Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis
Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ
να
ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ Περιεχόμενα: 1. Μικροοικονομική της Κατανάλωσης και Παραγωγής - Σεπτέμβρης 2012 2. Μικροοικονομική της Κατανάλωσης και Παραγωγής -Ιούνιος 2012 3. Μικροοικονομική της Κατανάλωσης και Παραγωγής - Φεβρουάριος 2012 4. Μικροοικονομική της Κατανάλωσης και Παραγωγής - Σεπτέμβρης 2011 5. Μικροοικονομική της Κατανάλωσης και Παραγωγής - Ιούνιος 2011 6. Μικροοικονομική της Κατανάλωσης και Παραγωγής – Αύγουστος 2006
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ∆ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εξέταση Σεπτεµβρίου 2012 / ∆ιάρκεια: 2 ώρες ∆ιδάσκοντες: Μ. Αθανασίου, Γ. Καπλάνογλου Μέρος Α: Να απαντήσετε σε πέντε από τις οχτώ ερωτήσεις που ακολουθούν (50%) 1. ∆ίνεται ότι η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για ένα προϊόν Α ως προς την τιµή του προϊόντος Β είναι ίση µε -1, ενώ η ελαστικότητα ως προς την δική του τιµή είναι -2. Αρχικά η τιµή του Β είναι 2 ευρώ και η ζήτηση για το προϊόν Α είναι ίση µε 100, ενώ η τιµή του Α είναι 1 Ευρώ. Αν η τιµή του Β γίνει 3 ευρώ, πόσο πρέπει να µεταβληθεί η τιµή του Α για να παραµείνει η ζήτηση του στις 100 µονάδες; Aν συµβολίσουµε µε x τη ζήτηση για το προϊόν Α, τότε εx,pB=(∆x/x)/(∆pB/pB). Αντικαθιστώντας, έχουµε ότι η νέα ζήτηση x′ θα ικανοποιεί τη σχέση -1=[(x′–100)/100]/(1/2), και άρα x′=50. Η ελαστικότητα ως προς την ίδια τιµή είναι εx,pB=(∆x/x)/(∆pΑ/pΑ). Οπότε θα πρέπει να ισχύει -2= (100-50)/(Ρ’Α – 1)/1. Οπότε η νέα τιµή του Α, Ρ’Α = 0,5. 2. «Αν µια συνάρτηση παραγωγής ικανοποιεί το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, τότε αυτή η συνάρτηση δε µπορεί να παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας». Συµφωνείτε µε αυτόν τον ισχυρισµό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. O ισχυρισµός αυτός είναι λάθος (δεν ισχύει πάντα). Για ένα αντιπαράδειγµα, έστω Q(K,L)=K3/5L3/5. Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι 3/5 K–2/5L3/5, το οποίο µειώνεται όσο αυξάνεται το Κ, ενώ αντίστοιχα το οριακό προϊόν της εργασίας είναι 3/5K3/5L–2/5, το οποίο µειώνεται όσο αυξάνεται το L. Παρόλο όµως που η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, βλέπουµε ότι παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, αφού, αν α>1, τότε Q(αK,αL)= α6/5K3/5L3/5>αK3/5L3/5=αQ(K,L). 3. «Αν ο Κώστας µεγιστοποιεί τη συνάρτηση χρησιµότητας U(x,y) υπό τον εισοδηµατικό του περιορισµό, τότε η κατανάλωση του άριστου συνδυασµού συνεπάγεται ότι οι οριακές χρησιµότητες των x και y θα είναι ίσες». Είναι σωστή αυτή η πρόταση; Εξηγείστε. Απάντηση: Είναι γενικά λάθος. Στον άριστο συνδυασµό, ο λόγος των οριακών χρησιµοτήτων των x και y πρέπει να ισούται µε τον λόγο των τιµών των x και y.
Ux P = MRS = x Uy Py Εποµένως η πρόταση είναι σωστή µόνο στην περίπτωση που οι τιµές των δύο αγαθών είναι ίσες. 4. ∆ύο άτοµα Α και Β έχουν συναρτήσεις ωφέλειας uΑ(x,y)=xy και uΒ(x,y)=1/2 xy αντίστοιχα. Αν τα δύο αυτά άτοµα έχουν το ίδιο εισόδηµα και αγοράζουν τα προϊόντα στις ίδιες τιµές, τότε πώς θα διαφέρει η ζήτησή τους για τα δύο αγαθά; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Επειδή η συνάρτηση ωφέλειας του Β είναι γνησίως αύξων µετασχηµατισµός της συνάρτησης ωφέλειας του Α, αυτό σηµαίνει ότι οι Α και Β έχουν ακριβώς τις ίδιες προτιµήσεις, και συνεπώς, αφού έχουν το ίδιο εισόδηµα και αγοράζουν τα προϊόντα στις ίδιες τιµές, η ζήτησή τους για τα δύο αγαθά θα είναι η ίδια. 5. Ένα άτοµο καταναλώνει µονάχα δύο αγαθά, και οι καµπύλες αδιαφορίας του είναι ευθείες µε κλίση –1. Αν το άτοµο επιλέγει να καταναλώσει 3 µονάδες του πρώτου αγαθού και 5 µονάδες του δεύτερου αγαθού, τι µπορούµε να συµπεράνουµε για τις τιµές των αγαθών που καταναλώνει αυτό το άτοµο; Αφού οι καµπύλες αδιαφορίας είναι ευθείες µε κλίση –1, τότε έχουµε τέλεια υποκατάστατα, και διακρίνουµε τρεις περιπτώσεις: α) αν px/py>1, τότε το άτοµο θα καταναλώνει µόνο από το αγαθό y, β) αν px/py<1, τότε το άτοµο θα καταναλώνει µόνο από το αγαθό x και γ) αν px/py=1, τότε το άτοµο θα καταναλώνει οποιεσδήποτε ποσότητες x και y που ικανοποιούν τον εισοδηµατικό περιορισµό µε ισότητα. Προφανώς, αφού το άτοµο καταναλώνει θετικές ποσότητες και από τα δύο αγαθά, είµαστε στην περίπτωση (γ), οπότε py/px=1, δηλ. οι τιµές των αγαθών είναι ίσες. 6. Πώς συµπεριφέρεται το µέσο σταθερό κόστος όσο µια επιχείρηση παράγει περισσότερο προϊόν; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Αν το σταθερό κόστος είναι F, τότε το µέσο σταθερό κόστος θα είναι F/y, το οποίο θα µειώνεται όσο παράγεται περισσότερο προϊόν.
7. Έστω ότι η τιµή του κεφαλαίου είναι r=2, ενώ η τιµή της εργασίας είναι w=5. Aν η επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής Q=L+5K, όπου L η ποσότητα εργασίας και Κ η ποσότητα κεφαλαίου που χρησιµοποιείται, τότε ποιο είναι το ελάχιστο κόστος µε το οποίο η επιχείρηση µπορεί να παράγει 10 µονάδες του προϊόντος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. H επιχείρηση µπορεί να παράγει προϊόν είτε χρησιµοποιώντας µόνο κεφάλαιο, είτε µόνο εργασία (ή και τα δύο). Για να παράγει Q=10 µόνο µε εργασία, χρειάζεται 10 µονάδες εργασίας, και άρα το κόστος θα είναι 50. Για να παράγει Q=10 µόνο µε κεφάλαιο, χρειάζεται 2 µονάδες κεφαλαίου, και άρα το κόστος θα είναι 4. Προφανώς, κάθε άλλος συνδυασµός που δίνει 10 µονάδες προϊόντος θα έχει κόστος µεταξύ 4 και 50. Συνεπώς, το ελάχιστο κόστος µε το οποίο η επιχείρηση µπορεί να παράγει 10 µονάδες είναι ίσο µε 4. 8. Μια επιχείρηση παράγει 100 µονάδες προϊόντος, το οριακό κόστος σε αυτό το επίπεδο προϊόντος είναι €55, το µέσο µεταβλητό κόστος είναι €55, και το µέσο σταθερό κόστος είναι €10. Ποια είναι η κλίση της καµπύλης µέσου µεταβλητού κόστους σε αυτό το επίπεδο προϊόντος; Απάντηση: Γνωρίσουµε ότι η καµπύλη οριακού κόστους τέµνει τη καµπύλη µέσου µεταβλητού κόστους στο κατώτατο σηµείο της. Εποµένως, εφόσον το οριακό κόστος ισούται µε το µέσο µεταβλητό κόστος στο συγκεκριµένο επίπεδο παραγωγής, αυτό σηµαίνει ότι η κλίση της καµπύλης µέσου µεταβλητού κόστους στο σηµείο αυτό είναι 0.
MC AC
Κλίση = 0
Q
Μέρος Β: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Η συνάρτηση χρησιµότητας του Κώστα εξαρτάται από την κατανάλωση των αγαθών Χ και Υ και είναι U(x,y)=xy. α) Ποιες είναι οι αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης (6%); β) Να προσδιορισθεί η συνάρτηση δαπανών (6%). γ) Έστω οι αρχικές τιµές είναι Px=Py=1 και το αρχικό εισόδηµα 200, εάν η νέα τιµή του Υ γίνει 9 ποιο πρέπει να είναι το εισόδηµα του καταναλωτή προκειµένου να µείνει µε την ίδια χρησιµότητα το άτοµο; (7%) δ) Πόση είναι η αντισταθµιστική µεταβολή; (6%) Απάντηση: (α) Αρχικά βρίσκουµε τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης και την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας, από εκεί την συνάρτηση δαπανών και µε αντικατάσταση βρίσκουµε τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης. Θέτοντας τον ΟΛΥ ίσο µε το λόγο των τιµών των αγαθών (ή επιλύοντας το αντίστοιχο πρόβληµα µεγιστοποίησης της χρησιµότητας υπό τον εισοδηµατικό περιορισµό) βρίσκουµε ότι οι µαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι:
X=
I I ,Y = 2 py 2 px
Βρίσκω την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας αντικαθιστώντας:
V ( px , p y , I ) = X ( px , p y , I ) *Y ( px , p y , I ) =
I I I2 = 2 px 2 p y 4 px p y
Η συνάρτηση δαπανών µπορεί να βρεθεί από την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας:
e ( p x , p y , U ) = 2 Up x p y Άρα οι αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης είναι (προκύπτουν είτε µε µερική παραγώγιση της συνάρτησης δαπανών ως προς px και ως προς py, είτε αντικαθιστώντας στις µαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης τη συνάρτηση δαπανών) :
X = U
py px
και
Y = U
px py
Θα µπορούσαµε να βρούµε κατευθείαν τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης λύνοντας το δυαδικό πρόβληµα ελαχιστοποίησης δαπανών.
Min L = p x X + p yY + λ (U − XY ) (β) Βλ. υποερώτηµα (α) (γ) Πρώτα χρησιµοποιούµε την συνάρτηση δαπανών για να βρούµε την αρχική χρησιµότητα: 2
200 200 = 2 u × 1 × 1 ⇒ u = = 10.000 2 Τώρα χρησιµοποιούµε την συνάρτηση δαπανών µε την αρχική χρησιµότητα και τη νέα τιµή για να βρούµε το εισόδηµα που χρειάζεται για να πετύχει την αρχική χρησιµότητα:
e = 2 10000 × 1 × 9 = 600 Εποµένως ο καταναλωτής χρειάζεται 600 για να έχει το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας. (δ) Η αντισταθµιστική µεταβολή είναι το ελάχιστο επιπλέον εισόδηµα το οποίο, στις νέες τιµές, µόλις και αποκαθιστά το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας του καταναλωτή. Στην περίπτωση αυτή είναι 400. 2. Έστω ένα άτοµο µε συνάρτηση ωφέλειας u(x,y)=4x1/2+2y. α) Να υπολογίσετε τον οριακό λόγο υποκατάστασης για την περίπτωση που το άτοµο καταναλώνει 9 µονάδες του αγαθού x και 10 µονάδες του αγαθού y. (6%) β) Αν το άτοµο έχει 9 µονάδες του αγαθού x και 10 µονάδες του αγαθού y, θα δεχτεί να δώσει 1 µονάδα του αγαθού y για να λάβει 1 µονάδα του αγαθού x; (6%) γ) Αν οι τιµές των αγαθών x και y είναι px και py αντίστοιχα, ενώ το εισόδηµα του ατόµου είναι Μ, να βρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης για τα αγαθά x και y. (7%) δ) Να βρεθεί η έµµεση συνάρτηση ωφέλειας του ατόµου αυτού. (6%) α) MRSxy=(∂u/∂x)/(∂u/∂y)=1/x1/2. Άρα, αν x=9, τότε MRS=1/3. (Είναι εξίσου σωστό να γράψει κανείς και MRS=–1/3. Το πρόσηµο είναι θέµα ορισµού). β) MRSxy=1/3 σηµαίνει ότι το άτοµο θα παραχωρούσε 1/3 µονάδες y για να λάβει µία µονάδα x και να βρίσκεται στην ίδια ωφέλεια. Συνεπώς, αν το άτοµο δώσει περισσότερες από 1/3 µονάδες y τότε θα χάσει ωφέλεια, και άρα δε θα δεχτεί αυτή την ανταλλαγή. (Πράγµατι, µε x=9, y=10 η ωφέλεια του ατόµου είναι 32, ενώ µε x=10, y=8 η ωφέλειά του είναι 28,65). γ) Είναι MRSxy=1/x1/2=px/py, και pxx+pyy=M. Aπό τις σχέσεις αυτές προκύπτει x=(py/px)2 και y=M/py–(py/px). δ) Χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα του (γ) στη συνάρτηση ωφέλειας, έχουµε v(px,py,M)=2(py/px+M/py). Μέρος Γ: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Μια επιχείρηση Α που λειτουργεί σε καθεστώς πλήρους ανταγωνσιµού πληρώνει µηνιαίο ενοίκιο 200€ και έχει επίσης µηνιαίο µεταβλητό κόστος y2/200, όπου y είναι το παραγόµενο προϊόν. α) Να γράψετε τη συνάρτηση µέσου κόστους, τη συνάρτηση µέσου µεταβλητού κόστους και τη συνάρτηση οριακού κόστους. (6%)
β) Χωρίς να παραγωγίσετε τη συνάρτηση µέσου κόστους, να βρείτε για ποιο επίπεδο προϊόντος ελαχιστοποιείται το µέσο κόστος. (6%) γ) Να βρείτε, µε τη βοήθεια κατάλληλου διαγράµµατος, το µεταβλητό κόστος όταν y=100. (6%) δ) Αν η επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της εκεί όπου το οριακό κόστος είναι ίσο µε 10, ποια τα κέρδη της επιχείρησης; (7%) α) Το ολικό κόστος είναι TC=200+y2/200. Το µέσο κόστος είναι AC=200/y+y/200, το µέσο µεταβλητό κόστος είναι AVC=y/200, και το οριακό κόστος είναι MC=y/100 (η παράγωγος του ολικού κόστους). β) Το µέσο κόστος ελαχιστοποιείται όταν ΑC=MC, δηλαδή 200/y+y/200=y/100. Λύνοντας, έχουµε y=200. γ) Το µεταβλητό κόστος είναι το εµβαδό κάτω από την καµπύλη του οριακού κόστους. Χαράσσοντας τη γραµµή MC=y/100 (βλ. σχήµα δίπλα), υπολογίζουµε το εµβαδό για το επίπεδο y=100 (το σκιασµένο τρίγωνο), το οποίο είναι ίσο µε 50. Πράγµατι, για y=100, η παράσταση y2/200 που εκφράζει το µεταβλητό κόστος ισούται µε 50. δ) Το οριακό κόστος είναι 10 όταν y=1000. Eπειδή τώρα η επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της, αυτό σηµαίνει ότι p=ΜC, και άρα p=10. Το συνολικό έσοδο, δηλαδή είναι 10.000, ενώ το ολικό κόστος είναι 200+10002/200=5.200, και συνεπώς, το κέρδος είναι 4.800. 2.Μια επιχείρηση χρησιµοποιεί κεφάλαιο και εργασία και έχει συνάρτηση παραγωγής x=KL1/2. α) Τι αποδόσεις κλίµακας παρουσιάζει αυτή η συνάρτηση παραγωγής; (6%) Αν πολλαπλασιάσουµε όλες τις εισροές µε t, η παραγωγή είναι tK(tL)1/2=t3/2KL1/2=t3/2x. Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. β) Ισχύει ο νόµος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας για την εργασίας; (6%) Το οριακό προϊόν της εργασίας είναι MPL=1/2 KL-1/2. Εποµένως ισχύει ο νόµος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας για την εργασία, αφού το οριακό προϊόν της εργασίας µειώνεται όπως αυξάνεται η εργασία, dMPL/dL=-1/4 KL-3/2 < 0. γ) Αν η τιµή της εργασίας είναι w=1 και η τιµή του κεφαλαίου είναι r=2, ποια είναι η µακροχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους; (6%) Προκειµένου να βρούµε τη µακροχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους, πρέπει να λύσουµε το πρόβληµα ελαχιστοποίησης κόστους υπό τον περιορισµό της συνάρτησης παραγωγής. Η συνάρτηση Lagrange είναι L+2K+λ(xKL1/2). Λύνοντας βρίσκουµε ότι K=L=x2/3. Εποµένως η µακροχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους είναι LRTC=wL+rK=x2/3+2x2/3=3x2/3. δ) Υποθέστε ότι στο βραχυχρόνιο διάστηµα το κεφάλαιο είναι σταθερό σε Κ=10. Αν η τιµή της εργασίας είναι w=1 και η τιµή του κεφαλαίου είναι r=2, ποια είναι η βραχυχρόνια συνάρτηση µέσου συνολικού κόστους; (7%) Για Κ=10, η συνάρτηση παραγωγής γίνεται x=10L1/2. Λύνοντας για την απαιτούµενη ποσότητα εργασίας βρίσκουµε L=x2/100. Εποµένως η βραχυχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους είναι SRTC=wL+rK=x2/100+20. H βραχυχρόνια συνάρτηση µέσου συνολικού κόστους είναι SRATC=x/100+20/x.
