dap_themata_2010_math_2 by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

ΑΠΡΙΛΙΟ΢ 2010

Θέματα Εξετάσεων Παλαιότερων Ετών

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ

ΣΙΣΛΟ΢ ............................................................................................................. ΢ΔΛΙΓΑ

Περιεχόμενα ...................................................................................................................................................... 3 1.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΑΝ 2010 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢)............................................................................................................... 4

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2009 ............................................................................................................................ 4

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2009 (ΚΑΣ΢ΙΚΗ΢) ........................................................................................................... 5

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – IOYN 2009 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) .................................................................................................... 5

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΦΔΒ 2009 ............................................................................................................................... 5

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2008 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) .................................................................................................... 6

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2008 (ΜΙΥΔΛΑΚΑΚΗ΢) .................................................................................................... 7

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΑΝ 2008 (ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢) ......................................................................................................... 8

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2007 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) .................................................................................................... 9

10. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2007 (ΜΙΥΔΛΑΚΑΚΗ΢) .................................................................................................. 10 11. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2007 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) .................................................................................................. 10 12. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2007 (ΜΙΥΔΛΑΚΑΚΗ΢) .................................................................................................. 11 13. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΦΔΒΡ 2007 (ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢) ................................................................................................... 12 14. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΔΜΒΟΛΙΜΗ ΑΤΓ – ΢ΔΠΣ 2006 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢ - ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢) ................................................. 13 15. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΛ 2006 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢)................................................................................................... 14 16. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΛ 2006 (ΚΑΡΑΦΤΛΛΗ΢) .................................................................................................... 15 17. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΑΝ 2006.............................................................................................................................. 16 18. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2005 (ΚΑΡΑΦΤΛΛΗ΢).................................................................................................... 17 19. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2005 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) .......................................................................................................... 18 20. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2005 (ΚΑΡΑΦΤΛΛΗ΢) .................................................................................................... 19 21. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2005 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) .......................................................................................................... 20 22. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΦΔΒΡ 2005 (ΚΑΡΑΦΤΛΛΗ΢) .................................................................................................. 21 23. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2004 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) .................................................................................................. 22 24. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2004 (ΚΑΡΑΦΤΛΛΗ΢).................................................................................................... 22 25. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2004 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) .................................................................................................. 23 26. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2004 (ΚΑΡΑΦΤΛΛΗ΢) .................................................................................................... 24 27. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΦΔΒΡ 2004 (΢ΚΟΤΦΑ΢) ........................................................................................................ 25 28. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2003 (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) .................................................................................................. 26 29. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2003 (ΛΔΒΔΝΣΙΓΗ΢) ..................................................................................................... 27 30. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΔΜΒΟΛΙΜΗ ΑΠΡΙΛΙΟΤ 2003 (΢ΚΟΤΦΑ΢) ................................................................................. 28 Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 2 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

31. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΦΔΒΡ 2003 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) .......................................................................................................... 29 32. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΦΔΒΡ 2003 (΢ΚΟΤΦΑ΢) ......................................................................................................... 30 33. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2001 (΢ΚΟΤΦΑ΢) ......................................................................................................... 31 34. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2001 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) .......................................................................................................... 32 35. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2001 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢ – ΢ΚΟΤΦΑ΢) ........................................................................................ 33 36. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2001 (ΚΩΣ΢ΙΟ΢) .......................................................................................................... 24 37. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝ 2001 (΢ΚΟΤΦΑ΢) ......................................................................................................... 34

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟΝ ΦΟΙΤΗΤΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ ΙΑΝΟΤΑΡΙΟΤ 2010 Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 3 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 1νλ: Βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ κ ην θάησζη ζχζηεκα έρεη κε κεδεληθέο ιχζεηο, νη νπνίεο θαη λα βξεζνχλ

Θέκα 2νλ: Τπνινγίζαηε ηηο ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα Θέκα 3νλ: Δπαιεζεχζαηε ην ζεψξεκα Euler γηα ηελ ζπλάξηεζε:

Θέκα 4νλ: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο θαη y θαη ηζρχεη

, b+c=1. Σα K θαη L είλαη ζπλαξηήζεηο ησλ παξαγφλησλ x . Τπνινγίζαηε ην νιηθφ δηαθνξηθφ ηεο dQ

νλ

Θέκα 5 : Βξείηε ηελ επζεία ειάρηζησλ ηεηξαγψλσλ πνπ παιηλδξνκεί αλάκεζα ζηα ζεκεία (0,1), (1,3), (-1,-1) Θέκα 6νλ: Βξείηε ηελ θαηεπζπλφκελε παξάγσγν ηεο ζπλάξηεζεο:

ζην ζεκείν P(1,1) θαηά ηελ

θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο Θέκα 7νλ: Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

, φηαλ

νλ

Θέκα 8 : ρξεζηκνπνηψληαο δηπιφ νινθιήξσκα, ππνινγίζαηε ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ηα γξαθήκαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ:

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣΔΜΒΡΙΟ΢ 2009 Θέκα 1ν

Θέκα 2ν

Θέκα 3ν

(Α) Λα δηαγσληνπνηεζεί ε κήηξα (πίλαθαο) Α=

(Β) Γηα θάζε κηα απφ ηηο επφκελεο πξνηάζεηο λα απνθαλζείηε αλ είλαη αιεζήο ή ςεπδήο. ΢ηελ πεξίπησζε πνπ είλαη ςεπδήο, λα δηνξζψζεηε (κε κηα ή δχν ιέμεηο) ην δεύηεξν ζθέινο ηεο ψζηε λα είλαη αιεζήο. (α) Ζ Αnxn είλαη κε αληηζηξέςηκε, αλ έρεη κεδεληθή ηδηνηηκή. (β) Ζ Αnxn είλαη δηαγσληνπνηήζηκε, αλ έρεη n ην πιήζνο ηδηνδηαλχζκαηα. Λα δηεξεπλεζεί ην επφκελν ζχζηεκα (πφζεο ιχζεηο έρεη) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ a θαη b: 2x-y=4a x+by=0 Λα ζρεδηάζεηε ην ρσξίν νινθιήξσζεο γηα ην νινθιήξσκα +

Θέκα 4ν

θαη ζηελ ζπλέρεηα λα αληηζηξέςεηε ηελ ζεηξά νινθιήξσζεο. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f: 2 ℝ κε ηχπν f(x,y)=xey+yex. (α) Λα ππνινγίζεηε ηελ θαηεπζπλφκελε παξάγσγν ηεο f(x,y) ζην ζεκείν Ρ(1,1) θαηά ηελ θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο u=() (β) Λα βξείηε ηελ θαηεχζπλζε σο πξνο ηελ νπνία ε θαηεπζπλφκελε παξάγσγνο ζην ζεκείν Ρ(1,1) ιακβάλεη κέγηζηε ηηκή.

Θέκα 5ν

Αλ Q=10 , pK=8, pL=2 θαη δηαηίζεληαη ζπλνιηθά γηα ηελ ακνηβή ησλ παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ 300 ρξεκ. Κνλάδεο, λα βξείηε ηα K θαη L πνπ κεγηζηνπνηνχλ ην παξαγφκελν πξντφλ. Ση πιεξνθφξεζε καο παξέρεη ην γεγνλφο φηη, ζην ζεκείν ηεο αξηζηνπνίεζεο, είλαη ι=1.25 (φπνπ ι πνιιαπιαζηαηήο Lagrange)

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ (ΚΑΣ΢ΙΚΗ΢) – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2009 Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 4 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 1ν Λα ιχζεηε ην νκνγελέο γξακκηθφ ζχζηεκα: x+2y+z=0 2x+4y+z=0 x+2y-z=0 Κεηαμχ ησλ παξαπάλσ ιχζεσλ, λα πξνζδηνξίζεηε εθείλεο πνπ ηθαλνπνηνχλ ηελ ζπλζήθε y-xy=2z. Θέκα 2ν α) Λα ππνινγίζεηε ηνλ πίλαθα Αn, n Є N, φπνπ Α=

β) Λα απνδείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε f(x,y,z)=xyzln

είλαη νκνγελέο. Λα

δηαηππψζεηε ην ζεψξεκα ηνπ Euler γηα ηελ f. Θέκα 3ν Έζησ φηη γηα ηξία πξντφληα ηζρχνπλ: p1=13-3q1, p2=22-5q2, p3=64-6q3 θαη C=10+q1+2q2+4q3 φπνπ p1, p2, p3 ε ηηκή θάζε πξντφληνο, q1, q2, q3 νη αληίζηνηρεο πνζφηεηεο θαη C ην θφζηνο. Λα βξείηε ηηο πνζφηεηεο q1, q2, q3 πνπ κεγηζηνπνηνχλ ην θέξδνο. Θέκα 4ν Λα ππνινγίζεηε ην δηπιφ νινθιήξσκα dxdy, φπνπ R={(x,y) Є R2 I4≤x2+y2≤9,0≤x θαη

}

Θέκα 5 Λα ρξεζηκνπνηήζεηε ην θξηηήξην ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα λα πξνζδηνξίζεηε κηα θακπχιε ηεο κνξθήο y=Aekx ε νπνία είλαη πιεζηέζηεξε ζηα ζεκεία (1,e3), (2,e2) θαη (3,e9).

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ (ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢) – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2009 Θέκα 1 (α) Λα αληιήζεηε ηελ εμίζσζε επηπέδνπ πνπ δηέξρεηαη απφ ην ζεκείν (ν, 0, 6) θαη είλαη νξζνγψλην πξνο ην δηάλπζκα u=

(β) Γίλεηαη ε εμίζσζε 3x- y+ z=3. Λα βξεζεί ε νξζνγψληα δηεχζπλζε ηνπ επηπέδνπ πνπ νξίδεη απηή. (γ) Κε βάζε ηα εηο (α) θαη (β), ηη ζπκπεξαίλεηε πεξί ησλ ιχζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δχν εμηζψζεσλ; (κε ζαθήλεηα). Θέκα 2 (α) Λα απνδείμεηε φηη ν κεηαζρεκαηηζκφο T:R3 R2 πνπ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν Σ(x,y,z)=(x+z,y-x) είλαη γξακκηθφο. (β) Λα βξεζεί ε κήηξα ηνπ, σο πξνο ηηο αθφινπζεο βάζεηο: απφ ηνλ R3 θαη ηελ ηππηθή, {e1, e2} απφ ηνλ R2.

