Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis
Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ
να
ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ Περιεχόμενα: 1. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2013 2. Στατιστική Ι - Ιούνιος 2013 3. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 2013 4. Στατιστική Ι - Ιούνιος 2012 5. Στατιστική Ι – Ιανουάριος 2011 6. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2010 7. Στατιστική Ι - Ιούνιος 2010 8. Στατιστική Ι - Ιανουάριος 2010 9. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2009 10. Στατιστική Ι - Ιούνιος 2009 11. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 2009 12. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2008 13. Στατιστική Ι - Ιούνιος 2008 14. Στατιστική Ι - Ιανουάριος 2008 15. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2007 16. Στατιστική Ι - Ιούνιος 2007 17. Στατιστική Ι - Ιανουάριος 2007 18. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2006 19. Στατιστική Ι - Ιούνιος 2006 20. Στατιστική Ι - Ιανουάριος 2006 21. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2005 22. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2005 23. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 2005 24. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2004 25. Στατιστική Ι - Ιούνιος 2004 26. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 2004 27. Στατιστική Ι - Ιανουάριος 2004 28. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 2003 29. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2002 30. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 2002 31. Στατιστική Ι - Σεπτέμβριος 2001 32. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 2001
ΔΑΠ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ 33. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 2000 34. Στατιστική Ι - Φεβρουάριος 1999
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι 26 Ιουνίου 2013 ΘΕΜΑ 1ο Α) Δίνεται ο Πίνακας κατανομής ετήσιων δαπανών για μισθοδοσία ( σε εκατ. Ευρώ ) 20 επιχειρήσεων μιας περιοχής Δαπάνες ( εκατ. Ευρώ ) Αριθ. Επιχ/σεων 2-<4 6 4–6 3 6-8 4 8 - 10 7 1) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί ο συντελεστής ασυμετρίας της κατανομής συναρτήσει της διαμέσου ( δίδεται =6,25 ) 2) Αν από λάθος στην καταχώρηση η μεγαλύτερη δαπάνη που αντιστοιχεί σε κάποια επιχείρηση ήταν
πάνω από 10 εκατ. Ευρώ, ποιο από τα μέτρα κεντρικής θέσεως που υπολογίσατε στο α΄ ερώτημα θα μεταβληθεί? ( βαθμοί 2 ) Β) Η τυχαία μεταβολή Χ δίνει τα ετήσια εισοδήματα ενός πληθυσμού νοικοκυριών με συνάρτηση χιλ ευρώ. Αν οι ετήσιες δαπάνες τους δίνονται από τη σχέση πιθανότητας να βρεθεί η Ε(Υ), η V(Y) και η P(30 Y 60). ( βαθμοί 3 ) ΘΕΜΑ 2ο Α) Σε κατανομή διμηνιαίων λογαριασμών ΟΤΕ ( σε ευρώ ) ενός πληθυσμού 100 νοικοκυριών υπολογίστηκαν κ ευρώ και Μ ( Διάμεσος )= 60 ευρώ. Βρέθηκε επίσης λοτι κάτω από 40 ευρώ και πάνω
από 80 ευρώ πληρώνει το 4,55% των νοικοκυριών. 1) Να υπολογιστεί ο συντελεστής μεταβλητότητας. 2) Να συγκριθεί η διασπορά της κατανομής με τη διασπορά μιας άλλης κατανομής που θα προκύψει αν ο ΟΤΕ μειώσει τα τιμολόγιά του κατά 20% ( βαθμοί 2 )
Β) Δύο μηχανές Α και Β παράγουν ελαττωματικά προϊόντα σε ποσοστό 5% και 10% αντίστοιχα. Αν η Α καλύπτει το 60% της συνολικής παραγωγής, ποιο είναι το συνολικό ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων? ( βαθμοί 2 ) Γ) Διαβάζοντας στην εφημερίδα ότι το 60% των βουλευτών είναι κατά της διενέργειας εκλογών την προσεχή άνοιξη, ένας βουλευτής ρωτά τη γνώμη 6 συναδέλφων του. Αν το άρθρο της εφημερίδας είναι σωστό, ποια είναι η πιθανότητα άνω των τεσσάρων ερωτώμενων να είναι υπέρ της διενέργειας εκλογών? ( βαθμός 1 ) ΘΕΜΑ 3ο
Α) Δίνεται η χρονολογική σειρά των τρεχουσών αξιών ( V ) μιας ομάδας προϊόντων ( σε χιλ. ευρώ ) και οι δείκτες των τιμών ως προς το 2008 ΕΤΟΣ 2006 2007 2008 2009 Vi 120 143 175 180 Pi.0,8 80 88 100 120 1) Να αποπληθωριστούν οι αξίες, σε τιμές 2006 και να υπολογιστεί η μεταβολή της ΑΔΧ ως προς αυτή την ομάδα προϊόντων για το 2008 έναντι του 2006. 2) Να βρεθεί ένας δείκτης όγκου της ομάδας για το 2007 έναντι του 2006 ( βαθμοί 2 ) Β) Αν ο μέσος αριθμός αφίξεων αεροσκαφών ανα 24ωρο στο αεροδρόμιο <<Ελευθέριος Βενιζέλος>> είναι 120, ποια είναι η πιθανότητα να αφιχθούν λιγότερα από τρία αεροσκάφη από τις 8 μέχρι τις 9 το πρωί? ( βαθμοί 3 ) (δίδεται
)
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι
ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013
ΘΕΜΑ 1Ο 1.Δίνονται στοιχεία τιμών και ποσοτήτων τριών προϊόντων που διακινήθηκαν το 2006 και το 2009. Προϊόν A
5
3
7
B
2
10
3
Γ
8
5
9
α) Να υπολογισθεί ο σχετικός δείκτης όγκου για το έτος 2009 έναντι του 2006, δεδομένου ότι η αξία τους κατά το 2009έναντι του 2006, δεδομένου ότι η αξία τους κατά το 2009 ήταν αυξημένη κατά 40% έναντι του 2006. β) Να βρεθεί η μεταβολή της ΑΔΧ για την ομάδα αυτών των προϊόντων κατά το 2009 έναντι του 2006 γ) Αφού βρεθεί η αξία του το 2009, να αποπληθωριστεί σε τιμές του 2006.(15 μονάδες) 2. Η πρωινή βάρδια ενός εργοστασίου παράγει το 55% της συνολικής παραγωγής από τα οποία το 2% είναι ελαττωματικά. Η βραδινή βάρδια παράγει το υπολειπόμενο ποσοστό της συνολικής παραγωγής και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα: ι) Να είναι ελαττωματικό, ιι) εάν είναι ελαττωματικό, να είναι της πρωινής βάρδιας, ιιι) Να είναι της πρωινής βάρδιας και να είναι ελαττωματικό.(20 μονάδες) 3. Ένας επενδυτής έχει να επιλέξει μεταξύ επενδύσεων, την Α και τη Β.Η επένδυση α θα αποφέρει κέρδος 2000€ με πιθανότητα 70% και ζημία 1000€ με πιθανότητα 20%. Αντίστοιχα, η επένδυση Β θα αποφέρει κέρδος 3000€ με πιθανότητα 50% και ζημία 1500€ με πιθανότητα 50%.ι) Με ποια επένδυση θα μεγιστοποιήσει το κέρδος του και πόσο θα είναι αυτό; ιι) Εάν βρίσκεται στα πρόθυρα χρεοκοπίας και χρειάζεται άμεσα 2500€ ποια επένδυση πρέπει να επιλέξει και γιατί;(15μονάδες) ΘΕΜΑ 2Ο 1. Σε σχεδόν συμμετρική κατανομή 2000 τιμών υπολογίστηκαν το πρώτο τετραήμερο 100€ και το τρίτο τετραήμερο 120€ .Να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβλητότητας: ι)Εάν οι τιμές διπλασιαστούν, ιι) Εάν οι τιμές αυξηθούν κατά 20€.(20 μονάδες) 2. Σε μια παραγωγική διαδικασία εντοπίστηκε ότι το 10% των παραγόμενων προϊόντων της είναι ελαττωματικά. Σε τυχαίο δείγμα έξι προϊόντων να υπολογίσετε: ι)την πιθανότητα να πάρουμε το πολύ 2 ελαττωματικά, εάν γνωρίζουμε ότι ένα τουλάχιστον από τα 6 είναι ελαττωματικό, ιι)Πόσα προϊόντα πρέπει να πάρουμε για να εντοπίζονται κατά μέσο όρο 5 ελαττωματικά.(20 μονάδες) 3. Ένας επενδυτής έχει επιλέξει δύο μετοχές, την Α και Β. Η πιθανότητα να κερδίσει από την επένδυση στη μετοχή Α είναι 0,4 και η πιθανότητα να κερδίσει από την επένδυση στη μετοχή Β είναι 0,3. Ποια είναι η πιθανότητα να του αποφέρει κέρδος η επένδυση σε μια μόνο από τις 2 μετοχές;(10 μονάδες) ΘΕΜΑ 3Ο 1. Σε μια κατανομή μηνιαίων αποδοχών 100 υπαλλήλων μιας επιχείρησης υπολογίστηκε ότι η διάμεσος είναι 847€, ο αριθμητικός μέσος 850€ και η διακύμανση 1000. Ι) Τι σχόλιο μπορούμε να κάνουμε για την ασυμμετρία της κατανομής; ιι) ποιο διάστημα τιμών αναμένουμε να περιλαμβάνει το σύνολο του προαναφερθέντος δείγματος.(15 μονάδες) 2. Ο μέσος αριθμός τηλεφωνημάτων που φθάνουν στο τηλεφωνικό κέντρο της εταιρείας ΧΥΖ, σε μια ώρα είναι 30. Εάν ο αριθμός τηλεφωνημάτων στη μονάδα του χρόνου ακολουθεί κατανομή Poisson, να βρεθεί η
πιθανότητα ι) να μη φθάσει κανένα τηλεφώνημα στο τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια 2 λεπτών, ιι) να ληφθούν περισσότερα από 2 τηλεφωνήματα κατά τη διάρκεια τεσσάρων λεπτών.(20 μονάδες) 3. Δίνεται η αθροιστική κατανομή πιθανότητας των ετήσιων κερδών, Κ μιας επιχείρησης, εκφρασμένα σε εκατοντάδες χιλιάδες €, για μια χρονική περίοδο έξι ετών. Κ -2 -1 0 1 2 3 F(k) 0.05 0.15 0.25 0.50 0.80 1 Nα βρεθεί η κατανομή πιθανότητας του κέρδους, η αναμενόμενη τιμή, η διακύμανση και η πιθανότητα η επιχείρηση αυτή να έχει κέρδη το επόμενο έτος. (15 μονάδες) Δίνεται: Απαντήστε 2 από τα 3 θέματα.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι
ΙΟΥΛΙΟΣ 2012
ΘΕΜΑ 1 1.Δίνεται η χρονολογική σειρά της αξίας (Vi) μιας ομάδας προϊόντων σε χρηματικές μονάδες (χ.μ.) και οι τιμάριθμοι τους (κατά Laspeyres) ως προς το 2007 Έτος
Vi
Pi.07
2006
150
75
2007
216
100
2008
308
140
α)Να αποπληθωριστούν οι αξίες κάθε έτους σε τιμές 2006, (7 μονάδες) β) Να υπολογιστεί η μεταβολή της αγοραστικής δύναμης του χρήματος (ΑΔΧ) ως προς αυτή την ομάδα των προϊόντων κατά το 2007 έναντι του 2006, (6 μονάδες) γ) Ποια είναι η αξία των 150 χ.μ. του 2006 σε τιμές του 2008, (7 μονάδες); 2.Μια εταιρία οικονομικών συμβούλων δημιούργησε ένα οικονομετρικό υπόδειγμα για να προβλέπει τις οικονομικές κρίσεις. Το υπόδειγμα προβλέπει μια οικονομική κρίση με πιθανότητα 80% όταν μια οικονομική κρίση όντως ακολουθεί και με πιθανότητα 10% όταν μια οικονομική κρίση δεν ακολουθεί στην πραγματικότητα. Η μη δεσμευμένη πιθανότητα του να βιώσουμε μια κρίση είναι 20%. Εάν το υπόδειγμα προβλέπει μια κρίση, ποια η πιθανότητα αυτή η κρίση όντως να συμβεί; (30 μονάδες)
ΘΕΜΑ 2 1.Υποθέτουμε ότι ένα κατάστημα μιας τράπεζας έχει μόνο δυο λογαριασμούς καταθέσεων (ταμιευτηρίου και προθεσμίας) με ποσά ( κατά μέσο όρο, ετήσια) 70 και 30 χρηματικών μονάδων και ετήσια επιτόκια 2% και 5% αντίστοιχα. Η τράπεζα χορηγεί στεγαστικά δάνεια με ετήσιο επιτόκιο 3% πάνω από το μέσο ετήσιο επιτόκιο καταθέσεων. Ποιο είναι το μέσο ετήσιο επιτόκιο χορηγήσεων των στεγαστικών δανείων; (10 μονάδες) 2.Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα κέρδη μιας επένδυσης ,σε χρηματικές μονάδες, για εναλλακτικές δυνατές καταστάσεις της οικονομίας στην οποία υλοποιείται η επένδυση. Η πρώτη στήλη υποδηλώνει την κατάσταση της οικονομίας, η δεύτερη στήλη δίνει τα προβλεπόμενα κέρδη σε κάθε κατάσταση αι η τελευταία στήλη δίνει τις αντίστοιχες πιθανότητες για κάθε κατάσταση. Να υπολογίσετε α)τα αναμενόμενα κέρδη, β) την τυπική απόκλιση των κερδών για την επένδυση αυτή και γ) το συντελεστή συμμετρίας των κερδών. (30 μονάδες)
Κατάσταση
Κέρδη
Πιθανότητα
Ανάκαμψη
2
0.3
Υπερθέρμανση
4
0.4
Κάμψη
0
0.1
Ύφεση
-2
0.2
3.Σε ένα μάθημα επιλογής το 70% των σπουδαστών είναι φοιτητές οικονομικών. Εάν επιλέξουμε έξι σπουδαστές στην τύχη ποια η πιθανότητα να είναι όλοι φοιτητές οικονομικών; (10 μονάδες)
ΘΕΜΑ 3 1.Σε συμμετρική κατανομή λογαριασμών της ΕΥΔΑΠ (σε € ) 200 νοικοκυριών υπολογίστηκαν, =13400 και =16200. α) Να υπολογιστεί ο συντελεστής μεταβλητότητας. β) Να βρεθεί το ποσοστό των λογαριασμών που είναι μικρότεροι από 49€ και γ) Να συγκριθεί η διασπορά της κατανομής με τη διασπορά μιας άλλης κατανομής που θα προκύψει εάν η ΕΥΔΑΠ αυξήσει τα τιμολόγιά της κατά 20%. (15 μονάδες) 2.Έστω 3 μετοχές, Α,Β,Γ, με διακυμάνσεις 2,3 και 6 αντίστοιχα. Εσείς θέλετε να επενδύσετε στο χαρτοφυλάκιο με την ελάχιστη διακύμανση. Ποιο από τα παρακάτω: i) μετοχές Α και Β, ii) μετοχές Β και Γ, θα επιλέγατε με γνώμονα το παραπάνω κριτήριο; Δίνεται ότι =1.5, =-1, (20 μονάδες)
3. Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία μπορούν να σχηματιστούν από τους αριθμούς μονάδες)
. (15
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
Στατιςτική Ι – Ιανουάριοσ 2011 ΘΔΜΑ Α a) Ο παξαθάησ πίλαθαο καο δίλεη ηηο εηήζηεο απνδφζεηο 10 ακνηβαίσλ θεθαιαίσλ (ΑΘ) πνπ έρνπλ επηιερζεί ηπραία:
9.5
9
12
16.5
14
6.5
15
10
11.5
11.5
Λα βξείηε ηνλ κέζν γηα ηηο εηήζηεο απνδφζεηο, ηε δηάκεζν, θαζψο θαη ηνλ ζπληειεζηή ζπκκεηξίαο Sp. Πνην είλαη ην (εθηηκψκελν) πνζνζηφ ησλ ΑΘ πνπ έρνπλ απφδνζε πάλσ απφ 14.55; Διέγμαηε πξψηα ηε ζπλζήθε πνπ επηηξέπεη ηελ εθηίκεζε ηνπ ελ ιφγσ πνζνζηνχ. (βαθμοί 2) b) Ζ ηπραία κεηαβιεηή Υ δίλεη ηα κεληαία εηζνδήκαηα ελφο πιεζπζκνχ λνηθνθπξηψλ κε ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο
p ( x)
305 x , 50
x=2, 3, 4, 5 ρηι. €. Αλ νη εηήζηεο δαπάλεο
ηνπο δίλνληαη απφ ηε ζρέζε Τ=(Υ/2)+5, λα βξεζεί ε E(Y), ε V(Y) θαη ε P(6≤Y≤6.5). (βαθμοί 3) ΘΔΜΑ Β a) ηνλ αθφινπζν πίλαθα δίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε εθαηνκκχξηα δξαρκέο) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλνπο) 3 πξντφλησλ πνπ πνπιήζεθαλ θαηά ηα έηε 1990 θαη 1995. Γίδεηαη επίζεο φηη ε αμία ηνπο θαηά ηα έηε 1990 θαη 1995 ήηαλ 20 θαη 40 εθαηνκκχξηα, αληίζηνηρα. ΠΡΟΗΟΛ
P95
Q90
Α
3
2
Β
5
1
Γ
6
3
1) Λα ππνινγηζηεί ν θαηάιιεινο αξηζκνδείθηεο ηηκψλ. (βαθμόρ 0.5) 2) Λα βξεζεί ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 1995 ζε ηηκέο 1990. (βαθμόρ 1) 3) Κπνξείηε λα ππνινγίζεηε θαη θάπνηνλ αξηζκνδείθηε φγθνπ; Αλ λαη, ππνινγίζηε ηνλ. Αλ φρη, γηαηί φρη; (βαθμόρ 0.5) b) 1) Ζ η.κ. Υ αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Poisson έηζη ψζηε λα ηζρχεη: P(X=1)=P(X=2). Λα βξεζεί ε P(X=3). (βαθμόρ 1) 2) Ζ πηζαλφηεηα ειαηησκαηηθνχ πξντφληνο κηαο γξακκήο παξαγσγήο είλαη 0.1. Θαηά ηε δηαδηθαζία πνηνηηθνχ ειέγρνπ, επειέγεζαλ ηπραία 5 πξντφληα. Λα ππνινγηζηνχλ νη
3
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
πηζαλφηεηεο (α) θαλέλα λα κελ ήηαλ ειαηησκαηηθφ, θαη (β) πεξηζζφηεξα απφ δχν λα ήηαλ ειαηησκαηηθά. (βαθμοί 2) ΘΔΜΑ Γ a) Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ εκεξήζησλ δαπαλψλ 60 θνηηεηψλ γηα αλαςπρή:
ΓΑΠΑΛΔ (€)
ΑΡΗΘΚΟ ΦΟΗΣΖΣΧΛ
2-<4
4
4-6
10
6-8
34
8-10
6
10-12
6
Λα ππνινγηζζνχλ: ε κέζε ηηκή, ε δηάκεζνο, ε ηππηθή απφθιηζε, ην πξψην θαη ην ηξίην ηεηαξηεκφξην. (βαθμοί 2) b) Ζ θαηαλνκή ησλ δαλείσλ πνπ έρεη ρνξεγήζεη ε Σξάπεδα Α είλαη: 40% ζηεγαζηηθά θαη 60% θαηαλαισηηθά. Αλ ην 20% ησλ θαηαλαισηηθψλ θαη ην 10% ησλ ζηεγαζηηθψλ είλαη θαζπζηεξνχκελα, λα βξεζεί ην ζπλνιηθφ πνζνζηφ ησλ θαζπζηεξνχκελσλ δαλείσλ. Αλ έλα ηπραίν δάλεην παξνπζηάδεη θαζπζηέξεζε πιεξσκήο, λα ππνινγηζηεί ε πηζαλφηεηα λα είλαη θαηαλαισηηθφ. (βαθμοί 3) Γίδεηαι: e-2=0.1353. Από ηα ηπία θέμαηα να γπαθούν ηα δύο. Μποπείηε να θύγεηε (σωπίρ ηα θέμαηα) ζε μιζή ώπα. Σα θέμαηα μποπείηε να ηα παίπνεηε μεηά ηιρ 6:30.
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2010 Θέμα 1ο (α)(Βαθμοί 3). Κηα ζπλεδξίαζε ζην Υξεκαηηζηήξην Αμηψλ Αζελψλ έρεη πηζαλφηεηα 50% λα είλαη αλνδηθή θαη 50% λα είλαη θαζνδηθή. Ζ κεηνρή Υ είλαη αλνδηθή κε πηζαλφηεηα 80% ζε αλνδηθή ζπλεδξίαζε θαη κε 30% ζε μαζνδηθή ζπλεδξίαζε. Λα ππνινγηζηεί ε πηζαλφηεηα: i. ε κεηνρή Υ λα είλαη αλνδηθή ζε κία ζπλεδξίαζε. ii. ε ζπλεδξίαζε λα είλαη αλνδηθή δεδνκέλνπ φηη ε κεηνρή είλαη αλνδηθή iii. ζε 3 ζπλεδξηάζεηο, ε κεηνρή Υ λα είλαη αλνδηθή ηνπιάρηζηνλ ζε κία απφ απηέο. (β)(Βαθμόρ 1). Λα ππνινγηζζεί έλαο αξηζκνδείθηεο φγθνπ ηξηψλ πξντφλησλγηα ην 2009 σο πξνο ην 2005, αλ ιεθζεί ππφςε φηη νη ηηκέο ησλ αγαζψλ απηψλ, ζχκθσλα κε ηνλ αξηζκνδείθηε Laspeyers, ήηαλ θαηά ην 2009 κεγαιχηεξεο θαηα 12% απφ εθείλεο ηνπ 2005
4
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
θαη φηη ε ζπλνιηθή αμία ησλ ηξηψλ πξντφλησλ πνπ αγνξάζζεθαλ ήηαλ θαηά ην 2009 κεγαιπηεξε θαηά 40% απφ εθείλε ηνπ 2005. (γ)(Βαθμόρ 1). Πφζνη ηξησήθηνη κο δηαθνξεηηθά ςεθία γίλνληαη απφ ηα ςεθία 0, 2, 4, 6, 8. Θέμα 2ο (α)(Βαθμοί 2). Αλ ζε κηα εξγάζηκε εκέξα, ζε κηα εθνξία, πξνζέξρνληαη θαηά κέζν φξν 4 επηρεηξήζεηο γηα ην δηαθαλνληζκφ ρξεψλ θαη ν αξηζκφο ηνπο Υ αθνινπζεί ηελ Poisson, λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα: i. ii.
ε κηα εξγάζηκε εκέξα λα πξνζέιζνπλ ζηελ εθνξία 5 επηρεηξήζεηο; ε κηα εξγάζηκε εκέξα λα πξνζέιζνπλ 2 επηρεηξήζεηο θαη ηελ επφκελε εξγάζηκε εκέξα 3 επηρεηξήζεηο; (β)(Βαθμόρ 1). Λα απνδεηρζεί ε αληζφηεηα Schwarz: [COV(X,Y,)]2≤V(X)V(Y) θαη ζχκθσλα κε απηή λα δείμεηε φηη: -1≤ξ≤1, φπνπ ξ ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο. (γ)(Βαθμοί 2). Απφ κηα θαηαλνκή 100 εξγαδνκέλσλ ζε κηα Σξάπεδα, αλάινγα κε ην κεληαίν ( κηζζφ ηνπο (ζε €) ππνινγίζζεθαλ: ηάκεζνο 1500€, ∑ l=150.000€ θαη ∑ ̅ )2=250.000€. (1) Λα πεξηγξαθεί ε αζπκκεηξία ηεο θαηαλνκήο θαη λα εθηηκεζεί (θαηά πξνζέγγηζε) ν ειάρηζηνο κηζζφο ησλ εξγαδνκέλσλ ζηελ Σξάπεδα. (2) Λα εθηηκεζεί ην πνζνζηφ ησλ εξγαδνκέλσλ ηεο Σξάπεδαο πνπ παίξλνπλ κηζζφ πάλσ απφ 1450€. Θέμα 3ο (α)(Βαθμοί 2). Ζ ηκ Υ έρεη ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο Λα βξεζεί ε Δ(Υ), ε V(Υ) θαζψο αη ε 3ε ξνπή πεξί ηελ αξρή. Αλ Τ=3Υ-1 είλαη κηα λέα ηκ, λα βξεζεί ε Δ(Τ) θαη ε ηππηθή ηεο απφθιηζε.
x p(x)
0
2 ⁄
6 ⁄
(β)(Βαθμοί 2). Γίλνληαη νη εηήζηεο εηζπξάμεηο (αμίεο) απφ ηελ πψιεζε ελφο πξντφληνο θαηά ηα έηε 2004-2008 θαη ν ΓΘΣi,07 θάζε έηνπο σο πξνο ην 2007. Λα απνπιεξσζνχλ νη αμίεο θάζε έηνπο ζε ηηκέο ηνπ 2004. Έηε Vi (εθαη. €) ΓΘΣi,07 2004 150 75 2005 176 82,5 2006 216 90 2007 267 100 2008 308 105 (γ)(Βαθμόρ 1). Κε πφζνπο ηξφπνπο ρσξίδνληαη ζε δχν νκάδεο ησλ ηεζζάξσλ αηφκσλ, 8 άηνκα.
Στατιςτική Ι – Ιούνιοσ 2010 ΘΔΜΑ 1 (α) (βαθμόρ 1). Ρίρλνπκε έλα λφκηζκα κέρξη λα εκθαληζζεί γηα πξψηε θνξά «Θνξψλα» ή κέρξη λα εκθαληζζνχλ δχν ζπλερφκελα «Γξάκκαηα». Αλ ε ηκ Υ δίλεη ην πιήζνο ησλ δνθηκψλ πνπ ζα ρξεηαζζνχλ , λα βξεζεί ε θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηε θαη ν κέζνο αξηζκφο ξίςεσλ κέρξη λα ηειεηψζεη ην παηρλίδη.
5
www.dap-oikonomikou.gr
⁄
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
(β) (βαθμόρ 1). Ο εηήζηνο αξηζκφο βιαβψλ κηαο κεραλήο αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Poisson κε παξάκεηξν ι=4. Πνηα ε πηζαλφηεηα ηνλ επφκελν ρξφλν λα παξνπζηάζεη κηα ηνπιάρηζηνλ βιάβε; (γ) (βαθμοί 2). Γίλεηαη ε απφ θνηλνχ ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ηνπ ζπδχγνπ (Υ) θαη ηεο ζπδχγνπ (Τ) ησλ εηζνδεκάησλ λνηθνθπξηψλ. (i)Λα ππνινγηζηεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο Υ 10 20 ξ. Τ (ii)Αλ Γ=0,7Υ + 0,8Τ είλαη ην δηαζέζηκν 7 0,5 0 εηζφδεκα ηνπ λνηθνθνηξηνχ (κεηά ηελ πιεξσκή ηεο εθνξίαο), λα ππνινγηζζεί ε καζεκαηηθή 17 0 0,5 ειπίδα θαη ε δηαθχκαλζή ηνπ. (δ) (βαθμόρ 1). πκκεηξηθή θαηαλνκή εκεξνκηζζίσλ έρεη δηάκεζν Κ=100 θαη ηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε Q=6. Πνην πνζνζηφ εξγαηψλ έρεη εκεξνκίζζην πάλσ απφ 109 €; ΘΔΜΑ 2 (α) (βαθμοι 2). Δθπαηδεπφκελνο ζθνπεπηήο επηηπγράλεη ην ζηφρν κε πηζαλφηεηα p=0.10 (i)Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ζε 10 βνιέο ηνπ λα πεηχρεη ην ζηνρν 2 θνξέο. (ii)Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ζηελ 41ε βνιή ηνπ λα πεηχρεη ην ζηφρν γηα 4ε θνξά; (β) (βαθμοί 2). Σν 65% ησλ εμεηαδφκελσλ ζηε ηαηηζηηθή έρνπλ δηαβάζεη (ελδερφκελν Γ). ηηο εμεηάζεηο επηηπγράλεη (ελδερφκελν Δ) ην 85% φζσλ έρνπλ δηαβαζεη θαη ην 20% φζσλ δελ έρνπλ δηαβάζεη. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα έλαο θνηηεηήο πνπ πέηπρε, λα κελ εηρε δηαβάζεη ( ̅) θαη λα ειεγρζεί αλ ηα ελδερφκελα ̅ θαη Δ είλαη αλεμάξηεηα. (γ) (βαθμόρ 1). Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ ΠΡΟΗΟΛ q00 p04 q04 εβδνκαδηαίσλ δαπαλψλ γηα δηαηξνθή 200 λνηθνθπ Α 1 2 3 ΓΑΠΑΛΔ ΑΡ. ΛΟΗΘΟΘ. Β 2 3 4 ξηψλ Γ 3 4 5 κηαο 40-<80 100 πφιεο. 80-120 70 120-160
30
Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο Gini ησλ δαπαλψλ ηνπο θαη λα εξκελεπζεί ην απνηέιεζκα.
ΘΔΜΑ 3 (α) (βαθμοί 2). Ζ ηκ Υ πνπ δίλεη ηνλ αξηζκφ πξντφλησλ πνπ πξνκεζεχεη κία βηνηερλία έλαλ πειάηε ηεο ην κήλα έρεη ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο . Λα βξεζεί ε E(x) θαη ε V(x). Αλ
( )
είλαη ην θέξδνο ηεο απφ απηφλ ηνλ πειάηε, λα βξεζεί ε Δ(Θ) θαη ε ηππηθή απφθιηζε. (β) (Βαθμοί 2). Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε ρηι. €) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλνπο) κηαο νκάδαο ηξηψλ πξντφλησλ πνπ πνπιήζεθαλ θαηά ηα έηε 2000 θαη 2004. Να ςπολογιζθεί η ποζοζηιαία μεηαβολή ηος όγκος πωληζεών ηοςρ καηά ηο 2004 ένανηι ηο 2000. Αν δίνεηαι επίζηρ όηι V2000=30 σιλ. €, να ςπολογιζθεί έναρ ηιμάπιθμορ για ηο 2004 ένανηι ηος 2000, η αποπληθωπιζμένη αξία ηοςρ καηά ηο 2004 ζε ηιμέρ ηος 2000 και η ποζοζηιαία μεηαβολή ηηρ ΑΓΧ ωρ ππορ αςηά ηα πποϊόνηα καηά ηο 2004 ένανηι ηος 2000. (γ) (Βαθμός 1). Η πιθανόηηηα βα πεηύσει ηο ζηόσο ο Α είναι 0,8, ο Β είναι 0,4 και ο Γ είναι 0,5. Ρίσνοςν και οι ηπειρ. Ποια είναι η πιθανόηηηα να ηον πεηύσοςν μόνο δύο (ενδεσόμενο Γ);
Γίνεηαι Να δοθούν απανηήζεις ζε δύο θέμαηα.
6
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
Στατιςτική Ι – Ιανουάριοσ 2010 Θέμα 1 (α) (Βαθμοί 2). Ο αξηζκφο Υ ησλ απηνθηλήησλ ελφο ηχπνπ πνπ πνπιάεη κία αληηπξνζσπεία ηελ εβδνκάδα έρεη θαηαλνκή πηζαλφηεηαο X 1 2 3 4 P(x)
0.4
0.2
0.3
0.1
(i)Λα βξεζνχλ νη Δ(x) θαη V(x) (ii)Αλ Θ=1.5x-0.2 είλαη ην θέξδνο ηεο ζε ρηιηάδεο επξψ απφ θάζε πψιεζε, λα βξεζεί ην κέζν εβδνκαδηαίν θέξδνο ηεο θαη ε ηππηθή απφθιηζε. (β) (Βαθμοί 2). ε θαηαλνκή εβδνκαηδηαίσλ δαπαλψλ ελφο πιεζπζκνχ 5000 λνηθνθπξηψλ βξέζεθε φηη ̅ , θαη . Λα εθηηκεζεί ην πνζνζηφ θαη ν αξηζκφο ησλ λνηθνθπξηψλ πνπ δαπάλεζε θάησ απφ 280 επξψ, αθνχ απνδεηρζεί φηη ηζρχεη ε αλαγθαία ζπλζήθε. (γ) (Βαθμόρ 1). Όηαλ παξαβηάδεηαη ην θφθθηλν, πηζαλφηεηα αηπρήκαηνο είλαη 0.05. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην πξψην αηχρεκα λα γίλεη ζηελ έθηε παξαβίαζε; Θέμα 2 (α) (Βαθμοί 2). Σν 25% ηνπ πιεζπζκνχ έρεη απμεκέλε ρνιεζηεξίλε (Υ). ε κηα εξγαζηεξηαθή εμέηαζε, ε δηάγλοζε είλαη ζεηηθή (Θ) ζην 90% απηψλ πνπ έρνπλ Υ θαη ζην 10% φζσλ δελ έρνπλ ( ̅ ) (i) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ε δηάγλσζε γηα έλαλ εμεηαδφκελν λα είλαη ζεηηθή; (ii) Αλ ε δηάγλσζε είλαη ζεηηθή, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα έλα άηνκν πνπ εμεηάζζεθε, λα έρεη πξάγκαηη απμεκέλε ρνιεζηεξίλε; (iii) Λα ειεγρζεί αλ ηα ελδερφκελα Υ θαη Θ είλαη αλεμάξηεηα. (β) (Βαθμοί 2). Σν 5% ησλ εξγαδνκέλσλ ζε Οξγαληζκφ έρνπλ κνλν Απνιπηήξην Γπκλαζίνπ (γ) (Βαθμόρ 1). Λα δεηρζεί φηη γηα ηξία ελδερφκελα Α, Β θαη Γ ηζρχεη φηη P(ΑΒΓ)=P(Α)*P(Β/Α)*P(Γ/ΑΒ). Θέμα 3 (α) (Βαθμοί 2). Γίλεηαη ε απφ θνηλνχ θαηαλνκή ηεο ηπραίαο δηαθξηηήο δηκεηαβιεηήο (x,y) y 2 0.4 Λα ππνινγηζηεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζήο ηνπο. Κήπσο x πεξηκέλακε ην απνηέιεζκα απηφ θαη γηαηί; (β) (Βαθμόρ 1). Ζ ηκ Υ έρεη ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ηεο 1 0.7 0 5 0 0.3 κνξθήο ⁄ . Λα βξεζεί ην α θαη ε Δ(ρ) (γ) (Βαθμόρ 1). Πφζνη ηεηξαςήθηνη κε δηαθνξεηηθά ςεθία ζρεκαηίδνληαη απφ ηα ςεθία 1,2,…,9; (δ) (Βαθμόρ 1). Γηα κηα νκάδα πξντφλησλ βξέζεθαλ: εθαη. επξψ, εθαη. επξψ θαη εθαη. επξψ. Λα ππνινγηζζεί ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 2009 ζε ηηκέο ηνπ 2008. Γίλεηαη φηη
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2009 Θέμα 1. (α)(Βαθμόρ 1). Γηα κηα νκάδα πξντφλησλ βξέζεθαλ V89=32 εθαη. €, V90=35 εθαη. €, θαη ∑ =32.55 εθαη. €. Λα ειεγρζεί αλ ζηε κεηαβιεηή ηεο αμίαο ηνπο ζπλέβαιε πεξηζζφηεξν ε κεηαβνιή ησλ ηηκψλ ηνπο ή ησλ φγθσλ ηνπο. (β)(Βαθμοί 2). Αλ ζηηο εμεηάζεηο ηνπ καζήκαηνο ηαηηζηηθή Η, νη θνηηεηέο “A”, “B” θαη “Γ” έρνπλ πηζαλφηεηεο λα πεξάζνπλ ην κάζεκα 0.80, 0.50 θαη 0.20 αληίζηνηρα θαη αλ ε επίδνζε ηνπ θάζε θνηηεηή είλαη αλεμάξηεηε απφ ηελ επίδνζε ησλ άιισλ δχν, λα ππνινγηζηνχλ νη πηζαλφηεηεο: i. Αθξηβψο έλαο θνηηεηήο λα πεξάζεη ην κάζεκα. ii. Αλ έλαο αθξηβψο θνηηεηήο πεξάζεη ην κάζεκα απηφο λα είλαη ν “Γ”. (γ)(Βαθμοί 2). Απφ ηα αηνηρεία πνπ ηεξνχληαη ζε κηα επηρείξεζε γηα ζεηξά εηψλ πξνθχπηεη φηη απφ ηνπο πειάηεο πνπ πξαγκαηνπνηνχλ αγνξέο, ην 40% είλαη άλδξεο θαη ην 60% γπλαίθεο. Αλ ζε κηα εκέξα πξαγκαηνπνηήζνπλ αγνξέο 6 πειάηεο, ηφηε: i. Πνηά είλαη ε πηζαλφηεηα ν αξηζκφο ησλ αλδξψλ λα είλαη ίζνο κε ηνλ αξηζκψλ ησλ γπλαηθψλ; ii. Πνηά είλαη ε πηζαλφηεηα ν αξηζκφο ησλ αλδξψλ λα είλαη κεγαιχηεξνο απφ ηνλ αξηζκφ ησλ γπλαηθψλ;
7
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
Θέμα 2. (α)(Βαθμοί 2). Απφ ηελ θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ηεο παξαγσγήο ζίηνπ ζε ηφλνπο 100 ̅ )2=6400 θαη ε δηάκεζνο Κ=50.2. Λα αγξνθηεκάησλ, ππνινγίζηεθαλ ∑ , ∑ ( ειεγρζεί ε αζπκκεηξία ηεο θαηαλνκήο θαη αλ πιεξνχληαη νη θαηάιιειεο ζπλζήθεο, λα εθηηκεζεί ην πιήζνο ησλ αγξνθηεκάησλ κε παξαγσγή θάησ απφ 42 ηφλνπο. (β)(Βαθμοί 2). ε έλα αεξνδξφκην έρεη παξαηεξεζεί φηη ην 30% ησλ επηβαηψλ ηαμηδεχεη κε ηελ εηαηξεία “A”, ην 20% ησλ επηβαηψλ ηαμηδεχεη κε ηελ εηαηξεία “B” θαη ην 50% ησλ επηβαηψλ ηαμηδεχεη κε άιιεο εηαηξείεο “Γ”. Δπίζεο, ζε πξννξηζκνχο εζσηεξηθνχ “E” ηαμηδεχεη ην 70% ησλ επηβαηψλ ηεο εηαηξείαο “A”, ην 80% ησλ επηβαηψλ ηεο εηαηξείαο “B” θαη ην 10% ησλ επηβαηψλ ησλ άιισλ εηαηξεηψλ “Γ”. Λα ππνινγηζηνχλ νη αθφινπζεο πηζαλφηεηεο: i. Έλαο ηπραία επηιεγκελνο επηβάηεο λα έρεη πξννξηζκφ ην εζσηεξηθφ “E”. ii. Αλ έλαο ηπραία επηιεγκέλνο επηβάηεο έρεη πξννξηζκφ ην εζσηεξηθφ ηφηε απηφο λα ηαμηδεχεη κε ηελ εηαηξεία “B”. (γ)(Βαθμόρ 1). ε επηρείξεζε εξγάδνληαη 3 Σερληθνί, 4 Οηθνλνκηθνί θαη 9 Γηνηθεηηθνί ππάιιεινη. ην Γηνηθεηηθφ πκβνχιην πεξηιακβάλνληαη ηέζζεξηο εξγαδφκελνη πνπ επηιέγνληαη ηπραία. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα επηιεγνχλ 1 Σερληθφο, 1 Οηθνλνκηθφο θαη 2 Γηνηθεηηθνί; Θέμα 3. (α)(Βαθμοί 3). Οη ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ θαη Τ έρνπλ ηελ αθφινπζε απφ θνηλνχ ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο p(x,y)={ i.
Λα ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο ζηαζεξάο k θαη λα παξνπζηαζηεί ζε πίλαθα ε απφ θνηλνχ ζπ ησλ Υ θαη Τ. ii. Λα γξαθηνχλ ζηνλ πίλαθα νη πεξηζσξηαθέο ζπλαξηήζεηο πηζαλφηεηαο ηπραίσλ κεηαβιεηψλ Υ θαη Τ. iii. Λα εμεηαζηεί αλ νη ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ θαη Τ είλαη αλεμάξηεηεο. β)(Βαθμοί 2). ε έλα ππνθαηάζηεκα κηαο ηξάπεδαο έρεη παξαηεξεζεί φηη θάζε Γεπηέξα πξνζέξρνληαη θαηά κέζν φξν 2 πειάηεο αλά ιεπηφ. Αλ ε πξνζέιεπζή ηνπο αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Poisson, λα ππνινγηζηνχλ νη πηζαλφηεηεο: i. ε έλα ηξίιεπην ηελ επφκελε Γεπηέξα λα πξνζέιζνπλ ζην θαηάζηεκα ηνπιάρηζηνλ 2 πειάηεο. ii. ε έλα δίιεπην ηελ επφκελε Γεπηέξα λα κελ πξνζέιζεη θαλέλαο πειάηεο ζην θαηάζηεκα. (Γίλεηαη: e=2.718)
Στατιςτική Ι – Ιούνιοσ 2009 ΘΔΜΑ 1. α. (Βαθμοί 2). Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ εβδνκαδηαίσλ δαπαλψλ γηα αλαςπρή 100 λνηθνθπξηψλ. Λα ππνινγηζηεί ην Α ηεηαξηεκφξην Q1, ε επηθξαηνχζα ηηκή Κν θαη ν ζπληειεζηήο Gini g θαη λα εξκελεπζνχλ νη έλλνηεο. ΓΑΠΑΝΔ 40-<80 80-120 120-160 160-200
ΑΡ. ΝΟΙΚΟΚ. 50 30 10 10
β. (Βαθμοί 2). Σν 60% ησλ ρξεζηψλ ηνπ δηαδηθηχνπ (internet) είλαη άληξεο (A) θαη ην 40% γπλαίθεο (Γ). Δπηπιένλ ην 70% ησλ αλδξψλ θαη ην 90% ησλ γπλαηθψλ πνπ είλαη ρξήζηεο είλαη θάησ ησλ 30 εηψλ (Θ). i. Αλ επηιέμνπκε έλα ρξήζηε ηνπ δηαδηθηχνπ, ηφηε πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη θάησ ησλ 30 εηψλ; ii. Αλ ν ρξήζηεο πνπ επηιέμακε είλαη θάησ ησλ 30 εηψλ, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη Γπλαίθα; γ. (Βαθμόρ 1). Απφ ην ζηαζκφ Α ησλ δηνδίσλ ηεο Διεπζίλαο ηηο πξσηλέο ψξεο ηα άββαηα πεξλνχλ θαηά κέζν φξν 120 απηνθίλεηα ηελ ψξα. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην επφκελν άββαην ζην ρξνληθφ δηάζηεκα απφ 9:00 έσο 9:02 λα πεξάζνπλ ηνπιάρηζηνλ ηξία απηνθίλεηα; (e=2.718)
8
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
ΘΔΜΑ 2. α. (Βαθμόρ 1). Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε ρηι. επξψ) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλλνπο) ηξηψλ πξντφλησλ πνπ πνπιήζεθαλ θαηά ηα έηε 2004 θαη 2008. ΠΡΟΪΟΝ p04 p08 q08 Να ςπολογιζηεί η αξία ηοςρ καηά 2008 Α 2 3 2 ζε ηιμέρ ηος 2004 και η μεηαβολή ηηρ Β 3 4 3 Αγοπαζηικήρ Γύναμηρ ηος Υπήμαηορ Γ 5 8 1 καηά ηο 2008 ένανηι ηος 2004 για αςηήν ηην ομάδα πποϊόνηων. β. (Βαθμοί 2). ηηο εμεηάζεηο ηνπ καζήκαηνο ηαηηζηηθή Η θαηά ηελ πεξίνδν ηνπ Ηνπλίνπ επηηπγράλεη ην 60% ησλ θνηηεηψλ πνπ πξνζέξρνληαη. Αλ θαηά ηελ εμεηαζηηθή πεξίνδν ηνπ Ηνπλίνπ επηιέμνπκε 5 θνηηεηέο, ηφηε: i. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα πεξάζνπλ φινη ην κάζεκα; ii. Πφζνη θνηηεηέο απφ θάζε πεληάδα θνηηεηψλ αλακέλεηαη λα πεξάζνπλ ην κάζεκα, θαη πνηα είλαη ε δηαθχκαλζή ηνπο; γ. (Βαθμοί 2). Κηα αλψλπκε εηαηξεία (ΑΔ) δηνηθείηαη απφ πεληακειέο δηνηθεηηθφ ζπκβνχιην. Ζ εθινγή ησλ κειψλ ηνπ δηνηθεηηθνχ ζπκβνπιίνπ γίλεηαη απφ ηνπο κεηφρνπο ηεο ΑΔ, ησλ νπνίσλ ε ζχλζεζε είλαη 8 άλδξεο (Α) θαη 4 γπλαίθεο (Γ). i. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα εθιεγνχλ ζην ζπκβνχιην 3 άλδξεο θαη 2 γπλαίθεο; ii. Αλ 2 απφ ηνπο άλδξεο κεηφρνπο δειψζνπλ θψιπκα εθινγηκφηεηαο, ηφηε πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα εθιεγνχλ ζην ζπκβνχιην 2 άλδξεο θαη 3 γπλαίθεο; ΘΔΜΑ 3. α. (Βαθμοί 3). ηνλ αθφινπζν πίλαθα δίλεηαη ε απφ θνηλνχ ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηψλ Υ θαη Τ x 0 1 2 y 0 1 2
1/15 4/15 1/15
4/15 4/15 0
1/15 0 0
i. Λα εμεηαζηεί αλ νη ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ θαη Τ είλαη αλεμάξηεηεο. ii. Λα ππνινγηζηνχλ νη καζεκαηηθέο ειπίδεο Δ(Υ) θαη Δ(ΥΤ). iii. Λα ππνινγηζηεί ε δεζκεπκέλε ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο P(X=x/Y=1) β. (Βαθμοί 2). Ρίρλνπκε ηξία λνκίζκαηα. i. Λα πξνζδηνξηζηεί ν δεηγκαηηθφο ρψξνο Χ. ii. Αλ ε δηαθξηηή ηπραία κεηαβιεηή Υ δίλεη ην πιήζνο ησλ θεθαιψλ (Θ) πνπ ζα εκθαληζηνχλ λα βξεζεί ε θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο Υ. iii. Λα ππνινγηζηεί ε πηζαλφηεηα Ρ(1≤Υ<3).
