Statistiki3

Μπορείτε να βρείτε ύλες, ανακοινώσεις , παλαιότερα θέματα, προγράμματα, λυμένα θέματα καθώς και άλλα φυλλάδια στο τραπεζάκι της Δαπ η στο dap-oikonomikou.gr Για απορίες γραφτείτε στο Φόρουμ του https://www.facebook.com/groups/econnomikis

facebook

Για οποιαδήποτε άλλη πληροφορία μπορείτε επικοινωνήσετε στο dap.oikonomikou@gmail.com

ΔΑΠ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΤΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΗ

να

TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Μάθημα: Στατιστική III Θέμα 1 (i) (2 Μονάδες) Έστω

Σεπτέμβριος 2011

X 1 , X 2 ,..., X n , τυχαίο δείγμα από κατανομή με πυκνότητα

x3 - x /J f ( x;J ) = e , x > 0.

4 3!J 2 ˆ Δοθέντος ότι η κατανομή αυτή έχει μέσο 4J και διακύμανση 4J , είναι η εκτιμήτρια J = X / 4 , αμερόληπτη και συνεπής για την παράμετρο J ; (ii) Έστω X 1 , X 2 ,..., X n , τυχαίο δείγμα από κατανομή με πυκνότητα f ( x;J ) , όπου J συμβολίζει άγνωστη παράμετρο, και το πρόβλημα ελέγχου

H 0 : J = J0 H1 : J = J1 .

(α) (1 Μονάδα) Να διατυπωθεί το Λήμμα Neyman-Pearson για τον παραπάνω έλεγχο.

2

f ( x;J ) = (2p )-1/ 2 e - ( x -J ) / 2 , δηλαδή έχουμε κανονική κατανομή N (J , s 2 ) , με s 2 = 1. Να βρεθεί η κρίσιμη περιοχή ελέγχου μέγιστης ισχύος μεγέθους a = 0.05 , για την μηδενική υπόθεση H 0 : J = J0 , έναντι της εναλλακτικής H 1 : J = J1 , όπου J > J . Να 1 0 υπολογισθεί επίσης η ισχύς του προκύπτοντος ελέγχου για J = 0 , J = 1 και n = 9 . Δίνονται 0 1 F (1.64) = 0.95 , F (1.35) = 0.91.

(β) (3 Μονάδες) Έστω ότι

Θέμα 2 (i) (2 Μονάδες) Έστω

X 1 , X 2 , X 3 , τυχαίο δείγμα από κατανομή με μέση τιμή και διακύμανση ίσες μεJ . Με

βάση το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, να επιλεγεί η αποτελεσματικότερη από τις παρακάτω δύο εκτιμήτριες:

3

3

=j 1

=j 1

Jˆ1 = (1/ 3)å X j , Jˆ2 = (1/ 6)å jX j . (ii) (4 Μονάδες) Έστω θετική Poisson)

X 1 , X 2 ,..., X n , τυχαίο δείγμα από κατανομή με συνάρτηση πιθανότητας (καλείται

e-l l x f ( x; l ) = , x = 1,2,3....

-l 1 - e x! ¥

Έχοντας κατά νου την κατανομή Poisson, δείξατε ότι

å f ( x; l ) = 1

, και ότι

x =1

l el ˆ Συνεπώς η εκτιμήτρια ροπών l , ικανοποιεί την εξίσωση X = 1 - el

l el E( X ) = l . e -1

. Δείξατε ότι η εξίσωση αυτή έχει τουλάχιστον μια

l l e ˆ λύση l > 0. Υπόδειξη: Για την συνάρτηση g ( l ) = X 1 - el g (¥) = -¥ , και g '(l ) < 0.

, ισχύει

g (0) > 0 ,

TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Μάθημα: Στατιστική III Θέμα 1

Φεβρουάριος 2011

(i) (1 Μονάδα) Έχουμε μια αμερόληπτη εκτιμήτρια

Jˆn για την οποία ισχύει lim Var(Jˆn ) = 0 . Tι n®¥

μπορούμε να συμπεράνουμε για την εκτιμήτρια αυτή; Εξηγήσατε. (ii) (1 Μονάδα) Να διατυπωθεί το κριτήριο Neyman-Fisher για επαρκή εκτιμήτρια.

X 1 , X 2 ,..., X n ,

(iii) Έστω

τυχαίο δείγμα από κατανομή με πυκνότητα

f ( x;J ) ,

όπου

J

συμβολίζει άγνωστη παράμετρο, και το πρόβλημα ελέγχου

H 0 : J = J0 H1 : J = J1 .

(a) (1.5 Μονάδα) Να διατυπωθεί το Λήμμα Neyman-Pearson για τον παραπάνω έλεγχο. (b) (1.5 Μονάδα) Να διατυπώσετε την έννοια του μονότονου λόγου πιθανοφανειών για την οικογένεια

f ( x;J ) , και με βάση αυτό να δοθεί (χωρίς απόδειξη) η κρίσιμη περιοχή για το πρόβλημα ελέγχου H 0 : J £ J0 H1 : J > J0 .

Θέμα 2 Θεωρήσατε την κατανομή Poisson με συνάρτηση πιθανότητας

f ( x;J ) = e -JJ x / x !,

x = 0,1,....

(i) (2.25 Μονάδες) Να αποδειχθεί ότι η οικογένεια αυτή έχει την ιδιότητα του μονότονου λόγου πιθανοφανειών. (ii) (1 Μονάδα) Δίνεται μια παρατήρηση, έστω x , από την κατανομή αυτή. Να χρησιμοποιηθεί το συμπέρασμα του ερωτήματος (i) και να δοθεί (χωρίς απόδειξη) η κρίσιμη περιοχή για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης

H 0 : J = J0 , έναντι της εναλλακτικής H1 : J > J0 .

(iii) (1.75 Μονάδες) Έστω ότι στο προηγούμενο ερώτημα ελέγχου

H 0 : J = 1, έναντι

της

εναλλακτικής

J0 = 1, δηλαδή ότι έχουμε το πρόβλημα

H1 : J > 1 .

Δίνεται

η

κρίσιμη

περιοχή

C (k ) : x > k . Δεδομένου ότι για την κατανομή Poisson με J = 1 ισχύει P( x £ 2) = 0.92 , ποιά τιμή του k μπορείτε να προτείνετε, και ποιο θα ήταν τότε το αντίστοιχο μέγεθος του ελέγχου με κρίσιμη περιοχή C ( k ) , για αυτήν την τιμή του k ; Θέμα 3 (i) (2.5 Μονάδες) Έστω

X 1 , X 2 ,..., X n ,

τυχαίο δείγμα από εκθετική κατανομή με αθροιστική

F ( x;q ) = P( X £ x) = 1 - e -q x , x > 0 . εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας της παραμέτρου J , και να χρησιμοποιηθεί εκτιμήτριας μέγιστης πιθανοφάνειας για την ποσότητα j (J ) = P ( X > 1) . συνάρτηση κατανομής