Σελ

Θέκα 3 Λα εμεγήζεηε πιήξσο γηαηί ε κήηξα Α=

είλαη νθζαικνθαλψο δηαγσληνπνηήζηκε. Θαηόπηλ, λα ηε

δηαγσλνπνηήζεηε αλαιπηηθά. Θέκα 4 (α) Λα απνδείμεηε φηη νη ιχζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο

ζπληζηνχλ δηαλπζκαηηθφ ρψξν.

(β) Ση δηαζηάζεσο είλαη απηφο; Λα βξείηε δχν δηαθνξεηηθέο βάζεηο ηνπ. Θέκα 5 Έζησ Q=A ζπλάξηεζε παξαγσγηθνχ κεηαζρεκαηηζκνχ, θαη Θ=8, L=27. (α) Θαηά πνηα αλαινγία πξέπεη λα απμεζνχλ ηα K θαη L, ψζηε ην παξαγφκελν πξντφλ λα απμεζεί κε ηνλ κέγηζην δπλαηφ ξπζκφ; (β) Κε πνην ξπζκφ ζα κεηαβιεζεί ην Q, αλ ηα K θαη L κεηαβιεζνχλ θαηά ηελ αλαινγία 3 πξνο 4, δειαδή, θαηά ηελ θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο

;

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΦΔΒΡΟΤΑΡΙΟ΢ 2009 ΘΔΚΑ 1 (1.5 κνλάδα) Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα

0 1 1 0

ΘΔΚΑ 2 (1 κνλάδα)

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 5 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ησλ a,b ην θάησζη ζχζηεκα είλαη αδχλαην, αφξηζην ή έρεη κία ιχζε:

(a 1) x by bx (a 1) y

a b a b

ΘΔΚΑ 3 (1 κνλάδα) Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

f ( x, y )

x 2 y 3 (6 x y )

ΘΔΚΑ 4 (1.5 κνλάδα) Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

y z 1, 2x y z

x2 2x 2 y 2

φηαλ ηζρχνπλ νη πεξηνξηζκνί:

ΘΔΚΑ 5 (1 κνλάδα) Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα ,

x 1 , y x x 01 . y

xydxdy

, φπνπ ην ρσξίνλ R νξίδεηαη απφ ηα γξαθήκαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ

ΘΔΚΑ 6 (2 κνλάδεο) Έζησ φηη ε ζπλάξηεζε U(x,y) ηθαλνπνηεί ηελ ζρέζε

UeU

y . Τπνινγίζαηε ην δηαθν-ξηθφ dU.

ΘΔΚΑ 7 (2 κνλάδεο) Έζησ ε ζπλάξηεζε f(x,y), x>0, y>0 είλαη νκνγελήο βαζκνχ 1, δείμαηε ρξεζηκνπνηψληαο ην Θεψξεκα ηνπ Euler, φηη: 2

f x y

f x y 2

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2008 - ΚΟΡΚΟΣ΢ΙΓΗ΢ ΘΔΚΑ 1. Πξντφλ ηνπ νπνίνπ ε ηηκή πψιεζεο είλαη p=30 ρξεκαηηθέο κνλάδεο παξάγεηαη θάησ απφ ηηο ζπλζήθεο ηεο ζπλάξηεζεο παξαγσγήο Q=20K1/3L2/3. Λα ππνινγηζζνχλ ηα K θαη L πνπ κεγηζηνπνηνχλην έζνδν απφ ηε πψιεζε φισλ ησλ παξαγφκελσλ κνλάδσλ, αλ δηαηίζεληαη ζπλνιηθά 1000 ρξεκ. Κνλάδεο γηα ηελ αγνξά παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ, ησλ νπνίσλ νη ηηκέο είλαη pk=10, pL=4.

ΘΔΚΑ 2. Αλ Υ νη επελδχζεηο θαη Τ ην ΑΔΠ, λα εθηηκεζνχλ νη ζπληειεζηέο ηεο παιηλδξφκεζεο Τ=β0+β1Υ κε ηε βνήζεηα ησλ παξαηεξήζεσλ

X Y

8 13

9 16

7 14

10 16

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 6 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

κε φπνηα κέζνδν ζέιεηε: Γειαδή, κέζσ ειαρηζηνπνίεζεο, κέζσ νξζνγψληαο πξνβνιήο δηαλχζκαηνο ζε ρψξν, ή κέζσ ηχπνπ κε κήηξεο.

ΘΔΚΑ 3. Λα γξάςεη ην νινθιήξσκα

θαη κε ηηο δχν ζεηξέο νινθιήξσζεο, φηαλ R είλαη ε

πεξηνρή πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο y=x2, y=-x2 θαη ρ=3. Θαηφπηλ, λα ππνινγηζζεί κε εθείλε απφ ηηο δχν ζεηξέο πνπ είλαη πην εχθνιε/ζχληνκε.

ΘΔΚΑ 4. (α) Λα δνζεί ε εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πνπ πεξλάεη απφ ην ζεκείν (2,1,0) θαη είλαη νξζνγψλην πξνο ην δηάλπζκα ut=(4 1 -2). (β) Λα βξεζεί ε κήηξα ηνπ γξακκηθνχ κεηαζρεκαηηζκνχ ν νπνίνο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν Σ(ρ,y) = (x-y, -x, x+y), σο πξνο ηηο ηππηθέο βάζεηο

4 2 , 1 1

θαη

e1, e2, e3

ΘΔΚΑ 5. (α) Λα βξεζνχλ νη ιχζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο

ησλ ρψξσλ R2 θαη R3, αληίζηνηρα.

x y z 1 , ηα r(A), 2 x y 3z 0

r(A│ b) θαη νη ιχζεηο ηνπ αληίζηνηρνπ νκνγελνχο. (β) Λα απνδεηρζεί φηη νη ιχζεηο ηνπ ηειεπηαίνπ ζπληζηνχλ δηαλπζκαηηθφ ππνρψξν ηνπ R3. Ση δηαζηάζεσο είλαη απηφο; Λα δψζεηε κηα βάζε ηνπ.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2008 - ΜΙΥΔΛΑΚΑΚΗ΢ Θέκα 1. Δμεηάζηε αλ νη πην θάησ πίλαθεο είλαη φκνηνη:

1 0 4 3 1 0 0 0 5 2

θαη

1 0 2 0 5 0

0 0 5 2

Γηθαηνινγήζηε πιήξσο ηελ απάληεζε ζαο.

Θέκα 2. 1. Έζησ V θαη W δηαλπζκαηηθνί ρψξνη. Πφηε κηα απεηθφληζε Σ: V  W ζα ιέγεηαη γξακκηθή; Γψζηε ηνλ νξηζκφ ηνπ ππξήλα KerT. 2. Γίλεηαη γξακκηθή απεηθφληζε T: R4  R3 κε ηχπν

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 7 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

x y T z w

1 2 1

2 1 1

x y z w

1 1 1 1 1 2

Λα βξεζεί ν ππξήλαο, KerT, θαη κηα βάζε απηνχ.

Θέκα 3. Γξάςηε ηελ παξακεηξηθή εμίζσζε επζείαο πνπ είλαη θάζεηε ζην ζεκείν (3,0,4) ηεο επηθάλεηαο (ρ3)2+(z-2)2=(2-y)(2+y)

Θέκα 4. Πνηα ζεκεία ηνπ θχθινπ x2+y2=45 βξίζθνληαη πιεζηέζηεξα ηνπ ζεκείνπ (1,2); Θέκα 5. Λα νινθιεξσζεί ε ζπλάξηεζε (x2+y2)-1/2 πάλσ ζην ρσξηφ ηνπ επηπέδνπ πνπ θξάζζεηαη απφ ην θχθιν x2+(y-2)2=4, ηνλ άμνλα 0ρ θαη ηελ επζεία ρ=2.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΑΝ 2008 (Γηδάζθωλ: Η. Ιεβεληίδεο) Θέκα 1

a) Λα κεγηζηνπνηεζεί ην

f ( x, y)

x y

ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ

b) Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα

1a a1 Θέκα 2 a) Λα δηεξεπλεζεί ε ιχζε ηνπ ζπζηήκαηνο

x 3y z 0 x y 2z 4 2 x 2 y bz a σο πξνο ηηο παξακέηξνπο a, b . b) Λα

δηαηππσζνχλ

νη

ζπλζήθεο

πξψηεο

θαη

δεχηεξεο

f ( x1 , x2 ,.....x ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο g1 ( x1 , x2 ,....., x )

ηάμεο

γηα

ηε

κεγηζηνπνίεζε

0 ,………, g k ( x1 , x2 ,......., x )

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 8 από 35

ηεο

ζπλάξηεζεο

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 3 a) Λα βξεζεί (κε απφδεημε) ε επζεία ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηα ζεκεία (1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 3) θαη (5, 5) . b) Γηα πνηεο ηηκέο ηεο παξακέηξνπ ‘x’ ν παξαθάησ πίλαθαο αληηζηξέθεηαη θαη πνηνο είλαη ν αληίζηξνθφο ηνπ;

x2 2 0

x 2 1 1 2 x

ΝΑ ΓΡΑΦΟΥΝ ΟΛΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2007 Διδάζκων: Α. Σ. Κοπκοηζίδηρ

ΘΔΚΑ 1

Λα εληνπηζζνχλ θαη λα ραξαθηεξηζζνχλ ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

f x, y, z

3x 2 y z ,

ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ

ΘΔΚΑ 2 Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηεο κήηξαο

5 3

1 3

θαη λα δηαγσληνπνηεζεί απηή.

ΘΔΚΑ 3 Λα ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

x 8

y 2

x 0

y x3

y 4 dydx .

