MATRICES INVERSAS En la teoría de matrices solamente ciertas clases de matrices cuadradas tienen inverso multiplicativos a diferencia de algebra común donde cada número real a diferente de cero tiene su inverso multiplicativo b. Matriz identidad La matriz identidad tiene 1 en la diagonal principal y 0 en las otras posiciones. Ejemplos de matrices identidad de diferentes ordenes.
1 I2 = 0
1 I3 = 0 0
0 1
0 1 0
1 0 I4 = 0 0
0 0 1
Matriz transpuesta
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La transpuesta de representamos por AT .
A la
Ejemplo :
Matriz Adjunta Definición: Si A es una matriz cuadrada n x n y B es la matriz de sus cofactores, entonces la Adjunta de A , denotada por adjA que es la transpuesta de la matriz B cuadrada n x n .
A11 A 12 . adjA = B T = . . A1n
Ejemplo I: Calcula la adjA
A21
...
A22 .
...
. . A2 n
...
An1 An 2 . . . Ann
1 A= 4
3 2
Primero calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.
A11 = 2 A21 = −3
A12 = −4 A22 = 1
Segundo con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo
2 B = − 3
− 4 1
2 BT = − 4
B T que es la adjA .
− 3 = adjA 1
Ejemplo II: Calcula la adjA
1 A = 5 3
−2 −1 4
3 2 − 3
Solución Primero calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.
−1 2 A11 = (−1)1+1 = −5 4 − 3 5 −1 A13 = ( −1)1+3 = 17 3 4 − 2 A21 = ( −1) 2+1 4 1 A23 = ( −1) 2 +3 3
5 A12 = ( −1)1+2 3
3 = −6 − 3
1 A22 = ( −1) 2 +2 3
− 2 =2 4
− 2 3 A31 = (−1) 3+1 =1 −1 2 1 − 2 A33 = ( −1) 3+3 =9 5 −1
21 −12 13
17 2 9
3 = −12 − 3
1 A32 = ( −1) 3+2 5
Segundo con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo
− 5 B = − 6 1
2 = 21 − 3
B
T
− 5 = 21 17
−6
3 = 13 2
B T que es la adjA .
1 −12 13 = adjA 2 9
EJERCICIOS I Calcular adj A de las siguientes matices.
− 2 1
1) A =
3 − 5
1 2
2) A =
− 2 4) A = 5 1
3 4
6 A = 2 1
3 5 − 3
5 4 2
3
1 − 3 6
− 3 4
1 5) A = 5 9
3 2
3) A =
3 2 −6
4 5
− 4 −1 8
6)
Definición de inversa de una matriz: Si A es una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que AB = In = BA entonces B se llama inversa de A y se denota con
A −1 . (Se lee “A inversa”)
Si a es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A es invertible. Si A no es una matriz cuadrada no es posible invertirla. Ejemplo:
Inversa de una matriz 2 x 2 Método I: TEOREMA:
a A = 11 a 21
a12 a 22
Si el determinante de A no es cero el inverso multiplicativo de A es:
A −1 =
Ejemplo: encontrar
1 A
a 22 − a 21
A −1
− a12 a11
3 A = 1
5 4
Primero encuentro el determinante de A: A = ( 3)( 4 ) −(5 )(1) = (12 ) −( 5) = 7
Segundo calculo la adj A Cofactores de A
3 A = 1
A11 = 4 A21 = −5
5 4
A12 = −1 A22 = 3
Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo
−1 3
4 B = − 5
4 − 5 BT = = adjA −1 3
Cuarto aplicas el teorema
A −1 =
1 A
A11 − A 12
− A21 A22
4 4 − 5 7 1 A −1 = = 7 − 1 3 − 1 7
− 5 7 3 7
Comprobamos la respuesta:
AA −1 = I 2 = A −1 A
4 3 5 7 1 4 1 − 7
B T que es la adjA .
− 5 7 = 1 0 3 0 1 7
15 15 0 4 1 12 5 7 5 3 a11 = ( 3) + ( 5) − = − = = 1 a12 = ( 3) − + ( 5) = − + = =0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 − 5 12 7 5 3 a 22 = (1) − + ( 4) = − + = =1 4 1 4 4 0 a 21 = (1) + ( 4) − = − = = 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
EJERCICIOS Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices. 1
− 2
5
1) − 2 3 2 − 4
2) − 3
− 3 − 6
− 6
−12 6
5) 3
Calcula la
−1 4
8
2
3) 7
3 9
4)
1
6) 3 4
A −1 1 A = 5 3
−2 −1 4
3 2 − 3
Solución Primero calculamos la determinante de A
1 A = 5 3
−2 −1 4
3 2 − 3
−1 2 5 A = (1) − ( − 2) 4 − 3 3
= −5 + 42 + 66 = 103
2 5 + ( 3) − 3 2
−1 = ( 3 − 8) + 2( −15 − 6 ) + 3( 20 + 2 ) = 4
Segundo calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.
−1 2 A11 = (−1)1+1 = −5 4 − 3 5 −1 A13 = ( −1)1+3 = 17 3 4
5 A12 = ( −1)1+2 3
2 = 21 − 3
− 2 A21 = ( −1) 2+1 4 1 A23 = ( −1) 2 +3 3
3 = −6 − 3
1 A22 = ( −1) 2 +2 3
− 2 =2 4
3 = −12 − 3
− 2 3 A31 = (−1) 3+1 =1 −1 2 1 − 2 A33 = ( −1) 3+3 =9 5 −1
1 A32 = ( −1) 3+2 5
Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo
B T que es la adjA .
− 5 B = − 6 1
21 −12 13
− 5 BT = 21 17
17 2 9
3 = 13 2
−6 1 −12 13 = adjA 2 9
Cuarto encuentro la inversa de la matriz A así:
A
−1
A11 1 = A12 A A13
A21 A22 A23
A31 − 5 − 6 1 1 A32 = 21 − 12 13 103 17 A33 2 9 EJERCICIOS
Utiliza el método de determinantes para hallar la inversa de las siguientes matrices. 1 1) 1 0 −3 2 −1 2 5) 4 6
0 1 5 4 7
−1 2) 1 2
0 1 0
1
8 6 4
−2 −4 5
1 3 −3
1 6) 3 1
2 4 0
−1 2 − 2
2 0 1
1 2 −1
1 3) 2 −1
2 3 −1
−5 −8 4) 5