40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2022 MÔN TOÁN MỤC TIÊU 8 - 10 ĐIỂM (PHẦN 2) by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022 MÔN TOÁN MỤC TIÊU 8 - 10 ĐIỂM (BỔ SUNG ĐỀ 2021) CHUYÊN ĐỀ 1 ĐẾN 8 WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Chuyên đề 5

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC ĐỘ 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Định m để GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Tìm m để max y = f ( x ) + m = a [α ; β ]

( a > 0) .

Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm max f ( x ) = K ; [α ;β ]

Kiểm tra max { m + K , m + k } ≥ TH1: TH2:

K −k 2 K −k 2

min f ( x ) = k ( K > k ) . [α ;β ]

m+ K + m+k m+ K −m−k K −k ≥ = . 2 2 2

 m + k = −a  m = −a − k ≤ a. Để max y = a ⇔  ⇔  m ∈ {− a − k ; a − K } . [α ; β ] m + K = a m = a − K > a  m ∈∅ .

Cách 2: Xét trường hợp  m + K = a TH1: Max = m + K ⇔   m + K ≥ m + k  m + k = a TH2: Max = m + k ⇔   m + k ≥ m + K Dạng 2: Tìm m để min y = f ( x ) + m = a [α ;β ]

( a > 0).

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;

min f ( x ) = k ( K > k ) . [α ;β ]

[α ;β ]

m + k = a m + K = −a m = a − k m = − a − K Để min y = a ⇔  ∨ ⇔ ∨ . Vậy m ∈ S1 ∪ S2. [α ;β ] m + k > 0 m + K < 0 m > −k m < − K Dạng 3: Tìm m để max y = f ( x ) + m không vượt quá giá trị M cho trước. [α ; β ]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ; [α ;β ]

min f ( x ) = k ( K > k ) . [α ;β ]

m + k ≥ − M ⇔ −M − k ≤ m ≤ M − K . Để max y ≤ M   [α ; β ] m + K ≤ M Dạng 4: Tìm m để min y = f ( x ) + m không vượt quá giá trị a cho trước. [α ; β ]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ; [α ;β ]

min f ( x ) = k ( K > k ) . [α ;β ]

Để

m + k ≤ a m + K ≥ −a m ≤ a − k  m ≥ − a − K min y ≤ a ⇔  ∨ ∨ ( m + K )( m + k ) < 0 ⇔  ∨ ∨ − K < m < −k . [α ; β ] m + k ≥ 0 m + K ≤ 0 m ≥ − k m ≤ − K Trang 1

Dang 5: Tìm m để max y = f ( x ) + m đạt min. [ a ;b ]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;

min f ( x ) = k ( K > k ) . [ a ;b ]

[a;b]

Đề hỏi tìm m  m = −

K +k K −k . Đề hỏi tìm min của max y  giá trị này là . [ a;b] 2 2

Dạng 6: Tìm m để min y = f ( x) + m đạt min. [a;b]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;

min f ( x ) = k ( K > k ) . [ a ;b ]

[a ;b]

Đề hỏi tìm m  ( m + K )( m + k ) ≤ 0 ⇔ −K ≤ m ≤ −k . Đề hỏi tìm min của min y  giá trị này là 0. [a;b]

Dạng 7: Cho hàm số y = f ( x ) + m .Tìm m để max y ≤ h.min y ( h > 0) hoặc Min + max = [ a ;b ]

[ a ;b ]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ; [a ;b]

min f ( x ) = k ( K > k ) . [ a ;b ]

+m ≥ k +m TH1: K + m ≤ h k + m  K+ mK   → m ∈ S1 . cung dau k + m

k +m ≥ K +m

→ m ∈ S2. TH2: k + m ≤ h K + m  K + m cung dau k + m Vậy m ∈ S1 ∪ S2 . Dạng 8: Cho hàm số y = f ( x) + m . Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ; [a ;b]

min f ( x ) = k ( K > k ) . [ a ;b ]

BT1: Tìm m để min y + max y = α ⇔ m + K + m + k = α . [ a ;b ]

[ a ;b]

BT2: Tìm m để min y *max y = β ⇔ m + K * m + k = β . [ a ;b ]

Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3 x + m trên đoạn [ 0;2] bằng 3. Số phần tử của S là A. 0

Câu 2.

B. 6

C. 1

B. 16 .

C. −12 .

x+m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp x +1 tất cả các giá trị của m sao cho max f ( x ) + min f ( x ) = 2 . Số phần tử của S là [0;1]

A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3x + 2m − 1 trên đoạn [ 0; 2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?

 3  A.  − ; − 1 .  2 

Trang 2

D. −2 .

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = [0;1]

Câu 4.

D. 2

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 3 x + m trên đoạn [ 0; 3] bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là: A. −16 .

Câu 3.

[ a ;b]

2  B.  ; 2  . 3 

C. [ −1;0] .

D. ( 0;1) .

Câu 5.

(Sở Vĩnh Phúc 2019) Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 − 2 x + m trên đoạn [ −1;2 ] bằng 5 . A. − 1 .

Câu 6.

B. 2 .

C. − 2 .

D. 1 .

(THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số y = x + 2 x + a − 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 7.

Câu 8.

A. a = 1 . B. a = 3 . C. a = 2 . D. a = 5 . (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị x 2 + mx + m lớn nhất của hàm số y = trên [1; 2 ] bằng 2 . Số phần tử của tập S x +1 B. 1 . C. 4 . D. 2 . A. 3 . 2 (HSG Bắc Ninh 2019) Xét hàm số f ( x ) = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −1;3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b . A. 2 . B. 4 . C. −4 . D. 3 .

Câu 9.

Cho hàm số y = x 3 + x 2 + ( m 2 + 1) x + 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −3; −1] có giá trị

nhỏ nhất bằng A. 26 . B. 18 . C. 28 . D. 16 . Câu 10. (Sở Quảng Nam - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 + 2 x + m − 4 trên đoạn [ −2;1] bằng 4 ? Câu 11.

A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3x 2 − 9 x + m trên đoạn [ −2; 4 ] bằng 16 .

Số phần tử của S là A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 1 . Câu 12. (Chuyên Hạ Long 2018) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn 1 19 nhất của hàm số y = x 4 − x 2 + 30 x + m − 20 trên đoạn [ 0; 2 ] không vượt quá 20 . Tổng các 4 2 phần tử của S bằng B. −195 . C. 105 . D. 300 . A. 210 . Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y = sin 2 x − 2sin x + m bằng 1. Số phần tử của S là A. 0 Câu 14.

B. 1

(Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y =

B. 4

D. 3

x 4 + ax + a , với a là tham số thực. Gọi M , m lần x +1

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1;2] . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M ≥ 2 m ? A. 10 . B. 14 . C. 5 . D. 20 . Câu 15.

(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của 1 tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn 4 [ 0; 2] không vượt quá 30 . Tổng giá trị các phần tử của tập hợp S bằng bao nhiêu? A. 120 .

Câu 16.

B. 210 .

C. 108 .

D. 136 .

(Chuyên Lương Văn Tỵ Ninh Bình 2020) Cho hàm số 4x 3x 2x x f ( x ) = 3e − 4e − 24e + 48e + m . Gọi A , B lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Trang 3

của hàm số đã cho trên [ 0;ln 2] .Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc

[ −23;10) thỏa mãn

A ≤ 3B . Tổng các phần tử của tập S bằng

A. −33 . Câu 17.

B. 0 .

C. −111 .

D. −74 .

(Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 3 + x 2 + a . Có bao nhiêu số thực a để

min y + max y = 10 ? [1;2]

[1;2]

A. 3. Câu 18.

B. 5.

C. 2.

D. 1.

(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + m . Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [1;3] không lớn hơn 2020?

A. 4045 . Câu 19.

B. 4046 .

C. 4044 .

D. 4042 .

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét hàm số f ( x ) =

mx − 2 x + 4 , với m là 2x + 4

tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện 0 < min f ( x ) < 1 ? [ −1;1]

A. 4 . Câu 20.

B. 4.

D. 1.

C. 15.

D. 21.

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi S0 là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = phần tử của S là A. 50 .

Câu 22.

C. 2 .

(Chuyên Sơn La - 2020) Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f (x ) = x 3 − 12x + m trên đoạn [1; 3] bằng 12 .Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng A. 25.

Câu 21.

B. 8 .

B. 49 .

1 4 x − 14 x 2 + 48 x + m trên đoạn [ 2; 4 ] không vượt quá 30 . Số 4 C. 66 .

D. 73 .

(Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của ham số f ( x ) = e 2 x − 4e x + m trên đoạn [ 0;ln 4] bằng 6? A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1.

Câu 23.

(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao 1 cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 9 x + m + 10 trên đoạn [ 0;3] không vượt quá 12 . Tổng 3 giá trị các phần tử của S bằng bao nhiêu? A. −7 . B. 0 . C. 3 . D. 12 .

Câu 24.

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao 1 cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn [ 0; 2] không vượt quá 4 30 . Tổng tất cả các giá trị của S là A. 180 . B. 136 . C. 120 . D. 210 .

Câu 25.

(Liên trường Nghệ An - 2020) Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 − 15 x + m − 5 + 9 x trên [ 0;3] bằng 60 . Tính tổng tất cả các giá trị của tham số thực m . A. 48 .

Trang 4

B. 5 .

C. 6 .

D. 62 .

Câu 26.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3x + m trên đoạn [ 0;2] bằng 3 . Số phần tử của S là A. 2.

Câu 27.

B. 6.

C. 1.

D. 0.

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho min f ( x ) + max f ( x ) = 10 . Số phần tử của S [ −1;2]

là? A. 2 .

Câu 28.

B. 3 .

C. 5 .

D. 1.

(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f ( x ) =

2mx − 2 4 x + 8 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −1;1] là a thỏa mãn 0 < a < 1. x+2

A. 3. Câu 29.

[−1;2]

B. 4.

C. 5.

D. 2.

(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3m với m là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị m1 , m2 của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ −1;2] bằng 2021. Tính giá trị m1 − m2 .

A. Câu 30.

1 . 3

4052 . 3

8 . 3

4051 . 3

(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x 2 + m + 1 ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn

[ −2020;2020]

sao cho

max f ( x ) ≤ 3 min f ( x ) . Số phần tử của S là [1;4]

[1;4]

A. 4003 .

B. 4002 .

C. 4004 .

D. 4001 .

x + 2m ( m là tham số). Gọi S là x+2 tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho max f ( x ) + min f ( x ) = 2 . Số phần tử của S bằng

Câu 31. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hàm số f ( x ) = [1;3]

A. 1.

B. 0.

[1;3]

C. 2 .

D. 3 .

Câu 32. (Sở Tuyên Quang - 2021) Cho hàm số f ( x ) = 2 x 2 + ( a + 4) x + b + 3 . Đặt M = max f ( x) . Khi [ −2;3]

M đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức T = a + 4b là A. −42 . B. −41 . C. 41 .

D. 42 .

Câu 33. (THPT Phan Đình Phùng - Quảng Bình - 2021) Xét hàm số f ( x ) = x 2 + ax + b , với a , b là tham số. Với M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −1;3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể

được, tính a + 2b . A. 5 .

B. −5 .

C. −4 .

D. 4 .

Câu 34. (Trung Tâm Thanh Tường -2021) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 15 x + 2m + 12 x − m . Giá trị nhỏ nhất của M = max f ( x ) bằng [ −2;3]

A. 36 .

B. 9 .

C. 25 .

D. 27 .

Dạng 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp Câu 1.

(Đề Minh Họa 2021) Cho hàm số f ( x ) , đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong trong hình bên. Trang 5

 3  Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − 4 x trên đoạn  − ; 2 bằng  2  A. f ( 0 ) . B. f ( −3) + 6 . C. f ( 2 ) − 4 . D. f ( 4 ) − 8 . Câu 2.

Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ , đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1;2] là

A. f (1) . Câu 3.

B. f ( −1) .

C. f ( 2 ) .

D. f ( 0 ) .

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ. Biết rằng f ( 0 ) + f ( 3 ) = f ( 2 ) + f ( 5 ) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f ( x ) trên đoạn [ 0;5] lần lượt là:

A. f ( 2 ) ; f ( 5 ) . Câu 4.

B. f ( 0 ) ; f ( 5 ) .

C. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .

D. f (1) ; f ( 5 ) .

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0 ) + f (1) − 2 f ( 3) = f ( 5 ) − f ( 4 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [ 0; 5 ] .

Trang 6

A. m = f ( 5 ) , M = f ( 3 ) B. m = f ( 5 ) , M = f (1) C. m = f ( 0 ) , M = f ( 3 ) D. m = f (1) , M = f ( 3 ) Câu 5.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

1 1 g ( x ) = f ( 4 x − x 2 ) + x3 − 3x 2 + 8 x + trên đoạn [1;3] . 3 3

A. 15. Câu 6.

25 . 3

19 . 3

D. 12.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Đặt 2

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề dưới đây đúng.

A. max g ( x ) = g ( 3) . [−3;3]

Câu 7.

B. min g ( x ) = g (1) . [ −3;3]

C. max g ( x ) = g ( 0 ) . D. max g ( x ) = g (1) . [ −3;3]

[−3;3]

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên ℝ . Biết f ′ ( 0 ) = 3 , f ′ ( 2 ) = −2018 và bảng xét dấu của f ′′ ( x ) như sau:

Hàm số y = f ( x + 2017 ) + 2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( −∞; − 2017 ) Câu 8.

B. ( 2017; +∞ )

C. ( 0; 2 )

D. ( −2017; 0 )

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ dưới đây:

Trang 7

Biết rằng f ( −1) + f ( 0 ) < f (1) + f ( 2 ) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1; 2 ] lần lượt là:

A. f (1) ; f ( 2 ) . Câu 9.

B. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .

C. f ( 0 ) ; f ( 2 ) .

D. f (1) ; f ( −1) .

 7 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  0;  có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ.  2

 7 Hàm số y = f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;  tại điểm x0 nào dưới đây?  2 7 B. x0 = . C. x0 = 1 . D. x0 = 3 . A. x0 = 0 . 2 Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm y = f ′ ( x ) như hình vẽ

Đặt h ( x ) = 3 f ( x ) − x 3 + 3 x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. max h( x) = 3 f (1) . [ − 3; 3]

C. max h( x ) = 3 f [ − 3; 3 ]

Trang 8

(

)

B. max h( x ) = 3 f − 3 . [ − 3; 3 ]

( 3 ) . D. max h( x) = 3 f ( 0) . [ − 3; 3]

Câu 11. Cho

hàm

số

y = f ( x)

có

đồ

thị

y = f ′( x)

ở

hình

vẽ

bên.

Xét

hàm

số

1 3 3 g ( x ) = f ( x ) − x3 − x 2 + x + 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 4 2

g ( −3) + g (1)

A. min g ( x ) = g ( −1) .

B. min g ( x ) =

C. min g ( x ) = g ( −3) .

D. min g ( x ) = g (1) .

[ −3;1] [ −3;1]

[ −3;1]

[−3;1]

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình sau:

Cho bốn mệnh đề sau: 1) Hàm số y = f ( x ) có hai cực trị 2) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (1;+∞ ) 3) f (1) > f ( 2 ) > f ( 4 ) . 4) Trên đoạn [ −1;4] , giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) là f (1) . Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là: A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Câu 13. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 1 g ( x ) = f (4 x − x 2 ) + x3 − 3x 2 + 8 x + trên đoạn [1;3]. 3 3

25 . 3

B. 15.

19 . 3

D. 12.

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất 2

của hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − sin x trên đoạn [ −1;1] là

Trang 9

A. f ( −1) .

B. f ( 0 ) .

C. f ( 2 ) .

D. f (1) .

Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ sao cho max f ( x ) = 3 . Xét hàm số g ( x ) = f ( 3x − 1) + m . [ −1;2]

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để max g ( x ) = −10 . [0;1]

A. 13 .

B. −7 .

C. −13 .

D. −1 .

Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên ℝ , hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

 sin x + 3 cos x  Giá trị lớn nhất của hàm số y = f   trên đoạn 2    π  5π  A. f  −  . B. f ( 0 ) . C. f  − .  3  6  Câu 17. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ sao cho

 5π π   − 6 ; 6  bằng π  D. f   . 6

max f ( x ) = f ( 2 ) = 4 . Xét hàm số

x∈[0;10 ]

g ( x ) = f ( x 3 + x ) − x 2 + 2 x + m . Giá trị của tham số m để max g ( x ) = 8 là x∈[ 0;2]

A. 5 . B. 4 . C. −1 . D. 3 . Câu 18. Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) , g ′ ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và g ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng

f ( 0 ) − f ( 6 ) < g ( 0 ) − g ( 6 ) . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ 0; 6 ] lần lượt là:

A. h ( 6 ) , h ( 2 ) . Trang 10

B. h ( 2 ) , h ( 6 ) .

C. h ( 0 ) , h ( 2 ) .

D. h ( 2 ) , h ( 0 ) .

Câu 19.

(Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ

 8x   + m − 1 có giá trị 2  x +1

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f  lớn nhất không vượt quá 2020 ? B. 4035 . A. 4029 .

Câu 20.

C. 4031 .

D. 4041 .

(Sở Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình bên. 2

Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1) .

Khi đó y = g ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −3;3] tại

A. x = −3 . Câu 21.

B. x = 3 .

C. x = 0 .

D. x = 1 .

(Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hàm số f ( x ) . Biết hàm số f ′ ( x ) có đồ thị như hình dưới đây. 2

Trên [ −4;3] , hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + (1 − x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

Trang 11

A. x = −3 . Câu 22.

B. x = −4 .

C. x = 3 .

D. x = −1 .

(Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên ℝ . Biết

f ′ ( 0 ) = 3, f ′ ( 2 ) = f ′ ( −2018) = 0 , và bảng xét dấu của f ′′ ( x ) như sau

Hàm số y = f ( x − 1 − 2018 ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( −∞; −2015 ) . Câu 23.

B. (1;3) .

C. ( −1009; 2 ) .

D. ( −2015;1) .

(THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên ℝ . Biết

f ′ ( 0 ) = 3 , f ′ ( 2 ) = −2020 , lim f ′ ( x ) = −∞ và bảng xét dấu của f ′′ ( x ) như hình sau: x →−∞

Hàm số y = f ( x + 2019 ) + 2020 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( −∞; −2019 ) .

B. ( 0;2 ) .

C. ( −2019;0 ) .

D. ( 2019; +∞ ) .

Câu 24. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho hai hàm số f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c và 4 . Trên đoạn [1; 4 ] , hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại x2 cùng một điểm. Biết rằng điểm A (1; 4 ) thuộc đồ thị của hàm số f ( x ) . Tìm giá trị lớn nhất của g ( x) = x +

hàm số f ( x ) trên đoạn [1; 4 ] .

A. max f ( x ) = 9 .

B. max f ( x ) = 23 .

[1;4]

C. max f ( x ) = 11 .

[1;4]

D. max f ( x ) = 19 . [1;4]

Câu 25. (THPT PTNK Cơ sở 2 - TP.HCM - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên trên đoạn [ −4; 4 ] như sau:

Có bao nhiêu giá trị của tham số

(

)

m ∈ [ −4; 4 ]

g ( x ) = f x + 3 x + f ( m ) trên [ −1;1] bằng

A. 2 .

B. 4 .

11 ? 2 C. 3 .

để giá trị lớn nhất của hàm số

D. 5 .

(

Câu 26. (THPT Hậu Lộc 4 - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số f ( x) = ax 3 + bx − c ln x + 1 + x 2 a , b, c

là

các

số

thực

dương,

biết

f (1) = −3, f (5) = 2 .

Xét

hàm

) với số

g (t ) = 3 f (3 − 2t ) + 2 f (3t − 2) + m , gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho max g (t ) = 10 . Số phần tử của S là [ −1;1]

A. 1.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4

Câu 27. (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x 2 − 4 x − 2. Gọi S là tổng tất cả Trang 12

các giá trị của tham số m để hàm số y = g ( x ) = f 2 ( x ) − 2 f ( x ) + m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

[ −1;3] bằng 15. Tổng A. ( −25; −15 ) .

S thuộc khoảng nào sau đây?

B. ( −14;1) .

D. (1;8) .

D. ( 8;12 ) .

Câu 28. (THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số h( x) = 3 f ( log 2 x − 1) + x3 − 9 x 2 + 15 x + 1 trên đoạn [1;4] bằng:

A. 54 .

B. 7 .

C. 33 .

D. 3 .

Câu 29. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất

 1  của hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − 2 x + 1 trên đoạn  − ;1 bằng  2 

A. f ( 0 ) − 1.

B. f (1) .

C. f ( 2 ) − 1.

D. f ( −1) + 2

Câu 30. Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của  x hàm số g ( x ) = f   trên đoạn [ −5;3] bằng 2 y

-2

A. f ( −2 ) .

B. f (1) .

C. f ( −4 ) .

D. f ( 2 ) .

Câu 31. Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) = − f ( 2 x − 1) + 2 x trên đoạn [ 0;2] bằng

Trang 13

A. − f (1) + 2 .

B. − f ( −1) .

C. − f ( 2 ) + 3 .

D. − f ( 3) + 4 .

Câu 32. Cho hàm số f ( x ) , đồ thị của hàm số y = f / ( x ) là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất 1  của hàm số g ( x ) = f ( 2 x − 1) + 6 x trên đoạn  ; 2  bằng 2 

1 A. f   .  2

B. f ( 0 ) + 3 .

C. f (1) + 6 .

D. f ( 3) + 12 .

Câu 33. Cho hàm số f ( x ) , đồ thị của hàm số y = f / ( x ) là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ  3  nhất của hàm số g ( x ) = f ( 2 x + 1) − 4 x − 3 trên đoạn  − ;1 bằng  2 

A. f ( 0 ) .

B. f ( −1) + 1 .

C. f ( 2 ) − 5 .

D. f (1) − 3 .

Câu 34. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Bảng biến thiên của hàm số y = f '( x ) được cho  x như hình vẽ. Trên [ −4; 2] hàm số y = f 1 −  + x đạt giá trị lớn nhất bằng?  2

Trang 14

A. f (2) − 2.

1 B. f   + 2. 2

3 D. f   − 1 . 2

C. f (2) + 2 .

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ℝ và hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình vẽ. Trên x [ −2; 4] , gọi x0 là điểm mà tại đó hàm số g ( x) = f  + 1 − ln x2 + 8x + 16 đạt giá trị lớn nhất. 2  Khi đó x0 thuộc khoảng nào?

(

1  A.  ;2  . 2 

 5 B.  2;  .  2

1  C.  −1; −  . 2 

)

1  D.  −1;  . 2 

19 3 Câu 36. Cho hàm số đa thức y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ . Biết rằng f ( 0 ) = 0 , f ( −3) = f   = − và 4 2 đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có dạng như hình vẽ.

3  Hàm số g ( x ) = 4 f ( x ) + 2 x 2 giá trị lớn nhất của g ( x ) trên  −2;  là 2  39 29 A. 2 . B. . C. 1 . D. . 2 2 Câu 37. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ , có đạo hàm f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới. Hàm số y = f ( x) +

x2 − x có giá trị nhỏ nhất trên [ 0;1] là 2

Trang 15

1 B. f (1) + . 2

A. f ( 0 ) .

1 C. f (1) − . 2

1 3 D. f   − . 2 8

Câu 38. Cho hàm số f ( x ) , đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất 2

của hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) trên đoạn [ −3;3] bằng

A. f ( 0 ) − 1.

B. f ( −3) − 4.

C. 2 f (1) − 4.

D. f ( 3) − 16.

Câu 39. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ sao cho

1  max f ( x ) = 5 . Xét hàm số g ( x ) = 2 f  x3 − x 2 − 3x + 1 + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham  8 3   −8; 3  



số m để max g ( x ) = −20 [−2;4]

A. −25 .

B. −30 .

C. −10 .

D. 30 .

Câu 40. (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2021) Cho hàm số f ( x ) , đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số  3 1 g ( x ) = 12 f ( 2 x ) + 32 x 3 + 12 x 2 − 12 x + 2021 trên đoạn  − ;  bằng  2 2

Trang 16

A. 12 f ( −1) + 2026 .

B. 12 f ( −3) + 1958 .

C. 12 f (1) + 2022 .

D. f ( −1) .

Câu 41. (Chuyên Bắc Giang - 2021) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x + 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2 sin x + 1) + m không vượt quá 10? A. 45.

B. 43.

C. 30.

D. 41.

Câu 42. (Sở Nam Định - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

(

)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f s inx − 3 cos x + 1 − 2 cos 2 x + 4 cos x − 10

A. 2 .

B. −5 .

C. −9 .

D. −2 .

Dạng 3. Ứng dụng gtln-gtnn giải bài toán thực tế Câu 1.

(Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Cho số a > 0 . Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a , tam giác có diện tích lớn nhất bằng 3 2 3 2 3 2 3 2 B. C. D. a . a . a . a . 3 6 9 18 (Mã 101 2018) Ông A dự định dùng hết 6,5m2 kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 2, 26 m3 B. 1, 61 m3 C. 1,33 m3 D. 1,50 m3

Câu 2.

Câu 3.

1 (Mã 104 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) là khoảng thời 3 gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 243 (m/s) B. 27 (m/s) C. 144 (m/s) D. 36 (m/s)

Câu 4.

Câu 5.

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể t trong t giờ được cho bởi công thức c ( t ) = 2 ( mg / L ) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ t +1 thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ. B. 1 giờ. C. 3 giờ. D. 2 giờ. (Dề Minh Họa 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Câu 6.

Trang 17

A. x = 3

B. x = 2

C. x = 4

D. x = 6

Câu 7.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một hình tròn. Tính chiều dài (theo đơn vị mét) của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất? 56 112 84 92 A. . B. . C. . D. . 4+π 4+π 4+π 4+π

Câu 8.

(THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng bằng 8cm . Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x ( cm ) , rồi gập tấm nhôm lại (như hình vẽ) để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x =

8 − 2 21 3

B. x =

10 − 2 7 3

C. x =

9 + 21 . 9

D. x =

9 − 21 3

(Mã 103 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? B. 0,96 m3 . C. 1,33 m3 . D. 1,51 m3 . A. 1, 01 m3 . Câu 10. Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được Câu 9.

A. 3125 m2 . Câu 11.

B. 50 m 2 .

C. 1250 m2 .

D. 6250 m 2 .

(Chuyên Long An-2019) Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ 3 nhật không nắp có thể tích bằng 288 m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (Biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)? 2

Trang 18

A. 90 triệu đồng.

B. 168 triệu đồng.

C. 54 triệu đồng.

D. 108 triệu đồng.

Câu 12. (Kinh Môn - Hải Dương L2 2019) Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 12 ( m ) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (bờ sông là đường thẳng DC không phải rào, mỗi tấm là một cạnh của hình thang). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m 2 ? B

A. 100 3 . Câu 13.

B. 106 3 .

C. 108 3 .

D. 120 3 .

(Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C , D thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng A.

1 . 2

3 3 . 4

C. 1 .

3 3 . 2

Câu 14. (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình 2018) Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B , hay có thể chèo trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/ h , chạy 8 km/ h và quãng đường BC = 8 km . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B .

Câu 1.

3 . 2

9 7

73 . 6

D. 1 +

7 . 8

Dạng 4. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 1 , a a x + y + z = 2 .Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz bằng với a, b ∈ ℕ* và là phân số tối b b giản. Giá trị của 2a + b bằng A. 5 . B. 43 . C. 9 . D. 6 .

Câu 2.

(Chuyên Bắc Giang Nam 2019) Cho x 2 − xy + y 2 = 2 . Giá trị nhỏ nhất của P = x 2 + xy + y 2 bằng: 2 1 1 A. B. C. D. 2 3 6 2

Câu 3.

(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho x , y là các số thực thỏa mãn x + y = x − 1 + 2 y + 2 . Gọi M , 2 2 m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = x + y + 2 ( x + 1)( y + 1) + 8 4 − x − y . Tính giá

trị M + m Trang 19

A. 42 Câu 4.

B. 41

C. 43

D. 44

(Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị -2019) Cho x , y > 0 thỏa mãn x + y = P=

3 và biểu thức 2

4 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x 2 + y 2 . + x 4y

153 . 100

5 . 4

2313 . 1156

25 . 16

Câu 5.

(Chuyên Hà Tĩnh - 2019) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x 2 + y 2 − xy = 1 và hàm số  5x − y + 2  f ( t ) = 2t 3 − 3t 2 + 1. Gọi M , m tương ứng là GTLN và GTNN của Q = f   . Tổng  x+ y+4  M + m bằng: A. −4 − 3 2 . B. −4 − 5 2 . C. −4 − 4 2 . D. −4 − 2 2 .

Câu 6.

(Sở Lào Cai - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x 4 + ax3 + bx 2 + cx + 1 . Biết rằng đồ thị hàm số

y = f ( x ) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Bất đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a 2 + b 2 + c 2 > Câu 7.

(THPT 3

Trần

4 . 3

B. a 2 + b 2 + c 2 < Nhân

(

Tông

4 4 4 . C. a 2 + b 2 + c 2 ≥ . D. a 2 + b2 + c 2 ≤ . 3 3 3 2018) Cho hai số thực x, y thỏa

)

mãn: 9 x + 2 − y 3 xy − 5 x + 3xy − 5 = 0

(

)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x3 + y 3 + 6 xy + 3 3x 2 + 1 ( x + y − 2 )

A. Câu 8.

296 15 − 18 . 9

36 + 296 15 . 9

36 − 4 6 . 9

(THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho x, y > 0 và x + y = 4 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó + x 4y 25 17 B. x 2 + y 2 = . A. x 2 + y 2 = . 32 16

−4 6 + 18 . 9 5 sao cho biểu thức 4

Câu 9.

25 . 16

D. x 2 + y 2 =

13 . 16

(Xuân Trường - Nam Định -2018) Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 ( xy + 1) xy + 1 − y ≤ 1 − x − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y x+ y x − 2y P= − ? 2 2 6( x + y) x − xy + 3 y

(

A. Câu 10.

C. x 2 + y 2 =

5 7 − . 3 30

)

7 5 − . 30 3

5 7 + . 3 30

(

x − 2 + y + 3 . Giá trị

148 . 3

(THPT Lê Xoay - 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x + y + 1 = 2

(

5+7 . 30

)

lớn nhất của biểu thức M = 3x + y −4 + ( x + y + 1) .27 − x − y − 3 x 2 + y 2 bằng

A. − Câu 11.

B. −76 .

193 . 3

(Cụm 5 Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 1 y = sin x + cos x + tan x + cot x + + sin x cos x A.

Trang 20

9476 . 243

2 −1.

B. 2 2 + 1 .

2 +1.

D. 2 2 − 1 .

Câu 12.

(Sở Phú Thọ - 2018) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5 . 1 1 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y 3 + z 3  + +  bằng: x y z A. 20 . B. 25 . C. 15 .

(

)

D. 35 .

Câu 13.

(Sở Bắc Ninh - 2018) Gọi M , m lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2018 x + cos 2018 x trên ℝ . Khi đó: 1 1 1 A. M = 2 , m = 1008 . B. M = 1 , m = 1009 . C. M = 1 , m = 0 . D. M = 1 , m = 1008 . 2 2 2 Câu 14. (Chuyên Long An - 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x + y = 2 x − 3 + y + 3 . Tìm giá

(

)

trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 x 2 + y 2 + 15 xy .

A. min P = −80 . Câu 15.

B. min P = −91 .

C. min P = −83 .

D. min P = −63 .

(THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hai số thực

(

thỏa mãn:

)

2 y + 7 y + 2 x 1 − x = 3 1 − x + 3 2 y + 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 2 y . A. P = 10 Câu 16.

B. P = 4 .

C. P = 6 .

D. P = 8 .

(Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2018) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:  x 2 − xy + 3 = 0 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 x + 3 y − 14 ≤ 0 P = 3 x 2 y − xy 2 − 2 x3 + 2 x A. 8 . B. 0 . C. 12 . D. 4 .

Câu 17.

(Sở

Nam

Định

2018)

Biết

rằng

bất

phương

)

(

trình

(

m x + 1 − x 2 + 1 ≤ 2 x 2 − x 4 + x 2 + 1 − x 2 + 2 có nghiệm khi và chỉ khi m ∈ −∞; a 2 + b  với a, b ∈ Z . Tính giá trị của T = a + b . A. T = 3 . B. T = 2 .

Câu 18.

(THPT

Nguyễn

Huệ

2018)

Cho

C. T = 0 .

x, y

là

D. T = 1 . các

số

thực

dương

thỏa

mãn

x y  x y  2 ( x 2 + y 2 ) + xy = ( x + y )( xy + 2) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4  3 + 3  − 9  2 + 2  . x  y x  y 25 23 A. − . B. 5 . C. − . D. −13 . 4 4 3

Câu 19.

(THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 2 x + y =

2 1 . + x 4y 65 . = 4

5 . Tìm giá 4

trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P =

A. Pmin = Câu 20.

34 . 5

B. Pmin

C. Pmin không tồn tại. D. Pmin = 5 .

x 2 − 2m(m + 1) x + 2m3 + m 2 + 1 có đồ thị x−m ( Cm ) ( m là tham số thực). Gọi A là điểm thỏa mãn vừa là điểm cực đại của ( Cm ) ứng với một giá (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho hàm số y =

trị m vừa là điểm cực tiểu của ( Cm ) ứng với giá trị khác của m. Giá trị của a để khoảng cách từ A

đến đường thẳng ( d ) : x − ( a + 1) y + a = 0 đạt giá trị lớn nhất là A. a = 3

B. a = −3

C. a =

10 3

D. a = −

10 3 Trang 21

Câu 21.

(Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho x, y là các số thực dương thoả mãn điều kiện

 x 2 − xy + 3 = 0 . Tổng giá trị lớn nhất và  2 x + 3 y − 14 ≤ 0 P = 3 x 2 y − xy 2 − 2 x 3 + 2 x thuộc khoảng nào sau đây? A. ( −2;2) . Câu 22.

C. (1;3) .

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

D. ( 0; +∞) .

(Sở Bình Phước - 2021) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + bc b + ca A= + + c + 2021 bằng 1 + bc 1 + ca A.

Trang 22

B. ( −∞; −1) .

giá

2 3 + 51 . 3

2021 + 2.

2021.

2022.

Chuyên đề 5

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

( a > 0) .

Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm max f ( x ) = K ; [α ;β ]

Kiểm tra max { m + K , m + k } ≥ TH1: TH2:

K −k 2 K −k 2

min f ( x ) = k ( K > k ) . [α ;β ]

m+ K + m+k m+ K −m−k K −k ≥ = . 2 2 2

 m + k = −a  m = −a − k ≤ a. Để max y = a ⇔  ⇔  m ∈ {− a − k ; a − K } . [α ; β ] m + K = a m = a − K > a  m ∈∅ .

( a > 0).

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;

min f ( x ) = k ( K > k ) . [α ;β ]

[α ;β ]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ; [α ;β ]

min f ( x ) = k ( K > k ) . [α ;β ]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ; [α ;β ]

min f ( x ) = k ( K > k ) . [α ;β ]

Để

Dang 5: Tìm m để max y = f ( x ) + m đạt min. [ a ;b ]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;

min f ( x ) = k ( K > k ) . [ a ;b]

[a ;b]

Đề hỏi tìm m  m = −

K +k K −k . Đề hỏi tìm min của max y  giá trị này là . [a;b] 2 2

Dạng 6: Tìm m để min y = f ( x) + m đạt min. [a;b]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;

min f ( x ) = k ( K > k ) . [ a ;b ]

[a ;b]

Đề hỏi tìm m  ( m + K )( m + k ) ≤ 0 ⇔ −K ≤ m ≤ −k . Đề hỏi tìm min của min y  giá trị này là 0. [a;b]

Dạng 7: Cho hàm số y = f ( x ) + m .Tìm m để max y ≤ h.min y ( h > 0 ) hoặc Min + max = [ a ;b]

[ a ;b]

Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;

min f ( x ) = k ( K > k ) . [ a ;b ]

[a ;b]

K +m ≥ k +m TH1: K + m ≤ h k + m  K    → m ∈ S1 . + m cung dau k + m

k +m ≥ K +m

→ m ∈ S2 . TH2: k + m ≤ h K + m  K + m cung dau k + m Vậy m ∈ S1 ∪ S2 . Dạng 8: Cho hàm số y = f ( x ) + m . Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x ) = K ;

min f ( x ) = k ( K > k ) . [ a ;b ]

[a ;b]

BT1: Tìm m để min y + max y = α ⇔ m + K + m + k = α . [a ;b]

[ a ;b ]

BT2: Tìm m để min y *max y = β ⇔ m + K * m + k = β . [ a ;b ]

Câu 1.

[ a ;b]

(Đề Tham Khảo 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3x + m trên đoạn [ 0;2] bằng 3. Số phần tử của S là A. 0

B. 6

C. 1 Lời giải

D. 2

Chọn D 3 2 Xét hàm số f ( x ) = x − 3x + m , ta có f ′ ( x ) = 3x − 3 . Ta có bảng biến thiên của f ( x) :

TH 1 : 2 + m < 0 ⇔ m < − 2 . Khi đó max f ( x ) = − ( − 2 + m) = 2 − m [0;2]

2 − m = 3 ⇔ m = −1 (loại). 2 + m > 0 TH 2 :  ⇔ − 2 < m < 0 . Khi đó : m − 2 = 2 − m > 2 > 2 + m m < 0

 max f ( x ) = − ( − 2 + m) = 2 − m [0;2]

2 − m = 3 ⇔ m = −1 (thỏa mãn). Trang 2

m > 0 TH 3 :  ⇔ 0 < m < 2 . Khi đó : m − 2 = 2 − m < 2 < 2 + m  max f ( x ) = 2 + m [0;2] − 2 + m < 0 2 + m = 3 ⇔ m =1 (thỏa mãn). TH 4: − 2 + m > 0 ⇔ m > 2 . Khi đó max f ( x ) = 2 + m [0;2]

2 + m = 3 ⇔ m =1 (loại). Câu 2.

B. 16 .

C. −12 . Lời giải

D. −2 .

Chọn A Xét u = x3 − 3x + m trên đoạn [ 0;3] có u ′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ x = 1 ∈ [ 0;3] . max u = max {u (0) , u (1) , u (3)} = max {m, m− 2, m+ 18} = m + 18  [0;3] . Khi đó  min u = min {u (0) , u (1), u (3)} = min {m, m− 2, m+ 18} = m − 2  [0;3]  m + 18 = 16    m = −2  m + 18 ≥ m − 2 Suy ra M ax f ( x ) = max { m − 2 , m + 18 } = 16 ⇔  . ⇔  m = −14 [ 0;3]  m − 2 = 16    m − 2 ≥ m + 18 Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng − 16 .

Câu 3.

x+m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp x +1 tất cả các giá trị của m sao cho max f ( x ) + min f ( x ) = 2 . Số phần tử của S là (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = [0;1]

[0;1]

A. 6 .

B. 2 .

C. 1. Lời giải

D. 4 .

Chọn B

x+m liên tục trên [ 0;1] x +1 . Khi m = 1 hàm số là hàm hằng nên max f ( x ) = min f ( x ) = 1

Do hàm số f ( x ) =

[0;1]

Khi m ≠ 1 hàm số đơn điệu trên đoạn [ 0;1] nên + Khi f ( 0 ) ; f (1) cùng dấu thì max f ( x ) + min f ( x ) = f ( 0 ) + f (1) = m + [0;1]

[0;1]

m +1 . 2

+ Khi f ( 0 ) ; f (1) trái dấu thì

 m +1  min f ( x ) = 0 , max f ( x ) = max f ( 0 ) ; f (1) = max  m ; . [0;1] [0;1] 2    m ≤ −1 TH1: f ( 0 ) . f (1) ≥ 0 ⇔ m( m + 1) ≥ 0 ⇔  . m ≥ 0

{

}

m = 1 m +1 max f ( x ) + min f ( x ) = 2 ⇔ m + =2⇔ (thoả mãn). [0;1] [0;1] m = − 5 2 3  Trang 3

TH2: f ( 0 ) . f (1) < 0 ⇔ m(m + 1) < 0 ⇔ −1 < m < 0

m =2  m = ±2  max f ( x ) + min f ( x ) = 2   m + 1 ⇔  m = −5 (không thoả mãn).  0;1 0;1 [ ] [ ] =2  2  m = 3 Số phần tử của S là 2 . Câu 4.

(THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa 2019) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3x + 2m − 1 trên đoạn [ 0; 2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?

 3  A.  − ; − 1 .  2 

2  B.  ; 2  . 3 

C. [ −1;0] .

D. ( 0;1) .

Lời giải Chọn D Xét hàm số y = f ( x ) = x3 − 3x + 2m − 1 trên đoạn [ 0; 2] .  x = −1 ∉ [ 0; 2] Ta có f ' ( x ) = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔  . x =1 Ta có f ( 0 ) = 2m − 1 , f (1) = 2m − 3 và f ( 2 ) = 2m + 1 Suy ra max f ( x ) = max { 2m − 1 ; 2m − 3 ; 2m + 1 } = max { 2m − 3 ; 2m + 1 } = P . [0;2]

Trường hợp 1: Xét 2m − 3 ≥ 2m + 1 ⇔ −4 ( 4m − 2 ) ≥ 0 ⇔ m ≤ Khi đó P = 2m − 3 ≥ 2 , ∀m ≤

1 1 . Suy ra Pmin = 2 ⇔ m = . 2 2

Trường hợp 2: Xét 2m − 3 < 2m + 1 ⇔ −4 ( 4m − 2 ) < 0 ⇔ m >

Câu 5.

1 . 2

1 Khi đó P = 2m + 1 > 2 , ∀m > . Suy ra Pmin không tồn tại. 2 1 Vậy m = . 2 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 − 2 x + m trên đoạn [ −1;2 ] bằng 5 . A. −1 . Ta có y ′ =

B. 2 .

C. − 2 . Lời giải

D. 1 .

2x − 2 , y′ = 0  x = 1 . x − 2x + m 2

Do đó yêu cầu bài toán tương đương max { y ( −1) , y ( 2 ) , y (1)} = 5 .

⇔ max { 3 + m , m , m − 1 } = 5 . + Trường hợp m ≥ −1 , ta có max { 3 + m , m , m − 1 } = 5 ⇔ 3 + m = 5  m = 2 . + Trường hợp m < −1 ta có max { 3 + m , m , m − 1 } = 5 ⇔ m − 1 = 5  m = −4 . Vậy tổng các giá trị m bằng − 2 .

Câu 6.

(THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất

A. a = 1 . Trang 4

B. a = 3 .

C. a = 2 . Lời giải

D. a = 5 .

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [ −2;1] . 2

Ta có: y = x 2 + 2 x + a − 4 = ( x + 1) + a − 5

( ∗)

Đặt t = ( x + 1) , x ∈ [ −2;1]  a ∈ [ 0; 4] . Lúc đó hàm số trở thành: f ( t ) = t + a − 5 với t ∈ [ 0;4] . Nên max y = max f ( t ) = max x∈ −2;1

t∈0;4

{ f (0); f (4)} = t∈max { a − 5 ; a − 1}  0;4  



a −1 + a − 5 a −1+ 5 − a ≥ =2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a − 1 = a − 5 = 2 ⇔ a = 3 . ≥

Do đó giá trị nhỏ nhất của max f ( t ) là 2 khi a = 3 . t∈ 0;4 

Câu 7.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị x 2 + mx + m lớn nhất của hàm số y = trên [1; 2 ] bằng 2 . Số phần tử của tập S x +1 A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D Xét y =

 x = 0 ∉ [1;2] x2 + 2x x 2 + mx + m ′ . Ta có: f ′ ( x ) = , f x = 0 ⇔ . ( )  2 x +1 ( x + 1)  x = −2 ∉ [1;2]

Mà f (1) =

2m + 1 3m + 4  2m + 1 3m + 4  , f ( 2) =  max y =  ; . x∈[1;2] 2 3 3   2

3  m=  2m + 1 2 =2  Trường hợp 1: max y = . x∈[1;2] 2 m = − 5  2 • V ới m =

3 3m + 4 17  = > 2 (loại) 2 3 6

5 3m + 4 7 = < 2 (thỏa mãn) • V ới m = −  2 3 6 2  m=  3 m + 4 = 6  3m + 4 3 Trường hợp 2: max y = =2  ⇔ . x∈[1;2] 3 3m + 4 = −6  m = − 10  3 • V ới m =

2 2m + 1 7  = < 2 (thỏa mãn) 3 2 6

• V ới m = −

10 2m + 1 17  = > 2 (loại) 3 2 6

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Trang 5

Câu 8.

(HSG Bắc Ninh 2019) Xét hàm số f ( x ) = x 2 + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −1;3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b . A. 2 . B. 4 . C. −4 . D. 3 . Lời giải Xét hàm số f ( x ) = x 2 + ax + b . Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ −1;3] .

 M ≥ f ( −1)  M ≥ 1− a + b   Suy ra  M ≥ f ( 3) ⇔  M ≥ 9 + 3a + b  4 M ≥ 1 − a + b + 9 + 3a + b + 2 −1 − a − b  M ≥ f (1)  M ≥ 1+ a + b   ≥ 1 − a + b + 9 + 3a + b + 2 ( −1 − a − b)  4 M ≥ 8  M ≥ 2 . Nếu M = 2 thì điều kiện cần là 1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = 2 và 1 − a + b , 9 + 3a + b ,

 1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = 2

a = −2

⇔ . −1 − a − b cùng dấu ⇔  1 − a + b = 9 + 3a + b = −1 − a − b = −2  b = −1  a = −2 Ngược lại, khi  ta có, hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x − 1 trên [ −1;3] . b = − 1  Xét hàm số g ( x ) = x 2 − 2 x − 1 xác định và liên tục trên [ −1;3] . g ′ ( x ) = 2 x − 2 ; g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1∈ [ −1;3]

{

M là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên [ −1;3]  M = max g ( −1) ; g ( 3) ; g (1)

}

=2 .

 a = −2 Vậy  . Ta có: a + 2b = −4 .  b = −1 Câu 9.

Cho hàm số y = x 3 + x 2 + ( m 2 + 1) x + 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −3; −1] có giá trị nhỏ nhất bằng A. 26 .

B. 18 .

C. 28 .

D. 16 .

Lời giải Chọn B

(

)

Xét u = x3 + x 2 + m2 + 1 x + 27 trên đoạn [ −3; −1] ta có: u′ = 3x 2 + 2 x + m2 + 1 > 0, ∀x . Do đó A = max u = u ( −1) = 26 − m 2 ; a = min u = u ( −3) = 6 − 3m 2 . [ −3;−1]

[ −3;−1]

{

2 2 Do M = max y = max 26 − m , 6 − 3m

[−3;−1]

} và 4M ≥ 3 26 − m

+ 6 − 3m2 ≥ 72 .

Vậy M ≥ 18 . Dấu bằng xảy ra khi 26 − m2 = 6 − 3m2 = 18 ⇔ m = ±2 2 .

Câu 10.

(Sở Quảng Nam - 2018) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 + 2 x + m − 4 trên đoạn [ −2;1] bằng 4 ? A. 1 .

B. 2 .

C. 3 . D. 4 . Lời giải f ( x ) = x 2 + 2 x + m − 4 có f ′ ( x ) = 2 x + 2 , f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = −1 . Do đó

max x 2 + 2 x + m − 4 = max { m − 1 ; m − 4 ; m − 5 } . [ −2;1]

Ta thấy m − 5 < m − 4 < m − 1 với mọi m ∈ ℝ , suy ra max y chỉ có thể là m − 5 hoặc m − 1 . [ −2;1]

Trang 6

 m − 5 = 4 Nếu max y = m − 5 thì  ⇔ m = 1. [ −2;1]  m − 5 ≥ m − 1  m − 1 = 4 Nếu max y = m − 1 thì  ⇔ m=5. [−2;1]  m − 1 ≥ m − 5 Vậy m ∈ {1; 5} .

Câu 11.

(Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3x 2 − 9 x + m trên đoạn [ −2; 4 ] bằng 16 . Số phần tử của S là A. 0 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 1 .

Lời giải Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m trên đoạn [ −2; 4 ] .  x = −1 f ′ = 3x 2 − 6 x − 9 ; f ′ ( x ) = 0 ⇔  (thỏa mãn). x = 3 f ( −2 ) = −2 + m; f ( −1) = 5 + m; f ( 3 ) = −27 + m; f ( 4 ) = −20 + m

 min f ( x ) = m − 27; max f ( x ) = m + 5  max f ( x ) = max { m − 27 ; m + 5 } . [ −2;4]

[ −2;4]

+) Trường hợp 1: Nếu m − 27 ≤ m + 5 (*)  m = 11  max f ( x ) = m + 5  m + 5 = 16 ⇔  . Đối chiếu điều kiện (*)  m = 11 . [−2;4]  m = −21 +) Trường hợp 1: Nếu m − 27 > m + 5 (**)  m = 43  max f ( x ) = m − 27  m − 27 = 16 ⇔  (Không thỏa mãn điều kiện (**) ). [ −2;4]  m = 11 Vậy S = {11}  S có 1 phần tử.

Câu 12.

(Chuyên Hạ Long 2018) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn 1 19 nhất của hàm số y = x 4 − x 2 + 30 x + m − 20 trên đoạn [ 0; 2 ] không vượt quá 20 . Tổng các 4 2 phần tử của S bằng A. 210 . B. −195 . C. 105 . D. 300 . Lời giải Xét hàm số g ( x ) =

1 4 19 2 x − x + 30 x + m − 20 trên đoạn [ 0; 2 ] 4 2

 x = −5 ∉ [ 0; 2]  Ta có g ′ ( x ) = x − 19 x + 30 ; g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2  x = 3 ∉ [ 0; 2]  3

Bảng biến thiên

g ( 0 ) = m − 20 ; g ( 2 ) = m + 6 . Trang 7

 g ( 0 ) ≤ 20  m − 20 ≤ 20 Để max g ( x ) ≤ 20 thì  ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 14 . [ 0;2 ]  g ( 2 ) ≤ 20  m + 6 ≤ 20

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {0;1; 2;...;14} . Vậy tổng các phần tử của S là 105 .

Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y = sin 2 x − 2sin x + m bằng 1. Số phần tử của S là A. 0

B. 1

B. 4

D. 3

Lời giải Chọn A Đặt sin x = t ( t ∈ [ −1;1])  y = t 2 − 2t + m Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 2t + m có f ' ( t ) = 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1∈ [ −1;1]  max f ( x ) = max {m + 3; m − 1} = m + 3  [−1;1] Có f ( −1) = m + 3, f (1) = m − 1 . Khi đó   min f ( x ) = min {m + 3; m − 1} = m − 1  [−1;1] TH1: m + 3 ≥ m − 1 ⇔ m ≥ −1  m = −2 ( l )  max f ( x ) = m + 3 = 1 ⇔   m = −4 ( l ) TH1: m + 3 < m − 1 ⇔ m < −1 m = 2 (l )  max f ( x ) = m − 1 = 1 ⇔   m = 0 ( l )  Không tồn tại m thỏa mãn

Câu 14.

(Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y =

x 4 + ax + a , với a là tham số thực. Gọi M , m lần x +1

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1; 2] . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M ≥ 2 m ? A. 10 . B. 14 .

Chọn B x 4 + ax + a x4 = +a. x +1 x +1 4  x=− 3 x 4 + 4 x3  ′ ′ Ta có y =  y =0⇔ 3. 2  ( x + 1) x = 0  Bảng biến thiên Xét hàm số y =

Trang 8

C. 5 . Lời giải

D. 20 .

 1 16   1 16  Dựa vào bảng biến thiên suy ra M = max  a + ; a +  và m = min  a + ; a +  . 2 3  2 3     16 16 M = a + 3 = a + 3 1 1  Trường hợp 1. a + ≥ 0 ⇔ a ≥ −   . 2 2 m = a + 1 = a + 1  2 2 16 1 13  ≥ 2a +  ⇔ a ≤ . 3 2 3  1 13 Kết hợp điều kiện, ta có − ≤ a ≤  có 5 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện. 2 3  1 1  M = a + 2 = −a − 2 16 16  Trường hợp 2. a + ≤ 0 ⇔ a ≤ −   . 3 3 16 16 m = a + = −a −  3 3

Khi đó M ≥ 2m ⇔ a +

1 16  61  ≥ 2  −a −  ⇔ a ≥ − . 2 3 6  61 16 Kết hợp điều kiện ta có − ≤ a ≤ − . Suy ra có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn. 6 3 1   a + 2 < 0 16 1 Trường hợp 3.  ⇔− <a<− . 3 2  a + 16 > 0  3 1 16 1 16 35 Nếu a + > a + thì ⇔ −a − > a + ⇔ a < − 2 3 2 3 12 1   M = − a − 2 1 16  67   M ≥ 2m ⇔ − a − ≥ 2  a +  ⇔ a ≤ − .  16 2 3 18  m = a +  3 16 67 Kết hợp điều kiện, ta có − < a ≤ − . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. 3 18 1 16 1 16 35 Nếu a + ≤ a + thì ⇔ −a − ≤ a + ⇔ a ≥ − 2 3 2 3 12 16   M = a + 3 16 1 19   M ≥ 2m ⇔ a + ≥ 2  − a −  ⇔ a ≥ − .  3 2 9  m = −a − 1  2 19 1 Kết hợp điều kiện, ta có − ≤ a < − . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. 9 2 Vậy có 14 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. M ≥ 2m ⇔ − a −

Câu 15.

B. 210 .

C. 108 . Lời giải

D. 136 .

Chọn D Trang 9

1 4 x − 14 x 2 + 48 x + m − 30 là hàm số xác định và liên tục trên [ 0; 2] . 4 Với mọi x ∈ [ 0; 2] ta có f '( x) = 0 ⇔ x3 − 28 x + 48 = 0 ⇔ x = 2 .

Đặt f ( x) =

Suy ra max f ( x) = max { f (0) ; f (2) } . [0;2]

  m − 30 ≤ 30   m + 14 ≤ m − 30  m − 30 ≤ 30 Theo đề max f ( x) ≤ 30 ⇔  ⇔ [ 0;2]  m + 14 ≤ 30  m + 14 ≤ 30    m − 30 ≤ m + 14  −30 ≤ m − 30 ≤ 30 0 ≤ m ≤ 60 ⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 16 .  −30 ≤ m + 14 ≤ 30  −44 ≤ m ≤ 16 Do m ∈ ℤ  m ∈ S = {0;1; 2;...;16} . Vậy tổng tất cả 17 giá trị trong tập S là 136 .

Câu 16.

(Chuyên Lương Văn Tỵ Ninh Bình 2020) Cho hàm số 4x 3x 2x x f ( x ) = 3e − 4e − 24e + 48e + m . Gọi A , B lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 0;ln 2] .Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc

[ −23;10) thỏa mãn

A ≤ 3B . Tổng các phần tử của tập S bằng B. 0 .

A. −33 .

C. −111 . Lời giải

D. −74 .

Chọn A Đặt t = e x , x ∈ [ 0;ln 2]  t ∈ [1;2] Xét hàm số h ( t ) =| 3t 4 − 4t 3 − 24t 2 + 48t + m | trên [1;2] .

Đặt g ( t ) = 3t 4 − 4t 3 − 24t 2 + 48t + m

t = −2 ∉ [1; 2] g′ ( t ) = 12t −12t − 48t + 48 ; g ′ ( t ) = 0 ⇔ t = 2 ; t = 1 g (1) = m + 23 , g ( 2) = m + 16 . 3

TH1: −16 ≤ m < 10  m + 23 ≥ m + 16 ≥ 0  A = max h ( t ) = m + 23 ; B = min h ( t ) = m + 16 . [1;2]

[1;2]

−16 ≤ m < 10 −16 ≤ m < 10 −25  ⇔  ≤ m < 10 . Suy ra::  −25 2 m + 23 ≤ 3m + 48 m ≥  2 Do đó: có 22 giá trị TH2: −23 ≤ m < −16  m + 23 = m + 23, | m + 16 |= −m − 16 .  m + 23 < −m − 16   −16 ≤ m < −19.5 −m − 16 ≤ 0 Dễ thấy B = 0 . Suy ra  ⇔ (VL)  m + 23 ≥ −m − 16  −19.5 ≤ m ≤ −23   m + 23 ≤ 0 Vậy S = {−12; −11;...; 0;1;...9} và tổng các phần tử của tập S bằng −12 + ( −11) + ( −10 ) = −33 .

Câu 17.

(Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 3 + x 2 + a . Có bao nhiêu số thực a để

min y + max y = 10 ? [1;2]

A. 3. Trang 10

[1;2]

B. 5.

C. 2.

D. 1.

Lời giải. Chọn C. 4 Đặt y = x − 2 x 3 + x 2 + a = f ( x) . Xét hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + a

 1   2 

Khi đó f ′( x) = 4 x 3 − 6 x 2 + 2 x = 2 x (2 x 2 − 3 x + 1) = 0 ⇔ x ∈ 0; ;1 .

 f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [1; 2] và f (1) = a; f (2) = a + 4

max y ∈ { a , a + 4 }

Ta có ∀x ∈ [1;2] thì 

min y ∈ { a ,0, a + 4 }

Xét các trường hợp + a ≥ 0  max y = a + 4; min y = a  2a + 4 = 10  a = 3 , nhận. + a ≤ −4  max y = −a;min y = −a − 4  −a − 4 − a = 10  a = −7 , nhận.

a < 0 ⇔ −4 < a < 0  min y = 0;max y ∈ {a + 4; − a} a + 4 > 0

+ 

 a + 4 = 10  a = 6 (Loại).    − a = 10  a = −10 Vậy tồn tại hai giá trị a thỏa mãn. Câu 18.

A. 4045 .

B. 4046 .

C. 4044 . Lời giải

D. 4042 .

Chọn A Với u = x3 − 3x 2 + m có u ′ = 3 x 2 − 6 x; u ′ = 0 ⇔ x = 0; x = 2 min u = min {u (1) ; u ( 3) ; u ( 2 )} = min {m − 2; m; m − 4} = m − 4  [1;3] Do đó  u = max {u (1) ; u ( 3) ; u ( 2 )} = max {m − 2; m; m − 4} = m max  [1;3] * Nếu m − 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ 4  min f ( x ) = m − 4 ≤ 2020 ⇔ m ≤ 2024  m ∈ {4,..., 2024} . [1;3]

* Nếu m ≤ 0  min f ( x ) = − m ≤ 2020 ⇔ −2020 ≤ m  m ∈ {−2020;...;0} . [1;3]

* Nếu 0 < m < 4 khi đó min u < 0; max u > 0  min f ( x ) = 0 (thỏa mãn). [1;3]

[1;3]

Vậy m ∈ {−2020,..., 2024} có tất cả 4045 số nguyên thỏa mãn.

Câu 19.

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét hàm số f ( x ) =

mx − 2 x + 4 , với m là 2x + 4

tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện 0 < min f ( x ) < 1 ? [ −1;1]

A. 4 .

B. 8 .

C. 2 . Lời giải

D. 1.

Chọn B Cách 1: Xét hàm số g ( x ) =

mx − 2 x + 4 liên tục trên [ −1;1] và f ( x ) = g ( x ) . 2x + 4

Trang 11

m−2 5 −m − 2 3 ; g ( −1) = . 6 2 m ≥ 2 5  g ( −1) ≥ 0 ⇔ thì min f ( x ) = 0 , không thỏa mãn bài toán. - Nếu  [ −1;1]  g (1) ≥ 0  m ≤ −2 3  g ( −1) < 0 - Nếu  ⇔ −2 3 < m < 2 5  g (1) < 0 Mà m nguyên nên m ∈ {−3; −2; −1;0;1; 2;3;4} . Ta có g ( 0 ) = −1; g (1) =

2 x + 12 x+4 . 2 ( 2x + 4)

4m +

Ta có g ′ ( x ) =

TH1: m ≥ 0 . Khi đó g ′ ( x ) > 0 ∀x ∈ [ −1;1] . Do đó hàm số g ( x ) đồng biến trên [ −1;1] . Mà g ( 0 ) = −1  g (1) > −1 . Do đó −1 < g (1) < 0 . Vậy 0 < min f ( x ) < 1 hay m ∈ {0;1; 2;3;4} [ −1;1]

thỏa mãn bài toán. TH2: m < 0 . Xét hàm số h ( x ) =

x+2 2 x + 12 trên [ −1;1] . Ta có h′ ( x ) = > 0 ∀x ∈ [ −1;1] . x+4 ( x + 4) x + 4

 10 14  Khi đó dễ thấy h ( x ) ∈  ; .  3 5 * Khi m = −1  4m + h ( x ) > 0 ∀x ∈ [ −1;1]  g ′ ( x ) > 0 ∀x ∈ [ −1;1] hay hàm số g ( x ) đồng biến trên [ −1;1] . Khi đó −1 < g (1) < 0 nên 0 < min f ( x ) < 1 . Vậy m = −1 thỏa mãn. [ −1;1]

* Khi m ∈ {−3; −2}  4m + h ( x ) < 0 ∀x ∈ [ −1;1]  g ′ ( x ) < 0 ∀x ∈ [ −1;1] hay hàm số g ( x ) nghịch biến trên [ −1;1] . Khi đó g ( −1) > g ( 0 )  −1 < g ( −1) < 0 nên 0 < min f ( x ) < 1 . Vậy [ −1;1]

m ∈ {−3; −2} thỏa mãn. Do đó m ∈ {−3; −2; −1;0;1; 2;3;4} hay có 8 giá trị nguyên của m .

Cách 2 Nhận thấy f ( x ) liên tục trên [ −1;1] nên tồn tại giá trị nhỏ nhất của f ( x ) trên đoạn [ −1;1] .  f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;1] Ta có  nên suy ra 0 ≤ min f ( x ) ≤ 1 . x∈[ −1;1]  f ( 0 ) = 1  min f ( x ) > 0 (1)  x∈[ −1;1] Vậy điều kiện 0 < min f ( x ) < 1 ⇔  . x∈[ −1;1] f ( x ) ≠ 1 (2)  xmin ∈[ −1;1]

 Ta có (1) ⇔ Phương trình mx − 2 x + 4 = 0 vô nghiệm trên [ −1;1] 2 x+4 vô nghiệm trên [ −1;1] \ {0} x 2 x+4 , ∀x ∈ [ −1;1] \ {0} Xét hàm số g ( x ) = x −x − 8 g / ( x) = 2 < 0, ∀x ∈ [ −1;1] \ {0} x x+4 Bảng biến thiên ⇔ Phương trình m =

Trang 12

Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phương trình

[ −1;1] \ {0} ⇔ −2

2 x+4 x

vô nghiệm trên

3 <m<2 5.

Do m nguyên nên m ∈ {−3; −2; −1; 0;1; 2;3; 4} .

 Để giải ( 2 ) trước hết ta đi tìm điều kiện để min f ( x ) = 1 . x∈[ −1;1]

Do f ( 0 ) = 1 nên min f ( x ) = f ( 0 ) , mà 0 ∈ ( −1;1) , suy ra x = 0 là điểm cực trị của hàm số x∈[ −1;1]

f ( x) .

mx − 2 x + 4 3  h / ( 0 ) = 0 ⇔ m = − . Do đó với m nguyên thì (2) chắc chắn xảy ra. 2x + 4 2 Vậy m ∈ {−3; −2; −1; 0;1; 2;3; 4} thỏa mãn điều kiện ( 2 ) Kết luận: Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Đặt h ( x ) =

Câu 20.

B. 4.

C. 15. Lời giải

D. 21.

Chọn A Xét hàm số g (x ) = x 3 − 12x + m (1 ≤ x ≤ 3) g '(x ) = 3x 2 − 12 = 0 ⇔ x = 2, x = −2 .

g(1) = m − 11, g(2) = m − 16, g(3) = m − 9 . Suy ra max f (x ) = { m − 16 ; m − 9 } . [1;3]

Giả sử m − 16 = 12 ⇔ m = 28, m = 4 thử lại ta thấy m = 4 nhận. Giả sử m − 9 = 12 ⇔ m = 21, m = −3 thử lại ta thấy m = 21 nhận. Vậy m = 4 và m = 21 .

Câu 21.

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi S0 là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = phần tử của S là A. 50 .

1 4 x − 14 x 2 + 48 x + m trên đoạn [ 2; 4] không vượt quá 30 . Số 4

B. 49 .

C. 66 . Lời giải

D. 73 .

Chọn B

1 4 x − 14 x 2 + 48 x + m . 4 f ′ ( x ) = x 3 − 28 x + 48

Xét hàm số f ( x ) =

Trang 13

 x = −6 ( ktm )  f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 4 ( tm ) .  x = 2 tm ( )  f ( 2 ) = m + 44; f ( 4 ) = m + 32 .

 min f ( x ) = m + 32; max f ( x ) = m + 4 . [2;4]

[ 2;4]

 max y = max { m + 44 ; m + 32 } . [ 2;4]

Để giá trị lớn nhất của hàm số y =

1 4 x − 14 x 2 + 48 x + m trên đoạn [ 2; 4] không vượt quá 30 thì 4

 −74 ≤ m ≤ −14  m + 44 ≤ 30 ⇔ ⇔ −62 ≤ m ≤ −14 .   −62 ≤ m ≤ −2  m + 32 ≤ 30

Câu 22.

(Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của ham số f ( x ) = e 2 x − 4e x + m trên đoạn [ 0;ln 4] bằng 6? A. 3 .

