Mathimatika1aug13 by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis

facebook

Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ

να

ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ Περιεχόμενα: 1. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2013 2. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2013 3. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2012 4. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2012 5. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2011 6. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2011 7. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2011 8. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2010 9. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2010 10. Μαθηματικά Ι - Ιανουάριος 2010 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

11. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2009 12. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 1999 13. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2009 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

14. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2008 15. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2008 16. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2008 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

17. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2007 18. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2007 19. Μαθηματικά Ι - Ιανουάριος 2007 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

20. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2006 •

Εμβόλιμη

21. Μαθηματικά Ι - Ιούλιος 2006 22. Μαθηματικά Ι - Ιανουάριος 2006 •

Τμήμα Α'

ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ •

Τμήμα Β'

23. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2005 24. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2005 25. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2005 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

26. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2004 27. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2004 28. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2004 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

29. Μαθηματικά Ι - Σεπτέμβριος 2003 30. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2003 31. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2003 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

32. Μαθηματικά Ι - Ιούνιος 2003 33. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2003 34. Τμήμα Α' 35. Μαθηματικά Ι - Φεβρουάριος 2002 •

Τμήμα Α'

•

Τμήμα Β'

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΚΩΤΣΙΟΣ ΛΕΒΕΝΤΙΔΗΣ 1. Έστωσαν τα σύνολα Χ={1,2,3,4,5,6,7,8} , Α={-1,1,2} , Β={7,8,10}.Να υπολογισθούν οι ποσότητες ( (Χ-Α)-B) ∪ A , (X-A)∩(X-B) , A x (X- (A ∪ B) ) (1 ΜΟΝΑΔΑ) 2. Δίδεται η συνάρτηση f(x) = − Α. Β. Γ. Δ.

x3 3

x2 2

− 2x + 1

Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας Τα ακρότατα Τα διαστήματα κυρτότητας – κοιλότητας και Τα σημεία καμπής (2 ΜΟΝΑΔΕΣ) π

3. Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα ∫02 e−χ ημ x dx (1 ΜΟΝΑΔΑ) x+5

4. Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα ∫ x2 −x−6 dx

(1 ΜΟΝΑΔΑ)

5. Έχουμε τη συνάρτηση f(x)= (1 + χ)ν .Εστω ότι βρισκόμαστε στο σημείο Χο=0 και αλλάζουμε το χ λίγο κατά h Α. Χρησιμοποιώντας διαφορικά να δείξετε ότι f(h)≈1+vh Β. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Taylor να δείξετε ότι v(v−1)

f(h)= ≈1+vh +

h2 (2 ΜΟΝΑΔΕΣ)

6.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας της καμπύλης (1.5 ΜΟΝΑΔΑ) y x + − x2y3 1+y 1+x 7.Ας υποθέσουμε ότι κατέχουμε ένα σπάνιο βιβλίου του οποίου η αξία σε διάρκεια t χρόνων απο τώρα θα είναι Β(t)=2√t .Υποθέτουμε ότι έχουμε συνέχη πληθωρισμό 5%.Πότε είναι η καλύτερη στιγμή να πουλήσουμε το βιβλίο; (1.5 ΜΟΝΑΔΑ) 8.Έστω R(p)η συνάρτηση εσόδων και D(p) η συνάρτηση ζήτησης.Να δείξετε ότι MR=D(1+eD ) (1 ΜΟΝΑΔΑ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΚΩΤΣΙΟΣ - ΛΕΒΕΝΤΙΔΗΣ ΘΕΜΑ 1Ο (1 ΜΟΝΑΔΑ) Δίνεται η συνάρτηση κόστους 𝐶 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝛾, 𝜒 > 0. Να βρεθούν τα α, b, γ, ώστε να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο (1,3) και σημείο καμπής στο x=2. ΘΕΜΑ 2Ο (1 ΜΟΝΑΔΑ) Με την χρήση διαφορικών υπολογίστε κατά προσέγγιση την ποσότητα (10.002)6 . ΘΕΜΑ 3Ο (1 ΜΟΝΑΔΑ)

Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί ο τύπος για την ελαστικότητα πηλίκου συναρτήσεων. ΘΕΜΑ 4Ο (1 ΜΟΝΑΔΑ) Έστω η συνάρτηση f(x)=ημ(πx)lnx. Χρησιμοποιώντας κατάλληλη σειρά Taylor, δείξτε ότι f(1.01)≅ −0.0001π. ΘΕΜΑ 5Ο (1 ΜΟΝΑΔΑ)

Έστω 𝑓 (𝑥 ) = 𝑒 𝜎𝜐𝜈𝑥 . Υπολογίστε την ποσότητα ∫ 𝑥𝜀𝑓 (𝑥 )𝑑 (𝑥 ). ΘΕΜΑ 6Ο (1.5 ΜΟΝΑΔΕΣ)

Έστω τα σύνολα Α, Β, C. Αποδείξτε τη σχέση (𝐴 ∪ 𝛣) − 𝐶 = (𝐴 − 𝐶 ) ∪ (𝐵 − 𝐶). ΘΕΜΑ 7Ο (1.5 ΜΟΝΑΔΕΣ)

Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της καμπύλης y(x) στο (0,1), όπου y(x)=𝜎𝜐𝜈(𝑥𝑦(𝑥 ))𝑦(𝑥) . ΘΕΜΑ 8Ο (1.5 ΜΑΝΑΔΕΣ) √3 |𝜒−1| 𝜒 2+1

Δείξτε ότι∫0

𝜋

𝑑𝑥 = . 6

ΘΕΜΑ 9Ο (1.5 ΜΟΝΑΔΕΣ)

Ένας εκδότης καταβάλει στον συγγραφέα ενός βιβλίου δικαιώματα 15%. Η ζήτηση του βιβλίου είναι x=200-5p και το κόστος C(x)=10+2x+𝑥 2 . Βρείτε τον βέλτιστο αριθμό πωλήσεων, τόσο από τη μεριά του συγγραφέα όσο και από τη μεριά του εκδότη.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΙΟΥΝΙΟΣ 2012

ΘΕΜΑ 1 (2 μονάδες) Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων a,b∈ R το σύστημα: 𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑧 = 3

ΘΕΜΑ 2

𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑧 = 4

(1.5 μονάδα) Δίνεται ο πίνακας Α= �

τη δύναμη 𝛢51.

0 √2 �. Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά του καθώς και √2 0

ΘΕΜΑ 3 (1.5 μονάδα) Βρείτε με τη μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων, ευθεία που παλινδρομεί ανάμεσα στα σημεία: (-1,2), (1,9),(1,-1). ΘΕΜΑ 4 2 (1 μονάδα) Έστω ότι η 𝑓(𝑥, 𝑦) είναι ομογενής βαθμού 1. Δείξτε ότι 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑦 = 𝑓𝑥𝑦

ΘΕΜΑ 5

(1 μονάδα) Υπολογίστε, με τη βοήθεια ολικού διαφορικού, την ποσότητα:�(5.01)2 − (4.01)2 .

ΘΕΜΑ 6 (2 μονάδες) Βρείτε τα σημεία της καμπύλης 𝑥 2 𝑦 = 2, που βρίσκονται κοντά στην αρχή των αξόνων. ΘΕΜΑ 7 (2 μονάδες) Δίνεται η συνάρτηση𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 + ln(𝑥𝑦) και ισοϋψούς της 𝑈(𝑥, 𝑦) = 9 + 𝑙𝑛2. i. ii. iii. iv.

Να βρεθεί διανυσματική εξίσωση ευθείας, καθέτου της εν λόγω ισοϋψούς στο σημείο (1,2). Να βρεθεί διανυσματική εξίσωση ευθείας, εφαπτομένης της εν λόγω ισοϋψούς στο σημείο (1,2). Εάν η παραπάνω συνάρτησης είναι συνάρτηση ωφελιμότητας δώσατε οικονομική ερμηνεία της ισοϋψούς. Υπολογίστε τον οριακό λόγο υποκατάστασης στο σημείο (1,2) και εξηγήστε τι σημαίνει.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι – ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2012 Κορκοτσίδης 1

ΘΕΜΑ 1ο Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ∫ (𝑥−2)(𝑥2 −6𝑥+10) 𝑑𝑥.

ΘΕΜΑ 2ο Δίνεται η σχέση 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 − 𝑦 2. Να υπολογιστεί ότι σε κάθε σημείο (x,y) της γραφικής της παράστασης, το ανάδελτα (gradient) αυτής είναι κάθετο προς την ισοϋψή. ΘΕΜΑ 3o Nα μεταβληθεί ως προς τη σύγκλιση η δυναμοσείρα:

ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η πεπλεγμένη μορφή Α) Να βρεθεί η παράγωγος

𝑑𝑦 𝑑𝑥

4𝑥 3 4𝑥 5 4𝑥 7 4𝑥 + + + +⋯ 3 5 7 𝜒4𝑦 2−𝑥+𝑦 3 𝑥

𝑥

= , όπου 𝑦 = 𝑓(𝑥 ). 𝑦

Β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που τέμνει κάθετα την ως άνω καμπύλη, στο σημείο 𝑥 = 1, −1 αυτής. ΘΕΜΑ 5ο α) Να υπολογιστεί ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης της συνάρτησης Ποιο είναι το πληροφοριακό του περιεχόμενο; β) Να δειχθεί ότι η 𝑄 εμφανίζει αύξουσες αποδόσεις κλίμακας. γ) Να δειχθεί ότι εμφανίζει και αύξουσες οικονομίες κλίμακας.

𝑦=

𝑄 = 10𝐾 0,6 𝐿0,5.

EKPA TMHMA OIKONOMIKWN EPISTHMWN. MAJHMATIKA I - SEPTEMBRIOU - 2011

Did skontec: St. K¸tsioc, I. LebentÐdhc

A×(B∪Γ) = (A×B)∪(A×Γ)

JEMA 1on:

(1 Mon da) ApodeÐxate ìti

JEMA 2on:

(2 Mon dec) (a) D¸sate treic diaforetikoÔc orismoÔc gia

thn

kurt

sun rthsh.

(b)

'Estw

mÐa

koÐlh

sun rthsh

z thshc.

DeÐxate

ìti h elastikìthta thc eÐnai fjÐnousa.

JEMA 3on:(1.5 stouc arijmoÔc

Mon da) DeÐxate ìti o arijmìc pou eÐnai piì

a1 , a2 , . . . , an

kont

, upì thn ènnoia ìti elaqistopoieÐ thn sun rthsh:

d(x) = (x − a1 )2 + (x − a2 )2 + · · · + (x − an )2 eÐnai h mèsh tim touc.

JEMA 4on:(1

1.001

(1.001)

posìthta

JEMA 5on: sqèsh:

shmeÐa

Mon da)

Qrhsimopoi¸ntac

x − xy + y = 16 x=4

upologÐsate

thn

(1.5 Mon da) H sun rthsh

diaforikì,

tetmhmènh

y(x)

gr fhma

UpologÐsate

ikanopoieÐ thn peplegmènh

thc

thn

y(x)

dièrqetai

exÐswsh

thc

apì

tria

efaptìmenhc

eujeÐac se k je èna apì aut .

JEMA 6on:

(1.5 Mon da) UpologÐsate to olokl rwma:

(x + 1)ex ln xdx

(Upìdeixh: BreÐte posìthta pou h par gwgoc thc na eÐnai Ðsh me

JEMA 7on:

(x+1)ex

)

(2 Mon dec) UpologÐsate to embadì tou qwrÐou pou orÐze-

tai apì tic kampÔlec

1 x = −1 x2 + 1 ,

kai ton xona twn

EKPA TMHMA OIKONOMIKWN EPISTHMWN. MAJHMATIKA I - IOULIOU - 2011

Did skontec: St. K¸tsioc, I. LebentÐdhc

JEMA 1on: ìpou

A, B

A−B = (A∪B)−B

sÔnola.

JEMA 2on: ginomènou.

(1 Mon da) ApodeÐxate thn isìthta:

(2 Mon dec) a) ApodeÐxate ton tÔpo gia thn elastikìthta

b) UpologÐsate thn elastikìthta thc sun rthshc:

g(x) = ex · e2x · e3x · · · e100x √ JEMA 3on:(1.5

e n ulotomhjeÐ se

ètsi

¸ste

Mon da) 'Ena d soc parèqei kèrdoc Ðso proc

qrìnia apì s mera.

megistopoieÐtai

epitìkio eÐnai 15

paroÔsa

axÐa

kai o anatokismìc suneq c

tou

kèrdouc,

Mon da) Na proseggisjeÐ o arijmìc

1.1

sqèsh:

y=x

(1.5 Mon da) H sun rthsh

JEMA 6on:

JEMA 7on:

y(x)

(1.5 Mon da) UpologÐsate to olokl rwma:

dx x3 − 1

(1.5 Mon da) UpologÐsate to olokl rwma:

Z 1

+∞

ln x dx x2

T aylor

ikanopoieÐ thn peplegmènh

UpologÐsate proseggistik thn posìthta:

et sio

qrhsimopoi¸n-

tac touc treic pr¸touc ìrouc enìc katall lou anaptÔgmatoc

; √

JEMA 5on:

Pìte prèpei na gÐnei h ulotìmhsh,

JEMA 4on:(1

10000e

y(1.01)

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Μαθηματικά Ι – Φεβρουάριος 2011 Τμήμα Β’ ΘΔΜΑ 1 α)Έζησ ε ειαζηηθφηεηα δήηεζεο ελφο αγαζνχ. Γείμηε φηη,εάλ , ηφηε θάζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ αγαζνχ νδεγεί ζε κείσζε ησλ νιηθψλ εζφδσλ. β) Η ζπλάξηεο νξηαθνχ θφζηνπο κηαο επηρείξεζεο είλαη , φπνπ x είλαη ε πνζφηεηα παξαγσγήο. Αλ ηα πάγηα έμνδα είλαη 8000 ρξεκαηηθέο κνλάδεο θαη αλ ε ζπλάξηεζε ( ) εζφδσλ είλαη λα ππνινγηζηεί ην επίπεδν παξαγσγήο x ην νπνίν κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε ηεο επηρείξεζεο.

