Προχωρημένη Οικονομική Ανάλυση Ενδεικτικές Απαντήσεις Περιεχόμενα: 1. Εξέταση Μικροοικονομικής Ιανουάριος 2012 2. Εξέταση Μικροοικονομικής Σεπτέμβρης 2012 3. Φυλλάδιο Παπανδρέου με ασκήσεις
Περιεχόμενα Περιεχόμενα
iii
1
Q. Αβεβαιότητα Απαντήσεις
1
2
Q. Εξωτερικότητες Απαντήσεις
3
3
Q. Δημόσια αγαθά Απαντήσεις
5
4
Q. Ασύμμετρη πληροφόρηση Απαντήσεις
8
iii
Κεφάλαιο 1
Q. Αβεβαιότητα Απαντήσεις Ο Κώστας έχει μια επιχείρηση ρούχων. Η συνάρτηση χρησιμότητας √ √ του είναι p cf + (1 − p) cnf , όπου p είναι η πιθανότητα πλημμύρας και 1-p η πιθανότητα να μην υπάρξει πλημμύρα. Η πιθανότητα πλημμύρας είναι p=1/20. Η αξία της επιχείρησης είναι €8 εκατ. στην περίπτωση που αποφευχθεί η πλημμύρα και €0 αν υπάρξει πλημμύρα. Ο Κώστας μπορεί να αγοράσει ασφάλεια όπου θα λάβει €x σε περίπτωση πλημμύρας αλλά θα του κοστίσει €0.1x. (α) Ποια είναι η προσδοκώμενη χρησιμότητα του Κώστα; Απάντηση: √ 19 √ 37 1√ = 2.72 (1.1) 0+ 8= 20 20 5 (β) Θα αγοράσει ασφάλεια ο Κώστας και αν ναι πόσο; Απάντηση: Ναι. Με αυτήν την συνάρτηση χρησιμότητας που είναι κυρτή πάντα θα αγοράζει κάποια ασφάλεια. Για να βρούμε την ασφάλεια μεγιστοποιούμε την συνάρτηση χρησιμότητας υπό τον εισοδηματικό περιορισμό. Με ασφάλεια μπορεί να αλλάξει την κατανάλωση στις δύο καταστάσεις ως εξής: cf = 0 + x − 0.1x cnf = 8 − 0.1x
(1.2)
Απαλείφοντας το x βρίσκουμε τον εισοδηματικό περιορισμό που είναι 91 cf + cnf = 8 1 √ 19 √ Το Lagrange είναι L = 20 cf + 20 cnf + λ(8 − 91 cf − cnf ) Η κατανάλωση θα είναι cf = 1, 75135 και cnf = 7, 80541 εκατομμύρια ευρώ. Οπότε αγόρασε ασφάλεια αξίας 1,7513 πληρώνοντας το ένα δέκατο αυτού του ποσού. (γ) Πόσο θα έπρεπε να είναι η τιμή της ασφάλειας για να είναι δίκαιη (να είχαν μηδενικά κέρδη οι ασφαλιστικές εταιρίες); Πώς γνωρίζουμε ότι σε αυτήν την περίπτωση θα ασφαλιστεί πλήρως; 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.
Q. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
2
Απάντηση: Η τιμή της ασφάλειας θα έπρεπε να αντιστοιχούσε με την πιθανότητα της πλημμύρας. Δηλαδή για κάθε x ασφάλειας θα έπρεπε να πληρώνει (1/20)x. (δ) Υπολογίστε (δεν χρειάζεται να κάνετε χρήση μεγιστοποίησης Lagrange) πόσο θα καταναλώνει και στις δύο περιστάσεις ο Κώστας αν η ασφάλεια είναι δίκαιη. Απάντηση: Φτάνει ο εισοδηματικός περιορισμός που είναι σε 1 19 αυτήν την περίπτωση 20 cf + 19 20 cnf = 8 · 20 Εφόσον cf = cnf τότε και τα 19 δύο θα είναι 8 · 20 = 7.6 εκατομύρια.
Κεφάλαιο 2
Q. Εξωτερικότητες Απαντήσεις Ένα χαλυβουργείο ρυπαίνει ένα ποτάμι και προκαλεί ζημιά σε ιχθυοτροφείο. Τα κέρδη του χαλυβουργείου είναι Πs (s, x) = 10s − s2 −(x − 5)2 . Τα κέρδη του ιχθυοτροφείου είναι Πf (f ;x) = 10f −f 2 −xf . (α) Πώς θα περιγράφαμε την εξωτερικότητα σε αυτό το πρόβλημα; Γιατί το ονομάζουμε εξωτερικότητα; Απάντηση: Το χαλυβουργείο επιβάλει μια αρνητική εξωτερική επίδραση στο ιχθυοτροφείο. Προκαλεί μια ζημιά για την οποία δεν πληρώνει. Το ονομάζουμε εξωτερικότητα γιατί η επίδραση είναι έξω από την αγορά (δεν γίνεται μέσα από συναλλαγή) και έτσι το χαλυβουργείο δεν λαμβάνει υπόψη τις εναλλακτικές χρήσεις του ποταμού (ή την κοινωνική ζημιά που προκαλεί). (β) Ποια θα ήταν η παραγωγή χάλυβα, ρύπανσης και ψαριών αν λειτουργούσαν οι δύο επιχειρήσεις ανεξάρτητα και χωρίς καμιά συνεννόηση ή συναλλαγή; Απάντηση: s=5, x=5, f*=5/2. (γ) Ποια θα ήταν η παραγωγή χάλυβα, ρύπανσης και ψαριών αν οι δύο επιχειρήσεις συγχωνεύονταν; 10 Απάντηση:sm = 5, xm = 10 3 , fm = 3 . (δ) Ποιο θα ήταν το αποτέλεσμα αν λειτουργούσαν ανεξάρτητα οι δύο επιχειρήσεις αλλά υπήρχε μια ανταγωνιστική αγορά δικαιωμάτων ρύπανσης και το χαλυβουργείο έπρεπε να πουλάει τα δικαιώματα στο ιχθυοτροφείο προς μια τιμή px ; Ποια θα ήταν η τιμή της ρύπανσης; Απάντηση: Η διατύπωση του ερωτήματος ότι το ‘χαλυβουργείο έπρεπε να πουλάει δικαιώματα’ είναι λίγο αμφιλεγόμενη, οπότε μπορεί να απαντήσετε είτε θεωρώντας ότι το χαλυβουργείο δεν έχει το δικαίωμα ρύπανσης και οφείλει να αγοράσει από το ιχθυο-
3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.
Q. ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΤΗΤΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
4
τροφείο δικαιώματα ρύπανσης είτε ότι το χαλυβουργείο έχει τα δικαιώματα και μπορεί να τα πουλήσει στο ιχθυοτροφείο. Οι ποσότητες χάλυβα, ψαριών και ρύπανσης καθώς και η τιμή δικαιώματος θα είναι ίδιες και στις δύο περιπτώσεις (αυτό που θα διαφέρει είναι η κατανομή των κερδών). Στην περίπτωση που το ιχθυοτροφείο έχει τα δικαιώματα θα πρέπει να αφαιρέσετε px x από το κέρδος του χαλυβουργείου (αύξηση εξόδων από την αγορά των ρύπων) και να προσθέσετε px x στο κέρδος του ιχθυοτροφείου (αύξηση εσόδων από την πώληση των ρύπων). Στην περίπτωση που το χαλυβουργείο έχει τα δικαιώματα ρύπανσης θα πρέπει να προσθέσετε px (5 − x) στα κέρδη του χαλυβουργείου και να αφαιρέσετε το ίδιο ποσό από τα κέρδη του ιχθυοτροφείου. Στην πρώτη περίπτωση το ιχθυοτροφείο πληρώνεται για την αύξηση της ρύπανσης και στην δεύτερη το χαλυβουργείο πληρώνεται για την μείωση της ρύπανσης. Θα ήταν λάθος αν προσθέταμε px x στα κέρδη του χαλυβουργείου στην περίπτωση που τα δικαιώματα ‘καθαρότητας’ ανήκουν στο ιχθυοτροφείο αλλά θα το παραβλέψω στην βαθμολογία. Τα ποσά που παράγονται θα είναι ίδια με την απάντηση (β) και η τιμή της ρύπανσης θα είναι px = f = 10 3 . (ε) Πιστεύετε πως αν το χαλυβουργείο είχε την αστική ευθύνη για την ζημιά που προκαλεί στο ιχθυοτροφείο θα είχαμε βέλτιστη κατανομή (χάλυβα, ψαριών και ρύπανσης); Εξηγείστε. Απάντηση: Όχι. Επειδή η ζημιά εξαρτάται και από την ποσότητα παραγωγής ψαριών, με αστική ευθύνη δεν θα έχει κανένα κίνητρο το ιχθυοτροφείο να λάβει υπόψη του τις επιπτώσεις της παραγωγής ψαριών στις συνολικές ζημιές (δηλαδή στα κέρδη του χαλυβουργείου). Ουσιαστικά η συνάρτηση κέρδους του ιχθυοτροφείου γίνεται Πf (f ;x) = 10f − f 2 − xf + xf = 10f − f 2 . Δείτε απάντηση στην αντίστοιχη άσκηση 0.12 στο πακέτο ασκήσεων. (ε) Τι λέει το θεώρημα του Coase και τι σχέση έχει με την απάντηση που δώσατε στο (γ); Απάντηση: επιγραμματικά το θεώρημα Coase λέει πως αν δεν υπάρχουν έξοδα διαπραγμάτευσης τότε αρκεί να οριστούν δικαιώματα ιδιοκτησίας, π.χ., στο ποτάμι ή στην ρύπανση, για να οδηγήσει η αγορά (μέσω συναλλαγής) στην βέλτιστη κατανομή. Θα είχαμε δηλαδή το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό της άσκησης (γ) είτε δώσουμε δικαιώματα ρύπανσης στο χαλυβουργείο είτε δικαιώματα καθαρών υδάτων στο ιχθυοτροφείο.