X 1 , X 2 ,..., X n ,

(ii) (2.5 Μονάδες) Έστω

8J 2 ,

Να υπολογισθεί η για την εύρεση της

τυχαίο δείγμα από κατανομή που έχει μέση τιμή

8J

και

J συμβολίζει άγνωστη προς εκτίμηση παράμετρο. Να ορίσετε κατάλληλη αμερόληπτη εκτιμήτρια της J , και να υπολογίσετε την διακύμανση αυτής της εκτιμήτριας. διακύμανση

όπου

Να γραφούν δύο από τα τρία θέματα

Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής ΙΙΙ Θέμα 1 1. (a)

Συμβολίζοντας με H 0 και H1 , αντίστοιχα, την μηδενική και εναλλακτική

υπόθεση, να ορισθούν τα σφάλματα τύπου I και τύπου II , το επίπεδο σημαντικότητας και η ισχύς του κριτηρίου. (b)

Για τον παρακάτω έλεγχο, να ορισθεί το κριτήριο ομοιομόρφως μέγιστης

ισχύος μεγέθους a : H 0 : ϑ ∈ Θ0 H1 : ϑ ∈ Θ1 2. Δίνεται μια παρατήρηση, έστω x , από κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (1 + ϑ ) xϑ f ( x; ϑ ) =  0 

, 0 < x <1 , αλλού

Για την μηδενική υπόθεση H 0 : ϑ = 1 , έναντι της εναλλακτικής H1 : ϑ = 2 , να βρεθεί η κρίσιμη περιοχή ελέγχου μέγιστης ισχύος μεγέθους a , και η ισχύς του προκύπτοντος ελέγχου.

Θέμα 2 1. Να ορισθεί η συνέπεια εκτιμήτριας, και να δοθεί το κάτω φράγμα κατά Cramer – Rao για την διακύμανση εκτιμήτριας.

2. Έστω X 1 , X 2 , , X n τυχαίο δείγμα από κανονική κατανομή N ( µ , σ 2 ) . Για εκτίμηση

της n

διακύμανσης

σ 2 , θεωρήσατε τις εκτιμήτριες της μορφής

= σˆ 2 ( c ) c ∑ ( X i − X ) , όπου c > 0 , συμβολίζει μία παράμετρο: 2

i =1

(a)

Να δειχθεί ότι για c =

1 προκύπτει αμερόληπτη εκτιμήτρια. n −1

Σχηματίσατε την συνάρτηση πιθανοφάνειας και δείξατε ότι η εκτιμήτρια

(b)

μέγιστης πιθανοφάνειας προκύπτει για c =

1 . n

Να δειχθεί ότι η εκτιμήτρια με το ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα

(c)

προκύπτει για c =

1 . n +1

Σημείωση: Για τα ερωτήματα (a) και (c) του δεύτερου ερωτήματος του Θέματος 2, χρησιμοποιήσατε το δεδομένο ότι σε δείγματα από κανονικό πληθυσμό ισχύει n

∑( X i =1

i

σ

−X) 2

ίση με 2k .

2

 χ n2−1 , και ότι η κατανομή χ k2 έχει μέση τιμή ίση με k και διακύμανση

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙΙ – ΦΕΒΡΟΤΑΡΙΟ΢ 2009 Να απανηήζεηε και ηα ηρία θέμαηα. ΘΔΚΑ 1 (4 ΚΟΛΑΓΔ΢) Έζησ όηη ε από θνηλνύ ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο ησλ ζπλερώλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ Υ θαη Τ έρεη ηελ αθόινπζε κνξθή:

k (2 x 0

f ( x, y )

y) x

x 0,1 , y 0, 2 0,1 , y 0, 2

α. Λα ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο ζηαζεξάο k. β. Λα εμεηαζηεί αλ νη ζπλερείο ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ θαη Τ κπνξεί λα ζεσξεζνύλ ζηαηηζηηθά αλεμάξηεηεο. γ. Λα εμεηαζηεί αλ νη ζπλερείο ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ θαη Τ κπνξεί λα ζεσξεζνύλ αζπζρέηηζηεο. δ. Λα ππνινγηζηεί ε δεζκεπκέλε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο f(yǀ x). ΘΔΚΑ 2 (3 ΚΟΛΑΓΔ΢) Α. Έζησ όηη ε ζπλερήο ηπραία κεηαβιεηή Υ έρεη ηελ αθόινπζε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο

f ( x)

1/ 4 x 0 x

2, 2 2, 2

Λα βξεζεί ε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο θαηαλνκήο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. Β. Αλ ε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο θαηαλνκήο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ είλαη

3

M x (t )

3

t

,t

3

Λα βξεζεί ε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο θαηαλνκήο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Τ=3Υ+1 Γ. Αλ ε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο θαηαλνκήο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ είλαη

M x (t )

(1

t

)

n

,

0

Λα ππνινγηζηνύλ ε καζεκαηηθή ειπίδα θαη ε δηαθύκαλζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. ΘΔΚΑ 3 (3 ΚΟΛΑΓΔ΢) Α. Ρίρλνπκε δύν δάξηα 162 θνξέο θαη θαηαγξάθνπκε ηα άζξνηζκα ησλ εδξώλ ηνπο. Λα ππνινγηζηνύλ πξνζεγγηζηηθά νη πηζαλόηεηεο όπσο ην άζξνηζκα 9 λα εκθαληζηεί i) ηνπιάρηζηνλ 30 θνξέο ii) από ηνπιάρηζηνλ 20 έσο 30 θνξέο Φ(3)=0,9987, Φ(0,50)=0.6915 Β. Ζ δηαθξηηή ηπραία κεηαβιεηή Υ, γηα k≥1, έρεη ζπλάξηεζε πηζαλόηεηαο

p( x)

(k 2 1/ k 2 x 2 1 /(2k ) x 0 x

0 k ό

i) Λα ππνινγηζηεί ε κέζε ηηκή κ θαη ε δηαθύκαλζε ζ2 ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ, ζηε ζπλέρεηα, ii) Λα ζπγθξηζεί ε αθξηβήο ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο P(ǀ X-κǀ <kζ) κε ην θαηώηεξν όξην απηήο πνπ πξνθύπηεη από ηελ αληζόηεηα Chebychev.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙΙ – ΙΑΝ 2008 (Γηδάζθσλ: Κ. Ιηλαξδάθεο) Λα απαληεζεί σποτρεωηικά ηο Ζήηημα 1, θαζώο θαη Ένα από ηα Ζηηήμαηα 2 και 3. Ζήηημα 1 Α) Αλ

X

ηπραία κεηαβιεηή κε ζπλάξηεζε πηζαλόηεηαο

όπνπ

c 0

f ( x)

c x , x 1, 2,...

κηα πξαγκαηηθή ζηαζεξά,

α) λα βξεζεί ε ξνπνγελλήηξηα ηεο

X

β) κε ρξήζε ηεο ξνπνγελλήηξηαο, λα ππνινγηζζεί ε ζηαζεξά c . Β) Έζησ

αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο πνπ αθνινπζνύλ ηελ θαηαλνκή

X 1 , X 2 ,..., X

Γάκκα κε παξακέηξνπο

(

1

), (

2

),

… ,

(

)

αληίζηνηρα. Κε ρξήζε ζεσξίαο

ξνπνγελλεηξηώλ, λα βξεζεί: α) ε ξνπνγελλήηξηα ηεο

, θαη

X i , i 1,...,

β) ε θαηαλνκή ηνπ αζξνίζκαηνο

X1

X 2 ... X .

