Oikonosimiwseis by ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Εισαγωγή

• Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει οικονοµικά συστήµατα µε τη χρήση στατιστικών µεθόδων. • Οι βασικοί σκοποί της Οικονοµετρίας είναι – Να βρεθούν και να ποσοτικοποιήθουν αιτιακές σχέσεις µεταξύ οικονοµικών

µεταβλητών, π.χ. αν το εισόδηµα µειωθεί κατά πόσο µεταβάλλεται η κατανάλωση, αν το εισόδηµα εξαρτάται από το φύλο. – Να γίνουν προβλέψεις οικονοµικών µεταβλητών, π.χ. ποιο θα είναι το ΑΕΠ

το επόµενο τρίµηνο, πόσο θα µεταβληθεί η ανεργία τα επόµενα δύο έτη. • Το βασικότερο εργαλείο στην Οικονοµετρία είναι η Ανάλυση Παλινδρόµησης (Regression Analysis).

• Ανάλογα µε την πηγή, τα στατιστικά στοιχεία ή δεδοµένα χωρίζονται σε – Πειραµατικά δεδοµένα (experimental data) – Παρατηρήσιµα δεδοµένα (observational data)

• Ανάλογα µε την µεταβλητή, οι βασικές κατηγορίες δεδοµένων είναι – Διαστρωµατικά δεδοµένα (cross-sectional data), π.χ. η εκπαίδευση 100 ατοµών. – Δεδοµένα χρονολογικών σειρών (time series data), π.χ. το µηνιαίο επιτόκιο

για τη χρονική περίοδο Ιανουάριος 2000-Δεκέµβριος 2006. – Μεικτά δεδοµένα (panel data), π.χ. το ετήσιο εισόδηµα 5 ατόµων για τη

χρονική περίοδο 2000-2005.

Παράδειγµα διαστρωµατικών δεδοµένων

Παράδειγµα δεδοµένων χρονολογικής σειράς

Παράδειγµα διαστρωµατικών δεδοµένων

Γραµµικό υπόδειγµα πολυµεταβλητής παλινδρόµησης

• Y είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή (dependent variable). • X1, ..., XK είναι οι ανεξάρτητες ή ερµηνευτικές µεταβλητές (independent variables or regressors). • Δείγµα µέγεθους T για την εξαρτηµένη µεταβλητή Y1, ...., YT και για κάθε ανεξάρτητη µεταβλήτη X1j , ...., XT j , j = 1, ..., K. • Το γραµµικό υπόδειγµα πολυµεταβλητής παλινδρόµησης (multiple linear regression model)

Yt = β0 + β1Xt1 + ... + βK XtK + ut, t = 1, ..., T – β0, β1, ..., βK είναι οι συντελεστές παλινδρόµησης (regression coefficients).

– β0 είναι ο σταθερός όρος (intercept) και β1, ..., βK είναι οι συντελεστές κλίσεις

(slope coefficients). – β0 + β1X1 + ... + βK XK είναι η γραµµή παλινδρόµησης (regression line). – ut, t = 1, ..., T είναι ο διαταρακτικός όρος ή σφάλµα (disturbance term or

error). • Για K = 1 έχουµε το απλό γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης (simple linear regression model).

Συµβολισµός µε πίνακες:

Y = Xβ + u όπου



Y =

               

Y1 ..





               

               



β=

                      

1 X11 . . . X1K

X = ..

1 XT 1 . . . XT K





               

               



X1′ ..

XT′

               



β0 β1 ..

βK

                      



               



u1 ..

               

Σηµείωση: Αν δεν υπαρχεί σταθερός όρος β0, τότε αφαιρείτε η πρώτη στήλη του πίνακα X.

Βασικές υποθέσεις Α.1 Yt = β0 + β1Xt1 + ... + βK XtK + ut, t = 1, ..., T, είναι το σωστό υπόδειγµα και E (ut) = 0, t = 1, ..., T. Α.2 Δεν υπάρχουν ακριβής γραµµικές σχέσεις µεταξύ των X1, ..., XK και T >

K + 1. Α.3 Οι X1, ..., XK είναι µη στοχαστικές. Α.4 Ισχύει ότι V (ut) = σ 2, t = 1, ..., T και Cov (ut, us) = 0, t, s = 1, ..., T, t ̸= s. Α.5 ut, t = 1, ..., T ακολουθούν την κανονική κατανοµή.

Βασικές υποθέσεις µε συµβολισµό πινάκων Α.1 Y = Xβ + u είναι το σωστό υπόδειγµα και E (u) = 0. Α.2 X είναι πλήρους βαθµού και T > K + 1. Α.3 X είναι µη στοχαστικός. Α.4 Ισχύει ότι V (u) = σ 2I. Α.5 u ακολούθει την κανονική κατανοµή.

Ερµηνεία συντελεστών παλινδρόµησης • Από τις υποθέσεις Α.1-Α.4 ισχύει ότι

E (Yt) = β0 + β1Xt1 + ... + βK XtK και άρα

∂E (Yt) βj = , j = 1, ..., K ∂Xtj • Ο συντελεστής κλίσης βj µετράει τη µεταβολή στη µέση τιµή της εξαρτηµένης

µεταβλητής Y όταν η ερµηνευτική µεταβλητή Xj µεταβληθεί κατά 1 µονάδα, ενώ οι υπόλοιπες ερµηνευτικές µεταβλητές παραµείνουν σταθερές. • Ο σταθερός όρος β0 µετράει τη µέση τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y όταν όλες οι ερµηνευτικές µεταβλητές X1, ..., XK παίρνουν τη τιµή 0.

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (OLS) f

Ελαχιστοποιούµε ως προς β το άθροισµα των τετραγώνων f

S (β ) =

T X t=1

Yt − β0 − β1Xt1 − ... − βK XtK f

= Y − Xβ

′

Y − Xβ

Από τη συνθήκη πρώτου βαθµού βρίσκουµε τις κανονικές εξισώσεις (normal equations)

′

X X β = X ′Y c

Αν η υπόθεση Α.2 ισχύει, έχουµε c

′

β= XX

−1

X ′Y

Η συνθήκη δεύτερου βαθµού δίνει c

d2S (β ) ′ = 2 X X>0 f2 dβ

• Ο εκτιµητής ελαχίστων τετραγώνων OLS (ordinary least squares) του β είναι c

′

β= XX

−1

X ′Y

• Οι υπολογισµένες τιµές (fitted values) είναι c

Yd = X β • Τα κατάλοιπα (residuals) είναι

uc = Y − Yd • Ισχύει ότι

uc = 0 και X ′uc = 0 • Ο OLS εκτιµητής του σ 2 είναι 1

s =

T X

T − K − 1 t=1

uc 2t

• Ο OLS εκτιµητής του πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων του β είναι d

′

V β =s XX

−1

• Το τυπικό σφάλµα (standard error) του εκτιµητή βj είναι

sβbj = "

′

όπου (X X )

−1

v u u u t

(X ′X )−1

j +1,j +1

−1 (X ′X ) . είναι το j + 1 διαγώνειο στοιχείο του j +1,j +1

• Το τυπικό σφάλµα είναι ένας εκτιµητής της τυπικής απόκλισης του εκτιµητή c

βj . Γενικά, η διακύµανση του εκτιµητή βj µειώνεται όταν – Το µέγεθος του δείγµατος αυξάνεται. – Η διακύµανση της ερµηνευτικής µεταβλητής Xj αυξάνεται. – Η συσχέτιση µεταξύ της ερµηνευτικής µεταβλητής Xj και των υπολοίπων

ερµηνευτικών µεταβλητών µειώνεται. – Η διακύµανση του σφάλµατος u µειώνεται. 15

• Το συνολικό άθροισµα των τετραγώνων (total sum of squared SST) είναι

SST =

T X t=1

Yt − Y

• Το άθροισµα των τετραγώνων της παλινδρόµησης (explained sum of squared SSR) είναι

SSR =

T d X t=1

Yt − Y

• Το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων (sum of squared residuals SSE) είναι

SSE =

T X t=1

uc 2t = uc ′uc

• Ισχύει ότι

SST = SSR + SSE

• Ο συντελεστής προσδιορισµού (coefficient of determination) R2 είναι

SSR SSE R = =1− SST SST 2

– Μετράει το ποσοστό της µεταβλητότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής που

ερµηνεύεται από τη γραµµική παλινδρόµηση. – Ισχύει ότι 0 ≤ R2 ≤ 1. – Γενικά, ο R2 δεν µειώνεται όταν το µέγεθος του δείγµατος T ή ο αριθµός

των ερµηνευτικών µεταβλητών K αυξάνεται. – Ο R2 δεν είναι κατάλληλο µέτρο σύγκρισης υποδειγµάτων που έχουν διαφορε-

τικό αριθµό ερµηνευτικών µεταβλητών.

• Ο διορθωµένος συντελεστής προσδιορισµού (adjusted coefficient of determi2

nation) R είναι 2

R =1− 2

SSE /(T − K − 1) SST /(T − 1)

– Ισχύει ότι R ≤ 1 και o R µπορεί να πάρει αρνητικές τιµές. 2

– Ισχύει ότι R < R2 και ισχύει ότι R = R2 µόνο όταν R2 = 1 ή όταν

T → ∞. 2

– Ο R λαµβάνει υπόψη το µέγεθος του δείγµατος T και τον αριθµό των

ερµηνευτικών µεταβλητών K . 2

– Ο R είναι κατάλληλο µέτρο σύγκρισης υποδειγµάτων που έχουν διαφορετικό

αριθµό ερµηνευτικών µεταβλητών.

Στατιστικές ιδιότητες πεπερασµένων δειγµάτων των β,

και V β

1. Αν οι Α.1-Α.3 ισχύουν, ο β είναι αµερόληπτος εκτιµητής του β. c

2. Αν οι Α.1-Α.4 ισχύουν, ο πίνακας διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων του β είναι !

ο V β = σ 2 (X ′X )−1 . c

3. Θεώρηµα Gauss-Markov: Αν οι Α.1-Α.4 ισχύουν, ο β είναι ο άριστος, γραµµικός και αµερόληπτος εκτιµήτης του β. 4. Αν οι Α.1-Α.4 ισχύουν, ο s2 είναι αµερόληπτος εκτιµητής του σ 2. d

5. Αν οι Α.1-Α.4 ισχύουν, ο V β είναι αµερόληπτος εκτιµητής του V β . c

6. Αν οι Α.1-Α.5 ισχύουν, β ~N

β, σ 2 (X ′X )−1

, (T − K − 1)

s2 2 ~ χ 2 T −K−1 σ

β, s2 είναι ανεξάρτητοι. c

7. Αν οι Α.1-Α.5 ισχύουν ο β είναι άριστος αµερόληπτος εκτιµητής του β. 19

και οι

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Στατιστικοί έλεγχοι

• H0 είναι µηδενική υπόθεση (null hypothesis) και H1 είναι η εναλλακτική υπόθεση (alternative hypothesis). • Στατιστική ελέγχου (test statistic) είναι η στατιστική βάσει της οποίας δεν απορρίπτουµε ή απορρίπτουµε την H0. • Κρίσιµη περιοχή (critical region) είναι η περιοχή απόρριψης της H0. • Σφάλµα τύπου Ι (type I errror) έχουµε όταν ο στατιστικός έλεγχος απορρίπτει την H0, ενώ η H0 είναι αληθής. • Σφάλµα τύπου ΙΙ (type II error) έχουµε όταν ο στατιστικός έλεγχος δεν απορρίπτει την H0, ενώ η H0 είναι ψευδής. • Το επίπεδο σηµαντικότητας (significance level) του στατιστικού ελέγχου είναι

α = P (Σφάλµα τύπου Ι). 2

• Η ισχύς (power) του στατιστικού ελέγχου είναι 1 − β = 1 − P (Σφάλµα τύπου ΙΙ). • Δεν είναι δυνατό να ελαχιστοποιήσουµε συγχρόνως τα α και β. Προκαθορίζουµε το α, συνήθως α = 0, 05. • Για τον υπολογισµό της κρίσιµης περιοχής χρησιµοποιείται η κρίσιµη τιµή (critical value), η οποία βρίσκεται από την κατανοµή της στατιστικής ελέγχου υπό την H0. • Οι στατιστικοί έλεγχοι είναι τριών τύπων – LR (Likelihood ratio): απαιτεί εκτίµηση υπό την H0 και την H1. – LΜ (Lagrange multiplier): απαιτεί εκτίµηση υπό την H0. – Wald: απαιτεί εκτίµηση υπό την H1.

