Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis
Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ
να
ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ Περιεχόμενα: 1. Εισαγωγή στα Μαθηματικά –Απρίλιος 2014 2. Εισαγωγή στα Μαθηματικά –Φεβρουάριος 2013 3. Εισαγωγή στα Μαθηματικά - Σεπτέμβρης 2012 4. Εισαγωγή στα Μαθηματικά – Μάρτης 2012 5. Εισαγωγή στα Μαθηματικά –Σεπτέμβρης 2010
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013
ΕΠΙΛΟΓΗ 4 ΘΕΜΑΤΑ 1. Α) Να λυθεί
3−4𝜒
η
𝜒−1
+
𝜒2 −2𝜒−5 𝜒−2
=
−𝜒2 −3𝜒+5 𝜒2 −3𝜒+2
.
Β) Να λυθεί η ανισότητα �𝜒 − 6 + �𝜒 − 3 < 1
Γ) Να βρεθεί το α για το οποίο το πολυώνυμο Ρ(χ)=𝜒 3 + (2𝛼 − 1)𝜒 2 −5𝜒 + 𝛼 2 − 3 διαιρούμενο με το χ+1 δίνει υπόλοιπο 15.
2. Α)Να λυθεί η ανισότητα
ln(
�4𝑥 2 +4𝑥−3+√3 �9−𝑥 2−2
) >o
�𝜒−1
Β)Δίνεται η συνάρτηση ⨍(χ)=
. Να μελετηθεί η συνάρτηση ⨍ ως προς τις
�𝜒+1
3.
ασύμπτωτες. Να μελετηθεί ως προς τα κοίλα η συνάρτηση αυτή.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις ⨍ με ⨍(χ)=log(√𝑥 2 + 1-x) και g: (0,+∞)⟶ℝ, με g(x)=x+1
i) Nα βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ii)Να βρεθεί η𝑓 −1 iii)Να βρεθεί η 𝑔𝑜𝑓 −1 .
4.Α) Να γίνει μελέτη μονοτονίας και κυρτότητας της ⨍(χ)=
𝜒
. Επίσης να μελετηθεί η ⨍
1+|𝜒|
ως προς τις ασύμπτωτες.
Β)Να δειχθεί η ανισότητα log(x+1)-
𝑥(𝑥+2) 𝑥+1
≤0, x≥0.
5.Α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της ⨍(χ)=𝜒 𝑙𝑛𝑥 . Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να λύσετε την εξίσωση ⨍(χ)=e και την ανισότητα ⨍(χ)<e. 6.Α)Να βρεθούν τα α, β, γ για τα οποία ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση ⨍(𝜒) =α𝜒 2 + 𝛽𝜒 + 𝛾, -1≤x≤0 ⨍(x) =
𝜒
1
,
0<x≤1
1+𝑒 𝑥
Β)Nα υπολογιστούν τα όρια: 1 𝜒
Ι) lim𝑛→∞ �1 + � 𝜒
ιι) lim𝜒⟶1
3
�7𝜒+1−�3𝜒+1 𝜒−1
Εξέταση στην Εισαγωγή στα Μαθηματικά Σεπτέμβριος, 2012 Επιλογή 4 Θέματα 1. a) Να γίνει η διαίρεση x7 + 5x5 − 5x4 + 10x3 − 5x2 + 8x − 23 : x3 + 2x − 5 b) Να βρεθεί το Πεδίο Ορισμού των: i.f (x) = √xx2 −4 − 2 ln |x − 2| p ii.f (x) = log3 x − 3 log x + 2 √ 2. a) Αν f (x) = 3 x − 1 να βρεθεί η g που επαληθεύει τις σχέσεις: (f ◦g)(x) = (g◦f )(x) = I(x), όπου I(x) := x η ταυτοτική συνάρτηση. b) i. Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη παντού η f (x) = |x + 1| + x1 ii. Αν μία συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο διάστημα (−1, 1)και ισχύει √ f 0 (x) − x + 1 lim =0 x→0 x Να δείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. 3. a) Εξετάστε ποιες από τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle ισχύουν για τις παρακάτω συναρτήσεις: i. p f (x) = 1 − 3 (x − 1)2 , x ∈ [0, 2] ii. f (x) =
p
−x2 + 4x − 3, x ∈ [1, 3]
b) Να λυθεί η εξίσωση 3x+1 − 2x = 3x−1 + 2x+3 . 4. a) Αν −x2 + 3x + a , a ∈ R. x−4 Να βρεθούν οι τιμές του a για τις οποίες η f έχει δύο ή ένα ή κανένα τοπικό ακρότατο. Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 και τοπικό ελάχιστο στο x2 , να βρείτε μία σχέση για τα x1 , x2 . b) i. Δίνεται η συνάρτηση 2 (x2 )1/x αν x > 0 f (x) = 0 αν x = 0 f (x) =
Να δείξετε √ ότι √ είναι √ συνεχής στο 0. Να γίνει μελέτη μονοτονίας και ακροτάτων και να συγκριθούν οι αριθμοί 4 4, 9 9, 16 16. 5. Δίνεται η συνάρτηση f (x) =
x 3 5
i) Να γίνει μελέτη μονοτονίας και ακροτάτων. 2 2 2 2 ii) Να λυθεί η ανισότητα 32x −x 5x+2 − 3x+2 52x −x < +4x+2 52x −x − 42x −x 5x+2 . b) Να λυθεί η εξίσωση 2|x − 1| − 3|x + 2| = x − 3.
