Μικρο 2 ασκησεις by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΘΕΟΧΑΡΑΚΗ-ΒΑΡΟΥΦΑΚΗ Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, σημειώσεις, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για οποιαδήποτε πληροφορία μπορείτε να επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com

ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Άσκηση 1 Προκειµένου να συµπληρώσουµε τον πίνακα, πρέπει να δούµε πως προκύπτει το κέρδος κάθε εταιρείας για κάθε συνδυασµό (QA,QB). Από το άθροισµα Q των QA και QB προκύπτει µέσω της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης (p=20-Q) η τιµή του προϊόντος. Π.χ. για QA = 3 και QB = 5, άρα Q=8, η τιµή είναι p=20-8=12. Με δεδοµένη την τιµή υπολογίζεται το έσοδο της εταιρείας Α, pQA=12*3=36 από το οποίο αφαιρείται το κόστος για το επίπεδο παραγωγής 3 που είναι C=16, άρα το κέρδος πΑ=36-16=20. Αντίστοιχα για την Β το κέρδος είναι 12*5-27=33. Γενικότερα, το κέρδος κάθε εταιρείας προκύπτει ως εξής: Από το άθροισµα των ποσοτήτων που παράγουν οι Α και η Β, QA και QB, προκύπτει η συνολική ποσότητα Q. Από την συνάρτηση ζήτησης p(Q) προκύπτει η τιµή p. Άρα τα έσοδα κάθε εταιρείας είναι Ri =p(Q)Qi όπου i=A,B. Το κόστος κάθε εταιρείας δίδεται από την συνάρτηση Ci(Qi), άρα το κέρδος κάθε εταιρείας είναι πi = Ri- Ci=p(Q) Qi- Ci(Qi). Συµπληρώνουµε έτσι τον πίνακα Πίνακας 1.1 QB πΑ,πΒ QA

- ΛΑ1.1 -

Υποερώτηση (α) Η Α δεν ξέρει τι θα παίξει η Β. Ξέρει όµως ποια θα ήταν η απάντησή της σε κάθε στρατηγική της Β. Αν η Β έπαιζε QB=3 η Α θα έπρεπε να απαντήσει µε QA =5 γιατί αυτή η στρατηγική µεγιστοποιεί τα κέρδη της (πΑ=33). Αν QA=3 ή 7, τα κέρδη θα ήταν 26 και 30 αντίστοιχα) Αν η Β έπαιζε QB =5 η Α θα έπρεπε να απαντήσει µε QA =5, διότι πΑ (5,5)=23 > πΑ (3,5)=20> πΑ (7,5)=16. Αντίστοιχα αν η Β έπαιζε QB=7 η Α θα έπρεπε να απαντήσει µε QA =3. Ο Πίνακας 1.2 συνοψίζει αυτές τις σκέψεις της Α τοποθετώντας σε κουτάκια τα µεγαλύτερα κέρδη της Α για κάθε στρατηγική (στήλη) της Β. Πίνακας 1.2 QB πΑ,πΒ

33 14

Η Β έχει την ίδια λογική. Αν η Α αποφασίσει να παράγει 3 µονάδες η Β θα πρέπει να παράγει 5. Αν η Α αποφασίσει να παράγει 5 µονάδες η Β θα πρέπει να παράγει 5, ενώ αν η Α αποφασίσει να παράγει 7 µονάδες η Β θα πρέπει να παράγει 3. Αυτό συνοψίζεται στον επόµενο πίνακα όπου αυτή τη φορά τα κουτάκια µας λένε ότι η καλύτερη απάντηση της Β στην επιλογή QA = 3 της Α είναι η επιλογή QA = 5. Πίνακας 1.3 QB πΑ,πΒ

30 14

- ΛΑ1.2 -

Από τον πίνακα 1.2, η Α βλέπει ότι οποιαδήποτε και αν είναι η επιλογή της Β, η στρατηγική QA=7 δεν είναι ορθολογική. Άρα διαγράφεται σαν πιθανή επιλογή. Το ίδιο ισχύει και για την Β (βλ. πίνακα 1.3). Και οι δύο γνωρίζουν ότι ο ανταγωνιστής τους είναι ορθολογικός, άρα ότι δεν πρόκειται να επιλέξει την στρατηγική Qi=7. Άρα διαµορφώνεται ένας νέος πίνακας (Πίνακας1.4) για την ανάλυση των στρατηγικών. Με σκοπό την εξαγωγή συµπερασµάτων από τις στρατηγικές σκέψεις και των δύο εταιρειών, εισάγουµε στο ίδιο πίνακα τα κουτάκια των πινάκων 1.2 και 1.3.

Πίνακας 1.4 Βελτίωση κατά Pareto

Σηµείο ισορροπίας Nash

πΑ,πΒ

30 14

∆ιαπιστώνουµε ότι στην τρίτη σειρά δεν υπάρχει κουτάκι σε κάποια από τις αποδόσεις της Α – άρα, η τρίτη στρατηγική της Α, Από τον νέο πίνακα βλέπουµε ότι για οποιαδήποτε επιλογή της Β (3,5 ή 7), η τρίτη στρατηγική της Α, η QΑ=7, δεν µεγιστοποιεί ποτέ τις αποδόσεις της Α ό,τι και να κάνει η Β. Συνεπώς την σκιάζουµε/διαγράφουµε. Το ίδιο ισχύει και για την αντίστοιχη στρατηγική της Β: για οποιαδήποτε επιλογή της Α (3,5 ή 7), η τρίτη στρατηγική της Β, η QΒ=7, δεν µεγιστοποιεί ποτέ τις αποδόσεις της Β ό,τι και να κάνει η Β. Συνεπώς την σκιάζουµε/διαγράφουµε και αυτήν. Κατόπιν παρατηρούµε ότι, αφού διαγράφτηκαν οι QΑ=7 και η QΒ=7, πρέπει να διαγραφούν και οι στρατηγικές QΑ=3 και η QΒ=3. Γιατί; Ο λόγος είναι ότι η Α θα επιλέξει ποσότητα 3 µόνο εάν περιµένει ότι η Β θα επιλέξει ποσότητα 7. Όµως µόλις προηγουµένως συµπεράναµε ότι η Β δεν θα επιλέξει ποτέ ποσότητα 7. Άρα ούτε η Α θα επιλέξει ποσό- ΛΑ1.3 -

τητα 3. Το ίδιο, βεβαίως (λόγω συµµετρίας) ισχύει και για την Β η οποία δεν θα επιλέξει ποτέ ποσότητα 3. Ποια ποσότητα αποµένει; Η ποσότητα 5 και για τις δύο. Άρα η ισορροπία είναι στο επίπεδο QA=QB=5. [Ερώτηση: Είναι προφανές ότι το σηµείο (3,3) µε κέρδη (26,26) αποτελεί βελτίωση κατά Pareto από το σηµείο ισορροπίας (5,5) µε κέρδη (23,23). Άρα και οι δύο ανταγωνιστές θα είχαν συµφέρον να κινηθούν προς τα εκεί. Γιατί δεν συµβαίνει αυτό;] Υποερώτηση (β) Στην περίπτωση αυτή, η Α έχει το πλεονέκτηµα να µπορεί να καθορίσει πρώτα η ίδια την ποσότητα που θα παράγει. Για να καθορίσει αυτή την ποσότητα έτσι ώστε να µεγιστοποιήσει τα κέρδη της, η Α υπολογίζει την αντίδραση της Β σε κάθε στρατηγική της. Ανατρέχοντας στο ∆ιάγραµµα 1β του Κεφαλαίου 1, η Α υπολογίζει την ορθολογική αντίδραση της Β στις δικές της πιθανές επιλογές ως εξής.

3 5 3

3 5

Β Β

5 7

3 7

Κέρδη Α 26 20 7 14 33 23 7 13 30 5 16 2

Κέρδη Β 26 33 30 20 23 16 14 13 2

Αν η Α επιλέξει επίπεδο παραγωγής 3, η Β θα επιλέξει 5, διότι έτσι µεγιστοποιεί τα κέρδη της (33, αντί για 26 ή 30). Αν η Α επιλέξει το 5, η Β πάλι θα επιλέξει το 5 (επειδή αποδίδει κέρδος = 23 αντί για 20 ή 16), ενώ αν η Α επιλέξει το 7, η Β θα επιλέξει το 3 (που αποδίδει κέρδος = 14, αντί για 13 ή 2). Άρα για κάθε επιλογή της η Α ξέρει τι θα επιλέξει η Β και ποια θα είναι τα δικά της κέρδη. Συγκεκριµένα, εάν επιλέξει 3 µονάδες το δικό της κέρδος θα είναι 20 – εάν επιλέξει 5 µονάδες, το κέρδος της ισούται µε 23 – εάν επιλέξει 7 µονάδες, το κέρδος της θα είναι 30. Προφανώς θα επιλέξει 7 µονάδες πα-

- ΛΑ1.4 -

ραγωγής και η Β θα απαντήσει παράγοντας 3 µονάδες. Άρα το σηµείο ισορροπίας είναι (7,3) µε (πΑ, πΒ)=(30,14).

Άσκηση 2 Υποερώτηµα (α): Επαναλαµβάνουµε την Άσκηση 1 µε τα νέα δεδοµένα. Έτσι για παράδειγµα για (QA, QB)=(3,5) έχουµε (πΑ,πB) = (20,29) εφόσον Q=QA +QB=3+5=8, τότε p=20-8=12 και πΑ = p QA - CA = 12*3-16=20 ενώ πB = p QB - CB =12*5-31=29. Άρα ο σχετικός πίνακας είναι: Πίνακας 2.1 QB πΑ,πΒ QA

-12

Με την ίδια λογική της Άσκησης 1, η Α υπολογίζει την απάντησή της σε κάθε στρατηγική της Β, το ίδιο και η Β. Ο πίνακας µε σηµειωµένες τις βέλτιστες στρατηγικές απαντήσεις είναι ο εξής: Πίνακας 2.1 QB πΑ,πΒ

30 13

-12

- ΛΑ1.5 -

Όπως και στην προηγούµενη άσκηση, η QA=7, δεν πρόκειται να επιλεγεί από την Α ανεξάρτητα µε το τι επιλέξει η Β. Οµοίως η Β δεν πρόκειται να επιλέξει την QΒ=7. Όµως ούτε οι QA=3 και QΒ=3 θα επιλεχτούν από τη στιγµή που η Α επιλέγει QA=3 µόνο όταν περιµένει ότι η Β θα επιλέξει QΒ=7 (κάτι που µόλις αποκλείστηκε). Συµπερασµατικά, η µόνη ορθολογική στρατηγική για την Α είναι QA=5. Η Β και για την Β η QΒ=5. Από την άλλη µεριά, ούτε η Β θα επιλέξει ποτέ QΒ=7. Όµως η Β είναι αδιάφορη µεταξύ των στρατηγικών QΒ=3 και QΒ=5 όταν περιµένει ότι η Α θα επιλέξει QΑ=5. Παρατήρησε ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν 2 ισορροπίες Nash: (5,3) και (5,5). Όταν έχουµε πολλαπλές ισορροπίες, η ανάλυση δεν µπορεί να µας υποδείξει ποια από αυτές θα παρατηρηθεί. Συµπέρασµα: Η Β έχει δύο βέλτιστες στρατηγικές απαντήσεις στην βέλτιστη στρατηγική επιλογή της Α QΑ=5 - τις QΒ=3 και την QΒ=5 που και οι δύο αποφέρουν το ίδιο κέρδος πΒ(5,3)= πΒ(5,5)=19. Το υπόδειγµα δεν µας δίνει λύση για το τι θα ακολουθήσει η Β. Η λύση (33,19) είναι Pareto βελτίωση της (23,19), αλλά δεν υπάρχει λόγος να την υιοθετήσει η Β. [Εξ άλλου και η λύση (26,25) είναι Pareto βελτίωση αλλά δεν υπερισχύει.] ∆εν µπορεί εξ άλλου να προτείνει – λόγω του τρόπου που είναι στηµένο το υπόδειγµα και την υπόθεση που έχουµε κάνει για τον χρόνο – να προτείνει η Α στην Β να δώσει µέρος από τα κέρδη της (33-23) αν η Β επιλέξει το επίπεδο παραγωγής 3. (Ερώτηση: Αν όντως µπορούσαν να γίνουν συναλλαγές και µεταβιβαστικές πληρωµές µεταξύ των εταιρειών, ποιο νοµίζετε ότι θα ήταν το αποτέλεσµα;)

Υποερώτηµα (β): Τώρα αν η Α επέλεγε πρώτη το επίπεδο της παραγωγής, θα έπρεπε να µπορεί να υπολογίσει ποια θα ήταν η στρατηγική µε την οποία θα απαντούσε η Β. Από τον πίνακα 2.3 προκύπτει ότι για την επιλογή της Α QA=3 η Β θα επέλεγε επίπεδο παραγωγής 5, για επίπεδο παραγωγής QA=7, η Β θα επέλεγε 3, ενώ για QA=5 η Β θα είχε δύο επιλογές µε το ίδιο κέρδος την QB=3 και την QB=5. Πάλι, η χρήση του δενδρικού διαγράµµατος (tree diagram), βοηθάει καλύτερα στην κατανόηση της σκέψης της Α.

- ΛΑ1.6 -

3 5 3

3 5

Β Β

5 7

3 7

Κέρδη Α 26 20 7 14 33 23 7 13 30 5 16 2

Κέρδη Β 25 29 16 19 19 12 13 9 -12

Η Α δεν επιλέγει την QA=3 γιατί οι άλλες στρατηγικές έχουν καλύτερο αποτέλεσµα (33 ή 23, 30). Το πρόβληµα για την Α είναι αν θα ακολουθήσει την επιλογή QA=7 µε βέβαιο κέρδος 30, ή την επιλογή QA=5 µε πιθανά αποτελέσµατα 33 και 23. Αν πίστευε ότι η Β θα ακολουθήσει την QB=3 θα υιοθετούσε την στρατηγική QA=5. Αν υποθέσουµε ότι η Α θεωρεί ότι ο Β θα παίζει την επιλογή QB=3 µε πιθανότητα q και την επιλογή QB=3 µε πιθανότητα 1-q, τότε η µαθηµατική ελπίδα της στρατηγικής QA=5 είναι Ε(πΑ(5,.))=qπΑ(5,3)+ (1-q)πΑ(5,5)=33q+23(1-q)=10q+23. Αυτό είναι µεγαλύτερο από το πΑ(7,3)=30 αν 10q+23>30 ⇒ q>0,7. Αν π.χ. η Β παίζει κορώνα γράµµατα για να αποφασίσει µεταξύ των δύο στρατηγικών, και η Α το γνωρίζει, θα επιλέξει την στρατηγική QA=7, επειδή q=0,5<0,7. Ουδετερότητα ως προς τον κίνδυνο (risk-neutrality). Αν η πιθανότητα q=0,7 τότε η µαθηµατική ελπίδα των κερδών της στρατηγικής 5 είναι ίση µε την το βέβαιο κέρδος της στρατηγικής 7. Το τι θα επιλέξει η Α εξαρτάται από την σχέση που έχει προς τον κίνδυνο. [Εσείς δέχεστε αδιαµαρτύρητα ένα παιχνίδι κορώνα-γράµµατα µηδενικής ελπίδας για οποιοδήποτε ποσό; (π.χ., (1000,-1000) (1.000.000,-1.000.000)]. Αν λοιπόν η Α αποστρέφεται τον κίνδυνο (risk-averse) τότε η βέβαια επιλογή είναι προτιµότερη από µια ίσης αξίας µαθηµατική ελπίδα. Αν είναι ουδέτερη ως προς τον κίνδυνο (risk-neutral) τότε είναι αδιάφορη µεταξύ των επιλογών, ενώ αν αγαπά τον κίνδυνο (risk-lover) τότε προτιµά την ίσης αξίας µαθηµατική ελπίδα από το βέβαιο κέρδος (έτσι τα καζίνο κερδίζουν το 1/37 των διακυβευµάτων από την ρουλέτα). Γενικά, στο παρόν βιβλίο, θα υποθέτουµε ότι η σχέση των επιχειρήσεων µε τον κίνδυνο είναι ουδέτερη.

Άσκηση 3 Υποερώτηµα (1) [Cartel] Η πρώτη περίπτωση όπου ο Α και η Β συµπράττουν σε cartel – λειτουργούν δηλαδή σαν µονοπώλιο – το καρτέλ A&B µεγιστοπoιεί τα κέρδη του (δηλαδή τα έσοδά του αφού το κόστος είναι µηδέν)

- ΛΑ1.7 -

max π = p (Q )Q = (1200 − Q )Q = 1200Q − Q 2 ⇒ Q

∂π = 1200 − 2Q = 0 ⇒ Q = 600 ∂Q p = 1200 − 600 = 600

1400

p, MR

1200

καµπύλη οριακού εσόδου

1000

καµπύλη ζήτησης

800 600 400 200

0 0

200

400

600

800

1000

1200

-200 -400 -600 -800 -1000 -1200

Υποερώτηµα (2) [∆υοπώλιο] (α) Cournot: Η απάντηση QA του Α για κάθε επίπεδο QB που προσδοκά να επιλέξει η Β προκύπτει ως εξής: max π A = p(Q A + QB )Q A = (1200 − Q A − QB )Q A = 1200Q A − Q A2 − QB Q A ⇒ QA

∂π A QB = 1200 − 2Q A − QB = 0 ⇒ Q A = 600 − ∂Q A 2

(RA )

Η τελευταία εξίσωση είναι η καµπύλη αντίδρασης (RA) του Α. Ανάλογα προκύπτει και καµπύλη αντίδρασης (RΒ) της Β.

QB = 600 −

QA 2

- ΛΑ1.8 -

( RB )

Επειδή αµφότεροι είναι ορθολογικοί και υπάρχει κοινή γνώση της ορθολογικότητας το σηµείο ισορροπίας θα είναι εκείνο που θα ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις. Άρα. Αντικαθιστούµε την RA στην RB και λύνουµε ως προς QB. Ύστερα από την RA προκύπτει η QA.

QB 2 = 600 − 300 − QB = 300 − QB ⇒ 2 4 4

600 −

QA ⇒ Q = 600 − 2 RA B 4 QB = 300 ⋅ = 400 3 Q 400 QA = 600 − B = 600 − = 400 2 2 QB = 600 −

Άρα και Q = 400 + 400 = 800 ⇒ p = 1200 - 800 = 400 1400

QB 1200

1000

800

Ιαορροπία Cournot-Nash

600

400

200

QA 0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

(β) Bertrand: Αν οι Α και Β παίζουν µε τις τιµές, τότε ο καθένας τους γνωρίζει ότι για οποιαδήποτε επίπεδο τιµής που θέσει ο άλλος, µπορεί να πάρει όλη την πελατεία µειώνοντας την τιµή κατά ένα ελάχιστο αριθµό ε. Η κοινή γνώση της ορθολογικότητας οδηγεί έτσι στον καθορισµό µιας τιµής η οποία ισούται µε το κόστος το οποίο είναι µη-

- ΛΑ1.9 -

δέν. Άρα σε αυτήν την περίπτωση η ισορροπία είναι αντίστοιχη µε εκείνη του τέλειου ανταγωνισµού: p=0 και Q=1200.

(γ) Stackelberg: Η Β έχει τώρα την ευχέρεια να ανακοινώσει την ποσότητα πριν από τον Α. Ξέρει όµως ότι ο Α είναι ορθολογικός και θα απαντήσει µέσω της δικής του εξίσωσης αντίδρασης RA στην ποσότητα που θα ανακοινώσει. Άρα η Β µεγιστοποιεί το κέρδος της λαµβάνοντας την RA ως δεδοµένη - δηλαδή ως τον περιορισµό της. Ουσιαστικά, υποκαθιστά την RA στην συνάρτηση κέρδους της πΒ και κατόπιν µεγιστοποιεί την τελευταία:

π B = p(QA + QB )QB = p( R A (QB ) + QB )QB ⇒ QB QB2 QB2   2 ) − QB  QB = 600QB + − QB = 600QB − ⇒ π B =  1200 − (600 −   2 2 2 ∂π B 2QB max π B ⇒ = 600 − = 600 − QB = 0 ⇒ QB = 600 ⇒ QB RA ∂QB 2 QA = 600 −

Άρα

600 = 300 2

Q = 600 + 300 = 900 ⇒ p = 1200 − 900 = 300

Υποερώτηµα (3) Εάν προστεθεί ένας τρίτος «παραγωγός» η ποσότητα του νερού µε την

οποία θα «εφοδιαστεί» η αγορά θα αυξηθεί και η συνεπώς τιµή θα πέσει. Ένας τέταρτος «παραγωγός» θα ρίξει (άθελά του /της) την τιµή και άλλο. κ.ο.κ. Εφόσον δεν µπορέσουν να τα βρούνε και να συνεργαστούν ουσιαστικά µειώνοντας την «παραγωγή» (δηλαδή σε αυτή την περίπτωση την πρόσβαση στο ρυάκι) η τιµή θα είναι αντιστρόφως ανάλογη του αριθµού των παραγωγών. Στο όριο η τιµή θα ισούται µε το οριακό κόστος παραγωγής (στην περίπτωση µας το νερό θα προσφέρεται δωρεάν). (Σηµ. Θα προσδιορίσουµε την µαθηµατική λύση του προβλήµατος σε µεταγενέστερη άσκηση.)

- ΛΑ1.10 -

Άσκηση 4 Υποερώτηµα (1) [Cartel] max π = p(Q )Q − C (Q ) = (1200 − Q )Q − 100Q ⇒ Q

∂π ∂p(Q ) ∂C (Q ) = Q + p( Q ) − = 1200 − 2Q − 100 = 0 ⇒ Q = 550 ∂Q ∂Q ∂Q

Υποερώτηµα (2)

(α) [Cournot] max π A = (1200 − Q A − QB )Q A − 100Q A max π B = (1200 − Q A − QB )QB − 100QB QA

∂π A Q = 1200 − 2Q A − QB − 100 = 0 ⇒ Q A = 550 − B 2 ∂Q A ∂π B Q = 1200 − Q A − 2QB − 100 = 0 ⇒ QB = 550 − A 2 ∂Q B

 ( R A )  ⇒ ( RB )  

QA 2 = 275 + Q A ⇒ Q = 275 ⋅ 4 = 366 2 Q A = 550 − A 3 3 2 4 366 23 Q = 366 23 QB = 550 − A = 550 − 2 2 p = 1200 − (366 23 + 366 23 ) = 466 23 550 −

(β) Bertrand p=

∂C = 100 ∂Q

p = 1200 − Q = 100 ⇒ Q = 1100

- ΛΑ1.11 -

(γ) Stackelberg QB − QB )QB − 100QB 2 ∂π B 550 = 0 ⇒ QB = 550 ⇒ QA = 550 − = 275 ∂ QB 2

π B = (1200 − 550 +

p = 1200 − (550 + 275) = 375

Υποερώτηµα (3) [Τέλειος ανταγωνισµός] p = MC = 100, Q = 1200 -100 = 1100

Άσκηση 5 Υποερώτηµα (1) [Cartel]

Στην περίπτωση αυτή συµφέρει αν συµπράξουν οι Α και Β να προµηθεύονται τα µπουκάλια από τον φίλο του Α. Η τιµή και η ποσότητα θα είναι όπως και στην άσκηση 4. Το ερώτηµα είναι πως θα µοιραστούν τα κέρδη οι δύο εταίροι αφού ο Α φέρνει κάτι παραπάνω στον συνεταιρισµό. Όπως φαίνεται από τους παρακάτω πίνακες ο Α συµφέρει να σπάσει το καρτέλ και να πάει σε λύση Cournot, αν η Β επιµείνει να µοιραστούν τα κέρδη δια του δύο. Το περιθώριο διαπραγµάτευσης καθορίζεται από τα όρια που δίνει η αµέσως επόµενη λύση. Τα κέρδη του Α σε λύση Cournot είναι 160000 ενώ της Β 90000, από το 151250 που θα έπαιρναν αν µοιραζόντουσαν τα µονοπωλιακά κέρδη δια του δύο.

