Variable Compleja Con Aplicaciones by David Campos

Introducción

Espero que en esta segunda edición de mi libro se haya conservado la esencia de la primera. Mi intención ha sido crear un texto de teoría y aplicaciones de la variable compleja que resulte atrayente para estudiantes de ingeniería y de ciencia que no hayan asistido a más cursos de matemáticas que los obligatorios usuales de cálculo elemental y ecuaciones diferenciales. En mi calidad de profesor, me doy perfecta cuenta de que los estudiantes aprenden estos temas mal y los recuerdan peor. Por lo tanto, el lector encontrará en estas páginas repasos de algunos de los temas más di fíciles del cálculo real, por ejemplo, de series infinitas, integración de línea, límites y continuidad. Como en la primera edición, he incluido un gran número de ejemplos resueltos. Ten go la ingenua esperanza de haber presentado los temas de manera suficientemente clara y simple para que el estudiante pueda aprender la mayor parte del material directamen te del libro sin asistir al aula de clase. Digo “ingenua” porque ésta es sin duda la inten ción de la mayoría de los autores de libros de texto... y sin embargo no vemos que estos libros dejen sin empleo a un gran número de profesores en virtud de la lucidez con que han sido escritos. Puesto que lo más probable es que, en general, este texto se utilice como complemento de un curso universitario, he dividido los capítulos en secciones que pueden estudiarse en clases de aproximadamente 50 minutos. En la edición anterior, la longitud de algunas secciones hacía que fuese difícil tratarlas en 50 minutos, así que en la presente edición he distribuido en dos secciones el material de ciertas partes de la primera edición. Me imagino a mi lector como una persona que utilizará la teoría de variable com pleja en la ciencia o en la ingeniería, o bien como un profesor de tales personas. Por lo tanto, he presentado aplicaciones de la teoría desde las primeras páginas del libro: a partir del capítulo 2 las aplicaciones prácticas de la teoría surgen constantemente como un leitmotif. Como en la primera edición, he mostrado cierta predilección por mi propia disciplina, la ingeniería eléctrica, pensando que los ingenieros eléctricos son quizá quienes más a menudo se valen de la variable compleja. Con objeto de dar fuerza y variedad al libro, he aumentado el número de aplicaciones de la teoría.

■i Iro d il ce ¡ón

-luye ;iliora un estudio de la transformada z, tan socorrida en el área de procesa>de señales. El capítulo de la transformada de Laplace se ha ampliado para inI lema de las funciones generalizadas (es decir, la función delta y funciones res). El capítulo 8 incluye ahora un estudio de fuentes lineales de calor, de fluido lijo eléctrico. En el capítulo 6 he incluido una sección acerca de los fractales. Éste lema nuevo y, además de estar en boga, surge en forma natural del estudio de los de sucesiones de números complejos. Las imágenes gráficas que acompañan al . orrespondiente resultan interesantes para la mayoría de los estudiantes, na quienes sienten curiosidad por las matemáticas, he añadido a la primera edición . lemas más sofisticados. He incluido una nueva sección acerca de la integración alMdel infinito. Su utilidad en la evaluación de integrales se ilustra con ejemplos. Esta »n (li ó) es tal vez la más difícil del libro; los lectores que la encuentren demasiado madura la pueden pasar por alto. La demostración del teorema fundamental del álnpnreee ahora en las primeras páginas del libro. El tema de la prolongación analítica, mu un teorema acerca de los ceros de una función analítica, aparecen en el capítulo sci Íes. Se estudia, además, el uso de la variable compleja para sumar series numéri•i como un método para sumar series de Fourier. Se ha incrementado la cantidad de ios difíciles sin reducir la cantidad de problemas fáciles. El número total de proble. ilolnblemente mayor en este libro que en su progenitor, y son suficientes para que el ni pueda asignar conjuntos distintos de problemas de un año a otro, ti general, a los estudiantes que poseen microcomputadores les gusta usarlos en sus . i spec iafínente cuando pueden generar imágenes llamativas. Por eso, en diversas ileí lexto fíe señalado que existen ciertos programas baratos que pueden servir como li mentó del texto. De hecho, algunas de las gráficas que se presentan en el libro dn tomadas de la pantalla del computador Macintosh del autor. En los capítulos 7 lince mención de un programa particularmente útil, llamado f (z), que puede usar.1 verificar los resultados de los problemas, o para pasar un buen rato. ■uno en la primera edición, la notación que he empleado es un tanto particular. Prelenntnr el operador imaginario por i en lugar de j, como hacen los ingenieros elécI sin notación coincide con la de la mayoría de los libros de teoría de variable leja y me permite reconocer la deuda que tenemos con Leonhard Euler, quien in ri símbolo i hace más de 200 años. Sin embargo, no pude resistir emplear en alguIios el símbolo L que usan los ingenieros para indicar el argumento de un número lujo. IEste socorrido operador tiene la ventaja de que sugiere la idea de ángulo. Tamu* usado el símbolo cis, ya que es más tradicional y tiene el mismo significado. Es del estudiante acostumbrarse a ambos. He utilizado el anticuado símbolo log para ai el logaritmo natural; cambiar al más moderno símbolo ln no parece ofrecer muiientajas, ■li bien el libro está diseñado para usarse en un curso de un semestre, contiene más ■¡al del que puede enseñarse en dicho periodo. Sugiero que el profesor intente cui mayor parte de los cinco primeros capítulos y luego escoja secciones de los tres iles según su interés La editorial puede proporcionar a los profesores un manual •ni)¡ene soluciones detalladas de iodos los ejercicios. Si usted encuentra errores en

In tr o d u c c ió n

V il

este libro o en el manual que lo acompaña no deje de escribirme. Mi dirección aparece al final de esta introducción. AGRADECIMIENTOS

La ayuda del señor Michael F. Brown ha sido de inestimable valor para mí en la prepara ción de esta segunda edición. El señor Brown ha leído cuidadosamente el manuscrito y ha ofrecido muchas sugerencias para mejorarlo. Además, ha resuelto todos los ejercicios del libro y en varios casos ha detectado errores en el borrador del manual de soluciones. Es un lector cuidadoso y un buen matemático. Durante muchos años, el profesor Francesco Bacchialoni ha impartido conmigo el curso de variables complejas en la University of Massachusetts Lowell. El profesor Bacchialoni me ha hecho diversas observaciones útiles acerca de la primera edición de mi libro; algunas de ellas se han incorporado a este volumen. El profesor Stephen Spurk de Lowell ha contribuido a detectar errores en la primera edición. También me han ayudado en esta tarea algunos de mis estudiantes; espero que me perdonen por no nombrarlos a todos. Entre ellos se cuentan Sophie Ting y su esposo Shen Ting, quie nes me han proporcionado una ayuda especial. Mi colega, el profesor Roger Baumann, fue quien me propuso que escribiese la primera edición de este libro. Aún me siento en deuda con él. Comencé a escribir la segunda edición durante el año sabático que pasé en el De partamento de Ciencias Aplicadas de la Harvard University. Quisiera agradecer al profe sor Ronold W. P. Ring de dicha institución por concertar mi estancia y por darme la oportunidad de convivir en el amable medio intelectual por el que es bien conocido. El señor Michael Payne, mi editor en Addison-Wesley, me ha dado sabios consejos y me ha hecho trabajar a un ritmo razonable. Se lo agradezco y también agradezco a su capaz asistente, la señorita Laurie Rosatone. Addison-Wesley me ha puesto en contacto con varios asesores a quienes agradezco que hayan leído el manuscrito y que hayan he cho buenas sugerencias. Se trata de las siguientes personas: los profesores Newman H. Fisher de la San Francisco State University, Mark Elmer de SUNY-Oswego, Edward Kolesar del Instituto Tecnológico de la Fuerza Aérea y Peter Colwell de la Iowa State Uni versity. La tarea de procesar el texto de este proyecto ha sido hábilmente desempeñada por Stuart Stephens y Jeff Knight. Peggy McMahon de Addison-Wesley ha supervisado la producción de este libro. Me ha hecho trabajar a un ritmo tan animado como humanitario. He disfrutado trabajar con ella. Mi experto copieditor Andrew Schwartz me ha impresionado por su conocimiento tanto de la lengua inglesa como de las matemáticas. A. David Wunsch Departamento de Ingeniería Eléctrica University of Massachusetts Lowell Lowell, Massachusetts 01X54

índice general

Capítulo 1 Números complejos 1.1 1.2

Introducción Otras propiedades de los números complejos

1 9

1.3

Los números complejos y el plano de Argand

1.4

Potencias enteras y fraccionarias de un número complejo

1.5

Lugares geométricos, puntos, conjuntos y regiones en el plano complejo

28 38

Capítulo 2 La función compleja y su derivada 2.1

Introducción

2.2

Límites y continuidad

49 54

2.3

La derivada compleja

2.4

La derivada y la analiticidad

2.5

Funciones armónicas

2.6

Algunas aplicaciones físicas de las funciones armónicas

Capítulo 3 Las funciones trascendentes básicas 3.1 3.2

La función exponencial Funciones trigonométricas

99 105

ín d ic e g e n e r a l

3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Funciones hiperbólicas La función logarítmica Analiticidad de la funciónlogarítmica Exponenciales complejas Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Más acerca de puntos y cortes de ramificación Apéndice: Factores de amplitud y fase

109 112 117 126 129 133 142

Capítulo 4 Integración en el plano com plejo 4.1 Introducción a las integrales de línea 4.2 Integración de línea en el plano complejo 4.3 Integración de contorno y teorema de Green 4.4 Independencia de la trayectoria e integrales indefinidas 4.5 La fórmula integral de Cauchy y su extensión 4.6 Algunas aplicaciones de la fórmula integral de Cauchy

151 159 171 182 192 203

4.7 Introducción a los problemas de Dirichlet: fórmula integral de Poisson para el círculo y el semiplano Apéndice: El teorema de Green en el plano

214 227

Capítulo 5 S eries infinitas de una variab le com pleja 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Introducción Convergencia de series complejas Convergencia uniforme de una serie Series de potencias y series de Taylor Métodos para obtener desarrollos en serie de Taylor Series de Laurent Algunas propiedades de las funciones analíticas relacionadas con las series de Taylor Apéndice A: Sucesiones, fractales y el conjunto de Mandelbrot Apéndice B: La transformada z

231 234 243 249 264 280 296 304 315

In d ic e g e n e r a l

XÍ

Capítulo 6 Residuos y su uso en la integración 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Definición del residuo Singularidades aisladas Determinación del residuo Evaluación de integrales realesmediante el cálculo de residuos, I Evaluación de integrales, II Evaluación de integrales, III Integrales con contornos sangrados Integrales de contorno con puntos y cortes de ramificación La integración alrededor del infinito como herramienta para evaluar integrales definidas 6.10 Aplicación del cálculo de residuos a las transformadas de Fourier Apéndice: Determinación de la suma de ciertas series por medio de residuos

333 340 350 359 363 373 385 392 401

429

C apítulo 7 Transform ada de Laplace y estabilidad de sistem as 7.1 Introducción a la transformada de Laplace. Inversión de la transformada de Laplace 7.2 Introducción a la estabilidad 7.3 Principio del argumento 7.4 El criterio de estabilidad de Nyquist 7.5 Transformadas de Laplace y estabilidad con funciones generalizadas

443 474 485 495 504

Capítulo 8 La transform ación conform e y algunas de sus ap licacion es 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Introducción La propiedad conforme Transformaciones uno a uno y transformación de regiones La transformación bilineal Transformación conforme y problemas de valores en la frontera

523 525 536 546 566

XÜ

8.6 8.7 8.8

ín d ic e g e n e r a l

Más acerca de los problemas de valores en la frontera: fronteras que son líneas de corriente Problemas de valores en la frontera con fuentes La transformación de Schwarz-Christoffel Apéndice: La función de corriente y la capacitancia

588 599 620 637

Respuestas seleccionadas

642

índice de materias

654

Capítulo

Números complejos

Mire, si así lo desea; pero tendrá que saltar. — W.H. Auden

1.1 INTRODUCCIÓN ( ’on objeto de preparamos para el estudio de los números complejos, la variable com pleja y, finalmente, de las funciones de una variable compleja, examinemos una pe queña porción de la educación matemática preliminar de un lector hipotético. Los niños descubren a edad temprana aquellos números enteros que, más sofistii adámente, llamamos enteros positivos. El cero, otro número entero, es un concepto que el niño también aprende pronto. La suma y la multiplicación de dos enteros, operaciones cuyo resultado es siem pre un entero positivo o bien cero, se aprenden en la escuela elemental. También se estudia la sustracción, pero los problemas se escogen con cuidado; se puede pedir, por ejemplo, el resultado de 5 menos 2, pero no el de 2 menos 5. Las respuestas son siempre enteros positivos o cero. Al cabo de unos años quizá se le pedirá al mismo estudiante que calcule 2 menos S y operaciones similares. Esto exige el concepto de enteros negativos, extensión al parecer lógica del sistema que contiene a los enteros positivos y al cero. Sin embargo, para evitar ciertas inconsistencias es preciso aceptar una regla que resulta poco atrac tiva a la intuición, a saber, que (—1)(—1) = 1. El lector tal vez haya olvidado lo artifii lal que parece esta igualdad a primera vista. Con el conjunto de los números enteros (es decir, los números enteros positivos, los números enteros negativos y el cero), el estudiante es capaz de ejecutar cualquier proeza de adición, sustracción o multiplicación y obtener siempre un resultado entero. Modernos despejar x de ciertas ecuaciones algebraicas simples como m + x = n (con m

i ¡ipllulo I Números complejos

y n enteros cualesquiera), y obtener un resultado entero. Pero otras ecuaciones alge braicas (aquellas cuya resolución implica una división) presentan dificultades. Dada la ecuación mx n, el estudiante a veces obtiene como solución un entero x. Si no, se ve obligado a emplear un tipo de número llamado fracción, que se expresa escribiendo nn pai de enteros en cierto orden; la fracción n!m es la solución de la ecuación anterior si m ^ 0 . El conjunto de los números que pueden escribirse en la forma n/m, donde n y m son enteros cualesquiera (excepto m = 0), se llama sistema de los números racionales, pues se construye a partir de razones (o cocientes) de números enteros. El conjunto de los racionales incluye tanto a las fracciones como a los números enteros. Con este sis tema más sofisticado nuestro estudiante hipotético puede resolver cualquier ecuación algebraica lineal. El resultado será un número racional. Más adelante, quizá en los primeros años de la adolescencia, nuestro estudiante aprenderá los números irracionales. Estos números se derivan de dos fuentes: de las ecuaciones algebraicas con exponentes, por ejemplo, la ecuación cuadrática x 2 = 2 ; y de la geometría, por ejemplo, del cociente de la circunferencia de un círculo entre su diá metro, que es igual a n. En el caso de x 2 = 2, la incógnita x no es ni un número entero ni una fracción. El estudiante aprende q u e x puede escribirse como una expresión decimal 1.41421356... que requiere un número infinito de dígitos para quedar completamente especificada. Estos dígitos no presentan un patrón repetitivo. La expresión decimal del número k también requiere un número infinito de dígitos sin repetición.f Así pues, por tercera vez el estudiante se ve obligado a ampliar su repertorio de números. Los racionales se complementan con los irracionales, es decir, los números cuya representación requiere decimales con un número infinito de dígitos que no se repiten. La unión de estos dos tipos de números se conoce como conjunto de los nú meros reales. Con todo, las dificultades no han terminado. Para la ecuación x 2 = 2, nuestro es tudiante obtiene la solución x = ± 1 . 4 1 4 . . pero si la ecuación es x 2 = -2 o x 2 = -1 , se encontrará con nuevas complicaciones, ya que no existe número real alguno que al multiplicarse por sí mismo dé un número real negativo. Para hacer frente a este dilema se presenta, generalmente en la enseñanza secundaria, un conjunto de números más am plio: el conjunto de los números complejos. Este conjunto no sólo permite resolver ecua ciones como x 2 = - 1, sino también complicadas ecuaciones polinomiales de la forma anz n ± an_ i z n~ x + ••• + a0 = 0,

donde a0, a¡ incógnita.

a„ son números complejos, n es un entero positivo y z es una

f La demostración de que V2 es irracional se encontrará en el ejercicio 10, al final de esta sec ción. Un número como 4.32432432... cuyos dígitos se repiten es racional. Pero un número como 0.101001000100001..., que presenta un patrón, pero cuyos dígitos no se repiten, es irra cional. Se encontrará un estudio más detallado en C.B. Boyer, A History o f Mathematics (Prinecton: Princcton LJniversity Press, 1985), capítulo 25.

1.1

Introducción

1 4- c y En el siguiente estudio, que se presenta en parte en aras de la integridad del tex to, quizá se repita gran parte de lo que el lector ya sabe acerca de los números complejos. Un número complejo -llam ém osle z - es un número que se expresa en la forma z = a 4- ib

o, de manera equivalente,

z = a + bi.

Las letras a y b representan números reales y el significado de i se esclarecerá en breve.1 Decimos que a es la parte real de z y que b es la parte imaginaria. Con frecuencia esto se escribe así a = Re(z), b = Im(z). Obsérvese que tanto la parte real como la parte imaginaria del número complejo son números reales. El número complejo -2 4- 3i tiene una parte real - 2 y una parte ima ginaria 3. Decimos que dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Es decir, si z = a 4 ib,

w = c 4 id,

(1.1-1)

y z = w,

entonces a = c,

b = d.

No se puede establecer una jerarquía de tamaños en los números complejos; de lo con trario, las conocidas desigualdades que se usan en el caso de los números reales no serían válidas. Usando números reales podemos decir, por ejemplo, que 5 < 3, pero no tiene sentido afirmar que (1 4- i) < (2 4- 3 i) o que (2 4- 3i) < (1 4 - i). Una desigualdad como a < b siempre implicará que tanto a como b son números reales. Los términos positivo y negativo no se aplican a los números complejos; el em pleo de estas palabras implica que se está hablando de un número real. Podemos sumar y restar los dos números complejos de la ecuación (1.1-1) de la si guiente manera: z + w = (a 4- ib) 4- (c 4 id) = (a 4- c) 4 i(b + d), (1-1-2) z — w = (a 4- ib) - (c 4 id) = (a - c) 4 i(b - d).

(1.1—3)

El producto está definido por zw = (a -t- ib)(c .4 id) = (ac — bd) 4- i(ad 4 be).

(1.1—4)

* En casi todos los textos de ingeniería eléctrica se usa el símbolo j en lugar de i, ya que i se re serva para denotar la corriente. Sin embargo, en los libros de matemáticas se usa invariable mente i.

<npihiln I l\limeros complejos

Los resultados de las ecuaciones ( 1. 1- 2) a la ( 1.1-4) se pueden obtener a partir de las reglas usuales del álgebra y un importante hecho adicional: al realizar la multiplica ción (a + ib)(c -f id) debemos tomar i-i = i2 = —1.

(1.1-5)

Los números reales satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva. Usando las definiciones de las ecuaciones (1.1 —2) y (1.1^1) podemos deducir fácil mente que los números complejos también las satisfacen. Así, si w, z y q son números complejos tenemos ley conmutativa: w + z —z + w wz = zw

(para la suma), (para la multiplicación),

( 1. 1- 6)

ley asociativa: w + (z + q) = (w 4- z) -f q w(Zí?) = (wz)<7

(para la suma),

( j ^-1)

(para la multiplicación),

ley distributiva: w(z + q) = wz + wq.

( 1. 1- 8)

Consideremos ahora dos números complejos, z y w, cuyas partes imaginarias son cero. Sean z = a + z'Oy w = c + z'O. La suma de estos números es z + w = (a + c) + i0, y para su producto obtenemos (a + i0)(c 4- /O) = ac + ?0. Estos resultados muestran que los números complejos de parte imaginaria igual a cero se comportan matemáticamente como números reales. Podemos considerar el número complejo a + z'O como el número real a expresado en otra notación. Por lo tanto, el conjunto de los números complejos contiene al conjunto de los números reales. Decimos que los números complejos de la forma a + z'Oson “reales puros” y, por razones históricas, que los números de la forma 0 + ib son “imaginarios puros”. En general, se descarta el término que contiene el cero, de modo que, por ejemplo, 0 + i se escribe i. Por definición, una multiplicación (o una suma) en la que intefvienen un número real y un número complejo se maneja como si el número real fuesé complejo pero con parte imaginaria igual a cero. Por ejemplo, si k es real (k)(a + ib) = (fc + i0)(a + ib) = ka + ikb.

(1.1-9)

1.1

Introducción

El conjunto de los números complejos tiene cantidades equivalentes al cero y a la unidad del sistema de los números reales. La expresión 0 + z'Ohace las veces de cero, puesto que deja inalterado cualquier número complejo al que se sume. Análogamente, I + z'O funciona como unidad ya que un número multiplicado por esta cantidad no cambia. Así pues, (a + ib){ 1 + z'O) — a 4- ib. Las expresiones z 2, z 3, ... , implican que el número z se multiplica varias veces por sí mismo, y pueden calcularse algebraicamente con ayuda de la ecuación (1.1-5). Así, algunos ejemplos son:

z3 =

i2• i = - i,

i4 = f3 í = —i*i = 1,

i5=i4 • i = í,

(1 + ¿)3 = (1 + ¿)2(1 + i) = (1 + 21 - 1)(1 + i) = 2i(l + i) = - 2 -h 21 Todavía no hemos explicado cómo los engorrosos números complejos pueden proporcionar soluciones de problemas que no pueden resolverse con números reales. Consideremos, pues, la ecuación cuadráticaz2 + 1 = 0, es decir, z 2 = -1 . Como dijimos antes, no existe número real alguno que satisfaga esta ecuación. Reescribamos el pro blema en notación compleja: z 2 = - 1 + /0.

d .1 - 1 0 )

Sabemos que (0 + z')2 = z2 = -1 + z’O. Por lo tanto, z = 0 + z (es decir, z = i) es una solución de la ecuación (1.1-10). De manera análoga, podemos comprobar que z = 0 - i (esto es, z = -i) también es solución. Podemos decir que la ecuación z 2 = -1 tie ne las soluciones ±z. Así pues, afirmamos que en el conjunto de los números comple jos -1 tiene dos raíces cuadradas: i y -z, y que i es una de dichas raíces cuadradas. En el caso de la ecuación z 2 = -N , donde N es un número real no negativo, pode mos proceder de manera similar y obtener z = ± i Por lo tanto, el conjunto com plejo puede proporcionar dos raíces cuadradas para cualquier número real negativo. Ambas raíces son imaginarias puras. Inicialmente se nos enseña que la ecuación cuadrática a z2 + bz + c = 0

(a ^ 0)

u, b, c son números reales, ( 1.1- 11)

licne por solución

2a siempre y cuando b2 > 4ac. Con nuestro conjunto complejo esta restricción ya no es necesaria. Usando el método de “completar el cuadrado” en la ecuación (1.1-11) y tomando 12 - 1, tenemos, cuando b2 < 4ac, que

1 I a expresión

donde N es un número real positivo, denotará la raíz cuadrada positiva de N,

y VN denotará la raíz n-ésima positiva de N.

( upifulo 1

N iiiiutok complejos

b c z 2 + - z + - = 0, a a b \2 2a)

b2 4 a2

, /c

b2 4a2} '

t \]== ±4.,-i / --------- =n-im ±_ i, ^ /4 a c ~ bi z+— 2aJ V a 4a2 2a y finalmente —b ± i^ (4 a c — b2) Z

En breve veremos que en la ecuación (1.1-11) a, b y c también pueden ser com plejos, y que la ecuación se puede resolver en el conjunto complejo. Una vez que hemos ampliado nuestro conjunto numérico con los números com plejos, de los cuales los números reales son un caso particular, veremos que no existen ecuaciones algebraicas cuya solución exija que inventemos otro tipo de números. En particular, mostraremos en el capítulo 4 que la ecuación anz n + un_! z”” 1 +

+ a0 = 0

donde an, an_u etc., pueden ser complejos, z es una incógnita y n > 0 es un entero, tie ne solución en el conjunto de los números complejos. Éste es el Teorema Fundamen tal del Álgebra. La historia presentada anteriormente de un estudiante cuyos conocimientos mate máticos se van haciendo cada vez más sofisticados es en ciertos aspectos paralela a la manera en que los matemáticos del pasado extendieron el conjunto numérico.1. Los números complejos fueron “descubiertos” por personas que trataban de resolver cier tas ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, en 1545, Girolamo Cardano (1501-1576), matemático italiano, intentó encontrar dos números cuya suma fuese 10 y cuyo pro ducto fuese 40. Al final escribió 40 = (5 + V—15 )(5 - V -15 ), resultado que le pare ció absurdo. Más adelante, René Descartes (1596-1650), el filósofo y matemático francés de la Edad de la Razón, calificó de “imaginarias” las expresiones del estilo de a + 4 - b (donde a es real y b es un real positivo). Este término, con su aura de ficción, es quizá desafortunado y aún se usa en nuestros días en vez de la palabra “complejo”. Con fre cuencia nos referiremos a la “parte imaginaria” de un número complejo, costumbre que se debe a Descartes. Si bien el concepto de número imaginario aún los hacía sentirse incómodos, ha cia fines del siglo xvm los matemáticos ya habían hecho buen uso de ellos en proble mas tanto físicos como abstractos. El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) 1 Se encontrará una magnífica historia breve de los números complejos en el artículo “Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a Moral)”, por Israel Kleiner en The Mathematics Teacher 81:7 (octubre de 1988): págs. 583-592.

Ejercicios

inventó en 1779 la notación z, que hoy seguimos usando. En 1799, Karl Friedrich (iauss (1777-1855), matemático alemán, ya había usado números complejos para de mostrar el Teorema Fundamental del Álgebra. Por último, en 1835, el irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) presentó la rigurosa teoría moderna de los nú meros complejos, en la que los símbolos i y V-T no figuran en absoluto. En la si guiente sección daremos un breve vistazo a este método.

EJERCICIOS Consideremos la jerarquía de los conjuntos numéricos por orden de sofisticación creciente: enteros números racionales números reales números complejos Para cada una de las siguienes ecuaciones ¿cuál de los cuatro conjuntos numéricos arriba presentados es el más elemental en el que puede obtenerse una solución x? 1. 4x4- 2 = 0 2. x 2 + 2x + 1 = 0 3. x 2 4- 2x = 0 4. x 2 4- x 4- 2 = 0 5. x 2 - 2 = 0 6. x 2 -b 2 = 0

7. 4x2 - 1 = 0 8. Un decimal con un número infinito de dígitos como e = 2.718281... es un número irracio nal ya que sus dígitos no forman patrones repetitivos. Pero un decimal con un número in finito de dígitos como 12.1212121... es un número racional. Debido a que los dígitos se repiten de una manera específica, podemos escribir este número como el cociente de dos enteros, como demuestra el proceso descrito a Continuación. En primer lugar reescribimos el número en la forma 12[1.01010101...], o bien, 12[1 4- 10"2 4- 1(T4 + 1(T6 + •••]. a) De lo que sabemos acerca de las series geométricas infinitas, recordemos que 1/(1 - r) = 1 I r + r 2..., donde r es un número real tal que -1 < r < 1. Ahora sumemos la serie [1 + 1(T2 4- 1(T4 4- 1(T6 +•••]. b) Use el resultado del apartado (a) para demostrar que 12.1212... es igual a 1200/99. Compruebe esta respuesta efectuando la división con una calculadora de bolsillo. c) Usando la misma técnica exprese el número 143.143... como un cociente de enteros. 9. Usando la técnica del ejercicio 8 exprese el número 3.040404... como un cociente de enteros.

CitpMiilo I

N úm eros complejos

10. a) Muestre que si un entero es un cuadrado perfecto par, su raíz cuadrada es par. b) Suponga que V2 es un número racional. Entonces debe poder expresarse en la forma V2 = m/n, donde m y n son enteros y mln es una fracción irreducible (es decir, m y n no tienen factores comunes). De la ecuación anterior, tenemos que m2 = 2n2. Explique por qué esto significa que m es un número par. c) Reordenando la última ecuación, tenemos n2 = m2/2. ¿Por qué esto significa esto que n es par? d) ¿A qué contradicción hemos llegado al suponer que y¡2 es racional? Aunque es fácil mostrar que V2 es irracional, no siempre es tan simple demostrar que otros números son irracionales. Por ejemplo, la demostración de que 2 ^ es irracional no se obtuvo sino hasta el siglo xx. Se encontrará un análisis de este tema en R. Courant y H. Robbins, What is Mathematics? (Oxford, Inglaterra: Oxford University Press, 1941), pág. 107. En los siguientes ejercicios, ejecute las operaciones y exprese los resultados en la forma a + ib. 11. (3 + 4/) + (l + 2i) 12. (3 + 40(1 - 20 13. (1 + 20(1 - 20(3 + 40 14. Im[(3 + 40(1 - 20] 15. (3 - 40(3 - 40(3 + 40(3 + 40 16. ( / + ig)n( f - ig)n, donde n > 0 es un entero y / y g son reales Seaz un número complejo cualquiera. En los siguientes ejercicios, muestre que: 17. Refiz) = —¡m z 18. Im(iz) = Re z

19. Re(z2) =

(Re z)2 - (Im z)2

2Í. Im(z2) =

2(Re

z)(Im z)

¿Cuáles de los siguientes enunciadqs son verdaderos en general para dos números complejos cualesquiera z, y z2? 21. Re(zj + z2) = Re z, + Re z2 22. Re(z,z2) = Re z, Re z2 23. Re(/?z,) = P Re z lt donde P es real 24. Im(z, —z2) = —Im(z2 —z ,) 25. I m t ( z , - z2)2] = —Im[(z2 - z ,)2] 26. Si n> 0 es un entero cualquiera ¿cuáles son los cuatro valores posibles de f ? Demuestre que i” + 4 = i \ 27. Use los resultados anteriores para determinar i 12,735y (1 + /)3074. Exprese su resultado en la forma a + ib. Sugerencia: Determine primero (1 + i)2. En las siguientes ecuaciones, x e y son números reales. Despeje x e y. Primero iguale las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí para obtener dos ecuaciones reales.

1.2

28. í(x + iy) = x + 1 +

Otras propiedades de los números com plejos

29. x 2 — y2 4- i2xy = —¡x -f y 30. (x -f iy)2 = 0 + i 31. J x 2 + y 2 = 1 - 2x + iy 32. sen [ex) + i eos x = 1 + i sen y

1.2 OTRAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Decimos que dos números complejos son conjugados uno de otro si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales, pero de signos opuestos. Si z = a + ib, el complejo conjugado de z, denotado por z o z*, es a - ib. Así pues, (-2 + i4) es -2 - i4. Obsérvese que (I) = z; si conjugamos dos veces un número complejo, éste permanece inalterado. A continuación se presentan otras importantes identidades satisfechas por los nú meros complejos z = a + ib y z = a - ibz: z+

z - 2a 4- r'O = 2 Re z - 2 Rez, z - z = 0 + 2ib = 2i Im z.

(1-2-1) ( 1.2- 2)

Por lo tanto, la suma de un número complejo y su conjugado es igual al doble de la parte real del número original. Si a un número complejo se le resta su conjuga do, se obtiene una cantidad cuya parte real es igual a cero y cuya parte imagina ria es igual al doble de la parte imaginaria del número original. s

El producto de un número complejo por su conjugado es un número real. Así, si a + ib y z = a - ib, tenemos 2z

— (a 4- ib)(a — ib) = a 2 -f b2 + ¿0 = a 2 + b 2.

(1.2t-3)

Este hecho resulta especialmente útil si deseamos determinar el cociente de dos números complejos. Supongamos que los tres números complejos a, z y w satisfacen olz =

z ^ 0,

(1 -2—4)

donde z = a + ib, w = c + id.Naturalmente diremos que a es el cociente de w entre t y escribiremos a = w/z. Para determinar el valor de a multiplicamos ambos lados de l¿i ecuación (1.2-4) por z . Obtenemos a(zz) = wz.

(1.2-5)

Ahora bien, z z es un número real. Podemos eliminarlo del lado izquierdo de Ei ecuación (1.2-5) multiplicando ambos lados de la ecuación por otro número real, I/( z ). Así, a = w z /(zz), es decir,

4 upiliil» I

Núm eros com plejos

Esta fórmula indica que, para calcular w/z = (c + id)/(a + ib), hemos de multiplicai el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, esto es, c 4- id J (cV id)(a —{ib} a 4 ib \ a -f ib)(a - ib)

(ac + bd) -f i(ad — be) a 2 4- b 2

o bien s

c + id

aé + bd

{ad - be)

a 4- ib

a 2 4- b 2

a2 4 b2

0 -2 -7 )

Usando la ecuación (1.2-7) con c = 1 y d = 0 podemos obtener una fórmula útil para el inverso de a 4- ib; es decir, 1

a 4- ib

a2 + b2

Nótese, en particular, que con a = 0 y b = 1 obtenemos Mi = —i. Es fácil verificar este resultado, pues sabemos que 1 — (~i)(i). Puesto que todas las expresiones anteriores pueden obtenerse aplicando las reglas del álgebra convencional y la identidad i 2 = -1 a los números complejos, se deduce que otras reglas del álgebra ordinaria como las que se enuncian a continuación tam bién pueden aplicarse a los números complejos:

¿ r ( 4 (4 - ^ “(4(4

( , '2 - 9 )

Hay unas cuantas propiedades adicionales de la operación de conjugación que es preciso conocer. El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de sus conjugados. Por lo tanto, si z x = x x 4- iyxy z2 = x2 + iy2, entonces (z,

+ z2) = (*! + x 2) - i(y¡ + y 2) = (x, - ¿y,) + (x2 -

= Zj + z2.

Para la diferencia de dos números complejos se obtiene una regla análoga; y tam bién para el producto y el cociente de dos números complejos, como se demostrará en los ejercicios. Resumiendo: (1.2—10a) Ui 4- z 2) -= Zj 4 z 2 , ( 1.2- 10b) (*1 ~ z 2) == z 1 - z 2, ( 1.2- 10c) Zi z2 = f i ¿ 2í *i \

¿i

( 1.2- 10d)

Este tipo de fórmulas puede a veces ahorramos trabajo. Consideremos, por ejemplo 1 4-i 3 _ 4i

1 —i 3 + 4i

------------------ _J------------------------ =

+ . ty m

Despejar x e y de esta ecuación puede resultar bastante engorroso. Notemos, sin em bargo, con ayuda de lá ecuación ( 1.2- 10d), que la segunda fracción es el complejo

1.2 Otras propiedades de los números com plejos

conjugado de la primeria. Así, de la ecuación (1.2-1) vemos que y = 0, mientras que x = 2 Re((l 4- /)/(3 - 4í)). De la ecuación (1.2-7), la parte real de (1 4- z)/(3 - Ai) re sulta ser (3 - 4)/25 = -1/25. La respuesta es por tanto x = - (2/25) e y — 0. Las ecuaciones (1 2 -10a-d) pueden extenderse a más de dos números complejos, por ejemplo, a z,z2z3 = z¡z^ z 3 = z , z 2 z 3, o en general, z, z2 ••■z„ = z , z 2 ••• z n. Análogamente, z, + z2 + ■•• 4z„ = z , 4- z 2 + + z n. La notación de Euler, z - a 4nunca ha sido del completo agrado de los ma temáticos puros. Una de las razones es la presencia del signo más. No queda claro si este tipo de suma es la adición del álgebra convencional. Uno también podría pregun tarse si la multiplicación implícita entre i y b es la multiplicación ordinaria. A mediados del siglo xix el matemático irlandés William Rowan Hamilton pre sentó una formulación de la teoría de los números complejos que no hace uso de la notación de Euler ni del operador i. Todo estudiante que haya hecho programas de computador en FORTRAN con números complejos sabe que ni la máquina ni el pro grama usan i. El enfoque del que se valen es idéntico al de Hamilton. En este método un número complejo se define por un par de números reales ex presados en determinado orden. Si esto le parece artificial, recuerde que una fracción también se expresa como un par de números dispuestos en cierto orden. El número com plejozde Hamilton se escribe (a, b), donde a y b son números reales. El orden es importante (como en el caso de las fracciones), y este número no es, en general, igual a (b, a). El primer número, a, del par ordenado (a, b) se llama parte real del número complejo y el segundo, b, parte imaginaria. Estas expresiones se suelen llamar pare jas. Decimos que dos números complejos (a, b) y (c, d ) son iguales: {a, b) = (<c, d ) si y sólo si a = c y b = d. La suma de estos números complejos se define por (a, b)

4- (c,

d) = (a

c, b

d),

(1 .2 -1 1 )

y su producto se calcula así: (a, b )( c , d) = (ac — bd, ad 4- be).

( 1.2- 12)

I I producto de un número real k por el número complejo (a,b) sé define por k(a, b) = (ka, kb). Consideremos ahora todas las parejas cuyo segundo miembro es igual a cero. Estas parejas se comportan matemáticamente como los números reales ordinarios. Por ejemplo, tenemos (a, 0) 4- (c, 0) = (a 4- c, 0). Además (a, 0) • (c, 0) = (ac, 0). Por lo i;mto, diremos que los números reales no son sino las parejas, en la notación de Ha milton, cuyo segundo miembro es igual a cero. Otra importante identidad de los pares ordenados que se demuestra fácilmente a partir de la ecuación ( 1.2- 12) es (0, 1)• (0, I) = .( —1,0).

(1.2-13)

I slo implica que la ecuación z 2 4- 1 = 0 tiene solución cuando se expresa en términos de parejas. Así / z 2 4- (1, 0) 4 (0, 0)

( 1.2- 14)

Capítulo i

Núm eros com plejos

tiene solución z = (0, 1) puesto que (0, 1)(0, 1) 4- (1, 0) = ( — 1, 0) 4- (1,0) = (0, 0).

El estudiante debe ser capaz de percibir la analogía entre la notación a 4- ib y la notación (a, b). En estas páginas utilizaremos la primera con mayor frecuencia.

EJERCICIOS Calcule los valores numéricos de las siguientes expresiones. Escriba sus respuestas en la forma a 4- ib, donde a y b son números reales. 1 „ 2+ i 1. 2. 1- i 1- i

2 4- i 2 - i :+ : 4-i 1 4- i

L i-í

1+ /

r i + / T 041

H — 7* [ (l + í|+ TTi]

+ --------+

y J

t r i ü . J L

|_3 4- 4i 3 - 4íJ

Sean z, = x¡ 4- iy] y z2 = x2 4- iy2 Sin usar las ecuaciones (1.2-10a-d), compruebe que:

9. 11.

(z, z 2) = z, - z2 1

10. (z^T2) = z iz2 12.

13. Re(z,z2) = Re(z,z2) 14. Im(z,z2) = - \ m ( z {z2) Sean z {, z2 y z3 tres números complejos cualesquiera. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son I en general verdaderos? Puede usar los resultados (1.2-10) y sus generalizaciones. z1(z2 4- z3) = z xz2 4- ¿\Z3

15. z ,z 2z3 = z , z 2z3

16.

17.

18. zf 4- z\ = z\ 4- z\

1 ( V ) = _ÍL z3\ z 2/ z2z:

¿Qué restricciones, si las hay, es necesario aplicar a z, y z2para que las siguientes ecuaciones se satisfagan? Sean z, — x x 4- iyx y z¿ = x2 4- iy2. 19.

Re(z,z2) = Re(z,) Re(z2)

20. z ,z 2 = z ,z 2

21. Re(z,/z2) = Re(z,)/Re(z2) " 22. a) Sean k, l, m y n enteros. Demuestre que deben existir dos enteros p y q que satisfacen I (k 2 4- l 2)(m2 4- n 2) p 2 4- q 2 y deduzca las fórmulas explícitas parap y q en términos] de k, l, m, n.

1.3

Los números com plejos y el plano de Argand

Sugerencia: [(k + ¿l)(m + in)][(k- il)(m - in)] = (p + iq)(p - iq). b) Si (100 4- 225)(9 + 400) = p 2 + q2, encuentre valores enteros positivos parap y q. Ve rifique su resultado con ayuda de una calculadora de bolsillo. 23.

Supongamos que, de acuerdo con Hamilton, consideramos un número complejo como un par ordenado de números reales. Buscamos la definición adecuada del cociente (c, d)/(a, b). Sea (c, d)/(a, b) = (eJf ) y donde e y f son números reales por determinar. Su pongamos que (a, b) ^ (0, 0). Para que nuestra definición sea plausible>se requiere que (c, d) = {a, b) • (e, / ) . a) Efectúe la multiplicación indicada usando la regla para el producto de dos parejas. b) Iguale los miembros correspondientes (números reales y números imaginarios) a ambos lados de la ecuación que se obtiene en el apartado (a). c) En la parte (b) se obtuvo un sistema de dos ecuaciones lineales. Despeje e y /e n térmi nos de a, b, c y d. ¿Cómo se compara este resultado con el de la ecuación (1.2-7)?

1.3 LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO DE ARGAND Módulo La magnitud o módulo de un número complejo es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de su parte real y su parte imaginaria. Si el número complejo esz, su módulo se escribe | z |. Si z —x + iy, tenemos, de la de finición,

121 = , / ? + ? .

.(1 .3 -1 )

El módulo de un número complejo es un número real no negativo. Aunque no podemos decir que un número complejo es mayor (o menor) que otro, sí podemos decir que el módulo de un número complejo es mayor que el de otro; por ejemplo, |-l f /| > |2 + 3/| puesto que |4 + (| = y / \ 6 + 1 =

s/ v í > |2 + 3í| = v

El módulo de un número complejo es igual al de su conjugado porque i¿i = , / x 2 + ( - y )2 = y * 2 +

ui.

El producto de un número complejo por su conjugado es el cuadrado del módulo tlel número complejo. Para entender esto, observe que z z = x 2 + y 2. Así pues, de la ecuación (1.3-1), zz = |z |2.

(1.3-2)

I .i raíz cuadrada de esta expresión también es útil: |z| = y/z¿.

( 1.3- 3)

C apítulo 1

Núm eros com plejos

A continuación demostraremos que El módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos. Sean z, y z2 los números. Su producto es ZjZ2. Sea z = z,z2 en la ecuación (1.3-3). En tonces tenemos que |ZlZ2| = y /z ^ z 2(z^r2)

Valiéndonos de la ecuación (1.3-3) para reescribir los dos radicales de la derecha te nemos finalmente

l*i*2l = \zi\\z2l

(1-3-4)

Análogamente, | z,z2z31 = | ZjZ21| z31 = | z, || z21| z31, y, en general, El módulo del producto de varios números es igual al producto de los módulos de todos los factores, sea cual sea el número de factores. Se deja como ejercicio mostrar que

El módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de sus mó dulos. Después de leer unas cuantas páginas más el lector verá que, en general, el módu lo de la suma de dos números complejos no es igual a la suma de sus módulos.

EJEMPLO 1 ¿Cuál es el módulo de - i + ((3 + /)/(1 - /'))?

Solución En primer lugar, simplificamos la fracción 3+ i

1- i

(3 + 0 ( 1 + 0

t = 1 + 21.

(i - 0(1 + o

Así -i +

EJEMPLO 2 Determine |(3 + 4z)5/(l + i V3 )|. Solución De la ecuación (1.3-5) tenemos

1+ i

|1 + i| = y / 1

1.3

^ y

Los números com plejos y el plano de Argand

— Punto p que representa a z =x + iy

y i_________

Figura 1.3-1

(3 + 4¿)5

|(3 + 4Q |

1 + Íy /3

II +Íyfi\'

Ahora bien, |(3 + 4 í f | = |3 + 4z| 5 = (V 32 + 4 2 )5. Además, |1 + S

I = V i2 +(V3 ) 2

l’or lo tanto, (3 + 4i)5

(y ^ 2 + 42)5 _ 55

I+ ^ n /3

v 12 + ( v 3)2

Plano complejo o de Argand I i expresión del número complejo z = x + iy como pareja z = (.x, y ) quizá nos su piera la notación para las coordenadas de un punto en el plano x y . La expresión | z | = yJx2 + y 2 nos indica a su vez la expresión de la distancia pitagórica de dicho punto al origen. No debe sorprendemos que el plano xy (o plano cartesiano) se use a menudo para icpresentar números complejos. Cuando se usa para este propósito se le conoce como plano de A rgand,1" plano z o plano complejo. En estas circunstancias, el eje x , o eje Iioi izontal, se llama eje de los números reales, mientras que el eje y 9 o eje vertical, se conoce como eje de los números imaginarios. En la figura 1.3-1 decimos que el puntop, cuyas coordenadas son x e y , represen ta el número complejo z = x + i y. El módulo de z, es decir, | z |, es la distancia de x ,y origen. Otra representación posible de z en este plano es en forma de vector. Mostramos x + i y como una línea dirigida que comienza en el origen y termina en el punto x, r, como se muestra en la figura 1.3-2. La longitud del vector es | z |. Así, podemos representar un número complejo como un punto o como un vector en el plano x y . Usaremos ambos métodos. A menudo nos referiremos al punto o veco*i como si se tratase del propio número complejo y no sólo de su representación.

1 Se llama así en honor a Jean Argand (1768-1822), matemático suizo que en 1806 propuso esta representación para los números complejos.

Capitulo I

Núm eros com plejos

Como la longitud de cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo es siem pre menor que la longitud de la hipotenusa, la figura 1.3-2 revela lo siguiente: |R ez| = |x| < |z|,

(1 .3 -6 a|

|Im z | = \y\ < |z|.

( 1.3—6b)

Hemos puesto Re z e Im z dentro del sím'bolo | | porque lo que nos ocupa aquí es una longitud física (que no puede ser negativa). Aunque en la figura 1.3-2 se muestra un caso en que Re z e Im z son positivos, muy bien hubiésemos podido usar una figu ra en que uno de estos valores, q ambos, fuesen negativos, y la ecuación (1.3-6) seguid ría siendo válida. Cuando representemos un número complejo por un vector, la posición del punte inicial de dicho vector no será importante. Así, la línea dirigida que va del origen a x — 3, y = 4 es el número complejo 3 + 4 i, como también lo es la línea dirigida que va de x = 1, y = 2 a x = 4, y = 6 (véase la Fig. 1.3-3). Ambos vectores tienen una longitud de 5 y apuntan en la misma dirección. Las proyecciones de ambos en los ejes x e y s o n 3 y 4, respectivamente. Existe una cantidad ilimitada de segmentos de recta dirigidos que podemos usai para representar un número complejo. Todos ellos tienen la misma magnitud y apun tan en la misma dirección.

Figura 1.3-3

1.3

Los números com plejos y el plano de Argand

xx x x+x2 Figura 1.3-5

Figura 1.3-4

Existen relaciones geométricas simples entre los vectores correspondientes a i \ f iy, - z = —x - iy, y z = x - iy, como se puede ver en la figura 1.3-4. El vector que corresponde a - z es el simétrico del vector de z respecto al origen, en tanto que z es el vector simétrico de z respecto al eje real. El proceso de sumar el número complejo z, = x x + iyx al número z2 = x 2 + iy2 llene lina interpretación simple en términos vectoriales. La suma z, + z2 = + x2 + /( i’i I yi) se rnuestra en forma vectorial en la figura 1.3-5. Vemos que el vector que representa la suma de los números complejos z x y z2 se obtiene sumando vectorialmenle los vectores de z, y z2. En la figura í.3 -5 se ha empleado la conocida regla ^iel pahilelogramo, que se usa para sumar vectores como la fuerza, la velocidad o el campo eléctrico, para efectuar la adición. También podemos usar el método de poner un vec tor después del otro, como se muestra en la figura 1.3-6. Las “desigualdades del triángulo” pueden obtenerse a partir de este esquema geométrico. La longitud de un lado cualquiera de un triángulo es menor que o igual a lu suma de las longitudes de los otros dos lados (véase la Fig. 1.3-7). La longitud del vn lor correspondiente a z x + z2 es |z, + z2|, que debe ser menor o igual que la suma »L las longitudes, |z,| + |z2|. Por lo tanto |Zj + z 2| < | z j + |z2|.

Figura 1.3-6

Figura 1.3-7

(1.3-7)

Capítulo 1

Núm eros com plejos

Figura 1.3-8

Figura 1.3-9

Figura 1.3-10

Esta desigualdad también puede obtenerse por medios puramente algebraicos (véase el Ejer. 34). En los ejercicios 29 y 30 se obtienen otras dos útiles desigualdades. Dichas des igualdades son: kl -

z 2< ¡ |z ,| + |

y | z ! + Z2 | > || z , | -

| z 2 ||.

La ecuación (1.3-7) muestra, como ya se dijo, que el módulo de la suma de dos núme ros complejos no es necesariamente igual a la suma de sus módulos. Sumando vecto rialmente tres números complejos como se muestra en la figura 1.3-8 vemos que IZ 1 +

z 2 4-

Z 3 1 < | Z j | + | z 2 | + | z 3 |.

Está claro que este resultado se puede extender al caso de una suma con cualquier cantidad de elementos: |zi

+ z 2 +••• + Z„\ < |zj| + |z2| + ••• + Izj. ■ (

La sustracción de dos números complejos también tiene su homologa vectorial. Así, z, - z2 se determina sumando los vectores correspondientes a z, y -z 2, como se muestra en la figura 1.3-10. Representación polar Con frecuencia, los puntos del plano complejo, que representan números complejos, se definen en términos de coordenadas polares (véase la Fig. 1.3-11). El número com plejo z = x + iy está representado por el punto p cuyas coordenadas cartesianas son x, y, o cuyas coordenadas polares son r, 9. Vemos que r es idéntico al módulo de z, es de cir, a la distancia de p al origen; y 9 es el ángulo que forma con el eje x el segmento que va del origen a p. Decimos que 9 es el argum ento de z y escribimos 9 = arg z. En ocasiones se dice que 0 es el ángulo de z. A menos que se indique lo contrario, 9 se expresará en radianes. Cuando aparezca el símbolo °, 9 se expresará en grados.

1.3

Los números complejos y el plano de Argand

-.Y Figura 1.3-11

I I ángulo 6 se considera positivo cuando se mide en la dirección contraria a la de lw* manecillas del reloj y negativo cuando se mide en la dirección de las manecillas lid reloj. La distancia r nunca es negativa. Para un punto en el origen, r es igual a ICro. En tal caso, 6 no está definido ya que no se puede construir un segmento como el (|ue se muestra en la figura 1.3-11. Puesto que r — V* 2 + y 2 tenemos r = \z \,

(1.3-9a)

y por inspección de la figura 1.3-11 vemos que tan 6 = y/x.

( 1.3—9b)

Una característica importante de 6 es que es multiforme (multivaluado). Supon e m o s que para cierto número complejo hemos encontrado un valor correcto de 6 en rmliunes. Podemos añadir a este valor un múltiplo entero positivo o negativo de 2zr ra dianes y obtendremos nuevamente un valor válido de 6. Si 6 se expresa en grados po demos sumarle múltiplos enteros de 360°. Por ejemplo, supongamos que 2 = 1 + / . De terminemos las coordenadas polares del punto que representa a este número com plejo. Ahora bien, r = | z | = V i2 + l 2 = V2 , y de la figura 1.3-12 vemos que (I i» ;r/4 radianes, o n!4 + 2;r radianes, o tt/4 4- 4;r, o k /4 - 2n, etc. Así, en este caso 0 » ji/4 + k ln , donde k — 0, ± 1, ±2, ... Ln general, todos los valores de 6 están contenidos en la expresión 0 = 0o + fc2.7E,

k = 0,

Figura 1.3-12

± 1, ± 2 , .. .,

(1.3-10)

C ¿ipiliilo I

Números com plejos

donde 0Oes algún valor particular de arg z. Si trabajamos con grados, 0 = 00 + k 360* describe todos los valores de 9. El valor principal del argumento (o argumento principal) de un número comple jo z es el valor de arg z que es mayor que - n y menor o igual que n. Así pues, el valor principal de 9 satis lace la desigualdad 7t< 6< n}

(1.3-11

El lector puede expresar esta desigualdad en grados. Obsérvese que el valor principa del argumento cuando z es un número real negativo es n (o 180°).

EJEMPLO 3 Usando el argumento principal determine las coordenadas polares del punto que re presenta al núinero complejo -1 -/. Solución La distancia polar r de -1 - i es , como podemos ver en la figura 1.3-13. El valo principal de 9 es -3/r/4 radianes. No es 5/r/4 pues este número es superior a k . Al cal cular valores principales no se debe hacer lo que indica la línea punteada de la figu ra 1.3-13, o sea, cruzar la parte negativa del eje real. De la ecuación (1.3-10) vemoi que todos los valores de arg (-1 -i) están contenidos en la expresión 9=

—371 b 2/c7i, 4

k = 0, + 1, + 2 ,__ -

Obsérvese que tomando k = 1 en la expresión anterior, obtenemos el valor no princi pal 5/r/4. M La inversa de la ecuación (1.3—9b), 9 = ta n -1 (y/x), que podría usarse para obtener 0, particularmente si se usa una calculadora de bolsillo requiere una observación. Sabemos, por la trigonometría elemental, que aun estipu lando el valor de y/x, esta ecuación no contiene información suficiente para determi nar el conjunto de valores de 6. Es necesario precisar el signo de x o y para determina el conjunto adecuado. Por ejemplo, si y/x = 1/V3 podemos obtener 9 = k /6 + 2kn, o bien 9 = —5 /r/6 + 2kit, k = 0, ±1, ±2,... Ahora bien, si y es positivo (es decir, si z está en el primer cua** drante), hemos de elegir el primer conjunto. Si y es negativo (o sea, si z está en el ter cer cuadrante), debe elegirse el segundo conjunto.

f La definición del argumento principal que aquí presentamos es la más común. Sin embargo, al gunos textos utilizan otras defunciones, por ejemplo, 0 < 6 < 2k.

1.3

Los números com plejos y el plano de A rgand

Si >>/x = 0 (debido a que y — 0) o si y * no está definido (cuando x = 0), es preci so conocer el signo de x o de y , respectivamente, para determinar el conjunto adecua do de valores de 0. Representemos el número complejo z = x 4- iy por medió de un vector, como se muestra en la figura 1.3-14. El punto donde termina el vector tiene coordenadas pola res r y 0. No es necesario que el ángulo 0 sea un valor principal. De la figura 1.3-14 leñemos x — r eos O e y = r sen 0. Así pues z — r eos 0 4- ir sen 0, es decir z = r(cos 0 4- i sen0).

(1.3-12)

I sta es la llamada form a polar de un número complejo, que difiere de la forma rectan gular (cartesiana) x + iy. La expresión eos 6 + i sen0 se abrevia frecuentemente como cis 0. A menudo usaremos el símbolo¡0 para indicar cis 0. Nuestro número complejo \ 1- iy se convierte entonces en r/o. Esta notación es útil porque no sólo indica la lon gitud del vector correspondiente, sino también el ángulo que éste forma con el eje real. Nótese que i = \¡nl2 y - i = 1/ - 7 t / 2 . , Un vector como el de la figura 1.3-15 puede trasladarse para que parta del origt*n. Este vector también representa el número complejo r¡6. Los números complejos r[6. y r/-fl. son conjugados, como puede verse en la fi gura 1.3-16. De manera equivalente, encontramos que el conjugado de r(cos0 + i sen 0) es r(cos(-0) 4- i sen(-0)) = r(cos 0 - i sen 0).

Figura 1.3-14

Figura 1.3 -15

( iipitulo 1

Número* complejo»

Los dos factores de este ejemplo se expresaron en términos de sus argumen tos principales k /2 y 3n/4. Sin embargo, cuando sumamos estos ángulos obtuvimos 5/r/4, que no es un argumento principal. De hecho, el argumento principal de 6¡5k /4 es -3 ^ /4 . Cuando en un problema de multiplicación se suman argumentos principales, el argumento resultante no es necesariamente un valor principal. A la inversa,! cuando sumamos argumentos no principales podemos obtener un argumento principal. Cuando multiplicamos z, por z 2 para obtener el producto z,z2 la operación que se lleva a cabo con los vectores correspondientes no es una multiplicación escalar (pro ducto punto) ni una multiplicación vectorial (producto cruz), operaciones que el lector quizá conoce de sus cursos elementales de análisis vectorial. De manera similar, pode mos dividir dos números complejos y también, en cierto sentido, sus vectores. Esta operación tampoco tiene equivalente en las operaciones vectoriales que el lector ya conoce. Es conveniente usar coordenadas polares para encontrar el inverso de un número complejo. Tomando z = re te n e m o s 1

eos 0 — i sen 9

r(eos 9 -f i sen#)

r(cos # + i sen#)(cos 9 — i sen#)

eos 0 — i sen 6

eos 6 — — i sen 6

r(cos2 6 + sen2 9)

De donde z

r^/#---- r<------

(1.3-17)

Por lo tanto, el módulo del inverso de un número complejo es el inverso del mó dulo de dicho número y el argumento del inverso de un número complejo es el ar gumento del número cambiado de signo. Consideremos ahora los números complejos z, = r ]/0j_y z2 = r2/fl2- A fin de di vidir Zj entre z2 multiplicamos z, por l/z2 = 1lr2¡-02. Así (1.3-18) El módulo del cociente de dos números complejos es igualal cociente de sus mó dulos y el argumento del cociente es igual a la diferencia del argumento del nu merador menos el argumento del denominador.

EJEMPLO 5 Evalúe (1 + /y v 3 + i) usando la forma polar de los números complejos.

1.3

Los números com plejos y el plano de A rgand

Solución l e liemos ^

= ^ / a r c .,„ ( ! /! ) _

>/3 + i

2 /a r c ta n ( l/v/3)

2/n/6------------

. /] 2

X/ 2 Z------

I I resultado anterior puede convertirse a la forma rectangular: 1+ i

cos(7c/12)

.sen(7r/12)

\/3 + Í

y jl

( !on ayuda de la ecuación (1.2-7) podríamos haber resuelto este problema enteramenle en coordenadas rectangulares. Pero existen ciertos cálculos en los que el uso de la notación polar puede ahorramos trabajo, como en el siguiente ejemplo. M

EJEMPLO 6 I valúe (1 -H Q(3 -t- Q (-2 - i) (0(3 + 4i)(5 + 0

a + ib =

donde a y b son incógnitas por determinar. Solución I ncontremos primero el resultado polar r¡0. En primer lugar, obtenemos r a partir de las propiedades usuales de los módulos de productos y cocientes: r=

|(1 + 0(3 + 0 ( - 2 - 0 l

1(0(3 + 40(5^01

|1 + í ||3 + i | | - 2 - ¿ ¡ _ v /2v /Tov/ 5 _

1013 + 4015 + ¿I

1^/25^26

I\ argumento 6 es igual a la diferencia del argumento del numerador, (1 + /)(3 + /)(-2 - i), menos el del denominador, (i)(3 + 4/)(5 + i). Así 4 - n / 1 1\ í are tan -1 + are tan -1 + are t a n ---— are tan - + are tan - + are tan - . 3 —2/ V 0 1 3 5/

0 = (0.785 + 0.322 + 3.605) - (1.571 + 0.927 + 0.197) = 2.017.

Por lo tanto,

a+ ib = 4 = [eos 2.017 +

v/26

isen 2.017] = -0 .1 6 9 + ¿0.354.

2 ()

< iipiliilo I

Núm eros com plejos

EJERCICIOS

IJetermine el módulo de cada una de las siguientes expresiones: 1.

3 + 4/

2. (3 + 4/)( 1 + 2i)(i)

(3+40(1+0 3-

(3 -4 /)

. /* + i y \ 5. —) >^ > 0 es entero x — iy j "

1 29.

f(3+40(l + 0T 4’ [

3 -4 /

(3 -f4í)(l + 0 6. i- f 3 — 4i

Los siguientes vectores representan números complejos. Exprese estos números en la for a -I- ib.

7. El vector que va de (1, 2) a (-3, 4). 8. El vector de longitud 10 que sale de (1, -2) y forma un ángulo de id6 radianes en sentidi positivo con la parte positiva del eje x. 9. El vector que termina en (2, 2). Su longitud es de 5 y pasa por el punto (1, 0). 10. El vector que empieza en (2, 3) y termina en la recta y = -x. La recta y el vector forman \\ ángulo recto. 11. El vector que empieza en (0, 0), tiene longitud 5 y termina en el primer cuadrante sobre | parábola y = x 2. Encuentre el argumento principal de estos números complejos. Use una calculadora de bolsillo 12.

2 cis(3.14)

13. 2 cis(3.15)

14.

2cis( —2.99tt)

15. 2cis(2001)

16.

—2 cis(2001)

17. 2 cís(2.01tü x 108)

Determine, en la forma a + ib, los números complejos representados por los puntos las siguientes coordenadas polares. 18.

r =2 , 0 = 3

coi

19.

Convierta las siguientes expresiones a la forma r cis 6. Escriba r y exprese todos los valo res posibles de 9 en radianes. Indique el valor principal.

20. 22.

s fí + i (3 + 40(3 + 4/)( 1 + i)

21. - s / i - i 23. ( J l + ¿)*(1- O3

Reduzca las siguientes expresiones a la forma r cis 9. Dé, en radianes, únicamente el valor prin cipal de 9. (1 + / ) ( - ! - i j j ) 3/ tt/8

(1 + 02(2 + 0 * (3 -f 0 2 cis(37r/4)

[cis( —tt/6)]4

Ejercicios

¿En qué circunstancias será válido el signo de igualdad en la ecuación (1.3-7)? a) Sean z, y z2 números complejos. Sustituyendo z2 por -z 2 en la ecuación (1.Í3-7) de muestre que \zx — z2| < \z{\-f |z2|

(1.3-19)

Interprete este resultado con ayuda de un triángulo. b) ¿Qué relación debe existir entre z, y z2 para que el signo de igualdad sea válido en la ecuación del apartado (a)? a) Sean L, M y N \as longitudes de los lados de un triángulo, con M>N . Por medio destín dibujo del triángulo convénzase de que L > M - N > 0. \ b) Sean z, y z2 números complejos. Considere los vectores que representan a z,5 z2, y' z, + z2. Usando el resultado de 1 apartado (a) compruebe que |z, + Z2| > |Zi| —|z2| > 0

s i | z , | > | z 2|,

| z . + z 2| > N - h l > 0

si |z2| > |z,j.