B. 4 .

C. 2 . Lời giải

D. 1.

Chọn C Đặt t = e x , vì x ∈ [ 0;ln 4]  t ∈ [1; 4] . Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( t ) = t 2 − 4t + m trên

đoạn [1; 4] bằng 6. Đặt s = t 2 − 4t , vì t ∈ [1; 4]  s ∈ [ −4;0] . Xét hàm số g ( s ) = s + m với s ∈ [ −4;0] suy ra hàm số g ( s ) đồng biến trên đoạn [ −4;0 ] . Khi đó giá trị nhỏ nhất của f ( s ) = s + m , s ∈ [ −4;0] chỉ đạt tại các đầu mút.

  m = 10 min f ( s ) = m − 4 = 6  [ −4;0] TH1:  ⇔   m = −2 ⇔ m = 10 thỏa mãn.  m > m − 4 m > m−4  m = 6 min f ( s ) = m = 6  [−4;0] TH2:  ⇔   m = −6 ⇔ m = −6 thỏa mãn.  m < m − 4 m > m−4  Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 23.

1 Xét hàm số g ( x ) = x3 − 9 x + m + 10 . Dễ thấy hàm số g ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;3] . 3 x = 3 Ta có g ′ ( x ) = x 2 − 9 ; g ′ ( x ) = 0 ⇔   x = −3 ∉ [ 0;3] Trang 14

Ta có g ( 0 ) = m + 10 ; g ( 3) = m − 8 .

 g ( 0 ) ≤ 12  m + 10 ≤ 12 Theo yêu cầu bài toán, max y = max g ( x ) ≤ 12 ⇔  ⇔ −4 ≤ m ≤ 2 ⇔ [0;3] [0;3]  m − 8 ≤ 12  g ( 3) ≤ 12 Mà m∈ ℤ nên m ∈ {−4; −3; −2; −1;0;1; 2} . Vậy tổng các phần tử của S là − 7 .

Câu 24.

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao 1 cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn [ 0; 2 ] không vượt quá 4 30 . Tổng tất cả các giá trị của S là B. 136 . C. 120 . D. 210 . A. 180 . Lời giải Chọn B

1 4 x − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn [ 0; 2 ] . 4

Xét u =

 x = −6 ∉ [ 0; 2]  u ′ = 0 ⇔ x − 28 x + 48 = 0 ⇔  x = 2 ∈ [ 0; 2] .  x = 4 ∉ [ 0; 2] 3

Khi đó max u = max {u (0), u ( 2 )} = max {m − 30, m + 14} = m + 14 . [0;2 ]

Suy ra Max y = max { m - 30 , m + 14 } . [0;2]

Trường hợp 1: Max y = m + 14 [ 0;2]

2 2 m≥8  88m ≥ 704   m + 14 ≥ m − 30  m + 14 ≥ m − 30 ⇔ ⇔ ⇔   −30 ≤ m + 14 ≤ 30  −44 ≤ m ≤ 16  −44 ≤ m ≤ 16  m + 14 ≤ 30

⇔ 8 ≤ m ≤ 16 , mà m∈ ℤ . ⇔ m ∈ {8;9;10;...;16} .

Trường hợp 2: Max y = m - 30 [0;2]

2 2 88m ≤ 704  m≤8  m − 30 ≥ m + 14  m + 14 ≤ m − 30 ⇔ ⇔ ⇔   −30 ≤ m − 30 ≤ 30 0 ≤ m ≤ 60 0 ≤ m ≤ 60  m − 30 ≤ 30

⇔ 0 ≤ m ≤ 8 , mà m∈ℤ . ⇔ m ∈ {0;1; 2;...;8} .

Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: 0 + 1 + 2 + ... + 16 = 136 .

Câu 25.

B. 5 .

C. 6 . Lời giải

D. 62 .

Chọn C Trang 15

Có max f ( x ) = 60 ⇔ f ( x ) ≤ 60, ∀x ∈ [ 0;3] và ∃x0 ∈ [ 0;3] sao cho f ( x0 ) = 60. [ 0;3]

Có f ( x ) ≤ 60 ⇔ 2 x 3 − 15 x + m − 5 + 9 x ≤ 60 ⇔ 2 x 3 − 15 x + m − 5 ≤ 60 − 9 x

⇔ 9 x − 60 ≤ 2 x3 − 15 x + m − 5 ≤ 60 − 9 x ⇔ −2 x3 + 24 x − 55 ≤ m ≤ −2 x3 + 6 x + 65, ∀x ∈ [ 0;3] . Có −2 x3 + 6 x + 65 ≥ 29, ∀x ∈ [ 0;3] nên m ≤ −2 x3 + 6 x + 65, ∀x ∈ [ 0;3] ⇔ m ≤ 29. Tương tự −2 x3 + 24 x − 55 ≤ −23 nên −2 x 3 + 24 x − 55 ≤ m, ∀x ∈ [ 0;3] ⇔ m ≥ −23. Vậy −23 ≤ m ≤ 29 thì f ( x ) ≤ 60, ∀x ∈ [ 0;3]. −2 x 3 + 24 x − 55 = m Để ∃x0 ∈ [ 0;3] sao cho f ( x0 ) = 60 thì  có nghiệm trên [ 0;3]. 3  −2 x + 6 x + 65 = m  m ≥ 29  m = 29 Hay  thì max f ( x ) = 60. . Vậy  [ 0;3]  m ≤ −23  m = −23 Khi đó tổng các giá trị của m là 29 − 23 = 6.

Câu 26.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 3x + m trên đoạn [ 0;2] bằng 3 . Số phần tử của S là A. 2.

B. 6.

C. 1. Lời giải

D. 0.

Chọn A  x = −1 ∉ [ 0; 2] Xét hàm số g ( x) = x 3 − 3 x + m , ta có g '( x) = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔  .  x = 1 ∈ [ 0; 2] g ( 0 ) = m , g (1) = m − 2 , g ( 2 ) = m + 2 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x + m bằng max của F = { m ; m − 2 ; m + 2 } m = 3 TH1: m = 3 ⇔  .  m = −3 Với m = 3  F = {3;1;5} loại vì max bằng 5. Với m = −3  F = {3;5;1} loại vì max bằng 5. m = 5 TH2: m − 2 = 3 ⇔  .  m = −1 Với m = 5  F = {5;3; 7} loại vì max bằng 7. Với m = −1  F = {1;3;1} có max bẳng 3. Chọn m = − 1. m = 1 TH3: m + 2 = 3 ⇔  .  m = −5 Với m = 1  F = {1;1;3} có max bằng 3. Chọn m = 1. Với m = −5  F = {5; 7;3} loại vì max bẳng 7. Vậy S = {−1;1}  có 2 giá trị m thoả mãn yêu cầu đề bài.

Câu 27.

là? A. 2 .

Chọn A

Trang 16

B. 3 .

C. 5 . Lời giải

[−1;2]

D. 1.

x = 0  1 Đặt g ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m  g ′ ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 2 x = 0 ⇔  x = 2  x =1 

Bảng biến thiên của hàm g ( x )

Dựa vào bảng biến thiên của g ( x ) ta suy ra bảng biến thiên của f ( x ) = g ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m . Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: m ≥ 0 . Bảng biến thiên của f ( x ) = g ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 + m

Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ m + m + 4 = 10 ⇔ m = 3 (TM) [−1;2]

[−1;2]

1 1 Trường hợp 2: m < 0 < m + ⇔ − < m < 0 . Bảng biến thiên: 16 16

Dựa vào bảng biến thiên ta có min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ 0 + m + 4 = 10 ⇔ m = 6 (Loại) [ −1;2]

[ −1;2]

1 1 = 0 ⇔ m = − . Tương tự ta có: 16 16 min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ 0 + m + 4 = 10 ⇔ m = 6 (Loại)

Trường hợp 3: m + [ −1;2]

[ −1;2]

Trường hợp 4: m +

1 1 < 0 < m + 4 ⇔ −4 < m < − . Bảng biến thiên: 16 16

Trang 17

 min f ( x ) + max f ( x ) = 10  0 + m + 4 = 10 [ −1;2] m = 6 [ −1;2]  Dụa vào bảng biến thiên ta có (Loại) ⇔ ⇔  min f ( x ) + max f ( x ) = 10 0 + ( −m ) = 10 m = −10    [ −1;2] [ −1;2] Trường hợp 5: m + 4 = 0 ⇔ m = −4 . Ta có: min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ 0 − m = 10 ⇔ m = −10 (Loại) [ −1;2]

[ −1;2]

Trường hợp 6: m + 4 < 0 ⇔ m < −4 . Ta có: min f ( x ) + max f ( x ) = 10 ⇔ − m − m − 4 = 10 ⇔ m = −7 (Thỏa mãn) [ −1;2]

[ −1;2]

Vậy m ∈ {−7;3} .

Câu 28.

(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f ( x) =

2mx − 2 4 x + 8 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −1;1] là a thỏa mãn 0 < a < 1. x+2

A. 3.

B. 4.

C. 5. Lời giải

D. 2.

Chọn D. Đặt t = x + 2, x ∈ [ −1;1]  t ∈ 1; 3  ; x = t 2 − 2. 2mt 2 − 4 t − 4m Hàm số đã cho trở thành g (t ) = . t 2mt 2 − 4 t − 4m trên đoạn 1; 3  . t 2m(t 2 + 2) Ta có h '(t ) = t2 Th1: m = 0 thì h(t ) = −4  g (t ) = 4∀t ∈ 1; 3   a = 4 (loại). Th2: m ≠ 0 thì hàm số h(t ) đồng biến hoặc nghịch biến trên 1; 3  2m − 4 3 Ta có h(1) = −2m − 4; h( 3) = . 3  m ≤ −2 Nếu h(1).h( 3) ≤ 0 ⇔  và hàm số h(t ) liên tục trên đoạn 1; 3  suy ra đồ thị hàm số m ≥ 2 3 Xét hàm h(t ) =

h(t ) trên đoạn 1; 3  cắt trục hoành  a = 0 (loại).

Nếu h(1).h( 3) > 0 ⇔ −2 < m < 2 3 . Khi đó, h(1) < 0; h

a=

Trang 18

2m − 4 3 3

( 3) < 0

m = 3 . Suy ra  là các giá trị nguyên dương để 0 < a < 1 . m = 4

Câu 29.

1 . 3

4052 . 3

8 . 3

4051 . 3

Lời giải Chọn D

(

x = 0  x = ±1

)

Xét hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 3m , ta có f ′ ( x ) = 4 x 3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 f ′ ( x ) = 0 ⇔  Bảng biến thiên của hàm số trên [ −1;2] :

Vì min y = 2021  phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm thuộc [ −1;2] . [ −1;2]

1 2022 . Ta có min y = 3m − 1 = 3m − 1 = 2021 ⇔ m = [ −1;2] 3 3 8 Trường hợp 2 : 3m + 8 < 0 ⇔ m < − . Ta có 3 2029 min y = 3m + 8 = −3m − 8 = 2021 ⇔ m = − . [ −1;2] 3 2022 2029 4051 + = Vậy m1 − m2 = . 3 3 3 Trường hợp 1 : 3m − 1 > 0 ⇔ m >

Câu 30.

(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x 2 + m + 1 ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn

[ −2020;2020]

sao cho

max f ( x ) ≤ 3 min f ( x ) . Số phần tử của S là [1;4]

[1;4]

A. 4003 .

B. 4002 .

C. 4004 . Lời giải

D. 4001 .

Chọn B Xét hàm số y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + m + 1  y′ = f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x .  x = 0(l ) . f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇔  x = 2 

f (1) = m − 1; f ( 2 ) = m − 3; f ( 4 ) = 17 + m .

max f ( x ) = m + 17; min f ( x ) = m − 3 . [1;4]

[1;4]

+Nếu m − 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 3 thì max f ( x ) = m + 17 , min f ( x ) = m − 3 . Khi đó: [1;4]

[1;4]

max f ( x ) ≤ 3min f ( x ) ⇔ 17 + m ≤ 3 ( m − 3) ⇔ m ≥ 13 . [1;4]

[1;4]

+Nếu m + 17 ≤ 0 ⇔ m ≤ −17 thì max f ( x ) = − m + 3 , min f ( x ) = −17 − m . [1;4]

[1;4]

Trang 19

Khi đó: max f ( x ) ≤ 3min f ( x ) ⇔ −m + 3 ≤ 3 ( −17 − m ) ⇔ m ≤ −27 . 1;4 1;4 [ ]

[ ]

+Nếu ( m − 3)( m + 17 ) < 0 ⇔ −17 < m < 3 thì

max f ( x ) = max { m + 17 , m − 3 } = max {m + 17,3 − m} > 0;min f ( x ) = 0 . [1;4]

[1;4]

Khi đó, không thỏa điều kiện max f ( x ) ≤ 3 min f ( x ) . [1;4]

[1;4]

 m ≤ −27 Do đó:  kết hợp với m ∈ [ −2020;2020] ta có m∈ [ −2020; −27] ∪ [13;2020]  m ≥ 13 Vậy 4002 giá trị nguyên của m cần tìm.

x + 2m ( m là tham số). Gọi S là x+2 tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho max f ( x ) + min f ( x ) = 2 . Số phần tử của S bằng

Câu 31. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hàm số f ( x ) = [1;3]

[1;3]

A. 1.

B. 0.

C. 2 . Lời giải

D. 3 .

Chọn C Ta có f ′ ( x ) = N ếu m = 1 

2 − 2m 2

, ∀x ≠ −2 .

( x + 2) f ( x ) = 1, ∀x ≠ −2 , khi đó max f ( x ) [1;3]

= min f ( x ) = 1 [1;3]

1 + 2m 3 + 2m + . 3 5

Nếu m ≠ 1 ta có f ( x ) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1;3] , f (1) = +) Nếu f (1) . f ( 3) ≤ 0 ⇔ −

1 + 2m 3 + 2m , f ( 3) = . 3 5

3 1 ≤ m ≤ − thì min f ( x ) = 0, max f ( x ) = f (1) hoặc [1;3] [1;3] 2 2

 1 + 2m   3 =2 m = ⇔ max f ( x ) = f ( 3) . Do đó max f ( x ) + min f ( x ) = 2 ⇔  [1;3] [1;3] [1;3]  3 + 2m m = =2  5  

5 7 ,m = − 2 2 7 13 ,m = − 2 2

Kết hợp điều kiện xét thì không có giá trị m . 1  m > − 2 +) Nếu f (1) . f ( 3) > 0 ⇔  thì min f ( x ) + max f ( x ) = f (1) + f ( 3) [1;3] [1;3] m < − 3  2

1 + 2m 3 + 2m 1 + 2m 3 + 2 m + + =2 . Do đó max f ( x ) + min f ( x ) = 2 ⇔ 1;3 [ ] [1;3] 3 5 3 5

3    m < − 2    1 + 2 m + 3 + 2 m = −2 11   3 m=− 5  . ⇔ ⇔ 4   m > − 1  m = 1 ( lo¹i do m ≠ 1)  2   1 + 2m 3 + 2 m  + =2 5   3 Trang 20

Vậy S có hai phần tử m = 1, m = −

11 . 4

Câu 32. (Sở Tuyên Quang - 2021) Cho hàm số f ( x ) = 2 x 2 + ( a + 4) x + b + 3 . Đặt M = max f ( x) . Khi [ −2;3]

M đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức T = a + 4b là A. −42 . B. −41 . C. 41 . Lời giải Chọn B

D. 42 .

Đặt g ( x) = 2 x 2 + (a + 4) x + b + 3  g ′( x) = 4 x + a + 4 .

a g ′( x) = 0  x = −1 − . 4 a (a + 4) 2  g (−2) = −2a + b + 3 ; g (3) = 3a + b + 33 ; g  −1 −  = b + 3 − . 4 8   (a + 4) 2  M = max  −2a + b + 3 ; 3a + b + 33 ; b + 3 − 8 

  

(a + 4) 2   = max  −2a + b + 3 ; 3a + b + 33 ; −b−3. 8  

1 1 3   M ≥ −a + b +  2 2 2  M ≥ −2 a + b + 3 3 1 33   1 Ta có  M ≥ 3a + b + 33   M ≥ a+ b+ 2 2 2  2 2 2  M ≥ ( a + 4) − b − 3  ( a + 4)  M ≥ −b−3 8 8 

1 3 3 1 33 (a + 4) 2  2 M ≥ −a + b + + a + b + + −b −3 2 2 2 2 2 8 1 3 3 1 33 (a + 4) 2 1 3 25 25 ≥ −a + b + + a + b + + − b − 3 = a 2 + a + 17 ≥ M ≥ . 2 2 2 2 2 8 8 2 2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  ( a + 4) 2 25 a = −6 −b−3 =  −2a + b + 3 = 3a + b + 33 =  8 4   35  a = −6 b = − 4 

được, tính a + 2b . A. 5 .

B. −5 .

C. −4 . Lời giải

D. 4 . Trang 21

Chọn C  M ≥ −a + b + 1  M ≥ f ( −1)   Theo bài ra, ta có:  M ≥ f ( 3) ⇔  M ≥ 3a + b + 9 .    M ≥ f (1) 2 M ≥ 2 a + b + 1 = −2a − 2b − 2 Suy ra: 4 M ≥ − a + b + 1 + 3a + b + 9 + −2a − 2b − 2 ≥ − a + b + 1 + 3a + b + 9 − 2 a − 2b − 2 ⇔ 4M ≥ 8 ⇔ M ≥ 2 .

Điều kiện cần để M = 2 là − a + b + 1 = 3a + b + 9 = − a − b − 1 = 2 và − a + b + 1 , 3a + b + 9 ,  − a + b + 1 = 3a + b + 9 = −a − b − 1 = 2 a = −2 . − a − b − 1 cùng dấu ⇔  ⇔  − a + b + 1 = 3a + b + 9 = −a − b − 1 = −2 b = −1 a = −2 thì f ( x ) = x 2 − 2 x − 1 . Ngược lại, với  b = − 1  Xét hàm số g ( x ) = x 2 − 2 x − 1 trên đoạn [ −1;3] . Ta có: g ′ ( x ) = 2 x − 2 ; g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ∈ [ −1;3] . Do M là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −1;3] nên

{

}

M = max g ( −1) ; g ( 3) ; g (1) = 2 . a = −2 Từ đó suy ra với  thỏa mãn yêu cầu bài toán. b = −1 Vậy a + 2b = −4 .

Câu 34. (Trung Tâm Thanh Tường -2021) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 15 x + 2m + 12 x − m . Giá trị nhỏ nhất của M = max f ( x ) bằng [ −2;3]

A. 36 .

B. 9 .

C. 25 . Lời giải

D. 27 .

Chọn B Đặt a = max f ( x ) [ −2;3]

Ta có f ( x ) ≤ a, ∀x ∈ [ −2;3] và điều kiện a + m − 12 x ≥ 0, ∀x ∈ [ −2;3]

⇔ x3 − 15 x + 2m + 12 x − m ≤ a, ∀x ∈ [ −2;3] ⇔ x3 − 15 x + 2m ≤ a + m − 12 x, ∀x ∈ [ −2;3] ⇔ − a − m + 12 x ≤ x 3 − 15 x + 2m ≤ a + m − 12 x, ∀x ∈ [ −2;3]  a ≥ − x 3 + 27 x − 3m  ⇔ a ≥ x3 − 3x + m , ∀x ∈ [ −2;3]  a ≥ − m + 12 x 

( *)

Xét hàm g ( x ) = − x 3 + 27 x − 3m trên đoạn [ −2;3] Ta có g ' ( x ) = −3 x 2 + 27 BBT của hàm g ( x )

Trang 22

Xét hàm h ( x ) = x 3 − 3 x + m trên đoạn [ −2;3] Ta có h ' ( x ) = 3 x 2 − 3 BBT của hàm h ( x )

a ≥ 54 − 3m  Hệ (*) ⇔ a ≥ m + 18 a ≥ 36 − m   m + 18 ≤ 54 − 3m  4m ≤ 36 ⇔ ⇔m≤9  m + 18 ≤ 36 − m  2m ≤ 18

Trường hợp 1: min a = m + 18 nếu 

36 − m ≤ 54 − 3m  2m ≤ 18 ⇔ ⇔m=9 36 − m ≤ m + 18  2m ≥ 18

Trường hợp 2: min a = 36 − m nếu 

54 − 3m ≤ 36 − m m ≥ 9 ⇔ ⇔m≥9 54 − 3m ≤ m + 18 m ≥ 9

Trường hợp 3: min a = 54 − 3m nếu 

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = max f ( x ) bằng 27 [ −2;3]

Dạng 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp Câu 1.

(Đề Minh Họa 2021) Cho hàm số f ( x ) , đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong trong hình bên.

Trang 23

 3  Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − 4 x trên đoạn  − ; 2 bằng  2  A. f ( 0 ) .

B. f ( −3) + 6 .

C. f ( 2 ) − 4 .

D. f ( 4 ) − 8 .

Lời giải Chọn C

Ta có: g ′ ( x ) = 2 f ′ ( 2 x ) − 4 .

3   2 x = x1 < −3  x = x1 < − 2 2 x = 0  g′ ( x) = 0 ⇔ 2 f ′ ( 2x) − 4 = 0 ⇔ f ′ ( 2x) = 2 ⇔  ⇔ x=0  2x = 2  x =1   = > 2 x x 4  2  x2 > 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) :

Trang 24

 3  Từ bảng biến thiên ta có: trên  − ; 2  hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − 4 x đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 và  2  max y = f ( 2 ) − 4 .  3   − 2 ;1

Câu 2.

Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ , đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1;2] là

A. f (1) .

B. f ( −1) .

C. f ( 2 ) .

D. f ( 0 ) .

Lời giải  x = −1 f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .  x = 2 Từ đồ thị hàm y = f ′ ( x) ta có bảng biến thiên

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên [−1;2] là f (1) .

Câu 3.

Trang 25

A. f ( 2 ) ; f ( 5 ) . Dựa vào đồ thị hàm số

B. f ( 0 ) ; f ( 5 ) . f ′( x)

C. f ( 2 ) ; f ( 0 ) . Lời giải

D. f (1) ; f ( 5 ) .

ta có bảng biến thiên.

 min f ( x ) = f ( 2 )  Khi đó:  [0;5] ,  f ( 3) > f ( 2 ) mà f ( 0 ) + f ( 3 ) = f ( 2 ) + f ( 5 )  f ( 0 ) + f ( 2 ) < f ( 2 ) + f ( 5 )  f ( 0 ) < f ( 5 ) . Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f ( x ) trên đoạn [ 0;5] lần lượt là: f ( 2 ) ; f ( 5 ) .

Câu 4.

A. m = f ( 5 ) , M = f ( 3 ) B. m = f ( 5 ) , M = f (1) C. m = f ( 0 ) , M = f ( 3) D. m = f (1) , M = f ( 3 ) Lời giải Chọn A Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của f ( x ) trên đoạn [ 0; 5 ]

 M = f ( 3 ) và f (1) < f ( 3 ) , f ( 4 ) < f ( 3 ) f ( 5 ) − f ( 0 ) = f (1) − f ( 3 ) + f ( 4 ) − f ( 3 ) < 0  f ( 5 ) < f ( 0 )  m = f ( 5 ) . Trang 26

Câu 5.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

1 1 g ( x ) = f ( 4 x − x 2 ) + x3 − 3x 2 + 8 x + trên đoạn [1;3] . 3 3

19 . D. 12. 3 Lời giải 2 2 2 g ′ ( x ) = ( 4 − 2 x ) f ′ ( 4 x − x ) + x − 6 x + 8 = ( 2 − x )  2 f ′ ( 4 x − x ) + 4 − x  . Với x ∈ [1;3] thì 4 − x > 0 ; 3 ≤ 4 x − x 2 ≤ 4 nên f ′ ( 4 x − x 2 ) > 0 . A. 15.

25 . 3

Suy ra 2 f ′ ( 4 x − x 2 ) + 4 − x > 0 , ∀x ∈ [1;3] . Bảng biến thiên

Suy ra max g ( x ) = g ( 2 ) = f ( 4 ) + 7 = 12 . [1;3]

Câu 6.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Đặt 2

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề dưới đây đúng.

A. max g ( x ) = g ( 3) .

B. min g ( x ) = g (1) . [ −3;3]

[−3;3]

C. max g ( x ) = g ( 0 ) . D. max g ( x ) = g (1) . [ −3;3]

[−3;3]

Lời giải Chọn D 2

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1)  g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x + 1) Dựa vào đồ thị ta thấy  x = −3 g′( x) = 0 ⇔ f ′( x) = x +1 ⇔ x = 1   x = 3 Và với x ∈ ( −∞; −3 ) : f ′ ( x ) < x + 1  g ′ ( x ) < 0 với x ∈ ( −3;1) : f ′ ( x ) > x + 1  g ′ ( x ) > 0 , với x ∈ (1;3 ) : f ′ ( x ) < x + 1  g ′ ( x ) < 0 Trang 27

với x ∈ ( 3; +∞ ) : f ′ ( x ) > x + 1  g ′ ( x ) > 0 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g ( x ) = g (1) . [ −3;3]

Câu 7.

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên ℝ . Biết f ′ ( 0 ) = 3 , f ′ ( 2 ) = −2018 và bảng xét dấu của f ′′ ( x ) như sau:

Hàm số y = f ( x + 2017 ) + 2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( −∞; − 2017 )

B. ( 2017; +∞ )

C. ( 0; 2 ) D. ( −2017; 0 ) Lời giải Dựa vào bảng xét dấu của f ′′ ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm sồ f ′ ( x )

Đặt t = x + 2017 . Ta có y = f ( x + 2017 ) + 2018 x = f ( t ) + 2018t − 2017.2018 = g ( t ) . g ′ ( t ) = f ′ ( t ) + 2018 .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ′ ( x ) suy ra phương trình g ′ ( t ) có một nghiệm đơn

α ∈ ( −∞;0 ) và một nghiệm kép t = 2 . Ta có bảng biến thiên g ( t ) Hàm số g ( t ) đạt giá trị nhỏ nhất tại t0 = α ∈ ( −∞;0 ) . Suy ra hàm số y = f ( x + 2017 ) + 2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 mà x0 + 2017 ∈ ( −∞;0 ) ⇔ x0 ∈ ( −∞; −2017 ) .

Câu 8.

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ dưới đây:

Trang 28

Biết rằng f ( −1) + f ( 0 ) < f (1) + f ( 2 ) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1; 2 ] lần lượt là:

A. f (1) ; f ( 2 ) .

B. f ( 2 ) ; f ( 0 ) .

C. f ( 0 ) ; f ( 2 ) .

D. f (1) ; f ( −1) .

Lời giải Từ đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −1; 2 ] như sau

Nhận thấy min f ( x ) = f (1)  [−1;2] .

 Để tìm max f ( x ) ta so sánh [ −1;2]

f ( −1)

và

f ( 2)

Theo giả thiết, f ( −1) + f ( 0 ) < f (1) + f ( 2 ) ⇔ f ( 2 ) − f ( −1) > f ( 0 ) − f (1) . Từ bảng biến thiên, ta có f ( 0 ) − f (1) > 0 . Do đó f ( 2 ) − f ( −1) > 0 ⇔ f ( 2 ) > f ( −1) . Hay max f ( x ) = f ( 2 ) . [ −1;2]

Câu 9.

 7 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn 0;  có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ.  2

Trang 29

 7 Hàm số y = f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;  tại điểm x0 nào dưới đây?  2 7 A. x0 = 0 . B. x0 = . C. x0 = 1 . D. x0 = 3 . 2 Lời giải Chọn D  7 Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên trên đoạn 0;  như sau:  2

Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 = 3 .

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm y = f ′ ( x ) như hình vẽ

Đặt h ( x ) = 3 f ( x ) − x 3 + 3 x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. max h( x) = 3 f (1) . [ − 3; 3]

C. max h( x ) = 3 f [ − 3; 3 ]

(

)

B. max h( x ) = 3 f − 3 . [ − 3; 3 ]

( 3 ) . D. max h( x) = 3 f ( 0) . [ − 3; 3]

Lời giải Chọn B Ta có: h′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 3x 2 + 3 ⇔ h′ ( x ) = 3  f ′ ( x ) − x 2 − 1  . Đồ thị hàm số y = x 2 − 1 là một parabol có toạ độ đỉnh C ( 0; − 1) , đi qua A − 3 ; 2 , B

(

)

(

Trang 30

) (

)

3;2 .

Từ đồ thị hai hàm số y = f ′ (x ) và y = x 2 − 1 ta có bảng biến thiên của hàm số y = h ( x ) .

(

)

(

) ( 3) = 3 f ( 3) .

V ới h − 3 = 3 f − 3 , h

(

)

Vậy max h(x ) = 3 f − 3 . [− 3; 3 ]

Câu 11. Cho

hàm

số

y = f ( x)

có

đồ

y = f ′( x)

thị

ở

hình

vẽ

bên.

Xét

hàm

số

1 3 3 g ( x ) = f ( x ) − x3 − x 2 + x + 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 4 2

g ( −3) + g (1)

A. min g ( x ) = g ( −1) .

B. min g ( x ) =

C. min g ( x ) = g ( −3) .

D. min g ( x ) = g (1) .

[ −3;1] [ −3;1]

[ −3;1]

[−3;1]

Lời giải Chọn A

3 3 3 3  x + = f ′ ( x ) −  x2 + x −  . 2 2 2 2  3 3 Vẽ parabol ( P ) : y = x 2 + x − . Ta thấy ( P ) đi qua các điểm có toạ độ ( −3;3) , ( −1; 2 ) , (1;1) . 2 2 Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x 2 −

Trang 31

 Trên khoảng ( −3; −1) đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía dưới ( P ) nên 3 3  f ′ ( x ) <  x2 + x −   g ′ ( x ) < 0 . 2 2   Trên khoảng ( −1;1) đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía trên ( P ) nên 3 3  f ′ ( x ) >  x2 + x −   g ′ ( x ) > 0 . 2 2   Trên khoảng (1; +∞ ) đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía dưới ( P ) nên 3 3  f ′ ( x ) <  x2 + x −   g ′ ( x ) < 0 . 2 2  Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có min g ( x ) = g ( −1) . [ −3;1]

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình sau:

C. 4. Lời giải

Chọn D Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta thấy:

 x = −1 f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 1  x = 4 f ' ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; 4 )

f ' ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1;1) ∪ ( 4; +∞ ) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )

Trang 32

D. 2.

Dựa vào bảng biến thiên đáp án đúng là mệnh đề số 3 và 4

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 1 g ( x ) = f (4 x − x 2 ) + x3 − 3x 2 + 8 x + trên đoạn [1;3]. 3 3

25 . 3

B. 15.

19 . 3

D. 12.

Lời giải Chọn D 4− x  Ta có g ′ ( x ) = f ′ (4 x − x 2 ).(4 − 2 x) + x 2 − 6 x + 8 = 2 (2 − x )  f ′(4 x − x 2 ) +  

 2 

Xét thấy ∀x ∈ [1;3]⇒ 3 ≤ 4 x − x2 ≤ 4 ⇒ f ′(4 x − x 2 ) > 0 4− x > 0 ∀x ∈ [1;3] 2 Suy ra g ′ ( x) = 0 ⇔ x = 2

Mặt khác

19 17 17 32 < f (4) + = 5 + = 3 3 3 3 19 19 19 34 g (3) = f (3) + < f (4) + = 5 + = 3 3 3 3 g (2) = 5 + 7 = 12. g (1) = f (3) +

⇒ g (1) < g (3) < g (2)

g ( x) = 12 tại x = 2. Vậy max 1;3 [ ]

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất 2 của hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − sin x trên đoạn [ −1;1] là

A. f ( −1) .

B. f ( 0 ) .

C. f ( 2 ) .

D. f (1) .

Lời giải Chọn B Ta có x ∈ [ −1;1]  2 x ∈ [ −2; 2] . Từ bảng biến thiên của y = f ' ( x ) thì bảng biến thiên y = f ( x ) như sau: Trang 33

 f ( 2 x ) ≤ f ( 0 )

Ta thấy ∀x ∈ [ −1;1] ta có 

2 − sin x ≤ 0 = sin ( 0 )

, do đó g ( x ) ≤ g ( 0 ) = f ( 0 ) .

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 .

Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ sao cho max f ( x ) = 3 . Xét hàm số g ( x ) = f ( 3x − 1) + m . [ −1;2]

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để max g ( x ) = −10 . [0;1]

A. 13 .

C. −13 .

B. −7 .

D. −1 .

Lời giải Chọn C Đặt u = 3 x − 1  g ( x ) = f ( u ) + m .

x ∈ [ 0;1]  u ∈ [ −1;2] . Do f ( x ) liên tục trên ℝ nên max g ( x ) = max ( f ( u ) + m ) = max f ( u ) + m = 3 + m . [ 0;1]

[ −1;2]

Để max g ( x ) = 10 ⇔ m = −13 . [0;1]

Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên ℝ , hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

 sin x + 3 cos x  Giá trị lớn nhất của hàm số y = f   trên đoạn 2    π  5π  A. f  −  . B. f ( 0 ) . C. f  − .  3  6  Lời giải Chọn A sin x + 3 cos x π  Đặt t = = sin  x +  . 2 3  π  π π  5π π  Vì x ∈  − ;   x + ∈  − ;   t ∈ [ −1;1] . 3  2 2  6 6 Dựa vào đồ thị của hàm số f ′ ( x ) , ta có bảng biến thiên

Trang 34

 5π π   − 6 ; 6  bằng π  D. f   . 6

 sin x + 3 cos x  π π  = f t ⇔ t = 0 ⇔ sin x + = 0 ⇔ x = − max . Ta có: max f  ( )     −1;1  5π π  2 3 3    [ ]  − 6 ; 6   sin x + 3 cos x   π Vậy max f   = f  −  .  5π π  2  3   − 6 ; 6    Câu 17. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ sao cho

max f ( x ) = f ( 2 ) = 4 . Xét hàm số

x∈[ 0;10]

g ( x ) = f ( x 3 + x ) − x 2 + 2 x + m . Giá trị của tham số m để max g ( x ) = 8 là x∈[ 0;2]

B. 4 .

A. 5 .

C. −1 . Lời giải

D. 3 .

Chọn D Đặt t = x 3 + x . Vì x ∈ [ 0; 2]  t ∈ [ 0;10] . Ta có: max g ( x ) = max  f ( x3 + x ) − x 2 + 2 x + m  ≤ max f ( x 3 + x ) + max  − x 2 + 2 x + m  x∈[0;2 ]

x∈[0;2]

x∈[ 0;2]

= max f ( t ) + 1 + m (với t = x 3 + x và max  − x 2 + 2 x + m  = 1 + m ). t∈[ 0;10 ] x∈[ 0;2] ≤ max f ( x ) + 1 + m = 4 + 1 + m = 5 + m . x∈[ 0;10]

x = 1 Suy ra: max g ( x ) = 5 + m ⇔  ⇔ x = 1. x∈[0;2] t = 2 Theo giả thiết, ta có: max g ( x ) = 8 ⇔ m + 5 = 8 ⇔ m = 3 . x∈[0;2]

Câu 18. Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) , g ′ ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và g ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng

f ( 0 ) − f ( 6 ) < g ( 0 ) − g ( 6 ) . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ 0; 6 ] lần lượt là:

A. h ( 6 ) , h ( 2 ) .

B. h ( 2 ) , h ( 6 ) .

C. h ( 0 ) , h ( 2 ) .

D. h ( 2 ) , h ( 0 ) .

Lời giải Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) . Trang 35

h′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Và f ( 0 ) − f ( 6 ) < g ( 0 ) − g ( 6 ) ⇔ f ( 0 ) − g ( 0 ) < f ( 6 ) − g ( 6 ) . Hay h ( 0 ) < h ( 6 ) . Vậy max h ( x ) = h ( 6 ) ; min h ( x ) = h ( 2 ) . [0;6]

Câu 19.

[0;6]

(Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ

 8x   + m − 1 có giá trị 2  x +1

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f  lớn nhất không vượt quá 2020 ? A. 4029 . B. 4035 .

C. 4031 . Lời giải

D. 4041 .

Chọn C Đặt t =

8x − 8x2 + 8 ′ . Ta có: ; t ′ = 0 ⇔ x = ±1 . t = 2 x2 + 1 ( x 2 + 1)

BBT:

 t ∈ [ − 4;4] .  8x   + m − 1 trở thành g ( t ) = f ( t ) + m − 1 , t ∈ [ − 4;4] . 2  x +1 Đặt h ( t ) = f ( t ) + m − 1, t ∈ [ − 4; 4] , ta có: h′ ( t ) = f ′ ( t ) . Hàm số y = f 

Trang 36

t = − 4 ∈ [ − 4;4]  h′ ( t ) = 0 ⇔ f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = − 2 ∈ [ − 4;4] .  t = 2 ∈ [ − 4; 4] Ta có: h ( − 4 ) ≈ 0,8 + m − 1 = m − 0, 2 ; h ( 4) = 6 + m − 1 = m + 5 ; h ( − 2 ) ≈ 1, 6 + m − 1 = m + 0, 6 ; h ( 2) = − 4 + m − 1 = m − 5 . Max y = Max h ( t ) = Max { m + 5 ; m − 5 } . ℝ

[ − 4;4]

Yêu

cầu

bài

toán

 m + 5 ≤ 2020  −2020 ≤ m + 5 ≤ 2020  − 2025 ≤ m ≤ 2015 ⇔ ⇔ ⇔  −2020 ≤ m − 5 ≤ 2020  − 2015 ≤ m ≤ 2025  m − 5 ≤ 2020 ⇔ −2015 ≤ m ≤ 2015 . Vậy có tất cả 4031 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 20.

(Sở Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình bên. 2

Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1) .

Khi đó y = g ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −3;3] tại

A. x = −3 .

B. x = 3 .

C. x = 0 . Lời giải.

D. x = 1 .

Chọn A 2 Ta có g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1)  g ′ ( x ) = 2 ( f ′ ( x ) − ( x − 1) ) . Vẽ đồ thị hàm số y = x − 1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) .

Trang 37

Dựa vào đồ thị ta thấy +

−3

 g ′ ( x ) dx > 0  g (1) > g ( −3) ;  g ′ ( x ) dx < 0  g (1) > g ( 3) . Do đó y = g ( x ) đạt giá trị nhỏ

nhất trên đoạn [ −3;3] tại x = 3 hoặc x = −3 . + Phần hình phẳng giới hạn bởi y = f ′ ( x ) ; y = x − 1; x = −3; x = 1 có diện tích lớn hơn phần hình 1

phẳng giới hạn bởi y = f ′ ( x ) ; y = x − 1; x = 1; x = 3 nên



g ′ ( x ) dx >  g ′ ( x ) dx  g ( 3) > g ( −3) .

−3

Vậy y = g ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −3;3] tại x = −3 .

Câu 21.

(Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hàm số f ( x ) . Biết hàm số f ′ ( x ) có đồ thị như hình dưới đây. 2

Trên [ −4;3] , hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + (1 − x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. x = −3 .

B. x = −4 .

C. x = 3 . Lời giải

D. x = −1 .

Chọn D 2 Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + (1 − x ) trên [ −4;3] . Ta có: g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 (1 − x ) .

g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 1 − x . Trên đồ thị hàm số f ′ ( x ) ta vẽ thêm đường thẳng y = 1 − x .

Trang 38

 x = −4 Từ đồ thị ta thấy f ′ ( x ) = 1 − x ⇔  x = −1 .   x = 3 Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) như sau:

Vậy min g ( x ) = g ( −1) ⇔ x = −1 . [ −4;3]

Câu 22.

(Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên ℝ . Biết

f ′ ( 0 ) = 3, f ′ ( 2 ) = f ′ ( −2018 ) = 0 , và bảng xét dấu của f ′′ ( x ) như sau

Hàm số y = f ( x − 1 − 2018 ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( −∞; −2015) .

B. (1;3) .

C. ( −1009; 2 ) .

D. ( −2015;1) .

Lời giải. Chọn C Từ bảng xét dấu của f ′′ ( x ) và giả thiết f ′ ( 0 ) = 3, f ′ ( 2 ) = f ′ ( −2018 ) = 0 suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f ′ ( x ) như sau

Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) :

Hàm

số

y = f ( x − 1 − 2018 )

đạt

giá

trị

nhỏ

nhất

khi

và

chỉ

khi

x − 1 − 2018 = −2018 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1∈ ( −1009; 2 ) . Câu 23.

(THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên ℝ . Biết Trang 39

f ′ ( 0 ) = 3 , f ′ ( 2 ) = −2020 , lim f ′ ( x ) = −∞ và bảng xét dấu của f ′′ ( x ) như hình sau: x →−∞

Hàm số y = f ( x + 2019 ) + 2020 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( −∞; −2019 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( −2019;0 ) .

D. ( 2019; +∞ ) .

Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có

Ta có y′ = f ′ ( x + 2019 ) + 2020  y′ = 0 ⇔ f ′ ( x + 2019 ) = −2020 .  x + 2019 = a  x = a − 2019 Từ bảng biến thiên trên ta có y′ = 0 ⇔  ⇔ , với a < 0 .  x + 2019 = 2  x = −2017 Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x + 2019 ) + 2020 x

Từ bảng biến thiên có hàm số y = f ( x + 2019 ) + 2020 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 = a − 2019 . Vì a < 0 nên x0 ∈ ( −∞; −2019 ) .

hàm số f ( x ) trên đoạn [1; 4 ] .

A. max f ( x ) = 9 . [1;4]

B. max f ( x ) = 23 . [1;4]

C. max f ( x ) = 11 . [1;4]

Lời giải Chọn C Ta có: f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2ax + b; g ′ ( x ) = 1 − Xét g ′ ( x ) = 0 ⇔ 1 −

8 =0⇔ x=2 x3

Ta có: g (1) = 5; g ( 2 ) = 3; g ( 4 ) =

Trang 40

8 x3

17  min g ( x ) = 3 tại x = 2 . [1;4] 4

D. max f ( x ) = 19 . [1;4]

 f ′ ( 2) = 0 12 + 4a + b = 0  a = −6   2a    − = 2 ⇔  a = −6 ⇔ b = 12  6 8 + 4a + 2b + c = 3 c = −5    f ( 2 ) = 3 2

Khi đó, f ′ ( x ) = 3x 2 − 12 x + 12 = 3 ( x − 4 ) ≥ 0

 f ( x ) đồng biến trên ℝ  max f ( x ) = f ( 4 ) = 11 . [1;4]

Câu 25. (THPT PTNK Cơ sở 2 - TP.HCM - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên trên đoạn [ −4; 4] như sau:

Có bao nhiêu giá trị của tham số

(

để giá trị lớn nhất của hàm số

11 ? 2 C. 3 . Lời giải

)

m ∈ [ −4; 4]

g ( x ) = f x + 3 x + f ( m ) trên [ −1;1] bằng

A. 2 .

B. 4 .

D. 5 .

Chọn B Ta có g ( − x ) = g ( x ) nên g ( x) chẵn hay đồ thị của hàm số y = g ( x) đối xứng qua trục tung.  max g ( x) = max g ( x) = max  f ( x3 + 3 x ) + f ( m )  = max  f ( x 3 + 3 x )  + f ( m ) . [ −1;1] [ 0;1] [ 0;1] [0;1] Xét hàm số y = f ( x 3 + 3 x ) trên [ 0;1] .

Đặt t = x 3 + 3 x  t ∈ [ 0; 4]  max y = max f (t ) = 3. [ 0;4]

[0;1]

11 5 ⇔ f ( m) = . 2 2 Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Khi đó max g ( x) = 3 + f ( m) = [ −1;1]

(

Câu 26. (THPT Hậu Lộc 4 - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số f ( x) = ax 3 + bx − c ln x + 1 + x 2 a , b, c

là

các

số

thực

dương,

biết

f (1) = −3, f (5) = 2 .

Xét

hàm

) với số

g (t ) = 3 f (3 − 2t ) + 2 f (3t − 2) + m , gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho max g (t ) = 10 . Số phần tử của S là [ −1;1]

A. 1.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4

Lời giải

(

)

Xét hàm số f ( x) = ax3 + bx − c ln x + 1 + x 2 xác định trên ℝ .

Trang 41

  1 Ta có f ( − x ) = −ax3 − bx − c ln − x + 1 + x 2 = − ax3 − bx − c ln   2  x + 1+ x 

)

(

)

(

= − ax 3 − bx + c ln x + 1 + x 2 = − f ( x ) , suy ra f ( x ) là hàm số lẻ  f ( −5) = − f (5)

Mặt khác ta lại có: f ′ ( x ) = 3ax 2 + b −

c 1 + x2

Xét hàm số h (t ) = 3 f (3 − 2t ) + 2 f (3t − 2) + m , có h '( x ) = −6 f '(3 − 2t ) + 6 f '(3t − 2)

  1 1 − h '(t ) = 6 [ f '(3t − 2) − f '(3 − 2t ) ] = 6  3a  (3t − 2) 2 − (3 − 2t ) 2  + c  2   1 + (3 − 2t ) 1 + (3t − 2) 2  =6

(

) (

1 + (3t − 2) 2 − 1 + (3 − 2t ) 2 3a 

   

)

1 + (3t − 2) 2 + 1 + (3 − 2t ) 2 + c  

3t − 2 = 3 − 2t t = 1 h '( x) = 0 ⇔ 1 + (3t − 2) 2 − 1 + (3 − 2t ) 2 = 0 ⇔ (3t − 2) 2 = (3 − 2t ) 2 ⇔  ⇔ 3t − 2 = 2t − 3  t = −1 Do h (1) = 3 f (1) + 2 f (1) = 5 f (1) = −15; h ( −1) = 3 f (5) + 2 f ( −5) = f (5) = 2 Do đó A = max g (t ) = m + 2 , B = min g (t ) = m − 15 [ −1;1]

[−1;1]

Ta có max g ( t ) = max { m − 15 , m + 2 } [ −1;1]

Trường hợp 1:

 m − 15 ≥ m + 2  m − 15 ≥ m + 2 ⇔m=5 max g t = m − 15 ⇔   m − 15 = 10  [ −1;1] ( ) Trường hợp 2:  m + 2 > m − 15  m + 2 > m − 15 ⇔ m = 8. max g t = m + 2 ⇔   m + 2 = 10  [−1;1] ( ) Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m = 5, m = 8 .

Câu 27. (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x 2 − 4 x − 2. Gọi S là tổng tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = g ( x ) = f 2 ( x ) − 2 f ( x ) + m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

[ −1;3] bằng 15. Tổng A. ( −25; −15) .

S thuộc khoảng nào sau đây?

B. ( −14;1) .

D. (1;8) .

D. ( 8;12 ) .

Lời giải Chọn A Xét hàm số y = f ( x ) = 2 x 2 − 4 x − 2 có f ′ ( x ) = 4 x − 4; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1  f (1) = −4 Xét hàm số h ( x ) = f 2 ( x ) − 2 f ( x ) + m có h′ ( x ) = 2 f ′ ( x )  f ( x ) − 1  f ′( x) = 0 h′ ( x ) = 0 ⇔   f ( x ) = 1

 Với f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1  h (1) = m + 24  Với f ( x ) = 1 ⇔ x = 1 ± a, với a > 0 .  h (1 ± a ) = m − 1 Tại x = −1  h ( −1) = m + 8 ; tại x = 3  h ( 3) = m + 8 Trang 42

Khi đó B = max h ( x ) = m + 24; b = min h ( x ) = m − 1. [ −1;3]

[−1;3]

Mà max g ( x ) = 15 ⇔ [−1;3]

B +b + B −b 2

 m = −9 = 15 ⇔ 2m + 23 + 25 = 30 ⇔   m = −14

Vậy tổng các giá trị của m là −23. ∈ ( −25; −15) .

A. 54 .

B. 7 .

C. 33 . Lời giải

D. 3 .

Chọn C  max g ( x) = g (1) = 4  [1;4] + Xét hàm số g ( x) = f ( log 2 x − 1) . Đặt t = log 2 x − 1, t ∈ [ −1;1] . Ta có:  (1) g ( x) = g (4) = 2  min [1;4]  max k ( x) = k (1) = 8  [1;4] 3 2 + Xét hàm số k ( x) = x − 9 x + 15 x + 1 có  (2) k ( x) = k (4) = −19  min [1;4] max h( x) = h(1) = 20  [1;4]  max h( x) − min h( x) = 33 [1;4] [1;4] h( x) = h(4) = −13 min [1;4]

Từ (1) và (2) ta có: 

Câu 29. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất

 1  của hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − 2 x + 1 trên đoạn  − ;1 bằng  2 

A. f ( 0 ) − 1.

B. f (1) .

C. f ( 2 ) − 1.

D. f ( −1) + 2

Lời giải Chọn C

 1  Xét hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − 2 x + 1 trên đoạn  − ;1  2  1 Ta có g ' ( x ) = 2 f ' ( 2 x ) − 2, g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( 2 x ) = 1 ⇔ 2 x = 1 ⇔ x = . Số nghiệm của phương 2 trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ' ( 2 x ) và đường thẳng y = 1. Trang 43

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên

 1  Giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) − 2 x + 1 trên đoạn  − ;1 bằng g (1) = f ( 2 ) − 1 .  2  Câu 30. Cho hàm số f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của x hàm số g ( x ) = f   trên đoạn [ −5;3] bằng 2 y

-2

A. f ( −2 ) .

B. f (1) .

C. f ( −4 ) . Lời giải

Chọn A x  2 = −2  x = −4 1 x g′( x) = 0 ⇔ f ′  = 0 ⇔  ⇔ . 2 2 x = 2  x =1  2 x x g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′   < 0 ⇔ < −2 ⇔ x < −4 . 2 2 Bảng biến thiên

Trang 44

D. f ( 2 ) .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x ) trên [ −5;3] bằng g ( −4 ) = f ( −2 ) .

A. − f (1) + 2 .

B. − f ( −1) .

C. − f ( 2 ) + 3 .

D. − f ( 3) + 4 .

Lời giải Chọn C  x = 0 2 x − 1 = − 1    g ′ ( x ) = 0 ⇔ −2 f ′ ( 2 x − 1) + 2 = 0 ⇔ f ′ ( 2 x − 1) = 1 ⇔ 2 x − 1 = 1 ⇔  x = 1 .   3  2 x − 1 = 2 x =  2 x < 0  2 x − 1 < −1  g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ ( 2 x − 1) > 1 ⇔  ⇔ . x > 3 2 x − 1 > 2  2 Bảng biến thiên

 3 Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) trên [ 0; 2] bằng g   = − f ( 2 ) + 3 .  2

Trang 45

1 A. f   .  2

B. f ( 0 ) + 3 .

C. f (1) + 6 .

D. f ( 3) + 12 .

Lời giải Chọn C Đặt t = 2 x − 1  t ∈ [ 0;3] , xét hàm số h ( t ) = f ( t ) + 3t + 3 trên [ 0;3] . t = 0 Ta có h ( x ) = f ( x ) + 3 , h ( t ) = 0 ⇔ t = 1 .  t = 2 /

h / ( x ) > 0 ⇔ f / ( x ) > −3 ⇔ x ∈ (1;3) h / ( x ) < 0 ⇔ f / ( x ) < −3 ⇔ x ∈ ( 0;1)

Ta có bẳng biến thiên sau

Ta có min h ( t ) = h (1) = f (1) + 6 . [0;3]

A. f ( 0 ) .

B. f ( −1) + 1 .

C. f ( 2 ) − 5 . Lời giải

Trang 46

D. f (1) − 3 .

Chọn D Đặt t = 2 x + 1  t ∈ [ −2;3] , xét hàm số h ( t ) = f ( t ) − 2t − 1 trên [ −2;3] .  t = −1 Ta có h ( x ) = f ( x ) − 2 , h ( t ) = 0 ⇔ t = 1 .  t = 2 /

h / ( x ) > 0 ⇔ f / ( x ) > 2 ⇔ x ∈ (1;3 ) h / ( x ) < 0 ⇔ f / ( x ) < 2 ⇔ x ∈ ( −2;1)

Ta có bẳng biến thiên sau

Ta có min h ( t ) = h (1) = f (1) − 3 . [ −;3]

A. f (2) − 2.

1 B. f   + 2. 2

C. f (2) + 2 .

3 D. f   − 1 . 2

Lời giải Chọn A

1  x  x Đặt g ( x) = f 1 −  + x  g '( x) = − f ' 1 −  + 1. 2  2  2  x g '( x) = 0 ⇔ f ' 1 −  = 2.  2 x  t ∈ [ 0;3] . 2 Vẽ đường thẳng y = 2 lên cùng một bảng biến thiên ta được

Đặt t = 1 −

Trang 47

Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t = 2  x = −2  max g ( x) = g ( −2) = f (2) − 2. [ −4;2]

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình vẽ. Trên x [ −2; 4] , gọi x0 là điểm mà tại đó hàm số g ( x) = f  + 1 − ln x2 + 8 x + 16 đạt giá trị lớn nhất. 2  Khi đó x0 thuộc khoảng nào?

(

1  A.  ; 2  . 2 

 5 B.  2;  .  2

1  C.  −1; −  . 2  Lời giải

Chọn D

1 x  2x + 8 1 x  2 f '  + 1 − 2 = f '  + 1 − . 2  2  x + 8 x + 16 2  2  x + 4 4 x  . Cho g '( x) = 0 ⇔ f '  + 1 = 2  x+4 x Đặt t = + 1  t ∈ [ 0;3] 2 4 2 Phương trình trở thành f '(t ) = = . 2t + 2 t + 1 2 Vẽ đồ thị y = lên cùng một hệ tọa độ ta được: x +1 Ta có g '( x) =

Trang 48

)

1  D.  −1;  . 2 

Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t = 1  x = 0.

3  Hàm số g ( x ) = 4 f ( x ) + 2 x 2 giá trị lớn nhất của g ( x ) trên  −2;  là 2  39 29 A. 2 . B. . C. 1 . D. . 2 2 Chọn D Lời giải 2 Xét hàm số h ( x ) = 4 f ( x ) + 2 x xác định trên ℝ . Hàm số f ( x ) là hàm đa thức nên h ( x ) cũng là hàm đa thức và h ( 0 ) = 4 f ( 0 ) + 2.0 = 0 Khi đó h′ ( x ) = 4 f ′ ( x ) + 4 x  h′ ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = − x .

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đường thẳng y = − x , ta có Trang 49

3  h′ ( x ) = 0 ⇔ x ∈ −3;0;  2  Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = h ( x ) như sau

3 29  Vậy giá trị lớn nhất của g ( x ) trên  −2;  là . 2 2  Câu 37. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ , có đạo hàm f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới. Hàm số y = f ( x) +

x2 − x có giá trị nhỏ nhất trên [ 0;1] là 2

A. f ( 0 ) .

1 B. f (1) + . 2

1 C. f (1) − . 2 Lời giải

Chọn C Đặt h ( x ) = f ( x ) +

Trang 50

x2 − x . Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x ) + x − 1 2

1 3 D. f   − . 2 8

 x = x1 ( x1 < 0)  x=0 h′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = − x + 1 ⇔  (hình vẽ)  x = x2 (0 < x2 < 1)  x =1  Ta có bảng biến thiên trên [ 0;1] của h ( x ) :

Vậy giá trị nhỏ nhất của h ( x ) trên [ 0;1] là h (1) hoặc h ( 2 ) Mặt khác, dựa vào hình ta có: 1

  f ′ ( x ) + x − 1 dx <  −  f ′ ( x ) + x − 1dx 0

x2 x2

  h′ ( x ) dx <  −h′ ( x )dx  h ( x2 ) − h ( 0 ) < h ( x2 ) − h (1) ⇔ h (1) < h ( 0 ) Vậy giá tị nhỏ nhất của h ( x ) trên [ 0;1] là h (1) = f (1) −

1 . 2

Câu 38. Cho hàm số f ( x ) , đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất 2

của hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) trên đoạn [ −3;3] bằng

Trang 51

A. f ( 0 ) − 1.

B. f ( −3) − 4.

C. 2 f (1) − 4.

D. f ( 3) − 16.

Lời giải Chọn C Ta có g′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x + 1)

x = 1 g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x + 1 ⇔  .  x = ±3

Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) trên đoạn [ −3;3] là g ( 1) = 2 f ( 1) − 4 .

Câu 39. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ sao cho

1  max f ( x ) = 5 . Xét hàm số g ( x ) = 2 f  x3 − x 2 − 3x + 1 + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham  8 3   −8; 3  



số m để max g ( x ) = −20 [−2;4]

A. −25 .

B. −30 .

C. −10 . Lời giải

Chọn B

1  Xét hàm số g ( x ) = 2 f  x3 − x 2 − 3x + 1 + m trên [ −2; 4] . 3  Trang 52

D. 30 .

1 3  8 x − x 2 − 3 x + 1 , với x ∈ [ −2; 4] thì t ∈  −8;  . 3  3 1  Khi đó: max g ( x ) = −20 ⇔ 2 max f  x3 − x 2 − 3x + 1 + m = −20 [ −2;4] [ −2;4]  3  ⇔ 2 max f ( t ) + m = −20 ⇔ 2.5 + m = −20 ⇔ m = −30 .

Đặt t =

 8  −8; 3   

A. 12 f ( −1) + 2026 .

B. 12 f ( −3) + 1958 .

C. 12 f (1) + 2022 .

D. f ( −1) .

Lời giải Chọn A Ta có g ′ ( x ) = 24 f ′ ( 2 x ) + 96 x 2 + 24 x − 12 = 12  2 f ′ ( 2 x ) + 8 x 2 + 2 x − 1

g ′ ( x ) = 0 ⇔ 12  2 f ′ ( 2 x ) + 8 x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ 2 f ′ ( 2 x ) + 8 x 2 + 2 x − 1 = 0 (*)  3 1 Đặt t = 2 x, x ∈  − ;   t ∈ [ −3;1]  2 2 Khi đó phương trình (*) trở thành phương trình 1 1 sau: 2 f ′ ( t ) + 2t 2 + t − 1 = 0 ⇔ f ′ ( t ) = −t 2 − t + (**) 2 2 Ta có đồ thị như sau:

3  x = − 2  t = −3  1 f ′ ( t ) = 0 ⇔  t = −1   x = −   2 t = 1  x = 1 2  Ta có bảng biến thiên như sau: Trang 53

Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) đạt tại x=−

1  1  g  −  = 12 f ( −1) + 2026 . 2  2

Câu 41. (Chuyên Bắc Giang - 2021) Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3 x + 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2 sin x + 1) + m không vượt quá 10? A. 45.

B. 43.

C. 30. Lời giải

D. 41.

Chọn D Đặt t = 2sin x + 1 , t ∈ [ −1;3] Xét hàm số g ( t ) = f ( t ) + m = t 3 − 3t + 1 + m , t ∈ [ −1;3]

g ' ( t ) = 3t 2 − 3 = 0 ⇔ t = ±1 Max g ( t ) = g ( 3) = m + 19 [−1;3]

Min g ( t ) = g (1) = m − 1 [−1;3]

+ TH1: Nếu m + 19 > m − 1 > 0(m > 1) Để thỏa mãn YCBT thì m − 1 ≤ 10 ⇔ m ≤ 11  1 < m ≤ 11 (1) + TH2: Nếu 0 > m + 19 > m − 1(m < −19) Để thỏa mãn YCBT thì m + 19 ≥ −10 ⇔ m ≥ −29  −29 ≤ m < −19 (2) + TH3: Nếu m − 1 ≤ 0 ≤ m + 19 ⇔ −19 ≤ m ≤ 1 thì min y = 0 ( hiển nhiên đúng) (3) Từ (1),(2),(3) suy ra −29 ≤ m ≤ 11 Vậy có 41 số nguyên thỏa mãn. Câu 42. (Sở Nam Định - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

(

)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f s inx − 3 cos x + 1 − 2 cos 2 x + 4 cos x − 10

A. 2 .

B. −5 .

C. −9 . Lời giải

Chọn B

Ta có: s inx − 3 cos x = 2sin( x − ); 3

Trang 54

cos 2 x = 2cos 2 x − 1

D. −2 .

 π   y = f  2 sin( x − ) + 1 − 4 cos 2 x + 4 cos x − 8 3   π   1 y = f  2 sin( x − + 1 − 4(cos 2 x − cos x + ) − 7 3 4  

π π   1   y = f  2 sin( x − + 1 − 4(cos x − ) 2 − 7 ≤ f  2 sin( x − + 1 − 7 3 2 3    

Đặt t = 2 sin( x − ) + 1  t ∈ [1;3] 3 Dựa vào BBT của hàm số y = f ( x ) , ta có:

 π  Suy ra f  2 sin( x − ) + 1 ≤ 2 . 3  

(

)

Vậy, y = f s inx − 3 cos x + 1 − 2 cos 2 x + 4 cos x − 10 ≤ 2 − 7 = −5 1  cos x = 2 Dấu "=" xảy ra khi  sin( x − π ) = 0  3

Trang 55

Dạng 3. Ứng dụng gtln-gtnn giải bài toán thực tế Câu 1.

(Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 2 - 2020) Cho số a > 0 . Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a , tam giác có diện tích lớn nhất bằng A.

3 2 a . 3

3 2 a . 6

3 2 a . 9

3 2 a . 18

Lời giải Chọn D Giả sử tam giác ABC vuông ở A thỏa mãn yêu cầu đề bài. Giả sử AB + BC = a  AB = a − BC Đặt BC = x ; 0 < x < a . 2

 AB = a − x và AC = x 2 − ( a − x ) = 2ax − a2

Diện tích tam giác ABC là S = Xét hàm số f ( x ) =

1 1 AB. AC = ( a − x ) 2ax − a 2 2 2

1 a − x ) 2ax − a 2 ( 2

1 a f ′ ( x ) =  − 2ax − a2 + ( a − x ) .  2 2ax − a 2 f ′( x) = 0 ⇔ x =

 1  −2ax + a 2 + a2 − ax  1 2a2 − 3ax  =   = . 2 2 2 2 2 2x − a    2 2x − a

2a . 3

 2a  3 2 Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là S = f   = a .  3  18

Câu 2.

(Mã 101 2018) Ông A dự định dùng hết 6,5m2 kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 2, 26 m3 B. 1, 61 m3 C. 1,33 m3 D. 1,50 m3 Lời giải

Chọn D

Giả sử hình hộp chữ nhật có kích thước như hình vẽ. Ta có dung tích của bể cá: V = abc

 6,5 − 2b 2 2b2 + 6bc = 6,5 ab + 2bc + 2ac = 6,5 c = ⇔ ⇔ Mặt khác theo giả thiết ta có:  6b a = 2b a = 2b a = 2b  Khi đó V = 2b 2 .

6,5 − 2b2 6,5b − 2b3 ⇔V = . 6b 3

Xét hàm số: f ( b ) =

6,5b − 2b3 . Có BBT 3

 39  3 Vậy bể cá có dung tích lớn nhất là: f   = 1,50 m . 6   Câu 3.

1 (Mã 104 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính 3 từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 243 (m/s) B. 27 (m/s) C. 144 (m/s) D. 36 (m/s) Lời giải

Chọn D Ta có: v = s′ = −t 2 + 12t ; v′ = −2t +12 ; v′ = 0 ⇔ t = 6 . BBT t v′

−

Nhìn bbt ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 6 . Giá trị lớn nhất là v ( 6 ) = 36m/s . Câu 4.

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá (điều kiện x, y > 0 ). Ta có thể tích bể cá V = 2 x 2 y . Theo đề bài ta có: 2 xy + 2.2 xy + 2 x 2 = 5 ⇔ 6 xy + 2 x 2 = 5

⇔y=

5 − 2 x2 5 (Điều kiện kiện y > 0 ⇔ 5 − 2 x 2 > 0  0 < x < ) 6x 2

 V = 2 x2

5 − 2 x 2 5 x − 2 x3 5 − 6x2 5 = V′ =  V ′ = 0 ⇔ 5 − 6 x2 = 0 ⇔ x = 6x 3 3 6

 Vmax = Câu 5.

5 30 ≈ 1, 01 m3 . 27

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được t cho bởi công thức c ( t ) = 2 ( mg / L ) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của t +1 bệnh nhân cao nhất? B. 1 giờ. C. 3 giờ. D. 2 giờ. A. 4 giờ. Lời giải Xét hàm số c ( t ) = c′ ( t ) =

1− t 2

+ 1)

t , (t > 0) . t +1 2

t = 1 c′ ( t ) = 0 ⇔  . t = −1

Với t = 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bênh nhân cao nhất. Câu 6.

(Dề Minh Họa 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x = 3

B. x = 2

C. x = 4 Lời giải

D. x = 6

Chọn B Ta có : h = x ( cm ) là đường cao hình hộp Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 12 − 2x ( cm ) x > 0 x > 0 2 ⇔ ⇔ x ∈ ( 0; 6 ) Vậy diện tích đáy hình hộp S = (12 − 2 x ) ( cm 2 ) . Ta có:  12 − 2 x > 0 x < 6 Thể tích của hình hộp là: V = S .h = x. (12 − 2 x )

Xét hàm số: y = x. (12 − 2 x ) ∀x ∈ ( 0;6 ) 2

Ta có : y ' = (12 − 2 x ) − 4 x (12 − 2 x ) = (12 − 2 x )(12 − 6 x ) ; y ' = 0 ⇔ (12 − 2 x ) . (12 − 6 x ) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 (loại).

Suy ra với x = 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là y ( 2 ) = 128 . Câu 7.

=> chiều dài của đoạn dây làm thành hình tròn là 28 − x ( m ) 2

x2  x +) Diện tích hình vuông là:   =  4  16 28 − x +) Bán kính hình tròn là: R = 2π 2 784 − 56 x + x 2  28 − x  2 => Diện tích hình tròn: π R = π .  =  4π  2π 

x 2 784 − 56 x + x 2  π + 4  2 14 196 + = x − x+ 16 4π π π  16π  196  π + 4  2 14 Xét f ( x) =  . Nhận thấy f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x − x+ π π  16π  112 −b 14 16π . = x= = π 2 (π + 4 ) π + 4 2a Vậy chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông để tổng diện tích của hai hình đạt giá trị nhỏ nhất là 112 m 4 +π +) Tổng diện tích hai hình:

Câu 8.