- ΛΑ1.12 -

Υποερώτηµα (2) [Cournot] max π A = (1200 − Q A − QB )Q A − 100Q A max π B = (1200 − Q A − QB )QB − 200QB QA

Q ∂π A = 1200 − 2Q A − QB − 100 = 0 ⇒ Q A = 550 − B 2 ∂Q A Q ∂π B = 1200 − Q A − 2QB − 200 = 0 ⇒ QB = 500 − A ∂Q B 2 Q A = 550 −

500 − 2

 ( R A )  ⇒ ( RB )  

QA 2 = 400

QA 400 = 500 − = 300 2 2 p = 1200 − (400 + 300) = 500

QB = 500 −

(β) Bertrand Ο Α έχει την δυνατότητα να βάλει την τιµή του στο σηµείο που η Β θα πάψει να παράγει, δηλαδή, p A = MCB − ε = 200 − ε = p QB = 0 QA = 1200 − 200 = 1000 = Q (Πρέπει προηγουµένως να αποδείξετε ότι ο Α που λειτουργεί τώρα σαν µονοπωλητής δεν µπορεί να καθορίσει την τιµή του πραγµατικού µονοπωλητή. Ισχύει πάντοτε αυτό;) (γ) Stackelberg

π B = (1200 − Q A − QB )QB − 200QB , Q A = 550 − 450 = 325 2 p = 1200 − (450 + 325) = 425

⇒ QB = 450 ⇒ Q A = 550 −

- ΛΑ1.13 -

QB 2

Πίνακες Πίνακας Άσκησης 3 Μορφή αγοράς Προτεραιότητα καθορισµού µεταβλητής

CA CB p Q QA QB πΑ πΒ π

Μονοπώλιο

∆υοπώλιο Τέλειος Cournot Bertrand Stackelberg ανταγωνισµός

από κοινού ταυτόταυτόποσότητες χρονα πο- χρονα τιµές σότητες

0 0 600 600 300 300 180.000 180.000 360.000

0 0 400 800 400 400 160.000 160.000 320.000

Πρώτα η Β ποσότητα

0 0 0 1200 600 600 0 0 0

0 0 300 900 300 600 90.000 180.000 270.000

ταυτόχρονα ποσότητες

0 0 0 1200 1/n 0 0

Πίνακας Άσκησης 4 Μορφή αγοράς

Μονοπώλιο

∆υοπώλιο

Προτεραιότητα από κοι- ταυτόχρονα ταυτόκαθορισµού µε- νού ποσό- ποσότητες χρονα τητες τιµές ταβλητής

CA CB p Q QA QB πΑ πΒ π

100 100 650 550 275 275 151.250 151.250 302.500

Τέλειος α-

Cournot Bertrand Stackelberg νταγωνισµός

100 100 466,667 733,333 366,667 366,667 134.444 134.444 268.889

100 100 100 1100 550 550 0 0 0

- ΛΑ1.14 -

Πρώτα η Β ποσότητα

100 100 375 825 275 550 75625 151250 226875

ταυτόχρονα ποσότητες

100 100 100 1100 1/n 0 0

Πίνακας Άσκησης 5 Μονοπώ∆υοπώλιο λιο Cournot Bertrand Stackelberg Προτεραιόαπό κοι- ταυτόχρονα ταυτόΠρώτα η Β τητα καθορι- νού ποσό- ποσότητες χρονα τιποσότητα σµού µεταβλητητες µές Μορφή αγοράς

τής

CA CB p Q QA QB πΑ πΒ π

100 200 650 550 550 0 151.250 151.250 302.500

100 200 500 700 400 300 160.000 90.000 250.000

100 200 200 1000 1000 0 100.000 0 100.000

100 200 425 775 325 450 105625 101250 206875

Άσκηση 6 Cournot

1. Βρίσκουµε τις συναρτήσεις αντίδρασης της Α και Β, RA & RB αντίστοιχα. 2. Λύνουµε τις εξισώσεις αντίδρασης, και βρίσκουµε τις ποσότητες της Α και Β, QA & QB αντίστοιχα 3. Αθροίζοντας τις ποσότητες και µέσω της συνάρτησης ζήτησης βρίσκουµε την τιµή, p.

- ΛΑ1.15 -

Βήµα 1. Το κέρδος της Α είναι π A = pQA − C A . Αντικαθιστώντας στην εξίσωση τις συ-

ναρτήσεις τιµής και κόστους προκύπτει:   p = 2 0 − Q A − Q B  ⇒ π A = (2 0 − Q A − Q B )Q A − (5 + Q A 2 ) = 2 0 Q A − Q A 2 − Q B Q A − 5 − Q A 2 ⇒  C A = 5 + Q A2  2 π A = 20Q A − 2 Q A − Q B Q A − 5

π A = pQ A − C A

Η µεγιστοποίησή του π A προϋποθέτει ότι η πρώτη παράγωγος ως προς την ποσότητα QA είναι ίση µε µηδέν1. ∂π A = 20 − 4 Q A − Q B = 0 ∂Q A

Λύνοντας ως προς QA έχουµε την συνάρτηση αντίδρασης RA:

QA = 5 −

QB 4

την οποία µπορούµε επίσης να εκφράσουµε και σαν συνάρτηση του QΑ : R A′ :

Q B = 20 − 4 Q A

Αντίστοιχα, για την επιχείρηση Β, έχουµε π B = 20Q B − 2 Q B 2 − Q B Q A − 5 ∂π B max π B ⇒ = 20 − 4Q B − Q A = 0 ⇒ Q ∂Q B B

RB :

QB = 5 −

QA 4

Βήµα 2. Από τις δύο εξισώσεις αντίδρασης έχουµε: R A′ : RB :

Q B = 20 − 4 Q A  QA  ⇒  ⇒ Q B = 20 − 4 Q A = 5 − QA 4 QB = 5 −  4  Q 20 − 4 Q A = 5 − A ⇒ 80 − 16 Q A = 20 − Q A ⇒ 4 x4 60 QA = = 4 15

Από οποιαδήποτε συνάρτηση αντίδρασης, έστω την RB, προκύπτεί ότι:

2 Παρατηρείστε επίσης ότι πληρούται η συνθήκη δευτέρας τάξεως εφόσον ∂ π A = − 4 < 0 ∂Q A2

- ΛΑ1.16 -

QB = 5 −

RB :

QA 4 = 5− = 5−1⇒ 4 4

QB = 4

Βήµα 3. Αλλά

∑Q

i = A, B

= QA + QB = 4 + 4 = 8

p = 20 −

και από την συνάρτηση ζήτησης έχουµε:

∑Q

= 20 − 8 ⇒

∑Q

= 8,

i = A, B

p = 12

Άρα η ισορροπία Cournot

i= A,B

p = 12

είναι

25 QB 20

Σηµείο ισορροπίας Cournot-Nash

5 QA 0 0

Bertrand

Στην λύση Bertrand οι επιχειρήσεις δεν αποφασίζουν ποια ποσότητα θα παράγουν αλλά σε ποια τιµή θα πουλήσουν το προϊόν τους. Αν η τιµή του Α (ή Β) είναι έστω και ελάχιστα χαµηλότερη του Β (ή Α), ο Α (ή Β) έχει όλη την αγορά δική του και η ζήτηση του Β (ή Α) είναι µηδενική. Όταν οι τιµές είναι ίδιες, οι δύο ανταγωνιστές µοιράζονται την αγορά. pi > p j ⇒ Qi = Q , Q j = 0

i = A, B

pA = pB = p ⇒ Q A = QB =

Q 2

- ΛΑ1.17 -

j≠i

(Υποθέτουµε δηλαδή ότι τα προϊόντα είναι πανοµοιότυπα και δεν υπάρχει προτίµηση για αγορά από έναν από τους δύο2.) Άρα ο ανταγωνισµός αυτός οδηγεί σε συνεχή3 πτώση των τιµών µέχρις ότου τα κέρδη να είναι µηδενικά.4 Ας υποθέσουµε ότι η Α περιµένει ότι η Β θα επιλέξει την ποσότητα pB = x . Η καλύτερη «απάντηση» είναι η επιλογή από την ίδια της τιµής p A = x − ε όπου ε > 0 αλλά πολύ, πολύ µικρό (π.χ., 1 δραχµή). Με αυτό τον τρόπο η Α θα «κλέψει» όλη της πελατεία της Β. Βέβαια για να την ενδιαφέρει κάτι τέτοιο, πρέπει η τιµή p A = x − ε να είναι µεγαλύτερη του µέσου κόστους (AC) της Α. Πρόσεξε ότι το µέσο κόστος της Α εξαρτάται από την ποσότητα που θα παραγάγει. Πόση είναι αυτή η ποσότητα; Εάν p A = x − ε και

pB = x , τότε η ζήτηση προϊόντος από την Α θα ισούται µε 20 − x + ε µονάδες.

Αυτό

όµως δεν σηµαίνει ότι η Α θα θελήσει να ικανοποιήσει όλη αυτή τη ζήτηση. Ο λόγος είναι ότι στην τιµή p A = x − ε , και δεδοµένου ότι η τιµή της Β είναι µεγαλύτερη( pB = x ), η Α δεν θα πουλήσει ποσότητα πάνω από αυτή που αντιστοιχεί στην ισότητα

p A = MC A = 2QA (διαφορετικά δεν θα µεγιστοποιούσε το κέρδος της). Άρα, εφόσον η Α προσδοκά ότι η Β θα επιλέξει τιµή pB = x , η βέλτιστη επιλογή τιµής της Α είναι η τιµή p A = x − ε υπό την προϋπόθεση:

Π:

p A = x − ε > AC A (QA ) =

5 + QA QA

Η παραπάνω προϋπόθεση Π µας λεει ότι η επιχείρηση Α θα πρέπει σε αυτήν την τιµή να καλύπτει το µέσο της κόστος - δεδοµένου του προϊόντος QΑ που θα διοχετεύσει στην α2

Οι δυο πωλητές παγωτών της παραλίας είναι το ίδιο κοντά σε όλους τους λουόµενους, δεν είναι φίλοι ή εχθροί κανενός και έχουν το ίδιο πλατύ χαµόγελο, στεντόρεια φωνή και ωραίο σώµα. 3 Όταν λέµε «συνεχή» δεν εννοούµε στον χρόνο. Ο χρόνος σε αυτά τα υποδείγµατα είναι παγωµένος. Εννοούµε συνεχή πτώση των τιµών στο νοητικό πείραµα (Gedankenexperiment) που κάνει ο κάθε ανταγωνιστής στο κεφάλι του. «Αν η τιµή µου είναι p, τι τιµή θα βάλει εκείνος, .. µα αν βάλει εκείνος τόσο, τότε εγώ µπορώ να βάλω p-ε, τότε εκείνος θα βάλει p-ε-ε, κτλ.»

- ΛΑ1.18 -

γορά. Εφόσον οι τιµές των Α και Β όντως διαµορφωθούν σε p A = x − ε και pB = x αντίστοιχα, τότε η Α θα προσφέρει στην αγορά ποσότητα QΑ τέτοια ώστε p A = MC A = 2QA , όπως είδαµε προηγουµένως. Συνεπώς, Q A =

pA x − ε = . Υποκαθιστώντας στις (α) και 2 2

(β) βρίσκουµε πως η Π απλοποιείται5 σε Π΄: Π ′ : x − ε > 2 5 και, επειδή εξ ορισµού ε > 0 ⇒ x > 2 5

Εάν δεν ισχύει η Π΄, τότε δεν συµφέρει την Α να ρίξει την τιµή της κάτω του x γιατί σε αυτή την περίπτωση θα «κερδίσει» βέβαια την αγορά από την Β αλλά τα κέρδη της θα είναι αρνητικά. Το αυτό ισχύει και για την Β. Εφόσον πιστεύει πως η τιµή της Α θα είναι p A = y , τότε η δική της βέλτιστη απάντηση είναι η pB = y − ε , εφόσον βέβαια ισχύει η ανισότητα y − ε > 2 5 .

Περιληπτικά, έχουµε τις εξής συναρτήσεις βέλτιστων επιλογών οι οποίες δίνουν για την κάθε επιχείρηση τη βέλτιστη τιµή της (δεδοµένων των προσδοκιών της για την τιµή της ανταγωνίστριας):

RA :

p A = x − ε εφόσον προσδοκά ότι pB = x και x > 2 5

RB :

pB = y − ε εφόσον προσδοκά ότι p A = y και y > 2 5

Προφανώς ισορροπία Nash έχουµε µόνο όταν ε = 0 (δηλαδή, ούτε η Α ούτε η Β προσβλέπουν σε τιµή µικρότερη του ανταγωνισµού) και p A = pB = 2 5 . Σύντοµη απόδειξη: Πρόκειται για το µόνο συνδυασµό τιµών που επιβεβαιώνει τις προσδοκίες οι οποίες ωθούν τις Α και Β στο να τις επιλέξουν. Π.χ. ο µόνος τρόπος p A > pB = x = y = 2 5 είναι να σφάλει η Α για τη τιµή που θα επιλέξει η Β (αλλιώς δεν θα επέλεγε µεγαλύτερη τιµή

Πρέπει δε να δειχτεί ότι όταν τα κέρδη είναι µηδενικά, οποιαδήποτε περαιτέρω πτώση των τιµών θα οδηγήσει σε αρνητικά κέρδη

x −ε >

5 x −ε

x −ε 2

⇒ x−ε >

10 x −ε

x−ε 2

⇒ ( x − ε ) > 10 + 2

- ΛΑ1.19 -

(x − ε) 2

⇒

(x − ε) 2

> 10 ⇒ x − ε > 2 5

από εκείνη της Β). Είναι, λοιπόν, ο µόνος συνδυασµός τιµών έτσι ώστε οι προσδοκίες που τον «δηµιούργησαν» επιβεβαιώνονται ταυτόχρονα. Έτσι

βρήκαµε

την

ισορροπία

Bertrand-Nash

στην οποία οι τιµές

είναι :

p A = pB = 2 5 ≈ 4.47 , η παραγωγή της κάθε µιας εταιρείας Q A = QB = p 2 = 5 και τα

(

κέρδη τους µηδενικά: π A = π B = 2 5

)

5 −5−

( 5)

= 0 . Παρατηρούµε όµως και κάτι

άλλο που έχει ενδιαφέρον: (α) Η κάθε επιχείρηση παράγει την ποσότητα που ελαχιστοποιεί το µέσο κόστος παραγωγής (και, εξ ορισµού, θέτει το µέσο ίσο µε το οριακό κόστος) (β) Οι καταναλωτές ζητούν περισσότερο από το προσφερόµενο προϊόν σε αυτή την τιµή. Η παρατήρηση (α) συνάδει πλήρως µε τις προσδοκίες µας µιας και επιβεβαιώνει ότι στην ισορροπία Bertrand-Nash οι τιµές κατρακυλούν έως ότου φτάσουν στο χαµηλότερο δυνατό σηµείο – το οποίο δεν µπορεί βέβαια να είναι χαµηλότερο του ελάχιστου µέσου κόστους (διαφορετικά οι επιχειρήσεις θα προτιµούσαν να χρεώνουν υψηλές τιµές ώστε να µην πουλάνε τίποτα!). Η δεύτερη παρατήρηση επιβεβαιώνεται εύκολα. Στην τιµή ισορροπίας

p A = pB = 2 5

ζήτηση

από

µεριάς

καταναλωτών

ισούται

µε

20 − 2 5 ≈ 15.53 µονάδες όταν οι Α και Β τους προσφέρουν, συνολικά 2 5 ≈ 4.47 µονάδες. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι στην περίπτωση Bertrand-Nash η προσφορά εγγυηµένα καλύπτει την ζήτηση (στην τιµή ισορροπίας) µόνο όταν το οριακό κόστος παραγωγής είναι σταθερό. Εάν δεν είναι, τότε κάλλιστα µπορεί να υπάρχει πλεονάζουσα ζήτηση (excess demand) στην τιµή ισορροπίας. Ενδιαφέρον έχει το επόµενο συµπέρασµα: Έστω ότι οι Α και Β υποχρεούνταν από το νόµο να παρέχουν στους καταναλωτές όσες µονάδες προϊόντος θέλουν εκείνοι στην τιµή ισορροπίας. Αλλάζει τίποτα; Βεβαίως. Σε αυτή την περίπτωση, εάν η Α ρίξει την τιµή της κάτω εκείνης της Β (δηλαδή, p A = x − ε όταν pB = x ) τότε θα αναγκαστεί να παραγάγει ικανή ποσότητα για να ικανοποιήσει όσους θέλουν να αγοράσουν σε αυτή την τιµή. ∆ηλαδή, πρέπει να είναι διατεθειµένη να παραγάγει ποσό-

- ΛΑ1.20 -

τητα ίση µε 20 − x + ε , κάτι που θα αυξήσει σηµαντικά το µέσο κόστος της. Είναι προφανές ότι σε αυτή την περίπτωση η Α δεν θα είναι διατεθειµένη να ρίξει την τιµή της τόσο χαµηλά όσο στην γενική περίπτωση που δεν ήταν υποχρεωµένη να ικανοποιήσει όλους τους καταναλωτές (όταν δηλαδή p A < pB ). Σε ποια τιµή θα σταµατήσουν οι Α και Β; Εάν (όπως υποθέτουµε εδώ) οι Α και Β είναι υποχρεωµένες να «εξυπηρετήσουν» όλους τους πελάτες που θέλουν να αγοράσουν στην τιµή ισορροπίας, τότε ουσιαστικά εξαναγκάζονται να θέσουν την ποσότητα που προσφέρει η κάθε µια ίση µε 10 µείον την τιµή ισορροπίας δια του δύο. ∆ηλαδή: p = 20 − Q = 20 − 2

Q p = 20 − 2 Q i ⇒ Q i = 10 − 2 2

Τότε η συνάρτηση κερδών της κάθε επιχείρησης είναι:

(

)

 

π i = pQ i − C i = pQ i − 5 + Q i 2 = p  10 − π i = 10 p − πi = −

2 p   p    −  5 +  10 −   ⇒ 2  2  

   p 2 p2 p2 p2 −5− − 100 + 10 p ⇒ − 5 −    + 100 − 10 p  = 10 p −   2  2 2 4  

3 2 p + 20 p − 105 4

πi 30 20 10 7,187

13,333

0 0

-10 -20 -30 -40

- ΛΑ1.21 -

19,48

Αν λύσουµε την εξίσωση για π=0 προκύπτουν δύο λύσεις: p=

− 20 ±

20 2 − 4 ⋅ (− 3 4 ) ⋅ (− 105 ) − 20 ± 400 − 3 ⋅ 105 − 20 ± 9 , 22 = = ⇒ 2 ⋅ (− 3 4 ) (− 3 2 ) (− 3 2 )

 7 ,19 p= 19 , 48

Από αυτές ισχύει φυσικά η χαµηλότερη (γιατί;;) άρα και Qi = 10 −

p 7,19 = 10 − = 6,41 2 2

Άρα η ισορροπία Bertrand-Nash οδηγεί σε περισσότερες πωλήσεις όταν οι επιχειρήσεις είναι, δια νόµου, υποχρεωµένες να µην διώχνουν πελάτες που θέλουν να αγοράσουν προϊόν στην τιµή ισορροπίας. Συγκεκριµένα η συνολική προσφορά ανεβαίνει από 4.47 σε 12.8 µονάδες ενώ η τιµή αντί να πέφτει στις 4.47 ( 2 5 ) δραχµές ισούται µε pA= pΒ=7.18 δραχµές. Αν το δούµε από την πλευρά του πλεονάσµατος καταναλωτών (αθροιστικά), η νοµική επιβολή στις Α και Β της υποχρέωσης να ικανοποιούν όλη τη ζήτηση στην τιµή που επιλέγουν αυξάνει το καταναλωτικό πλεόνασµα από τις 59.4 στις 82 δραχµές. Από τη µεριά τους οι επιχειρήσεις δεν ενοχλούνται από αυτό τον εξαναγκασµό δεδοµένου ότι τα κέρδη τους είναι µηδενικά και στις δύο περιπτώσεις Μία παρέκβαση (Μονοπώλιο): Τι γίνεται αν οι δυοπωλητές τα βρουν µεταξύ τους; Ας

υποθέσουµε τώρα ότι οι δυοπωλητές έρχονται σε σύµπραξη. Συγχωνεύουν τις δύο εταιρείες σε µία και αποφασίζουν από κοινού την ποσότητα Q . Η συνάρτηση κόστους θα   Q 2  Q2 . είναι C = 2  5 +    = 10 +  2  2  

Σηµείωση: Ο λόγος για αυτήν την συνάρτηση είναι ότι εφόσον υπάρχουν δύο εργοστάσια που παράγουν, αλλά το κόστος αυξάνει εκθετικά µε την ποσότητα δεν συµφέρει τις δύο επιχειρήσεις να παράγουν σε ένα µόνο εργοστάσιο, καταργώντας το άλλο, δηλαδή

C = 5 + Q 2 . Αν µάλιστα δεν µπορούσαν να γλιτώσουν το σταθερό κόστος του ενός εργοστασίου θα ήταν C = 10 + Q 2 . Στην πραγµατικότητα η συγκεκριµένη συνάρτηση κό-

- ΛΑ1.22 -

στους προκύπτει από την ελαχιστοποίηση του κόστους µε δεδοµένη την ποσότητα παραγωγής όταν µπορούµε να επιλέξουµε τι µέρος της παραγωγής θα παραχθεί στο ένα εργο2

στάσιο και τι στο άλλο. Αν δηλαδή έχουµε min C = 5 + Q A + 5 + QB , υπό τον περιορισµό Q A + QB = Q , τότε έχουµε min _ = 5 + QA + 5 + QB + λ (Q − QA − QB ) 2

Q A ,QB

∂_ = 2QA − λ = 0, ∂QA

∂_ = 2QB − λ = 0 ⇒ QA = QB ∂QB

Τώρα έχουµε να κάνουµε µε µονοπώλιο. Η µεγιστοποίηση των κερδών προϋποθέτει: max π = pQ − C = (20 − Q )Q − 10 − 3 2

π ′ = 20 − ⋅ 2Q = 0 ⇒ Q =

3Q 2 Q2 = 20Q − 10 − = 2 2

20 ≈ 6.67 3

Άρα p = 20 − Q ≈ 13.3 και π = 20Q − 10 −

3Q 2 ≈ 56.67 2

Στην περίπτωση του δυοπωλίου είχαµε Q = Q A + QB = 4 + 4 = 8,

p = 12 και τα κέρδη

κάθε επιχείρησης i = A, B ήταν π i = pQi − 5 − Qi = 27 , άρα τα συνολικά κέρδη είναι 2

2 ⋅ 27 = 52

Παρατηρείστε ότι αν η σύµπραξη των δυοπωλητών δεν γίνει µε τρόπο που να τους δεσµεύει, όπως π.χ., ενιαίο εταιρικό σχήµα, η µονοπωλιακή λύση δεν είναι λύση CournotNash. ∆ιότι αν απλά οι δύο επιχειρήσεις συµφωνούσαν σε ένα τραπέζι ότι ο καθένας θα παράγει Qi = 6.67 / 2 = 3.33 , τότε η καλύτερη στρατηγική για τον καθένα στην παραγωγή του άλλου 3.33 είναι Qi = 5 −

Qj 4

= 5−

3.33 = 4.17, 4

i , j = A, B, i ≠ j . Φεύγοντας

δηλαδή ο καθένας από το τραπέζι θα σκεφτόταν, ότι θα µπορούσε να «εξαπατήσει» τον άλλον και να παράγει σε διαφορετικό από το συµφωνηθέν επίπεδο. Αλλά επειδή ξέρει ότι δεν είναι µόνο αυτός ο έξυπνος, θα σκεφτεί ότι και ο άλλος το ίδιο (κοινή γνώση ορθολογικότητας). Άρα, δεν έχει νόηµα να έρθουν σε συνεννόηση αφού δεν µπορούν να δώσει ο ένας στον άλλο πιστευτές δεσµεύσεις.