AC
MC=AVC=1
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ∆ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εξέταση Ιουλίου 2012 / ∆ιάρκεια: 2 ώρες ∆ιδάσκοντες: Μ. Αθανασίου, Γ. Καπλάνογλου Μέρος Α: Να απαντήσετε σε πέντε από τις οχτώ ερωτήσεις που ακολουθούν (50%) 1. «Όταν η καµπύλη ζήτησης είναι µια ευθεία γραµµή, η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή είναι σταθερή». Συµφωνείτε ή όχι µε την πρόταση αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Η πρόταση δεν είναι σωστή. Όταν η συνάρτηση ζήτησης είναι της µορφής P=a-bX, η ελαστικότητα είναι –(P/(a-P)). Η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή εποµένως µειώνεται (σε απόλυτους όρους) από –∞ στο 0 καθώς κατερχόµαστε στην καµπύλη ζήτησης. ∆εν είναι σταθερή κατά µήκος στης γραµµής ζήτησης. 2. Η συνάρτηση κόστους µιας επιχείρησης είναι TC=2.850+3.5Q. Αν η τιµή της αγοράς είναι 5 ευρώ ανά µονάδα, για ποια ποσότητα παραγωγής η επιχείρηση κάνει µηδενικά κέρδη; Για να κάνει η επιχείρηση µηδενικά κέρδη θα πρέπει TR=TC. TR=P*Q=5Q. Εποµένως, 5Q=2.850+3.5Q, ή Q=1900. 3. Μια επιχείρηση λειτουργεί σε καθεστώς πλήρους ανταγωνισµού. Η συνάρτηση µέσου µεταβλητού κόστους της επιχείρησης αυτής είναι AVC=300-40Q+2Q2. Η επιχείρηση πρέπει να πληρώνει βραχυχρόνια 500 ευρώ για ενοίκιο, ανεξάρτητα από την ποσότητα παραγωγής της. Ποια πρέπει να είναι η τιµή αγοράς του προϊόντος που παράγει, προκειµένου η επιχείρηση να σταµατήσει τη λειτουργία της στο βραχυχρόνιο διάστηµα; Η επιχείρηση θα σταµατήσει τη λειτουργία της στο βραχυχρόνιο διάστηµα όταν η τιµή είναι µικρότερη από το µέσο µεταβλητό κόστος. Εφόσον η επιχείρηση λειτουργεί σε πλήρως ανταγωνιστική αγορά, η τιµή αυτή είναι το ελάχιστο µέσο µεταβλητό κόστος. Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση µέσου µεταβλητού κόστους, βρίσκουµε Q=10. Για αυτήν την ποσότητα, το AVC=100. Άρα η επιχείρηση θα σταµατήσει να παράγει όταν η τιµή είναι µικρότερη από 100 ευρώ. 4. Ας υποθέσουµε ότι ένας καταναλωτής καταναλώνει δυο αγαθά και έχει εισοδηµατικό περιορισµό pxx+py y = M, όπου Μ είναι το εισόδηµά του. Σε αυτήν την περίπτωση το αποτέλεσµα εισοδήµατος που προκαλεί µια αύξηση στην τιµή του x θα έχει αντίθετο πρόσηµο από το αποτέλεσµα υποκατάστασης αν το αγαθό x είναι κατώτερο αγαθό. Συµφωνείτε µε την πρόταση αυτή; Εξηγείστε το συλλογισµό σας. Η πρόταση είναι σωστή. Για όλα τα αγαθά, το αποτέλεσµα υποκατάστασης ύστερα από µια αύξηση στην τιµή του αγαθού είναι να µειωθεί η ζήτηση για το αγαθό αυτό. Επειδή η αγοραστική δύναµη του καταναλωτή έχει µειωθεί, το αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι να αυξηθεί η ζήτηση για το αγαθό x, αφού η ζήτηση για τα κατώτερα αγαθά αυξάνεται όταν το εισόδηµα µειώνεται. 5. Μια επιχείρηση πουλάει το προϊόν της σε δυο οµάδες καταναλωτών, µε συναρτήσεις ζήτησης x1 = 200 − 4p και x2 = 340 − 5p, όπου p είναι η τιµή ανά µονάδα. Αν p = 35, ποια είναι η ζητούµενη ποσότητα κάθε οµάδας για το προϊόν; Ποια είναι η αγοραία συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν; Αντικαθιστώντας p = 35 στην συνάρτηση ζήτησης της πρώτης οµάδας x1 =60, και αντικαθιστώντας p = 35 στη συνάρτηση ζήτησης της δεύτερης οµάδας x2 = 165. Η ζήτηση της πρώτης οµάδας θα είναι µηδέν για p > 50, και η ζήτηση της δεύυερης οµάδας θα είναι µηδέν για p>68, εποµένως η συνάρτηση ζήτησης της αγοράς θα είναι xαγοράς
= 540− 9p αν p < 50 = 340− 5p αν 50 ≤ p < 68 = 0 αν 68 ≤ p.
6. Ο Κώστας καταναλώνει ψωµί και άλλα αγαθά. Η τιµή του ψωµιού είναι 1 ευρώ το κιλό (p1=1) και των άλλων αγαθών είναι 2 ευρώ ανά µονάδα (p2=2). Το εισόδηµα του Κώστα είναι 200 ευρώ. Υποθέστε ότι η κυβέρνηση φορολογεί το ψωµί και η τιµή του αυξάνεται στα 2 ευρώ το κιλό. Ποιος είναι ο εισοδηµατικός περιορισµός του Κώστα µετά το φόρο; Σχεδιάστε τον σε ένα απλό διάγραµµα. Ο αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός του Κώστα είναι x1+2x2=200. Μετά την φορολογία η τιµή του ψωµιού γίνεται 2, εποµένως ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός είναι 2x1+2x2=200.
Χ2
Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός
100 Τελικός εισοδηµατικός περιορισµός
100
200
Χ1
7. Μια επιχείρηση χρησιµοποιεί δυο εισροές, µηχανήµατα και εργασία. Ας υποθέσουµε ότι η επιχείρηση µπορεί πάντα να αντικαταστήσει δυο µηχανήµατα µε µία µονάδα εργασίας και να κρατήσει σταθερή την παραγωγή της. Απεικονίστε σε ένα διάγραµµα µια τυπική καµπύλη ίσου προϊόντος για αυτήν την επιχείρηση. (Προσέξτε τις ονοµασίες των αξόνων). Αν απεικονίσουµε τα µηχανήµατα στον οριζόντιο άξονα και την εργασία στον κάθετο άξονα, η καµπύλη ίσου προϊόντος θα είναι µια ευθεία γραµµή µε κλίση -2. Έτσι εκφράζουµε ότι οι δυο εισροές είναι πλήρως υποκατάστατες µε σταθερή αναλογία υποκατάστασης. Εργασία
Μηχανήµατα
8. Η παρακάτω συνάρτηση παραγωγής παρουσιάζει φθίνουσες, σταθερές, ή αύξουσες οικονοµίες κλίµακας; KL f ( K , L) = 3( K + L) 2 Έχουµε ότι f (tK , tL) = tKtL = t KL = tKL = tf ( K , L) . Εποµένως η συνάρτηση παραγωγής 3(tK + tL ) 3t ( K + L) 3( K + L) παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. Μέρος Β: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Έστω ένα άτοµο µε συνάρτηση ωφέλειας u(x,y)=xy. α) Aν px, py είναι οι τιµές των αγαθών, και το εισόδηµα του ατόµου είναι Μ, να βρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης του ατόµου αυτού για τα δύο αγαθά. (10%) Από τις σχέσεις MRSxy=y/x=px/py και pxx+pyy=M, βρίσκουµε x=M/2px και y=M/2py. β) Έστω ότι αρχικά το εισόδηµα του ατόµου αυτού είναι Μ=24, ενώ px=1 και py=2. Ποια είναι η µεταβολή στη ζήτηση του ατόµου για τα δύο αγαθά αν η τιµή του y αλλάξει σε py=3; (5%) Mε τις αρχικές τιµές, και χρησιµοποιώντας τις συναρτήσεις που βρήκαµε στο (α), έχουµε x=12, y=6. Mε τις νέες τιµές, έχουµε x′=12, y′=4. Άρα η µεταβολή στη ζήτηση για το x είναι µηδενική, ενώ η ζήτηση για το y µειώνεται κατά 2 µονάδες.
γ) Να αναλύσετε τη µεταβολή στη ζήτηση που βρήκατε στο (β) σε αποτέλεσµα υποκατάστασης και αποτέλεσµα εισοδήµατος κατά Slutsky. Να δείξετε τα αποτελέσµατά σας σε σχετικό διάγραµµα. (5%) Για να µπορεί το άτοµο (ίσα που) να έχει το αρχικό του καλάθι (12,6) στις νέες τιµές, θα έπρεπε να είχε εισόδηµα 30 (=1·12+3·6). Με το εισόδηµα αυτό και τις νέες τιµές, η ζήτηση είναι x″=15, y″=5 (αντισταθµισµένη ζήτηση). Έτσι, το αποτέλεσµα υποκατάστασης για το αγαθό x είναι x″–x=3, ενώ για το y είναι y″–y=–1. To αποτέλεσµα εισοδήµατος για το x είναι x′–x″=–3, και για το y είναι y′–y″=4–5=–1.
Στο διάγραµµα, η πράσινη γραµµή είναι ο αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός, και το σηµείο Α είναι το αρχικό βέλτιστο. Η κόκκινη γραµµή είναι ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός µετά από την αύξηση της τιµής του y, και το σηµείο Β είναι η ζήτηση µε τις νέες τιµές. Η µπλε γραµµή δείχνει την αντιστάθµιση, και αποτελεί µια παράλληλη µετατόπιση της κόκκινης γραµµής, τέτοια ώστε να διέρχεται από το σηµείο Α. Η ζήτηση στην κατάσταση αυτή αντιστοιχεί στο σηµείο Γ. δ) Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού y για την αλλαγή της τιµής που αναφέρεται στο (β); (5%) Υπολογίζοντας το πηλίκο (∆y/y)/(∆py/py), βρίσκουµε ey,py=–2/3. (∆εν επιτρέπεται αντί για αυτό το πηλίκο να υπολογίσουµε το (∂y/y)/(∂py/py), δίοτι η αλλαγή στην τιµή του y είναι µεγάλη). ∆ιαφορετικά, θα µπορούσαµε να το υπολογίσουµε σκεφτόµενοι ότι µια αύξηση 50% στην τιµή του y προκαλεί µείωση στη ζήτησή του κατά 33%, και άρα η ζητούµενη ελαστικότητα θα είναι –2/3. 2. Ο Κώστας καταναλώνει τα αγαθά x και y, και έχει συνάρτηση χρησιµότητας u(x,y)=xy2. Η Μαρία καταναλώνει τα ίδια αγαθά και έχει συνάρτηση χρησιµότητας u(x,y)=min(xy). α) Ποιες είναι οι µαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης του Κώστα και της Μαρίας; (10%) Από τις σχέσεις MRSxy=y/x=px/py και pxx+pyy=M, βρίσκουµε για τον Κώστα x(px,py,Μ)=Μ/3px, και y(px,py,Μ)=2Μ/3py. Για τη Μαρία, τα δυο αγαθά είναι πλήρως συµπληρωµατικά και γνωρίζουµε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης θα είναι x(px,py,Μ)=Μ/(px+ py), και y(px,py,Μ)= Μ/(px+ py). β) Να βρείτε τη ζήτηση του Κώστα και της Μαρίας για τα δυο αγαθά όταν είναι px= py=1 ευρώ και το εισόδηµα του κάθε ατόµου είναι Μ=90 ευρώ. (5%) Αντικαθιστώντας στις συναρτήσεις ζήτησης, ο Κώστας καταναλώνει x=30, y=60 και η Μαρία x=y=45. γ) Η κυβέρνηση σκέφτεται να υιοθετήσει ένα φόρο ύψους 1 ευρώ στο αγαθό y, ο οποίος θα αυξήσει την τιµή του αγαθού αυτού σε 2 ευρώ. Πόσα φορολογικά έσοδα θα συλλέξει η κυβέρνηση από την πολιτική αυτή; Εναλλακτικά, η κυβέρνηση σκέφεται αντί να φορολογήσει το αγαθό y, να συλλέξει έναν εφάπαξ φόρο στο εισόδηµα του Κώστα και της Μαρίας ύψους 30 ευρώ στον καθένα. Πόσα θα είναι τώρα τα φορολογικά έσοδα της κυβέρνησης; (5%) Με τον πρώτο φόρο, η ζήτηση του Κώστα για τα δυο αγαθά γίνεται (30,30) και η κυβέρνηση συλλέγει από αυτόν 30 ευρώ φόρο. Η Μαρία έχει ζήτηση επίσης (30, 30) και η κυβέρνηση συλλέγει από αυτήν άλλα 30 ευρώ. Άρα τα συνολικά φορολογικά έσοδα είναι 60 ευρώ. Με τον εφάπαξ φόρο, οι τιµές είναι px= py=1 και το εισόδηµα 90-30=60 ευρώ. Πάλι τα έσοδα της κυβέρνησης είναι 30+30=60 ευρώ. δ) Ποια από τις δυο εναλλακτικές φορολογικές πολιτικές προτιµά ο Κώστας; Ποια η Μαρία; (5%) Ο Κώστας προτιµά τη δεύτερη φορολογική πολιτική, διότι τότε η χρησιµότητά του είναι u(30,40)=32.000, ενώ µε την πρώτη φορολογική πολιτική θα ήταν u(30,30)=27.000. Η Μαρία καταναλώνει τις ίδιες ποσότητες προϊόντων και µε τις δυο πολιτικές, εποµένως είναι αδιάφορη σχετικά µε το ποια πολιτική θα εφαρµοστεί. Μέρος Γ: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1.
