v
MATEMÁTICA Unidad 4
Operemos con fracciones algebraicas. Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricos
Objetivos de la unidad: Aplicarás con seguridad las fracciones algebraicas y sus propiedades al reducir a términos más simples los resultados, solucionando así problemas de la vida diaria Utilizarás el área y volumen de los cuerpos geométricos para proponer soluciones a situaciones problemáticas de su entorno social y familiar, valorando la opinión de los demás.
55
Expresiones Algebráicas encuentras: Máximo común divisor
pueden ser
Mínimo común múltiplo
Fracciones algebráicas efectúas: Valor numérico
Operaciones de: Multiplicación y División
Suma y resta
Cuerpos geométricos se dividen en: Redondos
Poliédricos
se subdividen en: Prisma
Pirámide
Cono
Cilindro
Esfera
Área y volúmen
Descripción del Proyecto Cuando finalices esta unidad, mediante el cálculo de volúmenes le ayudarás a una empresa a escoger entre dos tipos de contenedores; para que pueda recoger la mayor cantidad de desechos.
56 Matemática - Octavo Grado
Lección 1
Cuarta Unidad
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Motivación
C
¿ uál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de las dos llaves que vierten: la primera 15 litros por minuto y la segunda 20 litros por minuto?
Indicadores de logro: Determinarás el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas a partir de los números enteros, con perseverancia. Utilizarás y explicarás con seguridad el mínimo común múltiplo monomio. Utilizarás y explicarás con seguridad el mínimo común múltiplo polinomio. Resolverás con perseverancia problemas de aplicación del mínimo común múltiplo monomio y polinomio.
Determinarás con perseverancia el máximo común divisor de expresiones algebraicas a partir de los números enteros. Utilizarás y explicarás con seguridad el máximo común divisor monomio. Utilizarás y explicarás con seguridad el máximo común divisor polinomio. Resolverás con perseverancia problemas de aplicación del máximo común divisor monomio y polinomio.
Mínimo común múltiplo Para darle solución a la situación anterior, encuentra los primeros 12 múltiplos de 15 y 20.
Observa que los múltiplos comunes de 15 y 20 son: 60, 120 y 180, de ellos el menor es 60.
Los múltiplos de 15 son: 15, 30, 45, 60, 75, 90,105, 120, 135, 150, 165, 180,…
El menor múltiplo común de 15 y 20 es 60 Entonces el estanque se llenará con un mínimo de 60 litros. En este caso el número 60, recibe el nombre de mínimo común múltiplo, generalmente se representa por mcm.
Los múltiplos de 20 son: 20, 40, 60, 80,100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240,…
Punto de apoyo Observa El mcm de dos o más números es el menor de los múltiplos de dichos números.
El mcm se obtiene multiplicando todos los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Octavo Grado - Matemática 57
UNIDAD 4 Ejemplo 1
Observa
Calcula el mcm de 50 y 30.
Solución: Recuerda que para calcular el mínimo común múltiplo, puedes hacerlo aplicando la descomposición de factores.
Ejemplo 3
En este caso tienes: 50 25 5 1
30 15 5 1
2 5 5
50 = 2 (5)2
Para encontrar el mcm de monomios, primero encuentras el mcm de los coeficientes y a continuación de este se escriben todas las letras comunes y no comunes con su mayor exponente.
2 3 5
Encuentra el mcm de 9a2bx, 36ab2 x2 y 18a3b3 ¿Cómo lo harás?
Solución: Calcula el mcm de los coeficientes:
mcm = 2 (3) (5) = 150 2
30 = 2 (3) (5)
Observa que has multiplicado todos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Mínimo común múltiplo de monomios Ahora, efectúa de manera similar con una expresión algebraica.
9 9 9 3 1
36 18 9 3 1
18 9 9 3 1
2 2 3 3
el mcm es 22 × 32 = 4 × 9 = 36
Luego encuentras el mcm de la parte literal 9a2bx , 36ab2 x2 y 18a3b3, que es a3b3 x2
Ejemplo 2
El mcm de 9a2bx, 12ab2 x2 de 18a3b3 x es igual a 36a3b3 x2
¿Cómo encontrarías el mcm de 8ab2c y 12a3b2?
Ejemplo 4
Solución:
Halla el mcm de 10a3 x, 36a2mx2, y 24b2m4
Primero encuentras el mcm de los coeficientes:
Solución:
8 4 2 1
12 6 3 3 1
2 2 2 3
23 x3
Tienes que el mcm de 8 y 12 es 23 × 3 = 24. Luego encuentras el mcm de la parte literal que estará formado por las letras comunes y no comunes con su mayor exponente. En este caso el mcm de ab2c y a3b2 es a3b2c El mcm de 8ab2c y 12a3b2 es 24a3b2c
58 Matemática - Octavo Grado
Primero encuentras el mcm de los coeficientes 10, 36 y 24. 10 5 5 5 5
36 18 9 9 3
24 12 6 3 1
2 2 2 3 3
5 5 1 1 mcm = 23 × 32 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360 Luego el mcm de la parte literal es a3b2m4 x2 El mcm de 10a3 x, 36a2mx2, y 24b2m4 = 360a3b2m4 x2
UNIDAD 4 Ejemplo 5
x2 – 1 es una diferencia de cuadrados, entonces
Encuentra el mcm de x3, x4 y, xy2, y3 ¿Cómo se resuelve?
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
Solución:
x2 – x tiene factor común
Observa que los monomios no tienen coeficiente, por lo tanto sólo encuentras el mcm de la parte literal que en este caso es x4y3. Luego, el mcm de x3, x4 y, xy2, y3 es x4y3.
Ejemplo 6 Encuentra el mcm de 9x3, 2xy2, 5xy3 ¿Qué notas en sus coeficientes?
Solución:
x2 – x = x (x – 1)
Punto de apoyo Para descomponer un polinomio en sus factores primos, tienes que aplicar los casos de factorización estudiados en unidades anteriores. Escoge los factores primos diferentes que aparecen en ambas factorizaciones y elige la potencia mayor que aparece en una u otra. Su producto es el mínimo común múltiplo.
Observa los coeficientes no tienen nada en común, entonces el mcm será el producto de ellos, es decir: mcm de 9, 2 y 5 es 9 × 2 × 5 = 90
Es decir que el mcm de: x2 – 1 y x2 – x es x(x + 1)(x – 1)
Luego el mcm de 9x3, 2xy2 y 5xy3 es igual a 90x3y3
Halla el mcm de: x2 – 6x + 9, x2 – 9, x2 – 4x + 3
1
Ejemplo 8 Solución:
Actividad
x2 – 6x + 9 = (x – 3)2
Encuentra el mcm de: a) a3, ab2 y a2b
d) 3x3 6x2 y 9x4y2
b) 3x2y3z; 4x3y3z2 y 6x4 e) 10m2 , 15mn2 y 20mn3 c) 5x2 , 10xy y 15xy2
Expresa cada polinomio como producto de sus factores:
f) 8m2n3, 3m3n y 7mn2
Mínimo común múltiplo de polinomios
x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
x2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1) Selecciona los factores comunes y no comunes que aparecen en todas las factorizaciones con su mayor exponente. El mcm de x2 – 6x + 9, x2 – 9 yx2 – 4x + 3 es (x – 3)2(x + 3)(x – 1)
Para encontrar el mcm de polinomios seguimos el proceso similar a los monomios, es decir, descomponiendo cada polinomio en factores primos.
Ejemplo 9
Ejemplo 7
Solución:
Encuentra el mcm de: x2 – 1 y x2 – x
Factorizas cada polinomio:
Solución:
x2 – 3x – 4 = (x − 4)(x + 1)
Expresa cada uno de los polinomios como producto de sus factores.
x2 – 1 = (x − 1)(x + 1)
Encuentra el mcm de x2 – 3x – 4; x2 − 1
El mcm de x2 – 3x – 4; x2 − 1 es (x + 1 )(x – 1)(x – 4)
Octavo Grado - Matemática 59
UNIDAD 4
Máximo común divisor
Ejemplo 10 Halla el mcm de: y2 – 2y + 1; y2 + 2y + 1
Solución: y2 – 2y + 1 = (y – 1)2
y2 + 2y + 1 = (y + 1)2
El mcm de y2 – 2y + 1; y2 + 2y + 1 es (y – 1)2 (y + 1)2
Ana quiere hacer banderas de tres colores, y tiene 12 yardas de blanco, 24 yardas de azul y 18 yardas de verde, ¿qué debe hacer Ana para cortar la tela y que todas las banderas le queden del mismo tamaño sin sobrar ningún pedazo de tela?
Ejemplo 11 Encuentra el mcm de: a3 +a2b; a3+2a2b + ab2
Solución: Factoriza cada polinomio a3+a2b = a2(a + b) a3+2a2b + ab2 = a (a2 +2ab + b2) = a(a + b)2 El mcm de: a3 +a2b; a3+2a2b + ab2 es a2(a + b)2
2
Actividad
Encuentra el mcm de: a) 4a2 – 9b2; 4a2 − 12ab + 9b2
Encuentra los factores de cada una de las cantidades de tela.
b) x3 – 25x; x2 + 2x − 15 c) x3 + y3; (x + y)3 d) a
2
e) 2a f) x
2
Factores de 12: 12, 6, 4, 3 y 2
+ a – 30; a + 3a – 18
2
2
+2a; 3a – 3a; a –a 2
4
2
+2x; x − 2x ; x − 4 3
Solución:
2
2
Factores de 24: 24, 12, 8, 6, 4, 3 y 2 Factores de 18: 18, 9, 6, 3 y 2 Los factores comunes son: 6, 3 y 2. El mayor de ellos es 6. Entonces el máximo común divisor es 6. Es decir mcd = 6 Para que todas las banderas queden del mismo tamaño deben medir 6 yardas. ¿Cuántas banderas de color verde debe hacer Ana? 18 = 3 , debe hacer 3 banderas verdes. 6
60 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 4 Ejemplo 12
Ejemplo 14
Encuentra el máximo común divisor de 36 y 48.
