superficies esféricas y poliedros en arquitectura e ingeniería Las superficies esféricas han sido utilizadas por los arquitectos e ingenieros para hacer cúpulas y domos esféricos, coronando los templos cristianos, las mezquitas islámicas y en los capitolios de muchas ciudades y naciones. En 1954, el ingeniero, inventor y diseñador Richard Buckminster Fuller (Estados Unidos, 1895-1983), depositó una patente para sus domos o cúpulas geodésicas, que son una manera de construir domos, de forma esférica, conteniendo un máximo de volumen con un mínimo de material y bastante resistentes. Estos domos no tienen necesidad de tener soporte interior y se realizan a partir de triángulos que forman una grilla semiesférica, distribuyendo esfuerzos de manera pareja a los distintos miembros de la estructura y logrando de esta forma un cociente alto en la razón resistencia/peso. Esos triángulos conforman una red pentagonal y hexagonal como en el balón de fútbol. Son muy sólidos y luminosos. Hoy en día se cuentan unos 300 000 domos construidos en el mundo. Tres ejemplos notables de tal construcción son: el pabellón norteamericano en la American Exchange Exhibition (1959) en Moscú, la cúpula geodésica del pabellón norteamericano en la Exposición Mundial (1967) de Montreal (Fotografía superior), y la cúpula en la ciudad de ciencia y tecnología de La Villete, París-Francia (Fotografía intermedia).

Fascículo 5 • Polígonos y poliedros

En Caracas, se construyó el Poliedro utilizando el concepto estructural de las cúpulas geodésicas de Fuller.

Durante el año 2004, el Servicio Postal de los Estados Unidos (USPS por sus siglas en inglés) emitió una estampilla conmemorativa de los cincuenta años en que Fuller patentó su invención.

Recientemente, el diseñador y arquitecto Sanford Ponder diseñó unos refugios utilizados para la recreación y el trabajo, como las carpas de los vacacionistas, denominados ICOSA por su forma icosaédrica y con un diámetro de 9 a 23 pies (2,74 – 7,01 metros) y un peso máximo de 500 libras (≈ 227 kg) el mayor de ellos. Son como icosaedros cortados por la mitad y con ventanas triangulares.

Fascículo 5 • Polígonos y poliedros

Los diseños del matemático, como los del pintor o el poeta, han de ser bellos; las ideas, como los colores o las palabras deben relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas.

Teselaciones

G. H. Hardy (matemático británico, 1877-1947).

Los teselados son los diseños de figuras geométricas que por sí mismas o en combinación cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas. Las civilizaciones antiguas utilizaban teselados para la ornamentación de casas y templos, cerca del año 4000 a.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geométricos. El material utilizado era arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban. Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipo de trabajo, como los persas, los moros y los musulmanes. Esos diseños con motivos repetidos son muy corrientes en nuestra vida cotidiana. Podemos pensar en las baldosas que recubren los pisos en forma de rectángulos, de cuadrados, de hexágonos regulares y con otros motivos, y también en los papeles decorativos de las paredes y los papeles que envuelven regalos. He aquí dos de tales diseños con motivos repetidos:

El estudio de las teselaciones o embaldosados de un plano está vinculado con las simetrías de los mismos y éstas, a su vez, se refieren a las simetrías rotacionales (rotaciones con centro en un determinado punto), simetrías axiales (reflexiones respecto de ejes) y simetrías de traslación (traslación según algún vector) y sus combinaciones (composición de tales movimientos rígidos).

Fascículo 5 • Polígonos y poliedros

90° O

Si tenemos un cuadrado podemos rotarlo con centro en O (centro del cuadrado) y ángulo 90°. El cuadrado rotado es el mismo que el inicial y no se distingue uno del otro. Para distinguirlos tendríamos que etiquetar los vértices y observar la acción de la rotación sobre éstos. Se dice que el cuadrado es invariante por tal rotación de centro O y ángulo 90° o que tiene una simetría rotacional de orden 4 (360°/4 = 90°). También el cuadrado tiene simetría axial pues es invariante, por ejemplo, cuando aplicamos una reflexión respecto de la recta que une los puntos medios de dos lados AB y CD.

D C C B Rotación en sentido horario con centro en O y ángulo de 90°.

Determinar todas las simetrías rotacionales y axiales de: a) un cuadrado, b) un triángulo equilátero, c) un rectángulo. Observa la diferencia con el caso de un cuadrado. L

Si tenemos una teselación del plano realizada únicamente con cuadrados congruentes, observamos que ella queda invariante por rotación de centro O y ángulo 90°. Esto se comprueba fácilmente si dibujamos la misma teselación en un papel transparente o en un acetato el cual colocamos encima haciendo coincidir el punto O y giramos 90°. Asimismo, por traslación según el vector a y traslación según el vector b, y por simetría axial respecto del eje L (el diseño se repite continuamente al mover la “vista” verticalmente y horizontalmente). Determina otras simetrías de esta teselación. Las teselaciones de un plano (pavage en francés y tile en inglés) son de diversos tipos. Aquí destacamos los llamados grupos de simetría del plano y los denominados mosaicos de los que hay una gran variedad y por cuestiones de espacio solamente damos algunos de ellos.

Fascículo 5 • Polígonos y poliedros

El Jardín Lumínico, ubicado en la autopista de Prados del Este de la ciudad de Caracas, parte de la idea del collage como matriz y del pixelado como resolución visual de una intervención que será vista y percibida a diferentes velocidades. Patricia Van Dalen utilizó un fondo azul intenso, el cual está salpicado de una historia cromática con 14 matices diferentes. A través del pixelado logra transiciones entre un color y otro, y nos sugiere la abstracción de un paisaje urbano. Fuente: www.patriciavandalen.com

90° O a b

Mosaicos Cuando se recubre un plano con baldosas que no dejen huecos y que no se superpongan (encajan bien), se produce un mosaico. Existen diferentes tipos de mosaicos de los cuales podemos diferenciar: los regulares (solamente existen 3), los semirregulares (solamente existen 8), los de Escher y los de Penrose (imagen a la derecha).

Mosaicos regulares Los mosaicos regulares se logran a partir de la repetición y traslación de un mismo polígono regular. Existen únicamente tres tipos de tales mosaicos que son familiares por el embaldosado de los pisos y se forman con: triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.

90°

O 60°

a 60°

120° a

Tiene una simetría rotacional de orden 6 (360°/6 = 60°).

Fascículo 5 • Polígonos y poliedros

Tiene una simetría rotacional de orden 4 (360°/4 = 90°). Es un mosaico que se observa con frecuencia en los pisos y en los papeles cuadriculados y milimetrados.

Tiene una simetría rotacional de orden 3 (360°/3 = 120°) y de orden 6. Es un mosaico que se observa bastante en los pisos y en los panales de abejas.

Observa que en cada uno de ellos indicamos dos vectores independientes, a y b, con el fin de señalar que mediante traslación del polígono en esas direcciones se obtiene el respectivo mosaico. Se dice que tales mosaicos son periódicos. Estos mosaicos son invariantes por traslaciones de vector pa + qb, siendo p y q números enteros cualesquiera.

72°

Un plano no se puede teselar con pentágonos regulares pues no encajan bien, por ello no existen mosaicos regulares pentagonales (los pisos de las viviendas no se pueden embaldosar con pentágonos regulares):

108°

360°/5 = 72°

3α = 3 x 108° = 324° Con tres pentágonos regulares alrededor del punto O no se cubren 360°, ya queda un hueco. Hay algunos pentágonos, no regulares, con los que se pueden teselar los planos.

α Ο

En cambio con pentágonos regulares (azules) y rombos (amarillos) sí se puede embaldosar un plano, lo cual era conocido por A. Durero (1471-1528).

Con cualquier triángulo o cualquier cuadrilátero convexo del plano se puede, por repetición, teselar completamente el plano. Observa la construcción, en el caso de un cuadrilátero, donde es suficiente con dibujar los simétricos respecto de los puntos medios de los lados. A D

c’

Observa una de las técnicas que hay para hacer teselaciones de un plano, partiendo de un paralelogramo ABCD (un paralelogramo deformado). Paso 1: Dibuja una curva c que una A con B y su imagen mediante la traslación de vector AD. Paso 2: Dibuja otra curva c’ que una A con D y su imagen mediante la traslación de vector DC. Paso 3: Repite el motivo utilizando esas dos traslaciones.

Fascículo 5 • Polígonos y poliedros

Mosaicos semirregulares En éstos se combinan dos o más polígonos regulares bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos. Existen solamente ocho tipos de mosaicos semirregulares, de los que a continuación mostramos cuatro de ellos.

Fascículo 5 • Polígonos y poliedros

Polígonos y poliedros

Ángeles y Demonios (M. Escher). Con centro en A, B y C (puntos de encuentro de 4 alas) y mediante rotación de 90° se obtiene la misma figura (simetría rotacional de orden 4). Las rectas (de color amarillo) L1, L2, L3,... ubicadas en los ejes de los ángeles y los demonios, son ejes de simetría axial (reflexiones). Así, si doblamos “el plano” por uno de ellos, se obtiene la misma figura.

Mosaicos de Escher Escher (Holanda, 1898-1972) visitó Granada el año 1936 junto con su esposa y allí estudió detenidamente la decoración de las paredes, techos y pisos islámicos de La Alhambra (el gran palacio construido por los moros durante los s. XIII-XIV). Observó los motivos islámicos en las paredes, todos ellos de tipo geométrico, donde por cuestiones religiosas no hay figuras humanas ni de animales. Allí realizó sus dibujos y descubrió las diecisiete posibilidades de teselar el plano (los 17 grupos de simetría del plano). Durante una labor de cerca de treinta años, Escher creó más de cien teselaciones periódicas de un plano utilizando una gran variedad de motivos. Para construir tales mosaicos a partir de polígonos que teselan el plano, debe mantenerse el principio de conservación de áreas, esto es, si quitamos una parte hay que colocarla con igual área en otra parte. Esto lo podemos observar en un motivo islámico de La Alhambra de Granada como es la pajarita donde se preserva el área del triángulo equilátero de partida, y en el “paralelogramo deformado”. Observa, abajo, la creación de la figura de un pato a partir del polígono ABCD. A

Observa, abajo, la creación de un “pez volador” (M.C. Escher) a partir de un triángulo equilátero. A

Observa cómo con pequeñas variaciones en las curvas aparecerá la figura de un pájaro en vez de un pez volador. Recorta el modelo y tesela el plano. A

Fascículo 6 • Polígonos y poliedros

Mosaicos de Penrose Entre 1972 y 1973, el matemático británico Roger Penrose descubrió un conjunto de teselas que recubren el plano en forma no periódica; es decir, no se puede obtener la teselación a partir de un motivo y mediante dos traslaciones independientes. Posteriormente los químicos (1984) descubrieron una aleación de Aluminio (Al) y Manganeso (Al6Mn) que tenía ciertas características de un cristal, pero al mismo tiempo no podía serlo pues tenía simetrías rotacionales pentagonales (ángulo de rotación 360°/5 = 72°) lo que es incompatible con la estructura de un cristal. Le dieron el nombre de cuasicristal y su conformación molecular bidimensional es como un teselado de Penrose. Algunas teselaciones de Penrose, como las del cometa y del dardo, utilizan para su construcción el número de oro φ= (1 + 5 )/2 ≈ 1,618. Transformando los dardos y los cometas Penrose creó una teselación no periódica llamadas las gallinas aperiódicas de Penrose. Como las teselaciones son explotadas comercialmente y en rompecabezas, Penrose tardó cierto tiempo en dar a conocer sus embaldosados hasta que los patentó en los Estados Unidos, Japón y el Reino Unido.

El alicatado es un revestimiento plano conseguido colocando pequeñas piezas de diferentes formas geométricas (Alíceres). El alicatado fue el primer revestimiento cerámico utilizado en Al-Andaluz (espacio geocultural y político hispano-árabe, s. VIII-XV) para adornar los muros interiores de las edificaciones, ya que para los exteriores y los pavimentos de las casas se conocía el uso de losetas esmaltadas con estaño. En Sevilla, los zócalos del alicatado más sobresaliente pueden admirarse en los Reales Alcázares, en la iglesia de San Gil y en la Casa Olea, así como pueden verse muestras de alicatado en la portada del monasterio de San Isidoro del Campo y en las ventanas y fachada lateral de la iglesia de Omnium Sanctorum.

Fascículo 6 • Polígonos y poliedros

Un alicatado de la Alhambra (s. XIV). Fuente: Canal Cultural de Barcelona, España (213.27.152.28/ cron373_ceram1g.jpg).

70°32’

Teselaciones en el espacio Ya conociendo algo del mundo de las teselaciones de un plano, caben ahora las siguientes preguntas: ¿Y qué hay de las teselaciones del espacio. Se podrán hacer con los poliedros regulares o con otro tipo de poliedros ? ¿Se pueden teselar superficies en el espacio, por ejemplo, la esfera? Damos algunas respuestas parciales pues un desarrollo del tema sería bastante extenso. Con los tetraedros regulares no es posible teselar el espacio, pues el ángulo diedro entre dos caras de un tetraedro mide 70° 32’ que no es un submúltiplo de 360° (recuerda el caso de los pentágonos regulares). En cambio con cubos si es posible teselar todo el espacio; el ángulo diedro entre dos caras mide 90° que es un submúltiplo de 360°. También con los octaedros truncados como se ve en la figura. Cuando hablamos de teselación sobre una esfera significa con polígonos situados sobre la misma (polígonos “curvos”), cuyos lados son arcos de circunferencia máxima que son las “rectas” sobre una esfera en la denominada “geometría esférica”). Es conocido que la esfera se puede teselar con triángulos. Observa los diez triángulos ubicados en el centro A y los seis triángulos que rodean el punto B, en que los ángulos son de 60°. Utilizando doce pentágonos regulares se puede teselar una esfera. Es imposible de teselar la esfera únicamente con hexágonos regulares. Pero, una combinación de pentágonos y de hexágonos regulares da una teselación de la esfera, tal como se aprecia en las pelotas de fútbol.

90°

B 60°

El pintor y matemático Piero Della Francesca (1416-1492), considerado actualmente como uno de los primeros artistas del Renacimiento, se fascinó por los poliedros y esto le condujo a desarrollar propiedades de antiguos y nuevos poliedros. Uno de sus libros, “Libellus de quinque corpibus regularibus” (1480) conservado en la Biblioteca Vaticana, contiene la figura que conocemos del icosaedro truncado, cuyas sesenta caras son pentágonos y hexágonos en la misma distribución que ahora se utiliza para construir balones de fútbol.

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Dimensiones, coordenadas y grados de libertad Anterior al Renacimiento (s. XV), la pintura que se hacía en madera (trípticos), lienzo y murales era muy estática. Las figuras en cuestión carecían de movimiento y sus proporciones a veces no eran las más adecuadas. Todo se reflejaba en un único plano sin lograr una sensación de profundidad en el cuadro. Sin embargo, el mundo en que vivimos, el de nuestra experiencia cotidiana, es tridimensional (3D) y para entenderlo a cabalidad necesitamos comprender tanto lo unidimensional (1D) como lo bidimensional (2D). En el Renacimiento italiano se producirá un cambio significativo en cuanto a las artes y la arquitectura. De una parte con “los colores venecianos” (Venecia) y por la otra con “la perspectiva florentina” desarrollada en la ciudad de Florencia (Italia), lo cual permitió capturar el realismo del mundo tridimensional y crear la ilusión de profundidad en la pintura, la escultura y la arquitectura, dando lugar a la representación de la realidad tridimensional (largo, ancho y profundidad) en una superficie bidimensional (la tela de un cuadro, una pared o un papel) y creando así la imagen de profundidad.

Un mural egipcio (s. XIX a.C.). Las figuras están pintadas en un solo plano (son bidimensionales) sin ilusión de profundidad. Este tipo de pintura es típico de antes del Renacimento.

La alabanza de las abejas. Pintura del Medioevo. Biblioteca Apostólica Vaticana, Roma. Fuente: www.library.nd.edu

La anunciación. Filippo Lippi, pintor renacentista (Italia c. 1406-1469). Fuente: keptar.demasz.hu

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El Renacimiento se caracteriza por el estudio y dominio de la perspectiva. Para lograrla se pueden utilizar los llamados puntos de fuga, los cuales permiten darle profundidad a un cuadro o ilustración. En esta página presentamos varios ejemplos correspondientes tanto al Renacimiento como a fechas posteriores a él. El punto del horizonte donde convergen las líneas de una perspectiva se denomina punto de fuga.

Utilización de dos puntos de fuga centrales para la ilustración de la plaza central de una edificación.

En la ilustración podemos observar como Filippo Brunelleschi (Italia, 1377-1445) utilizó varios puntos de fuga para ilustrar el Duomo en Italia, ya que la figura al no ser rectangular así lo amerita. La perspectiva puede generar distorsiones que se visualizan en la lámina renacentista de la derecha, donde las proyecciones central y lateral de una esfera hacen verla como una elipse. En el caso de la proyección central esta deformación es menor. En la parte inferior están ilustradas tres imágenes del Aristóteles de Rafael (Rafaello Sanzio, Italia, 1483-1520) utilizando un mismo punto de fuga. Se puede notar que mientras más alejado de él se encuentre el punto de fuga la imagen va rotando.

Fascículo 6 • Polígonos y poliedros

Muchos objetos de nuestra vida cotidiana son bidimensionales, tales como las superficies de: pantallas de televisión, pantallas de computadoras, pantallas cóncavas de cine; así como las páginas de los libros y de los cuadernos, los pisos y las paredes. De igual manera dan idea de lo que es unidimensional los hilos de coser, los alambres finos, una hebra, un filamento... La noción de dimensión es fundamental para la comprensión de la realidad. Con este concepto están aparejados los sistemas de coordenadas y los grados de libertad que utilizan los Figura tridimensional generada por computadora para ser físicos e ingenieros en sus trabajos. visualizada en un monitor bidimensional. Una línea representa una sola dimensión (1D). No necesariamente tiene que ser representada rectilíneamente: un tren o el Metro de alguna ciudad que se mueve en una vía férrea lo hace en una dimensión. Esta línea férrea puede ser recta o curva, y subir o bajar en una colina, pero el vagón del tren tiene solamente una “dirección” de movimiento. Puede ir hacia adelante o hacia atrás y son la misma “dirección” pero sentidos opuestos. La línea del tren está situada en nuestro mundo tridimensional, pero el movimiento del tren es unidimensional. Si fijamos una estación del tren como origen O, su posición en un instante de tiempo determinado queda especificada por un único número, se dice por un sólo parámetro: la distancia al origen medida a lo largo de la línea (recta o curva), lo cual se expresa con que ese movimiento tiene un grado de libertad. Un barco navegando en el océano tiene dos grados de libertad para moverse, son dos direcciones independientes: en una dirección, de popa a proa, puede ser en sentido hacia delante o en sentido hacia atrás, y en la otra dirección, la transversal, de babor a estribor, puede ser hacia la izquierda o hacia la derecha. Así el barco se mueve en dos dimensiones, que en este caso no es plano sino curvo por ser la Tierra y, por lo tanto, su posición en un instante de tiempo determinado está dado por dos parámetros como son la latitud y la longitud.

En las principales ciudades de muchos países, los taxistas conductores tienen un equipo denominado Global Position System (GPS) que les permite localizar una dirección específica así como las vías (dos dimensiones) que debe utilizar para llegar a su destino.

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Un avión se mueve en el espacio tridimensional y tiene tres grados de libertad para moverse, son tres “direcciones independientes”: en “dirección” de la cola a la punta lo hace hacia delante o hacia atrás (después de girar); en “dirección transversal” al avión lo hace hacia la derecha o hacia la izquierda; y en la “tercera dirección” puede ser hacia arriba o hacia abajo. Su posición, en un instante de tiempo, está dada por tres parámetros como son la latitud, la longitud y la altura.

Centro del planeta

Longitud y latitud de la proyección M de P

Análogamente, si se trata de un submarino en lugar de un barco, se necesita la latitud, la longitud y la profundidad a la que se encuentra el submarino.

Si un automóvil viaja dentro de un túnel con sólo dos canales de circulación, está obligado a permanecer en el canal de la derecha (si cambia de canal comete infracción lo que es altamente penalizado en muchos países). Así, su trayectoria es unidimensional. Al salir del túnel, puede girar hacia la izquierda, ha tomado otra “dirección”, y luego volver a su canal, es decir puede moverse en 2D. En esos ejemplos los grados de libertad y su respectivas dimensiones son coordenadas geométricas. Los parámetros son entes geométricos, a lo máximo tres. No necesariamente esto ocurre siempre. El vuelo del avión o la navegación del submarino, en función del tiempo, requiere otra información: la velocidad con que se mueve. Luego se tienen cuatro grados de libertad que se determinan, en cada instante de tiempo, mediante cuatro parámetros: tres que son geométricos (latitud, longitud, altura o profundidad) y otro que es dinámico (velocidad). Entonces estamos en un espacio de cuatro dimensiones o con cuatro grados de libertad. M

Latitud y longitud de la proyección M de P

Dos posiciones del barco

Bitácora de Cristóbal Colón donde se reflejaban los datos de posición (longitud y latitud), profundidad y tiempo de travesía. Fuente: http://history.missouristate.edu

Fascículo 6 • Polígonos y poliedros

Polígonos y poliedros

El sentido de la vista, aún con un solo ojo, junto con las sensaciones musculares relativas a los movimientos del globo ocular, podría bastar para hacernos conocer el espacio de tres dimensiones. Las imágenes de los objetos exteriores vienen a pintarse sobre la retina, que es un cuadro de dos dimensiones: son perspectivas (...). Y bien, lo mismo que se puede hacer sobre un plano la perspectiva de una figura de tres dimensiones, se puede hacer la de una figura de cuatro dimensiones sobre un cuadro de tres (o de dos) dimensiones. Esto no es más que un juego para el geómetra. Henri Poincaré en su libro La Ciencia y la hipótesis (1902). Versión en español de Colección Austral, Espasa-Calpe, 3ª edición, 1963.

Cuarta Dimensión de la estudiante Jin Hua Dong del 4º año en el Shepherd College y vicepresidenta del Club Math que promueve trabajos sobre matemática y arte. Este trabajo se realizó utilizando la técnica de fractales.

Dos posiciones del avión

Grados de libertad y coordenadas Los parámetros, como en el caso del avión, son independientes entre sí: es posible cambiar un parámetro sin que esto altere los otros. Así, podemos modificar la latitud de un avión moviéndolo a lo largo de un meridiano de la Tierra, y esto no modifica su longitud. Cada parámetro representa un grado de libertad y por lo tanto una dimensión.

Movimiento de un tren

Una “dirección”, dos sentidos: adelante-atrás

La distancia s=s(t) al origen como función del tiempo Movimiento de un péndulo simple de longitud L

Uno. El movimiento de la masa m El ángulo α como función del tiemes oscilatorio y en cada instante de po t tiempo su distancia a O es fija L O α L m x

También se puede tomar como parámetro, en función del tiempo, la longitud s del arco PA o la distancia horizontal x (elongación) Movimiento de un navío en un océano

Dos “direcciones” y cada una con Latitud ϕ y longitud θ en función dos sentidos: adelante-atrás, dere- del tiempo. navío cha-izquierda θ ϕ

Meridiano de Greenwich

Movimiento libre de una varilla en torno a un extremo fijo (péndulo esférico)

Dos: el extremo no fijo P se mueve Latitud y longitud O sobre una esfera de radio la longitud L de la varill L

Movimiento de un avión (posición)

Tres “direcciones” y cada una de Latitud, longitud y altura ellas con dos sentidos

Movimiento de un avión (posición y velocidad)

Cuatro: las tres del ejemplo anterior Latitud, longitud, altura y velocidad y la velocidad

Fascículo 7 • Polígonos y poliedros

Los sistemas de coordenadas, creados durante el siglo XVII por el matemático francés René Descartes (Francia, 1596-1650) en uno de los tres apéndices de su obra conocida como “El Discurso del Método” (1637), permitieron tratar los problemas geométricos mediante el álgebra. Estos sistemas de coordenadas se denominan cartesianos o rectilíneos, y se construyen utilizando rectas, usualmente perpendiculares.

Sistema de coordenadas cartesianas en un plano.

OP=ρ

P Eje

O y x

Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio.

Sistema de coordenadas no cartesiano en un plano (se denominan coordenadas generalizadas). Por ejemplo, las coordenadas polares (ρ,ϕ) del punto P.

En cada una de las situaciones siguientes determina cuántos grados de libertad tiene el sistema descrito, es decir, de cuántos parámetros depende el movimiento del sistema y cuáles son éstos. O L1

a) El sistema masa-polea-resorte de la figura 1. Se trata del movimiento de la masa m.

Polea

b) El péndulo doble de la figura 2, donde m1 y m2 son masas unidas por una varilla de longitud L2 y m1 está sujeta a otra varilla de longitud L1 con un extremo fijo O. c) El sistema formado por tres carros unidos con resortes de la figura 3.

Resorte 2

Figura 1

Figura 2

d) La denominada máquina de Atwood: se trata del movimiento de las masas m1 y m2 unidas a través de una polea mediante una cuerda sin rozamiento de longitud L (figura 4). e) Una partícula de masa m que se mueve sobre una circunferencia de radio R.

Figura 3

f) Piensa en otros sistemas mecánicos con uno, dos o tres grados de libertad.

Fascículo 7 • Polígonos y poliedros

Polea

Figura 4

Anterior a Descartes la geometría era “sintética” y luego, con la utilización de las coordenadas, se creó la geometría analítica, esto es la vinculación de la geometría con el álgebra, etiquetando los puntos con números y los entes geométricos mediante relaciones entre variables. UNIDIMENSIONAL

BIDIMENSIONAL

TRIDIMENSIONAL

Segmentos, curvas (en el plano o en el espacio).

Regiones del plano encerradas por curvas, como los polígonos.

Sólidos del espacio. La Tierra se considera como esfera sólida y no solamente la superficie terrestre.

La hélice de un tornillo

Superficies en el espacio. Por ejemplo: la superficie de la Tierra (la esfera terrestre). En una dimensión un punto se localiza mediante una sola coordenada (un número). Para los objetos unidimensionales se calculan longitudes. Hay sistemas físicos que tienen un grado de libertad.

Elipsoide

En dos dimensiones un punto se localiza mediante dos coordenadas (dos números).

En tres dimensiones un punto se localiza mediante tres coordenadas (tres números). Para los sólidos del espacio, los que están “encerrados”o limitados por superficies, se calculan volúmenes. z

(0,0,3)

Para las regiones del plano encerradas o limitadas por curvas se calculan las áreas. y

resorte

amortiguador

y=x2 O

masa

(0,1,0) y

En el sistema masa-resorte-amortiguación, la masa m se mueve verticalmente. Se necesita solamente una coordenada x=x(t) para definir la localización de la masa en un instante cualquiera t (x se mide a partir de la posición de equilibrio estático).

(3,0,0)

El área de la región comprendida entre los dos arcos de parábolas dibujadas es igual a 1/3.

El volumen del tetraedro limitado por los planos de coordenadas y el plano dibujado es 3/2.

Hay sistemas físicos que tienen dos grados de libertad.

Hay sistemas físicos que tienen tres grados de libertad.

Al inicio de la geometría analítica los matemáticos restringían el uso de las coordenadas a una y dos dimensiones. Ya Fermat, creador de la geometría analítica junto con Descartes, estuvo consciente de una geometría analítica con más de dos dimensiones, pero no fue sino en el s. XVIII que se entendió bien que el álgebra con una o dos coordenadas podía ser extendida al espacio tridimensional y, posteriormente, a espacios con mayor número de dimensiones.

Fascículo 7 • Polígonos y poliedros

En 1884 salió publicado un libro del clérigo y educador inglés Edwin Abbot Abbot titulado “Flatland. A romance of many dimensions”, que era un sátira social y una introducción para entender lo que es dimensión y dimensiones mayores que tres. Abbot promovía la igualdad de oportunidades en la educación de los (las) jóvenes de todas las clases sociales, lo que no ocurría en la Inglaterra de la época Victoriana en donde había muchos prejuicios sociales. Abbot describe la vida de seres que viven en un mundo plano (Flatland; Flat=plano, land=país o tierra) y establece una interrelación entre mundos de distintas dimensiones. En la portada del libro, “A Square” (Square=cuadrado) es el nombre que utiliza para el narrador. Allí se observa una casa plana (en forma de pentágono regular), que nosotros podemos ver en su totalidad, pero A Square viviendo en el mundo plano solamente puede observar una parte de ella aunque puede “caminar” en todo su alrededor. En Flatland se visita otra tierra, unidimensional, Lineland, donde los habitantes se representan por segmentos (los hombres) y puntos (las mujeres), y el rey es un segmento más grande. A Square intenta convencer, inútilmente, al rey de Lineland (Line=línea) de la existencia de una segunda dimensión. A su vez, Flatland es visitada por Una Esfera del espacio que intenta convencer a A Square de la existencia de una tercera dimensión y argumenta inicialmente que él puede ver toda la casa desde arriba describiendo a todos los habitantes. La Esfera atraviesa el plano, y A Square primero ve un punto, luego una parte de circunferencia que se va agrandando hasta llegar a lo máximo, para luego contraerse, reducirse a un punto y, por último, desaparecer.

Finalmente A square se convence y pregunta para ver la cuarta dimensión. La Esfera le niega esa posibilidad y lo envía a Flatland, donde intenta convencer a los otros de la tercera dimensión, siendo arrestado de por vida y escribe FLATLAND (Planilandia). En el siglo XX se han escrito varios trabajos inspirados en Flatland, como el Mundo esférico (Sphereland) de Dionis Burger (1964) y Planiverse de A.K. Downey, en 1984, conmemorando el centenario de Flatland. Asimismo, el escritor británico H.G. Wells (1866-1946), autor de obras de ciencia ficción como El hombre invisible (1897), La guerra de los mundos (1898) y La máquina del tiempo (1895), en la que la idea del tiempo como una dimensión está claramente explicada. Fascículo 7 • Polígonos y poliedros

H.G. Wells y La guerra de los mundos. Fuente:forums.e veofthewar.com/ photos/displayi mage.php

¿ Cuántas dimensiones podemos considerar que tengan utilidad tanto en matemática como en otras disciplinas ? Hemos visto que el movimiento de un avión o de un submarino depende de cuatro parámetros: tres son de posición (latitud, longitud y altura o profundidad) y el cuarto es la velocidad. Por lo tanto necesitaríamos cuatro ejes de coordenadas para representar esas variables en función del tiempo (cuatro dimensiones, 4D) y, si además queremos representar el tiempo, necesitaríamos un quinto eje de coordenadas (cinco dimensiones, 5D). Con nuestros ojos no es posible ver ni imaginarnos más de tres dimensiones. Aquí tenemos que razonar y hacer analogías con lo que ocurre en 1D, 2D y 3D. Aún más, hay situaciones prácticas en las que se necesitan más dimensiones. Por ejemplo, en los procesos productivos intervienen muchos parámetros: precios de materiales que se compran, precios de lo que se vende, cantidad de personal que interviene en la producción, cantidad de material que se utilizará (materia prima), transporte, tiempo de fabricación, entre otros. Esto requiere trabajar con más de tres variables independientes y algunas dependientes de las anteriores, y lo cual implica un cierto número de dimensiones que no es posible representar gráficamente pero sí calcular con las mismas. Así, se hacen cálculos con muchas variables utilizando computadoras, y para esto ha sido necesario crear y estudiar los “espacios ndimensionales”.

“La geometría es a las artes plásticas lo que la gramática es al arte de escribir. Hoy los científicos ya no se atienen a las tres dimensiones de la geometría euclidiana. Los pintores han sido llevados natural y, por así decirlo, intuitivamente, a preocuparse por las nuevas medidas posibles del espacio que se indican brevemente en su conjunto, en lenguaje figurativo de los modernos con el término de cuarta dimensión. La cuarta dimensión aparece generada por las tres dimensiones conocidas y representa la inmensidad del espacio que se eterniza en todas las direcciones en cualquier momento dado”. Guillaume Apollinaire, francés nacido en Roma (1880-1918), poeta, escritor y crítico de arte, precursor del surrealismo. La cita es de “Los pintores cubistas” (1913) considerado el manifiesto de ese movimiento. Fuente de la imagen: french.chass.utoronto.ca/fcs195/apollinaire.html

Fascículo 7 • Polígonos y poliedros

Simulación de movimiento a través de un túnel de viento, donde se puede probar la aerodinamia de un vehículo. Esta imagen proviene de una simulación por computadora utilizado por una empresa taiwanesa. Fuente: www.syzygia.com.tw

La cuarta dimensión y el hipercubo A mediados del s. XIX se crean las denominadas geometrías no euclidianas y uno de los principales matemáticos de este siglo, Bernhard Riemann (Alemania, 1826-1866), había pensado en espacios con muchas dimensiones. En 1908, otro matemático alemán, Hermann Minkowski (1864-1909), quien fue profesor de Einstein, fusionó las tres dimensiones espaciales y la dimensión temporal en un continuo de 4D. La teoría de la relatividad de Einstein, inicios del s. XX, utiliza ese espacio de 4D con coordenadas (x,y,z,t). Las 4D eran objeto de estudio por matemáticos, físicos y filósofos y también fueron objeto de variadas especulaciones en el período 1880-1910, en el cual Abbot publicó su Flatland. Las geometrías no euclidianas, las dimensiones mayores que tres, y el estudio de las ilusiones ópticas en las que intervinieron el astrofísico Johann Zöllner (1834-1882), el físico Hermann von Helmotz (1821-1894) y otros, crearon un ambiente científico (lo no euclidiano, dimensiones mayor que tres e ilusión óptica) que tuvo repercusión en las artes.

A C Segmento cortando a rectas paralelas que no se ven como tales.

B D

Los segmentos AB y CD tienen igual longitud

Una de las primeras manifestaciones artísticas en tal sentido lo testimonia el siguiente cuadro, de inspiración cubista, del pintor francés, nacionalizado norteamericano y precursor en Nueva York de un movimiento denominado dadaísmo, Marcel Duchamp (1887-1968), titulado Desnudo bajando una escalera (1912), en el que se vincula el análisis cubista del espacio con la representación del movimiento, y de allí las 4D. Fue una pintura futurista con insinuaciones cubistas, “Una expresión del tiempo y del espacio a través de una presentación abstracta del movimiento”, como lo escribió el mismo Duchamp. En este cuadro, las secuencias de la figura moviéndose hacia abajo de la escalera tiene lugar de manera simultánea y son reveladas las distintas facetas de la figura.

Fascículo 7 • Polígonos y poliedros

El Sello Blanco (1965) de René Magritte (Bélgica, 1898-1967), obra surrealista, es una paradoja visual que forma parte de sus pinturas imposibles. Magritte afirmó: “Cada cosa que nosotros vemos esconde algo más que queremos ver”.

¿De qué forma podemos representar e intentar imaginarnos la cuarta dimensión y algunas de sus figuras, análogamente cómo se representa la tercera dimensión en un papel? Observemos primero cómo se van generando las dimensiones por analogía e iniciando con la dimensión cero. Dimensión 1: una recta Dimensión cero: un punto O Un segmento construido a partir de un punto O, teniendo a éste como un extremo o vértice. O O

Dimensión 2: una segunda recta perpendicular a la anterior indica la segunda dimensión. Un cuadrado construido a partir de un segmento perpendicular en O al segmento OA. C

Dimensión 3: una tercera recta perpendicular a las dos anteriores, esto es, perpendicular al plano que ellas forman, indica la tercera dimensión. Un cubo construido a partir de un segmento perpendicular en O al cuadrado OABC.

H A

E B

G O

Dimensión 4: tenemos que pensar en una recta perpendicular a nuestro espacio 3D y mover el cubo según esa dirección perpendicular. Esto genera el hipercubo que es un “poliedro” regular en el espacio de cuatro dimensiones. Es claro que en la realidad no podemos efectuar ese movimiento, pero sí podemos dibujar como luciría un tal hipercubo al proyectarlo en una hoja de papel. D

D C

H A

Fascículo 7 • Polígonos y poliedros

El cubo de la izquierda trasladado en la dirección de la 4ta. dimensión.

Polígonos y poliedros

La forma del Gran Arco de La Defense (París) es la de un cubo hueco y abierto dentro de otro cubo, como en el diagrama de Schlegel del hipercubo, con arista de casi 110 m. Debido a los problemas estructurales de estabilidad que tiene tal forma cúbica, la base del cubo está sobre piedra caliza colocada a 35 m debajo de la superficie y reposa sobre 12 pilares, disponiendo de un sistema de tres computadores que monitorean sus movimientos mediante sensores muy sensibles (“Es un edificio inteligente”). Fotografía tomada desde el Arco de Triunfo situado en Los Campos Elíseos (París, Francia).

¿Cómo estudiar el hipercubo? Los objetos en el espacio tridimensional (3D) se representan en un plano (2D) utilizando ciertas técnicas, entre ellas la perspectiva. También algunas figuras geométricas tridimensionales se pueden desarrollar o extender en un plano. Por ejemplo, un cilindro o un cono. Si lo cortamos por una generatriz, lo podemos extender en un plano (son superficies desarrollables, lo que no es posible hacer con una esfera).

Sin título, superfice desarrollable realizada por Antón Pevsner (Rusia, 1886-1962). La luz resbala sobre la superficie de esta escultura y da la impresión de movimiento. Pevsner es célebre por sus grandes “superficies desarrollables” en cobre o bronce.

La superficie cilíndrica desarrollada en un plano da un rectángulo.

La superficie cónica desarrollada en un plano da un sector circular.

Consideremos un cubo que puede ser dibujado o representado en un plano de diversas formas, algunas de las cuales se hacen a continuación. LH

Representación isométrica (todas las aristas tienen igual longitud).

La perspectiva caballera mantiene la cara frontal y la arista que indica la profundidad se modifica un poco en longitud y también en su inclinación.

En estas dos representaciones se conserva el paralelismo.

Fascículo 8 • Polígonos y poliedros

Punto de fuga

Perspectiva con un punto de fuga exterior. LH es la línea del horizonte. No se conserva el paralelismo.

Punto de fuga

A’

También se puede representar con una proyección central, como se ilustra a continuación, resultando un cuadrado dentro de otro cuadrado. Es el diagrama de Schlegel, donde el centro de la proyección es un punto por encima del centro de una cara.

E’

F’

A E

B’

A’ D

A’

B’

H E’

Éste es el diagrama corresponpondiente a un cuadrado. Se proyecta desde O sobre el lado CD, resultando un segmento CD dentro de otro segmento A’B’.

B’

G F’

Éste es el diagrama correspondiente a un cubo. Imagina un cubo transparente y un bombillo encima del centro de una de las caras (por ejemplo, en el polo Norte de la esfera circunscrita). Las sombras arrojadas por las aristas (en alambre) dan ese diagrama: un cuadrado dentro de otro cuadrado.

Por analogía se tiene la representación del hipercubo en el espacio 3D, que luce como un cubo dentro de otro cubo.

Ipercubo. Escultura en acero de Attilio Pierelli (Italia 1924-1990).

Fascículo 8 • Polígonos y poliedros

Los cinco tipos de poliedros regulares en 3D se pueden desarrollar o desplegar en un plano, de forma análoga a como desarrollamos o desplegamos una superficie cilíndrica y una superficie cónica. Así, se tiene el desarrollo del cubo en seis cuadrados que son sus caras:

En la educación básica (1ª y 2ª etapas) se arma el cubo a partir de estos desarrollos, colocando unas lengüetas a fin de poder pegarlo con cola.

Lo análogo para el hipercubo, desplegado o desarrollado en 3D, es la figura siguiente que consta de 8 cubos que son sus caras tridimensionales. Si habitáramos en un mundo de 4D espaciales, entonces colocaríamos lengüetas en esos cubos y al doblarlas se armaría el hipercubo en ese espacio 4D.

Ese desarrollo 3D del hipercubo ha inspirado a artistas, como se muestra al lado con La Crucifixión (El Corpus Hipercubicus, 1954) del gran artista catalán Salvador Dalí (1904-1989) en el que está Jesucristo crucificado en los cubos de ese despliegue 3D del hipercubo. Dalí es considerado el paradigma del pintor surrealista. En el año 2004 se celebró mundialmente el centenario de su nacimiento, en especial en su pueblo natal Figueras donde hay un museo en su honor.

Fascículo 8 • Polígonos y poliedros

La compañia Bit-Tech tomó la forma del hipercubo para el diseño de una computadora a la cual llamaron HyPercube2.

El arquitecto y diseñador Claude Bradgon (Estados Unidos, 1866-1946), a inicios del s. XX incorporó el hipercubo y otros diseños en 4D en sus trabajos. Un ejemplo de esto es el edificio de la Cámara de Comercio de Rochester cuya foto se encuentra a la derecha.

El Gran Arco de La Defense en París fue diseñado por el arquitecto danés Johan Otto von Spreckelsen, quien a su vez designó al arquitecto francés Paul Andreu para la ejecución de la obra. Este Gran Arco se sitúa en el eje histórico de la capital francesa, eje donde se encuentran el Museo El Louvre, la Plaza de La Concorde, la gran avenida de los Campos Elíseos, el Arco de Triunfo (donde está inscrito el nombre del precursor de la Independencia, Francisco de Miranda) y sigue por una gran avenida hasta el complejo de La Defense, con sus plazas, edificios y el Gran Arco.

