Geometria Plana 1. Triângulo Relações métricas em um triângulo retângulo A
Sejam A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) três pontos de um plano cartesiano. Sendo D o determinante obtido por
Em um triângulo retângulo qualquer: * a 2 = b2 + c 2
b h
•
n D
D = x B y B 1 , tem-se que:
* c 2 = na
m C
xA yA 1
* b 2 = ma
c
xC y C 1
* h2 = mn * ah = bc
B a
* D = 0 ⇔ A, B e C são colineares; * D ≠ 0 ⇔ A, B e C são vértices de um triângulo 1 cuja área S é dada por: S = | D | 2
Área de um triângulo A b
h
•
Teorema dos senos (ou lei dos senos) A
α C
b S=
B
a
bh 2
S=
α
ab senα 2
b
c
A
a b c = = = 2R sen α sen β sen γ
O
A
β
c
R
b
c
b
R
B
γ a
C
O
B
B
C
a
S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) , p =
a+b+c 2
C
a
S=
•
abc 4R
Teorema dos cossenos (ou lei dos cossenos) A α
A
c
r
b
r
S = pr , em que p =
O
a+b+c 2
β B
a
C
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
r B
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b
c
γ a
C
•
Diagrama de inclusão dos quadriláteros
Teorema da bissetriz
Interna
Quadriláteros
Externa Trapézios
A α
A β
α
Paralelogramos Losangos
β
Retângulos
Quadrados B
B
C
C pé da bissetriz interna
S
S
pé da bissetriz externa
AB AC = BS CS
AB AC = BS CS
3. Polígonos
2. Quadriláteros
•
Áreas dos quadriláteros notáveis
A1
Trapézio
β1
Paralelogramo
b
An a
h
h
S=
( B + b) h
A6
S = a⋅h
2
Losango
Retângulo
Quadrado
β6
A3
* a soma dos ângulos externos é Se = 360° Em um polígono regular de n lados:
A4
Si ( n − 2 )180° = n n Se 360° = * cada ângulo externo é β = n n
β5
* cada ângulo interno é α =
A5
4. Círculo
•
a
Áreas das partes do círculo Coroa circular
Círculo
d
b
α5
n ( n − 3) 2 * a soma dos ângulos internos é Si = ( n − 2 )180°
* o número de diagonais é d =
β4
α4
α6
a
α1
α3
b
B
A2 β3
α2
αn
βn
b
Em um polígono convexo de n lados:
β2
Setor circular
b
R D
a
S = a ⋅b
S=
d ⋅D 2
O
R
R S=
α R
r
2
* S = π R2 * C = 2π R
C CR αR 2 , α em radianos S= = 2 2
(
S = π R2 − r 2
)
•
Ângulos em um círculo Ângulo central ( α ) e ângulo inscrito ( β )
Geometria Espacial 1.
Prisma
Ângulo excêntrico exterior
Ângulo excêntrico interior
base
Em um prisma qualquer:
P
P
A
* o volume é V = ( área da base ) × ( altura )
β
D
D
β
* a área lateral ( A ) é a soma das áreas das faces laterais * a área da base ( AB ) é a área de apenas uma base
aresta lateral
C
A
α
O α
* a área total é AT = 2 AB + A
aresta da base
C
base
B
A
B
B α=
( )
α = 2β = med AB
AB + CD 2
• Prismas particulares Cubo a a
AB − CD β= 2
a
•
Conseqüência importante
P é externo
A
C
A
B
a
P
P
( PA)( PB ) = ( PC )( PD )
c
a+c =b+d
* Diagonal do cubo: D = a 3 * * * * c
D
d
B
( PA)( PB ) = ( PC )( PD )
* Diagonal de uma face: d = a 2
d a a Paralelepípedo reto-retângulo a b b
c D
* Área total: AT = 6 a 2
a
D
b C
D
* Área lateral: A = 4 a 2
a
Potência de um ponto P em relação a uma circunferência
P é interno
* Área da base: AB = a 2
b b
a
2.
Volume: V = a 3 Soma das dimensões: a + b + c Soma das arestas: 4a + 4b + 4c Área total: AT = 2(ab + ac + bc )
* Diagonal: D = a 2 + b 2 + c 2 * Volume: V = abc * Relação importante: ( a + b + c ) = D 2 + AT 2
Cilindro circular reto r
r
2πr
A = 2πrh
g=h
2πr r
* Área da base: AB = πr 2
* Área total: AT = 2πr (r + h ) * Volume: V = AB h = πr 2 h
h=g
* Área lateral: A = 2πrh
* a
Diagonal: d = a 2
a
a a
a
3. Pirâmide V
Em uma pirâmide qualquer: apótema da pirâmide
altura
aresta lateral
1 * o volume é V = ⋅ AB ⋅ h 3 * a área lateral ( A ) é a soma das áreas das faces laterais * a área total ( AT ) é AT = AB + A
4.