Γίλεηαη ν ηύπνο ηεο θαηαλνκήο Γάκκα κε παξακέηξνπο

f ( x)

1 x a ( )

θαη

είλαη

x 1

e , x 0,

0,

0.

Ζήηημα 2 Α) Δξγαδόκελνη βαζκνινγνύλ αλώλπκα (κε άξηζηα ην 100) ηνπο ρεηξηζκνύο ηεο λέαο δηεύζπλζεο ηεο επηρείξεζεο ζηελ νπνία εξγάδνληαη. Γείγκα 8 βαζκνινγηώλ εξγαδνκέλσλ, θαζώο θαη ην ηκήκα ηεο επηρείξεζεο ζην νπνίν εξγάδνληαη, δίδεηαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί. Σκήκα παξαγσγήο

70

80

50

Οηθνλνκηθό ηκήκα

90

75

85

65

60

Θεσξνύκε όηη νη θαηαλνκέο ησλ βαζκνινγηώλ ζηα δύν ηκήκαηα ηεο επηρείξεζεο πξνέξρνληαη από ζπκκεηξηθέο θαηαλνκέο. Κπνξνύκε λα απνθαλζνύκε, κε ππνινγηζκό ηνπ p – value θαη ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α = 5%, όηη νη εξγαδόκελνη ζην νηθνλνκηθό ηκήκα δίλνπλ, θαηά κέζν όξν, πςειόηεξε βαζκνινγία ζηνπο ρεηξηζκνύο ηεο λέαο δηεύζπλζεο; Πνηα ζα ήηαλ ε απόθαζε ζην εξεπλεηηθό εξώηεκα «νη κέζεο βαζκνινγίεο ησλ εξγαδνκέλσλ ησλ δύν ηκεκάησλ δελ δηαθνξνπνηνύληαη»; Β) ΢ηελ έξεπλα ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο, θαηαγξάθεθε επίζεο αλ 25 εξγαδόκελνη επηζπκνύλ ηελ αιιαγή ηεο θαηάζηαζεο, ηεο πνιηηηθήο ηεο απεξρόκελεο δηνίθεζεο

(απαληήζεηο «Λαη» ή «Όρη»). Ζ αλάιπζε ησλ απνηειεζκάησλ, πνπ έγηλε κε ην SPSS, παξνπζηάδνληαη παξαθάησ. Πίνακας ζσνάθειας Count λαη

όρη

Total

ηκήκα παξαγσγήο

5

12

17

νηθνλνκηθό ηκήκα

5

3

8

10

15

25

Total

Chi-Square Tests

Value

Exact Sig.

(2 – sided)

(2 – sided)

df b

Pearson Chi-Square

Asymp. Sig.

2.482

1

.115

.194 .143d

McNemar Test N of Valid Cases

25

a.

Computed only for a 2x2 table

b.

2 cells (50.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 3.20.

d.

Binomial distribution used.

Λα εμεγεζεί πιήξσο πσο έρνπλ πξνθύςεη ηα απνηειέζκαηα πνπ παξέρνληαη ζηνλ δεύηεξν πίλαθα. Λα δηαηππσζεί ην θαηάιιειν δεύγνο ππνζέζεσλ γηα θάζε κηα πεξίπησζε. Αλ ην εξεπλεηηθό εξώηεκα είλαη ην αλ ε ζηάζε ησλ εξγαδνκέλσλ δηαθνξνπνηείηαη αλάινγα κε ην ηκήκα, πνην p-value αληηζηνηρεί ζηνλ έιεγρν θαη πνηα απόθαζε ιακβάλεηαη ζε α = 10%;

Ζήηημα 3 ΢ε έξεπλα γηα ηα θέξδε εκπνξηθώλ θαηαζηεκάησλ θαηαγξάθεθαλ ηα θαζαξά θέξδε (ζε ρηιηάδεο επξώ) 12 θαηαζηεκάησλ θαηά ηα έηε 2006 θαη 2007, θαζώο θαη ν θιάδνο ζηνλ νπνίν αλήθνπλ ηα θαηαζηήκαηα (κε ηηκέο 1: ηξνθίκσλ, 2: ειεθηξηθώλ, 3: είδε ξνπρηζκνύ). Σα απνηειέζκαηα θαηαγξάθνληαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί. Θέξδε 2006

27

35

42

25

30

36

44

38

42

41

49

22

Θέξδε 2007

27

39

40

35

31

36

50

38

45

41

60

22

Θιάδνο

1

2

2

3

1

1

2

3

3

2

2

1

Α) ΢ηα δεδνκέλα επηρεηξήζεθε αλάιπζε, ηα απνηειέζκαηα ηεο νπνίαο δίδνληαη ζηνπο πίλαθεο πνπ αθνινπζνύλ.

Ranks θιάδνο έηνο 2007

Λ

Mean Rank

ηξνθίκσλ

4

2.75

ειεθηξηθώλ

5

9.40

εηδώλ ξνπρηζκνύ

3

6.67

Total

12

Test Statisticsa, b έηνο 2007 Chi-Square

7.568

df

2

Asymp. Sig.

.023

Exact Sig.

.007

a. Kruskal Wallis Test b.Grouping Variable: θιάδνο Λα εμεγεζνύλ πιήξσο όια ηα απνηειέζκαηα πνπ παξέρνληαη θαη πσο έρνπλ ππνινγηζζεί. Πνην είλαη ην δεύγνο ππνζέζεσλ πνπ ειέγρεηαη θαη πνηα απόθαζε ιακβάλεηαη ζε α = 1%; Β) Κπνξνύκε κε βάζε ηα δεδνκέλα λα απνθαλζνύκε, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α = 5%, όηη ε κέζε ηηκή ησλ θεξδώλ απμήζεθε ζην 2007 ζε ζρέζε κε ην 2006; (λα δηαηππσζεί ην θαηάιιειν δεύγνο ππνζέζεσλ, λα επηιεγεί ν έιεγρνο πνπ ελδείθλπηαη θαη λα ππνινγηζζεί ην p-value). Πνην είλαη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ζηελ πεξίπησζε πνπ ελδηαθεξόκαζηε λα εμεηάζνπκε αλ ε κέζε ηηκή ησλ θεξδώλ δηαθνξνπνηήζεθε θαηά ηελ πάξνδν ηνπ ελόο έηνπο.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ III – ΢ΕΠΣ 2007 Κ. Ιηλαξδάθεο (δηδάζθσλ κε ζύκβαζε ΠΓ./407 ζε βαζκίδα Ιέθηνξα) Λα απαληήζεηε ζε δύν από ηα ηξία δεηήκαηα πνπ αθνινπζνύλ. Σα ζέκαηα είλαη βαζκνινγηθά ηζνδύλακα.

Εήηεκα 1 Α) Έλαο εξεπλεηήο πήξε ηα παξαθάησ απνηειέζκαηα ηνπ SPSS ζε κηα αλάιπζε.

Ranks νκάδα βαζκόο

2.00

Λ Mean Rank 5 4.00 3

Total

5.33 8

1.00

Sum of Ranks

Test Statistics11 Mann-Whitney U

βαζκόο

20.00 16.00

5.000 Wilcoxon W

20.000

Ε Asymp. Sig. (2-tailed)

-.745

Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] a· Not corrected for ties, b.