- ΛΑ1.23 -

Bertrand-Nash

Bertrand-Nash Cournot

(περίπτωση laissez faire)

υποχρεώνονται να ικανοποιούν όλη τη

Μονοπώλιο

ζήτηση στην τιµή που επιλέγουν)

4.47

7,18

13,3

4 (8)

2,24 (4,48)

6,41 (12.82)

6,67

59,4

22,22

27 (54)

56,66

Qi (Q) Πλεόνασµα καταναλωτών Κέρδη πΑ (π)

(περίπτωση που οι Α και Β

Άσκηση 7 Τα δεδοµένα µας είναι τα εξής:

π A = p AQ A − Q A π B = pB QB − QB QA = 10 − p A + pB QB = 10 − pB Ας προσπαθήσουµε τώρα να εξάγουµε τις συναρτήσεις αντίδρασης ως προς τις τιµές της κάθε επιχείρησης: Ας ξεκινήσουµε από την Β. Η Β δεν εξαρτάται καθόλου από την Α. Στην πραγµατικότητα λειτουργεί ως µονοπωλητής στην αγορά της θέτοντας το οριακό της έσοδο ίσο µε το οριακό κόστος (που είναι µονάδα εν προκειµένω6)

M RB =

∂ (Q B ( 1 0 − Q B ) ) ′ QB ) = = 10 − 2Q B ∂Q B

MR B = MC B ⇒ 10 − 2 Q B = 1 ⇒ Q B = 4,5 ⇒ p B = 5,5

Είναι µονάδα διότι από την συνάρτηση των κερδών προκύπτει ότι

Ci = Qi ⇒ MC i ≡ ∂ C i ∂ Qi = ∂ Qi ∂ Qi = 1

- ΛΑ1.24 -

Άρα7

p B = 5,5

RB :

Η συνάρτηση αντίδρασης της Α, προκύπτει πάλι από την µεγιστοποίηση του κέρδους της µε δεδοµένη την τιµή της Β.

max π A ⇒ pA

∂ ( p B Q B − Q B ) ∂ ( p A (10 − p A + p B ) − (10 − p A + p B ) ) = = 0 ⇒ ∂p A ∂p A

∂ (10 p A − p A 2 + p A p B − 10 + p A − p B ) ) = 0 ⇒ ∂pB 10 − 2 p A + p B + 1 = 0 ⇒ p A = 5, 5 +

pB 2

Άρα η συνάρτηση αντίδρασης της Α είναι

RA :

Άρα R A & R A ⇒ p A = 5,5 +

p A = 5,5 +

pB 2

pB 5,5 = 5,5 + = 8,25 2 2

Το παρακάτω διάγραµµα δείχνει τις σχετικές συναρτήσεις

Η διαδικασία αυτή είναι απολύτως ισοδύναµη µε την ∂ pBQB − QB ∂ p B (10 − p B ) − (10 − p B ) max πB ⇒ = = 0⇒ pB ∂p B ∂p B

(

)

(

)

11 − 2 p B = 0 ⇒ p B = 5, 5

- ΛΑ1.25 -

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

pB RB

pA 0

Λύνουµε τις συναρτήσεις ζήτησης αντικαθιστώντας τις τιµές και προκύπτει: pB = 5,5 ⇒ QB = 10 − pB = 4,5 p A = 8,25 ⇒ QA = 10 − p A + pB = = 10 − 8,25 + 5,5 = 7,25

p A = 8,25 QA = 7,25

pB = 5,5 QB = 4,5

Τα κέρδη αντίστοιχα είναι π A = p A Q A − Q A = 8, 25 ⋅ 7, 25 − 7, 25 = 52,5625 π B = p B Q B − Q B = 5,5 ⋅ 4,5 − 4,5 = 20, 25

Συνοψίζοντας έχουµε: Α

8,25

5,5

7,25

4,5

πι

52,5625 20,25

- ΛΑ1.26 -

Ερµηνεία: Ο Β λειτουργεί σαν µονοπωλητής στην αγορά του, γεγονός που του επιτρέπει

να καθορίσει µια υψηλή τιµή. Ο Α λειτουργεί επίσης σαν µονοπωλητής µε την διαφορά ότι η υψηλή τιµή του Β µετατοπίζει την καµπύλη ζήτησης του, καθώς και την καµπύλη οριακού εσόδου και του επιτρέπει να πραγµατοποιήσει ακόµα υψηλότερη τιµή και κέρδη. Στην πραγµατικότητα οι δύο εταιρείες δεν είναι ανταγωνιστές αλλά ο ένας εξαρτάται από τον άλλο. Προσπαθήστε να σκεφθείτε µια αγορά που να ανταποκρίνεται στην κατάσταση που περιγράφουµε.

5 MC B

0 2

-5 -10 -15

p A =8,25 Q A =7,25

Καµπύλη

p B =5,5 Q B =4,5

p A , MR A MC A

15p B , MR B , MC B

9 10

5 MC A 0 0

MR B

-5 -10

10 QA

MR A Καµπύλη ζήτησης & Οριακό έσοδο για P B =0

-15

Άσκηση 8 Η συντοµότερη λύση: Ας συµβολίσουµε µε Qi την ποσότητα που παράγει η επιχείρηση, i, (i=1,2,…N) και µε Qj, την ποσότητα που παράγει µια εκ των Ν-1 ανταγωνιστών της, όπου δηλαδή j(∫i)=1,2,…N,. (Άρα Qi + (Ν-1)Qj =Q). Τότε η κάθε επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της ως εξής:

- ΛΑ1.27 -

max π i = p(Q)Qi − C i = [ A − Qi − ( N − 1)Q j ]Qi − C i (Qi ) ⇒ Qi

A − ( N − 1)Q j − MC (Qi ) ∂π i = 0 ⇒ Qi = ∂Qi 2 Βέβαια, όλες οι Ν εταιρείες είναι πανοµοιότυπες και, συνεπώς, Qi =Qj για κάθε i,j. Υποκαθιστούµε την ισότητα Qi =Qj = q στη συνθήκη πρώτης τάξης που βρήκαµε και λύνουµε ως προς το q: A − MC N +1 . Συνεπώς, η συνολική προσφορά ισούται µε Ν επί q και η τιµή µε Α- Νq: q=

p = A−

N ( A − MC ) N +1

Όµως όταν το Ν τείνει στο άπειρο, το κλάσµα Ν/(Ν+1) τείνει στη µονάδα και η τιµή του προϊόντος τείνει στο οριακό κόστος παραγωγής. Πιο «επίσηµα», lim p = lim [ A −

N →∞

N ( A − MC )] = MC i N +1

Μια εναλλακτική (πολύπλοκη) λύση µε θεωρητικό ενδιαφέρον: Αν συµβολίσουµε µε Qi την ποσότητα που παράγει η επιχείρηση, i, (i=1,2,…N) και µε Q− i την ποσότητα που παράγουν όλοι οι υπόλοιποι. (Άρα Qi + Q− i = Q ). Τότε η κάθε επιχείρηση προσπαθεί να µεγιστοποιήσει τα κέρδη της µεταβάλλοντας την ποσότητα που παράγει. max π i = p(Q )Qi − Ci = p(Qi + Q−i )Qi − Ci ⇒ Qi

∂π i ∂p ∂Q ∂p Qi − MCi = p(Q ) + Q − MCi = 0 ⇒ = 0 ⇒ p( Q ) + ∂Qi ∂Q ∂Qi ∂Q i ∂p p( Q ) + Q = MCi ∂Q i

Στόχος µας είναι τώρα να εκφράσουµε αυτήν την εξίσωση σαν συνάρτηση της ελαστικότητας ζήτησης και του ποσοστού της αγοράς που κατέχει κάθε επιχείρηση. Έτσι, µε- ΛΑ1.28 -

τασχηµατίζουµε το αριστερό σκέλος της τελευταίας εξίσωσης πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρανοµαστή του δεύτερου όρου µε p (Q ) Q . p( Q ) +

∂p ∂p p( Q ) Q = MCi ⇒ Qi = MCi ⇒ p(Q ) + Qi ∂Q ∂Q p(Q ) Q

 ∂p Q Q ⋅ ⋅ i  = MCi p(Q ) 1 + ∂Q p(Q ) Q   Θυµηθείτε τον ορισµό της ελαστικότητας ζήτησης ε ≡

∂ Q p(Q) ⋅ Για να απαλείψουµε ∂p Q

το αρνητικό πρόσηµο, γράφουµε την απόλυτη έκφρασή της ε = − ( ∂Q ∂p ) p Q Ορίζουµε επίσης το µερίδιο αγοράς κάθε επιχείρησης i ως si ≡ Qi Q Χρησιµοποιώντας τους ανωτέρω ορισµούς η τελευταία εξίσωση γίνεται.  s   1  p ( Q ) 1 − i  = p ( Q ) 1 −  = MCi s ε ε i    

Μπορείτε να ερµηνεύσετε την παράσταση ε si ως την ελαστικότητα της καµπύλης ζήτησης που αντιµετωπίζει ξεχωριστά κάθε επιχείρηση. (Ποια είναι η εξίσωση αυτή στην περίπτωση του µονοπωλητή, όπου s=1;). Στην περίπτωση της γραµµικής καµπύλης ζήτησης της άσκησης η ελαστικότητα ε είναι:

Q = A− p ⇒ ε ≡ −

ε =

∂ ( A − p) p ∂Q p p ⋅ =− ⋅ = −(−1) ⋅ ⇒ A− p A− p ∂p Q ∂p

p A− p

Αντικαθιστώντας την τιµή αυτή στην προηγούµενη εξίσωση προκύπτει    A− p   ⇒ p 1 −   = MCi ⇒ p − si ( A − p ) = MCi ⇒  p si  1    p 1 −  = MCi  ε si    s MCi p (1 + si ) = si A + MCi ⇒ p = i A + 1 + si 1 + si

ε =

p A− p

- ΛΑ1.29 -

(Ερώτηση: Μπορείτε να το επιβεβαιώσετε για το µονοπώλιο;) (β) Παρατηρείστε ότι και στην γενική περίπτωση και στην ειδική, όταν το Ν τείνει στο άπειρο το si τείνει στο µηδέν, και άρα p = MCi

s  lim p1 + i  = p = MCi si → 0  ε

- ΛΑ1.30 -

- ΛΑ1.31 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Άσκηση 9 Σε αυτή την περίπτωση, δεν θα υπήρχαν αρκετές επιχειρήσεις να ικανοποιήσουν τη ζήτηση στην τιµή p=8. [Πρόσεξε ότι, µε την καινούργια καµπύλη ζήτησης ΝΣΖ, εάν p=8, qi =5 και Q=2800, τότε χρειαζόµαστε Ν=560.] Εάν όµως το Ν δεν ξεπερνά τις 380, στην τιµή p=8 θα έχουµε συνολική προσφορά πολύ χαµηλότερη της ζήτησης (προσφορά = 5µ380=1900 και ζήτηση=2280, βλ. ∆ιάγραµµα 2α). Σε αυτή την περίπτωση, η τιµή ισορροπίας p θα ήταν µεγαλύτερη (εφόσον η υπερβάλλουσα ζήτηση σηµατοδοτεί υψηλότερες τιµές). Από το ∆ιάγραµµα 2α φαίνεται πως όταν ο µέγιστος αριθµός επιχειρήσεων είναι 380, σε κατάσταση ισορροπίας θα έχουµε τιµή p=10 και ποσότητα ανά επιχείρηση qi = 6. Συνεπώς Q=6µ380=2400. Συµπερασµατικά όταν ο αριθµός Ν δεν µπορεί να κυµαίνεται στο ύψος που απαιτούν τα Αξίωµα 5 και έτσι δεν ισχύει το Θεώρηµα 2 – παρατήρησε ότι η τιµή είναι µεγαλύτερη του µέσου κόστους, οι 380 αυτές επιχειρήσεις έχουν θετικά οικονοµικά κέρδη και η κάθε µια παράγει µεγαλύτερη ποσότητα από εκείνη που θα παρήγε εφόσον το Ν αυξοµειωνόταν ελεύθερα.

Άσκηση 10 N

(α) Η συνάρτηση ζήτησης είναι p = 10020 − ∑ qi = 10020 − Nqi i =1

Οι συναρτήσεις κόστους είναι: TCi = 100 + qi

2  100  100 + qi ACi ≡ =  + qi  qi  qi 

MCi ≡

(

∂TCi ∂ 100 + qi = ∂qi ∂qi

) = 2q

Κάθε εταιρία παράγει στο σηµείο όπου το οριακό κόστος είναι ίσο µε το µέσο κόστος (εναλλακτικά στο ελάχιστο µέσο κόστος)1 δηλαδή όταν

Αποδείξτε αλγεβρικά ότι στην γενική περίπτωση όταν AC=MC το AC είναι ελάχιστο.

- ΛΑ2.1 -

ACi = MCi ⇒

100 100 + qi = 2qi ⇒ = qi ⇒ qi = 100 = 10 qi qi

(1)

ή όταν

 100  ∂ + qi  q ∂AC i  = 0 ⇒ − 100 + 1 = 0 ⇒ q 2 = 100 ⇒ q = 100 = 10 =0⇒  i min AC i ⇒ i i 2 qi ∂qi ∂qi qi Εφόσον η τιµή ισούται µε το οριακό κόστος p = MCi = 2qi = 2 ⋅10 = 20

(2)

Από τις εξισώσεις (1) & (2) έπεται:

p = 20  10000 = 1000  ⇒ 20 = 10020 − N ⋅10 ⇒ N = p = 10020 − Nqi = 10020 − N ⋅10 10 ∆εδοµένου ότι Ν=1000 βρίσκουµε το Q: N

Q = ∑ qi = Nqi = 1000 ⋅10 = 10000 i =1

Ελέγχουµε ότι, πράγµατι, τα κέρδη κάθε επιχείρησης2 είναι µηδενικά:  100  2 2 2 + qi  = 2qi − 100 − qi = qi − 100 = 102 − 100 = 0 q  i 

π i = pqi − qi ACi = MCi qi − qi ACi = 2qi − qi  2

Περιληπτικά, έχουµε: p = 20 qi = 10 N = 1000 Q = 10000 πi = 0

(β) Στην περίπτωση όπου το Ν είναι περιορισµένο στις 900 επιχειρήσεις η µόνη διαφορά είναι ότι τα κέρδη δεν θα είναι µηδενικά, δεδοµένου ότι έχουµε λιγότερες από 1000 επιχειρήσεις και συνεπώς η τιµή δεν θα πέσει στο επίπεδο του ελάχιστου µέσου κόστους. 2

Μπορείτε επίσης να δείτε ότι

π i = pqi − qi ACi = MCi qi − qi ACi = MCi qi − qi MCi = 0

MC=AC.

- ΛΑ2.2 -

αφού

Κατά τα άλλα, η κάθε επιχείρηση παραµένει αποδέκτης τιµών και έτσι η τιµή εξακολουθεί να ισούται µε το οριακό κόστος (παρόλο που ξεπερνά το µέσο κόστος). Συνεπώς, p = MCi = 2qi

 10020 ≅ 11,11  ⇒ 2qi = 10020 − 900qi ⇒ qi = p = 10020 − 900qi  902 Λύνουµε ύστερα ως προς p & Q: p = 2qi ≅ 2 ⋅11,11 ≅ 22,22 Q = 900qi = 900 ⋅11,11 ≅ 9997,78 Τα κέρδη της κάθε µιας εκ των 900 επιχειρήσεων είναι:

π i = qi − 100 = 11,112 − 100 ≅ 23, 4 2

Συνοψίζοντας έχουµε: p ≅ 22, 22 qi ≅ 11,11 N = 900 (εξ υποθεσεως ) Q ≅ 9997, 78 π i ≅ 23, 4

Απεριόριστο Ν

Περιορισµένο Ν

22,22

11,11

1.000

900

10.000

9.997,78

πi

23,4

(γ) Όπως και στην άσκηση 8 βρίσκουµε ότι η κάθε επιχείρηση θα επιλέξει ποσότητα q=A/(N+3). Άρα, όταν Α=10020 και Ν=1000, η κάθε επιχείρηση παράγει ποσότητα 9,99 µονάδες ενώ συνολικά η παραγωγή είναι της τάξης των 9990 µονάδων. Παρατήρησε µια µικρή απόκλιση της ισορροπίας Cournot-Nash από την ισορροπία τέλειου ανταγωνισµού. Και στις δύο περιπτώσεις έχουµε 1000 επιχειρήσεις. Όµως στην ισορροπία CournotNash η συνολική προσφορά είναι λίγο µικρότερη απ’ ότι στην ισορροπία τέλειου ανταγωνισµού (9990 αντί για 10000 µονάδες). Ο λόγος είναι ότι στην πρώτη περίπτωση οι επιχειρήσεις γνωρίζουν ότι επηρεάζουν, έστω και λίγο, την τιµή. Στην δεύτερη περίπτωση, οι επιχειρήσεις δεν έχουν συναίσθηση αυτής της επιρροής τους και δέχονται άκριτα ότι η τιµή είναι δεδοµένη. ΓΙα αυτό το λόγο θέτουν την τιµή ίση µε το οριακό κό-

- ΛΑ2.3 -

στος και επιλέγουν λίγο περισσότερη ποσότητα προϊόντος. Εάν ήταν πλήρως ορθολογικές (όπως είναι στο υπόδειγµα Cournot-Nash) τότε θα συνειδητοποιούσαν ότι η τιµή είναι αµυδρά υψηλότερη από το οριακό τους έσοδο (λόγω της µικρής επιρροής τους στην τιµή) και έτσι θα επέλεγαν λίγο µικρότερη ποσότητα. (δ) Όταν το Ν=900, έχουµε q=A/(N+3)=10020/903=11,1 και συνολική προσφορά του κλάδου 9990 µονάδες. Παρατηρούµε λοιπόν ότι µε Ν=900 η ισορροπία Cournot-Nash συµπίπτει µε εκείνη του τέλειου ανταγωνισµού όταν ο αριθµός των επιχειρήσεων δεν µπορεί να ξεπεράσει τις 900. (ε) Η βασική διαφορά είναι ότι στο υπόδειγµα Cournot-Nash ο αριθµός των επιχειρήσεων θεωρείται δεδοµένος ενώ στο υπόδειγµα τέλειου ανταγωνισµού αυτός ο αριθµός θεωρείται ότι αυξοµειώνεται έως ότου τα οικονοµικά κέρδη να εκµηδενιστούν. Μπορούµε να προσοµοιώσουµε τον τέλειο ανταγωνισµό µε ένα υπόδειγµα Cournot-Nash κατασκευάζοντας ένα παιχνίδι εισόδου σύµφωνα µε το οποίο οι επιχειρήσεις αποφασίζουν σε δύο στάδια. Στο πρώτο αποφασίζουν εάν θα εισέλθουν και στο δεύτερο πόσο θα παράγουν σε περίπτωση που εισέλθουν. Έτσι, η ισορροπία Nash θα είναι πάντα τέτοια που ο αριθµός Ν θα εκµηδενίζει τα κέρδη αυτών που εισέρχονται. Παράλληλα όσοι εισέρχονται θα επιλέγουν τις ποσότητές τους χρησιµοποιώντας την λογική του υποδείγµατος Cournot-Nash. Βέβαια, όπως έχουµε δει στο µέρος (γ) παραπάνω, η προσοµοίωση αυτή δεν θα είναι τέλεια από τη στιγµή που είναι πιθανό ο αριθµός των επιχειρήσεων να µην είναι αρκετά µεγάλος έτσι ώστε να µην έχει η επιχείρηση αντίκτυπο στην τιµή. Τότε το υπόδειγµα τέλειου ανταγωνισµού δεν είναι εκλογικεύσιµο (τουλάχιστον όχι πλήρως). [Στο Κεφάλαιο 2 είδαµε ότι ο αριθµός Ν των επιχειρήσεων που θα επιλέξουν ορθολογικά να εισέλθουν στην αγορά δεν θα είναι αναγκαστικά ικανός έτσι ώστε η τιµή να ισούται µε το οριακό κόστος.]