ΘΔΚΑ 4

Q 10 K 0,4 L0,3 N 0,2 . 0, 4 0,3 0, 2 1 , είλαη θαλεξφ

Έζησ ζπλάξηεζε παξαγσγήο α) Γεδνκέλνπ φηη

φηη απηή εκθαλίδεη θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο. Εεηείηαη λα

απνδείμεηε απηφ, κε βάζε ηνλ νξηζκό ηεο έλλνηαο ησλ απνδφζεσλ θιίκαθαο. β) Γηαηί ιέκε επίζεο φηη απηή εκθαλίδεη θζίλνπζεο νηθνλνκίεο θιίκαθαο; Δμεγείζηε κε ζαθήλεηα ηη ζεκαίλεη απηφ. Γ) Λα ππνινγηζζεί αλαιπηηθά ε ειαζηηθφηεηα ηεο παξαγσγήο σο πξνο ην θεθάιαην. ΘΔΚΑ 5 (α) Γίλεηαη ε ιεθηηθή δηαηχπσζε ηνπ επφκελνπ πξνβιήκαηνο: «Να βπεθεί το σημείο τομήρ των επιυανειών

3xy z 2

y3 z

και

yz 2

πος βπίσκεται πλησιέστεπα στην απσή

των αξόνων.» Λα εμεγήζεηε κε πνηα κέζνδν κπνξεί λα ιπζεί, θαη λα ην δηαηππώζεηε αλαιπηηθά, ρσξίο λα πξνβείηε πξάγκαηη ζηελ επίιπζή ηνπ. (β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε

f x, y

xy 2 . Λα βξεζεί ε θαηεχζπλζε κεγίζηεο θαζόδνπ απηήο, ζην ζεκείν (1, 2).

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 9 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2007 Διδάζκων: Ν. Μιχελακάκηρ

ΘΔΚΑ 1Ο 1. Πφηε ζχλνιν

u1 ,..., uk

, k δηαλπζκάησλ δηαλπζκαηηθνχ ρψξνπ V επί ηνπ R, ιέκε φηη απνηειεί βάζε ηνπ V;

Πνηεο είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηπραίνπ 2. ΢πκπιεξψζηε ην ζχλνιν

V σο πξνο ηε βάζε Β; 1,3,1 , 1,1,0 ψζηε απηφ λα απνηειεί βάζε γηα ηνλ R3.

(Λα αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 2 ηνπ ηεηξαδίνπ). ΘΔΚΑ 2Ο Γξάςηε ηελ εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πνπ είλαη εθαπηφκελν ζηελ επηθάλεηα

x 1

z 2

ζην

2 y 2 y

ζεκείν (1, 0, 4). (Λα αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 3 ηνπ ηεηξαδίνπ). ΘΔΚΑ 3Ο Εεηείηαη λα ειαρηζηνπνηεζεί ην θφζηνο θαηαζθεπήο αλνηθηήο παξαιιειεπηπέδνπ δεμακελήο, ρσξεηηθφηεηαο 8 m3, αλ είλαη γλσζηφ φηη γηα ηελ έδξα βάζεο ηεο απαηηείηαη ιακαξίλα πάρνπο ηεηξαπιάζηνπ απ’ φηη γηα ηηο ππφινηπεο έδξεο. Θεσξήζηε φηη ην πάρνο ησλ εδξψλ δελ αιινηψλεη νπζηαζηηθά ηηο δηαζηάζεηο ηεο δεμακελήο. (Λα αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 4 ηνπ ηεηξαδίνπ). ΘΔΚΑ 4Ο 1. Γίλεηαη πίλαθαο

A Mn R

. Πφηε ν πξαγκαηηθφο αξηζκφο ι θαιείηαη ηδηνηηκή ηνπ πίλαθα Α θαη πφηε έλα δηάλπζκα

R θαιείηαη ηδηνδηάλπζκα ηνπ A ; 2. Βξείηε ην ι ψζηε ν πην θάησ πίλαθαο λα είλαη δηαγσληνπνηήζηκνο,

2 3 1 (Λα αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 5 ηνπ ηεηξαδίνπ). ΘΔΚΑ 5Ο Λα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο,

f x, y x

πνπ δελ θαιχπηεηαη απφ ηνλ θχθιν

πάλσ ζην κέξνο ηνπ θχθινπ

y 2

(Λα αλαπηπρζεί ζηε ζειίδα 6 ηνπ ηεηξαδίνπ)

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΙΟΤΝΙΟ΢ 2007 Α. ΢. Θνξθνηζίδεο Θέκα 1ν Α) Λα βξεζεί ε παξαγσγφο ηεο

f x, y

ln( xy) ζηελ

θαηεχζπλζε ηνπ δηαλχζκαηνο

3 4

, θαη λα εθηηκεζεί

ζην ζεκείν (3,12) απηήο. Ση πιεξνθφξεζε καο παξέρεη ε επξεζείζα ηηκή; Β) Πνηα είλαη ε θαηεχζπλζε κέγηζηεο αλφδνπ ηε f ζην σο άλσ ζεκείν; Πνηα είλαη ε θαηεχζπλζε κέγηζηεο θαζφδνπ;

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 10 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 2ν Α) Λα απνδείμεηε φηη νη ηζνυςείο θακπχιεο θάζε ζπλάξηεζεο ηχπνπ Cobb-Douglas,

AK a L

, είλαη παληνχ θπξηέο, ζην ζεηηθφ ηεηαξηεκφξην.

Β) Υσξίο λα ππνινγίζεηε ηίπνηα, λα εμεγήζεηε κε ζαθήλεηα γηαηί ε κήηξα

2 1 0 0 0 0

1 3 4

είλαη ή δελ είλαη αληηζηξέςηκε ΘΑΗ γηαηί είλαη ή δελ είλαη δηαγσληνπνηήζηκε.

Θέκα 3ν Λα ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

( x3 )dA , φπνπ R ην ηξίγσλν κε θνξπθέο ηα ζεκεία (0,0), (2,1)

θαη (2,5).

Θέκα 4ν

Λα βξεζεί ε αλαιπηηθή εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πνπ νξίδεηαη απφ ηα δηαλχζκαηα

1 0 1

2 1

θαη

Θέκα 5ν Γίλεηαη ην ζχζηεκα

x y z 1 2 x y 3z 0 x 4y 3 5 x 17 y z 13

Α) Λα βξεζνχλ κε ηε κέζνδν αμνληθνχ ζηνηρείνπ ηα r(A) θαη r(A|b). Κε βάζε απηά λα πείηε πφζεο ιχζεηο έρεηο εμεγψληαο κε ζαθήλεηα ηελ απάληεζή ζαο. Β) Αλ έρεη ιχζεηο, λα βξεζνχλ. Θαηφπηλ, λα δψζεηε ηηο ιχζεηο ηνπ αληίζηνηρνπ νκνγελνχο ζπζηήκαηνο ρσξίο λα ην ιχζεηε, θαη λα απνδείμεηε φηη απηέο(νη ιχζεηο ηνπ νκνγελνχο) ζπληζηνχλ δηαλπζκαηηθφ ρψξν (ππνρψξν ηνπ

Γηδάζθσλ: Λ. Κηρειαθάθεο

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ-ΙΟΤΝΙΟ΢ 2007

Θέκα 1ν : Λα βξεζεί, αλ ππάξρεη, ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα :

2 5 4 3 7 6 1 2 3

Θέκα 2ν : 1. Πφηε k δηαλχζκαηα ρψξνπ V επί ηνπ R ιέγνληαη γξακκηθά αλεμάξηεηα; 2. Ση θαιείηαη βάζε θαη ηη δηάζηαζε πεπεξαζκέλνπ δηαλπζκαηηθνχ ρψξνπ επί ηνπ R;

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 11 από 35

R 3 ).

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

3. Δμεηάζηε αλ ηα δηαλχζκαηα (1,2,1), (2,-1,-1), (3,-4,-3) ηνπ

Θέκα

3ν :

ζεκείν

x0 , y0 , z0

Γείμηε

φηη

εμίζσζε

ηνπ

δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν

z z0

εθαπηφκελνπ

2 x0 x

2 yy0

R 3 είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα.

επηπέδνπ

ζην

παξαβνινεηδέο

x2 / 4 y 2 / 9 ζην

Θέκα 4ν: Λα βξεζεί ε επζεία παιηλδξφκεζεο κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηα ζεκεία

x 1 1 y 21 28

2 3

3 5 1 2

Λα απνδείμεηε φινπο ηνπο ηχπνπο πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζεηε.

Θέκα 5ν : Λα ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο,

f ( x, y ) x2

x 2

πνπ δελ θαιχπηεηαη απφ ηνλ θχθιν

πάλσ ζην κέξνο ηνπ θχθινπ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΦΔΒ 2007 Γηδάζθωλ: Ιεβεληίδεο

Θέκα 1ν Α) Λα βξεζνχλ ηα

1 k1 0

k1 1 0

k1 , k2

2 1 5

ψζηε ην παξαθάησ γξακκηθφ ζχζηεκα λα έρεη άπεηξεο ιχζεηο σο πξνο x,y,z.

x y z

k2 k2 5

Β) Πφηε ν παξαπάλσ 3x3 πίλαθαο ησλ ζπληειεζηψλ αληηζηξέθεηαη θαη πνηνο είλαη ν αληίζηξνθφο ηνπ; Θέκα 2ν Α) Λα ιπζεί ην ζχζηεκα

2x 3y z 0 5x 2 y 2 z 5 x y 7z 7 κε ηελ κέζνδν απαινηθήο ηνπ Gauss. Β) Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα

3 1 1 3

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 12 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 3ν Α) Λα ιπζεί ην πξφβιεκα ειαρηζηνπνίεζεο

y z2 )

min( x Όηαλ

Β) Λα ειαρηζηνπνηεζεί ε παξάζηαζε

x 2 ( y 2 1) 3 y 2 ( x 2 1)

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΔΜΒΟΛΙΜΗ ΑΤΓ – ΢ΔΠΣ 2006 ΘΔΚΑΣΑ θ. ΘΟΡΘΟΣ΢ΗΓΖ ΘΔΚΑ 1 Λα ππνινγηζηεί ην δηπιφ νινθιήξσκα

dA x T

φπνπ Σα ε πεξηνρή πνπ νξίδεηαη απφ ηηο ζρέζεηο x+y≤3, x>1, y>1. ΘΔΚΑ 2 Κε πιήξε εθαξκνγή ηεο κεζφδνπ ησλ πνιιαπιαζηαζηψλ Lagrange (κέρξη θαη πιήξε αλάιπζε ησλ πξνζήκσλ ησλ νξηνζεηεκέλσλ Δζζηαλψλ νξηδνπζψλ ) λα βξείηε ηα κήθε x, y, θαη zησλ πιεπξψλ νξζνγσλίνπ παξαιιειεπηπέδνπ κε κέγηζην φγθν, αλ ην άζξνηζκα ησλ ελ ιφγσ κεθψλ πξέπεη λα είλαη ίζν κε 9.