Grouping Variable: νκάδα

.571a

Λα δηαηππσζεί ην πξόβιεκα ζην νπνίν δίδνπλ απάληεζε νη παξαπάλσ πίλαθεο (αξρηθή θαη ελαιιαθηηθή ππόζεζε). Πνηνο έιεγρνο έρεη ρξεζηκνπνηεζεί θαη πνην είλαη ην ζπκπέξαζκα ζην νπνίν θαηαιήγνπκε; (λα εξκελεπζνύλ πιήξσο όια ηα απνηειέζκαηα πνπ παξέρνπλ νη πίλαθεο). Β) Ρίρλνπκε έλα θύβν 48 θνξέο. Ο θύβνο έρεη πιεπξέο αξηζκεκέλεο από ην 1 σο ην 6.

.456

Λα βξεζεί ε πηζαλόηεηα ην άζξνηζκα ησλ απνηειεζκάησλ πνπ πξνθύπηνπλ από εο ξίςεηο λα κελ ππεξβαίλεη ην 132. Εήηεκα 2 Α)

Ζ

ηπραία

κεηαβιεηή

Υ

αθνινπζεί

ηελ

θαηαλνκή

Γάκκα

κε

1 -/(χ) = — ------ χα le β, χ> 0, α > 0, β > 0. Λα βξεζεί ε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο Χ. Β) 60 άηνκα εμέθξαζαλ ηε γλώκε ηνπο γηα έλα λέν νηθνλνκηθό κέηξν πξηλ θαη κεηά από κηα ηξνπνπνίεζε. Σα απνηειέζκαηα δίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα.

Μεηά ηην ηροποποίηζη

Πριν ηην ηροποποίηζη

Θεηηθή άπνςε Αξλεηηθή άπνςε

Θεηηθή

Αξλεηηθή

άπνςε 17

άπνςε 20

8

15

Κε βάζε ηα δεδνκέλα απηά, ζα πξνηείλαηε ζηνλ αξκόδην θνξέα λα πξνρσξήζεη ζηελ ηξνπνπνίεζε ηνπ νηθνλνκηθνύ κέηξνπ, αλ ν γλώκνλαο ηνπ είλαη ε ζεηηθή άπνςε ησλ αηόκσλ; Εήηεκα 3 Α) Έλαο δηεπζπληήο επηρείξεζεο ζέιεη λα ειέγμεη ηελ απνηειεζκαηηθόηεηα δύν κεζόδσλ παξαγσγήο. Γηα ην ιόγν απηό, δίδεη νδεγίεο ζε 8 εξγαδόκελνπο λα ρξεζηκνπνηήζνπλ δηαδνρηθά ηηο δύν κεζόδνπο, επί κηα ώξα εθάζηε, θαη λα θαηαγξάςνπλ ηνλ αξηζκό ησλ παξαγόκελσλ πξντόλησλ. Σα απνηειέζκαηα δίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα. Δξγαδόκελνο

1

2

3

4

5

6

7

8

Κέζνδνο παξαγσγήο Α

12

7

13

10

11

9

7

10

Κέζνδνο παξαγσγήο Β

10

8

9

8

8

13

5

9

Κε ρξήζε ηνπ πξνζεκηθνύ ειέγρνπ, κπνξνύκε λα απνθαλζνύκε όηη είλαη ε κέζνδνο παξαγσγήο Α απνηειεζκαηηθόηεξε ηεο Β; Γηαηππώζηε ην θαηάιιειν δεύγνο ππνζέζεσλ. Ση ζπκπεξαίλεηε, ζε α=0.05; Ζ απόθαζε λα ιεθζεί ππνινγίδνληαο ην παξαηεξνύκελν ζεκαληηθόηεηαο (p-value).

επίπεδν

ζηαηηζηηθήο

Β) Έζησ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ κε f(x) — ke '"', Χ Δ Μ.. Κε ρξήζε ηεο ξνπνγελλήηξηαο ζπλάξηεζεο, λα βξεζεί ε δηαθύκαλζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ. ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκη

ο ηεο Γησλπ

κη ήο Ρ =0.3) θ (π=14

Χ

0

1

2

3

4

5

6

Ρ{Χ < χ)

0.0068

0.0475

0.1608

0.3552

0.5842

0.7805

0.9067

Χ

7

8

9

10

11

12

13

Ρ(Χ < χ)

0.9685

0.9917

0.9983

0.9998

1

1

1

Αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο Γησλπκηθήο (ε=8, ξ=0.5) -> 3

Χ

0

1

2

Ρ(Χ < χ)

0.004

0.035

0.145

0.363

4

5

6

7

8

0.637

0.855

0.965

0.996

1

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙΙ – ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ΢ 2007 Μ. Λιναρδάκης Λα απαληήζεηε ζε ηξία από ηα ηέζζεξα δεηήκαηα πνπ αθνινπζνύλ. Σα ζέκαηα είλαη βαζκνινγηθά ηζνδύλακα. Ζήηημα 1 a) Έζησ Υ ηπραία κεηαβιεηή πνπ αθνινπζεί ηελ εθζεηηθή θαηαλνκή κε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο

. Κε ρξήζε ηεο ξνπνγελλήηξηαο ζπλάξηεζεο, λα βξεζεί ε κέζε

ηηκή θαη ε δηαθύκαλζε ηεο Υ. b) Λα απνδεηρηεί όηη γηα ηελ ηπραία κεηαβιεηή Υ κε θαηαλνκή f(x),ηε ζπλάξηεζε u(x)≥0 θαη ηε ζηαζεξά c>0, ηζρύεη όηη: P u ( X )

c

1

E (u ( X )) (αληζόηεηα Chebyshev). c

Ζήηημα 2 a) Αλ

X1 , X 2 ,...., X n είλαη

αλεμάξηεηεο

ηπραίεο

κεηαβιεηέο

κε

ξνπνγελλήηξηεο n

M x1 (t ), M x 2 (t ),...., M xn (t ) , λα βξεζεί ε ξνπνγελλήηξηα ηνπ αζξνίζκαηνο Y

Xi

ησλ

i 1

ηπραίσλ κεηαβιεηώλ. b) Έζησ

X1 , X 2 ,...., X n

θαηαλνκή κε κέζεο ηηκέο

αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο πνπ αθνινπζνύλ ηε θαλνληθή 1

,

2

,.....,

n

θαη ηππηθέο απνθιίζεηο

1

,

2

,.....,

n

αληίζηνηρα. Κε

n

ρξήζε ξνπνγελλεηξηώλ, λα βξεζεί ε θαηαλνκή ηνπ αζξνίζκαηνο Y

X i . (΢εκείσζε: εάλ, i 1

θαηά ηελ επίιπζε, ρξεζηκνπνηεζεί ηύπνο ξνπνγελήηξηαο νπνηαζδήπνηε θαηαλνκήο, ζα πξέπεη πξώηα λα απνδεηρζεί εθόζνλ δελ ζεσξείηαη δεδνκέλνο ή γλσζηόο εθ ησλ πξνηέξσλ). Ζήηημα 3 8 ηλδηθά ρνηξίδηα ππνβάιινληαη ζε έληνλν ζηξεο επί έλα κήλα θαη πξνθύπηνπλ ηα δεδνκέλα πνπ παξνπζηάδνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα: Υνηξίδην

