Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis
Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ
να
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ 1 ( )
Έστω ότι 10 παρατηρήσεις για το υπόδειγµα Υ : Υ j =
β 0 + β1χ1 j + β 2 χ 2 j + ε j ,
έδωσαν : 10
∑x
2 1j
= 100 ,
j =1
j=1
10
∑x j =1
1j
10
∑x
x2 j = 20 ,
2 2j
= 40 ,
2 j
= 16925 ,
10
1j
j
= 230 ,
10
∑x
10
∑Y j =1
j=1
∑x ψ j =1
10
∑Y
ψ j = 100 ,
2j
j=1
= 400 ,
j
10
∑X j =1
10
∑X j =1
2j
= 100 ,
1j
= 200 .
( Με κεφαλαία οι µεταβλητές στις αρχικές τιµές , και µε µικρά οι τιµές σε αποκλίσεις από τους µέσους όρους ) . i.
( 1.0 Μονάδα )
β0 , β1 , β 2
Να γίνει εκτίµηση των συντελεστών
µε την
µέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων . ii.
( 1.5 Μονάδες ) Να υπολογισθεί ο συντελεστής προσδιορισµού R
2
, και µε
την βοήθεια του να ελεγχθεί η υπόθεση της στατιστικής σηµαντικότητας του υποδείγµατος . iii.
( 2.5 Μονάδες )
Να υπολογισθεί η εκτιµήτρια
∧2
σ
σφαλµάτων , και στην συνέχεια να γίνει ο έλεγχος
της διακύµανσης των
β1 − β 2 = 0
µε χρήση
της κατανοµής t .
∧
⎡a ⎣b
Υπόδειξη : ⎢
−1
b⎤ 1 = ⎥ c⎦ ac − b 2
⎡c ⎢ −b ⎣
-b ⎤ , R2 = ⎥ a⎦
∧
n
j =1
j =1
n
∑ψ j =1
∆ίνονται
n
β1 ∑ x1 jψ j + β 2 ∑ x2 jψ j .
2 j
t0.025,7 = 2.36 , F0,05,2,7 = 4.74 , F0.05,3,7 = 4.35 , t0.025,8 = 2.31 .
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 2 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΛΥΣΗ 2 ∑ x1
∑ x1 y
100 230 ∑ x1x 2 ∑ x2 y ∆ 20 100 100*100 − 230*20 10000 − 4600 β= 2= = = = 3600 3600 3600 3600 ∆ =
5400 18*3 B = = => β 2 =1.5 3600 18*2 2
β0 = y − β1 x1 − β 2 x2 =
R2 =
β1
∑x ∑ x2 400 100 200 ∑y − β1 1 − β 2 = − 2* − 1.5* =4 10 10 10 n n n
∑ x y + β ∑ x y = 610 = 610 => R 16925 − 1600 925 ∑y 1
2
2
2
2
= 0.66
R2 0.66 0.33 K 2 F= = = => F = 6.783 2 (1 − R )(T − K − I ) (1 − 0.66)(10 − 2 − 1) 0.04865
Παρατηρώ ότι F> F2,7,0.05
= 4.74 => Απορρ H 0 : β1 β 2 = 0
Υπόδειγµα στατιστικά σηµαντικό. 1. 2
Ο =
2 SSE ( I − R 2 ) SST (1 − 0.66) *925 = = => Ο = 44.93 T −K −I T −K −I 7
H 0 : β1 − β 2 = 0 H1 : β1 − β ≠ 0
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 3 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