Στατιστικοί έλεγχοι: ένας συντελεστής παλινδρόµησης

Υποθέσεις: H0 : βj = βj∗ έναντι H1 : βj ̸= βj∗ ή H1′ : βj > βj∗ ή H1′′ : βj < βj∗ Στατιστική ελέγχου: t =

βbj −βj∗ sβb j

Κρίσιµη περιοχή: |t| > tT −K−1, α2 (H1) ή t > tT −K−1,α (H1′ ) ή t < −tT −K−1,α (H1′′)

• Αν οι υποθέσεις Α.1-Α.5 ισχύουν, τότε t~tT −K−1 υπό την H0. • Ο στατιστικός έλεγχος είναι Wald τύπου. • Όταν οι υποθέσεις είναι H0 : βj = 0 έναντι H1 : βj ̸= 0, ο στατιστικός έλεγχος είναι για τη σηµαντικότητα της Xj . • Το 100(1 − α)% διάστηµα εµπιστοσύνης (confidence interval) για το βj είναι "

ΔΕβj (100(1 − α)%) = βj ± tT −K−1, α2 sβbj

Στατιστικοί έλεγχοι: σηµαντικότητα του υποδείγµατος παλινδρόµησης

Υποθέσεις: H0 : β1 = ... = βK = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα βj ̸= 0,

j = 1, ..., K Στατιστική ελέγχου: F =

(SST −SSE )/K SSE /(T −K−1)

R2 /K (1−R2)/(T −K−1)

Κρίσιµη περιοχή: F > FK,T −K−1,α • Αν οι υποθέσεις Α.1-Α.5 ισχύουν, τότε F ~FK,T −K−1 υπό την H0. • Ο στατιστικός έλεγχος είναι LR τύπου. • Όταν K = 1, για τις υποθέσεις H0 : β1 = 0 έναντι H1 : β1 ̸= 0 ισχύει ότι

F = t2 και F1,T −2,α = t2T −2, α2 .

Στατιστικοί έλεγχοι: ένας γραµµικός περιορισµός των συντελεστών παλινδρό-

µησης Υποθέσεις: H0 : δ ′β = π έναντι H1 : δ ′β ̸= π ή H1′ : δ ′β > π ή H1′′ : δ ′β < π Στατιστική ελέγχου: t =

b δ ′ β−π sδ′ βb

′b

= √ δ′ β−π ′ s

−1

δ (X X ) δ

Κρίσιµη περιοχή: |t| > tT −K−1, α2 (H1) ή t > tT −K−1,α (H1′ ) ή t < −tT −K−1,α (H1′′)

• δ διάνυσµα (K + 1) × 1 και π αριθµός. • Αν οι υποθέσεις Α.1-Α.5 ισχύουν, τότε t~tT −K−1 υπό την H0. • Ο στατιστικός έλεγχος είναι Wald τύπου. • Η υποθέση H0 : βj = βj∗ είναι ειδική περίπτωση.

Στατιστικοί έλεγχοι: ένας ή παραπάνω γραµµικούς περιορισµούς των συντελεστών παλινδρόµησης

Υποθέσεις: H0 : Rβ = c έναντι H1 : Rβ ̸= c Στατιστική ελέγχου: F =

(SSER −SSEU )/q SSEU /(T −K−1)

όπου SSER και SSEU είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης µε (restricted) και χωρίς (unrestricted) τους περιορισµούς. Στατιστική ελέγχου: F = Rβ − c c

′

! −1 ′ −1 2 ′ s R (X X ) R

Rβ − c c

Κρίσιµη περιοχή: F > Fq,T −K−1,α • R πίνακας q × (K + 1) πλήρους βαθµού q και c διάνυσµα q × 1. • Αν οι υποθέσεις Α.1-Α.5 ισχύουν, τότε F ~Fq,T −K−1 υπό την H0. c

• Ο στατιστικός έλεγχος µε βάση τα SSE είναι LR τύπου και µε βάση τον β είναι Wald τύπου. 7

• Η υποθέση H0 : β1 = ... = βK = 0 είναι ειδική περίπτωση. • Η υπόθεση H0 : βH +1 = ... = βK = 0 είναι ειδική περίπτωση. • Όταν q = 1, για τις υποθέσεις H0 : δ ′β = π έναντι H1 : δ ′β ̸= π ισχύει ότι

F = t2 και F1,T −K−1,α = t2T −K−1, α2 .

Προβλέψεις και διαστήµατα προβλέψεων

• Για µία νέα παρατήρηση f έχουµε τις τιµές των ερµηνευτικών µεταβλητών

′

Xf = 1, Xf 1, ..., Xf K και θέλουµε να προβλέψουµε την τιµή Yf της εξαρτηµέ

νης µεταβλητής και τη µέση τιµή της E Yf . \ • Η πρόβλεψη (prediction) Yf και E Yf για την Yf και τη E Yf είναι d

c c c c \ Yf = E Yf = β0 + β1Xf 1 + ... + βK Xf K = Xf′ β d

• Η διακύµανση της πρόβλεψης Yf είναι



V Yf = σ 2 1 + Xf′ X ′X d

−1



Xf 

\ • Η διακύµανση της πρόβλεψης E Y είναι



 

2 ′ ′ −1 \ V E Yf = σ Xf X X Xf 

• Το τυπικό σφάλµα της πρόβλεψης Yf είναι v u u t

sYcf = s 1 + Xf′ (X ′X )−1 Xf \ • Το τυπικό σφάλµα της πρόβλεψης E Y είναι

v u u t

= s Xf′ (X ′X )−1 Xf sE\ (Y ) f

\ • Αν οι υποθέσεις Α.1-Α.4 ισχύουν, τότε οι Yf και E Yf είναι αµερόληπτες, d

άριστες γραµµικές προβλέψεις των Yf και E Yf . • Αν οι υποθέσεις Α.1-Α.4 ισχύουν, τότε οι s2Ycf και s2\ είναι αµερόληπτοι

εκτιµητές των V Yf



 

\ και V E Yf . 

E (Yf )

• Αν οι υποθέσεις Α.1-Α.5 ισχύουν, τότε το 100(1 − α)% διάστηµα πρόβλεψης (prediction interval) για την Yf είναι "

ΔΠYf (100(1 − α)%) = Yf ± tT −K−1, α2 sYcf

και για τη E Yf είναι 



\ ΔΠE (Yf )(100(1 − α)%) = E Yf ± tT −K−1, α2 s\ 

E (Yf )

Αλλαγές στη µονάδα µέτρησης

• Έστω το γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης Yt = β0 + β1Xt1 + ... + βK XtK +

ut, t = 1, ..., T ή Y = Xβ + u. • Έστω ότι οι µεταβλητές αλλάζουν µονάδες µέτρησης Y ∗ = λY Y, Xj∗ = λj Xj για j = 1, ..., K. • Το γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης µε τις αλλαγές στις µονάδες µέτρησης ∗ ∗ είναι Yt∗ = β0∗ + β1∗Xt∗1 + ... + βK XtK + u∗t , t = 1, ..., T ή Y ∗ = X ∗β ∗ + u∗.

• Ο OLS εκτιµητής του β ∗ είναι

λY c β0 = λY β0 και βj = βj , j = 1, ..., K λj c∗

c∗

• Οι OLS εκτιµητές του σ 2∗ και των τυπικών σφαλµάτων του β ∗ είναι c

s2∗ = λ2Y s2, sβb0∗ = λY sβb0 και sβbj∗ = 12

λY sβbj , j = 1, ..., K λj

• Οι στατιστικές ελέγχου και οι συντελεστές προσδιορισµού δεν µεταβάλλονται. • Το 100(1 − α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το β0∗ είναι ΔΕβ0∗ (100(1 − α)%) = λY ΔΕβ0 (100(1 − α)%) και για το βj∗ είναι

λY ΔΕβj∗ (100(1 − α)%) = ΔΕβj (100(1 − α)%) λj • Η πρόβλεψη και το 100(1 − α)% διάστηµα πρόβλεψης για την Yf∗ είναι

Ydf∗ = λY Ydf και ΔΠYf∗ (100(1 − α)%) = λY ΔΠYf (100(1 − α)%) και για τη E \∗!

E Yf

Yf∗

είναι

\ = λY E Yf και ΔΠE (Y ∗)(100(1 − α)%) = λY ΔΠE (Yf )(100(1 − α)%) f

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Μη γραµµικά υποδείγµατα παλινδρόµησης

• Έστω µία συνάρτηση f = f (X1, ..., XK ) των µεταβλητών X1, ..., XK . • Η συνάρτηση f είναι γραµµική ως προς τις X1, ..., XK , αν για κάθε j = 1, ..., K η

∂f ∂Xj

δεν εξαρτάται από την Xj .

• H συνάρτηση f είναι προσθετική ως προς τις X1, ..., XK , αν για κάθε j = 1, ..., K η

∂f ∂Xj

δεν εξαρτάται από την Xl , για κάθε l ̸= j, l = 1, ..., K.

• H συνάρτηση f είναι γραµµική και προσθετική ως προς τις X1, ..., XK , αν για κάθε j = 1, ..., K η

∂f ∂Xj

δεν εξαρτάται από τις X1, ..., XK .

• Το γραµµικό υπόδειγµα παλινδροµήσης είναι γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές X1, ..., XK .

E (Y ) = f (X1, ..., XK ) = β0 + β1X1 + ... + βK XK 2

• Τα µη γραµµικά υποδείγµατα πολυµεταβλητής παλινδρόµησης (multiple nonlinear regression models) µε ερµηνευτικές µεταβλητές X1, ..., XK θεωρούν ότι η E (Y ) είναι µη γραµµική ή/και µη προσθετική ως προς τις ερµηνευτικές

µεταβλητές X1, ..., XK . – Υπάρχουν περιπτώσεις που το µη γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης µε

ερµηνευτικές µεταβλητές X1, ..., XK µετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό (όχι όµως απαραίτητα ως προς τις αρχικές ερµηνευτικές µεταβλητές X1, ..., XK και µε την αρχική εξαρτηµένη µεταβλητή Y ). Στο µετασχη-

µατισµένο υπόδειγµα εφαρµόζεται η µέθοδος OLS. – Αν δεν υπάρχει κατάλληλος µετασχηµατισµός, τότε στο µη γραµµικό υπό-

δειγµα παλινδρόµησης µε ερµηνευτικές µεταβλητές X1, ..., XK εφαρµόζεται η µέθοδος µη γραµµικών ελαχίστων τετραγώνων NLS (non-linear least squares). 3

1. Πολυωνυµική µορφή

Yt = β0 + β1Xt + β2Xt2... + βK XtK + ut, t = 1, ..., T Το υπόδειγµα µη γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Το υπόδειγµα µετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµη∗ νευτικές µεταβλητές X1∗, ..., XK ∗ Yt = β0 + β1Xt∗1 + β2Xt∗2... + βK XtK + ut, t = 1, ..., T

όπου

Xtj∗ = Xtj , j = 1, ..., K Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα (⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS.

(⋆)

2. Αντίστροφη µορφή

Yt = β0 + β1

+ ut, t = 1, ..., T

Το υπόδειγµα είναι µη γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Το υπόδειγµα µετασχηµατίζεται σε γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή Xt∗

Yt = β0 + β1Xt∗ + ut, t = 1, ..., T όπου

Xt∗

Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα (⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS.

(⋆)

3. Συνάρτηση σταθερών ελαστικοτήτων βK · ut, t = 1, ..., T Yt = β0Xtβ11 · ... · XtK

Το υπόδειγµα είναι µη γραµµικό και µη προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές

µεταβλητές X1, ..., XK . Μετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µετα∗ βλητές X1∗, ..., XK ∗ Yt∗ = β0∗ + β1Xt∗1 + ... + βK XtK + u∗t , t = 1, ..., T

όπου

Yt∗ = ln(Yt),

Xtj∗ = ln(Xtj ), j = 1, ..., K,

u∗t = ln(ut)

και

β0∗ = ln(β0) Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα (⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 6

(⋆)

4. Εκθετική µορφή

Yt = eβ0+β1Xt+ut , t = 1, ..., T Το υπόδειγµα είναι µη γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Μετασχηµατίζεται σε γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X

Yt∗ = β0 + β1Xt + ut, t = 1, ..., T όπου

Yt∗ = ln(Yt) Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα (⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS.

(⋆)

5. Λογιστική καµπύλη

Yt =

γ 1 + eβ0+β1t+ut

, t = 1, ..., T

όπου γ > 0 και β1 < 0. Το υπόδειγµα δεν είναι γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X, όπου

Xt = t. Εφόσον γ είναι γνωστό, µετασχηµατίζεται σε γραµµικό ως προς την ερµηνευτική

µεταβλητή X Yt∗ = β0 + β1t + ut, t = 1, ..., T όπου





 γ  ∗ Yt = ln  − 1 Yt

Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα (⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS.

