dap_themata_2010_math_1 by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

ΑΠΡΙΛΙΟ΢ 2010 GKAZY

Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 2 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΣΙΣΛΟ΢ ............................................................................................................. ΢ΔΛΙΓΑ Περιεχόμενα ...................................................................................................................................................... 3 1.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΑΝ 2010 (ΚΑΣ΢ΙΚΗ΢) .............................................................................................................. 4

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΑΝ 2010 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) ........................................................................................................ 4

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠΣ 2009 .............................................................................................................................. 5

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝ 2009............................................................................................................................... 5

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒ 2009 (ΚΑΣ΢ΙΚΗ΢) ............................................................................................................. 6

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒ 2009 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) ....................................................................................................... 7

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠ 2008 ................................................................................................................................ 8

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝ 2008............................................................................................................................... 8

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒ 2008 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) ...................................................................................................... 9

10. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒ 2008 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) ............................................................................................................ 10 11. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠΣ 2007 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) ........................................................................................................... 11 12. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝ 2007 ............................................................................................................................ 12 13. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΑΝ 2007 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) ...................................................................................................... 13 14. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΑΝ 2007 (ΜΙΥΔΛΑΚΑΚΗ΢) ...................................................................................................... 14 15. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠΣ 2006 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) ........................................................................................................... 14 16. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΔΜΒΟΛΙΜΗ ΑΤΓ – ΢ΔΠΣ 2006 ................................................................................................. 15 17. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΛ 2006 ............................................................................................................................. 16 18. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΑΝ 2006 (ΚΑΡΑΦΤΛΗ΢) ........................................................................................................ 17 19. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΑΝ 2006 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) ............................................................................................................. 18 20. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠΣ 2005 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢ – ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢) .................................................................................... 18 21. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝ 2005 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢ – ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢) ..................................................................................... 19 22. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2005 (ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢)...................................................................................................... 20 23. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2005 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) ........................................................................................................... 21 24. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠΣ 2004 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) ........................................................................................................... 22 25. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝ 2004 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢)............................................................................................................ 23 26. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2004 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) ................................................................................................... 24 27. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2004 (ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢)...................................................................................................... 25 28. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠΣ 2003 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) ........................................................................................................... 26 29. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝ 2003 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢)............................................................................................................ 28 30. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2003 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) ................................................................................................... 29 31. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2003 (ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢)...................................................................................................... 30 32. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝ 2002 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢)............................................................................................................ 31 33. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2002 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) ................................................................................................... 32 34. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2002 (ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢)...................................................................................................... 33 35. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒΡ 2001 (ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢)...................................................................................................... 34

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 3 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (ΚΑΣ΢ΙΚΗ΢) – ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ΢ 2010

Θέμα 1ο:

α) Να ππνινγίζεηε ηελ παξάγσγν αλ β) Να βξείηε ηελ θιίζε ηεο επζείαο πνπ εθάπηεηαη ζηελ αλ φηαλ x=1. ΢ηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο θακπχιεο ζην x=1 Θέμα 2ο: α) Αλ κηα κεηαβιεηή y είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ρξφλνπ t, δειαδή κεγέζπλζεο ry ηεο y β) Έζησ ηφηε

ηφηε λα νξίζεηε ηνλ ζηηγκηαίν ξπζκφ

. Να απνδείμεηε φηη αλ y=G+S .

γ) Οη εμαγσγέο αγαζψλ κηαο ρψξαο,

έρνπλ ξπζκφ κεγέζπλζεο

θαη νη εμαγσγέο ησλ ππεξεζηψλ ηεο, S=S(t)

έρνπλ ξπζκφ κεγέζπλζεο . Να απνδείμεηε φηη ν ξπζκφο κεγέζπλζεο ησλ ζπλνιηθψλ εμαγσγψλ είλαη Θέμα 3ο: Α) Να απνδείμεηε ηηο παξαθάησ ηδηφηεηεο γηα ηα δηαθνξηθά, φπνπ c1, c2Є θαη u=u(x), v=v(x), α) β) γ) Β) Να ζπγθξίλεηαη ηηο Γy θαη dy, αλ

θαη ην x κεηαβάιιεηαη απφ i) 1 ζε 0.06 ii) 1 ζε 0.01. Να ζρνιηάζεηε ηα

απνηειέζκαηα ησλ εξσηεκάησλ Βi) θαη Βii). Θέμα 4ο: Να ππνινγίζεηε ην αφξηζην νινθιήξσκα

κε ηελ βνήζεηα ηεο αληηθαηάζηαζεο Θέμα 5ο: α) Να βξείηε ηελ ζεηξά Maclaurin ηεο ζπλάξηεζεο

θαη λα πξνζδηνξίζεηε ην δηάζηεκα ζχγθιεζήο ηεο.

β) Να βξείηε ηελ ζεηξά Maclaurin ηεο ζπλάξηεζεο

γ) Με ηελ βνήζεηα ησλ ηεζζάξσλ πξψησλ φξσλ ηνπ εξσηήκαηνο β) λα πξνζεγγίζεηε ην νινθιήξσκα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) – ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ΢ 2010 ο

Θέμα 1 Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα Ι=

Θέμα 2ο Γίλεηαη ε πεπιεγκέλε ζρέζε x-y=(y2+1)lny, φπνπ y=y(x). Να βξείηε ηηο εμηζψζεηο ηεο εθαπηνκέλεο θαη ηεο θαλνληθήο επζείαο ζην ζεκείν (x,y)=(1,1) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Θέμα 3ο Ο αξηζκφο ησλ επηβαηψλ ζε κηα αεξνπνξηθή γξακκή είλαη 140, αλ ην εηζηηήξην δελ ππεξβαίλεη ηα 200 επξψ. Γηα θάζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 5 επξψ, ν αξηζκφο ησλ επηβαηψλ κεηψλεηαη θαηά 2. Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ην έζνδν. Θέμα 4ο Έζησ ηπρνχζα ζπλάξηεζε παξαγσγηθνχ κεηαζρεκαηηζκνχ, Q=f(K,L). Να δεηρζεί φηη απηή εκθαλίδεη θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο, ηφηε εκθαλίδεη θαη θζίλνπζεο νηθνλνκίεο θιίκαθαο.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 4 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Θέμα 5ο Γνζείζεο ηεο Q=10K1/5L3/5, να ςπολογιζθεί ν Οξηαθφο Λφγνο Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο,

, ζην ζεκείν

(Κ,L)=(4,6), θαη λα εμεγεζεί κε ζαθήλεηα ην πιεξνθνξηαθφ ηνπ πεξηερφκελν.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠΣΔΜΒΡΙΟ΢ 2009

Θέμα 1ο α) Η αμία ελφο αθηλήηνπ κεηαβάιιεηαη σο πξνο ην ρξφλν t B(t)=100000

επξψ.

(ζε

έηε)

ζχκθσλα

κε

Η αμία B(t) ηνπ αθηλήηνπ χζηεξα απφ t έηε ππνινγίδεηαη

ηελ

ζρέζε κε

ζηαζεξφ επηηφθην 2% θαη ζπλερή αλαηνθηζκφ. Να ππνινγίζεηε ηελ ζπλάξηεζε ε νπνία δίλεη ηελ παξνχζα αμία ηνπ αθηλήηνπ. Να ππνινγίζεηε ηελ ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ε παξνχζα αμία γίλεηαη κέγηζηε. β) Δπελδχνπκε έλα πνζφ P κε επηηφθην 12% θαη ηξηκεληαίν αλαηνθηζκφ. Να ππνινγίζεηε ην ρξνληθφ δηάζηεκα πνπ απαηηείηαη ψζηε ην αξρηθφ πνζφ λα δηπιαζηαζηεί. Θέμα 2ο α) Να ππνινγίζεηε ηελ ζεηξά Taylor ηεο ζπλάξηεζεο f(x)=ex κε θέληξν ην x=0. β) Να ππνινγίζεηε ηελ ζεηξά Taylor ηεο ζπλάξηεζεο

g(x)=

(Τπφδεημε: Μηα θαιή ηδέα, φρη ππνρξεσηηθή, είλαη λα εξψηεκα α). Πξνθαλψο θάζε άιιε ηδέα είλαη εμίζνπ απνδεθηή.) γ) Υξεζηκνπνηψληαο ηνπο 4 πξψηνπο φξνπο ηεο ζεηξάο πξνζεγγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ

κε θέληξν ην x=0.

ρξεζηκνπνηήζεη

θαλείο

ην

Taylor ηνπ εξσηήκαηνο β) λα

νινθιεξψκαηνο

Θέμα 3ο Να ππνινγίζεηε ην γεληθεπκέλν νινθιήξσκα Ι=

φπνπ, f(x)=

Θέμα 4ο α) Η ζπλάξηεζε δήηεζεο ελφο πξντφληνο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν p+q-30=0 ελψ ε ζπλάξηεζε θφζηνπο είλαη TC=2q2+10q. Να ππνινγηζηεί ε ειαζηηθφηεηα ηεο δήηεζεο ζην ζεκείν πνπ κεγηζηνπνηνχληαη ηα θέξδε. β) Να βξεζεί ε δεχηεξε παξάγσγνο yn ηεο πεπιεγκέλεο ζπλάξηεζεο 3x2-y5=35 ζην ζεκείν x=1. Θέμα 5ο α) Αλ νη ειαζηηθφηεηεο ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g ζην x=1 είλαη ίζεο, εf(1)=εg(1), λα ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα

ηεο ζπλάξηεζεο h(x)=

β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)=

ζην x=1.

+bx+c

, a≠0. Να βξεζνχλ ηα

αθξφηαηα

ηεο

ζπλάξηεζεο

ειαζηηθφηεηαο ηεο f.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2009

Θέμα 1 (25 κνλάδεο) α) κε ηελ ρξήζε δηαθνξηθψλ ππνινγίζαηε πξνζεγγηζηηθά ηηο αθφινπζεο πνζφηεηεο εκ(0.01) ln(1.01)

(10) β) 2000 Δπξψ θαηαηίζεληαη ζε ινγαξηαζκφ ηακηεπηεξίνπ κε εηήζην αλαηνθηζκφ θαη επηηφθην r. Έζησ Κ1(r) ην ζπλνιηθφ πνζφ ηεο επέλδπζεο κεηά απφ 10 ρξφληα θαη Κ2(r) ην αληίζηνηρν πνζφ κεηά απφ 15 ρξφληα. Να ππνινγηζηνχλ νη ειαζηηθφηεηεο ησλ δχν ζπλαξηήζεσλ σο πξνο ην επηηφθην r. Πνηα απφ ηηο δχν ειαζηηθφηεηεο είλαη κεγαιχηεξε; (15) Θέμα 2 (20 κνλάδεο) α) Η δήηεζε q ζπλδέεηαη κε ηελ ηηκή p κε ηελ ζπλάξηεζε p=-q2-4q+96. Να ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο δήηεζεο σο πξνο ηελ ηηκή, φηαλ ε ηηκή p=51. (12) β) Έζησ πεπιεγκέλε ζπλάξηεζε κε ηχπν (2x+3y)5=x+1. Τπνινγίζαηε ηελ . (8) Θέμα 3 (20 κνλάδεο) α) Έλαο θηλεκαηνγξάθνο έρεη ρσξεηηθφηεηα 3000 αηφκσλ. Ο αξηζκφο ησλ αηφκσλ πνπ παξαθνινπζνχλ ιελα έξγν ζηελ ηηκή p ηνπ εηζεηεξίνπ είλαη q= -1500 ΢πλήζσο ε ηηκή είλαη 6 επξψ ην εηζηηήξην. Να ππνινγηζηεί ε ειαζηηθφηεηα ησλ εζφδσλ σο πξνο ηελ ηηκή. Αλ ε ηηκή κεησζεί ηα έζνδα ζα απμεζνχλ ή ζα κεησζνχλ; (10)

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 5 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Θέμα 4 (25 κνλάδεο) α) Η ζπλάξηεζε θφζηνπο ελφο πξντφληνο είλαη C(q)=40q+20000 θαη ε ζπλάξηεζε ηηκήο p=160-q/100 φπνπ q νη παξαγφκελεο κνλάδεο. Να βξεζνχλ ηα q,p πνπ κεγηζηνπνηνχλ ην θέξδνο.