Cone circular reto
raio do setor circular g g
g
g
h
A = πrg r
apótema da base
r
aresta da base
•
2πr
Sólidos importantes
*
Tetraedro regular
a2 3 Área da base: AB = 4
H
3a 2 3 4
*
Área lateral: A =
*
Área total: AT = a 2 3
*
a 6 Altura: H = 3
*
a3 2 Volume: V = 12
*
Área total: AT = 2a 2 3
*
Volume: V =
a
a
a
raio da base
a
Octaedro regular
a3 2 3
Em qualquer cone circular reto:
* g 2 = h2 + r 2 * 5.
a área da base é AB = πr 2
* a área total é AT = πr (r + g ) * o volume é V =
1 2 πr h 3
Esfera
O
•
* a área lateral é A = πrg
Partes da esfera
R
* Área da superfície esférica: A = 4πR 2 4 * Volume da esfera: V = πR 3 3
Cunha esférica A
e
Fuso esférico
e
A Cunha esférica
R
R
O
O
h r O
θ
R
Calota esférica é só a superfície
Fuso esférico
Zona esférica é só a superfície
R
R
θ
R
B
4 2π ∼ πR3 2θR3 ⇒V = , 3 3 θ ∼ S ( volume da cunha )
B 2π ∼ 4πR 2 ⇒ S = 2θR 2 , θ ∼ S ( área do fuso )
θ em radianos Segmento esférico de uma base
θ em radianos Segmento esférico de duas bases e
e
* Área (S): S = 2πRh
* Área (S): S = 2πRh 6. Razão de semelhança de dois sólidos e
V
Quando dois sólidos S1 e S 2 (como os da figura) são semelhantes de razão linear k
V' h
~
r
r1
h O
D
O r
h r2
C
D' O'
A
(S1)
(S2)
[(
)
]
* Volume (V): V =
(
πh 2 3r + h 2 6
* Área (S): S = 2πRh + πr 21 + πr2 2
* Área (S): S = 2 πRh + πr 2
Tronco de pirâmide de bases paralelas
Calota esférica
Zona esférica
)
Sendo Ab a área da base menor, AB a área da aresta lateral
altura
* a razão entre dois elementos lineares quaisquer é k * a razão entre as áreas correspondentes é k 2 * a razão entre os volumes é k 3
B
base menor
πh 3 r12 + r22 + h 2 6
C' B'
A'
O
7.
* Volume (V): V =
O
h
base maior
base maior, A a área lateral, h a altura e V o volume do tronco, tem-se que: * a área lateral A é a soma das áreas das faces laterais * a área total é AT = AB + Ab + A * o volume é V =
(
h AB + Ab + AB Ab 3
)
h
8.
Tronco cone de revolução de bases paralelas
10. Teorema de Pappus-Guldin g
e
*
r
r geratriz altura
2πR
g
h
2πr
G
g
*
Figura plana de área S
R
R
Superfície desenvolvida do tronco
Sendo Ab a área da base menor, AB a área da base maior, A a área lateral, g a geratriz, h a altura e V o volume do tronco, tem-se que: * Ab = πr 2 *
A B = πR
A = πg (R + r )
*
* AT = AB + Ab + A *V =
(
)
(
h πh 2 AB + Ab + AB Ab = R + r 2 + Rr 3 3
)
2
*
Seja S a área de uma figura plana. Ao girar essa figura plana (de 360o) em torno do eixo e, obtém-se um sólido de revolução. Demonstra-se que o volume desse sólido pode ser calculado pela fórmula V = 2πdS . Sendo G o centro de gravidade da figura, d é a distância do ponto G à reta e.
*
É vantagem aplicar a fórmula V = 2πdS quando o centro de gravidade da figura é de fácil determinação. Em qualquer triângulo, o centro de gravidade é o seu baricentro. Em qualquer quadrado, losango ou paralelogramo, o centro de gravidade é a intersecção das suas diagonais. Em qualquer polígono regular, o centro de gravidade é o centro da circunferência inscrita (ou circunscrita).
11. Poliedros Poliedro convexo Em um poliedro convexo com F faces, V vértices e A arestas:
9. Princípio de Cavalieri Princípio de Cavalieri para áreas d1
d2
F1
s F2 r
* V − A+ F = 2 * S = (V − 2 ) 360° , em que S é a soma
"Sejam F1 e F2 duas figuras planas apoiadas sobre uma mesma reta r. Se toda reta s, paralela a r, determina em F1 e F2 segmentos d1 e d 2 congruentes (os segmentos d1 e d 2 são as intersecções da reta s como as figuras F1 e F2 ), então as figuras F1 e F2 são equivalentes (têm áreas iguais).
dos ângulos das faces de um poliedro convexo •
Poliedros de Platão (há apenas 5 poliedros de Platão):
S2 β
A1
A2
"Sejam S1 e S 2 dois sólidos apoiados sobre um mesmo plano α . Se todo plano β , paralelo a α , secciona S1 e
S2
segundo
equivalentes α
figuras
( A1 = A2 ) ,
planas então
os
sólidos S1 e S 2 têm volumes iguais."
Um poliedro é de Platão somente se: 1o) todas as suas faces são polígonos com o mesmo número de lados; 2o) em cada um de seus vértices concorre o mesmo número de arestas; 3o) é Euleriano.
* tetraedros * hexaedros * octaedros * dodecaedros * icosaedros
O princípio de Cavalieri S1
Classificação
Poliedros Regulares
Um poliedro é regular somente se: o
1 ) todas as suas faces são polígonos regulares e congruentes 2o) possui todos os ângulos poliédricos congruentes Observações importantes
Tetraedro regular
Hexaedro regular
*
*
Octaedro regular
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
São os poliedros de Platão com todas as faces formadas por polígonos regulares "Todo poliedro regular é de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular."