UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
CARRERA: ECONOMÍA
PRODUCTO ACREDITABLE II
TUTOR: Ing. Roberto Valencia
INTEGRANTES: Danilo Chanataxi Mónica Jara Diana Olivarez Viviana Padilla NIVEL: 2do “B” Septiembre 2013-Febrero 2014 Producto Acreditable 1
Contenido INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 4 ANTECEDENTES .............................................................................................................................. 4 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN ......................................................... 6 Ejercicio Nº 2 ...................................................................................................................................... 7 Ejercicio Nº 3 ...................................................................................................................................... 8 Ejercicio Nº 4 ...................................................................................................................................... 9 Ejercicio Nº 5 .................................................................................................................................... 10 Ejercicio Nº 6 .................................................................................................................................... 11 Ejercicio Nº 7 .................................................................................................................................... 12 Ejercicio Nº 8 .................................................................................................................................... 13 Ejercicio Nº 9 .................................................................................................................................... 14 Ejercicio Nº 10 .................................................................................................................................. 15 Ejercicio Nº 11 .................................................................................................................................. 17 Ejercicio Nº 12 .................................................................................................................................. 18 Ejercicio Nº 13 .................................................................................................................................. 19 Ejercicio Nº 14 .................................................................................................................................. 20 Ejercicio Nº 15 .................................................................................................................................. 21 Ejercicio Nº 16 .................................................................................................................................. 22 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ................................................................................................................. 23 Ejercicio Nº 17 .................................................................................................................................. 23 Ejercicio Nº 18 .................................................................................................................................. 24 Ejercicio Nº 19 .................................................................................................................................. 25 APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS A LA ECONOMÍA ........................................................... 26 Ejercicio Nº 1 .................................................................................................................................... 26 Ejercicio Nº 2 .................................................................................................................................... 29 Ejercicio Nº 3 .................................................................................................................................... 30 Ejercicio Nº 4 .................................................................................................................................... 30 Ejercicio Nº 5 .................................................................................................................................... 31 Ejercicio Nº 6 .................................................................................................................................... 32 Ejercicio Nº 7 .................................................................................................................................... 33 Ejercicio Nº 8 .................................................................................................................................... 34
2
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 9 .................................................................................................................................... 34 Ejercicio Nº 10 .................................................................................................................................. 35 Ejercicio Nº 11 .................................................................................................................................. 35 Ejercicio Nº 12 .................................................................................................................................. 36 Ejercicio Nº 13 .................................................................................................................................. 36 Ejercicio Nº 14 .................................................................................................................................. 37 Ejercicio Nº 15 .................................................................................................................................. 37 Ejercicio Nº 16 .................................................................................................................................. 38 Ejercicio Nº 17 .................................................................................................................................. 39 ANEXOS........................................................................................................................................... 39
INTRODUCCIÓN Sc
3
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
INTRODUCCIÓN La determinación de máximos y mínimos de funciones algebraicas son una de las partes
mas
importantes
de
las
aplicaciones
de
las
derivadas,
estas aplicaciones cubren diferentes áreas de aplicación en las ciencias de ingenierías, en la economía entre otras carreras universitarias. Es necesario conocer los diferentes métodos para resolver derivadas y las funciones cabe recalcar que se aplicara algebra y varios métodos para poder resolver las derivadas para poder tener
la
solución
y
determinación de máximos
y
mínimos de
una
función algebraica.
Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando:
costo,
ingreso,
beneficio
o
producción.
En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente como un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.
4
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
ANTECEDENTES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN Pasos para resolver: 1. Sacamos el dominio de la función 2. Encontramos la primera derivada 3. Dicha derivada igualamos a cero; y encontramos las raíces utilizando propiedades matemáticas. Dichos puntos se llaman puntos críticos que son candidatos a ser máximos o mínimos; los números que no pertenecen al dominio también se denominan puntos críticos, pero solo para su respectivo análisis. 4. Formamos intervalos con los puntos críticos y representamos en la recta numérica. 5. Evaluamos en la derivada los signos en cada uno de los intervalos, si es positivo es creciente y si es negativo es decreciente. 6. Si en los intervalos pasa de positivo a negativo hay punto máximo; si pasa de negativo a positivo hay punto mínimo; y si no hay cambio de signo de positivo a negativo ó de negativo a positivo no existe punto máximo ni mínimo. 7. Graficar.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS Pasos para resolver: Si una función es derivable por 2da vez podemos encontrar el punto máximo y mínimo sin necesidad de realizar los intervalos. Simplemente encontramos los puntos críticos y dichos puntos críticos reemplazamos en la segunda Para realizar la segunda derivada hay que seguir los pasos de máximos y mínimos .