ΘΔΜΑ 2 α) Γείμηε φηη

∑

γηα | |

, φπνπ α

β) Τπνινγίζηε, κε ηε βνήζεηα δηαθνξηθψλ, πφζν αιιάδεη ε ηειηθή αμία αξρηθνχ δνζκέλνπ θεθαιαίνπ ην νπνίν αλαηνθίδεηαη γηα 2 έηε, αλ ην εηήζην επηηφθην κεηαβιεζεί απφ 11% ζε 12%.

ΘΔΜΑ 3 Γείμηε φηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο επζείαο ηεο θακπχιεο ζην ζεκείν ( ) δίλεηαη απφ ηε ζρέζε (

)

(

)

ΘΔΜΑ 4 Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα

∫

(

)(

)

ΘΔΜΑ 5 Να ππνινγηζηεί ην γεληθεπκέλν νινθιήξσκα ∫

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Μαθηματικά Ι – Σεπτέμβριος 2010 ΘΔΜΑ 1ο Αλ ζπλ(x2y)=x+y+yx2+y3x, λα βξεζεί ε παξάγσγνο y’(0). ΘΔΜΑ 2ο Έζησ επηθάλεηα z=x2+4y. Απφ ην ζεκείν (1,2) ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, πνηά είλαη ε θαηεχζπλζε κεγίζηεο αλφδνπ απηήο; Πνηά είλαη ε θιίζε ηεο ηζνυςνπο θακπχιεο πνπ πεξλάεη απφ ην ελ ιφγσ ζεκείν; ΘΔΜΑ 3ο Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα Ι=∫

√

ΘΔΜΑ 4ο Ο αξηζκφο επηβαηψλ ζε κία αθηνπιντθή γξακκή είλαη 500 αλ ην εηζηηήξην ππεξβαίλεη ηα 40€. Γηα θάζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 0,5€, ν αξηζκφο ησλ επηβαηψλ κεηψλεηαη θαηά 4. Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ην έζνδν. ΘΔΜΑ 5ο α) Αλ Q=30Κ2/5L1/4, λα ππνινγίζεηε ην δηαθνξηθφ ηνπ Q. β) Να νξίζεηε (κε ιφγηα, κε απφιπηε ζαθήλεηα – κηα πξφηαζε αξθεί) ηνλ Οξηαθφ Λφγν Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο γηα ηελ ηπρνχζα ζπλάξηεζε παξαγσγήο. γ) Να ππνινγίζεηε ηνλ ΟΛΣΤ γηα ηε ζπλάξηεζε ζην εξψηεκα (α) θαη λα ηνλ εθηηκήζεηε ζηε ζέζε (K,L)=(27,16).

Μαθηματικά Ι – Ιούνιος 2010 1. Αλ ( )

λα ζπνινγηζηεί ν αξηζκφο ( )

( )

( ).

2. Να πξνζεγγηζηεί ν αξηζκφο ρξεζηκνπνηψληαο θαηάιιειν δηαθνξηθφ. 3. Να απνδεηρζεί ε ηζφηεηα ⁄ ( ) ( ). 4. Να αλαπηπρζνχλ νη ηξεηο πξψηνη φξνη ηεο ζεηξάο Taylor ηεο ζπλάξηεζεο ( ) ( ) κε θέληξν ην κεδέλ 5. Να πξνζδηνξηζηνχλ νη ζηαζεξέο a,b έηζη ψζηε ην δηάγξακκα ηεο ζπλάξηεζεο ( ) λα δηέξρεηαη απφ ην ζεκείν (0,2) θαη λα έρεη κέγηζην γηα x=1 6. Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο κε ηχπν (

( ))

7. Να βξεζεί ην επηηφθην πνπ απαηηείηαη πξνθεηκέλνπ έλα πνζφ Κ λα δηπιαζηαζηεί ζην ηέινο ησλ 5 εηψλ, φηαλ ν αλαηνθηζκφο είλαη εηήζηνο. ΢ηελ πεξίπησζε απηή λα ππνινγηζηεί ε ειαζηηθφηεηα ηνπ ηειηθνχ πνζνχ (ηνπ πνζνχ κεηά απφ 5 έηε) σο πξνο ην επηηφθην. 8. Πνηα ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο δπλακνζεηξάο ( ) ∑ ( ) 9. Να βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηεο νξηαθήο θαη ηεο κέζεο θακπχιεο ηεο ζπλάξηεζεο θφζηνπο ( )

Μαθηματικά Ι – Ιανουάριος 2010 Τμήμα Α΄ Θέμα 1ο: α) Να ππνινγίζεηε ηελ παξάγσγν αλ β) Να βξείηε ηελ θιίζε ηεο επζείαο πνπ εθάπηεηαη ζηελ αλ φηαλ x=1. ΢ηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο θακπχιεο ζην x=1 Θέμα 2ο: α) Αλ κηα κεηαβιεηή y είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ρξφλνπ t, δειαδή ζηηγκηαίν ξπζκφ κεγέζπλζεο ry ηεο y

( ) ηφηε λα νξίζεηε ηνλ

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι β) Έζησ ηφηε

2011

( ) . Να απνδείμεηε φηη αλ y=G+S

( ) .

γ) Οη εμαγσγέο αγαζψλ κηαο ρψξαο,

( ) έρνπλ ξπζκφ κεγέζπλζεο

θαη νη εμαγσγέο ησλ

ππεξεζηψλ ηεο, S=S(t) έρνπλ ξπζκφ κεγέζπλζεο . Να απνδείμεηε φηη ν ξπζκφο κεγέζπλζεο ησλ ζπλνιηθψλ εμαγσγψλ είλαη

(

)

Θέμα 3ο: Α) Να απνδείμεηε ηηο παξαθάησ ηδηφηεηεο γηα ηα δηαθνξηθά, φπνπ c1, c2Є θαη u=u(x), v=v(x), ) α) ( β)

( )

) ( ) γ) ( Β) Να ζπγθξίλεηαη ηηο Γy θαη dy, αλ θαη ην x κεηαβάιιεηαη απφ i) 1 ζε 0.06 ii) 1 ζε 0.01. Να ζρνιηάζεηε ηα απνηειέζκαηα ησλ εξσηεκάησλ Βi) θαη Βii). Θέμα 4ο: Να ππνινγίζεηε ην αφξηζην νινθιήξσκα ∫ κε ηελ βνήζεηα ηεο αληηθαηάζηαζεο

√

Θέμα 5ο: α) Να βξείηε ηελ ζεηξά Maclaurin ηεο ζπλάξηεζεο ( ) θαη λα πξνζδηνξίζεηε ην δηάζηεκα ζχγθιεζήο ηεο. β) Να βξείηε ηελ ζεηξά Maclaurin ηεο ζπλάξηεζεο ( ) γ) Με ηελ βνήζεηα ησλ ηεζζάξσλ πξψησλ φξσλ ηνπ εξσηήκαηνο β) λα πξνζεγγίζεηε ην νινθιήξσκα ∫

Τμήμα Β΄ Θέμα 1ο Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα Ι=∫

√

Θέμα 2ο Γίλεηαη ε πεπιεγκέλε ζρέζε x-y=(y2+1)lny, φπνπ y=y(x). Να βξείηε ηηο εμηζψζεηο ηεο εθαπηνκέλεο θαη ηεο θαλνληθήο επζείαο ζην ζεκείν (x,y)=(1,1) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο. Θέμα 3ο Ο αξηζκφο ησλ επηβαηψλ ζε κηα αεξνπνξηθή γξακκή είλαη 140, αλ ην εηζηηήξην δελ ππεξβαίλεη ηα 200 επξψ. Γηα θάζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 5 επξψ, ν αξηζκφο ησλ επηβαηψλ κεηψλεηαη θαηά 2. Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ην έζνδν. Θέμα 4ο Έζησ ηπρνχζα ζπλάξηεζε παξαγσγηθνχ κεηαζρεκαηηζκνχ, Q=f(K,L). Να δεηρζεί φηη απηή εκθαλίδεη θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο, ηφηε εκθαλίδεη θαη θζίλνπζεο νηθνλνκίεο θιίκαθαο. Θέμα 5ο Γνζείζεο ηεο Q=10K1/5L3/5, να ςπολογιζθεί ν Οξηαθφο Λφγνο Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο, , ζην ζεκείν (Κ,L)=(4,6), θαη λα εμεγεζεί κε ζαθήλεηα ην πιεξνθνξηαθφ ηνπ πεξηερφκελν.

Μαθηματικά Ι – Σεπτέμβριος 2009 Θέμα 1ο α) Η αμία ελφο αθηλήηνπ κεηαβάιιεηαη σο πξνο ην ρξφλν t (ζε έηε) ζ \χκθσλα κε ηελ ζρέζε B(t)=100000 √ επξψ. Η αμία B(t) ηνπ αθηλήηνπ χζηεξα απφ t έηε ππνινγίδεηαη κε ζηαζεξφ επηηφθην 2% θαη ζπλερή αλαηνθηζκφ. Να ππνινγίζεηε ηελ ζπλάξηεζε ε νπνία δίλεη ηελ παξνχζα αμία ηνπ αθηλήηνπ. Να ππνινγίζεηε ηελ ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία ε παξνχζα αμία γίλεηαη κέγηζηε. β) Δπελδχνπκε έλα πνζφ P κε επηηφθην 12% θαη ηξηκεληαίν αλαηνθηζκφ. Να ππνινγίζεηε ην ρξνληθφ δηάζηεκα πνπ απαηηείηαη ψζηε ην αξρηθφ πνζφ λα δηπιαζηαζηεί. Θέμα 2ο α) Να ππνινγίζεηε ηελ ζεηξά Taylor ηεο ζπλάξηεζεο f(x)=ex κε θέληξν ην x=0.

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

β) Να ππνινγίζεηε ηελ ζεηξά Taylor ηεο ζπλάξηεζεο g(x)=

κε θέληξν ην x=0.

(Τπφδεημε: Μηα θαιή ηδέα, φρη ππνρξεσηηθή, είλαη λα ρξεζηκνπνηήζεη θαλείο ην εξψηεκα α). Πξνθαλψο θάζε άιιε ηδέα είλαη εμίζνπ απνδεθηή.) γ) Υξεζηκνπνηψληαο ηνπο 4 πξψηνπο φξνπο ηεο ζεηξάο Taylor ηνπ εξσηήκαηνο β) λα πξνζεγγίζεηε ηελ ηηκή ηνπ νινθιεξψκαηνο ∫ Θέμα 3ο Να ππνινγίζεηε ην γεληθεπκέλν νινθιήξσκα Ι=∫

( )

φπνπ, f(x)={

Θέμα 4ο α) Η ζπλάξηεζε δήηεζεο ελφο πξντφληνο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν p+q-30=0 ελψ ε ζπλάξηεζε θφζηνπο είλαη TC=2q2+10q. Να ππνινγηζηεί ε ειαζηηθφηεηα ηεο δήηεζεο ζην ζεκείν πνπ κεγηζηνπνηνχληαη ηα θέξδε. β) Να βξεζεί ε δεχηεξε παξάγσγνο yn ηεο πεπιεγκέλεο ζπλάξηεζεο 3x2-y5=35 ζην ζεκείν x=1. Θέμα 5ο α) Αλ νη ειαζηηθφηεηεο ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g ζην x=1 είλαη ίζεο, εf(1)=εg(1), λα ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο ζπλάξηεζεο h(x)=

( )

ζην x=1.

+bx+c

β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)= ζπλάξηεζεο ειαζηηθφηεηαο ηεο f.