Encuentra el mcd de 12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c
Solución:
Solución:
Puedes utilizar cualquiera de las formas que estudiaste en grados anteriores.
Primero encuentras el mcd de los coeficientes:
En este caso, por descomposición en factores: 36 18 9 3
48 24 12 4
El mcd es el producto de los factores comunes, en este caso:
2 2 3
mcd = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12
12 6 2
60 30 10
54 27 9
2 3
El mcd es: 2 × 3 = 6
A continuación encuentra el mcd de la parte literal de: 12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c. Observa que tanto la letra a y b están en los tres términos a excepción de c que está solamente en dos términos, lo que indica que no es factor común.
Punto de apoyo El máximo común divisor de dos o más números es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
Máximo común divisor de monomios
Seguidamente, tomas a y b con sus menores exponentes a2 y b. El mcd de 12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c es igual a 6a2b.
Ejemplo 15
Ejemplo 13
Encuentra el mcd de 15a2b3c; 24ab2 x; 36b4 x
¿Cómo encontrarías el mcd de 12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2?
Halla el mcd de los coeficientes:
Solución: Primero encuentras el mcd de los coeficientes: 12 6 2
18 9 3
24 12 4
2 3
mcd de los coeficientes es igual a: 2 × 3 = 6
15 5
24 8
36 12
3 el mcd de 15, 24 y 36 es igual a 3
El mcd de la parte literal es b2 . Luego el mcd de 15a2b3c; 24ab2 x; 36b4 x es 3b2 .
Luego encuentra el mcd de las letras: 12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2 En este caso, las letras se encuentran en todos los monomios, por lo que tomarás las que tienen menor exponente: x y z. Por lo tanto el mcd de 12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2 es igual a 6xyz. El máximo común divisor de dos o más monomios se define como la expresión que esta contenida exactamente en cada uno de los monomios.
Octavo Grado - Matemática 61
UNIDAD 4 Ejemplo 16 Encuentra el mcd de 8x2y3; 17x2y4; 16x3yz.
Solución: Observa los coeficientes: 8, 17 y 16 ¿Hay común divisor para los tres coeficientes?, solamente 8 y 16 tienen factor en común y 17 es primo por lo que en este caso no habrá un mcd de los coeficientes. Porque son monomios primos entre si. ¿Cuáles son los factores compuestos de la parte literal, ¿cuál es el mcd? El mcd de 8x2y3; 17x2y4; 16x3yz es x2y porque x2 es la menor potencia de x; y la menor de y, z sólo está en uno de los polinomios.
3
Actividad
Encuentra el mcd de: a) 6a2b3, 15a3b4
d) 12x2yz3, 18xy2 z, 24x3yz2
b) 8am3n, 20x2m2
e) 28a2b3 c 4, 35a3b4 c5, 42a4b5 c6
c) 48a2b3 x, 72ab2 c, 30b4 x2
f) 42am2n, 56m3n2 x, 70m4n2y
Máximo común divisor de polinomios Ejemplo 17 ¿Cómo puedes encontrar el mcd de 2x2 +2xy; 4x2 – 4xy?
Solución: Se descompone cada polinomio en sus factores primos, utilizando casos de factoreo ya estudiados. Luego el mcd es el producto de los factores comunes con su menor exponente. Entonces: 2x2 +2xy este polinomio se descompone mediante factor común. 2x2 +2xy = 2x(x + y) 4x2 – 4xy también es factorizable por factor común 4x2 – 4xy = 4x(x + y), pero como tiene que ser en factores primos, tienes: 4x2 – 4xy = 4x(x + y) = (2) (2x) (x + y) Los factores primos comunes son: (2x) (x + y) Luego, el mcd de 2x2 +2xy; 4x2 – 4xy es 2x(x + y)
62 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 4 Ejemplo 18
Recuerda que debes factorizar hasta llegar a factores primos.
Encuentra el mcd de 8x3 + y3; 4ax2 – ay2
Luego concluyes que el mcd de 2a3 – 12a2b + 18ab2; a3 x – 9ab2 x es igual a : a(a− 3b)
¿Cómo lo encuentras?
Solución: Factorizando los polinomios: 8x3 + y3 es una suma de cubos por lo que se factoriza de la siguiente manera: 8x3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) 4ax2 – ay2 = a(4x2 – y2), en este caso te das cuenta que se puede seguir factorizando: 4ax2 – ay2 = a(4x2 – y2) = a(2x – y)(2x + y) Luego, tienes que el factor común es (2x + y) Por lo tanto: El mcd de 8x3 + y3; 4ax2 – ay2 es 2x + y
Ejemplo 19 Encuentra el mcd de: n − 4 ; n – n – 6 ; n + 4n + 4 2
2
2
Solución: Primero factorizas los tres polinomios: n – 4 = (n – 2)(n + 2) 2
n – n – 6 = (n − 3)(n + 2) 2
n2 +4n + 4= (n + 2)2 El factor común con su menor exponente es n + 2 Entonces el mcd de n2 − 4; n2 – n – 6; n2 +4n + 4 es n + 2
Ejemplo 20 Encuentra el mcd de 2a3 – 12a2b + 18ab2; a3 x – 9ab2 x
Solución: Factoriza los polinomios: 2a3 – 12a2b + 18ab2 = 2a(a2 – 6ab + 9b2) = 2a(a – 3b)2 a3 x – 9ab2 x = ax(a2 – 9b2) = ax (a – 3b)(a + 3b)
Actividad
4
Encontrar el mcd de: a) x2 – x; x3 − x2 b) 5a2 − 15a; a3 – 3a2 c) 4a2 + 4ab + b2; 2a2 − 2ab + ab – b2 d) 30ax2 − 15x3; 10axy2 – 20x2y2 e) 2ax2 +4ax; x3 – x2 − 6x
Resumen Para encontrar el mcm de monomios, primero encuentras el mcm.de los coeficientes y de la parte literal, y este será el producto de todos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Cuando se trata de polinomio, descompones en factores cada polinomio y luego procedes como en los monomios. El mcd de monomios es el producto de los factores comunes con su menor exponente, tanto de los coeficientes como de la parte literal. Con polinomios, el proceso es similar, lo único que tienes que descomponer en factores cada polinomio.
Octavo Grado - Matemática 63
UNIDAD 4
Autocomprobación El mcm de 6m2n2, 4m3 es igual a:
3
El mcm de x3 – y3, (x – y)3 es igual a:
2m3n2 b) 12m3n c) 12m3n2 d) 24m3n
(x – y)3 (x + y)2 b) (x – y)3 (x2 +xy + y2) c) (x3 – y3)(x + y)2 d) (x3 – y3)(x2 +xy + y2)
a)
El mcd de 18mn2, 27a2m3n4 es igual a: 54mn2 b) 54a2m3n4 c) 9mn2 d) 9a2m3n4
4
Encuentra el mcd de 3x3 +15x2; ax2 + 5ax: x(x + 5) b) 3ax2(x + 5) c) 3x2(x + 5) d) 3ax (x + 5)
a)
a)
1. c.
2. c.
2
a)
Soluciones
1
3. b.
4. a.
LOS MAYAS Y EL MCM El calendario Tzolkin de 260 días es el más usado por los pueblos del mundo maya. Lo usaban para regir los tiempos de su quehacer agrícola, su ceremonial religioso y sus costumbres familiares, pues la vida del hombre maya estaba predestinada por el día del Tzolkin que correspondía a la fecha de su nacimiento. Esta cuenta consta de los números del 1 al 13 y 20 nombres para los días representados asimismo por glifos individuales (260 es el mcm de 13 y 20)
64 Matemática - Octavo Grado
Lección 2
Cuarta Unidad
Fracciones algebraicas Motivación
El área de un rectángulo es 2x + 13x + 6 y su base mide 2x + 1. ¿Cómo 2
encuentras su altura? El área de un rectángulo es A = bh, entonces despejas y obtienes que A h = , luego al sustituir los datos conocidos resulta la siguiente expresión: b 2 x 2 + 13 x + 6 A esta expresión le llamas fracción algebraica. h= 2x + 1 ¿Cuánto mide la altura y la base si el valor x es 2? ¿Cuál es el área del rectángulo?
2x2 + 13 + 6
h
2x + 1
Indicadores de logro: Identificarás y explicarás con seguridad fracciones algebraicas. Determinarás y explicarás la simplificación de fracciones algebraicas a partir de los números racionales con orden y seguridad. Resolverás problemas de simplificación de fracciones algebraicas con orden.
En el proceso de solución a la situación anterior, 2 x 2 + 13 x + 6 , notarás tienes la expresión h = 2x + 1 que representa una división o un cociente indicado, donde el numerador y el denominador son expresiones algebraicas. Una fracción algebraica es el cociente indicado entre dos expresiones algebraicas: monomios o polinomios; siempre y cuando el denominador sea una expresión diferente de cero. En una fracción algebraica se debe aclarar los valores que no acepta la variable, por ejemplo: 2y + 3 x +2 , para x ≠ 0 a) b) , para y ≠ – 2 y +2 x
Determinarás con autonomía y confianza el valor numérico de fracciones algebraicas. Multiplicarás fracciones algebraicas con denominadores monomios, con orden y aseo. Resolverás con perseverancia problemas utilizando la multiplicación de fracciones algebraicas.
Simplificación de fracciones algebraicas 3 ? 12 Recuerda que simplificar una fracción es expresarla en su forma más simple, es decir que el mcd del numerador y denominador es 1. ¿Cómo puedes simplificar la fracción
Para simplificar fracciones, primero descompones en factores, tanto el numerador como el denominador y luego cancelas o eliminas los que son comunes, así: 1 3 3 ×1 1 3 equivale a = = entonces, 4 12 3 ×4 4 12
Octavo Grado - Matemática 65
UNIDAD 4 Ejemplo 1
Ejemplo 3
15 ¿Cómo simplificas ? 35
Simplifica:
35n 3 m 4 6n 2 p
Solución:
Solución:
Expresas el numerador y denominador como producto de factores, luego eliminas los comunes. 15 5 ×3 3 = = 35 5 ×7 7
En este caso los coeficientes 35 y 6 son primos entre si, solamente se simplifica la parte literal. 35n 3 m 4 35 n 2 nm 4 35nm 4 = = 6n 2 p 6n2p 6p
Ejemplo 2
Simplifica la fracción
Solución:
24 x 4 y 3c 2 ¿Cómo lo realizarás? 4 x2 y3
Observa
Expresas el numerador y el denominador como producto de factores, luego eliminas los comunes. 6.4 x 2 x 2 y 3c 2 24 x 4 y 3c 2 = = 6 x 2c 2 2 3 2 3 4x y 4x y Entonces:
Para simplificar fracciones algebraicas procedes de la misma forma que en las expresiones aritméticas.El signo × lo sustituyes por un punto.