Μια επιχείρηση χρησιµοποιεί κεφάλαιο και εργασία και έχει συνάρτηση παραγωγής x=KL1/2.
α) Τι αποδόσεις κλίµακας παρουσιάζει αυτή η συνάρτηση παραγωγής; (10%) Αν πολλαπλασιάσουµε όλες τις εισροές µε t, η παραγωγή είναι tK(tL)1/2=t3/2KL1/2=t3/2x. Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. β) Ισχύει ο νόµος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας για την εργασίας; (5%) Το οριακό προϊόν της εργασίας είναι MPL=1/2 KL-1/2. Εποµένως ισχύει ο νόµος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας για την εργασία, αφού το οριακό προϊόν της εργασίας µειώνεται όπως αυξάνεται η εργασία, dMPL/dL=-1/4 KL-3/2 < 0. γ) Αν η τιµή της εργασίας είναι w=1 και η τιµή του κεφαλαίου είναι r=2, ποια είναι η µακροχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους; (5%) Προκειµένου να βρούµε τη µακροχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους, πρέπει να λύσουµε το πρόβληµα ελαχιστοποίησης κόστους υπό τον περιορισµό της συνάρτησης παραγωγής. Η συνάρτηση Lagrange είναι L+2K+λ(xKL1/2). Λύνοντας βρίσκουµε ότι K=L=x2/3. Εποµένως η µακροχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους είναι LRTC=wL+rK=x2/3+2x2/3=3x2/3. δ) Υποθέστε ότι στο βραχυχρόνιο διάστηµα το κεφάλαιο είναι σταθερό σε Κ=10. Αν η τιµή της εργασίας είναι w=1 και η τιµή του κεφαλαίου είναι r=2, ποια είναι η βραχυχρόνια συνάρτηση µέσου συνολικού κόστους; (5%) Για Κ=10, η συνάρτηση παραγωγής γίνεται x=10L1/2. Λύνοντας για την απαιτούµενη ποσότητα εργασίας βρίσκουµε L=x2/100. Εποµένως η βραχυχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους είναι SRTC=wL+rK=x2/100+20. H βραχυχρόνια συνάρτηση µέσου συνολικού κόστους είναι SRATC=x/100+20/x.
AC
MC=AVC=1
2. Μια επιχείρηση που λειτουργεί σε καθεστώς πλήρους ανταγωνισµού έχει µακροχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους C(Q)=36+Q2, όπου Q είναι η παραγόµενη ποσότητα της επιχείρησης. Έστω ότι η τιµή του παραγόµενου προϊόντος είναι p. α) Nα βρείτε τη µακροχρόνια συνάρτηση προσφοράς. (10%) Έχουµε p=MC, ή p=2Q, ή Q=p/2. H σχέση αυτή ισχύει εφόσον τα κέρδη είναι µη αρνητικά, δηλαδή p·(p/2)–36– (p/2)2 ≥0, ή p≥12. Άρα, η µακροχρόνια συνάρτηση προσφοράς είναι: Q=p/2 όταν p≥12 και Q=0 όταν p<12. β) Ποια είναι η συνάρτηση κερδών της επιχείρησης; (5%) Όπως και στο (α), εκφράζουµε τα κέρδη συναρτήσει της τιµής, και έχουµε π(p)=(p2/4)–36 εάν p≥12, και π(p)=0 εάν p<12. γ) Να γράψετε την εξίσωση της καµπύλης µακροχρόνιου µέσου κόστος, και χωρίς να την παραγωγίσετε, να βρείτε για ποια τιµή του παραγόµενου προϊόντος η καµπύλη αυτή έχει µηδενική κλίση. (5%) Eίναι ΑC=(36/Q)+Q. H καµπύλη αυτά λαµβάνει την ελάχιστη τιµή της όταν AC=MC. Λύνοντας την εξίσωση (36/Q)+Q=2Q, έχουµε ότι Q=6. δ) Αν p=16, πόσο είναι το πλεόνασµα του παραγωγού; (5%) Το πλεόνασµα παραγωγού ισούται µε το εµβαδό πάνω από την καµπύλη του οριακού κόστους και κάτω από τη γραµµή της τιµής. Για p=16, η επιχείρηση παράγει Q=8. Κάνοντας το σχήµα (βλ. παρακάτω), το εµβαδό που ψάχνουµε είναι αυτό του γκρι τριγώνου, το οποίο είναι ίσο µε (1/2)·8·16=64.
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ∆ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εξέταση Φεβρουαρίου 2012 / ∆ιάρκεια: 2 ώρες ∆ιδάσκοντες: Μ. Αθανασίου, Γ. Καπλάνογλου Μέρος Α: Να απαντήσετε σε πέντε από τις οχτώ ερωτήσεις που ακολουθούν (50%) 1. «Σε µια πλήρως ανταγωνιστική αγορά, η καµπύλη ζήτησης που αντιµετωπίζει µια επιχείρηση για το προϊόν της συµπίπτει µε την καµπύλη ζήτησης της αγοράς.» Συµφωνείτε ή όχι µε την πρόταση αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Η πρόταση δεν είναι σωστή. Σε µια πλήρως ανταγωνιστική αγορά, αν µια επιχείρηση θέσει τη δική της τιµή πάνω από την τιµή της αγοράς, τότε η ζητούµενη ποσότητα για το προϊόν της θα είναι µηδενική. Μια επιχείρηση που λειτουργεί σε µια πλήρως ανταγωνιστική αγορά είναι «λήπτης» της τιµής, µπορεί δηλαδή να πουλήσει οποιαδήποτε ποσότητα προϊόντος στην τιµή που ισχύει στην αγορά αυτή. Η καµπύλη ζήτησης που αντιµετωπίζει είναι επίπεδη, ενώ η καµπύλη ζήτησης της αγοράς είναι κατερχόµενη. 2. Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής την f(K,L), όπου Κ είναι οι µονάδες κεφαλαίου και L είναι οι µονάδες εργασίας που χρησιµοποιεί. Αν ξέρουµε ότι το οριακό προϊόν της εργασίας είναι θετικό, αλλά φθίνει όσο αυξάνεται η απασχόληση. Ποιο συµπέρασµα µπορούµε να βγάλουµε σχετικά µε τις αποδόσεις κλίµακας που αντιµετωπίζει η επιχείρηση; ∆εν έχουµε αρκετές πληροφορίες προκειµένου να βγάλουµε συµπέρασµα σχετικά µε τι αποδόσεις κλίµακας που αντιµετωπίζει η επιχείρηση, διότι θα έπρεπε να γνωρίζαµε πώς συµπεριφέρεται το συνολικό προϊόν όταν µεταβάλλονται και οι δυο συντελεστές παραγωγής κατά την ίδια αναλογία. Από την εκφώνηση προκύπτει απλώς ότι ισχύει ο νόµος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας αναφορικά µε τον συντελεστή εργασία. 3. Οι γραµµές ίσου κέρδους δείχνουν όλους εκείνους τους συνδυασµούς εισροών που αποφέρουν στον παραγωγό την ίδια ποσότητα προϊόντος. Συµφωνείτε ή όχι µε την πρόταση αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Η πρόταση δεν είναι σωστή. Οι γραµµές ίσου κέρδους δείχνουν όλους εκείνους τους συνδυασµούς εισροής και παραγόµενου προϊόντος που αποφέρουν στον παραγωγό το ίδιο κέρδος (βλ. Varian σχήµα 19.1). Οι συνδυασµοί εισροών που αποφέρουν στον παραγωγό την ίδια ποσότητα προϊόντος ανήκουν στην ίδια καµπύλη ίσου προϊόντος. 4. Μια πλήρως ανταγωνιστική επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(K,L)=K+L και αρχικά χρησιµοποιεί θετικές ποσότητες και από τις δύο εισροές, οι τιµές των οποίων είναι wK και wL αντίστοιχα. Αν η τιµή του κεφαλαίου µεταβληθεί ώστε να γίνει ½ wK και η τιµή της εργασίας γίνει 1/3 wL, ποιος συνδυασµός εισροών θα ελαχιστοποιήσει το κόστος; Από την συνάρτηση παραγωγής βγάζουµε το συµπέρασµα ότι οι δύο εισροές είναι πλήρως υποκατάστατες µε αναλογία 1:1. Για να χρησιµοποιεί η επιχείρηση θετικές ποσότητες και από τις δυο, σηµαίνει ότι κοστίζουν το ίδιο ανά µονάδα, ότι δηλαδή αρχικά wK = wL . Αν η τιµή του κεφαλαίου µειωθεί κατά το ήµισυ και η τιµή της εργασίας µειωθεί κατά 2/3, η εργασία θα είναι τώρα φθηνότερη από το κεφάλαιο, και εποµένως η επιχείρηση θα απασχολεί µόνο εργασία και καθόλου κεφάλαιο. 5. Η Ελένη καταναλώνει ψωµί και άλλα αγαθά. Η τιµή του ψωµιού είναι 1 ευρώ το κιλό (p1=1) και των άλλων αγαθών είναι 2 ευρώ ανά µονάδα (p2=2). Το εισόδηµα της Ελένης είναι 200 ευρώ. Υποθέστε ότι η κυβέρνηση δίνει επιδότηση 0,50 ευρώ για κάθε κιλό ψωµί. Ποιος είναι ο εισοδηµατικός περιορισµός της Ελένης µετά την επιδότηση; Σχεδιάστε τον σε ένα απλό διάγραµµα. Ο αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός της Ελένης είναι x1+2x2=200. Μετά την επιδότηση η τιµή του ψωµιού γίνεται 0,50, εποµένως ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός είναι 0,5x1+2x2=200.
Χ2
Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός
100 Τελικός εισοδηµατικός περιορισµός
200
400
Χ1
6. Ας υποθέσουµε ότι ένα άτοµο καταναλώνει τα αγαθά x και y, και έχει συνάρτηση χρησιµότητας u(x,y)=2x1/2+2y1/2. Είναι οι προτιµήσεις αυτού του ατόµου κυρτές, και γιατί; MRS=(y/x)1/2, ο οποίος αυξάνει όπως αυξάνει το y και φθίνει όπως αυξάνει το x, άρα οι προτιµήσεις είναι κυρτές. 7. ∆ίνεται ότι η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για ένα προϊόν x ως προς την τιµή του προϊόντος y είναι ίση µε (-1). Όταν η τιµή του y είναι 2 ευρώ, η ζήτηση για το προϊόν x είναι ίση µε 200. Αν η τιµή του y γίνει 3 ευρώ, ποια θα είναι η ζήτηση για το προϊόν x; Να δώσετε ένα παράδειγµα τέτοιων προϊόντων. Aν συµβολίσουµε µε x τη ζήτηση για το προϊόν Α, τότε εx,pB=(∆x/x)/(∆pB/pB). Αντικαθιστώντας, έχουµε ότι η νέα ζήτηση x′ θα ικανοποιεί τη σχέση -1=(x′–200/200)/((3-2)/2), και άρα x′=100. Τέτοια προϊόντα που όταν αυξάνεται η τιµή του ενός µειώνεται η ζήτηση του άλλου είναι συµπληρωµατικά, για παράδειγµα, τηλεοράσεις και DVD players. 8. Ένας Έλληνας και ένας Γερµανός καταναλώνουν τα αγαθά x και y και έχουν συνάρτηση χρησιµότητας την u(x,y)=xy. Έστω ότι στην Ελλάδα οι τιµές των αγαθών είναι px και py και το εισόδηµα του Έλληνα είναι M, ενώ στη Γερµανία οι τιµές είναι 2px και 2py και το εισόδηµα του Γερµανού είναι 2M. Ο Έλληνας και ο Γερµανός θα καταναλώνουν τις ίδιες ή διαφορετικές ποσότητες αγαθών, και γιατί; Τα δυο άτοµα έχουν την ίδια συνάρτηση χρησιµότητας, αλλά και τον ίδιο εισοδηµατικό περιορισµό αφού ο 2px + 2py = 2M είναι ισοδύναµος µε τον px + py = M. Ο διπλασιασµός όλων των τιµών και του εισοδήµατος δεν αλλάζει το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων του ατόµου. Εποµένως ο Έλληνας και ο Γερµανός θα καταναλώσουν τις ίδιες ποσότητες αγαθών.
