Mikro1simiwseis by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

Τα Μαθηματικά της Αριστοποίησης κεφ. 2 Νίκολσον (σελ. 6) Διάλεξη 1 Εισαγωγή Διάλεξη 2 Εισοδηματικός Περιορισμός Διάλεξη 3 Προτιμήσεις Διάλεξη 4 Χρησιμότητα Διάλεξη 5 Επιλογή Διάλεξη 6 Ζήτηση Διάλεξη 7 Εξίσωση Slutsky Διάλεξη 8 Πλεόνασμα Καταναλωτή Διάλεξη 9 Ζήτηση της Αγοράς Διάλεξη 10 Τεχνολογία Διάλεξη 11 Μεγιστοποίηση Κέρδους Διάλεξη 12 Ελαχιστοποίηση Κόστους Διάλεξη 13 Καμπύλες Κόστους Διάλεξη 14 Προσφορά Επιχείρησης Διάλεξη 15 Προσφορά Κλάδου

Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Μάθηµα: Μικροοικονοµική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Γεωργία Καπλάνογλου Τηλέφωνο : 210 3689459 e-mail: gkaplanog@econ.uoa.gr Ώρες γραφείου : Τρίτη 11.00 – 1.00 και µε ραντεβού Γραφείο : 310, 3ος όροφος, Σταδίου 5

Θεωρία επιλογής του καταναλωτή και του παραγωγού

Βιβλία

Υποστηρικτικό υλικό µαθήµατος

Βασικό εγχειρίδιο Hal Varian (2006) Μικροοικονοµική: µια σύγχρονη προσέγγιση, Εκδόσεις Κριτική Βοηθητικά εγχειρίδια Walter Nicholson (2008) Μικροοικονοµική Θεωρία: Βασικές αρχές και προεκτάσεις, Εκδόσεις Κριτική David Besanko and R.R. Braeutigam (2009) Μικροοικονοµική, Εκδόσεις Gutenberg

Μπαίνετε στην ιστοσελίδα του wiki http://www.synaps.is/wiki Επιλέγετε το µάθηµα «Μικροοικονοµική Ανάλυση» Βρίσκετε στους διάφορους φακέλους το υποστηρικτικό υλικό του µαθήµατος (οδηγό µαθήµατος, ασκήσεις και λύσεις, βοηθητικά µαθηµατικά, κλπ.) 3

Γιατί ̟ρέ̟ει να µελετήσω την οικονοµική;

∆ιάλεξη 1

Για τρεις βασικούς λόγους: 1.

Θα καταλάβω καλύτερα τον κόσµο. Θα βρω απαντήσεις σε ερωτήµατα όπως:

Εισαγωγή Γιατί είναι δύσκολο να βρει κανείς διαµέρισµα στην Αθήνα; Γιατί κάποιες εποχές είναι εύκολο να βρει κανείς εργασία και άλλες όχι; Γιατί πολλές αφρικανικές χώρες είναι τόσο φτωχές; κ.λ.π.

Γιατί ̟ρέ̟ει να µελετήσω την οικονοµική; 2.

Γιατί ̟ρέ̟ει να µελετήσω την οικονοµική;

Θα µπορώ να συµµετέχω πιο έξυπνα στην Οικονοµία. Θα χρειαστεί να πάρω αποφάσεις όπως:

Θα καταλάβω την οικονοµική πολιτική. Πώς λειτουργούν οι φόροι; Πώς θα προστατευθεί το περιβάλλον; κ.λ.π.

Πόσα χρόνια θα σπουδάσω; Πώς θα διαχειριστώ το εισόδηµά µου; κ.λ.π.

Ποιο είναι το οικονοµικό πρόβληµα του ατόµου (αλλά και των κοινωνιών);

Σπανιότητα: Τα αγαθά που υπάρχουν δεν επαρκούν για να καλυφθούν ποσοτικά και ποιοτικά όλες οι ανάγκες των µελών της κοινωνίας. Τα αγαθά χρειάζονται πόρους για να παραχθούν. Οικονοµική: η µελέτη του πώς οι σπάνιοι πόροι κατανέµονται µεταξύ εναλλακτικών χρήσεων

Σπανιότητα και επιλογή Τα αγαθά που υπάρχουν δεν επαρκούν για να καλυφθούν ποσοτικά και ποιοτικά όλες οι ανάγκες των µελών της κοινωνίας. Τα αγαθά χρειάζονται πόρους για να παραχθούν. Oι πόροι είναι σπάνιοι και η οικονοµική είναι η µελέτη του πώς αυτοί οι πόροι κατανέµονται µεταξύ εναλλακτικών χρήσεων Οι οικονοµολόγοι χρησιµοποιούν απλά υποδείγµατα για να κατανοήσουν αυτή τη διαδικασία 9

Θεωρητικά υποδείγµατα

Μίκρο και Μάκρο Μικροοικονοµική: πώς τα νοικοκυριά και οι επιχειρήσεις παίρνουν τις αποφάσεις τους για συγκεκριµένα προϊόνταµερική ανάλυση

Οι οικονοµολόγοι χρησιµοποιούν υποδείγµατα για να περιγράψουν οικονοµικές δράσεις Αν και τα περισσότερα οικονοµικά υποδείγµατα είναι αφαιρέσεις από την πραγµατικότητα, παρ’ όλα αυτά µας βοηθούν να κατανοήσουµε οικονοµικές συµπεριφορές

Π.χ. Θα µειώσει το κάπνισµα η επιβολή υψηλότερων φόρων στον καπνό; Ένας εργάτης που έχει επιτύχει µια αύξηση του µισθού του, θα αγοράζει περισσότερα αγαθά πολυτελείας;

Μακροοικονοµική: µελετά φαινόµενα που έχουν µεγάλο εύρος και καλύπτουν ολόκληρη την οικονοµία- εξετάζει τις αλληλεπιδράσεις στην οικονοµία Πώς και γιατί µεταβάλλεται η ανεργία; Ο πληθωρισµός;

Επαλήθευση των οικονοµικών υποδειγµάτων

Υπάρχουν δύο γενικές µέθοδοι που χρησιµοποιούνται για την επαλήθευση των οικονοµικών υποδειγµάτων:

Ας πάρουµε το υπόδειγµα της µεγιστοποίησης των κερδών για να δούµε τις δύο αυτές προσεγγίσεις Είναι η βασική υπόθεση σωστή; Πράγµατι οι επιχειρήσεις µεγιστοποιούν κέρδη;

Άµεση προσέγγιση Εξετάζει την αξιοπιστία των υποθέσεων του υποδείγµατος

Έµµεση προσέγγιση

Μπορεί το υπόδειγµα να προβλέψει τη συµπεριφορά των επιχειρήσεων του πραγµατικού κόσµου;

∆είχνει ότι το υπόδειγµα σωστά προβλέπει φαινόµενα του πραγµατικού κόσµου

Χαρακτηριστικά των οικονοµικών υποδειγµάτων

Η υπόθεση Ceteris Paribus Ceteris Paribus σηµαίνει “οι λοιποί παράγοντες σταθεροί” Τα οικονοµικά υποδείγµατα επιχειρούν να εξηγήσουν απλές σχέσεις

Η υπόθεση Ceteris Paribus Η υπόθεση για αριστοποίηση

εστιάζουν την προσοχή τους στις επιπτώσεις λίγων µόνο παραγόντων κάθε φορά οι άλλες µεταβλητές θεωρούνται σταθερές για την περίοδο που εξετάζεται

∆ιάκριση µεταξύ θετικής και κανονιστικής (δεοντολογικής) οικονοµικής.

Η υπόθεση για αριστοποίηση

Υποθέσεις για αριστοποίηση Οι υποθέσεις για αριστοποίηση δηµιουργούν ακριβή και επιλύσιµα υποδείγµατα

Πολλά οικονοµικά υποδείγµατα ξεκινούν µε την υπόθεση ότι οι οικονοµικοί φορείς ορθολογικά επιδιώκουν κάποιο στόχο Οι καταναλωτές επιδιώκουν τη µεγιστοποίηση της χρησιµότητας τους Οι επιχειρήσεις επιδιώκουν τη µεγιστοποίηση των κερδών τους (ή ελαχιστοποίηση του κόστους) Οι κυβερνητικοί παράγοντες επιδιώκουν τη µεγιστοποίηση της κοινωνικής ευηµερίας 17

Τα υποδείγµατα αριστοποίησης φαίνεται να λειτουργούν αρκετά καλά στο να εξηγούν την πραγµατικότητα

∆ιάκριση µεταξύ θετικής και κανονιστικής(δεοντολογικής) ανάλυσης Οι θετικές οικονοµικές θεωρίες επιδιώκουν τη εξήγηση των παρατηρούµενων οικονοµικών φαινοµένων Οι κανονιστικές (δεοντολογικές) οικονοµικές θεωρίες επικεντρώνουν την προσοχή τους στο τι “πρέπει” να γίνει

Μερικά παραδείγµατα Παράδειγµα: «Η τιµή του πετρελαίου υπερτριπλασιάστηκε µεταξύ του 1973 και του 1974» Παράδειγµα: “Θα πρέπει να επιδιώξουµε την αύξηση της αναδιανοµής εισοδήµατος προς τους φτωχούς ή θα πρέπει να επικεντρωθούµε στην οικονοµική αποτελεσµατικότητα;” Παράδειγµα: “Θα µειώσει ένας προοδευτικός φόρος εισοδήµατος τις ώρες εργασίας του ατόµου;”

Η οικονοµική θεωρία της αξίας

Η θεµελίωση της σύγχρονης οικονοµικής

Σύµφωνα µε την πρώιµη οικονοµική σκέψη

Η δηµοσίευση του έργου του Adam Smith Ο Πλούτος των Εθνών (1776) θεωρείται η απαρχή της σύγχρονης οικονοµικής σκέψης Η διάκριση µεταξύ “αξίας” και “τιµής” συνέχισε να γίνεται (το παράδοξο του διαµαντιού και του νερού)

Η “αξία” εθεωρείτο συνώνυµη µε τη “σπουδαιότητα” Αφού οι τιµές προσδιορίζονται από ανθρώπους, είναι δυνατό η τιµή ενός αγαθού να διαφέρει από την αξία του; Η σχέση τιµή > αξία εθεωρείτο “άδικη”

η αξία ενός είδους σήµαινε την “αξία χρήσης” του η τιµή ενός είδους σήµαινε την “ανταλλακτική του αξία”

Η οικονοµική θεωρία της αξίας

Η οικονοµική θεωρία της αξίας Η εργασιακή θεωρία της ανταλλακτικής αξίας

Η οριακή επανάσταση

Η ανταλλακτική αξία των αγαθών προσδιορίζεται από το κόστος παραγωγής του Αυτό το κόστος παραγωγής επηρεάζεται πρωταρχικά από το κόστος εργασίας Άρα, η ανταλλακτική αξία των αγαθών προσδιορίζεται από την ποσότητα της εργασίας που χρησιµοποιήθηκε για την παραγωγή τους

Η ανταλλακτική αξία ενός αγαθού δεν προσδιορίζεται από τη συνολική χρησιµότητα του αγαθού, αλλά µάλλον από τη χρησιµότητα της τελευταίας µονάδας που καταναλώνεται Επειδή το νερό αφθονεί, η κατανάλωση µιας επιπλέον µονάδας έχει σχετικά χαµηλή αξία

Η παραγωγή διαµαντιών απαιτεί περισσότερη εργασία απ’ ότι η παραγωγή νερού

Ισορροπία προσφοράς-ζήτησης

Η οικονοµική θεωρία της αξίας

Τιµή

Η Μαρσαλιανή σύνθεση της προσφοράς και της ζήτησης Ο Alfred Marshall έδειξε ότι η ζήτηση και η προσφορά λειτουργούν ταυτόχρονα για τον προσδιορισµό της τιµής Οι τιµές αντανακλούν την οριακή αξιολόγηση που κάνουν οι καταναλωτές για τα αγαθά και το οριακό κόστος παραγωγής τους Το νερό έχει χαµηλή οριακή αξία και χαµηλό κόστος παραγωγής χαµηλή τιµή Τα διαµάντια έχουν µεγάλη οριακή αξία και ψηλό κόστος παραγωγής Ψηλή τιµή

Η καµπύλη προσφοράς έχει

Ισορροπία QD = Qs

S θετική κλίση επειδή το

οριακό κόστος αυξάνει όταν η ποσότητα αυξάνεται

Η καµπύλη ζήτησης έχει αρνητική κλίση επειδή η οριακή αξία πέφτει όταν D η ποσότητα αυξάνεται Ποσότητα ανά περίοδο

Ισορροπία προσφοράς-ζήτησης Ισορροπία προσφοράς-ζήτησης Ένα πιο γενικό υπόδειγµα είναι

qD = 1000 - 100p qS = -125 + 125p

qD = a + bp qS = c + dp

Ισορροπία ⇒ qD = qS

1000 - 100p = -125 + 125p

a + bp = c + dp

225p = 1125 p* = 5

p* =

q* = 500

a−c d −b

Ισορροπία προσφοράς-ζήτησης

Ισορροπία προσφοράς-ζήτησης Μια µετατόπιση της ζήτησης οδηγεί σε νέα ισορροπία:

Τιµή

Μια αύξηση στη ζήτηση... S

…οδηγεί σε αύξηση στην τιµή και ποσότητα ισορροπίας.

Q’D = 1450 - 100P

Q’D = 1450 - 100P = QS = -125 + 125P

225P = 1575 D’

P* = 7

Q* = 750 500 750 29

Ποσότητα ανά περίοδο

Η οικονοµική θεωρία της αξίας

Υποδείγµατα γενικής ισορροπίας

Το όριο παραγωγικών δυνατοτήτων µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως βασικό υλικό για τα υποδείγµατα γενικής ισορροπίας Το όριο (καµπύλη) παραγωγικών δυνατοτήτων δείχνει τους συνδυασµούς δύο προϊόντων που µπορούν να παραχθούν µε τους πόρους που έχει µια οικονοµία

Το Μαρσαλιανό υπόδειγµα είναι υπόδειγµα µερικής ισορροπίας Εστιάζει την προσοχή του µόνο σε µια αγορά κάθε φορά

Για να απαντήσουµε σε πιο γενικά ερωτήµατα, χρειαζόµαστε ένα υπόδειγµα για όλη την οικονοµία Είναι απαραίτητο να περιλάβουµε τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ αγορών και οικονοµικών φορέων

Όριο παραγωγικών δυνατοτήτων

Κόστος ευκαιρίας του Υ=1/2 µονάδα του Χ

Χ 10 9,5

Κόστος ευκαιρίας του Υ=2 µονάδες του Χ

4 2

12 13

Το όριο (καµπύλη) παραγωγικών δυνατοτήτων µας υπενθυµίζει ότι οι πόροι είναι σπάνιοι Η σπανιότητα σηµαίνει ότι πρέπει να κάνουµε επιλογές Κάθε επιλογή έχει κόστος ευκαιρίας Τα κόστη ευκαιρίας εξαρτώνται από το πόσο παράγεται από το κάθε αγαθό

Υ 33

Όριο ̟αραγωγικών δυνατοτήτων

Όριο παραγωγικών δυνατοτήτων Έστω ότι το όριο παραγωγικών δυνατοτήτων δίνεται από τη σχέση

dy 1 − 4 x − 2x = ( 225 − 2x 2 )−1 / 2 ⋅ ( −4 x ) = = dx 2 2y y

2 x 2 + y 2 = 225 Για να βρούµε την κλίση λύνουµε ως προς y y =

225 − 2 x

όταν x=5, y=13.2, η κλίση= -2(5)/13.2= -0.76 όταν x=10, y=5, η κλίση = -2(10)/5= -4

Οι κλίσεις αυξάνουν καθώς το y αυξάνει

∆ιαφορίζουµε και έχουµε dy 1 − 4 x − 2x = (225 − 2 x 2 )−1 / 2 ⋅ ( −4 x ) = = dx 2 2y y 35

Η οικονοµική θεωρία της αξίας

Σύγχρονα εργαλεία

Οικονοµική της ευηµερίας Τα εργαλεία που χρησιµοποιούνται για την ανάλυση της γενικής ισορροπίας έχουν χρησιµοποιηθεί για κανονιστική (δεοντολογική) ανάλυση σχετικά µε το πόσο επιθυµητά είναι τα διάφορα οικονοµικά αποτελέσµατα Οι οικονοµολόγοι Francis Edgeworth και Vilfredo Pareto συνέβαλαν στο να δοθεί ένας ακριβής ορισµός της οικονοµικής αποτελεσµατικότητας και έδειξαν τις συνθήκες κάτω από τις οποίες οι αγορές µπορούν να επιτύχουν το στόχο αυτό.

∆ιευκρίνιση των βασικών υποθέσεων για τη συµπεριφορά ατόµων και επιχειρήσεων (χρήση µαθηµατικών – τεχνικές αριστοποίησης) ∆ηµιουργία νέων εργαλείων για τη µελέτη των αγορών (θεωρία παιγνίων) Ενσωµάτωση της αβεβαιότητας και της ατελούς πληροφόρησης στα οικονοµικά υποδείγµατα Αυξηµένη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών στην ανάλυση στατιστικών δεδοµένων

Σηµεία που πρέπει να προσέξετε :

Σηµεία που πρέπει να προσέξετε:

Το υπόδειγµα της προσφοράς και ζήτησης είναι εκείνο που χρησιµοποιείται πιο συχνά

Το υπόδειγµα προσφοράς και ζήτησης είναι υπόδειγµα µερικής ισορροπίας

Αυτό δείχνει το πώς οι τιµές χρησιµεύουν για να αποκατασταθεί η ισορροπία µεταξύ κόστους παραγωγής και προθυµίας των αγοραστών που πληρώνουν αυτό το κόστος

Ένα υπόδειγµα γενικής ισορροπίας είναι απαραίτητο για να εξετάσουµε πολλές αγορές ταυτόχρονα

Σηµεία που πρέπει να προσέξετε : Ο έλεγχος της αξιοπιστίας ενός υποδείγµατος είναι δύσκολη υπόθεση Είναι λογικές οι υποθέσεις του υποδείγµατος; Εξηγεί το υπόδειγµα πραγµατικά φαινόµενα;

Σύνολα καταναλωτικών επιλογών

Κεφάλαιο 2

Ένα σύνολο καταναλωτικών επιλογών είναι η δέσµη καταναλωτικών επιλογών που είναι στη διάθεση του καταναλωτή Τι περιορίζει τις επιλογές ενός καταναλωτή; -Περιορισµοί που µπορεί να οφείλονται στα οικονοµικά µέσα, στο χρόνο ή σε άλλους πόρους.

Εισοδηµατικοί και άλλοι περιορισµοί στην επιλογή 1

Εισοδηµατικοί περιορισµοί

Ένας συνδυασµός καταναλωτικών δυνατοτήτων που περιέχει x1 µονάδες του αγαθού 1, x2 µονάδες του αγαθού 2 κ.ο.κ µέχρι xn µονάδες του αγαθού n συµβολίζεται µε το άνυσµα (x1, x2, … , xn). Οι τιµές των αγαθών είναι p1, p2, … , pn.

Ε: Πότε ένας συνδυασµός (x1, … , xn) είναι εφικτός στις τιµές p1, … , pn;

Εισοδηµατικοί περιορισµοί

Εισοδηµατικοί περιορισµοί Ε: Πότε ένας συνδυασµός (x1, … , xn) είναι εφικτός στις τιµές p1, … , pn; A: Όταν p1x1 + … + pnxn ≤ m όπου m είναι το (διαθέσιµο) εισόδηµα του καταναλωτή.

Οι συνδυασµοί που είναι εφικτοί αποτελούν τον εισοδηµατικό περιορισµό του καταναλωτή. Αυτοί είναι το σύνολο { (x1,…,xn) | x1 ≥ 0, …, xn ≥ 0 και p1x1 + … + pnxn = m }.

Εισοδηµατικός περιορισµός όταν έχουµε µόνο δύο αγαθά

Εισοδηµατικοί περιορισµοί Το σύνολο των οικονοµικών (καταναλωτικών) δυνατοτήτων του καταναλωτή είναι το σύνολο όλων των εφικτών συνδυασµών :

x2 m /p2

Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι p1x1 + p2x2 = m.

B(p1, … , pn, m) = { (x1, … , xn) | x1 ≥ 0, … , xn ≥ 0 και p1x1 + … + pnxn ≤ m } Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι το άνω όριο του συνόλου των καταναλωτικών δυνατοτήτων.

m /p1

m /p2

Εισοδηµατικός περιορισµός όταν έχουµε µόνο δύο αγαθά

Εισοδηµατικός περιορισµός όταν έχουµε µόνο δύο αγαθά x2

Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι p1x1 + p2x2 = m.

m /p2

Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι p1x1 + p2x2 = m.

Ακριβώς εφικτός

m /p1

Εισοδηµατικός περιορισµός όταν έχουµε µόνο δύο αγαθά x2 m /p2

m /p1

Εισοδηµατικός περιορισµός όταν έχουµε µόνο δύο αγαθά x2

Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι p1x1 + p2x2 = m.

m /p2

Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι p1x1 + p2x2 = m.

Μη εφικτός

Ακριβώς εφικτός

Ακριβώς εφικτός Εφικτός

m /p1

Εισοδηµατικός περιορισµός όταν έχουµε µόνο δύο αγαθά x2 m /p2

Εισοδηµατικός περιορισµός όταν έχουµε µόνο δύο αγαθά x2

Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι p1x1 + p2x2 = m.

p1x1 + p2x2 = m γράφεται και ως x2 = -(p1/p2)x1 + m/p2 άρα η κλίση είναι -p1/p2.

m /p2

Το σύνολο όλων των εφικτών συνδυασµών. Σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων

Σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων

m /p1

Εισοδηµατικός περιορισµός για τρία αγαθά

Εισοδηµατικοί περιορισµοί Αν n = 3 πως είναι ο εισοδηµατικός περιορισµός και το σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων;

p1x1 + p2x2 + p3x3 = m

m /p2

m /p3

Εισοδηµατικός περιορισµός για τρία αγαθά x2 m /p2

m /p1

Εισοδηµατικοί περιορισµοί

{ (x1,x2,x3) | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 και p1x1 + p2x2 + p3x3 ≤ m} m /p3

Για n = 2 και x1 στον οριζόντιο άξονα, η κλίση του εισοδηµατικού περιορισµού είναι -p1/p2. Τι σηµαίνει αυτό;

p m x2 = − 1 x1 + p2 p2

x1 17

Εισοδηµατικοί περιορισµοί

Για n = 2 και x1 στον οριζόντιο άξονα, η κλίση του εισοδηµατικού περιορισµού είναι -p1/p2. Τι σηµαίνει αυτό;

p m x2 = − 1 x1 + p2 p2

Η κλίση είναι -p1/p2

-p1/p2 +1

Αύξηση του x1 κατά 1 πρέπει να µειώσει το x2 κατά p1/p2.

Εισοδηµατικοί περιορισµοί

Το κόστος ευκαιρίας µιας επιπλέον µονάδας του αγαθού 1 είναι p1/p2 µονάδες του αγαθού 2 που χάνονται

Το κόστος ευκαιρίας µιας επιπλέον µονάδας του αγαθού 1 είναι p1/p2 µονάδες του αγαθού 2 που χάνονται.. Και το κόστος ευκαιρίας µιας επιπλέον µονάδας του αγαθού 2 είναι p2/p1 µονάδες του αγαθού 1 που χάνονται.

-p1/p2

-p2/p1

Σύνολα καταναλωτικών δυνατοτήτων και περιορισµοί: Μεταβολές στο εισόδηµα και τις τιµές

Ο εισοδηµατικός περιορισµός και το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων εξαρτώνται από τις τιµές και το εισόδηµα. Τι θα συµβεί αν αλλάξουν οι τιµές ή το εισόδηµα;

Πώς µεταβάλλονται οι καταναλωτικές δυνατότητες και ο εισοδηµατικός περιορισµός όταν αλλάζει το εισόδηµα m;

Αρχικό σύνολο δυνατοτήτων

Πώς µεταβάλλονται οι καταναλωτικές δυνατότητες και ο εισοδηµατικός περιορισµός όταν µειώνεται το εισόδηµα m;

Το υψηλότερο εισόδηµα παρέχει περισσότερες επιλογές x2

Νέες εφικτές δυνατότητες κατανάλωσης

Αρχικό σύνολο δυνατοτήτων

Ο αρχικός και ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός είναι παράλληλοι (ίδια κλίση).

Πώς µεταβάλλονται οι καταναλωτικές δυνατότητες και ο εισοδηµατικός περιορισµός όταν µειώνεται το εισόδηµα m; x2

Καταναλωτικοί συνδυασµοί που δεν είναι πλέον εφικτοί

Νέο, µικρότερο σύνολο δυνατοτήτων

Ο αρχικός και ο νέος εισοδηµατικός περιορισµός είναι παράλληλοι.

Αρχικό σύνολο δυνατοτήτων

Εισοδηµατικοί περιορισµοίµεταβολές εισοδήµατος Οι αυξήσεις στο εισόδηµα m µετατοπίζουν τον εισοδηµατικό περιορισµό προς τα έξω και παράλληλα προς τον αρχικό. Έτσι διευρύνεται το σύνολο των δυνατοτήτων κατανάλωσης και εποµένως βελτιώνονται οι δυνατότητες επιλογής. Οι µειώσεις στο εισόδηµα m µετατοπίζουν τον εισοδηµατικό περιορισµό προς τα µέσα και παράλληλα προς τον αρχικό. Έτσι συρρικνώνεται το σύνολο των δυνατοτήτων κατανάλωσης και εποµένως περιορίζονται οι δυνατότητες επιλογής.

Εισοδηµατικοί περιορισµοίµεταβολές εισοδήµατος

Εισοδηµατικοί περιορισµοίµεταβολές τιµών

Όταν το εισόδηµα αυξάνεται καµιά αρχική επιλογή δεν χάνεται και προστίθενται και νέες επιλογές. Εποµένως το υψηλότερο εισόδηµα δεν µπορεί να χειροτερέψει τη θέση ενός καταναλωτή. Μια µείωση του εισοδήµατος, αντίθετα, χειροτερεύει τη θέση του καταναλωτή.

Τι θα συµβεί αν µια µόνο τιµή µεταβληθεί; Ας υποθέσουµε ότι µειώνεται η τιµή του αγαθού 1, δηλαδή η p1.

Εισοδηµατικοί περιορισµοί-µεταβολές τιµών. Η p1 µειώνεται από p1’ σε p1”. x2

m/p2

m/p2 -p1΄/p2

Νέες εφικτές επιλογές -p1’/p2

Αρχικό σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων

m/p1΄

m/p΄΄

m/p1’

Εισοδηµατικοί περιορισµοί-µεταβολές τιµών. Η p1 µειώνεται από p1’ σε p1”. x2 m/p2

Νέες εφικτές επιλογές Ο εισοδηµατικός περιορισµός περιστρέφεται. Η κλίση µικραίνει από -p1’/p2 σε -p1”/p2

-p1’/p2 Αρχικό σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων

-p1”/p2 m/p1’

m/p1”

Εισοδηµατικοί περιορισµοίµεταβολές τιµών Η µείωση της τιµής ενός αγαθού περιστρέφει τον περιορισµό προς τα έξω. Καµιά παλιά επιλογή δεν χάνεται και προστίθενται νέες επιλογές. Έτσι η µείωση µιας τιµής δεν χειροτερεύει τη θέση του καταναλωτή. Παρόµοια, η αύξηση µιας τιµής περιστρέφει τον περιορισµό προς τα µέσα, µειώνει τις επιλογές και χειροτερεύει τη θέση του καταναλωτή.

Ενιαίος φόρος στην αξία (Ad Valorem) των πωλήσεων

Ένας φόρος επί της αξίας (ad valorem) των πωλήσεων µε συντελεστή 5% αυξάνει όλες τις τιµές κατά 5%, από το p στο (1+0,05)p = 1,05p. Ένας φόρος επί της αξίας (ad valorem) των πωλήσεων µε συντελεστή t αυξάνει όλες τις τιµές κατά tp από το p στο (1+t)p. Ο ενιαίος φόρος στις πωλήσεις εφαρµόζεται οµοιόµορφα σε όλα τα αγαθά.

Ένας φόρος επί της αξίας (ad valorem) των πωλήσεων µε συντελεστή t µεταβάλλει τον εισοδηµατικό περιορισµό από p 1x 1 + p 2x 2 = m σε

(1+t)p1x1 + (1+t)p2x2 = m

δηλαδή σε 35

p1x1 + p2x2 = m/(1+t). 36

Ενιαίος φόρος στην αξία (Ad Valorem) των πωλήσεων x2 m p2

p1x1 + p2x2 = m

m ( 1 + t ) p2

m p1

m ( 1 + t ) p2

x2 m p2 m ( 1 + t ) p2

m t m = 1+ t 1+ t

m ( 1 + t ) p1

mx 1 p1

m p1

Ενιαίος φόρος στην αξία (Ad Valorem) των πωλήσεων

Απώλεια ισοδύναµου εισοδήµατος

m−

p1x1 + p2x2 = m/(1+t)

m ( 1 + t ) p1

Ενιαίος φόρος στην αξία (Ad Valorem) των πωλήσεων x2 m p2

p1x1 + p2x2 = m

Το πρόγραµµα κουπονιών για τρόφιµα

Ένας ενιαίος φόρος επί της αξίας των πωλήσεων µε συντελεστή t είναι ισοδύναµος µε ένα φόρο στο t εισόδηµα µε συντελεστή

1+ t

m ( 1 + t ) p1

m p1

Το πρόγραµµα κουπονιών για τρόφιµα

Τα κουπόνια για τρόφιµα είναι δελτία που µπορεί να τα ανταλλάξει ο δικαιούχος νόµιµα µε τρόφιµα. Πώς ένα δώρο σε τρόφιµα, όπως τα κουπόνια για τρόφιµα, αλλάζουν τον εισοδηµατικό περιορισµό της οικογένειας;

Έστω ότι m = €100, pF = €1, όπου pF είναι η τιµή των τροφίµων και pG η τιµή «όλων των άλλων» αγαθών, είναι ίση µε €1. Αν συµβολίσουµε τα τρόφιµα F και τα υπόλοιπα αγαθά µε G, τότε ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι F + G =100.

Το πρόγραµµα κουπονιών για τρόφιµα

Το πρόγραµµα κουπονιών για τρόφιµα G

F + G = 100: πριν τα κουπόνια.

F + G = 100; πριν τα κουπόνια. 100

100

Το πρόγραµµα κουπονιών για τρόφιµα

G F + G = 100: πριν τα κουπόνια. 100

100

Σύνολο δυνατοτήτων κατανάλωσης µετά τη χορήγηση κουπονιών για 40 µονάδες τρόφιµα

G F + G = 100: πριν τα κουπόνια. 100

Σύνολο δυνατοτήτων κατανάλωσης µετά τη χορήγηση κουπονιών για 40 µονάδες τρόφιµα Το σύνολο των δυνατοτήτων της οικογένειας διευρύνεται

100 140

Το πρόγραµµα κουπονιών για τρόφιµα

100 140

Το πρόγραµµα κουπονιών για τρόφιµα

Τι θα συµβεί αν µπορεί κανείς να εµπορευτεί τα κουπόνια στη µαύρη αγορά; Στην τιµή €0,50 το καθένα;

F + G = 100: πριν τα κουπόνια.

120 100

Σύνολο δυνατοτήτων κατανάλωσης µετά τη χορήγηση κουπονιών για 40 µονάδες τρόφιµα Ο εισοδηµατικός περιορισµός µε την µαύρη αγορά.

100 140

Το πρόγραµµα κουπονιών για τρόφιµα G

Εισοδηµατικοί περιορισµοίσχετικές τιµές

F + G = 100: πριν τα κουπόνια.

120 100

Σύνολο δυνατοτήτων κατανάλωσης µετά τη χορήγηση κουπονιών για 40 µονάδες τρόφιµα Με την ανταλλαγή στη µαύρη αγορά. διευρύνεται το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων

100 140

“Αγαθό αναφοράς” σηµαίνει “µονάδα µέτρησης”. Ας υποθέσουµε ότι οι τιµές και το εισόδηµα µετρώνται σε ευρώ. Έστω ότι p1=€2, p2=€3, m = €12. Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι 2x1 + 3x2 = 12.

Εισοδηµατικοί περιορισµοίσχετικές τιµές

Εισοδηµατικοί περιορισµοί- σχετικές τιµές Ο περιορισµός για p1=2, p2=3, m=12

Αν οι τιµές και το εισόδηµα µετρώνται σε λεπτά, τότε p1=200, p2=300, m=1200 και ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι 200x1 + 300x2 = 1200, ο ίδιος µε τον 2x1 + 3x2 = 12.

2x1 + 3x2 = 12 γίνεται 1.x1 + (3/2)x2 = 6, περιορισµός για p1=1, p2=3/2, m=6. Αν θέσουµε το p1=1 τότε το αγαθό 1 γίνεται αγαθό αναφοράς και όλες οι τιµές ορίζονται σε σχέση µε p1; ∆ηλαδή 3/2 είναι η τιµή του αγαθού 2 σε σχέση µε την τιµή του αγαθού 1.

Η αλλαγή του αγαθού αναφοράς δεν µεταβάλλει ούτε τον εισοδηµατικό περιορισµό ούτε το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων.

Εισοδηµατικοί περιορισµοί- σχετικές τιµές

Οποιοδήποτε αγαθό µπορεί να επιλεγεί ως αγαθό αναφοράς και αυτό δεν αλλάζει το σύνολο των καταναλωτικών δυνατοτήτων ή τον εισοδηµατικό περιορισµό.

p1=2, p2=3 aκαι p3=6 ⇒ Η τιµή του αγαθού 2 σε σχέση µε το αγαθό 1 είναι 3/2, Η τιµή του αγαθού 3 σε σχέση µε το αγαθό 1 είναι 3, Σχετικές τιµές είναι οι λόγοι ανταλλαγής των αγαθών 2 και 3 για µονάδες του αγαθού 1.

Σχήµα καµπυλών εισοδηµατικού περιορισµού

Ε: Τι είναι εκείνο που κάνει τις καµπύλες εισοδηµατικού περιορισµού ευθείες γραµµές; A: Η ευθεία γραµµή έχει σταθερή κλίση και ο περιορισµός είναι p1x1 + … + pnxn = m και εφόσον οι τιµές είναι σταθερές και η γραµµή εισοδηµατικού περιορισµού είναι ευθεία γραµµή.

Τι θα συµβεί όµως αν οι τιµές δεν είναι σταθερές; π.χ. Οι εκπτώσεις που δίνονται σε µαζικές αγορές ή προσαυξήσεις στις τιµές όταν αγοράζονται πολύ µεγάλες ποσότητες. Οι γραµµές περιορισµού σε µια τέτοια περίπτωση θα έχουν σηµείο καµπής.

Σχήµα καµπυλών εισοδηµατικού περιορισµού – εκπτώσεις µαζικών αγορών Έστω ότι η p2 είναι σταθερή στο €1, αλλά ότι το p1=€2 για 0 ≤ x1 ≤ 20 και p1=€1 για x1>20. Σε µια τέτοια περίπτωση η κλίση του εισοδηµατικού περιορισµού είναι - 2, για 0 ≤ x1 ≤ 20 -p1/p2 = - 1, για x1 > 20

Σχήµα καµπυλών εισοδηµατικού περιορισµού – εκπτώσεις µαζικών αγορών

x2 100

{

m = €100 κλίση = - 2 / 1 = - 2 (p1=2, p2=1) κλίση = - 1/ 1 = - 1 (p1=1, p2=1)

Και ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι 20

Σχήµα καµπυλών εισοδηµατικού περιορισµού – εκπτώσεις µαζικών αγορών

x2 100

κλίση = - 2 / 1 = - 2 (p1=2, p2=1)

Σχήµα καµπυλών εισοδηµατικού περιορισµού – εκπτώσεις µαζικών αγορών

m = €100

100 Εισοδηµατικός περιορισµός

κλίση = - 1/ 1 = - 1 (p1=1, p2=1) 50

m = €100

Σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων

Σχήµα καµπυλών εισοδηµατικού περιορισµού – προσαύξηση τιµής µε µεγαλύτερες αγορές

Σχήµα καµπυλών εισοδηµατικού περιορισµού – µια τιµή αρνητική

x2 Υποθέστε ότι το αγαθό 1 είναι σκουπίδια. Για να τα δεχτείς σου δίνουν €2 ανά µονάδα δηλαδή p1 = - €2. p2 = €1. Το εισόδηµα, εκτός από εκείνα που παίρνει για το αγαθό 1, είναι m = €10. Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι - 2x1 + x2 = 10 ή x2 = 2x1 + 10.

Εισοδηµατικός περιορισµός

Σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων

x1 61

Σχήµα καµπυλών εισοδηµατικού περιορισµού – µια τιµή αρνητική

x2 = 2x1 + 10

Η κλίση της γραµµής εισοδηµατικού περιορισµού είναι

-p1/p2 = -(-2)/1 = +2 10

Το σύνολο των οικονοµικών δυνατοτήτων είναι όλοι οι συνδυασµοί για τους οποίους x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, και x2 ≤ 2x1 + 10

10 x1

Γενικότερα σύνολα επιλογών

Οι επιλογές γίνονται συχνά υπό περιορισµούς και πέρα από τον προϋπολογισµό του νοικοκυριού: π.χ. περιορισµός χρόνου και περιορισµοί άλλων πόρων. Ένας συνδυασµός είναι διαθέσιµος µόνο αν ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς.

Τουλάχιστο 10 µονάδες τροφής πρέπει να καταναλώνει κανείς για να επιβιώσει

10 65

Τρόφιµα 66

Γενικότερα σύνολα επιλογών

Η επιλογή υπόκειται περαιτέρω σε χρονικό περιορισµό Η επιλογή υπόκειται σε περιορισµό εισοδήµατος

Σύνολο δυνατοτήτων

τρόφιµα

Γενικότερα σύνολα επιλογών

Ποιο είναι εποµένως το σύνολο επιλογών; επιλογών;

τρόφιµα

10 69

Γενικότερα σύνολα επιλογών

Το σύνολο των επιλογών είναι η τοµή όλων των συνόλων περιορισµού.

τρόφιµα 71

τρόφιµα 72

Ορθολογισµός στην οικονοµική Υπόθεση συµπεριφοράς: Ένας λήπτης αποφάσεων επιλέγει πάντοτε τον πλέον προτιµώµενο συνδυασµό από το σύνολο των εναλλακτικών συνδυασµών που έχει στη διάθεση του. Άρα, για να δηµιουργήσουµε ένα υπόδειγµα επιλογής πρέπει να διαµορφώσουµε ένα υπόδειγµα για τις προτιµήσεις.

∆ιάλεξη 3 Προτιµήσεις

Σχέσεις προτιµήσεων

Σχέσεις προτιµήσεων Σαφής προτίµηση, ασθενής προτίµηση και αδιαφορία είναι όλες οι σχέσεις προτιµήσεων. Ειδικότερα, οι σχέσεις αυτές είναι τακτικές, δηλαδή, οι σχέσεις αυτές δηλώνουν τη σειρά µε την οποία οι συνδυασµοί προτιµούνται.

Συγκρίνοντας δύο διαφορετικούς συνδυασµούς κατανάλωσης (δύο καλάθια), x και y: Σαφής προτίµηση: το x είναι προτιµότερο από το y. Ασθενής προτίµηση: το x προτιµάται τουλάχιστο όσο και το y. Αδιαφορία: το x προτιµάται ακριβώς το ίδιο µε το y. 3

Σχέσεις προτιµήσεων

x f y και y f ~ x συνεπάγονται x ~ y.

xf ~ y και (όχι y

δηλώνει σαφή προτίµηση. Το x y σηµαίνει ότι το καλάθι x είναι σαφώς προτιµότερο από το καλάθι y. ~ συµβολίζει αδιαφορία. Το x ~ y σηµαίνει ότι το x προτιµάται εξίσου µε το y f συµβολίζει ασθενή προτίµηση. Το x f ~y ~ σηµαίνει ότι το x προτιµάται τουλάχιστο όσο και το y.

f ~ x) τότε x y.

Παραδοχές για τις σχέσεις προτιµήσεων

Πληρότητα: Για δύο οποιαδήποτε καλάθια αγαθών x και y υπάρχει πάντα η δυνατότητα να δηλώσουµε ότι είτε x f ~ y είτε yf ~ x είτε και τα δύο οπότε x ~ y

Αντανακλαστικότητα: Κάθε καλάθι x είναι πάντοτε τουλάχιστο εξίσου προτιµώµενο µε τον εαυτό του, δηλαδή x

x. f ~

Παραδοχές για τις σχέσεις προτιµήσεων

Καµπύλες αδιαφορίας

Μεταβατικότητα: Αν το x προτιµάται τουλάχιστο όσο και το y, και το y προτιµάται τουλάχιστο όσο το z, τότε το x προτιµάται τουλάχιστο όσο και το z; δηλαδή xf ~ z. 9

Καµπύλες αδιαφορίας x2

x’ ∼ x” ∼ x”’

x’

Καµπύλες αδιαφορίας x2

f y και y f z ~ ~

Ας πάρουµε ένα καλάθι αναφοράς το x’. Το σύνολο όλων των καλαθιών που προτιµούνται εξίσου µε το x’ είναι η καµπύλη αδιαφορίας που περιέχει το x’; Το σύνολο όλων των συνδυασµών (καλαθιών) είναι y ~ x’. Από τη στιγµή που µια καµπύλη αδιαφορίας δεν είναι πάντοτε «καµπύλη» ίσως είναι καλύτερα να λέµε «σύνολο» αδιαφορίας. 10

z x” x”’

y x1

Καµπύλες αδιαφορίας I1

x z

I2 y

Καµπύλες αδιαφορίας

Όλοι οι συνδυασµοί στην I1 είναι σαφώς προτιµότεροι από τους συνδυασµούς στη I2.

x2 x

Όλοι οι συνδυασµοί στην I2 είναι σαφώς προτιµότεροι από όλους στην I3.

WP(x), το σύνολο των συνδυασµών που είναι ασθενώς προτιµότεροι από το x.

I(x)

Καµπύλες αδιαφορίας x2

WP(x), το σύνολο των συνδυασµών που είναι ασθενώς προτιµότεροι από το x. Το WP(x) περιλαµβάνει τη Ι(x).

SP(x), το σύνολο των συνδυασµών που προτιµούνται σαφώς από το x, δεν περιλαµβάνει το I(x).

I(x)

I(x) x1

Μπορούν δύο καµπύλες αδιαφορίας του ίδιου ατόµου να τέµνονται;

Ποσότητα y

I(x’)

Όταν πιο πολύ από ένα εµπόρευµα είναι πάντα προτιµητέο, το εµπόρευµα λέγεται αγαθό. Αν το κάθε εµπόρευµα είναι αγαθό, τότε η καµπύλες αδιαφορίας του θα έχουν αρνητική κλίση.

Το άτοµο είναι αδιάφορο µεταξύ A και C. Το άτοµο είναι αδιάφορο µεταξύ B και C. Σύµφωνα µε την µεταβατικότητα θα έπρεπε να είναι αδιάφορο µεταξύ A και B

B A

Κλίσεις καµπυλών αδιαφορίας

Αλλά B είναι προτιµότερο του A γιατί B έχει περισσότερο και από τα x και y σε σχέση µε το A Ι2 Ι1

Ποσότητα x 17

Κλίσεις καµπυλών αδιαφορίας

Κλίσεις καµπυλών αδιαφορίας Αγαθό 2

Στην συνάρτηση χρησιµότητας, τα x’s θεωρούνται “αγαθά” Προτιµάµε µεγαλύτερες ποσότητες

Κ αλ ύτ ερ α

Ποσότητα του y Προτιµότερα του x*, y*

Χε ιρ ότ ερ α

; y*

∆ύο αγαθά καµπύλη αδιαφορίας µε αρνητική κλίση. κλίση.

Αγαθό 1

; Χειρότερα του x*, y*

Ποσότητα του x x*

Κλίσεις καµπυλών αδιαφορίας

Κλίσεις καµπυλών αδιαφορίας Αγαθό 2

Αν η µικρότερη κατανάλωση ενός εµπορεύµατος προτιµάται πάντοτε, τότε το εµπόρευµα λέγεται κακό.

ρα τε ύ λ Κα

Ένα αγαθό και ένα κακό διαµορφώνουν καµπύλη αδιαφορίας µε θετική κλίση

ρα τε ό ιρ Χε

Αγαθό 1

Ακραίες περιπτώσεις καµπυλών αδιαφορίας: Τέλεια υποκατάστατα

Ακραίες περιπτώσεις καµπυλών αδιαφορίας: Τέλεια υποκατάστατα x2

Αν ένας καταναλωτής θεωρεί πάντα ότι οι µονάδες του αγαθού 1 και του αγαθού 2 είναι ισοδύναµες, τότε τα εµπορεύµατα αυτά είναι τέλεια υποκατάστατα και µόνο η συνολική ποσότητα των δύο εµπορευµάτων στο καλάθι προσδιορίζει τη σειρά των προτιµήσεων του.

Οι κλίσεις είναι σταθερές στο - 1. Όλοι οι συνδυασµοί στην I2 έχουν τιµή 15 µονάδες και είναι αυστηρά προτιµώµενοι από όλους τους συνδυασµούς στην I1, η οποία έχει τιµή µόνο 8 µονάδες. µονάδες.

8 I1 8

Τέλεια υποκατάστατα: Καµπύλες αδιαφορίας

x2 x1 + x2 = 5

x1 + x2 = 5

x1 + x2 = 9

x1 + x2 = 13

V(x1,x2) = x1 + x2. 5

V(x1,x2) = x1 + x2. 5 9 13 x1 Είναι ευθείες γραµµές και παράλληλες.

Ακραίες περιπτώσεις καµπυλών αδιαφορίας: Τέλεια συµπληρωµατικά

Ακραίες περιπτώσεις καµπυλών αδιαφορίας: Τέλεια συµπληρωµατικά x2

Αν ένας καταναλωτής καταναλώνει πάντα τα εµπορεύµατα 1 και 2 σε σταθερή αναλογία (π.χ.ένα προς ένα), τότε τα εµπορεύµατα είναι τέλεια συµπληρωµατικά και µόνο ο αριθµός των ζευγών των δύο αγαθών προσδιορίζει τη σειρά κατάταξης των προτιµήσεων των συνδυασµών.

45o

9 5

Κάθε συνδυασµός (5,5), (5,9) και (9,5) περιέχει 5 ζεύγη και άρα ο καθένας είναι εξίσου προτιµώµενος.