24 x 4 y 3c 2 = 6 x 2c 2 2 3 4x y
Ejemplo 4 ¿Cómo simplificas
Solución:
x3 − y3 ? x 2 − 2 xy + y 2
En este caso tienes que descomponer en factores el numerador x3 – y3 y el denominador x2 – 2xy + y2, luego eliminas los comunes. ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) x 2 + xy + y 2 x3 − y3 = = = ( x − y )2 x 2 − 2 xy + y 2 x −y ( x − y )( x − y ) 3 3 2 2 x −y x + xy + y Luego: 2 = 2 x − 2 xy + y x −y
66 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 4 Ejemplo 5 Simplificar:
Solución:
3x 3 + 9x 2 x 2 + 6x + 9
3x 3 + 9x 2 3x 2 ( x + 3 ) 3x 2 ( x + 3 ) = = x 2 + 6x + 9 ( x + 3 )2 ( x + 3 )( x + 3 ) Luego:
3x 3 + 9x 2 3x 2 = x 2 + 6x + 9 x + 3
Ejemplo 6 Simplifica:
Solución:
x 2 − 8 x + 16 x 2 − 16
x 2 − 8 x + 16 ( x − 4 )2 ( x − 4 )( x − 4 ) x − 4 = = = 2 ( x − 4 )( x + 4 ) ( x − 4 )( x + 4 ) x + 4 x − 16 Es decir:
x 2 − 8 x + 16 x − 4 = x 2 − 16 x +4
Ejemplo 7 Simplifica:
Solución:
x 2 − 2 x − 15 x 2 + 8 x + 15
x 2 − 2 x − 15 ( x − 5 )( x + 3 ) ( x − 5 )( x + 3 ) = = x 2 + 8 x + 15 ( x + 3 )( x + 5 ) ( x + 3 )( x + 5 ) Luego:
x 2 − 2 x − 15 x − 5 = x 2 + 8 x + 15 x + 5
Actividad
1
Simplifica las siguientes fracciones:
xy a) 2 3 x y − 3 xy 2
x2 − y2 d) 3 x − y3
a 2 − a − 20 b) a 2 − 7a + 10
3 x 2 y + 15 xy e) x 2 − 25
c)
2ax + 4bx 3ay + 6by
f)
n3 − n n 2 − 5n − 6
Octavo Grado - Matemática 67
UNIDAD 4
Valor numérico de una fracción algebraica Si Pedro en su vehículo, recorre 150 km en 2 horas. ¿A qué velocidad viaja Pedro en su vehículo?
Ejemplo 9 x2 − 9 , para x = 5, Encuentra el valor numérico de + x 3 x=–2
Solución: Para x = 5, sustituyes en la fracción:
La velocidad de un vehículo se puede calcular por d medio de la fórmula v = . t Sustituye los datos en la fórmula así: d 150 km v = = = 75 km / h Viaja a 75 km/h t 2h El valor encontrado corresponde al valor numérico de la fórmula.
d es una fracción algebraica porque su Como t numerador y denominador lo forman monomios, entonces tienes que el número que obtuviste después de sustituir las variables por los valores correspondientes, y efectuada la operación indicada, se llama valor numérico de una fracción algebraica.
Ejemplo 8 Si retomamos la situación inicial el área en cm 2 de un rectángulo es 2x2 + 13x + 6 y su base mide 2x + 1. ¿Cuál es la altura si x = 2?
Solución: Antes habías despejado la altura que es: 2 x 2 + 13 x + 6 h= 2x + 1 Ahora sustituye el valor x = 2, en la fórmula: 2 x 2 + 13 x + 6 2( 2 )2 + 13( 2 ) + 6 = 2x + 1 2( 2 ) + 1 40 8 + 26 + 6 La altura es 8 cm. = = = 8 4 +1 5
h=
68 Matemática - Octavo Grado
x 2 − 9 52 − 9 25 − 9 16 = = = =2 x +3 5+3 8 8 x2 − 9 Cuando x = 5, =2 x +3 Para x = – 2, sustitúyelo en la fracción: x 2 − 9 ( −2 )2 − 9 4 − 9 = = = −5 x +3 ( −2 ) + 3 1 x2 −9 El valor numérico de cuando x = –2, es – 5 x +3
Ejemplo 10
Encuentra el valor numérico de: para y = 3
y 2 − 10 y + 24 y −4
Solución: Sustituye el valor es la fracción dada: y 2 − 10 y + 24 ( 3 )2 − 10( 3 ) + 24 = y −4 3−4 9 − 30 + 24 = = −3 3−4 y 2 − 10 y + 24 cuando x = 3 El valor numérico de y − 4 es – 3
UNIDAD 4
2
Actividad
Encuentra el valor numérico en cada caso: 8 z +2 para x = 1 a) 2 para z = – 2 c) 2 x − 3x z +2
y 2 − 4 y − 12 para y = 4 b) y2 − 4
6 x 2 − 3x para x = 3 d) 2x − 1
e)
z 2 − 36 para z = – 6 z −6
f)
y +1 para y = 2 y − 2y + 1 2
Multiplicación de fracciones algebraicas ¿Cuánto mide el área de un rectángulo si de largo mide 4 6 m y de ancho m ? 3 10 4 Para encontrar el área multiplicamos largo por 3 6 ancho 10 Para efectuarla puedes hacerlo de dos formas: 1) 4 6 × = 3 10
4 12 24 30 15 5
=
4 5
El área es
2x 2 6 y 2 x Efectúa la multiplicación de las fracciones 3y 4x y luego simplifícala.
Solución: Primero multiplicas: 2x 2 (6 y 2 ) 6 y2 2x 2 × = 3y 4x 3 y (4x ) Luego descompones en factores el numerador y denominador de los términos:
2x 2 (6 y 2 ) 3 y (4x )
2) 4 × 6 = 2( 2 ) × 3( 2 ) 3 10 3 5( 2 ) 2( 2 )( 3 )( 2 ) 2( 2 ) 4 = = = 3( 5 )( 2 ) 5 5
Ejemplo 11
=
Luego obtienes:
2 x x (2)(3) y y 3 y ( 2 )( 2 ) x 6 y2 2x 2 × = xy 3y 4x
Punto de apoyo
4 2 m 5
Para efectuar esta operación con fracciones algebraicas es más recomendable la forma 2, ya que te permitirá simplificar los factores comunes en el numerador y denominador de las fracciones, quedando productos más sencillos de resolver.
= xy
El producto de fracciones algebraicas es similar a la de fracciones numéricas. Aplica los mismos pasos.
Octavo Grado - Matemática 69
UNIDAD 4 Ejemplo 12 Multiplica las siguientes fracciones: 5 x + 25 × 7 x + 7 14 10 x + 50
Solución:
Primero debes de factorizar las fracciones: 5 x + 25 7x + 7 5( x + 5 ) 7( x + 1) ahora que están factorizados = × × 14 10 x + 50 2( 7 ) 2 ( 5 )( x + 5 ) tanto el numerador como el denominador de ambas fracciones, simplificas o cancelas los factores comunes: 5( x + 5) 7 ( x + 1) x +1 x +1 × = = 2( 7 ) 2( 5 )( x + 5 ) 2( 2 ) 4 Entonces: 5 x + 25 × 7 x + 7 = x + 1 14 10 x + 50 4
Ejemplo 13 Multiplica:
Solución:
xy − 2 y 2 x 2 + 2 xy + y 2 × x 2 + xy x 2 − 2 xy
Primero factoriza:
xy − 2 y 2 x 2 + 2 xy + y 2 y( x − 2 y ) ( x + y )2 = × × x 2 + xy x 2 − 2 xy x( x − y ) x( x − 2 y )
Ahora simplifica:
y ( x − 2 y )( x + y )2 y ( x + y )2 y ( x + y )2 = 2 = x (x − y ) x (x − 2 y ) x x (x − y ) x (x − y )
Luego tienes que:
xy − 2 y 2 x 2 + 2 xy + y 2 y ( x + y )2 = × x 2 + xy x 2 − 2 xy x2 (x − y )
Ejemplo 14 Multiplicar:
Solución:
x 2 + 2x x 2 − 2x − 8 x 2 + 4x × × x 2 − 16 x3 + x2 x 2 + 4x + 4
Factorizas: x 2 + 2x x 2 − 2x − 8 x 2 + 4x x( x + 2) ( x − 4 )( x + 2 ) x ( x + 4 ) × × = × × 2 3 2 2 x − 16 x +x x + 4 x + 4 ( x − 4 )( x + 4 ) x 2 ( x + 1) ( x + 2 )2 Simplificas:
Luego:
x ( x + 2 )( x − 4 )( x + 2 ) x ( x + 4 ) 1 = ( x − 4 )( x + 4 ) x x ( x + 1)( x + 2 )( x + 2 ) x + 1
x 2 + 2x x 2 − 2x − 8 x 2 + 4x 1 × × = 2 3 2 2 x − 16 x +x x + 4 x + 4 x +1
70 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 4 Ejemplo 15 2x + 3 6 x − 1 × 5 x − 2 −7 x + 4 ¿Qué diferencia observas comparando con las multiplicaciones anteriores? Multiplica:
2x + 3 6 x − 1 ( 2 x + 3 )( 6 x − 1) × = 5 x − 2 −7 x + 4 ( 5 x − 2 )( −7 x + 4 ) Que no hay factores comunes, entonces tienes que realizar las multiplicaciones en: ambos términos y obtendrás: ( 2 x + 3 )( 6 x − 1) 12 x 2 + 16 x − 3 = ( 5 x − 2 )( −7 x + 4 ) −35 x 2 + 34 x − 8 Entonces: 2x + 3 6 x − 1 12 x 2 + 16 x − 3 × = 5 x − 2 −7 x + 4 −35 x 2 + 34 x − 8
3
Actividad Multiplica las siguientes fracciones: a)
x 2 y 10a 3 9m x x 5 3m 2 x 3
d)
5 2a 3b x x a b 2 10
b)
2 x 3 3a 2 5 x 2 x x 15a 3 y 7 xy 2
e)
m+n n2 × mn − n 2 m 2 − n 2
c)
x 2 − 4 xy + 4 y 2 x2 × x 2 + 2 xy x2 −4 y2
f)
2x 2 + 2x x 2 − 3x × 2x 2 x 2 − 2x − 3
Resumen En esta lección estudiaste algunos aspectos referentes a fracciones algebraicas. Simplificar una fracción es expresarla en su forma más simple, es decir que el mcd del numerador y denominador es 1. Hallar el valor numérico de una fracción algebraica consiste en sustituir las variables por los valores correspondientes, y luego efectuar la operación indicada, obteniendo así un resultado numérico. Otro aspecto es lo relacionado al producto, cuyo proceso es similar a la de fracciones numéricas.
