ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Τρίτη, 13 Οκτωβρίου, 2009. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ορισµός: Στατιστική Συµπερασµατολογία είναι η εξαγωγή συµπερασµάτων για έναν πληθυσµό, από ένα δείγµα. Έχω ένα υπόδειγµα µε κάποιες παραµέτρους για την περιγραφή του πληθυσµού και σε δεύτερο στάδιο επιχειρούµε να υπολογίσουµε τις παραµέτρους. Χωρίζεται στα παρακάτων κύρια µέρη: • Σηµειακή Εκτίµηση • ∆ιαστήµατα Εµπιστοσύνης • Ελέγχους Υποθέσεων Στατιστική Συνάρτηση Ορισµός: Στατιστική Συνάρτηση (σ.σ.) ή Συνάρτηση δείγµατος ή δειγµατοσυνάρτηση είναι κάθε συνάρτηση T ( X ) = T ( X 1 , X 2 ,..., X v ) ενός τυχαίου δείγµατος X 1 , X 2 ,..., X v , η οποία µπορεί να βρεθεί χωρίς τη γνώση της κατανοµής από την οποία προέρχεται το δείγµα. 2 1 v 1 v π.χ. X = ∑ xi , s 2 = x − x ∑ i v i =1 v − 1 i =1
(
)
1
ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ Εκτιµήτριες Συναρτήσεις (σηµειακές) Ορισµός: Σηµειακές Εκτιµήτριες µιας παραµέτρου θ τις οποίες συµβολίζουµε µε θɵ , είναι στατιστικές συναρτήσεις οι οποίες εκτιµούν την προαναφερθείσα παράµετρο και, για συγκεκριµένα δείγµατα αντιστοιχούν σε συγκεκριµένες τιµές, τις εκτιµήσεις. π.χ. Έστω X 1 , X 2 ,..., X v τ.δ. από κανονική κατανοµή N ( µ ,σ 2 = 1) . Ζητείται να εκτιµηθεί την άγνωστη παράµετρο µ. Λύση Προσοχή! Η πραγµατική τιµή του µ είναι άγνωστη σταθερά. Η εκτίµηση µ είναι τυχαία µεταβλητή, ως συνάρτηση του δείγµατος. Για να είναι το µ καλή εκτιµήτρια του µ, θα πρέπει να είναι πολύ κοντά στην πραγµατική τιµή του µ. − µ < δ =1 lim Pr µ v →∞
)
(
είναι εκτιµήτρια του µ, η οποία βασίζεται σε ν παρατηρήσεις. µ v X i ~ N ( µ ,σ 2 = 1) , i = 1, 2,..., v. , άρα
( ( ) ( ))
X ~ N E X ,V X
1 v 1 v 1 v 1 v X = ∑ xi ⇒ E X = E ∑ xi = E ∑ xi = ∑ E ( xi ) = v i =1 v i=1 v i=1 v i =1 1 vµ = µ v 1 v 1 v 1 v 1 1 v V ∑ xi = 2 V ∑ xi = 2 ∑V ( xi ) = 2 ∑σ 2 = 2 vσ 2 = v i =1 v v i =1 v i =1 v i =1
( )
1 v ∑µ = v i =1
σ2 v
σ2 1 Άρα X ~ N µ , = v v Απόδειξη, µε Ροπογεννήτριες ότι ο δειγµατικός µέσος ακολουθεί κανονική κατανοµή:
Είναι γνωστό ότι µία τ.µ. Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή, αν και µόνο αν ι σ 2t 2 σχύει: M X ( t ) = exp µt + . 2 (Η ροπογεννήτρια συνάρτηση αυτή χαρακτηρίζει την κανονική κατανοµή) σ 2t 2 tX 2 X i ~ N ( µ ,σ ) , i = 1, 2,..., v ⇔ M X i ( t ) = exp µt + ⇒ M X ( t ) = E e = 2 t 1 ∑ xi 1 t xv t 1v x1 t 1v x2 t 1v x1 t 1v x2 t 1v xv v i =1 v E e = E e ⋅ e ⋅ ... ⋅ e = E e E e ⋅ ... ⋅ E e = n
2
2 2 t σ v v t t t t t v M x1 ⋅ M x2 ⋅ ... ⋅ M xv = ∏ M xi = ∏ exp µ + = 2 v v v i =1 v i =1 v v
µ t σ 2t 2 µt σ 2t 2 σ 2t 2 = exp + 2 = exp v + v 2 = exp µ t + 2v 2v 2v v v σ2 2 t v exp µ t + , από την οποία συµπεραίνουµε ότι 2
σ2 X ~ N µ, v
Έστω X 1 , X 2 ,..., X v τ.δ. από κανονική κατανοµή N ( µ ,σ 2 = 1) . σ2 1 x−µ X ~ N µ, = z= ~ N ( 0,1) 1 v v v − µ < δ = 1 ⇒ lim Pr −δ < µ − µ < δ =1⇒ µ =X Θέλουµε: lim Pr µ v v →∞
)
(
(
v →∞
)
−δ µ − µ δ Pr −δ < µ − µ < δ = Pr < < = Pr −δ v < z < δ v = 1 1 1 v v v Φ δ v − Φ −δ v = Φ δ v − 1 − Φ δ v = 2Φ δ v − 1 − µ < δ = lim 2Φ δ v − 1 = Συνεπώς: lim Pr µ v →∞ v →∞
(
(
)
) (
(
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
(
)
)
)
2lim Φ δ v − 1 = 2 ⋅ 1 − 1 = 1 v →∞
Άρα ο δειγµατικός µέσος, X είναι µια «καλή» εκτιµήτρια για το µ. Ορισµός: Το σύνολο Θ ⊆ ℝ s , το οποίο αποτελείται από όλες τις τιµές, τις οποίες µπορεί να πάρει η παράµετρος θ = (θ1 ,θ 2 ,...,θ s ) , λέγεται παραµετρικός χώρος. π.χ. αν θ = ( µ ,σ 2 ) , τότε Θ = ℝ × [ 0, ∞ ) Γενίκευση: Υπόδειγµα µε παράµετρο θ = (θ1 ,θ 2 ,...,θ s ) .
3
Μπορεί να ενδιαφέρει να υπολογίζω κάποια συνάρτηση της παραµέτρου g (θ ) και όχι την ίδια τη συνάρτηση. Έχει, επίσης, έννοια, να µιλάµε για εκτιµήτρια της συναρτήσεως g (θ ) , η οποία θα είναι επίσης συνάρτηση του δείγµατος. Ιδιότητες (Κριτήρια) «Καλών» Εκτιµητριών. α) β) γ) δ) ε)
Αµεροληψία Αµεροληψία µε ελάχιστη διασπορά (α.ε.ε.δ.). Επάρκεια. Συνέπεια. Αποτελεσµατικότητα.
4