, a≠0. Να βξεζνχλ ηα

αθξφηαηα ηεο

Μαθηματικά Ι – Ιούνιος 1999 Θέμα 1 (25 κνλάδεο) α) κε ηελ ρξήζε δηαθνξηθψλ ππνινγίζαηε πξνζεγγηζηηθά ηηο αθφινπζεο πνζφηεηεο  εκ(0.01)  ln(1.01)

(10) β) 2000 Δπξψ θαηαηίζεληαη ζε ινγαξηαζκφ ηακηεπηεξίνπ κε εηήζην αλαηνθηζκφ θαη επηηφθην r. Έζησ Κ1(r) ην ζπλνιηθφ πνζφ ηεο επέλδπζεο κεηά απφ 10 ρξφληα θαη Κ2(r) ην αληίζηνηρν πνζφ κεηά απφ 15 ρξφληα. Να ππνινγηζηνχλ νη ειαζηηθφηεηεο ησλ δχν ζπλαξηήζεσλ σο πξνο ην επηηφθην r. Πνηα απφ ηηο δχν ειαζηηθφηεηεο είλαη κεγαιχηεξε; (15) Θέμα 2 (20 κνλάδεο) α) Η δήηεζε q ζπλδέεηαη κε ηελ ηηκή p κε ηελ ζπλάξηεζε p=-q2-4q+96. Να ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο δήηεζεο σο πξνο ηελ ηηκή, φηαλ ε ηηκή p=51. (12) β) Έζησ πεπιεγκέλε ζπλάξηεζε κε ηχπν (2x+3y)5=x+1. Τπνινγίζαηε ηελ . (8) Θέμα 3 (20 κνλάδεο) α) Έλαο θηλεκαηνγξάθνο έρεη ρσξεηηθφηεηα 3000 αηφκσλ. Ο αξηζκφο ησλ αηφκσλ πνπ παξαθνινπζνχλ ιελα έξγν ζηελ ηηκή p ηνπ εηζεηεξίνπ είλαη q= -1500 ΢πλήζσο ε ηηκή είλαη 6 επξψ ην εηζηηήξην. Να ππνινγηζηεί ε ειαζηηθφηεηα ησλ εζφδσλ σο πξνο ηελ ηηκή. Αλ ε ηηκή κεησζεί ηα έζνδα ζα απμεζνχλ ή ζα κεησζνχλ; (10) Θέμα 4 (25 κνλάδεο) α) Η ζπλάξηεζε θφζηνπο ελφο πξντφληνο είλαη C(q)=40q+20000 θαη ε ζπλάξηεζε ηηκήο p=160-q/100 φπνπ q νη παξαγφκελεο κνλάδεο. Να βξεζνχλ ηα q,p πνπ κεγηζηνπνηνχλ ην θέξδνο. (10) β) Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο κε ηχπν (

)(

)

(

( )

)

(15) Θέμα 5 (30 κνλάδεο) α) Να αλαπηπρζεί ζε ζεηξά Taylor ε ζπλάξηεζε

κέρξη θαη ηνλ φξν x3. (10)

β) Να βξεζεί ν αξηζκφο “α” ψζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε εμίζσζε =∫ ∫

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011 (20)

Μαθηματικά Ι – Φεβρουάριος 2009 Τμήμα Α΄ ΘΔΜΑ 1 Μηα εηαηξεία ε νπνία παξάγεη επνρηαθά αγαζά παξάγεη cos1.1 σιλιάδερ μονάδερ αγαζψλ κηα ζπγθεθξηκέλε ζηηγκή. Να πξνζεγγίζεηε ην cos1.1 ρξεζηκνπνηψληαο πνιπψλπκν Taylor 6νπ βαζκνχ γχξσ απφ ην x=0 γηα ην cosx θαη λα εθηηκήζεηε ην ζθάικα ηεο πξνζέγγηζεο. Πφζεο κνλάδεο πξντφληνο εθηηκάηε φηη παξάγεη απηή ηελ ζπγθεθξηκέλε εκέξα; ΘΔΜΑ 2 Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο 2 3

1 3

Q( K , L)  270 K L

QL (125, 27)

θαη

QK (125, 27) γηα ηελ ζπλάξηεζε Cobb-Douglas

Πνην απφ ηα παξαθάησ ζα απμήζεη πεξηζζφηεξν ηελ παξαγσγή: αχμεζε θαηά κηα κνλάδα ηεο εξγαηηθήο δχλακεο ή αχμεζε θαηά κηα κνλάδα ηνπ θεθαιαίνπ; Να αηηηνινγήζεηε ηελ

QL (125, 27)

QK (125, 27)

απάληεζε ζαο εξκελεχνληαο ηηο ηηκέο θαη. Αλ ε παξαπάλσ

ζπλά-ξηεζε Q(K,L) εθθξάδεη ηελ εκεξήζηα παξαγσγή ζε έλα εξγνζηάζην, κε θεθάιαην Κ=216 (ζε ρηιηάδεο επξψ) θαη L=1000 ψξεο ηελ εκέξα, λα εθηηκήζεηε ηελ κεηαβνιή ζηελ παξαγσγή αλ ην θεθάιαην απμεζεί θαηά 500 επξψ θαη ε εξγαηηθή δχλακε απμεζεί θαηά 4 ψξεο εξγα-ζίαο. ΘΔΜΑ 3 Καηαζέηνπκε ζην ηέλορ θάζε έηνπο Α επξψ ζε κηα ηξάπεδα κε εηήζην αλαηνθηζκφ θαη επηηφθην r%. Να απνδείμεηε φηη ην πνζφ πνπ ζα ζρεκαηηζηεί ζην ηέινο ηνπ λ-νζηνχ έηνπο (δει. φηαλ ηνπνζεηήζνπκε ηελ λ-νζηή θαηάζεζε) ηζνχηαη κε

S  A

(1  r )v  1 r

Να ιχζεηε ην αθφινπζν πξφβιεκα: Έλαο θαπληζηήο μνδεχεη γηα θάπληζκα 4 επξψ εκεξεζίσο θαηά κέζν φξν. Να ππνινγηζζεί ηη πνζφ ζα εηζέπξαηηε ζην 60 έηνο ηεο ειηθίαο ηνπ αλ θαηέζεηε ζην ηέινο θάζε έηνπο ηα ρξήκαηα πνπ δηέζεηε γηα ηελ αγνξά ηζηγάξσλ ζε κηα ηξάπεδα κε εηήζην αλαηνθηζκφ θαη επηηφθην 2%, αλ είλαη γλσζηφ φηη άξρηζε ην θάπληζκα ζην 20 έηνο ηεο ειηθίαο ηνπ. (Γίλεηαη φηη

1.2040  2.20804

θαη φηη 1 ρξφλνο=365 εκέξεο.)

ΘΔΜΑ 4 α. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι x5  2  x2  1dx β. Τπνζέηνπκε φηη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο ελφο πξντφληνο είλαη

2011

d ( x) 

110 1 x

επξψ αλά

κνλάδα πξντφληνο. Να ππνινγίζεηε ην πιεφλαζκα ηνπ θαηαλαισηή αλ ην πξντφλ πσιείηαη ζηελ αγνξά 10 επξψ. ΘΔΜΑ 5 Έζησ p ε ηηκή πψιεζεο κηαο κνλάδαο πξντφληνο θαη q ν αξηζκφο ησλ κνλάδσλ πξντφληνο πνπ πσιήζεθαλ ζηελ ηηκή p. Αλ κε R ζπκβνιίζνπκε ην νιηθφ έζνδν απφ ηελ πψιεζε q κνλάδσλ πξντφληνο ζηελ ηηκή p θαη κε η ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο δήηεζεο, ηφηε λα απνδείμεηε φηη

dR  q(1   ) dp Να εμεγήζεηε κε πνηφλ ηξφπν ην επίπεδν ειαζηηθφηεηαο ηεο δήηεζεο θαζνξίδεη ηελ αχμεζε ή ηελ κείσζε ηνπ νιηθνχ εζφδνπ. Αλ ππνζέζνπκε φηη ε δήηεζε q κε ηελ ηηκή p ελφο αγαζνχ ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε

p  2q 2  8q .192 Να ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο δή-ηεζεο

φηαλ ε ηηκή είλαη p=128. Να ραξαθηεξίζεηε ηελ δήηεζε σο ειαζηηθή, αλειαζηηθή ή κνλαδηαία ειαζηηθή. ΠΑΡΑΣΖΡΖ΢Ζ: Να ιχζεηε θαη ηα 5 ζέκαηα. Σα ζέκαηα είλαη βαζκνινγηθά ηζνδχλακα.

Τμήμα Β΄ ΘΔΜΑ 1 α. Να βξεζεί γεσκεηξηθά ε ειαζηηθφηεηα ζε έλα ζεκείν Α κηαο θακπχιεο y=f(x). β. Γεδνκέλνπ φηη y=y(t), ζπλάξηεζε ηνπ ρξφλνπ, πνηα είλαη ε ιχζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο y=0,06y, αλ είλαη γλσζηφ φηη y(0)=4; ΘΔΜΑ 2 Να αλαπηπρζεί ζε δπλακνζεηξά Maclaurin θαη λα κειεηεζεί σο πξνο ηε ζχγθιηζε ε

f ( x) 

1 x x e  e  2 .

ΘΔΜΑ 3 α. Τπφ ζπλζήθεο ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ θαη επηηφθην r=0,06, πνηα απφ ηηο δχν επφκελεο ρξεκαηηθέο εηζξνέο θξίλεηαη σο πιένλ ζπκθέξνπζα, κε βάζε ην ίδην θξηηήξην ηεο παξνχζαο αμίαο; Α. Πνζφ €100.000 ζήκεξα Β. Πνζφ €60.000 ζήκεξα θαη πνζφ € 50.000 ζε 27 κήλεο (Γίλεηαη φηη

e0.135  0.874 )

ΘΔΜΑ 4

www.dap-oikonomikou.gr

z y

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

 ( zy)  z 3  zx 2  x , φπνπ z=f(x,y),

α. Αλ

β. έζησ επηθάλεηα

z  x 2  2 xy .

λα βξεζεί ε παξάγσγνο

Απφ ην ζεκείν (2,1) ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ηεο, πνηα είλαη ε

θαηεχζπλζε κεγίζηεο αλφδνπ απηήο; Πφζε είλαη ε θιίζε ηεο ηζνυςνχο θακπχιεο πνπ πεξλάεη απφ ην ελ ιφγσ ζεκείν; ΘΔΜΑ 5 Να βξεζεί ην νινθιήξσκα



2

 x2  2 x  2

Μαθηματικά Ι – Σεπτέμβριος 2008 Θέμα 1ο : Γίδεηε ε ζπλάξηεζε:

f (u, v)  (uv)2 θαη έζησ φηη

u

x y

θαη

v

y . Ύπνινγίζηε ην df x

, ρσξίο αληηθαηάζηαζε.

Θέμα 2ο : Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα :



x xdx

Θέμα 3ο : Να αλαπηχμεηε ηε ζπλάξηεζε

f ( x)  xe x

ζε ζεηξά Taylor , κε θέληξν

x0  1

θαη

λα ηελ κειεηήζεηε σο πξνο ηελ ζχγθιηζε. Θέμα 4ο :

Α) Έζησ ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο

Q  AK a Lb

, λα δείμεηε φηη θαηά κήθνο επζείαο πνπ

δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ , ν νξηαθφο ιφγνο ηερληθήο ππνθαηάζηαζεο (ΟΛΣΤ ή ΜΡΣ) είλαη ζηαζεξφο.

Β) Έζησ ζπλάξηεζε ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε

f ( x)

, λα δεηρζεί φηη ζηα ζεκεία πνπ απηή

εκθαλίδεη ηνπηθφ αθξφηαην ε απφιπηε ηηκή ηεο ειαζηηθφηεηαο ηνπ κέζνπ κεγέζνπο είλαη κνλαδηαία.

Μαθηματικά Ι – Ιούνιος 2008 1.

(20 ΜΟΝΑΓΔ΢)

(α) Με ηε ρξήζε δηαθνξηθψλ ππνινγίζαηε πξνζεγγηζηηθά ηηο αθφινπζεο πνζφηεηεο

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

9997 3 5 (10 ) 1000 (β) Αλ ην εηήζην επηηφθην είλαη 10%, πνηα απφ ηηο παξνχζεο αμίεο ησλ δχν παξαθάησ ρξεκαηνξνψλ έρεη κεγαιχηεξε ειαζηηθφηεηα σο πξνο ην επηηφθην 

180 € ζε έλα ρξφλν απφ ηψξα



100€ ηψξα θαη 95€ ζε δχν ρξφληα απφ ηψξα

2. (20 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Να απνδεηρζεί φηη

    ( )  

θαη

(  )   

(β) Έζησ πεπιεγκέλε ζπλάξηεζε κε ηχπν εκ(xy)=xy. Τπνινγίζηε ηελ y’ 3. (25 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Μηα επηρείξεζε εηδηθεχεηαη ζην λα ζρεδηάδεη Tshirts. Σν ζπλνιηθφ θαζεκεξηλφ θφζηνο ηεο επηρείξεζεο γηα επίπεδν παξαγσγήο ρ Tshirt είλαη C(x)=25+4x2 

΢ε πνην επίπεδν παξαγσγήο ρ ην θφζηνο ζα είλαη 225



Αλ ην επίπεδν παξαγσγήο είλαη 40 T-shirts πφζν ζα απμεζεί ην θφζηνο αλ ε παξαγσγή απμεζεί ζηα 50 T-shirts;



Βξεζεί ε πνζφηεηα ρ φπνπ ην κέζν θφζηνο ηζνχηαη κε ην νξηαθφ θφζηνο.