(10)

β) Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο κε ηχπν (15) Θέμα 5 (30 κνλάδεο) α) Να αλαπηπρζεί ζε ζεηξά Taylor ε ζπλάξηεζε

κέρξη θαη ηνλ φξν x3. (10)

β) Να βξεζεί ν αξηζκφο “α” ψζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε εμίζσζε = (20)

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (ΚΑΣ΢ΙΚΗ΢) – ΦΔΒΡΟΤΑΡΙΟ΢ 2009 ΘΔΜΑ 1 Μηα εηαηξεία ε νπνία παξάγεη επνρηαθά αγαζά παξάγεη cos1.1 σιλιάδερ μονάδερ αγαζψλ κηα ζπγθεθξηκέλε ζηηγκή. Να πξνζεγγίζεηε ην cos1.1 ρξεζηκνπνηψληαο πνιπψλπκν Taylor 6νπ βαζκνχ γχξσ απφ ην x=0 γηα ην cosx θαη λα εθηηκήζεηε ην ζθάικα ηεο πξνζέγγηζεο. Πφζεο κνλάδεο πξντφληνο εθηηκάηε φηη παξάγεη απηή ηελ ζπγθεθξηκέλε εκέξα; ΘΔΜΑ 2 Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο 2

Q( K , L)

QL (125, 27)

θαη

QK (125, 27) γηα ηελ ζπλάξηεζε Cobb-Douglas

270 K 3 L3 .

Πνην απφ ηα παξαθάησ ζα απμήζεη πεξηζζφηεξν ηελ παξαγσγή: αχμεζε θαηά κηα κνλάδα ηεο εξγαηηθήο δχλακεο ή αχμεζε θαηά κηα κνλάδα ηνπ θεθαιαίνπ; Να αηηηνινγήζεηε ηελ απάληεζε ζαο εξκελεχνληαο ηηο ηηκέο θαη

QK (125, 27)

QL (125, 27)

. Αλ ε παξαπάλσ ζπλά-ξηεζε Q(K,L) εθθξάδεη ηελ εκεξήζηα παξαγσγή ζε έλα εξγνζηάζην, κε

θεθάιαην Κ=216 (ζε ρηιηάδεο επξψ) θαη L=1000 ψξεο ηελ εκέξα, λα εθηηκήζεηε ηελ κεηαβνιή ζηελ παξαγσγή αλ ην θεθάιαην απμεζεί θαηά 500 επξψ θαη ε εξγαηηθή δχλακε απμεζεί θαηά 4 ψξεο εξγα-ζίαο. ΘΔΜΑ 3 Καηαζέηνπκε ζην ηέλορ θάζε έηνπο Α επξψ ζε κηα ηξάπεδα κε εηήζην αλαηνθηζκφ θαη επηηφθην r%. Να απνδείμεηε φηη ην πνζφ πνπ ζα ζρεκαηηζηεί ζην ηέινο ηνπ λ-νζηνχ έηνπο (δει. φηαλ ηνπνζεηήζνπκε ηελ λ-νζηή θαηάζεζε) ηζνχηαη κε

(1 r )v 1 r

Να ιχζεηε ην αθφινπζν πξφβιεκα: Έλαο θαπληζηήο μνδεχεη γηα θάπληζκα 4 επξψ εκεξεζίσο θαηά κέζν φξν. Να ππνινγηζζεί ηη πνζφ ζα εηζέπξαηηε ζην 60 έηνο ηεο ειηθίαο ηνπ αλ θαηέ-ζεηε ζην ηέινο θάζε έηνπο ηα ρξήκαηα πνπ δηέζεηε γηα ηελ αγνξά ηζηγάξσλ ζε κηα ηξάπεδα κε εηήζην αλαηνθηζκφ θαη επηηφθην 2%, αλ είλαη γλσζηφ φηη άξρηζε ην θάπληζκα ζην 20 έηνο ηεο ειηθίαο ηνπ. (Γίλεηαη φηη

θαη φηη 1 ρξφλνο=365 εκέξεο.)

1.20

2.20804

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 6 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 ΘΔΜΑ 4 α. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα

x5 2 dx x2 1 β. Τπνζέηνπκε φηη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο ελφο πξντφληνο είλαη

d ( x)

110 1 x

επξψ αλά κνλάδα πξντφληνο. Να

ππνινγίζεηε ην πιεφλαζκα ηνπ θαηαλαισηή αλ ην πξντφλ πσιείηαη ζηελ αγνξά 10 επξψ. ΘΔΜΑ 5 Έζησ p ε ηηκή πψιεζεο κηαο κνλάδαο πξντφληνο θαη q ν αξηζκφο ησλ κνλάδσλ πξντφληνο πνπ πσιήζεθαλ ζηελ ηηκή p. Αλ κε R ζπκβνιίζνπκε ην νιηθφ έζνδν απφ ηελ πψιεζε q κνλάδσλ πξντφληνο ζηελ ηηκή p θαη κε η ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο δήηεζεο, ηφηε λα απνδείμεηε φηη

dR dp

q (1

)

Να εμεγήζεηε κε πνηφλ ηξφπν ην επίπεδν ειαζηηθφηεηαο ηεο δήηεζεο θαζνξίδεη ηελ αχμεζε ή ηελ κείσζε ηνπ νιηθνχ εζφδνπ. Αλ ππνζέζνπκε φηη ε δήηεζε q κε ηελ ηηκή p ελφο αγαζνχ ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε ππνινγίζεηε ηελ

p ηεο 2q 2δή-ηεζεο 8q 192 ειαζηηθφηεηα φηαλ

. Να

ε ηηκή είλαη p=128. Να ραξαθηεξίζεηε ηελ δήηεζε σο ειαζηηθή,

αλειαζηηθή ή κνλαδηαία ειαζηηθή. ΠΑΡΑΣΖΡΖ΢Ζ: Να ιχζεηε θαη ηα 5 ζέκαηα. Σα ζέκαηα είλαη βαζκνινγηθά ηζνδχλακα.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (Κορκοηζίδης) – ΦΔΒΡΟΤΑΡΙΟ΢ 2009 ΘΔΜΑ 1 α. Να βξεζεί γεσκεηξηθά ε ειαζηηθφηεηα ζε έλα ζεκείν Α κηαο θακπχιεο y=f(x). β. Γεδνκέλνπ φηη y=y(t), ζπλάξηεζε ηνπ ρξφλνπ, πνηα είλαη ε ιχζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζ-σζεο y=0,06y, αλ είλαη γλσζηφ φηη y(0)=4; ΘΔΜΑ 2

f ( x) Να αλαπηπρζεί ζε δπλακνζεηξά Maclaurin θαη λα κειεηεζεί σο πξνο ηε ζχγθιηζε ε

1 x e e 2

ΘΔΜΑ 3 α. Τπφ ζπλζήθεο ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ θαη επηηφθην r=0,06, πνηα απφ ηηο δχν επφκελεο ρξεκαηηθέο εηζξνέο θξίλεηαη σο πιένλ ζπκθέξνπζα, κε βάζε ην ίδην θξηηήξην ηεο παξνχζαο αμίαο; Α. Πνζφ €100.000 ζήκεξα Β. Πνζφ €60.000 ζήκεξα θαη πνζφ € 50.000 ζε 27 κήλεο (Γίλεηαη φηη e

0.135

0.874 )

ΘΔΜΑ 4 α. Αλ

( zy )

zx 2

x , φπνπ z=f(x,y), λα βξεζεί ε παξάγσγνο

z y

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 7 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 β. έζησ επηθάλεηα

2 xy .

Απφ ην ζεκείν (2,1) ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, πνηα είλαη ε θαηεχζπλζε κεγίζηεο

αλφδνπ απηήο; Πφζε είλαη ε θιίζε ηεο ηζνυςνχο θακπχιεο πνπ πεξ-λάεη απφ ην ελ ιφγσ ζεκείν; ΘΔΜΑ 5

Να βξεζεί ην νινθιήξσκα

x2 2x 2

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ I - ΢ΔΠΣΔΜΒΡΙΟ΢ 2008 Θέμα 1ο : Γίδεηε ε ζπλάξηεζε:

f (u, v)

(uv) 2

θαη έζησ φηη

x y

θαη

y . Ύπνινγίζηε ην df x

, ρσξίο αληηθαηάζηαζε.

Θέμα 2ο : Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα : 1 0

xdx

Θέμα 3ο : Να αλαπηχμεηε ηε ζπλάξηεζε

xe x

f ( x)

ζε ζεηξά Taylor , κε θέληξν

θαη λα ηελ κειεηήζεηε σο

πξνο ηελ ζχγθιηζε. Θέμα 4ο :

Α) Έζησ ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο

AK a Lb

, λα δείμεηε φηη θαηά κήθνο επζείαο πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ

αμφλσλ , ν νξηαθφο ιφγνο ηερληθήο ππνθαηάζηαζεο (ΟΛΣΤ ή ΜΡΣ) είλαη ζηαζεξφο.

Β) Έζησ ζπλάξηεζε ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε

f ( x)

, λα δεηρζεί φηη ζηα ζεκεία πνπ απηή εκθαλίδεη ηνπηθφ αθξφηαην

ε απφιπηε ηηκή ηεο ειαζηηθφηεηαο ηνπ κέζνπ κεγέζνπο είλαη κνλαδηαία.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2008 1. (20 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Με ηε ρξήζε δηαθνξηθψλ ππνινγίζαηε πξνζεγγηζηηθά ηηο αθφινπζεο πνζφηεηεο 4

9997 3 5 (10 ) 1000 (β) Αλ ην εηήζην επηηφθην είλαη 10%, πνηα απφ ηηο παξνχζεο αμίεο ησλ δχν παξαθάησ ρξεκαηνξνψλ έρεη κεγαιχηεξε ειαζηηθφηεηα σο πξνο ην επηηφθην 180 € ζε έλα ρξφλν απφ ηψξα 100€ ηψξα θαη 95€ ζε δχν ρξφληα απφ ηψξα

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 8 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

2. (20 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Να απνδεηρζεί φηη

(

)

θαη

(

)

(β) Έζησ πεπιεγκέλε ζπλάξηεζε κε ηχπν εκ(xy)=xy. Τπνινγίζηε ηελ y’ 3. (25 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Μηα επηρείξεζε εηδηθεχεηαη ζην λα ζρεδηάδεη Tshirts. Σν ζπλνιηθφ θαζεκεξηλφ θφζηνο ηεο επηρείξεζεο γηα επίπεδν παξαγσγήο ρ Tshirt είλαη C(x)=25+4x2 ΢ε πνην επίπεδν παξαγσγήο ρ ην θφζηνο ζα είλαη 225 Αλ ην επίπεδν παξαγσγήο είλαη 40 T-shirts πφζν ζα απμεζεί ην θφζηνο αλ ε παξαγσγή απμεζεί ζηα 50 T-shirts; Βξεζεί ε πνζφηεηα ρ φπνπ ην κέζν θφζηνο ηζνχηαη κε ην νξηαθφ θφζηνο.