Μέρος Β: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Η συνάρτηση ωφέλειας ενός ατόµου που καταναλώνει τα αγαθά x και y είναι u(x,y)=xy. To εισόδηµα του ατόµου αυτού είναι Μ=120 ευρώ. Έστω ότι αρχικά η τιµή του x είναι px=3 ευρώ και η τιµή του y είναι py=3 ευρώ. α) Να υπολογίσετε την συνάρτηση ζήτησης του ατόµου για τα δυο αγαθά. Ποια θα είναι η ζήτησή του για τις συγκεκριµένες τιµές και εισόδηµα; α) Από τις σχέσεις MRSxy=y/x=px/py και pxx+pyy=M, βρίσκουµε x=M/2px και y=M/2py. Για τις συγκεκριµένες τιµές και εισόδηµα προκύπτει ότι x=120/2*3=20και y=120/2*3=20. β) Το κράτος αποφασίζει να φορολογήσει το αγαθό y µε 2 ευρώ ανά µονάδα. Η τιµή του x παραµένει η ίδια. Ποια είναι η συνολική µεταβολή στη ζήτηση; Πώς διαχωρίζεται σε αποτέλεσµα υποκατάστασης και αποτέλεσµα εισοδήµατος κατά Slutsky; Να χαράξετε το σχετικό σχήµα. Mε τις νέες τιµές, έχουµε x′=20, y′=12. Άρα η µεταβολή στη ζήτηση για το x είναι µηδενική, ενώ η ζήτηση για το y µειώνεται κατά 8 µονάδες. Για να µπορεί το άτοµο (ίσα που) να έχει το αρχικό του καλάθι (20,20) στις νέες τιµές, θα έπρεπε να είχε εισόδηµα 160 (=3*20+5·20). Με το εισόδηµα αυτό και τις νέες τιµές, η ζήτηση είναι x″=26,67, y″=16 (αντισταθµισµένη ζήτηση). Έτσι, το αποτέλεσµα υποκατάστασης για το αγαθό x είναι x″–x=6,67, ενώ για το y είναι y″–y=–4. To αποτέλεσµα εισοδήµατος για το x είναι x′–x″=–6,67, και για το y είναι y′–y″=12–16=–4. γ) Εναλλακτικά το κράτος σκέφτεται να φορολογήσει και τα δυο αγαθά µε 1 ευρώ το καθένα. Ποια θα είναι τώρα η ζήτηση του ατόµου για τα δυο αγαθά; Mε τη νέα φορολόγηση η τιµή του κάθε αγαθού είναι 4 ευρώ, εποµένως η νέα ζήτηση θα είναι x′=15, y′=15. δ) Ποια πολιτική φορολόγησης αποφέρει περισσότερα έσοδα στο κράτος και ποια προτιµά το άτοµο;
Με την πρώτη πολιτική τα έσοδα του κράτους είναι 24 ευρώ (2*12). Με τη δεύτερη πολιτική τα έσοδα του κράτους είναι 30 ευρώ (1*15+1*15). Το άτοµο θα προτιµά την πολιτική που του αποφέρει υψηλότερο επίπεδο χρησιµότητας, το οποίο στην πρώτη περίπτωση είναι 20*12=240 και στη δεύτερη 15*15=225. Άρα προτιµά την πρώτη πολιτική, η οποία όµως αποφέρει στο κράτος λιγότερα έσοδα.
y
(20,20) 20 16 12
20
26.67
x 24
2. Ας υποθέσουµε ότι ένα άτοµο καταναλώνει τα αγαθά x και y, και έχει συνάρτηση χρησιµότητας u(x,y)=x1/2y1/2. α) Ποιες είναι οι µαρσαλιανές και ποιες οι αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης; Από τις σχέσεις MRSxy=y/x=px/py και pxx+pyy=M, βρίσκουµε x(px,py,Μ)=Μ/2px, και y(px,py,Μ)=Μ/2py. Οι αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης προκύπτουν από τη λύση του προβλήµατος ελαχιστοποίησης δαπανών (Έχουµε MRSxy=y/x=px/py και x1/2y1/2=U, όπου U είναι το επίπεδο ωφέλειας που επιθυµεί να επιτύχει το άτοµο. Λύνοντας το σύστηµα έχουµε x(px,py,U)=(py/px)1/2⋅U και y(px,py,U)=(px/py)1/2⋅U. β) Να βρείτε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας και τη συνάρτηση δαπανών και να πείτε τι εκφράζουν. Αντικαθισστώντας τις µαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης στη συνάρτηση χρησιµότητας, βρίσκουµε v(px,py,Μ)=M/2px1/2py1/2. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει τη µέγιστη ωφέλεια που µπορεί να επιτύχει το άτοµο σε τιµές px, py και εισόδηµα Μ. Αν λύσουµε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας ως προς το εισόδηµα βρίσκουµε τη συνάρτηση δαπανών e(px,py,U)=2px1/2py1/2U, η οποία εκφράζει το ελάχιστο εισόδηµα που χρειάζεται το άτοµο προκειµένου να πετύχει ωφέλεια U. γ) Υποθέστε ότι οι αρχικές τιµές είναι px= py=2 ευρώ και το εισόδηµα του ατόµου είναι 200. Στη συνέχεια η τιµή του y µεταβάλλεται σε 18 ευρώ. Ποιο πρέπει να είναι το εισόδηµα του ατόµου προκειµένου να µείνει µε την ίδια χρησιµότητα; Με τις τιµές που δίνονται, η αρχική ζήτηση των αγαθών είναι x(2,2,200)=50, y(2,2,200)=50, άρα η αρχική ωφέλεια είναι u(50,50)=50. H ελάχιστη δαπάνη για να επιτευχθεί αυτό το επίπεδο ωφέλειας µε τις νέες τιµές είναι 2*21/2181/250 = 600 ευρώ. δ) Πόση είναι η αντισταθµιστική µεταβολή κατά Hicks; Η αντισταθµιστική µεταβολή είναι το επιπλέον εισόδηµα που χρειάζεται το άτοµο έτσι ώστε στις νέες τιµές να έχει το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας, άρα (600-200)=400 ευρώ.
Μέρος Γ: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Σε έναν πλήρως ανταγωνιστικό κλάδο δραστηριοποιούνται δύο επιχειρήσεις, η µία έχει ένα µεγάλο εργοστάσιο µε Κ=200, ενώ η άλλη έχει ένα µικρό εργοστάσιο µε Κ=100. Για κάθε µονάδα προϊόντος που παράγει η πρώτη επιχείρηση χρειάζεται επιπλέον µια µονάδα εργασίας, L, ενώ η δεύτερη χρειάζεται για κάθε µονάδα προϊόντος που παράγει επιπλέον 5 µονάδες εργασίας.
α) Αν wK = wL = 1, ποια είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους για κάθε επιχείρηση; Ποια η συνάρτηση µέσου συνολικού κόστους; Για την πρώτη επιχείρηση, η συνάρτηση κόστους είναι C1(Q)=200+Q, ενώ για τη δεύτερη έχουµε C2(Q)=100+5Q. Η συνάρτηση µέσου κόστους στην πρώτη περίπτωση είναι AC1(Q)=200/Q+1 και στη δεύτερη περίπτωση ΑC2(Q)=100/Q+5. β) Αν κάθε επιχείρηση πρέπει να παράγει 50 µονάδες προϊόντος, ποια επιχείρηση θα έχει το µικρότερο συνολικό κόστος; Για Q=50, η πρώτη επιχείρηση έχει C1(50)=250, ενώ η δεύτερη C2(50)=350. Εποµένως, η πρώτη επιχείρηση έχει το µικρότερο συνολικό κόστος. γ) Για ποια τιµή προϊόντος θα κυρήξει η κάθε επιχείρηση στάση παραγωγής στο βραχυχρόνιο διάστηµα; Η κάθε επιχείρηση κυρήσει στάση παραγωγής όταν η τιµή του προϊόντος δεν καλύπτει το µέσο µεταβλητό κόστος, το οποίο για την πρώτη επιχείρηση είναι AVC1(Q)=Q/Q=1 και για τη δεύτερη είναι AVC2(Q)=5Q/Q=5. Άρα η πρώτη επιχείρηση σταµατάει την παραγωγή όταν p<1, ενώ η δεύτερη όταν p<5. δ) Ποιο το µεταβλητό κόστος όταν η επιχείρηση πραγµατοποιεί µηδενικά κέρδη; Τα κέρδη είναι µηδενικά όταν η τιµή είναι ίση µε το µέσο συνολικό κόστος. Επειδή η επιχείρηση εξισώνει την τιµή µε το οριακό κόστος, η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται είναι p=MC. Για την πρώτη επιχείρηση, έχουµε 200/Q+1=1, δηλαδή Q =∞. Η καµπύλη οριακού κόστους είναι µια οριζόντια γραµµή στο 1, το ίδιο και η καµπύλη µέσου µεταβλητού κόστους. Η καµπύλη µέσου συνολικού κόστους εποµένως είναι µια καµπύλη που τείνει ασυµπτωτικά στο µέσο µεταβλητό κόστος. ∆εν υπάρχει σηµείο όπου τα κέρδη είναι 0.
AC
MC=AVC=1
2. Μια επιχείρηση έχει τη συνάρτηση παραγωγής Q = L0,25K0,75, όπου Κ είναι κεφάλαιο και L είναι εργασία. Η αµοιβή του κεφαλαίου είναι r=2 και της εργασίας w=1. α) Ισχύει ο νόµος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητα; Τι αποδόσεις κλίµακας έχει η επιχείρηση; Για να δούµε αν ισχύει ο νόµος της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας πρέπει να ελέγξουµε αν το οριακό προϊόν της εργασίας (κεφαλαίου) φθίνει όσο αυξάνεται η εργασία (κεφάλαιο). Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση παραγωγής έχουµε, MPL=0.25*L-0.75*K0.75, το οποίο φθίνει όσο αυξάνεται το L. Παρόµοια για το Κ. Έχουµε (kL)0.25(kK)0.75=k1L0.25K0.75=kL0.25K0.75 για k>0. Άρα η επιχείρηση παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. β) Υποθέστε ότι βραχυχρόνια το κεφάλαιο της επιχείρησης είναι σταθερό στο επίπεδο Κ=100. Ποια είναι η παράγωγη ζήτηση για εργασία; Πόση εργασία πρέπει να απασχολήσει η επιχείρηση για να παράγει Q=10; Για Κ = 100, βρίσκουµε την παράγωγη ζήτηση για εργασία, ως L(Q)=Q4/1003. Για Q=10, L(10)= 104/1003. γ) Συνεχίζοντας να διατηρείτε το κεφάλαιο σταθερό στο πιο πάνω επίπεδο, βρείτε την βραχυχρόνια συνάρτηση συνολικού κόστους. Ποιο το βραχυχρόνιο συνολικό κόστος παραγωγής 10 µονάδων προϊόντος; SRTC=1* Q4/1003+2*100, για Q = 10, SRTC=1* 1004/1003+2*100=200,01. δ) Να δείξετε ότι το µακροχρόνιο κόστος παραγωγής 10 µονάδων προϊόντος είναι µικρότερο από το βραχυχρόνιο κόστος παραγωγής των ίδιων µονάδων προϊόντος. Στο µακροχρόνιο διάστηµα, η επιχείρηση επιλέγει τις ποσότητες κεφαλαίου και εργασίας, ώστε MRTS=w/r, από όπου προκύπτει ότι Κ=1,5L. Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση παραγωγής, L = 10/(1,5)0,75 , Κ=10*(1,5)0,25. Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση συνολικού κόστους ΤC = 10/(1,5)0,75 +20*(1,5)0,25 < 200,01.
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ∆ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εξέταση Οκτωβρίου 2011 / ∆ιάρκεια: 2 ώρες ∆ιδάσκοντες: Μ. Αθανασίου, Γ. Καπλάνογλου, Τ. Πατώκος Μέρος Α: Να απαντήσετε σε πέντε από τις οχτώ ερωτήσεις που ακολουθούν (50%) 1. «Αν µια επιχείρηση που χρησιµοποιεί 2 παραγωγικούς συντελεστές παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε τουλάχιστον ο ένας από τους δύο συντελεστές θα παραβιάζει το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας». Συµφωνείτε ή όχι µε την πρόταση αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Η πρόταση δεν είναι αναγκαστικά σωστή. Για ένα αντιπαράδειγµα, µπορούµε εύκολα να ελέγξουµε ότι η συνάρτηση παραγωγής Q(L,K)=L0,6K0,7 παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, αλλά και οι δύο συντελεστές ικανοποιούν το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας. 2. Το µαρτίνι είναι ένα διάσηµο ποτό που φτιάχνεται χρησιµοποιώντας τζιν (G) και βερµούτ (V). Ας υποθέσουµε ότι έχετε τη συνάρτηση χρησιµότητας u(G,V)=G0,9V0,1. Αν η τιµή ενός λίτρου τζίν είναι 10 ευρώ και η τιµή ενός λίτρου βερµούτ είναι 4 ευρώ, ποια αναλογία των δύο ποτών χρησιµοποιείτε για να φτιάξετε µαρτίνι; MRSGV=0,9G–0,1V0,1/0,1G0,9V–0,9=9V/G. Θέτοντας τον οριακό λόγο υποκατάστασης ίσο µε το λόγο των τιµών έχουµε 9V/G=10/4, ή G=3,6V. Αυτό σηµαίνει ότι χρησιµοποιούµε 3,6 µονάδες (π.χ. ml) τζιν για κάθε µονάδα βερµούτ. 3. Για µια επιχείρηση που χρησιµοποιεί εργασία και κεφάλαιο, το οριακό προϊόν της εργασίας είναι 4 και το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι 5. Αν η επιχείρηση αυτή χρησιµοποιήσει µια µονάδα εργασίας ακόµα, αλλά δε θέλει να αλλάξει την ποσότητα του προϊόντος που παράγει, πόσο πρέπει να αλλάξει την ποσότητα κεφαλαίου που χρησιµοποιεί; MRTSLK=MPL/MPK=4/5=0.8. Αυτό σηµαίνει ότι αν η επιχείρηση χρησιµοποιήσει µια επιπλέον µονάδα εργασίας, µπορεί να χρησιµοποιήσει 0,8 µονάδες κεφαλαίου λιγότερο και να παράγει την ίδια ποσότητα προϊόντος. 4. Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(x,y)=(xa+ya)s/a, όπου a=–1 και s µια θετική σταθερά. Τι αποδόσεις κλίµακας έχει η συνάρτηση αυτή; Έχουµε f(tx,ty)=(taxa+taya)s/a=(ta(xa+ya))s/a=ts(xa+ya)s/a=tsf(x,y), µε t>1. Συνεπώς, αν s<1 έχουµε φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας, αν s=1 έχουµε σταθερές αποδόσεις κλίµακας, και αν s>1 έχουµε αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. 5. Ένας µπάρµαν φτιάχνει ποτά χρησιµοποιώντας τζιν και σόδα: µε 1 µπουκάλι τζιν και 3 κουτιά σόδα, ο µπάρµαν φτιάχνει 5 ποτά. Ο µπάρµαν µπορεί να χρησιµοποιήσει είτε τη µάρκα τζιν «Χ», είτε τη µάρκα τζιν «Ψ» (ή και τις δύο). Να γράψετε τη συνάρτηση παραγωγής καθώς και τη συνάρτηση κόστους αν η τιµή του ενός µπουκαλιού τζιν «Χ» είναι wΧ, η τιµή του ενός µπουκαλιού τζιν «Ψ» είναι wΨ και η τιµή ενός κουτιού σόδας είναι wσ. Αφού για 5 ποτά χρειαζόµαστε 1 µπουκάλι τζιν και 3 κουτιά σόδας, θα έχουµε ότι Υ=min{5T,5Σ/3}. Επειδή µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε Χ ή Ψ ή συνδυασµό και των δύο, θα έχουµε Υ=min{5Χ+5Ψ,5Σ/3}. Αν wΧ<wΨ, τότε θα χρησιµοποιούµε µόνο τη µάρκα Χ, και εποµένως η συνάρτηση κόστους θα είναι ΤC(Y)=(wΧ+3wσ)Υ/5. Παροµοίως, αν wΧ>wΨ, ΤC(Y)=(wΨ+3wσ)Υ/5. Aν wΧ=wΨ=w, τότε ΤC(Y)=(w+3wσ)Υ/5. 6. Ο Νίκος είναι αδιάφορος µεταξύ ενός καλαθιού που περιέχει 1 µονάδα του αγαθού x και 3 µονάδες του αγαθού y και ενός καλαθιού που περιέχει 3 µονάδες του αγαθού x και 1 µονάδα του αγαθού y, αλλά προτιµάει αυστηρά ένα καλάθι που περιέχει 1 µονάδα x και 3 µονάδες y από ένα καλάθι που περιέχει 2 µονάδες x και 2 µονάδες y. Με βάση αυτή την πληροφορία, τι µπορούµε να πούµε ότι ισχύει για τις προτιµήσεις του Νίκου ως προς την κυρτότητά τους, και τι σηµαίνει αυτό για το σχήµα των καµπυλών αδιαφορίας; Το καλάθι (2,2) είναι γραµµικός συνδυασµός των (1,3) και (3,1), και συνεπώς, αν οι προτιµήσεις του Νίκου ήταν κυρτές, θα έπρεπε να βρίσκει το (2,2) τουλάχιστον τόσο καλό όσο το (1,3) ή το (3,1). Άρα, οι προτιµήσεις του Νίκου δεν είναι κυρτές. Για ένα διαγραµµατικό παράδειγµα µη κυρτών προτιµήσεων, βλ. Varian σχήµα 3.10Β ή 3.10Γ. 7. Αν τοποθετήσουµε την ποσότητα του αγαθού x στον οριζόντιο άξονα και την ποσότητα του αγαθού y στον κάθετο άξονα, οι καµπύλες αδιαφορίας της Μαρίας είναι οριζόντιες γραµµές µε φορά αύξησης ωφέλειας προς τα πάνω. Αν οι τιµές των αγαθών x και y είναι pΧ=4 και pΥ=5, ενώ το εισόδηµα της Μαρίας είναι M=200, ποια θα είναι η ζήτηση της Μαρίας για το κάθε αγαθό; Να δείξετε τη βέλτιστη επιλογή της Μαρίας σε σχετικό σχήµα. Στο σχήµα αριστερά, µε κόκκινο φαίνονται µερικές καµπύλες αδιαφορίας της Μαρίας. Με το πράσινο φαίνεται ο εισοδηµατικός περιορισµός 4x+5y=200, o οποίος συνδέει το σηµείο (50,0) µε το σηµείο (0,40). Εφόσον όσο µετακινούµαστε προς τα πάνω η ωφέλεια αυξάνεται, το σηµείο που δίνει τη µέγιστη ωφέλεια είναι το σηµείο (0,40). Αυτή θα είναι και η βέλτιστη επιλογή της Μαρίας. Με άλλα λόγια, η Μαρία θα επιλέξει να ξοδέψει όλο της το εισόδηµα σε αγαθό y αγοράζοντας 40 µονάδες, κάτι που άλλωστε ήταν αναµενόµενο, µιας και για εκείνη το αγαθό x είναι ουδέτερο.
