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1ra Ediciรณn
Adentro, estudiamos el numero de Dedekind
Te mostramos el ร lgebra de Heyting
JULIO 2017
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introduccion El estudio de los retículos está muy determinado por la cantidad de
aplicaciones donde al estudiarlas comenzamos a observar cómo están
constituidas
por
diferentes
cuerpos,
aparentemente
separados, pero relacionados entre sí, al querer facilitar el estudio y la comprensión del mundo que nos rodea, tendemos a formar conjuntos de elementos, de los cuales luego debemos estudiar en
relación a los demás elementos que conforman dicho conjunto, a medida que avanzamos en el estudio de nuestro entorno conseguimos más y más campos donde debemos usar la teoría de reticulados para poder entender su funcionamiento y relación, esta revista es un ejemplo y una ayuda para cualquier persona que
quiera entender un poco más sobre la teoría de los reticulados.
CLEIME CORDERO
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CONTENIDO PAGINA Álgebra de Heyting……………………………………………………………………………3 El retículo distributivo libre……………………………………………………………….5 Número de Dedekind………………………………………………………………………..5
REALIZADO POR: CLEIME CORDERO CI: 17.783.573 Link en internet: http://issuu.com/danielven/docs/revista.docx
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Álgebra de Heyting_______________________ En matemáticas, las álgebras de Heyting (creadas por Arend Heyting) son conjuntos parcialmente ordenados especiales que generalizan las álgebras de Boole. Las álgebras de Heyting se presentan como modelos de la lógica intuicionista, una lógica en la cual la ley del tercero excluido no vale, en general. Las álgebras completas de Heyting son un objeto central de estudio en topología sin puntos. Definiciones formales Un álgebra de Heyting H es un reticulado acotado tal que para todo a y b en H hay un mayor elemento x de H tal que a ^ x ≤ b. Este elemento se llama el seudo-complemento relativo de a con respecto a b, y es denotado a=>b (o a⇒b). Una definición equivalente puede ser dada considerando las funciones fa: H → H definidos por fa(x) = a^x, para algún a (fijo) en H. Un reticulado acotado H es un álgebra de Heyting si y sólo si todas las funciones fa son el adjunto inferior de una conexión de Galois monótona. En este caso los adjuntos superiores respectivos ga son dados por ga(x) = a=>x, donde => se define como arriba. Un álgebra completa de Heyting es un álgebra de Heyting que es un reticulado completo. En cualquier álgebra de Heyting, uno puede definir seudo-complemento ¬x de un cierto elemento x haciendo ¬x = x=>0, donde 0 es el menor elemento del álgebra de Heyting. Un elemento x de un álgebra de Heyting se llama regular si x = ¬¬x. Propiedades Las álgebras de Heyting son siempre distributivas. Esto se establece a veces como axioma, pero de hecho se sigue de la existencia de seudo-complementos relativos. La razón es que siendo ^ el adjunto inferior de una conexión de Galois, preserva todos los supremos existentes. Distributividad es precisamente la preservación de los supremos binarios por ^. Además, por un argumento similar, la ley distributiva infinita siguiente se sostiene en cualquier álgebra completa de Heyting: x ^ VY = V{x ^ y : y en Y}, para cualquier elemento x en H y cualquier subconjunto Y de H.
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No toda álgebra de Heyting satisface las dos leyes de De Morgan. Sin embargo, las proposiciones siguientes son equivalentes para todas las álgebras de Heyting H: H satisface ambas leyes de De Morgan. ¬(x ^ y) = ¬x v ¬y, para todo x, y en H. ¬x v ¬¬x = 1 para todo x en H. ¬¬(x v y) = ¬¬x v ¬¬y para todo x, y en H. El seudocomplemento de un elemento x de H es el supremo del conjunto { y : y ^ x=0} y pertenece a este conjunto (es decir x ^ ¬x=0). Las álgebras booleanas son exactamente esas álgebras de Heyting en las cuales x = ¬¬x para todo x, o, equivalentemente, en el cual x v ¬x = 1 para todo x. En este caso, el elemento a = > b es igual al ¬a v b. En cualquier álgebra de Heyting, el menor y mayor elementos 0 y 1 son regulares. Además, los elementos regulares de cualquier álgebra de Heyting constituyen un álgebra booleana.
Ejemplos
Cada conjunto totalmente ordenado que es un reticulado acotado es también un álgebra completa de Heyting, donde ¬0 = 1 y ¬a = 0 para todo a con excepción de 0. Cada topología proporciona un álgebra completa de Heyting en forma de su reticulado de abiertos. En este caso, el elemento A => B es el interior de la unión de Ac y B, donde Ac denota el complemento del conjunto abierto A. No todas las álgebras completas de Heyting son de esta forma. Estos temas se estudian en topología sin puntos, donde las álgebras completas de Heyting también se llaman marcos o locales.
El álgebra de Lindenbaum de la lógica intuicionista proposicional es un álgebra de Heyting. Se define como el conjunto de todas los fórmulas de la lógica proposicional, ordenado vía el condicional lógico: para cualesquiera dos fórmulas F y G tenemos F≤G si y sólo si F |= G. En esta etapa ≤ es simplemente un preorden que induce un orden parcial que es el álgebra deseada de Heyting.
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El ĂĄlgebra de Heyting sobre un generador, tambiĂŠn conocido como reticulado de RiegerNishimura
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Número de Dedekind_____________________ El retículo distributivo libre sobre un conjunto de generadores G puede construirse más fácilmente que un retículo libre general. Una primera observación es que, usando las propiedades de distributividad, cada término formado por los operadores binarios V y Ʌen un conjunto de generadores puede ser transformado equivalentemente en la siguiente forma normal:
M1 V M2 V… V Mn Donde Mi son meets finitos de elementos de G. Además, como el meet y el join son conmutativos e idempotentes, se pueden ignorar los órdenes y los duplicados, para así representar un join de meets como el de arriba como un conjunto de conjuntos:
{N1, N2,..., Nn}, Donde Ni son subconjuntos finitos de G. Sin embargo, es todavía posible que dos de estos términos denoten el mismo elemento de retículos distributivos. Esto ocurre cuando existen índices j y k tales que Nj es un subconjunto de Nk. En este caso el meet de Nk estará debajo del meet de Nj, y por lo tanto se puede retirar con seguridad el conjunto redundante Nk sin cambiar la representación del término total. En consecuencia, un conjunto de subconjuntos finitos de G se llamará irredundante siempre que todos sus elementos Ni sean mutuamente incomparables (con respecto al ordenamiento del subconjunto); lo que se cumple cuando este forma una anticadena de conjuntos finitos.
Ahora el retículo distributivo libre sobre un conjunto de generadores G es definido como el conjunto de todos los conjuntos irredundantes finitos de subconjuntos de G (o lo que es lo mismo, como un hipergrafo irredundante). El join de dos conjuntos finitos irredundantes se obtiene de sus uniones removiendo todos los conjuntos redundantes. Asimismo, el meet de dos conjuntos S y T es la versión irredundante de {N∩M | N en S, M en T}. Esta estructura es un retículo distributivo con la requerida propiedad universal.
El número de elementos en un retículo distributivo libre con n generadores está dado por los números de Dedekind. Estos números crecen rápidamente, y son conocidos sólo para n ≤ 8;
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En combinatoria, los números de Dedekind son una sucesión entera de rápido crecimiento cuyo nombre se dio póstumamente en honor a Richard Dedekind, quien las definió por primera vez en 1897. El número de Dedekind M(n) corresponde, equivalentemente, a lo siguiente:
El número de funciones booleanas monótonas de n variables. El número de anticadenas de subconjuntos de un conjunto de n elementos. El número de elementos en un retículo distributivo libre con n generadores. El número de juegos simples irredundantes definibles sobre n jugadores. El número de hipergrafos minimales completos, definibles sobre un conjunto base de cardinalidad n. El número de familias de Sperner sobre un conjunto de n elementos. Encontrar una expresión matemática de forma cerrada para M(n) se conoce como el Problema de Dedekind. Aunque existen aproximaciones asintóticas que estiman este número,2 3 4 y una expresión exacta en forma de sumatoria,5 el cómputo de M(n) sigue siendo ineficiente, y sus valores exactos sólo se conocen para valores n ≤ 8.6
Ejemplo Para n = 2, existen seis funciones booleanas monótonas y seis anticadenas de subconjuntos del conjunto de dos elementos {x,y}:
La función f(x,y) = falso, que ignora sus valores de entrada y siempre retorna falso, corresponde a la anticadena vacía Ø. La conjunción lógica f(x,y) = x ∧ y corresponde a la anticadena { {x,y} }, que contiene al conjunto {x,y}. La función f(x,y) = x, que ignora su segundo argumento y retorna el primero, corresponde a la anticadena { {x} } que contiene al conjunto {x}. La función f(x,y) = y, que ignora su primer argumento y retorna el segundo, corresponde a la anticadena { {y} } que contiene al conjunto {y}. La disyunción lógica f(x,y) = x ∨ y corresponde a la anticadena { {x}, {y} }, que contiene a los dos conjuntos {x} e {y}.
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La función f(x,y) = verdadero, que ignora sus valores de entrada y siempre retorna verdadero, corresponde a la anticadena {Ø} que contiene sólo al conjunto vacío.
Los retículos distributivos libres de funciones booleanas monótonas sobre 0, 1, 2 y 3 argumentos.
Valores conocidos Los valores exactos de los números de Dedekind se conocen para 0 ≤ n ≤ 8. La siguiente tabla muestra tales números, junto con el año y la publicación en que fueron calculados:
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Número M(n) 2 3 6 20 168 7581 7828354 2414682040998 56130437228687557907788
Año 19401 19401 19401 19401 19401 19407 19468 19659 y 197610 19916
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Gráfica de los números de Dedekind conocidos, donde se aprecia el crecimiento exponencial de la sucesión.
Si n es un número par, entonces M(n) también debería serlo. El cálculo de M(5) = 7581 fue el contraejemplo que desaprobó una conjetura realizada por Garrett Birkhoff que decía que M(n) es siempre divisible por (2n - 1)(2n - 2) Fórmula con sumatoria Andrzej Kisielewicz en 1988 demostró la siguiente fórmula para los números de Dedekind:
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Donde
Sin embargo, esta fórmula no es útil para el cómputo de los valores de M(n) para n grandes, debido al gran número de términos en la sumatoria.
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