Κεφάλαιο 3
Q. Δημόσια αγαθά Απαντήσεις Τρία άτομα έχουν τις εξής αξιολογήσεις για ένα δημόσιο αγαθό, Α=€60, Β=€60, Γ=€10. Το συνολικό κόστος παροχής του δημόσιου αγαθού είναι €120. (α) Πρέπει να παρασχεθεί το δημόσιο αγαθό; Γιατί; Απάντηση: Ναι, γιατί το συνολικό όφελος και των τριών ατόμων είναι μεγαλύτερο από το κόστος παροχής. (β) Πώς θα εφαρμοζόταν ένα πλάνο φορολογίας Groves-Clarke σε αυτήν τη περίπτωση με επιμερισμό του αρχικού κόστους ανά άτομο €40; Εξηγείστε τι φόρο G-C θα αναλάβει ο καθένας και εξηγείστε γιατί συμφέρει να αποκαλύψει την πραγματική καθαρή αξία ο Α. Απάντηση: Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το Φόρο GrovesClarke που αντιστοιχεί στον καθένα. Ο Α είναι κρίσιμος καθώς χωρίς αυτόν η καθαρή αξία είναι -10 (άθροισμα καθαρής αξίας του Β και Γ) ενώ μαζί με αυτών (όλοι μαζί) είναι +10. Θα μπορούσε να δηλώσει λιγότερη καθαρή αξία από το 20 αλλά τότε αν δεν παρασχεθεί το δημόσιο αγαθό θα έχει απώλεια 20 και θα γλιτώσει τον φόρο οπότε θα χάσει 10 συνολικά. Το να δηλώσει μεγαλύτερη καθαρή αξία από το 10 δεν αλλάζει τίποτα. (γ) Ποιο είναι το βασικό χαρακτηριστικό ενός δημόσιου αγαθού και πώς διαφέρει η συνθήκη βέλτιστης παροχής ή παραγωγής σε σχέση με ένα ιδιωτικό αγαθό; Απάντηση: Η κατανάλωση του είναι μη ανταγωνιστική και δεν μπορεί να αποκλειστεί κάποιος από την χρήση του, οπότε όλοι καταναλώνουν την ίδια ποσότητα. Στα ιδιωτικά αγαθά η βέλτιστη ποσότητα είναι εκεί που εξισώ-
5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.
Q. ΔΗΜΟΣΙΑ ΑΓΑΘΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
6
Σχήμα 3.1: Πίνακας φόρου Groves-Clarke
νονται οι ΟΛΥ όλων και αυτά εξισώνονται με το λόγο τιμών δύο αγαθών. Στα δημόσια αγαθά εξισώνουμε το άθροισμα των οριακών λόγων υποκατάστασης με τον λόγο τιμών του ιδιωτικού αγαθού με το δημόσιο αγαθό (ή το κόστος του δημόσιου αγαθού) (δ) Δείξτε διαγραμματικά με δύο καμπύλες ζήτησης την διαφορά βέλτιστης κατανομής δημόσιου αγαθού και ιδιωτικού αγαθού. Απάντηση:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.
Q. ΔΗΜΟΣΙΑ ΑΓΑΘΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
7
Κεφάλαιο 4
Q. Ασύμμετρη πληροφόρηση Απαντήσεις Έστω ότι χαμηλής παραγωγικότητας εργάτες όλοι έχουν το ίδιο οριακό προϊόν αξίας 10 μονάδων και οι υψηλής παραγωγικότητας εργάτες έχουν οριακό προϊόν αξίας 14 μονάδων. Η κοινότητα έχει ισάριθμο αριθμό των δύο ειδών εργαζομένων. Το τοπικό κολέγιο προσφέρει ένα μάθημα μικροοικονομικής. Οι υψηλής παραγωγικότητας εργάτες πιστεύουν πως η συμμετοχή στο μάθημα αυτό είναι το ίδιο κακό με μια μείωση του μισθού τους κατά 5 μονάδες και οι χαμηλής παραγωγικότητας υποφέρουν ακόμα περισσότερο οπότε θεωρούν πως αντιστοιχεί με μια μείωση του μισθού τους κατά 10 μονάδες. (α) Πείτε τι είδους ισορροπία θα υπάρξει και με τι μισθό ή μισθούς; Εξηγείστε. Απάντηση: Δεν υπάρχει διαχωριστική ισορροπία αλλά υπάρχει συγκεντρωτική ισορροπία με μισθό 12. Το ένα σκέλος της διαχωριστικής ισορροπίας ισχύει γιατί το όφελος των εργαζομένων από την εκπαίδευση είναι χαμηλότερο του “κόστους” 4< 10 οπότε οι χαμηλής παραγωγικότητας δεν θα επιδίωκαν εκπαίδευση. Όμως το όφελος των υψηλής παραγωγικότης εργατών είναι μικρότερο από το κόστος 4<5. (β) Πόσο θα έπρεπε να αλλάξει το κόστος εκπαίδευσης των υψηλής παραγωγικότητας εργατών για να υπάρξει διαχωριστική ισορροπία; Θα ήταν προτιμότερο να υπάρξει διαχωριστική ισορροπία; Απάντηση: Θα έπρεπε το κόστος εκπαίδευσης να είναι χαμηλότερο του 4. Όχι το παράδοξο με την διαχωριστική ισορροπία εδώ είναι πως η παραπάνω πληροφόρηση απλά οδηγεί μια μερίδα εργαζομένων να ξοδεύουν χρήματα σε άχρηστη γνώση.
8
Εξέταση Σεπτέμβρη
1 2
10kO +
1 2
10kΠ
1 8kO + 2kΠ = 3200 ⇒ kO + kΠ = 400 4
3200 = 8, 07091 1 2
2000 +
1 2
8000 = 8, 29405
(3200 + x) = 8, 29405
∗ kO = 10 × 200,
∗ kΠ = 10 × 800
42X − X 2
42Y Y 2 XY
42 ∗ 21 − 212 = 441 42 ∗ 10, 5 − 10, 5 − 26 ∗ 8 = 110, 25 2
42Y Y 2 XY + XY = 42Y Y
2
42Y Y
2
42X X 2 + XY
2/3
Ui (x, yi ) = x1/3 yi
M RS1 + M RS2 =
y2 y1 + y2 px y1 10 + = = = 2x 2x 2x py 0, 2
y1 + y2 = 1000x 0, 20(y1 + y2 ) + 100x = 600 x = 2,
y1 + y2 = 2000,
y1 = 1000,
y2 = 1000.