t=
β1 − β 2 SE ( β1 − β 2 )
1
SE ( βˆ − βˆ ) = S 2ˆ + S 2ˆ − 2 cov( βˆ1, βˆ2 ) 1 2 β1 β 2
2
2 ∑ x2 40 2 2 ˆ = 44,93 ⇒ S 2 = 0, 499 3 S =σ ˆ ∆ 3600 β1 βˆ1 2 ∑ x1 100 2 2 S = σˆ = 44,93 ⇒ S 2 = 1, 248 3600 ∆ βˆ2 βˆ2
4
∑ x1x2 20 = 44,93 ⇒ cov( βˆ , βˆ ) = −0, 245 5 cov( βˆ , βˆ ) = −σˆ 2 1 2 1 2 ∆ 3600
⇒ SE ( βˆ − βˆ ) = 0,499+1,248− 2(−0,245) ⇒ SE ( βˆ − βˆ ) = 1, 496 6 1 2 1 2
⇒t =
2 −1,5 ⇒ t = 0,334 1,496
Παρατηρώ ότι
t pt =t = 2,36 ⇒ ∆έχοµαι Η : β − β = 0 a 7,0.021 0 1 2 T − K −1, 2
ΘΕΜΑ 2 ( )
Εκτίµηση Ελαχίστων Τετραγώνων του υποδείγµατος Y : Yt = βάση 35 παρατηρήσεις , έδωσε κατάλοιπα et
β1 X t + β 2 Zt + ε t
µε
. Με χρήση των καταλοίπων
εκτιµήθηκαν οι παρακάτω παλινδροµήσεις και βρέθηκαν οι αντίστοιχες τιµές συντελεστή προσδιορισµού ή τα αντίστοιχα αθροίσµατα τετραγώνων καταλοίπων ( SSE ) :
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 4 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
et2 = 0.2 + 0.025 X t + 0.05 X t2 , R2 = 0.15 et2 = −0.5 + 0.01Zt + 0.03Zt2 , R2 = 0.13 et2 = −0.1 + 0.20 X t Zt , R2 = 0.12 et = −0.13 + 0.25 X t + 0.5Zt , SSE = 130 et = −0.10 + 0.21X t + 0.39Zt + 0.05et −1 + 0.01et −2 , SSE = 100 i.
(
1.25
Μονάδες
)
Να
γίνουν
κατάλληλοι
έλεγχοι
για
ύπαρξη
ετεροσκεδαστικότητας . ii.
(
1.0
Μονάδα
)
Αν
σε
κάποια
από
τις
περιπτώσεις
ελέγχου
ετεροσκεδαστικότητας του ερωτήµατος (i) προκύπτει ετεροσκεδαστικότητα των
σφαλµάτων
,
να
προταθεί
κατάλληλος
µετασχηµατισµός
του
υποδείγµατος ( Υ ) , και να δειχθεί ότι ο µετασχηµατισµός αυτός οδηγεί σε άρση του προβλήµατος . iii.
( 1.25 Μονάδες ) Να γίνει κατάλληλος έλεγχος για ύπαρξη αυτοσυσχέτισης των σφαλµάτων .
iv.
( 1.50 Μονάδες ) Στην συνέχεια , το υπόδειγµα ( Υ ) εκτιµήθηκε µε βάση 10 νέες παρατηρήσεις ( µε την µέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων ) . Τα νέα κατάλοιπα που προέκυψαν από αυτή την εκτίµηση είναι : -1.705 , 2.07 , 0.83 , 2.475 , -2.175 , 2.00 , -3.095 , 2.455 , -3.12 , 1.915 . Να γίνει ο έλεγχος Durbin-Watson για αυτοσυσχέτιση 1ης τάξης . Να υπολογισθεί
η ακριβής και όχι η προσεγγιστική τιµή του
κριτηρίου .