(⋆)

6. Κατά τµήµατα γραµµική          

β0 + β1Xt + ut, t = 1, ..., T ∗

     

ζ0 + ζ1Xt + ut, t = T ∗ + 1, ..., T

Yt = 

όπου T ∗ είναι η παρατήρηση µετά την οποία υπάρχει σπάσιµο (break) της παλινδρόµησης. Το υπόδειγµα δεν είναι γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Μετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές D, X, X · D

Yt = β0 + γ0Dt + β1Xt + δ1 (Xt · Dt) + ut, t = 1, ..., T όπου

         

1, t = T ∗ + 1, ..., T

     

0, t = 1, ..., T ∗

Dt = 

ζ0 = β0 + γ0 και ζ1 = β1 + δ1

Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα (⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 9

(⋆)

7. Κατά τµήµατα γραµµική          

β0 + β1Xt + ut, t ισχύει Xt ≤ X ∗

     

ζ0 + ζ1Xt + ut, t ισχύει Xt > X ∗

Yt = 

όπου X ∗ είναι το όριο (threshold) της ερµηνευτικής µεταβλητής X για το οποίο υπάρχει σπάσιµο της παλινδρόµησης. Το υπόδειγµα δεν είναι γραµµικό ως προς την ερµηνευτική µεταβλητή X. Μετασχηµατίζεται σε γραµµικό και προσθετικό ως προς τις ερµηνευτικές µεταβλητές D, X, X · D

Yt = β0 + γ0Dt + β1Xt + δ1 (Xt · Dt) + ut, t = 1, ..., T όπου

         

1, t ισχύει Xt > X ∗

     

0, t ισχύει Xt ≤ X ∗

Dt = 

ζ0 = β0 + γ0 και ζ1 = β1 + δ1

Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα (⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 10

(⋆)

Τεχνική των ψευδοµεταβλητών

• Για να περιλάβουµε ποιοτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης χρησι-

µοποιούµε τις ψευδοµεταβλητές (dummy variables). • Αν η ποιοτική µεταβλητή έχει m κατηγορίες, ορίζονται m ψευδοµεταβλητές          

1, t ∈ κατηγορία 1

     

0, t ∈ / κατηγορία 1

Dt1 = 

         

1, t ∈ κατηγορία m

     

0, t ∈ / κατηγορία m

, ..., Dtm = 

• Οι πολλαπλασιαστικές ψευδοµεταβλητές για την ερµηνευτική µεταβλητή Xj είναι το γινόµενο κάθε ψευδοµεταβλητής µε την Xj , Xj · D1, ..., Xj · Dm. • Το υπόδειγµα παλινδρόµησης µπορεί να συµπεριλαµβάνει πάνω από µία ποιοτική

µεταβλητή και την αλληλεπιδρασή τους.

• Παγίδα των ψευδοµεταβλητών (dummy variable trap): Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης συµπεριλάβουµε όλες τις m ψευδοµεταβλητές ή όλες τις m πολλαπλασιαστικές ψευδοµεταβλητές για την ερµηνευτική µεταβλητή Xj , τότε η υπόθεση Α.2 δεν ισχύει αφού για κάθε t = 1, ..., T ισχύει ότι Dt1 + ... + Dtm = 1 ή Xtj · Dt1 + ... + Xtj · Dtm = Xtj . • Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης χρησιµοποιήσουµε ψευδοµεταβλητές, συµπεριλαµβάνουµε τις m − 1 ψευδοµεταβλητές D2, ..., Dm. • Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης χρησιµοποιήσουµε πολλαπλασιαστικές ψευδο-

µεταβλητές για την ερµηνευτική µεταβλητή Xj , συµπεριλαµβάνουµε τις m− 1 πολλαπλασιαστικές ψευδοµεταβλητές Xj · D2, ..., Xj · Dm.

Α. Μεταβολή στον σταθερό όρο (m = 2)

Yt = β0 + γ0Dt + β1Xt + ut, t = 1, ..., T Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες Dt = 0 δίνει

Yt = β0 + β1Xt + ut Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες Dt = 1 δίνει

Yt = (β0 + γ0) + β1Xt + ut

Β. Μεταβολή στην κλίση (m = 2)

Yt = β0 + β1Xt + δ1 (Xt · Dt) + ut, t = 1, ..., T Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες Dt = 0 δίνει

Yt = β0 + β1Xt + ut Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες Dt = 1 δίνει

Yt = β0 + (β1 + δ1) Xt + ut

Γ. Μεταβολή στον σταθερό όρο και στην κλίση (m = 2)

Yt = β0 + γ0Dt + β1Xt + δ1 (Xt · Dt) + ut, t = 1, ..., T Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες Dt = 0 δίνει

Yt = β0 + β1Xt + ut Για τις παρατηρήσεις t για τις οποίες Dt = 1 δίνει

Yt = (β0 + γ0) + (β1 + δ1) Xt + ut

• Σε κάθε από τις περιπτώσεις Α-Γ, το υπόδειγµα παλινδρόµησης µε τις ψευδο-

µεταβλητές για όλο το δείγµα είναι ίσοδυναµο µε τα υπόδειγµατα παλινδροµήσης για κάθε στρώµα της ποιοτικής µεταβλητής. • Τα πλεονεκτήµατα του υποδείγµατος παλινδρόµησης µε τις ψευδοµεταβλητές είναι – Η εκτίµηση του σ 2 είναι πιο ακριβής αν τα σφάλµατα για κάθε στρώµα της

ποιοτικής µεταβλητής έχουν την ίδια διακύµανση. – Οι στατιστικοί έλεγχοι για τις διαφοροποιήσεις ανάλογα µε τα στρώµατα της

ποιοτικής µεταβλητής υπολογίζονται εύκολα βάσει των t και F στατιστικών των συντελεστών των ψευδοµεταβλητών και των πολλαπλασιαστικών µεταβλητών.

Παραδείγµατα ψευδοµεταβλητών

• Φύλο          

1, t είναι άνδρας

     

0, t είναι γυναίκα

Dt1 = 

         

1, t είναι γυναίκα

     

0, t είναι άνδρας

Dt2 = 

• Φυλή          

Dt1 = 

1, t είναι λευκός/ή

     

0, t δεν είναι λευκός/ή

         

1, t είναι ασιάτης/ισσα

     

0, t δεν είναι ασιάτης/ισσα

Dt3 = 

1, t είναι µαύρος/η

     

0, t δεν είναι µαύρος/η

Dt2 = 

, ...

         

• Διαχρονική επίδραση          

1, t είναι περίοδος ύφεσης

     

0, t είναι περίοδος ανάπτυξης

Dt1 = 

         

1, t είναι περίοδος ανάπτυξης

     

0, t περίοδος ύφεσης

, Dt2 = 

• Εποχική επίδραση          

1, t είναι χειµώνας

     

0, t δεν είναι χειµώνας

Dt1 = 

         

1, t είναι φθινόπωρο

     

0, t δεν είναι φθινόπωρο

         

1, t = T ∗ + 1, ..., T

     

0, t = 1, ..., T ∗

, ..., Dt4 = 

• Επίδραση ενός γεγονότος          

1, t = 1, ..., T ∗

     

0, t = T ∗ + 1, ..., T

Dt1 = 

Dt2 = 

• Επίδραση της τιµής µίας ερµηνευτικής µεταβλητής          

1, t ισχύει Xtj > X ∗

     

0, t ισχύει Xtj ≤ X ∗

Dt1 = 

, 18

         

1, t ισχύει Xtj ≤ X ∗

     

0, t ισχύει Xtj > X ∗

Dt2 = 

Στατιστικοί έλεγχοι: συντελεστές ψευδοµεταβλητών

• Το υπόδειγµα παλινδρόµησης

Yt = β0 + β1Xt1 + ... + βK XtK + ut, t = 1, ..., T

(⋆)

υποθέτει ότι οι συντελεστές παλινδρόµησης είναι σταθεροί ανά στρώµα i της ποιοτικής µεταβλητής • Για να ελεγχθεί αν υπάρχουν διαφοροποιήσεις ανά στρώµα ορίζονται οι ψευδοµεταβλητές          

1, t ∈ στρώµα 1

     

0, t ∈ / στρώµα 1

Dt1 = 

         

1, t ∈ στρώµα m

     

0, t ∈ / στρώµα m

, ..., Dtm = 

Α. Μεταβολή στον σταθερό όρο

Yt = β0 +

m ∑ i=2

γiDti +

K ∑ j =1

βj Xtj + ut, t = 1, ..., T

(Α)

Β. Μεταβολή στην κλίση

Yt = β0 +

K ∑ j =1

βj Xtj +

m ∑

(

K ∑

i=2 j =1

)

δij Xtj · Dti + uit, t = 1, ..., T

(Β)

Γ. Μεταβολή στον σταθερό όρο και στην κλίση

Yt = β0 +

m ∑ i=2

γiDti +

K ∑ j =1

βj Xtj +

m ∑

K ∑

i=2 j =1

(

)

δij Xtj · Dti + ut, t = 1, ..., T (Γ)

Στατιστικοί έλεγχοι: διαφοροποίηση στον σταθερό όρο όταν οι κλίσεις δεν διαφοροποιούνται

Υποθέσεις: H0 : γ2 = ... = γm = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα γi ̸= 0, i = 2, ..., m

Στατιστική ελέγχου: F =

(SSE⋆−SSEA)/(m−1) SSEA /(T −K−m)

όπου SSE⋆ και SSEA είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης (⋆) και (Α),. Κρίσιµη περιοχή: F > Fm−1,T −K−m,α

Στατιστικοί έλεγχοι: διαφοροποίηση στις κλίσεις όταν ο σταθερός όρος δεν διαφοροποιείται

Υποθέσεις: H0 : δ21 = ... = δm1 = 0, ..., δ2K = ... = δmK = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα δij ̸= 0, i = 2, ..., m, j = 1, ..., K Στατιστική ελέγχου: F =

(SSE⋆−SSEB )/(m−1)K SSEB /(T −mK−1)

όπου SSE⋆ και SSEB είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης (⋆) και (Β). Κρίσιµη περιοχή: F > F(m−1)K,T −mK−1,α

Στατιστικοί έλεγχοι: διαφοροποίηση στις κλίσεις όταν ο σταθερός όρος διαφοροποιείται

(SSEA−SSEΓ)/(m−1)K SSEΓ /(T −mK−m)

όπου SSEA και SSEΓ είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης (Α) και (Γ). Κρίσιµη περιοχή: F > F(m−1)K,T −mK−m,α

Στατιστικοί έλεγχοι: διαφοροποίηση στον σταθερό όρο και στις κλίσεις

Υποθέσεις: H0 : γ2 = ... = γm = 0, δ21 = ... = δm1 = 0, ..., δ2K = ... = δmK = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα γi ή δij ̸= 0, i = 2, ..., m, j = 1, ..., K Στατιστική ελέγχου: F =

(SSE⋆−SSEΓ)/(m−1)(K +1) SSEΓ /(T −mK−m)

όπου SSE⋆ και SSEΓ είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης (⋆) και (Γ). Κρίσιµη περιοχή: F > F(m−1)(K +1),T −mK−m,α

Στατιστικοί έλεγχοι: Chow σταθερότητα των συντελεστών

Περιόδος του δείγµατος χωρίζεται σε δύο υποπεριόδους µε T1 και T2 παρατηρήσεις. Υποθέσεις: H0 : συντελεστές είναι σταθεροί τις δύο υποπεριόδους έναντι H1 : συντελεστές διαφέρουν τις δύο υποπεριόδους Στατιστική ελέγχου: F =

[SSE⋆−(SSE1+SSE2)]/(K +1) (SSE1+SSE2)/(T1+T2−2(K +1))

όπου SSE⋆, SSE1 και SSE2 είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης (⋆) για όλη την περίοδο, για την πρώτη υποπερίοδο και την δεύτερη υποπερίοδο. Κρίσιµη περιοχή: F > FK +1,T1+T2−2(K +1),α • Υποθέτει γνώση της χρονικής στιγµής που διαιρεί την περίοδο. • Γενικεύεται σε περισσότερο από δύο υποπεριόδους. • Υποθέτει ότι T1, T2 ≥ K + 1.

Στατιστικοί έλεγχοι: Chow προβλεπτική αποτυχία

Υποθέσεις: H0 : υπόδειγµα έχει προβλεπτική ικανότητα έναντι H1 : υπόδειγµα δεν έχει προβλεπτική ικανότητα Στατιστική ελέγχου: F =

(SSE⋆−SSE1)/T2 SSE1 /(T1 −(K +1))

όπου SSE⋆ και SSE1 είναι τα SSE των υποδειγµάτων παλινδρόµησης (⋆) για όλη την περίοδο και για την πρώτη υποπερίοδο. Κρίσιµη περιοχή: F > FT2,T1−(K +1),α • Βασίζεται στις προβλέψεις για τις T2 παρατηρήσεις που γίνονται µε βάση τo υπόδειγµα παλινδρόµησης των T1 παρατηρήσεων. • Απόρριψη της H0 συνεπάγεται ότι οι συντελεστές διαφέρουν τις δύο υποπεριόδους. Η µη απόρριψη της H0 δεν συνεπάγεται γενικά ότι οι συντελεστές είναι σταθεροί τις δύο υποπεριόδους. 26

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Στοχαστικές ερµηνευτικές µεταβλητές

• Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης έγινε η υπόθεση ότι Α.3 Οι X1, ..., XK είναι µη στοχαστικές. • Στην Οικονοµική επιστήµη, είναι σπάνιο οι ερµηνευτικές µεταβλητές να είναι

µη στοχαστικές. • Όταν οι X1, ..., XK είναι στοχαστικές µεταβλητές οι βασικές υποθέσεις Α.1Α.5 αλλάζουν εν µέρει, λαµβάνοντας υπόψη ότι οι ερµηνευτικές µεταβλητές είναι στοχαστικές και εξειδικεύοντας τη σχέση µεταξύ των ερµηνευτικών µεταβλητών X1, ..., XK και του σφάλµατος u.