A. x =

8 − 2 21 3

B. x =

10 − 2 7 3

C. x =

9 + 21 . 9

D. x =

9 − 21 3

Lời giải Chọn D Ta có : h = x ( cm ) là đường cao hình hộp Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 10 − 2x ( cm ) và 8 − 2x ( cm )

x > 0 x > 0  Vậy diện tích đáy hình hộp S = (10 − 2 x )( 8 − 2 x ) cm . Ta có: 10 − 2 x > 0 ⇔  ⇔ x ∈ ( 0; 4 ) x < 4 8 − 2 x > 0 

(

)

Thể tích của hình hộp là: V = S .h = x. (10 − 2 x ) . ( 8 − 2 x ) Xét hàm số: y = x. (10 − 2 x ) . ( 8 − 2 x ) ∀x ∈ ( 0; 4 ) Ta có : y ' = 12 x 2 − 72 x + 80 ;

 9 + 21 > 4 (l ) x = 3  y'= 0 ⇔ .  9 − 21 ( n) x = 3 

9 − 21 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất. 3

Suy ra với x =

Câu 9.

2x D

x B

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá (điều kiện x, y > 0 ). Ta có thể tích bể cá V = 2 x2 y . Theo đề bài ta có: 2 xy + 2.2 xy + 2 x 2 = 5 ⇔ 6 xy + 2 x2 = 5

⇔ y=

5 5 − 2x2 (Điều kiện kiện y > 0 ⇔ 5 − 2 x2 > 0  0 < x < ) 6x 2

 V = 2x2

 Vmax =

5 5 − 2 x 2 5 x − 2 x3 5 − 6x2 = V′ =  V ′ = 0 ⇔ 5 − 6x2 = 0 ⇔ x = 6x 3 3 6

5 30 ≈ 1, 01 m3 . 27

Câu 10. Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được

A. 3125 m 2 .

B. 50 m 2 .

C. 1250 m 2 .

D. 6250 m 2 .

Lời giải Chọn D Gọi x là chiều dài 1 mặt hàng rào hình chữ E ( trong ba mặt song song, x > 0 ). Gọi y là chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông ( y > 0 ). Số tiền phải làm là: x.3.50000 + y.60000 = 15.000.000 ⇔ y =

Diện tích đất: S = x. y = x.

500 − 5 x 5 = 250 x − x 2 2 2

Ta có: S ' = 250 − 5 x .

S ' = 0 ⇔ 250 − 5 x ⇔ x = 50. Bảng biến thiên:

500 − 5 x . 2

+∞

0 6250

-∞

Vậy: max S = 6250 ( m 2 ) khi x = 50. ( 0;+∞ )

Câu 11.

(Chuyên Long An-2019) Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật 3 không nắp có thể tích bằng 288m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê 2

nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu (Biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)? A. 90 triệu đồng. B. 168 triệu đồng. C. 54 triệu đồng. D. 108 triệu đồng.

Lời giải Chọn D Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất. Gọi ba kích thước của bể là a , 2a , c ( a ( m ) > 0, c ( m ) > 0 ) .

Ta có diện tích cách mặt cần xây là S = 2a 2 + 4ac + 2ac = 2a 2 + 6ac . 144 Thể tích bể V = a.2a.c = 2a 2c = 288  c = 2 . a 144 864 432 432 432 432 = 2a 2 + + ≥ 3. 3 2a 2 . . = 216 . Suy ra S = 2a 2 + 6a. 2 = 2a 2 + a a a a a a Vậy S min = 216 m 2 , khi đó chi phí thấp nhất là 216.500000 = 108 triệu đồng.

A. 100 3 .

B. 106 3 .

C. 108 3 .

D. 120 3 .

Lời giải Chọn C

Kẻ đường cao BH , gọi số đo 2 góc ở đáy CD của hình thang là x, x ∈ ( 0°;90° ) . Diện tích mảnh vườn là: S=

1 1 1 BH ( AB + CD ) = BC .sin x ( 2. AB + 2 BC .cos x ) = AB 2 ( 2sin x + sin 2 x ) 2 2 2

(

)

Xét hàm số f ( x ) = 2 sin x + sin 2 x với x ∈ 00 ;900 có f ′ ( x ) = 2 cos x + 2 cos 2 x . 1  cos x =  Ta có: f ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 cos x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ 2 cos x + cos x − 1 = 0 ⇔ 2   cos x = −1 2

(

)

Do x ∈ 00 ;900 nên ta nhận cos x =

1 ⇔ x = 600 . Ta có bảng biến thiên: 2

f ( x) ≤ Từ bảng biến thiên ta thấy: max 0 0

( 0 ;90 )

3 3 đạt được tại x = 600 . 2

(

)

=D = 600 .  max S = 108 3 ( m2 ) khi góc ở đáy CD của hình thang bằng 60 0 C

Câu 13.

(Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C , D thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng

1 . 2

3 3 . 4

C. 1 .

3 3 . 2

Lời giải Chọn B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AB , I là trung điểm của đoạn CD và O là trung điểm của AB . Đặt DH = x , 0 < x < 1 . Ta có DC = 2 DI = 2OH = 2 OD 2 − DH 2 = 2 1 − x 2 .

Diện tích của hình thang ABCD là S = f ( x ) =

Ta có f ′ ( x ) =

1 − x2 + 1 − 2 x2 1− x

( AB + CD ) DH 2

)

(

= 1 + 1 − x2 x .

. f ′ ( x ) = 0 ⇔ 1 − x 2 + 1 − 2 x 2 = 0 (*)

 t = −1 Đặt t = 1 − x , (điều kiện t ≥ 0 ) khi đó phương trình (*) trở thành 2t + t − 1 = 0 ⇔  1 . t =  2 2

t = −1 loại. t = Bảng biến thiên

1 3 3 1 ta có 1 − x 2 = ⇔ x 2 = ⇔ x = ± . 2 2 4 2

Vậy diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng

3 3 . 4

3 . 2

9 7

73 . 6

D. 1 +

7 . 8

Lời giải  Cách 1: Anh chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AC :

Thời gian chạy trên quãng đường CB :

3 = 0,5 (giờ) 6

8 = 1 (giờ) 8

Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là 1,5 (giờ).

 Cách 2: chèo trực tiếp trên quãng đường AB = 32 + 82 = 73 mất  Cách 3:

73 h ≈ 1 26′ . 6

Gọi x ( km ) là độ dài quãng đường BD ; 8 − x ( km ) là độ dài quãng đường CD . Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AD = x 2 + 9 là:

Thời gian chạy trên quãng đường DB là:

8− x (giờ) 8

Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là f ( x ) =

Xét hàm số f ( x ) = Ta có f ′ ( x ) =

x2 + 9 (giờ) 6

x2 + 9 8 − x + 6 8

x2 + 9 8 − x trên khoảng ( 0; 8 ) + 6 8

1 9 − ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 x2 + 9 = 4x ⇔ x = 7 6 x2 + 9 8 x

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ A đến B là 1 +

Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là 1 +

7 h ≈ 1 20′ . 8

Dạng 4. Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 1.

(HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 1 , x + y + z = 2 .Biết a a giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz bằng với a, b ∈ ℕ* và là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b b b bằng A. 5 . B. 43 . C. 9 . D. 6 . Lời giải Chọn D 2

1  x+ y  2− z  2 3 Ta có: P = xyz ≤   .z =   .z = ( 4 z − 4 z + z ) . 4  2   2  1 Xét hàm số f ( z ) = ( 4 z − 4 z 2 + z 3 ) trên [1; 2] . 4 2  z = (loai ) 1 Ta có: f ′ ( z ) = ( 4 − 8 z + 3 z 2 ) ; f ′ ( z ) = 0 ⇔  3  4 z = 2 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: P ≤ Vậy Pmax

Câu 2.

1 . 4

z = 1 1  = khi  1  a = 1; b = 4  2a + b = 6 . 4  x = y = 2

(Chuyên Bắc Giang Nam 2019) Cho x 2 − xy + y 2 = 2 . Giá trị nhỏ nhất của P = x 2 + xy + y 2 bằng: 2 1 1 A. B. C. D. 2 3 6 2 Lời giải Chọn A Xét

P x 2 + xy + y 2 x 2 + xy + y 2 = = 2 2 2 x − xy + y 2

+nếu y = 0 thì x 2 = 2 . Do đó P = x 2 = 2 suy ra min P = 2 +nếu y ≠ 0 ta chia tử mẫu cho y 2 ta được

x x 1+   +   2 2 y y P x + xy + y = 2 =    2 2 2 x − xy + y x x 1−   +    y  y x P 1+ t + t2 , khi đó = y 2 1− t + t2

Đặt t =

Xét f ( t ) =

1+ t + t2 −2t 2 + 2 '  f t = ( ) 2 1− t + t2 (1 − t + t 2 )

t = 1 f ' (t ) = 0 ⇔  t = −1 Bảng biến thiên

Khi đó min

Câu 3.

P 1 2 = do đó min P = . 2 3 3

(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho x , y là các số thực thỏa mãn x + y = x − 1 + 2 y + 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = x 2 + y 2 + 2 ( x + 1)( y + 1) + 8 4 − x − y . Tính giá trị M + m

A. 42

B. 41

C. 43 Lời giải

Chọn C

( x + y)

(

)

x −1 + 2 y +1 ≤ 3( x + y ) ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 3

D. 44

P = x 2 + y 2 + 2 ( x + 1)( y + 1) + 8 4 − x − y = ( x + y ) + 2 ( x + y ) + 2 + 8 4 − ( x + y ) Đặt t = 4 − ( x + y ) , t ∈ [1; 2] . 2

Ta có: f ( t ) = ( 4 − t 2 ) + 2 ( 4 − t 2 ) + 2 + 8t = t 4 − 10t 2 + 8t + 26 . f ′ ( t ) = 4t 3 − 20t + 8

t = 2 ∈ [1; 2]  t = 2 f ′(t ) = 0 ⇔  2 ⇔ t = −1 + 2 ∈ [1; 2]  t + 2t − 1 = 0 t = −1 − 2 ∈ [1; 2] f (1) = 25; f ( 2 ) = 18 .

Suy ra m = min f ( t ) = f ( 2 ) = 18; M = max f ( t ) = f (1) = 25 . [1;2]

[1;2]

Vậy M + m = 43 .

Câu 4.

(Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị -2019) Cho x , y > 0 thỏa mãn x + y = đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x 2 + y 2 . 153 5 A. . B. . 100 4

2313 . 1156

Lời giải Chọn A 3 3 3 suy ra y = − x . Ta có: 0 < x, y < . 2 2 2 4 1 4 1  3 Xét hàm P ( x ) = + trên khoảng  0;  , ta có: = + x 3  x 6 − 4x  2 4 − x  2 

Từ x + y =

P′ ( x ) = −

4 −4 − . 2 x ( 6 − 4 x )2

P′ ( x ) = 0 ⇔

(6 − 4x)

6  x=  x = 6 − 4x 4 2 2  = 2 ⇔ x = (6 − 4x) ⇔  ⇔ 5.  x  x = 4x − 6 x = 2

 3 Bảng biến thiên của P ( x ) trên  0;  :  2

3 4 1 và biểu thức P = + 2 x 4y

25 . 16

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min P ( x ) =  3  0;   2

6 25 khi x = . 5 6

6 3 thì y = . 5 10 25 6 3 Như vậy min P = khi x = , y = . 6 5 10 153 . Khi đó, x 2 + y 2 = 100

V ới x =

Câu 5.

(Chuyên Hà Tĩnh - 2019) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x 2 + y 2 − xy = 1 và hàm số  5x − y + 2  f ( t ) = 2t 3 − 3t 2 + 1 . Gọi M , m tương ứng là GTLN và GTNN của Q = f   . Tổng M + m  x+ y+4  bằng: A. −4 − 3 2 . B. −4 − 5 2 . C. −4 − 4 2 . D. −4 − 2 2 . Lời giải Chọn C Đặt t =

5x − y + 2 3 1 2 2 . Theo giả thiết, x 2 − xy + y 2 = 1 ⇔ ( x − y ) + ( x + y ) = 1 x+ y+4 4 4

1   3 ( x − y )  x − y = 2 cos ϕ  x = 3 cos ϕ + sin ϕ cos ϕ = 2 nên ta đặt  ⇔ ⇔ 3 1 sin ϕ = ( x + y )  x + y = 2sin ϕ  y = − 1 cos ϕ + sin ϕ   3  2 Khi đó, t =

2 3 cos ϕ + 4sin ϕ + 2 ⇔ ( t − 2 ) .sin ϕ − 3.cos ϕ = 1 − 2t 2sin ϕ + 4 2

(

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ( t − 2 ) + − 3

)

( 0 ≤ ϕ ≤ 2π ) .

(1) .

≥ (1 − 2t ) ⇔ 3t 2 − 6 ≤ 0 ⇔ − 2 ≤ t ≤ 2 .

Xét hàm số Q = f ( t ) = 2t 3 − 3t 2 + 1, t ∈  − 2 ; 2  .

t = 0 ∈  − 2 ; 2    f ′ ( t ) = 6t − 6t . Cho f ′ ( t ) = 0 ⇔  . t = 1 ∈  − 2 ; 2     2

(

)

f − 2 = −5 − 4 2 ; f ( 0 ) = 1 ; f (1) = 0 ; f

( 2 ) = −5 + 4

 M = max Q = max f ( t ) = f ( 0 ) = 1 − 2 ; 2      . m = min Q = min f t = f − 2 = − 5 − 4 2 ( )  − 2 ; 2    

(

)

Vậy M + m = −4 − 4 2 .

Câu 6.

(Sở Lào Cai - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 1 . Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x ) có ít nhất một giao điểm với trục hoành. Bất đẳng thức nào sau đây là đúng? 4 4 4 4 A. a 2 + b 2 + c 2 > . B. a 2 + b 2 + c 2 < . C. a 2 + b 2 + c 2 ≥ . D. a 2 + b 2 + c 2 ≤ . 3 3 3 3

Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 1 = 0 (1) Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm. Với x ≠ 0 phương trình trở thành 1 (1) ⇔ ax 2 + bx + c = −  x 3 +  ( x ≠ 0 ) x  2

2  3 1 2 x + = ax + bx + c ≤ ( a 2 + b 2 + c 2 )( x 4 + x 2 + 1) ( )   x  2 2  3 1  2 1  x +  x + 2  x x    2 2 2 ⇔ a +b +c ≥ 4 = 2 x + x + 1 x2 + 1 + 1 x2 1 t2 t 2 + 2t 2 t = x + 2  t ≥ 2  f (t ) = , ∀t ≥ 2  f ' ( t ) = > 0, ∀t ≥ 2 2 x t +1 ( t + 1)

Bảng biến thiên Vậy để đồ thị hàm số y = f ( x ) có ít nhất một giao điểm với trục hoành thì a 2 + b 2 + c 2 ≥

Câu 7.

(

)

4 3

(THPT Trần Nhân Tông 2018) Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 9 x3 + 2 − y 3xy − 5 x + 3xy − 5 = 0

(

)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x3 + y3 + 6 xy + 3 3x 2 + 1 ( x + y − 2 )

296 15 − 18 . 9

36 + 296 15 . 9

36 − 4 6 . 9

Lời giải

−4 6 + 18 . 9

(

)

Ta có 9 x 3 + 2 − y 3 xy − 5 x + 3 xy − 5 = 0 ⇔ 27 x3 + 6 x = ( 3 xy − 5 ) 3 xy − 5 + 2 3 xy − 5 . Xét hàm f ( t ) = t 3 + 2t với t ∈ ( 0; +∞ ) có f ' ( t ) = 3t 2 + 2 > 0∀t ∈ ( 0; +∞ ) nên hàm số liên tục và đồng biến trên ( 0; +∞ ) . Khi đó ta có 3 x = 3 xy − 5  x ≥ 0 và 9 x 2 = 3 xy − 5 . Với x = 0 thì 0 = −5 ( l ) .

(

)

với x > 0 thì P = x3 + y3 + 6 xy + 3 3x 2 + 1 ( x + y − 2 )

= x3 + y3 + 6 xy + ( 9 x 2 + 3) ( x + y − 2 ) = x 3 + y 3 + 6 xy + ( 3 xy − 2 )( x + y − 2 ) = x 3 + y 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 − 2 ( x + y ) + 4 3

= ( x + y) − 2( x + y) + 4 Mà x + y = x +

9x2 + 5 5 5 4 5 4 5 = 4x + ≥ 2 4 x. = . Đặt t = x + y thì t ≥ . 3x 3x 3x 3 3

Xét f ( t ) = t 3 − 2t + 4 với t ≥

4 5 4 5 . Khi đó f ′ ( t ) = 3t 2 − 2 > 0 với ∀t ≥ . 3 3

 4 5  36 + 296 15 Do đó f ( t ) ≥ f   = 9 3   Suy ra P ≥

Câu 8.

36 + 296 15 36 + 296 15 . Vậy GTNN của P là . 9 9

(THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho x, y > 0 và x + y = giá trị nhỏ nhất. Khi đó 25 17 A. x 2 + y 2 = . B. x 2 + y 2 = . 32 16

C. x 2 + y 2 = Lời giải

5 5 4 1 Từ x + y =  y = − x , nên P = + . 4 4 x 5 − 4x

25 . 16

5 4 1 sao cho biểu thức P = + đạt 4 x 4y D. x 2 + y 2 =

13 . 16

Xét hàm số P =

P′ = −

4 1 5 + v ới 0 < x < . x 5 − 4x 4

4 4 2 + ; P′ = 0 ⇔ x 2 = ( 5 − 4 x ) 2 2 x (5 − 4x )

  5  x = 1 ∈  0; 4    ⇔ .  5  5  x = ∉  0;  3  4 

Bảng biến thiên

Như vậy: min P = 5 khi x = 1 ; y = Khi đó x 2 + y 2 =

Câu 9.

1 . 4

17 . 16

(Xuân Trường - Nam Định -2018) Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x+ y x − 2y 1 − ? ( xy + 1) xy + 1 − y ≤ 1 − x − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2 y x − xy + 3 y 2 6 ( x + y )

(

)

5 7 − . 3 30

7 5 − . 30 3

5 7 + . 3 30

Lời giải

( xy + 1) (

⇔ y ( xy + 1) ⇔ ⇔

(

)

xy + 1 − y ≤ 1 − x −

(

)

xy + 1 − y +

(

xy + 1 − y  y ( xy + 1) + 

)

1 y 2

xy + 1 − y

(

xy + 1 − y ≤ 0 ⇔ xy + 1 ≤ y

x 1 1 1 1 1 ⇔ ≤ − 2 + = − −  y y y 4  y 2

)≤0

xy + 1 + y  ≤ 0 

)

5+7 . 30

0<

1 x 1 ≤ . Dấu bằng đạt được khi y = 2 , x = . y 4 2 x+ y

x 2 − xy + 3 y 2

Ta có

t +1 2

t −t +3

x − 2y x t +1 t−2  1 với t = và t ∈  0;  . = − 6( x + y) y  4 t 2 − t + 3 6 ( t + 1)

5 1 ( 8t + 7 ) với mọi t ∈  0;  27  4 2

2 5 1 ( 4t − 1) ( 20t + 25t + 6 )  1 ≤ ≤ 0 với mọi t ∈  0;  . ( 8t + 7 ) ⇔ − 2 2 729 t −t +3  4 t − t + 3 27

t +1

Thật vậy

P≤

≤

−

5 t −2 = f (t ) . (8t + 7 ) − 27 6t + 6

1 16 5t 2 + 32 5t + 16 5 − 27  1 > 0 với mọi t ∈  0;  . Khi đó f ′ ( t ) = . 2 54  4 ( t + 1) Vậy P ≤

Câu 10.

5 t −2 1  1  7 + 10 5 = f (t ) ≤ f   = , dấu bằng đạt được khi x = , y = 2 . (8t + 7 ) − 27 6t + 6 30 2 4

(THPT Lê Xoay - 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x + y + 1 = 2

(

)

x − 2 + y + 3 . Giá trị lớn nhất

)

của biểu thức M = 3x + y −4 + ( x + y + 1) .27 − x − y − 3 x 2 + y 2 bằng

A. −

9476 . 243

B. −76 .

193 . 3

148 . 3

Lời giải Điều kiện x ≥ 2; y ≥ −3 . x + y +1 = 2

(

)

(

)

x − 2 + y + 3 ⇔ ( x + y + 1) = 4 x + y + 1 + 2 x − 2 y + 3 .(*) 2

Vì 2 x − 2 y + 3 ≤ x + y + 1 nên từ (*) suy ra ( x + y + 1) ≤ 8 ( x + y + 1) ⇔ x + y ≤ 7 . x + y +1 ≤ 0 x + y +1 = 0 2 Vì 2 x − 2 y + 3 ≥ 0 nên từ (*) suy ra ( x + y + 1) ≥ 4 ( x + y + 1) ⇔  ⇔ x + y +1 ≥ 4 x + y +1 ≥ 4  x + y = −1 ⇔ . x + y ≥ 3

Do x ≥ 2 nên x 2 ≥ 2 x , y 2 + 1 ≥ 2 y , suy ra x 2 + y 2 + 1 ≥ 2 ( x + y ) . Từ đó ta có

M = 3x + y −4 + ( x + y + 1) .27 − x − y − 3 ( x 2 + y 2 ) ≤ 3x+ y −4 + ( x + y + 1) .27 − x− y − 6 ( x + y ) + 3 . Đặt t = x + y với t = −1 hoặc 3 ≤ t ≤ 7 .

2188 . 243

Xét hàm số f ( t ) = 3t − 4 + ( t + 1) 2 7 −t − 6t + 3 , ta có f ( −1) = f ′ ( t ) = 3t − 4 ln 3 + 2 7 − t − ( t + 1) .27 − t ln 2 − 6 .

f ′′ ( t ) = 3t −4 ln 2 3 + ( t + 1) ln 2 − 2 27−t.ln 2 > 0 , ∀t ∈ [3; 7 ] . Suy ra f ′ ( t ) đồng biến trên ( 3; 7 ) , mà f ′ ( t ) liên tục trên [3; 7 ] và f ′ ( 3 ) . f ′ ( 7 ) < 0 nên phương trình f ′ ( t ) = 0 có nghiệm duy nhất t0 ∈ ( 3; 7 ) .

to +

f'(t) 148 f(t)

3 f(to)

(

)

Suy ra M = 3x + y − 4 + ( x + y + 1) .27 − x − y − 3 x 2 + y 2 ≤

Câu 11.

(Cụm

- Đbsh 1 1 y = sin x + cos x + tan x + cot x + + sin x cos x A.

Trường

2 −1.

Chuyên

B. 2 2 + 1 .

148 . Đẳng thức xảy ra khi x = 2 , y = 1. 3

2018)

Tìm

2 + 1.

giá

trị

nhỏ

nhất

D. 2 2 − 1 .

Lời giải Ta có y = sin x + cos x + tan x + cot x +

1 1 1 + sin x + cos x + = sin x + cos x + . sin x cos x sin x.cos x

 2 2 π t 2 −1  ; Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x +  , t ∈  − .  \ {1} , sin x.cos x = 4 2   2 2 

Suy ra y = t +

2 1+ t = t+ . 2 t −1 t −1 2

của

hàm

số

2 t = 2 + 1 ( l ) t − 1) − 2 2 ( 2 ′ ′ , g (t ) = 1 − = , g (t ) = 0 ⇔  . Xét hàm số g ( t ) = t + 2 2 t −1 t = − 2 + 1( t/m ) t − 1 − t 1 ( ) ( )

( 2) = 3

(

)

(

)

2 + 2 > 0, g − 2 < 0, g − 2 + 1 = −2 2 + 1 < 0

Ta có bảng biến thiên

- 2+1

- 2

g'(t)

g(- 2+1)

+∞

g(t) g(- 2) y=g(t)

g( 2 )

-∞ +∞ +∞

g(- 2)

g( 2 ) g(- 2+1)

(

)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra ymin = y − 2 + 1 = 2 2 − 1 .

Câu 12.

(Sở Phú Thọ - 2018) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5 . Giá trị 1 1 1 nhỏ nhất của biểu thức x3 + y 3 + z 3  + +  bằng: x y z A. 20 . B. 25 . C. 15 . D. 35 . Lời giải

(

)

x + y + z = 4  x + y = 4 − z ⇔ Ta có:  . 2  xy + yz + zx = 5  xy = 5 − z ( x + y ) = 5 − 4 z + z 2

(

)

Lại có: ( x + y ) ≥ 4 xy  ( 4 − z ) ≥ 4 5 − 4 z + z 2 

2 ≤ z ≤ 2 . Dấu " = " xảy ra khi x = y . 3

Và ( x + y + z ) = x 3 + y 3 + z 3 + 3 ( x + y + z )( x + y ) z + 3 xy ( x + y )

(

)

 x3 + y 3 + z 3 = 43 − 12 ( x + y ) z − 3 xy ( x + y ) = 64 − 3 ( 4 − z ) 5 + z 2 . 1 1 1 5   Ta có: P = x3 + y 3 + z 3  + +  = 3z 3 − 12 z 2 + 15 z + 4  3 . 2  z − 4 z + 5z  x y z

(

)

(

)

Đặt t = z 3 − 4 z 2 + 5 z , với

2 50 ≤ z ≤2 ≤ t ≤ 2. 3 27

50 4  ≤ t ≤ 2. Do đó xét hàm số f ( t ) = 5  + 3  , với 27 t  Ta có f ′ ( t ) =

−20  50  < 0, ∀t ∈  ; 2 nên hàm số f ( t ) liên tục và nghịch biến. 2 t  27 

Do đó Pmin = f ( 2 ) = 25 đạt tại x = y = 1 , z = 2 . Câu 13.

(Sở Bắc Ninh - 2018) Gọi M , m lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2018 x + cos 2018 x trên ℝ . Khi đó: 1 1 1 A. M = 2 , m = 1008 . B. M = 1 , m = 1009 . C. M = 1 , m = 0 . D. M = 1 , m = 1008 . 2 2 2 Lời giải 1009

Ta có: y = sin 2018 x + cos 2018 x = ( sin 2 x )

1009

+ (1 − sin 2 x )

. 1009

Đặt t = sin 2 x , 0 ≤ t ≤ 1 thì hàm số đã cho trở thành y = t1009 + (1 − t ) 1009

trên đoạn [ 0;1] .

Xét hàm số f ( t ) = t 1009 + (1 − t )

1008

Ta có: f ′ ( t ) = 1009.t1008 − 1009. (1 − t ) 1008

1008 f ′ ( t ) = 0 ⇔ 1009t − 1009 (1 − t )

1008

1− t 1 =1 ⇔ t = t 2 1 1 Mà f (1) = f ( 0 ) = 1 , f   = 1008 . 2 2

 1− t  ⇔   t 

=1 ⇔

1 1 Suy ra max f ( t ) = f ( 0 ) = f (1) = 1 , min f ( t ) = f   = 1008 [0;1] [0;1] 2 2

Vậy M = 1 , m = Câu 14.

1 1008

(Chuyên Long An - 2018) Cho các số thực x , y thỏa mãn x + y = 2

(

)

x − 3 + y + 3 . Tìm giá trị nhỏ

)

nhất của biểu thức P = 4 x 2 + y 2 + 15 xy . A. min P = −80 .

B. min P = −91 .

C. min P = −83 . Lời giải

D. min P = −63 .

x ≥ 3 Điều kiện:  .  y ≥ −3

Ta có x + y = 2

(

x + y ≥ 4 2 x − 3 + y + 3 ⇔ ( x + y ) = 4 ( x + y ) + 8 x − 3. y + 3 ≥ 4 ( x + y ) ⇔  x + y ≤ 0

)

(1)

. Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: x+ y =2

(

)

x − 3 + y + 3 ≤ 2 2 ( x + y ) ⇔ x + y ≤ 8 ( 2) .

Từ (1) và ( 2 ) ta có x + y ∈ [ 4;8] Ta lại có ( x + 3 )( y + 3 ) ≥ 0 ⇔ xy ≥ −3 ( x + y ) − 9 . 2

Đặt t = x + y suy ra P == 4 ( x 2 + y 2 ) + 15 xy = 4 ( x + y ) + 7 xy ≥ 4t 2 − 21t − 63 . Xét hàm số f ( t ) = 4t 2 − 21t − 63 , với t ∈ [ 4;8] Ta có f ′ ( t ) = 8t − 21 = 0 ⇔ t =

21 ∉ [ 4;8] . Do đó min f ( t ) = f ( 4 ) = −83 . [4;8] 8

 x + y = 4 Do đó P ≥ −83 suy ra min P = −83 khi   x + y = 2

Câu 15.

(THPT

Trần

Phú

Đà

Nẵng

(

x = 7 . ⇔ x−3 + y +3  y = −3

2018)

)

Cho

hai

số

thực

)

2 y 3 + 7 y + 2 x 1 − x = 3 1 − x + 3 2 y 2 + 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + 2 y . B. P = 4 .

A. P = 10

C. P = 6 .

D. P = 8 .

Lời giải

(

)

2 y3 + 7 y + 2 x 1 − x = 3 1 − x + 3 2 y 2 + 1 .

(

)

⇔ 2 y 3 − 3 y 2 + 3 y − 1 + ( y − 1) = 2 (1 − x ) 1 − x + 3 1 − x − 2 1 − x . 3

⇔ 2 ( y − 1) + ( y − 1) = 2

(

1− x

)

+ 1 − x (1) .

Xét hàm số f ( t ) = 2t 3 + t trên [ 0; + ∞ ) . Ta có: f ′ ( t ) = 6t 2 + 1 > 0 với ∀ t ≥ 0  f ( t ) luôn đồng biến trên [ 0; + ∞ ) . Vậy (1) ⇔ y − 1 = 1 − x ⇔ y = 1 + 1 − x .

thỏa

mãn:

 P = x + 2 y = x + 2 + 2 1 − x với ( x ≤ 1) . Xét hàm số g ( x ) = 2 + x + 2 1 − x trên ( −∞;1] . Ta có: g ′ ( x ) = 1 −

1 1 − x −1 = . g′( x) = 0  x = 0 . 1− x 1− x

Bảng biến thiên g ( x ) :

Từ bảng biến thiên của hàm số g ( x ) suy ra giá trị lớn nhất của P là: max g ( x ) = 4 . ( −∞;1]

Câu 16.

(Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2018) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:  x 2 − xy + 3 = 0 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 x 2 y − xy 2 − 2 x3 + 2 x   2 x + 3 y − 14 ≤ 0 A. 8 . B. 0 . C. 12 . D. 4 .

Lời giải 2

Theo giả thiết ta có x 2 − xy + 3 = 0  y =

Từ bất phương trình 2 x + 3 y − 14 ≤ 0 ⇔

x +3 x

9 5x2 − 4x + 9 ≤ 0 ⇔1≤ x ≤ . x 5

2 3 2  x = xy − 3  x = x y − 3x  Mặt khác ta có   2 2 2  xy = x + 3  xy = x y + 3 y

 x2 + 3  9 Thay vào ta được P = −3 y + 8 x = −3   + 8 x = 5x − . x  x 

Xét hàm số f ( x ) = 5 x −

Ta có f ′ ( x ) = 5 +

9 trên đoạn x

 9 1; 5  .  

9  9 9 ≥ 0, ∀x ∈ 1;  do đó min = f (1) = −4 và max = f   = 4 . 2 9 9     x  5 5 1; 5  1; 5  







Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 0 .

Câu 17.

(

)

(Sở Nam Định - 2018) Biết rằng bất phương trình m x + 1 − x 2 + 1 ≤ 2 x 2 − x 4 + x 2 + 1 − x 2 + 2 có

(

nghiệm khi và chỉ khi m ∈ −∞; a 2 + b  với a, b ∈ Z . Tính giá trị của T = a + b . B. T = 2 .

A. T = 3 .

C. T = 0 .

D. T = 1 .

Lời giải

Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1 .

)

(

m x + 1 − x2 + 1 ≤ 2 x2 − x4 + x2 + 1 − x2 + 2 ⇔m

(

)

x2 + 1 − x2 + 1 ≤ 2 x2 − x4 + x2 + 1 − x2 + 2

1 ≤ t ≤ 2 Đặt t = x 2 + 1 − x 2   . Khi đó, bất phương trình trở thành: 2 4 2 2 x − x = t − 1 

m ( t + 1) ≤ t 2 + t + 1 ⇔ m ≤ Xét hàm số f ( t ) =

f ′ (t ) =

t2 + t +1 (vì t ∈ [1; 2 ] nên t + 1 > 0 ). t +1

t2 + t +1 trên 1; 2  . t +1

t 2 + 2t > 0, ∀t ∈ 1; 2  suy ra hàm số đồng biến trên 1; 2  . t +1

min f ( t ) = f (1) = 1; 2   

3 ; max f ( t ) = f 2 1; 2 

( 2 ) = −1 + 2

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình

t2 + t +1 m≤ có nghiệm t ∈ 1; 2  ⇔ m ≤ max f ( t ) ⇔ m ≤ −1 + 2 2 1; 2  t +1    a = 2 , b = −1  a + b = 1 .

Câu 18.

(

)

(THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2 x 2 + y 2 + xy = ( x + y )( xy + 2 ) .  x3 y3   x2 y 2  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4  3 + 3  − 9  2 + 2  . x  y x  y 25 23 A. − . B. 5 . C. − . 4 4

Lời giải

(

)

Ta có 2 x 2 + y 2 + xy = ( x + y )( xy + 2 ) ≥ ( x + y ) 2 2 xy .

D. −13 .

Đặt a = x 2 + y 2 ; b = xy ta được: ( 2a + b ) ≥ 8b ( a + 2b ) ⇔ 4a 2 − 4ab − 15b2 ≥ 0



a 5 x2 + y 2 5 x y 5 ≥ . Suy ra: ≥ ⇔t= + ≥ . b 2 xy 2 y x 2

Ta có:  x3 y3   x2 y 2  5 P = 4  3 + 3  − 9  2 + 2  = 4 t 3 − 3t − 9 t 2 − 2 = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18 = f ( t ) với t ≥ . x  y x  2 y

(

Khảo sát hàm số f ( t ) với t ≥ Câu 19.

) (

)

5 23 ta được f ( t ) ≥ − . Vậy chọn C 2 4

(THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 2 x + y = 2 1 + . x 4y 65 B. Pmin = . 4

5 . Tìm giá trị nhỏ 4

nhất Pmin của biểu thức P = A. Pmin =

34 . 5

C. Pmin không tồn tại. D. Pmin = 5 . Lời giải

Từ giả thiết ta có y = Ta có P =

P′ =

5 5 5 5 − 2 x . Vì y > 0 nên − 2 x > 0  x < . Do đó 0 < x < . 4 4 8 8

5 2 1 2 1 10 − 15 x v ới 0 < x < . + = + = 2 8 x 5  x 5 − 8 x −8 x + 5 x 4  − 2x  4 

−15 ( −8 x 2 + 5 x ) − ( −16 x + 5 )(10 − 15 x )

( −8 x 2 + 5 x )

120 x 2 − 75 x − ( −160 x + 240 x 2 + 50 − 75 x )

( −8 x

+ 5x )

 5  5  x = 6 ∉  0; 8  −120 x + 160 x − 50   P′ = . Có P′ = 0  −120 x 2 + 160 x − 50 = 0   . 2 2  1 5   − 8 x + 5 x ( )  x = ∈  0;  2  8  2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin = 5 .

x 2 − 2m(m + 1) x + 2m3 + m 2 + 1 Câu 20. (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho hàm số y = có đồ thị ( Cm ) ( m là x−m tham số thực). Gọi A là điểm thỏa mãn vừa là điểm cực đại của ( Cm ) ứng với một giá trị m vừa là điểm cực tiểu của ( Cm ) ứng với giá trị khác của m. Giá trị của a để khoảng cách từ A đến đường thẳng

( d ) : x − ( a + 1) y + a = 0 đạt giá trị lớn nhất là A. a = 3

B. a = −3

C. a =

10 3

D. a = −

10 3

Lời giải Chọn D 2

2 x 2 − 2m(m + 1) x + 2m3 + m 2 + 1 ( x − m ) − 2m ( x − m ) + 1 = y= ( Điều kiện x ≠ m ) x−m x−m

y = f ( x) = x − m +  y ' = 1−

( x − m)

1 − 2m 2 x−m 2

= 0 ⇔ ( x − m) = 1

 x = m + 1  y ( m + 1) = 1 + 1 − 2m 2 = 2 − 2m 2 x − m = 1 ⇔ ⇔ 2 2  x − m = −1  x = m − 1  y ( m − 1) = −1 − 1 − 2m = −2 − 2m Khi đó A ( x0 , y0 ) thỏa hệ phương trình

 m1 − m2 = −2 m1 − m2 = −2  x0 = m1 + 1 = m2 − 1 m1 − m2 = −2 ⇔ ⇔ ⇔     2 2 2 2  y0 = 2 − 2m1 = −2 − 2m2 ( m1 − m2 )( m1 + m2 ) = 2 m1 + m2 = −1  m1 − m2 = 2 3  1  m1 = − 2  x0 = − 2  1 5 ⇔   A − , −   2 2 m = 1 y = − 5 2 0   2 2

Với ( d ) : x − (a + 1) y + a = 0 thì d ( A; ( d ) ) =

1 5 − + ( a + 1) + a 2 2 a 2 + 2a + 2

4  a = − ( 7a + 4 )  g ' a = 0 ⇔  7 Xét hàm g ( a ) = 2 ( )  a + 2a + 2  a = − 10  3 2

7 a+2 2 a 2 + 2a + 2

Bảng biến thiên x

−

−∞

f ′( x)

10 3

−

+∞

−

f ( x)

49 g ( x )max tại a = −

4 7

10 10 nên d ( A, ( d ) ) max tại a = − 3 3

Câu 21. (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho x, y là các số thực dương thoả mãn điều kiện

 x 2 − xy + 3 = 0 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 x 2 y − xy 2 − 2 x 3 + 2 x thuộc  2 x + 3 y − 14 ≤ 0 khoảng nào sau đây? A. ( −2; 2) . B. ( −∞; −1) . C. (1;3) . D. ( 0;+∞ ) . Lời giải Chọn A x2 + 3 Ta có x − xy + 3 = 0  y = thay vào 2 x + 3 y − 14 ≤ 0 ta có bất phương trình x 2

2x + 3

x2 + 3 9 x2 + 3 − 14 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ . Thay y = vào P = 3 x 2 y − xy 2 − 2 x 3 + 2 x ta có x 5 x 2

 x2 + 3  x2 + 3 x4 + 6x2 + 9 5x2 − 9 3 2 3 . P = 3x − x − 2 x + 2 x = 3 x x + 3 − − 2 x + 2 x = ( )  x x x  x  2

P′ =

5x2 + 9 5x2 − 9  9 > 0, ∀ x ∈ 1; . Suy ra P = đồng biến trên  5  x2 x

 9 1; 5  .

9 Vậy Max P = P   = 4; Min P = P (1) = −4 . Suy ra Max P + Min P = 0 . 9  9  9    9 5 1; 5  1; 5  1; 5  1; 5  















Câu 22. (Sở Bình Phước - 2021) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=

a + bc b + ca + + c + 2021 bằng 1 + bc 1 + ca

2 3 + 51 . 3

2021 + 2.

2021.

2022.

Lời giải Chọn D

(

Ta có: a + bc ≥ a ( a + b + c ) ≥ a 2 + 2a bc ≥ a 2 1 + bc

Tương tự ta có:

)

b + ca ≥ b. 1 + ca

Suy ra: A ≥ a + b + c + 2021 = 1 − c + c + 2021 . Xét hàm số f ( c ) = 1 − c + c + 2021; c ∈ [ 0;1] . Ta có f ′ ( c ) = −1 +

1 2 c + 2021

< 0, ∀c ∈ [ 0;1] .

Vậy f ( c ) là hàm số nghịch biến nên ta có f ( c ) ≥ f (1) = 2022.



a + bc ≥a. 1 + bc

Chuyên đề 6

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g khi biết bảng biến thiên hàm số f(x) Câu 1.

(THPT Lương Văn Can - 2018) Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) = sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 1 .

Câu 2.

B. x = −2 .

1 ? f ( x) − 2

C. x = −1 .

D. x = 2 .

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 1 . Câu 3.

3x − 1 . Khi đó đường thẳng nào x −1

B. 2 .

2019 là f ( x ) −1

D. 4 .

C. 3 .

(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ \ {−1} có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số y = ngang? A. 4 . Câu 4.

B. 3 .

1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận f ( x) C. 2 .

D. 1 .

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn lim f ( x ) = −1 và lim f ( x ) = m . x → −∞

x →+ ∞

1 Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y = có duy nhất một tiệm cận f ( x) + 2 ngang. A. 1. B. 0 . C. 2 . D. Vô số.

Trang 1

Câu 5.

(Kim Liên - Hà Nội 2019) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f (tan x) = cos 4 x . Tìm tất cả các giá 2019 trị thực của m để đồ thị hàm số g ( x) = có hai tiệm cận đứng. f ( x) − m A. m < 0 . B. 0 < m < 1 . C. m > 0 . D. m < 1 .

Câu 6.

(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 4 . Câu 7.

B. 3 .

C. 1 .

1 là: 2 f ( x ) −1 D. 2 .

(Bình Giang-Hải Dương -2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng biến thiên như sau:

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f ( x) + 3 A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng biến thiên như sau: Đồ thị y =

Câu 8.

Đồ thị hàm số y = A. 0 . Câu 9.

Trang 2

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f ( x) − 5 B. 4 . C. 2 .

D. 1.

(Chuyên Hưng Yên 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = B. 1.

A. 0. Câu 10.

C. 2.

A. 2 .

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

C. 4 .

B. 3 .

D. 6 .

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ

(x bên. Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =

− 3x + 2 ) x − 1

x  f 2 ( x ) − f ( x ) 

A. 2 . Câu 12.

D. 3.

(THPT Bạch Dằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số y =

Câu 11.

1 là 2 f ( x) −1

B. 4 .

có bao nhiêu tiệm cận đứng?

C. 3 .

D. 5 .

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ sau.

Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = A. 5 . Câu 13.

− 3x + 2 ) x − 1

( x + 1)  f 2 ( x ) − f ( x ) B. 4 .

có bao nhiêu tiệm cận đứng? C. 6 .

D. 3 .

(THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = f ( x) là hàm số đa thức có đồ thì như hình vẽ dưới đây, đặt g ( x ) =

x2 − x . Hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu tiệm f 2 ( x) − 2 f ( x)

cận đứng?

Trang 3

A. 5 . Câu 14.

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 2. Câu 15.

A. 4 .

Trang 4

C. 3.

D. 1.

(THPT Minh Khai 2020) Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như bên dưới.

Hỏi đồ thị hàm số y =

Câu 16.

B. 4.

1 là f ( x + x) + 3 3

− 2x) 2 − x

( x − 3)  f 2 ( x ) − f ( x )  B. 6 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng C. 3 .

D. 5 .

(Yên Phong 1 - 2018) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d , ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = A. 2 . Câu 17.

( x + 1)

− 4 x + 3)

B. 1.

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? C. 3 .

D. 4 .

(Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y =

A. 5. Câu 18.

f ( x) 2

( x2 − 4)( x 2 + 2 x) 2

 f ( x) + 2 f ( x) − 3  

B. 2.

có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?

C. 3.

D. 4.

(Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

ℝ . Đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x2 + x − 2 f 2 ( x) − f ( x)

là

A. 4 . Câu 19.

B. 3

C. 2 .

D. 5

(Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ , có bảng biến thiên như hình vẽ.

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = cận đứng bằng 3 . Chọn đáp án đúng. A. 0 < m ≤ 1 . B. 0 ≤ m ≤ 1 .

1 có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm f ( x) − m 2

C. 0 < m < 1 .

D. m = 0 . Trang 5

Câu 20.

(THPT Đồng Quan - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số y = A. 5 . Câu 21.

B. 2 .

C. 3 .

( f ( x + 1) − 4 )

x2 − 4

là

D. 4 .

(Liên Trường Nghệ An – 2021) Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −100;100] để đồ thị hàm số

1 + mx 2 có đúng hai đường tiệm cận? f ( x) − m A. 100 . B. 99 . y=

Trang 6

C. 2 .

D. 196 .

Chuyên đề 6

TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g khi biết bảng biến thiên hàm số f(x) Câu 1.

(THPT Lương Văn Can - 2018) Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) = sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 1 .

B. x = −2 .

3x − 1 . Khi đó đường thẳng nào x −1

1 ? f ( x) − 2

C. x = −1 .

D. x = 2 .

Lời giải

f ( x) = 2 ⇔ Với y =

3x − 1 = 2  3x − 1 = 2 x − 2 ⇔ x = −1 . x −1

1 ta có lim + y = −∞; lim − y = +∞ x →( −1) x →( −1) f ( x) − 2

Vậy đồ thị hàm số y = Câu 2.

1 có đường tiệm cận đứng x = −1 . f ( x) − 2

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 1 .

B. 2 .

2019 là f ( x ) −1

C. 3 . Lời giải

D. 4 .

Chọn C Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) suy ra tập xác định của hàm số y = f ( x ) là D = ℝ Do đó số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

2019 chính là số nghiệm của phương f ( x ) −1

trình f ( x ) = 1 . Trang 1

Qua đồ thị ta có: Đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f ( x ) = 1 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị hàm số y = Câu 3.

2019 có 3 đường tiệm cận đứng. f ( x) −1

(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ \ {−1} có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số y = ngang? A. 4 .

B. 3 .

1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận f ( x) C. 2 . Lời giải

D. 1 .

Chọn A Ta có: lim f ( x ) = 2  lim x →−∞

x →−∞

Suy ra đồ thị hàm số y =

1 1 1 1 = ; lim f ( x ) = −2  lim =− . x →+∞ f ( x ) f ( x ) 2 x→+∞ 2

1 1 1 có hai đường tiệm cận ngang là y = và y = − . 2 2 f (x)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta thấy: phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < −1 < x2 . Khi đó: f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 .  lim− f ( x ) = 0 1  Ta có:  x → x1  lim− = +∞ và x → x1 f ( x )  f ( x ) > 0 khi x → x1−

Vậy đồ thị hàm số y =

 lim− f ( x ) = 0 1  x → x2  lim− = +∞ .  x → x2 f ( x )  f ( x ) > 0 khi x → x2 −

1 có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x = x1 và x = x2 . f ( x)

Do đó chọn A. Câu 4.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn lim f ( x ) = −1 và lim f ( x ) = m . x→ − ∞

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y = ngang. A. 1. Trang 2

B. 0 .

C. 2 .

x→ + ∞

1 có duy nhất một tiệm cận f ( x) + 2 D. Vô số.

Lời giải Chọn C Ta có lim y = lim x → −∞

x → −∞

1 = 1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 . f ( x) + 2

TH 1: Nếu m = −1 thì lim

x→ − ∞

1 1 = 1 và lim = 1 thì đồ thị hàm số có một tiệm cận. x→ + ∞ f ( x ) + 2 f ( x) + 2

TH 2: Nếu m ≠ −1 Để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang ⇔ lim

x → +∞

1 không có giá trị hữu hạn f ( x) + 2

⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = −2 . Vậy khi m ∈ {−2; −1} thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang. Câu 5.

(Kim Liên - Hà Nội 2019) Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f (tan x) = cos 4 x . Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số g ( x) = A. m < 0 .

2019 có hai tiệm cận đứng. f ( x) − m

B. 0 < m < 1 .

C. m > 0 . Lời giải

D. m < 1 .

Chọn B

f (tan x) = cos 4 x ⇔ f (tan x) = Hàm số g ( x) =

(1 + tan x )

2019  g ( x) = f ( x) − m

 f (t ) =

1 (1 + t 2 ) 2

2019 1 −m (1 + x 2 )2

Hàm số g ( x ) có hai tiện cận đứng khi và chỉ khi phương trình phân biệt ⇔ (1 + x 2 ) 2 = Câu 6.

1 − m = 0 có hai nghiệm (1 + x 2 )2

1 > 1 ⇔ 0 < m < 1. m

(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 4 . Đặt h ( x ) =

B. 3 .

C. 1 . Lời giải

1 là: 2 f ( x) −1 D. 2 .

1 . 2 f ( x ) −1

*) Tiệm cận ngang: Trang 3

1 = 0. x →+∞ 2 f ( x ) − 1

Ta có: lim h ( x ) = lim x →+∞

lim h ( x ) = lim

x →−∞

1 = 0. 2 f ( x ) −1

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 0 . *) Tiệm cận đứng: Xét phương trình: 2 f ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ( x ) =

1 . 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x ) =

1 có ba nghiệm phân biệt a, b, c thỏa mãn 2

a <1< b < 2 < c . Đồng thời lim+ h ( x ) = lim− h ( x ) = lim+ h ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số y = h ( x ) có ba đường tiệm x→a

x →b

x →c

cận đứng là x = a , x = b và x = c . Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = h ( x ) là 4. Câu 7.

(Bình Giang-Hải Dương -2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị y =

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f ( x) + 3

A. 2.

B. 0.

C. 1. Lời giải

D. 3.

Chọn A Đặt y = g ( x ) =

1 có tử số là 1 ≠ 0, ∀x ∈ ℝ 2 f ( x) + 3

Ta có 2 f ( x ) + 3 = 0 ⇔ f ( x ) = −

3 (1). 2

Từ bảng biến thiên có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 ∈(−∞ ; 0) , x2 ∈(0;1) .

Trang 4

Do đó đồ thị hàm số y = Câu 8.

1 có 2 đường tiệm cận đứng. 2 f ( x) + 3

(Chuyên Thoại Ngọc Hầu 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y =

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f ( x) − 5

A. 0 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1.

Lời giải 5 Ta có: 2 f ( x ) − 5 = 0 ⇔ f ( x ) = (1) . Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 ≠ 1 và 2 1 giới hạn của hàm số y = tại các điểm x1 , x2 , x3 , x4 đều bằng ±∞ . 2 f ( x) − 5 Mặt khác lim± x →1

1 = 0 nên x = 1 không phải tiệm cận đứng. 2 f ( x) − 5

Vậy đồ thị hàm số y = Câu 9.

1 có 4 đường tiệm cận đứng. 2 f ( x) − 5

(Chuyên Hưng Yên 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. 0.

B. 1.

2 f ( x ) −1 = 0 ⇔ f ( x ) =

1 . 2

1 là 2 f ( x) −1

C. 2. D. 3. Lời giải 1 Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = đúng bằng số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x) −1

Trang 5

Mà số nghiệm thực của phương trình f ( x ) = với đường thẳng y =

1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) 2

1 . 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = biệt. Vậy đồ thị hàm số y =

1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại 2 điểm phân 2

1 có 2 tiệm cận đứng. 2 f ( x) −1

1 = 1  đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 . x →±∞ 2 f ( x ) − 1

Lại có lim

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = Câu 10.

(THPT Bạch Dằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số

(x y=

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f 2 ( x ) − 2 f ( x ) 

B. 3 .

A. 2 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

C. 4 . Lời giải

+ 4 x + 3) x 2 + x

x  f

( x ) − 2 f ( x ) 

Điều kiện tồn tại căn

Trang 6

1 là 3 . 2 f ( x) −1

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

x ≥ 0 x2 + x :  .  x ≤ −1

D. 6 .

x = 0  Xét phương trình x  f ( x ) − 2 f ( x )  = 0 ⇔  f ( x ) = 0 . f x =2  ( ) 2

Với x = 0 ta có lim+ x →0

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) ( x + 1)( x + 3) x + 1 = +∞ = lim . x → 0 x. f ( x ) .  f ( x ) − 2  x . f ( x ) .  f ( x ) − 2 +

Suy ra x = 0 là

tiệm cận đứng. Với f ( x ) = 0  x = −3 (nghiệm bội 2) hoặc x = a (loại vì −1 < a < 0 ). Ta có: lim+ x →−3

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = −∞ x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

nên x = −3 là tiệm cận đứng.

 x = −1  Với f ( x ) = 2   x = b ( −3 < b < −1) (nghiệm bội 1). Ta có:  x = c c < −3 ( )   ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)  lim+ =0  x →−1 x. f ( x ) .  f ( x ) − 2  ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) lim =0  nên x = −1 không là tiệm cận x →b+ x. f ( x ) .  f ( x ) − 2   ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) =0  xlim →−1− x. f ( x ) .  f ( x ) − 2   đứng. lim+

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = +∞ x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

(do x → b + thì f ( x ) → 2+ ) nên x = b là tiệm cận đứng.

lim+

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = +∞ x. f ( x ) .  f ( x ) − 2 

(do x → c + thì f ( x ) → 2− ) nên x = c là tiệm cận đứng.

x →b

x →c

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng. Câu 11.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số g ( x )

A. 2 .

(x =

− 3x + 2 ) x − 1

x  f 2 ( x ) − f ( x ) 

B. 4 .

có bao nhiêu tiệm cận đứng?

C. 3 . Lời giải

D. 5 .

Chọn C Nhận xét 1: Với x0 ≥ 1 và lim+ g ( x ) hoặc lim− g ( x ) có kết quả là +∞ hoặc −∞ thì x = x0 là tiệm x → x0

x → x0

cận đứng của của đồ thị hàm số g ( x ) . 2

Nhận xét 2: Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta có: f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − 2 ) . Trang 7

x = 0  Ta có x  f ( x ) − f ( x )  = 0 ⇔  f ( x ) = 0 .  f x =1  ( ) 2

 x = x1 , 0 < x1 < 1 f ( x) = 0 ⇔  . x = 2 x =1  f ( x ) = 1 ⇔  x = x2 ,1 < x2 < 2 suy ra f ( x ) − 1 = a ( x − 1) ( x − x2 )( x − x3 ) . x = x , x > 2 3 3 

(x Khi đó ta có g ( x ) =

− 3x + 2 ) x − 1

x  f

( x ) − f ( x ) 

( x − 1)( x − 2 ) x − 1 . x. f ( x )  f ( x ) − 1

( x − 1)( x − 2 ) x − 1 x −1 = 2 . 2 x.a ( x − x1 ) ( x − 2 ) .a ( x − 1) ( x − x2 )( x − x3 ) a x ( x − x1 ) ( x − 2 ) ( x − x2 )( x − x3 ) x = 0 , x = x1 không phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = g ( x ) không thỏa mãn điều kiện x0 ≥ 1 . Đồ thị hàm số g ( x ) có 3 đường tiệm cận đứng là: x = 2, x = x2 , x = x3 .

g ( x) =

Câu 12.

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ sau.

Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =

− 3x + 2 ) x − 1

( x + 1)  f 2 ( x ) − f ( x ) 

A. 5 .

có bao nhiêu tiệm cận đứng?

B. 4 .

C. 6 . Lời giải

Chọn D Ta có g ( x ) =

( x − 1)( x − 2 ) x − 1 ( x + 1) f ( x )  f ( x ) − 1

x ≥ 1  Đkxđ:  f ( x ) ≠ 0   f ( x) ≠ 1 Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta có:

x = 2 f ( x) = 0 ⇔  với x = 2 là nghiệm kép, x1 ∈ ( 0;1) .  x = x1 x = 1 f ( x ) = 1 ⇔  x = x2 với x2 ∈ (1; 2 ) ; x3 > 2 .  x = x3 Trang 8

D. 3 .

Vậy g ( x ) =

( x − 1)( x − 2 ) x − 1 2 ( x + 1)( x − 2 ) ( x − x1 )( x − 1)( x − x2 )( x − x3 )

x −1 a ( x + 1)( x − 2 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) 2

Vậy đồ thị hàm số có 3 TCĐ x = 2; x = x2 ; x = x3 (do x ≥ 1 nên ta loại x = −1; x = x1 ).

Câu 13.

(THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = f ( x) là hàm số đa thức có đồ thì như hình vẽ dưới đây, đặt g ( x ) =

x2 − x . Hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu tiệm f 2 ( x) − 2 f ( x)

cận đứng?

A. 5 .

B. 3 .

C. 4 . Lời giải

D. 2 .

Chọn C

f 2 Ta xét phương trình f ( x ) − 2 f ( x ) = 0 ⇔   f

g ( x) =

x2 − x 2

ax ( x − 1) ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )

 x = 1  x = x < −1 ( x ) = 0   1 ⇔ x = 0 . Khi đó ( x ) = 2    x = x2 > 1    x = x3 < −1, x3 ≠ x1 1

a ( x − 1)( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )

; ( a ≠ 0) .

Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 14.

(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Trang 9

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

A. 2.

B. 4.

C. 3. Lời giải

1 là f ( x + x) + 3 3

D. 1.

Chọn A Tính tiệm cận ngang. x →+∞ Ta có x 3 + x  → +∞  lim

x →+∞

x →−∞ x 3 + x  → −∞  lim

x →−∞

1 =0 f ( x + x) + 3 3

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = 0 . Tính tiệm cận đứng. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình f ( x 3 + x ) + 3 = 0 . Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( x 3 + x ) + 3 = 0 ⇔ f ( x 3 + x ) = − 3 ⇔ x 3 + x = x0 ; x0 ∈ ( −∞ ;1 ) Vì hàm số y = x3 + x đồng biến trên ℝ do đó x3 + x = x0 ; x0 ∈ ( −∞ ;1 ) có một nghiệm duy nhất. Vậy đồ thị hàm số y =

Câu 15.

1 có 1 tiệm cần đứng. f ( x + x) + 3 3

(THPT Minh Khai 2020) Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như bên dưới.

Hỏi đồ thị hàm số y =

A. 4 .

− 2x

)

2− x

( x − 3)  f ( x ) − f ( x )  2

B. 6 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng

C. 3 . Lời giải

D. 5 .

Chọn C Ta có y′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt cực trị tại x = 0 , x = 2 . Do đó, ta có hệ

 y ( 0) = 1 a = 1 d = 1   b = −3  y ( 2 ) = −3 c = 0    .  12a + 4b = 0 c = 0  y′ ( 0 ) = 0 8a + 4b = −4  d = 1  y′ 2 = 0  ( ) Trang 10

Vậy y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + 1 . Khi đó y =

Hàm số y =

lim+

x →0

− 2x) 2 − x

(

− 2x) 2 − x

− 3 x 2 + 1)( x3 − 3 x 2 )

− 2x) 2 − x 2

x 2 ( x − 3) ( x 3 − 3 x 2 + 1)

có tập xác định D = ( −∞; 2] \ {0; x1; x2 } .

− 2x) 2 − x

)

x 2 ( x − 3) ( x3 − 3 x 2 + 1)

( x − 3)

− 2x) 2 − x

x = 0  x = 3 3 2 x − 3x + 1 = 0 ⇔  x = x1 ∈ ( −1;0 ) .  x = x ∈ ( 0;1) 2   x = x3 ∈ ( 2;3)

(x 2

(x ( x − 3) ( x

( x − 3)  f 2 ( x ) − f ( x ) 

Ta có x 2 ( x − 3)

− 3 x + 1) 2

x ( x − 2) 2 − x

= lim+ x →0

( x − 3)

)

− 3x + 1

= lim+ x →0

( x − 2) 2 − x = −∞ . 2 x ( x − 3) ( x 3 − 3 x 2 + 1)

Suy ra x = 0 là đường tiệm cận đứng. lim+

x → x1

− 2x) 2 − x 2

x 2 ( x − 3) ( x 3 − 3 x 2 + 1)

= +∞ , lim+ x → x2

− 2x) 2 − x 2

x 2 ( x − 3) ( x 3 − 3 x 2 + 1)

= +∞ .

Suy ra x = x1 và x = x2 cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 16.

(Yên Phong 1 - 2018) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d , ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =

A. 2 .

f ( x)

( x + 1)

− 4 x + 3)

B. 1.

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

D. 4 .

C. 3 .

Lời giải x ≥ 2  f ( x) ≥ 0  x ≠ −1  x ≥ 2  Điều kiện xác định:  x ≠ −1 ⇔ ⇔ . x ≠ 1 x ≠ 3   x2 − 4 x + 3 ≠ 0    x ≠ 3 Ta có lim+ g ( x ) = lim+ x →3

x →3

f ( x)

( x + 1)

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) =

− 4 x + 3)

= +∞ và lim− g ( x ) = lim−

f ( x)

( x + 1)

− 4 x + 3)

x →3

f ( x)

( x + 1)

− 4 x + 3)

= −∞ .

có một đường tiệm cận đứng là: x = 3 .

Trang 11

Câu 17.

(Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y =

A. 5.

( x 2 − 4)( x2 + 2 x) 2

 f ( x) + 2 f ( x) − 3  

B. 2.

có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?

C. 3. Lời giải

D. 4.

Chọn D

( x 2 − 4)( x2 + 2 x)

x ( x + 2) ( x − 2) y= = 2 2  f ( x) + 2 f ( x) − 3  f ( x) + 2 f ( x) − 3      x = m ( m < − 2)  x = 0   f x 1 = ( ) 2     Ta có:  f ( x ) + 2 f ( x ) − 3 = 0 ⇔  ⇔  x = n ( n > 2)   f ( x ) = −3 x = 2   x = −2  Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm x = 0; x = ±2 là các nghiệm kép (nghiệm bội 2) và đa thức 2

x ( x + 2) ( x − 2)

 f ( x ) + 2 f ( x )− 3 có bậc là 8 nên y = 2 2   a 2 x 2 ( x + 2) ( x − 2) ( x − m)( x − n) Vậy hàm số có các tiệm cận đứng là x = 0; x = 2; x = m; x = n .

Câu 18. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

ℝ . Đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là

Trang 12

x2 + x − 2 f 2 ( x) − f ( x)

A. 4 .

B. 3

C. 2 . Lời giải

D. 5

Chọn A Xét hàm số y =

( x − 1)( x + 2 ) . x2 + x − 2 = 2 f ( x ) − f ( x ) f ( x )  f ( x ) − 1

 f ( x) = 0 Xét phương trình f ( x )  f ( x ) − 1 = 0 ⇔  .  f ( x ) = 1  x = 1( kep ) V ới f ( x ) = 0 ⇔   x = 1 là TCĐ, x = −2 không là TCĐ.  x = −2 ( don )

x = 0   x = 0 , x = x1 , x = x2 đều là các đường TCĐ. Với f ( x ) = 1 ⇔  x = x1 ∈ ( 0;1)  x = x ∈ −2; −1 ( ) 2  Vậy đồ thị hàm số có 4 đường TCĐ.

Câu 19. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ , có bảng biến thiên như hình vẽ.

Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = cận đứng bằng 3 . Chọn đáp án đúng. A. 0 < m ≤ 1 . B. 0 ≤ m ≤ 1 .

1 có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm f ( x) − m 2

C. 0 < m < 1 . Lời giải

D. m = 0 .

Chọn C Ta có lim y = lim x →±∞

x →±∞

1 1 = vì lim f ( x ) = 0 . Do đó: x →±∞ f ( x ) − m −m 2

Nếu m = 0 thì đồ thị hàm số y =

1 không có tiệm cận ngang. f ( x) − m 2

Mặt khác phương trình f 2 ( x ) − m = 0 ⇔ f ( x ) = 0 vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Nếu m ≠ 0 thì đồ thị hàm số y =

1 1 có một tiệm cận ngang là y = . f ( x) − m −m 2

+ m < 0 : Phương trình f 2 ( x ) − m = 0 vô nghiệm vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận

đứng.

 f ( x) = m + m > 0 : f 2 ( x) − m = 0 ⇔   f ( x ) = − m Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x ) = − m vô nghiệm với ∀m > 0 . Trang 13

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm phân biệt ⇔ 0 < m < 1 . Vậy 0 < m < 1 thì đồ thị hàm số y =

1 có 3 tiệm cận. f ( x) − m 2

Câu 20. (THPT Đồng Quan - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số y =

A. 5 .

B. 2 .

( f ( x + 1) − 4 )

C. 3 . Lời giải

x2 − 4

là

D. 4 .

Chọn D 2  x − 4 > 0  x < −2 ∨ x > 2 Điều kiện:  ⇔  f ( x + 1) ≠ 4  f ( x + 1) ≠ 4

 x = α − 1∈ ( −2;0 )  x + 1 = α ∈ ( −1;1)   ⇔ x =1 Xét f ( x + 1) = 4 ⇔  x + 1 = 2   x + 1 = β ∈ ( 4; +∞ )   x = β − 1∈ ( 3; +∞ ) Khi đó: +/ lim− y = −∞ , lim+ y = +∞ , x →−2

x→2

(l ) (l ) (n)

lim − y = +∞, lim + y = −∞ nên đồ thị hàm số có 3 tiệm cận

x →( β −1)

đứng. +/ lim y = 0 , lim y = 0 nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang. x →−∞

x →+∞

Câu 21. (Liên Trường Nghệ An – 2021) Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −100;100] để đồ thị hàm số

1 + mx 2 có đúng hai đường tiệm cận? f ( x) − m A. 100 . B. 99 . y=

Trang 14

C. 2 . Lời giải

D. 196 .

1 . f ( x) Đồ thị hàm số có một TCN y = 0 và ba tiệm cận đứng nên m = 0 không thoả mãn. TH2: m < 0 Đồ thị hàm số không có TCN Yêu cầu bài toán ⇔ f ( x ) = m có nghiệm, trong đó có đúng hai nghiệm thoả mãn 1 + mx 2 ≥ 0 . Mà m là số nguyên nên dựa vào đồ thị ta chỉ cần xét m ∈ {−2; −1} . TH1: m = 0  y =

1 − 2x2 . Khi đó f ( x ) = − 2 có hai nghiệm x1 = 0 ; x2 = a > 2 . Nghiệm x2 f ( x) + 2 không thoả mãn điều kiện 1 − 2 x 2 ≥ 0 nên m = −2 không thoả mãn

+ Với m = −2  y =

1 − x2 Khi đó f ( x ) = − 1 có hai nghiệm x1 = b ∈ ( −1;0 ) ; x2 = c ∈ ( 0;1) . Cả + Với m = −1  y = f ( x) + 1 hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện 1 − x 2 ≥ 0 nên m = −1 thoả mãn. TH3: m > 0 . Khi đó 1 + mx 2 ≥ 0, ∀x ∈ R . Đồ thị hàm số có một TCN y = 0 . Yêu cầu bài toán ⇔ f ( x ) = m có đúng một nghiệm x ∈ R ⇔ m > 2  m ∈ Z Vì m nguyên thuộc đoạn [ −100;100 ]   nên có 99 giá trị.  m ∈ [ 3;100 ] ∪ {−1}

Trang 15

Chuyên đề 7

ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xét dấu của các hệ số hàm số thông qua đồ thị

Câu 1.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax 3 + 3 x + d ( a; d ∈ ℝ ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, d > 0 . Câu 2.