Octavo Grado - Matemática 71
UNIDAD 4
Autocomprobación
b)
x2 − y2 es equivalente a: x 2 + 2 xy + y 2 −1 1 a) c) − 2 xy 2 xy x +y x− y b) d) x− y x+ y
La fracción
La fracción 1 50 19 b) 50 a)
d) 2(x-1)
3. d.
2
2 xy x −1
3
4
x3 −8 evaluada en x = – 3 es: x 2 + 11x − 26 27 c) − 16 7 d) 10 n +1 n+2 es: × 2 n + 2 n − 2n + 1 n +1 c) n −1 1 d) ( n + 1)2
El producto de las fracciones n +1 n − 2n + 1 1 b) n −1 a)
2
2. b.
a) 2
4 xy x −1 obtienes: × 2 ( x − 1) 2 xy 2 c) x −1
1. c.
Al efectuar
Soluciones
1
4. a.
UNA LEY DE NEWTON Las fracciones algebraicas son usadas en muchas actividades del entorno.
TM08P164 Foto de Newton
72 Matemática - Octavo Grado
Algunas de ellas representan leyes descubiertas por grandes científicos de la historia, por ejemplo descubrimiento realizado por Isaac Newton sobre la ley de la gravitación universal. La ley de la gravitación universal descubierta por Newton se escribe así: mm F =G 1 2 2 r F Otra ley de Newton establece que m = a
Lección 3
Cuarta Unidad
Operaciones con fracciones algebraicas Motivación
E
n el comedor de doña Elena, tienen un recipiente grande con cinco compartimientos iguales en el cual pueden almacenar 120 litros de jugo en total. Si los litros almacenados en un compartimiento se reparten en cantidades iguales en 8 recipientes más pequeños, ¿cuántos litros de jugo irán en cada recipiente? ¿Cómo plantearías esta operación? ¿Cómo la resuelves? Indicadores de logro: Aplicarás y explicarás la división de fracciones algebraicas a partir de los números racionales, con seguridad. Dividirás fracciones algebraicas con denominadores monomios, con orden y aseo. Mostrarás orden y aseo al reflejar de forma escrita la división de fracciones algebraicas con denominadores polinomios.
Mostrarás perseverancia al resolver problemas utilizando la división de fracciones algebraicas. Resolverás con perseverancia problemas de aplicación de suma y resta de fracciones algebraicas. Resolverás problemas de aplicación de operaciones combinadas con fracciones algebraicas.
División de fracciones algebraicas Para dar respuesta a la situación anterior, es decir, para calcular el número de litros que irán en cada recipiente pequeño; realizas la siguiente operación. Primero encuentras lo que cabe en un compartimiento 120 litros de jugo; y luego lo repartes en 8 recipientes 5 pequeños, entonces tienes que dividir la cantidad de litros de jugo entre el número de recipientes, es decir: 120 120 5 = 5 = 120 = 3 8 40 8 1 R: En cada recipiente irán 3 litros de jugo.
Observa La división algebraica se realiza como un proceso similar a la de una división de fracciones aritméticas.
Ejemplo 1 ¿Cómo efectúas la división
Solución:
6 x 2 y 3 2 xy 2 ? ÷ 5n 10 n 2
Recuerda como se dividen fracciones en aritmética. Primero convierte la división en una multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor: 6 x 2 y 3 2 xy 2 6 x 2 y 3 10 n 2 ÷ = × 5n 10 n 2 5n 2 xy 2 luego simplificas y multiplicas: 2 6 x 2 y 3 10 n 2 2 ( 3 ) x x y y 2 ( 5 ) n n × = = (3) xy (2)n = 6nxy 5n 2 xy 2 5n 2x y2
Entonces:
6 x 2 y 3 2 xy 2 = 6nxy ÷ 5n 10 n 2
Octavo Grado - Matemática 73
UNIDAD 4 Ejemplo 2 Divide:
x − 1 2x − 2 ÷ 3 6
Solución:
x − 1 2x − 2 x − 1 6 en este caso debes factorizar para simplificar: ÷ = × 3 6 3 2x − 2 x −1 6 ( x − 1 )2 × 3 1 × = = =1 3 2 x − 2 3 × 2( x − 1) 1
Ejemplo 3 Efectúa:
x 3 − 121x x 2 − 11x ÷ x 2 − 49 x +7
Solución:
x 3 − 121x x 2 − 11x x 3 − 121x x +7 = ÷ = 2 × 2 2 x − 49 x +7 x − 49 x − 11x luego factorizas: x 3 −121x x +7 x ( x 2 −121) ( x + 7 ) x ( x −11)( x +11)( x + 7 ) x +11 = = × = × 2 2 x − 49 x −11x ( x − 7 )( x + 7 ) x ( x −11) ( x − 7 )( x + 7 ) x ( x −11)) x − 7
Por lo tanto:
x 3 − 121x x 2 − 11x x + 11 ÷ = x 2 − 49 x +7 x −7
1
Actividad
Divide:
74 Matemática - Octavo Grado
a)
3a 2b 2 2 ÷a b 5x 2
b)
5m 2 10 m 4 ÷ 7 n 3 14 an 4
c)
15m 2 20 y 2 ÷ 19ax 3 38a 3 x 4
d)
3a 2 5a 3 ÷ a 2 + 6 ab + 9b 2 a 2b + 3ab 2
e)
x3 −x 5x 2 − 5x ÷ 2x 2 + 6 x 2x + 6
f)
1 2 ÷ 2 a − a − 30 a + a − 42 2
UNIDAD 4
Suma de fracciones algebraicas Recordarás como sumar números fraccionarios.
Ejemplo 4 Pedro, Juan y Rolando tienen que pintar una pared. Si 3 2 Pedro pinta ; Juan pinta y Rolando, 1 . 7 7 7 ¿Qué parte de la pared han pintado?
Solución: Para encontrar la respuesta tienes que sumar: 3 2 1 + + , observa que todas las fracciones tiene 7 7 7 igual denominador. Entonces efectúas la suma así: 3 2 1 3 + 2 +1 6 + + = = 7 7 7 7 7 6 R: La parte de pared que han pintado es 7
Punto de apoyo Para sumar fracciones de igual denominador, sumas los numeradores y al resultado le colocas el denominador común.
Ejemplo 5 3 María tiene un litro de leche, reparte a sus amigas y 8 5 a sus hermanos . 12 ¿Qué parte del litro de leche ha repartido?
Al calcular el mcm de los denominadores obtienes 24, luego divides este mcm entre el denominador de cada fracción y lo multiplicas por el numerador respectivo. 3 5 ( 3 )( 3 ) + ( 2 )( 5 ) 9 + 10 19 + = = = 8 12 24 24 24 Si este resultado se puede simplificar debes hacerlo. 19 R: La parte del litro de leche es 24 Este mismo proceso que aplicaste en aritmética, para sumar números fraccionarios, es el que debes utilizar para sumar fracciones algebraicas.
Ejemplo 6 4 a 2 2a 7a Efectúa la siguiente suma: + + 3x 3x 3x
Solución:
Observa, es una suma de fracciones que tienen el mismo denominador: 3x Entonces tienes: 4 a 2 2a 7a 4 a 2 + 2a + 7a 4 a 2 + 9a + + = = 3x 3x 3x 3x 3x Es decir que:
4 a 2 2a 7a 4 a 2 + 9a + + = 3x 3x 3x 3x
Solución: 3 5 Tienes que realizar una suma, así: + , observa 8 12 que tiene diferente denominador, para que puedas realizar esta operación tienes que recordar como sumar fracciones de diferente denominador lo primero es encontrar el mínimo común múltiplo de sus denominadores.