(β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο D=11-ζp θαη ε ζπλάξηεζε πξνζθνξάο S=10+2p. Έζησ φηη p* ην ζεκείν ηζνξξνπίαο. Μειεηήζαηε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο ζπλάξηεζεο εζφδσλ R(p*) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ζ. 4. (25 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Κάζε εβδνκάδα 1200 επηβάηεο ρξεζηκνπνηνχλ ην ηξέλν αλ ην εηζηηήξην είλαη 20 €. Κάζε κείσζε ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 2€ απμάλεη ηνπο πειάηεο θαηά 100. Πνηα είλαη ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ηα έζνδα; (ζπλάξηεζε δήηεζεο γξακκηθή). (β) Να ππνινγηζζεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο κε ηχπν

 2 ex  (   3)(  2  1) 1  e x 5. (25 ΜΟΝΑΓΔ΢) (α) Να αλαπηπρζεί ζε ζεηξά Taylor ε ζπλάξηεζε xx κέρξη θαη ηνλ φξν(ρ-1)2

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι (β)

Να

βξεζεί 

 a dx    ( x)e x



αξηζκφο x

2011 «α»

ψζηε

λα

ηθαλνπνηείηαη

εμίζσζε

Μαθηματικά Ι – Φεβρουάριος 2008 Τμήμα Α΄ ΘΔΜΑ 1 Οη επηβάηεο ηνπ πινίνπ θάπνηαο γξακκήο είλαη 400, φηαλ ην εηζηηήξην είλαη 20€. ΢ε θάζε ηέζζεξηο επηβάηεο αληηζηνηρεί έλα απηνθίλεην, ηνπ νπνίνπ ν λαχινο είλαη 38€. Γηα θάζε κείσζε ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 0,5€ νη επηβάηεο απμάλνληαη θαηά 10, θαη αλάινγα θαη ηα απηνθίλεηα, δειαδή έλα γηα θάζε ηέζζεξηο, κε ζηαζεξφ ηνλ λαχιν ησλ 38€. Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ην έζνδν. ΘΔΜΑ 2 (Α) Γίλεηαη ε πεπιεγκέλε ζρέζε

x2  y 2 x  0

. Γίλνληαο αξθεηά βήκαηα ψζηε λα κπνξεί λα

αλαγλσξηζζεί ε κέζνδνο, λα βξείηε ηελ παξάγσγν

dy dx

κε ηξεηο ηξφπνπο: (α) Με παξαγψγηζε

φξν πξνο φξν (β) κε δηαθφξηζε θαη (γ) κέζσ ηχπνπ. (Β) Να δείμεηε φηη αλ

f ( x, y)  F ( x 2  y 2 ) , ηφηε γηα θάζε F

ηζρχεη ε ζρέζε

xf y  yf x  0

ΘΔΜΑ 3 Να ππνινγηζζεί ην αφξηζην νινθιήξσκα

I 

4 x3  6 x 2  x  16 dx . ( x  2)2 ( x 2  2 x  3)

ΘΔΜΑ 4 (α) Αξρηθφ πνζφ έηε γίλεηαη

I0 ,

ηνθηδφκελν κε εηήζην επηηφθην

θαη ζπλερή αλαηνθηζκφ, κεηά απφ

I t  ?.

(β) ΢ηε ζρέζε ηνπ εξσηήκαηνο (α), λα δείμεηε αλαιπηηθά φηη ν πνζνζηηαίνο ξπζκφο κεηαβνιήο είλαη ζηαζεξφο. (γ) Πνηα δηαθνξηθή εμίζσζε έρεη σο ιχζε ηε ζπλάξηεζε

y  aert

;

ΘΔΜΑ 5 (α) Να βξεζεί ην ζεκείν Α επί ηεο θακπχιεο

y x

ην νπνίν βξίζθεηαη πιεζηέζηεξα ζην

εθηφο απηήο ζεκείν Β: (3, 0). (β) Να δείμεηε, θάλνληαο ρξήζε νκνίσλ ηξηγψλσλ, φηη ε ειαζηηθφηεηα ηεο θακπχιεο

y  f ( x)

ηνπ ζρήκαηνο, ζην ζεκείν Α απηήο, είλαη θαηά ηελ απφιπηε ηηκή ίζε κε

Ση ηζρχεη ζρεηηθά κε ην πξφζεκν;

www.dap-oikonomikou.gr



AE AB

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Τμήμα Β΄ ΘΔΜΑ 1ον: (1 Μνλάδα) Γίδεηαη ε δηκειήο ζρέζε R = { (1, α), (α, 2), (α, α), (1, 2), (2, 2), (1, 1) }. Δμεηάζαηε εάλ είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο ή δηαηάμεσο θαη ηη είδνπο.

ΘΔΜΑ 2ον: (1 Μνλάδα) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε ειαζηηθφηεηνο ηεο

f ( x)  5 x

x

. Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο

ΘΔΜΑ 3ον: (1 Μνλάδα) Γείμαηε ηελ ζρέζε:

ex 5  1  2 x  x 2  ... 1 x 2

ΘΔΜΑ 4ον: (1 Μνλάδα) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο: Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα:

Q

K L . K L

 2Q . K L

ΘΔΜΑ 5ον: (1.5 Μνλάδα) Η ζπλάξηεζε

y ( x) ηθαλνπνηεί Τπνινγίζαηε πξνζεγγηζηηθά ηελ πνζφηεηα: y (1.01) .

ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε:

2y  xy .

ΘΔΜΑ 6ον: (1.5 Μνλάδα) Γίδνληαη νη θάησζη ζπλαξηήζεηο δήηεζεο θαη πξνζθνξάο: D  2  a  p, S  3  d  p , φπνπ a, d ζεηηθέο παξάκεηξνη ρξνληθά κεηαβαιιφκελεο. Δάλ ηα

θαη

απμάλνπλ κε ηελ πάξνδν ηνπ ρξφλνπ κε ξπζκφ 1, βξείηε ην ξπζκφ αιιαγήο

ηνπ ζεκείνπ ηζνξξνπίαο

p

, φηαλ

a2

θαη

d  3.

ΘΔΜΑ 7ον: (4 Μνλάδεο) Τπνινγίζαηε ηα νινθιεξψκαηα

x 12

 ln x dx , dx  1 1 x3

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Μαθηματικά Ι – Σεπτέμβριος 2007 Θέμα 1ον : ( 1 Μνλάδα) Τπνινγίζαηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλαξηήζεσο:

f ( x) 

1 (3x 4  8 x3  6 x 2  24 x)  999999 12

θαζψο θαη ην είδνο ηνπο.

Θέμα 2ον: (1 Μνλάδα) Υξεζηκνπνηψληαο δηαθνξηθά, ππνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα:

31.9

Θέμα 3ον: (1 Μνλάδα) Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:



Θέμα 4ον: (1 Μνλάδα)

f ( x, y ) 

Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε:

ln 5x dx . x

x y f f . Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα:  x y x y

Θέμα 5ον: (1 Μνλάδα) Να βξεζεί ην εκβαδφλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ηελ

y  3x 2 ,

ηνλ άμνλα ησλ

θαη ηε

εθαπηνκέλε ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν (1,3). Θέμα 6ον: (2 Μνλάδεο) Γηα κία ζπλάξηεζε

f  x

ηζρχνπλ νη ζρέζεηο:

f  1  1, f  1  2, f 1  1 .

Γείμαηε,

 f 1.5  1.5 .

ρξεζηκνπνηψληαο ζεηξέο, φηη Θέμα 7ον: (2 Μνλάδεο) Η ζπλάξηεζε

y  y  x

ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε:

δελ έρεη αξλεηηθέο ηηκέο. Γείμαηε φηη ζην

x0  1

y 2  2 xy  4 x2  2 y 2  4 x3

θαη

παξνπζηάδεη ζεκείν θακπήο.

Θέμα 8ον: (2 Μνλάδεο) 

Γείμαηε φηη:

x



dx   ,b  a 2  2ax  b b2  a 2

Μαθηματικά Ι – Ιούνιος 2007 ΘΔΜΑ 1ν Η f είλαη ζπλάξηεζε παξαγσγίζηκε ζην 2, κε ηηκέο

g / (2)

αλ

g ( x) 

2x 1 ( xf ( x)) 2

f (2)   f / (2)  1.

Τπνινγίζηε ηελ ηηκή

ΘΔΜΑ 2ν Γίλνληαη ε θακπχιε

y  x 2  6 x θαη

ηα ζεκεία Α: (1,-5) θαη Β: (2,-8) απηήο. Να βξεζεί ην

ζεκείν Γ ηεο θακπχιεο φπνπ ε εθαπηνκέλε ζε απηή επζεία λα είλαη θάζεηε ζηελ ρνξδή ΑΒ.

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

ΘΔΜΑ 3ν 1.Γηαηππψζηε ην ζεψξεκα ηεο Δλδηάκεζεο Σηκήο 2.Γείμηε φηη ε εμίζσζε

2cos( x)  x  1 έρεη ξίδα εληφο ηνπ δηαζηήκαηνο [

 2

,1]

ΘΔΜΑ 4ν Α) Με πνην εηήζην επηηφθην r’ θαη ζπλερή αλαηνθηζκφ έρνπλ ηελ ίδηα παξνχζα αμία νη επφκελεο δχν εηζξνέο: α) Πνζφ 40.000€ ζήκεξα ζπλ πνζφ 80.000€ κεηά απφ 4 ρξφληα β) Πνζφ 10.000€ ζήκεξα.

[ln(6 / 8)  0.288]

Β) Πνηα εηζξή είλαη πξνηηκφηεξε αλ r>r’ θαη πνηα αλ r<r’ ΘΔΜΑ 5ν Έζησ

f ( x)  x 2  px  q. Βξείηε

ηα p,q ψζηε

f (1)  3 λα

είλαη ε ηηκή αθξφηαηνπ ηεο

ζπλάξηεζεο ζην [0,2]. Δίλαη ε ηηκή απηή κέγηζην ή ειάρηζην; ΘΔΜΑ 6ν Απνηακηεπηήο θαηαζέηεη ζην ηέινο θάζε έηνπο 300€ γηα δηάζηεκα 25 εηψλ. Αλ ην επηηφθην θαηάζεζεο είλαη 2% κε ηξηκεληαίν αλαηνθηζκφ, πνην ζα είλαη ην θεθάιαην ηνπ ζην ηέινο ηεο 25εηίαο; ΘΔΜΑ 7ν Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα

  (ln x)dx

ΑΠΑΝΣΖ΢ΣΔ ΢ΣΑ 5 ΑΠΟ ΣΑ 7 Η΢ΟΓΤΝΑΜΑ ΠΡΟΣΔΗΝΟΜΔΝΑ ΘΔΜΑΣΑ.

Μαθηματικά Ι – Ιανουάριος 2007 Τμήμα Α΄ ΘΔΜΑ 1 (α) Γίλεηαη ε y = x2 θαη ηα ζεκεία Α = (0,0) θαη Β = (2,4) απηήο. Να βξεζεί ζεκείν Γ πάλσ ζε απηήλ, ηέηνην ψζηε ε εθαπηφκελε επζεία ζην ζεκείν Γ ηεο θακπχιεο λα είλαη θάζεηε ζηε ρνξδή ΑΒ. (β) Να βξεζεί ε παξάγσγνο

x dy , αλ y cos x + y dx

- x – yx2/7 = 0

ΘΔΜΑ 2 (α) Να νξίζεηε ηνλ Οξηαθφ Λφγν Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο (ΟΛΣΤ, ή MRTS), λα εμεγείζεηε ηε ζρέζε ηνπ κε ην νιηθφ δηαθνξηθφ, θαη λα ηνλ αληιήζεηε γηα ηελ ηπρνχζα ζπλάξηεζε παξαγσγήο Q = f (K, L).

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

(β) Να δείμεηε, θάλνληαο ρξήζε ησλ εηο ην (α), φηη φηαλ ε f είλαη ηχπνπ Cobb-Douglas, ηφηε ν ΟΛΣΤ είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ιφγνπ ησλ παξαγσγηθψλ ζπληειεζηψλ. ΘΔΜΑ 3 (α) Αλ ε ζπλάξηεζε δήηεζεο ηνπ αγαζνχ Α είλαη DA (pA, pB, Y) = 110 – 0,2pA +

pBY

, φπνπ Β είλαη έλα άιιν αγαζφ θαη Y ην εηζφδεκα, λα

ππνινγηζζεί ε εηζνδεκαηηθή ειαζηηθφηεηα δήηεζεο ηνπ Α, ζην ζεκείν (pA, pB, Y) = (10,32,2), θαη λα εμεγεζεί ην πιεξνθνξηαθφ ηεο πεξηερφκελν. (β) Να δείμεηε φηη ε εθζεηηθή ζπλάξηεζε y = αx

εκθαλίδεη ζηαζεξφ πνζνζηηαίν ξπζκφ

κεηαβνιήο. ΘΔΜΑ 4 Να ππνινγηζζεί ην αφξηζην νινθιήξσκα Ι =

 (2 x  1)( x

 4 x  5)

dx.

ΘΔΜΑ 5 (α) Να αλαπηχμεηε ηελ f(x) = xex ζε δπλακνζεηξά Taylor κε θέληξν ην x = 1 θαη λα ηελ κειεηήζεηε σο πξνο ηε ζχγθιηζε.

Τμήμα Β΄ ΘΔΜΑ 1ο Βξείηε ηα x є R, αλ ππάξρνπλ, ψζηε

log x (2  x)  4log 2 x x .

(Να αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 2 ηος ηεηπαδίος). ΘΔΜΑ 2ο Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο y(x) πνπ ηθαλνπνηεί ηελ εμίζσζε y3 – xy = εκ2y + 4x – y, ζην ζεκείν (0,0). (Να αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 3 ηος ηεηπαδίος). ΘΔΜΑ 3ο 1. Γηαηππψζαηε ην ζεψξεκα ηνπ Rolle. 2.Γείμηε φηη ε εμίζσζε

x3  4 x  1  0 έρεη αθξηβψο κία πξαγκαηηθή ιχζε.