Explique por qué estas fórmulas pueden reducirse a la expresión |z, + z 2|> || z 1| - | z 2||-

(1-3-20)

a) Considerando la expresión ( p - q)2, donde p y q son números reales no negativos, de muestre que

p+ q < b)

P2 + Q2-

Useel resultado anterior para mostrar que, para un número complejo z cualquiera, tene mos |Re z\ + |Im z| < V2 | z |

c) Compruebe el resultado anterior para z = 1 - i y¡3 . d) Determine un valor de z tal que el signo de igualdad sea válido en (b). a) Teniendo en cuenta el producto de 1 + ia por 1 + ib, así como el argumento de cada factor, verifique que are tan(o) + are tan(ú) = are tan( a - - -Y \\-abJ donde a y b son números reales.

\ ^V

b) Use la fórmula anterior para demostrar que 7i = 4[arc tan({) -f are tan(^)]. Verifique este resultado por medio de una calculadora de bolsillo. O I -xtienda el método técnica que se empleó en el apartado (a) para encontrar una fórmu la para are tan (a) -f are tan(ú) + are tan(c). a > ( ’onsideremos los vectores que representan a los números complejos f y g. Muestre que estos vectores son perpendiculares si y sólo si |/-< 7 |2 = | / | 2 + |#|2.

Capítulo I

Núm eros com plejos

Sugerencia: Trace un triángulo rectángulo con estos vectores, b)

Demuestre que la ecuación anterior equivale a exigir que Re(/<7) = 0.

34. a) Consideremos la desigualdad \z, + z2\2 < |z,|2 + |z2|2 4* 2 |z,| \z2\. Demuestre esta exp sión por medios algebraicos (no use triángulos). Sugerencia: Observe que |z, 4- z2|2 = (z, + z2)(z, + z2) = (z, 4- z2)(z, + z 2). M Multiplique (z, 4- z2) (z, + z2 )y recurra al hecho de que para un número com plejo, digamos w, ^ w + v v = 2Rj?w,

b) i

|R ew |<|w |.

Observe que |z,|2 4- |z2|2 4- 2|z,| |z2| = (|z,| 4- |z2|)2. Compruebe que la desigualdad q se demostró en la parte (a) nos lleva a la desigualdad del triángulo |z, + z2| < |z,| 4- 11 -----------------

35. a) A partir del producto (z, - z 2) (z, - z2), muestre que lz i — z 212 — \z i\2 + 1^ 212 — 2 Re(z,z2).

Recordemos la ley de los cosenos de la trigonometría elemental: a1 — b1 + c2 - 2be eos Muestre que esta ley puede derivarse de la fórmula que se obtuvo en el apartado (a). J Sugerencia: Identifique las longitudes b y c con |z,| y |z2|. Suponga que z2es

1.4 POTENCIAS ENTERAS Y FRACCIONARIAS DE UN NÚMERO COMPLEJO Potencias enteras En la sección anterior aprendimos a multiplicar cualquier número de cantidades comple jas por medio de la notación polar. Así, con n números complejos z h z2, ..., zn tenemos Z1Z2Z3

Z/i ~ r l^2r 3

rn/& 1 + #2 + $3 +

+ 6n, ■

(1.4-1)

donde r¡ = |z;| y 6¡ = arg z¡. Si todos los números, z,, z2, etcétera, son idénticos de tal forma que z¡ = z y z = r[o, la ecuación (1.4-1) se simplifica, convirtiéndose en zn = rn/n d = rn cis(nÚ) = rn[cos(n6) 4- isen(nO)]

(1 .4-2)

El módulo de z" es igual al módulo de z elevado a la /?-ésima potencia, y el argu mento de z '7es igual a n veces el argumento de z. La validez de lo anterior se demostró en el caso en que n es un entero positivo. Si definimos z° =. 1 (como en los números reales), la ecuación (1.4-2) también es válida duandcVA? = 0. La expresión 0o no está definida. Con ayuda de una definición conveniente demostraremos a continuación que k ecuación (1.4-2) también es válida si n es negativo.

1.4

Potencias enteras y fraccionarias de un número complejo

Sea m un entero p o sitiv o. E ntonces, de la ecuación (1 .4 -2 ) tenem os z m = *|eos(/w0) 4- i sen(mO)]. Ahora definimos z “mcomo 1lzm. Así pues, z - m = ------------------------------- . rw[cos(ra0) + /sen(m0)]

(1.4-3)

II en el lado derecho de la ecuación (1.4-3) multiplicamos el numerador y el denomiiiilor por la expresión eos mO - i sen m0? tendremos ? 3 1 eos mO - i sen mO _mr n r m[cos mu — rsen m9\. > rmeos2 mO 4 sen2 mO

Ahora bien, como eos (mO) = eos (~m8) y -sen (mQ) = sen(-w0), obtenemos z ~ m = r ~m[cos( —mO) + i sen ( —mO)],

m = 1, 2, 3 ,....

(1.4-4)

lomamos -m — n en la ecuación anterior, ésta se convierte en z n = rn[cos(nO) 4 i sen(n0)],

n = - 1, - 2 , - 3 , . . . .

(1.4-5)

filemos incorporar este resultado en la ecuación (1.4-2) si dejamos que n tome cualIci valor entero en dicha expresión. I a ecuación (1.4-2) permite elevar números complejos a potencias enteras, mieniMque multiplicarlos varias veces por sí mismo en coordenadas cartesianas sería iv ledioso. Consideremos, por ejemplo, la expresión (1 4- i V3) 11 = a 4- ib. Quere llé determinar a y b. Podríamos empezar con la ecuación (1.1^1), elevar (1 4- i J l ) fcuudrado, multiplicar el resultado por (1 4- i V3), y así sucesivamente. O bien, rewd.mdo el teorema del binomio, podríamos aplicarlo a (1 4- i V3) 11 y luego combilln s doce términos resultantes. En vez de esto, notamos que ( 1 4 - / V3) = 2 /tt/3

¡i ecuación (1.4-2) permite obtener una importante identidad. En primer lugar, mos z — r(eos 6 4- i sen 6) de tal modo que [r(cos 9 4 i sen 0)]" = r"(cos nO 4- i sen n9). esta expresión r — 1, obtenemos (eos 9 4 i sen 9)n = eos n9 4 /sen n0,

n = 0, 4 1, 4 2 ,...,

(1.4-6)

conoce como teorema de DeMoivre.f A partir de esta fórmula podemos derivar algunas identidades trigonométricas I conocidas. Por ejemplo, tomando n = 2,

I i.» útil y novedosa fórmula fue descubierta por Abraham DeMoivre (1667-1754), hugonote ido en Francia, quien vivió la mayor parte de su vida en Inglaterra. Fue discípulo de Isaac Nevvton.

3(1

( 'apítulo I

Números com plejos

(eos 6 +

i sen O)2 =

eos 26 +

i sen 26.

Desarrollando el lado izquierdo de la expresión anterio^ llegamos a eos2 6 -f- 21 sen 6 eos 6 — sen2 6 = eos 26 + i sen 26. Igualando las partes correspondientes (real e imaginaria), obtenemos las dos identida des eos2 6 - sen2 6 — eos 26 y 2 sen 6 eos 6 = sen 26. Potencias fraccionarias Ahora tratemos de elevar z a una potencia fraccionaria, es decir, deseamos calcula z 1/m, donde m es un entero positivo. Definimos z 1/mde tal forma que (z,/m)m = z. Supoii gamos que z l,m = p /$ .

(1.4-ij

Elevando ambos lados a la potencia m tenemos z = {p[4)m = z = p m/m(¡) = p m[cos{m<p) 4- ísen(m</>)].

( 1.4-

Haciendo z = r¡6_ = r (eos 6 4- i sen 6) en el lado izquierdo de esta expresión obtene mos f(cos 6 + i sen 6) = p m[cos(m</>) +

i sen(m</>)].

(1.4-9

Para que esta ecuación sea válida es preciso que los módulos de ambos lados sea iguales. Así ^ r = pm

p = r í/m.

Como p es un número real positivo, debemos tomar la raíz positiva de r x,m. Por l<j tanto p = ?fr(1.4-101 El ángulo 6 de la ecuación (1.4-9) no es necesariamente igual a m<\>. Todo lo qul podemos hacer es concluir que estas cantidades difieren en un múltiplo entero de 2\ esto es, que m é - 6= 2kn, lo que significa que (p = —[0 4- 2/c7ü], m

k = 0,

±1, ± 2 ,....

(1-4-1

Por lo tanto, de las ecuaciones (1.4-7), (1.4-10) y (1.4-11),

fe 2kn\ 2kn\ z 1/m = p[4^ = ? fr e o s ---- h ---- + i sen — + ---m ) \m m )_ . \m El número k que aparece en el lado derecho de esta ecuación puede tomar cualquie valor entero. Supongamos que inicialmente tomamos k = 0 y hacemos que k aum entj de uno en uno. El valor k = 0 corresponde al seno y coseno de 6/m\ k = 1 correspon de al seno y coseno de 6/m 4- 2nlm, etcétera. Finalmente, k = m corresponde al senJ

m 1.4

Potencias enteras y fraccionarias de un número com plejo

y Coseno de 6!m + 2 n. Pero sen ( 9/m + 2n) y eos (0/m + 2n) son numéricamente láñale', idseno y al coseno de0/m. Si k = m + 1, m + 2, etc.,se repiten los valores numéricos del coseno y el seno ijiir obtuvimos con k — 1,2, etc. Por tanto, podemos obtener todos los valores de z x,m mt9htk'ic(m e n te distintos tomando valores de k de 0 a m - 1 en la ecuación anterior. AM pues, z xlm tiene m valores distintos, que están dados por la ecuación

r 1/m

= Z '/r ,

16+ 2nk m

(B 2 kn \ Í6 2kn\~ •= Z r eos - + ---- + i sen - + ------ , \m m ) \m m /J ; V fc = 0, 1, 2 ,..., m — 1;

m > 1.

(1.4-12)

|h> hecho, para generar todos los valores de z ]/m basta con tomar como valores de k i iMlqmcr serie de m enteros consecutivos (por ejemplo, k = 2 -» m + 1). Por nuestros anteriores cursos de matemáticas sabemos que un número real positlVO, (I igamos 9, tiene dos raíces cuadradas distintas, en este caso ±3. La ecuación 11 I 1.1) indica que los números complejos tienen también dos raíces cuadradas (toIflimln m = 2, k = 0, 1), pero además tienen 3 raíces cúbicas (m = 3, k = 0, 1, 2) y así incisivamente. I a interpretación geométrica de la ecuación (1.4-12) es importante porque puede pit mil irnos representar fácilmente los puntos del plano complejo que representan las fllccs de algún número. Todas las raíces tienen el mismo módulo yfr (o ¡^j¡j). Por lo Mulo, pueden representarse sobre un círculo de radio yfr. Todos los valores que se ob tienen por medio de la ecuación (1.4—12) tienen argumentos distintos. Al aumentar k eo lito se indica en la ecuación (1.4-12), los argumentos aumentan de d/m a 6/m + 2 ( m - 1) por incrementos de 2idm. Así, los puntos que representan los diversos valores de | I 'M \ que aparecen sobre el círculo de radio rfr, están uniformemente distribuidos con MM.t sep; nación angular de 2n!m. Uno de los puntos (k — 0) forma un ángulo de 0/m Hin la parte positiva del eje x. Por lo tanto, contamos con suficiente información para ♦api es enlar gráficamente todos los puntos (o los vectores correspondientes). I a ecuación (1.4-12) se obtuvo suponiendo que m es un entero positivo. La ecua ción .sigue siendo válida si m es un entero negativo, salvo que ahora generamos todas 1.1» i» lees tomando como valores de k \m\ valores consecutivos (por ejemplo, k = 0, 1, , |m| - 1). Las \m\ raíces están uniformemente distribuidas sobre un círculo de raÍlll <(// , y una de ellas forma un ángulo de O/m con la parte positiva del eje x. Todos ItlH valores de z Vm satisfacen la expresión (zxlm)m = 2 para este valor negativo de m .

/ II MPLO 1 (Hit medio de la ecuación (1.4-12) determine todos los valores de (-1 ),/2. Holiu ion Vqii! r | 11 I y m = 2 en la ecuación (1.4-12). Para 0 podemos tomar cualquier •o inm uto de I Tomaremos el valor k. Así

C apitulo I

Números com plejos

Las dos raíces cuadradas de -1

Figura 1.4-1

fc = 0, 1.

Con k — 0 en esta fórmula obtenemos (-1 ),/2 = /, y con k = 1 obtenemos (-1 ) 1/2 = En la figura 1.4-1 se muestra una gráfica de los puntos que representan estas dos ra ces. La separación angular es de 2 nlm = 2n/2 = /r radianes.

EJEMPLO 2 Determine todos los valores de 1,/m donde m es un entero positivo. » Solución Tomando 1 = r cis(0) donde r = 1 y 6 = 0 y aplicando la ecuación (1.4-12) tenem 11/m = v /T [cos(2/c7r/w) + i sen (2kn/m)] = cis(2/c7r/m),

k = 0,1, 2 ,..., m - 1.

El módulo de todos estos m valores de 1l/m es igual a 1. Si los representamos gráficíj mente como puntos sobre el círculo unitario, estarán distribuidos uniformemente c una separación angular de 2nlm radianes. Obsérvese que necesariamente uno de 1 valores de 11/mes la unidad.

EJEMPLO 3 Determine todos los valores de (1 + i V 3 ),/5. Solución Sabemos que obtendremos cinco raíces. Usamos la ecuación (1.4-12) con m = r = |1 + / >/3| — 2 y 8 = tan-1 V3 = n/3. El resultado es

En decimales, los resultados son aproximadamente

1.4

Potencias enteras y fraccionarías de un número com plejo

1.123 + ¿0.241,

k = 0,

0.120 + ¿1.142,

k = 1,

-1 .0 4 9 + ¿0.467,

k = 2,

-0 .7 6 9 - (0.854,

k= 3 ,

0.574 - (0.995,

k= 4.

I ii l,i figura 1.4-2 se muestran los vectores que representan estas raíces. Están separa dos por una distancia angular de 2/r/5 radianes, es decir, de 72°. El vector correspon díanle al caso k = 0 forma un ángulo de k/5 radianes, o 12°, con la parte positiva del *|r y ( ualquiera de estos resultados debe dar 1 + i V3 al elevarlo a la quinta potencia, hu e)einplo, usemos la raíz correspondiente a k = 1. Tenemos, con ayuda de la ecuat lóil (1.4-2), n K ^ |c oC O s (S-I

1-------

+ i se n

í n

1-----\ 15 5

= 2 cos( ^ + 27r'j + i sen0 = 2

' \ / 3 '

—

+ 2n

I ,a motivación original para extender nuestro sistema numérico de los números .i los complejos fue el deseo de resolver ecuaciones cuya solución implicase la Mil/ • uadrada de un número negativo. Podríamos haber pensado que la búsqueda de ( h ' ’ < I )l/4, etcétera, daría lugar a sistemas numéricos cada vez más complicados. Veimm pm el estudio que acabamos de presentar, que no es así. El conjunto de números |(Mnpli*jos, aunado a la ecuación (1.4-12), basta para obtener cualquier raíz. ( «lacias a nuestro análisis de las potencias fraccionarias de z podemos ahora for|ltiiliti una consistente definición de z elevado a cualquier potencia racional (por ♦>)• niplo, / n%z 2,]) y, en consecuencia, resolver ecuaciones como z4/3 + 1 = 0 . La definii lún es

Capitulo I

INúnicros com plejos

zn/m _ (z \/my Realizamos la operación interior por medio de la ecuación (1.4-12) y la exterior cor la ecuación (1.4-2). Así, /

(1.4-13; donde, como antes, 6 = arg z y | z | = r. No es difícil mostrar que las expresiones z~n!n y z n,~m proporcionan el mismo conjunto de valores. Así, por ejemplo, podríamos calcuj lar z4/~7 usando la ecuación (1.4-13) con m = 7, n = - 4 . ^ Si nlm es una fracción irreducible, entonces tomar valores de k de 0 a m - 1 en la ecuación (1.4-13) da como resultado m raíces numéricamente distintas. En el plan< complejo dichas raíces se distribuyen uniformemente sobre un círculo de radie C 4 r )n. Pero si n/m es reducible (es decir, si n y m tienen factores comunes)’ entonces cuando k varía de 0 a m - 1, algunos de los valores que se obtienen por medio de la ecuación (1.4-13) tendrán valores numéricos idénticos. Esto se debe a que la expre sión Ikn n lm tomará al menos dos valores que difieren en un múltiplo entero de 2/r. Ei el caso extremo en que n es divisible entre m, todos los valores obtenidos a partir d< la ecuación (1.4-13) son idénticos. Esto confirma el hecho bien conocido de que z ele vado a una potencia entera tiene un solo valor. Es preciso simplificar al máximo la fracción nlm antes de aplicar la ecuación (1.4-13) si no queremos pender tiempo gene rando raíces idénticas. Supongamos que nlm es una fracción irreducible y z un número complejo d ad o ,) consideremos los m valores posibles de z nlm. Si elegimos cualquiera de estos valores ; lo elevamos a la potencia mln, obtenemos n números. Sólo uno de ellos es z. Así pues hay que tener cuidado al interpretar la ecuación (z n,m)m,n = z.

EJEMPLO 4 Despeje w en la siguiente ecuación: w4/3 + 2i = 0.

Figura 1.4-3

(1.4-14)

Ejercicios

Si elución fuñemos w4/3 = -2 /, lo que significa que w = (-2 z)3/4. Ahora usamos la ecuación (1.4I \ ) con n = 3, m = 4, r = | z | = {—2z| = 2 y 0 = arg(-2z) = -/r/2. Por lo tanto, - ( - 2¿)3/4 = (^ /2 )3

fe = 0, 1, 2, 3; II O

¡ —3n w = 1.68 j 8 ’ l9n w = 1.68 i

fe= i;

JH’

w = 1.68 ^

2 ln

k = 2;

X’

/33 tt w = 1.681

k = 3.

X’

I os cuatro resultados aparecen representados gráficamente en el plano complejo de la ligma 1.4-3. Están uniformemente distribuidos sobre el círculo de radio ( i¡2 )3. Cada litio de estos resultados es solución de la ecuación (1.4-14), siempre y cuando usemos Im potencia 4/3 adecuada. En el ejercicio 16 se verifica este resultado. M

K,n

r c ic io s

i il>.i cada una de las siguientes expresiones en la forma a + ib y en la forma polar r¡6_. Pro■ lli ionc un valor principal para 6.

yjh +

I l, (—

i)?

2. ( - V 3 - Í ) - 5

|? c is ( -n /4 ) ] 5

( un ayuda del teorema de DeMoivre exprese eos 3 6 como una suma real de términos que sólo contenga funciones como cosm 0 sen" 6, donde m y n son enteros no negativos.

Kepita el ejercicio 7 para encontrar una expresión similar para sen 50.

{Jl -

3. (3 4- 4i')l2(l 4- i)-12

¿)4[cis(ít/10)í2

6. (1 + 2i)19

I m i iba las siguientes expresiones en la forma a + ib. Proporcione todos los valores. Reph mme sus resultados en una gráfica polar. U

II, I II

•

10. (1 -

t'N/3 )_ 1/3

¿)1/2

13. 11/21 ~1/2

1 1. (1 -

i ) ' 1/3

14. (16í)1/411/4

< unsideremos la ecuación cuadrática az2 + bz + c — 0, donde a 0, y a, b y c son números complejos. Use el método de completar el cuadrado pai# mostrar que z = ( /> l (h2 ~ 4ac)ia)/(2a). ¿En general, cuántas soluciones tiene esta ecuación?

C apitulo I

Núm eros com plejos

En la enseñanza secundaria nos enseñan que si a, b y c son números reales, las raíce de la ecuación cuadrática pueden ser ya sea una pareja de números reales, o bien una pare ja de números complejos cuyos valores son conjugados complejos el uno del otro. Si a, b y c pueden ser complejos ¿sigue siendo válida la aseveración aijterior? 16.

Consideremos una de las soluciones del ejercicio 4, por ejemplo, el caso k = 2. Eleve este resultado a la potencia 4/3, escriba todos los valores que se obtienen y muestre que sólo uno de ellos satisface la ecuación (1.4 14).

Determine todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. Exprese la res puesta en la forma a + ib. Utilice el resultado del ejercicio 15 cuando sea necesario.

'17. Q 19.

w2 - / = - 1

18. w3 - í = - V 3

4w2 + 4w + i = 0

20. w4 - 2 ^/3w2 + 4 = 0

2w3 +

22.

w5 + 16w - w4 - 16 = 0

w6 —

23.

a) Muestre que z n - 1 = ( z - l)(z" 1+ z"~2 + ••• + 1), donde n es un entero > 1. b)

2 =

0✓

21.

Use el resultado anterior para determinar y representar gráficamente todas las solucio nes de la ecuación z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 .

24. Usando el método que se sugiere en el ejercicio 23, determine y represente gráficamente todas las soluciones de z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 . 25. Sea w + 0 un entero. Sabemos que z [/mtiene m valores y que z~1/wtambién. Para z y m da dos seleccionamos al azar un valor de z 1/wy uno de z~xlm. a) ¿Es su producto necesariamente igual a 1? b) ¿Es siempre posible encontrar un valor de z"1/wtal que, para un valor z [,mdado, se cum pla que z ,/wz “1/w = 1? Sean m + 0 un entero positivo y z = r cis 6. Demuestre que los mvalores posibles de z17/” están dados por yfr c\s(d/m )\l,m, donde V m = cis(2kn/rri), k = 0, 1, 2 ,..., m - 1, son los m valores de la raíz m-ésima de 1. Escriba todos los valores de las siguientes expresiones en la forma a + ib y trace sus re presentaciones vectoriales en el plano complejo. / 26.

27. 12/3

28. (1 + 0 7/2

29. (1 + / ) 2/3

30.

31. (82/3)(8_2/3)

32. (1 + r)9/3

(1 + 04/6

33. a) Consideremos la expresión real multivaluada | l 1/m- / i/m|, donde m > 1 es un entero. Compruebe que su valor más pequeño posible es 2 sen(7r/4w) b) Encuentre una fórmula análoga para el valor máximo posible de |1[lm + i[/m|. 34. Demuestre que í \ + i tan 6 \n _ 1 + i tan n6 , 35.

\ 1 — í tan 0J

1 — i tan nO

a) Muestre que, si m y n son enteros positivos con m + 0 ysi n/mes una fracciónirredu cible, entonces el conjunto de valores de zM/m, definido por la ecuación (1.4-13) como (z Vm) \ es idéntico al conjunto de valores de (z/r),//M.

Ejercicios

I») Si nlm es reducible (es decir, si m y n tienen factores comunes enteros), entonces (z l//w)" y (z")Um no dan lugar a conjuntos de valores idénticos. Compare todos los valores de ( 11/4)2 con todos los valores de (12),/4 para comprobar que es así. hulcmos obtener la raíz cuadrada de un número complejo sin recurrir a las coordenadas polares. Sea a 4- ib — (jc + iy)x/2, donde jc e jy son números reales dados y a y b son números reales por determinar. ,i i l-leve al cuadrado ambos lados de esta ecuación y demuestre que esto implica que 1) x = a2 - b \ 2) y = 2ab. Ahora supongamos que a ¥= 0. h) l Ise la ecuación (2) para eliminar b de la ecuación (1) y compruebe que ahora la ecua ción (1) equivale a una ecuación cuadrática en a 2. Demuestre que „! = I W Z ± Z . 2

I Aplique por qué debe descartarse el signo menos en la ecuación (3). Recuerde lo que exigimos del número a. y i ) ( ompruebe que 4) b2 = Z Í ± v 5 l ± Z . 2

ti) I)e las raíces cuadradas de las ecuaciones (3) y (4) obtenemos

± x / x + x ¿x 2 + y 2 72

„ , ' ± y j - x + v/*2 +

6) b = ---------------

•

7* Supongamos que y es positivo. ¿Qué indica la ecuación (2) en cuanto a los signos de a \ />? De donde, si a, determinado a partir de la ecuación (5) es positivo, entonces b ob tenido de la ecuación (6) también lo es. Demuestre que si a es negativo, b también es negativo. Así, si>> > 0 hay dos valores posibles de z m = a 4- ib. *0 Supongamos que y es negativo. Demuestre nuevamente que a + ib tiene dos valores y que a es.positivo y b negativo para uno de los valores, y lo contrario ocurre para el otro. I) Supongamos que y = 0. Muestre que (jc + z » l/2 tiene dos valores que son reales, nulos o imaginarios según sea jc positivo, nulo o negativo. Use (1) y (2). Exprese a y b en tér minos de jc. i*i l Ise las ecuaciones (5) y (6) para obtener los dos valores de / 1/2. Verifique sys resulta dos determinando estos valores por medio de la ecuación (1.4-12). IVi oí demos, de nuestros cursos de álgebra elemental, la fórmula para la suma de una sei u* geométrica finita:

Capítulo 1

Núm eros com plejos

1 + p + p 2 + ••• + pn =

1 - p n+l

1- p

n es un entero no negativo, p # 1.

Esta fórmula también es válida cuando p es un número complejo ya que podemos aplj car la misma deducción. Muestre, usando esta fórmula y el teorema de DeMoivre, qu la suma de los n valores de z Vn es cero cuando n > 2. Interprete vectorialmente su resu| tado. ?38. Use la fórmula para la suma de un serie geométrica que aparece en el ejercicio 37 y el te rema de DeMoivre para deducir las siguientes fórmula! para 0 < 0 < 2 n : 1 -f eos 0 4- eos 20 4- ••■4- eos nO > sen 0 + sen 20 4- sen 30 4- ••• 4- sen «0 =

cos(«0/2) sen[(« 4- 1)0/2] sen(0/2) sen(«0/2) sen [(« 4- 1)0/2] sen(0/2)

39. Si n es un entero mayor que o igual a 2, demuestre que {2n\

f4n

eos — I 4- cosí — ) 4- ••• 4- eos \ n) \n

2 (« — 1)7i

= - 1,

y que 1 1

\ +, sen f 4n\ — +, ••• + sen / \n j

= 0.

Sugerencia: Use el resultado del ejercicio 37 y tome z = 1.

1.5 LUGARES GEOMETRICOS, PUNTOS, CONJUNTOS Y REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO En la sección anterior vimos que a cada número complejo z corresponde un puní( específico en el plano z. De manera análoga, como veremos, las ecuaciones y de igualdades con una variable z pueden representarse por medio de curvas y áreas en i plano z. Consideremos la ecuación Re(z) ~ 1. Si la reescribimos en términos de x e y , tea) dremos Re(x + iy) = 1, esto es, x = 1. En el plano complejo, el lugar geométrico i los puntos que satisfacen la expresión x = 1 es la recta vertical infinita que se muestr en la figura 1.5-1. Consideremos ahora la desigualdad Re z < 1, que equivale a x < Los puntos que satisfacen esta desigualdad deben estar en la regiónf que se encuenti a la izquierda de la recta de la figura 1.5-1. Esta región se muestra en la figura 1.5-3

f Más adelante en el texto presentaremos una definición precisa del término “región”. Por el mo mentó, supondremos que significa alguna porción del plano z.

1.5

Lugares geom étricos, puntos, conjuntos y regiones en el plano com plejo

II )e modo similar, la doble desigualdad -2 < Re z < 1, que equivale a - 2 < x < 1, fcfrcsponde a los puntos que están entre y sobre las rectas verticales x = - 2 y x = 1. Mirirsi pJW lo lanto, -2 < Re z < 1 define la franja infinita que aparece en la figura 1.5-3. lambién podemos describir regiones más complicadas. Por ejemplo, considereHton l,i desigualdad R ez < Im z. Esto implica que x <y. El signo de igualdad es válido p M v y, es decir, para los puntos de la recta infinita que se muestra en la figura 1.54 I a desigualdad Re z < Im z describe los puntos que satisfacen x y , esto es, los punIm'i que se encuentran a la izquierda de la recta a 45° que aparece en la figura 1.5-4. Ai!, Ke z < Im z representa el área sombreada de la figura, incluyendo la frontera x = I a descripción de círculos y sus interiores es particularmente importante y fácil i ele cluar. El lugar geométrico de todos los puntos para los que | z | = 1 es natural|nte igual al lugar geométrico de los puntos que satisfacen ^/x2 + y 2 = 1, es decir, circunferencia de un círculo de radio unitario y centrado en el origen. La desigual| • | 1 describe los puntos del interior del círculo (cuyo módulo es menor que la illlnd), mientras que | z | < 1 representa el interior y la circunferencia. No hay razón para limitarnos a círculos centrados en el origen. Sea z0 = x0 + iy0 n constante compleja. Luego, los puntos del plano z que corresponden a las solucioHde I- ¿ol = donde r > 0, forman la circunferencia de un círculo de radio r, cen* en x0, y 0. Podemos demostrar este enunciado por medios algebraicos o tmétricos. El método geométrico se ilustra en la figura 1.5—5, donde se ha usado la fcsentación vectorial de los números complejos. Se traza un vector correspondien1 :{) del origen al punto fijo x0, y Qy un vector correspondiente a z que va al punto inblc cuyas coordenadas son x, y. También se muestra la diferencia vectorial z - z0. lu magnitud de esta cantidad se mantiene constante, z está claramente confinado al lincho del círculo indicado. Los puntos que representan las soluciones de |z - z0| < r >)n en el interior del círculo, mientras que los que corresponden a |z - z 0| > r están en rslerior. finalmente, sean r, y r2 dos números reales no negativos tales que r, < r2. La desUmMíkI /-, < | z - z 0| < r 2es entonces interesante. La primera parte, r, < | z - z 0|, define y ¡ Re z < 1 es el área sombreada a la izquierda de x = 1

0 1:1 <------- Re z = 1

........i 1

S lilllll

Figura I.5--2

Ei^uni 1.5 I

^ X

C apítulo I

Núm eros com plejos

1.5

Lugares geom étricos, puntos, conjuntos y regiones en el plano com plejo

PlMilos y c o n ju n to s

l'ict l uimos un vocabulario breve para describir diversos tipos de puntos y colecciones ib punios (llamadas conjuntos) en el plano complejo. Vale la pena estudiar y memori x=y a l los siguientes términos pues la mayor parte de ellos aparecerán de nuevo en capí tulos posteriores. I os puntos que pertenecen a un conjunto se llaman m iembros o elem entos del i onpmto. Se llama vecindad (o entorno)1 de radio r de un punto z0 al conjunto de puntos siiMMtlos en el interior de un círculo de radio r, centrado en z0 Se trata de los puntos que ■UlNliicen |z - z0| < r. Un punto dado puede tener varias vecindades ya que es posible ftonftli un a, su alrededor círculos de radios diversos. Figura 1.5-3 Una vecindad punteada de z0 es el conjunto de puntos que están dentro de un Figura 1.5-4 tlfl iilo centrado en z0, salvo el propio punto z0. Se trata de los puntos que satisfacen ■ *♦ |ü - z()| < r. Tales conjuntos se llaman a veces discos p unteados de radio r centra do , en z(). los puntos del plano z que están fuera del círculo de radio r, centrado en x Q, y Q, míen I In conjuntoa abierto es aquel el que, paraden| todo elemento, existe una vecindad tras que la segunda parte \zz0|< r2 corresponde, los puntos que seenencuentran tuyos puntos pertenecen todos al conjunto. Por ejemplo, el conjunto | z | < 1 es abierto. tro del círculo de radio r2 centrado en x 0, y a. Los puntos que satisfacen amba I uta desigualdad describe todos los puntos que están dentro de un círculo unitario cendesigualdades al mismo tiempo están en el anillo (un disco con un agujero en el ceq IfWilo en el origen. Como se indica en la figura 1.5-7, es posible trazar un círculo C0 tro) de radio interior r h radio exterior r2 y centrado en z 0. (que puede ser muy pequeño) alrededor de cada uno de estos puntos, de tal forma que EJEMPLO 1 Indi >n los puntos que están dentro de C0 queden dentro del círculo unitario. El conjunto Los puntos del círculo | | = 1, así como los que están en su inte¿Qué región describe la desigualdad 1 < \z + 1 - 11 < 21?■, I no es abierto. ^ ilnr. pertenecen a este conjunto. Pero toda vecindad de un punto P sobre | z |= 1, por Solución pequen;! que sea, contiene puntos que no pertenecen al conjunto (véase la Fig. 1.5-8). I In conjunto conexo es aquel en el que, dados dos puntos cualesquiera del con Esta desigualdad puede expresarse en la forma r, < za\ < r2, donde r t = 1, r2 ¿o = -1 + i.La región correspondiente es el área sombreada que se encuentranoto, en ir existe una trayectoria formada por segmentos de recta que los une, y cuyos punM pertenecen todos al conjunto. Así, el conjunto de puntos definido por la región los círculos mostrados en la figura 1.5—6, pero que excluye los círculos propiamente dichos. ■Binbreada de la figura 1.5—9(a) no es conexo ya que no podemos unir los puntos a y por medio de una trayectoria que pertenezca al conjunto. En cambio, el conjunto de iUntos de la figura 1.5-9(b) sí es conexo.

Figura 1.5-7 Figura 1.^-5

Figura 1.5-6

Figura 1.5-8

1 NitiyfthorJiood, I n lísparta, el Uiminuque se utiliza con mayor frecuencia es entorno. (N. di7 R.T)

C apítulo I

Núm eros com plejos

1.5

Lugares geom étricos, puntos, conjuntos y regiones en el plano com plejo

PlMilos y c o n ju n to s

Figura 1.5-7 Figura 1.^-5

Figura 1.5-6

Figura 1.5-8

1 NitiyfthorJiood, I n lísparta, el Uiminuque se utiliza con mayor frecuencia es entorno. (N. di7 R.T)

( apílulo 1

Núm eros com plejos

i______m

Un conjunto no acotado j

Figura 1.5-12

Figura 1.5-13

cuadrado 0 < Re z < 1, 0 < Im z < 1 está acotado pues existe un círculo que lo circunsJ cribe (véase la Fig. 1.5-13). Un conjunto que no puede incluirse en un círculo es no acotado. Un ejemplo de este caso es la franja infinita que se muestra en la figura 1.5-12'. El número complejo infinito y el punto del infinito Cuando usamos números reales, con frecuencia empleamos el concepto de infinito y le asignamos un signo: “más infinito” o “menos infinito”. Por ejemplo, la serie 1, 10, 100, 1000,... diverge a más infinito, y la serie -1 , -2 , - 4 , - 8,... diverge a menos infinito. . Cuando usamos números complejos también empleamos el concépto de infinito, llamado en este caso “número complejo infinito”. Lo denotamos mediante el símbolo usual 00. El número complejo infinito no tiene signo ni argumento. Pero su módulo es mayor que cualquier número real dado. Podemos imaginar que el número complejo infinito está representado gráfica-mente por un punto en el plano de Argand; pero, por desgracia, se trata de un punto imposible de trazar en el plano. Se puede llegar a dicho punto avanzando por cual quier trayectoria en la que | z | aumente sin límite, por ejemplo, las que aparecen en la figura 1.5-14. Con objeto de hacer más tangible el concepto de punto del infinito usaremos un artificio que se conoce como proyección estereográfica y que se ilustra en la figura 1.5-15. Consideremos el plano z provisto de un tercer eje ortogonal, que llamaremos eje £ .t Consideremos ahora una esfera de radio 1/2 centrada en x = 0, y = 0, £ = 1/2. El polo norte, N, de la esfera está e n x = 0 ,y = 0, £ = 1, en tanto que el polo sur, S, ocu pa la posición x = 0, y = 0, £ = 0. Esta esfera se conoce como esfera numérica de Riem ann}

+ Por supuesto, no podemos llamarlo eje z. 1 O simplemente esfera de Riemann. (N. del T)

1.5

Lugares geom étricos, puntos, conjuntos y regiones en el plano com plejo

a 00

Figura 1.5-14

Tracemos un segmento de recta que vaya de N al punto del plano xy que repreknita un número complejo z. La recta corta la esfera en un solo punto, que llamaremos J* I)ecimos que z es la proyección de z sobre la esfera. De esta manera, podemos pro yectar todo punto del plano complejo sobre un único punto de la esfera. Los puntos ■ti plano xy que se encuentran lejos del origen se proyectan sobre puntos cercanos a 11 parte superior de la esfera y las proyecciones sobre la esfera se aproximan cada vez hiiT. a N cuanto más nos alejamos del origen. Concluimos así que el punto N de la es leía corresponde al punto del infinito, si bien no podemos trazar z = oo en el plano i Miiiplejo. Cuando el plano z incluye el punto del infinito, se llama “plano z extendido”. I liando no incluye oo, lo llamamos simplemente “plano z” o “plano z finito”. Ln este libro no consideraremos al infinito como un número, a menos que se in dique lo contrario. Sin embargo, cuando usemos el plano complejo extendido supon dremos que el número infinito satisface las siguientes reglas: z z 0; z ± oo = oo, (z / oo); - = oo, (z ^ 0); oo

z* oo = oo,

(z ^ 0);

00 — = oo, z

Figura 1.5-15

/ . , X (z / oo).

CiipHulo I

INlimeros com plejos

Las siguientes expresiones no están definidas 00 + 00,

00 — 00,

EJERCICIOS Describa en palabras o por medio de un diagrama la parte del plano complejo que corresponda a las siguientes ecuaciones o desigualdades. Diga cuáles de estos problemas no tienen soluciónj ' 1 . Rez = —2 3. Im z > Re z 5. \z + 3 - 4i| > 5

2. Rez = 3 I mz 4. Ifh z ;> |z| 6. |z + 3 —4/1 < 5

7. |z + 3 - 4í| < 0

8. Im(z + 2/) = Re(z - 3)

9. z z > 2 R e z

10. Im z > Re(z2)

11. |z | < e~¡zl Resuelva este ejercicio numéricamente con ayuda de una calculadora da bolsillo. ^ 12. sen |z | > 1 / ^ 2 13. Determine qué puntos de la circunferencia |z - 1 - zj = 1 están a menor y a mayor distan| cia lineal del punto z = -1 4- /O. Establezca el valor de dichas distancias. Sugerencia: Considere un vector que parte de -1 + z'Oy pasa por el centro del círculo. ¿En qué puntos puede este vector cortar la circunferencia? Represente estas regiones por medio de ecuaciones o desigualdades en la variable z. . 14. Los puntos que pertenecen a la circunferencia y al exterior del círculo de radio unitariq centrado en -1 - i. f 15. Los puntos de una región anular centrada en 3 + /. El radio interior es 2 y el exterior es 4,| Excluya los puntos de la frontera interior e incluya los de la frontera exterior. 16. Los puntos que pertenecen a la circunferencia y al interior del círculo de radio 2 centrado en 3 + 4z, excepto el centro del círculo. 17. Considere el conjunto abierto descrito por | z | < 1. Encuentre una vecindad del punto! 0.99/ cuyos puntos pertenezcan todos al conjunto. Represente dicha vecindad por medio! de una desigualdad en la variable z. Del mismo modo, especifique una vecindad puntead» de 0.99/ que esté totalmente contenida en el conjunto. La unión de dos conjuntos A y B, que se denota por A u B , es el conjunto de los puntos que per-l tenecen a A o a B, mientras que la intersección á z A y B , denotada por A in B, es el conjunto de I los puntos que pertenecen tanto a A como a B . ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son co nexos? ¿Cuáles de los conjuntos conexos son dominios? 18. El conjunto A u B, donde A es el conjunto de los puntos de | z | < 1 y B el conjunto de los| puntos de [z - 1| < 1. Haga un diagrama de A u B.

Ejercicios

II conjunto A n B, donde A y B son los conjuntos del ejercicio 18. Haga un diagrama de A n H. til

I I conjunto A u B, donde A es el conjunto de los puntos de | z | < 1, y B el conjunto de los puntos con Re z > 1.

II conjunto del ejercicio 20, pero ahora B es el conjunto de los puntos con Re z > 1.

huillín e los puntos frontera de los conjuntos que se definen en las siguientes expresiones. Diga lyMt'N pertenecen al conjunto dado. II. 0 •; |z —3| < 2

23.

14.

25.

Nim |z| < I

3 < |z + l + 1| < 4 cis( 1

donde n

oo recorre el conjuntode <

los enteros positivos.

|hn linos que un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. ¿Cuáles de los si|u i.!.i. . conjuntos son cerrados? 1

■ I,

ih I < Re z < I

27. - 1 < Re z < 1

0 •' |z| < 2

30. |z| < 2

28. —1 < Re z < 1

I a unión de los conjuntos de los ejercicios 28 y 29.

Ppli ¿l nales son los puntos de acumulación de los conjuntos de los ejercicios 26 y 29? ¿Qué puntos de acumulación no pertenecen al conjunto dado? \ S ,,l s un punto frontera de un conjunto necesariamente punto de acumulación de dicho con junto? Explique su respuesta. 11 Según el teorema de Bolzano-W eierstrass^todo conjunto acotado con un número infini to de puntos debe poseer al menos un punto de acumulación. Consideremos el conjunto de las soluciones de>> = 0 y sen (7r/jt) = 0 que pertenecen al dominio 0 < | z | < 1. ¿Cuál es el punto de acumulación de este conjunto? Pruebe su resultado demostrando matemática mente que toda vecindad de dicho punto contiene al ípenos un elemento del conjunto dmlo. .*■ | | r a) ¿Cómo se proyectan estereográficamente los puntos del círculo unitario |z | = 1 sobre l.i estera de la figura 1.5-15? f h) ¿( orno se proyectan los puntos del interior del círculo unitario? i)

¿1 orno se proyectan los puntos del exterior del círculo unitario?

tfc I Ise el método de proyección estereográfica para justificar el siguienteenunciado: dos rec tas semiinfinitas y = x, x > 0 e y = -x, x < 0 se cortan dos veces; en el origen y en el infi■ Hilo, ¿( Vano se proyectan estas rectas sobre la esfera de Riemann?

Vi'use, por ejemplo, Tom Apóstol, Mathematical Analysis, 2a. ed. (Reading, Massachusetts: \ddison Wcslcy, 1974), pág. 54. lisie teorema es uno de los más importantes en las matemáticas de los procesos infinitos (analims), l úe demostrado por primera vez por el sacerdote checo Bernhard Bolzano 11I8I I K'IX); artos más tarde, el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) lo empleó y

-4N

C a p ítu lo 1

N ú m e r o s c o m p le jo s

.<7. ti) Si z = x¡ + ¿y, en la figura 1.5-15 y si z (proyección dez sobre la esfera numérica) tie ne coordenadas x , y', demuestre algebraicamente que —

A+y\

Xi+yl + l

x i + yl

« T + J ' í + 1/

\ =

J 't

f, 1

xi+yi + \

)) Consideremos un círculo de radio r en el plano xy de la figura 1.5-15. El círculo está centrado en el origen. La proyección estereográfica de este punto sobre la esfera de Riemann es un círculo. Determine el radio de dicho círculo usando la ecuación que se obtuvo en (a). Verifique su resultado determinando la respuesta en forma geométrica.

C ap ítu lo

La función compleja y su derivada

2.1

INTRODUCCIÓN

En sus lecciones de cálculo elemental el lector sin duda estudió ampliamente el con cepto de función real de una variable real. Haciendo un breve repaso: decir que y es función dex, esto es, q u e/ = /(x), significa que, dado un valor dex, disponemos de un método para determinar un valor correspondiente de y. Decimos que x es la variable independiente e y la variable dependiente en esta relación. Con frecuencia, y se espe cifica únicamente para algunos valores de x y queda indeterminado para otros. Si el número de valores es relativamente pequeño, la relación entre x e y puede expresarse por medio de una lista en la que a cada valor de x se asigna un valor de y. Por supuesto, además de las tablas existen otras formas de expresar una relación funcional. El método más común consiste en describir la relación por medio de una ecuación matemática como y = ex, - co < x < oo, que en este caso proporciona un va lor de y para todo valor de x. A veces se requieren varias expresiones, por ejemplo: y = ex, x > 0; y = sen x, x < 0. Estas dos expresiones juntas establecen el valor de / para todo valor de x excepto cero, es decir, y no está definido en x = 0. La expresión Junción multiforme (o multivaluada) es un término matemático que usaremos ocasionalmente en este libro. A fin de entender en qué casos puede aparecer este término, consideremos la expresión y = xl/2. Si asignamos a x un valor positivo vemos que existen dos valores posibles de y que sólo difieren en el signo. Debido a que la expresión/ V/’ proporciona dos valores de y en vez de uno solo, no de fine por si sola una función de v. Sin embargo, como existe un conjunto de valores

( a p íla lo 2

función

co m p le ja y

d e r iv a d a

posibles de y (dos en este ejemplo) para cadax > 0, decimos q u e j = x1/2 describe una Iunc ión multiforme dex, parax positivo. Una función multiforme no es realmente una Iunc ión. En general, si tenemos una expresión que asigna dos o más valores a la varia ble dependiente para cada elemento de algún conjunto de valores de la variable inde pendiente, decimos que tenemos una función multiforme. En este libro, el término función” se aplica en el sentido estricto, a menos que esté acompañado del adjetivo "multiforme”. I a manera más sencilla de visualizar la mayoría de las relaciones funcionales es por medio de una gráfica y, sin duda alguna, en la enseñanza secundaria el lector trau pláticas de y en función de x en el plano cartesiano para diversas funciones. Algunos de estos conceptos, pero no todos, se aplican también al estudio de las funciones de una variable compleja. Aquí se usa una variable independiente, por lo regular z, que toma valores complejos. Consideraremos en general funciones defini das en algún dominio o región del plano complejo. A cada valor de z perteneciente a esla región corresponderá un valor de la variable dependiente, digamos w, y diremos que ir es función de z, es decir, que w —f( z ) en esta región. A menudo la región será todo el plano z.1' Es de suponer que w, como z, puede tomar valores complejos, reales o imaginarios puros. A continuación se presentan algunos ejemplos. H> = J'(Z)

Región en que w está definida

vv = 2z

todo el plano

w = e |z|

todo el plano

w = 2i\z\2

todo el plano

w = (z

+ 3i)/(z2 + 9)

todo el plano, salvo ±3/

H ejemplo (a) es sumamente claro. Si z toma un valor complejo, digamos 3 + /, i nloiii es u ó I 2/. Siz resulta ser real, W también es real. I n el ejemplo (b), w toma únicamente valores reales sin importarsi z es real, i omplejo o imaginario puro; por ejemplo, siz = 3 + i, w — e^10 =23.6. I’tn el contrario, en el ejemplo (c), w es imaginario puro para todoz;por ejemplo, I I /, iv 2/|3 + / |2 = 20/. f inalmente, en el ejemplo (d), la expresión (z + 3/)/(z2 + 9) no puede definir una (unción de z cuando z = 3i, puesto que en dicho punto el denominador se anula. Si 1/, tanto el numerador como el denominador se anulan, y se obtiene como iv.tillado la forma indeterminada 0/0, por lo que la función tampoco está definida en este punto. ( un frecuencia se usa el término “dominio de definición” (de una función) pura describir el conjunto de valores de la variable independiente para los cuales la función osló definida, Un "dominio" en este sentido puede o no ser un dominio en el sentido que liemos iludo a esle tér mino (es decir, como lo definimos en la sección 1,5).

2.1

In tro d u c ció n

A veces la función w(z) se expresa en términos de las variables x e y en lugar de z directamente. Por ejemplo, w(z) = 2x2 + iy es función de la variable z ya que, conociendo z, x e y quedan determinadas. Así, si z = 3 + Ai, entonces w(3 + 4z) = 2 • 32 + Ai — 18 + Ai. A menudo la expresión de w, en términos dex ey, puede volverse a escribir fácilmente en términos de z; en otros casos la notación z resulta incómoda. Sea como sea, las identidades 1 (z —z)

z+ z

y = ~¡ y -

<2.1- 1)

son útiles si queremos pasar de las variables xy a z. A continuación se presenta un ejemplo. E JE M P LO 1 Iixprese w en términos de z con w(z) = 2x + iy +

x —iy x 2 + y2

Solución Por medio de la ecuación (2.1-1) escribimos de nuevo lo anterior en la forma , i(z —z) z 3z z 1 M w(z) = (z+z)H 1---- = -----1 f--. i2 zz 2 2 z En general, w(z) tiene parte real y parte imaginaria, y podemos escribir la función en la forma w(z) = u(z) + iv(z), o bien w(z) = u(x, y) + iv(x, y). (2.1- 2) donde u y v son funciones reales de las variables x e y. En el ejemplo 1 tenemos x y u = 2x + — y v=y- — -. x +y x +y l Jna diferencia entre una función u + iv = f (z) de una variable compleja y una función real y = / ( x ) de una variable real es que mientras, en general, la relación \ / (x) puede representarse gráficamente en el plano cartesiano, no es tan fácil elaboiar la gráfica de una función compleja. Se requieren dos números x e v para definir un valor z cualquiera y otros dos números para los valores de u y v correspondientes. Así pues, en general se requiere un espacio de cuatro dimensiones para representar ir f( z ) en forma gráfica; dos dimensiones corresponden a la variable independíen le z y las otras dos a la variable dependiente w. Evidentemente una gráfica de cuatro dimensiones no es un medio conveniente para estudiar una función. Es preciso recurrir a otros métodos para visualizar w = / (z). Este tema se analiza en detalle en el capítulo 8; el lector puede pasar a las seccio nes 8.1 8.3 al terminar esta sección. Sin embargo, conviene dar aquí un breve vistazo a uno de estos métodos. Se representan, uno junto a otro, dos planos coordenados: el plano z con ejes i e r, y el plano ir con ejes ii y i>. Consideremos ahora un número complejo

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

y y

A• -__ plano z

plano w

Figura 2.1-1

.1 perteneciente a una región del plano z en que/ (z) está definida. El valor de w que corresponde a A e s f (A). Denotamos/ (A) por A'. Ahora representamos gráfica mente los números A y A' en los planos z y w, respectivamente (véase la Fig. 2.1-1). I )ec irnos que el número complejo^' es la imagen de A bajo la transformación w —f{ z ) y que los puntos A y A' son imágenes uno del otro. Para estudiar una función / (z) en particular, podemos representar gráficamente algunos puntos en el plano z, así como sus correspondientes imágenes en el plano uv. 1 n la siguiente tabla y en la figura 2.1-2 hemos analizado unos cuantos puntos para el raso iv = /(z) = z 2 +z. z 0 = A' 2 = B'

A =0

B= 1 C = 1

D= i

1 + 3i = C'

-1 +

i = D'

1ras haber determinado las imágenes de un número considerable de puntos, tal ve/, adquiramos cierta intuición del comportamiento de w = /(z). Aún no hemos disculiilo qué puntos se han de elegir en este proceso. En las secciones 8.1-8.3 se presenta un método sistemático que consiste en determinar las imágenes de puntos que perte necen a curvas del plano z.

E je r c ic io s

EJERCICIOS Suponga que/(z) = (z - i) ( z - 1)/[(z)(z2 + 1)]. Diga en qué punto o puntos de cada uno de los siguientes dominios no está definida/ (z). 1. |z| < 3/4 3. |z |< 2 5. |z - ¡| < 2

2. 0 < |z| < 0.99 4. |z —11< yj2

l’ara cada una de las siguientes funciones calcule/(I + 2i). 6. 9.

7. -1 \z\

z —I

10. (x2

í — ÍZ 1+ z

!__ sen x + i eos y

y2) sen x + i eos y

I scriba las siguientes funciones de z en la forma u(x, y) + iv(x, y), donde uy v son funciones reales explícitas dex ey. I l . ( z - i )2 13.

z“ 1+ i

12. |z|2 + i 14. ( z r 2 + i

15. z3 I seriba de nuevo las siguientes funciones complejas totalmente en términos de la variable z, su conjugada y constantes. |(>. —2xy + i(x2 — y 2) 17. —2xy + i(x2 + y2) 18.

x2+ iy2

19.x2 + y2

l’arii cada una de las siguientes funciones, tabule el valor de w que corresponde a estos valores de 1 + /O, 1 + i, 0 + i, -1 + i, -1. Indique en forma gráfica la correspondencia entre los valo res de w y los valores de z por medio de un diagrama como el de la figura 2.1- 2. 2(1. w = 1/z 21.

w = iz

22. w = arg z (valor principal) 23. ir Log| z | + i arg z (logaritmo natural y argumento principal) 24. ic = e x eos y + ie* sen y Seu f(z) = z2 + I. 25. I)etermine./(./(/)). 2<>.

I Jisterm ine ./ ( / ( |

27. Determine,/ (/(z)) en la forma u(x, y) I iv(x, y),

54 2.2

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

LÍM ITES Y CONTINUIDAD

I n sus cursos de cálculo elemental el lector aprendió el concepto de límite de una fun ción, así como la definición de continuidad aplicada al caso de variables reales. Estos conceptos se aplican, con ciertas modificaciones, a las funciones de una variable com pleja. Repasemos brevemente el caso real. I a función / (x) tiene límite f a cuando x tiende hacia x0 (lo que se denota por li m, ,, / (x) = /o), si la diferencia entre/(x) y /n puede hacerse tan pequeña como quera mos escogiendo x suficientemente cercano a x0. En términos matemáticos, para todo número positivo s, tenemos 1/00 - /ol < e

(2.2- 1)

0 < |x —x0| < 5,

(2.2-2)

si \ satisface

donde 8 es un número positivo que en general depende de e. Obsérvese que x nunca es exactamente igual a x0 en la ecuación (2.2- 2) y que no es necesario que/ (x0) esté dé banlo para que exista el límite. Un ejemplo evidente de límite es lím ^ /l + 2x) = 3. Con objeto de demosII ti rigurosamente este resultado, obsérvese que la ecuación (2.2- 1) exige que 11 I 2x 3| < s, lo que equivale a |x — 11< e/2.

(2.2-3)

l’ueslo que x„ = 1, la ecuación (2.2- 2) se convierte en 0 < |x — 11< ó.

(2.2-4)

Así, la ecuación (2.2-3) queda satisfecha si tomamos 8 — s/2 en la ecuación (2.2-4). I I siguiente es un ejemplo más sutil, que se demuestra en cursos elementales de cálculo, senx lím------ = 1. x-0 x Se puede obtener una comprobación intuitiva trazando la gráfica de senx/x en función de i y usando el resultado sen x = x > para |x| <sc 1. ( 'onsideremos dos funciones que no tienen límites en ciertos puntos. La función / (x) 1/(x - I )2 no tiene límite en x = 1 debido a que no está acotada cuando x tiende hacia I La expresión \f - f ü\ que aparece en la ecuación (2.2-1) no está acotada cuan do \ satisface la ecuación (2.2- 2), sea cual sea el valor asignado a f a. Consideremos ahora/(x) = w(x), donde u(x) es la función escalón unitario (véase la l ’ig. 2.2- 1) definida por u(x)

x « 0.

w(x) - I,

x 2; 0.

Nos interesa el límite de f (x) cu \ (i SI v0 (i, la ecuación (2.2—2) se convierte en 0 |\| ó. Notemos que i puede cslai a la dciccliu o a la i/quierda de 0. I I lado i/ qmcido de la ecuación (2.2 I) ,<a liaiisloima en |l /,,| o | /J, según sea i positivo

2.2

L ím ite s y c o n tin u id a d

La función u (x )

-5

F igura 2.2-1

o negativo. Si s < 1/2, es imposible satisfacer simultáneamente las desigualdades 11 ./ol < £ Y l/ol < e>sea cua*sea el valor def0. Vemos, pues, que una función que ten ca un “salto” en x0 no puede poseer un límite en x0. Para que / (x) sea continua en un punto x0, es preciso que / (x0) esté definido y que lím,^ /(x ) exista. Además, estas dos cantidades deben coincidir, es decir, b'm f(x) = /( x 0).

(2.2-5)

I)ccirnos que una función que no es continua en x0 es discontinua en x0. Las funciones l/(x - l )2 y u(x) no son continuas enx = 1 yx = 0, respectivamen te, ya que no tienen límite en dichos puntos. La función x A 0, x = 0, es discontinua enx = 0. Tenemos lím*_(, /(x ) = 1, y /(0 ) = 2; por lo tanto, no se satislacc la ecuación (2.2-5). No obstante, podemos demostrar que / (x) es continua para lodo x =£ 0. I I concepto de límite puede extenderse a las funciones complejas de una variable i ompleja según la siguiente definición. DEFINICIÓN

Límite

Sea / (ge) una función compleja de la variable compleja z, y sea/j utm cons tante compleja. Si para todo número real s > 0 existe un número real 5> 0 tal que

l/(z) - /ol < c

( 2 .2 - 6 )

pura todo : tal que ( 2.2 7 )

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

entonces decimos que lím f(z) = f 0; z -Z o

es decir, que / (z) tiene por límite f 0 cuando z tiende hacia z0. □ I ,a definición afirma que e, cota superior del módulo de la diferencia entre/(z) y su lí mite /0, puede hacerse arbitrariamente pequeño siempre y cuando z pertenezca a una vecindad punteada de z0. El radio 5 de esta vecindad depende generalmente de e y dis minuye al disminuir e. Para emplear la definición anterior es preciso que/ (z) esté definida en una vecin dad punteada de z0. Pero / (z0) no aparece en la definición. Incluso podríamos tener una función que no está definida en z0 pero que posee un límite en dicho punto.

EJEMPLO 1 ( orno ejemplo simple de esta definición, demuestre que lím(z + i) = 2i. z —*i

Solución l eñemos/(z) = z + i, f 0 = 2i, z0 = i. La ecuación (2.2-6) exige que |z + i —2ij < e, 0 bien, de manera equivalente |z —¿| < e,

(2.2- 8)

0 < |z —ij < 6.

(2.2-9)

que, según (2.2-7), debe ser válido si

1omando un valor de 8 igual a, digamos, s (ésta no es la única posibilidad; por ejem plo, podríamos tomar también e/2), vemos que la ecuación (2.2- 8) se satisface en tan to que z pertenece a la vecindad punteada de i que describe la ecuación (2.2-9). M Cuando estudiamos el límite como x -> x0 de la función real f(x ), tomamos valores de jc tanto a la derecha como a la izquierda de x0. Si existe el lím ite /,,/(x) debe acercarse a f , conforme x tiende hacia x0 por la derecha o por la izquierda. En el caso de la función escalón u(x) que consideramos previamente, no existe límx, 0/ (x) pues J (x) tiene un valor constante de 1 cuando x tiende hacia cero por la derecha (es decir, v positivo), y un valor constante igual a cero cuando x tiende hacia cero por la izquier da (x negativo). En el plano complejo, el concepto de limite es más complicado porque existe un número infinito de trayectorias, y no sólo dos direcciones, por las que podemos áproximarnos a z„. En la figura 2,2 se muestran cuatro de esas trayectorias. Si existe llm / (.:), / (.:) debe tendel lau la un mismo valor complejo sea cual sea la trayectoria

2.2

L ím ite s y c o n tin u id a d

Figura 2.2-2

de aproximación az 0 que se escoja entre las infinitas posibilidades. Por fortuna, en los cálculos del ejemplo 1 no fue necesario considerar la naturaleza exacta de la trayecto ria. Pero éste no es siempre el caso, como lo demuestran las dos funciones siguientes, que no poseen límite en ciertos puntos. Lo demostraremos considerando trayectorias particulares.

EJEM PLO 2 Sea/(z) = arg z (valor principal). Demuestre que/ (z) no posee límite sobre la parte negativa del eje real. Solución ( onsideremos un punto z0 del eje real negativo. Observe la figura 2.2-3. Toda vecin dad de este punto contiene valores de/(z) (en el segundo cuadrante) que están arbitra riamente cerca de n y valores de / (z) (en el tercer cuadrante) que se encuentran arbitrariamente cerca de -n. Aproximándonos az0 a lo largo de dos trayectorias distin tas, Cj y C2, vemos que arg z tiende hacia dos valores diferentes. Por lo tanto, arg z no tiene límite en z„. A

E JE M P L O 3 Sea + x + l(?‘ + y ) x+y x+y L.slu función no está definida en z

0. Muestre que no existe lím2 ,fl /(z).

Solución Aproximémonos al oí igen a lo largo del eje r lomando \

0 en /(.:), tenemos

( u p itu lo 2

La fu n c ió n co m p le ja y su d e r iv a d a

F igura 2.2-3

/(*) =

¡(y2 + y)

i(y+ 1).

<'i>nlormc nos acercamos al origen, esta expresión se aproxima arbitrariamente a i. Ahora nos acercamos al origen a lo largo del ejex. Tomando y = 0, tenemos /(z ) \ I I Conforme nos aproximamos al origen esta expresión tiende hacia 1. Como los dos resultados son distintos, lím2_0/(z ) no existe. A veces nos interesará calcular el límite de una función/ (z) cuando z tiende hai t.i infinito. Si existe dicho límite y su valor es fa, escribimos lím^o, / (z) = f0. Es to significa que, dado e > 0, existe un número real r tal que |/ (z) - f 0\ < s para todo | .* | / Así, el módulo de la diferencia entre / (z) y f0puede hacerse más pequeño que cualquier número positivo e dado, siempre que el punto que representa a z esté n una distancia del origen mayor que r. En general, r depende de e. Éstos son algu n o s ejemplos de límites típicos que pueden determinarse por medio de esta definii ion llm (1/z2) = 0 y lím^oo (1 + z“') = 1. En el ejercicio 12 se estudia el inclodo riguroso para calcular un límite en oo. Algunas de las fórmulas de límites que el lector estudió en sus cursos de cálculo elemental tienen sus homologas en el caso de funciones de variable compleja. Las fór mula . equivalentes, que presentamos aquí sin demostración, pueden demostrarse usando la definición de límite. H'.OREMA 1 Sean f y g0 los límites cuando z -> z() de dos funciones/ (z) y //(z), respectivamente. Luego I(m(/(z) + g(z))

f0 + g0

(2.2- 10a) (2.2- 10b) (2.2 10c)

2 .2

L ím ite s y c o n tin u id a d

La definición de continuidad para las funciones complejas de una variable com pleja es análoga a la definición para el caso de funciones reales de una variable real. DEFINICIÓN

Continuidad

Decimos que una función w = f( z ) es continua en z = z0 si se satisfacen las dos condiciones siguientes: a) / (z0) está definido; t>) límz^Zo/(z ) existe, y (2.2- 11)

lím /(z) = /(z 0). □ Z- *Z0

bn general, nos ocuparemos de funciones que son continuas en todo el plano z, salvo en ciertos puntos o en algún lugar geométrico del plano z. A menudo, los puntos de discontinuidad son fácilmente reconocibles como puntos en que la función tiende ha cia infinito, no está definida o presenta un cambio brusco de valor. Si una función es continua en todos los puntos de una región, decimos que es continua en dicha región. I I valor principal de arg z es discontinuo en todos los puntos del eje real negativo porque no posee límite en dichos puntos. Por otro lado, arg z no está definido en z = 0, lo que implica que arg z también es discontinuo en el origen.