I1 5

Ακραίες περιπτώσεις καµπυλών αδιαφορίας: Τέλεια συµπληρωµατικά x2

45o

9 5

I1 5

Ακραίες περιπτώσεις καµπυλών αδιαφορίας: Ουδέτερα αγαθά

Αφού ο κάθε συνδυασµός (5,5), (5,9) και (9,5) περιέχει 5 ζεύγη, ο I2καθένας προτιµάται λιγότερο από το συνδυασµό (9,9), ο οποίος περιέχει 9 ζεύγη.

Προτιµήσεις που επιδεικνύουν κορεσµό

Καµπύλες αδιαφορίας που επιδεικνύουν κορεσµό x2

Ένα καλάθι αγαθών που είναι καλύτερο από όλα τα άλλα ονοµάζεται σηµείο κορεσµού ή σηµείο ευδαιµονίας. Πώς θα µοιάζανε οι καµπύλες αδιαφορίας µε αυτήν την ιδιότητα;

Σηµείο κορεσµού

x1 31

Καµπύλες αδιαφορίας που επιδεικνύουν κορεσµό Κ αλ ύτ ερ α

α τ ερ λύ α Κ

Κ αλ ύτ ερ α

α τ ερ λύ α Κ

Σηµείο Κορεσµού Καλύτερα

Σηµείο κορεσµού

Καλύτερα

Καµπύλες αδιαφορίας που επιδεικνύουν κορεσµό

x1 33

Καµπύλες αδιαφορίας µε διακριτά αγαθά

Ένα αγαθό είναι απείρως διαιρετό εάν µπορεί να αποκτηθεί σε οποιαδήποτε ποσότητα; Π.χ. Νερό και τυρί. Ένα αγαθό είναι διακριτό εάν βρίσκεται µόνο σε διακριτές ποσότητες 1, 2, 3, … κ.λπ.; Π.χ. αεροσκάφη, πλοία και ψυγεία.

Έστω ότι το αγαθό 2 είναι απείρως διαιρετέο αγαθό (πετρέλαιο) ενώ το 1 είναι διακριτό αγαθό (αεροσκάφος). Πώς θα µοιάζανε οι «καµπύλες» αδιαφορίας τους;

Καµπύλες αδιαφορίας µε διακριτά αγαθά

Οµαλές προτιµήσεις

Πετρέλαιο

Μια σχέση προτίµησης είναι «οµαλή» αν είναι

«Καµπύλες» Καµπύλες» αδιαφορίας είναι σύνολα διακριτών σηµείων. σηµείων.

Μονοτονική και κυρτή.

Μονοτονική : Προτιµάται πάντα µεγαλύτερη ποσότητα από κάθε αγαθό (π.χ. ∆εν υπάρχει κορεσµός και όλα τα εµπορεύµατα είναι αγαθά.). 0

Αεροσκάφη 37

Κλίσεις καµπυλών αδιαφορίας Προτιµάµε µεγαλύτερες ποσότητες από το κάθε αγαθό Ποσότητα του y Προτιµότερα του (x*, y*)

; y*

; Χειρότερα του (x*, y*)

Οµαλές προτιµήσεις Κυρτότητα: Μείγµατα συνδυασµών είναι (τουλάχιστο ασθενώς) προτιµώµενοι από τους ίδιους συνδυασµούς. π.χ., το µείγµα 50-50 των συνδυασµών x και y είναι z = (0,5)x + (0,5)y. Το z προτιµάται τουλάχιστο όσο το x ή το y.

Ποσότητα του x x*

Οµαλές προτιµήσεις: Κυρτότητα

Κυρτότητα Εάν η καµπύλη αδιαφορίας είναι κυρτή, τότε ο συνδυασµός (x2 + y2)/2, (x1 + y1)/2 θα είναι προτιµότερος των (x1,x2) ή (y1,y2)

Ποσότητα Αγαθού 2

∆ιαισθητικά αυτό σηµαίνει πως «εξισορροπηµένα» καλάθια αγαθών είναι προτιµότερα από καλάθια αγαθών «παραφορτωµένα» µε κάποιο από τα δύο αγαθά.

x2+y2

x+y 2

2 y

(x2 + y2)/2 y2

x1+y1

Ποσότητα Αγαθού 1 x1

(x1 + y1)/2

Οµαλές προτιµήσεις: Κυρτότητα

Προτιµήσεις είναι ασθενώς κυρτές αν τουλάχιστον ένας συνδυασµός z είναι εξίσου καλός µε ένα από τα x και y.

x’ z’

z =(tx1+(1-t)y1, tx2+(1-t)y2) Προτιµότερο του x και y για όλα 0 < t < 1.

x z

y2 x1

y’

y1 43

Μη-Κυρτές Προτιµήσεις

α ερ ύτ αλ Κ

Μη-Κυρτές Προτιµήσεις x2

Ο συνδυασµός z είναι λιγότερο προτιµώµενος του x ή y.

Ο συνδυασµός z είναι χειρότερος από το x ή το y.

y2 x1

Ερώτηση εξετάσεων Σεπτεµβρίου 2010

Ένα άτοµο είναι αδιάφορο µεταξύ ενός παγωτού µε δύο µπάλες κρέµα και ενός παγωτού µε δύο µπάλες σοκολάτα. Ταυτόχρονα, το άτοµο αυτό προτιµάει ένα παγωτό µε δύο µπάλες κρέµα ή ένα παγωτό µε δύο µπάλες σοκολάτα από ένα παγωτό µε µία µπάλα κρέµα και µία µπάλα σοκολάτα. Τι µπορούµε να πούµε για τις προτιµήσεις του ατόµου αυτού; Να δείξετε πώς θα µπορούσαν να µοιάζουν οι καµπύλες αδιαφορίας του.

Αυτό σηµαίνει ότι οι προτιµήσεις του ατόµου δεν είναι κυρτές, µιας και όταν ένα άτοµο έχει κυρτές προτιµήσεις και είναι αδιάφορο µεταξύ δύο καλαθιών Α και Β, τότε βρίσκει οποιονδήποτε γραµµικό συνδυασµό των Α, Β τουλάχιστον τόσο καλό όσο το Α ή το Β. Ένα παράδειγµα τέτοιων καµπυλών αδιαφορίας φαίνεται στο διπλανό σχήµα (οι καµπύλες που είναι σηµειωµένες µε u1 και u2). Για τη συγκεκριµένη περίπτωση της ερώτησης, το σηµείο Α είναι το παγωτό µε 2 µπάλες κρέµα και το σηµείο Β είναι το παγωτό µε 2 µπάλες σοκολάτα, ενώ το σηµείο Γ είναι ο γραµµικός συνδυασµός 1 µπάλα κρέµα και 1 µπάλα σοκολάτα (δηλαδή ½Α+½Β). Από το σχήµα φαίνεται απευθείας ότι το σηµείο Γ δίνει λιγότερη ωφέλεια στο άτοµο από ό,τι τα σηµεία Α ή Β.

Οριακός Λόγος Υποκατάστασης

Κλίσεις των καµπυλών αδιαφορίας Η κλίση µιας καµπύλης αδιαφορίας είναι ο Οριακός Λόγος Υποκατάστασης της(MRS). Πώς υπολογίζεται ο MRS;

MRS στο x’ είναι η κλίση της καµπύλης αδιαφορίας στο x’

x’

Οριακός Λόγος Υποκατάστασης

MRS στο x’ είναι το lim {Dx x1} { x2/Dx Dx x1

Dx2

x’

= dx2/dx1 στο x’

dx2

x’

dx2 = MRS * dx1, στο x’, MRS είναι ο λόγος µε τον οποίον είναι διατεθειµένο το άτοµο να ανταλλάξει το αγαθό 2 για µια µικρή ποσότητα του 1.

dx1

Dx1

MRS & Ιδιότητες Καµπυλών Αδιαφορίας

MRS & Ιδιότητες Καµπυλών Αδιαφορίας Αγαθό 2

Αγαθό 2

α ερ ότ ιρ Χε

α ερ ύτ αλ Κ

∆ύο αγαθά καµπύλη αδιαφορίας µε αρνητική κλίση

α ερ ύτ λ α Κ

MRS < 0.

α ερ ότ ρ ι Χε

Αγαθό 1 53

Ένα αγαθό και ένα κακό καµπύλη αδιαφορίας µε θετική κλίση MRS > 0.

Κακό 1 54

MRS & Ιδιότητες Καµπυλών Αδιαφορίας

Αγαθό 2

x2 MRS = - 5

MRS = - 0.5

MRS αυξάνει (ελαττώνεται σε απόλυτες τιµές) τιµές) πάντα µε αυξήσεις του x1 (γίνεται λιγότερο αρνητικό) αρνητικό) αν και µόνο εάν οι προτιµήσεις είναι αυστηρά κυρτές. κυρτές.

MRS αυξάνει σε απόλυτες τιµές (γίνεται περισσότερο αρνητικός) αρνητικός) καθώς το x1 αυξάνεται Μη κυρτές προτιµήσεις

MRS = - 5 MRS = - 0.5

Αγαθό 1 x1 55

MRS & Ιδιότητες Καµπυλών Αδιαφορίας α ερ ύτ αλ Κ

MRS & Ιδιότητες Καµπυλών Αδιαφορίας x2 Ο MRS δεν αυξάνεται πάντα µε αυξήσεις του x1 Μη κυρτές προτιµήσεις. προτιµήσεις.

Ο συνδυασµός z είναι χειρότερος από το x ή το y.

MRS = - 1 MRS = - 0.5

MRS = - 2

y2 x1

x1 57

Προτιµήσεις-Υπενθύµιση x

∆ιάλεξη 4

y: To x προτιµάται σαφώς από το y.

x ~ y: Το x και το y προτιµούνται εξίσου.

Χρησιµότητα

x ~ y: Το x προτιµάται τουλάχιστο όσο και το y. 2

Προτιµήσεις-Υπενθύµιση

Πληρότητα: Για οποιαδήποτε καλάθια x και y είναι πάντα δυνατό να δηλώσουµε είτε ότι:

Αντανακλαστικότητα: Κάθε καλάθι x προτιµάται πάντα τουλάχιστο όσο ο εαυτός του δηλαδή: x f x.

fy ~ y f x. ~

x ή ότι

Προτιµήσεις-Υπενθύµιση

Συναρτήσεις χρησιµότητας

Μεταβατικότητα: Αν Το x προτιµάται όσο το y, και Το y προτιµάται όσο το z, τότε Το x προτιµάται τουλάχιστο όσο το z; δηλαδή. x

f f ~ y και y ~ z

Μια σχέση προτιµήσεων είναι πλήρης, αντανακλαστική, µεταβατική και συνεχής µπορεί να αναπαρασταθεί από µια συνεχή συνάρτηση χρησιµότητας. Συνέχεια σηµαίνει ότι µικρές αλλαγές σε ένα καλάθι καταναλωτή προκαλούν µικρές µόνο αλλαγές στο προτιµώµενο επίπεδο προτιµήσεων του.

f ~ z. 5

Συναρτήσεις χρησιµότητας

Μια συνάρτηση χρησιµότητας U(x) αντιπροσωπεύει µια σχέση προτίµησης αν και µόνο αν: x”

U(x’) > U(x”)

x’ p x”

U(x’) < U(x”)

x’ ~ x”

U(x’) = U(x”).

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας Ας πάρουµε τους συνδυασµούς (4,1), (2,3) and (2,2). Έστω ότι (2,3) (4,1) ~ (2,2). Ας δώσουµε σε αυτούς τους συνδυασµούς αριθµούς που διατηρούν τη σειρά προτιµήσεων: π.χ. U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4. Ας τα ονοµάσουµε επίπεδα χρησιµότητας.

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας Μια καµπύλη αδιαφορίας περιλαµβάνει τους εξίσου προτιµώµενους συνδυασµούς.

Ίσες προτιµήσεις ⇒ ίδιο επίπεδο χρησιµότητας. Άρα, οι συνδυασµοί πάνω σε µια καµπύλη αδιαφορίας δίνουν το ίδιο επίπεδο χρησιµότητας. 9

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας x2

Έτσι οι συνδυασµοί (4,1) και (2,2) είναι πάνω στην καµπύλη αδιαφορίας µε επίπεδο χρησιµότητας U ≡ 4 Ο συνδυασµός όµως (2,3) είναι πάνω σε µια καµπύλη αδιαφορίας µε επίπεδο χρησιµότητας U ≡ 6. ∆ιαγραµµατικά, η πληροφορία αυτή απεικονίζεται ως εξής:

(2,3)

x’

Η χρησιµότητα είναι έννοια τακτική. Π.χ. αν U(x) = 6 και U(y) = 2 τότε το καλάθι x είναι σαφώς προτιµότερο από το καλάθι y. Αλλά το x δεν είναι προτιµότερο τρεις φορές περισσότερο από το y.

(2,2) ∼ (4,1)

U≡6 U≡4 11

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας

Ένας άλλος τρόπος για να απεικονίσουµε την ίδια πληροφόρηση είναι να θέσουµε το επίπεδο χρησιµότητας πάνω σε έναν κάθετο άξονα.

3διάστατη απεικόνιση κατανάλωσης και χρησιµότητας Για τρεις συνδυασµούς

U(2,3) = 6

Utility

U(2,2) = 4 U(4,1) = 4 x2 x1

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας

Αυτή η 3διάστατη απεικόνιση των προτιµήσεων µπορεί να µας δώσει καλύτερη πληροφόρηση αν προσθέσουµε δύο καµπύλες αδιαφορίας.

Utility U≡6

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας

U≡4 Higher indifference curves contain more preferred bundles. 16 x1

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας

Συγκρίνοντας περισσότερους συνδυασµούς θα έχουµε ένα µεγαλύτερο σύνολο καµπυλών αδιαφορίας και µια καλύτερη περιγραφή των προτιµήσεων του καταναλωτή.

U≡6 U≡4 U≡2 17

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας

Όπως πριν, αυτό µπορεί να γίνει σε τρισδιάστατη απεικόνιση, µε το να γράφουµε µια καµπύλη αδιαφορίας στο ύψος του δείκτη χρησιµότητας.

Utility U≡6 U≡5 U≡4 U≡3 U≡2 U≡1

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας

Συγκρίνοντας όλους τους δυνατούς συνδυασµούς κατανάλωσης έχουµε το πλήρες σύνολο των καµπυλών αδιαφορίας, µε κάθε µια να αντιπροσωπεύει ένα επίπεδο χρησιµότητας. Αυτό το πλήρες σύνολο καµπυλών αδιαφορίας αντιπροσωπεύει πλήρως τις προτιµήσεις του καταναλωτή.

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας

Συναρτήσεις χρησιµότητας & καµπύλες αδιαφορίας Το σύνολο όλων των καµπυλών αδιαφορίας για µια δεδοµένη σχέση προτιµήσεων είναι ο χάρτης αδιαφορίας. Ένας χάρτης αδιαφορίας είναι το ισοδύναµο µιας συνάρτησης χρησιµότητας. Το ένα είναι το άλλο.

Συναρτήσεις χρησιµότητας

∆εν υπάρχει µια µοναδική αντιπροσώπευση της συνάρτησης χρησιµότητας που αφορά µια σχέση προτιµήσεων. Έστω ότι η U(x1,x2) = x1x2 αντιπροσωπεύει µια σχέση προτίµησης Ας ξαναπάρουµε τους συνδυασµούς (4,1), (2,3) and (2,2).

U(x1,x2) = x1x2, και U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4; δηλαδή, (2,3)

Συναρτήσεις χρησιµότητας

(4,1) ~ (2,2).

Συναρτήσεις χρησιµότητας

Συναρτήσεις χρησιµότητας p

(4,1) ~ (2,2).

U(x1,x2) = x1x2 (2,3) 2 Ας ορίσουµε V = U .

U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ∼ (2,2). Ας ορίσουµε V = U2. Τότε V(x1,x2) = x12x22 και V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16 και ξανά (2,3) (4,1) ~ (2,2). Η V αντιπροσωπεύει την ίδια σειρά µε την U και άρα αντιπροσωπεύουν τις ίδιες προτιµήσεις.

Συναρτήσεις χρησιµότητας

Συναρτήσεις χρησιµότητας p

U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). Ας ορίσουµε W = 2U + 10. Τότε W(x1,x2) = 2x1x2+10 και W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18. Ξανά, (2,3) (4,1) ~ (2,2). Η W διατηρεί την ίδια σειρά µε την U και την V και άρα αντιπροσωπεύει τις ίδιες προτιµήσεις.

U(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) ~ (2,2). Ας ορίσουµε W = 2U + 10.

Συναρτήσεις χρησιµότητας

Αγαθά, κακά και ουδέτερα Αγαθό είναι µια µονάδα εµπορεύµατος, η οποία αυξάνει τη χρησιµότητα (δίνει ένα πλέον προτιµώµενο συνδυασµό). Κακό είναι µια µονάδα εµπορεύµατος, η οποία µειώνει τη χρησιµότητα (δίνει έναν λιγότερο προτιµώµενο συνδυασµό). Ουδέτερο είναι µια µονάδα εµπορεύµατος, η οποία δεν µεταβάλλει τη χρησιµότητα (δίνει έναν εξίσου προτιµώµενο συνδυασµό).

Αν U είναι µια συνάρτηση χρησιµότητας που αντιπροσωπεύει µια σχέση προτίµησης f ~ και f είναι µια αυστηρά αύξουσα συνάρτηση,

τότε V = f(U) είναι επίσης µια συνάρτηση χρησιµότητας που αντιπροσωπεύει. f

Αγαθά, κακά και ουδέτερα

Άλλες συναρτήσεις χρησιµότητας και οι καµπύλες αδιαφορίας τους

Χρησιµότητα Συνάρτηση χρησιµότητας Μονάδες νερού που είναι καλές

x’

Μονάδες νερού που είναι κακές

Νερού

Αντί για τη U(x1,x2) = x1x2 ας πάρουµε τη V(x1,x2) = x1 + x2. Με τι µοιάζουν οι καµπύλες αδιαφορίας αυτής της συνάρτησης χρησιµότητας των “τέλειων υποκατάστατων”;

Γύρω από τις x’ µονάδες, λίγο επιπλέον νερό είναι ουδέτερο. 48

Τέλεια υποκατάστατα: Καµπύλες αδιαφορίας

Τέλεια υποκατάστατα: Καµπύλες αδιαφορίας x2

x2 13

x1 + x2 = 13

x1 + x2 = 9

x1 + x2 = 5

V(x1,x2) = x1 + x2.

V(x1,x2) = x1 + x2. 5

Άλλες συναρτήσεις χρησιµότητας και οι καµπύλες αδιαφορίας τους Αντί για U(x1,x2) = x1x2 ή V(x1,x2) = x1 + x2, ας πάρουµε την W(x1,x2) = min{x1,x2}.

min{x1,x2} = 8 min{x1,x2} = 5 min{x1,x2} = 3 8

min{x1,x2} = 5 min{x1,x2} = 3

5 3

45o W(x1,x2) = min{x1,x2}

3 5

min{x1,x2} = 8

Τέλεια συµπληρωµατικά: Καµπύλες αδιαφορίας

5 3

Τέλεια συµπληρωµατικά: Καµπύλες αδιαφορίας 45o W(x1,x2) = min{x1,x2}

Με τι µοιάζουν οι καµπύλες αδιαφορίας αυτής της συνάρτησης χρησιµότητας των “τέλειων συµπληρωµατικών”;

5 9 13 x1 Είναι ευθείες γραµµές και παράλληλες.

Καµπύλες αδιαφορίας µε σχήµα ορθής γωνίας και µε κορυφές πάνω σε µια ακτίνα από την αρχή των αξόνων. 53

3 5

Άλλες συναρτήσεις χρησιµότητας και οι καµπύλες αδιαφορίας τους Μια συνάρτηση της χρησιµότητας της µορφής U(x1,x2) = f(x1) + x2 είναι γραµµική µόνο στο x2 και λέγεται οιονεί γραµµική. π.χ. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2. 54

Άλλες συναρτήσεις χρησιµότητας και οι καµπύλες αδιαφορίας τους

Οιονεί γραµµικές καµ̟ύλες αδιαφορίας x2

Κάθε καµπύλη αδιαφορίας είναι ένα κάθετο αντίγραφο των άλλων

Μια συνάρτηση χρησιµότητας της µορφής U(x1,x2) = x1a x2b µε a > 0 και b > 0 λέγεται συνάρτηση CobbDouglas. π.. U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)

Καµ̟ύλες αδιαφορίαςIndifference Cobb-Douglas. Cobb-Douglas

Οριακές χρησιµότητες

Curves x2

Όλες οι καµπύλες είναι υπερβολές ασύµπτωτες στους άξονες.

Οριακό σηµαίνει “µικρή µεταβολή”. Η οριακή χρησιµότητα ενός αγαθού i είναι ο ρυθµός αύξησης της συνολικής χρησιµότητας καθώς η ποσότητα του αγαθού που καταναλώνεται αλλάζει : δηλαδή. ∂U MU i = ∂ xi

Οριακές χρησιµότητες

Οριακές χρησιµότητες π.χ. Αν U(x1,x2) = x11/2 x22 τότε

π.χ. Αν U(x1,x2) = x11/2 x22 τότε

MU1 =

∂ U 1 − 1/ 2 2 = x x2 ∂ x1 2 1

MU1 =

∂ U 1 − 1/ 2 2 = x x2 ∂ x1 2 1

Οριακές χρησιµότητες

Οριακές χρησιµότητες π.χ. Αν U(x1,x2) = x11/2 x22 τότε

π.χ. Αν U(x1,x2) = x11/2 x22 τότε

MU 2 =

∂U = 2 x11/ 2 x2 ∂ x2

MU 2 =

∂U = 2 x11/ 2 x2 ∂ x2

Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS)

Οριακές χρησιµότητες Έτσι, αν U(x1,x2) = x11/2 x22 τότε

Η γενική µορφή εξίσωσης για µια καµπύλη αδιαφορίας είναι U(x1,x2) ≡ k, µια σταθερά. Αν πάρουµε το ολικό διαφορικό αυτής της ταυτότητας, βρίσκουµε

∂ U 1 − 1/ 2 2 = x x2 ∂ x1 2 1 ∂U MU 2 = = 2 x11/ 2 x2 ∂ x2 MU1 =

∂U ∂U dx1 + dx = 0 ∂ x1 ∂ x2 2 63

Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS)

Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) και

∂U ∂U dx + dx = 0 ∂ x1 1 ∂ x2 2

∂U ∂U dx2 = − dx ∂ x2 ∂ x1 1

d x2 ∂ U / ∂ x1 =− . d x1 ∂ U / ∂ x2

∂U ∂U dx2 = − dx ∂ x2 ∂ x1 1

Αυτός είναι ο MRS. 65

Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS): Ένα παράδειγµα Έστω U(x1,x2) = x1x2. Τότε

Άρα

x U(x1,x2) = x1x2; MRS = − 2 x1

∂U = (1)( x2 ) = x2 ∂ x1 ∂U = ( x1 )(1) = x1 ∂ x2

d x2 ∂ U / ∂ x1 x MRS = =− = − 2. d x1 ∂ U / ∂ x2 x1

Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS): Ένα παράδειγµα

MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1.

U = 36

Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS)

U=8 x1

Οριακές χρησιµότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS)

Έστω ότι ένα άτοµο έχει την ακόλουθη συνάρτηση χρησιµότητας χρησιµότητα = U(x,y) Το ολικό διαφορικό του U είναι

Οπότε: dy MRS = − dx

∂U ∂U dU = dx + dy ∂x ∂y

U = σταθερό

∂U = ∂x ∂U ∂y

MRS είναι ο λόγος της οριακής χρησιµότητας του x ως προς την οριακή χρησιµότητα του y

Τα σηµεία σε µια καµπύλη αδιαφορίας έχουν σταθερή χρησιµότητα (dU = 0) 69

MRS για οιονεί γραµµικές συναρτήσεις χρησιµότητας

Μια οιονεί γραµµική συνάρτηση χρησιµότητας έχει τη µορφή U(x1,x2) = f(x1) + x2.

MRS = - f (x’1) δεν εξαρτάται από το x2 και εποµένως η κλίση της καµπύλης αδιαφορίας για µια οιονεί-γραµµική συνάρτηση χρησιµότητας είναι σταθερή κατά µήκος κάθε γραµµής για την οποία το x1 είναι σταθερό. Με τι µοιάζει ο χάρτης των καµπυλών αδιαφορίας για µια οιονεί γραµµική συνάρτηση χρησιµότητας;

∂U ∂U =1 = f ′ ( x1 ) ∂ x2 ∂ x1 d x2 ∂ U / ∂ x1 =− = − f ′ ( x1 ). Άρα MRS = d x1 ∂ U / ∂ x2 71

Μονοτονικός µετασχηµατισµός και MRS

MRS για οιονεί γραµµικές συναρτήσεις χρησιµότητας MRS = - f(x1΄)

Κάθε καµπύλη είναι κάθετο αντίγραφο των άλλων. MRS = -f(x1΄΄) Ο MRS είναι σταθερός κατά µήκος κάθε γραµµής για την οποία το x1 είναι σταθερό.

x 1΄

x1΄΄

Μονοτονικός µετασχηµατισµός και MRS

Μονοτονικός µετασχηµατισµός και MRS Πιο γενικά, αν V = f(U) όπου f είναι µια αυστηρά αύξουσα συνάρτηση, τότε f ′ (U ) × ∂ U / ∂ x1 ∂ V / ∂ x1 MRS = − =−

Για την U(x1,x2) = x1x2 ο MRS = - x2/x1. Αν πάρουµε την V = U2: δηλαδή. V(x1,x2) = x12x22. ποιος είναι ο MRS για την V; MRS = −

Ο µονοτονικός µετασχηµατισµός µιας συνάρτηση χρησιµότητας, που αντιπροσωπεύει µια σχέση προτιµήσεων δηµιουργεί µιαν άλλη συνάρτηση χρησιµότητας που αντιπροσωπεύει την ίδια σχέση προτιµήσεων. Τι θα συµβεί στον οριακό λόγο υποκατάστασης όταν κάνουµε µονοτονικό µετασχηµατισµό; 74

∂ V / ∂ x2 ∂ U / ∂ x1 =− . ∂ U / ∂ x2

∂ V / ∂ x1 2 x 1 x 22 x = − = − 2 ∂ V / ∂ x2 x1 2 x 12 x 2

Που είναι ο ίδιος MRS µε εκείνο της U.

f '(U ) × ∂ U / ∂ x 2

Άρα ο MRS παραµένει αµετάβλητος από ένα θετικό µονοτονικό µετασχηµατισµό. 75

Οικονοµικός ορθολογισµός Η βασική παραδοχή για τη συµπεριφορά του λήπτη αποφάσεων είναι ότι αυτός/αυτή επιλέγει την πλέον προτιµώµενη εναλλακτική επιλογή που του/της είναι διαθέσιµη. Οι διαθέσιµες επιλογές αποτελούν το σύνολο επιλογών. Πώς εντοπίζεται ο πλέον προτιµώµενος συνδυασµός στο σύνολο επιλογών; 2

∆ιάλεξη 5

Επιλογή

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

x2 Utility

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό Utility

Utility

x2 x1

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

Utility

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό Utility

Utility

x2 x1

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

Utility

Affordable, but not the most preferred affordable bundle. x2

Ο πλέον προτιµώµενος από τους εφικτούς συνδυασµούς.

Affordable, but not the most preferred affordable bundle. x2

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

Utility Utility x2 x2 x1

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

x2 x2 Utility Utility x1

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

Εφικτοί συνδυασµοί x1

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

x2 Οι πλέον προτιµώµενοι συνδυασµοί

Εφικτοί συνδυασµοί

Εφικτοί συνδυασµοί x1

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό x

Οι πλέον προτιµώµενοι συνδυασµοί

x 2* Εφικτοί συνδυασµοί

x 1*

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό x2

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

(x1*,x2*) είναι ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός.

Ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός λέγεται ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΖΗΤΗΣΗ του καταναλωτή, σε δεδοµένες τιµές και εισόδηµα. Την κανονική ζήτηση τη συµβολίζουµε µε x1*(p1,p2,m) και x2*(p1,p2,m).

x 2*

x 1*

x1 23

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό x2

. Όταν x1* > 0 και x2* > 0, ο ζητούµενος συνδυασµός είναι ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΣ. Αν αγοράζοντας (x1*,x2*) κοστίζει €m τότε το εισόδηµα εξαντλείται

(x1*,x2*) είναι εσωτερικό. (x1*,x2*) εξαντλεί το εισόδηµα.

x 2*

x 1*

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό x2

x 2*

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

(x1*,x2*) είναι εσωτερικό. (a) (x1*,x2*) εξαντλεί το εισόδηµα. p1x1* + p2x2* = m.

x 1*

(x1*,x2*) είναι εσωτερικό. Η κλίση της καµπύλης αδιαφορίας στο (x1*,x2*) ισούται µε την κλίση του εισοδηµατικού περιορισµού.

x 1*

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό Ο (x1*,x2*) ικανοποιεί δύο προϋποθέσεις: (α) το εισόδηµα εξαντλείται: p1x1* + p2x2* = m (β) η κλίση της γραµµής εισοδηµατικού περιορισµού, -p1/p2, και η κλίση της καµπύλης αδιαφορίας που περιέχει το (x1*,x2*) είναι ίσες στο (x1*,x2*).

Πώς µπορεί να αξιοποιηθεί αυτή η πληροφόρηση για να εντοπιστεί το (x1*,x2*) για δεδοµένες p1, p2 και m;

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas Ας υποθέσουµε ότι ο καταναλωτής έχει προτιµήσεις Cobb-Douglas.

Ας υποθέσουµε ότι ο καταναλωτής έχει προτιµήσεις Cobb-Douglas.

U(x1, x2 ) = x1a x2b

U( x1 , x 2 ) = x1a xb2

Τότε

M U1 =

∂U = ax 1a − 1 x b2 ∂ x1

MU2 =

∂U = bx1a xb2 − 1 ∂ x2

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas

Άρα ο MRS είναι MRS =

Άρα ο MRS είναι

dx 2 ax a − 1xb2 ax ∂ U/∂ x1 =− =− 1 = − 2. dx1 bx1 ∂ U/∂ x 2 bx1a xb2 − 1

MRS =

dx2 ∂U/∂ x1 axa−1xb ax =− = − 1a b−21 = − 2 . dx1 ∂U/∂ x2 bx1 x2 bx1

Στο (x1*,x2*), MRS = -p1/p2, άρα 33

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas.

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas

Άρα ο MRS είναι MRS =

Το (x1*,x2*) εξαντλεί το εισόδηµα και p1x*1 + p 2x*2 = m. (B)

∂ U/∂ x 1 dx 2 ax a − 1x b2 ax =− =− 1 = − 2. a b−1 dx1 bx1 ∂ U/∂ x 2 bx1 x 2

Στο (x1*,x2*), MRS = -p1/p2 ,άρα −

ax*2 bx*1

p =− 1 p2

⇒ x*2 =

bp1 * x1 . ap 2

(A) 35

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas Έτσι τώρα ξέρουµε ότι: bp1 * x*2 = x1 ap 2 p1x*1 + p 2x*2 = m.

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas Έτσι τώρα ξέρουµε ότι:

(A) x*2 = Αντικαθιστούµε

(B)

bp1 * x1 ap 2

(A)

p1x*1 + p 2x*2 = m.

(B)

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas

Έτσι τώρα ξέρουµε ότι: bp1 * x*2 = x1 ap 2 Αντικαθιστούµε

(A)

p1x*1 + p 2x*2 = m.

(B)

x*1 =

και έχουµε

p1x*1 + p 2

am . ( a + b )p1

bp1 * x1 = m. ap 2

Πράγµα που απλοποιείται σε …. 39

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas

x*1 =

Με τον τρόπο αυτό ανακαλύψαµε ότι ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός για τον καταναλωτή, µε προτιµήσεις Cobb-Douglas είναι

am . ( a + b )p1

Αντικαθιστώντας το x1* στην

U( x1 , x 2 ) = x1a xb2

p1x*1 + p 2x*2 = m Που δίνει

x*2 =

( x*1 , x*2 ) =

bm . ( a + b )p 2 41

(

)

am bm , . ( a + b )p1 ( a + b )p 2 42

Υπολογισµός της κανονικής ζήτησης – παράδειγµα µε Cobb-Douglas x2

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό Όταν x1* > 0 και x2* > 0 και το (x1*,x2*) εξαντλεί το εισόδηµα, και οι καµπύλες αδιαφορίας δεν έχουν γωνίες, η κανονική ζήτηση βρίσκεται από τη λύση των εξισώσεων: (α) p 1x 1 * + p 2x 2 * = y (β) τις κλίσεις του εισοδηµατικού περιορισµού, -p1/p2, που είναι ίσες µε τις κλίσεις των καµπυλών αδιαφορίας που περιέχουν το (x1*,x2*) στο (x1*,x2*).

U( x1 , x 2 ) = x1a xb2 x*2 = bm ( a + b )p 2

x*1 =

am ( a + b )p1

Παράδειγµα ακραίας λύσης:

Ορθολογικές επιλογές υπό περιορισµό

Τέλεια υποκατάστατα

Τι θα συµβεί όµως αν το x1* = 0; Ή αν το x2* = 0; Αν είτε το x1* = 0 ή το x2* = 0 τότε η κανονική ζήτηση (x1*,x2*) είναι µια ακραία λύση στο πρόβληµα µεγιστοποίησης της χρησιµότητας υπό τον εισοδηµατικό περιορισµό.

x2 MRS = -1

x1 45

Παράδειγµα ακραίας λύσης:

Τέλεια υποκατάστατα

x2 MRS = -1

MRS = -1

κλίση = -p1/p2 µε p1 > p2.

x1 47

Παράδειγµα ακραίας λύσης:

Τέλεια υποκατάστατα

x2 x*2 =

x2 MRS = -1

y p2

MRS = -1

κλίση = -p1/p2 µε p1 > p2.

κλίση = -p1/p2 µε p1 < p2. x*2 = 0

x*1 = 0

x*1 = 49

y p1

x1 50

Παράδειγµα ακραίας λύσης:

Τέλεια υποκατάστατα

Τέλεια υποκατάστατα x2

Έτσι ότανU(x1,x2) = x1 + x2, ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός είναι (x1*,x2*), όπου y  ( x*1 , x*2 ) =  ,0  αν p1 < p2  p1 

y p2

MRS = -1 κλίση = -p1/p2 µε p1 = p2.

και  y  ( x*1 , x*2 ) =  0,   p2 

y p1

αν p1 > p2.

Παράδειγµα ακραίας λύσης:

Ερώτηση εξετάσεων 9/2010

Τέλεια υποκατάστατα x2 y p2

Ένα άτοµο καταναλώνει µονάχα δύο αγαθά, και οι καµπύλες αδιαφορίας του είναι ευθείες µε κλίση –1. Αν το άτοµο επιλέγει να καταναλώσει 2 µονάδες του πρώτου αγαθού και 10 µονάδες του δεύτερου αγαθού, τι µπορούµε να συµπεράνουµε για τις τιµές των αγαθών που καταναλώνει αυτό το άτοµο;

Όλοι οι συνδυασµοί πάνω στον περιορισµό είναι εξίσου οι πλέον προτιµώµενοι εφικτοί όταν p1 = p2.

y p1

x1 53

Παράδειγµα ακραίας λύσης:

Μη κυρτές προτιµήσεις

κα λύ

x2 τε ρα

x1 55

Παράδειγµα ακραίας λύσης:

Μη κυρτές προτιµήσεις

Ποιος είναι ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός;

ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός

x1 57

Παράδειγµα ακραίας λύσης:

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά

Μη κυρτές προτιµήσεις x2

Σηµειώστε ότι η “λύση επαφής” δεν είναι ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός. ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

x1 59

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά x2

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

U(x1,x2) = min{ax1,x2} MRS = -

∞

x2 = ax1 MRS = 0

x1 61

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά x2

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

MRS = - ∞ Ο MRS είναι απροσδιόριστος x2 = ax1 MRS = 0

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

x2 = ax1

x1 63

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά x2

U(x1,x2) = min{ax1,x2} Ποιος είναι ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά x2

U(x1,x2) = min{ax1,x2} ο πλέον προτιµώµενος εφικτός συνδυασµός

x2 = ax1

x1 66

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά x2

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

U(x1,x2) = min{ax1,x2} (a) p1x1* + p2x2* = m

x2 = ax1

x 2*

x 2* x 1*

x 1*

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά x2

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά

U(x1,x2) = min{ax1,x2} (a) p1x1* + p2x2* = m (b) x2* = ax1*

(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.

x2 = ax1 x 2* x 1*

x1 69

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά (a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.

(α) p1x1* + p2x2* = m; (β) x2* = ax1*.

Αντικαθιστώντας το (β) για x2* στο (α) δίνει p1x1* + p2ax1* = m από το οποίο έχουµε

Αντικαθιστώντας το (β) για x2* στο (α) δίνει p1x1* + p2ax1* = m

x 1* =

m am ; x 2* = . p1 + ap 2 p1 + ap 2

Παράδειγµα µε τεθλασµένες λύσεις: Τέλεια συµπληρωµατικά

Καµπύλες ζήτησης CES

U(x1,x2) = min{ax1,x2}

Έστω ότι δ = 0.5

U(x,y) = x0.5 + y0.5 Η εξίσωση του Lagrange: x*2 =

L = x0.5 + y0.5 + λ(m - pxx - pyy) Συνθήκες πρώτης τάξης:

x2 = ax1

am p1 + ap 2

∂L/∂x = 0.5x -0.5 - λpx = 0

x*1 =

m p1 + ap 2

∂L/∂y = 0.5y -0.5 - λpy = 0

∂L/∂λ = m - pxx - pyy = 0 73

Καµπύλες ζήτησης CES

Αυτό σηµαίνει ότι

(y/x)0.5

Σ’ αυτές τις συναρτήσεις ζήτησης, το µερίδιο του εισοδήµατος που δαπανάται είτε για x είτε για y δεν είναι σταθερό

= p x /p y

Με αντικατάσταση στον εισοδηµατικό περιορισµό έχουµε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης είναι

x* =

m p p x [1 + x ] py

y* =

Εξαρτάται από το λόγο των δύο τιµών

Όσο πιο µεγάλη η σχετική τιµή του x (ή y), τόσο µικρότερο είναι το µερίδιο του εισοδήµατος που δαπανάται για το x (ή y)

p p y [1 + y ] px 75

Καµπύλες ζήτησης CES

Καµπύλες ζήτησης CES εποµένως, οι συναρτήσεις ζήτησης είναι

Αν δ = -∞,

U(x,y) = Min(x, 4y)

x* =

Το άτοµο θα επιλέξει µόνο εκείνους τους συνδυασµούς για τους οποίους ισχύει x = 4y

m px + 0.25py

Αυτό σηµαίνει ότι

y* =

m = pxx + pyy = pxx + py(x/4) m = (px + 0.25py)x 77

m 4 px + p y 78

Συναρτήσεις ζήτησης Cobb-Douglas

Οι συνθήκες πρώτης τάξης συνεπάγονται:

Συνάρτηση κατανάλωσης Cobb-Douglas : U(x,y) = xαyβ Η εξίσωση του Lagrange είναι:

αy/β βx = px/py Αν α + β = 1:

L = xαyβ + λ(I - pxx - pyy) Συνθήκες πρώτης τάξης: ∂L/∂x = αxα-1yβ - λpx = 0

pyy = (β β/α α)pxx = [(1- α)/α α]pxx Αντικαθιστώντας στον εισοδηµατικό περιορισµό

∂L/∂y = βxαyβ-1 - λpy = 0

έχουµε:

∂L/∂λ = I - pxx - pyy = 0

I = pxx + [(1- α)/α α]pxx = (1/α α)pxx 79

Συναρτήσεις ζήτησης Cobb-Douglas x* =

Λύνοντας ως προς x έχουµε Λύνοντας ως προς y έχουµε y * =

Συναρτήσεις ζήτησης Cobb-Douglas

αI px

βI py

Το άτοµο θα κατανείµει α% του εισοδήµατος του στο αγαθό x και β% του εισοδήµατος του στο αγαθό y 81

Έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας

Ή συνάρτηση χρησιµότητας Cobb-Douglas έχει περιορισµένες δυνατότητες για να εξηγήσει την πραγµατική συµπεριφορά του καταναλωτή Το µερίδιο του εισοδήµατος που δαπανάται για συγκεκριµένα αγαθά συχνά αλλάζει ως αντίδραση στις µεταβαλλόµενες οικονοµικές συνθήκες Μια γενικότερη µορφή συνάρτησης µπορεί να είναι πιο χρήσιµη για την εξήγηση της καταναλωτικής συµπεριφοράς

Έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις άριστες τιµές των x για να βρούµε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας

Πολλές φορές µπορούµε να αξιοποιήσουµε τις συνθήκες πρώτης τάξης για να βρούµε τις άριστες τιµές των x1,x2,…,xn Αυτές οι άριστες τιµές εξαρτώνται από τις τιµές όλων των αγαθών και το εισόδηµα

µέγιστη χρησιµότητα = U(x*1,x*2,…,x*n)

Αντικαθιστώντας την τιµή του κάθε x*i, έχουµε

x*1 = x1(p1,p2,…, pn,m) x*2 = x2(p1,p2,…, pn,m) • • • x*n = xn(p1,p2,…, pn,m)

µέγιστη χρησιµότητα = V(p1, p2,…, pn, m)

Το άριστο επίπεδο χρησιµότητας εξαρτάται έµµεσα από τις τιµές και το εισόδηµα Αν αλλάξουν είτε οι τιµές είτε το εισόδηµα , η µέγιστη δυνατή χρησιµότητα θα αλλάξει

Η αρχή του εφ’ άπαξ φόρου (σταθερού ποσού)

Η αρχή του εφ’ άπαξ φόρου (σταθερού ποσού) Οι φόροι που επιβάλλονται στη γενική αγοραστική δύναµη ενός ατόµου είναι ανώτεροι από τους φόρους που επιβάλλονται στα αγαθά

Ένας φόρος στο x µετατοπίζει την επιλογή που µεγιστοποιεί τη χρησιµότητα από το A στο B ποσότητα y

Ο φόρος στο εισόδηµα επιτρέπει στο άτοµο να αποφασίσει ελεύθερα για το πως θα κατανείµει το υπόλοιπο εισόδηµα Ο φόρος σ’ ένα αγαθό µειώνει την αγοραστική δύναµη του ατόµου και στρεβλώνει τις επιλογές του

A U1 U2

ποσότητα x 85

Η αρχή του εφ’ άπαξ φόρου (σταθερού ποσού)

Ένας φόρος στο εισόδηµα που αποδίδει τα ίδια έσοδα µετατοπίζει τον εισοδηµατικό περιορισµό στο I’ ποσότητα y

Αν η συνάρτηση χρησιµότητας είναι CobbDouglas µε α = β = 0.5, ξέρουµε ότι m m y* = x* = 2 px 2 py Άρα η έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας είναι

Η συνάρτηση µεγιστοποιείται στο σηµείο C πάνω στην U3

I’

A B

V ( p x , p y , m) = (x*)0 .5(y*)0 .5 =

U3 U1 U2

m 2 p x0.5 p y0.5

ποσότητα x 87

Η αρχή του εφ’ άπαξ φόρου (σταθερού ποσού)

Η αρχή του εφ’ άπαξ φόρου (σταθερού ποσού) Αν η συνάρτηση χρησιµότητας είναι µε σταθερές αναλογίες µε U = Min (x,4y), ξέρουµε ότι

Υποθέτουµε ότι px=1, py=4 και m=8 Αν επιβληθεί ένας φόρος €1 στο αγαθό x Το άτοµο θα αγοράσει x*=2 Η έµµεση χρησιµότητα θα µειωθεί από 2 σε 1,41

x* =

m p x + 0.25 p y

y* =

m 4 px + py

Η έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας είναι

Ένας εφ’ άπαξ φόρος που αποδίδει τα ίδια έσοδα θα µειώσει το εισόδηµα στο € 6

V ( p x , p y , m ) = Min ( x*, 4 y *) = x* = = 4 y* =

Η έµµεση χρησιµότητα µειώνεται από 2 σε 1,5 89

m p x + 0 . 25 p y

4m m = 4 px + p y p x + 0 . 25 p y 90

Η αρχή του εφ’ άπαξ φόρου (σταθερού ποσού)

Ελαχιστοποίηση δαπάνης • Το σηµείο A είναι η λύση του δυαδικού προβλήµατος

Αν επιβληθεί ένας φόρος €1 στο αγαθό x Η έµµεση χρησιµότητα θα µειωθεί από το 4 στο 8/3

ποσότητα y

Το επίπεδο δαπάνης E2 δίνει τόσο ώστε να επιτευχθεί χρησιµότητα U1 Το επίπεδο δαπάνης E3 δίνει τη δυνατότητα να φτάσουµε στο U1 αλλά δεν είναι η ελάχιστη δαπάνη που απαιτείται γι’ αυτό

Ένας εφ’ άπαξ φόρος ίσων εσόδων θα µειώσει το εισόδηµα στο € 16/3 A

Η έµµεση χρησιµότητα θα µειωθεί από το 4 στο 8/3

Το επίπεδο δαπάνης E1 είναι πολύ µικρό για να φτάσουµε το U1 U1

Με προτιµήσεις άκαµπτες ο φόρος στο x δεν στρεβλώνει τις επιλογές 91

Ελαχιστοποίηση δαπάνης

ποσότητα of x 92

Ελαχιστοποίηση δαπάνης

Το πρόβληµα του ατόµου είναι να επιλέξει τα x1,x2,…,xn για να ελαχιστοποιήσει τη

Η συνάρτηση δαπάνης δείχνει την ελάχιστη δαπάνη που είναι αναγκαία για να επιτευχθεί ένα συγκεκριµένο επίπεδο χρησιµότητας για ένα ορισµένο σύνολο τιµών

Συνολική δαπάνη = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn

υπό τον περιορισµό

Ελάχιστη δαπάνη = E(p1, p2,…, pn,U) Η συνάρτηση δαπάνης και η συνάρτηση έµµεσης χρησιµότητας συνδέονται αντίστροφα Και οι δύο εξαρτώνται από τις τιµές της αγοράς αλλά έχουν διαφορετικούς περιορισµούς

χρησιµότητα = U1 = U(x1,x2,…,xn)

Οι άριστες ποσότητες των x1,x2,…,xn θα εξαρτώνται από τις τιµές των αγαθών και το αναγκαίο επίπεδο χρησιµότητας 93

∆ύο συναρτήσεις δαπάνης

Η έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας για δύο αγαθά µε µορφήCobb-Douglas είναι

V ( px, py,m) =

Όταν έχουµε σταθερές αναλογίες, η έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας είναι

m 2p

0 .5 x

V ( px , p y , m) =

0 .5 y

m px + 0.25 p y

Αν και πάλι αλλάξουµε ρόλους χρησιµότητας και δαπάνης θα έχουµε τη συνάρτηση δαπάνης

Αν αλλάξουµε το ρόλο της χρησιµότητας µε το εισόδηµα (δαπάνη), θα έχουµε τη συνάρτηση δαπάνης E(px, py, U) = 2px0.5py0.5U

E(px,py,U) = (px + 0.25py)U 95

Ιδιότητες των συναρτήσεων δαπάνης

Κοιλότητα της συνάρτησης δαπάνης Στο p*1, το άτοµο δαπανά E(p*1,…)

Οµογενής ∆ιπλασιασµός όλων των τιµών συνεπάγεται και διπλασιασµό των αναγκαίων δαπανών

E(p1,…)

Eψευδο E(p1,…)

E(p*1,…)

Οµογενής πρώτου βαθµού

Μη- φθίνουσα στις τιµές ∂E/∂pi ≥ 0 για κάθε αγαθό, i

Κοίλη στις τιµές

p*1

Αν το άτοµο συνεχίζει να αγοράζει το ίδιο σύνολο αγαθών καθώς το p*1 αλλάζει η συνάρτηση δαπάνης του θα ήταν Eψευδο

Αφού όµως το πρότυπο της δαπάνης του µάλλον θα αλλάξει η πραγµατική δαπάνη θα είναι µικρότερη από p1 Eψευδο όπως η E(p1,…)

Ιδιότητες καµπυλών ζήτησης Συγκριτική στατική ανάλυση των συναρτήσεων της κανονικής ζήτησης – είναι η µελέτη του πώς οι συναρτήσεις κανονικής ζήτησης x1*(p1,p2,y) και x2*(p1,p2,y) αλλάζουν όταν οι τιµές p1, p2 και το εισόδηµα y αλλάζουν.

