Grammikamathaug13 by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis

facebook

Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ

να

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ-ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκων: Κώτσιος Σ.

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 1 2 0   Άσκηση 1 : Δίδεται ο πίνακας A =  0 1 2  . Δώσατε τύπο για τον υπολογισμό 0 0 1   k της δύναμης A . η

0  1 η Άσκηση 2 : Δίδεται ο πίνακας  0  0 υπολογίσατε την ορίζουσα του.

1 0 0 1

1 0 1 1

0  0 . Χρησιμοποιώντας σύνθετους πίνακες 0  0

Άσκηση 3η : Για ποιες τιμές του a το σύστημα: 2 x1 − ax2 + x3 = 0 x1 − x2 + x3 = 0 Έχει άπειρες λύσεις; Περιγράψτε, για αυτές τις τιμές του a , τον χώρο λύσεων του. Άσκηση 4η : Δίδονται οι υπόχωροι:   x   x          3 3 U= x 2 y  , U= z 0   y  ∈ R :=   y  ∈ R : x − 2 y + 3= 1 2  z   z        Βρείτε την διάσταση και μία βάση της τομής των. Άσκηση 5η: Δίδεται η γραμμική απεικόνιση T : R 2 → R 2 , τέτοια ώστε T (1, 2) = (1, −1), T (0, 2) = (2, −2) . Βρείτε βάσεις και διαστάσεις για ImT και KerT, −1 καθώς και την T , αν υπάρχει.

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ-ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκων: Κώτσιος Σ.

ΙΟΥΛΙΟΣ 2011 Άσκηση 1η: (Μονάδες 1) 0  1 Δίδεται ο πίνακας  1  0

1 0 0 0

0 0 1 0

0  1 . Χρησιμοποιώντας σύνθετους πίνακες 0  1

υπολογίσατε την ορίζουσα του. Άσκηση 2η : (Μονάδες 1)

 −1 2  Υπολογίσατε την ποσότητα:   .  0 −1 100

Άσκηση 3η : (Μονάδες 3)

a) Για ποίες τιμές του a και b το σύστημα: 2x + z = 1 x + y + 2z = 1 − y + az = b

Έχει άπειρες λύσεις; Περιγράψτε, για αυτές τις τιμές των a και b , τον χώρο λύσεων του. b) Για a = 1 και b = 2 επιλύσατε το παραπάνω σύστημα με την μέθοδο LU. Άσκηση 4η : (Μονάδες 1) Βρείτε την προβολή του διανύσματος (−1,1,1, 0) επί του διανύσματος (2, 0, 0, −1) .

Άσκηση 5η: (Μονάδες 2) Για ποιες τιμές του a το σύστημα:

x1 − ax2 + x3 = 0 x1 − x2 + x3 = 0 x1 + 2 x2 − x3 = 0

Έχει άπειρες λύσεις; Περιγράψτε, για αυτές τις τιμές του a , τον χώρο λύσεων του. Άσκηση 6η : (Μονάδες 1) Δίδονται οι υπόχωροι:        x    U1   y  ∈ R 4 = : x y, z += w 0 , U = = 2  z        w  

       x    4 z 0   y  ∈ R : x + 4 y −=  z        w  

Βρείτε μία βάση και την διάσταση της τομής των. Άσκηση 7η: (Μονάδες 2)

Μία γραμμική απεικόνιση T : R3 → R3 απεικονίζει το διάνυσμα (0,1,1) στο (2, 4, 4) , το διάνυσμα (−1, 0, 0) στο (−1, −2, 0) και το διάνυσμα (0, 2,1) στο (4,5, 7) . Βρείτε τύπο για την αντίστροφη της, αν υπάρχει.

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ-ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκων: Κώτσιος Σ.