Fascículo 8 • Polígonos y poliedros

Resumiendo lo visto en estos fascículos:

Punto (0D)

Segmento (1D)

Cuadrado (2D)

Cubo (3D)

Hipercubo (4D)

Dimensión (n=)

Vértices (puntos)

Segmentos (lados; aristas)

Caras planas (cuadrados)

Caras cúbicas (cubos)

Para calcular los vértices (V), segmentos (S), caras planas (P) y cubos (C) se utilizan las siguientes fórmulas: V =2n

S =n. 2n-1

P = n(n-1) 2n-2 2

Los poliedros del espacio 3D son lo análogo de los polígonos de un plano (2D). Sabemos que cualquiera sea el número k≥3 existen polígonos regulares (convexos) de k lados, por lo tanto existen infinitos polígonos regulares convexos. También hay infinitos polígonos regulares estrellados (no convexos) de k≥5 lados. En dimensiones n mayores que 2 la situación cambia, como exponemos a continuación: n=3: Solamente existen cinco tipos de poliedros regulares convexos (los cuerpos platónicos) y cuatro tipos de poliedros regulares estrellados (no convexos). Aún más, en dimensión cuatro (n=4) ya sabemos que el hipercubo (lo análogo del cubo) es un poliedro cuatridimensional regular y convexo. ¿Hay más poliedros regulares convexos en 4D? ¿Y los regulares estrellados (no convexos) en 4D? ¿Cómo es esta situación en dimensiones mayores que 4? El estudio de esos problemas geométricos ocupó mucho tiempo y dedicación a distinguidos matemáticos y fue solamente en el s. XIX que un matemático suizo, Ludwig Schläfli en 1850, demostró lo siguiente: a) En dimensión n = 4 solamente hay seis poliedros regulares convexos y diez regulares estrellados (no convexos). b) En dimensión n ≥ 5 solamente hay tres poliedros regulares convexos y ningún poliedro regular estrellado.

C = n(n-1)(n-2) 2n-3 6

Pequeño dodecaedro estrellado

Undecágono estrellado (n=11, p=4)

Fascículo 8 • Polígonos y poliedros

Bibliografía • BANCHOFF, Thomas F. (1996): Beyond the third dimension. Scientific American Library, New York. • BANCHOFF, Thomas F. (2000): Dimensión. En la obra “La Enseñanza agradable de la matemática” (dir. Lynn. A. Steen), Limusa y Noriega-Editores, México, 17-65. Es una parte del texto anterior. • DEVLIN, Keith (2001): The Language of Mathematics. Making the invisible visible. W. H. Freeman and Co., New York. • KINSEY, L. Christine y MOORE, Teresa E. (2002): Symmetry, Shape and Space. Key College Publishing, Estados Unidos. • La Recherche (1998): L’Origine des formes. Número especial, 305. • Pour la Science (1998): Les symmetries de la nature. Número fuera de serie. Edición francesa de Scientific American. • SENECHAL, Marjorie (2000): Forma. En la obra “La Enseñanza agradable de la matemática” (dir. Lynn A. Steen), Limusa y Noriega-Editores, México, 149-192. • SERRA, Michael (1993): Discovering Geometry: an inductive approach. Key Curriculum Press, Berkeley (California), Estados Unidos.

Páginas web • http://www.ac-nuomea.nc/maths/amc/polyhedr/ • http://www.dibujotecnico.com

se han saracto) m a s e t o d a Tho enomin e s la d e mbién d a a t t ns ( le o p b m u erc s co Projectio : ip á e h m b l u e a c d r L e a p el s. Acerc p e lí c u la s (1978) “The Hy p r e s e n t a d a e n s ia r a v film i t y, Straus hecho Univers Charles inki. Un oll y ls n e ff w o H o h r n c B e n la Ba ticos ichael N ing”, de Matemá o por M d a z li a n d S l i c nternacional de a e y fue r oI de 1960 Congres a t a idad d e t s aé ell. Univers B s la io e r d o t , anterior y zó ra Zavrotsk González, reali los Labo s n é e r d l. a n t e inutos P ro f . A Fausto os y 3 m a l a zuela, el juntamente con d e a n e im V n a n s E n ar de dibujo ndes, co de ayud s s e de Los A 952 una película u b o c o n e l f i n a t e lle 1 e rc . M á s d 97): “La n ó i s en el año n s o b r e e l h i p n e ta dim ció u jo ( 1 9 lade dura i ó n d e l a c u a r e Oswaldo Ara t. Venezo a c M d . a c z o i o l l s visua l artícu , Bol. A r a n e n e drés Zavrotsky” t n e u c n e n vida de A ejemplar , No. 2, 9-12. IV na, vol.

Fascículo 8 • Polígonos y poliedros

Tengo que pensarlo

La figura está formada por cinco rectas que se cortan. Nombra y dibuja por lo menos 8 cuadriláteros.

B A

Dibuja un dodecágono regular, como el de la figura, y un paralelogramo de lados KM y KL. Luego dibuja un paralelogramo de lados KM y KJ y otro de lados AM y AB. Si continúas el proceso, ¿cuántos paralelogramos necesitarás para llenar todo el dodecágono?

B C

L M

Dibuja un cuadrilátero ABCD y determina los puntos medios de los lados. Si unes con segmentos los puntos medios de los lados adyacentes ¿se forma un paralelogramo? ¿Qué relación tiene el área del paralelogramo con el área del cuadrilátero?

A F

I D

Dibuja un triángulo equilátero ABC y elige un punto X cualquiera en su interior. Traza los segmentos perpendiculares desde el punto X a cada lado del triángulo. Compara la suma de las longitudes de los segmentos perpendiculares con la altura del triángulo equilátero. ¿Qué observas? Enuncia una conjetura y demuéstrala.

¿Cuántos triángulos hay en la figura?

d3 d1

Respuestas: 1. Un respuesta es: AFGC, AEHD, AIGD, BEIC, BEFD, BHGC, EJGF, HJIF. 2. 15 rombos cubren el dodecágono regular. 3. El área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero. 4. 35 triángulos. 5. Conjetura: “La suma de las distancias desde un punto interior X del triángulo equilátero a los lados del triángulo es igual a la altura del triángulo”. Se demuestra trazando los segmentos desde el punto X a los vértices del triángulo y comparando las áreas de los triángulos formados (tríangulos AXC, AXB y BXC) B y el área del triángulo original (ABC).

Fascículo 8 • Polígonos y poliedros

Tr i g o n o m e t r í a

La trigonometría se refiere a las relaciones cuantitativas entre ángulos y segmentos de rectas, especialmente en los triángulos. La palabra trigonometría proviene del griego trigonon = triángulo y metron = medida. El término trigonometría fue introducido por el clérigo alemán Bartholomeo Pitiscus (1561-1613) en un libro que data de 1595 y lleva por título “Trigonometriae sive...”. In the Hold (imagen superior realizada entre 1913 y 1914) de David Bomberg (1890-1957) es un cuadro donde hay una estructura reticular, en la que se dibujan polígonos como triángulos, trapecios, pentágonos, que le confieren una dinámica al mismo. Todas las matemáticas salen del mundo físico, en la medida donde ellas han nacido del estudio de las formas y de las dimensiones de los objetos reales. Paul Halmos, matemático estadounidense (1916 - ).

La utilización de instrumentos para medir angulos y calcular distancias es muy antigua. Desde siglos atrás los astrónomos, los navegantes, los geógrafos y los matemáticos, usaron instrumentos como: los cuadrantes, los sextantes, los astrolabios, los teodolitos, que progresivamente se fueron perfeccionando hasta llegar a los teodolitos actuales utilizados por los topógrafos. En la búsqueda de la musa de la Astronomía. Tapiz flamenco (c. 1510).

Astrolabio árabe del siglo X. Realizado por Ahmad ibn Khalaf en Bagdad. (París, Biblioteca Nacional de Francia). Es el astrolabio más antiguo en el mundo. Fue fabricado para Jafar, hijo del califa Muktafi biIlah, que reinó entre 900 y 907.

Astrolabio de Abu Bakr ibn Yusuf. Realizado en Marrakech en 1216-1217 (Museo Paul-Dupuy de Toulouse).

Astrónomos del medioevo utilizando un astrolabio. Fuente: Hulton Getty.

La invención de los astrolabios es atribuida a los griegos, pero su desarrollo y perfección se debe a los astrónomos árabes. Estos son instrumentos que permiten calcular la altitud o altura de los astros (el ángulo desde el horizonte) y el azimut (distancia angular desde un meridiano). Los teodolitos son instrumentos utilizados en topografía y geodesia para medir ángulos horizontales y verticales. Teodolito.

Astrónomos observan las estrellas con la ayuda de un teodolito (instrumento de medidas de distancias verticales y horizontales).

Fascículo 9 • Trigonometría

Museo de la Escuela Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía. Universidad Politécnica de Madrid, España.

El mundo de las demostraciones con ayudas visuales Tomando las palabras de R.B. Nelsen: “La idea de estas figuras o dibujos es la de ayudar al lector a ver por qué un enunciado puede ser verdad y, en algunos casos, a ver cómo se puede iniciar la demostración”. Presentamos a continuación un ejemplo de una propiedad de figuras planas en la que los gráficos ayudan en la demostración, y también el teorema de Pitágoras.

Propiedad: Las diagonales del rectángulo tienen igual longitud. Rectángulo ABCD Conocido: AB=DC y AD=BC Los ángulos del rectángulo son rectos D

Demostrar AC=BD

Los triángulos ABD y BAC son congruentes

B A

Teorema de Pitágoras:

A B

s-r

El matemático hindú Bhaskara (India, 1114-1185) hizo una reconstrucción del teorema de Pitágoras a la que se le añadió la palabra ¡MIRA!, de forma que a partir de la observación de la figura se pudiera reconstruir el teorema.

El teorema de Pitágoras dice: "Si un triángulo ABC es rectángulo, entonces el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". El área del cuadrado del lado t es igual a: t2 = 4 veces el área del triángulo ABC + el área del cuadrado blanco t2 =

Otra demostración del teorema de Pitágoras es la atribuida a J.A. Garfield (vigésimo Presidente de los Estados Unidos). Utilizó una figura en forma de trapecio y la dividió en triángulos. Área del trapecio = suma de las áreas de triángulos a+b (a+b) = c2 + ab + ab = c2 + ab 2 2 2 2 2 a2 + b2 =c2

4 (s · r) + (s-r)2 = 2 (s·r) + s2 -2s·r + r2 = s2 + r2 2

Es decir t2 = s2 + r2

b Fascículo 9 • Trigonometría

c a

b N

M c c a

Se pueden dar muchos ejemplos de “demostraciones visuales o gráficas” que conducen a conclusiones verdaderas. Sin embargo, es menester prestar atención y tener cuidado con este tipo de demostraciones puesto que a veces lo visual puede engañarnos y producir errores conduciéndonos a resultados falsos, como mostramos a continuación.

Relativity. M.C. Escher (1898-1972) . Galería Nacional de Canadá.

Consideremos un triángulo cualquiera ABC. Marquemos los puntos medios de sus lados M, N y P, como se muestra en el dibujo. Dibujamos la poligonal AMNPB (en rojo). Como MNPC es un paralelogramo, resulta MN = CP y NP = MC. Por lo tanto, la longitud de la poligonal es:

AM + MN + NP + PB = AM + CP + MC + PB = AC + CB, la suma de las longitudes de los dos lados AC y CB. C

De forma análoga procedemos con los triángulos AMN y NPB, obteniendo la poligonal AEFGNHIJB y fácilmente se demuestra que, con un razonamiento semejante, la longitud de esa poligonal es igual a la suma de los dos lados AC y CB. Si seguimos ese procedimiento “indefinidamente”, observamos que los lados de las poligonales obtenidas se van haciendo cada vez más pequeños y sus vértices “tienden” a estar situados en el lado AB. Sin embargo, las longitudes de esas poligonales siempre permanecen constantes e igual a AC + CB. Lo que conduce con ese procedimiento sucesivo que la suma AC + BC sea igual a AB, es decir, “la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es igual a la longitud del otro lado”, conclusión que es falsa. Fascículo 9 • Trigonometría

I C

El mundo de las demostraciones En la vida diaria con la expresión ¡Eso es lógico!, nos referimos a la utilización de la capacidad de razonamiento o a una forma ordenada de pensamiento. Un argumento lógico consiste de un conjunto de premisas y una conclusión que se deriva de ellas. Observa cómo si utilizas la lógica o un argumento lógico puedes descubrir la profesión de cada persona en la situación presentada a continuación.

Sherlock Holmes. Fuente: http://www. nidhin.com/ wallpapers/sherlock.html

“Edith, Ernesto y Eva tienen las profesiones de economista, electricista e ingeniero, pero no necesariamente en ese orden. El economista es asesor de Eva en su trabajo. Ernesto contrata al electricista para instalar un aire acondicionado. Edith gana menos que el ingeniero pero más que Ernesto”. Cual es la profesión de cada uno de ellos? Otra expresion de uso frecuente es: ¡Pruébalo! y se pide con ello que se presenten unas reglas ya aceptadas, autoridad, testimonios o hechos que soporten en forma lógica lo exigido. En cada uno de los siguientes casos, piensa cómo puede una persona probar lo que se le pide: • Pruébame que estabas en la oficina a las 8 p.m. del día sábado. • Pruébame que vives en el apartamento 32 del edificio La Trampa. • Pruébame que me ponché jugando béisbol. La noción de prueba en matemática es más formal y rigurosa: consiste de un argumento lógico convincente de un hecho particular, del que no debe quedar ninguna posibilidad de duda de su veracidad. ¿Cómo se establecen en matemática ciertos hechos que luego se deben demostrar? Bueno, de una forma que pareciera fácil: mediante el razonamiento inductivo se observan datos, se reconocen patrones y se establecen conjeturas de esas observaciones y, luego, mediante el razonamiento deductivo se utilizan enunciados aceptados como verdaderos (axiomas) y teoremas demostrados para probar las nuevas conjeturas o hipótesis establecidas. Es decir, se utiliza razonamiento inductivo para realizar nuevos descubrimientos y con razonamiento deductivo se demuestra que los nuevos descubrimientos son lógicamente consistentes con otros ya establecidos. En general, las conjeturas tienen una forma condicional: "Si α, β y γ son las medidas de los ángulos interiores de un triángulo, entonces α + β + γ = 180º. En esta forma se establece lo que se considera como verdadero y lo que quiere demostrar: Hipótesis: α, β y γ son las medidas de los ángulos de un triángulo (aceptado). Tesis: α+β+γ = 180º (lo que se quiere demostrar). Fascículo 9 • Trigonometría

Tales d re d ( 6 3 6 - 5 4 6 a e el pr la geom .C.) es co imer nsid e tría. o e bas l ógica en intro Es recon rado el p duci s” so ao to de cido re b duct ivo. re la base l uso de como Algu “ del r n azon p r u e car m as veces amie , ná e s e s s inform un dibuj o pu entid ación ede c semi o, Ta que omu c l ni m o s i rc u n f e re e s e s c o g i l a s p a l a b de un ras. E ó pu ncia n y elegi n d t l o i o á sd su me d que s o el ángu tro y mid nió a los e una lo u i por e alegría f formad ó en cada extreo. Di ue ta l des punt ce lq ¿Qué cu o obse brimien ue sacrif la leyend rvó T icó u to. O a n bserv ales? a la f buey igura .

En forma esquemática un teorema puede expresarse así: A

Hipótesis: enunciados aceptados como verdaderos

"En un trángulo ABC, si D y E son puntos de AB y AC , respectivamente, tales que el segmento DE es paralelo al lado BC, entonces D y E determinan segmentos proporcionales a los lados", esto es: AB AC DB = = AD AE EC

C A H D

B A

Tesis: enunciado que se quiere demostrar

Teorema de Tales:

Argumentos lógicos

En lo que sigue nos referiremos únicamente a la primera igualdad.

Hipótesis: 1. Se considera un triángulo ABC cualquiera. 2. D y E nombran puntos de los lados AB y AC, respectivamente. 3. El segmento DE es paralelo al lado BC del triángulo. Tesis: AB AC AD AE Demostración: Tracemos el segmento BE y la perpendicular EH desde el vértice E al lado AB (en forma punteada). Observa que los triángulos ABE y ADE tienen la misma altura HE. Luego: área ( ABE) =

AB · HE 2

área ( ADE)=

AD · HE 2

Así =

vían resol ica: a i c pír egip ica y forma em ctivo. n ó l i s en dedu s bab ltura eométrico a lógico y para su u c s La al sg tem u i t i v o s que n sis lema prob lizaban u ientos int el hecho os no ti ba tad im no u onoc les basta los resul r expec n a Tení obación práctica bían po r a sa comp rlos en l q u e y a a o z l i util cían rade c o n t a. i rienc

Fascículo 9 • Trigonometría

área ( ABE) A B = área ( ADE) AD

(1)

En forma similar se demuestra que:

área ( ACD) AC = área ( ADE) A E

(2)

Pero los triángulos DEB y DEC tienen la misma base DE y como DE y BC son paralelas, tienen la misma altura, entonces área( DEB) = área( DEC) (3) Asi: área( ABE) = área( ADE) + área( DEB) = área( ADE) + área( DEC) = área( ACD) Esta igualdad junto con (1) y (2) permite concluir: AB AC l.q.q.d. (lo que se quería demostrar). AD AE Esquemáticamente, el Teorema de Tales se expresa así: Hipótesis: En el ABC, D y E son puntos de los lados AB y AC respectivamente, tales que el segmento DE es paralelo al lado BC.

Tesis: Argumentos lógicos

Análogamente se puede demostrar la otra igualdad.

El Teorema recíproco de Tales se expresa esquemáticamente así:

Hipótesis: En el ABC, D y E son puntos de los lados AB y AC respectivamente, tales que

Tesis: El segmento DE es paralelo al lado BC.

Argumentos lógicos

Teorema Recíproco del Teorema de Tales:

"Si en el triángulo ABC tenemos puntos D y E sobre los lados AB y AC , respectivamente, tales que: D

, entonces el segmento DE es paralelo al lado BC". Demostración: Para la demostración se utiliza un método llamado reducción al absurdo y consiste en negar lo que se quiere demostrar. Supongamos que el segmento DE no es paralelo al lado BC. Sea BC' la recta paralela a DE que pasa por el punto B y corta a la recta AC en C'. Por el teorema anterior tenemos que:

C' C

Fish. M.C. Escher (1898-1972)

Por hipótesis tenemos: Por tanto, AC' = AC y entonces C' = C. Existe una estrecha relación entre figuras semejantes y segmentos proporcionales: si dos figuras son semejantes sus “lados” correspondientes son proporcionales.

Sea el

Demostrar que la bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. En otras palabras: ABC y CD la bisectriz del ángulo ACB.

Demostrar que C

AD BD

CA CB

Demostrar que la altura correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo lo divide en dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triangulo original. En otras palabras: Sea el ABC, rectángulo en C, y CD la altura desde el vértice C. Demostrar que los triángulos ADC, CDB y ACB son semejantes. C

Sugerencia: Traza por el punto A una recta paralela al

Sugerencia: Utiliza el criterio de dos ángulos iguales para

segmento CD que encuentre la prolongación del lado BC.

la semejanza de triángulos.

Fascículo 9 • Trigonometría

Pythagoras. Estatua en la isla de Samos. Grecia.

Los antiguos chinos, babilonios y egipcios utilizaron una sorprendente relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Pitágoras demostró que la relación anterior es cierta para cualquier triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas con mayor número de demostraciones. Por ello se ha considerado importante presentar otras demostraciones con cierto sentido histórico.

Teorema de Pitágoras:

"Si un triángulo ABC es rectángulo, siendo recto el ángulo ACB, entonces el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". A

Hipótesis: 1. El triángulo ABC es rectángulo. 2. AC y BC son catetos. AB es la hipotenusa.

Tesis: 2 2 2 AB = AC + BC . Demostración: Consideremos el triángulo rectángulo ABC y tracemos la altura CD correpondiente a la hipotenusa: Como los triángulos ADC y ACB son semejantes y también lo son los triángulos CDB y ACB, entonces: AD AC = AC AB

(1)

BD BC = BC BA

(2)

De (1) AC = AD · AB. De (2) BC = BD · BA. 2 2 2 Sumando las igualdades AC + BC = AD · AB + BD · BA = AB (AD + DB) = AB . 2 2 2 Se concluye: AB = AC + BC . A

D Q

E P

Euclides (Grecia, c.200 a.C.), en el Libro 1 de los Elementos, proposición 47, enuncia el Teorema de Pitágoras en términos de área: “En los triángulos rectángulos, el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente al cuadrado sobre los lados que forman el ángulo recto”. La figura de la derecha ilustra la demostración.

Fascículo 9 • Trigonometría

Teorema Recíproco del Teorema de Pitagoras:

A’’

A’

"Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados entonces el triángulo es un triángulo rectángulo".

Tr i g o n o m e t r ﾃｭ a

ﾃ］gulos en figura reclinada (1979) Henry Moore (Gran Bretaﾃｱa, 18981986).

Fascﾃｭculo

Descubriendo el mundo de la trigonometría Ángulos y sus medidas Los ángulos se encuentran en la geometría cuando dibujamos polígonos, semirrectas y rectas que se cortan. La primera definición la dio Euclides en su famoso tratado “Los Elementos” (s. III a.C.). Un ángulo está definido por un par de semirrectas a y b de origen común O, donde damos las semirrectas en el orden indicado por la flecha curvilínea.

A ω

El ángulo se denota mediante el símbolo AOB o AOB, siendo A y B, puntos cualesquiera de a y b, respectivamente. Asimismo se denota mediante ab. Otra forma de denotarlos es utilizando letras griegas, por ejemplo: α, β, γ, δ, θ. La flecha curvilínea dibujada también indica la rotación de centro O y ángulo α que transforma la semirrecta a en la semirrecta b. La región sombreada se denomina sector angular de lados a, b y vértice O. Si las dos semirrectas coinciden se tiene el ángulo nulo que denotamos por O y si son opuestas se tiene el ángulo raso o llano. Si son perpendiculares se tiene el ángulo recto. Los ángulos se miden con un instrumento denominado transportador, que da la medida de ángulos en grados sexagesimales en el intervalo 0° - 180°.

a a

b O

90° ángulo recto

Ángulo de 30°

Ángulos en el círculo Ángulo inscrito: Su vértice está en la circunferencia.

Si en un círculo, un ángulo central y un ángulo inscrito subtienden el mismo arco, entonces la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo central.

α=

Ángulo central o en el centro: Su vértice es el centro de la circunferencia.

Arco comprendido por el ángulo. En cada caso se dice que el ángulo subtiende al arco.

β 2 α O

Fascículo 10 • Trigonometría

Un diámetro determina un ángulo llano en el centro. Luego un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto, pues el llano mide 180° y su mitad es 90°.

Lon g

itu

dd ea o rc =

El radián mide el ángulo que ha girado una rueda cuando la llanta ha rodado una distancia igual al radio de la misma. Es una práctica usual denotar un ángulo y su medida con la misma letra. Así se escribe α = 45° = π para indicar el ángulo 4 α que mide 45° (en el sistema sexagesimal) o bien π (en el 4 sistema radián).

Lo n g

itud

ar co =

cd = 30° =

rad

bc = 45° =

rad

45° α

90°

- 1 rad 2

Longitud de arco = 12

AS Q UE... La tri gono metrí prim at er de qu as cuestio iene una h ne é man is una r era se s que se p toria muy egla. antig lante p odía E p e ro a ua. U sí pu s claro qu medir un ron en la n ede m e esto antig a de las luego ángu üeda lo po edirs no pu con a d fu r in el ed yuda Fue H d e t a a c u e rd a q e h a c e r s e t e r m e d i o e blas d i p a rc d u d o ca. 12 e t e r m e s u b t i e n i re c t a m e e nte, 0 a.C (Nicea, a d i n e a e r l el áng .), el ctual “el pa ángu gr me lo y ulo. d cuerd re de la tr an astróno nte Iznik igono as y p en Tu mo d m e c i rc u a r n f e re r a e s t o c o e t r í a ” , q u l o s g r i e g q u í a , c a . 190n os co n ien co cada cia la s i d e nsi ró la n c d e t e r d o d e u n t u a l d i v i d l o s t r i á n g s t ru y ó u n a d e r a d o ió u m ri t c e n t r i n a r l a l o ángulo un e n 3 6 0 p l o s i n s c r i t abla de os en artes ngitu al, lo a cue igual una d de rda. L trigon q es la o omet u e c o n v i r t i ó e c u e rd a e n s cálculos , s i e n d o ría du er n rante f l o s s i l a t a r e a u n c i ó n d e an para glos s f l iguie u n d a m e n á n g u l o ntes. tal d e la

π 3

Fascículo 10 • Trigonometría

1 rad

R=1

SABÍ

Hiparco. Fuente: perso.wanadoo.es/antoni.salva figures/hiparco.jpg

R=1

rad ≈ 1,57 rad

30°

ac = 90° =

Funciones trigonométricas de un ángulo Coseno y seno de un ángulo Dado un punto O del plano, podemos considerar cualquier ángulo ab con su vértice en O puesto que mediante una traslación lo llevamos a tal vértice. Asimismo, podemos considerar el lado a como eje de abscisas +OX y se dice que el ángulo está en posición estándar. Consideremos una circunferencia de centro O y radio unidad y un ángulo α de vértice en O. La proyección OA del radio R=1 sobre el lado a se denomina coseno de α, que es la longitud del cateto OA en el triángulo rectángulo OAB. La longitud del otro cateto AB se denomina seno de α. Esos dos números, asociados con el ángulo α, se denotan cos α y sen α, respectivamente: cos α= OA=x, sen α = AB=y, siendo (x,y) las coordenadas del punto B. Si consideramos dos puntos M y N, respectivamente en los lados a y b del ángulo α, tales que MN||AB, por el teorema de Thales resulta:

B(x,y)

sen α

1 R=

cos α

1 M

OM = OA = cos α = cos α ON OB 1 MN = AB = sen α = sen α ON OB 1 Al considerar el triángulo rectángulo MNO o el ABO con ángulos rectos en M y A, respectivamente, esas igualdades expresan que: longitud del cateto adyacente al ángulo α cos α = longitud de la hipotenusa longitud del cateto opuesto al ángulo α sen α = longitud de la hipotenusa

Tangente de un ángulo Se define la tangente de α (tgα) mediante: tg α = sen α = lo que resulta igual, en cualquier cos α triángulo rectángulo, a: longitud del cateto opuesto al ángulo α longitud del cateto adyacente al ángulo α

Recta tangente a la circunferencia en el punto M

Y M

N D

tg α = CD α

y ella mide la longitud del segmento CD de la tangente trazada en C a la circunferencia unitaria. ¿Por qué? Recta tangente a la circunferencia en el punto C

Fascículo 10 • Trigonometría

Las otras funciones trigonométricas de un ángulo α se definen a partir de las anteriores mediante: 1 Secante de α: sec α = cos α

1 Cosecante de α: cosec α = sen α

cos α 1 Cotangente de α: cotg α = sen α tg α

Siempre que los denominadores sean no nulos. y

B (0,1) (cos α, sen α)

α D (-1,0)

Demuestra en la ilustración que está en la parte inferior de la página anterior que: OD = sec α y MN = cotg α

SABÍAS QUE... Posterior a Hiparco, el paso siguiente en la construcción de tablas trigonométricas y astronómicas lo dió Claudio Ptolomeo, conocido como Tolomeo (Grecia-Egipto, ca.85-ca.165), con su tratado Almagesto (imagen de la derecha) de trece libros, que en astronomía es el equivalente a Los Elementos de Euclides en geometría. Todas las tablas astronómicas hasta el siglo XII se basan en ese tratado.

ΑΟΒ = α

Tolomeo dividió la circunferencia en 360 partes iguales (los grados sexagesimales) y el diámetro en 120 partes iguales (así el radio queda dividido en 60 partes, base del sistema sexagesimal). Luego, de manera natural subdividió los grados en 60 partes (pars minuta prima, la primera pequeña parte) y éstos, a su vez, en otras 60 partes (pars minuta secunda, la segunda pequeña parte), de donde se derivaron las palabras “minuto” y “segundo”. La tabla de Tolomeo da la longitud de una cuerda en función del ángulo central que la misma subtiende: α α /2) = 120 sen ( /2), lo cual se deduce 2 2 fácilmente del triángulo rectángulo OCB, recto en C, pues

R= O

α/2 C

AB = cuerda α = 2R sen (

sen (α/2) = CB/OB = CB/R y AB = 2 CB

Fascículo 10 • Trigonometría

A (1,0) x

La identidad fundamental

B R

sen α

En el triángulo rectángulo OAB, por el teorema de Pitágoras se tiene: OA2 + AB2 = OB2 = 1. Como AB = sen α y OA = cos α, entonces;

α cos α

a A

(sen α)2 + (cos α)2 = 1 identidad conocida como la identidad fundamental de la trigonometría. La identidad fundamental se dedujo utilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo OAB con hipotenusa OB = R = 1. 1. Dedúcela utilizando el triángulo rectángulo OMN con hipotenusa ON. 2. Recíprocamente, deduce el teorema de Pitágoras a partir de la identidad fundamental.

Observa cómo se relacionan en los triángulos rectángulos esas funciones, utilizando el teorema de Pitágoras. 1

sen α

α cos α

sec α α

1 1 + (tg α) = (sec α)2

(sen α)2 + (cos α)2 = 1 Identidad fundamental

tg α

cosec α

α cotg α

1 + (cotg α)2 = (cosec α)2

Es costumbre denotar (sen α)2 mediante sen2 α y análogamente para (cos α) 2 . Uno de los matemáticos más importantes del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1855), objetó el uso de sen2 α en lugar de (sen α)2 puesto que la notación sen 2 α podía ser ambigua y tener el significado de sen(sen α).

Trigonometría y arte Es un saber cotidiano que cuando un objeto se va alejando de nosotros aparece progresivamente de tamaño más pequeño. Al contrario, sí se acerca se ve más grande. Este efecto visual es tomado en cuenta cuando se construyen estructuras muy elevadas desde el piso, como estatuas y pinturas en techos muy altos, pues en tal caso nuestro ángulo visual es elevado. Autorretrato

Fascículo 10 • Trigonometría

Durero. http://cv.uoc.es/~991_0 4_005_01_web/fitxer/a utodurero.jpg

El grabador y pintor Durero (Albrecht Durer, Alemania 14711528) en su obra Instituciones geométricas (publicada en alemán en 1525 y traducida al latín en 1535), dirigida a pintores, canteros, arquitectos, entre otros, dibujó una columna como la siguiente para visualizar el incremento de las partes de la misma, a medida que subimos y con ángulos iguales desde el vértice f. Además mostró un ejemplo con letras en la misma obra. Es por ello que utilizando tal tipo de construcción, sugerida por los dibujos anteriores, compensamos la percepción visual para objetos elevados.

¿Cuál es la situación matemática subyacente?

B AN

Tenemos un triángulo rectángulo en A y consideramos a partir del vértice O un conjunto de ángulos iguales. Observamos que en el cateto vertical AB los segmentos que se forman no tienen la misma longitud puesto que ésta va aumentando. Para explicarlo acudimos a la función tangente: si consideramos como unidad de longitud el cateto OA, entonces los segmentos verticales miden AA1=tg α, AA2=tg 2α, AA2=tg 3α, ..., AAN=AB= tg nα, si hay n ángulos α (en el dibujo n=14). Como la tangente es creciente (no uniformemente, o como se dice, no linealmente) en el intervalo 0º ≤ α <90°, entonces al calcular valores en ese intervalo,de cinco en cinco grados, y suponiendo que el ángulo α mide 5°, se tiene: tg 0°< tg 5°< tg 10°< .... < tg 30° < tg 45°< .... < tg 80°< tg 85° 0 < 0,0875 < 0,1763 < ... < 0,5774 < 1 < ......... < 5,6713 < 11,4301 Por lo tanto: AA1 = 0,0875, AA2 = 0,1763 ≠ 2 AA1 (tg 2α ≠ 2 tgα) y A1A2 = AA2 - AA1 = 0,0888 > AA1 y esto explica el crecimiento de esas longitudes. A medida que el ángulo AOB=nα se aproxima a un ángulo recto, la tangente crece indefinidamente (se dice que "tiende hacia infinito") y los segmentos verticales se hacen "muy grandes". El gran genio del Renacimiento italiano, Miguel Ángel (Michelangelo Buonarrotti, 1475-1564), quien decoró la Capilla Sixtina en El Vaticano (1536-1541) utilizando la perspectiva, utilizó una construcción análoga a la de Durero como la mostrada antes con las letras, lo cual se refleja en "El Juicio Final".

R=1

Dibuja un triángulo rectángulo OAB de ángulo recto en A (como el anterior). Divide el cateto vertical AB en varios segmentos de igual longitud y une los extremos de esos segmentos con el vértice O. ¿Qué observas?

Fascículo10 • Trigonometría

3α 2α α

A3 A2 A1 A

Tr i g o n o m e t r í a

El Juicio Final de Miguel Ángel. En la fotografía las figuras superiores se ven más largas que las inferiores, pero cuando estamos a nivel del piso se observan del mismo tamaño.

Me dijo el corazón: “Quiero conocer, quiero aprender. ¡Instrúyeme tú, Khayyam, que tanto has estudiado!” Al pronunciar la primera letra del alfabeto, me replicó el corazón: “Ahora ya sé. Uno es la primera cifra del número que nunca acaba”. Omar Khayyam, poeta, matemático y astrónomo. (Persia –hoy Irán–, ca. 1044, ca. 1125) Estos versos pertenecen al Rubaiyat, su excelso poemario.

La ley de los senos Hasta ahora se ha utilizado la trigonometría para estudiar las relaciones de los ángulos y lados en triángulos rectángulos. También se puede utilizar en el caso de triángulos no rectángulos. Veamos cómo establecer una propiedad llamada ley de los senos, que permite calcular las longitudes de dos lados del triángulo conocidos, la longitud del otro lado y las medidas de dos ángulos. Te invitamos a establecer la ley de los senos realizando los siguientes pasos y utilizando la figura de la derecha: 1. Determina la altura h en términos de la longitud a y el seno de un ángulo. 2. Determina la altura h en términos de b y el seno de un ángulo. a b 3. ¿Que relación existe entre sen α y sen β 4. Determina la altura k en términos de c y el seno de un ángulo. 5. Determina la altura k en términos de b y el seno de un ángulo. b c 6. ¿Qué relación existe entre sen β y sen γ ? A 7. De 3 y 6 ¿qué concluyes? a sen α

b sen β

Triángulo. Sven Geier. Artista norteamericano.

b h

c sen γ

Así has demostrado la Ley de los Senos: “En cualquier triángulo se verifica que las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”. Otra forma no menos elegante de demostrar la ley de los senos es utilizando la circunferencia circunscrita de un triángulo. En la figura se tiene un triángulo ABC, no necesariamente rectángulo, y su circunferencia circunscrita de radio r. Los triángulos ABD y ACD son triángulos rectángulos (inscritos en una semicircunferencia). Los ángulos ADB y ACB son iguales porque comprenden el mismo arco AB. Luego:

A C

sen ( ACB) = sen ( ADB) = AB 2r AB Así: = 2r sen( ACB)

Se aplica el mismo procedimiento a los otros dos ángulos del triángulo y se obtiene: AB sen( ACB)

AC sen( ABC)

Fascículo 11 • Trigonometría

BC = 2r sen( BAC)

La ley de los cosenos C

En la ley de los senos se relacionan los lados de un triángulo con los senos de sus ángulos y también con el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Otra relación fundamental de la trigonometría es la denominada ley de los cosenos, la cual permite calcular la longitud de un lado del triángulo conociendo los otros dos lados y la medida del ángulo comprendido entre éstos. Considerando el triángulo ABC de lados AB = c, AC = b; BC = a, y ángulos CAB = α, CBA = β, ACB = γ Se verifica: b2= a2 + c2 - 2ac cos β Enuncia en palabras esa ley y escribe las relaciones análogas para los otros dos lados del triángulo.

Sugerencia: Desde el vértice C traza la altura CD = h y aplica el teorema de Pitágoras al triángulo ACD para calcular b2.

siblemente el SABÍAS QUE... giomontano, po Re o ad m lla , 6) trónomo, -147 (Alemania, 1436 ás un eminente as em ad y XV s. el Johannes Müller vo en cial. Sus obras más influencia tu mía de uso comer no tro as y ica matemático que át em fluencia en r de textos de mat que tuvo gran in ría et om on ig tr fue el primer edito de ado gulos de toda n: el primer trat , “Sobre los trián is” od m ni om más conocidas so lis angu los senos” y o en latín “De tri ado de la “ley de ci un en el tá es su tiempo (escrit o imer c sen α)/2, y erides”. En el pr ción actual, S= (b ta no en o, ul clase”) y “Ephem ng triá la ley de los ular el área de un férico) utilizando es (o o an pl o la regla para calc ul iáng y tablas para lver cualquier tr En la otra obra ha ). no se co l (e mostró como reso to en 1475-1506). no de su complem a día en los años ad (c as et an senos o la del se pl s lo uevo l, de la Luna y de cuarto viaje al N la posición del So esta obra en su , lo de 04 a pi 15 co de a o er un sponía de l 29 de febr di de r ón na ol lu C l se ba lip tó ec Cris de este ecir el a hostil y a partir utilizó para pred er la le y e 4) qu 50 na (1 ge do dí Mun ión in pacto en la poblac cual causó gran im ión. ac bl po a uda de dich evento logró la ay

Fascículo 11 • Trigonometría

α Demuestra la ley de los cosenos.

Venezuela en el Polo Norte Desde tiempos inmemoriales los hombres y mujeres han querido alcanzar sitios de muy difícil acceso, inhóspitos y donde sólo pueden llegar los que cuentan con buen entrenamiento, excelentes condiciones físicas, voluntad y coraje. La conquista de montañas muy elevadas como el Everest (Chomolungma o “diosa madre del mundo” en la lengua local) de 8 850 m de altura y el Pico Bolívar en Venezuela (4 980,8m), están entre estos sitios. Asimismo, las profundidades del mar, el Salto Angel, el Polo Sur y el Polo Norte, son objeto de esas hazañas. El miércoles 28 de abril de 2004 los venezolanos fuimos sorprendidos por una buena noticia que circuló en los principales diarios del país: cinco profesionales venezolanos, Carlos Calderas, Marco Cayuso, Martín Echeverría, Carlos Castillo y Marcus Tobía plantaron la bandera de Venezuela en el Polo Norte el día anterior, después de una caminata de 280 km durante 17 días.

CARLOS CALDERAS

MARCO CAYUSO

MARTÍN ECHEVERRÍA

CARLOS CASTILLO

Médico Cardiólogo

Ingº Electrónico

Ingº en Computación

Ingº Mecánico

MARCUS TOBÍA Arquitecto

Miembro fundador de Proyecto Cumbre. Ha estado vinculado por más de 24 años a actividades de montañismo y ha participado en más de 28 expediciones en calidad de médico y escalador. Ha sido uno de los pioneros en el campo de la Medicina de Montaña en el país. Trabaja como Cardiólogo Intervencionista en el Urológico San Román y está profundamente involucrado en actividades de docencia e investigación clínica.

23 años de experiencia en el montañismo. Miembro fundador de la Asociación Venezolana de Instructores y Guías de Montaña. Miembro de equipos de filmación en las montañas y selvas de Venezuela, Argentina, Colombia, Ecuador y Brasil. Ha participado en numerosas expediciones a las montañas de las cordilleras de los Andes, Pamir e Himalaya. Ascenso al Shisha Pangma Central (8 027 m). Miembro de la Primera expedición venezolana al Everest.

Más de 28 años de experiencia en el montañismo. Exdirectivo del Centro Excursionista OIKOS (USB) y del Centro Excursionista Loyola Senior. 20 expediciones a las montañas y selvas de América y Asia. Escaladas del Autana y Aratitiope. Descenso a la Sima Ahonda del Auyantepui. Ascenso al Pumori y al Ama Dablam, en Nepal. Miembro de la Primera expedición venezolana al Everest.

22 años de experiencia en el montañismo y la escalada en roca. Ha realizado diferentes escaladas en la cordillera de los Andes, Alpes e Himalaya. Escaladas en Estados Unidos (ascensos al Capitán) y Europa (Ascenso al Mont Blanc). Ascenso al Gasherbrum2 (8 035 m). Miembro de la primera expedición venezolana al Everest. Campeón nacional de escalada años 1997 y 1998. Finalista en Panamericanos de escalada en México y Colombia.

Más de 24 años de experiencia en el montañismo. Fundador y Director del Centro Excursionista Colegio Humboldt. Miembro Fundador de Proyecto Cumbre. Ha participado en numerosas escaladas en las cordilleras de los Andes y ha liderizado seis expediciones venezolanas a montañas del Himalaya. Ascenso al Shisha Pangma Central (8 027 m). Piloto de parapente. Ascenso al Everest (8 848 m).

Fuente: Proyecto Cumbre. http://www.proyectocumbre.com.ve

Según informaciones de prensa, el inicio del viaje a pie se hizo el 6 de abril a partir del “paralelo 87” caminando sobre un mar congelado. ¿Cómo verificamos matemáticamente esa distancia recorrida? La respuesta se basa en una propiedad que permite calcular la longitud s de un arco de circunferencia conociendo el ángulo subtendido: s = Rα (si el ángulo α está en radianes).

Fascículo 11 • Trigonometría

s R

Paralelo 87° 25’ N

Para tener certeza de esa distancia, es necesario indicar que la caminata se inicia “un poco” más allá del paralelo 87° N, digamos 87° 25' N. Con este dato procedemos a calcular la longitud del arco de meridiano BN conociendo que el radio polar es R=6 356,8 km (suponemos la Tierra de forma esférica). 87° 25' N significa el paralelo de esa latitud norte, como se observa en el dibujo. El ángulo complementario BON mide 90° - 87° 25' = 2° 35' ≈ 2,5833°, lo cual convertimos a radia-

R 2°35’ 87°25’ A

2π

120°

nes sabiendo que 1° = ( 360 )rad. 2π

Se tiene: 2,5833° = 2,5833 (360 ) rad≈

2,5833 · 2 · 3,1415 360

Ecuador

≈0,0450 rad.