E JE M P LO 4 l;sludiemos la continuidad en z = i de la función z A

Solución Puesto que existe / (i), se satisface el apartado (a) de nuestra definición de continui dad. Para estudiar el apartado (b) es preciso calcular primero límz^, /(z). Como el va lor de dicho límite no depende de /( /) , estudiaremos primeramente / (z) para z A I acloricemos el numerador del cociente de la ecuación anterior: ./ (z) =

z2 + 1

(z - ij(z + 0

Z—I

z —l

r =

# i,

y dividamos por z /, que aparece tanto en el numerador como en el denomina dor. (Puesto quez / /', en ningún momento estamos dividiendo entre 0.) Así pues,/(z) .• I /'paruz / /. Podríamos concluir, a partir de este resultado, que Iím2 /(z ) = 2/. I )c hecho, esto se hizo en forma rigurosa en el ejemplo I, al que el lector puede volver ahora.

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n co m p le ja y su d e r iv a d a

Ya que/ (i) = 3/ en tanto que límz_,/(z) = 2i, es decir, que estos resultados son distintos, la condición (b) de nuestra definición de continuidad no se satisface en i. Por lo tanto, / (z) es discontinua en z = i. No es difícil mostrar que/ (z) es conlinua para todo z A i. Obsérvese además que una función idéntica a/(z), pero tal que / (/) = 2i sería continua para todo z. M Usaremos varias propiedades importantes de las funciones continuas. Si bien la validez del siguiente teorema puede parecer casi evidente, en ciertos casos las demos traciones no son sencillas, y de ser así, referimos al lector a un texto más avanzado.* TEOREMA 2 a) Las sumas, las diferencias y los productos de funciones continuas son funciones continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el denominador. b) Una función continua de una función continua es una función continua. c) Sea/(z) = u(x, y) + iv(x, y). Las funciones u(x, y) y v(x, y) serán conti nuas1 en todo punto en el que / (z) sea continua. A la inversa, / (z) será continua en todo punto en el que u y v lo sean. ti) S i/(z) es continua en alguna región R, entonces |/ (z)| también es conti nua en R. Si R es acotada y cerrada, existe un número real positivo, diga mos M, tal que | / (z)| < M para todo z en R. M puede escogerse de tal forma que la igualdad sea válida para al menos un valor de z enR. □ Podemos usar el apartado (a) del teorema para estudiar la continuidad del cocienlr ( I z + 1)/(z2- 2z + 1). Como/ (z) es claramente una función continua de z (esto :.c demostrará en forma rigurosa en el ejercicio 1), también lo es el producto z • z = z2. l uda constante es una función continua. Así, la sumaz2 + z + 1 es continua para todo •, y por razones análogas z2- 2z + 1 también es continua. El cociente de estos polino mios es por tanto continuo salvo en los puntos en que z 2- 2z + 1 = (z - l )2 se anula. Esto ocurre únicamente enz = 1. Podemos aplicar un procedimiento similar a cualquier función racional de la for ma l ’(z)/Q(z), donde P y Q son polinomios de z de grado arbitrario. Esta expresión es continua salvo en los valores dez tales que Q(z) = 0. I.a utilidad del apartado (b) del teorema se esclarecerá en el siguiente capítulo, don de estudiaremos diversas funciones trascendentes de z. Aprenderemos el significado

1 Véase, por ejem plo, R. V. Churchill y J. W. Brown, Complex Variables and Applications, 5a. cd. (Nueva York: McCiraw Ilili, IWO, sección 14). 1 l.a continuidad de la función real de dos variables reales n(x, y) se define de manera análoga a la continuidad de f(z). I’uru sel conllnua en ( rtt) la diferencia | u(x, y ) u(Xo,y0)\ debe poder hacerse más pequeña que lili IMiint'i• • .ohiliailn positivo, para todo (i, v) que esté en un circulo de radio <5centrado en ( s„, r,,)

E je r c ic io s

de / ( z ) = <?z, donde z es complejo^ y veremos que esta función es continua para to do z. Ahora bien, g{z) = 1/z2 es continua para todo z =£ 0. Por lo tanto, / ( g(z)) = exp (1/z2) también es continua para z A 0. Como ejemplo de los apartados (c) y (d), consideremos la función/ (z) = ex eos y + iex sen y en el disco R definido por |z| < 1. Como u = ex eos y y v ~ e x sen y son continuas en R, f (z) también lo es. Así, | / (z)| debe ser continua en R. Por otro lado, |/( z ) | = ^exp(2x)[cos2 y + sen2 y] = e*, que es, en efecto, una función conti nua. La función |/( z ) | alcanza su valor máximo en R cuando ex es máximo, es decir, en x = 1. Así pues, |/( z ) | < e en R, y la constante M del apartado (d) del teorema es igual a e en este caso.

EJERCICIOS 1. a) S e a / (z) = z. D e m u e stre p o r m e d io de un a rg u m e n to s im ila r al q u e se usó en el e je m plo 1 q u e lím z^ 2() / (z) = z 0, d o n d e z0 es c u a lq u ie r n ú m e ro co m p le jo , b) 2.

U sa n d o la d e fin ic ió n de c o n tin u id a d e x p liq u e p o r q u é / (z) es c o n tin u a p a ra to d o z0.

S e a / (z) = c, d o n d e c e s u n a c o n sta n te c u alq u ie ra . U sa n d o las d e fin ic io n e s de lím ite y c o n tin u id a d d e m u e stre q u e / (z) es c o n tin u a p a ra to d o z.

I la n d o p o r se n ta d a la c o n tin u id a d (d e m o s tra d a en lo s e je rc ic io s 1 y 2) de las f u n c io n e s / ( z ) = z y /'(z ) = c, d o n d e c es u n a c o n sta n te c u alq u iera, u se los d iv e rso s a p arta d o s del te o re m a 2 p a ra d e m o s tra r q u e la s sig u ie n te s fu n c io n e s so n c o n tin u a s e n el d o m in io in d ic a d o . S u p o n g a que

z = x + iy. 3. f ( z ) = z 3 + z + 1 p ara todo z p ara todo z

4. /'(z) = l/( z 2 + 1) 5. f ( z ) = |z|

p ara todo z

ó. / (z) = |z| 4- x

p ara to d o

7. / (z) = l / ( x 2 — y 2 + z) N. •>.

±i

z/z para to d o

para todo z, excepto 0 y -1

z # 0

Is e v id e n te q u e la fu n c ió n (se n x + / sen y)l(x q u e n o tie n e lím ite c u an d o

iy) n o

e stá d e fin id a en z = 0. V erifiq u e

z -» 0 c o m p a ra n d o lo s v a lo re s q u e to m a e sta fu n c ió n c u an d o

n os a p ro x im a m o s al o rig e n a lo la rg o de las s ig u ie n tes tra y e c to ria s:

0, x > 0;

y ■0; x = y, x > 0. 10.

¿ fis la sig u ie n te fu n c ió n c o n tin u a en z = 3 i? P ro p o rc io n e u n a e x p lic a c ió n co m o la del e je m p lo 4. ,

f ( z 2 + 9)/(z ( 61,

1 i 1 liinibit'ii puede eM illiiii.e com o e sp (/)

3/),

z # 3i, z — 3/.

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

11. L a fu n c ió n / ( z ) = z (z 2 - 1 6 )/(z2 - 4 z ) e stá d e fin id a y es c o n tin u a p a ra to d o z s a lv o z = O y z = 4. ¿ C ó m o p o d ría m o s d e f m ir /( 0 ) y / ( 4 ) p a r a q u e / ( z ) fu e ra co n tin u a en to d o el p lano z?

12.

D e m u e s tre q u e lím

+ z“2) = 1.

Sugerencia: Se re q u ie re q u e | / (z) - f¡\ < e p ara r = l/Ve.

13.

| z | > r. M u e s tre q u e p o d e m o s to m a r

C o n sid e re m o s la fu n c ió n / ( z ) = z 2. a) E n la re g ió n R d e sc rita p o r | z | < 2 te n e m o s | / ( z ) | <

M. D e term in e

M s u p o n ie n d o que

|/ ( z ) | = M p a ra alg ú n v a lo r d e z en R. b ) R ep ita el a p arta d o (a) to m a n d o co m o R la re g ió n |z - 11 < 2. c) R ep ita el ap artad o (a) t o m a n d o / (z) = 1/z 14.

a) C o n sid e re m o s la fu n c ió n / (z) =

xy +

co m o la re g ió n d e fin id a p o r |z - 1 -

i\ <

1. D ig a p o r q u é es e sta fu n c ió n c o n tin u a en to d o

el p la n o z. U se el te o re m a 2. b). C o n sid e re m o s la re g ió n c u ad rad a :

\x\ <

\y\ <

1. E n e sta re g ió n |/ ( z ) | < M . D e term in e

M su p o n ie n d o q u e \ f (z)| = M e n alg ú n p u n to d e e sta reg ió n . c) ¿ E n q u é p u n to s d e la re g ió n se satisfa c e la ig u a ld a d d el a p arta d o (b)?

2.3

LA DERIVADA C O M PLEJA

Repaso Antes de emprender el estudio de la derivada de una función de variable compleja, re pasemos brevemente algunas propiedades de la derivada de una función de una varia ble real/ (x). La derivada de/ (x) en x0, denotada por/'(x 0), está dada por cu

/ ( x o + A x ) - / ( x 0)

/ (*o) = lim --------- T--------------■ A x -0

(2.3-1)

Si no existe el límite que aparece en esta expresión, / '( x 0) no está definida y /(x ) no tiene derivada (no es diferenciable) en x0. Si f( x ) no es continua en x„, entonces no existe/'(x0). Sin embargo, el que una función sea continua en un punto no implica que posea derivada en dicho punto. En la ecuación (2.3-1), Ax representa un incremento pequeño, que poco a poco se reduce a cero, en el argumento de/(x). El incremento puede ser un número positivo o negativo. Para que exista/'(x0) es preciso que el resultado que se obtiene en el lado derecho de la ecuación (2.3-1), usando un número positivo, sea idéntico al que se obtiene usando un número negativo. Si los resultados son distintos,/'(x0) no existe. A modo de ejemplo consideremos la función/(x) = 2 |x|, mostrada en la figura 2.3 I. No es difícil demostrar que/(x) es continua para todo x. Intentemos calcular /'(O ) por medio de la ecuación (2.3-1). Tomando x0 = 0, f ( x n) 0 y J (xn + Ax) .] |A x|. tenemos

2 .3

(negativo)

L a d e r iv a d a c o m p le ja

(positivo)

Figura 2.3-1

/'(O) = lím Ax-0 Ax

(2.3-2)

l’or desgracia, si Ax es positivo, 2 |Ax|/Ax es igual a 2, en tanto que si Ax es negativo, este cociente es igual a -2. El límite de la ecuación (2.3-2) no puede existir, por lo que tampoco existe /'(O). Los valores 2 y -2 son, por supuesto, las pendientes de la curva a la derecha y a la izquierda de x = 0. Si calculamos la derivada de la íunción/(x) anterior en un punto cualquiera x0 ¥= 0, vemos que el límite del miembro derecho de la ecuación (2.3-1) existe. El límite no depende del signo de Ax, es decir, se obtiene el mismo valor ya sea que nos aproxime mos a x0 por la derecha (Ax > 0) o por la izquierda (Ax < 0). Se recomienda al lector hacer este sencillo ejercicio. ( uso c o m p le jo

Dada una función de variable compleja f(z ), la derivada en z0,/'( z 0), o bien (dfldz)Z0, se define de la siguiente manera, siempre y cuando existan los límites indicados. DEFINICIÓN

Derivada f (zq + Az) - f (z0) /'(z J = lím ¿L°----------------------□ Az-»0 Az

(2.3-3)

Esta definición tiene la misma forma que la ecuación (2.3-1), que es la expresión correspondiente en el caso de variables reales. Como en el caso de la derivada de una función de variable real, para poseer una derivada en un punto dado, la función de va riable compleja ha de ser continua en dicho punto (véase el Ejer. 20), pero el solo he cho de ser continua no bosta para garantizar la existencia de la derivada.

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

Si bien tiene la misma forma que la ecuación (2.3-1), la ecuación (2.3-3) es más sutil. Hemos visto que en la ecuación (2.3-1) existían dos direcciones por las que po díamos aproximamos a i 0. No obstante, como sugiere la figura 2.3-2, existe un núme ro infinito de direcciones por las que z0 + Az puede aproximarse a z0 en la ecuación (2.1 3). Además, la trayectoria de aproximación no es necesariamente una recta, po demos escoger cualquier arco o espiral. Si existe el límite de la ecuación (2.3-3), es decir, si existe/'(z0), entonces el cociente de la ecuación tiende hacia el mismo valor sea cual sea la dirección o lugar geométrico que recorra Az al reducirse a cero. En el caso de la función /(z ) - z n ( n - 0, 1, 2,...), es fácil comprobar la existen cia de la derivada y determinar su valor. Aquí f ( z 0) = z¡¡ y f ( z 0 + Az) — (z0 + Az)". I Isando el teorema del binomio podemos desarrollar esta última expresión: I Az)" = Zo + nz"0~1(Az) -1

ftivi — 1)

(z0)"~2(Az)2 + potencias superiores de Az.

I’or lo tanto, > i¡ f ( zO+ Az) - /( z 0) / (:,|) Km ----------A;-0 Az zno + nz"0 l Az + H(" r !W

2(Az)2 +

zn0

lím A z -*()!—

A r -» 0 _

Para obtener este resultado no es necesario conocer la trayectoria sobre la que Az se reduce a cero. El resultado no depende de la forma en que z0 + Az se aproxima a z0. Piescindiendo de los subíndices cero tenemos —z" = nz‘,n—1 dz

(2.3—4)

2 .3

L a d e r iv a d a c o m p le ja

z0 + Az

y 0 + Ay

x 0 + Ax

(b)

F igura 2.3-3

Así, si n es un entero no negativo, la derivada de z" existe para todo z. Cuando n es un entero negativo, se puede mostrar por medio de un razonamiento similar que la ecuación (2.3-4) es válida para todo z A 0. Si n es negativo, z" no está de finido en z = 0, por lo que es preciso evitar este valor. El problema es más complicado si deseamos saber si existe la derivada de una función en la forma/ (z) = u(x, y) + iv(x, y). Si las variables x e y se incrementan en Av y Ay, el incremento correspondiente de z, llamado Az, es Ax + iAy (véase la Fig. .’..3-3a). Pero supongamos que limitamos Az a la recta horizontal que pasa por z0, como se muestra en la figura 2.3-3(b). En tal caso y es constante y Az = Ax. Ahora, con z0 = x0 + iy0, f ( z ) = u(x, y) + iv(x, y), y f (z0) = w(x0, y0) + iv(x0, y 0), supondre mos que f '( z 0) existe y aplicaremos la ecuación (2.3-3) f ( z 0) = lím =

/(zo + Ax) - f ( z 0) Ax

u(xo + Ax, y0) + iv(x0 + Ax, y0) - u(x0, y0) - iv(x0, y0) Ax A x -* 0 lí m

( Irdenando de nuevo la expresión anterior obtenemos: / '(z0) = lím

u(x„ + Ax, y0) - u(xq, y0) ^ . c(x0 + Ax, y0) - u(x0, y0) Ax Ax

En la ecuación (2.3-5) podemos reconocer la definición de dos derivadas parciales. Tomando el límite obtenemos

(>4

C a p ítu lo 2

La fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

Si bien tiene la misma forma que la ecuación (2.3-1), la ecuación (2.3-3) es más sutil. Hemos visto que en la ecuación (2.3-1) existían dos direcciones por las que po díamos aproximamos ax0. No obstante, como sugiere la figura 2.3-2, existe un númeio infinito de direcciones por las que z0 + Az puede aproximarse a z0 en la ecuación (2.3 3). Además, la trayectoria de aproximación no es necesariamente una recta, po demos escoger cualquier arco o espiral. Si existe el límite de la ecuación (2.3—3), es decir, si existef '( z 0), entonces el cociente de la ecuación tiende hacia el mismo valor :.cn cual sea la dirección o lugar geométrico que recorra Az al reducirse a cero. En el caso de la función /(z ) = z" (n = 0,1, 2,...), es fácil comprobar la existen cia de la derivada y determinar su valor. Aquí / ( z 0) = z¡¡ y f ( z 0 + Az) = (z0 + Az)". I Isando el teorema del binomio podemos desarrollar esta última expresión: (z() +

A z)"

Por lo tanto,

= Zq +

n z £ - 1 (A z)

^—- ( z 0 )n ~ 2(A z)2 + potencias superiores de

A z.

/( z 0 + Az) - f( z 0) Az zn0 + nz"0 ‘Az + n^ 2 l \ z0)" 2(Az)2 + ------ z"0

lím

lím A z -0 _

l’ara obtener este resultado no es necesario conocer la trayectoria sobre la que Az se reduce a cero. El resultado no depende de la forma en que z0 + Az se aproxima a z0. Pu ní-indiendo de los subíndices cero tenemos —zn = nzn- 1 dz

(2.3-4)

2 .3

derivada compleja

» z0 +Az

yo+Ay Az

zn + Az

(b)

(a) F igura 2.3-3

Así, si n es un entero no negativo, la derivada de z" existe para todo z. Cuando n es un entero negativo, se puede mostrar por medio de un razonamiento similar que la ecuación (2.3—4) es válida para todo z =£ 0. Si n es negativo, z" no está de finido en z = 0, por lo que es preciso evitar este valor. El problema es más complicado si deseamos saber si existe la derivada de una función en la forma/ (z) = u(x, y) + iv(x, y). Si las variables x e y se incrementan en Ax y Ay, el incremento correspondiente de z, llamado Az, es Ax + iAy (véase la Fig. 2.3-3a). Pero supongamos que limitamos Az a la recta horizontal que pasa por z0, como se muestra en la figura 2.3-3(b). En tal caso y es constante y Az = Ax. Ahora, conz0 = x„ + iy0,f( z ) = u{x, y) + iv(x, y), y /( z 0) = u(x0, y0) + iv(xo, fo), supondre mos que f '( z 0) existe y aplicaremos la ecuación (2.3-3) r,, ,

/(z 0

/ (z0) =

i™ Ax-»0

+ Ax) - / ( z 0) --------------Ax

,, u(x0 + Ax, y0) + ¿i>(x0 + Ax, y0) - u(x0, y0) lim Ax

y o) •

Ax-*0

Ordenando de nuevo la expresión anterior obtenemos:

/'(z0) = >ím A x -0

u(xQ+ Ax, y0) - u(x 0, y0) Ax

. v(x0 + Ax, y0) - v(x0, y0) Ax

(2.3-5)

En la ecuación (2.3-5) podemos reconocer la definición de dos derivadas parciales. Tomando el límite obtenemos

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

En lugar de hacer que z0 + Az se aproxime a z0 por la derecha, como acabamos de hacerlo, podemos hacer que se aproxime desde arriba. Si limitamos Az a la recta vertical que pasa por zQen la figura 2.3-3(b), Ax = 0 y Az = i Ay. Así, por un proce dimiento muy similar al anterior tenemos r„ s ,. f ( z o + ‘Ay) - /( z 0) ----------/'( z 0) = hrn Ay-»o iAy = lím A y -+ 0

u(x0, y0 + Ay) + iv(x0, y0 + Ay) - u{x0, y0) - iv(x0, y0) iAy (2.3-7)

l omando el límite y haciendo Mi = - i obtenemos (

dv\ (2-3- 8)

Suponiendo que existe f \ z 0), las ecuaciones (2.3-6) y (2.3-8) nos proporcionan dos métodos para calcularla. Igualando estas dos expresiones obtenemos el resultado du dv\ ( du dv S x + l Tx ) - [ - % + r ,} -

<2-3- 9>

I a parte real del lado izquierdo de la ecuación (2.3-9) debe ser igual a la parte real del lado derecho. Lo mismo ocurre con las partes imaginarias. Por tanto, en todo punto en que existe/(z) deben satisfacerse las siguientes relaciones. (2.3-1 Oa) dx l ( DACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

-¡

(2.3-1 Ob) dx dy Estas importantes ecuaciones se conocen en conjunto como ecuaciones de Cauchy-Riemann (o de C-R). Se llaman así en honor al matemático francés Augustin ( ’auchy (1789-1857), generalmente considerado como su descubridor, y al matemáti co alemán George Friedrich Bemhard Riemann (1826-1866), quien pronto encontró importantes aplicaciones de estas ecuaciones en su trabajo sobre las funciones de va riable compleja. Hoy sabemos que el francés Jean D'Alembert (1717-1783) ya había deducido estas ecuaciones en 1752, antes que Cauchy. Más adelante nos encontrare mos de nuevo con el nombre de Cauchy. Cauchy es uno de los gigantes de las mate máticas del siglo xix y sus contribuciones fundamentales al estudio de las variables complejas son más numerosas que las de ningún otro. Si las ecuaciones no son válidas en cierto valor de z, digamos zn, sabemos que / \ z 0) no puede existir, pues dos trayectorias de aproximación distintas para Az (Fig. 2.3 3b) conducirán a dos valores límite distintos para el cociente de la ecuación (2.3-3). Así pues, hemos mostrado que la validez de las ecuaciones de C l< en un punto es una condición necesaria para que exista la derivada en dicho punto, El solo lu i lio di que t i . a uai ion................lid > para una función no significa que lodos las

2 .3

L a d e r iv a d a c o m p le ja

trayectorias por las que z0 + Az puede aproximarse a z0 den lugar a un mismo valor lí mite para el cociente de la ecuación (2.3-3). En un texto más avanzadot se puede en contrar la demostración del siguiente teorema para f( z ) = u + iv. TEOREMA 3 Si tanto a y v como sus primeras derivadas parciales (du/dx,dv/dx,chi/dy, du/dy) son continuas en alguna vecindad de z0, la validez de las ecuaciones de Cauchy—Riemann es una condición necesaria y suficiente para que exista f \ z o)- □ S¡ se satisfacen las condiciones de este teorema, el límite del lado derecho de la ecua ción (2.3-3) existe; es decir, todas las trayectorias de aproximación dez0 + Az az„ ge neran en esta expresión el mismo resultado finito. E JE M P LO 1 Estudie la diferenciabilidad de /(z ) = z 2 = (x + iy)2 = x 2 - y 2 + i2xy. Solución Ya sabemos (véase la Ec. 2.3-4) que f '( z ) existe, pero comprobemos este resultado por medio de las ecuaciones de C-R. Aquí u = x 2- y 2, v = 2xy, duldx = 2x = dv/dy, r dvtdx = 2y — -du/dy.. Por lo tanto, las ecuaciones (2.3-10) son válidas para todo z. Además, puesto que u, v, du/dx, dv/dy, etc., son continuas en el plano z ,f'(z ) existe para todo valor de z. 4 E JE M P LO 2 Estudie la diferenciabilidad de/(z) = zz = |z|2. Solución I ,as ecuaciones de C-R resultan útiles en este caso. Tenemos u + iv = |z|2 = x 2 + y 2. I liego, u = x 2 + y 2 y v = 0, de donde du/dx, = 2x, dv/dy = 0, du/dy = 2y, y dv/dx 0. Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones (2.3-10), obtenemos 2x = 0 y .’r 0. Estas ecuaciones sólo son válidas simultáneamente cuando x = 0 y y = 0, es decir, en el origen del plano z. Por lo tanto, esta función de z sólo posee derivada para 0. 4 Veamos a qué se debe que la derivada de |z|2 sólo exista en un punto. Consideremos la definición de la ecuación (2.3-3) y remitámonos a la figura .M 4. En un punto cualquiera, z0 = x0 + iy0, tenem os/(z0) = |zQ|2 = |x0 + i y f = I y,2. Tomando Az — Ax + iAy, entonces/(z0 + Az) = |z0 + Az|2 = |(x0 + Ax) I i(yn + Ay) |2 TX,2 + 2x„Ax + (Ax)2 + y l + 2y0Ay + (Ay)2. Así pues,

1 Vínsc I Unk y I). Ncvvmnn, Com/iles Anulysis (Nucvu York: Springcr Vcrlag, I9S2), págs.

ni jj

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

Figura 2.3^1

lím

/(z0 + Az) - /(z0) Az

A ---.0

2x0Ax + 2y0Ay + (Ax)2 + (Ay)2 (2.3-11) Ax + ¿Ay

= lím A x -0 A y -* 0

Supongamos ahora que Az se reduce a cero a lo largo de una recta de pendiente m que pasa por z0. Esto significa que Ay = mA x. Sustituyendo esta relación en la ecuación (2.3-11) obtenemos 2x0Ax + 2y0mAx + (Ax)2 + m2(Ax)2 lim Ax(l + im) A x -0 2x0 + 2y0m Ax m1Ax 2x0 + 2y0m = lím ■+ 1 + im 1 + im 1 + im A x -» 0 1 4- im A menos que x0 = 0 y y0 = 0, este resultado es función de la pendiente m, esto es, de la dirección de aproximación a z0. Por ejemplo, si nos acercamos a z0 a lo largo de una recta paralela al eje x, hemos de tomar m = 0 y el resultado es 2x0. Pero si nos acerca mos az0 a lo largo de una recta que forma un ángulo de 45° con la horizontal, tenemos Ay = Ax, es decir, m = 1. La expresión se convierte entonces en (2xn + 2y0)/( 1 + i).

E J E R C IC IO S H a g a u n a g rá fic a e sq u e m á tic a d e las sig u ie n tes fu n c io n e s re a le s f ( x ) en el in te rv a lo in d ic a d o . E n c a d a c aso d e te rm in e el v a lo r d e x en el q u e la d e riv a d a re sp ec to a x no e x iste. D ig a si la fu n c ió n es c o n tin u a en e se p u n to . N o es p re c iso h a c e r u n a d e m o stra c ió n form al. ,

371

f ( x ) = |sen x |, - < x < —

f ( x ) = ( I - x ) l/3, 0 < x < 9, d o n d e se

usu la ral/,real

¿Para qué valores de la variable compleja •'

lienen derivadas las siuolentes fundones?

2 .4

L a d e r iv a d a

la a n a litic id a d

4. c (constante)

3. z 5. x 2 - y 2

6. z 10

¿2xy

8. x

7. z ~ 5

10. ex eo s y — ie* sen y 11. e"z~ " 2)

12. eos x + i sen y 13. z 5 + z

14. arg z

(valor principal)

15. / ( z ) = 16. / ( z ) = 2, |z| > 17.

2, |z| > 3, 3, pero /(z )

pero /( z ) = 1,|z| =

|z| <

/( z ) = |z |2, |z| < 1, pero /( z ) = z 2, |z| > 1

18. /( z ) = z, |z| > 1, pero / ( z ) = 1, |z| < 1

19. Sea / (z) = w(x, y) + iv(x, y). Suponga que existe la segunda derivada f"(z). Compruebe que d2u

d2u

d2v

r(z )_ i ? + 'a ?

d2v

r(z )- “ í p - ' v

Sugerencia: C o n su lte las d e d u c c io n e s de las e c u a c io n e s (2 .3 -6 ) y (2 .3 -8 ). 20.

D e m u estre q u e si f ' ( z 0) e x iste, e n to n c e s / (z) d e b e ser c o n tin u a e n z 0.

Sugerencia: S e a z = zQ + A z. C o n sid e re

lím A z-> 0

/ ( z 0 + Az) - /( z p ) Az

lím Az A z - .0

C o n su lte la e c u a c ió n ( 2 .2 - 1 0 b) del te o re m a 1.

2.4

LA DERIVADA Y LA ANALITICIDAD

Determinación de la derivada l lita vez que hemos establecido que la derivada de / (z) = u + iv existe para algún punto z, es fácil determinarf \ z ) . Podemos usar directamente la definición de la ecua ción (2.3-3). Además, podemos recurrir ya sea a la ecuación (2.3-6), f'(z ) = du/dx + idv/dx, o a la ecuación (2.3-8), f ( z ) = d v /d y - idu/dy. Por ejemplo, las ecuaciones de (' R indican que la función/(z) = x? - y 2 - y + i(2xy + x) tiene derivada para to do z. Con u - x2 - y 2 - y y v : 2xy + x tenemos, por la ecuación (2.3-6), f \ z ) — 2a I /(2v I I )• I-a ecuación (2.3 8) produce el mismo resultado. lín la sección 2.3 hicimos notar que (lz”l ih nz" \ donde n es un entero cual quiera, lista fórmula tiene la misma forma que la expresión correspondiente en el

C a p itu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

cálculo de variable real: d x nld x = n x " ~ '. Así, podemos valemos del método usual para diferenciar expresiones como z2, 1/z3, etc., y sus derivadas son, respectivamente, 2z y -3z~4. La razón de que podamos usar el mismo procedimiento para diferenciar x n y z n reside en la semejanza de las expresiones f ( z + A z) — / ( z )

lim--------------------Az-*0 Az

/ ( x + A x) — f ( x )

lim ---------------------Ax-+0 Ax

que definen las derivadas de una función de variable compleja y de una función de variable real. Todas las identidades del cálculo diferencial con variables reales que se obtienen directamente a partir de la definición de derivada pueden trasladarse a las funcio nes de variable compleja. Lspecíficamente, si f( z ) y g(z) son diferenciables enz, tenemos TEOREMA 4 — (f(z) ± g(z)) = /'(z) ± 0'(z); az

(2.4-1a)

■^-(f(z)g(z)) = f(z)g{z) + f(z)g \z); (2.4-1b) az d jM \ = w w M siempre y cuando ff(z) „ 0. (24_ lc) dz\g(z)J [g(z)] -J-Z^íz)) = ^ '( z ) . dz dg

□

(2.4-1d)

Así, una función formada por adición, sustracción, multiplicación o división de funciones diferenciables es diferenciable. Las ecuaciones (2.4-1 a-c) nos permiten calcular su derivada. Otra fórmula de gran utilidad es la “regla de la cadena” (2.4-1 d) que permite determinar la derivada de la función de una función. Se emplea en la mis ma forma que en el cálculo elemental, por ejemplo: — (z 3 + z 2 + l ) 10 = 10 (z 3 + z 2 + l ) 9— (z 3 + z 2 + 1)

= l()(z3 + z 2 + l) 9(3 z 2 + 2z).

Las ecuaciones (2.4-1) no sirven para establecer la diferenciabilidad ni calcular la derivada de expresiones en las que intervengan \ z\o z. Dado el caso, podemos escri bir estas expresiones en la forma ii (x , y ) + iv(x, y ) y aplicar las ecuaciones de C-R a fin de determinar si son difcrenciubles. Luego, si la derivada existe, puede calcularse a partir de las ecuaciones (2.3 ó) o (2.3 8). O bien, podríamos csludiai la diferencia bilidad v calcular la derivada por medio de la definición dada poi la ecuación (2.1 1).

2 .4

L a d e r iv a d a y la a n a litic id a d

A partir de la definición de la derivada es posible obtener la Regla de L'Hópital para funciones de variable compleja. Esta regla será de gran utilidad en capítulos posleriores. Se enuncia de la siguiente manera: REGLA DE L'HÓPITAL Si g (zQ) = 0 y h(z0) = 0, y si g{z) y h(z) son diferenciables en zQcon h'(z0) A 0 g(z) g'(z0) lim = ------ . z^„h(z) h'(z0)

(2 4-2)

□

I )esde el punto de vista formal, esta regla es idéntica a la que se emplea en el cálculo elemental para evaluar formas indeterminadas con funciones de variable real. Para demostrar la ecuación (2.4-2) hacemos notar que, puesto que g(zfí) = 0, //(z0) = 0, tenemos g(ó = -------------g(z) - g(zo) /IHz) - K z0), — h(z) z - z0 / z z0

z #, z 0.

n(2.4-3) a

I laciendo z = z0 4- Az en la expresión anterior, tenemos g(z) = g(zo + Az) - g(z0) I h(z0 + Az) - h(z0) ^ h(z) Az / Az l omar el límite z -> z0 en la ecuación (2.4-3) es equivalente a tomar el límite Az -+ 0 en (2.4-4). Ahora bien, recordemos, de la ecuación (2.2-10c), que el límite del co ciente de dos funciones es igual al cociente de sus límites (siempre y cuando el deno minador no se anule). Teniendo en cuenta este hecho, tomando el límite Az -> 0 en (2.4-4), y usando la definición de la derivada, obtenemos el resultado deseado: g(z) g(z + Az) - g(z) / h(z + Az) - h(z) g'(z0) lim = lim / lim — Z„h(z) ¿r-o Az / Az-*o Az h'(z0) E JEM PLO 1 I )etermine z —2i lím — . z -* 2 í Z

Solución l omando g{z) = z - 2 i , h(z) = z4 - 16, z0 = 2i, vemos que g(z0) = 0, h(z0) = 0, g'(z0) I, y h'(zn) 4(2í)3 = -32/. Podemos usar la regla de L'Hópital pues g(z0) = 0 y li(z„) 0, mientras que h'(zn) ¥= 0. El límite buscado es 1/(—32/). -4 Observación Si f/(z„) 0 h(z„) y h'(z„) = 0, mientras que g'(zn) A 0, no pue de aplicarse la regla de l /llópitiil. De hecho, es posible mostrar que lím , ... (g(z)/h(x)) no existe y que el módulo de esle cociente crece sin limite cuando :■ ►z„,

( iipfliiio 2

L a fu n c ió n

compleja

y su d e r iv a d a

Una función racional anz" + a„-¡z" 1 + ■■■+ a0 donde m y n son enteros no negativos y a„, b„„ etc., son constantes, es el cociente de dos polinomios, esto es, de dos funciones enteras. La función /(z ) es analítica salvo en los valores de z tales que bmz m + bm_iz m~1 + ••• + b0 = 0. Las soluciones de esta ecuación son puntos singulares de/(z). E JE M P LO 4 ¿Para qué valores de z la función

no es analítica? Solución Para z tal que z 2 + 1 = 0, es decir, z = ±z. Así, / (z) tiene singularidades en +i y -i. En el capítulo 3 estudiaremos algunas funciones trascendentes de z. La parte de nuestro teorema que trata de las funciones analíticas de una función analítica será de gran utilidad. Por ejemplo, definiremos la función sen z y veremos que se trata de una función entera. Ahora bien, 1/z2 es analítica para todoz A 0. Por lo tanto, sen (1/ ’) es analítica para todo z A 0. Aimliticidad de funciones expresadas en términos de variables polares A veces, en lugar de expresar una función de z en la forma / (z) = u(x, y ) + iv(x, y) es conveniente expresarla en términos del sistema polar de coordenadas, r, 9, tales que re1" y x = r eos 6, y = r sen 9. Así, /(z ) = u(r, 9) + iv{r, 9). En el ejercicio 22 se muestra que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se expresan en coordenadas polares de la siguiente forma: du 1 3v (2.4—5a) dr r 39 du dr

1 Su r 39

(2.4—5b)

Estas ecuaciones son válidas para toda pareja de valores r, 9 excepto cuando r = 0. En el mismo problema mostramos que si existe la derivada de/(z), la podemos calcular a partir de cualquiera de las siguientes ecuaciones:

E je r c ic io s

(~§+'S)(t)(c“9 “¡s“9)-<2

nz)

()bsérvese que el teorema 5 se aplica a funciones analíticas expresadas tanto en coor denadas polares como en coordenadas cartesianas. E JE M P LO 5 I )etermine si la siguiente función es analítica f(z) = r2 eos2 9 + ir2 sen2 6 para z # 0. Solución l omando u = r 2 eos2 9,v = r 2 sen2 6, vemos que las ecuaciones (2.4-5a) y (2.4-5b) se convierten respectivamente en: 2r eos2 6 = 2r sen 9 eos 9, 2r sen2 9 = 2r send eos 9. Si eos 9 = 0, se satisface la primera ecuación mas no la segunda, pues ésta se redu ce a sen2 9 = 0, que no se satisface si eos 0 = 0 . Luego, eos 9 A 0. Análogamente, sen 9 = 0 es solución de la segunda ecuación aunque no de la primera. Por lo tanto, sen 9 / 0. Eliminando r A 0 a ambos lados de estas ecuaciones, dividiendo la primera enlre eos 9 y la segunda entre sen 9, vemos que ambas se reducen a sen 9 = eos 9, es decir, tan 9 = 1. De donde 9 = tt/4 y 5 n/4, mientras que r puede tomar cualquier va lor distinto de cero. Trazando las rectas correspondientes a 9 = n/4 y 9 = 5zr/4, en contramos que / (z) sólo tiene derivadas sobre la recta x = y. Las ecuaciones de ( auchy-Riemann en forma polar no permiten determinar si la derivada existe en el origen. Puesto queno existe dominio alguno sobre el que / (z)posea derivada, esta función no es analítica. Señalemos que este ejemplo es en realidadidéntico al ejemplo salvo porque hemos expresado/ (z) en forma polar. La conclusión es la misma. M

K.IERC ICIOS ,.l n q u é re g ió n d e l p la n o c o m p le jo so n a n a lític a s las sig u ie n te s fu n c io n e s? D ig a c u á le s de e lla s son fu n c io n e s e n te ra s. Si la fu n c ió n p o se e d e riv a d a so b re u n d o m in io , e n c u e n tre u n a e x p re sió n p ara f ' ( z ) en té rm in o s d e z o d e x e y . Si e x iste f ' ( 1 + i), e sc rib a su v a lo r n u m é ric o .

1. 2z2 + 3

2. z + Z ' 1 i. 1/(:* + 2z 1 + I)

xy + '-íx1 -yJ)

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

5. (y + l) 2 + i(x + l ) 2 6. y + (x -

l ) 2 + i [(y - l ) 3 - x ]

7. x 3 — 3 x y 2 + i(3 x 2y — y 3) S.

e v2->,:[co s(2 x y ) + i'sen(2x:y)]

£l_______

ex eos y + iex sen y

10. / ( z ) = z, |z| < 1 pero / ( z ) = 1/z, |z| > 1

(y — ix + 1 + i + z)4

I Ise la re g la d e L 'H ó p ita l p a ra e v a lu a r los s ig u ie n tes lím ites:

(z - l ) + (z2 - l ) 12. cuando z -» 1 z 16- 1 2 * + z - 2/ I .1. ----------------- cuando z - » i

z 15 + i ¿Iúi q u é re g ió n del p la n o c o m p le jo so n a n a lític a s las s ig u ie n tes fu n c io n e s? N o es p re c iso te n e r en c u en ta el o rig e n . E m p le e la fo rm a p o la r de las e c u a c io n e s de C a u c h y -R ie m a n n . 14. r eos 0 + ir 1*>. r 4 sen 41) — ir 4 eo s 40 Iti

I og r 1 + ¡20, —n < 9 < n (logaritm o natural)

17,

a ) l )e m u e stre q u e si u n a fu n c ió n a n a lític a es p u ra m e n te real en c ie rto d o m in io , e n to n c e s d e b e ser c o n sta n te e n d ich o d o m in io . Ii) R ep ita la p re g u n ta del a p arta d o (a) su stitu y en d o “re a l” p o r “ im a g in a ria ” .

15.

Supongam os q u e /(z ) = <7(z) =

u —iv

iv es an alítica. ¿Q u é c o n d ic io n e s d e b en s a tisfa c e rse p a ra que

sea a n alític a?

Sugerencia: C o n sid e re las fu n c io n e s/ (z) + r/(z) y /(z) - g(z). L u e g o use el re su lta d o del e je rc ic io 17. T a m b ié n p u e d e u sa r el te o re m a 5. I ‘>. C o n sid e re m o s u n a fu n c ió n a n a l í t i c a / ( z ) =

+ iv cu y o m ó d u lo | / ( z ) | s e a igual a u na

c o n sta n te k en a lg ú n d o m in io . D e m u estre q u e esto só lo es p o sib le si / (z) e s c o n sta n te en d ic h o d o m in io .

Sugerencia: El c aso k — 0 es triv ial. S u p o n ie n d o q u e k ¥= 0, te n e m o s u 2 + v 2 = k 2 o k 2/(u + iv) = u - iv. C o n su lte a h o ra el e je rc icio 18. 20.

a ) S u p o n g a m o s q u e ta n t o / ( z ) c o m o / ( z ) está n d e fin id a s e n c ie rto d o m in io ü y q u e / ( z ) es a n a lític a en D. S u p o n g a m o s ad em ás q u e / ( z )

/ (z ) en D. D e m u estre q u e / ( z ) no

p u ed e ser a n a lític a en 1) a m en o s que / (z) sea co n stan te. S u g e r e n c ia f ( z )

i f ( z ) es real. ¿Por qué? Ahora use el resultado del ejercicio 17.

Use el resultado anterior para mostrar en unas cuantas lincas que (;')'■! . no es analítica

21. a) Supongamos que /(.) es anal Hita y distinta de cero en

y que til») no es anal lia a en .:0.

E je r c ic io s

P o r m e d io d el te o re m a 5, d e m u e stre q u e h(z) = f( z ) g ( z ) n o es a n a lític a e n z 0.

Sugerencia: S u p o n g a q u e h(z) es a n a lític a . L u e g o a p liq u e el te o re m a 5 a la fu n c ió n h (z)tf(z). E x p liq u e p o r q u é se lle g a a u n a c o n tra d ic ció n . b)

U se el re s u lta d o a n te rio r p a ra e x p lic a r p o r q u é z4z n o es a n alític a. O b se rv e q u e el p u n to z = 0 d e b e tra ta rs e c o n p a rtic u la r a te n ció n .

22.

F o rm a p o la r d e las e c u a c io n e s d e C -R . a) C o n sid e re m o s la fu n c ió n a n a lític a / (z) = u(x, y ) + iv(x, y ) y su p o n g a m o s q u e e x p re sa m o s x e y e n té rm in o s de las v a ria b le s p o la re s r y 6, d o n d e x = r eos 6 y y = r sen 9 (r = -yjx2 + y 2, 9 — ta n -1 (y/x)). L u e g o / ( z ) = u(r, 9) + iv(r, 6). Q u e re m o s e sc rib ir de n u e v o la s e c u a c io n e s de C - R to ta lm e n te e n té rm in o s de la s v a ria b le s p o la re s. D e la re g la d e la c a d e n a p a ra la d e riv a c ió n p a rc ia l te n e m o s

íd u \/d r \

Í5 u \í

vdr/oVdx/j,

\50/f\cbc

O b te n g a las e x p re sio n e s c o rre sp o n d ie n te s p a ra du/dy, <du/dx, dv/dy. b) V e rifiq u e que

('* ') . eos \3 x J .

y o b te n g a la s e x p re sio n e s c o rre s p o n d ie n te s p a ra ( dr/dy)x y ( d9/dy)x. U se e sta s c u atro e x p re sio n e s e n las e c u a c io n e s de du/dx, du/dy, dvldx y dv/dy o b te n id a s e n la s e c c ió n (a). C o m p ru e b e q u e u y v sa tisfa c e n la s ecu a c io n e s

dh 8h „ 1 5h — = — eos 9 ----------- sen 9, dx

r d9

1 dh ■ — = — sen 6 -\--------- eos 0,

r dQ

d o n d e h p u e d e ser igual a u o a v. c)

E s c rib a n u e v a m e n te las e c u a c io n e s d e C - R (2 .3 -1 Oa, b) u san d o las dos e c u a c io n e s d e la p a rte (b ) de e ste e je rc icio . M u ltip liq u e la p rim e ra de las e c u a c io n e s de C - R p o r e o s 9, la se g u n d a p o r sen 6 y sú m elas p a ra d e m o stra r que

1 dv

rdO

— =

(2 .4 —5 a)

A h o ra m u ltip liq u e la p rim e ra e c u a c ió n d e C - R p o r - s e n 9, la s e g u n d a p o r eos 9 y sú m e la s p a ra m o s tra r q u e

t.Z iS í. dr

r dO

i ns re la c io n e s e x p re sa d a ', poi las eeuueionex (

(2.4—5b) d 5ti. h) son la Jornia ¡m hu i/e la\

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

ecuaciones de C -R . Si la s p rim e ra s d e riv a d a s p a rc ia le s d e u y v so n c o n tin u a s en un p u n to de c o o rd e n ad a s r, 8 (r ¥= 0), las e cu a c io n e s (2 .4 -5 a , b) c o n stitu y e n u n a co n d ic ió n n e c e s a ria y su fic ie n te p a ra la e x iste n c ia de la d e riv a d a en d ich o p u n to , d)

U se la e c u a c ió n (2 .3 -6 ) y las e c u a c io n e s de C - R en fo rm a p o la r p a ra m o s tra r q u e si la d e riv a d a d e f ( r , 0) e x iste, la p o d e m o s d e te rm in a r p o r m e d io de la e x p re sió n

du / '( z ) :

. dv b i — [eo s 0 — i sen 0]

(2 .4 -6 )

o b ie n , p o r m e d io de

f '( z ) =

2.5

. dv

[eo s 0 — i se n 0 ].

(2 .4 -7 )

FUNCIONES ARMONICAS

Dada una función real de x ey, digamos cj)(x, y), queremos saber si existe una función analítica/ (z) de la forma f( z ) = ó (x, y) + iv(x, y) o de la forma/ (z) = u(x, y) + ujj (.x, y). En otras palabras, ¿puede considerarse 4>comola parte real o la parte imagina ria de una función analítica? Es relativamente fácil responder esta pregunta. Consideremos una función analítica /(z ) = « + iv. Las funciones u y v satisfacen entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann: du dv Tx^T y du

(2-5“ la)

Ty=-yx

( 2 -5 - l b >

Supongamos ahora que podemos diferenciar la ecuación (2.5-1 a) respecto a x y la ecuación (2.5-1 b) respecto a y. Obtenemos d dv 2

dx2

dy2

d x dy ’

C2-5- 2*)

8 dv FydTx

<2’5- 2b)

Se puede demostrarf que si las segundas derivadas parciales de una función son continuas, el orden de diferenciación en las derivadas parciales cruzadas no afecta dichas derivadas cruzadas. Así, d2 v/dxdy = d2 v/dydx. Teniendo en cuenta este resultado sumamos las ecuaciones (2.5-2a) y (2.5-2b) y obtenemos

* V íiisc W. Kuplnn, Advanct'tl ( ’alculu.s (Kcmling, MA: Addlson Wi -U'y, 16 6 1), sección 2,15

2 .5

F u n c io n e s a r m ó n ic a s

S? + V

(2-5- 3)

I )c manera alternativa, podríamos haber diferenciado la ecuación (2.5-la) respecto a r y la ecuación (2.5-1 b) respecto a x. Suponiendo que las segundas derivadas parcia les de u son continuas sumamos las ecuaciones resultantes para obtener d2v d2v ^ = 0dx22 + ~dy

(2-5-4)

V.í pues, tanto la parte real como la parte imaginaria de una función analítica deben •.litisfacer una ecuación diferencial de la siguiente forma:

I i IIACIÓN DE LAPLACE*

d24> d2(¡> ~7 + T T = U dx dy

(2.5-5)

I o el ejercicio 25 de esta sección se deduce la ecuación de Laplace para funciones de las variables polares r y 6. DEFINICIÓN Función armónica Decimos que una función es armónica en un dominio si satisface la ecua ción de Laplace en dicho dominio. □ I a función </>(x, y) = x 2- y 2 es un ejemplo de función armónica ya que d2<f)ldx2 = 2, <) '<l>/c)y2 = -2, es decir, que la ecuación de Laplace se satisface en todo el plano z. I Ina función que satisface la ecuación de Laplace en un conjunto de puntos que no constituyen un dominio no es armónica. En el ejercicio 1 de esta sección se presenta im ejemplo de este caso. Las ecuaciones (2.5-3) y (2.5-4) pueden resumirse de la siguiente manera: TEOREMA 6 Si una función es analítica en cierto dominio, su parte real y su parte imaginaria son armónicas en dicho dominio. □ Podemos enunciar un teorema recíproco siempre y cuando consideremos sólo domi nios simplemente conexos.1 TEOREMA 7 Dada una función real 4>(x>y) armónica en un dominio simple mente conexo D, existe una función analítica en D cuya parte real es igual a </>(x, y). También existe una función analítica en D cuya parte imaginaria es <j> (x, y). □

1 l a ecuación de I .aplace se debe ni matemático francés Fierre Simón de Laplace (1749 1827), quien !n descubrió cumulo csludiaba In gravitación y su relación con el movim iento planetario, 1 i lluk y I). Newnmn, ( 'ampie* Analyyl* (Nueva York Npringci Verlug, 1982), sección lo. I

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

Dada una función armónica 4>(x, y ) podríamos buscar la función armónica v(x, y ) correspondiente tal que é (x, y) + iv(x, y) fuese analítica. O bien, dada 4>(x, y) po dríamos querer determinar una función u(x, y) tal que u(x, y) + icj)(x, y) fuese analíti ca. En cualquiera de los dos casos, la función incógnita puede determinarse hasta una constante aditiva. Este método queda claramente ilustrado por medio de un ejemplo.

EJEMPLO 1 Probemos que = x 3 - 3xy2 + 2y puede ser la parte real de una función analítica. Determinemos, además, la parte imaginaria de la función analítica. Solución Tenemos d2(p — - = 6x dx

82(j) — - = —6x, dy

cuya suma es igual a cero en todo el plano z. Por lo tanto, c¡) es armónica. Para deter minar v(x, y), usamos las ecuaciones de C-R tomando u(x, y) = 4>(x, y): du

& = 3* - 3 í = V

' 2 5 -o>

Su dv - — = 6xy- 2 = —. dy dx

(2.5- 7) '

A partir de la ecuación (2.5-6) obtengamos v integrando sobre y: v = (3x2 - 3y 2)d y

o bien

3 x 2y — y 3

C {x).

(2.5-8)

Es importante darse cuenta de que, a pesar de ser independiente de y, la “constante” C puede depender de la variable x. El lector puede comprobarlo sustituyendo v de la ecuación (2.5-8) en la ecuación (2.5-6). Para evaluar C(x) sustituimos v de la ecuación (2.5-8) en la ecuación (2.5-7) y obtenemos 6xy —2 — 6xy + d C /d x . Está claro que d d d x = -2. Ahora integramos para obtener C = -2x + D, donde D es una constante, independiente de x y de y. Sus tituyendo este valor de C en la ecuación (2.5-8) obtenemos finalmente v = 3x 2y - y3 —2x + D.

(2.5-9)

Puesto que v es una función real, D debe ser una constante real. No podemos deter minar su valor si sólo conocemos u. No obstante, si conocemos el valor de v en algún punto del plano complejo, podemos determinar el valor de D. Por ejemplo, si v = -2 en x = -1, y = 1, sustituyendo estos valores en la ecuación (2.5-9) obtenemos D = - 6. <

2 .5

DEFINICIÓN

F u n cio n e s a r m ó n ic a s

Función armónica conjugada

Dada una función armónica u(x, y), decimos que v(x, y) es la función armó nica conjugada de u(x, y) si u(x, y) + iv(x, y) es analítica. □ Esta definición no guarda relación alguna con la noción de número complejo conjugado. En el ejemplo 1 anterior, 3x2y - y 3 - 2x + D es la armónica conjugada de v1 - 3xy2 + 2y ya que/(z) = x 3- 3xy2 + 2y + i(3x2y - y 2- 2x + D) es analítica. Sin embargo, x 3 - 3xy2 + 2y no es la armónica conjugada de 3x2y - y 3 - 2 x + D porque / (z) = 3x2y - y 3- 2 x + D + i(x3- 3xy2 + 2y) no es analítica. Exploraremos este pro blema más detalladamente en el ejercicio 15 de esta sección, donde se investigan las circunstancias en que u + iv y v + iu pueden ambas ser analíticas. Las funciones conjugadas tienen una interesante propiedad geométrica. Dadas una función armónica u{x, y) y una constante Cj puede verse que existe un lugar geométrico del plano xy (una curva en el caso típico) sobre el que se satisface la ecua ción u(x, y ) = Cj. Dado un conjunto de constantes Cj, C2, C3,..., podemos trazar una familia de curvas usando las ecuaciones u(x, y) = Cj, u(x, y) = C2, etc. Las líneas conlinuas de la figura 2.5-1 corresponden a una familia típica para una función u(x, y). Supongamos que v(x, y) es la armónica conjugada de u(x, y) y que K h K2, Aj,..., son constantes reales. En la misma figura podemos trazar la familia de curvas dadas por v(x, y) = K h v(x, y) = K2, etc., que aquí se indican por medio de líneas punteadas. A continuación demostraremos este importante teorema relativo a las dos familias de curvas. TEOREMA 8 Sea / (z) = u(x, y) + iv(x, y) una función analítica y sean Cj, C2, C3, ..., y Kt, K2, K v ..., constantes reales. La familia de curvas en el pla no xy para las que u = Cj, u = Cj, etc. es ortogonal a la familia de curvas tales que v = K ,v = Kv . . . ; es decir, una curva de una de las familias interseca a una curva de la otra familia a 90°, salvo quizá en puntos en que/'(z) = 0. □ v (x , y ) = K z

l'iuuni 2.5 I

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

Para demostrarlo, consideremos la intersección de la curva u — Cx con la curva v = Kx de la figura 2.5-1. Recordemos la expresión para la diferencial total du , du du = — dx H dy. dx dy Sobre la curva u = Cx, u es constante, de modo que du = 0. Por lo tanto du , du , 0 = — dx H dy. dx dy

(2.5-10)

Usemos la ecuación (2.5-10) para determinar dytdx en el punto de intersección x¡, y x. leñemos entonces du/dx\

dy_ dx

8u/dy)xt,y¡

(2.5-11)

Esto no es otra cosa que la pendiente de la curva u = C¡ en el punto considerado. Aná logamente, la pendiente de v = K x en x x, y x es dy dx

dv/3y)Xuy¡

(2.5-12)

Usando las ecuaciones de C-R dv dx

du dy

dv dy

du dx

podemos escribir la ecuación (2.5-12) en la forma dy dx

í du/dy\ \du/dxjx¡ y¡

(2.5-13)

Comparando las ecuaciones (2.5-11) y (2.5-13), observamos que las pendientes de las curvas u = C¡ y v = Kx en el punto de intersección x¡, y¡ son inversas negativas una de otra. Por lo tanto, la intersección forma un ángulo de 90°. El mismo procedi miento puede aplicarse a toda intersección de curvas de estas familias. Nótese que si f \ z ) = 0 en algún punto, las ecuaciones (2.3-6) y (2.3-8) indican que las primeras de rivadas parciales de u y v se anulan. En ese caso no podemos determinar las pendien tes de las curvas por medio de las ecuaciones (2.5-11) y (2.5-12). La demostración no es válida en dichos puntos. E JE M P LO 2 Consideremos la función f(z) - | Log(.xJ + y 2) + i arg z

(logaritmo natural),

donde se usa el argumento principal de z. Por lo tanto, n • arg n Demostremos que esta función satisface las ecuaciones de ( ’uuehy Uíeinann en lodo dominio que

2 .5

F u n cio n e s a r m ó n ic a s

no contenga al origen ni puntos del eje real negativo (donde arg z es discontinua), y que el teorema 8 es válido para esta función. Solución Iornemos u = 1/2 Log(x2 + y 2) y v = arg z. Para poder usar las ecuaciones de C-R es preciso expresar v en términos de x ey. Podemos usar cualquiera de las dos expresioncs, v = arg z = tan”1 (y/x) o v = arg z = cot”1 (x/y). Las funciones multiformes tan”1 (r/.v) y c o r1 (x/y) se evalúan de tal manera que v sea el argumento principal de z. En la mayoría de los puntos podemos usar ya sea tan”1 o cot”1 para las ecuaciones de C-R. Sin embargo, cuando x = 0 usamos cot”1, en tanto que cuando y = 0 emplea mos tan”1. Así evitamos tener que diferenciar funciones cuyos argumentos son infínilos. Diferenciando u y v observamos que las ecuaciones de C-R se satisfacen. El lector puede comprobar que las fórmulas para las derivadas de v que se obtienen a partir de las expresiones con tan”1 y cot”1 son idénticas. Por lo tanto du dx

x x2 + y2

dv dy

du dy

y x 2 + y2

—8v dx

I os lugares geométricos sobre los cuales u es constante no son sino los círculos coi icspondientes a valores constantes de x 2 + y 2, por ejemplo, x 2 + y 2 = \ , x 2 + y 2 = .’ v' + y 2 = 32, etc. Puesto que v = arg z, las curvas correspondientes a valores constantes de v no .mi sino las rectas que parten del origen. En la figura 2.5-2 se muestran familias de curvas de correspondientes a u = C y v = K. Se ve claramente que las intersecciones Non ortogonales. ^

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

EJERCICIOS 1.

D e te rm in e p a ra q u é v a lo re s d e z la e x p re sió n x 4 - y 3 satisfa c e la e c u a c ió n de L a p la c e.

D e te rm in e el v a lo r del e n tero n p a ra el q u e x" -

¿ P o r q u é n o es a rm ó n ic a e sta fu n c ió n ?

y" es

arm ó n ica.

¿ C u á le s de las sig u ie n te s fu n c io n e s so n a rm ó n ic a s? ¿ E n q u é d o m in io ?

3. x + y

4. xy

6. e*!~ y2 7.

sen x c o sh y

8. 9.

D e te rm in e d o s v a lo re s d e k ta le s q u e e o s Si g(x)

[e2y-

x[ey + eky] sea

arm ó n ica.

e~2y] es arm ó n ic a , <7(0) = 0, g'(0) = 1, d e te rm in e g{x).

P o r m e d io de u n c álcu lo d ire c to y u sa n d o la e cu a c ió n d e L a p la c e, d e m u e stre que: 10.

R e (1 /z) es a rm ó n ic a en to d o d o m in io que no c o n te n g a z = 0.

11.

Im (z3) es a rm ó n ic a e n to d o d o m in io .

S e a 4>(x,y) = 6 x 2y 2 - x 4 - y 4 + y - x + 1.

12.

C o m p ru e b e q u e c¡> (x, y) p o d ría ser la p a rte real o la p a rte im a g in a ria de a lg u n a fu n c ió n a n alític a.

13. 14.

Si 4>(x,

y) es

la p a rte re a l de u n a fu n c ió n a n alític a, d e te rm in e la p a rte im a g in a ria .

Si cj) (x, y ) es la p a rte im a g in a ria d e u n a fu n c ió n a n alític a, d e te rm in e la p a rte real. ¿E s la re s p u e s ta ig u a l a la d el e je rc icio 13? ¿ P o r q u é?

15.

S u p o n g a m o s q u e / ( z ) = n + iv es a n a lític a

y q u e g(z)

= v + iu ta m b ié n lo es. D e m u e stre

q ue v y u d e b en s e r co n sta n te s.

Sugerencia: —i f ( z ) = v - iu es a n a lític a (p u es se tra ta del p ro d u c to de d o s fu n c io n e s a n alític as). P o r lo ta n to , <7(z) ± i f (z) es a n alític a y d e b e s atisfa c e r las e c u a c io n e s de C -R . A h o ra u se el re su lta d o del e jercicio 17 de la sec c ió n 2.4.

ey eos x + xy. -n< ta n -1 (x/y)

16. 17.

D e te rm in e la fu n c ió n a rm ó n ic a c o n ju g a d a de e x eos y +

18.

Si u(x, y ) y v(x, y ) so n fu n c io n e s a rm ó n ic a s, c o m p ru e b e q u e u + v d e b e ser una fu n c ió n

D e term in e la fu n c ió n a rm ó n ic a c o n ju g a d a de ta n -1 (x/y) d o n d e

arm ó n ic a , p e ro q u e uv n o es n e c e sa ria m e n te arm ó n ica. Si v(x, y ) es la a rm ó n ic a c o n ju g a d a de u(x, y), d e m u e stre q u e las sig u ie n tes e x p re sio n e s so n fu n cio n e s a rm ó n ic a s d e las v a ria b le s x e y.

19.

20 . e" e o s v 21.

sen u cosh v

2 .6

22.

C o n sid e re m o s la fu n c ió n

f(z)

A lg u n a s a p lic a c io n e s física s d e las fu n c io n es a r m ó n ic a s

z2 =

u + iv.

a ) D e te rm in e la e c u a c ió n de la c u rv a a lo larg o d e la c u al u = 1 en el p la n o xy. R e p ita el c álc u lo p a ra v = 2. b) E n c u e n tre el p u n to de in te rse c c ió n , q u e e stá en el p rim e r c u ad ra n te , de las c u rv a s del a p arta d o (a). c) D e term in e el v a lo r n u m é ric o de la p e n d ie n te de a m b a s c u rv a s e n el p u n to de in te rse c c ió n h a lla d o e n el a p a rta d o (b ) y c o m p ru e b e q u e e sto s v a lo re s son in v e rso s n e g a tiv o s uno de o tro. 2 V a) D e m u e s tre q u e / ( z ) = e x eos y + iex se n y = u + iv es en tera. b) C o n sid e re m o s la c u rv a so b re la c u al u = 1 y la c u rv a so b re la cual v = 2. R e p re s é n te las g rá fic a m e n te en el p la n o xy, e n el d o m in io 0 < y < tt/2. U se u n a c a lc u la d o ra d e b o l sillo q u e c alc u le lo g a ritm o s y fu n c io n e s trig o n o m é tric a s p a ra o b te n e r los d a to s n u m é ric o s c) D e te rm in e m a te m á tic a m e n te el p u n to d e in te rse cc ió n d e las cu rv a s del a p arta d o (b). d) C a lc u le las d e riv a d a s, p a ra h a lla r las p e n d ie n te s d e las c u rv a s en la in te rs e c c ió n y c o m p ru e b e q u e d ic h a s cu rv a s so n o rto g o n a le s. 2-1.