5
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones, graficar utilizando el programa Scientific WorkPlace, y expresar los puntos Máximos y Mínimos en notación de par ordenado P(x,y)
Ejercicio Nº 1 ( )
Dominio: Todos los reales (R)
( ) ( )
Punto Crítico Intervalo (
)
X=0 ( )
Intervalo (
)
X=3 ( )
( )
( )
( )
( )
Punto Mínimo (2;-3) ( ) ( )
( )
( )
6
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 2 ( )
Dominio: Todos los reales (R)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
Punto Crítico Intervalo
Punto Mínimo
( )
7
(
)
(
)
(
)
(
)
(
R= (
)
)
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
y 180 160 140 120 100 80 60 40 20 -5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-20 -40 -60
Ejercicio Nº 3 ( )
Dominio: Todos los reales (R)
( ) ( )
(
)(
)
Punto Crítico Punto Crítico
+++++++++++ ------------------------------- +++++++++++++++ -∞ Intervalo (-∞ ; -2) (
)
(
1Minimo
-2 Máximo
)
Intervalo (1; +∞)
Intervalo (-2; 1) (
)
( )
( )
+∞
( )
( )
( )
( )
Producto Acreditable 8
(
( )
)
( )
y 200
100
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-100
Ejercicio Nº 4 ( )
Dominio: Todos los reales (R)
( )
y 4
( )
2
-5
( )
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2 -4
( )
-6
( ) ( ) √
-8
√
-10 -12
( ) Punto Crítico
9
( )
( )
( )
( ) Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
5
x
( ) ( ) ( ) ( ) √
√ (
( )
)
Ejercicio Nº 5 ( )
(
Dominio: R
)
(
( )
) (
(
)
(
)
)
(
)
Intervalo (
)
(
)
)
(
(
{1}
)
Intervalo (
)
X=-1 X=2 (
) (
) (
) (
( (
)
)
( )
( ) (
) (
( ( )
)
)
) ( )
(
10
) Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Punto mínimo (1; 1) y
10
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
Ejercicio Nº 6
( )
√
( )
Dominio= [-1; +∞ ) √
( ) √ (
) Punto Crítico
++++++++++++++++++++++++ -1Creciente
Intervalo (-1 ; 0) (
)
√(
0
+∞
Intervalo (-1 ; 0) )
( )
√( )
Producto Acreditable 11
(
)
( ) y
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-1
0
1
2
3
4
5
x
Ejercicio NÂş 7 ( )
Dominio: R
{2}
( ) ( )
(
( (
)
) ) Punto CrĂtico )
Intervalo ( X=-3 (
)
Intervalo ( X=0
)
(
)
( )
(
)
( )
12
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
( ) No hay máximos ni mínimos y 2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
Ejercicio Nº 8 ( )
Dominio: R
{0}
f´(x) = f´(x) = 0 =0 Intervalo (0;
+)
=0 ( ) =0 ( ) (
)
=0
( )
(1)* (7)
X=0 Punto crítico
13
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
y
12
10
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Ejercicio Nยบ 9
( )
14
(
)
( )
(
( )
(
( )
(
Dominio: Todos los Reales (R)
) )
(
)(
(
)
) )
( )
(
)
( )
(
)= 0
( )
(
)
( )
(
)
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Aplicamos Formula General ( )(
√
)
√
+++++++++++++ +++++++++
( ) √
y Punto Crítico
7000 6000
Punto Crítico
5000
No hay máximos ni mínimos 4000 3000 2000 1000
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Ejercicio Nº 10 ( )
(
)
( )
( (
(
)(
(
)
x=0
15
Dominio: Todos los Reales )
)
) (
) x=
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
4
5
x
( )
(
( )
(
) )
( ) Punto mรกximo (
16
)
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 11
( )
( )
√
( )
( )
( )
√
√
0
√
( ) ( )
√
( )
√
y 300
200
100
0 0
17
1
2
3
4
5
x
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 12 ( )
Dominio= R-{0}
( ) ( )
Punto Crítico
+++++++++++++ -------------0
Intervalo (0; 2,7182)
18
2,7282 Máximo +∞
Intervalo (2,7182 ; +∞ )
( )
( )
( )
( )
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 13 ( )
√
Dominio: Todos los reales (R) √
( )
√ Punto Crítico √
√ √ √ )
Intervalo ( X=0
X=3
( ) ( )
)
Intervalo (
√ 1
( )
√
( )
No hay máximos ni mínimos
19
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 14
( )
(
)
( )
(
)
Dominio: Todos los reales (R) (
)
( ) (
)
(
)
Punto Crítico
---------------------- ++++++++++ 0
Intervalo (0,5 ; +∞ )
Intervalo (0 ; 0,5)
20
(
)
(
)
(
+∞
0,5 Mínimo
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 15 ( )
Dominio= R-{2} (
( )
) (
( )
(
