BỘ 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC MÔN TOÁN NĂM 2018 - VĂN PHÚ QUỐC - CÓ LỜI GIẢI by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

ĐỀ SỐ 1 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Tìm m để phương trình  m  2  sin x  2m cos x  2  m  1 có nghiệm. A. 0  m  2.

m  0 C.  . m  4

B. 2  m  4.

D. 0  m  4.

Câu 2: Tính tổng các nghiệm của phương trình cos  sin x   1 trên đoạn  0; 2  . B.  .

A. 0

Câu 3: Tìm số nghiệm của phương trình A. 8

C. 2 . Axy11 . Px  y Px 1

B. 7

D. 3 .

 72 .

C. 6

D. 0

Câu 4: Một bộ bài Tây có 52 con. Rút ra 5 con, hỏi có bao nhiêu cách có ít nhất 2 con Át. A. 108335

B. 108336

C. 108337

D. 108339

Câu 5: Một lớp học có 30 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động văn nghệ của nhà trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là A. 14.

B. 15.

12 . Tính số học sinh nữ của lớp. 29

C. 16.

D. 17.

Câu 6: Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là “tốt” nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, trung bình và khó đồng thời số câu dễ không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tính xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi tốt. A.

526 . 1655

625 . 1566

526 . 1655

Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. lim C.

2 n  3n  3 2n  1

B. lim

2 n  3n   2n  1

Câu 8: Tìm các giá trị của a và b để hàm số

2n  3n  1 2n  1

2 n  3n   2n  1

625 . 1566

x   2  x xx  f  x   a sin x  b cos x  x   1 

a  0  A.  3. b   2

khi x  0 khi 0  x 



khi x 

 2

liên tục trên

a  0  B.  3. b    2

3  a  C.  2. b  0

3  a   D.  2. b  0

Câu 9: Cho hình vuông ABCD với O là giao điểm hai đường chéo. Tìm góc  để phép quay Q  O;   biến hình vuông ABCD thành chính nó.

A.  

 6

B.  

 3

C.  

 2

D.  

2 . 3

Câu 10: Trong không gian, cho ba vectơ u, v, w không đồng phẳng. Tìm x để ba vectơ

a  u  2v  3w; b  u  v  w; c  xu  v  2w đồng phẳng. A. x  10

B. x  10

Câu 11: Cho hàm số y  A. 1.

x 2  2 x  2018 x 4  3x 2  2

C. x  5

.Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

B. 3.

Câu 12: Tìm m để hàm số y 

D. x  5

C. 5.

D. 6.

x  m 2018 luôn đồng biến trên các khoảng  ;  1 và x 1

 1;   .  m  1 A.  . m  1

B. 1  m  1.

C. m 

D. 1  m  1

Câu 13: Cho hàm số y  x 4  2  m2  1 x 2  1 . Tìm giá trị của tham số m để hàm số này có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất. A. m  0.

B. m  1.

C. m  2.

Câu 14: Đường thẳng y  ax  b cắt đồ thị hàm số y 

1  2x tại hai điểm A và B có hoành 1  2x

độ lần lượt bằng –1 và 0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A.  a  b 

2018

 1.

B. 2

D. m  2.

a  4. b

D.  a  b  5

C. ab  2.

2019

0

Câu 15: Cho hàm số y  x 2  2 x  a  4 . Tìm giá trị a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;1 đạt giá trị nhỏ nhất. A. a  3.

B. a  2.

C. a  1.

Câu 16: Tìm số tiếp tuyến tại điểm nằm trên đồ thị hàm số y 

D. Giá trị khác. x2 cắt 2 trục tọa độ tạo x 1

thành một tam giác cân. A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Câu 17: Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3mx 2  3mx  1 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa điều kiện x12  x22  x32  15 1  A. m   ;    1;   3 

B. m   ; 1  1;  

5  C. m   ; 1   ;   3 

1 5   D. m   ;     ;   3  3  

Câu 18: Người ta tiêm một loại thuộc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó được xác định theo công thức C  t  

0, 28t t2  4

 0  t  24  . Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc hấp thu trong

máy của bệnh nhân đó là cao nhất? A. 24 giờ.

B. 4 giờ.

C. 2 giờ.

D. 1 giờ.

Câu 19: Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn 2a .5b  2c .5d . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. a  c

B. b  d

C. a  c và b  d

D.  a  c  ln 2   d  b  ln 5

Câu 20: Cho x, y là các số thực thỏa mãn log 4  x  2 y   log 4  x  2 y   1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức x  y . A.

B. 0

C. 1

Câu 21: Cho a  log 2 5 và b  log 2 3 . Tính giá trị của biểu thức P  log 3 675 theo a,b. A.

2a  3b b

2a b

C. P 

a 3 b

D. P 

2a 1 b

Câu 22: Cho hàm số y  sin  ln x   cos  ln x  . Hãy chọn hệ thức đúng? A. xy n  x 2 y ' y  0.

B. x 2 y n  xy ' y  0.

C. x 2 y n  xy ' y  0.

D. x 2 y n  xy ' y  0.

Câu 23: Cho log 2  log 3  log 4 x    log 3  log 4  log 2 y    log 4  log 2  log 3 z    0 . Tính tổng 3

x

y x

A. 9

B. 11

C. 15

D. 24

Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y   a 2  3a  3 đồng biến x

A. a  1

B. a  2

C. 1  a  2

D. a  1 hoặc a  2

Câu 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   ln 2 x 2  2 x x 2  e 2  e 2 trên  0; e  A.

1 2



C. 1  ln 1  2

B. 1





D. 1  ln 1  2



Câu 26: Thể tích CO2 trên thế giới năm 1998 là V  m3  . 10 năm tiếp theo, thể tích CO2 tăng a% sao với năm liền trước, 10 năm tiếp theo nữa, thể tích CO2 tăng b% so với năm liền tích. Tính thể tích CO2 năm 2016.

 100  a 100  b   A. V .

C. V  V . 1  a  b 

100  a  . 100  b  10

m  . 3

B. V .

m 

D. V . 1  a  b 

m  3

Câu 27: Mệnh đề nào sau đây sai? A.

2018 2019  x dx   x dx .

x 1 dt  B.    x  0 .    1 2018  t  2018  x C. Nếu hàm số f  x  liên tục trên   a ; a  thì



a

D. Nếu hàm số f  x  liên tục trên

thì

f  x  dx  2 f  x  dx. 0

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx c   a ; b   .

 2

Câu 28: Cho biết I   x  sin x  2m  dx  1   2 . Tính giá trị của m  1 0

A. 4

B. 2

C. 3

D. 5

Câu 29: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x và x  2 y  0 bằng với diện tích của hình nào trong các hình dưới đây? A. Hình vuông có cạnh bằng 2. B. Hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt là 5 và 3. C. Hình tròn có bán kính bằng 3. D. Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng Câu 30: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 

24 3 . 3

1 1  4  3x

, y  0 , x  0 , x  1 quay

xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay. A.



3   4 ln  1 . 6 2 

B.  3

Câu 31: Cho tích phân I  



3   6 ln  1 . 4 2 



3   9 ln  1 . 6 2 



3   6 ln  1 . 9 2 

ln  sin x 

 3 dx a ln   3   b . Tính giá trị của cos 2 x  4



A  log

a  log

A. –3

C. –1

B. 2

D. 1

Câu 32: Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   200  20t m/s. Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng đường 750 m ít hơn bao nhiêu giây so với lúc tàu dừng hẳn? A. 5 s.

B. 10 s

C. 15 s

D. 8 s

Câu 33: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M, N, P là điểm biểu diễn của 3 số phức:

z1  8  i; z2  1  4i; z3  5  xi .Tìm x để tam giác MNP vuông tại P. A. 1 và 2

C. 1 và 7

B. 0 và 7

D. 3 và 5

Câu 34: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện 2  3i  z  z  i A.

3 6  i. 5 5

6 3  i. 5 5

9 . 5

3 5 . 5

Câu 35: Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là các nghiệm phức của phương trình z 4  5 z 2  4  0. Tính giá trị của biểu thức S 

1 1 1 1    : 1  z1 1  z2 1  z3 1  z4

7 . 5

2 . 5

C. 1

D. 2

Câu 36: Cho hai số phức a và b thỏa mãn a  b  1 . So sánh hai số x  a  b  i ; y  ab  i  a  b 

ta thu được kết quả nào trong các kết quả sau? A. x  y

B. x  y

C. x  y

D. Kết quả khác.

Câu 37: Cho số phức z  a  bi thỏa mãn z  2i.z  3  3i. Tính giá trị của biểu thức P  a 2017  b 2018 : :

A. 0

B. 2

34034  32018 . 52018

 34034  32018 D.   52018 

 . 

Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 . Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm CC’. Tính thể tích khối chóp A.BB’C’C. A.

a3 3 . 4

a3 3 . 2

a3 3 . 8

a3 3 . 6

Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB  2a, AD  2a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng

45 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). A.

a 6 . 3

a 2 . 3

a 6 . 6

a 3 . 6

Câu 40: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 30 . Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC. A. a 3 .

a 3 2

a 3 6

a 3 3

Câu 41: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính

R  5 và chu vi hình quạt là P  8  10 , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách: 6

1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu. 2. Chia đôi tấm kim loại thành 2 phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu. Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2.Tính

V1 21 .  V2 7

V1 2 21  . V2 7

V1 2 .  V2 6

V1 . V2

V1 6  . V2 2

Câu 42: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân  BA  BC  , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a 3 , cạnh bên SB tạo với đáy một góc 60 . Tính diện tích toàn phần của hình chóp. A.

3 3  6 2 .a . 2

3 6 2 .a . 2

Câu 43: Cối xay gió của nhân vật Đôn-Ki- Hô -Tê (trong tác phẩm “Đánh nhau với cối xoay gió” của tác Xéc-Van-Téc) phần trên có dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 40 cm và thể tích của nó là 18000 cm3 . Tìm bán kính đáy hình nón có giá trị gần đúng nhất.

A. 12 cm.

B. 21 cm.

C. 11 cm.

D. 20 cm.

Câu 44: Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh là a, người ta gấp nó thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều (như hình vẽ). Từ một mảnh giấy hình vuông khác cũng có cạnh là a, người ta gấp nó thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình

lăng trụ tam giác đều (như hình vẽ). Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của lăng trụ tứ giác đều và lăng trụ tam giác đều. So sánh V1 và V2 . A. V1  V2 .

B. V1  V2

C. V1  V2

D. Không so sánh được.

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x  2 y  4 z 1 và   3 2 1

điểm M  2; 1;3 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K 1; 0; 0  , song song với đường thẳng d đồng thời cách điểm M một khoảng bằng

A.  P  :17 x  5 y  19 z  17  0.

B.  P  :17 x  5 y  19 z  17  0.

C.  P  :17 x  5 y  19 z  17  0.

D.  P  :17 x  5 y  19 z  17  0.

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto a  1; 2; 4  và b   x0 ; y0 ; z0  cùng phương với vectơ a . Biết vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn và b  21 . Tính tổng

x0  y.0  z0 : A. x 0  y0  z0  3.

B. x 0  y0  z0  3.

C. x 0  y0  z0  6.

D. x 0  y0  z0  6.

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và hai điểm A 1; 3;0  ; B  5; 1; 2  . Điểm M  a; b; c  trên mặt phẳng (P) sao cho MA  MB đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng a  b  c : A. 1.

B. 11.

C. 5.

D. 6.

x  t  5 x 1 y  3 z  5  ;  :  y  2 y  3. Nếu d cắt   Câu 48: Cho m  0 và hai đường thẳng d : m 1 m  z  t  3 

 thì giá trị của m như thế nào trong các trường hợp dưới đây? A. Một số nguyên dương.

B. Một số nguyên âm.

C. Một số hữu tỉ dương.

D. Một số hữu tỉ âm.

Câu 49: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d :

x 1 y z 1   và vuông góc với mặt phẳng 2 1 3

(Q): 2 x  y  z  0 có phương trình nào trong các phương trình sau đây? 8

A. x  2 y  1  0.

B. x  2 y  1  0.

C. x  2 y  1  0.

D. x  2 y  1  0.

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1;0;1 ,

B 1; 2; 1 ,

C  1; 2;3 và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính R mặt cầu (S) có

tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz): A. R  4.

B. R  3.

C. R  5

D. R  2

Đáp án 1-C

2-D

3-A

4-B

5-A

6-D

7-D

8-C

9-C

10-B

11-D

12-D

13-A

14-B

15-A

16-C

17-C

18-C

19-D

20-A

21-A

22-C

23-A

24-D

25-B

26-B

27-C

28-C

29-D

30-D

31-C

32-A

33-B

34-A

35-A

36-A

37-B

38-A

39-A

40-D

41-B

42-A

43-D

44-A

45-B

46-B

47-A

48-C

49-C

50-D

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

 m  2

  2m    2m  2   m2  4m  0  m  0 hoặc m  4. 2

Câu 2: Đáp án D cos  sin x   1  sin x  k 2 , k  .

Do 1  k 2  1 và k 

nên k  0.

Khi đó sin x  0  x  m , m  . Vì x   0; 2  nên x  0;  ; 2  . Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 3 . Câu 3: Đáp án A  x, y  Điều kiện:  x  y

Phương trình đã cho tương đương với:

 x  1! . x  y !  x  y ! x  8 .  72   x  1 x  72  x 2  x  72  0    x  1!  x  9 9

So điều kiện chọn x  8. x  8 Do đó phương trình đã cho có nghiệm  x; y  thỏa   y  8, y 

Cụ thể là các nghiệm:  8;0  ,  8;1 ,  8; 2  ,  8;3 ,  8; 4  ,  8;5 ,  8;6 ,  8;7  . Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 8. Câu 4: Đáp án B Cách 1 Bộ bài tây có 52 con thì có 4 con Át. Để rút ra 5 con có ít nhất 2 con Át thì có ba trường hợp: 3  2 con Át và 3 con khác có C42 .C48 cách.

2  3 con Át và 2 con khác có C43 .C48 cách. 1  4 con Át và 1 con khác có C44 .C48 cách. 3 2 1 Vậy có tất cả C42 .C48  C43 .C48  C44 .C48  108336 cách.

Cách 2 5  Không có con Át và 5 con khác có C48 cách. 4  1 con Át và 4 con khác có C41C48 . 5 5 4 Vậy có tất cả là C52  C48  C41 .C48  108336 cách chọn có ít nhất 2 con Át.

Câu 5: Đáp án A Gọi n là số học sinh nữ của lớp  n 

, n  28 .

Số cách chọn 3 học sinh bất kì là cách. Suy ra số phần tử của không gian mẫu n     C303 . Gọi A là biến cố “chọn được 2 nam và 1 nữ”. Ta có n  A   C302  n Cn1 . Theo đề P  A 

C 2 C1 12 12  303n n    n  14   n 2  45n  240   0 29 29 C30

 n  14  .  n  45  1065  2 So với điều kiện, chọn n  14. Vậy lớp đó có 14 học sinh nữ. Câu 6: Đáp án D Số phần tử của không gian mẫu là n     C305  142506. 10

Gọi A là biến cố: “đề thi lấy ra là một đề thi tốt”. Vì trong một đề thi “tốt” có cả ba câu dễ, trung bình và khó đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 nên ta xét các trường hợp sau: 1  Trường hợp 1: Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó có C153 C10 C51 cách.

 Trường hợp 2: Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó có C152 C102 C51 cách. 1  Trường hợp 3: Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó có C152 C10 C52 cách.