8. Έστω ένας καταναλωτής µε συνάρτηση χρησιµότητας u(x,y)=x+y–y2. Αν η τιµή του αγαθού x είναι ίση µε px=1€ και το εισόδηµα είναι Μ, για ποιες τιµές του py αυτός ο καταναλωτής θα καταναλώσει θετικές ποσότητες και από τα δύο αγαθά; Έχουµε ότι MRSxy=1/(1–2y)=px/py και pxx+pyy=M. Από τις σχέσεις αυτές, κι επειδή px=1, έχουµε y=(1–py)/2 και x=M–py(1–py)/2. Για y>0, θα πρέπει py<1. Για x>0, θα πρέπει M–py/2+py2/2>0 ή 2M–py+py2>0. Η διακρίνουσα του τριωνύµου 2M–py+py2 είναι ∆=1–8Μ. Αν ∆<0, δηλαδή για Μ>1/8, τότε ισχύει ότι πάντα x>0, διότι, µε δεδοµένο ότι py<1, ο όρος py(1–py)/2 δεν υπερβαίνει ποτέ το 1/8. Αν Μ≤1/8 (και άρα ∆≥0), τότε οι ρίζες του τριωνύµου είναι οι 1/2–(1–8Μ)1/2/2 και 1/2+(1–8Μ)1/2/2. Για x>0 θα πρέπει py<1/2–(1–8Μ)1/2/2 ή py>1/2+(1–8Μ)1/2/2. Συνοψίζοντας: αν M>1/8 τότε πρέπει py<1, ενώ αν Μ≤1/8, τότε py<1/2–(1–8Μ)1/2/2 ή 1/2+(1–8Μ)1/2/2<py<1. Μέρος Β: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Η συνάρτηση ωφέλειας ενός ατόµου που καταναλώνει βενζίνη (Β) και άλλα αγαθά (Α) είναι u(B,A)=B1/4A3/4. To εβδοµαδιαίο εισόδηµα του ατόµου αυτού είναι Μ=400 ευρώ. Έστω ότι αρχικά η τιµή της βενζίνης είναι pB=1 ευρώ το λίτρο, ενώ αυξάνει σε pB′=2 ευρώ. α) Να υπολογίσετε την ελαστικότητα ζήτησης της βενζίνης. Καταρχήν, βρίσκουµε τις συναρτήσεις ζήτησης: MRSB,Α=Α/3Β=pB/pA, και pBB+pAA=M. Συνδυάζοντας αυτές τις εξισώσεις έχουµε B(pB,pA,M)=M/4pB και Α(pB,pA,M)=3M/4pΑ. Με pB=1 έχουµε B=100, ενώ µε pB′=2 είναι B′=50. Για την ελαστικότητα ζήτησης, έχουµε εB=(∆Β/B)·(pB/∆pB), µε ∆Β=–50 και ∆pB=1, και αντικαθιστώντας, εB=–0,5. β) Κατά πόσο θα έπρεπε να µειωθεί η τιµή των άλλων αγαθών ώστε µε τις νέες τιµές το άτοµο να µπορεί να αγοράσει τις ποσότητες βενζίνης και άλλων αγαθών που αγόραζε στις αρχικές τιµές; Έστω pΑ′ η νέα τιµή των άλλων αγαθών. Για να µπορεί το άτοµο να αγοράσει το αρχικό του καλάθι (M/4pB, 3M/4pΑ) µε τις νέες τιµές, θα πρέπει pB′M/4pB+pΑ′3M/4pΑ=Μ. Κάνοντας τις πράξεις έχουµε pΑ′/pΑ=2/3. Συνεπώς η τιµή των άλλων αγαθών θα έπρεπε να γίνει ίση µε τα 2/3 της αρχικής τους τιµής. γ) Κατά πόσο θα έπρεπε να µειωθεί η τιµή των άλλων αγαθών ώστε στις νέες τιµές το άτοµο να έχει το ίδιο επίπεδο ωφέλειας που είχε στις αρχικές τιµές; Να συγκρίνετε το αποτέλεσµά σας µε αυτό που βρήκατε στο (β). Η αρχική ωφέλεια είναι (M/4pB)1/4·(3M/4pΑ)3/4. Θα πρέπει (M/4pB′)1/4·(3M/4pΑ′)3/4=(M/4pB)1/4·(3M/4pΑ)3/4. Κάνοντας τις πράξεις, προκύπτει pΑ′/pΑ=2–1/3=0,8. Παρατηρούµε ότι η µείωση που χρειάζεται είναι µικρότερη από αυτή που είχαµε βρει στο (β). Με λίγα λόγια, είναι πιο «εύκολο» να φέρουµε το άτοµο στην ίδια ωφέλεια µε πριν από το να του επιτρέψουµε να µπορεί να αγοράσει το καλάθι που είχε µε τις αρχικές τιµές. δ) Αν το κράτος επιβάλει ανώτατη τιµή της βενζίνης ίση µε pB*=1,5 ευρώ, πόσα παραπάνω χρήµατα θα µπορεί το άτοµο να διαθέσει σε άλλα αγαθά σε σύγκριση µε την κατάσταση όπου η τιµή της βενζίνης είναι ίση µε 2 ευρώ; Να σχολιάσετε το αποτέλεσµά σας. Από τη συνάρτηση ζήτησης, βλέπουµε ότι οι αλλαγές στην τιµή της βενζίνης δεν επηρεάζουν τη ζήτηση των άλλων αγαθών. Συνεπώς, µια µείωση στην τιµή της βενζίνης δεν θα ωθήσει το άτοµο στο να δαπανήσει περισσότερα χρήµατα για τα άλλα αγαθά, αλλά θα οδηγήσει µονάχα σε αύξηση των λίτρων βενζίνης που θα επιλέξει το άτοµο. 2. Ας υποθέσουµε ότι ένα άτοµο καταναλώνει τα αγαθά x και y, και έχει συνάρτηση χρησιµότητας u(x,y)=x1/2+y1/2. α) Ποιος είναι ο οριακός λόγος υποκατάστασης για αυτή τη συνάρτηση χρησιµότητας; Είναι οι προτιµήσεις του ατόµου κυρτές; MRS = y1/2/x1/2, ο οποίος αυξάνει όπως αυξάνει το y και φθίνει όπως αυξάνει το x, άρα οι προτιµήσεις είναι κυρτές. β) Ποιες είναι οι µαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης για τα δυο αγαθά, και ποιες ποσότητες θα καταναλώσει το άτοµο αν η τιµή του x είναι px=1, η τιµή του y είναι py=1 και το εισόδηµά του είναι Μ=8; Οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται είναι MRS=y1/2/x1/2=px/py και pxx+pyy=M. Λύνοντας, βρίσκουµε ότι x=(M/px)·( py/(px+py)) και y=(M/py)·( px/(px+py)). Για τις συγκεκριµένες τιµές και εισόδηµα, (x*, y*) = (4, 4). γ) Για κάθε ένα από τα δύο αγαθά να γράψετε αν είναι κατώτερο ή κανονικό, καθώς κι αν είναι αγαθό Giffen. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Τα αγαθά είναι κανονικά αφού dx*/dM >0 και dy*/dM > 0, δεν είναι Giffen αφού dx*/dpx < 0 και dy*/dpy < 0. δ) Τα αγαθά είναι συµπληρωµατικά, υποκατάστατα ή ανεξάρτητα; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Τα αγαθά είναι υποκατάστατα αφού dx*/dpy > 0 και dy*/dpx > 0. Μέρος Γ: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Το αγαθό Ψ παράγεται σε δύο χώρες, την Α και την Β. Στη χώρα Α το ωροµίσθιο είναι 1€, ενώ στην Β 4€. Το κεφάλαιο νοικιάζεται µε 4€ την ώρα και στις δύο χώρες. Οι χώρες Α και Β διαθέτουν την ίδια τεχνολογία, σύµφωνα µε την οποία για την παραγωγή 100 µονάδων Ψ απαιτούνται 150 ώρες χρήσης µηχανών και 300 εργατοώρες.
α) Υποθέτοντας ότι οι παραγωγοί ελαχιστοποιούν το κόστος παραγωγής, να σχεδιάσετε τις καµπύλες ίσου προϊόντος για τις δύο χώρες. H συνάρτηση παραγωγής και για τις δύο χώρες είναι Ψ=min{2K/3,L/3}, όπου Κ οι ώρες χρήσης µηχανών και L οι εργατοώρες. Αν βάλουµε το Κ στον οριζόντιο άξονα και το L στον κάθετο άξονα, οι καµπύλες ίσου προϊόντος θα έχουν το σχήµα “L”, µε τις κορυφές των “L” να βρίσκονται πάνω στην ευθεία L=2K. β) Να υπολογίσετε το µέσο κόστος για κάθε χώρα. Για την παραγωγή Y µονάδων προϊόντος απαιτούνται 1,5Υ ώρες χρήσης µηχανών και 3Υ ώρες εργασίας. Άρα, το ολικό κόστος στη χώρα Β είναι 6Υ+12Υ=18Υ, ενώ στη χώρα Α είναι 6Υ+3Υ=9Υ. Συνεπώς, το µέσο κόστος στη χώρα Β είναι ίσο µε 18, ενώ στη χώρα Α είναι ίσο µε 9. γ) Αν επικρατούν συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού στην βραχεία περίοδο, όπου το κεφάλαιο είναι σταθερό και ίσο µε K0 (ίδιο και στις δύο χώρες), ποιά είναι η ελάχιστη κοινή (µεταξύ των δύο χωρών) τιµή του προϊόντος που θα επέτρεπε την παραγωγή και στις δύο χώρες; Στη βραχυχρόνια περίοδο, η συνθήκη λειτουργίας είναι π≥–4K0 (αρκεί να καλύπτεται το σταθερό κόστος). Μας αρκεί να βρούµε τι ισχύει για τη χώρα Β που έχει και το µεγαλύτερο κόστος εργασίας: έχουµε pY–4K0–4L≥–4K0, ή pY–4L≥0. Όµως, L=2K0 και το παραγόµενο προϊόν είναι 2K0/3. Συνεπώς, p2K0/3–8K0≥0 ή p≥12. Άρα, η ελάχιστη τιµή που θα επέτρεπε την παραγωγή και στις δύο χώρες είναι η τιµή p=12. δ) Έστω ότι τα κέρδη στη χώρα Α είναι µηδενικά και η τεχνολογία παραµένει αµετάβλητη. Η τεχνολογία της Β αλλάζει έτσι ώστε να απαιτούνται 100 ώρες χρήσης µηχανών και Ζ εργατοώρες για την παραγωγή 100 µονάδων Ψ. Για ποιο επίπεδο Ζ µηδενίζονται τα κέρδη και στη χώρα Β; Αφού τα κέρδη στη χώρα Α είναι µηδέν, έχουµε pY–9Y=0, και άρα p=9. Με τη νέα τεχνολογία, για την παραγωγή Υ µονάδων στη χώρα Β απαιτούνται Y ώρες χρήσης µηχανών και ZΥ/100 ώρες εργασίας. Συνεπώς, το ολικό κόστος της Β είναι τώρα 4Υ+ΖΥ/25. Για να είναι µηδενικά τα κέρδη της Β πρέπει 9Υ–4Υ–ΖΥ/25=0, και εποµένως Ζ=125. 2. Έστω µια επιχείρηση που χρησιµοποιεί εργασία (L) και κεφάλαιο (K) και έχει συνάρτηση παραγωγής Q(L,K)=2L1/2+K1/2. α) Αν η τιµή της εργασίας είναι w, η τιµή του κεφαλαίου είναι r και η τιµή του προϊόντος που παράγει η επιχείρηση είναι σταθερή και ίση µε p, να βρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης της εργασίας και του κεφαλαίου. Λύνοντας το πρόβληµα µεγιστοποίησης max p·(K1/2+2L1/2)– rK–wL µε επιλογή των K, L, έχουµε K(p,r,w)=p2/4r 2, και L(p,r,w)=p2/w2. β) Να γράψετε τη συνάρτηση προσφοράς και τη συνάρτηση κέρδους. Συνάρτηση προσφοράς: s(p,r,w)=p/2r+2p/w. Συνάρτηση κέρδους: π(p,r,w)=p2/4r+p2/w. γ) Χωρίς να βρείτε τις παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης, να βρείτε ποιες είναι οι τιµές της παράγωγης ζήτησης για εργασία και της παράγωγης ζήτησης για κεφάλαιο όταν w=1, r=1/4 και η επιχείρηση έχει ως στόχο να παράγει επίπεδο προϊόντος ίσο µε Q=8. Σε τιµές r=1/4, w=1, και όταν η επιχείρηση παράγει επίπεδο προϊόντος Q=8 (δηλαδή προσφορά=8), από τη συνάρτηση προσφοράς βρίσκουµε ότι p=2. Άρα, η παράγωγη ζήτηση για Q=8, r=1/4, w=1 θα ισούται µε τη ζήτηση για p=2, r=1/4, w=1. Εποµένως, KΠΑΡ(8,1/4,1)=K(2,1/4,1)=16 και LΠΑΡ(8,1/4,1)=L(2,1/4,1)=4. δ) Να βρείτε τις παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης για εργασία και κεφάλαιο και να επαληθεύσετε την απάντησή σας στο (γ). Η παράγωγη συνάρτηση ζήτησης βρίσκεται από τη λύση του προβλήµατος min rK+wL µε επιλογή των K, L, και µε τον υπόψη περιορισµό K1/2+2L1/2=Q. Λύνοντας (µε µέθοδο Lagrange ή χρησιµοποιώντας τη συνθήκη MRTSKL=r/w), έχουµε KΠΑΡ(Q,r,w)=(Qw/(w+4r))2, και LΠΑΡ(Q,r,w)=(2Qr/(w+4r))2. Οι τιµές που βρήκαµε στο (γ) επαληθεύονται, αφού KΠΑΡ(8,1/4,1)=16, LΠΑΡ(8,1/4,1)=4.