Βασικές υποθέσεις µε στοχαστικές ερµηνευτικές µεταβλητές Α.1 Y = Xβ + u είναι το σωστό υπόδειγµα και E (u) = 0. Α.2 X είναι πλήρους βαθµού µε πιθανότητα 1 και T > K + 1. Α.3 X και u είναι ανεξάρτητα. Α.4 Ισχύει ότι V ( u| X ) = σ 2I. Α.5 u| X ακολουθεί την κανονική κατανοµή.

Στατιστικές ιδιότητες πεπερασµένων δειγµάτων των β,

και V β X

1. Αν οι Α.1-Α.3 ισχύουν, ο β είναι αµερόληπτος εκτιµητής του β. c

2. Αν οι Α.1-Α.4 ισχύουν, ο πίνακας διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων του β είναι

ο V β X = σ 2 (X ′X )−1 . c

3. Θεώρηµα Gauss-Markov: Αν οι Α.1-Α.4 ισχύουν, ο β είναι ο άριστος, γραµµικός και αµερόληπτος εκτιµήτης του β , δοθέντος X . 4. Αν οι Α.1-Α.4 ισχύουν, ο s2 είναι αµερόληπτος εκτιµητής του σ 2. d

5. Αν οι Α.1-Α.4 ισχύουν, ο V β X είναι αµερόληπτος εκτιµητής του V β X .

6. Αν οι Α.1-Α.5 ισχύουν, β X ~N

β, σ 2 (X ′X )−1

, (T − K − 1)

2 X ~ χ 2

T −K−1 σ

και οι β, s2 είναι ανεξάρτητοι, δοθέντος X . c

7. Αν οι Α.1-Α.5 ισχύουν ο β είναι άριστος αµερόληπτος εκτιµητής του β , δοθέντος

X. 4

• Οι στατιστικές ιδιότητες των OLS εκτιµητών είναι ίδιες µε αυτές όταν οι ερµηνευτικές µεταβλητές είναι µη στοχαστικές. Η µόνη διαφορά είναι ότι κάποιες από τις στατιστικές ιδιότητες είναι δοθέντος X . • Η στατιστική ανάλυση στο υπόδειγµα παλινδρόµησης µε στοχαστικές ερµηνευτικές µεταβλητές γίνεται όπως όταν οι ερµηνευτικές µεταβλητές είναι µη στοχαστικές. • Όταν η υπόθεση Α.3. δεν ισχύει, οι στατιστικές ιδιότητες πεπερασµένων δειγ-

µάτων των OLS εκτιµητών δεν ισχύουν. • Υπάρχουν υποδείγµατα παλινδρόµησης που η υπόθεση Α.3 δεν ισχύει, π.χ. όταν υπάρχει εξαρτηµένη µεταβλητή µε υστέρηση ως ερµηνευτική µεταβλητή. • Στην περίπτωση που η υπόθεση Α.3 δεν ισχύει, χρησιµοποιείται η πιο ασθενής

µορφής της Α.3’ X και u είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστα. 5

Ασυµπτωτικές στατιστικές ιδιότητες των β,

και V β X

1. Αν οι Α.1-Α.3’ ισχύουν, ο β είναι συνεπής εκτιµητής του β. 2. Αν οι Α.1-Α.3’, Α.4 ισχύουν, ο ασυµπτωτικός πίνακας διακυµάνσεων-συνδιακυ!

µάνσεων του β είναι ο V β|X = σ 2 (X ′X )−1 . c

3. Αν οι Α.1-Α.3’, Α.4 ισχύουν, το θεώρηµα Gauss-Markov ισχύει ασυµπτωτικά. 4. Αν οι Α.1-Α.3’, Α.4 ισχύουν, ο s2 είναι συνεπής εκτιµητής του σ 2. d

5. Αν οι Α.1-Α.3’, Α.4 ισχύουν, ο V β X είναι συνεπής εκτιµητής του V β X .

6. Αν οι Α.1-Α.3’, Α.4, A.5 ισχύουν, ασυµπτωτικά β X ~N (T − K − 1)

2 X ~ χ 2

T −K−1 σ

β, σ 2 (X ′X )−1

και οι β, s2 είναι ανεξάρτητοι, δοθέντος X . c

7. Αν οι Α.1-Α.3’, Α.4, A.5 ισχύουν, ο β είναι ασυµπτωτικά άριστος αµερόληπτος εκτιµητής του β , δοθέντος X . 6

• Όταν η υπόθεση Α.3. δεν ισχύει, αλλά ισχύει η Α.3’, οι στατιστικές ιδιότητες των OLS εκτιµητών ισχύουν ασυµπτωτικά. • Όταν η υπόθεση Α.3. δεν ισχύει, αλλά ισχύει η Α.3’, η στατιστική ανάλυση στο υπόδειγµα παλινδρόµησης γίνεται ασυµπτωτικά όπως όταν οι ερµηνευτικές

µεταβλητές είναι µη στοχαστικές. • Αν ούτε η υπόθεση Α.3’ ισχύει, τότε οι στατιστικές ιδιότητες των OLS εκτιµητών δεν ισχύουν ούτε ασυµπτωτικά. Στην περίπτωση αυτή, η µέθοδος OLS δεν είναι κατάλληλη µέθοδος εκτίµησης. • Σηµείωση: Αφού η υπόθεση Α.3 έπεται την υπόθεση Α.3’, οι ασυµπτωτικές στατιστικές ιδιότητες των OLS εκτιµητών ισχύουν όταν ισχύει η υπόθεση Α.3.

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Πολυσυγγραµµικότητα

• Αν υπάρχει ακριβής γραµµική σχέση ανάµεσα σε κάποιες από τις ερµηνευτικές

µεταβλητές (συµπεριλαµβανόµενης της µοναδιαίας µεταβλητής του σταθερού όρου), τότε έχουµε τέλεια πολυσυγγραµµικότητα (perfect multicollinearity). • Αν δεν υπάρχει ακριβής γραµµική σχέση ανάµεσα στις ερµηνευτικές µεταβλητές (συµπεριλαµβανόµενης της µοναδιαίας µεταβλητής του σταθερού όρου), αλλά για κάποιες από αυτές υπάρχει σχεδόν ακριβής γραµµική σχέση, τότε έχουµε πολυσυγγραµµικότητα (multicollinearity). • Αν υπάρχει τέλεια πολυσυγγραµµικότητα, η υπόθεση Α.2 δεν ισχύει και οι OLS εκτιµητές δεν υπολογίζονται. • Αν υπάρχει πολυσυγγραµµικότητα, οι OLS εκτιµητές υπολογίζονται και οι ιδιότητες τους δεν επηρεάζονται από την ύπαρξη της πολυσυγγραµµικότητας. 2

• Αν υπάρχει πολυσυγγραµµικότητα, οι διακυµάνσεις και τα τυπικά σφάλµατα των OLS εκτιµητών των συντελεστών παλινδρόµησης µπορεί να είναι µεγάλα, ειδικά σε µικρά δείγµατα. Στην περίπτωση αυτή, οι t στατιστικές για τη σηµαντικότητα µίας ερµηνευτικής µεταβλητής θα είναι µικρές, το οποίο µπορεί να οδηγήσει σε λάθος συµπεράσµατα ως προς την εξειδεικεύση του υποδείγµατος παλινδρόµησης, µε αποτέλεσµα η υπόθεση Α.1 να µην ισχύει. 2 • Για K = 2, rX = 1 είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για τέλεια πολυσυγγραµ1 ,X2

µικότητα λόγω των ερµηνευτικών µεταβλητών X1 και X2. 2 • Για K > 2, rX = 1 είναι ικανή αλλά όχι και αναγκαία συνθήκη για τέλεια j ,Xl

πολυσυγγραµµικότητα λόγω των ερµηνευτικών µεταβλητών Xj και Xl .

• Για K = 2, στο υπόδειγµα παλινδρόµησης

Yt = β0 + β1Xt1 + β2Xt2 + ut, t = 1, ..., T ισχύει ότι c

σ2

V β1 =

1 − r2

X1 ,X2

T P t=1

Xt1 − X 1

σ2

, V β2 =

1 − r2

X1 ,X2

T P t=1

Xt2 − X 2

και άρα, V β1 , V β2 → ∞, όταν rX1,X2 → ±1. c

– Αν rX1,X2 ήταν πολύ κοντά στο ±1, τότε θα υπήρχε πολυσυγραµµικότητα. !

Αφού rX1,X2 είναι πολύ κοντά στο ±1 οι διακυµάνσεις V β1 , V β2 θα c

µπορούσαν να ήταν µεγάλες. – Αν rX1,X2 = ±1, τότε θα υπήρχε τέλεια πολυσυγραµµικότητα. Αφού rX1,X2 =

±1, υπάρχουν γνωστές σταθερές a,b ώστε Xt2 = a + bXt1, t = 1, ..., T.

Τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης γίνεται

Yt = β0∗ + β1∗Xt1 + ut, t = 1, ..., T όπου

β0∗ = β0 + aβ2 και β1∗ = β1 + bβ2 Από τους OLS εκτιµητές των β0∗ και β1∗ δεν είναι εφικτός ο υπολογισµός των OLS εκτιµητών των β0, β1 και β2.

Ετεροσκεδαστικότητα

• Όταν η διακύµανση του σφάλµατος είναι σταθερή για όλες τις παρατηρήσεις,

V (ut) = σ 2 για t = 1, ..., T , τότε έχουµε οµοσκεδαστικότητα (homoskedasticity). • Όταν η διακύµανση του σφάλµατος δεν είναι σταθερή για όλες τις παρατηρήσεις,

V (ut) = σt2 = σ 2δt για t = 1, ..., T , τότε έχουµε ετεροσκεδαστικότητα (heteroskedasticity). • Αν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει αφού 

V (u) =

                      

σ12 0 . . . 0 0 ... ...

.. . . . . . . 0 0 . . . 0 σT2





                      

                      



δ1 0 . . . 0

. . . . . . .. 0 = σ2 .. . . . . . . 0 0 . . . 0 δT

                      

̸= σ 2I

• Αν υπάρχει ετεροσκεδατικότητα και εφόσον οι υπόλοιπες υποθέσεις ισχύουν: c

– Ο OLS εκτιµητής β είναι γραµµικός, αµερόληπτος και συνεπής εκτιµητής

του β αλλά δεν είναι άριστος. – Ο OLS εκτιµητής s2 είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του σt2. d

– Ο OLS εκτιµητής V β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του c

V β . – Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων

είναι αναξιόπιστα.

Στατιστικός έλεγχος: Breusch-Pagan-Godfrey για ετεροσκεδαστικότητα

Ετεροσκεδαστικότητα σt2 = α0 + α1Zt1 + ... + αmZtm, όπου Z1, ..., Zm τυχαίες

µεταβλητές. Υποθέσεις: H0 : α1 = ... = αm = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα αj ̸= 0,

j = 1, ..., m Στατιστική ελέγχου: BP G =

SSR

όπου SSR είναι το άθροισµα των τετραγώνων της βοηθητικής παλινδρόµησης

uc 2t = α0 + α1Zt1 + ... + αmZtm + εt, t = 1, ..., T f2 σ και

σ2 f

P 1 T c2 u T t=1 t .

Κρίσιµη περιοχή: BP G > χ2m,α

Στατιστικός έλεγχος: Breusch-Pagan-Godfrey για ετεροσκεδαστικότητα

Ετεροσκεδαστικότητα σt2 = α0 + α1Zt1 + ... + αmZtm, όπου Z1, ..., Zm τυχαίες

µεταβλητές. Υποθέσεις: H0 : α1 = ... = αm = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα αj ̸= 0,

j = 1, ..., m Στατιστική ελέγχου: BP G = T R2 όπου R2 είναι ο συντελεστής προσδιορισµού της βοηθητικής παλινδρόµησης

uc 2t = α0 + α1Zt1 + ... + αmZtm + εt, t = 1, ..., T Κρίσιµη περιοχή: BP G > χ2m,α

Στατιστικός έλεγχος: White για ετεροσκεδαστικότητα

Ετεροσκεδαστικότητα σt2 = f (Xt1, ..., XtK ) ≃ α0 + α1Xt1 + ... + αK XtK + γ1Xt21 + 2 + δ X X + δ X X + ... + δ K (K−1) X ... + γK XtK tK−1 XtK . 1 t1 t2 2 t1 t3 2

Υποθέσεις: H0 : α1 = ... = αK = γ1 = ... = γK = δ1 = ... = δ K (K−1) = 0 έναντι 2

H1 : τουλάχιστον ένα αj , γj , δj ̸= 0 Στατιστική ελέγχου: W = T R2 όπου R2 είναι ο συντελεστής προσδιορισµού της βοηθητικής παλινδρόµησης 2 uc 2t = α0 + α1Xt1 + ... + αK XtK + γ1Xt21 + ... + γK XtK + δ1Xt1Xt2 + δ2Xt1Xt3

+ ... + δ K (K−1) XtK−1XtK + εt, t = 1, ..., T 2

Κρίσιµη περιοχή: W > χ2m,α όπου m =

(K +1)(K +2) 2

− 1. 10

• Η εφαρµογή του κριτηρίου BPG προϋποθέτει γνώση των µεταβλητών

Z1, ..., Zm. • Συχνά επιλέγονται οι ερµηνευτικές µεταβλητές X1, ..., XK για τις µεταβλητές

Z1, ..., Zm και τότε το κριτήριο BPG είναι ειδική περίπτωση του κριτηρίου White. • Το κριτήριο White είναι γενικό και αν απορριφθεί η H0 δεν συνάγεται η µορφή της ετεροσκεδαστικότητας. • Κατά την εφαρµογή του κριτηρίου White χάνονται πολλοί βαθµοί ελευθερίας

(K +1)(K +2) 2

− 1.