∆ίνονται
2 2 2 x0.05,1 = 3.84 , x0.05,2 = 5.99 , x0.05,3 = 7.81 ,
F0.05,2,30 = 3.32 , F0.05,4,30 = 2.69 . α
=
5
%
,
αριθµός
ερµηνευτικών
µεταβλητών
=
2
:
dL = 0.70 , dU = 1.64
ΛΥΣΗ (i) Oι 3 πρώτες βοηθητικές παλινδροµήσεις χρησιµοποιούνται για το κριτήριο White. Εφαρµόζουµε το LM-κριτήριο
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 5 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ •
LM = TR 2 = 35 .0,15 = 5.25 2 = 5,99 ⇒ ∆έχοµαι H : µη ετεροσκεδαστικότητα. 2,0.05 0
Παρατηρώ ότι LM p x
•
LM = TR 2 = 35.0,12 = 4, 2 2 = 3,84 ⇒ Aπορρίπτεται. Ho : µη 1,0.05
Παρατηρώ ότι LM f x
ετεροσκεδαστικότητα ⇒ Υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα στην (Υ) (ii) Με βάση την 3η εξίσωση υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, η µορφή της βρίσκεται ως εξής:
σ 2 = −0,1 + 0, 2Z ⇒ E (e2 ) = ⎡⎣(−0,1+ 0,2Zt ) ⎤⎦ t
t
∆ιαιρώ την (Υ) µε
t
−0,1+ 0,2Zt
Yt xt zt εt (y ) =β +β + 1 1 −0,1+ 0,2Z 2 −0,1+ 0,2Z 0,1 0,2 Z −0,1+ 0,2Zt − + t t t
V(
εt
−0,1+ 0,2 Zt
)=(
1 1 1 )2V (ε ) = .σ 2 = (−0,1 + 0, 2 Z ) = 1 ⇒ t t −0,1+ 0,2Zt t −0,1+ 0,2 Zt −0,1+ 0,2Zt
∆ιακύµανση των καταλοίπων της
Y = σταθερή ⇒ η ( Y ) δεν εµφανίζει 1 1
ετεροσκεδαστικότητα. (iii) για τις 2 τελευταίες παλινδροµήσεις εφαρµόζω F-τεστ Ελέγχοντας αν οι συντελεστές των
F=
e e είναι στατιστικά σηµαντικοί: t −1, t − 2
( SSE* − SEE ) / 2 (130 −100) / 2 30 / 2 15*30 450 = = = ⇒ ⇒ F = 45 SSE / T − K −1 100 / 35− 4−1 100 / 30 100 100
Παρατηρώ ότι F f F
2,30,0.05
= 3,32 ⇒ Απορρίπτεται H ⇒ συντελεστές 0
e ,ή e στατιστικά σηµαντικοί ⇒ υπάρχει αυτοσυσχέτιση t −1 t −2
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 6 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
2 ∑ (et −et −1) 185,83 (iv) d = = = 3,59 2 51,76 ∑ et (e − e ) 2 t t −1
e2 t
14,25
2.91
8,41
4,29
10,92
0,69
21,62
6,13
17,43
4,73
25,96
4
30,80
9,58
31,08
6,03
25,35
9,73
185.83
3,67
Υπάρχει αρνητική αυτοσυσχέτιση
51,76
ΘΕΜΑ 3 Έστω το παρακάτω διαρθρωτικό υπόδειγµα διασύνδεσης µισθών – τιµών : ( α ) Συνάρτηση πληθωρισµού τιµών :
( 1 ) pt
= a0 + a1w t + a2Yt + ε1t , a1, a2 > 0
( β ) Συνάρτηση πληθωρισµού τιµών :
( 2 ) wt
= β 0 + β1pt + β 2ut + ε 2t , β1 > 0 , β 2 < 0 ,
όπου pt : ποσοστιαία µεταβολή στο γενικό επίπεδο τιµών ,
w t :ποσοστιαία
µεταβολή στο επίπεδο του νοµισµατικού µισθού , Yt : αθροιστική ζήτηση , ut : ρυθµός ανεργίας . Τα αποτελέσµατα από την εφαρµογή της µεθόδου Ελαχίστων Τετραγώνων στο ανηγµένο υπόδειγµα , που αντιστοιχεί στο αρχικό υπόδειγµα ( 1 ) – ( 2 ) , γι
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 7 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ∆Ε∆ΟΜΈΝΑ Της Ελληνικής Οικονοµίας για την περίοδο 1960 – 1995 ( δις. δρχ. σταθερές τιµές 1970 ) , είναι τα εξής :
∧
2
( 3 ) pt = −1.68241+ 0.04479Yt − 0.87508ut , R = 0.6520 , ( 2.4202 )
( 0.0054 )
( 0.3485 )
∧
2
( 4 ) w t = 9.37057+ 0.03250Yt − 1.42523ut , R = 0.4923 , ( 2.5689 )
(0.0058 )
(0.3700 )
( στις παρενθέσεις απεικονίζονται οι αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις ) i.
( 3.5 Μονάδες )
Να εκτιµηθούν οι διαρθρωτικοί συντελεστές των
εξισώσεων ( 1 ) και ( 2 ) µε τις καταλληλότερες εκτιµητικές µεθόδους περιορισµένης πληροφόρησης ( Να αιτιολογηθεί η επιλογή των µεθόδων ) . ii.