Στατιςτική Ι – Φεβρουάριοσ 2009 ΛΑ ΑΠΑΛΣΖΘΟΤΛ ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΗΑ ΕΖΣΖΚΑΣΑ ΠΟΤ ΑΘΟΙΟΤΘΟΤΛ ΕΖΣΖΚΑ 1 Α.(βαζκνί 2) Ζ δηαθξηηή ηπραία κεηαβιεηή Υ ιακβάλεη ηηκέο 1, 2, 4 θαη 5 κε P(2)=P(4)=0.3 θαη P(1)=P(5). Λα βξεζεί α) ε δηαθχκαλζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ θαη β) ε θεληξηθή ξνπή ηξίηεο ηάμεο πεξί ην κέζν ηεο Υ θαη λα ζρνιηαζζεί ην πξφζεκν ηνπ απνηειέζκαηνο πνπ πξνθχπηεη. Β.(βαζκνί 2) Απφ ηνπο 10 επηζηήκνλεο πνπ απαζρνιεί κηα επηρείξεζε 4 είλαη νηθνλνκνιφγνη. Δπηιέγνπκε ηπραία κηα νκάδα 3 επηζηεκφλσλ. Πνηα είλαη νη πηζαλφηεηα λα πεξηιεθζνχλ ζε απηή ην πνιχ δχν νηθνλνκνιφγνη Γ.(βαζκφο 1) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε επξψ) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλνπο) κηαο νκάδαο ηξηψλ πξντφλησλ πνπ πνπιήζεθαλ θαηά ηα έηε 2007 θαη 2004
9
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
Πξντφλ
Σηκή 2004
Σηκή 2007
Πνζφηεηα 2007
Α
2
4
5
Β
3
5
10
Γ
6
10
2
Λα ππνινγηζζεί έλαο ζηαζκηθφο ηηκάξηζκνο θαη έλαο ζηαζκηθφο δείθηεο φγθνπ γηα ην 2007 έλαληη ηνπ 2004, ε κεηαβνιή ηεο ΑΓΥ σο πξνο απηά ηα πξντφληα θαηά ην 2007 έλαληη ηνπ 2004 θαη ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 2007 ζε ηηκέο ηνπ 2004. Γίλεηαη επίζεο V2004=65 επξψ. ΕΖΣΖΚΑ 2 Α.(βαζκνί 2) ε ζπκκεηξηθή θαηαλνκή κηζζψλ (Υi ζε επξψ) 100 εξγαδνκέλσλ βξέζεθαλ
i
120.000 θαη
Qi=1.000 επξψ. Λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ εξγαδνκέλσλ κε κηζζνχο
απφ 1500 κέρξη 2100 επξψ. Αλ φινη νη κηζζνί απμεζνχλ θαηά 10%, λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο ησλ λέσλ κηζζψλ. Β.(βαζκνί 2) ε έλα Γπκλάζην ην 15% ησλ καζεηψλ θαη ην 20% ησλ καζεηξηψλ είλαη ςειφηεξνη απφ 160 εθ. ην Γπκλάζην απηφ ην 55% είλαη καζήηξηεο θαη ην 45% καζεηέο. Αλ εθιεγεί έλα άηνκν ηπραία θαη είλαη ςειφηεξν απφ 160 εθ. πνηα ε πηζαλφηεηα λα είλαη καζήηξηα; Γ.(βαζκφο 1) Έλαο κεζίηεο πνπιάεη θαηά κέζν φξν 4 ζπίηηα θάζε βδνκάδα. Αλ ν αξηζκφο ζπηηηψλ πνπ πνπιάεη αθνινπζεί θαηαλνκή Poisson, λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα λα πνπιήζεη ηνπιάρηζηνλ 1 ζπίηη απηή ηε βδνκάδα. ΕΖΣΖΚΑ 3 Α.(βαζκνί 2) Ζ πηζαλφηεηα λα κεηψζεη
έλαο θαηαλαισηήο ηηο αγνξέο ηνπ κεηά απφ
αλαηίκεζε ελφο πξντφληνο είλαη 0.2. ε κηα αλαηίκεζε ηνπ πξντφληνο, λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα ην πνιχ δχν απφ 10 θαηαλαισηέο λα κεηψζνπλ ηηο αγνξέο ηνπο. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην πνιχ δχν απφ ηνπο δέθα θαηαλαισηέο λα κεηψζνπλ ηηο αγνξέο ηνπο, αλ γλσξίδνπκε
φηη
έλαο
ηνπιάρηζηνλ
κείσζε
ηηο
αγνξέο
ηνπ;
Β.(βαζκνί 2) Ζ απφ θνηλνχ θαηαλνκή ησλ δηαθξηηψλ ηπραίσλ κεηαβιεηψλ δίδεηαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί. Υ Τ
1
3
5
2
0.10
0.05
0.15
4
0.10
0.15
0.10
6
0.05
0.10
0.20
α) Λα βξεζνχλ νη πεξηζψξηεο θαηαλνκέο ησλ Υ θαη Φ. β) Λα ππνινγηζζεί ε ηππηθή απφθιηζε ηεο Φ. γ) Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ησλ Υ θαη Φ θαη λα ζρνιηαζζεί ην απνηέιεζκα. Γ)(βαζκφο 1) Κηα ηάμε έρεη 7 θνξίηζηα θαη 6 αγφξηα. Πφζεο δηαθνξεηηθέο πεληακειείο νκάδεο κπνξνχκε λα ζρεκαηίζνπκε αλ ζέινπκε ζε θάζε νκάδα λα πεξηέρνληαη θνξίηζηα; Γίλεηαη: e4=53.94
10
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2008 ΘΔΜΑ 1. (α) (Βαζκφο 1). Γηα κία νκάδα πξντφλησλ ππνινγίζζεθαλ, Ρ'93.90=150, Q93.90=90 θαη V90=200 εθαη. Λα ππνινγηζζεί ε V93 θαη λα απνπιεζσξηζηεί ζε ηηκέο ηνπ 1990. (β) (Βαζκνί 2). Απφ θάιπε κε 6 άζπξεο θαη 4 καχξεο ζθαίξεο επηιέγνπκε ηξεηο. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα ΚΖΛ επηιέμνπκε δχν καχξεο, αλ ε επηινγή γίλεη (ί) ρσξίο επαλάζεζε θαη (Ζ) κε επαλάζεζε; (γ) (Βαζκνί 2) Ο αξηζκφο Υ ησλ πξντφλησλ πνπ δίλεη κηα βηνηερλία θάζε κέξα ζε έλαλ πειάηε ηεο, έρεη θαηαλνκή πηζαλφηεηαο Υ
1
2
3
4
i.
Λα ππνινγηζζνχλ νη Δ(Υ) θαη V(X)
P(X)
0.4
0.2
0.3
0.1
ii.
Αλ Θ=70Υ + 1 Ο είλαη ην εκεξήζην θέξδνο ηεο
βηνηερλίαο απφ απηφλ ηνλ πειάηε ζε επξψ λα βξεζεί ην κέζν εκεξήζην θέξδνο ηεο απ' απηφλ θαη ε ηππηθή ηνπ απφθιηζε. ΘΔΜΑ 2. (α) (Βαθμοί 2). Σν 25% ησλ Διιήλσλ είλαη λεζηψηεο θαη ην 75%, κε λεζηψηεο. Σν 80% ησλ Λεζησηψλ θαη ην 60% ησλ Κε λεζησηψλ έρνπλ Ηδηφθηεηε θαηνηθία. Αλ επηιέμνπκε έλαλ πνπ ΓΔΛ έρεη ηδηφθηεηε θαηνlθηα, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη λεζηψηεο; (β) Θαλνληθή θαηαλνκή κηζζψλ έρεη κέζν 1000 επξψ. (i) (Βαθμός 1). Λα βξεζεί ε ηππηθή απφθιηζε ζ, αλ γλσξίδνπκε φηη θάησ απφ 900 επξψ θαη πάλσ απφ 1100 επξψ παίξλεη ζπλνιηθά ην 31.73% ησλ εξγαδνκέλσλ. (ii) (Βαθμός 1). Αλ φινη νη κηζζνί απμεζνχλ θαηά 15% θαη δνζεί θαη έλα επίδνκα 50 επξψ, λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο CV ησλ λέσλ κηζζψλ Τ θαη ην πνζνζηφ ηνπο πνπ ζα είλαη κεηαμχ 1085 θαη 1430 επξψ. (γ ) (Βαθμός 1). Θάζε ψξα επηζθέπηνληαη έλαλ θαξδηνιφγν θαηά κέζνλ φξν 2 άηνκα θαη ν αξηζκφο ηνπο αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Poisson. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην επφκελν δίσξν λα ηνλ επηζθεθζεί ηνπιάρηζηνλ έλα άηνκν; ΘΔΜΑ 3 (α) (Βαθμοί 2). ΓΣλεηαl ε απφ θνηλνχ θαηαλνκή ησλ εηζνδεκάησλ Υ θαη ησλ δαπαλψλ γ ελφο πΑ ζπζκνχ λνηθνθπξηψλ ζε ρηιηάδεο επξψ. 5
6
7
Δίλαη εμαξηεκέλεο; Λα γίλεη ην δηάγξακκα ησλ ζεκείσλ(ρ,Τ),
6
0.2
0
0
λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ξ(Υ,Τ) θαη ε
7
0
0.5
0
δηαθχκαλζε ηεο απνηακίεπζήο ηνπο ρ-γ θαη λα ζρνιηαζζεί αλ
8
0
0
0.3
πεξηκέλακε ηα απνηειέζκαηα πνπ βξέζεθαλ.
Υ
Τ
(β) (Βαθμοί 2). Ζ πηζαλφηεηα κία βίδα λα είλαη ειαηησκαηηθή είλαη 1/100. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ζε παξαγσγή 100 βηδψλ λα βξεζνχλ ηνπιάρηζηνλ δχν ειαηησκαηηθέο;
(γ)
(Βαθμός 1). Ζ ηηκή ελφοπξoτφvηoο ήηαλ 10 επξψ ην 2004 θαη 14 επξψ ην 2007. Λα βξεζεί ε κέζε εηήζηα πνζνζηηαία αχμεζή ηεο. Γίλνληαη e=2.7, log1.12=0.05 θαη log14=1.15. Λα δνζνχλ απαληήζεηο ζε δχν ζέκαηα
11
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
Στατιςτική Ι – Ιούνιοσ 2008 ΘΔΜΑ 1. Α) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ ζε ρηι. δξρ.
θαη πνζνηήησλ ζε ηφλνπο ηξηψλ
πξντφλησλ πνπ δηαθηλήζεθαλ ην 1996 θαη ην 1999. (α) (Βαθμόρ 1). Λα απνπιεζσξηζζεί ε αμία ηνπο θαηά ην 1999 ζε ηηκέο ηνπ 19966. (β) (Βαθμόρ 1). Λα ππνινγηζζεί ε κέζε εηήζηα πνζνζηηαία κεηαβνιή ηεο Πξντφλ
p96
p99
q99
Α
10
14
3
Β
2
3
10
Γ
16
18
5
ηηκήο ηνπ πξντφληνο Α απφ
ην
1996
κέρξη
ην
1999.
Β) (Βαθμοί 2). Έλα βηβιίν 250 ζειίδσλ έρεη ζπλνιηθά 25 ιάζε. Αλ ν αξηζκφο ιαζψλ αλά ζειίδα αθν
ινπζεί
ηελ
θαηαλνκή
Poisson,
πηζαλφηεηα κηα ηπραία ζειίδα ηνπ λα κελ έρεη θαλέλα ιάζνο.
λα
βξεζεί
ε
Δπίζεο, κέζσ απηήο,
λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα απφ 4 ζειίδεο θακκία λα κελ έρεη ιάζνο. Γ) (Βαθμόρ 1). ε έλα γεχκα νη ζπλδαηηπκφλεο ηζνχγθξηζαλ (αλά δχν) ηα πνηήξηα
ηνπο
θαη
αθνχζηεθαλ
15
θξφηνη.
Πφζα
άηνκα
ππήξραλ
ζηελ
παξέα;
ΘΔΜΑ 2. Α) (Βαθμοί 2). Ζ δηαθξηηή ηπραία κεηαβιεηή Υ ιακβάλεη ηηκέο 0,1 θαη 2, κε Ρ(0)=2Ρ(1)=2Ρ(2). Λα παξαζηαζεί γξαθηθά ε θαηαλνκή ηεο Υ θαη λα ππνινγηζζεί ε δηαθχκαλζε. Λα βξεζεί ε θεληξηθή ξνπή ηξίηεο ηάμεο πεξί ην κέζν θαη λα ζρνιηαζζεί ην πξφζεκν ηνπ απνηειέζκαηνο πνπ πξνθχπηεη. Β) (Βαθμόρ 1).
ε έλα ηκήκα θνηηεηψλ, ην 10% πξνέξρνληαη απφ
ζεσξεηηθή θαηεχζπλζε, ην 35% απφ ζεηηθή θαη νη ππφινηπνη θνηηεηέο απφ ηερλνινγηθή θαηεχζπλζε. Απφ ηνπο θνηηεηέο ζεσξεηηθήο θαηεχζπλζεο ην 70% είλαη θνξίηζηα, ελψ ηα αληίζηνηρα πνζνζηά γηα ηνπο θνηηεηέο ζεηηθήο θαη ηερλνινγηθήο είλαη 30% θαη 50%. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα έλα θνξίηζη πνπ επηιέρζεθε ηπραία λα πξνέξρεηαη απφ ζεηηθή θαηεχζπλζε. Γ)
α) (Βαθμόρ 1).
Γίλεηαη ε θαηάηαμε θαη ε πνζνζηηαία θαηάηαμε ησλ
ςήθσλ πνπ πήξαλ ηα δχν πξψηα θφκκαηα θαη φια ηα κηθξφηεξα καδί ζε κηα πφιε ζηηο ηειεπηαίεο εθινγέο. Λα ζπκπιεξσζνχλ νη ζπρλφηεηεο θαη ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο πνπ ιείπνπλ θαη λα παξαζηαζεί ε θαηάηαμε κε θπθιηθφ δηάγξακκα.
12
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι ΘΟΚΚΑ
2011 ΑΡ. ΦΖΦΧΛ
ζζi%
fi Α
4500
-
Β
-
40
ΚΗΘΡΑ
-
-
ΤΛΟΙΟ
10000
-
β) (Βαθμόρ 1). Απφ ηελ πφιε απηή ιακβάλνπκε ηπραία 4 άηνκα. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα ηνπιάρηζηνλ έλα άηνκν λα έρεη ςεθίζεη ην θφκκα Α.
ΘΔΜΑ 3. Α) ε κηα επηρείξεζε εξγάδνληαη 100 άηνκα, 60 άληξεο θαη 40 γπλαίθεο. α) (Βαθμόρ 1). Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα απφ ηνπο 5 εξγαδφκελνπο πνπ δελ ζα πάξνπλ άδεηα ηνλ Αχγνπζην νη 4 λα είλαη άληξεο. β) (Βαθμοί 2). Απφ ηνπο 100 εξγαδνκέλνπο, 21 άληξεο θαη 14 γπλαίθεο
έρνπλ
θαηαζθεπαζζεί
δνπιέςεη
ν
πίλαθαο
ππεξσξίεο ηεο
απφ
ηελ θνηλνχ
ηειεπηαία θαηαλνκήο
εβδνκάδα. ησλ
Λα
ηπραίσλ
κεηαβιεηψλ «θχιιν» θαη «Τπεξσξίεο» (κε θαηεγνξίεο λαη θαη φρη) θαη λα ειεγρζεί αλ είλαη αλεμάξηεηεο. Πφηε δχν αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο είλαη αζπζρέηηζηεο; Β) (Βαθμόρ 1) Ζ κεηαβιεηή Υ έρεη ζπκκεηξηθή θαηαλνκή κε ζ2 = 9 θαη Q1 = 10.5. Λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ ηηκψλ ηεο πνπ είλαη κεηαμχ 9.5 θαη 18.5 . Γ) (Βαθμόρ 1) Λα δεηρζεί φηη αλ ηα ελδερφκελα Α θαη Β είλαη αλεμάξηεηα, ηφηε θαη ηα ζπκπιεξσκαηηθά ηνπο Α’ θαη Β’ είλαη αλεμάξηεηα.
Γίνονηαι: log14=1.15, log1.12=0.05,
=0,905.
Στατιςτική Ι – Ιανουάριοσ 2008 ΘΔΚΑ 1 (α) (Βαζκφο 1). Ζ κεηαβιεηή Υ έρεη ζπκκεηξηθή θαηαλνκή κε
Q6
θαη
Q3 14.5 .
Λα
βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ ηηκψλ ηεο πνπ είλαη κεηαμχ 3.5 θαη 15.5. (β) (Βαζκνί 2). Ζ δηαθξηηή ηπραία κεηαβιεηή Υ δίλεη ηα κεληαία θέξδε κηαο βηνηερλίαο, κε
x4 / x 1, 2,3, 4 ρηι. 26 δηάγξακκα ηεο αζξνηζηηθήο θαηαλνκήο F ( x) θαη λα P( X 4 / X 2) , ε E ( x) θαη ε V ( x) . ζπλάξηεζε
πηζαλφηεηαο
p ( x)
(γ) (Βαζκνί 2). Γηα ηα ελδερφκελα Α θαη Β δίλεηαη φηη
επξψ.
Λα
θαηαζθεπαζηεί
ππνινγηζηνχλ
ε
ην
πηζαλφηεηα
P() 2 / 8 , P() 5/ 8
θαη
P( ) P( ) 2 / 8 . Λα ειεγρζεί αλ είλαη αλεμάξηεηα θαη δεζκεπκέλεο πηζαλφηεηεο P( / ) , P( / ) θαη P( / ) .
13
www.dap-oikonomikou.gr
λα ππνινγηζζνχλ νη
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
ΘΔΚΑ 2 (α) (Βαζκνί 2). Γηα κία νκάδα πξντφλησλ βξέζεθαλ V89 = 32 ρηι. επξψ, V90 = 35 ρηι. επξψ θαη p89q90 = 32.53 ρηι. επξψ. (i) Λα ππνινγηζζεί έλαο ηηκάξηζκνο θαη έλαο δείθηεο φγθνπ γηα ην 1990 έλαληη 1989. (ii) Λα απνπιεζσξηζηεί ε αμία ηνπο θαηά ην 1990 ζε ηηκέο ηνπ 1989 θαη λα ππνινγηζζεί ε κεηαβνιή ηεο ΑΓΥ θαηά ην 1990 έλαληη ηνπ 1989 σο πξνο ηα πξντφληα απηά. (β) (Βαζκνί 2). Γίλνληαη ηα εηζνδήκαηα Υ θαη νη δαπάλεο Τ ησλ πέληε λνηθνθπξηψλ κηαο πνιπθαηνηθίαο ζε εθαη. επξψ. Υ 4 3 4 2 3 Τ 3 2 3 1 2 Λα θαηαζθεπαζηεί ε απφ θνηλνχ θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο δηκεηαβιεηήο (Υ,Τ), λα ππνινγηζηεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ξ ησλ Υ θαη Τ θαη ε δηαθχκαλζε ηεο απνηακίεπζήο ηνπο Υ-Τ θαη λα ζρνιηαζζεί αλ πεξηκέλακε απηά ηα απνηειέζκαηα. (γ) (Βαζκφο 1). Θα πνπιεζνχλ 1000 ιαρεία, απφ ηα νπνία ν πξψηνο ηπρεξφο ζα εηζπξάμεη 800 επξψ θαη νη ηξεηο επφκελνη απφ 200 επξψ. Πφζε πξέπεη λα είλαη ε ηηκή η θάζε ιαρείνπ ψζηε ν δηνξγαλσηήο λα θεξδίζεη 5.6 επξψ απφ θάζε ιαρείν; ΘΔΚΑ 3 (α) (Βαζκφο 1). Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ εηζνδεκάησλ ελφο πιεζπζκνχ 200 λνηθνθπξηψλ. ΓΑΠΑΛΔ ΑΡ. ΛΟΗΘΟΘ. 4 - <8 100 8 - 12 90 12 - 16 10 Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο Gini ησλ δαπαλψλ ηνπο θαη λα εξκελεπζεί ην απνηέιεζκα. (β) (Βαζκνί 2). Σν 3% ησλ κπνπδί κηαο εηαηξίαο είλαη ειαηησκαηηθά. (i) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα έλα απηνθίλεην κε 4 κπνπδί απηήο ηεο εηαηξίαο, λα έρεη ηνπιάρηζηνλ έλα κπνπδί ειαηησκαηηθφ; (ii) ε θαζέλα απφ 30 απηνθίλεηα κπαίλνπλ 4 κπνπδί απηήο ηεο εηαηξίαο. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα βξεζνχλ 3 απηνθίλεηα πνπ ζα έρνπλ ηνπιάρηζηνλ έλα κπνπδί ειαηησκαηηθφ; (γ) (Βαζκφο 1). Απφ θάιπε κε 100 αξηζκεκέλνπο θιήξνπο επηιέγνπκε δηαδνρηθά 3 θιήξνπο ρσξίο επαλάζεζε. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα επηιέμνπκε ηνλ θιήξν κε αξηζκφ 10 ζηελ ηξίηε ιήςε; (δ) (Βαζκφο 1). Απφ 100 αζζελείο, νη 30 πήξαλ ην θάξκαθν Α πνπ ζεξαπεχεη ην 80% ησλ πεξηπηψζεσλ θαη νη ππφινηπνη πήξαλ ην θάξκαθν Β πνπ ζεξαπεχεη ην 60% ησλ πεξηπηψζεσλ. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα έλαο πνπ ζεξαπεχζεθε λα πήξε ην θάξκαθν Β; Γίλεηαη φηη
e3.45 0.032 .