∆ιάλεξη 6

ΖΗΤΗΣΗ

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

σταθερά p2 και y.

Πώς αλλάζει η x1*(p1,p2,y) όταν η p1 µεταβάλλεται, αλλά η p2 και το y µένουν αµετάβλητα; Ας υποθέσουµε ότι αυξάνει µόνο η p1, από p1’ σε p1’’ και µετά σε p1’’’.

p1x1 + p2x2 = y p1 = p1’

x1 3

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού x2

σταθερά p2 και y

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού x2

σταθερά p2 και y

p1x1 + p2x2 = y

p1 = p1’

p1= p1’’’

p1= p1’’ x1

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

p1 = p1’

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού σταθερά p2 και y

σταθερά p2 και y

p1 = p1’

x1*(p1’) 7

p1 σταθερά p2 και y

σταθερά p2 και y x2

p1 = p1’

p1 = p1’’

p 1’

p 1’ x1*(p1’)

x1*(p1’)

x 1*

x1*(p1’)

x1*(p1’) 9

σταθερά p2 και y x2

x 1*

p1 = p1’’

Fixed p2 and y. p1’’

p 1’

p 1’ x1*(p1’)

x1*(p1’)

x 1*

x1*(p1’’) x1*(p1’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

x1*(p1’’) 11

σταθερά p2 και y x2

p1 = p1’’’

p1’’

p 1’

p 1’ x1*(p1’)

x1*(p1’)

x 1*

x1*(p1’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’’)

x1*(p1’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’) 13

p1 σταθερά p2 και y x2

p1’’’

σταθερά p2 και y

p1’’

p 1’

p 1’ x1*(p1’)

Κανονική καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1

p1’’’

p1’’

x1*(p1’’’)

x 1*

x1*(p1’’’)

x1*(p1’’) x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’) 15

p1 σταθερά p2 και y

Κανονική καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1

p1’’’

σταθερά p2 και y x2

p1’’ καµπύλη τιµής-κατανάλωσης

p 1’

p 1’ x1*(p1’)

x 1*

Κανονική καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1

p1’’’

p1’’

x1*(p1’’’)

x1*(p1’’) x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x 1*

x1*(p1’’)

x 1*

x1*(p1’’)

x1*(p1’)

x 1*

x1*(p1’’)

x1*(p1’’’)

x1*(p1’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’) 17

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

Η καµπύλη που περιέχει όλους τους συνδυασµούς που µεγιστοποιούν τη χρησιµότητα και οι οποίοι δηµιουργούνται καθώς η p1 αλλάζει, µε p2 και y σταθερές, λέγεται καµπύλη τιµής-κατανάλωσης. Η χάραξη µε το x1-την τετµηµένη της καµπύλης τιµής-κατανάλωσης στον ένα άξονα και την τιµή p1 στον άλλο είναι η κανονική καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1.

Με τι µοιάζει µια καµπύλη τιµήςκατανάλωσης όταν οι προτιµήσεις είναι Cobb-Douglas;

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού Με τι µοιάζει µια καµπύλη τιµήςκατανάλωσης όταν οι προτιµήσεις είναι Cobb-Douglas; Ας πάρουµε την

x*1 ( p 1 , p 2 , y ) =

a y × a + b p1

x*2 ( p1 , p2 , y) =

b y × . a + b p2

και

U( x1 , x 2 ) = x1axb2 .

Σηµειώστε ότι το x2* δεν επηρεάζεται από την p1 και εποµένως η καµπύλη τιµής (p1)-κατανάλωσης είναι Επίπεδη (οριζόντια)

Σε αυτή την περίπτωση οι συναρτήσεις κανονικής ζήτησης για τα αγαθά 1 και 2 είναι 21

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού x*1 ( p1 , p 2 , y ) = και x*2 ( p1 , p 2 , y) =

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

a y × a + b p1

b y × . a + b p2

σταθερά p2 και y.

x*2 = by (a + b)p2

Σηµειώστε ότι το x2* δεν επηρεάζεται από την p1 και εποµένως η καµπύλη τιµής (p1)-κατανάλωσης είναι επίπεδη (οριζόντια) και η κανονική καµπύλη ζήτησης για το αγαθό ένα είναι ορθογώνια υπερβολή

x1*(p1’’’) x *(p ay ’) x *1 = 1 1 ( a + x1*(p1’’) b ) p 1 23

x1 24

Η κανονική καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1 είναι

σταθερά p2 και y.

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

x*1 =

ay ( a + b )p1

Με τι µοιάζει µια καµπύλη τιµήςκατανάλωσης για µια συνάρτηση χρησιµότητας µε αγαθά τέλεια συµπληρωµατικά;

x*2 = by (a + b)p2

x 1*

x1*(p1’’’) x1*(p ay1’) x*1 = x1*(p1(’’) a + b )p1

x1 25

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού Με τι µοιάζει µια καµπύλη τιµήςκατανάλωσης για µια συνάρτηση χρησιµότητας µε αγαθά τέλεια συµπληρωµατικά;

x*1 ( p1 , p 2 , y ) = x*2 (p1 , p 2 , y) =

y . p1 + p 2

U ( x 1 , x 2 ) = m in {x 1 , x 2 }.

Σε αυτή την περίπτωση οι συναρτήσεις κανονικής ζήτησης για τα αγαθά 1 και 2 είναι 27

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

x*1 ( p1 , p 2 , y ) = x*2 (p1 , p 2 , y) =

y . p1 + p 2

x *1 ( p 1 , p 2 , y ) = x *2 ( p 1 , p 2 , y ) =

Με p2 και y σταθερά, η υψηλότερη p1 προκαλεί µείωση στη ζήτηση του x1* και x2*.

Με p2 και y σταθερά, η υψηλότερη p1 προκαλεί µείωση στη ζήτηση του x1* και x2*. καθώς

p1 → 0 , x*1 = x*2 →

y . p2

y . p1 + p 2

καθώς

p1 → 0, x*1 = x*2 →

y . p2

p1 → ∞ , x*1 = x*2 → 0 . 29

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού σταθερά p2 και y. x2

x2 σταθερά p2 και y.

p1 = p1’

y/p2 x*2 =

p 1’

y p1’+ p 2

x*1 =

x1 31

y p1’+ p 2

p1 σταθερά p2 και y. x2

p1 = p1’’ p1’’

y/p2

y p1’’+ p 2 y p1’’+ p 2

x 1*

y p1’’+ p 2

p1’’

p1 p1’’’

x2 p1’’

Η κανονική καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1 είναι

x*1 =

y . p1 + p 2

p 1’

x*2 = y p1 + p 2

y p1 + p 2

x*1 =

y p1’’’+ p 2 y p1’’’+ p 2

y p1’’’+ p 2

x 1*

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού Με τι µοιάζει η καµπύλη τιµής-κατανάλωσης για µια συνάρτηση χρησιµότητας µε αγαθά τέλεια υποκατάστατα;

U( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 . y p2

x*1 =

x*2 =

x*1 =

σταθερά p2 και y.

y/p2

p1’’’

p 1’

x*1 =

p1 = p1’’’

y/p2

p 1’

x*2 =

x 1*

σταθερά p2 και y. x2

y p1’+ p 2

x 1*

Οι κανονικές συναρτήσεις ζήτησης για τα αγαθά 1 και 2 είναι

x1 36

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού x2

, if p1 > p 2

0 x*1 ( p1 , p 2 , y ) = 

p1 = p1’ < p2

σταθερά p2 και y

 y / p1 , if p1 < p 2

και

, if p1 p 2 .

x*2 = 0

x*1 =

p1 σταθερά p2 και y. x2

p1 = p1’ < p2

p1 = p1’’ = p2

p 1’

x*1 = x*2 = 0

x*1 =

y x* 1 p1’

x 1*

y x 1 p1’

p1 σταθερά p2 και y.

σταθερά p2 και y. x2

y x1 p1’

p1 = p1’’ = p2 p 1’

y p2       * x2 = 0 

p1 = p1’’ = p2

x*2 =

x 1*

144244 3 y x*1 = x*1 = 0 p1’’

p 1’

x 1*

σταθερά p2 και y.

p1 p1’’’

p1 = p1’’ = p2 p2 = p1’’

y p2       x*2 = 0 

p2 = p1’’

p 1’

x*2 =

x*2 = 144244 3 y 0 ≤ x*1 ≤ p2

144244 3 y x*1 = x*1 = 0 p2

y p2

x*1 = 0

Κανονική καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1 y x*1 = p1

p1’’’

x*1 = 0

x 1*

σταθερά p2 και y. Καµπύλη τιµής-κατανάλωση p2 = p1’’

p 1’

y p2

0 ≤ x1* ≤

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού Το ερώτηµα που συνήθως θέτουµε είναι «Με δεδοµένη την τιµή του αγαθού 1, ποια είναι η ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1;» Μπορεί κανείς να θέσει και το αντίστροφο ερώτηµα «σε ποια τιµή του αγαθού 1 θα ζητείται µια συγκεκριµένη ποσότητα του αγαθού 1;»

p 1’

144244 3

x 1*

y p1 ' '

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού p1

Με δεδοµένη την p1’, ποια η ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1;

Απάντηση: x1’ µονάδες. p1’

p1’

x 1*

x 1’ 47

x 1* 48

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού p1

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού

Με δεδοµένη την p1’, ποια η ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1;

Θεωρώντας τη ζητούµενη ποσότητα ως δεδοµένη και ρωτώντας µετά ποια πρέπει να είναι η τιµή, µας δίνει την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης για ένα αγαθό.

Απάντηση: x1’ µονάδες. Το αντίστροφο ερώτηµα είναι: Με δεδοµένο ότι ζητούνται x1’ µονάδες, ποια είναι η τιµή του αγαθού 1? x 1*

x 1’

Απάντηση: p1’ 49

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού Ένα παράδειγµα Cobb-Douglas : x *1 =

Μεταβολές στην τιµή του ίδιου του αγαθού Παράδειγµα µε τέλεια υποκατάστατα:

x*1 =

ay ( a + b )p 1

Είναι η κανονική συνάρτηση ζήτησης και

p1 =

y p1 + p 2

Είναι η κανονική συνάρτηση ζήτησης και

p1 =

( a + b ) x*1

Είναι η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης.

y x*1

− p2

Είναι η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης. 51

Μεταβολές στο εισόδηµα

Μεταβολές στο εισόδηµα x2

Πώς µεταβάλλεται η x1*(p1,p2,y) όταν αλλάζει το y και διατηρούµε σταθερές τις p1 και p2 ;

Σταθερές p1 και p2.

y’ < y’’ < y’’’

x1 53

Μεταβολές στο εισόδηµα

y’ < y’’ < y’’’

Σταθερές p1 και p2.

x2’’’ x2’’ x 2’ x1

x1’ x1’’’ x1’’

Μεταβολές στο εισόδηµα x2

Μεταβολές στο εισόδηµα

Σταθερές p1 και p2.

y’ < y’’ < y’’’

Αν χαράξουµε ένα γράφηµα µε τη σχέση εισοδήµατος και ζητούµενης ποσότητας, τότε βρίσκουµε αυτό που λέγεται καµπύλη Engel.

Καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης

x2’’’ x2’’ x 2’ x1

x1’ x1’’’ x1’’

Μεταβολές στο εισόδηµα x2

Μεταβολές στο εισόδηµα

Σταθερές p1 και p2.

y’ < y’’ < y’’’

Σταθερές p1 και p2.

y’ < y’’ < y’’’ Καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης

Καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης

x2’’’ x2’’ x 2’

x2’’’ x2’’ x 2’ x1’ x1’’’ x1’’

x1 59

y’’’ y’’ y’ x1’ x1’’’ x1’’

x1’ x1’’’ x1* x1’’ 60

Μεταβολές στο εισόδηµα x2

Σταθερές p1 και p2.

y’ < y’’ < y’’’ Καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης

y x2’’’ x2’’ x 2’

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

y’’’ y’’ y’ < y’’ < y’’’ y’ Καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης

x2’’’ x2’’ x 2’

x2’ x2’’’ x2’’

Σταθερές p1 και p2.

x2’ x2’’’ x2’’

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

Καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης

x2’’’ x2’’ x 2’

y’’’ y’’ y’ x1’ x1’’’ x1’’

x 2*

y’’’ y’’ y’ < y’’ < y’’’ y’

x 2*

x2’ x2’’’ x 2* x2’’ Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

x1’ x1’’’ x1* x1’’ 64

Μεταβολές στο εισόδηµα και προτιµήσεις Cobb-Douglas

x*1 =

Ένα παράδειγµα υπολογισµού των εξισώσεων των καµπυλών Engel µε συνάρτηση προτιµήσεων Cobb-Douglas.

ay by ; x*2 = . ( a + b )p1 ( a + b )p 2

Με αντικαταστάσεις βρίσκουµε:

U( x1 , x 2 ) = x1a xb2 .

Οι εξισώσεις της κανονικής καµπύλη ζήτησης είναι

x*1 =

x1’ x1’’’ x1’’

Σταθερές p1 και p2.

x1’ x1’’’ x1’’

Καµπύλη εισοδήµατος-κατανάλωσης

x1’ x1’’’ x1* x1’’

y x2

y’’’ y’’ y’ < y’’ < y’’’ y’

x2’’’ x2’’ x 2’

y’’’ y’’ y’ x1’ x1’’’ x1’’

Σταθερές p1 και p2.

ay by ; x*2 = . ( a + b )p1 ( a + b )p 2 65

( a + b)p1 * x1 Καµπύλη Engel για το αγαθό 1 a ( a + b )p 2 * y= x 2 Καµπύλη Engel για το αγαθό 2 b y=

Μεταβολές στο εισόδηµα και προτιµήσεις Cobb-Douglas y

( a + b )p1 * x1 a

Μεταβολές στο εισόδηµα και τέλεια συµπληρωµατικά

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

Ένα άλλο παράδειγµα υπολογισµού των εξισώσεων για τις καµπύλες Engel µε τέλεια συµπληρωµατικά

U( x1 , x 2 ) = min{x1 , x 2 }.

x 1*

( a + b )p 2 * x2 b

Οι εξισώσεις για τις κανονικές καµπύλες ζήτησης είναι

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

x*1 = x*2 =

x 2*

Μεταβολές στο εισόδηµα

Μεταβολές στο εισόδηµα και τέλεια συµπληρωµατικά αγαθά x*1 = x*2 =

y . p1 + p 2

Σταθερές p1 και p2.

Με αντικαταστάσεις βρίσκουµε:

y = ( p1 + p 2 )x*1

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

y = ( p1 + p 2 )x*2

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

x1 69

Μεταβολές στο εισόδηµα

Μεταβολές στο εισόδηµα Σταθερές p1 και p2. x2

Σταθερές p1 και p2. x2

y’ < y’’ < y’’’

Μεταβολές στο εισόδηµα

Μεταβολές στο εισόδηµα Σταθερές p1 και p2. x2

Σταθερές p1 και p2. x2

y’ < y’’ < y’’’

y’ < y’’ < y’’’ y

x2’’’ x2’’ x 2’

x2’’’ x2’’ x 2’ x1’ x1’’’ x1’’

x1’ x1’’’ x1’’

y Σταθερές p1 και p2. x2

y’’’ y’’ y’ < y’’ < y’’’ y’

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

x2’ x2’’’ x2’’

x2’’’ x2’’ x 2’ x1’ x1’’’ x1’’

y = (p1 + p 2 ) x*2

y’’’ y’’ y’ y

y = ( p1 + p 2 ) x*1

Σταθερές p1 και p2. x2

y’’’ y’’ y’ < y’’ < y’’’ y’ y

x2’’’ x2’’ x 2’

y’’’ y’’ y’

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

x2’ x2’’’ x2’’

x 2*

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

x1’ x1’’’ x1’’

x 1*

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

x1’ x1’’’ x1’’

y Σταθερές p1 και p2.

x1’ x1’’’ x1’’

x 2*

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

y’’’ y’’ y’

x2’ x2’’’ x2’’

x 2*

x1’ x1’’’ x1’’

x 1*

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

Μεταβολές εισοδήµατος και τέλεια υποκατάστατα Ένα άλλο παράδειγµα είναι ο υπολογισµός των εξισώσεων των καµπυλών Engel curves, µε αγαθά που είναι τέλεια υποκατάστατα.

U( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 . Οι εξισώσεις για την κανονική ζήτηση είναι 78

Μεταβολές εισοδήµατος και τέλεια υποκατάστατα

, if p1 > p 2 0 x*1 ( p1 , p 2 , y) =  y / p1 , if p1 < p 2

, if p1 > p 2

0 x*1 ( p1 , p 2 , y ) = 

Μεταβολές εισοδήµατος και τέλεια υποκατάστατα

 y / p1 , if p1 < p 2

, if p1 p 2 .

, if p1 p 2 .

Αν p1 < p2. τότε 79

Μεταβολές εισοδήµατος και τέλεια υποκατάστατα

, if p1 > p 2 0 x*1 ( p1 , p 2 , y) =  y / p1 , if p1 p 2 . Αν p1 < p2. τότε

x*1 =

y p1

x*2 = 0

και

Μεταβολές εισοδήµατος και τέλεια υποκατάστατα

, if p1 > p 2 0 x*1 ( p1 , p 2 , y) =  y / p1 , if p1 p 2 . y * x*1 = Αν p1 < p2. τότε και x 2 = 0 p1 y = p1x*1 και x*2 = 0.

Μεταβολές εισοδήµατος και τέλεια υποκατάστατα y

x 1* Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

x*2 = 0 .

Μεταβολές εισοδήµατος Στα µέχρι τώρα παραδείγµατα είχαµε καµπύλες Engel που είναι ευθείες γραµµές. Ε: Ισχύει κάτι τέτοιο γενικότερα; A: Όχι. Οι καµπύλες Engel είναι ευθείες γραµµές όταν οι προτιµήσεις των καταναλωτών είναι οµοθετικές.

y = p1x*1

x 2*

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2 83

Μεταβολή εισοδήµατος: Ένα παράδειγµα µη οµοθετικότητας

Οµοθετικότητα Οι προτιµήσεις των καταναλωτών είναι οµοθετικές όταν και µόνο όταν

(x1,x2)

Οι οιονεί γραµµικές προτιµήσεις δεν είναι οµοθετικές.

p (y1,y2) ⇔ (kx1,kx2) p (ky1,ky2)

U( x1 , x 2 ) = f ( x1 ) + x 2 .

για κάθε k > 0.

Π.χ.

U( x 1 , x 2 ) =

∆ηλαδή, ο MRS του καταναλωτή είναι ο ίδιος σε κάθε σηµείο µιας ευθείας γραµµής που ξεκινά από την αρχή των αξόνων.

x1 + x 2 .

Income Quasilinear ΜεταβολήChanges; εισοδήµατος: οιονεί γραµµική χρησιµότητα Utility

Quasi-linear Indifference Οιονεί γραµµικές καµπύλες Curves αδιαφορίας

Κάθε καµπύλη είναι µια κάθετη µετατόπιση των άλλων. Κάθε καµπύλη τέµνει και τους δύο άξονες

~ x1

Income Quasilinear ΜεταβολήChanges; εισοδήµατος: οιονεί γραµµική χρησιµότητα Utility

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

~ x1

x 2*

x 1* ~ x1 89

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

x1 90

Μεταβολή εισοδήµατος: οιονεί γραµµική Income Changes; Quasilinear χρησιµότητα Utility x2

Μεταβολή εισοδήµατος

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

Ένα αγαθό η ζητούµενη ποσότητα του οποίου αυξάνει όταν αυξάνεται το εισόδηµα λέγεται φυσιολογικό (εισοδηµατικά κανονικό). Άρα, η καµπύλη Engel ενός κανονικού αγαθού έχει θετική κλίση.

x 2*

~ x1

x 1* 91

Μεταβολή εισοδήµατος; αγαθά1 & 2 κανονικά

Μεταβολή εισοδήµατος

y’’’ y’’ y’

Ένα αγαθό η ζητούµενη ποσότητα του οποίου µειώνεται όταν αυξάνεται το εισόδηµα λέγεται εισοδηµατικά κατώτερο. Άρα, η καµπύλη Engel ενός κατώτερου αγαθού έχει αρνητική κλίση.

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

Καµπύλη κατανάλωσης-εισοδήµατος

y x2’’’ x2’’ x 2’

y’’’ y’’ y’ x1’ x1’’’ x1’’

x2’ x2’’’ x2’’

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

x1’ x1’’’ x1* x1’’

Μεταβολή εισοδήµατος;

Αγαθό 2 κανονικό & αγαθό 1 κατώτερο

x 2*

x1 95

Μεταβολή εισοδήµατος;

Αγαθό 2 κανονικό & αγαθό 1 κατώτερο

x1 97

Μεταβολή εισοδήµατος;

Αγαθό 2 κανονικό & αγαθό 1 κατώτερο

x2 Καµπύλη κατανάλωσης-εισοδήµατος

x1 99

100

Μεταβολή εισοδήµατος;

Αγαθό 2 κανονικό & αγαθό 1 κατώτερο

Αγαθό 2 κανονικό & αγαθό 1 κατώτερο y

Καµπύλη Engel για το αγαθό 2

Καµπύλη Engel για το αγαθό 1

x 2*

x 1*

x1 101

x 1* 102

Κανονικά αγαθά

Ένα αγαθό λέγεται κανονικό αν η ζητούµενη ποσότητα του αυξάνει πάντα όταν η τιµή του µειώνεται.

Σταθερά p2 και y.

x1 103

104

Κανονικά αγαθά

Κανονικά αγαθά Σταθερά p2 και y.

Σταθερά p2 και y.

⇔

Καµπύλη τιµής-κατανάλωσης

Καµπύλη ζήτησης µε αρνητική κλίση

Το αγαθό 1 είναι κανονικό

x 1* x1

x1 105

Αγαθά Giffen

Κανονικά αγαθά

Αν, για κάποιες τιµές που παίρνει η τιµή του αγαθού, η ζητούµενη ποσότητα του αγαθού µειώνεται καθώς η τιµή του µειώνεται, τότε το αγαθό αυτό λέγεται αγαθό Giffen.

Σταθερά p2 και y.

x1 107

108

Κανονικά αγαθά

Σταθερά p2 και y. x2

Καµπύλη τιµής-κατανάλωσης

Σταθερά p2 και y.

Καµπύλη ζήτησης µε τµήµα της που έχει θετική κλίση

⇔

Καµπύλη τιµής-κατανάλωσης

Το αγαθό 1 είναι Giffen

x 1* x1

x1 109

Σταυροειδείς επιπτώσεις τιµών

Αν µια αύξηση στην p2 Αυξάνει τη ζήτηση του αγαθού 1, τότε το αγαθό 1 είναι ένα ατελές υποκατάστατο του αγαθού 2. µειώνει τη ζήτηση του αγαθού 1, τότε το αγαθό 1 είναι ένα ατελές συµπληρωµατικό του αγαθού 2.

Παράδειγµα τέλειων συµπληρωµατικών: y x*1 = p1 + p 2 άρα y ∂ x*1 =− < 0. ∂ p2 (p + p ) 2 1

Εποµένως, το αγαθό 2 είναι ατελές συµπλήρωµα του αγαθού 1. 111

112

Σταυροειδείς επιπτώσεις τιµών Παράδειγµα µε Cobb- Douglas :

Μαρσαλιανή και Χικσιανή καµπύλη ζήτησης

by x*2 = (a + b)p2

άρα

∂ x*2 = 0. ∂ p1

Γραφική απεικόνιση

Άρα το αγαθό 1 δεν είναι ούτε ατελές συµπληρωµατικό ούτε ατελές υποκατάστατο του αγαθού 2 113

114

Ξεκινάµε µε το εξής διάγραµµα y

Επιλογή του καταναλωτή µεταξύ x και y.

y Στο τµήµα αυτό απεικονίζουµε την επιλογή του καταναλωτή, µεταξύ x στον οριζόντιο άξονα και y στον κάθετο.

Εδώ χαράζουµε τη σχέση µεταξύ x και της τιµής του Px. Με απλά λόγια χαράζουµε την καµπύλη ζήτησης.

Η κλίση της γραµµής εισοδηµατικού περιορισµού είναι:

Από την αρχική ισορροπία βρίσκουµε ένα σηµείο της καµπύλης ζήτησης.

px dy =− dx py

Προβάλλοντας το x0 στο κάτω διάγραµµα, έχουµε ένα σηµείο του x στο p0x

Ας πάρουµε µετά µια αύξηση της τιµής του x, στο px1,. Αυτό περιστρέφει τη γραµµή εισοδηµατικού περιορισµού και η κλίση -px1/py0 είναι µεγαλύτερη

p x1 p x0

px Όπως και πριν, έχουµε ένα άλλο σηµείο του x στην τιµή px1

p x1 p x0

Dx x1

Ενώνοντας αυτά τα δύο σηµεία έχουµε την καµπύλη ζήτησης.

Αυτή είναι η κανονική ή Μαρσαλιανή καµπύλη ζήτησης για το x

Ας υποθέσουµε τώρα ότι δίνουµε, ως αποζηµίωση στον καταναλωτή λόγω αύξησης τιµής, αρκετό εισόδηµα ώστε να επανέλθει στο αρχικό επίπεδο χρησιµότητας, την καµπύλη αδιαφορίας U2 U2 Ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι U1 τώρα x

p x1

p x0

Dx x1

U2 U1 x

x1 xH x0 1

Το επίπεδο ζήτησης του x τώρα είναι xH και αντιπροσωπεύει το καθαρό αποτέλεσµα υποκατάστασης από την αύξηση της τιµής του x

Αυτό λέγεται Χικσιανή ζήτηση για το x και το συµβολίζουµε µε xH

y0 U2 U1 x

x1 xH x0 px

p x0 xH x0

U2 U1 x

y0 U2 x

Hx p x1 p x0

Dx x1

xH x0

Η Χικσιανή καµπύλη ζήτησης Hx είναι πιο απότοµη από τη Μαρσαλιανή, όταν το αγαθό είναι κανονικό

Αν προβάλουµε το σηµείο xH στο κάτω διάγραµµα, βρίσκουµε ένα σηµείο στο xH και px1.Έτσι βρίσκουµε µια νέα καµπύλη ζήτησης, η οποία λέγεται αντισταθµιστική ή Χικσιανή καµπύλη ζήτησης

Dx x1

x1 p x1

p x0

U1 x

Το νέο σηµείο επαφής µας δείχνει την ποσότητα που ζητά ο καταναλωτής όταν αυτός αποζηµιώνεται έτσι ώστε να επανακτήσει το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας του, µε την αυξηµένη τιµή του x. Η κλίση της νέας γραµµής είναι px1/py0.

p x1 p x0

Dx x1

Ένας εναλλακτικός τρόπος αποζηµίωσης θα ήταν να δοθεί στον καταναλωτή αρκετό εισόδηµα για να αγοράσει το αρχικό καλάθι αγαθών, το x0y0 Σε αυτή την περίπτωση ο εισοδηµατικός περιορισµός θα µετακινηθεί ακόµη πιο έξω από πριν, µέχρις ότου φτάσει το x0y0

xH x0

U2 U1 x

x0 p x1 p x0

Τώρα όµως ο καταναλωτής δεν χρειάζεται να καταναλώσει το x0y0. Έτσι θα επιλέξει ένα νέο σηµείο ισορροπίας που είναι πάνω στην καµπύλη αδιαφορίας U3

px Hx

U2 x

xs x 0

p x1 p x0

Dx x1

Όπως και πριν έχουµε τώρα ένα άλλο σηµείο το XS και αν το προβάλουµε στο κάτω διάγραµµα έχουµε ένα άλλο σηµείο στο XS και στην U3 τιµή px1

Dx x1

xH x0

xH x0 xs

Σύνοψη

S U3

U2 x

px Mx Hx Sx px

Dx x1

xH x0 xs

Από τις καµπύλες αδιαφορίας µπορούµε να συναγάγουµε τρεις καµπύλες ζήτησης

Η νέα καµπύλη είναι πιο απότοµη και από τη Μαρσαλιανή και από τη Χικσιανή, όταν το αγαθό είναι κανονικό

x 130

S px

Η νέα καµπύλη Sx (πράσινη) λέγεται αντισταθµιστική καµπύλη ζήτησης του Slutsky

1. Κανονική ή Μαρσαλιανή καµπύλη ζήτησης

S px

H M

2. Αντισταθµιστική ή Χικσιανή καµπύλη, όταν ο καταναλωτής αποζηµιώνεται µε τόσο εισόδηµα ώστε να διατηρηθεί στο αρχικό επίπεδο χρησιµότητας.

S px

H M

3. Η αντισταθµιστική καµπύλη ζήτησης του Slutsky, όταν ο καταναλωτής αποζηµιώνεται µε τόσο εισόδηµα ώστε να µπορεί να αγοράσει το αρχικό καλάθι αγαθών.

S px

H M

Για κανονικά αγαθά, η Μαρσαλιανή καµπύλη είναι πιο οριζόντια από τη Χικσιανή, η οποία µε τη σειρά της είναι πιο οριζόντια από εκείνη του Slutsky

Αντισταθµιστικές καµπύλες ζήτησης

Αντισταθµιστικές καµπύλες ζήτησης Για να βρούµε τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης, λύνουµε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας ως προς m και µετά αντικαθιστούµε τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης

Έστω συνάρτηση χρησιµότητας:

χρησιµότητα = U(x,y) = x0,5y0,5 Οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι:

x = m/2px

y = m/2py

Η έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας:

χρησιµ ότητα = V ( m , p x , p y ) =

m 0 ,5 x

2p p

0,5 y 135

Vpy0.5 px0.5

Vpx0.5 py0.5 136

Αντισταθµιστικές καµπύλες ζήτησης x=

Vpy0.5 px0.5

Vpx0.5 py0.5

Η ζήτηση τώρα εξαρτάται από το (V) αντί του εισοδήµατος Αυξήσεις στο px µειώνουν την ζητούµενη ποσότητα του x Έχουµε µόνο το αποτέλεσµα υποκατάστασης

137

Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Τι θα συµβεί όταν µειωθεί η τιµή ενός αγαθού; Αποτέλεσµα υποκατάστασης : το αγαθό γίνεται σχετικά πιο φτηνό και γι’ αυτό ο καταναλωτής υποκαθιστά το σχετικά πιο ακριβό µε το σχετικά πιο φτηνό αγαθό.

∆ιάλεξη 7 Εξίσωση Slutsky

Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής

Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής x2

Αποτέλεσµα εισοδήµατος: Το

y p2

εισόδηµα του καταναλωτή µπορεί να αγοράσει περισσότερα από πριν, ως εάν το εισόδηµα του καταναλωτή αυξήθηκε, µε αποτέλεσµα να υπάρχουν επιδράσεις του εισοδήµατος στις ζητούµενες ποσότητες.

Το εισόδηµα του καταναλωτή σε €y. Αρχική επιλογή

x1 3

Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής x2 y p2

Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Το εισόδηµα του καταναλωτή σε €y.

Το εισόδηµα του καταναλωτή σε €y. Η µείωση στην τιµή του αγαθού 1 περιστρέφει τον εισοδηµατικό περιορισµό προς τα έξω.

x2 y p2 y' p2

Η µείωση στην τιµή του αγαθού 1 περιστρέφει τον εισοδηµατικό περιορισµό προς τα έξω. Το εισόδηµα που χρειάζεται τώρα είναι €y’ για να αγοραστεί το αρχικό καλάθι στις νέες τιµές, ως εάν το εισόδηµα του καταναλωτή να αυξήθηκε κατά €y - €y’.

x1 x1 5

Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής

Οι επιδράσεις µιας µεταβολής της τιµής Οι µεταβολές στις ζητούµενες ποσότητες, που οφείλονται σ’ αυτό το «επιπλέον» εισόδηµα είναι το αποτέλεσµα εισοδήµατος λόγω µεταβολής της τιµής.

Ο Slutsky ανακάλυψε ότι οι µεταβολές στη ζήτηση από µια µεταβολή της τιµής είναι πάντα το άθροισµα ενός αµιγούς αποτελέσµατος υποκατάστασης και ενός αποτελέσµατος εισοδήµατος.

Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος

Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος x2

Ο Slutsky διαπίστωσε ότι αν, στις νέες τιµές,

Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή

Απαιτείται λιγότερο εισόδηµα για να αγοραστεί το αρχικό καλάθι, τότε το «πραγµατικό εισόδηµα» αυξάνεται. Περισσότερο εισόδηµα απαιτείται για να αγοραστεί το αρχικό καλάθι, τότε το «πραγµατικό εισόδηµα» µειώνεται.

x1 9

Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος

x2 Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή

Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή

Νέος εισοδηµατικός περιορισµός

Νέος εισοδηµατικός περιορισµός:

Το πραγµατικό εισόδηµα έχει αυξηθεί

x1 11

Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος

x2 Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή

Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή Νέος εισοδηµατικός περιορισµός

x1 13

Μεταβολή πραγµατικού εισοδήµατος

Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης

Ο Slutsky αποµόνωσε τη µεταβολή στη ζήτηση που οφείλεται µόνο στη µεταβολή των σχετικών τιµών µε το να θέσει το ερώτηµα «ποια είναι η µεταβολή στη ζήτηση όταν το εισόδηµα του καταναλωτή προσαρµόζεται έτσι ώστε, στις νέες τιµές, να µπορεί να αγοράσει ακριβώς το αρχικό καλάθι;»

Αρχικός εισοδηµατικός περιορισµός και επιλογή Νέος εισοδηµατικός περιορισµός:

Το πραγµατικό εισόδηµα έχει µειωθεί

x1 15

Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης

x 2’

x 1’

x1 17

x1 18

Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης

x 2’

Μόνο Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης

x 2’ x2’’

x 1’

x1’’

Μόνο Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης

x 2’

x2’’

x 1’

x1’’

Μόνο Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης Η µικρότερη p1 κάνει το αγαθό 1 σχετικά πιο φτηνό και προκαλεί µια υποκατάσταση από το αγαθό 2 στο αγαθό 1.

x 1’

x1’’

Μόνο Αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης x2

Η µικρότερη p1 κάνει το αγαθό 1 σχετικά πιο φτηνό και προκαλεί µια υποκατάσταση από το αγαθό 2 στο αγαθό 1. (x1’, x2’) → (x1’’,x2’’) είναι το αµιγές αποτέλεσµα υποκατάστασης.

x 2’ x2’’

x 1’

x1’’

Και το αποτέλεσµα εισοδήµατος x2

(x1’’’,x2’’’)

x 2’ x2’’

x 1’

x1’’

x1 24

Και το αποτέλεσµα εισοδήµατος

Συνολική µεταβολή εισοδήµατος Η µεταβολή στη ζήτηση από µια µείωση στην p1 είναι το άθροισµα του αποτελέσµατος εισοδήµατος και υποκατάστασης

x2 x2

Το αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι (x1’’,x2’’) → (x1’’’,x2’’’).

(x1’,x2’) → (x1’’’,x2’’’).

(x1’’’,x2’’’)

x 2’

(x1’’’,x2’’’)

x 2’

x2’’

x 1’

x1’’

x1 x 1’

x1’’

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κανονικά αγαθά

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κανονικά αγαθά x2

Τα περισσότερα αγαθά είναι κανονικά (δηλαδή η ζήτηση αυξάνει µε το εισόδηµα). Το αποτέλεσµα υποκατάστασης και εισοδήµατος ενδυναµώνουν το ένα το άλλο, όταν η τιµή ενός κανονικού αγαθού αλλάζει.

Το αγαθό 1 είναι κανονικό επειδή το υψηλότερο εισόδηµα αυξάνει τη ζήτηση (x1’’’,x2’’’)

x 2’ x2’’

x 1’

x1’’

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κανονικά αγαθά Το αγαθό 1 είναι κανονικό επειδή το υψηλότερο εισόδηµα αυξάνει τη ζήτηση, και εποµένως τα αποτελέσµατα εισοδήµατος και υποκατάστασης ενδυναµώνουν το ένα το άλλο.

(x1’’’,x2’’’)

x 2’ x2’’

x 1’

x1’’

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κανονικά αγαθά Αφού τόσο το αποτέλεσµα εισοδήµατος και το αποτέλεσµα υποκατάστασης δρουν στην ίδια κατεύθυνση, όταν µειώνεται η τιµή ενός αγαθού, η κλίση της κανονικής καµπύλης ενός κοινού (κανονικού) αγαθού είναι αρνητική.

x1 30

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κατώτερα αγαθά

Μερικά αγαθά είναι κατώτερα (δηλαδή όταν αυξάνεται το εισόδηµα η ζήτηση µειώνεται). Το αποτέλεσµα εισοδήµατος και υποκατάστασης δρουν σε αντίθετη κατεύθυνση, όταν η τιµή ενός αγαθού µειώνεται.

x 2’

x 1’

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κατώτερα αγαθά

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κατώτερα αγαθά x2

x2 x 2’

x 2’

x 1’

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κατώτερα αγαθά

x2 x 2’

x 2’

x2’’

x 1’

x1’’

Το αποτέλεσµα υποκατάστασης είναι όπως για ένα κανονικό αγαθό. Αλλά, ….

x 1’

x1 35

x1’’

x1 36

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κατώτερα αγαθά

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κατώτερα αγαθά x2

Το αποτέλεσµα υποκατάστασης για ένα αγαθό είναι θετικό . Αλλά, το αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι προς την άλλη κατεύθυνση.

Το αποτέλεσµα υποκατάστασης για ένα αγαθό είναι θετικό. Αλλά, το αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι προς την άλλη κατεύθυνση. Το αγαθό 1 είναι κατώτερο

(x1’’’,x2’’’)

x 2’

x2’’

x 1’

x1’’

x 1’

Τα αποτελέσµατα Slutsky για κατώτερα αγαθά x2

Στην ακραία περίπτωση του κατώτερου αγαθού που το εισόδηµα εισοδήµατος είναι µεγαλύτερο από το αποτέλεσµα υποκατάστασης, η ζητούµενη ποσότητα µειώνεται όταν µειώνεται η τιµή του. Τέτοια αγαθά λέγονται αγαθά Giffen.

(x1’’’,x2’’’) x 2’ x2’’

x1’’

Αγαθά Giffen

Η συνολική µεταβολή στη ζήτηση είναι το άθροισµα των δύο αποτελεσµάτων.

x 1’

x1’’

x1 40

Τα αποτελέσµατα Slutsky για αγαθά Giffen

Τα αποτελέσµατα Slutsky για αγαθά Giffen x2

Μια µείωση στην p1 προκαλεί µείωση στη ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1.

x 2’

Μια µείωση στην p1 προκαλεί µείωση στη ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1.

x2’’’

x 2’

x 1’

x1’’’ x1’

x1 41

x1 42

Τα αποτελέσµατα Slutsky για αγαθά Giffen x2

Τα αποτελέσµατα Slutsky

Μια µείωση στην p1 προκαλεί µείωση στη ζητούµενη ποσότητα του αγαθού 1.

x2’’’

x 2’ x2’’ x1’’’ x1’

Ο διαχωρισµός του Slutsky της µεταβολής µιας τιµής σε αποτέλεσµα υποκατάστασης και εισοδήµατος εξηγεί γιατί ο νόµος της κατερχόµενης καµπύλης ζήτησης παραβιάζεται σε περίπτωση πολύ κατώτερων αγαθών.

x1’’ x1 Αποτέλεσµα υποκατάστασης Αποτέλεσµα εισοδήµατος43

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη

Θέλουµε να εξετάσουµε πώς η ζητούµενη ποσότητα του αγαθού x αλλάζει όταν αλλάζει το px ∂x/∂ ∂ px Η διαφοροποίηση των συνθηκών πρώτης τάξης του προβλήµατος µεγιστοποίησης της χρησιµότητας θα µας δώσει αυτήν την παράγωγο Όµως αυτή η διαδικασία είναι περίπλοκη και δεν µας βοηθάει να κατανοήσουµε το τι συµβαίνει

Θα προτιµήσουµε µια έµµεση προσέγγιση Θυµηθείτε την συνάρτηση δαπανών Ελάχιστες δαπάνες = E(px,py,U) Εξ’ ορισµού xc (px,py,U) = x [px,py,E(px,py,U)] Η ζητούµενη ποσότητα είναι ίδια και για τις δύο συναρτήσεις όταν το εισόδηµα είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεται για να πετύχουµε την συγκεκριµένη χρησιµότητα

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη ∂x ∂x c ∂x ∂E = − ⋅ ∂px ∂px ∂E ∂px

xc (px,py,U) = x[px,py, E(px,py,U)] ∆ιαφορίζοντας τις αντισταθµιστικές συναρτήσεις ζήτησης έχουµε

Ο πρώτος όρος είναι η κλίση της αντισταθµιστικής καµπύλης ζήτησης

∂x c ∂x ∂x ∂E = + ⋅ ∂p x ∂p x ∂E ∂p x

Η µαθηµατική µορφή του αποτελέσµατος υποκατάστασης

∂x ∂x c ∂x ∂E = − ⋅ ∂p x ∂p x ∂E ∂p x 47

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη Το αποτέλεσµα υποκατάστασης µπορεί να γραφεί ως c

∂x ∂x c ∂x ∂E = − ⋅ ∂px ∂px ∂E ∂px

αποτέλεσµα υποκατάστασης =

Ο δεύτερος όρος δείχνει το τρόπο που µια αλλαγή στο px επηρεάζει την ζήτηση του x µέσω της επίδρασης που έχει στο εισόδηµα

∂x ∂x = ∂p x ∂p x U =σταθερή

Το αποτέλεσµα εισοδήµατος µπορεί να γραφεί ως αποτ έλεσµα εισοδ ήµατος = −

Η µαθηµατική µορφή του αποτελέσµατος εισοδήµατος

∂x ∂E ∂x ∂E • =− • ∂E ∂p x ∂m ∂p x

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη Η υπόθεση της µεγιστοποίησης της χρησιµότητας δείχνει πως τα αποτελέσµατα υποκατάστασης και εισοδήµατος που απορρέουν από την µεταβολή της τιµής µπορεί να γραφούν µε αυτό τον τρόπο

Προσέξτε πως το ∂E/∂px = x µια αύξηση της τιµής px κατά €1 αυξάνει τις απαραίτητες δαπάνες κατά x ευρώ

∂x = αποτέλεσµα υποκατάστα σης + αποτέλεσµα εισοδήµατος ∂p x ∂x ∂x ∂x = −x ∂p x ∂px U =σταθερή ∂I

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη ∂x ∂x = ∂p x ∂p x

−x U =σταθερή

Τα αποτελέσµατα Slutsky: Μια µαθηµατική ανάπτυξη ∂x ∂x ∂x = −x ∂px ∂px U =σταθερή ∂I

∂x ∂I

Ο δεύτερος όρος είναι το αποτέλεσµα. εισοδήµατος

Ο πρώτος όρος είναι το αποτέλεσµα υποκατάστασης Πάντα αρνητικός εφόσον ο MRS φθίνει Η κλίση της αντισταθµιστικής συνάρτησης ζήτησης είναι αρνητική

Αν το x είναι κανονικό αγαθό, τότε ∂x/∂I > 0 Το συνολικό αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι αρνητικό Αν το x είναι κατώτερο, τότε ∂x/∂I < 0 Το συνολικό αποτέλεσµα εισοδήµατος είναι θετικό

Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsky

Η Χικσιανή (αντισταθµιστική) συνάρτηση ζήτησης για x ήταν

Μπορούµε να δούµε τα αποτελέσµατα υποκατάστασης και εισοδήµατος µελετώντας την επίδραση µιας µεταβολής της τιµής µε την συνάρτηση Cobb-Douglas U(x,y) = x0.5y0.5 Η Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης για το x που είχαµε βρει είναι

x ( p x , p y , m) =

x c ( px , py ,V ) =

Vpy0.5 px0.5

Η συνολική επίδραση της µεταβολής της τιµής στην ζητούµενη ποσότητα x

∂x − 0.5m = ∂p x p x2

0,5m px 55

Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsky

Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsky Μπορούµε να αντικαταστήσουµε την έµµεση συνάρτηση χρησιµότητας (V) (

Το συνολικό αποτέλεσµα είναι η άθροιση των δύο αποτελεσµάτων Slutsky Το αποτέλεσµα υποκατάστασης το βρίσκουµε διαφορίζοντας την αντισταθµιστική συνάρτηση ζήτησης ως προς την τιµή

αποτ. υποκατάστασης =

m 2 p 0x.5 p 0y.5

αποτ. υποκατάστασης =

0.5 ∂x c −0.5Vp y = ∂px p1.5 x

− 0,5(0,5mpx−0,5 py−0,5 ) p0y,5 − 0,25m = p1x,5 px2

Πρόσθετη Άσκηση (Ιούνιος 2010)

Παράδειγµα: Εξίσωση Slutsky Το αποτέλεσµα εισοδήµατος

∆ύο άτοµα Α και Β έχουν συναρτήσεις ωφέλειας uΑ(x,y)=x1/3y1/3 και uΒ(x,y)=xy αντίστοιχα. Αν τα δύο αυτά άτοµα έχουν το ίδιο εισόδηµα και αγοράζουν τα προϊόντα στις ίδιες τιµές, τότε ισχύει ότι θα έχουν την ίδια ζήτηση και για τα δύο αγαθά; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

∂x 0,5m 0,5 0,25m αποτ . εισοδήµατος = − x = −[ ]• =− m px px p x2

Παρατηρούµε πως µε αυτήν την συνάρτηση τα δύο αποτελέσµατα είναι ίδια 59

Πρόσθετη Άσκηση (Ιούνιος 2010) Απάντηση Τα δύο άτοµα θα έχουν την ίδια ζήτηση, αφού η συνάρτηση ωφέλειας του ενός είναι γνησίως αύξων µετασχηµατισµός της συνάρτησης ωφέλειας του άλλου, και συνεπώς, οι δύο συναρτήσεις ωφέλειας περιγράφουν ακριβώς τις ίδιες προτιµήσεις. Πράγµατι, τα δύο άτοµα έχουν ίδιους οριακούς λόγους υποκατάστασης (y/x), και, αφού έχουν ίδιο εισόδηµα, θα έχουν και ίδιους εισοδηµατικούς περιορισµούς, κάτι που σηµαίνει ότι η ζήτησή 61 τους και για τα δύο αγαθά θα είναι η ίδια.