Ασκήσεις και απαντήσεις για την Μικροοικονομική ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΠΑΠΑΝΔΡΕΟΥ
i
ii
Formatted for LATEX by MultiMarkdown
Περιεχόμενα Περιεχόμενα 0.1 Άσκηση 0.2 Άσκηση 0.3 Άσκηση 0.4 Άσκηση 0.5 Άσκηση 0.6 Άσκηση 0.7 Άσκηση 0.8 Άσκηση 0.9 Άσκηση 0.10 Άσκηση 0.11 Άσκηση 0.12 Άσκηση 0.13 Άσκηση 0.14 Άσκηση 0.15 Άσκηση 0.16 Άσκηση 0.17 Άσκηση 0.18 Άσκηση 0.19 Άσκηση 0.20 Άσκηση
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4
Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις Απαντήσεις
(Αβεβαιότητα) . . . . . (Αβεβαιότητα) . . . . . (Αβεβαιότητα) . . . . . (Αβεβαιότητα) . . . . . (Αβεβαιότητα) . . . . . (Αβεβαιότητα) . . . . . (Αβεβαιότητα) . . . . . (Εξωτερικότητα) . . . . (Εξωτερικότητα) . . . . (Εξωτερικότητα) . . . . (Εξωτερικότητα) . . . . (Εξωτερικότητα) . . . . (Δημόσια αγαθά) . . . . (Δημόσια αγαθά) . . . . (Δημοσια αγαθά) . . . . (Δημόσια αγαθά) . . . . (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) (Ασύμμτερη Πληροφόρηση)
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 9 11 13 15 15 16 16 17 19 19
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
1
Σχήμα 0.1: Εισοδηματικός περιορισμός
0.1 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) Ο Σαμ πουλάει γυαλιά ηλίου στο Ατλάντικ Σίτι. Όταν έχει ήλιο βγάζει $30 και όταν βρέχει $10. Θα υποθέσουμε πως υπάρχουν μόνο δύο ειδών μέρες (με βροχή και ηλιόλουστες). (Α) Ένα Καζίνο πουλάει κουπόνια ‘βροχής’ στην τιμή του $1. Αν βρέξει την επόμενη μέρα κερδίζεις $2 αλλιώς (ήλιος) αχρηστεύεται το κουπόνι (κερδίζεις μηδέν). Σε ένα διάγραμμα με άξονες το εισόδημα ανάλογα με την κατάσταση των πραγμάτων (υπό συνθήκη αγαθά) δείξτε τον εισοδηματικό περιορισμό. Ποια είναι η κλίση του; (Υποθέστε πως μπορεί να αγοράσει υποδιαιρέσεις αλλά όχι αρνητικές ποσότητες) Απάντηση: Η μπλε γραμμή είναι ο εισοδηματικός περιορισμός που απορρέει από την δυνατότητα που παρέχει το καζίνο πουλώντας κουπόνια ‘βροχής’. Ξεκινάει στο σημείο e (αρχικό απόθεμα). (Β) Στο ίδιο διάγραμμα δείξτε τον συνδυασμό των αγαθών για κάθε κατάσταση πραγμάτων που θα πετύχαινε αν αγόραζε 10 κουπόνια από το καζίνο. Απάντηση:Το σημείο a στο διάγραμμα (Γ) Έστω ότι το καζίνο πουλάει και κουπόνια ‘ήλιου’ στην
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
2
τιμή του $1, όπου λαμβάνεις $2 αν έχει ήλιο και $0 αλλιώς. Δείξτε τον εισοδηματικό περιορισμό του Σαμ που του επιτρέπει η αγορά αυτών των κουπονιών. Απάντηση: Η κόκκινη διακεκομμένη γραμμή (Δ) Αν η τιμή ενός δολαρίου κατανάλωσης όταν βρέχει είναι 1, ποια είναι η τιμή ενός δολαρίου κατανάλωσης όταν έχει ήλιο; Απάντηση: Η τιμή είναι 1
0.2 Άσκηση 2 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) Ο Σαμ έχει συνάρτηση χρησιμότητας για την κατανάλωση στις δύο καταστάσεις πραγμάτων U (cs , cr , π) = c1−π cπr s
(1)
Όπου cs είναι η αξία σε δολάρια της κατανάλωσης αν έχει ήλιο, και cr αν βρέξει. Η πιθανότητα να βρέξει είναι π = .5. Πόσες μονάδες κατανάλωσης στην κατάσταση ‘βροχής’ θα επιλέξει ο Σαμ; Πόσες μονάδες σε κατάσταση ‘ήλιου’; Απάντηση: 20 μονάδες ‘βροχής’ και 20 μονάδες ‘ήλιου’.
0.3 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) Ο Κώστας, αδερφός του Σαμ, έχει von Neumann-Morgenstern συνάρτηση χρησιμότητας u (c) = lnc. Ο Κώστας κάνει την ίδια δουλειά με τον Σαμ και μπορεί να κάνει αντίστοιχες συμφωνίες. (Α) Αν πιστεύει πως η πιθανότητα βροχής είναι 50% ποια είναι η συνάρτηση χρησιμότητάς του; Απάντηση: 1 1 u = lncs + lncr (2) 2 2 . (Β) Πώς συγκρίνεται η συνάρτηση χρησιμότητάς του με του αδερφού του; Είναι η μία συνάρτηση μονοτονικός μετασχηματισμός της άλλης; Είναι θετικός συναφής μετασχηματισμός; Απάντηση: Η συνάρτηση χρησιμότητας του Κώστα είναι μονοτονικός μετασχηματισμός του αδερφού του αφού απλά είναι ο λογάριθμος της συνάρτησης του Σαμ. Είναι και θετικός συναφής μετασχηματισμός (Γ) Ποιος θα είναι ο βέλτιστος συνδυασμός κατανάλωσης του Κώστα; Απάντηση: 20 μονάδες ‘βροχής’ και 20 μονάδες ‘ηλίου’ όπως και ο Σαμ.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3
0.4 Άσκηση 4 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) √ Ο Μάνθος έχει vNM συνάρτηση χρησιμότητας u (c) = c. Είναι αστέρι ποδοσφαιριστής. Αν αποφύγει σοβαρό τραύμα θα καταφέρει συμβόλαιο $1.000.000. Αν τραυματιστεί θα χαθεί η καριέρα του στο ποδόσφαιρο και θα λάβει $10.000 συμβόλαιο σε μια δουλειά στο δημόσιο. Η πιθανότητα τραυματισμού είναι 10%. (Α) Ποια είναι η προσδοκώμενη χρησιμότητα του Μάνθου; √ √ Απάντηση:.1 10000 + .9 1000000 = 910. (Β) Αν πληρώσει $p για μια ασφάλεια που θα του έδινε $1.000.000 στην περίπτωση τραυματισμού τότε θα έχει εισόδημα $1.000.000 p ότι και να συμβεί. Γράψτε μια εξίσωση και βρείτε το μέγιστο ποσό που θα έδινε ο Μάνθος για να αγοράσει την ασφάλεια. √ Απάντηση: Η εξίσωση είναι 910 = 1000000 − p και λύνοντας για p βρίσκουμε p=171900.
0.5 Άσκηση 5 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) Το ισοδύναμο βεβαιότητας μιας λοταρίας (στοίχημα) είναι το ποσό χρημάτων που θα έπρεπε να λάβεις με βεβαιότητα για να είσαι εξίσου ικανοποιημένος (ίδια χρησιμότητα) με την λοταρία. Έστω ότι η προσδοκώμενη χρησιμότητα για λοταρίες που δίνουν x στην Κατάσταση 1 και y στην περίπτωση που δεν συμβεί η √ √ Κατάσταση 1 είναι U (x, y, π) = π x + (1 − π) y, όπου π είναι η πιθανότητα ότι η Κατάσταση 1 θα συμβεί και 1 − π η πιθανότητα ότι η Κατάσταση 1 δεν θα συμβεί. (Α) Αν π = .5, υπολογίστε την χρησιμότητα της λοταρίας που δίνει €10.000 σε Κατάσταση 1 και €100 αν δεν συμβεί η Κατάσταση 1. Απάντηση: 55=.5x100+.5x10. (Β) Αν ξέρατε πως θα λάβετε €4.900 πόση θα είναι η χρησιμότητά σας; √ √ Απάντηση:.5 4900 + .5 4900 = 70. (Γ) Με δεδομένη την συνάρτηση χρησιμότητας και με \pi=.5 γράψτε μια γενική συνάρτηση με ισοδύναμο βεβαιότητας μιας λοταρίας που σας δίνει x στην Κατάσταση 1 και y στην περίπτωση που δεν συμβεί η Κατάσταση 1. 1
1
2
Απάντηση:(.5x 2 + .5y 2 ) . (Δ) Υπολογίστε το ισοδύναμο βεβαιότητας του να λάβετε €10.000 σε Κατάσταση 1 και €100 αν δεν συμβεί η Κατάσταση 1. Απάντηση: €3025=552 .
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
4
0.6 Άσκηση 6 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) Ο Γιάννης αποστρέφεται τον κίνδυνο και προσπαθεί να μεγι√ στοποιήσει την προσδοκώμενη χρησιμότητα c, όπου c είναι ο πλούτος του. Ο Γιάννης έχει €50.000 και έχει και ένα σπίτι σε δάσος που κινδυνεύει πολύ από φωτιές. Αν καεί το σπίτι του το οικόπεδο θα έχει αξία €40.000, έτσι η συνολική περιουσία του είναι €90.000. Αν δεν καεί, η αξία του σπιτιού (και οικοπέδου) θα είναι €200.000 οπότε η συνολική του περιουσία θα είναι €250.000. Η πιθανότητα πυρκαγιάς που θα καταστρέψει το σπίτι του είναι .01. (A) Υπολογίστε την προσδοκώμενη χρησιμότητα αν δεν αγοράσει πυρασφάλεια. √ √ Απάντηση:.99 250000 + .01 90000 = 498. (Β) Υπολογίστε το ισοδύναμο βεβαιότητας αν δεν αγοράσει πυρασφάλεια. Απάντηση: 4982 = 248004 (3) (Γ) Έστω ότι μπορούμε να αγοράσουμε πυρασφάλεια σε τιμή €1 για €100 ασφάλειας. Πόση ασφάλεια πρέπει να αγοράσει ο Γιάννης για να αποκτήσει πλήρη ασφάλεια και πόσος θα είναι ο πλούτος του; Απάντηση: Ουσιαστικά πρέπει να βρει την ποσότητα που θα δώσει για ασφάλεια που θα εξισώνει τα χρήματα που θα έχει και στις δύο καταστάσεις. 250000-m=90000+100m -m (όπου m είναι τα χρήματα που δίνει για την ασφάλεια). Οπότε m = 1600. O πλούτος του θα είναι 248400. (Δ) Ποιο θα είναι το ισοδύναμο βεβαιότητας για τον Γιάννη και ποια η προσδοκώμενη χρησιμότητα του; Απάντηση: Το ισοδύναμο βεβαιότητας στην περίπτωση που αγοράσει πλήρη √ ασφάλεια θα είναι 248400 και η προσδοκώμενη χρησιμότητα / 248400.