C o n sid e re m o s la fu n c ió n / ( z ) = z 3 = u + iv. a) O b te n g a la e c u a c ió n de la c u rv a so b re la cu al u — 1 e n el p la n o xy. R e p ita el c álcu lo p a ra v = 1. T race a m b a s c u rv a s en el p rim e r cu ad ran te. h) D e term in e m a te m ática m e n te el p u n to de in te rse cc ió n (x 0, y 0) de las cu rv a s en el p rim e r c u a d ra n te . L a fo rm a m ás se n c illa de h a ce rlo es to m a n d o z = r c is 9. P rim e ro e n cu e n tre la in te rs e c c ió n en co o rd e n ad a s p o lares. c)

C a lc u lé la s p e n d ie n te s de a m b a s c u rv a s e n el p u n to d e in te rse c c ió n . C o m p ru e b e que so n in v e rsa s n e g a tiv a s u n a d e otra.

a) Sean x = r eo s 6 e y = r sen 6, d o n d e r y 0 so n la s v a ria b le s p o la re s c o m u n e s. S e a / ’(z) = u(r, 0) + iv(r, ff) u n a fu n c ió n a n a lític a en u n d o m in io q ue no c o n tie n e z = 0. S u p o n g a q u e las s eg u n d a s d e riv a d a s p a rc ia le s so n c o n tin u a s y use las e c u a c io n e s (2.4—5a, b)

p a ra m o s tra r q u e en este d o m in io u y v satisfa c e n la e c u a c ió n d iferen cial

d24> 1 d2(p 1 dip T T + - T ¿ + -)T = a dr

r dr

(2 .5 —14)

que es la e c u a c ió n de L a p la c e e n c o o rd e n ad a s p o lares. b) M u estre q u e u(r, 0) — r 1 eos 28 es u n a fu n c ió n a rm ó n ic a . c) E n c u e n tre la fu n c ió n v(r, 0), a rm ó n ic a c o n ju g a d a d e u(r, 0), y m u e stre que ta m b ié n s a tisfa c e la e cu a c ió n d e L a p la c e en to d o el plan o .

2.Í» ALGUNAS APLICACION ES FÍSICAS DE LAS FUNCIONES ARM ÓNICAS I n esta sección estudiaremos algunos casos interesantes de fenómenos naturales que las funciones armónicas describen con un alio grado de precisión.

C a p ítu lo 2

La fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

F igura 2.6-1

Conducción de calor en estado estacionario1 Decimos que el calor se transmite a través de un material por conducción cuando la energía se transfiere por colisiones de moléculas adyacentes y electrones. Para la conducción, la velocidad de flujo de energía calorífica en todo punto se puede especi ficar por medio de un vector. En el caso típico tanto la magnitud como la dirección de este vector varían a través del material. En general, también se debe tener en cuenta la variación temporal. Pero aquí nos limitaremos al caso estacionario en el que esto no es necesario. Así pues, la intensidad de conducción de calor en el interior de un material está dada por una función vectorial de las coordenadas espaciales. Estas funciones suelen llamarse campos vectoriales. En este caso el campo vectorial se conoce como densidad de flujo de calor y se denota por el símbolo Q. Consideraremos únicamente problemas bidimensionales de flujo de calor debido a su estrecha relación con la teoría de la variable compleja. El flujo de calor se efectúa en una placa que supondremos paralela al plano complejo. Supondremos que las caras de la placa están perfectamente aisladas. El material aislante no puede absorber ni emitir calor. Como se indica en la figura 2.6-1, algunas de las superficies del borde de la pla ca están en contacto con fuentes de calor (que emiten energía térmica) o sumideros (que absorben energía térmica). Las otras superficies laterales están aisladas. La ener gía calorífica no puede fluir a través de una superficie perfectamente aislada. Por lo tanto, supondremos que el vector de densidad de flujo de calor Q es tangente a todas las superficies aisladas. Como también supondremos que las propiedades de las fuen tes y sumideros de calor son independientes de la coordenada que es perpendicular al plano xy, el campo vectorial Q del interior de la placa depende únicamente de las variables x e y. El aislamiento de las caras de la placa hace que Q sólo tenga compo nentes según los ejes x e y; es decir, Q tiene por componentes Qfx, y) y Qy(x, y). En términos del análisis vectorial convencional escribiríamos Q = Qx(x, y)a, + Qy(x, y)ar

(2.6-1)

donde a, y av son vectores unitarios en los ejes x e y. 1 Poní un iimili'ii'i más dctnlliulo de esle lema, vóase t Krcith y W llliick, Ihislr lle u t 'Ihins/rr

(Nueva York: Ilurper nnd Row, I6H0),

2 .6

A lg u n a s a p lic a c io n e s física s d e las fu n c io n es a r m ó n ic a s

LcE----------------- ►

Figura 2.6-2 lis preciso tener cuidado de no confundir el vector de posición de un punto en una configuración bidimensional con el vector que representa a g e n dicho punto. Por ejemplo, si Qx = y + 1 y Q = x, entonces en el punto x = 1, y — 1, tenemos Qx I ,a dirección de Q, en un punto dado, es la dirección en la que la energía calorífi ca se transporta con mayor rapidez en dicho punto. Ahora consideremos una superficie diferencial de área dS (véase la Fig. 2.6—2).f El 11111«>de calor/ a través de una superficie cualquiera es la cantidad de energía térmica que fluye a través de dicha superficie por unidad de tiempo. A través de dS pasa un flujo diferencial d f dado por d f = Qn dS,

( 2 .6- 2)

donde Q„ es la componente de Q normal a dS. La componente Q, es paralela a dS y no e \ isle flujo de calor a través de la superficie. Para determinar el flujo de calor/ que atraviesa una superficie que no es plana y no es de tamaño diferencial es preciso integrar la componente normal de Q sobre la superficie. El flujo de calor que penetra en un volumen es el flujo de calor total que entra a través de la superficie que lo delimita. I;,n estado estacionario, la temperatura de un material conductor es independiente ■leí tiempo. El flujo neto de calor que penetra en un volumen cualquiera del conductor es cero; de otra manera, dicho volumen se calentaría o se enfriaría según fuese el flu|o neto positivo o negativo. Exigiendo que el flujo neto que penetra en un volumen diferencial centrado en x, y sea cero, podemos mostrar que las componentes de Q salisliicen la ecuación dx

1 I liaremos el diferencial.

sím bolo dS puní

denotar tanto la superficie diferencial

(2.6-3)

com o el tamaño de su área

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

En estado estacionario, el vector de densidad de flujo de calor bidimensional satisface esta ecuación en todo punto en el que no haya fuentes ni sumideros de calor. La ecua ción (2.6-3) es la forma local o puntual de la ley de conservación del calor. El lector podrá observar que dQx /dx + dQJdy es la divergencia de Q. Es un hecho bien conocido que la velocidad a la que se transfiere energía calorí fica por conducción a través de un material guarda relación con las diferencias de tem peratura existentes dentro del material y también con las distancias sobre las que operan estas diferencias, es decir, con la tasa de cambio de la temperatura con la dis tancia. Sigamos suponiendo que el flujo de calor es bidimensional y que el vector de flujo de calor Q(x, y) tiene componentes Qx y Qv. Sea é(x, y) la temperatura en el me dio conductor. Podemos entonces mostrar que las componentes del vector Q se rela cionan con <f>(x, v) a través de las ecuaciones dé Qx = - k — (x,y), dx

(2.6-4a)

Qy =

(2.6- 4b)

k - (v. v).

La constante k que aparece en estas ecuaciones se conoce como conductividad térmi ca. Su valor depende del material considerado. El lector podrá notar que las ecuacio nes (2.6^1a, b) son equivalentes a decir que Q es igual a “menos k por el gradiente de la temperatura </>". La temperatura <f>hace las veces de “función potencial” a partir de la cual se puede calcular el vector de densidad de flujo de calor por medio de las ecua ciones (2.6^1a, b). Con ayuda de estas ecuaciones podemos volver a escribir la ecua ción (2.6-3) en términos de la temperatura:

+ ^ dy

( 2 .6 - 5 ,

Así pues, en condiciones estacionarias y cuando no hay fuentes ni sumideros de calor, la temperatura del interior de un conductor es una función armónica. Puesto que la temperatura </>(x, y) es una función armónica, podemos considerar la como la parte real de una función analítica en un dominio del plano xy correspon diente al interior de la placa conductora. Esta función analítica, que llamaremos <f>(x, y), se conoce como temperatura compleja. Podemos entonces escribir <t>(x, y) = (¡)(x, y) + iip{x, y).

(2.6- 6)

Así, la parte real de la temperatura compleja ®(x, y) es la temperatura real 0(x, y). Lla maremos función de corriente a la parte imaginaria de la temperatura compleja, if/(x, y), debido a su semejanza con las funciones que describen corrientes a lo largo de las cuales fluyen las partículas en un fluido. Las curvas en las que (¡)(x, y) toma valores constantes se llaman isotermas o equi potenciales. No son sino los bordes de las superficies donde la temperatura es igual a cierto valm especifico. En la ligura 6 1, las lineas continuas lepiesentan isotermas.

2 .6

A lg u n a s a p lic a c io n e s física s d e las fu n c io n e s a r m ó n ic a s

* = r3

/ Ti > T 2 > T 3

Figura 2.6-3

l’or el teorema 8 vemos que las curvas sobre las que y/(x, y) es constante deben perpendiculares a las isotermas. Las curvas correspondientes a i/r = constante se llaman líneas de corriente. En la figura 2.6-3, las líneas punteadas representan líneas de corriente. Nos interesa determinar la pendiente de las curvas sobre las que y/(x, y) es consi mí e Si recordamos la obtención de la ecuación (2.5-13) y sustituimos u por r/>y v i vemos que la pendiente de una línea de corriente que pasa por x, y está dada por i- i

(2.6-7) '.opongamos ahora que, en el mismo punto, calculamos el valor local del vector de densidad de flujo de calor Q. De las ecuaciones (2.6-4a, b) vemos que la pendiente de dicho vector es

i Amparando la ecuación (2.6-7) con la ecuación (2.6-8) y notando que las pendientes .mi idénticas, podemos enunciar el siguiente teorema: TEOREMA 9 El vector de densidad de flujo de calor en un punto dado del interior de un medio conductor es tangente a la línea de corriente que pasa por dicho punto. □ I lomos ilustrado este teorema trazando el vector Q en un punto en la figura 2.6-3. Obsérvese que la línea de corriente establece la pendiente de Q, mas no su dirección. La dirección se determina notando que la dirección de flujo de calor va de una isoterma de temperatura mayor a otra de temperatura menor. I In diagrama de la familia de curvas sobre las que y/(x, y) toma valores constantes nos proporciona una imagen de las trayectorias a lo largo de las cuales fluye el calor. Además, como las lineas de corriente son ortogonales a las isotermas concluimos que:

C a p ítu lo 2

La fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

El vector de densidad de flujo de calor en un punto dado es perpendicular a la isoterma que pasa por dicho punto. A menudo conviene introducir una función llamada densidad compleja de flujo de calor, que se define por q(z) = Qx(x, y) + ÍQy(x, y).

(2.6-9)

Ya que Re(q) = Qx

Im(q) = Q„

(2.6- 10)

elvector asociado a esta función en un punto cualquiera x, y es precisamente el vector de densidadde flujode calor Q en dicho punto. Con ayuda de las ecuaciones (2.6—4a, b) escribimos nuevamente q en términos de la temperatura: (dtp ^ = ~ \d x

. d<p\ 1 Üyj

La temperatura compleja O(z) = <p (x, y) + iy/(x, y) es una función analítica. Si queremos determinar su derivada respecto a z disponemos de dos fórmulas, indicadas por las ecuaciones (2.3-6) y (2.3-8). Por medio de la primera (tomando <p = u, y/ = v) tenemos d<t> dtp dip -azr = Jdx L + i -r dxAhora bien, (f>y i// satisfacen las ecuaciones de C-R d(j> d\¡/ dx dy

di¡/ dx

(2.6-12)

d<¡) dy

Usando la segunda de estas ecuaciones para la parte real de la ecuación (2.6-12) obtenemos d<D dz

d(¡) dx

. d<t> dy

Observemos ahora que d<t>\

dtp

dtp (2-6- |3)

Comparando la ecuación (2.6-13) con la ecuación (2.6-11), obtenemos esta útil fór mula para la densidad compleja de flujo de calor:

’ --* (* }

(2-6- |4)

Podemos entonces obtener Qx y Qv a partir de la parte real y la parle imaginaria de esta expresión Desde luego, también podemos obtener Q, y ()v determinando la tempera tura </’ Kc (h y luego aplicando las ecuaciones (2.0 >ta. b)

2 .6

A lg u n a s a p lic a c io n e s física s d e las fu n c io n es a r m ó n ic a s

I lu jo de fluidos 1■i.icias a que gran parte de los conceptos relacionados con la conducción del calor se ipliean directamente a la mecánica de fluidos, podemos tratar este tema con mayor Ihc vedad. Supongamos que tenemos un “fluido ideal”, es decir, un fluido incompresible (su ■l' 11.itlad no varía) y no viscoso (no hay pérdidas de energía por fricción interna). Sui"uniremos también que el fluido se encuentra en estado estacionario, lo que significa que, en todo punto del fluido, la velocidad de flujo es independiente del tiempo. El Unjo de fluidos, como el de calor, se origina en una fuente y termina en un sumidero. Si colocamos un obstáculo rígido e impermeable en el fluido en movimiento, éste i desplazará en direcciones tangentes a la superficie del objeto de la misma manera en que el calor fluye en direcciones paralelas a las superficies aisladas. En el caso anterior nos limitamos a considerar configuraciones bidimensionales de flujo de calor. La conducción del calor se llevaba a cabo en direcciones paralelas al ulano xy, dependiendo únicamente de las variables x ey. Aquí nos limitaremos al caso ■le un flujo bidimensional paralelo al plano xy. La velocidad del fluido V será un cam iní vectorial que en general dependerá de las coordenadas x ey. Es análogo a la densiil.nl de flujo de calor Q. Las componentes de V paralelas a los ejes coordenados son Vx I La velocidad V es el vector asociado a la velocidad compleja definida por v = Vx(x, y) + i Vy(x, y).

(2.6-15)

I i.i expresión es análoga a la densidad compleja de flujo de calor q = Qfx, y) + /(>,('■ y)En ciertas condiciones hay una expresión análoga a las ecuaciones (2.6-4a, b) I'.ii a la mecánica de fluidos. Existe una función real de x e y, llamada potencial de ve111, u/ad if>(x, y), tal que *

dx’

(2.6-16a) (2.6-16b)

i .la condición indica que la velocidad es igual al gradiente del potencial de veloci. I ni l’ara poder obtener Vx y Vy a partir de (f>, como se indica en la ecuación (2.6-16), i . preciso que el flujo sea irrotacional. Un gran número de problemas físicos satisfu en la condición de flujo irrotacional^ Se caracteriza por la ausencia de vórtices (remolinos). En estado estacionario, la masa total de fluido contenida en un volumen cualquieia no varía con el tiempo. Si un volumen no contiene fuentes ni sumideros, la cantidad de fluido que entra en el volumen durante un intervalo de tiempo cualquiera es igual a 1 V éase, por ejemplo, l< Sobersky, A Acosla y E, IImiptirmn, Fluid Flow, A First Cutirse in Fluid Mechanlis, 2o. ed. (Nueva York: Maeinlllan, 1‘UI), nuccIoiicn .1.5,6.2 6.4,

C a p ítu lo 2

La fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

l,i cantidad de fluido que sale durante el mismo intervalo. Esto nos recuerda la ley de i onservación del calor en estado estacionario. De hecho, si el fluido es incompresible, /./\ componentes de la velocidad Vxy Vy satisfacen las mismas ecuaciones de conserviu-ión (2.6-3) que las componentes Qxy Qy del vector de densidad de flujo de calor. 11 ando la ecuación (2.6-16) para eliminar Vx y Vy de las ecuaciones de conservación i|iic satisface el vector velocidad, tenemos d2c¡) d2(j> + — = °. dx2 dy2

(2.6-17)

l’oi lo tanto, el potencial de velocidad es una función armónica. Podemos ahora definir una función analítica <f>(z) cuya parte real sea j>(x, y). Su paite imaginaria \ff(x, y) se conoce como función de corriente. Así, d>(z) = <p{x, y) + ii/fl.x, y).

(2.6-18)

I lamamos a <3>potencial complejo de velocidad, o bien simplemente potencial com plejo. Las curvas sobre las que <f>(x, y) toma valores constantes se llaman equipolenciales y, como en el caso anterior, las curvas de i¡/ constante se llaman líneas de corriente. Estas familias de curvas son ortogonales. En todo punto, el vector de velocidad del fluido, como el vector de densidad de llujo de calor, es tangente a la línea de corriente que pasa por dicho punto. Si lomamos un pequeño volumen de fluido y lo seguimos en su trayectoria, vemos que osla es una línea de corriente. El vector de velocidad del fluido en un punto dado es perpendicular a la equipotencial que pasa por dicho punto. Existe una relación simple entre el potencial complejo y la velocidad del fluido. I )e las ecuaciones (2.6-13) y (2.6-16) tenemos = Vx + iVy = v.

(2.6-19)

Electrostáticaf En la teoría de la electrostática, las cargas eléctricas estacionarias (es decir, inmóviles) hacen las veces de las fuentes y sumideros que mencionamos en nuestro tratamiento de la conducción del calor y el flujo de fluidos. Según esta teoría existen dos tipos de carga: positiva y negativa. La carga suele medirse en culombios (coulombs). La carga positiva se comporta como fuente de flu jo eléctrico, en tanto que la carga negativa actúa como sumidero. Dicho de otro modo, el flujo eléctrico emana de las cargas positivas y se absorbe en las cargas negativas.

1 lisie k'iini cslíi halado con claridad cu W II llayl, l'ii^biri'i'liin l'lci'tnHHiiy.iii'tlcs, 4n. ed. (Nueva York McUraw 11111,1981),

2 .6

A lg u n a s a p lic a c io n e s física s

de las

fu n c io n es a r m ó n ic a s

La concentración de flujo eléctrico en un punto del espacio se describe por medio del vector de densidad de flujo eléctrico D. Aunque la noción de flujo eléctrico es en cierta forma una abstracción matemática, es posible llevar a cabo una medición física para determinar D en un punto cualquiera. Esto se consigue colocando una carga pun tual de prueba de qQcoulombs en el punto considerado. La carga de prueba experi mentará una fuerza debido a su interacción con las fuentes (y sumideros) de carga/ El vector de fuerza F está dado por D F = q0~. e

(2.6- 20)

En esta ecuación, e es una constante positiva llamada permitividad. Su valor numéri co depende del medio en que esté inmersa la carga de prueba. Con frecuencia, en lugar de usar el vector D se emplea el vector de campo eléctri co E, definido por e£ = D. I a ecuación (2.6- 20) se convierte entonces en F = q0E

(2.6-21)

o F/q0 = E.

Vemos, pues, que el cociente del vector de fuerza que se ejerce sobre una carga de prueba entre la magnitud de dicha carga es igual al campo eléctrico E. Luego, la ecua ción (2.6-21) proporciona la densidad de flujo vectorial D en la posición de la carga de prueba. En lo sucesivo consideraremos problemas electrostáticos en dos dimensiones. I ’.sto exige una explicación. Supondremos que todas las cargas eléctricas que intervie nen en la creación del flujo eléctrico están dispuestas en líneas, o cilindros, de longilud infinita y perpendiculares al plano xy. Sea tj la coordenada perpendicular al plano yr Supondremos que la distribución de carga sobre estas fuentes o sumideros de flujo no depende de Todo obstáculo (por ejemplo, un conductor metálico) que coloque mos en la región del flujo eléctrico será también de longitud infinita y perpendicular al plano xy. En este tipo de configuraciones el vector de densidad de flujo eléctrico D es paralelo al plano xy. Sus componentes Dx y Dy dependen generalmente de las variables y e v, pero no de f. Las ecuaciones de Maxwell muestran que el vector de densidad de Unjo eléctrico generado por cargas estáticas puede obtenerse a partir de un poteni ial escalar. El potencial electrostático cf>, que suele medirse en voltios, guarda una re lación muy similar, con la densidad de flujo eléctrico, a la que existe entre la temperatura y la densidad de flujo de calor o entre el potencial de velocidad y la velocidad de flujo. I -as componentes del vector de densidad de flujo eléctrico se obtienen a partir de </>( y, p) tic la siguiente manera: 1 I '.le es mi ejemplo <lc campa ile íueiva que ejerce nuil acción a cierta distancia de la fucnlc incliiso en el vacio. I a pravedad es alia ejemplo de este lipa de íucr/.n,

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

dó °y = - e — . dy

(2.6-22)

Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones (2.6-4a, b) para la densidad de flujo de calor. Si Ex y Ey son las componentes del campo eléctrico, entonces, de la ecuación (2.6-21), tenemos Dx = sEx y Dy = sEy. Dando un vistazo a la ecuación (2.6-22) vemos entonces que, para el campo eléctrico,

Podemos definir el flujo eléctrico que atraviesa una superficie de manera muy si milar a como definimos el flujo de calor que atraviesa una superficie. La cantidad de flujo eléctrico d f que atraviesa una superficie plana dS se obtiene a partir de la ecua ción (2.6—2), sustituyendo Qn por D„, componente normal del vector de densidad de flujo eléctrico. Así, d f = D„dS. El flujo que atraviesa una superficie finita (no diferen cial) se calcula integrando la componente normal de D sobre dicha superficie. La primera ecuación de Maxwell indica que el flujo eléctrico total que penetra en un volumen en el que no hay carga eléctrica neta es cero. Esto nos recuerda la con dición idéntica que satisface el flujo de calor en un volumen sin fuentes. De hecho, en todo punto del espacio en el que no haya cargas eléctricas, el vector de densidad de flujo eléctrico satisface la misma ecuación de conservación (2.6—3) que el vector de densidad de flujo de calor. Si eliminamos las componentes de D de esta ecuación de conservación con ayuda de la ecuación (2.6- 22), encontramos un resultado conocido: d24>

d2(p

— dx 7 + — dy 7 = °-

Por lo tanto, el potencial electrostático en una región sin cargas es una función armónica. Naturalmente, podemos ahora definir una función analítica <1>= f + iy/, llamada potencial electrostático complejo, cuya parte real es el potencial electrostático. Como en los casos anteriores, la parte imaginaria se llama función de corriente. El vector de densidad de flujo eléctrico es tangente a las líneas de corriente que se generan a partir de y/. La densidad de flujo eléctrico D y el vector de campo eléctrico E son los vectores que corresponden a las siguientes funciones complejas: d(z)

l) x(x , y) + iDy(x , y),

e(z)

E flx , y) + tEy(.x, y).

2 .6

A lg u n a s a p lic a c io n e s física s d e la s fu n c io n e s a r m ó n ic a s

listas cantidades son la densidad compleja de flujo eléctrico y el campo eléctrico (omplejo, respectivamente, y satisfacen la ecuación

Nuestro estudio del calor, los fluidos y la electrostática se encuentra resumido en la tabla 1. Existen otros fenómenos físicos, por ejemplo, la difusión, la magnetostática y la gravitación, para cuya descripción también son útiles las funciones armónicas. Tabla 1 Conducción del calor

Flujo de fluidos

Electrostática

Vector de densidad de flujo

Q = densidad de flujo de calor

V — velocidad

D = densidad de flujo eléctrico

I unción com pleja de flujo

q = Qx +

V= V, + iVy

función potencial arm ónica <j>

temperatura

potencial de velocidad

potencial electrostático

Qx = ~ k

K =— dx

D =-s—

Qy = ~k dy

• - ■ ¡ i‘ )

d<j>\ dz )

< om ponentes de la densidad de flujo Densidad com pleja de Unjo obtenida a p a rtir d e l potencial complejo

íQ y

= D, + iD,

D„ =

dy ( d<t> dz

d = —el

<l>+i\f/

l JE M P L O 1 i onsideremos un potencial complejo de la forma <D(z) = Az + B,

donde A y B son números reales.

(2.6-24)

I HMermine los potenciales asociados, las líneas de corriente y la densidad de flujo desiIr el punto de vista de la electrostática, de la conducción del calor y del flujo de fluidos. Solución I ,ii función potencial es <l>(x, y) ■ Rc(Az + fí) = Ax + B,

(2.6-25)

y Iu función de corriente es tl>(x,y)

Im(4z + B) - Ay,

(2.6 26)

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

Las equipotenciales (o isotermas) son las superficies en las que 4>(x, y) toma valores fijos. De la ecuación (2.6-25) vemos que dichas superficies aparecen en el plano z como rectas de x constante. En la figura 2.6^1 se muestran algunas de estas rectas. Las líneas de corriente, que son las curvas en las que i//toma valores constantes, son, se gún la ecuación (2.6-26), rectas correspondientes a valores constantes de y. En la fi gura aparecen como líneas punteadas. El lector que haya estudiado electrostática observará que la distribución de la fi gura 2.6-4 es el potencial que se crea entre las placas de un condensador o capacitor (icapacitor) de placas paralelas cuyas placas son perpendiculares al eje x. La densidad compleja de flujo eléctrico para esta configuración es, según el último renglón de la tabla 1, d = -e — (Az + B) = —eA = Dx + iD , dz lo que implica que Dx = -sA, Dy = 0. El vector de densidad de flujo eléctrico es para lelo al eje x. Si A > 0 el vector apunta hacia la izquierda en la figura 2.6-4. Si O(z) es la temperatura compleja, las isotermas son las equipotenciales mostra das en la figura 2.6—4. La densidad compleja de flujo de calor es

q = - k —-(Az + B) = - k A = Qx + iQ dz

(véase la Tabla 1), lo que implica que Qx = -kA, Qy = 0. El flujo de calor es uniforme y, si A > 0, apunta en la dirección x negativa. Finalmente, si O(z) describe el flujo de un fluido, la velocidad de flujo es Vx + i V

(Az + B) —A,

, i

^ lit|uipoleticiitlcs

1 'iu u rii 2 .(i ‘I

L ín eas de co rrien te

E je r c ic io s

de modo que Vx = A, Vy = 0. Por lo tanto, el flujo es uniforme y apunta en la di rección de las líneas de corriente de la figura 2.6-4. Si A > 0, el fluido fluye ha cia la derecha. M

EJERCICIOS 1.

S u p o n g a m o s q ue, en to d o p u n to de c ie rto m e d io , las c o m p o n e n te s del v e c to r de d e n sid a d de flu jo d e c a lo r Q son Qx = 3, Qy = - 4 c alo ría s p o r c en tím etro c u ad rad o p o r seg u n d o . a) C o m e n z a n d o co n las e c u a c io n e s ( 2 .6 -4 a , b ), d e te rm in e la te m p e ra tu ra <fi(x, y ) e n g ra dos. S u p o n g a q u e 4> (0, 0) = 0 y q u e la c o n d u c tiv id a d k d el m e d io es ig u a l a 0.1 c a lo ría s p o r c e n tím e tro , g ra d o y seg u n d o . b) E n c u e n tre la fu n c ió n de c o rrie n te y/(x, y). S u p o n g a q u e i//(0, 0) = 0. c) T race la s e q u ip o te n c ia le s d o n d e <f>es ig u al a 0, 4 0 , - 4 0 . d ) T rac e las lín e a s d e c o rrie n te y/ = 0, 4 0 , - 4 0 . C o m p ru e b e q u e son p a ra le las a Q.

S u p o n g a m o s q u e el p o te n c ia l c o m p le jo q u e d e sc rib e el flu jo de c ie rto flu id o e stá d a d o p o r O (z ) = 1/z (m e tro s 2/s e g .) p a r a z 4= 0. a) C a lc u le la v e lo c id a d c o m p le ja d el flu id o e n x = l , y =

1 (m e tro s) d ife re n c ia n d o el p o

te n c ia l c o m p le jo . E s c rib a Vx y Vv. b ) C alcu le la s c o m p o n e n tes

Vx y Vy, e n

el m ism o p u n to , d e te rm in a n d o y u san d o el p o te n

cial d e v e lo c id a d 4>(x, y). c ) V e rifiq u e q u e la e c u a c ió n de la e q u ip o te n c ia l q u e p a sa p o r x = 1, y = 1 es (x - l ) 2 +

y 2 = 1. R e p re s e n te e sta cu rv a g rá fic a m e n te. d ) D e te rm in e la e c u a c ió n de la lín e a de c o rrie n te q u e p a sa p o r x = \ , y = 1 y re p re s é n te la e n fo rm a g ráfica. S u p o n g a m o s q u e <t>(z) = e x eos y + iex sen y re p re s e n ta el p o te n c ia l c o m p le jo de c ie rta c o n fig u ra c ió n e le ctro stá tic a , ex p re sa d o en v oltios. a) U se el p o te n c ia l c o m p le jo p a ra d e te rm in a r el c am p o elé ctrico c o m p le jo en x =

y = 1/2. b) O b te n g a el c am p o e lé c tric o c o m p le jo en el m ism o p u n to d e te rm in a n d o y u san d o el p o te n c ia l e le c tro stá tic o <£ (x, y). c ) S u p o n ie n d o q u e la c o n fig u ra c ió n e le c tro stá tic a se e n c u e n tra en el v a cío , d e te rm in e las c o m p o n e n te s D x y D v del v e c to r d e d e n sid a d d e flu jo e lé ctrico en x = 1, y = 1/2. E n u n id a d e s m .k .s.,

e = 8.85 x

1(E12 en el vacío.

d) ¿ C u á n to v ale </> en x = 1, y = 1/2? H a g a u n a g rá fic a d e la su p erfic ie e q u ip o te n c ia l que p a sa p o r e ste p u n to . e ) ¿ C u á n to v ale i//en x = 1, y

1/2? lla g a una g rá fic a de la lín e a de c o rrie n te que p a sa

p o r e ste p u n to . I.

a) Explique por qué <l( v, y )

r l ix puede ser la densidad com pleja de flujo eléctrico en

una región sin cargas pero tlfr, y )

x I ¡v no.

C a p ítu lo 2

L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a

b) S u p o n g a m o s q u e la d e n sid a d c o m p le ja d e flu jo e lé ctrico en u n m e d io c o n

= 9 > < 1(T 12

es y + ix. E n c u e n tre el p o te n c ia l e le ctro stá tic o </> (x, y). S u p o n g a q u e 4>(0, 0 ) = 0. T ra ce la s e q u ip o te n c ia le s <f>(x, y) = 0, cf>(x , y ) = 1/e. c) E n c u e n tre la fu n c ió n de c o rrie n te iff(x, y). S u p o n g a q u e i//(0, 0) = 0. d) E n c u e n tre el p o te n c ial co m p le jo d> y e x p ré se lo en té rm in o s de z. e) D e te rm in e las c o m p o n e n tes del c am p o elé ctrico en x = 1, y = 1 p o r tre s m é to d o s d ife re n te s: a p a rtir de d , a p a rtir de ® (z) y a p a rtir de 4>(x, y). M u estre , p o r m e d io d e un d ia g ra m a , el v e c to r c o rre s p o n d ie n te a este c am p o y la e q u ip o te n c ia l q u e p a sa p o r

x=\,y=\. 5.

a) E l flu jo d e u n flu id o q u e d a d e sc rito p o r el p o te n c ial c o m p le jo ® (z) = (eo s a - i sen

a)z. a > 0. T race las e q u ip o te n c ia le s a so c ia d a s y e sc rib a sus e cu a c io n e s. b) T race las lín e a s d e c o rrie n te y e sc rib a sus e cu acio n es. c) D e te rm in e las c o m p o n e n tes Vx y Vy d el v e c to r v e lo c id a d en (x, y). ¿ Q u é á n g u lo fo rm a el v e c to r v e lo c id a d co n la p a rte p o s itiv a del eje x ?

C ap ítu lo

Las funciones trascendentes básicas

listamos familiarizados con numerosas funciones que se usan en las matemáticas de variable real. Conocemos las funciones algebraicas (sumas, productos, cocientes y potencias de x my x mln), y conocemos funciones trascendentes como ex, log x, senh x, y así sucesivamente. Pero en el plano complejo sólo hemos visto funciones algebrai■as de z. En este capítulo ampliaremos nuestro conjunto de funciones de una variable compleja. Extenderemos nuestras definiciones de algunas funciones trascendentes elementales de una variable real (ex, sen x, etc.) para obtener funciones de la variable compleja z. En caso de que z sea real, estas funciones se reducirán a las funciones rea les usuales.

.1.1

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

<.lucremos que esta función posea las siguientes propiedades: a) se reduce a la función real ex si z toma valores reales.1' b) es una función analítica de z. I -a función e x eos y + iexsen y será nuestra definición de e1(o expz). Por lo tanto

e1 = ex +iy = ex[cos y + i sen y].

1 Recuérdese que c'puede definirse co m o r' * llm„ , , ( ! i x/n)".

(3.1-1)

100

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s b á sica s

Está claro que la ecuación (3.1-1) satisface la condición (a). (Tómese^ = 0.) Obsér vese que, como en el caso real, e° = 1. Para comprobar la condición (b) tenemos u + iv — ex eos y + iex sen y,

(3.1-2)

donde u = Re e2 = ex eos y,

v = Im ez = ex sen y.

(3.1-3)

Las primeras derivadas parciales de las funciones u y v son: du — — e eos y, dx

dn — = e eos y, dy

y asi sucesivamente,

que son continuas sobre todo el plano xy. Además, u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, du dx

dv dy'

dv dx

du dy’

en todo punto del plano. Así,ez es analítica para todo z y por lo tanto es una función entera. La condición (b) queda satisfecha. Es fácil calcular la derivada d{ez)/dz a partir de las ecuaciones (2.3-6) y (3.1-3). Tenemos entonces d

— ez —— e eos v + i — e sen y = e eos y + le sen y, dz dx dx es decir, d

—ez = ez. dz Este resultado es tranquilizador pues sabemos que ex satisface d

—e = e . dx Nótese que si g(z) es una función analítica, entonces, por la regla de la cadena para la diferenciación (véase la Ec. (2.4-1 d)), tenemos — e»(z) = e 9iz)g'(z).

La función ez tiene otra propiedad en común con ex. Sabemos que si x, y x2 son reales, entonces ex'ex* => e^x<+xd. Podemos demostrar que si z, = x, + (y, y z2 = x2 + iy2 son dos números complejos, entonces cz' ez‘ —e1' 12¡. Obsérvese que _ e*'[cos y, + i sen y, ] de m od o que

e ‘‘

- ('"'[eos y2 + i sen y2],

3.1

L a fu n c ió n e x p o n e n c ia l

101

,' ‘eZz = ex'e*2[cos y¡ + i sen y,][eos y2 + i sen y2] = ex,+*2[(cos y¡ eos y2 —sen y¡ sen y 2) + ((sen y, eos y2 + eos y x sen y2)]. I,a parte real de la expresión contenida en los corchetes es, por trigonometría elemenlal, cos(y, + y2). Análogamente, la parte imaginaria es igual a sen(y, + y2). De donde, ez'eZ2 = ex¡ +X2[cos(yí + y2) + isen(y¡ 4- y2)]-

(3.1-4)

Ahora, usando la ecuación (3.1-1) tenemos ez,+z2 _ eix¡+x2)+Hy¡+y2)

= e(x' +Xz)[cos(y1 + y 2 ) + i sen(3(1 + y2)]. I’uesto que el lado derecho de esta ecuación es idéntico al lado derecho de la ecuación (3.1 -4), está claro que eZleZ2 = eZ|+Z2.

(3-1—5)

lomando z¡ = z2 de la relación anterior, tenemos (ez)2 = e 2z, que puede generalizarse fácilmente para dar (ez)m = em\

(3.1-6)

donde m >0 es un entero. Del mismo modo que ex'lex'- = ex'~Xi- podemos demostrar (véase el Ejer. 14) que ez,/eZ2 = ez,_Z2.

(3.1-7)

S i = 0 y z2 = z en la ecuación anterior, obtenemos l/ez —é~z.Podemos usar este re1litado paramostrar quela ecuación (3.1-6) también es válida cuando m es un entero negativo. Obsérvese ahora que la ecuación (3.1-1) es equivalente a la forma polar ez = ex cis y = ex^y.

(3.1-8)

Iomando el módulo de ambos lados de la ecuación anterior tenemos |ez| = ex.

(3.1-9)

Asi pues, el módulo de ez queda totalmente determinado por la parte real dez. I.a ecuación (3.1-8) también indica que uno de los valores de arg(ez) es y. En virIIid de que el ángulo polar es multiforme tenemos, en general, arg(ez) = y + 2kn,

k = 0 ,+ 1 , ±2,

(3.1-10)

lo que indica que el argumento de e: queda determinado hasta una constante aditiva Iknpor la parte imaginaria de z. lina consecuencia importante de la ecuación (3.1-9) (véase el Ejer. 12) es que la fi liación e 0 no tiene solución en el plano complejo. Si bien i2' no es una función periódica de x, e z varía periódicamente al avanzar en el plano z sobre cualquier recta paralela al eje y. Consideremos las expresiones ez« y r " 1 donde t(i i iyn. I .os puntos rü y r(l 1 I2tt están separados por una distan cia 2tt sobre la recta Pe v„ I)e nuestra definición (véase la Ee. 3,1 I) leñemos

102

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s b á sica s

ez° = ex°(cos y0 + i sen y0), ez0+¡2n _ ex0+ny„+2it) _ e*o[cos(yo 2n) + i sen(y0 + 27t)]. Como eos jo = eos (_y0 + 2n) (y análogamente para el seno), tenemos e:«= <r»+,lr\ Por lo tanto, ezes periódica con periodo imaginario 2 ni. Es particularmente interesante estudiar el comportamiento de e w cuando 8 es una variable real. En la ecuación (3.1-8) tomamos x = 0, y = 0 para obtener e,e = 1^0 = eos 6 + i sen 0.

(3.1-11)

Así, si 8 es real, e'° es un número complejo de módulo 1 que forma un ángulo 8 con la parte positiva del eje real (véase la Fig. 3.1-1). Al aumentar 6, el número complejo 1¡8 avanza alrededor del círculo unitario en el sentido inverso al de las manecillas del reloj. Obsérvese en particular que ei0 = 1,

ein/2 = i,

ein = —1

e‘3t/2 ’ = —i = e~in/2

La relación e's = eos 8 + i sen 8 se conoce como identidad de Euler, en honor al matemático suizo del siglo xvm que inventó la notación i, como dijimos en el capítulo 1. A Euler también se le atribuye la popularización del símbolo e para denotar la base del logaritmo natural. Tomando 8= /ten la identidad de Euler, y reordenando ligeramente la ecuación, obtenemos la legendaria fórmula ein + 1 = 0, que es una ingeniosa e inesperada relación entre los cinco números más importantes de las matemáticas (0, 1, i, e, n). Recordando el teorema de De Moivre (eos 8 + i sen Q)n = eos n0+ i sen nd, ve mos que la identidad de Euler nos permite expresar este resultado de manera equiva lente como (■ew)n = e‘"e. Este es un caso particular de la ecuación (3.1-6).

l il’ i m i . V I

E je r cic io s

103

La notación exponencial e'° se usa a menudo, en lugar de cis 9 o \[9, para repre sentar la variable z en coordenadas polares. Así, z = r cis 9 se convierte en z = re'B. A manera de ejemplo, llevaremos a cabo la siguiente multiplicación usando esta nota ción. Sean 1 + ¡V3 = 2

= 2ein,i

1+ i = ^2 ^

=J 2 ^ \

lales que (1 + ¿ y 3 ) ( l + ¡j = 2 ^ 2 e í(’,/3 + ’t/4).

Usando la ecuación (3.1-11), el lado derecho de esta ecuación puede escribirse ( 71 n\ + i sen f -n 7r\ +“ 2 ^ 2 eos - + \3 4/_ _ \3 4) I n el apéndice de este capítulo se consignan algunas importantes aplicaciones físicas de la exponencial compleja en la ingeniería eléctrica y en la mecánica.

I'I.IK R O C I O S

I .criba las siguientes expresiones en la forma a + ib, donde ay b son números reales. I,

,,11/ d - o i

2. e3~4i 6. e‘ arc c°s 1

3. e~3e4‘ 7. ee'

4. e'

•». c‘‘/; (todos los valores) 10. (e')1/2 (todos los valores) II. Si /'(z) = ez, demuestre que f( z + inn) = (-1) " /(z), donde n es un entero cualquiera. I De mue s t r e que ez = 0 no tiene solución en el plano complejo. IV I)etermine todas las soluciones de ez = 1 + /O, igualando las partes correspondientes (real c imaginaria) de los dos lados de esta ecuación. I I. IJsando la definición de ez dada por la ecuación (3.1-1), compruebe que

ez* donde z, = x¡ + iy\ yz2=x2 + iy2I \ prese las siguientes funciones en la forma w(x, y) + iv (x, y), donde u y v son funciones reales. 15. t ‘‘

16. el/l

I Ictcrm inc / ' ( I + /’)

l<>. c''

20.

17. er‘

si / (z) está dada por +

18. e,z + z' ' '

104

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s b á sica s

¿ E n q u é re g io n e s del p la n o c o m p le jo se s a tisfa c e n las sig u ie n tes e c u a c io n e s? 23. \ez ~ 'lz\ = 1

21.

|e z| = 1

22. |e z2| = 1

2 4.

S e a f¡ ¥= 0 u n n ú m e ro c o m p le jo . U se la re g la de L 'H ó p ita l p a ra c alcu la r, si es que ex iste, e l<*'

lím i-o

e l>

e'z - l

E n las sig u ie n te s re g io n e s ¿ c u á le s so n los v a lo re s m á x im o s y m ín im o s q ue p u e d e to m a r |e z|? D ig a q u é p u n to s d e la re g ió n c o rre s p o n d e n a e sto s v alo res. 25.

|z _ ( i + ¡ ) | < i

2 6.

27.

E l m ó d u lo d e la e x p re sió n

P —1+

\z + ij < 3

+ e12* +

4- eMN~

N- 1 = £

e1**

n=O

es im p o rtan te en u n g ra n n ú m e ro de p ro b le m a s e n lo s q u e in te rv ie n e n TV e le m e n to s físico s id é n tic o s (p o r e je m p lo , a n te n as o a lta v o ce s) q u e e m ite n ra d ia c ió n . A q u í y/ u n a c a n tid a d real que d e p e n d e d e la s ep a ra c ió n de los e le m en to s y d e la p o sic ió n d el o b s e rv a d o r de la ra d ia c ió n . \P\ in d ic a la in te n sid a d de la ra d ia c ió n o b serv ad a . a)

U sa n d o la fó rm u la de la su m a d e u n a serie g e o m é tric a (v é a se el e je rc ic io 37 de la se c c ió n 1.4), d e m u e stre que

\PW\ = b) Calcule lím

sen Ni/r/2

sen i¡//2

0|P(y/)|.

c) Por medio de una calculadora de bolsillo o de un simple programa de computador re presente gráficamente \P(yf)\ para 0 < y/< 2tt cuando TV= 3. 28. Sea z = re,e, donde r y 6 son las variables polares usuales. a) Compruebe que Re[(l + z)/( 1 -z)] = (1 - r 2)/( 1 + r 2 - 2r eos &). ¿Por qué debe esta función satisfacer la ecuación (2.5-14) en todo punto de cualquier dominio que no con tenga az = 1? b) Determine Im[(l + z)/(l -z)] en forma similar al resultado del apartado (a). 29. El flujo de un fluido queda descrito por el potencial complejo <t>(z) = <j>(x, y) + / y/(x, y) = ez. a) Encuentre expresiones explícitas para el potencial de velocidad 4>(x, y) y la función de corriente yKx, y) en términos de x e y. b) En la franja |Im z| < Ji/2, trace las equipotenciales correspondientes a <l>= 0, + 1/2, + I, +2 y las líneas de corriente correspondientes a y/ m 0, ±1/2, ±1, ±2. c) ¿Cuánto vale el vector de velocidad del fluido enx “ 1,y

tt/4?

3 .2

3.2

105

F u n cio n e s tr ig o n o m é tr ic a s

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

La identidad de Euler (Ec. 3.1-11) indica que, cuando 8 es un número real, tenemos e,e = eos 8 + i sen 8.

(3-2-1)

Ahora bien, si cambiamos el signo de 6 en la expresión anterior, obtenemos e~,e = cos( —6) + isen(-O) = eos 8— i sen 8.

(3.2-2)

Sumando las ecuaciones (3.2-2) y (3.2-1) obtenemos laexpresión real ew + e~m = 2 eos 8, 0 bien, finalmente, e ' B _|_ e - t e

eos 0 = ------------■ 2

(3.2-3)

Si en lugar de sumar estas ecuaciones hubiéramos restado la ecuación (3.2-2) de la ecuación (3.2-1), habríamos obtenido e ¡e _ £ -w _ 2 i sen e s d ecir,

sen 8 =

ew - e ~ ie —----■

(3.2-4)

I.as ecuaciones (3.2-3) y (3.2-4) sirven para definir el seno y el coseno de un nú mero real en términos de exponenciales complejas. Es entonces natural definir sen z y eos z, donde z es complejo, de la siguiente manera: sen z = eos z =

e'z —c ~tz , 2i eiz + e~iz

(3.2-5) (3.2- 6)

1 las definiciones tienen sentido por diversas razones: ,i) C'uando z es un número real, las definiciones dadas por las ecuaciones (3.2-5) y (3.2—6) se reducen a las definiciones convencionales (3.2-3) y (3.2^1) para el seno y el coseno de un argumento real. h) c)

y e ' son analíticas en todo el plano z. Por lo tanto, senz y cosz, definidas como sumas y diferencias de estas funciones, también lo son. (/sen z/í/z : /|<f2 + e l:\/2i = eos?. Además, dcoszldz = -senz.

I ,It'icilprobar que scn‘ z I eos2z I y quelas identidades que satisfacen el seno y d coseno deun argumento real también son válidas en elcaso complejo, por ejemplo,

11^

106

C a p ítu lo 3

—

— I

L as funciones tra sc en d en te s básicas

sen(z! + z2) = sen z, eos z2 + eos z x sen z2, cos(z! + z2) = eos Zj eos z2 + sen zt sen z2,

etcétera. Por medio de las ecuaciones (3.2-5) y (3.2-6), podemos determinar el valor nu mérico del seno y el coseno de un número complejo cualquiera. Con todo, existe un procedimiento ligeramente más conveniente. Recordemos el seno y el coseno hiper bólicos de un argumento real 8, que se ilustran en la figura 3.2-1, definidos por las si guientes ecuaciones: senh 8 = cosh 8 =

e —e T~ ee + e~

(3.2-7) (3.2-8)

Consideremos ahora la expresión de la ecuación (3.2-5): ,¡x-y

-ix+ y

2i 2i 2i Ahora podemos usar la identidad de Euler (Ec. (3.2-1) o (3.2-2)) para volver a escri bir e'x y e““ en la ecuación anterior. Tenemos entonces e _,,(cos x + i sen x) ey(cos x —i sen x) 2i 2i (ey + e~y) e~ = sen x+ i eos X (e*

l' lu iu ti 3.2 I

3 .2

F u n cio n e s tr ig o n o m é tr ic a s

107

Cuando comparamos las expresiones en y de la ecuación anterior con las funciones hiperbólicas dadas por las ecuaciones (3.2-7) y (3.2-8), vemos que sen z = sen x cosh y + i eos x senh y.

(3.2-9)

Puesto que la mayoría de las calculadoras de bolsillo pueden calcular funciones trigo nométricas y funciones hiperbólicas de argumentos reales, será fácil evaluar sen z. Podemos encontrar una expresión similar para eos z: eos z = eos x cosh y — i sen x senh y.

(3.2-10)

Las demás funciones trigonométricas de argumentos complejos se definen fácil mente por analogía con las funciones de argumento real, esto es, sen z 1 tan z = —— = ------, eos z cot z

1 secz = —— , eos z

1 cosec z = -- . sen z

Las derivadas de estas funciones son: d tan z = sec 2 z, — dz d — sec z = tan z sec z, dz d — cosec z = —cot z cosec z. dz Existen también expresiones para tan(x + iy) y cot(x + iy) en términos de fun ciones trigonométricas e hiperbólicas. Estas expresiones se obtienen en los ejercicios y corresponden a las ecuaciones (3.2-13) y (3.2-14) de los ejercicios 28 y 29. El seno y el coseno de un número real son números reales cuyo valor absoluto es inferior o igual a 1. Sin embargo, el seno y el coseno de un número complejo no son sólo, en general, complejos, sino que además su módulo puede ser mayor que 1 (véa se el ejercicio 1 de esta sección).

E JE M P L O 1 Exprese sen (id), donde 6 es un número real, en la forma a + ib, y eos (id) en forma similar. Solución I Isamos la ecuación (3.2-9) conx = 0 y y = 6. El resultado es sen (id)

sen 0 cosh 0 + i eos 0 senh 6,

es decir. scn(/0)

I senh 0,

(1.2 II)

108

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s b á sica s

(3.2-12)

El coseno de un número imaginario puro es siempre un número real, y el seno de un número imaginario puro es siempre imaginario puro. E JE M P LO 2 Compruebe que todos los ceros de eos z se encuentran en el eje x del plano z. Solución Consideremos la ecuación cosz = 0, donde z = x + iy. Usando la ecuación (3.2-10), podemos escribirla como eos x coshy - i sen x senhy = 0. Tanto la parte real como la parte imaginaria del lado izquierdo de esta ecuación deben ser iguales a cero. Es decir, eos x cosh y = 0

sen x senh y = 0.

Consideremos la primera ecuación. Como cosh y no se anula cuando y es un núme ro real (véase la Fig. 3.2-1), es evidente que eos x — 0. Esto implica que x = ±n/2, ±3n/2,..., etc.; dicho de otro modo, x = ±(2n + \)n/2, donde n = 0, 1, 2,... Consi deremos ahora la segunda ecuación. La primera ecuación indica que x debe ser un múltiplo impar de ±nt2\ por lo tanto, la expresión sen x que aparece en la segunda ecuación debe ser igual a ±1. Así, senx senhjp = 0 se satisface únicamente si senhj = 0. Dando un vistazo a la figura 3.2-1 vemos que esto sólo es posible cuando y = 0. Vemos que eos z = 0 sólo en los puntos que satisfacen al mismo tiempo y = 0 y x = ± (2n + 1) n/2. La primera condición implica que estos puntos se encuentran sobre el eje x mientras que la segunda indica que están separados por intervalos de longitud n. Los valores de z tales que eos z = 0 son exactamente los mismos para los cuales eos x = 0. Las funciones sen x y sen z satisfacen un resultado similar; esto se demuestra en uno de los siguientes ejercicios. M

EJERCICIOS E n c u e n tre el v a lo r n u m é ric o de las s ig u ie n tes e x p re sio n e s en la fo rm a a + ib , d o n d e a y b son n ú m e ro s reales. 1. sen (l — 2i)

2. cos(2 -I- i)

4. se n (í1/3) (lodos los valores)

5. c o s ( f l + ')

7. scn (arg (l I i))

10.

co*(( úrg(l I /)) (Unios Ion valores)

e 1 m

II. u m e 1

tan(2 — i)

senil sen /

3 .3

F u n cio n e s h ip e r b ó lic a s

109

U se las d e fin ic io n e s d a d a s p o r las e c u a c io n e s ( 3 .2 -5 ) y (3 .2 - 6 ) p a ra d e m o stra r lo s s ig u ie n te s re su lta d o s: 12. se n 2 z + e o s 2 z = 1,

13. — sen z = eos z,

___

14. s e n 2 z = | — -j eos 2z, 15. s en (z, + z 2) = sen Z[ eos z 2 + eos z , sen z 2, I (>. sen (z + 2kn) = sen z, cos(z + 2kn) — eos z, donde k = 0, + 1 , + 2 , .. . 17.

C u an d o e stu d ia m o s la id e n tid a d de E uler, e '* = e o s 6 +

i sen

d, e n la sec c ió n 3.1, n o s re s

trin g im o s a v a lo re s re a le s de 8. P ru e b e q u e 6 p u e d e, sin em b a rg o , s e r c o m p le jo , es decir, que 18.

e'z =

eos z +

i sen z p a ra to d o z co m p lejo .

D e m u e s tre q u e la e c u a c ió n s e n z = 0 s ó lo tie n e s o lu c io n e s e n el p la n o c o m p le jo p a r a z = n n c o n n = 0 , ± 1, ± 2 ,... P o r lo ta n to , lo s c e r o s d e s e n z, c o m o lo s d e e o s z , e s tá n e n el e je re a l.

I l).

V erifiq u e q u e s e n z - eo s z = 0 tie n e so lu cio n es ú n ic a m en te p a ra v a lo re s re a le s de z. D e te r m ine d ic h a s so lu cio n es.

,1 o q u é re g io n e s d e l p la n o c o m p le jo n o so n a n alític as la s s ig u ie n tes e x p re sio n e s?

2(1. tan z 24.

21. — :

cos(iz)

22.

------------------------- senz sen[(l + i)z]

23.

sen z — eos z

S e a / ( z ) = e o s ( e z). E x p r e s e /( z ) y f ’{z) en la fo rm a u (x , y ) + iv(x, y). ¿ E n q u é re g ió n es

/( z ) a n a lític a ? 75.

V erifiq u e q u e |co s z| = yj s e n h 2 y + e o s 2 x .

Sugerencia: R e c u e rd e q u e c o sh 2 8 - sen h 2 0 = 1 . 2(i.

P ru eb e q u e |s e n z | = ^ /sen h 2 y + s e n 2 x .

77.

M u estre q u e |s e n z |2 + |co s z|2 = se n h 2 ^ + c o sh 2 y.

78.

V erifiq u e q u e

sen(2x) + i senh(2_y)

2‘>.

ta n z = ---------------------------— . cos(2x) + cosh(2y)

(3 2 - 1 3 )

sen(2x) + i senh(2y) cot z = ---------------------------- . cosh(2v) — cos(2x)

(3 2 -1 4 )

D e m u estre q u e

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

I n la sección anterior usamos las definiciones de sen z y eos z que construimos por medio del estudio de las definiciones de las funciones seno y coseno de argumentos

110

C a p ítu lo 3

L a s fu n c io n es tr a sc e n d e n te s b á sica s

reales. Usaremos un procedimiento análogo en el caso de senh z y cosh z, las funcio nes hiperbólicas de argumentos complejos. Las ecuaciones (3.2-7) y (3.2-8), que definen las funciones senh d y cosh 6 para un número real 6, indican las siguientes definiciones para el caso de un número com plejo z: €z —

senh z = ----

6 ~ z

e7 + e~z cosh z = ---------- . 2

(3.3-1)

(3.3-2)

Si z es real, estas definiciones se reducen a las de las funciones hiperbólicas de ar gumento real. Vemos que senh z y cosh z se componen de sumas y diferencias de las funciones e2 y é~2, que son analíticas en todo el plano z. Por lo tanto, senh z y cosh z son analíticas para todo z. Es fácil comprobar que ¿/(senh z)ldz = cosh z y que ¿/(cosh z)ídz = senh z. A partir de las ecuaciones (3.2-5), (3.2-6), (3.3-1) y (3.3-2) podemos fácilmente verificar que senh(i'z) = i sen z y que cosh(iz) = eos z. Todas las identidades relativas a las funciones hiperbólicas de variable real son también válidas para estas funciones, por ejemplo, con ayuda de las ecuaciones (3.3-1) y (3.3-2) podemos demostrar que cosh2 z — senh2 z = 1,

(3.3-3)

cosh(z! ± z2) = cosh z¡ cosh z2 ± senh z¡ senh z2,

(3.3-4)

senh(z, + z2) = senh z¡ cosh z2 ± cosh z 1 senh z2.

(3.3-5)

Es fácil obtener expresiones para senh z y cosh z en términos de funciones reales de variables reales análogas a las ecuaciones (3.2-9) y (3.2-10). Se trata de las si guientes expresiones: senh z = senh x eos y + i cosh x sen y,

(3.3-6)

cosh z = cosh x eos y + i senh x sen y.

(3.3-7)

Las otras funciones hiperbólicas se derivan directamente del seno y el coseno hiper bólicos: senh z 1 , 1 I tanh z = -------- , sech z = -------- , cosech z = ------- , coth z = ---------. cosh z cosh z senh z tanh z Las funciones hiperbólicas y las funciones trigonométricas difieren considerable mente. En lanío que todas las ralees de sen z 0 y eos r 0 se encuentran en el eje

E je r cic io s

111

n al del plano z, en los ejercicios demostraremos que todas las raíces de senh z = 0 y 0 están en el eje imaginario. Las funciones trigonométricas son periódicas de p e r io d o 2 n (véase el ejercicio 16 de la sección 3.2), mientras que las funciones hiper bólicas tienen periodo 2ni, es decir, senh(z + 2m) = senhz y cosh(z + 2m) — coshz.

co sh z =

EJERCICIOS 1 e las e cu a c io n e s ( 3 .3 -1 ) y (3 .3 -2 ) p a ra d e m o stra r los s ig u ie n tes re su lta d o s: I . senh z = senh x eos y + i co sh x sen y

co sh z = c o sh x eos y + i senh x sen y

c o s h 2 z — se n h 2 z = 1

•I. scnh(z + 2ni) = senh z y co sh (z + 2ni) = co sh z *>. se n h (/0 ) = i s e n 9 y co sh (;0 ) = e o s 6. P o r lo ta n to , el sen o h ip e rb ó lic o de un n ú m e ro im a g in a rio p u ro es u n n ú m e ro im a g in a rio p u ro y el c o se n o h ip e rb ó lic o de un n ú m e ro im a g in a rio p u ro es u n n ú m e ro real. I .«-i iba las s ig u ie n te s e x p re sio n e s en la fo rm a a + ib, d o n d e a y b so n n ú m e ro s reales. (i. s c n h ( l/(l + i)) N •>. I (I.

7. c o sh (l — ¡v /3 )

ta n h [ ( l + / ^ 3 ) 1/2] ( todos los valores) I le te rm in e el v a lo r n u m é ric o de la d e riv a d a de c o sh (se n h ( e z2)) e n z = i. S ea la e c u a c ió n se n h (x + iy) = 0. U se la e cu a c ió n (3 .3 -6 ) p a ra ig u a la r a c ero la p a rte real y la p a rte im a g in a ria d e s e n h z . D e m u e stre q u e estas d o s e c u a c io n e s se satisfa c e n si y sólo si z = inn, d o n d e n = 0,

± 1, ± 2,...

P o r lo ta n to , to d o s los c ero s de senh z se en cu e n tran en

el eje im a g in a rio del p la n o z. II

a) D e sa rro lle un a rg u m e n to sem e ja n te al d el p ro b le m a a n te rio r p a ra m o stra r q ue lo s c ero s d e c o sh z = 0 d e b en satisfa c e r la e c u a c ió n z = ± (2 n + X)ni!2, d o n d e n = 0, 1 ,2 , 3 ,... b)

¿ E n q u é re g ió n d e l p la n o z es a n a lític a ta n h z?

, En q u é p u n to s del p la n o co m p le jo n o so n a n a lític a s la s sig u ie n te s fu n c io n e s?

12,

!-----senil z — c o sh z

13.------!----s e n h [(l+ /)z ]

14.

i ----s en h (z 2)

I *>

( ’o m p ru e b e q u e la e c u a c ió n sen h z - sen z = 0 no tie n e so lu c ió n en la r e c ta x = 1.

I lemuestre los siguientes resultados: !<•

|Ncnh z |2

s e n h 2 x + sen2 y

17. |c o i h z |2

sen h 2 x + e o s 2 y = c o s h 2 x — sen 2 y

112

C a p ítu lo 3

3.4

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s b á sica s

Si x es un real positivo, entonces, como sabe el lector, elo'¿x = x. El logaritmo1 de x es un número real que puede determinarse fácilmente por medio de una calculadora o de una tabla numérica. Recordemos, sin embargo, que log 0 no está definido. En esta sección aprenderemos a calcular el logaritmo de un número complejo z. Hemos de prever que el logaritmo de z pueda ser un número complejo. Nuestro loga ritmo de z poseerá la siguiente propiedad: e'og z = z.

(3-4-1)

Veremos además que log z es una función multiforme, es decir, que dado un valor de z existen varios valores de log z que satisfacen la ecuación (3.4-1). En seguida mostraremos que la siguiente definición de log z satisface la ecuación (3.4-1): log z = log|z| + i arg z,

zA 0

(3-4-2)

El logaritmo de cero no está definido. Si expresamos z en coordenadas polares, z = re'0, sabemos que r = |z| y que 9 = arg z. Por lo tanto, la ecuación (3.4-2) se convierte en log z = log r + i6,

r A 0.

(3.4-3)

Obsérvese que la parte real de la expresión anterior, es decir, el logaritmo del módulo de z, es el logaritmo de un número real positivo. Esta cantidad ha de evaluarse de la for ma usual. La parte imaginaria 6 es el argumento (o ángulo) de z expresado en radianes. Como dijimos antes, vemos que e logz es igual a z porque e’°82 = elog r +ie = elog rei0 = elog r[cos G + i sen 0] = r[cos 6 + i sen 0] = x + iy = z.

(3.4-4)

Hemos recurrido a la identidad de Euler (Ec. (3.2-1)) para volver a escribir e'By he mos sustituido e]ogr por r, lo que claramente es válido para r > 0. La dificultad más grave que presentan las ecuaciones (3.4-2) y (3.4-3) es que 0 = arg z no está definido de manera única. Sabemos que si 9¡ es un valor legítimo de 0, también lo es 0,+ 2kn, donde k = 0, ±1, ±2,... Así, el valor numérico de la parte imaginaria de log z se ve directamente afectado por el valor que asignemos al argu mento de z. Decimos, por lo tanto, que el logaritmo de z definido por la ecuación (3.4-2) o por la ecuación (3.4-3) es una función multiforme de z. Todos los valores de log z satisfacen e'°8z = z. Según la ecuación (3.4-3), incluso el logaritmo de un real positivo, que hasta ahora hemos considerado como un valor unívocamente definido, tiene más de un va lor posible. Sin embargo, de todos los posibles logaritmos de un número real positivo

1 >. •. MMla liiiin liiiinx Ion lu u u llllliu . .(ilI lnn.il lllllir. I11IM' r (lllllIIIlili

)

3 .4

función

lo g a r ítm ic a

113

sólo uno es un número real; los otros son complejos. En las tablas numéricas aparece el valor real. El valor principal del logaritmo de z, que denotaremos por Log z, es el valor que se obtiene cuando se usa el argumento principal de z en las ecuaciones (3.4-2) y ( 1.4-3). Recordemos (véase la Sec. 1.3) que el argumento principal de z, que denota remos por 0p, es el argumento de z que satisface - n < 9P< it. Tenemos, por lo tanto, Log z = Log r + i9p,

r = |z| > 0,

6p = arg z,

—n < 6 p < n. (3.4-5)

<tbservemos que en la ecuación anterior hemos escrito Log r (en lugar de log r) ya que los logaritmos naturales de números reales positivos, que pueden obtenerse por medio ile una calculadora o de una tabla numérica, son valores principales. l odos los valores de arg z pueden obtenerse a partir del valor principal 6 usando 11 fórmula argz = 9= 9p + 2kn, donde k es un entero apropiado. Por lo tanto, podemos iiblcner todos los valores de log z a partir de la expresión log z = Log r + i(9p + 2kn),

k = 0, + 1 ,+ 2 ,...