(β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο D=11-ζp θαη ε ζπλάξηεζε πξνζθνξάο S=10+2p. Έζησ φηη p* ην ζεκείν ηζνξξνπίαο. Μειεηήζαηε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο ζπλάξηεζεο εζφδσλ R(p*) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ζ. 4. (25 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Κάζε εβδνκάδα 1200 επηβάηεο ρξεζηκνπνηνχλ ην ηξέλν αλ ην εηζηηήξην είλαη 20 €. Κάζε κείσζε ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 2€ απμάλεη ηνπο πειάηεο θαηά 100. Πνηα είλαη ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ηα έζνδα; (ζπλάξηεζε δήηεζεο γξακκηθή). (β) Να ππνινγηζζεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο κε ηχπν

2 (

3)(

ex 1) 1 e x

5. (25 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Να αλαπηπρζεί ζε ζεηξά Taylor ε ζπλάξηεζε xx κέρξη θαη ηνλ φξν(ρ-1)2 (β) Να βξεζεί ν αξηζκφο «α» ψζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε εμίζσζε

a x dx

( x)e x dx 0

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒ 2008 (Διδάζκων: Α.Σ. Κοπκοηζίδηρ) ΘΔΚΑ 1 Οη επηβάηεο ηνπ πινίνπ θάπνηαο γξακκήο είλαη 400, φηαλ ην εηζηηήξην είλαη 20€. ΢ε θάζε ηέζζεξηο επηβάηεο αληηζηνηρεί έλα απηνθίλεην, ηνπ νπνίνπ ν λαχινο είλαη 38€. Γηα θάζε κείσζε ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 0,5€ νη επηβάηεο απμάλνληαη θαηά 10, θαη αλάινγα θαη ηα απηνθίλεηα, δειαδή έλα γηα θάζε ηέζζεξηο, κε ζηαζεξφ ηνλ λαχιν ησλ 38€. Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ην έζνδν.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 9 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 ΘΔΚΑ 2 (Α) Γίλεηαη ε πεπιεγκέλε ζρέζε

y2 x

. Γίλνληαο αξθεηά βήκαηα ψζηε λα κπνξεί λα αλαγλσξηζζεί ε κέζνδνο,

dy κε ηξεηο ηξφπνπο: (α) Με παξαγψγηζε φξν πξνο φξν (β) κε δηαθφξηζε θαη (γ) κέζσ ηχπνπ. dx f ( x, y ) F ( x 2 y 2 ) , ηφηε γηα θάζε F ηζρχεη ε ζρέζε xf y yf x 0 .

λα βξείηε ηελ παξάγσγν (Β) Να δείμεηε φηη αλ ΘΔΚΑ 3

Να ππνινγηζζεί ην αφξηζην νινθιήξσκα

4 x3 6 x 2 x 16 dx . ( x 2)2 ( x 2 2 x 3)

ΘΔΚΑ 4 (α) Αξρηθφ πνζφ

I 0 , ηνθηδφκελν κε εηήζην επηηφθην r

θαη ζπλερή αλαηνθηζκφ, κεηά απφ

έηε γίλεηαη

(β) ΢ηε ζρέζε ηνπ εξσηήκαηνο (α), λα δείμεηε αλαιπηηθά φηη ν πνζνζηηαίνο ξπζκφο κεηαβνιήο είλαη ζηαζεξφο. (γ) Πνηα δηαθνξηθή εμίζσζε έρεη σο ιχζε ηε ζπλάξηεζε

ae rt

;

ΘΔΚΑ 5 (α) Να βξεζεί ην ζεκείν Α επί ηεο θακπχιεο

ην νπνίν βξίζθεηαη πιεζηέζηεξα ζην εθηφο απηήο ζεκείν Β: (3, 0).

(β) Να δείμεηε, θάλνληαο ρξήζε νκνίσλ ηξηγψλσλ, φηη ε ειαζηηθφηεηα ηεο θακπχιεο

AE AB

ζεκείν Α απηήο, είλαη θαηά ηελ απφιπηε ηηκή ίζε κε

f ( x)

ηνπ ζρήκαηνο, ζην

. Ση ηζρχεη ζρεηηθά κε ην πξφζεκν;

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΦΔΒ 2008 (Γιδάζκων: ΢η. Θώηζιορ)

ΘΔΚΑ 1ον: (1 Μνλάδα) Γίδεηαη ε δηκειήο ζρέζε R = { (1, α), (α, 2), (α, α), (1, 2), (2, 2), (1, 1) }. Δμεηάζαηε εάλ είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο ή δηαηάμεσο θαη ηη είδνπο.

ΘΔΚΑ 2ον: (1 Μνλάδα) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε

f ( x) 5x

. Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ειαζηηθφηεηνο ηεο

ΘΔΚΑ 3ον: (1 Μνλάδα) Γείμαηε ηελ ζρέζε:

ex 1 x

1 2x

5 2 x ... 2

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 10 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 ΘΔΚΑ 4ον: (1 Μνλάδα) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο:

K L . K L

Q . K L

Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα:

ΘΔΚΑ 5ον: (1.5 Μνλάδα) Η ζπλάξηεζε ηελ πνζφηεηα:

y ( x)

ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε:

x y . Τπνινγίζαηε πξνζεγγηζηηθά

y (1.01) .

ΘΔΚΑ 6ον: (1.5 Μνλάδα) Γίδνληαη νη θάησζη ζπλαξηήζεηο δήηεζεο θαη πξνζθνξάο: D 2 a p, S 3 d p , φπνπ a, d ζεηηθέο παξάκεηξνη ρξνληθά κεηαβαιιφκελεο. Δάλ ηα

, φηαλ

θαη

d a 2

απμάλνπλ κε ηελ πάξνδν ηνπ ρξφλνπ κε ξπζκφ 1, βξείηε ην ξπζκφ αιιαγήο ηνπ ζεκείνπ ηζνξξνπίαο θαη

ΘΔΚΑ 7ον: (4 Μνλάδεο) Τπνινγίζαηε ηα νινθιεξψκαηα

dx x

, 1

ln x dx x3

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΢ΔΠΣ 2007 Γιδάζκων: ΢η. Θώηζιορ Θέμα 1ον : ( 1 Μνλάδα) Τπνινγίζαηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλαξηήζεσο:

f ( x)

1 (3x 4 8 x3 6 x 2 24 x) 999999 12

θαζψο θαη ην είδνο ηνπο.

Θέμα 2ον: (1 Μνλάδα) Υξεζηκνπνηψληαο δηαθνξηθά, ππνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα:

31.9

Θέμα 3ον: (1 Μνλάδα) Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

ln 5x dx . x

Θέμα 4ον: (1 Μνλάδα) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε:

f ( x, y )

x x

y f . Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα: y x

f y

Θέμα 5ον: (1 Μνλάδα) Να βξεζεί ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ηελ

3 x 2 , ηνλ άμνλα ησλ x

θαη ηε εθαπηνκέλε ηεο ζπλάξηεζεο

ζην ζεκείν (1,3). Θέμα 6ον: (2 Μνλάδεο) Γηα κία ζπλάξηεζε f

1.5

f x

ηζρχνπλ νη ζρέζεηο:

f 1

1, f 1

2, f 1

Γείμαηε, ρξεζηκνπνηψληαο ζεηξέο, φηη

1.5 .

Θέμα 7ον: (2 Μνλάδεο) Η ζπλάξηεζε Γείμαηε φηη ζην

y x0

y x 1

ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε:

2 xy

4x2

2 y 2 4 x3

θαη δελ έρεη αξλεηηθέο ηηκέο.

παξνπζηάδεη ζεκείν θακπήο.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 11 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Θέμα 8ον: (2 Μνλάδεο) Γείμαηε φηη:

dx 2ax b2

b2 a 2

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι- ΙΟΤΝΙΟ΢ 2007 ΘΔΜΑ 1ν Η f είλαη ζπλάξηεζε παξαγσγίζηκε ζην 2, κε ηηκέο

g ( x)

2x 1 ( xf ( x)) 2

f (2)

f / (2) 1.

Τπνινγίζηε ηελ ηηκή

g / (2)

αλ

ΘΔΜΑ 2ν Γίλνληαη ε θακπχιε

x 2 6 x θαη ηα ζεκεία Α: (1,-5) θαη Β: (2,-8) απηήο. Να βξεζεί ην ζεκείν Γ ηεο θακπχιεο φπνπ

ε εθαπηνκέλε ζε απηή επζεία λα είλαη θάζεηε ζηελ ρνξδή ΑΒ. ΘΔΜΑ 3ν 1.Γηαηππψζηε ην ζεψξεκα ηεο Δλδηάκεζεο Σηκήο 2.Γείμηε φηη ε εμίζσζε

2cos( x)

x 1 έρεη ξίδα εληφο ηνπ δηαζηήκαηνο [

,1]

ΘΔΜΑ 4ν Α) Με πνην εηήζην επηηφθην r’ θαη ζπλερή αλαηνθηζκφ έρνπλ ηελ ίδηα παξνχζα αμία νη επφκελεο δχν εηζξνέο: α) Πνζφ 40.000€ ζήκεξα ζπλ πνζφ 80.000€ κεηά απφ 4 ρξφληα β) Πνζφ 10.000€ ζήκεξα.

[ln(6 / 8) 0.288]

Β) Πνηα εηζξή είλαη πξνηηκφηεξε αλ r>r’ θαη πνηα αλ r<r’ ΘΔΜΑ 5ν Έζησ

f ( x)

px q. Βξείηε

ηα p,q ψζηε

f (1) 3 λα

είλαη ε ηηκή αθξφηαηνπ ηεο ζπλάξηεζεο ζην [0,2]. Δίλαη ε

ηηκή απηή κέγηζην ή ειάρηζην; ΘΔΜΑ 6ν Απνηακηεπηήο θαηαζέηεη ζην ηέινο θάζε έηνπο 300€ γηα δηάζηεκα 25 εηψλ. Αλ ην επηηφθην θαηάζεζεο είλαη 2% κε ηξηκεληαίν αλαηνθηζκφ, πνην ζα είλαη ην θεθάιαην ηνπ ζην ηέινο ηεο 25εηίαο; ΘΔΜΑ 7ν Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα

(ln x)dx

ΑΠΑΛΣΖ΢ΣΔ ΢ΣΑ 5 ΑΠΟ ΣΑ 7 Η΢ΟΓΤΛΑΚΑ ΠΡΟΣΔΗΛΟΚΔΛΑ ΘΔΚΑΣΑ.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 12 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΑΝ 2007 Γιδάζκων:Θοπκοηζίδηρ ΘΔΚΑ 1 (α) Γίλεηαη ε y = x2 θαη ηα ζεκεία Α = (0,0) θαη Β = (2,4) απηήο. Να βξεζεί ζεκείν Γ πάλσ ζε απηήλ, ηέηνην ψζηε ε εθαπηφκελε επζεία ζην ζεκείν Γ ηεο θακπχιεο λα είλαη θάζεηε ζηε ρνξδή ΑΒ.

(β) Να βξεζεί ε παξάγσγνο

x dy , αλ y cos x + y dx

- x – yx2/7 = 0

ΘΔΚΑ 2 (α) Να νξίζεηε ηνλ Οξηαθφ Λφγν Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο (ΟΛΣΤ, ή MRTS), λα εμεγείζεηε ηε ζρέζε ηνπ κε ην νιηθφ δηαθνξηθφ, θαη λα ηνλ αληιήζεηε γηα ηελ ηπρνχζα ζπλάξηεζε παξαγσγήο Q = f (K, L). (β) Να δείμεηε, θάλνληαο ρξήζε ησλ εηο ην (α), φηη φηαλ ε f είλαη ηχπνπ Cobb-Douglas, ηφηε ν ΟΛΣΤ είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ιφγνπ ησλ παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ. ΘΔΚΑ 3 (α) Αλ ε ζπλάξηεζε δήηεζεο ηνπ αγαζνχ Α είλαη DA (pA, pB, Y) = 110 – 0,2pA +

pBY

, φπνπ Β είλαη έλα άιιν αγαζφ θαη Y ην εηζφδεκα, λα ππνινγηζζεί ε

εηζνδεκαηηθή ειαζηηθφηεηα δήηεζεο ηνπ Α, ζην ζεκείν (pA, pB, Y) = (10,32,2), θαη λα εμεγεζεί ην πιεξνθνξηαθφ ηεο πεξηερφκελν. (β) Να δείμεηε φηη ε εθζεηηθή ζπλάξηεζε y = αx εκθαλίδεη ζηαζεξφ πνζνζηηαίν ξπζκφ κεηαβνιήο. ΘΔΚΑ 4 Να ππνινγηζζεί ην αφξηζην νινθιήξσκα Ι =

1 dx. (2 x 1)( x 2 4 x 5)

ΘΔΚΑ 5 (α) Να αλαπηχμεηε ηελ f(x) = xex ζε δπλακνζεηξά Taylor κε θέληξν ην x = 1 θαη λα ηελ κειεηήζεηε σο πξνο ηε ζχγθιηζε.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 13 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

MΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΑΝ 2007 Γιδάζκων: Κισελακάκηρ ΘΔΚΑ 1ο Βξείηε ηα x є R, αλ ππάξρνπλ, ψζηε

log x (2 x)

4 log 2 x x .

(Λα αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 2 ηος ηεηπαδίος).

ΘΔΚΑ 2ο Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο y(x) πνπ ηθαλνπνηεί ηελ εμίζσζε y3 – xy = εκ2y + 4x – y, ζην ζεκείν (0,0). (Λα αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 3 ηος ηεηπαδίος). ΘΔΚΑ 3ο 1. Γηαηππψζαηε ην ζεψξεκα ηνπ Rolle. 2.Γείμηε φηη ε εμίζσζε

x3 4 x 1 0 έρεη αθξηβψο κία πξαγκαηηθή ιχζε.

(Λα αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 4 ηος ηεηπαδίος). ΘΔΚΑ 4ο ΢ε αγνξά πιήξνπο αληαγσληζκνχ ε δήηεζε θαη ε πξνζθνξά ελφο πξντφληνο θαζνξίδνληαη απφ ηηο ζπλαξηήζεηο D(p) = 5 – 10 p θαη S(p) = -8 + 12p αληίζηνηρα. Αλ ε κνλάδα ηνπ πξντφληνο θνξνινγείηαη κε m επξψ θαη αλ ππνζέζνπκε φηη ε θνξνινγία ηζνθαηαλέκεηαη κεηαμχ παξαγσγνχ θαη θαηαλαισηή, λα βξεζεί εθείλε ε ηηκή m πνπ κεγηζηνπνηεί ηα έζνδα απφ θφξνπο. (Λα αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 5 ηος ηεηπαδίος). ΘΔΚΑ 5ο 1. Τπνινγίζηε ηελ παξάγνπζα,

2( x 2

x 1)( x 2 2 x 1) dx . ( x 1)( x 4 1)

(Λα αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 6 ηος ηεηπαδίος).

2. Να ππνινγηζηεί ην νξηζκέλν νινθιήξσκα

ln(

( x))

( x)dx .

(Λα αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 7 ηος ηεηπαδίος).

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 14 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

Μαθημαηικά Ι – ΢ΔΠΣ 2006 Γιδάζκων: ΢η. Θώηζιορ ΘΔΚΑ 1ον : (α) Απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα :

A B

A C

f ( x)

(β) Γείμαηε φηη ε ζπλάξηεζε

είλαη θπξηή .

f ( x)

ΘΔΚΑ 2ον :Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε

θαη ην ζεκείν

9 ,0 2

Να βξείηε ην ζεκείν Μ ηνπ γξαθήκαηνο ηεο θ πνπ απέρεη απφ ην ζεκείν Α ηε κηθξφηεξε απφζηαζε. Να απνδείμεηε φηη ε εθαπηφκελε ηνπ γξαθήκαηνο ζην Μ είλαη θάζεηε ζηελ ΑΜ. ΘΔΚΑ 3ον: Έζησ D=α-βp κία ζπλάξηεζε δήηεζεο θαη S= -γ+δp κία ζπλάξηεζε πξνζθνξάο κε α,β,γ,δ>0. Βξείηε πφζν ζα αιιάμεη ε ηηκή ηζνξξνπίαο ( ε ηηκή p πνπ θάλεη ηε πξνζθνξά ίζε κε ηε δήηεζε), φηαλ ηα α,β,γ,δ αιιάδνπλ θαηά κ% ην θαζέλα.

3 ον

ΘΔΚΑ 4 : Τπνινγίζαηε ηα νινθιεξψκαηα 0

dx 1

, 0

ΘΔΚΑ 5ον : Γηθαηνινγψληαο πιήξσο ηελ απάληεζε ζαο, βξείηε ζε πνηα απφ ηηο παξαθάησ ζπλαξηήζεηο αληηζηνηρεί ην γξάθεκα ηνπ ζρήκαηνο (1):

A f x

x3 4, B f x

D f x

x4 4x2 , E f x

x3 4 x, C f x

x3 4x,

x4 4x2

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΔΜΒΟΛΙΜΗ ΑΤΓ – ΢ΔΠΣ 2006 Γιδάζκων: ΢η. Θώηζιορ ΘΔΚΑ 1ον : (α) Απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα :

A B

(β) Γείμαηε φηη ε ζπλάξηεζε

A C

f ( x)

είλαη θπξηή .

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 15 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

ΘΔΚΑ 2ον : Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε

f ( x)

θαη ην ζεκείν

9 ,0 2

3 ον

ΘΔΚΑ 4 : Τπνινγίζαηε ηα νινθιεξψκαηα 0

dx 1

, 0

A f x

x3 4, B f x

x3 4 x, C f x

D f x

x4 4x2 , E f x

x3 4x,

x4 4x2

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ I – ΙΟΤΛ 2006 ΘΔΚΑ 1 α)Απνδείμαηε φηη ,έαλ

B ,ηφηε: A A

β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο :

A B KL K

B B. . Γείμαηε φηη :

Q K K

Q L 0 L

ΘΔΚΑ 2 Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο επζείαο ηεο θακπχιεο :

1 y 1 x

x2 y3

ζην ζεκείν (1,1). ΘΔΚΑ 3 Σν έζνδν απφ ηελ πινηφκεζε ελφο δάζνπο, ζε ηξέρνπζεο ηηκέο ,είλαη

R(t )

e t,

Αλ ππάξρεη έλαο ζπλερήο πιεζσξηζκφο r, βξείηε ηελ ρξνληθή ζηηγκή t* πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ παξνχζα αμία ηνπ εζφδνπ. ΘΔΚΑ 4 Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

7x 9 dx 11x 2 x 1

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 16 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

ΘΔΚΑ 5 Γείμαηε φηη :

xdx

1 2

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι - ΙΑΝ 2006 Γιδάζκων: Θαπαθύλληρ Εήηημα 1ο (μονάδερ 1): Να ππνινγίζεηε ην γεληθεπκέλν νινθιήξσκα

I 0

Εήηημα 2ο (μονάδερ 2): Έζησ νη ζπλαξηήζεηο πξνζθνξάο S(p) = -3 + 3p θαη δήηεζεο D(p) = 25 – 3p γηα έλα πξντφλ ζε κηα ηέιεηα αγνξά πιήξνπο αληαγσληζκνχ. Δάλ ε θπβέξλεζε επηβάιιεη θνξνινγία t ρξεκαηηθψλ κνλάδσλ ζε θάζε πσινχκελε κνλάδα πξντφληνο, επηβαξχλνπζα κφλν ηνλ θαηαλαισηή λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηεο θνξνινγίαο t πνπ κεγηζηνπνηεί ηα θξαηηθά έζνδα. Εήηημα 3ο (μονάδερ 1): Να δείμεηε φηη

A (B

( A C ) γηα ηξία απζαίξεηα κε θελά ζχλνια A,B θαη C.

C ) ( A B)

Εήηημα 4ο (μονάδερ 2):

F ( x, y )

ey x

΢ηε ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ηα

y ' (1)

Αλ ην y είλαη ζπλάξηεζε ηνπ x κε y(1) = 0 θαη επηπιένλ ηζρχεη φηη κεξηθέο παξαγψγνπο

ζρέζε

F ( x, y ) x

F (1, 0) y ' (1) y

F ( x, y ) . y

y x

y '' (1) θαη

λα ππνινγίζεηε ηηο

λα επηβεβαηψζεηε ηε

F (1, 0) x

Εήηημα 5ο (μονάδερ 2): 2

Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

dx ( x 1)( x 2 1) 1

Εήηημα 6ο (μονάδερ 2): Αλ νη ειαζηηθφηεηεο ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g ζην ρ = 1 είλαη ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο ζπλάξηεζεο

h( x )

( f ( x)) g ( x )

e f (1)

eg (1) 1 θαη

επηπιένλ

ζην ρ = 1

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 17 από 35

f (1) e, g (1) 1

λα

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

MΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι - ΙΑΝ 2006 Γιδάζκων: Θώηζιορ Θέμα 1ο (15 Κονάδερ): Έζησ Ρ ην ζχλνιν ησλ πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ θαη G κηα ζρέζε ζην RxR. Σν δεχγνο (x,y) αλήθεη ζηε G εάλ θαη κφλν εάλ κπνξνχκε λα βξνχκε έλαλ αθέξαην αξηζκφ ξ ψζηε x – y = 2p .Γείμαηε φηη ε G είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο. Θέμα 2ο (15 Κονάδερ): Γίδεηαη φηη:

f ( x, y )

( xy ) ( xy )

Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα

f (1.01,1.01)

Θέμα 3ο (15 Κονάδερ): Τπνινγίδεηαη φηη εάλ θαιιηεξγήζνπκε 24 κειηέο ζε έλα εθηάξην ζα πάξνπκε 500 κήια αλά δέλδξν ηνλ ρξφλν. Γηα θάζε επηπιένλ δέλδξν αλά εθηάξην ε παξαγσγή κεηψλεηαη θαηά 11 κήια αλά δέλδξν ηνλ ρξφλν. Πφζα δέλδξα πξέπεη λα θαιιηεξγεζνχλ αλά εθηάξην ψζηε λα πάξνπκε ηα πεξηζζφηεξα δπλαηφλ κήια; Θέμα 4ο (20 Κονάδερ): (α) Έζησ κηα θνίιε ζπλάξηεζε δήηεζεο. Γείμαηε φηη ε ειαζηηθφηεηά ηεο είλαη θζίλνπζα (β) Αξρηθφ θεθάιαην

αλαηνθηδφκελν εηεζίσο κε επηηφθην r γηα λ έηε, απνδίδεη πνζφ Κ. Δάλ ην επηηφθην απμεζεί θαηά

1%, πφζν ζα αιιάμεη ην Κ; Θέμα 5ο (15 Κονάδερ): _

Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα

u 2 ( u u)

Θέμα 6ο (20 Κονάδερ): Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα 0

x 2 dx a 2 )( x 2 b2 )

( x2

Μαθημαηικά Ι – ΢ΔΠΣ 2005 ΓΗΓΑ΢ΘΟΛΣΔ΢: ΘΩΣ΢ΗΟ΢-ΙΔΒΔΛΣΗΓΖ΢ ο

ΘΔΚΑ 1

Απνδείμαηε φηη νη παξαθάησ ζρέζεηο δελ κπνξνχλ λα ηζρχνπλ ηαπηφρξνλα:

ΘΔΚΑ 2ο Γηα πνηα ηηκή ηνπ b ε ζπλάξηεζε

f ( x)

x( x 2

2 x b)

παξνπζηάδεη ζεκείν θακπήο θαη πνην είλαη απηφ;

ΘΔΚΑ 3ο Δπηιχζαηε σο πξνο α ηελ εμίζσζε:

e 1

( x a ) ln xdx

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 18 από 35

)

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 ΘΔΚΑ 4ο Έζησ φηη ην ρ είλαη ζπλάξηεζε ηνπ y θαη ηζρχεη ε ζρέζε:

x x . Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα:

dx dy

ΘΔΚΑ 5ο Έζησ

ε ειαζηηθφηεηα δήηεζεο ελφο αγαζνχ. Γείμαηε φηη, εάλ

1 ED ,

ηφηε θάζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ αγαζνχ

νδεγεί ζε αχμεζε ησλ νιηθψλ εζφδσλ. ΘΔΚΑ 6ο Μηα εηδηθή κνξθή ηεο Cobb-Douglas είλαη ε αθφινπζε:

A,a,b,c>0. Γείμαηε φηη:

F K

a K

c F L

F L

b L

cK F L2

F ( K , L)

a b

AK L e

cK L

φπνπ K,L θεθάιαην θαη εξγαζία θαη

ΘΔΚΑ 7ο Μειεηήζαηε ην νινθιήξσκα:

dx xa

γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ α.

ΘΔΚΑ 8ο Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε ησλ δπν κεηαβιεηψλ:

F ( x, y )

y x

y ) a da

Υξεζηκνπνηψληαο νιηθφ δηαθνξηθφ δείμαηε φηη

F (1.2,1.1) 0.2

Μαθημαηικά I – ΙΟΤ 2005 Γιδάζκονηες : Ση. Κώηζιορ , Ι. Λεβενηίδηρ ΠΡΟ΢ΟΥΖ : Όζερ και όζοι από ηιρ κςπίερ και κςπίοςρ θοιηηηέρ επιθςμούν να ενημεπωθούν ηλεκηπονικά για ηον βαθμό ηοςρ , παπακαλούνηαι όπωρ πποζηπέξοςν ζηην ιζηοζελίδα ηος Σμήμαηορ (www.econ.uoa.gr) ζηην διεύθςνζη ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ I. ΘΔΚΑ 1Ο : Έζησζαλ ηα ζχλνια , Α , Β , Γ , απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα :

(

) (

)

(

)

ΘΔΚΑ 2Ο : α) Γείμαηε φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ πειίθνπ δχν ζπλαξηήζεσλ είλαη ίζε κε ηε δηαθνξά ησλ ειαζηηθνηήησλ ηνπ αξηζκεηνχ θαη ηνπ παξαλνκαζηνχ . β ) Έζησ ζπλάξηεζε f ( x ) . Οξίδνπκε g ( x ) = ln f ( x ) θαη σ = ln x .

Γείμαηε φηη

dg d

f (x) .

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 19 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 ΘΔΚΑ 3Ο : α) Γψζαηε ηελ γεσκεηξηθή εξκελεία ηνπ δηαθνξηθνχ κίαο ζπλαξηήζεσο f ( x ) . β) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε :

ax ax

f (x)

bx ,a bx

0,b

Υξεζηκνπνηψληαο δηαθνξηθά ππνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα : f ( 0.1 ) .

ΘΔΚΑ 4Ο : Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε

f (x)

θαη ην ζεκείν

9 ,0 2

. Βξείηε ην ζεκείν Μ ηεο Cf , πνπ απέρεη απφ ην

ζεκείν Α ηελ κηθξφηεξε απφζηαζε . Να απνδείμεηε φηη ε εθαπηνκέλε ηεο Cf ζην Μ είλαη θάζεηε ζηελ ΑΜ . ΘΔΚΑ 5Ο : Να αλαπηπρζεί ζε ζεηξά Maclaurin ε ζπλάξηεζε :

1 a bx ΘΔΚΑ 6Ο : Τπνινγίζαηε ηα νινθιεξψκαηα :

ΚΑΙ

dx 3e x

ΘΔΚΑ 7Ο : Μία ζπλάξηεζε παξαγσγήο δίδεηαη απφ ηελ ζρέζε :

2 Q

ln(K 2

L2 )

Δάλ ηα Κ θαη L εμαξηψληαη απφ δχν άιιεο παξακέηξνπο ρ , ς , βάζεη ησλ ζρέζεσλ

x ,L

βξείηε

ηελ νιηθή νξηαθή αιιαγή ηνπ Q , φηαλ αιιάδνπλ ηα ρ θαη ς ηαπηφρξνλα .

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ I - ΦΔΒ 2005 Γηδάζθσλ: Ι.Λεβεληίδεο Θέμα 1 (20 μονάδερ) a) Να απνδεηρζεί φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ πειίθνπ δχν ζπλαξηήζεσλ ηζνχηαη κε ηε δηαθνξά ησλ ειαζηηθνηήησλ ηνπο. (7) b) Αλ ην εηήζην επηηφθην είλαη 10%, πνηα απφ ηηο παξνχζεο αμίεο ησλ δχν παξαθάησ ρξεκαηνξνψλ έρεη κεγαιχηεξε ειαζηηθφηεηα σο πξνο ην επηηφθην 215 ΔΤΡΩ ζε δχν ρξφληα απφ ηψξα 150 ΔΤΡΩ ζε ηέζζεξα ρξφληα απφ ηψξα (13) Θέμα 2 (20 μονάδερ) a) Να απνδεηρζεί φηη (Α

Β)-Γ = (Α-Γ)

(Β-Γ)

b) Έζησ πεπιεγκέλε ζπλάξηεζε κε ηχπν y(x) = αλαπηχγκαηνο Taylor λα πξνζεγγηζηεί ην y(1,1).

(5)

X y ( x)

, ρξεζηκνπνηψληαο ηνπο ηξεηο πξψηνπο φξνπο θαηάιιεινπ

(15)

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 20 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Θέμα 3 (25 μονάδερ) a) Να εμεγεζνχλ νη έλλνηεο: i)Γηαθνξηθφ ii)Ιζνυςήο θακπχιε iii)Οξηζκέλν νινθιήξσκα iv) ΢εκείν ηζνξξνπίαο (10) b) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο D=11-ζξ θαη ε ζπλάξηεζε πξνζθνξάο S=10+2ξ. Έζησ Μειεηήζαηε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο ζπλάξηεζεο εζφδσλ R(

p * ) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ζ.

ην ζεκείν ηζνξξνπίαο. (15)

Θέμα 4 (25 μονάδερ) a) Έλαο ηδηνθηήηεο έρεη 204 κέηξα πιέγκα πεξίθξαμεο κε ην νπνίν ζέιεη λα πεξηθξάμεη δχν ζρήκαηα. Σν έλα ζρήκα λα είλαη ηεηξάγσλν θαη ην άιιν παξαιιειφγξακκν κε κήθνο δηπιάζην ηνπ πιάηνπο ηνπ. Βξείηε ηηο δηαζηάζεηο ησλ ζρεκάησλ ψζηε ε ζπλνιηθή επηθάλεηα ησλ ζρεκάησλ λα είλαη ε κεγαιχηεξε δπλαηή. b) Να απνδεηρζεί ν αλαγσγηθφο ηχπνο γηα ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο νξηζκέλν νινθιήξσκα

(10)

(ρ) θαη ζηε ζπλέρεηα λα ππνινγηζηεί ην

(ρ) κε άθξα απφ 0 έσο π. (15)

Θέμα 5 (20 μονάδερ) n

a) Πνηα είλαη ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο δπλακνζεηξάο ΢ x /(

n 2 . 3n ) 0

b) Να βξεζεί ν αξηζκφο “a” ψζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε εμίζσζε:

a x dx

xe x dx 0

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ I - ΦΔΒ 2005 Γηδάζθσλ: ΢η. Κψηζηνο ΠΡΟ΢ΟΥΗ. Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ ειεθηξνληθά γηα

ηνλ

βαζκφ

ηνπο,

παξαθαινχληαη

φπσο

πξνζηξέμνπλ

ζηελ

ηζηνζειίδα

ηνπ

Σκήκαηνο

(www.econ.uoa.gr) ζηελ δηεχζπλζε ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ I ΘΔΚΑ 1Ο: (10 κνλάδεο) Έζησ Υ έλα ζχλνιν πξντφλησλ. Οξίδνπκε ηελ ζρέζε: G={(x,y): ην πξντφλ ρ έρεη ηελ ίδηα ηηκή κε ην πξντφλ y} Γείμαηε φηη ε G είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο. ΘΔΚΑ 2ο: (10 κνλάδεο) Απαληήζαηε ζηα θάησζη εξσηήκαηα: a) Πνηα ε γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο «θπξηήο» ζπλάξηεζεο; b) Πνηα ε γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο «νηνλεί θνίιεο» ζπλάξηεζεο; c)

Πνηα ε δηαθνξά κεηαμχ κηαο ζρέζεσο νιηθήο δηαηάμεσο θαη κηα ζρέζεσο κεξηθήο δηαηάμεσο;

d) Πνηα ε δηαθνξά «παξαγψγνπ» θαη «δηαθνξηθνχ» ; e) Πνηα ε ρξεζηκφηεηα ηεο αλαπηχμεσο κηαο ζπλαξηήζεσο ζε ζεηξά Taylor; ΘΔΚΑ 3Ο: (10 κνλάδεο) Δάλ y(x)=

y( x)

ππνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα y(1.01) κε αθξίβεηα 2 δεθαδηθψλ ςεθίσλ.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 21 από 35

X x Y.