0.7 Άσκηση 7 Απαντήσεις (Αβεβαιότητα) Έστω μια λοταρία δίνει €1 και €25 με ίσες πιθανότητες. Ποιο είναι το ελάχιστο που θα δίνατε σε κάποιον με συνάρτηση προσδοκώμενης χρησιμότητας u (x) = x.5 για να μην κάνει το στοίχημα (υποθέστε πως το άτομα δεν έχει καθόλου πλούτο); Ποιο είναι το κόστος της ασφάλισης; Απάντηση: √ √ Η προσδοκώμενη χρησιμότητα της λοταρίας είναι 0.5 1 + 0.5 25 = 3. Αυτή η χρησιμότητα αντιστοιχεί με €9 με
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
5
βεβαιότητα. Οπότε θα πρέπει να λάβει τουλάχιστον €9 για να μην δεχθεί την λοταρία. Διώρθωση: Η ερώτηση “Ποιο είναι το κόστος της ασφάλισης;” είναι λάθος και δεν έχουμε πληροφορίες σχετικές εδώ.
0.8 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) Στο Καρακοχώρι υπάρχει κόλπος γνωστό για αστακούς. Το δημαρχείο του χωριού εκδίδει άδειες για την αλίευση τους. Προσπαθεί το δημαρχείο να αποφασίσει πόσες άδειες θα εκδώσει. Τα οικονομικά δεδομένα έχουν ως εξής: 1. Κοστίζει €2.000 το μήνα για την λειτουργία του αλιευτικού. 2. Αν υπάρχουν x αλιευτικά στον κόλπο, τα συνολικά έσοδα ανά μήνα θα είναι f (x) = 1000(10x − x2 ). (α) Δείξτε διαγραμματικά τις καμπύλες μέσου προϊόντος, AP (x) = και το οριακό προϊόν, M P (x) = 10.000 − 2.000X. Στο ίδιο διάγραμμα, δείξτε την γραμμή του κόστους λειτουργίας των αλιευτικών. (β) Αν οι άδειες είναι δωρεάν, πόσα σκάφη θα λειτουργούν στο χωριό; Απάντηση: Θα συνεχίζουν να εισέρχονται αλιευτικά μέχρι να τα κέρδη να μηδενιστούν (έσοδα μείον έξοδα). 1000(10x−x2 )−2000x = 0 οπότε x = 8 αλιευτικά. Είναι το σημείο όπου το μέσο προϊόν είναι ίσο με το μέσο κόστος. (γ) Τι αριθμό σκαφών μεγιστοποιούν τα κέρδη; Απάντηση: Από τις ΣΠΤ ξέρουμε πως το οριακό προϊόν πρέπει να εξισωθεί με το οριακό κόστος: 10.000 − 2.000x = 2000 οπότε x = 4. (δ) Αν το δημαρχείο θέλει να περιορίσει τον αριθμό των σκαφών έτσι ώστε να μεγιστοποιηθούν τα κέρδη, πόσο πρέπει να χρεώσει ανά μήνα για άδεια αλίευσης; Απάντηση: Ο κάθε ψαράς εξισώνει το μέσο προϊόν με το μέσο κόστος 10.000 − 1.000x = 2000. Αυτό μας οδηγεί στην υπεραλίευση, οπότε πρέπει να αυξηθεί το μηνιαίο μέσο κόστος με φόρο τόσο ώστε το μέσο έσοδο του 5ου αλιευτικού να είναι μικρότερο από το μέσο κόστος (αρνητικά κέρδη). Με άλλα λόγια, θέλουμε να υπάρχει κερδοφορία μέχρι και το τέταρτο αλιευτικό αλλά μετά να αρχίζουν αρνητικά κέρδη. Ξέρουμε πως μεγιστοποιούνται τα κέρδη όταν x=4, οπότε θέλουμε 10.000 − 1.000x = 10.000 − 1.000 · 4 = 2000 + ϕ ⇒ ϕ = 4000 f (x) x ,
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
6
Σχήμα 0.2: Μέσο και οριακό προϊόν
0.9 Άσκηση 2 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) Έστω ότι ένα μελισσοκομείο βρίσκεται δίπλα σε ένα πορτοκαλεώνα, και το καθένα λειτουργεί σαν επιχείρηση σε τέλειο ανταγωνισμό. Έστω ότι A είναι ο αριθμός των πορτοκαλιών που παράγονται και H η ποσότητα του μελιού. Οι συναρτήσεις κόστους A2 H2 και cA (A) = 100 − H. Η τιμή των δύο επιχειρήσεων είναι cH (H) = 100 του μελιού είναι €2 και η τιμή των πορτοκαλιών €3. (α) Ποιες είναι οι ποσότητες μελιού και πορτοκαλιών που παράγονται αν οι επιχειρήσεις λειτουργούν ανεξάρτητα η μία από την άλλη; Απάντηση: Τα κέρδη των δύο επιχειρήσεων είναι 2H −
H2 100
(4)
A2 +H (5) 100 Το μελισσοκομείο δεν υπολογίζει το όφελος που προσφέρει στον H2 πορτοκαλεώνα και μεγιστοποιεί απλά τα κέρδη του 2H − 100 . Οπότε 3A −
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
7
H = 0 ⇒ H = 100. Ο πορτοκαλεώνας δεν μπορεί να επηρεάσει H − 50 τις μέλισσες οπότε μεγιστοποιεί με την μεταβλητή που μπορεί να επηρεάσει μόνο (A). Οπότε παραγωγίζουμε την συνάρτηση κέρδους A2 A 3A − 100 + H ως προς το Α και μηδενίζουμε για να βρούμε 3 − 50 = 0 ⇒ A = 150. (β) Έστω πως συγχωνεύονται οι επιχειρήσεις. Ποιες θα είναι οι ποσότητες πορτοκαλιών και μελιού που μεγιστοποιούν τα συνολικά κέρδη; Απάντηση: Μεγιστοποιούμε τα συνολικά κέρδη ως προς τις δύο μεταβλητές. Βλέπουμε τώρα πως το μελισσοκομείο λαμβάνει υπόψη την θετική επίδραση της παραγωγής του στον πορτοκαλεώνα.
2H − 3−
H2 A2 + 3A − +H 100 100
(6)
H = 0 ⇒ H = 150 50
(7)
A = 0 ⇒ A = 150 (8) 50 (γ) Αν παρέμεναν ανεξάρτητες οι επιχειρήσεις πόσο πρέπει να επιδοτήσουμε την παραγωγή μελιού για να υπάρξει αποτελεσματική παραγωγή; Απάντηση: Ψάχνουμε πόσο πρέπει να αυξήσουμε την τιμή του μελιού ώστε να παράξει ο μελισσοκόμος 150 μονάδες. 3−
(2 + E) −
150 =0⇒E=1 50
(9)
0.10 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) Σε ένα χωριό στην Γερμανία με πληθυσμό 1.001, το μόνο που υπάρχει να κάνουν οι πολίτες είναι να οδηγούν τα αυτοκίνητα τους. Όλοι στο χωριό είναι ίδιοι. Ενώ απολαμβάνουν την οδήγηση υποφέρουν από τον συνωστισμό, το θόρυβο και την ρύπανση που προκαλεί η κίνηση. Η συνάρτηση χρησιμότητας ενός πολίτη είναι 6h U (m, d, h) = m + 16d − d2 − 1.000 , όπου m είναι η καθημερινή κατανάλωση σουβλακιών, d είναι ο αριθμός των ωρών που οδηγεί μέσα σε μία μέρα ο ίδιος, h είναι η συνολική οδήγηση (σε ώρες-άτομα ανά μέρα) από το σύνολο των πολιτών. Η τιμή ενός σουβλακίου είναι €1. Κάθε άτομο έχει εισόδημα €40 ανά μέρα. Για να είναι οι υπολογισμοί εύκολοι υποθέτουμε πως δεν κοστίζει τίποτα η οδήγηση αυτή καθεαυτή.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
8
(α) Αν ο καθένας πιστεύει πως η δικιά του οδήγηση δεν επηρεάζει το πόσο οδηγούν οι υπόλοιποι, πόσες ώρες θα επιλέξει να οδηγήσει; Απάντηση: Μεγιστοποιούμε την χρησιμότητα του ως προς τις δικές του ώρες οδήγησης αγνοώντας την όποια επίδραση στις συνολικές ώρες (h). Από τις ΣΠΤ έχουμε 16 − 2d = 0 ⇒ d = 8. (β) Αν ο καθένας επιλέξει το δικό του d, πόση θα είναι η συνολική οδήγηση όλων των υπόλοιπων; Απάντηση: 8*1000=8000. (γ) Ποια θα είναι η χρησιμότητα κάθε ατόμου; Απάντηση: U (m, d, h) = m + 16d − d2 −
6h 6 · 8000 = 40 + 16 · 8 − 82 − = 56 1.000 1.000
(10)
(δ) Αν ο καθένας οδηγήσει 6 ώρες ποια θα είναι η χρησιμότητα του καθενός; Απάντηση: U (m, d, h) = m + 16d − d2 −
6h 6 · 6000 = 40 + 16 · 6 − 62 − = 64 1.000 1.000
(11)
(ε) Έστω πως αποφασίζουν οι πολίτες να εφαρμοστεί νόμος που περιορίζει τις συνολικές ώρες που μπορεί να οδηγεί ο καθένας. Ποιο πρέπει να είναι αυτό το όριο αν θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε την χρησιμότητα του κάθε πολίτη; Απάντηση: Αντικαθιστούμε h=d*1000 U (m, d, h) = m + 16d − d2 − 6·1000 1.000 και μεγιστοποιούμε ως προς d και βρίσκουμε πως d=5 ώρες. Έτσι η χρησιμότητα του καθενός θα είναι 40 + 16 · 5 − 52 − 6 · 5 = 65 (στ) Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί με φόρο στην οδήγηση. Ποιο πρέπει να είναι το ύψος του φόρου ανά ώρα οδήγησης; Απάντηση: Ο φόρος πρέπει να ισούται με τον ΟΛΥ μεταξύ οδήγησης και σουβλακιού στην ‘σωστή’ ποσότητα οδήγησης. Το πρόβλημα του καταναλωτή είναι να μεγιστοποιήσει την χρησιμότητα υπό τον εισοδηματικό περιορισμό. Εφόσον δεν αντιμετώπιζε ‘τιμή’ για την οδήγηση απλά μεγιστοποιούσε ανεξάρτητα από τον εισοδηματικό περιορισμό. Τώρα το πρόβλημα γίνεται: L = m + 16d − d2 + λ(40 − m − ϕd)
(12)
16 − 2d − λϕ = 0
(13)
1−λ=0
(14)
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
9
40 − m − ϕd = 0
(15)
Από τις δύο πρώτες εξισώσεις και θέλοντας να οδηγήσει ο καταναλωτής 5 ώρες την ημέρα προσδιορίζεται ο φόρος από τον ΟΛΥ 16-2d=16-2*5=φ. Οπότε φ=6.