Να δοθούν απανηήζειρ ζε δύο θέμαηα ζε δύο ώπερ. Σο θύλλο ηων θεμάηων θα παπαδίδεηαι με ηο γπαπηό μέσπι ηιρ 18.15.
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2007 Να απανηηθούν ηα δύο από ηα ηπία θέμαηα πος ακολοςθούν, (Βαζκνί 2) Ατηφ ηελ θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ηεο παξάγσγεο ζε ηφλνπο 100 αγξνθηεκάησλ κε ίζεο εθηάζεηο, ππνινγίζζεθαλ IfrXf =5000, Ifr{Xj -Υ)2 =6400 θαη δηάκεζνο Μ = 50.2. Λα ειεγρζεί ε αζπκκεηξία ηεο θαηαλνκήο θαη αλ επαιεζεχεηαη ε θαηάιιειε ζπλζήθε, λα βξεζεί ην πιήζνο ησλ αγξνθηεκάησλ κε παξαγσγή θάησ απφ 42 ηφλνπο 2,{Βαζκνί 2) Ζ πηζαλφηεηα λα ζπκβεί αηχρεκα ζε έλα απηνθίλεην πνπ πεξλάεη απφ ζπγθεθξηκέλν δξφκν κεηαμχ 10.00 κ.κ. θαη 1.00 π.κ. είλαη 0.0005 θαη ην Τπνπξγείν Κεηαθνξψλ γλσξίδεη φηη αηηφ ην δξφκν απηφ πεξλνχλ θαηά κέζν φξν 2000 απηνθίλεηα θαηά ην ηξίσξν απηφ. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα λα ζπκβνχλ ηνπιάρηζηνλ δχν αηπρήκαηα κεηαμχ 10.00 κ.κ. θαη 1.00 π.κ. θαζψο θαη ε πηζαλφηεηα λα κε ζπκβεί θαλέλα αηχρεκα κεηαμχ 10.00 κ.κ. θαη 11.30 κ.κ. Πνηα ππφζεζε ζα πξέπεη λα θάλνπκε γηα λα ππνινγηζζεί ε δεχηεξε πηζαλφηεηα; 3,(Βαζκφο 1) Πφζνπο ηξηςήθηνπο αξηζκνχο ζρεκαηίζνπκε κε ηα ςεθία απά 1 κέρξη θαη 9;
14
κε
δηαθνξεηηθά
www.dap-oikonomikou.gr
ςεθία
κπνξνχκε
λα
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
1.(Βαζκνί 2) Σν 0.8% ησλ πξντφλησλ απφ ηελ παξαγσγή κηαο εκέξαο είλαη ειαηησκαηηθά (ελδερφκελν ). Ο έιεγρνο πνπ γίλεηαη εληνπίδεη σο Διαηησκαηηθά (ελδερφκελν Δ) ην 97% ησλ πξάγκαηη ειαηησκαηηθψλ αΚά θαη ην η % ησλ κε ειαηησκαηηθψλ Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα έλα ηπραίν πξντφλ πνπ ζα επηιέμνπκε λα εληνπηζζεί απφ ηνλ έιεγρν σο ειαηησκαηηθφ θαζψο θαη ε πηζαλφηεηα VG είλαη πξάγκαηη ειαηησκαηηθφ αλ ν έιεγρνο έδεημε φηη είλαη ειαηησκαηηθφ. 2.(Βαζκνί 2) Απφ 10 επηρεηξήζεηο πνπ έρνπλ πάξεη δάλεην, νη 8 πήξαλ πάλσ απφ 50000 επξψ. Αλ επηιεγνχλ ηπραία (ρσξίο επαλαηνπνζέηεζε) 4 απφ απηέο, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην πνιχ κία λα πήξε πάλσ απφ 50000 επξψ. 3.(Βαζκφο 1) Γηα κία νκάδα πξντφλησλ βξέζεθαλ: V20&4 = 32 εθαη. επξψ. V2ooe=35 εθαη. επξψ θαη Ip^q» = 32.55 εθαη. επξψ. Λζ ππνινγηζζεί έλαο δείθηεο φγθνπ ηνπο θαη έλαο ηηκάξηζκνο ηνπο θαη λα ειεγρζεί αλ ζηε κεηαβνιή ηεο αμίαο ηνπο ζπλέβαιε πεξηζζφηεξν ε κεηαβνιή ησλ ηηκψλ ηνπο ή ησλ φγθσλ ηνπο. 1.(Βαζκνί 2) ε έλα ηεζη πνιιαπιψλ επηινγψλ, ππάξρνπλ 4 πηζαλέο απαληήζεηο. Έλαο εμεηαδφκελνο εθηηκάεη φηη έρεη πηζαλφηεηα 0.6 λα γλσξίδεη ηε ζσζηή απάληεζε ζε θάζε εξψηεζε. Αλ δε γλσξίδεη ηελ απάληεζε, ζα επηιέμεη κηα εθ ησλ 4 θαηά ηχρε, Α) Πνην είλαη ε πηζαλφηεηα ν εμεηαδφκελνο απηφο λα δψζεη ηε ζσζηή απάληεζε ζε κηα εξψηεζε; Β) Γηα πηζ εξψηεζε πνπ απαληήζεθε ζσζηά απφ ηνλ εμεηαδφκελν, πνηα είλαη n πηζαλφηεηα λα γλψξηδε ηε ζσζηή απάληεζε 2,(Βαζκνί 2) Ρίρλνπκε έλα δάξη 5 θνξέο. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα εκθαληζζεί ην 3 ηξεηο θνξέο. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα εκθαληζζεί γηα πξψηε θνξά ην 3 ζηελ ηέηαξηε ξίςε 3,(Βαζκφο 1) Λα δεηρζεί φηη Ρ{ΑΒ | C) = Ρ(Α I BC) · Ρ( Β Γ). Γίλεηαη Je = Ι/2.71 = 1.6462
Στατιςτική Ι – Ιούνιοσ 2007 ΝΑ ΑΠΑΝΣΗΘΟΤΝ ΣΑ ΓΤΟ ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΙΑ ΘΔΜΑΣΑ ΠΟΤ ΑΚΟΛΟΤΘΟΤΝ ΘΔΜΑ 1ο (βαζκνί 2) Γηα κηα νκάδα πξντφλησλ ππνινγίζζεθαλ νη θαη ε αμία ηνπο
V
2002
200 εθαη.
P PAASCHE 150, Q LASPEYRES 130 2005.2002
Δπξψ. Λα ππνινγηζζεί ε αμία
2005.2002
V
2005
, ε απνπιεζσξηζκέλε
αμία ηνπο θαηά ην 2005 ζε ηηκέο 2002 θαη ε κεηαβνιή ηεο Αγνξαζηηθήο Γχλακεο ηνπ Υξήκαηνο θαηά ην 2005 έλαληη ηνπ 2002 σο πξνο απηή ηελ νκάδα πξντφλησλ. 1. (βαζκνί 2) Απφ έλα ζχλνιν επηρεηξήζεσλ, 20% είλαη αηνκηθέο επηρεηξήζεηο, 50% Αλψλπκεο Δηαηξίεο θαη νη ππφινηπεο είλαη Δηαηξίεο Πεξηνξηζκέλεο Δπζχλεο. Σν 10% ησλ αηνκηθψλ επηρεηξήζεσλ αληηκεησπίδεη πξφβιεκα ξεπζηφηεηαο ελψ ηα αληίζηνηρα πνζνζηά γηα ηηο Αλψλπκεο Δηαηξίεο θαη ηηο Δηαηξίεο πεξηνξηζκέλεο Δπζχλεο είλαη 30% θαη 20%. Κηα απφ ηηο επηρεηξήζεηο αληηκεησπίδεη πξνβιήκαηα ξεπζηφηεηαο θαη δεηάεη δάλεην απφ ηξάπεδα. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα ε επηρείξεζε απηή λα είλαη αηνκηθή. 2. (βαζκνί 1)Θνπηί πεξηέρεη 4 ζθαηξίδηα εθ ησλ νπνίσλ έλα καχξν, έλα άζπξν, έλα θφθθηλν θαη έλα κπιε. Σέζζεξηο παίθηεο πεξηκέλνπλ ζηε γξακκή γηα λα πάξνπλ ηπραία έλα ζθαηξίδην απφ ην θνπηί (ν πξψηνο ηεο γξακκήο ζα πάξεη πξψηνο ζθαηξίδην, ν δεχηεξνο ζα πάξεη ακέζσο κεηά θ.ν.θ.). Θεξδίδεη ν παίθηεο πνπ ζα
15
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
επηιέμεη ην καχξν ζθαηξίδην. ε πνηα ζέζε ηεο γξακκήο ησλ παηθηψλ ζα πξνηηκνχζαηε λα βξίζθεηε γηα λα έρεηε κεγαιχηεξε πηζαλφηεηα λα θεξδίζεηε; ΘΔΜΑ 2ο 1. (βαζκνί 2) ε έλα ραξηνθπιάθην 16 κεηνρψλ, νη 4 αλήθνπλ ζηνλ θιάδν θισζηνυθαληνπξγίαο. Αλ επηιέμνπκε ηπραία 2 κεηνρέο, λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα ην πνιχ κηα λα αλήθεη ζηνλ θιάδν θισζηνυθαληνπξγίαο. Λα ππνινγηζηεί εθ λένπ ε πηζαλφηεηα απηή αλ επηιέμνπκε κε επαλαηνπνζέηεζε ηηο κεηνρέο απφ ην ραξηνθπιάθην. 2. (βαζκφο 1) 10 βηβιία πξέπεη λα ηνπνζεηεζνχλ ζε έλα ξάθη 3 απφ απηά είλαη βηβιία
ηαηηζηηθήο
θαη
ζα
πξέπεη
λα
ηνπνζεηεζνχλ
καδί.
Κε
πφζνπο
δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο κπνξνχλ λα ηνπνζεηεζνχλ ηα βηβιία απηά ζην ξάθη; Αλ επηιέμνπκε ηπραία 3 βηβιία, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη θαη ηα ηξία βηβιία ηαηηζηηθήο; 3.
(βαζκφο 1) Γίλεηαη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά ησλ ηηκψλ ελφο κεγέζνπο Υ. Λα παξαζηαζεί γξαθηθψο κε ξαβδφγξακκα
Υ
2001
2002
2003
2004
6
18
12
24
θαη λα βξεζεί ν κέζνο εηήζηνο ξπζκφο κεηαβνιήο ηνπο κεηαμχ ησλ εηψλ 2001 θαη 2004 4.
(βαζκφο 1) Έλαο κηθξνπσιεηήο πνπιάεη 10 πξντφληα ηχπνπ Α, 30 πξντφληα ηχπνπ Β θαη 20 πξντφληα ηχπνπ Γ, κε αληίζηνηρεο ηηκέο 1.5 επξψ γηα ην Α, 0.5 επξψ γηα ην Β θαη 3 επξψ γηα ην Γ. Πνηα είλαη ε δηαθχκαλζε ησλ ηηκψλ ηνπ εκπνξεχκαηνο ηνπ; Αλ απνθαζίζεη λα θάλεη έθπησζε 20%, πνηα ζα είλαη ε δηαθχκαλζε ησλ λέσλ ηηκψλ;
ΘΔΜΑ 3ο 1.
(βαζκνί 2) Γηα ηηο ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ θαη Τ δίλεηαη ε απφ
θνηλνχ
θαηαλνκή.
Λα
βξεζνχλ
νη
πεξηζψξηεο
θαηαλνκέο θαζψο θαη νη κέζεο ηηκέο ησλ Υ θαη Τ. Δίλαη νη Υ θαη Τ αζπζρέηηζηεο; Δίλαη αλεμάξηεηεο;
Τ Υ
-2
0
1/8
-1
3/8
0
1
3/8
0
2
0
1/8
2. (βαζκνί 2) Σν 2% ησλ πξντφλησλ πνπ παξάγεη κηα κεραλή είλαη ειαηησκαηηθά. Έζησ φηη ειέγρνπκε 60 πξντφληα. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα ηνπιάρηζηνλ 59 πξντφληα λα κελ είλαη ειιαησκαηηθά (κα ρξεζηκνπνηεζεί ε αθξηβήο θαηαλνκή θαζψο θαη ε θαηάιιειε πξνζεγγηζηηθή). 3. (βαζκφο 1) ε έλα ηπρεξφ παηρλίδη ππάξρνπλ 50 ιαρεία. ην παηρλίδη ζα θεξδίζνπλ ζπλνιηθά δχν άηνκα φπνπ ν πξψηνο ηπρεξφο ζα θεξδίζεη 200 επξψ θαη ν δεχηεξνο 50 επξψ. Κέρξη πφζν ζα πξέπεη λα θνζηίδεη ην ιαρείν έηζη ψζηε λα αμίδεη λα παίμνπκε; 59
Log4=0.6, log1.585=0.2, 0.98
16
0.3036 , e1.2 0.3012
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
Στατιςτική Ι – Ιανουάριοσ 2007 ΘΔΜΑ 1 (α) Ρίρλνπκε έλα λφκηζκα κέρξη λα εκθαληζζεί γηα πξψηε θνξά «Θνξψλα» ή κέρξη λα εκθαληζζνχλ δχν ζπλερφκελα «Γξάκκαηα». Αλ ε ηκ Υ δίλεη ην πιήζνο ησλ δνθηκψλ πνπ ζα ρξεηαζζνχλ, λα βξεζεί ε θαηαλνκή πηζαλφηεηάο ηεο θαη ν κέζνο αξηζκφο ξίςεσλ κέρξη λα ηειεηψζεη ην παηρλίδη. (Βαθμόρ 1) (β) Ο αξηζκφο ησλ βιαβψλ ελφο απηνθηλήηνπ πνπ πεγαίλεη ζην ζπλεξγείν αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Poisson κε παξάκεηξν ι = 4. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα έλα απηνθίλεην πνπ πήγε ζην ζπλεξγείν (κε ηνπιάρηζηνλ κία βιάβε), λα έρεη 3 βιάβεο; (Βαθμόρ 1) (γ) Γίλνληαη ηα εηζνδήκαηα (X, Y) : (10, 7) θαη (20, 17) ηνπ ζπδχγνπ θαη ηεο ζπδχγνπ δχν λνηθνθπξηψλ. (Βαθμοί 2) (i) Λα βξεζεί ε απφ θνηλνχ θαηαλνκή ηεο δηκεηαβιεηήο (X, Y) θαη ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ηεο ξ. (ii) Αλ ε Γ = 0,7X + 0,8Y είλαη ην δηαζέζηκν εηζφδεκα ηνπ λνηθνθπξηνχ (κεηά ηελ πιεξσκή ηεο εθνξίαο), λα ππνινγηζζεί ε καζεκαηηθή ειπίδα θαη ε δηαθχκαλζή ηνπ. (δ) πκκεηξηθή θαηαλνκή εκεξνκηζζίσλ έρεη δηάκεζν Κ = 100 θαη ηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε Q = 6. Πνην πνζνζηφ εξγαηψλ έρεη εκεξνκίζζην απφ 82 κέρξη 109 επξψ; (Βαθμόρ 1) ΘΔΜΑ 2 (α) Δθπαηδεπφκελνο ζθνπεπηήο επηηπγράλεη ην ζηφρν κε πηζαλφηεηα ξ = 0.10. (Βαθμοί 2) (i) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ζε 10 βνιέο ηνπ λα πεηχρεη ην ζηφρν ηνπιάρηζηνλ 2 θνξέο; (ii) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ζηελ 41ε βνιή ηνπ λα πεηχρεη ην ζηφρν γηα 4ε θνξά; (β) Σν 65% ησλ εμεηαδφκελσλ ζηε ηαηηζηηθή έρνπλ δηαβάζεη (ελδερφκελν Γ). ηηο εμεηάζεηο επηηπγράλεη (ελδερφκελν Δ) ην 85% φζσλ έρνπλ δηαβάζεη θαη ην 20% φζσλ δελ έρνπλ
δηαβάζεη. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα έλαο θνηηεηήο πνπ επέηπρε λα κελ είρε δηαβάζεη ( ) θαη
λα ειεγρζεί αλ ηα ελδερφκελα
θαη Δ είλαη αλεμάξηεηα.
(Βαθμοί 2) (γ) Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ εβδνκαδηαίσλ δαπαλψλ γηα δηαηξνθή 200 λνηθνθπξηψλ κηαο πφιεο. ΓΑΠΑΛΔ
ΑΡ. ΛΟΗΘΟΘ.
Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο Gini ησλ δαπαλψλ ηνπο
40 - < 80
100
80 – 120
70
120 – 160
30
θαη λα εξκελεπζεί ην απνηέιεζκα.
ΘΔΜΑ 3 (α) Ζ ηκ Υ πνπ δίλεη ηνλ αξηζκφ πξντφλησλ πνπ πξνκεζεχεη κία βηνηερλία έλαλ πειάηε ηεο ην κήλα έρεη ζπ
p( x)
x2 / x =3, 4, 5, 6. Λα βξεζεί ε E(X), ε V(X) θαη ε P(X < 5/X 4). 10
Αλ Θ = 20Υ – 5 είλαη ην θέξδνο ηεο απφ απηφλ ηνλ πειάηε, λα βξεζεί ε Δ(Θ) θαη ε ηππηθή ηνπ απφθιηζε. (Βαθμοί 2)
17
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
(β) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε ρηι. επξψ) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλνπο) κηαο νκάδαο ηξηψλ πξντφλησλ πνπ πνπιήζεθαλ θαηά ηα έηε 2000 θαη 2004. ΠΡΟΨΟΛ
q00
p04
q04
Α
1
2
3
Β
2
3
4
Γ
3
4
5
Λα ππνινγηζζεί ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ηνπ φγθνπ πσιήζεψλ ηνπο θαηά ην 2004 έλαληη ηνπ 2000. Αλ δίλεηαη επίζεο φηη V2000 = 30 ρηι. επξψ, λα ππνινγηζζεί έλαο ηηκάξηζκνο γηα ην 2004 έλαληη ηνπ 2000, ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 2004 ζε ηηκέο ηνπ 2000 θαη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ηεο ΑΓΥ σο πξνο απηά ηα πξντφληα θαηά ην 2004 έλαληη ηνπ 2000. (Βαθμοί 2) (γ) Ζ πηζαλφηεηα λα πεηχρεη ην ζηφρν ν Α είλαη 0.8, ν Β είλαη 0.4 θαη ν Γ είλαη 0.5. Ρίρλνπλ θαη νη ηξεηο. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα ηνλ πεηχρνπλ κφλν δχν (ελδερφκελν Γ); (Βαθμόρ 1) (Γίλεηαη e-4 = 0.0183). Να δοθούν απανηήζειρ ζε δύο θέμαηα.
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2006 ΘΔΜΑ Α α)Γίλεηαη ε θαηαλνκή κηζζψλ 50 ηξαπεδνυπαιιήισλ (ζε ρηιηάδεο €):
Λα ππνινγηζηεί ν ζπληειεζηήο ζπκκεηξίαο θαηά Spearman, θαη λα ρξεζηκνπνηεζεί ε
ΜΙΘΟ (χιλ. δρχ.)
ΑΡΙΘΜΟ ΤΠΑΛΛΗΛΩΝ
0-<2
24
θάησ απφ 920 €. Τπάξρεη δηαθνξά απφ ηελ ηηκή πνπ ζα πεξηκέλαηε κε βάζε ηελ
2-4
21
θαηαλνκή ζηνλ πίλαθα; Πνπ ηελ απνδίδεηε; (βαθμοί 2)
4-6
5
ππφζεζε ηεο ζπκκεηξίαο γηα λα ππνινγηζηεί ην πνζνζηφ ησλ ππαιιήισλ κε κηζζφ
β)Ζ ηπραία κεηαβιεηή Υ διηλεη ηα εηήζηα εηζνδήκαηα ελφο πιεζπζκνχ λνηθνθπξηψλ κε ζπλάξηεζε
πηζαλφηεηαο
δαπάλεο ηνζο δίλνληαη απφ
P(30 Y 60).
p ( x)
300 5 x ,x= 500
ηελ ζρέζε
Y
20, 30, 40, 50 ρηι. €. Αλ νη εηήζηεο
X 5, 2
λα βξεζεί ε Δ(Y), ε V(Y) θαη ε
(βαθμοί 3)
ΘΔΜΑ Β α)1)Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε εθαηνκκχξηα δξαρκέο) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλλνπο) 3 πξντφλησλ πνπ πνπιήζεθαλ θαηά ηα έηε 1990 θαη 1995:
18
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011 Λα βξεζεί ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 1995
ΠΡΟΪΟΝ
ζε ηηκέο 1990 (βαθμόρ 1)
Α
2
3
2
Β
3
5
1
Γ
5
6
3
2)Γίλεηαη παξαπιεχξσο ε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ θακππιψλ ηνπ Lorenz δχν πεξηπηψζεσλ θαηαλνκψλ εηζνδεκάησλ. ε πνηα πεξίπησζε (1 ή 2) ππάξρεη κεγαιχηεξε αληζνθαηαλνκή θαη γηαηί; Πνηα γξακκή αλαπαξηζηά ηε κέγηζηε δπλαηή αληζνθαηαλνκή θαη πνηα ηελ ειάρηζηε; (βαθμόρ 1)
β)΄Δζησζαλ δχν ανεξάπηηηα ελδερφκελα Α θαη Β ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Χ. Αλ νη πηζαλφηεηεο Ρ(ΑΒ) θαη Ρ(Β) είλαη άληζεο θαη παίξλνπλ ηηκέο ζην ζχλνιν
1 2 8 , , , 2 5 5
λα
ππνινγηζηνχλ νη πηζαλφηεηεο (α) Ρ(Α), (β) Ρ(κφλνλ Α) θαη (γ) Π(νχηε Α νχηε Β). Γίδεηαη φηη γηα δχν ελδερφκελα
A1 A2
ηφηε θαη
A1
θαη
A2 ηζρχεη
ελ γέλεη: (α)
A1 A2 A1
(β)
A1 A2 A2
θαη (γ) αλ
P( A1 ) P( A2 ) . (βαθμοί 3)
ΘΔΜΑ Γ α)1) Ο αξηζκεηηθφο κέζνο 200 ηηκψλ είλαη 15. Αλ ν αξηζκεηηθφο κέζνο 50 ηηκψλ απφ απηέο είλαη 9,
λα βξεζεί ν αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ ππφινηπσλ 150 ηηκψλ. Αλ θαζεκηά απφ ηηο
200 απηέο ηηκέο απμεζεί θαηά 20%, πνηνο ζα είλαη ν λένο κέζνο; (βαθμόρ 1) 2)Κηα βηνηερλία απμάλεη ηελ ηηκή ηνπ πξντφληνο ηεο θαηά 20%. Θαηά πνην πνζνζηφ πξέπεη λα κεησζεί ν φγθνο ησλ πσιήζεσλ ηεο, ψζηε λα κε κεησζνχλ νη εηζπξάμεηο ηεο; (βαθμόρ 1) β)Έζησ Υ ν αξηζκφο ησλ θπιίλδξσλ ελφο
Χ: 4 5 4 3 4 5 5 4 4 3
απηνθηλήηνπ θαη Τ νη θνξνινγήζηκνη ίππνη ηνπ. Γηα ηνλ παξάπιεπξν πίλαθα δέθα απηνθηλιεησλ λα
Τ: 12 14 12 7 12 14 16θσ 12 14 7 αρχισ και περί τον μζςον 2 τάξθσ. (3) Είναι
ππνινγηζηεί (1) ε απφ θνηλνχ ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ησλ Υ, Τ. (2) νη ξνπέο πεξί ηελ Από ηα ηπία θέμαηα να γπαθούν δύο. Μποπείηαι να θύγεηε (σωπίρ ηα θέμαηα) ζε μιζή ώπα.