ΘΔΚΑΣΑ θ. ΙΔΒΔΛΣΗΓΖ Θέκα 1 a) Λα βξεζεί ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα

1 y 1 0 1 1 x 5 0 Πφηε ν παξαπάλσ αληίζηξνθνο νξίδεηαη; b) Δμεγήζηε κε δηθφ ζαο παξάδεηγκα ηε ζεκαζία ηεο νξίδνπζαο ζηε ιχζε γξακκηθψλ ζπζηεκάησλ.

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 13 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 2 a) Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ πίλαθα

2 1 1 2 ηη κπνξνχκε λα ζπκπεξάλνπκε γηα ηε ηεηξαγσληθή κνξθή

b) Λα δηεξεπλεζεί ε ιχζε ηνπ ζπζηήκαηνο x-3y+z = 0 x+y-2z = -4 2x-2y-z = a σο πξνο ηελ παξάκεηξν ‘a’. (θαηά ηελ εμέηαζε έπξεπε λα ιπζνχλ φια ηα ζέκαηα)

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ - ΙΟΤΛ 2006 ΓΗΓΑ΢ΘΩΛ: ΘΟΡΘΟΣ΢ΗΓΖ΢ Θέκα 1 α) Λα ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα y 4 y 0

x 4

dxdy

x y

f '( x0 )

1 h

y0 2

n y0 yo ... ( 1)n 3 n

β) ΢ην πξφβιεκα δεζκεπκέλεο αξηζηνπνίεζεο ηεο ζπλάξηεζεο

f ( x, y , z )

2 xy 2

Τπφ ηνλ πεξηνξηζκφ:

y 3x 2

λα δνζνχλ : Ζ Ιαγθξαλδηαλή ζπλάξηεζε, νη ζπλζήθεο πξψηεο ηάμεο θαη ε νξηνζεηεκέλε Δζζηαλή κήηξα, ζηε γεληθή ηνπο κνξθή.

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 14 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 2 α) Λα βξεζεί ε παξάγσγνο

Du f

ηεο ζπλάξηεζεο

f ( x, y )

x3 y 2

ζην ζεκείν

(1,-1), θαηά ηελ

4 5 3 5

β) ΢ε πνηα θαηεχζπλζε απφ ην ζεκείν (1,-1) είλαη ε παξάγσγνο ηεο f κέγηζηε

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ - ΙΟΤΛ 2006 ΓΗΓΑ΢ΘΩΛ: ΘΑΡΑΦΤΙΙΖ΢ Θέκα 1 a) Λα βξεζεί ν αληίζηξνθνο ηνπ πίλαθα

1 x 0 1 0 0

2 1 5

b) Δμεγήζηε κε δηθφ ζαο παξάδεηγκα ηε ζεκαζία ηνπ rank ([A ,b]) ζηε ιχζε γξακκηθψλ εμηζψζεσλ Θέκα 2 a) Λα εμεηαζζεί ην πξφζεκν ηεο ηεηξαγσληθήο κνξθήο

3x2

y2 z 2 2xy 2xz

ππνινγίδνληαο ηηο ηδηνηηκέο ελφο θαηάιιεινπ πίλαθα. b) Λα ιπζεί ην ζχζηεκα x-3y+z=0 5x+y-2z=-4 -x+y+7z=8 κε ηελ κέζνδν Gauss.

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 15 από 35

θαηεχζπλζε

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ - ΙΑΝ 2006 Θέκα 1ν:

(α) Γείμαηε φηη

1 2 3 4

2 3 4 4

(β) Γίδεηαη ν πίλαθαο

3 4 4 4

4 4 4 4

1 4 0 3 0 2

3 1 1

Υξεζηκνπνηψληαο ην ζεψξεκα Cayley-Hamilton δείμαηε φηη αληηζηξέθεηαη θαη ππνινγίζαηε ηνλ αληίζηξνθφ ηνπ Θέκα 2ν: (α) Γείμαηε φηη, έλα ν πίλαθαο

A Rn

έρεη κε κεδεληθή νξίδνπζα, ηφηε ν πίλαθαο

(β) Γείμαηε φηη, εάλ ν ζπκκεηξηθφο πίλαθαο

A Rn

έρεη ηδηνηηκή

AT A είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο.

R θαη είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο, ηφηε ι>0

Θέκα 3ν: Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

f ( x, y , z )

xy 2 z 2

xz ππφ ηνπο πεξηνξηζκνχο:

x x

y z y z

2 0

Θέκα 4ν: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα

x, y

x s

dxdy

φπνπ S πεξηνρή ζην πξψην ηεηαξηεκφξην, πεξηθιεηνκέλε απφ ηηο επζείεο

θαη ηελ πεξηθέξεηα θχθινπ κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμφλσλ θαη αθηίλα 1

Θέκα 5ν: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο

cK a

Lb , a b 1 .

Έζησ κηα επζεία πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ,

ζπλαληά δχν θακπχιεο ηζνπαξαγσγήο ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα. Γείμαηε φηη νη θιίζεηο ησλ θακππιψλ απηψλ ζηα ζεκεία Α θαη Β είλαη ίζεο. Θέκα 6ν: Υξεζηκνπνηψληαο ηελ κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ πξνζδηνξίζαηε θακπχιε ηεο κνξθήο

y ( x)

νπνία παιηλδξνκεί «άξηζηα» αλάκεζα ζηα ζεκεία: (0,1),(1,-2),(2,-40)

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 16 από 35

Ae x

Be2 x ε

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Μαθηματικά ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2005 ΓΗΓΑ΢ΘΟΛΣΔ΢: ΘΑΡΑΦΤΙΙΖ΢ ΕΖΣΖΚΑ 1 (Κνλάδεο 2): Ζ δήηεζε D ελφο αγαζνχ εμαξηάηαη γεληθά απφ ηελ ηηκή ηνπ αγαζνχ Ρ θαη ην δηαζέζηκν εηζφδεκα Τ γηα ηελ αγνξά ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ αγαζνχ κέζσ ηεο ζπλάξηεζεο δήηεζεο D=f(P,Y) , φπνπ f ζπλερψο παξαγσγίζηκε θαη νκνγελήο κεδεληθνχ βαζκνχ ζπλάξηεζε. Λα ππνινγηζηεί ε νξίδνπζα ηνπ πίλαθα

f (tP, tY ) P Y

ΕΖΣΖΚΑ

4 x12

4 x22

f (tP, tY ) Y P

(Κνλάδεο

4 x32

2):

, φπνπ t>0.

Λα

βξεζνχλ

ηα

αθξφηαηα

ηεο

f(x1 , x2 )

ππφ

ην

πεξηνξηζκφ

ΕΖΣΖΚΑ 3 (Κνλάδεο 2): Ζ δήηεζε D ελφο αγαζνχ εμαξηάηαη απφ ηελ ηηκή ηνπ αγαζνχ Π κε βάζε ηε ζρέζε:

4 BP P 1

A exp

. Λα εθηηκήζεηε ηηο ζηαζεξέο Α θαη Β απφ ηα παξαθάησ δεδνκέλα: D

exp(-1)

exp(-2)

1/3

ΕΖΣΖΚΑ 4 (Κνλάδεο 2): Λα ππνινγίζηε ην νινθιήξσκα επζεία y = x θαη ηελ παξαβνιή

γηα

xdxdy

, φπνπ S ε πεξηνρή πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηελ

0 x 1.

ΕΖΣΖΚΑ 5 (Κνλάδεο 2): i)

Λα δψζεηε άλσ ηξηγσληθφ πίλαθα

3X 3

κε ηδηνηηκέο -1 , 1 θαη 0. Λα δηθαηνινγήζεηε γηαηί δελ είλαη

αληηζηξέςηκνο. ii)

Αλ

3X 3

πίλαθαο κε ηδηνηηκέο -1,1 θαη 0, λα δείμεηε φηη

A2k

γηα θάζε ζεηηθφ αθέξαην k.

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 17 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Μαθηματικά ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2005 ΓΗΓΑ΢ΘΟΛΣΔ΢: ΘΩΣ΢ΗΟ΢ Θέκα 1νλ: Δμεηάζαηε εάλ ν πίλαθαο:

0 1 0 4 4 0 2 1 2

είλαη δηαγσληνπνηήζηκνο ή φρη

Θέκα 2νλ: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε:

x 0 0 y

F ( x, y )

y x 0 0

Έζησ F(x,y)=c ,

0 y x 0

0 0 y x κηα ζπγθεθξηκέλε ηζνυςήο ηεο θαη (a,b) ηπραίν ζεκείν απηήο ηεο ηζνυςνχο. Γείμαηε φηη ε

εθαπηνκέλε επζεία, ζην ζεκείν (a,b) έρεη εμίζσζε:

3νλ:

Θέκα

αληαγσληζκφο

W ( a, b)

κεηαμχ

δχν

a3 c x 3 3 b b θξαηψλ

b φπνπ a,b ηα επίπεδα εμνπιηζκνχ ηνπο , κε

θαη

«κεηξηέηαη»

απφ

ηελ

ζπλάξηεζε

, b [0, 2 ] .

1. Τπνινγίζαηε ηα ζεκεία φπνπ W(a,b) παξνπζηάδεη κέγηζην 2. Έζησ ε ηζνυςήο: W(a,b)=k , k κηα ζηαζεξά. Δμεγήζαηε ηη ζεκαίλεη ε πνζφηεηα

da , db

ζπγθεθξηκέλν ζεκείν (a*,b*) θαη ππνινγίζαηε ηελ. Θέκα 4νλ: Βξείηε ηα κέγηζηα θαη ειάρηζηα ηεο ζπλάξηεζεο ρ+y φηαλ ηζρχνπλ νη πεξηνξηζκνί:

x2 2 y 2 z 2 1 x y z 1

Θέκα 5νλ: Υξεζηκνπνηψληαο πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο δείμαηε φηη:

( x2 y 2 )

dxdy

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 18 από 35

ππνινγηδφκελε ζε

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Μαθηματικά II – ΙΟΤ 2005 Γηδάζθωλ: Η. Θαξαθύιιεο Εήηεκα 1ν (Κνλάδεο 2) : Λα ππνινγηζηεί ην

exp( x 2

y 2 )dxdy

φπνπ s ε πεξηνρή πνπ βξίζθεηαη ζην 1ν

ηεηαξηεκφξην αλάκεζα ζηνλ νξηδφληην άμνλα θαη ζηελ επζεία ε: y=x.