(3.4-6)

l omando k = 0 en esta expresión obtenemos el valor principal, Log z. ( ibsérvese que aun si en la ecuación (3.4-6) usamos un valor de arg z distinto del h enmonto principal, la ecuación (3.4-6) sigue proporcionando todos los valores posil'lc. de logz, aunque no obtendríamos el valor principal al tomar i = 0. I I hecho de que sea posible asignar un logaritmo a todos los puntos del plano "luplcjo con la excepción de 0 + i 0 y de que esta función no esté restringida a los n .des positivos fue estudiado por primera vez por Euler a mediados del siglo xvm. Mencionamos a este matemático cuando hablamos de las exponenciales complejas, l ue también el primero en establecer que el logaritmo es una función multiforme. I s posible que el lector se sienta confundido por las diversas notaciones que ni leu emplearse para especificar logaritmos. La tecla marcada con el símbolo ln (o III) de la mayoría de las calculadoras básicas proporciona el valor real del logaritmo n limal (base e) de un número real positivo. Así, la función ln r de la calculadora "H esponde a nuestro Log r cuando r es un real positivo. Sin embargo, las calculadoii. también suelen tener una tecla marcada con el símbolo log (o LOG). Esta tecla l" i inite calcular logaritmos base 10 de números reales positivos; éstos no son los loHlimos que emplearemos aquí y dicha tecla no servirá para resolver los ejercicios di este libro. /

HIMPLO 1

I )etermine Log(—1 - i) y todos los valores de log (-1 - i).

Stilación l I número complejo I i se muestra gráficamente en la figuru 1.3 13. El valor prin • ipal 0r de este número es l/r/4 y su módulo es J I >e la ecuación (3.4 5).

114

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s bá sica s

Log(—1 - i) = Log v/2 +

J = °-34657 -

•

Por medio de la ecuación (3.4-6) podemos escribir fácilmente todos los valores de log(—1 - i): l0g( - 1 - 0 = Log y j l + = 0.34657 + iílk n -

k = 0, ± 1, ± 2,...

E JE M P LO 2 Encuentre Log(-10) y todos los valores de log(-10). Solución El argumento principal de todo real negativo es n. Por lo tanto, de la ecuación (3.4-5) Log(-lO) = Log 10 + in = 2.303 + in. De la ecuación (3.4-6) tenemos log( —10) = Log 10 + i(n + 2kn). Podemos comprobar este resultado de la siguiente manera: glog( —10) _ gLog 10+¡(re+2/cre) _ gLog 1(>[cos(7t 4. 2kn) + ¡ Sen(7T + 2/c7t)] = —10.

En los cursos de cálculo elemental se aprende la identidad log(x, x2) = logx, + log x2, donde x¡ y x2 son números reales positivos. El resultado log(ziZ2) = log Z! + log z2,

(3.4-7)

donde z, y z2 son números complejos y donde se han tenido en cuenta los múltiples valores de los logaritmos, exige una interpretación. Las expresiones log z, y log z2 son multiformes. Su suma log z, + log z2también es multiforme. Si escogemos dos valores particulares de estos logaritmos y los sumamos, obtendremos uno de los va lores posibles de log(z,z2). Para ilustrar este hecho, seanz, = r,e ,w>y z2 = r2e lH*. Así, logz, = Log r, + i(0, + 2rmi) y log z2 = Log r2 + i(d2 + 2mi). Ahora asignamos valo res enteros específicos a m y a /i. Sumando los logaritmos obtenemos log Zi + log z2 = Log

+ Log r2 + i(0l + 02 + 2n(m + n)).

(3.4-8)

Ahora bien, Log r, + Log r2 = Log(r,r2) ya que r, y r2 son reales positivos. Entonces, la ecuación (3.4-8) se transforma en log Z! + log z2 = Log(r,r2) + ¡(új + d2 + 2n(m + n)).

(3.4-9)

Obsérvese que r,r2 = |z,z2| mientras que 0t + d2 + 2n(m + n) es uno de los valores de arg (z, z2). Así, la ecuación (3.4-9) es uno de los valores posibles de log(z, z2). Supongamos que z t = i y que z2 = —1. Entonces, si tomamos log(z,) ¡n/2 y log(z2) = in (valores principales), tenemos logz, + logz2 /3tt/2. Ahora bien, Z|Z2 i, y si usamos el valor principal, log(Z|Z2) in/2. Notemos q u e aquí

E je r cic io s

115

I«>>>, z| + log z2 ^ log(z,z2). No obstante, log z, + log z2 = i3n/2 es un valor legítimo de log(-z). Simplemente no es el primer valor que calculamos. El resultado lu|’.(Z|/z2) = logz, - logz2 ha de interpretarse en forma similar a la ecuación (3.4-7). Tomando z —z, = z2 en la ecuación (3.4-7), tenemos log z2 = 2 log z, que, al i)•ilal que la ecuación (3.4-7), se satisface tomando valores apropiados para los logai ilmos que aparecen a cada lado de la ecuación. La generalización log z" = n log z,

n entero cualquiera,

(3.4-10)

i.imbicn será válida para ciertos valores de los logaritmos. La misma observación se •plica a logz'”''" =~¡¡r logz, donde n y m son enteros cualesquiera, salvo m — 0. Sin duda el lector conoce bien la siguiente identidad, que se enseña en los cursos d r ( .denlo elemental: log ex = x, donde x es un número real positivo. El resultado com¡di jo correspondiente es log e' = z + i2kn,

k = 0, +1, ± 2 ...,

(3.4-11)

merece una observación. La expresión ez es, en general, un número complejo. Su loi H¡lino es multiforme. Uno de sus valores corresponderá a z y los otros no. No debe pi usarse que el valor principal del logaritmo de ¿ tiene que ser igual az. I / IM P L O 3 ii

3 T r i . Determine todos los valores de log ez y diga cuál de ellos es igual az.

,Viilni ion limemos ez = e' +3w = e[cos 3k + i sen 3/r] = -e. Por lo tanto logé?1*3*1'= log(-e) = L o g |-e | + ¡(arg(-e)). Mima bien, Log |-e| = Log e = 1 y el argumento principal de -e (número real negativu) es n. Así, arg(-e) = n + 2kn. Por lo tanto log e 1+3l" = 1 + i(n + 2kn),

k = 0, ± 1, ± 2 ,...

II mullido k = 1, obtenemos log e1+3m = 1 + 3 ni. Pero el valor principal de log e* '"'se obtiene con& = 0 y da Loge1+3” = 1 + m. M

I II K( ICIOS i m h iniiiu todos los valores del logaritm o de cada uno de los siguientes núm eros y especifique i l iilor principal en cada caso. Exprese sus respuestas en la form a o + ib. I

3. e‘*/3

2. IOi

•1

S. —1 +

i> / 3

6. Log i

I, Logd -4- /v/3)

8. ienh(l

+ ()

9. e le‘

(.'"iid+iv

llt

(tfserihn dos vulorcs principnlcs)

116

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s b á sica s

Encuentre los valores numéricos de cada una de las siguientes expresiones. Si el resultado es multiforme, escriba todos los valores. 12.

senh(log i)

13.

log(senh i)

14. ¿'-“«(‘.oga.og

Emplee logaritmos para encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones. 15.

ez = e 2+‘

16.

ez = e 2z

17. (e2 — l ) 2 = e 2:

18. (e2 - l) 2 =<?2

19. (e 2 -

20.

i) 3 = 1

e42 + e 22 + 1 = 0

21. e‘! = 1

Demuestre que si 9 es real, entonces:

23.

R e [lo g (re ‘" — 1)] = j L o g (l — 2 r eo s 0 + r 2) si r > 0 y rew ^ i

24 .

a ) C o n sid e re m o s la id e n tid a d lo g z, + lo g z2 = lo g (z,z2). Si z, = —ie y z2 = - 2 , d e te rm in e v a lo re s e sp e c ífic o s de lo g z ,, lo g z2 y lo g (z ,z 2) q u e sa tisfa g a n e sta id e n tid a d . b)

D a d o s z, y z2 c o m o en el a p arta d o (a), e n cu e n tre v a lo re s e sp e c ífic o s de lo g z h lo g z2 y lo g (z ,/z 2) q u e sa tisfa g a n la id e n tid a d lo g (z,/z2) = lo g z , - lo g z2.

25. C o n sid e re m o s la id e n tid a d lo g z" = w lo g z, d o n d e « es un e n te ro , que es v á lid a p a ra v a lo res a d e c u a d o s d e los lo g a ritm o s d e a m b o s lad o s de la e cu a c ió n . S e a z = 1 + i y n = 5. a) E n c u e n tre v a lo re s d e lo g

z" y

lo g z q u e sa tisfa g a n la e c u a c ió n n lo g z = lo g

b) ¿ S a tis fa c e n los v a lo re s d a d o s d e z y

n la

id e n tid a d n L o g

Log

z".

z”?

c) S u p o n g a m o s q u e n = 2 m ie n tra s q u e z p e rm a n e ce in a lte ra d o . ¿ S a tisfa c e n e sto s v alores

n L o g z = L ogz"?

26. ¿ C u á l es el e rro r e n el sig u ie n te ra z o n am ien to ? I2 = ( - 1 ) 2, p o r lo ta n to , lo g l 2 = l o g ( - l ) 2. A sí p u e s, 2 lo g 1 = 2 l o g ( - l ) , de d o n d e lo g 1 = l o g ( - l ) . P u e sto que c ero es uno de los v a lo re s p o sib le s d e lo g 1, c o n clu im o s q u e l o g ( - l ) = 0. D e sc rib a el p rim e r p a so e rró n eo . 27 .

E n e ste p ro b le m a c o n sid e ra re m o s la re la c ió n e n tre lo g (8 í)l/3 y 1/3 log(8;). a) D e m u estre q u e (1/3) lo g (8 /) = L o g 2 +

+ (2/3)kn), d o n d e /: = 0, ± 1 , ± 2 ,. ..

b) P ru eb e que lo g (8 /)l/3 = L o g 2 + i(Tt¡6 + (2/3)m n + 2 nn), d o n d e m = 0, l , 2 y « = 0 , ± 1 , ± 2 ,... P o r lo ta n to , e x iste n tre s c o n ju n to s d istin to s d e v a lo re s de lo g (8 /)l/3 (c o rre s p o n d ie n te s a m = 0 , 1 ,2 ). C ad a c o n ju n to c o n tie n e un n ú m e ro in fin ito d e e le m en to s. c) D e m u estre q u e el con ju n to de v alores p o sib les de lo g (8 /)l/3 es idéntico al con ju n to de v a lores p o sib les de (1 /3 ) lo g (8 /). E ste razo n am ien to p u ed e g en eralizarse p ara ( \lp) log z (d o n d e p es un entero ) y lo g íz 1^).

3 .5

1.5

A n a litic id a d d e la fu n c ió n lo g a r ítm ic a

117

ANALITICIDAD DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

\ Un de estudiar la analiticidad de la función log z, ocupémonos antes de la analiticiliul de la función univaluada Log z, es decir, la función creada para los valores princi pales.* Tenemos Log z = Log r + id,

r > 0,

—n < 8 < n .

(3.5-1)

1 s obvio que esta función no es continua en z = 0 puesto que no está definida en punto; tampoco es continua sobre la parte negativa del eje real ya que 8 no tiene limite en ningún punto de dicho eje (véase la Fig. 3.5-1). ( ibsérvese que todos los puntos del eje real negativo tienen argumento 8 = n. Por "lia parte, en el tercer cuadrante los puntos adyacentes al eje real negativo tienen arumento -n. Por lo tanto, al cruzar la parte negativa del eje real el argumento princi pal de z efectúa un “salto” de 2n. Sin embargo, Log z es univaluada y continua en el dominio D que consta del plaii" menos los puntos del eje real negativo y el origen. Hemos eliminado los puntos di discontinuidad. En coordenadas polares, con z = rew, podemos definir el dominio / 1 por medio de las desigualdades r > 0, —n < 8<n. Para que una función sea analítica ha de ser continua. Una vez que hemos descu la' rio un dominio D en el que Log z es continua, podemos preguntarnos si es analíti' .i ' n dicho dominio. -Esta pregunta ya ha sido contestada afirmativamente en el i i' inplo 2 de la sección 2.5. La función que se estudió en dicho ejemplo es precisami'iile la de la ecuación (3.5-1), pues Log r = Log-^/x2 + y 2 — (l/2)Log(;r + y2), y 8 arg z. Con todo, es conveniente repetir aquí el razonamiento en coordenadas polares. Expresemos Logz en la forma u(r, 8) + iv(r, 8). Usando la ecuación (3.5-1) ve mos que u = Log r, v = 6. (3.5-2) i Ir

i fas funciones están definidas y son continuas en D. De la ecuación (2.4-5), obtene11lo las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar: du dr

\ dv r dd’

1 du r dd

dv dr

Paia las funciones u y v definidas en la ecuación (3.5-2) se tiene du dr

1 r'

1da r d8

1 r'

dv dr

1 du r dd

' lamínente, // y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Además, las deri adas parciales du/dr, ch>!d8, etcétera, son continuas en el dominio D. Por lo tanto, la

' Estrictamente hablando, el adjetivo "iiiiivulundii" que liemos usado en la expresión “función iiiiivnliimlu" es reduiulunlc, puesto que uiui liineión es univnhimln por definición.

118

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n e s tr a s c e n d e n te s b á sica s

Figura 3.5-1

derivada de Log z debe existir en todo punto de este dominio, de modo que Log z es analítica en D. En la figura 3.5-2 se ilustra esta situación. Es fácil determinar la deri vada de Log z en este dominio de analiticidad. Sif ( z (r, 9)) = u{r, 6) + iv{r, 6) es analítica, la ecuación (2.4-6) proporciona una fórmula para / '( z). Usando esta ecuación y efectuando la sustitución e ,e = eos 6 -i sen 9 tenemos (3.5-3) Así, tomando las funciones u y ¿'definidas en la ecuación (3.5-2) obtenemos d — Log z

e~a

(3.5-4)

D o m in io de a n a litic id a d de L og z (so m b read o )

Flguru 3.5 2

3 .5

A n a litic id a d d e la fu n c ió n lo g a r ítm ic a

119

en el dominio D. En el ejercicio 1 de esta sección se presenta una deducción alternati\ i en la que intervienen u(x, y ) y v(x, y). La ecuación (3.5-4) nos recuerda que d(\ogx)/dx = \tx en el cálculo de variables reales. Nótese que la ecuación (3.5—4) no es válida en la parte negativa del eje real ni en el origen, pues estos puntos no pertenecen a D. Decimos que la función univaluada w(z) = Log z para valores de z pertenecientes al dominio D es una rama de log z. DEFINICIÓN Rama IJamamos rama de una función multiforme a una función univaluada y ana lítica en cierto dominio. En todo punto del dominio, la función univaluada debe tomar uno y sólo uno de los valores que puede tomar la función multiforme. □ Así, para especificar ramas de una función multiforme, es preciso contar con una tu.mera de elegir uno de los posibles valores de esta función y señalar el dominio de iii.iliticidad de la función univaluada resultante. I lomos usado la expresión Log z para denotar el valor principal de log z. El valor i i mcipal está definido para todo z excepto z = 0. También usaremos Log z para denoi H la rama principal de la función logarítmica. Esta función está definida para todo z • i epto z = 0 y los valores de z que se encuentran en la parte negativa del eje real. I lomos llamado D a su dominio de analiticidad. El contexto esclarecerá, en cada caso, i I o¡’ z denota el valor principal o la rama principal de la función logarítmica. El valor principal y la rama principal proporcionan los mismos valores salvo ■muido z es un real negativo. En tal caso, no es posible evaluar la rama principal, pero i el valor principal. Existen otras ramas de logz que son analíticas en el dominio D de la figura 3.5-2. '.i lomamos k = 1 en la ecuación (3.4-6), obtenemos/(z) = Logr + ;0 d o n d e^< 0 < i i Si z puede tomar cualquier valor en el plano complejo vemos que esta función es di-.continua en el origen y en todos los puntos de la parte negativa del eje real. Pero i 'ilos puntos no pertenecen a D. Cuando z pertenece a D tenemos r> Oy n< 9< 3ny, ' orno antes, dfldz = 1/z. El dominio D se crea eliminando la recta semiinfinita y = 0, x < 0del plano xy. I .Ir esun ejemplo de corte o corte deramificación (branch cut). DEFINICIÓN

Corte

I Jamamos recta de ramificación o corte a una recta que se usa para crear un dominio de analiticidad. □ Podemos crear otras ramas de log z que son analíticas en otros dominios. Considriemos la función /'(z)

Log r l 10,

donde

3n/2 < tí <, n /2 .

I .la función, como el valor principal de I ,og , está definida en lodoel plano cumple |o escoplo en el origen Es discontinua en el origen y en loda la parle positiva del e|c

1 20

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s bá sica s

Figura 3.5-3

imaginario. Tal como la hemos expresado, no es una rama de log z. Pero, si exigimos que z pertenezca al dominio Z), que se muestra en la figura 3.5-3, la función se con vierte en rama. El dominio D, se crea eliminando del plano complejo el origen y la parte positiva del eje imaginario. Cuando exigimos que z pertenezca a D t pedimos que r > 0 y que —3zr/2 < 8 < nt2. Como en el caso de la rama principal, podemos mostrar que la derivada de esta rama existe en todos los puntos de D { y que es igual a 1/z. El lector puede comprobar fácilmente que las funciones logarítmicas f (z) = Log r + id,

— —+ 2kn < 6 < —+ 2kn,

k = 0, +1, + 2,...,

son ramas analíticas para todo valor de k, siempre y cuando z pertenezca al dominio S i lo s dominios D y D¡ son sólo dos de la infinidad de dominios en los que pode mos encontrar ramas de log z. Ambos fueron creados por medio de un corte (o recta de ramificación) en el plano xy. Cuando, al establecer ramas de funciones multifor mes, todas las rectas de ramificación posibles tienen un punto en común, dicho punto se llama punto de ramificación de la función multiforme. El origen es un punto de ra mificación de log z. En efecto, los dos cortes que usamos para esta función pasaban por z = 0. En la sección 3.8 se presentan algunos procedimientos para determinar los puntos de ramificación de otras funciones. E JE M P LO 1 Consideremos la función logarítmica log z = Log r + id,

—-< ()< , — . 2

a) ¿Cuál es, en el plano complejo, el mayor dominio en el que esta función es una rama analítica de la función logarítmica? b) ¿Cuál es el valor numérico de log( 1 i) es esta rama?

\] 3 .5

A n a litic id a d d e la fu n c ió n lo g a r ítm ic a

F ig u r a 3 .5 ^ 1

121

F ig u r a 3 .5 -5

Solución \parlado (a): Está claro que la función no es continua en el origen pues log r no está •Ir Iinicia en dicho punto. Además, 0no es continuo en la parte negativa del eje imagi na! m El valor correspondiente a los puntos del eje imaginario negativo es 9 = 3n/2, mientras que los puntos del cuarto cuadrante arbitrariamente cercanos a dicho eje tie nen un valor de 9 cercano a -n/2, como indica la figura 3.5-4. Los puntos singulares !• la función dada se pueden eliminar por medio de un corte en el plano xy que vaya •leí origen al infinito a lo largo de la parte negativa del eje imaginario. Por lo tanto, la lunción considerada es una rama analítica de la función logarítmica en el dominio que • mi .la del plano xy sin el origen ni el eje imaginario negativo. \ imi lado (b): Una función analítica varía en forma continua en su dominio de analitiuhuí. Así, para llegar al punto -1 - i, desde un punto del eje x positivo, debemos usar l • 11 lyccloria que va en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se in d a a e n la figura 3 . 5 - 5 . El argumento 9 de los puntos del eje x positivo es 2 kn (donde ' un entero). Puesto que en el dominio de analiticidad tenemos -n/2 < 6 < 3n/2, es ■nIfiitc que k = 0. Por lo tanto, el valor inicial del argumento 9 es de 0 radianes, y el •luí linal en el punto - 1 - i es de 57t/4 . N o podemos usar la trayectoria indicada por I i lim a punteada en la figura 3 . 5 - 5 para llegar a este punto, ya que dicha trayectoria • i o a el corte y sale así del dominio de analiticidad. Así, la respuesta que buscamos es l<ig(

i) = Log| —1 —ij + i— = Log yj2 + i— = 0.3466 + i— .

I H IM P L O 2

el mayor dominio de analiticidad paraf(z ) h) ( ’alcule el valor numérico de/(O). 11

I lelcrmine

Log[z — (3

+ 4 /) ] .

Siiliiiión

\paiIndo (a): La función Log m es analítica en el dominio que consiste en el plano •i privado de lu recta semiinfinita Ini w 0, I tc w 0. Si w r- (3 I 4/), podemos

122

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s b á sica s

F ig u r a 3 .5 -6

F ig u r a 3 .5 -7

garantizar que la función sea analítica en el plano z eliminando todos los puntos que satisfagan simultáneamente las expresiones Im(z - (3 + 4/)) = 0 y Re(z - (3 + 4z)) < 0. Estas condiciones pueden volverse a expresar en la forma Im((x + iy) —(3 + 4/)) = 0 Re((x + iy) —(3 + 4¡)) < 0

o o

y — 4, x < 3.

En la figura 3.5-6 se muestra el dominio de analiticidad. Apartado (b):/(O) = Log(-3 - 4i) = Log 5 + i arg(-3 - Ai). Como se trata de la rama principal, exigimos que en el dominio de analiticidad —n< arg(-3 - 4z) < n. A partir de la figura 3.5-7, vemos que este valor de (-3 - 4z) es aproximadamente -2.214. Por lo tanto,/(O) = Log 5 - ¿2.214. M

E JE R C IC IO S I. Use la expresión Log z = 1/2 Log(x2 + y2) + i arg z, donde arg z = tan 1(y/x), o bien, donde sea necesario (x = 0), arg z ; n/2 tan 1(x/y), y la ecuación (2.3 6) o la ecuación (2.3 K) pura mostrur i|ue d(l.og .')/(/;: l/z en el dominio de la liguru 1.5 2. Cas Funcio nes inversas se evalúan de inl forma que arg .• sea el valor principal

E je r cic io s

123

S u p o n g a m o s que / (z) = log z = L o g r + iO,

0 < 0 < 2n.

a) D e term in e el m a y o r d o m in io d e a n a litic id a d p o sib le p a ra e sta función. b) C a lc u le el v a lo r n u m é ric o d e / ( - e 2). c) E x p liq u e p o r q u é n o p o d e m o s d e t e r m i n a r / ( e 2) en e ste d o m in io de a n alitic id ad . I ■•i r ■iilcrem o s u n a ra m a d e lo g z q u e sea a n a lític a e n el d o m in io c re a d o a p a rtir del c o rte x = 0, i

0 Si en e sta ra m a log(- l) = in. calcu le

log I

«i

log(

4. v/ 3 — i)

log(ie)

lo g ( —e — ie)

log(cis( — 37ü/4))

a d erem o s u n a ra m a de lo g z q u e se a a n a lític a e n el d o m in io c re a d o a p a rtir del c o rte x = y, II Si en e sta ra m a lo g 1 = í2 tc, calcu le

N log i II

lo g l^ J + i)

10.

lo g ( —^ / 3 - t- 1)

( o n s id e re m o s la fu n c ió n / (z) = L o g (z - i). a) D e sc rib a e l c o rte n e ce sario p a ra c re a r el m a y o r d o m in io de a n a litic id a d p o s ib le p a ra e sta fu n c ió n . b) C a lc u le el v a lo r n u m é ric o d e /( - /) ■ i ) I x p liq u e p o r q u é g(z) = [L o g (z - ¿)]/(z - 2 /) p o s e e u n a s in g u la rid a d en el d o m in io del a p arta d o (a), m ie n tra s q u e h(z) = [ L o g ( z -

¿)]/(z +

2 - 0 es a n a lític a e n to d o p u n to de

d ic h o d o m in io . I’

i) D e m u estre q u e la ig u a ld a d - L o g z = L o g ( l/z ) es v á lid a en to d o p u n to del d o m in io de a n a litic id a d de L o g z. I>) E n c u e n tre u n a ra m a n o p rin c ip a l d e lo g z tal q u e la ig u a ld a d - l o g z = lo g ( l/z ) no sea v á lid a en a lg u n o s p u n to s de su d o m in io de a n alitic id ad . Ju stifiq u e su re su lta d o .

P ru eb e q u e L o g [(z - l)/z ] es a n a lític a e n to d o p u n to d e l d o m in io d e fin id o p o r el p la n o z,

•i

M u estre q u e / ( z ) = L o g (z 2 + 1) es a n a lític a en el d o m in io m o stra d o e n la fig u ra 3 .5 -8 .

m en o s en la re c ta y = 0, 0 < x < 1. P o r lo tan to , n o to d o s los c o rte s son de lo n g itu d infinita.

'ingerencia: El d o m in io de a n a litic id a d n o d eb e c o n te n e r p u n to s ta le s que R e (z 2 + 1) 0 e Im (z 2 + 1) = 0. E s to im p lic a u n c o rte (o v a rio s ) d e fin id o s p o r R e ((x + iy)1 1)

0, lin ((x + iy)2 + 1) = 0. D e term in e q u é lu g a r g e o m é tric o satisfa c e e sta s dos

e c u a c io n e s. i~

i) D e m u estre q u e L o g (L o g z ) es a n a lític a en el d o m in io q u e c o n siste en el p la n o z co n un c o rle a lo larg o d e la re c ta y = 0, x < 1 (v é a se la Fig. 3 .5 -9 ).

Sugerencia: ¿ E n q u é p u n to s es a n a lític a la fu n c ió n L o g z q u e a p arec e en el in te rio r? , (Ju c re stric c io n e s es p re c iso im p o n e r a I ,o g z p ara q u e el lo g a ritm o e x te rio r sea una llm c ió n a n alític a ?

h) Determine </(Log(Lng :) )/d t dentro del dominio de analiticidad que se encontró en el apartado (a).

124

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s b á sica s

C ortes

Figura 3.5-8 c)

Figura 3.5-9

¿ Q u é c o rte d e b e u sarse p a ra c re a r el m a y o r d o m in io de a n a litic id a d p o s ib le p a ra L o g (L o g (L o g z ))?

16.

E l p o te n c ia l e le c tro stá tic o c o m p le jo

y) = <fi + iy/=

i= 0, se p u e xy y q u e p a sa

L o g ( l/z ), d o n d e z

d e g e n e ra r p o r m e d io d e u n a c a rg a e lé c tric a lin e a l p e rp e n d ic u la r al p la n o p o r z = 0. a) T race la s lín e a s d e c o rrie n te de e ste p o ten cial. b) T race las e q u ip o te n c ia le s c o rre sp o n d ie n te s a (f> = - 1 , 0, 1 y 2.

c) D e te rm in e las c o m p o n e n tes del c am p o elé ctrico e n un p u n to (x, y) cu alq u iera.

3.6

EXPONENCIALES COMPLEJAS

Si tenemos que calcular el valor numérico de 7 1'43, podemos recurrir a una tabla de lo garitmos (y antilogaritmos) y proceder de esta manera: en primer lugar, escribimos el número 7 en la forma eLo&7, de tal modo que 7 1'43 = (eLog7) '43. Ahora evaluamos esta expresión como e(l 43 Los7). Este procedimiento indica una definición para la expresión general zc, donde z y c son números complejos. Para z A 0 zc= ec(U>iZ). (3.6-1) Para evaluar ec(l0BZ) usamos la ecuación (3.1-1). Como sabemos, el logaritmo de z es una función multiforme. En consecuencia, zc puede poseer varios valores numéricos según sea el valor de c. Este resultado se estudia detalladamente en el ejercicio 14 de esta sección. No es difícil mostrar que si c es un número racional ntm la ecuación (3.6-1) proporciona valores numéricos idénticos a los que se obtienen en la ecua ción (1.4-13) para z"/m. E JE M P LO 1 Calcule 9I/2 usando la ecuación (3.6-1). Solución Ya conocemos, desde luego, los dos posibles valores de ú1' Pero suponiendo que no fuera asi iisurlumos la ecuación ( 1.6 I ) pura obtenerlos

3 .6

g 1 /2 _

^ 1 /2 log 9 _

— e 1/2

^ l/2 [L o g 9 + i(2/c7r)] _

E x p o n e n c ia le s c o m p le ja s

125

^ 1 /2 Log 9 + ikn

Log 9 [c o s (/c 7 r) + i s e n ( f c 7 i) ] ,

k =

0 , + 1, ± 2 , . . .

Sea cual sea k entero, la expresión contenida entre corchetes vale +1 o -1. El término i■' 1‘'g9 es igual a eLog3 = 3. Por lo tanto, 9I/2 = +3, que es el resultado conocido. A Si al calcular el valor de zl por medio de la ecuación (3.6-1) usamos el valor principal del logaritmo, obtenemos lo que se conoce como valor principal de zc. En el ejemplo anterior podemos tomar k = 0 para ver que el valor principal de 9I/2 es 3. ¡ H IM P L O 2 i .ileule 9” por medio de la ecuación (3.6-1). En este ejemplo queremos elevar un nú meroa una potencia real pero irracional. Si bien sabemos que la expresión z"tiene un iilo valor cuando n es entero, aún no sabemos cuántos valores tendrácuando n es Irracional. Solución I le la ecuación (3.6-1) tenemos gn _

gi i log 9 _

£,7r[Log 9 + i2k7t] _

^ n Log 9 + i 2 k n 2

_ gTTLog 9[cos(2/cn:2) + i sen(2/c7t2)] = e6-903[cos(2/c7r2) + i sen(2/c7r2)] = 995.04[cos(2/c7i2) + i sen(2/c7t2)],

k = 0, ±1, ± 2 ,...

Ilimando k = 0 vemos que el valor principal de 9*es aproximadamente igual a 995.04. \l \ al iar k se generan valores complejos de 9*. Todos estos valores son distintos, es •I*i n. no se repiten al variar k. A fin de comprobar que no puede ser de otra manera, u|HHipamos que los enteros k\ y k2 generan el mismo valor de 9*. Entonces cos(2/c,7t2) + i sen(2/c17r2) = cos(2/c27t2) + i sen(2/c27r2). I la ig u a ld a d s ó lo e s v á lid a si

2k, 7r2 - 2k2n2 = mu,

donde m es un entero par

H bien, si 71 —

m 2fc, - 2k2

------------------------- .

ni n es irracional, no puede expresarse como cociente de dos enteros. Por lo tanto, i i oposición inicial de que existen dos números distintos que generan el mismo valor ilthc ser luisa. M I ii el ejemplo anterior la variación de k en el conjunto de los números enteros gi ni ni un conjunto inlinito de valores distintos de 9". Este resultado se generaliza en • i ' icicicio 14 de osla sección y demuestra que: Si i

es un número irracional cualquiera, entonces

valores.

posee un conjunto infinito de

126

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s bá sica s

Consideremos ahora algunos ejemplos en los que c es un número complejo. E JE M P LO 3 Encuentre todos los valores de í y demuestre que todos son reales. Solución Tomando z = i y c — i en la ecuación (3.6-1), obtenemos ¿i _

e ¡ log

i _

gi[i(ir/2 + 2kit)) _

g - [it/2 + 2 k n ]

+ 1

+ 2

Resulta curioso que, comenzando con dos números imaginarios puros, obtengamos un conjunto infinito de números reales. Aparentemente fue Euler, en 1746, quien ob tuvo por primera vez este resultado tan contrario a la intuición. Obsérvese que toman do k = 0 obtenemos el valor principal i' — e~m. A E JE M P LO 4 Calcule (1 + í f + 4Í. Solución La fórmula de la ecuación (3.6-1) da como resultado (1 -f- ¿)3+4i = e (3 + 4í)(log(l + /))

= g(3+4l)tLo8JÍ+to*+7m _

^ 3 Log f í - n - 8/c7t + i ( 4 Log f í + Z n / A + 6 k n }

Con ayuda de la ecuación (3.1-1), esta expresión se convierte en e3 Log v7- " - 8^ [ COs(4 Log J l + 3n/4 + 6kn) + i sen(4 Log = ( l + i ) 3+4i,

+ 3n/4 + 6/ctt)] k = 0, + 1, ± 2,...

Obsérvese que podemos eliminar el término 6kn en esta ecuación. Cada valor de k proporciona un valor complejo distinto para (1 + i)3 +4'- El valor principal, que se ob tiene tomando k = 0, es e3 Log v/3_7I[cos(4 Log J l + 37r/4) + i sen(4 Log

+ 3ti/4)].

Los ejemplos 1-4 son casos particulares del siguiente resultado general paraz A 0: el número de valores distintos de zc es infinito excepto cuando c es un número racional. Existe un caso en el que esta regla no es válida: si z = e entonces, por definición, cal culamos ec por medio de la ecuación (3.1-1) y obtenemos un único valor. De no ha cerlo así, ciertos resultados bien conocidos, por ejemplo, e'"= - I no serían válidos. Si consideramos a z como una variable y si c no es un entero, z‘ es una función multiforme dez. Esta función posee diversas ramas cuyas derivadas podemos determi nar. La rama principal, por ejemplo, se obtiene introduciendo la rama principal de log z

3 .6

127

E x p o n e n c ia le s c o m p le ja s

>ii l.i ecuación (3.6-1). Esta rama de z c es analítica en el mismo dominio que Log z. I i >l>i ivada de cualquiera de las ramas se determina de la siguiente manera: z c = e c log ,]

zc =

r p C log 2

c „C l og 2

L e‘ log 2 = £ ?_____ =

----------= c e <c - >» '° e z = c z c“ \

e>ogz

•■ aliado de forma similar a un resultado bien conocido del cálculo real. Podemos ex|ut arlo como d . czc T z = — dz z

(3.6-2)

i •>In- lenerse cuidado de usar la misma rama de zc en ambos lados de esta ecuación. / / / MPLO 5

1 al< ule (d/dz)z2n enz = —8/ usando la rama principal. Solución

i 1 nulo la ecuación (3.6-2) con c = 2/3, vemos que tenemos que evaluar (2/3)z2/3/z en i i Empleando la rama principal tenemos, por la ecuación (3.6-1), (2/3) Log( - 8 i)

(2/3)

—

(2/3)[Log<8) + ¡< - n/2>]

= (2/3)

—8i

—

= (1/3) cís(jt/6).

— oí

I a expresión c2, donde c es una constante y z una variable, es igual a ez logc. Una i >|iic hemos elegido un valor válido de log c, vemos que ahora tenemos una función >ii in alnada de z que es analítica en todo el plano complejo. La derivada de esta exprei determina de la siguiente manera: — cz = — ez log c = ez l0Bc(log c) = cz log c. dz dz

(3 .6- 3)

I n MPLO 6 I >i leí mine (d/dz)i2. Solución

t i11. valdremos de la ecuación (3.6-3) tomando log i = Log i = in!2. Así pues,

i i limeión multiforme g(z)hiI) se define como ¿.M*) |o«(p(*))_ pste tipo de funciones se esImlia en los ejercicios 19 21 de esta sección. La rama principal se obtiene si usamos 11 lama principal del logaritmo

128

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s b á sica s

EJERCICIOS D e te rm in e to d o s los v a lo re s de las s ig u ie n tes e x p re sio n e s e n la fo rm a a + ib y señ a le c u ál es el v a lo r p rin c ip a l.

1. 1' 7.

2. (-O "1

3. ( y i + i r 3'

5. 2 ^

6. (e^y 9. (l + ¡ ta n 2)'

[L o g (¡)]s™'

10. (ta n 2 + i)'

Usando la ecuación (3.1-5) o la ecuación (3.1-7) demuestre que para toda terna de valores complejos a, p y z 12. Los valores de \lzp son idénticos a los de z 11. 13. Los valores de zuz^ son idénticos a los de z“ +/i. 14. Use la ecuación (3.6-1) para mostrar que a) si n es entero, z" tiene únicamente un valor que es el mismo que se obtiene por medio de la ecuación (1.4-2); b) si n y m son enteros y n/m es una fracción irreducible, z”,m tiene sólo m valores que son idénticos a los que se obtienen por medio de la ecuación (1.4-13); c) si c es un número irracional, z° tiene un número infinito de valores distintos; d) si c es complejo con Im c + 0, zc tiene un número infinito de valores distintos. 15. Este acertijo apareció en forma anónima en el número de la Primaverade 1989 de la Newsletter o f the N ortheastern Section o f the M athem atical A ssociation o f America. ¿Cuál es el error en este razonamiento? ¿La identidad de Euler?

U sa n d o la ra m a p rin c ip a l de c a d a fu n c ió n ev alú e 16.

f ( i ) s i / ( z ) = z 1/4

17. / ' ( —64i) si / ( z ) = z 7/6 18.

/ ' ( —9i) s i / ( z ) = z i/2

S e a / ( z ) = z 2, d o n d e se h a u sad o la ra m a p rin c ip a l. E v a lú e 19. 21 . 22.

20. /'(/)

f\z )

S e a / (z) = zsen 2 d o n d e se h a u sad o la ra m a p rin cip al. D e te rm in e / ' ( / ) . E n c u e n tre (d/dz)2cosh 2 u san d o v a lo re s p rin c ip a le s. ¿ E n q u é p u n to s del p lan o c o m p le jo es a n a lític a 2 coshz?

23. 24.

E n c u e n t r e / '! / ) s i / ( z ) = /(t’2) y se usan v a lo re s p rin cip ales. S e a /(z )

10,2,). E sta fu nción se ev u lú a de tul m an era que / '(z) seu real c u an d o z

te rm in e / ' ( I i /). ¿ E n qué p u n to s del p lan o c o m p le jo es a n alític a /(z)V

I D e

3 .7

•’v

129

F u n cio n e s trig o n o m é tr ic a s e h ip e r b ó lic a s in v e rsa s

S ea / (z) = 10(eZ). E s ta fu n c ió n se e v a lú a de ta l m a n e ra q u e \ f ( i n I2)\ = e~2K. E n c u e n tre

f '( z ) y f\in /2 ) .

1.7 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS E HIPERBÓLICAS INVERSAS '.i conocemos el logaritmo de un número complejo w, podemos encontrar el número por medio de la identidad elogw = w. Hemos aplicado el hecho de que la función expo nencial es la inversa de la función logarítmica. Supongamos que conocemos el seno de un número complejo w. Veamos si podenni:; encontrar ve y si este número está determinado de manera única. Sea z = sen w. Llamamos al valor de w are sen z, o sen"1z; estas expresiones deunian, pues, el número complejo cuyo seno es z. A fin de determinar w, observemos

que elv —e~,w T. • 2i I•uñando ahorap = e'wy 1tp = e~nv en la ecuación (3.7-1) tenemos z=

(3.7-1)

P - 1/P . z = --------2i ' 111ll ipl ¡cando esta ecuación por 2ip y reordenándola, encontramos que 2izp = p2 — 1,

p2 —2izp —1 = 0.

l'• 'demos despejar p de esta ecuación usando la fórmula cuadrática: p = zi + (1 - z2)1/2,

e‘w = zi + (1 - z2)1/2.

ti tora lomamos el logaritmo de ambos lados de la última ecuación y dividimos el reillliulo entre i para obtener w

log(zi

— Z 2 ) 1/2)

\ como w = sen 1z, sen~‘ z = —i log(zi + (1 —z2)1/2).

(3.7-2)

Carecería entonces que hemos encontrado una fórmula explícita para el número ■"inplejo cuyo seno es igual a un número z dado. Sin embargo, las cosas no son tan «ni illas pues el resultado es multiforme. Podemos elegir dos valores igualmente vá11<I«»•• para la raí/, cuadrada que aparece en la ecuación (3.7-2). Una vez que hemos ( || gldo un valor, existe un número infinito de valores posibles para el logaritmo de 1(1 • l1' I n resumen, vemos que, debido a la raíz cuadrada y al logaritmo, hay «los conjuntos distintos de valores de sen 1 , cada uno de los cuales posee un número nilmilo de elementos I I caso I I es excepcional; los dos conjuntos se vuelven

130

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s bá sica s

idénticos y sólo existe un conjunto infinito de valores. Para asegurarnos de la validez de la ecuación (3.7-2) usémosla para obtener un resultado bastante conocido. E JE M P LO 1 Calcule sen~'(l/2). Solución Vemos, de la ecuación (3.7-2), que 1/2

\) =

l°g

Tomando la raíz cuadrada positiva de 3/4 tenemos i ) = - i log

= —i log(l/n/6) = — h 2kn,

k = 0, + 1, ± 2,...,

mientras que si tomamos la raíz negativa de 3/4 obtenemos - i log

- x /3 2

5n i = —1log ( 1I15n j j -) = — + 2kn,

k = 0, ± 1, ± 2,... A fin de que estas respuestas adquieran un aspecto más familiar, expresémoslas en grados. El primer resultado indica que los ángulos cuyo seno es 1/2 son 30°, 390°, 750°, y así sucesivamente; en tanto que el segundo indica que los ángulos correspon dientes a este mismo valor del seno son 150°, 510°, 870°, etcétera. Desde luego, ya co nocíamos estos resultados de trigonometría elemental. M El siguiente ejemplo no tendría solución en un curso de trigonometría de ense ñanza media, donde sólo se emplean números reales. E JE M P LO 2 Encuentre todos los números cuyo seno es 2. Solución De la ecuación (3.7-2) tenemos sen-1 2 = - i log(2z + (-3)1/2). Los dos valores posi bles de (-3)l/2 son ± zV3 . Tomando la raíz positiva el resultado es sen-1 2 = —¿log[2¡ + iy j3] = - i Log(2 + z'1.317,

+ ¿ (- + 2kn

fc = 0, ±1, ±2,

mientras que tomando la raíz negativa obtenemos 2 = - i log(2i - i j 3) = - i Log(2 2kn

l ¿1.317,

\/3 ) + i( - + 2/c7t

3 .7

131

F u n cio n e s trig o n o m é tr ic a s e h ip e r b ó lic a s in v e rsa s

Para comprobar la validez de ambos conjuntos de resultados usamos la ecuación i.2-9); y tenemos ^ + 2kn ) ± (1.317 = sen^ + 2kn^j cosh( 1.317) ± i cos^ + 2kii^j senh( 1.317) = cosh(1.317) = 2.000

(con cuatro cifras significativas). ^

De la ecuaciónz = eos w podemos despejar w, que llamaremos are cosz o cos~' z. I I procedimiento es similar al que acabamos de usar para calcular sen-1 z. Así eos-1 z = —i log(z + i(l —z2)1/2).

(3.7-3)

lambién podemos despejar w de z = tan w (es decir, obtener ta n 1z) con el siguiente resultado: =

: , 0 6 ( l ±

)

(

)

No es difícil mostrar que las expresiones para eos 1z y sen~' z que acabamos de obtener son reales si y sólo si z es un número real tal que -1 < z < 1. Por lo tanto, sen w y z = eos vv tienen soluciones reales ve únicamente si z es tal que -1 < z < 1. I >e lo contrario, ve es un número complejo. 1Jsando las ecuaciones (3.2-9) y (3.2-10) podemos comprobar fácilmente que ■n(ie) = cos(2kn + n/2 - ve), donde k es un entero cualquiera. Esta es la generali•.n ión de un resultado que el lector aprendió en sus cursos de trigonometría eleinrnlal. Así, si z = sen vv = cos(2kn + n/2 - ve) podemos decir quesen~'(z) = ve y que eos '(z) = 2kn + n/2 - vv, de donde deducimos que sen_ 1(z) + cos_1(z) = 2kn + n/2. 1 (uno sen '(z) y eos 1(z) son funciones multiformes, podemos afirmar que deben exisiH v.dores de estas funciones que satisfagan la ecuación anterior. Sin embargo, no to<l" los valores de las funciones trigonométricas inversas satisfacen esta ecuación, '.opongamos, por ejemplo, que tomamos z = 1 / sen~'(z) = zr/4, cos_1(z) = -n!4. I o ecuación no se satisface. Pero si tomamos cos“'(z) = n/A, la ecuación se satisface icoa k 0. En el ejercicio 3 comprobaremos que, usando la misma rama de (z2 - l )l/2 ■o las ecuaciones (3.7-2) y (3.7-3), la ecuación sen~'(z) + cos~‘(z) = 2kn + n/2 se sair.laec sea cual sea la rama del logaritmo que escojamos. I as funciones que aparecen del lado derecho de las ecuaciones (3.7-2), (3.7-3) y i l / I) son ejemplos de funciones trigonométricas inversas. Las funciones hiperbóiii inversas se pueden obtener de manera similar. Así senh 1 z

log(z + (z2 + 1)1/2),

(3.7-5)

cosh 1 :•

log(z + (z2 - 1)I/2),

(3.7-6)

' log( ' ' ‘ j

(3 .7- 7)

tanh 1 r

132

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s bá sica s

Todas las funciones inversas que hemos obtenido en esta sección son multifor mes. Todas poseen ramas analíticas. Por ejemplo, podemos obtener una rama de s e n z a partir de la ecuación (3.7-2) especificando antes una rama de (1 - z 2) l/2 y lue go una rama del logaritmo. Una vez hecho esto, podemos diferenciar nuestra rama en su dominio de analiticidad. En la siguiente sección nos ocuparemos más detenidamen te del tema general de las ramas. Diferenciando la ecuación (3.7-2) tenemos A se n -1 z = j ( - i log[z¿ + (1 - z2)1/2]) = —

/2.

(3.7_8)

Para que esta identidad sea válida es preciso usar la misma rama de (1 - z 2) l/2 en la de finición de s e n z y en la expresión de su derivada. A continuación se presentan otras fórmulas que se obtienen diferenciando ramas

eos - 1 z = — A —, (1 - z 2)1/2’

(3.7-9)

d 1 — tan 1 z = ------ , , dz (1 + z2) — sen h

(3.7-10)

1 z = ------ \ (1 4- z )

(3.7-11)

- 1i —— ,, —dd Ccosh-l O ShK - l Zz == — — ---------

(3.7-12)

- l 1 z = — Z 7T^TIVdz tanh" l z = (1 —z )

(3-7-13)

(z2 - 1)1/2

—d t a n hu

EJERCICIOS 1. a ) D e d u z c a la e c u a c ió n (3 .7 -3 ). c) 2.

b ) D e d u z c a la e c u a c ió n (3 .7 -4 ).

D e d u z c a la e c u a c ió n (3 .7 -5 ).

a ) D e m u e s tre q u e si d ife re n c ia m o s u n a ra m a de are e o s z o b te n e m o s la e c u a c ió n (3 .7 -9 ). b ) O b te n g a la e c u a c ió n (3 .7 -8 ) o b serv an d o q u e p o d e m o s d e sp e ja r dw /dz de

= sen

( d z \2

w = (1 — e o s w ) = 1 — I —

\d w j

c) O b te n g a la e c u a c ió n ( 3 .7 - 1 1 ) d ire c ta m e n te d e la e c u a c ió n ( 3 .7 - 5 ) ; o b té n g a la ta m b ié n p o r m e d io d e u n p ro c e d im ie n to s im ila r al q u e se u só en el a p a rta d o (b ) d e e ste e je rc ic io . 3.

Pruebe que si se usa la m ism a rama de (z2 tiene sen '(z) + eo s '(z) en dichas ecu aciones

2 kn l

n 12 sen

l ) l/2 en las ecu aciones (3.7 2) y (3.7 3) se o b cual sea la rama que se elija para el loguritmn

3 .8

M á s a c e rc a d e p u n to s y c o r te s d e ra m ific a c ió n

133

I n c u e n tre to d a s la s s o lu cio n es de la s sig u ie n te s e cu a c io n e s. 4.

eos vv = 2

se n h w = ¿■n/ 3

10.

se n [c o sw ]= 0

6. sen vv = 1 + i

8. s e n h 2 w = i

9. ta n z = log i

11. s e n h [ c o s w ] = 0

12. c o s h -1 w = 3 + 4/

Iix p liq u e p o r q u é, o p o r q u é n o, la s sig u ie n te s e c u a c io n e s so n v á lid a s en g e n eral. a) ta n -1 (ta n z ) = z

1 I.

5. co sh w = i

b ) ta n (ta n -1 z) = z

b x p liq u e p o r q u é los v a lo re s d e s e n t f 'x q u e p ro p o rc io n a n las ta b la s y las c a lc u la d o ra s de b o lsillo so n ig u a le s a los q u e se o b tie n e n m e d ia n te la e x p re sió n L o g (x +

Vx2 + 1 ). S e ñ a

le las ra m a s q u e se u sa n en las fu n c io n e s d e la e cu a c ió n (3 .7 -5 ). 15,

a) M u estre q u e si z es real, es d ecir, z = x, te n e m o s e n to n c e s, a p a rtir d e la e c u a c ió n (3 .7 -5 ), sen h -1 x ~ L o g (2 x ) si x »

1 y sen h -1 x = -L o g ( 2 |x |) si x • « - 1 . C o m ie n c e c on

el re su lta d o del e je rc icio 14. b) U sa n d o u n a c a lc u la d o ra d e b o ls illo c o n fu n c io n e s h ip e rb ó lic a s in v e rsa s y lo g a ritm o s na tu ra le s, c o m p a re el v a lo r d e se n h -1 x c o n el de lo g (2 x ) p a ra x = 1, 2, 3, 4. lo

P ru eb e q u e ta n h -1(e'") = (1 /2 ) lo g (t c o t(0 /2 )).

i '

I n c u e n tre u n a fó rm u la s im ila r a la a n te rio r p a ra ta n - '( e 's ).

U se la e c u a c ió n (3 .7 -2 ) y la d e fin ic ió n d el c o se n o p a ra d e m o stra r q u e c o s(se n -1 z ) = (I

i •)

z 2)'12.

I n c u en tre u n a fó rm u la sim ila r a la a n te rio r p a ra s e n h [co sh -1 z]

MÁS ACERCA DE PUNTOS Y CORTES DE RA M IFICA CIO N

I ludidnos las ramas y dominios de analiticidad de funciones de la forma (z - z0)c, dtuiilf y c son constantes complejas. Si c es entero, la función es univaluada (es deii. no liene ramas), por lo que no nos ocuparemos de este caso. Sin embargo, si c no ■ulero la función es multiforme. De la ecuación (3.6-1) tenemos (z —z0)‘ = ec log(2_Zo).

(3.8-1)

o •„ es punto de ramificación de log(z - z0), también lo es de (z - zQ)c. A fin de ■ miliar las ramas d e (z -z n)cy de combinaciones algebraicas de expresiones semejanii , introduciremos un sistema de coordenadas polares centradas en los puntos de raiM11a ación y examinaremos cómo cambian de valor nuestras funciones al rodear sus inultos de ramificación. ( onsideremos, por ejemplo, la función/ (z) = z m. Haciendo r = | z |, 9 = arg z, li tando la ecuación (1.4-12) con m = 2, obtenemos /(*)

sf r i ‘imykn\

fe = 0,1.

(3.8-2)

i lli i lia debe comprobar que éste es el resultado obtenido si hacemos z = re'tí, z0 = 0 y 112 en la ecuación (18 I ) Supongamos que tomamos fe 0 en la ecuación (3.8 2)

134

C ap ítu lo 3

Las funciones tra sc en d en te s básicas

Figura 3.8-1

y recorremos el círculo de radio r de la figura 3.8-1 en el sentido de las manecillas del reloj. Comenzando en el punto a y tomando 9 = n, tenemos, a partir de la ecuación (3.8-2), que/(z) = i r em!1 = ¿ ir . Si ahora recorremos el círculo avanzando en el sentido de las manecillas del reloj hasta el punto b, donde 9 se ha reducido a n/2, la ecuación (3.8-2) indica que/(z) = i r e"1'4. Avanzando hasta el punto c, donde 9 = 0 , tenemos f( z ) = i r . Avancemos ahora hasta a en el sentido de las manecillas del reloj; si emprendemos otra vuelta alrededor del círculo tendremos ahora en a, 9 = - n y f (z) = i r <A"“2 = - i i r . Avanzando hasta b, donde 9 = -3 n/2, vemos que /(z) = i r e~l3n/4. Trasladán donos hasta c, donde 6 = -2 n, tenemos /(z ) = - i r . Volviendo al punto a y empren diendo otra vuelta, tenemos 9 = - 3 n y f( z ) = i r e~'3rf2 = i-J r. Éste es el valor que obtuvimos inicialmente en a. La tercera vuelta alrededor del círculo proporciona los mismos valores de / (z) que la primera. No se obtienen ya nuevos valores de/ (z) recorriendo el círculo, como el lector podrá comprobarlo. Rodeando dos veces el punto de ramificación z = 0, hemos encontrado valores de z l/2 que corresponden a dos ramas distintas de esta función. En la primera vuelta generamos valores de z z. Esta es la rama principal y es analítica en el mis mo dominio que Log z (véase la Fig. 3.5-2). En la segunda vuelta encontramos valo res correspondientes a la otra rama de z1/2, que es analítica en todos los puntos de este dominio. Está dada porzl/2 = el/2[Logz + = _e1/2L°sz_ Este comportamiento se presenta en general en todos los puntos de ramificación. Rodeando un punto de ramificación se pasa de una rama de la función considera da a otra.f Si hi (unción posee varios puntos de ramilieueión (véase el ejemplo 3 de esta sección), rodear uno solo de los puntos de ramilieueión siempre nos lleva a otra tama de la luneión, com o vete moa, rmleai dos o más punios de rnmllieueión no provoca necesariamente esta transición.

3 .8

M á s acerca d e p u n to s y c o r te s d e r a m ific a c ió n

135

I i Irayectoria no tiene que ser circular (como en el caso estudiado) para que esto ocuri a Basta con que sea una trayectoria cerrada alrededor del punto de ramificación. A fin de evitar el paso de una rama a otra al recorrer una trayectoria, podemos i (instruir un corte en el plano z y no cruzarlo nunca. 111 corte se considera como una barrera que impide rodear el punto de ramificación. 1 >bien, podemos crear un dominio consistente en el plano z menos los puntos del corn I xisten ramas de la función que son analíticas en todo el plano “cortado”. Pode mos especificar una rama particular proporcionando su valor en un punto del plano >orlado (véase el ejemplo 1 de esta sección). Usando esta rama en trayectorias conte nidas en el dominio, no es posible pasar de una rama de la función a otra. / H IM P L O 1 I misideremos una rama de zl/2 que sea analítica en el dominio que consiste en el pla no privado de los puntos del corte y = 0, x < 0. Si z = 4, la función multiforme z l/2 igual a +2 o —2. Supongamos que, en nuestra rama, zl/2 = 2 cuando z = 4. ¿Qué val<n loma esta rama cuando z = 9 [ - 1/2 —1^ 3/2]? S a l lic ió n

Haciendo |z| = r y 6 = argz tenemos z 1/2 = y/ r e iie/2+kn\

* = 0,1.

(3.8-3)

lomaremos 0 = 0 cuando z = 4. Entonces, la condición de que (4) l/2 = 2 implica i|in' k 0 en la ecuación (3.8-3). Conforme avanzamos hasta 9[—1/2 - z’V3/2] a lo luí 11o de la trayectoria de la figura 3.8-2, el argumento 0 de la ecuación (3.8-3) vaII i cu forma continua de 0 a -2n/3, y r = |z| aumenta de 4 a 9. Tomando * = 0 en la ■i nación (3.8-3) tenemos en z = 9[—1/2 - i^¡3 /2\ que z 1/2 = ^ 9 eiil/2H~2lt/3) = 3[l/2 - ij3 /2 \. ' ib .crve.se que la rama que hemos elegido no nos permite llegar a 9[—1/2 - ; V3/2] por i i ii lyccloria punteada de la figura 3.8-2, pues esto nos sacaría del dominio de anad ie alud de dicha rama. Además, sería necesario cruzar el corte. Para la rama considerada, podríamos haber tomado 0 = argz = 2 n cuando z = 4. I a condición 4 I/2 = 2 nos obligaría entonces a tomar k = l en la ecuación ( 3 .8 - 3 ) . i 1 rindo la trayectoria permitida de la figura 3 .8 - 2 , que ahora va de 0 = 27ra 0 = 2 n — ' ‘i ' concluiríamos de nuevo que cuando z = 9[—1/2 - ¿V3/2] tenemos zl/2 = 3[ 12 I >JM2\. I la ecuación (3.6-2), la derivada de una rama cualquiera de zl/2 en su dominio <I* uiialilieidad está dada por 1 . 1/2 . dz ‘

1 ( 2 z l/2)

. be debe usar la misma rama de 1 en ambos Indos de esta ecuación.

136

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s bá sica s

Figura 3.8-2

E JE M P LO 2 Consideremos la función (z - l ) l/3 y construyamos un corte en la recta y = 0, x> 1. ¿Qué valor toma la función cuando z = 1 + i si elegimos una rama cuyo valor es un número real negativo cuando y = 0, x < 1? Solución Definamos las variables rx = \ z - 1|, 0, = arg ( z - 1) (véase la Fig. 3.8-3). De la ecua ción (1.4-12) con m = 3 tenemos (z - 1)1/3 = 3fiTe*W+2i<*/3)3

k = 0,1,2.

(3.8-4)

Tomando 0, = n en la recta y = 0, x < 1 obtenemos (z - 1)1/3 = 3fiTei'n/3+2k*/3'.

(3.8-5)

El lado izquierdo de la ecuación se convierte en un número real negativo si tomamos k = 1 en la ecuación (3.8-5). Avanzando hasta 1 + /desde un punto cualquiera de la rectay = 0, x < 1 vemos que //, se reduce a n/2 y que /*, = 1. I,a trayectoria que se usa en la figura 3.8 3 no puede cruzar el corte. Introduciendo estos valores de y //, en la ecuación (3.8 4) (y haciendo A I ). leñemos, en I I i,

3 .8

137

M á s a cerca d e p u n to s y c o r te s d e r a m ific a c ió n

(z - 1)1/3 = i 1/3 = y ? ei5n/e = - J l / 2 + i/2. E JE M P LO 3 ( onsideremos la función multiforme f( z ) = zl/2 (z - l) i/2. a) ¿Cuáles son los puntos de ramificación de esta función? Compruebe que son efectivamente puntos de ramificación rodeándolos y pasando de una rama de / (z) a otra. b) Demuestre que rodeando ambos puntos de ramificación a la vez no pasamos a otra rama de / (z). c ) Señale algunos cortes que podrían evitar el paso de una rama de/ (z) a otra. Solución A|ilu tado (a): El primer factor z1/2 tiene un punto de ramificación en z = 0, y el segun do (.: I )l/2tiene por punto de ramificaciónz = 1. Por lo tanto, suponemos que el pro ducto tendrá puntos de ramificación z — 0 y z = 1. Comprobaremos que z = 1 es un punto de ramificación. La demostración de que z = 0 es punto de ramificación es muy Nlmilar.

leñemos (véase la Fig. 3.8-4a) zi/2 = ^

e¡(«/2u ,i

(3 .8- 6)

donde 0 = argz y r = |z|; y (Z _ 1) ^ = J J eW * \

(3.8-7)

donde |z - 1| = r, y 0, = arg(z- 1). Así, f ( z ) = z 1/2(z - 1)1/2 = y / r I ^ 9 + kn J J j h s i + mn,

(3.8-8)

donde k y m son enteros determinados. Rodeemos ahora z = 1 usando la trayectoria

11 ó, donde <5< 1 (véase la Fig. 3.8-4b). Partiendo del punto a, tomamos 8 , = 0, (i, /'| 8, r = 1 + ó. Introduciendo estos valores en la ecuación (3.8-8) tenemos /(z) = y j\ + S/kn J~ó/mn = J ó + ó2/{k + m)7i .

(3.8-9)

P11 uniendo el círculo | z - 1| = duna vez en el sentido opuesto al de las manecillas d. I iclnj, vemos que, al volver al punto a, 8¡= 2n, mientras que 0 ha vuelto a cero tras i* ilu variación. Con estos valores en la ecuación (3.8-8) tenemos /(z)

J\ +

J ó /n + mn = ~ J ó + ó2/(k + m)n.

(3.8-10)

' i iiiiii el valor de / (z) en a ya no es el valor que obtuvimos en principio (véase la Ec. I 9), liemos pasado a otra rama de / (z). I I razonamiento anterior no requiere que la n iM-eloi'ia sea circular Se obtiene el mismo resultado usando cualquier trayectoria II

nada 11uc rodee az

I excluyendo a :

138

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s bá sica s

Figura 3.8-4

Apartado (b): Una trayectoria cerrada arbitraria rodea los puntos de ramificación z = 0 y z = 1, como se muestra en la figura 3 .8 - 5 . Evaluemos/ (z) en un punto cual quiera P de la trayectoria. Tenemos argz = a y arg(z- 1) = p. Sustituyendo, respecti vamente, 8 y 8¡ por estos valores en la ecuación ( 3 .8 - 8 ) y combinando los argumentos tenemos f(z) =

+ P) + (k +

(3.8-11)

Recorriendo una vez la trayectoria de la figura 3.8-5 en la dirección indicada y vol viendo a P, tenemos argz — 8 = a 8-2n y arg(z- 1) = 0, = /3 + 2n. Usando estos va lores en la ecuación (3.8-8), obtenemos f(z) = V ^ \/u / ^(a + P) + 2n + {k + m)n.