Στατιςτική Ι – Ιούνιοσ 2006 ΘΔΜΑ Α . α) ε ζπκκεηξηθή θαηαλνκή ζπληάμεσλ ηνπ Ηνπλίνπ 2003, ππνινγίζηεθε ην πξψην ηεηαξηεκφξην Q1 =250€ θαη ε ηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε Q=50€ . 1) Λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ κηζζψλ πνπ ήηαλ πάλσ απφ 450€ .( βαθμόρ 1). 2) Αλ ηνλ Ηαλνπάξην ηνπ 2004 νη
19
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
παξαπάλσ κηζζνί απμήζεθαλ θαηά 10%, λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο ησλ λέσλ κηζζψλ. ( βαθμόρ 1) β) 1) ε κηα θαηαλνκή Poisson ηζρχεη 2Ρ(Υ=0)=Ρ(Υ≥1). Λα ππνινγηζζεί ην ι. Κε βάζε ηελ απάληεζε ζην πξνεγνχκελν εξψηεκα λα ππνινγηζηεί ε Ρ(Υ≤2). (βαθμοί 2).
2)
Κηα γξακκή παξαγσγήο παξάγεη 10% ειαηησκαηηθά πξντφληα. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα βξεζεί ηνπιάρηζηνλ έλα ειαηησκαηηθφ πξντφλ θαηά ηε δηάξθεηα ειέγρνπ 10 πξντφλησλ ; ( βαθμόρ 1) ΘΔΜΑ Β. α) 1) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ ( ζε εθαηνκκχξηα ΔΤΡΧ) θαη πνζνηήησλ ( ζε ηφ Q06 λνπο ) 3 πξντφλησλ πνπ αγνξάζηεθαλ θαηά ηα έηε 2002 θαη 2006 : ΠΡΟΨΟΛ
P02
P06
Q06
Α
4
6
5
Β
9
9
9
Γ
8
12
4
Λα βξεζεί ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 1999 ζε ηηκέο 1996 (βαθμόρ 1) β) 1)
Λα ππνινγηζηεί ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο θαη ε αζξνηζηηθή θαηαλνκή
πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιήηεο Υ=απφιπηε δηαθνξά ησλ ελδείμεσλ
δπν δαξηψλ. Λα
ππνινγηζηνχλ επίζεο ε πξνζδνθψκελε ηηκή θαη ε δηαζπνξά ηεο κεηαβιεηήο. Δίλαη ε θαηαλνκή ηεο Υ ζπκκεηξηθή; ( δηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζή ζαο ). ( βαθμοί 3) 2) Κία θάιπε πεξηέρεη 5 καχξα θαη 4 ιεπθά ζθαηξίδηα. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα βξεζεί θάπνηνο κε ηξία καχξα ζθαηξίδηα φηαλ επηιέμεη πέληε ζθαηξίδηα απφ ηελ θάιπε, ρσξίο επαλάζεζε ; (βαθμόρ 1) ΘΔΜΑ Γ. α)
1) Κηα βηνηερλία
απμάλεη ηελ ηηκή ηνπ πξντφληνο ηεο θαηά 30%. Θαηά πνην πνζνζηφ
πξέπεη λα κεησζεί ν φγθνο ησλ πσιήζεψλ ηεο, ψζηε λα κε κεησζνχλ νη εηζπξάμεηο ηεο : ( βαθμόρ 1) 2)Πνηεο βαζηθέο αξρέο ηεξνχληαη θαηά ηελ θαηάξηηζε ελφο εξσηεκαηνινγίνπ;(βαθμόρ 1) β) 1)
ε κηα ιαρεηνθφξν αγνξά πσινχληαη 2000 ιαρλνί, απφ ηνπο νπνίνπο έλαο ( ν
<<πξψηνο >>) θεξδίδεη 1000€ θαη άιινο έλαο 500€ ( ν << δεχηεξνο >>) . ε πνηα ηηκή πξέπεη λα πσιείηαη ν θάζε ιαρλφο νχησο ψζηε λα πξνθχςεη πξνζδνθψκελν θέξδνο 5000 € γηα ηνλ δηνξγαλσηή ηεο ιαρεηνθφξνπ αγνξάο ; Λα ν ξηζζεί ε
θαηάιιειε ηπραία
κεηαβιεηή, λα
ππνινγηζηεί ε θαηαλνκή ηεο θαη ε θαηάιιειε πξνζδνθψκελε
βαθμόρ 1)
ε κηα
2)
ηηκή. (
ηάμε 100 καζεηψλ νη 45 είλαη αγφξηα. Αλ ην 30% ησλ καζεηψλ
πεξάζεη ζηηο εμεηάζεηο θαη αλ ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη είλαη δηπιάζηα απφ ηελ πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα αγφξη, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη εμεηάζεηο ;
20
www.dap-oikonomikou.gr
ζηηο
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
Πνηα ζα ήηαλ ε πξνεγνχκελε πηζαλφηεηα αλ ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη είλαη ίζε κε ηελ πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα αγφξη
( δηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζή ζαο ) ;
(
βαθμοί 2) Γίνεηαι ln(1/3)=-1,0986) Από ηα ηπία θέμαηα να γπαθούν δύο.
Στατιςτική Ι – Ιανουάριοσ 2006 Θέκα 1ν (α)
(βαζκφο
1)
Γίλεηαη
ε
θαηάηαμε
θαη
ε
πνζνζηηαία θαηάηαμε ησλ ςήθσλ πνπ πήξαλ ηα
ΘΟΚΚΑ
fi
δχν πξψηα θφκκαηα θαη φια ηα κηθξφηεξα καδί ζε κία
πφιε
ζηηο
ζπκπιεξσζνχλ
ηειεπηαίεο
νη
Λα
Α
ζρεηηθέο
Β
εθινγέο.
ζπρλφηεηεο
θαη
i %
ΑΡ. ΦΖΦΧΛ
ζπρλφηεηεο πνπ ιείπνπλ θαη λα παξαζηαζεί ε
ΚΗΘΡΑ
θαηάηαμε κε θπθιηθφ δηάγξακκα.
ΤΛΟΙΟ
4500 40
10000
(β) (βαζκφο 1) Ζ ξνπιέηα έρεη 36 αξηζκνχο 1,2,3,,,,,36 θαη ηνλ αξηζκφ 0. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ζην 5 ν παηρλίδη λα εκθαληζζεί γηα 3ε θνξά ην 0; (γ) (βαζκφο 1) Αλ ε ηκ Υ έρεη ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ηεο κνξθήο θρ – ρ=1,2,,,,,50, λα βξεζεί ην θ, δειαδή ε ξ(ρ) θαη ζηελ ζπλέρεηα ε Δ(Υ). (δ) (βαζκνί 2) Γίλεηαη ε απφ θνηλνχ θαηαλνκή ησλ κεηαβιεηψλ Υ θαη Τ. Λα ειεγρζεί ε αλεμαξηεζία ηνπο. Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο
Υ\Τ
7
9
10
0.16
0.64
12
0.10.046
ξ(Υ,Τ) θαη ε Ρ(Τ=7\Υ=10) θαη λα ζρνιηαζζεί αλ πεξηκέλακε ηα δχν ηειεπηαία απνηειέζκαηα. Θέκα 2ν Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ ζε ρηι. δξρ. θαη πνζνηήησλ ζε ηφλνπο ηξηψλ πξντφλησλ πνπ δηαθηλήζεθαλ ην 1996 θαη ην 1999. Πξντφλ
p96
q96
p99
(α) (βαζκφο 1) Λα ππνινγηζζεί έλαο δείθηεο φγθνπ ηνπο
Α
10
3
14
θαηά ην 1999 έλαληη ηνπ 1996, αλ ε αμία ηνπο θαηά ην 1999
Β
2
10
3
είλαη κεησκέλε θαηά 20% έλαληη ηνπ 1996
Γ
16
5
18
(β) (βαζκφο 1) Λα ππνινγηζζεί ε κέζε εηήζηα πνζνζηηαία κεηαβνιή ηεο ηηκήο ηνπ πξντφληνο Α απφ ην 1996 κέρξη ην
1999 (γ) (βαζκνί 2) Ο αξηζκφο πξντφλησλ Υ πνπ δίλεη κηα βηνηερλία θάζε κέξα ζε έλαλ πειάηε ηεο, έρεη θαηαλνκή πηζαλφηεηαο Υ
1
2
3
4
Ρ(Υ)
0.4
0.2
0.3
0.1
21
(η) Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο θαηαλνκήο
www.dap-oikonomikou.gr
1
ηεο
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
(ηη) Αλ Θ = 80Υ – 20 είλαη ην εκεξήζην θέξδνο ζε € ηεο βηνηερλίαο απφ απηφλ ηνλ πειάηε, λα βξεζεί ην κέζν εκεξήζην θέξδνο ηεο απφ απηφλ θαη ε ηππηθή απφθιηζε ηνπ Θ. (δ) (βαζκφο 1) Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα απφ 1000 άηνκα πνπ γελλήζεθαλ ην 1955, ηα 2 λα έρνπλ γελλεζεί ηελ Πξσηνρξνληά. (Λα ρξεζηκνπνηεζεί ε πξνζέγγηζε Poisson). Θέκα 3ν (α) (βαζκφο 1) Γίλεηαη ε θαηαλνκή κηζζψλ ησλ 410 ππαιιήισλ κηαο επηρείξεζεο. Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο Gini ησλ κηζζψλ ηνπο θαη λα δηθαηνινγεζεί ην απνηέιεζκα απφ ηε κνξθή ηεο θαηαλνκήο ζπρλνηήησλ ΚΗΘΟΗ (€)
ΑΡ. ΤΠΑΙΙΖΙΧΛ (β) (βαζκφο 1) Απφ 10 θνηηεηέο επηιέγεηαη κηα
fi 800-<1200
400
1200-1600
8
1600-2000
2
ηξηκειήο επηηξνπή. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ν ζπγθεθξηκέλνο θνηηεηήο Φ πνπ πεξηιακβάλεηαη ζηνπο 10 λα επηιεγεί (η) θαηά ηε δεχηεξε ιήςε θαη (ηη) θαηά ηελ Σξίηε ιήςε;
(γ) (βαζκφο 1) Σν 25% ηνπ πιεζπζκνχ έρεη ζάθραξν (). ε εξγαζηεξηαθή εμέηαζε, ε _
δηάγλσζε είλαη Θεηηθή (Θ) ζην 90% φζσλ έρνπλ θαη ζην 10% φζσλ δελ έρνπλ ( ). Αλ ε δηάγλσζε είλαη Θεηηθή, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα έλα άηνκν πνπ εμεηάζζεθε, λα έρεη πξάγκαηη ζάθραξν; (δ) (βαζκφο 1) Ζ ηκ Υ / ρ = 8,12,16,20 έρεη
3 0 θαη p(16) 0.35 .Λα βξεζεί ε θαηαλνκή
πηζαλφηεηαο ηεο ηκ Υ θαη ε Δ(Υ) θαη λα ζρνιηαζζεί αλ πεξηκέλακε απηφ ην απνηέιεζκα. (ε) (βαζκφο 1) Αλ ε ηκ Υ~Poisson θαη βξέζεθε φηη ξ(3) = ξ(4), λα ππνινγηζζεί ε
P[ E ( X ) 2 X Γίλνληαη:
E( X ) ]. 3
log14 1.15,log1.12 0.05, e2.74 0.0646e4 0.018
ΝΑ ΓΟΘΟΤΝ ΑΠΑΝΣΗΔΙ Δ 2 ΘΔΜΑΣΑ
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2005 ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΙΑ ΘΔΜΑΣΑ ΝΑ ΓΡΑΦΟΤΝ ΓΤΟ ΘΔΜΑ Α (α) (βαζκφο 1) ε θαηαλνκή εηεζίσλ εηζνδεκάησλ ηνπ Ηαλνπαξίνπ 2002, ππνινγίζηεθε ην πξψην ηεηαξηεκφξην
Q1 =18.000€
θαη ην ελδνηεηαξηεκνξηαθφ εχξνο Q=5.000€. Πνηα
ζπλζήθε πξέπεη λα ηζρχεη, ψζηε λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ εηζνδεκάησλ πνπ ήηαλ θάησ απφ 8.000€; Πνην είλαη ην πνζνζηφ απηφ; (β) 1) (βαζκνί 2) Έλαο πξφρεηξνο έιεγρνο 20 πξντφλησλ κηαο γξακκήο παξαγσγήο εληφπηζε 1 ειαηησκαηηθφ πξντφλ. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα βξεζνχλ ηνπιάρηζηνλ ηξία ειαηησκαηηθά θαηά ηελ δηάξθεηα ηαθηηθνχ ειέγρνπ 100 πξντφλησλ;
22
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
2) (βαζκνί 2) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλαο καζεηήο ην κάζεκα ηεο ηαηηθήο Η κε ηελ Σξίηε θνξά, φηαλ θάζε θνξά πνπ δίλεη εμεηάζεηο ε πηζαλφηεηα επηηπρίαο είλαη 0,3. Πνηα ππφζεζε πξέπεη λα θάλεηε γηα λα ιχζεηε ην πξφβιεκα; ΘΔΜΑ Β (α) (βαζκνί 2) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε ρηιηάδεο €) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλνπο) 3 πξντφλησλ πνπ αγνξάζηεθαλ θαηά ηα έηε 2000 θαη 2005: ΠΡΟΨΟΛ
p00
p05
q05
Α
4
6
5
Β
5
10
7
Γ
5
12
5
Λα βξεζεί θαηάιιεινο αξηζκνδείθηεο ηηκψλ (πνηνο;) θαη ε κέζε εηήζηα πνζνζηηαία κεηαβνιή ηεο ΑΓΥ θαηά ηελ πεληαεηία 2000-2005 σο πξνο ηα πξντφληα απηά.
(β) 1) (βαζκνί 2) Έζησ ε ζπλάξηεζε
f ( x) kx 2 , ρ=1,2,3,4. Λα ππνινγηζηεί ην k έηζη ψζηε
ε f(x) λα είλαη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο κηαο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. Λα ππνινγηζηνχλ επίζεο ε αζξνηζηηθή θαηαλνκή πηζαλφηεηαο, ε πξνζδνθψκελε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε ηεο Υ. 2) (βαζκφο 1) Κηα θάιπε πεξηέρεη 7 ιεπθά θαη 3 πξάζηλα ζθαηξίδηα. Αλ επηιέμνπκε ηξία απφ απηά – ρσξίο επαλάζεζε – πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην έλα κφλνλ λα είλαη ιεπθφ; ΘΔΜΑ Γ (α) 1) (βαζκφο 1) Κηα βηνηερλία απμάλεη ηελ ηηκή ηνπ πξντφληνο ηεο θαηά 20%. Πνηα πνζνζηηαία κείσζε ηνπ φγθνπ ησλ πσιήζεσλ ηεο, ζα αθήζεη ακεηάβιεηεο ηηο εηζπξάμεηο ηεο; 2) (βαζκφο 1) Γψζηε ηνλ εκπεηξηθφ θαη ην ζπλνινζεσξεηηθφ νξηζκφ ηεο πηζαλφηεηαο (β) 1) (βαζκφο 1) ε έλα ιαρλφ θεξδίδνπλ φζνη επηιέμνπλ ζσζηά κηα ηεηξάδα αξηζκψλ απφ ην 1 έσο ην 30 (π.ρ. 7-12-25-29), πνπ επηιέγνληαη ρσξίο επαλάζεζε. Αλ ην θφζηνο θάζε ιαρλνχ είλαη 1€ θαη ην θέξδνο ηνπ ληθεηή είλαη 1000€, πνην ην πξνζδνθψκελν θέξδνο (ή δεκηά) ελφο ηπραίνπ παίθηε; 2) (βαζκνί 2) ε κηα ηάμε 100 καζεηψλ νη 45 είλαη αγφξηα. Αλ ην 31% ησλ καζεηψλ πεξάζεη ζηηο εμεηάζεηο θαη αλ ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη είλαη ε δηπιάζηα απφ ηελ πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα αγφξη, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη ηηο εμεηάζεηο; Πνηα ζα ήηαλ ε πξνεγνχκελε πηζαλφηεηα αλ ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη είλαη ίζε κε ηελ πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα αγφξη (δηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζή ζαο)
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2005 ΘΔΜΑ Α (α) Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ εβδνκαδηαίσλ δαπαλψλ 60 θνηηεηψλ γηα αλαςπρή: Λα ππνινγηζηνχλ: ε κέζε ηηκή, ε ηππηθή απφθιηζε, ε δηάκεζνο θαη ην πξψην θαη ηξίην ηεηαξηεκφξην. (βαζκνί 2)
23
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
ΓΑΠΑΛΔ
ΑΡΗΘΚΟ
(β) Έζησ Υ ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ πξνθχπηεη σο ε
(ρηι.δξρ.)
ΦΟΗΣΖΣΧΛ
απφιπηε ηηκή ηεο δηαθνξάο ησλ ελδείμεσλ δχν δαξηψλ.
2-<4
4
4-6
10
πηζαλφηεηαο θαη ε αζξνηζηηθή θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο
6-8
34
Υ. (βαζκφο 1)
8-10
6
10-12
6
1)
Λα
ππνινγηζηεί
ε
ζπλάξηεζε
ππθλφηεηαο
2) Λα ππνινγηζηνχλ ε πξνζδνθψκελε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε ηεο Υ. (βαζκφο 1) 3) Δίλαη ε θαηαλνκή ζπκκεηξηθή; Γηθαηνινγήζαηε ηελ
απάληεζή ζαο. (βαζκφο 1) ΘΔΜΑ Β (α) 1) Γίλνληαη ηα ζηνηρεία ηηκψλ (ζε εθαηνκκχξηα δξαρκέο) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλνπο) 3 πξντφλησλ πνπ πνπιήζεθαλ θαηά ηα έηε 1990 θαη 1995: ΠΡΟΨΟΛ
P90
P95
Q95
Α
2
9
2
Β
3
5
1
Γ
5
6
3
Λα βξεζεί ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 1995 ζε ηηκέο 1990 (βαζκφο 1)
2) Πνηα είλαη ε ζρέζε κεηαμχ ζπληειεζηή αληζνθαηαλνκήο ηνπ Gini θαη ηεο θακπχιεο Lorenz; (βαζκφο 1) (β) 1) Γψζαηε ηνπο νξηζκνχο (i) αλεμάξηεησλ θαη (ii) μέλσλ κεηαμχ ηνπο ελδερνκέλσλ. Πνηα είλαη ε ζρέζε κεηαμχ ησλ δχν θαηεγνξηψλ ελδερνκέλσλ; (βαζκφο 1) 2) Έζησζαλ δχν ελδερφκελα Α θαη Β ελφο δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Χ. Αλ νη πηζαλφηεηεο Ρ(ΑΒ) θαη Ρ(Β) είλαη άληζεο θαη παίξλνπλ ηηκέο ζην ζχλνιν { 1
2,3 4 ,5 4 }
λα ππνινγηζηνχλ νη
πηζαλφηεηεο (i) Ρ(Α) θαη (ii) Ρ(κφλνλ Α). Γίδεηαη φηη γηα δχν ελδερφκελα γέλεη: (α)
A1 A2 A1 , (β) A1 A2 A2 , θαη αλ (γ) A1 A2
A1
θαη
ηφηε θαη Ρ( A1 ) Ρ(
A2 ηζρχεη
ελ
A2 ). (βαζκνί
2) ΘΔΜΑ Γ (α) 1)Ζ ηηκή ηεο βελδίλεο απμήζεθε ην ηειεπηαίν δεθάκελν θαηά 30%. Λα ππνινγηζηεί ε κέζε κεληαία αχμεζε ηεο ηηκήο γηα ηελ πεξίνδν απηή. (βαζκφο1) 2) Λα ειεγρζεί αλ ν ηδαληθφο ηηκάξηζκνο πιεξνί ην θξηηήξην αληηζηξνθήο ζην ρξφλν. (βαζκφο 1) (β) 1) Έζησ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ πνπ παίξλεη ηηο ηηκέο -1,0,1 κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο Ρ(Υ=-1) = 0,25 ,Ρ(Υ=0) = 0,5
,Ρ(Υ=1) = 0,25. Έζησ θαη
Y X 2 , κηα άιιε
ηπραία κεηαβιεηή. Λα ππνινγηζηεί ε απφ θνηλνχ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ησλ Υ,Τ θαη λα ειεγρζεί αλ είλαη αζπζρέηηζηεο θαη λα είλαη αλεμάξηεηεο. (βαζκνί 2) 2) Σν ηειεθσληθφ θέληξν κηαο ππεξεζίαο έρεη ζρεδηαζηεί λα εμππεξεηεί ην κέγηζην 2 θιήζεηο ην δεπηεξφιεπην. Αλ ν κέζνο αξηζκφο θιήζεσλ πνπ δέρεηαη ε ππεξεζία είλαη 1 θιήζε
24
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
ην δεπηεξφιεπην, ζε ηη πνζνζηφ νη θαινχληεο ηελ ππεξεζία ζα βξίζθνπλ ηελ γξακκή θαηεηιεκκέλε; (βαζκφο 1)
(Γίδνληαη:
e 1 =0,3679
ln(1,0221)=0,0219
θαη ln(1,3)=0,2624)). Να γπαθούν μόνο 2
από ηα 3 θέμαηα.
