Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis
Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ
να
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ Κ.ΚΟΡΚΟΤΣΙΔΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ------------------------------------------------------------------------------------------------------
∫ (x − 2)(x
ΘΕΜΑ 1 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα
1 2
+ 4x + 7
) dx .
1 1 1 x+6 dx − ∫ 2 dx ∫ + 4x + 7 19 x − 2 19 x + 4 x + 7 1 1 1 2x + 4 + 8 2 1 1 1 1 = ln x − 2 − dx = ln x − 2 − ln x 2 + 4 x + 7 + 4∫ dx 2 ∫ 19 19 2 x + 4 x + 7 19 38 19 3 ( x + 2 )2 + 3 3
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
∫ (x − 2)(x
1
)
2
dx =
(
=
1 1 4 ln x − 2 − ln x 2 + 4 x + 7 + ∫ 19 38 57
=
1 1 4 3 x+2 ln x − 2 − ln x 2 + 4 x + 7 + τοξεφ +c 19 38 57 3
(
(
)
1
)
x+2 1+ 3
2
dx =
1 1 4 3 du ln x − 2 − ln x 2 + 4 x + 7 + 19 38 57 ∫ 1 + u 2
(
)
ΘΕΜΑ 2 (α) ∆ίνεται η σχέση f (x, y ) = y −
x . Να δείξετε ότι, στο σηµείο ( x0 , y0 ) = (8, − 1) y του πεδίου ορισµού της, το ανάδελτα (gradient) είναι κάθετο προς την αντίστοιχη ισοϋψή καµπύλη. (β) Να δείξετε ότι, σε κάθε σηµείο ( x, y ) που η τυχούσα διµεταβλητή συνάρτηση z = f ( x, y ) έχει µερικές παραγώγους, το ανάδελτα είναι κάθετο προς την αντίστοιχη ισοϋψή καµπύλη. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Το ανάδελτα της f στο εν λόγω σηµείο είναι ∇f
και η κλίση του είναι ίση µε 9.
(8, −1)
− = 1 +
1 y x y2
1 , = 9 (8, −1)
)
Η ισοϋψής στο (8,− 1) είναι η 7 = y − xy −1 , δεδοµένου ότι f (8,−1) = 7 . Κλίση ισοϋψούς:
dy dx
(8, −1)
=
y x + y2
= (8, −1)
−1 . 9
Γινόµενο κλίσεων ίσο µε − 1 , ο.ε.δ. fy fx (β) Ανάδελτα (από τον ορισµό): ∇f = . Κλίση: . fx fy
Ισοϋψής: c = f (x, y ) . Παίρνοντας διαφορικά των δύο πλευρών, 0 = f x dx + f y dy , f dy = − x , η κλίση αυτής. Ήδη, για το τυχόν σηµείο ( x0 , y 0 ) , το dx fy γινόµενο των δύο κλίσεων είναι ίσο µε − 1 , ο.ε.δ.
από όπου
ΘΕΜΑ 3 Αν ηµ 2 ( xy ) = z 3 − ln ( zy ) , να βρεθεί η παράγωγος
∂z . ∂y
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Παραγωγίζοντας όρο προς όρο βρίσκουµε ∂z 1 ∂z 2 xηµ ( xy )συν ( xy ) = 3 z 2 − y + z , από όπου, µετά από τη σχετική άλγεβρα, ∂y zy ∂y 2 xηµ ( xy )συν ( xy ) + 1 ∂z y = . 2 ∂y 3z − 1 z
1
2
ΘΕΜΑ 4 Έστω Q = 20 K 2 L 3 συνάρτηση παραγωγικού µετασχηµατισµού. (α) Να βρεθεί η τιµή του Οριακού Λόγου Τεχνικής Υποκατάστασης (ΟΛΤΥ, MRTS) στο σηµείο (K , L ) = (25, 64) και να δοθεί σαφής περιγραφή της πληροφόρησης που αυτή µας παρέχει. (β) Ποιες είναι οι αποδόσεις κλίµακας της ως άνω συναρτήσεως; Γιατί; Τι συνεπάγεται η απάντησή σας σχετικά µε το µέσο κόστος παραγωγής; (γ) Να υπολογίσετε, µε βάση τον ορισµό, την ελαστικότητα της παραγωγής ως προς την εργασία. Τι παρατηρείτε; ΑΠΑΝΤΗΣΗ MPPL dK 4K (α) ΟΛΤΥ= =− =− . Ήδη, για τις δοθείσες τιµές των K και L , αυτός dL MPPK 3 L 4 24 50 λαµβάνει την τιµή − = − , ενώ η συνάρτηση λαµβάνει την τιµή 3 64 96 Q (25, 64 ) = 20(25)
1
2
(64)2 3
= 1600 . Ως εκ τούτων, αν η εργασία µεταβληθεί κατά
50 α 96 από τις παρούσες 25 απασχολούµενες µονάδες, αν θέλουµε το παραγόµενο προϊόν να µην µεταβληθεί.
(µικρό) α από τις 64 µονάδες, τότε το κεφάλαιο πρέπει να µεταβληθεί κατά −
1 2 7 + = > 1 , έπεται ότι η συνάρτηση εµφανίζει αύξουσες 2 3 6 αποδόσεις κλίµακας. Συνεπώς, όσο αυξάνεται η κλίµακα της παραγωγής, το µέσο (ανά µονάδα παραγοµένου προϊόντος) κόστος βαίνει µειούµενο. (β) ∆εδοµένου ότι
L 2 ∂Q L 40 12 − 13 L 40 12 − 13 = K L = K L = , δηλαδή ίση µε τον 2 1 ∂L Q Q 3 3 20 K 2 L 3 3 εκθέτη του L .
(γ) ε L =
ΘΕΜΑ 5 Να αναπτυχθεί σε δυναµοσειρά Taylor µε κέντρο το 1 η συνάρτηση f ( x ) = xe x και να µελετηθεί ως προς τη σύγκλιση. Εξηγείστε µε µία φράση το αποτέλεσµα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είναι: f ′( x ) = e x + xe x , f ′′( x ) = 2e x + xe x , f ′′′( x ) = 3e x + xe x , K , f (n ) ( x ) = ne x + xe x , Οπότε f (n ) (1) = ne + e = (n + 1)e . Άρα, η ζητούµενη δυναµοσειρά είναι ∞ 1 (n + 1)e(x − 1)n . Εφαρµόζοντας το κριτήριο d’Alembert, βρίσκουµε ∑ n = 0 n! 1 (n + 2)e(x − 1)n+1 a (n + 2)(x − 1) = 0 < 1 ∀ x ∈ ℜ . (n + 1)! lim n +1 = lim = lim n →∞ a n →∞ n → ∞ 1 (n + 1)(n + 1) n (n + 1)e(x − 1)n n! Άρα, η δυναµοσειρά συγκλίνει στη συνάρτηση για κάθε πραγµατικό x .