Suy ra n  A   C153 C101 C51  C152 C102 C51  C152 C101 C52  56875. Vậy xác suất cần tìm là P  A  

n  A

n  



56875 625 .  142506 1566

Câu 7: Đáp án D n

2   1 n n 2 3 3 Ta có lim n  lim  n   . n 2 1 2 1     3 2 Câu 8: Đáp án C Hàm số f (x) liên tục trên

 f  x  liên tục tại các điểm x  0; x 

 lim f  x   lim f  x   f  0  3 x 0   x 0 a    2.    f x f x f lim lim           b  0  2 x  x  2 2

Câu 9: Đáp án C   Phép quay Q  0;  : A  2

Do đó  

B; B

C; C

D; D

 2

Câu 10: Đáp án B Rõ ràng a và b không cùng phương. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng   cặp số  m; n  sao cho c  ma  nb



 

 xu  v  2w  m u  2v  3w  n u  v  w



 2

  x  m  n  u  1  2m  n  v   2  3m  n  w  0

x  m  n  0  Vì u, v, w không đồng phẳng nên 1  2m  n  0  x  10. 2  3m  n  0 

Câu 11: Đáp án D





Hàm số đã cho có tập xác định là D  ;  2   1;1 





2;  .

Ta có lim y  1, lim  1 suy ra y  1, y  1 là các tiệm cận ngang. x 

x 

lim  y  , lim y  , lim y  , lim y   suy ra có 4 đường tiệm cận x 1

x  2

x 1

x 2

đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 6 đường tiệm cận. Câu 12: Đáp án D y' 

1  m 2018

 x  1

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 ,  1;   (đồng biến) khi và chỉ khi

y '  0  1  m2018  0  1  m  1. Câu 13: Đáp án A y '  4 x3  4  m2  1 x.

x  0 y'  0   2  x   m  1

Dễ thấy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị với mọi m. Với xCT   m2  1  giá trị cực tiểu yCT    m2  1  1 Ta có  m2  1  1  yCT  0 max  yCT   0  m2  1  1  m  0. 2

Câu 14: Đáp án B x A  1  y  3  A  1; 3 , xB  0  y B  1  B  0;1

Vì đường thẳng y  ax  b đi qua hai điểm A và B nên ta có hệ:  a  4 a  1  b  3 .    b  1 a.0  b  1

Vậy

a  4. b

Câu 15: Đáp án A Ta có y  x 2  2 x  a  4   x  1  a  5 . 2

Đặt u   x  1 khi đó x   2;1 thì u   0; 4  2

Ta được hàm số f  u   u  a  5 . Khi đó Max y  Max f  u   Max  f  0  , f  4   Max  a  5 ; a  1 . x 2;1

u0;4

 Trường hợp 1: a  5  a  1  a  3  Max f  u   5  a  2  a  3. u 0;4

 Trường hợp 2: a  5  a  1  a  3  Max f  u   a  1  2  a  3. u 0;4

Vậy giá trị nhỏ nhất của Max y  2  a  3. x 2;1

Câu 16: Đáp án C Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 và –1. Do đó nên 

 x  1

x  0  1    x  2

Vậy có hai tiếp tuyến. Câu 17: Đáp án C Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là nghiệm phương trình x  1

 x  1  x 2   3m  1 x  1  0  

2  g  x   x   3m  1 x  1  0 1

Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

m  1 m  1  1   Khi đó   m   * m   1 g 1 0    3   3  m  1   0

Giả sử x3  1: Theo đề thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 :

x  x  14   x1  x2  2 1

2 2

5  m   2 x1 x2  14  3 (thỏa mãn)   m  1

5  Vậy m   ; 1   ;   . 3 

Câu 18: Đáp án C Xét hàm số C  t  

0, 28t liên tục trên khoảng  0; 24  . t2  4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có C  t  

0, 28t 0, 28t 7 .   2 t  4 2 t 2 .4 100

Dấu “=” xảy ra  t 2  4  t  2. Vậy sau 2 giờ nồng độ thuốc hấp thu trong máu là cao nhất. Ngoài cách giải này, ta còn có thể lập bảng biến thiên của hàm số. Câu 19: Đáp án D 2a.5b  2c.5d  ln  2a.5b   ln  2c.5d   a ln 2  b ln 5  c ln 2  d ln 5   a  c  ln 2   d  b  ln 5

Câu 20: Đáp án A Giả thiết bài toán cho ta x  0 và x 2  4 y 2  4. Không mất tính tổng quát, giả sử y  0 . Đặt t  x  y . Khi đó ta có

3 y 2  2ty  4  t 2  0. Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi   4t 2  12  4  t 2   0  t  3. Do x  0 và y  0 nên t  x  y  x  y  3. Câu 21: Đáp án A Ta có P  log 3 675  log 3  53.33   2 log 3 5  3  2 Câu 22: Đáp án C Ta có y ' 

1  cos  ln x   sin  ln x   x

y ''  

2 cos  ln x  x2

log 2 5 2a 2a  3b 3  3 . log 2 3 b b

 2 cos  ln x   1 Khi đó x 2 y '' xy ' y  x 2 .     x.  cos  ln x   sin  ln x   sin  ln x   cos  ln x   2 x x  

 0. Câu 23: Đáp án A Ta có log 2  log 3  log 4 x    0  log 3  log 4 x   1  log 4 x  3  x  43. Giải tương tự ta thu được y  24 ; z  32. Khi đó

x

y z 9

Câu 24: Đáp án D Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi a 2  3a  3  1  a 2  3a  2  0  a  1 hoặc a  2.

Câu 25: Đáp án B Do x   0; e  nên f  x   ln 2 x 2  2 x x 2  e 2  e 2  ln



 ln x  x 2  e2  ln x  x 2  e2

x  x 2  e2



Hàm số xác định và liên tục trên đoạn  0; e  . Ta có f '  x  

1 x 2  e2

 0, x   0; e  .

Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn  0; e  . Khi đó min f  x   f  0   1. x0;e

Câu 26: Đáp án B  Năm 1999, thể tích khí CO2 là V1  V  V .

a a  a  100  .  V 1    V. 100 100  100 

a    a  100   Năm 2000, thể tích khí CO2 là V2  V . 1    V .  .  100   100  2

… Từ năm 1998 đến 2016 là 18 năm, trong đó 10 năm đầu tăng a% và 10 năm sau tăng b% cho

100  a  100  b   a  100   b  100  . nên thể tích sẽ là V .   .   V. 1036  100   100  10

Câu 27: Đáp án C 15

 x   0;1  x 2018  x 2019   x 2018 dx   x 2019 dx . Do đó A đúng.  Gọi F là một nguyên hàm của f  t   x

1 . Khi đó 2018  t

 2018  t  F  t 

x 1

 F  x   F 1

x dt  1 Suy ra     F ' x  f  x  2018  x  1 2018  t  Do đó B đúng.  C sai vì thiếu giả thiết f (x) là hàm số chẵn.  D đúng theo tính chất của tích phân. Câu 28: Đáp án C  2

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần (hoặc bấm máy tính) ta có được

 x sin xdx  1 0

 2

Khi đó I  1  2m  xdx  1  0

m 2  1   2  m  4  m  1  3. 4

Câu 29: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y  x và x  2 y  0  y  x  0 x  x  x 2  x  0 hoặc x  4. 2  x   4 4

Diện tích hình phẳng cần tìm là S 

x

4  2 x3 x 2  x x  dx    x   dx      3 2 2 4  0 

 24 3  24 3 Diện tích toàn phần của một khối tứ diện đều cạnh là S xq  4.   3  3 

Câu 30: Đáp án D 1

Thể tích cần tìm là V    0

1 

dx 4  3x



 0

4 . 3

3 4  . 4 3

x là 2

Đặt t  4  3x  dt  

2 dx  dx   tdt. 3 2 4  3x

Đổi cận x  0  t  2; x  1  t  1. Khi đó V 

2 2  1 1    3 1  1  t 1  t 2 

2 3

 1  t 

2 3

1    ln 1  t   1 t  



dt 

 1

  dt  



3   6 ln  1 9 2 

Câu 31: Đáp án C

u  ln  sin x   cos x dx  du  Đặt   sin x dx dv  v  tan x cos2 x   3

ln  sin x 



cos 2 x

Khi đó I  

 



dx   tan x.ln x  sin x   3   dx

 3  3  3 1     3 ln  ln      3 ln  3     2 3 2  2  2  4 6

 a  3; b 

1  A  1 . 6

Câu 32: Đáp án A Khi tàu dừng lại thì v  0  200  20t  0  t  10 s . Ta có phương trình chuyển động với tại thời điểm đang xét với  t0   0;10   t0

s   v  t  dt  100t  0

20t 2 t0  200t0  10t02 2 0

Khi đó S  750  10t02  200t0  750  0  t0  5 vì t0   0;10  . Lệch nhau: 10  5  5 s. Câu 33: Đáp án B Ta có 3 điểm M  8;3 , N 1; 4  , P  5; x   MP  3; x  3 , NP   4; x  4

MNP vuông tại P  MP.NP  0  12   x  3 x  4   0  x  0; x  7 . Câu 34: Đáp án A 17

Gọi z  a  bi  a, b 



Ta có 2  3i  z  z  i  a  2   b  3 i  a  b  1 i   a  2    b  3  a 2   b  1  a  2b  3 2

a 2  b 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta cần tìm z sao cho

6 9 9 2  Ta có a 2  b 2   2b  3  b 2  5  b     . 5 5 5  Do đó min Vậy z 





a 2  b2 

9 6 3 3 6 b  a   z   i. 5 5 5 5 5

3 6  i. 5 5

Câu 35: Đáp án A Giải phương trình ta được bốn nghiệm là i;  i; 2i;  2i. 1   1 1   1   Do đó ta có: S      1  i 1  i   1  2i 1  2i 





1  i 1  i  1  2i 1  2i 



2 2 7   . 2 5 5

Câu 36: Đáp án A Do a  b  1 nên ta có thể đặt a  cos A  i sin A; b  cos B  i sin B Khi đó ta có x  y

 cos A  cos B 

  sin A  sin B  1

 cos A cos B  sin A sin B  sin A  sin B 

  cos A sin B  sin A cos B  cos A  cos B 

Rút gọn ta có

x  3  2cos  A  B   2  sin A  sin B  ; y  3  2cos  A  B   2  sin A  sin B  Do đó x  y. Câu 37: Đáp án B Gọi z  a  bi . Suy ra z  a  bi  i.z  ia  b Khi đó z  2i.z  a  bi  2  ia  b    a  2b    b  2a  i  3  3i 18

a  2b  3   a  b 1 b  2a  3

Do đó P  12017  12018  2. Câu 38: Đáp án A Do tam giác ABC đều cạnh a và M là trung điểm BC cho nên AM  BC và AM 

AM  BC và AA '  BC  A ' M  BC  Góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là A ' MA  60.

Tam giác A’AM vuông góc tại A nên AA '  AM .tan 60  Diện tích hình chữ nhật BB’C’C là S BB ' C ' C  BB '.BC 

a 3 3a . 3 2 2

3a 2 2

AM  BC và AM  BB '  AM   BB ' C ' C  1 1 3a 2 a 3 a 3 3 .  (đvtt). Thể tích khối chóp A.BB’C’C là: V  .S BB ' C ' C . AM  . 3 3 2 2 4

Câu 39: Đáp án A Gọi M là trung điểm CD, P là hình chiếu của H lên SM khi đó HM  CD; CD  SH  CD  HP mà HP  SM  HP   SCD  . Lại có AB / /CD suy

ra AB / /  SCD   d  A;  SCD    d  H ;  SCD    HP

Ta có

a 6 1 1 1   suy ra HP  2 2 2 3 HP HM HS

Vậy d  A;  SCD   

a 6 . 3

Câu 40: Đáp án D Gọi H là trung điểm BC  A ' H   ABC   A ' AH  30 Ta có AH 

a 3 ; A ' H  AH .tan 30  a 2 2

Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC. 19

a 3 . 2

Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đường thẳng d//A’H cắt AA’ tại E. Gọi F là trung điểm AA’,trong mp (AA’H) kẻ đường trung trực của AA’ cắt d’ tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’.ABC và bán kính R  IA . Ta có AEI  60; EF 

a a 3 1 AA '  ; IF  EF .tan 60  . 6 6 6

Vậy R 

a 3 . 3

AF 2  IF 2 

Câu 41: Đáp án B Theo cách 1: 8 chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Điều này có nghĩa là

2 r  8  r  4. Suy ra h  R 2  r 2  52  42  3. 1 Do đó V1  .3. .42 3

Theo cách 2: Tổng chu vi của hai đường tròn đáy của cái phễu là 8  chu vi của một đường tròn đáy là 4  2 r  r  2. Suy ra h  R 2  r 2  52  22  21. 1 Do đó V2  1.  21.22. 3

Vậy

V1 42 2 21   V2 8 21 7 3

Câu 42: Đáp án A Ta có: SA  AB, SA  AC , BC  AB, BC  SA Suy ra, BC   SAB  nên: BC  SB Do đó, tứ diện S.ABC có 4 mặt đều là các tam giác vuông. Ta có: AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên

SBA  60 tan SBA  AC 

SA SA a 3  AB    a   BC  AB 3 tan SBO

AB 2  BC 2  a 2  a 2  a 2

SB  SA2  AB 2 

a 3

 a 2  2a

Do đó ta có Stp  SSAB  SSBC  SSAC  S ABC

Vậy Stp 



1  SA. AB  SB.BC  SA. AC  AB.BC  2



1 a 3.a  2a.a  a 3.a 2  a.a 2



3 3  6 2 .a 2





3 3  6 2 .a 2

Câu 43: Đáp án D Theo đề bài ta có V  18000 cm3 , h  40 cm. 1 3V 3.18000   r  20, 72 cm. Do đó, ta có: V   r 2 h  r  3 40 h

Vậy bán kính của hình tròn là r  21 cm. Câu 44: Đáp án A 1 a 3 a a3 3 a a a3 và V2  a. . . .  . Ta có V1  a. .  2 3 2 3 36 4 4 16

Do đó V1  V2 . Câu 45: Đáp án B Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u   2; 3;1 , qua H  2; 4; 1 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  ;  A2  B 2  C 2  0  .  2 A  3B  C  0 C  2 A  3B u.n  0   Ta có d / /  P     * 3 A  4 B  C  0 C  3 A  4 B  H  2; 4; 1   P 

Mặt khác (P) qua K 1;0;0  suy ra  P  : Ax  By   3B  2 A  .z  A  0 Ngoài ra d  M ;  P   

5 A  8B A  B   3B  2 A  2

 3

A  B  5 A2  22 AB  17 B 2  0   5 A  17 B

 Với A  B  C  B không thỏa mãn (*)  Với 5 A  17 B , chọn A  17 , suy ra B  5 , do đó C  19 (nhận) Vậy  P  :17 x  5 y  19 z  17  0. Câu 46: Đáp án B Do b   x0 ; y0 ; z 0  cùng phương với a  1; 2; 4  nên b   k ; 2k ; 4k  Mà b  21  k 2  4k 2  16k 2  21k 2 nên suy ra k  1 . Ở bài toán này cần chú ý vectơ b tạo với tia Oy một góc nhọn. Khi đó y0  0 , suy ra k  1 . Do đó x0  1, y0  2, z0  4. Vậy x0  y0  z0  3. Câu 47: Đáp án A Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) Ta tìm được điểm đối xứng với B qua (P) là B '  1; 3; 4  Lại có MA  MB  MA  MB '  AB '  const . Vậy MA  MB đạt giá trị lớn nhất khi M, A, B’ thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB’ với mặt phẳng (P). x  1  t  Đường thẳng AB’ có phương trình tham số là  y  3  t   z  2t 

.