Χρηµατικά µέτρα των ωφελειών από ανταλλαγή ∆ιάλεξη 8

Μπορείτε να αγοράσετε όσο βενζίνη θέλετε, µε €1 το λίτρο, όταν µπείτε στην αγορά πετρελαιοειδών. Ε: Ποιο είναι το µέγιστο που θα πληρώνατε για να εισέλθετε στην αγορά;

Πλεόνασµα καταναλωτή

Χρηµατικά µέτρα των ωφελειών από ανταλλαγή

Χρηµατικά µέτρα των ωφελειών από ανταλλαγή Υπάρχουν τρία τέτοια µέτρα :

A: Θα πληρώνατε µέχρι την αξία των ωφελειών από την ανταλλαγή που θα είχατε όταν µπείτε στην αγορά. Πώς µπορούµε να µετρήσουµε τα οφέλη αυτά από την ανταλλαγή;

Πλεόνασµα καταναλωτή Ισοδύναµη µεταβολή, και Αντισταθµιστική µεταβολή.

Και τα τρία µέτρα συµπίπτουν µόνο σε µια ειδική περίπτωση.

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας Ας υποθέσουµε ότι η βενζίνη µπορεί να αγοραστεί µόνο σε λίτρα και όχι σε υποδιαιρέσεις του λίτρου. Ας χρησιµοποιήσουµε το r1 για να συµβολίσουµε το µέγιστο ποσό που θα πλήρωνε ένας καταναλωτής για το πρώτο λίτρο – ας το ονοµάσουµε αυτό τιµή επιφύλαξης για το πρώτο λίτρο. r1 είναι το ισοδύναµο σε ευρώ της οριακής χρησιµότητας από το πρώτο λίτρο. 5

Τώρα που έχετε ένα λίτρο, χρησιµοποιείστε το r2 για να συµβολίσετε το µέγιστο ποσό που είστε διατεθειµένοι να πληρώσετε για το δεύτερο λίτρο – που είναι η τιµή επιφύλαξης για το δεύτερο λίτρο. r2 είναι το ισοδύναµο σε ευρώ της οριακής χρησιµότητας από το δεύτερο λίτρο. 6

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

Γενικότερα, αν έχετε ήδη n-1 λίτρα βενζίνης τότε το rn συµβολίζει το µέγιστο ποσό που θα πληρώνατε για το n-οστό. rn είναι το ισοδύναµο σε ευρώ της οριακής χρησιµότητας από το n-οστό λίτρο.

r1 + … + rn είναι εποµένως το ισοδύναµο σε ευρώ της συνολικής µεταβολής στη χρησιµότητα, από την αγορά n λίτρων βενζίνης στην τιµή €pG. Άρα r1 + … + rn - pGn θα είναι το ισοδύναµο σε ευρώ της συνολικής µεταβολής στη χρησιµότητα από την αγορά n λίτρων βενζίνης στην τιµή €pG για κάθε λίτρο. 8

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

() Τιµές

Ένα γράφηµα των r1, r2, … , rn, … σχετικά µε τα n είναι η καµπύλη της τιµής επιφύλαξης. Αυτή η καµπύλη δεν είναι ακριβώς η ίδια µε την καµπύλη ζήτησης του καταναλωτή για βενζίνη.

r1 r2 r3 r4 r5 r6

καµπύλη τιµής επιφύλαξης

βενζίνη (λίτρα) 9

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας Το ισοδύναµο σε ευρώ της καθαρής χρησιµότητας από το 1το λίτρο είναι €(r1 pG) Για το 2ρο λίτρο είναι €(r2 - pG), Κ.ο.κ πράγµα που σηµαίνει ότι η αξία σε ευρώ του οφέλους από την αγορά είναι €(r1 - pG) + €(r2 - pG) + … εφόσον rn - pG > 0.

Ποια είναι η χρηµατική αξία των ωφελειών του καταναλωτή από την αγορά βενζίνης στην τιµή €pG;

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας τιµές επιφύλαξης

(τιµές επιφύλαξης

r101 r28 r36 r44 r25 r06

pG 1

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

καµπύλη τιµής επιφύλαξης

r101 r28 r36 r44 r25 r06

βενζίνη(λίτρα)

pG 1

βενζίνη(λίτρα)

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας ($) Res. Values

Reservation Price Curve for Gasoline

€ αξία καθαρής χρησιµότητας του οφέλους από την αγορά

10 r 1

r82 r63 r44 r25 r06

Ας υποθέσουµε τώρα ότι η βενζίνη πωλείται σε µονάδες µισού λίτρου. r1, r2, … , rn, … συµβολίζουν τις τιµές επιφύλαξης του καταναλωτή για τα διαδοχικά µισά λίτρα βενζίνης. Η νέα καµπύλη τιµής επιφύλαξης του καταναλωτή είναι

pG 1

Gasoline (gallons)

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

Τιµές επιφύλαξης

r101 r83 r65 r47 r29 r11 0

Καµπύλη τιµής επιφύλαξης

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Βενζίνη (µισά λίτρα)

10 r1 r38 r56 r7 4 r9 2 r11 0

Καµπύλη τιµής επιφύλαξης

pG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Βενζίνη (µισά λίτρα)

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας ($) Res. Values

r101 r38 r56 r74 r92 0 r11

Reservation Price Curve for Gasoline

€ αξία καθαρής χρησιµότητας οφελών από την αγορά

Και αν η βενζίνη πωλείται σε µονάδες ενός τετάρτου του λίτρου...

pG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Gasoline (half gallons)

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας Reservation Price Curve for Gasoline

8 ($) Res. 6 Values

4 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Gasoline (one-quarter gallons)

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας Reservation Price Curve for Gasoline 10

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

€ αξία καθαρής χρησιµότητας

Τελικά, αν η βενζίνη µπορεί να αγοραστεί σε κάθε ποσότητα, τότε,...

8 ($) Res. 6 Values 4 2

0 Gasoline (one-quarter gallons)

Τιµή επιφύλαξης

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

Τιµή επιφύλαξης

Καµπύλη τιµών επιφύλαξης

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας Καµπύλη τιµών επιφύλαξης

Βενζίνη

Τιµή επιφύλαξης

Βενζίνη

€ Ισοδύναµα οφέλη χρησιµότητας

Καµπύλη τιµών επιφύλαξης

∆υστυχώς, ο υπολογισµός της τιµής επιφύλαξης ενός καταναλωτή είναι δύσκολος. Άρα, προσεγγιστικά, η καµπύλη της τιµής επιφύλαξης αντικαθίσταται µε την κανονική καµπύλη ζήτησης του καταναλωτή.

€ αξία καθαρής χρησιµότητας

Βενζίνη

Πλεόνασµα του καταναλωτή

Πλεόνασµα του καταναλωτή Η καµπύλη της τιµής επιφύλαξης δεν είναι ακριβώς η ίδια µε την καµπύλη ζήτησης του καταναλωτή. Γιατί; Μια καµπύλη της τιµής επιφύλαξης περιγράφει διαδοχικά τις τιµές των διαδοχικών µονάδων ενός αγαθού. Μια κανονική καµπύλη ζήτησης περιγράφει το µέγιστο που θα πλήρωνε ο καταναλωτής για q µονάδες του αγαθού που αγοράζει ταυτόχρονα.

Η προσέγγιση της περιοχής του κέρδους στην καθαρή ωφέλεια κάτω από την καµπύλη της τιµής επιφύλαξης µε την αντίστοιχη περιοχή της κανονικής καµπύλης ζήτησης µας δίνει το µέτρο του κέρδους στην καθαρή ωφέλεια που λέγεται πλεόνασµα καταναλωτή. 29

Πλεόνασµα του καταναλωτή

Πλεόνασµα του καταναλωτή ($) Res. Values

Reservation Price Curve for Gasoline

r10 1 r38 r56 r74 r92 r110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

(€) Καµπύλη τιµής επιφύλαξης για βενζίνη Κανονική καµπύλη ζήτησης για βενζίνη pG

Gasoline (half gallons)

Βενζίνη 32

Πλεόνασµα του καταναλωτή

(€) Καµπύλη τιµής επιφύλαξης για βενζίνη Κανονική καµπύλη ζήτησης για βενζίνη

(€) Καµπύλη τιµής επιφύλαξης για βενζίνη Κανονική καµπύλη ζήτησης για βενζίνη € αξία του καθαρού κέρδους σε ωφέλεια

pG Βενζίνη

Βενζίνη 33

Πλεόνασµα του καταναλωτή

Πλεόνασµα του καταναλωτή (€) Καµπύλη τιµής επιφύλαξης για βενζίνη

Η µεταβολή στη συνολική χρησιµότητα του καταναλωτή που προκαλείται από µια µεταβολή στην p1 µετράται προσεγγιστικά από τη µεταβολή στο πλεόνασµα του καταναλωτή.

Κανονική καµπύλη ζήτησης για βενζίνη € αξία του καθαρού κέρδους σε ωφέλεια

Πλεόνασµα καταναλωτή pG

Βενζίνη 35

Πλεόνασµα του καταναλωτή

p1(x1), είναι η αντίστροφη κανονική

p1(x1)

καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1.

p'1

p'1 x'1

CS πριν

x*1

x'1

x*1

Πλεόνασµα του καταναλωτή

p1 p1(x1), είναι η κανονική

p1(x1)

καµπύλη ζήτησης για το αγαθό 1

p"1 CS µετά

p"1

p'1

p'1 x"1

x'1

απώλεια CS

x"1

x*1

x'1

x*1

Πλεόνασµα του καταναλωτή

Παράδειγµα υπολογισµού µεταβολής στο πλεόνασµα καταναλωτή

Γραµµική συνάρτηση ζήτησης: D(p) = 20 – 2p.

Εµβαδόν τραπεζίου = ½ (16+14)*1=15 ' 1

p =3 απώλεια CS

Ποια είναι η ∆CS αν η τιµή αυξηθεί από 1 σε 2;

p1 = 2

x1' = 14 41

x1 = 16

x*1 42

Πλεόνασµα του καταναλωτή Παράδειγµα µε συνάρτηση χρησιµότητας CobbDouglas. 1 1

Αντισταθµιστική και ισοδύναµη µεταβολή ∆ύο µέτρα σε € της µεταβολής της ολικής χρησιµότητας που προκαλείται από µια µεταβολή της τιµής είναι Αντισταθµιστική και Ισοδύναµη µεταβολή Πόσα χρήµατα πρέπει να δώσουµε στον καταναλωτή για να τον αποζηµιώσουµε για µια µεταβολή των καταναλωτικών του προτύπων; Εκφράζουµε σε χρηµατικές µονάδες τη µεταβολή της χρησιµότητας

U ( x1 , x2 ) = x 2 x 2 Αρχικά αντιµετωπίζει τιµές (1,1) και έχει εισόδηµα 100. Τότε το πρόβληµα επιλογής του καταναλωτή είναι να µεγιστοποιήσει την 1

U ( x1 , x2 ) = x 2 x 2 υπό τον περιορισµό

x1 + x2 = m = 100.

Αντισταθµιστική µεταβολή

p1 αυξάνει. Στο παράδειγµα έστω ότι η τιµή του αγαθού 1 µεταβάλλεται από 1 σε 2. Ε: Ποιο είναι το ελάχιστο επιπλέον εισόδηµα το οποίο, στις νέες τιµές, µόλις και αποκαθιστά το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας του καταναλωτή; ∆ηλαδή πόσα χρήµατα πρέπει να δώσουµε στον καταναλωτή µετά τη µεταβολή της τιµής για να τον αποκαταστήσουµε στο επίπεδο χρησιµότητας που βρισκόταν πριν από τη µεταβολή της τιµής;

p1 αυξάνει. Στο παράδειγµα έστω ότι η τιµή του αγαθού 1 µεταβάλλεται από 1 σε 2. Ε: Ποιο είναι το ελάχιστο επιπλέον εισόδηµα το οποίο, στις νέες τιµές, µόλις και αποκαθιστά το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας του καταναλωτή; A: Η αντισταθµιστική µεταβολή Πόσο πρέπει να µετατοπίσουµε τη νέα γραµµή εισοδηµατικού περιορισµού ώστε να γίνει εφαπτόµενη της αρχικής καµπύλης αδιαφορίας;

Αντισταθµιστική µεταβολή x2

p2 σταθερή

p1=p1’

m1 = p'1x'1 + p 2x'2

Αντισταθµιστική µεταβολή p1=p1’ p1=p1”

x2 x"2

x'2

p2 σταθερή. m1 = p'1x'1 + p 2x'2 = p"1x"1 + p 2x"2

x'2

u1 u2

x'1

x"1

x'1

Αντισταθµιστική µεταβολή p1=p1’ p1=p1”

x2 x'" 2

x"2

Αντισταθµιστική µεταβολή

p2 σταθερή. m1 = p'1x'1 + p 2x'2 = p"1x"1 + p 2x"2

x'" 2

x"2

m 2 = p 1" x 1'" + p 2 x '" 2

x'2

p1=p1’ p1=p1”

p2 σταθερή. m1 = p'1x'1 + p 2x'2 = p"1x"1 + p 2x"2

m 2 = p 1" x 1'" + p 2 x '" 2

x'2

u2 x"1 x'" 1

CV = m2 - m1.

x'1

x"1 x'" 1

x'1

Ισοδύναµη µεταβολή

Ισοδύναµη µεταβολή p1 αυξάνει. Ε: πόσα χρήµατα πρέπει να αφαιρεθούν από τον καταναλωτή πριν από τη µεταβολή της τιµής έτσι ώστε αυτός να είναι στην καµπύλη αδιαφορίας που βρίσκεται µετά τη µεταβολή της τιµής; A: Η ισοδύναµη µεταβολή

Η ισοδύναµη µεταβολή είναι το χρηµατικό ποσό που είναι «ισοδύναµο» µε τη µείωση εισοδήµατος που υφίσταται ο καταναλωτής ως αποτέλεσµα της αύξησης της p1.

Ισοδύναµη µεταβολή x2

p2 σταθερή.

p1=p1’

m1 = p'1x'1 + p 2x'2

Ισοδύναµη µεταβολή p1=p1’ p1=p1”

x2 x"2

x'2

p2 σταθερή. m1 = p'1x'1 + p 2x'2 = p"1x"1 + p 2x"2

x'2

u1 u2

x'1

x"1

x'1

Ισοδύναµη µεταβολή p1=p1’ p1=p1”

x2 x"2

Ισοδύναµη µεταβολή

p2 σταθερή. m1 = p'1x'1 + p 2x'2 = p"1x"1 + p 2x"2

x"2

'" m 2 = p'1x '" 1 + p 2x 2

x'2 x'" 2

p1=p1’ p1=p1”

x'" 2

u2 x"1

' x'" 1 x1

x"1

Αντισταθµιστική και ισοδύναµη µεταβολή

m 2p1

x2 =

EV = m1 - m2.

' x'" 1 x1

Μέτρηση CV και EV

Ξέρουµε ότι για συναρτήσεις Cobb-Douglas οι συναρτήσεις ζήτησης είναι

x1 =

m1 = p'1x'1 + p 2x'2 = p"1x"1 + p 2x"2 '" m 2 = p'1x '" 1 + p 2x 2

x'2

p2 is σταθερή.

Για να υπολογίσουµε την αντισταθµιστική µεταβολή ρωτούµε πόσο πρέπει να δώσουµε στον καταναλωτή, ώστε στις τιµές (2,1) να έχει την ίδια χρησιµότητα που είχε όταν κατανάλωνε (50,50). Αν οι τιµές είναι (2,1) και ο καταναλωτής είχε εισόδηµα m, µπορούµε να το υποκαταστήσουµε στη συνάρτηση ζήτησης για να βρούµε ότι ο καταναλωτής θα επέλεγε για αριστοποίηση το συνδυασµό (m/4,m/2). Θέτοντας τη χρησιµότητα αυτού του συνδυασµού ίση µε τη χρησιµότητα του (50,50), έχουµε

m 2p2

Η µεταβολή στη ζήτηση από την αλλαγή της τιµής είναι από ( x 1' , x 2' )= (50,50) σε ( x 1''' , x 2''' ) = (25,50) 57

Μέτρηση CV και EV

1 1 m 1 m 1 ( ) 2 ( ) 2 = 50 2 50 2 4 2

Για να υπολογίσουµε την ισοδύναµη µεταβολή ρωτούµε πόσο πρέπει να δώσουµε στον καταναλωτή, ώστε στις τιµές (1,1) να έχει την ίδια χρησιµότητα που είχε όταν κατανάλωνε (25,50). Με την ίδια λογική όπως πριν έχουµε

Επιλύοντας ως προς m, βρίσκουµε

m = 100 2 ≈ 141

1 1 m 1 m 1 ( ) 2 ( ) 2 = 25 2 50 2 2 2

Άρα ο καταναλωτής θα χρειαζόταν περίπου 141100=41 επιπλέον εισόδηµα, µετά την αύξηση της τιµής για να διατηρηθεί στο ίδιο επίπεδο χρησιµότητας µε εκείνο πριν την µεταβολή της τιµής 59

Πλεόνασµα παραγωγού

Μέτρηση CV και EV Επιλύοντας ως προς m βρίσκουµε ότι

Οι µεταβολές στην ευηµερία µιας επιχείρησης µπορεί να µετρηθούν σε ευρώ κατά τον ίδιο τρόπο που γίνεται µε τον καταναλωτή.

m = 50 2 ≈ 70 Αν ο καταναλωτής είχε εισόδηµα 70, στις αρχικές τιµές, θα ήταν εξίσου καλά µε το να αντιµετώπιζε τις νέες τιµές και είχε εισόδηµα 100. Εποµένως η ισοδύναµη µεταβολή του εισοδήµατος είναι 100-70=30.

Πλεόνασµα παραγωγού

Πλεόνασµα παραγωγού Τιµή προϊόντος (p)

Τιµή προϊόντος (p) Οριακό κόστος

Οριακό κόστος

y (µονάδες προϊόντος)

(µονάδες προϊόντος

Πλεόνασµα παραγωγού Τιµή προϊόντος (p)

Οριακό κόστος

Το µεταβλητό κόστος παραγωγής y’ µονάδων είναι το άθροισµα από τα οριακά κόστη

Έσοδα ' ' =py y'

(µονάδες προϊόντος

Πλεόνασµα παραγωγού Τιµή προϊόντος (p)

Έσοδα µείον µεταβλητά κόστη (VC) είναι το πλεόνασµα του παραγωγού. Οριακό κόστος '

Το µεταβλητό κόστος παραγωγής y’ µονάδων είναι το άθροισµα από τα οριακά κόστη

(µονάδες προϊόντος

Ατοµική και αγοραία συνάρτηση Υποθέστε µιαν οικονοµία που έχει n καταναλωτές, και συµβολίζονται µε i = 1, … ,n. Η συνάρτηση της κανονικής καµπύλης ζήτησης του καταναλωτή i για το αγαθό j είναι x*j i (p1 , p 2 , mi )

∆ιάλεξη 9

Αγοραία ζήτηση

Ατοµική και αγοραία συνάρτηση

Όταν όλοι οι καταναλωτές είναι λήπτες τιµών, η αγοραία συνάρτηση ζήτησης για το αγαθό j είναι

Η καµπύλη αγοραίας ζήτησης είναι το «οριζόντιο άθροισµα» των ατοµικών καµπυλών ζήτησης των καταναλωτών. π.χ. Έστω ότι υπάρχουν δύο µόνο καταναλωτές, i = A,B.

n X j ( p1 , p 2 , m1 ,L , mn ) = ∑ x*j i ( p1 , p 2 , mi ). i= 1

Αν όλοι οι καταναλωτές είναι οι ίδιοι, τότε X j ( p1 , p 2 , M ) = n × x*j ( p1 , p 2 , m )

όπου M = nm. 3

Ατοµική και αγοραία συνάρτηση p1

p1’ p1”

p1’ p1” 20 x* A 1

Ατοµική και αγοραία συνάρτηση p1

p1’ p1”

p1 15

x*1B

20 x* A 1

x*1B

p1’

x*1A + xB 1

Ατοµική και αγοραία συνάρτηση

p1 p1’ p1”

p1’ p1”

20 x* A 1

Ατοµική και αγοραία συνάρτηση

x*1B

20 x* A 1

Το “οριζόντιο άθροισµα” των καµπυλών ζήτησης των ατόµων A και B.

p1’ p1”

x*1A + xB 1

Ισορροπία στην αγορά ιδιωτικών αγαθών

x*1B

x*1A + xB 1

Παράδειγµα ιδιωτικών αγαθών

Ισορροπία εκεί που η καµπύλη προσφοράς τέµνει την καµπύλη ζήτησης. Όλοι πληρώνουν την ίδια τιµή, P. Τα άτοµα καταναλώνουν το καθένα διαφορετικές ποσότητες του αγαθού, Q. Το αποτέλεσµα αυτό είναι αποτελεσµατικό κατά Pareto.

Price

Αδάµ (DfA)

Εύα (DfA)

Αγορά (DfA+E)

€11

€9

€7

€5

€3

€1

Efficient provision of private goods

€ 12

11 10

Ελαστικότητες

Η ελαστικότητα µετρά την «ευαισθησία» µιας µεταβλητής σε σχέση µε µιαν άλλη. Η ελαστικότητα της µεταβλητής X σε σχέση µε τη µεταβλητή Y είναι

8 7 6 5 4 3

DfA+E

2 1

DfE

0 0

ε x,y =

% ∆x . % ∆y

DfA

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Ποσότητα 11

Οικονοµικές εφαρµογές της ελαστικότητας

Οι οικονοµολόγοι χρησιµοποιούν τις ελαστικότητες για να µετρήσουν την ευαισθησία της

Ζήτησης του αγαθού i σε σχέση µε το εισόδηµα (εισοδηµατική ελαστικότητα ζήτησης) Προσφερόµενης ποσότητας του αγαθού i σε σχέση µε την τιµή του αγαθού i (ελαστικότητα προσφοράς ως προς τη δική του τιµή)

Ζητούµενης ποσότητας του αγαθού i σε σχέση µε την τιµή του αγαθού i (ελαστικότητα ζήτησης ως προς τη δική του τιµή) Ζήτησης του αγαθού i σε σχέση µε την τιµή του αγαθού j (σταυροειδής ελαστικότητα ως προς την τιµή). 13

Οικονοµικές εφαρµογές της ελαστικότητας

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού

Προσφερόµενης ποσότητας του αγαθού i σε σχέση µε το µισθό (ελαστικότητα προσφοράς σε σχέση µε την τιµή της εργασίας) Και πολλές άλλες περιπτώσεις.

Ε: Γιατί δεν χρησιµοποιούµε την κλίση της καµπύλης ζήτησης για να µετρήσουµε την ευαισθησία της ζητούµενης ποσότητας ως προς µια µεταβολή της τιµής του ίδιου του αγαθού; Κλίση της καµπύλης ζήτησης = ∆q/∆p

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού p1 10

=-2

p1 10

X1*

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού p1

κλίση = - 0.2

κλίση =-2

X1*

Σε ποια περίπτωση η ζητούµενη ποσότητα X1* είναι πιο ευαίσθητη σε µια µεταβολή της p1;

p1 10

X1*

κλίση= - 0.2

X1*

Σε ποια περίπτωση η ζητούµενη ποσότητα X1* είναι πιο ευαίσθητη σε µια µεταβολή της p1; 17

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού p1 10

10-πακέτα κλίση =-2

p1 10

X1*

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού

Απλές µονάδες

κλίση = - 0.2

10-πακέτα κλίση =-2

X1*

Σε ποια περίπτωση η ζητούµενη ποσότητα X1* είναι πιο ευαίσθητη σε µια µεταβολή της p1;

p1 10

Απλές µονάδες κλίση = - 0.2

X1*

Σε ποια περίπτωση η ζητούµενη ποσότητα X1* είναι πιο ευαίσθητη σε µια µεταβολή της p1; Είναι η ίδια και στις δύο περιπτώσεις

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού

Ε: Γιατί δεν χρησιµοποιούµε την κλίση της καµπύλης ζήτησης για να µετρήσουµε την ευαισθησία της ζητούµενης ποσότητας ως προς µια µεταβολή της τιµής του ίδιου του αγαθού; A: Επειδή η τιµή της ευαισθησίας εξαρτάται από την (αυθαίρετη) µονάδα µέτρησης που χρησιµοποιείται για την ποσότητα.

ε * = x ,p 1

% ∆x*1 % ∆p1

Είναι λόγος ποσοστιαίων µεταβολών και δεν αναφέρεται σε µονάδες µέτρησης. Έτσι, η ελαστικότητα ως προς την τιµή του ίδιου του αγαθού είναι ένα µέτρο ευαισθησίας που είναι ανεξάρτητο από τη µονάδα µέτρησης. 21

Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού Αν ε x* , p < −1 τότε η µεταβολή της ποσότητας είναι 1 1 αναλογικά µεγαλύτερη από τη µεταβολή της τιµής, «ελαστική» ζήτηση. Αν ε * > −1 τότε η µεταβολή της ποσότητας είναι x1 , p1 αναλογικά µικρότερη από τη µεταβολή της τιµής, «ανελαστική» ζήτηση. Αν ε x1* , p1 = −1 τότε η µεταβολή της ποσότητας είναι αναλογικά του ίδιου µεγέθους µε τη µεταβολή της τιµής, ζήτηση «µοναδιαίας ελαστικότητας».

Ελαστικότητες τόξου και σηµείου Μια “µέση” ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού i σε ένα διάστηµα τιµών για την pi είναι ελαστικότητα τόξου, και συνήθως υπολογίζεται µε ένα τύπο µέσου σηµείου. Η ελαστικότητα που υπολογίζεται γύρω από µια µόνο τιµή της pi είναι ελαστικότητα σηµείου. 24

Ελαστικότητες τόξου

Ελαστικότητες τόξου Μπορούµε να δείξουµε ότι (Nicholson):

Ποια είναι η «µέση» ελαστικότητα ζήτησης ως προς τη δική του τιµή για τιµές που είναι σε ένα διάστηµα γύρω από την pi’;

pi pi’+h pi’ pi’-h

ε X* ,p = i

% ∆ X*i pi ' ( X "− X i '" ) × i . = % ∆ p i ( X i "+ X i ' " ) / 2 2h

Είναι η τοξοειδής ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού .

Xi* 25

Ελαστικότητα σηµείου

Ελαστικότητα σηµείου pi

Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή σε ένα πολύ µικρό διάστηµα γύρω από pi’;

pi’+h pi’ pi’-h

Xi '"

Xi"

Xi*

% ∆ X*i pi ' ( X "− X i '" ) . ε X* ,p = × i = i i % ∆ p i ( X i "+ X i ' " ) / 2 2h

pi pi’+h pi’ pi’-h

pi’+h pi’ pi’-h

Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή σε ένα πολύ µικρό διάστηµα γύρω από pi’;

Καθώς το h → 0,

Xi '"

Xi"

Xi*

% ∆ X*i pi ' ( X "− X i '" ) . ε X* ,p = × i = i i % ∆ p i ( X i "+ X i ' " ) / 2 2h

Ελαστικότητα σηµείου pi

Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή σε ένα πολύ µικρό διάστηµα γύρω από pi’;

Ελαστικότητα σηµείου pi

Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή σε ένα πολύ µικρό διάστηµα γύρω από pi’;

Καθώς το h → 0,

pi’

Xi '

Xi*

% ∆ X*i pi ' ( X "− X i '" ) ε X* ,p = × i . = i i % ∆ p i ( X i "+ X i ' " ) / 2 2h

p ' dXi ε X* ,p → i ×

Xi '

Xi*

Xi '

dpi

Ελαστικότητα σηµείου

Ποια είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή σε ένα πολύ µικρό διάστηµα γύρω από pi’;

p ' dX*i ε X* ,p = i × i i Xi ' dpi

pi’

Είναι η ελαστικότητα στο σηµείο ( Xi ', pi ' ).

Xi '

dX*

i ε X* ,p = *i × i i dp Xi i

dXi* 1 = − . Άρα dpi b ε X * ,p =

Xi*

π.χ. Έστω pi = a - bXi. τότε Xi = (a-pi)/b και

pi  × − ( a − pi ) / b 

1 pi .  = − b a − pi 32

Ελαστικότητα σηµείου

pi a

pi = a - bXi*

a/b

pi = a - bXi*

ε X * ,p = − i

a/b

Xi*

pi a − pi

Xi*

Ελαστικότητα σηµείου pi a

pi = a - bXi*

ε X * ,p = − i

Ελαστικότητα σηµείου pi

pi a − pi

p= 0⇒ ε = 0

ε X * ,p = −

pi = a - bXi*

pi a − pi

p=0⇒ ε =0

ε = 0

a/b

Xi*

a/b 35

Xi* 36

Ελαστικότητα σηµείου pi pi = a - bXi*

Ελαστικότητα σηµείου

pi ε X * ,p = − i i a − pi

pi a

a a/2 p= ⇒ ε = − = −1 2 a−a/2

ε X * ,p = −

pi = a - bXi*

pi a − pi

a a/2 ⇒ ε = − = −1 2 a−a/2 ε = −1

a/2

ε = 0

a/b

a/2b

Xi*

a/b

Xi*

Ελαστικότητα σηµείου pi

ε * = − X ,p

pi = a - bXi*

p = a⇒ ε = −

Ελαστικότητα σηµείου

pi a − pi

pi a

a = −∞ a−a

ε = −1

a/2

ε = −∞

p = a⇒ ε = −

pi a − pi

a = −∞ a−a

ε = −1

a/2 ε = 0

a/2b

ε * = − X ,p

pi = a - bXi*

ε = 0

a/b

Xi*

a/2b

a/b

Xi*

Ελαστικότητα σηµείου

Ελαστικότητα σηµείου pi a ε

= −∞

ε * = − X ,p

pi = a - bXi*

pi a − pi

pi a ε

Ελαστικό ως προς την τιµή a/2

a/2

Ανελαστικό ως προς την τιµή

ε = 0

a/b

ε X * ,p = − i

pi a − pi

Ελαστικό ως προς την τιµή

ε = −1

a/2b

= −∞

pi = a - bXi*

Xi*

ε = − 1 (µοναδιαία ελαστικότητα) Ανελαστικό ως προς την τιµή ε = 0

a/2b 41

a/b

Xi* 42

Συνάρτηση ζήτησης σταθερής ελαστικότητας

dX*

i ε X* ,p = *i × i i dpi Xi

π.χ. X*i = kpia . τότε άρα

dX dp

* i

= a kp

k X*i = kpia = kpi− 2 = pi2

pi a−1 i

ε = − 2 Σε όλο το µήκος της

καµπύλης.

pa × ka p ia − 1 = a i = a . ε X * ,p = i i kp ia p ia pi

Xi*

Ελαστικότητα ζήτησης: παραδείγµατα

Ελαστικότητα ζήτησης: παραδείγµατα Εισοδηµατική ελαστικότητα ζήτησης (ex, m)

Γενικά, οι ελαστικότητες που χρησιµοποιούνται συχνότερα απορρέουν από την συνάρτηση ζήτησης x(px,py,m) Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του αγαθού(ex,px) e x ,p x =

e x ,m =

∆x / x ∂x m = ⋅ ∆ m / m ∂m x

σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης (ex,py)

∆x / x ∂x p x = ⋅ ∆p x / p x ∂p x x

ex, p = y

∆x / x ∂x p y = ⋅ ∆ p y / p y ∂p y x

Ελαστικότητα ζήτησης: παραδείγµατα

Ελαστικότητα ζήτησης: παραδείγµατα Υπολογίζοντας τις ελαστικότητες βρίσκουµε

Η συνάρτηση χρησιµότητας CobbDouglas είναι U(x,y) = xαyβ (α+β=1) Η συνάρτηση ζήτησης του x και y είναι x=

αI px

ex,p = x

∂x p x αm px ⋅ =− ⋅ ∂p x x p x2  α m   px

e x ,py =

βI py

ex ,m = 47

  

= −1

p ∂x py ⋅ = 0⋅ y = 0 ∂py x x

∂x m α m ⋅ = ⋅ =1 ∂m x p x  αm     px 

Άσκηση εξάσκησης 1

Άσκηση εξάσκησης 2

∆ίνεται ότι η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για ένα προϊόν Α ως προς την τιµή του προϊόντος Β είναι ίση µε 2. Όταν η τιµή του Β είναι 2 ευρώ, η ζήτηση για το προϊόν Α είναι ίση µε 100. Αν η τιµή του Β γίνει 3 ευρώ, ποια θα είναι η ζήτηση για το προϊόν Α; Να δώσετε ένα παράδειγµα τέτοιων προϊόντων.

Η ελαστικότητα ζήτησης της λεµονάδας «Α» είναι ίση µε –2, ενώ η σταυροειδής ελαστικότητα της λεµονάδας «Α» ως προς την τιµή της πορτοκαλάδας «Β» είναι ίση µε 2. Αν η τιµή της πορτοκαλάδας «Β» µειωθεί κατά 10%, κατά ποιο ποσοστό θα πρέπει να µειωθεί η τιµή της λεµονάδας «Α» ώστε να µην αλλάξει η ζήτησή της;

Άσκηση εξάσκησης 3

Άσκηση εξάσκησης 4 Το µηνιαίο εισόδηµα του Ιωσήφ είναι €1000. Ο Ιωσήφ ξοδεύει το 40% του εισοδήµατός του σε τρόφιµα και το υπόλοιπο σε άλλα αγαθά. Η κυβέρνηση πιστεύει ότι οι άνθρωποι δεν πρέπει να ξοδεύουν περισσότερο από το 35% του εισοδήµατός τους σε τρόφιµα. Προκειµένου να µειώσει το ποσοστό του εισοδήµατος που ο Ιωσήφ ξοδεύει σε τρόφιµα, η κυβέρνηση του δίνει €200. Αν η εισοδηµατική ελαστικότητα του Ιωσήφ για τρόφιµα είναι 2, θα πετύχει η κυβέρνηση το σκοπό της; Εξηγείστε την απάντησή σας.

Αν η ζήτηση για ένα αγαθό είναι x=M/p, όπου Μ το εισόδηµα και p η τιµή του αγαθού, να υπολογίσετε την ελαστικότητα ζήτησης και την εισοδηµατική ελαστικότητα.

Ελαστικότητα ζήτησης: παραδείγµατα

Άσκηση εξάσκησης 4: Λύση

Μπορούµε επίσης να δείξουµε

Με το αρχικό εισόδηµα, ο Ιωσήφ ξοδεύει 400€ σε τρόφιµα, και συνεπώς, αν p είναι η τιµή των τροφίµων, η ζήτησή του για τρόφιµα είναι 400/p. Αν µε το νέο εισόδηµα, ο Ιωσήφ ξοδεύει α€ σε τρόφιµα, η ζήτησή του θα είναι α/p. Έχουµε ∆x=(α–400)/p, και (∆x/x)=(α–400)/400. Επίσης (∆M/M)=200/1000. Aφού η εισοδηµατική ελαστικότητα είναι 2, θα ισχύει ότι ((α–400)/400)/(200/1000)=2, και συνεπώς, α=560. ∆ηλαδή, ο Ιωσήφ τώρα ξοδεύει ποσοστό 46,67% του εισοδήµατός του σε τρόφιµα (560/1200), οπότε αυτή η ενέργεια της κυβέρνησης δε θα πετύχει το σκοπό της. 53

οµογένεια

ex , p + ex , p + ex ,m = −1 + 0 + 1 = 0 x

Άθροιση κατά Engel

s x ex ,m + s y e y ,m = α ⋅ 1 + β ⋅ 1 = α + β = 1 Όπου sx και sy είναι τα µερίδια των αγαθών x και y στη δαπάνη του καταναλωτή

Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης

Άσκηση εξάσκησης 5 Αν ο καταναλωτής δαπανά όλο το εισόδηµα, τότε είναι αδύνατο όλα τα αγαθά να είναι πολυτελή. Συµφωνείτε, ή όχι, και γιατί;

Αν η αύξηση της τιµής του αγαθού προκαλεί µικρή µείωση στη ζητούµενη ποσότητα, τότε τα έσοδα του πωλητή αυξάνονται. Άρα µια ανελαστική ως προς την τιµή του αγαθού ζήτηση προκαλεί µια αύξηση στα έσοδα του πωλητή όταν αυξηθεί η τιµή του αγαθού.

Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης

Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης * Τα έσοδα του πωλητή είναι R ( p ) = p × X ( p ).

Αν η αύξηση στην τιµή ενός αγαθού προκαλεί µια µεγάλη µείωση στη ζητούµενη ποσότητα, τα έσοδα του πωλητή µειώνονται. Άρα µια ελαστική ως προς την τιµή του αγαθού ζήτηση προκαλεί µια µείωση στα έσοδα του πωλητή όταν αυξηθεί η τιµή του αγαθού.

Άρα

dR dX* = X* ( p ) + p dp dp  p dX*  = X* (p ) 1 +  *  X (p ) dp 

= X* (p)[1 + ε ]. 57

Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης

Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης dR = X* ( p )[1 + ε ] dp

dR = X* ( p )[1 + ε ] dp

Και αν ε = − 1

τότε

dR =0 dp

Και µια µεταβολή στην τιµή δεν µεταβάλλει τα έσοδα του πωλητή. 59

Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης

Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης dR = X* ( p )[1 + ε ] dp

dR = X* ( p )[1 + ε ] dp

Αλλά αν − 1 < ε ≤ 0 τότε

Και αν ε < − 1

dR >0 dp

τότε

dR <0 dp

Και µια αύξηση της τιµής προκαλεί µείωση των εσόδων του πωλητή.

Και µια αύξηση της τιµής αυξάνει τα έσοδα του πωλητή. 61

Οριακό έσοδο και ελαστικότητα ζήτησης

Έσοδα και ελαστικότητα ζήτησης Σύνοψη: Η ελαστικότητα ως προς την τιµή Αύξηση τιµής, αύξηση εσόδων

−1< ε ≤ 0

Μοναδιαία ελαστικότητα ως προς την τιµή Αύξηση τιµής, αµετάβλητα έσοδα Η ελαστικότητα ως προς την τιµή Αύξηση τιµής, µείωση εσόδων.

ε = −1

Το οριακό έσοδο ενός πωλητή είναι η µεταβολή στα έσοδα από την πώληση µιας επιπλέον µονάδας αγαθού. MR( q) =

dR( q) . dq

ε < −1

Οριακό έσοδο και ελαστικότητα ζήτησης

q dp ( q )   MR ( q) = p ( q ) 1 + . p ( q) dq  

p(q) είναι η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: δηλαδή η τιµή στην οποία ο πωλητής µπορεί να πωλήσει q µονάδες. Εποµένως R ( q) = p( q) × q και dR ( q) dp( q) MR ( q) = = q + p( q) dq dq q dp( q)   = p ( q ) 1 + . p( q) dq  

και

ε=

dq p × dp q

1 άρα MR ( q ) = p( q ) 1 +  . ε  

Οριακό έσοδο και ελαστικότητα ζήτησης

1 MR ( q ) = p ( q ) 1 +  Μας λέει ότι ο ρυθµός ε 

µε τον οποίο αλλάζουν τα έσοδα του πωλητή µε τις µονάδες που πουλά εξαρτάται από την ευαισθησία της ζητούµενης ποσότητας ως προς την τιµή: δηλαδή, από την ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού ως προς την τιµή του.

1 MR (q ) = p (q) 1 +   ε Ανε = −1 τότε MR ( q ) = 0 . Αν − 1 < ε ≤ 0 τότε MR ( q ) < 0 . Αν ε < −1 τότε MR ( q ) > 0 .

Οριακό έσοδο και ελαστικότητα ζήτησης

p a

Π.χ. Γραµµική καµπύλη ζήτησης. p ( q ) = a − bq.

p(q) = a − bq

τότε R ( q ) = p ( q ) q = ( a − bq ) q και

M R ( q ) = a − 2b q .

a/2b

a/b

M R ( q ) = a − 2b q 69

Οριακό έσοδο και ελαστικότητα ζήτησης

p a

M R ( q ) = a − 2b q

p(q) = a − bq €

a/2b

a/b

R(q)

a/2b

Άσκηση εξάσκησης 1 ∆ίνεται ότι η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για ένα προϊόν Α ως προς την τιµή του προϊόντος Β είναι ίση µε 2. Όταν η τιµή του Β είναι 2 ευρώ, η ζήτηση για το προϊόν Α είναι ίση µε 100. Αν η τιµή του Β γίνει 3 ευρώ, ποια θα είναι η ζήτηση για το προϊόν Α; Να δώσετε ένα παράδειγµα τέτοιων προϊόντων. 72

Άσκηση εξάσκησης 2

Άσκηση εξάσκησης 3

Άσκηση εξάσκησης 4

Άσκηση εξάσκησης 4: Λύση

Το µηνιαίο εισόδηµα του Ιωσήφ είναι €1000. Ο Ιωσήφ ξοδεύει το 40% του εισοδήµατός του σε τρόφιµα και το υπόλοιπο σε άλλα αγαθά. Η κυβέρνηση πιστεύει ότι οι άνθρωποι δεν πρέπει να ξοδεύουν περισσότερο από το 35% του εισοδήµατός τους σε τρόφιµα. Προκειµένου να µειώσει το ποσοστό του εισοδήµατος που ο Ιωσήφ ξοδεύει σε τρόφιµα, η κυβέρνηση του δίνει €200. Αν η εισοδηµατική ελαστικότητα του Ιωσήφ για τρόφιµα είναι 2, θα πετύχει η κυβέρνηση το σκοπό της; Εξηγείστε την απάντησή σας.

Άσκηση εξάσκησης 6 Ας υποθέσουµε ότι ο ιδιοκτήτης ενός σουβλατζίδικου χρεώνει €1,20 για ένα σουβλάκι και έχει συνολικά έσοδα €540 την ηµέρα. Αν µειώσει την τιµή σε €1,00 και τα έσοδά του µειωθούν σε €500, αυτό σηµαίνει ότι η ζήτηση για τα σουβλάκια του είναι ανελαστική. Συµφωνείτε ή όχι και γιατί; 77

Τεχνολογίες Τεχνολογία είναι µια διαδικασία µε την οποία εισροές µετατρέπονται σε εκροές. π.χ. εργασία, ένας υπολογιστής, ένας προβολέας, ηλεκτρισµός, κ.α. Συνδυάζονται για την παραγωγή αυτής της διάλεξης.

∆ιάλεξη 10

Τεχνολογία

Τεχνολογίες

Συνδυασµοί εισροών

Είναι σύνηθες διάφορες τεχνολογίες να παραγάγουν το ίδιο προϊόν– η διάλεξη µπορεί να γίνει σε πίνακα µε κιµωλία αντί για υπολογιστή και προβολέα. Ποια τεχνολογία είναι η “καλύτερη”; Πώς συγκρίνουµε τεχνολογίες;

xi συµβολίζει το ποσό που χρησιµοποιείται από το συντελεστή i. Ένας συνδυασµός εισροών είναι ένα άνυσµα του επιπέδου των εισροών : (x1, x2, … , xn). π.χ. (x1, x2, x3) = (6, 0, 3).

Συναρτήσεις παραγωγής

Μια εισροή, ένα προϊόν

y συµβολίζει το επίπεδο του προϊόντος. Η συνάρτηση παραγωγής της τεχνολογίας, δηλώνει το µέγιστο ποσό προϊόντος που µπορεί να παραχθεί από ένα συνδυασµό εισροών.

y = f ( x1 , L , xn )

προϊόν

y = f(x) είναι η συνάρτηση παραγωγής.

y’

y’ = f(x’) είναι το µέγιστο ποσό προϊόντος που µπορεί να αποκτηθεί από τις εισροές x’ µονάδων. x’ εισροή

x 6

Τεχνολογικά σύνολα

Μια εισροή, ένα προϊόν

Ένα σχέδιο παραγωγής είναι ένας συνδυασµός εισροών και ένα επίπεδο προϊόντος: (x1, … , xn, y).

y’

Ένα σχέδιο παραγωγής είναι εφικτό αν

y ≤ f ( x1 ,L , xn )

y”

Αν βάλουµε µαζί όλα τα εφικτά σχέδια παραγωγής, τότε έχουµε το τεχνολογικό σύνολο (ή σύνολο παραγωγής).

y = f(x) είναι η συνάρτηση παραγωγής.

προϊόν

y’ = f(x’) είναι το µέγιστο ποσό προϊόντος που µπορεί να αποκτηθεί από τις εισροές x’ µονάδων. y” = f(x’) είναι ένα επίπεδο προϊόντος που είναι εφικτό από τις εισροές x’ µονάδων.

x’ εισροή

Τεχνολογικά σύνολα

Τεχνολογικά σύνολα Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν

Το τεχνολογικό σύνολο είναι

T = {( x1 , L , x n , y )| y ≤ f ( x1 , L , x n )και

y’

x1 ≥ 0 , K , x n ≥ 0}.