F i g ii r n 3 .8

(3.8-12)

3 .8

M á s a c e rc a d e p u n to s y c o r te s d e r a m ific a c ió n

139

y Corte

C orte

(b)

(c)

Figura 3.8-6 ■i ex presamos las ecuaciones (3.8-11) y (3.8-12) en forma cartesiana, obtenemos va11*ii . numéricos idénticos ya que la diferencia de 2n en los argumentos no afecta las ' >mii denudas cartesianas. Por lo tanto, al rodear ambos puntos de ramificación z = 0 y I no pasamos a otra rama de la función/(z). Sin embargo, existen funciones tales 11n al rodear dos o más puntos de ramificación sí se cambia de rama. Este resultado se i India en el ejercicio 10. \ parlado (c): Si recorremos una trayectoria cerrada alrededor de uno solo de los punlo'i de ramificación dezl/2 (z - l) l/2, pasamos de una rama de esta función a otra. En las imnas 3.8-6(a) y (b) se muestran algunos ejemplos de cortes que impiden rodear un iainlo de ramificación. Acabamos de ver que si efectuamos un circuito completo alret dor de cualquier trayectoria cerrada que encierre ambos puntos de ramificación, no ' amblamos de rama. En la figura 3.8- 6(c) hemos construido un corte que nos obliga a midear ambos puntos de ramificación simultáneamente. Observación: El corte más conveniente depende del dominio en que queramos que la rama sea analítica. Por ejemplo, en la figura 3.8-6(a) podemos obtener una mina de / (z) que sea analítica en todos los puntos de un dominio consistente en el plano menos los puntos de las rectas y 0, x S 0 e y = 0, x S 1. Sin embargo, si dei asemos una rama de,/ (z) que fuese analítica en y 0, x = 2, por ejemplo, podría mos muir los curies que se miieNtran en las figurus 3.8 6(b)o(c). ^

140

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s b á sica s

EJEM PLO 4 Supongamos que elegimos una rama/ (z) de zl/2(z - l )l/2 que sea analítica en el plano cortado de la figura 3.8-6(b). ¿Cuál es el valor de / ( - 1 ) si /(1/2) = i!2? Solución I Isando la notación del ejemplo 3 tenemos, a partir de la ecuación (3.8-8), que (3.8-13) línz = 1/2 tomamos 9 = arg z = 0, r = \z \ = 1/2, 0, = arg(z- 1) = n, r, = \ z - 1| = 1/2 (véase la Fig. 3.8-7). Así pues, la ecuación (3.8-13) se convierte en

Tomando k + m = 0 (o cualquier otro entero par) imponemos a nuestra rama la con dición / ( 1/2) = i/2. Trasladándonos ahora a z = -1 sobre la trayectoria indicada en la figura 3.8-7, vemos que 6 = -n, r = \ z \ = 1, 0, vuelve a tomar el valor re tras cierta variación, r, = \z - 1| = |-2| = 2. Introduciendo estos valores en la ecuación (3.8-13) y toman do k + m —0 obtenemos / ( - 1) = 7 1 / ~

+ kn 7 2

j^+ mn =

= ^2.

Obsérvese que la trayectoria que va de 1/2 a-1 en la figura 3.8-7 no sale del dominio de analiticidad.

y Corte

Trayectoria

Fluurii 3.H 7

E je r c ic io s

141

EJERCICIOS < icrta ra m a d e z l/2 se d e fin e p o r m e d io d e l c o rte x = 0 ,y < 0. Si e sta ra m a d e f ( z ) tie n e el v a lo r c u a n d o z = 4, ¿ q u é v a lo re s to m a en los sig u ie n tes p u n to s? C a lc u le ta m b ié n el v a lo r de / ' ( z ) cu c a d a pu n to . I.

-1 - i

4. 9 — 9 /^ /3

i icria ra m a d e la fu n c ió n (z - 1)2/3 se d e fin e p o r m ed io d el c o rte x = 1, y < 0. Si d ic h a ra m a / (c) es igual a 1 c u an d o z = 0 ¿ cu á n to v a le n / ( z ) y f '( z ) e n los s ig u ie n tes p u n to s? 1+8/ 9.

6 .-1

8. 1/2 — 1/2

( ’ierta ra m a de (z2 - l ) l/2 se d efine p o r m ed io de u n corte a lo largo del s e g m e n to - 1 < x < \ ,y 0. a) D e m u estre q u e lo s p u n to s z = ±1 so n p u n to s d e ra m ific a c ió n de e sta función. b) C o m p ru e b e q u e, si ro d e a m o s e sto s p u n to s d e ra m ific a c ió n re c o rrie n d o u n a v e z la e lip se

jc2/2

+ y 2 = 1, n o c am b iam o s de ra m a de la fu n c ió n . P rese n te un a rg u m e n to sim ila r

en el a p a rta d o (b ) del e je m p lo 3. I(I

( 'o n s id e re m o s la fu n c ió n m u ltifo rm e z 1/3(z - l ) l/3. a) R o d ea n d o los p u n to s z = 0 y z = 1, d e m u e stre q u e so n p u n to s de ra m ific a c ió n de e sta fu n ció n . b) ( 'o m p ru e b e q ue, e n c o n tra ste co n el caso d el e je m p lo 3, el seg m e n to y = 0, 0 < x < 1, qu e v a d e un p u n to d e ra m ific a c ió n al o tro , n o p u e d e u sarse c om o c o rte p a ra d e fin ir una ra m a d e e sta fu n ció n . i ) I )e te rm in e c o rtes a d ec u a d o s p a ra d e fin ir Una ram a.

>11'• iligam o s q u e c ie rta ra m a de (z2 - l ) l/3 es ig u al a - 1 c u an d o z = 0. L o s c o rte s e stá n d e fin i■li ■ | >«ii r

0, |x | > 1. ¿ Q u é v a lo re s to m a e sta ra m a e n lo s s ig u ie n tes p u n to s?

•i

' a .-(les p u n to d e ra m ific a c ió n de d o s fu n c io n e s ¿lo es ta m b ié n fo rzo sa m en te del p ro d u c to

12.

13.

1+/.

ile d ic h a s fu n c io n e s? Ju stifiq u e su re s p u e s ta p o r m e d io d e u n ejem p lo . II

Si ,rn es p u n to d e ra m ifica c ió n de f ( z ) ¿lo es ta m b ié n n e c e s a ria m e n te de

E x p liq u e

su respuesta. 'ii|Min|i,muos q u e c ie rta ram a d e z -l/4(z 2 + 1) to m a v a lo re s n e g a tiv o s p a ra y = 0, x > 0, y que 1111\ mi c o rle a lo larg o de la re c ta s e m iin fin ita x = y , y > 0. ¿ Q u é v a lo re s to m a la fu n c ió n en los 1 1| I II I l i l e s

III 19

p u n to s ?

17.

18.

a) ( o n s id e re m o s la fu n c ió n /'(z ) c o rle v

- I - / lo g (l + z l/2) y u n a ra m a de z l/2 d e fin id a p o r m e d io del

ü, i ■ ó. D em u estre q u e si lo m am o s z l/2 > 0 c u an d o z es real y p o sitiv a , en to n -

ccs p o d e m o s encontrar una ram a d el lo g u ritm o tal q u e / ( z ) sea a n a lític a en to d o el p la no c o rta d o d efin ido p o r el corte c o n sid erad o .

142

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s b á sica s

b) Supongamos que, usando el mismo corte, tomamos ahora zl/2< 0 cuando z es real y po sitiva. Explique por qué no es posible encontrar una rama del logaritmo tal que/ (z) sea analítica en todo punto de este plano cortado. c) Encuentre/'(O Para Ia rama del logaritmo usada en el apartado (a). Consideremos la función sen-1 z = - i log(zi + (1 - z2)1/2). Supongamos que usamos una rama de esta función definida de la siguiente manera: se emplea la rama principal del logaritmo, (1 - z 2)'12 = 1 cuando z = 0, y los cortes están dados por y > 0, x = ±1. ¿Cuánto valen esta fun ción y su derivada en los siguientes puntos? 20.

21. 3

2 2. 1 - i

Consideremos la rama de zl/2 definida por el corte y = 0, x < 0. Si para esta rama 11/2 = -1, diga si las siguientes ecuaciones tienen solución o no dentro del dominio de analiticidad de la rama. Encuentre la solución en caso de haberla. 23.

z 1/2 - 3 = 0

26. z 1/2 - 1 - ú / 3 27.

28.

24. z 1/2 + 3 = 0

25. z 1/2 + 1 +

= 0

Encuentre todas las soluciones de i2 + i '2 = 0 en el plano complejo. Use los valores prin cipales de las funciones. Consideremos la rama principal de z'. Sea z' = a + ib, donde a y b son reales. Si z = r cis 9,-7t< 9 < n, demuestre que a) r = ecos_l<«A y r = e

b) Trace en el plano complejo un lugar geométrico en que a tome el valor 1/2. Haga lo mismo con b usando el mismo valor. Si lo desea, puede emplear una calculadora programable o un computador. Trace también el corte que define nuestra rama de z'.

APÉNDICE DEL CAPÍTULO 3 FACTORES DE AMPLITUD Y FASEf

En el estudio de circuitos eléctricos y de una gran cantidad de sistemas mecánicos, nos encontramos con funciones que oscilan sinusoidalmente en el tiempo, que crecen o decrecen en forma exponencial o que oscilan con una amplitud que aumenta o dis minuye exponencialmente en el tiempo. Al denotar el tiempo por t, vemos que muchas de estas funciones /(?) pueden describirse por medio de expresiones de la forma f(t) = Re[Fes'], donde

f Phasora cu Inglés,(N. ilvl I )

(A3-1)

143

F a c to re s d e a m p litu d y fa se

s = a + ico

(A3-2)

■a* conoce como frecuencia compleja de oscilación de/ ( t), y F es un número complejo independiente de t dado por F = F0eie,

(A3-3)

donde F0 = |F| y 9 — arg F. Los valores de cry co siempre serán reales. El número complejo F que aparece en las ecuaciones (A3-1) y (A3 -3) se llama /i n lar de amplitud y fase asociado con / (t). DEFINICIÓN Factor de amplitud y fase El factor de amplitud y fase que se asocia con una función del tiempo / (t) dada es un número complejo F, independiente de t, y tal que la parte real del producto de F por una exponencial compleja é ' es igual a/ (i). □ I n general, usaremos una letra mayúscula para denotar el factor de amplitud y fase, y i i letra minúscula correspondiente para representar la función de t asociada. La única i m opción será el caso de los factores de amplitud y fase de corriente eléctrica, que se denotarán por la letra 7, mientras que las funciones de t asociadas se representarán por medio de la letra griega iota, t. Así la letra minúscula i conserva su significado usual. 1 o mo veremos, los factores de amplitud y fase son útiles para resolver ecuaciones dii iniciales con coeficientes constantes que describen el comportamiento de una gran i miniad de sistemas eléctricos y mecánicos. I a expresión Fe?1que aparece en la ecuación (A3-1) es un ejemplo de función • mupleja de una variable real (ya que t es real). Consideremos algunos casos particui iic. de la ecuación (A3-1). Supongamos que el factor F de la ecuación (A3-3) es un numero real positivo y que la frecuencia compleja de la ecuación (A3-2) es real. Luei'n Inmundos = a y F = Fa > 0 en la ecuación (A3-1), obtenemos f(t) = RetFoe"] = F0e°l.

(A3-4)

\qiil / (/) crece o decrece al aumentar t según sea a, positivo o negativo. Si a = 0, H() es constante. Suponiendo que F en la ecuación (A3-3) y s en la ecuación (A3-2) son complei" tenemos, a partir de la ecuación (A3-1), J(t) = Re[F0eíV <r+i“)'] = Re[F0e 'V (‘o' +9)]. i

1 «> = qos(íu/ + 0) (véase la Ec. 3.1-11), tenemos f(t) = F0ea' cos(o>t + 9).

(A3-5)

l i l i nación (A3 5) describe una función / ( / ) que oscila con frecuencia angular co (que en general se toma como positiva). La amplitud F0é rt de las oscilaciones crece o di i icce al aumentar / según sea it, positivo o negativo. Si a — 0, la amplitud de las osi Ilaciones es constante. En la figura A 3 I se ilustran estas tres posibilidades. I ,u función f (t) descrita por la ecuación (Al 5) presenta una variación cosinuHidal en el tiempo, lomando 0 «A n/.' en esla ecuación, tenemos

144

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s bá sica s

/(O7 7

IZiIlVUtVvIllC 0

rF o cos0/

-\ / \ \ \\

a>0,(O>0

e>o

Figura A3-1

f(t) = F0eat cos(o)t + <fi — n/2) = F0eat sen(cof + (¡>), y obtenemos una variación sinusoidal. En la siguiente tabla se consignan algunos ejemplos de funciones del tiempo con sus frecuencias complejas y sus factores de am plitud y fase: F

s = a + iü)

3 e ~ ' sen(5í)

— 3i

10i 5i -1 + 5 i

4 e-3 '

-3

2 co s(1 0 t

le'*16

3 sen(5t

3 e ¡( - j i / 2 + Jt / l

+ 7t/6) + ti/10)

0) _

_3 JÉ?i*/io

Muchas funciones, por ejemplo,/(í) = t eos /, o bien eos (/ ’), sen |/| o e'2 no pueden representarse en la forma dada por la ecuación (A3 I ) y, por tanto, no poseen facto res tle amplitud y fase, fas funciones que son sumas de funciones con frecuencias

145

F a cto res d e a m p litu d y fa se

• •>inplcjas distintas tampoco se pueden representar en la forma de la ecuación (A3-1), Ioo lo que no tienen factores de amplitud y fase, por ejemplo, t (!)

cos(t) + cos(2f),

f(t) = e~‘ + sen t,

f(t) — e~' eos r + eos f.

A continuación se enumeran las propiedades que hacen que los factores de ampliuid \ lase sean especialmente útiles en la resolución estacionaria de ecuaciones difen m íales lineales con coeficientes constantes reales y funciones de fuerza reales i' ioi '.entables en términos de factores de amplitud y fase.1 Con una sola excepción, la di imosIración de estas propiedades se dejan como ejercicio. i a) Si /(/) se puede expresar en la forma de la ecuación (A3-1), entonces el factor de amplitud y fase de esta función es único siempre y cuando co =h 0. No existe otro factor que, al sustituirlo en el lado derecho de la ecuación (A3 1), dé f(t). Si co = 0, Re(F) es única, pero no F} Id Si /'(/) y g(t) son idénticas para todo t, entonces sus factores de amplitud y lase son iguales siempre y cuando co 0. Si co = 0, las partes reales de sus factores de amplitud y fase deben ser iguales. I inda una frecuencia complejas = a + ico, a cada factor de amplitud y fase corres ponde una sola función de t. 1 I I tactor de amplitud y fase de una suma de funciones del tiempo con idénticas liii uencias complejas es la suma de los factores de amplitud y fase de dichas fun. mués, El factor de amplitud y fase de Mf(t), donde Mes un número real, es MF, *li nulo /•’ es el factor de amplitud y fase de/ ( t). i I '.ida una frecuencia compleja, la función de t que corresponde a la suma de dos o ni.i. factores de amplitud y fase es igual a la suma de las funciones del tiempo que e.sponden a cada uno de estos factores. ' '.i /■’es el factor de amplitud y fase de/ ( t), entonces el factor de amplitud y fase if i///<// es sF. En general, el factor de amplitud y fase de d"f/dt" es s"F. '• .i / es el factor de amplitud y fase de/ ( t), entonces el factor de amplitud y fase di I' / (l')dl' es F/s siempre y cuando la constante de integración debida al límite in te rio r no especificado sea cero. La relación no es válida si s = 0. \ luí de demostrar la propiedad número 5, que es fundamental, diferenciamos mil 'i i Lulos de la ecuación (A3-1): ^ = e[Fe5']. di dt

(A3—6)

•i los coeficientes y la fundón de fuerza son complejos, se pueden modificar ligeramente los mi iodos presentados en este apéndice para obtener una solución. Véase, por ejemplo, W. Kapl ni. i l/x iiiH iiiud M ethods fo r Lineal Svxtem x (Rcading, Mass.: Addison-Wesley, 1962), seci Iones 1.9 1,11,

i u nido ni 0, la falla de unicidad no tiene im portancia si se usan factores de amplitud y i i .i i ii la resolución de una ecuación dllcient ial Sin em bargo, por convenio, lin t/■’) 0 i liando a) 0

146

C a p ítu lo 3

L as fu n c io n es tr a sc e n d e n te s b ásicas

Figura A3-2 Podemos intercambiar las operaciones d/dt y Re ya que la derivada temporal es un operador real. Por ejemplo, si x(t) y y(t) son funciones reales de t, entonces (d/dt) Re[x(í) + iy (t)\ = dx/dt. Por otro lado, Kt[(d!dt)[x(t) + iy(t)\\ = dxldt. Intercambian do los operadores en el lado derecho de la ecuación (A3-6), tenemos dfldt = Re[.s7re'/J. Por lo tanto (véase la Ec. A3-1), el factor de amplitud y fase de dfldt es sF. Este razonamiento se puede generalizar para obtener los factores de amplitud y fase de derivadas de orden superior. Los factores de amplitud y fase se emplean en problemas físicos en los que un circuito eléctrico o una configuración mecánica se ven impulsados por un voltaje, co rriente o fuerza mecánica real que pueden describirse por medio de la ecuación (A3-1). Se supone que la perturbación, o función de fuerza, se ha ejercido durante un tiempo suficientemente largo para que los transitorios del sistema hayan desaparecido. Así, los voltajes, corrientes, velocidades, desplazamientos, etcétera, presentan la mis ma frecuencia compleja s que la perturbación. Todas las cantidades que aparecen en la ecuación diferencial que rige el problema físico se transforman en sus correspondientes factores de amplitud y fase. Luego, se usa la propiedad 5 para convertir las derivadas temporales de la ecuación diferencial en productos de factores de amplitud y fase por sus frecuencias complejas. Así, la ecuación diferencial se transforma en una ecuación algebraica de los factores de am plitud y fase, que puede resolverse fácilmente. Una vez resuelta esta ecuación, pode mos obtener la función real del tiempo que describe el problema por medio de la ecuación (A3-1). La unicidad de la solución queda garantizada exigiendo que su fre cuencia compleja sea la misma que la de la perturbación. A continuación presentamos un ejemplo de este método. E JE M P LO 1 En la figura A3-2 se muestra un circuito eléctrico consistente en una inductancia L en henrios y una resistencia R en ohmios conectados en serie e impulsados por una fuente de voltaje v(t) = Vf¡ eos(coi), donde Vfí > 0. Buscamos la corriente i(t). Según la teoría ele mental de circuitos eléctricos^ el voltaje aplicado a la resistencia o resistor (resistor) es Ri(t) y el voltaje aplicado a la inductancia o inductor (inductor) es Ldi/dt. De acuerdo con la ley de Kirchhoff del voltaje, la suma de estas expresiones debe ser igual al voltaje pro porcionado por la fuente. Así, * V éase, por ejemplo, W lliiyl y l Kemmerly, York: M itliu w lllll, OHb)

Knglmvrlnx Circuit A nilláis, 4a. cd, (Nueva

F a cto res d e a m p litu d y fa se

147

Ri(t) + L — = V0 cos(cof). (A3-7) dt I I lador de amplitud y fase correspondiente al voltaje impulsor V0 eos(coi) es V0, y la ln enuncia compleja es s = ico. La corriente tiene la misma frecuencia compleja. Si / es el factor de amplitud y fase de i(t), entonces, por la propiedad número 5, ' l lador de di/dt debe ser s i = icol. La propiedad 3 permite encontrar fácilmente el i ii loi de amplitud y fase que corresponde al lado izquierdo de la ecuación (A3-7); nliii nemos RI + icoLI = (R + icoL)I. El factor de amplitud y fase del lado izquierdo de ■ i>i ecuación debe ser igual al factor del lado derecho (véase la propiedad Ib). Por lo liinln, (R + iioL)I = V0. I 'i ipejando I. tenemos / =

R + icoL

V0ew J r 2 + oj2L2'

(A3-Í

i Ii i i i i I c

9 = —tan'

, coL

(A3-9)

i usar la ecuación (A3-1) conF = / , / = i, y s = ico para determinar i(t). Así, la expresión de /dada por la ecuación (A3-8) y 9 dada por la ecuación (A3-9) limemos i(f) = Re

V0e‘ J R 2 + co2L2

V0 cos(cot + 9) J R 2 + co2L2

( _ ,« L \ V0 cosí cot —tan — l

(A3-10)

y /R 2 + co2L2

I m ■i a ii puede comprobar que este resultado satisface la ecuación diferencial (A3-7). lio problemas en los que la ecuación diferencial lineal (con coeficientes constimii i no puede resolverse en términos de factores de amplitud y fase. Esto ocurre ..... . la frecuencia compleja de la función de fuerza o cualquier otra perturbación es ||mal i la liccuencia “natural” o de resonancia del sistema físico. Entonces la solución MU • di la lorma c"‘ eos (col + a), e‘”, etc., y no posee factor de amplitud y fase. Este ti ic estudia en un gran número de textos.f mui

i i por i'ioniplo, W Kiiplun, Adviinccil Mutlicmulii * for R ngim vm (Rcacling, Mass.: Addi

■ ai Wciiley, IÚHI), Hccelón I bl

148

C a p ítu lo 3

L as fu n cio n es tra sc e n d e n te s bá sica s

Las ecuaciones integrales y las ecuaciones integrodiferenciales (es decir, ecua ciones que contienen integrales y derivadas de la incógnita) a menudo pueden resol verse por medio de factores de amplitud y fase. La propiedad 6 es útil en estos casos. En el ejercicio 20 se ilustra^u empleo.

E JE R C IC IO S E s c rib a la fu n c ió n del tie m p o v (t) q u e c o rre sp o n d e a los sig u ie n tes fa c to re s d e a m p litu d y fase

V y fre c u e n c ia s c o m p le ja s s.

1. 3

1- i

1 + ie'n/i

e ‘n/6

— 3i

-1 +¿

6. i

3. 3 < r''”/4

-1 - i

7. 2

4. 1 + i

1 4 -2 ¡

E n c u e n tre el fa c to r d e a m p litu d y fase q u e co rre sp o n d e a c a d a u n a d e las s ig u ie n tes funciones d el tie m p o . E n c ad a c aso d e te rm in e la frec u e n cia co m p leja. E n caso de que la fu n c ió n no posea fa c to r de a m p litu d y fase, e x p liq u e a q u é se debe. 9. e - 2 'c o s ( 3 1)

e 2'

10.

6 e -31 sen(2f)

11. 2e4' sen(2í — 7r/6)

12.

sen t + 2 eos r

13. e ~ ‘ sen t + 2 eos r 15. e~ ' sen(t 4- 7i/4) 4- 2 e ~ ! eos t

14.

e ~ ‘ sen í + 2 e ~ ' eos í

16.

D e m u e s tre la p ro p ie d a d 1 (a) d e los

17.

D e m u e s tre las p ro p ie d a d e s 3 y 4 d e los fa c to re s de a m p litu d y fase.

18.

facto res d e a m p litu d y fase cu an d o co # 0.

D e m u e stre la p ro p ie d a d 6 de los fa c to re s de a m p litu d y fase in te g ra n d o a m b o s lad o s de la e c u a c ió n (A 3 -1 ) . Ju stifiq u e to d a in v e rsió n del o rd en de las o p eracio n es.

19.

C o n sid e re m o s u n circ u ito e lé ctrico id é n tic o al de la fig u ra A 3 - 2 p e ro im p u lsa d o p o r un v o lta je v ( t) = V0 e'n. L a e c u a c ió n d ife re n c ia l q u e d e sc rib e a la c o rrie n te i(t) es

di Ri{t) + L — = V0e . dt S u p ó n g a q u e cr A -RJL. D e term in e el fa c to r de a m p litu d y fase de c o rrie n te I y u tilícelo p a ra d e te rm in a r la c o rrie n te real i(t). 20.

E n la fig u ra A 3 -3 se m u e stra un circu ito elé ctrico c o n siste n te en una re siste n c ia de

R o h m io s y un c o n d en sa d o r (capacitor) de C farad io s c o n ec ta d o s en serie; la fuente p ro sen <ot. El v o ltaje ap licad o al c o n d e n sa d o r e stá dudo

p o rcio n a un voltaje d ad o p o r

F a cto res d e a m p litu d y fa se

149

“Fluido

Figura A3-3

Figura A3^l

l'tu ( \/C)yi(t')dt', donde i es la corriente en el circuito. Según la ley del voltaje de i nclihoff, esta corriente satisface la ecuación integral V0 sen(cut) = Ri(t) + (1/C)\‘i(t')dt'. i Miiiuiga el factor de amplitud y fase de corriente /y úselo para determinar t(í). Suponga que

ai ■0.

i in.i masa m está sujeta al extremo de un resorte e inmersa en un fluido viscoso, como se lia en la figura A3-4. La coordenada x{t) de la masa también designa la elongación del ic,Mirle. Además de la fuerza del resorte, la masa está sometida a una fuerza de amortii mámenlo ejercida por el fluido y que es proporcional a la velocidad de la masa y a una Un i.-ii mecánica externa Fn eos cot. Por la segunda ley del movimiento de Newton, la • i unción diferencial que rige al desplazamiento x(t) es m ili

d 2x dx m —- + a 1- kx = F 0 eos u>t, dt dt

co > 0.

I im .lu ecuación k es una constante determinada por la elasticidad del resorte y a es una '¡imite de amortiguamiento que depende de la viscosidad del fluido. n I ni uentre el factor de amplitud y fase A que corresponde ax(t). I'l 11si* Apara determinarx{t).

<:.i|)ítulo

Integración en el plano complejo

IINTRODUCCIÓN A LAS INTEGRALES DE LÍNEA

I ii i ' .ludios de cálculo elemental, el lector aprendió primero a diferenciar funcioi H ilr:¡ de variables reales y más adelante a integrar tales funciones. Se considera ba* i mío integrales indefinidas como integrales definidas. 'luí nos proponemos seguir un plan similar con variables complejas. Habiendo Hpi' minio a diferenciar en el plano complejo y estudiado el concepto asociado de anaInii ni ni nos dedicaremos ahora al estudio de la integración. Sin embargo, no presen cio unr, en primer lugar la integral indefinida, que (como en el caso de variables o d i i . la operación inversa de la diferenciación. Comenzaremos más bien con una • la a |i¡iilieular de integral definida llamada integral de línea o de contorno. \ l igual que la integral definida que se estudia en cálculo elemental, la integral ■I► * lim i m; el límite de una suma. No obstante, la interpretación física de esta nueva I r 1, más problemática. Estamos acostumbrados a interpretar las integrales defiMiifi ile I i aleulo elemental como áreas bajo la curva descrita por el integrando. En |t ti integral de línea no tiene una interpretación tan simple. I '■ ordinario 110 se puede considerar como el área bajo una curva. Pero, curiosa111*nú 1I estudio de las integrales de línea nos conducirá a un teorema acerca de la |ii i c m ¡ , para una función analítica, de derivadas de todos los órdenes y nos permi tid 1na iiilci más a fondo el significado de la analiticidad. Se presentarán varios proble ni 1 lisíeos prácticos que se resuelven por medio de integrales de línea. En el +1*1■111111*(1 veremos que la evaluación de integrales de línea facilita a menudo la inte1 de funciones reales, poi ejemplo, podemos evaluar fácilmente una expresión i i

I 52

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

como Jt" x2/(x4 + 1) dx si efectuamos primero una sencilla integración de línea en el plano complejo. En nuestro estudio de la integración de línea usaremos el concepto de arco suave en el plano xy.Dicho sin pretensiones de rigor, un arco suave esuna curva cuya tan gente estádefinida en todo punto y cambia de dirección enformacontinua a lo largo de la curva. Una manera de definir un arco suave consiste en establecer un par de ecuaciones dependientes de un parámetro real, que llamaremos /. Así pues, x = ip(t),

(4.1-1 a)

y = 4>(t). (4.1—Ib) donde y/(t) y 4>{t) son funciones reales continuas con derivadas continuas y /(t) y <f>'(t) en el intervalo tu< t< th Supondremos además que i//(/) y jamás se anulan simul táneamente en este intervalo. A veces es conveniente suponer que 1representa al tiem po. Cuando / recorre el intervalo que va de ta a tb, las ecuaciones (4.1—la,b) definen un lugar geométrico que puede representarse gráficamente en el plano xy. Dicho lugar geométrico es un arco suave. Como ejemplo de arco suave generado por ecuaciones paramétricas considere mos el caso x = t, y = 2t, para 1 < t< 2. Eliminando el parámetro t que relaciona las variables x e y vemos que el lugar geométrico definido por estas ecuaciones paramétri cas coincide con un segmento de la recta y = 2x. Al pasar / de 1 a 2 se genera el seg mento de dicha recta que va de (1, 2) a (2, 4) (véase la Fig. 4.1—1a). Consideremos ahora las ecuaciones x = Jt, y = t para 1 < t < 4. Al pasar / de 1 a 4 se genera un lugar geométrico que coincide con una porción de la parábola y — x2, como se muestra en la figura 4.1—1(b). En las figuras 4.1—1(a,b) aparecen flechas que indican el sentido en que se genera el arco conforme / avanza de ta a th. El arco de la derecha se muestra con la tangente en un punto arbitrario. La pendiente de la tangente de una curva cualquiera está dada por dy/dx, expre sión que es idéntica a (dyldt)/(dx/dt) = (¡>'(t)/y/'(t), siempre y cuando !//'(/) A 0. Si

1= 2

t =l

l'igiiru 4 .1 I

4.1

introducción a las integrales de línea

153

Figura 4.1-2

V' (/) 0, la pendiente es infinita y por lo tanto la recta es vertical. Como </>'(/) y !//'(/) mi continuas, la dirección de la tangentede la curva definida por las ecuaciones (4.1-1) 0 i.i continuamente al recorrer t el intervalo ta<t< tb. I 11 nuestro estudio de las integrales de línea debemos emplear el concepto de cur1 .nave a trozos, llamada aveces contorno. DEFINICIÓN

Curva suave a trozos (contorno)

I Ina curva suave a trozos es una trayectoria formada por un número finito de arcos suaves concatenados. □ I n la figura 4.1-2 se muestran tres arcos Cj, C2 y C3 unidos para formar una curva aiiivc a trozos. I a dirección de la tangente de una curva suave a trozos puede cambiar en forma di i ‘uit iuna en los puntos de unión. hili'l’inlvs de lín ea reales

u/aremos nuestro análisis de la integración de línea usando únicamente funcioiii n ales, fl estudiante ya conoce un ejemplo de integral de línea real: la integral de i i Imigitud de un arco suave^ Podemos aproximar la longitud del arco por medio de mi i amia de longitudes de cuerdas inscritas en el arco. La longitud exacta se obtiene i nulo el límite de la suma cuando las longitudes de las cuerdas tienden a cero y el i...nao de cuerdas tiende hacia infinito. La longitud de una curva suave a trozos, ni la que se muestra en la figura 4.1-2, se obtiene sumando las longitudes de los i naves Cj, C2,... que forman la curva. I n otro tipo de integral de línea real interviene una función de x sy, por ejemplo / 11, r), además de un arco suave C. Es importante señalar que F(x, y) no es la ecua■ion de ( En general, C está dado por alguna ecuación, que por el momento no es i so especificar. Entonces la integral í"F(x, y) ds sobre C se define de la siguiente iiiiineiu (véase el arco C’de la figura 4.1-3). V éase ( i I h u m a s y l< l inney, ( \dculun and Amilytlc Gcomctry, Xa. cd. (R e a d in g , M ass.: Addlmin Wesley, l*J(J2), nccelrtn Í.4

154

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

En primer lugar, subdividimos el arco C que va de A a B en n arcos más peque ños. El primer arco va del punto X0, Y0 al puntoX h Y,; el segundo va de A), 7, a X2, Y2, y así sucesivamente^ A estos arcos corresponden las cuerdas dadas por los vectores As¡, A s 2, As„. El primero de estos vectores es un segmento dirigido que va deX0, Yn a X h 7,; el segundo es un segmento dirigido que va de X¡, Y, a X2, Y2, etcétera. La suma de estos vectores es un vector que va de A a B. Las longitudes de las cuerdas co rrespondientes son As,, As2,... Así pues, la longitud del vector As* es As*. Sean x¡, y¡ un punto cualquiera del primer arco; x2, y2un punto del segundo arco, y así sucesivamente. Ahora evaluamos F(x, y ) en los n puntos (*,, y,), (x2, V2),-.., (x„, y„). La integral de línea de F(x, y) de A a B sobre el arco C se define así: DEFINICIÓN

\“F(x, y)ds 'B

n F{x, y) ds = lím £ F(xk, yk) Ask,

(4.1-2)

ti — ♦oo k= 1

donde las longitudes Ask de las cuerdas tienden a cero cuando el número n de subdivisiones de C tiende hacia infinito. □

f Si el arco se define por medio de un par de ecuaciones purnnuMrieas com o las de las ecuaciones (4.1 I), donde t„• l £ los puntos A'0, y0; X\, 7, ele., se pueden nenerar de la siguiente mane

)„

•/'<'„»• ■/■<',d.

V'<M.</KM. V..

i„ i, i

4.1

In tro d u c ció n

a las integrales

línea

155

i 1 <I>■luego, si no existe el límite de la suma que aparece en esta definición, decimos i'" l,i integral no existe. Se puede demostrar que, si F(x, jy)es continua sobre C, la ini, m il existe.f I .i evaluación de esta clase de integrales es similar al problema bien conocido de iliiiii integrales de longitud de arco. En el ejercicio 1 de esta sección se esboza un I'mii edimiento representativo. '>i en la ecuación (4.1-2) F(x, 7 ) resulta ser la unidad en todo punto de C, enton11 1I Mimatorio del lado derecho se convierte simplemente en 1 As*, que no es Km" l,i suma de las longitudes de las cuerdas inscritas en el arco C de la figura 4.1-3. 1 1 miutorio proporciona entonces aproximadamente la longitud de C. El límite de i- 1, suniatorio, cuando n ->co, es igual a la longitud exacta del arco. Pero, en general, I 11 1) / I y el sumatorio de la ecuación (4.1-2) es, en esencia, la suma de las longilihli de los n segmentos de recta que aproximan el arco C, ponderadas por el valor i|iii turna la función F(x, _y)cerca del segmento correspondiente. Si la curva C repre»■ni r.e un cable y F(x, y) fuese la masa por unidad de longitud, entonces F(xk, yk) Ásk *111 la masa aproximada del ¿-ésimo segmento. Al tomar el límite n -+00, el sumato<1.. inuporciona la masa exacta del cable. I 1 integral de línea de una función sobre una curva suave a trozos se obtiene su111,inilit las integrales de línea sobre los arcos suaves que forman la curva. La integral ••• / 1' r) sobre el contorno de la figura 4.1-2 está dada por

J F(x, y) ds = j" F(x, y) ds + J

F(x, y) ds +

F(x, y) ds.

I - rile otro tipo de integrales de línea en las que intervienen F(x, y) y un arco sua\ ' * ( tbserve la figura 4.1-3. Sean Ax, la proyección de Ay, sobre el ejex, Ax2 la pro.......... deA.v2, y así sucesivamente. Nótese que aunque Ask es positiva (puesto que se le una longitud) Ax*, que es igual a Xk —X k_u puede ser positiva o negativa se...... 1 la dirección de Ay*. Sea la siguiente definición: /)/ FINIC1ÓN [ > ’(x, y) dx 'B n F(x, y) dx = lím ^ F(xk, yk) Ax*, J A n-°° *1= 1

(4.1-3)

donde todas las Ax* -> 0 cuando n -> 00. □ II

.1 puede definir una integral análoga usando las proyecciones de Asy sobre el I as proyecciones son Ay,, Ay2. etcétera, tales que Ay* = Yk- Yk_ P o r lo tanto:

\V Kaplnn, A ilvinucd C'olculim, 4n cd (Kcmling, M uss.: Addison Wcsley, 1991), secciones

¡,1-5,3

156

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

DEFINICIÓN ¡a F(x, y) dy

j F(x, y) dy = lím k¿ F(xk, yk) Ayk,

(4.1-4)

donde todas las Ayk -> O cuando n -* co.

□

Se puede demostrar que las integrales de las ecuaciones (4.1-3) y (4.1-4) existen1^cuando F(x, y ) es continua a lo largo del arco suave C.Enel ejemplo 1 deesta sección se analizan algunos procedimientos para evaluar este tipo deintegrales. La integral sobre una curva suave a trozos se puede definir como la suma de las integra les tomadas sobre los arcos que forman la curva. En general, los valores de las inte grales definidas por las ecuaciones (4.1-2), (4.1-3) y (4.1-4) no dependen únicamente de la función F(x, y) que aparece en eí integrando y de los límites de in tegración, sino también de la trayectoria que usemos para ir de un límite al otro. ¿Qué ocurriría si invirtiésemos los límites de integración de la ecuación (4.1-3) o de la ecuación (4.1-4)? Si tuviéramos que calcular ¡i F{x, y) dx, procederíamos de idéntica manera a como lo hicimos en el cálculo de \B ÁF(x, y) dx, salvo que los vecto res de la figura 4.1-3 estarían todos invertidos; la suma de todos ellos iría de B a A. Las proyecciones Axk cambiarían de signo. Por lo tanto, a lo largo del contorno C,

j* F(x, y) dx = - j

F(x, y) dx.

(4.1-5)

El cambio de signo también se produce cuando intercambiamos A y B en la inte gral definida por la ecuación (4.1-4). Nótese, sin embargo, que

F(x, y) ds =

(4.1-6)

F(x, y) ds

pues la Ask que usamos en las definiciones de estas expresiones implican longitudes, que son positivas sea cual sea la dirección de integración. Las integrales del tipo definido por las ecuaciones (4.1-2), (4.1-3) y (4.1-4) pue den separarse como sumas de otras integrales tomadas a lo largo de porciones del con torno de integración. Sean A y B los extremos de una curva suave a trozos C. Sea Q un punto de C. Luego se puede demostrar fácilmente que

F(x, y)dx =

1 kLuolull. ilm l

F(x, y) dx 4

dx.

( 4 .1 - 7 )

4.1

In tro d u c ció n a las in te g r a le s d e lín ea

157

Nr obtiene el mismo resultado en el caso de integrales de la forma \B AF(x, y)dy y y) ds. Las siguientes son otras identidades que se aplican a estos tres tipos ' le integral, pero que sólo escribiremos para el caso de integración respecto a la varia ble x: 'b a

rB k F (x ,y )d x = k \ F(x,y)dx,

k constante cualquiera;

(4.1- 8a)

J a

•b [F(x, y) + G(x, y)] dx =

rB F (x,y)dx+

G(x,y)dx.

(4.1—8b)

/ IIM P L O 1 ' onsideremos un contorno consistente en el tramo de la curva y = 1 - x2 que va del lo A = (0, 1) al punto B = (1, 0) (véase la Fig. 4.1-4). Sea F(x, y) — xy. Evaluemos

a) J F{x, y) dx,

y) dy-

dilución Npiirtado (a): ri.o

F(x, y)dx =

xy dx. Jo .l

;

i i vm lable y varía con x a lo largo de la trayectoria de integración. Podemos usar la • <ii.ii ión del contorno de integración, y = 1 - x 2, para expresar y en función dex en el inli ruando anterior. Así

I5S

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

F{x, y) dx =

(x)(l —x 2) dx = ---------

I lentos convertido nuestra integral de línea en una integral convencional con límites constantes y cuya evaluación se lleva a cabo fácilmente. Apartado (b): 1,0 F(x, y) dy =

xy dy 0,1

A Im de transformar esta integral en una integral convencional, podemos considerar a \ como función de y a lo largo de C. Puesto que y = 1 - x2y x > 0 en la trayectoria de integración tenemos x = * J l-y . Por lo tanto, xy dy

- j y r

ydy =

-4 15'

I 1resultado es negativo debido a que F(x, y) es positiva en todo punto de la trayecto ria de integración, en tanto que los incrementos de y son negativos en todo punto al pasar de A a B recorriendo el contorno considerado. Como alternativa para calcular la integral dada podemos observar que

F(x, y) dy =

dy F (x,y)— dx. dx

Sobre C, con F(x, y) = xy, y = 1 - x 2, y dy/dx = -2x, obtenemos

(xy)( —2x) dx

- f

x(l - x 2)( —2x) dx =

J 0

( —2x 2 + 2x4) dx =

-4 T s'

En el apartado (a) podríamos haber integrado respecto a y, en lugar de respecto a x, efectuando una maniobra similar. Obsérvese que en el ejercicio 1 de esta sección se evalúa la integral J xy ds sobre este mismo contorno. A

E JE R C IC IO S I.

( Jsundo el contorno del ejem plo I, dem uestre que

4 .2

I n teg r a c ió n d e lín ea en el p la n o c o m p le jo

159

Sugerencia: Recuerde, de sus cursos de cálculo elemental, que ds = (±) ■Jl + (dy / dx)2dx = ±-yjl + (dx / dy)2dy, y que ds > 0. Evalúe la integral de contor no integrando ya sea respecto ax o respecto a y. Una de estas posibilidades es li geramente más sencilla. Sea C el tramo de la curva y = x2que va de (0, 0) a (1, 1). Sea F(x, y) = x + y + 1. Evalúe las siguientes integrales a lo largo de C. 2. í

J 0,0

F(x, y) dx

3. j

j 0,0

F(x,y)dy

Sea C el tramo de la curva x2+ y 2 = 1 que se encuentra en el primer cuadrante. Sea F(x, y) = i V. Evalúe las siguientes integrales a lo largo de C. í.o

ri.o F(x, y) dx

0.1

F(x, y) dy

5. J 0 ,1

ri.o 6. | F(x,y)ds 0.1

Demuestre que j¡¡;_iy dx = - n i 2. La integración debe llevarse a cabo a lo largo del tramo del círculo x2 + y 2 = 1, que se encuentra en el semiplano x > 0. Tenga cuidado de consi derar los signos en el momento de calcular raíces cuadradas. Evalúe jtfi'x dy a lo largo los tramos de la elipse x2 + 9y2 —9 que se encuentran en el pri mero, el segundo y el tercer cuadrante.

I INTEGRACIÓN DE LÍNEA EN EL PLANO C O M PLEJO

11urstra tarea consiste ahora en estudiar la clase de integrales que aparecen más a me nudo cuando se trata de funciones complejas: la integral de línea compleja. Veremos que este tipo de integrales está estrechamente relacionado con las integrales de línea 0 .iles que acabamos de estudiar. < orno antes, comenzaremos con un arco suave que va de un punto A a un punto H un el plano xy. Asimilaremos ahora el plano xy al plano complejo. El arco se divide n i» arcos más pequeños y, como muestra la figura 4.2-1, los puntos de unión tienen i" n coordenadas (Xn, 70), (A,, 7,),..., (X„, Y„). O bien, podríamos decir que los puntos di unión de los arcos secundarios son za = X0+ iY0, z, = X, + ¿Yh etcétera. Constru imos ahora un conjunto de vectores que van de un punto a otro a lo largo de las cuer das que los unen. Como en nuestro estudio de las integrales de línea reales, los • i lores se desplazan de A a B al integrar de A a B a lo largo del contorno. Sea Az, el numero complejo que corresponde al vector que va de (An, 70) a (Xh 7,), sea Az2 1I número complejo correspondiente al vector que va de (Aj, 7,) a (A2, 72), y así in chivamente. Tenemos n números complejos. En general,

Az*

Ax* f ¿Ay*,

(4.2-1)

donde Ax* y Av* son las proyecciones del vector k ¿simo sobre el eje real y el eje imaidiiiu lo, résped ivumenle I’oi lo lanío,

160

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

Az* —(Xk —X k_ ]) + i(Yk — Yk_!). Sea zk = xk + iyk el número complejo que corresponde a un punto arbitrario del /(-ésimo arco. El vector Azk subtiende dicho arco. La notación que estamos usando se ilustra en la figura 4.2-1. Consideremos ahora la función continua de la variable z: /(z) = u(x, y ) + iv(x, y). Podemos evaluar esta función en z h z2). .., z„. A continuación definimos la integral de línea de/(z) sobre el arco C. DEFINICIÓN Integral de línea compleja

f(z) dz = lím X f ( zk) Az*, J a

(4.2- 2)

n -* o o k — l

donde todas las Azk -* 0 cuando n -> oo.

□

Como antes, la integral sólo existe si existe el límite de la suma. Si f(z ) es continua en un dominio que contiene al arco se puede demostrar que éste es el casof En general, hemos de suponer que el valor de la integral no sólo depende de A y B, las posiciones de los extremos de la trayectoria de integración, sino también de la propia trayectoria C usada para unir estos puntos. Se advierte al lector que no debe interpretar esta integral como el área bajo la curva de la figura 4.2-1. La integral de línea de una función a lo largo de un arco suave a trozos se cal cula usando la ecuación (4.2-2) para determinar la integral de dicha función sobre cada uno de los arcos que componen la trayectoria. Luego se suman los valores de estas integrales. Tratemos de adquirir una comprensión intuitiva de la suma que aparece del lado derecho de la ecuación (4.2-2). Podemos suponer que las líneas rectas que forman los n vectores constituyen una aproximación a la forma del arco de la figura 4.2-1. Con forme n tiende hacia infinito en esta suma, el número de vectores aumenta y la longi tud de éstos disminuye. La línea poligonal que forman estos vectores se ciñe cada ve/, más a la forma de la curva C. En el sumatorio, los números complejos asociados a cada uno de los n vectores se suman después de multiplicarlos por una función de peso compleja / (z) evaluada en las inmediaciones del vector correspondiente. La función se evalúa sobre la curva ve cina. Si la función de peso fuese idénticamente igual a 1, el sumatorio de la ecuación (4.2-2) se convertiría en X* = i Az*. Gráficamente, esta suma está representada por la adición vectorial de los n vectores mostrados en la figura 4.2-1. Sumándolos, obtene mos, para toda n, un sólo vector que va de A a B. Podemos emplear un sumatorio llevada hasta un valor finito de n en la ecuación (4.2-2) para aproximar la integral de la izquierda de esta ecuación. A menudo se usa t Véase I I ( npsim, tu Inlmdiiellan lo the Theorv <>/ Bunctions o jo ( 'ain/ilex Variable (f o n tires Oxford lln lv cisily l’n .s, I'iMp, sección 4 M

AZ[

Figura 4.2-1

• i'- procedimiento cuando se efectúa una integral de línea compleja mediante un pillador. Consideremos un ejemplo. / VI M P L O 1 1 moremos integrar la función f ( z ) = z + 1 del punto 0 + ¿0 al punto 1 + / a lo largo >lt I meo y = x 2, como se indica en la figura 4.2-2. Realizaremos aproximaciones en ii' de un término y de dos términos. 11 Serie de un solo término: Un solo vector, asociado con el número complejo A.-, I + i, va de (0, 0) a (1, 1). Podemos tomar z, en cualquier parte del neo mostrado, si bien el resultado dependerá de la posición particular que e .eojamos. Arbitrariamente escogemos un punto tal que su coordenada x se encuentre en el punto medio de la proyección de Az, sobre el eje x. Puesto q u e z | forma parte de la curva y = x 2, tenemos Re z, = 1/2, Im z, = 1/4. Ahora bien, puesto que /(z) = z + 1, vemos que /(z ,) = (1/2 + il4 + 1). Por lo tanto (z + 1) dz = /(z,) Az, = Q +

4- 1^(1 + i) = 1.25 + 1.75/.

lo Serie de dos términos: Recurriendo a la figura 4.2—3 vemos que

+ 1,

9 + /—+ 1

I fi I

i ,<!•!«iilo I

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

C o ntorn o C

(b) Figura 4.2-4 í* 1,2

1+2Í

(z)2 dz = O+ i

r 1. 2

(x2 - y 2) d x + \ J o .l

—2xy dx

2xy dy + i

J 0,1

1,2

H- i

2 - yt,2) (x2 2)dy.

(4.2-6)

0,1

En la primera y la tercera integral del lado derecho, J(x2 - y 2) dx y \-2 xy dx, sustitui mos la relación y = x 2 + 1, que es válida en todo punto del contorno. Estas integrales de línea se transforman en integrales ordinarias con límites x = 0 y x = 1. Una vez que hemos integrado, vemos que sus valores son -23/15 y -3/2, respectivamente. La ecuación y = x 2 + l d a x = y - 1 en el contorno. Este resultado puede usarse para convertir la segunda y la cuarta integral de la derecha, f 2xy dy y J(x2- y 2)dy, en inte grales ordinarias con límites y - 1 ey = 2. Vemos que sus valores numéricos son 32/ 15 y -11/6, respectivamente. Tras haber evaluado las cuatro integrales de línea que aparecen del lado derecho de la ecuación (4.2-6) obtenemos finalmente 1+2Í , , 3 10 z dz = ----- i—. ,+í 5 3 Apartado (b): Observando la figura 4.2-4(b), dividimos la trayectoria de integración en dos trayectorias, I y II. Sobre la sección I tenemos que y = 1, de modo que / (z) (?)2 (x + O2 = x 2- 1 - 2xi = u + iv. Así pues, u = x 2 - 1, v = -2x. Puesto que y 1, dy = 0. Los límites de integración a lo largo de la trayectoria I son (0, 1) y (1, 1). Introduciendo esta información en la ecuación (4.2-5) obtenemos /(z) dz =

(x2 - 1)dx + i

—2xd x =

Sobre la trayectoria II tenemos x I, dx = 0,/(z ) = (1 + iy) = I - y - 2 /y = u + iv. Los límites de integración son ( I, i y ( 1, 2). Volviendo a la ecuación (4.2 5) tenemos

4 .2

I n teg r a c ió n d e lín e a en el p la n o c o m p le jo

165

I I valor de la integral a lo largo de la trayectoria C se obtiene sumando las contribu ciones de I y II. Así z dz =

2 3

. 4. 7 7, i + 3 ---- 1= --------1. 3 3 3

I '.le resultado difiere del obtenido en el apartado (a) y constituye un ejemplo del hei lio de que el valor de una integral de línea entre dos puntos puede depender del conlot no usado para ir de uno a otro. -4 l’uesto que la ecuación (4.2-5) nos permite expresar una integral de línea com pleja en términos de integrales de línea reales, las propiedades de éstas, expresadas poi las ecuaciones (4.1-5), (4.1-7) y (4.1-8), también son válidas para integrales de llm a complejas. Por lo tanto, las integrales a lo largo de una curva suave a trozos C que va del punto A al punto B satisfacen las siguientes relaciones: f(z) dz = —

\'f(z)dz = T j f(z)dz,

ro f(z )d z + Ja

(4.2-7a)

donde f es una constante cualquiera;

[/(z) + 0(z)] dz =

f(z)d z=

/(z) dz;

re f{z)dz, Jq

f{z) dz +

g(z) dz;

donde Q es un punto de C.

(4.2—7b)

(4.2-7c)

(4.2-7d)

A veces es más fácil realizar una integración de línea sin usar las variables x e y • n la ecuación (4.2-5). En su lugar, integramos respecto aun parámetro real único: el i " miclro usado para generar el contorno de integración. Sea el arco suave C genera la poi las dos ecuaciones paramétricas (4.1-1). Luego z(t) = x(t) + iy(t) = tp(t) + i:0(í)

(4.2-8)

una función compleja de la variable real t con derivada dz dil/ dó Tdt = 7T (4-2-9) dt + 1dtj • Mu correr / de /„ a thel intervalo t„<t< tb genera el lugar geométrico de z(t) en el nplejo, es decir, el arco C que va de z„ = i/40> a z b = W(h)> $ (4)- A lin di evaluar í, / (.:> </:: podernos el'ecluar el siguiente cambio de variable:

166

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

donde la integración del lado izquierdo de la expresión se lleva a cabo pasando de za a zb sobre C. Se puede encontrar una demostración rigurosa de esta ecuación en diversos textos.f Obsérvese que la integral de la derecha es una integral de funciones complejas respecto a una variable real. La integración se lleva a cabo usando los mé todos usuales del cálculo elemental. En el siguiente ejemplo se presenta una aplica ción de la ecuación (4.2-10). E JE M P L O 3 Evaluemos ¡c z 2 dz, donde C es el arco de parábola y — x 2, 1 <x <2 que se muestra en la figura 4.1—1(b). La dirección de integración es de (1, 1) a (2, 4). Solución Cuando estudiamos la descripción paramétrica de la curva de la figura 4.1—l(b) mos tramos que este arco se puede generar por medio de las ecuaciones x = 4 t , y — t, donde 1 <t <4. Así, por la ecuación (4.2-8) podemos describir este arco como el lu gar geométrico de z{t) = -Jt + it para 1 < t < 4; obsérvese que dz/dt = 1/(2 V7) + i. El integrando es /( z ) = z 2 = (-Jt + it)2 = t - t 2 + 2i (Vt)3. Usando la ecuación (4.2-10) con ta = 1 y tb = 4 tenemos 1dz =

[t - 12 + 2¿(yó3]

+ i dt ■2\ft

+ ¡(2í —t2)> dt =

-8 6

Observación: En el caso general, un contorno suele tener más de una representa ción paramétrica. En el ejercicio 12 usamos otra representación de C. jc z2 dz se eva lúa nuevamente con esta parametrización, y se obtiene el mismo resultado. M Cotas para las integrales de línea; la “desigualdad ML” Dada una integral de línea íc / (z) dz por evaluar, a menudo podemos obtener una cota superior para el módulo del resultado sin necesidad de realizar la integración. Es de cir, a menudo podemos encontrar un número positivo que sabemos que es mayor o igual que el módulo de la integral incógnita. Definimos ¡c f ( z ) dz mediante la ecuación (4.2-2) y la figura 4.2-1. Ahora defi niremos una integral asociada a ésta usando el arco suave C que aparece en la figura 4.2-1. DEFINICIÓN L |/(z )| \dz\

\f(z)\\dz\ = lím Y, l/(zk)IIAz*|, Jc

n -» o o fc = l

1 Véimc, por ejemplo, I' I C’opson, np. clt

para toda |AzJ -»0 cuando n -* oo. □ <■* i i \ (4.2-11) ja

4.2

I n teg r a c ió n

de línea

en el

plano

c o m p le jo

167

Esta integración da un resultado real no negativo. Ya que |AzJ = Ask (véan se las Figs. 4.1-3 y 4.2-1), vemos, a partir de la ecuación (4.1-2), que esta integral es idéntica a \c\ f{z)\ds. Nótese que si |/(z)| = 1, la ecuación (4.2-11) se simplifica: \dz\ = lím ¿ |Azk

lím

&sk = L ,

(4.2-12)

n - * oo k = 1

donde L, longitud de C, es la suma de las longitudes de las cuerdas de la fi gura 4.2-1 en el límite indicado. Comparemos el módulo del sumatorio que aparece del lado derecho de la ecuación (4.2-2) con el sumatorio del lado derecho de la ecuación (4.2-11). Recordemos que el módulo de una suma de números complejos es menor o igual que la suma de sus módulos y que el módulo del producto de dos números com plejos es igual al producto de sus módulos. Usando estos dos hechos se deduce que X /(z*) Az, ^ X l/(z*)| |Azk

(4.2-13)

lista desigualdad mantiene su validez cuando n -> °o y |AzJ -> 0. Así pues, combinan do las ecuaciones (4.2-2), (4.2-11) y (4.2-13) tenemos f{z)dz < |/(z)||dz|, (4.2-14a) c Je ilcsigualdad que nos será de utilidad en ocasiones. En el ejercicio 17 se deduce un caso especial de la fórmula anterior que se aplica a funciones complejas de variable real. Si g(t) es una de tales funciones tenemos, para b> a, g( t ) dt

(4.2—14b)

Supongamos ahora que un real positivo Mes una cota superior para |/(z )| sobre ( I’or lo tanto, |/(z )| < Msi z es un punto de C. En particular, los términos \ f { z {)\, |./ (z2)|, etcétera, que aparecen del lado derecho de la ecuación (4.2-13), satisfacen esta desigualdad. Usando este resultado en la ecuación (4.2-13) obtenemos Z /(z*) Az, < Z l/(z*)||Azk| < Z M I A z J = M Z |Azk|. (4.2-15) c= 1 k = 1 k =1 k =1 ( íbsérvese ahora que X* 1|Azk| < L, puesto que la suma de las longitudes de las cuer das, como en la figura 4.2-1, no puede ser superior a la longitud L del arco C. Combi nando esta desigualdad con la ecuación (4.2-15) tenemos X /(**) A** S MI..

I6S

C a p ítu lo 4

I n te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

l isia desigualdad conserva su validez cuando n-> oo. Tomando este límite con Azk -*■0 y recurriendo a la definición de integral de línea dada por la ecuación (4.2-2), tenemos DESIGUALDAD ML

í,

f(z) dz < ML.

(4.2-16)

lista desigualdad se conoce como desigualdad ML; esto significa que: Si existe una constante Mtal que \f (z)\ < M en todo punto de un arco suave C y si denotamos porL la longitud de C, entonces el módulo de la integral de f{z) a lo largo de C no puede ser superior a ML. E JEM PLO 4 I ncuentre una cota superior para el módulo de Ji+¡¿ eVz dz sobre el contorno C, que es la porción de círculo dada por | z | = 1, 0 < arg z < n/2 (véase la Fig. 4.2-5). Solución I mpecemos por determinar M, cota superior para \e 1/z|. Para hacerlo exigimos que so bre C |e1/z| < M.

(4.2-17)

Notemos ahora que e“‘ = e‘‘x~ '

I )e donde |g l/z | _

|gxAx2+>2) ||e -i(y)/(*, +>'l)| = |e x/lx2 + P)|_

( 'orno ex/(*2+y2) es siempre positivo, podemos eliminar las barras de valor absoluto del lado derecho de la ecuación anterior. Sobre el contorno Ctenemos x 2 + y 2 = 1. Por lo tanto, ,i/z¡ —px

sobre C.

Sobre el cuarto de círculo considerado, la expresión ex alcanza su valor máximo cuan do x es máximo, es decir, en el punto x = 1,7 = 0. Así pues, en C tenemos ex < e. Por lo tanto, ,i/*l < e

l'iltiiru 4.2 5

E je r c ic io s

169

sobre el contorno dado. Si damos un vistazo a la ecuación (4.2-17) vemos que pode mos sustituir A/por e. La longitud L de la trayectoria de integración no es sino la circunferencia de la porción de círculo considerada, es decir, nt2. Así, usando la desigualdad ML: pO+il n el/z dz < e —. < 2 J 1+¡0

EJERCICIOS 1. En el ejemplo 1 determinamos el valor aproximado de J¿+/o(z + 1) efe a lo largo del contor no y = x 2. Encuentre el valor exacto de esta integral y compárelo con el resultado aproximado. 2. Consideremos la integral Jot?¿ z d z tomada a lo largo del contorno y = 2x(2 -x). Determi ne un valor aproximado mediante el método de la serie de dos términos/(z,)Az, + / (z2) Á z 2. Tome los valores de z¡, z2, Azh Az2que se indican en la figura 4.2-6. Ahora calcule el valor exacto de la integral y compárelo con el resultado aproximado. 3. Consideremos la integral jo+¡¿ d z a lo largo del contomo del ejercicio 2. Evalúela en forma aproximada por medio de una serie de dos ténninos como en el problema anterior. Expli que a qué se debe que este resultado coincida exactamente con el valor de la integral. Evalúe jí z d z a lo largo del contorno C dado por: 4. El segmento de recta x + y — 1. 5. La parábola y = (1 -x )2. 6. La porción del círculo x2 + y 2 = 1 que se encuentra en el primer cuadrante. Compare los resultados de los ejercicios 4, 5 y 6. 7. Evalúe J e 2 d z a) de z = 0 a z = 1 a lo largo de la recta y = 0, b) de z = 1 a z = 1 + i a lo largo de la recta x = 1,

I''1kiiiii 4.2 6

C a p ítu lo 4

I n te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

de z = 1 + ¡az = 0alo largo de la rectay = x. Compruebe que la suma de las tres res puestas sea cero. Éste es un ejemplo específico de un resultado general que obtendre mos en la siguiente sección, función z(t) = e“ = eos t + i sen t resulta útil como representación paramétrica de un arco i ular (véase la Fig. 3.1-1). Si t va de 0 a 27Tobtenemos la representación del círculo unitario tupíelo, y si / va de a a ¡i, esta función genera un arco que va de e'“ a e ‘ls sobre el círculo uniío. Use esta representación paramétrica para llevar a cabo las siguientes integraciones. ’ 1I dz a lo largo de |z| = 1, en el semiplano superior Ji z ’ 1I dz a lo largo de |z| = 1, en el semiplano inferior Ji z ’i z4dz a lo largo de |z| = 1, en el primer cuadrante Ji I 1íemuestre que x = 2 eos t, y = sen t, donde t va de 0 a 2n, es una representación paraméinca de la elipse x 2/4 + y 2 = 1. Use esta representación para evaluar I2z dz a lo largo de la porción de esta elipse que se encuentra en el primer cuadrante. 1 In el ejemplo 3 evaluamos ¡2tt'z2dz a lo largo de la parábola y = x 2usando la representación paramétrica x = yft ,y = t. Demuestre que también puede usarse la representación 1 l,y t2y lleve a cabo la integración valiéndose de esta parametrización. t a) Fncuentrc una representación paramétrica del más corto de los dos arcos que van de 1 a z = i a lo largo de la curva (x- l)2 + (y - l)2 = 1. Sugerencia: Lea el párrafo que precede a los ejercicios 8-10 de esta misma sección, don de se examina la parametrización de un círculo. It) I)etermine \'i z dz a lo largo del arco del apartado (a) usando la parametrización encon trada. -I < onsideremos la expresión I = ¡lt'i0ez2dz integrada sobre la rectax = 2y. Sin llevar a cabo In integración, demuestre que |/| < Váe3. *> ('onsideremos la expresión / = jj (1/z4) dz integrada sobre la rectax + y = 1. Sin llevar a cubo la integración, demuestre que |/| á 4V2. (>. Consideremos la expresión/ = /,'e,L°8 dz integrada sobre la parábola y = 1 - x 2. Sin lle var a cabo la integración, demuestre que |/| < enl2{\.479). 7. a) Sea <j(t) una función compleja de la variable t. Exprese g(t) dt como límite de una suma. Por medio de un argumento similar al que usarnos para deducir la ecuación (4.2-14), demuestre que para b > a tenemos

4 .3

4.3

I n teg r a c ió n d e c o n to rn o y teo r e m a d e G reen

171

INTEGRACIÓN DE CONTORNO Y TEOREMA DE GREEN

En la sección anterior examinamos las propiedades de las curvas suaves a trozos, lla madas contornos, que van de un punto A a un punto B. Si los puntos coinciden, la cur va es un contorno cerrado. DEFINICIÓN Contorno cerrado simple Un contorno cerrado simple es un contorno que genera dos dominios: uno acotado y otro no acotado; ambos dominios tienen al contorno como fronte ra. Decimos que el dominio acotado es el interior del contorno. □ En la figura 4.3-1 se muestran dos ejemplos de contorno cerrado, uno de los cuales es s im p le .