Tọa độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình

1  t    3   2t   1  0  t  3  M  2; 3;6  Suy ra a  2, b  3, c  6 Vậy a  b  c  1. Câu 48: Đáp án C 1  mt '  t  5  Ta có hệ giao điểm như sau 3  t '  2t  3 5  mt '  t  3  t '  2t  2m  1 t  4  .  2mt  1  t  5   2mt  5  t  3  2m  1 t  8 

Hệ có nghiệm duy nhất 

4 8 3  m . 2m  1 2m  1 2

Vậy m là một số hữu tỉ dương. Câu 49: Đáp án C Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d :

x 1 y z 1 và vuông góc với mặt phẳng (Q):   2 1 3

2 x  y  z  0 có phương trình là:

Đường thẳng (d) có VTCP là ad   2;1;3 đi qua điểm A 1; 0; 1 VTPT của mặt phẳng là: nQ   2;1; 1 Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có VTPT là

nP  ad , nQ    4;8;0   4 1; 2;0  Phương trình mặt phẳng (P) là: 1 x  1  2 y  0  x  2 y  1  0 Câu 50: Đáp án D Phương trình mặt phẳng (ABC) là 2 x  y  z  1  0 . Gọi I (x; y; z) là tâm của mặt cầu. Do IA  IB  IC và I   ABC  cho nên ta xây dựng được hệ phương trình sau x  y  z 1  0 x  0    y  2 y  z  3  0 2 x  y  z  1  0 z  1  

Do đó I  0; 2;1 Vậy bán kính của mặt cầu là R  d  I ;  Oxz    2 .

ĐỀ SỐ 2

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề



Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  A.

1 . 2

3sin 2 x 1  4sin 2 x  4

cos x

1 . 3

  trong khoảng  0;  .  6

1 . 4

1 . 5

Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  3 A. x 

 2

k

 2

B. x 

 2

 k .

C. x 

 2

 k 2 .

D. x 

 2

 k 4 .

(Ở đây k là số nguyên). Câu 3: Cho khai triển 1  2 x 

n  994

x

 x  1

n  3 1

 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a14 x14 . . Tìm giá

trị của a6 biết n thỏa mãn 3C21n  33 C23n  35 C25n  ...  32 n 1 C22nn 1  2048  22 n  1 . A. a6  41748.

B. a6  41784.

C. a6  41847.

D. a6  41874.

Câu 4: Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. A. 111300.

B. 111400.

C. 300111.

D. 400111.

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ I, II, III, IV lần lượt lấy 3 ; 4 ; 5 ; 6 điểm phân biệt. Các điểm đó không nằm trên hệ trục tọa độ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai trong 18 điểm đó cắt cả hai trục tọa độ. A.

13 . 50

23 . 50

13 . 51

23 . 51

Câu 6: Trong một cuộc thi „„Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức chia thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được ? thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ cùng thuộc 1 nhóm. A.

7 3876

3 3876

5 3876

1 3876

Câu 7: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn 2a, 2a  b, 2b  1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và  b  3 , ab  4,  a  1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. 2

Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng ? A. 5  a  b   9

a 4  . b 13

Câu 8: Tìm giới hạn của hàm số lim

x 

A. –3

C. ab  3x  5 9x2  2 x  1

20 . 9

C. –1

B. 3

D. 9  a  b   5.

D. 1.

Câu 9: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  thỏa mãn f  a   b , f  b   a với a, b  0 . Hỏi phương trình nào trong các phương trình dưới đây có nghiệm trong khoảng

 a; b  ? A. f  x   0.

B. f  x   x

Câu 10: Cho hàm số f  x   f ' x x4  x  1

C. f  x   ax  b. 1

 x2  x  1

D. f  x    a  b  x.

. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

0 .

 1  A. S    ;    2 

1  B. S   ;   2 

C. S   ; 3

D. S  3;  

Câu 11: Đồ thị hàm số y  x3  3x 2  2 có 2 điểm cực trị là M  2; 2  và N  0; 2  . Tìm giá trị của m thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng d : y  m tại 3 điểm phân biệt. A. 2  m  0.

B. 0  m  2.

Câu 12: Cho đường cong

C. 2  m  2.

 m  2 D.  m  2

 x  t 2 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm C :    3  y  t  1

M  4;7    C  là phương trình nào trong các phương trình dưới đây ?

A. x  y  5  0.

B. 3 x  y  5  0.

C. 4 x  7 y  0

D. 4 x  7 y  12  0

Câu 13: Hàm số y  x3  3  a  1 x 2  3a  a  2  x  1 . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ? 2

A. Hàm số luôn đồng biến x 

B. Hàm số luôn có cực trị với mọi a. C. Hàm số luôn nghịch biến x 

D. Hàm số nghịch biến từ  ; a  2    a ;   Câu 14: Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y   x  m cắt đồ thị hàm số y  điểm A, B tạo thành tam giác OAB thỏa mãn A. m  2.

x2 tại hai x 1

1 1   1 với O là gốc tọa độ. OA OB

B. m  2.

C. m  1.

D. m  1.

Câu 15: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng như hình dưới. Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (mét) là độ dài cạnh BC. Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất. A. 5 2. Câu 16: Cho hàm số y 

B. 2 5.

C. 10

D. 2

mx  m  7 có đồ thị  H m  . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận 5x  m  3

của  H m  . Tìm quỹ tích điểm I. A. 5 x  5 y  3  0.

B. 15 x  15 y  1  0.

C. x  y  3  0.

D. x  3 y  1  0.

Câu 17: Cho hàm số y 

m2 x 2  1 . Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi x

m. A.  0;1 .

C.  2;1 .

B. 1;1 .

D. Không có.

Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  3 1  x  3 1  x . A.

B. 2  3 6

C. 1

D. 2

Câu 19: Biết đồ thị hàm số y  x 4  mx 2  n chỉ có một cực trị là điểm có tọa độ  0; 1 . Hỏi m và n thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau đây ? A. m  0 và n  1.

B. m  0 và n  1.

C. m  0 và n  0.

D. m  0 và n  .

Câu 20: Cho hàm số y  x3  3x  1 có đồ thị như hình bên. Bằng cách sử dụng đồ thị dưới đây, tìm các giá trị của 3

m để phương trình x3  3x  1  log2 m có ba nghiệm phân biệt. A.

1  m  8. 2

1  m  4. 4

1  m  8. 2

1  m  4. 4

Câu 21: Cho 0  a  1 và b  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. log a b 2  log a2 b 4  log a2 b 4 .

B. log a b 2  log a 2 b 4  log a b 4 .

C. log a b 2  log a2 b 4  6 log a b 2 .

D. log a b 2  log a2 b 4   log a b.

Câu 22: Đạo hàm của hàm số y  log x  5x  5 là : A. y ' 

C. y ' 

5

5x ln 5 x

 5  ln 

5x B. y '  x . 5 5

5 x ln 5 . 5x  5

D. y ' 

 5  ln 

2018

Câu 23: Tìm tập xác định của hàm số y  6

log 1 3  log

x  log 5  x  2 

A. D   0;1

B.  1;  

C. D   ;0 

D. 1;  

Câu 24: Cho hàm số f  x   2018 x . Tính giá tị của biểu thức P

A. 10.2018

f  x  . f  x  1 . f  x  2  . f  x  3 . f  x  4 

B. 20182018

7 Câu 25: Tìm số nghiệm của phương trình A. Vô nghiệm.

f 5x 

C. 201810 x

 8 x  15 x 

2018

D. 102018

x

 10 x  11

2019

log x 1 10

B. 1 nghiệm.

C. 2 nghiệm.

 0.

D. 3 nghiệm.

Câu 26: Cho a  log30 3 và b  log30 5 . Tính giá trị log30 1350 theo a và b: A. a  2b  1.

B. a  2b  2.

C. 2a  b  1.

Câu 27: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình Hỏi tập S có đặc điểm gì? 4

D. 2a  b  2.

ln e2 x  2 6  ln 2 x  2 ln x  4   2  ln x  2 



1 . 2

A. Tập S có hữu hạn phần tử. B. Tồn tại ít nhất một phần tử thuộc tập S là số nguyên tố. C. Tồn tại vô số phần tử thuộc tập S là vô số tỉ. D. Tập S là tập rỗng. Câu 28: Thầy Quốc dự trù cho việc học tập của con trong tương lai bằng cách gửi tiền bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hằng tháng Thầy Quốc đều đặn gửi vào cho con 300 000 đồng với lãi suất 0,52% một tháng. Trong quá trình đó Thầy Quốc không rút tiền ra. Đến khi con tròn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc học nghề và làm vốn cho con. Hỏi khi đó số tiền Thầy Quốc rút ra là bao nhiêu đồng? A. 64 392 497.

B. 65 392 497. m



Câu 29: Cho tích phân

P   m4  2018 m  2017  A. 0 Câu 30: Cho I  

C. 66 392 497.

D. 67 392 497.

3  e2 với m  0 . Tìm giá trị của biểu thức  x  1 e dx  4 2x

2019

B. 1

C. 2

D. 3

 a  dx b     dx . Tính giá trị của biểu thức 2x  x  1  x  1 c  2 x  1  2

P  5  a 2  b2  6ab  b4  a 4  A. 1

2018

 2a  b 

2019

c

3 . 2

2020

 2021

C. 3.

2022

: D. 0.

Câu 31: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  1 và y  x  5 . A.

73 . 6

73 . 3

C. 12.

D. 14

Câu 32: Mệnh đề nào là sai trong các mệnh đề sau ? A. Hàm số F  x  

x2  6 x  1 x 2  10 và G  x   là các nguyên hàm của cùng một hàm số. 2x  3 2x  3

B. Hàm số F  x   5  2sin 2 x và G  x   1  cos 2 x là các nguyên hàm của cùng một hàm số. C. Hàm số F  x  

 x  1

 1 là một nguyên hàm của hàm số f  x  

D. Hàm số F  x   sin x là một nguyên hàm của hàm số f  x   cos x . 5

x 1

 x  1

1

Câu 33: Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

x  0, x  2, y  e x và y  e x  2 quanh trục Ox gần nhất với giá trị nào trong các giá trị dưới đây ? A. 128,23.

B. 128,24.

C. 128,25.

D. 128,26.

Câu 34: Cho f (x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 . Trong các công thức sau, công thức nào đúng ? 2

C. D.



1  1 1   f  x    f 2  x    dx    f  x   dx  . 0 4 2   

1 f '  x  dx  f    f  0  . 2

1 2 0



f  x  dx  2

2 2

xf  x 2 dx   2 f  x  dx. 1

1  x  x  f  x   f   dx    f  x   f    dx. 0 2  2  

Câu 35: Một xe tải đang chạy với vận tốc 60 km h thì tài xế đạp thắng (đạp nhanh). Sau khi đạp thắng, xe tải chuyển động chậm dần đều với vậ tốc v  t   27t  24  m s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp thắng. Hỏi từ lúc đạp thắng đến khi dừng hẳn, xe tải còn di chuyển khoảng bao nhiêu mét ? A. 2 m.

B. 5 m.

C. 8 m.

D. 11 m.

 2  2 3i  Câu 36: Tìm phần ảo của số phức z    , với n là số nguyên dương thỏa  3 i 

mãn log 4  n  3  log A. 64 3.

4 2

n  9  3:

B. 64i .

Câu 37: Cho số phức z  a  bi thỏa mãn A. – 5

D. 64 3

C. 64 z z

 2iz 

3 . 5

2 z  i 1 i

 0 . Tính tỉ số

3 C.  . 5

a . b

D. 5.

Câu 38: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng thỏa mãn z  2  3i  4 1  i 2  i 4  i 6  i 8  với phần thực không âm. A. Một hình tròn.

B. Một hình viên phân. 6

C. Một hình vành khăn.

D. Một hình quạt.

Câu 39: Cho u, v là các số phức ta có các mệnh đề sau : (I). u  v và u  v là hai số phức liên hợp của nhau. (II). uv và uv là hai số phức liên hợp của nhau. (III). u  v và u  v là hai số phức liên hợp của nhau. Tìm số mệnh đề đúng ? A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  2a, AD  a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AC, góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy (ABCD) bằng 60. Gọi M là trung điểm của SA. Thể tích khối chóp S.ABCD A.

4a 3 3 3

2a 3 15 3

8a 3 5 3

2a 3 3 3

Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAC  60 , hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là 60. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a. A.

2 7

a 2 7

9a 2 7

Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn SA  2SM ; SB  3SN ;

SC  4SP ; SD  5SQ . Tính thể tích khối chóp S.MNPQ A.

2 . 5

4 . 5

6 . 5

8 . 5

Câu 43: Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi

V1 ,V2 lần lượt là thể tích khối trụ và thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp bên trong hình trụ đã cho. Tính tỉ số A. 

V2 V1 B.

 2



Câu 44: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  c, AC  b . Gọi V1 ,V2 ,V3 là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó khi lần lượt quay quanh AB, CA, BC. So sánh

1 và V32

1 1  2. 2 V1 V2

1 1 1  2  2 2 V3 V1 V2

1 1 1  2  2 2 V3 V1 V2

1 1 1  2  2 2 V3 V1 V2

1 1 1  2  2 2 V3 V1 V2

Câu 45: Một thùng hình trụ chứa nước, có đường kính đáy (bên trong) bằng 12,24 cm. Mực nước trong thùng cao 4,56 cm so với mặt trong của đáy. Một viên bi kim loại hình cầu được thả vào trong thùng nước thì mực nước dâng cao lên sát với điểm cao nhất của viên bi. Tính bán kính gần đúng nhất của viên bi biết rằng viên bi có đường kính không vượt quá 6 cm. A. 2,59 cm.

B. 2,45 cm.

C. 2,86 cm.

D. 2,68 cm.

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho điểm A  2;0;1 và hai mặt phẳng

 P  : x  y  2 z  1  0 ;  Q  : 3x  y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). A.   : 3 x  5 y  4 z  10  0.

B.   : 3 x  5 y  4 z  10  0.

C.   : x  5 y  2 z  4  0.

D.   : x  5 y  2 z  4  0.

Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 S  :  x  1

  y  2    z  1  9 và điểm A  3; 4; 0    S  2

Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện với (S) với A. A. 2 x  2 y  z  2  0.

B. 2 x  2 y  z  2  0.

C. 2 x  2 y  z  14  0.

D. x  y  z  7  0.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 4;5  , B  0;3;1 , C  2; 1;0 và mặt phẳng (P) có phương trình là 3 x  3 y  2 z  15  0 .Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. M  4; 1;0 

B. M  4; 1; 0 

C. M  4;1; 0 

D. M 1; 4;0 

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M  2; 1;1 và hai đường thẳng d1 :

x  2 y 1 z 1 x  2 y  3 z 1 ; d2 : . Lập phương trình đường thẳng  biết      2 1 1 2 2 1

cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. x  2  A.  y  1  t z  1 

 x  2  B.  y  1  t  z  1 

x  2  C.  y  1  t z  1 

x  2  D.  y  1  t  z  1 

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M  2;0;0  , N 1;1;1 . Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt trục Oy, Oz lần lượt tại B  0; b; 0 , C  0; 0; c với b, c  0 . Hệ thức nào trong các hệ thức sau đây là đúng? A. b  c  2   2c.

C. b  c  1  c.

B. b 2 c 2  b  c .

D. c  b  1  b.

Đáp án 1-C

2-B

3-A

4-A

5-C

6-D

7-A

8-C

9-B

10-A

11-C

12-B

13-B

14-B

15-A

16-A

17-D

18-D

19-A

20-A

21-B

22-A

23-A

24-C

25-A

26-C

27-A

28-A

29-A

30-D

31-B

32-D

33-B

34-C

35-D

36-C

37-B

38-B

39-D

40-D

41-B

42-D

43-D

44-B

45-A

46-D

47-C

48-B

49-A

50-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C   Vì x   0;  nên 1  4sin 2 x  1  2sin x 1  2sin x   0.  6

 3sin 2 x  1  4sin 2 x  cos 4 x . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3sin 2 x 1  4sin 2 x     2 4  

max y 

1  3sin 2 x  1  4sin 2 x 4  sin 2 x 

1 1  cos 2 x 1 5    cos 2 x  . 7 2 7 7

Câu 2: Đáp án B Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có 9



VT 2  1.sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x



 1  2  sin 2 x  sin 2 x  sin 2 x  1  2  sin 2 x   9.