1

2

3

4

5

6

7

8

Υ: βάξνο ζηελ αξρή

104

102

99

101

100

101

100

103

94

95

54

50

108

95

105

99

Υ-Τ

10

7

45

51

108

95

105

99

Πξόζεκν δηαθνξάο

+

+

+

+

-

+

-

+

ηνπ

κήλα

(γξακκάξηα) Τ: βάξνο ζην ηέινο ηνπ

κήλα

(γξακκάξηα)

΢θνπόο είλαη, κε ηε βνήζεηα ηνπ δείγκαηνο απηνύ, λα εμεηαζηεί αλ ην ζηξεο πξνθαιεί απώιεηα βάξνπο ζηα ρνηξίδηα. a) Δμεηάδνληαο ην δείγκα επηιέμηε ηνλ θαηαιιειόηεξν έιεγρν κεηαμύ ηνπ πξνζεκηθνύ θαη ηνπ ειέγρνπ Wilcoxon. Γηαηππώζηε ην δεύγνο ππνζέζεσλ πνπ εμεηάδεη ν έιεγρνο πνπ επηιέμαηε. Κε βάζε ηνλ έιεγρν απηό, πνηα ζπκπεξαίλεηε, ζε α=0.1 , όηη είλαη ε επίδξαζε ηνπ ζηξεο ζην βάξνο; Πξνθαιεί απώιεηά ηνπ ή όρη; (Αλ θάπνηνο επηιέμεη πξνζεκηθό έιεγρν ηόηε ν αξηζκόο ησλ ζεηηθά πξνζεκαζκέλσλ δηαθνξώλ είλαη η=6. Αλ θάπνηνο επηιέμεη έιεγρν Wilcoxon γηα ηε δηάκεζε ηεο δηαθνξάο Υ-Τ ηόηε ε ηηκή ηεο ειεγρνζπλάξηεζεο Σ+ είλαη η+ =29.) b) Θάπνηνο εξεπλεηήο αλέιπζε ηα δεδνκέλα ηνπ πίλαθα κε θάπνηα ζηαηηζηηθή δηαδηθαζία, ρξεζηκνπνηώληαο ην ζηαηηζηηθό παθέην SPSS. Ο πίλαθαο κε ηα απνηειέζκαηα δίδεηαη παξαθάησ.

Spearman’s

X

rho

Correlation

Υ

Τ

1.000

-115

Coefficient Sig. (2-tailed)

Y

786

N

8

8

Correlation

-115

1.000

Coefficient Sig. (2-tailed)

786

N

8

8

Λα εμεγεζεί πνηα αλάιπζε έρεη ρξεζηκνπνηεζεί, πνηα εξεπλεηηθή ππόζεζε έιεγμε (λα δηαηππσζεί θαηάιιεια ε αξρηθή θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε, ηόζν κε ζηαηηζηηθνύο όξνπο

όζν θαη κε κνξθή θεηκέλνπ) θαη πνην είλαη ην ζπκπέξαζκα ηνπ ειέγρνπ απηνύ (λα εξκελεπηνύλ πιήξσο όια ηα ζηνηρεία ηνπ πίλαθα απνηειεζκάησλ). Ζήηημα 4 a) Έλαο εξεπλεηήο κειεηάεη ην ύςνο ησλ εηήζησλ δαπαλώλ θξαηηθώλ θαη ηδησηηθώλ βξεθνλεπηαθώλ ζηαζκώλ θαηά ην έηνο 2006. Γύν

δείγκαηα Υ θαη Τ, κεγέζνπο 5 θαη 3,

ιακβάλνληαη αληίζηνηρα θαη θαηαγξάθνληαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί: Υ:

δαπάλεο

θξαηηθώλ

35

42

37

32

36

34

38

44

ζηαζκώλ (ζε ρηι. Δπξώ) Τ:

δαπάλεο

ηδησηηθώλ

ζηαζκώλ (ζε ρηι. Δπξώ) Λα πξνηείλεηε έλαλ έιεγρν πξνθεηκέλνπ λα βξεζεί αλ νη εηήζηεο δαπάλεο ησλ θξαηηθώλ ζηαζκώλ είλαη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεγαιύηεξεο από ηηο εηήζηεο δαπάλεο ησλ ηδησηηθώλ. Λα δηαηππσζεί ην θαηάιιειν δεύγνο ππνζέζεσλ θαη λα βξεζεί ην παξαηεξνύκελν επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο ηνπ ειέγρνπ πνπ επηιέμαηε. Πνην είλαη ην ζπκπέξαζκα πνπ εμάγεηαη; b) Λα πεξηγξάςεηε (ρξεζηκνπνηώληαο θαη έλα παξάδεηγκα) ηηο πεξηπηώζεηο όπνπ ζα θξίλαηε ζθόπηκε ηε ρξήζε ηνπ κε παξακεηξηθνύ ειέγρνπ McNemar. Πνηα είλαη ε ινγηθή ηνπ ειέγρνπ θαη πνην είλαη ην δεύγνο ησλ ππνζέζεσλ πνπ εμεηάδνληαη; Παράρηημα Αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο Γησλπκηθήο θαηαλνκήο (n=8, p=0.5) X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

P(X≤x

0.003

0.035

0.144

0.363

0.636

0.855

0.964

0.996

1

)

9

2

5

3

7

5

8

1

Αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο Γησλπκηθήο θαηαλνκήο (n=14. p=0.7) x

0

1

2

3

4

5

6

7

P(X≤x)

0

0

0

0.0002

0.0017

0.0083

0.0315

0.0933

x

8

9

10

11

12

13

14

P(X≤x)

0.2195

0.4258

0.6448

0.8392

0.9525

0.9932

1

Πνζνζηηαία ζεκεία ηεο ειεγρνζπλάξηεζεο Σ+ ηνπ ειέγρνπ Wilcoxon (n=8) p

0.005

0.01

0.025

0.05

0.1

Wp

1

2

4

6

9

Ηζρύεη όηη wp

36 w1

p

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙΙ – ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ΢ 2006 (25/01/2006) ΛΑ ΑΠΑΛΣΖ΢ΔΣΔ ΢Δ 3 ΑΠΟ ΣΑ 4 ΕΖΣΖΚΑΣΑ ΠΟΤ ΑΘΟΙΟΤΘΟΤΛ. ΣΑ ΘΔΚΑΣΑ ΔΗΛΑΗ ΒΑΘΚΟΙΟΓΗΘΑ Η΢ΟΓΤΛΑΚΑ Ζήηημα 1ο Αλ

X1, X 2 ,

εθζεηηθή

είλαη αλεμάξηεηεο θαη ηζόλνκεο ηπραίεο κεηαβιεηέο κε θαηαλνκή ηελ

, Xn

f ( x)

e

x

0,

,x

λα δεηρζεί κε ηε κέζνδν ηεο ξνπνγελλήηξηαο όηη ε θαηαλνκή

n

ηνπ αζξνίζκαηνο

Y

Xi

αθνινπζεί ηε Γάκκα θαηαλνκή κε a = n θαη β = 1/ι.

i 1

Ζήηημα 2ο (Α) Λα δεηρζεί όηη ε ξνπνγελλήηξηα ηεο θαηαλνκήο

X i2

είλαη

(t )

(1 2t )

1/ 2

.