Στατιςτική Ι – Φεβρουάριοσ 2005 ΘΔΜΑ 1. Γίλνληαη ηα πεξπζηλά θέξδε θαη δεκηέο 10 επηρεηξήζεσλ ζε εθαηνκκχξηα επξψ: 3,4,6,-2,3,1,9,-63,4,8. a) (Βαζκνί 2) Λα θαηαζθεπαζζεί ε θαηαλνκή ζπρλνηήησλ κε ίζα ππνδηαζηήκαηα εχξνπο δ=4 θαη αξρή ηνπ πξψηνπ ππνδηαζηήκαηνο ην-6 θαη λα ππνινγηζζεί ε δηαθχκαλζε θαη ε δηάκεζνο ησλ θεξδψλ. b) (Βαζκφο 1) Αλ επηιεγνχλ 3 απφ απηέο ηηο επηρεηξήζεηο, (ρσξίο επαλάζεζε), πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα νη 2 λα έρνπλ θέξδε απφ 2 εθαηνκκχξηα επξψ θαη πάλσ; c)
(Βαζκνί 2) Βηνηερλία πνπιάεη θάζε κέξα Υ ηεκάρηα ηνπ πξντφληνο ηεο κε ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ξ(ρ)=
60 x 100
/ ρ= 20,30,40,50. Αλ ε ηκ Y δίλεη ην θέξδνο ηεο θαη απφ ηελ
πψιεζε θάζε ηεκαρίνπ θεξδίδεη 45 επξψ(Y=45X), λα ππνινγηζζεί ην κέζν εκεξήζην θέξδνο θαη ε ηππηθή απφθιηζή ηνπ. Δίλαη νη Υ θαη Y ζπζρεηηζκέλεο; Γηαηί; ΘΔΜΑ2. a) (Βαζκφο 1) ε θαηαλνκή ινγαξηαζκψλ ηεο ΓΔΖ ελφο πιεζπζκνχ 100 λνηθνθπξηψλ ζε επξψ ππνινγίζζεθαλ
fi X i =6700
,
fi X
2
i
=457000 θαη ε δηάκεζνο Κ=67. Αλ
δηαπηζησζεί φηη πιεξνχληαη νη θαηάιιειεο ζπλζήθεο, λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ ινγαξηαζκψλ πνπ είλαη θάησ απφ 58 επξψ. b) (Βαζκφο 1) θνπεπηήο πεηπραίλεη ηνλ ζηφρν ηνπ κε πηζαλφηεηα ξ=0,7. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα ηνλ πεηχρεη γηα Σξίηε θνξά ζηελ δέθαηε βνιή; c)
(Βαζκνί 2) Γίλνληαη ηα δεχγε ηηκψλ (10,7) θαη (100,13) ησλ ηκ X θαη Y. Λα βξεζεί ε απφ θνηλνχ θαηαλνκή ηεο δηκεηαβιεηήο (Υ,Y) , λα ππνινγηζζεί ν ξ θαη λα ζρνιηαζζεί αλ πεξηκέλακε απηφ ην απνηέιεζκα.
d) (Βαζκφο 1) Θάζε ψξα επηζθέπηνληαη έλα ηαηξείν θαηά κέζνλ φξν 3 άηνκα θαη ε θαηαλνκή ηνπο είλαη Poisson. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην επφκελν δίσξν λα ην επηζθεθζεί ηνπιάρηζηνλ έλα άηνκν;
25
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
ΘΔΜΑ3. a) (Βαζκφο 1) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ ζε ρηι.δξρ. θαη
Πξντφλ
P96
Q96
P99
πνπιήζεθαλ ην 1996 θαη ην 1999. Λα βξεζεί ε
Α
10
3
14
κεηαβνιή ηεο ΑΓΥ γηα ηελ νκάδα θαηά ην 1999
Β
2
10
3
έλαληη ηνπ 1996. Αλ δίλεηαη φηη ε αμία ηνπο απμήζεθε
Γ
16
5
18
πνζνηήησλ
ζε
ηφλνπο
ηξηψλ
πξντφλησλ
πνπ
θαηά 30%, λα ππνινγηζζεί έλαο δείθηεο φγθνπ ηνπο θαηά ην 1999 έλαληη 1996 θαη λα ειεγρζεί αλ ζηελ αχμεζε ηεο αμίαο ηνπο ζπλέβαιαλ πεξηζζφηεξν νη κεηαβνιέο ησλ ηηκψλ ή νη κεηαβνιέο ησλ πνζνηήησλ ηνπο. b) (Βαζκφο 1) Ζ πηζαλφηεηα ειαηησκαηηθνχ πξντφληνο κηαο κεραλήο είλαη 1/100000. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα ζε 300000 πξντφληα λα βξεζνχλ ην πνιχ δχν ειαηησκαηηθά. c)
(Βαζκφο 1) Λα δεηρζεί φηη COV(X+Y,X-Y)=V(X)-V(Y)
d) (Βαζκφο 1) Σν 45% ησλ θνηηεηψλ καζαίλεη Γαιιηθά, ην 40% Αγγιηθά θαη Γαιιηθά θαη ην 25% άιιε γιψζζα. Αλ επηιεγεί έλαο θνηηεηήο πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα καζαίλεη κφλν Αγγιηθά; e) (Βαζκφο 1) ε λνηθνθπξηφ κε ηξία παηδηά, γλσξίδνπκε φηη ππάξρεη αγφξη(ηνπιάρηζηνλ έλα) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ηα δχν παηδηά λα είλαη αγφξηα;
Γίλεηαη φηη
e3 =0,0498.
Να δοθούν απανηήζεις ζε 2 θέμαηα. Το θύλλο ηων θεμάηων να παραδοθεί με ηο γραπηό.
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2004 ΘΔΜΑ Α Α) Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ κεληαίσλ δαπαλψλ 60 λνηθνθπξηψλ γηα θαγεηφ (ζε εθαηνληάδεο ΔΤΡΧ): ΓΑΠΑΛΔ
ΑΡΗΘΚΟ
1) Λα ειεγρζεί ε αζπκκεηξία ηεο θαηά Pearson ζπλαξηήζεη
ΛΟΗΘΟΘΤΡΗΧΛ
ηεο δηακέζνπ.
1–<3
4
3–3
16
2) Αλ πιεξνχηαη ε θαηάιιειε πξνυπφζεζε, θαη ζεσξεζεί φηη
5–7
21
ζ = 2, λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ λνηθνθπξηψλ πνπ δαπαλνχλ:
7–9
14
(i) απφ 200 € κέρξη 600 € θαη (ii) πεξηζζφηεξεο απφ 800 €
9 - 11
5
(βαθμοί 2)
Β) 1) Γπν κεραλέο Α θαη Β παξάγνπλ ειαηησκαηηθά πξντφληα ζε πνζνζηφ 5% θαη 10%, αληίζηνηρα. Αλ ε Α θαιχπηεη ην 60% ηεο ζπλνιηθήο παξαγσγήο, πνην είλαη ην ζπλνιηθφ πνζνζηφ ειαηησκαηηθψλ πξντφλησλ; (βαθμοί 2)
26
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
2) Γηαβάδνληαο ζηελ εθεκεξίδα φηη ην 60% ησλ βνπιεπηψλ είλαη θαηά ηεο δηελέξγεηαο εθινγψλ ηελ πξνζερή άλνημε, έλαο βνπιεπηήο ξσηά ηελ γλψκε 6 ζπλαδέιθσλ ηνπ. Αλ ην άξζξν ηεο εθεκεξίδαο είλαη ζσζηφ πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα άλσ ησλ ηεζζάξσλ εξσηψκελσλ λα είλαη ππέξ ηεο δηελέξγεηαο εθινγψλ; (βαθμόρ 1) ΘΔΜΑ Β Α) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε εθαηνκκχξηα ΔΤΡΧ) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλλνπο) 3 πξντφλησλ πνπ πνπιήζεθαλ θαηά ηα έηε 2002 θαη 2004: Λα ππνινγηζηεί θαηάιιεινο δείθηεο ηηκψλ, ε αγνξαζηηθή δχλακε
ΠΡΟΨΟΛ
02 04 Q04
Α
2
3
2
ηνπ ρξήκαηνο ην 2004 κε βάζε ην 2D02 θαη λα απνπιεζσξηζηεί ε
Β
3
5
1
αμία ηνπ 2004 ζε ηηκέο 2002. -(βαθμοί 2)
Γ
5
6
3
Β) 1) Λα δνζεί ν νξηζκφο ηεο αλεμαξηεζίαο ελδερνκέλσλ Α θαη Β κε δχν ηξφπνπο, (βαθμόρ 1) 2) Αλ ν κέζνο αξηζκφο αθίμεσλ αεξνζθαθψλ αλά 24σξν ζην αεξνδξφκην «Διεπζέξηνο Βεληδέινο» είλαη 120, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα αθηρζνχλ ιηγφηεξα απφ ηξία αεξνζθάθε απφ ηηο 8 κέρξη ηηο 9 ην πξσί; (βαθμοί 2) ΘΔΜΑ Γ _
α) ε κηα ζπκκεηξηθή θαηαλνκή ηζρχεη Q = 80 θαη
x
=120. Λα ππνινγηζηνχλ ηα
Q1 , Q3
θαη
2 . (βαθμοί 2)
β) Έζησ Υ ηπραία κεηαβιεηή θαη ζπλάξηεζε
kx , x 1, 2,3, 4 .(α) f ( x) 20 0, αλλου
Λα ππνινγηζηεί
ην k έηζη ψζηε ε f(x) λα είλαη ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ηεο Υ. (β) Nα ππνινγηζηνχλ νη Δ[Χ] θαη V[X]. (βαθμοί 3)
Στατιςτική Ι – Ιούνιοσ 2004 ΘΔΜΑ Α a. ε κηα ζπκκεηξηθή θαηαλνκή κηζζψλ δίδεηαη φηη
Q3 500
θαη
Q1 300 .
Λα
ππνινγηζζνχλ ν κέζνο φξνο, ε ηππηθή απφθιηζε θαη ε δηαθχκαλζε, (βαθμοί 2). b. Έλα θαηάζηεκα πνπιά κεραλήκαηα πνπ πξνέξρνληαη απφ ηα εξγνζηάζηα Α (70%) θαη Β (30%). Απφ ηα κεραλήκαηα πνπ πξνέξρνληαη απφ ην Α, ην 20% είλαη ειαηησκαηηθά, ελψ απφ ην Β ην 10%. Πνην είλαη ην πνζνζηφ ησλ ειαηησκαηηθψλ κεραλεκάησλ ζπλνιηθά; Απφ ηα ειαηησκαηηθά, ηη πνζνζηφ πξνέξρεηαη απφ ην εξγνζηάζην Α; (βαθμοί 2) (2) Λα απνδεηρζεί φηη
27
Cov(aX b, cY d ) acCov( X , Y ) . (βαθμόρ 1) www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
ΘΔΜΑ Β a. (1) Γίλεηαη ε θαηαλνκή ηεο έθηαζεο 500
Έθηαζε (ζηξέκκαηα)
ΑΡΗΘΚΟ ΑΓΡΧΛ
αγξψλ ζηελ πεξηνρή ηεο Ιηβαδεηάο. Λα βξεζεί
1-<5
90
ν ζπληειεζηήο Gini θαη λα εξκελεπζεί ε
5 – 10
100
έλλνηα ηνπ. (βαθμόρ 1) (2) Γίδνληαη ε
10 – 50
110
ζπλνιηθή αμία ηξηψλ πξντφλησλ ην έηνο 2000
50 - 100
200
ίζε
κε
400
εθαηνκκχξηα
Δπξψ,
ν
αξηζκνδείθηεο κεηαβνιήο ηεο αμίαο απφ ην 1990 ζην 2000 ίζνο κε 125 θαη ν δείθηεο κεηαβνιήο ησλ ηηκψλ (ηνπ Paasche) απφ ην 1990 ζην 2000 ίζνο κε 160. Λα ππνινγηζηεί ν δείθηεο κεηαβνιήο φγθνπ (ηνπ Laspeyres) απφ ην 1990 ζην 2000. (βαθμόρ 1) b. (1) ε εμεηάζεηο πνιιαπιψλ επηινγψλ θάζε εξψηεζε έρεη ηξεηο δπλαηέο (αιιά κφλνλ κηα ζσζηή) απαληήζεηο. Δάλ θάζε ζσζηή απάληεζε βαζκνινγείηαη κε 1 κνλάδα, ηη θιάζκα ηεο κνλάδαο πξέπεη λα αθαηξείηαη γηα θάζε ιάζνο απάληεζε, έηζη ψζηε θάπνηνο πνπ απαληά ην δηαγψληζκα ζηελ ηχρε λα κελ θεξδίδεη ηίπνηε; Αλ δελ ππάξρεη αξλεηηθή βαζκνινγία, πνην είλαη ην αλακελφκελν θέξδνο αλά εξψηεζε απφ ηπραίεο απαληήζεηο; (βαθμοί 2) (2) Αλ ν κέζνο αξηζκφο αθίμεσλ (αλά δεθάιεπην) ζην ηακείν ελφο ζνχπεξ κάξθεη είλαη 5 άηνκα, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα ζπλαληήζεη θάπνηνο ιηγφηεξα απφ δχν άηνκα θαζψο πάεη ζην ηακείν; (βαθμόρ 1) ΘΔΜΑ Γ a. ε κηα ζπκκεηξηθή θαηαλνκή δαπαλψλ δίδεηαη φηη ε δηάκεζνο είλαη ίζε κε 2000 θαη ε ελδνηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε ίζε κε 1000. Ση πνζνζηφ ησλ δαπαλψλ ππεξβαίλεη ηηο 3500; Ση πνζνζηφ βξίζθεηαη κεηαμχ 500 θαη 5000 ρηιηάδσλ; (βαθμοί 2) b. Έζησ Φ ν αξηζκφο ησλ δσκαηίσλ ελφο δηακεξίζκαηνο θαη Υ ην λνίθη ηνπ (ζε εθαηνληάδεο
€).
Γηα
ηνλ
παξάπιεπξν
X:
2
5
2
4
2
5
5
4
4
2
Y:
3
10
3
10
3
10
8
8
8
2
πίλαθα δέθα δηακεξηζκάησλ λα ππνινγηζηεί (i) ε απφ θνηλνχ ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ησλ Φ,Υ, (ii) φιεο νη ξνπέο πεξί ηελ αξρήλ θαη πεξί ηνλ κέζνλ 2εο ηάμεο, ε ζπλδηαθχκαλζε θαη ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο p, (iii) Δίλαη νη δχν κεηαβιεηέο αλεμάξηεηεο; αζπζρέηηζηεο; (βαθμοί 3)
Γίδεηαι
e5 0.0067 .
Από ηα ηπία θέμαηα να γπαθούν δύο. Καλή επιηςσία!
Στατιςτική Ι – Φεβρουάριοσ 2004 ΘΔΜΑ 1 a.
(Βαζκφο 1), Γηα κία νκάδα πξντφλησλ ππνινγίζζεθαλ, P'93,90=l50, Q93.90=90 θαη V90=200 εθαη. Λα ππνινγηζζεί ε V93 θαη λα απνπιεζσξηζζεί ζε ηηκέο ηνπ 1990.
28
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι b.
2011
(Βαζκνί 2). Απφ θάιπε κε 6 άζπξεο θαη 4 καχξεο ζθαίξεο επηιέγνπκε ηξεηο, Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα επηιέμνπκε δχν καχξεο, αλ ε επηινγή γίλεη (i) ρσξίο επαλάζεζε θαη (ii) κε επαλάζεζε;
c.
(Βαζκνί 2), Ζ δηαθξηηή ηπραία κεηαβιεηή Υ δίλεη ην κεληαίν θέξδνο (ή δεκία) κηαο βηνηερλίαο, κε ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο
p x
x4 , x 1,0,1,2,3 25
ρηι. επξψ. Λα
ππνινγηζζεί ε Ρ(Υ 2 / Υ >0), ε Δ(Υ), ε V(X} θαη λα βξεζεί ην είδνο θαη ε έληαζε ηεο αζπκκεηξίαο ηεο ΘΔΜΑ 2 Ζ ξνπιέηα έρεη 36 αξηζκνχο 1,2,3,...,36 θαη ηνλ αξηζκφ 0 (κεδέλ). a.
(Βαζκφο 1). Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα έιζνπλ 3 ζπλερφκελα κεδέλ;
b.
(Βαζκφο 1). Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ζε 74 παηρλίδηα λα έιζεη 3 θνξέο ην κεδέλ;
c.
(Βαζκνί 2). Γίλεηαη ε απφ θνηλνχ θαηαλνκή ηνπ εηζνδήκαηνο Υ θαη ησλ δαπαλψλ Τ ελφο πιεζπζκνχ λνηθνθπξηψλ ζε εθαηνκκχξηα δξαρκέο. Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ξ(Υ,Τ) θαη ε δηαθχκαλζε ηεο απνηακίεπζεο ηνπο Υ-Τ θαη λα αηηηνινγεζνχλ ηα απνηειέζκαηα.
d.
Υ\Τ
5
6
7
6
0,2
0
0
7
0
0,5
0
8
0
0
0,3
(Βαζκφο 1}. Γίλεηαη ε θαηαλνκή ζπρλνηήησλ ησλ εβδνκαδηαίσλ δαπαλψλ γηα δηαηξνθή 200 λνηθνθπξηψλ, Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο Glnl ηεο θαηαλνκήο θαη λα αηηηνινγεζεί ην απνηέιεζκα. ΓΑΠΑΝΔ
ΑΡΙΘΜΟ ΝΟΙΚΟΚΤΡΙΩΝ
€
F
40 - < 80
194
80 - 120
4
120 - 160
2
ΘΔΜΑ 3 πκκεηξηθή θαηαλνκή κηζζψλ έρεη κέζν a.
X
=1000 επξψ,
(Βαζκφο 1). Λα βξεζεί ε ηππηθή απφθιηζε ζ, αλ γλσξίδνπκε άηη θάησ απφ 900 επξψ θαη πάλσ απφ 1100 επξψ παίξλεη ζπλνιηθά ην 31.73% ησλ εξγαδνκέλσλ.
b.
(Βαζκφο 1}. Αλ φινη απηνί νη κηζζνί απμεζνχλ θαηά 15% θαη δνζεί έλα επίδνκα 50 επξψ, λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο CV ησλ λέσλ κηζζψλ.
29
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι c.
2011
(Βαζκφο 1}. Θάζε ψξα έξρεηαη έλα ή θαλέλα αεξνπιάλν κε πηζαλφηεηα λα έξζεη ίζε κε 1/3. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα ην επφκελν 24σνν λα έξζνπλ 6 αεξνπιάλα θαη ν κέζνο φξνο αθίμεσλ ην 24σξν.
d.
(Βαζκφο 1). Θαηά κέζνλ φξν έξρνληαη 8 αεξνπιάλα ην 24σξν, Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην επφκελν 24σξν λα έξζνπλ 6 αεξνπιάλα; Σν εξψηεκα απηφ έρεη θάπνηα ζρέζε κε ην πξνεγνχκελν;
e.
(Βαζκφο 1). Σα ππνθαηαζηήκαηα Α, Β θαη Γ κηαο Σξάπεδαο απαζρνινχλ 16, 12 θαη 12 ππαιιήινπο αληίζηνηρα. Απ’ απηνχο, 12, 8 θαη 3 ππάιιεινη αληίζηνηρα γλσξίδνπλ θαιά ηε ρξήζε ηνπ Internet. Αλ επηιέμνπκε έλαλ ππάιιειν πνπ γλσξίδεη internet, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη ηνπ ππνθαηαζηήκαηνο Γ; Γίλνληαη: e-2 = 0.135 θαη e-8=0,000335.
Να δοθούν απανηήζεις ζε 2 θέμαηα .Το θύλλο ηων θεμάηων να παραδοθεί με ηο γραπηό.
Στατιςτική Ι – Ιανουάριοσ 2004 ΘΔΜΑ Α α. Γίλεηαη ε θαηαλνκή 40 δηαθνξεηηθψλ κνληέισλ απηνθηλήησλ (ζε
β.
ΣΙΜΗ
ΑΡΙΘΜΟ
ρηιηάδεο ΔΤΡΧ):
σιλ. €
ΜΟΝΣΔΛΩΝ
Λα ππνινγηζηνχλ:
10-15
5
1.
ε κέζε ηηκή θαη ε ηππηθή απφθιηζε ησλ ηηκψλ
15-20
20
2.
ε δηάκεζνο θαη ε ηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε (βαζκνί 2)
20-25
10
25-30
5
(1) Σν 5% ησλ αζζελψλ πνπ εηζάγνληαη ζην Λνζνθνκείν «σηεξία» έρνπλ θπκαηίσζε. Όινη νη αζζελείο πνπ εηζάγνληαη ζην λνζνθνκείν ππνβάιινληαη ζε αθηηλνγξαθία. Ηζηνξηθά ζηνηρεία ηνπ λνννθνκείξπ ππνδεηθλχνπλ φηη ην 95% ησλ θπκαηηθψλ θαη 1% ησλ πγηψλ έρνπλ αθηηλνγξαθίεο κε ζεηηθή έλδεημε θπκαηίσζεο, (i) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα αθηηλνγξαθίαο κε ζεηηθή έλδεημε- θπκαηίσζεο; (ii) Αλ ε αθηηλνγξαθία έρεη ζεηηθή έλδεημε θπκαηίσζεο, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ν αζζελήο λα πάζρεη απφ θπκαηίσζε;
(βαζκνί
2)
(2) Λα ππνινγηζηεί ε πηζαλφηεηα λα «πεξάζεη» ην κάζεκα ηεο ηαηηζηηθήο έλαο θνηηεηήο ηελ 5ε θνξά πνπ ζπκκεηέρεη ζηηο εμεηάζεηο, φηαλ είλαη γλσζηφ φηη ζε θάζε πεξίνδν ην πνζνζηφ επηηπρίαο είλαη 40%; (βαζκ1) ΘΔΜΑ Β α) (1) Γίλεηαη παξαπιεχξσο ε γξαθηθή παξάζηαζε ησλ θακππιψλ
ηνπ
Lorenz
δχν
πεξηπηψζεσλ
θαηαλνκψλ
εηζνδεκάησλ. Γίδνληαη επίζεο ηέζζεξηο ηηκέο ζπληειεζηψλ Gini: α) 0,2 β) 0,4 γ) 0,8 θαη δ) 0,9. Πνηνο ζπληειεζηήο
30
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
αληηζηνηρεί ηελ πεξίπησζε 1, θαη πνηνο ζηελ πεξίπησζε 2; (Γηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζε ζαο), (βαζκφο 1) (2) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε· εθαηνκκχξηα- ΔΤΡΧ) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλλνπο) 3 ΠΡΟΨΟΛ
P90
Q00
Α
4
5
Β
5
7
Γ
5
5
πξντφλησλ πνπ αγνξάζηεθαλ θαηά ηα έηε 1990 θαη 2000, θαη ε ζπλνιηθή ηνπο αμία θαηά ην έηνο 2000, V00 = 100. Λα βξεζεί θαηάιιεινο αξηζκνδείθηεο ηηκψλ (πνηνο;), ηνπ 2000 σο πξνο ην 1990. (βαζκφο 1) β) (1) ε έλα ιαρλφ θεξδίδνπλ φζνη επηιέμνπλ (ρσξίο επαλάζεζε), ζσζηά 4
αξηζκνχο απφ ην 1 έσο ην 30. Αλ ην θφζηνο θάζε ιαρλνχ είλαη 0,5€. θαη ην θέξδνο ηνπ ληθεηή 100.000€, πνην είλαη_ ην πξνζδνθψκελν θέξδνο (ή δεκία) ελφο ηπραίνπ παίθηε; (βαζκφο 1) (2) ε κηα θαηαλνκή Poisson ηζρχεη Ρ(Υ=0) = Ρ(Υ>1). Λα ππνινγηζζεί ην ι. Κε βάζε ηελ απάληεζε ζην πξνεγνχκελν εξψηεκα λα ππνινγηζηεί ε Ρ(Υ<1). (βαζκνί 2) ΘΔΜΑ Γ α) (1) Ο αξηζκεηηθφο κέζνο 200 ηηκψλ είλαη 15. Αλ ν αξηζκεηηθφο κέζνο 50 ηηκψλ απφ απηέο είλαη 9, λα βξεζεί ν αξηζκεηηθφο κέζνο ησλ ππφινηπσλ 150 ηηκψλ. Αλ θαζεκηά απφ ηηο 200 απηέο ηηκέο απμεζεί θαηά 20%, θαηά ηη πνζνζηφ ζα απμεζεί ν ζπληειεζηή κεηαβιεηφηεηαο; (βαζκφο 1) (2) Λα ειεγρζεί αλ ν ηδαληθφο ηηκάξηζκνο πιεξνί ην θξηηήξην αληηζηξνθήο ζην ρξφλν, (βαζκφο 1) β) Λα ππνινγηζηεί ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο θαη ε αζξνηζηηθή θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ = απφιπηε δηαθνξά ησλ ελδείμεσλ δπν δαξηψλ. Λα ππνινγηζηνχλ επίζεο ε πξνζδνθψκελε ηηκή θαη ε δηαζπνξά ηεο κεηαβιεηήο. Δίλαη ε θαηαλνκή ηεο Υ ζπκκεηξηθή; (δηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζε ζαο), (βαζκνί 3) (δίδεηαη: e-5 = 0,0067, ln(0,5) = -0,6931) Από ηα ηρία θέμαηα να γραθούν δσο. Καλή επιηστία!