Suy ra VT  3. Dấu “=” xảy ra  sin x  1  x 

 2

 k  k 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 

 2

.

 k  k 



Câu 3: Đáp án A Xét khai triển 1  x   C20n  C21n x  C22n x 2  C23n x3  C24n x 4  C25n x5  ...  C22nn 1 x22nn 1  C22nn x2 n 2n

 Chọn x  3 ta được

C20n  3C21n  32 C22n  33 C23n x  34 C24n  35 C25n  ...  32 n1 C22nn1  32 n C22nn  42 n  Chọn x  3 ta được

C20n  3C21n  32 C22n  33 C23n x  34 C24n  35 C25n  ...  32 n1 C22nn1  32 n C22nn  22 n Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được: 2  3C21n  33 C23n  35 C25n  ...  32 n1 C22nn1   42 n  22 n

 2 2048  22n  1  42n  22n  n  6 Với n  6 ,thay vào khai triển đã cho ta được:

1  2 x 

Ta có x 2  x  1 

1  2 x 

x

 x  1  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a14 x14 2

1 3 2 1  2 x   nên 4 4

 x  1  2

1 3 9 14 12 10 1  2 x   1  2 x   1  2 x  . 16 8 16

Trong khai triển 1  2x  hệ số của x 6 là: 26 C146 ; trong khai triển 1  2x  hệ số của x 6 là: 14

26 C126 và trong khai triển 1  2x  hệ số của x 6 là 26 C106 10

Vậy hệ số a6 

1 6 6 3 6 6 9 6 6 2 C14  2 C12  2 C10  41748 . 16 8 12

Câu 4: Đáp án A Cách 1 + Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 4 nam. 10

- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A152 cách. - Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có C132 cách. Suy ra có 5 A152 .C132 cách chọn cho trường hợp 1. + Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam. - Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có C52 cách. - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A152 cách. - Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách. Suy ra có 13 A152 .C52 cách chọn trong trường hợp 2. + Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam. - Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có C53 cách - Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A152 cách. Suy ra có A152 .C53 cách chọn cho trường hợp 3. Vậy có 5 A152 .C132  13 A152 .C52  A152 .C53  111300 cách. Cách 2 + Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A152 cách. + Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ. - Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có 5C132 cách. - Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có 13C52 cách. - Trường hợp 3: chọn 3 nữ có C53 cách. Vậy có A152 .  5C132  13C52  C53   111300 cách. Câu 5: Đáp án C Chọn 2 trong 18 điểm có C182  253 cách chọn. Suy ra n     C182  153. Gọi A là biến cố: “đoạn thẳng nối 2 trong 18 điểm cắt cả hai trục tọa độ”. Để đoạn thẳng nối hai điểm cắt cả hai trục tọa độ thì hai điểm đó phải ở góc phần tư thứ I và III hoặc ở góc phần tư thứ II và IV. Có tất cả C31C51  C41C61  39 đoạn như vậy. Suy ra n  A   39 . 11

Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 39 13   . n    153 51

Câu 6: Đáp án D 5 Có C20 C155 C105 C55 cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A,B,C,D. 5 C155 C105 C55 . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: n     C20

Gọi X là biến cố: “có 5 bạn nữ cùng thuộc một nhóm”. Với 5 bạn nữ thuộc nhóm A sẽ có C155 C105 C55 cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại. Do vai trò các nhóm như nhau nên sẽ có 4.C155 C105 C55 cách chia các bạn vào các nhóm A, B, C, D trong đó có 5 bạn nữ cùng thuộc một nhóm. Suy ra n  X   4.C155 C105 C55 4.C155 C105 C55 4 1 Vây xác suất cần tìm là: P  X   5 5 5 5  5  . C20C15C10C5 C20 3876

Câu 7: Đáp án A Giả thiết bài toán cho ta 2a  1  2b  1  2  2a  b  a  2b  1    2 2 2  b  3 a  1  ab  4  b  3  a  1   ab  4 

13   a a  1  2b a  2b  1  5    . 2  b 5 4 4  b  3 2b  b  2b  4  b   5

Do đó 5  a  b   9. Câu 8: Đáp án C

Ta có lim

x 

5 5   x3  x3  3x  5 x x    lim  lim  x  1. 2  x  x 2 1 2 1 9x  2x 1 x 9  2 x 9  2 x x x x

Câu 9: Đáp án B Xét hàm số g  x   f  x   x . Do f  x  liên tục trên đoạn  a; b  nên g  x  cũng liên tục trên đoạn  a; b  . Ta có g  a   f  a   a  b  a; g  b   f  b   b  a  b. 12

Khi đó g  a  .g  b     a  b   0 . Suy ra c   a; b  : g  c   0. 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng  a; b  . Câu 10: Đáp án A Ta có f '  x  

2  2 x  1

x

 x  1

Do x  x  1  0, x  2

nên

1  1 1  và x  x  1   x 2     x     0, x  2  2 2  4

f ' x

1  0  2x 1  0  x   . x  x 1 2 4

Do đó tập nghiệm của bất phương trình

f ' x

 1   0 là S    ;   x  x 1  2  4

Câu 11: Đáp án C Điểm cực trị là M  2; 2  và N  0; 2 

yCD  2; yCT  2. Đường thẳng d : y  m cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt

 yCT  m  yCD  2  m  2. Câu 12: Đáp án B x  t2  C  :  3   y  t 1

M  4;7    C 

2  4  t M  C    2  7  t  1  t  2

Ta có: f '  x  

dy dy dx 3t 2 3t  :   dx dt dt 2t 2

 Hệ số góc tiếp tuyến tại M là: f '  4  

3.2  3. 2

Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y  7  3  x  4   3 x  y  5  0 Câu 13: Đáp án B Ta có y '  3x 2  6  a  1 x  3a  a  2 

x  a  2 y'  0   x  a

Vậy hàm luôn luôn có cực trị, đồng biến trên

 , a  2  ,  2;  

và nghịch biến trên

 a  2; a  . Câu 14: Đáp án B Xét phương trình hoành độ:

x  1 x2   x  m   2 x 1   x  mx  m  2  0

Phương trình (*) có   m2  4m  8  0, m 

*

. Suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

với mọi m . Vậy d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m. Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  với x1 , x2 là hai nghiệm của (*). Khi đó y1   x1  m ; y2   x2  m Ta có OA  2 x12  2mx1  m2  m2  2m  4 OB  m 2  2m  4

Từ

1 1   1 ta có OA OB

m  0  1  m 2  2m  4  2   m  2m  4  m  2. 2

Vì O, A, B tạo thành tam giác nên giá trị thỏa mãn là m  2. Câu 15: Đáp án A

Ta có đáy ABC là tam giác có các cạnh là 5;5;x. SABC 

1 4

10  x  .x.x 10  x  

1 x 100  x 2 , x   0;10  4

Ta có thể tích lăng trụ V  x   S ABC . AA '  5 x. 100  x 2  f  x  14

Hình lăng trụ có thể tích lớn nhất  hàm số f  x  đạt GTLN với x   0;10  . Ta có f '  x   0  100  x 2  x 2  x 2  50  x  5 2. Bảng biến thiên:

Vậy max V  250 m3 khi và chỉ khi x  5 2 . Câu 16: Đáp án A y   và lim y  Ta có lim m 3 x

x 

m . 5

Suy ra đồ thị  H m  có hai đường tiệm cận là x 

m3 m ;y . 5 5

 m3 m  ; . Khi đó giao điểm của hai tiệm cận là I  5  5

Vậy quỹ tích điểm I là đường thẳng có phương trình y  x 

3  5 x  5 y  3  0. 5

Câu 17: Đáp án D Thay từng tọa độ ở các phương án A, B, C thấy không thỏa. Do đó phương án D là phương án đúng nhất. Câu 18: Đáp án D - Tập xác định của hàm số là - Đạo hàm y ' 

1 3 3 1  x 

- Ta có y '  0 

1  x 

. 1





1  x 

 1  2 x  x2  1  2 x  x2  x  0 .

Lập bảng biến thiên ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm số là 2 khi và chỉ khi x  0 . Câu 19: Đáp án A

Hàm số đã cho có a  1  0 nên để đồ thị của nó có một điểm cực điểm thì phương trình y '  4 x3  2mx  2 x  2 x 2  m  có nghiệm duy nhất. Điều này có nghĩa là phương trình 2 x 2  m  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm x  0 . Khi đó m  0 .

Do đồ thị hàm số chỉ có một cực trị là điểm có tọa độ  0; 1 nên ta tìm được n  1. Câu 20: Đáp án A Theo hình bên phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi yCT  log 2 m  yCD  1  log 2 m  3 

1  m  8. 2

Câu 21: Đáp án B Ta có log a b 2  log a2 b 4  log a b 2  log a b 2  2 log 2 b 2  log a b 4 . Câu 22: Đáp án A Ta có y ' 

5

 5 '

 5  ln 



5 x ln 5 .  5x  5 ln 

Câu 23: Đáp án A x  0  Hàm số xác định khi và chỉ khi log x  log  x  2   log 3 5 1 5  5

Ta có log

x  log5  x  2   log 1 3 5

 log 5 x 2  log 5  x  2    log 5 x 2  log 5 3  log 5  x  2 

2  log5 3x 2  log5  x  2   3x 2  x  2  0    x  1 3

Kết hợp điều kiện suy ra 0  x  1 . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D   0;1 Câu 24: Đáp án C Ta có P 



f  x  . f  x  1 . f  x  2  . f  x  3 . f  x  4  f  5x 

2018x.2018x 1.2018x  2.2018x 3.2018x  4  201810 5x 2018

Câu 25: Đáp án A

x 1  0  1 x  2 Điều kiện  x  1  1 log 10  0  x 1

- Phương trình  7 x  8x  15x 

2018

- Phương trình  x2  10 x  11

2019

 0 có nghiệm duy nhất là x  1 (giải bằng hàm số).  0 có 2 nghiệm là x  1; x  11

So điều kiện ta suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 26: Đáp án C Ta có log30 1350  log5.3.2 52.33.2  b  2a  1. Câu 27: Đáp án A Điều kiện x 

Ta có

1 e2

6  ln x  2ln x  4   2  ln x  2   2

2  ln 2 x  2ln x  4 

6  ln 2 x  2ln x  4   2  ln x  2 

 0, x 

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 2





ln x  2  2  6  ln 2 x  2 ln x  4   2  ln x  2 

 2 ln x  2  2ln x  12  ln x  2   6ln 2 x Rõ ràng x  Khi x 

1 không phải là nghiệm của bất phương trình (*). e2

1 , chia cả hai vế của bất phương trình (*) cho e2 2

Đặt t 

*

ln x  2 ta được

2 ln x  ln x   12  6   ln x  2  ln x  2 

ln x . Bất phương trình thành ln x  2

2  2t  0 t  1   t  2. 2  2t  12  6t 2    2 2 2 2  t  2   0 4  8t  4t  12  6t

Với t  2 thì

ln x  0 ln x 2 2  ln x  2  2 3  x  e 2 2    x x ln 4 ln 8 0 ln x  2 

1 e2



Vậy S  e22

 (tập S có hữu hạn phần tử).

Câu 28: Đáp án A Gọi T là số tiền mà thầy Quốc rút ra. Ta có

T

300000  186 .12 1  0,52%    1 1  0,52%   64 392 497 .  0,52%

Câu 29: Đáp án A

du  dx u  x  Đặt   1 2x 2x dv  e dx v  e  2 m

Khi đó

 0

x 1 2x e  x  1 e dx  2



 0

2 m 3 2 e dx  e 4 2x

3 3  e2    m  1. 4 4

Thay vào biểu thức P ta thu được P  0. Câu 30: Đáp án D

I 

 2 x  1  2  x  1 dx dx dx   2x  x 1  x  1 2 x  1  x  1 2 x  1 2

1 1 2  1 2     dx  ln x  1  ln x  1  C . 3  x 1 2x 1  3 3

1 2 Khi đó a  , b   , c  1  2a  b  0 . 3 3

Câu 31: Đáp án B  x 2  1 khi x  1, x  1 Ta có y  x  1   2   x  1 khi  1  x  1 2

 x  5 khi x  0 và y  x  5    x  5 khi x  0

Ta có đồ thị Hoành độ giao điểm dương của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:  x  2 x2 1  x  5  x2  x  6  0   x  3

Do tính chất đối xứng, diện tích S cần tìm bằng hai lần diện tích của S1, mà S1  SOMNP  I  J với I là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x 2  x; y  0; x  0; x  1 . 18

và J là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  1; y  0; x  1; x  3 1

3  x3   x3  2 20 Khi đó I     x  1 dx     x   ; J    x 2  1 dx    x   .  3 0 3 3 1 3 0 1 1

và SOMNP 

85 39 .3  2 2

Do đó S1 

39 22 73   2 3 6

Kết luận S  2S1 

73 . 3

Câu 32: Đáp án D - Xét mệnh đề A ta thấy F '  x   G '  x  

2 x 2  6 x  20

 2 x  3

. Do đó mệnh đề A đúng.

- Xét mệnh đề B ta thấy F '  x   2.2sin x. sin x ' 2sin 2 x  f x  và G '  x   2sin 2 x  f  x  . Do đó mệnh đề A đúng. - Xét mệnh đề C ta thấy G '  x  

x 1 2 x2  2x  2

x 1

 2

 x  1

1

. Do đó mệnh đề C đúng.

Vậy ta chọn mệnh đề D. Câu 33: Đáp án B b

Ta có công thức quen thuộc V     f 2  x   g 2  x   dx . a

Ta có V   

e   e  x 2

Vì f  x   e  e .e 2x

 x2 2

2 x

dx    e2 x  e4 .e2 x dx 0

e4 x  e4  , f  x   0 với x  1 và f  x   0 với x  1 e2 x

1 2 nên V      e2 x  4  e2 x  dx    e2 x  e 2 x  4  dx   0  1

 e 2 x  4  e 2 x  1  e 2 x  e 2 x  4       2 2   0  

   e2  1

 e 2  e 2  e 4  1 e 4  1  e 2  e 2      2 2  

Bấm máy tính ta thu được kết quả gần đúng nhất là 128,24. Câu 34: Đáp án C 19

Để ý rằng:



f  x  dx 

 f  x  dx b

(1) ;

 f  x   dx  2



f  x  dx



(2) ;

 f  x  dx   f  x  dx b

(3) .

 (1) xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi f  x  không đổi dấu.  (3) xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi f  x   0 .  Ở (2) ta chọn hàm số f  x   x 2 thì không xảy ra dấu “=”. Khẳng định C đúng bởi vì:

1 2 0

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 1

 2

2 2

1 2

1 2 1

xf  x  dx   f  x  dx 2

Câu 35: Đáp án D Lấy mốc thời gian là lúc xe tải bắt đầu được thắng. Gọi T là thời điểm xe tải dừng hẳn. Ta có v T   0 suy ra 27T  24  0  T 

khi dừng hẳn của xe tải là 24 27 0

đường là S  

24 . Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp thắng đến 27

24 giây. Trong khoảng thời gian đó, xe tải di chuyển được quãng 27

27  24  27t  dt   24t  t 2  2  

24 27



32 m 3

Câu 36: Đáp án C Điều kiện: 3  n  Ta có log 4  n  3  log

4 2

n9  3

 log 2  n  3  log 2  n  9   6

 log 2  n  3 n  9    6   n  3 n  9   64  n 2  6n  27  64  0

n  7   n  13 20

Suy ra n  7 7

 2  2 3i  Ta có z      3 i 



  7  128  cos   6 

3 i



            2  cos    i sin     6   6    

  7   i sin    6

    64 3  64i 

Do đó phần ảo của số phức z là 64. Câu 37: Đáp án B Phương trình đã cho tương đương với

2  z  i 1  i  z.z  2iz  0 z 1  i 1  i   z  2iz   z  i 1  i   0.