Εκτίµηση υποδείγµατος: γνωστή ετεροσκεδαστικότητα

• Χρησιµοποιείται η σταθµική µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων WLS (weighted f

least squares) µε βάρη wt, t = 1, ..., T. Ελαχιστοποιούµε ως προς β το άθροισµα των τετρα- γώνων f

S (β ) =

T X t=1

wt Yt − β0 − β1Xt1 − ... − βK XtK 2

• Αν η ετεροσκεδαστικότητα σt2 είναι γνωστή, τότε θέτουµε wt =

σt .

• Αν η ετεροσκεδαστικότητα είναι της µορφής σt2 = σ 2δt, όπου δt > 0 είναι γνωστό, τότε θέτουµε wt =

√1 . δt

• Η µέθοδος WLS µε γνωστά βάρη wt είναι ειδική περίπτωση της µεθόδου γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων GLS (generalized least squares).

Εκτίµηση υποδείγµατος: άγνωστη ετεροσκεδαστικότητα

• Αν η ετεροσκεδαστικότητα είναι της µορφής σt2 = σ 2δt, όπου δt > 0 είναι c

αγνωστό, τότε η ποσότητα δt πρέπει να εκτιµηθεί από ένα συνεπή εκτιµητή δt, π.χ. c

– δt = E (Yt) και δt = Yt. [ c b2 \ c2 – δt = eα0+α1Xt1+...+αK XtK και δt = eln(ut ) όπου ln (u t ) είναι οι υπολογισµένες

τιµές της παλινδρόµησης ln(uc 2t ) = ln(σ 2) + α0 + α1Xt1 + ... + αK XtK + vt. • Χρησιµοποιείται η σταθµική µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων WLS (weighted least squares) µε βάρη wt = √1 b . δt

• Η µέθοδος WLS µε εκτιµώµενα βάρη wt είναι ειδική περίπτωση της µεθόδου εφικτών γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων FGLS (feasible generalized least squares). 13

White εκτιµητής του V β

• Ο White εκτιµητής του V β είναι c

′

VW β = T X X

−1

′

S0 X X

−1

όπου 



u21 0 · · · 0

S0 =

  

X1 · · · XT

  c                     

... c2 0 u 2 ..

... ... 0

0 ···

T X

t=1

uc 2t XtXt′

c2 0 u T

                      

                



X1′ ..

XT′

               

• Ο White εκτιµητής VW β είναι συνεπής εκτιµητής του V β . • Όταν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα αγνώστου µορφής, εκτιµάµε το υπόδειγµα d

παλινδρόµησης µε OLS και χρησιµοποιούµε τον White εκτιµητή VW β για c

την εκτίµηση του V β . c

• Οι εκτιµήσεις του V β και οι στατιστικοί έλεγχοι που βασίζονται στον White d

εκτιµητή VW β είναι γνωστοί ως ανθεκτικοί στην ετεροσκεδαστικότητα (heteroskedasticity robust).

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Αυτοσυσχέτιση

• Αν τα σφάλµατα δεν συσχετίζονται µεταξύ τους, Corr(ut, us) = 0 για κάθε

t ̸= s, t, s = 1, ..., T , τότε δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση. • Αν κάποια από τα σφάλµατα συσχετίζονται µεταξύ τους, Corr(ut, us) ̸= 0 για κάποια t ̸= s, t, s = 1, ..., T , τότε υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation). • Αν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει αφού 

V (u ) =

                             



σ2

Cov (u1, u2) · · ·

···

Cov (u1, uT )

Cov (u2, u1)

σ2

...

···

Cov (u2, uT )

...

σ2

Cov (uT −1, uT )

Cov (uT , u1) Cov (uT , u2) · · · Cov (uT , uT −1)

σ2

                             

̸= σ 2I

• Αν υπάρχει αυτοσυσχέτιση και εφόσον οι υπόλοιπες υποθέσεις ισχύουν: c

– Ο OLS εκτιµητής β είναι γραµµικός, αµερόληπτος και συνεπής εκτιµητής

του β αλλά δεν είναι άριστος. – Ο OLS εκτιµητής s2 είναι αµερόληπτος και συνεπής εκτιµητής του σ 2. d

– Ο OLS εκτιµητής V β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του c

V β . – Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων

είναι αναξιόπιστα. • Αν υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής, Yt−s, συµπεριλαµβάνονται ως ερµηνευτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης και υπάρχει αυτοσυσχέτιση, τότε η υπόθεση Α.3’ δεν ισχύει γενικά.

Υποδείγµα αυτοσυσχέτισης

• Το υπόδειγµα αυτοπαλινδρόµησης p-τάξης AR(p) (autoregression model of porder)

zt = ξ + ρ1zt−1 + ... + ρpzt−p + εt, t = p + 1, ..., T

– ξ, ρ1, ..., ρp είναι οι συντελεστές αυτοπαλινδρόµησης (autoregression coeffi-

cients). – εt, t = 1, ..., T είναι το σφάλµα µε E (εt) = 0, V (εt) = σε2 και Cov (εt, εs) = 0 για κάθε t ̸= s.

• Για p = 1 και |ρ1| < 1 ισχύει ότι

ξ E (zt) = , 1 − ρ1

σε2 V (zt) = , 2 1 − ρ1

|s|

Corr(zt, zt−s) = ρ1

• Όταν το υπόδειγµα αυτοπαλινδρόµησης χρησιµοποιείται για τα σφάλµατα του υποδείγµατος παλινδρόµησης θέτουµε ξ = 0. 4

Στατιστικός έλεγχος: Durbin-Watson για αυτοσχέτιση πρώτης τάξης

Αυτοσυσχέτιση ut = ρut−1 + εt. T P

Στατιστική ελέγχου: DW =

(ub t−ub t−1)2

t=2

T P t=1

ub 2t

Υποθέσεις: H0 : ρ = 0 έναντι H1 : ρ > 0 - Αν DW < dL,α, απορρίπτουµε την H0. - Αν DW > dU,α, δεν απορρίπτουµε την H0. - Αν dL,α ≤ DW ≤ dU,α, το αποτέλεσµα του στατιστικού ελέγχου είναι αβέβαιο. Υποθέσεις: H0 : ρ = 0 έναντι H1 : ρ < 0 - Αν DW > 4 − dL,α, απορρίπτουµε την H0. - Αν DW < 4 − dU,α, δεν απορρίπτουµε την H0. - Αν 4 − dU,α ≤ DW ≤ 4 − dL,α, το αποτέλεσµα του στατιστικού ελέγχου είναι αβέβαιο. 5

Περιοχές του κριτηρίου Durbin-Watson

• Ισχύει ότι DW ≃ 2(1 − ρc), όπου ρc είναι ο δειγµατικός συντελεστής συσχέτισης των καταλοίπων uc t και uc t−1. • Οι κρίσιµες τιµές dL,α και dU,α εξαρτώνται από το µέγεθος του δείγµατος T και τον αριθµό των ερµηνευτικών µεταβλητών K. • Το κριτήριο Durbin-Watson δεν µπορεί να εφαρµοσθεί αν υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής, Yt−s, συµπεριλαµβάνονται ως ερµηνευτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης. • Αν η πρώτη υστέρηση της εξαρτηµένης µεταβλητής, Yt−1, συµπεριλαµβάνεται ως ερµηνευτική µεταβλητή στο υπόδειγµα παλινδρόµησης, τότε µπορεί να εφαρµοσθεί το κριτήριο h-Durbin.

Στατιστικός έλεγχος: h-Durbin για αυτοσχέτιση πρώτης τάξης

Αυτοσυσχέτιση ut = ρut−1 + εt. Υποθέσεις: H0 : ρ = 0 έναντι H1 : ρ ̸= 0 ή H1′ : ρ > 0 ή H1′′ : ρ < 0 v u u cu t

Στατιστική ελέγχου: h = ρ

T 1−T s2Y−1

όπου ρc = 1 − 12 DW και sY−1 είναι το τυπικό σφάλµα του OLS εκτιµητή του συντελεστή παλινδρόµησης της ερµηνευτικής µεταβλητής Yt−1. Κρίσιµη περιοχή: |h| > Z α2 (H1) ή h > Zα (H1′ ) ή h < −Zα (H1′′)

Στατιστικός έλεγχος: Breusch-Godfrey για αυτοσχέτιση µέχρι p τάξης

Αυτοσυσχέτιση ut = ρ1ut−1 + ... + ρput−p + εt. Υποθέσεις: H0 : ρ1 = ... = ρp = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα ρj ̸= 0, j = 1, ..., p Στατιστική ελέγχου: BG = (T − p)R2 όπου R2 είναι ο συντελεστής προσδιορισµού της βοηθητικής παλινδρόµησης

uc t = γ0 + γ1Xt1 + ... + γK XtK + ρ1uc t−1 + ... + ρpuc t−p + εt, t = p + 1, ..., T Κρίσιµη περιοχή: BG > χ2p,α

• Η εφαρµογή του κριτηρίου BG προϋποθέτει γνώση της τάξης p. • Το κριτήριο BG εφαρµόζεται και όταν υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής,

Yt−s, συµπεριλαµβάνονται ως ερµηνευτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης. • Το κριτήριο BG θα µπορούσε να είχε βασιστεί στον στατιστικό έλεγχο F για τις υποθέσεις H0 : ρ1 = ... = ρp = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα ρj ̸= 0,

j = 1, ..., p στο υπόδειγµα βοθηθητικής παλινδρόµησης. • Για την υπάρξη αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης µπορεί να γίνει ο στατιστικός έλεγχος t για τις υποθέσεις H0 : ρ = 0 έναντι H1 : ρ ̸= 0 ή H1′ : ρ > 0 ή

H1′′ : ρ < 0 στο υπόδειγµα παλινδρόµησης uc t = ρuc t−1 + εt. • Για την υπάρξη αυτοσυσχέτισης µέχρι p τάξης µπορεί να γίνει ο στατιστικός έλεγχος F για τις υποθέσεις H0 : ρ1 = ... = ρp = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα

ρj ̸= 0, j = 1, ..., p στο υπόδειγµα παλινδρόµησης uc t = ρ1uc t−1+...+ρpuc t−p+εt. 10

Εκτίµηση υποδείγµατος: γνωστή αυτοσυσχέτιση

• Το υπόδειγµα παλινδρόµησης µετασχηµατίζεται ώστε το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης να µην έχει αυτοσυσχέτιση και εκτιµάται µε τη

µέθοδο OLS. • Eίναι ειδική περίπτωση της µεθόδου GLS. • Αν το σφάλµα ακολουθούσε το AR(1) υπόδειγµα µε γνωστό συντελεστή ρ, τότε το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι ∗ Yt∗ = β0∗ + β1Xt∗1 + ... + βK XtK + εt, t = 2, ..., T

(⋆)

όπου

Yt∗ = Yt − ρYt−1,

Xtj∗ = Xtj − ρXt−1,j , j = 1, ..., K,

β0∗ = (1 − ρ)β0

Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS. 11

• Για να περιληφθεί η πρώτη παρατήρηση στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆) χρησιµοποιείται ο µετασχηµατισµός Prais-Winsten ∗ Yt∗ = β0Wt + β1Xt∗1 + ... + βK XtK + εt, t = 1, ..., T

(⋆⋆)

όπου για t = 2, ..., T

Yt∗ = Yt − ρYt−1,

Xtj∗ = Xtj − ρXt−1,j , j = 1, ..., K,

Wt = 1 − ρ

και για t = 1 ∗

Y1 = 1 − ρ2Y1,

, X1∗j

= 1 − ρ2X1j , j = 1, ..., K,

W 1 = 1 − ρ2

Το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆⋆) εκτιµάται µε τη µέθοδο OLS.

Εκτίµηση υποδείγµατος: άγνωστη αυτοσυσχέτιση

• Από το υπόδειγµα παλινδρόµησης υπολογίζονται τα κατάλοιπα, τα οποία χρησι-

µοποιούνται για την εκτιµήση της αυτοσυσχέτισης. Με βάση την εκτιµώµενη αυτοσυσχέτιση, το υπόδειγµα παλινδρόµησης µετασχηµατίζεται ώστε το µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης να µην έχει αυτοσυσχέτιση και εκτι-

µάται µε τη µέθοδο OLS. • Eίναι ειδική περίπτωση της µεθόδου FGLS. • Αν το σφάλµα ακολουθούσε το AR(1) υπόδειγµα µε άγνωστο συντελεστή ρ : – Μέθοδος Cochrane-Orcutt

Βήµα 1: Με βάση τα κατάλοιπα uc t, εκτιµάται το ρ µε τον OLS εκτιµητή ρc στο AR(1) υπόδειγµα για τα κατάλοιπα uc t ή µε τον δειγµατικό συντελεστή συσχέτισης ρc των καταλοίπων uc t και uc t−1 ή µε το ρc = 1 − 12 DW. 13

Βήµα 2: Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆) αντικαθιστούµε το ρ µε το ρc και εκτιµάµε µε OLS. Υπολογίζονται τα κατάλοιπα. Τα βήµατα επαναλαµβάνονται µέχρι να υπάρχει σύγκλιση των τιµών των εκτιµητών των β και ρ. – Μέθοδος Prais-Winsten

Ίδια µε την µέθοδο Cochrane-Orcutt, µε τη διαφορά ότι στο Βήµα 2 χρησιµοποιείται το υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆⋆) αντί του (⋆). – Μέθοδος Durbin

Το υπόδειγµα παλινδρόµησης µετασχηµατίζεται λαµβάνοντας υπόψη της

µορφή της αυτοσυσχέτισης και οι συντελεστές β και ρ εκτιµούνται ταυτόχρονα µε τη µέθοδο OLS στο µετασχηµατισµένο υπόδειγµα παλινδρόµησης Yt = α0+ρYt−1+β1Xt1+α1Xt−1,1+...+βK XtK +αK Xt−1,K +εt, t = 2, ..., T 14

όπου

α0 = (1 − ρ)β0,

αj = −ρβj , j = 1, ..., K

Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆) αντικαθιστούµε το ρ µε το ρc και εκτιµάµε

µε OLS.

Μέθοδος γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων (GLS)

• Αν η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει, V (u) = σ 2Ω ̸= σ 2I, και εφόσον οι υπόλοιπες υποθέσεις ισχύουν: c

– Ο OLS εκτιµητής β είναι γραµµικός, αµερόληπτος και συνεπής εκτιµητής

του β αλλά δεν είναι άριστος. – Ο OLS εκτιµητής s2 είναι µερόληπτος και ασυνεπής εκτιµητής του σ 2 (εκτός

αν υπάρχει οµοσκεδαστικότητα). d

– Ο OLS εκτιµητής V β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του c

V β . – Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων

είναι αναξιόπιστα.

• Υπάρχουν περιπτώσεις που αν η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει τότε και η υπόθεση Α.3/Α.3’ δεν ισχύει. • Υπάρχουν περιπτώσεις που η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει επειδή η υπόθεση Α.1 δεν ισχύει. • Αν ο πίνακας Ω είναι γνωστός, ο εκτιµητής γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων GLS (generalized least squares) του β είναι ′ −1

β= XΩ X

−1

X ′Ω−1Y

µε πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων f

′ −1

V β =σ XΩ X f

−1

Ο GLS εκτιµητής β είναι αµερόληπτος, συνεπής και άριστος εκτιµήτης του β .

c • Αν ο πίνακας Ω είναι αγνωστός και υπάρχει συνεπής εκτιµήτης Ω , ο εκτιµητής

εφικτών γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων FGLS (feasible generalized least squares) του β είναι ′ c −1

f f

β= XΩ X

−1

c −1 X ′Ω Y

µε πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων f f

′ c −1

V β =σ XΩ X

−1

f f

Ο FGLS εκτιµητής β είναι συνεπής και ασυµπτωτικά άριστος εκτιµήτης του β . c • Στη πράξη, χρησιµοποιείται η µέθοδος FGLS. Αν όµως ο εκτιµητής Ω είναι f f

ασυνεπής εκτιµητής του Ω, τότε ο FGLS εκτιµητής β είναι ασυνεπής εκτιµητής του β.

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Σφάλµα εξειδικεύσεως

• Αν η υπόθεση Α.1 ισχύει, τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι σωστά εξειδικευµένο (correctly specified) για την εξαρτηµένη µεταβλητή. • Αν η υπόθεση Α.1 δεν ισχύει, τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης δεν είναι σωστά εξειδικευµένο (misspecified) για την εξαρτηµένη µεταβλητή και έχουµε σφάλµα εξειδικεύσεως (specification error). • Παραδείγµατα σφάλµατος εξειδικεύσεως: – Παράλειψη σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής

Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1Xt1 + β2Xt2 + ut Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1Xt1 + εt

– Χρήση λάθους γραµµικού περιορισµού

Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1Xt1 + β2Xt2 + ut Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1 (Xt1 + Xt2) + εt – Χρήση λάθους συναρτησιακής σχέσης

Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1Xt2 + ut Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1Xt + εt – Περίληψη µη σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής

Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1Xt1 + ut Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1Xt1 + β2Xt2 + εt

– Μη χρήση σωστού γραµµικού περιορισµού

Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1 (Xt1 + Xt2) + ut Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Yt = β0 + β1Xt1 + β2Xt2 + εt • Στις περιπτώσεις της παράλειψης σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής, της χρήσης λάθους γραµµικού περιορισµού και της χρήσης λάθους συναρτησιακής σχέσης, γενικά ισχύει: c

– Ο OLS εκτιµητής β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του β . – Ο OLS εκτιµητής s2 είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του σ 2. d

– Ο OLS εκτιµητής V β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του c

V β . – Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων

είναι αναξιόπιστα. 4

• Στην περίπτωση της παράλειψης σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής, αν η παραλειπόµενη ερµηνευτική µεταβλητή είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστη µε τις υπόλοιπες εµηνευτικές µεταβλητές, οι OLS εκτιµητές των κλίσεων είναι αµερόληπτοι και συνεπείς. Ο OLS εκτιµητής του σταθερού όρου παραµένει µεροληπτικός και ασυνεπής. • Στις περιπτώσεις της περίληψης µη σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής και

µη χρήσης σωστού γραµµικού περιορισµού, οι OLS εκτιµητές είναι αµερόληπτοι και συνεπείς. Οι διακύµανσεις των OLS εκτιµητών στο επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης θα έχουν υψηλότερες διακυµάνσεις από αυτούς στο σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης. Σε µικρά δείγµατα µπορεί να δηµιουργηθεί το πρόβληµα της πολυσυγγραµµικότητας.

Ενδογένεια

• Αν η ερµηνευτική µεταβλητή Xj δεν συσχετίζεται ταυτόχρονα µε το σφάλµα

u, Corr(Xtj , ut) = 0 για κάθε t = 1, ..., T , τότε η ερµηνευτική µεταβλητή Xj είναι εξωγενής (exogenous). • Αν η ερµηνευτική µεταβλητή Xj συσχετίζεται ταυτόχρονα µε το σφάλµα u,

Corr(Xtj , ut) ̸= 0 για κάποια t = 1, ..., T , τότε η ερµηνευτική µεταβλητή Xj είναι ενδογενής (endogenous). • Αν τουλάχιστον µια ερµηνευτική µεταβλητή είναι ενδογενής, έχουµε το πρόβλη-

µα της ενδογένειας (endogeneity). • Αν υπάρχει ενδογένεια, η υπόθεση Α.3/Α.3’ δεν ισχυεί και c

– Ο OLS εκτιµητής β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του β . – Ο OLS εκτιµητής s2 είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του σ 2. 6

– Ο OLS εκτιµητής V β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του c

V β . – Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων

είναι αναξιόπιστα. • Λόγοι ύπαρξης ενδογένειας: – Σφάλµα µετρήσεως (measurement error). – Σφάλµα εξειδικεύσεως. – Σφάλµα αλληλεξάρτησης (simultaneity). – Αν υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής, Yt−s, είναι ερµηνευτικές µετα-

βλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης και υπάρχει αυτοσυσχέτιση.

Μέθοδος βοηθητικών µεταβλητών (IV) και γενικευµένη µέθοδος βοηθητικών

µεταβλητών (GIVE) • Έστω ότι η η ερµηνευτική µεταβλητή Xj είναι ενδογενής. Η µεταβλητή Zj∗ είναι βοηθητική µεταβλητή (instrumental variable) για την ερµηνευτική µεταβλητή Xj όταν έχει τις εξής ιδιότητες: 1. Zj∗ είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστη µε τον διαρακτικό όρο. 2. Zj∗ είναι (υψηλά) συσχετισµένη µε την ερµηνευτική µεταβλητή Xj . 3. Zj∗ δεν συµπεριλαµβάνεται στο υπόδειγµα παλινδρόµησης. • Ορίζεται ο πίνακας

                



1 Z11 . . . Z1K

Z = ..

1 ZT 1 . . . Z T K 8

               

όπου Zj = Xj αν η ερµηνευτική µεταβλητή Xj είναι εξωγενής και Zj = Zj∗ βοηθητική µεταβλητή αν η ερµηνευτική µεταβλητή Xj είναι ενδογενής. • Μπορούν να συµπεριληφθούν πάνω από µία βοηθητική µεταβλητή για κάθε ενδογενή ερµηνευτική µεταβλητή. Τότε, ο πίνακας Z έχει M > K + 1 στήλες 

                

1 Z11 . . . Z1,M −1

Z = ..

1 ZT 1 . . . ZT,M −1

               

• Ο εκτιµητής των γενικευµενών βοηθητικών µεταβλητών GIVE (generalized instrumental variables estimator) του β είναι

∗

′

β = X PZ X

−1

X ′ PZ Y

όπου PZ = Z (Z ′Z )−1 Z ′, µε πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων ∗

′

V (β ) = σ X PZ X

−1

Ο GIVE εκτιµητής του σ 2 είναι ∗2

s =

T −K −1

(Y − Xβ ∗)′ (Y − Xβ ∗)

• Αν M = K + 1 η µέθοδος GIVE είναι η µέθοδος των βοηθητικών µεταβλητών IV (instrumental variables).

• Ο εκτιµητής των βοηθητικών µεταβλητών IV (instrumental variables estimator) του β είναι ∗

′

β = ZX

−1

Z ′Y

µε πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων 2 ′

∗

V (β ) = σ Z X

−1

′

ZZ XZ

−1

Ο IV εκτιµητής του σ 2 είναι ∗2

s =

T −K −1

(Y − Xβ ∗)′ (Y − Xβ ∗)

• Οι εκτιµήτες IV/GIVE β ∗ και s∗2 είναι συνεπείς εκτιµητές των β και σ 2. • Η διακύµανση του IV/GIVE εκτιµητή β ∗ αυξάνεται όταν η συσχέτιση µεταξύ της βοηθητικής µεταβλητής Zj∗ και της αντίστοιχης ερµηνευτικής µεταβλητής

Xj µειώνεται. 11

• Η µέθοδος IV/GIVE βασίζεται στη µέθοδο OLS σε δύο στάδια 2SLS (two stages least squares). Στάδιο 1: Για κάθε ερµηνευτική µεταβλητή Xj , εκτιµάται µε OLS το υπόδειγµα

παλινδρόµησης

Xtj = γ0 + γ1Zt1 + ... + γM −1Zt,M −1 + εt, t = 1, ..., T d

και βρίσκονται οι υπολογισµένες τιµές Xj , j = 1, ..., K. Στάδιο 2: Εκτιµάται µε OLS το υπόδειγµα παλινδρόµησης d d Yt = β0 + β1X t1 + ... + βK XtK + ut , t = 1, ..., T

(⋆)

Η µέθοδος OLS στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆) είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο IV/GIVE.

Στατιστικός έλεγχος: Sargan για καταλληλότητα βοηθητικών µεταβλητών

Χρησιµοποιείται όταν M > K + 1. Υποθέσεις: H0 : α1 = ... = αM −1 = 0 έναντι H1 : τουλάχιστον ένα αj ̸= 0,

j = 1, ..., M − 1 Στατιστική ελέγχου: S = T R2 όπου R2 είναι ο συντελεστής προσδιορισµού της βοηθητικής παλινδρόµησης

uc ∗t = α0 + α1Zt1 + ... + αM −1Zt,M −1 + ηt, t = 1, ..., T και uc ∗ = Y − Xβ ∗. Κρίσιµη περιοχή: S > χ2M −K−1,α

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Υποδείγµατα µε χρονικές υστερήσεις

• Έστω ότι οι µεταβλητές Yt και Xt είναι χρονοσειρές. Ο δείκτης t συµβολίζει τον χρόνο και υπάρχουν δεδοµένα για τις χρονικές περιόδους t = 1, ..., T . • Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης

Yt = β0 + β1Xt + ut η επίδραση της ερµηνευτικής µεταβλητής στην εξαρτηµένη µεταβλητή είναι στιγµιαία. • Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης

Yt = β0 + β1Xt−s + ut η επίδραση της ερµηνευτικής µεταβλητής στην εξαρτηµένη µεταβλητή δεν είναι στιγµιαία και εκδηλώνεται µε χρονική υστέρηση s χρονικών περιόδων. 2

• Για µία χρονοσειρά Wt ο τελεστής υστερήσεως L (lag operator) είναι

LsWt = Wt−s, s = 0, 1, 2... – Ισχύει ότι

LWt = Wt−1, L2Wt = Wt−2, ... – Για κάθε σταθερά c ισχύει ότι

Lsc = c, s = 0, 1, 2, ... – Για κάθε σταθερά c µε |c| ≤ 1 ισχύει ότι (1 − cL)−1 = 1 + cL + c2L2 + c3L3 + ...

1. Υπόδειγµα κατανεµόµενων χρονικών υστερήσεων (distributed lag model)

Yt = α0 + π0Xt + π1Xt−1 + π2Xt−2 + .... + ut

(1)

• Ο βραχυχρόνιος πολλαπλασιαστής (short run multiplier) είναι π0. Μετράει τη µεταβολή στη µέση τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y όταν η ερµηνευτική µεταβλητή X µεταβληθεί κατά 1 µονάδα την ίδια χρονική περίοδο. • Ο j ενδιάµεσος πολλαπλασιαστής (internim multiplier) είναι πj . Μετράει τη

µεταβολή στη µέση τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y όταν η ερµηνευτική µεταβλητή X µεταβληθεί κατά 1 µονάδα πριν από j χρονικές περιόδους. • Ο µακροχρόνιος πολλαπλασιαστής (long run multiplier) είναι π =

∞ ∑ j =0

πj .

Μετράει τη µεταβολή στη µέση τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y όταν η ερµηνευτική µεταβλητή X µεταβληθεί κατά 1 µονάδα σε όλες τις χρονικές περιόδους. 4

∞ ∑

• Η µέση υστέρηση (average lag) είναι

j =0 ∞ ∑

jπj

j =0

πj

. Μετράει τη µέση χρονική περίοδο

που διαρκεί η µεταβολή στη µέση τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y όταν η ερµηνευτική µεταβλητή X µεταβληθεί κατά 1 µονάδα σε όλες τις χρονικές περιόδους. Το υπόδειγµα (1) δεν µπορεί να εκτιµηθεί λόγω του άπειρου αριθµού των συντελεστών πj , j = 0, 1, ..., ∞. 2. Υπόδειγµα κατανεµόµενων πεπερασµένων χρονικών υστερήσεων

Yt = α0 + π0Xt + π1Xt−1 + ... + πsXt−s + ut

(2)

3. Υπόδειγµα κατανεµόµενων χρονικών υστερήσεων (1) µε τον µετασχηµατισµό του Koyck πj = βλj , 0 < λ < 1.

Το υπόδειγµα µετασχηµατίζεται σε

Yt = α0∗ + α1∗Yt−1 + β ∗Xt + u∗t

(3)

όπου α0∗ = α0(1 − λ), α1∗ = λ, β ∗ = β και u∗t = ut − λut−1. 4. Υπόδειγµα αναπροσαρµοζόµενων προσδοκιών (adaptive expectations model)

Yt = α +

βXt∗

+ ut και

Xt∗

−

∗ Xt− 1

(

= γ Xt −

∗ ) Xt−1

όπου 0 < γ ≤ 1 είναι ο βαθµός προσαρµογής. Το υπόδειγµα µετασχηµατίζεται σε

Yt = α0∗ + α1∗Yt−1 + β ∗Xt + u∗t όπου α0∗ = αγ, α1∗ = (1 − γ ), β ∗ = βγ και u∗t = ut − (1 − γ )ut−1.

(4)

5. Υπόδειγµα µερικής προσαρµογής (partial adjustment model)

Yt∗ = α + βXt + ut και Yt − Yt−1 = γ (Yt∗ − Yt−1) + εt όπου 0 < γ ≤ 1 είναι ο βαθµός προσαρµογής. Το υπόδειγµα µετασχηµατίζεται σε

Yt = α0∗ + α1∗Yt−1 + β ∗Xt + u∗t όπου α0∗ = αγ, α1∗ = (1 − γ ), β ∗ = βγ και u∗t = γut + εt.

(5)

• Η εκτίµηση των υποδειγµάτων παλινδρόµησης (3)-(5) γίνεται όταν οι χρονοσειρές Yt και Xt είναι στάσιµες και εργοδικές. Ανάλογα µε το υπόδειγµα και τις υποθέσεις, χρησιµοποιούνται οι διάφορες µέθοδοι εκτίµησης OLS, GLS/FGLS, IV/GIVE. • Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (2) µπορεί να υπάρχει το πρόβληµα της πολυσυγγραµµικότητας. • Στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (2) η υστέρηση µπορεί να επιλεγεί µε κριτήρια 2

επιλογής υποδείγµατος, π.χ. R . • Τα υποδείγµατα παλινδρόµησης (3), (4) και (5) είναι της µορφής

Yt = α0∗ + α1∗Yt−1 + β ∗Xt + u∗t

(⋆)

όπου το σφάλµα u∗t δεν έχει ή έχει αυτοσυσχέτιση ανάλογα µε το υπόδειγµα.

• Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆), το σφάλµα u∗t δεν έχει αυτοσυσχέτιση και α1∗ ̸= 0, τότε η υπόθεση Α.3 δεν ισχύει. • Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆), το σφάλµα u∗t έχει αυτοσυσχέτιση και

α1∗ = 0, τότε η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει. • Αν στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (⋆), το σφάλµα u∗t έχει αυτοσυσχέτιση και

α1∗ ̸= 0, τότε οι υποθέσεις Α.3/A.3’ και Α.4 δεν ισχύουν. • Για τον υπολογισµό των πολλαπλασιαστών, τα υποδείγµατα παλινδρόµησης (3), (4) και (5) µετασχηµατίζονται στο υπόδειγµα παλινδρόµησης (1). • Τα υποδείγµατα παλινδρόµησεις (1)-(5) µπορούν να επεκταθούν για πάνω από

µία ερµηνευτική µεταβλητή και για διάφορες υστερήσεις της εξαρτηµένης και ερµηνευτικής µεταβλητής.

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Βιολέττα Δάλλα

Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Συστήµατα εξισώσεων: Βασικές έννοιες

• Μέχρι τώρα υποθέταµε ότι το υπόδειγµα περιέχει µία εξίσωση και η αιτιακή σχέση (causal relationship) είναι προς µία κατεύθυνση, οι ερµηνευτικές µεταβλητές προσδιορίζουν την εξαρτηµένη µεταβλητή και η εξαρτηµένη µεταβλητή δεν προσδιορίζει τις ερµηνευτικές µεταβλητές. • Συχνά οικονοµικά φαινόµενα µπορούν να περιγραφούν µε υποδείγµατα που περιλαµβάνουν πάνω από µία εξίσωση και είναι συστήµατα εξισώσεων (system of equations). • To σύστηµα εξισώσεων περιγράφει την διάρθρωση (structure) του φαινοµένου

µε τις διαρθρωτικές εξισώσεις (structural equations) και είναι σε διαρθρωτική µορφή (structural form).

• Οι διαρθρωτικές εξισώσεις χωρίζονται σε – Εξισώσεις συµπεριφοράς (behavioral equations) – Ταυτότητες (identities)

• Οι µεταβλητές του συστήµατος εξισώσεων χωρίζονται σε – Ενδογενείς (endogenous), όταν οι τιµές τους καθορίζονται µέσα από το σύ-

στηµα εξισώσεων. – Εξωγενείς (exogenous), όταν οι τιµές τους καθορίζονται εκτός του συστή-

µατος εξισώσεων. • Προκαθορισµένες (predetermined) µεταβλητές του συστήµατος εξισώσεων είναι οι εξωγενείς µεταβλητές και οι υστερήσεις των ενδογενών µεταβλητών. • Το σύστηµα εξισώσεων είναι στατικό (static) όταν βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και δυναµικό (dynamic) όταν περιγράφει τη δυναµική εξέλιξη των

µεταβλητών. 3

• Το σύστηµα εξισώσεων είναι στοχαστικό (stochastic), αν τουλάχιστον µία εξίσωση συµπεριφοράς περιέχει διαταρακτικό όρο. • Το σύστηµα εξισώσεων είναι πλήρες (complete) όταν ο αριθµός των εξισώσεων είναι ίσος µε τον αριθµό των ενδογενών µεταβλητών. • Όταν το σύστηµα εξισώσεων λύνεται ως προς τις προκαθορισµένες µεταβλητές είναι σε ανηγµένη µορφή (reduced form). • Όταν το σύστηµα εξισώσεων λύνεται ως προς τις εξωγενείς µεταβλητές είναι σε τελική µορφή (final form). • Στην εκτίµηση των συστηµάτων εξισώσεων σε διαρθρωτική µορφή εµφανίζονται δύο επιπλέον προβλήµατα: – Σφάλµα αλληλεξάρτησης (simultaneity) – Ταυτοποιήση (identification) 4

Παράδειγµα

C =κατανάλωση, W =εισόδηµα, I =επένδυση Διαρθρωτική µορφή συστήµατος εξισώσεων:

Ct = α0 + α1Wt + α2Ct−1 + ut

(1)

Wt = Ct + It

(2)

• Οι εξισώσεις (1) και (2) είναι οι διαρθρωτικές εξισώσεις. • Η εξίσωση (1) είναι εξίσωση συµπεριφοράς. • Η εξίσωση (2) είναι ταυτότητα. • Οι µεταβλητές Ct και Wt είναι ενδογενείς. • Οι µεταβλητές 1t = 1 και It είναι εξωγενείς µεταβλητές. • Οι µεταβλητές 1t = 1, It και Ct−1 είναι προκαθορισµένες µεταβλητές. • Το σύστηµα εξισώσεων (1) και (2) είναι δυναµικό, στοχαστικό και πλήρες. 5

Ανηγµένη µορφή συστήµατος εξισώσεων:

α0 α1 α2 1 Ct = + It + Ct−1 + ut 1 − α1 1 − α1 1 − α1 1 − α1 = π11 + π12It + π13Ct−1 + v1t α0 1 α2 1 Wt = + It + Ct−1 + ut 1 − α1 1 − α1 1 − α1 1 − α1 = π21 + π22It + π23Ct−1 + v2t

Τελική µορφή συστήµατος εξισώσεων:

π11 2 Ct = + π12It + π12π13It−1 + π12π13 It−2 + ... 1 − π13 2 + v1t + π13v1,t−1 + π13 v1,t−2 + ...

π21 2 Wt = + π22It + π22π23It−1 + π22π23 It−2 + ... 1 − π23 2 + v2t + π23v2,t−1 + π23 v2,t−2 + ...

(3)

(4)

Συστήµατα εξισώσεων

Διαρθρωτική µορφή ενός πλήρους συστήµατος γραµµικών εξισώσεων

β11Yt1 + ... + β1GYtG + γ11Xt1 + ... + γ1K XtK = ut1 ..

, t = 1, ..., T

βG1Yt1 + ... + βGGYtG + γG1Xt1 + ... + γGK XtK = utG Συµβολισµός µε πίνακες:

BY + ΓX = u όπου



Y =

               

Y11 . . . YT 1 ..

Y1G . . . YT G





               

               

(⋆) 

X11 . . . XT 1 ..

X1K . . . XT K

               



               

β11 . . . β1G ..

βG1 . . . βGG





               

               

Γ=

γ11 . . . γ1K ..

γG1 . . . γGK





               

               



u11 . . . uT 1 ..

u1G . . . uT G

               

• Y1, ..., YG είναι οι ενδογενείς µεταβλητές και X1, ..., XK είναι οι προκαθορισµένες µεταβλητές. • Κάποιοι από τους συντελεστές βgg′ , γgk µπορεί να είναι γνωστοί. • Αν υπάρχει σταθερός όρος, θέτουµε Xt1 = 1, t = 1, ..., T. • Αν η g εξίσωση είναι ταυτότητα, θέτουµε utg = 0, t = 1, ..., T. • Σε κάθε g εξίσωση, o συντελεστής βgg µπορεί να γίνει ίσος µε µονάδα και τότε η ενδογενής µεταβλητή Yg γίνεται η εξαρτηµένη µεταβλητή. Όταν εφαρµοστεί ο κανόνας της τυποποιήσεως σε όλες τις εξισώσεις, το υπόδειγµα είναι το σύστηµα ταυτόχρονων γραµµικών διαρθρωτικών εξισώσεων. 8

Ανηγµένη µορφή ενός πλήρους συστήµατος γραµµικών εξισώσεων

Yt1 = π11Xt1 + ... + π1K XtK + vt1 ..