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010 1 2 0   Άσκηση 1 : Δίδεται ο πίνακας A =  0 1 2  . Δώσατε τύπο για τον υπολογισμό 0 0 1   k της δύναμης A . η

Άσκηση 2η : Δίδεται το σύστημα:  2 4 2  x   0        1 0 −1 y  = 0  2 −2 1  z   1       Επιλύσατε το χρησιμοποιώντας την LU παραγοντοποίηση του πίνακα των συντελεστών. Άσκηση 3η : Για ποιες τιμές του a το σύστημα: x1 − ax2 + x3 = 0 x1 − x2 + x3 = 0 x1 + 2 x2 − x3 = 0 Έχει άπειρες λύσεις; Περιγράψτε, για αυτές τις τιμές του a , τον χώρο λύσεων του. Άσκηση 4η : Δίδονται οι υπόχωροι:   x   x          3 3 U= x 2 y  , U= z 0   y  ∈ R :=   y  ∈ R : x − 2 y + 3= 1 2  z   z        Βρείτε την διάσταση και μία βάση της τομής των. Άσκηση 5η: Δίδεται η γραμμική απεικόνιση T : R 2 → R 3 , η οποία απεικονίζει το διάνυσμα ( x, y ) στο ( x − y, 0, 0) . Βρείτε βάσεις για τους υποχώρους, ImT , KerT . Είναι η απεικόνιση 1-1; Άσκηση 6η : Δείξατε ότι εάν ο A είναι ένας 2x2 πίνακας με det( A) < 0 , τότε ο A διαγωνιοποιείται.

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ

2011

Γραμμικά Μαθηματικά – Ιούλιος 2010 Άζθεζε 1ε: (κνλάδεο 1) Γίδεηαη ν πίλαθαο (

). Φξεζηκνπνηώληαο

ζύλζεηνπο πίλαθεο ππνινγίζαηε ηελ νξίδνπζα ηνπ Άζθεζε 2ε: (κνλάδεο 1) Γίδεηαη ην ζύζηεκα: ( Επιλύζαηε ηο ζσνηελεζηών.

)( )

τρηζιμοποιώνηας

ηην

( )

παραγονηοποίηζη

ηοσ

πίνακα

ηφν

Άσκηση 3η: (μονάδες 1) Για ποιες ηιμές ηο a ηο ζύζηημα:

Έτει έπειρες λύζεις; Περιγράυηε, για ασηές ηις ηιμές ηοσ a, ηον τώρο λύζεφν ηοσ. Άσκηση 4η: (μοναδες 2) Δίδεηαι η γραμμική απεικόνιζη , ηέηοια ώζηε ( ) ( ). Βρείηε βάζεις και διαζηάζεις για lmT και KerT καθώς και ηην T-1, αν σπάρτει.

Γραμμικά Μαθηματικά – Σεπτέμβριος 2009 Θέκα 1νλ: Λα επηιπζεί ε Γηαθνξηθή Δμίζσζε: y‟= Θέκα 2νλ: Λα επηιπζεί ε Γηαθνξηθή Δμίζσζε: y‟+y=x√ =0, y(0)=4 Θέκα 3νλ: Δπηιύζαηε ην θάησζη ζύζηεκα δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: ≡y1+y2+x =y1-y2+1-x Θέκα 4νλ: Γύν αληαγσληζηηθά πξντόληα θπθινθνξνύλ ζηελ αγνξά αξρηθά ζε πνζόηεηεο x0, y0 θαη κεηά από παξέιεπζε n εηώλ ζε πνζόηεηεο x0 θαη y0 αληίζηνηρα. Ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:

Γραμμικά Μαθηματικά – Φεβρουάριος 2009 ΘΔΚΑ 1 Δπηιύζαηε

ηελ

δηαθνξηθή

ΘΔΚΑ 2

1 x y '    2 y x 

εμίζσζε:

Δπηιύζαηε ην ζύζηεκα:

3x ''(t )  2 y ''(t )  t 2 x ''(t )  y ''(t )  2t

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ

2011

ΘΔΚΑ 3 Δπηιύζαηε ηελ θάησζη δηαθνξηθή εμίζσζε θαη κειεηήζαηε ηνλ ρώξν θάζεσλ ηεο:

y '( x)  4 y( x)  y 2 ( x) ΘΔΚΑ 4 Δπηιύζαηε ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ:

1 1  yn 2  yn1  yn  3  2n 2 2 ΘΔΚΑ 5

U ( x, y)  a ln x  b ln y . Βξείηε ηελ ζπλάξηεζε

Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε ρξεζηκόηεηαο

πνπ είλαη θάζεηε (νξζνγώληα) ζηηο θακπύιεο αδηαθνξίαο ηεο. ΘΔΚΑ 6 Έζησ

wt ν πιεζπζκόο ελόο είδνπο ςαξηνύ ηελ ρξνληθή ζηηγκή t. Έζησ όηη ν

πιεζπζκόο απ-ηόο απμάλεη θαηά 20%, ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή θαη αιηεύνληαη4 κνλάδεο. Δάλ ε ζπλάξηεζε δήηεζεο είλαη ζηελ αγνξά, θαη ε

St  1.2 pt 1  0.05wt 1

Dt  0.6 pt ε

, όπνπ

ζπλάξηεζε

ζύζηεκα εμηζώζεσλ δηαθν-ξώλ κε αγλώζηνπο ηα δεδνκέλνπ όηη ζηελ αγνξά επηθξαηεί ηζνξ-ξνπία θαη

pt ε ηηκή ησλ ςαξηώλ

πξνζθνξάο, κνξθώζαηε

wt , pt θαη επηιύζαηε ην ,

w0  100, p0  2 .

ΤΑ ΘΔΚΑΤΑ 5 ΘΑΗ 6 ΒΑΘΚΟΙΟΓΟΥΛΤΑΗ ΚΔ 2 ΚΟΛΑΓΔΣ, ΤΑ ΑΙΙΑ ΚΔ 1.5 ΚΟΛΑΓΑ

Γραμμικά Μαθηματικά – Φεβρουάριος 2008 1. Έζησ ε ΔΓ

xt 1  1, 2 xt  0, 2 xt 1  2t x0  0, x1  1 α) Λα βξεζεί ην x3. β) Λα βξεζεί ην xn. 2. α) Λα ιπζεί ε δηαθνξηθή εμίζσζε ..

x 4 x 4 x  t κε ηε βνήζεηα ηεο αληίζηνηρεο νκνγελνύο θαη ππνζέηνληαο όηη νη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη κεδέλ. β) Λα ιπζεί ε ΓΔ .

x

xt , x(0)  1 1 t2

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ

2011

3. Λα βξεζνύλ ηα δύν ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζηήκαηνο .

x  y ( x  1) .

y  x(1  y 3 ) θαη λα εμεηαζηνύλ κε ηε βνήζεηα ηεο κεζόδνπ ηεο γξακκηθνπνίεζεο. Να γξαθνύλ όια ηα ζέκαηα.

Γραμμικά Μαθηματικά – Ιανουάριος 2007 ΘΔΜΑ 1νλ: Δπηιύζαηε ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε:

y =

y x + 4x 4 y3

y(1) = 1

ΘΔΜΑ 2νλ: Δπηιύζαηε ην ζύζηεκα:

x = 2x + y

y = 6 x  3 y ΘΔΜΑ 3νλ: Κειεηήζαηε ηνλ ρώξν θάζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο:

x = 5x  2 y

y = 2x – 5y ΘΔΜΑ 4νλ: Δπηιύζαηε ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ:

yn  2 + yn 1 - 2 yn = 5n + 1 + 2n ΘΔΜΑ 5νλ: Έζησ όηη ε ηηκή ελόο πξντόληνο ηελ ρξνληθή ζηηγκή t είλαη pt. Έζησ αθόκα όηη νη ζπλαξηήζεηο δήηεζεο θαη πξνζθνξάο δίδνληαη από ηηο ζρέζεηο: Dt =

a  bpt ,

a, b  0

St  c  dpt* , c, d  0 όπνπ

pt* ππνδειώλεη ηελ πξνζδνθώκελε ηηκή θαη δίδεηαη από ηελ ζρέζε:

pt*  pt*1  h( pt 1  pt*1 )