Gọi z  a  bi với a, b  Khi đó  a  bi   2i  a  bi    a  bi  i 1  i  0  1  a  2a  3b  1  0  3   2a  3b  1   3a  1 i  0    3a  1  0 b   5  9

Vậy

a 3  . b 5

Câu 38: Đáp án B Giả sử z  x  yi (với x, y 

và x  0 )

Khi đó z  2  3i  4 1  i 2  i 4  i 6  i 8 

  x  2    y  3 i  4   x  2    y  3  16 2

Suy ra tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là phần hình giao nhau giữa hình tròn tâm I  2; 3 , bán kính 4 và nửa mặt phẳng bờ là trục ảo chứa các

điểm có phần thực không âm. Vậy tập hợp điểm là một hình viên phân. Câu 39: Đáp án D Ta có u  v  u  v  u  v . Do đó mệnh đề (I) đúng.

uv  uv  uv . Do đó mệnh đề (II) đúng. 21

u  v  u  v  u  v . Do đó mệnh đề (III) đúng. Câu 40: Đáp án D Ta có S ABCD  2a 2 Do N là trung điểm của AD suy ra HN / /CD . Suy ra HN  AD Lại có AD  SH  AD   SHN   SNH  60 1 2

SNH có: HN  CD  a  SH  HN 3  a 3 a 3 1 2a 3 3 .2a 2  Do đó: VS . ABCD  SH .S ABCD  . 3 3 3

Câu 41: Đáp án B Trong mặt phẳng (SBD) kẻ OE song song SH và cắt SD tại E. Khi đó ta có tứ diện OECD là một tam diện vuông tại O. 3a a a 3 ; OE  . Ta có OC  ; OD  2 2 8

Khi đó 1 1 1 1 3a     d  O;  SCD    2 2 2 d  O;  SCD   OC OD OE 4 7 2

Vậy d  B;  SCD    2d  O;  SCD   

3a . 2 7

Câu 42: Đáp án D Áp dụng tỉ số thể tích ta có VSMNP VSMQP SM SN SP SM SQ SP 1 1 1 1 1 1     . .  . . . . . . VSABC VSADC SA SB SC SA SD SC 2 3 4 2 5 4 

VSMNPQ VSABCD

V 1 V  .  SMNP  SMQP 2  VSABC VSADC

Vậy VSMNPQ  1 

 1 1 1 1 1 1 1   . . .  . .   2 2 3 4 2 5 4

3 8  . 5 5

Câu 43: Đáp án D

Vì thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông nên V1   r 2 .2r  2 r 3 . Lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ đã cho có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy nên độ dài cạnh hình vuông bằng r 2 . Do đó thể tích của hình trụ nội tiếp trong hình trụ





đã cho là V2  r 2 .2r  4r 3 . Vậy

V2 4r 3 2   . 3 V1 2 r 

Câu 44: Đáp án B 1 1 Ta có V1   b 2c, V2   c 2b 3 3

1 1 1 1 b2c 2 1 b2c 2 và V3   . AH 2 .BH   . AH 2 .CH   . AH 2 .BC   . 2 .a   3 3 3 3 3 a a Do đó

1 1 1  1 1  1 1 a2  2 4  . 4 4 và 2  2   4 2 2 1 b c b c  1 bc V1 V2 V3   3 3

Vì tam giác ABC vuông tại A nên a 2  b 2  c 2 . 1 1 1 1 1 1 b2  c 2 a2 Mặt khác 4 2  2 4  2 2  2  2   2 2 . 2 2  4 4 bc bc b c b c  b c b c bc

Vậy

1 1 1  2 2 . 2 V3 V1 V2

Câu 45: Đáp án A Gọi R là bán kính của viên bi và r,h tương ứng là bán kính đáy, chiều cao của hình trụ. Thể tích nước khi chưa có viên bi là:  r 2 h . Thể tích nước sau khi có viên bi là: 2 r 2 R (do lúc này chiều cao mực nước bằng vị trí cao nhất của viên bi). Mặt khác, thể tích nước lúc này bằng tổng thể tích nước ban đầu và thể tích viên bi

4 R3 4 R3 2 r h   2 r 2 R . r h  3 3 2

Thay số với h  4,56; r  6,12 và lưu ý rằng R  6 nên R  2,59 cm . 23

Câu 46: Đáp án D Vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là n P  1; 1; 2  ; nQ   3; 1;1 . Suy ra n P ; nQ   1;5; 2  . Chọn vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n  1;5; 2  . Do đó phương trình mặt phẳng   cần tìm là x  5 y  2 z  4  0. Câu 47: Đáp án C Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2; 1 . Mặt phẳng tiếp diện với (S) tại A đi qua A  3; 4;0  và nhận IA   2; 2;1 làm vec tơ pháp tuyến nên có phương trình 2  x  3  2  y  4   z  0  2 x  2 y  z  14  0. Câu 48: Đáp án B Gọi G là trọng tâm  ABC . Suy ra G 1; 2; 2  . 2

Ta có MA2  MB2  MC 2  MA  MB  MC



  2



 MG  GA  MG  GB  MG  GC .  3MG 2  GA2  GB 2  GC 2

Do G cố định nên MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất  MI đạt giá trị nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Đường thẳng d qua G 1; 2; 2  và vuông góc với (P) có phương trình là Tọa độ hình chiếu M của I trên (P) thỏa mãn hệ phương trình x  4  x 1 y  2 z  2     3 2   y  1  3 3 x  3 y  2 z  15  0 z  0 

Vậy M  4; 1;0  Câu 49: Đáp án A A    d1  A  2  t ;1  2t ;1  2t  .

Do M là trung điểm AB nên B  t  2; 2t  3; 2t  1 B  d2 

t  2  2 2t  3  3 2t  1  1   t 0 2 1 1 24

x 1 y  2 z  2 .   3 3 2

Suy ra A  2;1;1 , B  2; 3;1 x  2  Đường thẳng  đi qua hai điểm A, B nên có phương trình là  y  1  t z  1 

Câu 50: Đáp án A (P) cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại M  2;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0;c  nên có phương trình là: x y z    1. 2 b c

Do N 1;1;1   P  nên

x y z    1  bc  2  b  c   b  c  2   2c . 2 b c

ĐỀ SỐ 3 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề n

 1  sin 2 x   1  cos 2 x  Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y      . 2 2  sin x   cos x 

A. 2n.

C. 2.3n

B. 3n.

D. 3.2 n

Câu 2: Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình 4sin 2

3 x   3 cos 2 x  1  2 cos 2  x  2 4 

37 18

 . 

B. 

Câu 3: Tìm các họ nghiệm của phương trình:

37 17

3 2

tan 2 x  tan x 2    sin  x   2 2 4 tan x  1 

   x   4  k 2   A.  x   k 2  6  5  x    k 2 6 

   x   4  k   B.  x   k 2  6   x   5  k 2 6 

   x  4  k   C.  x   k 2  6   x  5  k 2 6 

   x   4  k   D.  x   k 2  6   x  5  k 2 6 

Câu 4: Cho x bông hồng trắng và y bông hồng nhung khác nhau. Cho biết x, y là nghiệm của 9 19 1  x2 2 Ax Cx  C y 3   hệ bất phương trình  . Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong 2 2  Py 1  720 

đó có ít nhất 3 bông hồng nhung. A.

193 . 442

319 . 442

C. 1

139 . 442

391 . 442

Câu 5: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Tìm xác suất để trong 6 sản phẩm đó có không quá 1 phế phẩm. A.

2 . 3

2 . 5

3 . 5

5 . 7

Câu 6: Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ. A. 5502.

B. 5520.

C. 5250.

D. 5052.

Câu 7: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn An33  6Cn31  294 . Tìm số hạng mà tích số mũ của x và y bằng 18 trong khai triển nhị thức Newton: n

 6n .x 4 y 2   2  (với x  0, y  0 ).  y 3 x  

A. 160 x9 y 2 .

B. 160 x 2 y 9 .

C. 160 x3 y 6 .

D. 160 x 6 y 3 .

k 4  10k 3  35k 2  50k  23 n   k  4 ! k 1 n

Câu 8: Tìm giới hạn lim  A.

24 . 41

41 . 24

C. 1

D. 0

Câu 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G là trọng tâm của tứ diện BCC’D’. Đặt AB  a , AD  b, AA '  c . Biểu diễn vectơ AG theo các vectơ a, b, c .





A. AG 

1 a  5b  2c . 4

C. AG 

1 3a  3b  2c 4













B. AG 

1 3a  5b  c 4

D. AG 

1 3a  b  2c 4

Câu 10: Cho hàm số y  1  x 2 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. 1  x 2  y n  x. y ' y  0.

B. 1  x 2  y n  x. y ' y  0.

C. 1  x 2  y n  x. y ' y  0.

D. 1  x 2  y n  x. y ' y  0.

Câu 11: Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v0  0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O nghiêng một góc  với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc  ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol 2

   : y  

g 1  tan 2   x 2  x tan  (với g là gia tốc trọng trường) và giả sử rằng quỹ đạo 2  2v0

lấy luôn tiếp xúc với parabol an toàn    : y  

g 2 v02 . Tìm tọa độ tiếp điểm khi x  2g 2v02

     0;  . 2 



  v02 v2 ; 0 1  cot 2    A. M    g tan  2 g 

 v02 v2  1  ; 0 1  B. M   2  g tan  2 g  tan   

 v02 v02 ; C. M   tan  2

 v02 1  v02 g  D. M  ;    tan  2 g tan      

 g 1     2  tan  g  

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số y 

x  m2  m  1 đồng biến trên từng x 1

khoảng  ;1 và 1;   . A. m  1

B. m  1

C. m  1

D. m 

Câu 13: Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

x2  1 trên đoạn x 1

1; 2 . Tìm giá trị của biểu thức  3M  4m 2018 8m  3M  4 2019 . A. 1

B. –1

C. 0

D. 2

Câu 14: Tìm số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y   x 4  2  m  2  x 2  m  4 không có điểm chung với trục hoành. A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 15: Hàm số y  a sin x  b cos x  x  a  b 3 (với x   0; 2  ) đạt cực trị tại x

 3

; x   . Tính tổng a  b 3

A. 3

3 1

C. 4

3 1

Câu 16: Tìm các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có dạng như hình vẽ. 1 A. a   ; b  3; c  3. 4

B. a  1; b  2; c  3. C. a  1; b  3; c  3. D. a  1; b  3; c  3. Câu 17: Cho hàm số y 

2x  1 có đồ thị (C) và hai điểm A  2;3 ; C  4;1 . Tìm m để 2x  m

đường thẳng d : 3 x  y  1  0 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B, D sao cho tứ giác ABCD là hình thoi. A.

8 3

3 8

4 3

 x  6   m  1 6 1 x

Câu 18: Tìm m để bất phương trình

3 4

2   2m  1 x 6   0 đúng 2 ex   x  2018 x



x   0;1 .

1 A. m  . 2

1 B. m  . 2

1 C. 0  m  . 2

Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến  của  C  : y 

1 D. 0  m  . 2

x2 biết tiếp tuyến tạo với hai đường x 1

tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. A. y  x  2  2 3; y  x  2  3.

B. y  x  2  2 3; y  x  2  3.

C. y  x  2  2 3; y  x  2  3.

D. y  x  2  2 3; y  x  2  3.

Câu 20: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc của dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E  v   cv3 t , trong đó c là một hằng số và E 4

được tính bằng Jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 6 km/h

B. 9 km/h

C. 12 km/h

D. 15 km/h

Câu 21: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  14ab . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. 2 log 2  a  b   4  log 2 a  log 2 b . C. 2log

B. ln

ab  log a  log b 4

a  b ln a  ln b .  4 2

D. 2 log 4  a  b   4  log 4 a  log 4 b

Câu 22: Cho k  log a 3 ab với a, b  1 và P  log 2a b  16logb a . Tìm k để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. A. k  1.

B. k  2

C. k  3

D. k  4

Câu 23: Chuyện kể rằng: “Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vua một bàn cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích quá, bảo rằng: “Ta muốn dành cho khanh một phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì nào?” Vị quan tâu “Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: “Bàn cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần thưởng dành cho ô liền trước.” Thoạt đầu nhà Vua rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: “Số thóc này là một số vô cùng lớn, cho dù có gom hết số thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn cờ chỉ có vọn vẹn 64 ô!”. Bạn hãy tính xem số hạt thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số có bao nhiêu chữ số? A. 19.

B. 20.

Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số f  x   A. 

ln x . x

C. 21.

D. 22.

1 ln x  . x x

ln x . x

Câu 25: Cho x thỏa mãn điều kiện log140 63  của x: 5

ln x . x4

D. ln x 2 .

x.log x 3.log 7 x  1 . Tìm giá trị log x 3.log 3 5.log 7 x  x log 7 x  1

A. x  2.

B. x  4.

C. x  3.

D. x  5.

Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình 3.9 x  10.3x  3  0 có dạng S   a; b  . Tính giá trị của b  a . A. 1.

3 . 2

C. 2.

5 . 2

ab  b  1 3b

Câu 27: Cho a  log 2 15, b  log10 2 . Tính log8 75 theo a và b. ab  b  1 3b

ab  b  1 3b

a  b 1 3b

Câu 28: Cho log 2  log 3  log 4 x    log 3  log 4  log 2 x    log 4  log 2  log 3 z    0 . Tính giá trị 3

của biểu thức

x

y z::

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Câu 29: Tìm a,b,c,d để F  x    ax  b  cos x   cx  d  sin x là một nguyên hàm của hàm số f  x   x cos x :

A. a  b  1, c  d  0.

B. a  d  0, b  c  1.

C. a  1, b  2, c  1, d  2.

D. a  b  c  0, d  1.

Câu 30: Cho hàm số f  x  có nguyên hàm trên

. Xét các mệnh đề sau đây:

 2

(I).  sin 2 x. f  sin x  dx   f  x  dx 1

(II).

 0

f ex  e

dx   1

f  x x2

1 (III).  x f  x  dx   xf  x  dx 20 0 3

Những mệnh đề nào trong các mệnh đề đã cho là đúng? A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (III).

D. Cả (I), (II) và (III)

Câu 31: Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên

 x  f '  x   2 dx  f 1 .Tính giá trị của I   f  x  dx : 6

 0;1

và thỏa mãn

A. –1

B. 1

D. 

C. 0

Câu 32: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0; x   , biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x   0;   là một tam giác đều có cạnh là 2 sin x . A.

 . 3

D. 2

C. 2 3

Câu 33: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  x  1 và y  x 4  x  1 là: A.

4 . 15

15 . 4

C. 4,15.

D. 4,05.

Câu 34: Tốc độ sinh sản trung bình sau thời gian t năm của loài hươu Krata được mô tả bằng hàm số v  t   2.103 e  t t . Tính số lượng con hươu tối thiểu sau 20 năm biết rằng ban đầu có 17 con hươu Krata và số lượng hươu L(t) con được tính qua công thức A. 2017.

B. 1000

C. 2014.

dL  t  dt

 v t 

D. 1002.

Câu 35: Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

 P  : y   x2  2 x

và

d : y  mx  m  0  bằng 27.

A. m  1.

B. m  2.

C. m.

D. m .

Câu 36: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là đường thẳng z  1  i  z  1  2i là đường thẳng  : ax  by  c  0 . Tính ab  c . A. 15.

B. 9.

Câu 37: Cho phương trình

z

C. 11. 2

D. 6.

 4 z   3  z 2  4 z   40  0 . Gọi z1 , z2 , z3 và z 4 là bốn 2

nghiệm của phương trình đã cho. Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2  z3  z4 . 2

A. 33.

B. 34.

C. 35.

Câu 38: Tính tổng các giá trị của tham số m để số phức z  A. –3

B. –2

C. –1

D. 36.

m  1  2  m  1 i 1  mi

là số thực.