)
)
( ) (
) (
)
Punto Crítico
++++++++++ 0
)
(
)
(
) (
+∞
1 Máximo
Intervalo (0 ; 1) (
------------
Intervalo (0,5 ; +∞ ) (
)
( )
)
( )
( )
(
)
( )
y
10 8 6 4 2
-5
-4
-3
-2
-1
1 -2
2
3
4
5
x
-4 -6 -8
21
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 16
( )
Dominio= R-{0}
( ) ( )
Punto Crítico Intervalo (-∞ ; 1) (
)
(
)
(
Intervalo (1 ; +∞ ) (
)
(
)
(
)
)
y 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -5
22
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
MÁXIMOS Y MÍNIMOS Calcular los puntos máximos y mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada, graficar utilizando el programa Scientific WorkPlace, y expresar los puntos en notación de par ordenado P(x,y) Ejercicio Nº 17 ( )
Dominio: Todos los Reales (R)
( ) ( )
(
)
( )
(
)=0
x=0
x= -2
x=2
( ) ( ) ( )
(
) ( )
(
)
x=2
y
x=-2
400
300
200
100
-5
23
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nยบ 18
( )
(
)
( )
(
)
( )
[
( )
[
(
] ]
)(
( )
(
( )
[ ( )
( )
Dominio: Todos los Reales (R)
)
)
[ ]
( ]
) [ ( )
( )
]
[ ]
( )
24
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
y
7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Ejercicio Nยบ 19 ( )
(
( )
( (
(
)(
(
)
Dominio: Todos los Reales (R) )
)
) (
x=0 ( )
)
)
x=
(
)
( )
25
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Punto mínimo (0; 0)
Punto máximo (
)
( )
( )
(
( )
)
1,69
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS A LA ECONOMÍA
Ejercicio Nº 1 Si C(x) es la función de costo de un producto, calcule: El costo de producción de 100 unidades. Encuentre las funciones de costo medio y marginal y obtenga sus valores en x=100
1.
( )
( )
Costo de Producción:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Costo Medio: ( )
Costo Marginal:
( ) ( )
( )
(
)
( ) ( ) Producto Acreditable 26
2. C(x)=
( )
Costo de Producción:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Costo Medio: ( )
Costo Marginal:
( ) ( )
( )
(
)
( ) ( )
3. C(x)=
27
( )
Costo de Producción:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Costo Medio: ( )
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Costo Marginal:
( ) ( )
( )
( )
0.2
(
)
( )
4. C(x)=
( )
Costo de Producción:
( )
( )
( )
( )
Costo Medio: ( )
( )
( )
( )
Costo Marginal (DERIVAR):
( ) ( ) ( )
Producto Acreditable 28
Ejercicio Nº 2 Un fabricante de moto5res pequeños calcula que el costo de producción de x unidades al día esta dado por C(x)= Compare el costo marginal de producir 5 motores con el costo de la producción del sexto motor.
Costo Marginal (DERIVAR):
Costo de la producción del sexto motor. (Ecuación original)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Costo de la producción del quinto motor. (Ecuación original)
( )
29
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
( )
( ) ( )
Diferencia del sexto motor menos el quinto motor ( )
Ejercicio Nº 3 Una compañía lleva a cabo una serie de pruebas piloto para la producción de un nuevo solvente industrial, y encuentra que el costo para producir x litros para cada prueba esta dado por ( )
.
Compare el costo marginal de producir 10 litros con el costo de producir el undécimo litro.
( )
.
( )
Costo marginal
(
)
(
)
(
)
(
)
Costo marginal para producir 10 unidades
Costo marginal para producir 11 unidades
Ejercicio Nº 4 Suponga que C(x) dólares es el costo total para la fabricación de x juguetes y que: ( )
. Determine la función de costo medio y el costo marginal
para 50 juguetes y el costo de fabricación del juguete numero 51. ( ) ( )
30
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Costo medio de 50 unidades
( ) ( ) (
)
(
)
(
)
Costo marginal de 50 unidades
( ) (
)
(
)
( ) (
C (51)-C (50)=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Costo de fabricaci贸n del juguete 51
Ejercicio N潞 5 Suponga que R(x) d贸lares es el ingreso total por la venta de x mesas, y que: ( ) Determine: a) La funci贸n del ingreso marginal cuando x=40. b) El ingreso de la venta por la venta de la mesa 41.