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 ΘΔΚΑ 4Ο: (10 κνλάδεο) a) Έζησ f(x,y) ζπλάξηεζε δχν κεηαβιεηψλ. Γείμαηε φηη

f ,y

. .

b) Μεηαηξέςαηε ηνλ άπεηξν δεθαδηθφ 1,0 1 7 ζε ξεηή κνξθή. ΘΔΚΑ 5Ο: (20 κνλάδεο)

Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο: ξ=

(2 3 q Δάλ έρνπκε ηζνξξνπία ζην ζεκείν

1)( 3 q 2

, Όπνπ ξ ε ηηκή ηνπ πξντφληνο θαη q ε δεηνχκελε πνζφηεηα.

q 0 =1, βξείηε ην πιεφλαζκα ηνπ θαηαλαισηνχ.

ΘΔΚΑ 6Ο: (20 κνλάδεο)

Γείμαηε φηη:

2| x 5|

ΘΔΚΑ 7Ο: (20 κνλάδεο) Γίδεηαη ην παξαθάησ απινπνηεκέλν καθξννηθνλνκηθφ ππφδεηγκα: Y = C + εηζφδεκα, C ε θαηαλάισζε, Σ νη θφξνη,

, C = 1+

1 (Y-T) , T = 2+ Py, φπνπ Y ην 2

νη επελδχζεηο νη νπνίεο ινγίδνληαη θαη ζηαζεξέο θαη ξ ν θνξνινγηθφο

ζπληειεζηήο. Έζησ ε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο U = lnY – 2 lnT. Τπνινγίζαηε ηνλ θνξνινγηθφ ζπληειεζηή ξ, πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ ζπλάξηεζε U.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι - ΢ΔΠΣ 2004 Γιδάζκων: ΢η. Θώηζιορ ΠΡΟ΢ΟΥΗ. Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ ειεθηξνληθά γηα ηνλ βαζκφ ηνπο, παξαθαινχληαη φπσο πξνζηξέμνπλ ζηελ ηζηνζειίδα ηνπ Σκήκαηνο (www.econ.uoa.gr) ζηελ δηεχζπλζε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΔΚΑ 1ον: Έζησζαλ ηα ζχλνια, Α, Β, Γ, απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα:

A (B

) ( A B) ( A

)

ΘΔΚΑ 2ον: Έζησ φηη νη ζπλαξηήζεηο U,g είλαη δηαθνξίζηκεο. Έζησ U θνίιε. Γείμαηε, φηη εάλ ε g είλαη αχμνπζα θαη θνίιε, ηφηε θαη ε ζπλάξηεζε f(x) = g(U(x)) είλαη θνίιε. ΘΔΚΑ 3ον: Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα: ηοξεθ(1.1).

ΘΔΚΑ 4ον: Γείμαηε φηη: 0

ln 2

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 22 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

ΘΔΚΑ 5ον: Έζησ, φηη νη δηαθνξίζηκεο ζπλαξηήζεηο f(x),g(x) ηέκλνληαη αθξηβψο ζε δχν ζεκεία κε ζπληεηαγκέλεο

( x1 , y1 )

θαη

( x2 , y2 ) . Έζησ, ηεηκεκέλε x0

ηεο f(x) ζην ζεκείν

A( x0 , f ( x0 ))

κε

θαη ηεο g(x) ζην

x2 . Η θάζεηε επζεία ζην x0 , ζπλαληά ηελ γξαθηθή παξάζηαζε

B ( x0 , g ( x0 )) . Γείμαηε φηη. εάλ ην x0

επηιεγεί έηζη ψζηε ε απφζηαζε

ΑΒ λα είλαη ε κεγίζηε δπλαηή, ηφηε νη εθαπηφκελεο επζείεο ζηα ζεκεία Α θαη Β, είλαη κεηαμχ ηνπο παξάιιειεο.

ΘΔΚΑ 6ον: Γίδεηαη:

x y z x y z

. Γείμαηε φηη:

W x

W y

W z

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι – ΙΟΤ 2004 Γιδάζκων: ΢η. Θώηζιορ ΠΡΟ΢ΟΥΗ. Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ ειεθηξνληθά γηα ηνλ βαζκφ ηνπο, παξαθαινχληαη φπσο πξνζηξέμνπλ ζηελ ηζηνζειίδα ηνπ Σκήκαηνο (www.econ.uoa.gr) ζηελ δηεχζπλζε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΔΚΑ 1ον: Έζησζαλ ηα ζχλνια, Α, Β, Γ, απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα:

(

)

(

)

(

)

ΘΔΚΑ 2ον: Η ζπλάξηεζε y(x) ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε:

y ( x) Γείμαηε φηη

y (1)

y( x)

ΘΔΚΑ 3ον: Ο αξηζκεηηθφο κέζνο n αξηζκψλ,

1 , 2 ,..., 1

n , νξίδεηαη σο εμήο:

...

ελψ ν γεσκεηξηθφο κέζνο απφ ηελ ζρέζε:

Έζησζαλ ηξεηο αξηζκνί:

...

2 , x . Οη δχν πξψηνη ζεσξνχληαη ζηαζεξνί ελψ ν ηξίηνο κεηαβιεηφο. Γείμαηε φηη ε ηηκή

ηνπ χ πνπ ειαρηζηνπνηεί ηελ πνζφηεηα

είλαη ν αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 23 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 ΘΔΚΑ 4ον: Γείμαηε φηη:

|x|

(bx)dx

2 b2 1

,b 0

ΘΔΚΑ 5ον: Μία ζπλάξηεζε παξαγσγήο δίδεηαη απφ ηελ ζρέζε:

KL K L

Δάλ ηα Κ θαη L εμαξηψληαη απφ δχν άιιεο παξακέηξνπο χ, y, βάζεη ησλ ζρέζεσλ

1 ( y x)

,L a

1 ,a 0 ( x y)2a

βξείηε, ρξεζηκνπνηψληαο δηαθνξηθά, ηελ ηηκή ηνπ Q, φηαλ χ = 0.1 θαη y = 0.9. ΘΔΚΑ 6ον: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο:

q2 5 p (q 2)2 (2q 2 1) ρ ε ηηκή ηνπ πξντφληνο, q ε δεηνχκελε πνζφηεηα. Δάλ έρνπκε ηζνξξνπία ζην ζεκείν

1 ,βξείηε ην πιεφλαζκα ηνπ 2

θαηαλαισηνχ.

Μαθημαηικά Ι – ΦΔΒ 2004 Σμήμα Α΄ - Θοπκοηζίδηρ Να απανηηθούν πένηε από ηα επόμενα ερωηήμαηα. ΘΔΚΑ 1 a.

Να νξίζεηε αλαιπηηθά ηνλ Οξηαθφ Λφγν Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο (ΟΛΣΤ) θαη λα εμεγήζεηε ηη πιεξνθφξεζε καο δίλεη.

Έζησ ζπλάξηεζε παξαγσγήο Q=AKaLβ. Γείμαηε φηη θαηά κήθνο επζείαο πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ ν ΟΛΣΤ είλαη ζηαζεξφο.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 24 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 ΘΔΚΑ 2 Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΘΔΚΑ 3 Έζησ ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε F(x). Να δεηρζεί φηη ζηα ζεκεία πνπ απηή εκθαλίδεη ηνπηθά αθξφηαηα ε ειαζηηθφηεηα ηνπ αληίζηνηρνπ κέζνπ κεγέζνπο είλαη ίζε κε -1. ΘΔΚΑ 4 Να βξεζεί ε δπλακνζεηξά Maclaurin ηεο Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη λα κειεηεζεί σο πξνο ηε ζχγθιηζε. ΘΔΚΑ 5 Να βξεζεί ε Error! Objects cannot be created from editing field codes. φηαλ Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΘΔΚΑ 6 a.

Με ηε βνήζεηα ηνπ ΢ρήκαηνο λα ππνινγίζεηε πξνζεγγηζηηθά ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν Α.

Με ηνλ ίδην ηξφπν, λα εμεγήζεηε γηαηί νη ειαζηηθφηεηεο ζηα ζεκεία Β θαη C ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο δελ είλαη ίζεο.

Μαθημαηικά Ι – ΦΔΒ 2004 Σμήμα B΄ - Ιεβενηίδηρ Θέμα 1 a.

Να απνδεηρζεί φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ γηλνκέλνπ δχν ζπλαξηήζεσλ ηζνχηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ειαζηηθνηήησλ ηνπο.

Δάλ Error! Objects cannot be created from editing field codes., λα βξεζεί ε y'.

Θέμα 2

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 25 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 a.

Να εμεγεζεί ε ζθνπηκφηεηα θαη ε κεζνδνινγία ηεο πξνζέγγηζεο ζπλαξηήζεσλ κέζσ ηνπ δηαθνξηθνχ θαη ηνπ αλαπηχγκαηνο Taylor.

Δάλ y=xy λα βξεζεί ην y(1,1) ρξεζηκνπνηψληαο ηνπο ηξεηο πξψηνπο φξνπο ελφο αλαπηχγκαηνο Taylor.

Θέμα 3 a.

Να πξνζδηνξηζηνχλ νη ζηαζεξέο α, β, γ έηζη ψζηε ην δηάγξακκα ηεο ζπλάξηεζεο y=αχ2+βχ+γ λα δηέξρεηαη απφ ην ζεκείν (0, 3) θαη λα έρεη ειάρηζην ζην ζεκείν (1,2).

Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο κε ηχπν Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Θέμα 4 a.

Έλαο θαηαζθεπαζηήο θαηαζθεπάδεη x ρηιηάδεο αλδξηθά θαη y ρηιηάδεο γπλαηθεία ππνδήκαηα ηελ εβδνκάδα πνπ ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο κε ηνλ ηχπν Error! Objects cannot be created from editing field codes.. Σελ ηξέρνπζα ρξνληθή ζηηγκή ε παξαγσγή είλαη ζηα 2000 αλδξηθά θαη 5000 γπλαηθεία ππνδήκαηα. Τπνινγίζαηε θαη εξκελεχζαηε ηελ παξάγσγν dy/dx ζην ζπγθεθξηκέλν παξαγσγηθφ επίπεδν.

Γηα πνηα x ε ζεηξά Error! Objects cannot be created from editing field codes. ζπγθιίλεη;

Να απανηηθούν όλα ηα θέμαηα.

Μαθημαηικά Ι – ΢ΔΠΣ 2003 Γιδάζκονηερ: Θώηζιορ ΓΙΑΒΑ΢ΣΔ ΣΙ΢ ΟΓΗΓΙΔ΢ ΜΔ ΜΔΓΑΛΗ ΠΡΟ΢ΟΧΗ

ΟΓΗΓΙΔ΢: Οη θοιηήηπιερ/έρ με AM>25591 απανηάνε ΤΠΟΥΡΔΩΣΙΚΑ ζηα θέμαηα ηηρ ομάδορ Α. Οι θοιηήηπιερ/έρ με AM<25591 απανηάνε είηε ζηα θέμαηα ηηρ ομάδορ Α, οπόηε βαθμολογούνηαι απφ 0 έωρ 10, είηε ζηα θέμαηα ηηρ ομάδορ Β, οπόηε βαθμολογούνηαι από 0 έωρ 5. Τα αποηελέζμαηα θα ανακοινώνονηαι ζηαδιακά ζηο διαδίκηςο, ζηην ιζηοζελίδα ηος ημήμαηορ (www.econ.uoa.gr), ζηην καηηγοπία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.

ΟΚΑΓΑ Α ΘΔΚΑ 1ον: a.

Απνδείμαηε ηελ ηζνδπλακία (επζχ θαη αληίζηξνθν): A

Απνδείμαηε φηη θάζε θνίιε ζπλάξηεζε είλαη θαη νηνλεί θνίιε.