D. 0

Câu 39: Trong mặt phẳng (Oxy) cho các điểm A,B,C tương ứng biểu diễn cho các số phức z1  1  i, z2  1  i  , z3  m  i (với m  2

). Tìm m để  ABC vuông tại B. 7

A. –3

B. –2

C. 3

D. 4

Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2 HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A.

a 3 . 3

a 42 . 12

a 42 . 8

a 3 . 12

Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc ABC bằng 60 , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A.

a3 . 2

a3 . 3

a3 . 5

a3 2 . 2

Câu 42: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đường cao của hình chóp bằng

a 3 . Tính số đo góc giữa mặt bên và đáy. 2

A. 30.

C. 60.

B. 45 .

D. 90.

Câu 43: Cho khối cầu (S) tâm O, bán kính R ngoại tiếp khối lập phương (P) và nội tiếp khối trụ (T). Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích của khối lập phương (P) và khối trụ (T). Tính giá trị gần đúng của tỉ số

V1 . V2

A. 0,23

B. 0,24

C. 0,25

D. 0,26

Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều và độ dài 9 cạnh đều bằng a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. A. R 

a 21 . 6

B. R 

a 42 . 12

C. R 

a 3 . 3

D. R 

a 3 . 6

Câu 45: Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 81m 2 người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ có 2 đáy là hình tròn (như hình vẽ bên) sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là x  m  . Tính thể tích V lớn nhất của ao. (Giả sử chiều sâu của ao cũng là x (m)) 8

A. V  27  m3 

B. V  13,5  m3 

C. V  144  m3 

D. V  72  m3 

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 1;1;0  , B 1;0;1 , C  0;1;1 , D 1; 2;3 . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. A. x 2  y 2  x 2  3x  3 y  3z  6  0.

B. x 2  y 2  x 2  3x  3 y  3z  5  0.

C. x 2  y 2  x 2  3x  3 y  3z    0.

D. x 2  y 2  x 2  3x  3 y  3z  3  0.

Câu 47: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :

 P : x  y  z  3  0

x 3 y 3 z   , mặt phẳng 1 3 2

và điểm A 1; 2;  1 . Viết phương trình đường thẳng  biết  qua A cắt

d và song song với mặt phẳng (P). A.

x 1 y  2 z  1 .   1 1 2

x 1 y  2 z  1 .   1 2 1

x 1 y  2 z  1 .   1 2 1

Câu 48: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm M  3;1;1 , N  4;8; 3 , P  2;9; 7  và mặt phẳng

 Q  : x  2 y  z  6  0 . Đường thẳng d đi qua trọng tâm G của MNP , vuông góc với (Q). Tìm giao điểm A của mặt phẳng (Q) và đường thẳng d. A. A 1; 2;1 .

B. A 1; 2; 1 .

C. A  1; 2; 1 .

D. A 1; 2; 1 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz cho các điểm A  3; 4;0  , B  0; 2; 4  , C  4; 2;1 . Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD  BC . A. D  6;0;0  , D  0;0;0  .

B. D  6;0;0  , D  0;0;0  .

C. D  6;0;0  , D  0;0; 2  .

D. D  6;0;0  , D  0;0;1 .

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

x y 1 z  2   . Viết 1 2 2

phương trình mặt phẳng (P) đi qua  và cách A 1;1;3 một khoảng cách lớn nhất. A.  P  : 15 x  12 y  21z  28  0.

B.  P  :15 x  12 y  21z  28  0.

C.  P  :15 x  12 y  21z  28  0.

D.  P  :15 x  12 y  21z  29  0.

Đáp án 9

1-C

2-A

3-D

4-C

5-A

6-B

7-D

8-B

9-C

10-D

11-B

12-D

13-B

14-C

15-C

16-C

17-A

18-B

19-D

20-B

21-D

22-A

23-B

24-A

25-A

26-C

27-A

28-A

29-B

30-D

31-A

32-C

33-A

34-A

35-A

36-C

37-B

38-C

39-A

40-C

41-A

42-C

43-C

44-A

45-B

46-C

47-B

48-D

49-B

50-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C sin x  0  Điều kiện   sin 2 x  0  x  k , k  2 cos x  0

Ta có y   2cot 2 x    2  tan 2 x   2

 2  cot x   2  tan x 

 2 5  2  tan 2 x  cot 2 x    2 n

5  4

 2.3n

min y  2.3n  tan 2 x  cot 2 x  tan x  1  x  

 4

 k , k 

Câu 2: Đáp án A 3   Phương trình đã cho tương đương với 2 1  cos x   3 cos 2 x  1  1  cos  2 x   2  

 2cos x  3 cos 2 x  sin 2 x   cos x 

3 1 cos 2 x  sin 2 x 2 2

   cos   x   cos  2 x   6  5 2   x  18  k 3  ,k   x   7  k 2  6  5 17 5  ; . Do x   0;   nên x   ;  18 18 6 

Vậy tổng các nghiệm là

37 18

Câu 3: Đáp án D Điều kiện cos x  0  x 

 2

 k ,  k 

.

Phương trình đã cho tương đương với:  tan 2 x  tan x  cos 2 x   sin 2 x  sin x cos x 

1  sin x  cos x  2

 2sin 2 x  sin 2 x  sin x  cos x  2sin x  sin x  cos x   sin x  cos x

sin x  cos x  0   sin x  cos x  2sin x  1  0    2sin x  1  0

   x   4  k  tan x  1      x   k 2 1  sin x  6  2   x  5  k 2  6

k  

Câu 4: Đáp án C Trước hết ta giải hệ bất phương trình để tìm x, y Phương trình trong hệ cho ta  y  1 !  720   y  1!  6!  y  1  6  y  7 Thay y  7 vào bất phương trình trong hệ ta được: Cxx  2  C102  Với điều kiện x  2, x 

9 19 1  Ax 2 2

, bất phương trình tương đương với:

x  x  1 9 19 9 19 x!  45   x   45   x 2! x  2 ! 2 2 2 2 2  x 2  20 x  99  0  9  x  11. Vì x 

nên x  10.

Như vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung. Để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các trường hợp sau:  Trường hợp 1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có C73 .C102  1575 cách 1  Trường hợp 2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có C74 .C10  350 cách

 Trường hợp 3: 5 bông hồng nhung có C75  21 cách Suy ra có tất cả 1575  350  21  1946 cách. 11

Số cách lấy ra 5 bông hồng bất kì là C175  6188 . Vậy xác suất cần tìm là P 

1946 139  . 6188 442

Câu 5: Đáp án A Số cách chọn 6 sản phẩm bất kì trong 10 sản phẩm là: C106  210. Số cách chọn 6 sản phẩm mà có 1 phế phẩm là: C21C85  112. Số cách chọn 6 sản phẩm mà không có phế phẩm nào: C86  28. Suy ra số cách chọn 6 sản phẩm mà có không quá 1 phế phẩm là: 112  28  140. Vậy xác suất cần tìm là: P 

140 2  . 210 3

Câu 6: Đáp án B + Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ) - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có A122 cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có C102 cách. Suy ra có A122 .C102 cách bầu loại 1. + Loại 2: bầu 4 người toàn nam. - Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có A72 cách. - Bước 2: bầu 2 ủy viên có C52 cách. Suy ra có A72 . C52 cách bầu loại 2. Vậy có A122 .C102  A72 .C52  5520 cách. Câu 7: Đáp án D Điều kiện: 2  n  Ta có An33  6Cn31  294



 n  3!  6  n  1!  294 n! 3! n  2 !

  n  3 n  2  n  1   n  1 n  n  1  294

n  6  n 2  2n  48  0   .  n  8

So với điều kiện chọn n  6. 6

6  2 x4 y 2   2x4  Với n  6 ta có   2    C0k   x  k 0  y   y

6 k

6  y2  k 6  k 24  6 k 6  3k y   2   C0 2 x k 0 x 

Giả thiết bài toán cho ta  24  6k  6  3k   18   k  3  0  k  3 2

Khi k  3 ta thu được số hạng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C63 22 x6 y 3  160 x6 y 3 Câu 8: Đáp án B

k 4  10k 3  35k 2  50k  23 n   k  4 ! k 1 n

Ta có lim 

 k  1 k  2  k  3 k  4   1 n   k  4 ! k 1 n

 lim 

n  1 1   lim     n   k  4 !  k 1  k !

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   lim          ...    n  1! 5! 2! 6! 3! 7! 4! 8! n!  n  4 !   1 1 1 1 1 1 1 1   lim          n  1! 2! 3! 4!  n  1!  n  2 !  n  3!  n  4 !  



1 1 1 1 41     . 1! 2! 3! 4! 24

Câu 9: Đáp án C Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và C’D’. Khi đó G là trung điểm IJ. Ta có AG 



 

1 1 AI  AJ  AB  BI  AD  DD '  D ' J 2 2



1 1 1  1   a  b  b  c  a   3a  3b  2c 2 2 2  4



Câu 10: Đáp án D Ta có y '  

x 1 x

; y ''  

1  x 

2 3

Khi đó 1  x 2  y ''  x. y ' y  1  x 2  .

1

1  x 

2 3

 x.

x 1 x

 1  x 2  0.

Câu 11: Đáp án B Xét     : f  x   

  

tiếp xúc  

Ta có  2   



g g 2 v02 2 2 x x   1 tan tan   và : g x x           2v02 2v02 2g

 f  x   g  x  khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm   f '  x   g '  x 

1  2

g g 1  tan 2   x  tan    2 x 2  v0 v0

v02 g 2   2  tan   x  tan   0  x  v0 g tan 

Câu 12: Đáp án D Ta có y ' 

1  m 2  m  1

 x  1

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng  ;1 và 1;   khi và chỉ khi 2

1 7  m2  m  2  0  m2  m  2  0   m     0  m  . 2 4  Câu 13: Đáp án B Ta tính được y ' 

2 x  x  1   x 2  1

 x  1



x2  2 x  1

 x  1

 0, x  1; 2

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 1; 2 . 5 Do đó y 1  y  y  2   1  y  . 3 5 Điều này có nghĩa là m  1; M  . 3

Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng –1 Câu 14: Đáp án C x  0 Ta có a  1  0 và y '  0   2 nên dựa vào hình dáng của đồ thị hàm số ta xét các   x m 2 

trường hợp sau để đáp ứng yêu cầu bài toán.

 m  2  0  Hàm số chỉ có một cực trị âm    4  m  2.   y  0  0

m  2  0  2  m  0.  Hàm số có ba cực trị và giá trị cực đại âm    y  m  2  0





Qua hai trường hợp trên ta thu được 4  m  0 . Do m 

nên m  3; 2; 1 .

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 15: Đáp án C Ta có y '  a cos x  b sin x  1 . Do hàm số đạt cực trị tại các điểm x 

 3

; x   nên

   1 3 b 1  0  y '   0  a a  1  2  .  3 2 b  3  y '    0 a  1  0  

Do đó a  b 3  4. Câu 16: Đáp án C Nhìn đồ thị suy ra:  a0  Đồ thị qua điểm A  0; 3 nên c  3  Đồ thị có 3 cực trị nên a và b trái dấu nhau. Do đó lựa chọn a  1; b  2; c  3 như phương án C đã nêu. Câu 17: Đáp án A Đường thẳng AC qua A  2;3 ; C  4;1 nhận AC   6; 2  làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình là:

x  2 y 3 1 7   y x . 6 2 3 3

Tọa độ giao điểm của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình 3 x  y  1  0 x  1   I 1; 2  . 1 7   2 y  y x      3 3

Để ý rằng AC  BD và I là trung điểm AC. Khi đó ABCD là hình thoi thì I 1; 2   I là trung điểm của BD. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: 2x 1  3x  1  6 x 2   3m  4  x  m  1  0 * 2x  m

Do    3m  4   4.6  m  1  9m2  24  0, m nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B 2

và D. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lý Viet ta có Để I là trung điểm của BD thì

x1  x2 3m  4  . 2 12

3m  4 8 1 m  . 12 3

Câu 18: Đáp án B Vì x  1 thì bất phương trình đã cho đúng với mọi x nên chỉ cần tìm m để bất phương trình đúng với x   0;1 . Xét hàm số: f  x   x  61 x với x   0;1 Ta có: f '  x   1  61 x ln 6  0 x   0;1  f  x  đồng biến trên  0;1  f  x   f 1  0 x   0;1  f  x   0 x   0;1

Hơn nữa ex 2   x  2018  0 x  0;1 . Vậy bài toán quy về tìm m để bất phương trình:  m  1 6 x 

2  2m  1  0 với x   0;1 . 6x

Đặt t  6 x thì t  1; 6  . Bất phương trình thành

2 t2  t  2  m  min g  t   m  1 t   2m  1  0  m  2 t1;6 t t  2t t2  t  2 (với g  t   2 , t  1;6  ). t  2t Ta có g '  t  

 2 3t 2  4t  4 t  3 ; ' 0 g t       t 2  2t 2  t  2

1 Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên ta tìm được: min g  t   . t1;6  2 16

Vậy m 

1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2

Câu 19: Đáp án D Phương trình tiếp tuyến  có dạng:

y

 x0  1

 x  x0  

x0  2 ( x0  1 là hoành độ tiếp điểm) x0  1

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận và A,B lần lượt là giao điểm của  với hai tiệm cận.  x 5 Ta có I  1;1 , A  1; 0  , B  2 x0  1;1 . x0  1  

Suy ra IA  r

6 ; IB  2 x0  1 . x0  1

IA.IB IA.IB IA.IB 6    . 2 2 IA  IB  AB IA  IB  IA  IB 2 IA.IB  2 IA.IB 2 3  6

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi IA  IB 

6 2  2 x0  1   x0  1  3 x0  1

 x0  1  3  x02  2 x0  2  0    x0  1  3

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y  x  2  2 3; y  x  2  3 . Câu 20: Đáp án B Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là v  6 (km/h). Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300 km là t 

300 h . v6

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là

v3 300 E  v   cv .  300c.  J  , v  6. v6 v6 3

Ta có E '  v   600cv 2

v 9

 v  6

E '  0  v  9 (do v  6 ). Lập bảng biến thiên và đi đến kết luận 9 km/h chính là vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao ít nhất. 17

Câu 21: Đáp án D Với mọi 0  k  1 ta có a 2  b 2  14ab   a  b   16ab 2

 log k  a  b   log k 16ab  2

 2log k  a  b   log k 16  log k a  log k b 2

Thử từng cơ số của k ta thấy đáp án D cho ra kết quả không chính xác. Câu 22: Đáp án A Ta có P  log 2a b  16logb a Đặt t  log a b . Xét hàm số f  t   t 2 

16 t

f '  t   2t 

16 0t 2. t2

Với t  2 ta có log a b  2  a 2  b . Thay b  a 2 vào k ta được k  log a 3 ab  log a 3 a.a 2  1. Câu 23: Đáp án B Số thóc ở ô thứ n là 2n1 hạt. 264  1 Tổng số thóc ở các ô là S   2  1  2  2  ...  2   264  1 hạt. 2 1 1 64

Lưu ý rằng số các chữ số của một số chính là giá trị nguyên nhỏ nhất lớn hơn loga của số đó. Sử dụng máy tính ta tính được log  264  1  19, 26591972. Do đó số thóc là một số có 20 chữ số. Câu 24: Đáp án A Ta có y '  

1  ln x  '.x   ln x  .x ' 1 1  ln x ln x   2   2 . 2 2 2 x x x x x

Câu 25: Đáp án A Sử dụng chức năng CALC trong máy tính Casio và nhập từ giá trị ta thấy x  1 thỏa. Câu 26: Đáp án C Bất phương trình tương đương với 3.32 x  10.3x  3  0. 18

Đặt t  3x  0. Bất phương trình trở thành 3t 2  10t  3  0  Với

1  t  3. 3

1 1  t  3 , ta được  3x  3  1  x  1. 3 3

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S   1;1 Vậy b  a  2. Câu 27: Đáp án A 1 1 Ta có log8 75  log 2 15.5    log 2 15  log 2 5  3 3 

1  log 2 15  log 2 5  log 2 2  1 3



1  log 2 15  log 2 10  1 3

 1 1 1 1  ab  b  1   log 2 15   1   a   1  3 log10 2  3  3b b 

Câu 28: Đáp án A  x  43  Ta có log 2  log 3  log 4 x    log 3  log 4  log 2 x    log 4  log 2  log 3 z    0   y  2 4  z  32 

Khi đó

x 4 y  z 9

Câu 29: Đáp án B Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số f  x  nên F '  x   f  x  , x    a  d  cos x  cx cos x   c  b  sin x  ax sin x  x cos x, x 

c  d  0 c  1 a  d  0  .   c b b c 0 1       a  0 Câu 30: Đáp án D 



* Xét mệnh đề (I).Ta có  sin 2 x. f  sin x  dx  2  sin x. f  sin x  d  sin x . 19

Đặt t  sin x . Đổi cận x  0  t  0 và x 

 2

 t  1.