B. a < 0, d > 0 .

C. a > 0, d < 0 .

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) =

ax + 1 bx + c

D. a < 0, d < 0 .

( a , b, c ∈ ℝ )

có bảng biến thiên như

Trang 1

Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương? A. 2. B. 3. C. 1. Câu 3.

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b , c , d ?

A. 4 . Câu 4.

D. 0.

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các hệ số a, b, c, d ?

A. 4 . Câu 5.

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 .

Câu 6.

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a , b, c, d ∈ R ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b, c, d ?

A. 4 . Trang 2

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 7.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

( a, b, c, d ∈ ℝ )

có bảng biến thiên

như sau

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . Câu 8.

D. 3 .

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a , b, c, d ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 3. B. 4. C. 2. Câu 9.

D. 1.

(Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a , b, c, d ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? B. 4 . C. 1 . A. 2 . Câu 10.

D. 3 . 2

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d

( a , b, c, d ∈ ℝ )

có bảng biến thiên

như sau:

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . 3 2 Câu 11. Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 C. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0

B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0 . D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0 . Trang 3

Câu 12.

(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. a > 0, b < 0, c > 0 Câu 13.

B. a > 0, b < 0, c < 0

C. a > 0, b > 0, c < 0 D. a < 0, b > 0, c < 0 ax + b (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số y = có đồ thị như sau. cx + d

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ac > 0; bd > 0 B. ab < 0; cd < 0 C. bc > 0; ad < 0 D. ad > 0; bd < 0 3 2 Câu 14. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng về dấu của a , b , c , d ?

A. a > 0 , b > 0 , d > 0 , c > 0 C. a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.

B. a > 0 , c > 0 > b , d < 0 D. a > 0 , b < 0 , c < 0 , d > 0 (a −1) x + b Câu 15. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hàm số y = , d < 0 có đồ thị như hình trên. Khẳng (c −1) x + d định nào dưới đây là đúng?

A. a > 1, b > 0, c < 1. Trang 4

B. a > 1, b < 0, c > 1.

C. a < 1, b > 0, c < 1.

D. a > 1, b > 0, c > 1.

Câu 16.

4 2 (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a < 0 , b > 0 , c < 0 . B. a < 0 , b < 0 , c > 0 . C. a < 0 , b > 0 , c > 0 . D. a < 0 , b < 0 , c < 0 . Câu 17. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Khẳng định nào là đúng? A. a < 0 , b < 0 , c < 0 , d < 0 . C. a > 0 , b > 0 , c < 0 , d > 0 .

B. a > 0 , b > 0 , c > 0 , d < 0 . D. a > 0 , b < 0 , c < 0 , d > 0 . ax + b Câu 18. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y = có đồ thị như hình bên dưới, với a , b , c ∈ ℤ . x+c Tính giá trị của biểu thức T = a + 2b + 3c ?

A. T = −8 . B. T = 2 . C. T = 6 . D. T = 0 . 3 2 Câu 19. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. ab < 0, bc > 0, cd < 0 C. ab > 0, bc > 0, cd < 0

B. ab < 0, bc < 0, cd > 0 D. ab > 0, bc > 0, cd > 0 Trang 5

Câu 20.

(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. a < 0, b < 0, c < 0, d < 0 C. a < 0, b > 0, c < 0, d > 0 Câu 21.

B. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0 D. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

(THPT Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, b < 0, c < 0 .

B. a < 0, b < 0, c < 0 .

C. a < 0, b > 0, c < 0 . D. a > 0, b < 0, c > 0 ax + b Câu 22. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số y = có đồ thị như trong hình bên cx + d dưới. Biết rằng a là số thực dương, hỏi trong các số b , c , d có tất cả bao nhiêu số dương?

A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 . 3 2 Câu 23. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Khẳng định nào là đúng? A. a < 0 , b < 0 , c < 0 , d < 0 . C. a > 0 , b > 0 , c < 0 , d > 0 . Trang 6

B. a > 0 , b > 0 , c > 0 , d < 0 . D. a > 0 , b < 0 , c < 0 , d > 0 .

Câu 24. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số y =

ax + b có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào cx + d

sau đây là khẳng định đúng?

ad < 0 A.  . B.  bc > 0 Câu 25. Tìm đồ thị hàm số y =

ad < 0 . C.   bc < 0 f ( x ) được cho bởi

ad > 0 ad > 0 . D.  .   bc < 0  bc > 0 một trong các phương án dưới đây, biết

f ( x ) = ( a − x )( b − x ) với a < b .

Câu 26. Cho đường cong ( C ) : y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a > 0, b < 0, c < 0, d < 0 . B. a > 0, b > 0, c < 0, d > 0 . a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 C. . D. a > 0, b > 0, c < 0, d < 0 . 4 2 Câu 27. (Gia Lai 2019) Hàm số y = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a > 0 , b > 0 , c < 0 . C. a > 0 , b < 0 , c > 0 .

B. a < 0 , b > 0 , c < 0 . D. a > 0 , b < 0 , c < 0 . Trang 7

Câu 28.

(THPT Thăng Long 2019) Cho hàm số y = ax 4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng

A. a + b > 0 . B. bc > 0 . C. ab > 0 . D. ac > 0 . 4 2 Câu 29. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị như hình bên. Hãy chọn mệnh đề đúng.

A. a < 0, b < 0, c = 0 . Câu 30.

B. a < 0, b > 0, c = 0 . C. a > 0, b < 0, c = 0 . D. a > 0, b < 0, c > 0 .

(Chuyên Long An 2019) Cho hàm số y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ ở bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 . B. a > 0 , b > 0 , c < 0 , d > 0 . C. a > 0 , b < 0 , c > 0 , d > 0 . D. a < 0 , b < 0 , c > 0 , d < 0 . Câu 31. (THPT Trần Phú 2019) Cho hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. a < 0, b > 0, c > 0 . B. a > 0, b < 0, c > 0 . C. a < 0, b > 0, c = 0 . D. a > 0, b < 0, c < 0 . Câu 32. (THPT Cộng Hiền 2019) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

A. a > 0, b < 0, c < 0 . Trang 8

B. a > 0, b > 0, c < 0 .

C. a > 0, b < 0, c > 0 .

D. a < 0, b > 0, c < 0 .

Câu 33.

(SGD Điện Biên - 2019) Cho hàm số y =

ax + 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của x+c

a − 2c.

A. a − 2c = 3.

B. a − 2c = −3. ax + b Câu 34. Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y = . cx + d

C. a − 2c = −1.

D. a − 2c = −2.

. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ad > 0 và bd > 0 . B. ad > 0 và ab < 0 . C. bd < 0 và ab > 0 . D. ad < 0 và ab < 0 . ax − b Câu 35. Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ dưới đây: x −1

Khẳng định nào sau đây đúng? B. a < b < 0 . A. b < a < 0 .

Câu 36.

C. b > a và a < 0 .

D. a < 0 < b .

(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Đồ thị trong hình bên dưới là của hàm số ax + b (với a, b, c ∈ ℝ ). y= x+c

Khi đó tổng a + b + c bằng A. −1. B. 1.

C. 2 .

D. 0 . Trang 9

Câu 37.

(Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f ( x) =

2 − ax ( a, b, c ∈ ℝ, b ≠ 0) có bx − c

bảng biến thiên như sau:

Tổng các số ( a + b + c ) thuộc khoảng nào sau đây

A. (1; 2 ) . Câu 38.

B. ( 2;3 ) .

 4 C.  0;  .  9

4  D.  ;1 . 9 

ax + b (a, b, c, d ∈ R và c ≠ 0 ). Biết cx + d rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm ( −1;7 ) và giao điểm hai tiệm cận là ( −2;3) . Giá trị biểu (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x) =

2a + 3b + 4c + d bằng 7c A. 7 . B. 4 .

thức

Câu 39.

C. 6 .

D. −5 .

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số y =

ax + 1 ( a, b, c là các tham số) có bx + c

bảng biến thiên như hình vẽ

Xét các phát biểu sau: (1) : c > 1; ( 2) : a + b < 0; ( 3) : a + b + c = 0; ( 4) : a > 0 . Số phát biểu đúng là? A. 1.

Câu 40.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Ta xác định được các số a , b , c để đồ thị hàm số

y = x3 + ax 2 + bx + c đi qua điểm (1;0 ) và có điểm cực trị 2

( −2;0) .

Tính giá trị biểu thức

T = a +b +c . A. 25. B. −1. C. 7. D. 14. 3 2 Câu 41. (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Tính S = a +b ?

A. S = −2 . Trang 10

B. S = 0 .

C. S = 1 .

D. S = −1 .

Câu 42.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0 . C. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0 . Câu 43.

B. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0 . D. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 .

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y =

ax + b ( a , b , c ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như cx + 1

Tập các giá trị b là tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây? A. b 3 − 8 ≤ 0. B. −b 2 + 4 > 0. C. b 2 − 3b + 2 < 0.

Câu 44.

(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = dưới đây. Tính giá trị biểu thức T =

A. T = 6 . Câu 45.

B. T = 0 .

D. b3 − 8 < 0.

ax + b (với a, b, c, d là số thực) có đồ thị như hình cx + d

a − 2b + 3d . c

C. T = −8 .

D. T = 2 .

(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Trong các số a, b, c và d có bao nhiêu số dương?

A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 . Trang 11

Câu 46.

(Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f ( x ) =

ax − 6 bx − c

( a, b, c ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số âm? A. 0 . B. 3 .

C. 1.

Câu 47. (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Cho hàm số y =

D. 2 .

ax − 1 với a, b, c ∈ ℝ có bảng biến thiên bx + c

như hình vẽ:

Hỏi trong ba số a, b, c có bao nhiêu số dương? A. 0. B. 3. C. 2.

D. 1.

Câu 48. (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đương cong như hình vẽ bên.

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 0 . B. 1 . C. 2 .

D. 3 .

Câu 49. (THPT Phan Đình Phùng - Quảng Bình - 2021) Cho hàm số f ( x ) =

ax − 4 ( a, b, c ∈ ℝ ) có bx + c

bảng biến thiên như sau:

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương? A. 3. B. 0. Trang 12

C. 2.

D. 1.

Câu 50. (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho đồ thị của hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? y

A. a > 0; b < 0; c > 0; b 2 − 4 ac = 0 . C. a > 0; b < 0; c > 0; b 2 − 4 ac > 0 .

B. a > 0; b > 0; c > 0; b 2 − 4 ac = 0 . D. a > 0; b < 0; c > 0; b 2 − 4 ac < 0 .

ax + b có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó d < 0 . cx + d Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương?

Câu 51. (Sở Quảng Bình - 2021) Cho hàm số y =

A. 0 .

B. 1 .

Câu 52. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số y =

Khẳng định nào sau đây đúng? A. a < 0; b > 0; c < 0 .

C. 2 .

D. 3 .

bx − c ( a ≠ 0 và a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như sau: x−a

B. a < 0, b < 0, c > 0 .

C. a > 0, b < 0, c < 0 . D. a > 0, b > 0, c < 0 .

Câu 53. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị như sau:

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? Trang 13

A. 4 . Câu 54.

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

(Chuyên Biên Hòa - 2021) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ sau:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. a < 0; b < 0; c > 0 . B. a > 0; b < 0; c > 0 . C. a < 0; b > 0; c > 0 . D. a > 0; b < 0; c < 0 .

Câu 55.

(Liên Trường Nghệ An – 2021) Cho hàm số f ( x) = ax 4 + bx 2 + c (a, b, c ∈ R) có đồ thị cho bởi hình vẽ bên. Chọn khẳng định đúng:

A. b > a . Câu 56.

B. ab + c > 0 .

D. abc < 0 .

(Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2021) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0 . C. a < 0, b > 0, c = 0, d > 0 . Câu 57. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số f ( x ) =

Trang 14

C. a − c > 0 .

B. a < 0, b < 0, c = 0, d > 0 . D. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0 . ax + 2 , ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị như sau: bx + c

Khẳng định nào dưới đây đúng? A. b < a < 0 < c . B. b < 0 < a < c .

C. a < b < 0 < c .

D. b < 0 < c < a .

Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ) Dạng 1

( )

( )  f ( x ) Ta có: y = f ( x ) =  − f ( x ) * Cách vẽ (C ′ ) từ ( C ) :

( ) f (x ) ≥ 0 f (x ) < 0

( )

Từ đồ thị C : y = f x suy ra đồ thị C ′ : y = f x .

khi khi

( )

 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y = f x .  Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. y Ví dụ: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) = x 3 − 3 x suy ra đồ thị 2

(C ) : y = x

y = x − 3x . 3

− 3x

Biến đổi ( C ) :

-1

( )

Bỏ phần đồ thị của C

( )

dưới Ox , giữ nguyên C

phía trên

-2

Ox. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox .

(C ′) : y = x

− 3x

-1

Dạng 2 Từ đồ thị C : y = f x suy ra đồ thị C ′ : y = f x .

( )

( )  f ( x ) Ta có: y = f ( x ) =   f ( −x )

( )

khi x ≥ 0 khi x < 0

( ) là hàm chẵn nên đồ thị (C′) nhận Oy làm trục đối xứng.

và y = f x

Trang 15

( )

* Cách vẽ C ′ từ C :

( )

 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị C : y = f x .

( )

 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

( )

Ví dụ: Từ đồ thị C : y = f x = x 3 − 3x suy ra đồ thị 3

(C ′) : y = x − 3 x . Biến đổi (C ) :  Bỏ phần đồ thị của (C )

(C ) : y = x

-1

− 3x 1

1 -1

( )

bên trái Oy, giữ nguyên C

-2

bên phải Oy.  Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy .

(C ′) : y = x Chú ý với dạng: y = f ( x ) ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f ( x ) và y = f ( x ) y Ví dụ: Từ đồ thị (C ) : y = f ( x ) = x − 3x (C ′′) : y = x − 3 x suy ra đồ thị y = x − 3 x . Biến đổi (C ) 2

−3x

( )

để được đồ thị C ′ : y = x − 3 x . Biến đổi

(C ′) : y = x

−3x

ta được đồ thị -1

(C ′′) : y =

x −3x .

Dạng 3

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ( x ) .v ( x ) = f ( x ) khi u ( x ) ≥ 0 Ta có: y = u ( x ) .v ( x ) =  −u ( x ) .v ( x ) = f ( x ) khi u ( x ) < 0 * Cách vẽ (C ′ ) từ ( C ) :  Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u ( x ) ≥ 0 của đồ thị (C ) : y = f ( x ) .  Bỏ phần đồ thị trên miền u ( x ) < 0 của (C ) , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Từ đồ thị C : y = u x .v x suy ra đồ thị C ′ : y = u x .v x .

Ví dụ Ví dụ 3 2 x a) Từ đồ thị C : y = f x = 2x − 3x + 1 suy ra b) Từ đồ thị C : y = f x = suy ra đồ thị x −1 2 đồ thị C ′ : y = x − 1 2x − x − 1 x C′ : y = x −1

( )

(

)

( )

 f x  x khi x ≥ 1  y = x − 1 2x 2 − x − 1 =  x y = = x − 1 − f x khi x < 1 x − 1 − x Đồ thị (C’):  x − 1  Giữ nguyên (C) với x ≥ 1 . (C’):  Bỏ (C) với x < 1 . Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ Bỏ phần đồ thị của C qua Ox. với x > 1.

(

)

( ) ( )

( )

Trang 16

( ) khi x ∈ ( −∞;1)

khi x ∈ 1; +∞

. Đồ

thị

( )

với x < 1, giữ nguyên C

Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

(C')

1 O

O 1

(C)

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… thị một cách tương đối chính xác.

Câu 1.

Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y = x3 − 3x 2 + 2 .

(

B. y = x − 3x 2 + 2

)

C. y = x − 1 x 2 − 2 x − 2 . Câu 2.

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 .

(Đề Tham Khảo 2017) Hàm số y = ( x − 2 ) ( x 2 − 1) có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = x − 2 ( x 2 − 1) ?

Câu 3.

A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 4 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ. Trang 17

Câu 4.

Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau: A. f ( x ) = − x3 + x 2 + 4 x − 4

B. f ( x ) = x3 − x 2 − 4 x + 4

C. f ( x ) = − x3 − x 2 + 4 x − 4

D. f ( x ) = x3 + x 2 − 4 x − 4.

Biết phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0) có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 5.

A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. 2 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y = ( x − 2 ) x − 1 có đồ thị như hình vẽ

(

)

Một trong bốn hình dưới đây là đồ thị của hàm số y = ( x − 2 ) x 2 − 1 . Hỏi đó là hình nào?

Câu 6.

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 2. B. Hình 4. C. Hình 3. D. Hình 1. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y = x3 − 3x 2 + 2 . Trang 18

B. y = x − 3 x 2 + 2

(

)

C. y = x − 1 x 2 − 2 x − 2 . Câu 7.

Cho hàm số y =

A. y = Câu 8.

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 .

−x +1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x −1

−x +1 2x −1

B. y =

x +1 2 x −1

−x +1 2x −1

D. y =

−x +1 2x −1

Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị như Hình 1. Khi đó đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

B. y = x3 − 6 x 2 + 9 x .

A. y = − x 3 + 6 x 2 − 9 x . 3

C. y = x − 6 x 2 + 9 x . Câu 9.

C. y =

D. y = x + 6 x + 9 x .

x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 x +1 2 là của hàm số nào trong các đáp án A, B, C, D dưới đây?

(Cụm liên trường Hải Phòng -2019) Cho hàm số y =

A. y =

x . 2 x +1

B. y =

x 2 x +1

C. y =

x 2 x +1

D. y =

x 2 x +1

Câu 10. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Trang 19

B. y = x − 3 x 2 + 2

A. y = x3 − 3x 2 + 2 .

(

)

C. y = x − 1 x 2 − 2 x − 2 .

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 .

Câu 11. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y = x3 − 3x 2 + 2 .

(

B. y = x − 3 x 2 + 2

)

C. y = x − 1 x 2 − 2 x − 2 . Câu 12. Cho hàm số y =

A. y =

x 2 x +1

Câu 13. Cho hàm số y =

A. y = Trang 20

−x +1 . x−2

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 .

x có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x + 1

B. y =

x 2 x +1

C. y =

x 2x + 1

D. y =

x 2 x +1

−x +1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x−2

B. y =

x +1 x −2

C. y =

−x +1 x−2

D. y =

−x +1 x−2

Câu 14. Cho hàm số y =

A. y =

x +1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x+2

x +1 . x+2

B. y =

(

x +1 x +2

C. y =

x +1 . x+2

D. y =

x +1 . x+2

)

Câu 15. Cho hàm số y = ( x − 1) x − 2 x − 3 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

(

A. y = ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 3) .

(

C. y = − x − 1 x 2 − 2 x − 3 Câu 16. Cho hàm số y =

A. y =

x +1 . x+2

)

B. y = x − 1 x 2 − 2 x − 3 .

)

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 3

x +1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? −x + 2

B. y =

x +1 . x−2

C. y =

x +1 . −x + 2

D. y =

x +1 . x+2

Trang 21

Trang 22

ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề 7

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xét dấu của các hệ số hàm số thông qua đồ thị

Câu 1.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax 3 + 3 x + d ( a; d ∈ ℝ ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a > 0, d > 0 .

B. a < 0, d > 0 .

C. a > 0, d < 0 . Lời giải

D. a < 0, d < 0 .

Chọn D Ta có: lim = −∞  đồ thị nhánh ngoài cùng của hàm số hướng đi xuống nên hệ số a < 0 . x→+∞

Trang 1

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Oy : x = 0 là điểm nằm bên dưới trục hoành nên khi x = 0  y = d < 0. Câu 2.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) =

ax + 1 bx + c

( a, b, c ∈ ℝ )

có bảng biến thiên như

Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn C ax + 1 c Hàm số f ( x ) = có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = − và đường tiệm cận ngang bx + c b a là đường thẳng y = . b  c − b = 2 c ⇔ a = b = − (1) Từ bảng biến thiên ta có:  2 a =1  b ac − b Mặt khác: f ' ( x ) = . 2 ( bx + c ) Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) nên f '( x) =

ac − b

( bx + c )

> 0 ⇔ ac − b > 0 (2)

c2 c + > 0 ⇔ −c 2 + c > 0 ⇔ 0 < c < 1 . 2 2 Suy ra c là số dương và a, b là số âm.

Thay (1) vào (2) , ta được: −

Câu 3.

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b , c , d ?

A. 4 .

B. 1 .

Chọn C. Ta có lim y = +∞  a < 0 . x →+∞

Trang 2

C. 2 . Lời giải

D. 3 .

Gọi x1 , x2 là hoành độ hai điểm cực trị của hàm số suy ra x1 , x2 nghiệm phương trình

y ′ = 3ax 2 + 2bx + c = 0 nên theo định lý Viet: b 2b +) Tổng hai nghiệm x1 + x2 = − > 0  < 0  b > 0. a 3a c +) Tích hai nghiệm x1 x2 = >0 c<0. 3a Lại có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d > 0 . Vậy có 2 số dương trong các số a , b , c , d . Câu 4.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các hệ số a, b, c, d ?

A. 4 .

B. 3 .

C. 1 . Lời giải

D. 2 .

Chọn C Ta có lim f ( x ) = −∞  a < 0 x →+∞

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía của trục tung nên ac > 0  c < 0 Đồ thị hàm số có điểm uốn nằm bên phải trục tung nên ab < 0  b > 0 Đồ thị hàm số cắt trục tung ở dưới trục hoành  d < 0 Câu 5.

(Mã 103 2020 Lần 1) Cho hàm số 3 2 y = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a , b, c, d ? A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có y ′ = 3ax 2 + 2bx + c . Dựa vào đồ thị ta thấy a < 0

   b 2 − 9ac > 0 ∆′y ′ > 0  b < 0   2b <0  Hàm số có 2 cực trị âm nên  S < 0 ⇔ − c < 0 P > 0  3a  c   3a > 0  Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0;d ) nên d > 0 . Vậy có đúng một số dương trong các số a , b, c, d

Câu 6.

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ R ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ?

Trang 3

A. 4 .

B. 2 .

C. 1 . Lời giải

D. 3 .

Chọn C Ta có: y′ = 3ax 2 + 2bx + c Dựa vào đồ thị ta thấy a < 0  b 2 − 9ac > 0 ∆′y′ > 0  b < 0   2b <0  Hàm số có 2 cực trị âm nên  S < 0 ⇔ − c < 0   3a P > 0 c  3a > 0 Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0; d ) nên d > 0 Vậy có đúng 1 số dương trong các số a , b, c, d .

Câu 7.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

( a, b, c, d ∈ ℝ )

có bảng biến thiên

như sau

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . Lời giải Chọn D Từ dáng điệu sự biến thiên hàm số ta có a > 0. Khi x = 0 thì y = d = 1 > 0 .

D. 3 .

 x = −2 Mặt khác f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . Từ bảng biến thiên ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  . x = 0 −2b Từ đó suy ra c = 0; = −2  b = 3a > 0 . 3a Vậy có 3 số dương là a, b, d . Câu 8.

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như sau:

Trang 4

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 3. B. 4. C. 2. Lời giải Chọn C  lim f ( x ) = +∞  a > 0.

D. 1.

x →+∞

 f ( 0 ) = −1  d = −1 < 0.  f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c.

 2b − = −2  x1 + x2 = −2  3a b = 3a > 0   . Ta có  c = 0  x1 x2 = 0  c =0  3a Có 2 số dương là a, b Câu 9.

(Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a , b, c, d ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 2 . B. 4 . C. 1 . Lời giải Chọn A. Từ bảng biến thiên, ta có

D. 3 .

1  a=  f = d = (0) 3 3   4   f (4) = −5 64a + 16b + 4c + d = −5 3    ⇔ ⇔ b = −  2  f ′(0) = 0 c = 0   f ′(4) = 0 48a + 8b + c = 0 c = 0 d = 3  Vậy trong các số a, b, c, d có 2 số dương.

Câu 10.

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

( a , b, c, d ∈ ℝ )

có bảng biến thiên

như sau:

Trang 5

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 4 . B. 2 .

Chọn D Ta có: f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

C. 3 . Lời giải

D. 1 .

( a , b, c , d ∈ ℝ )

 f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c

Đồ thị hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị A ( 0; −1) , B ( 4; −5 ) nên ta có hệ: 1   f ( 0 ) = −1 a = 8  d = −1   64a + 16b + 4c + d = −5  f ( 4 ) = −5  b = − 3 ⇔ ⇔ . Trong các số a, b, c, d có 1 số dương.  4  f ′ (0) = 0 c = 0  f′ 4 =0 48a + 8b + c = 0 c = 0  ( )  d = −1 

Câu 11. Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 C. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0

B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0 . D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0 . Lời giải

Chọn A Dựa vào đồ thị suy ra hệ số a < 0  loại phương án C y′ = 3ax 2 + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 trái dấu (do hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm hai phía với Oy )  3a.c < 0  c > 0  loại phương án D. Do

( C ) ∩ Oy = D ( 0; d )  d < 0. Câu 12.

Trang 6

(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. a > 0, b < 0, c > 0

B. a > 0, b < 0, c < 0

C. a > 0, b > 0, c < 0 Lời giải

D. a < 0, b > 0, c < 0

Chọn B Ta có đồ thị có hình dạng như trên với hàm bậc bốn trùng phương có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại nên a > 0, b < 0 . Giá trị cực đại nhỏ hơn 0 nên c < 0 . Câu 13.

(Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số y =

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ac > 0; bd > 0 B. ab < 0; cd < 0

ax + b có đồ thị như sau. cx + d

C. bc > 0; ad < 0 Lời giải

D. ad > 0; bd < 0

Theo đồ thị:

a > 0 (1) c d d Tiệm cận đứng: x = − c > 0  c < 0 ( 2) b b y = 0  x = − < 0  > 0 ( 3) a a

Tiệm cận ngang: y =

Câu 14.

(THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng về dấu của a , b , c , d ?

A. a > 0 , b > 0 , d > 0 , c > 0 C. a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.

B. a > 0 , c > 0 > b , d < 0 D. a > 0 , b < 0 , c < 0 , d > 0 lời giải

Chọn D Dựa vào đồ thị ta có a > 0 , đồ thị cắt Oy tại 1 điểm có tung độ dương nên d > 0 , đồ thị có 2 c cực trị trái dấu nên x1.x2 < 0  < 0  c < 0 . Vậy đáp án D a Câu 15.

(Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hàm số y =

(a −1) x + b , d < 0 có đồ thị như hình trên. Khẳng (c −1) x + d

định nào dưới đây là đúng?

Trang 7

A. a > 1, b > 0, c < 1.

B. a > 1, b < 0, c > 1. C. a < 1, b > 0, c < 1. Lời giải d Theo bài ra, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = − . c −1 a −1 Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: y = . c −1 d Nhìn đồ thị ta thấy: x = − > 0 mà d < 0 ⇒ c −1 > 0 ⇒ c > 1 . c −1 a −1 y= > 0 ⇒ a −1 > 0 ⇒ a > 1 . c −1 b Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng < 0 ⇒ b > 0 . d

Câu 16.

D. a > 1, b > 0, c > 1.

4 2 (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a < 0 , b > 0 , c < 0 . B. a < 0 , b < 0 , c > 0 . C. a < 0 , b > 0 , c > 0 . D. a < 0 , b < 0 , c < 0 . Lời giải Đồ thị cắt trục tung tại điểm ( 0;c ) , từ đồ thị suy ra c < 0 Mặt khác đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, hay

y′ = 4ax3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) = 0 có ba nghiệm phân biệt. Suy ra a, b trái dấu. Mà a < 0  b > 0

Câu 17.

Trang 8

(Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Khẳng định nào là đúng? A. a < 0 , b < 0 , c < 0 , d < 0 . C. a > 0 , b > 0 , c < 0 , d > 0 .

B. a > 0 , b > 0 , c > 0 , d < 0 . D. a > 0 , b < 0 , c < 0 , d > 0 . Lời giải + Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a > 0 . + Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ (0; d ) . Dựa vào đồ thị suy ra d > 0 .

+ Ta có: y ′ = 3ax 2 + 2bx + c . Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 ( x1 < x2 ) trái dấu nên phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 trái dấu. Vì thế 3a.c < 0 , nên suy ra c < 0 .  x1 > −1 + Mặt khác từ đồ thị ta thấy  nên x1 + x2 > 0 .   x2 > 1 −2b − 2b nên suy ra Mà x1 + x2 = > 0 ⇒b<0. 3a 3a Vậy a > 0 , b < 0 , c < 0 , d > 0 .

Câu 18.

(THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y =

ax + b có đồ thị như hình bên dưới, với a , b , c ∈ ℤ . x+c

Tính giá trị của biểu thức T = a + 2b + 3c ?

A. T = −8 .

B. T = 2 .

C. T = 6 . Lời giải

D. T = 0 .

Từ đồ thị hàm số, ta suy ra  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 , tiệm cận ngang là đường thẳng y = −1 .

 Đồ thị hàm số đi qua các điểm A ( 2;0 ) , B ( 0; −2 ) . Từ biểu thức hàm số y =

ax + b (vì đồ thị hàm số là đồ thị hàm nhất biến nên ac − b ≠ 0 ), ta suy x+c

ra  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −c , tiệm cận ngang là đường thẳng y = a .  b   b  Đồ thị hàm số đi qua A  − ;0  , B  0;  . a    c Trang 9

Đối chiếu lại, ta suy ra c = −1 , a = −1 , b = 2 . Vậy T = a + 2b + 3c = ( −1) + 2.2 + 3 ( −1) = 0 . Câu 19. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. ab < 0, bc > 0, cd < 0 B. ab < 0, bc < 0, cd > 0 C. ab > 0, bc > 0, cd < 0 D. ab > 0, bc > 0, cd > 0 Lời giải Chọn A Từ dáng điệu của đồ thị ta có ngay được: ⊕ lim y = +∞; lim y = −∞  a > 0 . x →+∞

x →−∞

⊕ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại một điểm có tung độ dương nên d > 0 . Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c Mặt khác dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm ac < 0 c < 0  này luôn dương nên  2b   (do a > 0 ) − 3a > b < 0 Do đó: ab < 0, bc >, cd < 0 . Câu 20.

(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. a < 0, b < 0, c < 0, d < 0 C. a < 0, b > 0, c < 0, d > 0

B. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0 D. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 Lời giải

Chọn D - Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra hệ số a < 0 . - Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d < 0 . - Ta thấy đồ thị như hình vẽ có hai điểm cực trị, hoành độ các điểm cực trị trái dấu suy ra phương 2 trình y′ = 3ax + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 trái dấu kéo theo 3a.c < 0  c > 0 . - Mặt khác Câu 21.

Trang 10

x1 + x2 b = − > 0  b > 0. 2 3a

(THPT Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. a > 0, b < 0, c < 0 . C. a < 0, b > 0, c < 0 .

B. a < 0, b < 0, c < 0 . D. a > 0, b < 0, c > 0 Lời giải

Chọn C - Dựa vào hình dạng đồ thị suy ra a < 0 - Hàm số có 3 điểm cực trị nên ab < 0  b > 0 - Giao điểm với trục tung nằm dưới trục hoành nên c < 0 . Câu 22.

ax + b có đồ thị như trong hình bên cx + d dưới. Biết rằng a là số thực dương, hỏi trong các số b , c , d có tất cả bao nhiêu số dương?

(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số y =

A. 1 .

B. 2 .

C. 0 . Lời giải

D. 3 .

Chọn B Nhìn vào đồ thị ta thấy a • tiệm cận ngang y = nằm trên trục hoành nên c > 0 (vì a > 0 ) c −d −d < 0. Suy ra d > 0 (vì c > 0 ) • tiệm cận đứng x = nằm bên trái trục tung nên c c b • giao điểm của đồ thị và trục tung nằm bên dưới trục hoành nên < 0. d Suy ra b < 0 (vì d > 0 ) Vậy c > 0, d > 0 Câu 23.

(Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Trang 11

Khẳng định nào là đúng? A. a < 0 , b < 0 , c < 0 , d < 0 . C. a > 0 , b > 0 , c < 0 , d > 0 .

B. a > 0 , b > 0 , c > 0 , d < 0 . D. a > 0 , b < 0 , c < 0 , d > 0 . Lời giải

Chọn D + Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a > 0 . + Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ (0; d ) . Dựa vào đồ thị suy ra d > 0 . + Ta có: y′ = 3ax2 + 2bx + c . Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 ( x1 < x2 ) trái dấu nên phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 trái dấu. Vì thế 3a.c < 0 , nên suy ra c < 0 .

 x1 > −1 + Mặt khác từ đồ thị ta thấy  nên x1 + x2 > 0 .   x2 > 1 −2b −2b >0 ⇒b<0. nên suy ra Mà x1 + x2 = 3a 3a Vậy a > 0 , b < 0 , c < 0 , d > 0 . Câu 24. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho hàm số y =

ax + b có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào cx + d

sau đây là khẳng định đúng?

ad < 0 A.  .  bc > 0

ad < 0 B.  .  bc < 0

ad > 0 C.  .  bc < 0 Lời giải

Chọn C Nhận xét từ đồ thị: + Giao với trục hoành tại xo = − + Giao với trục tung tại yo =

b > 0  a và b trái dấu (1). a

b < 0  b và d trái dấu (2). d

d < 0  d và c cùng dấu (3). c Từ (1) và (2) suy ra: a và d cùng dấu hay ad > 0 . Từ (2) và (3) suy ra: b và c trái dấu hay bc < 0 . + Tiệm cận đứng: x = −

Trang 12

ad > 0 D.  .  bc > 0

Câu 25. Tìm đồ thị hàm số y = f ( x ) được cho bởi một trong các phương án dưới đây, biết 2

f ( x ) = ( a − x )( b − x ) với a < b .

Lời giải Chọn A 2 Có f ′ ( x ) = − ( b − x ) + ( a − x ) . ( −2 )( b − x ) = − ( b − x )( b − x + 2a − 2 x ) = − ( b − x )( b + 2a − 3 x )

x = b f ′( x) = 0 ⇔   x = 2a + b . 3  2a + b 2b + b < =b. Có 3 3 Ta có bảng biến thiên

Từ đó chọn đáp án A Câu 26. Cho đường cong ( C ) : y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a > 0, b < 0, c < 0, d < 0 . B. a > 0, b > 0, c < 0, d > 0 . C. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 . Trang 13

D. a > 0, b > 0, c < 0, d < 0 . Lời giải Chọn D Từ đồ thị ta có x = 0  y = d < 0 , từ dạng đồ thị suy ra a > 0 . Mặt khác y ' = 3ax 2 + 2bx + c từ đồ thị ta có phương trình y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu suy ra ac < 0 mà a > 0 suy ra c < 0 . 2b Hơn nữa phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = − = −1 suy ra 3a = 2b  b > 0 . 3a Vậy chọn đáp án D. Câu 27. (Gia Lai 2019) Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a > 0 , b > 0 , c < 0 . B. a < 0 , b > 0 , c < 0 . C. a > 0 , b < 0 , c > 0 . D. a > 0 , b < 0 , c < 0 . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị: + lim y = +∞ ⇒ a > 0 . x →+∞

+ Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ⇒ ab < 0 ⇒ b < 0 . + Giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung có tung độ dương ⇒ c > 0 . Vậy a > 0 , b < 0 , c > 0 .

Câu 28.

(THPT Thăng Long 2019) Cho hàm số y = ax 4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng

A. a + b > 0 .

B. bc > 0 .

C. ab > 0 . Lời giải

D. ac > 0 .

Chọn B Từ hình vẽ ta thấy: Đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên ⇒ a > 0 . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm ⇒ c < 0 . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇒ ab < 0 ⇒ b < 0 . Vậy chỉ có bc > 0 . Câu 29.

Trang 14

(THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị như hình bên. Hãy chọn mệnh đề đúng.

A. a < 0, b < 0, c = 0 . C. a > 0, b < 0, c = 0 .

B. a < 0, b > 0, c = 0 . D. a > 0, b < 0, c > 0 . Lời giải

Chọn C Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số ta nhận thấy : Hệ số a > 0 Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa tọa ⇒ c = 0 Hàm số có 3 điểm cực trị ⇒ a.b < 0 ⇒ b < 0 Câu 30.

(Chuyên Long An 2019) Cho hàm số y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ ở bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 . C. a > 0 , b < 0 , c > 0 , d > 0 .

B. a > 0 , b > 0 , c < 0 , d > 0 . D. a < 0 , b < 0 , c > 0 , d < 0 . Lời giải

Chọn C Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(0;1) , B (1;5) và C (3;1) và đạt cực trị tại các điểm B và C . f ′ ( x) = 3ax 2 + 2bx + c . Ta có  f (0) = 1 d = 1 a = 1  f (1) = 5  a + b + c + d = 5 b = −6      .  ′ f (1) = 0 3 a + 2 b + c = 0 c = 9     f ′ (3) = 0  27a + 6b + c = 0  d = 1 Câu 31.

(THPT Trần Phú 2019) Cho hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. a < 0, b > 0, c > 0 . B. a > 0, b < 0, c > 0 . C. a < 0, b > 0, c = 0 . D. a > 0, b < 0, c < 0 .

Lời giải Trang 15

Chọn C Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số ta nhận thấy : Hệ số a < 0 . Hàm số có 3 điểm cực trị ⇒ a.b < 0 ⇒ b > 0 . Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa tọa ⇒ c = 0 . Vậy a < 0, b > 0, c = 0 . Câu 32.

(THPT Cộng Hiền 2019) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

A. a > 0, b < 0, c < 0 .

B. a > 0, b > 0, c < 0 . C. a > 0, b < 0, c > 0 . Lời giải

D. a < 0, b > 0, c < 0 .

Chọn A Nhìn vào đồ thị ta có: Khi x ∈ ( 2; + ∞ ) hàm số đồng biến  a > 0 . Hàm số có 3 điểm cực trị nên a.b < 0 mà a > 0  b < 0 .

y ( 0 ) = −1 = c  c < 0 . Câu 33.

(SGD Điện Biên - 2019) Cho hàm số y =

ax + 3 có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của x+c

a − 2 c.

A. a − 2c = 3.

B. a − 2c = −3.

C. a − 2c = −1. Lời giải

Chọn A

a = −1 ⇔ a = −1. 1 Mặt khác Đồ thị hàm số có TCĐ x = 2 nên 2 + c = 0 ⇔ c = −2.  a − 2c = −1 − 2. ( −2 ) = 3. Đồ thị hàm số có TCN y = −1 ⇔

Trang 16

D. a − 2c = −2.

3  Dựa vào đồ thị ta thấy các điểm ( 3;0 ) và  0; −  thuộc vào đồ thị hàm số đã cho nên ta được hệ 2  a.3 + 3  0 = 3 + c 3a + 3 = 0  a = −1 phương trình  ⇔ ⇔  −3c = 6 c = −2 − 3 = a.0 + 3 0+c  2  a − 2c = −1 − 2. ( −2 ) = 3. Câu 34. Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y =

ax + b . cx + d

. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ad > 0 và bd > 0 . B. ad > 0 và ab < 0 . C. bd < 0 và ab > 0 . D. ad < 0 và ab < 0 . Lời giải Chọn B b Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm có hoành độ x = − , giao với Oy tại điểm có tung độ a b y= . d  b b <0  − a > 0  ab < 0  a Dựa vào hình vẽ ta có  ⇔ ⇔  ad > 0 . bd < 0 b < 0 b < 0  d  d Trong các phương án chỉ có phương án B thỏa mãn. ax − b Câu 35. Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ dưới đây: x −1

Khẳng định nào sau đây đúng? A. b < a < 0 . B. a < b < 0 .

C. b > a và a < 0 . Lời giải

D. a < 0 < b .

Chọn A Ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −1 suy ra a = −1 . Do đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; 0 ) nên 2 a − b = 0 ⇔ −2 − b = 0 ⇔ b = −2 . Trang 17

Vậy b < a < 0 .

Câu 36.

(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Đồ thị trong hình bên dưới là của hàm số ax + b (với a, b, c ∈ ℝ ). y= x+c

Khi đó tổng a + b + c bằng B. 1. A. −1 .

C. 2 . Lời giải

D. 0 .

Chọn D Đồ thị hàm số y =

ax + b có đường tiệm cận ngang y = a , đường tiệm cận đứng x = −c và cắt x+c

 b Oy tại điểm  0;  .  c Từ đồ thị hàm số ta có đường tiệm cận ngang y = −1 , đường tiệm cận đứng x = 1 và cắt Oy tại điểm ( 0; −2 ) .   a = −1  a = −1  a = −1    Từ đó suy ra:  −c = 1 ⇔ c = −1 ⇔ c = −1 . Vậy a + b + c = −1 − 1 + 2 = 0 . b b = − 2 c b = 2    = −2 c

Câu 37.

(Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f ( x) =

2 − ax ( a, b, c ∈ ℝ, b ≠ 0) có bx − c

bảng biến thiên như sau:

Tổng các số ( a + b + c ) thuộc khoảng nào sau đây

A. (1; 2 ) .

B. ( 2;3 ) .

 4 C.  0;  .  9 Lời giải

Chọn C

2 − ax −a −a = = 3 ⇔ a = −3b , theo giả thiết suy ra x →∞ bx − c b b

Ta có lim

Hàm số không xác định tại x = 1  b − c = 0 ⇔ b = c Trang 18

4  D.  ;1 . 9 

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên f ′ ( x ) =

ac − 2b

( bx − c )

> 0 với mọi x khác 1

2 2 Suy ra ac − 2b > 0 ⇔ −3b2 − 2b > 0 ⇔ − < b < 0 ⇔ 0 < −b < 3 3 2  4 Lại có a + b + c = −3b + b + b = −b . Suy ra ( a + b + c ) = b 2 ∈  0;   9

 4 Vậy tổng a + b + c thuộc khoảng  0;  .  9

Câu 38.

2a + 3b + 4c + d bằng 7c A. 7 . B. 4 .

thức

C. 6 . Lời giải

D. −5 .

Chọn C + Ta có đồ thị hàm số f ( x) =

ax + b a có đường tiệm cận ngang là y = , đường tiệm cận đứng là cx + d c

−d . c

 a  = 3 a = 3c c Theo bài ra, ta có:  . ⇒  −d = −2 d = 2c  c

−a + b −3c + b =7⇔ = 7 ⇔ b = 10c . −c + d −c + 2c 2a + 3b + 4c + d 2.(3c) + 3.(10c) + 4c + 2c = =6. Vậy 7c 7c

+ Điểm ( −1;7 ) thuộc đồ thị hàm số f ( x) nên

Câu 39.

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số y =

ax + 1 ( a, b, c là các tham số) có bx + c

bảng biến thiên như hình vẽ

Xét các phát biểu sau: (1) : c > 1; ( 2) : a + b < 0; ( 3) : a + b + c = 0; ( 4) : a > 0 . Số phát biểu đúng là? A. 1. Lời giải Chọn B

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Trang 19

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1nên ta có hệ   c  − = 2   b  0 < c <1  c = −2b  c = −2b   1  a   =1 ⇔  a = b ⇔  a = b ⇔− <a<0   b  ac − b > 0  −2b 2 − b > 0  2    ac − b > 0  1  − 2 < b < 0   a + b + c = 0 Dựa vào hệ trên ta có các phát biểu (1) , ( 4) là sai, ( 2) , ( 3) đúng.

Câu 40.

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Ta xác định được các số a , b , c để đồ thị hàm số

y = x3 + ax 2 + bx + c đi qua điểm (1;0 ) và có điểm cực trị 2

( −2;0) .

Tính giá trị biểu thức

T = a +b +c . A. 25.

B. −1.

C. 7. Lời giải

D. 14.

Chọn A Ta có y = x 3 + ax 2 + bx + c  y′ = 3 x 2 + 2ax + b . 0 = 13 + a.12 + b.1 + c  y (1) = 0   3 2 Theo đề, ta có hệ phương trình  y ( −2 ) = 0 ⇔ 0 = ( −2 ) + a. ( −2 ) + b. ( −2 ) + c   2  y ′ ( −2 ) = 0 0 = 3. ( −2 ) + 2a. ( −2 ) + b

a + b + c = −1 a = 3   ⇔ 4a − 2b + c = 8 ⇔ b = 0 . −4a + b = −12 c = −4   2

Vậy T = a 2 + b 2 + c 2 = 32 + 0 2 + ( −4 ) = 25.

Câu 41.

(Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Tính S = a +b ?

A. S = −2 .

B. S = 0 .

C. S = 1 . Lời giải

Chọn A Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm y = 2 nên d = 2 . y′ = 3ax 2 + 2bx + c . Hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 2 nên Trang 20

D. S = −1 .

c = 0  y′ ( 0 ) = 0 c = 0 ⇔ ⇔  12a + 4b + c = 0 b = −3a  y′ ( 2 ) = 0

(1)

Từ đồ thị ta nhận thấy y ( 2 ) = −2 ⇔ 8a + 4b + d = −2 ⇔ 8a + 4b = −4 ⇔ 2a + b = −1

( 2)

Thay (1) vào ( 2 ) ta tìm được a = 1, b = −3 . Vậy S = −2 .

Câu 42.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0 . C. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0 .

B. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0 . D. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0 . Lời giải

Chọn D Ta có: y′ = 3ax2 + 2bx + c , y′′ = 6ax + 2b Từ đồ thị ta thấy:  lim y = −∞ . Ta suy ra a < 0 . x →+∞

 y ( 0 ) < 0  d < 0 loại

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ x1 , x2 trái dấu và x1 + x2 > 0 . Ta suy ra phương trình y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu và x1 + x2 > 0 . c < 0 ,  c > 0 loại Ta suy ra x1 x2 = B. 3a b   x1 + x2 = − > 0  b > 0 . Lọai Hơn nữa,  A. 3a a < 0

Câu 43.

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y =

ax + b ( a , b , c ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như cx + 1

Tập các giá trị b là tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây? A. b 3 − 8 ≤ 0. B. −b 2 + 4 > 0. C. b 2 − 3b + 2 < 0. Lời giải Chọn D

D. b3 − 8 < 0.

Trang 21

ax + b 1 có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = − và đường tiệm cận cx + 1 c a ngang là đường thẳng y = . c 1 a Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy − = −1  c = 1 và = 2  a = 2 (vì c = 1 ). c c a − bc Ta có y′ = . 2 ( cx + 1) Đồ thị hàm số y =

Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) nên

y′ =

a − bc

( bx + c )

> 0 ⇔ a − bc > 0 ⇔ 2 − b > 0 ⇔ b < 2 ⇔ b3 < 8 ⇔ b3 − 8 < 0 .

Vậy tập các giá trị b là tập nghiệm của bất phương trình b3 − 8 < 0.

Câu 44.

(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = dưới đây. Tính giá trị biểu thức T =

A. T = 6 .

ax + b (với a, b, c, d là số thực) có đồ thị như hình cx + d

a − 2b + 3d . c

B. T = 0 .

C. T = −8 .

D. T = 2 .

Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có TCĐ: x = 1 

−d d = 1  = −1  d = −c c c

TCN: y = −1 

a = −1  a = −c c

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm: x = 2  Vậy T =

Câu 45.

Trang 22

−b −b b =2 = 2  = 2  b = 2c a −c c

a − 2b + 3d −c − 4c − 3c = = −8 c c

(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Trong các số a, b, c và d có bao nhiêu số dương?

A. 1 .

B. 4 .

D. 2 .

C. 3 . Lời giải

Chọn D Từ hình dạng đồ thị hàm số ta có a > 0 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm  d < 0 Ta có: y ' = 3ax 2 + 2bx + c Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  y ' = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ ca < 0 Mà a > 0 nên c < 0 Ta lại có: y '' = 6ax + 2b b y '' = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = − 3a b Từ đồ thị hàm số ta thấy tâm đối xứng có hoành độ âm. Do đó − < 0 3a Mà a > 0 nên b > 0 Vậy trong các số a, b, c và d có 2 số dương là a và b Câu 46.

(Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f ( x ) =

ax − 6 bx − c

( a, b, c ∈ ℝ ) có bảng biến thiên như

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số âm? A. 0 . B. 3 .

C. 1. Lời giải

D. 2 .

Chọn D Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy đồ thị có hai đường tiệm cận, trong đó tiệm cận đứng là đường thẳng x = −2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 . c  b = −2 bc < 0 b > 0, c < 0, a > 0 (1) ⇔ Suy ra   b < 0, c > 0, a < 0 ( 2 ) ab > 0 a =1  b −ac + 6b Lại có hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định f ′ ( x ) = < 0  ac > 6b . 2 ( bx − c ) Ta thấy (1) không thể xảy ra do nếu b > 0 thì ac > 6b > 0 ; và ( 2 ) có thể xảy ra do nếu c > 0, a < 0 thì 6b < ac < 0 . Vậy trong các số a, b, c có hai số âm. Trang 23

Câu 47. (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Cho hàm số y =

ax − 1 với a, b, c ∈ ℝ có bảng biến thiên bx + c

như hình vẽ:

Hỏi trong ba số a, b, c có bao nhiêu số dương? A. 0. B. 3. C. 2. Lời giải Chọn C

D. 1.

−1 < 0 ⇔ c > 0. c −c Đường tiện cận đứng x = = 2  c = −2b  b < 0 (do c > 0 ). b a Tiệm cận ngang y = = −1 ⇔ a = −b  a > 0 (do b < 0 ). b b < 0  Khi đó  a > 0. c > 0  Cho x = 0  y =

Câu 48. (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị là đương cong như hình vẽ bên.

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A Dựa vào giáo điểm của đồ thị với trục tung ta có d < 0 , dựa vào dáng của đồ thị suy ra a < 0 . y′ = 3ax 2 + 2bx + c dựa vào đồ thị ta có phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt âm suy ra  c  3a > 0  c < 0   − 2b < 0  b < 0  3a

Trang 24

Câu 49. (THPT Phan Đình Phùng - Quảng Bình - 2021) Cho hàm số f ( x ) =

ax − 4 ( a, b, c ∈ ℝ ) có bx + c

bảng biến thiên như sau:

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương? A. 3. B. 0.

C. 2. Lời giải

D. 1.

Chọn C Ta có: f ( 0 ) = −

4 >0c<0. c

c > 0 b > 0. b a Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y = > 0  a > 0 . b Vậy trong các số a, b, c có 2 số dương.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: x = −

Câu 50. (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho đồ thị của hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? y

A. a > 0; b < 0; c > 0; b 2 − 4 ac = 0 . C. a > 0; b < 0; c > 0; b 2 − 4 ac > 0 .

B. a > 0; b > 0; c > 0; b 2 − 4 ac = 0 . D. a > 0; b < 0; c > 0; b 2 − 4 ac < 0 . Lời giải

Chọn A  Quan sát dáng điệu đồ thị ta thấy a > 0 , đồ thị có 3 cực trị nên ab < 0  b < 0 . Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0 .  Đồ thị tiếp xúc với trục hoành nên tại x1 > 0 ta có 2  4 2  ax14 + bx12 + c = 0  ax1 + bx1 + c = 0 −b 4ac − b 2  −b   a . + b . + c = 0  = 0  b 2 − 4ac = 0 .    2 −b   3 2a 4a  2a   4ax1 + 2bx1 = 0  x1 = 2a 

ax + b có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó d < 0 . cx + d Trong các số a, b, c có bao nhiêu số dương?

Câu 51. (Sở Quảng Bình - 2021) Cho hàm số y =

Trang 25

A. 0 .

B. 1 .

C. 2 . Lời giải

D. 3 .

d d mà − > 0  c > 0 . c c a a Đồ thị có tiệm cận ngang y = mà > 0  a > 0 . c c b b Đồ thị cắt trục Ox mà tại điểm có hoành độ − mà − < 0  b > 0 . a a Vậy trong các số a, b, c có 3 số dương. Đồ thị có tiệm cận đứng x = −

Câu 52. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số y =

Khẳng định nào sau đây đúng? A. a < 0; b > 0; c < 0 .

bx − c ( a ≠ 0 và a , b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như sau: x−a

B. a < 0, b < 0, c > 0 . C. a > 0, b < 0, c < 0 . D. a > 0, b > 0, c < 0 . Lời giải

Chọn D bx − c có tiệm cận đứng x = a , tiệm cận ngang y = b . x−a  c Đồ thị cắt trục tung tại điểm  0;  .  a

Đồ thị hàm số y =

Trang 26

a > 0 a > 0  b > 0  Nhìn hình vẽ ta thấy:  ⇔ b > 0 c  <0 c < 0   a

Câu 53. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị như sau:

Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ? B. 2 . C. 1 . A. 4 . Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương  d > 0 . lim y < 0  a < 0 .

D. 3 .

x →+∞

Ta có: y′ = 3ax 2 + 2bx + c . Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung nên phương trình y ′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 < 0 . 2b   x1 + x2 = − 3a < 0 Khi đó theo Viet ta có:  . Từ đó suy ra b < 0 và c < 0 . c  x .x = >0  1 2 3a Vậy trong các số a, b, c, d chỉ có d > 0 .

Câu 54.

(Chuyên Biên Hòa - 2021) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ sau:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. a < 0; b < 0; c > 0 . B. a > 0; b < 0; c > 0 . C. a < 0; b > 0; c > 0 . D. a > 0; b < 0; c < 0 . Lời giải Chọn C Tập xác định: D = ℝ . Ta có: y ' = 4 ax 3 + 2bx = 2 x ( 2 ax 2 + b ) .

 Nhìn hình dáng đồ thị ta có a < 0 . Trang 27

 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M ( 0; c ) nằm phía trên trục hoành nên c > 0 .  Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Do đó b − >0b>0. 2a Câu 55.

(Liên Trường Nghệ An – 2021) Cho hàm số f ( x) = ax 4 + bx 2 + c (a, b, c ∈ R) có đồ thị cho bởi hình vẽ bên. Chọn khẳng định đúng:

A. b > a .

B. ab + c > 0 .

C. a − c > 0 . D. abc < 0 . Lời giải Ta có lim f ( x) = +∞  a > 0 ; Hàm số có 3 điểm cực trị nên ab < 0  b < 0 . x→±∞

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm nằm phái dưới trục hoành nên c < 0 . Vậy a > 0; b < 0; c < 0 suy ra a − c > 0 . Câu 56.

(Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2021) Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0 . C. a < 0, b > 0, c = 0, d > 0 .

B. a < 0, b < 0, c = 0, d > 0 . D. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0 . Lời giải

Chọn C Nhánh cuối đồ thị đi xuống nên a < 0 Điểm uốn lệch bên phải trục Oy nên ab < 0  b > 0 Đồ thị có 2 cực trị trong đó một cực trị thuộc Oy nên c = 0 Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d > 0 Câu 57. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số f ( x ) =

Trang 28

ax + 2 , ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị như sau: bx + c

Khẳng định nào dưới đây đúng? A. b < a < 0 < c . B. b < 0 < a < c . C. a < b < 0 < c . Lời giải Chọn C 2 Khi x = 0  y = = 1  c = 2 . c c 2 Tiệm cận đứng x = − = 1  − = 1  b = −2 . b b a a Tiệm cận ngang y = = 2  = 2  a = −4 . b −2 Vậy a < b < 0 < c .

D. b < 0 < c < a .

Dạng 2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ) Dạng 1 Từ đồ thị C : y = f x suy ra đồ thị C ′ : y = f x .

( )

( )  f ( x ) Ta có: y = f ( x ) =  − f ( x ) * Cách vẽ (C ′ ) từ ( C ) :

khi khi

( ) f (x ) ≥ 0 f (x ) < 0

( )

 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y = f x .  Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Ví dụ: Từ đồ thị

(C ) : y = f ( x ) = x

− 3 x suy ra đồ thị

(C ) : y = x

y = x − 3x . 3

− 3x

Biến đổi ( C ) :

-1

( )

Bỏ phần đồ thị của C

( )

dưới Ox , giữ nguyên C

phía trên

-2

Ox. Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox .

(C ′) : y = x

− 3x

-1

Trang 29

Dạng 2 Từ đồ thị C : y = f x suy ra đồ thị C ′ : y = f x .

( )

( )  f ( x ) Ta có: y = f ( x ) =   f ( −x )

( )

khi x ≥ 0 khi x < 0

( ) là hàm chẵn nên đồ thị (C′) nhận Oy làm trục đối xứng.

và y = f x

( )

* Cách vẽ C ′ từ C :

( )

 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị C : y = f x .

( )

 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

( )

Ví dụ: Từ đồ thị C : y = f x = x 3 − 3x suy ra đồ thị 3

(C ′) : y = x − 3 x . Biến đổi (C ) :  Bỏ phần đồ thị của (C )

(C ) : y = x

-1

− 3x 1

1 -1

( )

bên trái Oy, giữ nguyên C

-2

bên phải Oy.  Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy .

−3x

( )

để được đồ thị C ′ : y = x − 3 x . Biến đổi

(C ′) : y = x

(C ′′) : y =

ta được đồ thị

−3x

-1

x −3x .

Dạng 3

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) khi u ( x ) ≥ 0 u ( x ) .v ( x ) = f ( x ) Ta có: y = u ( x ) .v ( x ) =  −u ( x ) .v ( x ) = f ( x ) khi u ( x ) < 0 * Cách vẽ (C ′ ) từ ( C ) :  Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u ( x ) ≥ 0 của đồ thị (C ) : y = f ( x ) .  Bỏ phần đồ thị trên miền u ( x ) < 0 của (C ) , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Từ đồ thị C : y = u x .v x suy ra đồ thị C ′ : y = u x .v x .

( )

Trang 30

( )

(

)

( )

 f x  x khi x ≥ 1 khi x ∈ 1; +∞  y = x − 1 2x 2 − x − 1 =  x x −1 thị f x khi x − < 1 y = = . Đồ   x − 1 − x khi x ∈ −∞ ;1 Đồ thị (C’):  x − 1  Giữ nguyên (C) với x ≥ 1 . (C’):  Bỏ (C) với x < 1 . Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ Bỏ phần đồ thị của C với x < 1, giữ nguyên C qua Ox. với x > 1. y (C') Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

(

( ) ( )

)

( (

) )

( )

y 1

O 1

(C)

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác.

Câu 1.

Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y = x3 − 3x 2 + 2 .

(

B. y = x − 3 x 2 + 2

)

C. y = x − 1 x 2 − 2 x − 2 .

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 . Hướng dẫn

(

Ta có: y = x − 3x + 2 = ( x − 1) x − 2 x − 2

)

Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị ứng với x ≥ 1 được giữ nguyên. Phần đồ thị ứng với x < 1 lấy đối xứng qua trục hoành.  Chọn đáp án C.

Câu 2.

(Đề Tham Khảo 2017) Hàm số y = ( x − 2 ) ( x 2 − 1) có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = x − 2 ( x 2 − 1) ?

Trang 31

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3 Lời giải

D. Hình 4

Chọn A ( x − 2 ) x 2 − 1 , x ≥ 2  Đồ thị gồm 2 phần: y = x − 2 x −1 =  2  − ( x − 2 ) x − 1 , x < 2 +) Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với x ≥ 2 . +) Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng với x < 2 qua trục Ox Hình 1 nhận vì đồ thị là hàm y = x − 2 ( x 2 − 1)

(

)

(

)

(

)

Hình 2 loại vì đồ thị là hàm y = ( x − 2 ) x − 1 ( x + 1) Hình 3 loại vì đồ thị hàm số y = ( x − 2 ) ( x 2 − 1) Hình 4 loại vì đồ thị hàm y = ( x − 2 ) ( x 2 − 1) Câu 3.

(THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.

Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau: A. f ( x ) = − x3 + x 2 + 4 x − 4

B. f ( x ) = x3 − x 2 − 4 x + 4

C. f ( x ) = − x3 − x 2 + 4 x − 4

D. f ( x ) = x3 + x 2 − 4 x − 4. Lời giải

Chọn A Do đồ thị giao với trục Oy tại điểm có tung độ bằng −4 và lim y = −∞ . x →+∞

Trang 32

Câu 4.

Biết phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4.

B. 5.

C. 2. Lời giải

D. 3.

Chọn D

Ta có: Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0) có đúng hai nghiệm thực Nên đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d được minh họa như hình vẽ. Gọi m là số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) và k là nghiệm bội lẻ của phương trình f ( x ) = 0 .  Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) là m + k .

Vậy đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có số điểm cực trị là 2 + 1 .

Câu 5.

(

)

(Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y = ( x − 2 ) x 2 − 1 có đồ thị như hình vẽ

Một trong bốn hình dưới đây là đồ thị của hàm số y = ( x − 2 ) x 2 − 1 . Hỏi đó là hình nào?

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 2. B. Hình 4.

C. Hình 3. Lời giải

D. Hình 1.

Chọn C Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = ( x − 2 ) x 2 − 1 .

(

)

Trang 33

( x − 2 ) ( x 2 − 1) khi x ≤ −1 hay x ≥ 1  Ta có y = ( x − 2 ) x − 1 =  . 2  − ( x − 2 ) ( x − 1) khi − 1 < x < 1 Cách vẽ đồ thi như sau: + Giữ nguyên phần đồ ( C ) ứng với x ∈ ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) ta được ( C1 ) . 2

+ Lấy đối xứng phần ( C ) ứng với x ∈ ( −1;1) qua trục hoành ta được ( C2 ) . Khi đó đồ thị hàm số y = ( x − 2 ) x 2 − 1 gồm ( C1 ) và ( C2 ) .

Câu 6.

Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y = x3 − 3x 2 + 2 .

(

B. y = x − 3x 2 + 2

)

C. y = x − 1 x 2 − 2 x − 2 .

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 .

Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía “phải” Oy sau đó lấy đối xứng sang trái.  Chọn đáp án B. Câu 7.

Cho hàm số y =

A. y =

−x +1 2 x −1

−x +1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x −1

B. y =

x +1 2 x −1

C. y =

−x +1 2x −1

D. y =

−x +1 2x −1

Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía bên phải Oy được giữ nguyên Sau đó, được lấy đối xứng sang trái. Chọn đáp án B. Câu 8.

Trang 34

Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị như Hình 1. Khi đó đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y = − x 3 + 6 x 2 − 9 x . B. y = x3 − 6 x 2 + 9 x . 3

C. y = x − 6 x 2 + 9 x . D. y = x + 6 x + 9 x . Lời giải Chọn C +/ Loại đáp án A vì: y = − x 3 + 6 x 2 − 9 x = − ( x 3 − 6 x 2 + 9 x ) +/ Loại đáp án B, vì đồ thị của hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x giữ lại phần đồ thị phía trên trục hoành và chỉ lấy đối xứng phần dưới trục hoành của đồ thị Hình 1. +/ Loại đáp án D vì hệ số của x 2 khác -6.

( )

+/ Đồ thị ở đáp án C là đồ thị của hàm số dạng y = f x . Chọn đáp án C

Câu 9.

x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 x +1 2 là của hàm số nào trong các đáp án A, B, C, D dưới đây?

(Cụm liên trường Hải Phòng -2019) Cho hàm số y =

A. y =

x . 2 x +1

B. y =

x 2 x +1

C. y =

x 2 x +1

D. y =

x 2 x +1

Lời giải Chọn A Câu 10. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Trang 35

A. y = x3 − 3x 2 + 2 .

(

B. y = x − 3x 2 + 2

)

C. y = x − 1 x 2 − 2 x − 2 .

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 . Hướng dẫn

(

Ta có: y = x − 3x + 2 = ( x − 1) x − 2 x − 2

)

Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy  x ≥ 1+ 3 Toàn bộ đồ thị ứng với  được giữ nguyên.  x ≤ 1 − 3 Phần đồ thị ứng với 1 − 3 ≤ x ≤ 1 + 3 lấy đối xứng qua trục hoành.  Chọn đáp án D.

Câu 11. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y = x3 − 3x 2 + 2 .

(

B. y = x − 3x 2 + 2

)

C. y = x − 1 x 2 − 2 x − 2 .

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 . Hướng dẫn

(

Ta có: y = x − 3x + 2 = ( x − 1) x − 2 x − 2

)

Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị nằm phía trên Ox được giữ nguyên. Phần đồ thị phía dưới Ox được lấy đối xứng qua Ox .  Chọn đáp án A.

Câu 12. Cho hàm số y =

A. y =

x có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? 2x + 1

x 2 x +1

B. y =

x 2 x +1

C. y =

x 2x + 1

Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía trên Ox giữ nguyên Toàn bộ phần phía dưới Ox được lấy đối xứng lên trên  dạng f ( x ) . Chọn đáp án Trang 36

D. y =

x 2 x +1

Câu 13. Cho hàm số y =

A. y =

−x +1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x−2

−x +1 . x−2

B. y =

x +1 . x −2

C. y =

−x +1 x−2

D. y =

−x +1 x−2

Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía bên trái đường thẳng x = 1 được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị phía bên phải đường thẳng x = 1 lấy đối xứng qua Ox Chọn đáp án C.  −x +1 , x ≤1 − x + 1  x − 2 Chú ý: y = = x − 2  −x +1 − , x >1  x − 2 Câu 14. Cho hàm số y =

A. y =

x +1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? x+2

x +1 . x+2

B. y =

x +1 . x +2

C. y =

x +1 . x+2

D. y =

x +1 . x+2

Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía bên phải đường thẳng x = − 2 được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị phía bên trái đường thẳng x = −2 lấy đối xứng qua Ox Chọn đáp án D.

(

)

Câu 15. Cho hàm số y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 3 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Trang 37

(

A. y = ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 3) .

(

C. y = − x − 1 x 2 − 2 x − 3

)

B. y = x − 1 x 2 − 2 x − 3 .

)

D. y = ( x − 1) x 2 − 2 x − 3

Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị nằm bên trái (ứng với x ≤ 1) đường thẳng x = 1 được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị nằm bên phải (ứng với x > 1) đường thẳng x = 1 được lấy đối xứng qua Ox.  Chọn đáp án C. Câu 16. Cho hàm số y =

A. y =

x +1 . x+2

x +1 có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây? −x + 2

B. y =

x +1 . x−2

C. y =

x +1 . −x + 2

D. y =

x +1 . x+2

Hướng dẫn Từ đồ thị ban đầu (hình 1) sang đồ thị thứ 2 (hình 2) ta thấy Toàn bộ đồ thị phía bên trái đường thẳng x = −1 (ứng với x ≤ −1) được giữ nguyên Toàn bộ đồ thị phía bên phải đường thẳng x = −1 (ứng với x ≤ −1) được lấy đối xứng qua trục Ox. Chọn đáp án B.

Trang 38

Trang 39

Chuyên đề 8

TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác) Câu 1.

x − 3 x − 2 x −1 x và y = x + 2 − x + m + + + x − 2 x −1 x x +1 và ( C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 )

(Mã 101 2019) (Mã đề 001) Cho hai hàm số y = ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là ( C1 )

và ( C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. [ 2; +∞ ) . Câu 2.

B. ( −∞; 2 ) .

x −1 x x +1 x + 2 và y = x + 2 − x − m ( m là tham + + + x x +1 x + 2 x + 3 số thực) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C2 ) cắt

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

C. [ −2; + ∞ ) .

D. ( −∞; − 2 ) .

x x +1 x + 2 x + 3 và y = x + 1 − x + m ( m là tham + + + x +1 x + 2 x + 3 x + 4 và ( C 2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C 2 ) cắt

(Mã 102 2019) Cho hai hàm số y = số thực) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là A. ( −∞;3] . B. ( −∞ ;3) .

Câu 4.

D. ( −∞; 2] .

(Mã 103 2019) Cho hai hàm số y =

nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. ( −2; + ∞ ) . B. ( −∞; − 2] . Câu 3.

C. ( 2; +∞ ) .

C. [3; +∞ ) .

D. ( 3; +∞ ) .

x − 2 x −1 x x +1 + + + và y = x + 1 − x − m ( m là tham x −1 x x +1 x + 2 số thực) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) và ( C 2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C 2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. ( −∞; −3 ) . B. [ −3; +∞ ) . C. ( −∞; −3] . D. ( −3; +∞ ) . (Mã 104 2019) Cho hai hàm số y =

x2 −1 x2 − 2 x x2 − 4 x + 3 x2 − 6 x + 8 + + + và y = x + 2 − x + m ( m là tham số x x −1 x−2 x −3 thực) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng (−15 ; 20) của Cho hai hàm số y =

tham số m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại nhiều hơn hai điểm phân biệt. A. 210 . B. 85 . C. 119 . D. 105 . x x +1 x + 2 + + Cho hai hàm số y = và y = e x + 2020 + 3m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x −1 x x +1 lượt là (C1 ) và (C 2 ) . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc ( −2019; 2020) để (C1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt? A. 2692 . B. 2691 . C. 2690 . D. 2693 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y = ( 2 x 2 + 1) x − 1 và 11 1 − + 11 + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? 3x − 4 2 − x A. ( −∞;0 ) . B. ( −∞;1) . C. ( −∞;1] . y=

Câu 8.

D. ( −∞; 2] .

x −1 x x +1 x + 2 và y = 21− x + 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần + + + x x +1 x + 2 x + 3 lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt là A. ( 2; +∞ ) . B. ( −∞; 2] . C. ( −∞; 2 ) . D. ( −∞; 4 ) .

Cho hai hàm số y =

Trang 1

Câu 9.

x x −1 x−2 và y = x − x + 1 + m ( m là tham số thực) có đồ + 2 + 2 x −1 x − 2x x − 4x + 3 thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Số các giá trị m nguyên thuộc khoảng ( −20; 20 ) để (C1 ) và (C2 ) cắt

Cho hai hàm số y =

nhau tại năm điểm phân biệt là A. 22 . B. 39 .

C. 21 .

D. 20 .

Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m 2 x 4 − ( m + 2 ) x 3 + x 2 + ( m 2 − 1) x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . Số phần tử của tập S là B. 2 .

A. 3 .

D. 1.

C. 0 .

Câu 11. Có bao nhiêu cặp số thực ( a; b) để bất phương trình ( x − 1)( x + 2 ) ( ax 2 + bx + 2 ) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ A. 3 .

B. 2 .

D. 1.

C. 0 .

Câu 12. Trong số các cặp số thực ( a; b ) để bất phương trình ( x − 1)( x − a ) ( x 2 + x + b ) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ , tích ab nhỏ nhất bằng 1 1 A. − . B. −1 . C. . D. 1. 4 4 Câu 13. Cho 2 hàm số y = x 7 + x 5 + x 3 + 3m − 1 và y = x − 2 − x − 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) cắt ( C2 ) là A. m ∈ ℝ .

B. m ∈ ( 2; +∞ ) .

D. m ∈ [ 2; +∞ ) .

C. m ∈ ( −∞; 2 ) .

Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [ −2019;2019] để phương trình

(

)

(

)

3 + x 2 3 + x − m + 1 − x 5 1 − x + 2m = 4 − x 2 − 2 x + 3 có nghiệm thực?

A. 2019 . Câu 15.

B. 4032 .

C. 4039 .

D. 4033 .

(Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Tập hợp tất cả các số thực của tham số m để phương trình x 6 + 6 x 4 − m3 x3 + 15 − 3m2 x 2 − 6mx + 10 = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt

(

1  thuộc đoạn  ; 2  là: 2  5 A. 2 < m ≤ . 2

)

7 ≤ m < 3. 5

11 < m< 4. 5

D. 0 < m <

9 . 4

Câu 16.

Câu 17.

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1).( x − 2)...( x − 2020). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn

[ −2020; 2020] để phương trình A. 2020. Câu 18.

B. 4040.

(ĐHQG 3

f ′( x ) = m. f ( x) có 2020 nghiệm phân biệt?

Hà 2

C. 4041.

Nội

2020) 2

D. 2020. Cho

phương

trình

4 cos x − 12 cos x − 33cos x = 4m + 3 3cos x + 9 cos x + m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của  2π  tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc  0;  .  3  A. 15. B. 16. C. 17. D. 18.

Trang 2

Câu 19.

Câu 20.

3 1 x−2 − + 4m − 2020 , Tổng tất các và y = x−2 x x các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất là B. 1011 . C. 2020 . D. 1010 . A. 506 . (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai hàm số y = ln

(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hai hàm số y = ( x + 1)( 2 x + 1)( 3 x + 1) ( m + 2 x ) ; y = −12 x 4 − 22 x 3 − x 2 + 10 x + 3 có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn [ −2020;2020] để ( C1 ) cắt ( C2 ) tại 3 điểm phân biệt?

A. 4040 . Câu 21.

B. 2020 .

C. 2021 .

(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số

(x y=

D. 4041 . 2

− 2 x + m ) − 3x − m x −3

(C ) và đường thẳng

( d ) : y = 2 x ( m là tham số thực).

Số giá trị nguyên của m ∈ [ −15;15] để đường thẳng (d ) cắt đồ thị (C ) tại bốn điểm phân biệt là

A. 15 . Câu 22.

B. 30 .

C. 16 .

D. 17 . y = x 6 + 6 x 4 + 6 x 2 + 1 và

(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hai hàm số

y = x3 m − 15 x ( m + 3 − 15 x ) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) và ( C2 ) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2019; 2019] để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Số phần tử của tập hợp S bằng A. 2006 . B. 2005 .

C. 2007 .

D. 2008 .

Câu 23. (THPT Nguyễn Công Trứ Hà Tĩnh 2021) Cho hàm số 3 3 2 2 3 f ( x ) = 1 − m x + 3mx + 3m − 2m + 2 x + m + 2m với m là tham số. Có bao nhiêu số

(

)

(

)

nguyên m ∈ [ −2020; 2021] sao cho f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ [ 2020; 2021] ?

A. 2023 . B. 2022 . Dạng 2. Tương giao hàm hợp, hàm ẩn Câu 1.

D. 2020 .

(Mã 104 - 2021 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 là

A. 12 . Câu 2.

C. 2021 .

B. 10 .

C. 8 .

D. 4 .

(Mã 102 - 2021 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 1 là

Trang 3

A. 9 . Câu 3.

B. 7 .

C. 3 .

D. 6 .

(Mã 103 - 2021 - Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 là

A. 4 . Câu 4.

B. 10 .

C. 12 .

(Mã 101 - 2021 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x )) = 1 là: A. 9 . B. 3 . C. 6 .

Câu 5.

Trang 4

D. 8 .

D. 7 .

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ; 2π ] của phương trình 2 f ( sin x) + 3 = 0 là

A. 4 . Câu 6.

B. 6 .

C. 3 .

D. 8 .

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

 5π  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f ( sin x ) = 1 là  2  A. 7 . B. 4 . C. 5 . Câu 7.

D. 6 .

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số

(

)

nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f ( x) + 1 = 0 là

A. 8 . Câu 8.

B. 5 .

D. 4 .

C. 6 .

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

(

)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f ( x ) + 1 = 0 là

A. 6 . Câu 9.

B. 4 .

C. 5 .

D. 8 .

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Trang 5

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( x 2 f ( x ) ) + 2 = 0 là

A. 8 . Câu 10.

B. 12 .

C. 6 .

D. 9 .

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình f ( x 2 f ( x ) ) = 2 là:

A. 6.

B. 12.

C. 8.

D. 9.

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ sau

(

)

Số nghiệm của phương trình f 2 + f ( e x ) = 1 là

A. 4 .

B. 2 .

C. 1.

D. 3 .

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên ℝ và có đồ thị f ′ ( x ) là đường cong trong hình vẽ bên.

Trang 6

Đặt g ( x ) = f ( f ′ ( x ) − 1) . Gọi S là tập nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0. Số phần tử của tập S là A. 8 . B. 10 . C. 9 . D. 6 . Câu 13. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Đặt g ( x ) = f ( f ( x )) . Hỏi phương trình g ′ ( x) = 0 có mấy nghiệm thực phân biệt?

A. 14 .

B. 10 .

C. 8 .

D. 12 .

Câu 14. Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x ) được cho như hình vẽ sau

Số giao điểm của đồ thị hàm số y =  f ′ ( x ) − f ′′ ( x ). f ( x) và trục Ox là:

A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 0 . Câu 15. (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình f ( f ( x ) − 1) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6 .

B. 5 .

C. 7 .

D. 4 .

Trang 7

Câu 16. (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r ,. Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = r có số phần tử là

A. 4 . Câu 17.

C. 1.

B. 3 .

D. 2 .

(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y = f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r , trong đó m, n, p , q , r ∈ ℝ . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ như hình vẽ dưới.

Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = 16m + 8n + 4 p + 2q + r có tất cả bao nhiêu phần tử.

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 6 .

Câu 18. Cho f ( x ) là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây.

Tập nghiệm của phương trình  f ′ ( x )  = f ( x ) . f ′′ ( x ) có số phần tử là A. 1. B. 2. C. 6. D. 0.

Câu 19.

(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đồ thị như hình sau:

Trang 8

y 4

y=f(x)

3 2 1 O -3 -2 -1

3 4 -1 -2

5 x

-3 -4 y=g(x)

Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình f ( g ( x ) ) = 0 và g ( f ( x ) ) = 0 là

A. 25 . Câu 20.

B. 22 .

C. 21 .

D. 26 .

(THPT Nghĩa Hưng 2019) Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y = f ′ (x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: y 4

2 −3 −2

−1 O

2 3

4 5

6 7

−2

Số nghiệm thuộc đoạn − 2; 6 của phương trình f (x ) = f (0) là   A. 5 B. 2 C. 3

Câu 21.

D. 4

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới. Đặt g ( x ) = f  f ( x )  . Tìm số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 .

A. 2

B. 8

C. 4

D. 6

Trang 9

Câu 22. (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) =ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e có đồ thị như hình vẽ bên đây, trong đó a,b,c,d ,e là các hệ số thực. Số nghiệm của phương trình

(

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 là

A. 3. Câu 23.

(Sở

B. 4. Hưng 3

Yên 2

2019)

g ( x ) = ax + bx + cx + d ,

C. 2. Cho

các

hàm

( n, n, p , q , r , a , b, c, d ∈ ℝ )

D. 0. số

f ( x ) = mx 4 + nx 3 + px 2 + qx + r

thỏa mãn

và

f ( 0 ) = g ( 0 ) . Các hàm số

f ′ ( x ) , g ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) có số phần tử là

A. 4 . Câu 24.

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

(Sở Hà Tĩnh - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp nghiệm của phương trình f ( f ( x ) ) + 1 = 0 có bao nhiêu phần tử?

A. 4 . Câu 25.

Trang 10

B. 7 .

C. 6 .

D. 9 .

(THPT Nguyễn Đức Cảnh - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên

Phương trình f

(

)

2 x − x 2 = 3 có bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 26. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình bên. Phương trình f  f ( cos x ) − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2π ] ?

A. 2 . Câu 27.

B. 5 .

C. 4 .

D. 6 .

3 2 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + bx + c có đồ thị

như hình vẽ:

 −π  Số nghiệm nằm trong  ;3π  của phương trình f ( cos x + 1) = cos x + 1 là  2  A. 2 . B. 3. C. 5. D. 4.

Câu 28. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:

Trang 11

Số nghiệm thuộc khoảng ( −∞ ; ln 2 ) của phương trình 2019 f (1 − e x ) − 2021 = 0 là

A. 1. Câu 29.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho y = f ( x ) là hàm số đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f ( f ( cos x ) − 1) = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [ 0;3π ] ?

A. 2 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

Câu 30. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

 sin x − cos x  5π 5π Số nghiệm thuộc đoạn  − ;  của phương trình 3 f   − 7 = 0 là: 2  4 4    A. 6. B. 3. C. 5. D. 4.

Câu 31.

(Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Đặt g ( x ) = f  f ( x )  . Tìm số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 .

A. 8 . Câu 32.

Trang 12

B. 2 .

C. 4 .

D. 6 .

(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) có bẳng biến thiên như hình vẽ.

 9π  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f ( 2 sin x + 1) = 1 là  2  A. 7 . B. 5 . C. 4 . Câu 33.

(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có

( (

đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f f là A. 2.

Câu 34.

D. 6 .

B. 3.

C. 1.

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − f (1) = 0 D. 0.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f ( f ( x ) − 1) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6 .

B. 5 .

C. 7 .

D. 4 .

Câu 35. (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) như hình vẽ. Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + 2 x 3 − 4 x − 3m − 6 5 với m là số thực. Để g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈  − 5; 5  thì điều kiện của m là

Trang 13

2 f − 5 −4 5. 3 2 2 C. m ≤ f ( 0 ) − 2 5 . D. m ≥ f 3 3

A. m ≥

Câu 36.

(

)

B. m ≤

2 f 3

( 5).

(THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số

f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Đặt

g ( x ) = f ( f ( x ) − 1) . Số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 là A. 6 . B. 10 . C. 9 . Câu 37.

(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên

 7π  của phương trình f ( f (cos x)) = 0 là Số nghiệm thuộc đoạn  0;  2  A. 7 . B. 5 . C. 8 .

Trang 14

D. 8 .

D. 6 .

Câu 38.

(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị nhưu hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thuộc đoạn [ 2017π ; 2020π ] của phương trình 3 f ( 2 cos x ) = 8 .

A. 8 .

C. 4 .

B. 3 .

D. 6 .

Câu 39. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên.

 sin x + cos x  Phương trình 2 f   + 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên 2   A. 3 . B. 4 . C. 5 .

 3π 7π   − 4 ; 4  . D. 6 .

Câu 40. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên R và có đồ thị y = f '( x ) là đường cong trong hình vẽ bên.

Đặt g ( x ) = f ( f '( x ) − 1) . Gọi S là tập nghiệm của phương trình g '( x ) = 0 . Số phần tử của tập S là A. 8 B. 6 C. 10 D. 9 Câu 41. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Gọi

( C1 )

và

( C2 )

lần lượt là đồ thị của hai hàm số

y = f ′′ ( x ) . f ( x ) −  f ′ ( x )  và y = 2021x .Số giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là Trang 15

A. 1

B. 0

C. 2

D. 4

Câu 42. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên

Số nghiệm thực của bất phương trình

A. 6 .

B. 4 .

(

)

(

)

2 f 2 x 3 − 3 x 2 + 4 + 8 ≤ f x 3 − 3 x 2 + 4 + 2 là

C. 5 .

D. Vô số.

Câu 43. (THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - 2021) Cho hàm số f ( x) bảng biến thiên như sau:

 9π  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f (2sin x + 1) = 1 là  2  A. 5. B. 6. C. 7.

D. 4.

Câu 44. (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Biết đồ thị hàm số bậc bốn y = f ( x ) được cho bởi 2

hình vẽ bên dưới. Tìm số giao điểm củađồ thị hàm số y = g ( x ) =  f ′ ( x )  − f ( x ) . f ′′ ( x ) và trục hoành

A. 4 .

Trang 16

B. 0 .

C. 6 .

D. 2 .

Câu 45. (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:

(

Số nghiệm của phương trình f 23 x

A. 2 .

−4 x2 + 2

) + 1 = 0 là

B. 3 .

C. 6 .

D. 5 .

Câu 46. (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x) là hàm số bậc 3 , có đồ thị như sau:

π  Phương trình f 2 ( sin x + cos x ) + 1 = 2 2 sin  x +  f ( sin x + cos x ) − sin 2 x có bao nhiêu nghiệm 4   5π 5π  thực thuộc đoạn  − ;  ?  4 4  A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Câu 47. (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2021) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như bên dưới

(

)

Số nghiệm phương trình 2 f x + 1 − 6 x + 3 = 1 là

A. 3 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 5 .

Câu 48. (THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hai hàm y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Khi đó tổng số nghiệm của phương trình f ( g ( x ) ) = 0 và g ( f ( x ) ) = 0 là

Trang 17

A. 25 .

B. 22 .

C. 21 .

D. 26 .

Câu 49. (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn

f ′ ( x ) = f ( x ) + e x .cos 2021x và f (0) = 0 . Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn [ −1;1] ? A. 4043.

B. 3.

C. 1.

D. 1287.

Câu 50. (Sở Bạc Liêu - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) = x3 + ax 2 + bx − 3 , a , b là các số thực thỏa mãn

 a+b−2 > 0 2 . Hỏi phương trình 2 f ( x ) . f ′′ ( x ) =  f ′ ( x )  có bao nhiêu nghiệm?  24 + 3 ( 3a + b ) < 0 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1 . Câu 51. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như sau:

Số nghiệm của phương trình  f x 2 + 1  − 2 f x 2 + 1 − 3 = 0 là   A. 3. B. 4. C. 5.

(

)

(

)

D. 2.

Câu 52. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số f ( x ) = x3 + bx 2 + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Trang 18

Số nghiệm của phương trình

A. 7 .

f ( f ( x ) ) + 4 = f ( x ) + 1 là

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Dạng 3. Biện luận tương giao hàm hợp, hàm ẩn chứa THAM SỐ Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( sin x ) = m có nghiệm thuộc khoảng

( 0; π )

là

A. ( −1;3) Câu 2.

B. [ −1;1)

C. [ − 1; 3 )

D. ( −1;1)

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 6 f ( x 2 − 4 x ) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; + ∞ ) ?

A. 25. Câu 3.

B. 30.

C. 29.

D. 24.

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Trang 19

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 f ( x 2 − 4 x ) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; +∞ ) ?

A. 15 . Câu 4.

B. 12 .

C. 14 .

D. 13 .

(Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

(

)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 5 f x 2 − 4 x = m có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0; +∞ )

A. 24 . Câu 5.

B. 21 .

C. 25 .

D. 20 .

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

(

)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 f x 2 − 4 x = m có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0;+∞ ) ?

A. 16 . Câu 6.

C. 20 .

D. 17 .

(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình sau.

Trang 20

B. 19 .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 sin 3 x 5cos 2 x  π π 2 f ( sin x − 2 ) − + sin x > m + nghiệm đúng với mọi x ∈  − ;  . 3 4  2 2

11 . 12 19 C. m ≤ 2 f ( −1) + . 12

A. m ≤ 2 f ( −3) +

Câu 7.

19 . 12 11 D. m < 2 f ( −3) + . 12 B. m < 2 f ( −1) +

(Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f ( x ) > x 2 − 2 x + m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ (1; 2 ) khi và chỉ khi

A. m ≤ f ( 2 ) − 2 . Câu 8.

B. m ≤ f (1) + 1 .

C. m ≤ f (1) − 1 .

D. m ≤ f ( 2 ) .

(Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ. Cho bất

( )

phương trình 3 f x ≥ x 3 − 3x + m ( m là tham số thực). Điều kiện cần và đủ để bất phương trình 3 f x ≥ x 3 − 3x + m đúng với mọi x ∈  − 3; 3  là  

( )

A. m ≥ 3 f (1) . Câu 9.

(

)

B. m ≥ 3 f − 3 .

C. m ≤ 3 f ( 0) .

D. m ≤ 3 f

( 3) .

(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( sin x ) − m + 2 = 2sin x có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) . Tổng các phần tử của S bằng

Trang 21

A. 4 . Câu 10.

B. −1 .

D. 2 .

C. 3 .

(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x3 + x + 2 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

(

)

f 3 ( x ) + f ( x ) + m = − x 3 − x + 2 có nghiệm

x ∈ [ −1; 2] ? A. 1750 . Câu 11.

B. 1748 .

C. 1747 .

D. 1746 .

(Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục trên [ 2; 4] và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x + 2 x 2 − 2 x = m. f ( x) có nghiệm thuộc đoạn [ 2; 4] ?

A. 6 . Câu 12.

B. 5 .

C. 4 .

D. 3 .

(Chuyên Sơn La - 2020) Cho hàm số f (x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị

(

) (

)

nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x + m − 2019 f cos x + m − 2020 = 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;2π  là

A. 1 . Câu 13.

Trang 22

B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′( x) có đồ thị như hình bên.  1 Biết f (−1) = 1; f −  = 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình  e   −1  f ( x ) < ln (− x ) + m nghiệm đúng với mọi x ∈ −1;  .  e 

A. m ≥ 2 . Câu 14.

B. m ≥ 3 .

C. m > 2 .

D. m > 3 .

(Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( −1) = 5, f ( −3) = 0 và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 f ( 2 − x ) + x 2 + 4 − x = m có nghiệm trong khoảng ( 3;5) là

A. 16 . Câu 15.

B. 17 .

C. 0 .

D. 15 .

 1 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( −1) = 1, f  −  = 2 .  e 2 Hàm số f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình f ( x ) < ln ( − x ) + x + m nghiệm đúng với 1  mọi x ∈  −1; −  khi và chỉ khi e 

A. m > 0 . Câu 16.

B. m > 3 −

1 . e2

C. m ≥ 3 −

1 . e2

D. m ≥ 0 .

(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( f ( cos x ) ) = m có nghiệm thuộc

 π 3π khoảng  ; 2 2

 ?  Trang 23

A. 2. Câu 17.

B. 4.

C. 5.

D. 3.

(Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu

(

)

giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x3 − 3x 2 + m + 3 = 0 có nghiệm thuộc đoạn

[ −1; 2] .

A. 7 .

B. 8 .

C. 10 .

Câu 18.

(Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 16.8 f (x ) ≤ (−m 2 + 5m).4 f (x ) − ((4 − f 2 (x )).16 f (x ) nghiệm đúng với mọi số thực x là A. 3. B. 5. C. 1. D. 4.

Câu 19.

(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và

D. 5 .

có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình m + e x < f ( x ) có nghiệm với mọi x ∈ ( −1;1) khi và chỉ khi.

1  A. m ≤ min  f (1) − e; f ( −1) −  . e  1  C. m < min  f (1) − e; f ( −1) −  . e 

B. m < f ( 0 ) − 1 . D. m ≤ f ( 0 ) − 1 .

Câu 20. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Trang 24

Bất phương trình e

A. m < f ( 4 ) + e 2 . Câu 21.

≥ m − f ( x ) có nghiệm x ∈  4;16  khi và chỉ khi: B. m ≤ f ( 4 ) + e 2 .

C. m < f (16 ) + e2 .

D. m ≤ f (16 ) + e 2 .

(Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) và y = g ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây đường đậm hơn là đồ thị hàm số y = f ( x ) . Biết rằng hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là −3 và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là −1 và 3 . Tìm tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để bất phương trình f ( x ) ≥ g ( x ) + m nghiệm

đúng với mọi x ∈ [ −3; 3] .

 12 − 10 3  A.  −∞; . 9   Câu 22.

12 − 8 3  ; +∞  . B.  9  

(Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

A. 18 . Câu 23.

12 − 10 3   12 − 8 3  C.  ; +∞  . D.  −∞; . 9 9    

B. 17 .

(

)

f ( x ) + m = x 3 − m có nghiệm thuộc đoạn [1; 2 ] ?

C. 15 .

D. 16 .

(Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( cos x ) + ( 3 − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = 0 có  π  đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; π  là  3  A. 5 . B. 6 . C. 7 .

D. 4 . Trang 25

Câu 24.

(Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình y = f ( sin x ) = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) . Tổng các phần tử của S bằng

A. − 5 . Câu 25.

B. − 8 .

(NK HCM-2019) Cho

f ( x)

C. − 6 .

D. − 10 .

là một hàm số liên tục trên đoạn

[ −2;9] ,

biết

f ( −1) = f ( 2 ) = f ( 9 ) = 3 và f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình f ( x ) = f ( m ) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −2;9] .

A. m ∈ ( −2;9] \ ( ( −1;2 ) ∪ {6}) . C. m ∈ ( −2;9] \ {6} . Câu 26.

B. m ∈ [ −2;9] \ ( ( −1; 2 ) ∪ {6} ) .

D. m ∈ [ −2;9] \ {−2;6} .

(Chuyên Đại học Vinh 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f ( x 3 − 3 x ) = m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2] ?

A. 3 . Câu 27.

B. 2 .

C. 6 .

D. 7 .

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Số giá trị nguyên dương của m để phương trình f ( x 2 − 4 x + 5 ) + 1 = m có nghiệm là

A. Vô số.

B. 4 .

C. 0 .

D. 3 .

Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá

(

)

2 trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 − 4 6 x − 9 x = m − 3 có nghiệm

Trang 26

A. 13 . Câu 29.

B. 12 .

C. 8 .

D. 10 .

(Chuyên Bắc Giang 2019) hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

Tìm m để phương trình f 2 ( 2 x ) − 2 f ( 2 x ) − m − 1 = 0 có nghiệm trên ( −∞;1)

A. ( −1; +∞ ) .

B. [ −2; +∞ ) .

C. ( −2; +∞ ) .

D. [ −1; +∞ ) .

3 2 Câu 30. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp các giá trị của m ( m∈ ℝ ) sao cho

( x − 1) m3 f ( 2 x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ. Số phần tử của tập S là A. 0. B. 3.

Câu 31.

C. 2

D. 1.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên.

Phương trình f (2sin x) = m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ; π ] khi và chỉ khi

A. m ∈ {−3;1} . .

B. m ∈ ( −3;1) . .

C. m ∈ [ −3;1) . .

D. m ∈ ( −3;1] . Trang 27

Câu 32. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên của m để phương trình 2. f 3 − 3 −9 x 2 + 30 x − 21 = m − 2019 có nghiệm.

A. 15 . Câu 33.

B. 14 .

C. 10 .

D. 13 .

(Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị

(

)

như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 − 4 6 x − 9 x 2 = m − 3 có nghiệm.

A. 9 . Câu 34.

B. 17 .

C. 6 .

D. 5 .

(SGD Điện Biên - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e với ( a, b, c, d , e ∈ ℝ ) . Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm O ( 0;0 ) và cắt trục hoành tại

A ( 3;0 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên [ −5;5] để phương trình f ( − x 2 + 2 x + m ) = e có bốn nghiệm phân biệt.

A. 0 .

B. 2 .

C. 5 .

D. 7 .

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ − 2; 4 ] và có bảng biến thiên như sau

Trang 28

9  2 −4≥0 có ba Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình  x 6 f ( −2 x + 1) − 8 x3 + 6 x − m = 0  nghiệm phân biệt? A. 9 .

Câu 36.

B. 11.

C. 10 .

D. 8 .

(Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 5] và có bảng biến thiên như hình sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình mf ( x ) + 3 x ≤ 2019 f ( x ) − 10 − 2 x nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 5] .

A. 2014. Câu 37.

B. 2015.

C. 2019.

D. Vô số.

(Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ giá trị nguyên của tham số m để phương trình bên. Số 2 f ( cosx ) + ( m − 2018) f ( cosx ) + m − 2019 = 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 0; 2π ] là

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 38. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tìm m để phương trình 2 f ( x + 2019 ) − m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

A. m ∈ ( 0;2 ) .

B. m ∈ ( −2 ; 2 ) .

C. m ∈ ( −4 ; 2 ) .

D. m ∈ ( −2;1) .

Trang 29

Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x 2 + 2 x − 2 ) = 3m + 1 có nghiệm thuộc khoảng [ 0;1] . .

A. [ 0; 4] .

B. [ −1;0] .

 1  D.  − ;1  3 

C.  0;1 .  

Câu 40. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình f

A. [ −2;0] .

B. [ −4; −2] .

(

C. [ −4;0] .

)

4 x − x 2 − 1 = m có nghiệm là

D. [ −1;1] .

Câu 41. (Chuyen Phan Bội Châu 2019) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 4 − x 2 ) = m có nghiệm thuộc nửa khoảng [ − 2 ; 3) là:

A. [-1;3] . Câu 42.

Trang 30

B. [-1; f ( 2)] .

C. (-1; f ( 2)] .

D. (-1;3] .

(Chuyên Dại Học Vinh 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

A. 11

B. 9

1 x  f  + 1  + x = m có nghiệm thuộc đoạn [ −2; 2] ? 3 2  C. 8 D. 10

Câu 43. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình  3 7 f ( x 2 − 2 x ) = m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;  .  2 2

A. 1.

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 44. (Thanh Tường Nghệ An 2019) Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức với hệ số thực. Hình vẽ bên dưới là một phần đồ thị của hai hàm số: y = f ( x ) và y = f ′ ( x ) .

Tập các giá trị của tham số m để phương trình f ( x ) = me x có hai nghiệm phân biệt trên [ 0; 2 ] là nửa khoảng [ a; b ) . Tổng a + b gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. −0.81 .

B. − 0.54 .

C. −0.27 .

D. 0.27 .

Trang 31

Câu 45.

(VTED 2019) Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) là các hàm xác định và liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên (trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y = f ( x ) ). Có bao  5 nhiêu số nguyên m để phương trình f (1 − g ( 2 x − 1) ) = m có nghiệm thuộc đoạn  −1;  .  2

A. 8 Câu 46.

B. 3

C. 6

D. 4

(THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;9 ] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình f ( x) f ( x) f ( x) 2 2   16.3 −  f ( x ) + 2 f ( x ) − 8 .4 ≥ m − 3m .6 nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc [ −1;9 ] ?

(

A. 32 . Câu 47.

C. 5.

D. 6 .

(THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −1;3] và có đồ thị như hình vẽ.

Trang 32

B. 31 .

)

Bất phương trình f ( x ) + x + 1 + 7 − x ≥ m có nghiệm thuộc [ −1;3] khi và chỉ khi

A. m ≤ 7 . Câu 48.

B. m ≥ 7 .

C. m ≤ 2 2 − 2 .

D. m ≥ 2 2 − 2 .

(THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ −3;3] và đồ thị hàm số

y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới đây

Biết f (1) = 6 và g ( x ) = f ( x ) −

( x + 1)

. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] .

B. Phương trình g ( x ) = 0 không có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] . C. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng một nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] . D. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng ba nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] . Câu 49.

(Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Các giá trị của tham số m để phương trình

A. m = Câu 50.

37 . 2

B. m = ±

3 3 . 2

4m 3 + m 2f

( x) + 5

C. m = ±

= f 2 ( x ) + 3 có ba nghiệm phân biệt là

37 . 2

D. m =

3 . 2

(THPT Ngô Quyền - Ba Vì - 2019) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ sau đây. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình f ( f ( x ) ) = m có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2] ?

Trang 33

B. 4 .

A. 5 . Câu 51.

D. 3 .

C. 0 .

(THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2019) Cho hàm số g ( x ) = 2 x3 + x 2 − 8 x . Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

A. 7 .

g ( g ( x ) + 3) − m = 2 g ( x ) + 7 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt

B. 8 .

C. 24 .

D. 25 .

Câu 52. (Sở GD Bạc Liêu - 2019) Cho hàm số f ( x) = 2 x3 + x 2 −8 x + 7 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình f ( f ( x ) − 3) + m = 2 f ( x ) − 5 có 6 nghiệm thực phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng A. 25 . B. −66 . C. 105 . D. 91 .

Câu 53.

(Quang Trung - Bình Phước - 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ . Hàm số f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ: y 2

Bất phương trình f ( 2 sin x ) − 2 sin 2 x < m đúng với mọi x ∈ ( 0; π ) khi và chỉ khi

1 A. m > f ( 0 ) − . 2 Câu 54.

1 B. m > f (1) − . 2

C. m ≥ f (1) −

1 D. m ≥ f ( 0 ) − . 2

(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x5 + 3x3 − 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

A. 15 .

(

B. 16 .

)

f ( x ) + m = x 3 − m có nghiệm thuộc [1; 2] ? C. 17 .

Câu 55. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Cho hai hàm số u ( x ) = hàm số y = f ( x )

D. 18 .

x+3

và f ( x ) , trong đó đồ thị x2 + 3 như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

f ( u ( x ) ) = m có đúng 3 nghiệm phân biệt?

Trang 34

1 . 2

A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Câu 56. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Biết hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d đạt cực trị tại x = 1 và x = 2021 . Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f ( x ) = f ( m ) có ba nghiệm phân biệt? A. 4037 .

B. 2019 .

C. 4001 .

D. 2021 .

Câu 57. (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

 π x ∈  0;   2 A. 4 .

B. 5 .

(

)

4 + 2 f ( cos x ) = m có nghiệm

C. 3 .

D. 2 .

Câu 58. (Sở Hà Tĩnh - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau: y ଻ ଶ

2 6 -2

െ

ଵଷ ସ

Trang 35

(

)

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f 2 x3 − 6 x + 2 =

1 m − 5 có 6 nghiệm phân biệt 2

thuộc đoạn [ −1; 2] ?

A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 59. (THPT Thanh Chương 1- Nghệ An - 2021) Cho hàm số f ( x) = x + 1 + x 2 . Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình xf ( x) −

A. 2 .

1+ 4x + m −1

(

f −1 − 4 x + m − 1

B. 3 .

)

= 0 có hai nghiệm phân biệt là

C. 6 .

D. 4 .

Câu 60. (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x3 − 3x 2 + 1 . Tập hợp các giá   2 sin x + 1   trị m để phương trình f  f    = f ( m ) có nghiệm là đoạn [ a ; b ] . Khi đó giá trị 2    4a 2 + 8b thuộc khoảng nào sau đây?  23   43 39   37 65  A.  7 ;  . B. ( −2;5 ) . C.  ;  . D.  ;  .  2   3 2   3 4 

x2 + 5x + 2 . Có tất cả bao 2x +1 để bất phương trình

Câu 61. (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Cho hàm số f ( x ) = nhiêu

2021 f

giá

(

trị

nguyên

dương

của

tham

số

)

3x 2 − 18 x + 28 − m 3x 2 − 18 x + 28 ≥ m + 4042 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn

[ 2; 4] . A. 673 .

B. 808 .

C. 135 .

D. 898 .

Câu 62. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2021) Cho hàm số f ( x ) = x3 + 2 x − 5m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ −6; 6] để bất phương trình f ( f ( x ) ) ≥ x đúng với mọi x thuộc khoảng ( 2;6 ) .

B. 11 .

A. 5 .

C. 8 .

D. 6 .

Câu 63. (Sở Bình Phước - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( sin x ) = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) . Tổng các phần tử của S bằng

A. -6.

B. -5.

C. -8.

D. -10.

Câu 64. (Liên Trường Nghệ An – 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho bởi hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng (1; 2021) để

(

)

(

)

bất phương trình f 1 − m2 − f − x 2 + 2mx + 1 − 3m2 < x 2 − 2mx + 2m2 có nghiệm? Trang 36

A. 0 .

B. 1 .

C. 2019 .

D. 2020 .

Câu 65. (Sở Nam Định - 2021) Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn điều kiện f (0) = 2 2, f (x ) > 0, ∀x ∈ ℝ và f (x ).f ′(x ) = (2x + 1). 1 + f 2 (x ), ∀x ∈ ℝ . Tất các giá trị m để  15 7  2 phương trình 2x + 2x − mf (x ) + 5 = 0 có nghiệm là a +b ;2, a, b ∈ ℚ. Tính tổng 7 15   S = a + b. A. S = 2. B. S = 3. C. S = 4. D. S = 1. Dạng 4. Tương giao hàm hợp, hàm ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 1.

(Mã 103 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình f ( x 3 − 3 x ) =

A. 7 . Câu 2.

B. 3 .

C. 8 .

D. 4 .

(Mã 104 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( x3 − 3 x ) =

A. 10 Câu 3.

3 là 2

2 là 3

B. 3

C. 9

D. 6

(Mã 101 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( x 3 − 3 x ) =

4 là 3

Trang 37

A. 7 . Câu 4.

B. 4 .

D. 8 .

(Mã 102 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của

(

)

3 phương trình f x − 3 x =

A. 6 . Câu 5.

C. 3 .

1 2

B. 10 .

C. 12 .

D. 3 .

(Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình f ( x 3 − 3 x ) = 1 là

A. 10 . Câu 6.

C. 9 .

D. 7 .

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ

Trang 38

B. 8 .

Phương trình f ( 3 x + 1) − 2 = 5 có bao nhiêu nghiệm?

A. 3 . Câu 7.

B. 5 .

C. 6 .

D. 4 .

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f ( x + 2019 ) − 2020 = 2021 là

A. 4 . Câu 8.

B. 6 .

C. 2 .

D. 3 .

(Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong 1 là trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f 4 − x2 − x2 −1 = 2021

)

(

A. 24 . Câu 9.

B. 14 .

C. 12 .

D. 10 .

(THPT Đồng Quan - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm trên khoảng ( −π ;4π ) của phương trình f ( 2 cos 2 x ) = 1 là

A. 48 .

B. 29 .

C. 31 .

D. 40.

Câu 10. (Sở Tuyên Quang - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ

Trang 39

Số nghiệm của phương trình f ( f ( x)) = 2 là

A. 4 .

B. 5 .

C. 9 .

D. 7 .

Câu 11. (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Cho hàm đa thức y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Đặt g ( x ) = f ( x 2 ) . Số nghiệm của phương trình g ( x ) .  2 g ( x ) − 1 = 0 là A. 11.

B. 10.

C. 13.

D. 12.

Câu 12. (THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình f ( 2 x 2 + 3) − 2 = 5 có bao nhiêu nghiệm?

A. 3 .

B. 5 .

Câu 13. (Sở Tuyên Quang - 2021) Cho hàm số

C. 6 .

y = f ( x ) = ax 2 + bx + c

D. 4 . có đồ thị

( C ) (như hình vẽ)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 có 6 nghiệm phân biệt? Trang 40

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Câu 14. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −5;5 ) để phương trình f 2 ( x ) − ( m + 4) f ( x ) + 2 m + 4 = 0 có 6 nghiệm phân biệt A. 2 . B. 4 . C. 3 .

D. 5 .

Câu 15. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ − 1; 4 ] và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ − 10;10 ] để bất phương trình f ( x ) + m < 2 m

đúng với mọi x thuộc đoạn [ −1; 4 ] . A. 6 .

B. 5 .

C. 7 .

D. 8 .

Câu 16. (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 2 sin x ) = f ( m 2 + 6 m + 10 ) có nghiệm? A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1. Trang 41

Câu 17. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  3sin x − cos x − 1  f + 2 = f  2 cos x − sin x + 4 

A. 3 .

(

)

( m + 2) 2 + 4 có nghiệm?

B. 5 .

C. 4 .

D. 2 .

Câu 18. (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f ( 0 ) = 0 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có hình vẽ bên dưới.

Tập nghiệm của phương trình f ( 2 sin x − 1 − 1) = m (với m là tham số) trên đoạn [0;3π ] có tất cả bao nhiêu phần tử?

A. 8 .

B. 20 .

C. 12 .

D. 16 .

Câu 19. (Sở Hà Nam - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) − ( m − 6 ) f ( x ) − m + 5 = 0 có 6 nghiệm thực phân biệt? A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên dưới

Trang 42

D. 3 .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) − ( m + 5 ) f ( x ) + 4m + 4 = 0 có 7 nghiệm phân biệt? A. 1 . B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 21. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  3sin x − cos x −1  f   = f (m 2 + 4m + 4) có nghiệm.  2 cos x − sin x + 4 

A. 4 .

B. 5 .

C. Vô số.

D. 3 .

Câu 22. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x + m ) = m có 4 nghiệm phân biệt là

A. 2.

B. Vô số.

C. 1.

D. 0.

Câu 23. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình x 2 ( x − 3 ) + 2 − m 2 ( m − 3 ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. A. 3

B. 12

C. T = 7

D. 5

Câu 24. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Biết

f (0) = 0 và f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Phương trình f ( x ) = m ( với m là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? Trang 43

A. 8

B. 6

C. 2

D. 4

Câu 25. (THPT Hà Nam - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) − ( m − 6 ) f ( x ) − m + 5 = 0 có 6 nghiệm thực phân biệt?

A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 26. (Chuyên Vinh - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Đồ thị của hàm số y = f (1 − x ) được cho trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình  1− x  f  + m = 1 có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc [ −1;1] ?  x+2

A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 27. (Chuyên Thái Bình - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình f ( x − 1) + 2 = m có 4 nghiệm thỏa mãn x1 < x2 < x3 < 1 < x4 .

A. 2 < m < 6. Trang 44

B. 3 < m < 6.

C. 2 < m < 4.

D. 4 < m < 6.

Trang 45

TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chuyên đề 8

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng 1. Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác) Câu 1.

(Mã 101 2019) (Mã đề 001) Cho hai hàm số y =

x − 3 x − 2 x −1 x và y = x + 2 − x + m + + + x − 2 x −1 x x +1

( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) và ( C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. [ 2; +∞ ) .

B. ( −∞; 2 ) .

D. ( −∞; 2] .

C. ( 2; +∞ ) . Lời giải

Chọn A Xét phương trình

⇔

x − 3 x − 2 x −1 x + + + = x+2 −x+m x − 2 x −1 x x +1

x − 3 x − 2 x −1 x + + + − x + 2 + x = m (1) x − 2 x −1 x x +1

Hàm số  x −3  x − 2 + x − 3 x − 2 x −1 x + + + − x+2 +x = p ( x) = x − 2 x −1 x x +1  x −3 +  x − 2

x−2 + x −1 x−2 + x −1

x −1 + x x −1 + x

x −2 khi x ≥ −2 x +1 . x + 2 x + 2 khi x < −2 x +1

1 1 1  1 + + 2+ > 0, ∀x ∈ ( −2; +∞ ) \ {−1;0;1; 2} 2 2  x ( x + 1)2  ( x − 2 ) ( x − 1) Ta có p′ ( x ) =  1 1 1  1 + + 2+ + 2 > 0, ∀x < −2 2 2  ( x − 2 ) ( x − 1) x ( x + 1)2  nên hàm số y = p ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; −1) , ( −1;0 ) , ( 0;1) , (1; 2 ) , ( 2; +∞ ) . Mặt khác ta có lim p ( x ) = 2 và lim p ( x ) = −∞ . x →+∞

x →−∞

Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) :

Trang 1

Do đó để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = p ( x ) tại 4 điểm phân biệt ⇔ m ≥ 2 .

Câu 2.

(Mã 103 2019) Cho hai hàm số y =

nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

B. ( −∞; − 2] .

A. ( −2; + ∞ ) .

C. [ −2; + ∞ ) .

D. ( −∞; − 2 ) .

Lời giải Chọn B Xét phương trình hoành độ giao điểm x −1 x x +1 x + 2 x −1 x x +1 x + 2 + + + = x+2 − x−m ⇔ + + + − x + 2 + x = − m (1) x x +1 x + 2 x + 3 x x +1 x + 2 x + 3 x −1 x x +1 x + 2 Xét f ( x ) = + + + − x + 2 + x, x ∈ D = ℝ \ {−3; − 2; − 1; 0} x x +1 x + 2 x + 3 x x +1 x + 2  x −1  x + x + 1 + x + 2 + x + 3 − 2, x ∈ ( −2; + ∞ ) ∪ D = D1 Ta có f ( x ) =   x − 1 + x + x + 1 + x + 2 + 2 x + 2, x ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ D = D 2 x +1 x + 2 x + 3  x 1 1 1 1 + + , ∀x ∈ D1 2 2 2  x2 + x + 1 x + 2 x + 3 ( ) ( ) ( )  Có f ′ ( x ) =  1 1 1 + 1 + + + 2, ∀x ∈ D2  x 2 ( x + 1)2 ( x + 2 ) 2 ( x + 3) 2  Dễ thấy f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ D1 ∪ D2 , ta có bảng biến thiên

-∞

f'(x)

-2

-3 +∞

0 +

+ +∞

+∞

+∞ + 2

+∞

f(x) -∞

-∞

Hai đồ thị cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biện khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 4 nghiệm phân biệt, từ bảng biến thiên ta có: −m ≥ 2 ⇔ m ≤ −2 .

Câu 3.

x x +1 x + 2 x + 3 và y = x + 1 − x + m ( m là tham + + + x +1 x + 2 x + 3 x + 4 và ( C 2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C 2 ) cắt

(Mã 102 2019) Cho hai hàm số y = số thực) có đồ thị lần lượt là ( C1 )

nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là A. ( −∞;3] . B. ( −∞ ;3) .

C. [3; +∞ ) . Lời giải

Chọn C Điều kiện x ≠ −1; x ≠ −2; x ≠ −3 và x ≠ −4 . Ta có phương trình hoành độ giao điểm Trang 2

D. ( 3; +∞ ) .

x x +1 x + 2 x + 3 + + + = x +1 − x + m x +1 x + 2 x + 3 x + 4 1   1   1   1   1 −  + 1 −  + 1 −  + 1 −  = x −1 − x + m  x +1  x + 2   x + 3   x + 4  1 1 1   1 ⇔ x − x +1 + 4 −  + + + =m  x +1 x + 2 x + 3 x + 4 

Đặt tập D1 = ( −1; +∞ ) và D2 = (−∞; −4) ∪ ( −4; −3) ∪ (−3; −2) ∪ ( −2; −1) .   1 1 1 1  khi x ∈ D1 3 −  x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4  = m,   ⇔  1 1 1   1 + + + 2 x + 5 −   = m, khi x ∈ D2  x +1 x + 2 x + 3 x + 4     1 1 1 1  khi x ∈ D1 3 −  x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4  ,    Đặt f ( x ) =  .  2 x + 5 −  1 + 1 + 1 + 1  , khi x ∈ D 2     x +1 x + 2 x + 3 x + 4 

 1 1 1 1   khi x ∈ D1 + + +  > 0, 2 2 2 2  ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )   f ′( x) =  .    1 1 1 1 + + +  >0, khi x ∈ D2 2 +  2 2 2 2  x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 ( ) ( ) ( ) ( )    Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định lim f ( x ) = 3 lim f ( x ) = −∞ x →+∞ ; x→−∞ nên ta có bảng biến thiên

Do đó để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì m ≥ 3  m ∈ [3; +∞ ) .

Câu 4.

x − 2 x −1 x x +1 + + + và y = x + 1 − x − m ( m là tham x −1 x x +1 x + 2 và ( C 2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C 2 ) cắt

(Mã 104 2019) Cho hai hàm số y = số thực) có đồ thị lần lượt là ( C1 )

nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. ( −∞; −3 ) . B. [ −3; +∞ ) .

C. ( −∞; −3] .

D. ( −3; +∞ ) .

Lời giải Chọn B Xét phương trình hoành độ x − 2 x −1 x x +1 x − 2 x −1 x x +1 + + + = x +1 − x − m ⇔ + + + − x + 1 + x = −m (1) x −1 x x +1 x + 2 x −1 x x +1 x + 2 Số nghiệm của (1) là số giao điểm của Trang 3

x−2  x − 1 + x − 2 x −1 x x +1 F ( x) = + + + − x +1 + x =  x −1 x x +1 x + 2 x−2 +  x − 1

x −1 + x x −1 + x

x + x +1 x + x +1

x +1 −1 ,x > −1 x+2 x +1 + 2 x + 1, x < −1 x+2

1 1 1  1 + 2+ + , x ∈ ( −1; +∞ ) \ {0;1} 2 2 2  x x − 1 x + 1 x + 2 ( ) ( ) ( )  Ta có F ′ ( x ) =  . 1  1 + 1 + 1 + + 2, x ∈ ( −∞; −1) \ {−2}  ( x − 1)2 x 2 ( x + 1) 2 ( x + 2 ) 2  Mặt khác lim F ( x ) = +∞; lim F ( x ) = 3 x →+∞

x →−∞

lim F ( x ) = +∞; lim− F ( x ) = −∞; lim+ F ( x ) = −∞; lim− F ( x ) = +∞

x →−2+

x →−2

x →−1

lim+ F ( x ) = −∞; lim− F ( x ) = +∞; lim+ F ( x ) = −∞; lim− F ( x ) = +∞

x →0

x →1

Bảng biến thiên

Để phương trình có 4 nghiệm thì − m ≤ 3 ⇔ m ≥ −3 . Câu 5.

x2 − 1 x2 − 2 x x2 − 4 x + 3 x2 − 6 x + 8 + + + và y = x + 2 − x + m ( m là tham số x x −1 x−2 x−3 thực) có đồ thị lần lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng (−15 ; 20) của Cho hai hàm số y =

tham số m để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại nhiều hơn hai điểm phân biệt.

A. 210 .

B. 85 .

C. 119 . Lời giải

D. 105 .

Chọn B Xét phương trình hoành độ giao điểm ⇔

x2 −1 x2 − 2 x x2 − 4 x + 3 x2 − 6 x + 8 + + + = x+2 −x+m x x −1 x−2 x −3

x2 −1 x2 − 2 x x2 − 4 x + 3 x2 − 6x + 8 + + + − x + 2 + x = m (1). x x −1 x−2 x−3

x2 −1 x2 − 2 x x2 − 4 x + 3 x2 − 6 x + 8 + + + − x−2 +x. x x −1 x−2 x−3 x − 2 − ( x − 2) 1 1 1 1 Ta có g ′( x) = 4 + 2 + + + + > 0 với mọi x thuộc các khoảng 2 2 2 x ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) x−2

Đặt g ( x) =

sau ( −∞ ; 0 ) , ( 0 ; 1) , (1 ; 2 ) , ( 2 ; 3) và ( 3 ; + ∞ ) nên hàm số y = g ( x) đồng biến trên mỗi khoảng đó. Mặt khác ta có lim g ( x) = −∞ và lim g ( x) = +∞ . x →−∞

Trang 4

x →+∞

Bảng biến thiên hàm số y = g ( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m luôn cắt đồ thị hàm số y = g ( x) tại năm điểm phân biệt nên (C1 ) và (C2 ) luôn cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt với mọi giá trị của m . Kết hợp

điều kiện m nguyên thuộc (−15; 20) nên m ∈ {−14; −13;...;18;19} . Khi đó tổng tất cả các giá trị m là Câu 6.

S = 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85 . x x +1 x + 2 + + Cho hai hàm số y = và y = e x + 2020 + 3m ( m là tham số thực) có đồ thị lần x −1 x x +1 lượt là (C1 ) và (C 2 ) . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc ( −2019; 2020) để (C1 ) và (C 2 ) cắt nhau

tại 3 điểm phân biệt? A. 2692 .

B. 2691 .

C. 2690 . Lời giải

D. 2693 .

Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm

x x +1 x + 2 + + = e x + 2020 + 3m x −1 x x +1

x x +1 x + 2 x + + − e − 2020 = 3m (1). x −1 x x +1 x x +1 x + 2 x + + − e − 2020 . Đặt g ( x) = x −1 x x +1 1 1 1 Ta có g ′( x) = − − 2− − e x < 0 với mọi x thuộc các khoảng sau ( −∞; −1) , 2 2 ( x − 1) x ( x + 1) ⇔

( −1;0 ) , ( 0;1)

và (1; +∞ ) nên hàm số y = g ( x) nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Mặt khác ta có lim g ( x ) = −2017 và lim g ( x ) = −∞ . x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên hàm số y = g ( x)

Do đó để (C1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y = 3m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 3m ≥ −2017 ⇔ m ≥ −

2017 ≈ −672, 3 . 3

Do m nguyên thuộc ( −2019; 2020) nên m ∈ {−672; −671;...; 2019} . Vậy có tất cả 2692 giá trị m thỏa mãn.

Trang 5

Câu 7.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y = ( 2 x 2 + 1) x − 1 và y=

11 1 − + 11 + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? 3x − 4 2 − x

A. ( −∞; 0 ) .

C. ( −∞;1] .

B. ( −∞;1) .

D. ( −∞; 2] .

Lời giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( 2 x 2 + 1) x − 1 =

11 1 − + 11 + m 3x − 4 2 − x

( *)

x −1 ≥ 0 x ≥ 1   4 4   Điều kiện:  x ≠ ⇔ x ≠ 3 3    x ≠ 2  x ≠ 2 Ta có: 11 1 + − 11 = m 3x − 4 2 − x 11 1 4  Xét hàm số f ( x) = ( 2 x 2 + 1) x − 1 − + − 11 trên [1; + ∞ ) \  ; 2  3x − 4 2 − x 3 

(*) ⇔ ( 2 x 2 + 1)

x −1 −

 4 4  Nhận thấy, hàm số f ( x ) liên tục trên các khoảng 1;  ,  ; 2  , ( 2; +∞ )  3 3  11 1  ′ Ta có, f ′( x ) =  ( 2 x 2 + 1) x − 1 − + − 11 3x − 4 2 − x   = 4 x x − 1 + ( 2 x 2 + 1)

10 x 2 − 8 x + 1 33 1 1 33 1 = + + > 0 với + + 2 2 2 2 2 x −1 2 x − 1 ( 3x − 4 ) ( 2 − x ) ( 3x − 4 ) ( 2 − x )

4  ∀x ∈ [1; + ∞ ) \  ; 2  3  4  Suy ra, hàm số f ( x ) đồng biến trên [1; + ∞ ) \  ; 2  . 3  Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số y = ( 2 x 2 + 1) x − 1 và y = cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi m ∈ ( −∞;1] .

Trang 6

11 1 − + 11 + m 3x − 4 2 − x

Câu 8.

x −1 x x +1 x + 2 và y = 21− x + 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần + + + x x +1 x + 2 x + 3 m để (C ) và (C ) cắt nhau tại đúng năm lượt là (C1 ) và (C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của 1 2

Cho hai hàm số y =

điểm phân biệt là A. ( 2; +∞ ) .

B. ( −∞; 2] .

C. ( −∞; 2 ) .

D. ( −∞; 4 ) .

Lời giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm

x −1 x x +1 x + 2 + + + = 21− x + 2m x x +1 x + 2 x + 3

x x + 1 x + 2 x + 3 1− x + + + − 2 = 2m . x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x x + 1 x + 2 x + 3 1− x + + + −2 . Đặt g ( x) = x +1 x + 2 x + 3 x + 4 1 1 1 1 Ta có g ′( x) = 2 + + + + 21− x ln 2 > 0 2 2 2 x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ⇔

với mọi x thuộc các khoảng sau ( −∞; −3) , ( −3; −2 ) ( −2; −1) , ( −1; 0 ) và ( 0; +∞ ) nên hàm số

y = g ( x) đồng biến trên mỗi khoảng đó Mặt khác ta có lim g ( x ) = 4 và và lim g ( x ) = −∞ . x →+∞

x →−∞

Bảng biến thiên hàm số y = g ( x)

Do đó để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 5 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) tại 5 điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 m < 4 ⇔ m < 2

Câu 9.

x x −1 x−2 và y = x − x + 1 + m ( m là tham số thực) có đồ + 2 + 2 x −1 x − 2x x − 4x + 3 thị lần lượt là (C1 ) và (C 2 ) . Số các giá trị m nguyên thuộc khoảng ( −20; 20 ) để (C1 ) và (C 2 ) cắt

Cho hai hàm số y =

nhau tại năm điểm phân biệt là A. 22 . B. 39 .

C. 21 . Lời giải

D. 20 .

Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm

x x −1 x−2 + 2 + 2 = x − x +1 + m x −1 x − 2x x − 4x + 3 2

x x −1 x−2 + 2 + 2 − x + x + 1 = m (1). x −1 x − 2x x − 4x + 3 x x −1 x−2 + 2 + 2 − x + x +1 . Đặt g ( x) = 2 x −1 x − 2x x − 4x + 3 − x2 −1 − x2 + 2 x − 2 − x2 + 4 x − 5 x +1 Ta có g ′( x ) = + + −1+ 2 2 2 x +1 ( x 2 − 1) ( x 2 − 2 x ) ( x 2 − 4 x + 3) ⇔

Trang 7

− x2 −1

( x 2 − 1)

−( x − 1) 2 − 1

( x2 − 2x )

−( x − 2) 2 − 1

( x 2 − 4 x + 3)

x +1− x +1 x +1

với mọi x thuộc các khoảng sau ( −∞; −1) , ( −1; 0 ) , ( 0;1) , (1; 2) , ( 2;3 ) và ( 3; +∞ ) nên hàm số

y = g ( x) nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Mặt khác ta có lim g ( x) = +∞ và và lim g ( x) = 1 . x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên hàm số y = g ( x)

Do đó để (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có năm nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = g ( x) tại năm điểm phân biệt khi m ≤ 1 , do m nguyên thuộc (−20;20) nên m ∈ {−19; −18;...; 0;1} . Vậy có tất cả 21 giá trị m thỏa mãn.

Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m 2 x 4 − ( m + 2 ) x 3 + x 2 + ( m 2 − 1) x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . Số phần tử của tập S là

A. 3 .

B. 2 .

C. 0 . Lời giải

D. 1.

Chọn D Đặt f ( x ) = m 2 x 4 − ( m + 2 ) x 3 + x 2 + ( m 2 − 1) x Ta có f ( x ) = m 2 x 4 − ( m + 2 ) x3 + x 2 + ( m 2 − 1) x = x  m 2 x3 − ( m + 2 ) x 2 + x + ( m 2 − 1)  . Giả sử

(

)

x = 0 không phải là nghiệm của phương trình g ( x ) = m 2 x 3 − ( m + 2 ) x 2 + x + m 2 − 1 = 0 thì hàm

số f ( x ) = m 2 x 4 − ( m + 2 ) x 3 + x 2 + ( m 2 − 1) x sẽ đổi dấu khi qua điểm x = 0 , nghĩa là m 2 x 4 − ( m + 2 ) x 3 + x 2 + ( m 2 − 1) x ≥ 0 không có nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ .

Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g ( x ) = m 2 x 3 − ( m + 2 ) x 2 + x + ( m 2 − 1) = 0 phải có nghiệm x = 0 , suy ra m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1

Điều kiện đủ: Với m = 1, f ( x ) = x 4 − 3 x 3 + x 2 = x 2 ( x 2 − 3 x + 1) khi đó f (1) = −1 < 0 không thỏa mãn điều kiện m 2 x 4 − ( m + 2 ) x 3 + x 2 + ( m 2 − 1) x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ . (loại)

Với m = 1, f ( x ) = x 4 − x 3 + x 2 = x 2 ( x 2 − x + 1) ≥ 0 , x ∈ ℝ . Vậy S = {−1} .

Câu 11. Có bao nhiêu cặp số thực ( a; b) để bất phương trình ( x − 1)( x + 2 ) ( ax 2 + bx + 2 ) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ A. 3 .

Trang 8

B. 2 .

C. 0 . Lời giải

D. 1.

Chọn C Đặt f ( x ) = ( x − 1)( x + 2 ) ( ax 2 + bx + 2 ) Giả sử x = 1 không phải là nghiệm của phương trình g ( x ) = ( x + 2 ) ( ax 2 + bx + 2 ) = 0 thì hàm số f ( x ) = ( x − 1)( x + 2 ) ( ax 2 + bx + 2 ) sẽ đổi dấu khi qua điểm x = 1 , nghĩa là

( x − 1)( x + 2 ) ( ax 2 + bx + 2 ) ≥ 0

không có nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ .

Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g ( x ) = ( x + 2 ) ( ax 2 + bx + 2 ) = 0 có nghiệm x = 1 suy ra a + b + 2 = 0 (1)

Lí luận tương tự có h ( x ) = ( x − 1) ( ax 2 + bx + 2 ) = 0 cũng phải nhận x = −2 là nghiệm, suy ra 4 a − 2b + 2 = 0 (2)

a + b + 2 = 0  a = −1 Từ (1) và (2) ta có hệ  ⇔ 4a − 2b + 2 = 0  b = −1 Điều kiện đủ: a = −1 2 2 có f ( x ) = ( x − 1)( x + 2 ) − x 2 − x + 2 = − ( x − 1) ( x + 2 ) ≤ 0 , x ∈ ℝ . V ới  b = −1 Vậy không tồn tại cặp số thực (a; b) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

(

)

Câu 12. Trong số các cặp số thực ( a; b ) để bất phương trình ( x − 1)( x − a ) ( x 2 + x + b ) ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ , tích ab nhỏ nhất bằng 1 A. − . B. −1. 4

1 . 4 Lời giải C.

D. 1.

Chọn C Đặt f ( x ) = ( x − 1)( x − a ) ( x 2 + x + b ) và g ( x ) = ( x − a ) ( x 2 + x + b ) Giả sử x = 1 không phải là nghiệm của phương trình g ( x ) = ( x − a ) ( x 2 + x + b ) = 0 thì hàm số f ( x ) = ( x − 1)( x − a ) ( x 2 + x + b ) sẽ đổi dấu khi qua điểm x = 1 , nghĩa

( x − 1)( x − a ) ( x 2 + x + b ) ≥ 0

không có nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ .

Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là g ( x ) = ( x − a ) ( x 2 + x + b ) = 0 có

a = 1 nghiệm x = 1 suy ra hoặc  2 hoặc là phương trình x2 + x + b = 0 có hai  x + x + b ≥ 0, ∀x ∈ ℝ nghiệm x = 1 và x = a a = 1 a = 1 a = 1   Trường hợp 1:  2 ⇔ 1 > 0 ⇔ 1  x + x + b ≥ 0, ∀x ∈ R  ∆ = 1 − 4b ≤ 0 b ≥ 4  Trường hợp 2: phương trình x2 + x + b = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = a Ta thay x = 1 vào phương trình x2 + x + b = 0 có 12 + 1 + b = 0  b = −2 . Với b = −2 có phương x = 1 trình x 2 + x + b = 0 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔   x = −2 Vì x = a cũng là nghiệm của phương trình nên a = −2 .

Trang 9

a = 1 1 1  Trong trường hợp 1:  1  ab ≥ suy ra tích ab nhỏ nhất khi ab = 4 4 b ≥ 4 1 1 Và với a = 1, b = , tích ab = thì bất phương trình đã cho tương đương với 4 4

( x − 1)( x − 1)  x 2 + x + 

1 1 2  ≥ 0 ⇔ ( x − 1)  x +  ≥ 0 thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ (nhận) 4 2 

Trong trường hợp 2: Tích ab = 4 >

1 4

1 . 4 Câu 13. Cho 2 hàm số y = x 7 + x 5 + x 3 + 3m − 1 và y = x − 2 − x − 2m ( m là tham số thực) có đồ thị lần Vậy tích ab nhỏ nhất khi ab =

lượt là ( C1 ) , ( C2 ) . Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) cắt ( C2 ) là

A. m ∈ ℝ .

B. m ∈ ( 2; +∞ ) .

C. m ∈ ( −∞; 2 ) .

D. m ∈ [ 2; +∞ ) .

Lời giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x 7 + x5 + x3 + 3m − 1 = x − 2 − x − 2m ⇔ x 7 + x5 + x3 − x − 2 + x = −5m + 1 (1) . Xét hàm số f ( x) = x 7 + x5 + x3 − x − 2 + x . 7 5 3  x + x + x + 2 Ta có f ( x) =  7 5 3  x + x + x + 2 x − 2

khi x ∈ [ 2; +∞ ) khi x ∈ ( −∞; 2 )

7 x 6 + 5 x 4 + 3 x 2 > 0 khi x ∈ ( 2; +∞ ) f ′( x) =  6 . 4 2 7 x + 5 x + 3 x + 2 > 0 khi x ∈ ( −∞; 2 ) lim f ( x ) = −∞ ; lim f ( x ) = +∞ .

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên: x

∞ +

f '(x)

+∞ + +∞

f(x)

∞

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m ∈ ℝ .Vậy để ( C1 ) cắt ( C2 ) thì m ∈ ℝ .

Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [ −2019;2019] để phương trình

(

)

(

)

3 + x 2 3 + x − m + 1 − x 5 1 − x + 2m = 4 − x 2 − 2 x + 3 có nghiệm thực?

A. 2019 .

B. 4032 .

C. 4039 . Lời giải

Chọn B Trang 10

D. 4033 .

Đk: x ∈ [ −3;1] .

( 3 + x )(1 − x ) + m ( 2

Phương trình đã cho ⇔ 11 − 3 x − 4

Đặt t = 2 1 − x − 3 + x = g ( x ) , với x ∈ [ −3;1]  11 − 3x − 4 Có g ′ ( x ) =

)

1 − x − 3 + x = 0 . (*)

( 3 + x )(1 − x ) = t 2 + 4 .

−1 1 − < 0, ∀x ∈ ( −3;1) . Suy ra g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −3;1) . 1− x 2 3 + x

 min g ( x ) = g (1) = −2 : max g ( x ) = g ( −3) = 4  t ∈ [ −2; 4] . [ −3;1]

[−3;1]

Từ (*)  t 2 + mt + 4 = 0 . Nếu t = 0  0 + 4 = 0 (vô lí). Nếu t ∈ [ −2; 4] \{0} , ta có m =

−t 2 − 4 4 = −t − = f ( t ) . t t

4 − t2 Có f ′ ( t ) = 2 , f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = ±2 . t Bảng biến thiên

m ≥ 4 Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi  .  m ≤ −4

m ∈ [ −2019; 2019]  m ≥ 4  m ∈ {−2019; − 2018;....; − 4; 4;...; 2018; 2019} . Do đó     m ≤ −4 m ∈ ℤ  Vậy có ( 2019 − 4 + 1) .2 = 4032 giá trị nguyên của tham số thực m .

Câu 15.

(Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Tập hợp tất cả các số thực của tham số m

(

)

để phương trình x 6 + 6 x 4 − m3 x3 + 15 − 3m2 x 2 − 6mx + 10 = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt

1  thuộc đoạn  ; 2 là: 2  5 A. 2 < m ≤ . 2

7 ≤ m < 3. 5

11 < m<4. 5 Lời giải C.

D. 0 < m <

9 . 4

Chọn A Ta có:

x 6 + 6 x 4 − m3 x3 + (15 − 3m2 ) x 2 − 6mx + 10 = 0 3

⇔ ( x 2 + 2 ) + 3 ( x 2 + 2 ) = ( mx + 1) + 3 ( mx + 1) ⇔ f ( x 2 + 2 ) = f ( mx + 1) (*) Trang 11

Với f ( t ) = t 3 + 3t . Do f ' ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t ∈ ℝ Hàm số f ( t ) đồng biến trên ℝ . Nên (*) ⇔ x 2 + 2 = mx + 1

⇔ x 2 − mx + 1 = 0 ⇔ m =

x2 + 1 . x

x2 + 1 1  Xét hàm số g ( x ) = trên  ; 2  x 2  Ta có: g ' ( x ) = 1 −

1  g ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1. x2

Bảng biến thiên.

1  Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc  ; 2 2  5 khi và chỉ khi 2 < m ≤ . 2 Câu 16.

(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu m nguyên dương để hai đường cong 2 và ( C2 ) : y = 4 x − m cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương? ( C1 ) : y = 2 + x − 10 A. 35. B. 37. C. 36. D. 34. Lời giải. ChọnC  x ≠ 10  Điều kiện:  m. x ≥  4 Xét trên ( 0; +∞ ) \ {10} , phương trình hoành độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là 2

2  2 x − 18  2+ = 4x − m ⇔ m = 4x −   . x − 10  x − 10  2

 2 x − 18  Đặt g ( x ) = 4 x −   với x ∈ ( 0; +∞ ) \ {10} .  x − 10   2 x − 18  −4 x + 34 Ta có: g ′ ( x ) = 4 1 +  ; g ′′ ( x ) = . 3 4  ( x − 10 )  x − 10 ( )   Trang 12

g ′ ( x ) có bảng biến thiên như sau

 17  Suy ra phương trình g ′ ( x ) = 0 có một nghiệm duy nhất α ∈  ;10  . Lại có g ′ ( 9, 22 ) > 0 nên 2  

α ∈ ( 9, 22;10 ) . Ta có bảng biến thiên của g ( x ) trên ( 0; +∞ ) \ {10} :

Từ đó suy ra phương trình m = g ( x ) có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi −81 < m < g (α ) . 25

4 x < 40  Trên khoảng ( 9, 22;10 ) thì   2 x − 18 2 nên g ( x ) < 37  g (α ) ∈ ( 36;37 ) .  3 <    x − 10  Vậy những giá trị m nguyên dương thỏa mãn yêu cẩu bài toán là 1; 2; 3; …; 36 hay có 36 giá trị của m cần tìm. Câu 17.

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1).( x − 2)...( x − 2020). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn

[ −2020; 2020]

để phương trình f ′( x) = m. f ( x ) có 2020 nghiệm phân biệt?

A. 2020.

B. 4040.

C. 4041. Lời giải

D. 2020.

Chọn B Ta có nhận xét: khi f ( x ) = 0 thì phương trình f ′( x) = m. f ( x ) vô nghiệm. Do đó: f ′( x) = m. f ( x ) ⇔ m =

Xét hàm số g ( x ) =

Ta có g ′( x) =

f ′( x ) . f ( x)

f ′( x) 1 1 1 1 . = + + +…+ f ( x) x − 1 x − 2 x − 3 x − 2020

−1

( x − 1)

−1

( x − 2)

−1

( x − 3)

+… +

−1

( x − 2020 )

< 0, ∀x ∈ ℝ \ {1; 2;3...; 2020}

Bảng biến thiên: Trang 13

Dựa vào BBT, phương trình f ′( x) = m. f ( x ) có 2020 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m > 0 hoặc

m < 0. Kết hợp với điều kiện m là số nguyên thuộc [ −2020; 2020] nên

m ∈ {n ∈ ℤ | −2020 ≤ n ≤ 2020, n ≠ 0} . Vậy có tất cả 4040 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 18.

(ĐHQG

Hà

Nội

2020)

Cho

phương

trình

4 cos3 x − 12 cos 2 x − 33cos x = 4m + 3 3 3cos 2 x + 9 cos x + m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

 2π  tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc  0;  .  3  A. 15. B. 16. C. 17. D. 18. Lời giải Chọn A  2π   1   1   2π  Đặt t = cos x với x ∈ 0;   t ∈  − ;1 , với mỗi t ∈  − ;1 chỉ có một x ∈ 0;   3   2   2   3  3

Ta có 4t 3 − 12t 2 − 33t = 4m + 3 3t 2 + 9t + m (1)

 1  Bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất t ∈  − ;1  2   4t 3 − 12t 2 − 33t = 4m + 3u  4t 3 = 12t 2 + 33t + 4m + 3u Đặt u = 3t + 9t + m    3 2 3 2 u = 3t + 9t + m  4u = 12t + 36t + 4m 3

(

)

(

 4t 3 − 4u 3 = 3u − 3t ⇔ ( t − u ) 4t 2 + 4ut + 4u 2 + 3 = 0 ⇔ u = t , 4t 2 + 4ut + 4u 2 + 3 > 0

)

 1  Ta tìm m để phương trình m = t 3 − 3t 2 − 9t có nghiệm duy t ∈  − ;1  2  t = −1(l ) Xét g ( t ) = t 3 − 3t 2 − 9t  g ' ( t ) = 3t 2 − 6t − 9  g ' ( t ) = 0 ⇔   t = 3 (l ) 29  1 Vậy g (1) ≤ m ≤ g  −  ⇔ − 11 ≤ m ≤ vậy có 15 giá trị nguyên của m. 8  2 Câu 19.

(Sở Ninh Bình 2020) Cho hai hàm số y = ln

3 1 x−2 − + 4m − 2020 , Tổng tất các và y = x−2 x x

các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất là A. 506 . B. 1011 . C. 2020 . D. 1010 . Lời giải Chọn A Trang 14

+ Phương trình hoành độ điểm chung của hai đồ thị hàm số là x−2 3 1 x−2 3 1 ln = − + 4m − 2020 ⇔ ln − + = 4m − 2020 x x−2 x x x−2 x

(*)

Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi (*) có duy nhất một nghiệm. 3 1   g1 ( x) = ln( x − 2) − ln x − x − 2 + x khi x > 2  x−2 3 1  3 1 + Xét hàm số y = ln − + =  g 2 ( x) = ln(2 − x) − ln x − + khi 0 < x < 2 x x−2 x  x−2 x 3 1   g3 ( x) = ln(2 − x) − ln(− x) − x − 2 + x khi x < 0   / 1 1 3 1 4( x 2 − 1)  g1 ( x) = x − 2 − x + ( x − 2) 2 − x 2 = x 2 ( x − 2) 2   −1 1 3 1 4( x 2 − 1) Ta có  g 2/ ( x ) = − + − = 2 − x x ( x − 2) 2 x 2 x 2 ( x − 2) 2   / −1 1 3 1 4( x 2 − 1) − + − =  g 3 ( x) = 2 − x x ( x − 2) 2 x 2 x 2 ( x − 2) 2  bảng biến thiên hàm số như sau

khi x > 2  x = −1 khi 0 < x < 2 , do vậy y = 0 ⇔  x = 1

khi x < 0

+ Qua bảng biến thiên này ta có (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi  m = 506 ∈ Z  4m − 2020 = 4  2020 + ln 3  4m − 2020 = ln 3 ⇔  m= ∉Z   4 + Tư đây yêu cầu bài toán xãy ra khi và chỉ khi m = 506 .

Câu 20.

A. 4040 .

B. 2020 .

C. 2021 . Lời giải

D. 4041 .

Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) :

Trang 15

( x + 1)( 2 x + 1)( 3 x + 1) ( m + 2 x ) = −12 x 4 − 22 x 3 − x 2 + 10 x + 3 (1) Để đồ thị ( C1 ) cắt ( C2 ) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

1 1  Với x ∈ −1; − ; −  : Không là nghiệm của phương trình (1). 2 3  1 1  Với x ∉ −1; − ; −  ta có: 2 3 

(1) ⇔ m =

−12 x 4 − 22 x3 − x 2 + 10 x + 3 1 1 1 − 2 x ⇔ m = −2 x − 2 x + + + . x + 1 2 x + 1 3x + 1 ( x + 1)( 2 x + 1)( 3x + 1)

Xét hàm số f ( x ) = −2 x − 2 x +

Suy ra: f ′ ( x ) = −2 −

2x x

−

1 1 1 1 1  + + , ∀x ∈ ℝ \ −1; − ; −  . x + 1 2 x + 1 3x + 1 2 3 

( x + 1)

−

( 2 x + 1)

−

( 3x + 1)

1 2 3  − − khi x ∈ ( 0; +∞ ) 2 2 2  −4 − x + 1 2 x + 1 3 x + 1 ( ) ( ) ( )  Ta có: f ′ ( x ) =  và f ′ ( x ) không xác 1 2 3 1 1   − − − khi x ( −∞;0 ) \  −1; − ; −  2 2 2  2 3   ( x + 1) ( 2 x + 1) ( 3 x + 1) định tại x = 0 .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì m ≥ 0 . Do đó có 2021 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 21.

(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số

(x y=

− 2 x + m ) − 3x − m x−3

(C ) và đường thẳng

( d ) : y = 2 x ( m là tham số thực).

Số giá trị nguyên của m ∈ [ −15;15] để đường thẳng ( d ) cắt đồ thị (C ) tại bốn điểm phân biệt là

A. 15 .

B. 30 .

Chọn A Xét pt hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

Trang 16

C. 16 . Lời giải

D. 17 .

− 2 x + m ) − 3x − m x−3

= 2 x ⇔ ( x 2 − 2 x + m ) − 3 x − m = 2 x 2 − 6 x ( x ≠ 3) 2

⇔ ( x 2 − 2 x + m ) = 2 x 2 − 3 x + m ( x ≠ 3)

( *)

 x 2 − 2 x + m = t  x 2 − 2 x − t + m = 0 Đặt: x 2 − 2 x + m = t ta được hệ:  2 ⇔  2 2 2 t = 2 x − 3 x + m  2 x − t − 3 x + m = 0

t = x  x 2 − t 2 − x + t = 0  ( x − t )( x + t − 1) = 0   t = 1 − x  x 2 − 3 x + m = 0 (1)  x2 − 2x + m = x ⇔ 2 Suy ra:  2  x − x + m − 1 = 0 ( 2 )  x − 2x + m = 1 − x

YCBT ⇔ (*) phải có 4 nghiệm phân biệt khác 3 ⇔ (1) , ( 2 ) đều phải có hai nghiệm pb khác 3 và các nghiệm của chúng không trùng nhau. 9  9 − 4m > 0 m < 4 m < 1, 25  3  3 − 3.3 + m ≠ 0 m ≠ 0  - (1) , ( 2) đều có hai nghiệm pb khác 3 khi:  ⇔ ⇔ m ≠ 0 (**) 1 − 4 ( m − 1) > 0 m < 5 m ≠ −5  32 − 3 + m − 1 ≠ 0  4   m ≠ −5   x 2 − 3 x + m = 0 - (1) , ( 2) không có nghiệm trùng nhau ⇔ Hệ:  2 Vô nghiệm  x − x + m − 1 = 0

2 x − 1 = 0 ⇔ 2 Vô nghiệm  x − 3x + m = 0 1  x = Vô nghiệm ⇔ 2  x 2 − 3x + m = 0  2

1 1 ⇔   − 3.   + m ≠ 0 2 2 5 ⇔ m ≠ (***) 4 Vậy số giá trị nguyên của m ∈ [ −15;15] đồng thời thỏa mãn (**) và (***) là 15.

Câu 22.

(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho hai hàm số

y = x 6 + 6 x 4 + 6 x 2 + 1 và

y = x3 m − 15 x ( m + 3 − 15 x ) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) và ( C2 ) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2019;2019] để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Số phần tử của tập hợp S bằng A. 2006 . B. 2005 .

C. 2007 . Lời giải

D. 2008 .

Chọn A Ta biết ( C1 ) cắt ( C2 ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình x 6 + 6 x 4 + 6 x 2 + 1 = x3 m − 15 x ( m + 3 − 15 x )

(1) có hai nghiệm phân biệt. Trang 17

Điều kiện: m − 15 x ≥ 0 ⇔ m ≥ 15 x (*) . Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. Suy ra x ≠ 0 . Khi đó (1) ⇔ x 3 + 6 x 2 + 6 x + 3

1 1   ⇔  x +  + 3 x +  = x x  

(

1 = m − 15 x ( m + 3 − 15 x ) x3

m − 15 x

)

+ 3 m − 15 x .

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + 3t . Tập xác định D = ℝ .

f ′ ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t ∈ ℝ . Suy ra hàm số f ( t ) = t 3 + 3t đồng biến trên ℝ . 1 = m − 15 x ( 2 ) . x 1 Nếu x < 0  x + < 0  Phương trình ( 2 ) vô nghiệm  x > 0 . x

Do đó (1) ⇔ x +

m > 0 1 1  Khi đó  nên ( 2 ) ⇔ x 2 + 2 + 2 = m − 15 x ⇔ m = x 2 + 2 + 2 + 15 x . 1 x x  x + x > 0 1 2 Đặt g ( x ) = x 2 + 2 + 2 + 15 x, x > 0 . g ′ ( x ) = 2 x − 3 + 15 . x x 1 Phương trình g ′ ( x ) = 0 có một nghiệm x = trên khoảng ( 0; +∞ ) . 2 Bảng biến thiên

Suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m >

55 ( thỏa m > 0 ). 4

Kết hợp với m nguyên và m ∈ [ −2019; 2019] ta có được m nguyên và m ∈ [14; 2019] . Khi đó S có 2019 − 14 + 1 = 2006 phần tử.

Câu 23. (THPT

Nguyễn

Công

Trứ

Hà

Tĩnh

2021)

Cho

hàm

số

f ( x ) = (1 − m3 ) x3 + 3mx 2 + ( 3m2 − 2m + 2 ) x + m3 + 2m với m là tham số. Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [ −2020;2021] sao cho f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ [ 2020;2021] ?

A. 2023 .

B. 2022 .

C. 2021 . Lời giải

D. 2020 .

Chọn B f ( x ) = (1 − m3 ) x 3 + 3mx 2 + ( 3m 2 − 2m + 2 ) x + m3 + 2m ≥ 0 ∀x ∈ [ 2020; 2021] 3

⇔ ( x + m ) + 2 ( x + m ) ≥ ( mx ) + 2mx ∀x ∈ [ 2020; 2021] (1)

Xét hàm số f (t ) = t 3 + 2t , f '(t ) = 3t 2 + 2 > 0∀t Trang 18

Vậy hàm số f (t ) đồng biến trên ℝ nên (1) suy ra

x 2021 ∀x ∈ [ 2020; 2021] ⇔ m ≤ . x −1 2020 Vậy trên đoạn [ −2020; 2021] có 2022 giá trị nguyên của m thỏa mãn. x + m ≥ mx ∀x ∈ [ 2020;2021] ⇔ m ≤

Dạng 2. Tương giao hàm hợp, hàm ẩn Câu 1.

(Mã 104 - 2021 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 là

A. 12 .

B. 10 .

C. 8 .

D. 4 .

Lời giải Chọn B Nhìn vào đồ thị ta thấy f ( x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự a, b, c, d .

f  f Ta có: f ( f ( x ) ) = 0 ⇔  f f 

( x ) = a, a ∈ ( −∞; − 1) ( x ) = b, b ∈ ( −1;0 ) . ( x ) = c, c ∈ ( 0;1) ( x ) = d , d ∈ (1; + ∞ )

Dựa vào đồ thị ta thấy: Phương trình f ( x ) = a có 2 nghiệm thực phân biệt. Phương trình f ( x ) = b có 4 nghiệm thực phân biệt. Phương trình f ( x ) = c có 4 nghiệm thực phân biệt. Phương trình f ( x ) = d vô nghiệm trên ℝ . Vậy phương trình f ( f ( x ) ) = 0 có 10 nghiệm thực phân biệt.

Câu 2.

(Mã 102 - 2021 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 1 là

Trang 19

A. 9 .

B. 7 .

C. 3 .

D. 6 .

Lời giải Chọn B

 f ( x ) = a ( a < −1) (1)  Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra f ( f ( x ) ) = 1 ⇔  f ( x ) = 0 ( 2) .  f x = b 1< b < 2 3 ( ) ( )  ( ) TH1

Trang 20

f ( x) = a

( a < −1)  phương trình có một nghiệm.

TH2

f ( x ) = 0  phương trình có ba nghiệm phân biệt.

TH3

Trang 21

f ( x ) = b (1 < b < 2 )  phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Các nghiệm của (1); (2); (3) là đôi một khác nhau. Vậy f ( f ( x ) ) = 1 có 7 nghiệm nghiệm phân biệt.

Câu 3.

(Mã 103 - 2021 - Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 là

A. 4 . Chọn B

Trang 22

B. 10 .

C. 12 . Lời giải

D. 8 .

 f ( x ) = a ( a < −1)   f ( x ) = b ( −1 < b < 0 ) . Ta có: f ( f ( x ) ) = 0 ⇔   f ( x ) = c ( 0 < c < 1)  f ( x ) = d ( d > 1)   Phương trình f ( x ) = a với a < −1 vô nghiệm.

 Phương trình f ( x ) = b với −1 < b < 0 có 4 nghiệm phân biệt.  Phương trình f ( x ) = c với 0 < c < 1 có 4 nghiệm phân biệt.  Phương trình f ( x ) = d với d > 1 có 2 nghiệm phân biệt. Câu 4.

(Mã 101 - 2021 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x )) = 1 là: A. 9 . B. 3 . C. 6 .

D. 7 .

Lời giải Chọn D

 f ( x) = 0 Ta có: f ( f ( x)) = 1 ⇔  f ( x) = a (a < −1)  f ( x) = b (1<b < 2) Ta dựa vào đồ thị: Phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghiệm. Phương trình f ( x ) = a có 1 nghiệm. Phương trình f ( x ) = b có 3 nghiệm. Vậy phương trình f ( f ( x )) = 1 có 7 nghiệm phân biệt.

Câu 5.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Trang 23

Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ; 2π ] của phương trình 2 f ( sin x) + 3 = 0 là

A. 4 .

B. 6 .

C. 3 . Lời giải

D. 8 .

Chọn B Đặt t = sin x . Do x ∈ [ −π ; 2π ] nên t ∈ [ −1;1] .

3 Khi đó ta có phương trình 2 f ( t ) + 3 = 0 ⇔ f ( t ) = − . 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = −

3 có 2 nghiệm t = a ∈ ( −1; 0 ) và 2

t = b ∈ ( 0;1) .

Trường hợp 1: t = a ∈ ( −1;0 ) Ứng với mỗi giá trị t ∈ ( −1; 0 ) thì phương trình có 4 nghiệm −π < x1 < x2 < 0 < π < x3 < x4 < 2π . Trường hợp 2: t = b ∈ ( 0;1) Ứng với mỗi giá trị t ∈ ( 0;1) thì phương trình có 4 nghiệm 0 < x5 < x6 < π . Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn [ −π ; 2π ]

Câu 6.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

 5π  Số nghiệm thuộc đoạn  0;  của phương trình f ( sin x ) = 1 là  2  A. 7 . B. 4 . C. 5 . Lời giải Chọn C  5π  Đặt t = sin x , x ∈ 0;   t ∈ [ −1;1]  2 

D. 6 .

Khi đó phương trình f ( sin x ) = 1 trở thành f ( t ) = 1, ∀t ∈ [ −1;1]

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y = 1 . t = a ∈ ( −1; 0 ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có f ( t ) = 1   . t = b ∈ ( 0;1) Trang 24

Trường hợp 1: t = a ∈ ( −1;0 ) Ứng với mỗi giá trị t ∈ ( −1;0 ) thì phương trình sin x = t có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn π < x1 < x2 < 2π .

Trường hợp 2: t = b ∈ ( 0;1) Ứng với mỗi giá trị t ∈ ( 0;1) thì phương trình có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn 5π ; 2 Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.  5π  Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0;  .  2  0 < x3 < x4 < π ; 2π < x5 <

Câu 7.

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số

(

)

nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f ( x) + 1 = 0 là

A. 8 . Chọn

B. 5 .

C. 6 . Lời giải

D. 4 .

C. x = 0  f ( x) = 0  x f ( x) = 0   3 3 3 f ( x f ( x) ) + 1 = 0 ⇔ f ( x f ( x) ) = −1 ⇔  x f ( x) = a > 0 ⇔  f ( x) = a (do x ≠ 0) x3  x 3 f ( x) = b > 0    f ( x) = b (do x ≠ 0)  x3 3

 f ( x) = 0 có một nghiệm dương x = c .  Xét phương trình f ( x) =

Đặt g ( x) = f ( x) −

k với x ≠ 0, k > 0 . x3

k . x3 Trang 25

g ′( x) = f '( x) +

3k . x4

 Với x > c , nhìn hình ta ta thấy f ′( x) > 0  g ′( x) = f ′( x) +

3k >0 x4

 g ( x) = 0 có tối đa một nghiệm.  g (c) < 0 Mặt khác  và g ( x) liên tục trên ( c; +∞ ) g ( x) = +∞  xlim →+∞  g ( x) = 0 có duy nhất nghiệm trên ( c; +∞ ) .

 Với 0 < x < c thì f ( x) < 0 <

k  g ( x) = 0 vô nghiệm. x3

 Với x < 0 , nhìn hình ta ta thấy f ′( x) > 0  g ′( x) = f ′( x) +

3k >0 x4

 g ( x) = 0 có tối đa một nghiệm.  lim− g ( x) > 0 x →0 và g ( x) liên tục trên ( −∞; 0 ) . Mặt khác  g ( x) = −∞  xlim →−∞  g ( x) = 0 có duy nhất nghiệm trên ( −∞; 0 ) . Tóm lại g ( x) = 0 có đúng hai nghiệm trên ℝ \ {0} . Suy ra hai phương trình f ( x) =

(

a b , f ( x) = 3 có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác c . 3 x x

)

Vậy phương trình f x3 f ( x) + 1 = 0 có đúng 6 nghiệm.

Câu 8.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

(

)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f ( x ) + 1 = 0 là

A. 6 .

B. 4 .

C. 5 . Lời giải

D. 8 .

Chọn A

 x 3 f ( x ) = a ∈ ( −6; −5)  Dựa vào đồ thị, ta thấy f ( x 3 f ( x ) ) + 1 = 0 ⇔ f ( x 3 f ( x ) ) = −1 ⇔  x 3 f ( x ) = b ∈ ( −3; −2 )  3  x f ( x ) = 0 Trang 26

(1) ( 2) ( 3)

x = 0 x = 0 ⇔ + Phương trình ( 3 ) tương đương  .  f ( x ) = 0  x = x1 , ( −6 < x1 < a < −5 ) a b và h ( x ) = 3 đồng biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) và ( 0; +∞ ) , và nhận 3 x x xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên: + Các hàm số g ( x ) =

 f ( x) = g ( x)

(1) ⇔ 

 f ( x ) = h ( x )

 lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = −1 x →0 −  x →−∞  + Trên khoảng ( −∞; 0 ) , ta có  lim g ( x ) = lim h ( x ) = 0 nên các phương trình x →−∞ x →−∞  g ( x ) = lim− h ( x ) = +∞  xlim → 0− x →0 f ( x ) = g ( x ) và f ( x ) = h ( x ) có nghiệm duy nhất.  lim f ( x ) = −∞; lim f ( x ) = −1 x →0 +  x →+∞  nên các phương trình + Trên khoảng ( 0; +∞ ) , ta có  lim g ( x ) = lim h ( x ) = 0 x →+∞ x →+∞  g ( x ) = lim+ h ( x ) = −∞  xlim → 0+ x→0 f ( x ) = g ( x ) và f ( x ) = h ( x ) có nghiệm duy nhất.

(

)

Do đó, phương trình f x3 f ( x ) + 1 = 0 có 6 nghiệm phân biệt.

Câu 9.

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( x 2 f ( x ) ) + 2 = 0 là

A. 8 .

B. 12 .

C. 6 . Lời giải

D. 9 .

Chọn D

Trang 27

 x2 f ( x) = 0  2 x f ( x ) = a (1) 2 vớ i 0 < a < b < c . f ( x f ( x) ) + 2 = 0 ⇔  2  x f ( x) = b ( 2 )  2  x f ( x ) = c ( 3)

m (1) ( m > 0 ) . x2 Gọi α , β là hoành độ giao điểm của ( C ) : y = f ( x) và Ox ; α < 0 < β . Xét phương trình f ( x) =

m m = 0 . Đặt g ( x) = f ( x) − 2 2 x x 2m Đạo hàm g ′( x) = f ′( x) + 3 . x 2m Trường hợp 1: x < α ; f ′( x) < 0; 3 < 0  g ′( x) < 0 x m Ta có lim g ( x ) = +∞, g (α ) = − 2 < 0 . Phương trình g ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( −∞;α ) . (1) ⇔ f ( x) −

x →−∞

Trường hợp 2: α < x < β

m > 0 suy ra g ( x ) < 0 ∀x ∈ (α , β ) . x2 2m > 0  g ′( x) > 0 Trường hợp 3: x > β ; f ′( x) > 0; x3 m Ta có lim g ( x ) = +∞, g ( β ) = − 2 < 0 . Phương trình g ( x ) = 0 có một nghiệm thuộc ( β ; +∞) . x →−∞ β f ( x) < 0 ,

m có hai nghiệm ∀m > 0 . x2 Ta có: x 2 f ( x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ f ( x) = 0 : có ba nghiệm. Vậy phương trình f ( x ) =

Vậy phương trình (1) có 9 nghiệm.

Câu 10.

Trang 28

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình f ( x 2 f ( x ) ) = 2 là:

A. 6.

B. 12.

C. 8.

D. 9.

Lời giải Chọn D  x2 f  2 x f 2 Ta có: f ( x f ( x ) ) = 2   2 x f  x2 f 

( x) = 0 ( x) = a < 0 . ( x) = b < 0 ( x) = c < 0

x = 0 Xét phương trình: x 2 f ( x ) = 0 ⇔  mà f ( x ) = 0 có hai nghiệm  x 2 . f ( x ) = 0 có ba f x = 0 ( )  nghiệm. Xét phương trình: x 2 f ( x ) = a < 0 Do x2 ≥ 0 ; x = 0 không là nghiệm của phương trình  f ( x ) =

a <0 x2

a −2a  g′ ( x ) = 3 2 x x Bảng biến thiên:

Xét g ( x ) =

a có 2 nghiệm. x2 Tương tự: x 2 f ( x ) = b và x 2 f ( x ) = c ( b, c < 0 ) mỗi phương trình cũng có hai nghiệm.

Từ bảng biến thiên với f ( x ) < 0  f ( x ) =

Vậy số nghiệm của phương trình f ( x 2 f ( x ) ) = 2 là 9 nghiệm.

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ sau

Trang 29

(

)

Số nghiệm của phương trình f 2 + f ( e x ) = 1 là

A. 4 .

B. 2 .

C. 1. Lời giải

D. 3 .

Chọn B Đặt u = e x > 0 , từ đồ thị suy ra: f ( u ) ≥ −3, ∀u > 0 . Đặt t = 2 + f ( u ) , t ≥ −1 . Ứng với mỗi nghiệm t = − 1 , có một nghiệm u = 1 . Ứng với mỗi nghiệm t ∈ ( −1; 2 ) , có hai nghiệm u ∈ ( 0; 2 ) . Ứng với mỗi nghiệm t > 2 , có một nghiệm u > 2 .

Phương trình f ( t ) = 1 có một nghiệm t = −1 và một nghiệm t > 2 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên ℝ và có đồ thị f ′ ( x ) là đường cong trong hình vẽ bên.

Trang 30

Đặt g ( x ) = f ( f ′ ( x ) − 1) . Gọi S là tập nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0. Số phần tử của tập S là

A. 8 .

B. 10 .

C. 9 .

D. 6 .

Lời giải Chọn C Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trên ℝ nên hàm số f ( x ) và f ′ ( x ) xác định trên ℝ. Do đó, tập xác định của hàm số g ( x ) là D = ℝ.

−1  x = 3  x =1  f ′′ ( x ) = 0  ⇔  x = x0 ∈ (1 ; 2 ) Ta có: g ′ ( x ) = f ′′ ( x ) . f ′ ( f ′ ( x ) − 1) , g ′ ( x ) = 0 ⇔   f ′ ( f ′ ( x ) − 1) = 0  f ′ ( x ) − 1 = −1   f ′( x ) −1 = 1   f ′( x ) −1 = 2 Từ đồ thị ta cũng có:

x = 1  f ′ ( x ) − 1 = −1 ⇔ f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1 .  x = 2

 x = x1 ∈ ( −∞ ; -1) .  f ′( x) −1 = 1 ⇔ f ′( x) = 2 ⇔   x = x2 ∈ ( 2 ; +∞ )  x = x3 ∈ ( −∞ ; x1 ) .  f ′ ( x ) −1 = 2 ⇔ f ′ ( x ) = 3 ⇔   x = x4 ∈ ( x2 ; +∞ ) Vậy phương trình g ′ ( x ) = 0 có 9 nghiệm.

Câu 13.

(THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g ( x ) = f ( f ( x )) . Hỏi phương trình g ′ ( x) = 0 có mấy nghiệm thực phân biệt?

A. 14 .

B. 10 .

C. 8 . Lời giải

D. 12 .

Chọn B

Trang 31

Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( f ( x )). f ′ ( x )

 f ′ ( f ( x )) = 0 g ′ ( x) = 0 ⇔   f ′ ( x) = 0  f ( x) = x1  x = x1 , (−2 < x1 < −1)    f ( x) = 0 x = 0  Có f ′ ( x ) = 0 ⇔  ; f ′ ( f ( x)) = 0 ⇔   f ( x) = x2  x = x2 , (1 < x2 < 2)    f ( x) = 2  x = 2  Dựa vào đồ thị ta thấy: f ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x = −2, x = 0, x = 2 , trong đó có 2 nghiệm trùng với nghiệm của f ′ ( x) = 0 .

f ( x) = x1 có 3 nghiệm phân biệt x3 ∈ (−2; −1) , x4 ∈ (−1;1), x5 ∈ (2; +∞) . f ( x) = x2 có 1 nghiệm duy nhất x6 ∈ (−∞; −2) . f ( x) = 2 có 1 nghiệm duy nhất x7 ∈ (−∞; −2) . Cũng từ đồ thị có thể thấy các nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , −2,0, 2 đôi một khác nhau. Vậy g ′ ( x) = 0 có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt.

Câu 14. Biết rằng đồ thị hàm số y = f ( x ) được cho như hình vẽ sau

Số giao điểm của đồ thị hàm số y =  f ′ ( x) − f ′′ ( x). f ( x) và trục Ox là:

A. 4 .

B. 6 .

C. 2 . Lời giải

Chọn D Đặt f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) , a ≠ 0, x1 < x2 < x3 < x4 .

Trang 32

D. 0 .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y =  f ′ ( x ) − f ′′ ( x). f ( x) và trục Ox là  ′  ′ ′ 2  f ′ ( x ) − f ′′ ( x). f ( x ) = 0 ⇒  f ( x )  = 0 ⇒  1 + 1 + 1 + 1  = 0    x− x  f ( x)  x − x2 x − x3 x − x4  1  1 1 1 1 − − − − = 0 vô nghiệm. 2 2 2 2 ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) 2

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y =  f ′ ( x) − f ′′ ( x). f ( x ) và trục Ox là 0 .

Câu 15.

(Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình f ( f ( x ) − 1) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6 .

B. 5 .

C. 7 . Lời giải

D. 4 .

Chọn C

 x = x1 ∈ ( −2; − 1)  Ta có f ( x ) = 0 ⇔  x = x2 ∈ ( −1;0 )  x = x3 ∈ (1; 2 )  f ( x ) − 1 = x1 ∈ ( −2; − 1)  f ( x ) = 1 + x1 ∈ ( −1;0 )   Khi đó: f ( f ( x ) − 1) = 0 ⇔  f ( x ) − 1 = x2 ∈ ( −1;0 ) ⇔  f ( x ) = 1 + x2 ∈ ( 0;1)  f ( x ) − 1 = x3 ∈ (1; 2 )  f ( x ) = 1 + x3 ∈ ( 2;3) + Ta thấy hai phương trình f ( x ) = 1 + x1 ∈ ( −1;0 ) ; f ( x ) = 1 + x2 ∈ ( 0;1) đều có ba nghiệm phân biệt. Phương trình f ( x ) = 1 + x3 ∈ ( 2;3) có một nghiệm. Vậy phương trình f ( f ( x ) − 1) = 0 có 7 nghiệm.

Câu 16. (Đề tham khảo 2019) Cho hàm số f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r ,. Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Trang 33

Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = r có số phần tử là

A. 4 .

B. 3 .

C. 1. Lời giải

D. 2 .

Chọn B Ta có f ′ ( x ) = 4mx3 + 3nx 2 + 2 px + q (1)

5 , 3. 4 Do đó f ′ ( x ) = m ( x + 1)( 4 x − 5 )( x − 3) và m ≠ 0 . Hay f ′ ( x ) = 4mx3 − 13mx 2 − 2mx + 15m ( 2 ) . Dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) ta thấy phương trình f ′ ( x ) = 0 có ba nghiệm đơn là −1,

Từ (1) và ( 2 ) suy ra n = −

13 m , p = −m và q = 15m . 3

13   Khi đó phương trình f ( x ) = r ⇔ mx 4 + nx3 + px 2 + qx = 0 ⇔ m  x 4 − x3 − x 2 + 15 x  = 0 3   5 2 ⇔ 3x4 − 13x3 − 3x2 + 45 x = 0 ⇔ x ( 3 x + 5 )( x − 3) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − ∨ x = 3 . 3  5  Vậy tập nghiệm của phương trình f ( x ) = r là S = − ;0;3 .  3 

Câu 17.

(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y = f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r , trong đó m, n, p, q, r ∈ ℝ . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ như hình vẽ dưới.

Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = 16m + 8n + 4 p + 2q + r có tất cả bao nhiêu phần tử.

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 . Lời giải

Chọn A Từ đồ thị ta thấy f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 1 ∨ x = 4 Ta có bảng biến thiên

Phương trình f ( x ) = 16m + 8n + 4 p + 2q + r ⇔ f ( x ) = f ( 2 ) Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm. Trang 34

D. 6 .

Câu 18. Cho f ( x ) là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây.

Tập nghiệm của phương trình  f ′ ( x )  = f ( x ) . f ′′ ( x ) có số phần tử là A. 1. B. 2. C. 6. D. 0. Lời giải Chọn A 2

Xét phương trình  f ′ ( x )  = f ( x ) . f ′′ ( x ) Do f ( x ) = 0 có ba nghiệm

(1) x1 , x2 , x2 ( x1 < x2 < x3 ) và

f ' ( x3 ) = 0 suy ra x3 là một nghiệm của (1)

Ta có f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) , ( a ≠ 0 ) ′  f ′ ( x ) ′  1 1 2  =0⇔ + + =0 Với x ≠ x3  (1) ⇔       x − x1 x − x2 x − x3   f ( x)  1 1 2 ⇔− − − = 0 vô nghiệm. 2 2 2 ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) Vậy, phương trình (1) có đúng một nghiệm x = x3 .

Câu 19.

(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đồ thị như hình sau: y 4

y=f(x)

3 2 1 O -3 -2 -1

3 4 -1 -2

5 x

-3 -4 y=g(x)

Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình f ( g ( x ) ) = 0 và g ( f ( x ) ) = 0 là

B. 22 .

A. 25 . Chọn

C. 21 . Lời giải

D. 26 .

Trang 35

 x = x1 ( −3 < x1 < −2 )   x = −1  Quan sát đồ thị ta thấy: f ( x ) = 0 ⇔  x = x2 (1 < x2 < 2 ) .  x = x ( 2 < x < 3) 3 3   x = x4 ( 4 < x4 < 5 )  g ( x ) = x1 (1)   g ( x ) = −1 ( 2 )  Do đó: f ( g ( x ) ) = 0 ⇔  g ( x ) = x2 ( 3)  g ( x ) = x ( 4) 3   g ( x ) = x4 ( 5 ) Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm; Phương trình ( 2 ) có đúng 3 nghiệm; Phương trình ( 3 ) có

đúng 3 nghiệm; Phương trình ( 4 ) có đúng 3 nghiệm; Phương trình ( 5 ) có đúng 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm trên đều phân biệt nên phương trình f ( g ( x ) ) = 0 có đúng 11 nghiệm.  x = x5 ( −2 < x5 < −1)  Quan sát đồ thị ta thấy: g ( x ) = 0 ⇔  x = x6 ( 0 < x6 < 1) x = 3 

 f ( x ) = x5 ( 6 )  Do đó g ( f ( x ) ) = 0 ⇔  f ( x ) = x6 ( 7 )   f ( x ) = 3 (8 ) Phương trình ( 6) có 5 nghiệm; Phương trình ( 7 ) có 5 nghiệm; Phương trình ( 8 ) có 1 nghiệm. Tất cả các nghiệm này đều phân biệt nên phương trình g ( f ( x ) ) = 0 có đúng 11 nghiệm. Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình f ( g ( x ) ) = 0 và g ( f ( x ) ) = 0 là 22 nghiệm.

Câu 20.

(THPT Nghĩa Hưng 2019) Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y = f ′ (x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: y 4

2 −3 −2

−1 O

2 3

4 5

6 7

−2

Số nghiệm thuộc đoạn − 2; 6  của phương trình f (x ) = f (0) là   A. 5 B. 2 C. 3 Lời giải Từ đồ thị của hàm số f ' ( x ) ta có BBT Trang 36

D. 4

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ' ( x ) ; y = 0; x = 0; x = 2 Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ' ( x ) ; y = 0; x = 2; x = 5 Gọi S3 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ' ( x ) ; y = 0; x = 5; x = 6 2

S1 = −  f ' ( x ) dx = f ( 0 ) − f ( 2 ) ; S2 =  f ' ( x ) dx = f ( 5) − f ( 2 ) ; S3 = −  f ' ( x ) dx = f ( 5 ) − f ( 6 ) Từ đồ thị ta thấy S 2 > S1  f ( 5 ) − f ( 2 ) > f ( 0 ) − f ( 2 )  f ( 5 ) > f ( 0 ) và S1 + S3 < S 2  f ( 0 ) − f ( 2 ) + f ( 5 ) − f ( 6 ) < f ( 5 ) − f ( 2 )  f ( 6 ) > f ( 0 ) Khi đó ta có BBT chính xác ( dạng đồ thị chính xác ) như sau:

Vậy phương trình f (x ) = f (0) có 2 nghiệm thuộc đoạn − 2; 6   

Câu 21.

A. 2

B. 8

C. 4 Lời giải.

D. 6

Trang 37

 f ′( x) = 0 Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) f ′  f ( x )  = 0 ⇔  (*) .  f ′  f ( x )  = 0 Theo đồ thị hàm số suy ra. x = 0 , với 2 < a1 < 3 . f ′( x) = 0 ⇔   x = a1

 f ( x ) = 0 , (1) f ′  f ( x )  = 0 ⇔  .  f ( x ) = a1 , ( 2 ) Phương trình (1) : f ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình (*) . Phương trình ( 2 ) : f ( x ) = a1 có 3 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình (1) và phương trình (*) . Vậy phương trình ban đầu có 8 nghiệm phân biệt.

(

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 là

A. 3.

B. 4.

C. 2. Lời giải

D. 0.

Chọn B Từ hình vẽ ta có dạng đồ thị của hàm trùng phương nên b = d = 0  f ( x ) = ax 4 + cx 2 + e Ta có f ′ ( x ) = 4ax3 + 2cx.

 f ′ (1) = 0  4 a + 2c = 0 a = 1    Từ đồ thị   f ( 0 ) = 0 ⇔ e = 0 ⇔ e = 0  f ( x ) = x 4 + 2 x 2 .   a + c + e = 1 c = 2    f (1) = 1  f

( x) = x

+ 2 x và f

Như vậy phương trình f

(

)

f ( x) = f 2 ( x) + 2 f ( x) .

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0.

⇔ f 2 ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 với f ( x ) ≥ 0. Đặt t = f ( x )( t ≥ 0 ) ta được phương trình g ( t ) = 0 với g ( t ) = t 2 − 3t − 2 t + 1. Nhận thấy: Hàm số g ( t ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và g ( 0 ) .g (1) < 0

 g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc ( 0;1) . Hàm số g ( t ) liên tục trên đoạn [1; 4] và g (1) .g ( 4 ) < 0 Trang 38

 g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 4 ) . Mà g ( t ) = 0 là phương trình bậc hai chỉ có tối hai nghiệm nên g ( t ) = 0 có duy nhất một nghiệm thuộc

( 0;1) . Suy ra

(

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 có duy nhất một nghiệm f ( x ) ∈ ( 0;1) . Suy ra

phương trình f ( x ) = a với a ∈ ( 0;1) luôn có 4 nghiệm x phân biệt.

Câu 23.

(Sở

Hưng

Yên

2019)

g ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ,

Cho

các

hàm

( n, n, p , q , r , a , b, c , d ∈ ℝ )

số

f ( x ) = mx 4 + nx 3 + px 2 + qx + r

thỏa mãn

và

f ( 0 ) = g ( 0 ) . Các hàm số

f ′ ( x ) , g ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) có số phần tử là

A. 4 .

B. 2 .

C. 1 . Lời giải

D. 3 .

Chọn B +) Từ giả thiết f ( 0 ) = g ( 0 ) suy ra r = d do đó phương trình f ( x ) = g ( x ) tương đương với:

x = 0 x  mx 3 + ( n − a ) x 2 + ( p − b ) x + ( q − c )  = 0 ⇔  3 2  mx + ( n − a ) x + ( p − b ) x + ( q − c ) = 0 +) Từ đồ thị của các hàm số f ′ ( x ) , g ′ ( x ) suy ra m ≠ 0 8   f ′ ( −1) = g ′ ( −1)  −4 m + 3 ( n − a ) − 2 ( p − b ) + q − c = 0 n − a = − 3 m    và  f ′ (1) = g ′ (1) ⇔ 4m + 3 ( n − a ) + 2 ( p − b ) + q − c = 0 ⇔  p − b = −2m .  ′   q − c = 8m  f ( 2) = g′ ( 2) 32m + 12 ( n − a ) + 4 ( p − b ) + q − c = 0   8 8 Từ đó ta có phương trình: mx3 − mx 2 − 2mx + 8m = 0 ⇔ x 3 − x 2 − 2 x + 8 = 0 . 3 3 Sử dụng máy tính Casio ta được phương trình có 1 nghiệm và nghiệm đó khác 0 . Vậy tập nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) có 2 phần tử.

Câu 24.

Trang 39

A. 4 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 9 .

Lời giải Chọn

f  f Dựa vào đồ thị ta có f ( f ( x ) ) + 1 = 0 f ( f ( x ) ) = −1 ⇔  f f 

( x ) = a < −2 ( x ) = b ∈ ( −2; −1) . ( x) = 0 ( x) = c > 2

 x = x1 < −2 + Với f ( x ) = a < −2 ⇔  .  x = x2 > 2  x = x3 < −2  x = x4 ∈ ( −2; −1) . + Với f ( x ) = b ∈ ( −2; −1) ⇔   x = x ∈ ( −1;0 ) 5   x = x6 > 2

 x = x7 = −2  + Với f ( x ) = 0 ⇔  x = x8 ∈ ( 0;1) .  x = x ∈ 2;3 ( ) 9  + Với f ( x ) = c > 2 vô nghiệm. Ta thấy hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên ( −∞; −2 ) , f ( x1 ) = a ≠ b = f ( x3 ) nên x1 ≠ x3 . Hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên ( 2; +∞ ) , f ( x6 ) = b ≠ 0 = f ( x9 ) nên x6 ≠ x9 . Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt.

Câu 25.

(THPT Nguyễn Đức Cảnh - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên

Phương trình f

A. 1. Chọn B Trang 40

(

)

2 x − x 2 = 3 có bao nhiêu nghiệm?

B. 2.

C. 3. Lời giải

D. 4.

Trước hết, xét hàm số t = t ( x ) = 2 x − x 2 , x ∈ [ 0; 2] . Ta có t ′ ( x ) =

2 − 2x 2 2 x − x2

, x ∈ ( 0;2 ) . t ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1∈ ( 0; 2 ) .

Bảng biến thiên của t ( x ) :

 0 ≤ t ≤ 1 , ∀x ∈ [ 0; 2] . Lúc này, phương trình f

(

)

2 x − x 2 = 3 trở thành f ( t ) = 3 (1) với t ∈ [ 0;1] .

Theo bảng biến thiên của hàm số f ( t ) trên đoạn [ 0;1] thì đường thẳng y = 3 cắt đồ thị hàm số

y = f ( t ) tại đúng 1 điểm có hoành độ thuộc khoảng ( 0;1) nên phương trình ( 2 ) có đúng 1 nghiệm t = t0 với t0 ∈ ( 0;1) .

Khi đó, phương trình (1) ⇔ 2x − x 2 = t0 ( 2 ) , t0 ∈ ( 0;1) . Mặt khác, theo bảng biến thiên của hàm số t ( x ) , với mỗi t0 ∈ ( 0;1) thì đường thẳng y = t0 cắt đồ thị hàm số y = t ( x ) tại đúng 2 điểm phân biệt nên phương trình ( 2 ) có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình f

(

)

2 x − x 2 = 3 có đúng 2 nghiệm.

Trang 41

A. 2 .

B. 5 .

C. 4 . Lời giải

D. 6 .

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

 f ( cos x ) − 1 = a ∈ ( −2; −1)  f  f ( cos x ) − 1 = 0 ⇔  f ( cos x ) − 1 = b ∈ ( −1; 0 )  f cos x − 1 = c ∈ 1; 2 ) ( )  (  f ( cos x ) = a + 1 ∈ ( −1;0 )  ⇔  f ( cos x ) = b + 1 ∈ ( 0;1)  f cos x = c + 1 ∈ 2;3 ) ( )  ( cos x = α1 < −1  • Xét phương trình f ( cos x ) = a + 1 ⇔ cos x = α 2 ∈ ( −1;0 ) cos x = α > 1 3 

(1) ( 2) ( 3)

Vì cos x ∈ [ −1;1] nên phương trình (1) , ( 3) vô nghiệm và phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm thuộc

đoạn [ 0; 2π] .

cos x = β1 < −1  • Xét phương trình f ( cos x ) = b + 1 ⇔ cos x = β 2 ∈ ( −1; 0 ) cos x = β > 1 3 

( 4) ( 5) ( 6)

Vì cos x ∈ [ −1;1] nên phương trình ( 4 ) , ( 6 ) vô nghiệm và phương trình ( 5 ) có 2 nghiệm thuộc

đoạn [ 0; 2π] . Trang 42

• Xét phương trình f ( cos x ) = c + 1 ⇔ cos x = t > 2 (vô nghiệm) Nhận xét hai nghiệm của phương trình ( 5) không trùng với nghiệm nào của phương trình ( 2 ) nên phương trình f  f ( cos x ) − 1 = 0 có 4 nghiệm phận biệt.

Câu 27.

3 2 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + bx + c có đồ thị

như hình vẽ:

 −π  Số nghiệm nằm trong  ;3π  của phương trình f ( cos x + 1) = cos x + 1 là  2  A. 2 . B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn C

Trang 43

 x = a ∈ ( −∞;0 )  Từ đồ thị ta có f ( x ) = x ⇔  x = b ∈ ( 0;1) x = 2  cos x + 1 = a ∈ ( −∞;0 ) cos x = a − 1 = t1 ∈ ( −∞; −1) (VN )   Do đó f ( cos x + 1) = cos x + 1 ⇔ cos x + 1 = b ∈ ( 0;1) ⇔ cos x = b − 1 = t2 ∈ ( −1;0 ) (1) cos x + 1 = 2 cos x = 1 (2)    −π  Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong  ;3π  . 2    −π  Phương trình (2) có 2 nghiệm nằm trong  ;3π  .  2   −π  Vậy phương trình ban đầu có tất cả 5 nghiệm nằm trong  ;3π  .  2 

Câu 28. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc khoảng ( −∞ ;ln 2 ) của phương trình 2019 f (1 − e x ) − 2021 = 0 là

A. 1.

B. 2 .

C. 3 . Lời giải

D. 4 .

Chọn B Đặt t = 1 − e x ; x ∈ ( −∞;ln 2 )  t ∈ ( −1;1) . Nhận xét: x = ln (1 − t )  với mỗi giá trị của t ∈ ( −1;1) ta được một giá trị của x ∈ ( −∞ ;ln 2 ) . Phương trình tương đương: f ( t ) =

2021 . 2019

Sử dụng bảng biến thiên của f ( x ) cho f ( t ) như sau:

Trang 44

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) =

2021 có 2 nghiệm t1 , t2 ∈ ( −1;1) . 2019

Vậy phương trình 2019 f (1 − e x ) − 2021 = 0 có 2 nghiệm x ∈ ( −∞;ln 2 ) .

Câu 29.

A. 2 .

B. 4 .

C. 5 . Lời giải

D. 6 .

Chọn D

Đặt t = cos x , với x ∈ [ 0;3π ]  t ∈ [ −1;1] . Với t = 1 , phương trình t = cos x có hai nghiệm x ∈ [ 0;3π ] . Với t = −1 , phương trình t = cos x có hai nghiệm x ∈ [ 0;3π ] . Với −1 < t < 1 , phương trình t = cos x có ba nghiệm x ∈ [ 0;3π ] . Thay t = cos x vào phương trình f ( f ( cos x ) − 1) = 0 , ta được phương trình:  f ( t ) − 1 = a ∈ ( −2; −1)  f ( t ) = a + 1 ∈ ( −1; 0 ) (1)   f ( f ( t ) − 1) = 0 ⇔  f ( t ) − 1 = b ∈ ( −1;0 ) ⇔  f ( t ) = b + 1∈ ( 0;1) ( 2 ) .  f t − 1 = c ∈ 1; 2  f t = c + 1 ∈ 2;3 ( ) ( ) ( 3)  ( )  ( ) Từ đồ thị ta có: +) Phương trình (1) có 1 nghiệm t ∈ ( −1;0 ) , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. +) Phương trình (2) có 1 nghiệm t ∈ ( −1;0 ) , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. +) Phương trình (3) có 1 nghiệm t > 1 , suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm. Trang 45

Câu 30. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

 sin x − cos x   5π 5π  Số nghiệm thuộc đoạn  − ;  của phương trình 3 f   − 7 = 0 là: 2  4 4    A. 6. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn C sin x − cos x π  = sin  x −  4 2 

π  3π  π  5π 5π   ;   x − ∈ − ; π   sin  x −  ∈ [ −1;1] x ∈ − 4  2 4  4 4      π sin  x − 4  = a ∈ ( −1; 0)   π  7  sin x − cos x    3f   − 7 = 0 ⇔ f  sin  x − 4   = 3 ⇔  π 2       sin  x −  = b ∈ (0;1) 4  

π  sin  x −  = a ∈ (−1;0) có 2 nghiệm. 4  π  sin  x −  = b ∈ (0;1) có 3 nghiệm. 4  Vậy phương trình có 5 nghiệm. Câu 31.

A. 8 .

B. 2 .

C. 4 . Lời giải

D. 6 .

Chọn A  f ′( x) = 0  f ′( x) = 0  Ta có g '( x ) = f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  = 0 ⇔  . ⇔  f ( x) = 0  f ′  f ( x )  = 0  f x = m ∈ 1;3 ( )  ( ) Trang 46

Phương trình f ′ ( x ) = 0 có 2 nghiệm Phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghiệm Phương trình f ( x ) = m ∈ (1;3) có 3 nghiệm Vậy phương trình có 8 nghiệm.

Câu 32.

(Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) có bẳng biến thiên như hình vẽ.

 9π  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f ( 2 sin x + 1) = 1 là  2  A. 7 . B. 5 . C. 4 . Lời giải Chọn A

D. 6 .

 sin x = −1 (1)  2 sin x + 1 = −1   a −1 Ta có f ( 2 sin x + 1) = 1 ⇔  2 sin x + 1 = a ∈ (1;3) ⇔ sin x = ∈ ( 0;1) (2)  2   b −1  2 sin x + 1 = b ∈ ( 3; +∞ ) sin x = ∈ (1; +∞ ) (3) 2 

 9π  (1) có 2 nghiệm trong  0;  .  2   9π  (2) có 5 nghiệm trong  0;  .  2  (3) vô nghiệm.

 9π  Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm trong  0;  .  2  Câu 33.

(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có

( (

đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f f là A. 2.

B. 3.

C. 1.

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − f (1) = 0 D. 0.

Trang 47

Lời giải Chọn B Đặt t =

f ( x) , t ≥ 0 .

Ta có: f ( f ( t ) + t 2 + 2t ) − f (1) = 0 (*). Xét t = 0 : (*) ⇔ f ( 0 ) − f (1) = 0 (không thỏa). Xét t > 0 : Ta có f ( t ) > 0 và f ( t ) + t 2 + 2t > 0 Theo đồ thị, hàm f ( u ) đồng biến trên ( 0;+∞ ) . Do đó, (*) ⇔ f ( f ( t ) + t 2 + 2t ) = f (1) ⇔ f ( t ) + t 2 + 2t = 1

⇔ f ( t ) = 1 − t 2 − 2t ⇔ f ( t ) = g ( t ) (**)(với g ( t ) = 1 − t 2 − 2t , t > 0 ) Vì hàm f ( t ) đồng biến và g ( t ) nghịch biến trên ( 0;+∞ ) nên phương trình (**) có nghiệm duy nhất t = α Theo đồ thị hàm f ( t ) , g ( t ) ta có α ∈ ( 0;1) .

Khi đó, t = α ⇔ f ( x ) = α 2 , α 2 ∈ ( 0;1) (***). Vì đồ thị hàm f ( x ) cắt đường thẳng y = α 2 tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (***) có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 34.

Trang 48

A. 6 .

B. 5 .

C. 7 . Lời giải

D. 4 .

Chọn C  x = a ∈ ( −2; −1)  Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) suy ra f ( x ) = 0 ⇔  x = b ∈ ( −1;0 )  x = c ∈ 1;2 ( )   f ( x) − 1 = a  f ( x) = a + 1   Suy ra f ( f ( x ) − 1) = 0 ⇔  f ( x ) − 1 = b ⇔  f ( x ) = b + 1  f x −1 = c  f x = c +1  ( )  ( )

+ Do a ∈ ( −2; −1)  a + 1 ∈ ( −1;0 )  Phương trình f ( x ) = a + 1 có 3 nghiệm phân biệt. + Do b ∈ ( −1;0 )  b + 1 ∈ ( 0;1)  Phương trình f ( x ) = b + 1 có 3 nghiệm phân biệt. + Do c ∈ (1; 2 )  c + 1 ∈ ( 2;3 )  Phương trình f ( x ) = c + 1 có 1 nghiệm.

Vậy phương trình f ( f ( x ) − 1) = 0 có 3 + 3 + 1 = 7 nghiệm.

Trang 49

2 f − 5 −4 5. 3 2 2 C. m ≤ f ( 0 ) − 2 5 . D. m ≥ f 3 3

A. m ≥

(

)

B. m ≤

2 f 3

( 5).

( 5). Lời giải

Chọn D Ta có g ( x ) ≤ 0 ⇔ 2 f ( x ) + 2 x 3 − 4 x ≤ 3m + 6 5 .

Đặt h ( x ) = 2 f ( x ) + 2 x3 − 4 x thì bất phương trình g ( x ) ≤ 0 ⇔ h ( x ) ≤ 3m + 6 5

(

)

h ' ( x ) = 2 f ' ( x ) + 2.3 x 2 − 4 = 2 f ' ( x ) − ( −3 x 2 + 2 ) . Vẽ đồ thị hàm số y = −3 x 2 + 2 trên cùng hệ trục tọa độ với hàm số y = f ' ( x ) .

Trang 50

Ta thấy f ' ( x ) ≥ −3x 2 + 2 ∀x ∈  − 5; 5  nên h ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈  − 5; 5  . Suy ra h ( x ) ≤ h

( 5 ) , ∀x ∈ −

5; 5  hay max h ( x ) = h  − 5; 5   

( 5) = 2 f ( 5) + 6

Do đó h ( x ) ≤ 3m + 6 5, ∀x ∈  − 5; 5  ⇔ max h ( x ) ≤ 3m + 6 5  − 5; 5    ⇔2f

Câu 36.

( 5) + 6

5 ≤ 3m + 6 5 ⇔ m ≥

2 f 3

( 5)

(THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số

f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Đặt

g ( x ) = f ( f ( x ) − 1) . Số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 là A. 6 .

B. 10 .

C. 9 . Lời giải

D. 8 .

Chọn C

Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) . f ′ ( f ( x ) − 1) Trang 51

 f ′( x) = 0 g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) . f ′ ( f ( x ) − 1) = 0 ⇔  .  f ′ ( f ( x ) − 1) = 0  x = a1 ( a1 ∈ ( −1;0 ) )  +) f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1   x = a2 ( a2 ∈ (1; 2 ) )

 f ( x ) − 1 = a1  f ( x ) = a1 + 1 ∈ ( 0;1) (1)   +) f ′ ( f ( x ) − 1) = 0 ⇔  f ( x ) − 1 = 1 ⇔  f ( x ) = 2 ( 2)  f x −1 = a  f x = a + 1 ∈ 2;3 3 ( )( ) 2  ( )  ( ) 2 Từ đồ thị suy ra  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b1 ∈ ( −2; −1) ; b2 ∈ ( 2;3)  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt c1 ∈ ( −2; b1 ) ; c2 ∈ ( b2 ;3)  phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt d1 ∈ ( −2; c1 ) ; d 2 ∈ ( c2 ;3) Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt.

Câu 37.

(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên

 7π  Số nghiệm thuộc đoạn  0;  của phương trình f ( f (cos x)) = 0 là  2 

A. 7 .

B. 5 .

C. 8 .

D. 6 .

Lời giải Chọn B Đặt f (cos x) = t ta được phương trình f (t ) = 0 . t = t1 ∈∈ ( −2; −1) Quan sát đồ thị y = f ( x) ta suy ra f (t ) = 0 ⇔ t = t2 ∈ (0;1) .  t = t 3 ∈ (1; 2) * Với t = t1 ta có f (cos x) = t1 . Xét tương giao giữa hai đồ thị

y = t1 ∈ ( −2; −1)  f (cos x) = t1 ⇔ cos x = x1 < −1 nên phương trình vô nghiệm. Trang 52

y = f ( x)

và

* Với

t = t2

ta có

f (cos x) = t2 . Xét tương giao giữa hai đồ thị

y = f ( x)

và

cos x = x2 < −1 y = t2 ∈ ( 0;1)  f (cos x) = t2 ⇔ cos x = x3 ∈ (0;1) . cos x = x4 ∈ (1; 2)

 7π  Chỉ có cos x = x3 thỏa mãn. Khi đó tồn tại 3 giá trị x ∈  0;  tương ứng để cos x = x3 .  2   cos x = x5 < −1 * Với t = t3 tương tự ta có  cos x = x6 ∈ ( −1;0).  cos x = x7 > 1  7π  Chỉ có cos x = x6 thỏa mãn. Khi đó tồn tại 2 giá trị x ∈  0;  tương ứng để cos x = x6 .  2   7π  Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn  0;  .  2 

Câu 38.

A. 8 .

B. 3 .

C. 4 . Lời giải

D. 6 .

Chọn D Đặt t = 2 cos x , ta có bảng biến thiên của t như sau

8 Khi đó 3 f ( 2cos x ) = 8 ⇔ f ( t ) = . 3 8 Vẽ thêm đường thẳng y = trên đồ thị y = f ( x ) đã cho. 3

Trang 53

Xét trên đoạn [ −2; 2 ] , đường thẳng y =

8 cắt đồ thị hàm số f ( t ) tại hai điểm t1 ∈ ( −2; − 1) và 3

t2 ∈ (1; 2 ) .

Từ bảng biến thiên của t , ứng với giá tị t1 , ta tìm được 3 nghiệm x thỏa 2 cos x = t1 , tươngtự, ta cũng tìm được 3 nghiệm x thỏa 2 cos x = t2 . Vậy phương trình 3 f ( 2 cos x ) = 8 có 6 nghiệm x thuộc đoạn [ 2017π ; 2020π ]

Câu 39. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên.

 sin x + cos x   3π 7π  Phương trình 2 f   + 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên  − 4 ; 4  . 2     A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A sin x + cos x π π   Ta có: = sin  x +  . Đặt sin  x +  = t , t ∈ [ −1;1] . 4 4 2   Phương trình tương đương: f ( t ) = −

t = t1 ∈ ( −∞; −1)( loai ) 3 ⇔ . 2 t = t2 ∈ ( −1;0 )

 3π 7π  Với x ∈  − ;  , ta có bảng biến thiên của t như sau:  4 4 

Trang 54

 3π 7π  Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình t = t2 có 3 nghiệm x ∈  − ;  .  4 4 

Đặt g ( x ) = f ( f '( x ) − 1) . Gọi S là tập nghiệm của phương trình g '( x ) = 0 . Số phần tử của tập S là

A. 8

B. 6

C. 10 Lời giải

D. 9

Chọn C

 Ta có: g ( x ) = f ( f '( x ) − 1)  g '( x ) = f "( x ). f '( f '( x ) − 1) Trang 55

 f '( x) = 0 Phương trình g '( x ) = 0 ⇔  ⇔  f '( f '( x ) − 1) = 0

 f ''( x ) = 0  f ''( x ) = 0  f '( x) − 1 = −1 ⇔  f '( x ) = 0    f '( x ) − 1 = 2  f '( x ) = 3

x = 1  −2  Ta có đồ thị y = f '( x ) có cực trị tại  x = 3   x = x0 ∈ (1;2)  f "(1) = 0    −2    f "   = 0  f ''( x ) = 0 có 3 nghiệm   3   f ''( x0 ) = 0

x = 1  −2 ; x = x0 cùng với x = 1 là nghiệm bội chẵn   x = 3

Tại phương trình f '( x ) = 0 ta thấy có 2 nghiệm bội lẻ x = −1, x = 2 và nghiệm bội chẵn x = 1 Tại phương trình f '( x ) = 3 ta thấy có 2 nghiệm mà đường thẳng y = 3 cắt đồ thị y = f ( x ) đó là hai điểm x = x1 ∈ ( −∞; −1) và x = x2 ∈ (2; +∞) Vậy từ đó ta thấy phương trình g '( x ) = 0 tổng cộng có tất cả 10 nghiệm.

