Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis
Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ
να
Λυµένα Θέµατα – Στατιστική Ι – Φεβρουάριος 2010 ΘΕΜΑ 1 (α) (Βαθµός:1). Βιοτεχνία συσκευάζει το προϊόν της σε κουτιά των 10 τεµαχίων. Αν το 10% της παραγωγής είναι ελαττωµατικό, να βρεθεί η πιθανότητα 4 κουτιά (40 προϊόντα) επιλεγµένα στην τύχη να µην περιέχουν ελαττωµατικά προϊόντα Απάντηση: Έστω χ τ.µ. που εκφράζει τον αριθµό των ελαττωµατικών τεµαχίων στα 40 προϊόντα. Η χ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή µε p = 0,10 και n = 40 . Επειδή n > 30 , p < 0, 2 προσεγγίζουµε µε Poisson µε e−λ × λ χ λ = n × p = 40 × 0,10 = 4 και p( x) = x! −4 0 e ×4 p ( x = 0) = = 0, 0183 . 0!
όπου p κανένα ελαττωµατικό,
(β) (Βαθµοί:2).∆ίνονται τα παρακάτω στοιχεία για τρία προϊόντα Προϊόν p95 p99 Αν η αξία τους κατά το 1999 ήταν 104 εκατοµµύρια δρχ., να Α 4 4 βρεθεί η αποπληθωρισµένη αξία τους κατά το 1999 σε τιµές Β 5 3 του 1995 και η ποσοστιαία µεταβολή της Α∆Χ κατά το 1999 Γ 6 5 έναντι του 1995 ως προς αυτά τα προϊόντα. Απάντηση:
Α Β Γ
p95
q99
p95 q99
4 5 6
4 3 5
16 15 30
61
P '99.95 =
Σp99 q99 104 100 = 100% = 170, 49% Σp95 q99 61
∆ίνεται V95πρ .99 =
( Α∆Χ) '99.95 =
V τρεχουσα 99 104 104 100 = 100 = 100 = 61 P '99.95 P '99.95 170, 49
10000 10000 %= % = 58,85% P '99.95 170, 49
Π.Μ.( Α∆Χ)99.95 = (58,85 − 100)% = −41,15% Μείωση κατά 41,15% (γ) (Βαθµοί:2). Η τυχαία διµεταβλητή (Χ,Υ) έχει από κοινού κατανοµή πιθανότητας: (i) Να βρεθούν οι δεσµευµένες πιθανότητες p(Χ=10/Υ=4) και p(Υ=6/Χ=10) και να ερµηνευθούν οι έννοιες τους και να ελεγχθεί η ανεξαρτησία των Χ και Υ. (ii) Να βρεθεί η διακύµανση της συνάρτησης Η=ΧΥ-2.
∆ΑΠ Οικονοµικού – www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 2 από 7
Λυµένα Θέµατα – Στατιστική Ι – Φεβρουάριος 2010
Χ/Υ 5 10
2 0,2 0
4 0 0,3
6 0 0,5
Απάντηση:
Χ/Υ
2
4
6
Px ( x)
5 10
0,2 0
0 0,3
0 0,5
0,2 0,8
Py ( y )
0,2
0,3
0,5
1
P ( x = 10 y = 4) =
P ( x = 10, y = 4) 0,3 = =1 Py ( y = 4) 0,3
P ( y = 6 x = 10) =
P( x = 10, y = 6) 0,5 5 = = Px ( x = 10) 0,8 8
Η P ( x = 10 y = 4) εκφράζει την δεσµευµένη πιθανότητα της χ για χ=10 όταν η y=4. Οι χ,y είναι ανεξάρτητες P ( x, y ) = Px ( x) × Py ( y ) ∀( x, y )
P ( x = 5, y = 2) = 0, 2 , Px ( x = 5).Py ( y = 2) = 0, 2 × 0, 2 = 0, 04 επειδή 0, 2 ≠ 0, 4 ⇒ P( x = 5, y = 2) ≠ Px ( x = 5) Py ( y = 2) Άρα οι χ,y είναι εξαρτηµένες Η κατανοµή της Η=χ.y-2 δίνεται στον πίνακα Η P(H)
8 0,2
18 0
28 0
38 0,3
58 0,5
V ( H ) = E ( H 2 ) − ( E ( H )) 2 E ( H ) = ∑ HP( H ) = 8 × 0, 2 + 38 × 0,3 + 58 × 0,5 = 42 H
E ( H 2 ) = (8) 2 × 0, 2 + (38) 2 × 0,3 + (58) 2 × 0,5 = 2128 V ( H ) = 2128 − (42) 2 = 364 ΘΕΜΑ 2 (α) (Βαθµοί :2) Να υπολογισθεί ο συντελεστής συσχέτισης των τυχαίων µεταβλητών Χ και Υ της διµεταβλητής (Χ,Υ) του ερωτήµατος γ του 1ου θέµατος.