(Να αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 4 ηος ηεηπαδίος). ΘΔΜΑ 4ο ΢ε αγνξά πιήξνπο αληαγσληζκνχ ε δήηεζε θαη ε πξνζθνξά ελφο πξντφληνο θαζνξίδνληαη απφ ηηο ζπλαξηήζεηο D(p) = 5 – 10 p θαη S(p) = -8 + 12p αληίζηνηρα. Αλ ε κνλάδα ηνπ πξντφληνο θνξνινγείηαη κε m επξψ θαη αλ ππνζέζνπκε φηη ε θνξνινγία ηζνθαηαλέκεηαη κεηαμχ

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

παξαγσγνχ θαη θαηαλαισηή, λα βξεζεί εθείλε ε ηηκή m πνπ κεγηζηνπνηεί ηα έζνδα απφ θφξνπο. (Να αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 5 ηος ηεηπαδίος). ΘΔΜΑ 5ο 1. Τπνινγίζηε ηελ παξάγνπζα,

2( x 2  x  1)( x 2  2 x  1) dx .  ( x  1)( x 4  1)

(Να αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 6 ηος ηεηπαδίος).  /4

 ln( ( x)) ( x)dx .

2. Να ππνινγηζηεί ην νξηζκέλν νινθιήξσκα

(Να αναπηςσθεί ζηη ζελίδα 7 ηος ηεηπαδίος).

Μαθηματικά Ι – Σεπτέμβριος 2006 ΘΔΜΑ 1ον : (α) Απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα :

A   B  C    A  B   A  C  (β) Γείμαηε φηη ε ζπλάξηεζε

f ( x)  x

ΘΔΜΑ 2ον :Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε

είλαη θπξηή .

f ( x)  x

θαη ην ζεκείν

9  A  ,0  . 2 

Να βξείηε ην ζεκείν Μ ηνπ γξαθήκαηνο ηεο θ πνπ απέρεη απφ ην ζεκείν Α ηε κηθξφηεξε απφζηαζε. Να απνδείμεηε φηη ε εθαπηφκελε ηνπ γξαθήκαηνο ζην Μ είλαη θάζεηε ζηελ ΑΜ. ΘΔΜΑ 3ον: Έζησ D=α-βp κία ζπλάξηεζε δήηεζεο θαη S= -γ+δp κία ζπλάξηεζε πξνζθνξάο κε α,β,γ,δ>0. Βξείηε πφζν ζα αιιάμεη ε ηηκή ηζνξξνπίαο ( ε ηηκή p πνπ θάλεη ηε πξνζθνξά ίζε κε ηε δήηεζε), φηαλ ηα α,β,γ,δ αιιάδνπλ θαηά κ% ην θαζέλα.

 3

ΘΔΜΑ 4ον: Τπνινγίζαηε ηα νινθιεξψκαηα



dx dx 0 1  x , 0 x 2  4

ΘΔΜΑ 5ον : Γηθαηνινγψληαο πιήξσο ηελ απάληεζε ζαο, βξείηε ζε πνηα απφ ηηο παξαθάησ ζπλαξηήζεηο αληηζηνηρεί ην γξάθεκα ηνπ ζρήκαηνο (1):

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

 A f  x   x3  4,  B  f  x   x3  4x, C  f  x    x3  4x,  D  f  x   x4  4x2 ,  E  f  x    x4  4x2 Εμβόλιμη ΘΔΜΑ 1ον : (α) Απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα :

A   B  C    A  B   A  C  (β) Γείμαηε φηη ε ζπλάξηεζε

f ( x)  x

ΘΔΜΑ 2ον : Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε

είλαη θπξηή .

f ( x)  x

θαη ην ζεκείν

9  A  ,0  . 2 

 

ΘΔΜΑ 4ον: Τπνινγίζαηε ηα νινθιεξψκαηα

dx dx 0 1  x , 0 x 2  4

 A f  x   x3  4,  B  f  x   x3  4x, C  f  x    x3  4x,  D  f  x   x4  4x2 ,  E  f  x    x4  4x2 Μαθηματικά Ι – Ιούλιος 2006 ΘΔΜΑ 1 α)Απνδείμαηε φηη ,έαλ

A  B ,ηφηε: A  A  A  B  B  B .

β) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο :

Q

KL K  L2 2

. Γείμαηε φηη :

Q Q K L0 K L

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

ΘΔΜΑ 2 Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο επζείαο ηεο θακπχιεο :

y x   x2 y3  0 1 y 1 x

ζην ζεκείν (1,1). ΘΔΜΑ 3 Σν έζνδν απφ ηελ πινηφκεζε ελφο δάζνπο, ζε ηξέρνπζεο ηηκέο ,είλαη

R(t )  e t ,   0 .

Αλ ππάξρεη έλαο ζπλερήο πιεζσξηζκφο r, βξείηε ηελ ρξνληθή ζηηγκή t* πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ παξνχζα αμία ηνπ εζφδνπ. ΘΔΜΑ 4 Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

I 

7x  9 dx 11x 2  x  1

ΘΔΜΑ 5 Γείμαηε φηη :





e x xdx 

1 2

Μαθηματικά Ι – Ιανουάριος 2006 Τμήμα Α΄ Εήηημα 1ο (μονάδερ 1): 

Να ππνινγίζεηε ην γεληθεπκέλν νινθιήξσκα

I

x 0

dx 4

Εήηημα 2ο (μονάδερ 2): Έζησ νη ζπλαξηήζεηο πξνζθνξάο S(p) = -3 + 3p θαη δήηεζεο D(p) = 25 – 3p γηα έλα πξντφλ ζε κηα ηέιεηα αγνξά πιήξνπο αληαγσληζκνχ. Δάλ ε θπβέξλεζε επηβάιιεη θνξνινγία t ρξεκαηηθψλ κνλάδσλ ζε θάζε πσινχκελε κνλάδα πξντφληνο, επηβαξχλνπζα κφλν ηνλ θαηαλαισηή λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηεο θνξνινγίαο t πνπ κεγηζηνπνηεί ηα θξαηηθά έζνδα. Εήηημα 3ο (μονάδερ 1): Να δείμεηε φηη

A  ( B  C)  ( A  B)  ( A  C) γηα

ηξία απζαίξεηα κε θελά ζχλνια A,B θαη

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Εήηημα 4ο (μονάδερ 2): Αλ ην y είλαη ζπλάξηεζε ηνπ x κε y(1) = 0 θαη επηπιένλ ηζρχεη φηη , λα ππνινγίζεηε ηηο κεξηθέο παξαγψγνπο

ππνινγίζεηε ηα

F ( x, y)  e y x  y  x  0

F F ( x, y ) ( x, y) . x y

y ' (1) y '' (1) θαη λα επηβεβαηψζεηε ηε ζρέζε

΢ηε ζπλέρεηα λα

F F (1, 0) y ' (1)   (1, 0) y x

Εήηημα 5ο (μονάδερ 2): 2

Να ππνινγίζεηε ην νινθιήξσκα

dx ( x  1)( x 2  1) 1

I 

Εήηημα 6ο (μονάδερ 2): Αλ νη ειαζηηθφηεηεο ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g ζην ρ = 1 είλαη

f (1)  e, g (1)  1

e f (1)  eg (1)  1 θαη

λα ππνινγίζεηε ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο ζπλάξηεζεο

επηπιένλ

h( x)  ( f ( x)) g ( x )

ζην

ρ=1

Τμήμα Β΄ Θέμα 1ο (15 Μονάδερ): Έζησ Ρ ην ζχλνιν ησλ πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ θαη G κηα ζρέζε ζην RxR. Σν δεχγνο (x,y) αλήθεη ζηε G εάλ θαη κφλν εάλ κπνξνχκε λα βξνχκε έλαλ αθέξαην αξηζκφ ξ ψζηε x – y = 2p .Γείμαηε φηη ε G είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο. Θέμα 2ο (15 Μονάδερ): Γίδεηαη φηη:

f ( x, y)  ( xy)( xy )

Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα

f (1.01,1.01)

Θέμα 3ο (15 Μονάδερ): Τπνινγίδεηαη φηη εάλ θαιιηεξγήζνπκε 24 κειηέο ζε έλα εθηάξην ζα πάξνπκε 500 κήια αλά δέλδξν ηνλ ρξφλν. Γηα θάζε επηπιένλ δέλδξν αλά εθηάξην ε παξαγσγή κεηψλεηαη θαηά 11 κήια αλά δέλδξν ηνλ ρξφλν. Πφζα δέλδξα πξέπεη λα θαιιηεξγεζνχλ αλά εθηάξην ψζηε λα πάξνπκε ηα πεξηζζφηεξα δπλαηφλ κήια; Θέμα 4ο (20 Μονάδερ): (α) Έζησ κηα θνίιε ζπλάξηεζε δήηεζεο. Γείμαηε φηη ε ειαζηηθφηεηά ηεο είλαη θζίλνπζα (β) Αξρηθφ θεθάιαην

αλαηνθηδφκελν εηεζίσο κε επηηφθην r γηα λ έηε, απνδίδεη πνζφ Κ.

Δάλ ην επηηφθην απμεζεί θαηά 1%, πφζν ζα αιιάμεη ην Κ; Θέμα 5ο (15 Μονάδερ): _

Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα

T  k  u 2 ( u  u ) 1 du *

u,   0

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Θέμα 6ο (20 Μονάδερ): Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα





x 2 dx ( x 2  a 2 )( x 2  b 2 )

Μαθηματικά Ι – Σεπτέμβριος 2005 ΘΔΜΑ 1ο Απνδείμαηε

φηη

νη

παξαθάησ

ζρέζεηο

δελ

κπνξνχλ

λα

ηζρχνπλ

ηαπηφρξνλα:

   ,    ,( )     . ΘΔΜΑ 2ο Γηα πνηα ηηκή ηνπ b ε ζπλάξηεζε

f ( x)  x( x 2  2 x  b)

παξνπζηάδεη ζεκείν θακπήο θαη πνην

είλαη απηφ; ΘΔΜΑ 3ο Δπηιχζαηε σο πξνο α ηελ εμίζσζε:



( x  a) ln xdx  0

ΘΔΜΑ 4ο

y  xx .

Έζησ φηη ην ρ είλαη ζπλάξηεζε ηνπ y θαη ηζρχεη ε ζρέζε: πνζφηεηα:

Τπνινγίζαηε ηελ

dx dy

ΘΔΜΑ 5ο Έζησ

ε ειαζηηθφηεηα δήηεζεο ελφο αγαζνχ. Γείμαηε φηη, εάλ

1  ED , ηφηε θάζε αχμεζε

ηεο ηηκήο ηνπ αγαζνχ νδεγεί ζε αχμεζε ησλ νιηθψλ εζφδσλ. ΘΔΜΑ 6ο cK

Μηα εηδηθή κνξθή ηεο Cobb-Douglas είλαη ε αθφινπζε:

θεθάιαην θαη εξγαζία θαη A,a,b,c>0. Γείμαηε φηη:

F ( K , L)  AK a Lbe L

φπνπ K,L

F  a c    F K  K L  F  b cK    F L  L L2 

ΘΔΜΑ 7ο Μειεηήζαηε ην νινθιήξσκα:





dx xa

γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ α.

ΘΔΜΑ 8ο Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε ησλ δπν κεηαβιεηψλ: δηαθνξηθφ δείμαηε φηη

F ( x, y)   ( x  y)a da x

F (1.2,1.1) 0.2

www.dap-oikonomikou.gr

Υξεζηκνπνηψληαο νιηθφ

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Μαθηματικά Ι – Ιούνιος 2005 ΠΡΟ΢ΟΥΖ : Όζερ και όζοι από ηιρ κςπίερ και κςπίοςρ θοιηηηέρ επιθςμούν να ενημεπωθούν ηλεκηπονικά για ηον βαθμό ηοςρ , παπακαλούνηαι όπωρ πποζηπέξοςν ζηην ιζηοζελίδα ηος Σμήμαηορ (www.econ.uoa.gr) ζηην διεύθςνζη ΜΑΘΖΜΑΣΗΘΑ I. ΘΔΜΑ 1Ο : Έζησζαλ ηα ζχλνια , Α , Β , Γ , απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα :

  (  )  (   )  (   ) ΘΔΜΑ 2Ο : α) Γείμαηε φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ πειίθνπ δχν ζπλαξηήζεσλ είλαη ίζε κε ηε δηαθνξά ησλ ειαζηηθνηήησλ ηνπ αξηζκεηνχ θαη ηνπ παξαλνκαζηνχ . β ) Έζησ ζπλάξηεζε f ( x ) . Οξίδνπκε g ( x ) = ln f ( x ) θαη σ = ln x .

Γείμαηε φηη

dg   f (x) . d

ΘΔΜΑ 3Ο : α) Γψζαηε ηελ γεσκεηξηθή εξκελεία ηνπ δηαθνξηθνχ κίαο ζπλαξηήζεσο f ( x ) . β) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε :

f (x) 

ax  bx , a0 , b0 ax  bx

Υξεζηκνπνηψληαο δηαθνξηθά ππνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα : f ( 0.1 ) .

f (x)  x

ΘΔΜΑ 4Ο : Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε

θαη ην ζεκείν

9  A  ,0  . 2 

Βξείηε ην ζεκείν Μ

ηεο Cf , πνπ απέρεη απφ ην ζεκείν Α ηελ κηθξφηεξε απφζηαζε . Να απνδείμεηε φηη ε εθαπηνκέλε ηεο Cf ζην Μ είλαη θάζεηε ζηελ ΑΜ . ΘΔΜΑ 5Ο : Να αλαπηπρζεί ζε ζεηξά Maclaurin ε ζπλάξηεζε :

1 a  bx ΘΔΜΑ 6Ο : Τπνινγίζαηε ηα νινθιεξψκαηα :







x e  x dx 2

ΚΑΙ

e

dx  3e x  2

ΘΔΜΑ 7Ο : Μία ζπλάξηεζε παξαγσγήο δίδεηαη απφ ηελ ζρέζε :

Q  ln(K 2  L2 )

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Δάλ ηα Κ θαη L εμαξηψληαη απφ δχν άιιεο παξακέηξνπο ρ , ς , βάζεη ησλ ζρέζεσλ

K  x , L    ,

βξείηε ηελ νιηθή νξηαθή αιιαγή ηνπ Q , φηαλ αιιάδνπλ ηα ρ

θαη ς ηαπηφρξνλα .