A menudo nos encontraremos con integrales de línea tomadas alrededor de un contorno cerrado simple. Decimos que la integración se lleva a cabo en el sentido positivo alrededor del contorno cuando el interior de éste se encuentra del lado izquierdo de la dirección de integración. En el caso de la curva de la figura 4.3-l(a), la dirección positiva de integración es la que indica la flecha. Indicaremos la integración alrededor de un contorno cerrado simple en la direc ción positiva por medio del operador y la integración en la dirección negativa me diante Obsérvese que

f f(z)d z = —■i')f(z) dz, 'f(x ,y )d y = —-0/(x, y) dy.

D 2 (no ac o tad o )

C ontorno cerrado pero no sim ple

C ontorno cerrado sim ple (ti)

4.3 I

172

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

El siguiente teorema, conocido como teorema de Green en el plano, es de suma importancia y se aplica a funciones reales.1^Sin embargo, nos será de utilidad al inte grar funciones complejas analíticas alrededor de contornos cerrados. TEOREMA 1

Teorema de Green en el plano

Sean P(x, y) y Q(x, y) y sus primeras derivadas parciales funciones continuas en una región R definida por el interior de un contorno cerrado simple C más los puntos de C. Entonces P dx + Qdy =

m ~ dx dy. JJ \<3x dy)

□

(4.3-1)

Así pues, el teorema de Green nos permite transformar una integral de línea al rededor de C en una integral doble extendida a la región limitada por C. En el apéndice de este capítulo se presenta una breve demostración de este teorema. Las integrales de línea complejas pueden expresarse en términos de integrales de línea reales (véase la Ec. 4.2-5) y es por ello que el teorema de Green es de utilidad. Consideremos una función/ (z) = u(x, y) + iv(x, y) que no sólo es analítica en la re gión R (la misma que en el teorema anterior) y cuya primera derivada es continua en R. Comof \ z ) = du/dx + idvldx = dv/dy-idu/dy, las primeras derivadas parciales du/ dx, dv/dx, etcétera, son también continuas en R. Volvamos ahora a la ecuación (4.25). Reescribimos esta ecuación y llevamos a cabo las integraciones alrededor del con torno cerrado simple C: O f(z)dz = (>• udx - v dy + i (> vdx + udy.

(4.3-2)

Podemos escribir nuevamente las integrales que aparecen del lado derecho por medio del teorema de Green. En el caso de la primera integral aplicamos la ecuación (4.3-1) con P = u y Q = -v . Para la segunda usamos la ecuación (4.3-1) con P = v y Q = u. Luego udx — vdy =

O v dx + u dy =

dy)

dx dy,

(4.3-3a)

(4.3—3b)

Recordando las ecuaciones C-R du/dx = dv/dy, dv/dx = -du/dy, vemos que ambos integrandos de la derecha de la ecuación (4.3-3) se anulan. Por lo tanto, las integrales

’ G en i ge Oreen ( 17‘>t IK4I), inglés, publicó e.sle teorema en IH2H rom o parle de un articulo

sobre eleelrleldad y magnellsmo

4 .3

I n teg r a c ió n d e c o n to rn o y teo r e m a d e G re e n

173

de la izquierda de esta ecuación son iguales a cero. Volviendo a la ecuación (4.3-2) encontramos que f( z ) dz = 0. Esta demostración, basada en el teorema de Green, exige que /'( z ) sea continua en R ya que de lo contrario no podríamos aplicar dicho teorema. En 1814, Cauchy ob tuvo por primera vez este resultado. El teorema de Green aún no había sido explícita mente formulado, pero Cauchy se valió de una fórmula equivalente. Por lo tanto, también exigió que f'(z ) fuese continua. Existe una demostración menos restrictiva, formulada a fines del siglo xix por Goursat^ que no requiere que f'( z ) sea continua. El resultado de la ecuación anterior y las condiciones menos severas de la deducción de Goursat se conocen como teore ma de Cauchy-Goursat, o a veces únicamente como teorema integral de Cauchy. TEOREMA 2

Cauchy-Goursat

Sea C un contorno cerrado simple y sea/(z) una función analítica en el inte rior de C y sobre C. Entonces f (z) d z = 0. □

(4 .3 -4 )

Otra forma de enunciar el teorema es la siguiente: Sea / ( z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces, dado un contorno cerrado simple C contenido en D, tenemos fycj \ z ) dz = 0. El teorema de Cauchy-Goursat es uno de los más importantes en la teoría de va riable compleja. Una de las razones es que puede ahorramos una gran cantidad de tra bajo al realizar cierto tipo de integraciones. Por ejemplo, integrales como <p-c sen z dz, &C e 2dz y -|>'Ccosh z dz deben anularse si C es un contomo cerrado simple cualquiera. En todos estos casos, el integrando es una función entera. Obsérvese qüe la dirección de integración en la ecuación (4.3-4) no afecta el re sultado pues - ^ c / ( z) dz = 4>cf(z) dz. Podemos comprobar la validez del teorema de Cauchy-Goursat en algunos casos simples. Consideremos la función/(z) — z", donde n es un entero positivo o nulo. Ahora bien, puesto que z ” es una función entera tenemos, según el teorema, (>z"dz = 0, n = 0 ,1 ,2 ,..., (4_3_5) Je donde C es un contomo cerrado simple. Si n es un entero negativo, entonces z ”no es analítica en z = 0. No podemos, por tanto, aplicar el teorema cuando el origen se encuentra dentro de C. No obstante, si el

1 Véase, por ejemplo, R. Kemmcrt, Thvory of Complex Functions (Nueva York: Springer-Vcrlag, IW I), sección 7.1. liste libro contiene también una interesante nota histórica sobre el teorema de Cauchy Goursat.

174

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

origen no está confinado por C, el teorema es aplicable y deducimos que <J>cz" dz se anula nuevamente. Comprobemos la ecuación (4.3-5) en un caso específico. Supondremos que C es un círculo de radio r centrado en el origen. Usemos coordenadas polares y expre semos paramétricamente a C por medio del ángulo polar 0. Para todo punto de C, z = re'H(véase la Fig. 4.3-2). Al recorrer 0 el intervalo de 0 a 2n o cualquier intervalo de 2n radianes se genera el círculo C en el sentido inverso al de las manecillas del re loj. Obsérvese que dzldO = ire'e. Usando la ecuación (4.2-10) y sustituyendo t por 0 tenemos f2n f2 k ei<n+1)8dd. O zndz= (reie)nireie dO= ir"+1 (4.3-6) J \z\ = r

* O

v O

Suponiendo que n> 0, integramos la ecuación (4.3-6) de la siguiente manera: %2n gHn+l)e d Q

ir n + 1 j

c ¡s ^n + 1)6 dd

Jo = —— -[cos(n + 1)0 + isen(n + 1)0] o" = 0. (4.3-7) n+ 1 Éste es justamente el resultado que se obtiene por medio del teorema de CauchyGoursat. Sea n un entero negativo y C el mismo contorno de integración. Como z " no es analítica enz = 0 y z = 0 está confinado por C, no podemos valemos del teorema de Cauchy-Goursat. Para calcular &c z" dz es preciso evaluar la integral directamente. Por fortuna, la ecuación (4.3-6) sigue siendo válida si n es un entero negativo. Ade más también podemos seguir usando la ecuación (4.3-7) salvo cuando n = -1 debido a que el denominador del lado derecho de la ecuación se anula. Así pues, (>

zndz = 0,

- 2 , - 3 ,.

(4.3-8)

J |z| = r

Finalmente, a fin de evaluar fy-z^dz empleamos la ecuación (4.3-6) con n = -1 para obtener

Fililí h 4.3 2

4 .3

I n teg r a c ió n d e c o n to rn o y teo r e m a d e G re e n

175

¿ z ~ 1dz = i í e° dd = 2ni. J1 l zW l= Jo -r l .n resumen, si n es un entero cualquiera, f nJ [ 0, t „ , d Z = Í2*,,

n ¿ - l ,

n = -L

i n el ejercicio 16 de esta sección se encuentra una importante generalización de este resultado. Tomando una constante compleja arbitraria z0 se demuestra que f O J |z —z0| = r

ÍO,

n # —1, ( 4 .3 - 1 0 )

( z - z 0)" dz = < (2 7 c ¡,

n 1,

donde el contorno de integración es un círculo centrado en z0

E JE M P LO 1 I I teorema de Cauchy-Goursat señala que cz dz esigual a cero cuando C es el con torno triangular de la figura 4.3-3. Compruebe este resultado por medio de un cálculo directo. Solución Se trata de un problema similar a los que estudiamos en la sección anterior, por lo que lindemos ser breves. A lo largo de I, y = 0, dz = dx, ¡,z dz = j'0x dx = 1/2. A lo largo de II, x = 1, dz = i dy, J,¡ z dz = J¿ (1 + iy)i dy = -1/2 + i. A lo largo de III, x = y, dz = dx + i dx, Jm z dz = J? (x + ix)(dx + i dx) = —i. La suma de estas tres integrales es cero. Observación: En el ejercicio 7 de la sección 4.2 consideramos la expresión \ ez dz integrada a lo largo de trayectorias I, II y III como en el presente ejemplo. La suma de dichas integrales también debe ser cero. A Existen circunstancias en las que una extensión del teorema de Cauchy-Goursat establece que dos integrales de contorno son iguales sin necesariamente Jamos el valor de cualquiera de ellas. Dicha extensión del teorema se enuncia de la siguiente manera:

l ' l u i i n i *1.3 .1

176

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

TEOREMA 3

Deformación de contornos

Consideremos dos contornos cerrados simples C, y C2 tales que todos los puntos de C2 quedan en el interior de C¡. Si una función f (z) es analítica en C|, en C2y en todos los puntos del dominio doblemente conexo D delimita do por C, y C2 entonces O f(z)dz = (> f(z)dz. □ J c, J c2 La demostración de este teorema se lleva a cabo fácilmente. Los contornos C, y C2 se muestran en líneas continuas en la figura 4.3—4(a). El dominio D es el área som breada de la figura. Usando líneas punteadas indicamos dos cortes rectos que conec tan a C, con C2. Mediante estos cortes hemos creado dos contornos cerrados simples Cu y C, que se muestran ligeramente separados en la figura 4.3-4(b). Luego tomamos la integral de / (z) alrededor de Cv y de CL. En ambos casos es válido el teorema de Cauchy-Goursat ya que/ (z) es analítica sobre Cu y CL y en el interior de ambos con tornos. Así pues, O f(z)d z = 0 Jc„ Sumando estos resultados obtenemos

(p- / (z) dz = 0. Q

(4.3-11) (> /(z) dz + (>■ f(z)dz = 0. cL Cu Remitámonos ahora a la figura 4.3^l(b) y notemos que la integral a lo largo del seg mento de recta que va de a a b sobre CL, es igual a la integral a lo largo de la recta de /> a a sobre CL cambiada de signo. Lo mismo puede decirse de la integral de d a e sobre C,j y la integral de e a d sobre CL. Si escribimos de manera explícita las integrales de la ecuación (4.3-11) y combi namos las porciones integradas sobre los segmentos de recta que se anulan, nos

(u)

(b)

l lp u iii 4.3 4

4 .3

In teg r a c ió n d e c o n to rn o y teo r e m a d e G rc c n

177

iim •Linios únicamente con las integrales a lo largo de C¡ y C2 en la figura 4.3-4(a). I'm Iu tanto (observe las direcciones de integración) O f{z) dz + C> f(z)dz = 0, •"i decir,

O f(z)dz Je.

f(z) dz

q> f(z)dz. c2 I l.i nos eliminado el signo menos en el término del medio y obtenido la expresión del lililí derecho invirtiendo la dirección de integración. La ecuación anterior es el resul littlt tóle buscábamos. I I teorema que acabamos de demostrar se puede enunciar de manera más general !lH| TEOREMA 4 Las integrales de línea de una función analítica f(z ) alrede dor de dos contornos cerrados simples serán idénticas si uno de los contor nos puede transformarse en el otro por medio de una deformación continua y sin pasar por ninguna singularidad de/ (z). □ I o l.i ligura 4.3^1 podemos considerar a C2 como una deformación de C, o viceversa. I i' método se conoce como principio de deformación de contornos. Si bien en nuestra deducción del teorema 3 supusimos que los contornos C¡ y C2 no \ f cortaban, esta condición no es necesaria en el teorema 4. Supongamos que, en lo Imura 4 .3 -5 ,/(z) es analítica sobre C2 y en su interior, salvo quizá en algunos punto iId interior de C0. Supongamos además que/ (z) es analítica sobre C, y en su inte.alvo quizá en algunos puntos del interior de C0, y que C0 está dentro de C, y C2 no corta a ninguno de estos dos contornos. Obsérvese que C¡ y C2 pueden cortar■ I’or el teorema 3 tenemos fcClf ( z) dz = <j>Co/(z ) dz y >c, / ( z) dz = /- Co/ (z) dz. I'm lo tanto, f{z)dz = O f(z) dz.

I' ig iu ii 4.3 5

178

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

1, 1

• /

/ i \ \

_ __—■y

\ 1 /

-1,-1

■

Figura 4.3-6

EJEM PLO 2 ¿Cuánto vale &c dz/z, donde el contomo C es el cuadrado que se muestra en la figura 4.3-6? Solución Si efectuamos la integración usando el círculo de líneas punteadas en lugar del cua drado obtenemos, usando la ecuación (4.3-9) (con n — - 1), el valor 2ni. Como 1/z es analítica en este círculo, en el cuadrado y en todos los puntos que se encuentran entre estos dos contornos podemos aplicar el principio de deformación de contornos. Así pties, O EJEM PLO 3 Sea/ (z) = eos z/(z2 + 1). Los contornos C ,, C2, C3 y C4 se ilustran en la figura 4.3-7. Explique a qué se debe que sean válidas las siguientes ecuaciones: a) b)

O- f ( z ) d z = (>

Je, O

J c,

f ( z ) dz;

Jc2 f ( z ) d z = (>

f ( z ) dz.

J c4

Solución La función/(z) es analítica salvo en los puntos que satisfacen la relación z2 + 1 = 0. Luego, /( z ) es analítica en cualquier dominio que no contenga el punto z = ± Al transformar el contorno C, en el contorno C2 por medio de una deformación continua, no cruzamos ninguna singularidad de/(z). Así queda probada la ecuación (a). De ma nera análoga podemos deformar para convertirlo en ( y demostrar asi la validez ile (b). Nótese que no podemos concilló que l\ /(.•) •/.- sea igual a (Py,/(z) dz pues el dominio delimitado por C; y ( contiene el punto suigiilui I de / (. ). M

E je r c ic io s

179

Figura 4.3-7

K.IKR O C IO S I. a) Sea C un contomo cerrado simple cualquiera. Use el teorema de Green para encontrar una interpretación simple de la integral de línea (1/2) < P'c(-~y dx + x dy). b) Considere la expresión ey dx - exdy integrada alrededor del cuadrado que tiene por vértices a los puntos (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Evalúe esta integral realizando la inte gral doble equivalente en el interior del cuadrado. c) Supongamos que conocemos el área limitada por cierto contorno cerrado simple C. Con ayuda del teorema de Green, demuestre que es fácil evaluar P~z dz alrededor de C. , A cuál de las siguientes integrales se aplica directamente el teorema de Cauchy-Goursat? eos z eos z 1 3. 4. dz -------dz I 2. d> ------dz .11*1-i z + 2 |z+2| =2z + 2 |z - l|= 4 z + 2 dz 3. á|> Log z dz Log z dz 1 + ez |z-l —í|= 1 1*1dz dz n. q> 0< b< 1 9. -----|2|=b Z + bz + 1 dz alrededor del cuadrado con vértices en +(1 + i) io. d>

sen z +

e‘ — 1

11. I'.n el análisis del teorema de Green que se encuentra en el apéndice de este capítulo se muestra que si P(x, y ) y (.>(,*, y ) son funciones con derivadas parciales continuas d P /d y y </{)/<l\ en el interior de un dominio simplemente conexo I) y si <j*r P dx + Q dy = 0 para lodo contorno cerrado simple en />. enlom es d Q h h ■d P /d y en / ;

180

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

S e a / (z) = u{x, y ) + iv(X, y ) u n a fu n c ió n tal q u e las p rim e ra s d e riv a d a s p a rc ia le s de u y v s e a n c o n tin u a s e n u n d o m in io sim p le m e n te c o n e x o D. T en ien d o en c u e n ta q u e < P 'f { z ) d z = 0 p a ra to d o c o n to rn o c erra d o sim p le e n D , u se el re su lta d o a n te rio r p a ra m o s tra r q u e / ( z ) d e b e ser a n a lític a en D. E s te re su lta d o es el re c íp ro c o del te o re m a d e C a u c h y -G o u rsa t. E x iste o tra m a n e ra de de d u c irlo e n la q u e n o se e x ig e q u e la s d e riv a d a s p a rc ia le s sea n c o n tin u a s e n D. B a s ta su p o n e r q u e u(x, y ) y v(x, y ) so n co n tin u a s. E l e n u n c ia d o rec íp ro c o d el te o re m a de C a u c h y -G o u r s a t que se o btiene de e sta m a n e ra se co n o ce co m o teorema de Morera. D e m u estre los sigu ien tes resulta d os m ediante el te o re m a de C au ch y -G o u rsat. C om ience integrando JO~ \é dz a lrededor de | z | = 1. U se la re p re s e n ta c ió n p a ra m é tric a z = e ‘e, 0 < 0 < 2 n. S e p a re las e cu a c io n e s en p a rte re a l y p a r te im a g in a ria .

12.

gcos 9[cos(sen 0 + 0)] dd = o,

■3- r

e cos 9[se n ( sen 0 + 0)] dd = 0.

D e m u e s tre q u e las s ig u ie n tes id e n tid a d e s s o n v á lid a s p a ra to d o e n tero n > 0.

Sugerencia: U se el c o n to rn o y el m éto d o del p ro b le m a an terio r, p e ro co n un in te g ra n d o d istin to .

14. 16.

*co s(0 — eos nO) dd = 0,

15.

9sen (0 — eos nd)dd = 0.

S ea n u n e n te ro cu alq u iera, r u n n ú m e ro real p o sitiv o y z0 u n a c o n sta n te c o m p le ja. C o m p ru e b e q u e si r > 0,

(z - z0)" d z = ¡ .

|z —Zol = r

f0 ,

n * - 1,

n =

— 1.

Sugerencia: E stu d ie la d e d u c c ió n d e la e c u a c ió n (4 .3 -9 ) y e m p le e un p ro c e d i m ie n to sim ilar. C o n sid e re el c am b io de v a ria b le z = z0 + re10 que se in d ic a en la fig u ra 4 .3 -8 .

I'lli'iiu 4..1 K

E je r c ic io s

181

Figura 4.3-9 I valúe las siguientes integrales. Puede ser útil valerse de los resultados del problema anterior, •ni como del principio de deformación de contornos. El contorno es el cuadrado con vértices en 0, 3i, 3, 3 + 3 i. f dz dz dz 17. (h----------18. 19. J z - 1- i z+ 1 + í (z - 1 - i)5 2 ( 1.

22.

dz (z + 1 + ¿)5

21.

1 1 dz •+ ■ \z —1 —i 2 —i —z)

23. d>((z - 1 - /) - 1 + z - 1 - i)2 dz

dz 2z —1 —i

24. (Ir ((z —1 —j)~1 + z —1 —i)3 dz 2*1. Demuestre que Logz

O |z - 3 | = 2 (z +

Logz

-dz =

l) ( z — 3)

dz.

|z - 3 | = 2 4 (z — 3)

Sugerencia: Exprese l/[(z + l)(z - 3)] como suma de fracciones parciales. Consideremos el dominio « veces conexo D cuyas fronteras son los contornos cerrados simples sin intersección C0, C¡,..., C„_, que se muestran en la figura 4.3-97 Sea f(z) una función analítica en D y en sus fronteras. Demuestre que f ( z ) d z =( b - /( z )4 z + ü>- f ( z ) d z + ■■■ + (t>

J c,

J c2

f(z)dz.

J c„_.

Sugerencia: Considere la derivación del principio de deformación de contor nos. Para unir las fronteras efectúe un conjunto de cortes parecidos a los de la figura 4.3—4. 27. 11se el resultado obtenido en el ejercicio 26 para demostrar que I ■>

sen z ,

.(1*1—2(z

il: O

I sen z ' ' ---------- —------ dz +

J |*- 1|—1/2(z ~ 1)

I In dominio n veces conexo llene n I niíujcins, Vénse In sección I

-dz.

182

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

4.4 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA E IN TEGRALES INDEFINIDAS El teorema de Cauchy-Goursat es una herramienta valiosa cuando se trata de integrar una función analítica alrededor de un contorno cerrado. En caso de que el contorno no sea cerrado existen métodos, que se pueden deducir a partir de dicho teorema y que facilitan el cálculo de la integral considerada. Por ejemplo, podemos demostrar el si guiente enunciado: TEOREMA 4

Principio de independencia de la trayectoria

Sea/ ( z) una función analítica en todo punto de un dominio simplemente co nexo D y sean z, y z2 dos puntos de D. Entonces, si usamos contornos conte nidos en D, el valor de / (z) dz no dependerá del contorno utilizado para ir de z, a z2. □ Este teorema se conoce como principio de independencia de la trayectoria. En reali dad no es sino otra manera de enunciar el teorema de Cauchy-Goursat. A fin de de mostrar este principio, consideraremos dos contornos sin intersección C, y C2; ambos van de z, a z2. Supondremos que ambos contornos forman parte del dominio simple mente conexo D en el que / (z) es analítica. Nuestra tarea consiste en demostrar que j f(z)dz = j f(z) dz. Jz,

Jz,

a lo largo de C ,

a lo largo de C 2

(4.4-1)

Comenzaremos por invertir el sentido de integración a lo largo de C, en la ecua ción (4.4-1) y cambiando de signo a la integral para contrarrestar el efecto de esta operación. Así pues, f(z) dz = a lo largo de C ,

f(z) dz, a lo largo de C 2

o bien, tras reordenar términos, 0=|

f(z) dz + j f(z) dz.

Jz,

Jz2

a lo largo de C 2

a lo largo de C ,

La ecuación anterior dice simplemente que la integral de línea d e /(z ) alrededor del circuito cerrado formado por C, y C2 (véase la Fig. 4.4-1) es cero. La validez de este resultado es consecuencia directa del teorema de Cauchy-Goursat. Si bien en la ecuación (4.4 I) hemos supuesto que Cj y C2 no se cortan, existe una derivación ligeramente distinta en la que se elimina este requerimiento. En el ejer cicio I de esta sección se estudia el i aso en que los contornos tienen un solo punto de intersección,

4 .4

In d e p e n d e n c ia d e la tr a y e c to r ia e in te g r a le s in d e fin id a s

183

Puesto que podemos usar cualquier pareja de contornos (del dominio D) que va.m de z, a z2 para obtener la ecuación (4.4-1), se deduce que toda pareja de trayectoi ias en D con esta característica debe dar el mismo resultado. Por lo tanto, el valor de I /'(z) dz es independiente de la trayectoria usada para ir de z, a z2 siempre y cuando dicha trayectoria forme parte de un dominio simplemente conexo en el que / (z) sea analítica.

EJEMPLO 1 i alcule ¡\ (1/z) dz integrando a lo largo del arco Cj, que es la porción de x 4 + y 4 — 1 que se encuentra en el primer cuadrante (véase la Fig. 4.4—2). Solución Podríamos intentar llevar a cabo la integración por medio de la ecuación (4.2-5). Pero al poco tiempo veríamos que las operaciones se hacen tediosas. Como 1/z es analítica en todo punto a excepción de z = 0, podemos cambiar el contorno por el i narto de círculo C2 descrito por \ z \ = 1, 0 < arg z < n/2. Este arco, que se muestra en la ligura 4.4-2, también va de 1 a i. Obsérvese que el dominio que se encuentra a la derecha de la recta y = -x contiene a Cj y a C2, además de ser un dominio de ana ína, alad de 1/z. Tenemos, pues, que JCl(l/z) dz = Jc,(l/z) dz. Para integrar sobre C2 introducimos el cambio de variable z = e"1e integramos n specto al parámetro 6 de 0 a 7t/2. Ya hemos usado este método (véase la Fig. 4.4-2). Kacuérdese que dzldO = ie'°. Obtenemos

184

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

'* /2

- dz = A-Jew dO = - i , c2z que es la respuesta al problema planteado. A En el cálculo elemental, el método general de integración consiste en reconocer que el integrando f(x ) es la derivada de cierta función F(x). Luego se evalúa F(x) en los límites de integración: dF = F(x 2) - F(xt).

t f(x ) dx =

El siguiente es un ejemplo concreto: “*4 f 4 d / x 3\ f4 d,í*3 x34 _ 63 —\ = — x2 dx = — [ — )dx = ! d x \3 J 1 V3 / 3 i~ T Ji ¿Podrá aplicarse un procedimiento similar a las integrales de línea complejas? Vere mos que, con ciertas restricciones, la respuesta es sí. Sea F(z) una función analítica en cierto dominio D. Supongamos que dF/dz = / (z) en D. Consideremos la expresión J í / (z) dz integrada a lo largo de un arco suave C perteneciente a D y que va de z, a z2. Supondremos también que C tiene una represen tación paramétrica de la forma z(t) = x(t) + iy(t), donde t¡ < t< t2, y que dz/dt existe en dicho intervalo. Obsérvese que z(í,) = z, y que z(t2) = z2. De la ecuación (4.2-10) tenemos , dz /(z) dz = | f(z (t))-d t. En el lado derecho podemos sustituir/ (z(í)) por dFIdz. Luego, f(z) dz =

! dF dz dt. f| dz dt

(4.4-2)

Aplicando la regla de la cadena de la diferenciación vemos que la expresión de la de recha, {dFIdz) (dz/dt), no es más que dF/dt. Por lo tanto, Ch dF , —•dt. Jt, El integrando del lado derecho, dF/dt, es una función compleja de la variable real t. Esta integración puede llevarse a cabo mediante los métodos usuales del cálculo real, es decir, f(z) dz =

J,, dt

d f = F[z(r2) ] - F r z ( í 1)j = F(z2)

F(z,

J (i

Así pues, tenemos

f(z) d:

FU-,)

F(z!),

(4.4 3)

4 .4

185

I n d e p e n d e n c ia d e la tr a y e c to r ia e in te g r a le s in d e fin id a s

I I resultado de la ecuación (4.4-3) conserva su validez aun cuando el contorno C es una curva suave a trozos. Pero esto exige una demostración ligeramente más compli cada, que no presentaremos aquí, puesto que dz/dt puede no existir en los puntos de unión de los arcos suaves que forman el contorno C. Estos resultados se resumen en el siguiente teorema. TEOREMA 5 Integración de funciones que son derivadas de funciones analíticas Sea F(z) una función analítica en un dominio D. Sea dF/dz = f (z) en D. En tonces, si z, y z2 son puntos de D, f ( z ) d z = F ( z 2)

(4.4-4)

donde la integración se puede efectuar a lo largo de cualquier contorno en D que vaya de z, a z2. □ 1>e este modo, si se satisfacen las condiciones que exige este teorema, podemos usar l is reglas de integración convencionales y por tanto también las tablas de integrales n nales (que se elaboran a partir de dichas reglas). Por ejemplo, el teorema justifica la siguiente operación: '2 + 2 i

z 2 dz = '

f 2+ 2 i d z 3 z3 --------d z = — 1+ i d z 3 3

2+2‘ = Í[(2 + 2i)3 - ( l +¿ ) 3]

1+¿ * ( orno z 3/3 es una función entera, no se ha especificado la trayectoria de integración; v, en efecto, no es necesario hacerlo. J i +¡

EJEM PLO 2 Evalúe í-'¡ 1/z dz a lo largo del contorno C que se muestra en la figura 4.4-3. Solución Itecuérdese del capítulo 3 que (d/dz) log z = 1/z. El logaritmo es una función multi forme. Con objeto de especificar una rama analítica particular del logaritmo, lla mémosle F(z), es preciso emplear un corte. Para efectuar esta integración podemos valemos de cualquier rama del logaritmo cuyo corte no interseque C. La línea gruesa de la figura indica un corte posible. Puesto que el corte contiene todos los puntos sinr illares de F(z), el contorno C forma parte de un dominio de analiticidad de F(z). I Jsando nuestra rama analítica de log z tenemos '1 - d z = log z -t z

= Log|z| + i arg z

( Ibsórvese que 1,og| i | Log| - i | : 0. Por lo tanto, J+,' 1/z dz = /(arg / - arg(-/)). El argumento de z varía en forma continua sobre el contorno C. En - i el argumento de z es n/2 I 2kn, donde k es un entero, y en W el argumento es n/2 + 2kn, donde k debe tenei el misino valor que antes. Luego,

186

C a p itu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

Figura 4.4-3

- dz =

+ 2kn \ —i / - ^ + 2/c7t

Observación: La solución del problema del ejemplo 2 depende de que encontre mos o conozcamos una función F(z) que sea analítica en todo punto del contorno de integración y para la cual se cumpla que dF/dz = f (z) sobre el contorno. Aquí/ (z) es la función por integrar. Si f( z ) no es analítica en uno o varios puntos del contorno de integración no es posible encontrar una función F(z) que satisfaga las condiciones requeridas. Por el momento, este hecho no es evidente, pero lo demostraremos en la sección 4.5, donde se muestra que si F(z) es analítica en un punto, entonces todas sus derivadas deben ser analíticas en dicho punto. Es, por tanto, inútil buscar una función analítica F(z) cuya derivada/(z) no sea analítica. Si en el ejemplo 2 sustituyésemos 1/z por 1/z (función que no es analítica en ningún punto), no podríamos emplear el mé todo usado en dicho ejemplo. Para obtener la solución tendríamos que contar con una expresión matemática para el contorno C. Entonces, en principio, podríamos efectuar la integración si recurrimos a la ecuación (4.2-5). El lector de este texto debe recordar el teorema fundamental del cálculo (real): si / (x) es una función continua de x, entonces d f(w) dw = f(x). dx c _ En esta expresión vv es una variable muda y a es una constante. Si F(x) = J* f(w ) dw, entonces dF/dx = fix). Este teorema establece una relación entre la integración y la di ferenciación: la integración es la operación inversa de la diferenciación. Existe un enunciado análogo para el caso de integración de funciones analíticas de una variable compleja. Sea vv una variable (muda) compleja y sea /(vv) una función analítica en un dominio simplemente conexo D del plano w. Sean a y z puntos de D. Consideraremos a z como una variable. A partir del teorema 4, tenemos que F(z) \z„/(w) dw es una función que no depende del contorno C que se emplee para ir de a a z siempre y cuando C esté en D. Demostraremos que db'/dz = /(z). Vayamos a la figura 4.4—4. F(z) = \:„J(w) dw, donde la integración se lleva a cabo a lo largo de C, Además, F(z 4 Az) ' /(vv) <lw, donde la trayectoria va de a a z u lo largo de y luego d e z a I A.- a lo largo de la tecla que los une, es decir, del vecloi A ( 'onsideremos ahora la expresión

4 .4

In d e p e n d e n c ia d e la tr a y e c to r ia e in te g r a le s in d e fin id a s

F(z + Az) - F(z) - m Az

g(Az)

187

(4.4-5)

Recordemos que dF dz

— =

F(z + Az) —F(z) az-o Az

l í m -----------------------------.

Si podemos mostrar que límA^ 0g(Az) = 0 en la ecuación (4.4-5) debe cumplirse que ill'ldz = /(z). Obsérvese que F(z + Az) — F(z)

f (w) dw,

(4.4-6)

donde la integración se efectúa a lo largo del vector Az de la figura 4.4-4. Introdu ciendo la ecuación (4.4-6) en la ecuación (4.4-5) obtenemos

g(Az)

/(w) dw — f(z)Az

(4.4-7)

Ilomos sacado l/|Az| de la integral. Como Az = Jz+A"Vw, podemos escribir la ecuación 4.4 -7) en la forma g{Az) = es decir, g(Az) =

f(w) dw - f(z)

[/(w) - /(z)] dw

(4.4-8)

Puesto que/(z) es analítica, debe ser continua. Así pues (véase la Sec. 2.2), si toma mos un número positivo cualquiera e, debe existir un círculo de radio <5y centrado en tal que, si w es un punto del círculo,

188

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

|f(w) - f( z )I < e.

(4.4-9)

Podemos tomar Az lo bastante pequeño para que el punto z + Az esté dentro del cír culo. La ecuación (4.4-9) queda satisfecha a lo largo de la trayectoria de integración recta de la figura (4.4—4). Ahora aplicamos la desigualdad ML (sección 4.2) a la integral de la ecuación (4.4-8). De la ecuación (4.4-9) vemos que podemos tomar M = s. La longitud de la trayectoria es L = | Az |. Por lo tanto, g(Az) < — Az

e |A z |

= e.

En vista de que podemos hacer que e sea tan pequeño como deseemos (reduci mos | Az | de tal manera que z + Az esté siempre en el círculo de la figura 4.4^1), ha de cumplirse que límAz^ 0 g(Az) = 0 y, como indica ahora la ecuación (4.4-5), tene mos dFldz = / (z). No sólo hemos demostrado que dF/dz existe, sino que además he mos determinado su valor. En resumen: TEOREMA 6

Teorema fundamental del cálculo de funciones analíticas

Si/(w) es analítica en un dominio simplemente conexo D del plano vv, enton ces la expresión j l /(w) dw integrada a lo largo de cualquier contorno de D define una función analítica de z que satisface la ecuación

□

(4.4-10)

Decimos, como en el cálculo real, que si dFldz = / (z), F(z) es una primitiva de /(z). Así, de la ecuación (4.4-10), ja/(vv) dw es una primitiva de/(z). Desde luego, si dF/dz = / (z), entonces F,(z) = F(z) + C (constante) también tiene por derivada a /(z). Luego/(z) posee un número infinito de primitivas. Dichas primitivas difieren en valores constantes. Usamos la integral indefinida J/ (z) dz para indicar todas las posi bles primitivas de / (z). La integral implica una constante aditiva arbitraria, como en el cálculo real. Por ejemplo, como (d/dz)(sen z + C) = eos z todas las primitivas de eos z quedan contenidas en la expresión J eos z dz —sen z + C; es decir, las primitivas son de la forma sen z + C. El valor de la constante correspondiente a una primitiva específica J Ü/(vv) dw queda determinado por el límite de integración inferior, como se muestra más abajo en el ejemplo 3. Nótese que la identidad que satisfacen las primitivas que el lector aprendió en sus cursos de cálculo real, (4.4-11) (integración por partes), es también válida en la teoría de variable compleja. Esta identidad deriva de la expresión para la derivada del producto uv, válida tanto para fu n c io n e s y variables re a le s c o m o para Hiih Io n es y variables complejas.

E je r c ic io s

189

E JE M P LO 3 a) b) c) d)

Encuentre las primitivas de zez. Emplee el resultado del apartado (a) para calcular \ zwewdw. Compruebe la validez del teorema 6 en el caso de la integral del apartado (b). Use el resultado del apartado (a) para determinar \)zez dz.

Solución Apartado (a): A fin de calcular j zez dz usaremos el método de integración por partes. Así, usando la ecuación (4.4-11) con u = z, dv = ezdz, v = ez, tenemos J zez dz = zez \ ez dz = zez - ez + C = F{z). Apartado (b): Usando el resultado de (a) tenemos J; wewdw = zez - ez + C. Para delerminar el valor de C observemos que el lado izquierdo de esta ecuación es cero ruando z = i. El lado derecho coincide con el lado izquierdo en z = i si tomamos C = ie' + e'. Por lo tanto, *Z wewdw = zez — ez — ie' + e‘. M Apartado (c): El teorema 6 establece que d d z'

1dw =

I Isando el valor zez - ez—ie' + e' para la integral anterior, y diferenciando respecto a z, vemos que la ecuación se satisface. Como zez es entera (wewes entera en el plano w), el teorema también indica que J¡ we"’dw es analítica en todo punto del plano z, y en efecto v é - ie' + e' es una función entera. Apartado (d): Tomando F(z) = zez - ez + C del apartado (a) podemos ahora usar di rectamente el teorema 5. Como dFldz = zez en todo punto del plano z, tenemos i zez dz = zez —ez + C = —ie1+ e‘.

IJERCICIOS 1. lili la figura 4.4-5, el contorno C, (línea continua) y el contorno C2 (línea punteada) co nectan ambos a los puntos z, y z2. Estos contornos tienen otro punto de intersección que designaremos por zv Sea/(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo que contiene a C, y C2. Demuestre que

190

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

F ig u r a 4 .4 -5

Evalúe las siguientes integrales a lo largo de la curva y = yfx. /* 9 + 3 í

¡ •9 + 3¡

: dz *■ L

■

5- L ,

(z3 + z) dz

r 9+3í i +¿

ez sen(ez) dz

5- J 1+¡

z cos(z) dz

9 + 3i

ez cos(z) dz

' dz

8. a) Encuentre el error, en caso de que lo haya, en las siguientes integraciones. Ambas se efectúan a lo largo de la recta y = x. z dz = — 2

z dz = —

. (1 + O2 2

(1 - i)2

b) ¿Cuál es el valor numérico correcto de estas integrales? 9. Determine el valor de J¿ Log z dz integrada sobre la recta que va de z = e a z = i. ¿A qué se debe que sea necesario especificar el contorno? 10. Calcule JTLrCpg,,z/z dz, donde la integral se evalúa a lo largo de un contorno que no inter seque el corté .de Log z.í| - i 11. Calcule ¡\ zm dz. Use la rama principal de zm. El contorno no pasa por ningún punto tal que y = 0, x < 0. 12. Calcule Ji z1/2 dz. La rama de zl/2que ha de emplearse es igual a -1 cuando z = I. El corte es la semirrecta y = 0, x < 0, y el contorno no pasa por dicho corte. 13. Consideremos los contornos C, y C2que aparecen en la figura 4.4-6. Podemos usar el re sultado obtenido en el ejemplo 2 de esta sección para mostrar que a lo largo de C,, J1! IIz ilz ni. ¿Se puede usar el principio de Independencia tic la trayectoria para demos trar que a lo largo de C3, / '¡ 1/z dz ni'f En caso de ser negativa la respuesta ¿cuál es el valor corréelo de esta integral? 14. a) ( 'aleóle I. ’,/./( /) ¡alegrada a lo laigo del aleo que satisface I ,• /| I, Ke (I

E je r c ic io s

191

A r c o s d e c ír c u lo

F ig u r a 4 .4 -6

b) Repita el cálculo del apartado (a) usando los mismos límites, pero con el arco \z-i\ = 1, Re z < 0. Sean z, y z2 dos puntos cualesquiera del plano complejo. Supongamos que dos contornos Cj y C2 conectan ambos a los puntos z, y z2. Supongamos además que los contornos no se cortan en ningún otro punto y que ninguno de los dos pasa por z = 0. Explique a qué se debe que

a lo largo de C |

a lo largo de C 2

Considere dos casos: a) z = 0 no pertenece al dominio delimitado por C¡ y C2(véase la Fig. 4.4-7). b) z = 0 pertenece al dominio delimitado por C¡ y C2(véase la Fig. 4.4-8).

F ig u r a 4 .4 -7

192

16.

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

E n sus c u rso s de c álcu lo e le m en ta l, el le c to r a p re n d ió el teorema del valor m edio: si f{x) es c o n tin u a e n a < x < b, ex iste u n n ú m e ro x h e n el q u e a < x, < b, tal que

f(x) dx = f(x¡)(b — a).

C o m p ru e b e , m e d ia n te el s ig u ie n te p ro c e d im ie n to , q u e e ste te o re m a no tie n e e q u iv a le n te p a ra in te g ra le s d e lín e a c o m p le jas: a ) D e m u e s tre q u e j',( 1 /z 2) dz = 1 + i, d o n d e la in te g ra l se e fe c tú a a lo la rg o de x + y = 1. b ) D e m u e s tre q u e n o ex iste, so b re e ste c o n to rn o d e in te g ra c ió n , n in g ú n p u n to z , ta l que (1

1) = 1 + i.

17. a) E n c u e n tre la s p rim itiv a s de l/( z - í f en el d o m in io R e z > 0. b ) E n c u e n tre la p rim itiv a q u e es ig u al a cero c u an d o z = 1 + ;. 18.

a) E n c u e n tre las p rim itiv a s d e l / ( z 2 + 1) en el d o m in io |Im z | < 1. b ) E n c u e n tre la p rim itiv a q u e es ig u a l a n i 4 c u an d o z = 1.

19.

a) M u estre q u e to d a ra m a de z “ (cc es u n n ú m e ro c u alq u iera, y a sea re a l o c o m p le jo ) tie n e p o r p rim itiv a zz“/ ( a + 1) en el d o m in io de a n a litic id ad de z “ (v é a se la Sec. 3.6). b ) U sa n d o los v a lo re s p rin c ip a le s d e to d a s las fu n c io n e s que a p a re c e n en el in te g ra n d o , c alc u le ¡L, (z ' - f ) dz. E m p lee u n co n to rn o d e in te g ra c ió n q u e no p a se p o r z = 0 n i p o r la p a rte n e g a tiv a del e je real.

4.5

LA FO RM U LA INTEGRAL DE CAUCHY Y SU EXTENSION

Consideremos un contorno cerrado simple C (véase, por ejemplo, la figura 4.5-1). A partir del teorema integral de Cauchy vamos a obtener un resultado curioso. Supon gamos que f(z ) es una función analítica sobre C y en todos los puntos del interior de C. Entonces, basta conocer los valores que toma /(z) en C para determinar f(z ) en cualquier punto z0 del interior de C. La fórmula integral de Cauchy, que a continua ción deducimos, permite encontrar /( z 0). El lector impaciente puede ir de inmediato a la sencilla deducción formal que se esboza sin rigor alguno en el ejercicio 1 de esta sección. A fin de obtener este resultado en forma rigurosa, procederemos de la siguiente manera: sea C0 un círculo de centro z0 y radio r. El valor de r es suficientemente pe queño para que C0 quede completamente dentro de C. La función / (z)/(z - z(l) es ana lítica en todos los puntos en los que lo es / (z), salvo en z = z0. Así, / (z)/(z - z0) es analítica en C0, en C y en todos los puntos del interior de C que no pertenecen al inte rior de C0. Por el principio de deformación de contornos podemos afirmar que > , Z - zn

f(z) ,

. <¡z-

(4.5-1)

Z ()

Mostremos que la expresión de la derecha e s igual a ,’//// la ecuación (4 l 10),lJJ , . ■ „ ) .’«/ Por lo tanto

Recordemos que, según

4 .5

L a fó rm u la in te g r a l d e C a u ch y y su e x te n sió n

193

Figura 4.5-1 dz 2nif(z0) = (> :/(z0) , c0(z - z0)

/(z0)

J c 0z

dz.

(4.5-2)

Puesto que la cantidad/ (zn) es constante, pudimos introducirla en el símbolo de inte gral del lado derecho de la ecuación (4.5-2). Si restamos el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación (4.5-2) de la integral del lado derecho de la ecuación (4.5-1), obtenemos f(z) - f ( zo) dz. m dz - 2nif(z0) = (4.5-3) C0' Nuestra tarea ahora consiste en demostrar que la integral de la derecha es igual a cero. Por el principio de deformación de contornos, el valor de esta integral, que aún desco nocemos, debe ser independiente de r, radio de C0. Podemos aplicar la desigualdad ML de la sección 4.2 a fin de obtener una cota para el valor absoluto del lado derecho de la ecuación (4.5-3). Aquí, la longitud L de la trayectoria no es sino la circunferencia del círculo Cn, o sea, 2nr. La cantidad M debe ser tal que < M,

para z en C0.

Sobre el contorno de integración tenemos |z - z 0| = r. Como/(z) es continua en z0 podemos usar la definición de continuidad (véase la Sec. 2.2) para afirmar que, dado un número s positivo, existe un número positivo <5tal que |/(z ) —f (z0)| < e si |z - z0| < 8. Si hacemos el radio r de C0 menor que 8, tendre mos | f( z ) —/( z 0)I < e sobre Ca. Por lo tanto, sobre C„, /(z) - /(Zp) z — zo y

podemos tomar M

r./r

/(z) - /(z0) r

cn la ecuación (4.5 4).

194.

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

Ahora bien, una vez que hemos asignado valores a M y a L, podemos aplicar la desigualdad ML al lado derecho de la ecuación (.4.5-3) para obtener ^ /(z) - /( z 0) j (> --------------- dz < -2nr = 2ne. Co

(4.5-5)

Puesto que el número e que aparece en el lado derecho de la ecuación (4.5-5) puede ser tan pequeño como se desee, el valor absoluto de la integral de la izquierda también puede hacerse arbitrariamente pequeño. Reducir e equivale simplemente a reducir el radio r de C0. Antes hicimos notar que el valor de la integral que está dentro del símbolo de va lor absoluto en la ecuación (4.5-5) debe ser independiente de r. Como el valor absolu to de dicha integral puede hacerse tan pequeño como se desee, concluimos que su valor es, de hecho, igual a cero. Ya que hemos mostrado que el lado derecho de la ecuación (4.5-3) es igual a cero podemos reordenar el lado izquierdo para obtener 2nif(z0) = f - - dz. J c M - z o)

(4.5-6)

La ecuación (4.5-6) muestra que el lado derecho de la ecuación (4.5-1) es igual a 2 n if (z0). Dividiendo ambos lados de la ecuación (4.5-1) entre 2ni, obtenemos la fórmula integral de Cauchy. TEOREMA 7 Fórmula integral de Cauchy Sea / (z) una función analítica sobre un contorno cerrado simple C y en el interior de dicho contorno. Sea z0 un punto del interior de C. Entonces /(A>) =

2m J c (z - z0)

□

(4.5-7)

EJEM PLO 1 a) Calcule (j>c(cos z)/(z - 1) dz, donde C es el contorno triangular mostrado en la figura 4.5-2. b) Calcule (j^cos z)/(z + 1) dz, donde C es el mismo contorno que en el apar tado (a). Solución Apartado (a): Como eos z es una función entera y el punto z() = 1 está en el interior de C, podemos usar la ecuación (4.5-7). Asi pues, I f eos z , q> dzz 2n l j , : I

eos I, es decii

dz (:

2ni eos I

3.39/.

4 .5

L a fó rm u la in te g r a l d e C a u ch y y su e x te n sió n

195

Apartado (b): El integrando puede expresarse en la forma (eos z)/(z - (-1)). Usando la ec uación (4.5-7) vemos que z0 = -1 no pertenece al interior del contorno de integrai ion. Por lo tanto, no podemos usar la fórmula integral de Cauchy. Sin embargo, ya que (eos z)/(z + 1) es analítica tanto en C como en todo punto de su interior, pode mos aplicar el teorema de Cauchy-Goursat. Así pues, el valor de la integral conside rada es cero. ^ EJEM PLO 2 i alcule ( MItií) ^Afcos z)/(z2 + 1) dz, donde C es el círculo [z - 2/| = 2. Solución No podemos decidir de inmediato si debemos aplicar la fórmula integral de Cauchy o I teorema de Cauchy-Goursat. Factorizando el denominador tenemos 1 f eos z — ay---------------dz. 2ni J (z —i)(z + i) ( íbsérvese que el factor (z - i) se anula dentro del contorno de integración (en z = i), y que z + i no se anula ni sobre el contorno ni en su interior (véase la Fig. 4.5-3). Es cribiendo la integral considerada en la forma

—

2ni

(J>

z+i dz, (z - 0

vemos que, como eos z/(z + i) es analítica tanto en el círculo |z - 2i\ = 2 como en su interior, podemos usar la fórmula integral de Cauchy. En la ecuación (4.5-7) tomamos / (z) = eos z/(z + i) y z0 = i. Así, el valor de la integral considerada es \Z + i) z=i

eos i —i - = — cosh 1. 2i 2

I a fórmula integral de Cauchy no permite evaluar directamente integrales como

196

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

donde z 2 + 1 se anula en dos puntos del interior del contorno de integración. Sin em bargo, dicha fórmula puede adaptarse para resolver problemas de esta clase, como se muestra en el ejercicio 16 de esta sección. La fórmula integral de Cauchy permite determinar el valor de una función analí tica en un punto si conocemos los valores que dicha función toma en un contorno ce rrado simple que rodee al punto. La fórmula puede generalizarse. La generalización permite calcular el valor de cualquier derivada de esta función en el mismo punto si, como antes, conocemos el valor de la función a lo largo de una curva que rodee al punto considerado. La fórmula generalizada puede obtenerse mediante las siguientes operaciones, que no constituyen una demostración. Sea/ (z) una función analítica a lo largo de un contorno cerrado simple C, así como en su interior, y sea z0 un punto del interior de C, entonces, de la ecuación (4.5-7), tenemos / ( z o) =

m 2m

ic ¿

dz.

(4.5-8)

£o

Ahora tomemos/ (z0) como función de la variable z0, y diferenciemos ambos lados de la ecuación (4.5-8) respecto a z0. Supondremos que podemos introducir el operador d!dza en el símbolo de integral. Así, — f ( z 0) = — — £ m dz0 dz0 2ni „ c z ~ z o d z = z— 2ni 1 m dz. 2ni rc (z - z0)2

/(z)

d zo \ z (4 .5 -9 )

Esto equivale a suponer que la regla de Leibnitz^o sólo es válida para integrales rea les, sino también para integrales de contorno. Calculando de esta manera las derivadas segunda y n-ésima encontramos que

1 Véase W Kuplim, Advanced Cali idn.\, -ln n i (Kuidlng, MA: Addisnn Woslcy, IW |),p ú g , 2(»(>

4 .5

2ni f M(zo) =

La fó rm u la in te g r a l

^ ^dzQ (z —z0

- 0Á\z—2ni f yCf w fdzn

de C a u ch y

y su e x te n sió n

2ni J c (z —z0)

2 n iJ c (z - z0)'H

197

dz,

(4.5-10)

-dz.

(4.5-11)

Las expresiones de las ecuaciones (4-5-9) a (4.5-11) pueden demostrarse rigurosa mente. A fin de obtener f '( z 0) con todo rigor, usaremos la definición de primera deri vada y la fórmula integral de Cauchy, dada por la ecuación (4.5-8): f ( z 0) = lím A zo - 0

/(z 0 + Az0) - /(z 0) Az0

1 (£. ^ 1 X f w dz dz ) Azr _2ni J c 2 —(z0 + Az0) 2ni c(z - A>) 1 1 f(z) dz = lím O _z - (z0 + Az0) z - z, A z o -> 0 2 7 T ¡ A 0 . /(z) dz = lím ——Q> A z o - * 0 2711 J c [z - (z0 + Az0)](z - z0)

= lím

(4.5-12)

Si fuese posible invertir el orden de la operación lím Azo^0 y la integración en el último termino de la ecuación (4.5-12), obtendríamos la expresión de f \ z a) que aparece en la ecuación (4.5-9). Sin embargo, no hay manera obvia de justificar dicha inversión. Lo que puede hacerse es demostrar que el valor absoluto de la diferencia entre _ L f ÍM l 2 m J c [z - (z0 + Az0)](z - z0)

± < C _ ú !lA 2tt¡ J c (z - z0)2

tiende hacia cero cuando Azo->0. Así quedaría probada la validez de la expresión (4.5-9) para f '( z 0). El procedimiento es bastante directo e implica usar la desigualdad ML de una manera similar a la empleada para obtener la fórmula integral de Cauchy. I I lector encontrará los detalles de este procedimiento en el ejercicio 15 de esta sec ción. Una vez que hemos demostrado la validez de la ecuación f ' ( z 0) = (1/2ni) ÍV ,/ (z)/(z - z0)2 dz, podemos usar un procedimiento riguroso análogo para justificar la expresión p a ra /(2)(z0) 9ue aparece en la ecuación (4.5—10). Puesto que la derivada de / '(z0)con respecto a z0 no sólo existe, sino que existe en cualquier dominio de analiti cidad de / ( z n), podemos afirmar que f \ z a) es en sí misma una función analítica de z0. Este procedimiento puede llevarse a cabo tantas veces como sea necesario para obtener cualquier derivada d e /(z 0). Se obtiene así una fórmula para la derivada n-ésima, dada por la ecuación (4.5-11). El siguiente teorema es un resumen de estos resultados. TEOREMA X Iixtensión de la fórmula integral de Cauchy Si una función / ( I c . analllica en cierto dominio, entonces posee deriva das de lodos los órdenes en dicho dominio. Estas derivadas son también

198

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

analíticas en el dominio. Si / (z) es analítica a lo largo de un contorno cerra do simple C así como en su interior y si z0 es un punto del interior de C, entonces n!

7 ,2°, = 2 í¡ tc

(4S- 13)

Obsérvese que si interpretamos/(0)(z0) colmo/(z0) y 0! = 1, la ecuación (4.5-13) con tiene la fórmula integral de Cauchy para/ (z0). Sea/ (z) una función definida en todo punto de una vecindad de z0. Si/ (z) no es analítica en z0 es imposible encontrar una función F(z) tal que dF/dz = / (z) en todo punto de la vecindad. De existir F(z), sería analítica y, según el teorema 8, su segunda derivada df/dz existiría en todo punto de la vecindad considerada. Por lo tanto, / (z) sería analítica en z0, lo que constituye una contradicción. A modo de ilustración, considérese el caso de la función/ (z) = x 2 + iy2, que no es analítica en ningún punto (véase el ejemplo 2 de la sección 2.4) y que no puede ex presarse como la derivada de una función F(z) en dominio alguno. Si se expresa una función analítica/ (z) en la forma u(x, y ) + iv(x, y), entonces las derivadas de / (z) pueden escribirse en términos de las derivadas parciales de u y v (véase la sección 2.3 y el ejercicio 19 de esa sección). Por ejemplo, du

f< f) = Tx + i Tx = T y - ‘ T>d 2u

d 2v

d 2u

<4-5- 14» d 2v

(45- |5)

La extensión de la fórmula integral de Cauchy indica que si/ (z) es analítica, en tonces posee derivadas de todos los órdenes. Como dichas derivadas quedan definidas por las ecuaciones (4.5-14) y (4.5-15), así como por otras ecuaciones semejantes que contienen derivadas parciales de orden superior, vemos que u y v deben poseer deriva das parciales de todos los órdenes. Puesto que una función armónica puede conside rarse como la parte real (o la parte imaginaria) de una función analítica, podemos enunciar el teorema 9. TEOREMA 9 Si una función es armónica en cierto dominio, entonces posee derivadas par ciales de todos los órdenes en dicho dominio. □ EJEM PLO 3 Determine el valor d e

[(z1 + 2z + I )/(z

I ) '| </z, donde C es el contorno | z \

1 Jada la form a d e l d e n o m in a d o r d el m lc p ia iiilo , r ec u r r ir em o s a la e c u a c ió n (4 ,5

I 1)

Solución c o n ii

l e ñ e m o s p u es

E je r c ic io s

/ (2W

199

m -dz. =^ 2ni Je (z - z0)3

Haciendo z0 = 1 y efectuando una sencilla multiplicación, la ecuación anterior se transforma en m dz. c ( 2 - D3 Tomando f( z ) — z 3 + 2z + 1, esta fórmula proporciona el valor de la integral consi derada. Así pues . z3 + 2z + 1 , . d2 3 = 6ni. = ni(6z) Cl> dz = ni—- (z + 2z + 1) c (Z - 1) dz Nótese que si el contorno C fuese | z | = 1/2 podríamos usar el teorema integral de Cauchy. Esto se debe a que (z3 + 2z + l)/(z - 1)3es analítica tanto a lo largo de cír culo como en su interior. M EJEM PLO 4 Encuentre <^c [eos z/((z - l)3(z - 5)2)] dz, donde C es el círculo |z - 4| = 2. Solución Examinemos los factores del denominador. El término (z - l)3 es distinto de cero tanlo en el interior del contorno de integración como en su circunferencia. Sin embargo, (z - 5)2 se anula en el punto z = 5 del interior de C. Por lo tanto, volvemos a escribir la integral en la forma eos z (Z - 1): dz

'c ( z - 5 ) 2 y aplicamos la ecuación (4.5-13) con n = 1, z0 = 5,/(z ) = eos z/(z- l)3. Así, eos z (z - 1);

d> 2ni c (z —5)

—

dz =

d eos z dz(z - l)2

—64 sen 5 —48 eos 5

El valor de la integral inicial es igual al producto de 2ni por el resultado anterior. M

E JE R C IC IO S E A liti de obtener unu derivación formul (no rigurosa) de la fórmula integral de Cauchy, consideremos una función,/(z) analítica tanto sobre el perímetro de un contorno cerrado simple (' como en su Interior; sea un punto del interior de (' y sea Cn un circulo con

2 0 0

(nplO ilii 4

I iiI

i i i i i o i i t ' ii e l | i l i i i n i i ' o n i | i l i ' | i i

c en tro en z„ y to ta lm e n te c o n te n id o e n C. E n to n ce s, p o r el p rin c ip io de d e fo rm a c ió n de c o n to rn o s te n e m o s

/(z)

-M _ * .

c ( z - zo)

J c0(z —2o)

a) V u e lv a a e x p re sa r la in te g ra l d e la d e re ch a efe ctu an d o el c am b io de v a ria b le z = z„ +

re'0, d o n d e r es dz/dd = ire'0.

el rad io d e C 0 y

8 v a ría

d e 0 a 2 n (v é a se la Fig. 4 .3 - 8 ) . O b sé rv e s e que

b ) T om e r -> 0 en el in te g ra n d o d e la e x p re sió n q u e se o b tu v o e n el a p arta d o (a). L lev e a c a b o la in te g ra c ió n y use su re s u lta d o p a ra d e m o stra r q u e

- dz = 2nif(z0). I c (z — Zo) c)

¿A q u é se d e b e q u e este p ro c e d im ie n to n o sea rig u ro so ?

E v a lú e las s ig u ie n te s in te g ra le s. U se la fó rm u la in te g ra l d e C a u c h y (o su e x te n sió n ) o b ie n el te o re m a in te g ra l d e C au c h y d o n d e sea n e ce sario .

(t> — —--- alrededor de — + — = 1 ez(z - 2 ) 9 16

1 f (eos z -t- sen z) . . . , x2 y2 3. — 0 - ----------------------- dz alrededor-d e ------ 1------ = 1 2ni J (z 2 + 25)(z + 1 ) 9 16 í

c o sh z

4. (j>--------------- dz

alrededor de (x —

J z2 + z + 1

l)2 +

(y —

l)2 = 1

1 f* senh z 5. — 0 ----------------- dz alrededor de |z —2 i| = 2

2 ni J z 1 + z + 1

1 f cos(senh z) , ,

, , ,

. .,3

6. — 0 ----------------- dz alrededor de z — 1— i = 2ni J z 2 + z + 1 2 7.

J z 2 — 6z + 5

alrededor de \z — iii= \ = L2

f sen(cz + eo s z) x2 8. 0 -----------------------dz alrededor de — J (z - l ) 2(z + 3) 2

e3z

9. 0 ----—------dz alrededor d e -------1- y 2 = 1 J (z - 2í)(z - l) 2 2 f cos(2z) , 10. 0 — —— dz alrededor de |z| = 1 f cos(2z) 11. 0 — —— dz alrededor de |z| = 1 12.

U n e stu d ia n te tra ta d e in te g ra r la e x p re sió n J¿V» 2 dz a lo larg o d e la c u rv a y

^ /s e n (y x ).

P ara e llo e stu d ia el te o re m a 5 d e la secció n 4.4 y se d ice q u e si es c a p a z de e n c o n tra r una fu n c ió n F(z) tal q u e dF/dz ~ z en un d o m in io q u e c o n te n g a a la tra y e c to ria de in te g ra c ió n ,

E je r c ic io s

201

en to n c e s p o d rá e v a lu a r la in teg ral c alcu la n d o F (1 + i ) - F (0 + /O) sin te n e r q u e u s a r la tra y e c to ria d e in te g ra c ió n . I ’.x p liq u e a q u é se d eb e q u e e ste p ro c e d im ie n to no fu n c io n e . I '.

. 1) U se la e x te n sió n de la fó rm u la in teg ral d e C a u c h y p a ra d e m o stra r q u e p e"7(z" + ')

a"2iciln\, d o n d e la in te g ra c ió n se lle v a a cab o a lre d e d o r d e | z | = 1.

b) V uelv a a e sc rib ir la in teg ral d el a p arta d o (a) s u stitu y e n d o z = e lS(0 < 9 < 2 n) p a ra z en el c írc u lo u n ita rio . In te g ra n d o re sp e c to a 6, d e m u e stre q u e cu an d o a es re a l, eo s (a sen 0 - n9) JO = 2 m " ln \, y íl" e " cos 6 s e n (a sen 0 - nff) dO = 0. II.

a) S ea a un n ú m e ro re a l tal q u e \a\ < 1; p ru e b e q u e 1 — a eos 0

■dO = 2n.

1 — 2 a eos 9 + a 2

Sugerencia: C o n sid e re la in teg ral P d z K z - a) a lre d e d o r de | z | = 1. ¿ C u á n to v a le e sta in te g ra l? A h o ra e sc rib a la in te g ra l to m a n d o z = e'0, 0 < 9< 2 ; r p a r a z en el c írc u lo u n itario . b) S u p o n g a m o s q u e a es un n ú m e ro real, p e ro q u e a > 1. ¿ C u á n to v ale e n to n c es

1 ~ aC0Se

1 — 2a eos 9 + a 2 IV

d(P.

l’a ra c o m p le ta r la d e m o stra c ió n rig u ro sa de la g e n e ra liz a c ió n de la fó rm u la in te g ra l de ( ’a u ch y p a ra la p rim e ra d e riv a d a , q u e e m p re n d im o s a n tes, es p re c iso d e m o stra r que

f ( z ) dz

lím — á z 0 ~*o

2.U

/ ( z ) dz

I c (z - ( z 0 + A z0))(z - z0)

= 0.

c(z - z0);

C o m p le te la d e m o stra ció n .