Por lo tanto, s= 6 356,8 x 0,0450 km ≈ 286,05 km El error porcentual cometido entre este resultado y el dado por la prensa es: 100 286,05 - 280 = 2,16% 280 También podemos calcular la distancia lineal BN en lugar de la distancia a lo largo del meridiano de 120°. Radio del paralelo: r= BC = R sen 2° 35' ≈ 286,5125 km OC = R cos 2° 35' ≈ 6 350,3398 km CN = ON – OC = 6,4602 km Teorema de Pitágoras

Alaska

Islas Nueva Siberia

Canadá

Zembla del Norte

Polo Norte

BN = BC + CN ≈ 286,58 km 2

Observa que la longitud de arco BN, y la distancia lineal BN son “prácticamente iguales”, es decir el “recorrido lineal” y el “curvilíneo” resultan “iguales” en la práctica. Esto se debe a que CN 2 es bastante pequeño en comparación con el cuadrado del radio (r2 = CB2) y por ello BN ≈ BC ≈ BN. El error porcentual cometido al aproximar el arco BN por el segmento BN es igual a: 100 286,58 - 286,05 = 0,18% 286,05

Svalbard

11/4/2004

11/4/2004 14:40 GMT

a) Calcula la longitud del paralelo 87°25’ N. b) Otra forma de calcular la longitud del arco BN es con la longitud del meridiano. ¿Cómo?

Fascículo 11 • Trigonometría

85 Fuente: Proyecto Cumbre. http://www.proyectocumbre.com.ve

Tengo que pensarlo

Un satélite viaja en una órbita circular de 1500 km por encima de la Tierra y tarda 2 horas y 15 minutos para dar una vuelta completa alrededor de la misma. Se prevé que el satélite pasara sobre una estación de rastreo de la Tierra a las 12 del mediodía. a) Si la antena rastreadora apunta 30° por encima del horizonte (altitud 30°), ¿a qué hora exactamente pasará el satélite por encima del astil de la antena? b) ¿Cuál es la distancia que hay entre el satélite y la estación rastreadora a las 12:05 horas? Sugerencia: Suponemos que la Tierra es de forma esférica con radio R=6367,59 km (promedio del radio ecuatorial y del radio polar).

El faro en la figura se ve desde dos puntos de observación según la medida de los ángulos señalados. ¿Cuál es la altura del faro?

60º

30º A

40 m

β−α

Un cierto tramo de carretera es una subida del 12% (al avanzar 100 m se suben 12 m); como se considera excesiva esta subida, se va a reducir al 8%. Se desea conocer el ángulo que debe formar la nueva carretera con la antigua.

2α

11m

Fascículo 11 • Trigonometría

Juan está sentado en una butaca central de un cine que dista 11 m de la pantalla. Para ver mejor se acerca a la pantalla para conseguir un ángulo doble del inicial. ¿A qué distancia se pone de la pantalla?

A C B

Para los decorados de una representación teatral un tramoyista desea reducir la longitud de las paredes de una estancia. Para ello recurre a la mampara BC que tiene una longitud m, con la que se tapa la esquina. Hallar el ángulo γ con el que se tapa la mayor longitud de pared, sabiendo que las paredes AB y AC son perpendiculares.

C Área = 32m2

14 m

A dos metros del borde de una carretera hay un escarpado vertical AC de 14 m de altura. Como se producen desprendimientos, se va a quitar la parte más alta del escarpado. Para ello se retirará la parte del terreno situada por encima de una cierta recta BD. Con el presupuesto de que se dispone sólo se puede quitar terraplén hasta que el área de su sección se reduzca en 32 m2. ¿Cuánto debe valer aproximadamente el ángulo señalado en la figura?

A 2m

Hallar la longitud de la cadena (AB) de modo que el puente levadizo (OA) forme un ángulo de 50° con la vertical, sabiendo que la distancia OB = 3,5 m y que el puente OA mide 3 m.

A 50°

5) α= 45º 6) α≈ 60º 7) la cadena mide 2,78 m aproximadamente

Respuestas: 1) a= 5,81 minutos y b=2 225,03 km. 2) 20 √3 3) b - a ≈ 2,3º 4) La respuesta está en función del ancho 2 de la pantalla l. La distancia es 484 - l 88

Fascículo 11 • Trigonometría

Bibliografía

Philosopher Pythagoras. Pietro Longhi (Italia 1701-1785). Fuente: artyzm.com/world/ l/longhi/philosopher.htm

Páginas web http://www.recursosmatematicos.com/secundaria.html http://www.unizar.es/ice/jaem http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/trig.html http://www.usuarios.lycos.es/arquillos/trirel4.htm

Bibliografía Garnier, Rowan & Taylor, John (1996). 100% Mathematical Proof. New York, EE.UU. John Wiley & Sons. Mankiewicz, Richard (2000). The Story of Mathematics. Princetown University Press. New Jersey, EE.UU. Maor, Eli (2002). Trigonometric Delights. Princetown University Press. New Jersey, EE.UU. O’ Daffer, Charles; Cooney, Dossey & Schielak (1998). Mathematics for Elementary School Teachers. New York, EE.UU. Addison-Wesley. Serra, Michael (1993). Discovering Geometry. Berkeley, California, EE.UU. Key Curriculo Press.

Programa TV Escuadrón Matemático. Cl@se, Canal 160 DirecTV.

Fascículo 11 • Trigonometría

Trigonometría

Portada de The castle of knowledge (El castillo del conocimiento), publicado en 1556, de Robert Recorde (médico y matemático, País de Gales, ca. 1510-1558). Es una obra de astronomía y esa portada ilustra el propósito pedagógico de Recorde y el “triunfo de la razón sobre la autoridad”.

Siempre que me enseñes, enséñame a la vez a dudar. José Ortega y Gasset. (España, 1883-1955).

El mundo de la trigonometría Un ángulo ab es un ente geométrico definido a partir de dos semirrectas a y b del mismo origen V, denominado vértice del ángulo. Dado un punto cualquiera del plano O, el ángulo a’b’ lo podemos considerar con vértice en O sólo con efectuar la traslación del vector VO como se indica en el dibujo. De la misma manera cualquier ángulo puede ser trasladado al vértice O. El ángulo α define la rotación indicada por la flecha y su respectivo centro de rotación.

¿Qué estudiamos de los ángulos? a) medidas de ángulos

a’||a

b’||b

α a

b’ α a’ O

b) Funciones trigonométricas de ángulos 90°=

a) Medidas de ángulos A cada ángulo α se asocian varios números: su medida en grados sexagesimales o en radianes. b

45°=

+45°

ángulo recto δ = 90° = π/2 rad ≈ 1,57 rad

0°= 0 -45°

δ a Cuando la medida de un ángulo se expresa sin indicar el sistema de medidas, se sobreentiende que es en radianes. La medida en radianes toma valores en el intervalo 0≤α<2π.

b) Funciones trigonométricas de ángulos A cada ángulo α se asocian otros números que son los valores de las funciones trigonométricas de ese ángulo.. Sen α, cos α, tg α,... Por ejemplo, para el ángulo recto δ, se tiene: sen δ=1, cos δ=0, tg δ = ?; para el ángulo llano ω resulta: sen ω=0, cos ω= -1, π tg ω=0. Esa misma notación 2se utiliza cuando se trabaja con las medidas de los ángulos y así escribimos, en el caso del ángulo recto, sen 90° = sen ( ) = 1, .... sen α = y (ordenada de B) cos α = x (abscisa de B) tg α = CD (D es el punto de corte de la recta tangente en C de la circunferencia con la prolongación del radio OB).

315°=

225°= 270°=

(0,1)

Y D B(x,y)

α C(1,0)

recta tangente en C(1,0) (0,-1) Y B(

)

45° A

Fascículo 12 • Trigonometría

Esas funciones trigonométricas de ángulos se han definido en los triángulos rectángulos y también utilizando una circunferencia de centro O y radio R = 1 (de donde procede el nombre de funciones circulares). Observa que a través de la medida de los ángulos estamos considerando esas funciones trigonométricas sobre números y no solamente sobre ángulos.

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro es la división de un segmento en media y extrema razón. El primero lo podemos comparar con una pieza de oro; al segundo lo podemos considerar una preciosa joya. Johannes Kepler (Alemania, 1571-1630).

A partir de un triángulo equilátero, de un cuadrado y de un pentágono regular, determina, respectivamente: a) seno, coseno y tangente de 30º y 60º; b) seno, coseno y tangente de 45º; c) seno, coseno y tangente de 18° y 36°. Observa las relaciones de estas últimas con el número de oro φ= (1 + 5)/2 y el hecho de que el punto F divide la diagonal BE en sección áurea (división en media = BF ). y extrema razón BE BF FE Sugerencia: Considera como unidad el lado del pentágono (AB=1) y comprueba que los triángulos EBD y EDF son semejantes. Luego demuestra que BE = φ.

360°=72° 5

36°

F 72° 72°

36° 18° 18° D

SABÍAS QUE...

El pentágono regular estrellado (pentagrama) era el símbolo de los pitagóricos y el dodecaedro regular convexo (uno de las cinco figuras cósmicas o poliedros regulares convexos), que se forma con pentágonos regulares convexos pues así son sus doce caras, representaba el Universo. El símbolo pitagórico y el conocimiento del dodecaedro indican que ellos debían conocer la división de un segmento en media y extrema razón (sección áurea). Esa prueba de la división de la diagonal del pentágono (reto anterior) se atribuye a un pitagórico: Hipaso de Metapontum (ca. 450 a.C.) y de él se dice que fue expulsado de la secta de los pitagóricos por quebrantar el juramento de la misma, pues reveló públicamente el descubrimiento del poliedro regular con su geometría de doce caras pentagonales. Inclusive, entre las historias en torno de este matemático, se menciona que debido a su apostasía fue castigado y lo ahogaron en el mar.

Fascículo 12 • Trigonometría

La Última Cena de Salvador Dalí (España, 1904-1989), donde se puede notar que el rectángulo del cuadro es un rectángulo de oro, la bóveda es un dodecaedro regular el cual tiene la propiedad que uniendo los centros de sus caras resultan secciones áureas. Hay otros rectángulos áureos en el cuadro determinando la posición de los apóstoles.

Funciones trigonométricas de números reales Funciones seno y coseno definidas en el intervalo La situación es la siguiente: en lugar de dar un ángulo damos un número t y queremos definir las funciones trigonométricas seno y coseno para ese número. Inicialmente consideramos t en el intervalo 0≤t<2π y posteriormente las definiremos para cualquier número real t. Dado el número t en ese intervalo, entonces existe un único arco CB de la circunferencia unitaria tal que su longitud es igual a t. Se forma así un ángulo COB = α y se define sen t y cos t a partir del seno y coseno del ángulo α, o sea con las coordenadas (x,y) del punto B: sen t = y, cos t = x La interpretación geométrica de asignar al número t el arco CB de igual longitud es la siguiente: imaginamos una cuerda CD de longitud 2π, uno de cuyos extremos coincide con el punto C(1,0). Al enrollar esa cuerda sobre la circunferencia, cada punto P de la misma con CP= t cae sobre la circunferencia en un punto B(x,y) tal que la longitud del arco CB es t.

(0,1)

B(x,y)

Longitud del arco CB = t α mide t rad

B t

Cuerda de longitud 2π

t rad

X C(1,0)

Procesos y fenómenos periódicos y funciones seno y coseno definidas para cualquier número real Hay muchos procesos de la naturaleza o creados por las personas que son repetitivos o periódicos. Esta periodicidad está presente en situaciones de la vida diaria donde se repiten valores de algunas variables a determinados intervalos. Por ejemplo: en el nivel del agua de las mareas (pasa de la pleamar o marea alta a la bajamar o marea baja), en la respiración (movimiento de los pulmones), en los latidos cardíacos, en la corriente eléctrica utilizada en nuestros hogares, en las ondas sonoras que están formadas por oscilaciones periódicas de las moléculas de aire. En varios de esos procesos o fenómenos es frecuente encontrar funciones como las siguientes: • V= 100 sen(130πt), V (en voltios) indica voltaje producido por un generador eléctrico, t tiempo en segundos • x= A sen (ωt+φ 0), (x= A cos(ωt+φ 1)) ecuación que rige el movimiento oscilatorio de un sistema masa-resorte donde la única fuerza que actúa es la de restauración del resorte: ω= k/m, k una constante del resorte que depende de su elasticidad, m es la masa; t el tiempo; A es constante (la amplitud de la oscilación); φ0, φ1 la fase; w es la frecuencia angular. x es la distancia de la masa a su posición de equilibrio.

V i R

m x

Si en V=100 sen(130πt) damos a t un valor como 10 (segundos), resulta V= 100 sen(1 300π). ¿Qué significa calcular el seno de 1 300π cuando solamente lo hemos definido para valores de la variable independiente entre 0 y 2π?

Fascículo 12 • Trigonometría

3 2 2 Y

T’

T P P’

Pt U 1

U’

1 X O O’

1 rad C(1,0)

H’

H -1

-1

A los fines de definir sen(1300π) y, en general, sen t, cos t, para cualquier número real t, pensemos en enrollar alrededor de la circunferencia unitaria una cuerda “infinitamente” larga que representa todos los números reales (la recta real). Consideremos un punto origen O’ en la cuerda que hacemos coincidir con el punto C(1,0) de la circunferencia. La unidad de medida de segmentos en la cuerda (O’U=1) es igual al radio R=1 de la circunferencia. Cada punto P (P≠C) de la cuerda, de abscisa t, es llevado en un punto P’ de la circunferencia de tal forma que la longitud del arco CP’ es |t|. Después de hacer una o más vueltas completas con la cuerda (en un sentido o en el sentido contrario), los puntos comienzan a superponerse. Por ejemplo, el punto S de la cuerda tal que O’S = CS= 1 300π = 650 x 2π es llevado en C pues se dan 650 “vueltas completas” en sentido positivo o sentido antihorario (el contrario al movimiento de las agujas de un reloj). Este proceso de llevar los puntos de la recta sobre la circunferencia unitaria, permite definir sen t y cos t para cualquier valor de la variable independiente t. Así: sen (1 300π)= sen 0 = 0 y cos (1 300π) = cos 0 =1; -π 2 sen ( -33π 4 )= sen ( 4 )= - 2

-2

2 cos (-33π)= cos ( -π 4 )= 2 4

Observa que en ese proceso de enrollar la cuerda se tiene que cualquier número 2πn (n entero) es llevado sobre el punto C(1,0)

Completa, en cada caso, para obtener una igualdad: sen (25π)= cos (720°)= sen (11π/2)= cos (-370°)= sen (-16π/3)= cos (-500°)=

Fascículo 12 • Trigonometría

Así que cada vez que se aumenta o disminuye la variable independiente t en un múltiplo entero de 2π, las funciones seno y coseno toman los mismos valores, lo cual se traduce en: sen (t + 2nπ) = sen t cos (t + 2nπ) = cos t cualquiera que sea el número entero n y el número real t

El menor valor positivo de 2nπ para el cual se verifica esa propiedad es 2π, denominado período de esas funciones (se repiten los valores de seno y coseno). A medida que el punto P’(x,y) recorre la circunferencia unitaria, los valores de la abscisa x y de la ordenada y son tales que -1≤ x ≤1, -1≤ y ≤1. Por lo tanto, las funciones seno y coseno toman sus valores en el intervalo cerrado de extremos –1 y 1. Haciendo dos vueltas completas en esta circunferencia a partir del punto B, volvemos a dicho punto. Esto es, al recorrer un arco de longitud 2 x 2π = 4π a partir de B, volvemos a ese punto y los valores de las funciones seno y coseno se repiten. Recortando un círculo en una cartulina y marcando puntos sobre su circunferencia podemos darnos cuenta de esta propiedad, sólo con fijar con una tachuela o un chinche el círculo recortado (de tal forma que pueda girar) y superponerlo a otro del mismo radio.

B Tachuela

A partir de la definición de las funciones seno y coseno de dominio el conjunto de los números reales, se pueden definir las otras funciones trigonométricas, mediante: Tangente de t: tg t= sen t/cos t; Cotangente de t: cotg t= cos t/sen t = 1/tg t; Secante de t: sec t= 1/cos t; Cosecante de t: cosec t= 1/sen t; siempre que los denominadores sean no nulos.

Una recta orientada es aquella en la cual se han fijado dos sentidos de recorrido de la misma, denominados sentido positivo y sentido negativo. Éstos se determinan mediante dos puntos que definen un sistema de coordenadas sobre la recta: el punto origen O(0) y el punto unidad U. En un plano también hay dos orientaciones, denominadas sentido horario y sentido antihorario, las cuales se definen a partir de tres puntos no alineados que determinan un sistema de coordenadas. Es costumbre fijar el sentido positivo o antihorario como el contrario al movimiento de las agujas de un reloj. El sentido negativo o sentido horario es el del movimiento de las agujas del reloj. Esto es una convención que tiene siglos y no se conoce bien cuándo se inició. Es posible que ello se originó con la forma como usualmente colocamos un sistema de coordenadas rectangulares: el sentido antihorario es el de la rotación de centro en O, ángulo de 90°, que transforma +OX en +OY. Fascículo 12 • Trigonometría

U O

B (0,1)

A (1,0)

Propiedades y gráficas de las funciones trigonométricas Las dos funciones básicas de la trigonometría, el seno y el coseno, tienen algunas propiedades que destacamos a continuación: • Son funciones periódicas de período 2 . Si la variable independiente t se interpreta como tiempo, entonces el período es el tiempo necesario para que la función ejecute un ciclo completo. • El dominio de esas funciones es el conjunto de todos los números reales. Las funciones toman valores en el intervalo cerrado de extremos –1 y 1. • Para todo número real t se verifica que: sen2t + cos2t =1. Identidad fundamental. La primera propiedad implica que al graficar esas funciones es suficiente hacerlo en un intervalo de longitud 2π y luego repetir sucesivamente la gráfica obtenida. Las gráficas de las funciones y= sen t (senoide), y= cos t (cosenoide), son las dibujadas a continuación:

Y 1 y=sen t - 2π

- 3π 2

-π

-π 2

-1 0

π 2

amplitud = 1 3π 2

2π

5π 2

3π

7π 2

2π período

Y 1 y=cos t - 2π

- 3π 2

-π

-π 2

-1

1 0

π 2

amplitud = 1 π

3π 2

2π

5π 2

3π

t 7π 2

2π período

Observa que esas gráficas tienen la misma forma sólo que están desplazadas horizontalmente una respecto de la otra. Así, la cosenoide se obtiene a partir de la senoide trasladándola π/2 hacia la izquierda y esto implica la siguiente propiedad: cos t= sen(t + π/2), para todo t real. Análogamente, con la senoide respecto de la cosenoide, resulta sen t= cos(t - π/2), para todo t real. Se dice que la diferencia de fase o ángulo de fase entre sen t y cos t es π/2.

Fascículo 12 • Trigonometría

¿Qué propiedad tiene la curva senoide respecto del origen O? Completa la igualdad sen(-t)= ¿Qué propiedad tiene la curva cosenoide respecto del eje OY? Completa la igualdad cos(-t)=

SABÍAS QUE...

El artista, grabador y geómetra A. Durero (Alemania, 14711528) en su obra “Instituciones geométricas” (publicada en alemán en 1525 y traducida al latín en 1535) dirigida a pintores, arquitectos y canteros, representó una senoide, que llamaba “cocliograma”, útil para construir una “escalera circular o en caracol”. Dice Durero: “Todavía se puede hacer otra línea de caracol, partiendo sólo de la circunferencia de la línea, que utilizan también los canteros al construir los caracoles y que, sin embargo, se llama más cómodamente cocliograma”.

17 16

15 14 13 12

Fuente: Instituciones de Geometría, traducido del latín al español por Jesús Yhmoff Cabrera, Universidad Nacional Autónoma de México (1987).

11 10

Z 9

8 7 6 5 4 3 2 1

12 1

La curva aquí representada es una hélice circular que está enrollada en una superficie cilíndrica. Sus proyecciones sobre los planos coordenados son:

a) Sobre el plano XY (plano de la base del cilindro) es una circunferencia. b) Sobre el plano YZ es una gráfica del tipo senoidal y sobre el plano XZ es del tipo cosenoidal.

7 6

Fascículo 12 • Trigonometría

TrigonometrĂa

Escalera en espiral del Arco de Triunfo, ParĂs (Francia).

La función tangente y otras funciones trigonométricas Y

La función tangente se define mediante: t tg t= sen cos t

1 y=cos t 5π 2

- 2π

- 3π 2

-π

-π 2

-1

1 0

π 2

para todo número real t tal que cos t≠0. Si observamos la

amplitud = 1 π

3π 2

2π

5π 2

2π período

gráfica de la función y= cos t, notamos que la misma corta al

eje t (eje horizontal) en los puntos correspondientes a t= ... ,-3π , -π , π , 3π , ... esto es, en los múltiplos impares de π 2

(la función cos t se anula para estos valores de t). De manera general la función y=cos t se anula para los valores t= 2n+1 π2 = π2 nπ (n= ... , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). t está definida para todo número real Por lo tanto tg t =sen cos t t ≠ ( π2 +n ), n entero.

La gráfica de la función tangente es la mostrada a la derecha.

t - 3π 2

-π

-π 2

1 π 2

3π 2

Observa que esta función tiene período π y que en los puntos de abscisa t=

, ... esa función no está definida. A

Período π

medida que “t se aproxima” a uno de esos valores, entonces tg t se hace “infinitamente grande” en valor absoluto. Así que para esta función no tiene sentido hablar de “amplitud” de la misma.

0° 30° 45° 60° 75° 80° 85° 88° 89° 90°

t 0 π/6 π/4 π/3 5π/12 4π/9 17π/36 22π/45 89π/180 … π/2

tg t 0 3/3≈ 0,577350269 1 3≈1,732050808 3,732050808 5,67128182 11,4300523 28,63625328 57,28996163 … no está definido Tangente Roja. Steve Jee (artista norteamericano). Fuente: http://www.edgarmodern.com

Fascículo 13 • Trigonometría

¿Qué propiedad tiene la gráfica de la tangente respecto al origen 0? Completa la igualdad tg(-t) =

SABÍAS QUE...

La palabra tangente viene del latín tangere que significa “tocar” y esto se vincula con el hecho de que la recta tangente a la circunferencia en A tiene solamente un punto de contacto con ésta y tgα se asocia con el segmento de recta tangente BC mediante BC= 2R tgα. La función senα está relacionada con la cuerda DE mediante DE= 2R sen α. El cálculo de “sombras” fue conocido en la antiguedad, como lo testimonia la determinación de la altura de una pirámide realizada por Thales (s. VI a.C.) utilizando su conocido teorema (semejanza de triángulos) y las sombras arrojadas por la pirámide y un bastón (a mediodía). La tangente de ángulos, vinculada al cálculo de “sombras”, no era conocida para esa época. Su tratamiento, como razón de dos segmentos, comenzó con los árabes, ca. 860 d.C., cuando se construyó la primera tabla de tangentes y cotangentes por Ahmed ibn Abdallah al-Mervazi (conocido como Habash alHasib). Con la tangente de ángulos se obtiene fácilmente la altura de la pirámide mediante: tg α= h , tg α= H1 , de donde h = H1 S+ b s s S+ b 2

h(S + 12 b) Despejando Η= s

(altura H)

Plomada para poder clavar verticalmente el bastón

(altura h)

Vara para medir

α 1 2 base

( 12 b)

Sombra de la pirámide (S) 1 2b

Fascículo 13 • Trigonometría

α Sombra del bastón (s)

C E

α α

D B Recta tangente

Una propiedad importante de la función seno es: sen t es aproximadamente igual a t para valores de t próximos a 0 (“ángulos pequeños”) siempre que t esté expresado en radianes. Veamos esto con la tabla siguiente: grados t radianes sen t 1° 0,017453293 0,017452406 0,5° 0,008726646 0,008726535 0,1° 0,001745329 0,001745328 Para cambiar grados sexagesimales a radianes utilizamos la fórmula 1° = (2π/360) radianes ≈ 0,017453293 rad, tomando π ≈ 3,141592654. Los otros valores resultan de forma análoga. Esta propiedad expresa que sen t ≈ t o bien (sen t)/t ≈ 1, lo t cual se enuncia así: sen t “tiende a 1” a medida que “t tiende a 0”, siempre que t esté en radianes. Gráficamente las funciones y= sen t, y= t, t en radianes, “son prácticamente iguales” en la cercanía del origen. Dicha propiedad es básica para el desarrollo del cálculo infinitesimal de funciones trigonométricas. La gráfica de la función: sen t si t≠0 t f(t)= 1 si t=0 es la mostrada al lado.

y=t 1 y = sen t O -π

π 2

-1

Y 1

-3π

-2π

-π

2π

3π

I seno y coseno positivos

seno y coseno O negativos

Es a Lazare Carnot (político, ingeniero militar y matemático francés, 1753-1823) a quien se debe el círculo trigonométrico, pues fue quien interpretó los signos de las funciones seno y coseno con la configuración completa de los cuatro cuadrantes y no únicamente en un cuadrante o con un triángulo rectángulo, ya que es a partir de Carnot que el círculo se divide con dos ejes perpendiculares y esto pasó a ser la figura resumen de la trigonometría. Destacó en geometría, escribiendo una célebre obra “Geometría de posición” (1803). Asimismo escribió sobre diversas cuestiones científicas: “Ensayo sobre las máquinas en general”, “Reflexiones sobre la metafísica del cálculo infinitesimal”, entre otras, y fue uno de los que intervino en la formación de la Escuela Politécnica de París, de donde se origina la denominada etapa de las ingenierías científicas que abarca desde la creación de esa Escuela Politécnica hasta la finalización de la Primera Guerra Mundial. Los descendientes de Carnot tuvieron una figuración preeminente en Francia: Su hijo, Sadi Carnot, fue un físico (se le debe el ciclo de Carnot), otro hijo, Hipólito, fue asambleísta y ministro de Instrucción Pública. Su nieto, Adolfo Carnot, fue químico y miembro de la Academia de Ciencias, y otro nieto, Sadi Carnot, fue el cuarto presidente (1887-1894) de la Tercera República de Francia.

Fascículo 13 • Trigonometría

100

III

General Lazare Carnot al frente de un batallón napoleónico.

Fuente: http://www.wargame.ch/wc/nwc/newsletter/21st_edition/ Newsletter21/images/FRgenLazareCarnot.jpg

El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de los descubrimientos matemáticos”. Joseph Fourier (Francia, 1768-1830).

Funciones trigonométricas y música Los procesos periódicos se representan y se aproximan mediante funciones periódicas y éstas, a su vez, pueden aproximarse mediante funciones trigonométricas, lo que es conocido con el nombre de aproximaciones de Fourier. El sonido, es decir las ondas sonoras, están formadas por oscilaciones periódicas de las moléculas de aire.

Generación y transmisión Generación por vibraciones físicas. Por ejemplo, un diapasón vibrando; una cuerda vibrante.

Transmisión por un medio material, como el aire, mediante compresiones y rarefacciones de las moléculas (onda sonora).

Características Tono (agudeza del sonido) se determina con la frecuencia (número de oscilaciones en la unidad de tiempo) que se mide en Hertzios (Hz).

Intensidad es la energía de la onda y la determina la amplitud del movimiento molecular (máximo valor de la ordenada en la gráfica asociada). Se mide en watios/m2 o W/cm2.

Fascículo 13 • Trigonometría

101

Timbre: sonidos con iguales frecuencias pero producidos por instrumentos distintos (un piano y un violín) producen en el oído efectos diferentes y estos sonidos se distinguen por sus armónicos (con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental) y sus amplitudes. La misma nota tocada por dos instrumentos musicales distintos suenan diferentes.

Esa onda sonora llega al oído humano y golpea la membrana del tímpano, luego se transmiten mensajes electro-químicos al cerebro y es lo que escuchamos como sonido.

Los sonidos con frecuencia entre 16 Hz y 15 000 a 20 000 Hz son percibidos por el oído humano. Los que tienen menos de 16 Hz son infrasónicos y con más de 20 000 Hz son los ultrasónicos. Mediante un osciloscopio, que es un instrumento electrónico, se pueden convertir ondas de sonido en impulsos eléctricos y dibujarlos en una pantalla. Osciloscopio

Micrófono

Corneta de sonido

Período 1/110

0,005

Período 1/220

0,001

-0,001

-0,005

0,001

0,005

y1= 0,004 sen (440πt) Frecuencia: 220 vibraciones por segundo

Fascículo 13 • Trigonometría

102

0,01

0,015

y = y1 + y2 y2 = 0,006 sen (220πt)

La suma de las funciones y1= 0,004 sen (440πt), representada en azul y la y2 = 0,006 sen (220πt), representada en fucsia, que son armónicos simples, da origen a la gráfica de la función y(t) = y1(t) + y2(t) = 0,004 sen (440πt) + 0,006 sen (220πt). La gráfica resultante (de color negro) es periódica con período T=1/110 que es el período de y2. Su frecuencia es f=110 Hz.

Un sonido simple (un tono puro) origina un movimiento armónico simple. Esto es análogo a lo que sucede para el movimiento de una masa atada a un resorte sin amortiguación. Los sonidos emitidos por casi todos los instrumentos (incluyendo la voz humana) no son sonidos simples y no se representan por una única onda sinusoidal. Las curvas que los representan son variadas, pero periódicas. Dada la curva de color negro del gráfico de la página anterior, sin conocer las de y1 (azul) e y2 (fucsia), ¿cómo sabemos que ella es la suma de dos funciones periódicas sinusoidales? Esa es la situación usual en las ondas sonoras de los instrumentos musicales que son sonidos compuestos de armónicos simples:

Una onda sonora

Sound Wave. Danny Foy. Artista norteamericano. Fuente: www.foyart.com.

Saxofón (f= 209 vibraciones/s)

Clarinete (f= 209 vibraciones/s)

La respuesta viene dada por una proposición debida a J. Fourier: Cualquier función periódica (un sonido periódico) que no es armónico simple, puede suponerse como la superposición (suma) de una sucesión de armónicos simples, de tal forma que todas las frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia del sonido compuesto. Así, la gráfica de la función periódica se aproxima mediante una suma finita de armónicos simples: A1 sen (2πft), A2 sen (2π.2ft), A3 sen (2π.3ft), ….., con amplitudes variables pero con frecuencias f, 2f, 3f, .... , múltiplos enteros de f (la fundamental, que es la frecuencia del sonido más grave). Los otros sonidos son los armónicos del fundamental o primer armónico: el sonido de frecuencia 2f es el segundo armónico, etc. El conjunto de frecuencias que integran un sonido compuesto se denomina espectro.

Fascículo 13 • Trigonometría

103

Frecuencia (Hz)

Algunos espectros se ilustran a continuación:

El fundamental (131 vibraciones/s)

Los armónicos 262, 393, 524,...

0,5

0 0

500

1 000

1 500

2 000

3 000

2 500

0,5

Espectro de la nota C (do3) de un piano

1,0

Amplitud relativa

1,0

Amplitud relativa

1,0

Amplitud relativa

La trompeta emite un sonido “brillante” debido a la riqueza de sus armónicos, en comparación con el emitido por una flauta.

Espectro de flauta. A partir del 6° armónico las amplitudes (energías) son débiles

0,5

Espectro de trompeta. El segundo armónico producido por la trompeta tiene casi la misma amplitud (energía) que la fundamental

El sintetizador electrónico es un aparato que permite producir un sonido a partir de sus características: frecuencia, intensidad y tiempo de duración. Sus antecedentes remontan a los resonadores del físico alemán Hermann von Helmholtz (18211894).

1 3 5 7

9 11 13 15

17 19 0,0

Tiempo

Ilustración tridimensional del espectro de una trompeta mostrando los primeros 20 armónicos. Fuente: www.sfu.ca/sonic-studio/ handbook/Spectrum.html

Hermann von Helmholtz

Fascículo 13 • Trigonometría

104

Trigonometría

Izquierda. Mano con esfera reflectante. Litografía (1935) de Maurits Cornelis Escher (Países Bajos, 1898-1972). La mano del artista reposa sobre la esfera y se refleja sobre la misma en otra mano que la sostiene. El centro de la esfera es un ojo del artista. Derecha. Tres esferas. Grabado sobre madera (1945) del mismo autor. La imagen superior está conformada de pequeños cuadrados a lo largo de elipses que dan la impresión de tener forma esférica. Realmente es la proyección de una esfera sobre una hoja de papel que se puede cortar con el fin de obtener un círculo. La imagen del medio es el mismo círculo plegado por la mitad y el de abajo es su dibujo en perspectiva.

El mundo de las funciones inversas En un diccionario pueden encontrarse diferentes acepciones de la palabra inversa: • Contrario (sentido inverso). • Opuesto a la dirección actual o natural de las cosas. • Razón inversa: relación en la cual un término crece cuando el otro disminuye. • Números inversos: número de los cuales uno es el cociente de la unidad del otro. La idea de funciones inversas está asociada a lo descrito anteriormente: la función inversa hace lo contrario de lo que hace la función directa. Si la imagen de x mediante la función f es y, que se obtiene por una secuencia de operaciones, la función inversa invierte la secuencia de las operaciones y llega a x a partir de y. Consideremos el ejemplo de función que graficaremos a la derecha: sea la función f definida y=f(x) = 5x + 4. Para el valor x=0, su imagen mediante f es 5·0 + 4 = 4 (la función multiplica el valor de 0 por 5 y al producto le suma 4). Como la función inversa desanda el camino: toma la imagen 4, le resta 4 y la diferencia la divide entre 5 y así se obtiene 0. En este caso la ecuación que define la función inversa se obtiene al despejar x en términos de y en: y = f(x) = 5x + 4 y-4 resultando x = . 5 Es costumbre renombrar las variables intercambiándolas y = f-1(x) = x-4 5 Esto permite graficar las dos funciones con los mismos ejes de coordenadas. En el dibujo se observa que los gráficos de la función f y su inversa f-1 son imágenes reflejadas una de la otra con respecto de la recta y=x. Es decir, si colocamos un espejo en la línea de punteada (y=x), la imagen de uno de los gráficos es el gráfico de la otra. Sea la función cuadrática f definida por la ecuación y = x2. Si despejamos x obtenemos que x = ± y, así para un valor de x = 4 se obtienen dos imágenes 2 y -2. Luego la relación inversa de la función cuadrática y = x2 no es una función porque para cualquier valor de y tendrá dos valores diferentes de x. En general es deseable que cuando se trabaja con una función sea posible obtener su función inversa. En estos casos se restringe el conjunto de valores de la variable x de la función dada y así forzamos a que la inversa sea también una función. En el caso de la función cuadrática f(x) = x2, consideramos la restricción del conjunto de valores de x al conjunto de los números reales no negativos, es decir F(x) = x2, con x≥0. Entonces su inversa F-1 es también una función, definida así: F-1(x) = x Fascículo 14 • Trigonometría

106

y 6 5 4

(0,4)

3 2 1 (4,0)

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-2

(-6,-2)

x-4 5

-3 -4 -5 (-2,-6)

-6

y y = f(x) = x2

6 5 4

(-2,4)

(2,4)

3 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

F(x) = x2

6 5 4

(-2,4)

(2,4)

3 2

(4,2)

F-1(x) = x

1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4

Funciones trigonométricas inversas La función y = sen x, está definida para todo ángulo o para todo número real. Para cualquier ángulo x (medido en grados o radianes) siempre existe un sólo valor de y en el intervalo [-1,1]. A veces se necesita determinar un número o un ángulo dado. Por ejemplo determinar el número cuyo seno es x tal que sen x = 0,5. Esta ecuación tiene infinitas soluciones tales como: x= -π - π = - 7π ; π ; π - π = 6

; π + 2π =

;...

(si se trata de ángulos en grados sexagesimales, se tienen soluciones como: -210°, 30°, 150°, 390°,...). Éste es un caso fácil de resolver. Sin embargo, si se trata de hallar x tal que sen x = 0,2, entonces se necesita de una calculadora para calcular x ≈ 0,201 (para ángulos α en grados sexagesimales, α ≈ 11,54°). Observa el gráfico y = sen x.

0,5 0,2 0

−π

π π 6

−7π 6

2π

5π 6

3π

17π 6

13π 6

0,201

−1

Para que la inversa de y=sen x sea también una función, restringimos el conjunto de valores de x. En esta forma definimos una nueva función sen x así: y = sen x, con -π/2 ≤ x ≤ π/2 -1 Entonces la inversa y = sen x denotada por arcsen x para -1 ≤ x ≤ 1 es una función. Observa los gráficos de la función sen x y de la función y=sen-1x = arcsen x. arc sen x y

y π 2

1 π 2

-1 O

-1

Sen x π 2

sen x

Fascículo 14 • Trigonometría

π 2

1 O

107

Observa que la función y=arcsen x es el reflejo de la función y=sen x a partir de la línea punteada que representa la función y=x.

Geometría de la esfera En la naturaleza encontramos con frecuencia formas esféricas o casi esféricas como algunos tomates pequeños; ciertas naranjas; huevos de insectos, aves y peces; y pompas de jabón (con fuerzas en equilibrio). Otro ejemplo de formas esféricas está dado por los radiolarios, que son protozoos marinos con una membrana que divide el citoplasma en dos partes concéntricas y en la parte exterior emiten unos seudópodos finos que les sirven para moverse y capturar las partículas orgánicas con que se alimentan. Las armazones de estos radiolarios están formadas por un cuerpo esférico taladrado por muchos poros, de los que salen los seudópodos que le dan una forma estrellada.

Radiolario. Fuente: Universidad de Alicante, España. http://www.ua.es/es/investigacion/sti/sem.htm

El medio donde nos desenvolvemos es tridimensional; sin embargo, muchos elementos con los que convivimos son bidimensionales: pizarrones, periódicos, libros, películas, televisión y hasta los monitores de computadoras. Así aprendemos en un plano a trabajar en el espacio. En el plano hemos desarrollado una buena visualización de los conceptos de punto, recta, semirrecta, ángulo y plano. ¿Qué significación tienen los conceptos de punto, recta, semirrecta, ángulo y triángulos, etc., en la esfera? El punto en la esfera tiene el mismo significado que en el plano: marca una posición. Si tenemos una esfera sólida (como la de la fotografía) y dos puntos A y B sobre su superficie, la menor distancia entre esos dos puntos se obtendría en línea recta (color azul) cavando un tunel a través de la misma. De esta forma salimos de la superficie y si queremos permanecer en ella debemos pensar qué significado tiene “la mínima distancia” sobre la esfera. Con cualquier plano que pase por A y B se obtiene una circunferencia sobre la esfera. Entre todas estas circunferencias, la que tiene la menor longitud de arco AB es la que se selecciona como menor distancia entre A y B medida sobre la esfera (color fucsia). ¿Cual será esa circunferencia? A mayor radio de una circunferencia es menor su “curvatura” ya que ésta es la inversa del radio y, por lo tanto, la circunferencia “se aplana más”. Para entender esto utilicemos nuestro planeta Tierra. Su radio es muy grande (R=6 367,59 km promedio) en comparación con la altura de una persona (1,73 m promedio), y por ello nos parece que estuviéramos en un mundo “plano”. Esta idea de “mundo plano” se mantuvo hasta el siglo XV. En cambio, si nos paramos sobre una esfera de un radio bastante menor, digamos 20 m (Ej.: tanque de gases en una refinería), notamos las “curvaturas” de las circunferencias sobre dicha esfera. Las circunferencias producto del corte de un plano que pasa por el centro de la esfera, son las circunferencias máximas, es decir, las que tiene el mayor radio.

Plano

Tales circunferencias son las que se toman como “rectas” en la esfera. Un segmento es un arco de una circunferencia máxima. Con estas y otras nociones se estudia la “geometría de la esfera”. Por ejemplo: por dos puntos distintos A y B que no sean extremos de un diámetro pasa una única recta. Si los dos puntos son extremos de un diámetro determinan “infinitas rectas”. Con estas “rectas” se pueden definir los ángulos, los triángulos, las funciones trigonométricas y establecer relaciones entre las mismas. Todo esto es parte de la trigonometría esférica.

Fascículo 14 • Trigonometría

108

Apliquemos algunos de estos conceptos para determinar puntos sobre el planeta Tierra y “curvas de rumbo” para la navegación. Consideremos nuestro planeta como una esfera y así su eje de rotación determina en su superficie dos Polos: Norte (Pn) y Sur (Ps). Las circunferencias en la Tierra formadas por los planos que la intersecan perpendiculares al eje de rotación son llamadas paralelos de latitud o simplemente paralelos. Llamaremos Ecuador a la circunferencia máxima de estos paralelos. Las circunferencias máximas que contienen a los polos se denominan meridianos de longitud o simplemente meridianos. Para cualquier punto A de la superficie terrestre, diferente a los polos, la circunferencia máxima PnAPs es llamada meridano de A. Para localizarlo se toma como referencia al meridiano de Greenwich (Inglaterra). Este meridiano pasa por el observatorio del suburbio del mismo nombre de la ciudad de Londres y sirve como origen. Se mide el meridiano del punto A con el ángulo que forma (en grados) con el de Greenwich o meridiano 0. La latitud del punto A es la distancia angular de A al ecuador. Esta es medida por el ángulo A’OA o por el arco AA’ del meridiano de A. La longitud de A es el ángulo determinado por el meridiano que pasa por A y el meridiano de Greenwich. Su medida es dada por el arco G’A’ interceptado en el ecuador por dos meridianos o por el ángulo esférico G’PnA’. Cualquier punto sobre la Tierra queda determinado al conocer su latitud y su longitud.

Eje de rotación

A’

G’

60°

45°

30°

15°

0°

-15°

-30°

-45°

-180°

-150°

-120°

-90°

Fascículo 14 • Trigonometría

109

-60°

-30°

0°

30°

60°

90°

120°

150°

Las curvas de “rumbo” (loxodromas) en la esfera y la navegación Cuando Cristóbal Colón salió de las Islas Canarias rumbo hacia lo que sería el Nuevo Mundo, lo hizo navegando según un paralelo y en ciertos períodos hacía algunas correcciones de tal forma que el Sol siempre tuviese el ángulo correcto encima del horizonte a la hora del mediodía de cada día. Ésta no era la ruta más corta pero tenía la ventaja de navegabilidad con un rumbo y era una práctica común para atravesar el Atlántico en esos tiempos. Navegar según un paralelo en el globo terrestre (suponiéndolo de forma esférica) es seguir un rumbo fijo, con igual orientación, puesto que el ángulo formado por ese paralelo y cada meridiano que lo atraviesa es constante. Cuando se quiere navegar de un punto a otro de la superficie de la Tierra manteniendo una orientación fija (un rumbo constante), esto es, la trayectoria seguida debe ser tal que su intersección con los meridianos forme un ángulo constante, se obtienen sobre la esfera unas curvas denominadas rumbos o loxodromas (del latín loxos=oblicuo, sesgo, y dromos= ruta, carrera; término introducido en 1642 por el científico alemán Willebrord Snell, 1581-1626, conocido por su ley de refracción en óptica). Durante muchos años se pensó que una curva sobre la esfera de rumbo constante era un arco de circunferencia máxima. Fue el matemático y cosmógrafo portugués Pedro Nunes (conocido como Nonius por su nombre en latín, o Núñez en español), 1502-1578, quien probó que las curvas de rumbo (loxodromas) son curvas en espiral que se aproximan indefinidamente a los polos sin alcanzarlos. A Nunes se le conoce más por la creación de un instrumento “nonio” para la lectura de pequeños ángulos, predecesor de los vernier o caliper actuales.

Fascículo 14 • Trigonometría

110

Sphere. Butchart Gardens,Victoria Islands, Canadá.

Mapa de Caverio (1504). Navegante Genovés. Fuente: expositions.bnf.fr/ lamer/grand/016.htm

Espiral loxodrómica. Fuente: Fractales de Jos Leys. www.josleys.com/animationsindex6.htm

En el siglo XVI (el de las grandes travesías marítimas) los cartógrafos tenían el reto de diseñar un mapa terrestre que mostrara curvas de rumbo como líneas rectas, lo que hizo Mercator en 1569. Hay una gran variedad de mapas de la Tierra construidos con diversas técnicas: proyección gnómica, proyección estereográfica, proyección cilíndrica, mapa de Mercator, proyección Lambert, proyección transversal de Mercator, entre otros. Sin embargo, “es imposible hacer una mapa de una esfera (la superficie de la Tierra) sobre una hoja de papel sin alguna distorsión”; esto es, no se puede hacer un mapa de la Tierra (de una superficie esférica) que reproduzca todas sus características. Esto fue demostrado en el s. XVIII por el matemático suizo L. Euler. Algunos mapas preservan las distancias, otros preservan los ángulos, otros preservan las formas, pero ninguno puede preservar todas esas características. La proyección gnomónica conserva las distancias y la proyección de Mercator conserva los ángulos (se dice que es una transformación conforme). Disponiendo de ambos mapas, con la combinación de los dos se puede obtener “un rumbo” y “una menor distancia” en la navegación marítima o aérea para ir de un punto a otro: sobre el mapa gnomónico se marca la ruta más corta entre los dos puntos y a intervalos regulares se hacen marcas (puntos de referencia) que se localizan en el mapa de Mercator con el cual se conectan esos puntos y así se logra la ruta para navegar. Esta ruta es de una orientación constante y es bastante próxima a la ruta óptima en cuanto a menor distancia.

Mapa de América preparado por Mercator en 1584. Fuente: Librería de la Universidad de Yale. http://www.library.yale.edu/MapColl/whem1584.gif

Una escalera siguiendo un arco de loxodroma en la superficie de un tanque cilíndrico. Aquí ese arco de curva forma ángulo constante con cada generatriz de la superficie cilíndrica.

111

Resultados de la página 112: 1) BD= 10√19 m y el área = (375√3 + 100√19)m2 2) d ≈ 4,44 m 3) No. El número π es doble del número π/2 y sen π = 0 ≠ 2 4) Valor máximo 1 5) Aproximadamente 2 horas y media.

Fascículo 14 • Trigonometría

Tengo que pensarlo

El dueño de un terreno quiere conocer el área de su terreno de forma de cuadrilátreo y la longitud de la distancia BD. D

Calcula la distancia d en el estacionamiento de vehículos.

60º

50º

Si el valor de x se expresa en radianes, los valores del seno y del coseno pueden ser aproximados como sigue para valores de 2 x cercanos a 0: sen x ≈ x y cos x ≈ 1- x 2 ¿Cual puede ser el valor máximo de sen x + cos x?

Si un número es doble del otro ¿su seno también lo es?

Un caminante avanza con velocidad constante por la carretera ABC que forma en B un ángulo de 150°. Parte de A, a la media hora está en B y dos horas después está en C. Hallar el tiempo que habría tardado en ir de A a C en línea recta.

150° A

• BAENA RUIZ, Julián; CORIAT BENARROCH, Moisés; MARÍN del MORAL, Antonio; MARTÍNEZ LÓPEZ, Pedro S. (1996): La Esfera. Editorial Síntesis, Colección Educación Matemática en Secundaria, 17, Madrid, España. • FEEMAN, Timothy G. (2002): Portraits of the Earth. A Mathematician Looks at Maps. American Mathematical Society, Serie Mathematical World, vol. 18, U.S.A. • MAOR, Eli (2002): Trigonometric Delights. Princeton University Press, 6a. impression, U.S.A.

Páginas web: http://www.recursosmatemáticos.com/secundaria.html http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/trig.htm

Fascículo 14 • Trigonometría

112

Cónicas y cuádricas

Una aplicación importante de una cónica (parábola) es en la construcción de puentes colgantes. Un cable de suspensión colgado entre dos postes sostiene una estructura de densidad uniforme mucho más pesada que el propio cable y toma la forma aproximada de una parábola. Esto se debe a que la forma parabólica permite sostener un peso uniforme horizontal de tal forma que exista una tensión uniforme en cada uno de los puntos. Golden Gates (San Francisco, EEUU). Fuente: www.aynsof.com/photo.htm

Elementos básicos de geometría En los planos tenemos puntos y rectas como elementos básicos, a partir de los cuales se definen segmentos, semirrectas y otras figuras geométricas. ¿Cuáles son las posiciones relativas entre dos rectas de un plano? Análogamente, en el espacio tenemos puntos, rectas y planos como elementos básicos, a partir de los cuales se definen otras figuras geométricas. ¿Cuáles son las posiciones relativas entre dos rectas, una recta y un plano y entre dos planos en el espacio? Dos rectas distintas l, m: Se cortan en un punto O (se dice que son secantes)

En un plano

No se cortan (se dice que son paralelas)

O m

En el espacio Una recta l y un plano α

Dos rectas distintas l, m Se cortan en un punto O (son secantes) O

No se cortan Están en un plano (son paralelas) l

Están en planos distintos (se dice que se cruzan)

Se cortan en un punto O

No se cortan

α O

m m

Recta contenida en un plano

Techo γ

Dos planos distintos α y β Se cortan según una recta l (son secantes)

α l

l y m secantes en O

No se cortan (son paralelos)

l contenida en α y β

114

α y β secantes según l

δ y γ paralelos

Pared α Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

Piso δ

Pared β m

El mundo de las cónicas Piensa en una naranja o en un limón, o una fruta de forma casi esférica. Si cortamos a uno de ellos con un cuchillo, la forma de la sección cortada es un círculo. La concha tiene forma de circunferencia. Si se hacen cortes transversales o longitudinales en algunas frutas, se obtienen curvas que se asemejan a cónicas. Cuando un cono se corta con un plano se forma una curva en la intersección de la superficie cónica y el plano. Estas curvas reciben el nombre de secciones cónicas o simplemente cónicas. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola

β β α

β β

Apolonio (ca. 262-200 a.C.) de la Escuela de Alejandría y a quien se deben los nombres de parábola, hipérbola y elipse, dio una visión general de las secciones cónicas, al generar todas, variando la inclinación del plano que corta al cono con respecto del eje del mismo.

β < α : Hipérbola (azul) β = α : Parábola (verde) β > α : Elipse (morado) β = 90°: Circunferencia (rojo)

En la naturaleza existen ejemplos que ilustran las formas cónicas como: las ondas en el agua (circunferencias), la forma de una hoja (elipse), la forma de un haz de luz (parábola) y la trayectoria de planetas o cometas alrededor del sol (elipses).

Existe una leyenda que dice que alrededor de 430 a.C. una plaga cayó sobre Atenas (Grecia). Zeus, en el oráculo de Delos, anunció que el sufrimiento de la población terminaría cuando construyesen un altar de doble tamaño del cubo que sostenía la estatua de Apolo. Aunque fallaron todos los intentos de duplicación del cubo utilizando regla y compás como instrumentos de dibujo, esto dio origen al estudio de las secciones cónicas. Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

115

¿Lado? Lado a V=a2

V=2a2

Elipses

Cuando se corta una superficie cilíndrica con un plano se obtiene una elipse. Si el plano que corta al cilindro o al cono es perpendicular al eje, la sección es una circunferencia. La visión anterior de las cónicas es geométrica: superficies cortadas por planos. Veamos cómo se pueden caracterizar las cónicas como un modelo basado en relaciones métricas. En este caso se considera una recta l y un punto F que no pertenezca a la recta. En el plano definido por la recta l y el punto F se mueve un punto P, de tal forma que la razón de su distancia a F y a la recta l es la misma, esto es una constante denotada por E. En estas condiciones el punto P describe una cónica. Mas formalmente: sea F un punto del plano llamado Foco, una recta l llamada directriz y un número E mayor que 0, llamado excentricidad.

Circunferencias

F Foco

Las cónicas se pueden caracterizar como el conjunto de los puntos P del plano cuya distancia al foco es E veces su distancia a la directriz

c ire

tri

PF =E PH

d(P,F) = E d(P,l) donde d indica distancia Según los valores de excentricidad E se obtienen diversos tipos de cónicas. Para E = 1 se obtiene una parábola

Para E < 1 se obtiene una elipse l

l’ P

d’

D’

D <1 d La elipse tiene dos focos F y F' y dos directrices l y l' (una para cada foco).

F’

D =1 d

La parábola tiene un único foco F y una sola directriz l. Para E > 1 se obtiene una hipérbola F

P d

l l’

D >1 d

d’ P D’

Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

116

F’

La hipérbola tiene dos focos F y F’ y dos directrices l y l’ (una para cada foco). Además tiene dos ramas.

Veamos una tercera definición de las cónicas utilizando un modelo de sistema de coordenadas. y B

P (x,y)

F(p,0)

x = -p

A’

P (x,y)

B’

Elipse: Es el conjunto de los puntos P(x,y) tales que la suma de sus distancias a los focos F1(-c,0) y F2(c,0) es constante: d1 + d2 = 2a La ecuación canónica de la elipse es: x2 y2 = 1 siendo b2 =a2-c2 + a2 b2 Observa que los ejes de coordenadas x e y son ejes de simetría de la elipse. El origen O es centro de simetría de la elipse. y

P (x,y)

d1 F1

d2 O

Hipérbola: Es el conjunto de los puntos P(x,y) tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos F1(-c,O) y F2(c,O) es constante: |d1 - d2|= 2a La ecuación canónica de la elipse es: x2 y2 = 1 siendo b2 =c2-a2 a2 b2 Observa que el eje de coordenadas x es eje de simetría de la hipérbola. El eje y recibe el nombre de eje conjugado de la hipérbola que también es eje de simetría.

Parábola: Es el conjunto de los puntos P(x,y) tales que su distancia al foco F(p,0) es igual a su distancia a una recta fija: d1 = d2 La ecuación canónica de la parábola es: y 2 =4px Observa que el eje de coordenadas x es eje de simetría de la parábola.

Menecmo (ca. 350 a.C.) es famoso por considerarse el primero en estudiar las cónicas como secciones de un cono. Al ocuparse del problema clásico de la duplicacación del cubo o problema de Delos (construir un cubo de doble volumen de otro cubo dado), redujo el problema a la construcción de dos medias proporcionales entre 1 y 2, es decir, en hallar x e y tales que: 2 = x = y de donde obtuvo x 2 =2y; x y 1 y2 = x y así x3 = 2y3 En general, consideró la construcción de medias proporcionales entre a y b, es decir, hallar x e y tales que: a = x = y x y b y, por tanto, redujo el problema de la duplicación del cubo a hallar la intersección de las curvas x2=ay (parábola) con xy= ab (hipérbola). y

xy=ab x2=ay

Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

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Propiedades ópticas de las cónicas y y r1

r2 P

d1 F1

Tracemos la recta tangente a una elipse en un punto P. Tracemos las rectas r 1 y r 2 que pasan por P y cada uno de los focos F1 y F2. La recta tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales (α=β) con las rectas que pasan por los focos. Así la tangente es bisectriz del ángulo entre r1 y r2.

Tracemos la recta tangente a la parábola en un punto P. Tracemos la recta que une a P con el foco F de la parábola y la recta PG que pasa por P y es paralela al eje de simetría x de la parábola. Los ángulos α y β que forma la recta tangente en P con las rectas PF y PG son iguales. Así, la tangente es bisectriz del ángulo entre las rectas r y PG.

y r2 β

α β

Tracemos la recta tangente a la hipérbola en un punto P. Tracemos las rectas r1 y r2 que unen a P con los focos F1 y F2 de la hipérbola. Los ángulos α y β que forma la recta tangente en P con las rectas PF1 y PF2 son iguales. Así, la tangente es bisectriz del ángulo entre las rectas r1 y r2.

Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

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Hasta el siglo XVI los cometas eran fenómenos astronómicos inexplicables, los cuales parecían no obedecer las leyes del sistema solar establecidas por Copérnico y Kepler. En 1704, el astrónomo inglés Edmundo Halley (16561742) trabajó sobre las órbitas de varios cometas. Los datos más completos eran sobre el cometa de 1682. Halley observó que la órbita de este cometa pasaba por las mismas regiones del cielo que los cometas de 1607, 1531 y 1456, por lo que dedujo que se trataba del mismo cometa, con una órbita elíptica alrededor del Sol, el cual aparecía cada 75 o 76 años. Por ello predijo el retorno de ese cometa en 1758, lo cual sucedió, y de allí que dicho cometa es conocido por su nombre: Cometa Halley.

Cónicas y sus aplicaciones Una aplicación importante de la elipse es el descubrimiento de Kepler: los planetas y satélites tienen trayectorias elípticas; siendo el Sol uno de los focos. La propiedad óptica o reflectante de las cónicas es utilizada en los espejos y reflectores parabólicos que tienen forma de paraboloide de revolución (superficie obtenida al rotar una parábola alrededor de su eje). Un reflector con esta forma transforma la luz que emana de una fuente ubicada en el foco F en un rayo paralelo al eje. Esto se deduce de una ley física: ”El ángulo de reflexión r es igual al ángulo de incidencia i" (r=i) y de la antes enunciada propiedad óptica de la parábola.

P F

Antena parabólica para la recepción de señales.

Si se trata de un telescopio, los rayos paralelos de luz se transforman en rayos concentrados en el foco. Igualmente, se utiliza la propiedad reflectante de la elipse en la acústica con el objeto del diseño y construcción de "galerías de murmullos": si la forma de la cúpula de un auditórium o de una galería es elíptica, entonces un susurro o murmullo débil emitido en un foco no es casi percibido en la mayor parte del salón excepto en el otro foco. Esto ha sido utilizado en el Salón de las Estatuas del Capitolio de Washington D.C., en el Tabernáculo Mormón en Salk Lake City, en la denominada "Galería de los Suspiros" en el Convento del Desierto de Los Leones cerca de Ciudad de México, y otras edificaciones.

Rayo incidente F h’

Hipérbola

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Fe Elipse Parábola

F e’ Ojo

Propiedad de las tres cónicas utilizadas en el diseño de un telescopio.

En el famoso Taj Mahal, construido en el siglo XVII (16301652) en la India por el emperador Sah Yahan en honor de su esposa Mumtaz-i Mahall, uno de los máximos logros de la arquitectura mogol, tiene una galería de los suspiros en donde anteriormente a la pareja en luna de miel se le colocaba en los respectivos focos, de tal forma que el novio murmuraba la frase: A la memoria de mi amada inmortal, la cual era solamente escuchada por su novia situada a una distancia de algo más de 15 m.

Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

Palacio Taj Mahal, India.

En 1609 Johannes Kepler (1571-1630) publicó, utilizando las observaciones de su maestro Tycho Brahe, su obra Astronomía Nova en donde enunció las dos primeras leyes referentes a las órbitas de los planetas. Posteriormente, en 1619, en el libro Harmonices Mundi Libri, Kepler publicaría la tercera Ley. Aproximadamente 80 años más tarde, Isaac Newton (16421727) probaba que las órbitas elípticas de los planetas implicaban la ley de la gravitación universal. Las leyes de Kepler fueron enunciadas para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Aunque él no las enunció en el mismo orden, en la actualidad las leyes se numeran como sigue: • Primera Ley (Ley de las trayectorias elípticas): todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos. • Segunda Ley (Ley de las áreas): el radiovector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. • Tercera Ley (Ley de los tiempos): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol.

Planeta

Foco

Sol

Primera Ley de Kepler

t Sol

Segunda Ley de Kepler

Altura

La trayectoria de un proyectil lanzado desde el nivel del suelo, sin tomar en cuenta la resistencia del aire, describe una parábola. Esta propiedad fue demostrada por Galileo Galilei en el siglo XVI. Hoy en día se sigue utilizando esta demostración en estudios de balística.

Distancia

Fascículo 15 • Cónicas y cuádricas

120

C贸nicas y cu谩dricas

Los m谩s grandes dinosaurios, como el Estegosauro (foto) y el Brontosaurio, tienen una joroba producto de que su espina dorsal (esqueleto) posee forma aproximadamente parab贸lica que le permite soportar su gran peso. Fuente: Museo Nacional de Historia. Washington, EEUU.

El mundo de las cuádricas Del espacio al plano Ahora queremos estudiar ciertas posiciones de planos en relación con algunas superficies, en específico, hacer la intersección (corte) con planos de una superficie del espacio con el fin de obtener curvas sobre esa superficie.

Cortes de una superficie esférica

Cortes de una superficie cilíndrica

Al hacer un corte con un plano a una esfera (superficie esférica), resulta una circunferencia. Polo

Al hacer un corte con un plano paralelo a la base (perpendicular al eje) a una superficie cilíndrica recta, resulta una circunferencia.

Circunferencia mayor Elipse

Circunferencia menor

Circunferencia

Polo

Cuando el plano pasa por el centro O de la esfera se obtiene una circunferencia máxima, cuyo radio es igual al radio de la esfera y la esfera es simétrica respecto de dicho plano. Cada parte de la esfera que está "a un lado" de ese plano es un hemisferio.

Cortes de una superficie cónica Al hacer un corte con un plano paralelo a la base (perpendicular al eje) a una superficie cónica recta, resulta una circunferencia.

Eje

Si el corte se hace con un plano no paralelo a la base y cortando al eje, se obtiene una elipse.

Si el corte se hace con un plano no paralelo a la base del cono, entonces se obtiene una elipse, una parábola o una rama de hipérbola, dependiendo de la inc1inación de ese plano. En general, sabemos que el corte de una superficie cónica con un plano que no pasa por el vértice es una cónica.

Eje

Elipse

Circunferencia

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

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1) ¿Qué se obtiene al cortar una superficie cilíndrica recta con un plano que no corta el eje ("paralelo" al eje)? 2. ¿Qué se obtiene al cortar una superficie cónica recta con un plano que contiene al eje? 3) ¿Qué se obtiene al cortar un poliedro con un plano?

Plano perpendicular al eje Eje de giro Paralelo

Del plano al espacio Cuando se hace la rotación de una curva plana C respecto de una recta de dicho plano, se obtiene una superficie del espacio denominada superficie de rotación o de revolución. La recta se llama eje de revolución o eje de giro, y es un eje de simetría de la superficie. Los cortes de esa superficie de revolución con planos perpendiculares al eje son circunferencias denominadas paralelos.

Paralelo

Los sólidos limitados por superficies de revolución se denominan sólidos de revolución y es frecuente encontrarlos en la vida cotidiana. Los siguientes ejemplos son sólidos de revolución fabricados por seres humanos:

Cauchos

Embudo

Pistón

Luminaria

Copa

Bombillo

Lápiz

Barril

También hay gran variedad de sólidos que se encuentran en la naturaleza que tienen una forma aproximada a sólidos de revolución.

Manzana

Patilla

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

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Huevo

Planetas

Las cuádricas de revolución Rotando un rectángulo alrededor de uno de sus lados, resulta una superficie cilíndrica.

Rotando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, resulta una superficie cónica.

Eje

Las superficies cilíndricas, las esferas (superficies esféricas) y las superficies cónicas son tres ejemplos de cierto tipo de supeficies denominadas superficies cuádricas o simplemente cuádricas. En este caso, como se obtienen mediante rotación, son cuádricas de revolución. Éstas no son las únicas cuádricas que hay. Al rotar una circunferencia (o una semicircunferencia) en torno de uno cualquiera de sus diámetros (de su diámetro), se obtiene una esfera. Eje

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

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Eje

¿Cuáles superficies se obtienen al rotar otras cónicas: Elipse, parábola e hipérbola? Si rotamos una elipse alrededor de uno cualquiera de sus dos ejes se obtiene un elipsoide de revolución.

Si rotamos una parábola alrededor de su eje se obtiene un paraboloide de revolución. Eje de giro Parábola

Eje de giro O A’

F’

Paralelo

O A’

t Paralelo

B’

A’ A

O B O

x C’

En general, los elipsoides tienen tres planos de simetría y tres ejes de simetría. Los segmentos de estos ejes limitados por el elipsoide, se denominan longitudes de los ejes o simplemente ejes AA’=2a, BB’=2b y CC’=2c. Si un elipsoide tiene sus tres ejes de igual longitud entonces es una esfera. En un elipsoide de revolución dos de sus ejes son de igual longitud. Si contraemos o ampliamos uno de ellos resulta un elipsoide en general.

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

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Otro paraboloide es el paraboloide elíptico que tiene un eje y las intersecciones con planos perpendiculares al eje son elipses. En el caso de ser de revolución, estas intersecciones son circunferencias en vez de elipses.

Si rotamos una hipérbola alrededor de su eje conjugado o eje no transversal (eje de simetría entre las dos ramas de la hipérbola) se obtiene un hiperboloide de revolución de una hoja.

Si un cilindro contiene un líquido, digamos agua, y lo rotamos alrededor de su eje de simetría, entonces la superficie del fluido adopta la forma de un paraboloide de revolución.

Eje de giro

O A’

F’

Paralelo

La “garganta” (paralelo de menor radio)

Si rotamos una hipérbola alrededor de su eje transversal se obtiene un hiperboloide de revolución de dos hojas.

Eje de giro O Paralelo

F’

A’

Hiperboloide de una hoja. En la figura, las intersecciones con planos perpendiculares al eje Oz son circunferencias. Las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) son las curvas mas simples que hay, además de las rectas. Asimismo, en el espacio tridimensional las cuádricas son las superficies más simples que hay, además de los planos. Aún más, así como las cónicas tienen ejes de simetría las cuádricas también los presentan y, además, planos de simetría. Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

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Las cuádricas en el espacio son lo análogo de las cónicas de un plano. Su estudio es bastante antiguo; por ejemplo, Tabit Ibn Qurra (Arabia, 826-901) determinó el volumen de un sector del paraboloide. Ya conocemos que desde el tiempo de los griegos se estudiaban las esferas, los conos y los cilindros.

b=6 356,8 km

Esfera y esferoide Para estudiar los planetas, entre ellos la Tierra, se parte de la premisa de que tienen forma esférica. Esto no es exacto pero es una manera adecuada de representar nuestro planeta a los fines de estudio. En la Tierra distinguimos el radio ecuatorial a=6 378,38 km y el radio polar b=6 356,8 km.

a=6 378,38 km

Esferoide

Cuando consideramos la Tierra en forma esférica, se toma como radio el promedio de los dos anteriores (6 367,59 km). Una forma más exacta de la Tierra es considerarla como un elipsoide de revolución con un "aplastamiento" (aplanado), denominado un esferoide.

R=6 367,59 km

EI aplastamiento es (a-b)/a≈ 0,003383 Los primeros satélites americanos, el Explorer 1 y el Vanguard 1, permitieron dar un valor más preciso del aplastamiento, a saber: 1/298,3 ≈ 0,003352 , en el primer caso, y 1/297,3 ≈ 0,003364 en el segundo. Éste último es el valor habitual para los geodestas (Fuente: La Recherche, abril/2002). Con el esferoide se trabaja cuando se requiere un gran nivel de precisión. Tanto la esfera como el esferoide son aproximaciones a la forma de la Tierra (geoide), puesto que en ésta hay montañas, valles, depresiones, abismos, cordilleras, etc.

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

127

Forma esférica

Determinar la forma de la Tierra ha sido objeto de muchas investigaciones desde tiempos antiguos. El físico y matemático británico Isaac Newton (1643-1727), en su famosa obra "Principia", mostró que una pequeña rotación debería hacer a la Tierra aplastada hacia los polos. Una concepción distinta la sostuvo Giovanni Cassini (matemático y astrónomo francoitaliano, 1625-1712) a partir de medidas geodésicas erradas y consideró un alargamiento hacia los polos. Las respectivas formas fueron objeto de caricaturas como se muestra en los dibujos. Polo Polo

Giovanni Cassini

Polo

Hacia 1735, mediante expediciones patrocinadas por la Academia de Ciencias de Francia realizadas en Perú: cerca del ecuador terrestre, y en Laponia: región septentrional de Europa entre Suecia y Finlandia, se pudo comprobar, a través de mediciones, la forma ligeramente aplanada en los polos.

Isaac Newton

25 agosto 2005 - La sonda Cassini lleva más de un año en torno a Saturno, el Señor de los Anillos. Sus descubrimientos ya nos hablan de un Saturno que era desconocido y que sigue sorprendiéndonos. La misión Cassini a Saturno es una misión de ciencia, para que los expertos en este mundo puedan tener nuevos y precisos datos sobre muchas de las incógnitas que la observación del planeta, su sistema de anillos y sus lunas ha ido despertando en los últimos decenios. Y por ello, los responsables de la misión han dedicado un especial interés a la calidad de las imágenes que se obtienen con las cámaras de la sonda interplanetaria.

Fascículo 16 • Cónicas y cuádricas

128

Cónicas y cuádricas

La misión principal de la sonda Cassini es el estudio del planeta Saturno, su sistema de anillos y sus satélites. Va acompañada de la sonda de descenso europea Huygens que penetrará en Titán, el mayor satélite del planeta y el más interesante desde el punto de vista científico y biológico de todo el Sistema Solar. Este proyecto es fruto de la cooperación entre la agencia espacial norteamericana NASA y la agencia espacial europea ESA y es el mayor proyecto jamás emprendido por ambas agencias. Las naves son las mejor equipadas y preparadas de todas las lanzadas hasta la fecha y se han diseñado y construido para disminuir al mínimo las posibilidades de fallas de componentes. Las trayectorias de este tipo de naves espaciales son cónicas tales como elipses y parábolas. Fuente: http://www.sondasespaciales.com.

Ayer Hace ya más de 2000 años, cerca de la desembocadura del río Nilo, floreció un centro mundial de las artes y las ciencias. Nos referimos a la ciudad de Alejandría, fundada por Alejandro Magno (macedonio, 356-323 a. C.) en el año 322 a.C. y construida por uno de los principales arquitectos griegos, Denócrates. Uno de los sucesores de Alejandro, Ptolomeo I, creó hacia el año 300 a.C. el "Museo" alejandrino. En esa época ''Museo'' (del griego "museion") significaba escuela griega de tipo comunitario, como la de Tales o Pitágoras, y dedicada al culto de las Musas (divinidades de las artes y las letras). En el mismo complejo arquitectónico se instaló una inmensa biblioteca, la "Gran Biblioteca de Alejandría", que tenía cerca de 600 000 manuscritos (papiros) de todos los temas conocidos en esa época. Allí se desarrolló la famosa escuela de matemática denominada Escuela de Alejandría, fundada por Euclides (ca. 300 a.C.), en la que trabajaron Arquímedes de Siracusa (ca. 287- 212 a.C.) y Apolonio de Perga (ca. 262-200 a.C.) quien escribió un voluminoso tratado sobre las cónicas.

Tornillo de Arquímedes. Un método ingenioso para sacar agua de un pozo.

Apolonio

12 2 11 1

9 10

6 CIUDAD DE ALEJANDRÍA Leyenda 1. La puerta del Nilo 2. Los campos del Nilo 3. La puerta de El Cairo 4. Bosques de palmas 5. Sepultura de San Marco 6. Obeliscos o pirámides 7. Mezquita 8. La residencia de Alejandro Magno 9. Santa Catalina 10. El nuevo castillo 11. La columna de Pompeya 12. El lago de agua dulce 13. Entrada del puerto 14. Torre de guardia

14 13

Fuente: The Hebrew University of Jerusalem y la Jewish National & Univesity Library

Fascículo 17 • Cónicas y cuádricas

130

Hoy Han pasado 2300 años y todo el saber ha regresado a Alejandría. Gracias a un proyecto financiado por el gobierno egipcio, la UNESCO y varios países, se construyó un inmenso complejo arquitectónico inaugurado el año 2002, la nueva ''Biblioteca Alejandrina", que espera tener unos 8 millones de volúmenes, 50.000 mapas, 100 000 manuscritos, 10 000 libros incunables, además de contar con la tecnología actual de CD (discos compactos), videocasetes, DVD, entre otros. Se encuentra ubicada en el campus de la Universidad de Alejandría, frente al mar Mediterráneo y muy cerca de donde se supone se encontraba la Biblioteca original. El edificio principal tiene forma cilíndrica y 13 pisos de alto. Sus paredes externas son de bloques de granito de Asuán en los que se cincelaron los distintos alfabetos de la Tierra. Entre otras bibliotecas actuales destacan la del Congreso de los Estados Unidos en Washington y la Biblioteca Nacional de Francia, en París, conjunto de cuatro edificios de 20 pisos cada uno.

Nueva biblioteca de Alejandría.

Fascículo 17 • Cónicas y cuádricas

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Obra arquitectónica patrocinada por el gobierno egipcio y UNESCO, 2002. Alejandría, Egipto. El diseño simboliza el sol egipcio iluminando el mundo y la civilización.

El Faro de Alejandría

Ayer En esa "Universidad de Alejandría" (el Museo), estuvieron los máximos exponentes de la matemática griega de su tiempo: Hiparco de Nicea (el "padre de la astronomía"), Teón, Herón, el astrónomo y matemático Aristarco, el matemático y geógrafo Erastótenes quien estuvo a la cabeza de la Gran Biblioteca durante el gobierno de Ptolomeo III, y también del mundo de las letras y del teatro estuvieron Aristófanes y Zenodo. En Alejandría también se construyó el famoso "Faro de Alejandría" (283 a.C.) considerado una de las siete maravillas del mundo antiguo. Las guerras y la intolerancia religiosa condujeron a que la ciudad de Alejandría fuese desvastada tres veces: 47 a.C. por los romanos (César), 392 d.C. por los cristianos y finalmente el año 640 d.C. por el califa Omar. En cada oportunidad se quemaron miles de los manuscritos que formaban parte de la Gran Biblioteca. La famosa reina Cleopatra, última representante de la dinastía de los Ptolomeos, fue quien restauró la Biblioteca después de la destrucción perpetrada por los romanos. El Templo de Artemisa en Efeso

Los Jardines de Semiramis

Las Pirámides de Gizeh

Las 7 maravillas del mundo antiguo El Museo de Halicarnaso

Fascículo 17 • Cónicas y cuádricas

La Estatua de Zeus en Olimpia

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El Coloso de Rodas

Hoy Hoy en día la palabra Museo no tiene el significado de escuela. En muchas naciones existen museos de ciencia que tienen salas permanentes dedicadas a la matemática, entre los que cabe destacar: el de Boston (Estados Unidos), el de Toronto (Canadá), y los dos que hay en París (Francia), siendo "El Palacio del Descubrimiento" el más antiguo, al que se suma el Museo de Ciencia e Industria de La Villete. En el año 2004 se inauguró un museo dedicado a la matemática en la ciudad de Florencia (Italia), cuna del Renacimiento, denominado "El Jardín de Arquímedes". Este museo está patrocinado por las Universidades de Florencia, Pisa y Siena. La mayoría de los actuales museos de ciencia son interactivos y tienen un carácter pedagógico. En Venezuela no contamos con una sala permanente de matemática dirigida a todo público. Sin embargo, en ocasiones se han realizado exposiciones con tal fin patrocinadas por universidades, el CENAMEC y otras instituciones. Entre éstas mencionamos la más reciente como fue la exposición en el Museo de Ciencias de Caracas (2003) sobre Juan Manuel Cagigal (venezolano, 1803-1856), fundador de los estudios superiores de matemática en Venezuela y con motivo del bicentenario de su nacimiento. En esta exposición se hizo referencia a varios tópicos de matemática.

Sala del Palacio del Descubrimiento (Palais de la Dècouverte) la cual tiene 10 m de diámetro y muestra 704 cifras del número .

Museo de Ciencia de Boston

El Jardín de Arquímedes de Florencia

Centro de Ciencias de Ontario

Palacio del Descubrimiento de París

Museo de Ciencia e Industria de La Villette

Museo de Ciencias de Caracas

Fascículo 17 • Cónicas y cuádricas

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Las cuádricas, la arquitectura y la ingeniería Los edificios destinados a vivienda u oficinas tienen, en general, forma de prismas (caras planas) y entre éstos destacamos los paralelepípedos. También hay construcciones con caras curvas de tipo cilíndricas y cúpulas esféricas. El empleo de este tipo de edificaciones es bastante antiguo, se utilizaba en castillos y fortificaciones y continúa siendo ampliamente usado. El Palacio árabe de la Aljafería en Zaragoza (s. XI) tiene torres cilíndricas y en forma de paralelepípedos rectos. Observa también los arcos apuntados. En el s. XI este palacio tuvo una gran biblioteca de matemática y fue residencia de los reyes de la taifa. Las modernas edificaciones de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), varias de ellas decoradas con motivos aztecas, tienen forma de paralelepípedo, como la de la Biblioteca que se observa en la foto. El Hotel Humboldt, en la cumbre del Ávila (Caracas), fue diseñado por el arquitecto venezolano Tomás J. Sanabria en 1953 . Tiene una forma cilíndrica que optimiza la exposición a la luz solar y suministra una visual de 360°.

Hotel Humboldt. Parque Nacional El Ávila. Caracas. Fuente: http://www.vitruvius.com.br/entrevista/sanabria/sanabria.asp

Fascículo 17 • Cónicas y cuádricas

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Biblioteca Universidad Nacional Autónoma de México. Ciudad de México. Fuente: http://www.spash.net/ Departments/World%20Language/ Gorman/unam.jpg

En la foto está la mezquita de Caracas con un dibujo de su cúpula. Este tipo de construcción es usual en templos y capitolios. Las cúpulas son estructuras de cubierta levantadas sobre una base circular o elíptica. En cambio, muchas edificaciones con otros fines, como iglesias, catedrales, museos, monumentos, torres de enfriamiento de centrales nucleares, arcos de obras civiles, se diseñan adoptando otras formas, entre las que destacan las cuádricas, además de las ya nombradas superficies cilíndricas y esféricas. En el conjunto de edificaciones Disney se puede observar un gran cono truncado que es un reloj de Sol, el cual tiene 39,37m (120 pies) tanto de diámetro de la base como de altura. El reloj de Sol en la base superior de ese cono truncado arroja una sombra hacia el interior que indica el tiempo y las estaciones En ese conjunto se observan varios paralelepípedos.

El Team Disney Building (derecha) fue diseñado por el arquitecto Arata Isozaki (Japón, 1931- ). Isozaki introduce en sus diseños espacios bien definidos que tienen un significado determinado. La estructura del edificio se convierte en un elemento que hace de conexión entre la realidad y la ilusión que crea la contemplación de los volúmenes de la obra. Isozaki, a pesar del cambio de estilo que realizó, sigue combinando elementos orientales con elementos occidentales, algo que hace con maestría y por lo que se le valora en todo el mundo. Consigue incorporar a sus edificios originales efectos visuales, de manera que la contemplación de éstos varía según el ángulo desde el que se observan.

Fascículo 17 • Cónicas y cuádricas

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En el Museo de Arte Moderno de San Franciso (Estados Unidos) se puede observar un cilindro cortado por un pIano oblicuo al eje, lo que produce en la base superior de ese cilindro truncado una forma elíptica. Esto tiene, además de un fin decorativo, una finalidad técnica de aprovechamiento de la luz. El museo fue diseñando por el arquitecto suizo Mario Botta.

¿Qué propiedad importante tienen las superficies cónicas y las superficies cilíndricas que las hace apropiadas para ese tipo de construcciones diseñadas por los arquitectos y los ingenieros? Éstas son superficies regladas, o sea, superficies generadas por una recta o un segmento de recta; por cada punto de la superficie pasa una recta (un segmento) contenida en la misma.

Fascículo 17 • Cónicas y cuádricas

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Cรณnicas y cuรกdricas

El hiperboloide de una hoja es una superficie reglada ya que se pueden trazar segmentos de recta en su superficie. Muestra de ello lo tenemos en este puente peatonal que estรก en la calle Corporation de Manchester, Inglaterra. Fuente: http://www.sondasespaciales.com

A’

Cuando el segmento AA' se mueve paralelamente a sí mismo, a medida que el punto A recorre la circunferencia C se genera la superficie cilíndrica. AA' se llama una generatriz de la superficie.

Cuando el segmento AV se mueve manteniendo fijo el vértice V, a medida que el punto A recorre la circunferencia C se genera la superficie cónica. AV se llama una generatriz de la superficie.

Esa propiedad de ser superficies generadas por rectas no la tienen la esfera, ni el elipsoide, ni el hiperboloide de dos hojas, ni muchas otras superficies. En cambio, un hiperboloide de una hoja es una superficie reglada lo cual es fácil constatarlo. Para ello basta con torcer un poco la superficie cilíndrica agarrándola por sus dos bases y suponiendo que es flexible (con hilos de alambre fino o cuerdas): tiene dos conjuntos de rectas que no son paralelas y situadas en la superficie.

También el paraboloide hiperbólico es una superficie reglada. Tiene dos conjuntos de rectas que no son paralelas entre sí y situadas en la superficie. Fascículo 18 • Cónicas y cuádricas

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Modelo de paraboloide hiperbólico deformable realizado con filamentos

Un paraboloide hiperbólico se puede construir apretando hacia abajo un vértice de un rectángulo y manteniendo asidos los otros tres vértices.

Esa propiedad de dichas cuádricas hace que esas superficies regladas se puedan construir con varillas rectas, lo cual se aprovecha en la construcción de obras civiles de las que mostraremos varias de ellas.

El paraboloide hiperbólico se utiliza en el diseño y construcción de techos que tienen una variedad de formas. Se colocan "rectángulos deformables". A la derecha se muestra la Catedral de St. Mary (1970), en San Francisco (Estados Unidos), diseñada por Paul A. Ryan y John Lee, con los ingenieros consultores Pier Luigi Nervi (Roma) y Pietro Bellaschi (MIT, Estados Unidos). Su cima es una cúpula en forma de paraboloide hiperbólico de 60,46 m3 (2 135 pies3) sostenida por cuatro pilares.

Fascículo 18 • Cónicas y cuádricas

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La estructura mostrada a la derecha, Restaurant Los Manantiales en Xochimilco (México), diseñada por el hispano mexicano Félix Candela (1910-1997), está formada por ocho partes iguales de paraboloides hiperbólicos. Félix Candela, uno de los más grandes diseñadores de estructuras de concreto armado, probaba sus realizaciones haciendo subir sobre ellas a todo el personal de la construcción.

Eduardo Torroja Miret (España, 1899-1961), hijo de un matemático del mismo nombre, sigue siendo medio siglo después de su muerte la personalidad más importante del mundo estructural español, como se demostró hace unos años en la celebración del centenario de su nacimiento. Su figura como ingeniero proyectista y calculista de estructuras, así como su categoría docente se sitúan por encima de la de técnicos de la calidad de Eugenio Ribera, Félix Candela o Carlos Fernández Casado, e incluso de otras de prestigio internacional como Pier Luigi Nervi. Don Eduardo fue profesor, durante más de veinte años, en la Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Madrid, así como profesor invitado en otras universidades fuera de España. Fue miembro fundador del Instituto Técnico de la Construcción y Edificación (1934) que más tarde (1941) dio lugar al Instituto Técnico de la Construcción y del Cemento -hoy Instituto Eduardo Torroja- el cual estuvo bajo su dirección hasta su muerte.

Fascículo 18 • Cónicas y cuádricas

140

El castillo de agua en Fedala (Marruecos), diseñado por Torroja, tiene la forma de un hiperboloide de una hoja, el cual puede ser precomprimido a lo largo de sus dos conjuntos de rectas generatrices. Esto asegura un concreto sin fisuras.

Otras curvas A través de los distintos fascículos se han representado curvas en un plano, utilizadas tanto en matemática como en las artes, la ingeniería y varias ciencias: cónicas, curvas exponenciales y logarítmicas, curvas potenciales, curvas trígonométricas, entre otras. Hay muchas curvas planas y en el espacio que son ampliamente utilizadas. De éstas solamente estudiaremos dos curvas planas: la catenaria y la cicloide.

Curva catenaria Es la curva que se forma cuando se tiene un cable homogéneo e inextensible que cuelga suspendido de sus dos extremos bajo su propio peso. Por ejemplo, los cables de conducción de electricidad suspendidos entre dos postes, un tendedero de ropa suspendido, o la forma adoptada por una cadena suspendida entre dos puntos y colgando libremente. El nombre catenaria viene del latín catenarius que significa perteneciente o relativo a la cadena (catena). La catenaria es la gráfica de una función que se escribe en términos de dos funciones exponenciales ex y e-x. Así, la gráfica de la función: y = -1 +

+ 2

ex + e-x = -1 + x2/2 + x4/24 + ...... ≈ x2/2 = 0,5x2 2

aproximación que es mejor mientras x sea más cercano de 0 (si x>0 es "pequeño", entonces x 4 y las potencias de x de exponente mayor que 4 son "bastante más pequeñas" y por eso las despreciamos).

Fascículo 18 • Cónicas y cuádricas

e-x

es una catenaria. Esta curva es simétrica respecto del eje Oy. A simple vista no es fácil distinguir entre la forma de una catenaria y la de una parábola. Superponiendo la gráfica anterior (en azul) con la de la parábola de ecuación y = 0,54038x2 (ambas curvas pasando por los puntos A y B de abscisas x= 1 y x=-l , respectivamente), observamos que la diferencia entre las dos curvas es muy pequeña pues tienden a confundirse. Cerca del origen la parábola está por debajo de la catenaria y después por encima. Esto se debe a que para valores de x próximos a cero se tiene que: y=-1+

141

B O

Si a un tendedero de ropa (o un cable suspendido) le colgamos pesos uniformente distribuidos por unidad de longitud de curva, entonces la catena adopta la forma de "parábola". Esto es lo que sucede en los puentes colgantes. Utilización de catenarias en experimento complejo con pesos uniformes.

Una de las aplicaciones más emblemáticas de la catenaria es el arco Gateway en San Luis-Missouri (Estados Unidos), cuyas secciones son catenarias. Este arco mide 630 pies tanto de altura como de ancho (192,024 m por 192,024 m) en sus bordes externos.

También está el techo de piedra de la iglesia en la Misión Carmel de California con secciones en forma de catenaria.

Jacobo Bernoulli (1654-1705) propuso el siguiente problema en la revista Acta Eroditorum: Hallar la curva formada por un hilo pesado, flexible, inextensible y de densidad constante en toda su longitud, fijo o suspendido en sus dos extremos. Este problema fue resuelto por él mismo conjuntamente con su hermano Juan Bernoulli (16671748) y Charles Huyghens (1629-1695) y publicado en esa revista el año 1691. La solución es una catenaria.

Fascículo 18 • Cónicas y cuádricas

142

Curva cicloide Fue llamada la Helena de la geometría, no sólo por sus múltiples propiedades sino también por haber sido objeto de disputa entre muchos matemáticos. El primero que la estudió en profundidad fue Evangelista Torricelli (1608-1647) quien en 1644 publicó un tratado sobre la misma. La cicloide se produce cuando se hace rodar un disco, sin deslizar, sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide.

Galileo Galilei (Italia, 1564-1642) descubrió la cicloide en 1590. Poco tiempo después el puente de Mezzo sobre el Arno, en Pisa, fue construido con un diseño basado en esta curva.

R x

Rθ

La condición de rodar, sin deslizar, implica que el aro gira un ángulo θ (en radianes), a la vez que su centro se traslada una distancia Rθ, tal como se muestra en la figura superior.

Pero, ¿cuáles son estas sorprendente propiedades de la cicloide que hicieron que grandes matemáticos se disputaran su estudio?

Veamos algunas de ellas: • El área de la superficie encerrada por un arco de la cicloide y la recta donde rueda el circulo que la genera es tres veces el área del círculo. Galileo trató de demostrar esta propiedad con la ayuda de una balanza: dibujó un círculo y una cicloide generada por ese círculo, las pegó a una lámina de madera y luego las recortó. Pesó en una balanza los recortes y encontró que el área bajo la cicloide era como tres veces el área del círculo. Como no creía que pudiera ser un número entero de veces, conjeturó que sería π veces. Más tarde Giles Personne de Roberval (Francia, 1602-1675) y Evangelista Torricelli (Italia, 1608-1647), demostraron que el área bajo la cicloide es exactamente tres veces el área del círculo que da lugar a ella.

Fascículo 18 • Cónicas y cuádricas

143

1 2

• La longitud de la cicloide es cuatro veces la longitud del diámetro del círculo que la genera. Esto se puede visualizar dibujando la cicloide en un cartón, recortando el cartón según la cicloide y midiendo con una cinta métrica la longitud de la cicloide (el borde del cartón) y el diámetro del círculo que genera la cicloide. • La cicloide es tautócrona. Esta curiosa propiedad, descubierta por Christian Huygens, consiste en lo siguiente: despreciando el rozamiento, si invertimos una cicloide y dejamos caer dos metras, una desde el punto M y otra desde el punto N, ¡las dos llegan al punto más bajo P al mismo tiempo! • Una cicloide es braquistócrona, esto significa que la cicloide invertida es la curva de descenso más rápido. Imagínate dos puntos A y B en un plano vertical a distinta altura. Supón que tienes un alambre y una cuenta de collar. Se trata de unir el punto A y el punto B con el alambre y una cuenta se coloca en el punto A y se dejar caer para llegar al punto B. A medida que se va cambiando la forma del alambre, la cuenta tarda un tiempo distinto en llegar al punto B. Lo interesante es que cuando el alambre tenga la forma de una cicloide, la cuenta tarda el menor tiempo de ir de A a B. En el dibujo se tiene un segmento de A a B y una cicloide que pasa por A y por B: ¡la cuenta tarda más tiempo en ir por el segmento de A a B que siguiendo la trayectoria de la cicloide! Esta propiedad es la base para la construcción de las pistas de patines y patinetas. • Otra propiedad de la cicloide es la respuesta a esta pregunta: ¿con qué trayectoria debería oscilar un péndulo de tal manera que su período (tiempo que tarda en dar una oscilación) fuese siempre el mismo independientemente de la amplitud de la oscilación? Esta curva denominada isócrona fue descubierta por Christian Huygens (Holanda, l629-1685) en 1673 y resultó ser también una cicloide. Un péndulo que se mueva como el de la figura entre dos cicloides, es isócrono y describe a su vez una cicloide.

B M N

Péndulo isócrono

Bibliografía • GARFUNKEL, Solomon (1994). “For all practical purposes - Introduction to contemporary mathematics. Freeman and Co. 3a. Edición, Capítulo 19. Nueva York. • http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=cic_alar • http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/actividades/actividades/cicloide/marco_cicloide2.htm

Fascículo 18 • Cónicas y cuádricas

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Matrices y sus operaciones

Matrices 4 es una obra digital realizada por Chris Nixon, artista británico de 27 años de edad, el cual utiliza herramientas y programas de computación para realizar sus propuestas artísticas tanto visuales como en audio y video. Fuente: http://www.spellsabre.co.uk

Matrices y vida cotidiana En esta figura se indican las probables características del tiempo y las temperaturas máximas y mínimas previstas para la ciudad de Caracas, desde el día viernes 30 de diciembre hasta el lunes 2 de enero de 2006. En la gráfica de la izquierda, la Bolsa de Valores de Caracas presenta los resultados de las transacciones ocurridas en un determinado período, en donde se pueden percibir los cambios y variaciones que se sucedieron así como realizar algunas comparaciones dentro del mismo cuadro. Este cuadro presenta algunas estadísticas sobre el béisbol en Venezuela para la temporada 2005-2006.

Resumen por título (en Bs) Símbolo

Último Precio

Variación

MVZ.A

3.300,00

0,00

Monto Efectivo 51.991.500,00

VNT

38.000,00

0,00

11.028.318,00

Todas estas situaciones se expresan mediante cuadros de números en filas y columnas denominados matrices.

TEMPORADA 2005/2006 DIVISIÓN ORIENTAL MAGALLANES LEONES CARIBES TIBURONES

JJ 62 62 62 62

JG 39 35 32 31

JP 23 27 30 31

DIVISIÓN OCCIDENTAL TIGRES CARDENALES PASTORA AGUILAS

JJ 62 62 62 62

JG 38 27 23 23

JP 24 35 39 39

JJ = Juegos Jugados. JG = Juegos Ganados. JP = Juegos Perdidos

Fascículo 19 • Matrices y sus operaciones

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J. J. Sylvester (Inglaterra,1814-1897). El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W. R. Hamilton (Irlanda, 1805-1865) en 1853.

James Joseph Sylvester

146 William Rowan Hamilton

En otras palabras, una disposición rectangular de n filas y m columnas, con n x m elementos de un mismo conjunto, es lo que se denomina matriz de orden n por m. Cada elemento de la matriz se llama entrada y usualmente se denota con una letra y un par de subíndices que indican la fila y la columna donde está ubicado. Por ejemplo, a 23 está en el cruce de la segunda fila con la tercera columna. Dos matrices del mismo orden son iguales si sus respectivas entradas son iguales. Los elementos de una matriz pueden ser, en general, objetos matemáticos de muy variados tipos. Por ejemplo, números de un conjunto o determinado tipo de funciones. Nosotros trabajaremos exclusivamente con matrices cuyas entradas son números reales.

Denominación

Leones del Caracas: Campeones de la Temporada de Beisbol Profesional de Venezuela 20052006 y campeones de la serie del Caribe 2006.

Matriz A de orden 2x3 Entrada a23 = -1

Descripción

Matriz fila

Matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1xm.

Matriz columna

Matriz que tiene una sola columna, siendo su orden nx1.

Matriz nula

Matriz con todas las entradas nulas.

Matriz opuesta

La matriz opuesta de una matriz A, es la matriz que tiene por entradas las de la matriz A cambiadas de signo. Esta matriz se denota por -A.

Matriz traspuesta

La matriz traspuesta de la matriz A es la matriz At que se obtiene de la matriz A intercambiando filas por columnas.

Matriz cuadrada

La que tiene igual número de filas y columnas: n=m. Se dice de orden n. Diagonal Principal: entradas con subíndices iguales (aii). Traza de una matriz: suma de los elementos de la diagonal principal: a11+a22+…+ann.

Matriz identidad

Ejemplo

A = (1 5 -1)

Es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos, salvo los de la diagonal principal que son iguales a 1. La matriz identidad de cualquier orden se denota por I.

Es costumbre denotar los puntos del plano con letras mayúsculas, por ejemplo P, Q, etc., mientras que para indicar sus coordenadas escribimos (x, y). Con los vectores se usa la misma notación, para señalar las coordenadas y para indicar el vector se usan letras, por lo general, minúsculas con una flecha, o letras minúsculas en negrilla,v. Aquí identificaremos los puntos del plano con los vectores del plano y con las matrices filas o columnas. Por ejemplo: el punto P de coordenadas (x,y) se identifica con el vector v de coordenadas (x,y), con la matriz fila (x y) y la matriz x columna y . Esto mismo podemos realizarlo con los puntos del espacio, espacio n-dimensional y con los vectores del espacio o del espacio n147 del dimensional y con las matrices filas o columnas con el correspondiente Fascículo 19 • Matrices y sus operaciones número de entradas.

Adición de matrices Una industria del calzado tiene dos plantas P1 y P2. En P1 se confeccionan zapatos para niños y en P2 zapatos para adultos. Los costos de elaboración y venta de cada par de zapatos se muestran en el siguiente cuadro: Costos de producción de cada par de zapatos (Bs) Niños Niñas Mujeres Hombres 45 000 46 000 0 0 0 0 95 000 97 000

P1 P2

Mientras que las ganancias por la venta de cada par de zapatos es: Ganancias por la venta de cada par de zapatos (Bs) Niños Niñas Mujeres Hombres 20 000 16 000 0 0 0 0 40 000 43 000

P1 P2

Con esos datos podemos considerar dos matrices: C de costos y G de ganancias: C=

45 000 0

46 000 0

0 95 000

0 97 000

20 000 0

16 000 0

0 40 000

0 43 000

Si deseamos determinar los precios de ventas (P) de cada par de zapatos, podríamos considerar una matriz M donde en cada una sus entradas se coloca la suma de los costos de producción y las ganancias. Así resulta que: M=

45 000+20 000 46 000+16 000 0+0 0+0 0+0 0+0 95 000+40 000 97 000+43 000 65 000 0

62 000 0

0 135 000

0 130 000

De esta manera, la matriz M corresponde matemáticamente a la suma de las matrices C y G. M=C+G En general podemos sumar algebráicamente matrices del mismo orden. Si A y B son matrices del mismo orden, se define la matriz suma A+B o A-B como una nueva matriz cuyo elemento cij es la suma o resta de los elementos aij ± bij de las matrices A y B, respectivamente. Fascículo 19 • Matrices y sus operaciones

148

Producto de un número por una matriz Un establecimiento que vende productos de aseo personal, ha decidido hacer un descuento del 10% en los precios de tres marcas de jabones de tocador. Si los precios actuales están señalados en el siguiente cuadro, a partir de ellos podemos calcular el descuento de cada jabón, tal como se indica a continuación: Marca de jabón Precio por unidad (en Bs)

A 1 550

Marca de jabón A Descuento por unidad (en Bs) 0,1·1 550 = 155

B 1 225

C 1 350

B 0,1·1 225 = 122,5

C 0,1·1 350 = 135

Utilizando matrices también podemos obtener este resultado. En el caso planteado, podemos considerar la matriz fila P = (1 550 1 225 1 350) que representa los precios de los jabones de las tres marcas. Cuando se calculó el descuento por marca, multiplicamos el precio de cada una de ellas por 0,1. Así podemos definir el producto del número 0,1 por la matriz P, como: 0,1 P = (0,1·1 550

0,1·1 225

0,1·1 350 ) = (155 122,5 135 ).

En general, el producto de un número λ por una matriz A es una matriz denotada por λA, cuyas entradas son las de la matriz A multiplicadas por el número λ. Es decir, la entrada cij de la matriz λA es λaij, donde aij es el elemento de la fila i y de la columna j de la matriz A.

Producto escalar de vectores Siguiendo con el ejemplo de los jabones, al comprar 5 jabones de la marca A, 8 de la marca B y 6 de la marca C, se gastan (en bolívares) 5·1 550 + 8·1 225 + 6·1 350 = 25 650 Si representamos por u = (5, 8 ,6) el vector fila cuyos elementos son las cantidades requeridas de cada una de las marcas y por v = (1 550, 1 225, 1 350) el vector fila cuyos elementos son los precios en bolívares de cada uno de los jabones, entonces el producto que hemos realizado para obtener el monto total se conoce como el producto escalar de los vectores u y v, el cual se efectúa multiplicando cada una de los correspondientes elementos y luego sumando todos los resultados parciales obtenidos. En general, si tenemos dos vectores del mismo orden: u = (a1 , a2 , . . .,an) y v = (b1, b2 , . . . , bn) se define el producto escalar de los vectores u y v como:

u . v = (a1 ,a2 , . . . ,an) . (b1 , b2 , . . . , bn) = a1b1 + a2b2 + . . . +anbn Fascículo 19 • Matrices y sus operaciones

149

u.v = ( 5 ,8, 6)·(1 550, 1 225, 1 350) = 5·1 550 + 8·1 225 + 6·1 350 = 25 650

Cuando un objeto se mueve como consecuencia de la aplicación de una fuerza, existe una relación entre el desplazamiento y la fuerza que los físicos denominan Trabajo. Si un objeto realiza un desplazamiento d al aplicársele un fuerza constante F, el trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Por ejemplo, si aplicamos a un objeto una fuerza constante de dos componentes F=(F1, F2) y se produce un desplazamiento en el plano d=(d1, d2), el trabajo realizado es: T = F·d = F1d1 + F2d2 F Fuerza

T=F·d

Desplazamiento d

En la década de los años cuarenta del siglo pasado, Leontief (premio Nobel de economía en 1973) introduce un modelo, utilizando matrices, llamado insumo-producto (en inglés input-output), para realizar un estudio de la economía de Estados Unidos, en el que considera las interacciones entre 500 industrias. Con este modelo se pretende predecir los niveles de producción de cada industria, a fin de cubrir sus demandas. Este gran economista visitó Caracas en 1989 y dictó una conferencia titulada “Análisis y modelos de los sistemas energéticos” en el “Congreso Internacional Energía, Ambiente e Innovación Tecnológica”, patrocinado por la Universidad Central de Venezuela y la Universidad de Roma “La Sapienza”.

Producto de matrices Usando el producto escalar podemos multiplicar matrices. Para esto consideremos dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A sea igual al numero de filas de la matriz B ( esta condición es imprescindible para hacer el producto A·B, en ese orden). Por ejemplo, supongamos que A es una matriz de orden n x m y B es una matriz de orden mxp. Entonces la entrada cij de la matriz producto A · B es el producto escalar de la fila i de la matriz A, por la columna j de la matriz B. Matrix Management (2000). Paul DeCelle.

Matriz A

Fila i

Fascículo 19 • Matrices y sus operaciones

Matriz B

Columna j

150

Matriz producto A·B

cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aimbmj = (ai1, ai2, …, aim).(b1j, b2j,…, bmj)

Por ejemplo, consideremos la producción de arroz (en toneladas) en los llanos occidentales y centrales del país en los años 1997 y 1998. Año

Llanos occidentales

Llanos centrales

1997

429 750

274 000

1998

423 675

221 851

Matriz asociada a la tabla

429 750

274 000

423 675

221 851 2x2

Si queremos calcular la producción total de arroz de los Llanos durante los años 1997 y 1998 basta multiplicar la matriz A por la matriz columna .

Con las operaciones de adición y multiplicación que se han definido, las matrices cuadradas de orden n, por ejemplo de orden 2, tienen propiedades similares a las operaciones de adición y multiplicación de los números enteros: asociatividad de la adición y de la multiplicación; conmutatividad de la adición; existencia de elemento neutro para ambas operaciones; existencia de opuesto y distributividad de la multiplicación respecto a la adición. La diferencia está en que la multiplicación de matrices no es conmutativa. La matriz nula

0 0 0 0

es el elemento neutro para la adición.

La matriz opuesta -A de una matriz A es el elemento opuesto para la adición. La matriz identidad I =

1 0 0 1

Fascículo 19 • Matrices y sus operaciones

es el elemento neutro para la multiplicación.

151

Si consideramos, por ejemplo, la matriz cuadrada A= tenemos que: AB =

y la multiplicamos por la matriz B=

= I y, además, BA =

Es decir, el producto de estas matrices, en cada caso, es igual a la matriz identidad. Cuando esto ocurre con una matriz cuadrada A, se dice que la matriz tiene inversa y la matriz B se llama inversa de la matriz A, la cual se denota por A-1. Existen criterios para determinar si una matriz tiene inversa y métodos para hallarla cuando acontece tal situación. En el caso de matrices cuadradas de orden 2 podemos afirmar lo siguiente: A=

es invertible si y sólo si ab-cd ≠ 0 y, en este caso, la inversa es: A-1 =

En 1858, Arthur Cayley (Inglaterra, 1821-1895) introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas y define las operaciones con matrices. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

se puede escribir en forma matricial

En el problema de la fabricación de zapatos, usa el producto de matrices para calcular la ganancia que se obtiene al vender 25 pares de zapatos para niños, 35 para niñas, 45 para hombres y 47 para mujeres. Sea la matriz A=

5 3

6 4

Comprueba si es invertible y de serlo halla su inversa.

Fascículo 19 • Matrices y sus operaciones

152

Matrices y aplicaciones

La antigua ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado) ubicada en lo que era Prusia Oriental, se encuentra atravesada por el río Pregel (cuyo nombre actual es Pregolya). La ciudad es famosa por sus puentes, ya que cuenta con 7 que unen ambas márgenes del río Pregel con dos de sus islas, tal como se puede ver en el plano de arriba. Se dice que los habitantes de la ciudad se entretenían tratando de encontrar una ruta para pasear con la condición de cruzar cada uno de los siete puentes y hacerlo sólo una vez. Como habían intentado hacerlo infructuosamente la mayoría pensaba que tal paseo era imposible. Euler resolvió el problema representando la situación mediante un modelo gráfico. La solución dada en 1736, mostraba la imposibilidad de cruzar los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo puente.

Grafo que modela la situación

Matrices y grafos Este tipo de objeto matemático se conoce con el nombre de grafo: a los puntos se les llama vértices y aristas a las líneas que los unen. Los puntos azules en el grafo (vértices) representan las dos islas y las dos orillas del río; mientras que las líneas que enlazan a los puntos (aristas) representan los puentes: siete en total. El grafo a su vez puede ser representado mediante una matriz conocida como matriz de adyacencia, la cual denotaremos por A. Cada elemento a ij de la matriz indica el número de aristas que enlazan al vértice i con el vértice j. Cuando dos vértices están unidos por lo menos con una arista se dice que ellos son adyacentes. Hemos etiquetado los vértices con los números del 1 al 4, como se muestra en la figura. La matriz de adyacencia del grafo de la figura es:

0 1 1 1 A=

1 0 2 2 1 2 0 0 1 2 0 0

Cada fila de la matriz está asociada con un vértice del grafo. Lo mismo ocurre con las columnas. Así, por ejemplo, la fila 2 está asociada con el vértice que lleva la etiqueta 2; y la columna cuatro con el vértice 4. En el cruce de la fila 2 con la columna 4 se encuentra justamente el elemento a24=2. El valor de a24 indica que existen dos conexiones (puentes) que unen a dichos vértices. En consecuencia, el elemento simétrico a42 también debe ser 2, ya que si hay dos puentes que enlazan a 2 con 4, esos mismos puentes comunican a 4 con 2. Si miramos la matriz A, efectivamente ocurre esto (A es una matriz simétrica). La matriz A puede multiplicarse por sí misma, obteniéndose la matriz AA la cual se denota A2. 3 4 2 2 A 2=

4 9 1 1 2 1 5 5 2 1 5

¿Cómo interpretamos ahora las entradas de la matriz?

Fascículo 20 • Matrices y aplicaciones

154

1 2

Grafo que modela la situación 4

Por ejemplo, ¿qué significa que a11 valga 3 ó que a34 tome el valor 5? a11=3 significa que hay tres caminos de longitud 2 del vértice 1 a él mismo. Estos caminos son: 1-4-1; 1-2-1 y 1-3-1. Así, el camino 1-4-1 indica que salimos de 1, cruzamos el puente que lleva a 4 y nos devolvemos a 1 por ese mismo puente; es decir, hemos hecho un recorrido de longitud 2. Similar interpretación le otorgamos a los otros dos caminos. Si queremos ir del punto 3 al 4, tenemos a disposición 5 caminos de longitud 2. Una escogencia es pasar por el vértice 2, pero tenemos dos puentes, cada uno corresponde a una opción. Una vez llegados al vértice 2, nuevamente tenemos Uno de los puentes de Köningsberg (hoy Kaliningrado) dos puentes, es decir, dos alternativas. En consecuencia, si que todavía se encuentra en la actualidad. Fuente: www.matheory.info/ konigsberg decidimos ir desde 3 a 4 pasando por 2, tenemos 2 x 2 = 4 caminos posibles. El quinto camino corresponde a salir de 3, pasar por 1 y arribar a 4. 3 En general, cada entrada a ij de la matriz A 2 representa el número de rutas o caminos de longitud 2 que existen entre los vértices i y j.

2 ¿Podrías encontrar las 9 rutas posibles (de longitud 2) para, saliendo de 2, regresar al lugar de partida cruzando dos puentes diferentes o dos veces el mismo puente?

En forma análoga podemos estudiar el significado de las entradas de las matrices AAA=A3 y AAAA=A4.

Leonhard Euler (Suiza,1707-1783), matemático y físico, realizó numerosas contribuciones en las áreas de matemática y física donde destacan la teoría utilizada en Mecánica de Fluídos (usada luego para la explicación del vuelo de los aviones) y la teoría sobre la rotación de cuerpos rígidos usada en la trayectoria de satélites. El sistema postal de su país natal elaboró una estampilla de 10F en su honor.

Fascículo 20 • Matrices y aplicaciones

155

Matrices y cuadrados mágicos En el cuadrado de la derecha que está subdividido en 9 casillas, debes colocar los números del 1 al 9 sin repetir ninguno, con la condición de que al sumar los números por filas, columnas o diagonales siempre resulte 15. ¿Podrás hacerlo?

Cuenta la leyenda que el emperador Yu el Grande [de la dinastía Xia] vio emerger una tortuga de las aguas del río Lo, en cuyo caparazón aparecía un grabado con símbolos numéricos. A este grabado se le denominó Lo shu, que significa “Escrito del Río Lo”.

El Lo Shu puede representarse gráficamente así:

A esta disposición de los números del 1 al 9 se le llama un cuadrado mágico.

gonal se produce siempre el mismo resultado. A este resultado se le denomina constante mágica. La matriz M es un cuadrado mágico. Para comprobarlo basta sumar los elementos de cada fila, de cada columna y de las diagonales, y verificar que la suma siempre es la misma: la constante mágica es k=15.

Representación numérica actual

Un cuadrado mágico es una disposición numérica de forma cuadrada, tal que al sumar los números de una misma fila, columna o dia-

Las anteriores son diferentes formas de representar un cuadrado mágico.

Fascículo 20 • Matrices y aplicaciones

156

Los antecedentes más lejanos que se tienen de los cuadrados mágicos se remontan a la milenaria China, hacia el 2200 a.C. El Lo Shu es el cuadrado mágico más antiguo que se conoce. Otro cuadrado mágico famoso es el que aparece en el lado superior derecho de la obra “Melancolía” del famoso artista del Renacimiento Alberto Durero (Alemania, 1471-1528).

Como dato curioso, la obra fue creada en 1514.

Fascículo 20 • Matrices y aplicaciones

157

Se llama orden de un cuadrado mágico al número de filas (o de columnas) que tiene la matriz que lo representa. Así, el Lo Shu es de orden 3, mientras que el cuadrado mágico que aparece en la “Melancolía” de Durero es de orden 4.

¿Qué ocurre si rotamos la figura del Lo Shu alrededor del centro de la cruz (la cual representa al número 5) que está en el centro?

Rotación de 90º en el sentido antihorario

¡Obtenemos como resultado un cuadrado mágico! ¿Qué ocurre si rotamos el Lo Shu (alrededor de la cruz central) 180º en sentido horario?

Rotación de 180º en el sentido horario

¡Nuevamente obtenemos un cuadrado mágico! ¿Cómo quedan plasmadas estas rotaciones en la matriz?

90°

M 1= 9

180°

M 2= 7

Observamos que una rotación de la figura equivale a realizar ciertas transformaciones de las filas y columnas de la matriz.

90°

M 3= 1

Fascículo 20 • Matrices y aplicaciones

158

Así, en el caso que mostramos, las filas primera, segunda y tercera de M se convierten, respectivamente, en las columnas tercera, segunda y primera de M 3.

Tengo que pensarlo Verifique, usando las matrices, que se produce el mismo resultado si se rota el Lo Shu 180º en el sentido horario o en el sentido contrario.

Puede probarse matemáticamente, que dado un cuadrado mágico de cualquier orden, las rotaciones respecto a su centro producen nuevamente un cuadrado mágico.

¿Será la matriz transpuesta (Mt) un cuadrado mágico? ¿Habrá alguna combinación de rotaciones del Lo Shu que produzcan un cuadrado mágico cuya representación sea Mt?

Debido a la estructura particular de los cuadrados mágicos, si consideramos 9 números naturales y establecemos la condición de que ninguno se puede repetir, sólo existe un único cuadrado mágico de orden 3. Con 16 números naturales sin repetición existen 880 cuadrados mágicos de orden 4; y de orden 5, pueden formarse 275 305 224 empleando 25 números naturales distintos. Para los órdenes superiores al 5 se desconoce cuántos hay.

La estructura de un cuadrado mágico de orden 3 es la que aparece al lado. ¿Podrías deducirla a partir de la definición de cuadrado mágico?

a+c

a-b-c

a+b

a+b-c

a-b+c

a-b

a+b+c

a-c

Al considerar cuadrados mágicos, podemos preguntarnos qué operaciones se pueden efectuar con ellos de manera que resulte nuevamente un cuadrado mágico. Es posible probar matemáticamente que la adición y la sustracción de cuadrados mágicos produce cuadrados mágicos. Asimismo, un cuadrado mágico multiplicado por un número siempre produce un cuadrado mágico. También se puede probar, matemáticamente, que cuando se multiplican entre sí un número par de cuadrados mágicos, en general no se obtiene como resultado un cuadrado mágico; mientras que si se efectúa la multiplicación de una cantidad impar de ellos, el resultado siempre es un cuadrado mágico.

Fascículo 20 • Matrices y aplicaciones

159

Algunas curiosidades de los cuadrados mágicos Cuadrado mágico de orden 6 cuyas filas y columnas suman 111, número que utiliza la creencia china para ahuyentar los malos espíritus.

115

En éste cuadrado mágico de orden 5, en la última fila se leen los primeros decimales del número π.

Es posible generalizar la noción de cuadrado mágico: en lugar de sumar las entradas de filas, columnas y diagonales, se multiplican éstas para producir el mismo resultado. Se obtiene así un cuadrado mágico multiplicativo. La constante mágica del que se muestra es 212.

Históricamente los cuadrados mágicos han estado muy ligados al pensamiento místico. El gran matemático Euler relacionó los cuadrados mágicos con los cuadrados latinos, y hoy en día se definen sobre ellos lo que se denomina líneas mágicas, las cuales producen bellos diseños geométricos empleados en el arte.

Cuadrado mágico de orden 4 que está en la catedral de la Sagrada Familia en Barcelona, España. Sus filas, columnas y diagonales suman 33 (edad de la muerte de Cristo).

Fascículo 20 • Matrices y aplicaciones

160

128

256

Matrices y transformaciones

La simetría “corre” por nuestras venas. Esta imagen representa el núcleo central del grupo hemo, el centro activo de la hemoglobina que oxigena nuestras células. Fuente: http://www.cienciateca.com/simetria.html

Matrices y transformaciones geométricas en el plano Una transformación en un plano, es una aplicación que hace corresponder a cada punto P de coordenadas (x,y) del plano, otro punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En consecuencia, cualquier conjunto de puntos F se puede transformar en otro conjunto de puntos F’.

Transformaciones usuales Traslación v

Mantienen la forma y el

Rotación

tamaño de la figura

(son isometrías o movimientos

Simetría

Axial

Central

rígidos).

Homotecia

Varía el tamaño de la figura pero no la forma.

Traslación

Geométricamente la traslación T representa el desplazamiento de un punto o conjunto de puntos según un vector fijo v, no nulo. La figura de la mano fue trasladada desde la posición A hasta la posición B. Observa que ningún punto de la figura inicial permanece fijo.

Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

162

Composición de traslaciones

Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, se dice que hay una composición de traslaciones.

Traslación T2 según vector v2

Traslación compuesta T3 = T2 o T1 (o compuesto con) según vector v3 = v1 + v2

Traslación T1 según vector v1

Composición de varias traslaciones

Reja de balcón

A todo punto P de coordenadas (x,y) del plano, se le asocia el vector r=(x,y) y la matriz columna

, de

manera que una traslación T según el vector v = (v1,v2) se puede identificar con una adición de matrices columnas.

Traslación según el vector representado por

Transforma el vector representado por

En el vector representado

De coordenadas

x’

x’ = x+v1

y’

y’ = y+v2

Al trasladar el triángulo F según el vector v=(6, 4), resulta el triángulo F’. Realizemos la suma de matrices columnas asociada a cada vértice, con la matriz asociada al vector de traslación.

-4 0

Operaciones con matrices

6 4

-1

6 4

-5

6 4

v1 v2

Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

y+v2

F’ 6 C

F 2

163

x+v1

A -8

-6

-4

-2

0 -1

Rotación En la vida cotidiana se presentan situaciones como las siguientes:

O O

El abanico abre girando alrededor del punto O. Las aspas del ventilador y cada aguja del reloj gira alrededor de un punto único. Geométricamente una rotación en el plano representa una transformación o giro de una figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, que puede estar o no dentro de la figura. Al rotar la figura F un ángulo θ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas O, se obtiene la figura F’. Observa que hay un único punto fijo O que es el centro de rotación.

F’

B’ A

B A’ θ

Rotación y tecnología Una forma de producir electricidad es a partir de la energía proporcionada por el viento o energía eólica. El dispositivo capaz de realizar esta conversión se denomina aerogenerador o generador eólico, y consiste en un sistema mecánico de rotación, provisto de aspas a modo de los antiguos molinos de viento, y de un generador eléctrico con el eje conectado al sistema motriz. De esta forma el viento, al hacer girar las aspas, hace también girar al generador eléctrico, que puede ser un alternador. Igual que en el caso de la energía solar, es necesario disponer de acumuladores para almacenar la energía eléctrica con la finalidad de ser utilizada en los períodos sin viento.

Rotación

Transforma el vector En el vector representado por representado por

De ángulo θ θ

De coordenadas

Matriz asociada a la rotación

x’

x’ = x cos θ - y sen θ

cos θ -sen θ

y’

y’ = x sen θ + y cos θ

sen θ cos θ

Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

Sentidos de los ángulos

164

Para hallar el transformado de un punto según una rotación de ángulo θ, basta multiplicar la matriz de rotación por la matriz columna asociada a ese punto.

C’

C 12

B’

cos θ -sen θ

Rθ · V=

sen θ cos θ

x y

x’

D’

y’

6 5

7 12

60°

cos 60° =

3 ≈ 0,87 2 1 = 0,5 2

Para el punto A,

R · A=

-10

-8

-6

-4

-2

4 8

cos60° -sen60° sen60° cos60°

-2

-4

Al efectuar la multiplicación de la matriz de rotación por cada una de las matrices anteriores, obtenemos las coordenadas de los vértices transformados (rotados 60°).

sen 60° =

Rotemos el cuadrilátero ABCD un ángulo θ=60° en torno al origen. A cada vértice le asociamos su matriz columna: A=

A’

-6

2x2

6·cos60° - 5·sen60 6·sen60° + 5·cos60°

-1,35 7,72

2x1

¿Cuáles son la coordenadas de las transformadas de los vértices B, C y D?

Al aplicar dos o más rotaciones seguidas al mismo objeto, por ejemplo una mariposa, estamos realizando una composición de rotaciones. Primero aplicamos la rotación Rα de ángulo α a la mariposa y luego la rotación Rβ de ángulo β. La transformación resultante es la composición R = Rβ o Rα La compuesta de dos rotaciones de ángulos α y β respectivamente es igual a una rotación de ángulo α + β: Rβ o Rα = Rα+β = Rβ+α =Rα o Rβ

Rα o Rβ A’

α B’

Es decir, el orden en que se realicen las rotaciones de ángulos α y β no altera la posición final del objeto. A”

Determina la matriz de la rotación de ángulo α + β, a partir de la multiplicación de las matrices de rotación de ángulos α y β, respectivamente. ¿Se cumple en este caso la propiedad conmutativa de la multiplicación de matrices? Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

165

B”

e P

P’

Simetría respecto a una recta Geométricamente la reflexión de una figura en el plano respecto de una recta dada e, representa su imagen simétrica respecto a ella. La recta e se denomina eje de simetría.

P F

P’ P’

F’

¿Cuántos ejes de simetría tiene esta figura?

La reflexión se puede observar en diversas manifestaciones de la vida cotidiana.

Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

166

F’

El centro activo de la hemoglobina es un anillo de porfirina con un átomo de hierro (en rojo) en el centro. El "esqueleto" de este macrociclo de porfirina (marcado con líneas negras) está compuesto por átomos de carbono (morados) y nitrógeno (azules). Las esferas blancas representan átomos de hidrógeno, mientras que las marcadas de amarillo pueden ser diversos grupos orgánicos. Las líneas anaranjadas representan planos de simetría perpendiculares a la figura, mientras que el cuadrado amarillo del centro indica un eje de simetría cuaternario que coincide con la recta de intersección de los planos de simetría. Además de los elementos de simetría indicados, esta molécula (que es plana y cuyo anverso y reverso son equivalentes) posee ejes binarios, un plano de simetría que coincide con el plano del papel, y un centro de simetría que coincide con el punto donde se intersecan todos los otros elementos de simetría.

Simetría axial En el plano es posible aplicarle una simetría axial o reflexión a una figura respecto al eje x, al eje y o respecto a una recta cualquiera. Para ello basta aplicar la matriz de transformación adecuada como muestra la tabla:

Simetría

Transforma el vector representado por

En el vector

x’

x’ = x

y’

y’ = - y

0 -1

x’

x’ = -x

-1

y’

y’ = y

x’

x’ = y

y’

y’ = x

Respecto al eje x

Respecto al eje y

Respecto a la recta y=x

De coordenadas

Al aplicar una simetría al triángulo F respecto al eje x, resulta el triángulo F’. Multiplicamos la matriz de la simetría axial respecto al eje, por la matriz columna de cada punto, haciendo ésto con los vértices:

Matriz asociada 0

F 2

-2

0 -1

-2

-1

0 -1

-2

-5

-4

0 -1

-5 -4

De manera similar, se procede para aplicar la simetría respecto al eje y o respecto a la recta y=x, obteniéndose otros triángulos.

-6

-4

-2

F’ -4

Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

167 -6

Homotecia Geométricamente la homotecia es una transformación que cambia el tamaño de un objeto sin variar su forma. Dos figuras son homotéticas si al unir mediante rectas los puntos correspondientes de ellas, estas rectas concurren en un único punto C llamado centro de la homotecia.

Para definir una homotecia se debe dar el centro de homotecia C y un número real k, no nulo, denominado razón de homotecia.

Contracción

Dilatación k>1

Si B’ es el transformado de B según una homotecia de centro C, se cumple que los segmentos CB y CB’ son CB’ alineados y proporcionales, es decir: =k CB

Homotecia

Transforma el vector representado por

En el vector representado por

x’

x’ = kx

y’

y’ = ky

De razón k y de centro (0,0)

De coordenadas

Matriz asociada

Homotecia y tecnología Al fotocopiar un documento con la finalidad de ampliarlo o reducirlo, la máquina realiza el proceso de transformación del documento original mediante una homotecia de la razón necesaria para obtener un “zoom”, que para nuestro caso va desde 70% hasta 150%”.

70% 100% 150%

Fascículo 21 • Matrices y transformaciones

168

Matrices y transformaciones

El telefﾃｩrico de Caracas, situado en el Parque Nacional El ﾃ」ila, es un buen ejemplo de traslaciﾃｳn. Fuente: http://gallery.tyka.org/avila/IMG_1389

Matrices y transformaciones en el espacio Así como se estudian transformaciones geométricas en el plano, tales como traslaciones, rotaciones y simetrías axiales, que representan movimientos donde las figuras se reflejan, giran o se deslizan sin cambiar de forma ni de tamaño, o como las homotecias que ajustan el tamaño de las figuras sin cambiar su forma, se pueden estudiar las transformaciones del espacio tridimensional en sí mismo.

Traslación

Rotación

Simetría

Traslación Una traslación en el espacio es un tipo de transformación que conserva las distancias. Dado un punto o un conjunto de puntos en el espacio, podemos trasladarlos según un vector v del mismo espacio. A estas transformaciones se asocian matrices cuadradas de orden 3, análogas a las de las transformaciones geométricas en el plano.

En un sistema de coordenadas cartesianas, a cada punto x y (x, y, z) asociado con la matriz z

, se le traslada con un vec-

tor fijo no nulo v = (x0, y0, z0), haciendo la suma matricialmente: x x0 x’ y + y0 = y’ z z0 z’

x’= x + x0

Así:

y’= y + y0

z’= z + z0

Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, si consideramos los puntos (x, y, 0) del plano xy, al trasladarlos con el vector v = (0, 0, 1), se tiene el plano α cuyos puntos son de coordenadas (x, y, 1). Observa que la traslación no deja puntos fijos (v≠0).

(0,0,1) (x,y,1) y 0 (0,0,0) (x,y,0)

Fascículo 22 • Matrices y transformaciones

170

Rotación Una rotación en el espacio hace corresponder a un punto P del mismo otro punto P’, al describir un ángulo θ alrededor de un eje de rotación L. Por el punto P, se traza el plano α perpendicular al eje de rotación L.

En el plano α se transforma P en P’, mediante la rotación de centro M y ángulo θ. M es el punto de corte de L y α.

P θ

M La Tierra rota alrededor de un eje perpendicular al plano del ecuador que pasa por el centro de la Tierra. Completa una vuelta en 23 horas y 56 minutos ≈ 24 h. Debido a este movimiento se suceden los días y las noches en el planeta.

P’

Observa que los puntos del eje L quedan fijos en la rotación. Consideramos ahora un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Una rotación de ángulo θ alrededor del eje z, en sentido positivo, transforma cada punto de coordenadas

(x,y, z), asociado con la matriz y , en el punto (x’, y’, z’), asociado con la matriz

las ecuaciones

z x’ y’ , definida por z’

x’= x cosθ - y senθ y’= x senθ+y cosθ z’= z

cosθ −senθ senθ cos θ A= de modo que su matriz asociada es 0 0

0 0 1

En el caso que se presenta a la derecha, los puntos del eje z quedan fijos en la rotación, es decir, los puntos de coordenadas (0, 0, z).

El sentido de la rotación se puede determinar aplicando la “regla de la mano derecha”. Si “se toma el eje” con la mano derecha, colocando el pulgar en el sentido positivo del eje, entonces los demás dedos indican cuál es el sentido positivo de la rotación. Fascículo 22 • Matrices y transformaciones

171

z Análogamente, una rotación de ángulo θ alrededor del eje y,

en sentido positivo, queda descrita por las ecuaciones

x’= x cosθ + z senθ y’= y z’= -x senθ + z cosθ

de modo que su matriz asociada es: A=

cosθ 0 -senθ

0 1 0

senθ 0 cosθ

Ahora quedan fijos en la rotación los puntos del eje y, es decir, los puntos de coordenadas (0, y, 0).

x P’

¿Cuáles son las ecuaciones y la matriz asociada a una rotación alrededor del eje x en sentido positivo? ¿Cuáles son los puntos que deja fijos esta rotación?