Câu 41. (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Gọi

( C1 )

và

( C2 )

lần lượt là đồ thị của hai hàm số

y = f ′′ ( x ) . f ( x ) −  f ′ ( x )  và y = 2021x .Số giao điểm của ( C1 ) và ( C 2 ) là

A. 1

B. 0

C. 2 Lời giải

D. 4

Chọn B Số giao điểm ( C1 ) và ( C 2 ) là nghiệm của phương trình 2

f ′′ ( x ) . f ( x ) −  f ′ ( x )  = 2021x (*) Từ đồ thị ta thấy f ( x ) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1; x2 ; x3 ; x4 nên phương trình f ( x ) = 0 có bốn nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4

 f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 )

Trang 56

 x = x1 x = x 2 Nếu f ( x ) = 0 ⇔  thay vào (*) ta thấy vế trái âm,vế phải dương nên phương trình (*) vô  x = x3   x = x4 nghiệm Nếu f ( x ) ≠ 0 nên ta có phương trình ta có phương trình (*) tương đương với

f ′′ ( x) ⋅ f ( x) −  f ′ ( x) 

′

[ f ( x)]2

 f ′ ( x)  2021x 2021x ⇔ =   2 [ f ( x)]2  f ( x)  [ f ( x)]

Ta có: f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 )  1 1 1 1   f ′ ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 )  + + +   x − x1 x − x2 x − x3 x − x4   1 1 1 1  f ′ ( x) 1 1 1 1  f ′ ( x) = f ( x)  + + + = + + + ⇔ f ( x) x − x1 x − x2 x − x3 x − x4  x − x1 x − x2 x − x3 x − x4  ′

′

 f ′ ( x)   1 1 1 1  + + + Khi đó:    =  f ( x)   x − x1 x − x2 x − x3 x − x4    1 1 1 1 = − + + + <0 2 2 2 2  (x − x ) (x − x ) (x − x ) (x − x )  1 2 3 4   ′

 f ′ ( x)  2020 x 2021x = Mà nên ph ươ ng trình vô nghiệm,do đó phương trình (*) vô 0 >   2 [ f ( x )]2  f ( x)  [ f ( x)] nghiệm. Câu 42. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên

Số nghiệm thực của bất phương trình

A. 6 .

B. 4 .

( x 3 − 3 x 2 + 4 ) + 8 ≤ f ( x 3 − 3 x 2 + 4 ) + 2 là C. 5 . Lời giải

D. Vô số.

Chọn B

(

Đặt t = f x3 − 3 x 2 + 4 BPT ⇔

)

2t 2 + 8 ≤ t + 2

t + 2 ≥ 0 ⇔ 2 2  2t + 8 ≤ t + 4t + 4

Trang 57

t ≥ −2 ⇔ ⇔t=2 t = ±2

(

)

Với t = 2 thì f x 3 − 3 x 2 + 4 = 2 Sử dụng phương pháp ghép trục ta có BBT:

Vậy bất phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt.

Câu 43. (THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh - 2021) Cho hàm số f ( x) bảng biến thiên như sau:

 9π  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f (2sin x + 1) = 1 là  2  A. 5. B. 6. C. 7. Lời giải Chọn C Xét phương trình f (2sin x + 1) = 1 (1).

Đặt t = 2sin x + 1 . t ' = 2 cos x .

t ' = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π 2

+ kπ . ( k ∈ ℤ ) .

 9π   π 3π 5π 7π 9π  Vì x ∈  0;  nên x ∈ 0; ; ; ; ; .  2   2 2 2 2 2  Bảng biến thiên

t = −1  Phương trình (1) trở thành f (t ) = 1 ⇔ t = a ∈ (1;3) . t = b ∈ 3; +∞ ( )  Trang 58

D. 4.

Căn cứ bảng biến thiên ta có + Với t = −1 phương trình (1) có 2 nghiệm. + Với t = a phương trình (1) có 5 nghiệm. +Với t = b phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình có 7 nghiệm.

Câu 44. (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Biết đồ thị hàm số bậc bốn y = f ( x ) được cho bởi 2

hình vẽ bên dưới. Tìm số giao điểm củađồ thị hàm số y = g ( x ) =  f ′ ( x )  − f ( x ) . f ′′ ( x ) và trục hoành

B. 0 .

A. 4 .

C. 6 .

D. 2 .

Lời giải Chọn B Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = g ( x ) và Ox là:  f ′ ( x ) ′  f ′ ( x )  − f ( x ) . f ′′ ( x ) = 0 ⇔ f ( x ) . f ′′ ( x ) −  f ′ ( x )  = 0 ⇔   =0  f ( x)  2

Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 , x4 . Giả sử f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) , a ≠ 0, x1 < x2 < x3 < x4 Ta có: f ′ ( x ) = a ( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) + a ( x − x1 )( x − x3 )( x − x4 ) + a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x4 ) + a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )

Ta có:

f ′( x) 1 1 1 1 = + + + f ( x ) x − x1 x − x2 x − x3 x − x4

 f ′ ( x ) ′ 1 1 1 1 − − − = 0 vô nghiệm. Ta có:   =0⇔− 2 2 2 2 ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 )  f ( x)  Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số y = g ( x ) và trục hoành bằng 0 .

Câu 45. (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:

Trang 59

(

Số nghiệm của phương trình f 23 x

A. 2 .

− 4 x2 + 2

) + 1 = 0 là

B. 3 .

C. 6 .

D. 5 .

Lời giải Chọn C  23 x − 4 x + 2 = 2 (1)  4 2 = −1 ⇔  23 x − 4 x + 2 = a ( a < −1) (2)  3 x4 − 4 x 2 + 2 = b (b > 5) (3)  2 4

(

f 23 x

− 4 x2 + 2

) +1 = 0 ⇔ f (2

3 x4 − 4 x2 + 2

)

Giải (1):  x2 = 1 23 x − 4 x + 2 = 2 ⇔ 3 x 4 − 4 x 2 + 2 = 1 ⇔ 3 x 4 − 4 x 2 + 1 = 0 ⇔  2 1 x =  3 Suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Phương trình (2) vô nghiệm. Phương trình (3) 23 x

− 4 x2 + 2

= b ⇔ 3 x 4 − 4 x 2 + 2 = log 2 b ⇔ 3 x 4 − 4 x 2 + 2 − log 2 b = 0 (4)

Phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác với 4 nghiệm của (1) Vậy, phương trình đã cho có 6 nghiệm

Câu 46. (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x) là hàm số bậc 3 , có đồ thị như sau:

π  Phương trình f 2 ( sin x + cos x ) + 1 = 2 2 sin  x +  f ( sin x + cos x ) − sin 2 x có bao nhiêu nghiệm 4   5π 5π  thực thuộc đoạn  − ;  ?  4 4 A. 1 . B. 3 .

C. 4 . Lời giải

D. 6 .

Chọn B

y=t

Trang 60

y = f '(t )

π  f 2 ( sin x + cos x ) + 1 = 2 2 sin  x +  f ( sin x + cos x ) − sin 2 x = 0(*) 4  Đặt t = sin x + cos x  5π 5π  Ta có x ∈  − ;   t ∈  − 2 ; 2   4 4  Phương trình (*) ⇔ f 2 ( t ) − 2t. f ( t ) + t 2 = 0 2

⇔ ( f (t ) − t ) = 0 ⇔ f (t ) = t

Yêu cầu bài toán trở thành tìm nghiệm của phương trình f ( t ) = t(1) với t ∈  − 2 ; 2  Từ đồ thị hàm số của phương trình (1) có 1 nghiệm t = 0 ⇔ sin x + cos x = 0

π π  ⇔ 2 sin  x +  = 0 ⇔ x + = kπ (k ∈ ℤ) 4 4  π

+ kπ 4 5π π 5π 3  5π 5π  x ∈ − ;   − ≤ − + kπ ≤  −1 ≤ k ≤ ; k ∈ ℤ  k ∈ {−1;0;1}  3 n0 . 4 4 4 2  4 4  x=−

Câu 47. (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2021) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như bên dưới

(

)

Số nghiệm phương trình 2 f x + 1 − 6 x + 3 = 1 là

A. 3 .

B. 4 .

C. 6 . Lời giải

D. 5 .

Chọn B

1 Đặt t = x + 1 − 6 x + 3 , x ≥ − . 2 3 Ta có t ′ = 1 − = 0 ⇔ x = 1 . Khi đó bảng biến thiên của hàm số là 6x + 3

Trang 61

Phương trình đã cho trở thành f ( t ) =

1 . Dựa và đồ thị ta thấy phương trình có 3 nghiệm là 2

t = a ∈ ( −1;0 )  t = b ∈ (1; 2 ) . t = c ∈ 2;3 ( )  Dựa vào bảng biến thiên của hàm số t = x + 1 − 6 x + 3 ta có Phương trình t = a ⇔ x + 1 − 6 x + 3 = a có 2 nghiệm và phương trình t = b ⇔ x + 1 − 6 x + 3 = b có 1 nghiệm và Phương trình t = c ⇔ x + 1 − 6 x + 3 = c có 1 nghiệm.

(

)

Vậy phương trình 2 f x + 1 − 6 x + 3 = 1 có 4 nghiệm.

A. 25 .

B. 22 .

C. 21 . Lời giải

D. 26 .

Chọn C

 f ( x ) = −2 (1)  Ta có g ( f ( x ) ) = 0 ⇔  f ( x ) = α , (α ∈ ( 0;1) ) (2) .   f ( x ) = 3 (3) Dựa vào đồ thị hàm số g ( x ) suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm; phương trình ( 2 ) có 5 nghiệm và phương trình ( 3) có 1 nghiệm. Vậy phương trình g ( f ( x ) ) = 0 có 10 nghiệm.

Trang 62

 g ( x ) = −3 (4)   g ( x ) = −1 (5)  Ta có f ( g ( x ) ) = 0 ⇔  g ( x ) = 1 (6) .   g ( x ) = a, ( a ∈ (1; 2 ) ) (7)   g ( x ) = b, ( b ∈ ( 4;5 ) ) (8) Dựa vào đồ thị hàm số g ( x ) suy ra phương trình ( 4 ) có 1 nghiệm; phương trình ( 5 ) ; ( 6 ) ; ( 7 ) mỗi phương trình có 3 nghiệm và phương trình ( 8) có 1 nghiệm. suy ra phương trình

f ( g ( x ) ) = 0 có 11 nghiệm. Vậy tổng số nghiệm của phương trình f ( g ( x ) ) = 0 và g ( f ( x ) ) = 0 là 21.

Câu 49. (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn

f ′ ( x ) = f ( x ) + e x .cos 2021x và f (0) = 0 . Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn [ −1;1] ? A. 4043.

B. 3.

C. 1. Lời giải

D. 1287.

Chọn D. f ′ ( x ) = f ( x ) + e x .cos 2021x .

⇔ f ′ ( x ) − f ( x ) = e x .cos 2021x ⇔ f ′ ( x ) .e − x − e − x . f ( x ) = cos 2021x. ⇔ e − x . f ( x ) ′ = cos 2021x ⇔  e− x . f ( x ) ′ dx =  cos 2021xdx.

(

)

(

⇔ e− x . f ( x ) =

1 sin 2021x + c. 2021

)

Ta có: f (0) = 0 suy ra c = 0 suy ra f ( x ) =

sin 2021x . 2021.e − x

sin 2021x = 0 ⇔ sin 2021x = 0 . 2021.e − x kπ ⇔ 2021x = kπ ⇔ x = (k ∈ ℤ) . 2021 −2021 2021 x ∈ [ −1;1]  ≤k≤ ⇔ −643, 6 ≤ k ≤ 643, 6 . f ( x) = 0 ⇔

 k ∈ {-643;...;643} . Vậy có 1287 nghiệm.

Câu 50. (Sở Bạc Liêu - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) = x3 + ax 2 + bx − 3 , a , b là các số thực thỏa mãn

 a+b−2 > 0 2 . Hỏi phương trình 2 f ( x ) . f ′′ ( x ) =  f ′ ( x )  có bao nhiêu nghiệm?  24 + 3 ( 3a + b ) < 0 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1 . Lời giải Chọn B 33 Không mất tính tổng quát, chọn a = − , b = 14 . Khi đó: Hai số a , b thỏa hệ 4  a+b−2 > 0 .  24 + 3 ( 3a + b ) < 0 Trang 63

Ta có: f ( x ) = x3 −

33 2 33 33 x + 14 x − 3 , f ′ ( x ) = 3 x 2 − x + 14 , f ′′ ( x ) = 6 x − . 4 2 2 2

Xét: 2 f ( x ) . f ′′ ( x ) =  f ′ ( x )  ⇔ 3 x 4 − 33 x3 + 84 x 2 − 36 x − 97 = 0 (*) Vậy: (*) có 2 nghiệm thực.

Câu 51. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như sau:

Số nghiệm của phương trình  f x 2 + 1  − 2 f x 2 + 1 − 3 = 0 là A. 3. B. 4. C. 5. Lời giải Chọn B  f ( x 2 + 1) = −1 2 2 2  f ( x + 1)  − 2 f ( x + 1) − 3 = 0 ⇔     f ( x 2 + 1) = 3    x 2 + 1 = −1(VN )  f ( x 2 + 1) = −1 ⇔  2 ⇔ x = ±1 .  x + 1 = 2  x 2 + 1 = 0 (VN )  f ( x 2 + 1) = 3 ⇔  2 ⇔ x2 = a −1 > 1 ⇔ x = ± a − 1 .  x + 1 = a > 2 (Các nghiệm x = ± a − 1 không trùng với các nghiệm x = ±1 )

(

)

(

)

D. 2.

 Vậy số nghiệm phương trình  f ( x 2 + 1)  − 2 f ( x 2 + 1) − 3 = 0 là 4. Câu 52. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số f ( x ) = x3 + bx 2 + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Số nghiệm của phương trình

A. 7 . Trang 64

f ( f ( x ) ) + 4 = f ( x ) + 1 là

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải Chọn B  Ta có f ( x ) = x3 + bx 2 + cx + d .

f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2bx + c . Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị M ( 0; 2 ) , N ( 2; −2 ) nên ta có hệ sau  f ′ (0) = 0 c = 0  c = 0   f ( 0) = 2 d = 2  ⇔ ⇔  d = 2 . Suy ra f ( x ) = x3 − 3x 2 + 2 .   f ′ ( 2) = 0 12 + 4b + c = 0 b = −3   f 2 = −2 8 + 4b + 2c + d = −2  ( ) t ≥ −1  Đặt t = f ( x ) . Phương trình đã cho trở thành f ( t ) + 4 = t + 1 ⇔  2  f ( t ) + 4 = t + 2t + 1 t ≥ −1 t ≥ −1 ⇔ 3 ⇔ 3 2 2 2 ( t − 3t + 2 ) + 4 = t + 2t + 1 t − 4t − 2t + 5 = 0 t ≥ −1   t = 1  t = 1  ⇔   3 + 29 ⇔  3 + 29 . t =  t =  2 2    3 − 29  t = 2   Với t = 1 ta được f ( x ) = 1∈ ( −2; 2 ) . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình này có 3 nghiệm phân biệt. 3 + 29 3 + 29 ta được f ( x ) = ∈ ( 2; +∞ ) . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình này có 2 2 đúng 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

 V ới t =

Trang 65

TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chuyên đề 8

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI 9-10 ĐIỂM Dạng 3. Biện luận tương giao hàm hợp, hàm ẩn chứa THAM SỐ Câu 1.

( 0; π )

là

B. [ −1;1)

A. ( −1;3)

C. [ −1; 3 )

D. ( −1;1)

Lời giải Chọn B Đặt t = sin x  ∀x ∈ ( 0; π )  t ∈ ( 0;1] Vậy phương trình trở thành f ( t ) = m . Dựa và đồ thị hàm số suy ra m ∈ [ −1;1) . Câu 2.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 6 f ( x 2 − 4 x ) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; + ∞ ) ? A. 25.

B. 30.

C. 29. Lời giải

D. 24.

Chọn B Ta đặt: g ( x ) = f ( x 2 − 4 x ) . g ′ ( x ) = ( 2 x − 4) f ′ ( x2 − 4 x ) = 2 ( x − 2 ) ( x 2 − 4 x + 4 )( x 2 − 4 x + 2 )( x 2 − 4 x ) (dựa vào bảng biến thiên) 3

= 2 ( x − 2) ( x2 − 4 x + 2) x ( x − 4) . Trang 1

Mặt khác: g ( 0 ) = f ( 0 ) = −3 ;

(

) (

)

g 2 − 2 = g 2 + 2 = f ( −2 ) = 2 ;

g ( 2 ) = f ( −4 ) = −2 ; g ( 4 ) = f ( 0 ) = −3 . Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu bài toán tương đương −3 <

m ≤2 6

⇔ −18 < m ≤ 12 . Vậy có tất cả 30 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3.

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 f ( x 2 − 4 x ) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; +∞ ) ? A. 15 . Chọn A Đặt u = x 2 − 4 x (1) Ta có BBT sau:

Ta thấy: Trang 2

B. 12 .

C. 14 . Lời giải

D. 13 .

u < −4 , phương trình (1) vô nghiệm. u = −4 , phương trình (1) có một nghiệm x = 2 > 0 . −4 < u < 0 , phương trình (1) có hai nghiệm x > 0 . u ≥ 0 , phương trình (1) có một nghiệm x > 0 m (2), ta thấy: Khi đó 3 f ( x 2 − 4 x ) = m  f ( u ) = 3 m + Nếu = −3 ⇔ m = −9 , phương trình (2) có một nghiệm u = 0 nên phương trình đã cho có một 3 nghiệm x > 0 . m + Nếu −3 < < −2 ⇔ −9 < m < −6 , phương trình (2) có một nghiệm u > 0 và một nghiệm 3 u ∈ ( −2; 0 ) nên phương trình đã cho có ba ngiệm x > 0 .

+ Với + Với + Với + Vơi

m = −2 ⇔ m = −6 , phương trình (2) có một nghiệm u = −4 , một nghiệm u ∈ ( −2; 0 ) và 3 một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có bốn nghiệm x > 0 . m + Nếu −2 < < 2 ⇔ −6 < m < 6 , phương trình (2) có một nghiệm u < −4 , hai nghiệm u ∈ ( −4; 0 ) 3 và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có năm nghiệm x > 0 . m + Nếu = 2 ⇔ m = 6 , phương trình (2) có một nghiệm u < −4 , một nghiệm u = −2 và một 3 nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có ba nghiệm x > 0 . m + Nếu > 2 ⇔ m > 6 , phương trình (2) có một nghiệm u < −4 và một nghiệm u > 0 nên 3 phương trình đã cho có một nghiệm x > 0 . Vậy −9 < m ≤ 6  có 15 giá trị m nguyên thỏa ycbt.

+ Nếu

Câu 4.

(Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

(

)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 5 f x 2 − 4 x = m có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0; +∞ ) A. 24 .

B. 21 .

C. 25 .

D. 20 .

Lời giải Chọn

C. 2

Đặt t = x − 4 x . Ta có t ′ = 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2 Bảng biến thiên

Trang 3

Với t = x 2 − 4 x .

m ≤ 2 ⇔ −15 < m ≤ 10 . Vì 5 m ∈ {−14; − 13;....;10} . Do đó có 25 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Dựa

Câu 5.

vào

bảng

biến

thiên

có

−3 <

nguyên

nên

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

(

)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 f x 2 − 4 x = m có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; +∞ ) ? B. 19 .

A. 16 .

C. 20 . Lời giải

D. 17 .

Chọn C

(

)

(

)

Ta có 4 f x 2 − 4 x = m ⇔ f x 2 − 4 x =

m 4

Đặt t = x 2 − 4 x  t′ = 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 2

Vì x ∈ ( 0; +∞ )  t ≥ −4

m 4 Phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0; +∞ )

Ta có f ( t ) =

m ≤ 2 ⇔ −12 < m ≤ 8 mà m nguyên nên m ∈ {−11; −10;...;0;1;...;8} 4 Vậy có 20 giá trị nguyên của m thỏa mãn.  −3 <

Trang 4

Câu 6.

(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình sau.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 f ( sin x − 2 ) −

2sin 3 x 5cos 2 x  π π + sin x > m + nghiệm đúng với mọi x ∈  − ;  . 3 4  2 2

11 . 12 19 C. m ≤ 2 f ( −1) + . 12

A. m ≤ 2 f ( −3) +

19 . 12 11 D. m < 2 f ( −3) + . 12 B. m < 2 f ( −1) +

Lời giải

Chọn C Ta có

2sin 3 x 5cos 2 x + sin x > m + 3 4 5 (1 − 2sin 2 x ) 2sin 3 x ⇔ m < 2 f ( sin x − 2 ) − + sin x − 3 4  π π Đặt t = sin x − 2 (với x ∈  − ;  thì t ∈ ( −3; −1) , khi đó bất phương trình được viết lại thành:  2 2 2 f ( sin x − 2 ) −

m < 2 f (t ) −

2 (t + 2) 3

2 5 1 − 2 ( t + 2 )   . + (t + 2) − 4

2 3 65 hay m < 2 f ( t ) − t 3 − t 2 + 3t + ( *) . 3 2 12 2 3 65 Xét hàm số g ( t ) = 2 f ( t ) − t 3 − t 2 + 3t + trên đoạn [ −3; −1] . 3 2 12 3 3 Ta có g ′ ( t ) = 2 f ′ ( t ) − 2t 2 − 3t + 3 . Do đó g ′ ( t ) = 0 ⇔ f ′ ( t ) = t 2 + t − . 2 2

Trang 5

3 3 Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) và parabol y = t 2 + t − trên đoạn [ −3; −1] 2 2 thì g ′ ( t ) = 0 ⇔ t ∈ {−3; −1} .

Suy ra bảng biến thiên của hàm số g ( t ) trên đoạn [ −3; −1] như sau:

 π π Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈  − ;  khi và chỉ khi bất phương trình (*)  2 2 19 nghiệm đúng với mọi t ∈ ( −3; −1) . Điều đó tương đương với m ≤ g ( −1) = 2 f ( −1) + dựa vào 12 tính liên tục của hàm số g ( t ) .

Câu 7.

A. m ≤ f ( 2 ) − 2 .

B. m ≤ f (1) + 1 .

C. m ≤ f (1) − 1. Lời giải

Chọn D Trang 6

D. m ≤ f ( 2 ) .

Ta có: f ( x ) > x 2 − 2 x + m ( ∀x ∈ (1; 2 ) ) ⇔ f ( x ) − x 2 + 2 x > m ( ∀x ∈ (1; 2 ) ) (*) . G ọi g ( x ) = f ( x ) − ( x 2 − 2 x )  g′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( 2x − 2) Theo đồ thị ta thấy f ′ ( x ) < ( 2 x − 2 ) ( ∀x ∈ [1; 2])  g ′ ( x ) < 0 ( ∀x ∈ [1; 2]) . Vậy hàm số y = g ( x ) liên tục và nghịch biến trên [1; 2] Do đó (*) ⇔ m ≤ min g ( x ) = g ( 2 ) = f ( 2 ) . [1;2]

Câu 8.

(Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ. Cho bất

( )

A. m ≥ 3 f (1) .

(

)

B. m ≥ 3 f − 3 .

C. m ≤ 3 f ( 0) .

D. m ≤ 3 f

( 3) .

Lời giải Chọn D

( )

Ta có 3 f x ≥ x 3 − 3x + m ⇔ 3 f x − x 3 + 3x ≥ m

Đặt g ( x ) = 3 f ( x ) − x3 + 3x . Tính g ' ( x ) = 3 f ' ( x ) − 3x 2 + 3 Có g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = x 2 − 1 Nghiệm của phương trình g ' ( x ) = 0 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và parabol y = x 2 − 1

Trang 7

x = − 3  Dựa vào đồ thị hàm số ta có: f ' ( x ) = x 2 − 1 ⇔  x = 0 x = 3 

BBT

( )

g' x

()

g x

−1

− 3

(

g − 3

−

3 0

−

) g

( 3)

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈  − 3; 3  thì m ≤ min g ( x ) = g  − 3; 3    Câu 9.

( 3) = 3 f ( 3) .

(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f ( sin x ) − m + 2 = 2sin x có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) . Tổng các phần tử của S bằng

A. 4 . Chọn D

Trang 8

B. −1 .

C. 3 . Lời giải

D. 2 .

Đặt t = sin x , với x ∈ ( 0; π )  t ∈ ( 0;1] . Ta được phương trình: f ( t ) − 2t = m − 2 ⇔ f ( t ) = 2t + m − 2 (1) Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng

y = 2t + m − 2

(r) .

Gọi ( p ) : y = 2 x + 1 song song với đường thẳng ( ∆ ) : y = 2t và đi qua điểm A ( 0;1) . Gọi q : y = 2 x − 3 song song với đường thẳng ( ∆ ) : y = 2t và đi qua điểm B (1; −1) .

Để phương trình f ( sin x ) − m + 2 = 2sin x có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) thì phương trình (1) phải có nghiệm t ∈ ( 0;1] , suy ra đường thẳng r nằm trong miền nằm giữa hai đường thẳng q và p ( có thể trùng lên q và bỏ p )

 −3 ≤ m − 2 < 1 ⇔ −1 ≤ m < 3  m ∈ {−1;0;1;2}  S = {−1;0;1; 2} . Do đó tổng các phần tử là: −1 + 0 + 1 + 2 = 2 .

Câu 10.

(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x3 + x + 2 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

(

)

f 3 ( x ) + f ( x ) + m = − x3 − x + 2 có nghiệm

x ∈ [ −1; 2] ? A. 1750 .

B. 1748 .

C. 1747 . Lời giải

D. 1746 .

Chọn A Xét hàm số f (t ) = t 3 + t + 2 , ta có f ′(t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ . Do đó hàm số f đồng biến trên ℝ . Ta có f

(

⇔ −x =

)

f 3 ( x) + f ( x) + m = f (− x) f 3 ( x) + f ( x) + m ⇔ f 3 ( x) + f ( x) + x 3 + m = 0

(1)

Xét h( x) = f 3 ( x) + f ( x) + x3 + m trên đoạn [ −1; 2] . Ta có h′( x ) = 3 f ′( x ) ⋅ f 2 ( x ) + f ′( x ) + 3 x 2 = f ′( x ) 3 f 2 ( x ) + 1 + 3 x 2 . Ta có f ′( x) = 3 x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ [ −1; 2]  h′( x) > 0, ∀x ∈ [ −1; 2] . Hàm số h( x ) đồng biến trên [ −1; 2] nên min h( x) = h(−1) = m − 1, max h( x) = h(2) = m + 1748. [ −1;2]

[ −1;2]

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi Trang 9

min h ( x ) ⋅ max h ( x ) ≤ 0 ⇔ h ( −1) ⋅ h ( 2 ) [ −1;2]

[ −1;2]

⇔

( m − 1)(1748 + m ) ≤ 0

⇔ −1748 ≤ m ≤ 1. Do m nguyên nên tập các giá trị m thỏa mãn là S = {−1748; −1747;…; 0;1} . Vậy có tất cả 1750 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 11.

A. 6 .

B. 5 .

C. 4 . Lời giải

D. 3 .

Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta có Min f ( x ) = f (4) = 2 và Max f ( x ) = f (2) = 4 [ 2;4]

[ 2;4]

Hàm số g ( x) = x + 2 x 2 − 2 x liên tục và đồng biến trên [ 2; 4] Suy ra Min g ( x ) = g (2) = 2 và Max g ( x ) = g (4) = 4 + 4 2 [2;4]

[ 2;4]

2 Ta có x + 2 x − 2 x = m. f ( x) ⇔

Xét hàm số h( x) =

x + 2 x2 − 2 x g ( x) =m⇔ =m f ( x) f ( x)

g ( x) liên tục trên [ 2; 4] f ( x)

Vì g ( x ) nhỏ nhất và f ( x ) lớn nhất đồng thời xảy ra tại x = 2 nên

Min h( x) = [2;4]

Min g ( x ) [2;4]

Max f ( x )

[2;4]

g ( 2) 1 = h(2) = f ( 2) 2

Vì g ( x ) lớn nhất và f ( x ) nhỏ nhất đồng thời xảy ra tại x = 4 nên

Max h( x) = [2;4]

Max g ( x ) [ 2;4]

Min f ( x ) [2;4]

g ( 4) = h(4) = 2 + 2 2 f ( 4)

Từ đó suy ra phương trình h( x) = m có nghiệm khi và chỉ khi

1 ≤ m ≤ 2+2 2 . 2

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.

Câu 12.

(Chuyên Sơn La - 2020) Cho hàm số f (x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị

(

) (

)

nguyên của tham số m để phương trình f 2 cos x + m − 2019 f cos x + m − 2020 = 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;2π  là Trang 10

A. 1 .

B. 3 .

C. 2 . Lời giải

D. 5 .

Chọn C  f cos x = −1 Ta có f 2 cos x + m − 2019 f cos x + m − 2020 = 0 ⇔  (1)  f cos x = 2020 − m

(

) (

)

( (

) )

* Với f ( cos x ) = −1 cos x = 0 π ⇔ x = + kπ Dựa vào đồ thị ta có f ( cos x ) = −1 ⇔  2 cos x = x1 ( x1 > 1) (VN )  π 3π  Vì x ∈ [ 0;2π ]  x ∈  ;  2 2 

* Với f ( cos x ) = 2020 − m

Đặt t = cos x ( t ∈ [ −1;1]) Với t ∈ ( −1;1] thì phương trình t = cos x có hai nghiệm phân biệt thuộc [ 0; 2π ] . Với t = −1 thì phương trình t = cos x có một nghiệm thuộc [ 0; 2π ] Phương trình trở thành f ( t ) = 2020 − m

Để phương trình (1) có tất cả 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f ( cos x ) = 2020 − m có 4 nghiệm phân biệt, hay phương trình f ( t ) = 2020 − m có hai nghiệm t ∈ ( −1;1]

Trang 11

Dựa vào đồ thị ta có để phương trình

f ( t ) = 2020 − m có hai nghiệm t ∈ ( −1;1] thì

−1 < 2020 − m ≤ 1 ⇔ 2019 ≤ m < 2021 Vì m nguyên nên m ∈ {2019;2020} Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 13.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f ′( x) có đồ thị như hình bên. Biết

 1 f (−1) = 1; f −  = 2 . Tìm tất cả các giá trị của  e 

để bất phương trình

 −1  f ( x ) < ln (− x ) + m nghiệm đúng với mọi x ∈ −1;  .  e 

A. m ≥ 2 .

B. m ≥ 3 .

C. m > 2 . Lời giải

Chọn B Ta có f ( x ) < ln ( − x ) + m ⇔ m > f ( x ) − ln ( − x ) . 1  Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − ln ( − x ) trên  −1; −  . e  1 Có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − . x 1 1 1   Trên  −1; −  có f ′ ( x ) > 0 và < 0 nên g ′ ( x ) > 0, ∀x ∈  −1; −  x e e   1   hàm số g ( x ) đồng biến trên  −1; −  . e  1  Vậy nên f ( x ) < ln ( − x ) + m nghiệm đúng với mọi x ∈  −1; −  e  1  ⇔ m ≥ g ( x ) , ∀x ∈  −1; −  e 

 1 ⇔ m ≥ g−   e Trang 12

D. m > 3 .

⇔ m ≥ 3. Câu 14.

(Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( −1) = 5, f ( −3) = 0 và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 f ( 2 − x ) + x 2 + 4 − x = m có nghiệm trong khoảng ( 3;5) là

A. 16 .

B. 17 .

C. 0 . Lời giải

D. 15 .

Chọn D Đặt g ( x ) = 3 f ( 2 − x ) + x 2 + 4 − x với x ∈ ( 3;5 ) . Ta có: g ′ ( x ) = −3 f ′ ( 2 − x ) +

x 2

x +4

− 1.

Với x ∈ ( 3;5) : Ta có: 2 − x ∈ ( −3; −1) nên f ′ ( 2 − x ) > 0 suy ra −3 f ′ ( 2 − x ) < 0 . Ta có:

x 2

x +4

x =1 x

Suy ra g ′ ( x ) = −3 f ′ ( 2 − x ) +

x 2

x +4

− 1 < 0, ∀x ∈ ( 3;5 ) nên hàm số nghịch biến trên ( 3;5) .

Suy ra min g ( x ) = g ( 5 ) = 3 f ( −3) + 52 + 4 − 5 = 29 − 5 ; ( 3;5 )

max g ( x ) = g ( 3) = 3 f ( −1) + 32 + 4 − 3 = 12 + 13 . ( 3;5 )

Để phương trình 3 f ( 2 − x ) + x 2 + 4 − x = m có nghiệm thì

29 − 5 ≤ m ≤ 12 + 13 mà m

nguyên dương nên m ∈ {1, 2,...,15} tức là có 15 giá trị

Câu 15.

Trang 13

A. m > 0 .

B. m > 3 −

1 . e2

C. m ≥ 3 −

1 . e2

D. m ≥ 0 .

Lời giải Chọn C Điều kiện: − x > 0 ⇔ x < 0 Bất phương trình đã cho tương đương với f ( x ) − ln ( − x ) − x 2 < m (*). 1  Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − ln ( − x ) − x 2 trên  −1; −  . e  Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) −

1 1 1  − 2 x . Với x ∈  −1; −  thì f ′ ( x ) > 0; − − 2 x > 0 nên g ′ ( x ) > 0 . x x e 

1  Do đó hàm số g ( x ) đồng biến trên  −1; −  . e  1 1 1 1   1  1 Suy ra (*) nghiệm đúng với mọi x ∈  −1; −  khi và chỉ khi m ≥ g  −  = f  −  − ln − 2 = 3 − 2 . e e e e   e  e

Câu 16.

(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( f ( cos x ) ) = m có nghiệm thuộc

 π 3π khoảng  ; 2 2 A. 2.

 ? 

B. 4.

Chọn B  π 3π  Khi x ∈  ;  thì cos x ∈ [ −1;0 ) . 2 2  Trang 14

C. 5. Lời giải.

D. 3.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy khi cos x ∈ [ −1;0 ) thì f ( cos x ) ∈ [ −1;1) ; khi đó

f ( f ( cos x ) ) ∈ [ −1;3) .  π 3π  Do đó phương trình f ( f ( cos x ) ) = m có nghiệm thuộc khoảng  ;  khi và chỉ khi 2 2  −1 ≤ m < 3 . Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. .

Câu 17.

(Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu

(

)

giá trị nguyên của tham số m để phương trình f x3 − 3x 2 + m + 3 = 0 có nghiệm thuộc đoạn

[ −1; 2] .

A. 7 .

B. 8 .

C. 10 . Lời giải

D. 5 .

Chọn B Từ hình vẽ, ta suy ra được hình vẽ là đồ thị của hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 .

 x3 − 3x 2 + m = −1  x3 − 3 x 2 + 1 = −m f ( x3 − 3x 2 + m ) + 3 = 0 ⇔ f ( x3 − 3x 2 + m ) = −3 ⇔  3 ⇔  3 2 2  x − 3x + m = 2  x − 3 x + 1 = −m + 3  −3 ≤ − m ≤ 1  −1 ≤ m ≤ 3 Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [ −1; 2 ] thì  ⇔ .  −3 ≤ − m + 3 ≤ 1 2 ≤ m ≤ 6  m ∈ [ −1; 6 ] .

Do m ∈ ℤ nên có 8 giá trị m để phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 18.

(Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

16.8 f (x ) ≤ (−m 2 + 5m).4 f (x ) − ((4 − f 2 (x )).16 f (x ) nghiệm đúng với mọi số thực x là A. 3. B. 5. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn D 16.8 f ( x ) ≤ ( − m 2 + 5m).4 f ( x ) − ((4 − f 2 ( x)).16 f ( x ) ⇔ − m 2 + 5m ≥ 16.2 f ( x ) + (4 − f 2 ( x)).4 f ( x ) Trang 15

Vì. nên ta có 16.2 f (x ) + (4 − f 2 (x )).4 f (x ) ≤ 16.2 −2 + 0 = 4 ∀x ∈ ℝ  −m 2 + 5m ≥ 4 ⇔ m 2 − 5m + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 4

Câu 19.

(Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình m + e x < f ( x ) có nghiệm với mọi x ∈ ( −1;1) khi và chỉ khi.

1  A. m ≤ min  f (1) − e; f ( −1) −  . e 

B. m < f ( 0 ) − 1 .

1  C. m < min  f (1) − e; f ( −1) −  . e 

D. m ≤ f ( 0 ) − 1 . Lời giải

Chọn A Ta có: m + e x < f ( x ) ⇔ m < f ( x ) − e x Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − e x với x ∈ ( −1;1)

g′ ( x ) = f ′ ( x ) − ex ; g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) − ex = 0 ⇔ f ′ ( x ) = ex Dễ thấy với x ∈ ( −1;1) ; f ′ ( 0 ) = 1; e0 = 1  x = 0 là nghiệm của phương trình f ′ ( x ) = e x hơn nữa là nghiệm duy nhất (Minh họa bằng hình vẽ)

Dựa vào vị trí đồ thị hình vẽ trên ta có bảng biến thiên

Trang 16

Qua bảng biến thiên và chỉ xét trong khoảng ( −1;1)

1  m < g ( x ) ⇔ m ≤ min { g ( −1) ; g (1)} ⇔ m ≤ min  f (1) − e; f ( −1) −  . e  Câu 20. (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Bất phương trình e

A. m < f ( 4 ) + e 2 .

≥ m − f ( x ) có nghiệm x ∈  4;16  khi và chỉ khi: B. m ≤ f ( 4 ) + e 2 .

C. m < f (16 ) + e2 .

D. m ≤ f (16 ) + e 2 .

Lời giải Chọn B Từ BBT suy ra f ' ( x ) > 0, ∀x ∈  4;16  . Ta có: e

Đặt g ( x ) = e

+ f ( x ) , ∀x ∈  4;16   g ' ( x ) =

≥ m − f (x) ⇔ m ≤ e x

2 x

+ f ( x ) (*) .

+ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈  4;16 

Bảng biến thiên:

(*) thỏa mãn khi m ≤ min g x = f 4 + e2 . 4;16

Câu 21.

( )

đúng với mọi x ∈ [ −3; 3] .

Trang 17

 12 − 10 3  A.  −∞; . 9  

12 − 8 3  ; +∞  . B.  9  

12 − 10 3   12 − 8 3  C.  ; +∞  . D.  −∞; . 9 9     Lời giải

Chọn D Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) . Vì đồ thị hàm số f ( x ) tiếp xúc với đồ thị hàm số g ( x ) tại điểm có hoành độ −3 và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là −1 và 3 suy ra 2

h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = a ( x + 3) ( x + 1)( x − 3) . Nhận xét từ đồ thị khi x → ±∞ thì phần đồ thị f ( x ) nằm dười g ( x ) nên a < 0 . Mặt khác ta có h ( 0 ) = 27 a = −2 − ( −1) = −1  a =

−1 27

−1 −1 2 ( x + 3) ( x + 1)( x − 3) = ( x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 − 36 x − 27 ) . 27 27 −1 −1 Ta có y′ = h′ ( x ) = 4 x3 + 12 x 2 − 12 x − 36 ) = ( x + 3) ( 4 x 2 − 12 ) . ( 27 27  x = −3  Suy ra y′ = 0   x = 3 . x = − 3  Bảng biến thiên

Xét hàm y = h ( x ) =

- 3

-3 +

h'(x)

3 +

3 -

12+8 3) 9

h(x) 0

-∞

12-8 3 9

Trang 18

-∞

Vây tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để bất phương trình f ( x ) ≥ g ( x ) + m ⇔ f ( x ) − g ( x ) ≥ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −3;3] là m ≤

Câu 22.

12 − 8 3 . 9

(Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

A. 18 .

B. 17 .

(

)

f ( x ) + m = x 3 − m có nghiệm thuộc đoạn [1; 2 ] ?

C. 15 . Lời giải

D. 16 .

Chọn D Xét phương trình f

(

)

f ( x ) + m = x 3 − m (1)

3  f ( t ) = x − m Đặt t = f ( x ) + m . Ta có   f ( t ) + t 3 = f ( x ) + x 3 (2) 3  f ( x ) = t − m Xét hàm số g ( u ) = f ( u ) + u 3  g ′ ( u ) = f ′ ( u ) + 3u 2 = 5u 4 + 12u 2 ≥ 0, ∀u . 3

Khi đó (2) ⇔ g ( t ) = g ( x ) ⇔ t = x ⇔

f ( x ) + m = x ⇔ x 3 − f ( x ) = m ⇔ x5 + 2 x3 = 3m

Xét hàm số h ( x ) = x 5 + 2 x 3  h′ ( x ) = 5 x 4 + 6 x 2 ≥ 0, ∀x Ta có bảng biến thiên của hàm số h ( x ) :

Từ bảng biến thiên suy ra để (1) có nghiệm thuộc đoạn [1; 2 ] ⇔ 3 ≤ 3m ≤ 48 ⇔ 1 ≤ m ≤ 16 Mà m ∈ ℤ  m ∈ {1; 2;3;...;16} suy ra có 16 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Câu 23.

(Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( cos x ) + ( 3 − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = 0 có

 π  đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; π  là  3  A. 5 . B. 6 . C. 7 . Lời giải Chọn B

D. 4 .

Trang 19

Xét f 2 ( cos x ) + ( 3 − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = 0 . Ta có ∆ = ( m − 7 ) .

 f ( cos x ) = m − 5 (1) . Do đó  (2)  f ( cos x ) = 2

cos x = a < −1  1 Với f ( cos x ) = 2 ⇔ cos x = . 2  cos x = 1   π  Trường hợp này được 3 nghiệm trong  − ; π  .  3   π  Để phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; π  thì (1) có đúng 1  3  1  π  nghiệm trong  − ; π  và không trùng với nghiệm của các phương trình cos x = ;cos x = 1 2  3   1 ⇔ f ( t ) = m − 5 với t = cos x có đúng 1 nghiệm trong  −1;   −4 ≤ m − 5 < 2 ⇔ 1 ≤ m < 7 .  2 Do m nguyên nên có 6 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 24.

(Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

y = f ( sin x ) = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) . Tổng các phần tử của S bằng

A. − 5 .

B. − 8 .

C. − 6 . Lời giải

D. − 10 .

Chọn D

Đặt t = sin x , x ∈ ( 0; π ) ⇔ t ∈ ( 0;1] . Phương trình f ( sin x ) = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) khi và chỉ khi phương trình

f ( t ) = 3t + m có nghiệm thuộc ( 0;1] khi và chỉ khi đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng d : y = 3 x + m có điểm chung với hoành độ x ∈ ( 0;1] . Trang 20

∆1 : y = 3x − 4 là đường thẳng qua điểm (1; − 1) và ∆ 2 : y = 3x + 1 là đường thẳng qua điểm ( 0;1) Đồ thị hàm số y = f ( x ) trên ( 0;1] là phần đường cong nằm giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 . Vậy phương trình f ( t ) = 3t + m có nghiệm thuộc nửa khoảng ( 0;1] khi và chỉ khi d dao động trong miền giới hạn bởi ∆1 và ∆ 2 (không trùng với ∆ 2 ) khi và chỉ khi −4 ≤ m < 1 ⇔ m ∈ {−4; −3; −2; −1;0} . Vậy tổng các giá trị của S bằng −10 .

Câu 25.

(NK HCM-2019) Cho

f ( x)

là một hàm số liên tục trên đoạn

[ −2;9] ,

biết

f ( −1) = f ( 2 ) = f ( 9 ) = 3 và f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình f ( x ) = f ( m ) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −2;9] .

A. m ∈ ( −2;9] \ ( ( −1; 2 ) ∪ {6} ) . C. m ∈ ( −2;9] \ {6} .

B. m ∈ [ −2;9] \ ( ( −1; 2 ) ∪ {6} ) .

D. m ∈ [ −2;9] \ {−2;6} . Lời giải

Chọn A Phương trình f ( x ) = f ( m ) có ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −2;9] khi −4 < f ( m ) ≤ 3. Trên ( −2;0 ) , hàm số f ( x ) đồng biến và f ( −1) = 3 nên −4 < f ( m ) ≤ 3 ⇔ −2 < m ≤ −1. Trên ( 0;6 ) , hàm số f ( x ) nghịch biến và f ( 2 ) = 3 nên −4 < f ( m ) ≤ 3 ⇔ 6 > m ≥ 2. Trên ( 6;9 ) , hàm số f ( x ) đồng biến và f ( 9 ) = 3 nên −4 < f ( m ) ≤ 3 ⇔ 6 < m ≤ 9. Vậy điều kiện của m là: m ∈ ( −2; − 1] ∪ [ 2;6 ) ∪ ( 6;9] ⇔ m ∈ ( −2;9] \ ( ( −1; 2 ) ∪ {6} ) .

Câu 26.

A. 3 .

B. 2 .

C. 6 .

D. 7 .

Trang 21

Lời giải Chọn B Đặt t = g ( x ) = x3 − 3x, x ∈ [ −1; 2]

x = 1 g ′ ( x ) = 3x 2 − 3 = 0 ⇔   x = −1 Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) trên [ −1; 2]

Suy ra với t = −2 , có 1 giá trị của x thuộc đoạn [ −1; 2] .

t ∈ ( −2; 2] , có 2 giá trị của x thuộc đoạn [ −1;2] . Phương trình f ( x 3 − 3 x ) = m có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2] khi và chỉ khi phương trình f ( t ) = m có 3 nghiệm phân biệt thuộc ( −2; 2] . (1) Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) và m nguyên ta có hai giá trị của m thỏa mãn điều kiện (1) là: m = 0, m = −1.

Câu 27.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Số giá trị nguyên dương của m để phương trình f ( x 2 − 4 x + 5 ) + 1 = m có nghiệm là

A. Vô số.

B. 4 .

C. 0 . Lời giải

Chọn D 2

Đặt t = x 2 − 4 x + 5 . Ta có t = ( x − 2 ) + 1 ≥ 1 . Trang 22

D. 3 .

Phương trình f ( x 2 − 4 x + 5 ) + 1 = m (1) trở thành phương trình f ( t ) = m − 1 ( 2 ) . Sử dụng các nhận xét ở trên và đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có

(1)

có nghiệm ⇔ ( 2 ) có nghiệm thuộc [1;+∞ )

⇔ m −1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 3

Vậy tập hợp các giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán là {1; 2;3} .

Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá

)

(

2 trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 − 4 6 x − 9 x = m − 3 có nghiệm

B. 12 .

A. 13 .

C. 8 .

D. 10 .

Lời giải Chọn A Điều kiện: 6 x − 9 x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ Đặt t = 3 − 4 6 x − 9 x 2 ; 0 ≤ x ≤ Ta có: t ′ ( x ) =

12 ( 3 x − 1) 6x − 9x

2 3

; 0< x<

1 2 ; t ′ ( x ) = 0 ⇔ t = ( nhận ). 3 3

1 2 t ( 0 ) = 3; t   = −1; t   = 3.  3 3 Nên −1 ≤ t ≤ 3 . Mặt khác: f ( t ) =

m−3 , t ∈ [ −1;3] có nghiệm. 2

m−3 ≤ 1 ⇔ −7 ≤ m ≤ 5 . 2 Do m nguyên nên có 13 giá trị m là −7 , −6 , −5 , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 . Từ đồ thị ta có −5 ≤

Câu 29.

(Chuyên Bắc Giang 2019) hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

Trang 23

Tìm m để phương trình f 2 ( 2 x ) − 2 f ( 2 x ) − m − 1 = 0 có nghiệm trên ( −∞;1)

A. ( −1; +∞ ) .

B. [ −2; +∞ ) .

C. ( −2; +∞ ) .

D. [ −1; +∞ ) .

Lời giải Chọn B Ta có: f 2 ( 2 x ) − 2 f ( 2 x ) − m − 1 = 0 ⇔ f 2 ( 2 x ) − 2 f ( 2 x ) − 1 = m (1) .

Đặt t = f ( x ) , với x ∈ ( −∞;1) thì 2 x ∈ ( −∞; 2 ) , ki đó t = f ( 2 x ) ∈ [ 0; + ∞ ) . Phương trình (1) trở thành: t 2 − 2t − 1 = m ( 2 ) .

(1)

có nghiệm trên ( −∞;1) tương ứng khi và chỉ khi ( 2 ) có nghiệm trên [ 0;+ ∞ ) .

Xét g ( t ) = t 2 − 2t − 1, t ∈ [ 0; + ∞ ) , có g ′ ( t ) = 2t − 2, g ′ ( t ) = 0 ⇔ t = 1 . Bảng biến thiên của g ( t ) :

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình ( 2 ) có nghiệm t ∈ [ 0; + ∞ ) khi và chỉ khi m ≥ −2 . 3 2 Câu 30. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp các giá trị của m ( m∈ℝ ) sao cho

( x − 1) m3 f ( 2 x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ. Số phần tử của tập S là A. 0. B. 3.

C. 2 Lời giải

Chọn C Từ đồ thị ta thấy f ( x ) =1. Đặt g ( x ) = m3 f ( 2 x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1 .

( x − 1) m3 f ( 2 x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ (*)

Trang 24

D. 1.

Từ

giả

thiết

có

điều

kiện

cần

để

(*)

có

m = 0 là g (1) = 0 ⇔ m3 f (1) − mf (1) + f (1) − 1 = 0 ⇔ m3 − m = 0 ⇔   m = ±1 Điều kiện đủ: +)Với m = 0 ta có (*) ⇔ g ( x ) = ( x − 1)  f ( x ) − 1 ≥ 0 đúng với mọi x ∈ ℝ . Do đó m = 0 thỏa mãn. +)Với m = 1 ta có

( x − 1)  f ( 2 x − 1) − 1 =

1 ( 2 x − 1) − 1  f ( 2 x − 1) − 1 ≥ 0 ∀x ∈ ℝ . Do đó 2

m = 1 thỏa mãn. +) Với m = −1 , (*) ⇔ ( x − 1)  − f ( 2 x − 1) + 2 f ( x ) − 1 ≥ 0 (**) . 3

Xét x > 1 ta có lim

x →+∞

f ( 2 x − 1) + 1 a ( 2 x − 1) + b ( 2 x − 1) + c ( 2 x − 1) + d + 1 = lim =4>0 x →+∞ 2 f ( x) 2 ( ax 3 + bx 2 + cx + d )

 ∃α ∈ ℝ, α > 1: f ( 2α −1) + 1 > 2 f ( α ) hay 2 f ( α ) − f ( 2α −1) −1 < 0  ( α − 1)  2 f ( α ) − f ( 2α − 1) − 1 < 0 ( không thỏa mãn (**) ). Do đó m = −1 không thỏa mãn Vậy S có 2 phần tử.

Câu 31.

Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có đồ thị như hình bên.

Phương trình f (2sin x) = m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −π ; π ] khi và chỉ khi

A. m ∈ {−3;1} . .

B. m ∈ ( −3;1) . .

C. m ∈ [ −3;1) . .

D. m∈ ( −3;1] . Lời giải

Chọn A Đặt t = 2 sin x (*), x ∈ [ −π ; π ]  t ∈ [ −2; 2] . Khi đó phương trình f (2sin x) = m trở thành f (t ) = m (1). Số nghiệm của PT(1) bằng số giao

điểm của đồ thị hàm số y = f (t ) và đường thẳng y = m . Nhận thấy: Với t ∈ {−2; 2} thì PT(*) có 1 nghiệm x ∈ [ −π ; π ] . Với t = 0 thì PT(*) có 3 nghiệm phân biệt x ∈ [ −π ; π ] . Với t ∈ ( −2; 2 ) \ {0} thì PT(*) có 2 nghiệm phân biệt x ∈ [ −π ; π ] . Trang 25

Do đó, dựa vào đồ thị đã cho ta có: +) TH 1: m < −3 thì phương trình (1) có một nghiệm t < −2 . Suy ra m < − 3 bị loại +) TH 2: m = −3 thì PT(1) có hai nghiệm là t = 1 và t = −2 . Suy ra m = − 3 là giá trị thỏa mãn. +) TH 3: −3 < m < 1 thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−2; 2) . Suy ra −3 < m < 1 bị loại. +) TH 4: Xét trường hợp m = 1 thì PT(1) có hai nghiệm là t = − 1 và t = 2 . Suy ra m = 1 là giá trị thỏa mãn. +) TH 5: m > 1 thì phương trình (1) có một nghiệm t > 2 . Do đó m > 1 bị loại. Vậy các giá trị m cần tìm là m ∈ {−3;1} . Chọn.

Câu 32. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên của m để phương trình 2. f 3 − 3 −9 x 2 + 30 x − 21 = m − 2019 có nghiệm.

B. 14 .

A. 15 .

C. 10 . Lời giải

D. 13 .

Chọn D Ta có:

−9 x 2 + 30 x − 21 = 4 − ( 3 x − 5 )  0 ≤ −9 x 2 + 30 x − 21 ≤ 2

 −3 ≤ 3 − 3 −9 x 2 + 30 x − 21 ≤ 3.

Đặt t = 3 − 3 −9 x 2 + 30 x − 21  t ∈ [ −3;3] .

(

)

Khi đó, phương trình 2. f 3 − 3 −9 x 2 + 30 x − 21 = m − 2019

(1) ⇔ 2 f ( t ) = m − 2019

m − 2019 ( 2) 2 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2 ) có nghiệm t ∈ [−3;3]. ⇔ f (t ) =

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có, phương trình ( 2 ) có nghiệm t ∈ [−3;3] khi và chỉ khi

m − 2019 ≤ 1 ⇔ −10 ≤ m − 2019 ≤ 2 ⇔ 2009 ≤ m ≤ 2021 2 Vì m ∈ ℤ nên m ∈ {2009, 2010,..., 2021} . Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài −5 ≤

toán.

Câu 33.

(Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị

(

)

như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 − 4 6 x − 9 x 2 = m − 3 có nghiệm. Trang 26

A. 9 .

B. 17 .

C. 6 . Lời giải

D. 5 .

Chọn A Điều kiện: 6 x − 9 x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤

2 . 3

 2 Đặt t = 3 − 4 6 x − 9 x 2 , x ∈  0;  .  3 6 − 18 x 1  2 = 0  x = ∈  0;  . Ta có: t ′ = −4. 3  3 2 6 x − 9 x2  2 Bảng biến thiên cho t = 3 − 4 6 x − 9 x 2 .Vì x ∈ 0;   t ∈ [ −1;3]  3 m−3 Phương trình trở thành: 2 f ( t ) = m − 3 ⇔ f ( t ) = , t ∈ [ −1;3] . (*) 2 m −3 Phương trình 2 f 3 − 4 6 x − 9 x 2 = m − 3 có nghiệm ⇔ f ( t ) = có nghiệm t ∈ [ −1;3] 2 m−3 ⇔ −6 ≤ ≤ −2 + a ⇔ −12 ≤ m − 3 ≤ −4 + 2a ⇔ −9 ≤ m ≤ −1 + 2a, với 2  1 max f ( t ) = a + 2, a ∈  0;  . [ −1;3]  2

(

)

Mà m ∈ ℤ  m ∈ {−9; −8; −7;..; −1}  có 9 giá trị m nguyên thỏa ycbt.

Câu 34.

A ( 3;0 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên [ −5;5] để phương trình f ( − x 2 + 2 x + m ) = e có bốn nghiệm phân biệt.

Trang 27

B. 2 .

A. 0 . Chọn

C. 5 . Lời giải

D. 7 .

Theo hình vẽ ta có y = f ′ ( x ) là hàm số bậc ba nên a ≠ 0 .

f ′ ( x ) = 4ax3 + 3b 2 x + 2cx + d  f ′′ ( x ) = 12ax 2 + 6bx + 2c .  f ′ ( 0) = 0 d = 0  b = −4a  Theo giả thiết, ta có:  f ′ ( 3) = 0 ⇔ 108a + 27b + 6c + d = 0 ⇔  . c = d = 0   ′′ c = 0   f (0) = 0

 f ( x ) = ax 4 − 4ax3 + e . x = 0  f ( x ) = e ⇔ ax 4 − 4ax 3 = 0 ⇔  . x = 4 Khi đó f ( − x 2 + 2 x + m ) = e (1) ( x − 1) = 1 + m − x2 + 2 x + m = 0 ⇔ 2 ⇔ ( x − 1)2 = m − 3 − x + 2 x + m = 4  2

1 + m > 0  ⇔ m > 3. PT (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ m − 3 > 0 1 + m ≠ m − 3  Mà m ∈ ℤ ∩ [ −5;5]  m ∈ {4;5} . Vậy có 2 giá trị m thỏa đề bài.

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ − 2; 4 ] và có bảng biến thiên như sau

9  2 −4≥ 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình  x có ba 6 f ( −2 x + 1) − 8 x3 + 6 x − m = 0  nghiệm phân biệt? A. 9 .

Chọn D Trang 28

B. 11.

C. 10 . Lời giải

D. 8 .

3  3 9 − 4 x 2 ≥ 0 9 9 − 4 x2 − ≤ x ≤  3 3 ≥0⇔ ⇔ 2 Ta có: 2 − 4 ≥ 0 ⇔ 2 ⇔ x ∈  − ;  \ {0} . 2 x x  2 2 x ≠ 0  x ≠ 0 Xét phương trình 6 f ( −2 x + 1) − 8 x3 + 6 x − m = 0 ⇔ m = 6 f ( −2 x + 1) − 8 x3 + 6 x (1)  3 3 Xét hàm số g ( x ) = 6 f ( −2 x + 1) − 8 x3 + 6 x , với x ∈  − ;  \ {0} .  2 2 Ta có g ′ ( x ) = −12 f ′ ( −2 x + 1) − 24 x 2 + 6 = −6  2 f ′ ( −2 x + 1) + 4 x 2 − 1  −2 x + 1 < 2 1 1 Từ giả thiết ta suy ra f ′ ( −2 x + 1) < 0 ⇔  ⇔− <x< ; 2 2  −2 x + 1 > 0

3 1 <x<   −2 < −2 x + 1 < 0 2 2 f ′ ( −2 x + 1) > 0 ⇔  ⇔ .  2 < −2 x + 1 < 4 − 3 < x < − 1  2 2  3 3 Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) = 6 f ( −2 x + 1) − 8 x3 + 6 x trên  − ;  \ {0} .  2 2

 3 3 Từ bảng biến thiên ta suy ra hệ có đúng ba nghiệm ⇔ (1) có đúng ba nghiệm x ∈  − ;  \ {0}  2 2 4 < m < 14 ⇔ . Vì m ∈ ℤ  m = 5; 6; 7;8;10;11;12;13 . Vậy có 8 số nguyên m . m ≠ 9

Câu 36.

(Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 5] và có bảng biến thiên như hình sau:

Trang 29

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình mf ( x ) + 3 x ≤ 2019 f ( x ) − 10 − 2 x nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 0; 5] .

A. 2014.

B. 2015.

C. 2019. Lời giải

D. Vô số.

Chọn A Trên [ 0; 5] , ta có: mf ( x ) + 3 x ≤ 2019 f ( x ) − 10 − 2 x ⇔ m ≤ 2019 −

3x + 10 − 2 x . f ( x)

Xét hàm số g ( x ) = 3 x + 10 − 2 x trên đoạn [ 0; 5] .

g′ ( x ) =

3 2 3x

−

1 10 − 2 x

3 10 − 2 x − 2 3x 2 3x . 10 − 2 x

Cho g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 3 ∈ [ 0; 5] . Do g ( 0 ) = 10 , g ( 3) = 5 và g ( 5 ) = 15 nên max g ( x ) = g ( 3) = 5. [0 ;5]

Mặt khác min f ( x ) = f ( 3) = 1 nên [0 ;5]

3x + 10 − 2 x , ∀x ∈ [ 0; 5] f ( x)

m ≤ 2019 −

 3x + 10 − 2 x  5 ⇔ m ≤ min  2019 − = 2019 − = 2014.   [0 ;5] f ( x) 1   Câu 37.

(Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên.

Số

giá

trị

nguyên

c ủa

tham

số

m để phương trình f ( cosx ) + ( m − 2018 ) f ( cosx ) + m − 2019 = 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 0; 2π ] là 2

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Lời giải Chọn C  f ( cosx ) = −1 Ta có f 2 ( cosx ) + ( m − 2018) f ( cosx ) + m − 2019 = 0 ⇔   f ( cosx ) = 2019 − m.  cos x = 0 (1) Dựa vào đồ thị ta có: f ( cos x ) = −1 ⇔   cos x = k > 1 ( 2 )

PT có 2 nghiệm thỏa mãn, PT vô nghiệm. Yêu cầu: phương trình f ( cosx ) = 2019 − m ( 2019 − m ≠ 1) có thêm 4 nghiệm thuộc [ 0; 2π ] . Nhận xét: Trang 30

+ Với mỗi t ∉ [ −1;1] , phương trình cosx=t vô nghiệm. + Với mỗi t ∈ ( −1;1] , phương trình cosx=t có 2 nghiệm x ∈ [ 0; 2π ] . + Với t = −1 , phương trình cosx = t có đúng 1 nghiệm x ∈ [ 0; 2π ] . Như vậy, −1 < 2019 − m ≤ 1 ⇔ 2018 ≤ m ≤ 2020 .

Câu 38. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tìm m để phương trình 2 f ( x + 2019 ) − m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

A. m ∈ ( 0;2) .

B. m ∈ ( −2 ; 2 ) .

C. m ∈ ( −4 ; 2 ) .

D. m ∈ ( −2;1) .

Lời giải

m (*) . 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) = f ( x + 2019 ) như sau: 2 f ( x + 2019 ) − m = 0 ⇔ f ( x + 2019 ) =

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi −2 <

m < 1 ⇔ −4 < m < 2 . 2

A. [ 0; 4] .

C. 0;1 .  

B. [ −1;0] .

 1  D.  − ;1  3 

Lời giải Đặt t = x + 2 x − 2 . Với x ∈ [ 0;1]  t ∈ [ −2;1] 2

Trang 31

Phương trình f ( x 2 + 2 x − 2 ) = 3m + 1 có nghiệm thuộc đoạn [ 0;1] khi và chỉ khi phương trình 1 f ( t ) = 3m + 1 có nghiệm thuộc [ −2;1] ⇔ − ≤ m ≤ 1 . 3

A. [ −2;0] .

B. [ −4; −2] .

(

C. [ −4;0] .

)

4 x − x 2 − 1 = m có nghiệm là

D. [ −1;1] .

Lời giải Phương trình f

(

)

4 x − x 2 − 1 = m có điều kiện 0 ≤ x ≤ 4 . Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra, với 0 ≤ x ≤ 4 thì −1 ≤ 4 x − x 2 − 1 ≤ 1 . Đặt t = 4 x − x 2 − 1 , 2

−1 ≤ t ≤ 1 .(Có thể biến đổi t = 4 − ( x − 2 ) − 1  −1 ≤ t ≤ 1 ). Phương trình đã cho trở thành f ( t ) = m (1). Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm

t ∈ [ −1;1] ⇔ −4 ≤ m ≤ 0 . Câu 41. (Chuyen Phan Bội Châu 2019) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( 4 − x 2 ) = m có nghiệm thuộc nửa khoảng [ − 2 ; 3) là:

A. [-1;3] .

B. [-1; f ( 2)] .

C. (-1; f ( 2)] . Lời giải

Đặt t = g ( x ) = 4 − x với x ∈ [- 2 ; 3) . Trang 32

D. (-1;3] .

Suy ra: g '( x) =

−x 4 − x2

g '( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∈ [ − 2 ;3) .

Ta có:

g (0) = 2 , g (− 2) = 2 , g ( 3) = 1 . Mà hàm số g ( x) liên tục trên [- 2 ; 3) Suy ra, t ∈ (1; 2] . Từ đồ thị, phương trình f (t ) = m có nghiệm thuộc khoảng (1; 2] khi m ∈ (−1;3] .

Câu 42.

(Chuyên Dại Học Vinh 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

A. 11

B. 9

1 x  f  + 1  + x = m có nghiệm thuộc đoạn [ −2; 2] ? 3 2  C. 8 D. 10 Lời giải

Chọn C x Đặt t = + 1 , khi −2 ≤ x ≤ 2 thì 0 ≤ t ≤ 2 . 2 1 Phương trình đã cho trở thành f ( t ) + 2t − 2 = m ⇔ f ( t ) + 6t − 6 = 3m . 3 Xét hàm số g ( t ) = f ( t ) + 6t − 6 trên đoạn [ 0; 2] . Ta có g ′ ( t ) = f ′ ( t ) + 6 . Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên khoảng

( 0; 2 ) nên

f ′ ( t ) > 0, ∀t ∈ ( 0; 2 )  g ′ ( t ) > 0, ∀t ∈ ( 0; 2 ) và g ( 0 ) = −10 ; g ( 2 ) = 12 .

Bảng biến thiên của hàm số g ( t ) trên đoạn [ 0; 2]

Trang 33

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [ −2; 2] khi và chỉ khi phương trình g ( t ) = 3m có

10 ≤m≤4. 3 Mặt khác m nguyên nên m ∈ {−3; − 2; − 1;0;1; 2;3; 4} .

nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2] hay −10 ≤ 3m ≤ 12 ⇔ −

Vậy có 8 giá trị m thoả mãn bài toán.