B=A

ΘΔΚΑ 2ον:

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 26 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Αξρηθφ θεθάιαην Κ0, αλαηνθηδφκελν εηεζίσο γηα ν-έηε. κε επηηφθην r0, γίλεηαη ίζν κε Κ. Γείμαηε φηη, εάλ ην εηήζην επηηφθην απμεζεί θαηά 10% ην ίδην αξρηθφ θεθάιαην, αλαηνθηδφκελν ζην ίδην ρξνληθφ δηάζηεκα, ζα γίλεη:

K 1

vr0 10 r0 1

ΘΔΚΑ 3oν: Δάλ ε ζρέζε δήηεζεο είλαη q2 + p*q + p2 = 7, βξείηε ηελ ειαζηηθφηεηα δήηεζεο φηαλ p = 2. ΘΔΚΑ 4ον: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε y(x) = - x2 + 4x - 3 κε πεδίν νξηζκνχ ην δηάζηεκα [1,3]. Βξείηε ην εκβαδφ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ην γξάθεκα ηεο y(x), ηνλ άμνλα ησλ x θαη ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ θαη εθάπηεηαη ηεο y(x). ΘΔΚΑ 5ον: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο:

Q K

Q , L

K 1

1 a

L Q L

, φπνπ α, γ, δ ζηαζεξέο, έηζη ψζηε α>0, 0<γ, δ<1.

Γείμαηε φηη:

Υξεζηκνπνηψληαο ην πξνεγνχκελν απνηέιεζκα δείμαηε φηη πνζφηεηεο

Q Q , K L

είλαη θζίλνπζεο ζπλαξηήζεηο ησλ Κ

καη L αληίζηνηρα. ΘΔΚΑ 6ον: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

f x dx , φπνπ f x

1, x 1, x

4 4

ΟΚΑΓΑ Β ΘΔΚΑ 1ον: Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο:

g x

x4 4

x3 3

x 2 1000

ΘΔΚΑ 2ον: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

x 50 ln xdx

ΘΔΚΑ 3ον: 2

Γίδεηαη φηη W = x y e x y . Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα :

W . x y

ΘΔΚΑ 4ον:

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 27 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

5x 1 dx 2 x 1 2x 1

Μαθημαηικά Ι – ΙΟΤ 2003 Γιδάζκονηερ: Θώηζιορ

ΠΡΟ΢ΟΥΗ: Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ ειεθηξνληθά γηα ηνλ βαζκφ ηνπο, παξαθαινχληαη φπσο απνζηείινπλ έλα ζρεηηθφ κήλπκα (e - mail), κε φλνκα θαη αξηζκφ κεηξψνπ, ζηελ δηεχζπλζε: skotsios@econ.uoa.gr, θαη κε ζέκα "MATHS1". Σα ηειηθά απνηειέζκαηα ζα αλαθνηλσζνχλ επίζεο ζην δηαδχθηην, ζηηο ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ ηεο ηζηνζειίδεο ηνπ Σκήκαηνο.

ΘΔΚΑ 1ον: a.

Ση νλνκάδνπκε δηκειή ζρέζε απφ έλα ζχλνιν Α ζε έλα ζχλνιν Β: Πφηε κία δηκειήο ζρέζε είλαη ζρέζε δηαηάμεσο;

Έζησ ην ζχλνιν R = {(x,y) κε x,y € Ν θαη ππάξρεη θπζηθφο αξηζκφο k έηζη ψζηε xy = k2}, δείμαηε φηη ην R είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο κεηαμχ ησλ θπζηθψλ αξηζκψλ.

ΘΔΚΑ 2ον: Έζησζαλ δχν ζπλαξηήζεηο f(x},g(x) : R  R, δχν θνξέο παξαγσγίζηκεο. Έζησ αθφκα, φηη ε f(x) είλαη θνίιε θαη ε g(x) αχμνπζα θαη θνίιε Γείμαηε φηη ε ζπλάξηεζε g(f(x)) είλαη θνίιε. ΘΔΚΑ 3ον: Δάλ n>0 δείμαηε φηη:

ln x dx xn 1

1 n2

ΘΔΚΑ 4ον: Η πνζφηεηα δήηεζεο q θαη ε ηηκή ελφο πξντφληνο π. ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε p=e-q. Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα εR(1.01), φπνπ R ε ζπλάξηεζε εζφδσλ. ΘΔΚΑ 5ον: Κάζε εβδνκάδα, 1100 επηβάηεο ρξεζηκνπνηνχλ ην ηξαίλν, εάλ ην εηζηηήξην είλαη 6 επξψ. Κάζε κείσζε ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 1 επξψ απμάλεη ηνπο επηβάηεο θαηά 100. Πνηα είλαη ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ηα έζνδα, εάλ ε ζπλάξηεζε δήηεζεο ππνηεζεί γξακκηθή; ΘΔΚΑ 6ον: a.

Μειεηήζαηε σο πξνο ηελ ζχγθιηζε ηελ ζεηξά n

Γείμαηε φηη:

ex 1 x 1 x 2

x2 6

n2 . 1 n!

...

ΘΔΚΑ 7ον:

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 28 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Μία ζπλάξηεζε παξαγσγήο δίδεηαη απφ ηελ ζρέζε:

KL K L

. Δάλ ηα Κ θαη L εμαξηψληαη απφ δχν άιιεο

παξακέηξνπο x, y, βάζεη ησλ ζρέζεσλ Κ = x y , L = y x βξείηε ηελ νιηθή νξηαθή αιιαγή ηνπ Q1, φηαλ αιιάδνπλ ηα x θαη y ηαπηφρξνλα. ΘΔΚΑ 8ον: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο:

q 2 12 2 q 2 2q 1

, p ε ηηκή ηνπ πξντφληνο, q ε δεηνχκελε πνζφηεηα. Δάλ έρνπκε

ηζνξξνπία ζην ζεκείν q0=1/2 , βξείηε ην πιεφλαζκα ηνπ θαηαλαισηνχ.

Μαθημαηικά Ι –ΦΔΒ 2003 Σμήμα Α΄ - Θοπκοηζίδηρ **************** ΢χλνιν κνλάδσλ: 110

Άξηζηα: 100. Απαληήζηε φπνηα εξσηήκαηα κπνξείηε.

Σν έληππν απηφ λα παξαδνζεί καδί κε ηηο απαληήζεηο ζαο. **************** ΘΔΚΑ 1ο a.

(15 κνλ.) Να … εθηειεζζεί κε θαηάιιειν ηξφπν ε νινθιήξσζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. ψζηε λα "απνδεηρζεί" φηη 0 = -1.

(15 κνλ.) Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ΘΔΚΑ 2ο a.

(14 κνλ.) Γίλεηαη ε ζρέζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. Να ππνινγηζζεί ε ειαζηηθφηεηα ηνπ y σο πξνο x, ζην ζεκείν

(Error! Objects cannot be created from editing field codes.) = Error! Objects cannot be created from editing field codes. b.

(6 κνλ.) Αλ ην x κεηαβιεζεί απφ 0,5 ζε 0,51, ηη πιεξνθνξία παξέρεη ε ειαζηηθφηεηα πνπ βξήθαηε, ζρεηηθά κε ηελ πξνθαινχκελε κεηαβνιή ηνπ y ;

ΘΔΚΑ 3ο a.

(8 κνλ.) Γίλεηαη ε δηαθνξηθή εμίζσζε y'(t) = r*y(t), φπνπ r ζηαζεξά. Να βξεζεί ε ιχζε ηεο, δειαδή ε y(t), αλ y(0) = 8000 .

(4 κνλ.) Πνηνο είλαη ν (ζηηγκηαίνο) πνζνζηηαίνο ξπζκφο κεηαβνιήο ηνπ y ; Να ην δείμεηε.

(6 κνλ.) Γψζηε έλα παξάδεηγκα "πιεζπζκνχ" ν νπνίνο κεηαβάιιεηαη κε ηνλ ηξφπν απηφ, θαη κε r = 0,03 . (Γειαδή, δψζηε κία εθαξκνγή ηνπ.)

ΘΔΚΑ 4ο (18 κνλ.) Έζησ F(x) ζπλερψο παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε ηνπ x. Γείμαηε φηη, ζην ζεκείν x* φπνπ ην κέγεζνο F αξηζηνπνηείηαη, ε ειαζηηθφηεηα ηνπ αληηζηνίρνπ κέζνπ κεγέζνπο είλαη ίζε πξνο -1.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 29 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

ΘΔΚΑ 5ο a.

(10 κνλ.) Έζησ

y z

θαη Error! Objects cannot be created from editing field codes. φπνπ Error! Objects

cannot be created from editing field codes.. Με πνηνλ ηχπν ππνινγίδεηαη ε νιηθή παξάγσγνο ηνπ z σο πξνο x ; b.

(14 κνλ.) Να βξείηε ηελ παξάγσγν, εθηειψληαο ηηο ππεηζεξρφκελεο παξαγσγίζεηο.

Μαθημαηικά Ι – ΦΔΒ 2003 Σμήμα B΄ - Ιεβενηίδηρ Θέμα 1 (25 κνλάδεο) a.

Να δνζεί ν νξηζκφο θαη λα εμεγεζεί ε ρξεζηκφηεηα ηεο ειαζηηθφηεηαο. Να απνδεηρζεί φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ πειίθνπ δχν ζπλαξηήζεσλ ηζνχηαη κε ηε δηαθνξά ησλ ειαζηηθνηήησλ ηνπο.

Έζησ Error! Objects cannot be created from editing field codes. λα ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Να εμεηαζηεί σο πξνο ηελ κνλνηνλία ε ζπλάξηεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. Πνηνο απφ ηνπο αξηζκνχο Error! Objects cannot be created from editing field codes. ή Error! Objects cannot be created from editing field codes. είλαη κεγαιχηεξνο;

Θέμα 2 (30 κνλάδεο) a.

Ση ζεκαίλεη ζχγθιηζε ζεηξψλ θαη πνηα είλαη ηα βαζηθά θξηηήξηα-ζεσξήκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε απηήλ;

ΑλError! Objects cannot be created from editing field codes., βξείηε ηελ y'.

Σν θφζηνο θαη ην έζνδν γηα ηελ παξαγσγή x κνλάδσλ πξντφληνο δίλνληαη απφ ηνπο ηχπνπο Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη R(x)=3x αληίζηνηρα, λα βξεζεί ην επίπεδν παξαγσγήο πνπ κεγηζηνπνηεί ην θέξδνο.

Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Θέμα 3 (25 κνλάδεο) a.

Να εμεγεζνχλ νη έλλνηεο: i) Γηαθνξηθφ

ii) ΢χγθιηζε ΢εηξψλ

iii) Σνπηθά αθξφηαηα

iλ) Παξνχζα αμία

Πνην πνζφ κπνξεί λα δαλεηζζεί θάπνηνο εάλ ζέιεη λα ην εμνθιήζεη ζε 3 έηε πιεξψλνληαο 5000 εηεζίσο κε επηηφθην 4%. Υξεζηκνπνηψληαο θαηάιιειν δηαθνξηθφ ππνινγίζηε θαηά πξνζέγγηζε ηα πνζά δαλεηζκνχ αλ ην επηηφθην ήηαλ 4,01% θαη 3,95% αληίζηνηρα.