Στατιςτική Ι – Φεβρουάριοσ 2003 Τμήμ Β’ ΘΔΜΑ 1Ο a.
(βαζκφο 1) Σα κηζά απφ ηα απηνθίλεηα πνπ θπθινθνξνχλ ζηελ Αζήλα έρνπλ θάπνην πξφβιεκα θαη πξέπεη λα επηζθεπαζζνχλ. ε ηπραίν δείγκα 5 απηνθηλήησλ, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα ππάξρνπλ: (i) 21 απηνθίλεηα κε πξφβιεκα, (ii) ην πνιχ 2 απηνθίλεηα κε πξφβιεκα αλ καζαίλακε φηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα κε πξφβιεκα.
b.
(βαζκνί 2) Ζ ηπραία κεηαβιεηή Υ δίλεη ηα εηήζηα εηζνδήκαηα ελφο πιεζπζκνχ λνηθνθπξηψλ κε ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο
31
p x
300 5 x , x = 20, 30, 40, 50 ρηι. €. Αλ 500
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011 Y
νη εηήζηεο δαπάλεο ηνπο δίλνληαη απφ ηε ζρέζε
X 5 , λα βξεζεί ε Δ(Τ), ε V(Y) θαη 2
ε P(30Y60). c.
(βαζκφο 1) Θάζε έλα απφ 3 νηθνλνκηθά κνληέια έρεη πηζαλφηεηα 70% λα πξνβιέςεη ζσζηά αλ ην ΑΔΠ απμεζεί ή κεησζεί ζην επφκελν έηνο. Αλ ππνηεζεί φηη νη πξνβιέςεηο είλαη αλεμάξηεηεο κεηαμχ ηνπο, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα (i) λα απνηχρνπλ σο πξνο ηελ πξφβιεςε θαη ηα 3 κνληέια, (ii) λα πεηχρνπλ ηελ πξφβιεςε θαη ηα 3 κνληέια.
d.
(βαζκφο 1) Υξεζηκνπνηψληαο ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο (c) ηνπ 2νπ ζέκαηνο, λα ππνινγίζεηε θαη λα εξκελεχζεηε ηνλ ζπληειεζηή ζπγθέληξσζεο ηνπ Gini.
ΘΔΜΑ 2Ο a.
(βαζκνί 2) Γίλεηαη ε εκεξήζηα δήηεζε (ζε ηεκάρηα) ησλ πξντφλησλ Υ θαη Τ 8 λνηθνθπξηψλ. Λα βξεζνχλ: (i) ε απφ θνηλνχ θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο δηκεηαβιεηήο (Υ,Τ), θαζψο θαη ε F(2,4), (ii) νη δεζκεπκέλεο πηζαλφηεηεο PX(2/3) θαη PY(3/1) θαη
Υ:
1
2
1
3
3
2
2
1
Τ:
2
3
3
2
4
4
3
2
λα εξκελεπζνχλ νη έλλνηεο ηνπο, (iii) λα ειεγρζεί ε αλεμαξηεζία ησλ Υ θαη Τ θαη λα βξεζεί ε Δ(5Υ+3Τ). b.
(βαζκφο 1) Έζησ νη αθίμεηο αεξνπιάλσλ ζην αεξνδξφκην Α αθνινπζνχλ ηελ θαηαλνκή Poisson κε κέζε ζπρλφηεηα 4 αθίμεηο ηελ ψξα. Λα βξεζνχλ νη πηζαλφηεηεο: (i) λα γίλνπλ αθξηβψο 5 αθίμεηο ζε κία ψξα, (ii) λα γίλνπλ ην πνιχ 2 αθίμεηο ζε κηζή ψξα.
c.
(βαζκνί 2) Γίδεηαη ν πίλαθαο θαηαλνκήο εηεζίσλ
Μιζθόρ
Απιθμόρ Τπαλλήλων
κηζζψλ ηξαπεδηθψλ ππαιιήισλ (ζε ρηι. €). Λα
10 – < 20
6
ππνινγηζηεί
θαηά
20 – 30
8
Pearson θαη ε ηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε. Κπνξνχκε
30 – 40
12
λα
40 – 50
7
50 – 60
7
ν
ζπληειεζηήο
ραξαθηεξίζνπκε
ηελ
αζπκκεηξίαο θαηαλνκή
απηή
ζπκκεηξηθή; Γηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζή ζαο. ΘΔΜΑ 3Ο a.
(βαζκνί 1,5) Απφ ζρεηηθή έξεπλα αγνξάο πξνθχπηεη φηη ην 60% ησλ λνηθνθπξηψλ έρεη έλα απηνθίλεην, ην 75% έρεη ηειεφξαζε θαη ην 30% δελ έρεη νχηε απηνθίλεην νχηε ηειεφξαζε. Αλ επηιεγεί έλα λνηθνθπξηφ ζηελ ηχρε, λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα (i) λα έρεη κφλν απηνθίλεην, (ii) λα έρεη κφλν ηειεφξαζε.
b.
(βαζκνί
1,5)
Απφ
ηηο
θνηηήηξηεο
ελφο
κεηαπηπρηαθνχ
πξνγξάκκαηνο
κε
άξηζηα
απνθνίηεζε ην 4%, ελψ απφ ηνπο θνηηεηέο κε άξηζηα απνθνίηεζε ην 7%.Αλ ην 25% ησλ ζπνπδαζηψλ είλαη θνηηήηξηεο θαη επηιεγεί έλα άηνκν πνπ δελ έρεη απνθνηηήζεη, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα: (i) λα έρεη απνθνηηήζεη κε άξηζηα, (ii) αλ έρεη απνθνηηήζεη κε άξηζηα, λα είλαη θνηηήηξηα, (iii) λα είλαη θνηηήηξηα θαη λα έρεη απνθνηηήζεη κε άξηζηα. c.
(βαζκφο 1) Ζ πηζαλφηεηα γηα έλα παηδί λα πξνζβιεζεί ηνλ πξψην ρξφλν ηεο ειηθίαο ηνπο απφ νξηζκέλε παηδηθή αζζέλεηα είλαη 0,05. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα απφ 30 παηδηά λα πξνζβιεζνχλ ηα 5;
32
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι d.
2011
(βαζκφο 1) Γίδεηαη ν πίλαθαο ηηκψλ (ζε €) γηα ηα έηε 1990 θαη 2000 θαη πνζνηήησλ (ζε ρηι. κνλάδεο) γηα ην 2000, ηεζζάξσλ πξντφλησλ. Λα ππνινγηζηεί ν θαηάιιεινο αξηζκνδείθηεο ηηκψλ θαη ε αγνξαζηηθή δχλακε ηνπ ρξήκαηνο (ΑΓΥ) ην 2000 ζε ηηκέο 1990. ΠΡΟΪΟΝ
ΣΙΜΗ 1990
ΣΙΜΗ 2000
ΠΟΟΣΗΣΑ 2000
Α
24
25
100
Β
5
8
80
Γ
10
12
200
Γ
8
10
500
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2002 ΘΔΜΑ Α. α) ε θαηαλνκή εηεζίσλ εηζνδεκάησλ ηνπ Ηαλνπαξίνπ 2002, ππνινγίζηεθε ην πξψην ηεηαξηεκφξην Q1 = 20.000 € θαη ην ηξίην ηεηαξηεκφξην Q3 = 26.000 €. Πνηα ζπλζήθε πξέπεη λα ηζρχεη, ψζηε λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ εηζνδεκάησλ πνπ ήηαλ θάησ απφ 14.000 €; Πνην είλαη ην πνζνζηφ απηφ; (βαθμόρ 1). β) Έλαο πξφρεηξνο έιεγρνο 20 πξντφλησλ κηαο γξακκήο παξαγσγήο εληφπηζε 1 ειαηησκαηηθφ πξντφλ. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα βξεζνχλ ηνπιάρηζηνλ ηξία ειαηησκαηηθά θαηά ηε δηάξθεηα ηαθηηθνχ ειέγρνπ 100 πξντφλησλ; Τπνινγίζηε ηελ πηζαλφηεηα κε δχν ηξφπνπο: αθξηβψο θαη θαηά πξνζέγγηζε. (βαθμοί 4) ΘΔΜΑ Β. α) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε εθαηνκκχξηα δξαρκέο) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλνπο) 3 πξντφλησλ πνπ αγνξάζηεθαλ θαηά ηα έηε 1990 θαη 2000: ΠΡΟΨΟΛ
P90
Ρ00
Q00
Α
4
6
5
Β
5
10
7
Γ
5
12
5
Λα βξεζεί θαηάιιεινο αξηζκνδείθηεο ηηκψλ (πνηνο;) & ε κέζε πνζνζηηαία κεηαβνιή ηεο ΑΓΥ θαηά ηε δεθαεηία 1990 - 2000 σο πξνο ηα πξντφληα απηά. (βαθμοί 2) β) 1) Έζησ ζπλάξηεζε
f x
f x kx, x
2, 4, 6, 8, 10. Λα ππνινγηζηεί ην k, έηζη ψζηε ε
λα είλαη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο κηαο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. Λα
ππνινγηζηνχλ επίζεο ε αζξνηζηηθή θαηαλνκή πηζαλφηεηαο, ε πξνζδνθψκελε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε ηεο Υ: (βαθμοί 2)
33
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
2) Κηα θάιπε πεξηέρεη 7 ιεπθά θαη 3 πξάζηλα ζθαηξίδηα. Αλ επηιέμνπκε ηξία απφ απηά ρσξίο επαλάζεζε- πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην έλα κφλνλ λα είλαη ιεπθφ; (βαθμόρ 1) ΘΔΜΑ Γ. α) 1) Κηα βηνηερλία απμάλεη ηελ ηηκή ηνπ πξντφληνο ηεο θαηά 20%. Θαηά πνην πνζνζηφ πξέπεη λα κεησζεί ν φγθνο ησλ πσιήζεσλ ηεο, ψζηε λα κε κεησζνχλ νη εηζπξάμεηο ηεο;(βαθμόρ:1) 2)Γψζηε ηελ θαηαλνκή ηνπ πνζνζηνχ παξαηεξήζεσλ πεξί ηνλ κέζνλ ζπλαξηήζεη ηεο δηαθχκαλζεο ζε κηα ζπκκεηξηθή θαηαλνκή.(βαθμόρ 1) β) 1) ε έλα ιαρλφ θεξδίδνπλ φζνη επηιέμνπλ ζσζηά κηα ηεηξάδα αξηζκψλ, απφ ην 1 έσο ην 30 (π.ρ. 7 - 12 - 25 - 29). Αλ ην θφζηνο θάζε ιαρλνχ είλαη 500 δξρ. θαη ην θέξδνο ηνπ ληθεηή 100.000 δξρ. πνην είλαη ην πξνζδνθψκελν θέξδνο (ή δεκία) ελφο ηπραίνπ παίθηε; (βαθμόρ 1) 2) ε κηα ηάμε 100 καζεηψλ νη 45 είλαη αγφξηα. Αλ ην 30% ησλ καζεηψλ πεξάζεη ζηηο εμεηάζεηο θαη αλ ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη είλαη δηπιάζηα απφ ηελ πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα αγφξη, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη ζηηο εμεηάζεηο; Πνηα ζα ήηαλ ε πξνεγνχκελε πηζαλφηεηα αλ ε πηζαλφηεηα λα θνξίηζη
είλαη
ίζε
κε
ηελ πηζαλφηεηα
λα
πεξάζεη
έλα
πεξάζεη
έλα
αγφξη;(δηθαηνινγήζαηε ηελ
απάληεζε ζαο);(βαθμοί 2) (δίδεηαη ln(0,5) = - 0,6931, ln(0.933) = - 0,06931, θαη e-5=0.0067) Από ηα ηπία θέμαηα να γπαθούν δύο. Καλή επιηςσία!
Στατιςτική Ι – Φεβτου΄λαριοσ 2002 ΘΔΜΑ 1 (α) (Βαθμόρ :1). Βηνηερλία ζπζθεπάδεη ην πξντφλ ηεο ζε θνπηηά ησλ 10 ηεκαρίσλ. Αλ ην 10% ηεο παξαγσγήο είλαη ειαηησκαηηθφ, λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα 4 θνπηηά (40 πξντφληα)
επηιεγκέλα
ζηελ
ηχρε
λα
κελ
πεξηέρνπλ
ειαηησκαηηθά
πξντφληα
(β)(Βαθμοί:2).Γίλνληαη ηα παξαθάησ ζηνηρεία γηα ηξία πξντφληα
p95
p99
Α
4
4
βξεζεί ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 1999 ζε ηηκέο
Β
5
3
ηνπ 1995 θαη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ηεο ΑΓΥ θαηά ην 1999
Γ
6
5
Πξντφλ
Αλ ε αμία ηνπο θαηά ην 1999 ήηαλ 104 εθαηνκκχξηα δξρ., λα
έλαληη ηνπ 1995 σο πξνο απηά ηα πξντφληα.
(γ)(Βαθμοί:2). Ζ ηπραία δηκεηαβιεηή (Υ,Τ) έρεη απφ θνηλνχ θαηαλνκή πηζαλφηεηαο: (i) Λα βξεζνχλ νη δεζκεπκέλεο πηζαλφηεηεο p(Υ=10/Τ=4) θαη p(Τ=6/Υ=10) θαη λα εξκελεπζνχλ νη έλλνηεο ηνπο θαη λα ειεγρζεί ε αλεμαξηεζία ησλ Υ θαη Τ. (ii) Λα βξεζεί ε δηαθχκαλζε ηεο ζπλάξηεζεο Ζ=ΥΤ-2.
Υ/Τ
2
34
4
6
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι 5 10
0,2
0
0
0
0,3
0,5
ΘΔΜΑ 2
2011
(α) (Βαθμοί :2) Λα ππνινγηζζεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ησλ ηπραίσλ
κεηαβιεηψλ Υ θαη Τ ηεο δηκεηαβιεηήο (Υ,Τ) ηνπ εξσηήκαηνο γ ηνπ 1νπ ζέκαηνο. (β). Κία θάιπε έρεη 2 Άζπξα θαη 2 Καχξα ζθαηξίδηα. Κία άιιε έρεη 2 Άζπξα θαη 3 Καχξα ζθαηξίδηα. (i)(Βαθμόρ :1).
Δπηιέγνπκε έλα ζθαηξίδην απφ θάζε θάιπε. Πνηα είλαη ε
πηζαλφηεηα θαη ηα δχν ζθαηξίδηα πνπ ζα επηιέμνπκε λα είλαη ηνπ ηδίνπ ρξψκαηνο; (ii)(Βαθμόρ:1). Αλ επηιέμνπκε ηπραία κία θάιπε θαη πάξνπκε έλα ζθαηξίδην απ'απηήλ, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη Άζπξν; (γ)(Βαθμόρ:1). Γίλνληαη ηα θέξδε θαη νη δεκηέο 9 επηρεηξήζεσλ γηα ην έηνο 2000, ζε εθαη. δξρ. 4,8,-5,2,-2,50,3,6,5. Λα βξεζνχλ ν αξηζκεηηθφο κέζνο θαη ε δηάκεζνο. Πνην απφ ηα δχν κέηξα είλαη πην αμηφπηζην; Λα βξεζεί ε κέζε εηήζηα πνζνζηηαία κεηαβνιή ησλ θεξδψλ ηεο ηειεπηαίαο επηρείξεζεο (κε θέξδε 5 εθαηνκκχξηα) αλ ην 1995 είρε θέξδε 2 εθαηνκκχξηα. ΘΔΜΑ 3. (α)(Βαθμοί:2). Γίλεηαη ε αζξνηζηηθή θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. Λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ηεο β1. F(x)
Υ 1/8
5/8
1
2
5
8/8
(β)(Βαθμόρ :1). ε ζπκκεηξηθή θαηαλνκή δαπαλψλ βξέζεθε δηάκεζνο, Κ=160 ρηι. δξρ. θαη ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο V=12,5%. Πνην πνζνζηφ ησλ δαπαλψλ είλαη πάλσ απφ 180 ρηι. δξρ; (γ)(Βαθμοί:2). Σν 30% ησλ αζθαιηζκέλσλ αλήθνπλ ζηνλ Γεκφζην Σνκέα (ΓΣ), ην 50% ζην ΗΘΑ (ΗΘ) θαη ην 20% ζε άιια ηακεία (AT). Κεηά απφ ηελ πηνζέηεζε ελφο λένπ αζθαιηζηηθνχ ζπζηήκαηνο ην 85% ησλ εξσηεζέλησλ αζθαιηζκέλσλ ζην ΓΣ θαη ην 45% ζην ΗΘ είλαη επραξηζηεκέλνη απφ ην λέν ζχζηεκα αζθάιηζεο, ελψ ην 75% ησλ AT είλαη δπζαξεζηεκέλνη. i) Πνην είλαη ην πνζνζηφ ηνπ πιεζπζκνχ, πνπ είλαη επραξηζηεκέλν απφ ην λέν αζθαιηζηηθφ ζχζηεκα; ii) Δπηιέγεηαη έλαο επραξηζηεκέλνο, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα είλαη αζθαιηζκέλνο ζην ΗΘΑ; Λα δνζνχλ απαληήζεηο ζε 2 απφ 3 ζέκαηα. Θαιή επηηπρία Γίλνληαη:
e4 0,0183
Iog2=0,3
Iog5=0,7
logl,20=0,08
Στατιςτική Ι – Σεπτέμβριοσ 2001 ΘΔΜΑ Α. α) ε ζπκκεηξηθή θαηαλνκή κηζζψλ ηνπ Ηαλνπαξίνπ 2000, ππνινγίζηεθε ην πξψην ηεηαξηεκφξην Q1=320 ρηι. δξρ. θαη ε ηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε Q = 10 ρηι. δξρ.
35
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
1) Λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ κηζζψλ, πνπ ήηαλ πάλσ απφ 345 ρηι. δξρ. (βαθμόρ 1). 2) Αλ ηνλ Ηαλνπάξην ηνπ 2001 νη παξαπάλσ κηζζνί απμήζεθαλ θαηά 20%, λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο κεηαβιεηφηεηαο ησλ λέσλ κηζζψλ. (βαθμόρ 1). β) 1) ε κηα θαηαλνκή Poisson ηζρχεη Ρ(Υ=0) = Ρ(Υ 1). Λα ππνινγηζζεί ην ι. Κε βάζε ηελ απάληεζε ζην πξνεγνχκελν εξψηεκα λα ππνινγηζηεί ε Ρ(Υ 1) (βαθμοί 2). 2)Κηα γξακκή παξαγσγήο παξάγεη 5% ειαηησκαηηθά πξντφληα. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα va βξεζεί ηνπιάρηζηνλ έλα ειαηησκαηηθφ πξντφλ θαηά ηε δηάξθεηα ειέγρνπ 10 πξντφλησλ; (βαθμόρ 1) ΘΔΜΑ Β. α) 1) Γίλνληαη ζηνηρεία ηηκψλ (ζε εθαηνκκχξηα δξαρκέο) θαη πνζνηήησλ (ζε ηφλλνπο) 3 πξντφλησλ πνπ αγνξάζηεθαλ θαηά ηα έηε 1996 θαη 1999: Λα βξεζεί ε απνπιεζσξηζκέλε αμία ηνπο θαηά ην 1999 ζε ηηκέο 1996 (βαζκφο Η) β)
1)
Λα
ππνινγηζηεί
ε
ζπλάξηεζε
ππθλφηεηαο
ΠΡΟΨΟΛ
Ρ96
Ρ99
Q99
ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ = απφιπηε δηαθνξά ησλ ελδείμεσλ
Α
4
6
5
δπν δαξηψλ. Λα ππνινγηζηνχλ επίζεο ε πξνζδνθψκελε
Β
9
9
9
ηηκή θαη ε δηαζπνξά ηεο κεηαβιεηήο. Δίλαη ε θαηαλνκή ηεο
Γ
8
12
4
πηζαλφηεηαο θαη ε αζξνηζηηθή θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο
Υ ζπκκεηξηθή; (δηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζε ζαο). (βαθμοί 3) 2) Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα βξεζεί θάπνηνο κε ηξεηο άζζνπο φηαλ επηιέμεη (ρσξίο επαλάζεζε) πέληε ραξηηά απφ κηα ηξάπνπια κε 52 ραξηηά; (βαθμόρ 1) ΘΔΜΑ Γ. α) 1) Κηα βηνηερλία απμάλεη ηελ ηηκή ηνπ πξντφληνο ηεο θαηά 20%. Θαηά πνην πνζνζηφ πξέπεη λα κεησζεί ν φγθνο ησλ πσιήζεσλ ηεο ψζηε λα κε κεησζνχλ νη εηζπξάμεηο ηεο; (βαθμόρ 1) 2) Πνηεο βαζηθέο αξρέο ηεξνχληαη θαηά ηελ θαηάξηηζε ελφο εξσηεκαηνινγίνπ; (βαθμόρ 1) β)1) ε έλα ιαρλφ θεξδίδνπλ φζνη επηιέμνπλ ζσζηά 4 αξηζκνχο απφ ην 1 έσο ην 30. Αλ ην θφζηνο θάζε ιαρλνχ είλαη 500 δξρ. θαη ην θέξδνο ηνπ ληθεηή 100.000 δξρ. πνην είλαη ην πξνζδνθψκελν θέξδνο (ή δεκία) ελφο ηπραίνπ παίθηε; (βαθμόρ 1) 2) ε κηα ηάμε 100 καζεηψλ νη 45 είλαη αγφξηα. Αλ ην 30% ησλ καζεηψλ πεξάζεη ζηηο εμεηάζεηο θαη αλ ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη είλαη δηπιάζηα απφ ηελ πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα αγφξη, πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη ζηηο εμεηάζεηο; Πνηα ζα ήηαλ ε πξνεγνχκελε πηζαλφηεηα αλ ε πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα θνξίηζη είλαη ίζε κε ηελ πηζαλφηεηα λα πεξάζεη έλα αγφξη (δηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζε ζαο); (βαθμοί 2) (δίδεηαη ln(0,5) = 0,6931). Από ηα ηπία θέμαηα να γπαθούν δςο. Καλή επιηςσία!