0<h≤1

Υπνζέηνληαο όηη ε αγνξά βξίζθεηαη ζε ηζνξξνπία ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή, κνξθώζαηε εμίζσζε δηαθνξώλ γηα ηελ ηηκή ηνπ h θαη ππό πνίεο ζπλζήθεο, ην

pt θαη επηιύζαηε ηελ. Γηα πνηεο ηηκέο

pt ζπγθιίλεη θαη πνπ;

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ

2011

Γραμμικά Μαθηματικά – Σεπτέμβριος 2006 Θέκα 1ν

xt 1  1,1xt  0,1xt 1

Έζησ ε ΔΓ Α) Λα βξεζεί ην

Β) Λα βξεζεί ην

lim

x0  0, x1  1

xn 1 xn

Θέκα 2ν Α) Λα ιπζεί ε δηαθνξηθή εμίζσζε ..

x  2 x  x  et Κε ηε βνήζεηα ηεο αληίζηνηρεο νκνγελνύο θαη ππνζέηνληαο όηη νη αξρηθέο ζπλζήθεο είλαη κεδέλ. Β) Λα γξαθεί ζε κνξθή εμηζώζεσλ θαηάζηαζεο Θέκα 3ν Λα βξεζνύλ ηα δύν ζεκεία ηζνξξνπίαο ηνπ ζπζηήκαηνο .

x  x( y  1) .

y  y  y2 ΝΑ ΓΡΑΦΟΥΝ ΟΛΑ ΤΑ ΘΔΜΑΤΑ

Γραμμικά Μαθηματικά – Σεπτέμβριος 2005 ΕΖΤΖΜΑ 1Ο Γηα πνηα ηηκή ηνπ ω>0 παξνπζηάδεηαη ην θαηλόκελν ηνπ ζπληνληζκνύ γηα ηελ παξαθάηω δηαθνξηθή εμίζωζε:

y(t )  4 y(t )  3sin(t ) Λα εμεγήζεηε ηα ραξαθηεξηζηηθά ηεο ιύζεσο γηα ηελ ηηκή ηνπ σ>0 πνπ παξνπζηάδεηε ζπληνληζκόο. ΕΖΤΖΜΑ 2ν Λα ιπζεί ε δηαθνξηθή εμίζσζε:

x(t )  3x(t )  2 x(t ) κε αξρηθέο ζπλζήθεο x(0)=0,

x(0)  1

ΕΖΤΖΜΑ 3ν

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ

2011

Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a  είλαη ην ζεκείν ηζνξξνπίαο αζπκπησηηθά επζηαζέο γηα α) ην ζύζηεκα δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ

x(t )  y(t ), y(t )  2x(t )   y(t )

β) ην ζύζηεκα εμηζώζεσλ δηαθόξσλ x(t+1)=y(t), y(t+1)=αy(t) ΕΖΤΖΜΑ 4ν Λα ιπζεί ε εμίζσζε δηαθόξσλ: x(n+2)-5x(n+1)+4x(n)=0 κε αξρηθέο ζπλζήθεο x(0)=1, x(1)=0

Γραμμικά Μαθηματικά – Φεβρουάριος 2005 Εήηεκα 1ν: (α) Γηα πνηα ηηκή ηνπ σ>0 παξνπζηάδεηαη ην θαηλόκελν ηνπ ζπληνληζκνύ γηα ηελ παξαθάησ δηαθνξηθή εμίζσζε:

y (t) + 4y(t) = 3sin(σt)

(β) Λα επηιπζεί ε παξαπάλσ δηαθνξηθή εμίζσζε γηα ηελ ηηκή ηνπ σ>0 πνπ παξνπζηάδεηαη ζπληνληζκόο θαη κε αξρηθέο ζπλζήθεο y(0)=

y (0)=0.