Μαθηματικά Ι – Φεβρουάριος 2005 Τμήμα Α’ Θέμα 1 (20 μονάδερ) a) Να απνδεηρζεί φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ πειίθνπ δχν ζπλαξηήζεσλ ηζνχηαη κε ηε δηαθνξά ησλ ειαζηηθνηήησλ ηνπο. (7) b) Αλ ην εηήζην επηηφθην είλαη 10%, πνηα απφ ηηο παξνχζεο αμίεο ησλ δχν παξαθάησ ρξεκαηνξνψλ έρεη κεγαιχηεξε ειαζηηθφηεηα σο πξνο ην επηηφθην 

215 ΔΤΡΩ ζε δχν ρξφληα απφ ηψξα



150 ΔΤΡΩ ζε ηέζζεξα ρξφληα απφ ηψξα (13)

Θέμα 2 (20 μονάδερ) a) Να απνδεηρζεί φηη (Α  Β)-Γ = (Α-Γ)

 (Β-Γ)

b) Έζησ πεπιεγκέλε ζπλάξηεζε κε ηχπν y(x) =

(5)

X y ( x )1 ,

ρξεζηκνπνηψληαο ηνπο ηξεηο

πξψηνπο φξνπο θαηάιιεινπ αλαπηχγκαηνο Taylor λα πξνζεγγηζηεί ην y(1,1).

(15)

Θέμα 3 (25 μονάδερ) a) Να εμεγεζνχλ νη έλλνηεο: i)Γηαθνξηθφ ii)Ιζνυςήο θακπχιε iii)Οξηζκέλν νινθιήξσκα iv) ΢εκείν ηζνξξνπίαο

(10)

b) Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο D=11-ζξ θαη ε ζπλάξηεζε πξνζθνξάο S=10+2ξ. Έζησ

ην ζεκείν ηζνξξνπίαο. Μειεηήζαηε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο ζπλάξηεζεο εζφδσλ R(

γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ζ.

p* )

(15)

Θέμα 4 (25 μονάδερ) a) Έλαο ηδηνθηήηεο έρεη 204 κέηξα πιέγκα πεξίθξαμεο κε ην νπνίν ζέιεη λα πεξηθξάμεη δχν ζρήκαηα. Σν έλα ζρήκα λα είλαη ηεηξάγσλν θαη ην άιιν παξαιιειφγξακκν κε κήθνο δηπιάζην ηνπ πιάηνπο ηνπ. Βξείηε ηηο δηαζηάζεηο ησλ ζρεκάησλ ψζηε ε ζπλνιηθή επηθάλεηα ησλ ζρεκάησλ λα είλαη ε κεγαιχηεξε δπλαηή.

(10) 

b) Να απνδεηρζεί ν αλαγσγηθφο ηχπνο γηα ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο  (ρ) θαη ζηε ζπλέρεηα λα ππνινγηζηεί ην νξηζκέλν νινθιήξσκα

 5 (ρ) κε άθξα απφ 0 έσο π.

Θέμα 5 (20 μονάδερ) n

a) Πνηα είλαη ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο δπλακνζεηξάο ΢ x /(

n 2 . 3n )

www.dap-oikonomikou.gr

(15)

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011 

b) Να βξεζεί ν αξηζκφο “a” ψζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε εμίζσζε:

a

dx 



 xe

x

Τμήμα Β΄ ΠΡΟ΢ΟΥΗ. Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ

ειεθηξνληθά

γηα

ηνλ

βαζκφ

πξνζηξέμνπλ

ζηελ

ηνπο,

ηζηνζειίδα

ηνπ

Σκήκαηνο

παξαθαινχληαη

φπσο

(www.econ.uoa.gr)

ζηελ

δηεχζπλζε ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ I ΘΔΜΑ 1Ο: (10 κνλάδεο) Έζησ Υ έλα ζχλνιν πξντφλησλ. Οξίδνπκε ηελ ζρέζε: G={(x,y): ην πξντφλ ρ έρεη ηελ ίδηα ηηκή κε ην πξντφλ y}

 X x Y. Γείμαηε φηη ε G είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο.

ΘΔΜΑ 2ο: (10 κνλάδεο) Απαληήζαηε ζηα θάησζη εξσηήκαηα: a) Πνηα ε γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο «θπξηήο» ζπλάξηεζεο; b) Πνηα ε γεσκεηξηθή εξκελεία ηεο «νηνλεί θνίιεο» ζπλάξηεζεο; c)

Πνηα ε δηαθνξά κεηαμχ κηαο ζρέζεσο νιηθήο δηαηάμεσο θαη κηα ζρέζεσο κεξηθήο δηαηάμεσο;

d) Πνηα ε δηαθνξά «παξαγψγνπ» θαη «δηαθνξηθνχ» ; e) Πνηα ε ρξεζηκφηεηα ηεο αλαπηχμεσο κηαο ζπλαξηήζεσο ζε ζεηξά Taylor; ΘΔΜΑ 3Ο: (10 κνλάδεο) Δάλ y(x)=

y( x)

ππνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα y(1.01) κε αθξίβεηα 2 δεθαδηθψλ ςεθίσλ.

ΘΔΜΑ 4Ο: (10 κνλάδεο) a) Έζησ f(x,y) ζπλάξηεζε δχν κεηαβιεηψλ. Γείμαηε φηη

 f , y 

 f ,  y

. .

b) Μεηαηξέςαηε ηνλ άπεηξν δεθαδηθφ 1,0 1 7 ζε ξεηή κνξθή. ΘΔΜΑ 5Ο: (20 κνλάδεο) Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο: ξ=

1 (2 3 q  1)( 3 q 2  1)

, Όπνπ ξ ε ηηκή ηνπ πξντφληνο θαη

q ε δεηνχκελε πνζφηεηα. Δάλ έρνπκε ηζνξξνπία ζην ζεκείν

q0 =1, βξείηε ην

θαηαλαισηνχ. ΘΔΜΑ 6Ο: (20 κνλάδεο) 

Γείμαηε φηη:

 xe

2| x 5|

dx  5



www.dap-oikonomikou.gr

πιεφλαζκα ηνπ

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

ΘΔΜΑ 7Ο: (20 κνλάδεο) Γίδεηαη ην παξαθάησ απινπνηεκέλν καθξννηθνλνκηθφ ππφδεηγκα: Y = C + T) , T = 2+ Py, φπνπ Y ην εηζφδεκα, C ε θαηαλάισζε, Σ νη θφξνη,

0

, C = 1+

1 (Y2

νη επελδχζεηο νη νπνίεο

ινγίδνληαη θαη ζηαζεξέο θαη ξ ν θνξνινγηθφο ζπληειεζηήο. Έζησ ε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο U = lnY – 2 lnT. Τπνινγίζαηε ηνλ θνξνινγηθφ ζπληειεζηή ξ, πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ ζπλάξηεζε U.

Μαθηματικά Ι – Σεπτέμβριος 2004 ΠΡΟ΢ΟΥΗ. Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ ειεθηξνληθά γηα ηνλ βαζκφ ηνπο, παξαθαινχληαη φπσο πξνζηξέμνπλ ζηελ ηζηνζειίδα ηνπ Σκήκαηνο (www.econ.uoa.gr) ζηελ δηεχζπλζε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΔΜΑ 1ον: Έζησζαλ ηα ζχλνια, Α, Β, Γ, απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα:

A  ( B )  ( A  B) ( A  ) ΘΔΜΑ 2ον: Έζησ φηη νη ζπλαξηήζεηο U,g είλαη δηαθνξίζηκεο. Έζησ U θνίιε. Γείμαηε, φηη εάλ ε g είλαη αχμνπζα θαη θνίιε, ηφηε θαη ε ζπλάξηεζε f(x) = g(U(x)) είλαη θνίιε. ΘΔΜΑ 3ον: Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα: ηοξεθ(1.1). 

ΘΔΜΑ 4ον: Γείμαηε φηη:

e 0

dx  ln 2 1

ΘΔΜΑ 5ον: Έζησ, φηη νη δηαθνξίζηκεο ζπλαξηήζεηο f(x),g(x) ηέκλνληαη αθξηβψο ζε δχν ζεκεία κε ζπληεηαγκέλεο θάζεηε επζεία ζην θαη ηεο g(x) ζην

x0 ,

( x1 , y1 )

θαη

( x2 , y2 ) .

Έζησ, ηεηκεκέλε

κε

x1  x0  x2 .

ζπλαληά ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x) ζην ζεκείν

B( x0 , g ( x0 )) .

Γείμαηε φηη. εάλ ην

A( x0 , f ( x0 ))

επηιεγεί έηζη ψζηε ε απφζηαζε ΑΒ λα

είλαη ε κεγίζηε δπλαηή, ηφηε νη εθαπηφκελεο επζείεο ζηα ζεκεία Α θαη Β, είλαη κεηαμχ ηνπο παξάιιειεο.

ΘΔΜΑ 6ον: Γίδεηαη:

 x yz W    x yz

. Γείμαηε φηη:

W W W y z 0 x y z

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Μαθηματικά Ι – Ιούνιος 2004 ΠΡΟ΢ΟΥΗ. Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ ειεθηξνληθά γηα ηνλ βαζκφ ηνπο, παξαθαινχληαη φπσο πξνζηξέμνπλ ζηελ ηζηνζειίδα ηνπ Σκήκαηνο (www.econ.uoa.gr) ζηελ δηεχζπλζε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΔΜΑ 1ον: Έζησζαλ ηα ζχλνια, Α, Β, Γ, απνδείμαηε ηελ ηζφηεηα:

  (  )  (  )  (  ) ΘΔΜΑ 2ον: Η ζπλάξηεζε y(x) ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε:

y ( x)  x  x  y ( x )  2 Γείμαηε φηη

 y (1)  1 .

ΘΔΜΑ 3ον: Ο αξηζκεηηθφο κέζνο n αξηζκψλ,

n 

1 , 2 ,..., n , νξίδεηαη σο εμήο:

1   2  ...   n n

ελψ ν γεσκεηξηθφο κέζνο απφ ηελ ζρέζε:

 n  n 1   2  ...   n Έζησζαλ ηξεηο αξηζκνί:

1 , 2 , x .

Οη δχν πξψηνη ζεσξνχληαη ζηαζεξνί ελψ ν ηξίηνο

κεηαβιεηφο. Γείμαηε φηη ε ηηκή ηνπ χ πνπ ειαρηζηνπνηεί ηελ πνζφηεηα

αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ

1 , 2 .

ΘΔΜΑ 4ον: Γείμαηε φηη:

 |x|



e  (bx)dx 

2 ,b  0 b2  1

ΘΔΜΑ 5ον: Μία ζπλάξηεζε παξαγσγήο δίδεηαη απφ ηελ ζρέζε:

Q

KL KL

www.dap-oikonomikou.gr

3 3

είλαη ν

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Δάλ ηα Κ θαη L εμαξηψληαη απφ δχν άιιεο παξακέηξνπο χ, y, βάζεη ησλ ζρέζεσλ

K

1 1 , L  ,a  0 a 2a ( y  x) ( x  y)

βξείηε, ρξεζηκνπνηψληαο δηαθνξηθά, ηελ ηηκή ηνπ Q, φηαλ χ = 0.1 θαη y = 0.9. ΘΔΜΑ 6ον: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο:

q2  5 p (q  2)2 (2q 2  1) ρ ε ηηκή ηνπ πξντφληνο, q ε δεηνχκελε πνζφηεηα. Δάλ έρνπκε ηζνξξνπία ζην ζεκείν

q0  12

,βξείηε ην πιεφλαζκα ηνπ θαηαλαισηνχ.

Μαθηματικά Ι – Φεβρουάριος 2004 Τμήμα Α΄ Να απανηηθούν πένηε από ηα επόμενα ερωηήμαηα. ΘΔΜΑ 1 a.

Να νξίζεηε αλαιπηηθά ηνλ Οξηαθφ Λφγν Σερληθήο Τπνθαηάζηαζεο (ΟΛΣΤ) θαη λα εμεγήζεηε ηη πιεξνθφξεζε καο δίλεη.

Έζησ ζπλάξηεζε παξαγσγήο Q=AKaLβ. Γείμαηε φηη θαηά κήθνο επζείαο πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ ν ΟΛΣΤ είλαη ζηαζεξφο.

ΘΔΜΑ 2

Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα ΘΔΜΑ 3 Έζησ ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε F(x). Να δεηρζεί φηη ζηα ζεκεία πνπ απηή εκθαλίδεη ηνπηθά αθξφηαηα ε ειαζηηθφηεηα ηνπ αληίζηνηρνπ κέζνπ κεγέζνπο είλαη ίζε κε -1. ΘΔΜΑ 4

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι Να βξεζεί ε δπλακνζεηξά Maclaurin ηεο

2011 θαη λα κειεηεζεί σο πξνο ηε

ζχγθιηζε. ΘΔΜΑ 5

Να βξεζεί ε

φηαλ

ΘΔΜΑ 6 a.