 2

Khi đó  sin 2 x. f  sin x  dx  2 tf  t  dt  2 xf  x  dx Do đó mệnh đề (I) đúng. * Xét mệnh đề (II). Đổi biến t  e x , suy ra mệnh đề (II) đúng. * Xét mệnh đề (III). Đổi biến t  x 2 , suy ra mệnh đề (III) đúng. Câu 31: Đáp án A Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có 1

 x  f '  x   2 dx  f 1   xf '  x  dx   2 xdx  f 1   xd  f  x    x 2 10  f 1  1  f 1 1

 xf  x  10   f  x  dx  1  f 1   f  x  dx  1 1

Câu 32: Đáp án C





Gọi S  x  là diện tích thiết diện đã cho thì S  x   2 sin x . 



Thể tích vật thể là V   S  x  dx  

3 sin xdx  2 3

Câu 33: Đáp án A Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là x 2  x  1  x 4  x  1  x 2  x 4  0  x  0;1; 1

Khi đó diện tích cần tìm là 1

S   x 2  x 4 dx  1

 x3 x5      3 5

1

 x 0

1

 x 4  dx 

 x3 x5      3 5

 0

 x 1

 x 4  dx

4 . 15

Câu 34: Đáp án A

3  3 sin x 4

Ta có

dL  v  t   2.103 et t  L  x   L  0    2.103.et tdt dt 0

x Khi đó L  x   L  0   2.103   tet  0x   et dt  0  



 L  0   2.103 xe x   et 

x 0



 L  0   2.103  xe x  e x  1 .

Với x  20 và L  0   17 ta đi đến L  20   2017 . Câu 35: Đáp án A Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x  0 .  x 2  2 x  mx  x 2   2  m  x  0   x  2  m  0

Khi đó S  

2 m

 x 2  2 x  mx dx  

2 m

 x3 mx 2      x2   2   3

x

 2 x  mx  dx

2m

  m3  6m 2  12m  8  27 0

Do đó m3  6m 2  12m  19  0. Giải phương trình này, ta tìm được m  1 là giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Câu 36: Đáp án C Giả sử z  x  yi  x, y 



có điểm M (x;y) biểu diễn z trên mặt phẳng (Oxy).

Ta có z  1  i   x  1   y  1 i; z  1  2i   x  1    y  2  i Theo đề bài z  1  i  z  1  2i 

 x  1   y  1 2



 x  1    y  2  2

  x  1   y  1   x  1   y  2  2

 x2  2x  1  y 2  2 y  1  x2  2x  1  y 2  4 y  4  4 x  2 y  3  0.

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng  : 4 x  2 y  3  0. Suy ra a  4, b  2, c  3. Vậy ab  c  11. Câu 37: Đáp án B 21

z  2  i  z 2  4 z  5  z2  4z  5  0   2  z  2  2 2 Phương trình đã cho tương đương với  2 4 8 4 8 0 z z z z        z  2  2 3 

Khi đó P  z1  z2  z3  z4  34 2

Câu 38: Đáp án C Ta có z 

m  1  2  m  1 i



1  mi



 m  1  2  m  1 i  1  mi  1  mi 1  mi 

2m2  3m  1 m2  m  2 i  1  m2 1  m2

m  1 z là số thực  m2  m  2  0    m  2

Câu 39: Đáp án A Để ý rằng A 1;1 , B  0; 2  , C  m; 1 Khi đó AB   1;1 , BC   m; 3 .

 ABC vuông tại B  AB.BC  0  m  3  0  m  3. Câu 40: Đáp án C Trong mặt phẳng (ABC), qua A kẻ đường thẳng d song song với BC. Kẻ HI  d , dễ thấy AI   SHI  . Trong tam giác vuông SHI kẻ HK  SI , nhận thấy HK   SIA  .

3 3 Ta có d  SA, BC   d  B,  SIA    d  H ,  SIA    HK 2 2

Ta tính được HI  HA.sin 60 

a 3 . 3

Ta có SCH   SC;  ABC    60 , suy ra SH  a Từ

a 42 1 1 1   2 ta thu được HK  2 2 12 HK SH HI

Suy ra d  SA, BC  

3 a 42 HK  . 2 8

Câu 41: Đáp án A 22

21 3

Ta có AC  a  SA  AC tan 60  a 3 BD  2 BI  2.BC.sin 60  2.a

3  a 3. 2

1 1 1 V  SA.S ABCD  .SA. . AC.BD 3 3 2

1 1 a3  a 3. a.a 3  3 2 2 Câu 42: Đáp án C Ta có SI 

a 3 a ; IH  2 2

 tan IHS 

SI  3 HI

   SBC  ;  ABCD    IHS  60 Câu 43: Đáp án C Để ý rằng đường chéo của hình lập phương chính là đường kính của khối cầu. Mặt khác ta lại có công thức: “Bình phương độ dài đường chéo của hình lập phương bằng ba lần bình phương của độ dài cạnh hình lập phương”. Khi đó

 2R 

 3a 2  a 

2R 3 . 3 3

2 3  8 3 3 R   R . Suy ra V1   9  3 

Vì khối cầu có bán kính R nên ta có thể tính được bán kính và chiều cao của khối trụ ngoại tiếp ngoài khối cầu lần lượt là R và 2R. Do đó V2   R2 .2R  2 R3 8 3 3 R V1 4 3 9    0, 245 Vậy ta có tỉ số 3 V2 2 R 9

Câu 44: Đáp án A Gọi I,I’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC, A'B'C'. Khi đó I và I’ đồng thời cũng là tâm của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ấy và nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông 23

góc với đường thẳng II’. Suy ra trung điểm O của đoạn II’ chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đi qua 6 đỉnh của lăng trụ đã cho. 2

 2 a 3   a 2 21 Do đó R  OA  AI  OI   .  3 2    2   a 6 .   2

Câu 45: Đáp án B Cạnh của mảnh đất hình vuông là 9 (m). Thể tích của cái ao V   r 2 x . Mà r 

9  2x 2  4,5  x cho nên V    4,5  x  x. 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

V

 2

.  4,5  x  .  4,5  x  2 x 

  4,5  x  4,5  x  2 x  . 2 

  13,5 

Dấu “=” xảy ra  4,5  x  2.x  x  1,5. Vậy thể tích lớn nhất của cái ao là 13,5  m3  . Câu 46: Đáp án C Gọi (S) là mặt cầu có phương trình cần tìm. Phương trình tổng quát của (S) có dạng

x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 (với a 2  b 2  c 2  d  0 ). Vì (S) đi qua các điểm A 1;1;0  , B 1;0;1 , C  0;1;1 , D 1; 2;3 nên ta có hệ phương trình sau

1  1  2a  2b  d  0 1  1  2a  2c  d  0   1  1  2b  2c  d  0 1  4  9  2a  4b  6c  d  0 Giải hệ phương trình này tìm được 3 a  b  c  , d  4 (thỏa a 2  b 2  c 2  d  0 ) 2

Vậy phương trình mặt cầu (S) là x 2  y 2  x 2  3x  3 y  3z  4  0 Câu 47: Đáp án B Gọi H  d    H  3  t ;3  3t ; 2t   AH   t  2;1  3t ; 2t  1 24

Vectơ pháp tuyến của mặt phăng (P) là n  1;1; 1 . Do  / /  P  nên AH .n  0   t  2  .1  1  3t  .1   2t  1 .  1  0  t  1 Đường thẳng  qua A 1; 2; 1 nhận AH  1; 2; 1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:

x 1 y  2 z 1 .   2 1 1

Câu 48: Đáp án D Tam giác MNP có trọng tâm G  3; 6; 3 x  3  t  Đường thẳng d qua G và vuông góc với (Q) nên có phương trình là  y  6  2t  z  3  t  A  d   Q   => tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

x  3  t x  3  t x  1  y  6  2t  y  6  2t    y  2     z  3  t  z  3  t  z  1  x  2 y  z  6  0  3  t   2  6  2t    3  t   6  0 t  2   A 1; 2; 1

Câu 49: Đáp án B Gọi D  x; 0; 0  là điểm thuộc trục hoành. Theo đề ta có AD  BC  AD 2  BC 2   x  3  42  02  42  02  32 2

 x2  6 x  0

 x  0 hoặc x  6. Vậy D  0;0;0 ; D 6;0;0  thỏa yêu cầu bài toán. Câu 50: Đáp án A Gọi H,K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống (P) và  .

 AHK vuông tại H cho ta AH  AK  d  A;   . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi H  K   P  qua A và nhận AK làm vectơ pháp tuyến. 25

Vì K   nên K  t ,1  2t , 2  2t   AK   t  1, 2t , 2t  1 . Mà AK   do đó AK .u  0  t  2 1  2t   2  2  2t   0

 9t  6  0  t 

2  2 1 2  K ; ;  3  3 3 3

 2 1 2   5 4 7  Mặt phẳng (P) qua K  ; ;  và có vectơ pháp tuyến n   ; ;  có phương trình  3 3 3  3 3 3 5 2 4 1 7 2 là   x     y     z    0  15 x  12 y  21z  28  0 . 3 3 3 3 3 3

ĐỀ SỐ 4 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Tìm số họ nghiệm của phương trình cot  sin x   1 A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 2: Tìm    0;   để phương trình x 2  4 x  6  4sin   0 có nghiệm kép. A.   0;  

  2  B.    ;  3 3 

  3  C.    ;  2 2 

  5  D.    ;  6 6 

Câu 3: Tập hợp A gồm n phần tử  n  4  . Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con chứa 2 phần tử của A. Tìm số k  1; 2;...; n sao cho số tập hợp con chứa k phần tử của A là lớn nhất. A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Câu 4: Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng đấu. A.

3 . 5

3 . 7

3 . 11

3 . 13

1  Câu 5: Biết rằng trong khai triển nhị thức Newton của  x   tổng các hệ số của hai số x  hạng đầu bằng 24. Gọi S là tổng các hệ số của số hạng chứa x k  k  0  . Hỏi S có tính chất gì trong các tính chất sau? A. S là một số nguyên tố.

B. S là một lũy thừa của 24.

C. S là một số chính phương.

D. S là một số lập phương đúng.

Câu 6: Cho dãy số lim

 an 

xác định bởi a1  0, an1  an  4n  3, n  1. Tính giới hạn:

an  a4 n  a42 n  ...  a42018 n an  a2 n  a22 n  ...  a22018 n

A. 2017.

B. 2018.

Câu 7: Tính giới hạn của hàm số lim x 1

 x  1

2 2018  1 . 3

n2  n . 2

n2  n . 2

Câu 8: Tìm m để hàm số sau liên tục trên A. m  1.

x n  nx  n  1

n2 . B. 2

n A. . 2

2 2019  1 . 3

 x 2  x  1 khi x  1  : f  x    m sin x khi x  1 2 

B. m  2.

C. m  3.

D. m  4.

Câu 9: Cho phương trình m sin 2 x  sin x  cos x  0 (m là tham số). Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng?    A. Trong khoảng   ;  , phương trình đã cho vô nghiệm.  2 2

   B. Trong khoảng   ;  , phương trình đã cho có nghiệm.  2 2    C. Trong khoảng   ;  , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.  2 2

D. x  0 là một nghiệm của phương trình đã cho. Câu 10: Cho hàm số f  x   x . Để tính f '  0  , bạn Thảo Huyền đã trình bày lời giải trên bảng theo các bước sau  x khi x  0  Bước 1: f  x   x  0 khi x  0   x khi x  0 

Bước 2: f '  0   lim x 0

Bước 3: f '  0   lim x 0

f  x   f  0 x0 f  x   f  0 x0

 lim

x0 x  lim  1. x  0 x0 x

 lim

x0 x  lim  1. x  0 x 0 x

x 0

Bước 4: f '  0   f '  0   1. Vậy f '  0   1 .

Sau khi quan sát trên bảng, bạn Duy Lĩnh đã phát hiện ra rằng trong lời giải của bạn Thảo Huyền có một bước bị sai sót. Vậy sai sót đó từ bước nào? A. Bước 1. Câu 11: Cho hàm số y 

B. Bước 2.

C. Bước 3.

D. Bước 4.

x2 . Tiếp tuyến với đồ thị (C) cắt trục hoành, trục tung lần lượt 2x  3

tại A,B sao cho OAB cân tại gốc O có phương trình là ax  by  c  0 . Tính giá trị của

 ab  c 

2018

A. –1

B. 1

C. 0.

Câu 12: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y  A. 0

B. 1

D. 22018

x 1 . x 1

C. 2

D. 3

ex  m  2 đồng biến trên Câu 13: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x e  m2

 1  khoảng  ln ; 0   4 

A. m   1; 2 .

 1 1 B. m    ;   2 2

C. m  1; 2 

 1 1 D. m    ;   1; 2   2 2

Câu 14: Đồ thị hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y   x 4  2 x 2  2. B. y  x 4  2 x 2  2. C. y  x 4  4 x 2  2. D. y  x 4  2 x 2  3. Câu 15: Cho x,y là hai số không âm thỏa mãn x  y  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P  x3  x 2  y 2  x  1 : 3

A. 5.

7 . 3

17 . 3

115 . 3

Câu 16: Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông. Người ta cần xây một cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông một khoảng bằng 1 km, thành phố B cách bờ sông một khoảng bằng 4 km, khoảng cách giữa hai đường thẳng đi qua A,B và vuông góc với bờ sông là 10 km (hình vẽ). Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là nhỏ nhất. A. CM  10 km.

B. CM  1 km.

C. CM  2 km.

D. CM  2,5 km.

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y

3x  2018 mx 2  5 x  6

A. m

có hai tiệm cận ngang. B. m  0

C. m  0

D. m  0

Câu 18: Tính tổng các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số y

x 5 tại hai điểm A và B sao cho AB  4 2 xm

A. 2

B. 5

C. 7

x2  5x  5 Câu 19: Cho hàm số y  xác định, liên tục trên đoạn x 1

D. 8  1  1; 2  . Mệnh đề nào trong

các mệnh đề dưới đây là đúng? 1 A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là y   ; giá trị lớn nhất là y  1 . 2 1 B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là y  1 ; giá trị lớn nhất là y   . 2 1 C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là y  1 và y   ; giá trị lớn nhất là y  0  . 2 1 D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là y  0  ; giá trị lớn nhất là y   . 2

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y     trên  ;  . 3 2

m  cos x nghịch biến sin 2 x

5 A. m  . 4

B. m  1.

C. m  2.

D. m  0.

Câu 21: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 9 x  9 x  23 . Tính giá trị của biểu thức

5  3x  3 x . P 1  3x  3 x 5 A.  . 2

1 2

3 2

Câu 22: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình A. 0

B. 1



D. 2 10  3



3 x x 1



10  3

C. 2

 Câu 23: Cho số thực a  0 . Tính giá trị của biểu thức: P  a  C. P 

B. P  a  1.



x 1 x 3

D. 3 a

A. P  a  1.



1 3

a 2  3 a 1

8 5

a 2  5 a 8

1 . a 1

. 