0.11 Άσκηση 4 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) Ο Κώστας και ο Γιάννης είναι συγκάτοικοι. Ξοδεύουν 80 ώρες συνολικά ανά εβδομάδα στο ίδιο δωμάτιο. Του Γιάννη του αρέσει να ακούει μουσική με μεγάλη ένταση, ακόμα και όταν κοιμάται. Η συνάρτηση χρησιμότητάς του Κώστα είναι UT (CT , M ) = CT + M , όπου CT είναι ο αριθμός των μπισκότων που τρώει ανά βδομάδα και M ο αριθμός των ωρών της δυνατής μουσικής ανά βδομάδα όσο βρίσκεται στο κοινό δωμάτιο. Ο Γιάννης απεχθάνεται την μουσική γενικό2 τερα. Η συνάρτηση χρησιμότητας της είναι U (CJ , M ) = CJ − M 12 . Κάθε εβδομάδα, ο Κώστας και ο Γιάννης λαμβάνουν ο καθένας 24 μπισκότα από το σπίτι τους. Δεν υπάρχουν άλλες πηγές μπισκότων. Μπορούμε να περιγράψουμε αυτήν τη κατάσταση με διάγραμμα του Edgeworth. Το διάγραμμα έχει μπισκότα στον οριζόντιο άξονα και ώρες μουσικής στον κάθετο άξονα. Εφόσον τα μπισκότα είναι ιδιωτικά αγαθά, ο αριθμός των μπισκότων που καταναλώνουν συνολικά είναι 48. Η μουσική στο δωμάτιο τους είναι δημόσιο αγαθό. Ο καθένας πρέπει να καταναλώσει την ίδια ποσότητα είτε του αρέσει είτε όχι. Στο διάγραμμα ας ορίσουμε το ύψος ενός σημείου να αντιστοιχεί με τις συνολικές ώρες μουσικής ανά βδομάδα. Η απόσταση από την αριστερή πλευρά του διαγράμματος να είναι “μπισκότα που καταναλώνει ο Κώστας” και η απόσταση από την δεξιά πλευρά να είναι τα “μπισκότα που καταναλώνει ο Γιάννης”. (α) Έστω πως οι κανόνες της εστίας λένε πως πρέπει να έχετε την άδεια του συγκάτοικου για να παίξετε μουσική. Το αρχικό απόθεμα σε αυτήν την περίπτωση αντιστοιχεί στην περίπτωση που δεν κάνουν κάποιες συμφωνίες ο Κώστας και ο Γιάννης. Δείξτε αυτό το σημείο στο διάγραμμα. Με κόκκινο χρώμα δείξτε την καμπύλη αδιαφορίας του Κώστα που περνάει από αυτό το σημείο, και με μπλε χρώμα δείξτε την καμπύλη αδιαφορίας του Γιάννη που περνάει από το ίδιο σημείο. Με μπλε σκιάστε την περιοχή που αντιστοιχεί με βελτίωση και των δύο από το σημείο Α. Απάντηση: Στο παρακάτω διάγραμμα ο Tom είναι ο Κώστας και ο Jerry είναι ο Γιάννης. Για να βρούμε την καμπύλη αδιαφορίας του Γιάννη ξεκινάμε βρίσκοντας την χρησιμότητα που του αντιστοιχεί
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
10
Σχήμα 0.3: Κουτί του Edgeworth
στο σημείο a στο διάγραμμα. Ξέρουμε πως C=24 και M=0, οπότε 2 02 CJ − M 12 = 24 − 12 = 24. Οπότε η καμπύλη αδιαφορίας του θα είναι 2 CJ − M 12 = 24. Γνωρίζουμε το ένα σημείο της καμπύλης και απλά τώρα 2 βρίσκουμε άλλα σημεία, π.χ., όταν CJ = 0 τότε M 12 = 24 ⇒ M = 16.9. Θέλει προσοχή πώς το απεικονίζουμε γιατί το σημείο 0 για τον Γιάννη είναι πάνω δεξιά στο κουτί Edgeworth. (β) Υποθέστε, πως οι κανόνες της εστίας λένε πως η μουσική είναι καλή για την ψυχή και δεν χρειάζεται η σύμφωνη γνώμη του συγκάτοικου για να παίξετε μουσική. Δείξτε το νέο σημείο αρχικού αποθέματος. Βρείτε πάλι τις δύο καμπύλες που περνούν από το σημείο αυτό. Υπάρχουν περιθώρια βελτίωσης της χρησιμότητας και των δύο; Απάντηση: Ναι, υπάρχουν περιθώρια βελτίωσης. Η χρησιμότητα 2 802 του Γιάννη στο σημείο b είναι CJ − M 12 = 24 − 12 = −509.33. Για να βρούμε άλλο ένα σημείο στην καμπύλη χρησιμότητας θέτουμε 2 CJ = 0 και λύνουμε 0 − M 12 = −509.33 για να βρούμε M=78.17. Αν επιλέξουμε το σημείο τομής της καμπύλης χρησιμότητας του Κώστα με τον άξονα των 48 μπισκότων (0 για τον Γιάννη) βλέπουμε πως η χρησιμότητα του Κώστα παραμένει ίδια ενώ η χρησιμότητα του
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
11
2
Γιάννη αυξάνεται 0 − 56 12 = −261.33. Οπότε σίγουρα υπάρχουν πολλά περιθώρια για κοινή βελτίωση.