Τεχνολογικό σύνολο

y”

Τεχνολογικά σύνολα Αποτελεσµατικά σχέδια από τεχνική άποψη

y’

Τεχνολογικό y”

Αναποτελεσµατικάσύνολο σχέδια από τεχνική άποψη

x’ εισροή

x 10

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν

x’ εισροή

Με τι µοιάζει η τεχνολογία όταν υπάρχουν πάνω από µια εισροές; Ας πάρουµε δύο εισροές: Τα επίπεδα εισροών είναι x1 και x2. Το επίπεδο προϊόντος είναι y. Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι

y = f (x1 , x2 ) = 2x11/ 3 x21/ 3 .

x 11

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

Π.χ. Το µέγιστο επίπεδο προϊόντος που µπορεί να παραχθεί από το συνδυασµό εισροών (x1, x2) = (1, 8) είναι

Η καµπύλη ίσου προϊόντος του y είναι το σύνολο όλων των συνδυασµών εισροών που µόλις επαρκούν για την παραγωγή µιας δεδοµένης ποσότητας προϊόντος y.

3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 y = 2 x 1/ = 2 × 1 × 2 = 4. 1 x2 = 2 × 1 × 8 Το µέγιστο επίπεδο προϊόντος που µπορεί να παραχθεί από το συνδυασµό εισροών (x1,x2) = (8,8) είναι 3 1/ 3 1/ 3 y = 2x 1/ × 81/ 3 = 2 × 2 × 2 = 8 . 1 x2 = 2 × 8 13

Τεχνολογίες µε δύο µεταβλητές εισροές

Καµπύλη ίσου προϊόντος µε δύο µεταβλητές εισροές

Οι καµπύλες ίσου προϊόντος µπορούν να απεικονιστούν γραφικά µε το να προσθέσουµε έναν άξονα για το επίπεδο προϊόντος και να θέσουµε κάθε καµπύλη ίσου προϊόντος στο ύψος του προϊόντος της καµπύλης.

y≡8

y≡4 x1 15

Καµπύλη ίσου προϊόντος µε δύο x2 µεταβλητές εισροές

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές Το πλήρες σύνολο των καµπυλών ίσου προϊόντος (ΚΙΠ) είναι ο χάρτης καµπυλών ίσου προϊόντος. Ο χάρτης ΚΙΠ είναι το ισοδύναµο της συνάρτησης παραγωγής—το ένα είναι το άλλο. y = f ( x1 , x2 ) = 2 x11 / 3 x 12 / 3 π.χ.

y≡8

y≡6 y≡4 y≡2 x1 17

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές x

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

y y

x1 19

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

y x1

x1 21

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

x1 23

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

x1 25

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

x1 27

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

x1 29

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

x1 31

Τεχνολογίες µε πολλαπλές εισροές

x1 33

Τεχνολογίες Cobb-Douglas

x2 Όλες οι ΚΙΠ είναι υπερβολές, ασύµπτωτες µε τους άξονες

Μια συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι της µορφής y = A x1a1 x a2 2 ×L× xnan .

π.χ. µε

y = x1a1 x a2 2

3 1/ 3 y = x1/ 1 x2

n = 2 , A = 1, a 1 =

1 1 και a 2 = . 3 3 35

Τεχνολογίες Cobb-Douglas

Τεχνολογίες Cobb-Douglas x2

Όλες οι ΚΙΠ είναι υπερβολές, ασύµπτωτες µε τους άξονες

y = x1a1 x a2 2

y" > y'

y = x1a1 x a2 2

x 1a 1 x a2 2 = y" a

x 1a 1 x a2 2 = y" x1a1 x a2 2 = y'

x1 1 x 2 2 = y'

Τεχνολογίες σταθερών αναλογιών

y = min{ x1 , 2x 2 }

Μια συνάρτηση παραγωγής µε σταθερές αναλογίες είναι της µορφής

x1 = 2x2

y = min{ a1 x1 , a 2x 2 , L , an xn }.

π.χ.

y = min{ x1 , 2x 2 }

7 4 2

µε n = 2, a 1 = 1 and a 2 = 2.

min{x1,2x2} = 14 min{x1,2x2} = 8 min{x1,2x2} = 4 x1

Τεχνολογίες µε τέλεια υποκατάστατα

Τεχνολογίες µε τέλεια υποκατάστατα x2

Μια συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια υποκατάστατα είναι της µορφής

x1 + 3x2 = 9

x1 + 3x2 = 18

y = a 1 x 1 + a 2x 2 + L + a n xn .

π.χ. µε

y = x 1 + 3x 2

x1 + 3x2 = 24

8 6 3

y = x 1 + 3x 2 n = 2, a 1 = 1 and a 2 = 3.

Οι ΚΙΠ είναι παράλληλες ευθείες

9 41

24 x1 42

Οριακό (φυσικό) προϊόν

y = f ( x1 , L , xn )

3 2/ 3 π.χ. αν y = f ( x 1 , x 2 ) = x1/ 1 x2

Το οριακό προϊόν µιας εισροής i είναι ο ρυθµός µεταβολής του επιπέδου του προϊόντος, καθώς το επίπεδο του συντελεστή i µεταβάλλεται, διατηρώντας τα επίπεδα όλων των άλλων συντελεστών σταθερά.. δηλαδή, ∂y MP i = ∂ xi

Τότε το οριακό προϊόν του συντελεστή 1 είναι MP1 =

∂ y 1 − 2/ 3 2/ 3 = x1 x 2 ∂ x1 3

και το οριακό προϊόν του συντελεστή 2 είναι ∂ y 2 1/ 3 − 1/ 3 MP2 = = x1 x 2 . ∂ x2 3 43

Οριακό (φυσικό) προϊόν

Το οριακό προϊόν µιας εισροής εξαρτάται από την ποσότητα που χρησιµοποιείται από τις άλλες εισροές, π.χ. αν

Το οριακό προϊόν µιας εισροής i είναι φθίνον αν γίνεται µικρότερο καθώς το επίπεδο της εισροής i αυξάνεται. ∆ηλαδή, αν ∂ MP i ∂  ∂ y  ∂ 2y  = = < 0. ∂ xi ∂ x i  ∂ x i  ∂ x i2

1 MP1 = x 1− 2 / 3x 22 / 3 τότε, 3 1 − 2/ 3 2/ 3 4 − 2/ 3 8 = x1 αν x2 = 8, MP1 = x 1 3 3 Και αν x2 = 27 τότε 1 MP1 = x 1− 2 / 3 27 2 / 3 = 3x 1− 2 / 3 . 3 45

Οριακό (φυσικό) προϊόν Π.χ. αν MP1 =

3 2/ 3 y = x 1/ 1 x2

1 − 2/ 3 2/ 3 x1 x 2 3

και

Οριακό (φυσικό) προϊόν Π.χ. αν

τότε MP2 =

MP1 =

2 1/ 3 − 1/ 3 x1 x 2 3

1 − 2 / 3 2 / 3 και x1 x 2 3

Έτσι

3 2/ 3 y = x 1/ 1 x2

τότε MP2 =

2 1/ 3 − 1/ 3 x1 x 2 3

2 ∂ MP1 = − x 1− 5 / 3x 22 / 3 < 0 9 ∂ x1

Οριακό (φυσικό) προϊόν

Οριακό (φυσικό) προϊόν 3 2/ 3 Π.χ. αν y = x 1/ τότε 1 x2 1 − 2/ 3 2/ 3 2 1/ 3 − 1/ 3 MP1 = x 1 x 2 και MP2 = x 1 x 2 3 3 Έτσι ∂ MP1 2 = − x 1− 5 / 3x 22 / 3 < 0 9 ∂ x1 και 2 ∂ MP2 3 − 4/3 = − x 1/ < 0. 1 x2 9 ∂ x2

3 2/ 3 Π.χ. αν y = x 1/ τότε 1 x2 1 − 2/ 3 2/ 3 2 3 − 1/ 3 MP1 = x 1 x 2 και MP2 = x 1/ 1 x2 3 3 2 ∂ MP1 Έτσι = − x 1− 5 / 3x 22 / 3 < 0 9 ∂ x1

και

2 ∂ MP2 3 −4/ 3 = − x 1/ < 0. 1 x2 9 ∂ x2

Και τα δύο οριακά προϊόντα είναι φθίνοντα 49

Οριακό (φυσικό) προϊόν

Λόγω της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, ο οικονοµολόγος του 19ου αιώνα Thomas Malthus ανησυχούσε για την επίπτωση που θα είχε ο αυξανόµενος πληθυσµός στην παραγωγικότητα της εργασίας Όµως, οι µεταβολές στην οριακή παραγωγικότητα της εργασίας διαχρονικά εξαρτώνται και από τις µεταβολές άλλων συντελεστών, όπως π.χ. Το κεφάλαιο

Γενικά, υποθέτουµε φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα και αν η συνάρτηση παραγωγής είναι q = f(k,l) ∂MPk ∂ 2f = 2 = fkk = f11 < 0 ∂k ∂k ∂MPl ∂ 2f = 2 = fll = f22 < 0 ∂l ∂l 51

Συνάρτηση παραγωγής µε δύο συντελεστές

Μέσο φυσικό προϊόν

Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι q = f(k,l) = 600k2l2 - k3l3 Για να βρούµε το MPl και το APl, πρέπει να υποθέσουµε µια τιµή για το k Έστω ότι k = 10 Η συνάρτηση παραγωγής γίνεται q = 60.000l2 – 1.000l3

Η παραγωγικότητα της εργασίας µετράται συνήθως µε τη µέση παραγωγικότητα APl =

Γι’ αυτό πρέπει να εξετάζουµε το flk το οποίο είναι συνήθως θετικό.

προϊόν q f (k , l ) = = εργασία l l

Το APl εξαρτάται από την απασχολούµενη ποσότητα κεφαλαίου 53

Συνάρτηση παραγωγής µε δύο συντελεστές

Η οριακή παραγωγικότητα είναι MPl = ∂q/∂ ∂l = 120,000l - 3000l2 η οποία φθίνει καθώς το l αυξάνει Αυτό συνεπάγεται ότι το q έχει µια µέγιστη τιµή: 120,000l - 3000l2 = 0 40l = l2 l = 40 Η εισροή εργασίας πάνω από l = 40 µειώνει το προϊόν

Για να βρούµε τη µέση παραγωγικότητα, κρατούµε το k=10 και επιλύοντας βρίσκουµε APl = q/l = 60,000l - 1000l2 Το APl είναι µέγιστο όταν ∂APl/∂ ∂l = 60,000 - 2000l = 0 l = 30 55

Συνάρτηση παραγωγής µε δύο συντελεστές

Αποδόσεις κλίµακας Το οριακό προϊόν περιγράφει τη µεταβολή στο επίπεδο προϊόντος καθώς το επίπεδο µιας εισροής µεταβάλλεται. Οι αποδόσεις κλίµακας περιγράφουν πώς µεταβάλλεται το επίπεδο του προϊόντος καθώς το επίπεδο όλων των εισροών µεταβάλλεται µε την ίδια αναλογία (π.χ. Όλες οι εισροές διπλασιάζονται , ή διαιρούνται στο µισό). 58

Πράγµατι, όταν l = 30, τότε το APl και το MPl είναι ίσα µε 900,000 Άρα, όταν το APl είναι στο µέγιστο του, τότε τα APl και MPl είναι ίσα 57

Αποδόσεις κλίµακας

Αποδόσεις κλίµακας προϊόν

Αν, για κάθε δέσµη εισροών (x1,…,xn),

f (kx 1 , kx 2 , L , kx n ) = kf ( x 1 , x 2 , L , x n )

Μια εισροή, ένα προϊόν y = f(x)

2y’

Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. π.χ. (k = 2) ο διπλασιασµός των ποσοτήτων όλων των εισροών διπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος.

Σταθερές αποδόσεις κλίµακας

y’

x’ εισροή

2x’

x 60

Αποδόσεις κλίµακας

Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν

Αν, για κάθε δέσµη εισροών (x1,…,xn),

f (kx 1 , kx 2 , L , kx n ) < kf ( x 1 , x 2 , L , x n )

2f(x’)

Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας. π.χ. (k = 2) ο διπλασιασµός των ποσοτήτων όλων των εισροών υποδιπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος.

y = f(x)

f(2x’)

Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας

f(x’)

x’ 61

Αποδόσεις κλίµακας

2x’ εισροή

x 62

Αποδόσεις κλίµακας προϊόν

Αν, για κάθε δέσµη εισροών (x1,…,xn),

Μια εισροή, ένα προϊόν Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας

f (kx 1 , kx 2 , L , kx n ) > kf ( x 1 , x 2 , L , x n ) Τότε η τεχνολογία που περιγράφεται από τη συνάρτηση παραγωγής f παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. π.χ. (k = 2) ο διπλασιασµός των ποσοτήτων όλων των εισροών υπερδιπλασιάζει το επίπεδο του προϊόντος.

y = f(x)

f(2x’) 2f(x’) f(x’) x’ εισροή

Αποδόσεις κλίµακας

2x’

x 64

Αποδόσεις κλίµακας

Μια εισροή, ένα προϊόν προϊόν

Μια τεχνολογία µπορεί «τοπικά» να παρουσιάζει διαφορετικές αποδόσεις κλίµακας.

Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας

y = f(x)

Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας x 65

εισροή

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια υποκατάστατα είναι

a1 (kx1 ) + a 2 (kx 2 ) +L+ a n (kx n ) = k (a1x1 + a 2 x 2 +L+ a n x n ) = ky

y = a 1 x 1 + a 2x 2 + L + a n xn . Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται

Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια υποκατάστατα παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας.

a1 (kx1 ) + a 2 (kx 2 ) +L+ a n (kx n ) 67

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια συµπληρωµατικές εισροές είναι

Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια συµπληρωµατικές εισροές είναι y = min{ a 1 x 1 , a 2 x 2 , L , a n x n }.

y = min{ a 1 x 1 , a 2 x 2 , L , a n x n }. Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται

Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται

min{a1(kx1 ), a 2 (kx2 ),L, an (kxn )}

min{ a 1 ( kx 1 ), a 2 ( kx 2 ), L , a n ( kx n )} = k (min{ a 1x 1 , a 2 x 2 , L , a n x n })

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι

Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια συµπληρωµατικές εισροές είναι

y = x 1a 1 x a2 2 L x na n .

y = min{ a 1 x 1 , a 2 x 2 , L , a n x n }. Αύξησε όλες τις εισροές αναλογικά κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται

Αύξησε όλα τα επίπεδα εισροών κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται

min{ a 1 ( kx 1 ), a 2 ( kx 2 ),L , a n ( kx n )} = k (min{ a 1 x 1 , a 2 x 2 ,L , a n x n }) = ky

( kx 1 ) a 1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n

Η συνάρτηση παραγωγής µε τέλεια συµπληρωµατικά παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. 71

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας

Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι

y = x 1a 1 x a2 2 L x na n .

Αύξησε όλα τα επίπεδα εισροών κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται

( kx 1 ) a 1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n

( kx 1 ) a 1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n =k

a1 a 2

an a1 a 2

Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι

= k a 1k a 2 L k a n x a 1 x a 2 L x a n

= k a 1 + a 2 + L + a n x 1a 1 x a2 2 L x na n 73

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι y = x 1a 1 x a2 2 L x na n .

Αύξησε όλα τα επίπεδα εισροών κατά k. Το επίπεδο του προϊόντος γίνεται ( kx 1 ) a 1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n

Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι y = x 1a 1 x a2 2 L x na n . ( kx 1 ) a 1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n = k a 1 + L + a n y .

Οι αποδόσεις κλίµακας τεχνολογίας Cobb-Douglas είναι σταθερές αν a1+ … + an = 1

= k a 1k a 2 L k a n x a 1 x a 2 L x a n = k a 1 + a 2 + L + a n x 1a 1 x a2 2 L x na n = k a1 +L+ an y.

Παραδείγµατα µε αποδόσεις κλίµακας

Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι y = x 1a 1 x a2 2 L x na n .

Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas είναι y = x 1a 1 x a2 2 L x na n . ( kx 1 ) a 1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n = k a 1 + L + a n y .

( kx 1 ) a 1 ( kx 2 ) a 2 L ( kx n ) a n = k a 1 + L + a n y .

Οι αποδόσεις κλίµακας τεχνολογίας Cobb-Douglas είναι σταθερές αν a1+ … + an = 1 αύξουσες αν a1+ … + an > 1 φθίνουσες αν a1+ … + an < 1

Οι αποδόσεις κλίµακας τεχνολογίας Cobb-Douglas είναι σταθερές αν a1+ … + an = 1 αύξουσες αν a1+ … + an > 1 77

Αποδόσεις κλίµακας

Αποδόσεις κλίµακας Γενικά, αν η συνάρτηση παραγωγής είναι q = f(k,l) και όλες οι εισροές πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο θετικό σταθερό αριθµό (t >1), τότε Επίδραση στο προϊόν f(tk,tl) = tf(k,l)

Αποδόσεις κλίµακας Σταθερές

f(tk,tl) < tf(k,l)

Φθίνουσες

f(tk,tl) > tf(k,l)

Αύξουσες

Ε: Μπορεί µια τεχνολογία να παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας ακόµη κι αν όλα τα οριακά της προϊόντα είναι φθίνοντα;

Αποδόσεις κλίµακας

Ε: Μπορεί µια τεχνολογία να παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας ακόµη κι αν όλα τα οριακά της προϊόντα είναι φθίνοντα; A:Ναι. π.χ. y = x 12 / 3 x 22 / 3 .

y = x 12 / 3x 22 / 3 = x 1a 1 x a2 2 a1 + a 2 =

4 >1 3

Άρα αυτή η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. 81

Αποδόσεις κλίµακας

Αποδόσεις κλίµακας y = x 12 / 3 x 22 / 3 = x 1a 1 x a2 2

y = x 12 / 3x 22 / 3 = x 1a 1 x a2 2 a1 + a 2 =

a1 + a 2 = Αλλά

4 >1 3

MP1 =

Άρα αυτή η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας.

Αλλά

M P1 =

αυξάνει και

2 − 1/ 3 2 / 3 Φθίνει καθώς το x1 x1 x 2 3

MP2 =

αυξάνει

αυξάνει. 83

Άρα αυτή η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας.

4 >1 3

2 − 1 / 3 2 / 3 φθίνει καθώς το x 1 x1 x2 3

2 2 / 3 − 1/ 3 x1 x 2 3

φθίνει καθώς το x2

Αποδόσεις κλίµακας

Εποµένως, µια τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας ακόµη και αν όλα τα οριακά της προϊόντα φθίνουν. Γιατί;

Το οριακό προϊόν είναι ο ρυθµός µεταβολής του προϊόντος καθώς το επίπεδο µιας εισροής αυξάνει, διατηρώντας όλες τις άλλες εισροές σταθερές. Το οριακό προϊόν φθίνει επειδή τα επίπεδα των άλλων συντελεστών παραµένουν σταθερά. Εποµένως, οι µονάδες της εισροής που αυξάνει έχουν όλο και λιγότερες µονάδες από τις άλλες εισροές για να συνεργαστούν.

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης

Αποδόσεις κλίµακας Όταν τα επίπεδα όλων των εισροών αυξάνονται αναλογικά, δεν είναι απαραίτητο να µειώνονται τα οριακά προϊόντα, αφού η κάθε εισροή θα έχει πάντα την ίδια ποσότητα από τις άλλες εισροές µε τις οποίες συνεργάζεται. Οι παραγωγικότητες των συντελεστών δεν µειώνονται απαραίτητα και γι αυτό οι αποδόσεις κλίµακας µπορεί να είναι σταθερές ή αύξουσες.

Με ποιο ρυθµό µπορεί µια επιχείρηση να υποκαθιστά ένα συντελεστή µε έναν άλλο, χωρίς να αλλάζει το επίπεδο παραγωγής της;

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης

x'2

Κλίση είναι ο ρυθµός στον οποίο πρέπει να υποκαταστήσουµε µονάδες του συντελεστή 2 µε µονάδες του συντελεστή 1 για να µείνει αµετάβλητο το επίπεδο παραγωγής. Η κλίση µιας καµπύλης ίσου προϊόντος λέγεται οριακός λόγος

τεχνικής υποκατάστασης (MRTS). y≡ ≡100

y≡ ≡100 x'1

x'1

x1 89

x1 90

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης Πώς υπολογίζεται ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης; Η συνάρτηση παραγωγής είναι y = f ( x1 , x 2 ). Μια µικρή µεταβολή στις εισροές (dx1, dx2) προκαλεί µια µεταβολή στο επίπεδο του προϊόντος

Πώς υπολογίζεται ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης;

dy =

∂y ∂y dx1 + dx 2 . ∂ x1 ∂ x2

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης dy =

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης

∂y ∂y dx1 + dx . ∂ x1 ∂ x2 2

Αλλά µε dy = 0 αφού δεν αλλάζει το επίπεδο παραγωγής, οι µεταβολές dx1 και dx2 πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση

∂y ∂y dx1 + dx 2 . ∂ x1 ∂ x2

∂y ∂y dx 1 + dx ∂ x1 ∂ x2 2

Και µε αναδιάταξη

∂y ∂y dx 2 = − dx 1 ∂ x2 ∂ x1 ή

dx 2 ∂ y / ∂ x1 =− . dx 1 ∂ y / ∂ x2

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης: π.χ. Cobb-Douglas

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης

y = f ( x1 , x 2 ) = x1a xb2 ∂y ∂y a b−1 a−1 b άρα ∂ x = ax 1 x 2 και ∂ x = bx 1 x 2 . 2 1

dx 2 ∂ y / ∂ x1 =− dx 1 ∂ y / ∂ x2 Είναι ο λόγος στον οποίο πρέπει να θυσιάσουµε µονάδες του συντελεστή 2 καθώς αυξάνει η χρήση του συντελεστή 1 έτσι ώστε να µείνει αµετάβλητο το επίπεδο παραγωγής. Είναι η κλίση της καµπύλης ίσου προϊόντος

Ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (MRTS) είναι

dx 2 ax a − 1x b2 ax 2 ∂ y / ∂ x1 =− =− 1 =− . a b − 1 dx 1 bx 1 ∂ y / ∂ x2 bx 1 x 2 95

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης: π.χ. Cobb-

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης: π.χ. Cobb-Douglas x 2

1 2 and b = 3 3 ax 2 (1 / 3)x 2 x TRS = − =− 2 =− bx 1 ( 2 / 3)x1 2x 1

3 2/ 3 y = x 1/ 1 x2 ;

Douglas x2

3 2/ 3 y = x 1/ 1 x2 ;

ax 2 (1 / 3)x 2 x =− =− 2 bx 1 ( 2 / 3)x1 2x 1 x 8 TRS = − 2 = − = −1 2x 1 2×4

1 2 and b = 3 3 ax 2 (1 / 3)x 2 x2 TRS = − =− =− bx 1 ( 2 / 3)x1 2x 1

3 2/ 3 y = x 1/ 1 x2 ;

TRS = −

Μια οµαλή τεχνολογία είναι µονοτονική και κυρτή.

100

Οµαλές τεχνολογίες κυρτότητα

Μονοτονικότητα: Όσο πιο πολύ από µια εισροή τόσο µεγαλύτερο το προϊόν.

Κυρτότητα: Αν ο συνδυασµός εισροών x’ και x” παράγουν y µονάδες προϊόντος, τότε το µείγµα εισροών tx’ + (1-t)x” παράγουν τουλάχιστο y µονάδες προϊόντος, για κάθε 0 < t < 1.

y µονοτονική µη µονοτονική x

Οµαλές τεχνολογίες

x2 6 1 = − =− 2x 1 2 × 12 4

Οµαλές τεχνολογίεςµονοτονικότητα

Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης: π.χ. Cobb-Douglas

1 2 and b = 3 3

TRS = −

x 101

102

Οµαλές τεχνολογίες κυρτότητα

x2 x'2

x'2

x"2

y≡ ≡100 x'1

x"1

(tx'1 + (1 − t )x"1 , tx'2 + (1 − t )x"2 ) y≡ ≡100 x'1

x"1

103

104

Οµαλές τεχνολογίες κυρτότητα

Οµαλές τεχνολογίες κυρτότητα x2

x2 x'2

(tx'1 + (1 − t )x"1 , tx'2 + (1 − t )x"2 ) y≡ ≡120 y≡ ≡100

x"2 x'1

x"1

Η κυρτότητα συνεπάγεται ότι ο MRTS αυξάνει (γίνεται λιγότερο αρνητικός) καθώς το x1 αυξάνει.

x'2

x"2 x'1

x"1

105

Οµαλές τεχνολογίες κυρτότητα

x1 106

Η γραµµική συνάρτηση παραγωγής

Περισσότερο προϊόν

y≡ ≡200 ≡100 y≡ ≡50 y≡ x1

Έστω η συνάρτηση παραγωγής q = f(k,l) = ak + bl Αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l) Όλες οι καµπύλες ίσου προϊόντος είναι ευθείες γραµµές. Ο RTS είναι σταθερός

107

108

Η γραµµική συνάρτηση παραγωγής

Σταθερές αναλογίες

Κεφάλαιο και εργασία είναι τέλεια υποκατάστατα k ανά περίοδο

Ο RTS είναι σταθερός καθώς το k/l µεταβάλλεται κλίση = -b/a

Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι q = min (ak, bl) a,b > 0 Το κεφάλαιο και η εργασία πρέπει να χρησιµοποιούνται πάντα σε σταθερή αναλογία Η επιχείρηση λειτουργεί πάντα κατά µήκος µιας ακτίνας όπου το k/l είναι σταθερό

l ανά περίοδο

109

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος

Σταθερές αναλογίες Καµιά υποκατάσταση µεταξύ κεφαλαίου και εργασίας δεν είναι δυνατή k/l είναι σταθερό στο b/a

k ανά περίοδο

q3/a q2 q1

q3/b

l ανά περίοδο

110

111

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος

Στη µακροχρόνια περίοδο η επιχείρηση δεν έχει περιορισµούς στην επιλογή της για τις ποσότητες που θα χρησιµοποιήσει από όλες τις εισροές. Υπάρχουν πολλές βραχυχρόνιες περίοδοι. Στη βραχυχρόνια περίοδο η επιχείρηση έχει περιορισµούς στις επιλογές της για το επίπεδο εισροής που θα χρησιµοποιήσει τουλάχιστο για µια εισροή. 112

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος

Παραδείγµατα περιορισµών που έχει µια επιχείρηση βραχυχρόνια :

Ένας χρήσιµος τρόπος για να σκεφτούµε τη µακροχρόνια περίοδο είναι να θεωρήσουµε ότι η επιχείρηση µπορεί να επιλέξει, όπως της αρέσει, σε ποια βραχυχρόνια κατάσταση θα ήθελε να είναι.

∆εν µπορεί να εγκαταστήσει ή να αποµακρύνει εξοπλισµό για µικρό χρονικό διάστηµα. Υποχρεώνεται από το νόµο να µην χρησιµοποιεί κάποιες εισροές πάνω από ένα ποσό Σε µερικές περιπτώσεις πρέπει να χρησιµοποιεί, µέχρι ένα ποσοστό, εγχώριες εισροές. 113

114

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος

Τι συνεπάγονται οι βραχυχρόνιοι περιορισµοί στην τεχνολογία µιας επιχείρησης; Ας υποθέσουµε ότι ένας βραχυχρόνιος περιορισµός είναι να είναι σταθερό το επίπεδο χρήσης της εισροής 2. Η εισροή 2 είναι εποµένως µια σταθερή εισροή βραχυχρόνια. Η εισροή 1 παραµένει µεταβλητή.

x1 115

Τέσσερις βραχυχρόνιες συναρτήσεις παραγωγής 116

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια περίοδος

y = x11 / 3 101 / 3

3 1/ 3 είναι η µακροχρόνια συνάρτηση y = x1/ 1 x2

y = x11 / 3 51 / 3

παραγωγής (x1 και x2 είναι µεταβλητά).

Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής όταν x2 ≡ 1 είναι

y = x11 / 3 21 / 3

y = x11 / 3 11 / 3

y = x11 / 3 11 / 3 = x11 / 3 .

Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής όταν x2 ≡ 10 είναι 1/ 3 1/ 3

y = x1 10 .

Τέσσερις βραχυχρόνιες συναρτήσεις παραγωγής. 117

Άσκηση εξάσκησης 1

118

Άσκηση εξάσκησης 2

«Αν µια επιχείρηση που χρησιµοποιεί 2 παραγωγικούς συντελεστές παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε τουλάχιστον ο ένας από τους δύο συντελεστές θα παραβιάζει το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας». Συµφωνείτε ή όχι µε την πρόταση αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 119

«Αν µια συνάρτηση παραγωγής ικανοποιεί το νόµο της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, τότε αυτή η συνάρτηση θα πρέπει να παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας». Συµφωνείτε µε αυτόν τον ισχυρισµό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 120

Άσκηση εξάσκησης 3

Άσκηση εξάσκησης 4

Για µια επιχείρηση που χρησιµοποιεί εργασία και κεφάλαιο, το οριακό προϊόν της εργασίας είναι 4 και το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι 5. Αν η επιχείρηση αυτή χρησιµοποιήσει µια µονάδα εργασίας ακόµα, αλλά δε θέλει να αλλάξει την ποσότητα του προϊόντος που παράγει, πόσο πρέπει να αλλάξει την ποσότητα κεφαλαίου που χρησιµοποιεί; 121

Άσκηση εξάσκησης 5 Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(x, y) = 20x3/5 y2/5 . Ποια είναι η κλίση της καµπύλης ίσου προϊόντος στο σηµείο (x, y) = (80, 10);

123

Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(x,y)=(xa+ya)s/a, όπου a=–1 και s µια θετική σταθερά. Τι αποδόσεις κλίµακας έχει η συνάρτηση αυτή;

122

Οικονοµικό κέρδος Μια επιχείρηση χρησιµοποιεί εισροές j = 1…,m για να παραγάγει n προϊόντα i = 1,…n. Τα επίπεδα του προϊόντος είναι y1,…,yn. Τα επίπεδα των εισροών είναι x1,…,xm. Οι τιµές των προϊόντων είναι p1,…,pn. Οι τιµές των εισροών είναι w1,…,wm.

∆ιάλεξη 11 Μεγιστοποίηση κέρδους

Η ανταγωνιστική επιχείρηση

Οικονοµικό κέρδος

Η ανταγωνιστική επιχείρηση θεωρεί τις τιµές όλων των προϊόντων p1,…,pn και όλων των εισροών w1,…,wm ως δεδοµένες.

Το οικονοµικό κέρδος που δηµιουργείται από ένα σχέδιο παραγωγής (x1,…,xm,y1,…,yn) είναι

Π = p1y1 +L+ pnyn − w 1x1 −L w mxm .

Οικονοµικό κέρδος

Τα επίπεδα προϊόντων και εισροών είναι ροές. π.χ. x1 µπορεί να είναι ο αριθµός των µονάδων εργασίας που χρησιµοποιούνται ανά ώρα. και y3 µπορεί να είναι ο αριθµός των αυτοκινήτων που παράγονται ανά ώρα. Κατά συνέπεια, και το κέρδος είναι επίσης ροή. Ο αριθµός ευρώ σε κέρδη που κερδίζεται ανά ώρα.

Πώς αποτιµάται µια επιχείρηση; Έστω ότι η ροή περιοδικών οικονοµικών κερδών είναι P0, P1, P2, … και r είναι το επιτόκιο. Η παρούσα αξία της ροής οικονοµικών κερδών της επιχείρησης είναι PV = Π 0 + 5

Π1 Π2 + +L 1 + r (1 + r ) 2 6

Οικονοµικό κέρδος

Μια ανταγωνιστική επιχείρηση επιδιώκει να µεγιστοποιήσει την παρούσα αξία της. Πώς;

Υποθέστε ότι η επιχείρηση είναι σε ~ . βραχυχρόνια κατάσταση και x 2 ≡ x 2 Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής της είναι

~ ). y = f ( x1 , x 2

Οικονοµικό κέρδος

Βραχυχρόνιες γραµµές ίσου κέρδους

Υποθέστε ότι η επιχείρηση είναι σε ~ . βραχυχρόνια κατάσταση και x 2 ≡ x 2 Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής της είναι ~

Μια γραµµή ίσου κέρδους €P περιέχει όλα τα σχέδια παραγωγής που δίνουν ένα επίπεδο κέρδους €P . Μια γραµµή ίσου κέρδους €P έχει εξίσωση

y = f ( x1 , x 2 ).

Τα σταθερά κόστη της επιχείρησης είναι ~ FC = w 2 x 2 Και η συνάρτηση κέρδους είναι ~ . Π = py − w 1x 1 − w 2 x 2

~ . Π ≡ py − w 1x1 − w 2x 2

Βραχυχρόνιες γραµµές ίσου κέρδους Μια γραµµή ίσου κέρδους €P περιέχει όλα τα σχέδια παραγωγής που δίνουν ένα επίπεδο κέρδους €P . Μια γραµµή ίσου κέρδους €P έχει εξίσωση

~ . Π ≡ py − w 1x1 − w 2x 2

Βραχυχρόνιες γραµµές ίσου κέρδους y= κλίση

~ w1 Π + w 2x 2 x1 + p p +

w1 p

Και τέµνει τον κάθετο άξονα στο

~ δηλαδή. y = w 1 x1 + Π + w 2x 2 . p p

~ Π + w 2x 2. p 11

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Βραχυχρόνιες γραµµές ίσου κέρδους y

ξον Αύ δος κέρ

Το πρόβληµα της επιχείρησης είναι να εντοπίσει το σχέδιο παραγωγής που επιτυγχάνει την ανώτατη δυνατή γραµµή ίσου κέρδους, µε δεδοµένο τον περιορισµό της στην επιλογή των σχεδίων παραγωγής. Ε: Ποιος είναι αυτός ο περιορισµός;

Π ≡ Π ′′′ Π ≡ Π ′′ Π ≡ Π′

κλ ί σεις = +

w1 p

x1 13

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους y

Το πρόβληµα της επιχείρησης είναι να εντοπίσει το σχέδιο παραγωγής που επιτυγχάνει την ανώτατη δυνατή γραµµή ίσου κέρδους, µε δεδοµένους τους περιορισµούς της στην επιλογή των σχεδίων παραγωγής. Ε: Ποιος είναι αυτός ο περιορισµός; A: Η συνάρτηση παραγωγής.

Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής και ~ . το τεχνολογικό σύνολο για x ≡ x

~ ) y = f ( x1 , x 2 Τεχνικά αναποτελεσµατικά σχέδια x1 15

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους y

Π ≡ Π ′′′

ξον Αύ δος κέρ

Π ≡ Π ′′ Π ≡ Π′ ~ ) y = f ( x1 , x 2

κλίσεις = +

Π ≡ Π ′′′ Π ≡ Π ′′

ξον Αύ δος κέρ

Π ≡ Π′ ~ ) y = f ( x1 , x 2

w1 p

κλίσεις = + x1 17

x*1

w1 p

x1 18

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους Π ≡ Π ′′′ Π ≡ Π ′′

Π ≡ Π′

~ , το Με δεδοµένα p, w1 και x 2 ≡ x 2 σχέδιο βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους είναι ~ , y* ). ( x*1 , x 2

κλίσεις = +

w κλ ί σεις = + 1 p

x*1

Π ≡ Π ′′

x*1

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

σχέδιο βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους είναι Π ≡ Π ′′ ~ , y* ). ( x*1 , x 2 Π ′′ Μέγιστο κέρδος

κλίσεις = +

x*1

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

~ , το Με δεδοµένα p, w1 και x 2 ≡ x 2 y

w1 p

Στο βραχυχρόνιο σχέδιο µεγιστοποίησης κέρδους, οι κλίσεις της βραχυχρόνιας συνάρτησης παραγωγής και ανώτατης γραµµής Π ≡ Π ′′ ίσου κέρδους είναι ίσες

κλίσεις = +

x*1

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους Στο βραχυχρόνιο σχέδιο µεγιστοποίησης κέρδους, οι κλίσεις της βραχυχρόνιας συνάρτησης παραγωγής και ανώτατης γραµµής Π ≡ Π ′′ ίσου κέρδους είναι ίσες

w1 p * ~ στο (x1 , x2 , y* ) MP1 =

x*1

κλίσεις = +

w1 p

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους w1 ⇔ p × MP1 = w 1 p είναι το έσοδο οριακού προϊόντος της p × MP1 εισροής 1, ο ρυθµός µε τον οποίο το έσοδο αυξάνει µε τη χρήση της εισροής 1. Αν p × MP1 > w 1 τότε το κέρδος αυξάνει µε το x1. Αν p × MP1 < w 1 τότε το κέρδος µειώνεται µε το x1. MP1 =

x1 23

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους: παράδειγµα µε Cobb-Douglas Έστω ότι η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής είναι

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους: παράδειγµα µε Cobb-Douglas Λύνοντας την

3 ~ 1/ 3 y = x1/ 1 x2 . Το οριακό προϊόν της µεταβλητής εισροής 1 είναι

p * − 2 / 3 ~ 1/ 3 ( x1 ) x 2 = w 1 ως προς x1 έχουµε 3

( x*1 ) − 2 / 3 =

∂ y 1 − 2 / 3 ~ 1/ 3 MP1 = x2 . = x ∂ x1 3 1

3w 1 . ~ 1/ 3 px 2

Η συνθήκη για µεγιστοποίηση του κέρδους είναι

MRP1 = p × MP1 =

p * − 2 / 3 ~ 1/ 3 ( x1 ) x2 = w1. 3 25

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους: παράδειγµα µε Cobb-Douglas Λύνοντας την

p * − 2 / 3 ~ 1/ 3 ( x1 ) x 2 = w 1 ως προς x1 έχουµε 3 3w 1 ( x*1 ) − 2 / 3 = . ~ 1/ 3 px 2

δηλαδή,

~ 1/ 3 px 2 ( x*1 ) 2 / 3 = 3w 1

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους: παράδειγµα µε Cobb-Douglas p * − 2 / 3 ~ 1/ 3 ( x1 ) x 2 = w 1 για το x1 έχουµε 3 3w 1 ( x*1 ) − 2 / 3 = . ~ 1/ 3 px 2 ~ 1/ 3 px 2 ( x*1 ) 2 / 3 = δηλαδή, 3w 1

Λύνοντας την

~ 1/ 3 3 / 2  p  3 / 2 *  px 2  ~ 1/ 2 . x x = = άρα 1   2    3 w 3 w  1  1 27

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους: παράδειγµα µε Cobb-Douglas  p  x*1 =    3w 1 

3/ 2

~ 1/ 2 Είναι η βραχυχρόνια x 2 ζήτησης της επιχείρησης

για την εισροή 1 όταν το επίπεδο της ~ µονάδες εισροής 2 είναι σταθερό στις x 2

Βραχυχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους: παράδειγµα µε Cobb-Douglas  p  x*1 =    3w 1 

3/ 2

~ 1/ 2 Είναι η βραχυχρόνια x 2 ζήτησης της επιχείρησης

για την εισροή 1 όταν το επίπεδο της ~ µονάδες εισροής 2 είναι σταθερό στις x 2 Το επίπεδο βραχυχρόνιου προϊόντος είναι εποµένως

~ 1/ 3 =  p  y* = ( x*1 )1/ 3 x   2  3w 1  29

1/ 2

~ 1/ 2 . x 2 30

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους Η εξίσωση βραχυχρόνιας γραµµής ίσου κέρδους είναι ~

Τι θα συµβεί στο σχέδιο βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης του κέρδους όταν η τιµή του προϊόντος p µεταβληθεί;

w1 Π + w 2x 2 x1 + p p

Και εποµένως µια αύξηση στην p προκαλεί -- µια µείωση στην κλίση και -- µια µείωση στο σηµείο τοµής στον κάθετο άξονα 31

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

Π ≡ Π ′′′ Π ≡ Π ′′

Π ≡ Π′

~ ) y = f ( x1 , x 2

~ ) y = f ( x1 , x 2 y*

κλίσεις = +

w1 p

x*1

κλίσεις = +

x*1

w1 p x1

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

~ ) y = f ( x1 , x 2

κλίσεις = + x*1

w1 p x1 35

Μια αύξηση στο p, την τιµή του προϊόντος, προκαλεί Αύξηση στο επίπεδο του προϊόντος της επιχείρησης (η κλίση της καµπύλης προσφοράς είναι θετική), και Αύξηση στο επίπεδο της µεταβλητής εισροής της επιχείρησης (η καµπύλη ζήτησης της επιχείρησης για τη µεταβλητή εισροή µετατοπίζεται προς τα έξω). 36

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

Παράδειγµα µε Cobb-Douglas : Όταν

3 ~ 1/ 3 y = x 1/ τότε η βραχυχρόνια ζήτηση 1 x2

για τη µεταβλητή εισροή 1 είναι

 p  x *1 =    3w 1 

3/ 2

 p  ~ 1/ 2 x *1 =  x  2  3w 1  και η βραχυχρόνια προσφορά είναι

~ 1/ 2 x 2

και η βραχυχρόνια προσφορά είναι

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

 p  y* =    3w 1 

1/ 2

~ 1/ 2 . x 2

 p  y* =    3w 1 

1/ 2

~ 1/ 2 . x 2

Το x*1 αυξάνει καθώς η p αυξάνει. Το y *αυξάνει καθώς η p αυξάνει. 37

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους Η εξίσωση της βραχυχρόνιας γραµµής ίσου κέρδους

Τι θα συµβεί στο σχέδιο βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους όταν η τιµή της µεταβλητής εισροής w1 µεταβάλλεται;

~ w1 Π + w 2x 2 x1 + p p

Και µια αύξηση στο w1 προκαλεί -- αύξηση στην κλίση, και -- καµιά µεταβολή στην τεταγµένη (σηµείο τοµής στον κάθετο άξονα) 39

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

Π ≡ Π ′′′ Π ≡ Π ′′ Π ≡ Π′

~ ) y = f ( x1 , x 2 y*

w κλίσεις = + 1 p

x*1

κλίσεις = +

x1 41

x*1

w1 p

x1 42

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους Π ≡ Π ′′′ Π ≡ Π ′′

Μια αύξηση στο w1, η τιµή της µεταβλητής εισροής της επιχείρησης, προκαλεί

Π ≡ Π′

~ ) y = f ( x1 , x 2 κλίσεις = +

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

w1 p

x*1

Μείωση του επιπέδου προϊόντος της επιχείρησης (η καµπύλη προσφοράς της επιχείρησης µετατοπίζεται προς τα µέσα), και Μείωση στο επίπεδο της µεταβλητής εισροής της επιχείρησης (η καµπύλη ζήτησης της επιχείρησης για τη µεταβλητή εισροή έχει αρνητική κλίση).

x1 43

Συγκριτική στατική της βραχυχρόνιας µεγιστοποίησης κέρδους

Παράδειγµα µε Cobb-Douglas : Όταν 3 ~ 1/ 3 τότε η βραχυχρόνια ζήτηση για τη y = x1/ 1 x2 µεταβλητή εισροή 1 είναι

 p  x *1 =    3w 1 

3/ 2

~ 1/ 2 x 2

 p  Και η βραχυχρόνια προσφορά y* =    3w 1 

1/ 2

~ 1/ 2 . x 2

Παράδειγµα µε Cobb-Douglas : Όταν 3 ~ 1/ 3 y = x1/ 1 x 2 τότε η βραχυχρόνια ζήτηση για τη µεταβλητή εισροή 1 είναι

 p  x*1 =    3w 1 

3/ 2

 p  y* =    3w 1 

1/ 2

~ 1/ 2 x 2

Και η βραχυχρόνια προσφορά

~ 1/ 2 . x 2

x*1 µειώνεται καθώς το w1 αυξάνει. 45

y* µειώνεται καθώς το w1 αυξάνει.

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Ας δώσουµε τώρα τη δυνατότητα στην επιχείρηση να µεταβάλει και τις δύο εισροές της. Αφού καµιά εισροή δεν είναι σταθερή, δεν υπάρχουν σταθερά κόστη.

Το x1 και το x2 είναι µεταβλητά. Σκεφτείτε την επιχείρηση να επιλέγει το σχέδιο παραγωγής που µεγιστοποιεί το κέρδος για µια δεδοµένη τιµή του x2, και µετά µεταβάλλοντας το x2 βρίσκει το µέγιστο δυνατό επίπεδο κέρδους.

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Η εξίσωση της βραχυχρόνιας γραµµής ίσου κέρδους

w1 Π + w 2x 2 x1 + p p

y = f ( x1 , x ′2 )

Και µια αύξηση στο x2 προκαλεί -- καµιά αλλαγή στην κλίση, και -- µια αύξηση στην τεταγµένη x1 49

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

y = f ( x 1 , 3x ′2 )

y = f ( x 1 , 3x ′2 ) y = f ( x1 , 2x ′2 )

y = f ( x1 , 2x ′2 )

y = f ( x1 , x ′2 )

y = f ( x1 , x ′2 ) Το οριακό προϊόν της εισροής 2 φθίνει.

x1 Μεγαλύτερα επίπεδα εισροής 2 αυξάνουν την παραγωγικότητα της εισροής 1.

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

y = f ( x 1 , 3x ′2 ) y = f ( x1 , 2x ′2 )

y = f ( x1 , x ′2 ) Το οριακό προϊόν της εισροής 2 φθίνει. x1 Μεγαλύτερα επίπεδα εισροής 2 αυξάνουν την παραγωγικότητα της εισροής 1.

x1 Μεγαλύτερα επίπεδα εισροής 2 αυξάνουν την παραγωγικότητα της εισροής 1.

p × MP1 − w 1 = 0 για κάθε βραχυχρόνιο σχέδιο παραγωγής. y = f ( x 1 , 3x ′2 ) y = f ( x1 , 2x ′2 )

y* ( 3x ′2 ) y* ( 2x ′2 )

y = f ( x1 , x ′2 )

y* ( x ′2 ) x*1 ( x ′2 ) x*1 ( 3x ′2 ) x*1 ( 2x ′2 )

x1 54

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους y

p × MP1 − w 1 = 0 για κάθε βραχυχρόνιο σχέδιο παραγωγής.

y = f ( x 1 , 3x ′2 ) y = f ( x1 , 2x ′2 )

y* ( 3x ′2 ) *

y ( 2x ′2 )

y = f ( x1 , x ′2 ) Το οριακό προϊόν της εισροής 2 είναι φθίνον και ...

y* ( x ′2 ) x*1 ( x ′2 ) x*1 ( 3x ′2 ) x*1 ( 2x ′2 )

p × MP1 − w 1 = 0 για κάθε βραχυχρόνιο σχέδιο παραγωγής. y = f ( x 1 , 3x ′2 ) y = f ( x1 , 2x ′2 )

y* ( 3x ′2 ) y* ( 2x ′2 )

y = f ( x1 , x ′2 ) Το οριακό προϊόν της εισροής 2 είναι φθίνον

y* ( x ′2 )

x1 55

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

x*1 ( x ′2 ) x*1 ( 3x ′2 ) x*1 ( 2x ′2 )

x1 56

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους Το κέρδος αυξάνει καθώς το x2 αυξάνει για τόσο όσο το οριακό κέρδος της εισροής 2

Το κέρδος αυξάνει καθώς το x2 αυξάνει για τόσο όσο το οριακό κέρδος της εισροής 2

p × MP2 − w 2 > 0.