- ΛΑ2.4 -

Άσκηση 11 Η απλή απάντηση βρίσκεται στο πρώτο µέρος του 2ου Κεφαλαίου – βλ. τον υπότιτλο «Ένα παράδειγµα όπου ο αριθµός «ορθολογικών» επιχειρήσεων Ν είτε δεν ορίζεται είτε ισούται µε τη µονάδα (φυσικό µονοπώλιο)». Αντί να επαναλάβουµε εδώ το επιχείρηµα εκείνο, θα παραθέσουµε ορισµένα νέα αναλυτικά σηµεία. Ξεκινάµε µε την υπο-αθροιστικότητα: Όταν η παραγωγή µπορεί να οργανωθεί καλύτερα – δηλαδή µε χαµηλότερο κόστος – σε µία παραγωγική µονάδα παρά σε περισσότερες, έχοµε το φαινόµενο της υπο-αθροιστικής (subadditive) συνάρτησης κόστους δηλαδή  n  C q C > ( ) ∑ i  ∑ qi  i =1  i =1  n

Οριακό κόστος που είναι συνεχώς πτωτικό συνεπάγεται συνεχώς πτωτικό µέσο κόστος και συνεχώς πτωτικό µέσο κόστος συνεπάγεται υπο-αθροιστικότητα. Στην περίπτωση συνεχώς πτωτικού οριακού κόστους κάθε επιχείρηση µπορεί να µειώσει το κόστος της αυξάνοντας το επίπεδο της παραγωγής της, αλλά αυτό δεν είναι εφικτό για όλες τις επιχειρήσεις. Μια επιχείρηση που θα καλύψει όλη την ζήτηση έχει το φθηνότερο κόστος. Αυτή δε είναι και η πιο αποτελεσµατική οργάνωση της παραγωγής. Συνεχίζουµε µε τον ορισµό του φυσικού µονοπωλίου (natural monopoly). 1ος ορισµός3 Ενας κλάδος ορίζεται ως φυσικό µονοπώλιο όταν η συνάρτηση κόστους – στο

σχετικό εύρος παραγωγής – είναι υπο-αθροιστική

W. Baumol, J. Panzar & R. Willig, (1982): Contestable Markets and the Theory of Industry Structure, Harcourt.

- ΛΑ2.5 -

2ος ορισµός4 (Ορίσετε για κάθε κλάδο µία συνάρτηση Π (n) που µας δείχνει το καθαρό κέρδος κάθε επιχείρησης όταν λειτουργούν n ανταγωνιστές στον κλάδο. Είναι λογικό να υποθέσω ότι το Π (n) µειώνεται όσο αυξάνει το n.) Ένας κλάδος είναι φυσικό µονοπώλιο όταν Π (1) > 0 > Π (2) , δηλαδή όταν µία επιχείρηση είναι βιώσιµη αλλά δύο δεν είναι. Τέλος, βλέπε την ανάλυση στο τέλος του δεύτερου κεφαλαίου (τα τελευταία δύο διαγράµµατα) η οποία βασίζεται στη δυνατότητα µια επιχείρηση να προβεί σε επενδύσεις οι οποίες στόχο έχουν την µείωση του µέσου κόστους µε σκοπό, όχι να µειώσει το κόστος παραγωγής, αλλά να αποτρέψει την είσοδο ανταγωνιστών (θυµήσου ότι στην περίπτωση που εξετάστηκε, η επιτυχηµένη αποτροπή βασίζεται όχι στη µείωση του µέσου κόστους αλλά στη δυνατότητα για µια τέτοια µείωση η οποία, τελικά, δεν συµβαίνει).

Άσκηση 12 Στη ζητούµενη κατάσταση ισορροπίας, εξ ορισµού οι τιµές των Ν επιχειρήσεων οι οποίες λειτουργούν είναι ίσες µεταξύ τους και µε τα οριακά κόστη. (Το οποίο σηµαίνει ότι δεν θα επιβιώσει επιχείρηση µε υψηλότερο οριακό κόστος των ανταγωνιστών της.) Εδώ έχουµε µηδενικά κόστη. Άρα η κατάσταση ισορροπίας Bertrand-Nash χαρακτηρίζεται από µηδενικές τιµές για όλες τις Ν επιχειρήσεις και παραγωγή ίση µε 2400 µονάδες (η συνολική ποσότητα που αντιστοιχεί σε τιµή = 0 στη συνάρτηση ζήτησης). Υποθέτουµε ότι η παραγωγή της κάθε µιας επιχείρησης θα ισούται µε 2400/Ν. Οµοιότητες µε τον τέλειο ανταγωνισµό: Και στις δύο περιπτώσεις έχουµε συνολική ποσότητα ίση µε 2400 µονάδες και τιµή ίση µε το µηδέν. ∆ιαφορές µε τον τέλειο ανταγωνισµό: Στον τέλειο ανταγωνισµό η κατάσταση ισορροπίας επιτυγχάνεται εφόσον το Ν τείνει στο άπειρο. Στην κατάσταση Bertrand-Nash αρκεί Ν>1

J. Tirole (1990): The Theory of Industrial Organization, MIT Press. σ. 20

- ΛΑ2.6 -

(και οι επιχειρήσεις αυτές να επιλέγουν στρατηγικά την τιµή που χρεώνει η κάθε µια εν ανυπαρξία χρόνου και δίχως να συνεργάζονται µεταξύ τους).

Άσκηση 13 Έστω ότι ισχύει η (i). Οποιαδήποτε µετάβαση σε άλλη κατανοµή θα ζηµιώσει την Α – άρα η (i) είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (ii). Η µετάβαση στην (i) θα ζηµιώσει τον Β ενώ η µετάβαση σε οποιαδήποτε άλλη θα ζηµιώσει την Α. Άρα και η (ii) είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (iii). Η µετάβαση στην (v) θα ωφελήσει και την Α αλλά και τον Β. Άρα η (iii) δεν είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (iv). Η µετάβαση είτε στην (iii) είτε στην (v) θα ωφελήσει και τους δύο. Άρα η (iv) δεν είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (v). Οποιαδήποτε µετάβαση σε άλλη κατανοµή θα ζηµιώσει είτε τον ένα είτε την άλλη – άρα η (v) είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (vi). Η (v) είναι προτιµότερη και από τους δύο άρα η (vi) δεν είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (vii). Η µόνη µετάβαση/αλλαγή που δεν ζηµιώνει τον Β είναι προς την (ix) – όµως κάτι τέτοιο θα ζηµίωνε την Α. Συνεπώς η (vii) είναι αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (viii). Η µετάβαση είτε στην (vii) είτε στην (v) ωφελεί και τους δύο. Άρα η (viii) δεν είναι αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (ix). Οποιαδήποτε µεταβολή ζηµιώνει τον Βασίλη – άρα πρόκειται για αποτελεσµατική κατανοµή. Περιληπτικά: Αποτελεσµατικές κατά Pareto είναι οι κατανοµές (i),(ii),(v),(vii),(ix).

Άσκηση 14 Μια συνάρτηση µεταξύ των µεταβλητών χ και ψ ορίζει µια και µοναδική τιµή του ψ για κάθε τιµή του χ. Έτσι, η συνάρτηση προσφοράς, για να ορίζεται, πρέπει να προσδιορίζει µια και µοναδική ποσότητα προσφερόµενου προϊόντος για κάθε τιµή. Στον τέλειο ανταγωνισµό αυτό είναι δεδοµένο επειδή p=MR=MC και συνεπώς το ανοδικό κοµµάτι της καµπύλης οριακού κόστους ταυτίζεται µε την καµπύλη προσφοράς της κάθε επιχείρησης.

- ΛΑ2.7 -

Όταν όµως p>MR=MC, αυτό σηµαίνει ότι η συνάρτηση ζήτησης που αντιµετωπίζει η επιχείρηση έχει αρνητική κλίση (πεπερασµένη ελαστικότητα µιας και οι αυξοµειώσεις της προσφερόµενης στην αγορά ποσότητας επηρεάζουν την τιµή). Σε αυτή την περίπτωση η διαφορά µεταξύ p και MC εξαρτάται από την ελαστικότητα ζήτησης. Όσο πιο ανελαστική η ζήτηση τόσο µεγαλύτερη η απόσταση τιµής και οριακού κόστους. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν πολλαπλές τιµές που αντιστοιχούν σε κάθε µια ποσότητα προϊόντος (για διαφορετικές καµπύλες ζήτησης – βλ. το πρώτο σχήµα) και, αντίστοιχα, πολλαπλές ποσότητες που αντιστοιχούν σε κάθε µια τιµή (βλ. το δεύτερο σχήµα).

- ΛΑ2.8 -

Μία τιµή δύο προσφερόµενες ποσότητες

D1 12

D2 MR1

MR2

0 -1

Τι σηµαίνει αυτό όσον αφορά την οικονοµική ανάλυση τιµών και ποσοτήτων η οποία βασίζεται στα σηµεία τοµής καµπυλών ζήτησης και προσφοράς;

Η εν λόγω ανάλυση προϋποθέτει την ανεξαρτησία καµπυλών ζήτησης και προσφοράς – ότι όταν «κινείται» η µια, η άλλη παραµένει σταθερή. Εδώ βλέπουµε ότι (α) η καµπύλη προσφοράς δεν ορίζεται και (β) ότι η ποσότητα που προσφέρεται από το µονοπώλιο για κάθε τιµή αλλάζει κάθε φορά που αλλάζει η ελαστικότητα ζήτησης. Όπερ µεθερµηνευό-

- ΛΑ2.9 -

µενο, η κλασική ανάλυση προϋποθέτει τέλειο ανταγωνισµό (αν και εκεί η συνάρτηση «µακροπρόθεσµης» προσφοράς είναι οριζόντια). Παρατήρησε ότι τα παραπάνω ισχύουν όχι µόνο στην περίπτωση του µονοπωλίου αλλά και σε κάθε περίπτωση που οι επιχειρήσεις δεν είναι αποδέκτες τιµής. Ένα αριθµητικό παράδειγµα: p1 = 130 − 3q1 ⇒ MR1 = 130 − 6q1 p2 = 150 − 4q2 ⇒ MR 2 = 150 − 8q2 MC = 10 + 0, 6q 2

Για q = 10 MC = MR1 = MR 2 = 70 Αντίστοιχα όµως p1 = 100,

p2 = 110

Εφόσον δεν υπάρχει µονοσήµαντη αντιστοιχία δεν υπάρχει συνάρτηση προσφοράς. Όπερ έδει δείξαι.5 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

MC p2=110 p1=100 D2

MR1 D1

MR2 0

Φιλολογική παρέκβαση: Υπενθυµίζουµε ότι η έκφραση «όπερ έδει δείξαι» σηµαίνει «το οποίο και έπρεπε να αποδειχθεί». Απαντά σε κλασσικά κείµενα όπως τα Στοιχεία του Ευκλείδου. Ο αντίστοιχος λατινικός όρος είναι “quod erat demonstrandum” που συνήθως απαντάται µε τα αρχικά του “Q.E.D.” Η κατάληξη –andum σηµαίνει –τέον (κατάληξη ρηµατικού επιθέτου που σηµαίνει «πρέπει να»). Έτσι «πρακτέα» στα

- ΛΑ2.10 -

Εδώ µελετήσαµε την ανυπαρξία συνάρτησης προσφοράς όταν ο πωλητής δύναται να επηρεάζει την τιµή αυξοµειώνοντας τις πωλήσεις του. Κάτι ανάλογο ισχύει όταν ο αγοραστής δύναται να επηρεάσει την τιµή αυξοµειώνοντας τις αγορές του. Όπως στην πρώτη περίπτωση δεν ορίζεται συνάρτηση ζήτησης, έτσι και στη δεύτερη δεν ορίζεται συνάρτηση προσφοράς. Μια ενδιαφέρουσα εφαρµογή αφορά την αγορά εργασίας (και άλλων συντελεστών παραγωγής), την οποία θα µελετήσουµε στο επόµενο κεφάλαιο. Θα δούµε ότι όταν ο αγοραστής εργασίας, δηλαδή ο εργοδότης, έχει τη δύναµη (λόγω «µεγέθους») να επηρεάσει την τιµή (δηλαδή τον µισθό) αυξοµειώνοντας την «ποσότητα» εργασίας που µισθώνει, τότε δεν ορίζεται η συνάρτηση ζήτησης της εργασίας. ∆ηλαδή, δεν ορίζεται µια κανονική συνάρτηση η οποία για κάθε µισθό να µας δίνει την ποσότητα εργασίας που θα θελήσει να µισθώσει ο εργοδότης. (Ακραία τέτοια περίπτωση είναι εκείνη του µονοψωνίου στην αγορά εργασίας.) Γενικά, η καµπύλη προσφοράς εργασίας οδηγεί σε

µία αντίστοιχη καµπύλη οριακού κόστους.6 Το µονοψώνιο εξισώνει το οριακό κόστος µε την καµπύλη της αξίας του οριακού προϊόντος (VMP). Η εξίσωση αυτή καθορίζει την ποσότητα εργασίας που θα απασχολήσει το µονοψώνιο. Η τιµή όµως προκύπτει από την καµπύλη προσφοράς εργασίας. Ενώ όµως στην ανταγωνιστική επιχείρηση η καµπύλη (VMP) δίνει και την ζήτηση εργασίας (στο φθίνον µέρος της), στο µονοψώνιο η ζήτηση εργασίας δεν προκύπτει ανεξάρτητα από την προσφορά εργασίας –άρα, δεν ορίζεται. Περισσότερα επί του θέµατος στο επόµενο κεφάλαιο.

λατινικά είναι “agenda”. Άρα agenda η ηµερήσια διάταξη, ή το µπλοκάκι που σηµειώνετε τις εκκρεµότητές σας. . Η καµπύλη οριακού κόστους βρίσκεται πάντοτε πάνω από την καµπύλη προσφοράς εφόσον αν w=w(L) η καµπύλη προσφοράς και C=wL το κόστος, άρα το οριακό κόστος είναι C’=w’L+w (όπου w,L,C είναι µισθός, απασχόληση και κόστος αντίστοιχα) και ο τόνος δηλοί την πρώτη παράγωγο. Για w’ >0 η καµπύλη του οριακού κόστους είναι µεγαλύτερη κατά w’L της καµπύλης προσφοράς. Αν για παράδειγµα w=a+bL,═> C’=a+2bL.

- ΛΑ2.11 -

Άσκηση 15 Έχουµε τις συναρτήσεις ζήτησης p1=100-2Q1 και p2=50- ½ Q2. Τις ξαναγράφουµε ως Q1=50- ½ p1 και Q2=100-2p2. Προσθέτοντας βρίσκουµε τη συνολική ζήτηση: AD:

Q =Q1+Q2=50- ½ p1 +100-2p2 = 150- ½ p1-2p2

(α) Όταν η τιµή είναι κοινή για τις δύο αγορές, p1=p2=p, η συνολική ζήτηση είναι η Q = 150- (5/2)p, ή p=60-(2/5)Q, το συνολικό έσοδο pQ=60Q-(2/5)Q2 και το οριακό έσοδο MR=60-(4/5)Q. Από τη συνάρτηση κόστους προκύπτει το οριακό κόστος ως MC=Q. Άρα η επιχείρηση µεγιστοποιεί το κέρδος της όταν MR=MC ή 60-(4/5)Q=Q, δηλαδή Q=33.3 και p=46.67. (β) Παρατήρησε ότι στην παραπάνω περίπτωση ισχύει το εξής ενδιαφέρον: Το οριακό της έσοδο από την πρώτη αγορά είναι αρνητικό ενώ από τη δεύτερη θετικό. Απόδειξη: Στην πρώτη αγορά έχουµε Q1=50- ½ p1 ή p1=100-2Q1 και συνεπώς MR1=100-4Q1. Άρα στην τιµή p=46.67, Q1=26.67. Παράλληλα, Q2=100-2p2 ή p2=50- ½ Q2 και MR2=50-Q2. Όταν p=46.67, Q2=6.66. Περιληπτικά, όταν p=46.67, η επιχείρηση πουλάει 26.67 µονάδες στην πρώτη και 6.66 µονάδες στη δεύτερη. Όµως, τα αντίστοιχα οριακά έσοδα είναι MR1=100-4Q1=-6.68 και MR2=50-Q2=-43.44! Με απλά λόγια, η τελευταία µονάδα που πούλησε η επιχείρηση στην δεύτερη αγορά αύξησε τα έσοδά της ενώ η τελευταία µονάδα που πούλησε στην πρώτη αγορά µείωσε τα έσοδα της. Γιατί να µην πάρει µια µονάδα από την πρώτη αγορά και να την πουλήσει στη δεύτερη; Θα το κάνει µόνο εάν µπορεί να την πουλήσει σε διαφορετική τιµή. Έστω τώρα ότι είναι σε θέση να κάνει διάκριση τιµών (δηλαδή να πουλάει το ίδιο προϊόν σε δύο διαφορετικές τιµές – µια για κάθε αγορά). [Θυµήσου ότι έχει αυτή τη δυνατότητα µόνο όταν µπορεί να εµποδίσει τη δηµιουργία δευτερεύουσας αγοράς στην οποία οι αγοραστές από τη µια αγορά µεταπωλούν µονάδες που αγόρασαν στη χαµηλή τιµή σε πελάτες τις άλλης αγοράς στην οποία η επιχείρηση προσπαθεί να πουλήσει σε υψηλότερη τιµή.] Όταν δύναται να πουλάει σε διαφορετικές τιµές, τότε p1∫p2 και η βέλτιστη κατανοµή των 33.33 µονάδων παραγωγής θα είναι εκείνη που εξισώνει τα οριακά έσοδα από

- ΛΑ2.12 -

τις δύο αγορές – δηλαδή, θα επιλέξει τιµές (p1,p2) και ποσότητες (Q1,Q2) έτσι ώστε Q1 = 33.33-Q2 και MR1= MR2, δηλαδή 100-4Q1=50-Q2 ή 100-4[33.33-Q2]=50-Q2 Λύνοντας ως προς Q2 βρίσκουµε Q2=16.66 και συνεπώς Q1=33.33-16.66=16.66. Άρα οι τιµές διαµορφώνονται ως εξής: p1=100-2Q1=66.66 και p2=50- ½ Q2=33.34. (γ) Στην περίπτωση του διαγράµµατος 2ζ µε σταθερό οριακό κόστος είναι εύκολη η εξίσωση του οριακού κόστους µε τα οριακά έσοδα των καµπυλών ζήτησης στις δύο αγορές. Απλώς βρίσκουµε τις ποσότητες Q1 και Q2 στις οποίες η οριζόντια καµπύλη οριακού κόστους τέµνει τις καµπύλες οριακού εσόδου της κάθε αγοράς – βλέπε ∆ιάγραµµα 2ζ. Στην περίπτωση µεταβλητού οριακού κόστους πρέπει να προχωρήσουµε στην κατασκευή της καµπύλης του αθροιστικού οριακού εσόδου (AMR) που προκύπτει από τις δύο καµπύλες οριακών εσόδων που αντιστοιχούν στις δύο αγορές του µονοπωλητή. Τότε εξισώνουµε το αθροιστικό οριακό έσοδο (AMR) µε το οριακό κόστος (MC) και βρίσκουµε την συνολική ποσότητα Q* [AMR(Q*)=MC(Q*)] που θα διαθέσει ο µονοπωλητής. Ο επιµερισµός της ποσότητας αυτής στις δύο αγορές θα γίνει εξισώνοντας το οριακό έσοδο που προέκυψε στην ισορροπία [AMR(Q*)] µε τα οριακά έσοδα των επί µέρους αγορών MR1 (q1* ) = MR2 (q2* ) = AMR(Q* ) . Η ποσότητα που θα προκύψει σε κάθε αγορά, θα δώσει αντίστοιχα και την τιµή του αγαθού. Η καµπύλη αθροιστικού οριακού εσόδου είναι εξ άλλου εκ κατασκευής τέτοια που για το ίδιο οριακό έσοδο σε κάθε αγορά το άθροισµα των προκυπτουσών ποσοτήτων µας δίνει την ποσότητα στην καµπύλη του αθροιστικού οριακού εσόδου.

- ΛΑ2.13 -

MC ( Q* ) = AMR ( Q* ) MR1 = MR2 = AMR ( Q* ) *

qi = MRi *

* −1

⇒ pi = Di (qi ), i = 1, 2

q1 + q2 = Q* Ας δούµε λοιπόν πως κατασκευάζεται η καµπύλη αθροιστικού οριακού εσόδου. Αυτό γίνεται σε δύο στάδια. Πρώτον, κατασκευάζουµε την καµπύλη αθροιστικής ζήτησης (AD) µε οριζόντια πρό-

σθεση των επί µέρους καµπυλών ζήτησης. Παρατηρείστε ότι η οριζόντια πρόσθεση των καµπυλών ζήτησης σηµαίνει ότι για τις τιµές εκείνες της p, όπου δεν υπάρχει ζήτηση στην δεύτερη αγορά, (αλλά υπάρχει στην πρώτη) η συνεισφορά της δεύτερης αγοράς στον σχηµατισµό της καµπύλης αθροιστικής ζήτησης είναι µηδενική. Άρα µέχρι αυτού του σηµείου η καµπύλη AD ταυτίζεται µε την πρώτη καµπύλη ζήτησης. Από εκεί και πέρα όµως για κάθε επίπεδο τιµής, p, που διαβάζουµε από τον άξονα των τεταγµένων η τιµή του Q στην καµπύλη αθροιστικής ζήτησης δίνεται από το άθροισµα των δύο ποσοτήτων q1 και q2. Άρα AD είναι τεθλασµένη (kinked).

100

40 AD AR2

20 p

AR1

0 0

- ΛΑ2.14 -

q1+q2 50

Αλγεβρικά η σχέση αυτή προκύπτει ως εξής: Έστω ότι a1 1 − p, 0 < p < a1 b1 b1

AR1 :

p = a1 − b1q1 ⇒ q1 =

AR2 :

p = a2 − b2 q2 ⇒ q2 =

a2 1 − p, 0 < p < a2 b2 b2

και χωρίς απώλεια γενικότητας υποθέτουµε ότι a1 > a2 Μέχρι του σηµείου όπου p = a2 άρα και q1 =

a1 1 a a − a2 = 1 − 2 η AD = AR1 b1 b1 b1 b1

Από το σηµείο αυτό και έπειτα προσθέτουµε οριζόντια τις δύο καµπύλες. ∆ηλαδή: a p a p  a a   1 1  Q = q1 + q2 =  1 −  +  2 −  =  1 + 2  −  +  p ⇒  b1 b1   b2 b2   b1 b2   b1 b2  a b + a2b1 b1 + b2 Q= 1 2 − p⇒ b1b2 b1b2 AD :

a1b2 + a2b1 a1b2 + a2b1 b1b2 −Q − Q ab +a b bb b1b2 b1b2 b1b2 p= = = 1 2 2 1− 1 2 Q b1 + b2 b1 + b2 b1 + b2 b1 + b2 b1b2 b1b2

∆εύτερον, από την καµπύλη AD προκύπτει η καµπύλη αθροιστικού οριακού εσόδου,

παίρνοντας την οριακή καµπύλη για κάθε τµήµα της AD. Θυµηθείτε ότι η AD έχει δύο τµήµατα. Μέχρι q1 =

a1 a2 − η AD είναι η AR1 άρα b1 b1

AD = AR1 : p = a1 − b1q1 και από εκεί και πέρα η οριζόντια πρόσθεση των δύο καµπυλών. AD : p =

a1b2 + a2b1 bb − 1 2 Q. b1 + b2 b1 + b2

Κάθε τµήµα έχει διαφορετική οριακή καµπύλη.