0.12 Άσκηση 5 Απαντήσεις (Εξωτερικότητα) Ένα αεροδρόμιο βρίσκεται κοντά σε περιοχή που ανήκει σε εργολάβο που ετοιμάζει οικιστική ανάπτυξη. Ο εργολάβος θα ήθελε να κτίσει σπίτια αλλά ο θόρυβος μειώνει την αξία της γης. Όσο περισσότερα αεροπλάνα πετούν, λιγότερα είναι τα κέρδη του εργολάβου. Έστω X ο αριθμός των αεροπλάνων που πετάνε ανά μέρα και Y ο αριθμός των σπιτιών που χτίζει ο εργολάβος. Τα συνολικά κέρδη του αεροδρομίου είναι 48X − X 2 , τα κέρδη του εργολάβου είναι 60Y −Y 2 −XY . Ας δούμε τις επιπτώσεις διαφορετικών θεσμών και διαπραγματεύσεων μεταξύ του αεροδρομίου και του εργολάβου. (α) “Ελεύθερη επιλογή και καμία διαπραγμάτευση”: Έστω ότι δεν μπορούν να διαπραγματευτούν οι δύο πλευρές και ο καθένας επιλέγει την δράση του ανεξάρτητα. Πόσα αεροπλάνα θα πετάξουν; Πόσα σπίτια θα χτίσει ο εργολάβος; Ποια τα κέρδη του αεροδρομίου και του εργολάβου (και τα συνολικά); Απάντηση: Τα κέρδη του αεροδρομίου μεγιστοποιούνται (όταν λειτουργούν ανεξάρτητα) με 24 αεροπλάνα. Μεγιστοποιούμε 48X − X 2 οπότε 48 − 2X = 0. Για τα κέρδη του εργολάβου μεγιστοποιούμε 60Y − Y 2 − XY , οπότε 60 − 2Y − X όπου X=24 οπότε Υ=18. Τα κέρδη τα υπολογίζουμε βάζοντας τις τιμές των Χ και Υ που βρήκαμε στις συναρτήσεις κέρδους, του αεροδρομίου είναι 576 και του εργολάβου 324 οπότε τα συνολικά κέρδη είναι 900. (β) “Αυστηρή απαγόρευση”: Έστω ότι απαγορεύεται να πετούν αεροπλάνα για να αποφευχθεί ο θόρυβος. Πόσα σπίτια θα χτιστούν; Απάντηση: Ο εργολάβος μεγιστοποιεί τα κέρδη του με X=0 (60Y − 2 Y , οπότε Υ=30. Τα συνολικά κέρδη του εργολάβου θα είναι 900. (γ) “Ο παράδεισος του δικηγόρου”: Έστω ότι θα περάσει νόμος που καθιστά το αεροδρόμιο υπεύθυνο για όποιες ζημιές στην περιουσία του εργολάβου (αστική ευθύνη). Εφόσον τα κέρδη του εργολάβου 60Y − Y 2 − XY και τα κέρδη του θα ήταν 60Y − Y 2 αν δεν πετούσαν καθόλου αεροπλάνα, το συνολικό ποσό που θα λάβει ο εργολάβος για την ζημιές που προκαλεί το αεροδρόμιο είναι XY. Αν το αεροδρόμιο πετάξει X αεροπλάνα και ο εργολάβος χτίσει Y σπίτια, τότε τα κέρδη του αεροδρομίου αφού έχει πληρώσει για τις ζημιά που προκαλεί θα είναι 48X − X 2 − XY . Τα κέρδη του εργολάβου που συμπεριλαμβάνει τα χρήματα που θα λάβει από το αεροδρόμιο θα είναι 60Y − Y 2 − XY + XY = 60Y − Y 2 . Για να μεγιστοποιήσει τα καθαρά κέρδη, ο εργολάβος θα επιλέξει να
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
12
χτίσει πόσα σπίτια; Το αεροδρόμιο; Ποια θα είναι τα κέρδη τους (και το συνολικό κέρδος και των δυο); Απάντηση: Ο εργολάβος θα χτίσει 30 σπίτια (εφόσον η συνάρτηση κέρδους είναι ίδια με την ερώτηση (γ) με κέρδη 900. Το αεροδρόμιο θα μεγιστοποιήσει 48X − X 2 − X · 30 ή 18X − X 2 οπότε μεγιστοποιεί τα κέρδη του πετώντας 9 αεροπλάνα με κέρδη 18*992 =81. Οπότε τα συνολικά τους κέρδη είναι 981. (δ) “Συγχώνευση”: Έστω ότι ο εργολάβος θα αγοράσει το αεροδρόμιο. Ποια είναι η συνάρτηση κέρδους αυτής της κοινής οντότητας; Πόσα σπίτια πρέπει να χτίσει και πόσα αεροπλάνα να αφήσει να πετούν; Ποια είναι τα συνολικά κέρδη; Εξηγείστε γιατί οι προηγούμενοι θεσμικοί κανόνες (καταστάσεις) δεν πετυχαίνουν αποτελεσματικότητα; Απάντηση: Η συνάρτηση κέρδους θα είναι 48X − X 2 +60Y − Y 2 −XY . Για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη θα χτίσει 24 σπίτια και θα πετάξει 12 αεροπλάνα. Τα συνολικά κέρδη θα είναι 1008. Στην περίπτωση (α) το αεροδρόμιο δεν αναλαμβάνει το κόστος ζημιάς που προκαλούν τα αεροπλάνα στον εργολάβο. Στην περίπτωση (β) όπου απαγορεύονται οι πτήσεις εξαφανίζεται η ζημιά που προκαλεί το αεροδρόμιο αλλά μαζί και τα οφέλη των πτήσεων. Στην περίπτωση (γ) το αεροδρόμιο αναλαμβάνει το συνολικό κόστος των πτήσεων (μαζί με την ζημιά της εξωτερικότητας) αλλά ο εργολάβος δεν αντιμετωπίζει καθόλου το μερίδιο της ζημιάς (την απώλεια των κερδών του αεροδρομίου) οπότε χτίζει υπερβολικά. (ε) Έστω πως παραμένουν ανεξάρτητοι το αεροδρόμιο και ο εργολάβος. Αν ξεκινάγαμε από την περίπτωση “Ελεύθερη επιλογή και καμία διαπραγμάτευση”, θα μπορούσε ο εργολάβος να αυξήσει τα κέρδη του δωροδοκώντας το αεροδρόμιο να μειώσει κατά μία πτήση την ημέρα αν ο εργολάβος πρέπει να πληρώσει για την απώλεια κερδών του αεροδρομίου; Πόσες πτήσεις ανά μέρα θα ζητούσε το αεροδρόμιο να μειώσει για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του ο εργολάβος (εφόσον πληρώνει το αεροδρόμιο για την μείωση); Απάντηση: Ναι θα μπορούσε ο εργολάβος να αυξήσει τα κέρδη του δωροδοκώντας το αεροδρόμιο. Για να μεγιστοποιήσει τα κέρδη του θα έπρεπε να ζητήσει από το αεροδρόμιο να μειώσει κατά 12 τις πτήσεις του (καταλήγοντας εκεί που μεγιστοποιούνται τα κοινά κέρδη στο (δ)). Στην περίπτωση της ελεύθερης επιλογής είδαμε πως ο εργολάβος χτίζει 18 σπίτια με κέρδη 324, το αεροδρόμιο πετάει 24 αεροπλάνα με κέρδη 576 και τα συνολικά κέρδη τους είναι 900. Γνωρίζουμε πως τα κοινά κέρδη μεγιστοποιούνται (1008) όταν χτίζονται 24 σπίτια (με κέρδη 576) και πετάνε 12 αεροπλάνα (με κέρδη 432). Η απώλεια του αεροδρομίου είναι
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
13
Σχήμα 0.4: Τα κοινά κέρδη
(576-432=144) αλλά κερδίζει ο εργολάβος (576-324=252). Οπότε με χαρά τον δωροδοκεί.
0.13 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Δημόσια αγαθά) Το χωριό Μάσκρατ του Καναδά έχει 1000 κάτοικους. Οι πολίτες του χωριού καταναλώνουν μόνο ένα ιδιωτικό αγαθό, μπύρα Labatt’s. Υπάρχει ένα δημόσιο αγαθό, το παγοδρόμιο. Οι πολίτες έχουν τις ίδιες συναρτήσεις χρησιμότητας. Η συνάρτηση αυτή είναι U (Xi , G) = Xi − 100 G , όπου Xi είναι ο αριθμός μπουκαλιών που καταναλώνει ο πολίτης i και G το μέγεθος του παγοδρομίου σε τετραγωνικά μέτρα. Η τιμή της μπύρας είναι $1 ανά μπουκάλι και η τιμή του γηπέδου πατινάζ είναι $10 ανά τετραγωνικό μέτρο. Το εισόδημα που έχει κάθε πολίτης στο Μασκρατ είναι $1000 ετησίως. (α) Ποια είναι η απόλυτη τιμή του οριακού λόγου υποκατάστασης μεταξύ παγοδρομίου και μπύρας για κάθε πολίτη; Ποιο είναι το οριακό κόστος ενός παραπάνω τετραγωνικού μέτρου (σε όρους μπύρας);
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
14