Το επίπεδο µεγιστοποίησης κέρδους της εισροής 2 είναι εποµένως ικανοποιεί τη σχέση

Το επίπεδο µεγιστοποίησης κέρδους της εισροής 2 εποµένως ικανοποιεί τη σχέση p × MP2 − w 2 = 0. ικανοποιείται p × M P1 − w 1 = 0

p × MP2 − w 2 = 0.

και βραχυχρόνια, και ... 57

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους Παράδειγµα µε Cobb-Douglas : Όταν

Το επίπεδο εισροής του σχεδίου για µακροχρόνιο κέρδος ικανοποιεί τις σχέσεις p × M P1 − w 1 = 0 και p × MP2 − w 2 = 0. δηλαδή, το οριακό έσοδο ισούται µε το οριακό κόστος για όλες τις εισροές.

3 ~ 1/ 3 y = x 1/ 1 x2

τότε η βραχυχρόνια ζήτησης για τη µεταβλητή εισροή 1 είναι

 p  x *1 =    3w 1 

3/ 2

 p  y* =    3w 1 

1/ 2

~ 1/ 2 x 2

και η βραχυχρόνια προσφορά είναι

~ 1/ 2 . x 2

Το βραχυχρόνιο κέρδος είναι εποµένως … 59

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους Π = py* − w1x1* − w2~x2

~ Π = py* − w 1 x *1 − w 2 x 2  p  = p   3w 1

1/ 2

~ 1/ 2 − w  p  x  2 1  3w 1 

3/ 2

1/ 2

~ 1/ 2 − w x ~ x 2 2 2

3/ 2

 p  ~1/ 2  p  ~1/ 2  x2 − w1  x2 − w2~x2 = p 3 w 3 w  1  1 1/ 2

1/ 2

 p  ~1/ 2 p  p  ~1/ 2  x2 − w1   x2 − w2~x2 = p 3w1  3w1   3w1 

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Π = py

Π = py * − w 1x1* − w 2 ~x 2 1/ 2

 p   = p  3w 1 

 p  ~  x 21/ 2 − w 1   3w 1 

1/ 2

 p   = p  3w 1 

3/ 2

~x 1/ 2 − w ~x 2 2 2 1/ 2

~ x

1/ 2 2

p  p    − w1 3w 1  3w 1 

1/ 2 2

− w 2 ~x 2

2p  p    3  3w 1 

~x 1/ 2 − w ~x 2 2 2

− w 1 x 1* − w 2 ~ x2

 p = p   3w 1

  

1/ 2

 p = p   3w 1

  

1/ 2

2p 3

~x 1 / 2 − w 2 1

 p     3w 1 

 4p 3 =   27 w 1

  

~x 1 / 2 − w  p 2 1  3w 1 p 3w 1

  

3/2

~x 1 / 2 − w ~x 2 2 2

 p   3w 1

  

1/ 2

~x 1 / 2 − w ~ 2 2x2

1/ 2

~x 1 / 2 − w ~x 2 2 2

1/ 2

~x 1 / 2 − w ~x . 2 2 2

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

1/ 2

Ποιο είναι το επίπεδο της εισροής 1, που µεγιστοποιεί το κέρδος; Αντικαθιστούµε την

 4p 3  ~ 1/ 2 − w x ~  Π =  x 2 2 2.  27 w 1  Ποιο είναι το επίπεδο της εισροής 2 που µεγιστοποιεί το κέρδος; Λύνουµε 0=

1  4p 3  ∂Π  =  ~ ∂ x 2 2  27 w 1 

Για να βρούµε

x *2 =

1/ 2

p3 27 w 1 w 22

2 7 w 1 w 22

στην x *1 =  p   3w 1 

3/ 2

~ 1/ 2 x 2

και βρίσκουµε

~ − 1/ 2 − w x 2 2

~ = x* = x 2 2

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Ποιο είναι το επίπεδο της εισροής 1, που µεγιστοποιεί το κέρδος; Αντικαθιστούµε την x *2 =

 p    3w 1 

3/ 2

στην x *1 = 

2 7 w 1 w 22

Ποιο είναι το επίπεδο προϊόντος που µεγιστοποιεί το κέρδος µακροχρόνια; Αντικαθιστούµε

~ 1/ 2 x 2

x *2 =

και βρίσκουµε

 p  x *1 =    3w 1 

p3 2 7 w 1 w 22

στο

 p  y* =    3w 1 

1/ 2

~ 1/ 2 x 2

και βρίσκουµε

3 / 2

 p3   2  27 w 1 w 2 

1/ 2

p3 27 w 12 w 2

Μακροχρόνια µεγιστοποίηση κέρδους

Ποιο είναι το επίπεδο προϊόντος που µεγιστοποιεί το κέρδος µακροχρόνια; Αντικαθιστούµε x *2 =

 p  στο y =    3w 1 

1/ 2

2 7 w 1 w 22

~ 1/ 2 x 2

 p  y* =    3w 1 

 p   2  27 w 1 w 2  3

1/ 2

Άρα, µε δεδοµένα τα p, w1 και w2, και τη συνάρτηση παραγωγής 1/ 3 1/ 3

y = x1 x 2

Το µακροχρόνιο σχέδιο µεγιστοποίησης του κέρδους είναι

και βρίσκουµε 1/ 2 

 p3 p3 p2  . ( x *1 , x *2 , y* ) =  , , 2 2 9w w   27 w 1 w 2 27 w 1 w 2 1 2

p . 9 w 1w 2

Αποδόσεις κλίµακας και µεγιστοποίηση κέρδους

Αν η τεχνολογία µιας ανταγωνιστικής επιχείρησης παρουσιάζει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε η επιχείρηση έχει ένα µοναδικό σχέδιο µακροχρόνιας µεγιστοποίησης του κέρδους.

Αποδόσεις κλίµακας και µεγιστοποίηση κέρδους y = f(x)

Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας

x* 71

x 72

Αποδόσεις κλίµακας και µεγιστοποίηση κέρδους

Αν η τεχνολογία µιας ανταγωνιστικής επιχείρησης παρουσιάζει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε η επιχείρηση δεν έχει σχέδιο µακροχρόνιας µεγιστοποίησης του κέρδους.

Αποδόσεις κλίµακας και µεγιστοποίηση κέρδους νκ Αύξο

ς έρδο

y = f(x)

y” y’

x’

Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας x” x

Αποδόσεις κλίµακας και µεγιστοποίηση κέρδους

Άρα µια τεχνολογία αυξουσών αποδόσεων κλίµακας είναι ασυνεπής µε το να είναι οι επιχειρήσεις ανταγωνιστικές.

Τι θα συµβεί αν η τεχνολογία της επιχείρησης παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας;

Αποδόσεις κλίµακας και µεγιστοποίηση κέρδους

ν Αύξο

Αποδόσεις κλίµακας και µεγιστοποίηση κέρδους

ος κέρδ

Εποµένως, αν κάθε σχέδιο παραγωγής αποδίδει ένα θετικό κέρδος, η επιχείρηση µπορεί να διπλασιάσει όλες τις εισροές για να παραγάγει διπλάσιο προϊόν από το αρχικό και να έχει διπλάσιο κέρδος.

y = f(x)

y” Σταθερές αποδόσεις κλίµακας

y’ x’

x”

x 77

Αποδόσεις κλίµακας και µεγιστοποίηση κέρδους

Άρα, αν η τεχνολογία της επιχείρησης παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας, η απόκτηση θετικού κέρδους είναι ασυνεπής µε το να είναι οι επιχειρήσεις ανταγωνιστικές. Συµπέρασµα, οι σταθερές αποδόσεις κλίµακας απαιτούν οι ανταγωνιστικές επιχειρήσεις να κάνουν µηδενικά κέρδη.

y = f(x)

Π=0 y” Σταθερές αποδόσεις κλίµακας

y’ x’

x”

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

Έστω µια επιχείρηση µε τεχνολογία που παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. Για ένα εύρος τιµών του προϊόντος και των εισροών, παρατηρούµε τις επιλογές των σχεδίων παραγωγής της. Τι µπορούµε να µάθουµε από αυτές τις παρατηρήσεις;

Αν το σχέδιο παραγωγής (x’,y’) επιλέγεται στις τιµές (w’,p’), µπορούµε να συναγάγουµε ότι το σχέδιο (x’,y’) αποκαλύπτεται να µεγιστοποιεί τα κέρδη στις τιµές (w’,p’).

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

( x ′ , y′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′ , p ′ )

κλ ί ση =

w′ p′

y′

( x ′ , y′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′ , p ′ ) και ( x ′ , y ′ ) µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές αυτές.

κλ ί ση =

y′

x′

x′ 83

w′ p′

x 84

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

( x ′ , y′ ) επιλέγεται στις τιµές( w ′ , p ′ ) και ( x ′ , y ′ ) µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές αυτές. w′

κλ ί ση =

y′ y′′

κέρδος, γιατί δεν επιλέγεται;

x′

( x ′ , y ′ ) µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές αυτές.

w′ p′

κλ ί ση =

p′

( x ′′ , y′′ ) δίνει µεγαλύτερο

x ′′

( x ′ , y′ ) επιλέγεται στις τιµές( w ′ , p ′ ) και

y′ y′′

( x ′′ , y′′ ) δίνει µεγαλύτερο

κέρδος, γιατί δεν επιλέγεται Επειδή δεν είναι εφικτό

x′

x ′′

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

( x ′ , y′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′ , p ′ )και ( x ′ , y ′ ). µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές αυτές

( x ′ , y′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′ , p ′ )

και

( x ′ , y ′ ) µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές

αυτές

κλίση =

y′ y′′

w′ p′

κλ ίση =

( x ′′ , y′′ ) δίνει µεγαλύτερο κέρδος, γιατί δεν επιλέγεται; Επειδή δεν είναι εφικτό

x′

x ′′

y′ y′′

Το τεχνολογικό σύνολο είναι κάπου εδώ.

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

( x ′′′ , y′′′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′′′ , p ′′′ ) και ( x ′′′ , y ′′′ ) µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές αυτές κλ ίση =

w ′′′ p ′′′

( x ′′′ , y ′′′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′′′ , p ′′′ ) και ( x ′′′ , y ′′′ ) µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές αυτές κλ ίση =

( x ′′ , y ′′ ) δίνει µεγαλύτερο

y′′ y′′′

( x ′′ , y ′′ ) δίνει µεγαλύτερο

y′′′

κέρδος, γιατί δεν επιλέγεται; Επειδή δεν είναι εφικτό

x ′′′ x ′′

x 89

w ′′′ p ′′′

y′′

κέρδος, γιατί δεν επιλέγεται;

x ′′′ x ′′

Εποµένως το τεχνολογικό σύνολο της επιχείρησης πρέπει να είναι κάτω από τη γραµµή ίσου κέρδους. 88

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

x′

x ′′

Εποµένως το τεχνολογικό σύνολο της επιχείρησης πρέπει να είναι κάτω από τη γραµµή ίσου κέρδους.

w′ p′

x 90

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

( x ′′′ , y′′′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′′′ , p ′′′ ) και ( x ′′′ , y ′′′ ) µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές αυτές

( x ′′′ , y ′′′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′′′ , p ′′′ ) και ( x ′′′ , y ′′′ ) µεγιστοποιεί το κέρδος στις τιµές

αυτές. κλ ίση =

w ′′′ p ′′′

κλ ίση =

( x ′′ , y ′′ ) δίνει µεγαλύτερο κέρδος, γιατί δεν επιλέγεται; Επειδή δεν είναι εφικτό και το τεχνολογικό σύνολο είναι κάτω από τη γραµµή ίσου κέρδους.

y′′ y′′′

x ′′′ x ′′

y′′

w ′′′ p ′′′

Το τεχνολογικό σύνολο είναι κάπου εδώ.

y′′′

x ′′′ x ′′

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

Το τεχνολογικό σύνολο πρέπει να είναι κάτω από τις δύο γραµµές

y′

Το τεχνολογικό σύνολο πρέπει να είναι κάτω από τις δύο γραµµές

y′

y′′′

Το τεχνολογικό σύνολο είναι κάπου εδώ

y′′′

x ′′′

x′

x ′′′

x′

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

Παρατηρώντας περισσότερες επιλογές των σχεδίων παραγωγής της επιχείρησης ως αντίδραση στις διαφορετικές τιµές εισροών και εκροών, παίρνουµε περισσότερη πληροφόρηση για τη θέση του τεχνολογικού συνόλου.

Το τεχνολογικό σύνολο της επιχείρησης πρέπει να είναι κάτω από τις γραµµές ίσου κέρδους

( w ′′′ , p ′′′ ) y′′ y′

( w ′′ , p ′′ )

y′′′

x ′′′ 95

( w ′ , p′ )

x′

x′′

x 96

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

Το τεχνολογικό σύνολο της επιχείρησης πρέπει να είναι κάτω από τις γραµµές ίσου κέρδους

( w ′ , p′ )

( w ′′′ , p ′′′ ) y′′ y′

( w ′′ , p ′′ )

y = f(x)

Τι άλλο µπορούµε να µάθουµε από τις επιλογές της επιχείρησης για τα σχέδια παραγωγής για µεγιστοποίηση του κέρδους;

y′′′

x ′′′

x′

x′′

x 97

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία y

Το τεχνολογικό σύνολο της επιχείρησης πρέπει να είναι κάτω από τις γραµµές ίσου κέρδους

( w ′′ , p ′′ )

( w ′ , p′ )

p ′ y ′ − w ′ x ′ ≥ p ′ y ′ ′ − w ′ x ′ ′ και

( x ′ , y ′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′ , p′ ) και

y′

p ′ y ′ − w ′ x ′ ≥ p ′ y ′′ − w ′ x ′′ . ( x ′′ , y ′′ ) επιλέγεται στις τιµές ( w ′′ , p ′′ ) και p ′′ y ′′ − w ′′ x ′′ ≥ p ′′ y ′ − w ′′ x ′ .

y′′

x ′′

x′

p ′′ y ′′ − w ′′ x ′′ ≥ p ′′ y ′ − w ′′ x ′ άρα p ′ y ′ − w ′ x ′ ≥ p ′ y ′ ′ − w ′ x ′ ′ και − p ′′ y ′ + w ′′ x ′ ≥ − p ′′ y ′′ + w ′′ x ′′ .

Με πρόσθεση ( p ′ − p ′′ ) y ′ − ( w ′ − w ′′ ) x ′ ≥ ( p ′ − p ′′ ) y ′′ − ( w ′ − w ′′ ) x ′′ .

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία

100

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία ∆p∆y ≥ ∆w ∆x

( p ′ − p ′′ ) y ′ − ( w ′ − w ′′ ) x ′ ≥ ( p ′ − p ′′ ) y ′′ − ( w ′ − w ′′ ) x ′′ άρα

( p ′ − p ′′ )( y ′ − y ′′ ) ≥ ( w ′ − w ′′ )( x ′ − x ′′ ) ∆p∆y ≥ ∆w ∆x δηλαδή Είναι αναγκαία συνέπεια της µεγιστοποίησης του κέρδους. 101

Είναι αναγκαία συνέπεια της µεγιστοποίησης του κέρδους. Αν η τιµή της εισροής δεν αλλάζει. τότε ∆w = 0 και η µεγιστοποίηση του κέρδους συνεπάγεται ∆ p ∆ y ≥ 0 τ.ε., η καµπύλη προσφοράς µιας ανταγωνιστικής επιχείρησης δεν µπορεί να έχει αρνητική κλίση.

Αποκαλυφθείσα κερδοφορία Ερώτηση εξάσκησης 1 ∆p∆y ≥ ∆w ∆x Είναι αναγκαία συνέπεια της µεγιστοποίησης του κέρδους.

Αν η τιµή του προϊόντος δεν αλλάζει τότε ∆p = 0 η µεγιστοποίηση κέρδους συνεπάγεται 0 ≥ ∆ w ∆ x τ.ε., η ζήτηση για εισροή µιας επιχείρησης δεν µπορεί να έχει θετική κλίση.

Ερώτηση εξάσκησης 2 Μια ανταγωνιστική επιχείρηση έχει συνάρτηση παραγωγής f(x1, x2) = 4x11/2 + 10x21/2. Η τιµή της εισροής 1 είναι 1 και η τιµή της εισροής 2 είναι 1. Η τιµή του προϊόντος είναι 2. Πόσες µονάδες απασχολεί από κάθε εισροή και σε ποιο επίπεδο παραγωγής η επιχείρηση µεγιστοποιεί το κέρδος της; (y=116, x1=16, x2=100)

Μια ανταγωνιστική επιχείρηση έχει βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής q = 163x – 2x2, όπου x είναι η ποσότητα του µεταβλητού συντελεστή παραγωγής. Αν η τιµή του προϊόντος είναι 3 και η τιµή του µεταβλητού συντελεστή είναι 9, ποια ποσότητα του µεταβλητού συντελεστή θα απασχολήσει η επιχείρηση βραχυχρόνια; (Απάντηση x=40)

Ελαχιστοποίηση κόστους Μια επιχείρηση ελαχιστοποιεί το κόστος της αν παράγει κάθε δεδοµένο επίπεδο προϊόντος y ≥ 0 στο µικρότερο δυνατό κόστος. Η c(y) συµβολίζει το µικρότερο δυνατό συνολικό κόστος παραγωγής y µονάδων προϊόντος. Η c(y) είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους της επιχείρησης.

∆ιάλεξη 12

Ελαχιστοποίηση κόστους

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους

Ελαχιστοποίηση κόστους Όταν η επιχείρηση αντιµετωπίζει δεδοµένες τιµές συντελεστών w = (w1,w2,…,wn), η συνάρτηση συνολικού κόστους µπορεί να γραφεί ως c(w1,…,wn,y).

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους

Ας πάρουµε µια επιχείρηση που παράγει ένα προϊόν και χρησιµοποιεί δύο συντελεστές παραγωγής. Η συνάρτηση παραγωγής είναι y = f(x1,x2). Ας πάρουµε το επίπεδο παραγωγής y ≥ 0 ως δεδοµένο. Με δεδοµένες τις τιµές των συντελεστών w1 και w2, το κόστος ενός συνόλου εισροών (x1,x2) είναι w1x1 + w2x2.

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους Τα επίπεδα των x1*(w1,w2,y) και x2*(w1,w2,y) στο συνδυασµό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης για εισροές 1 και 2. Το (µικρότερο δυνατό) συνολικό κόστος παραγωγής y µονάδων του προϊόντος είναι

Για δεδοµένες τιµές των w1, w2 και y, το πρόβληµα που έχει να λύσει η επιχείρηση είναι min w x + w x 1 1 2 2 x1 , x 2 ≥ 0 Υπό τον περιορισµό

f ( x1 , x 2 ) = y.

c( w 1 , w 2 , y ) = w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y ) + w 2 x*2 ( w 1 , w 2 , y ). 5

Παράγωγες συναρτήσεις συντελεστών

Γραµµές ίσου κόστους

Με δεδοµένα τα w1, w2 και y, πώς µπορούµε να εντοπίσουµε το συνδυασµό που ελαχιστοποιεί το κόστος; Πώς υπολογίζουµε τη συνάρτηση συνολικού κόστους;

Μια καµπύλη που περιλαµβάνει όλους τους συνδυασµούς εισροών που έχουν το ίδιο κόστος λέγεται καµπύλη ίσου κόστους. π.χ., δεδοµένων των w1 και w2, η γραµµή ίσου κόστους των €100 έχει την εξίσωση

w 1x1 + w 2x 2 = 100. 7

Γραµµές ίσου κόστους

Γραµµές ίσου κόστους x2

Γενικά, µε δεδοµένα τα w1 και w2, η εξίσωση της γραµµής ίσου κόστους είναι και

c” ≡ w1x1+w2x2

w 1x1 + w 2x 2 = c x2 = −

c’ ≡ w1x1+w2x2

w1 c x1 + . w2 w2

c’ < c” x1

Η κλίση είναι - w1/w2. 9

Γραµµές ίσου κόστους x2

Η γραµµή ίσου προϊόντος x2

κλίσεις = -w1/w2.

c” ≡ w1x1+w2x2 c’ ≡ w1x1+w2x2

Όλοι οι συνδυασµοί εισροών που παράγουν y’ µονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός;

c’ < c” f(x1,x2) ≡ y’ x1

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίηση κόστους x2

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους

Όλοι οι συνδυασµοί εισροών που παράγουν y’ µονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός;

f(x1,x2) ≡ y’

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους x2

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίηση κόστους

Όλοι οι συνδυασµοί εισροών που παράγουν y’ µονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός;

x 2* f(x1,x2) ≡ y’

f(x1,x2) ≡ y’ x 1*

x1 16

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους x2

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίηση κόστους

Σε ένα εσωτερικό συνδυασµό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος

(α)

f ( x*1 , x*2 ) = y ′

Σε ένα εσωτερικό συνδυασµό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος (α) f ( x*1 , x*2 ) = y ′ (β) κλίση γρ. ίσου κόστους = κλίση γρ. ίσου προϊόντος

x 2*

f(x1,x2) ≡ y’

f(x1,x2) ≡ y’ x 1*

x 1*

x1 17

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίηση κόστους Σε ένα εσωτερικό συνδυασµό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος (α) f ( x*1 , x*2 ) = y ′ (β) κλίση γρ. ίσου κόστους = κλίση γρ. ίσου προϊόντος

−

w1 MP1 = TRS = − at ( x*1 , x*2 ). w2 MP2

x 2* f(x1,x2) ≡ y’ x 1*

Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas Ας πάρουµε µια συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas y = f ( x1 , x 2 ) = x11/ 3x 22/ 3 . Οι τιµές των συντελεστών είναι w1 και w2. Ποιες είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης της επιχείρησης;

x1 20

Ελαχιστοποίηση κόστους: CobbDouglas

* 1/ 3 * 2 / 3 (α) y = ( x1 ) ( x 2 )

Στο συνδυασµό (x1*,x2*) που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής y µονάδων προϊόντος: (α) * 1/ 3 * 2 / 3

y = ( x1 )

(x 2 )

Ελαχιστοποίηση κόστους: CobbDouglas (β)

w1 x* = 2 . w 2 2x*1

και

(β)

−

w1 ∂ y / ∂ x1 ( 1 / 3 )( x*1 ) − 2 / 3 ( x*2 ) 2 / 3 =− =− w2 ∂ y / ∂ x2 ( 2 / 3 )( x*1 ) 1/ 3 ( x*2 ) − 1/ 3 =−

x*2 2x*1

. 21

Ελαχιστοποίηση κόστους: CobbDouglas * 1/ 3 * 2 / 3 (β) (α) y = ( x1 ) ( x 2 ) 2w 1 * * Από τη (β), x 2 = w x 1 . 2

w1 x* = 2 . w 2 2x*1

Ελαχιστοποίηση κόστους: CobbDouglas w 1 x*2

* 1/ 3 * 2 / 3 . = (α) y = ( x1 ) ( x 2 ) (β) w 2 2x*1 2w 1 * * x . Από τη (β), x 2 = w2 1

Αντικαθιστούµε στην (α) και έχουµε

 2w 1 *  y = ( x*1 ) 1/ 3  x   w 2 1

2/ 3

 2w1  =   w2 

2/ 3

x*1 .

Ελαχιστοποίηση κόστους: CobbDouglas

w1 x* * 1/ 3 * 2 / 3 = 2 . (α) y = ( x1 ) ( x 2 ) (β) w 2 2x*1 2w 1 * * x . Από τη (β), x 2 = w2 1

2w 1 * x Αφού x*2 = w2 1

Αντικαθιστούµε στην (α) και έχουµε 2/ 3 2/ 3  2w   2w  y = ( x*1 )1/ 3  1 x*1  =  1  x*1 .  w2   w2  2/ 3 και x* =  w 2  y Είναι η παράγωγη ζήτηση  1  για την εισροή 1.  2w 1 

Ελαχιστοποίηση κόστους: CobbDouglas

x*2 =

2/ 3

 w  x*1 =  2   2w 1 

 2w 1  y=   w2 

2/ 3

1/ 3

Είναι η παράγωγη ζήτηση για την εισροή 2.

Παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης συντελεστών x2

Εποµένως ο πιο φτηνός συνδυασµός εισροών που παράγουν y µονάδες προϊόντος είναι

2w 1  w 2    w 2  2w 1 

και

Σταθερά w1 και w2.

(x*1 ( w 1 , w 2 , y ), x*2 ( w 1 , w 2 , y ))   w  2 / 3  2 w  1/ 3  1 =  2  y,  y .    2w 1    w 2   

y′′′ y ′′ y′ x1 27

Παράγωγες καµπύλες ζήτησης συντελεστών

Παράγωγες καµπύλες ζήτησης συντελεστώνy x2

Σταθερά w1 και w2.

Σταθερά w1 και w2. x2

y ′′ y′

y′ y y′′′ y ′′

x*2 ( y′ )

y′

x*1 ( y′ )

x*2 ( y′ )

x*2 x*2 ( y′′ ) x*2 ( y′ )

y′

x 1 x*1 ( y′ )

x*1 29

y′′′ y ′′ y′

x*1 ( y′ ) x*1 ( y′′ )

x*2 ( y′ ) x*2 ( y′′ )

x*2

y ′′ y′

x 1 x*1 ( y′ )

x*1 ( y′′ )

x*1 30

Παράγωγες καµπύλες ζήτησης συντελεστών y

Σταθερά w1 και w2.

y′′′ y′′′ y ′′ y′

x*2 ( y′ ) x*2 ( y′′′ ) x*2 x*2 ( y′′ )

y ′′ y′

x*1 ( y′ ) x*1 ( y′′′ ) x*1 ( y′′ )

x*1 31

Παράγωγες καµπύλες ζήτησης συντελεστών

Γραµµή επέκτασης προϊόντος

x*2 ( y′′′ ) x*2 ( y′′ ) x*2 ( y′ )

y ′′ y′

y y′′′

y′′′ y ′′ y′

x*2 ( y′ ) x*2 ( y′′′ ) x*2 x*2 ( y′′ )

y ′′ y′ * * * x 1x 1 ( y′*) x1 ( y′′′ ) x1

x*1 ( y′ ) x*1 ( y′′′ ) x*1 ( y′′ )

x 1 ( y′′ )

Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas

y′

Για τη συνάρτηση παραγωγής

y ′′ y′

y y′′′

y′′′ y ′′

x*1 ( y′ ) x*1 ( y′′′ ) x*1 ( y′′ )

Γραµµή επέκτασης προϊόντος

y′′′

x*2 ( y′′′ ) x*2 ( y′′ ) x*2 ( y′ )

Παράγωγη ζήτηση για εισροή 2

Σταθερά w1 και w2.

y′′′

y ′′ y′

Σταθερά w1 και w2.

y′′′

x*2 ( y′′′ ) x*2 ( y′′ ) x*2 ( y′ )

Παράγωγες καµπύλες ζήτησης συντελεστών

y ′′ y′

y = f ( x1 , x 2 ) = x11 / 3 x 22 / 3 x*2 ( y′ ) x*2 ( y′′′ ) x*2 x*2 ( y′′ ) Παράγωγη ζήτηση για εισροή 1

* * x 1x 1 ( y′*) x1 ( y′′′ ) x 1 ( y′′ )

x*1

Ο πιο φτηνός συνδυασµός εισροών που παράγει y µονάδες προϊόντος είναι

(x*1 ( w 1 , w 2 , y ), x*2 ( w 1 , w 2 , y ))   w  2 / 3  2 w  1/ 3  1 =  2  y,  y .    2w 1     w 2  

Ελαχιστοποίηση κόστους: CobbDouglas

Και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι

c ( w 1 , w 2 , y ) = w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y ) + w 2 x*2 ( w 1 , w 2 , y )

c ( w 1 , w 2 , y ) = w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y ) + w 2 x*2 ( w 1 , w 2 , y )  w  = w1 2   2w 1 

2/ 3

 2w 1  y + w 2   w2 

1/ 3

Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Douglas

Και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι

c ( w 1 , w 2 , y ) = w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y ) + w 2 x*2 ( w 1 , w 2 , y )

c ( w 1 , w 2 , y ) = w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y ) + w 2 x*2 ( w 1 , w 2 , y )  w  = w1 2   2w 1 

2/ 3

 2w 1  y + w 2   w2 

Και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι

 w  = w1 2   2w 1 

1/ 3

1 =    2

2/ 3  1 w 11 / 3 w 22 / 3 y + 21 / 3 w 11/ 3 w 22 / 3 y =   2

2/ 3

Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά

 2w 1  y + w 2   w2 

1/ 3

w 11 / 3 w 22 / 3 y + 21/ 3 w 11 / 3 w 22 / 3 y

 w w2 = 3 1 2   4 

2/ 3

1/ 3

y. 38

Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά x2

Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι

4x1 = x2

y = min{ 4 x 1 , x 2 }. Οι τιµές των εισροών w1 και w2 είναι δεδοµένες. Ποιες είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης για τις εισροές 1 και 2; Ποια είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους;

min{4x1,x2} ≡ y’

x1 39

Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά x2

4x1 = x2

min{4x1,x2} ≡ y’

4x1 = x2 Που είναι ο πιο φτηνός συνδυασµός που παράγει y’ µονάδες προϊόντος; min{4x1,x2} ≡ y’

x1 41

Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά x2

Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά

4x1 = x2 Που είναι ο πιο φτηνός συνδυασµός που παράγει y’ µονάδες προϊόντος;

Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι

y = min{ 4 x 1 , x 2 } και οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης y * * και x 2 ( w 1 , w 2 , y ) = y . x1 ( w 1 , w 2 , y ) =

min{4x1,x2} ≡ y’

x 2* = y

x 1* = y/4

x1 43

Μέσο συνολικό κόστος παραγωγής (ΜΣΚ)

Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι

y = min{ 4 x 1 , x 2 } και οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης

x*1 ( w 1 , w 2 , y ) =

y 4

και

x*2 ( w 1 , w 2 , y ) = y .

Άρα η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι c( w 1 , w 2 , y ) = w 1x*1 ( w 1 , w 2 , y )

+ w 2 x*2 ( w 1 , w 2 , y ) y w  = w 1 + w 2y =  1 + w 2  y.  4  4

Για θετικά επίπεδα προϊόντος y, το µέσο συνολικό κόστος µιας επιχείρησης που παράγει y µονάδες είναι c( w 1 , w 2 , y ) AC( w 1 , w 2 , y ) = .

Σταθερές αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ

Αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Οι ιδιότητες των αποδόσεων κλίµακας µιας επιχείρησης προσδιορίζουν το πώς µεταβάλλεται το µέσο κόστος σε σχέση µε το επίπεδο του προϊόντος. Ας υποθέσουµε ότι η επιχείρηση παράγει y’ µονάδες προϊόντος. Πώς µεταβάλλεται το µέσο κόστος της επιχείρησης αν η επιχείρηση παράγει 2y’ µονάδες προϊόντος;

Αν µια επιχείρηση έχει σταθερές αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από y’ σε 2y’ απαιτεί το διπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών.

Σταθερές αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ

Αν µια επιχείρηση έχει σταθερές αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από y’ σε 2y’ απαιτεί το διπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το συνολικό κόστος παραγωγής διπλασιάζεται.

Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ

Αν µια επιχείρηση έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από y’ σε 2y’ απαιτεί υπερδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών.

Αν µια επιχείρηση έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από y’ σε 2y’ απαιτεί υπερδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το συνολικό κόστος παραγωγής υπερδιπλασιάζεται.

Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από y’ σε 2y’ απαιτεί υπερδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το συνολικό κόστος παραγωγής υπερδιπλασιάζεται Το µέσο κόστος παραγωγής αυξάνεται.

Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από y’ σε 2y’ απαιτεί υποδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών.

Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ

Αν µια επιχείρηση έχει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από y’ σε 2y’ απαιτεί υποδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το συνολικό κόστος παραγωγής υποδιπλασιάζεται.

Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ

Μονάδα προϊόντος

AC(y)

Τι συνεπάγονται τα πιο πάνω για το σχήµα των συναρτήσεων συνολικού κόστους;

Φθίνουσες α.κ. Σταθερές α.κ. Αύξουσες α.κ. y 57

Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ

Το Μ.Κ αυξάνει µε το y αν η τεχνολογία € παρουσιάζει φθίνουσες α.κ. c(2y’)

κλίση = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). κλίση = c(y’)/y’ = AC(y’).

€

Το Μ.Κ αυξάνει µε το y αν η τεχνολογία παρουσιάζει φθίνουσες α.κ. c(y)

c(2y’)

κλίση = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). κλίση = c(y’)/y’ = AC(y’).

c(y’)

c(y’) y’

2y’

y’

2y’

Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ

Το Μ.Κ µειώνεται µε το y αν η τεχνολογία € παρουσιάζει αύξουσες α.κ. c(2y’)

c(2y’) κλίση = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). κλίση = c(y’)/y’ = AC(y’).

c(y’)

y’

2y’

€

Το Μ.Κ είναι σταθερό µε το y αν η τεχνολογία παρουσιάζει σταθερές α.κ.

κλίση = c(2y’)/2y’ = 2c(y’)/2y’ = c(y’)/y’ και AC(y’) = AC(2y’).

y’

2y’

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος

Το πρόβληµα ελαχιστοποίησης του µακροχρόνιου κόστους είναι min w1 k + w 2 l k ,l ≥ 0

υπό τον περιορισµό

f (k ,l) = y.

Το πρόβληµα ελαχιστοποίησης του w 1 k '+ w 2 l βραχυχρόνιου κόστους είναι min l≥0 υπό τον περιορισµό

2y’

Μακροχρόνια µια επιχείρηση µπορεί να µεταβάλει όλους τους συντελεστές παραγωγής. Ας υποθέσουµε ότι µια επιχείρηση δεν µπορεί να µεταβάλει το επίπεδο της εισροής k από k’. Πώς συγκρίνεται το βραχυχρόνιο συνολικό κόστος παραγωγής του y µε το µακροχρόνιο κόστος παραγωγής του y; 64

c(y)

c(y’)

κλίση = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). κλίση = c(y’)/y’ = AC(y’).

c(y’)

Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ

c(2y’) =2c(y’)

€

Το Μ.Κ αυξάνει µε το y αν η τεχνολογία παρουσιάζει φθίνουσες α.κ. c(y)

f (k ' , l ) = y. 65

Το πρόβληµα ελαχιστοποίησης του βραχυχρόνιου κόστους είναι το ίδιο µε το πρόβληµα µακροχρόνιου κόστους, υπό τον πρόσθετο περιορισµό ότι k = k’. Αν η µακροχρόνια επιλογή για το k ήταν k’ τότε ο πρόσθετος περιορισµός k = k’ δεν επηρεάζει και το βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο κόστος συµπίπτουν. 66

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος y ′′′ Ας πάρουµε τρία επίπεδα προϊόντος

Το βραχυχρόνιο πρόβληµα είναι το ίδιο µε το µακροχρόνιο υπό τον επιπλέον περιορισµό ότι k = k”. Αλλά, αν η µακροχρόνια επιλογή για k ≠ k” τότε ο επιπλέον περιορισµός k = k” εµποδίζει την επιχείρηση να επιτύχει το µακροχρόνιο κόστος της και το βραχυχρόνιο κόστος είναι υψηλότερο από το µακροχρόνιο.

y ′′ y′

k 67

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος y ′′′ l

y ′′ y′

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος y ′′′

Μακροχρόνια όταν η επιχείρηση είναι ελεύθερη να επιλέξει τα k και l, οι συνδυασµοί που ελαχιστοποιούν το κόστος είναι ...

y ′′ k ''

y′

Μακροχρόνια γραµµή επέκτασης προϊόντος

l ''' l ''

l' k

k '''

k ''

k '''

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος y ′′′ l

Μακροχρόνια Μακροχρόνια κόστη: γραµµή c ( y ′) = w 1k ' + w 2l ' επέκτασης προϊόντος c ( y ′′ ) = w 1 k ' ' + w 2 l ' '

y ′′ y′

c ( y ′′′ ) = w 1 k

l’’’

' ''

+ w 2 l '''

Ας υποθέσουµε τώρα ότι η επιχείρηση υπόκειται στο βραχυχρόνιο περιορισµό k = k”.

l’’ l’ k’

k'' k'''

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος y ′′′ l

y ′′ y′

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος

Βραχυχρόνια Μακροχρόνια κόστη: γραµµή c ( y ′) = w 1k ' + w 2 l ' επέκτασης c ( y ′′ ) = w 1 k '' + w 2 l '' προϊόντος c ( y ′′′ ) = w 1 k

'''

+ w 2l

l’’’

l’’ l’

l’’ l’ k’’ k’’’

y ′′ y′

'''

l’’’

k’

y ′′′ Βραχυχρόνια

γραµµή επέκτασης προϊόντος

Μακροχρόνια κόστη: c ( y ′) = w 1k ' + w 2 l ' c ( y ′′ ) = w 1 k '' + w 2 l '' c ( y ′′′ ) = w 1 k ''' + w 2 l '''

k’

k’’ k’’’

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος y ′′′ l

y ′′ y′

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος

Βραχυχρόνια Μακροχρόνια κόστη: c ( y ′) = w 1k ' + w 2l ' γραµµή επέκτασης c ( y ′′ ) = w 1 k '' + w 2 l '' προϊόντος c ( y ′′′ ) = w 1 k ''' + w 2 l '''

Βραχυχρόνια κόστη : c s ( y ′ ) > c( y ′ )

l’’’ l’’ l’ k’

k’’ k’’’

y ′′′ Βραχυχρόνια Μακροχρόνια κόστη: y ′′ y′

γραµµή επέκτασης προϊόντος

c ( y ′) = w 1k ' + w 2 l ' c ( y ′′ ) = w 1 k '' + w 2 l '' c ( y ′′′ ) = w 1 k ''' + w 2 l '''

Βραχυχρόνια κόστη : c s ( y ′ ) > c( y ′ ) cs ( y ′′ ) = c( y′′ )

l’’’ l’’ l’ k’

k’’ k’’’

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος l

y ′′′ Βραχυχρόνια y ′′ y′

γραµµή επέκτασης προϊόντος

l’’’ l’’ l’ k’

k’’ k’’’

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος

Μακροχρόνια κόστη: c( y′) = w1k ' + w 2 l ' c ( y ′′ ) = w 1 k '' + w 2 l '' c ( y ′′′ ) = w 1 k ''' + w 2 l '''

Βραχυχρόνια κόστη : c s ( y ′ ) > c( y ′ ) cs ( y ′′ ) = c( y ′′ ) cs ( y ′′′ ) > c( y ′′′ ) k

Το βραχυχρόνιο συνολικό κόστος υπερβαίνει το µακροχρόνιο συνολικό κόστος εκτός από το επίπεδο του προϊόντος όπου ο περιορισµός του βραχυχρόνιου επίπεδου εισροής είναι η επιλογή του µακροχρόνιου επιπέδου εισροής. Αυτό συνεπάγεται ότι η µακροχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους έχει πάντα ένα κοινό σηµείο µε µια συγκεκριµένη βραχυχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους. 78

Βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο συνολικό κόστος €

Μια βραχυχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους έχει πάντα ένα κοινό σηµείο µε τη µακροχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους και σε όλα τα άλλα σηµεία είναι πάνω από την καµπύλη µακροχρόνιου κόστους.

cs(y) c(y)

F= w 2x ′2′

y′

y ′′

y ′′′ y

Μορφές καµπυλών κόστους Καµπύλη συνολικού κόστους είναι η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης συνολικού κόστους. Καµπύλη µεταβλητού κόστους είναι η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης µεταβλητού κόστους. Καµπύλη µέσου συνολικού κόστους είναι η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης µέσου συνολικού κόστους. 2

∆ιάλεξη 13 Καµπύλες κόστους

Μορφές καµπυλών κόστους

Καµπύλη µέσου µεταβλητού κόστους είναι η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης µέσου µεταβλητού κόστους. Καµπύλη µέσου πάγιου κόστους είναι η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης µέσου πάγιου κόστους. Καµπύλη οριακού κόστους είναι η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης 3 οριακού κόστους.

Συναρτήσεις πάγιου, µεταβλητού και συνολικού κόστους

Πώς σχετίζονται αυτές οι καµπύλες µεταξύ τους; Ποια η σχέση µεταξύ βραχυχρόνιας και µακροχρόνιας καµπύλης κόστους;

Συναρτήσεις πάγιου, µεταβλητού και συνολικού κόστους

Έστω F το συνολικό κόστος µιας επιχείρησης των βραχυχρόνια σταθερών εισροών της. Το F, δεν µεταβάλλεται µε τη µεταβολή του επιπέδου προϊόντος. Το cv(y) είναι το συνολικό κόστος των µεταβλητών εισροών της επιχείρησης όταν παράγονται y µονάδες προϊόντος. Το cv(y) είναι η συνάρτηση µεταβλητού κόστους της επιχείρησης.

Το c(y) είναι το συνολικό κόστος όλων των εισροών σταθερών και µεταβλητών όταν παράγονται y µονάδες προϊόντος. Το c(y) είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους της επιχείρησης.

c( y ) = F + c v ( y ). 5

€

cv(y)

F y

€

€ c(y) cv(y)

cv(y)

c( y ) = F + c v ( y ) F

Καµπύλες µέσου πάγιου, µέσου µεταβλητού, & µέσου συνολικού κόστος

Η συνάρτηση συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι

Με τι µοιάζει η συνάρτηση µέσου πάγιου κόστους;

c( y ) = F + c v ( y ).

AFC( y ) =

Για y > 0, η συνάρτηση µέσου συνολικού κόστους είναι

F cv ( y) + y y = AFC( y ) + AVC( y ).

F y

Το AFC(y) είναι ορθογώνια υπερβολή και η γραφική απεικόνιση της είναι...

AC( y ) =

Καµπύλες µέσου πάγιου, µέσου µεταβλητού, & µέσου συνολικού κόστος

€ /προϊόν

Βραχυχρόνια, µε σταθερή την ποσότητα τουλάχιστο ενός συντελεστή, ισχύει ο νόµος των φθινουσών (οριακών) αποδόσεων, ο οποίος έχει ως συνέπεια να αυξάνεται σταδιακά το µέσο µεταβλητό κόστος της επιχείρησης.

AFC(y) → 0 καθώς το y → ∞

AFC(y) 0

€ /προϊόν

AVC(y)

AVC(y) AFC(y)

Καµπύλες µέσου πάγιου, µέσου µεταβλητού, & µέσου συνολικού κόστος

€ /προϊόν

Και ATC(y) = AFC(y) + AVC(y) ATC(y) = AFC(y) + AVC(y) ATC(y) AVC(y) AFC(y) 17

€ /προϊόν

Αφού AFC(y) → 0 καθώς το y → ∞, ATC(y) → AVC(y) καθώς το y → ∞.

AFC(y) = ATC(y) - AVC(y) ATC(y) AFC

ATC(y)

AVC(y)

AFC

AFC(y) 0

AFC(y)

€ /προϊόν

Αφού AFC(y) → 0 καθώς το y → ∞, ATC(y) → AVC(y) καθώς το y → ∞.

Και αφού το βραχυχρόνιο AVC(y) πρέπει σταδιακά να αυξηθεί, το ATC(y) πρέπει σταδιακά να αυξηθεί βραχυχρόνια.

ATC(y)

Συνάρτηση οριακού κόστους Οριακό κόστος είναι η µεταβολή του µεταβλητού κόστους παραγωγής καθώς µεταβάλλεται το επίπεδο του προϊόντος. ∆ηλαδή,

AVC(y)

MC( y ) =

AFC(y) 0

∂ cv ( y) . ∂y

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους

Συνάρτηση οριακού κόστους Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι

Αφού το MC(y) είναι η παράγωγος του cv(y), Το cv(y) πρέπει να είναι το ολοκλήρωµα του MC(y). ∆ηλαδή,

c( y ) = F + c v ( y ) και επειδή το πάγιο κόστος F δεν αλλάζει µε τη µεταβολή του προϊόντος y, έχουµε

MC( y ) =

∂ c v ( y ) ∂ c( y ) MC( y ) = . = ∂y ∂y MC είναι η κλίση τόσο της συνάρτησης µεταβλητού κόστους όσο και της συνάρτησης συνολικού κόστους.

⇒

∂ cv ( y) ∂y y

c v ( y ) = ∫ MC( z) dz. 0

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους € /προϊόν

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους

y′

Ποια η σχέση οριακού και µέσου µεταβλητού κόστους;

c v ( y ′ ) = ∫ MC( z) dz 0 MC(y)

Περιοχή µεταβλητού κόστους για παραγωγή y’ µονάδων

y′

y 25

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους

Αφού

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους

c ( y) AVC( y ) = v , y ∂ AVC( y ) y × MC( y ) − 1 × c v ( y ) = . ∂y y2

c ( y) AVC( y ) = v , y

Αφού

∂ AVC( y ) y × MC( y ) − 1 × c v ( y ) = . ∂y y2

Τότε

∂ AVC( y ) > =0 ∂y <

καθώς

> y × MC( y ) = c v ( y ). <

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους c ( y) Αφού AVC( y ) = v , y ∂ AVC( y ) y × MC( y ) − 1 × c v ( y ) = . ∂y y2 τότε ∂ AVC( y ) > =0 ∂y <

> MC( y ) = c v ( y ). < > > c ( y) ∂ AVC( y ) = 0 καθώς MC( y ) = v = AVC( y ). ∂y < < y

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους

∂ AVC( y ) > =0 ∂y <

καθώς

> MC( y ) = AVC( y ). <

καθώς y ×

€ /προϊόν

MC( y ) < AVC( y ) ⇒ MC(y)

MC(y)

AVC(y)

€ /προϊόν

MC( y ) > AVC( y ) ⇒

€ /προϊόν

MC( y ) = AVC( y ) ⇒

∂ AVC( y ) <0 ∂y

€ /προϊόν

∂ AVC( y ) >0 ∂y

MC( y ) = AVC( y ) ⇒

∂ AVC( y ) =0 ∂y

MC(y)

AVC(y)

∂ AVC( y ) =0 ∂y

Η καµπύλη του βραχυχρόνιου MC τέµνει την καµπύλη του βραχυχρόνιου AVC από κάτω στο ελάχιστο της καµπύλης AVC. MC(y)

AVC(y)

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους c( y ) Παρόµοια, αφού ATC( y ) = , y ∂ ATC( y ) y × MC( y ) − 1 × c( y ) = . ∂y y2

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους c( y ) Παρόµοια, αφού ATC( y ) = , y ∂ ATC( y ) y × MC( y ) − 1 × c( y ) = . ∂y y2 Άρα ∂ ATC( y ) > =0 ∂y <

∂ ATC( y ) > =0 ∂y <

καθώς

€ /προϊόν

∂ ATC( y ) > =0 ∂y <

> c( y ) < y

MC(y)

> y × MC( y ) = c( y ). <

καθώς MC( y ) =

καθώςMC( y ) = ATC( y )

ATC(y)

= ATC( y ). y

Συναρτήσεις οριακού και µεταβλητού κόστους

€ /προϊόν

Η καµπύλη βραχυχρόνιου MC τέµνει την καµπύλη βραχυχρόνιου AVC από κάτω στο κατώτατο σηµείο της καµπύλης AVC. Παρόµοια, η καµπύλη βραχυχρόνιου MC τέµνει την καµπύλη βραχυχρόνιου ATC από κάτω στο κατώτατο σηµείο της καµπύλης ATC.

