Eletricidade e Magnetismo
Anรกlise Vetorial Otoniel da Cunha Mendes Engenharias otoniel.mendes@fucapi.br 1
Os slides desta aula foram adaptados de notas de aulas encontrados na internet, livros e apostilas.
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Introdução O eletromagnetismo pode ser considerado como o estudo da interação entre as cargas elétricas em repouso e em movimento. Os princípios do Eletromagnetismo se aplicam em várias disciplinas afins, tais como: microondas, antenas, máquinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo, plasmas, pesquisa nuclear, fibra ótica, interferência etc... Além de muitos avanços nas áreas da saúde precisarem deste ramo, exemplo: Física Médica. 3
A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo são mais convenientemente explicados e melhor compreendidos.
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Grandezas Físicas Uma grandeza pode ser escalar ou vetorial Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude.
Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação (direção e sentido)
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O que é um Vetor? • É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas. • Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta) • Tem uma direção. • E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando).
Sentido
Módulo
Direção da Reta Suporte 6
Componentes de um vetor Um vetor A pode ser decomposto em uma soma da
forma:
A Ax iˆ Ay ˆj
Ax
Ay
é a componente do vetor A na direção do eixo x
é a componente do vetor A
y
ˆj iˆ
na direção do eixo y
iˆ
Vetor unitário que “marca” direção do eixo x
ˆ j
Vetor unitário que “marca” direção do eixo y
Ay ˆj
A
Axiˆ
7
x
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Soma de vetores usando suas componentes cartesianas Se
A Axiˆ Ay ˆj B B x iˆ B y ˆj,
o vetor C A B
será dado em componentes cartesianas por: C ( Ax iˆ Ay ˆj ) ( Bx iˆ B y ˆj ) ( Ax Bx ) iˆ ( Ay B y ) ˆj C x iˆ C y ˆj ,
onde:
C x Ax B x C y Ay B y
y
C
By
B
A
Ay
Ax
x
Bx 9
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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais também é conhecido por sistema de coordenadas retangulares. Ele é um dos mais importantes sistemas de coordenadas utilizado em Física. Inicialmente, vamos concentrar nossa atenções nele, mas outros sistemas existem, e oportunamente introduziremos tais sistemas durantes nossas aulas.
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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares Existe um modo bastante útil de obter a posição de um ponto P de coordenadas cartesianas (x, y, z) num dado sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares. Note que a origem O do sistema de coordenadas está localizada em (0, 0, 0), e sua posição é dada por
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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares Como podemos encontrar o vetor posição na figura abaixo.
A soma de vetores ĂŠ comutativa 13
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Produto escalar usando componentes Podemos escrever o produto escalar de dois vetores em termos das suas componentes cartesianas: A B ( Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ)
( Bx iˆ B y ˆj Bz kˆ)
Ax Bx iˆ iˆ Ax B y iˆ ˆj Ax Bz iˆ kˆ Ay Bx ˆj iˆ Ay B y ˆj ˆj Ay Bz ˆj kˆ Az Bx kˆ iˆ Az B y kˆ ˆj Az Bz kˆ kˆ
Mas como iˆiˆ ˆj ˆj kˆkˆ 1 e iˆ ˆj iˆkˆ kˆ ˆj 0 , teremos:
AB Ax Bx Ay B y Az BZ
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Sistema e Transformação de Coordenadas No eletromagnetismo, para descrevermos as variações espaciais dessas quantidades, sejam elas elétricas ou magnéticas, devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneira unívoca no espaço de forma adequada. Um sistema ortogonal é aquele que as coordenadas são mutuamente perpendiculares. Sistemas não-ortogonais são difíceis de trabalhar. Coordenadas Retangulares
Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas 16
Coordenadas Retangulares
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Coordenadas Cilíndricas As coordenadas cilíndricas são particularmente úteis na abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um eixo. Por exemplo; 1. O campo elétrico devido a uma distribuição retilínea de carga tem esse tipo de simetria. 2. O cálculo do momento de inércia de um objeto cilíndrico relativamente a um eixo que passa pelo centro das suas bases constitui um outro exemplo, etc.
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Um ponto P, em coordenadas cilíndricas, é representado por: Os intervalos de variáveis são:
( , , z)
0 0 2 z
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Coordenadas CilĂndricas
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Coordenadas Cilíndricas dV rdrddz
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Coordenadas Esféricas Por sua vez, as coordenadas esféricas são particularmente úteis na abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um ponto. Nestas condições, todos os pontos colocados à mesma distância do ponto de referência são indistinguíveis.
Por exemplo; 1. O campo elétrico devido a uma carga pontual 2. O momento de inércia de uma distribuição esférica homogênea de massa são exemplos de problemas em que há uma clara vantagem em considerar a sua resolução em coordenadas esféricas. 22
Um ponto P, em coordenadas esféricas, é representado por: Os intervalos de variáveis são:
r, ,
0r 0 0 2
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Coordenadas Esféricas
dV r 2 dr sin dd 25
Coordenadas EsfĂŠricas
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Operador O operador del ou nabla é um operador vetorial cuja representação e definição em coordenadas retangulares são mostradas abaixo.
i x j y k z O operador não tem significado físico ou geométrico. O significado só ocorre quando ele é aplicado a uma função.
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Gradiente O gradiente de um campo escalar é um vetor que representa em direção, sentido e módulo a máxima taxa de variação de um campo escalar. O gradiente de um campo escalar é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função
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Divergente de um vetor e o Teorema da Divergência O divergente de um vetor é um escalar, expresso por:
Divergente
i j k x y z A Ax i Ay j Az k A Ax Ay Az x y z
Fisicamente, o divergente é interpretado como um fluxo pontual por unidade de volume.
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Existe uma identidade matemática importante que envolve o divergente de uma função vetorial, chamada de Teorema do Divergente, ou também, Teorema de Gauss.
BdV B ndS V
S A integral do divergente de uma função vetorial, dentro de volume
A integral da superfície da grandeza feita sobre toda a área que delimita esse volume
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Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes O rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela função vetorial.
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Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes
O rotacional de F é um vetor axial (ou girante), cuja magnitude é a máxima circulação de F por unidade de área, à medida que área tende a zero, cuja a orientação é perpendicular a essa área de orientação 32
Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes O teorema de Stokes nos diz o seguinte: Que a circulação de um campo vetorial A em torno de um caminho fechado L é igual a integral de superfície do rotacional deste vetor delimitada pela superfície S
A dl A dS L
S
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