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ∆ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Εξέταση Ιουλίου 2011 / ∆ιάρκεια: 2 ώρες ∆ιδάσκοντες: Μ. Αθανασίου, Γ. Καπλάνογλου, Τ. Πατώκος Μέρος Α: Να απαντήσετε σε πέντε από τις οχτώ ερωτήσεις που ακολουθούν (50%) 1. Ένα άτοµο δαπανά το 50% του εισοδήµατός του (m) σε τρόφιµα, F, και το 50% του εισοδήµατός του σε υπόλοιπα αγαθά, Ο. Αν η εισοδηµατική ελαστικότητα των τροφίµων είναι eF,m=0,6 , ποια είναι η εισοδηµατική ελαστικότητα των υπόλοιπων αγαθών, eO,m; Ο σταθµισµένος µέσος όρος των εισοδηµατικών ελαστικοτήτων ζήτησης είναι 1. Αν si είναι το µερίδιο δαπάνης του αγαθού i, θα πρέπει να ισχύει sF eF,m+sO eO,m=1. Αντικαθιστώντας έχουµε 0,5·0,6+0,5·eO,m=1, και eO,m=1,4. 2. Αν η συνάρτηση µακροχρόνιου κόστους µιας ανταγωνιστικής επιχείρησης είναι TC(Q) = 5Q2+ 320, για ποια τιµή p του προϊόντος η επιχείρηση θα προσφέρει θετική ποσότητα προϊόντος; Για να προσφέρει η επιχείρηση θετική ποσότητα προϊόντος θα πρέπει να καλύπτεται το µέσο κόστος παραγωγής. Το ελάχιστο µέσο κόστος παραγωγής είναι στο σηµείο, όπου η καµπύλη οριακού κόστους τέµνει την καµπύλη µέσου κόστους, όπου δηλαδή MC=AC. ∆ηλαδή 10Q=5Q+320/Q, δηλαδή όταν Q=8. Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση οριακού κόστους βρίσκουµε ότι η τιµή πρέπει να είναι µεγαλύτερη από 80 προκειµένου η επιχείρηση να προσφέρει θετική ποσότητα προϊόντος. 3. «Συχνά βολεύει να κάνουµε κάποιον µονοτονικό µετασχηµατισµό της συνάρτησης ωφέλειας. Το ίδιο συµβαίνει και µε τη συνάρτηση παραγωγής». Η πρόταση αυτή είναι σωστή; Να εξηγήσετε την απάντησή σας. Οι µονοτονικοί µετασχηµατισµοί στη συνάρτηση ωφέλειας επιτρέπονται, µιας και οι νέες συναρτήσεις ωφέλειας που προκύπτουν εκφράζουν ακριβώς τις ίδιες προτιµήσεις (δηλαδή, ένας µονοτονικός µετασχηµατισµός δεν αλλάζει την ιεράρχηση των προτιµήσεων). Ωστόσο δεν επιτρέπεται µονοτονικός µετασχηµατισµός στην συνάρτηση παραγωγής, γιατί αναφέρεται σε φυσικές µονάδες. 4. Το διάβασµα του µαθήµατος «Μικροοικονοµική ανάλυση της κατανάλωσης και της παραγωγής» προκαλεί πονοκέφαλο σε έναν φοιτητή, ο οποίος µπορεί να αγοράσει ασπιρίνες σε συσκευασία του ενός πακέτου (XS) ή σε συσκευασία των τεσσάρων πακέτων (XF). Ο φοιτητής ενδιαφέρεται µονάχα για το προϊόν καθαυτό, και καθόλου για την ίδια τη συσκευασία, και συνεπώς είναι αδιάφορος µεταξύ τεσσάρων µονών πακέτων και µίας συσκευασίας των τεσσάρων πακέτων. Να γράψετε µία συνάρτηση χρησιµότητας που να εκφράζει τις προτιµήσεις του φοιτητή για τα δυο αγαθά XS και XF. Να απεικονίσετε τις προτιµήσεις του σε διάγραµµα, καθώς και το σηµείο της άριστης επιλογής όταν pS=2 και pF=4. (Να θεωρήσετε, για απλότητα, ότι ο φοιτητής µπορεί να αγοράσει και δεκαδικές ποσότητες από τα δύο προϊόντα). Μιας και ο φοιτητής υποκαθιστά τέλεια 4 µονά πακέτα µε µια συσκευασία των τεσσάρων, µία συνάρτηση ωφέλειας είναι η u(XS,XF)=XS+4XF (και οποιοσδήποτε γνησίως αύξων µετασχηµατισµός αυτής). Οι καµπύλες αδιαφορίας είναι ευθείες γραµµές µε κλίση –1/4. Στο σχήµα αριστερά, φαίνονται δύο τέτοιες καµπύλες αδιαφορίας (µπλε και ροζ), µία για επίπεδο ωφέλειας u=20, και µία για επίπεδο ωφέλειας u=40. Mε τιµές pS=2 και pF=4, το άτοµο θα επιλέγει µονάχα συσκευασίες των τεσσάρων, αφού MRSSF<pS/pF. Οι πράσινες γραµµές του σχήµατος είναι οι εισοδηµατικοί περιορισµοί που επιτρέπουν στο άτοµο να επιτύχει επίπεδο ωφέλειας 40 και 20. Παρατηρούµε ότι, σε κάθε περίπτωση, οποιαδήποτε άλλη επιλογή εκτός του κόκκινου σηµείου, είτε θα οδηγήσει σε µικρότερη ωφέλεια, είτε θα είναι ανέφικτη. 5. Μια επιχείρηση επιλέγει τέτοιες ποσότητες εργασίας και κεφαλαίου ώστε το οριακό προϊόν της εργασίας είναι ίσο µε 4 και το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι ίσο µε 12. Αν η τιµή της εργασίας είναι w=2 και η τιµή του κεφαλαίου είναι ίση µε r=8, ποιον από τους δύο συντελεστές θα πρέπει η επιχείρηση να χρησιµοποιεί περισσότερο; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Αφού MPL=4 και MPΚ=12, έχουµε ότι MRTSLΚ=1/3, ενώ ο λόγος pL/pK=1/4. Αυτό σηµαίνει ότι αν η επιχείρηση παραχωρήσει 1/3 µονάδες κεφαλαίου για να πάρει 1 επιπλέον µονάδα εργασίας τότε θα παράγει την ίδια ποσότητα προϊόντος. Ωστόσο, 1 µονάδα εργασίας εργασίας κοστίζει λιγότερο από από 1/3 µονάδες κεφαλαίου, και άρα,
χρησιµοποιώντας περισσότερη εργασία η εργασία θα µπορούσε να παράγει την ίδια ποσότητα σε χαµηλότερο κόστος. 6. Μια επιχείρηση µπορεί να παράγει προϊόν απασχολώντας είτε ειδικευµένους είτε ανειδίκευτους εργάτες (ή και τα δύο). Αν L είναι οι ώρες εργασίας των ειδικευµένων εργατών και Λ είναι οι ώρες εργασίας των ανειδίκευτων, η συνάρτηση παραγωγής είναι Q=1L+0.5Λ. Αν η επιχείρηση χρησιµοποιεί µόνο 20 ώρες ειδικευµένου προσωπικού, τι συµπέρασµα µπορούµε να βγάλουµε σχετικά µε το πόσο αµείβονται οι ειδικευµένοι εργάτες σε σχέση µε τους ανειδίκευτους; Από τη συνάρτηση παραγωγής, βλέπουµε ότι η επιχείρηση µπορεί να υποκαταστήσει τέλεια έναν ειδικευµένο µε δύο ανειδίκευτους. Συνεπώς, το γεγονός ότι χρησιµοποιεί µονάχα ειδικευµένο προσωπικό σηµαίνει ότι η αµοιβή για 1 ώρα εργασίας ενός ειδικευµένου είναι µικρότερη (ή το πολύ ίση) σε σύγκριση µε την αµοιβή για 1 ώρα εργασίας 2 ανειδίκευτων. ∆ηλαδή, αν w1 η αµοιβή των ειδικευµένων και w2 η αµοιβή των ανειδίκευτων, θα ισχύει ότι w1≤2w2. (Παρατήρηση: σηµειώστε την αντιστοιχία µε την ερώτηση 4). 7. Η συνάρτηση ζήτησης του Κώστα για πορτοκάλια είναι: Q=10–2P, όπου Q είναι η ποσότητα των πορτοκαλιών που καταναλώνει ο Γιώργος κάθε εβδοµάδα και P είναι η τιµή των πορτοκαλιών. Αν P=3, ποιο είναι το πλεόνασµα καταναλωτή για τον Γιώργο; Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης στην τιµή αυτή; Από τη σχέση Q=10–2P έχουµε P=5–Q/2. Χαράσσοντας την ευθεία αυτή µε το P στον κάθετο άξονα, βρίσκουµε το πλεόνασµα ως το εµβαδό που βρίσκεται κάτω από την ευθεία της ζήτησης και πάνω από τη γραµµή της τιµής. Πρόκειται για το γκρι εµβαδό του σχήµατος, και ισούται µε 4. Η ελαστικότητα ζήτησης δίνεται από τη σχέση – (dQ/dP)(P/Q), και κάνοντας πράξεις έχουµε 2P/(10– 2P), και αφού P=3, έχουµε ότι η ελαστικότητα ζήτησης είναι ίση µε 6/4. 8. Η αγορά για ένα αγαθό η τιµή του οποίου είναι p έχει δύο τύπους καταναλωτών: κάθε καταναλωτής που ανήκει στον πρώτο τύπο έχει ζήτηση για το αγαθό D1(p)=20–2p αν p≤10, και µηδενική ζήτηση αν p>10. Κάθε καταναλωτής που ανήκει στο δεύτερο τύπο έχει ζήτηση για το αγαθό D2(p)=40–2p αν p≤20, και µηδενική ζήτηση αν p>20. Ποια είναι η συνολική συνάρτηση ζήτησης αν γνωρίζουµε ότι ο πρώτος τύπος περιλαµβάνει Ν1 άτοµα και ο δεύτερος Ν2; Αν p>20, τότε η ολική ζήτηση είναι µηδενική. Αν p>10 και p≤20, τότε αγοράζουν µόνο οι καταναλωτές του δεύτερου τύπου, και άρα η ολική ζήτηση είναι D(p)=40Ν2–2Ν2p. Αν p≤10 τότε αγοράζουν καταναλωτές και των δύο τύπων, οπότε D(p)=20Ν1+40Ν2–2(Ν1+Ν2)p. Μέρος Β: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Η συνάρτηση ωφέλειας ενός καταναλωτή που καταναλώνει µόνο δύο αγαθά x και y είναι u(x,y)=x1/2y1/2, όπου x, y είναι οι ποσότητες των x και y αντίστοιχα. Οι τιµές των αγαθών θεωρούνται γνωστές. α) Να βρείτε τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης για τα αγαθά x και y. Οι αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης προκύπτουν από τη λύση του προβλήµατος ελαχιστοποίησης δαπανών. Έχουµε MRSxy=y/x=px/py και x1/2y1/2=U, όπου U είναι το επίπεδο ωφέλειας που επιθυµεί να επιτύχει το άτοµο. Λύνοντας το σύστηµα έχουµε x(px,py,U)=(py/px)1/2⋅U και y(px,py,U)=(px/py)1/2⋅U. (Σηµ: το πρόβληµα ελαχιστοποίησης δαπανών µπορεί να λυθεί και µε τη µέθοδο Lagrange). β) Έστω ότι η τιµή του αγαθού 1 είναι ίση µε 4 και η τιµή του αγαθού 2 είναι ίση µε 1. Αν το άτοµο έχει θέσει ως στόχο να επιτύχει επίπεδο ωφέλειας ίσο µε 10, ποια είναι η ελάχιστη δαπάνη; Με τις τιµές που δίνονται, η αντισταθµιστική ζήτηση είναι x(4,1,10)=5, y(4,1,10)=20 και η ελάχιστη δαπάνη είναι ίση µε 40 (=4⋅5+1⋅20). γ) Ποια είναι η συνάρτηση έµµεσης ωφέλειας του καταναλωτή, και τι εκφράζει η συνάρτηση αυτή; Λύνοντας το πρόβληµα µεγιστοποίησης ωφέλειας κατά τα γνωστά (µε µέθοδο Lagrange ή µε τη συνθήκη MRSxy=y/x=px/p), βρίσκουµε x(px,py,Μ)=Μ/2px, και y(px,py,Μ)=Μ/2py. Άρα v(px,py,Μ)=M/2px1/2py1/2. Η συνάρτηση αυτή εκφράζει τη µέγιστη ωφέλεια που µπορεί να επιτύχει το άτοµο σε τιµές px, py και εισόδηµα Μ. δ) Έστω ότι δεν γνωρίζουµε ούτε τις τιµές των αγαθών, ούτε το εισόδηµα του ατόµου. Μας δίνουν την πληροφορία ότι η τιµή του αγαθού x τετραπλασιάστηκε και συγχρόνως το άτοµο έλαβε µια αύξηση στο εισόδηµά του κατά 10. Πόσο ήταν το αρχικό εισόδηµα του ατόµου αν το αποτέλεσµα εισοδήµατος κατά Hicks είναι µηδενικό; Αφού το αποτέλεσµα εισοδήµατος κατά Hicks είναι µηδενικό, το άτοµο παρέµεινε στην ίδια ωφέλεια, και συνεπώς v(px,py,Μ)=v(4px,py,Μ+10). Άρα M/2px1/2py1/2=(M+10)/2⋅2px1/2py1/2, που σηµαίνει ότι M=10.