Octavo Grado - Matemática 75
UNIDAD 4 Ejemplo 7 a 2 + 3a − 2 4 a + 12 + ( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 )
Suma:
Solución:
Como los denominadores son iguales, sumas los numeradores y conservas el común denominador: a 2 + 3a − 2 4 a + 12 a 2 + 3a − 2 + 4 a + 12 a 2 + 7a + 10 + = = ( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 ) Ahora, observa si el numerador se puede descomponer en factores para simplificar si es posible: a 2 + 7a + 10 ( a + 5 )( a + 2 ) a + 2 = = ( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 ) a − 2 Luego tiene que:
Ejemplo 8
a 2 + 3a − 2 4 a + 12 a +2 + = ( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 ) a − 2
1− x x + 2 1 + 2 + 2x x 3ax 2
Suma:
Solución:
Observa que los denominadores son distintos, entonces encuentras el mcm. de ellos: El mcm de 2x, x2 , 3ax2 es 6ax2 Luego divides el mcm entre cada denominador y luego este resultado lo multiplicas por el numerador respectivo: 1− x x + 2 1 ( 3ax )(1 − x ) + ( 6 a )( x + 2 ) + ( 2 )(1) + 2 + = 2 2x x 3ax 6 ax 2 Al efectuar las multiplicaciones obtienes: ( 3ax − 3ax 2 ) + ( 6 ax +12a ) + ( 2 ) 3ax − 3ax 2 + 6 ax +12a + 2 −3ax 2 + 9ax +12a + 2 = = 6 ax 2 6 ax 2 6 ax 2
Notarás que no hay factores comunes, por lo tanto no se puede simplificar 1− x x + 2 1 −3ax 2 + 9ax + 12a + 2 Entonces: + 2 + = 2x x 3ax 2 6 ax 2
2
Actividad
Efectúa las siguientes sumas: a − 2b b − a a) + 15a 20b b)
c)
x + 2 x 2 − 2 2− x 2 m − n n − a 2a − m e) + + + + 2 3 3x 5x 9x mn na am
a − 1 2a 3a + 4 3 x +2 x2 +2 d) + + + + 2 3 6 12 5 2x 6x
76 Matemática - Octavo Grado
f)
1 b 2 − a 2 ab + b 2 + + 2 2 ab ab 3 ab
UNIDAD 4
Resta de fracciones algebraicas Para restar fracciones utilizarás un proceso similar al de la suma, transforma la resta en una suma cambiando el signo del sustraendo y luego efectúa la suma. m x m x Es decir: − = − n y n y
Ejemplo 9 Efectúa:
3x 4x − y −2 y −2
Solución:
Observa que tiene igual denominador, por lo tanto sólo se restan los numeradores y colocas el mismo denominador: 3x 4 x 3x − 4 x − x x 3x 4x x − = = =− − =− Luego: y −2 y −2 y −2 y −2 y −2 y −2 y −2 y −2
Ejemplo 10 Efectúa:
n −1 n + 2 − 2 . Observa, ¿qué diferencia encuentras con el ejemplo anterior? 3n n
Solución:
Primero encuentras el mcm. de los denominadores, que es 3n2:
n − 1 n + 2 n ( n − 1) − [ 3 ( n + 2 )] realizas la resta: − 2 = 3n n 3n 2 n 2 − n − 3n − 6 elimina signos de agrupación: = 3n 2 n 2 − 4n − 6 reduce términos semejantes = 3n 2 n −1 n + 2 n 2 − 4n − 6 Entonces = − 2 = 3n n 3n 2
Actividad
3
Efectúa las siguientes restas de fracciones algebraicas. a + 5b b − 3 a −3 a +2 a) d) − − a2 ab 4 8 b)
2 1 − 2 2 3mn 2m n
e)
a − 3 4 − 3ab 2 − 5ab 3a 2b 3
c)
2a + 3 a − 2 − 4a 8a
f)
y − 2x x − 3 y − 20 x 24 y
Octavo Grado - Matemática 77
UNIDAD 4
Fracciones complejas En alguna ocasión has observado expresiones como estás: 3 x x y 2n 2 − m + −m 2y y x n , , y 4 n 2 + m 2 : Estos son algunos ejemplos de fracciones complejas 5x 2 −2 + +1 x 6y 4 nm Una fracción compleja es la fracción que posee en el numerador y/o denominador fracciones algebraicas. 2a 2
2
2a 5 x 2a y ( 2a )( y ) Observa la siguiente fracción compleja 3b esto indica ÷ 2 = × = 5x 3b y 3b 5 x ( 3b )( 5 x ) 2 y 2a 2 Extremo por extremo 3b = 2a . y Por lo tanto: 5x 15 x .b Medio por medio y2 Ejemplo 11 x y + y x ¿Cómo podrías simplificar la fracción ? y −2 + x Solución:
x y x2 + y2 + = y x xy y −2 x + y Simplificas el denominador: −2 + = x x Simplificas el numerador:
x y x2 + y2 + xy y x Sustituyes en la fracción dada luego divides: = y −2 x + y −2 + x x 2 2 2 2 x +y y − 2x x + y x (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 x2 + y2 x ÷ = × = = = xy x xy y − 2 x xy (y − 2 x ) y (y − 2 x ) y 2 − 2 xy Observa que esta operación indicada equivale a que en el numerador tienes el producto de los extremos de la fracción resultante y en el denominador el producto de los x2 + y2 x2 + y2 términos medios: = = 2 y ( y − 2 x ) y − 2 xy x y + y x x2 + y2 Luego tienes la fracción compleja simplificada: = = y y 2 − 2 xy −2 + x
78 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 4 Ejemplo 12
Ejemplo 13
Simplificas el numerador:
Simplificas el numerador:
2 2+ a −2 Simplifica la siguiente fracción: 2 x− 2 Solución: a −2
2+
2( a − 2 ) + 2 2a − 4 + 2 2a − 2 2 = = = a −2 a −2 a −2 a −2
Simplificas el denominador:
x (a − 2) − 2 a 2 x − 2x − 2 2 x− 2 = = a −2 a2 −2 a2 −2 2a − 2 a −2 Sustituyes: a 2 x − 2x − 2 a2 −2 Efectúas el producto de los extremos y lo divides entre el producto de los medios: 2
( 2a − 2)( a 2 − 2) 2a 3 − 2a 2 − 4 a + 4 = ( a − 2)( a 2 x − 2x − 2) a 3 x − 2a 2 x − 2ax − 2a + 4 x + 4
Luego tienes que: 2 2+ 2a 3 − 2a 2 − 4 a + 4 a −2 = 2 a 3 x − 2a 2 x − 2ax − 2a + 4 x + 4 x− 2 a −2
1 1 + Reduce la siguiente fracción: m n 1 1 − Solución: m n 1 1 n+m + = m n mn
1 1 n−m Simplificas el denominador − = m n mn n+m Sustituyendo mn efectúas el producto n−m mn de los extremos y lo divides entre el producto de los medios: 1 1 + m n = mn ( n + m ) = n + m 1 1 mn ( n − m ) n − m − m n
4
Actividad Simplifica las siguientes fracciones: x y 1 − x2 − y x x a) c) y 1 1− 1− x x
x 2 b) x x− 4 x+
3 x d) 5 x −4− x
x +4+
Resumen En esta lección estudiaste la división, suma y resta de fracciones algebraicas cuyos procesos de resolución son similares a los aplicados en aritmética con números fraccionarios. Lo mismo sucede con las fracciones complejas.
Octavo Grado - Matemática 79
UNIDAD 4
Autocomprobación 3 x 2 16 x 2 es igual a: ÷ 4 y 3 12 y 2
4
9y 16 y 5
c)
4 3y
b)
9 16 y
d)
4 3
La reducción de
3a 5a − 6 es igual a: − 4a 8
−5a − 6 8 12 − 5a b) 8 a)
c)
−
d)
5 8
5 8
2. b.
2
a)
3
x − 4a
x −2
1
Al efectuar la suma + 2 + 2ax 5x 10 x obtienes: a)
2x − 4a − 1 17ax 2
b)
x 2 − 4a − 2 10 x 2
c)
5 x 2 − 17ax − 4 a 10ax 2
d)
5 x 2 − 17ax − 4 a 17ax 2
1. b.
El cociente de
Soluciones
1
3. c.
DIOFANTO DE ALEJANDRÍA Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) fue un antiguo matemático griego que se considera el padre del álgebra. Nacido en Alejandría, poco se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la décima segunda parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."
80 Matemática - Octavo Grado
Lección 4
Cuarta Unidad
La esfera y el cono Motivación
Con seguridad ya habrás jugado con un balón de fútbol o de
basquetbol y te has preguntado alguna vez, ¿Cómo hacen las fábricas de balones para saber la cantidad exacta de material que se necesita para su elaboración?
Indicadores de logro: Describirás y trazarás los elementos geométricos de una esfera, con seguridad y precisión. Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del área de la esfera. Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del volumen de la esfera. Describirás y trazarás los elementos geométricos de un cono, con seguridad y precisión.
Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del área del cono. Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del volumen del cono. Resolverás problemas de área y de volumen de cuerpos esféricos.
La esfera La forma de un balón o pelota de fútbol, basquetbol, voleibol, es esférica. ¿Cómo defines una esfera? Es posible que menciones que está formado por partes curvas. Construye un semicírculo, gíralo a partir de uno de los extremos del diámetro notarás que se te forma algo como una esfera.
La superficie de una circunferencia es la región geométrica de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro, donde la distancia del centro a cualquier punto de la superficie se llama radio.
E
Elemento de una esfera:
r
Entonces, una esfera se define como un sólido de revolución, ya que se obtiene de girar en el espacio, un semicírculo alrededor de su diámetro.
O: es el centro. r: es el radio, segmento que une el centro con un punto de la superficie esférica.
A
o C
D
B
F
d: es el diámetro, segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la superficie AB y CD.
Octavo Grado - Matemática 81
UNIDAD 4
Área de la esfera Ejemplo 1
Ejemplo 2
Berta le regalará a su sobrino una pelota de 14 cm de diámetro y solicita que se envuelvan en papel de regalo. ¿Qué cantidad de papel utilizarán?
Un grupo de estudiantes para demostrar una ley científica, deciden construir un globo. ¿Qué cantidad de papel se utilizará para hacer un globo de 10 cm de radio?
Solución: Con seguridad has pensado en encontrar el área de la pelota para conocer la cantidad de papel a utilizar El proceso que se sigue para encontrar el área es similar al que se sigue para encontrar el área de un círculo; pero, el área de la superficie esférica es igual a cuatro veces el área del circulo máximo, es decir el círculo más grande que cabe en la esfera:
A = 4 π r2
Entonces, a partir de los datos que te proporcionan, tienes que conocer el diámetro, por lo tanto, el radio es la mitad.
Sustituye el valor del radio en la fórmula y obtienes el área, así:
Sustituyes los datos en la fórmula: A = 4 π r2 = 4 (3.1416) (7 cm)2 = 615.75 cm2 R: La cantidad de papel a utilizar es 615.75 cm
Solución:
2
Ahora, con este ejemplo, puedes decir que para saber la cantidad de material que se utiliza para fabricar balones de fútbol, básquetbol, y otros, tienen que calcular el área de los balones y como su forma es esférica, utilizan la fórmula de la esfera.
