ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ (E.O.K.) Τρίτη, 6 Οκτωβρίου, 2009. Έχουµε ότι Χ τ.µ. µε συνάρτηση πιθανότητας (ή σ.π.π.) f ( x, ∂ ) , ∂ = ( ∂1 , ∂ 2 ,..., ∂ s ) . Θα λέµε ότι η κατανοµή αυτή ανήκει στην Εκθετική Οικογένεια Κατανοµών (ΕΟΚ), αν: 1) Το στήριγµα (πεδίο Ορισµού) S f = { x ∈ ℝ : f ( x,θ ) > 0} της τ.µ. Χ, δεν θα πρέπει να εξαρτάται από τις άγνωστες παραµέτρους ( ∂1 , ∂ 2 ,..., ∂ s ) . 2) µπορεί να γραφεί στη µορφή: s α) f ( x,θ ) = exp ∑ηi (θ ) Ti ( X ) − B (θ ) h ( x ) i =1 ή εναλλακτικά σε µια από τις παρακάτω µορφές: s β) f ( x,θ ) = exp ∑ηi (θ ) Ti ( X ) − B (θ ) + H ( x ) i =1 s γ) f ( x,θ ) = exp ∑ηi (θ ) Ti ( X ) β (θ ) h ( x ) i =1 s δ) f ( x,θ ) = exp ∑ηi (θ ) Ti ( X ) + H ( x ) β (θ ) , i =1 Όπου Ti (.),η (.), B (.), β (.), H (.), h(.) είναι πραγµατικές συναρτήσεις. Εξυπακούεται ότι h ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ και β (θ ) > 0, ∀θ . Κανονική Μορφή Οι παραπάνω τύποι αποτελούν τη Γενική µορφή, της Ε.Ο.Κ.. Υπάρχει και η κανονική µορφή, που δίνεται από τον παρακάτω τύπο: s f ( x,η ) = exp ∑ηiTi ( X ) − A (η ) h ( x ) i =1 Από τη γενική µορφή µπορούµε να µεταπέσουµε στην κανονική µορφή, ως εξής: Στη γενική µορφή θέτουµε: ηi (θ ) = ηi , οπότε από την οποία προκύπτει:
θi = θi (η ) και η = (ηi (θ ) ,η2 (θ ) ,...,η s (θ ) ) , τότε η B (θ ) παίρνει τη µορφή: A (η ) και η συνάρτηση πιθανότητας (ή σ.π.π.) γίνεται:
s f ( x,η ) = exp ∑ηiTi ( X ) − A (η ) h ( x ) i =1 Να παρατηρήσουµε ότι οι Ti ( X ) και h ( x ) δεν µεταβάλλονται.
Γιατί κανονική µορφή; ∆ιότι από την κ.µ. προκύπτουν άµεσα καλές ιδιότητες (που δεν προκύπτουν από την πρώτη µορφή).
1
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα 1 ∆ιωνυµική Κατανοµή: (θέµα Ιούνιος 2009) ∆ίνεται ότι Χ~διωνυµική (ν, p), (ν γνωστό). v v− x Να εξετασθεί αν f ( x, p ) = p x (1 − p ) , x = 0,1, 2,0 ≤ p ≤ 1 , ανήκει στην x ΕΟΚ. Στήριγµα S f = { x ∈ ℝ : f ( x, p ) > 0} = 0,1, 2,..., v , δηλαδή ανεξάρτητο του p. x
v p v v− x v f ( x, p ) = p x (1 − p ) = (1 − p ) = x x 1 − p v p + − exp x ln v ln 1 p ( ) , άρα ανήκει στην ΕΟΚ, µε: x 1− p p v s = 1 , η ( p ) = ln , T x = x , B p = − v ln p και h x = ( ) ( ) ( ) x . 1− p p p η Κανονική µορφή: Θέτουµε η ( p ) = ln =η ⇒ 1− p = e ⇒ 1− p eη p = (1 − p ) e ⇒ p = e − pe ⇒ p + pe = e ⇒ p (1 + e ) = e ⇒ p = 1 + eη η
η
η
η
η
η
η
1 + eη − eη v eη v f ( x,η ) = exp xη + v ln 1 − = exp x η + v ln = x η η x 1 + e 1 + e v 1 v = exp xη − v ln (1 + eη ) , δηλ. x exp xη + v ln η 1 + e x
{
}
A (η ) = v ln (1 + eη ) .