Με ηε βνήζεηα ηνπ ΢ρήκαηνο λα ππνινγίζεηε πξνζεγγηζηηθά ηελ ειαζηηθφηεηα ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν Α.

Με ηνλ ίδην ηξφπν, λα εμεγήζεηε γηαηί νη ειαζηηθφηεηεο ζηα ζεκεία Β θαη C ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο δελ είλαη ίζεο.

Τμήμα Β΄ Θέμα 1 a.

Να απνδεηρζεί φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ γηλνκέλνπ δχν ζπλαξηήζεσλ ηζνχηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ειαζηηθνηήησλ ηνπο.

Δάλ

, λα βξεζεί ε y'.

Θέμα 2 a.

Να εμεγεζεί ε ζθνπηκφηεηα θαη ε κεζνδνινγία ηεο πξνζέγγηζεο ζπλαξηήζεσλ κέζσ ηνπ δηαθνξηθνχ θαη ηνπ αλαπηχγκαηνο Taylor.

Δάλ y=xy λα βξεζεί ην y(1,1) ρξεζηκνπνηψληαο ηνπο ηξεηο πξψηνπο φξνπο ελφο αλαπηχγκαηνο Taylor.

Θέμα 3

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι a.

2011

Να πξνζδηνξηζηνχλ νη ζηαζεξέο α, β, γ έηζη ψζηε ην δηάγξακκα ηεο ζπλάξηεζεο y=αχ2+βχ+γ λα δηέξρεηαη απφ ην ζεκείν (0, 3) θαη λα έρεη ειάρηζην ζην ζεκείν (1,2).

Να

ππνινγηζηεί

ην

αφξηζην

νινθιήξσκα

ηεο

ζπλάξηεζεο

κε

ηχπν

. Θέμα 4 a.

Έλαο θαηαζθεπαζηήο θαηαζθεπάδεη x ρηιηάδεο αλδξηθά θαη y ρηιηάδεο γπλαηθεία ππνδήκαηα

ηελ

εβδνκάδα

πνπ

ζπλδένληαη

κεηαμχ

ηνπο

κε

ηνλ

ηχπν

. Σελ ηξέρνπζα ρξνληθή ζηηγκή ε παξαγσγή είλαη ζηα 2000 αλδξηθά θαη 5000 γπλαηθεία ππνδήκαηα. Τπνινγίζαηε θαη εξκελεχζαηε ηελ παξάγσγν dy/dx ζην ζπγθεθξηκέλν παξαγσγηθφ επίπεδν.

Γηα πνηα x ε ζεηξά

ζπγθιίλεη;

Να απανηηθούν όλα ηα θέμαηα.

Μαθηματικά Ι – Σεπτέμβριος 2003 ΢επηΓΙΑΒΑ΢ΣΔ ΣΙ΢ ΟΓΗΓΙΔ΢ ΜΔ ΜΔΓΑΛΗ ΠΡΟ΢ΟΧΗ

ΟΓΗΓΙΔ΢: Οη θοιηήηπιερ/έρ με AM>25591 απανηάνε ΤΠΟΥΡΔΩΣΙΚΑ ζηα θέμαηα ηηρ ομάδορ Α. Οι θοιηήηπιερ/έρ με AM<25591 απανηάνε είηε ζηα θέμαηα ηηρ ομάδορ Α, οπόηε βαθμολογούνηαι απφ 0 έωρ 10, είηε ζηα θέμαηα ηηρ ομάδορ Β, οπόηε βαθμολογούνηαι από 0 έωρ 5. Τα αποηελέζμαηα θα ανακοινώνονηαι ζηαδιακά ζηο διαδίκηςο, ζηην ιζηοζελίδα ηος ημήμαηορ (www.econ.uoa.gr), ζηην καηηγοπία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.

Ο Μ Α ΓΑ Α ΘΔΜΑ 1ον: a.

Απνδείμαηε ηελ ηζνδπλακία (επζχ θαη αληίζηξνθν): A  B  A  B = A

Απνδείμαηε φηη θάζε θνίιε ζπλάξηεζε είλαη θαη νηνλεί θνίιε.

ΘΔΜΑ 2ον:

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Αξρηθφ θεθάιαην Κ0, αλαηνθηδφκελν εηεζίσο γηα ν-έηε. κε επηηφθην r0, γίλεηαη ίζν κε Κ. Γείμαηε φηη, εάλ ην εηήζην επηηφθην απμεζεί θαηά 10% ην ίδην αξρηθφ θεθάιαην, αλαηνθηδφκελν ζην ίδην ρξνληθφ δηάζηεκα, ζα γίλεη:

 vr0  K 1    10r0  1

ΘΔΜΑ 3oν: Δάλ ε ζρέζε δήηεζεο είλαη q2 + p*q + p2 = 7, βξείηε ηελ ειαζηηθφηεηα δήηεζεο φηαλ p = 2. ΘΔΜΑ 4ον: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε y(x) = - x2 + 4x - 3 κε πεδίν νξηζκνχ ην δηάζηεκα [1,3]. Βξείηε ην εκβαδφ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη απφ ην γξάθεκα ηεο y(x), ηνλ άμνλα ησλ x θαη ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη απφ ηελ αξρή ησλ αμφλσλ θαη εθάπηεηαη ηεο y(x). ΘΔΜΑ 5ον:

Q  a K   1   L

Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο:

, φπνπ α, γ, δ ζηαζεξέο,

έηζη ψζηε α>0, 0<γ, δ<1.

Q Q  a    K K

1

Q Q ,  1   a    L L

1

Γείμαηε φηη:

Υξεζηκνπνηψληαο ην πξνεγνχκελν απνηέιεζκα δείμαηε φηη πνζφηεηεο θζίλνπζεο ζπλαξηήζεηο ησλ Κ καη L αληίζηνηρα.

ΘΔΜΑ 6ον: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:





e 2 x f x dx , φπνπ f x  

 1, x  4

Ο Μ Α ΓΑ Β ΘΔΜΑ 1ον: Βξείηε ηα αθξφηαηα ηεο ζπλάξηεζεο:

g x  

x4 x3   x 2  1000 4 3

ΘΔΜΑ 2ον: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

x

ln xdx

ΘΔΜΑ 3ον:

www.dap-oikonomikou.gr

1, x  4

Q Q , K L

είλαη

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

Γίδεηαη φηη W = x y e

2011

. Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα :

 2W . xy

ΘΔΜΑ 4ον: Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

5x  1

 x  12 x  1

Μαθηματικά Ι – Ιούνιος 2003 ΠΡΟ΢ΟΥΗ: Όζεο θαη φζνη απφ ηηο θπξίεο θαη θπξίνπο θνηηεηέο επηζπκνχλ λα ελεκεξσζνχλ ειεθηξνληθά γηα ηνλ βαζκφ ηνπο, παξαθαινχληαη φπσο απνζηείινπλ έλα ζρεηηθφ κήλπκα (e mail), κε φλνκα θαη αξηζκφ κεηξψνπ, ζηελ δηεχζπλζε: skotsios@econ.uoa.gr, θαη κε ζέκα "MATHS1".

Σα

ηειηθά

απνηειέζκαηα

ζα

αλαθνηλσζνχλ

επίζεο

ζην

δηαδχθηην,

ζηηο

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ ηεο ηζηνζειίδεο ηνπ Σκήκαηνο.

ΘΔΜΑ 1ον: a.

Ση νλνκάδνπκε δηκειή ζρέζε απφ έλα ζχλνιν Α ζε έλα ζχλνιν Β: Πφηε κία δηκειήο ζρέζε είλαη ζρέζε δηαηάμεσο;

Έζησ ην ζχλνιν R = {(x,y) κε x,y € Ν θαη ππάξρεη θπζηθφο αξηζκφο k έηζη ψζηε xy = k2}, δείμαηε φηη ην R είλαη ζρέζε ηζνδπλακίαο κεηαμχ ησλ θπζηθψλ αξηζκψλ.

ΘΔΜΑ 2ον: Έζησζαλ δχν ζπλαξηήζεηο f(x},g(x) : R  R, δχν θνξέο παξαγσγίζηκεο. Έζησ αθφκα, φηη ε f(x) είλαη θνίιε θαη ε g(x) αχμνπζα θαη θνίιε Γείμαηε φηη ε ζπλάξηεζε g(f(x)) είλαη θνίιε. ΘΔΜΑ 3ον: Δάλ n>0 δείμαηε φηη:





ln x 1 dx  2 n 1 x n

ΘΔΜΑ 4ον: Η πνζφηεηα δήηεζεο q θαη ε ηηκή ελφο πξντφληνο π. ζπλδένληαη κε ηελ ζρέζε p=e-q. Τπνινγίζαηε ηελ πνζφηεηα εR(1.01), φπνπ R ε ζπλάξηεζε εζφδσλ. ΘΔΜΑ 5ον: Κάζε εβδνκάδα, 1100 επηβάηεο ρξεζηκνπνηνχλ ην ηξαίλν, εάλ ην εηζηηήξην είλαη 6 επξψ. Κάζε κείσζε ηνπ εηζηηεξίνπ θαηά 1 επξψ απμάλεη ηνπο επηβάηεο θαηά 100. Πνηα είλαη ε ηηκή ηνπ εηζηηεξίνπ πνπ κεγηζηνπνηεί ηα έζνδα, εάλ ε ζπλάξηεζε δήηεζεο ππνηεζεί γξακκηθή; ΘΔΜΑ 6ον:

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011 

Μειεηήζαηε σο πξνο ηελ ζχγθιηζε ηελ ζεηξά

Γείμαηε φηη:

n2 .  n 1 n !

ex 1 x x2  1   ... x 2 6

ΘΔΜΑ 7ον: Μία ζπλάξηεζε παξαγσγήο δίδεηαη απφ ηελ ζρέζε:

Q

KL . KL

Δάλ ηα Κ θαη L εμαξηψληαη

απφ δχν άιιεο παξακέηξνπο x, y, βάζεη ησλ ζρέζεσλ Κ = x y , L = y x βξείηε ηελ νιηθή νξηαθή αιιαγή ηνπ Q1, φηαλ αιιάδνπλ ηα x θαη y ηαπηφρξνλα. ΘΔΜΑ 8ον: Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε δήηεζεο:

p

q 2  12

q  22 2q  1

, p ε ηηκή ηνπ πξντφληνο, q ε δεηνχκελε

πνζφηεηα. Δάλ έρνπκε ηζνξξνπία ζην ζεκείν q0=1/2 , βξείηε ην πιεφλαζκα ηνπ θαηαλαισηνχ.

Μαθηματικά Ι – Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Α΄ **************** ΢χλνιν κνλάδσλ: 110

Άξηζηα: 100. Απαληήζηε φπνηα εξσηήκαηα κπνξείηε.

Σν έληππν απηφ λα παξαδνζεί καδί κε ηηο απαληήζεηο ζαο. **************** ΘΔΜΑ 1ο a.

(15 κνλ.) Να … εθηειεζζεί κε θαηάιιειν ηξφπν ε νινθιήξσζε

ψζηε λα

"απνδεηρζεί" φηη 0 = -1.

(15 κνλ.) Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

ΘΔΜΑ 2ο a.

(14 κνλ.) Γίλεηαη ε ζρέζε

Να ππνινγηζζεί ε ειαζηηθφηεηα ηνπ y σο πξνο

x, ζην ζεκείν

(

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι b.

2011

(6 κνλ.) Αλ ην x κεηαβιεζεί απφ 0,5 ζε 0,51, ηη πιεξνθνξία παξέρεη ε ειαζηηθφηεηα πνπ βξήθαηε, ζρεηηθά κε ηελ πξνθαινχκελε κεηαβνιή ηνπ y ;

ΘΔΜΑ 3ο a.

(8 κνλ.) Γίλεηαη ε δηαθνξηθή εμίζσζε y'(t) = r*y(t), φπνπ r ζηαζεξά. Να βξεζεί ε ιχζε ηεο, δειαδή ε y(t), αλ y(0) = 8000 .

(4 κνλ.) Πνηνο είλαη ν (ζηηγκηαίνο) πνζνζηηαίνο ξπζκφο κεηαβνιήο ηνπ y ; Να ην δείμεηε.

(6 κνλ.) Γψζηε έλα παξάδεηγκα "πιεζπζκνχ" ν νπνίνο κεηαβάιιεηαη κε ηνλ ηξφπν απηφ, θαη κε r = 0,03 . (Γειαδή, δψζηε κία εθαξκνγή ηνπ.)

ΘΔΜΑ 4ο (18 κνλ.) Έζησ F(x) ζπλερψο παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε ηνπ x. Γείμαηε φηη, ζην ζεκείν x* φπνπ ην κέγεζνο F αξηζηνπνηείηαη, ε ειαζηηθφηεηα ηνπ αληηζηνίρνπ κέζνπ κεγέζνπο είλαη ίζε πξνο -1. ΘΔΜΑ 5ο a.

(10 κνλ.) Έζησ

zx 

y z

θαη

φπνπ

. Με πνηνλ ηχπν ππνινγίδεηαη ε

νιηθή παξάγσγνο ηνπ z σο πξνο x ; b.