A = 4 π r2 A = 4(3.1416) (10 cm)2 = 1,256.64 cm2 R: La cantidad de papel que necesita para hacer el globo es 1,256.64 cm2
Ejemplo 3 ¿Cual será el área total de una pelota cuyo diámetro es igual 12 cm?
Solución: Sabes que para encontrar el área necesitas únicamente el radio, pero en este caso conoces el diámetro, entonces divide 12 cm entres dos. Ahora lo sustituye en la fórmula: A = 4 π r2 = 4(3.1416) (6 cm)2 = 452.39 cm2 R: El área total de la pelota es 452.39 cm2
82 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 4 Ejemplo 4 ¿Cual es el diámetro de una esfera cuya área es igual a 452.16 cm2?
Ahora, sustituye los datos: 4 3 4 V = πr = (3.1416 )(18cm)3 3 3
Solución:
4 = (3.1416 )(5 ,832 cm 3 ) 3
73 , 287.24 cm 3 = 24 , 429.08 cm 2 = 3
Este procedimiento es inverso a los anteriores ejemplos. Observa: A Tienes que A = 4 π r2 despejas el radio y tienes: r2 = 4π como se trata de un cuadrado, tienes que extrae la raíz A cuadrada así: r = 4π Ahora sustituyes los datos 452.16 cm 2 2 = 36 cm = 6 cm. r= 12.56 Esto indica que el radio de la esfera es 6 cm, por lo tanto su diámetro es de 12 cm .
Volumen de la esfera Ejemplo 5 ¿Que cantidad de agua puede almacenar un recipiente esférico con radio igual a 18 cm.?
R: La cantidad de agua que puede almacenar el recipiente es: 24,429.08 cm3 El volumen es el espacio ocupado por un cuerpo. En una esfera, se calcula utilizando la fórmula: 4 3 πr 3
Ejemplo 6
Calcula el volumen de una pelota cuyo diámetro mide 16 cm.
Solución: Primero encuentra el valor del radio, ya que conoces el diametro. Sustituyes los datos en la fórmula: 4 4 V = πr 3 = (3.1416 )(8cm)3 3 3
4 = (3.1416 )(512cm 3 ) = 2,144.67cm3 3
Solución: Para encontrar la respuesta tienes que conocer la fórmula del volumen de la esfera. 4 El volumen de una esfera es igual a de π por el cubo 3 4 3 del radio o sea; V = πr como en este caso el radio 3 mide 18 cm.
Octavo Grado - Matemática 83
UNIDAD 4 Ejemplo 7 Calcula el área de la superficie esférica y su volumen, si su diámetro es igual a 10 cm.
Solución: Primero encuentras el área: El diámetro es 10 cm, su radio es 5 cm Lo sustituyes en la fórmula: A = 4 π r2 = 4(3.1416) (5 cm)2 = 314.16 cm2 Ahora encuentra el volumen: Sabes que el radio es igual a 5 cm, luego sustituyes en: 4 3 4 1570.8cm 3 3 3 4 = 523.6 cm3 V = πr = (3.1416 )(5cm) ; (3.1416 )(125cm ) = 3 3 3 3 Entonces tienes que A = 314.16 cm2 V = 523.6 cm3.
1
Actividad
a) Encuentra la cantidad de papel para forrar una pelota cuyo radio mide 9 cm. b) Encuentra el área de una esfera si su diámetro mide 22 cm. c) Encuentra el radio de una cantimplora
esférica, sabiendo que su área es igual a 314.16 cm2.
d) Encuentra el diámetro de una pelota cuya área es igual a 113.04 cm 2 . e) Encuentra el volumen de una esfera sabiendo que su área es igual a 452.39 cm 2 .
El Cono B
¿Qué cantidad de agua puedes tomar en un recipiente de forma cónica que usan en algunos lugares como oficinas, clínicas y otros? Forma un triángulo rectángulo en cartulina, recórtalo y haz lo girar sobre uno de sus catetos, observa, ¿qué se forma?, posiblemente notes un cono. El cono circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Así como el de la figura.
84 Matemática - Octavo Grado
g A
o
Observa la figura. El punto B es el vértice del cono; el cateto OB es la altura y eje del cono; el cateto OA es el radio de la base , y la hipotenusa formada por el cateto AB es la generatriz del cono.
UNIDAD 4 Entonces, los elementos de un cono circular recto son: vértice, altura, eje, radio y generatriz.
Vértice generatriz
Altura
base radio
Área de un cono El área total del cono se obtiene sumando el área lateral más el área de la base. El área lateral es igualA L = π rg Área total: AT = π rg + π r2
ó
AT = π r (g + r)
La generatriz se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras g = h 2 + r 2
Ejemplo 8 Encuentra la cantidad de papel que se necesita para elaborar un cono cuya generatriz es igual 12 cm y el radio de su base es igual a 3.5 cm. ¿Piensa, cómo resolverlo?
Ejemplo 9 Un carpintero construyó un cono de madera, de 10 cm de altura y el diámetro de su base igual a 14 cm. ¿Cómo calculas el área total de dicho cono?
Solución: Primero tienes que encontrar el valor de la generatriz divide 14 cm entre 2 para encontrar el radio, el radio es 7 cm. Ahora, sustituye los datos en la fórmula de la generatriz: g = h 2 + r 2 = (10cm)2 + (7cm)2 = 149cm 2 = 12.2cm Con estos datos calcula el área total AT = π r(g + r) = π (7 cm)(12.2 cm + 7 cm) = (3.1416) (7 cm)( 19.2 cm) = 422.23 cm2 R: El área total es 422.23 cm2
Ejemplo 10 Rosa ocupa un cono para tomar agua y quiere saber cuanto tiene de altura. ¿Cómo encuentra la altura del cono sabiendo que la generatriz es igual a 8 cm y el radio de su base es igual 4 cm?
Solución: 8 cm
Tienes que g = 12 cm y r = 3.5 cm, en este caso necesitas el área lateral, sustituyes los datos en la fórmula AL = π rg = (3.1416) (3.5 cm) (12 cm) = 131.95 cm2 R: La cantidad de papel para elaborar un cono es 131.95 cm2
4 cm
Solución:
En este caso utilizas la fórmula de la generatriz. h=
g 2 −r2
Sustituyes los datos en la formula: h = (8cm)2 − ( 4 cm)2 , 64 cm 2 − 16 cm 2 h = 48cm 2 = 6.9cm R: La altura aproximadamente 6.9 cm
Octavo Grado - Matemática 85
UNIDAD 4
2
Actividad
a) Los conos que utilizan en una sorbetería, tienen las siguientes medidas: radio igual 2 cm y generatriz
6 cm. Encuentra el área lateral de los conos
b) ¿Qué cantidad de cartulina se necesita para construir un cono cuyo diámetro de la base mide 20 cm
y su generatriz 12 cm.
c) Encuentra el área de un cono cuya base tiene 7 cm de radio y una altura de 9 cm.
Volumen del cono Ejemplo 11 A un niño le regalaron un cono de madera con las siguientes dimensiones: 4 cm de radio y 10 cm de altura. Calcula su volumen.
Solución: 1 Tienes que el volumen de un cono es del producto 3 del área de su base por su altura, es decir: 1 V = πr 2 h 3 Al sustituir los datos tienes: V = 1 π ( 4 cm)2 (10cm) 3 502.4 cm 3 V= = 167.5 cm3 3 R: El volumen del cono es 167.5 cm3
Ejemplo 12 ¿Cómo calculas la cantidad de agua con la que se llena un cono, sabiendo que su altura es 15 cm y su generatriz 18 cm.
m 18 c
15 cm
86 Matemática - Octavo Grado
Solución: Primero debes encontrar el radio luego sustituye los datos: r=
g 2 − h 2 = (18cm)2 − (15cm)2 = 324 cm 2 − 225cm 2
r = 99cm 2 donde r = 9.9 cm Como ya tienes el valor del radio, ahora sustituye en la fórmula de volumen: 1 V = πr 2 h 3 1 4 ,618.6234 cm 3 = 3.1416(9.9 cm)2 (15 cm) = 3 3 esto indica que el volumen del cono es igual a: V = 1,539.5411 cm3
UNIDAD 4 Ejemplo 13 ¿Cómo encuentras el área total y el volumen de un cono de durapax, si sabes que su altura es de 11 cm y su diámetro 12 cm.
Solución: Para encontrar el área total necesitas la generatriz y el radio. Los datos que conoces son: h= 11 cm y D= 12 cm Entonces, primero encuentra la generatriz h 2 + r 2 , ahora sustituye los datos: g = (11cm )2 + ( 6 cm )2 = 121cm 2 + 36 cm 2 = 12.5 cm Ahora encuentra el área total AT = π r(g + r) = 3.1416(6 cm)(12.5 cm + 6 cm) = 348.72 cm2 Luego encuentra el volumen: Sustituye los datos en la fórmula: 3 1 1 V = πr 2 h = 3.1416(6 cm)2 (11 cm) = 1 ,244.07cm = 414.69 cm3 3 3 3 Tienes entonces que el área total es 348.72 cm2 y el volumen 414.69 cm3
3
Actividad
a) El papá de Joaquín construyó un cono de madera con las siguientes dimensiones: una altura de 6
cm y la base de 2 cm de radio. ¿Cuál es el volumen?
b) Calcula el volumen de un cono construido de cartón, con radio de 7 cm y generatriz igual 12 cm. c) Alicia tiene en su tienda un embudo para medir el aceite que vende por botellas. ¿Cuál es el volumen
del embudo si su altura es igual a 4 cm y generatriz 5 cm?