Los helicópteros usan aspas giratorias para propulsarse, sustentarse y gobernarse.

Fascículo 22 • Matrices y transformaciones

172

La multiplicación de matrices corresponde a la composición de transformaciones. Si A y B son las matrices asociadas a las transformaciones T1 y T2, entonces la matriz BA está asociada a la transformación T2 ° T1. En el plano la composición de rotaciones es conmutativa, mas en el espacio no lo es como se muestra en el ejemplo siguiente. Por ende, la multiplicación de matrices no es conmutativa. z

Posición original del objeto

Rotación de 90° alrededor del eje y

Matriz asociada A=

0 0 -1

0 1 0

Rotación de 90° alrededor del eje z

1 0 0

Matriz asociada B=

La matriz asociada a la rotación compuesta es BA=

0 1 0

-1 0 0

0 0 1

0 0 -1

0 1 0

1 0 0

0 1 0

-1 0 0

0 0 1

0 0 -1

-1 0 0

0 1 0

y x

x Rotación de 90° alrededor del eje z

Posición original del objeto

Matriz asociada B=

0 1 0

-1 0 0

Rotación de 90° alrededor del eje y

0 0 1

La matriz asociada a la rotación compuesta es AB=

0 Matriz asociada A= 0 -1 0 0 -1

0 1 0

1 0 0

0 1 0

-1 0 0

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

1 0 0

Observa que las posiciones finales del objeto son diferentes y también lo son los productos AB y BA. Fascículo 22 • Matrices y transformaciones

173

Simetría La simetría se encuentra en múltiples manifestaciones de la naturaleza, el arte, la ciencia y la arquitectura.

Simetrías especulares Una simetría especular respecto a un plano α, es una transformación del espacio tridimensional en sí mismo que refleja cada punto P respecto al plano α, llamado plano de simetría. P La simetría especular S asigna al punto P el punto P’

M es el punto medio del segmento PP’, perpendicular al plano α.

M α

P’ En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, una simetría especular respecto al plano xy transx

forma cada punto P, de coordenadas (x, y, z), al cual se le asocia la matriz yz , en el punto P’, de coordenadas x’ x’=x (x’, y’, z’), asociado a la matriz y’ , definida por las ecuaciones: y ’ = y z’ z’=-z 1 0 0 La matriz asociada a la transformación es A= 0 1 0 0 0 -1

Fascículo 22 • Matrices y transformaciones

174

Observa que los puntos del plano xy, o sea, los puntos de coordenadas (x, y, 0), quedan fijos en la simetría, puesto que:

P (x,y,z)

x x A y = y 0 0

Análogamente, en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, una simetría especular respecto al plano xz transforma cada punto de coordenadas (x, y, z), con matriz x asociada y , en el punto de coordenadas (x’, z x’ a la matriz y’ , definida por las ecuaciones z’

x P’ (x,y,-z)

y’, z’), asociado x’=x y’=-y z’=z

y la matriz asociada a la transformación es: A=

1 0 0 0 -1 0 0 0 1

P’ (x,-y,z)

En este caso, los puntos que la simetría deja fijos son los del

P (x,y,z) 0

plano xz, o sea, los puntos de coordenadas (x, 0, z).

Si consideramos un cilindro, sus simetrías (dejan invariante el cilindro) son de cuatro tipos:

Simetría rotacional alrededor de su eje (los puntos del eje quedan fijos).

Fascículo 22 • Matrices y transformaciones

Simetría especular respecto de cualquier plano que contenga al eje ( los puntos del plano quedan fijos).

175

Traslación paralela al eje (no tiene puntos fijos). Cilindro infinito.

Simetría especular respecto de cualquier plano perpendicular al eje. Si el cilindro es finito sólo hay una de éstas, con el plano perpendicular al eje que pasa por su “punto medio”.

Homotecia

Las homotecias son un tipo de transformaciones que alteran el tamaño de las figuras, pero conducen a otras “semejantes” (con la misma “forma” original). Dado un punto fijo C y un número real k > 0, k ≠ 1, se llama homotecia de centro C y razón k, a la transformación que a todo punto P le hace corresponder el punto P’, situado sobre la recta CP, tal que CP’ = k CP.

Cámara mamut (1900). Creada por George Lawrence para la toma de fotografías gigantes.

P’

P CP’ = 3CP.

El zoom es uno de los instrumentos más poderosos para crear efectos en una imagen, gracias a un objetivo especial que permite aumentar o disminuir la imagen y modificar el ángulo de visión.

En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, una homotecia de centro O y razón k ≠ 1, transforma x

cada punto de coordenadas (x, y, z), al cual se le asocia la matriz y en el punto de coordenadas (x’, y’, z’), z

x’= kx x’ al cual se le asocia la matriz y’ , definida por las ecuaciones y’= ky y la matriz asociada a la transformaz’ z’=kz k 0 0 k 0 0 x kx 0 k 0 , puesto que 0 k 0 y = ky 0 0 k 0 0 k z kz Si 0 < k < 1, entonces la transformación produce una contracción (las distancias se comprimen por un factor k); y si k > 1, entonces se produce una dilatación (las distancias se estiran por un factor k).

ción es A=

z (x’,y’,z’) (x,y,z)

(x,y,z) O

Fascículo 22 • Matrices y transformaciones

176

Homotecia de razón k>1

(x’,y’,z’)

Homotecia de razón 0<k<1

Matrices y aplicaciones

La presentación de las películas de la trilogía Matrix, toma como imagen códigos que contienen un mensaje sólo conocido por sus autores. El resultado final de dichos códigos es el nombre de la película. The Matrix (1999), The Matrix Reloaded (2002), The Matrix Revolutions (2004).

Matrices y códigos Los códigos secretos han acompañado a la humanidad desde épocas remotas. Se emplean diferentes términos, para indicar que un mensaje ha sido escrito de manera que en principio sólo el destinatario lo pueda leer. Entre las palabras utilizadas para ello están: codificación, cifrado, encriptamiento,… Se define la criptografía (del griego kryptos, "escondido", y graphein, "escribir") como el arte de enmascarar los mensajes con signos convencionales que sólo cobran sentido a la luz de una clave secreta. Para mayor precisión, señalemos que se llama cifrado (codificación o transformación criptográfica) a una transformación del texto original que lo convierte en el llamado texto cifrado o criptograma. Análogamente, se llama descifrado a la transformación que permite recuperar el texto original a partir del texto cifrado.

Ya en el año 450 a.C. los espartanos de Grecia enviaban mensajes codificados. Para ello enrollaban una banda de cuero o cinturón sobre un cilindro, se escribía el mensaje y al desenrollar la banda de cuero ésta parecía que sólo estaba adornada con marcas inocentes. Sin embargo, si el destinatario del mensaje arrollaba nuevamente la banda alrededor de un cilindro similar al utilizado cuando se escribió dicho mensaje, éste podía ser leído sin dificultad. Este método es un sistema de codificación por transposición. En el cifrado por sustitución, cada letra o grupo de letras es reemplazada por una letra o grupo de letras. Uno de los más antiguos cifrados es el "Cifrado de César", atribuido a Julio César, quien sustituyó cada letra por la que ocupa tres puestos más allá en el alfabeto. Con ese método, a se convierte en D, b en E, c en F,..., y z en C. Una técnica de codificación por sustitución fue utilizada por el insigne escritor estadounidense Edgar Allan Poe (1809-1849) en su célebre narración El escarabajo de oro. También este tipo de técnica aparece con frecuencia en diarios y pasatiempos en los cuales se le propone al lector la solución de un criptograma. En el siglo XIII, Roger Bacon (1214-1294) describió varios métodos de codificación. De trascendental importancia, durante la II Guerra Mundial, fue el hecho de que los estadounidenses lograran descifrar el código naval japonés JN25 y los ingleses hiciesen lo propio con la máquina alemana Enigma. Actualmente se utilizan sofisticadas técnicas de encriptamiento de mensajes las cuales se basan en las propiedades de los números primos. Uno de los sistemas modernos para encriptar mensajes es el criptosistema de clave pública. Uno de éstos es el sistema RSA (en honor de sus creadores los matemáticos Rivest, Shamir y Adler), el cual se basa en el hecho de que no existe una forma eficiente de factorizar números que sean productos de dos números primos grandes.

Fascículo 23 • Matrices y aplicaciones

178

La máquina Enigma era un dispositivo para codificar mensajes empleado por los alemanes en la II Guerra Mundial. El artefacto consistía de las siguientes partes: • Un teclado con 26 letras • Un tablero con 26 letras • 3 ruedas con 26 letras cada una sobre un eje Luego de la obtención por parte de los aliados de algunas de estas máquinas, el equipo polaco conformado por Jerzy Rozycki, Henryk Zygalski y Marian Rejewski, dedujeron el código. A raíz de esto, los alemanes complicaron el proceso mediante una doble codificación. Este nuevo proceso fue decodificado, en 1941, por el equipo de Bletchley Park encabezado por el matemático Alan Turing (Inglaterra, 1912-1954).

En la obra de Poe El escarabajo de oro se señala: Y al llegar aquí, Legrand, habiendo calentado de nuevo el pergamino, lo sometió a mi examen. Los caracteres siguientes aparecían de manera toscamente trazada, en color rojo, entre la calavera y la cabra: 53‡‡+305))6*;4826)4‡.)4‡);806*;48+8¶60))85;1‡ (;:‡*8 +83(88)5*+;46(;88*96*?;8)* ‡ (;485);5*+2:* ‡ (;4956*2(5*— 4)8¶8*;4069285);)6+8)4‡‡;1(‡9;48081;8:8‡1;48+85;4)485 +528806*81(‡9;48;(88;4(‡?34;48)4‡;161;:188; ‡?; —Pero—dije, devolviéndole la tira—sigo estando tan a oscuras como antes. Si todas las joyas de Golconda esperasen de mí la solución de este enigma, estoy en absoluto seguro de que sería incapaz de obtenerlas.

Edgar Allan Poe

El descifrador partió del supuesto de que el texto original estaba escrito en idioma inglés. Ahora bien, la letra que se encuentra con mayor frecuencia en ese idioma, así como en el castellano, el alemán y el francés, es la e. Después, la serie en inglés es la siguiente: a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. Del criptograma se obtiene la siguiente tabla, en la cual aparecen en la primera fila los caracteres presentes en el mensaje codificado y en la segunda la frecuencia de aparición de éstos. 8

;

‡

)

(

Luego, el 8 muy probablemente debe ser la letra e. Además, el descifrado que se va logrando usando la tabla anterior conjuntamente con los conocimientos idiomáticos de la lengua inglesa, conduce en una etapa intermedia del proceso a esta otra tabla, en la cual en la fila superior están los caracteres que aparecen en el criptograma, y en la inferior el símbolo que les corresponde en el mensaje original. 5

‡

(

;

Fascículo 23 • Matrices y aplicaciones

179

Códigos más complejos Una técnica un poco más sofisticada consiste en el empleo del cifrado en dos pasos. Primero se le aplica al mensaje una sustitución, seguida luego de una transposición. Para el primer paso consideremos el siguiente cifrado por sustitución: Tabla Nº 1 a

espacio

Como vemos en la Tabla Nº 1, a cada letra de nuestro alfabeto así como al espacio entre letras y a los signos de puntuación más usuales se les ha asignado un número. Esto matemáticamente corresponde a una función f, la cual además es biyectiva, por lo cual es posible efectuar el proceso inverso: pasar de los números a las letras o signos que ellos representan. Así, por ejemplo, la palabra ORO quedaría codificada como 16 19 16. Por su parte, 7 1 21 16 es la codificación de la palabra gato. De aquí en adelante usaremos la notación matricial para representar las palabras. Lo anterior quedaría representado como se muestra a la derecha. Pasemos ahora a un segundo paso o nivel de codificación, multiplicando por la izquierda (premultiplicando) la matriz Mi que representa al mensaje que queremos codificar, por una matriz C que llamaremos Matriz de Codificación. C no puede ser cualquier matriz. C debe cumplir dos condiciones: 1. El número de columnas de C debe ser igual al número de filas de Mi. 2. Debe ser posible realizar el proceso inverso, la descodificación, para lo cual C debe poseer inversa. A la inversa C-1 la llamaremos Matriz de Descodificación. La función f y la matriz C son las claves secretas que permiten codificar (y sus inversas descodificar) cualquier mensaje. Consideremos el mensaje ACA

O R

180

Codificación

A C A

Fascículo 23 • Matrices y aplicaciones

19 16

1 Codificación

3 1

Usando

C 1

Así obtenemos que:

como matriz de codificación, se tiene

luego de codificado o cifrado por transposición produce:

CM3

En términos alfabéticos, aplicando la Tabla Nº 1, CM3 es ISP.

Observe que C posee 3 columnas, es igual al número de filas de M1. Además se tiene que:

3 -3 2

8 -6 3

-5 4 -2

3 -3 2 Luego

C-1

8 -6 3

es la inversa de C.

-5 4 -2

Volvamos al mensaje ORO, entonces

CM1

204

185

Si queremos reescribir CM1 en términos alfabéticos, nos tropezamos con el inconveniente de que todas las entradas de la matriz CM1 resultaron números mayores que 30 y, en consecuencia, es inaplicable la Tabla Nº 1. ¿A qué letra corresponde, por ejemplo, 86? ¿Qué modificaciones debemos hacerle a nuestro proceso para solventar esta situación?

Fascículo 23 • Matrices y aplicaciones

181

Si observamos la Tabla Nº 1, y en lugar de mirar una disposición lineal como la allí mostrada la pensamos como un diagrama cerrado, haciendo coincidir los dos extremos, obtenemos una representación como la que se presenta a continuación:

espacio

28 58

. 29 59

, 30 ...

a 1 31

b 2 32

c 3 33

d 4 34

Si see guimos la dirección de la 5 flecha roja (sentido del movimiento 35 de las agujas del reloj) observamos que a y f 26 cada letra le corresponde ahora varios números: 6 56 así a la a le corresponde 1, 31=30+1, 61=60+1,…; a la 36 f se le asocia 6, 36=30+6, 66=60+6,… Nuestro diagrama g x ahora es periódico de período 30. 7 25 37 55 Para poder seguir empleando la Tabla Nº 1 basta que dividamos el número dado entre 30 y consideremos el resto o residuo de h w la división; y es este último número (el cual es menor que 30) el 8 24 que ubicamos en la Tabla Nº 1 y vemos a cuál letra o signo corres38 54 ponde. Así, para 86 se tiene que 86=2(30)+26; es decir la letra que i v corresponde a 86 es aquella ubicada en la casilla 26 de la Tabla 9 23 Nº 1, esto es y. 39 53 Entonces el mensaje queda transformado así: j u YWE ORO 10 22 El receptor del mensaje recibe la palabra YWE la cual para 40 52 los ojos curiosos pareciera carecer de significado alguno, k t no así para el receptor que conoce las claves para 11 21 descodificar el mensaje. ¿Cómo lo logra? El 41 51 receptor debe poder revertir los pasos que l s se siguieron en el proceso de 12 20 cifrado. 42 50 Empleando la Tabla Nº r m 1 se tiene: 19 13 q 49 n 43 18 Y 26 14 ñ p o 48 44 15 17 W 24 16 45 47 46 E 5

z 27 57

Como queremos descodificar el mensaje recibido hemos de emplear la matriz C-1: 16 O 26 3 -3 2 26 16 16 -1 79=2(30)+19 R C 24 8 -6 3 24 79 79 -44 ? 5 -5 4 -2 5 -44 -44 ¿A cuál letra corresponde -44? -44=-2(30)+16, es decir que hemos realizado dos vueltas completas en el sentido opuesto a las agujas del reloj, y de seguidas, hemos avanzado 16 casillas en el sentido de las agujas del reloj; pero 16 corresponde a la letra O. La palabra descodificada entonces es ORO, como era de esperarse. Fascículo 23 • Matrices y aplicaciones

182

Matrices y números complejos En el conjunto de los puntos P del plano, de coordenadas (x,y), podemos definir las operaciones de adición y multiplicación como se indica a continuación: (a ,b) + (c ,d) = (a+c , b+d) (a , b) (c , d) = (ac-bd , ad+bc) Estas operaciones cumplen propiedades similares a las operaciones de adición y multiplicación de los números reales: asociatividad, conmutatividad y existencia de elemento neutro para ambas operaciones; existencia de opuesto aditivo y de inverso multiplicativo (si es distinto de (0,0)); y distributividad de la multiplicación respecto a la adición. Este conjunto de puntos con estas dos operaciones es lo que se conoce como el cuerpo de los números complejos. El punto (0, 0) es el elemento neutro para la adición, mientras que el punto (1, 0) lo es para la multiplicación. Los números complejos los hemos representado como pares de números de la forma (a , b). Otra manera de representarlos es utilizando la forma binómica a+bi, donde i es la unidad imaginaria, solución de la ecuación x2-1 (que no tiene solución real) y está dada por i = (0 , 1).

(a,b)

Existen otras maneras de representar los números complejos. Una de ellas es utilizando las matrices cuadradas de orden 2. Si identificamos cada número complejo (a,b) con el vector columna

y usamos las operaciones con matrices podemos

escribir:

Considerando la matriz identidad y la matriz de rotación de 90° en sentido antihorario

, la expresión anterior la

podemos reescribir:

Con esta identificación la unidad imaginaria se representa por la matriz A= Si multiplicamos esta matriz por sí misma, resulta:

De esta manera, todo número complejo los podemos escribir como el trasformado del vector , y así podemos tomar

=-I

por una matriz del tipo esta matriz como una

representación del número complejo. Fascículo 23 • Matrices y aplicaciones

183

De esta manera la matriz A es solución de la “ecuación matricial” X2= -I

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Un comerciante le dice a un empleado que le cambie en el banco 10 000 bolívares en 150 monedas de Bs 100 y Bs 20. Denotando por x el número de monedas de Bs 100 requeridas y por y el número de monedas de Bs 20, este simple problema se traduce en resolver las 2 ecuaciones: 100x + 20y = 10 000 x + y = 150 En general, tenemos que un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se expresa por: a1x +b1y = c1 a2x +b2y = c2 Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas; x e y son las incógnitas y a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 y c 2 son conocidos.

Forma matricial Si A=

a1 b1

a2 b2

a1 b1 x a2 b2

X’=

y =

c1 c2

AX=C Consideremos el circuito eléctrico mostrado en la figura, donde tenemos una fuente de 20V y tres resistencias: de 1 ohmn, 2 ohmnios y de 4 omnios. De acuerdo a las leyes de Kirchoff, se tienen las siguientes relaciones lineales entre las intensidades.

i2 B

4Ω i3 1Ω

i1 - i2 - i3 = 0

2i1 + 4i2 = 20 Esto da un sistema lineal con 3 incógnitas.

A es una matriz X matriz de incógnitas X’ matriz conocida

Forma matricial a1x + b1y +c1z = d1 a2x + b2y +c2z = d2

a1x + b1y +c1z = d1

a2x + b2y +c2z = d2 , X= y , X’= d2

a3x + b3y +c3z = d3

AX = X’ Al escribir un sistema de ecuaciones de la forma AX=X’, podemos pensar a la matriz A como una transformación o función que transforma el vector X en el vector X’. Si A=

1 1 1 0

y X=

1 1

2Ω

E=20 V

2i1 + i3 = 20

entonces AX=

X’ y

1 z

1 0 0 Si A=

0 1 0 0 0 0

1 y X=

1 entonces AX=

Fascículo 23 • Matrices y aplicaciones

184

X’ x

F r a c t a l e s

Sagrado Corazón (1990). Imagen de animación realizada por Pedro Morales, utilizando programas de computadoras y la técnica de fractales. Morales recibió en el año el premio Fondo de Aportes Mixtos a las Artes –FAMA– que otorga Fundación Polar y la Fundación Gran Mariscal de Ayacucho. Fuente: http://pedromorales.com

“Una vez alcanzado un cierto grado de tecnicidad, la ciencia y el arte tienden a fundirse en la estética, la plasticidad y la forma.” Albert Einstein, (Alemania, 1897-1955).

El mundo de los fractales La geometría euclidiana trata con rectas, círculos, polígonos, poliedros, entre otros, lo cual nos permite estudiar muchas formas de la naturaleza y las construidas por los humanos.

Pero con la sola ayuda de la geometría euclidiana, no se pueden explicar algunas formas de la naturaleza tales como: líneas costeras, ramificaciones arbóreas o bronquiales, rocas, montañas, nubes, sistema neuronal, brócolis, colifor, corales, sistemas montañosos, cortezas de árboles, y ciertos objetos matemáticos: el conjunto de Cantor (1), la curva de Peano (2), el triángulo de Sierpinski (3) y la curva de Koch (4), entre otros muchos, cuyo comportamiento rebasa el marco de la matemática tradicional.

Fuente: fractals.nsu.ru

4 Fascículo 24 • Fractales

186

Los fractales El término fractal fue acuñado por Benoît Mandelbrot, en 1975, para describir las formas complejas anteriormente mencionadas. La palabra fractal procede del adjetivo latino fractus que significa “interrumpido”, “irregular” o “fraccionario”. Y, en cierta forma, algunos objetos de la naturaleza son fragmentados, irregulares, rugosos. Por esto se creó una nueva geometría para estudiar dichos objetos. Así surgió la geometría fractal como la geometría de la naturaleza.

Un fractal es una figura geométrica en la que un motivo se repite pero siempre disminuyendo su escala en el mismo porcentaje. De esta forma, las partes de un fractal son semejantes, lo que se conoce con el nombre de auto-semejanza. A grosso modo, un fractal es un objeto idéntico a sus partes constituyentes (teniendo en consideración la talla o tamaño de cada parte).

Fascículo 24 • Fractales

187

Acuñé la palabra fractal del adjetivo del latín fractus. El verbo correspondiente en latín, fragere, significa “quebrar”: para crear fragmentos irregulares ... cuán apropiado para nuestras necesidades! Así, en adición a “fragmentado” (como en fracción o refracción), fractus debería también significar “irregular”, ambos significados mantenidos en fragmentos. Benoit Mandelbrot (Polonia, 1924- )

Observa la diferencia de un fractal con las teselaciones y los mosaicos, ya que en éstos se repite un motivo conservando el tamaño.

Una característica de los fractales es la auto-semejanza: partes del objeto son pequeñas réplicas del total, es decir, cualquier parte arbitraria contiene una réplica exacta del objeto total. Otra característica que se observa en los fractales creados por el ser humano es la iteración: el proceso de construcción de un fractal es repetitivo. La geometría fractal utiliza como herramienta básica los algoritmos. Veamos las características mencionadas mediante la construcción de un fractal. Para dibujar un fractal partimos de una figura geométrica básica (estado inicial) y aplicamos repetidamente las instrucciones en el algoritmo utilizado. Este proceso es infinito y la figura límite resultante es un fractal. Para entender el significado de lo expresado anteriormente, debemos repetir un motivo y disminuir la escala en el mismo porcentaje, la auto-semejanza y los algoritmos. Construyamos un fractal bastante sencillo. Se trata del fractal H o árbol bifurcado con ramificaciones opuestas, también denominado “dendrita”. Partimos de un segmento AB y consideramos como factor de cambio de escala c= ≈ 0,67. En los extremos A y B levantamos perpendiculares de longitudes CD = EF = 0,67xAB (A punto medio del segmento CD y B punto medio del segmento EF). Luego repetimos ese procedimiento con los extremos C, D, E, F y con el factor de escala c= ≈ 0,67. Resulta la siguiente figura:

Fascículo 24 • Trigonometría

188

Si iteramos el procedimiento descrito se obtiene el fractal H. El algoritmo seguido se describe en tres etapas: Estado inicial: Se da un segmento AB. Etapa 1: En los extremos A y B se dibujan segmentos perpendiculares CD y EF, con A y B sus puntos medios, respectivamente, y tales que CD= EF= AB. Etapa 2: Iteramos (repetimos sucesivamente) la etapa 1 para cada segmento así construido, utilizando el factor de escala c= .

Existen varios procedimientos para construir fractales a partir de una figura geométrica, entre los que mencionamos: a) fractales por remoción o eliminación de partes o piezas de la figura (el conjunto de Cantor, el fractal de Sierpinski); b) los árboles (el fractal H que es un árbol bifurcado); c) fractales tipo Durero en honor del grabador y artista alemán A. Durero; d) fractales construidos a partir de otros fractales. Hay los fractales deterministas (generados por leyes deterministas) y los fractales estocásticos (generados por leyes no deterministas).

Fractal determinista Entre éstos tenemos los definidos a partir de expresiones matemáticas, como el fractal de Mandelbrot construido mediante iteración zn zn+1 = zn2 + c, n≥0, (fórmula de recurrencia), con zn y c números complejos (zn variable y c es dado, una constante), comenzando con z0= 0.

El fractal “pentágono de Durero” A partir de un pentágono regular se obtienen 6 pentágonos y 5 triángulos isósceles que se eliminan. Se itera el procedimiento con los pentágonos,

Fascículo 24 • Fractales

La construcción de fractales matemáticos y la belleza de imágenes que se forman, revolucionó la manera de generar y reproducir imágenes (motivos) y ha tenido repercusión en el diseño y en las artes. Las computadoras se utilizan para crear los fractales, entre éstos, escenas o paisajes fractales como en la películas “Star Trek II” (Viaje a las Estrellas: La furia de Khan, 1982) en el nacimiento de un nuevo planeta (superficie del planeta Génesis), y en el planeta flotando en el espacio en el “Regreso del Jedi” (superficie de la Estrella de la Muerte y de la luna de Endor -en la imagen-) y en el “Imperio contraataca” de la saga “La guerra de las galaxias”. Más recientemente se han utilizado fractales y multifractales para generar escenas en Apolo 13, Dante’s Peak y Titanic. Esto constituye una alternativa para los sets costosos y produce paisajes fabulosos. Actualmente se utilizan los fractales para diseñar árboles, nubes, células cancerígenas, moléculas de proteínas, la expansión de enfermedades contagiosas, el agrietamiento de los materiales de construcción, propiedades fractales en la formación de tejidos de los pulmones y de los huesos, etc., lo cual facilita su estudio para intentar acercarnos a su comportamiento y evolución en su estado natural. Asimismo, se emplean en el examen del movimiento browniano (movimiento caótico de las moléculas en los fluidos) y en el análisis de la dinámica económica (para describir los altos y bajos de la economía). Los fractales se han utilizado en crear arte, diseñar paisajes para películas y para componer música.

Fractal “árboles”

Estado Inicial

Etapa 1

Etapa 2

Entre los árboles tenemos una clase de fractales fáciles de construir como son los árboles pitagóricos. Uno de éstos, el árbol pitagórico isorrectángulo, se construye mediante el siguiente algoritmo: Estado inicial: Dibujar un cuadrado. Etapa 1: Dibujar un triángulo rectángulo e isósceles (isorrectángulo) con hipotenusa uno de los lados del cuadrado. Etapa 2: Sobre cada cateto del triángulo de la etapa 1 se dibuja un cuadrado. Etapa 3: Repite la etapa 1 para cada cuadrado dibujado en la etapa 2, empleando como hipotenusa el lado opuesto al antes usado. Etapa 4: Itera el procedimiento a partir de la etapa 2. A continuación mostramos la construcción hasta el paso 4, y luego con 50 iteraciones.

3 2

2 1

0 Etapas

3 2

2 1

Etapa 50

Una variante de ese árbol pitagórico lo tenemos en el siguiente fractal, en donde, de manera análoga, se parte de un cuadrado pero se utiliza un triángulo rectángulo escaleno (sus tres lados son desiguales), como se muestra a continuación. Observa lo parecido de ese fractal a una rama de helecho cuando ésta se despliega sobre un plano.

7 8 6

7 6

8 8

6 5

6 7

8 8

6 5 6 7 8

Fascículo 24 • Fractales

190

Las estructuras fractales aparecen en la naturaleza en diversas escalas. Estos fractales difieren de los que son construidos matemáticamente, en que su auto-semejanza no es exacta sino aproximada, como es el caso de las líneas de las costas marítimas, la estructura de las montañas, ríos, nubes y grietas, entre otros. Diversas plantas presentan estructuras fractales, como el colifor y el brócoli. Igualmente tienen características fractales los esquemas de circulación de la sangre en el cuerpo humano, de los pulmones y los riñones.

En 1957 se publicó en Holanda un libro titulado “Geometría en el plano: un campo milagroso de investigación” cuyo autor fue A.E. Bosman (1891-1961). Bosman intentaba mostrar a los jóvenes las maravillosas y milagrosas formas geométricas de la naturaleza. Una de las más sorprendentes figuras realizadas por el autor fue el árbol pitagórico y la hizo en el mismo pizarrón en donde diseñaba submarinos durante la Segunda Guerra Mundial.

No es casual que el segundo árbol pitagórico antes dibujado tenga el aspecto de un helecho. El biólogo A. Lindenmayer introdujo el concepto de L-sistema (1968) en botánica, en forma parecida a lo realizado con los árboles pitagóricos: cuando el tronco de un árbol se divide, digamos en dos ramas, entonces el área de la sección transversal de cada rama es tal que su suma conserva el área del tronco principal. Si este tronco es “cilíndrico” con radio c, su área es πc2, y si cada una de las dos ramas en que se divide ese tronco tienen radios a y b, se verifica que: πc2 = πa2 + πb2, luego c2 = a2 + b2, como en el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo de hipotenusa c y catetos a y b. Los L-sistemas dan una formalización que describe el crecimiento de las plantas y son adecuados para su implementación en computador.

Árbol pitagórico

Aristid Lindenmayer, (Hungría, 1925-1989).

Fascículo 24 • Fractales

191

El trabajo de Georg Cantor es el más fino producto de la genialidad matemática y uno de los supremos logros de la más pura actividad intelectual humana. David Hilbert, (Rusia, 1862-1943).

George Cantor nació en Rusia y se nacionalizó alemán (18451918); es considerado el fundador de la “teoría de conjuntos” hacia fines del s. XIX. Algunos conjuntos descritos en su época, como el de Karl Weierstrass (Alemania, 1815-1897) que era una curva plana continua sin recta tangente en ningún punto (consiste unicamente de “picos” o “esquinas”), el hoy denominado conjunto de Cantor, y la curva de Giuseppe Peano (Italia, 1858-1932), eran para esa época conjuntos “excepcionales” y por eso se denominaban “monstruos matemáticos” o “anomalías matemáticas”: Figuras geométricas que “chocaban” contra lo intuitivo.

Cantor y uno de sus conjuntos.

Peano y una obra de arte basada en su curva realizada por Darío Albertochi. Fuente: http://www.watermark.com.ar

Karl Weierstrass.

Fascículo 24 • Fractales

192

F r a c t a l e s

En los helechos se puede apreciar la autosimilitud. Una hojita que sale del tallo tiene la forma de una hoja adulta, sólo que su tamaño es menor. Fuente: http://conabioweb.conabio.gob.mx/bancoimagenes/doctos1/ fhelechos.html

¿Cuáles son las características más resaltantes de los fractales? La respuesta es dos: • la auto-semejanza y • la dimensión fractal.

Auto-semejanza en los fractales Cuando decimos que un fractal es “un objeto idéntico a sus partes constituyentes (teniendo en consideración la talla o tamaño de cada parte)”, es necesario expresar esta afirmación mediante una formulación matemática, lo cual se traduce en la propiedad de auto-semejanza de los fractales establecida a partir de las transformaciones geométricas denominadas semejanzas: composición de movimientos rígidos (rotaciones, Tierra de magia y color (2004). Anrika Rupp. reflexiones respecto de rectas, traslaciones) con homotecias. Expliquemos esta propiedad utilizando el conjunto de Cantor (también denominado “polvo de Cantor”, 1883), el “primer fractal” conocido aun cuando en su época no existía una teoría sobre los fractales. La construcción del conjunto de Cantor, fractal realizado U mediante remoción de partes de una figura geométrica, se O hace utilizando el siguiente algoritmo: Estado inicial: Un segmento OU. Etapa 1: Se divide el segmento en tres partes iguales y se elimina la parte central. Etapa 2: Iteramos la etapa 1 con cada uno de los segmentos obtenidos La reunión de los “infinitos” segmentos que no han sido eliminados es el conjunto de Cantor, formado por una sucesión de segmentos cuyas longitudes “tienden” a cero. Hemos separado los segmentos para mejor visualización de este conjunto cuyos elementos se “desvanecen progresivamente” hasta hacerse “invisibles”. Para simplificar la explicación de la propiedad de auto-semejanza, supongamos que el segmento de partida OU tiene longitud 1, siendo O(0) y U(1) las abscisas de esos puntos. Consideremos las dos siguientes homotecias: HO,1/3(x)= x/3 homotecia de centro O y razón 1/3 0 1 HU,1/3(x)= x/3 + 2/3 homotecia de centro U y razón 1/3, H H’ denotadas, respectivamente, H y H´, para simplificar la escritura. Observemos ahora lo que ocurre en el conjunto de Cantor 1 2 0 1 al aplicar esas dos homotecias: 3 3 H’ H’ H H H transforma el intervalo [0 , 1] en el intervalo [0 , 1/3], lo indicamos mediante H: [0 , 1] [0 , 1/3]. H´ transforma el intervalo [0 , 1] en el intervalo [2/3 , 1], 1 2 1 2 7 8 lo indicamos mediante H’: [0 , 1] [2/3 , 1]. 0 1 9 9 3 3 9 9 Si ahora aplicamos esas homotecias a los intervalos transformados, resulta: [0 , 1/9] H: [0 , 1/3] H’: [0 , 1/3] [2/3 , 7/9] [2/9 , 1/3] H: [2/3 , 1] [8/9 , 1] y así sucesivamente. Esto es, cada vez que aplicamos las homotecias H’: [2/3 , 1] H, H´ a un punto del conjunto de Cantor resulta otro punto del mismo conjunto. Ésta es la propiedad de que dicho conjunto es auto semejante o invariante por cambios de escala (en este caso el factor de escala es c=1/3). De manera general se trata de semejanzas y no solamente de homotecias. No todos los fractales tienen una auto-semejanza exacta sino que 194 poseen la llamada auto-semejanza estadística, cuya auto-semejanza Fascículo 25 • Fractales se determina mediante la estadística.

La auto-semejanza y la espiral logarítmica Desde los tiempos más remotos las espirales han fascinado al ser humano. Estas curvas, que parecen enrollarse sin fin sobre sí mismas hasta acabar precipitándose en un punto, o al revés, que surgiendo desde un punto se enrollan alejándose sus surcos hacia el infinito, han ejercido un influjo cautivador tanto a los matemáticos como a los artistas y artesanos de todas las épocas y casi todas las culturas. Así como encontramos espirales por doquier en creaciones artísticas y ornamentales, también en la naturaleza son frecuentes y muestran todo su esplendor y variedad: conchas de caracoles, cuernos de rumiantes, la cola de una cascabel, en los girasoles, las margaritas; en las escamas de las piñas del pino hay un auténtico desfile de espirales entrelazadas. Existen varios tipos de espirales, de las que mencionaremos dos: la espiral uniforme o de Arquímedes y la espiral logarítmica o espiral de Bernoulli.

Planta de sávila (Aloe vera)

Galaxia M51 en la constelación Canes

Piedra de Gotland (Isla de Suecia), 400 a.C.

Huracán llegando a las costas del estado de Florida

En el año 1958 Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios IBM para hacer un análisis del ruido y de las perturbaciones que tenía la red. Se perdía data o se alteraba cuando pasaba entre computadores. Mientras realizaba dichos estudios encontró un patrón en su comportamiento y comenzó a descifrar su estructura escondida que era la de jerarquías de fluctuaciones en diversas escalas, que no podían ser descritas por la matemática y la estadística que se aplicaba usualmente. Él notó que había una conexión entre objetos matemáticos “misteriosos” y ese tipo de fenómeno, y así encontró que la distribución de errores en la red se parecía fuertemente al conjunto de Cantor puesto que los errores ocurrían en lotes con regiones libres de errores. En su libro “The Fractal Geometry of Nature” escribió: “Construimos el conjunto de errores comenzando con una línea recta, digamos el eje del tiempo, luego cortándola y haciéndola más corta y más corta en las regiones libre de errores. Este procedimiento no era familiar en las ciencias naturales pero la matemática pura lo había utilizado desde Cantor. Como el análisis fue hecho tres veces de manera más precisa, esto reveló que el estallido original es intermitente.” Fascículo 25 • Fractales

195

Se reconstruyó el sistema en la IBM a los fines de hacer frente a los errores y disminuir las interferencias.

La espiral de Arquímedes Arquímedes (287-212 a.C.) escribió un tratado sobre espirales. La denominada espiral de Arquímedes, la más sencilla de todas, es tal que la distancia entre sus surcos o vueltas es constante y tiene por ecuación, en coordenadas polares: r = aθ

a > 0 es constante.

Es decir, el radio varía de forma proporcional al ángulo. Partiendo de un punto P1(r1,θ1) e incrementando el ángulo en α, se obtienen los puntos: P2(r2,θ1+α), P3(r3,θ1+2α)..., verificándose que r2 – r1 = r3 – r2 =... = aα. Luego, caminando a lo largo de la espiral con pasos de ángulo constante α, se obtiene una progresión aritmética de radios r1, r2,.... , de razón aα. Esta espiral es un buen modelo para los surcos (ranuras) de un disco; también para las vueltas de una alfombra enrollada. θ≥0 toma cualquier valor real no negativo: θ= 2π es una vuelta, θ= 4π la segunda vuelta, etc. En particular, los puntos de intersección M1, M2, M3,... con un mismo radio vector L, forman una progresión aritmética de razón 2πa (en este caso α=2π).

θ1

P2 r1 r2

α eje polar M1 M2

M3 P4

P3 M4 M5

La espiral de Bernoulli La espiral logarítmica o espiral de Bernoulli tiene por ecuación, en coordenadas polares, aebθ

P2 P3 P1

r= donde a>0, b>0, son constantes y e es el número real e= 2,71828182...... En esta espiral, el radio r de cada punto P(r,θ) no varía uniformemente con θ sino exponencialmente. Según vayamos girando alrededor del origen la curva se va alejando de éste de forma cada vez más rápida (b>0). Partiendo de un punto P1(r1,θ1) e incrementando el ángulo en α, se obtienen los puntos P 2 (r 2 ,θ 1 +α), P 3 (r 3 ,θ 1 +2α), ..., verificándose que = =... = e bα . Luego, caminando a lo largo de la espiral con pasos de ángulo constante α, se obtiene una progresión geométrica de radios r1, r2, ..., de razón ebα. θ ≥ 0 toma cualquier valor real no negativo: θ=2π es una vuelta, θ = 4π la segunda vuelta, etc. En particular, los puntos de intersección M1, M2, M3,... con un mismo radio vector L, forman una progresión geométrica de razón e2πb (en este caso α=2π).

Fascículo 25 • Fractales

196

r2 r3

α α α θ1 eje polar

La espiral de Bernoulli es un buen modelo para el crecimiento de diversos seres vivos, como es el caso de la amonita y de caracoles, entre otros. Jacobo Bernoulli (Suiza, 1654-1705) le dedicó un tratado a esta espiral y la bautizó con el nombre de Spira Mirabilis (Espiral Maravillosa). Quedó tan impresionado por su propiedad de auto-semejanza que hizo grabar en su tumba, en la Catedral de Basel, “Eadem Mutata Resurgo” (aunque me cambien, volveré a aparecer de la misma forma).

Chimeneas de la orgánica Casa Milá y un caracol. Inspiración en la naturaleza del arquitecto catalán Antonio Gaudí.

¿ A qué se debe esa expresión, esto es, cuál es esa propiedad de auto-semejanza de dicha espiral ? La respuesta es que una propiedad de expansión (homotecia) de la espiral es equivalente a una rotación de la misma por algún ángulo: si rotamos con ángulo ϕ alrededor de O la espiral logarítmica en sentido horario, lo cual se obtiene de la ecuación r=aebθ sustituyendo θ por θ+ϕ, resulta: r= aeb(θ+ϕ)= c(aebθ) es decir, el nuevo radio r es igual al anterior multiplicado por un factor c= ebϕ homotecia de centro O y razón c > 0.

Ο Ο

Fascículo 25 • Fractales

197

Se rota un ángulo ϕ= 210° y la espiral es la misma “aumentada”.

La dimensión fractal o dimensión de auto-semejanza Además de la auto-semejanza que tienen los fractales, otra característica es su dimensión que usualmente no es un número entero. Es un nuevo tipo de dimensión denominada dimensión fractal o dimensión de auto-semejanza (dimensión de Hausdorff-Besicovitch), la cual está asociada a la aspereza, al espesor y a la textura del objeto fractal. En la geometría euclidiana el mundo en que vivimos tiene tres dimensiones y en éste hay figuras planas, son de dimensión dos, y las rectas y sus segmentos que son unidimensionales. Los puntos tienen dimensión cero. Los fractales, por su parte, tienen dimensiones fraccionarias, cuyos valores generalmente se expresan mediante números no enteros pues es un cociente de logaritmos.

¿Cómo es esto posible? ¿Qué es la dimensión fractal? Definiremos esta dimensión, en el caso de fractales construidos, a partir de la división de una figura geométrica, esto es, los fractales obtenidos por remoción de partes de una figura geométrica. Hay otro tipo de fractales (como los multifractales) que requieren un cambio en la definición de dicha dimensión.

Segmento dividido en 5 partes iguales (5 segmentos congruentes).

Cuadrado dividido en 16 partes iguales (16 cuadrados congruentes) para lo cual se dividió cada lado en 4 segmentos iguales.