Εήηεκα 2ν

f ( x1 , x2 )

(Κνλάδεο 2) : Λα βξεζνχλ ηα αθξφηαηα ηεο

x12

2 x22 ππφ

ηνλ πεξηνξηζκφ

x1 x2 1 . Εήηεκα 3ν (Κνλάδεο1,5) : Ζ δήηεζε D ελφο αγαζνχ εμαξηάηαη απφ ηελ ηηκή ηνπ αγαζνχ P κε βάζε ηελ ζρέζε: D=Aexp(-BP). Λα εθηηκήζεηε ηηο ζηαζεξέο Α,Β απφ ηα παξαθάησ δεδνκέλα: D

exp(-1)

exp(-2)

f ( x1 , x2 )

Εήηεκα 4ν (Κνλάδεο 1,5) : Λα δείμεηε φηη ε ζπλάξηεζε

exp( x12

x22 )

είλαη θπξηή.

Εήηεκα 5ν (Κνλάδεο 1,5) : Λα δηεξεπλεζεί ην παξαθάησ ζχζηεκα σο πξνο ηελ πξαγκαηηθή παξάκεηξν ι :

x1 x2

Εήηεκα 6ν (Κνλάδεο 1,5) : 1. Λα δείμεηε φηη ηα δηαλχζκαηα

(1,1,1)T

(1, 0, 0)T

θαη

(0, 2, 2)T δελ

απνηεινχλ κηα βάζε ηνπ

R3 . 2. Αλ

A R3x3 λα δείμεηε φηη ηα δηαλχζκαηα Ax , Ay θαη Az επίζεο δελ απνηεινχλ κηα βάζε ηνπ

Εήηεκα 7ν (Κνλάδεο 2) : Λα βξείηε ηνλ πίλαθα

2005

φπνπ

2 0 0

0 1 1

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 19 από 35

R3 .

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Μαθηματικά II – ΙΟΤ 2005 Γηδάζθωλ: ΢η. Θώηζηνο Θέκα 1ν (1,5 κνλάδα) : Γίδεηαη ην ζχζηεκα :

1 2 1 a

x y

1 b

Βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ησλ a,b ην ζχζηεκα έρεη κία, θακία ή άπεηξεο ιχζεηο, ΢ηελ πξψηε θαη ηξίηε πεξίπησζε βξείηε ηηο ιχζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο. Θέκα 2ν (1,5 κνλάδα) :

1 1 1 4

(α) Γείμαηε φηη :

2 a b 3

3 b a 2

4 1 1 1

(β) Διέγμαηε εάλ ηα δηαλχζκαηα

15(a b)(a b 2)

2 0 1

Θέκα 3ν (2 κνλάδεο) : Γίδεηαη ν πίλαθαο

1 1 2k

1 1 1

, u2

1 0 1 2

1 θαη

2 3 2 2

απνηεινχλ βάζε ηνπ

R3 .

. Γείμαηε φηη:

0 2k

Θέκα 4ν (1,5 κνλάδα) : 1. Δμεηάζαηε εάλ ε ζπλάξηεζε

f ( x, y )

y ex ex

είλαη θπξηή ή θνίιε.

2. Δπαιεζεχζαηε ην ζεψξεκα ηνπ Euler γηα ηε ζπλάξηεζε:

f ( x, y )

xy x

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 20 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 5ν (2 κνλάδεο) : Γίδνληαη ηα δεδνκέλα :

(1, e 2 ), (2, e 1 ), (3, e) Υξεζηκνπνηψληαο ηελ κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ πξνζεγγίζαηε ηα κε ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο

Θέκα 6ν (2 κνλάδεο) : Ζ ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο ελφο θαηαλαισηή

U ( x, y ) 100 e

y ( x) aebx . y

, εμαξηάηαη

απφ ηηο πνζφηεηεο δχν πξντφλησλ x θαη y. Έζησ φηη ε απφθηεζε κίαο κνλάδνο απφ ην πξντφλ x ζηνηρίδεη 2 επξψ θαη απφ ην y 5 επξψ. Ο θαηαλαισηήο ζέιεη λα δηαζέζεη αθξηβψο 100 επξψ. Βξείηε ηα x θαη y πνπ κεγηζηνπνηνχλ ηελ U. Θέκα 7ν (1,5 κνλάδα) : Υξεζηκνπνηψληαο δηπιφ νινθιήξσκα, ππνινγίζαηε ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ηα γξαθήκαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ:

x 2 , y ( x)

y ( x)

x2 2x .

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ II – ΦΔΒ 2005 ΓΗΓΑ΢ΘΩΛ: ΘΑΡΑΦΤΙΙΖ΢

Εήηεκα 1ν: (α)Λα ιχζηε ην ζχζηεκα:

θαη 2ρ + y = 0

(β) Λα εθαξκφζεηε ηελ πξψηε επαλάιεςε ηεο κεζφδνπ Newton-Raphson γηα ην παξαπάλσ ζχζηεκα κε αξρηθφ ζεκείν ην ( x0 ,

y 0 ) =(0,1) Γηαηί ε κέζνδνο Newton-Raphson δελ δίλεη ηε ιχζε ζηελ πξψηε επαλάιεςε; Δμεγήζηε.

Εήηεκα 2ν: Λα βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f( x1 , x 2 , x3 ) =

x 21 + x 2 2 - x1 x 2 +2 x 2 3 - x1 x3

ππφ ηνλ πεξηνξηζκφ

x1 + x 2 + x3 =1. Εήηεκα 3ν: Λα ππνινγίζηε ην νινθιήξσκα: x θαη y=

φπνπ S είλαη ε πεξηνρή πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο επζείεο y=

A Rnxn

έρεη ηδηνηηκή

ηφηε ν πίλαθαο Ρ=2

+3Α έρεη ηδηνηηκή

+3ι.

(β) Λα δείμεηε φηη αλ ν πίλαθαο

xdxdy

θαη βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθφ ηνπ θχθινπ κε θέληξν ηελ αξρή ησλ αμφλσλ θαη αθηίλα 1.

Εήηεκα 4ν: (α) Λα δείμεηε φηη αλ ν πίλαθαο 2

A Rnxn

έρεη ηδηνηηκή

θαη είλαη αληηζηξέςηκνο ηφηε ν πίλαθαο

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 21 από 35

έρεη ηδηνηηκή

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ II - ΢ΔΠΣ 2004 Γηδάζθωλ: Θνξθνηζίδεο Θέκα 1ν (Α) Λα δείμεηε φηη αλ ι

R είλαη ηδηφηηκε ηνπ πίλαθα

A Rn n

ηφηε ην

Rn n

(Β) Λα δείμεηε φηη αλ det(A)=0 γηα θάπνηνλ πίλαθα

ηφηε

είλαη ηδηφηηκε ηνπ πίλαθα

det( Ak ) 0

Rn n .

γηα φινπο ηνπο ζεηηθνχο αθέξαηνπο

θ. Θέκα 2ν Γηα θάπνην πξνηφλ ζαο έρνπλ δνζεί ηα παξαθάησ δεδνκέλα Πξνζθνξάο(ρ)-Σηκήο(y) γηα ζηαζεξή δήηεζε ηνπ πξνηφληνο: Πξνζθνξά(

1/9

3/7

1/4

2/3

ρ) Σηκή( y)

Γλσξίδεηε

f ( x)

γηα

ζηαζεξή δήηεζε ε ηηκή ππαθνχεη

y K ζηαζεξέο θαη

φηη

ζην

af ( x)

λφκν:

, φπνπ a,

10 x . Λα εθηηκήζεηε κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ ηηο ηηκέο ησλ ζηαζεξψλ απηψλ. 1 x

Θέκα 3ν Λα ππνινγηζζεί ην I

s (x

2 y 2 )dxdy ,

απφ ηελ επζεία y=x θαη ηελ παξαβνιή

φπνπ Sείλαη ε πεξηνρή πνπ βξίζθεηαη ζην 1ν ηεηαξηεκφξην θαη πεξηθιείεηαη

x2 .

Θέκα 4ν Λα

βξείηε

x x 1 2

ηα

αθξφηαηα

ηεο

ζπλάξηεζεο

f (x , x , x ) 1 2 3

x 2 x x 2x2 x2 x x i 12 2 3 2 3

ππφ

x 1. 3

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2004 ΣΚΖΚΑ Α (ΘΑΡΑΦΤΙΙΖ΢) Θέκα 1νλ ( 20 κνλάδεο) Γίλνληαη ηα ζπζηήκαηα: (1) 2ρ-3y-z=o θαη (2) 2ρ-3y-z=0 x+y+z=0 ρ+z+y=1

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 22 από 35

ηνλ

πεξηνξηζκφ

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

(α) ( 8 κνλάδεο ) γλσζηφ φηη ν

Λα βξεζνχλ νη ιχζεηο ηνπ (1) θαη λα απνδεηρζεί φηη ζπληζηνχλ δηαλπζκαηηθφ ρψξν. ( Θεσξείζηε είλαη Γ.Υ.) Πνηα είλαη ε γεσκεηξία ηνπο;

(β) ( 7 κνλάδεο ) Λα βξεζεί ε γεληθή ιχζε ηνπ (2). Πνηα ε αλαιπηηθή ζρέζε ηεο κε ηε γεληθή ιχζε ηνπ (1); Πνηα ε γεσκεηξία ησλ ιχζεσλ; (γ) ( 3 κνλάδεο ) Λα βξεζνχλ κε ζηνηρεηψδε αηηηνιφγεζε ηα

A r ( A) , r ( ) θαη γηα ηα δχν ζπζηήκαηα, θαη nul ( A) . b

(δ) ( 2 κνλάδεο ) Πνην ζεψξεκα γλσξίδεηε ζρεηηθά κε ηα r(A) θαη nul(A); Θέκα 2νλ ( 10 κνλάδεο)

Γίλνληαη ηα δηαλχζκαηα u=

2 1 3

θαη w=

1 3 2

Nα εμεηαζζεί αλ είλαη νξζνγψληα. ( 2 κνλάδεο)

Λα πξνβιεζεί ην W νξζνγψληα επί ηνπ U, δειαδή λα βξεζνχλ ε νξζνγψληα πξνβνιή θαη ε νξζνγψληα

ζπληζηψζα.(6 κνλάδεο) 3.