- ΛΑ2.15 -

Γενικά για µέση καµπύλη y = α − β x , αντιστοιχεί οριακή καµπύλη y = α − 2 β x 7

Άρα, µέχρι του σηµείου q1 το αθροιστικό οριακό έσοδο είναι AMR = MR1 = a1 − 2b1q1 , ενώ από εκεί και πέρα είναι η οριζόντια άθροιση των δύο οριακών εσόδων AMR =

a1b2 + a2b1 bb − 2 1 2 Q . Παρατηρήσατε όµως ότι στο σηµείο q1 οι δύο AMR b1 + b2 b1 + b2

έχουν µία ασυνέχεια διότι ενώ από αριστερά συγκλίνει στο σηµείο a1 − 2b1q1 από δεξιά a1b2 + a2b1 bb − 2 1 2 q1 b1 + b2 b1 + b2

συγκλίνει στο σηµείο

Ασυνεχές τµήµα της AMR

-10

AMR -30

-50

60 MR2

80 AR2

AR1

MR1

Ας προσθέσουµε τώρα στο σχήµα µας και την καµπύλη οριακού κόστους MC.

Απόδειξη: Αν η µέση καµπύλη είναι

y = α − β x , η συνολική καµπύλη z είναι (εφόσον y = z x )

z = yx = (α − β x) x = α x − β x 2 . Άρα, η οριακή καµπύλη είναι

- ΛΑ2.16 -

2 ∂z ∂ (α x − β x ) = = α − 2β x ∂x ∂x

70 p1* 50

AMR=MC MC

30 p2* 10 -10 0

q1*

10 q2*

AMR -30

-50

Στο σηµείο τοµής των καµπυλών8 MC και AMR έχουµε ένα επίπεδο ισορροπίας ποσότητας έστω Q* . Η ποσότητα αυτή επιµερίζεται µέσω των καµπυλών MR1 και MR2 στις επιµέρους αγορές σε q1* & q2* . Φυσικά εκ κατασκευής Q* = q1* & q2* , µέσω δε των επιµέρους καµπυλών ζήτησης καθορίζονται και οι τιµές στις επιµέρους αγορές p1* & p2* . Για να γίνει περισσότερο κατανοητό ας χρησιµοποιήσουµε ένα αριθµητικό παράδειγµα. (Τα παραπάνω διαγράµµατα µάλιστα έγιναν ώστε να αντιστοιχούν σε αυτό το παράδειγµα).

- ΛΑ2.17 -

Έστω οι καµπύλες ζήτησης D1 :

p1 = 100 − 5q1

D2 :

1 p2 = 20 − q2 5

Από αυτές προκύπτουν αντίστοιχα τα συνολικά έσοδα (total revenues) και τα οριακά έσοδα (marginal revenues): 2

∂TR1 = 100 − 10q1 ∂q1

D1 :

p1 = 100 − 5q1 ⇒ TR1 = p1q1 = 100q1 − 5q1 ⇒ MR1 ≡

D2 :

∂TR2 1 1 2 2 = 20 − q2 p2 = 20 − q2 ⇒ TR2 = p2 q2 = 20q2 − q2 ⇒ MR2 ≡ ∂q2 5 5 5

για ∀Q, q = 16 ≥ Q για ∀Q,

Q > q = 16

AMR(Q) = MR1 (Q) = 100 − 10Q AMR = 23,1 − 0,385Q

Αν υποθέσουµε ότι MC=8/13Q Τότε AMR(Q* ) = MC (Q* ) ⇒ 23,1 −

5 * 8 * Q = Q ⇒ Q* = 23,1 ⇒ 13 13

8 23,1 = 14, 2 ⇒ 13 * * AMR (Q* ) = 14, 2 = MR1 (q1 ) = MR2 (q2 ) ⇒

MC (Q* ) =

100 − 14, 2 = 8, 58 10 * * 20 − ( 2 5 ) q2 = 14, 2 ⇒ q2 = (20 − 14, 2) ⋅ 5 2 = 14,5 *

100 − 10q1 = 14, 2 ⇒ q1 =

Αντίστοιχα προκύπτουν και τα pi

Υπάρχουν δύο σηµεία τοµής στην συγκεκριµένη περίπτωση. Το ένα όµως (στην AMR=MR1) αποκλείεται γιατί το κέρδος είναι µικρότερο. Μπορείτε να το αποδείξετε;

- ΛΑ2.18 -

p1 = 100 − 5 ⋅ 8,58 = 57,1 1 * p2 = 20 − ⋅14, 5 = 17,1 5

Άρα έχουµε συνοψίζοντας. Q* ≈ 23,1 *

p1 ≈ 57,1

p2 ≈ 17,1

q1 ≈ 8,58 q2 ≈ 14,5

Ας βρούµε τώρα τις ελαστικότητες των αγορών. Θυµηθείτε ότι 1 1  ∂q1 =− =−  b1 5 ∂q a 1 1  ∂p pi = ai − bi qi ⇒ qi = i − pi ⇒ i = − ⇒  1 ∂pi bi bi bi  ∂q2 = − 1 = −5  ∂p2 b2 Άρα:

Άρα ε ↑

ε1 = −

∂q1 p1 1 57,1 = ⋅ ≈ 1, 33 ∂p1 q1 5 8,58

ε2 = −

∂q2 p2 17,1 = 5⋅ ≈ 5,9 ∂p2 q2 14,5

p↓ q↑

- ΛΑ2.19 -

Άσκηση 16 (α)

π = pQ − TC = pQ − Q = (101 − Q ) Q − Q = 100Q − Q 2 ⇒ max π ⇒ Q

∂π = 0 ⇒ 100 − 2Q* = 0 ⇒ ∂Q

Q* = 50 ⇒ p* = 101 − Q* = 101 − 50 = 51 (β) Πλεόνασµα καταναλωτή (Consumer Surplus).

P, MC A 101

Γ B 51

∆ 1

Ζ 50

Q 100

Η τοµή του MR και του MC γίνεται στο Ε, όπου Q=50. Η τιµή προκύπτει από την καµπύλη ζήτησης στο σηµείο Γ και είναι p=0Β=51. Το πλεόνασµα του καταναλωτή είναι το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Αλλά (ΒΓ)=Q=50. (ΑΒ)=(Α0)-(Β0)=101-51=50. Άρα το εµβαδόν του ΑΒΓ είναι (50*50)/2=1250.

- ΛΑ2.20 -

Πλεόνασµα παραγωγού (Producer’s surplus) Εν προκειµένω AC=MC=1. Άρα το πλεόνασµα του παραγωγού είναι το εµβαδόν του ορθογωνίου ∆ΒΓΕ. Αλγεβρικά είναι:

PS = ( p* − AC )Q* = (51 −

Q* * )Q = (51 − 1)50 = 50 ⋅ 50 = 2500 Q*

Το πλεόνασµα των καταναλωτών που «υφάρπαξε» το µονοπώλιο και το πλεόνασµα που, στο µεταξύ, «κατέστρεψε»: Αν

p* = MC τότε

το

πλεόνασµα

θα

ήταν

το

εµβαδόν

του

τριγώνου

∆ΗΑ

=(∆Η)(∆Α)/2=100*100/2=5000. (Το (∆Η)=100 επειδή αν

p* = MC = 1 ⇒ Q* = 101 − p* = 100 ) Αφαιρώντας το ΑΒΓ έχω 5000-

1250=3750. Γεωµετρικά το πλεόνασµα που απώλεσαν οι καταναλωτές λόγω µονοπωλίου (σε σχέση µε το µέγεθός του υπό συνθήκες ισορροπίας τέλειου ανταγωνισµού) είναι ∆ΒΓΗ. Από αυτό το εµβαδόν, το ∆ΒΓΕ το οικειοποιήθηκε ο µονοπωλητής (σου θυµίζουµε ότι µόλις πιο πάνω βρήκαµε ότι το πλεόνασµα του παραγωγού υπό µονοπωλιακές συνθήκες ισούται µε το ∆ΒΓΕ) ενώ το ΓΕΗ χάθηκε γενικά (δηλ. δεν παρήχθη, «καταστράφηκε»). Το ΓΕΗ είναι το πλεόνασµα που «καταστράφηκε» (ή, σωστότερα, που δεν παρήχθη ποτέ) από την επιχείρηση γιατί µόνο µέσω αυτής της καταστροφής κατάφερε να «υφαρπάξει» το εµβαδόν ∆ΒΓΕ. Το ΓΕΗ, για αυτό το λόγο, οι Άγγλοι το αποκαλούν deadweight loss και αποτελεί το λόγο για τον οποίο το µονοπώλιο θεωρείται αναποτελεσµατική µορφή αγοράς. Άρα παρατηρούµε ότι η απώλεια πλεονάσµατος για τους καταναλωτές είναι µεγάλη: 5000-1250=3750. Παρατηρούµε ακόµα ότι τα οφέλη του µονοπωλίου, αν και σηµαντικά, είναι µικρότερα (σε απόλυτες τιµές) από τις ζηµίες των καταναλωτών: Πλεόνασµα παραγωγών υπό συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού = 0 Πλεόνασµα παραγωγών υπό συνθήκες µονοπωλίου = 2500 Όφελος για την επιχείρηση λόγω της µετάβασης από τον ανταγωνισµό στο µονοπώλιο = 2500 Πλεόνασµα καταναλωτών υπό συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού = 5000 Πλεόνασµα παραγωγών υπό συνθήκες µονοπωλίου = 1250 Ζηµία για τους καταναλωτές λόγω της µετάβασης από τον ανταγωνισµό στο µονοπώλιο = 3750 Βλέπουµε λοιπόν ξεκάθαρα ότι η µονοπώληση της αγοράς αυτής «κόστισε» στους καταναλωτές 3750 ενώ οι παραγωγοί οικειοποιήθηκαν µόνο 2500 (από αυτές τις 3750 µονάδες αξίας). Τι έγινε η διαφορά; Ατµός! Γεωµετρικά, ο «ατµός» αυτός που χάθηκε είναι το εµβαδόν ΓΕΗ του οποίου το µέγεθος ισούται µε 37502500=1250 µονάδες.

- ΛΑ2.21 -

Η έννοια του πλεονάσµατος του καταναλωτή (Consumer Surplus) οφείλεται στον Alfred Marshall, 1842-1924, (φωτογραφία) συγγραφέα των Principles of Economics (1890, 8η έκδοση 1920), ο οποίος συγκρότησε και εµπέδωσε την νεοκλασική θεωρία. Πριν όµως από τον Marshall, ο Γάλλος µηχανικός Jules Dupuit (1804-66) είχε ήδη περιγράψει την έννοια του πλεονάσµατος (ως απόλυτη, σχετική και απολεσθείσα χρησιµότητα) από την δεκαετία του 1840. Η έννοια του πλεονάσµατος του καταναλωτή παρουσιάζεται απλουστευτικά στα περισσότερα εγχειρίδια, (και εδώ) χωρίς να αναφέρονται οι αναλυτικές δυσκολίες9 Τέλος, αξίζει να σηµειωθεί ότι ο παραπάνω γεωµετρικός τρόπος υπολογισµού των διαφόρων πλεονασµάτων είναι σωστός µόνο όταν οι καµπύλες ζήτησης και οριακού κόστους είναι γραµµικές. Όταν είναι µηγραµµικές, τα σχετικά εµβαδά (που αντιπροσωπεύουν τα διάφορα πλεονάσµατα) µπορούν να υπολογιστούν µόνο µε τη βοήθεια ολοκληρωµάτων. Έχουµε λοιπόν: Πλεόνασµα Καταναλωτή υπό συνθήκες µονοπωλίου: Q*

CS= ∫ ( p(Q) − p )dQ = *

∫ (101 − Q − 51)dQ = ∫ ( 50 − Q )dQ = 0

2 50

 Q  Q    = 50Q − = Q  50 −   = ( 50 ⋅ 50 ) / 2 = 1250  2 0   2 0 

Πλεόνασµα Καταναλωτή υπό συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού: 100

CSTA = ∫ ( p(Q) − p* )dQ = 0

100

∫ (101 − Q − 1)dQ = ∫ (100 − Q )dQ = 0

2 100

100

 Q    Q  = 100Q − = Q 100 −   = (100 ⋅100 ) / 2 = 5000  2 0 2 0    Πλεόνασµα Παραγωγού υπό συνθήκες µονοπωλίου: Q*

PS M = ∫ [( p * − MC )]dQ = ∫ (51 − 1) = 50 2 = 2500 0

Πλεόνασµα Παραγωγού υπό συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού:

βλ. το λήµµα του A.Takayama, “Consumer Surplus” στο The New Palgrave Dictionary of Economics, 1986 και το βιβλίο του Eugene Silberberg (1989): The Structure of Economics: A Mathematical Analysis, 2nd edition, McGraw Hill, σσ. 402 κ.ε.

- ΛΑ2.22 -

100

PSTA = ∫ [( p * − MC )]dQ = ∫ (1 − 1) = 0

Άσκηση 17 Με Συνολικό Κόστος = Q1/2 το Οριακό

Κόστος τείνει στο 0 όταν η ποσότητα Q τείνει στο άπειρο. Άρα δεν

υπάρχει

κάποια συγκεκριµένη τιµή p που να 1

µπορεί το κράτος να υποδείξει και η οποία να αντιστοιχεί στην περίπτωση

A C

της ισορροπίας τέλειου ανταγωνισµού,

M C 0 0

1 0

1 5

2 0

2 5

δηλαδή

στην

τριπλή

ισότητα

p=MC=minAC. Περαιτέρω, όποια τιµή p=MC και να επιλέξει το κράτος, θα έχουµε p<AC και συνεπώς η επιχείρηση θα χρεοκοπήσει. Άρα ή το κράτος θα επιτρέψει /επιβάλλει p>MC ή θα επιµείνει σε µια τιµή p=MC και ταυτόχρονα είτε θα επιδοτήσει την επιχείρηση είτε θα της επιτρέψει να χρεώνει ένα πάγιο – π.χ. το πάγιο της ∆ΕΗ το οποίο είναι ένα ποσό ανεξάρτητο της κατανάλωσης ρεύµατος και που σκοπό έχει την υπερκάλυψη του σταθερού κόστους έτσι ώστε η τιµή της κιλοβατώρας να µπορεί να βρίσκεται κοντά στο (φθίνον) οριακό κόστος.

Άσκηση 18 Τα κέρδη των δύο επιχειρήσεων είναι: πΑ=(1000-α-β)α-F-α2 πB=(1000-α-β)β-F-β2 Μεγιστοποίηση των κερδών οδηγεί στις συναρτήσεις βέλτιστων απαντήσεων (βλ. Κεφάλαιο 2): Rα: α = 250- ¼ β Rβ: β = 250- ¼ α - ΛΑ2.23 -

Εάν η Α επιλέγει την ποσότητά της πριν από την Β τότε η ισορροπία Stackelberg-Nash είναι η εξής: α=214.3, β=196.4, p=589.3 και πΑ=803625-F ενώ πΒ=77166-F. (α) Η Α γνωρίζει ότι, εάν θέλει, µπορεί να αποτρέψει την Β από το να παράγει έστω και µια µονάδα προϊόντος! Πως; Η Α γνωρίζει ότι η Β χρησιµοποιεί την εξίσωση Rβ για να αποφασίσει πόσο θα παράγει. Εάν αντικαταστήσει την Rβ στην συνάρτηση κερδών της Β [πB=(1000-α-β)α-F-α2] βλέπει πως η δική της επιλογή ποσότητας α καθορίζει τα κέρδη της Α άµεσα: πB=(1000-α-β)β-F-β2 =(1000-α-[250- ¼ α])[ 250- ¼ α] -F-[250- ¼ α]2= [(1000-α)/2] 2- F Εάν λύσει την παραπάνω εξίσωση ως προς α έτσι ώστε πB=0, βρίσκει την ποσότητα α που πρέπει η ίδια να επιλέξει έτσι ώστε να εκµηδενιστούν τα κέρδη της Β. Πρόκειται για την ποσότητα: α = 1000-2◊F. Άρα η Α ξέρει τι πρέπει να κάνει για να αποτρέψει την είσοδο της Β στην αγορά. Πρέπει να παράγει ποσότητα α = 1000-2◊F. [Παρατήρησε ότι εφόσον F>0 υπάρχει πάντα µια ποσότητα α την οποία, αν επιλέξει η Α, τότε και η Β θα µείνει εκτός αγοράς (β=0) και η τιµή του προϊόντος θα είναι θετική.] (β) Το ερώτηµα τώρα είναι: Συµφέρει την Α να αποτρέψει την είσοδο της Β παράγοντας α = 1000-2◊F. Ή µήπως τη συµφέρει να επιλέξει α=500 και να αφήσει την Β να εισέλθει προσφέροντας στην αγορά β=250 µονάδες; Στη δεύτερη περίπτωση, έχουµε ήδη αποφανθεί ότι τα κέρδη της Α ισούνται µε 803625-F. Στην περίπτωση που επιλέγει α=10002◊F και αποτρέπει επιτυχώς την είσοδο της Β (δηλαδή β=0), τα κέρδη της Α δίδονται ως: πα=(1000-α-β)α-F-α2=6000◊F-5F-1000000 Οπότε το ερώτηµα τίθεται ως εξής: Ποια κέρδη είναι µεγαλύτερα; Τα πα = 125000-F ή τα πα =2000◊F-5F; Συνεπώς, η Α θα αποτρέψει την είσοδο της Β (παράγοντας α = 1000-

- ΛΑ2.24 -

2◊F µονάδες) εφόσον 125000-F<2000◊F-5F ή F>5361.7. Όµως εάν η F>5361.7 η Α δεν θα έχει ποτέ κέρδος, οπότε δεν τίθεται θέµα. Αντίθετα, εάν η F<5361.7 θα έχει µεν κέρδος αλλά θα προτιµά την συµβίωση (στη βάση της ισορροπίας Stackelberg-Nash) από την αποτροπή.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Σχέσεις µεταξύ συνολικών, µέσων και οριακών µεγεθών.

Έστω µέγεθος Χ (π.χ., κόστος, έσοδο) που είναι συνάρτηση της ποσότητας q.

Το συνολικό µέγεθος είναι Το µέσο µέγεθος είναι

TX = f (q )

AX =

Το οριακό µέγεθος είναι

TX f (q) = X q

MX =

∂TX ∂f (q) = ∂q ∂q

Η πρώτη παράγωγος του ΑΧ είναι

 f (q)  ∂f (q) ∂ q − f (q ) q  ∂AX 1  ∂f (q) f (q)  1 ∂q  = = =  −  = ( MX − AX ) 2 ∂q ∂q q q  ∂q q  q

(1)

Από αυτό προκύπτει ότι 1. Όταν το ΑΧ έχει αρνητική κλίση το οριακό µέγεθος είναι µικρότερο από το µέσο διότι

∂AX 1 < 0 ⇒ ( MX − AX ) < 0 ⇒ MX < AX , ∀q > 0 . Αντίστροφα όταν το ΑΧ έχει θετική ∂q q κλίση, το οριακό µέγεθος είναι µεγαλύτερο από το µέσο.

- ΛΑ2.25 -

120

35 100 30 80 25

15 40 10

MX 0

0 0

2. Όταν ΜΧ=ΑΧ, το ΑΧ έχει µέγιστο ή ελάχιστο, διότι

∂AX =0. ∂q

Το αν είναι µέγιστο ή ελάχιστο εξαρτάται από το πρόσηµο της δεύτερης παραγώγου του ΤΧ10 Αν το ΑΧ είναι ελάχιστο, επειδή πρώτα φθίνει και µετά αυξάνει, το οριακό µέγεθος «κόβει» το µέσο από τα κάτω και µετά ανεβαίνει πάνω από το µέσο. Αντίστροφα για ΑΧ µέγιστο.

Υπολογίσατε την δεύτερη παράγωγο του ΑΧ.

∂q =−

=−

 

∂

∂AX

1 q

2 q

∂ AX ∂q 2

f ( q) 

 

q ∂q

∂f ( q ) =

 f′−  

f ( q) 

 f′−  

f ( q) 

∂AX =0 ∂q

=−

∂q

q − f ( q) q

1   +  f ′′ −  f ′ − q  

+ 

f ′′ q

=−

2 ∂AX q ∂q

1  ∂f ( q )

 q

∂q

f ( q)   1 q +

  q

−

f (q) 

=−

q 1 q

 

∂ AX 2

⇒

 f′−  

∂q

f ( q)  q

+ 

 1 ′  f ′ −   q  f ′′

1 q

−

1 q

f ( q)  q

 f′−  

 + f′−  

f ( q ) ′ 1 q

 

f (q)  q

= 

f ′′ q

2 ∂AX f ′′ f ′′ + = q ∂q q q

∆ηλαδή η δεύτερη παράγωγος του ΑΧ έχει το ίδιο πρόσηµο στα ακρότατα σηµεία µε την δεύτερη παράγωγο του ΤΧ. Παρατηρείστε τα διαγράµµατα. Στο σηµείο που το ΑΧ είναι ελάχιστο, το ΜΧ αυξάνει. Εφόσον το ΜΧ είναι η πρώτη παράγωγος του ΤΧ, αυτό σηµαίνει ότι η δεύτερη παράγωγος είναι θετική. Αυτό φαίνεται επίσης και από την κυρτότητα του ΤΧ.

- ΛΑ2.26 -

700

300

TX 600 250 500 200

400

150

300

200 100

100

-100

0 0

3. Από την εξίσωση (1) προκύπτει ότι

-200

∂AX 1 ∂AX = ( MX − AX ) ⇒ MX = AX + q , δηλαδή ότι το q ∂q ∂q

οριακό µέγεθος ισούται µε το µέσο µέγεθος συν την οριακή µεταβολή που υπέστη το µέσο µέγεθος επί όλες τις µονάδες. Γενικά το οριακό µέγεθος, δεν είναι το µέγεθος (κόστος, έσοδο) της οριακής µονάδας, αλλά η µεταβολή που υφίσταται το συνολικό µέγεθος λόγω της οριακής µονάδας. 4. Για γραµµική σχέση τύπου

AX = α + β q έχουµε από την εξίσωση MX = AX +

∂AX ∂ (α + β q ) = =β) ∂q ∂q ∂AX MX = AX + q = (α + β q ) + β q = α + 2 β q ∂q

∂AX q (εφόσον ∂q

0 0

20 -10 10 -20 0 0

-30

- ΛΑ2.27 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Άσκηση 19 «Έστω ότι η αγορά του παραγωγικού συντελεστή Χ είναι τελείως ανταγωνιστική και έτσι η τιµή του pΧ είναι δεδοµένη για κάθε επιχείρηση που µισθώνει µονάδες Χ.» Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι MCΧ = pΧ ανεξάρτητα από την ποσότητα του Χ που µισθώνει η κάθε µια επιχείρηση. Έχουµε ακόµα την πληροφορία ότι «η τιµή του Α που αποδέχονται οι επιχειρήσεις ισούται µε pΑ=5» ανεξάρτητα της ποσότητα Α που πουλάει. Συνεπώς MR = pΑ=5. Τέλος «η συνάρτηση παραγωγής του Α ως προς τον συντελεστή Χ είναι η QΑ=Χ½» το οποίο σηµαίνει ότι το οριακό προϊόν εργασίας είναι MPΧ =dQΑ/dX= ½ Χ-½. Η συνάρτηση ζήτησης του Χ προκύπτει από την ισο-οριακή αρχή MCΧ = MRµMPΧ η οποία στην προκειµένη περίπτωση έχει ως: pΧ= 5µ½ Χ-½ = 2.5/◊Χ.