∆ΑΠ Οικονοµικού – www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 3 από 7
Λυµένα Θέµατα – Στατιστική Ι – Φεβρουάριος 2010
Απάντηση: Px , y =
Cov( x, y )
σ xσ y
, Cov( x, y ) = E ( xy ) − E ( x) E ( y )
E ( x) = ∑ xpx ( x) = 5 × 0, 2 + 10 × 0,8 = 9 E ( y ) = ∑ yp y ( y ) = 2 × 0, 2 + 4 × 0,3 + 6 × 0,5 = 4, 6
E ( xy ) = 5 × 0, 2 + 10 × 4 × 0,3 + 10 × 6 × 0,5 = 44 Cov( x, y ) = 44 − 9 × 4, 6 = 2, 6
σ x = V ( x) , V ( x) = E ( x 2 ) = [ E ( x)]2 E ( x 2 ) = 52 × 0, 2 + 102 × 0,8 = 85 V ( x) = 85 − 92 = 4 ⇒ σ x = 4 = 2
σ y = V ( y ) , V ( y ) = E ( y 2 ) − ( E ( y )) 2 E ( y 2 ) = ∑ y 2 p( y ) = 22 × 0, 2 + 42 × 0,3 + 62 × 0,5 = 23, 6 V ( y ) = 23, 6 − (4, 6) 2 = 2, 44 ⇒ σ y = 1,56
ρ xy =
2, 6 2, 6 = = 0,833 2 × 1,56 3,12
(β). Μία κάλπη έχει 2 Άσπρα και 2 Μαύρα σφαιρίδια. Μία άλλη έχει 2 Άσπρα και 3 Μαύρα σφαιρίδια. (i) (Βαθµός :1). Επιλέγουµε ένα σφαιρίδιο από κάθε κάλπη. Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο σφαιρίδια που θα επιλέξουµε να είναι του ιδίου χρώµατος; (ii) (Βαθµός:1). Αν επιλέξουµε τυχαία µία κάλπη και πάρουµε ένα σφαιρίδιο απ' αυτήν, ποια είναι η πιθανότητα να είναι Άσπρο; Απάντηση: Ορίζω τα ενδεχόµενα: Λ Α : Επιλέγω λευκό σφαιρίδιο από την Α’ κάλπη Λ Β : Επιλέγω λευκό σφαιρίδιο από την Β’ κάλπη Μ Α : Επιλέγω µαύρο σφαιρίδιο από την Α’ κάλπη Μ Β : Επιλέγω µαύρο σφαιρίδιο από την B’ κάλπη Ζητάω την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Γ = ( Λ Α ∩ Λ Β ) ∪ ( Μ Α ∩ Μ Β ) ⇒ P ( Γ ) = P ( Λ Α ∩ Λ Β ) + P (Μ Α ∩ Μ Β ) = 2 2 2 3 P (Λ Α ) × P(Λ Β ) + P(Μ Α ) × P(Μ Β ) = × + × = 0, 2 + 0,3 = 0,5 4 5 4 5 Α: το ενδεχόµενο επιλογής της Α’ κάλπης Β: το ενδεχόµενο επιλογής της Β’ κάλπης Ζητάω την πιθανότητα του ενδεχοµένου: ∆ = ( Α ∩ Λ Α ) ∪ (Β ∩ Λ Β ) P ( ∆ ) = P ( Α ∩ Λ Α ) + P (Β ∩ Λ Β ) = 1 2 1 2 P ( A) × P(Λ Α / Α) + P(Β).P(Λ Β / Β) = × + × = 0, 25 + 0, 2 = 0, 45 2 4 2 5
∆ΑΠ Οικονοµικού – www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 4 από 7
Λυµένα Θέµατα – Στατιστική Ι – Φεβρουάριος 201(γ) (Βαθµός:1). ∆ίνονται τα κέρδη και οι ζηµιές 9 επιχειρήσεων για το έτος 2000, σε εκατ. δρχ. 4,8,-5,2,-2,50,3,6,5. Να βρεθούν ο αριθµητικός µέσος και η διάµεσος. Ποιο από τα δύο µέτρα είναι πιο αξιόπιστο; Να βρεθεί η µέση ετήσια ποσοστιαία µεταβολή των κερδών της τελευταίας επιχείρησης (µε κέρδη 5 εκατοµµύρια) αν το 1995 είχε κέρδη 2 εκατοµµύρια.