La arquitectura plasmada en los templos y monumentos de la India exhiben una estructura fractal: una torre a la cual se sobreponen otras torres más pequeñas, y a éstas a su vez otras más pequeñas, y así sucesivamente hasta ocho o más niveles. Fuente: www.templenet.com

Cubo dividido en 8 partes iguales (8 piezas cúbicas congruentes) para lo cual se dividió cada arista en 2 segmentos iguales.

Cada pequeña pieza o parte es auto-semejante a la totalidad. Se pasa de la totalidad a cada pieza mediante un cambio de escala con factor de disminución c < 1 y, al contrario, se pasa de cada pequeña pieza a la totalidad mediante un cambio de escala con un factor de aumento k= 1/c >1. En los tres casos anteriores se verifica, respectivamente, c = 1/5 (k = 5), c =1/4 (k = 4), c = 1/2 (k = 2).

Fascículo 25 • Fractales

198

El número de partes o piezas en cada uno de los tres casos presentados en la página anterior es: Número de partes o piezas

En el segmento

5 = 51

Dimensión del segmento (de la recta)

Factor de aumento Número de partes o piezas

En el cuadrado

16 = 42

Dimensión del cuadrado (del plano)

Factor de aumento Número de partes o piezas

En el cubo

8 = 23

Dimensión del cubo (del espacio)

Factor de aumento

Si examinamos el valor del exponente en cada una de esas igualdades, encontramos que éste es la dimensión de cada objeto (1, 2 y 3) y así podemos formular la siguiente ecuación: Número de piezas

N = kD

Dimensión

k=1/c el factor de aumento (c<1 es el cambio de escala)

De esa ecuación resulta, al tomar logaritmos decimales y despejar D: log N logaritmo (número de piezas) D= = log k logaritmo (factor de aumento)

Mandelbrot (M) y Max Seitz (M.S.): M.S.: La obra del arquitecto catalán Antoni Gaudí también podría considerarse un ejemplo de lo que usted dice. ¿No? M.: ¡Claro! He ido a Barcelona a ver las obras de Gaudí y debo decir que él entendía este punto muy bien. Él llamaba orgánica a esta arquitectura; él trataba de imitar muchas de las formas de la naturaleza, como los árboles, que tienen naturaleza fractal. Orgánico y fractal son términos muy cercanos. “Mandelbrot y la belleza del caos”. Entrevista Max Seitz. BBC Mundo, 2005.

Ahora seguimos ese procedimiento con un objeto fractal, por ejemplo, con el conjunto de Cantor anteriormente definido: partiendo de un segmento OU se divide en tres segmentos de igual longitud y se suprime el segmento o parte central; se obtienen dos segmentos congruentes y se itera con éstos el procedimiento anterior. Como cada segmento se divide en tres piezas idénticas y se suprime una pieza, entonces N=2 y el factor de disminución es c= 1/3, por lo tanto k=3 es el factor de aumento, resultando 2=3D de donde: D= log 2 / log 3 ≈ 0,301029996 / 0,477121255 ≈ 0,6309. Como 0<D<1, el conjunto o fractal de Cantor es más que un punto (dimensión 0) y menos que una línea (dimensión 1). Un segundo ejemplo de cálculo de dimensión fractal lo hacemos con el conocido triángulo de Sierpinski: partiendo de un triángulo equilátero se divide cada lado por su mitad y se obtienen tres triángulos equiláteros (recordemos que la sección central, el triángulo invertido en blanco no pertenece al fractal): Cada triángulo en cada paso se divide en 3 piezas idénticas, pues el triángulo central se suprime. Luego N= 3 y el factor de disminución es c= 1/2, por lo tanto k= 2 es el factor de aumento. Así resulta, 3= 2D, siendo D la dimensión fractal del triángulo de Sierpinski. De esa igualdad se obtiene, con logaritmos decimales, D= log 3 / log 2 ≈ 0,477121255 / 0,301029996 ≈ 1,585 199 Esto es, el triángulo de Sierpinski no es unidimensional ni bidimenFascículo 25 • Fractales sional, su dimensión D es tal que 1< D < 2.

Conjunto de Cantor

Segmento

Curva de Koch

Iniciador 1ra. iteración 2da. iteración 3ra. iteración 4ta. iteración

Dos copias de cada segmento y cada una de 1/3 de tamaño.

2=3

Tres copias del segmento y cada una de 1/3 de tamaño.

3=3

0<D<1 Más que 0 dimensional (punto) y menos que 1 dimensional (segmento).

4=3D

1<D<2 Más que 1 dimensional (segmento) y menos que 2 dimensional (plano).

D=1

La dimensión fractal describe la complejidad fractal de un objeto. Así, la costa de la Gran Bretaña tiene una dimensión fractal D ≈ 1,26, que es aproximadamente igual a la de la curva de Koch pero es algo menor que la de una nube típica (D≈ 1,35). Para las curvas fractales, se tiene que D = 1 significa que la curva es “suave” y a medida que D se aproxima a 2 entonces se incrementa la complejidad del fractal.

El pintor estadounidense Jackson Pollock (1912-1956), representante del expresionismo abstracto, mediante la técnica del dripping (drip= gotear): goteo de color líquido sobre la tela colocada en el piso en lugar de estar verticalmente en un caballete, imitaba a los pintores indígenas de arena, lo que había aprendido durante su infancia en Wyoming. Recientemente tres investigadores (Taylor, Micolich y Jonas) aplicaron el denominado método de conteo de cajas para determinar la dimensión fractal D de sus pinturas y para ello digitalizaron las pinturas estudiadas. Así mostraron que las pinturas más tempranas (hacia 1943) tienen una dimensión fractal D próxima a 1 y, hacia 1952, D se había incrementado estando próximo a 1,7. Este incremento se relaciona bien con la evolución de la técnica utilizada por Pollock, pues se aumenta la complejidad fractal.

Fascículo 25 • Fractales

Cuatro copias de cada segmento y cada una de 1/3 de tamaño.

200

C= 1 3 R=3

Shimmering Substance. 1950.

Composición 1 (1950).

F r a c t a l e s

Esponja de Menger. Imagen realizada en 2004 por Remy Oudompheng, estudiante de la Escuela Normal Superior (Francia), utilizando un computador. Para realizar esta imagen, el programa utilizado y el super computador tardaron 3 horas. Fuente: http://www.eleves.ens.fr/home/oudomphe/divers/images/cantorrnd.jpg

Fractales en la vida diaria Gran parte de los fractales en la naturaleza están en tres dimensiones, como los colocados a continuación:

En esta fotografía ampliada de un coliflor se puede reconocer la autosimilitud, pues una sola rama tiene la forma de toda la verdura.

Las montañas también tienen estructura de fractales. Su dimensión fractal es mayor que 2.

Tanto los pulmones como el corazón tienen estructura fractal. En la fotografía se encuentra el de un manatí que, al igual que en la mayoría de los animales pulmonados, presenta una estructura fractal.

La sangre bombeada por las arterias, comienza su largo viaje por todo el cuerpo y por las venas regresa otra vez al corazón. El sistema venoso-arterial presenta también una espectacular estructura fractal.

También tenemos fractales en el espacio construidos matemáticamente de manera análoga a como lo hicimos en un plano. Mostraremos dos de ellos: a) El tetraedro de Sierpinski, lo análogo del triángulo de Sierpinski; b) La esponja de Menger, lo análogo de la carpeta de Sierpinski.

Fascículo26 • Fractales

202

El tetraedro de Sierpinski Se parte de un tetraedro regular (estado inicial) y se trazan cuatro tetraedros regulares en cada vértice, luego se itera el procedimiento con esos cuatro tetraedros y así sucesivamente. Observa la analogía de construcción entre el triángulo y el tetraedro de Sierpinski: Triángulo de Sierpinski (fractal en el plano)

Tetraedro de Sierpinski (fractal en el espacio)

0 2

La figura “límite” que resulta al repetir el proceso indefinidamente, es el triángulo de Sierpinski.

La figura “límite” que resulta al repetir el proceso indefinidamente, es el tetraedro de Sierpinski.

Así como el triángulo de Sierpinski tiene perímetro infinito y contiene un área finita nula, en el tetraedro de Sierpinski se tiene una superficie infinita que contiene un volumen finito nulo. Esto se debe a que: En el triángulo de Sierpinski: si el triángulo inicial tiene lado a y área A, entonces el perímetro total de los triángulos no eliminados en el n-ésimo paso es 3(3/2)na, lo cual “tiende a infinito” (el perímetro va creciendo infinitamente) a medida que n aumenta; y el área total de los triángulos no eliminados en el n-ésimo paso es (3/4)nA, lo cual “tiende a cero” a medida que n aumenta. Intuitivamente observamos esta propiedad: a medida que n aumenta, el triángulo original se subdivide en 3n triángulos cada vez más pequeños que dejan una multitud de huecos vacíos del original y por esto cada vez tienen menos área y en el límite su área es 0. En el tetraedro de Sierpinski: si el tetraedro inicial tiene arista a, su volumen es V= ( 2/12)a3 y su superficie es S= 3a2. Entonces, la superficie total de los tetraedros del fractal en el n-ésimo paso es 4n 3(a/2)n = 2n 3an, lo cual “tiende a infinito” a medida que n aumenta; y el volumen total de los tetraedros del fractal en el n-ésimo paso es 4n( 2/12)[(a/2)3]n = ( 2/12)(a3/2)n, lo cual “tiende a cero” a medida que n aumenta. Intuitivamente observamos esta propiedad: a medida que n aumenta, el tetraedro original se subdivide en 4n tetraedros cada vez más pequeños que dejan una multitud de huecos vacíos del original y por esto cada vez tienen menos volumen y en el límite su volumen es 0. Estos son resultados sorprendentes en los fractales a lo que no estamos acostumbrados con las figuras geométricas utilizadas en la geometría euclidiana.

Fascículo26 • Fractales

203

La esponja de Menger La esponja de Menger (1926, también denominada esponja de Sierpinski), llamada así en honor del matemático austríaco Karl Menger (Polonia, 1902-1985), se construye bajo el mismo principio que el tetraedro de Sierpinski pero con un cubo en lugar de un tetraedro. Lo análogo en el plano es la carpeta de Sierpinski, construida a partir de un cuadrado en lugar de un triángulo equilátero. La carpeta de Sierpinski (fractal en el plano)

La esponja de Menger (fractal en el espacio)

También para estos fractales en el espacio, obtenidos mediante remoción de piezas, se calcula su dimensión fractal o de auto-semejanza. Por ejemplo, en la esponja de Menger, al partir de un cubo y obtener 20 cubos idénticos (pues se eliminan 7 cubos), entonces N=20 y el factor de disminución es c= 1/3 (cambio de escala), por lo tanto k=3 (factor de aumento), de donde resulta 20= 3D, siendo D la dimensión fractal. De esa igualdad se tiene, con logaritmos decimales: D = log 20/log 3 ≈ 1,301029996/0,477121255 ≈ 2,727 esto es, la esponja de Menger no es bidimensional ni tridimensional (es más que una superficie pero menos que un cuerpo sólido) pues su dimensión D es tal que 2 < D < 3 (es una “superficie fractal”). a) Calcula la dimensión fractal de la carpeta de Sierpinski y del tetraedro de Sierpinski. b) Calcula el área de la superficie total de la esponja de Menger y el volumen de la misma en el nésimo paso. ¿A qué tienden esa superfice y ese volumen a medida que n aumenta ? Fascículo26 • Fractales

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Fractales en el tiempo A lo largo del desarrollo de la matemática son muchas las personas que aportaron, previo a Mandelbrot, conceptos y ejemplos que luego se enmarcaron dentro de la teoría actual de fractales.

Los fractales son los ornamentos más complejos que jamás han existido en todas las formas del arte, como el libro de Kells y La Alhambra. Ellos suministran exactamente lo que yo busco descubrir en mi propia música: una especie de desarrollo orgánico. Fuente: B. Mandelbrot en el prólogo de “Les formes fractales” por Etienne Guyon & H. Eugene Stanley (1991). György Ligeti (1923- ) compositor austríaco de origen húngaro.

El libro de Kells (800 d.C.) es el más espléndido de los evangelarios y posiblemente el manuscrito más bello de la Alta Edad Media Occidental. Se encuentra en el Trinity College de Dublín (Irlanda). La cubierta del libro de Kells “Cristo con los Cuatro Ángeles”, pintura creada por monjes irlandeses, contiene los cuatro evangelios en latín.

Fascículo26 • Fractales

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Fractales en el tiempo Karl Weierstrass (1815-1897). Definió por primera vez una curva continua no diferenciable en cualquiera de sus puntos; esto es, una curva consistente únicamente de “picos” (“esquinas”).

Una curva continua no tiene saltos y es diferenciable, si en cada uno de sus puntos se puede dibujar una única recta tangente.

Esta curva es continua pero no es diferenciable (tiene “picos” en algunos puntos).

Georg Cantor (1845-1918). Estableció una sucesión de segmentos conocida como el conjunto o polvo de Cantor.

Alexander Lyapunov (1857-1918). Inició el camino para el estudio de sistemas dinámicos, es decir, los sistemas que evolucionan con el tiempo.

Giuseppe Peano (1858-1932). Definió una curva que pasa por todos los puntos del plano.

Fascículo26 • Fractales

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Benoît Mandelbrot (1924- ).

Se le considera el iniciador o padre de la teoría de fractales con dos de sus obras: 1) “Les objets fractals, forme, hassard et dimension” (1975, Flamarion, París); 2) “The fractal geometry of Nature (1977, W.H. Freeman and Co., New York) que es su libro más famoso. G. Julia (1893-1978). Estudió por primera vez la iteración de funciones racionales.

Waclaw Sierpinski (1882-1969). Su triángulo es, probablemente, el fractal más conocido.

Niels Fabian Helge von Koch (1870-1924). Su aportación más famosa se conoce como la curva de Koch. También se tiene el fractal copo de nieve.

Fascículo26 • Fractales

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En 1913, el científico francés Jean Perrin (Francia, 1870-1942, ganador del premio Nobel de física en 1926) al observar la costa del litoral de la Bretaña, escribió lo siguiente en la revista Atomes: “Es un carácter esencial (...) del litoral (de la Bretaña) que, a cualquier escala, se sospechan, sin verlos totalmente bien, los detalles que impiden absolutamente fijar una tangente.” (citado en “Les formes fractales”, Etienne Guyon & H. Eugene Stanley, Elsevier/North Holland & Palais de la Découverte, 1991) y de esta forma introdujo el primer objeto de la naturaleza que posteriormente serían los fractales. En su libro “The Fractal Geometry of Nature”, Mandelbrot se refiere a una experiencia que había realizado el metereólogo inglés Lewis Fry Richardson (1881-1953), quien trató de medir la longitud de la costa occidental de Gran Bretaña y la de la frontera entre España y Portugal. Richardson notó que el resultado dependía fuertemente de la escala del mapa utilizado: un mapa con una escala 1:10 000 000 (1cm es 100 km) muestra menos detalles que un mapa con una escala 1:100 000 (1 cm es 1 km), y como en éste podemos observar más detalles al hacer la medición la costa será más larga. Si esto lo repetimos, podría llevar a la conclusión que dicha costa es infinitamente larga. Mandelbrot se preguntó (1967): ¿Cuál es la longitud de la costa británica? Él cuenta que la longitud de la costa entre España y Portugal tenía dos medidas distintas: en una enciclopedia en España se escribía 616 millas y una enciclopedia en Portugal anotaba 758 millas. ¿Cuál era la correcta? Hoy se sabe que las líneas costeras tienen estructura fractal, para lo cual se han realizado modelos matemáticos sobre los efectos de la erosión y se obtienen por simulación en computadoras costas fractales con características próximas a las costas verdaderas y con dimensiones fractales D≈ 4/3 ≈ 1,33. El mar ataca la costa y la deforma. Transcurrido un tiempo bastante grande, la costa adopta la forma que optimiza la resistencia a la erosión y dicha forma es fractal.

Jean Perrin

Bretaña francesa

Cada incremento en la escala permite observar detalles mayores de la costa.

Silueta de la Gran Bretaña

Bibliografía BARBOSA, Ruy Madsen (2002): Descobrindo a Geometría Fractal para a sala de aula. Coleção Tendencias en Educação Matemática, Autêntica Editora, Belo Horizonte, Brasil. LAUWERIER, Hans (1991): Fractals. Endlessly Repeated Geometrical Figures. Princeton University Press, New Jersey. LESMOIR-GORDON, Nigel (2001) & ROOD, Will & EDNEY, Ralph: Introducing Fractal Geometry. Icon Books UK & TotemBooks, USA. Reino Unido PEITGEN, Heinz-Otto & JÜRGENS, Hartmut & SAUPE, Dietmar (1992): Fractal for the classroom. Springer-Verlag. SPINADEL, Vera W. de (2003): Del número de oro al caos. NobuKo, S. A., Buenos Aires. http://www. fractales.org/index.php http://www. interactiva.matem.unam.mx http://news.bbc.co.uk/low/Spanish/science/newsid_4164000/4164603.stm http://www.editorialmarfil.com/mat_i_tica/Geom/Fractals/fractals.htm#natu

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Arte y arquitectura

Espiral, 1950. Pintura sobre madera, acrílico y metal.

“El científico se ocupa de demostrar hechos para comprobarlos, las mentes más estrictas utilizan ecuaciones matemáticas, luego vienen otros hombres que aplican estos conocimientos y los traducen en objetos concretos de usos de aplicabilidad práctica. El artista por su parte demuestra la otra realidad del universo, aquella que no es tangible, aquello que no se puede demostrar a través de esas fómulas matemáticas: es la realidad sensible, son dos formas de explorar, descubrir y explicar el universo, las cuales normalmente marchan paralelas”. (Cursivas nuestras) Jesús Soto (Venezuela, 1923-2005), uno de los principales artistas del arte cinético a escala internacional.

En estos tres últimos fascículos de Matemática maravillosa, nos referimos a dos aspectos que han estado presentes a lo largo de toda la obra, incluyendo las dos colecciones anteriores: Matemática para todos (2004) y El mundo de la matemática (2005), cuales son: • Construcciones geométricas. • Vinculación entre matemática, artes y arquitectura. En relación con las figuras geométricas hemos utilizado frecuentemente algunas resultantes de diversas construcciones, pero en otras no se han indicado los procedimientos para dibujarlas. Esto es parte de lo que vamos a desarrollar en las próximas páginas. En cuanto a la vinculación con las artes y la arquitectura, ya se ha presentado una amplia gama de ejemplos en diversas secciones de esta serie y en las dos colecciones anteriores. Ahora intentamos mostrar una visión unificadora, un conjunto de temas matemáticos que inciden de alguna forma en las artes y la arquitectura.

“Estoy preocupado por darle a la pintura el nivel del lenguaje verazmente universal que poseen la música y las matemáticas. Si la música tiene sus valores codificados, ¿por qué la plástica no los tiene?” “La Música plástica de Jesús Soto en París”, artículo de Ana María Hernández G., El Globo, p.23, 13/02/1997.

Obra: Espiral doble, Serie Síntesis, 1979. Jesús Rafael Soto.

La matemática ha estado vinculada a la arquitectura, la pintura, la escultura, el grabado y la música, desde la antigüedad.

Los egipcios (III milenio a.C.) se valieron de triángulos rectángulos, cuadrados, pirámides y de otros contenidos matemáticos, con el fin de construir con precisión sus famosas pirámides.

Fascículo 27 • Arte y arquitectura

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Ya en la época de Pitágoras (s.VI a.C.) se estableció una relación aritmética de las fracciones positivas con la música, creando así la escala pitágorica.

Asimismo, los griegos utilizaron, para sus decoraciones y construcciones, los frisos o bandas y las proporciones como el número de oro.

Los arquitectos romanos usaron ampliamente, en sus construcciones, las circunferencias, las semicircunferencias, los arcos y los hemisferios.

El arte islámico tiene gran riqueza en contenidos geométricos, como en el caso de frisos (cenefas o grecas) y teselaciones.

En nuestro continente podemos mencionar los frisos mayas.

Las artes, la arquitectura y la matemática tienen intereses comunes, en cuanto a la forma y su estructura, en las representaciones, la geometría y la manera como los objetos encajan y se relacionan mutuamente, se proporcionan, se equilibran. Estas vinculaciones han conducido a que en las dos últimas décadas se haya convocado una variedad de seminarios y congresos internacionales, en diversos países, relacionando las artes, la arquitectura y la matemática. El acueducto de Segovia (España) construido por los romanos (s.I-II d.C) para suministrar agua potable a la ciudad. Tiene una longitud de 728 m con un doble nivel de arcos de medio punto de diferente luz, hasta 28,1 m de altura en la plaza de Azoguejo.

A partir de 1992, en Québec, Canadá, se iniciaron los Congresos Internacionales sobre Educación Matemática (ICME por sus siglas en inglés), en los que se ha conformado, de manera permanente, un grupo temático sobre Arte y Matemática, lo cual puede considerarse un indicador de la importancia del tema relacionado con la enseñanza-aprendizaje de la matemática. Posteriormente se han continuado en Sevilla (1996), Tokio/Makuhari (2000) y Oslo (2004). Fascículo 27 • Arte y arquitectura

211

Igualmente, en 1992 se realizó en la Universidad de AlbanySUNY un congreso sobre esas áreas y sus relaciones, promovido por el matemático y escultor Nathaniel A. Friedman, en el que participaron matemáticos, docentes, artistas, arquitectos, ingenieros y científicos. Dicho congreso derivó en las hoy conocidas conferencias ISAMA (International Society of the Arts, Mathematics, and Architecture. http://www.isama.org/), la primera de las cuales se celebró en 1999 en la ciudad de San Sebastián-España. Posteriormente, a partir de 1998, el también profesor de matemática, Reza Sarhangi, creó la serie de conferencias BRIDGES: Mathematical Connections Between Art, Music and Science, habiendo realizado conjuntamente con ISAMA un encuentro en Granada-España (2003). Trasladándonos a Europa es necesario nombrar a Michele Emmer de la Universidad de Roma “La Sapienza”, quien ha promovido muchos encuentros sobre esta temática, además de que es considerado un pionero en la producción de videos y películas a tal respecto (26 a partir de 1979). De igual importancia son los Coloquios sobre Matemática y Artes iniciados en Francia en 1991 (Cerisy-la-Salle) y cuya última edición corresponde al año 2000. Estos ejemplos constituyen una pequeña muestra de la importancia que se le ha concedido a la relación entre las disciplinas consideradas, a lo cual se añade la creación de una serie de revistas especializadas entre las que destacan: Nexus Network Journal: Architecture and Mathematics; Visual Mathematics; Geometry in Art and Architecture. En América Latina es importante destacar que en el año 1995 nace la Internacional Mathematics & Design Association, siendo su presidenta actual la argentina Vera W. de Spinadel, profesora de la Universidad de Buenos Aires, Argentina, sitio donde también se edita el “Journal of Mathematics & Design” desde el año 2001. En el año de su creación se realiza una primera conferencia en dicha ciudad, habiéndose celebrado la cuarta en el mes de junio de 2004 en la ciudad de Mar del Plata, Argentina. En el caso de nuestro país podemos afirmar que no existe un grupo de estudio permanente sobre la materia, ya que sólo se han efectuado algunos eventos en forma aislada entre los que destacan los Seminarios: Números y Figuras. Reflexiones matemáticas sobre las artes plásticas, y Números y Notas. Reflexiones matemáticas sobre la música, realizados en el año 2000 en la Universidad Central de Venezuela, con motivo de haberlo declarado la UNESCO como Año internacional de las Matemáticas.

Fascículo 27 • Arte y arquitectura

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Visita al Vitra Design Museum dentro de la conferencia ISAMA 2002 (Freiburg, Alemania).

Les tours de Laon.

Robert Delaunay (Francia, 1885-1941).

En el cuadro sinóptico que presentamos a continuación, se intenta, a través de la agrupación de algunos temas matemáticos que intervienen en las artes y la arquitectura, sintetizar parte de las relaciones entre estas disciplinas.

Componentes matemáticas en las artes y la arquitectura Simetría en un plano

Simetría en el espacio

Proporción

Perspectiva

· · · · ·

· Poliedros · Teselaciones · Mas allá de la tercera dimensión (el hipercubo)

· Número de oro · Sucesión de Fibonacci · Otras proporciones

· El Renacimiento y la perspectiva

Fractales

Curvas y superficies

· En dos dimensiones (2D) · En tres dimensiones (3D)

· Circunferencias y semicircunferencias, arcos, cónicas, espirales, catenaria, hélices · Esferas y hemisferios · Cuádricas

Polígonos y mosaicos Teselaciones Mosaicos de Escher Grupos de Leonardo Frisos o bandas

Aritmética, armónicos (Fourier) y música

Allí aparecen siete títulos con sus respectivos subtítulos. Los de menor data en orden histórico se refieren a los fractales, mientras que los de mayor antigüedad corresponden a la época de los egipcios y griegos: polígonos, poliedros, el número de oro, los frisos o bandas, las cónicas y los cuerpos redondos (esferas, conos y cilindros); asimismo, la música (escala pitagórica) que estaba incluida en la matemática formando parte del quadrivium pitagórico. En la parte intermedia se sitúa la perspectiva (s. XV, el quattrocento, como es conocido). En los fascículos anteriores de esta serie de Matemática maravillosa se han mostrado ejemplos sobre los siguientes aspectos: a) Simetrías en un plano: polígonos y mosaicos, teselaciones, mosaicos de Escher; b) Simetrías en el espacio: poliedros, teselaciones, el hipercubo; c) Armónicos (aproximaciones de Fourier); d) Fractales en 2D y 3D; e) Curvas y superficies: Cónicas, espirales, catenaria, cicloide, cuádricas; f) Una reseña breve sobre perspectiva. No obstante, también existen otros componentes matemáticos relacionados con el tema que nos ocupa que no han sido tratados en ninguna de nuestras publicaciones ya que requieren de conocimientos más especializados, entre los cuales destacan: • Los nudos. • Las superficies mínimas, las superficies algebraicas y las superficies de Bézier. • La belleza dentro del caos. • Las geometrías no euclidianas y la topología. Fascículo 27 • Arte y arquitectura

213

Escultura en hierro forjado para la fachada de la Capilla de Montreuil. Villa de Laon, Francia (1999).

“El reto de un pintor es romper con la bidimensionalidad. Eso que lograron en su momento los renacentistas italianos con la perspectiva, y a lo que los abstractos llegaron por otras vías. No se trata de hacer arte por el arte. El color, la forma, la perspectiva, no son más que la estructura. Lo más importante es el mensaje, el contenido que tenga la obra de arte. Para mí no hay un abstracto absoluto. Eso no existe. El más purista al respecto podría haber sido Mondrian. Sin embargo, en él eso contempla una intención mística.” Mercedes Pardo entró en el infinito azul. Artículo de Edgar Alfonso Sierra en El Nacional, p. A/8, 26/03/2005. Mercedes Pardo (Venezuela, 1921-2005), notable autora del arte moderno venezolano. La cita, según el autor, es de una entrevista en El Nacional del 18/08/2001.

Construcciones geométricas Muchas de las construcciones geométricas se pueden realizar con regla y compás. Entre ellas están:

Mediatriz de un segmento (la perpendicular al segmento en su punto medio) Trazar la mediatriz al segmento AB.

Se traza un arco (en lo que sigue al trazar un arco se entiende que es arco de circunferencia) haciendo centro en A y de radio AB.

Se traza otro arco haciendo centro en B y con el mismo radio AB. Se obtienen P y Q.

Se unen los puntos P y Q y se obtiene el punto M que es el punto medio del segmento AB. La recta PQ es la mediatriz del segmento AB.

M B

La recta PQ es la mediatriz del segmento AB ya que el cuadrilátreo PBQA es un rombo y sus diagonales AB y PQ se cortan perpendicularmente en su punto medio M.

Perpendicular a una recta o un segmento de recta por un punto dado Trazar la perpendicular a la recta r en el punto C r, o bien la perpendicular al segmento AB en el punto C, siendo A, B y C puntos de r.

Se traza por C una circunferencia que corta al segmento AB en E y F.

Se realizan los pasos 2 y 3 del ejemplo anterior utilizando los puntos E y F para obtener P y Q.

Se traza la línea recta que pasa por los puntos P y Q, la cual es perpendicular a AB en el punto C por un razonamiento análogo al ejemplo anterior.

B C

B E

Dibuja la perpendicular a una recta r por un punto C no perteneciente a la recta. C

r Fascículo 27 • Arte y arquitectura

214

Bisectriz de un ángulo (semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales) Trazar la bisectriz del ángulo de vértice O y lados a y b.

Se traza un arco de centro en O y se obtienen los puntos A y B.

Con radio AB se dibujan dos arcos con centros en A y B. La intersección de éstos arcos es el punto M.

La recta que pasa por O y M es la bisectriz del ángulo formado por las semirrectas a y b.

A M

M b

Justifícalo matemáticamente.

Paralela a una recta pasando por un punto dado Trazar la paralela a la recta a que pase por el punto B.

Se traza una recta que pase por B y corte a la recta a en A. Con radio BA y centros B y A se trazan dos arcos c y d. C es el punto donde c corta a a.

Con centro en A se dibuja una circunferencia utilizando como radio BC. Donde ésta corta al arco d se obtiene el punto D del mismo lado que B respecto de A.

c a

Otro método para obtener esta paralela es el siguiente:

d C

Por los puntos B y D pasa la recta b paralela a la recta a. ¡Justifícalo!.

d a

Utilizando los métodos antes descritos, por B se traza la perpendicular m a la recta a.

Por el punto B se traza la perpendicular b a la recta m. La rectas b y a son paralelas ya que son perpendiculares a una misma recta m.

Tangente a una circunferencia en un punto de la misma Trazar una recta que pase por B y sea tangente a la circunferencia de centro O.

Con centro en B trazamos una circunferencia que corta la recta BO en M y N.

Con una misma abertura del compás se dibujan dos circunferencias, con centros en M y N, que se cortan en P y Q.

Por los puntos P y Q pasa la recta tangente en B de la circunferencia de centro O.

P M

B N

Fascículo 27 • Arte y arquitectura

Q O

215

P M

B N

Q O

B N O

Otro método se basa en que la tangente a una circunferencia en un punto de la misma, es perpendicular al radio que pasa por dicho punto.

Con Los Elementos de Euclides quedó establecida la utilización de la regla y el compás en la geometría y, por ende, en el dibujo y la arquitectura. El gran arquitecto e ingeniero militar romano, Vitruvio (s. I a.C.), escribió al respecto en sus Diez libros de Arquitectura: “Es la Arquitectura una ciencia que debe ir acompañada de otros muchos conocimientos y estudios, merced a los cuales juzga de las obras de todas las artes que con ella se relacionan. Esta ciencia se adquiere por la práctica y la teoría (...). Debe, pues, éste (un arquitecto) estudiar Gramática; tener aptitudes para el Dibujo; conocer la Geometría; no estar ayuno de Óptica; ser instruido en Aritmética y versado en Historia; (...). Le será de gran ayuda la Geometría, que le adiestrará especialmente en el uso de la regla y el compás, con cuyo auxilio trazará mucho más fácilmente las plantas de los edificios, y sabrá levantar a escuadra y a nivel los planos de ellos.” Dos milenios después, otro gran arquitecto Le Corbusier (Charles-Edouard Jeanneret, Suiza, 1887 - 1965 ), en su tratado sobre El Modulor (1948) también se refirió al compás en lo siguientes términos: “... y escribí en mi cuaderno de notas: El azote de la arquitectura es el compás (no el de Copérnico), el compás de las Bellas Artes, indiferente a las medidas...”

Construcción de polígonos regulares Caso n=3 (triángulo equilátero) Dado un segmento AB, dibujar un triángulo equilátero.

Con radio AB y centro A se traza un arco.

Con radio AB y centro B se traza otro arco que corta en C al arco dibujado en el paso 2.

El triángulo ABC es equilátero por tener sus tres lados iguales.

Caso n=6 (hexágono regular) A partir de una circunferencia de radio OA se puede construir un hexágono con lado de medida OA. Utilizando el valor del radio OA y centro en A cortamos la circunferencia en B. Si efectuamos lo mismo en B obtenemos C y así sucesivamente hasta volver a A.

B C

216

AB=BC=CD=DE=EF=FA=OA Fascículo 27 • Arte y arquitectura

Con lo que has visto en este fascículo y con una regla y un compás, ¿puedes dibujar un cuadrado (n=4) de lado AB?

Arte y arquitectura

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci (Italia, 1452-1519) realizado en uno de sus diarios (c. 1490). Representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un cuadrado. También se conoce como el canon de las proporciones humanas. El redescubrimiento de las proporciones matemáticas del cuerpo humano en el siglo XV por Leonardo y otros autores, está considerado uno de los grandes logros del Renacimiento. El dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del universo en su conjunto.

Construcción de polígonos regulares Caso n=5 (pentágono regular) Dibujar un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio OA.

Con radio AO y centro A se traza un arco que corte a la circunferencia inicial en P y Q.

El segmento PQ corta a AO en su punto medio M. Se traza la perpendicular a OA que pasa por O y se determina C.

Con longitud CD y centro en C se corta la circunferencia inicial en F e I. Los segmentos CD y OD son, respectivamente, los lados del pentágono y del decágono regular.

I O

Para dibujar un decágono (n=10) se toma el punto J del diámetro opuesto a C y con abertura CF hallamos los puntos K, L, N y R.

I A

La relación F

HF = φ ≈ 1,61803 HG C

K H

El pentágono estrellado fue utilizado por los pitagóricos. En el pentágono regular la relación de la diagonal HF al lado HG es el número de oro.

I A

Con distancia CF se trazan los puntos G y H que son los dos vértices faltantes del pentágono regular CFGHI.

Con longitud MC y centro en M se traza un arco que corta a OA en D.

I H

El número 1,61803..., llamado número de oro, es designado usualmente con la letra griega φ (Fi), letra inicial del nombre del escultor griego Fidias quien lo tuvo presente en muchas de sus obras. Reconstrucción de los templos de Atenea y Zeus cuyo diseño es atribuido a Fidias.

En varios de los ejemplos anteriores hay otros procedimientos para ejecutar las construcciones geométricas realizadas. Por otra parte, es necesario señalar que también existen otros instrumentos de dibujo, además de la regla y el compás, como las escuadras, el transportador, etc. Hoy en día estos instrumentos tienen un carácter didáctico, puesto 218 que los profesionales, en general, los han substituido por el uso de Fascículo 28 • Arte y arquitectura las computadoras.

¿ Se puede construir cualquier polígono regular de n lados con el sólo uso de la regla y el compás? ¿Qué significa construir en matemática utilizando únicamente la regla y el compás? Se supone que la regla no graduada (sin escala) sólo se usa para dibujar rectas y segmentos pero no para medir ni transportar distancias ni subdividir segmentos, y que el compás se utiliza para trazar circunferencias de centro en un punto dado que pasa por otros puntos prefijados, pero no para transportar distancias. El título de construcciones geométricas con regla y compás en matemática no alude al problema de dibujar figuras con cierto grado de exactitud, sino demostrar que se puede hallar la solución teórica sobre la base de que los dos instrumentos tienen una precisión exacta. Desde un punto de vista práctico, para el dibujo de figuras se emplean las reglas graduadas y el transportador, el cual es un excelente instrumento para medir y dibujar ángulos. Existen métodos de aproximación para dibujar de manera aceptable polígonos regulares e inscribirlos en circunferencias. Además, el uso de programas informáticos permite hacer múltiples construcciones con gran precisión No entender la diferencia entre lo que es la “concepción y demostración teórica” versus “el dibujo práctico” permite la presencia, en todos los tiempos y lugares, de “los cuadradores del círculo”, “los trisectores de ángulos” y los “duplicadores del cubo”.

Estatuas de Carl F. Gauss y Wilhelm Weber en la ciudad de Gotinga, Alemania.

La respuesta a la pregunta antes formulada es: NO. Por ejemplo, los polígonos regulares de tantos lados como los números primos 7, 11 y 13 no se pueden construir con el sólo uso de la regla y el compás, por lo tanto, estos polígonos no se pueden inscribir en una circunferencia con el solo uso de estos instrumentos. En cambio, el polígono regular de 17 lados (eptadecágono) si es factible hacerlo. Este resultado lo demostró (1796) el gran matemático, astrónomo y físico alemán Karl F. Gauss cuando tenía diecinueve años de edad, lo cual lo entusiasmó tanto que renunció a su intención de hacerse filósofo y resolvió dedicarse a la matemática y sus aplicaciones. Luego de su muerte se erigió en Gotinga, ciudad donde trabajó y falleció, una estatua de bronce en la que el pedestal tiene la forma de un eptadecágono. El teorema demostrado por Gauss es el siguiente: Un polígono regular de n lados es posible construirlo con regla y compás, si y sólo si n es de una de las formas siguientes: a) n= 2m , donde m es un entero ≥2, condición que cumplen los cuadrados (m=2), octógonos (m=3), 16-ágonos (m=4), etc. b) n= 2mpj donde m es un entero ≥0 y j≥1, los números pj son números primos de Fermat, que son números de la forma Fi = 22i + 1 donde i es un entero ≥ 0. Como el primer número de Fermat es F0= 3 entonces de (b) se deduce que triángulos equiláteros, hexágonos, dodecágonos, en general los polígonos regulares de 3.2m lados, se pueden construir con regla y compás; El segundo número de Fermat es F1= 5 por lo que los polígonos regulares de 5.2m lados también se pueden construir con regla y compás (los pentágonos, decágonos, ..., en general cumplen con esta condición). Consecuentemente se aplica esta misma regla al resto de los números de Fermat. En cambio, como los números primos 7, 11, 13 no son números de Fermat, al no cumplir con la condición señalada, los polígonos regulares con esos números de lados no se pueden construir sólo con el empleo de regla y compás. Fascículo 28 • Arte y arquitectura

219

Dibujando matemáticamente El dibujo es la representación gráfica por medio de líneas o sombras sobre una superficie generalmente plana, de objetos reales o imaginarios o de formas puramente abstractas. El delineado de la forma representa la base de todas las artes visuales (incluso la escultura), de allí que el dibujo constituye una rama de estudio importante en las escuelas de arte y arquitectura, así como en las de ingeniería. Para el dibujo de objetos que tengan una relación exacta con la realidad, se han desarrollado varias técnicas y establecido reglas de uso necesario cuando se quiera representar sobre papel una idea, diseño o proyecto que luego será construido de acuerdo con las indicaciones allí señaladas. El concepto de escala es fundamental para realizar la representación gráfica de cualquier elemento, pues su uso permite mostrar fielmente en una hoja de papel de un tamaño determinado, un microchip, un tornillo, una casa o una ciudad. Escala es la relación numérica o gráfica que existe entre la realidad y el dibujo. La escala numérica se representa como D:R, donde D es el tamaño en el dibujo y R su tamaño en la realidad. Por ejemplo: 1:100.000 significa que 1 cm en el dibujo representa aproximadamente 100 000 cm (1 000 m ó 1 km) en la realidad. 1 cm

en escala 1:100 equivale a un cuadrado de 1 m de lado. 1 cm equivale a 100 cm (1 m). 1 cm

1 cm

en escala 1:25 000 equivale a un cuadrado de 250 m de lado. 1 cm equivale a 25 000 cm (250 m). 1 cm

La escala gráfica es frecuentemente utilizada en mapas, planos y gráficos, por lo que al seleccionar una distancia cualquiera en el dibujo es posible determinar con bastante exactitud su valor en la realidad. En el diseño asistido por computadora, más conocido por las siglas inglesas CAD (Computer Aided Design), se utiliza básicamente una base de datos de entidades geométricas (puntos, líneas, arcos, etc) con la que se puede operar a través de una interfaz gráfica. Dicha técnica permite, con la aplicación de la denominada geometría alámbrica, esto es, con el uso de puntos, líneas, arcos, splines, superficies y sólidos, obtener un modelo numérico en dos o tres dimensiones de un objeto o conjunto de ellos. En la actualidad existen diversos programas de CAD que le suministran herramientas poderosas al usuario, entre las que destaca la posibilidad de variar la escala del dibujo en el momento que se estime necesario. Fascículo 28 • Arte y arquitectura

220

Dibujando técnicamente El dibujo técnico es la representación gráfica de un objeto o una idea práctica utilizando reglas fijas y preestablecidas, para poder describir, de forma exacta y clara, dimensiones, formas, características y el modo de construcción de lo que se quiere reproducir. Para realizar el dibujo técnico se requiere de instrumentos de precisión. En caso contrario se denomina dibujo a mano alzada o croquis.

Dibujo arquitectónico

Tipos de dibujo técnico Con el desarrollo industrial y los avances tecnológicos el dibujo técnico ha extendido su campo de acción. Los principales son: Dibujo arquitectónico: abarca una gama de representaciones gráficas con las cuales se elaboran los planos para la construcción de edificios, casas, quintas, autopistas, iglesias, fábricas y puentes. Incluye los planos de planta, fachadas, secciones, perspectivas, fundaciones, columnas, detalles, entre otros. Dibujo mecánico: se emplea en la representación de piezas o partes de maquinarias, vehículos, como grúas y motos, aviones, helicópteros y máquinas industriales. Los planos que representan un mecanismo simple o una máquina formada por un conjunto de piezas son conocidos como planos de conjunto, y planos de pieza los que representan un solo elemento. Los que se refieren a un conjunto de piezas con las indicaciones gráficas para su ensamblaje en un todo son llamados planos de montaje.

Dibujo eléctrico

Dibujo eléctrico: se refiere a la representación gráfica de instalaciones eléctricas en una industria, oficina o vivienda o en cualquier estructura arquitectónica que requiera de dicho servicio. Mediante la simbología correspondiente se representan acometidas, caja de contador, tablero principal, línea de circuitos, interruptores, toma corrientes, salidas de lámparas, entre otros. Dibujo electrónico: representa los circuitos que dan funcionamiento preciso a diversos aparatos que en la actualidad constituyen un adelanto tecnológico como las computadoras, amplificadores, transmisores, relojes, televisores, radios, etc.

Dibujo geológico

Dibujo geológico: se emplea en geografía y en geología. En él se representan las diversas capas geológicas y los minerales contenidos en cada una. Se usa en minería y en exploraciones de yacimientos petrolíferos. Dibujo topográfico: representa gráficamente las características de una determinada extensión de terreno mediante signos convencionalmente establecidos. Muestra los accidentes naturales y artificiales, cotas o medidas, curvas horizontales y curvas de nivel. Dibujo urbanístico: se emplea en la organización de ciudades: ubicación de centros urbanos, zonas industriales, bulevares, calles, avenidas, jardines, autopistas, zonas recreativas, entre otros. Allí se dibujan anteproyectos, proyectos, planos de conjunto, planos de detalle.

Fascículo 28 • Arte y arquitectura

221

Dibujo topográfico

Rayo proyectante

A B

A1 B1

Plano de proyección

nte

Ra p ro y o yec ta

nte Ra p ro y o yec ta

Todos los sistemas se basan en la proyección de los objetos sobre un plano denominado plano del cuadro o de proyección mediante los denominados rayos proyectantes. El número de planos de proyección utilizados, la situación relativa de estos respecto al objeto, así como la dirección de los rayos proyectantes, constituyen las características que diferencian a los distintos sistemas de representación.

A B

Sistemas de proyección

A1 B1

Plano de proyección

Proyección cilíndrica oblicua Centro de proyección

Ra p ro y o yec tan

Tal como afirmamos anteriormente, en todos los sistemas de representación la proyección de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyección se realiza mediante los rayos proyectantes, líneas imaginarias que al pasar por los vértices o puntos del objeto proporcionan en su intersección con el plano del cuadro la proyección de dicho vértice o punto. Si todos los rayos proyectantes son paralelos entre sí, se dice que su origen es un “punto del infinito” también denominado “punto impropio”, en tal caso se tiene la proyección cilíndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al plano de proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal; en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyección cilíndrica oblicua. Si todos los rayos proyectantes se cortan en un punto (”punto propio”) que es el centro de la proyección, estamos ante la proyección central o cónica también denominada perspectiva.

nte

Proyección cilíndrica ortogonal

Ra p ro y o yec ta

La geometría descriptiva es la rama de la geometría dedicada a la representación gráfica. En otras palabras, dibujar sobre papel el espacio tridimensional, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso. Todos los sistemas de representación tienen como objetivo plasmar sobre una superficie bidimensional, como es una hoja de papel, los objetos que en el espacio son tridimensionales. Con este propósito se han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas de representación, pero todos ellos cumplen una condición fundamental, la reversibilidad, es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional cada sistema permite una representación bidimensional de dicho objeto, de igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema debe permitir que se obtenga la posición en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto.

Rayo proyectante

Geometría descriptiva

A1 B1

Plano de proyección

Fascículo 28 • Arte y arquitectura

222

Proyección central o cónica

Tipos y características Los diferentes sistemas de representación podemos dividirlos en dos grandes grupos: los sistemas de medida y los sistemas representativos. Los sistemas de medida son el diédrico y el de planos acotados. Se caracterizan por la posibilidad de realizar mediciones directamente sobre el dibujo, para obtener, de forma sencilla y rápida, las dimensiones y posición de los objetos del dibujo. El inconveniente de estos sistemas es que no se puede apreciar, de un solo golpe de vista, la forma y las proporciones de los objetos representados. Los sistemas representativos son el de perspectiva axonométrica, el de perspectiva caballera, el de perspectiva militar y de rana, variantes de la perspectiva caballera, y el de perspectiva cónica o central. Se caracterizan por representar los objetos mediante una única proyección, pudiéndose apreciar, de un solo golpe de vista, su forma y proporciones. Tienen el inconveniente de ser más difíciles de realizar que los sistemas de medida, sobre todo si comportan el trazado de gran cantidad de curvas, además de que en ocasiones es imposible tomar medidas directas sobre el dibujo. Aunque el propósito de estos sistemas es el de representar los objetos como los vería un observador situado en una posición particular respecto al objeto, esto no se consigue en su totalidad dado que la visión humana es binocular, por lo que a lo máximo que se ha llegado concretamente, mediante la perspectiva cónica, es a representar los objetos como los vería un observador con un solo ojo. En el siguiente cuadro pueden apreciarse la características fundamentales de cada unos de los sistemas de representación. Sistema Diédrico Planos acotados Perspectiva axonométrica Perspectiva caballera Perspectiva militar Perspectiva cónica

Tipo De medida De medida

Planos de proyección Dos Uno

Sistema de proyección Cilíndrica ortogonal Cilíndrica ortogonal

Representativo

Uno

Cilíndrica ortogonal

Representativo

Uno

Cilíndrica oblicua

Representativo Representativo

Uno Uno

Cilíndrica oblicua Central o cónica

Sistema diédrico de proyección Cv

Sistema de planos acotados

A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) C(x3,y3,z3)

Plano de proyección vertical

z B

Bv z3

Plano de proyección horizontal O (0,0,0)

Fascículo 28 • Arte y arquitectura

223

Ch(z3)

Bh (z2)

y3 y1

Plano de proyección O (0,0,0)

Ah (z1) y

A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) C(x3,y3,z3)

Las perspectivas z

z 120º

120º 120º

135º

90º x

135º

Perspectiva axonométrica Sobre los ejes x, y y z (que forman angulos de 120º entre ellos) se trasladan los valores espaciales de cada elemento, por ejemplo: la planta de un edificio, y se unen obteniéndose ilustraciones como la arriba mostrada. Esta perspectiva es la imagen clásica generada por los programas CAD, por lo que muchos proyectos de arquitectura se presentan con estas características.

Perspectiva caballera Los ejes x y z forman un ángulo de 90º; los ejes x e y y los ejes y y z forman un ángulo de 135º. Se trasladan los valores espaciales de cada elemento y se unen obteniéndose lo que se denomina perspectiva caballera. Todos los valores se pueden tomar directamente del dibujo ya que son transferidos sin ningún tipo de deformación.

Perspectiva militar Los ejes x y z forman un ángulo de 90º; los ejes x e y y los ejes y y z forman ángulos variados sujetos al dibujante. La imagen superior, realizada con esta técnica por Jan Cornelius Vermeyen (Holanda, c. 1500-1559), constituye la representación gráfica más antigua de una villa de la ciudad de Madrid, España. z

Perspectiva cónica Al contrario de las anteriores descritas, es un sistema de representación realista ya que refleja la distorsión que sufren los objetos con respecto a la distancia y la posición del espectador. Para conseguir este efecto el ilustrador se vale de la línea del horizonte (color magenta) y los puntos de fuga F. Es la utilizada desde el Renacimiento y la que le da profundidad a pinturas como la de Tintoretto arriba mostrada.

y x

x y

Perspectiva axonométrica

Perspectiva caballera

x y

Fascículo 28 • Arte y arquitectura

224

Perspectiva militar

Perspectiva cónica

Arte y arquitectura

Templo Hatshepsut en el Valle de las Reinas, río Nilo. Egipto.

Este fasciculo intenta establecer cierto paralelismo en el tiempo entre el desarrollo de la matemática, las artes y la arquitectura, especialmente en la cultura occidental, destacando, para cada una de estas áreas, hechos fundamentales que tuvieron lugar en los períodos considerados. La división periódica que presentamos, basada en períodos extensos, responde más a una organización del conocimiento matemático con fines didácticos y de divulgación, y no como usualmente está escrita en los textos especializados en cada uno de los aspectos que se desarrollarán. Tal como lo indica Jesús Soto (Venezuela, 1923-2005) al comparar la actividad de los científicos con la de los artistas en cuanto a la realidad del universo: “...es la realidad sensible, son dos formas de explorar, descubrir y explicar el universo, las cuales normalmente marchan paralelas”. Expedición a Punt. Mural. Templo Hatshepsut. Egipto.

Matemática, arte y arquitectura a través del tiempo

La matemática

Desde la antigüedad hasta la adopción del sistema de numeración decimal en Europa (s. XIII) De acuerdo con la opinión de algunos textos de historia de la matemática (R. Mankiewicz), el testimonio más antiguo de cálculo (contar) fue hallado en Swazilandia (África) y data de 35000 a.C. El mismo consiste de un hueso peroné que trae marcado 29 hendiduras que se asemejan a "calendarios" utilizados hoy en día en Namibia para marcar el paso del tiempo.

El arte prehistórico no narra, muestra. Muestra la realidad inmediata al ser humano, aquella que el hombre necesita dominar para poder subsistir en un entorno que le es hostil, al que ha de enfrentarse continuamente y de cuya hostilidad él mismo forma parte.

El Arte Griego marca un referente para la civilización occidental que perdura hasta nuestros días. Los modelos griegos de la antigüedad son tenidos como clásicos y los cánones escultóricos y los estilos arquitectónicos han sido recreados una y otra vez a lo largo de la historia de Occidente.

La forma de las obras de la antigüedad era, mayoritariamente, la consecuencia de un propósito constructivo para hacer posible una actividad y la apariencia exterior de los edificios dependía sobretodo del sistema estructural que soportaba su cubierta (techo).

Muchas edificaciones griegas, incluyendo el Partenón, tomaban la regla de oro para las proporciones en su diseño y construcción.

La arquitectura

El arte

Tableta de barro cocido con una contabilidad cuneiforme (2400 a.C.).

En este período se edifica la geometría, iniciada con los egipcios y continuada con los griegos. Destacamos la contribución de la escuela pitagórica, y entre éstas el conocido teorema de Pitágoras. Este teorema en casos particulares era conocido desde antes. Así, en Babilonia (1800-1600 a.C.) se utilizaba la relación pitagórica, lo que aparece reflejado en la Tableta Plimpton 322, que permitía la construcción de ternas pitagóricas ((a,b,c) tales que c2= a2 + b2). Lo más resaltante fue la edificación axiomática de la geometría, la implantación de la demostración, del método axiomático, siendo la obra más destacada "Los Elementos" de Euclides (s. III a.C.) que se transformó en referencia de la geometría durante más de 2000 años. El matemático más importante de la etapa griega fue Arquímedes (ca. 287-212 a.C.) lo que expresa E. T. Bell como sigue: "Durante dos mil años no hubo nadie que pudiera comparársele (...). La matemática moderna nació con Arquímedes y murió con él por no menos de dos mil años. Resucitó con Descartes y Newton".

Fascículo 29 • Arte y arquitectura

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Los sistemas de numeración más antiguos fueron de tipo aditivo no posicional. Los babilonios diseñaron un sistema de numeración posicional de base 60. Fue largo el camino recorrido hasta adoptar el sistema de numeración decimal indo arábigo en la cultura occidental. Inicialmente se tienen los números Kharoshthi (actual Pakistán y Afganistán) que aparecen en inscripciones del s. IV a.C. y que tenían símbolos especiales para uno, cuatro, diez y veinte (se construyen aditivamente números hasta cien). Gerberto (Francia, ca. 940-1003), quien fue Papa en 999, introdujo los números indo arábigos en Europa. La instalación definitiva de ese sistema de numeración decimal se realizó en el s. XIII y a ello contribuyó el libro Liber Abaci (1202) de Fibonacci, el cual insistió en su uso.

El Zubdat al-Tavariq (el tesoro de la historia), manuscrito del s. XVI atribuído a Loqman, trata el aspecto esotérico de la cosmología musulmana y fue ilustrado con preciosas miniaturas tales como la de arriba y representan el valor artístico de la cultura turcootomana.

Varias edificaciones árabe como la mezquita, centro religioso, poseían domos donde se representaba el cielo con sus estrellas y planetas.

La etapa del Renacimiento (s. XV-XVI) Previo al Renacimiento, s. XIII y XIV, los principales aportes a la matemática en Europa lo realizaron Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (Italia, ca. 1180-1250) y el inglés Thomas Brawardine (ca. 1290-1349), además de Nicolás de Oresme (Francia, ca. 13231382) quien efectuó la "representación gráfica de funciones" y demostró la divergencia de la serie armónica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +......

Grabado San Gerónimo en su estudio (1514). Albrecht Durer.

“El reto de un pintor es romper con la bidimensionalidad. Eso que lograron en su momento los renacentistas italianos con la perspectiva, ...” como lo expresa Mercedes Pardo. Permanece el arte en cuanto a su característica de identidad pero se logra plasmar las tres dimensiones en un lienzo utilizando la perspectiva, lo que tendrá lugar durante el Renacimiento italiano (s XV).

El Renacimiento italiano inicia una nueva concepción en Europa. El retorno al saber clásico se acompaña de un deseo de explorar nuevos estilos, nuevas ideas y nuevas vías de investigación. La interacción entre el arte y la geometría, en particular la utilización de la perspectiva, ilustra de manera ejemplar esta renovación. El crecimiento económico de Europa obligó a la formación de personas competentes en cálculo para el manejo de las transacciones financieras. En esta etapa destacan la resolución de la ecuación de grado tres por Cardano (1501-1576), con su obra Ars Magna, y Tartaglia (1500-1567), y la de grado cuatro por Ludovico Ferrari (15221565). La resolución de esas ecuaciones y la notación algebraica fueron los avances más significativos del álgebra, desde la época de los babilonios, pasando por Diofanto de Alejandría (ca. 200-284), quien escribió uno de los principales trabajos en la historia del álgebra, la Aritmética. El primer estudio de los números imaginarios lo llevó a cabo Bombelli (1526-1573), conocidos hasta el s. XVIII como "números ficticios o imposibles" y posteriormente números complejos (Gauss).

Fascículo 29 • Arte y arquitectura

Copérnico. Jan Matejko.

Artistas del Renacimiento como el arquitecto Brunelleschi, el pintor Masaccio, el escultor Donatello, los genios de Leonardo Da Vinci y de Miguel Angel, el pintor Rafael Sanzio, lograron transformar la pintura, la escultura y la arquitectura. Del “espacio agregado” se pasó al “espacio sistema” (E. Panofsky), un cambio en la percepción del espacio en cuanto a la pintura.

Última Cena. Leonardo Da Vinci. Tycho Brahe y Rodolfo II. Eduardo Ender.

El retorno al estilo clásico en la arquitectura reposa sobre la obra de Vitruvio De arquitectura y del estudio de construcciones clásicas que se habían mantenido a través del tiempo como el Partenón.

Nicolás Copérnico (1473-1543) propuso el sistema heliocéntrico donde planteó que el universo "gira" alrededor del Sol, el cual fué publicado en su libro De Revolutionibus (1543). Este progreso fue completado por Kepler (1571-1630), a inicios del s. XVII (1609), con sus famosas tres leyes sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Se incorporan a la pintura temas históricos, personajes, el paisaje imitando la naturaleza, y hace su aparición la “naturaleza muerta” (pintura de animales muertos, frutas, flores, vasos, en general objetos). El espacio se geometriza, se representa la profundidad y se utilizan distintos planos, se da cierto movimiento a lo representado en el cuadro o en la escultura. “La perspectiva científica, el color veneciano, el movimiento y la expresión se fueron incorporando uno tras otro al utillaje del artista, poniéndolo en condiciones cada vez mejores para representar bien lo que veía” (E.H. Gombrich).

En el barroco la arquitectura va frecuentemente unida al urbanismo. La ciudad se vuelve escenográfica. El palacio es el típico edificio de vivienda urbana para las familias poderosas. El hotel es un tipo de vivienda unifamiliar exenta y rodeada de jardines, burguesa. El templo es un sitio de representación teatral.

La obra maestra del barroco es el "imafronte" de la catedral de Murcia, España.

Matemática, arte y arquitectura a través del tiempo

La matemática

Del siglo XVII al XVIII El siglo XVII marca el nacimiento de la "matemática moderna" y el s. XVIll el apogeo de la ciencia. En el siglo XVII se consolida la notación algebraica (Descartes y Viète), que es la hoy en día utilizada.

El arte

Descenso de la cruz (1611-12). Peter Paul Rubens (Alemania, 1577-1648).

El barroco es un movimiento cultural o período del arte que apareció en el año 1600, aproximadamente, y que llegó hasta el 1750. Se ubica entre los períodos Manierista y Rococó y lo sitúan entre el arte del Renacimiento y el neoclásico, en un tiempo en el cual la Iglesia Católica tuvo que reaccionar contra numerosos movimientos revolucionarios culturales que produjeron una nueva ciencia y nuevas formas de religión (Reforma).

La arquitectura

Jardines del Palacio de Versailles. Francia.

La arquitectura barroca se desarrolla desde el principio del siglo XVII hasta dos tercios del siglo XVIII. En esta última etapa se denomina estilo rococó. Se manifiesta en casi todos los países europeos y en lo que eran por aquel entonces las colonias de España y Portugal en América. Fascículo 29 • Arte y arquitectura

Durante el s. XVII ocurren progresos significativos que originaron varias ramas de la matemática, entre las que podemos destacar: · La geometría analítica como fusión del álgebra y de la geometría (Descartes y Fermat), lo que permitió tratar los problemas geométricos con el uso de números y ecuaciones a través de la utilización de los sistemas de coordenadas. · La creación del cálculo infinitesimal (Leibniz y Newton) y la dinámica de Galileo y Newton, conocida como mecánica newtoniana. Esta evolución de la matemática y la física condujo a un cambio en la concepción del espacio y de su estudio, tal como ocurrió en la pintura, la escultura y la arquitectura. · Las probabilidades y el análisis combinatorio (Fermat y Pascal). · La lógica matemática (Leibniz).

El s. XVIlI es el de la familia Bemoulli (suizos) y el de Euler (Suiza, 17071783), la figura dominante de la matemática desde 1727, cuando tenía dieciocho años, hasta 1783. Pero, igualmente se tiene la publicación de la Enciclopedia consistente de 35 volúmenes (París, 1751), la obra de Lavoisier en la química y la de Linneo y el conde Buffon en biología. Hacia finales de siglo, Monge escribe la geometría descriptiva (1795) en donde clarifica los principios de esta rama de la geometría, la cual venía en sus orígenes remotos de la perspectiva creada por los artistas y arquitectos del Renacimiento.

En el surgimiento del barroco dos hechos son decisivos: la afirmación de los estados nacionales y la consagración de la monarquía absoluta de derecho divino, como forma de gobierno en ellos.

Toma de La Bastilla (1793). Charles Thévenin (Francia, 1764-1838).

En la historia del mundo occidental, la revolución francesa (1789-1801) significó el tránsito de la sociedad feudal a la capitalista, basada en una economía de mercado. La burguesía, consciente de su papel preponderante en la vida económica, desplazó del poder a la aristocracia y la monarquía absoluta. Estos cambios se reflejaron directamente tanto en el arte como en la arquitectura del siglo XVIII.

Escultura en parque barroco. Italia.

En Roma la arquitectura barroca renovó ampliamente las áreas centrales con una revisión urbanística muy importante. La utilización de elementos rectangulares simplifican la estructura pero la profusión de la ornamentación le dan un carácter recargado a toda la edificación. Se incorpora la concepción del paisajismo en parques y jardines.

Galería Vittorio Emmanuelle (Milán, Italia, 1865-78).

Esta galería diseñada por Giuseppe Mengoni, utilizando cúpulas, techos curvos y planta en forma de cruz, resume los mayores aportes de la burguesía del momento al ambiente urbano.

El siglo XIX A comienzos del s. XIX empezaron a formularse geometrías diferentes de la euclidiana, lo que producirá en matemática una ruptura epistemológica (un salto cualitativo). Así, Nikolai Lobatchevski (1739-1856) publica en 1838 sus Nuevos fundamentos de la Geometría y en 1840 su Teoría de las paralelas. Por su parte, Janos Bolyai (1802-1860) elabora su Ciencia Absoluta del Espacio con principios análogos a los de Lobatchevski. La creación de las geometrías no euclidianas produjo un cambio de concepción en el pensamiento matemático y los matemáticos adquirirán mayor libertad en cuanto a la creación matemática.

Hechos relevantes en este siglo: • La creación de la lógica simbólica moderna por George Boole (18151864). • La teoría de "multiplicidades" (espacios de más de tres dimensiones) de George Riemann (1826-1866) que, con la sistematización de la geometría realizada por Félix Klein (1849-1925) en el denominado "Programa Erlangen" utilizando la llamada teoría de grupos, constituyó otro salto cualitativo en matemática: lo que interesa en una geometría son los invariantes, esto es, lo que permanece en las transformaciones geométricas y no únicamente la forma ni la identidad de los entes geométricos.

• El genio de E. Galois (1811-1832) creó una de las teorías más fecundas de la matemática, la teoría de grupos, que tiene repercusión importante en la física y la que permite explicar la simetría tan utilizada por los artistas y arquitectos desde tiempos remotos. Ya en 1829 el matemático noruego Niels H. Abel demostró, de manera general, que las ecuaciones de grado quinto no se pueden resolver utilizando radicales, y la teoría de grupos permitió dilucidar completamente el problema de la resolución por radicales de las ecuaciones algebraicas.

El acantilado de Eterat después de la tormenta (1869). G. Courbet.

Haymakers resting (1891). Camile Pisarro (1830-1903).

El romanticismo que caracteriza los inicios de siglo y pasa al realismo de Gustave Courbet (1819-1877) y Jean François Millet (1814-1875) de mediados de siglo. Según Courbet “La pintura no puede consistir más que en la representación de las cosas reales y existentes: un objeto abstracto, no visible ni existente, no pertenece al campo de la pintura”.

En la segunda mitad del s. XIX hace su aparición el impresionismo que busca nuevas formas de expresión, desprendiéndose de los temas de inspiración narrativa e histórica y se interesa por la relación entre la luz y los colores. Destacan C. Monet, E. Degas, Toulouse Lautrec, A. Renoir, C. Pisarro y P. Cezanne.

Torre Eiffel diseñado por Gustave Eiffel para la exposición de 1889. Paris, Francia.

La máxima expresión de la arquitectura del hierro que caracterizan al siglo XIX son las construcciones para las exposiciones universales. La torre Eiffel (1889) es una construcción-estructura a partir de elementos prefabricados en serie. Este tipo de construcciones "por piezas" se pueden montar y desmontar, trasladar e instalar en otra ubicación. Fascículo 29 • Arte y arquitectura

Las recogedoras de heno (Salón 1850). J.F. Millet.

Tower bridge (1894). Londres, Inglaterra.

La incorporación del acero, consecuencia de la revolución industrial, combinado con los cálculos estructurales que incorporan los aportes matemáticos y físicos de la época, permiten lograr alturas y longitudes nunca antes imaginadas. La utilización de cónicas, triángulos y curvas en las estructuras y edificaciones le dieron una característica particular a estas construcciones.

Palacio de Cristal diseñado por Joseph Paxton para la exposición de 1851. Londres, Inglaterra.

El acero, el vidrio y el concreto fueron los materiales que sirvieron de apoyo para lo que luego se denominaría arquitectura moderna.

La matemática

El siglo XIX • La creación de la teoría de conjuntos de parte de Georg Cantor (1845-1918) y los trabajos de Richard Dedekind (1831-1916) en cuanto a los números reales (racionales e irracionales), números utilizados desde la época de los griegos, que son la base del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, y de los que no se había formulado una teoría rigurosa. Estos trabajos tuvieron bastante impacto en la matemática. Sin embargo, la propia teoría cantoriana de conjuntos presentaba algunas lagunas que hacían dudar de la validez de ciertos razonamientos, y así surgieron "conjuntos paradójicos" que dieron base hacia fines del siglo e inicios del s. XX a lo que se denominó la crisis de los fundamentos.

• Comienza a delinearse la topología y en ella se consideran cuerpos y superficies distintas de los poliedros y de los cuerpos redondos (esfera, cilindro, ...). Se trabaja con deformaciones, como las que se hacen con la plastilina y el caucho, y lo importante en esas deformaciones es lo que queda invariante (las propiedades que no se alteran). Se crean objetos geométricos con características bien distintas de las superficies clásicas, como la banda o cinta de Moebius (que tiene una sola cara), y la botella de Klein. Más que el objeto en sí, que su forma, lo que interesa es su naturaleza profunda.

Manuel Quintana Castillo (pintor venezolano, 1928- ). En "Pintura Topológica", Papel Literario, Diario El Nacional C/12, 04/11/2000.

La paradoja de Epiménides el cretense: Epiménides afirma: "Todos los cretenses son mentirosos." Otra del mismo tipo es: "Yo miento".

Algunos objetos comienzan a no poder reconocerse pues interesan sus deformaciones y el color. Ya no hay la identidad, ni la copia o imitación de lo que se observa. Los artistas tienen un grado mayor de libertad con respecto al mundo circundante.

El arte

Es importante mencionar que al mismo tiempo que los matemáticos y los geómetras descubrían la topología, los pintores por su parte y de manera intuitiva descubrían el espacio cubista, es decir, un concepto del espacio emanado de la pintura de Cézanne: un sistema de representación fundado en el análisis de impresiones visuales puras, pero que en su desarrollo plantean la construcción de universos deformables y variados, sujetos a nociones no euclidianas pero muy topológicas, y por lo tanto muy humanas."

El Neoimpresionismo o Postimpresionismo data entre 1885 y 1900, aproximadamente. En él se agrupan las más diversas tendencias, muchas de las cuales desbordan todo intento de clasificación cronológica, puesto que en gran medida se corresponden con figuras concretas: Edvard Munch, Van Gogh...

El neoimpresionismo de finales del siglo XIX, cuyos principales exponentes son G. Seurat y P. Signac, se apoya en la teoría de colores de Chevreul y en las investigaciones de los físicos Helmotz y Maxwell. Los artistas empiezan a interesarse más por lo que sienten e imaginan en lugar de lo que ven. Guaranty Building Buffalo (NY, EEUU). Proyecto L. Sullivan 1895.

En Estados Unidos, a finales de siglo, se empiezan a diseñar y construir edificios que luego se denominarían rascacielos.

Fascículo 29 • Arte y arquitectura

El grito (1893). Edvard Munch (1863-1944).

El siglo XX El s. XX conoció una explosión de descubrimientos científicos y progresos tecnológicos que afectó el conjunto de las ciencias humanas. La matemática entra en un período de abstracción: ya no importa tanto la naturaleza de los entes matemáticos sino sus relaciones, sus analogías, es decir, su estructura. Se crean los espacios abstractos y nuevas ramas de la matemática hacen su aparición y se desarrollan bastamente, entre otras: • La teoría de fractales creada por Benoit Mandelbrot quien publicó La geometría fractal de la naturaleza (1977). • El desarrollo de la teoría del "caos" y de la complejidad. La teoría de juegos llevada a cabo por John von Newman y posteriormente con aportes significativos de John Nash, lo que le valió el premio Nobel de Economía en 1994.

Señoritas de Avignon. Pablo Picasso (1881-1973).

A inicios del s. XX se tiene la ruptura de la geometrización clásica del espacio. Emerge el cubismo (1908) y luego todo el arte abstracto. En menos de 40 años se pasó de los impresionistas a los abstractos. W. Kandinski es el primero en realizar un cuadro completamente abstracto (1910), sin ninguna referencia figurativa.

• El advenimiento de la Segunda Guerra Mundial dio un impulso a la matemática aplicada y la estadística. Con el fin de vencer a las potencias del Eje, al nazifascismo, se desarrollaron los métodos de cálculo, los modelos matemáticos, la investigación de operaciones y la informática. Este desarrollo de la matemática aplicada ha continuado y encontrado nuevas vertientes.

Banda de Moebius. M.C. Escher (1898-1972).

La Bauhaus, que significa en alemán "Casa de la construcción", fue utilizado para denominar la escuela de diseño, arte y arquitectura fundada en 1919 por Walter Gropius en Weimar (Alemania) y clausurada por las autoridades prusianas (en manos del partido nazi) en el año 1933. La Bauhaus sentó las bases normativas y patrones de lo que hoy conocemos como diseño industrial y gráfico. Sin duda alguna esta escuela estableció los fundamentos académicos sobre los cuales se basaría en gran medida una de las tendencias más predominantes de la nueva arquitectura moderna, incorporando una nueva estética que abarcaría todos los ámbitos de la vida cotidiana. Simplicidad, industrialización y funcionalidad caracterizan lo “moderno”. La utilización de la línea recta y el plano constituyen las herramienta básicas para el diseño de gran parte del siglo XX.

Acuarela (1910). Wassily Kandinski (1866-1944).

Fascículo 29 • Arte y arquitectura

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• La presencia de supercomputadoras ha permitido el avance en el estudio del “caos” y de ecuaciones de muy alta complejidad. Existen instituciones, como el Santa Fe Institute, en la búsqueda de sistemas de complejidad evolutiva. Las matemáticas continúan siendo tan imprevisibles como la vida misma.

Ávila virtual. Pedro Morales.

Durante la década de los 80, los primeros estudiosos de los fractales comenzaron a explorar su valor estético. Mientras que la matemática era la herramienta, el objetivo era el arte. Al ser las estructuras fractales el elemento matemático más obvio, los artistas fractales experimentaron con nuevas estructuras, introduciendo centenares de nuevos tipos de fractales.

Actualmente la arquitectura utiliza los parámetros tecnológicos, formales y funcionales, sin que ninguno de ellos tenga prelación sobre los otros. Los arquitectos en la actualidad se mueven en estos tres ejes dándole énfasis a los que creen convenientes. Muchos hablan de posmodernismo pero esto no ha sido definido por los especialistas del área.

Propuesta para edificio residencial en Nueva York por parte del arquitecto español Santiago Calatrava.

A continuación presentamos varias construcciones cuyos arquitectos utilizaron muchos elementos geométricos y grandes dosis de composición artística para su diseño.

Conjunto residencial en Beijing, China. Proyecto: Steven Holl.

Museo Guggenheim de Bilbao, España. Diseño: Paul Gehry.

Casa de la Orquesta Sinfónica de Tenerife, España. Diseño: Santiago Calatrava.

Entrada del Museo del Louvre de París, Francia. Diseño: Io Ming Pei.

Conjunto Residencial en Montreal, Canada. Proyecto: Moshe Safdie.

Centro Cultural “Le Corbusier” en Zurich, Suiza. Diseño: Le Corbusier.

Bibliografía . Biblioteca Salvat de grandes temas (1973). Arte abstracto y arte figurativo. Salvat editores, S.A., Barcelona, España. Contiene una entrevista a Antoni Tàpies. . Biblioteca Salvat de grandes temas (1975). La pintura en el siglo XX. Salvat Editores, S.A. Barcelona, España. Contiene una entrevista a Jean Cassou. . Collette, Jean-Paul (2000). Historia de las matemáticas. Siglo veintiuno editores, S.A. de C.V., México. 4a. edición en español. . Crespo Cabillo, Isabel (2005). Control gráfico de formas y superficies de transición. Tesis doctoral. Universidad Politécnica de Catalunya, España. http://www.tdx.cesca.es. · Droste, Magdalena (1990). Bauhaus. Taschen Editores. Alemania. . Guédez, Víctor (1994): Comprender el arte contemporáneo. Fundación Polar, Caracas. · Jencks, C. y Baird, G. (1975). El significado de la arquitectura. Blume Ediciones. España. . Mankiewicz, Richard (2000). The Story of Mathematics. Cassel & Co. Londres, Gran Bretaña. . Orellana Chacín, Mauricio (2002). La belleza desde el punto de vista matemático. Comisión de Estudios Interdisciplinarios de la Universidad Central de Venezuela, año 5, No. 15, 17-72. · Raeburn, Michael (1981). Storia Dell’Architettura in Occidente. Istituto Geografico De Agostini. S.p.A. Novara, Italia.

Fascículo 29 • Arte y arquitectura

232

Ă?ndice, crĂŠditos y fe de erratas

2006

Índice de la obra Polígonos y poliedros

Introducción Fascículo 1 Equipo de trabajo Presentación Introducción Los temas de Matemática Maravillosa

Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas

234

1 2 3 4 6

Fascículo 2 El mundo de las formas poligonales y poliédricas Clasificación de polígonos El mundo de los polígonos regulares El mundo de los cuadriláteros concíclicos Los polígonos en el diseño, las artes y la arquitectura Fascículo 3 El mundo de los poliedros Clasificación de poliedros El mundo de los poliedros regulares Proyección de Schlegel Pero, ¿existen otros tipos de poliedros? Fascículo 4 Los polígonos y los poliedros en las ciencias naturales Los poliedros en las artes, la arquitectura y la ingeniería Fascículo 5 Superficies esféricas y poliedros en arquitectura e ingeniería Teselaciones Mosaicos Mosaicos regulares Mosaicos semirregulares Fascículo 6 Mosaicos de Escher Mosaicos de Penrose Teselaciones en el espacio Dimensiones, coordenadas y grados de libertad Fascículo 7 Grados de libertad y coordenadas ¿Cuántas dimensiones podemos considerar que tengan utilidad tanto en matemática como en otras disciplinas? La cuarta dimensión y el hipercubo Fascículo 8 ¿Cómo estudiar el hipercubo? Bibliografía Tengo que pensarlo

9 10 11 12 14 15 17 18 19 20 21 24 25 26 31 33 34 36 38 38 40 41 42 43 44 45 49 50 54 55 57 58 63 64

Trigonometría Fascículo 9 65 El mundo de las demostraciones con ayudas visuales 67 El mundo de las demostraciones 69 Fascículo 10 73 Descubriendo el mundo de la trigonometría 74 ¿Qué es medir ángulos? 75 Funciones trigonométricas de un ángulo 77 La identidad fundamental 79 Trigonometría y arte 79 Fascículo 11 81 La ley de los senos 82 La ley de los cosenos 83 Venezuela en el Polo Norte 84 Tengo que pensarlo 86 Bibliografía 88 Fascículo 12 89 El mundo de la trigonometría 90 Funciones trigonométricas de números reales 92 Propiedades gráficas de las funciones trigonométricas 95 Fascículo 13 97 La función tangente y otras funciones trigonométricas 98 Funciones trigonométricas y música 101 Fascículo 14 105 El mundo de las funciones inversas 106 Funciones trigonométricas inversas 107 Geometría de la esfera 108 Las curvas de “rumbo” (loxodromas) en la esfera y la navegación 110 Tengo que pensarlo 112 Bibliografía 112

Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas

235

Cónicas y cuádricas Fascículo 15 Elementos básicos de geometría El mundo de las cónicas Propiedades ópticas de las cónicas Cónicas y sus aplicaciones Fascículo 16 El mundo de las cuádricas Las cuádricas de revolución ¿Cuáles superficies se obtienen al rotar otras cónicas: elipse, parábola e hipérbola? Esfera y esferoide Fascículo 17 Ayer Hoy Las cuádricas, la arquitectura y la ingeniería Fascículo 18 Otras curvas Bibliografía

113 114 115 118 119 121 122 124 125 127 129 130 131 134 137 141 144

Matrices Fascículo 19 Matrices y vida cotidiana Adición de matrices Producto de un número por una matriz Producto escalar de vectores Producto de matrices Tengo que pensarlo Fascículo 20 Matrices y grafos Matrices y cuadrados mágicos Tengo que pensarlo Algunas curiosidades de los cuadrados mágicos Fascículo 21 Matrices y transformaciones geométricas en el plano Fasciculo 22 Matrices y transformaciones en el espacio Fascículo 23 Matrices y códigos Códigos más complejos Matrices y números complejos Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

145 146 148 149 149 150 152 153 154 156 159 160 161 162 169 170 177 178 180 183 184

Fractales Fascículo 24 El mundo de los fractales Los fractales Fascículo 25 Auto-semejanza en los fractales La auto-semejanza y la espiral logarítmica La espiral de Arquímedes La espiral de Bernoulli La dimensión fractal o dimensión de auto-semejanza Fascículo 26 Fractales en la vida diaria El tetraedro de Sierpinski La esponja de Menger Fractales en el tiempo Bibliografía

Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas

236

185 186 187 193 194 195 196 196 198 201 202 203 204 206 208

Índice, créditos y fe de erratas Fascículo 30 Índice de la obra Equipo de trabajo Fe de erratas

233 234 238 239

Matemática, arte y arquitectura Fascículo 27 Construcciones geométricas y perspectiva Construcción de polígonos regulares Fascículo 28 Construcción de polígonos regulares Dibujando matemáticamente Dibujando técnicamente Geometría descriptiva Las perspectivas Fascículo 29 Matemática, arte y arquitectura a través del tiempo Bibliografía

Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas

237

209 214 216 217 218 220 221 222 224 225 226 232

Túnel púrpura. Fuente: http://www.majcher.com/xhibition/images/ 2004_08_08/DSCF0219.JPG.html

Equipo de trabajo Coordinador de la colección Renato Valdivieso (Fundación Polar) Coordinadora académica y especialista del área Inés Carrera de Orellana Profesora de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Postgrado en Didáctica de la Matemática DEA (Universidad de París VII, Francia) Profesora Titular (J) CENAMEC Especialistas del área Walter Beyer Licenciado en Matemática (UCV) Magíster en Educación mención Enseñanza de la Matemática (UPEL) Profesor Asociado (J) (UNA)

Saulo Rada Aranda Profesor de Física y Matemática (IPC) Maestría en Educación Matemática (Universidad de Maryland, EE.UU.) Profesor Titular (J) (UPEL)

Rogelio Chovet Voza Arquitecto (UCV) Profesor Geometría Descriptiva y Dibujo de Proyectos (UC) Instructor de programas de diseño gráfico (Adobe y Macromedia)

Sergio Rivas Licenciado en Matemática (UCV) Maestría en Matemática (UCV) Profesor Asociado (J) (UNA)

Antonio Dávila Profesor de Física y Matemática (IPC) Curso Especialización en Enseñanza de la Física (UPEL) Profesor (J) del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte

Jorge Salazar Profesor de Matemática y Física (IPC) PhD en Matemática (Universidad de OklahomaEE.UU.) Profesor Titular (J) (UPEL)

Mauricio J. Orellana Chacín Licenciado en Matemática (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de GrenobleFrancia). Profesor Titular (J) (UCV) Validadores

Revisión de textos

Oswaldo Araujo (ULA) Laura Galindo (UCV) Henry Martínez (UCAB) Rafael Sánchez (UCV)

Ricardo Alezones Renato Valdivieso

Diseño, investigación gráfica y desarrollo Rogelio Chovet Voza

Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas

238

Fe de erratas

Fascículo 10

Fascículo 18

Página 78 • Dice: ...= 2Rsen ( /2) Fascículo 1 2 α Página 3 Debe decir: ...= 2Rsen ( ) 2 • Dice: cuadráticas y debe decir: Dice: ...= 120sen ( /2) cuádricas 2 α Debe decir: ...= 120sen ( ) Fascículo 2 2 Fascículo 12 Página 11 Dice: ... P y Q cualesquiera en el Página 90 polígono, pero el segmento PQ no... Dice: ...ángulo a’b’ y debe decir Debe decir: ...dos puntos P y Q de tal ...ángulo ab manera que el segmento PQ no ... Fascículo 13

Página 141 Dice: -1 + x2/2... Debe decir: -1 + 1 + x2/2...

Página 98 π π Página 59 Dice: ...t=2n+1 = nπ 2 2 Dice: corresponpondiente a y debe π π Debe decir: ...t=(2n+1) = + nπ decir: correspondiente a 2 2 Página 103 Fascículo 9 Dice: Clarinete (ƒ=209...) debe decir Página 67 Clarinete (ƒ=260...) Dice: ... del lado t y debe decir: ... de Fascículo 14 lado t. Página 107 Página 71 Dice: El número cuyo seno es x tal Dice: ...= AC’ y debe decir ...= AC’ que... y debe decir: El número x cuyo AE’ AE seno es tal que... Dice: ...= AC’ y debe decir ...= AC En lugar de • va π AE AE

Página 170 Dice: ... traslaciones, rotaciones y simetrías Debe decir: ...simetrías, rotaciones y traslaciones

Fascículo 8

Fascículo 10

Fascículo 15

Página 114 Página 77 Dice: Una recta l y un plano α y debe El segmento CD es el que debería decir: Una recta m y un plano α estar solamente coloreado de verde.

Fascículo 19 Página 148 Dice: 130 000 y debe decir: 140 000

Fascículo 21 Página 164 Dice: De ángulo θ Debe decir: De ángulo θ y centro (0,0)

Fascículo 22

Fascículo 23 Página 184 Dice: Ax=C Debe decir: Ax=X’ Dice: Ohmn Ohmnios Omnios Debe decir: Ohm Ohmios Ohmios Dice: a1x + b1y +c1z = d1 A=

Fascículo 17

Página 133 La ilustración de la sala del Palacio del Descubrimiento es la que está a continuación.

a2x + b2y +c2z = d2 a3x + b3y +c3z = d3

Debe decir: a1 b 1 c 1 A=

a2 b2 c2 a3 b3 c3

El gráfico debe ser el siguiente: z 1 X

X’ y

Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas

239

Fundación Empresas Polar es la expresión institucional de Empresas Polar creada, hace 29 años, para apoyar y fomentar iniciativas innovadoras y sustentables que mejoren la calidad de vida y contribuyan a fortalecer el tejido social de nuestro país. Objetivos • Aliviar disparidades de la sociedad • Consolidar valores éticos y patrimoniales • Fomentar y potenciar el talento y el conocimiento • Estimular la participación responsable y el consenso entre los diversos actores de la sociedad Segunda avenida, Los Cortijos de Lourdes, edificio Fundación Polar, 1º piso. Apartado postal 70934. Los Ruices. Zona postal: 1071-A. Caracas, Venezuela. Teléfonos • Recepción (0212) 202.75.30 • Biblioteca (0212) 202.75.35 al 38 • Ediciones (0212) 202.75.61 • Fax (0212) 202.75.22