Άσκηση 20 Επαναλαµβάνουµε τα παραπάνω µε τη µοναδική διαφορά ότι το οριακό προϊόν του κάθε ένα από τους δύο συντελεστές (X,Y) βρίσκεται παραγωγίζοντας την συνάρτηση παραγωγής Q A = X

Άρα

οι

1/ 2

1/ 4

∂Q A 1 X ∂Q A 1 Y 1 / 4 µερικώς. ∆ηλαδή, MPX = = . = και MPY = ∂Y ∂X 2 X 4 Y 3/ 4

συναρτήσεις

ζήτησης

των

συντελεστών

∂Q A 5 Y 1 / 4 ∂Q A 5 X = αντίστοιχα. pX = 5 × = και pY = 5 × ∂Y ∂X 2 X 4 Y 3/ 4

- ΛΑ3.1 -

και

δίδονται

ως

Άσκηση 21 (α) Η ισο-οριακή αρχή MCL = MRµMPL, στην περίπτωση αυτή, µετατρέπεται σε 5L = 500 L dQ = dL

(δεδοµένου ότι ΤCL = wµL = (2.5L)µL, ΜCL = 5L, MR=p=1000, και MPL = 1

Q −1 / 2 ). Άρα, L=21.5 και w=53.86.

Προτού προχωρήσουµε στο µέρος (β), ας συγκρίνουµε την παραπάνω ισορροπία µονοψωνίου µε την ισορροπία που θα ίσχυε υπό συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού στην συγκεκριµένη αγορά εργασίας. Η διαφορά έγκειται στο ότι το οριακό κόστος εργασίας MCL της κάθε επιχείρησης είναι σταθερό και ίσο µε τον µισθό που δίδεται στο επίπεδο της συνολικής αγοράς εργασίας από την τοµή της συνάρτησης ζήτησης εργασίας (w= συνάρτησης προσφοράς εργασίας (w=2.5µL). Θέτοντας

2.5µL=

500 L

)

βρίσκουµε

L=34.2, w=85.5. Επιβεβαιώνουµε λοιπόν το θεωρητικό µας αποτέλεσµα ότι υπό µονοψωνιακές συνθήκες και η απασχόληση και ο µισθός υπολείπονται εκείνων που θα ίσχυαν υπό συνθήκες ανταγωνισµού µεταξύ των εργοδοτών. (β) Σε περίπτωση που το συνδικάτο των εργαζοµένων του εργοστασίου καταφέρει, υπό την απειλή απεργίας, να επιβάλει στη διοίκηση της επιχείρησης έναν µισθό ίσο µε w =85.5 ευρώ, ουσιαστικά το µονοψώνιο/εργοδότης θα µετατραπεί σε αποδέκτη του επιβεβληµένου µισθού. Άρα µέχρι και το επίπεδο απασχόλησης που αντιστοιχεί στον επιβεβληµένο µισθό των 85.5 ευρώ, δηλαδή 85.5=2.5L ή L=34.2, το οριακό κόστος της εργασίας για τον εργοδότη ισούται µε τον επιβεβληµένο µισθό των 85.5 ευρώ. Συνεπώς η ισο-οριακή αρχή για το µονοψώνιο γίνεται πανοµοιότυπη µε εκείνη που θα ίσχυε υπό συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού, δηλαδή 85.5 =

500 L

. Το συµπέρασµα, όσον αφορά την

απασχόληση, είναι ότι η επιβολή του υψηλότερου µισθού (ίσου µε εκείνου που θα επικρατούσε υπό συνθήκες ανταγωνισµού), ο εργοδότης θα επιλέξει να µισθώσει περισσότερη εργασία ίση µε L=34.2 (όση θα επικρατούσε υπό συνθήκες ανταγωνισµού).

- ΛΑ3.2 -

Άσκηση 22 Με τα δεδοµένα της προηγούµενης άσκησης, τα κέρδη των δύο επιχειρήσεων είναι:

π 1 = pQ1 − wL1 = 1000 × L11/ 2 − 2.5 × ( L1 + L2 ) × L1

(1)

π 2 = pQ2 − wL2 = 1000 × L12/ 2 − 2.5 × ( L1 + L2 ) × L2

(2)

Παραγωγίζοντας τα κέρδος της κάθε µιας επιχείρησης ως προς τις εργατώρες που µισθώνει, βρίσκουµε τις συναρτήσεις βέλτιστης απάντησης (βλ. τα υποδείγµατα ολιγοπωλίου στο Κεφάλαιο 1):

R1:

500 L1

− 5L1 − 2.5L2 = 0 και R2:

500 L2

− 5L2 − 2.5L1 = 0

∆εδοµένου ότι οι εταιρείες επιλέγουν µια φορά µόνο και ταυτόχρονα, η λύση Cournot που προκύπτει από τη λύση των R1, R2 (ως σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους) αποτελεί και τη µοναδική ισορροπία Nash. Έτσι βρίσκουµε L1= L2=16.44, L=32.9 και w=82.5. Συγκρίνοντας αυτή την ισορροπία µε την απάντηση στην άσκηση 21(α) επιβεβαιώνουµε ότι ο µισθός και η απασχόληση βρίσκονται στο υψηλότερο επίπεδο υπό συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού µεταξύ εργοδοτών, στο χαµηλότερο υπό συνθήκες µονοψωνίου και κάπου ανάµεσα στην περίπτωση που δύο εργοδότες ανταγωνίζονται αλλήλους στην αγορά εργασίας (διοψώνιο). Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει:

Μορφή αγοράς εργασίας

Ωροµίσθιο (w)

Εργατώρες (L)

Τέλειος ανταγωνισµός

85.5

34.2

Ολιγοψώνιο (διοψώνιο)

82.5

32.6

Μονοψώνιο

53.9

21.5

- ΛΑ3.3 -

Άσκηση 23 (α) Όταν για την παραγωγή 10 τόνων καλαµποκιού χρειάζονται Χ τόνοι καλαµποκιού, τότε οι εξισώσεις (13) και (14) – βλ. Κεφάλαιο 3, Μέρος Γ – γενικεύονται σε: πg /(Χpg + 2pc)=

[10pg - (Χpg + 2pc) - w]/(Χpg + 2pc)

πc /(3pg + 4pc)=

[10pc - (3pg + 4pc) - 2w)]/(3pg + 4pc)

(13’) (14’)

Το κλασικό αξίωµα ότι οι «πόροι» µετακινούνται µεταξύ των δύο κλάδων έως ότου εξισορροπηθούν τα ποσοστά κέρδους οδηγεί στην εξίσωση (16) η οποία, όταν χρειάζονται Χ τόνοι καλαµποκιού για την παραγωγή 10 τόνων καλαµποκιού δίδεται ως: [10pg - (Χpg + 2pc) - w]/(Χpg + 2pc) = [10pc - (3pg + 4pc) - 2w)]/(3pg + 4pc)

(16’)

Θέτοντας pg = 1 βρίσκουµε τη γενικευµένη µορφή της (17): 10 − ( X + 2 pc ) − w 10 p c − (3 + 4 pc ) − 2w (17') = X + 2 pc 3 + 4 pc Λύνουµε ως προς την τιµή pc για να βρούµε την σχέση της µε το Χ: 20pc2 + (10Χ-40)pc – (30+2wΧ-3w) = 0

pc =

20 − 5 X − 5

(200 − 12w + 8wX − 40 X + 5 X ) 2

Παραγωγίζουµε την τιµή pc ως προς τον µισθό w και βρίσκουµε ∂p c 5 =− ∂w 20

(8 X − 12) 200 − 12w + 8wX − 40 X + 5 X 2

. Για να είναι η σχετική τιµή των αγελάδων

ανάλογη µε τον µισθό, θα πρέπει η παράγωγος αυτή να είναι θετική. Κάτι τέτοιο συµβαίνει µόνο όταν Χ>1.5 Ο.Ε.∆.

- ΛΑ3.4 -

(β) Έστω ότι ο µισθός παραµένει σταθερός στο αρχικό επίπεδο w=1. Άρα, η σχετική τιµή 20 − 5 X − 5 (188 + 8 X − 40 X + 5 X 2 ) των αγελάδων ισούται µε pc = . Προηγουµένως 20 είδαµε ότι το ποσοστό κέρδους (Π) στην οικονοµία ολόκληρη ισούται µε

Π=

10 − ( X + 2 p c ) − w 10 pc − (3 + 4 pc ) − 2w ή µε X + 2 pc 3 + 4 pc

Θέτοντας w=1, υποκαθιστώντας την τιµή pc που βρήκαµε παραπάνω και παραγωγίζοντας ως προς το Χ βρίσκουµε:

∂Π = ∂X

( X + 2 p c )(−1 + 2

∂p c ∂p ) − (9 − X + 2 p c )(1 + 2 c ) ∂X ∂X 2 ( X + 2 pc )

Εφόσον η παράγωγος αυτή είναι αρνητική, το ποσοστό κέρδους είναι αντιστρόφως ανάλογο της ποσότητας καλαµποκιού Χ που χρειάζονται για να παραχθούν 10 τόνοι καλαµποκιού. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι αυτό ισχύει (λόγω του κλασικού αξιώµατος) για ολόκληρη την οικονοµία. ∆ηλαδή, το ποσοστό κέρδους µειώνεται και στον κλάδο των αγελάδων αλλά και του καλαµποκιού όταν αυξάνεται το κόστος παραγωγής του κάθε τόνου καλαµποκιού (δηλαδή χρειάζεται περισσότερο καλαµπόκι για να παραχθούν 10 τόνοι καλαµποκιού).

- ΛΑ3.5 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

Άσκηση 24 (α) Για να είναι ένας συνδυασµός (x, y) κατά Pareto αποτελεσµατικός, πρέπει ο οριακός λόγος υποκατάστασης MRS της Α να είναι ίσος µε εκείνον του Β στο συγκεκριµένο σηµείο το οποίο αντιστοιχεί µε τον συνδυασµό (x, y). Άρα, MRSA=MRSB ή dy dx

dU A

dy = dx

∂U B  2yA  ∂ x ∂x (= −1) .  = −  = − ή− ∂ U ∂ U x B A dU B  A  ∂y ∂y ∂U A

Άρα, η συνθήκη MRSA=MRSB µεταφράζεται στην εξίσωση ΚΑΣ, δηλαδή την Καµπύλη των Αποτελεσµατικών Συµφωνιών (ή αγγλιστί optimal/efficient contract curve), η οποία αποτελεί τον γεωµετρικό τόπο όλων των κατά Pareto κατανοµών των αγαθών x και y µεταξύ των Α και Β: ΚΑΣ: yA = ½ xA (β) Μας δίδεται η αρχική κατανοµή Ν, δηλαδή το σηµείο εκκίνησης των «διαπραγµατεύσεων», ως (xA=20, yA=16) και (xB=10 και yB=0). Ας βρούµε τις καµπύλες αδιαφορίας των Α και Β που αντιστοιχούν σε αυτό: Η ωφέλεια της Α είναι UA=xAyA1/2 = 20µ161/2 = 80. Άρα στην αρχική κατανοµή η καµπύλη αδιαφορίας της Α που περνάει από αυτήν δίδεται ως 80 = xAyA1/2 ή yA = 6400/(xA2). Αντίστοιχα, η ωφέλεια του Β είναι UB=xB+yB= 10+0 =10. Άρα στην αρχική κατανοµή Ν η καµπύλη αδιαφορίας του Β που περνάει από αυτήν δίδεται ως 10 = xB+yB. Άρα yB = 10- xB. Έστω Κ το σηµείο στο οποίο τέµνεται η καµπύλη αδιαφορίας της Α (η οποία περνάει από το Ν) µε την ΚΑΣ, δηλαδή την καµπύλη των αποτελεσµατικών συµφωνιών (ή αγγλιστί optimal/efficient contract curve), βρίσκεται λύνοντας ως σύστηµα δύο αγνώστων τις εξισώσεις: yA = 6400/(xA2) δηλαδή την καµπύλη αδιαφορίας της Α που περνάει από την αρχική Ν, και

- ΛΑ4.1-

yA = ½ xA δηλαδή την ΚΑΣ. Βρίσκουµε λοιπόν το σηµείο Κ που λύνει αυτό το σύστηµα: Το Κ δίδεται ως το Κ: (xA=23.4, yA=11.7) Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουµε το σηµείο Λ στο οποίο τέµνεται η καµπύλη αδιαφορίας του Β η οποία αντιστοιχεί στο σηµείο Ν µε την ΚΑΣ: Αυτή καµπύλη αδιαφορίας του Β βρέθηκε πριν ως yB = 10- xB. Μπορούµε για ευκολία (και για να χρησιµοποιούµε τους ίδιους άξονες µε την Α) να την εκφράσουµε ως προς xA και yA, µιας και οι συνολικές ποσότητες x και y είναι δεδοµένες, x=30 και y=16. Τότε η yB = 10- xB ξαναγράφεται ως 16-yA=10-(30- xA) ή yA=36-xA. Οπότε για να βρούµε το σηµείο Λ (δηλαδή το σηµείο τοµής της ΚΑΣ µε την καµπύλη αδιαφορίας του Β που περνάει από την αρχική κατανοµή Ν (αλλά και τέµνεται µε την ΚΑΣ) λύνουµε το σύστηµα εξισώσεων yA=36-xA και yA = ½ xA. Προκύπτει ότι Λ: (xA=24, yA=12) Έτσι απαντήσαµε στο ερώτηµα (β): Οι κατά Pareto αποτελεσµατικοί συνδυασµοί (x, y) δίδονται από την καµπύλη ΚΑΣ ως yA = ½ xA ενώ οι Α και Β, ξεκινώντας από το σηµείο Ν:(xA=20, yA=16) [και συνεπώς από το (xB=10 και yB=0)] θα στραφούν σε µια συµφωνία που αφ’ ενός να ανήκει στην ΚΑΣ yA = ½ xA αφ’ ετέρου να κείται µεταξύ των ακραίων σηµείων Κ: (xA=23.4, yA=11.7) και Λ:(xA=24, yA=12). Σηµειωτέον ότι το Κ αποτελεί την καλύτερη περίπτωση για τον Β – τον πιο αισιόδοξο διαπραγµατευτικό του στόχο (µιας και, εάν τον δεχθεί η Α, ουσιαστικά θα έχει δεχθεί να µην ωφεληθεί εκείνη καθόλου από την µεταξύ τους ανταλλαγή). Αντίστοιχα, το σηµείο Λ αποτελεί τον πιο αισιόδοξο διαπραγµατευτικό στόχο της Α. (γ) Η µετάβαση από την αρχική κατανοµή Ν στο σηµείο Κ σηµαίνει ότι η Α µείωσε τις µονάδες y που διαθέτει από 16 σε 11.7 και αύξησε τις µονάδες x από 20 σε 23.4. Πως το πέτυχε αυτό; Πολύ απλά ανταλλάσσοντας µε τον Βασίλη 4.3 µονάδες y µε αντάλλαγµα 3.4 µονάδες x. Άρα, σε αυτή την περίπτωση ο λόγος ανταλλαγής ∆y/∆x = 4.3/3.4 = 1.26. - ΛΑ4.2-

Αντίστοιχα η µετάβαση από την αρχική κατανοµή Ν στο σηµείο Λ σηµαίνει την ανταλλαγή 4 µονάδων y της Ά µε 5 µονάδες του Β, δηλαδή έναν λόγο ανταλλαγής ∆y/∆x = 4/5 = 0.8. Από τη στιγµή που έχουµε ήδη δει πως, ξεκινώντας από το Ν, τα σηµεία Κ και Λ «οριοθετούν» την γκάµα των πιθανών συµφωνιών µεταξύ Α και Β, συµπεραίνουµε ότι οι λόγοι ανταλλαγής που χρειάζονται για να γίνει η «µετάβαση» από το Ν στο Κ και από το Ν στο Λ θα είναι οι ακραίοι λόγοι ανταλλαγής ή οι ακραίες σχετικές τιµές στις οποίες οι Α και Β θα συµφωνήσουν να ανταλλάξουν µονάδες των αγαθών x και y. (δ) Ξέρουµε ότι οι συναρτήσεις ωφέλειας των Α και Β είναι οι UA=xy1/2 και UB=x+y. Στην αρχική κατανοµή Ν έχουµε ήδη βρει [βλ. µέρος (α)] ότι UA=80και UB=10. Η καλύτερη περίπτωση για την Α είναι ο Β να συµφωνήσει σε µια ανταλλαγή που θα τους πάει από το Ν στο Λ, δηλαδή στο (xA=24, yA=12). Σε αυτό το σηµείο, UA=24µ121/2 = 83.14, δηλαδή µια βελτίωση της ωφέλειάς της από 80 σε 83.14 ή περίπου 9%. (Να επαληθεύσεις ότι η µετάβαση από το Ν στο Λ αφήνει την ωφέλεια του Β σταθερή. Γιατί συµβαίνει αυτό; Αν δεν έχεις καταλάβει το γιατί, πρέπει να ξαναρχίσεις από την αρχή! Π.χ. από το δεδοµένο ότι τα Ν και Λ ανήκουν στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας του Β.) Η αντίστοιχη περίπτωση µέγιστης ωφέλειας για τον Β από ανταλλαγές προκύπτει όταν η Α συµφωνήσει να περάσουν από το Ν στο Κ: (xA=23.4, yA=11.7), οπότε η ωφέλεια του Β ανέρχεται από UB=10 σε UB= 30-23.4 + 16 – 11.7 = 10.9, δηλαδή, η µέγιστη ωφέλεια που µπορεί να αποκοµίσει ο Β από εµπορικές ανταλλαγές µε την Α αγγίζει το 4.2%.

- ΛΑ4.3-

∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΣΚΗΣΗΣ 24 Ξεκινώντας από το Ν, η Α θα ανταλλάσσει µονάδες y µε µονάδες x του Β έως ότου καταλήξουν σε µια κατανοµή (των, συνολικά, 30 µονάδων x και 16 µονάδων y) η οποία να ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα ΚΛ της ΚΑΣ, δηλαδή του γεωµετρικού τόπου όλων των κατά Pareto αποτελεσµατικών κατανοµών. (Σηµ. η καµπύλη αδιαφορίας του Β, που περνάει από το Ν είναι γραµµική λόγω της γραµµικότητας της συνάρτησης ωφέλειας του Β.

Αρχική Κατανοµή: Ν (xA=20, yA=16) και (xB=10 και yB=0)

N B

xB 16

12 11.7

Καµπύλη Αποτελεσµατικών Συµφωνιών ΚΑΣ: Αποτελεσµατικές κατανοµές των δύο αγαθών µεταξύ των Α και Β. Σηµ. στην περίπτωση αυτή η ΚΑΣ είναι γραµµική

30 xA A

23.4

Άσκηση 25 (α) Η συνάρτηση παραγωγής του X το οποίο παράγει η Α είναι ΧA=◊(GXLX). Άρα, ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης στην παραγωγική διαδικασία του Χ (ΟΛΤΥX), ως προς τις ποσότητες παραγωγικών συντελεστών GX και LX, (δηλαδή, η κλίση των ισοποσοτικών καµπυλών ως προς τις ποσότητες παραγωγικών συντελεστών GX και LX) δίδεται ως dG X (ΟΛΤΥX=) MRTSX = dL X

∂X A =− dX A

∂X A

∂L X

=−

∂G X

GX LX

Στρεφόµενοι στην συνάρτηση παραγωγής του Y το οποίο παράγει η Α, είναι ΥA=GΥ+LΥ = (G-GΧ)+ (L-LΧ). Ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης στην παραγωγική διαδικασία του Y, εκφρασµένος ως προς τις ποσότητες παραγωγικών συντελεστών GX και LX που χρησιµοποιεί για την παραγωγή όχι του Y αλλά του Χ, είναι dG X (ΟΛΤΥΥ=) MRTSY = dL X

∂Y A =− dYA

- ΛΑ4.4-

∂Y A

∂L X ∂G X

1 = − = −1 1

Οι αποτελεσµατικές κατανοµές των συντελεστών παραγωγής της Α είναι εκείνες οι οποίες πληρούν την συνθήκη MRTSX = MRTSY. Άρα, για να χρησιµοποιεί τους συντελεστές παραγωγής της αποτελεσµατικά για την παραγωγή X και Y θα πρέπει −

GX = −1 LX

ή GΧ = LΧ. Η Καµπύλη Παραγωγικών ∆υνατοτήτων (ΚΠ∆) της Α ως προς τα δύο αγαθά βρίσκεται ως εξής: Γνωρίζουµε τις συναρτήσεις παραγωγής του κάθ’ ενός αγαθού ΧA=◊(GXLX) και ΥA=(G-GΧ)+ (L-LΧ). Από µόνες τους οι συναρτήσεις αυτές δεν φτάνουν για να µας υποδείξουν την ΚΠ∆ της Ά. Για να βρεθεί η Α πάνω στην ΚΠ∆ της, είναι απαραίτητο να έχει επιλέξει µια αποτελεσµατική κατανοµή των παραγωγικών συντελεστών που έχει στη διάθεσή της – δηλαδή, θα πρέπει MRTSX = MRTSY ή, όπως είδαµε παραπάνω, GΧ = LΧ. Άρα, για να βρεθεί η Α στην ΚΠ∆ της πρέπει να ικανοποιούνται τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα: ΧA=◊(GXLX)

(1)

ΥA=(G-GΧ)+ (L-LΧ)

(2)

GΧ = LΧ

(3)

Υποκαθιστούµε την (3) στην (1) και βρίσκουµε ΧA=◊(LXLX)= LX το οποίο, µε τη σειρά του το υποκαθιστούµε στην (2) (θέτοντας ταυτόχρονα GΧ = LΧ ). Αποτέλεσµα είναι η εξίσωση ΥA=G+L-2ΧA. Ποιο είναι το νόηµά της; Από τη στιγµή που κατασκευάστηκε από τις (1), (2) και (3), αντιστοιχεί στους ποσότητες Χ και Υ που δύναται να παράξει η Α εφόσον κατανείµει αποτελεσµατικά (δηλ. επιτυγχάνει την εξίσωση MRTSX = MRTSY) τις µονάδες συντελεστών παραγωγής που διαθέτει (G και L)µεταξύ των παραγωγικών διαδικασιών των Χ και Υ. Συνεπώς η εξίσωση ΥA=G+L-2ΧA δεν είναι άλλη από την ίδια την ΚΠ∆ της Α. Συµπέρασµα: Η Καµπύλη Παραγωγικών ∆υνατοτήτων (ΚΠ∆) της Α ως προς τα δύο αγαθά δίδεται ως ΥA=G+L-2ΧA Η κλίση της ΚΠ∆, ή η πρώτη παράγωγος της ΚΠ∆ ως προς το Χ, ονοµάζεται οριακός λόγος µετασχηµατισµού ΟΛΜ (ή marginal rate of transformation MRT). Η οικονοµική του ερµηνεία είναι απλή: Εάν ΟΛΜ = -µ, τότε η Α δύναται να αυξήσει την παραγωγή

- ΛΑ4.5-

του X που παράγει κατά µ µονάδες µόνον εφόσον µειώσει την ποσότητα Y που παράγει κατά µια µονάδα. Στην προκειµένη περίπτωση, ο ΟΛΜ = -2. (β) Υποθέτουµε ότι η Α και ο Β αντιµετωπίζουν από κοινού τις ίδιες συναρτήσεις παραγωγής των αγαθών X και Y – δηλαδή, η «µετατροπή» των ποσοτήτων παραγωγικών συντελεστών σε µονάδες προϊόντος (X ή Y) είναι ανεξάρτητη από το εάν στο προσκήνιο είναι µόνο η Α, εάν δουλεύουν από κοινού οι Α και ο Β, από την σχέση µεταξύ Α και Β (π.χ. είναι φίλοι, ζευγάρι, έχουν σχέση εργοδότη-εργαζοµένου κλπ). [Πρόκειται για το νεοκλασικό αξίωµα ότι η µετατροπή συντελεστών σε τελικό προϊόν είναι µια καθαρά τεχνική διαδικασία η οποία δεν επηρεάζεται από τις λεγόµενες κοινωνικές σχέσεις παραγωγής.] Συνεπώς, το πρόβληµα εξεύρεσης µιας αποτελεσµατικής εκµετάλλευσης των G=100 και L= 140 διαθέσιµων µονάδων στην µικρή οικονοµία των Α και Β λύνεται πολύ απλά: Θα πρέπει να διατεθούν για την παραγωγή X και Y σε τέτοιες αναλογίες ώστε MRTSX = MRTSY. Ήδη έχουµε βρει [βλ. µέρος (α)] ότι αυτή εξίσωση σηµαίνει (στην προκειµένη περίπτωση) πως η παραγωγή του Χ θα βασίζεται σε ίσες ποσότητες γης και εργασίας (GΧ = LΧ). Εφόσον τηρηθούν αυτές οι αναλογίες, η µικρή αυτή οικονοµία θα βρίσκεται πάνω στην ΚΠ∆ η οποία δίδεται ως Υ=G+L-2Χ [βλ. µέρος (α)]. Το ζητούµενο τώρα είναι να δείξουµε ότι οι τιµές Χ= XA+ΧΒ=50, Υ= ΥA+ΥΒ=140, XA=10, ΧΒ=40, ΥA=20, και ΥΒ=120 συνάδουν µε µια κατάσταση γενικής ισορροπίας µόνον εφόσον κ=3/2.

Σε µια κατάσταση γενικής ισορροπίας γνωρίζουµε ότι πρέπει να ισχύει η τριπλή εξίσωση MRSA = MRSA = MRT ή, ελληνιστί, ΟΛΥA= ΟΛΥB=ΟΛΜ

Ας ελέγξουµε εάν οι τιµές που µας δόθηκαν αντιστοιχούν σε µε µια τέτοια κατάσταση. Οι συναρτήσεις ωφέλειας των Α και Β είναι οι UA=XAYA και UΒ=XΒ(1/3)ΥΒ (κ/3) = [Χ-XΑ] (1/3)

[Υ-YA] (κ/3) (όπου κ>0). Άρα, οι ΟΛΥ τους δίδονται ως: ∂U A

∂U B YA ∂X A 1 Y −Y A και MRSΒ = − MRSA = − =− =− ∂U A ∂U B XA κ X − XA ∂Y A ∂Y A ∂X A

- ΛΑ4.6-

Ήδη έχουµε βρει πως η καµπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων είναι γραµµική µε σταθερή κλίση MRT = -2. Πρώτα θέτουµε MRSA = MRT και κατόπιν MRSΒ = MRT. Από αυτές τις δύο εξισώσεις βρίσκουµε αντίστοιχα ότι YA=2XA και Y-YA=2κ(X-XA). Τις προσθέτουµε για να καταλήξουµε στη σχέση Y =2κ(X-XA)+2XA η οποία σε συνδυασµό µε την ΚΠ∆: Υ=G+L-2Χ µας δίνουν την G+L-2Χ=2κ(X-XA)+2XA. Λύνοντας ως προς κ βρίσκουµε την τιµή του κ η οποία συνάδει µε κατάσταση γενικής ισορροπίας, δηλαδή µε την τριπλή ισότητα ΟΛΥA= ΟΛΥB=ΟΛΜ: κ=

G + L − 2( X + X A ) 2( X − X A )

∆εδοµένου ότι στην περίπτωση που εξετάζουµε Χ=50, XA=10, G=100 και L= 140, βρίσκουµε ότι για ισχύουν µε αυτές τις τιµές συνθήκες γενικής ισορροπίας θα πρέπει οι προτιµήσεις του Β να είναι τέτοιες ώστε κ = 3/2. ΟΕ∆. Τέλος, αξίζει να επαληθεύσουµε ότι ισχύει η τριπλή εξίσωση ΟΛΥA= ΟΛΥB=ΟΛΜ: ∂U A

ΟΛΥA= −

∂U A ∂U A

∂X A ∂Y A

=−

YA =-(20/10)=-2 XA

∂U B YA ∂X A 1 Y −Y A =− =-(2/3)(120/40)=-2 ΟΛΥΒ= − =− =− ∂U A ∂U B XA κ X − XA ∂Y A ∂Y A ∂X A

ΟΛΜ = -2 Άρα, ΟΛΥA= ΟΛΥB=ΟΛΜ (γ) Το παρακάτω διάγραµµα αποτυπώνει την γενική ισορροπία που µόλις µελετήσαµε. Η ΚΠ∆ είναι γραµµική (µε σταθερό ΟΛΜ=-2) και τέµνει τον κάθετο άξονα στο σηµείο G+L=240 και τον οριζόντιο στο ήµισυ αυτής της ποσότητας. Το σηµείο Κ αντιστοιχεί στον συνδυασµό ποσοτήτων X και Y (50,140). Το σηµείο Λ αφορά την κατανοµή αυτών των µονάδων µεταξύ της Α και του Β. Παρατήρησε ότι η κλίση των καµπυλών αδιαφορίας των Α και Β (δηλαδή η κλίση της κοινής τους εφαπτοµένης) είναι ίδια µε εκείνη της - ΛΑ4.7-

ΚΠ∆ (πρόκειται για τη γεωµετρική «έκδοση» της τριπλής ισότητας ΟΛΥA= ΟΛΥB=ΟΛΜ. Τέλος, ας επιβεβαιώσουµε ότι το σηµείο Λ ανήκει στην Καµπύλη Αποτελεσµατικών Συµφωνιών (ΚΑΣ) µεταξύ των Α και Β:

Η ΚΑΣ ορίζεται από την συνθήκη ΟΛΥA= ΟΛΥB. Άρα, µε κ=3/2, Χ=50 και Y=140, έχουµε −

YA 280 X A 2 140 − Y A =− × ή YA = . Αυτή είναι και η αλγεβρική απεικόνιση XA 3 50 − X A 150 − X A

της ΚΑΣ. Όταν ΧΑ=10, τότε η ΚΑΣ µας λέει ότι το YΑ=20, κάτι το οποίο, πράγµατι, ισχύει στο σηµείο Λ. ΟΕ∆.

Καµπύλη Παραγωγικών ∆υνατοτήτων Χ και Y ΚΠ∆

∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΣΚΗΣΗΣ 25 Γεωµετρική απεικόνιση µιας Γενικής Ισορροπίας όταν κ=3/2, G=100, L=140, Χ=50, και Υ=120:

G+L =240

ΚΠ∆: ΥA=G+L-2ΧA ΚΑΣ: ΥA=[280ΧA/(150-ΧA

Σηµείο Κ: Χ=50 και Υ=140 (ΧA, ΧΒ)=(10,40) Σηµείο Λ: και (ΥA, ΥΒ)=(20,120)

ΥΒ

ΥΑ Χ Α

ΧΒ

(G+L)/2 =120

Καµπύλη αποτελεσµατικών συµβάσεων µεταξύ των Α και Β ΚΑΣ

Άσκηση 27 Πρόκειται για επέκταση της Άσκησης 13, βλ. Κεφάλαιο 2, µε τη µόνη διαφορά ότι εδώ έχουµε τρία αντί για δύο µόνο άτοµα. Η αρχή (της κατά Pareto αποτελεσµατικότητας) παραµένει, βεβαίως, η ίδια. Για να αποφανθούµε εάν η κατανοµή Κj είναι κατά Pareto - ΛΑ4.8-

αποτελεσµατική, θέτουµε το εξής ερώτηµα: Έστω ότι ισχύει η Κj, ότι ξεκινάµε από αυτή. Υπάρχει κάποια άλλη, εναλλακτική κατανοµή Κω η οποία να είναι τουλάχιστον για ένα άτοµο προτιµότερη από την Κj αλλά, ταυτόχρονα, κανένα άτοµο να µην ζηµιωθεί από την µετάβαση από την Κj στην Κω; Έχουµε, λοιπόν, και λέµε: Άννα

Βασίλης

Γιώργος

UΑ

UΒ

UΓ

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii) 0

(ix)

Έστω ότι ισχύει η (i). Οποιαδήποτε µετάβαση σε άλλη κατανοµή θα ζηµιώσει την Α. Άρα η (i) είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (ii). Η µετάβαση στην (i) θα ζηµιώσει τον Β ενώ η µετάβαση σε οποιαδήποτε άλλη θα ζηµιώσει την Α. Άρα και η (ii) είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (iii). Η µετάβαση στην (ii) θα ωφελήσει την Α, και τον Γ ενώ θα αφήσει αδιάφορο τον Β. Άρα η (iii) δεν είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (iv). Η µετάβαση είτε στην (iii) είτε στην (ii) θα ωφελήσει την Α και τον Γ και θα αφήσει τον Β αδιάφορο. Άρα η (iv) δεν είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (v). Παρατηρούµε ότι η µετάβαση στην (ii) θα ωφελήσει και τους τρεις. Άρα και η (v) δεν είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (vi). Οι µόνες µεταβάσεις που δεν θα ζηµιώσουν τον Β είναι εκείνες που θα τους φέρουν στις (vii), (viii) και (ix). Όµως σε όλες αυτές τις περιπτώσεις θα ζηµιωθεί η Α. Άρα, η (vi) είναι κατά Pareto αποτελεσµατική.

- ΛΑ4.9-

Έστω ότι ισχύει η (vii). Οποιαδήποτε µεταβολή θα δυσαρεστήσει την Β. Άρα, η (vii) είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (viii). Οι µόνες µεταβάσεις που δεν θα ζηµιώσουν τον Β είναι εκείνες που θα τους φέρουν στις (vi), (vii) και (ix). Σε όλες όµως αυτές τις περιπτώσεις ζηµιώνεται ο Γ. Άρα η (viii) είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Έστω ότι ισχύει η (ix). Η µόνη µετάβαση που δεν θα ζηµιώσει κάποιον είναι προς την (viii) – µετά από µια τέτοια µετάβαση παραµένουν αδιάφοροι οι Α και Β αλλά ωφελείται ο Γ. Άρα, η (ix) δεν είναι κατά Pareto αποτελεσµατική. Περιληπτικά: Αποτελεσµατικές κατά Pareto είναι οι κατανοµές: (i), (ii), (vi),(vii) και (viii). Αν ξεκινήσουµε µε µια από αυτές, δεν θα υπάρχουν περιθώρια αλλαγής της αρχικής κατανοµής µέσω εθελούσιων ανταλλαγών. Πρόσεξε όµως και κάτι άλλο. Σύµφωνα µε το σκεπτικό που ακολουθήσαµε παραπάνω (µε στόχο την «αναγνώριση» των αποτελεσµατικών κατανοµών), εάν η αρχική κατανοµή είναι µη αποτελεσµατική, η νέα, αποτελεσµατική κατανοµή που θα προκύψει (ως αποτέλεσµα των ανταλλαγών µεταξύ των Α,Β και Γ) θα αντικατοπτρίζουν τις ανισότητες της αρχικής κατανοµής. Πχ. εάν ξεκινήσουν µε την αναποτελεσµατική κατανοµή (ix), ο Β και ο Γ θα ανταλλάξουν µια µονάδα X για µια µονάδα Y και έτσι θα προκύψει η αποτελεσµατική κατανοµή (viii).1 Από αυτή την ανταλλαγή, και σε αυτή τη νέα αποτελεσµατική κατανοµή, η κακόµοιρη η Α παραµένει «δυστυχής» - από την άποψη ότι παραµένει στο χαµηλότερο σκαλί ωφέλειας και δίχως καθόλου αγαθά. Λογικό είναι: Εάν δεν έχεις τίποτα να ανταλλάξεις, µετά από τις ανταλλαγές πάλι µε τίποτα θα καταλήξεις. Παρόλα αυτά η νέα κατανοµή (viii) είναι αποτελεσµατική ανεξάρτητα των απόψεων της Α! Αντίθετα, εάν η αρχική κατανοµή ήταν η (iii) τότε θα καταλήξουν στην αποτελεσµατική κατανοµή (ii), καθώς οι Α και Γ θα ανταλλάξουν µια µονάδα X για µια µονάδα Y. Παρατήρησε ότι, αν και η (ii) και η (viii) είναι εξ ίσου αποτελεσµατικές, η πρώτη κατανέµει τα αγαθά πιο «ίσα» απ’ ότι η δεύτερη. Ποια θα επικρατήσει; Εξαρτάται από την αρχική κατανοµή: Εάν ξεκινήσουµε από µια κατανοµή σαν την (iii), τότε θα καταλήξουµε στην (ii). Αν πάλι ξεκινήσουµε από την (ix) 1

Παρατήρησε ότι υποθέτουµε πως από τη στιγµή που ο Β είναι αδιάφορος µεταξύ των κατανοµών (viii) και (ix) τότε θα δεχθεί αυτή την ανταλλαγή µε τον Γ, ο οποίος µε αυτόν τον τρόπο αυξάνει την ωφέλειά του – σηµ. στο επόµενο Κεφάλαιο εξετάζουµε περιπτώσεις όπου η αύξηση της ωφέλειας του Γ αφορά τον Β ο οποίος παύει να είναι αδιάφορος προς τις ωφέλειες των άλλων.]

- ΛΑ4.10-

θα καταλήξουµε στην (viii). Αυτή ακριβώς είναι και η «ουσία» του ∆εύτερου Θεωρήµατος της Κοινωνικής Ευηµερίας, το οποίο εξετάσαµε εκτενώς στο Κεφάλαιο 4. (β) Η επιλογή του John Rawls ως της κοινωνικά δικαιότερης κατανοµής είναι ιδιαίτερα απλή: Πρόκειται για την κατανοµή που µεγιστοποιεί τη ωφέλεια του ατόµου µε την ελάχιστη ωφέλεια. Με απλούστερα λόγια, πρόκειται για την κατανοµή η οποία µεγιστοποιεί την ωφέλεια του «φτωχότερου». Την βρίσκουµε ως εξής. Ποιος από τους τρεις έχει την χαµηλότερη ωφέλεια στην περίπτωση της κατανοµής (i); Ο Β, µε ωφέλεια 4. Της (ii); Οι Β και Γ ισοβαθµούν µε ωφέλεια 3. Της (iii); Ο Γ µε ωφέλεια 5. Της (iv); Ο Γ µε ωφέλεια 7. Της (v); Ο Γ µε ωφέλεια 6. Της (vi); Η Α µε ωφέλεια 6. Της (vii); Ο Γ µε ωφέλεια 8. Της (viii); Η Α µε ωφέλεια 7. Της (ix); Η Α µε ωφέλεια 7. Είναι εµφανές ότι η κατανοµή που θα χαρακτήριζε ο Rawls κοινωνικά δίκαιη είναι η (ii). Σε αυτή την κατανοµή, οι «δυστυχέστεροι» (οι Β και Γ, οι οποίοι έχουν το χαµηλότερο επίπεδο ωφέλειας) είναι «ευτυχέστεροι» από τους «δυστυχέστερους» σε οποιαδήποτε άλλη κατανοµή. Π.χ Στην (viii) «δυστυχέστερος» είναι ο Γ. Η ωφέλειά του είναι µόλις 8. Στην (vi) η «δυστυχέστερη» είναι η Α, µε ωφέλεια 6. Πράγµατι, η επιλογή του Rawls, η κατανοµή (ii), δίνει την µέγιστη ωφέλεια (σε σχέση µε τις υπόλοιπες κατανοµές) στον δυστυχέστερο. Σηµείωση: Παρατήρησες ότι η επιλογή του Rawls ήταν και κατά Pareto αποτελεσµατική; Αυτό δεν είναι τυχαίο. Μπορείς να αποδείξεις ότι ισχύει πάντα;

- ΛΑ4.11-

Άσκηση 28

(α) Το κουτί του Edgeworth θα έχει διαστάσεις 100 επί 100, δεδοµένου ότι έχουµε 100

µονάδες x και 100 µονάδες y οι οποίες κατανέµονται µεταξύ των Α και Β. Εάν τοποθετήσουµε τον Α κάτω-αριστερά και τον Β πάνω-δεξιά, η αρχική κατανοµή δίδεται από το σηµείο (xΑ, yΑ) = (100,0). Η συνάρτηση ωφέλειας του Α, UΑ = xΑyΑ, δίδει καµπύλες αδιαφορίας µορφής ορθογώνιων υπερβολών: UΑ = xΑyΑ = κ ⇒ yΑ = κ/xΑ. Η κλίση τους, ∂U A

δηλαδή ο ΟΛΥ του Α, δίδεται ως MRS A = −

∂U A

∂x A

=−

∂y A

yA . Από την άλλη µεριά, η xA

συνάρτηση ωφέλειας του Β είναι γραµµική και έτσι οι καµπύλες αδιαφορίας του, ως προς xΑ, yΑ , βρίσκονται πιο εύκολα: UΒ = 2xΒ + yΒ = 2(100-xΑ) + (100 - yΑ) = κ ⇒ yΑ = ∂U B

300 - 2xΑ – yΑ. Ο ΟΛΥ του Β δίδεται ως MRS B = −

∂U B

∂x A ∂y A

=−

−2 = −2 . Συνεπώς, η −1

καµπύλη αποτελεσµατικών συµφωνιών (ΚΑΣ), η οποία ορίζεται ως ο γεωµετρικός τόπος των

αποτελεσµατικών

MRS A = MRS B = −

κατανοµών,

αντιστοιχεί

στην

αλγεβρική

εξίσωση

yA = −2 , ή yΑ = 2xΑ. ∆ιαγραµµατικά, τα παραπάνω σηµαίνουν ότι οι xA

καµπύλες αδιαφορίας του Α εφάπτονται των αντίστοιχων (αλλά γραµµικών) καµπυλών του Β στην γραµµική ΚΑΣ που ξεκινά από το µηδέν, έχει κλίση 2 και εξέρχεται του κουτιού Edgeworth στο σηµείο (50,100).

- ΛΑ4.12-

xB 100

∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ Ξεκινώντας από το Ν, η καµπύλη Αρχική Κατανοµή: Ν αδιαφορίας του Β δίδεται από το (xA=100, yA=0) και (xB=0 και yB=100) τµήµα ΚΝ. Στο Ν η ωφέλεια του Α είναι µηδενική. Εάν τους επιβληθεί ο λόγος ανταλλαγής 2:1 αναγκάζονται Κ να αποδεχθούν την καµπύλη B αδιαφορίας του Β ως τον Λ εισοδηµατικό τους περιορισµό, οπότε ο Α µεγιστοποιεί την ωφέλεια του επιλέγοντας το σηµείο Κ N (προσφέροντας δηλαδή να ανταλλάξει 50 µονάδες x για όλες τις µονάδες y του Β) ενώ ο Β παραµένει αδιάφορος, (µιας και ο λόγος 2:1 τον αναγκάζει να παραµείνει στην αρχική καµπύλη αδιαφορίας). Καµπύλη Αποτελεσµατικών xA Συµφωνιών ΚΑΣ: Ο γεωµ. τόπος των αποτελεσµατικών κατανοµών είναι 25 100 γραµµικός, και συνδέει τα (0,0) & Κ. 50 yB

. (β) Εάν τους ανακοινωθεί (δίχως περιθώριο διαπραγµάτευσης) ο λόγος ανταλλαγής 2:1

αναγκάζονται να αποδεχθούν την καµπύλη αδιαφορίας του Β ως τον εισοδηµατικό τους περιορισµό. Ο Α µεγιστοποιεί την ωφέλεια του επιλέγοντας το σηµείο Κ. Με άλλα λόγια, προσφέρει 50 µονάδες x ζητώντας ως αντάλλαγµα 100 µονάδες y. Σε αυτή την τιµή, ο Β δεν έχει κανένα λόγο να προτείνει κάποια ανταλλαγή (αλλά και δεν έχει κανένα λόγο να αρνηθεί κάποια ανταλλαγή) - παραµένει παντελώς αδιάφορος µιας και ο λόγος 2:1 τον αναγκάζει να παραµείνει στην αρχική καµπύλη αδιαφορίας ΚΝ. (γ) Για να προτείνει ο Α το Λ (µε τον συγκεκριµένο λόγο ανταλλαγής δεδοµένο), θα

πρέπει η αρχική κατανοµή να βρίσκεται πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει τα σηµεία (25,50) και (0,100) – στο οποίο, βεβαίως, ανήκει και το Λ (παρατήρησε ότι το ευθύγραµµο αυτό τµήµα είναι και καµπύλη αδιαφορίας του Β που περνά από το Λ). Πράγµατι, εφόσον ξεκινήσουν από ένα τέτοιο σηµείο, π.χ. το (25,50), και µε δεδοµένο το λόγο ανταλλαγής 2:1, ο Α θα προτείνει το σηµείο Λ από τη στιγµή που σε εκείνο το σηµείο µεγιστοποιείται η ωφέλειά του. (Σηµείωσε ότι και σε αυτή την περίπτωση ο Β παραµένει αδιάφορος από τη στιγµή που ο επιβεβληµένος λόγος ανταλλαγής τον καθηλώνει στην αρχική του καµπύλη αδιαφορίας.)