4 + 8 − 5 + 2 − 2 + 50 + 3 + 6 + 5 71 = = 7,888 9 9 −5, −2, 2,3, 4,5, 6,8,50 Η θέση της διαµέσου N + 1 10 = = 5 . Η 5η άρα η διάµεσος είναι Μ=4 είναι 2 2 Απάντηση: x =
Ο αριθµητικός µέσος εξαρτάται εξίσου από ενώ η διάµεσος στηρίζεται περισσότερο αριθµητικός µέσος είναι πιο αξιόπιστο µέτρο τον τύπο X N = X 0 (1 + N ) N και υπολογίζουµε µεταβολή) x0 = 2 , xN = 5 , t = 5 (1995-2000)
όλες τις τιµές που διαθέτουµε, σε ορισµένες από αυτές. Ο από την διάµεσο. Εφαρµόζουµε το Ν% (µέση ετήσια ποσοστιαία
5 = 2(1 + r )5 ⇒ log 5 = log 2 + 5log(1 + r ) ⇒ 0, 7 = 0,3 + 5log(1 + r ) ⇒ 0, 4 = 5log(1 + r ) ⇒ log(1 + r ) = 0, 08 ⇒ log(1 + r ) = log1, 20 ⇒ 1 + r = 1, 20 ⇒ r = 0, 20 ή r=20% ΘΕΜΑ 3. (α) (Βαθµοί:2). ∆ίνεται η αθροιστική κατανοµή πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής Χ. Να βρεθεί ο συντελεστής ασυµµετρίας της β1. Χ 1 2 5 F(x) 1/8 5/8 8/8 Απάντηση: Α) Από την αθροιστική της x βρίσκουµε την συνάρτηση πιθανότητας αυτής. X
1
2
5
P(x)
1 8
4 8
3 8
β1 =
µ32 , µ2 = V ( x) = E ( x 2 ) − ( E ( x)) 2 2 µ2
1 4 3 24 E ( x ) = 1× + 2 × + 5 × = =3 8 8 8 8 1 4 3 92 E ( x 2 ) = 12 × + 22 × + 52 × = = 11,5 8 8 8 8 V ( x) = 11,5 − 9 = 2,5 1 4 3 4 3 µ3 = Σ( x − E ( x))3 p( x) = (1 − 3)3 × + (2 − 3)3 + (5 − 3)3 = −1 − + 3 = 8 8 8 8 2
∆ΑΠ Οικονοµικού – www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 5 από 7
Λυµένα Θέµατα – Στατιστική Ι – Φεβρουάριος 2010 3 ( )3 β1 = 2 2 = 0,36 → θετική συµµετρία (2,5)
(β)(Βαθµός :1). Σε συµµετρική κατανοµή δαπανών βρέθηκε διάµεσος, Μ=160 χιλ. δρχ. και συντελεστής µεταβλητότητας V=12,5%. Ποιο ποσοστό των δαπανών είναι πάνω από 180 χιλ. δρχ;
σ
σ
100 ⇒ σ = 20 160 x x = M επειδή η κατανοµή είναι συµµετρική ζητάω το ποσό των τιµών της χ>180 180=160+20= x + σ
Απάντηση: Β) V =
100% → 12,5 =
68,27% / 2
x − 3σ
x − 2σ
x −σ
x +σ
x
x + 2σ
x + 3σ
50% Το ποσοστό είναι 50% −
68, 27 % = 15,865% 2
(γ) (Βαθµοί:2). Το 30% των ασφαλισµένων ανήκουν στον ∆ηµόσιο Τοµέα (∆Τ), το 50% στο ΙΚΑ (ΙΚ) και το 20% σε άλλα ταµεία (AT). Μετά από την υιοθέτηση ενός νέου ασφαλιστικού συστήµατος το 85% των ερωτηθέντων ασφαλισµένων στο ∆Τ και το 45% στο ΙΚ είναι ευχαριστηµένοι από το νέο σύστηµα ασφάλισης, ενώ το 75% των AT είναι δυσαρεστηµένοι. i) Ποιο είναι το ποσοστό του πληθυσµού, που είναι ευχαριστηµένο από