Εήηεκα 2ν: Λα ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: ..

x (t) =2 x(t) – y(t) θαη y (t) = 3 x(t) – 2 y(t) .

κε αξρηθέο ζπλζήθεο ρ(0)= x (0)=0 θαη y(0)= y (0)=1.

Εήηεκα 3ν: Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a  R είλαη ην ζεκείν ηζνξξνπίαο αζπκπησηηθά επζηαζέο γηα (α) ην ζύζηεκα δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ

x (t)=y(t) , y (t)= -x(t)+ay(t)

(β) ην ζύζηεκα ησλ εμηζώζεσλ δηαθνξώλ x(t+1)=y(t) , y(t+1)=ax(t) Εήηεκα 4ν: Λα ιπζεί ε εμίζσζε δηαθνξώλ: x(t+2) + 2x(t+1) + x(t)=0 κε αξρηθέο ζπλζήθεο ρ(0)=1 θαη ρ(1)=0.

Γραμμικά Μαθηματικά – Σεπτέμβριος 2004 Θέκα 1νλ:Δπηιύζαηε πιήξσο ηελ εμίζσζε δηαθνξώλ:

y  3y  2y  10 , n 3 n 2 n1

y  y  0. 0 1

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ

2011

 Θέκα 2νλ:Γίδεηαη ην νινθιήξσκα

2 '2 02 ( y  y )dt θαη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο



y ( )  0 . Βξείηε γηα πνηεο „εθθξάζεηο‟ ηεο ζπλαξηήζεσο y(t) ην νινθιήξσκα 2

y(0)=

παξνπζηάδεη αθξόηαην, θαζώο θαη ην είδνο ηνπ. Θέκα 3νλ: Λα ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: Φ΄=ρ+

1 y 2

3 y ΄=ρ+ y +1 2 Θέκα 4νλ: Κηα ζπλάξηεζε παξαγσγήο Q, εμαξηάηαη από δύν ζπληειεζηέο Θ θαη L. Αθνινπζώληαο ην καξηδηλαιηζηηθό θαλόλα θαζνξηζκνύ ησλ ηηκώλ, κπνξνύκε λα κνξθώζνπκε ηελ εμίζσζε:

Q

Q Q K L . Φξεζηκνπνηώληαο ηελ εμίζσζε απηή, K L

βξείηε έθθξαζε γηα ηελ Q. Βαζκόο δπζθνιίαο: Τα ζέκαηα είλαη ηζνδύλακα.

Γραμμικά Μαθηματικά – Μάρτιος 2004 Θ ΔΜΑ 1νλ : Δπηιύζαηε ηελ Γηαθνξηθή Δμίζσζε:

(x + y 2 )dx +

xydy = Ο,

y(0) = 1 Θ ΔΜΑ 2νλ : Γίδεηαη ην νινθιήξσκα

 e x'  xdt, T

 rt

T,r > Ο

θαη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ρ(0) = Ο, τ (Τ) = Β. Βξείηε γηα πνηεο “εθθξάζεηο” ηεο ζπλαξηήζεσο x(t) ην νινθιήξσκα παξνπζηάδεη αθξόηαην, θαζώο θαη ην είδνο ηνπ. Θ ΔΜΑ 3νλ: Λα ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: x΄΄ = 2x – y

θαη

y΄΄ = 3x – 2y

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ

2011

Θ ΔΜΑ 4νλ: Έλαο πνιηηηθόο κπνξεί είηε λα απνθαζίζεη λα ζπκκεηάζρεη ζηηο πξνζερείο εθινγέο, είηε όρη. Παίξλεη κία απόθαζε θαη ηελ θνηλνπνηεί ζην πξόζσπν Α. απηό ζην Β, απηό ζην Γ, θ.ν.θ. Έζησ α ε πηζαλόηεηα θάπνην πξόζσπν λα δηαζηξεβιώζεη ην ' λαη ' ζε ' όρη ' θαη β ην ' όρη ' ζε ' λαί ". Γηαηππώζαηε ζύζηεκα