- ΛΑ4.13-

(δ) Ας υποθέσουµε την ύπαρξη ενός Βαλρασιανό δηµοπράτη (Walrasian auctioneer) ο

οποίος µεσολαβεί µεταξύ των Α&Β ο οποίος προσπαθεί να επιβάλλει τη σχετική τιµή που «καθαρίζει» την αγορά· θέτει δηλαδή ην προσφορά ίση µε τη ζήτηση (δηλ. τιµή που θα ισούται, αναγκαστικά, µε τον οριακό λόγο υποκατάστασης των ατόµων στην τελική Pareto κατανοµή). Κατ’ αρχήν παρατηρούµε ότι, ξεκινώντας από την αρχική κατανοµή Ν, εάν ανακοινωθεί από τον δηµοπράτη σχετική τιµή διαφορετική της 2:1, δεν υπάρχει πιθανότητα η ποσότητα x που y που ζητά η Α από τον δηµοπράτη (προσφέροντάς του x) να ισούται µε την ποσότητα y που προσφέρει ο Β στον δηµοπράτη (ζητώντας x). Άρα δεν θα υπάρξει ισορροπία σε καµία σχετική τιµή εκτός της 2:1. Αυτό συµβαίνει επειδή η µοναδική περίπτωση ισορροπίας µετά την ανακοίνωση από τον δηµοπράτη της σχετικής τιµής είναι να υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο στην ΚΑΣ στο οποίο οι κλίσεις των καµπυλών αδιαφορίας των Α&Β (που εξ ορισµού ισούνται µεταξύ τους) να είναι ίσες µε την σχετική τιµή. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, το µόνο σηµείο της ΚΑΣ το οποίο, ξεκινώντας από το Ν, συνάδει µε ισορροπία είναι το Λ. Απόδειξη: Βλέπε την ανάλυση στο Κεφάλαιο 4 που αφορά στο ∆ιάγραµµα 4ε. Πράγµατι, εάν ανακοινωθεί από τον δηµοπράτη αυτή η τιµή, η Α θα είναι διατεθειµένη να προσφέρει το 50% του x της (εισπράττοντας το 100% του y του Β). Όµως στην ανακοινωθείσα σχετική τιµή, ο Β (λόγω της γραµµικότητας των καµπυλών αδιαφορίας του) έχει το ίδιο κίνητρο να προσφέρει από 0% έως 100% του y του στον δηµοπράτη. Άρα, η Βαλρασιανή ισορροπία θα προκύψει µόνο κατά τύχη στο πλαίσιο µιας κατά Walras δηµοπρασίας. Ακόµα χειρότερα, είναι πολύ πιθανόν η τελική κατανοµή να µην είναι καν αποτελεσµατική εάν ο Β προσφέρει λιγότερο από το 100% των µονάδων y που κατέχει. Οπότε ο δηµοπράτης θα αναγκαστεί να επαναπροσδιορίσει µια σχετική τιµή γενικής ανι-

- ΛΑ4.14-

σορροπίας δίχως να υπάρχει καµία εγγύηση ότι ο αλγόριθµος θα επιστρέψει στην σχετική τιµή ισορροπίας.2

Παράρτηµα µε δύο σηµειώσεις σχετικές µε την Άσκηση 28 Σηµ.1 Η γκάµα σχετικών τιµών διαπραγµάτευσης: Στην περίπτωση που η διαπραγµά-

τευση είναι ελεύθερη, και οι Α&Β δύνανται να συµφωνήσουν µόνοι τους τον λόγο ανταλλαγής, είναι εµφανές ότι ο Β θα επιµείνει κάθε µονάδα y να ανταλλάσσεται µε πάνω από 1 µονάδα x (σηµ. σε διαφορετική περίπτωση, ο ίδιος δεν θα ωφεληθεί από την ανταλλαγή). Ποια είναι η µεγαλύτερη δυνατή υποχώρηση της Α; Βλέπουµε ότι η Α εισπράττει µηδενική ωφέλεια εάν δεν καταφέρει να πείσει τον Β να ανταλλάξουν έστω και 1 µονάδα. Υπό αυτή την έννοια, η Α, στην χειρότερη περίπτωση, θα αντάλλασσε ακόµα και 99 από τις µονάδες x που διαθέτει για µια από τις µονάδες y του Β. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι η γκάµα των πιθανών συµφωνιών µεταξύ τους, όσον αφορά τον λόγο ανταλλαγής, είναι πολύ µεγάλη: Κυµαίνεται από «2 µονάδες y για 1 µονάδα x» σε «1 µονάδα y για 99 µονάδες x» [για την ακρίβεια, εφόσον τα αγαθά είναι απείρως διαιρέσιµα, η γκάµα σχετικών τιµών αρχίζει από το 2 και φτάνει, ασυµπτωτικά, το µηδέν]. Σηµ.2 Η σηµασία της αυστηρής κυρτότητας των προτιµήσεων: Σε µια οικονοµία απο-

τελούµενη από Ν κλάδους, έχουµε ορίσει τη γενική ισορροπία ως ένα άνυσµα Ν-1 σχετικών τιµών έτσι ώστε, εάν οι τιµές αυτές ανακοινωθούν σε αγοραστές και πωλητές (οι οποίοι δεν δύνανται να διαπραγµατευτούν µεταξύ τους άµεσα αλλά απλώς αντιδρούν στις ανακοινωθείσες τιµές), οι ποσότητες που ζητούν (σε αυτές τις τιµές) οι µεν θα είναι ακριβώς ίσες µε εκείνες που προσφέρουν (στις ίδιες τιµές) οι δε. Για να υφίσταται όµως µια τέτοια ισορροπία, είναι απαραίτητη η αυστηρή κυρτότητα των καµπυλών αδιαφορίας των ατόµων (ή διαφορετικά το αξίωµα του strict quasi-concavity των συναρτήσεων ωφέλειας των ατόµων). Ο λόγος γίνεται προφανής όταν παρατηρήσουµε στο προηγούµενο διάγραµµα πως στην τιµή 2:1, και ξεκινώντας από το Ν, ο µεν Α προσφέρει 50 µονάδες x

Για την ακρίβεια ο Hugo Sonnenschein απέδειξε το 1983 ότι σε αυτή την περίπτωση η ισορροπία δεν θα επέλθει ποτέ.

- ΛΑ4.15-

αλλά, στην ίδια τιµή, ο Β θα ζητήσει από 0 µέχρι 50 µονάδες x µε ακριβώς την ίδια πιθανότητα. Άρα η πιθανότητα στην τιµή 2:1 η ζήτηση x να ισούται µε την προσφορά τείνει στο µηδέν. Γεωµετρικά, όπως ήδη είδαµε, ο λόγος είναι ότι ο Β παραµένει παγερά αδιάφορος, κάτι που προκύπτει επειδή η καµπύλη αδιαφορίας του είναι γραµµική. Εάν ήταν αυστηρώς κυρτή (όπως της Α), κάτι τέτοιο δεν θα ίσχυε και θα µπορούσαµε να ορίσουµε τη σχετική τιµή που αντιστοιχεί σε γενική ισορροπία (όπως αυτή ορίστηκε παραπάνω). Για αυτό το λόγο λέµε ότι βασική προϋπόθεση για την ύπαρξη γενικής ισορροπίας σε µια ανταλλακτική οικονοµία είναι η αυστηρή κυρτότητα των καµπυλών αδιαφορίας. Περαιτέρω, σε παραγωγικές οικονοµίες, δηλ. οικονοµίες όπου λαµβάνει χώρα όχι µόνο η κατανάλωση αλλά και η παραγωγή, χρειάζονται και άλλες συνθήκες (π.χ. σταθερές οικονοµίες κλίµακας) για την απόδειξη της ύπαρξης γενικής ισορροπίας – βλ. Κεφάλαιο 4.

- ΛΑ4.16-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Άσκηση 29 Λύση. (Α) O κάθε κάτοικος εργάζεται h ώρες. Αν δουλέψει στο εργοστάσιο τότε θα έχει εισόδηµα W = wh σε €.

Αν αντίθετα αποφασίσει να ψαρέψει και ψαρεύουν ήδη

H h κάτοικοι1, δηλαδή συνολικά H ώρες τον χρόνο, η απόφασή του να ψαρέψει θα του επιφέρει , εφόσον p= €1, Ψ ( H + h ) − Ψ ( H ) = b ( H + h )  a − ( H + h )  − bH (a − H ) = bh (a − H − h )

Για να επιλέξει το ψάρεµα από την µισθωτή εργασία πρέπει να ισχύει

bh (a − H − h ) > wh ⇒ b( a − H − h ) > w ⇒ (a − h ) −

w >H b

∆ηλαδή όσο οι ώρες που ψαρεύονται στην λίµνη είναι λιγότερες από

H * = (a − h) −

( 2 3) ⋅ 2.400.000 ≈ 1.600.000 w = (2.400.000 − 2.400) − b 2

τότε οι κάτοικοι θα ψαρεύουν αντί να δουλεύουν στο εργοστάσιο. Οι συνολικές διαθέσιµες ώρες είναι Nh = 1000 ⋅ 2.400 = 2.400.000 , άρα τα δύο τρίτα των κατοίκων (1.600.000/2.400.000) θα είναι ψαράδες. Ο καθένας τους θα κερδίζει το σύνολο των ψαριών δια του αριθµού των ψαράδων. Το σύνολο των ψαριών είναι 2 2  Ψ  Nh  και ο αριθµός των ψαράδων N . Άρα το εισόδηµα κάθε ψαρά είναι: 3 3 

Υποθέτουµε διαιρετότητα.

- ΛΑ5.1 -

2  2  2  Ψ  Nh  b  Nh   a −  Nh    2   3  3  = 3 = bh  a −  Nh   2 2 3   N N 3 3

και κάνοντας τις αντικαταστάσεις έχουµε ότι  2  2 bh  a −  Nh   = h 3  3 

Το οποίο είναι ίσο µε το εισόδηµα του εργάτη αφού αυτό είναι wh και w =

2 . 3

(Β) Το συνολικό εισόδηµα είναι εν προκειµένω

2 Nh = 1.600.000 . 3

Αν προσπαθούσαµε να µεγιστοποιήσουµε το συνολικό εισόδηµα R , η συνάρτηση προς µεγιστοποίηση θα αποτελείτο (α)

από το εισόδηµα από το ψάρεµα

pΨ ( H ) = bH (a − H ) , εφόσον p=1 και (β) από το εισόδηµα από τους µισθούς w( Nh − H ) (Σηµείωση: Nh − H είναι οι ώρες εργασίας στο εργοστάσιο, δηλαδή οι

συνολικές διαθέσιµες ώρες µείον τις ώρες ψαρέµατος). Η κατανοµή δεν είναι άριστη κατά Pareto διότι αν µεγιστοποιούσαµε το συνολικό εισόδηµα θα είχαµε max R = pΨ ( H ) + w( Nh − H ) = bH ( a − H ) + wNh − wH H

= baH − bH 2 + wNh − wH ⇒ ∂R ba − w = ba − 2bH − w = 0 ⇒ H = ∂H 2b

και εφόσον b = 2 a , w = 2 3 και a=2.400.000 συνεπάγεται ότι

ba − w 2 − 2 3 4 a a = = ⋅ = = 800.000 2b 2 ⋅ (2 a) 3 4 3

- ΛΑ5.2 -

Αντικαθιστώντας την τιµή αυτή στο συνολικό εισόδηµα έχουµε

R = bH ( a − H ) + wNh − wH =

2 H (a − H ) + wa − wH = a

8 8 a = H = ⋅ ≈ 2.133.333 3 3 3

Παρατηρείστε λοιπόν ότι θα µπορούσαµε µε σωστή κατανοµή της εργασίας των κατοίκων να αυξήσουµε το συνολικό εισόδηµα από

2 8 Nh σε Nh , αφού στα δεδοµένα 3 9

µας a = Nh . Παρατηρείστε το παρακάτω διάγραµµα

Στον οριζόντιο άξονα είναι οι ώρες εργασίας. Στον κάθετο άξονα είναι το εισόδηµα. Η συµπαγής παραβολική καµπύλη είναι το εισόδηµα από ψάρεµα. Παρατηρείστε ότι όταν καµία ώρα δεν αφιερώνεται για ψάρεµα ή όταν όλες οι διαθέσιµες ώρες αφιερώνονται για ψάρεµα τότε η παραγωγή και το εισόδηµα είναι µηδενική. Η διακεκοµµένη αύξουσα ευθεία γραµµή δείχνει το εισόδηµα από µισθούς. Η συµπαγής φθίνουσα

- ΛΑ5.3 -

ευθεία δείχνει το εισόδηµα από µισθούς όταν οι ώρες του οριζόντιου άξονα αφιερώνονται στο ψάρεµα και οι υπόλοιπες στη µισθωτή εργασία. Προσθέτοντας κάθετα τις δύο συµπαγείς γραµµές προκύπτει η διακεκοµµένη καµπύλη που δείχνει το συνολικό εισόδηµα, από ψάρεµα και µισθούς. Το διάγραµµα έχει σχεδιασθεί µε τα πραγµατικά δεδοµένα της άσκησης. Η αποκεντρωµένη κατανοµή µε εξωτερικότητα έχει σηµείο ισορροπίας το Α τις 1.600.000 ώρες. ∆είχνει το σηµείο που αν όλοι αυτοί που ψαρεύουν δούλευαν συνολικά αυτές τις ώρες τότε το εισόδηµά τους θα ήταν ίδιο µε το εισόδηµα από µισθωτή εργασία. Αλλά το σηµείο αυτό δεν είναι το βέλτιστο. Το βέλτιστο προκύπτει στο σηµείο που µεγιστοποιείται το συνολικό εισόδηµα και είναι το σηµείο εκείνο όπου το εισόδηµα αυτών που ψαρεύουν είναι ίσο µε εκείνο αυτών που εργάζονται στο εργοστάσιο. (β) Προσέξτε το εξής: το µέσο εισόδηµα του ψαρά είναι µεγαλύτερο από εκείνο του µέσου εργάτη. Οι εργάτες εργάζονται 2.400.000-800.000 = 1.600.000 ώρες και έχουν εισόδηµα (2/3)*1.600.000= 1.066.667, δηλαδή το µισό από το συνολικό εισόδηµα. Ο αριθµός των εργατών όµως είναι 1.600.000 /2.400=667 δηλαδή τα 2/3 του πληθυσµού! Οι ψαράδες όµως που αποτελούν το 1/3 του πληθυσµού έχουν συνολικά το ίδιο εισόδηµα, δηλαδή διπλάσιο εισόδηµα (3.200 αντι για 1.600, αν κάνετε τις πράξεις). Άρα, ο κάθε εργάτης έχει κάθε λόγο να φύγει από το εργοστάσιο και να γίνει ψαράς. Αν το κάνει όµως αυτό θα υπάρχει υπεραλιεία και θα µειωθεί το συνολικό εισόδηµα. Πόσο θα γίνει το ατοµικό του εισόδηµα σαν ψαρά; Μα όσο του εργάτη wh =1600 αφού στο σηµείο αυτό εξισώνονται τα εισοδήµατα. Άρα, το µόνο που κατάφεραν µε την µετακίνησή τους είναι να χάσει η κοινωνία το εισόδηµα που είχαν οι ψαράδες στην άριστη κατανοµή. Η υπόλοιπη απάντηση στην άσκηση, καθώς και το σκέλος (γ) εξηγείται στο κείµενο του βιβλίου.

- ΛΑ5.4 -

Άσκηση 30 (Θεωρία signalling)2 Λύση

(1) Η εταιρία, αν δεν µπορεί να ξεχωρίσει τους µεν από τους δε, θα προσδοκά εύλογα ότι η µέση παραγωγικότητα, άρα και ο µισθός, θα είναι ίσος µε w = λ wH + (1 − λ ) wL . Αν w > wH τότε και οι ποδηλάτες τύπου Η θα αποδεχθούν το w και άρα το δυναµικό της εταιρίας θα αποτελείται από άτοµα των δύο οµάδων σε αναλογία λ (1 − λ ) και

θα αµείβονται όλοι το ίδιο. Αν όµως w < wH τότε η εταιρία ξέρει ότι κανείς από την οµάδα Η δεν θα έρθει, άρα ο µισθός που θα δώσει θα είναι wL και όλοι οι ποδηλάτες θα είναι τύπου L. (2) Για να µπορεί να ξεχωρίσει τους µεν από τους δε πρέπει το s να είναι τέτοιο ώστε οι H να προτιµούν να περάσουν την διαδικασία και οι L όχι. Άρα θα πρέπει: U H ( wH , s ) ≥ U H ( wL ,0) ⇒ wH − s aH ≥ wL U L ( wH , s ) ≤ U H ( wL ,0) ⇒ wH − s aL ≤ wL Από τις δύο εξισώσεις θα πρέπει η δεύτερη να έχει το ελάχιστο s που θα κάνει τους L να παραιτηθούν της διαδικασίας, δηλαδή το s θα πρέπει να είναι 1

s* = ( wH − wL ) aL Το συγκεκριµένο s* ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση εφόσον

wH − s*

= wH − ( wH − wL ) aL ≥ wL ,

δεδοµένου ότι wH − ( wH − wL ) aL ≥ wL ⇔ wH − wL ≥ ( wH − wL ) aL και

wH > wL , aH < aL Παρατηρείστε το παρακάτω διάγραµµα: Στον οριζόντιο άξονα είναι η απόσταση s και στο κάθετο ο µισθός w.

Η θεωρία του Michael Spence που µαζί µε τον George Akerlof και τον Joseph Stiglitz τιµήθηκαν µε το βραβείο Nobel των Οικονοµικών Επιστηµών το 2001. Το άρθρο του Spence είναι το “Job Market Signalling”, Quarterly Journal of Economics, τόµος 87, σσ. 355-74.

- ΛΑ5.5 -

Αν θεωρήσουµε ότι η εταιρία έχει θέσει αυθαίρετα sH = 15 , ενώ ο µισθός wH = 50 και

wL = 20 . Σχεδιάζουµε επίσης τις καµπύλες αδιαφορίας (µε θετική κλίση, εφόσον η απόσταση έχει αρνητική ωφέλεια). Η πρώτη καµπύλη αδιαφορίας, της οµάδας L, διέρχεται από το σηµείο (Β) όπου η απόσταση είναι µηδενική (αρνείται την δοκιµασία) και ο µισθός είναι wL = 20 . Η δεύτερη διέρχεται από το σηµείο (Α) sH και wH . Βλέπουµε ότι στο σηµείο Α, είναι εφικτός ο διαχωρισµός των Η και L. Αλλά το sH είναι περισσότερο από ότι χρειάζεται. Το ελάχιστο σηµείο όπου µπορεί να γίνει ο διαχωρισµός είναι το Γ , το σηµείο δηλαδή όπου η καµπύλη αδιαφορίας των L που περνά από το Β, έχει τεταγµένη το wH .

Άσκηση 31 Λύση

Προκειµένου ο εντολοδόχος να προτιµήσει την υψηλή προσπάθεια πρέπει (α) η προσδοκώµενη ωφέλεια να είναι µεγαλύτερη από εκείνη της χαµηλής προσπάθειας και (β) η προσδοκώµενη ωφέλεια να είναι µεγαλύτερη από την εξασφαλισµένη ωφέλεια

U =2 Άρα,

- ΛΑ5.6 -

pYU ( wG , eY ) + (1 − pY )U ( wB , eY ) ≥ p X U ( wG , eX ) + (1 − p X )U ( wB , eX ) και

pYU ( wG , eY ) + (1 − pY )U ( wB , eY ) ≥ U Αντικαθιστώντας τα δεδοµένα της άσκησης έχουµε:

0,5

(

)

wG − 2 2 + 0,5

(

)

wB − 2 2 ≥ 0, 25

(

)

wG − 12 + 0,75

(

)

wB − 12 ⇒

0,5 wG + 0,5 wB − 4 ≥ 0, 25 wG + 0, 75 wB − 1 ⇒ 0, 25 wG − 0, 25 wB ≥ 3

για την πρώτη συνθήκη και

0,5

(

)

wG − 22 + 0,5

(

)

wB − 22 ≥ 2 ⇒ 0,5 wG + 0,5 wB − 4 ≥ 2 ⇒

0,5 wG + 0,5 wB ≥ 6 για την δεύτερη συνθήκη. Παρατηρείστε ότι οι ανισότητες µπορεί να γίνουν ισότητες διότι ο εντολέας θέλει να εξασφαλίσει ότι στο όριο µπορεί να κάνει τον εντολοδόχο να επιλέξει την υψηλή προσπάθεια3. Άρα έχουµε το σύστηµα των εξισώσεων 0,25 wG − 0,25 wB = 3 0,5 wG + 0,5 wB = 6 που απλοποιείται στο wG − wB = 12   ⇒ wG = 144, wB = 0 wG + wB = 12 

Ουσιαστικά ο εντολέας µεγιστοποιεί την συνάρτηση ΠY = pY ( yG − wG ) + (1 − pY )( y B − wB ) -

όπου

yG , y B τα κέρδη για καλό και καλό αποτέλεσµα αντίστοιχα – υπό τους περιορισµούς (α) και (β). - ΛΑ5.7 -

Αν παίζαµε το ίδιο παιχνίδι µε την χαµηλή προσπάθεια τότε ο εντολέας δεν έχει λόγο να ανταµείψει τον εντολοδόχο στην περίπτωση του καλού οικονοµικού αποτελέσµατος και εφόσον ο εντολοδόχος αποστρέφεται τον κίνδυνο (πως φαίνεται αυτό στην συνάρτηση ωφέλειας;) τότε wG = wB = w πρέπει όµως να πληρούται η συνθήκη (β), δηλαδή 0, 25 w + 0,75 w − 1 = 2 ⇒ wG = wB = 9 Συµφέρει πάντοτε τον εντολέα να εξασφαλίσει την υψηλή προσπάθεια του εντολοδόχου του; Εξαρτάται από τις αποδόσεις yG , y B . Πρέπει για τον εντολέα το συµβόλαιο της υψηλής προσπάθειας να αξίζει περισσότερο από το συµβόλαιο της χαµηλής προσπάθειας, δηλαδή πρέπει4: ΠY > Π X ⇒ 0,5( yG − wGY ) + 0,5( y B − wYB ) > 0,25( yG − wGX ) + 0,75( y B − wBX ) ⇒ 0,5( yG − 144) + 0,5 yB > 0, 25( yG − 9) + 0,75( y B − 9) ⇒ yG > y B + 252

Οι υπερδείκτες Υ,Χ στους µισθούς αφορούν στο συµβόλαιο υψηλής και χαµηλής προσπάθειας αντίστοιχα.

- ΛΑ5.8 -