Λα θαλνληθνπνηεζεί ην u.( 2 κνλάδεο)

Θέκα 3νλ (6 κνλάδεο) Γείμαηε φηη νη κήηξεο Α θαη

έρνπλ ηα ίδηα ηδηνδηαλχζκαηα, ε δε ηδηφηηκε ι ηεο Α αληηζηνηρεί ζηελ

θαη

Θέκα 4νλ ( 14 κνλάδεο) Γίλνληαη:

1 1 6K 3 L 2 , p k

80 , p L

30 .

Λα κεγηζηνπνηεζεί ην παξαγφκελν πξνηφλ αλ δηαηίζεληαη 600

ρξεκαηηθέο κνλάδεο.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ IΙ – ΙΟΤ 2004 Σκήκα Α (Θνξθνηζίδεο) ΘΔΚΑ 1ν Δμεγείζηε ηε γεσκεηξία (κφλν) ησλ παξαθάησ πξνβιεκάησλ: A. Αλ

Q 6K 0.2 L0.8 , pK 10, pL 8 , λα κεγηζηνπνηεζεί ην πξντφλ αλ δηαηίζεληαη 500 ρξεκ. κνλάδεο.

B. Λα ειαρηζηνπνηεζεί ην θφζηνο παξαγσγήο 1000 κνλάδσλ ηνπ πξντφληνο, αλ

Q 10K 0.4 L0.6 , pK

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 23 από 35

5, pL 1.

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΘΔΚΑ 2ν a. Λα βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ επηπέδνπ πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ θαη είλαη θάζεην πξνο ην δηάλπζκα

2 1 3

b. Λα απνδεηρζεί φηη ηα ζεκεία - δηαλχζκαηα απηνχ ζπληζηνχλ δηαλπζκαηηθφ ρψξν.

ΘΔΚΑ 3ν Λα βξεζνχλ ηαπηφρξνλα ε r(A) θαη ε r(A|b), αλ

2 1 1

3 4 6 1 9 3

θαη

1 2 1

. Ση ζπκπεξαίλεηε πεξί

ηνπ ζπζηήκαηνο Ax=b.

ΘΔΚΑ 4ν Έζησ

1 1

x2 , y

κε ηδηνηηκέο

. Λα ππνινγηζζεί ε κήηξα

ΘΔΚΑ 5ν Γίλεηαη

0.9 0.3 0.1 0.7

ην

νινθιήξσκα

0.6

θαη αληίζηνηρα ηδηνδηαλχζκαηα

A1000 , ζεσξψληαο φηη (0.6)1000

3 y 2 xdA ,

φπνπ

3 1

θαη

απφ

ηηο

πεξηνρή πνπ

πεξηθιείεηαη

x και x 4 . Λα γξαθεί ην / θαη κε ηηο δχν ζεηξέο νινθιήξσζεο θαη λα ππνινγηζζεί κε εθείλε πνπ

είλαη πην εχθνιε. Λα γξαθνύλ θαη ηα 5 ζέκαηα.

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ IΙ – ΙΟΤ 2004 ΣΚΖΚΑ Β (ΘΑΡΑΦΤΙΙΖ΢) ΕΖΣΖΚΑ 1°

Γηαγσληνπνηψληαο ηνλ πίλαθα

1 1 1 2 1 1

, λα δείμεηε φηη

A2004 2 A1000 A 0

2 2

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 24 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΕΖΣΖΚΑ 2° Λα

απνδείμεηε

e2 x1 2 x22 2 x2e x1 x2 sin(2 x1x3 ) sin 2 (2 x1x3 ) 0 ,

φηη:

( x1 , x2 , x3 )T

γηα

φια

ηα

δηαλχζκαηα

ΕΖΣΖΚΑ 3° Λα ππνινγηζηεί ην

x 0, 1 x 2

( x2

4 και x

y 2 )dxdy, y

3x .

φπνπ S είλαη ε πεξηνρή πνπ νξίδεηαη απφ ηηο αληζψζεηο: (Τπφδεημε: ΢ρεδηάζηε ηελ πεξηνρή θαη ρξεζηκνπνηήζηε πνιηθέο

ζπληεηαγκέλεο). ΕΖΣΖΚΑ 4° Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο:

f x1 , x2 , x3 φπνπ

x1 , x2 , x3

x12

2 x1 x2

2 x22

2 x32

ζπληειεζηέο πνπ ηθαλνπνηνχλ

x2 x3 ,

x1 x2

x3 1.

Λα βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο

ρξεζηκφηεηαο. Λα απαληεζνύλ όια ηα δεηήκαηα. Όια ηα δεηήκαηα είλαη ηζνδύλακα.

Μαθηματικά ΙΙ – ΦΔΒ 2004 ΓΗΓΑ΢ΘΩΛ: ΢ΘΟΤΦΑ΢ ΕΖΣΖΚΑ 1° (Βαζκ. 2,5) a.

Λα ιπζεί ε εμίζσζε Α.Υ = Β φπνπ,

Λα ιπζεί ε εμίζσζε Α2 = 1, κε α

[0,2π]

Λα βξεζεί ν Υλ θαη ε νξίδνπζα ηνπ Γ, φπνπ Γ = Υ2 +Υ4 + Υ6

θαη

ΕΖΣΖΚΑ 2° (Βαζκ. 2,5) a.

Λα ιπζεί ην ζχζηεκα:

ρ - 2ς + 2σ = ιρ ρ + 2ις + 2σ = 2ς

(΢)

ρ - 2ς + 2σ = 2ισ b.

Όηαλ ην (΢) έρεη απεηξία ιχζεσλ λα βξεζνχλ νη ππφρσξνη ησλ ιχζεσλ, ε δηάζηαζε θάζε ππφρσξνπ θαη κία βάζε ηνπ. Δπίζεο ε γσλία αλά δχν ησλ δηαλπζκάησλ ησλ βάζεσλ θαη αλ ζπλνιηθά απνηεινχλ βάζε ηνπ R3.

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 25 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΕΖΣΖΚΑ 3° (Βαζκ. 2,5) Λα βξεζνχλ ηα ζεκεία ηεο ρ + ς2 = 4 πνπ απέρνπλ ηελ κέγηζηε & ηελ ειάρηζηε απφζηαζε απ’ην ζεκείν Α(1,0). ΕΖΣΖΚΑ 4° (Βαζκ. 2,5) Λα ππνινγίζεηε ην

x 2 y dxdy , νπνχ ν ρψξνο R νξίδεηαη απφ ηνπο ζεηηθνχο εκηάμνλεο θαη ηηο y = 2x + 2, y = 5

– x. Παξαηεξήζεηο a.

Λα γξαθνχλ φια ηα ζέκαηα

Λα παξαδνζεί ην έληππν καδί κε ην γξαπηφ.

Μαθηματικά ΙΙ – ΙΟΤ 2003 Σκήκα Α΄ (Θνξθνηζίδεο) ΘΔΚΑ 1ν (20 κνλάδεο)

Γίλεηαη ην ζχζηεκα

2 1 1

1 1 4

3 x 1 y 6 z

5 0 5

. Λα βξεζνχλ κε ηε κέζνδν ηνπ αμνληθνχ ζηνηρείνπ επί θαηάιιειεο

επαπμεκέλεο κήηξαο: a.

Σα r(A)θαη r(Α | b), φπνπ Α ε κήηξα ησλ ζπληειεζηψλ

Ζ γεληθή ιχζε ηνπ αληηζηνίρνπ νκνγελνχο ζπζηήκαηνο

Ζ γεληθή ιχζε ηνπ δνζέληνο

Ζ δηάζηαζε ηνπ ρψξνπ ησλ ιχζεσλ ηνπ νκνγελνχο ζπζηήκαηνο θαη κία βάζε απηνχ

Πνηα είλαη ε γεσκεηξία ησλ ιχζεσλ ζην (Β) θαη πνηα ζην (Γ);

Πνηα είλαη ε κεδεληθφηεηα (nullity) ηεο Α; Πνηα ζρέζε ζπλδέεη ηα r(A), nul(A) & ην πιήζνο ησλ αγλψζησλ;

ΘΔΚΑ 2ν (15 κνλάδεο) Λα ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

2x 4 dx . (Τπφδεημε: Σν Φ = 1 είλαη ξίδα ηνπ παξνλνκαζηή.) x3 1

ΘΔΚΑ 3ν (15 κνλάδεο) Γίλνληαη: Q = 6QKL, pK = 100 , pL = 60 . a.

Λα κεγηζηνπνηεζεί ε παξαγσγή αλ δηαηίζεληαη γηα ηελ αγνξά ησλ Κ θαη L 60000 ρξεκαηηθέο κνλάδεο. (Λα εμεηαζζνχλ θαη νη ζπλζήθεο δεχηεξεο ηάμεο.)

Γίλεηαη φηη λ

0,45. Ση πιεξνθφξεζε καο δίλεη απηφ;

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 26 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΘΔΚΑ 4ν (10 κνλάδεο) Λα βξεζεί ε πξνβνιή θαη ε νξζνγψληα ζπληζηψζα ηνπ δηαλχζκαηνο

1 2

2 2

θαη

1 2

2 2

3 5

ζηνλ ρψξν πνπ παξάγνπλ ηα

Μαθηματικά ΙΙ – ΙΟΤ 2003 Σκήκα Β΄ (Ιεβεληίδεο) Θέκα 1 a.

Έζησ Q(K,L)) = 200K0,6L0,2 ζπλάξηεζε παξαγσγήο θαη pK = 10, pL = 3 νη ηηκέο ησλ παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ. Λα βξεζνχλ ηα Κ, L πνπ ειαρηζηνπνηνχλ ην θφζηνο παξαγσγήο 500 κνλάδσλ ηνπ πξντφληνο.

Λα βξεζνχλ νη ηηκέο ηνπ α έηζη ψζηε ην ζχζηεκα λα έρεη άπεηξεο ην πιήζνο ιχζεηο

αx + 2y = 1 2x + αy = -1 Θέκα 2 a.

Λα δηαηππσζεί ε κεζνδνινγία γηα ηελ εχξεζε ησλ x1 ,x2,…xν ηέηνησλ ψζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ε ζπλάξηεζε f(x1 ,x2,…xν) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο g1(x1 ,x2,…xν) = 0,…, gκ(x1 ,x2,…xν) = 0.

Λα βξεζεί (κε απφδεημε) ε επζεία ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ γηα ηα ζεκεία (1,1), (2,1), (2,3), (4,3) θαη (5,5).

Θέκα 3 a.

Λα εμεγεζνχλ: (i) Θεψξεκα Fubini

(ii) x-απιφ ρσξίν

(iii) ηνπηθά αθξφηαηα

(iv) εζζηαλή

(v) δηάθξηζε ηηκψλ b.

Λα βξεζεί ην δηπιφ νινθιήξσκα ηεο ζπλάληεζεο 3y2x1/2 ζην ρσξίν πνπ πεξηθιείεηαη απφ ηηο θακπχιεο y=x2, y=x2, x=4.

Θέκα 4 a.

Λα ππνινγηζηεί ε ηάμε rank([A, b]) γηα ην ζχζηεκα εμηζψζεσλ

x - 3y + z = 0 5x + y - 2z = -4 -x + y +7z = 8 Πνηα είλαη ε θπζηθή ηεο ζεκαζία; Τπνινγίζαηε ην rank([A,b]) - rank(A) θαη εξκελεχζηε ην απνηέιεζκα. b.

Κε ηελ βνήζεηα θαηάιιεινπ ζεσξήκαηνο, λα γξαθεί ην δηπιφ νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = x( y+l) ex+y επάλσ ζην νξζνγψλην ρσξίν [a,b]x[c,d], ζαλ γηλφκελν δχν απιψλ νινθιεξσκάησλ.

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 27 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Θέκα 5 a.

Υσξίο λα αλαπηπρζεί ε νξίδνπζα, λα απνδεηρζεί φηη νη ηηκέο x = 0 θαη x = 2 ηθαλνπνηνχλ ηελ εμίζσζε:

x2 det 2 0

x 1 0

2 1 5

Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x είλαη ν παξαπάλσ πίλαθαο αληηζηξέςηκνο; b.

Λα βξεζνχλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ παξαπάλσ πίλαθα φηαλ x = 0.

ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΟΛΑ ΣΑ ΘΕΜΑΣΑ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΙΙ – ΔΜΒΟΛΙΜΗ ΑΠΡΙΛΙΟΤ 2003 ΓΗΓΑ΢ΘΩΛ: ΢ΘΟΤΦΑ΢ ΕΖΣΖΚΑ 1° (Βαζκ. 2,5) Γίλεηαη ην ζχζηεκα:

x+y–σ=1 2x + 3y + ισ = 3 x + ιy + 3σ = 2

Λα ιπζεί

Όηαλ έρεη απεηξία ιχζεσλ, λα βξεζνχλ ηα x, y, σ ψζηε x2 + y2 + σ2 = 1.

ΕΖΣΖΚΑ 2° (Βαζκ. 2,5) Γίλεηαη ν πίλαθαο:

2 3

1 2

. Λα βξεζεί ν Αλ , λ

Ε θαη ν Β = Α100 + Α101.

ΕΖΣΖΚΑ 3° (Βαζκ. 2,5)

Γίλεηαη ν πίλαθαο:

1 2 2 1 2 1 1 1 4

. Λα βξεζνχλ ηα ραξαθηεξηζηηθά δηαλχζκαηα ηνπ Α & λα ππνινγηζηεί ν Ρ-1Α.

ΕΖΣΖΚΑ 4° (Βαζκ. 2,5) Λα βξεζνχλ ηα αθξφηεηα ηεο f(x,y) = 3x2 + 3y2 – y3 – 3x2y + 5. ΕΖΣΖΚΑ 5° (Βαζκ. 2,5) Λα ππνινγίζεηε ην

y 2 dxd y

κε x

2 θαη Α : x2 + y2 – 4x

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 28 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Mαθηματικά ΙΙ – ΦΔΒ 2003 Γηδάζθωλ: Θώηζηνο ΠΡΟ΢ΟΥΖ: Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ ειεθηξνληθά γηα ηνλ βαζκφ ηνπο, παξαθαινχληαη φπσο απνζηείινπλ έλα ζρεηηθφ κήλπκα (e - mail), κε φλνκα θαη αξηζκφ κεηξψνπ, ζηελ δηεχζπλζε: skotsios@econ.uoa.gr, θαη κε ζέκα "ΜΑΤΗS2". ΘΔΚΑ 1νλ : Κειεηήζαηε θαη επηιχζαηε ην ζχζηεκα: (1 ΚΟΛΑΓΑ) Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΘΔΚΑ 2νλ : Γίδεηαη ε κήηξα Error! Objects cannot be created from editing field codes.. Τπνινγίζαηε ηελ δχλακε Α2003. (1 ΚΟΛΑΓΑ) ΘΔΚΑ 3νλ : Λα βξεζνχλ, εάλ ππάξρνπλ, ηα ηνπηθά αθξφηαηα ηεο ζπλαξηήζεσο: Error! Objects cannot be created from editing field codes.. (1 ΚΟΛΑΓΑ) ΘΔΚΑ 4νλ : Τπνινγίζαηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλαξηήζεσοError! Objects cannot be created from editing field codes., φηαλ Error! Objects cannot be created from editing field codes. (1 ΚΟΛΑΓΑ) ΘΔΚΑ 5νλ: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα Error! Objects cannot be created from editing field codes. φπνπ R ην ρσξίν πνπ νξίδεηαη απφ ηηο επζείεο: y = 0, x = 0, 2x + y = 4. (1 ΚΟΛΑΓΑ). ΘΔΚΑ 6νλ: Οη πνζφηεηεο πξνζθνξάο ελφο πξντφληνο, πνπ κεηξήζεθαλ γηα ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο θαη νη

Σηκή Πξντφληνο Πνζφηεηα

αληίζηνηρεο ηηκέο ηνπ, δίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα: a.

Κε ηελ βνήζεηα απηνχ ηνπ πίλαθα θαη ππνζέηνληαο φηη ε πξαγκαηηθή δήηεζε D θαη ε

γηα p = 4, ρξεζηκνπνηψληαο ηελ κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ. (1 ΚΟΛΑΓΑ)

Κε ηελ βνήζεηα ηνπ ηδίνπ πίλαθα θαη ππνζέηνληαο φηη ε πξαγκαηηθή δήηεζε D θαη ε ηηκή

ηηκή p, ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε D = kp + ι, k,ι ζηαζεξέο, ππνινγίζαηε ηελ δήηεζε

p, ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε D = kp, k ζηαζεξά, ππνινγίζαηε ηελ δήηεζε γηα p = 4, ρξεζηκνπνηψληαο ηελ κέζνδν ησλ δηαλπζκάησλ. (Τπφδεημε: Ηζρχεη ε βαζηθή ζρέζε:

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 29 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Κέηξεζε = Πξαγκαηηθφηεηα + ζθάικα, ήError! Objects cannot be created from editing field codes. Θα ππνινγίζνπκε ην k έηζη ψζηε ||e|| Error! Objects cannot be created from editing field codes. min.) (2 ΚΟΛΑΓΔ΢) ΘΔΚΑ 7νλ : Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο Error! Objects cannot be created from editing field codes. Έζησ φηη κία επζεία, πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ, ζπλαληά δχν θακπχιεο ηζνπαξαγσγήο ζηα ζεκεία Α θαη Β αληίζηνηρα. Γείμαηε φηη νη θιίζεηο ησλ θακπχισλ απηψλ ζηα ζεκεία Α θαη Β είλαη ίζεο. (2 ΚΟΛΑΓΔ΢)

Μαθηματικά ΙΙ – ΦΔΒ 2003 Γηδάζθωλ: ΢θνπθάο ΕΖΣΖΚΑ 1 (Βαζ. 2) Έζησ Error! Objects cannot be created from editing field codes. Λα βξεζεί ην εκβαδφλ: a.

Κεηαμχ ηεο Error! Objects cannot be created from editing field codes. , ηνπ Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη ησλ επζεηψλ

x = -2 θαη x = 2.

Κεηαμχ ηεο Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη ηεο επζείαο (ε) y = x+3

Κεηαμχ ηεο Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη ησλ εθαπηφκελσλ ηεο πνπ δηέξρνληαη απφ ην

Α (1 ,-4 ).

ΕΖΣΖΚΑ 2 (Βαζ. 2) Λα βξεζνχλ ηα αθξφηαηα ηεο Error! Objects cannot be created from editing field codes. φηαλ Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΕΖΣΖΚΑ 3 (Βαζ. 3) Λα ππνινγηζηνχλ ηα νινθιεξψκαηα α) Error! Objects cannot be created from editing field codes.

β) Error! Objects cannot be creat-

ed from editing field codes. ΕΖΣΖΚΑ 4 (Βαζ. 3) Λα ππνινγηζηεί ηνError! Objects cannot be created from editing field codes. φηαλ Α: Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΕΖΣΖΚΑ 5 (Βαζ. 2) Λα ππνινγηζηνχλ ηα νινθιεξψκαηα α) Error! Objects cannot be created from editing field codes.Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΠΑΡΑΣΖΡΖ΢ΔΗ΢ :

α) Λα γξαθνύλ 4 δεηήκαηα

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 30 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

β) Λα παξαδνζεί ην έληππν καδί κε ην γξαπηό ΘΑΙΖ ΔΠΗΣΤΥΗΑ!