Απάντηση: ΟΛΥ είναι 100 . Οριακό κόστος ενός παραπάνω τετραG2 γωνικού μέτρου είναι 10. (β) Γράψτε την συνάρτηση για το χωριό Μάσκρατ που ορίζει το αποτελεσματικό ποσό του δημόσιου αγαθού (παγοδρόμιο) και βρείτε την αποτελεσματική τιμή του δημόσιου αγαθού G. Απάντηση:1000 100 = 10 οπότε G=100. G2 (γ) Έστω πως ο κάθε πολίτης στην πόλη πληρώνει το ίδιο ποσοστό του κόστους του παγοδρομίου. Ξοδεύονται συνολικά $10G για το παγοδρόμιο. Ο φόρος που θα πληρώνει ο κάθε πολίτης τότε θα είναι $10G/1000=$G/100. Κάθε πολίτης του χωριού ψηφίζει για μέγεθος του παγοδρομίου και αντιλαμβάνεται πως θα υποχρεωθεί να πληρώσει το μερίδιο του κόστους. Με αυτό το δεδομένο γράψτε την εξίσωση του διαθέσιμου χρήματος που θα έχει ο κάθε πολίτης για ν’ αγοράσει μπύρα. Απάντηση: 1000-G/100. (δ) Οπότε μπορούμε να γράψουμε τον εισοδηματικό περιορισμό G = 1000. Για ν’ αποφασίσει ο κάθε πολίτης του ψηφοφόρου ως Xi + 100 για το μέγεθος του παγοδρομίου που θα επιλέξει να ψηφίσει, λύνει για τον συνδυασμό των Xi και G που μεγιστοποιεί την χρησιμότητα του υπό τον εισοδηματικό περιορισμό. Πόσο G θα επιλέξει; Απάντηση: G=100. (ε) Αν ο δήμος προσφέρει ένα παγοδρόμιο στο μέγεθος που ψήφισαν οι πολίτες θα είναι μικρότερο, μεγαλύτερο ή ίδιο μέγεθος με αυτό που είναι κατά Pareto αποτελεσματικό; Απάντηση: Ίδιο. (στ) Έστω πως το Οντάριο αποφασίσει να επιδοτήσει παγοδρόμια για να υποστηρίξει την πολιτιστική κληρονομιά. Αναλαμβάνει το %50 του κόστους σε όλα τα χωριά. Το κόστος της επιδότησης θα το μοιραστούν (με αύξηση φόρου) όλοι οι πολίτες της περιφέρειας του Οντάριο. Η επίδραση αυτού του φόρου θα είναι μηδαμινή για τους πολίτες του Μάσκρατ (οπότε και μπορούμε να την αγνοήσουμε). Τώρα, περίπου τι μεγέθους παγοδρομίου θα θέλανε οι ψηφοφόροι του Μάσκρατ; Απάντηση: √ (16) G = 100 2 (ζ) Η επιδότηση προάγει την αποτελεσματικότητα; Απάντηση: Όχι.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
15
0.14 Άσκηση 2 Απαντήσεις (Δημόσια αγαθά) Το χωριό Δαφνές, στη Κρήτη έχει 1000 άτομα. Κάθε χρόνο κάνουν ένα πανηγύρι με πυροτεχνήματα. Οι πολίτες ενδιαφέρονται μόνο για δύο πράγματα: ρακί και πυροτεχνήματα. Τα πυροτεχνήματα κοστίζουν 1 λίτρο ρακί ανά μονάδα. Όλοι έχουν ίδιες συναρτήσεις χρησιμότητας. √Η συνάρτηση χρησιμότητας του κάθε πολίτη i g είναι Ui (xi , g) = xi + 20 , όπου xi είναι λίτρα ρακί το χρόνο που καταναλώνει κάθε πολίτης και g είναι οι μονάδες πυροτεχνημάτων που αναλώνονται στο ετήσιο πανηγύρι. (α) Βρείτε την απόλυτη αξία του ΟΛΥ του κάθε πολίτη μεταξύ πυροτεχνημάτων και ρακί. Απάντηση: 1 (17) √ 40 g (β) Ποια είναι η κατά Παρέτο βέλτιστη ποσότητα πυροτεχνημάτων; 1000 √ = 1. Απάντηση: 625. Λύνουμε 40 g
0.15 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Δημοσια αγαθά) Ο Κώστας και ο Γιάννης είναι συγκάτοικοι και βρίσκουν έναν παλιό καναπέ που ταιριάζει με το σαλόνι τους. Η συνάρτηση του Κώστα είναι uC (S, MC ) = (1 + S)MC , η χρησιμότητα του Γιάννη είναι uG (S, MG ) = (2 + S)MG . MC και MG είναι τα ποσά χρημάτων που μπορούν να ξοδέψουν ο Κώστας και ο Γιάννης σε άλλα αγαθά, S=1 αν αγοράσουν τον καναπέ, και S=0 αν δεν τον αγοράσουν. Ο Κώστας έχει να ξοδέψει WC και ο Γιάννης έχει WG δολάρια. (α) Ποια είναι η τιμή επιφύλαξης του Κώστα για τον καναπέ; Απάντηση: Λύστε WC = 2(WC − pC ) για να βρείτε pC = W2C . (β) Ποια είναι η τιμή επιφύλαξης του Γιάννη για τον καναπέ; Απάντηση: Λύστε 2WG = 3(WG − pG ) για να βρείτε pG = W3G . (γ) Αν ο Κώστας έχει συνολικό πλούτο WC =$100 και ο Γιάννης έχει WG =$75 για να ξοδέψουν για τον καναπέ και για άλλα αγαθά, θα μπορούσαν να αγοράσουν τον καναπέ και να απολαύσουν μια κατά Παρέτο βελτίωση σχετικά με το να μην τον αγοράσουν αν η τιμή του καναπέ δεν ξεπερνά το ποσό _; Απάντηση:* $75.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
16
0.16 Άσκηση 4 Απαντήσεις (Δημόσια αγαθά) Η Λάρα και η Μαρία είναι συγκάτοικοι. Ξοδεύουν μέρος του εισοδήματος τους σε ιδιωτικά αγαθά όπως τρόφιμα και ρούχα και άλλο μέρος σε δημόσια αγαθά όπως ψυγείο, ηλεκτρισμό, θέρμανση και νοίκι. Η συνάρτηση χρησιμότητας της Λάρας είναι 2XL +G και της Μαρίας XM G, όπου XL και XM είναι τα χρήματα που ξοδεύουν για ιδιωτικά αγαθά και G το ποσό χρημάτων που ξοδεύουν για τα δημόσια αγαθά. Από κοινού έχουν $8000 ετησίως να ξοδεύουν (για ιδιωτικά και δημόσια αγαθά). (α) Ποια είναι η απόλυτη τιμή του ΟΛΥ της Λάρας μεταξύ δημόσιων και ιδιωτικών αγαθών; Ποια της Μαρίας; Απάντηση: Ο ΟΛΥ της Λάρας είναι 1/2 και της Μαρίας XGM . (β) Γράψτε την εξίσωση που προσδιορίζει την αποτελεσματική κατανομή δημόσιου αγαθού. Απάντηση: 12 + XGM = 1. (γ) Έστω πως η κάθε μία ξοδεύει $2000 σε ιδιωτικά αγαθά και τα υπόλοιπα $4000 σε δημόσια αγαθά. Είναι μια κατά Παρέτο αποτελεσματική κατανομή; Απάντηση: Ναι. (δ) Αναφέρετε μια διαφορετική κατά Παρέτο κατανομή όπου η Μαρία λαμβάνει περισσότερο από $2000 και η Λάρα λιγότερο από $2000 σε ιδιωτικά αγαθά. Απάντηση: Ένα παράδειγμα είναι: η Μαρία λαμβάνει $2500, η Λάρα $500 και G=$5000. (ε) Αναφέρετε ακόμα ένα παράδειγμα κατά Παρέτο κατανομής όπου η Λάρα λαμβάνει περισσότερο από $2000. Απάντηση: Η Λάρα λαμβάνει $5000, η Μαρία $1000 και G=$2000. (στ) Περιγράψτε το σύνολο των κατά Παρέτο βέλτιστων κατανομών. Απάντηση: Οι κατανομές που ικανοποιούν τις εξισώσεις XGM = 12 και XL + XM + G = $8000.
0.17 Άσκηση 1 Απαντήσεις (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) Υπάρχουν δύο ειδών ξύστρες, ‘υψηλής ποιότητας’ που οι καταναλωτές διατίθενται να πληρώσουν €14 και ‘χαμηλής ποιότητας’ που οι καταναλωτές διατίθενται να δώσουν €8. Οι καταναλωτές δεν μπορούν να καταλάβουν την διαφορά πριν την αγορά αλλά με την χρήση φαίνεται. Οι καταναλωτές είναι ουδέτεροι απέναντι στο ρίσκο. Αν έχουν πιθανότητα q να λάβουν το προϊόν υψηλής
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
17
ποιότητας και (1-q) πιθανότητα να λάβουν το προϊόν χαμηλής, αποτιμούν αυτό το ενδεχόμενο ως 14q+8(1-q). Κάθε είδος παραγωγού μπορεί να κατασκευάσει το προϊόν σε σταθερό κόστος ανά μονάδα €11.50. Όλοι οι παραγωγοί συμπεριφέρονται ανταγωνιστικά. Έστω q=1/2. (α) Υποθέστε πως η πώληση της χαμηλής ποιότητας ηλεκτρονικής ξύστρας είναι παράνομη, έτσι ώστε μόνο οι υψηλής ποιότητας να πωλούνται. Ποια θα είναι η τιμή ισορροπίας; Απάντηση: €11.50. (β) Υποθέστε πως δεν υπήρχαν πωλητές υψηλής ποιότητας προϊόντων. Πόσες ξύστρες χαμηλής ποιότητας πιστεύετε θα πουληθούν; Απάντηση: Οι πωλητές δεν θα πουλήσουν για λιγότερο από €11.50, οι καταναλωτές δεν δίνουν παραπάνω από €8 οπότε δεν θα υπάρξουν καθόλου πωλήσεις. (γ) Θα μπορούσε να υπάρξει ισορροπία όπου πωλούνται ίσες ποσότητες των δύο ειδών; Απάντηση: Όχι. Η μέση διάθεση πληρωμής θα ήταν €11, που είναι λιγότερο απ’ ότι κοστίζει η παραγωγή. (δ) Τώρα αλλάξτε την υπόθεση για την τεχνολογία. Υποθέστε πως κάθε παραγωγός έχει την δυνατότητα να επιλέξει το είδος του προϊόντος που παράγει και όπου το κόστος παραγωγής του προϊόντος υψηλής ποιότητας είναι €11.50 και χαμηλής ποιότητας €11. Ποια θα είναι η ισορροπία στην αγορά; Απάντηση: Καμία ανταλλαγή. Οι παραγωγοί θα κατασκευάσουν μόνο χαμηλής ποιότητας αφού κοστίζει λιγότερο. Αν το πράξουν όλοι, το κόστος ανά μονάδα θα είναι €11 αλλά οι καταναλωτές δεν θα δίνουν παραπάνω από €8. (ε) Συνεχίζοντας με την ίδια υπόθεση της ερώτησης (δ), τι καλό θα έκανε αν η κυβέρνηση απαγόρευε την παραγωγή χαμηλής ποιότητας προϊόντος; Απάντηση: Χωρίς την απαγόρευση δεν υπάρχει καθόλου παραγωγή. Με την απαγόρευση θα υπάρξει παραγωγή και πλεόνασμα του καταναλωτή. Η απαγόρευση ‘ποικιλίας’ κάνει καλό στην λειτουργία της αγοράς!