MC(y) ATC(y) AVC(y)

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις συνολικού κόστους

€

F′′ = w2x2′ Μια επιχείρηση έχει διαφορετική καµπύλη βραχυχρόνιου συνολικού κόστους για κάθε δυνατή βραχυχρόνια θέση. Έστω ότι η επιχείρηση µπορεί να είναι σε µια από τις τρεις βραχυχρόνιες θέσεις. x2 = x2′ ή x2 = x2′′ x2′ < x2′′ < x2′′′. ′′′ ή x2 = x2′′′. ′′′

cs(y;x2′)

F′′ 41

€

cs(y;x2′)

F′′ = w2x2′ F′′ ′′ = w2x2′′

F′′ = w2x2′ F′′ ′′ = w2x2′′ Μια µεγαλύτερη ποσότητα σταθερής εισροής αυξάνει το πάγιο κόστος της επιχείρησης

cs(y;x2′′) ′′

F′′ ′′ F′′

cs(y;x2′′) ′′

F′′ ′′ F′′ y

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις συνολικού κόστους

€

cs(y;x2′)

F′′ = w2x2′ F′′ ′′ = w2x2′′ Μια µεγαλύτερη ποσότητα σταθερής εισροής αυξάνει το πάγιο κόστος της επιχείρησης

F′′ ′′ F′′

cs(y;x2′)

cs(y;x2′′) ′′

MP1 είναι η οριακή φυσική παραγωγικότητα της µεταβλητής εισροής 1, έτσι που µια επιπλέον µονάδα της εισροής 1 δίνει MP1 επιπλέον µονάδες προϊόντος. Άρα, η επιπλέον ποσότητα της εισροής 1 που απαιτείται για µια επιπλέον µονάδα προϊόντος είναι 1 / MP1 µονάδες της εισροής 1.

Γιατί µια µεγαλύτερη ποσότητα σταθερής εισροής µειώνει την κλίση της καµπύλης συνολικού κόστους;

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις συνολικού κόστους

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις συνολικού κόστους MP1 είναι η οριακή φυσική παραγωγικότητα της µεταβλητής εισροής 1, έτσι που µια επιπλέον µονάδα της εισροής 1 δίνει MP1 επιπλέον µονάδες προϊόντος. Άρα, η επιπλέον ποσότητα της εισροής 1 που απαιτείται για µια επιπλέον µονάδα προϊόντος είναι 1 / MP1 µονάδες της εισροής 1. Κάθε µονάδα εισροής 1 κοστίζει w1, έτσι το επιπλέον κόστος από την παραγωγή µιας µονάδας προϊόντος είναι

MC =

w1 MP1

Είναι η κλίση της καµπύλης συνολικού κόστους της επιχείρησης.

w1 . MP1

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις συνολικού κόστους w MC = 1 MP1

€

cs(y;x2′)

F′′ = w2x2′ F′′ ′′ = w2x2′′ F′′′ ′′′ = w2x2′′′

Είναι η κλίση της καµπύλης συνολικού κόστους της επιχείρησης.

Αν η εισροή 2 είναι συµπληρωµατική της εισροής 1 τότε το MP1 γίνεται µεγαλύτερο όσο µεγαλύτερο το x2. Άρα, το MC είναι µικρότερο για υψηλότερες τιµές του x2.

cs(y;x2′′) ′′ cs(y;x2′′′) ′′′

F′′′ ′′′

∆ηλαδή, µια βραχυχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους αρχίζει υψηλότερα και έχει µικρότερη κλίση αν το x2 είναι µεγαλύτερο.

F′′ ′′ F′′ y

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις συνολικού κόστους

€

Για 0 ≤ y ≤ y′′, επιλέγει x2 = ;

Η επιχείρηση έχει τρεις βραχυχρόνιες καµπύλες συνολικού κόστους. Μακροχρόνια η επιχείρηση είναι ελεύθερη να επιλέξει ανάµεσα από αυτές τις τρεις, αφού είναι ελεύθερη να επιλέξει το x2 ίσο µε οποιοδήποτε από τα x2', x2'', ή x2'''. Πώς η επιχείρηση κάνει την επιλογή αυτή;

cs(y;x2′) cs(y;x2′′) ′′ cs(y;x2′′′) ′′′

F′′′ ′′′ F′′ ′′ F′′ 0

€

y′′

y′′ ′′

€ Για 0 ≤ y ≤ y′′, επιλέγεται x2 = x2′.

Για 0 ≤ y ≤ y′′, επιλέγεται x2 = x2′.

cs(y;x2′)

Για y′′ ≤ y ≤ y′′ ′′, ′′ επιλέγεται x2 = ;

cs(y;x2′′) ′′ cs(y;x2′′′) ′′′

cs(y;x2′′′) ′′′ F′′′ ′′′

F′′ ′′ F′′

F′′ ′′ F′′ y′′

y′′ ′′

cs(y;x2′) cs(y;x2′′) ′′

F′′′ ′′′

y′′

y′′ ′′

€

€ Για 0 ≤ y ≤ y′′, επιλέγεται x2 = x2′. Για y′′ ≤ y ≤ y′′ ′′, ′′ επιλέγεται x2 = x2′′. ′′

Για 0 ≤ y ≤ y′′, επιλέγεται x2 = x2′.

cs(y;x2′)

Για y′′ ≤ y ≤ y′′ ′′, ′′ επιλέγεται x2 = x2′′. ′′ Για y′′ ′′ < y, επιλέγεται x2 = ;

cs(y;x2′′) ′′

cs(y;x2′′′) ′′′

F′′′ ′′′

F′′ ′′ F′′

y′′

y′′ ′′

y′′

€

y′′ ′′

€ Για 0 ≤ y ≤ y′′, επιλέγεται x2 = x2′. Για y′′ ≤ y ≤ y′′ ′′, ′′ επιλέγεται x2 = x2′′. ′′ Για y′′ ′′ < y, επιλέγεται x2 = x2′′′. ′′′

Για 0 ≤ y ≤ y′′, επιλέγεται x2 = x2′.

cs(y;x2′)

Για y′′ ≤ y ≤ y′′ ′′, ′′ επιλέγεται x2 = x2′′. ′′ Για y′′ ′′ < y, επιλέγεται x2 = x2′′′. ′′′

cs(y;x2′′) ′′

F′′′ ′′′

F′′ ′′ F′′

F′′ ′′ F′′ y′′

y′′ ′′

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις συνολικού κόστους

cs(y;x2′) cs(y;x2′′) ′′

cs(y;x2′′′) ′′′

cs(y;x2′)

c(y), είναι

η καµπύλη µακροχρόνιου συνολικού κόστους.

y′′

y′′ ′′

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις συνολικού κόστους

Η καµπύλη µακροχρόνιου συνολικού κόστους αποτελείται από τα κατώτερα τµήµατα των καµπυλών βραχυχρόνιου κόστους. Η καµπύλη µακροχρόνιου συνολικού κόστους είναι το κατώτερο περίβληµα (φάκελος) των καµπυλών βραχυχρόνιου συνολικού κόστους. 59

Αν η εισροή 2 είναι διαθέσιµη σε συνεχείς ποσότητες τότε υπάρχει µια απειρία καµπυλών βραχυχρόνιου κόστους, αλλά η καµπύλη µακροχρόνιου συνολικού κόστους συνεχίζει να είναι το κατώτερο περίβληµα (φάκελος) όλων των καµπυλών βραχυχρόνιου κόστους.

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις µέσου συνολικού κόστους

€

cs(y;x2′) cs(y;x2′′) ′′ cs(y;x2′′′) ′′′

c(y)

F′′′ ′′′ F′′ ′′ F′′ 0

Για κάθε επίπεδο προϊόντος y, η καµπύλη µακροχρόνιου συνολικού κόστους δίνει πάντοτε το µικρότερο δυνατό συνολικό κόστος παραγωγής. Εποµένως, η καµπύλη του µακροχρόνιου µέσου κόστους πρέπει πάντοτε να δίνει το µικρότερο δυνατό µέσο συνολικό κόστος παραγωγής. Η καµπύλη του µακροχρόνιου µέσου συνολικού κόστους πρέπει να είναι το χαµηλότερο περίβληµα (φάκελος) όλων των καµπυλών βραχυχρόνιου µέσου συνολικού κόστους της επιχείρησης. 62

€ /προϊόν

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις µέσου συνολικού κόστους

Π.χ. Ας υποθέσουµε ξανά ότι η επιχείρηση µπορεί να είναι σε µια από τις τρεις βραχυχρόνιες θέσεις. x2 = x2′ ή x2 = x2′′ (x2′ < x2′′ < x2′′′) ή x2 = x2′′′ τότε οι τρεις καµπύλες βραχυχρόνιου µέσου συνολικού κόστους είναι...

ACs(y;x2′) ACs(y;x2′′) ′′ ACs(y;x2′′′) ′′′

€ /προϊόν

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις µέσου συνολικού κόστους

ACs(y;x2′′′) ′′′

Η καµπύλη µακροχρόνιου συνολικού κόστους είναι το χαµηλότερο περίβληµα (φάκελος) των καµπυλών βραχυχρόνιου µέσου συνολικού κόστους...

ACs(y;x2′) ACs(y;x2′′) ′′ Η καµπύλη µακροχρόνιου µέσου AC(y) συνολικού κόστους είναι το κατώτερο περίβληµα (φάκελος) των καµπυλών βραχυχρόνιου µέσου συνολικού κόστους.

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις οριακού κόστους

Ε: Είναι η καµπύλη µακροχρόνιου οριακού κόστους το κατώτερο περίβληµα των καµπυλών βραχυχρόνιου οριακού κόστους;

Ε: Είναι η καµπύλη µακροχρόνιου οριακού κόστους το κατώτερο περίβληµα των καµπυλών βραχυχρόνιου οριακού κόστους; A: ΟΧΙ.

€ /προϊόν

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις οριακού κόστους

ACs(y;x2′′′) ′′′ ACs(y;x2′)

Οι τρεις καµπύλες βραχυχρόνιου µέσου συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι...

ACs(y;x2′′) ′′

MCs(y;x2′)

€ /προϊόν

MCs(y;x2′′) ′′

ACs(y;x2′′′) ′′′

MCs(y;x2′)

€ /προϊόν

MCs(y;x2′′) ′′

ACs(y;x2′′′) ′′′ ACs(y;x2′) ACs(y;x2′′) ′′

MCs(y;x2′′′) ′′′

ACs(y;x2′) ACs(y;x2′′) ′′

MCs(y;x2′′′) ′′′

AC(y)

MCs(y;x2′)

€ /προϊόν

MCs(y;x2′′) ′′

MCs(y;x2′)

€ /προϊόν

ACs(y;x2′′′) ′′′

MCs(y;x2′′) ′′

ACs(y;x2′′′) ′′′ ACs(y;x2′) ACs(y;x2′′) ′′

MCs(y;x2′′′) ′′′

ACs(y;x2′) ACs(y;x2′′) ′′

AC(y)

MCs(y;x2′′′) ′′′ MC(y), η καµπύλη µακροχρόνιου οριακού κόστους.

MCs(y;x2′)

€ /προϊόν

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις οριακού κόστους

MCs(y;x2′′) ′′

ACs(y;x2′′′) ′′′

Για κάθε επίπεδο προϊόντος y > 0, το µακροχρόνιο οριακό κόστος παραγωγής ισούται µε το οριακό κόστος παραγωγής για τη βραχυχρόνια περίοδο που επιλέγει η επιχείρηση.

ACs(y;x2′) ACs(y;x2′′) ′′

MCs(y;x2′′′) ′′′ MC(y), η καµπύλη µακροχρόνιου οριακού κόστους. y

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις οριακού κόστους

Για κάθε επίπεδο προϊόντος y > 0, το µακροχρόνιο οριακό κόστος παραγωγής ισούται µε το οριακό κόστος παραγωγής για τη βραχυχρόνια περίοδο που επιλέγει η επιχείρηση. Αυτό ισχύει πάντοτε, ανεξάρτητα από το πόσες βραχυχρόνιες περίοδοι υπάρχουν για την επιχείρηση. 77

Για κάθε επίπεδο προϊόντος y > 0, το µακροχρόνιο οριακό κόστος παραγωγής ισούται µε το οριακό κόστος παραγωγής για τη βραχυχρόνια περίοδο που επιλέγει η επιχείρηση. Έτσι για την περίπτωση που έχουµε συνεχή µεγέθη, όπου το x2 µπορεί να οριστεί σε κάθε τιµή από µηδέν και πιο πάνω, η σχέση µεταξύ µακροχρόνιου οριακού κόστους και όλων των βραχυχρόνιων κοστών είναι... 78

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις οριακού κόστους

€ /προϊόν

SRACs

SRMCs AC(y)

AC(y)

y 79

Βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες συναρτήσεις οριακού κόστους

Ερώτηση εξάσκησης 1

€ /προϊόν

SRMCs

MC(y)

Μεταξύ των καµπυλών µέσου συνολικού κόστους (ATC) και οριακού κόστους (MC) πρέπει να ισχύει η παρακάτω σχέση: α. Αν το MC αυξάνεται, το ATC πρέπει επίσης να αυξάνεται. β. Αν το MC αυξάνεται, το ATC πρέπει να είναι µεγαλύτερο από το MC. γ. Αν το MC αυξάνεται, το ATC πρέπει να είναι µικρότερο από το MC. δ. Αν το ATC αυξάνεται, το MC πρέπει να είναι µεγαλύτερο από το ATC. ε. Αν το ATC αυξάνεται, το MC πρέπει να είναι µικρότερο από το ATC.

AC(y)

y Για κάθε y > 0, το µακροχρόνιο MC ισούται µε το MC που επιλέγει βραχυχρόνια η επιχείρηση.

Ερώτηση εξάσκησης 2 Η συνάρτηση παραγωγής Q = 10000K0,25L0,25 παρουσιάζει α. Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας. β. Σταθερές αποδόσεις κλίµακας γ. Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας. δ. Αύξουσες και µετά φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας ε. Αρνητικές αποδόσεις κλίµακας. 83

Προσφορά επιχείρησης Πώς αποφασίζει µια επιχείρηση για το πόσο θα παραγάγει; Αυτό εξαρτάται από:

∆ιάλεξη 14

Την τεχνολογία της επιχείρησης Το περιβάλλον της αγοράς Τις επιδιώξεις της Τη συµπεριφορά των ανταγωνιστών της

Προσφορά επιχείρησης

Το περιβάλλον της αγοράς

Υπάρχουν πολλές άλλες επιχειρήσεις ή πολύ λίγες; Οι αποφάσεις των άλλων επιχειρήσεων επηρεάζουν τις επιδόσεις της επιχείρησής µας; Είναι οι συναλλαγές απρόσωπες ή οι συναλλαγές διευθετούνται µε ενδιάµεσους;

Μονοπώλιο: Υπάρχει µόνο µια επιχείρηση που προσδιορίζει την προσφερόµενη ποσότητα και την τιµή εκκαθάρισης της αγοράς. Ολιγοπώλιο: Υπάρχουν λίγες επιχειρήσεις, και η απόφαση της µιας επηρεάζει τις αποδόσεις των άλλων.

Το περιβάλλον της αγοράς

Επιχείρηση µε δεσπόζουσα θέση: Υπάρχουν πολλές επιχειρήσεις, αλλά η µια είναι πολύ πιο µεγάλη από τις άλλες. Οι αποφάσεις της µεγάλης επιχείρησης επηρεάζουν τις αποδόσεις των άλλων. Οι αποφάσεις µιας µικρής επιχείρησης δεν έχουν σηµαντική επίδραση στις άλλες.

Μονοπωλιακός ανταγωνισµός: Υπάρχουν πολλές επιχειρήσεις και η κάθε µια παράγει ένα ελαφρά διαφοροποιηµένο προϊόν. Το παραγόµενο από κάθε επιχείρηση προϊόν είναι µικρό σε σχέση µε το συνολικό προϊόν. Αµιγής ανταγωνισµός: Υπάρχουν πολλές επιχειρήσεις που παράγουν το ίδιο προϊόν. Το επίπεδο κάθε επιχείρησης είναι µικρό σε σχέση µε το συνολικό προϊόν. 6

Το περιβάλλον της αγοράς

Αµιγής ανταγωνισµός

Τώρα θα εξετάσουµε την περίπτωση του αµιγούς ανταγωνισµού και αργότερα θα εξετάσουµε τις άλλες µορφές αγοράς.

Η επιχείρηση σε µια τέλεια ανταγωνιστική αγορά ξέρει ότι δεν έχει καµιά επιρροή στην τιµή της αγοράς του προϊόντος της. Η επιχείρηση είναι λήπτης της τιµής της αγοράς. Η επιχείρηση είναι ελεύθερη να µεταβάλλει την τιµή της.

Αµιγής ανταγωνισµός

Αν η επιχείρηση θέτει η ίδια τη δική της τιµή πάνω από την τιµή της αγοράς, τότε η ζητούµενη ποσότητα από το προϊόν της θα είναι µηδενική. Αν η επιχείρηση θέτει η ίδια τη δική της τιµή κάτω από την τιµή της αγοράς, τότε η ζητούµενη ποσότητα από το προϊόν της θα είναι η συνολική ποσότητα που ζητείται στην αγορά.

Ποια είναι εποµένως η καµπύλη ζήτησης που αντιµετωπίζει µια επιµέρους επιχείρηση;

Αµιγής ανταγωνισµός

€ /προϊόν

€ /προϊόν Προσφορά αγοράς

Προσφορά αγοράς

p’ pe

pe Ζήτηση αγοράς

Στην τιµή p’, η ζήτηση από την επιχείρηση είναι µηδέν. Ζήτηση αγοράς

y 11

Αµιγής ανταγωνισµός € /προϊόν

Αµιγής ανταγωνισµός

Προσφορά αγοράς

Εποµένως, η καµπύλη ζήτησης την οποία αντιµετωπίζει µια συγκεκριµένη επιχείρηση είναι...

p’ Στην τιµή p’, η ζήτηση από την επιχείρηση είναι µηδέν.

pe p”

Ζήτηση αγοράς

Στην τιµή p” η επιχείρηση αντιµετωπίζει όλη τη ζήτηση της αγοράς. 13

€ /προϊόν

Αµιγής ανταγωνισµός

€ /προϊόν

Αµιγής ανταγωνισµός

Προσφορά αγοράς

p’ pe

p’ Στην τιµή p’, η ζήτηση από την επιχείρηση είναι µηδέν.

p”

pe p”

Ζήτηση αγοράς

y Στην τιµή p” η επιχείρηση αντιµετωπίζει όλη τη ζήτηση της αγοράς.

Αµιγής ανταγωνισµός

Μικρό µέγεθος

«Καµπύλη ζήτησης της αγοράς»

Τι σηµαίνει να λέµε ότι µια επιχείρηση είναι µικρή σε σχέση µε το «µέγεθος του κλάδου»;

≠ «Καµπύλη ζήτησης που αντιµετωπίζει µια επιχείρηση»

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

Μικρό µέγεθος € /προϊόν

Καµπύλη ζήτησης της επιχείρησης

MCεπιχείρησης

Η κάθε επιχείρηση µεγιστοποιεί το κέρδος της και στη βραχυχρόνια περίοδο. Ε: Πώς η κάθε επιχείρηση επιλέγει το επίπεδο παραγωγής της;

y Η τεχνολογία της µεµονωµένης επιχείρησης την οδηγεί πάντα να προσφέρει ένα µικρό µέρος µόνο της συνολικά ζητούµενης ποσότητας στην τιµή της αγοράς.

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

max Π s ( y ) = py − c s ( y ).

Η κάθε επιχείρηση µεγιστοποιεί το κέρδος της και στη βραχυχρόνια περίοδο. Ε: Πώς η κάθε επιχείρηση επιλέγει το επίπεδο παραγωγής της; A: Με τη λύση του προβλήµατος

y≥ 0

Με τι µοιάζει η λύση για το ys* ;

max Π s ( y ) = py − c s ( y ). y≥ 0

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

max Π s ( y ) = py − c s ( y ).

y≥ 0

Με τι µοιάζει η λύση για το ys* ;

(α) ys* > 0:

(β) ys* = 0:

Π(y)

dΠ s ( y ) (i ) = p − MC s ( y ) = 0 dy (ii )

ys*

Π(y)

d 2 Π s (y ) < 0 στο y = y *s . dy 2

dΠ s ( y ) = p − MC s ( y ) ≤ 0 dy

στο y = y *s = 0. y

ys* = 0 23

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

Για την περίπτωση ys* > 0, η συνθήκη δεύτερης τάξης για µεγιστοποίηση κέρδους είναι

Για την περίπτωση ys* > 0, η συνθήκη πρώτης τάξης για µεγιστοποίηση κέρδους είναι

d 2Π s ( y )

dΠ s ( y ) = p − MC s ( y ) = 0 . dy

dy 2

δηλαδή, p = MC s ( y*s ).

δηλαδή,

Έτσι στο µέγιστο κέρδος µε ys* > 0, η τιµή της αγοράς p ισούται µε το οριακό κόστος παραγωγής στο y = ys*.

d dMCs ( y ) < 0. (p − MCs ( y ) ) = − dy dy dMC s ( y*s ) > 0. dy

Έτσι στο µέγιστο κέρδος µε ys* > 0, η καµπύλη οριακού κόστους της επιχείρησης έχει θετική κλίση. 25

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

€ /προϊόν

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης Στο y = ys*, p = MC και η MC έχει θετική κλίση. Το y = ys* µεγιστοποιεί το κέρδος.

€ /προϊόν

pe MCs(y) y’

MCs(y)

ys*

y’

ys*

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης Στο y = ys*, p = MC και MC έχει θετική κλίση. y = ys* µεγιστοποιεί το κέρδος.

€ /προϊόν

pe MCs(y) y’

ys*

MCs(y) y

y’

Στο y = y’, p = MC και MC έχει αρνητική κλίση. y = y’ δεν µεγιστοποιεί το κέρδος. 29

ys*

Στο y = ys*, p = MC και MC έχει θετική κλίση. y = ys* µεγιστοποιεί το κέρδος. Άρα το επίπεδο προσφοράς που µεγιστοποιεί το κέρδος µπορεί να είναι µόνο το ανερχόµενο τµήµα της καµπύλης MC.

y 30

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης Αλλά κάθε σηµείο στο ανερχόµενο τµήµα της καµπύλης οριακού κόστους MC δεν αντιπροσωπεύει και σηµείο µεγιστοποίησης του κέρδους. Η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης είναι

Αλλά κάθε σηµείο στο ανερχόµενο τµήµα της καµπύλης οριακού κόστους MC δεν αντιπροσωπεύει και σηµείο µεγιστοποίησης του κέρδους.

Π s ( y ) = py − c s ( y ) = py − F − c v ( y ). Αν η επιχείρηση επιλέγει y = 0, τότε το κέρδος είναι

Π s ( y) = 0 − F − cv (0) = − F. 31

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

Έτσι η επιχείρηση επιλέγει επίπεδο προϊόντος y > 0 µόνο αν

Έτσι η επιχείρηση επιλέγει επίπεδο προϊόντος y > 0 µόνο αν Π s ( y ) = py − F − c v ( y ) ≥ − F .

Π s ( y ) = py − F − c v ( y ) ≥ − F .

τ.ε. µόνο αν

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

py − c v ( y ) ≥ 0

και διαφορετικά, µόνο αν c ( y) p≥ v = AVC s ( y ). y

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης € /προϊόν

€ /προϊόν

MCs(y) ACs(y)

MCs(y) ACs(y) AVCs(y)

AVCs(y)

y 35

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης € /προϊόν

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης p > AVCs(y)

€ /προϊόν

p > AVCs(y)

ys* > 0.

MCs(y) ACs(y)

AVCs(y)

p < AVCs(y)

y ys* = 0.

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης € /προϊόν

p > AVCs(y)

ys* > 0.

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης € /προϊόν Σηµείο

MCs(y) ACs(y)

στάσης παραγωγής

AVCs(y) Η καµπύλη βραχυχρόνιας προσφοράς της επιχείρησης

p < AVCs(y)

MCs(y) ACs(y) AVCs(y) Η καµπύλη βραχυχρόνιας προσφοράς της επιχείρησης

y ys* = 0.

y 39

Βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης

Στάση παραγωγής δεν είναι το ίδιο µε την έξοδο. Στάση σηµαίνει παραγωγή µηδενικού προϊόντος (αλλά η επιχείρηση παραµένει στον κλάδο και υποφέρει τα πάγια κόστη της). Έξοδος σηµαίνει να εγκαταλείψεις τον κλάδο, κάτι που µπορεί να κάνει η επιχείρηση µόνο µακροχρόνια. 41

Μακροχρόνια είναι η περίοδος κατά την οποία η επιχείρηση µπορεί να επιλέξει µια από όλες τις βραχυχρόνιες καταστάσεις. Πώς συγκρίνεται η απόφαση για µακροχρόνια προσφορά µε τις αποφάσεις της για βραχυχρόνια προσφορά; 42

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης Μακροχρόνια η απόφαση για προσφορά είναι να

Η µακροχρόνια συνάρτηση κέρδους µιας ανταγωνιστικής επιχείρησης είναι

max Π ( y ) = py − c( y ). y≥ 0

Π ( y ) = py − c ( y ). Το µακροχρόνιο κόστος c(y) παραγωγής y µονάδων αποτελείται µόνο από µεταβλητά κόστη, αφού στη µακροχρόνια περίοδο όλες οι εισροές είναι µεταβλητές.

Η συνθήκη πρώτης και δεύτερης τάξης για µεγιστοποίηση είναι για το y* > 0,

p = MC ( y ) και dMC ( y ) > 0. dy

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης

€ /προϊόν

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης MC(y)

Επιπλέον, το οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης δεν πρέπει να είναι αρνητικό, γιατί τότε η επιχείρηση πρέπει να εξέλθει του κλάδου. Άρα

AC(y)

Π ( y ) = py − c ( y ) ≥ 0 c( y ) ⇒ p≥ = AC( y ). y

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης € /προϊόν

€ /προϊόν

MC(y)

MC(y) p > AC(y)

p > AC(y)

AC(y)

y 47

€ /προϊόν

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης

Η καµπύλη µακροχρόνιας προσφοράς

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης

MC(y)

Πώς σχετίζεται η καµπύλη µακροχρόνιας προσφοράς µε την καµπύλη βραχυχρόνιας προσφοράς;

AC(y)

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης

€ /προϊόν

ACs(y)

€ /προϊόν ACs(y)

MC(y)

MC(y) MCs(y)

AC(y)

p’

MCs(y)

AC(y)

ys*

ys* είναι το επίπεδο µεγιστοποίησης κέρδους βραχυχρόνια;

y 51

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης € /προϊόν

€ /προϊόν

ACs(y)

MC(y)

MCs(y) p’

MCs(y)

AC(y)

p’

Πs

ys*

MC(y)

Πs

AC(y)

Π ys*

Η επιχείρηση µπορεί να αυξήσει το κέρδος µε το να αυξήσει το x2 και να παράξει y* µονάδες προϊόντος.

ys* είναι το επίπεδο µεγιστοποίησης κέρδους βραχυχρόνια 53

Μακροχρόνια προσφορά επιχείρησης € /προϊόν

ACs(y)

MCs(y)

ACs(y)

MC(y)

MCs(y)

AC(y)

p”

y ys* ys* είναι το επίπεδο ελαχιστοποίησης ζηµιάς βραχυχρόνια

AC(y)

Ζηµιά

y ys* ys* είναι το επίπεδο ελαχιστοποίησης ζηµιάς βραχυχρόνια 55

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

€ /προϊόν ACs(y)

MC(y)

€ /προϊόν MC(y)

MCs(y)

AC(y) AC(y)

p”

Ζηµιά

y ys* Αυτή η ζηµιά µπορεί να εξαλειφτεί µακροχρόνια µε έξοδο της επιχείρησης από τον κλάδο

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια € /προϊόν προσφορά επιχείρησης

€ /προϊόν

MC(y)

p’

AC(y)

Πs

ys*

y ys* ys* µεγιστοποιεί το κέρδος βραχυχρόνια

ys* µεγιστοποιεί το κέρδος βραχυχρόνια 59

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

€ /προϊόν

€ /προϊόν MC(y)

MC(y)

AC(y)

p’

y* ys*

p’

ys* µεγιστοποιεί το κέρδος βραχυχρόνια. y* µεγιστοποιεί το κέρδος µακροχρόνια.

MC(y)

Πs

y* ys*

ys* µεγιστοποιεί το κέρδος βραχυχρόνια. y* µεγιστοποιεί το κέρδος µακροχρόνια.

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης € /προϊόν

€ /προϊόν

Π y* ys*

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

p’

AC(y)

MC(y)

AC(y)

Η επιχείρηση µπορεί να αυξήσει το κέρδος µειώνοντας το x2 και παράγοντας y* µονάδες προϊόντος. 63

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια € /προϊόν προσφορά επιχείρησης

MC(y)

AC(y)

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση

Μακροχρόνια και βραχυχρόνια προσφορά επιχείρησης

€ /προϊόν

Καµπύλη µακροχρόνιας προσφοράς MC(y)

Το πλεόνασµα παραγωγού της επιχείρησης είναι η συσσώρευση, µονάδα µε µονάδα προϊόντος, των επιπλέον εσόδων µείον το κόστος παραγωγής. Πώς συνδέεται το πλεόνασµα παραγωγού µε το κέρδος;

AC(y)

Βραχυχρόνιες καµπύλες προσφοράς 67

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση

€ /προϊόν

MCs(y)

ACs(y) AVCs(y)

y 69

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση € /προϊόν

MCs(y)

ACs(y) AVCs(y)

y*(p)

MCs(y) ACs(y) AVCs(y)

y*(p) 71

y 72

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση € /προϊόν

Έτσι το πλεόνασµα παραγωγού της επιχείρησης είναι

PS( p ) =

MCs(y)

y*( p )

∫ [p − MCs ( z)]d( z)

ACs(y) AVCs(y)

= py * ( p ) −

y*( p )

∫ MCs ( z)d( z) 0

= py * ( p ) − c v ( y * (p ) ).

y*(p)

∆ηλαδή, PS = Έσοδα – µεταβλητό κόστος.

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση € /προϊόν

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση

MCs(y)

€ /προϊόν

ACs(y) AVCs(y)

MCs(y)

ACs(y) AVCs(y)

Έσοδα = py*(p)

c v ( y * ( p )) =

y*(p) MC ( ∫ s z) d( z)

y*( p )

y y*(p)

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση € /προϊόν

€ /προϊόν

MCs(y)

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση MCs(y)

ACs(y) AVCs(y)

Έσοδα = py*(p)

ACs(y) AVCs(y)

cv(y*(p)) y*(p)

y*(p) 77

y 78

Πλεόνασµα παραγωγού: αναθεώρηση

Ερώτηση εξάσκησης 1

PS = Έσοδα – µεταβλητά κόστη. Κέρδος = Έσοδα – Συνολικά κόστη = Έσοδα – πάγια κόστη - Μεταβλητά κόστη. Άρα, PS = Κέρδος + πάγια κόστη. Μόνο αν τα πάγια κόστη είναι µηδέν (µακροχρόνια) το PS και το κέρδος είναι τα ίδια. 79

Αν η συνάρτηση µακροχρόνιου κόστους µιας ανταγωνιστικής επιχείρησης είναι TC(Q) = 5Q2+ 320, για ποια τιµή p του προϊόντος η επιχείρηση θα προσφέρει θετική ποσότητα προϊόντος;

Προσφορά από ανταγωνιστικό κλάδο Πώς συνδυάζονται οι αποφάσεις προσφοράς των πολλών ιδιωτικών επιχειρήσεων σε µια ανταγωνιστική αγορά για να βρούµε την καµπύλη προσφοράς ενός κλάδου;

∆ιάλεξη 15

Προσφορά κλάδου

Προσφορά από ανταγωνιστικό κλάδο

Βραχυχρόνια προσφορά

Με δεδοµένο ότι κάθε επιχείρηση σε έναν κλάδο είναι λήπτρια τιµών, η συνολική προσφερόµενη ποσότητα σε µια δεδοµένη τιµή είναι το άθροισµα των ποσοτήτων που προσφέρονται σε αυτή την τιµή από τις επιµέρους επιχειρήσεις.

Βραχυχρόνια, ο αριθµός των επιχειρήσεων σε έναν κλάδο είναι προσωρινά σταθερός. Έστω n ο αριθµός των επιχειρήσεων i = 1, … ,n. Si(p) είναι η συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης i.

Προσφορά από ανταγωνιστικό κλάδο

Βραχυχρόνια προσφορά Βραχυχρόνια, ο αριθµός των επιχειρήσεων σε έναν κλάδο είναι προσωρινά σταθερός. Έστω n ο αριθµός των επιχειρήσεων i = 1, … ,n. Si(p) είναι η συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης i. Η συνάρτηση βραχυχρόνιας προσφοράς του n κλάδου είναι S(p ) = ∑ S i (p ). i=1

Προσφορά επιχ. 1

S1(p)

Προσφορά επιχ. 2

S2(p)

Προσφορά από ανταγωνιστικό κλάδο Προσφορά επιχ. 1

Προσφορά επιχ. 2

p p”

Προσφορά επιχ. 2

p’

S1(p’)

S1(p)

S2(p)

p p”

S1(p”)

S1(p)

S2(p”) S2(p)

p’ S1(p’)

S1(p”)+S2(p”)

S(p) = S1(p) + S2(p)

Προσφορά κλάδου

Προσφορά από ανταγωνιστικό κλάδο Προσφορά επιχ. 1

Βραχυχρόνια ισορροπία κλάδου

Προσφορά επιχ. 2

S1(p)

S(p) = S1(p) + S2(p)

Βραχυχρόνια,δεν συµβαίνει ούτε είσοδος ούτε έξοδος επιχειρήσεων. Εποµένως, σε µια βραχυχρόνια ισορροπία, κάποιες επιχειρήσεις κάνουν θετικά οικονοµικά κέρδη, άλλες µπορεί να έχουν ζηµιές και άλλες µπορεί να έχουν µηδενικά οικονοµικά κέρδη.

S2(p)

S(p) = S1(p) + S2(p) Προσφορά κλάδου

Βραχυχρόνια ισορροπία κλάδου

Επιχ. 1

Καµπύλη βραχυχρόνιας προσφοράς

Επιχ. 2 MCs

ACs

Επιχ. 3 ACs

MCs

pse

ACs MCs

pse Αγοραία ζήτηση Yse

y 1*

Η τιµή στη βραχυχρόνια ισορροπία εκκαθαρίζει την αγορά και θεωρείται δεδοµένη για την κάθε επιχείρηση.

y 2*

y 3*

Βραχυχρόνια ισορροπία κλάδου Επιχ. 1

Επιχ. 2

Επιχ. 3 ACs

Επιχ. 1 ACs

MCs

Επιχ. 2

Επιχ. 3 ACs

ACs

MCs

ACs

Βραχυχρόνια ισορροπία κλάδου

MCs

pse

ACs

MCs

pse

Π1 > 0 y 1*

Π2 < 0 y 2*

Π3 = 0 y 3*

Π1 > 0 y 1*

Π2 < 0 y 2*

Επιχ. 1 θέλει να µείνει στον κλάδο

Επιχ. 2 θέλει να εξέλθει του κλάδου

Π3 = 0 y 3*

Η επιχ. 3 είναι αδιάφορη.

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου Τα θετικά οικονοµικά κέρδη δίνουν κίνητρα για είσοδο. Τα οικονοµικά κέρδη είναι θετικά όταν η τιµή της αγοράς pse είναι µεγαλύτερη από το ελάχιστο µέσο συνολικό κόστος της επιχείρησης. pse > min AC(y). Η είσοδος νέων επιχειρήσεων αυξάνει την προσφορά του κλάδου προκαλώντας πτώση στην pse. Μέχρι πότε συνεχίζεται αυτή η είσοδος;

Μακροχρόνια, κάθε επιχείρηση που είναι τώρα στον κλάδο είναι ελεύθερη να εξέλθει και οι επιχειρήσεις που είναι τώρα εκτός κλάδου είναι ελεύθερες να εισέλθουν. Η συνάρτηση µακροχρόνιας προσφοράς πρέπει να λάβει υπόψη της και την είσοδο και την έξοδο καθώς και τις επιλογές προσφοράς των επιχειρήσεων που επιλέγουν να είναι στον κλάδο. Πώς γίνεται αυτό; 15

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S2(p)

Έστω ότι ο κλάδος έχει αρχικά δύο επιχειρήσεις.

Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S2(p)

Προσφορά αγοράς

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Η τιµή που ισορροπεί την αγορά είναι p2. 17

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S2(p)

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

MC(y) AC(y)

S2(p)

p2 Π>0

y 2*

Η τιµή που ισορροπεί την αγορά είναι p2. Κάθε επιχείρηση παράγει y2* µονάδες προϊόντος. 19

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου p

Ζήτηση αγοράς

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

S3(p) p2

y 2*

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S3(p) p3

S2(p)

S3(p) p3

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p MC(y) AC(y)

S2(p)

Ζήτηση αγοράς

y 2*

Η καµπύλη προσφοράς µετατοπίζεται προς τα έξω. Η τιµή της αγοράς πέφτει

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου Αγορά

Η καµπύλη προσφοράς µετατοπίζεται προς τα έξω.

MC(y) AC(y)

S2(p)

S3(p) p2

Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S2(p)

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

y 2* y Y Η κάθε επιχείρηση έχει ένα θετικό οικονοµικό κέρδος, που προκαλεί την είσοδο µιας άλλης επιχείρησης.

y 3*

Π>0 y 3*

Η κάθε επιχείρηση παράγει λιγότερο. Το οικονοµικό κέρδος της κάθε επιχείρησης µειώνεται.

Η κάθε επιχείρηση παράγει λιγότερο 23

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Ζήτηση αγοράς

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S3(p) p3

Π>0 y 3*

S3(p) S4(p)

y 3*

Το οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης είναι θετικό. Θα εισέλθει άλλη επιχείρηση; Ναι

Η αγοραία προσφορά µετατοπίζεται και πάλι προς τα έξω. 25

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Ζήτηση αγοράς

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S3(p) S4(p)

y 3*

y 4* y Y Η κάθε επιχείρηση παράγει και πάλι λιγότερο.

Η αγοραία προσφορά µετατοπίζεται και πάλι προς τα έξω. Η τιµή ισορροπίας θα µειωθεί ξανά 27

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Ζήτηση αγοράς

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S3(p) S4(p) p4

Π<0 y 4*

p4 Y

Η κάθε επιχείρηση παράγει και πάλι λιγότερο. Το οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης θα γίνει αρνητικό 29

Π<0 y 4*

Η κάθε επιχείρηση παράγει και πάλι λιγότερο. Το οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης θα γίνει αρνητικό Εποµένως τέταρτη επιχείρηση δεν θα εισέλθει.

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Ο µακροχρόνιος αριθµός επιχειρήσεων στον κλάδο είναι ο πιο µεγάλος αριθµός για τον οποίο η αγοραία τιµή είναι τουλάχιστο τόση, όσο το ελάχιστο AC(y). Τώρα µπορούµε να κατασκευάσουµε την καµπύλη µακροχρόνιας προσφοράς του κλάδου.

Ας υποθέσουµε ότι η αγοραία ζήτηση είναι τόσο µεγάλη όσο για να µπορεί να στηρίξει δύο επιχειρήσεις.

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p Ζήτηση αγοράς

Ας υποθέσουµε ότι η αγοραία ζήτηση είναι τόσο µεγάλη όσο για να µπορεί να στηρίξει δύο επιχειρήσεις. Ας υποθέσουµε τώρα ότι η ζήτηση αυξάνει, οπότε η τιµή της αγοράς αυξάνει, η κάθε επιχείρηση παράγει περισσότερο και αποκοµίζει ένα υψηλότερο οικονοµικό κέρδος.

MC(y) AC(y)

S2(p) S3(p)

p2’

p2’ y 2*

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p Ζήτηση αγοράς

S3(p)

p2’

MC(y) AC(y)

S2(p) S3(p)

p2”

p2’ Y

p Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S2(p)

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

y 2*

p2”

y 2*

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S2(p) S3(p)

p2”

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

MC(y) AC(y)

S2(p) S3(p)

p2”

y 2*

p2”

y 2*

Σηµειώστε ότι τρίτη επιχείρηση δεν θα εισέλθει διότι θα κάνει αρνητικά οικονοµικά κέρδη. 37

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Αν η αγοραία ζήτηση αυξηθεί περαιτέρω, η τιµή θα αυξηθεί περαιτέρω, οι δύο αρχικές επιχειρήσεις θα παράγουν περισσότερο και θα κάνουν ακόµη µεγαλύτερα κέρδη – µέχρις ότου µια 3η επιχείρηση γίνει αδιάφορη µεταξύ του να εισέλθει και να παραµείνει εκτός.

Αγορά Ζήτηση αγοράς

Μια “τυπική” επιχείρηση

MC(y) AC(y)

S2(p) S3(p)

p2”

y 2*

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p Ζήτηση αγοράς

S3(p) p2’”

MC(y) AC(y)

S2(p) S3(p)

p2’”

p Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

S2(p)

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p2’”

y 2*

p2’”

y 2*

Τώρα, µια τρίτη επιχείρηση µπορεί να εισέλθει, κάνοντας όλες τις επιχειρήσεις να έχουν µηδενικά κέρδη. 41

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p Ζήτηση αγοράς

Εποµένως, κάθε παραπέρα αύξηση στην αγοραία ζήτηση θα προκαλέσει αύξηση στον αριθµό των επιχειρήσεων σε τρεις.

MC(y) AC(y)

S2(p) S3(p)

p2’”

y 2* y Y Αυτό είναι το µόνο σχετικό τµήµα της καµπύλης βραχυχρόνιας προσφοράς για n = 2 στον κλάδο. 43

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p Ζήτηση αγοράς

Πόσο πολύ µπορεί να αυξηθεί η αγοραία ζήτηση πριν µπει µια τέταρτη επιχείρηση στον κλάδο;

MC(y) AC(y) S3(p) S4(p)

p3’

p3’ y 3*

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p Ζήτηση αγοράς

S3(p) S4(p)

p3’

p3’ Y

y 3*

p Ζήτηση αγοράς

MC(y) AC(y)

p3’

Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

MC(y) AC(y) S3(p) S4(p)

p3’

y 3* y Y Τώρα όµως µια 4η επιχείρηση που θα µπει στον κλάδο θα έχει µηδενικά κέρδη.

Αν τώρα µπει µια 4η επιχείρηση στον κλάδο θα κάνει αρνητικά κέρδη. 47

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου Μια “τυπική” επιχείρηση

Αγορά

p3’

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Ζήτηση αγοράς

Συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο κατασκευάζουµε την καµπύλη µακροχρόνιας προσφοράς, ένα τµήµα κάθε φορά, από διαδοχικές καµπύλες βραχυχρόνιας προσφοράς.

MC(y) AC(y) S3(p) S4(p)

p3’

y 3* y Y Το µόνο σχετικό τµήµα της καµπύλη βραχυχρόνιας προσφοράς για n = 3 επιχειρήσεων στον κλάδο. 49

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Η µακροχρόνια καµπύληp προσφοράς της αγοράς

Μια “τυπική” επιχείρηση

Η µακροχρόνια καµπύληp προσφοράς της αγοράς

MC(y) AC(y)

y 3*

MC(y) AC(y)

y 3*

Σηµειώστε ότι το κατώτατο σηµείο κάθε τµήµατος της καµπύλης προσφοράς είναι το min AC(y). 52

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Καθώς κάθε επιχείρηση γίνεται «µικρότερη» σε σχέση µε τον κλάδο, η καµπύλη µακροχρόνιας προσφοράς πλησιάζει µια οριζόντια γραµµή στο ύψος του ελάχιστου AC(y).

Η µακροχρόνια καµπύλη p προσφοράς της αγοράς

MC(y) AC(y)

y 3*

Σηµειώστε ότι το κατώτατο σηµείο κάθε τµήµατος της καµπύλης προσφοράς είναι το min AC(y). 53

Μακροχρόνια προσφορά κλάδου

Μια “τυπική” επιχείρηση

Η µακροχρόνια καµπύλη p προσφοράς της αγοράς

Μια “τυπική” επιχείρηση

p MC(y)

Η µακροχρόνια καµπύλη p προσφοράς της αγοράς

MC(y) AC(y)

AC(y)

Το κατώτατο σηµείο κάθε τµήµατος της καµπύλης προσφοράς είναι το min AC(y). Καθώς µια επιχείρηση γίνεται «µικρότερη» το τµήµα γίνεται µικρότερο.

Στο όριο, καθώς οι επιχειρήσεις γίνονται απείρως µικρές, η καµπύλη µακροχρόνιας προσφοράς του κλάδου είναι µια οριζόντια γραµµή στο min AC(y).

Επίπτωση ενός φόρου επί της ποσότητας (unit tax)

Μακροχρόνια τιµή ισορροπίας της αγοράς Σε µακροχρόνια ισορροπία της αγοράς, η τιµή της αγοράς προσδιορίζεται µόνο από το µακροχρόνιο ελάχιστο µέσο κόστος παραγωγής.