Μαθηματικά ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2001 Σκήκα Α΄ (΢ΘΟΤΦΑ΢) ΕΖΣΖΚΑ 1 (ΒΑΘ. 2.5) Έζησ Error! Objects cannot be created from editing field codes. Λα βξεζεί ην εκβαδφλ: α) Κεηαμχ ηεο Cf θαη ηνπ άμνλα Error! Objects cannot be created from editing field codes. β) Κεηαμχ ηεο Cf θαη ηεο επζείαο (ε): y=x+l γ) Κεηαμχ ηεο Cf θαη ησλ εθαπηφκελσλ ηεο πνπ δηέξρνληαη απφ ην ζεκείν Α(1 ,-5) ΕΖΣΖΚΑ 2 (ΒΑΘ.2) Λα ραξαθηεξίζεηε ηα ζηάζηκα ζεκεία ηεο : Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΕΖΣΖΚΑ 3 (ΒΑΘ.2.5) Λα ππνινγίζεηε ηηο Error! Objects cannot be created from editing field codes. ζην ζεκείν (2,-1) φηαλ Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΕΖΣΖΚΑ 4 (ΒΑΘ.3) α) Λα δείμεηε φηη :

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

β) Λα ππνινγίζεηε ην Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΕΖΣΖΚΑ 5 (ΒΑΘ.2.5) Λα βξεζνχλ ηα αθξφηαηα ηεο Error! Objects cannot be created from editing field codes.

ΠΑΡΑΣΖΡΖ΢ΔΗ΢ :

α) Λα γξαθνύλ 4 δεηήκαηα β) Λα παξαδνζεί ην έληππν καδί κε ην γξαπηό

ΘΑΙΖ ΔΠΗΣΤΥΗΑ!!

Μαθηματικά ΙΙ – ΢ΔΠΣ 2001 Σκήκα B΄ (Θώηζηνο)

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 31 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΠΡΟ΢ΟΥΖ Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θχξηνπο θνηηεηέο δηαζέηνπλ δηεχζπλζε ειεθηξνληθνχ ηαρπδξνκείνπ (e mail), παξαθαινχληαη φπσο ηελ αλαγξάςνπλ δίπια ζην φλνκα ηνπο, πξνθεηκέλνπ λα ηνπο απνζηαιιεί ν βαζκφο ησλ εμεηάζεσλ. ΑΙΙΑΝΣΗ΢ΑΣΕ

΢Ε

ΑΠΟ

ΣΑ

ΘΕΜΑΣΑ

ΘΔΚΑ 1νλ : Ζ ζπλάξηεζε y(x) ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε: Error! Objects cannot be created from editing field codes. Τπνινγίζαηε πξνζεγγηζηηθά, ηελ πνζφηεηα: Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΘΔΚΑ 2νλ : Ζ ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο ελφο αηφκνπ, εμαξηάηαη κφλν απφ ηηο πνζφηεηεο Υ, Τ θαη έρεη ηχπν: Error! Objects cannot be created from editing field codes. φπνπ Υν,Τν,α,β ζηαζεξέο ζεηηθέο πνζφηεηεο κε α + β = 1. i) Δίλαη ε ζπλάξηεζε απηή νκνζεηηθή; ii) ΢ηελ παξνχζα θάζε Υ = 2Υ0, Τ = 2Τ0 θαη ην θφζηνο αχμεζεο ηνπ Υ είλαη 5000 δξαρκέο αλά κνλάδα θαη ηνπ Τ, 4000. Έζησ φηη ηζρχεη ε καζεκαηηθή ζρέζε: Error! Objects cannot be created from editing field codes. Γείμαηε φηη ν θηελφηεξνο ηξφπνο αχμεζεο ηεο ρξεζηκφηεηαο είλαη ε αχμεζε ηνπ Τ. ΘΔΚΑ 3νλ: Τπνινγίζαηε, κε ηελ κέζνδν Lagrange, ηα αθξφηαηα ηεο f(x,y,z) = ρ + y + z, δεδνκέλσλ ησλ πεξηνξηζκψλ Error! Objects cannot be created from editing field codes. ΘΔΚΑ 4νλ: Ο αληαγσληζκφο κεηαμχ δχν θξαηψλ Α θαη Β "κεηξηέηαη" απφ ηελ ζπλάξηεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. φπνπ α, b ηα επίπεδα εμνπιηζκνχ ηνπο, κε α, b Error! Objects cannot be created from editing field codes. Error! Objects cannot be created from editing field codes. i) Yπνινγίζαηε ηα ζεκεία φπνπ ε W(a, b) παξνπζηάδεη κέγηζην. ii) Έζησ ε ηζνυςήο: W(a, b) = k, k κία ζηαζεξά. Δμεγήζαηε ηη ζεκαίλεη ε πνζφηεηα Error! Objects cannot be created from editing field codes., ππνινγηδφκελε ζε ζπγθεθξηκέλν ζεκείν (α*, 6*). ΘΔΚΑ 5νλ : Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα Error! Objects cannot be created from editing field codes. α, b δεδνκέλεο ζηαζεξέο.

Μαθηματικά ΙΙ – ΙΟΤ 2001 Γηδάζθνληεο: ( Θώηζηνο – ΢θνπθάο ) ΘΟΗΛΑ ΘΔΚΑΣΑ

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 32 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΘΔΚΑ 1νλ: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα: Error! Objects cannot be created from editing field codes. (1.5 Κνλάδα.) ΘΔΚΑ 2νλ: Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλαξηήζεσο Error! Objects cannot be created from editing field codes. (1.5 Κνλάδα). ΘΔΚΑ 3νλ: Ζ ζπλάξηεζε σθειηκφηεηαο ελφο θαηαλαισηνχ είλαη Error! Objects cannot be created from editing field codes. φπνπ x,y,z νη πνζφηεηεο απφ ηξία πξντφληα, πνπ ζέιεη λα αγνξάζεη κε αληίζηνηρν θφζηνο 0.25, 1 θαη 2 δξαρκέο αλά κνλάδα πξντφληνο. Δάλ ν θαηαλαισηήο ζέιεη λα δηαζέζεη αθξηβψο 11 δξαρκέο, βξείηε εθείλεο ηηο ηηκέο ησλ x, y, z πνπ κεγηζηνπνηνχλ ηελ σθειηκφηεηα ηνπ. (2 Κνλάδεο).

ΘΔΜΑΣΑ κ. ΚΩΣ΢ΙΟΤ ΘΔΚΑ 4νλ: Γίδεηαη ε πεπιεγκέλε ζπλάξηεζεError! Objects cannot be created from editing field codes.. Κε ηελ βνήζεηα ηνπ ζεσξήκαηνο Taylor ππνινγίζαηε κε αθξίβεηα 4 δεθαδηθψλ ςεθίσλ ηελ ηηκή y(1.01). (1 Κνλάδα) ΘΔΚΑ 5νλ. Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο

Error! Objects cannot be created from editing field codes. +

Error! Objects cannot be created from editing field codes. Βξείηε ηελ θιίζε ηεο ηζνυςνχο Error! Objects cannot be created from editing field codes. ζην ζεκείν (2, 1) θαζψο θαη έλα θάζεην δηάλπζκα κήθνπο 1. Δάλ ηα πξνεγνχκελα x.y εμαξηψληαη απφ δχν άιιεο παξακέηξνπο α. b κέζσ ησλ ηχπσλ Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη Error! Objects cannot be created from editing field codes., βξείηε ηνλ ηχπν ηεο νξηαθήο αιιαγήο ηεο ζπλάξηεζεο παξαγσγήο φηαλ αιιάδνπλ ηα α θαη b ηαπηφρξνλα. (2 Κνλάδεο) ΘΔΚΑ 6νλ: Ζ ζπλάξηεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. είλαη νκνγελήο βαζκνχ 3. Γείμαηε φηη ηζρχεη ε ζρέζε: Error! Objects cannot be created from editing field codes.

(2 Κνλάδεο).

ΘΔΚΑ 7ov: Κε ηελ κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγψλσλ βξείηε ηελ γξακκηθή θακπχιε δήηεζεο q = α · p + b, πνπ παιηλδξνκεί αλάκεζα ζηα ζεκεία (0.9, 1.6), (1.1,0.4), (1.4, -0.5). Υξεζηκνπνηψληαο απηφ ην απνηέιεζκα ππνινγίζαηε ηελ ηηκή ηνπ πξντφληνο πνπ κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε, φηαλ ην θφζηνο δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν

C(q) = -7 + 8 · q2.

Κνλάδεο).

ΘΔΜΑΣΑ κ. ΢ΚΟΤΦΑ ΘΔΚΑ 4νλ:

Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

(1 Κνλάδα).

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 33 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

ΘΔΚΑ 5νλ: Λα βξεζεί ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη απφ ην εκηθχθιην

Error! Objects cannot be

created from editing field codes. κε Error! Objects cannot be created from editing field codes. θαη ηηο δηρνηφκνπο ησλ γσληψλ ησλ αμφλσλ.

(2 Κνλάδεο).

ΘΔΚΑ 6νλ: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα Error! Objects cannot be created from editing field codes. φηαλ ν ρψξνο νινθιήξσζεο Α, είλαη ην ηξίγσλν κε θνξπθέο (0.1), (1.2), (2.1).

(2 Κνλάδεο).

ΘΔΚΑ 7νλ: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε Error! Objects cannot be created from editing field codes. Error! Objects cannot be created from editing field codes. Γείμαηε φηη Error! Objects cannot be created from editing field codes.

(2 Κνλάδεο).

www.dap-oikonomikou.gr Βπείηε ζηην ιζηοζελίδα μαρ: Ιζηοπία Πποηάζειρ Εκδηλώζειρ Χπήζιμα Links Downloads Ψςσαγωγία Ανακοινώζειρ Ππογπάμμαηα μαθημάηων & εξεηαζηικήρ Οδηγόρ Σποςδών Ύλη μαθημάηων Παλαιόηεπα θέμαηα μαθημάηων Λςμένα θέμαηα μαθημάηων Μεηαπηςσιακά Επίκαιπη απθογπαθία

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 34 από 35

Θέμαηα Εξεηάζεων Παλαιόηεπων Εηών – Μαθήμαηα Κοπμού – Μαθημαηικά ΙΙ – Αππίλιορ 2010

Και πολλέρ ακόμη σπήζιμερ πληποθοπίερ …

www.dap-oikonomikou.gr

Μία πποζθοπά ηηρ ΔΑΠ Οικονομικού – www.dap-oikonomikou.gr - Σελίδα 35 από 35