(Β) Αλ Ε αθνινπζεί ηελ ηππνπνηεκέλε θαλνληθή θαηαλνκή, λα απνδεηρζεί όηη ε αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή

Z2

X i2 .

Ζήηημα 3ο (Α) Λα απνδεηρζεί όηη γηα ηε ηπραία κεηαβιεηή Υ κε θαηαλνκή f(x0, ηε ζπλάξηεζε θαη ηε ζηαζεξά c > 0, ηζρύεη όηη:

P[u ( X )

c] 1

u ( x)

0

E (u ( X )) , (αληζόηεηα Chebyshev). c

(Β) Γίλεηαη όηη ε ηπραία κεηαβιεηή Υ έρεη Δ(Υ) = 3 θαη

E ( X 2 ) 13.

Λα ρξεζηκνπνηεζεί ε

αληζόηεηα Chebyshev γηα λα βξεζεί έλα θαηώηαην πέξαο ηεο πηζαλόηεηα Ρ(-2<Υ<8) Ζήηημα 4ο ΢ηόρνο κηαο εηαηξείαο πνπ παξαζθεπάδεη έλα απνξξππαληηθό ξνύρσλ είλαη λα ζπγθξίλεη πέληε δηαθνξεηηθέο ζπζθεπαζίεο πνπ ηεο έρνπλ πξνηαζεί γηα ην πξντόλ ηεο. ΢αλ έλα πξώην βήκα εμεηάδεη αλ νη θαηαλαισηέο δείρλνπλ ηελ ίδηα πξνηίκεζε γηα όιεο ηηο ζπζθεπαζίεο ή όρη. Γη’ απηό ην ζθνπό επηιέγεη έλα ηπραίν δείγκα 500 θαηαλαισηώλ ζηνπο νπνίνπο επηδεηθλύνληαη νη πέληε ζπζθεπαζίεο θαη από ηνπο νπνίνπο δεηείηαη λα πνπλ πνηα πξνηηκνύλ. Σα απνηειέζκαηα ηνπ πεηξάκαηνο είλαη: ΢πζθεπαζία

Αξηζκόο θαηαλαισηώλ πνπ ηελ πξνηηκνύλ

1

87

2

110

3

112

4

101

5

90

΢ύλνιν

500

Κε έιεγρν θαιήο πξνζαξκνγήο

x 2 ζα εμεηαζζεί αλ νη θαηαλαισηέο πξνηηκνύλ όιεο ηηο

ζπζθεπαζίεο ην ίδην. Γηαηππώζηε έλα θαηάιιειν δεύγνο ππνζέζεσλ. ΢πλεγνξνύλ ηα δεδνκέλα, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α = 0.01, κε ηελ ππόζεζε όηη νη θαηαλαισηέο δελ δείρλνπλ ηδηαίηεξε πξνηίκεζε ζε θακία από ηηο πέληε ζπζθεπαζίεο. ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Γάκκα θαηαλνκή Ζ ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο ηεο Γάκκα θαηαλνκήο είλαη:

a

f ( x)

x 1 x a 1e p , x ( ) 0, _ ή

0, a

0,

0 ύ

_

Αλ α = 1 θαη β = 1/ι, πξνθύπηεη ε εθζεηηθή θαηαλνκή Αλ α = n/2 θαη β = 2, πξνθύπηεη ε θαηαλνκή

Πνζνζηηαία ζεκεία ηεο θαηαλνκήο Βαζκνί

X n2

X n2

0.9

0.95

0.975

0.99

0.995

3

6.251

7.815

9.348

11.34

12.84

4

7.779

9.488

11.14

13.28

14.86

5

9.236

11.07

12.83

15.09

16.75

n>100

1.282

1.645

1.96

2.326

2.576

ειεπζεξίαο (n)

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ ΙΙΙ – ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ΢ 2006 (17/02/2006) ΛΑ ΑΠΑΛΣΖ΢ΔΣΔ ΢Δ 3 ΑΠΟ ΣΑ 4 ΕΖΣΖΚΑΣΑ ΠΟΤ ΑΘΟΙΟΤΘΟΤΛ. ΣΑ ΘΔΚΑΣΑ ΔΗΛΑΗ ΒΑΘΚΟΙΟΓΗΘΑ Η΢ΟΓΤΛΑΚΑ

Ζήηημα 1ο (Α)

Αλ

X1, X 2 ,

, Xn

είλαη

αλεμάξηεηεο

ηπραίεο

κεηαβιεηέο

κε

ξνπνγελλήηξηεο n

X 1 (t ),

X 2 (t ),...,

Xn (t ) ,

λα δεηρζεί όηη ε ξνπνγελλήηξηα ηνπ αζξνίζκαηνο

Y

Xi i 1

ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ησλ ξνπνγελλήηξησλ ησλ κεηαβιεηώλ.

(Β) Αλ

X1, X 2 ,

, Xn

είλαη αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο πνπ αθνινπζνύλ ηελ

θαηαλνκή Poisson κε παξακέηξνπο

1

,

2

,...,

n

αληίζηνηρα, λα βξεζεί κε ηε κέζνδν ησλ n

ξνπνγελλήηξησλ, ε θαηαλνκή ηνπ αζξνίζκαηνο

Y

Xi

.

i 1

Ζήηημα 2ο (Α) Αλ

( ,

X1, X 2 , 2

),

, Xn

είλαη ηπραίν δείγκα από πιεζπζκό κε θαηαλνκή ηελ θαλνληθή

ηόηε λα δεηρζεί όηη ε θαηαλνκή ηεο κέζεο ηηκήο

X

ηνπ δείγκαηνο απηνύ είλαη ε

2

θαλνληθή

(t ) (Β) Αλ

( ,

e

t

1 2

n

).

Γίλεηαη όηη ε ξνπνγελλήηξηα ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο είλαη

2 2

t

.

X1, X 2 ,

, X 25

θαη αλ

Y1 , Y2 ,

, Y25

είλαη δύν αλεμάξηεηα ηπραία δείγκαηα κε

θαηαλνκέο ηηο θαλνληθέο Λ(0 , 16) θαη Λ(1.96 , 9) αληίζηνηρα, λα ππνινγηζζεί ε πηζαλόηεηα

P( X

Y)

Ζήηημα 3ο Λα ππνινγηζζεί ε δηαθύκαλζε ηεο Γησλπκηθήο θαηαλνκήο (α) κε ρξήζε ηεο παξαγνληηθήο ξνπήο δεύηεξεο ηάμεσο θαη (β) κε ρξήζε ηεο ξνπνγελλήηξηαο ζπλάξηεζεο. Ζήηημα 4ο Κηα πεξηβαιινληηθή νξγάλσζε ζέιεη λα ειέγμεη θαηά πόζν έλα πξόγξακκα πξνζηαζίαο πνπ εθάξκνζε επέθεξε ζεκαληηθή αύμεζε ζηνλ πιεζπζκό ησλ ςαξηώλ ηνπ είδνπο Α ζε κηα ζαιάζζηα πεξηνρή. Γη’ απηό ην ζθνπό δηεμάγεη ην εμήο πείξακα: Ρίρλεη δίρηπα ζε 8 ηπραία επηιεγκέλα ζεκεία ηεο πεξηνρήο απηήο, πξηλ αξρίζεη λα εθαξκόδεη ην πξόγξακκα, θαη κεηξάεη πόζα ςάξηα ηνπ είδνπο Α πηάλνληαη αλά 100 κέηξα δηρηύνπ. Κεηά από έλα ρξόλν θη αθνύ εθαξκόδεηαη ην πξόγξακκα, επαλαιακβάλεη ηελ ίδηα δηαδηθαζία ζηα ίδηα αθξηβώο ζεκεία. Σα ζηνηρεία πνπ ζπλέιεμε ε νξγάλσζε είλαη ηα εμήο:

΢εκείν

1

2

3

4

5

6

7

8

Υ: αξηζκόο ςαξηώλ αλά 100κ.

4

29

25

23

34

45

42

38

15

37

143

14

24

52

87

50

11

8

78

-9

-

7

45

12

δηρηύνπ πξηλ ην πξόγξακκα Τ: αξηζκόο ςαξηώλ αλά 100κ. δηρηύνπ κεηά ην πξόγξακκα Τ-Υ

10 ΢θνπόο είλαη, κε ηελ βνήζεηα ηνπ δείγκαηνο απηνύ, λα εμεηαζζεί αλ ν πιεζπζκόο ηνπ είδνπο Α παξνπζίαζε αύμεζε θαηά ηελ πεξίνδν εθαξκνγήο ηνπ πξνγξάκκαηνο. Γηαηππώζηε ην θαηάιιειν δεύγνο ππνζέζεσλ. Κε ρξήζε ηνπ πξνζεκηθνύ ειέγρνπ, ηη ζπκπεξαίλεηε, ζε α = 0.05, όηη ζπλέβε ζηνλ πιεζπζκό ησλ ςαξηώλ ηνπ είδνπο Α ζηελ πεξηνρή; Απμήζεθε ή όρη; Ζ

απόθαζε

λα

ιεθζεί

ππνινγίδνληαο

ην

παξαηεξνύκελν

επίπεδν

ζηαηηζηηθήο

ζεκαληηθόηεηαο (p-value). ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλάισζεο ηεο Γησλπκηθήο (n = 14, p = 0.3) x

P( X

x)

x

P( X

x)

0

1

2

3

4

5

6

0.0068

0.0475

0.1608

0.3552

0.5842

0.7805

0.9067

7

8

9

10

11

12

13

0.9685

0.9917

0.9983

0.9998

1

1

1

Αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ηεο Γησλπκηθήο (n = 8, p = 0.5) x

P( X

x)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.004

0.035

0.145

0.363

0.637

0.855

0.965

0.996

1

΢τατιστική ΙΙΙ – ΢ΕΠΣ 2005 ΛΑ ΓΡΑΦΟΤΛ ΓΤΟ ΑΠΟ ΣΑ ΣΡΗΑ ΘΔΚΑΣΑ Θέμα 1ο (α) (βαζκνί 1,5) Λα δηαηππσζεί θαη λα απνδεηρζεί ε αληζόηεηα Chebychev (β) (βαζκνί 1,5) Ζ ηπραία κεηαβιεηή Υ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζν

1

θαη δηαθύκαλζε

1

2

. Λα πξνζδηνξηζηεί ε θαηαλνκή ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο

.

(γ) (βαζκνί 2) Έρνπκε 100 αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο θάζε κία από ηηο νπνίεο αθνινπζεί ηελ νκνηόκνξθε θαηαλνκή ζην δηάζηεκα [-1,1]. Δθηηκήζηε ηελ πηζαλόηεηα ην άζξνηζκα ησλ κεηαβιεηώλ απηώλ λα βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα

0,

10 3

. Γίλεηαη όηη

G(1)=0.8413 Θέμα 2ο (α) (βαζκνί 1,5) Λα δηαηππσζεί θαη λα απνδεηρζεί ν αζζελήο λόκνο ησλ κεγάισλ αξηζκώλ.

(β) (βαζκνί 1,5) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη ζπλαξηήζεηο πηζαλόηεηαο ησλ δηαθξηηώλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ Υ θαη Τ, ησλ νπνίσλ νη ξνπνγελλήηξηεο ζπλαξηήζεηο είλαη:

Y

(t )

1 t e 6

1 2t e 2

(t )

3 2et 5

θαη

1 5t e 3

(γ) (βαζκνί 2) Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ έρεη ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο

f ( x)

ex , x 0 0, x 0

. Λα βξεζεί ε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο ηεο η.κ. Τ=αΥ+β ,

α>0. Θέμα 3ο (α) (βαζκνί 1,5) Λα βξεζεί ε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο γεσκεηξηθήο θαηαλνκήο (β) (βαζκνί 1,5) Αλ Υ ηπραία κεηαβιεηή έηζη ώζηε Δ(Υ)=3 θαη

E ( X 2 ) 13,

λα βξεζεί έλα

θαηώηεξν όξην γηα ηελ πηζαλόηεηα Ρ(-2<Υ<8). (γ) (βαζκνί 2) Αλ ε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο από θνηλνύ θαηαλνκήο ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ Υ θαη Τ είλαη:

M X ,Y (t1 , t2 ) 0

( p1et1

p2 et2

p1 , p2 1, q 1 p1

q)n

λα βξεζεί ε ζπλδηαθύκαλζε

p2

Cov(X,Y) απηώλ.

΢ΣΑΣΙ΢ΣΙΚΗ III - Ιανοσάριος 2005 Λα γξαθνύλ ηα δύν από ηα ηξία ζέκαηα ΘΕΜΑ 1Ο: (α) (βαζκνί 2) Λα βξεζεί ε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο γεσκεηξηθήο θαηαλνκήο ηνπ ηύπνπ: ξ(ρ)=ξ q

x

, ρ=0,1,2,3,….

(β) (βαζκνί 3) Βξείηε ηε ξνπνγελλήηξηα ζπλάξηεζε ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ, πνπ έρεη θαηαλνκή:

f ( x)

1 x=0,1,2,...,n-1 n για αλλοσ 0

θαη από απηήλ, βξείηε ηε καζεκαηηθή ειπίδα θαη ηε

δηαθύκαλζε ηεο Υ.

ΘΕΜΑ 2ο: (α) (βαζκνί 2) Γείμηε όηη

1 n

1

n

(β) (βαζκνί 3) Έζησ Υ ηπραία κεηαβιεηή κε ζπλάξηεζε πηζαλόηεηαο:

1 18 για x 1,3 .

16 για x 2 18

f ( x)

Γείμηε όηη ππάξρεη θάπνηα ηηκή k = 0 γηα ηελ νπνία ην αλώηεξν

όξην ηεο αληζόηεηαο Chebychev δε κπνξεί λα βειηησζεί. ΘΕΜΑ 3Ο: (α) (βαζκνί 2) Γηαηππώζηε ηελ αληζόηεηα Markov θαη απνδείμηε κε ηελ βνήζεηα απηήο ηελ αληζόηεηα Chebychev. (β) (βαζκνί 3) Ο ρξόλνο δσήο ζε εκέξεο θάπνηνπ ειεθηξηθνύ ιακπηήξα θαηαλέκεηαη εθζεηηθά κε κέζε ηηκή κ=10 εκεξώλ. Όηαλ έλαο ιακπηήξαο θαίγεηαη έλαο παξόκνηνο αλάβεη ζηε ζέζε ηνπ. Βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα απαηηεζνύλ πάλσ από 50 ιακπηήξεο γηα όιν ην ρξόλν ησλ 365 εκεξώλ. Γίδεηαη: G(1.91)=0.972

΢τατιστική III -΢επτέμβριος 2004 Λα γξαθνύλ ηα δύν από ηα ηξία ζέκαηα. Σν έληππν απηό λα παξαδνζεί καδί κε ην γξαπηό. Θαιή επηηπρία! ΘΕΜΑ 1Ο a) ( βαζκνί 2 ) Ζ ηπραία κεηαβιεηή Υ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζν

1

θαη δηαθύκαλζε

1

(

t x

(t ) e

b) ( βαζκνί 3 )

2.

απνδείμηε

Λα πξνζδηνξηζζεί ε θαηαλνκή ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο

).

Γίλεηαη

όηη

ε

ξνπνγελλήηξηα

ηεο

είλαη

1 22 t 2 . Έρνπκε 100 αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο θάζε κία από ηηο νπνίεο

αθνινπζεί ηελ νκνηόκνξθε θαηαλνκή ζην δηάζηεκα [ -1, 1]. Δθηηκήζηε ηελ πηζαλόηεηα

10 3

]. Γίλεηαη όηη

b) (βαζκνί 3) Γείγκα 244 θαηνίθσλ δύν πόιεσλ εξσηώληαη αλ ςσλίδνπλ

από ηνπηθά

ην άζξνηζκα ησλ κεηαβιεηώλ απηώλ λα βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα [ 0, G(1)=0.8413. ΘΕΜΑ 2Ο a) (βαζκνί 2) Λα βξεζεί ε ξνπνγελλήηξηα ηεο θαηαλνκήο Pascal.

θαηαζηήκαηα ή από supermarket. Σα απνηειέζκαηα ηεο έξεπλαο εκθαλίδνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα:

ΚΑΣΑ΢ΣΗΜΑΣΑ

Κάηοικοι

Σοπικά καηαζηήμαηα

Supermarket

΢ύνολο

Πόιε Α

51

37

88

Πόιε Β

85

71

156

΢ύλνιν

136

108

244

Λα ειεγρζεί, ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο 5%, αλ ππάξρεη δηαθνξεηηθή ζπκπεξηθνξά ησλ θαηνίθσλ ησλ δύν πόιεσλ σο πξνο ηηο αγνξέο ηνπο. Γίλεηαη

2 3.84 1,0.05

ΘΕΜΑ 3Ο

a) Λα απνδεηρζεί όηη:

X a b

(t )

at ebM

t ( ) X b

b) ( βαζκνί 3 ) (i) Αλ Υ είλαη ηπραία κεηαβιεηή έηζη ώζηε Δ(Υ)=3 θαη Δ(

X 2 )=13,

λα

βξεζεί έλα θαηώηαην όξην γηα ηελ πηζαλόηεηα P( -2<X<8). (ηη) Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ είλαη κε αξλεηηθή θαη t ζεηηθόο αξηζκόο, λα απνδεηρζεί όηη

P( X

1)

E( X ) . t

΢τατιστική III - Φεβροσάριος 2004 Λα γξαθνύλ ηα δπν από ηα ηξία ζέκαηα. Σν έληππν απηό λα παξαδνζεί καδί κε ην γξαπηό. Θαιή επηηπρία! ΘΕΜΑ 1° (α) (βαζκνί 2) Έζησ

όηη ε

ηπραία κεηαβιεηή Χ αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Γάκκα κε

παξακέηξνπο α και β. Απνδείμηε όηη Ε(Χ) = α · β θαη V(X) = α · β2 (β) (βαζκνί 3) Ο ρξόλνο (ζε πξώηα ιεπηά ηεο ώξαο) πνπ απαηηείηαη γηα ηελ επηζεώξεζε κηαο

f x κεραλήο αθνινπζεί ηελ εθζεηηθή θαηαλνκή

1 x 8,x 8e

0 . Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα

λα ρξεηαζηνύλ ηνπιάρηζηνλ 20 ιεπηά ηεο ώξαο γηα ηελ επηζεώξεζε κεραλώλ; a 1

Γίλεηαη όηη: ΘΕΜΑ 2°

0

x e

x

dx

a a

e θαη

2.5

0.082

.

(α) (βαζκνί 2) Έζησ όηη νη αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο Χ1 , Χ2 ,…, Χn αθνινπζνύλ ηελ γεσκεηξηθή θαηαλνκή κε παξάκεηξν p. Πνηα θαηαλνκή αθνινπζεί ην άζξνηζκα ηνπο Υ = Χ1 + Χ2 + ... + Χn ; (απνδείμηε). (β) (βαζκνί 3} Ρίρλνπκε έλα ηδαληθό λόκηζκα n θνξέο. Έζησ Χ ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ εθθξάδεη ηνλ αξηζκό ησλ επηηπρηώλ καο (π.ρ. εκθάληζε θεθαιώλ) ζηηο n ξίςεηο. Λα βξεζνύλ: ^

(i) Σν θαηώηεξν όξην ηεο πηζαλόηεηαο όπσο ε ζρεηηθή ζπρλόηεηα

p

x

n

απνθιίλεη από

ηελ ηηκή 0,5 ιηγόηεξν από 0,1, αλ n = 100. ^

(ii) Ζ κηθξόηεξε ηηκή ηνπ n γηα ηελ νπνία ε πηζαλόηεηα, όπσο ε ζρεηηθή ζπρλόηεηα

p

απνθιίλεη από ηελ ηηκή 0.5 ιηγόηεξν από 0.1, είλαη ηνπιάρηζηνλ 0.95. ΘΕΜΑ 3° (α) (βαζκνί 2) Έζησ Χ θαη Υ δύν ηπραίεο κεηαβιεηέο. Λα δεηρζεί όηη: Cov(X + Υ , Χ-Υ)=; V(Χ) - V(Y) (β) (βαζκνί 3) Ζ δηαθξηηή η. κ. Χ έρεη (γηα

Χ

ρ(χ)

k 1) θαηαλνκή:

-k

0 2

1 2k

K

2

k k

1 2

1 2k

2

(i) Λα βξεζεί ε κέζε ηηκή μ = Ε(Χ) και η δηαθύκαλζε σ2 = V(X} ηεο Χ.

(ii) Λα βξεζεί ε αθξηβήο ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο

P X

k

.

(iii) ΢πγθξίλαηε ηελ ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο, πνπ βξέζεθε ζην εξώηεκα (ii) κε ην θαηώηεξν όξην ηεο πηζαλόηεηαο απηήο, πνπ πξνθύπηεη από ηελ αληζόηεηα Chebyshev.