Ένας φόρος στην ποσότητα επιβάλλεται µε €t ανά µονάδα προϊόντος. Αν ο φόρος επιβάλλεται στον πωλητή τότε λέγεται ειδικός φόρος. Αν ο φόρος επιβάλλεται στον καταναλωτή λέγεται φόρος επί των πωλήσεων.

Η µακροχρόνια τιµή της αγοράς είναι p e = min AC( y ). y> 0 57

Φόροι στην ποσότητα

Ποια είναι η επίπτωση ενός φόρου στην ποσότητα στην ισορροπία της αγοράς; Πώς επηρεάζονται οι τιµές; Πώς µεταβάλλονται οι ποσότητες; Ποιος πληρώνει το φόρο;

Ένας φόρος t κάνει την τιµή που πληρώνει ο αγοραστής, pb, υψηλότερη κατά t από την τιµή που παίρνει ο πωλητής, ps. pb − ps = t

Φόροι στην ποσότητα

Ακόµη και µε φόρο η αγορά πρέπει να εκκαθαριστεί. Η ζητούµενη από τους αγοραστές ποσότητα στην τιµή pb πρέπει να είναι ίση µε την προσφερόµενη ποσότητα από τους πωλητές στην τιµή ps.

pb − p s = t

και

D ( p b ) = S( p s )

περιγράφουν την ισορροπία στην αγορά. Σηµειώστε ότι αυτό ισχύει ανεξάρτητα από το αν ο φόρος επιβάλλεται στον αγοραστή ή τον πωλητή.

D ( pb ) = S ( p s ) 61

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία

Φόροι στην ποσότητα pb − p s = t

και

D ( p b ) = S( p s )

Ζήτηση αγοράς

Προσφορά αγοράς Κανένας φόρος

Άρα, ένας φόρος επί των πωλήσεων ίσος µε t έχει την ίδια επίπτωση µε έναν ειδικό φόρο t.

D(p), S(p)

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία p

Ζήτηση αγοράς

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία

Προσφορά αγοράς Ένας ειδικός φόρος αυξάνει την καµπύλη €t προσφοράς κατά €t

Ζήτηση αγοράς €t

pb p*

qt q*

D(p), S(p) 65

Προσφορά αγοράς Ένας ειδικός φόρος αυξάνει την καµπύλη προσφοράς κατά €t, αυξάνει την τιµή του αγοραστή και µειώνει την αγοραζόµενη ποσότητα.

D(p), S(p) 66

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία p

Ζήτηση αγοράς

Προσφορά αγοράς Ένας ειδικός φόρος

αυξάνει την καµπύλη προσφοράς κατά €t, αυξάνει την τιµή του αγοραστή και µειώνει την αγοραζόµενη ποσότητα.

€t

pb p*

Ζήτηση αγοράς

Προσφορά αγοράς Κανένας φόρος

D(p), S(p)

qt q*

D(p), S(p)

Και οι πωλητές παίρνουν ps = pb - t. 67

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία p

Ζήτηση αγοράς

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία

Προσφορά αγοράς

Ένας φόρος πωλήσεων µειώνει τη ζήτηση της αγοράς κατά €t

p* €t

Ζήτηση αγοράς

Προσφορά αγοράς

p* ps

€t

qt q*

D(p), S(p)

Ένας φόρος πωλήσεων µειώνει τη ζήτηση της αγοράς κατά €t, µειώνει την τιµή του πωλητή και µειώνει την ποσότητα που ανταλλάσσεται.

D(p), S(p)

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία p

Ζήτηση αγοράς

pb p* ps

Προσφορά αγοράς Ένας φόρος πωλήσεων

€t

qt q*

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία

µειώνει τη ζήτηση της αγοράς κατά €t, µειώνει την τιµή του πωλητή και µειώνει την ποσότητα που ανταλλάσσεται.

D(p), S(p)

Ζήτηση αγοράς

pb p* ps qt q*

Και οι αγοραστές πληρώνουν pb = ps + t. 71

Προσφορά αγοράς Ένας φόρος επί των πωλήσεων €t έχει την €t ίδια επίπτωση στην ισορροπία της αγοράς όπως ένας €t ειδικός φόρος €t. D(p), S(p) 72

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία

Ποιος πληρώνει το φόρο €t ανά µονάδα προϊόντος; Ο επιµερισµός του φόρου €t µεταξύ αγοραστή και πωλητή λέγεται µετακύλιση του φόρου.

Ζήτηση αγοράς

Προσφορά αγοράς

pb p* ps qt q*

D(p), S(p)

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία p

Ζήτηση αγοράς

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία

Φόρος που πληρώνεται από τον αγοραστή

Προσφορά αγοράς

pb p* ps qt q*

Ζήτηση αγοράς

pb p* ps

D(p), S(p)

Προσφορά αγοράς

Φόρος που πληρώνεται από τον πωλητή

qt q*

D(p), S(p)

Φόροι στην ποσότητα και ισορροπία p

Ζήτηση αγοράς

Μετακύλιση φόρων και ελαστικότητα

Φόρος που πληρώνεται από τον αγοραστή

Η µετακύλιση ενός φόρου στην ποσότητα εξαρτάται από την ελαστικότητα ως προς την τιµή της ζήτησης και προσφοράς.

Προσφορά αγοράς

pb p* ps

Φόρος που πληρώνεται από τον πωλητή

qt q*

D(p), S(p) 77

Μετακύλιση φόρων και ελαστικότητα p

Ζήτηση αγοράς

Μετακύλιση φόρων και ελαστικότητα

Προσφορά αγοράς €t

pb p* ps qt q*

Καθώς η αγοραία ζήτηση γίνεται λιγότερο ελαστική ως προς την τιµή ο φόρος µετακυλίεται όλο και πιο πολύ στον αγοραστή.

Ζήτηση αγοράς

Προσφορά αγοράς €t

pb p* ps

D(p), S(p)

qt q*

D(p), S(p)

Μετακύλιση φόρων και ελαστικότητα

Μετακύλιση φόρων και ελαστικότητα p

pb ps= p*

Ζήτηση αγοράς

Προσφορά αγοράς €t

qt = q*

pb ps= p*

Ζήτηση αγοράς

Προσφορά αγοράς €t

D(p), S(p) qt = q* Όταν εD = 0, αγοραστής πληρώνει όλο το φόρο, έστω κι αν επιβάλλεται στον πωλητή.

D(p), S(p) 81

Μετακύλιση φόρων και ελαστικότητα

Μακροχρόνιες συνέπειες για τη φορολογία

Παρόµοια, το κλάσµα του φόρου που πληρώνεται από τον πωλητή αυξάνει όσο η προσφορά γίνεται λιγότερο ελαστική ως προς την τιµή του αγαθού ή η ζήτηση γίνεται πιο ελαστική.

Σε µια βραχυχρόνια ισορροπία, το βάρος από ένα φόρο στις πωλήσεις ή στους καταναλωτές µοιράζεται µεταξύ αγοραστών και πολιτών. Η µετακύλιση του φόρου εξαρτάται από την ελαστικότητα ως προς την τιµή ζήτησης και προσφοράς του αγαθού αυτού. Ε: Συµβαίνει κάτι τέτοιο στη µακροχρόνια ισορροπία; 84

Μακροχρόνιες συνέπειες για τη φορολογία

Ζήτηση αγοράς

pb = pe+t

LR προσφορά (χωρίς φόρο

LR προσφορά (µε φόρο)

ps=pe Qt

X,Y

LR προσφορά (χωρίς φόρο

X,Y

Μακροχρόνιες συνέπειες για τη φορολογία p

Ζήτηση αγοράς

Μακροχρόνια, οι αγοραστές πληρώνουν όλο το φόρο.

pb = pe+t

LR προσφορά (µε φόρο)

ps=pe Qt

LR προσφορά (χωρίς φόρο

Σταθεροί συντελεστές και οικονοµική πρόσοδος Τι θα συµβεί αν υπάρχουν εµπόδια στην είσοδο και έξοδο; π.χ., στον κλάδο των ταξί υπάρχει εµπόδιο εισόδου αν και υπάρχουν πολλά ταξί που το ένα ανταγωνίζεται το άλλο.

X,Y 87

Σταθεροί συντελεστές και οικονοµική πρόσοδος

Ε: Όταν υπάρχει εµπόδιο εισόδου, οι επιχειρήσεις που είναι ήδη στον κλάδο δεν κάνουν θετικά κέρδη;

Ε: Όταν υπάρχει εµπόδιο εισόδου, οι επιχειρήσεις που είναι ήδη στον κλάδο δεν κάνουν θετικά κέρδη; A: ΌΧΙ. Η κάθε επιχείρηση κάνει µηδενικά κέρδη. Γιατί;

Σταθεροί συντελεστές και οικονοµική πρόσοδος

Μια εισροή (π.χ. µια άδεια λειτουργίας) που είναι σταθερή µακροχρόνια προκαλεί ένα µακροχρόνιο σταθερό κόστος, F. Μακροχρόνιο συνολικό κόστος, c(y) = F + cv(y). Και µακροχρόνιο µέσο συνολικό κόστος, AC(y) = AFC(y) + AVC(y). Σε µακροχρόνια ισορροπία, ποια θα είναι η τιµή του F;

Σκεφτείτε µια επιχείρηση που χρειάζεται άδεια λειτουργίας – η άδεια είναι µια σταθερή εισροή που ενοικιάζεται αλλά δεν είναι ιδιοκτησία της επιχείρησης. Αν µια επιχείρηση κάνει θετικό κέρδος, τότε µια άλλη επιχείρηση µπορεί να προσφέρει στον ιδιοκτήτη της άδειας µια υψηλότερη τιµή για την άδεια. Με αυτό τον τρόπο τα οικονοµικά κέρδη των επιχειρήσεων εξανεµίζονται στο µηδέν. 91

Σταθεροί συντελεστές και οικονοµική πρόσοδος

€/προϊόν

Έτσι στη µακροχρόνια ισορροπία, κάθε επιχείρηση κάνει µηδενικά κέρδη και το σταθερό κόστος κάθε επιχείρησης είναι η πληρωµή που κάνει για την άδεια λειτουργίας της.

Σταθεροί συντελεστές και οικονοµική πρόσοδος MC(y)

AC(y) AVC(y)

pe Το οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης είναι µηδέν.

€/προϊόν

Σταθεροί συντελεστές και οικονοµική πρόσοδος MC(y)

Σταθεροί συντελεστές και οικονοµική πρόσοδος

AC(y) AVC(y)

Το οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης είναι µηδέν.

F είναι η αµοιβή του ιδιοκτήτη της σταθερής εισροής (άδειας). 95

Οικονοµική πρόσοδος είναι η πληρωµή για µια εισροή, η οποία είναι πάνω από την ελάχιστη αµοιβή που απαιτείται για να προσφέρεται αυτή η εισροή. Βασικά, κάθε άδεια έχει µηδενικό κόστος προσφοράς και η µακροχρόνια οικονοµική πρόσοδος που δίνεται στον ιδιοκτήτη της άδειας είναι το µακροχρόνιο σταθερό κόστος της επιχείρησης. 96

€/προϊόν

Σταθεροί συντελεστές και οικονοµική πρόσοδος AC(y) MC(y)

AVC(y)

Το οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης είναι µηδέν.

F είναι η αµοιβή του ιδιοκτήτη της σταθερής εισροής (άδειας). F = οικονοµική πρόσοδος. 97

Τα μαθηματικά της αριστοποίησης

Κεφάλαιο 2 z

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Πολλές οικονομικές θεωρίες ξεκινούν με την υπόθεση ότι ένα άτομο ή μια επιχείρηση επιδιώκουν να βρουν την άριστη τιμή μιας συνάρτησης z

Οι καταναλωτές επιδιώκουν τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας τους Οι επιχειρήσεις επιδιώκουν μεγιστοποίηση των κερδών τους

Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα βασικά μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούμε γι’ αυτά τα θέματα

Τιμή μιας παραγώγου σ’ ένα σημείο

Παράγωγοι z

Η παράγωγος της συνάρτησης π = f(q) είναι το όριο του Δπ/Δq για κάθε μικρή μεταβολή στο q

Η τιμή της παραγώγου στο σημείο q = q1 συμβολίζεται ως εξής dπ d π dq q = q

dπ df f (q1 + h) − f (q1 ) = = lim dq dq h → 0 h z

Η τιμή αυτού του λόγου εξαρτάται από την τιμή του q1

dπ >0 dq q =q 1

Συνθήκες πρώτης τάξης για ένα μέγιστο z

Στο προηγούμενο παράδειγμα, dπ <0 dq q =q 3

dπ =0 dq q = q * 4

Συνθήκες δεύτερης τάξης

Για μια συνάρτηση με μια μεταβλητή, η επίτευξη της μέγιστης τιμής της σ’ ένα σημείο επιτυγχάνεται όταν η παράγωγος σ’ αυτό το σημείο είναι μηδέν

Αυτό σημαίνει ότι, για να είναι το q* άριστο,

dπ d π > 0 for q < q * dq

df =0 dq q = q *

και

dπ d π < 0 for q > q * dq

Επομένως στο q*, dπ/dq πρέπει να είναι φθίνον 6

Συνθήκες δεύτερης τάξης

∆εύτερες παράγωγοι z

Η παράγωγος μιας παραγώγου καλείται δεύτερη παράγωγος Η δεύτερη παράγωγος συμβολίζεται ως

Η συνθήκη δεύτερης τάξης για ένα (τοπικό) μέγιστο είναι

d 2π = f " (q ) q = q * < 0 dq 2 q =q *

d 2π d 2f or or f " (q ) 2 dq dq 2

Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων

Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων 1. Αν το b είναι σταθερό, τότε 2 An to b είναι σταθερό τότε 2.

3. Αν το b είναι σταθερό, τότε 4.

db =0 dx

d [bf ( x)] = bf ' ( x) dx

Μια ειδική Μ δ ή περίπτωση ί αυτού ύ του κανόνα ό είναι ί dex/dx = ex

dx b = bx b −1 dx

d ln x 1 = dx x

Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων z

da x = a x ln a για κάθε σταθερά a dx

Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων ⎛ f ( x) ⎞ ⎟ d ⎜⎜ g ( x) ⎟⎠ f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x) ⎝ 8. = [ g ( x)]2 dx δεδομένου ότι g ( x) ≠ 0

Έστω ότι f(x) και g(x) είναι δύο συναρτήσεις του x και ότι f’(x) και g’(x) υπάρχουν Τότε 6.

d [f ( x ) + g ( x )] = f '(x) + g'(x) dx

d [f ( x ) ⋅ g ( x )] = f ( x )g ' ( x ) + f ' ( x )g ( x ) dx

Κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων

Αν y = f(x) και x = g(z) και αν και οι δύο f’(x) και g’(x) υπάρχουν, τότε:

9 9.

dy dy dx df dg = ⋅ = ⋅ dz dx dz dx dz

10 10.

Αυτό αποκαλείται αλυσωτός κανόνας. Ο αλυσωτός κανόνας μας δίνει τη δυνατότητα να εξετάζουμε το πως μια μεταβλητή (z) επηρεάζει μιαν άλλη μεταβλητή (y) μέσω της επίδρασης της σε μια ενδιάμεση μεταβλητή (x)

Μερικά παραδείγματα του αλυσωτού κανόνα

11.

d [ln(ax )] d [ln(ax )] d (ax ) = ⋅ = ln(ax ) ⋅ a = a ln(ax ) dx d (ax ) dx 12.

Παράδειγμα μεγιστοποίησης του κέρδους

π = 1,000q - 5q2

Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι

q* = 100

Αφού η δεύτερη παράγωγος είναι πάντοτε -10, q = 100 είναι ένα ολικό μέγιστο

Υπάρχουν αντίστροφες σχέσεις

Η εξάρτηση μιας μεταβλητής (y) από μια σειρά άλλων μεταβλητών (x1,x2,…,xn) συμβολίζεται ως

y = f ( x1, x 2 ,..., xn ) 15

Μερικές παράγωγοι

Οι περισσότεροι στόχοι των οικονομικών φορέων εξαρτώνται από πολλές μεταβλητές z

dπ/dq = 1,000 - 10q = 0 z

d [ln( x 2 )] d [ln( x 2 )] d ( x 2 ) 1 2 = ⋅ = 2 ⋅ 2x = dx d(x2 ) dx x x

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Έστω ότι η σχέση μεταξύ κέρδους και προϊόντος είναι

de ax de ax d (ax ) = ⋅ = e ax ⋅ a = ae ax dx d (ax ) dx

Μερικές παράγωγοι z

Η μερική παράγωγος του y σε σχέση με το x1 απεικονίζεται ως ∂y ∂f or or fx or f1 ∂x1 ∂x1

Ένας πιο μαθηματικός ορισμός της μερικής παραγώγου είναι ∂f ∂x1

= lim x 2 ,..., x n

h →0

f ( x1 + h, x 2 ,..., x n ) − f ( x1, x 2 ,..., x n ) h

Όταν υπολογίζουμε τη μερική παράγωγο, όλα τα άλλα x κρατούνται σταθερά 17

Υπολογισμός μερικών παραγώγων

Υπολογισμός μερικών παραγώγων 1. If y = f ( x1 , x2 ) = ax12 + bx1 x2 + cx22 , τότε ∂f = f1 = 2ax1 + bx2 ∂x1

3. Αν y = f ( x1 , x2 ) = a ln x1 + b ln x2 , τότε b a ∂f ∂f και = f2 = = f1 = x2 x1 ∂x2 ∂x1

∂f = f 2 = bx1 + 2cx2 ∂x2 2. If y = f ( x1 , x2 ) = e ax1 +bx2 , τότε ∂f ∂f = f1 = ae ax1 +bx2 και = f 2 = be ax1 + bx2 ∂x2 ∂x1

Μερικές παράγωγοι

Οι μερικές παράγωγοι είναι η μαθηματική έκφραση της υπόθεσης του ceteris paribus z

Πρέπει να μας ενδιαφέρει πώς μετρώνται οι μεταβλητές

∆είχνουν πώς οι μεταβολές σε μια μεταβλητή επηρεάζουν κάποιο αποτέλεσμα όταν η επίδραση των άλλων μεταβλητών διατηρείται σταθερή

Αν q είναι η ζητούμενη ποσότητα βενζίνης (σε λίτρα) και p είναι η τιμή σε ευρώ ανά λίτρο λίτρο, τότε το ∂q/∂p μετρά τη μεταβολή στη ζήτηση (σε λίτρα για ένα έτος) για μια μεταβολή της τιμής κατά ένα ευρώ το λίτρο

Ελαστικότητα και μορφή συνάρτησης

Ελαστικότητα z

Η ελαστικότητα μετρά την ποσοστιαία μεταβολή μιας μεταβλητής που προέρχεται από την ποσοστιαία μεταβολή μιας άλλης μεταβλητής z

Έστω ότι y = a + bx + άλλοι όροι

Σ’ αυτή την περίπτωση,

∆εν εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης

ey , x =

Η ελαστικότητα του y ως προς x είναι

ey , x

Δy Δy x ∂y x y = = ⋅ = ⋅ Δx Δx y ∂x y x

ey,x δεν είναι σταθερή z

∂y x x x ⋅ = b⋅ = b⋅ ∂x y a + bx + ⋅ ⋅ ⋅ y

Είναι σημαντικό να δούμε σε πιο σημείο πρέπει να υπολογιστεί η ελαστικότητα 24

Ελαστικότητα και μορφή συνάρτησης

Έστω ότι

Στην περίπτωση αυτή,

ln y = ln a + b ln x

y = axb

Σ’ αυτή την περίπτωση,

ey , x =

∂y x x ⋅ = abx b −1 ⋅ b = b ∂x y ax z

∂ ln y ∂y x ⋅ = b⋅ ∂x y ∂ ln x

Οι ελαστικότητες μπορούν να υπολογιστούν μέσω λογαριθμικής διαφόρισης

∆εύτερης τάξης μερικές παράγωγοι

Το θεώρημα του Young

Η μερική παράγωγος μιας μερικής παραγώγου λέγεται δεύτερη μερική παράγωγος

Κάτω από γενικές συνθήκες, η σειρά με την οποία γίνεται η μερική παραγώγιση για δεύτερες παραγώγους δεν έχει σημασία

∂ 2f ∂(∂f / ∂x i ) = = fij ∂x j ∂x j x i

fij = f ji

Χρήση μερικών παραγώγων z

Ολικό διαφορικό

Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι παίζουν σημαντικό ρόλο στην οικονομική θεωρία Η δεύτερη μερική παράγωγος fii z

z z

∆είχνει πως η οριακή επίδραση του xi επί της y(∂y/∂xi) αλλάζει καθώς η τιμή του xi αυξάνει Μια τιμή της fii < 0 δείχνει φθίνουσα οριακή επίδραση

Έστω ότι y = f(x1,x2,…,xn) Αν όλα τα x μεταβάλλονται κατά μια μικρή ποσότητα, η ολική επίδραση στο y είναι dy =

∂f ∂f ∂f dx1 + dx 2 + ... + dx n ∂x1 ∂x 2 ∂x n

dy = f1dx1 + f2dx 2 + ... + fn dx n 29

Συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο (ή ελάχιστο)

Η εύρεση του μεγίστου z

Μια αναγκαία συνθήκη για μέγιστο (ή ελάχιστο) της συνάρτησης f(x1,x2,…,xn) είναι μ μικρών μ ρ ότι dyy = 0 γγια κάθε συνδυασμό μεταβολών στα x Ο μόνος τρόπος για να ισχύει αυτό είναι όταν

y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10 y = - x12 + 2x1 - x22 + 4x2 + 5 z

x1* = 1 x 2* = 2 32

Πεπλεγμένες συναρτήσεις z

Όριο παραγωγικών δυνατοτήτων

Οι συνθήκες πρώτης τάξης συνεπάγονται ∂y = −2 x1 + 2 = 0 ∂x1 ∂y = −2 x 2 + 4 = 0 ∂x 2

f1 = f2 = ... = fn = 0

• Το σημείο στο οποίο ισχύει αυτή η σχέση Λέγεται κρίσιμο σημείο

Έστω ότι y είναι συνάρτηση των x1 και x2

Ας πάρουμε τη συνάρτηση: 2x2 + y2 = 225 η οποία μπορεί να γραφεί ως ( ,y) = 2x2 + y2 - 225 = 0 f(x,y) Αφού fx = 4x και fy = 2y, το κόστος ευκαιρίας μεταξύ x και y είναι

Συχνά δεν είναι δυνατό να λύσουμε πεπλεγμένες συναρτήσεις της μορφής g(x,y)=0 και να τις κάνουμε συναρτήσεις της μορφής y = f(x) z

dy − fx − 4x − 2x = = = dx fy y 2y

Οι μ μαθηματικοί ημ έχουν χ συναγάγει γ γ τιςς αναγκαίες γ ς συνθήκες για την επίλυση τους Σε πολλές οικονομικές εφαρμογές οι συνθήκες αυτές είναι οι ίδιες με εκείνες της δεύτερης τάξης για ένα μέγιστο (ή ελάχιστο)

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης z

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης αναφέρεται στο πως η άριστη τιμή μιας συγκεκριμένης συνάρτησης μεταβάλλεται όταν μεταβάλλεται μια παράμετρος της συνάρτησης Ας το δούμε με ένα παράδειγμα

Έστω ότι το y είναι συνάρτηση του x y = -x2 + ax

Για διάφορες τιμές του a, η συνάρτηση αυτή αντιπροσωπεύει μια οικογένεια ανεστραμμένων παραβολών Αν το a πάρει μια τιμή, τότε το y γίνεται συνάρτηση μόνο του x και μπορεί να υπολογιστεί η τιμή του x που μεγιστοποιεί το y 36

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης Άριστες τιμές του x και y για εναλλακτικές τιμές του a

Καθώς το a αυξάνει, Η μέγιστη τιμή του y (y*) αυξάνεται

Τιμή του a 0 1 2 3 4 5 6

Τιμή του x* 0 1/2 1 3/2 2 5/2 3

Τιμή του y* 0 1/4 1 9/4 4 25/4 9

8 7 6 5

Η σχέση μεταξύ a και y τετραγωνική

4 3 2 1

0 0

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης z

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης

Έστω ότι ενδιαφερόμαστε για το πως το y* αλλάζει καθώς αλλάζει το a Υπάρχουν δύο τρόποι να το κάνουμε z z

Για να υπολογίσουμε την κλίση μιας συνάρτησης, πρέπει να τη λύσουμε για την άριστη τιμή του x για κάθε τιμή του a

dy/dx = -2 2x + a = 0

Να υπολογίσουμε άμεσα την κλίση του y Κρατούμε το x σταθερό στην άριστη τιμή του και υπολογίζουμε άμεσα το ∂y/∂a

x* = a/2 z

Αντικαθιστώντας, έχουμε

y* = -(x*)2 + a(x*) = -(a/2)2 + a(a/2) y* = -a2/4 + a2/2 = a2/4 39

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης z

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης

Άρα,

∂y/ ∂a = x

dy*/da = 2a/4 = a/2 = x* z z

∂ / ∂a = x** = a/2 ∂y/

Αλλά, μπορούμε Αλλά ύ να κάνουμε ά το ίδιο ίδ πολύ λύ πιο σύντομα με τη χρήση του θεωρήματος της περιβάλλουσας καμπύλης z

Θέτοντας το x = x*

Για μικρές αλλαγές στο a, το dy*/da μπορεί να υπολογιστεί κρατώντας το x στο x* και υπολογίζοντας άμεσα το ∂y/ ∂a από το y 41

Αυτό είναι το ίδιο αποτέλεσμα που βρήκαμε νωρίτερα

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης z

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης μας λέει ότι η μεταβολή στην άριστη τιμή μιας συνάρτησης σε σχέση με μια παράμετρο της συνάρτησης μπορεί να βρεθεί με τη μερική παραγώγιση της, με δεδομένο ότι όλα τα x (ή ορισμένα x) έχουν την άριστη τιμή τους

Το θεώρημα μπορεί να επεκταθεί και για την περίπτωση όπου το y είναι συνάρτηση πολλών μεταβλητών y = f(x1,…xn,a)

Η εύρεση μιας άριστης τιμής του y θα σήμαινε την επίλυση n πρώτης τάξης εξισώσεων ∂y/∂xi = 0

dy * ∂y = {x = x * (a)} da ∂a

(i = 1,…,n)

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης z

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης

Οι άριστες τιμές των x μπορούν να γραφούν ως συνάρτηση του a

Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην αρχική συνάρτηση έχουμε την άριστη τομή του y (y*) y* = f [x1*(a), x2*(a),…,xn*(a),a]

x1* = x1*(a) x2* = x2*(a)

. . .

∆ιαφορίζοντας έχουμε ∂f dx n ∂f dy * ∂f dx1 ∂f dx 2 = ⋅ + ⋅ + ... + ⋅ + ∂x1 da ∂x 2 da ∂xn da ∂a da

xn*= xn*(a) 45

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμούς

Το θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης z

Λόγω των συνθηκών πρώτης τάξης, όλοι οι όροι εκτός από το ∂f/∂a είναι ίσοι με μηδέν, αν τα x έχουν τις άριστες τιμές τους Άρα Άρα,

z z

dy * ∂f = {x = x * (a)} da ∂a 47

Τι θα συμβεί αν όλες οι τιμές των x δεν είναι εφικτές; Οι τιμές του x ίσως πρέπει να είναι όλες θετικές Οι επιλογές του καταναλωτή περιορίζονται από την αγοραστική του δύναμη

Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων μεγιστοποίησης υπό περιορισμό είναι η μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange 48

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange z

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τις τιμές των x1, x2,…, xn που μεγιστοποιούν τη συνάρτηση

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange

ξεκινά με τη δημιουργία της εξίσωσης L = f(x1, x2,…, xn ) + λg(x1, x2,…, xn) όπου το λ είναι μια επιπλέον μεταβλητή που λέγεται πολλαπλασιαστής του Lagrange

y = f(x f( 1, x2,…, xn) υπό τον περιορισμό που επιτρέπει μόνο ορισμένες τιμές στα x

g(x1, x2,…, xn) = 0

Όταν ισχύει ο περιορισμός, L = f επειδή g(x1, x2,…, xn) = 0

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange z

Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι

Οι συνθήκες πρώτης τάξης μπορεί να λυθούν για x1, x2,…, xn και λ

Η λύση έχει δύο ιδιότητες:

∂L/∂x1 = f1 + λg1 = 0 ∂L/∂x2 = f2 + λg2 = 0

. . .

z z

∂L/∂xn = fn + λgn = 0

τα x υπακούουν στον περιορισμό αυτά τα x θα κάνουν την τιμή του L (και άρα του f) όσο το δυνατό μεγαλύτερη

∂L/∂λ = g(x1, x2,…, xn) = 0 51

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange z

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange

Ο πολλαπλασιαστής του Lagrange (λ) μια σημαντική οικονομική ερμηνεία Οι συνθήκες πρώτης τάξης συνεπάγονται

f1/-g / 1 = f2/-g / 2 =…= fn/-g / n=λ z

Οι αριθμητές μετρούν το οριακό όφελος που μια επιπλέον μονάδα του xi αποφέρει στη συνάρτηση f Οι παρονομαστές αντανακλούν το επιπλέον βάρος στον περιορισμό από τη χρήση επιπλέον xi 53

Στις άριστες επιλογές των x, ο λόγος του οριακού οφέλους από την αύξηση του xi προς το οριακό κόστος της αύξησης του xi πρέπει να είναι ο ίδιος για όλα τα x λ είναι ο κοινός λόγος κόστους-οφέλους για όλα τα x λ=

οριακό όφελος του xi οριακό κόστος του xi 54

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange

H μέθοδος του πολλαπλασιαστή του Lagrange z

Αν χαλαρώσουμε λίγο τον περιορισμό, δεν ενδιαφέρει ποιο x αλλάζει Ο πολλαπλασιαστής του Lagrange δίνει ένα μέτρο του πως η χαλάρωση του περιορισμού επηρεάζει την τιμή του y λ δίνει τη “σκιώδη τιμή” του περιορισμού

Μια ψηλή τιμή του λ δείχνει ότι το y μπορεί να αυξηθεί σημαντικά με τη χαλάρωση του περιορισμού z

Κάθε x έχει χ ένα ψηλό ψη λόγο γ κόστους-οφέλους ς φ ς

Μια χαμηλή τιμή του λ δείχνει ότι δεν υπάρχουν πολλά οφέλη από τη χαλάρωση του περιορισμού λ=0 σημαίνει ότι ο περιορισμός δεν ισχύει

∆υαδικότητα

∆υαδικότητα z

Κάθε πρόβλημα μεγιστοποίησης υπό περιορισμό συνδέεται με ένα δυαδικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης υπό περιορισμό που δίνει προσοχή στους περιορισμό, περιορισμούς του αρχικού προβλήματος

Τα άτομα μεγιστοποιούν τη χρησιμότητα υπό έναν εισοδηματικό περιορισμό z

∆υαδικό πρόβλημα: τα άτομα ελαχιστοποιούν τη δαπάνη που απαιτείται για να επιτύχουν ένα συγκεκριμένο επίπεδο χρησιμότητας

Οι επιχειρήσεις ελαχιστοποιούν το κόστος των εισροών για να παραγάγουν ένα συγκεκριμένο επίπεδο προϊόντος z

∆υαδικό πρόβλημα : οι επιχειρήσεις μεγιστοποιούν το προϊόν για ένα δεδομένο κόστος των συντελεστών παραγωγής

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό z

z z z

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό

Έστω ότι ένας αγρότης έχει μια ποσότητα πλεκτού (P) και επιθυμεί να περιφράξει το μεγαλύτερο δυνατό σχήμα ορθογωνίου Έστω x το μή μήκοςς της ης μιας μ ς πλευράς ρ ς Έστω y το μήκος της άλλης πλευράς πρόβλημα: επιλέξτε το x και το y έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν (A = x·y) υπό τον περιορισμό ότι η περίμετρος είναι σταθερή στο P = 2x + 2y 59

Η εξίσωση του Lagrange

Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι

L = x·y + λ(P - 2x - 2y) ∂L/∂x = y - 2λ = 0 ∂L/∂y = x - 2λ = 0 ∂L/∂λ = P - 2x - 2y = 0

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό z

Αφού y/2 = x/2 = λ, το x πρέπει να είναι ίσο με το y z z

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό z

Το χωράφι πρέπει να είναι τετράγωνο x και y πρέπει να επιλεγούν έτσι ώστε ο λόγος οριακού οφέλους προς το οριακό κόστους για όλα να είναι ο ίδιος

Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή του Lagrange z

Αν ο αγρότης ήθελε να ξέρει πόσο επιπλέον χωράφι θα μπορούσε να περιφραχτεί με την προσθήκη ενός επιπλέον μέτρου πλεκτού, το λ μας λέει ότι μπορούμε να το βρούμε αν διαιρέσουμε την τωρινή περίμετρο (P) με 8

Άρα ο πολλαπλασιαστής του Lagrange μας δίνει πληροφορίες για την υπονοούμενη τιμή του περιορισμού

Αφού x = y και y = 2λ 2λ, μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον περιορισμό για να δείξουμε ότι x = y = P/4 λ = P/8

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό z

∆υαδικό πρόβλημα: επίλεξε το x και το y για να ελαχιστοποιήσεις το ποσό του πλεκτού που χρειάζεται για να γίνει η περίφραξη

∂LD/∂x = 2 - λD·y = 0 ∂LD/∂y = 2 - λD·x = 0 ∂LD/∂λD = A - x·y = 0

ελαχιστοποίησε P = 2x + 2y υπό τον περιορισμό A = x·y z

Συνθήκες πρώτης τάξης:

Λύνοντας βρίσκουμε x = y = A1/2

Η εξίσωση του Lagrange: z

LD = 2x + 2y + λD(A - x⋅y)

Ο πολλαπλασιαστής του Lagrange (λD) = 2A-1/2

Θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης & Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό z

Έστω ότι θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση

Θεώρημα της περιβάλλουσας καμπύλης & Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό

Εναλλακτικά, μπορούμε να δείξουμε ότι dy*/da = ∂L/∂a(x1*,…,xn*;a)

y = f(x1,…,xxn;a)

υπό τον περιορισμό g(x1,…,xn;a) = 0 z

Ένας τρόπος επίλυσης είναι με τη μέθοδο του Lagrange και να βρούμε τις συνθήκες πρώτης τάξης 65

Η μεταβολή στη μέγιστη τιμή του y που προκύπτει όταν το a αλλάζει μπορεί να βρεθεί με μερική διαφόριση του L and και να βρούμε την τιμή της μερικής παραγώγου σ’ αυτό το σημείο 66

Περιορισμοί ανισοτήτων

Περιορισμοί ανισοτήτων z

Σε μερικά οικονομικά προβλήματα οι περιορισμοί δεν ισχύουν επακριβώς Π.χ , έστ προς μεγιστοποίηση η y = f(x1,x2) υπό τον περιορισμό

g(x1,x2) ≥ 0,

x1 ≥ 0, και x2 ≥ 0

Ένας τρόπος επίλυσης του προβλήματος είναι να εισαγάγουμε τρεις νέες μεταβλητές One way (a, b, και c) που μετατρέπουν τις ανισότητες ισότητες Για να είμαστε σίγουροι ότι οι ανισότητες συνεχίζουν να ισχύουν, θα πάρουμε τα τετράγωνα αυτών των νέων μεταβλητών για να είμαστε βέβαιοι ότι οι τιμές τους είναι θετικές

Περιορισμοί ανισοτήτων

g(x1,x2) - a2 = 0;

Η εξίσωση του Lagrange

L = f(x1,x2) + λ1[g(x1,x2) - a2] + λ2[x1 - b2] + λ3[x2 -

x1 - b2 = 0; και

c2]

x2 - c2 = 0 z

Κάθε λύση που υπακούει αυτούς τους τρεις περιορισμούς ισότητας θα υπακούουν επίσης και στους περιορισμούς ανισοτήτων

Συνθήκες πρώτης τάξης

Περιορισμοί ανισοτήτων

∂L/∂x1 = f1 + λ1g1 + λ2 = 0

∂L/∂x2 = f1 + λ1g2 + λ3 = 0

Σύμφωνα με την τρίτη συνθήκη, είτε a=0 είτε λ1 = 0 z

∂L/∂a = -2aλ1 = 0

∂L/∂b = -2bλ2 = 0

Αν a = 0, ο περιορισμός g(x1,x2) ισχύει Αν λ1 = 0, τότε ο περιορισμός είναι ανενεργός

∂L/∂c = -2cλ3 = 0 ∂L/∂λ1 = g(x1,x2) - a2 = 0 ∂L/∂λ2 = x1 - b2 = 0 ∂L/∂λ3 = x2 - c2 = 0 71

Συνθήκες δεύτερης τάξης – Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

Περιορισμοί ανισοτήτων z

Αυτά τα αποτελέσματα είναι γνωστά ως συνθήκες Kuhn-Tucker z

Οι συνθήκες αυτές δείχνουν ότι οι λύσεις σε προβλήματα αριστοποίησης με περιορισμούς που είναι ανισότητες διαφέρουν από προβλήματα με περιορισμούς ισότητας κατά πολύ απλό τρόπο Άρα εργαζόμενοι με περιορισμούς ισότητας δεν θα κάνουμε λάθος

Έστω ότι y = f(x) Μια αναγκαία συνθήκη για μέγιστο είναι dy/dx = f ’(x) (x) = 0

Για να έχουμε μέγιστο, το y πρέπει να είναι φθίνον για μεταβολές γύρω από το σημείο αυτό

Συνθήκες δεύτερης τάξης – Συναρτήσεις μιας μεταβλητής z

Συνθήκες δεύτερης τάξης – Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

Το ολικό διαφορικό μετρά τη μεταβολή στο y

d 2y =

dy = f ’(x) dx z

Για να έχουμε μέγιστο, μέγιστο το dy πρέπει να φθίνει για μικρές αυξήσεις του x Για να δούμε τη μεταβολή στο dy, πρέπει να πάρουμε τη δεύτερη παράγωγο του y

z z z

d [f ' ( x )dx ] ⋅ dx = f " ( x )dx ⋅ dx = f " ( x )dx 2 dx

Αφού το d 2y < 0 συνεπάγεται f ’’(x)dx2 < 0 Το dx2 είναι θετικό, f ’’(x) < 0 Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f πρέπει να είναι κοίλη στο κρίσιμο σημείο

Συνθήκες δεύτερης τάξης – Συναρτήσεις μιας μεταβλητής z z

Συνθήκες δεύτερης τάξης – Συναρτήσεις δύο μεταβλητων z

Έστω ότι y = f(x1, x2) Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι

∂ /∂ 1 = f1 = 0 ∂y/∂x ∂y/∂x2 = f2 = 0 z

Για να είναι το σημείο μέγιστο, το y πρέπει να φθίνει για μεταβολές γύρω από το σημείο.

Η κλίση στη κατεύθυνση x1 , η (f1) πρέπει να μειώνεται στο κρίσιμο σημείο Η κλίση στη κατεύθυνση x2, η (f2) πρέπει να μειώνεται στο κρίσιμο σημείο Για να είμαστε όμως βέβαιοι ότι το dy μειώνεται για όλες τις μεταβολές γύρω από το κρίσιμο σημείο,πρέπει να δούμε ποις συνθήκες θα επιβληθούν στη σταυροειδή παράγωγο, (f12 = f21) 78

Συνθήκες δεύτερης τάξης – Συναρτήσεις δύο μεταβλητων

Το οιλκό διαφορικό του y είναι

Το διαφορικό της πιο πάνω συνάρτησης είναι

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22

dy = f1 dx1 + f2 dx2

d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2 z

d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx22 z

Σύμφωνα με θεώρημα του Young, f12 = f21 και d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22

Για να είναι η εξίσωση αυτή αδιαμφισβήτητα αρνητική για κάθε μεταβολή των x, x τα f11 και f22 πρέπει να είναι αρνητικά Αν dx2 = 0, τότε d 2y = f11 dx12 z

for d 2y < 0, f11 < 0

Αν dx1 = 0, τότε d 2y = f22 dx22 z

για d 2y < 0, f22 < 0

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό

Συνθήκες δεύτερης τάξης – Συναρτήσεις δύο μεταβλητων z

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 z

Αν ούτε το dx1 ούτε το dx2 είναι μηδέν, τότε το d 2y θα είναι αδιαμφισβήτητα μφ βή η αρνητικό ρ η μόνο μ αν f11 f22 - f122 > 0 z

Οι δεύτερες παράγωγοι (f11 και f22) πρέπει να είναι επαρκώς αρνητικές ώστε να αντισταθμίζουν κάθε πιθανά περίεργα αποτελέσματα από τις σταυροειδείς παραγώγους (f12 = f21)

Έστω ότι επιλέγουμε το x1 και το x2 για να μεγιστοποιηθεί η εξίσωση y = f(x1, x2)

Υπό το γραμμικό περιορισμό

Η εξίσωση του Lagrange είναι

c - b1x1 - b2x2 = 0 L = f(x1, x2) + λ(c - b1x1 - b2x2)

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό z

Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι f1 - λb1 = 0 f2 - λb2 = 0

c - b1x1 - b2x2 = 0 z

Για να έχουμε μέγιστο, πρέπει να πάρουμε το δεύτερο ολικό διαφορικό

Μόνο οι τιμές των x1 και x2 που ικανοποιούν τον περιορισμό μπορεί να θεωρηθούν αξιόπιστες εναλλακτικές τιμές για το κρίσιμο σημείο Έτσι πρέπει να υπολογίσουμε το ολικό Έτσι, διαφορικό του περιορισμού -b1 dx1 - b2 dx2 = 0 dx2 = -(b1/b2)dx1

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22

z 83

Αυτές είναι οι επιτρεπτές σχετικές μεταβολές των x1 και x2 84

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό z

Μεγιστοποίηση υπό περιορισμό

Επειδή οι συνθήκες πρώτης τάξης συνεπάγονται ότι f1/f2 = b1/b2, μπορούμε με αντικατάσταση να βρούμε

d 2y = f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 [dx12/ f22]

dx2 = -(f1/f2) dx1 z

Με συνδιασμούς και αναδιατάξεις βρίσκουμε

Α ύ Αφού

Άρα, για d 2y < 0, τότε πρέπει να ισχύει f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0

d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22

μπορούμε να αντικαταστήσουμε το dx2 για να βρούμε

Η εξίσωση αυτή χαρακτηρίζει ένα σύνολο οιονεί κοίλων συναρτήσεων z

d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx12 + f22(f12/f22)dx12

∆ύο οποιαδήποτε σημεία μέσα στο σύνολο μπορόύν να συνδεθούν με μια γραμμή, η οποία είναι ολόκληρη εντός του συνόλου

Κοίλες και οιονεί-κοίλες συναρτήσεις z

Κοίλες και οιονεί-κοίλες συναρτήσεις

Οι διαφορές μεταξύ κοίλων και οιονεί-κοίλων συναρτήσεων μπορούν να διευκρινιστούν με υη συνάρτηση

y = f(x f( 1,x2) = (x ( 1⋅x2)k

όπυ τα x παίρνουν μόνο θετικές τιμές και το k μπορεί να πάρει διάφορες θετικές τιμές

Ανεξάρτητα από τις τιμές του k, η συνάρτηση αυτή είναι οιονεί-κοίλη Το αν η συνάρτηση είναι κοίλη εξαρτάται από τις τιμές έ του k z z

Αν k < 0.5, η συνάρτηση είναι κοίλη Αν k > 0.5, η συνάρτηση είναι κυρτή

Ομογενείς συναρτήσεις z

Ομογενείς συναρτήσεις

Μια συνάρτηση f(x1,x2,…xn) λέγεται ότι είναι ομογενής βαθμού k αν

f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn) z

Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής πρώτου βαθμού, βαθμού ένας διπλασιασμός όλων των μεταβλητών διπλασιάζει την τιμή της συνάρτησης Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής μηδενικού βαθμού, ένας διπλασιασμός όλων των μεταβλητών αφήνει την τιμή της συνάρτησης αμετάβλητη

Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής βαθμού k, οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης θα είναι ομογενείς βαθμού kk-1 1

Το θεώρημα του Euler z

Αν διαφορίσουμε τον ορισμό για την ομογένεια σε σχέση με ένα συντελεστή αναλογικότητας t, έχουμε ότι

Το θεώρημα του Euler δείχνει ότι,για τις ομογενείς συναρτήσεις, υπάρχει μια σαφής σχέση μεταξύ των τιμών της συνάρτησης και των τιμών μ των μ μερικών ρ της ης παραγώγων ρ γ γ

ktk-1f(x1,…,xn) = x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn) z

Η σχέση αυτή λέγεται θεώρημα του Euler

Ομοθετικές συναρτήσεις z

Ομοθετικές συναρτήσεις

Μια ομοθετική συνάρτηση είναι εκείνη που προέρχεται από το μονοτονικό μετασχηματισμό μιας ομογενούς συνάρτησης z

Οι συναρτήσεις αυτές δεν έχουν τις ιδιότητες των συναρτήσεων από τις οποίες προέρχονται

Τόσο για τις ομογενείς όσο και οι ομοθετικές συναρτήσεις, οι σχέσεις μεταξύ μεταβλητών εξαρτώνται από το λόγο αυτών των μεταβλητών και όχι από τις απόλυτες τιμές τους

Ομοθετικές συναρτήσεις z z

Ομοθετικές συναρτήσεις

Έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση f(x,y) = 0 Η σχέση μεταξύ x και y είναι

dy t k −1f (tx, ty ) f (tx, ty ) = − k −1 x =− x dx t fy (tx, ty ) fy (tx, ty )

dy/dx = -fx/fy z

Η σχέση μεταξύ x και y είναι

Αν υποθέσουμε ότι η f είναι ομογενής βαθμού k, οι μερικές της παράγωγοι θα είναι ομογενείς k-1 βαθμού

Αν t = 1/y, dy =− dx

⎛x ⎞ ⎛x ⎞ fx ⎜⎜ ,1⎟⎟ F ' fx ⎜⎜ ,1⎟⎟ y ⎝ ⎠ =− ⎝y ⎠ ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ fy ⎜⎜ ,1⎟⎟ F ' fy ⎜⎜ ,1⎟⎟ y ⎝ ⎠ ⎝y ⎠

Ομοθετικές συναρτήσεις z

Η σχέση δεν μεταβάλλεται από το μονοτονικό μετασχηματισμό και παραμένει συνάρτηση μόνο του λόγου των x προς y