x 3 x b 6. a) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln a −x , x ∈ R, a, b > 0, a < b: bx i. Να ελέγξετε αν αντιστρέφεται. ii. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία 3 3 3 iii. Να λυθεί ως προς λ ∈ R η ανισότητα (aλ − λ9 bλ )b7λ−6 > (a7λ−6 − (7λ − 6)3 b7λ−6 )bλ b) Να λυθεί η ανισότητα log4 (2x2 + x) < log16 (12 − x). 7. a) Δίνεται η συνάρτηση f (x) =
1 x2 − x + 1
i. Να δειχθεί ότι είναι φραγμένη. ii. Να λύσετε την εξίσωση (2x − 1)2 + 43 · (x2 − x + 1) = 1. b) i. Να λυθεί το σύστημα |x − 2| > 1 και logx x > x 2x −1 ii. Να λυθεί η ανισότητα ln eex +5 > 0. Διάρκεια Εξέτασης 2 ώρες Καλή Επιτυχία
Εξέταση στην Εισαγωγή στα Μαθηματικά Μάρτιος, 2012 Επιλογή 4 Θέματα 1. a) Να απλοποιηθεί το κλάσμα x4 + 2x3 + 9x2 − 8x − 52 x2 − 4 b)Να λυθούν οι ανισώσεις: 2 −4x+3)−1 ≤0 i. log x2 < (log x)2 , ii. log(x√x−2+2 2. Δίνεται η συνάρτηση f (x) =
ln x x2
a) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία. b) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες στην γραφική παράσταση της f (x). 3. a) Αν a > b > 0, να αποδειχθεί η ανισότητα: a−b a−b < ln a − ln b < a b b) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην γραφική παράσταση της f (x) = στο σημείο A(1, f (1)).
p 3 (x − 1)5
4. Να δειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι φραγμένες a) f (x) = x2 συνx στο A = [−1, 1]. 2 b) f (x) = x(x−1) 2 +x+1 για κάθε x ∈ R. x 5. ΄Εστω f (x) = 2x − 12 − 2012 a) Να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. 4x x2 +3 b) Να λύσετε την ανίσωση 8x − 2x2 − 6 > 21 − 12 . 6. Δίνεται η f (x) = (1 + x2 )e−x a) Να βρεθούν τα διαστήματα που στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω η f και να προσδιορίσετε αν υπάρχουν σημεία καμπής. b) Να λυθεί η ανισότητα ex f 0 (x) > ex f (x) − 3x. 7. Θεωρούμε την συνάρτηση f (x) = −3x5 − 1 a) Να δειχθεί ότι αντιστρέφεται. b) Να υπολογιστεί το f −1 (2). Διάρκεια Εξέτασης 2 ώρες Καλή Επιτυχία
Παλαιότερα Θέματα: Εισαγωγή στα Μαθηματικά
2010
Ειςαγωγή ςτα Μαθηματικά – Σεπτέμβριοσ 2010 Θέμα 1 Να λςθούν οι εξισώσειρ: a) x3-2x+x-2=0 b)
+ x+2
=1 2x+1
c) =4 d) ln(x2-1)=0 e) e2x-ex+2=0 f) ln(2x-1)=ln(4x-3)+ln(x) g)
=4
Θέμα 2 Να ςπολογιστούν οι παπάγωγοι των παπακάτω σςναπτήσεων a) f(x)=x3σςν(x) b) f(x)= c) f(x)=(x+2)2e-2x d) f(x)=x(x2+1)1/2 e) f(x)= f) f(x)=(4x+3)101 g) f(x)=xx+1
2
www.dap-oikonomikou.gr