A. 1.

B. 2 .

D. 4 .

C. 3 . Lời giải

Chọn B Xét phương trình f ( x 2 − 2 x ) = m (1)  3 7 Đặt t = x 2 − 2 x , với x ∈  − ;  .  2 2 Ta có t ′ = 2 x − 2 ; t ' = 0 ⇔ x = 1 .  3 7 Bảng biến thiên của hàm số t = x 2 − 2 x trên đoạn  − ;   2 2

. 21  Dựa vào bảng biến thiên suy ra t ∈  −1 ;  . 4  Xét t = −1 khi đó phương trình (1) thành f ( −1) = m  4 = m .  x 2 − 2 x = −1 Với m = 4 phương trình f ( x 2 − 2 x ) = 4 ⇔  2 x − 2x = a Dễ thấy (*) có tối đa 3 nghiệm (không thỏa mãn yêu cầu). 21   Xét t0 ∈  −1;  . 4  Trang 34

( *)

với 2 < a < 3 .

21    3 7 Nhận xét với mỗi t0 ∈  −1;  thì có 2 giá trị x ∈  − ;  thỏa mãn t0 = x 2 − 2 x . 4   2 2  3 7 Do đó phương trình f ( x 2 − 2 x ) = m có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;  khi phương  2 2 21   trình f ( t ) = m có 2 nghiệm phân biệt t ∈  −1;  . Hay đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm 4  21   số y = f ( t ) tại 2 điểm với t ∈  −1;  . 4  Mà m ∈ ℤ nên từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có m = 3; m = 5 thỏa mãn yêu cầu. KL: Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài.

A. −0.81 .

B. − 0.54 .

C. −0.27 . Lời giải

D. 0.27 .

Nhận xét: Đồ thị hàm y = f ′ ( x ) cắt trục hoành tại điểm x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm y = f ( x ) . Dựa vào hai đồ thị đề bài cho, thì ( C1 ) là đồ thị hàm y = f ( x ) và ( C 2 ) là đồ thị hàm y = f ′( x) .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = me x ta có: f ( x ) = me x ⇔ m =

f ( x) . ex Trang 35

f ( x) ta có: ex f ′( x) − f ( x) g′( x) = . ex

Đặt g ( x ) =

x =1  g′ ( x) = 0 ⇔ f ′ ( x) = f ( x) ⇔  x = 2 .  x = x ∈ ( −1;0 ) 0  Dựa vào đồ thị của hai hàm số: y = f ( x ) và y = f ′ ( x ) ta được:

Yêu cầu bài toán ta suy ra:

f ( 2) ≤ m < 0 (dựa vào đồ thị ta nhận thấy f ( 0 ) = f ( 2 ) ≈ −2 ) e2

⇔ −0, 27 ≤ m < 0 . Suy ra: a = −0, 27, b = 0 . Vậy a + b = −0, 27 .

Câu 45.

A. 8

B. 3

C. 6 Lời giải

D. 4

Chọn B  5 Với x ∈  −1;   2 x − 1 ∈ [ −3; 4]  g ( 2 x − 1) ∈ [ −3; 4]  t = 1 − g ( 2 x − 1) ∈ [ −3; 4]  2

Trang 36

Vậy ta cần tìm m để phương trình f ( t ) = m có nghiệm thuộc đoạn f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ min f ( t ) ≤ m ≤ 2 [ −3; 4] ⇔ min [ −3;4] [ −3;4] [ −3;4]

trong đó min f ( t ) ∈ ( −1;0 ) . Vậy các số [ −3;4]

nguyên cần tìm là a ∈ {0,1, 2}

Câu 46.

(THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;9 ] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Có

16.3

bao f ( x)

nhiêu

−  f

giá

trị

( x ) + 2 f ( x ) − 8 .4

A. 32 .

nguyên f ( x)

của

tham

≥ ( m − 3m ) .6 2

B. 31 .

f ( x)

số

để

bất

phương

trình

nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc [ −1;9 ] ?

C. 5. Lời giải

D. 6 .

Chọn B Dễ thấy −4 ≤ f ( x ) ≤ 2, ∀x ∈ [ −1;9] (1) nên −  f ( x ) + 4  .  f ( x ) − 2  ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;9] . Do đó −  f 2 ( x ) + 2 f ( x ) − 8 ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;9] (2). Ta có 16.3 f ( x ) −  f 2 ( x ) + 2 f ( x ) − 8 .4 f ( x ) ≥ ( m 2 − 3m ) .6 f ( x ) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −1;9] 1 ⇔ 16.   2

f ( x)

2 −  f 2 ( x ) + 2 f ( x ) − 8 .   3

f ( x)

≥ m 2 − 3m nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −1;9]

f ( x)   1  f ( x )  2   2   ⇔ α = min 16.   −  f ( x ) + 2 f ( x ) − 8 .    ≥ m 2 − 3m (3). x∈[ −1; 9]  3     2 

1 Từ (1) và (2) ta có   2 1 Suy ra 16.   2

f ( x)

1 2 ≥   và −  f 2 ( x ) + 2 f ( x ) − 8 .   2 3

2 −  f ( x ) + 2 f ( x ) − 8 .   3 2

f ( x)

≥ 0, ∀x ∈ [ −1; 9] .

f ( x)

≥ 4, ∀x ∈ [ −1; 9] .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f ( x ) = 2 ⇔ x = −1 ∨ x = a ( 7 < a < 8 ) . Do đó α = 4 và (3) ⇔ 4 ≥ m 2 − 3m ⇔ −1 ≤ m ≤ 4 . Vì m nguyên nên m ∈ {−1;0;1; 2;3; 4} .

Câu 47.

(THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −1;3] và có đồ thị như hình vẽ.

Trang 37

Bất phương trình f ( x ) + x + 1 + 7 − x ≥ m có nghiệm thuộc [ −1;3] khi và chỉ khi

B. m ≥ 7 .

A. m ≤ 7 .

C. m ≤ 2 2 − 2 . Lời giải

D. m ≥ 2 2 − 2 .

Chọn A Bất phương trình f ( x ) + x + 1 + 7 − x ≥ m có nghiệm thuộc [ −1;3] khi và chỉ khi

(

)

m ≤ Max f ( x ) + x + 1 + 7 − x . [1;3]

Xét hàm số g ( x ) = x + 1 + 7 − x trên đoạn [ −1;3] . Ta có g ′ ( x ) =

1 2 x +1

−

1 2 7−x

7 − x − x +1 2 7 − x. x + 1

g′( x ) = 0 ⇔ 7 − x − x +1 = 0 ⇔ x = 3 .

g ( −1) = 8 = 2 2 , g ( 3) = 2 + 2 = 4 . Suy ra Max g ( x ) = 4 tại x = 3 . (1) [ −1;3]

Mặt khác, dựa vào đồ thị của f ( x ) ta có Max f ( x ) = 3 tại x = 3 .(2) [ −1;3]

(

)

Từ (1) và (2) suy ra Max f ( x ) + x + 1 + 7 − x = 7 tại x = 3 . [1;3]

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc [ −1;3] khi và chỉ khi m ≤ 7 .

Câu 48.

(THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ −3;3] và đồ thị hàm số

Trang 38

y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới đây

Biết f (1) = 6 và g ( x ) = f ( x ) −

( x + 1)

. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] .

B. Phương trình g ( x ) = 0 không có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] . C. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng một nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] . D. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng ba nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] . Lời giải Chọn C

Ta có g (1) = f (1)

(1 + 1) − 2

= f (1) − 2 = 4 và g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) . Từ đồ thị hàm số

 x = −3 y = f ′ ( x ) và y = x + 1 ta có g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x + 1 ⇔  x = 1 .   x = 3

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 1

S1 > 4 ⇔



y = f ′ ( x ) ; y = x + 1; x = −3; x = 1 có diện tích

f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > 4 ⇔

−3

 g ′ ( x ) dx > 4 ⇔g (1) − g ( −3) > 4  g ( −3) < g (1) − 4 = 0 . −3

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f ′ ( x ) ; y = x + 1; x = 1; x = 3 có diện tích S 2 < 4 3

⇔

 1

f ′ ( x ) − ( x + 1) dx < 4 ⇔  g ′ ( x ) dx < 4 ⇔ − g ( 3 ) + g (1) < 4  g ( 3 ) > g (1) − 4 = 0 . 1

Trang 39

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm y = g ( x ) trên [ −3;3]

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g ( x ) = 0 có đúng một nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] .

Câu 49.

(Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Các giá trị của tham số m để phương trình

37 . 2

A. m =

B. m = ±

4m 3 + m 2f

3 3 . 2

( x) + 5

C. m = ±

= f 2 ( x ) + 3 có ba nghiệm phân biệt là

37 . 2

D. m =

3 . 2

Lời giải Chọn A

4m 3 + m 2f

( x) + 5

= f 2 ( x ) + 3 ⇔ 4m 3 + m = ( f 2 ( x ) + 3 ) 2 f 2 ( x ) + 5

⇔ ( 2m ) + 2 m = ( 2 f 2 ( x ) + 5 ) 2 f 2 ( x ) + 5 + 2 f 2 ( x ) + 5 Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t , ∀t ∈ ℝ  f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ  f ( 2m ) = f

(

)

2 f 2 ( x ) + 5 ⇔ 2m = 2 f 2 ( x ) + 5

m > 0 m > 0   ⇔ 2 4m 2 − 5 ⇔  4m 2 − 5 f x = ( ) f x = ±   ( )  2 2  4m 2 − 5 từ đồ thị ta thấy chỉ có 1 nghiệm. 2 Vậy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình

Với f ( x ) = −

f ( x) =

Câu 50.

4m 2 − 5 phải có hai nghiệm ⇔ 2

4m 2 − 5 37 =4⇔m= , ( m > 0) . 2 2

Trang 40

A. 5 .

B. 4 .

C. 0 . Lời giải

D. 3 .

Chọn D Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) ) . g ′ ( x ) = f ′ ( f ( x )). f ′ ( x ) .

 f ′( x) = 0 Cho g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( f ( x ) ) . f ′ ( x ) = 0 ⇔   f ′ ( f ( x ) ) = 0 x =1 + f ′( x) = 0 ⇔  ( hoành độ các điểm cực trị ).  x = −1  f ( x) = 1 + f ′ ( f ( x )) = 0 ⇔   f ( x ) = −1 Dựa vào đồ thị, ta có: + Khi f ( x ) = 1 ⇔ x = 0 ; x = a ∈ ( −2 ; − 1) ; x = b ∈ (1; 2 ) . + Khi f ( x ) = −1 ⇔ x = 1 ; x = −2 . Bảng biến thiên

Phương trình f ( f ( x ) ) = m có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2]

⇔ −1 < m < 3 . Mà m là số nguyên nên m ∈ {0;1; 2} . Vậy có 3 giá trị của m thỏa đề bài.

Câu 51.

(THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2019) Cho hàm số g ( x ) = 2 x3 + x 2 − 8 x . Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

A. 7 .

B. 8 .

g ( g ( x ) + 3 ) − m = 2 g ( x ) + 7 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt

C. 24 . Lời giải

D. 25 .

Chọn D Đặt t = g ( x ) + 3  t = 2 x 3 + x 2 − 8 x + 3  t ′ = 6 x 2 + 2 x − 8 .

Trang 41

4  x=− t′ = 0 ⇔  3.  x = 1 Ta có bảng biến thiên

 

Từ bảng biến thiên suy ra mỗi giá trị t ∈  −2;

289   sẽ có tương ứng 3 giá trị x . 27 

1  t ≥ − 2 g ( g ( x ) + 3 ) − m = 2 g ( x ) + 7 ⇔ g ( t ) − m = 2 ( t + 3) + 7 ⇔   g ( t ) − m = ( 2t + 1)2 

1 1   t ≥ − t ≥ − 2 ⇔ ⇔ 2 . 3 2 2 m = 2t + t − 8t − 4t − 4t − 1 m = 2t 3 − 3t 2 − 12t − 1 (1)   Phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 3 nghiệm

 1 289  .  2 27 

phân biệt t ∈  − ;

 1 289  .  2 27 

Xét hàm số f ( t ) = 2t 3 − 3t 2 − 12t − 1 với t ∈  − ; t = −1 f ′ ( t ) = 6t 2 − 6t − 12  f ′ ( t ) = 0 ⇔  . t = 2 Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt m ∈ ( −21; 4] . Trang 42

Mà m ∈ ℤ  m ∈ {−20; −19; −18;...; 4}  có 25 số nguyên thỏa mãn.

Câu 52. (Sở GD Bạc Liêu - 2019) Cho hàm số f ( x) = 2 x3 + x 2 −8x + 7 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng A. 25 . B. −66 .

f ( f ( x ) − 3) + m = 2 f ( x ) − 5 có 6 nghiệm thực

C. 105 . Lời giải

D. 91 .

Chọn D Đặt t = f ( x) − 3 . * t = f ( x) − 3 ⇔ t = 2 x3 + x 2 −8x + 4 (1)  x = 1  y = −1 Đặt g ( x ) = 2 x + x −8 x + 4 ; g ′( x ) = 6 x + 2 x − 8 ; g ′( x ) = 0 ⇔   x = − 4  y = 316 3 27  Bảng biến thiên 3

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = g ( x ) và y = t Dựa vào bảng biến thiên ta có 316 + t < −1 hoặc t > thì phương trình (1) có 1 nghiệm. 27 316 + t = −1 hoặc t = thì phương trình (1) có 2 nghiệm. 27 316 + −1 < t < thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. 27 * Ta có

f ( f ( x ) − 3) + m = 2 f ( x ) − 5 ⇔

f (t ) + m = 2t + 1 (2)

Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm t ≥ −

1 2

(2) ⇔ f (t ) + m = 4t 2 + 4t + 1 ⇔ m = 4t 2 + 4t + 1 − f (t ) ⇔ m = −2t 3 + 3t 2 + 12t − 6  t = −1 Đặt h (t ) = −2t 3 + 3t 2 +12t − 6 ; h′(t) = −6t 2 + 6t + 12 ; h (t ) = 0 ⇔  t = 2 Bảng biến thiên

Trang 43

Số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = h(t ) và y = m Dựa vào bảng biến thiên ta có + m > 14 thì phương trình (2) vô nghiệm. + m = 14 hoặc m < −11 thì phương trình (2) có 1 nghiệm. + −11 ≤ m < 14 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình

f ( f ( x ) − 3) + m = 2 f ( x ) − 5 có 6 nghiệm thực phân biệt khi phương trình (1) có 3

nghiệm phân biệt và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt. Vậy phương

f ( f ( x ) − 3) + m = 2 f ( x ) − 5 có 6 nghiệm thực phân biệt khi phương trình (2) có hai

1 316 . ≤t< 2 27 Dựa vào bảng biến thiên ta được kết quả là −11 ≤ m < 14 . Suy ra S = {1; 2;...;13}

nghiệm phân biệt −

Tổng các phần tử của S = 1 + ... + 11 + 12 + 13 = 91 .

Câu 53.

(Quang Trung - Bình Phước - 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ . Hàm số f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ: y 2

Bất phương trình f ( 2 sin x ) − 2 sin 2 x < m đúng với mọi x ∈ ( 0; π ) khi và chỉ khi

1 A. m > f ( 0 ) − . 2

1 B. m > f (1) − . 2

C. m ≥ f (1) −

1 . 2

1 D. m ≥ f ( 0 ) − . 2

Lời giải Chọn B Đặt 2sin x = t . Vì x ∈ ( 0; π ) nên t ∈ ( 0; 2 ) . Bất phương trình trở thành f ( t ) −

t2 t2 với t ∈ ( 0; 2 ) . < m . Đặt g ( t ) = f ( t ) − 2 2

Bất phương trình đúng với mọi t ∈ ( 0; 2 ) khi và chỉ khi max g ( t ) < m . ( 0;2)

Ta có g ′ ( t ) = f ′ ( t ) − t . Trang 44

g ′ ( t ) = 0 ⇔ f ′ ( t ) = t . Nghiệm phương trình này trên khoảng ( 0; 2 ) là hoành độ giao điểm của đồ

thị y = f ′ ( t ) và đường thẳng y = t với t ∈ ( 0; 2 ) . y y=t

Dựa vào đồ thị ta được nghiệm t = 1 ∈ ( 0; 2 ) . f ′ ( t ) > t  g ′ ( t ) > 0 , khi t ∈ (1; 2 ) thì

Cũng dựa vào đồ thị ta thấy khi t ∈ ( 0;1) thì f ′ (t ) < t  g ′ (t ) < 0 .

Bảng biến thiên:

1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max g ( t ) = g (1) = f (1) − . ( 0;2 ) 2

Vậy bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ ( 0; π ) khi và chỉ khi m > f (1) −

Câu 54.

1 . 2

(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x5 + 3x3 − 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

A. 15 .

(

B. 16 .

)

f ( x ) + m = x 3 − m có nghiệm thuộc [1; 2] ? C. 17 . Lời giải

D. 18 .

Chọn B Đặt t =

f ( x) + m  t3 = f ( x) + m .

t 3 = f ( x ) + m Ta có hệ  3  f ( x ) + x3 = f ( t ) + t 3 .  x = f ( t ) + m Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 , x ∈ [1; 2]  g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 3x 2 > 0 ∀x ∈ [1; 2] .  Hàm số g ( x ) đồng biến trên đoạn [1; 2] . Vì g ( x ) = g ( t ) ⇔ x = t  f ( x ) = x3 − m

⇔ x5 + 3x3 − 4m = x3 − m  3m = x5 + 2 x3 (1) Xét hàm số h ( x ) = x5 + 2 x3 , x ∈ [1; 2]  h′ ( x ) = 5 x 4 + 6 x 2 > 0 ∀x ∈ [1; 2] . Trang 45

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ h (1) ≤ 3m ≤ h ( 2 ) ⇔ 3 ≤ 3m ≤ 48 ⇔ 1 ≤ m ≤ 16 . Do m ∈ Z  m ∈ {1; 2;3; 4;...;16} . Vậy có 16 giá trị nguyên của tham số m .

Câu 55. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Cho hai hàm số u ( x ) =

x+3 x2 + 3

và f ( x ) , trong đó đồ thị

hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

f ( u ( x ) ) = m có đúng 3 nghiệm phân biệt?

B. 4 .

A. 1 .

C. 3 . Lời giải

D. 2 .

Chọn C Đặt t = u ( x ) =

u '( x) =

x+3

x2 + 3 x ( x + 3) x2 + 3 − x2 + 3 = 2 x +3

3 − 3x x + 3 ( x 2 + 3) 2

u '( x) = 0 ⇔ x = 1.

Dựa vào BBT, ta có u ( x ) ∈ ( −1;2] . Phương trình f ( u ( x ) ) = m trở thành f ( t ) = m , t ∈ ( −1; 2] . Dựa vào đồ thị đã cho ta có:

t = 0  phương trình f ( u ( x ) ) = m có 2 nghiệm phân + Khi m = 2 : phương trình f ( t ) = 2 ⇔  t = 2 biệt. + Khi m = 1 : phương trình f ( t ) = 1 có 3 nghiệm t1 ∈ ( −1;0) , t2 ∈ ( 0;1) , t3 ∈ (1;2 )  phương trình

f ( u ( x ) ) = m có 4 nghiệm phân biệt. + Khi m ∈{0; −1; −2} : phương trình f ( t ) = m có 2 nghiệm t1 ∈ ( 0;1) , t2 ∈ (1;2 )  phương trình

f ( u ( x ) ) = m có 3 nghiệm phân biệt. Trang 46

+ Khi m = −3 : phương trình f ( t ) = m có 1 nghiệm t = 1  phương trình f ( u ( x ) ) = m có 1 nghiệm. Vậy m∈{0; −1; −2} . Câu 56. (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Biết hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d đạt cực trị tại x = 1 và x = 2021 . Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f ( x ) = f ( m ) có ba nghiệm phân biệt? A. 4037 .

B. 2019 .

C. 4001 . Lời giải

D. 2021 .

Chọn A Ta có f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d  f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + cx Do hàm số có 2 điểm cực trị là: x1 = 1 và x2 = 2021.

2b   x1 + x2 = − 3a = 2022 b = −3033a ⇔ Nên:  3 c = 6063a  x .x = = 2021  1 2 3a Xét phương trình: f ( x ) = f ( m )

ax3 + bx2 + cx + d = am3 + bm2 + cm + d

( ) ( ) ⇔ a ( x3 − m3 ) − 3033a ( x2 − m2 ) + 6063 ( x − m) = 0 ⇔ ( x − m) ( x2 + mx + m2 − 3033x − 3033m + 6063) = 0 ⇔ a x3 − m3 + b x2 − m2 + c ( x − m) = 0

x − m = 0 ⇔ 2 2  x + mx + m − 3033x − 3033m + 6063 = 0 (*) Để phương trình f ( x ) = f ( m ) có 3 nghiệm phân biệt thì pt(*) có 2 nghiệm phân biệt khác m . ∆ = ( m − 3033)2 − 4 m2 − 3033m + 6063 > 0  ⇔ m2 + ( m − 3033) m + m2 − 3033m + 6063 ≠ 0

(

)

2 2 2  m − 6063m + 3033 − 4m + 4.3033m − 4.6063 > 0 ⇔ 2 2  m + ( m − 3033) m + m − 3033m + 6063 ≠ 0 −1009 < m < 3031 ⇔ m ≠ 2021; m ≠ 1 Vậy: m ∈ ( −1009;3031) \ {1; 2021} có 4037 giá trị m nguyên.

Câu 57. (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị hình vẽ.

Trang 47

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f

 π x ∈  0;   2 A. 4 .

B. 5 .

C. 3 . Lời giải

(

)

4 + 2 f ( cos x ) = m có nghiệm

D. 2 .

Chọn A

 π Đặt t = cos x , với x ∈  0;   t ∈ ( 0;1) .  2 Từ đồ thị suy ra f ( t ) ∈ ( −2; 0 )  4 + 2 f ( t ) ∈ ( 0; 4 )  u = 4 + 2 f ( t ) ∈ ( 0; 2 ) . Ta có f ( u ) = m với u ∈ ( 0; 2 ) .

 π Phương trình đã cho có nghiệm x ∈  0;  khi và chỉ khi phương trình f ( u ) = m có nghiệm  2 u ∈ ( 0; 2 ) ⇔ −2 ≤ m < 2 . Do m ∈ ℤ nên m ∈ {−2; −1;0;1} . Trang 48

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 58. (Sở Hà Tĩnh - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau: y ଻ ଶ

2 6 -2

−

ଵଷ ସ

(

)

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f 2 x 3 − 6 x + 2 =

1 m − 5 có 6 nghiệm phân biệt 2

thuộc đoạn [ −1;2] ?

A. 4 .

B. 3 .

C. 2 . Lời giải

D. 1 .

Chọn B

(

)

(

) (

 Đặt: g ( x ) = f 2 x3 − 6 x + 2 ; g ′ ( x ) = 6 x 2 − 6 . f ′ 2 x3 − 6 x + 2

)

6 x 2 − 6 = 0 (1) g′ ( x ) = 0 ⇔  3  f ′ ( 2 x − 6 x + 2 ) = 0 (2)

 x = −1 + Giải (1): 6 x 2 − 6 = 0 ⇔  x = 1   x = −2 ∉ [ −1; 2]   x = 1 (nghiÖm k Ðp)    x ≈ −1,87 ∉ [ −1; 2]   x ≈ 0,34  2 x3 − 6 x + 2 = −2   3   x ≈ 1,53 2x − 6x + 2 = 0 + Giải (2): f ′ 2 x 3 − 6 x + 2 = 0 ⇔  3 ⇔  2x − 6x + 2 = 3   x ≈ −1, 64 ∉ [ −1; 2]  3   2 x − 6 x + 2 = 6   x ≈ −0,16   x ≈ 1.81    x = −1 (nghiÖm k Ðp)   x = 2

(

)

Bảng biến thiên của g ( x ) trên đoạn [ −1; 2]

Trang 49

−1

g′( x)

g ( x)

−0.16

m−5

7 2

−

0.34 −

1, 53

−

1,81 +

−

(

7 2

13 4

−

13 4

1 m − 5 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 2

)

Số nghiệm của phương trình f 2 x3 − 6 x + 2 =

1 g ( x ) = f ( 2 x3 − 6 x + 2 ) và đường thẳng y = m − 5 . 2 Kẻ đường thẳng y =

1 m − 5 trên cùng bảng biến thiên của g ( x ) . Điều kiện để đường thẳng 2

1 y = m − 5 cắt đồ thị hàm số g ( x ) = f ( 2 x3 − 6 x + 2 ) tại 6 điểm phân biệt là: 2 0<

1 m − 5 < 2 ⇔ 10 < m < 14 . Vì m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {11;12;13} 2

Vậy có 3 số nguyên m thỏa mãn ycbt.

Câu 59. (THPT Thanh Chương 1- Nghệ An - 2021) Cho hàm số f ( x) = x + 1 + x 2 . Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình xf ( x) −

A. 2 .

1+ 4x + m −1

(

f −1 − 4 x + m − 1

B. 3 .

)

= 0 có hai nghiệm phân biệt là

C. 6 . Lời giải

D. 4 .

Chọn D Ta có: f ( x) = x + 1 + x 2  f '( x) = 1 +

x 1 + x2

> 0, ∀x ∈ ℝ .

Suy ra hàm số f ( x) = x + 1 + x 2 luôn đồng biến trên ℝ . Mặt khác, ta lại có: f ( − x) = − x + 1 + x 2 =

1 x + 1 + x2

Nên phương trình tiếp theo tương đương với: xf ( x ) −

( ⇔ xf ( x) = (1 +

) ( 4 x + m − 1 ) f (1 +

1 . f ( x)

1+ 4x + m −1

(

f −1 − 4 x + m − 1

)

=0.

) 4x + m −1) .

⇔ xf ( x) − 1 + 4 x + m − 1 f 1 + 4 x + m − 1 = 0 .

(

)

Đến đây ta xét hàm đặc trưng y = g (t ) = tf (t ) = t. t + t 2 + 1 = t 2 + t t 2 + 1 . Có g '(t ) = 2t + t 2 + 1 +

(

t2 t2 +1

)

> 0, ∀t ∈ ℝ nên suy ra g (t ) luôn đồng biến trên ℝ .

 g ( x) = g 1 + 4 x + m − 1 ⇔ x = 1 + 4 x + m − 1 ⇔ 4 x + m − 1 = x − 1 . Trang 50

x ≥ 1  x − 1 ≥ 0 4 x + m − 1 ≥ 0 nên suy ra  . 2 ⇔  2  4 x + m − 1 = ( x − 1) m = x − 6 x + 2

Xét hàm y = p ( x) = x 2 − 6 x + 2, ∀x ≥ 1  p′( x) = 2 x − 6 = 0 ⇔ x = 3 (nhận). Ta có BBT của hàm p( x) như sau:

Dựa vào BBT trên để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m ∈ ( p(3); p(1)] ⇔ m ∈ ( −7; −3] . Như vậy, ta kết luận có tất cả 4 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 60. (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x3 − 3x 2 + 1 . Tập hợp các giá   2 sin x + 1   trị m để phương trình f  f    = f ( m ) có nghiệm là đoạn [ a ; b ] . Khi đó giá trị 2   

4a2 + 8b thuộc khoảng nào sau đây?  23  A.  7;  . B. ( −2;5 ) .  2

 43 39  C.  ;  .  3 2  Lời giải

 37 65  D.  ;  .  3 4 

Chọn D Ta có: y′ = 6 x 2 − 6 x . x = 0 y′ = 0 ⇔  . x = 1 Bảng biến thiên:

Ta có:

 f 

2 sin x + 1 1  1 3  2 sin x + 1  = sin x + ∈  − ;  suy ra f   ∈ [ 0;1] nên 2 2  2 2 2  

 2 sin x + 1   f   ∈ [ 0;1] . 2  

 Phương trình f  

 2 sin x + 1   f   = f ( m ) có nghiệm 2  

3 2 1 3 2m − 3m + 1 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ f ( m) ≤ 1 ⇔  3 ⇔− ≤m≤ . 2 2 2 2m − 3m ≤ 0 1 3 Vậy 4a 2 + 8b = 4. + 8. = 13 . 4 2

Trang 51

x2 + 5x + 2 Câu 61. (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Cho hàm số f ( x ) = . Có tất cả bao 2x +1 nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để bất phương trình m

2021 f

(

)

3 x 2 − 18 x + 28 − m 3x 2 − 18 x + 28 ≥ m + 4042 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn

[ 2; 4] . A. 673 .

B. 808 .

C. 135 . Lời giải

D. 898 .

Chọn A  Đặt u = 3x 2 − 18 x + 28 = 3( x − 3)2 + 1 = 3 ( x − 2 )( x − 4 ) + 4 do đó ta có với ∀x ∈ [ 2; 4] thì

u ∈ [1; 2 ] .  Biến đổi BPT ta được 2021 f ( u ) − m.u ≥ m + 4042 ⇔ 2021  f ( u ) − 2 ≥ m ( u + 1) .  Ta có f ( x ) =

x2 + 5x + 2 u 2 + 5u + 2 u2 + u −2= nên f ( u ) − 2 = do vậy bất phương trình được 2x +1 2u + 1 2u + 1

2021( u 2 + u )

2021u . 2u + 1 2u + 1 2021u  Lúc này yêu cầu bài toán tương đương m ≤ , ∀u ∈ [1;2] ⇔ m ≤ min g (u ) . u∈[1;2 ] 2u + 1 2021u 2021  Xét hàm số g (u ) = , u ∈ [1; 2] ta có g ′(u ) = > 0, ∀u ∈ [1; 2] do vậy hàm số 2 2u + 1 ( 2u + 1)

biến đổi tiếp

≥ m ( u + 1) ⇔ m ≤

2021u 2021 . = g (1) = 2u + 1 3  Kết hợp với m là các số nguyên dương ta được m ∈ {1;2;3;...;673} .

g ( u ) tăng trên đoạn [1; 2] . Vì vậy min g (u ) = u∈[1;2]

Vậy tìm được 673 số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 62. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2021) Cho hàm số f ( x ) = x3 + 2 x − 5m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ −6;6] để bất phương trình f ( f ( x ) ) ≥ x đúng với mọi x thuộc khoảng ( 2;6 ) .

A. 5 .

B. 11 .

C. 8 . Lời giải

D. 6 .

Chọn C Ta có f ( f ( x ) ) ≥ x ⇔ f ( f ( x ) ) + f ( x ) ≥ f ( x ) + x . Xét hàm số h ( t ) = f ( t ) + t trên tập số thực ℝ Ta có h ' ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t ∈ ℝ . Suy ra hàm số h ( t ) = f ( t ) + t luôn đồng biến trên tập ℝ . Suy ra f ( f ( x ) ) + f ( x ) ≥ f ( x ) + x ⇔ f ( x ) ≥ x ⇔ x3 + x ≥ 5m .

Để f ( f ( x ) ) ≥ x ⇔ x3 + x ≥ 5m đúng với mọi x thuộc khoảng ( 2;6 ) ⇔ min ( x 3 + x ) ≥ 5m ⇔ 23 + 2 ≥ 5m ⇔ m ≤ log 5 10 . [ 2;6]

Do m là số nguyên thuộc đoạn [ −6;6] nên m ∈ {−6; −5; −4; −3; −2; −1;0;1} . Vậy có 8 giá trị nguyên của m cần tìm.

Trang 52

Câu 63. (Sở Bình Phước - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f ( sin x ) = 3sin x + m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) . Tổng các phần tử của S bằng

A. -6.

B. -5.

C. -8. Lời giải

D. -10.

Chọn D

Xét phương trình f ( sin x ) = 3sin x + m (1) .

Đặt t = sin x , ta có phương trình f ( t ) = 3t + m ( 2 ) , phương trình (1) có nghiệm x ∈ ( 0; π ) khi và chỉ khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t ∈ ( 0;1] . Số nghiệm của ( 2 ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) , t ∈ ( 0;1] và đường thẳng y = 3t + m .

Đường thẳng y = 3t + m đi qua điểm A ( 0;1) nên có phương trình y = 3t + 1. Đường thẳng y = 3t + m đi qua điểm B (1; −1) nên có phương trình y = 3t − 4. Từ đó ta có giá trị m thỏa mãn bài toán là m ∈ [ −4;1) . Các giá trị nguyên của m là tập

S = {−4; −3; −2; −1;0} , vậy tổng các phần tử bằng -10. Câu 64. (Liên Trường Nghệ An – 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho bởi hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng (1;2021) để

(

)

(

)

bất phương trình f 1 − m2 − f − x 2 + 2mx + 1 − 3m2 < x 2 − 2mx + 2m 2 có nghiệm?

Trang 53

B. 1 .

A. 0 .

f (1 − m2 ) − f ( − x 2 + 2mx + 1 − 3m2 )

C. 2019 . Lời giải 2 < x − 2mx + 2m 2

⇔ − x 2 + 2 mx + 1 − 3m 2 − f ( − x 2 + 2 mx + 1 − 3m 2 ) < 1 − m 2 − f (1 − m 2 )

D. 2020 .

( *)

Ta có: 1 − m2 < 0, ∀m ∈ (1; 2021) . 2

− x 2 + 2 mx + 1 − 3m 2 = − ( x − m ) − 2 m 2 + 1 < 0, ∀m ∈ (1; 2021) , ∀x ∈ ℝ .

Xét hàm số g ( t ) = t − f ( t ) , t < 0. Có g ′ ( t ) = 1 − f ′ ( t ) > 0, ∀t < 0 ( do từ đồ thị ta có f ′ ( x ) < 0, ∀x < 0 ) Vậy g ( t ) là hàm số đồng biến trên ( −∞;0 ) .

(*) có dạng g ( − x 2 + 2 mx + 1 − 3m 2 ) < g (1 − m 2 ) ⇔ − x 2 + 2mx + 1 − 3m2 < 1 − m2 2

⇔ − x 2 + 2 mx − m 2 < m 2 ⇔ − ( x − m ) < m 2 ( luôn đúng ∀m ∈ (1:2021) , ∀x ∈ ℝ.

Vì m nguyên nên m ∈ {2;3;...; 2020} . Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 65. (Sở Nam Định - 2021) Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn điều kiện f (0) = 2 2, f (x ) > 0, ∀x ∈ ℝ và f (x ).f ′(x ) = (2x + 1). 1 + f 2 (x ), ∀x ∈ ℝ . Tất các giá trị m để  15 7  2 phương trình 2x + 2x − mf (x ) + 5 = 0 có nghiệm là a +b ;2, a, b ∈ ℚ. Tính tổng 7 15   S = a + b. A. S = 2. B. S = 3. C. S = 4. D. S = 1. Lời giải Chọn A f (x ).f ′(x ) 2 f (x ).f ′(x ) = 2x + 1 = 2x + 1 ⇔ Ta có f (x ).f ′(x ) = (2x + 1). 1 + f 2 (x ) ⇔ 1 + f 2 (x ) 2 1 + f 2 (x )

⇔

(

′ 1 + f 2 (x ) = 2x + 1 ⇔ 1 + f 2 (x ) = x 2 + x + C . Vì f (0) = 2 2 ⇒ C = 3.

Suy ra

)

1 + f 2 (x ) = x 2 + x + 3 ⇒ 1 + f 2 (x ) = (x 2 + x + 3)2 ⇒ f (x ) = (x 2 + x + 3)2 − 1 > 0

Theo đề ta có 2x 2 + 2x − mf (x ) + 5 = 0 ⇔ m =

1 Đặt t = x 2 + x ⇒ t ≥ − . Xét hàm số h(t ) = 4

Trang 54

2x 3 + 2x + 5 2(x 2 + x ) + 5 . = f (x ) (x 2 + x + 3)2 − 1  1  2t + 5 , ∀t ∈ − ; +∞ .  2   4 (t + 3) − 1

2 t 2 + 6t + 8 − h ′(t ) =

(2t + 6)(2t + 5)

 1  t +1 2 t 2 + 6t + 8 − ; +∞. = , ∀ t ∈  4  (t 2 + 6t + 8)2 (t 2 + 6t + 8)2 

 6 105  Suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ∈  ; +∞ .   35

Ta có

6 105 1 15 3 7 1 3 = + ⇒ a = ;b = ⇒ S = a + b = 2. 35 2 7 2 15 2 2

Trang 55

Dạng 4. Tương giao hàm hợp, hàm ẩn chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 1.

(Mã 103 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình f ( x 3 − 3 x ) =

A. 7 .

3 là 2

B. 3 .

C. 8 .

D. 4 .

Lời giải Chọn C Đặt t = x3 − 3x ta có phương trình f ( t ) =

3 2

( *) .

Từ đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y =

3 ta suy ra phương trình (*) có 4 nghiệm 2

t1 < −2 < t2 < 0 < t3 < 2 < t4 x =1 Xét hàm t = x3 − 3x . Ta có t ′ = 3 x 2 − 3 = 0 ⇔  Ta có bảng biến thiên  x = −1

Với t1 < −2 phương trình: t1 = x 3 − 3 x cho ta 1 nghiệm. Với −2 < t2 < 0 phương trình: t2 = x 3 − 3 x cho ta 3 nghiệm. Với 0 < t3 < 2 phương trình: t3 = x 3 − 3 x cho ta 3 nghiệm.

Với 2 < t4 phương trình: t4 = x 3 − 3 x cho ta 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có tất cả 8 nghiệm. Chọn C Câu 2.

(Mã 104 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( x 3 − 3 x ) =

2 là 3

A. 10

B. 3

C. 9

D. 6

Lời giải Chọn A Đặt t = g ( x ) = x3 − 3x (1) Ta có g ' ( x ) = 3x 2 − 3 = 0 ⇔ x ± 1 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có với t ∈ ( −2; 2 ) cho ta 3 giá trị x thỏa mãn (1)

t ∈ {−2; 2} cho ta 2 giá trị x thỏa mãn (1) t ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) cho ta 1 giá trị x thỏa mãn (1). Phương trình f ( x 3 − 3 x ) = 2  f (t ) =  2 3 f (t ) = ⇔  3  f (t ) = − 2  3 Dựa vào đồ thị ta có:

2 (2) trở thành 3

+ Phương trình f ( t ) =

2 có 3 nghiệm thỏa mãn −2 < t1 < t2 < 2 < t3  có 7 nghiệm của phương trình 3

(2). + Phương trình f ( t ) = −

2 có 3 nghiệm thỏa mãn t4 < −2 < 2 < t5 < t6  có 3 nghiệm của phương 3

trình (2). Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm. Câu 3.

(Mã 101 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( x 3 − 3 x ) =

4 là 3

A. 7 .

B. 4 .

C. 3 . Lời giải

Chọn D Đặt t = x 3 − 3 x  t ′ = 3 x 2 − 3 . Ta có bảng biến thiên

Khi đó f ( t ) =

4 (1) 3

D. 8 .

Dựa vào đồ thị hàm số f ( t ) ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt t1 < −2, −2 < t2 < 0, 0 < t3 < 2 , t 4 > 2 . Mỗi nghiệm t của phương trình (1) , ta thay vào phương trình t = x 3 − 3 x để tìm nghiệm x . Khi đó + t1 < −2  phương trình t = x 3 − 3 x có 1 nghiệm. + −2 < t2 < 0  phương trình t = x 3 − 3 x có 3 nghiệm. + 0 < t3 < 2  phương trình t = x 3 − 3 x có 3 nghiệm. + t4 > 2  phương trình t = x 3 − 3 x có 1 nghiệm. Vậy phương trình f ( x 3 − 3 x ) = Câu 4.

4 có 8 nghiệm. 3

(Mã 102 2019) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương

(

)

3 trình f x − 3 x =

A. 6 .

1 2

B. 10 .

C. 12 .

D. 3 .

Lời giải Chọn B

1  f ( x3 − 3x ) =  1 2 3 Ta có f ( x − 3 x ) = ⇔  2  f x3 − 3x = − 1 ) 2  (

(1) ( 2)

 x3 − 3x = α1 ( −2 < α1 < 0 )  1 +) (1) ⇔ f ( x3 − 3x ) = ⇔  x3 − 3x = α 2 ( 0 < α 2 < 2 ) 2  3  x − 3x = α 3 (α 3 > 2 )

 x 3 − 3x = α 4 ( x4 < −2 )  3 1 3 +) ( 2 ) ⇔ f ( x − 3x ) = − ⇔  x − 3x = α 5 (α 5 > 2 ) 2  3  x − 3x = α 6 (α 6 > 2 ) 3 Xét hàm số y = x − 3x, D = ℝ

Ta có y ' = 3x 2 − 3 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương trình: x3 − 3x = α1 có 3 nghiệm. Phương trình: x3 − 3x = α2 có 3 nghiệm.

Mỗi phương trình x3 - 3x = α3 , x3 - 3x = α 4 , x3 -3x = α5 , x3 -3x = α6 đều có một nghiệm Từ đó suy ra phương trình f ( x 2 − 3x ) = Câu 5.

1 có 10 nghiệm. 2

(Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình f ( x3 − 3 x ) = 1 là A. 10 .

B. 8 .

C. 9 .

D. 7 .

Lời giải Chọn C Xét phương trình f ( x3 − 3 x ) = 1 (1) Đặt t = x3 − 3x , ta có bảng biến thiên của hàm số t = g ( x ) = x3 − 3x như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy + Với mỗi t0 > 2 hoặc t0 < −2 , phương trình t0 = x3 − 3x có một nghiệm; + Với mỗi −2 < t0 < 2 , phương trình t0 = x3 − 3x có 3 nghiệm.  f (t ) = 1 Khi đó, (1) trở thành f ( t ) = 1 ⇔   f ( t ) = −1

t = t1 ∈ ( −2; 0 )  * TH 1: f ( t ) = 1 ⇔ t = t2 ∈ ( 0; 2 ) t = t ∈ 2; +∞ ( ) 3  + Với t = t1 ∈ ( −2;0 )  Phương trình t1 = x3 − 3x có 3 nghiệm; + Với t = t2 ∈ ( 0; 2 )  Phương trình t2 = x3 − 3x có 3 nghiệm; + Với t = t3 ∈ ( 2; +∞ )  Phương trình t3 = x3 − 3x có 1 nghiệm; t = t4 ∈ ( −∞; −2 ) * TH 2: f ( t ) = −1 ⇔  t = t5 ∈ ( 2; +∞ ) + Với t = t4 ∈ ( −∞; −2 )  Phương trình t4 = x3 − 3x có 1 nghiệm; + Với t = t5 ∈ ( 2; +∞ )  Phương trình t5 = x3 − 3x có 1 nghiệm. Mặt khác, các nghiệm này đều phân biệt. Vậy phương trình f ( x3 − 3 x ) = 1 có 9 nghiệm phân biệt. Câu 6.

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình f ( 3 x + 1) − 2 = 5 có bao nhiêu nghiệm? A. 3 .

B. 5 .

D. 4 .

C. 6 . Lời giải

Chọn A  f ( 3x + 1) − 2 = 5  f ( 3x + 1) = 7 (1) Ta có f ( 3x + 1) − 2 = 5 ⇔  ⇔ .  f ( 3x + 1) − 2 = −5  f ( 3x + 1) = −3 ( 2 ) Dựa vào bảng biến thiên, + Phương trình (1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn 3x + 1 = a > 3 ⇔ x =

a −1 2 > . 3 3

2  x1 =  3 x + 1 = 3  3 . + Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  1 ⇔ 3 x2 + 1 = b < −1  x = b − 1 < − 2  2 3 3 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Câu 7.

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f ( x + 2019 ) − 2020 = 2021 là A. 4 .

B. 6 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải Chọn A Ta có :  f ( x + 2019 ) − 2020 = −2021 ⇔ f ( x + 2019 ) − 2020 = 2021 ⇔   f ( x + 2019 ) − 2020 = 2021

 f ( x + 2019 ) = −1 .   f ( x + 2019 ) = 4041

Từ bảng biến thiên suy ra: +) Phương trình: f ( x + 2019 ) = −1 có 3 nghiệm. +) Phương trình: f ( x + 2019 ) = 4041 có 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 8.

(Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f

(

)

4 − x2 − x2 − 1 =

1 là 2021

B. 14 .

A. 24 .

D. 10 .

C. 12 . Lời giải

Chọn D

y = g ( x) = f

(

)

4 − x 2 − x 2 − 1 với g ( x ) =

1 2021

(

)

Ta đặt: t = 4 − x 2 , ∀x ∈ [ −2; 2] thì suy ra y = g (t ) = f t − t 2 − 3 , ∀t ∈ [ 0; 2]

2   t + t − 3, t ∈ 0; 3  Suy ra: h(t ) = t − t − 3 =  . 2   − t + t + 3, t ∈ 3; 2    2

Từ đó ta có BBT của hàm số h(t ) như hình vẽ bên:

Đặt u = t − t 2 − 3 thì ta cũng có BBT của u như sau: x

t2 3

3 3

3 1

Nhìn vào đồ thị y = f ( x) trên ta có được:

 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx, a ≠ 0 2  a= >0 3  f (1) = f (2) = 0, f "(1) = 0 Như vậy ta suy ra f ( x ) = f ( x0 ) =

2 4 3 tại x = x0 nên suy ra x ( x − 1)( x − 2 ) . Mà hàm số đó có cực trị bằng − 3 9

−4 3 3+ 3  x0 = 9 3

Như vậy: f (3) = 4, f









( 3 ) = −0, 2, f  3 +3 3  = −49 3

Từ đó, ta phác họa được đồ thị y = f ( u ) với u = t − t 2 − 3 như sau:

Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình g ( x ) = Câu 9.

1 có tất cả 10 nghiệm phân biệt. 2021

A. 48 .

B. 29 .

C. 31 . Lời giải

D. 40.

Chọn B Đặt t = 2 cos 2 x Vì x ∈ ( −π ;4π ) nên t ∈ [ 0;2] Phương trình trở thành: f ( t ) = 1 . t = 1 Từ đồ thị hàm số ta suy ra phương trình f ( t ) = 1 có các nghiệm thuộc [ 0;2] là  . t = 2  cos 2 x = 1 Với t = 1 ⇔ cos 2 x = ⇔  2 cos 2 x =    −π   −π  Vì x ∈ ( −π ; 2π )    −π    −π 

1  x= 2 ⇔  −1 x = 2 

±π + kπ 6 ±π + kπ 3

23  −7 <k<  6 6 6  −π 5 25 −  <k< < + kπ < 4π 6 6 6 ⇔ π − 4 11  <k< < + kπ < 4π 3 3  3  −2 −π 13 < + kπ < 4π  <k< 3 3  3 <

+ kπ < 4π

 phương trình có 20 nghiệm thuộc khoảng ( −π ;4π ) .

 x = kπ cos 2 x = 1 ⇔ Vớ i t = 2 ⇔   x = π + kπ = − cos 2 x 1   2  −π < kπ < 4π  −1 < k < 4  ⇔  −3 Vì x ∈ ( −π ; 2π )   −π < π + kπ < 4π  <k<7  2 2 2  phương trình có 9 nghiệm thuộc khoảng ( −π ;4π ) . Vậy phương trình đã cho có tất cả 29 nghiệm.

Câu 10. (Sở Tuyên Quang - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình f ( f ( x)) = 2 là

A. 4 .

B. 5 .

C. 9 . Lời giải

Chọn D  f ( f ( x )) = 2 Ta có: f ( f ( x )) = 2 ⇔  .  f ( f ( x )) = −2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:  f ( x) = a (a ∈ (−∞ ; − 4)) . f ( f ( x )) = 2 ⇔   f ( x) = b (b ∈ (3; + ∞))

 f ( x ) = −4   f ( f ( x )) = −2 ⇔  f ( x) = d (d ∈ (1;3)) .   f ( x) = e e ∈ (3; + ∞) ( )  f ( x ) = a (a ∈ (−∞ ; − 4)) vô nghiệm. f ( x ) = b (b ∈ (3; + ∞)) có 2 nghiệm.

f ( x) = −4 có 1 nghiệm. f ( x ) = d (d ∈ (1;3)) có 2 nghiệm. f ( x ) = e (e ∈ (3; + ∞)) có 2 nghiệm.

⇒ f ( f ( x )) = 2 có 7 nghiệm.

D. 7 .

Câu 11. (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Cho hàm đa thức y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Đặt g ( x ) = f ( x 2 ) . Số nghiệm của phương trình g ( x ) .  2 g ( x ) − 1 = 0 là A. 11.

B. 10.

C. 13.

D. 12.

Lời giải Chọn D  f ( x2 ) g ( x) = 0  Ta có g ( x ) .  2 g ( x ) − 1 = 0 ⇔  ⇔ g ( x) = 1 2  f (x )  2 

 2  f (x ) = 0 =0  1 2  1 ⇔  f (x ) = 2 =  2 1  f ( x2 ) = −  2

Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy ra

 x 2 = a < −1  +) (1) ⇔  x 2 = b ∈ ( 0;1) . Suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.  2 x = c > 1

(1) (2) . ( 3)

 x 2 = d < −1, ( d ≠ a )  +) ( 2 ) ⇔  x 2 = e ∈ ( 0;1) , ( e ≠ b ) . Suy ra phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt khác 4 nghiệm phân  2  x = f > 1, ( f ≠ c ) biệt của phương trình (1).  x 2 = m < −1, ( m ≠ d , a )  +) ( 3) ⇔  x 2 = n ∈ ( 0;1) , ( n ≠ e, b ) . Suy ra phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 4 nghiệm phân  2  x = p > 1, ( p ≠ f , c ) biệt của phương trình (1) và 4 nghiệm phân biệt của phương trình (2). Vậy phương trình g ( x ) .  2 g ( x ) − 1 = 0 có tất cả 12 nghiệm.s

Câu 12. (THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình f ( 2 x 2 + 3 ) − 2 = 5 có bao nhiêu nghiệm?

A. 3 .

B. 5 .

D. 4 .

C. 6 . Lời giải

Chọn A

(

)

(

)

Gọi g ( x ) = f 2 x 2 + 3 − 2 . Ta có: g ' ( x ) = 4 x. f ' 2 x 2 + 3 . x = 0  g ' ( x ) = 0 ⇔  2 x 2 + 3 = −1 ⇔ x = 0 . 2 x2 + 3 = 3  Ta có bảng biến thiên:

g ( x) = 5 Mà g ( x ) = 5 ⇔  . Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm.  g ( x ) = −5

Câu 13. (Sở Tuyên Quang - 2021) Cho hàm số

y = f ( x ) = ax 2 + bx + c

có đồ thị

( C ) (như hình vẽ)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 có 6 nghiệm phân biệt?

A. 2.

B. 3.

C. 1. Lời giải

Chọn B Xét phương trình f 2 ( x ) + ( m − 2 ) f ( x ) + m − 3 = 0 .

 f ( x ) = −1 . Nhận thấy 1 − ( m − 2 ) + ( m − 3) = 0    f ( x ) = 3 − m Từ đồ thị hàm số f ( x ) , suy ra đồ thị hàm số f ( x ) như sau:

D. 4.

Với f ( x ) = −1 , ta được 2 nghiệm x .

Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt, tức là phương trình f ( x ) = 3 − m có 4 nghiệm phân biệt. m∈ℤ → m ∈ {1;2;3} . Hay −1 < 3 − m < 3 ⇔ 0 < m < 4 

Như vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 14. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −5;5 ) để phương trình f 2 ( x ) − ( m + 4) f ( x ) + 2m + 4 = 0 có 6 nghiệm phân biệt

A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 5 .

Lời giải Chọn C 2

Ta có: f 2 ( x ) − ( m + 4) f ( x ) + 2m + 4 = 0 ⇔ f ( x) − m f ( x ) − 4 f ( x ) + 2m + 4 = 0 2

⇔ ( f ( x ) − 2 ) − m ( f ( x ) − 2 ) = 0 ⇔ ( f ( x ) − 2 )( f ( x ) − 2 − m ) = 0

 f ( x) = 2 ( 1 )  f ( x) − 2 = 0 ⇔ ⇔  f ( x) − 2 − m = 0  f ( x) = m + 2 ( 2 )

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d ta có đồ thị hàm số y = f ( x) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) suy ra phương trình ( 1 ) có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của phương trình ( 1 ) . Ta có phương trình ( 2 ) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y = f ( x) và y = m + 2 . Số nghiệm phương trình ( 2 ) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = f ( x) và y = m + 2 . Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) ta được phương trình f ( x) = m + 2 có 2 nghiệm phân biệt khác m + 2 = 0  m = −2 các nghiệm của phương trình f ( x) = 2 ⇔  m + 2 > 4 ⇔   m > 2  m + 2 ≠ 2 Do m ∈ ℤ và m ∈ ( −5;5 )  m ∈ { −2;3; 4 } . Vậy có 3 giá trị nguyên m ∈ ( −5;5 ) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 15. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1; 4 ] và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ −10;10 ] để bất phương trình f ( x ) + m < 2 m đúng với mọi x thuộc đoạn [ −1; 4 ] .

A. 6 .

B. 5 .

C. 7 . Lời giải

D. 8 .

Chọn C Để bất phương trình f ( x ) + m < 2 m có nghiệm ta suy ra điều kiện m > 0 .  f ( x ) > −3m . f ( x ) + m < 2m ⇔ −2 m < f ( x ) + m < 2 m ⇔   f ( x ) < m  f ( x ) > −3m Bất phương trình f ( x ) + m < 2 m đúng với mọi x thuộc đoạn [ −1; 4 ] ⇔  đúng  f ( x ) < m −3m < min f ( x ) [ −1;4]  với mọi x thuộc đoạn [ −1; 4 ] ⇔  . f ( x) m > max [−1;4] Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy ra min f ( x ) = −2; max f ( x ) = 3 . [ −1;4]

[−1;4]

2 −3m < min f ( x )  −3m < −2 [−1;4]  m >  ⇔ ⇔ 3 ⇔ m > 3 (thỏa mãn điều kiện m > 0 ) m>3 f ( x)  m > max  [ −1;4] m > 3 Vậy trên đoạn [ −10;10 ] có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 16. (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 2 sin x ) = f ( m 2 + 6m + 10 ) có nghiệm?

A. 2.

B. 3.

C. 4. Lời giải.

Chọn B

D. 1.

Từ đồ thị suy ra hàm số y = f ( x ) đồng biến trên nửa khoảng [ 0; +∞ ) . Do 2 sin x ≥ 0; m2 + 6m + 10 > 0 nên f ( 2 sin x ) = f ( m 2 + 6m + 10 ) ⇔ 2 sin x = m 2 + 6m + 10 . Mà 0 ≤ 2 sin x ≤ 2 nên yêu cầu bài toán tương đương

0 ≤ m2 + 6m + 10 ≤ 2 ⇔ m2 + 6m + 8 ≤ 0 ⇔ −4 ≤ m ≤ −2 . Vậy có 3 số nguyên m thỏa mãn

Câu 17. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  3sin x − cos x − 1  f + 2 = f  2 cos x − sin x + 4 

A. 3 .

(

)

(m + 2) 2 + 4 có nghiệm?

B. 5 .

C. 4 . Lời giải

D. 2 .

Chọn B  Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1, − 1 ≤ cos x ≤ 1 nên suy ra 2cos x − sin x + 4 > 0, ∀x ∈ ℝ . Đặt t =

3sin x − cos x − 1  t (2 cos x − sin x + 4) = 3sin x − cos x − 1 2 cos x − sin x + 4

⇔ (2t + 1) cos x − (t + 3)sin x = −(4t + 1) . Phương trình trên có nghiệm khi (2t + 1) 2 + (t + 3) 2 ≥ (4t + 1) 2 ⇔

−9 ≤ t ≤1 2 ≤ t + 2 ≤ 3 . 11

Nhìn vào hình trên ta thấy hàm số f ( x) luôn đồng biến trên [ 2;3] nên phương trình  3sin x − cos x − 1  f + 2 = f  2 cos x − sin x + 4 

(

)

(m + 2) 2 + 4 hay phương trình f ( t + 2 ) = f

(

)

(m + 2) 2 + 4 có

nghiệm khi và chỉ khi phương trình t + 2 = (m + 2) 2 + 4 có nghiệm t thỏa mãn điều kiện

2 ≤ t + 2 ≤ 3 ⇔ 2 ≤ (m + 2)2 + 4 ≤ 3  m2 + 4m − 1 ≤ 0 ⇔ 2 − 5 ≤ m ≤ 2 + 5 . Mà m ∈ ℤ nên có tất cả 5 giá trị m thỏa mãn.

Câu 18. (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hàm số f ( x ) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f ( 0 ) = 0 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có hình vẽ bên dưới.

Tập nghiệm của phương trình f ( 2 sin x − 1 − 1) = m (với m là tham số) trên đoạn [0;3π ] có tất cả bao nhiêu phần tử?

A. 8 .

B. 20 .

C. 12 .

D. 16 .

Lời giải Chọn D Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị x = 0 và x = 2 nên có dạng f ′ ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . d = 2 a = 1 c = 0   b = −3 Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được  .   2 3 ⋅ a ⋅ 2 + 2 ⋅ b ⋅ 2 = 0 c = 0    − a 3 + b + d = −2 d = 2

Suy ra f ′ ( x ) = x 3 − 3x 2 + 2  f ( x ) = Mà f ( 0 ) = 0  C = 0  f ( x ) =

x4 − x3 + 2 x + C . 4

x4 − x3 + 2 x . 4

x = 1  Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 − 3 . x = 1+ 3  Suy ra bảng biến thiên

Từ đó ta có bảng biến thiên của f ( x − 1)

Vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ [0;3π ] nên 0 ≤ 2sin x − 1 ≤ 3 .

Đặt t = 2sin x − 1 , t ∈ [0;3] Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f ( t − 1) = m có tối đa 2 nghiệm t = h , t = k . ±h + 1  sin x = 2  2 sin x − 1 = ± h Do đó  . ⇔ ± k + 1  2 sin x − 1 = ± k sin x =  2 Trên [0;3π ] , mỗi phương trình có nhiều nhất 4 nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất 16 nghiệm.

Câu 19. (Sở Hà Nam - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) − ( m − 6 ) f ( x ) − m + 5 = 0 có 6 nghiệm thực phân biệt?

A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải Chọn D Hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 có bảng biến thiên x f(x)

-∞ +∞

+∞ +∞

3 -1

Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên x f(x)

-∞

-2

+∞

+∞ -1

+∞

-1

Đặt t = f ( x ) ≥ −1(*) Nhận xét: () → x ∈∅ + với t0 < −1  *

() → 2 nghiệm + với t0 = −1; t0 > 3  *

() → 3 nghiệm + với t0 = 3  *

() + với t0 ∈ ( −1;3)  → 4 nghiệm *

t = −1 Phương trình trở thành t 2 − ( m − 6 ) t − m + 5 = 0 ⇔  t = m − 5 m∈ℤ → m ∈ {5;6;7} . Yêu cầu bài toán suy ra −1 < m − 5 < 3 ⇔ 4 < m < 8 

Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) − ( m + 5 ) f ( x ) + 4m + 4 = 0 có 7 nghiệm phân biệt?

A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải Chọn C Phương trình tương đương với

(

)

f 2 ( x) − 5 f ( x) + 4 − m f ( x) − 4 = 0

(

⇔ f ( x) − 4

(

⇔ f ( x) − 4

) ( f ( x ) − 1) − m ( f ( x ) − 4 ) = 0 )(

 f ( x ) = 4 (1) f ( x) −1− m = 0 ⇔  .  f ( x ) = m + 1 ( 2 )

)

Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) , suy ra phương trình (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt. Vì vậy, yêu cầu bài toán tương đương với phương trình ( 2 ) có 4 nghiệm phân biệt khác 4 . Suy ra 0 < m + 1 < 4 ⇔ −1 < m < 3  m = 0, 1, 2. Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa bài toán.

Câu 21. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  3sin x − cos x −1  f   = f (m 2 + 4m + 4) có nghiệm.  2 cos x − sin x + 4 

B. 5 .

A. 4 .

D. 3 .

C. Vô số. Lời giải

Chọn D Ta có

3sin x − cos x −1 2 ≥ 0 , ∀x và m 2 + 4m + 4 = (m + 2) ≥ 0 , ∀m . Nhìn vào đồ thị hàm số 2 cos x − sin x + 4

y = f ( x) ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên [0; +∞) suy ra phương trình đã cho tương đương 3sin x − cos x −1 = m 2 + 4m + 4 2 cos x − sin x + 4

Đặt P =

(1)

3sin x − cos x −1 (*) 2 cos x − sin x + 4

vì 2 cos x − sin x + 4 > 0 , ∀x nên (*) ⇔ (3 − P) sin x −(1 + 2 P) cos x = 4 P +1 (2) 2

Phương trình (2) có nghiệm ⇔ (4 P + 1) ≤ (3 − P ) + (1 + 2 P ) ⇔

−9 ≤ P ≤1 ⇒ P ≤1 11

Suy ra phương trình (1) có nghiệm ⇔ m 2 + 4m + 4 ≤ 1 ⇔ m ∈ [−3; −1] ⇒ Có ba giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Câu 22. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số

m để phương trình f ( x + m ) = m có 4 nghiệm phân biệt là

A. 2.

B. Vô số.

C. 1.

D. 0.

Lời giải Đặt t = x + m ≥ 0 Vớ i t = 0  x = m Với mỗi giá trị t > 0 sẽ ứng với 2 giá trị x Ta có phương trình : f ( t ) = m ( t ≥ 0 ) (*)

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương

3  m=  Từ đồ thị của hàm số y = f ( t ) trên miền t ≥ 0  4  m 1 = −  Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn

Câu 23. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình x 2 ( x − 3) + 2 − m 2 ( m − 3 ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

A. 3

B. 12

C. T = 7 Lời giải

Chọn A

D. 5

Ta có x 2 ( x − 3) + 2 − m 2 ( m − 3) = 0 ⇔ x − 3 x + 2 = m − 3 m 3

( *)

Xét hàm số: y = f ( x ) = x − 3 x + 2 có đồ thị như hình vẽ: Từ đồ thị của hàm số ta có: Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt 3

⇔ −2 < m − 3 m < 2 3

Mà m ∈ ℤ  m − 3 m ∈ ℤ ⇔ m2 ( m − 3) ∈ ℤ

m =3   m = ±3 m = 0 2  m ( m − 3) ∈ {−1;0;1}    m = 1 (l ) m = 0   m = −1 ( l ) Câu 24. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Biết f (0) = 0 và f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Phương trình f ( x ) = m ( với m là tham số) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 8

B. 6

C. 2 Lời giải

D. 4

Chọn B BBT của hàm số y = f ( x)

BBT của hàm số y = f ( x )

Suy ra phương trình f ( x ) = m có nhiều nhất là 6 nghiệm.

Câu 25. (THPT Hà Nam - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 ( x ) − ( m − 6 ) f ( x ) − m + 5 = 0 có 6 nghiệm thực phân biệt? A. 1 .

B. 2 .

C. 4 . Lời giải

Chọn D Hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 có bảng biến thiên

D. 3 .

x f(x)

-∞ +∞

+∞ +∞

3 -1

Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

-2

-∞

f(x)

+∞

-1

-1 Đặt t = f ( x ) ≥ −1(*) Nhận xét: () () → x ∈∅ + với t0 = −1; t0 > 3  → 2 nghiệm + với t0 < −1  *

() () → 3 nghiệm + với t0 ∈ ( −1;3)  + với t0 = 3  → 4 nghiệm *

 t = −1 Phương trình trở thành t 2 − ( m − 6 ) t − m + 5 = 0 ⇔  t = m − 5 m∈ℤ → m ∈ {5;6;7} Yêu cầu bài toán suy ra −1 < m − 5 < 3 ⇔ 4 < m < 8 

Câu 26. (Chuyên Vinh - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Đồ thị của hàm số y = f (1 − x ) được  1− x  cho trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f   + m = 1 có đúng  x+2

3 nghiệm phân biệt thuộc [ −1;1] ?

A. 3 .

B. 4 .

C. 2 . Lời giải

D. 1 .

Chọn A

−3  1− x   1− x  . f ′ Đặt g ( x ) = f    g′ ( x) = . 2  x+2 ( x + 2)  x + 2  Nhận xét: Dựa vào đồ thị, hàm số y = f (1 − x ) đạt cực trị tại các điểm x = 0; x = ±1 nên hàm số

y = f ( x ) sẽ đạt cực trị tại các điểm x = 0; x = 1; x = 2 . 1  1− x x+2 = 0 ⇔ x = − 2.  1− x Giải phương trình g ′ ( x ) = 0 ⇔  = 1 ⇔ x = 1. x+2   1 − x = 2 ⇔ x = −1.  x + 2 Bảng biến thiên:

g ( x) = 1− m Phương trình đã cho tương đương với  . Để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt  g ( x ) = −1 − m thuộc [ −1;1] thì

Trường hợp 1:

1 < 1 − m ≤ 3  −2 ≤ m < 0 Yêu cầu bài toán ⇔  ⇔ → m ∈ {−2; −1} .  −2 < −1 − m ≤ 1  −2 ≤ m < 1 Trường hợp 2:

 −2 ≤ 1 − m ≤ 1 Yêu cầu bài toán ⇔  → m = 1. −1 − m = −2 Vậy có 3 giá trị của m thoả mãn.

Câu 27. (Chuyên Thái Bình - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để phương trình f ( x − 1) + 2 = m có 4 nghiệm thỏa mãn x1 < x2 < x3 < 1 < x4 .

A. 2 < m < 6.

B. 3 < m < 6.

C. 2 < m < 4. Lời giải

Chọn D Đặt g ( x ) = f ( x − 1) + 2 Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1)  x − 1 = −1  x = 0  g ( 0 ) = 6 g′ ( x) = 0 ⇔  ⇔  x −1 = 1  x = 2  g ( 2 ) = 2

D. 4 < m < 6.

Vì f ( x ) là hàm bậc ba nên f ( 0 ) =

yCT + yCD = 2  g (1) = f ( 0 ) + 2 = 4 2

Bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) :

Để phương trình f ( x − 1) + 2 = m có 4 nghiệm thỏa mãn x1 < x2 < x3 < 1 < x4 thì 4 < m < 6 .