Sugerencia: S ea b la d is ta n c ia m á s c o rta e n tre z0 y u n p u n to c u alq u iera del c o n to r no C, sea m el v a lo r m á x im o d e | / ( z ) | so b re C, se a L la lo n g itu d de C; su p o n g a q ue |Az0| < b / 2. D e m u e stre q u e el lím ite a n te rio r p u e d e e x p re sa rse p o r m e d io de u n a sola integral: Azn

/(z )

lím — A zn-* 0 2 71

C (z - z0)2 \ z - (z0 + A z0;

A h o ra a p liq u e la d e sig u a ld a d M L a e sta in teg ral u san d o los v a lo re s m, b, L , e tc éte ra , y p o s te rio rm e n te to m e el lím ite q u e se indica. I (>.

S c a / ( z ) u n a fu n c ió n a n alític a, ta n to so b re un co n to rn o c erra d o sim p le C co m o en su in te rior. S e a n z, y z2 d o s p u n to s del in te rio r d e C (v é a se la F ig . 4 .5 ^ 1 ). a)

D e m u e s tre que

/(:) *.)(r

dz =

/( z t)

/ ( z 2)

J i j V 'c

2 0 2

C a p itu lo 4

I n teg r a c ió n cii el p la n o c o m p le jo

Contom o C (linea continua)

Figura 4.5-4 Sugerencia: In te g re a lre d e d o r d e los co n to rn o s señ a la d o s p o r la lín e a p u n te a d a de la fig u ra 4 .5 - 4 y c o m b in e los re su lta d o s. S e a / ( z ) u n a fu n c ió n c o n las m ism a s p ro p ie d a d e s q u e en el a p arta d o (a) y sean z¡,

z 2, . . . , z„ p u n to s del in te rio r de C. S u p o n g a q u e z ,, z2, . . . , z„ tie n e n v a lo re s n u m é ric o s d istin to s. G e n eralice el m é to d o d el a p arta d o (a) p a ra p ro b a r que

M ________

2 7 tiJ ( z - z , ) ( z - z 2) " ( z - z „ )

/(* l) (z, - z 2)(zl

Z3) • ••(Zj - 2 „)

+ ________¿U2)________ (*2

~ Z l) ( z 2 ~ Z 3) " ' ( z 2 - 2 » )

+ ■■■+

/(*„) (2, ~2l)(2„-22)'"(2„-2„_1)

P a ra re s o lv e r lo s sig u ie n te s p ro b le m a s se re q u ie re n los re su lta d o s del p ro b le m a a nterior, o bien u n a g e n e ra liz a c ió n d e lo s m é to d o s e m p le ad o s en d ic h o p ro b le m a .

17.

1 f co síz — 1) — q > -------------------dz alrededor de \z\ = 3 (2 + 1)(2 —- 2)

2 n iJ

18. d>--------------J ez(z2 -

alrededor del cuadrado cuyos vértices están en

z= ±2, y z=

+ 2i

19. (j> — dz alrededor de \z — 1| = 8/9 J z 2 - 2 + 1/2 20.

21 .

(t>— — J e*(z2 - l ) 2

alrededor del contorno del ejercicio 18

a) S ea D un d o m in io d o b le m e n te co n ex o lim itad o p o r los c o n to rn o s c erra d o s sim p le s C 0 y C |, c o m o se m u e stra en la fig u ra 4 .5 -5 . S ea / ( z ) una fu n c ió n a n alític a en D a sí co m o en sus fro n teras, y s c a z 0 un p u n to de D. O b sé rv e se q u c / ( z ) 110 es n e c e sa ria m e n te a n a lítica en el in te rio r de

D em u estre que

4 ,6

Figura 4.5-5

A lg u n a s apllcilcloncH (Ir Iu l'A nniila iu lr^ ra l d e C a u c h y

F igura 4.5-6

± L

2niJc0z - z 0

203

Figura 4.5-7

2niJc¡( z - z 0)

dz.

Ésta es la fórmula integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo. Sugerencia: Efectúe la integración (\/2ni) f (z)/(z - z0) dz alrededor del contorno cerrado simple que se muestra en la figura 4.5-6. ¿Qué porciones de esta integral se anulan? b) Utilice el resultado anterior para mostrar que i r dz i i r dz 2ni J |2|„2(z —l)sen z sen 1 2ní J |«i_ 1/2(* —0 sen z c) Sea D un dominio n veces conexo limitado por los contornos cerrados C0, C'|..... C7„ h como se indica en la figura 4.5-7. Seaf(z) una función analítica en D y en sus fronte ras y sea z0un punto de D. Compruebe que

± ¿ dz = f(z0) + — 2ni 2m JcJ z - z 0) + ... + - L Í

m ,(z

-^-d z.

Esta es la fórmula integral de Cauchy para un dominio n veces conexo.

4.6 ALGUNAS APLICACION ES DE LA FÓRM ULA INTEGRAL D EC A U C H Y En esta sección y en la siguiente estudiaremos algunas de las consecuencias de la fór mula integral de Cauchy y de su generalización. Algunos de estos resultados sirven para resolver problemas físicos, en tanto que otros son puramente matemáticos. Co men/aremos con un resultado sencillo de obtener, pero que constituye una de las con secuencias más interesantes de la fórmula integral de Cauchy.

204

( n p ílu ld 4

liiU'unu'IAn oh «4 plniKi oitmplo|<>

TEOREMA 10 Teorema del valor medio de Oauss Sea/(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo. Conside remos un círculo cualquiera en dicho dominio. El valor que toma/Oz) en el centro del círculo considerado es igual a la media de los valores que toma / (z) a lo largo de su circunferencia. □ A fin de demostrar este hecho, consideremos un círculo de radio r y centrado en z0. En la figura 4.6-1 vemos que podemos expresar cualquier punto z del círculo en la forma z = z0 + re'11, donde 0 < 0 < 2n. Obsérvese que dz = re'ei d6. Introduciendo es tas expresiones para z y dz en la ecuación (4.5-7) obtenemos

/,z°)=¿ r

/(* o +

d°-

Tras efectuar algunas simplificaciones evidentes, esta expresión se convierte en f( z 0 + rew)d6. (4.6-1) /Uo) = ~ 2n o La expresión de la derecha de la ecuación (4.6-1) es la media aritmética (es decir, el valor medio) de/(z) a lo largo de la circunferencia del círculo. La ecuación (4.6-1) es la expresión matemática del teorema del valor medio de Gauss. Si la función/ (z) se expresa en términos de su parte real y su parte imaginaria, /(z ) = u(x, y) + iv{x, y), podemos volver a escribir la ecuación (4.6-1) de la siguiente manera: •2n u(z0) + iv(z0) = ~ 2n

¡ n* u(z0 + rew) dd + — v(z0 + reie) dd.

(4.6-2)

2?r J o

Tomando zn = x0 + iy0 e igualando partes correspondientes a cada lado de la ecuación (4.6-2) obtenemos i r 2* u(xo, yo) = — u(zo + rew) d6, 2tJ 0

F ig u r a 4.6-1

(4.6-3a)

4 .6

A lg u n a s iipllciU'lonr* ilc Iii Inrm iilu in li g in l d e ( n u c l i y

1 f 2n v(x0, y0) = — v(z0 + re'") <16. 2rt Jo

205

(4.6-3b)

\Vinos, de la ecuación (4.6-3a), que el valor de la parte real u de la función analítica • o el centro del círculo es igual al valor medio de u calculado alrededor de la circun(•-irucia del círculo. El resultado correspondiente a la parte imaginaria v queda exprenlo por la ecuación (4.6-3b). Si conocemos los valores de u en ciertos puntos discretos de la circunferencia de mi círculo, podemos usarlos para determinar en forma aproximada el valor de la inteio.il de la derecha de la ecuación (4.ó-3a). De esta manera es posible obtener una aproximación al valor que toma u en el centro del círculo (véase el ejercicio 7 de esta sección). En el caso típico se usan cuatro puntos de la circunferencia, uniformemente . parados. Este método es el fundamento de un procedimiento numérico llamado m i nuto de diferencias finitas, que sirve para evaluar funciones armónicas en los puntos interiores de un dominio cuando se conocen los valores de la función sobre las fronteius de dicho dominio. Este método se usa en la resolución de problemas físicos que urgen en electrostática, transferencia de calor y mecánica de 11nidos.1 El teorema del valor medio de Gauss puede usarse para demostrar una importanle propiedad de las funciones analíticas: TEOREMA 11

Teorema del módulo máximo

Sea J'(z) una función que no es constante y que es continua en todo punto de una región cerrada y acotada R. La función/ (z) es además analítica en todo punto interior de R. Entonces el valor máximo de |/(z)| en R debe correspon der a un punto de la frontera de R. □ I helio sin rigor, este teorema establece que el valor máximo que toma el módulo de / (.•) en una región corresponde a un punto de la frontera de dicha región. A fin de demostrar este resultado, emplearemos sin demostración la siguiente propiedad de las funciones analíticas: si una función analítica no es constante en ninI uno de los puntos interiores de una región, entonces, sea cual sea el punto interior considerado, no existe vecindad alguna de dicho punto en el que la función sea conslanle.1 Del ejercicio 19 de la sección 2.4 vemos además que |/(z )| tampoco es consl.inte en ninguna de tales vecindades. Volviendo al teorema del módulo máximo, supongamos que el valor máximo que loma |/(z)| en R corresponde a un punto interior de esta región, z0 En el punto z0tene mos |/( z n)| = m (valor máximo). Supongamos que R es el conjunto de puntos del conlorno C mostrado en la figura 4.6-2, y de su interior.

1 Se puede en co n trar una aplicación de este m étodo a la electrostática en W. H. H ayt, Rtiflineering lilectrama^netics , 4a. ed. (N ueva York: M cG ra w -H ill, 1981), capítulo 6. 1 Véase, por ejem plo, Ib V, ('h u rcliill, J. B row n y R. Verhey, Complex Variables and Applications (N ueva York: MeCJraw Illll, 1974), págs. 135, 284.

206

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

Consideremos un círculo C0 de radio r y centrado en z„, que queda totalmente dentro de C. Puesto que |/(z)| no es constante en ninguna vecindad de z0, podemos es coger r de tal forma que C0 pase por al menos un punto tal que |/(z)| < m. Si describi mos a C0por medio de la ecuación z = zQ+ re'0, 0 < 0 < 2n, tenemos, en este punto, que |/(z„ + re'°)\ < m. Debido a que f ( z ) es una función continua, debe existir un segmento de arco fini to sobre C0 a lo largo del cual |/ (z0 -I- re'0) \ < m -b , donde b es una constante positiva tal que b < m. En aras de la simplicidad supongamos que el arco considerado va de 8 = 0 a 6 =p. A lo largo del resto del arco, f5< 8<2n, tenemos |/ (z„ + re'°)\ < m, ya que |/( z 0)| = m es el valor máximo de |/(z)|. Ahora nos remitimos a la ecuación (4.6-1) y escribimos la integral alrededor de C0 en dos partes: 1 P

/(2°, = d o

f ( z 0 + reie) d9 + ^ - \

f ( z 0 + rew) d8.

Tomemos el valor absoluto de ambos lados de esta ecuación y apliquemos la desigual dad del triángulo. Tenemos entonces que p 1 *2n f{ z 0 + reie) d8 f ( z 0 + re,e) d8 H---l/(zo)l < 2n í¡ Jo Podemos aplicar la desigualdad ML a cada una de estas integrales. En el caso de la primera integral de la derecha sabemos que |/ ( z 0 + re'°)\ < m - b, y en el caso de la segunda podemos afirmar que |/ (z0 + re'°)\ < m. En ambos casos, la cantidad L no es sino el intervalo de integración: /3 y 2n - /i, respectivamente. Así, |/(z 0)| < - —(w - b)P + ^-(2n - P). 2n

Sumando los términos del lado derecho de esta ecuación obtenemos b_l 2n

Pignrii 4.0 2 i

4 .6

AI|>iiiiiik a p lic a c io n e s (le la fó rm u la in te g r a l d e C a u e liy

2 0 7

La cantidad que aparece del lado izquierdo, |/ (z0)|, es m, el valor máximo de |/ (z)|. Pero m no puede ser inferior a m -b/3 Un. Por lo tanto, hemos llegado a una contradic ción. Nuestra suposición de que z0 es un punto interior de R debe ser falsa. Puesto que 1 /(z)| debe alcanzar un valor máximo en algún punto de R (véase el teorema 2 del ca pítulo 2), este máximo ha de ser un punto frontera. Para la región R de la figura 4.6-2 este punto se encontraría en la frontera C. Existe un resultado similar, que demostraremos en el ejercicio 8 de esta sección, para el valor mínimo de |/(z)| en R: TEOREMA 12 Teorema del módulo mínimo Sea/ (z) una función continua y distinta de cero en todo punto de una región cerrada y acotada R. Supongamos además que / (z) no es constante y que es analítica en todo punto interior de R. Entonces el valor mínimo que alcanza |/(z)| en R debe corresponder a un punto de la frontera de R. □ Obsérvese que hemos impuesto el requisito adicional/ (z) A 0.t En los ejercicios 13, 14, 15 y 16 de esta sección veremos que los teoremas del módulo máximo y mínimo pueden proporcionarnos ciertas propiedades del comporta miento de las funciones armónicas en una región acotada que pueden ser de gran uti lidad. Dichas propiedades se aplican directamente a problemas de conducción de calor (véase, por ejemplo, el ejercicio 16) y de electrostática. EJEM PLO 1 Consideremos la función/ (z) = ez en la región | z | < 1. Determine en qué puntos de esta región alcanza |/(z)| sus valores máximo y mínimo. Solución Puesto que ez es una función entera y ez nunca se anula en la región considerada, nues tro resultado debe confirmar tanto el teorema del módulo máximo como el teorema del módulo mínimo. Tenemos |/(z)| = |ez| = \ex +,y\ = \ex\ \e'y\ = \ex\ = ex. Hemos po dido eliminar el símbolo de valor absoluto gracias a que ex es no negativo. Ahora bien, 1 /(z) | es máximo en el punto de la región en el que ex alcanza su valor máximo, esto es, en x = 1, y = 0, y \ f (z)| es mínimo en el punto donde e x es mínimo, es decir, en x = - 1, y = 0. Ambos puntos se encuentran en la frontera de R (véase la Fig. 4.6-3). <4

Hemos obtenido los teoremas del módulo máximo y el módulo mínimo a partir de la fórmula integral de Cauchy, empleando el teorema del valor medio de Gauss

1 F.xistcn o tras versiones de los teorem as del m ódulo m áxim o y el m ódulo m ínim o. Se conocen com o v ersio n es “ lo cales” y se en u n cian de la siguiente m anera: a) S e a /( z ) una función a n alí tica y no co n stan te en una vecindad N de z0. E ntonces ex isten puntos de N a rb itrariam en te próxim os a /„ tales que | / (Al | / ( r 0)l. cs decir, |/ ( z ) | no puede tener un m áxim o local en z0. b) Si a d e m á s /(z ,i) / (l, en to n ces ex isten puntos de N arb itrariam ente próxim os a z , tales que l / ( Al l / ( 2o)|i deelf, | / ( .')| no puede tener un m ínim o local en z0.

208

C a p ítu lo 4

lu tc g r lic ió n en ol pim ío c o m p le jo

como paso intermedio. La extensión de la fórmula integral de Cutiehy puede usarse para demostrar este sorprendente resultado: TEOREMA 13

Teorema de Liouvillef

Si el valor absoluto de una función entera está acotado (es decir, si no es mayor que cierta constante) en todo punto del plano z, entonces la función es constante. □ Con objeto de demostrar este teorema consideremos un círculo C de radio r y centrado en z0. Como/ (z) es analítica en todo punto del plano podemos valernos de la ecuación (4.5-13) con n = 1 para integrar/(z)/(z - z0)2 alrededor de C. Así, /'(z o) =

/(z) ■dz. 2ni c(z - z0)2

Tomando el valor absoluto tenemos 2n

/(z) dz ■(z - Z 0 )

Ahora aplicamos la desigualdad ML a la integral tomando paraZ el valor de la circun ferencia de C, es decir, 2nr. Por lo tanto, l/'(z0)l =

O c (z

/(z) ■dz Zq

< — M 2 n r,

(4.6-4)

donde M es una constante tal que

(z - z 0 )2

a lo largo de C. Ya que |z - z0| = r en C, la desigualdad anterior puede escribirse en la forma

1 Así llamado en honor al matemático francés Joscph I .iouvillc ( IK()‘> IHK.’ )

4 .6

A lguinio u p llí

I/ (z)I

iiilniics do la

ló n iiu ln in te g r a l d e C a u c liy

< M.

209

(4.6-5)

I Iemos supuesto que |/(z )| está acotado en todo punto del plano z. Por lo tanto, existe una constante m tal que \ f (z)| < m para todo z. Dividiendo ambos lados de esta desigualdad entre r 2 obtenemos ¡/ (z)|

(4.6-6) r rz Comparando la ecuación (4.6-5) con la ecuación (4.6-6) vemos que podemos tomar M = m/r1. Introduciendo este valor de Men la ecuación (4.6^1) tenemos \f'{za)\ < m/r. Esta desigualdad es válida para cualquier círculo centrado en z0 Gracias a que podemos considerar círculos de radio r tan grande como se desee, el lado derecho de esta desigualdad puede hacerse arbitrariamente pequeño. Así, la derivada de / (z) en z„, un número específico, tiene una magnitud igual a cero. Por lo tanto, f'( z 0) — 0. Como este razonamiento es válido para cualquier punto z0, la expresión/'(z0) debe va ler cero en todo punto del plano z. Esto sólo es posible si/(z) es constante. El teorema de Liouville puede usarse para demostrar el teorema fundamental del álgebra. Si bien el lector ha empleado el álgebra durante muchos años, tal vez no esté familiarizado con el teorema fundamental de esta disciplina, el cual afirma que la ecuación polinomial a„z" + + ■■■ + a0 = 0 tiene al menos una solución en el plano complejo. Supondremos que n > 1 y que a„ A 0. Seap(z) = a„z" + a„_xz n~'i + + a0. Consideremos dos regiones del plano complejo: R x es el disco | z | < r y R 2 es el resto del plano, \z \> r. Supongamos ahora que p(z) = 0 no tiene ninguna raíz en el plano complejo (es decir, que esta ecuación polinomial no tiene solución). Esto significa que \tp(z) es una función continua en R,. De acuerdo con el apar tado (d) del teorema 2 del capítulo 2, existe una constante M tal que \Mp{z)\ < M oran do z se encuentra en la región acotada R x. Estudiemos ahora el comportamiento de p(z) y 1lp(z) en R 2. Recordemos para ello la desigualdad del triángulo | / + g\ > \ f \ - |c/| (donde | / | > |gj), dada por la ecuación (1.3-20). Tomando/ = a„zn y g = a„_¡ z"~' + ■■■ + a0 (obsérvese quep(z) =f + g), vemos que no hay dificultad alguna en hacer que r sea lo bastante grande para que en R 2, donde | z | > r, se tenga | / | > |c/|. Así pues, por la desigualdad del trián gulo tenemos en R 2 \p(z)\ > \a„zn\ - |a„-1zn_1 + ••• + a0|.

(4-6-7)

Por otra desigualdad del triángulo (véase la Ec. 1.3-8), tenemos |u „-iz"_ 1 + u„-2z',_2 + ••• + aol ^ l«B- i l l z r _1 + + l^ol(4.6-8) Combinando las desigualdades de las ecuaciones (4.6-7) y (4.6-8) obtenemos

\p(z)\ >\an\\z\n- ( k ,||z|n_1 + ••• + |a0l). (4-6-9) donde nuevamente hemos supuesto c|ue | z | • r es lo bastante grandepara que el lado derecho sea siempre positivo

21 0

C n p itiilo 4

1ntcgru clA n n i el p la n o c o m p le jo

Factorizando \z\"

en el lado derecho de la ecuación (4.0 9) obtenemos

I —21 . , l^ol (4.6-10) + - TzT + Seazí el mayor de los números |an_, |, |a„_2|,...,|cr0|. Entonces, si \z | > 1 obtenemos \p(z)\ > |aJ|z|B- |z n -

|a„_?|

|an|

+ +

" + íií + ■■+ i í r 1 s

<4'<MI)

Combinando las desigualdades de las ecuaciones (4.6-11) y (4.6-10) se obtiene nA (4.6-12) L izi donde una vez más se supone que | z | es lo bastante grande para que el lado derecho sea positivo en todo punto de R2. Invirtiendo la desigualdad de la ecuación (4.6-12) vemos que \ M \ Z \ a H\\z\m- I z r ' n A ^ W

1 1 |p(z)l ~~ I z llk l - nA/\z\y

(4.6-13)

El lado derecho de la ecuación (4.6-13) alcanzará su valor máximo en R2 en los pun tos tales que | z | sea mínimo. Como | z | > r tenemos, en R2, 1 1 < |p(z)| rn[\an\ - nA/r]

^4'6 14)

Recuérdese que en R, se cumple que \¡\p(z)\ < M. Sea ahora M ' 1 1mayor de los dos valores: M y el lado derecho de la ecuación (4.6-14); entonces en todo punto del pla no z se satisface la desigualdad l/|p(z)| < M \ Por medio del teorema de Liouville y la desigualdad anterior podemos ver que la fun ción analítica acotada 1¡p(z) es constante, o de manera equivalente, que p{z) es cons tante. Puesto que es evidente que p(z) no es constante, no es cierto que p(z) = 0 no tiene raíces en el plano complejo. Así concluye la demostración. Los números complejos surgen por primera vez cuando se desea resolver ecua ciones cuadráticas de la forma az2 + bz + c = 0. La resolución de ecuaciones lineales de la forma az + b — 0 no exige que se empleen números complejos si a y b son rea les. Vemos ahora que para resolver ecuaciones cúbicas (az3 + bz2 + cz + d = 0), cuárticas, etcétera, no se requiere más que el sistema de los números complejos. De hecho, una vez que se ha demostrado que p(z) — 0 tiene una raíz en el plano complejo es fácil demostrar (véase el Ejer. 18) que posee n raíces. Alrededor de 1798, Cari Friedrich Gauss, publicó la primera demostración del teorema fundamental del álgebra como parte de su tesis doctoral. Si bien se valió de los números complejos, no usó el método que hemos presentado aquí. Existen muchas demostraciones alternativas de este teorema. Una de ellas figura en el ejercicio 9 de la sección 7.3.

E je r c ic io s

211

EJERCICIOS Implee diversas versiones del teorema del valor medio de Gauss (véanse las ecs. 4.6-1 y 4.6-3) para evaluar las siguientes integrales. 1. (\/2 n ) \lneie'a) dd

2. jo" cos(cos 6 + i sen 9) dd 3. J l, cos(cos 6) cosh(sen 9) dd a 4- eos(n6) d9, a > 1, n entero .„ a2 + 1 + 2a eos(nff) ugerencia: f(z) =

1 z" + a

Log [a2 + 1 + 2a cos(n0)] dd, a > 1, n entero Sugerencia: a2 + 1 + 2a cos(n0) = |a + e‘"e\2 6. Muestre que jo"Log(a + b eos 9) dd —2^Log[(a + -Ja1 - b2)/2], donde a> b> 0. 7. a) Sea u(x, y) una función armónica. Sea w0el valor de u en el centro del círculo de radio r que se muestra en la figura 4.6-4. Los valores de u en cuatro puntos equidistantes de la circunferencia son u¡, u2, a3, m4. Por medio de la ecuación (4.6-3a) y de una aproxima ción de la integral demuestre que u0 ■

u¡ + u2 +

«3 + w4

b) Emplee una calculadora de bolsillo para evaluar la función armónica ex eos y en los puntos (1.1, 1), (0.9, 1), (1, 1.1) y (1, 0.9). Compare el valor medio de estos resultados con el valor de e* eos y en (1, 1).

Figura 4.6-5 Sca/(z) una función continua y distinta de cero en todo punto de una región cerrada y aco lada R\ supongamos que / (/) no es constante y que es analítica en todo punto interior de R Pruebe que el valor mínimo que I,/ (z)| toma cn R debe corresponder a un punto de la frontera de R.

21 2

('n p ltu lo 4

Inli'KrHción CII el p la n o c o m p le jo

Sugerencia: Considere la función g(z) = l//(r) y recuerde el leoremu del módulo máximo. E n c u e n tre los v a lo re s d e z e n R q u e c o rre s p o n d e n a los v a lo re s m á x im o y m ín im o de |/ ( z ) | p ara las sig u ie n te s re g io n e s cerra d as R y fu n c io n e s /( z ) . P ro p o rc io n e u n a e x p lic a c ió n en c aso de que los v a lo re s d e te rm in a d o s no p e rte n e z c a n a la fro n te ra de R. E sc rib a los v a lo re s m á x im o y m ín i m o de |/ ( z ) | en R.

9. f (z) = z, R es la región |z — 1 — í| < 1 10.

/ ( z ) = z 2, R es la región |z — 1 — ¡| < 2

11.

/ ( z ) = e 2, R igual que en el ejercicio 9.

12.

/ ( z ) = l/(z + 1), R igual que en el ejercicio 9.

13.

y) u n a fu n c ió n re a l y c o n tin u a en u n a re g ió n c e rra d a y a c o ta d a R. S u p o n g a m o s y) n o es c o n sta n te y q u e es a rm ó n ic a en el in te rio r de R. D e m u e s tre q u e el v a lo r m á x im o q u e to m a u(x, y) e n e sta re g ió n co rre sp o n d e a u n p u n to de la fro n te ra de R. E ste re su lta d o se c o n o ce co m o principio del máximo. S ea u(x,

que u{x,

Sugerencia: C o n sid e re la fu n c ió n F(z) = u(x, y ) + iv(x, y), d o n d e v es la fu n c ió n a rm ó n ic a c o n ju g a d a de u. S ea f ( z ) = eF(z). E x p liq u e a q u é se d e b e que | / ( z ) | a lc an c e su v a lo r m á x im o e n la fro n tera. ¿ P o r q u é im p lic a este re su lta d o q u e u(x, y ) a lc an z a su v a lo r m á x im o e n la fro n tera? 14.

C o n sid e re la fu n c ió n u(x, y ) del e je rc icio 13 y d e m u e stre q u e el v a lo r m ín im o de e sta fu n c ió n c o rre s p o n d e a u n p u n to de la fro n tera. E ste re su lta d o se c o n o ce co m o p rincipio del

mínimo. Sugerencia: Use las sugerencias del ejercicio 13, pero compruebe que |/(z)| alcanza su valor mínimo en un punto de la frontera. 15. Consideremos la región cerrada y acotada R dada por 0 < x < l,0 < j< l.L a función u = (x2- y 2) es armónica en R. Determine los valores máximo y mínimo de u en R y diga a qué puntos corresponden. 16. El cilindro de radio unitario que se muestra en la figura 4.6-5 está lleno de un material que conduce el calor. La terrlperatura del interior del cilindro queda descrita por la función ar mónica T(r, 9) (véase la Sec. 2.6). La temperatura en la superficie del cilindro está dada por sen 9 cos20. Puesto que T(r, 6) es continua en 0 < r < 1, 0 < 9< 2n, debe cumplirse que 71(1, 9) = sen 6 eos26. Use los resultados de los ejercicios 13 y 14 para determinar una cota superior y una cota inferior para la temperatura del interior del cilindro. 17. En este problema obtendremos una de las cuatro fórmulas de Wallis. Estas fórmulas nos permiten evaluar Ja~ [ f (0)]mdO donde m > 0 es un entero yf(0) = sen do eos 9. Los ca sos en que m es par o impar han de considerarse por separado. Estudiaremos el caso en que m es par. a) Demuestre por medio del teorema del binomio, que

Ejercicios

213

b) l Jsand o el re su lta d o an terio r, u n a in te g ra c ió n té rm in o a té rm in o y la e x te n sió n d e la fó r m u la in te g ra l d e C au ch y o la e c u a c ió n (4 .3 -1 0 ), c o m p ru e b e q u e

d o n d e la in te g ra c ió n se re a liz a a lre d e d o r de | z | = 1. e)

E x p re sa n d o los p u n to s d el c írc u lo u n ita rio p o r m e d io de z ■= e ,fl, 0 < 6 < 2n, d e m u e stre q u e, p o r el re su lta d o d el a p a rta d o (b),

(2 eos O)2" dO = 2n -—J-.

Jo d)

("O2

T en ie n d o e n c u e n ta la sim e tría d e eo s 6 y el h e ch o d e q u e 2 n es p a r (« = 0, 1 , 2 , . . . ) e x p liq u e p o r qué

É sta es u n a d e las fó rm u la s de W allis. W allis (1 6 1 6 - 1 7 0 3 ) fue uno de los g ra n d e s m a te m á tic o s in g le s e s del sig lo xvn. T am b ién fu e c a p e llá n d e C arlo s II. N o usó la v a ria b le c o m p le ja p a ra o b te n e r las fó rm u la s q u e lle v a n su n o m b re . W allis in v e n tó el sím b o lo oo (p a ra d e n o ta r el in fin ito ).

Calcule

d o n d e n = 0, 1, 2 , . . . 18.

El te o re m a fu n d a m e n ta l del á lg e b ra e sta b le c e q u e p (z ) = a„z" + a„_¡z"

1 + • • • + aa = 0

tie n e al m e n o s u n a ra íz z0 e n e l p la n o c o m p le jo . E n e ste e je rc icio d e m o stra re m o s, p o r m e d io d e u n a se n c illa e x te n sió n , q u e e sta e c u a c ió n tie n e n ra íc e s z0, z l t ...,z„ _ ¡ . a) M u e stre q u e z" - z¡¡ p u e d e e x p re sa rse en la fo rm a (z" - z¡¡) = (z - z0) R(z), d o n d e R(z) = z ” 1 + zQz n~2 + z¿ z " -3 + ••• + Zq ~2z + z g ~ \ es u n p o lin o m io de grad o n — 1 e n z . b) Si z0 es la ra íz d e p ( z ) = 0 q u e d a el te o re m a fu n d a m e n ta l, e x p liq u e p o r q u é se p u e d e e s c rib ir p (z) = a „ (z" -z¡¡)+ a.„_l(z"~' - z 0” ~ ') + ••• + a ¡(z -z g ).

Sugerencia: C o n sid e re la e x p re s ió n p ( z ) - p (z 0) y c o m b in e té rm in o s. c) U sa n d o los re su lta d o s de (b ) y (a) d e m u e stre q u e p (z) = a„(z - z0) R „ _ , + a„_ ,(z - z 0)

Rn 2 + ■■■+ a¡(z - z„), d o n d e R¡ es un p o lin o m io d e g rad o j e n z. d ) U se el re su lta d o q u e se o b tu v o e n (c) p a ra p ro b a r q u e p{z) = (z - z0) A(z), d o n d e A (z) es un p o lin o m io d e g ra d o n

1 en z.

O b servación P o r el te o re m a fu n d a m e n ta l, la e c u a c ió n p o lin o m ia l A (z) = 0 p o s e e un a raí/, z, en el p la n o c o m p le jo . A sí p u e s, A (z) = (z - z ,)S (z ), d o n d e B (z) es u n p o lin o m io d e g ra d o //

2 en

P o r lo t a n t o , p (z) = (z

z0)(z - z ,)fi(z ). P o d e m o s lu e g o

214

C a p ítu lo 4

In teg r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

extraer de B{z) un factor multiplicativo y así sucesivamente hasta obtener p(z) m (z - z 0)(z —z() ••• (z-z„_ |) K, donde K es una constante (o sea, un polinomio de gra do cero). Algunas de las raíces pueden ser idénticas, en cuyo caso se les llama raíces múltiples o repetidas.

4.7 INTROD UCCIÓN A LOS PROBLEM AS DE DIRICHLET: FÓ RM U LA IN TEG RA L DE POISSON PARA EL C ÍR CU LO Y EL SEM IPLAN O En las secciones anteriores hemos podido apreciar la estrecha relación que existe en tre las funciones armónicas y las funciones analíticas. En la presente sección seguiré mos explorando dicha relación y de paso resolveremos algunos problemas físico1, cuyas soluciones son funciones armónicas. El llamado problema de Dirichlet constituye una importante clase de problemas matemáticos con aplicaciones físicas. Nuestra tarea consiste en encontrar una función incógnita que sea armónica en cierto dominio y que además tome ciertos valores pre determinados en la frontera de dicho dominio.1El ejercicio 16 de la sección anterior es un ejemplo de problema de Dirichlet. En dicho ejercicio, la temperatura T(r, 6) del in terior del cilindro es una función armónica. Conocemos los valores de la temperaban en la frontera. Si tratamos de determinar T(r, 6) exigiendo que en la frontera coincida con la función sen 8 eos2 9, estamos resolviendo un problema de Dirichlet. Los problemas de Dirichlet como el anterior, en los que las fronteras tienen for mas geométricas simples, suelen resolverse por separación de variables, método que se puede encontrar en la mayoría de los textos de ecuaciones en derivadas parciales Un método alternativo, que ocasionalmente puede usarse para resolver problemas con

Figura 4.7-1

f La función buscada debe ser continua en la región que consiste en el dom inio y sus fronteras, salvo posiblemente en los puntos frontera en que la condición de lionteia tlmlu r . discontinua.

4 .7

IntrixliK Tlóii

los p r o b le m a s d e D ir ic lile t

215

dominios simples, así como para problemas con dominios de formas más complica<l,i., es el de la transformación conforme. Este tema se estudia con cierto detenimieni" en el capítulo 8. En esta sección analizaremos un método que puede aplicarse ' liando la frontera del dominio es un círculo o una recta infinita. I loy en día la mayoría de los problemas de Dirichlet con fronteras relativamente <<anplicadas se resuelven por medio de métodos numéricos y la ayuda de un compulailor. Para este propósito es suficiente un computador personal. Las respuestas que i obtienen son aproximaciones.1 Los métodos analíticos para la resolución de proble ma1; con fronteras simples que se presentan en este libro pueden proporcionar cierta i omprensión intuitiva de los problemas que se resuelven por medio de un compu tador, así como aproximaciones que permiten verificar las soluciones así obtenidas. ■I problema de Dirichlet para un círculo I ,i fórmula integral de Cauchy es útil en la resolución del problema de Dirichlet con Ii uniera circular. Consideremos un círculo de radio R cuyo centro coincide con el orii'i’ii del plano complejo w (véase la Fig. 4.7-1). Sea/(w) una función analítica tanto ubre el círculo como en todo punto de su interior. I a variable z denota un punto cualquiera del interior del círculo. Aplicando la bu muía integral de Cauchy a este contorno circular y tomando w como variable de in tegración, tenemos (4.7-1) '.opongamos que escribimos/ ( z ) = U(x, y ) + iV(x, y). Deseamos usar la integral anlei ior para obtener expresiones explícitas para U y V. Consideraremos en primer lugar el punto z¡ definido por z x = R2¡z. Obsérvese que

( lomo |z | < R, la ecuación anterior muestra que |z,| > R, es decir, que el punto z, está fuera del círculo de la figura 4.7-1. Es fácil probar que arg z, = arg z. La función K tv)/(w - Z \ ) es analítica en el plano w sobre el círculo dado y en su interior. Por lo lanío, por el teorema integral de Cauchy, (4.7-2) z

1 V éase, por ejem plo, el program a de com putador Electromagnetism-Physics Simulations II de Illas ( 'ubrera y el Faculty A ullior D evelopm cnt Program de la U niversidad de Stanford. Este program a cslií diseñado para el com putador M acintosh y puede pedirse a Intellim ation Library Ior llu' M acintosh, 110 t're m o lía D rive, Santa B árbara, CA 9.1116.

Restando la ecuación (4.7-2) de la ecuación (4.7 1) obtenemos

/(*) =

1 2ni

1 w —z

f(w)

w R2 — z

= 2m

/ ( w) ( w

—

R — z

2 )1

dw. r

—

(4.7 1)

Ya que estamos integrando alrededor de un contorno circular usaremos coordenadas polares. Sean w —Re"1’y z = re'". Así pues, z = r e A lo largo de la trayectoria de integración dw = Re"1’i d4>, donde ó va de 0 a 2n. Si escribimos de nuevo el lado de recho de la ecuación (4.7-3) tenemos

f ( r , 0)

2ni

R e '4’i ,

f(R ><t>) ( R e ‘*

re‘e)[ R e'* -

-— eie ¡Re'*

4>)

d<j).

(R e‘

_ rp¡0'

R e* _ — ew

Si multiplicamos los términos del denominador de la integral anterior y luego mulli plicamos el numerador y el denominador por (-r/i?)e/<e+ 'w), podemos demostrar, con ayuda de la identidad de Euler, que f(r, 0) =

f(R , (¡>)(R2 - r2) de» R 2 + r2 — 2 Rr eos(cf>—6)

(4.7-4)

Ahora representaremos a la función analítica / (z) en términos de su parte real U y su parte imaginaria V. Así pues, f{R, 4>) = U(R, 0) + iV{R, 4>), f(r, 0) = U{r, 6) + iV(r, 6) y la ecuación (4.7-4) se convierte en 1 [ 2nW (R, (t>) + iV(R, 0)][R 2 - r 2] 40 (4.7-5) U(r, 9) + i V(r, 9) = 2n ; o R + r — 2 Rr cos(cf> —9) Estableciendo la igualdad entre las partes reales de cada lado de esta ecuación obtene mos la siguiente fórmula: FORM ULA INTEGRAL DE POISSON (PARA EL INTERIOR DE UN CÍRCULO)

U(r, 9) =

' 2* U{R, fyjR 2 ~ r2) d(j> o R 2 + r2 — 2 Rr eos(<¡> tí)

Existe una expresión correspondiente para V(r, tí) y V(R, <l>) que se obtiene estable ciendo la igualdad entre las partes imaginarias de la ecuación (4 7 ■)

I .i fórmula integral de Poisson, dada por la ecuación (4.7-6) es importante. Esta i la proporciona el valor de la función armónica U(r, 6) en todo punto del interior if un circulo tic radio R siempre y cuando conozcamos los valores U(R, <f>) que toma I i o la circunferencia de dicho círculo. Puesto que exigimos que/ (z) fuese analítica tanto en el interior del círculo de ra li’ />' i tuno en su circunferencia, el lector debe suponer que la función U(R, <j)) que II •11m•11* en la ecuación (4.7-6) es continua. De hecho, podemos suavizar esta condi<■•11 permitiendo que U(R, <¡>) presente un número finito de discontinuidades por dios" I ,a fórmula integral de Poisson conserva su validez. I ii el ejercicio 4 obtendremos una fórmula similar a la ecuación (4.7-6) que es \ ulula en el exterior del círculo; es decir, si conocemos el valor de una función armói i en la circunferencia de un círculo, esta expresión proporciona el valor de dicha imii mu en todo punto del exterior del círculo dado. En esta fórmula se da por sentado i|in Iu función armónica buscada está acotada (esto es, que su valor absoluto es siempii que una constante) en el dominio que consiste en el exterior del círculo. lodo el material de esta sección está fundamentado en los trabajos de un francés, mi I )enis Poisson, quien vivió de 1781 a 1840. Quizá el lector se haya encontrai m i :.u nombre en teoría de probabilidades (la distribución de Poisson) o en elecii” i.ilicu (la ecuación de Poisson). Se le reconoce por haber contribuido a aplicar el ni ili i1. matemático a las disciplinas de la electricidad, el magnetismo y la elasticidad. /

n.MPLO 1

i ” , (inductor eléctrico en forma de tubo de radio unitario se divide en dos mitades un dimite unas ranuras de anchura infinitesimal. La parte superior del tubo (R = 1, 0 </> /r) se mantiene a un potencial eléctrico de 1 voltio y la parte inferior (R = 1, 1 </< 2n) se encuentra a -1 voltio. Determine el potencial en un punto cualquiei i / 0 del interior del tubo (véase la Fig. 4.7-2). Suponga que el tubo contiene un iinih'i mi dieléctrico. Solución I'm .lo que el potencial electrostático es una función armónica (véase la Sec.2.6) podemi r. aplicar la fórmula integral de Poisson. De la ecuación (4.7-6) con R = 1 tenemos ( 1 - r2)d<f) ( 1 - r2) d(¡)________ 1_ f 2* 271 Jo 1 + r2 —2r eos(<f> —d) 2n. „ 1 + r2 — 2r cos(</> —6) (4.7-7) I n ambas integrales hacemos el cambio de variable* = 4>~ 9; usando una tabla de inii ríales obtenemos la siguiente expresión, válida cuando a2> b2> 0:

= J_ f "

dx J a + úcosx

J a 1 — b2 tan(x/2) a+ b

1 V éase K V. C huieliill y I W, Urown, Complcx Variables and Applications , 5a. ed. (N ueva York: M cd ru w llill. 1900), sección 95.

218

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

Figura 4.7-2 Introduciendo esta expresión en la ecuación (4.7-7) con a = 1 + r tenemos _ ., 1 + r

U (r , S ) = -

2 tan 1

1- r

( n

ta n

\2 2

1+ r

—tan

t a n - 'í —— -tanl —-

b = - 2 r, ob-

tan^7r (4.7-8)

Como la función arcotangente es multiforme, hay que tener cuidado al aplicar esta fórmula. Recordando que los valores que toma U en las fronteras son ±1, podemos valemos de un razonamiento físico1 para concluir que -1 < U(r, 8) < 1 cuando r < 1. Además, es preciso escoger los valores de la función arcotangente de tal manera que U(r, 8) sea continua para todo r < 1, y que U{ 1, 8) sea discontinua únicamente en las separaciones 0 = 0 y 0 = 7r. A Para facilitar el cálculo, conviene expresar la ecuación (4.7-8) de otra manera. Recordando que tan(nn + a) —tan a, donde a es un ángulo cualquiera y n un entero cualquiera, y que las funciones arcotangente y tangente son funciones impares,1pode mos volver a escribir la ecuación (4.7-8) de la siguiente manera: 1+ r

tan 1 ---- tan -n_ s2 2 J ~r

U (r , 8) = -

+ tan"

'1 + r

_1 — r

------ta n -

I _ n

+ — - 2_

(4.7-9)

f h a m ism a co nclusión puede obtenerse usando los principios del m áxim o y del m ínim o (ejerci cios 13 y 14 de la sección 4.6), si bien, estrictam ente, estos principios sólo son válidos cuando el voltaje es continuo en la región. El voltaje que estam os considerando tiene dos puntos de dis continuidad. 1 I u ium ión / ( \ ) es impar s i /(>)

/'( >).

4 .7

I n tro d u c ció n a lo s p r o b le m a s d e O ir ich le t

U(r,e)

219

P otencial electrostático en el interior del cilindro de la figura 4.7-2

r = .9

an v

-1

r = .9

Figura 4.7-3

donde debe usarse el signo menos ante ;r/2 cuando 0 < 9 < n y el signo más cuando a 0<2 n. Todos los valores de las arcotangentes se evalúan de tal forma que se cum pla que -n i2 < tan~’( ) < n/2. Éste es el convenio que emplean la mayoría de las cal culadoras de bolsillo, así como los lenguajes de computador FORTRAN y BASIC. < on ayuda de la ecuación (4.7-9) y de un sencillo programa de computador hemos evaluado U(r, 6) para diversos valores de r; los resultados se muestran gráficamente en la figura 4.7-3. ■I problema de Dirichlet para un semiplano (fronteras que consisten en una recta infinita) ( orno en el caso del círculo, enunciaremos este nuevo problema de Dirichlet en el plano w. Nuestra tarea consiste en encontrar una función 4>(u, v ) que sea armónica en >•1 semiplano superior (es decir, en el dominio v > 0). Además, (j>(u, v) debe satisfacer cierta condición de frontera ó(u, 0) en la recta v = 0. Sea /(w ) = <f){u, v) + i\¡/(u, v ) una función analítica para v > 0. Considere mos el semicírculo cerrado C (véase la Fig. 4.7-4) cuya base va de - R a +R a lo largo del eje u. Sea z un punto del interior del semicírculo. Entonces, de la fórmula integral de Cauchy, (4.7-10) donde la integral se evalúa a lo largo de la base y el arco del contorno dado. Ahora bien, puesto que z se encuentra en el interior del semicírculo nótese que z debe estar en el espacio v 0, por lo que está fuera del semicírculo. Por lo tanto, la función I (w)/(w ■' ) es analítica sobre el contorno C y en su interior. Así pues, por el

220

C a p itu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

f(w) 2ni J c ( w - z )

dw.

(4.7-11)

Ahor;a restemos la ecuación (4.7-11) de la ecuación (4.7-10): f(z) =

/(w)

w —z

dw =

(z - z)f(w) dw. O 2ni C(w - z)(w - z)

(4.7-12)

Dividamos la integral a lo largo de C en dos secciones: a lo largo de la base {v = 0, -R < u < R), que denotamos por —<— y a lo largo del arco de radio R, que denotare mos por el símbolo Por lo tanto (z - z)/(w) /(2)__L f ó -«/<»> dw. (4.7-13) 2ni J (w —z)(w — z) 2ni (w —z)(w —z) Consideremos la representación cartesiana z = x + iy, z = x - iy y w = u + iv. Ve mos que z - z = 2iy y que w = u a lo largo de la base. Por lo tanto, podemos escribir el primer integrando del lado derecho de la ecuación anterior de la forma (z - z)/(w) (w - z)(w - z)

2iyf(u) [u - (x + i»] [u - (x - iy)]

2iyf(u) (u - x)2 + y2

de modo que la ecuación (4.7-13) se convierta en /(*)

7 t,

— r

/(«) du X ) 2 + y2

-n Jí (w —-

f(w)dw z)(w - z)

(4.7-14)

En el ejercicio 8 de esta sección descubriremos que conforme el radio R del arco tiende hacia infinito, el valor de la integral a lo largo del arco en la ecuación (4.7-14) tiende hacia cero. La demostración requiere que supongamos que existe una constan te m tal que |/(w )| < m para todo Im vv > 0, es decir, que |/(w )| está acotada en el semiplano superior. Tomando el límite R -* oo, vemos que la ecuación (4.7-14) se simplifica y se convierte en m

=nj

/(«) du (u —x)2 + y2

(4.7-15)

Si conocemos el valor de f(w ) en todos los puntos del eje real del plano w (es de cir, a lo largo de la recta w = u), esta expresión nos proporciona el valor de la función en un punto cualquiera w = z, siempre y cuando Im z > 0.

Contorno cerrado C

Arco

l' igm n 4.7 4

4.7

I n tro d u c ció n a lo s p r o b le m a s d e D ir ic h le t

221

Ahora escribamos / (z) y / (w) explícitamente en términos de sus partes real y imaginaria. Tomando f( z ) = <p(x, y) + i\¡/(x, y) y /(w ) = cjAu, v ) + z'i//(n, u) obtene mos, de la ecuación (4.7-15), (j)(x, y) + iip{x, y) = -

(u - x)2 + y 2

du.

Estableciendo la igualdad entre las partes reales de esta ecuación deducimos la siguiente fórmula: FORM ULA INTEGRAL DE POISSON

(j)(x, y) = -

(PARA EL SEM IPLANO SUPERIOR)

<¡>(u, 0) du x)2 + y 2

(4.7-16)

Igualando las partes imaginarias se obtiene la correspondiente relación entre y/(x, y) y V<w, 0).

La ecuación (4.7-16), llamada fórmula integral de Poisson para el semiplano su perior, proporciona el valor de una función armónica <t>(x, y) en cualquier punto del semiplano superior, siempre y cuando conozcamos el valor de en todo punto del eje real. Puede demostrarse que ésta es la única solución del problema de Dirichlet en el semiplano superior que está acotada. Si eliminamos este requisito podemos obtener otras soluciones. En esta deducción hemos supuesto que 4>(u, v) es la parte real de alguna función f(u, v) analítica en Im v > 0. Para ello se requiere que la función cf)(u, 0) de la ecua ción (4.7-16) sea continua en -oo < u < oo. En realidad, este requisito puede relajarse para permitir que cf)(u, 0) tenga un número finito de saltos finitos. La ecuación (4.7-16) conserva su validez. EJEM PLO 2 Como se indica en la figura 4.7-5, el semiespacio superior Im w > 0 se llena de un material conductor del calor. La frontera v = 0, u > 0 se mantiene a una temperatura igual a 0, en tanto que la frontera v = 0, u < 0 se mantiene a la temperatura Tn. Deter mine la distribución estacionaria de temperatura <j>(x, y) en el material conductor. V

• o-v)

I'iuuru 4 7 5

222

C a p ítu lo 4

In te g r a c ió n en el p la n o c o m p le jo

y \ 37-0

t !-£

- 4-

I 2

1 \k

ÜL

^ .....................

0 Figura 4.7-6

Solución Ya que la temperatura es una función armónica, como lo mostramos en la sección 2.6, podemos aplicar directamente la fórmula integral de Poisson. Tenemos </>(w, 0) = T0, u < 0; y </>(«, 0) = 0, u > 0. Así pues 0 du T0 du = * f° +: rcj-o , ( u - x ) 2 + y 2 ti j 1 (u x)2 + y2 La segunda integral es igual a cero. En la primera hacemos el cambio de variable x - u . Así,

</>(*> y )

f«

n JJ* , P2 + y 2

-fia n -' n y

T _ i 0 n tan - 1* 1n _2~

(4.7-17)

De la identidad trigonométrica tan-1 s = n /2 - tan“'(l/s) vemos que la expresión que aparece entre corchetes del lado derecho de la ecuación (4.7-17) es tan~\y/x) = 6, donde 6 es el ángulo polar asociado al punto (x, y). Por consideraciones físicas exigi mos que 0 < <f>(x, y) < T0, es decir, que la temperatura máxima y la temperatura míni ma correspondan a puntos de la frontera. Esta condición se satisface si 6 es al ángulo polar principal en el espacio y > 0. Por lo tanto, <p(x, y) = — d, n

0 < 6 < n.

Algunas de las superficies en que la temperatura presenta valores constantes se mues tran como líneas punteadas en la figura 4.7-6. A

EJERCICIOS I. a) Hn la figura 4.7-2 (del ejemplo I) explique, en términos físicos, por qué debe anularse el potencial en el radio que va del origen a x I, y 0, Verifique que nuestra respues ta, iluda poi la ei uaeión (4,7 ')), confirma este resultado Inmundo el limite 0 >01 (es

E je r c ic io s

223

decir, 6 se aproxima a cero por la derecha). Tenga cuidado de emplear la fórmula co rrecta (con el signo menos), b) Compruebe que la ecuación (4.7-9) satisface las siguientes condiciones de frontera: 0 < 6 < n, n < 9 < 2n.

1, •1,

lím U(r, 6) ■

c) Con ayuda de una calculadora programableo de un computador, obtengalos datos nu méricos y haga las gráficas de las curvas correspondientes a r = 0.25y r = 0.75,como en la figura 4.7-3. 2. a) La superficie de un cilindro de radio 5 se mantiene a la temperatura indicada en la figu ra 4.7-7. Demuestre que la temperatura estacionaria U{r, 6) del interior en el cilindro está dada por 100

U(r,6) = — n

_ , , 5 +r (n tan tañí ..... 1, \5 -r \2

6 \\ _,/5+r „ . + tan M tan- + C 2JJ \5 - r 2)

donde C = 0 cuando O<0<7ryC = n cuando n < 8 < 2n. En ambos casos la función arcotangente satisface la desigualdad -n/2 < tan“'(.,.)<7t/2. || b) Compruebe que la expresión anterior satisface las siguientes condiciones de frontera: (100, lím U(r, d) = {

0 < 6 < n,

r~ * s

n <

(0 ,

6 <

2n.

c) Valiéndose de una calculadora programable o de un computador para obtener los da tos numéricos correspondientes, represente en forma gráfica U(r, ff), 0 < 6 < 2n, para r= 1, 2 y 4.

Figura 4.7-7

3. IIse la fórmula intcgrul de Poisson para el círculo para demostrar que si el potencial elec trostático en la superficie de un cilindro cualquiera es constante c igual a F0, entonces el potencial en lodo pinito del interior de dicho cilindro es igiiul a Vn.

224

C a p ítu lo 4

I n te g r a c ió n en e l p la n o c o m p le jo

El objeto de este ejercicio es obtener una expresión para una función que es armónica en el dominio no acotado del exterior del círculo. Se exige que la función tome ciertos valo res en la circunferencia del círculo y que esté acotada en el dominio consistente en el ex terior del círculo. Este problema se conoce como problema externo de Dirichlet para el círculo. a) Consideremos una función/ (vvj analítica en todo punto del plano w tal que |w| > R. Consideremos dos círculos en el plano w con centro en vv = 0, como se muestra en la figura 4.7-8. Los radios R y R' de estos círculos son tales que R < R'. Sea z = rewun punto del dominio anular formado por los círculos. Tenemos entonces R<r<R'. Com pruebe que 1 j .. . , I f ( w) dw. /(z) = — O dw H 1 4) 2mJM =R'W—z 2tr¿ J M=R w - z Nótese la dirección de integración alrededor de cada círculo. Sugerencia: Vea el ejercicio 21a de la sección 4.5. b) Sea zl = R 2/z. Obsérvese que este punto está dentro del círculo interno. Demuestre que o .2 - £ T ííL d w + 2 - 1 J i ± dw. 2m J W=R' w - z ¡ 2ni JW=R w - zx c) Sustraiga la expresión del apartado (b) de la expresión obtenida en el apartado (a) y pruebe que 1 2ni

f(w)(z - R2/z) M

= R ’ (w

+ _¡_r

- z)(w - R 2/z) /exz-BV a

2m JM=R(w - z)(w - R2/z) Suponga que |/(w)| < m (constante) cuando ¡vv[ > R. Tome el límite R' -> oo. Demues tre que, en el límite, la integral alrededor de |w| = R' se anula. Sugerencia: Emplee la desigualdad ML.

plano w

E je r c ic io s

225

e) Escriba nuevamente la integral restante del apartado (c) usando coordenadas polares z = rew, w = Re1'1’. Tome/(z) = U{r, 9) + iV(r, 6). Demuestre que 1 C2"

l/(r,0) = — 2tt J

U(r, 4>)(r2 — R 2) dó

—,

R 2 + r2 —2 Rr cos((p —8)

> R.

14 7-181

Sugerencia: Estudie la obtención de la fórmula integral de Poisson para el interior de un círculo. En este ejercicio se considera un problema externo de Dirichlet con frontera circular, a) Consideremos la configuración mostrada en el ejercicio 2. Supongamos que la distribu ción de temperatura a lo largo de la superficie cilindrica es la misma que en dicho ejer cicio, pero que es la región externa del cilindro la que está ocupada por un material conductor del calor. Use la ecuación (4.7-18) obtenida en el ejercicio 4 para mostrar que la distribución de temperatura U(r, 6) para r > 5 está dada por 100 _ ..5 + r ¡n ta n ..... , U(r, 6) = ----- tan n L \ r - 5 \2

9 \\ + tan 2JJ

/5 + r ( tan- + C \r - 5 2)

donde C y la función arcotangente se definen como en el ejercicio 2. b) Compruebe que la expresión obtenida en el apartado (a) satisface las condiciones de frontera lím U(r, 8) = 100,

0 < 9 < n, y lím U(r, 9) = 0,

r-5

n < 6 < 2n.

r - 5

c) Haga una representación gráfica de U{r, níl) para 5 < r < 50. ¿Qué temperatura produ ce esta configuración en r = co? a) Una hoja metálica que conduce el calor se coloca de tal manera que sea perpendicular al eje y y que pase pory = 0, como se muestra en la figura 4.7-9. El potencial eléctrico del lado derecho de la hoja, x > 0, se mantiene a un valor constante de V0voltios y el del lado izquierdo, x < 0, se mantiene a -V0voltios. Demuestre que el potencial elec trostático en el semiespacio y > 0 está dado por <j)(x, y) = V0 - —

ta n - 1- = V0 - —

Im (L o g z),

donde 0 < tan '(y/x) < n. b) Trace las curvas (o superficies) equipotenciales correspondientes a ()>(x, y) = V0/2, <!>{x, y) = 0, <l>(x, y) = -V„/2. c) Calcule las componentes Ex y E y del campo eléctrico en x = 1, y = 1 y trace el vector que representa al campo en dicho punto (véase la Sec. 2.6). a) El potencial electrostático de la superficie y = 0 se mantiene igual a un valor V(x) que queda descrito por oo < x <

—h, V(x) “ Oí

h<x <h, R{x) —V0; h<x <oo,

K(x) = 0.

226

C a p ítu lo 4

I n te g r a c ió n e n el p la n o c o m p le jo

F igura 4.7-9

Figura 4.7-10

Esta distribución de potencial se muestra en la figura 4.7-10. Demuestre que el poten cial electrostático en el espacio y > 0 está dado por <¡>(x, y) ■

. x —h ,x + h —tan" 1 b tan- -----y

b) Considere el límite y = 0+ en el resultado del apartado (a). Demuestre que las condi ciones de frontera para los casos x < -h, -h <x < h y x > h se satisfacen cuando la fun ción arcotangente se evalúa de tal forma que -ni2 < tan"‘(...) < n/2. c) Pruebe que cuando y » h, en la recta x = 0, se obtiene V02h n y

«¿,(0, y) * J » _ .

Sugerencia: Cuando el argumento es pequeño tan"1w ~w. d) Sea h = 1. Represente gráficamente <f>(x, 0.5) para -5 < x < 5. Tome V„ = 1. 8. Complete la demostración de la fórmula integral de Poisson para e! semiplano superior mostrando que la integral a lo largo del arco (de radio Ii) que aparece en la ecuación (4.7 14) tiende hacia cero cuando R -* oo. Sugerencia Explique a qué se debe que |w z| ■|w| |z| y tjus |>v ; | |h'| | |en el integrando lia de suponerse que | /(>»■)| m cuando Im iv ñ l s|>1li|ii< iiliom por

E l teo r e m a d e G re e n en e l p la n o

227

-R

F igura 4.7-11

qué |/ ( - z)(w - z )]| < m/(R - \z |)2en la trayectoria de integración. Llamando Mal lado derecho de esta desigualdad, demuestre que el valor absoluto de la integral sobre el arco es < MnR si pasamos por alto el factor yin de la ecuación (4.7—14). Tome el límite R -*• oo. 9. Obtenga una fórmula integral de Poisson análoga a la ecuación (4.7-16), pero que sea vá lida en el semiplano inferior. Sugerencia: Comience con el contorno de integración que aparece en la figura 4.7-11. Respuesta: y < 0.

APÉNDICE DEL CAPÍTULO 4 I L TEOREMA DE GREEN EN EL PLANOf

I ícmostremos este teorema en el caso de un contorno cerrado simple C con esta pro piedad: cualquier recta paralela al eje x o al eje y corta a Cen dos puntos como máxi mo. La figura A4-1 muestra una curva con esta propiedad. Los puntos A y B son el par de puntos de C con la menor y la mayor coordenada x. Sean a y b estas coordena das, respectivamente. Consideremos ahora la expresión

donde la integral doble se evalúa sobre una región R que consiste en el contorno C y su interior. Supondremos que la función P(x, y ) es continua y que tiene primeras deri vadas parciales continuas en R.

1 V éieu * Iu s e c c i ó n *1 I

228

( j i p i t i il » 4

liilc|>ruciA n en el p la n » c o m p le ja

Contomo C

Figura A4-1 El contomo C genera dos trayectorias distintas que van de A a B. Dichas trayec torias están dadas por las ecuaciones y = g(x) e y = fix) (véase la Fig. A4-1). Por lo tanto, í* ' x =b ?=»<*> r [y=g(x)8P i '- d P — dy dx = — P(x, y) dx --------- dx dy = — J• x = a - J y = f ( x ) dy Ja ?=/(*) IP(X, f{xj) - P{x, í/C-x))] dx '

P(x, f (x)) dx +

r°

P(x, g(x)) dx.

Estas dos integrales, una de a a b y la otra de b a a, forman la integral de línea J P(x, y ) dx calculada alrededor del contomo C en la dirección positiva (es decir, en el sentido opues to al de las manecillas del reloj). Así pues, 8P , , dx dy = (}> P(x, y) dx. dy Je

(A4-1)

De manera análoga (véase la Fig. A4-2) tenemos, para una función Q(x, y ) con las mismas propiedades de continuidad que P(x, y): 80 fd — dx dy = I [Qín(y), y) - Q(m(y), y)] dy

Q(n(y),y)dy+

Q(m(y),y)dy = O Q(x, y) dy. (A4-2) Jd JC Sumando las ecuaciones (A4-1) y (A4-2) obtenemos el resultado deseado:

229

El teo r e m a d e G re e n en el p la n o

y d

x = n(y) x = m(y)

e x

Figura A4-2 lis fácil ahora relajar la condición de que las rectas paralelas a los ejes corten a C en dos puntos como máximo. La demostración es ligeramente más complicada. Ll siguiente teorema, emparentado con el teorema de Green, es útil en la teoría de variable compleja. Permite demostrar un enunciado recíproco del teorema de Caui hy-Goursat (véase el ejercicio 11 de la sección 4.3). TEOREMA 14 Sean P(x, y), Q(x, y), dP/dy y dQldx funciones continuas en un dominio simplemente conexo D. Supongamos que 4*P dx + Q dy = 0 alrededor de cualquier contorno cerrado simple en D. Entonces dQldx = dP/dy en D. □ A fin de demostrar este teorema supongamos que dQldx - dP/dy > 0 en el punto v„. V()de D. Entonces, puesto que ambas derivadas son continuas, podemos encontrar ■ii/> un círculo centrado en x0, y 0tal que dQldx - dP/dy > 0 sobre la circunferencia de <' y en su interior. Aplicando el teorema de Green a dicho círculo tenemos (A4-3) in te rio r d e C

< orno el integrando de la derecha es positivo, la integral de la derecha debe ser igual .i un número positivo. Por hipótesis, la integral de la izquierda es igual a cero. Por lo lanío, hemos llegado a una contradicción. Suponiendo que dQldx - dPIdy < 0, podemos llevar a cabo un razonamiento simi lar y obtener nuevamente una contradicción. Así, como dQldx no es ni mayor ni me nor que dP/dy, tenemos dQldx = dP/dy en (x0, _y0).