Resumen En general tienes que una esfera es un sólido de revolución, ya que se obtiene de girar en el espacio, un semicírculo alrededor de su diámetro. 4 Su área se calcula utilizando la fórmula A = 4 π r2 y para calcular el volumen, se tiene: πr 3 . 3
El cono circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. y puedes calcular el área lateral y el área total, aplicando las siguientes fórmulas: AL = π rg , AT = π rg + π r2 ó AT = π r( g + r) 1 3
Y para el volumen, utilizas: πr 2 h
Octavo Grado - Matemática 87
UNIDAD 4
Autocomprobación c)
b)
π r(g + r)
d)
2
π r2 4 3 πr 3
El área de una esfera cuyo diámetro es igual a 4 cm es igual a: a) 33.52 cm2 b) 100.48 cm
2
c) 50.27. cm2 d) 16.74 cm
2
4
Una tienda de campaña de forma cónica tiene 2 m de radio y 2.2m de altura. La cantidad de tela que se utilizó para su construcción, incluyendo el piso, es: a) 18.66 m2
c) 26.39 m2
b) 30.79 m2
d) 31.23 m2
La fórmula para encontrar el radio de una esfera conociendo su área, es: a)
A 4π
c)
A π
b)
g 2 + h2
d)
g 2 − h2
2. c.
π r2
a) 4
3
1. a.
El área total de una esfera es igual a:
Soluciones
1
3. b.
4. a.
LA GEOMETRÍA Y ARQUÍMIDES Se le atribuye a Arquímedes el haber descubierto el volumen de la esfera. El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo (tal vez porque en ese entonces se hablaba de los cuerpos perfectos) que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas.
88 Matemática - Octavo Grado
Lección 5
Cuarta Unidad
Prisma, Pirámide y el Cilindro Motivación
Zulma quiere saber cuánto papel utilizará para envolver una caja de galletas de la forma en que se presenta en la figura. La caja mide 20 cm de altura, su base 7 cm por lado y su apotema 6 cm. ¿Podrías tú ayudarle a Zulma a calcular la cantidad de papel que necesitará?
Describirás y trazarás con seguridad y precisión, los elementos geométricos de un prisma recto. Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del área de un prisma recto. Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del volumen de un prisma recto. Resolverás problemas aplicados al entorno sobre el área y volumen de cuerpos en forma de prisma recto. Describirás y trazarás con seguridad y precisión los elementos geométricos de una pirámide regular hasta 6 lados en su base.
Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del área de una pirámide regular hasta 6 lados en su base. Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula del volumen de una pirámide regular hasta 6 lados en su base. Resolverás problemas aplicados al entorno sobre el área y de volumen de cuerpos en forma de pirámide regular. Resolverás problemas aplicándose la formula del área y volumen de cuerpos en forma de cilindro circular recto.
Prisma. Área Para resolver la situación anterior, observa que la forma de la caja es de un prisma, por lo tanto debes encontrar el área de este. El área de la superficie es la suma de las áreas de todas sus caras incluidas sus bases. Para ello, primero calculas las áreas laterales, es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma. A L = p × h donde p es perímetro y h altura.
B
B
B
Luego encuentras el área de la base, entonces tienes que el área total es: (B área de la base) AT = AL + 2B
Octavo Grado - Matemática 89
UNIDAD 4 Tomando las medidas dadas para darle solución al ejemplo, tienes:
Cuerpos geométricos como los de la figura, se conocen con el nombre de prismas rectos.
Para encontrar el área lateral primero calculas el perímetro, en este caso se trata de una base con forma de hexágono, multiplicas el número de lados por 7 cm: p = nl = 6(7 cm) = 42 cm
Punto de apoyo El área de un polígono regular se calcula así: perímetro x apotema A= 2 pa A= 2 Ahora ya conoces el perímetro de la base y sabes que su altura del prisma es de 20 cm. Entonces sustituyes estos valores en la fórmula: AL=p × h = (42 cm)(20 cm) = 840 cm2
Observa los elementos de un prisma:
Base Aristas básicas Aristas laterales
Vértice
Caras laterales
Luego encuentras el área de la base.
pa sustituyes Es un hexágono, el área de su base es A = 2 los valores dados. ( 42cm )( 6 cm ) 252cm 2 Área de la base = = = 126 cm 2 2 2 Sustituyes los valores en la fórmula para calcular el área total: AT = AL + 2B = 840 cm2 + 2(126 cm2)
= 840 cm2 + 252 cm2 = 1,092 cm2
Un prisma es un cuerpo geométrico que posee dos caras poligonales iguales y paralelas llamadas bases. Las demás caras se llaman caras laterales que poseen forma de paralelogramos.
Ejemplo 1 Encuentra el área total de un prisma triangular recto cuyos lados de su base son 20 cm, 20 cm, y 28.3 cm por 30 cm de altura. 28.3 cm
R: La cantidad de papel es 1,092 cm 2 Partiendo de la figura del ejemplo anterior y las de la derecha, obsérvalas, ¿qué características tienen? Con seguridad dirás que tiene una base poligonal, sus lados son rectángulos y otras.
30 cm
20
90 Matemática - Octavo Grado
cm
20
cm
UNIDAD 4 Solución:
Solución:
En un prisma triangular, su base es un triángulo:
Para encontrar el volumen de un prisma, multiplicas el área de la base por su altura del prisma. Es decir:
Verifica en tu cuaderno, que h = 14.13 cm utilizando el teorema de Pitágoras AL = p × h
En este caso, tienes:
AL = (20 cm + 20 cm + 28.3 cm)(30 cm) = (68.3 cm)(30 cm) = 2049 cm
V = B h; donde B es el área de la base y h la altura del prisma. V = B h la base es cuadrada, su área es A = 2
2
Luego encuentras el área total sumándole 2 veces el área de la base: AT= AL + 2B
V = (20 cm)2 (35 cm) = (400 cm2)(35 cm) = 14,000 cm3
AT = 2,049 cm2 + 2 ( 28.3 )(14.13 ) 2 AT = 2049 cm2 + 399.88 cm2
R: El volumen es 14,000 cm3
Ejemplo 3
AT = 2,448.88 cm2
Observa Recuerda que el área de un triangulo es igual a:
bh 2
Volumen de un prisma
Calcula el volumen de un depósito de agua que tiene forma de prisma rectangular de 5 m de altura. Las aristas de la base miden 4 y 3 m, respectivamente.
Solución: Como la base es un rectángulo, entonces tienes: V = B.h = (4 m)(3 m)(5 m) = 60 m3 R: El volumen del depósito de agua es 60 m3
Ejemplo 2 Un hojalatero construyó un depósito para usarlo como papelera, que tiene la forma de prisma con base cuadrada cuyo lados miden 20 cm y la altura del prisma mide 35 cms.
Actividad
1
a) Encuentra el área total de una caja que contiene zapatos,
cuyas dimensiones son: su base es de 20 por 14 cm y su altura de 30 cm.
35 cm
20 cm 20 cm
b) Encuentra el área de un depósito que tiene la forma de
prisma pentagonal cuya área de su base es igual a 105 cm2 y el perímetro 35 cm y con una altura de 23 cm.
c) ¿Qué cantidad de papel se necesita para forrar una caja de
forma de prisma cuadrangular sabiendo que su base es cuadrada de 8 cm por lado y una altura de 18 cm?
¿Cómo encuentras su volumen?
Octavo Grado - Matemática 91
UNIDAD 4
Pirámide regular hasta seis lados Ejemplo 4 A un niño de segundo ciclo le han dejado de tarea que arme una pirámide pentagonal y quiere saber que cantidad de cartulina utilizará ,si lo hará de 10 cm de altura y su base mide de lado 4 cm y apotema 5 cm, ayúdale a calcular la cantidad de papel.
Observa la figura, notarás que sus caras laterales son triángulos y su base un pentágono.
Solución: bh Para calcular su área total, primero calculas el área de cada cara, A = luego esto lo 2 multiplica por n lados según el número de lados que posea la base: AL= n
bh ( nb )( h ) es decir, el perímetro por la altura entre dos. = 2 2
ph luego, para encontrar el área total le sumas el área de la base. 2 ph AT = + B, donde B es el área de la base. 2 AL =
La fórmula general del área de la superficie de una pirámide.
ph bh + (fórmula para una pirámide de base triangular). 2 2 AT = ph + l2 (fórmula para una pirámide de base cuadrada). 2 ph 5(l )apotema AT = (fórmula para una pirámide de base pentagonal). + 2 2 ph 6(l )apotema + AT = (fórmula para una pirámide de base hexagonal). 2 2 AT =
Ahora puedes ayudarle al niño a calcular la cantidad de papel. La fórmula que debes usar es la siguiente: ph 5(l )apotema AT = + 2 2 Sustituyes los datos que te dan: (20 cm)(10 cm) 5( 4 cm)(5 cm) 200 cm 2 100 cm 2 AT = + = + = 2 2 2 2 = 100 cm2 + 50 cm2 = 150 cm2 R: La cantidad de papel a utilizar es 150 cm 2 .
92 Matemática - Octavo Grado
UNIDAD 4
Volumen de una pirámide
Observa la siguiente figura. Identifica sus partes: Aristas laterales
Ejemplo 6
Altura Vértice de la base
Base Aristas básicas
Ejemplo 5 Encuentra el área de una pirámide triangular cuya base es un triángulo equilátero de 5 cm por lado y altura 6 cm y a = 10 cm.
Solución: Primero encuentras el área lateral. AL =
ph 2
AL = (15 cm)(10 cm) (15 cm por el perímetro de la 2 base y 10 cm la altura de las caras que es el apotema) AL= 75 cm2
ph bh
Encuentra el volumen de una pirámide pentagonal si se sabe que los lados de la base son de 8 cm y apotema 7 cm y la altura de la pirámide 20 cm. El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide. V = 1 B .h donde B es el área de la base de la pirámide y 3 h la altura de la pirámide. En este caso: Para encontrar el área de un pentágono, tienes que calcular su perímetro, que este caso es: 5 (8cm) = 40 cm pa ( 40cm)(7cm) Luego el área A = = = 140cm 2 2 2 Ahora, efectúas el cálculo del volumen:
1 3
V = Bh sustituyendo los valores 1 2 ,800 cm 3 2 V = (140 cm )(20 cm) = = 933.3 cm3 3 3
Luego calcula el área total AT = + sustituye los 2 2 datos en la fórmula: AT =
(5cm)(6 cm) ph bh = 75 cm2 + 15 cm2 + = 75cm2 + 2 2 2
= 90 cm2
R: El área total es 90 cm2 .