2. Η συνάρτηση ωφέλειας του Κώστα ο οποίος καταναλώνει τα αγαθά x και y είναι u(x,y) = 2x1/2+y. Το εισόδηµά του είναι €100. Οι τιµές των x και y είναι €1 και €0,50 αντίστοιχα. Η κυβέρνηση αποφασίζει να επιδοτήσει το αγαθό x και η νέα τιµή του είναι €0,20. α) Ποιο είναι το άριστο καλάθι αγαθών για τον Κώστα µε τις αρχικές τιµές; Ποιο µε τις τελικές; Αρχικά MRSxy=px/py, που δίνει 1/x1/2=1/0,5, ή x=0,25. Χρησιµοποιώντας και την εξίσωση εισοδηµατικού περιορισµού βρίσκουµε y = 199,5. Με τις νέες τιµές, η συνθήκη MRSxy=px/py δίνει 1/x1/2=0,2/0,5, ή x=6,25. Χρησιµοποιώντας και την εξίσωση εισοδηµατικού περιορισµού βρίσκουµε y = 197,5. β) Ποια είναι η αντισταθµιστική µεταβολή κατά Hicks από τη µείωση της τιµής του αγαθού x; Η αντισταθµιστική µεταβολή κατά Hicks είναι το εισόδηµα που πρέπει να δώσουµε (ή να αφαιρέσουµε από) στο άτοµο, έτσι ώστε αυτό µε τις τελικές τιµές να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο χρησιµότητας που βρισκόταν στις αρχικές τιµές. Το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας είναι U=2(0,25)1/2+199,5=200,5. Στις νέες τιµές, U=2(6,25)1/2+197,5=202,5, άρα οι ποσότητες των Χ και Υ που επιτυγχάνουν το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις MRSxy=px/py ή 1/x1/2=0,2/0,5 ή x=6,25 και U = 2(6,25)1/2+y=200,5. Άρα x=6,25 και y=195,5. Το εισόδηµα που χρειάζεται το άτοµο για να αγοράσει αυτές τις ποσότητες στις νέες τιµές είναι 6,25⋅0,2+195,5⋅0,5=99. Το αρχικό εισόδηµα του ατόµου είναι 100, άρα η ισοδύναµη µεταβολή κατά Hicks είναι 1. Με άλλα λόγια µπορούµε να αφαιρέσουµε από τον Κώστα €1 και µε την επιδότηση αυτός να είναι στο ίδιο επίπεδο χρησιµότητας που βρισκόταν πριν από την επιδότηση. γ) Ποια είναι η ισοδύναµη µεταβολή κατά Hicks από τη µείωση της τιµής του αγαθού x; Η ισοδύναµη µεταβολή κατά Hicks είναι το εισόδηµα που πρέπει να δώσουµε στο άτοµο, έτσι ώστε αυτό µε τις αρχικές τιµές να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο χρησιµότητας που θα βρεθεί µε τις τελικές τιµές. Το τελικό επίπεδο χρησιµότητας είναι U=2(6,25)1/2+197,5=202,5, ενώ πριν την επιδότηση U=2(0,25)1/2+199,5=200,5, άρα οι ποσότητες των Χ και Υ που επιτυγχάνουν το τελικό επίπεδο χρησιµότητας είναι πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις MRSxy=px/py ή 1/x1/2=0,2/0,5 ή x=0,25 και U = 2(0,25)1/2+y=202,5. Άρα x=0,25 και y=201,5. Το εισόδηµα που χρειάζεται το άτοµο για να αγοράσει αυτές τις ποσότητες στις αρχικές τιµές είναι 1⋅0,25+0,5⋅201,5=101. Το αρχικό εισόδηµα του ατόµου είναι 100, άρα η ισοδύναµη µεταβολή κατά Hicks είναι 1. δ) Αναµένατε η αντισταθµιστική και η ισοδύναµη µεταβολή να είναι ίσες, και γιατί; Η συνάρτηση ωφέλειας του Κώστα είναι οιονεί γραµµική στο y και σε αυτήν την περίπτωση τα τρία µέτρα µεταβολής της χρησιµότητας του καταναλωτή που προκαλείται από µια µεταβολή της τιµής του x (δηλαδή η αντισταθµιστική µεταβολή, η ισοδύναµη µεταβολή και η µεταβολή στο πλεόνασµα καταναλωτή) δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα.
Μέρος Γ: Να λύσετε µία από τις επόµενες δύο ασκήσεις (25%) 1. Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής Q=L0.25K0.25. Οι αρχικές τιµές των συντελεστών παραγωγής είναι w=1 και r=1. Ας υποθέσουµε ότι το κεφάλαιο είναι σταθερό, µε Κ=4. α) Το οριακό προϊόν της εργασίας είναι αύξον, φθίνον ή σταθερό; Είναι ΜPL(K=4)=∂(L0.25K0.25)/∂L=21/2L–3/4/4. Το οριακό προϊόν της εργασίας µειώνεται καθώς αυξάνεται το L, επειδή η συνολική ποσότητα κεφαλαίου είναι σταθερή, ισχύει δηλαδή ο νόµος του φθίνοντος οριακού προϊόντος. β) Βρείτε τις συναρτήσεις βραχυχρόνιου συνολικού, βραχυχρόνιου οριακού και βραχυχρόνιου µέσου κόστους. Η συνάρτηση βραχυχρόνιου συνολικού κόστους είναι C(Q)=wL(Q)+rK, µε Κ σταθερό. Για Κ = 4, βρίσκουµε την παράγωγη ζήτηση για εργασία, ως L(Q)=¼Q4. Εποµένως η συνάρτηση βραχυχρόνιου συνολικού κόστους είναι C(Q)=1⋅¼Q4+1⋅4=¼Q4+⋅4. Η συνάρτηση βραχυχρόνιου οριακού κόστους είναι SMC(Q)= ∂C(Q)/ ∂Q=Q3. Η συνάρτηση βραχυχρόνιου µέσου κόστους είναι SAC(Q)=C(Q)/Q= Q3/4+4/Q. γ) Τι αποδόσεις κλίµακας παρουσιάζει η επιχείρηση; Έχουµε (kL)0.25(kK)0.25=k0.5L0.25K0.25<kL0.25K0.25 για k>1. Άρα η επιχείρηση παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας. δ) Ας υποθέσουµε ότι βρισκόµαστε στη µακροχρόνια περίοδο και η επιχείρηση µπορεί να επιλέξει και την επιθυµητή ποσότητα κεφαλαίου. Ταυτόχρονα, η τιµή του κεφαλαίου διπλασιάζεται. Για ποια ποσότητα παραγωγής η επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της; Πόσα είναι τα κέρδη αυτά (ως συνάρτηση της τιµής του προϊόντος); Θέτοντας τον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης ίσο µε το λόγο των τιµών των συντελεστών παραγωγής έχουµε MRTSLK(L,K)=½, ή L=2K. Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση παραγωγής βρίσκουµε τις παράγωγες συναρτήσεις για το κεφάλαιο και την εργασίας ως K(Q)=Q2/21/2, L(Q)= 21/2Q2. Εποµένως η συνάρτηση µακροχρόνιου συνολικού κόστους είναι C(Q)=1⋅21/2Q2 + 2⋅Q2/21/2=2⋅21/2Q2. Εξισώνοντας την τιµή του προϊόντος µε το µακροχρόνιο οριακό κόστος έχουµε P=LMC(Q) ή Q*=P/4⋅21/2. Εποµένως, το κέρδος είναι π=(P–2⋅21/2)⋅ P /4⋅21/2 , για P≥2⋅21/2.
2. Η Ελένη αγοράζει γάλα σε τιµή 1€ το λίτρο και σκόνη κακάο προς 2€ το κουτί. Με αυτά φτιάχνει σοκολατούχο γάλα, το οποίο και πουλάει στην αγορά σε σταθερή τιµή p€ το λίτρο. Για να παράγει 1 λίτρο σοκολατούχου, η Ελένη χρησιµοποιεί 1 λίτρο γάλα και το 1/4 ενός κουτιού σκόνης κακάο. α) Ποια είναι η συνάρτηση παραγωγής που περιγράφει αυτή την παραγωγική διαδικασία; Τι αποδόσεις κλίµακας αντιµετωπίζει η Ελένη; Αν Γ είναι τα λίτρα γάλακτος και Κ τα γραµµάρια σκόνης κακάο που χρησιµοποιούνται στην παραγωγή, η συνάρτηση παραγωγής είναι Q(Γ,Κ)=min{Γ,4K) µιας και για να παράγει a λίτρα σοκολατούχου, η Ελένη χρειάζεται a λίτρα γάλακτος και a/4 κουτιά κακάο, σε αυτήν ακριβώς την αναλογία. Αν αυξηθεί µόνο ο ένας συντελεστής, δεν µπορεί να παραχθεί περισσότερο προϊόν. Αν όµως πολλαπλασιαστούν και οι δύο µε τον ίδιο αριθµό t, τότε η Ελένη θα παράγει ακριβώς t φορές την ποσότητα που παρήγαγε πριν. Αυτό σηµαίνει ότι έχει σταθερές αποδόσεις κλίµακας, δηλαδή, Q(tΓ,tΚ)=min{tΓ,t4K)=tmin{Γ,4K)=tQ(Γ,Κ), για κάθε t>1. β) Αν η Ελένη χρησιµοποιεί 20 λίτρα γάλα και 3 κουτιά κακάο, ποιο είναι το οριακό προϊόν του γάλακτος και ποιο το οριακό προϊόν των κουτιών της σκόνης κακάο; Να χαράξετε την ισοποσοτική καµπύλη στην οποία βρίσκεται η Ελένη όταν χρησιµοποιεί τις ποσότητες αυτές, και να δείξετε και το ακριβές σηµείο στο οποίο βρίσκεται. Με 20 λίτρα γάλα και 3 κουτιά κακάο, η Ελένη µπορεί να παράγει min{20,12}=12 λίτρα σοκολατούχου. Άρα όλοι οι συνδυασµοί συντελεστών που θα βρίσκονται στην ίδια ισοποσοτική καµπύλη πρέπει να δίνουν Q=12 (βλ. σχήµα αριστερά – το κόκκινο «L»). Το πράσινο σηµείο αναπαριστά τις ποσότητες συντελεστών που χρησιµοποιεί η Ελένη. Αν έχει ένα λίτρο γάλακτος παραπάνω, παράγει min{21,12}=12, και συνεπώς το οριακό προϊόν του γάλακτος είναι 0. Αν έχει ένα κουτί παραπάνω, παράγει min{20,16}=16, και άρα το οριακό προϊόν των κουτιών σκόνης κακάο ισούται µε 4. γ) Αν η Ελένη ξοδέψει 120€ σε αγορά παραγωγικών συντελεστών, πόσα λίτρα γάλακτος και πόσα κουτιά σκόνης κακάο θα αγοράσει; Έχουµε Γ=4Κ (συνθήκη αριστοποίησης) και Γ+2Κ=120 (περιορισµός κόστους). Λύνοντας το σύστηµα, προκύπτει ότι Γ=80 και Κ=20. δ) Ποια είναι η συνάρτηση κόστους της Ελένης, και ποια η συνάρτηση κέρδους; Για να παράγει Q η Ελένη χρησιµοποιεί Q λίτρα γάλακτος που κοστίζουν Q ευρώ και Q/4 κουτιά κακάο που κοστίζουν Q/2 ευρώ. Άρα C(Q)=3Q/2. Για το κέρδος, έχουµε π=pmin{Γ,4K)–Γ–2Κ. Όταν Γ=4Κ τότε Q=Γ (ή Q=4K). Συνεπώς, π(Q)=pQ–3Q/2=(p–3/2)Q. Αυτή είναι και η συνάρτηση κέρδους, η οποία ισχύει για τιµές από 3/2 και µεγαλύτερες. Για p<3/2, θα έχουµε π=0 (η Ελένη δεν παράγει µιας και έχει αρνητικά κέρδη).
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ι Διδάσκοντες: Α. Παπανδρέου-Β.Ράπανος
28/08/2006
Τελική Εξέταση Μικροοικονομική Ι Η εξέταση αυτή έχει ΔΥΟ τμήματα. Πρέπει να απαντηθούν 5 από τις 8 ερωτήσεις από το Τμήμα Α και 2 ασκήσεις από το Τμήμα Β (η πρώτη είναι υποχρεωτική). Το κάθε Τμήμα αντιστοιχεί με 5 μονάδες. Καλό να μην ξεπεράσετε τα 10 λεπτά ανά ερώτηση του Τμήματος Α και 30 λεπτά ανά άσκηση του Τμήματος Β. Καλή τύχη! Τμήμα Α Απαντήστε 5 από τις 8 ερωτήσεις. 1. Αν η Ελένη μεγιστοποιεί τη συνάρτηση χρησιμότητας U(x,y), υπό τον εισοδηματικό της περιορισμό, τότε η κατανάλωση του άριστου συνδυασμού συνεπάγεται ότι οι οριακές χρησιμότητες των x και y θα είναι ίσες. Η πρόταση αυτή είναι γενικά λάθος. Η μεγιστοποίηση της U(x,y) υπό τον εισοδηματικό περιορισμό της Ελένης γίνεται στο σημείο όπου
p MU x = MRS = x py MU y Άρα οι οριακές χρησιμότητες των x και y είναι ίσες μόνο αν οι τιμές είναι ίσες. Σε μια ακραία λύση δεν είναι δυνατό να έχουμε κάτι τέτοιο. 2. Η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης για ένα κατώτερο αγαθό έχει πιο μεγάλη κλίση (είναι πιο απότομη) από τη Χικσιανή καμπύλη για το αγαθό αυτό. Η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης περιλαμβάνει και το εισοδηματικό αποτέλεσμα και το αποτέλεσμα υποκατάστασης και έτσι με την εξίσωση Slutsky έχουμε
∂xi ∂xi = ∂pi ∂pi
U =U
− xi
∂xi ∂hi ∂x = − xi i ∂I ∂I ∂pi
3. Αν δύο αγαθά είναι τέλεια υποκατάστατα , γιατί ο καταναλωτής δεν θα επέλεγε ποτέ θετική ποσότητα και των δυο αγαθών αν διαφέρουν οι τιμές τους; Γιατί μόνο ακραία επιλογή θα μεγιστοποιούσε την χρησιμότητα σε αυτήν την περίπτωση. Όποιες δαπάνες στο ακριβότερο αγαθό θα σήμαινε πως πληρώνει παραπάνω ανά μονάδα χρησιμότητας από αυτό που θα μπορούσε αγοράζοντας το φτηνότερο αγαθό. 4. Μια εταιρεία έχει μέσο κόστος AC = 0,8q , τι αποδόσεις κλίμακας έχει; Εξηγείστε. Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. Το κόστος παραγωγής ανά μονάδα αυξάνεται καθώς αυξάνεται η συνολική παραγωγή, που σημαίνει πως αν διπλασίαζε τις εισροές η παραγωγή θα αυξανόταν λιγότερο από δύο φορές (οι εισροές ανά μονάδα παραγωγής αυξάνονται με το ύψος της παραγωγής).
Προσοχή: Η εξέταση συνεχίζεται στην πίσω σελίδα.