0.18 Άσκηση 2 Απαντήσεις (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) Στο χωριό Αίνιγμα υπάρχουν δύο ειδών εργάτες: Δενβαριέσαι που η εργασία τους αξίζει $1000 το μήνα και Σπασίκλες που η εργασία τους αξίζει $2500 το μήνα. Στο χωριό υπάρχουν διπλάσιοι Δενβαριέσαι από Σπασίκλες. Μοιάζουν τρομερά και οι
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
18
Δενβαριέσαι είναι εξπέρ στο ψέμα ενώ οι Σπασίκλες αδυνατούν να πουν ψέματα. Δεν αξίζει ο έλεγχος της απόδοσης εργασίας γιατί είναι ασύμφορο. Παλιά δεν υπήρχε τρόπος να διακρίνονται οι δύο τύποι οπότε πληρωνόντουσαν τον ίδιο μισθό. (α) Με ανταγωνιστικές αγορές εργασίας ποιος θα ήταν ο μισθός; Απάντηση: 23 · 1000 + 13 · 2500=$1500 (β) Ένας καθηγητής που την βρίσκει να μιλάει προσφέρει τζάμπα διαλέξεις στους εργαζόμενους μιας μικρής εταιρείας. Οι διαλέξεις ήταν εξαιρετικά βαρετές και δεν είχαν καμία επίδραση στην απόδοση των εργαζομένων. Για τους Δενβαριέσαι ήταν τόσο βαρετές που ήταν σαν να χάνουν $100. Οι Σπασίκλες επίσης υπέφεραν αλλά ήταν μικρότερη η ζημιά: $50. Υποθέστε πως η επιχείρηση έδινε μια μικρή αύξηση $55 στους εργαζόμενους με την απαίτηση να παρακολουθούν τις διαλέξεις. Τι θα συνέβαινε στο εργατικό δυναμικό και ποια θα ήταν η μέση παραγωγικότητα ανά εργαζόμενο; Απάντηση: Θα φεύγαν όλοι οι Δενβαριέσαι. Οι Σπασίκλες θα μέναν και θα προσλάμβαναν και άλλους. Η παραγωγικότητα θα αυξανόταν κατά $1000 (από 1500 σε 2500). (β) Άλλες επιχειρήσεις παρατηρώντας την αυξημένη απόδοση των εργαζομένων στην μικρή επιχείρηση προσπάθησαν να προσελκύσουν τους εργαζόμενους από την μικρή επιχείρηση προσφέροντας κάτι παραπάνω. Πού θα κατέληγε ο ανταγωνισμός για την προσέλκυση αυτών; (τι μισθό θα περνάνε); Απάντηση: $2500 (γ) Βλέποντας την επίδραση των διαλέξεων του στη απόδοση των εργαζομένων ο καθηγητής αποφάσισε να επεκτείνει το πρόγραμμα διαλέξεων σε μεγάλη αίθουσα που χωρούσε όλους του χωριού Αίνιγμα. Πόσους θα στέλνανε οι εργοδότες για τις διαλέξεις; Απάντηση: Όλους. Βλέποντας το αποτέλεσμα αυτό τι πριμ θα δίναν οι εργοδότες στους εργαζόμενους; Απάντηση: 0 (δ) Απογοητευμένος ο καθηγητής για την επίδραση των διαλέξεων στην μεγάλη αίθουσα αποφάσισε να προσφέρει περισσότερες διαλέξεις για να ‘μάθουν περισσότερα’ οι μαθητές του. Αποφάσισε να προσφέρει πρόγραμμα με 20 διαλέξεις το μήνα. Θα υπήρχε νέα ισορροπία όπου όλοι οι Σπασίκλες παρακολουθούσαν το πρόγραμμα και οι Δενβαριέσαι δεν πηγαίναν και πληρωνόντουσαν όσοι πηγαίναν στο μάθημα σύμφωνα με την πραγματική τους απόδοση; Απάντηση: Ναι. Εφόσον αυτοί που πήγαιναν θα λάμβαναν $2500 και όσοι δεν παρακολουθούσαν, λάμβαναν $1000 το μήνα, τότε οι
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
19
Σπασίκλες θα παρακολουθούσαν γιατί 20 ώρες θα τους ‘κόστιζε’ $1000 αλλά θα κέρδιζαν $1500. Οι Δενβαριέσαι δεν θα παρακολουθούσαν γιατί ο πόνος των διαλέξεων θα αντιστοιχούσε με $2000 το μήνα ενώ το όφελος του αυξημένου μισθού θα ήταν $1500. (ε) Ποιες είναι οι ελάχιστες ώρες διαλέξεων που θα μπορούσε να προσφέρει ο καθηγητής διατηρώντας την ‘διαχωριστική ισορροπία’; Απάντηση: 15 ώρες.
0.19 Άσκηση 3 Απαντήσεις (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) Ένας γεωργός παράγει σανό. Έχει έναν εργάτη που όταν εργάζεται x ώρες παράγει x τσουβάλια σανό. Κάθε τσουβάλι πουλιέται €1. Το κόστος για τον εργάτη (η απώλεια στον ίδιο) είναι 2 c (x) = x10 . (α) Ποια είναι η αποτελεσματική ποσότητα τσουβαλιών; Απάντηση: 5 (β) Αν δεν έχει εναλλακτική εργασία ο εργάτης, πόσο θα έπρεπε να τον πληρώσει ο γεωργός για να εργαστεί στην αποτελεσματική ποσότητα; 52 =€2.50. Απάντηση: 10 (γ) Ποιο είναι το καθαρό κέρδος του γεωργού; Απάντηση: 5-2.50=€2.50. (δ) Υποθέστε πως μπορεί να λάβει ο εργάτης €1 μοιράζοντας ενημερωτικά έντυπα και αυτό δεν απαιτεί καθόλου κόπο. Πόσο θα έπρεπε να του δώσει ο γεωργός για να παράξει την αποτελεσματική ποσότητα σανό; Απάντηση: €3.50. (ε) Έστω πως δεν υπάρχει πλέον η δυνατότητα των εντύπων, αλλά ο γεωργός αποφάσιζε να νοικιάσει το κτήμα του στον εργάτη για ένα εφάπαξ ποσό. Πόσο θα ζητούσε; Απάντηση: €2.50.
0.20 Άσκηση 4 Απαντήσεις (Ασύμμτερη Πληροφόρηση) Στο Καλέντζι 1000 άτομα θέλουν να πουλήσουν τα αυτοκίνητα τους (2ο χέρι). Οι αρχικοί ιδιοκτήτες ξέρουν την πραγματική αξία των αυτοκινήτων τους. Όλα τα αυτοκίνητα μοιάζουν ίδια στους δυνητικούς αγοραστές μέχρι που να τα αποκτήσουν και
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
20
τότε μαθαίνουν την αλήθεια. Για όποιο νούμερο Χ μεταξύ 0 και 2000, ο αριθμός των αυτοκινήτων με ποιότητα χαμηλότερη του Χ είναι Χ/2. Αν γνώριζε ο αγοραστής ότι η ποιότητα του αυτοκινήτου είναι Χ, θα το αγόραζε για Χ+500. Όταν δεν γνωρίζουν την ποιότητά του αυτοκινήτου είναι διατεθημένοι να πληρώσουν την προσδοκώμενη τιμή, με δεδομένο τις γνώσεις τους για την κατανομή των ποιοτήτων στην αγορά. (α) Υποθέστε πως όλοι γνωρίζουν ότι όλα τα αμάξια δεύτερο χέρι πουλιούνται στο Καλέντζι. Σε τι τιμή θα πουλιόνταν; Απάντηση: $1500 Θα μπορούσε κάθε πωλητής να βρει αγοραστή με αυτήν την τιμή; Απάντηση: Όχι Ποια αυτοκίνητα (δεύτερο χέρι) θα πουλιόνταν; Απάντηση: Αυτά που άξιζαν λιγότερο από $1500. (β) Έστω X* είναι ένα νούμερο μεταξύ 0 και 2000 και υποθέστε ότι όλα τα αμάξια χαμηλότερης ποιότητας του Χ* πουλιούνται αλλά οι ιδιοκτήτες δεν πουλήσουν τα αμάξια ποιότητας μεγαλύτερης από Χ*. Τι θα έδιναν οι αγοραστές για ένα αυτοκίνητο; Απάντηση: Χ*/2 +500. Σε αυτήν την τιμή ποια αυτοκίνητα θα πουλιόνταν; Απάντηση: Αυτά που είχαν μικρότερη αξία από Χ*/2 +500. (γ) Γράψτε μια συνάρτηση για την τιμή ισορροπίας του Χ* όπου η τιμή που διατίθενται να πληρώσουν οι αγοραστές είναι ακριβώς όσο χρειάζεται για να πουληθούν όλα τα αυτοκίνητα που έχουν ποιότητα μικρότερη από Χ* και βρείτε την τιμή αυτή. Απάντηση: Χ/2+500=Χ => Χ*=$1000.