( 1.5 Μονάδες ) Αν η συνάρτηση ( 1 ) πληθωρισµού τιµών αντικατασταθεί µε την ( 5 ) : ( 5 ) pt = a0 + a1w t −1 + a2Yt + a3 pt −1 + ε 1t , a1 , a2 , a3 > 0 ∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
και εκτιµηθεί µε την µέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων , προκύπτουν τα αποτελέσµατα :
∧
( 6 ) pt = −3.29432+ 0.33264w i −1 + 0.01391Yt + 0.39320 pt −1 , ( 2.3883 )
( 0.1482 )
( 0.0074 )
(0.1655 )
( στις παρενθέσεις απεικονίζονται οι αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις ) 2
Durbin-Watson = 1.37 , R = 0.7575 . Ζητείται να εξετασθεί για α = 5 % , αν στα σφάλµατα της εξίσωσης ( 5 ) υπάρχει αυτοσυσχέτιση 1ης τάξης . ∆ίνονται :
z0.10 = 1.28 , z0.05 = 1.645 , z0.025 = 1.96 2 t0.025,29 = 2.045 , t0.05,29 = 1.699 , x0.025,30 = 46.979
α
=
5
%
,
αριθµός
ερµηνευτικών
µεταβλητών
=
3
:
dL = 1.29 , dU = 1.65 .
ΛΥΣΗ Εξετάζω το (Σ) ως προς την τυποποίηση. Το φέρνω στην τυπική του µορφή και παίρνω τον πίνακα των συντελεστών των µεταβλητών και σταθερών όρων.
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 8 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
P − a w − a Y + 0u − a = e t i t 2 t t 0 t − β P + W + 0Y − β U − β = e 1t t t 2 t 0 2t 1 −a
1
−a 2
−β 1 1
−a 0
0
0 −β
2
−β
0
1η εξίσωση
*
*
*
α) Συνθήκη τάξης: Κ ≥ G − 1, K = 1, G = 2 , Κ = G − 1 πιθανώς ταυτοποιείται ακριβώς. β) Συνθήκη βαθµού
Γ(∆) = G − 1 ∆ = ⎡⎣ − β 2 ⎤⎦ , ∆ = − β ≠ 0 2
Υ (∆) = 1 = G − 1 διότι G=2 (δύο εξισώσεις) Άρα η πρώτη εξίσωση ταυτοποιείται ακριβώς. 2η εξίσωση
*
*
Κ=1, G = 2, K = G − 1 πιθανώς ταυτοποιείται ακριβώς
∆ = [− a ] ∆ = − a ≠ 0 , Y (∆) = i , G = 2 , Y (∆ ) = G − 1 . Και η δεύτερη εξίσωση 2 2 ταυτοποιείται ακριβώς. Η πιο κατάλληλη µέθοδος εκτίµησης είναι η ILS. (επειδή ταυτοποιούνται ακριβώς οι εξισώσεις. Μέθοδος ILS 1o στάδιο: Φέρνω το (Σ) στην αναλυµένη του µορφή. i) (1) ⇒ P = a + a ( β + β P + β U + E
t
0
1 0
1t
2 t
2t
)+a Y + E ⇒ 2 t 1t
P = a + a β +α β P + a β U + a E + a Y + E ⇒ t it 0 1 0 1 1 t 1 2 t 1 2t 2 t (1 − a β ) P = a + a β + α β U + a E + a Y + E ⇒ 1 1 t 0 1 0 1 2 t 1 2t 2 t 1t
a +a β a Ε +Ε α Υ αβ P = 0 1 0 + 2 t + 1 2 U + 1 2 1t t 1−α1β1 1− a1β1 1−α1β1 t 1− a1β1 P = Π + Π Υ + Π U + V (5΄) t 10 11 t 12 t 1t
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 9 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
α +α1β0 α 2Υ t a E +E αβ + + 1 2 U + 1 2t 1t ) 1 1−α β t 1− a1β1 1 1 1− a1β1 1−α1β1
(2) ⇒ W = β + β ( 0
0
t
B E +E β +α β β α Υ β2 U + 1 it 2t ⇒ +β U + E = 0 0 1 + 1 2 τ + 2 t 2t 1−α1β1 1−α1β1 1−α1β1 t 1− a1β1 ⇒ W = Π + Π Υ + Π U + V (6΄) t 20 21 t 22 t 2t
Στάδιο 2ο : Εφαρµογή της OLS στις (5’) και (6’) µε εκτίµηση τις (3) και (4) οπότε:
ˆ = −1, 68241, Π ˆ = 0, 04479, Π ˆ = −0,8750, Π ˆ ˆ = 0, 03250, Π ˆ Π = 9,37057, Π = −1, 42523 10 11 12 20 21 22 Στάδιο 3ο : από τις εκτιµήσεις των συντελεστών ανοιγµένης µορφής εκτιµούµε τους συντελεστές των διαρθρωτικών εξισώσεων, 1 και 2:
ˆ 0, 03250 Π 21 Π = Β1 ⇒ βˆ1 = 21 = = 0, 7256 ˆ Π11 Π11 0, 04479
Π
22
=
αβ Π , Π = 1 2 ⇒ 12 = α ⇒ αˆ = 1 1 Π 22 1−α1β1 12 1−α1β1 Β2
ˆ Π 12 = ˆ Π 22
ˆ (1−α β ) αˆ βˆ Π −0,8750 ˆ = 1 2 =Π ˆ (1−αˆ βˆ ) =αˆ βˆ ⇒βˆ = 12 1 1 = −0,8750(1−0,7256*0,6139) = −0,4852 =−0,6687, =0,6139,Π 12 1−αˆ βˆ 12 1 1 1 2 2 −1,42523 αˆ1 0,7256 0,7256 11
αˆ 2 ˆ = ˆ (1 − αˆ βˆ ) = 0, 04479*0,5545 = 0, 0248, Π ⇒ αˆ = Π 11 1−αˆ − βˆ 2 11 1 1 1 1 αˆ0 +αˆ1βˆ0 αˆ0 + 0,6139βˆ0 ˆ Π = ⇒ −1, 68241 = ⇒ αˆ = 0, 6139 βˆ = −0,9328 10 0 0 0,5545 1−αˆ1βˆ1 βˆ +αˆ βˆ βˆ +αˆ 0,7256 ˆ = 0 0 1 ⇒9,330757 = 0 0 ˆ + 0,7256αˆ ⇒αˆ =−0,9328−0,6139Β ˆ ⇒ Π ⇒5,1739 =Β 20 1−αˆ βˆ 0 0 0 0 0,5545 11 ˆ +0,7256(−0,9328−0,6139Β ˆ )⇒5,1739=βˆ −0,6768−0,4454Β ˆ ⇒5,8507=0,5546Β ˆ ⇒Β ˆ =10,5494 5,1739=Β 0 0 0 0 0 0
αˆ = −0,9328 − 0, 6139*10,5494 = −7, 40907 0
ii) Το κατάλληλο κριτήριο για τον έλεγχο αυτοσυσχέτισης α΄ τάξης είναι το κριτήριο Durbin
∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 10 από 11
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ- ΙΟΥΝΙΟΣ 2008-ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
Μ
0
p=0
h = pˆ
Μ p>0 1
pˆ = 1 −
T 1−T σˆα2ˆ 1
,
Απορρίπτω την Μ
0
όταν Z > Z
a
1,37 d = 1− = 0,315 2 2
h = 0,315
35 1−35(0,1482)2
=3,8748 > 1, 645 , Απορρίπτεται η Μ , άρα υπάρχει 0
αυτοσυσχέτιση α΄τάξης.
www.dap-oikonomikou.gr • ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ • ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ – ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ • ΧΡΗΣΙΜΑ LINKS • Ο∆ΗΓΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ • ΠΑΙΧΝΙ∆ΙΑ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ • ΕΚ∆ΗΛΩΣΕΙΣ • ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ • ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΑ • ΩΡΕΣ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΚΑΙ E – MAILS • Ο∆ΗΓΟΣ ΣΠΟΥ∆ΩΝ - ΣΥΜΒΟΥΛΕΣ • ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ • ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ • ΛΕΞΙΚΑ • ΑΦΙΕΡΩΜΑΤΑ (ΞΕΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑ, ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ) • ΒΑΣΙΚΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΚΑΙ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ
www.dap-oikonomikou.gr ∆ΑΠ Οικονοµικού-www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 11 από 11