5. Εξηγείστε τι είναι το αποτέλεσμα υποκατάστασης και δείξετε με διάγραμμα το αποτέλεσμα υποκατάστασης από μια αύξηση της τιμής ενός αγαθού. Δείτε το σχήμα 5.4 σελ. 171 του Νίκολσον. 6. Η Άννα έχει ομοθετικές προτιμήσεις και με το σημερινό εισόδημά της αγοράζει 5 κιλά πορτοκάλια και 2 κιλά μήλα την εβδομάδα. Αν αυξηθεί το εισόδημά της τι μπορούμε να πούμε για τις νέες ποσότητες πορτοκαλιών και μήλων που θα αγοράζει; Εξηγείστε. Το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι πως θα αυξήσει τις ποσότητες και των δύο αγαθών διατηρώντας σταθερή την αναλογία 5 προς 2. Στις ομοθετικές συναρτήσεις χρησιμότητας «ο οριακός λόγος υποκατάστασης εξαρτάται μόνον από το λόγο των ποσοτήτων των δύο αγαθών». Μια αύξηση του εισοδήματος (χωρίς αλλαγή των τιμών) σημαίνει πως στο νέο σημείο που επιλέγει ο καταναλωτής θα έχει το ίδιο ΟΛΥ οπότε και θα μένει σταθερή η αναλογία των αγαθών που καταναλώνει. 7. Ποιο είναι το δυαδικό πρόβλημα της εταιρείας που προσπαθεί να βρει τους συντελεστές που ελαχιστοποιούν το κόστος; Ποια είναι η ερμηνεία του λ στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους; Το δυαδικό πρόβλημα είναι να επιχειρήσει να μεγιστοποιήσει προϊόν με δεδομένο συνολικό κόστος (σελ. 60 2ος τόμος Νίκολσον). Στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους το λ μας λεει πόσο λιγότερο θα κόστιζε αν μπορούσαμε να παράξουμε ένα λιγότερο προϊόν (δηλαδή το οριακό κόστος παραγωγής της τελευταίας μονάδας). 8. «Μια επιχείρηση που έχει αρνητικά κέρδη θα κλείσει.» Είναι σωστή αυτή η πρόταση; Απαντήστε και με την χρήση διαγράμματος. Όχι. Βραχυχρόνια θα παραμείνει σε λειτουργία αρκεί να καλύπτει μέρος των σταθερών εξόδων. Σε διάγραμμα πρέπει να δείξουμε ένα σημείο παραγωγής όπου δεν καλύπτει το βραχυχρόνιο μέσο συνολικό κόστος αλλά καλύπτει τουλάχιστον το βραχυχρόνιο μέσο μεταβλητό κόστος.
Τμήμα Β Απαντήστε μια άσκηση για κατανάλωση (Τμήμα Β.1) και μία άσκηση για παραγωγή (Τμήμα Β.2) Τμήμα Β.1 (Κατανάλωση) Άσκηση 1 Ας υποθέσουμε ότι ένας πολύ φτωχός καταναλωτής ξοδεύει το ημερήσιο εισόδημα του που είναι €6 σε ψωμί (Χ), το οποίο κοστίζει 25 λεπτά ανά μονάδα και σε γάλα; (Υ), το οποίο κοστίζει €1 ανά μονάδα. Οι προτιμήσεις του περιγράφονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας U = X1/4 Y3/4
2
α. Ποιος ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ ψωμιού και γάλακτος; β. Βρείτε την ημερήσια κατανάλωση ψωμιού και γάλακτος που κάνει ο καταναλωτής. γ. Με δεδομένες τις προτιμήσεις του καταναλωτή και τις τιμές, είναι το ψωμί και το γάλα κανονικά ή κατώτερα αγαθά; Εξηγείστε πως το βρίσκετε. Τι συνεπάγεται το γεγονός ότι το ψωμί είναι κανονικό είτε κατώτερο αγαθό για το αν είναι και αγαθό Giffen; Τι συνεπάγεται το γεγονός ότι το ψωμί είναι κατώτερο αγαθό για το αν είναι και αγαθό Giffen; Άσκηση 1. Απάντηση α) MRS=Y/(3X) β) Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα του όταν MRS =PX/PY , δηλαδή όταν Y/(3X) = 0,25/1. Ο εισοδηματικός του περιορισμός είναι 0,25X + 1Y = 6. Λύνοντας τις δύο αυτές σχέσεις ταυτόχρονα έχουμε ότι: Χ = 6, Υ = 4,5. γ) Τόσο το ψωμί όσο και το γάλα είναι κανονικά αγαθά. Ένα αγαθό είναι κανονικό όταν ο καταναλωτής αγοράζει περισσότερο από αυτό όταν αυξάνει το εισόδημα του. Κατώτερο είναι το αγαθό από το οποίο αγοράζει λιγότερο ο καταναλωτής όταν αυξάνει το εισόδημα του. Επειδή οι τιμές είναι σταθερές, ο νέος συνδυασμός τον οποίο θα επιλέξει καταναλωτής, όταν αυξηθεί το εισόδημα του, θα έχει τον ίδιο οριακό λόγο υποκατάστασης. Και τα δύο αγαθά δεν μπορεί να είναι κατώτερα, διότι ο καταναλωτής δεν θα επιλέξει λιγότερο και από τα δύο αγαθά αν αυξηθεί το εισόδημα του, διότι σε μια τέτοια περίπτωση η χρησιμότητα του θα μειωνόταν. Επομένως, και τα δύο αγαθά πρέπει να είναι κανονικά. Το γεγονός ότι το ψωμί είναι κανονικό αγαθό σημαίνει ότι δεν είναι αγαθό Giffen για τον καταναλωτή. Αγαθό Giffen είναι εκείνο από το οποίο επιλέγει περισσότερο ο καταναλωτής όταν αυξάνει η τιμή του. Η αντίδραση του καταναλωτή σε μια αύξηση της τιμής μπορεί να διαχωριστεί σε αποτέλεσμα υποκατάστασης και σε αποτέλεσμα εισοδήματος. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι η μεταβολή στον άριστο συνδυασμό του καταναλωτή, όταν αλλάζουν οι σχετικές τιμές, διατηρώντας τον καταναλωτή πάνω στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Με κανονικό σχήμα καμπυλών αδιαφορίας, ο καταναλωτής επιλέγει λιγότερο από το αγαθό, η τιμή του οποίου αυξάνει. Το εισοδηματικό αποτέλεσμα, αναφέρεται στη μειωμένη αγοραστική δύναμη που έχει ο καταναλωτής λόγω της αύξησης της τιμής. Το εισοδηματικό αποτέλεσμα συνεπάγεται ότι ο καταναλωτής επιλέγει λιγότερη ποσότητα ενός κανονικού αγαθού όταν αυξάνει η τιμή του και μεγαλύτερη ποσότητα ενός κατώτερου αγαθού όταν αυξάνει η τιμή του. Επομένως, μόνο όταν ένα αγαθό είναι κατώτερο και το εισοδηματικό αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από το αποτέλεσμα υποκατάστασης, το αγαθό αυτό θα είναι Giffen. Άσκηση 2 Υποθέστε ότι υπάρχουν δύο αγαθά σε μια οικονομία – τρόφιμα και αυτοκίνητα. α) Να δείξετε ότι και τα δύο αγαθά δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι αγαθά πολυτελείας (Υπενθύμιση: αγαθό πολυτελείας είναι εκείνο η εισοδηματική ελαστικότητα του οποίου είναι μεγαλύτερη από τη μονάδα.)
3
β) Ας θεωρήσουμε ότι υπάρχουν δύο άτομα, η Σόνια και ο Χρήστος, των οποίων οι καμπύλες ζήτησης για τρόφιμα δίνονται από τις σχέσεις
QTΣ ( pT ) = 100 − 5 pT QTX ( pT ) = 200 − 4 pT αντίστοιχα. Να βρείτε τη συνολική ζήτηση για τρόφιμα και να την παραστήσετε γραφικά. γ) Χρησιμοποιώντας την καμπύλη συνολικής ζήτησης που βρήκατε στο (β) να απαντήσετε σύντομα αν η ζήτηση για τρόφιμα είναι ελαστική ως προς την τιμή. Για ποια τιμή των τροφίμων η ελαστικότητα είναι μεγαλύτερη της μονάδας και για ποια τιμή μικρότερη της μονάδας; δ) Τα συνολικά έσοδα από την πώληση τροφίμων είναι R=PΤQΤ. Σε ποια τιμή μεγιστοποιούνται τα έσοδα; Άσκηση 2. Απάντηση α) Έχουμε ότι PTQT + PΑυτQA =I Ας πάρουμε μια μεταβολή στο εισόδημα ΔΙ, (με τις τιμές σταθερές) οπότε έχουμε PT ΔQT + PΑυτ ΔQA =ΔI Η οποία μπορεί να ξαναγραφεί ως (QT PT ΔQT)/QT + (QAPΑυτ ΔQA)/QA =ΔI Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της πιο πάνω εξίσωσης με Ι, έχω
pT QT ΔQT p AQA ΔQA ΔI + = I QT I QA I Και διαιρώντας μετά με (ΔΙ/Ι), βρίσκουμε ότι
pT QT ΔQT I p Q ΔQA I + A A =1 I QT ΔI I QA ΔI ή
sT eTI + s Ae AI = 1 όπου si είναι το μερίδιο του αγαθού i (=T, A) στο εισόδημα που δαπανάται φια τρόφιμα και αυτοκίνητα. Ένα αγαθό είναι πολυτελείας όταν eI>1. Όμως αν και οι δύο ελαστικότητες είναι η κάθε μια μεγαλύτερη από τη μονάδα, τότε, αφού sT + sA =1, θα έχουμε,
sT eTI + s AeAI > 1 πράγμα που όμως δεν μπορεί να ισχύει. Άρα μόνο το ένα από τα δύο αγαθά μπορεί να είναι αγαθό πολυτελείας.
4
β) Η συνολική καμπύλη ζήτησης για τρόφιμα είναι
αν pT > 20 αν pT < 20
QT = QTΣ + QTX = 200 − 4 pT QT = QTΣ + QTX = 300 − 9 pT QT = QTΣ + QTX = 0
αν pT > 50
50
20
120
300
γ)
e=
dQ p p pT = −9 T = −9 dp Q QT 300 − 9 pT
Η ζήτηση είναι ελαστική όταν
e >1
Η ζήτηση είναι anαστική όταν
e <1 pT >1 300 − 9 pT
Άρα η ζήτηση είναι ελαστική όταν
9
Η ζήτηση είναι ανελαστική όταν
9 pT > 300 − 9 pT pT > 16,67 pT < 16,67
δ) Έσοδα = pTQT = pT(300 – 9pT) Max εσόδων :dR/dp = 0 300 – 18pT = 0
pT = 16.67
Τμήμα Β.2 (Παραγωγή) 5
Άσκηση 3 Υποθέστε ότι μια επιχείρηση που παράγει ενδύματα χρησιμοποιεί δύο συντελεστές: κεφάλαιο (Κ, ώρες λειτουργίας της μηχανής) και εργασία (L, ώρες εργασίας). Η συνάρτηση παραγωγής δίνεται από τη σχέση. 1 2
1 2
Υ=K L
Οι τιμές των συντελεστών είναι r=4 και w=36, όπου r είναι η τιμή του κεφαλαίου και w είναι η τιμή της εργασίας. Υποθέστε ότι η επιχείρηση αναμένει να έχει παραγωγή Υ, ίση με 300 μονάδες προϊόντος. α) Να υπολογίσετε το συνδυασμό εκείνο των συντελεστών που ελαχιστοποιεί το κόστος. Ποιο είναι το συνολικό κόστος παραγωγής; Ποιο είναι το κόστος παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος; Υποθέστε ότι το αναμενόμενο επίπεδο παραγωγής απροσδόκητα αυξάνει στις 450 μονάδες, μετά την εγκατάσταση του κεφαλαίου. β) Βραχυχρόνια το κεφάλαιο είναι σταθερό και δεν μπορεί να μεταβληθεί. Ποια είναι η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής; Επιδεικνύει αυτή αύξουσες, σταθερές ή φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας; γ) Ποια ποσότητα εργασίας πρέπει να χρησιμοποιήσει η επιχείρηση για να παραγάγει 450 μονάδες στο ελάχιστο κόστος; Ποια είναι το μεταβλητό κόστος παραγωγής; Ποιο είναι το συνολικό κόστος (συμπεριλαμβανομένου και του κόστους κεφαλαίου); Ποιο είναι το κόστος ανά μονάδα προϊόντος; δ) Να επαναλάβετε το (γ), υποθέτοντας ότι ο στόχος για το επίπεδο παραγωγής μειώνεται βραχυχρόνια στο 200. Να απεικονίσετε γραφικά τη βραχυχρόνια συνάρτηση κόστους της επιχείρησης. Άσκηση 3. Απάντηση Έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα Min wL+rK Υπό τον περιορισμό 1 2
1 2
Υ=K L
, όπου w=36, r=4.
Μπορούμε να επιλύσουμε το πρόβλημα είτε χρησιμοποιώντας τη Λαγκραντζιανή μέθοδο, είτε υποκαθιστώντας τη δεύτερη σχέση στην πρώτη, είτε χρησιμοποιώντας το ότι ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (TRS) πρέπει να είναι ίσος με το λόγο των τιμών των συντελεστών.
∂f ( K , L) ∂L TRS = − =− ∂f ( K , L) ∂K
1
1
1 −2 2 L K K 2 =− 1 1 L 1 2 −2 L K 2
6
TRS = −
w K =− r L
ή
K=
w L r
Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση παραγωγής έχουμε ότι 1
Υ=(
1
w 2 2 L) L r
ή 1
w Υ = ( )2 L r
1
r και L = ( ) 2 Y w
ή
1 L = ( )Y 3
και K = (
36 1 )( Y ) = 3Y 4 3
Υ=300 πράγμα που σημαίνει ότι L=100, K=900 C(Y) = 4(900) + 36(100) = 7200 AC = 7200/300 =24 β) Ο στόχος για το επίπεδο προϊόντος είναι 450, και η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής είναι 1 2
1 2
1 2
Υ = (900) L = 30 L
Η συνάρτηση αυτή έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας. Διπλασιάζοντας το L το προϊόν αυξάνει λιγότερο από το διπλάσιο. γ) Βραχυχρόνια, η επιχείρηση επιλέγει μόνο έναν συντελεστή, την εργασία. 1 2
Υ = 450 = 30 L
L = 225 C = rK + wL = 4 (900) + 36 (225) = 11.700 C/Y = 11.700/450 = 26 VC = wL = 36 (225) = 8100
7
δ)
200 = 30 L1/2 πράγμα που σημαίνει ότι L = 44,4 C =3600 + 36 (44,4) = 5198,4 C/Y = 26 VC = 36 (44,4) = 1598,4
Άσκηση 4 Εξετάστε την καμπύλη ίσου προϊόντος στο πιο κάτω διάγραμμα.
Αν ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης στο σημείο Α είναι 12 και ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης στο σημείο Β είναι 2, ποια είναι η ελαστικότητα υποκατάστασης, σ, καθώς μετακινούμαστε από το σημείο Α στο Β; Να δείξετε τους υπολογισμούς σας. Άσκηση 4. Απάντηση Η ελαστικότητα υποκατάστασης δίνεται από τη σχέση
K L σ= %ΔMRTS L , K %Δ
Η ποσοστιαία μεταβολή στο λόγο κεφαλαίου εργασίας για το πιο πάνω διάγραμμα είναι
KB KA − A B K L L x100 %Δ = A K L LA 5 10 − K 5 2 %Δ = x100 10 L 2
8
%Δ
K 1− 5 = x100 5 L
%Δ
K = −80% L
Η ποσοστιαία μεταβολή στον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης δίνεται από τη σχέση
% ΔMRTS L , K =
MRTS LB, K − MRTS LA, K MRTS LA, K
%ΔMRTS L , K = % ΔMRTS L , K
x100
2 − 12 x100 12 = −83,33
Άρα η ελαστικότητα υποκατάστασης είναι
K L σ= %ΔMRTS L , K %Δ
σ=
− 80% = 0,96 − 83.33
9