εμηζώζεσλ

δηαθνξώλ

πνπ

πεξηγξάθεη

ηελ

κεηάδνζε

ηεο

πιεξνθνξίαο θαη κειεηήζαηε ηελ νξηαθή ζπκπεξηθνξά ηεο. Βαζκόο Γπζθνιίαο: Τα ζέκαηα είλαη ηζνδύλακα.

Γραμμικά Μαθηματικά – Φεβρουάριος 2002 Θ ΔΜΑ 1 ν λ Ζ ηη κή ε λόο πξντόληνο ε μαξηάηαη από ηνλ ρξόλν, ρ = p(t) θαη αθνινπζεί ηελ δηαθνξηθή εμίζσζε:



dp  p 1  tp 0.18 dt



Δάλ ξ(0) = 1, βξείηε έλαλ ηύπν γηα ηελ p(t) θαη δείμαηε όηη νξηαθά ε ηηκή ζα κεδεληζζεί.

Θ ΔΜΑ 2νλ Λα ιπζεί ην ζύζηεκα ησλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ: x"(t) + y'(t) = 1 - x(i) - y(t)

και

y"(t)+y(t)=x(t)-x'(t)

Θ ΔΜΑ 3νλ

Φξεζηκνπνηώληαο

ηνλ

κεηαζρεκαηηζκό

zn 

1 yn

επηιύζαηε

ηελ

εμίζσζε

δηαθνξώλ:

y n1  y n  y n1  y n  0 Θ ΔΜΑ 4νλ Θεσξνύκε ηηο αιιεινζπζρεηηδόκελεο αγνξέο "δσνηξνθέο-δώα", πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο ζρέζεηο:

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ C

Εσνηξνθέο: C

όπνπ

, St ,

 1,5 p  1.2 p t

t 1

θαη

C t



2011 C

 1.3 p

t 1

ε δήηεζε, ε πξνζθνξά θαη ε ηηκή ησλ δσνηξνθώλ

αληίζηνηρα, ηελ ρξνληθή ζηηγκή t. h

Εώα:

h t

t 1

 20  5 p

θαη

 15  0.5 p  5 p

όπνπ

Dt , S t ,

ε δήηεζε, ε πξνζθνξά θαη ε ηηκή ησλ δώσλ αληίζηνηρα, ηελ

ρξνληθή ζηηγκή t. Έζησ όηη ππάξρεη ηζνξξνπία.

Κνξθώζαηε ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο ζε έλα ζύζηεκα C

εμηζώζεσλ δηαθνξώλ, κε αγλώζηνπο ηηο πνζόηεηεο C

Γίδεηαη όηη



p p t

θαη επηιύζαηε ην.

 5.

Βαζκόο Γπζθνιίαο: Τα ζέκαηα είλαη ηζνδύλακα.

Υπνινγηζηηθή Πεξηπινθόηεηα: ζέκα 3νλ, ζέκα 2νλ, ζέκα 1νλ, ζέκα 4νλ.

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Γραμμικά Μαθηματικά – Μαθηματικά ΙΙΙ

2011

Βρείτε στο site και στα τραπεζάκια μας: ηην Ύλη ηων μαθημάηων ηοςρ κωδικούρ και ηον ηόπο διανομήρ ηων Σςγγπαμμάηων Θέμαηα Παλαιόηεπων Εξεηαζηικών Λςμένα Θέμαηα ζηα μαθήμαηα Σημειώζειρ για ηα μαθήμαηα

Και άλλο Χρήσιμο Υλικό

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟΝ ΦΟΙΤΗΤΗ 11