Observa La apotema es la altura de las caras en una pirámide.
Punto de apoyo Recuerda que el área de un polígono regular es el producto del perímetro por la apotema dividido entre dos.
2
Actividad
a) Encuentra el volumen de un prisma pentagonal cuya área de su
base es igual 10.5 cm2 y con una altura de 23 cm.
b) Calcula el área de una pirámide triangular sabiendo que los lados
de su base son de 8 cm y una altura de 7 cm con apotema de 2 cm.
c) La pirámide de Keops, en Egipto, tiene una base cuadrada de 230
m de lado, y una altura de 146.60 m. Encuentra el volumen de la pirámide de Keops.
Octavo Grado - Matemática 93
UNIDAD 4
El cilindro circular recto ¿Cómo encuentras la cantidad de lámina que se utilizará para construir un granero de forma cilíndrica cuyas bases tendrán 2 m de radio y una altura de 3 m? Recuerda, ¿qué es un cilindro? Dibuja un rectángulo en cartulina, recórtalo y hazlo girar sobre uno de sus lados, observa la figura que se forma.
Ejemplo 7 Retomamos la situación que está al inicio y damos solución.
Solución: Para conocer la cantidad de lámina debes encontrar el área del granero que tiene forma cilíndrica, es decir: AL = 2 π r.h donde 2 π r. es la base del rectángulo.
r
Luego las bases del cilindro son 2 circunferencias cuyas áreas son 2πr2
h
Entonces el área total lo encuentra sumando las áreas laterales:
El cilindro circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
AT = 2πr.h + 2πr2
AT = 2πr(h + r)
En este caso: AT = 2 π r(h + r) conoces que el radio es 2 m. y la altura h = 3 m luego sustituyes
Área de un cilindro recto Observa que el área lateral de un cilindro es equivalente al área del rectángulo.
AT = 2(3.14) (2 m) [(3 m + 2 m)] = (12.56 m)(5 m) = 62.8 m2
r
R: Se necesitan 62.8 m2 de lámina para la construcción del granero.
h
Ejemplo 8 Encuentra el área lateral de una lata de conservas de forma cilíndrica sabiendo que el diámetro de la base es de 10 cm. y su altura 20 cm.
r El área lateral de un cilindro coincide con la del rectangulo del desarrollo. A LATERAL = 2πrh 2πr
h
r
Solución: El diámetro es 10 cm lo que implica que el radio es igual a 5 cm y altura igual a 20 cm. AL = 2 π r.h al sustituir los datos tienes AL = 2 π r.h = 2( 3.14)(5 cm)(20 cm) = 628 cm2
El área total del cilindro se obtiene sumando a la lateral el doble del área del circulo de la base: 2πr2
94 Matemática - Octavo Grado
R: El área lateral mide 628 cm2
UNIDAD 4
Volumen de un cilindro Ejemplo 9 Encuentra la cantidad de agua que almacena en su totalidad un tanque cilíndrico, de agua potable cuyas dimensiones son: radio de la base 5 m y altura de 7 m.
Solución: El volumen del cilindro como en el caso del prisma es el área de la base por la altura. Como la base de un cilindro es un círculo su volumen es: V = (πr2) h, donde πr2 = B Luego V = Bh Ahora sustituye los valores:
V = Bh
V = (3.14)(5 m)2(7 m) = (3.14)(25 m2)(7 m) V = 549.5m3 R: El tanque almacena en su totalidad 549.5 m3 de agua.
3
Actividad
a) Cuál será la cantidad de pintura en cm3 que almacena una cubeta de forma cilíndrica de 30 cm de
diámetro y 50 cm de altura.
b) Calcula la cantidad de aluminio que se empleará en la construcción de un envase de refresco de
forma cilíndrica si las dimensiones serán diámetro igual 14 cm y una altura de 20 cm.
Resumen Cuerpo
Prisma: cuerpo geométrico que posee dos caras poligonales iguales y paralelas llamadas bases. Las demás caras se llaman caras laterales formadas por paralelogramos. Pirámide: cuerpo geométrico cuyas caras laterales son triángulos y su base un polígono. El cilindro circular recto es el cuerpo geométrico generado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Área AL = p × h AT= AL + 2B
p .h + B A L = p .h AT = 2 2 AL = 2 π r.h AT = 2 π r.h + 2 π r2 = 2 π r (h + r)
Volumen V = B .h B: área de la base 1 V = B .h B: área de la base 3 V = ( π r2) h = Bh B: área de la base.
Octavo Grado - Matemática 95
UNIDAD 4
Autocomprobación Un recipiente cilíndrico contiene melocotón en almíbar, si las dimensiones son 5 cm de radio y 12cm de altura, la cantidad de material utilizado para elaborar el recipiente es:
3
a) 960 cm3
a) 534.07cm
2
b) 2,880 cm3
b) 106.81 cm2
c) 5,760 cm3
c) 377 cm
2
d) 1,920 cm3
d) 942.48 cm
2
Fórmula para encontrar el área total de una pirámide regular: a) p.h b) A L + 2B
p .h c) 2 p .h + B d) 2
3. b.
4
El área lateral de una caja con base cuadrada de 20 cm de lado y altura de 15 cm es: a) 300 cm2 b) 600 cm2 c) 1,200 cm2 d) 2,000 cm2
2. b.
2
El volumen de un prisma hexagonal que tiene de altura 20 cm. El lado de la base mide 6 cm y su apotema 8 cm es:
1. a.
Soluciones
1
4. c.
LAS PIRAMIDES DE EGIPTO Las pirámides de Egipto son de todos los vestigios que nos legaron los egipcios de la antigüedad, los más portentosos y emblemáticos monumentos de esta civilización, y en particular, las tres grandes pirámides de Giza. Las pirámides muestran, para su época, el gran conocimiento de los técnicos egipcios y la capacidad organizativa necesaria para erigir tales monumentos con medios muy simples.
96 Matemática - Octavo Grado
Solucionario Lección 1 Actividad 1 a) a3b2
c) 30x2y2
e) 60m2n3
b) 12x4y3z2
d) 18x4y
f) 168m3n3
a) (2a – 3b) (2a − 3b)2
c) (x + y)3
e) 6a2(a + 1)(a – 1)
b) x (x2 – 25) (x − 3)
d) (a + 6) (a– 5) (a – 3)
Actividad 2 (x2 − xy + y2)
f) x2 (x2 − 4)
Actividad 3 a) 3a2b3
b) 4m2 c) 6b2
d) 6xyz
e) 7a2b3 c 4
f) 14m2n
b) a(a – 3)
c) 2a + b
d) 5x
e) x(x + 2)
Actividad 4 a) x(x – 1)
Lección 2 Actividad 1 a)
1 3( x − y )
b)
a+4 a −2
c)
2x 3y
d)
x+ y x + xy + y 2
e)
2
3 xy x −5
f)
n ( n − 1) n −6
Actividad 2 a) 0
b) – 1
c) – 4
d) 9
e) 0
f) 3
Actividad 3 6a 3 y a) mx 2x 4 b) 7ay 3
Lección 3
x 2 − 2 xy x 2 + 4 xy + 4 y 2 3 d) b c)
Actividad 1 a)
3 5bx 2
b)
an m2
c)
3a 2 m 2 x 2 y2
d)
3b 5a + 15b
e)
n m − 2mn + n 2 2
f) 1
e)
x +1 5x
f)
a +7 2a + 10
Octavo Grado - Matemática 97
Solucionario Actividad 2 −3a 2 + 7ab − 8b 2 24 x 3 + 30 x 2 − 18 x + 10 c) 60ab 45 x 3 19 x 2 + 15 x + 5 11a d) b) 2 15 x 12
a)
Actividad 3
a −8 8 4 m − 3n b) 6 m 2n 2
a)
Actividad 4
a) x2 + x + 1
3a + 8 8a 5b 2 + 3a d) a 2b c)
b) 2
c)
Lección 4
x+ y y
1 m b 3 + 3ab 2 − a 2 f) a 2b 3 e)
3a 2b 2 + 6 ab 2 − 20 15a 2b 3 6 y 2 + 3 xy − 5 x 2 f) 120 xy e)
d)
x +3 x −5
Actividad 1 a) 1,017.88 cm2 b) 1,520.53 cm 2 c) 5 cm d) 3 cm e) 904.78 cm3
Actividad 2 a) 37.7 cm2
b) 690.80 cm 2
c) 404.6 cm2
b) 497.5 cm3
c) 37.68 cm3
b) 1,015 cm2
c) 704 cm2
b) 172 cm2
c) 437.5 cm2
Actividad 3 a) 25.13 cm3
Lección 5 Actividad 1 a) 2,600 cm2
Actividad 2 a) 241.5 cm3
Actividad 3 a) 35325 cm3
98 Matemática - Octavo Grado
b) 1186.92 cm2
d) Aproximadamente 2,585,047 m3
Proyecto Una empresa dispone de dos tipos de recipientes para recolectar desechos reciclables y desea escoger el mejor de ambos. Uno tiene forma cilíndrica de 1.2 m de altura y su base de 50 cm de radio.
Otro de forma de un prisma pentagonal de 1.4 m de altura y cuya base tiene las siguientes dimensiones: lado = 50 cm y apotema = 40 cm.
a) Encuentra la capacidad de cada uno de los contenedores. b) ¿Cuál le recomendarías a la empresa para recoger la mayor cantidad de desechos?
Octavo Grado - Matemática 99
UNIDAD 4
Recursos Ángel, Allen R, Álgebra elemental. Editorial Prentice Hall, 4ª Edición, México 1997, 600p. Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p. Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p. Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática II, Geometría y Trigonometría, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición, México 1995, 179p. Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p Ormaechea , Luís María, Álgebra, UCA Editores, 1ª Edición, San Salvador, El Salvador, 1996. 378p. Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1991, 626p.
100 Matemática - Octavo Grado