(14 κνλ.) Να βξείηε ηελ παξάγσγν, εθηειψληαο ηηο ππεηζεξρφκελεο παξαγσγίζεηο.

Τμήμα Β΄ Θέμα 1 (25 κνλάδεο) a.

Να δνζεί ν νξηζκφο θαη λα εμεγεζεί ε ρξεζηκφηεηα ηεο ειαζηηθφηεηαο. Να απνδεηρζεί φηη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ πειίθνπ δχν ζπλαξηήζεσλ ηζνχηαη κε ηε δηαθνξά ησλ ειαζηηθνηήησλ ηνπο.

Έζησ

λα ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα

Να εμεηαζηεί σο πξνο ηελ κνλνηνλία ε ζπλάξηεζε ή

Πνηνο απφ ηνπο αξηζκνχο

είλαη κεγαιχηεξνο;

Θέμα 2 (30 κνλάδεο) a.

Ση ζεκαίλεη ζχγθιηζε ζεηξψλ θαη πνηα είλαη ηα βαζηθά θξηηήξηα-ζεσξήκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε απηήλ;

Αλ

, βξείηε ηελ y'.

Σν θφζηνο θαη ην έζνδν γηα ηελ παξαγσγή x κνλάδσλ πξντφληνο δίλνληαη απφ ηνπο ηχπνπο

θαη R(x)=3x αληίζηνηρα, λα βξεζεί ην επίπεδν παξαγσγήο

πνπ κεγηζηνπνηεί ην θέξδνο. d.

Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Θέμα 3 (25 κνλάδεο) a.

Να εμεγεζνχλ νη έλλνηεο: i) Γηαθνξηθφ

ii)

΢χγθιηζε

iii) Σνπηθά αθξφηαηα

iλ) Παξνχζα αμία

΢εηξψλ b.

Πνην πνζφ κπνξεί λα δαλεηζζεί θάπνηνο εάλ ζέιεη λα ην εμνθιήζεη ζε 3 έηε πιεξψλνληαο 5000 εηεζίσο κε επηηφθην 4%. Υξεζηκνπνηψληαο θαηάιιειν δηαθνξηθφ ππνινγίζηε θαηά πξνζέγγηζε ηα πνζά δαλεηζκνχ αλ ην επηηφθην ήηαλ 4,01% θαη 3,95% αληίζηνηρα.

x n /  3n n2  .

Πνηα είλαη ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο δπλακνζεηξάο

Να απνδεηρζεί ν ηχπνο ηνπ Newton-Raphson θαη λα εμεγεζεί ε ρξεζηκφηεηα ηνπ.

Θέμα 4 (30 κνλάδεο) a.

Πνην είλαη ην ειάρηζην θφζηνο φηαλ

16Q2  9C 2  64Q  18C  199  0

Να αλαπηπρζεί θαηά Taylor ε ζπλάξηεζε

ex 1 x

κε θέληξν ην 0. Να βξεζεί ε αθηίλα

ζχγθιηζεο ηεο ζεηξάο.

Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο επζείαο ηεο θακπχιεο

y x   x2 y3  0 1 y 1 x

ζην

ζεκείν (1,1). d.

Δμεγήζηε ηνλ φξν «νξηαθφο ιφγνο ππνθαηάζηαζεο» κε παξάδεηγκα.

΢ύνολο μονάδων: 110, Άριζηα(10):100 μονάδες

ΘΔΜΑ 0.1 Απνδείμαηε φηη: Α  ( Β  Γ ) = ( Α  Β )  ( Α  Γ ) ΘΔΜΑ 0.2 Η f(x) : R+  R είλαη ζπλάξηεζε αληηπξνζσπεχνπζα θάπνην νηθνλνκηθφ κέγεζνο. Έζησ φηη ε f(x) παξνπζίαδεη ζην x0 ηνπηθφ κέγηζην. Γείμαηε φηη, ε ειαζηηθφηεηα ηνπ κέζνπ κεγέζνπο ζην x0 είλαη ίζε κε -1 θαη έρεη αξλεηηθή παξάγσγν.

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

ΘΔΜΑ 0.3 Τπνινγίζαηε ην νινθιήξσκα:

5x 2  2

 1  x  2 x 2



1

ΘΔΜΑ 0.4 Η ζπλάξηεζε y(x) ηθαλνπνηεί ηελ πεπιεγκέλε ζρέζε x2 + x*y + y2 = 0. Γείμαηε φηη ε εμίζσζε ηεο θαζέηνπ επζείαο, ζην ζεκείν (a, b), είλαη ε

 a  2b  y x  b   2a  b 

ΘΔΜΑ 0.5 Τπνινγίζαηε κε αθξίβεηα 4 δεθαδηθψλ ςεθίσλ ηελ πνζφηεηα

1.1

ΘΔΜΑ 0.6 Γίδεηαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο Q = K β L γ , β + γ = 1 . Σα Κ θαη L εμαξηψληαη απφ δχν άιινπο παξάγνληεο x1, x2 βάζεη ησλ ηχπσλ:

x1 ,L  x2

K

x2 x1

. Τπνινγίζαηε ην επίπεδν

παξαγσγήο, φηαλ x1 = 4.1 θαη x2 = 1.1. ΘΔΜΑ 0.7 Έλα νηθνλνκηθφ κέγεζνο αλαηνθηδφκελν κία θνξά ηνλ ρξφλν, κε εηήζην επηηφθην r, γίλεηαη κεηά απφ t έηε K(t). Δάλ t* είλαη ν ρξφλνο, πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ παξνχζα αμία ηνπ κεγέζνπο, δείμαηε φηη:

   

K΄ t * K΄΄ t *  ln 1  r ,  ln 2 1  r  * * Kt Kt ΘΔΜΑ 0.8 

Απνδείμαηε ηελ ζρέζε:

ln x 1 dx  1 x a a  12

, φπνπ α> 1 .

Μαθηματικά Ι – Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Α΄ y ΘΔMA 1ο (8 μον.) Έζησ ζεκείν

4 x

. Να βξεζεί ε ειαζηηθφηεηα ηνπ

x  4 . Ση πιεξνθνξηαθφ πεξηερφκελν έρεη ε επξεζείζα ηηκή ;

www.dap-oikonomikou.gr

y σο πξνο ην x, ζην

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι ΘΔΜΑ 2ο (10 μον.) Γίλεηαη ε πεπιεγκέλε κνξθή

2011 xy3  x 2  ln y,

φπνπ y = f(x).

Να βξεζεί ε παξάγσγνο

Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ ηέκλεη θάζεηα ηελ σο άλσ θακπχιε, ζην ζεκείν απηήο.

ΘΔΜΑ 3ο (10 μον.) Έζησ ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο πεξηνξηζκφο

θαη ν εηζνδεκαηηθφο

rK + σL = Μ . ΢ην ζεκείν κέγηζηεο παξαγσγήο, ε θιίζε ηεο αληίζηνηρεο

θακπχιεο ίζνπ πξντφληνο (ηζνυςνχο) ζπκπίπηεη κε ηελ θιίζε ηνπ πεξηνξηζκνχ. Αμηνπνηείζηε

απηφ ην ζπκπέξαζκα γηα λα δείμεηε φηη, ζην ζεκείν απηφ, ηζρχεη ΘΔΜΑ 4ο (12 μον.) a.

Τπνινγίζαηε ηνλ ΟΛΣΤ ηεο ζπλάξηεζεο παξαγσγήο

Ση πιεξνθφξεζε

καο παξέρεη απηφο; b.

Γείμαηε φηη ε Q . εκθαλίδεη θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο.

Γείμαηε φηη ην κέζν θφζηνο απμάλεηαη αλ νη ζπληειεζηέο πνιιαπιαζηαζζνχλ επί

δει. αλ απμεζνχλ θαηά ην ίδην πνζνζηφ

ΘΔΜΑ 5ο (10 μον.) Να ππνινγηζζεί ην νινθιήξσκα

Μαθηματικά Ι – Φεβρουάριος 2002 Τμήμα Α΄ Θέμα 1 (25 κνλάδεο) a.

Να απνδεηρζεί φηη ε ζπλάξηεζε

Να

πξνζεγγηζηεί

ην

έρεη ζεηηθή ειαζηηθφηεηα. ρξεζηκνπνηψληαο

ηνπο

ηξεηο

πξψηνπο

φξνπο

ελφο

αλαπηχγκαηνο Taylor. Θέμα 2 (20 κνλάδεο) a.

Να εμεγεζεί ε ζθνπηκφηεηα θαη ε κεζνδνινγία ηνπ αλαπηχγκαηνο κηαο ζπλάξηεζεο σο ζεηξάο Taylor.

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι b.

2011

Ση ζεκαίλεη ζχγθιηζε ζεηξψλ θαη πνηα είλαη ηα βαζηθά θξηηήξηα-ζεσξήκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε απηήλ;

βξείηε ηελ

Θέμα 3 (20 κνλάδεο) a.

Να εμεγεζνχλ νη έλλνηεο: i) Γηαθνξηθφ

ii)

Γξακκηθή

iii) Σνπηθά αθξφηαηα

iλ) ΢πλάξηεζε νξηαθήο

πξνζέγγηζε δήηεζεο b.

Η ηζνυςήο θακπχιε κηαο επηρείξεζεο δίλεηαη απφ ηελ ζρέζε 10=L3/8K5/8. Να ππνινγηζηεί κε ηε βνήζεηα ηνπ θαηάιιεινπ δηαθνξηθνχ ε θιίζε ηεο θακπχιεο ζε θάζε ζεκείν (K,L).

Θέμα 4 (25 κνλάδεο) a.

Μηα εηαηξεία θαηαζθεπάδεη ππνινγηζηέο (C) θαη ηειενξάζεηο (Σ) πνπ ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο κε ηελ ζρέζε 4T

 C 2  40000. .

Βξείηε ηελ νξηαθή ππνθαηάζηαζε ππνινγηζηψλ απφ ηειενξάζεηο φηαλ

=60 θαη

C0  160. ii)

Αλ ε παξαγσγή ηειενξάζεσλ απμεζεί απφ 60 ζε 65 πφζν ζα πξέπεη λα αιιάμεη ε παξαγσγή ζε ππνινγηζηέο;

x 2e x  xe x . 2

Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο

Αλ F(x) είλαη ε ζπλάξηεζε| πνπ πξνθχπηεη απφ ηελ νινθιήξσζε ηεο εξψηεζεο β), λα ραξαθηεξηζηεί ην αθξφηαην ηεο ζην x=0.

Θέμα 5 (20 κνλάδεο) a.

Πνηα είλαη ε αθηίλα ζχγθιηζεο ηεο δπλακνζεηξάο

Να ππνινγηζηεί ην αφξηζην νινθιήξσκα ηεο ζπλάξηεζεο (1+εκρ)/(1-ζπλρ).

΢ύνολο μονάδων: 110, Άριζηα(10):100 μονάδες

Τμήμα Β΄ Θέμα 1ο (Βαθμόρ 2,5) Όηαλ ην ζχζηεκα: x - y + ισ = 0 x - ιy + σ =0 ιx - y + σ =0 έρεη άπεηξεο ιχζεηο, λα βξείηε ηνπο Γ.Τ. ησλ ιχζεψλ ηνπ. Θέμα 2ο (Βαθμόρ 2,5)

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι a.

Αλ Α2 + Α + Ι = 0 λα ιπζεί ε : (x+1)2A204 - (x+1)A201 = 2I , xε R

Έζησ Α2 + Α = 3Ι i)

2011

λα βξεζεί ν (Α+ 2Ι)-1

ii) λα ιπζεί ε: ΑΥ + 2A = X + 3I Θέμα 3ο (Βαθμόρ 3)

Γίδεηαη ν πίλαθαο:

Α, λα βξεζεί ν

2 1 1  A  1 2 1 . Αλ Ρ ν πίλαθαο ησλ ραξαθηεξηζηηθψλ δηαλπζκάησλ ηνπ 1 1 2 Β = Ρ-1

Θέμα 4ο (Βαθμόρ 2) i)

Να αλαπηχμεηε θαηά Mac Laurin ηελ f(x) = 1/(2+x) + 1/(3-2x)

ii)

Aλ P(x) ην πνιπψλπκν 2νπ βαζκνχ ηεο δπλακνζεηξάο, λα ππνινγίζεηε ην Ρ(1). Σν Ρ(2) πφζν είλαη;

Θέμα 5ο (Βαθμόρ 2) Δζησ V o Γ.Τ ηνπ R3 πνπ παξάγεηαη απφ ηα : v1 = (1,3,1) , v2 =(2,-1,3) , v3 = (3,2,4) , v4 = (4,5,5) i)

Να βξεζεί ε δηάζηαζε θαη κηα βάζε S ηνπ V.

ii) Όηαλ ην u = (ι,ι-5,2ι)εV, λα βξεζνχλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ, σο πξνο ηελ S Να γραθούν 4 θέμαηα.

www.dap-oikonomikou.gr

Παλαιότερα Θέματα: Μαθηματικά Ι

2011

Βρείτε στο site και στα τραπεζάκια μας: ηην Ύλη ηων μαθημάηων ηοςρ κωδικούρ και ηον ηόπο διανομήρ ηων Σςγγπαμμάηων Θέμαηα Παλαιόηεπων Εξεηαζηικών Λςμένα Θέμαηα ζηα μαθήμαηα Σημειώζειρ για ηα μαθήμαηα

Και άλλο Χρήσιμο Υλικό

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟΝ ΦΟΙΤΗΤΗ 38