Στατιςτική Ι – Φεβρουάριοσ 2001 Θέμα 1°. α)(Βαζκνί:2) Γίλεηαη ε θαηαλνκή κηζζψλ 60
Κηζζνί (ρηι.δξρ).
Αξηζκ.Δξγαδφκ. εξγαδνκέλσλ. (i) Λα ππνινγηζζνχλ ε δηάκεζνο θαη ε
36
200 - <300
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
40 ηεηαξηεκνξηαθή απφθιηζε. (ii) Λα θαηαζθεπαζζεί ε
300 -
400
400 -
500
15 θακπχιε ζπγθέληξσζεο ηεο θαηαλνκήο. β)
(βαζκφο
:l)
Γίλεηαη
ε
αζξνηζηηθή
ζπλάξηεζε
πηζαλφηεηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ, Χ
Α
Β
Γ
Γ
Δ
Σ
Υ
2
4
2
3
2
3
Τ
2
3
1
2
1
2
5
Υ
1
2
3
5
F(X)
1/8
3/8
7/8
1
Λα βξεζεί ε καζεκαηηθή ειπίδα ηεο ζπλάξηεζεο g(X)=2X2-1 γ) (Βαζκνί:2)ε πνιπθαηνηθία
6 δηακεξηζκάησλ δίλεηαη ν
αξηζκφο δσκαηίσλ ηνπο Υ θαη ν αξηζκφο κειψλ Τ ησλ λνηθνθπξηψλ πνπ δηακέλνπλ ζ' απηά. Λα
βξεζνχλ, ε απφ
θνηλνχ θαηαλνκή πηζαλφηεηαο ηεο δηκεηαβιεηήο (Υ, Τ), νη δεζκεπκέλεο πηζαλφηεηεο Ρ X(2/2) θαη ΡY(3/4) θαη λα εξκελεπζνχλ νη έλλνηεο ηνπο, ε ζπλδηαθχκαλζε ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηψλ Υ θαη Τ θαη λα ειεγρζεί ε αλεμαξηεζία ηνπο. Θέμα 2°. α)(Βαθμοί:2) Γίλεηαη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά ηεο αμίαο κηαο νκάδαο
EΣΖ Vi
Pi.90 πξντφλησλ (ζε εθαη.δξρ) θαη νη ηηκάξηζκνη ηεο (θαηά Laspeyres) σο πξνο ην
1990 120
100 1990 (i)Λα ππνινγηζζεί ε κεηαβνιή ηεο ΑΓΥ σο πξνο απηή ηελ νκάδα πξντφ
91 140
130 θαηά ην 1992 έλαληη ην 1990. (ii)Λα βξεζεί έλαο δείθηεο φγθνπ ηεο νκάδαο
92 200
145 γηα ην 1991 έλαληη ην 1990. (iii)Nα απνπιεζσξηζζνχλ νη αμίεο, ζε ηηκέο ηνπ
93
240
180 1990. (iν)Λα βξεζεί ε κέζε εηήζηα πνζνζηηαία κεηαβνιή ηεο αμίαο ηεο νκάδαο θαηά ηελ πεξίνδν 1990-1993. β) (Βαθμόρ:1) ε ρνξφ πσινχληαη 1000 ιαρεία απφ ηα νπνία δχν ζα θεξδίζνπλ απφ 500 ρηι. δξρ. θαη 4 απφ 200 ρηι. δξρ. Πφζν πξέπεη λα πσιεζεί θάζε ιαρείν γηα λα θεξδίζεη θαηά κέζν φξν ν δηνξγαλσηήο 2 ρηι. απφ θάζε ιαρείν; γ)(Βαθμόρ: 1) Σν 80% ησλ ππαιιήισλ κηαο ππεξεζίαο επελδχεη ζε θξαηηθά νκφινγα (Α), ην 30% ζε κεηνρέο
(Β) θαη ην 20% θαη ζηα δχν πξντφληα. Αλ επηιεγεί έλαο ππάιιεινο, πνηα
είλαη ε πηζαλφηεηα λα επελδχεη κφλν ζε έλα πξντφλ; Λα ειεγρζεί ε αλεμαξηεζία ησλ ελδερνκέλσλ Α θαη Β. δ)(Bαθμόρ:l) Ο αξηζκφο ησλ πινίσλ πνπ έξρνληαη θαζεκεξηλά αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Poisson κε ι=4. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ζήκεξα λα έξζνπλ 3 πινία αλ μέξνπκε φηη ήδε ήξζε ηνπιάρηζηνλ έλα; Θέμα
3°.
α)Βαθμόρ:1)
ππνινγίζζεθαλ
X
ε
θαηαλνκή
δαπαλψλ
ελφο
πιεζπζκνχ
λνηθνθπξηψλ
=340 ρηι., Κ=339,2 ρηι. θαη ζ2=625. Αλ πιεξνχηαη ε θαηάιιειε
ζπλζήθε, λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ λνηθνθπξηψλ πνπ δαπαλνχλ απφ 315 κέρξη 390 ρηι. δξρ.
37
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
β)(Βαθμοί:2)Έλαο εξεπλεηήο έρεη πηζαλφηεηα 0,60 λα ζπλαληήζεη έλα λνηθνθπξηφ ζην ζπίηη ηνπ. (i)Bξείηε ηελ πηζαλφηεηα ζε επηζθέςεηο 6 λνηθνθπξηψλ λα ζπλαληήζεη ην πνιχ έλα. (ii)Πφζεο επηζθέςεηο ρξεηάδνληαη γηα λα ππνζέζνπκε φηη θαηά κέζν φξν ζα βξεζνχλ 3 λνηθνθπξηά ζην ζπίηη. (iii)Πξνζδηνξίζηε ηε κνξθή αζπκκεηξίαο ηεο θαηαλνκήο πηζαλφηεηαο. γ)(Βαθμοί:2) Ζ πξσηλή βάξδηα ελφο εξγνζηαζίνπ παξάγεη 1000 πξντφληα απφ ηα νπνία ην 1% είλαη ειαηησκαηηθά θαη ε βξαδπλή βάξδηα παξάγεη 600 πξντφληα απφ ηα νπνία ην 2%
είλαη ειαηησκαηηθά. Δπηιέγνπκε έλα απφ ηα 1600 πξντφληα ηεο ρζεζηλήο παξαγσγήο.
Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα (i) Λα είλαη ειαηησκαηηθφ; (ii)Av είλαη ειαηησκαηηθφ, λα είλαη ηεο βξαδπλήο βάξδηαο; Γίλνληαη: log2=0,3
-
log 1,259=0,1 -
e-4=0.018
Απφ ηα ηξία ζέκαηα λα γξαθνχλ δχν. Θαιή επηηπρία !.
Στατιςτική Ι – Φεβρουάριοσ 2000 Θέμα 1ο a.
(βαζκφο 1) Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ
Γαπάνερ (σιλ. δπσ.)
Απιθμόρ Φοιηηηών
εβδνκαδηαίσλ δαπαλψλ γηα αλαςπρή 40
6 – < 10
8
θνηηεηψλ.
10 – 14
16
14 – 18
10
18 – 22
6
Λα
αζπκκεηξίαο
βξεζεί ηεο
ν
ζπληειεζηήο
θαηά
Pearson,
ζπλάξηεζεη ηεο δηακέζνπ. b.
(βαζκφο
1)
Σν
20%
ησλ
νδεγψλ
κνηνζηθιέηαο θνξνχλ θξάλνο (ελδερφκελν Θ). ε ζχγθξνπζε, ηξαπκαηίδεηαη ζην θεθάιη (ελδερφκελν Σ) ην 10% φζσλ θνξνχζαλ θξάλνο θα ην 60% φζσλ δελ θνξνχζαλ. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα έλαο πνπ ηξαπκαηίζηεθε ζην θεθάιη ζε ζχγθξνπζε, λα κε θνξνχζε θξάλνο; c.
(βαζκφο 1) Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Poisson θαη ππνινγίζζεθε φηη ξ(1)=ξ{2), λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα Ρ(Δ(Υ)-ζ Υ Δ(Υ)+ζ}.
d.
(βαζκνί 2). Ζ η.κ. Υ/x=4,5,6 δίλεη ηηο ηηκέο (ζε ρηι. δξρ.) ησλ ηξηψλ ηχπσλ κπαηαξηψλ κηαο εηαηξίαο Αλ είλαη ζπκκεηξηθή θαη ππνινγίζζεθε φηη p(4)=0,3 , (i) λα βξεζεί ε V(X), (ii) Av ε η.κ. Τ δίλεη ηηο ηηκέο ηνπο ζηηο εθπηψζεηο κεησκέλεο θαηά 10%. λα βξεζεί ε V(Y).
Θέμα 2ο a.
(βαζκφο 1) Ζ πηζαλφηεηα λα ππνγξάςεη ζπκβφιαην έλαο αζθαιηζηήο κε ππνςήθην πειάηε είλαη 0,1. Λα βξεζεί ε πηζαλφηεηα απφ 40 ππνςήθηνπο πειάηεο λα ππνγξάςεη 5 ζπκβφιαηα (δίλεηαη e-4=0,018).
38
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι b.
2011
Γίλνληαη ηα ζηνηρεία γηα ηξία πξντφληα. (i) Λα βξεζεί
ΠΡΟΪΟΝ
Ρ1992
Ρ1998
Q1998
έλαο ζηαζκηθφο ηηκάξηζκνο ηνπο θαηά ην 1998 έλαληη
Α
10
25
5
ηνπ 1992. (ii) Λα βξεζεί ε κέζε εηήζηα πνζνζηηαία
Β
30
50
8
κεηαβνιή ηεο ηηκήο ηνπ πξντφληνο Β απφ ην 1992
Γ
25
60
10
κέρξη ην 1998. c.
(βαζκφο 1) Γηα ηηο αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ θαη Τ ππνινγίζζεθε φηη Δ(Υ)=5, Δ(Υ2)=34 θαη Δ(Τ)=6. Λα βξεζνχλ νη V(2X) θαη Δ(3ΥΤ-2Υ2+10).
d.
(βαζκφο 1) Αλ Α, Β θα Γ είλαη ηξία ελδερφκελα ελφο, πεηξάκαηνο ηχρεο, λα δεηρζεί φηη Ρ(ΑΒΓ)=Ρ(Α}*Ρ(Β/Α)*Ρ(Γ/ΑΒ).
Θέμα 3ο a.
(βαζκνί 3). Γίλεηαη ε απφ θαλνχ ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ησλ
X\Y
4
5
6
η.κ. Υ θαη Τ, πνπ δίλνπλ ηα πεξπζηλά εηζνδήκαηα (Υ) θαη
6
0.2
0
0.2
δαπάλεο
7
0.1
0.2
0.3
(Τ)
ησλ
ησλ
λνηθνθπξηψλ
κηαο
ζπλνηθίαο
κε
πξνζέγγηζε εθαηνκκπξίνπ δξρ. (i) Λα ειεγρζεί αλ νη Υ θαη Τ είλαη αλεμάξηεηεο. (ii) Λα βξεζνχλ νη δεζκεπκέλεο πηζαλφηεηεο PY(5/7) θα ΡΥ(6/4) θα λα εξκελεπζνχλ νη έλλνηεο ηνπο. (iii) Λα βξεζεί ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο ξ ησλ Υ θαη Τ. (iν) Λα βξεζεί ε δηαθχκαλζε ηεο η.κ. Α=Υ-Τ πνπ δίλεη ηελ απνηακίεπζή ηνπο. b.
(βαζκφο 1) ε ζπκκεηξηθή θαηαλνκή κηζζψλ βξέζεθε Q1=300 ρηι. θαη Q=20 ρηι. δξρ. Λα βξεζεί ην πνζνζηφ ησλ κηζζψλ απφ 260 κέρξη 350 ρηι. δξρ.
c.
(βαζκφο 1) Γηα κηα νκάδα πξντφλησλ βξέζεθε P΄ 1998.1996 =120, V1997.1996 =125 θαη V1998.1997 =130. Λα ππνινγηζζεί έλαο δείθηεο φγθνπ ηνπο γηα ην 1998 έλαληη ηνπ 1996.
Γίλνληαη e-2=0.135, log50=1,7, log30=1,48, log1,089=0,037. Απφ ηα ηξία ζέκαηα λα γξαθνχλ δχν. Θαιή Δπηηπρία!
Στατιςτική Ι – Φεβρουάριοσ 1999 Θέμα 1ο a.
Απφ ηελ θαηαλνκή 100 επηρεηξήζεσλ αλάινγα κε ηελ αμία ησλ πσιήζεσλ ηνπο θαηά ην έηνο 1995 ππνινγίζζεθαλ ηα αθφινπζα: Κ = 25 (Γηάκεζνο), Υ = 2500, Υ 2 = 62900 (ηα κεγέζε ζε δηζ. δξαρκέο). (i) Λα εθηηκεζεί ν αξηζκφο ησλ επηρεηξήζεσλ κε αμία πσιήζεσλ απφ 23 έσο 27 δηζ. δξρ. (ii) Λα εθηηκεζεί ην πνζνζηφ ηνπο κε πσιήζεηο πάλσ απφ 21 δηζ. Γξαρκέο. (iii).Λα βξεζεί ν αξηζκεηηθφο κέζνο θαη ε κέζε απφθιηζε ηεηξαγψλνπ ηεο θαηαλνκήο αλ ε αμία ησλ πσιήζεσλ απμεζεί θαηά 20%. (iv) Αλ νη κέζεο πσιήζεηο ηνπο θαηά ην 1990 ήηαλ 15 δηζ. δξρ. λα ππνινγηζζνχλ (α) ε απφιπηε θαη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή πνπ ζεκείσζαλ νη πσιήζεηο θαηά, ηελ πεξίνδν 1990-1995 θαη (β) ην κέζν εηήζην πνζνζηφ κεηαβνιήο ηεο αμίαο ησλ πσιήζεσλ θαηά ηελ πεξίνδν 19901995.(βαζκνί 2)
b.
(1) Θεσξείζηε ην πείξακα "ζηξίβνπκε" έλα λφκηζκα 4 θνξέο. Γηα ηελ ηπραία κεηαβιεηή Υ: πιήζνο ελδείμεσλ "γξάκκαηα" λα ππνινγηζηεί ε ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο, ε αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο πηζαλφηεηαο, ε Δ[Υ] θαη ε V[X]. (βαζκνί 2)
39
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι
2011
(2) Έλαο εηζαγσγέαο ζθέθηεηαη λα εηζάγεη έλα θνξηίν κπαλάλεο αμίαο 1.000.000 δξρ. Οη πηζαλφηεηεο φηη ζα ηηο πνπιήζεη αληί 1.300.000, 1.100.000. 1.000.000 θαη 600.000 δξρ. είλαη αληίζηνηρα 0.25, 0.45, 0.10 θαη 0.20. Πφζν είλαη ην πξνζδνθψκελν θέξδνο ηνπ; Κε βάζε ηελ απάληεζε ζαο, ζα ηνλ ζπκβνπιεχαηε λα πξνρσξήζεη ζηελ εηζαγσγή ηνπ πξντφληνο; (βαζκφο 1) Θέμα 2ο a.
(1) ηηο εμεηάζεηο επηεκβξίνπ 1998, 5 θνηηεηέο, καζήκαηα
πνπ
έδσζαλ
ηαηηζηηθή
βαζκνινγήζεθαλ Αξηζκ.
Κέζνο
σο =
8.
εμεηάζεηο
θαη εμήο:
ζηα
Καζεκαηηθά, ηαηηζηηθή
Γηαθχκαλζε
=
: 9.
πγθξίλαηε ην βαζκφ δηαζπνξάο ηεο επίδνζεο ησλ θνηηεηψλ ζηα δχν καζήκαηα (βαζκφο 1) (2)
Γίλνληαη
δχν
ζεηξέο
δεηθηψλ
φγθνπ
παξαγσγήο κηαο θαηεγνξίαο πξντφλησλ. Ζ
ΔΣΟ
1993 = 100 1997 = 100
1992
90
1993
100
1994
110
1995
125
80
1996
150
96
1997
100
1998
120
πξψηε έρεη πεξίνδν βάζεο ην έηνο 1993 θαη ε δεχηεξε ην 1997. Λα ζπλδεζνχλ νη δχν ζεηξέο ζε εληαίν δείθηε φγθνπ κε θνηλή πεξίνδν βάζεσο: 1998=100. (βαζκφο 1) b.
(1) Ρίρλνπκε έλα δάξη θαη εάλ ην απνηέιεζκα είλαη δηαηξεηφ δηα 3, επηιέγνπκε έλα ζθαηξίδην απφ ηελ θάιπε Α πνπ πεξηέρεη δχν καχξα θαη ηέζζεξα πξάζηλα ζθαηξίδηα, εάλ φρη επηιέγνπκε έλα ζθαηξίδην απφ ηελ θάιπε Β πνπ πεξηέρεη πέληε καχξα θαη επηά θφθθηλα ζθαηξίδηα. Πνηα είλαη ε πηζαλφηεηα ην ζθαηξίδην λα είλαη καχξν; (βαζκφο 1) (2) Κηα κειέηε γηα εξγαηηθά αηπρήκαηα απνθάιπςε φηη 4 ζηα 10 αηπρήκαηα νθείινληαη ζε ειιηπή κέηξα πξνζηαζίαο. Υξεζηκνπνηψληαο απηήλ ηελ πιεξνθνξία ππνινγίζηε ηηο πηζαλφηεηεο ησλ ελδερνκέλσλ: (i) 2 απφ ηα 10 εξγαηηθά αηπρήκαηα ηεο πξνεγνχκελεο εβδνκάδαο νθείινληαλ ζε ειιηπή κέηξα πξνζηαζίαο. (ii) ηνπιάρηζηνλ 8 απφ ηα 10 εξγαηηθά αηπρήκαηα νθείινληαλ ζε ειιηπή κέηξα πξνζηαζίαο, (iii) 5 απφ ηα 10 εξγαηηθά αηπρήκαηα νθείινληαλ ζε' ειιηπή κέηξα πξνζηαζίαο, δεδνκέλνπ φηη ηνπιάρηζηνλ 2 νθείινληαλ ζε ειιηπή κέηξα πξνζηαζίαο, (βαζκνί 2)
Θέμα 3ο a.
(1) Ζ ζπλνιηθή αμία ηξηψλ πξντφλησλ Α, Β, Γ (ζε δηζ. δξρ.) θαηά ην έηνο 1994 είλαη ε εμήο: Α = 8. Β = 6, Γ = 30. (α) Αλ νη ηηκέο ηνπ 1997, ζε ζρέζε κε ην 1994, ησλ κελ Α θαη Γ απμήζεθαλ θαηά 50% θαη 40% αληίζηνηρα, ηνπ δε Β κεηψζεθε θαηά 50%, λα ππνινγίζεηε ηνλ δείθηε ηηκψλ ηνπ έηνπο 1997 ζε ζρέζε κε ην 1994. (β) Λα ππνινγηζζεί κε ηελ έκκεζε κέζνδν ε κεηαβνιή ηεο αγνξαζηηθήο δχλακεο ηνπ ρξήκαηνο σο πξνο ηελ νκάδα απηψλ ησλ πξντφλησλ γηα ην 1997 έλαληη ηνπ 1994. (γ) Αλ V97 = 65,·λα ππνινγηζζεί ε απνπιεζσξηζκέλε (πξαγκαηηθή) αμία ησλ πξντφλησλ απηψλ θαηά ην 1997 ζε ηηκέο 1994 (βαζκνί 1,5) (2) Γίλνληαη ηα θέξδε θαη νη δεκηέο 8 επηρεηξήζεσλ (ζε εθαη. δξρ.}: -6. 0, 20, -5, 5. 20, -4, 10. Λα βξεζνχλ ν αξηζκεηηθφο κέζνο, ε δηάκεζνο θαη ε κέζε απφθιηζε, (βαζκφο 0,5)
40
www.dap-oikonomikou.gr
Παλαιότερα Θέματα: Στατιστική Ι b.
2011
Θεσξείζηε ην πείξακα ηχρεο "ξίρλνπκε δχν δάξηα". Τπνινγίζηε ηηο ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ : κέγηζηε ηηκή κεηαμχ ησλ δχν απνηειεζκάησλ θαη Τ : 0 αλ ην απνηέιεζκα ηνπ δεχηεξνπ δαξηνχ είλαη πεξηηηφ, 1 αλ ην απνηέιεζκα ηνπ δεχηεξνπ δαξηνχ είλαη άξηην. Λα ππνινγηζηεί ε απφ θνηλνχ ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ησλ δχν ηπραίσλ κεηαβιεηψλ. θαζψο θαη νη κηθηέο ξνπέο πεξί ηελ αξρήλ θαη νη κηθηέο θεληξηθέο ξνπέο πξψηεο θαη δεχηεξεο ηάμεο θαη ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο. Δίλαη νη κεηαβιεηέο αλεμάξηεηεο (δηθαηνινγήζαηε ηελ απάληεζε ζαο); (βαζκνί 3)
Γίλνληαη: Log25=l,39794, Log 15=1,17609, Log1,10757=0,04437.
Βρείτε στο site και στα τραπεζάκια μας: ηην Ύλη ηων μαθημάηων ηοςρ κωδικούρ και ηον ηόπο διανομήρ ηων Σςγγπαμμάηων Θέμαηα Παλαιόηεπων Εξεηαζηικών Λςμένα Θέμαηα ζηα μαθήμαηα Σημειώζειρ για ηα μαθήμαηα
Και άλλο Χρήσιμο Υλικό
ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟΝ ΦΟΙΤΗΤΗ 41
www.dap-oikonomikou.gr