το νέο ασφαλιστικό σύστηµα; ii) Επιλέγεται ένας ευχαριστηµένος, ποια είναι η πιθανότητα να είναι ασφαλισµένος στο ΙΚΑ; Απάντηση: P (∆Τ) = 0,30 , P(ΙΚ ) = 0,50 , P( ΑΤ) = 0, 20 P (Ε / ∆Τ) = 0,85 , P(Ε / ΣΚ ) = 0, 45 P ( Α / ΑΤ) = 0, 75 ⇒ P(Ε / ΑΤ) = 0, 25 Ε : Ο ασφαλισµένος είναι ευχαριστηµένος Ε : Ο ασφαλισµένος είναι δυσαρεστηµένος
∆ΑΠ Οικονοµικού – www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 6 από 7
Λυµένα Θέµατα – Στατιστική Ι – Φεβρουάριος 2010
P ( E ) = P(∆Τ ∩ E ) + P(ΙΚ ∩ E ) + P( ΑΤ ∩ E ) = P (∆Τ) × P ( E / ∆Τ) + P(ΙΚ ) × P( E / ΙΚ ) + P( ΑΤ) × P( E / ΑΤ) = 0,3 × 0,85 + 0,50 × 0, 45 + 0, 20 × 0, 25 = 0,53
∆Τ ∩ E
IK ∩E
∆Τ
P (ΙΚ / E ) =
AT ∩ E
ΙΚ
ΑΤ
P (ΙΚ ∩ E ) P(ΙΚ ) P( E / ΙΚ ) 0,5 × 0, 45 = = = 0, 424 P( E ) P( E ) 0,53
Να δοθούν απαντήσεις σε 2 από 3 θέµατα. Καλή επιτυχία −4 Iog2=0,3 Iog5=0,7 logl,20=0,08 ∆ίνονται: e = 0,0183
www.dap-oikonomikou.gr •
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ (ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ II)
•
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ – ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ
•
ΧΡΗΣΙΜΑ LINKS
•
Ο∆ΗΓΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ
•
ΠΑΙΧΝΙ∆ΙΑ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
•
ΕΚ∆ΗΛΩΣΕΙΣ
•
ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΑ ΘΕΜΑΤΑ
•
ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΑ
•
ΩΡΕΣ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΚΑΙ E – MAILS
•
Ο∆ΗΓΟΣ ΣΠΟΥ∆ΩΝ - ΣΥΜΒΟΥΛΕΣ
•
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ
•
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
•
ΛΕΞΙΚΑ
•
ΑΦΙΕΡΩΜΑΤΑ (ΞΕΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑ, ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ)
•
ΒΑΣΙΚΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΚΑΙ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ
∆ΑΠ Οικονοµικού – www.dap-oikonomikou.gr
Σελίδα 7 από 7