, t = 1, ..., T

YtG = πG1Xt1 + ... + πGK XtK + vtG Συµβολισµός µε πίνακες:

Y = ΠX + v όπου



Π=

               

π11 . . . π1K ..

πG1 . . . πGK





               

               

(⋆⋆) 

v11 . . . vT 1 ..

v1G . . . vT G

               

Παράδειγµα (συνέχεια)

Συµβολισµός µε πίνακες της διαρθρωτική µορφής συστήµατος εξισώσεων:

BY + ΓX = u 



Y =

        

               





C1 . . . CT W1 . . . W T

        

1 ...

X = I1

C0 . . . CT −1











        

1 −α1 

        

−α0 0 −α2 

        



−1

    

Γ=

−1

    

                

u1 . . . u T 0 ... 0

        

Συµβολισµός µε πίνακες της ανηγµένης µορφής συστήµατος εξισώσεων:

Y = ΠX + v Π=









        

π11 π12 π13 

        

v11 . . . vT 1 

π21 π22 π23

    

, 10

v12 . . . vT 2

    

Συστήµατα εξισώσεων: Είδη

1. Περιοδικό (recursive) σύστηµα εξισώσεων: Ο πίνακας B είναι τριγωνικός 



                      

β11 0 . . .

... ...

...

βG1 . . . . . . βGG

                      

2. Κατά οµάδες περιοδικό (block recursive) σύστηµα εξισώσεων: Ο πίνακας B είναι οµαδικά τριγωνικός



                      



B11 0 . . . 0 ..

... ...

...

Br1 . . . . . . Brr

όπου Bij , i, j = 1, ..., r, είναι πίνακες. 11

                      

3. Σύστηµα φαινοµενικά µη συνδεόµεων (seemingly unrelated) εξισώσεων: Ο πίνακας B είναι διαγώνιος





                      

β11 0 . . .

... ...

0 . . . 0 βGG

                      

4. Οµάδες (blocks) συστηµάτων εξισώσεων: Ο πίνακας B είναι οµαδικά διαγώνιος 

                      



B11 0 . . . 0 0

... ...

. . . 0 Brr

                      

5. Γενικό σύστηµα εξισώσεων: Ο πίνακας B δεν είναι της µορφής 1-4.

Συστήµατα εξισώσεων: Ταυτοποιήση

• Από τη διαρθρωτική και την ανηγµένη µορφή του συστήµατος εξισώσεων (⋆) και (⋆⋆) ισχύει ότι Π = −B −1Γ

(⋆ ⋆ ⋆)

– Αν το σύστηµα εξισώσεων (⋆ ⋆ ⋆) δεν µπορεί να λυθεί ως προς τους B και Γ, τότε δεν µπορεί να βρεθεί η διαρθρωτική µορφή του συστήµατος (⋆) και

το σύστηµα εξισώσεων (⋆) δεν ταυτοποιείται (not identified). – Αν το σύστηµα εξισώσεων (⋆⋆⋆) µπορεί να λυθεί ως προς τους B και Γ, τότε

µπορεί να βρεθεί η διαρθρωτική µορφή του συστήµατος (⋆) και το σύστηµα εξισώσεων (⋆) ταυτοποιείται (identified). • Η ταυτοποιήση (identification) του συστήµατος γίνεται εξίσωση προς εξίσωση. • Οι ταυτότητες δεν έχουν πρόβληµα ταυτοποίησης. 13

• Συνθήκες ταυτοποίησης της διαρθρωτικής εξίσωσης συµπεριφοράς: 1. Συνθήκη τάξης (order condition)

K ∗∗ ≥ G∗ − 1 – K ∗∗ είναι ο αριθµός των προκαθορισµένων µεταβλητών που δεν περιλαµ-

βάνονται στη διαρθρωτική εξίσωση. – G∗ είναι ο αριθµός των ενδογενών µεταβλητών που περιλαµβάνονται στη

διαρθρωτική εξίσωση. 2. Συνθήκη βαθµού (rank condition)

r(∆) = G − 1 – ∆ είναι ο πίνακας των συντελεστών όλων των µεταβλητών που δεν περιλαµ-

βάνονται στη διαρθρωτική εξίσωση. – G είναι ο αριθµός των εξισώσεων του συστήµατος. 14

• Αν η συνθήκη τάξης ή η συνθήκη βαθµού δεν ισχύει, τότε η διαρθρωτική εξίσωση δεν ταυτοποιείται (not identified). • Αν η συνθήκη τάξης και η συνθήκη βαθµού ισχύουν, τότε η διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται: – Αν η συνθήκη τάξης ισχύει µε = και η συνθήκη βαθµού ισχύει, τότε η διαρ-

θρωτική εξίσωση ταυτοποιείται ακριβώς (exactly identified). – Αν η συνθήκη τάξης ισχύει µε > και η συνθήκη βαθµού ισχύει, τότε η

διαρθρωτική εξίσωση υπερταυτοποιείται (overidentified).

Συστήµατα εξισώσεων: Εκτίµηση

• Σε κάθε εξίσωση της ανηγµένης µορφής του συστήµατος (⋆⋆) γίνονται οι βασικές υποθέσεις Α.1-Α.5. Για τα σφάλµατα διαφορετικών διαρθρωτικών εξισώσεων γίνεται η υπόθεση ότι για κάθε g, g ′ = 1, ..., G, ισχύει ότι Cov (utg , utg′ ) = σgg′ και Cov (utg , usg′ ) = 0, για κάθε t ̸= s. • Κάθε εξίσωση της ανηγµένης µορφής του συστήµατος (⋆⋆) εκτιµάται µε τη

µέθοδο OLS. • Σφάλµα αλληλεξάρτησης: Αν η διαρθρωτική εξισώση συµπεριφοράς περιέχει πάνω από δύο ενδογενείς µεταβλητές, τότε η υπόθεση Α.3/Α.3’ δεν ισχυεί και υπάρχει το πρόβληµα της ενδογένειας. • Όταν υπάρχει σφάλµα αλληλεξάρτησης, η διαρθρωτική εξίσωση (⋆) πρέπει να ταυτοποιείται για να εκτιµηθεί. 16

• Μέθοδοι εκτίµησης µίας διαρθρωτικής εξίσωσης (single equation methods): 1. Έµµεση µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ILS (indirect least squares) 2. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε δύο στάδια 2SLS (two-stages least squares) 3. Μέθοδος µεγίστης πιθανοφάνειας µε περιορισµένες πληροφορίες LIML (limited-information maximum likelihood) • Μέθοδοι ταυτόχρονης εκτίµησης όλων των διαρθρωτικών εξισώσεων (systems methods): 1. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε τρία στάδια 3SLS (three-stages least squares) 2. Μέθοδος µεγίστης πιθανοφάνειας µε όλες τις πληροφορίες FIML (fullinformation maximum likelihood)

• Όλες οι µέθοδοι δίνουν συνεπείς εκτιµητές των συντελεστών των διαρθρωτικών εξισώσεων. • Αν υπάρχει ταυτόχρονη συσχέτιση ανάµεσα στα σφάλµατα των διαρθρωτικών εξισώσεων, Cov (utg , utg′ ) = σgg′ ̸= 0 για κάποια g, g ′ = 1, ..., G, τότε µόνο οι

µέθοδοι ταυτόχρονης εκτίµησης δίνουν ασυµπτωτικά αποτελεσµατικούς εκτιµητές των συντελεστών.

Έµµεση µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ILS

• Για την εκτίµηση διαρθρωτικής εξίσωσης που ταυτοποιείται ακριβώς. • Έµµεση µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ILS: 1. Οι συντελεστές κάθε ανηγµένης εξίσωσης (⋆⋆) εκτιµούνται µε τη µέθοδο ΟLS. 2. Από τη σχέση (⋆⋆⋆), βρίσκουµε τις εκτιµήσεις των συντελεστών των διαρθρωτικών εξισώσεων. • Η µέθοδος ΙLS είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο IV στη διαρθρωτική εξίσωση µε βοηθητικές µεταβλητές τις προκαθορισµένες µεταβλητές που δεν περιλαµβάνονται στην εξίσωση.

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε δύο στάδια 2SLS

• Για την εκτίµηση διαρθρωτικής εξίσωσης που υπερταυτοποιείται. • Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε δύο στάδια 2SLS: 1. Οι συντελεστές κάθε ανηγµένης εξίσωσης (⋆⋆) εκτιµούνται µε ΟLS και υπολογίζονται οι υπολογισµένες τιµές των ενδογενών µεταβλητών. 2. Σε κάθε υπερταυτοποιηµένη διαρθρωτική εξίσωση, αντικαθιστούµε κάθε ενδογενή µεταβλητή (που είναι ερµηνευτική µεταβλητή) από την υπολογισµένη τιµή της από το πρώτο στάδιο και εκτιµάµε µε τη µέθοδο ΟLS. • Η µέθοδος 2SLS είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο GIVE στη διαρθρωτική εξίσωση

µε βοηθητικές µεταβλητές τις προκαθορισµένες µεταβλητές που δεν περιλαµβάνονται στην εξίσωση. • Αν η διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται ακριβώς, η µέθοδος 2SLS είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο ΙLS. 20

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε τρία στάδια 3SLS

• Για την ταυτόχρονη εκτίµηση διαρθρωτικών εξισώσεων που ταυτοποιούνται όταν υπάρχει ταυτόχρονη συσχέτιση ανάµεσα στα σφάλµατα των διαρθρωτικών εξισώσεων. • Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων σε τρία στάδια 3SLS: 1.-2. Ακολουθούνται τα δύο στάδια της µέθοδου 2SLS. 3. Χρησιµοποιούνται τα κατάλοιπα από το δεύτερο στάδιο και εφαρµόζεται η

µέθοδος φαινοµενικά µη συνδεόµενων παλινδροµήσεων SURE (seemingly unrelated regression equations). • Αν τα σφάλµατα µεταξύ των διαφορετικών διαρθρωτικών εξισώσεων είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστα, Cov (utgt, utg′ ) = 0 για όλα g ̸= g ′ και t, η µέθοδος 2SLS είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο 3SLS. 21

Παράδειγµα (συνέχεια)

• Η διαρθρωτική εξίσωση συµπεριφοράς (1) περιέχει 2 ενδογενείς µεταβλητές. Από την ανηγµένη εξίσωση (4) έχουµε ότι η ενδογενής µεταβλητή Wt συσχετίζεται ταυτόχρονα µε το σφάλµα v2t =

1−α1 ut.

Άρα στη διαρθρωτική εξίσωση

(1), η ερµηνευτική µεταβλητή Wt συσχετίζεται ταυτόχρονα µε το σφάλµα ut και εποµένως η υπόθεση Α.3/Α.3’ δεν ισχυεί. Στη διαρθρωτική εξίσωση (1) υπάρχει σφάλµα αλληλεξάρτησης. • Αφού υπάρχει σφάλµα αλληλεξάρτησης στη διαρθρωτική εξίσωση (1), η διαρθρωτική εξίσωση (1) δεν µπορεί να εκτιµηθεί µε OLS. Άρα εξετάζουµε την ταυτοποίηση του συστήµατος εξισώσεων (1) και (2). Γράφουµε

Ct − α1Wt − α0 −Ct + Wt

− It 22

− α2Ct−1 = ut =0

(1) (2)

• Ταυτοποίηση της διαρθρωτικής εξίσωσης (1): 1. Συνθήκη τάξης

K ∗∗ = 1, G∗ = 2 =⇒ K ∗∗ = G∗ − 1 2. Συνθήκη βαθµού ∆ = [−1], G = 2 =⇒ r (∆) = G − 1

Αφού η συνθήκη τάξης ισχύει µε = και η συνθήκη βαθµού ισχύει, η διαρθρωτική εξίσωση (1) ταυτοποιείται ακριβώς. • Η διαρθρωτική εξίσωση (2) δεν έχει πρόβληµα ταυτοποίησης αφού είναι ταυτότητα.

• Βρήκαµε ότι η διαρθρωτική εξίσωση (1) ταυτοποιείται ακριβώς και η διαρθρωτική εξίσωση (2) δεν έχει πρόβληµα ταυτοποίησης. • Τα σφάλµατα των διαρθρωτικών εξισώσεων (1) και (2) είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστα, αφού η διαρθρωτική εξίσωση (2) δεν περιέχει σφάλµα. • Κατάλληλη µέθοδος εκτίµησης της διαρθρωτικής εξίσωσης (1) είναι η ILS, αφού η διαρθρωτική εξίσωση (1) ταυτοποιείται ακριβώς και τα σφάλµατα των διαρθρωτικών εξισώσεων είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστα. Οι ILS εκτιµητές των συντελεστών της διαρθρωτικής εξίσωσης (1) είναι συνεπείς και ασυµπτωτικά αποτελεσµατικοί. • Η διαρθρωτική εξίσωση (2) δεν χρειάζεται εκτίµηση αφού είναι ταυτότητα.