Πνηα είλαη ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο δπλακνζεηξάο Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Να απνδεηρζεί ν ηχπνο ηνπ Newton-Raphson θαη λα εμεγεζεί ε ρξεζηκφηεηα ηνπ.

Θέμα 4 (30 κνλάδεο) a.

Πνην είλαη ην ειάρηζην θφζηνο φηαλ Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 30 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 b.

Να αλαπηπρζεί θαηά Taylor ε ζπλάξηεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. κε θέληξν ην 0. Να βξεζεί ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο ζεηξάο.

Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο επζείαο ηεο θακπχιεο Error! Objects cannot be created from editing field codes. ζην ζεκείν (1,1).

Δμεγήζηε ηνλ φξν «νξηαθφο ιφγνο ππνθαηάζηαζεο» κε παξάδεηγκα.

΢ύνολο μονάδων: 110, Άριζηα(10):100 μονάδες

Μαθημαηικά Ι – ΙΟΤ 2002 Γιδάζκονηερ: Θώηζιορ

ΘΔΚΑ 0.1 Απνδείμαηε φηη: Α ( Β Γ ) = ( Α Β ) ( Α Γ ) ΘΔΚΑ 0.2 Η f(x) : R+  R είλαη ζπλάξηεζε αληηπξνζσπεχνπζα θάπνην νηθνλνκηθφ κέγεζνο. Έζησ φηη ε f(x) παξνπζίαδεη ζην x0 ηνπηθφ κέγηζην. Γείμαηε φηη, ε ειαζηηθφηεηα ηνπ κέζνπ κεγέζνπο ζην x0 είλαη ίζε κε -1 θαη έρεη αξλεηηθή παξάγσγν. ΘΔΚΑ 0.3

5x 2 2 dx 2 1 x 2x 2 1

Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

ΘΔΚΑ 0.4 Η ζπλάξηεζε y(x) ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε x2 + x*y + y2 = 0. Γείμαηε φηη ε εμίζσζε ηεο θαζέηνπ επζείαο, ζην ζεκείν (a, b), είλαη ε

a 2b x b 2a b

ΘΔΚΑ 0.5 Τπνινγίζαηε κε αθξίβεηα 4 δεθαδηθψλ ςεθίσλ ηελ πνζφηεηα

1 .1

ΘΔΚΑ 0.6 Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο Q = K β L γ , β + γ = 1 . Σα Κ θαη L εμαξηψληαη απφ δχν άιινπο παξάγνληεο x1, x2 βάζεη ησλ ηχπσλ:

x1 ,L x2

x2 x1

. Τπνινγίζαηε ην επίπεδν παξαγσγήο, φηαλ x1 = 4.1 θαη x2 = 1.1.

ΘΔΚΑ 0.7

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 31 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Έλα νηθνλνκηθφ κέγεζνο αλαηνθηδφκελν κία θνξά ηνλ ρξφλν, κε εηήζην επηηφθην r, γίλεηαη κεηά απφ t έηε K(t). Δάλ t* είλαη ν ρξφλνο, πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ παξνχζα αμία ηνπ κεγέζνπο, δείμαηε φηη:

K΄ t * K t*

K΄΄ t * ln 1 r , K t*

ln 2 1 r

ΘΔΚΑ 0.8

Απνδείμαηε ηελ ζρέζε:

ln x dx a x 1

1 2 a 1

, φπνπ α > 1 .

Μαθημαηικά Ι – ΦΔΒ 2002 Σμήμα Α΄ - Θοπκοηζίδηρ ΘΔMA 1ο (8 μον.) ΈζησError! Objects cannot be created from editing field codes.. Να βξεζεί ε ειαζηηθφηεηα ηνπ

y σο πξνο ην x, ζην ζεκείν Error! Objects cannot be created from editing field codes.. Ση πιεξνθνξηαθφ

πεξηερφκελν έρεη ε επξεζείζα ηηκή ; ΘΔΚΑ 2ο (10 μον.) Γίλεηαη ε πεπιεγκέλε κνξθή

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

φπνπ y = f(x). a.

Να βξεζεί ε παξάγσγνο Error! Objects cannot be created from editing field codes..

Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ ηέκλεη θάζεηα ηελ σο άλσ θακπχιε, ζην ζεκείν Error! Objects cannot be created from editing field codes. απηήο.

ΘΔΚΑ 3ο (10 μον.) Έζησ ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη ν εηζνδεκαηηθφο πεξηνξηζκφο rK + σL = Μ . ΢ην ζεκείν κέγηζηεο παξαγσγήο, ε θιίζε ηεο αληίζηνηρεο θακπχιεο ίζνπ πξντφληνο (ηζνυςνχο) ζπκπίπηεη κε ηελ θιίζε ηνπ πεξηνξηζκνχ. Αμηνπνηείζηε απηφ ην ζπκπέξαζκα γηα λα δείμεηε φηη, ζην ζεκείν απηφ, ηζρχεη Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΘΔΚΑ 4ο (12 μον.) a.

Τπνινγίζαηε ηνλ ΟΛΣΤ ηεο ζπλάξηεζεο παξαγσγήο Error! Objects cannot be created from editing field codes. Ση πιεξνθφξεζε καο παξέρεη απηφο;

Γείμαηε φηη ε Q . εκθαλίδεη θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο.

Γείμαηε φηη ην κέζν θφζηνο απμάλεηαη αλ νη ζπληειεζηέο πνιιαπιαζηαζζνχλ επί Error! Objects cannot be created from editing field codes., δει. αλ απμεζνχλ θαηά ην ίδην πνζνζηφ Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ΘΔΚΑ 5ο (10 μον.)

Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

Error! Objects cannot be created from editing field

codes.

Μαθημαηικά Ι – ΦΔΒ 2002 ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 32 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010 Σμήμα B΄ - Ιεβενηίδηρ Θέμα 1 (25 κνλάδεο) a.

Να απνδεηρζεί φηη ε ζπλάξηεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. έρεη ζεηηθή ειαζηηθφηεηα.

Να πξνζεγγηζηεί ην Error! Objects cannot be created from editing field codes. ρξεζηκνπνηψληαο ηνπο ηξεηο πξψηνπο φξνπο ελφο αλαπηχγκαηνο Taylor.

Θέμα 2 (20 κνλάδεο) a.

Να εμεγεζεί ε ζθνπηκφηεηα θαη ε κεζνδνινγία ηνπ αλαπηχγκαηνο κηαο ζπλάξηεζεο σο ζεηξάο Taylor.

Ση ζεκαίλεη ζχγθιηζε ζεηξψλ θαη πνηα είλαη ηα βαζηθά θξηηήξηα-ζεσξήκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε απηήλ;

Av Error! Objects cannot be created from editing field codes. βξείηε ηελ Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Θέμα 3 (20 κνλάδεο) a.

Να εμεγεζνχλ νη έλλνηεο: i) Γηαθνξηθφ

ii) Γξακκηθή πξνζέγγηζε

iii) Σνπηθά αθξφηαηα

iλ) ΢πλάξηεζε νξηαθήο δήηεζεο

Η ηζνυςήο θακπχιε κηαο επηρείξεζεο δίλεηαη απφ ηελ ζρέζε 10=L3/8K5/8. Να ππνινγηζηεί κε ηε βνήζεηα ηνπ θαηάιιεινπ δηαθνξηθνχ ε θιίζε ηεο θακπχιεο ζε θάζε ζεκείν (K,L).

Θέμα 4 (25 κνλάδεο) a.

Μηα εηαηξεία θαηαζθεπάδεη ππνινγηζηέο (C) θαη ηειενξάζεηο (Σ) πνπ ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο κε ηελ ζρέζεError! Objects cannot be created from editing field codes.. i)

Βξείηε ηελ νξηαθή ππνθαηάζηαζε ππνινγηζηψλ απφ ηειενξάζεηο φηαλ Error! Objects cannot be created from editing field codes.=60 θαη Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ii) Αλ ε παξαγσγή ηειενξάζεσλ απμεζεί απφ 60 ζε 65 πφζν ζα πξέπεη λα αιιάμεη ε παξαγσγή ζε ππνινγηζηέο; b.

Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Αλ F(x) είλαη ε ζπλάξηεζε| πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ νινθιήξσζε ηεο εξψηεζεο β), λα ραξαθηεξηζηεί ην αθξφηαην ηεο ζην x=0.

Θέμα 5 (20 κνλάδεο) a.

Πνηα είλαη ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο δπλακνζεηξάο Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο (1+εκρ)/(1-ζπλρ).

΢ύνολο μονάδων: 110, Άριζηα(10):100 μονάδες

Μαθημαηικά Ι – ΦΔΒ 2001 Σμήμα B΄ - Ιεβενηίδηρ

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 33 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

Θέμα 1ο (Βαθμόρ 2,5) Όηαλ ην ζχζηεκα: x - y + ισ = 0 x - ιy + σ =0 ιx - y + σ =0 έρεη άπεηξεο ιχζεηο, λα βξείηε ηνπο Γ.Τ. ησλ ιχζεψλ ηνπ. Θέμα 2ο (Βαθμόρ 2,5) a.

Αλ Α2 + Α + Ι = 0 λα ιπζεί ε : (x+1)2A204 - (x+1)A201 = 2I , xε R

Έζησ Α2 + Α = 3Ι i)

λα βξεζεί ν (Α+ 2Ι)-1

ii) λα ιπζεί ε: ΑΥ + 2A = X + 3I Θέμα 3ο (Βαθμόρ 3)

Γίδεηαη ν πίλαθαο:

2 1 1 1 2 1 1 1 2

. Αλ Ρ ν πίλαθαο ησλ ραξαθηεξηζηηθψλ δηαλπζκάησλ ηνπ Α, λα βξεζεί ν

Θέμα 4ο (Βαθμόρ 2) i)

Να αλαπηχμεηε θαηά Mac Laurin ηελ f(x) = 1/(2+x) + 1/(3-2x)

ii) Aλ P(x) ην πνιπψλπκν 2νπ βαζκνχ ηεο δπλακνζεηξάο, λα ππνινγίζεηε ην Ρ(1). Σν Ρ(2) πφζν είλαη; Θέμα 5ο (Βαθμόρ 2) Δζησ V o Γ.Τ ηνπ R3 πνπ παξάγεηαη απφ ηα : v1 = (1,3,1) , v2 =(2,-1,3) , v3 = (3,2,4) , v4 = (4,5,5) i)

Να βξεζεί ε δηάζηαζε θαη κηα βάζε S ηνπ V.

ii) Όηαλ ην u = (ι,ι-5,2ι)εV, λα βξεζνχλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ, σο πξνο ηελ S Να γραθούν 4 θέμαηα.

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 34 από 35

Β = Ρ-1

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά I - Αππίλιορ 2010

www.dap-oikonomikou.gr Βπείηε ζηην ιζηοζελίδα μαρ: Ιζηοπία Πποηάζειρ Εκδηλώζειρ Χπήζιμα Links Downloads Ψςσαγωγία Ανακοινώζειρ Ππογπάμμαηα μαθημάηων & εξεηαζηικήρ Οδηγόρ Σποςδών Ύλη μαθημάηων Παλαιόηεπα θέμαηα μαθημάηων Λςμένα θέμαηα μαθημάηων Μεηαπηςσιακά Επίκαιπη απθογπαθία

Και πολλέρ ακόμη σπήζιμερ πληποθοπίερ …

www.dap-oikonomikou.gr

ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 35 από 35