a)
31
( ) Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
( ) (
)
(
)
Ingreso marginal ( )
b) (
)
(
)
Ingreso de la venta
Ejercicio N潞 6 El ingreso total recibido por la venta de x escritorio en R(x) d贸lares, en donde ( ) a) La funci贸n de ingreso marginal b) El ingreso marginal cuando x=30 c) El ingreso real por la venta del escritorio 31 ( ) ( ) (
)
(
)
(
32
Ingreso marginal (
)
)
(
)
(
)
Ingreso marginal por 30 unidades (
)
(
)
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
R (21)-R (20)=
Ingreso real por la venta del numero 31
Ejercicio N潞 7 Si R(x) d贸lares es el ingreso total recibido por la venta de x equipos de televisi贸n, donde ( )
. Determine:
a) La funci贸n de ingreso marginal b) El ingreso marginal cuando x=20 c) El ingreso real por la venta del escritorio 21
( ) ( ) ( (
Ingreso marginal )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Ingreso marginal por 20 unidades
(
)
(
)
(
)
(
)
R (21)-R (20)=
33
)
Ingreso real por la venta del numero 21 Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 8 Si C(x) dólares es el costo total recibido por fabricar x pisapapeles, y ( ) Determinar: a) La función del costo marginal. b) El costo marginal cuando x=10. c) El costo real por la fabricación del onceavo pisapapeles. a.-
( )
( ) b.-
(
(
)
(
)
)
( )
c.-
(
(
)
(
)
(
)
)
( ) ( )
Ejercicio Nº 9 Para el caso de la función: C(x)= Determine el costo marginal como una función de x. Evalué el costo marginal cuando la producción esta dada por x=50, x=100 y x=150
C(50)=
34
C(50)=
C(x)= (
)
(
)
C(50)= Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
C(100)=
C(x)= C(100)=
(
)
(
)
(
)
(
)
C(100)=
C(x)=
C(150)= C(150)= C(150)=
Ejercicio Nº 10 En el caso de la función de costo ( ) marginal y el costo promedio de producir x ( ) (
)
(
)
(
)
determinar el costo artículos. (
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
Ejercicio Nº 11 Si la función de ingreso está dada por ( )
en donde x es el número de
artículos vendidos, determine el ingreso marginal. Evalúe el ingreso marginal cuando x=200 ( ) ( ) (
35
)
(
) Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
(
)
Ingreso marginal de 20 unidades
Ejercicio Nº 12 Determinar el ingreso marginal cuando x=300 se la ecuación de la demanda es: Donde p es el precio del artículo.
( )
( ) ( )
( )
(
)( )
( )
(
)(
( (
)
)
)
Ejercicio Nº 13 La ecuación de la demanda de cierto artículo es ( )
p+0.1x
y la función de costo es
. Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150
unidades y también en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades. Sugerencia. Recuerde que la función de ingreso esta dada por ( ) está dada
( )
( )
y que la utilidad generada
( )
La utilidad marginal es la derivada de
( )
( ) ( )
( ) ( )
36
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 14 Considere que una empresa que opera en el marcado bajo la siguiente función de costos totales
( )
con un precio de venta dado por el mercado de $20.00
por unidad. Dado esta información conteste las siguientes preguntas: a) Para maximizar las utilidades ¿Cuántas unidades debe producir la empresa? b) A cuanto asciende las unidades. 50u y 200
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
V(x)= Máximo ( ) ( )
A)
( )
B)
( ) ( ) ( (
(
)
(
)
) )
Ejercicio Nº 15 Las utilidades de una tienda que vende menudo son 100 y dólares cuando se gastan diariamente x dólares en publicidad y
. Utilice la derivada para
determinar si sería ventajoso que se incremente el presupuesto de publicidad si este es de 60 y 300.
Producto Acreditable 37
¿Cuál es el valor máximo para x bajo el cual es ventajoso incrementar el presupuesto de publicidad?
( (
)
)
No Ventajoso
Ventajoso
Ejercicio Nº 16 Las utilidades brutas anuales de una compañía en t años después del primero de enero del 2004 es, p millones de dólares, donde: Determine: La tasa a la que las utilidades brutas crecieron el primero de enero del 2006.
( ) ( )
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Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia
Ejercicio Nº 17 Cierta compañía inicio sus operaciones el 1° de abril de 2003. Las utilidades anuales brutas de la compañía después de T años de operación son P dólares en donde p .Determine la tasa a la cual la que crecieron las utilidades brutas el 1° de abril de 2007. ( ) ( ) ( )
( )
( )
ANEXOS Visita Nuestro Blogger: http://calculo1economia.blogspot.com/
39
Producto Acreditable Ing. Roberto Valencia