Προσοχή! Η ∆ιωνυµική κατανοµή δεν ανήκει στην ΕΟΚ αν είναι γνωστό το p και άγνωστο το ν! Παράδειγµα 2 Κανονική Κατανοµή: 1 2
( x − µ ) 2 1 f ( x | µ ,σ ) = exp − = , −∞ < µ < +∞ , −∞ < x < +∞ 2 2 2 σ 2πσ S f = x ∈ ℝ : f ( x | µ ,σ 2 ) > 0 = ( −∞, +∞ ) , ανεξάρτητο των µ ,σ 2 . 2
{
}
2
µ άγνωστο, σ2 γνωστό. 1 1 ( x − µ )2 x 2 − 2 xµ + µ 2 2 −2 2 −2 f ( x, µ ) = ( 2πσ ) exp − = exp − ( 2πσ ) = 2 2 2 2 σ σ
α)
1 xµ µ 2 x2 2 −2 exp 2 − 2 exp − 2 ( 2πσ ) . Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε: 2σ σ 2σ
1
x2 1 2 µ µ2 η ( µ ) = 2 , T ( x ) = x (1), B ( µ ) = 2 και h ( x ) = exp − 2 . 2 2 2 σ 2σ σ πσ
Κανονική µορφή:
σ 2η ) ( µ µ2 σ 4η 2 σ 2η 2 2 η (µ ) = 2 =η ⇒ µ = σ η ⇒ B(µ ) = 2 = = = = A (η ) , 2 σ 2σ 2σ 2 2σ 2 2
οπότε, η σ.π.κ. γίνεται: 1
x2 1 2 σ 2η 2 f ( x,η ) = exp η x − exp − 2 2 2 2σ 2πσ
β)
µ γνωστό, σ2 άγνωστο. 1 2
( x − µ )2 ( x − µ ) 2 1 1 1 1 exp − f ( x, σ ) = + ln 2 = = exp − 2 2 2 σ σ 2 2 2 σ 2 π 2πσ 2
( x − µ )2 1 2 1 exp − − ln σ ( ) 2π . 2 2 2 σ Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε: 1 1 1 2 η (σ 2 ) = − 2 , T ( x ) = ( x − µ ) , B ( µ ) = ln (σ 2 ) και h ( x ) = . 2 2σ 2π
Κανονική µορφή: 1 1 η (σ 2 ) = − 2 = η ⇒ σ 2 = − , οπότε η σ.π. γίνεται: 2η 2σ 1 1 1 2 f ( x,σ 2 ) = exp η ( x − µ ) − ln − = 2 2 η 2 π 1 2 1 exp η ( x − µ ) + ln ( −2η ) = f ( x,η ) 2 2π 1 2
δηλ. A (η ) = − ln ( −2η )
1
Θα µπορούσε να ληφθεί και η ( µ ) = µ και T ( x ) =
x
σ2
, αλλά επιδιώκουµε πάντα οι Ti ( x ) να είναι όσο
το δυνατό απλούστερες, ει δυνατόν απλές δυνάµεις του x . Ο λόγος θα γίνει κατανοητός στα επόµενα κεφάλαια.
3
γ)
µ, σ2 άγνωστα. ( s = 2 ) . 1 2
( x − µ )2 f ( x; µ ,σ ) = exp − = 2 2 πσ σ 2 2 x 2 − 2 xµ + µ 2 1 1 − ln (σ 2 ) = exp − 2 2 2 σ 2 π 1
2
x2 1 − xµ µ 2 1 exp − 2 − 2 − 2 − ln (σ 2 ) ⇒ 2σ 2 σ 2σ 2π 1 2 µ µ2 1 1 2 f ( x | µ ,σ ) = exp − 2 x + 2 x − 2 + ln (σ 2 ) . 2 σ 2σ 2π 2σ Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:
η1 ( µ ,σ 2 ) = −
1 2σ
, T1 = x , 2
2
µ , T = x, σ2 2 µ2 1 1 2 B ( µ ,σ ) = + ln (σ 2 ) και h ( x ) = 2 2σ 2 2π
η 2 ( µ ,σ 2 ) =
Κανονική µορφή: 1 1 η1 ( µ ,σ 2 ) = − 2 = η1 ⇒ σ 2 = − 2σ 2η1
η 2 ( µ ,σ 2 ) =
1 µ η2 2 = η ⇒ µ = η σ ⇒ µ = η , οπότε: =− 2 2− 2 2 2 η 2 η σ 1 1
η 2 η 2 2 − − 2η1 1 1 1 1 2η1 2 2 f ( x | µ ,σ ) = exp − x + x− + ln − ⇒ 2 2 η 1 1 1 2 π 1 2 − 2 − − 2η1 η η 2 2 1 1 η η 2 1 1 1 f ( x;η1 ,η2 ) = exp η1 x 2 + η2 x − − 1 22 + ln − = 4 2 2 η η 2 π 1 1 η2 1 1 η2 1 , δηλαδή A (η ) = − 2 − ln ( −2η1 ) exp η1 x 2 + η2 x − − 2 − ln ( −2η1 ) 4η1 2 4η1 2 2π
4