D. P 

1 . a 1

Câu 24: Cho a, b  0 và a  1 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. log a3  a.b   3  3log a b

1 1 B. log a3  a.b    log a b 3 3

1 C. log a3  a.b   log a b 3

D. log a3  a.b   3log a b

3 4 Câu 25: Cho hai số thực a và b sao cho với a 5  a 4 và log b    log b   . Trong các 4 5

mệnh đề sau mệnh đề nào là đúng? A. a  1; b  1.

B. a  1; 0  b  1 .

C. 0  a  1; b  1.

D. 0  a  1;0  b  1.

Câu 26: Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức M  log A  log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ XX, một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richter. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản? A. 1000 lần.

B. 10 lần.

C. 2 lần.

Câu 27: Tính đạo hàm của hàm số y   x 2  x  1 5

2018

D. 100 lần.

A. y '   x 2  x  1 C. y '   x 2  x  1

2018

ln 2018.

B. y '  2018  x 2  x  1

ln  x 2  x  1 .

D. y '  2018  2 x  1  x 2  x  1

2018 1

. 2018 1

Câu 28: Tìm các khoảng chứa giá trị của a để phương trình

2  3



 1  a  2  3



4  0

có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2  log 2 3 3 . A.  ; 3 .

B.  3;   .

C.  3;   .

D.  0;   .





Câu 29: Cho

1

  2 x  1  sin x  dx    a  b   1. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai? 0

A. a  2b  8.

B. a  b  5.

C. 2a  3b  2.

Câu 30: Cho hàm số f  x  thỏa f 1  30; f '  x  liên tục và

D. a  b  2. 4

 f '  x  dx  70 . Tính giá trị 1

của f  4  A. 100.

B. 50.

Câu 31: Tính nguyên hàm



C. 40.

ln  ln x  x

D. 21.

dx.

A. ln x.ln  ln x   C.

B. ln x.ln  ln x   ln x  C.

C. ln x.ln  ln x   ln x  C.

D. ln  ln x   ln x  C.

Câu 32: Cho  ln  x  3 dx  x ln  x  3 60   f  x  dx . Tìm hàm số f  x  . A. f  x   x.

B. f  x   x 2 .

C. f  x   x

Câu 33: Tìm tập nghiệm của phương trình

  3t

x . x3

D. f  x  

1 . x3

 2t  3 dt  x3  2 .

A. S  1; 2

B. S  1; 2;3

C. S  

D. S 

Câu 34: Cho  P  : y  x 2  1 và đường thẳng d : mx  y  2  0 . Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất: A.

1 . 2

3 4

C. 1 6

D. 0

Câu 35: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h  t  là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h '  t   3at 2  bt và : - Ban đầu bể không có nước. - Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m 3 . - Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3 . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. B. 2200 m3 .

A. 8400 m3 .

C. 600 m3 .

D. 4200 m3 .

Câu 36: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm của phương trình z 4  z 3  2 z 2  2 z  4  0 . Tính

T

1 1 1 1  2  2  2 : 2 z1 z2 z3 z4

A. 5

5 . 4

7 . 4

9 . 4

Câu 37: Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất sao cho z  z  1  i 3 1 1 A.   i. 2 2

1 1 C.   i. 2 2

B. i

D. i

Câu 38: Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 1  z  2i  2 : A. Hình tròn tâm I  0; 2  và bán kính R  2. B. Hình tròn tâm I  0; 2  và bán kính R  1. C. Hình tròn tâm I  0; 2  và bán kính R  2 đồng thời trừ đi phần trong của hình tròn tâm I  0; 2  bán kính R '  1.

D. Hình tròn tâm I  0; 2  và bán kính R  2 đồng thời trừ đi hình tròn tâm I  0; 2  bán kính R '  1.

Câu 39: Trong các số cho dưới đây, số phức nào là số phức thuần ảo? A.



2  3i





2  3i 

2  3i

 



2  3i

B.  2  2i 



2  3i 2  3i

Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB  a, BC  a 3, SA  a . Một mặt phẳng   qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a. A. VS . AHK 

a3 3 . 20

B. VS . AHK 

a3 3 . 30

C. VS . AHK 

a3 3 . 60

D. VS . AHK 

a3 3 . 90

Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng a 3 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC): A. d 

6a 195 . 65

B. d 

4a 195 . 195

C. d 

4a 195 . 65

D. d 

8a 195 . 195

Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, SH  HC, SA  AB . Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Tính giá trị của tan  . 1 . 2

2 . 3

1 . 3

Câu 43: Một nhà máy sản xuất nước ngọt cần làm các lon dựng dạng hình trụ với thể tích đựng được là V. Biết rằng diện tích toàn phần nhỏ nhất thì tiết kiệm chi phí nhất. Tính bán kính của lon để tiết kiệm chi phí nhất. A.

V . 2

V . 3

V . 4



Câu 44: Trong không gian, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB  BC  1, AD  2 , cạnh bên SA  1 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của AD. Tính diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE. A. Smc  2 .

C. Smc  5 .

B. Smc  11 .

D. Smc  3 .

Câu 45: Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB  AC  2 a . Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC. A. l  a 2.

B. l  2a 2.

C. l  2a.

D. l  a 5.

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 1; 2;3 và đường thẳng d:

x 1 y z  3 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với đường   2 2 1

thẳng d và cắt trục Ox. A.

x 1 y  2 z  3   . 2 2 3

x 2 y 2 z 3   . 1 2 3

x 1 y  2 z  3 .   2 2 3

x2 y 2 z 3 .   1 2 3

Câu 47: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là  x  4t x  2 y  4 1 z  ;  y  1  6t ; t    2 3 2  z  1  4t 

. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và

d’. A. Song song nhau.

B. Trùng nhau.

C. Cắt nhau.

D. Chéo nhau.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : và 2 

x 1 y  2 z 1   2 1 1

x  2 y 1 z  2 . Đường vuông góc chung của 1 và 2 đi qua điểm nào trong   1 4 1

các điểm sau? A. M  3;1; 4 

B. N 1; 1; 4 

C. P  2;0;1

D. Q  0; 2; 5 

Câu 49: Trong không gian Oxyz cho A 1; 2;1 ; B  0; 2;0  . Viết phương trình mặt cầu  S  đi qua hai điểm A; B và có tâm nằm trên trục Oz. A.  S  :  x  1  y 2  z 2  5.

B.  S  : x 2  y 2   z  1  5.

C.  S  : x 2   y  1  z 5  5.

D.  S  :  x  1  y 2  z 2  5.

Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ a   2;3;1 ; b  1; 2; 1 ;  a.x  3  c   2; 4;3 . Tìm tọa độ vectơ x sao cho b.x  4.  c.x  2

A.  4;5;10  .

B.  4; 5;10  .

C.  4; 5; 10  . 9

D.  4;5; 10  .

Đáp án 1-B

2-D

3-A

4-B

5-C

6-C

7-C

8-C

9-B

10-C

11-B

12-C

13-D

14-B

15-B

16-C

17-D

18-C

19-C

20-A

21-A

22-D

23-D

24-B

25-C

26-D

27-D

28-B

29-B

30-A

31-C

32-C

33-A

34-D

35-A

36-D

37-A

38-D

39-B

40-C

41-C

42-A

43-A

44-B

45-B

46-A

47-A

48-A

49-B

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B Ta có cot  sin x   1  sin x 

 4

 k , k  .

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi 1  Do k 

 4

nên k  0 . Suy ra phương trình sin x 

 k  1  

 4

Câu 2: Đáp án D Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi 1   5      ;  (do    0; 2  ) 2 6 6 

Câu 3: Đáp án A Số tập hợp con chứa k phần tử của tập A là Cnk . Ta có Cn4  20Cn2 

n! n!  20 4! n  4  ! 2! n  2 !

  n  2  n  3  240  n  18.

18! 18!    C  C  k !18  k  !  k  1 !19  k  !  Xét  k  k 1 18! 18!  C18  C18   k !18  k  !  k  1!17  k ! k 18

k 1 18

19  k  k 17 19   k . 2 2 k  1  18  k





1 1 1 k  . 4  4

có 2 họ nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.

 '  0  sin  

Do k 

nên k  9.

Câu 4: Đáp án B Số phần tử của không gian mẫu là: n     C84  70 Gọi X là biến cố: “cả hai bạn Việt và Nam nằm chung một bảng đấu’ Số kết quả thuận lợi cho biến cố X là: n  X   C21C26  30 Vậy xác suất cần tính P  X  

n  X  30 3   . n    70 7

Câu 5: Đáp án C n

n 1  Ta có  x     Cnk x n 2 k x  k 0 

Theo đề ta có Cn0  Cn1  24  1  n  24  n  23. Số hạng chứa x mũ nguyên dương thỏa n  2k  0  k  Do k 

n 23  . 2 2

nên k  1; 2;3;...;11 .

Suy ra có 12 số hạng chứa x mũ nguyên dương. 0 1 2 10 11 Do đó S  C23  C23  C23  ...  C23  C23 . 0 1 Để ý rằng C23  C23  C232  ...  C2322  C2323  223

0 23 1 11 12 và C23 nên S  222   211  .  C23 , C23  C2322 ,..., C23  C23

Vậy S là một số chính phương. Câu 6: Đáp án C Ta có: ak  ak 1  4  k  1  3  ak  2  4  k  2   4  k  1  2.3  ...  a1  4 1  2  ...  k  1  3  k  1   2k  3  k  1

Suy ra: lim

Do đó: lim

akn n

 lim

 2kn  3 kn  1 n

3  1   lim  2k   k    k 2 n  n 

an  a4 n  a42 n  ...  a42018 n an  a2 n  a22 n  ...  a22018 n

1 2  4 2  42 2  ...  42018 2  1 2  2 2  22 2  ...  22018 2



22019  1 . 3

Câu 7: Đáp án C 11

Ta có: lim x2

x n  nx  n  1

 x  1

x  lim

 1  n  x  1

x2

 lim

x

n 1

 x  1

 x n 2  ...  x  1  n x 1

x 1

x  lim

n 1

 1   x n2  1  ...   x  1 x 1

x 1





 lim  x n 1  x n  2  ...  1   x n 3  x n  4  ...  1  ...  1 x 1

  n  1   n  2   ...  1 

n  n  1 2



n2  n . 2

Câu 8: Đáp án C Hàm số xác định và liên tục trên các khoảng  ;1 và 1;   .

 hàm số xác định và liên tục tại điểm x  1.

Suy ra hàm số xác định và liên tục trên Ta có lim f  x   lim  x 2  x  1  3 . x 1

x 1

    lim f  x   lim  m sin x   m sin  m  f 1 . x 1 x 1  2  2 Hàm số liên tục tại điểm x  1  lim f  x   lim f  x   f 1  m  3. x 1

x 1

Câu 9: Đáp án B Xét hàm số f  x   m sin 2x  sin x  cos x Rõ ràng f  x  là hàm số liên tục trên

   cho nên f  x  liên tục trong đoạn   ;   2 2

    Ta có f    1  0, f     1  0 (với mọi m). 2  2      Suy ra f    . f    0, m .  2 2    Do đó theo định lí trung gian phương trình đã cho có nghiệm x0    ;   2 2

Suy ra A, C sai Kiểm tra thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra D sai. Vậy chỉ có B đúng. 12

Câu 10: Đáp án C Sai từ bước 3 bởi vì f '  0   lim

f  x   f  0

x 0

x0

 lim x 0

x  0  1 x0

Do f '  0   f '  0  nên f '  0  không tồn tại. Câu 11: Đáp án B Do OAB cân tại O nên tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 45 . Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k  1. Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có

1    1 2   2 x0  32  1 2 3 x     x0  1 0  . y '  x0   k  1      1  2 x0  32  1  x0  2  1  2   2 x0  3 * Với x0  1  y0  1 . Do đó tiếp tuyến có phương trình là y  1.  x  1  1   x (loại do không tồn tại OAB ).

* Với x0  2  y0  0 . Do đó tiếp tuyến có phương trình là y  1.  x  2    x  2  x  y  2  0.

Suy ra a  b  1, c  2. Vậy  ab  c 

2018

 1.

Câu 12: Đáp án C Tập xác định: D  Ta có lim

x 

x 1 x 1  1; lim  1. x  x  1 x 1

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang y  1; y  1. Câu 13: Đáp án D Tập xác định: D  Đạo hàm y ' 

\ m2 

m 2  m  2

e

 m2 

 1  Hàm số đồng biến trên khoảng  ln ; 0  khi và chỉ khi  4 

1  m  2  m  m  2  0   1  1  1  ' 0, ln ;0 y x    1  m  1       m   4   2 1  2 2   m     2 2.   4 m 2   1 ;1    m  1 1  m  2      m 2  1 m  1 4    2

Câu 14: Đáp án B Dựa vào đồ thị thấy phía bên phải hướng lên nên hệ số của x 4 phải dương nên loại A. Để ý thấy khi x  0 thì y  2 nên ta loại D. Hàm số đạt cực trị tại x  0 và x  1 nên chỉ có B phù hợp vì x  0 y '  4 x3  4 x  4 x  x 2  1 ; y '  0    x  1

Câu 15: Đáp án B Ta có x  y  2  y  2  x  0  0  x  2 . Thay y  2  x và biểu thức P ta được 1 1 2 P  x3  x 2   2  x   x  1  x3  2 x 2  5 x  5  f  x  với x   0; 2 3 3

x  1 Đạo hàm f '  x   x 2  4 x  5  0   .  x  5

Do x   0; 2 nên loại x  5 . 7 17 f 1  ; f  0   5; f  2   . 3 3

Vậy min P  min f  x   x0;2 

7 khi và chỉ khi x  1 . 3

Câu 16: Đáp án C Đặt CM  x (với 0  x  10 ) thì DN  10  x Khi đó AM  x 2  1 và BN  BN 

10  x 

 16  x 2  20 x  116 .

Tổng quảng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là AM  MN  BN Do MN không đổi nên tổng quảng đường nhỏ nhất khi và chỉ khi AM  BN  x 2  1  x 2  20 x  116 nhỏ nhất.

Xét hàm số f  x   x 2  1  x 2  20 x  116 với x   0;10  .

Ta có f '  x  

x x 1 2



x  10 x  2 x  116 2

Khi đó f '  x   0  x x 2  2 x  116  10  x  x 2  1  x 2  x 2  20 x  116    x 2  20 x  100  x 2  1  16 x 2  x 2  20 x  100  15 x 2  20 x  100  0

x

10 ;x  2 3

Do x   0;10  nên ta chọn x  2 . Ta có f  0   11; f  2   5 5; f 10   2  101. Suy ra min f  x   5 5  x  2. x0;10

Vậy CM  2 km. Câu 17: Đáp án D Để hàm số có 2 tiệm cận ngang thì phải tồn tại lim y  lim y x 

3x  2018

Ta có lim y  lim x 

x 

3x  2018

lim y  lim

x 

mx 2  5 x  6

x 

 lim

2018 3 x tồn tại khi m  0 .  5 6 m m  2 x x

 lim

2018 3 x tồn tại khi m  0 .  5 6 m m  2 x x

x 

x 

3

Khi đó hiển nhiên lim y  lim y . Vậy m  0 . x 

x 

Câu 18: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm 2  x  x  m  x  5   x   m  1 x  5  0  f  x       x  m  x  m

Đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm A,B khi và chỉ khi  f  0 m2  2m  19  0    m  5  f  m   0

Gọi A  x1 ; x1  , B  x2 ; x2  với x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình f  x   0 15

AB  4 2  x2  x1  4   x1  x2   4 x1 x2  16 2

m  7  m2  2m  35  0   .  m  5

So với điều kiện ta nhận m  7. Câu 19: Đáp án C Tập xác định: D  y' 

\ 1 .

x  0 ; y'  0    x  1 x  2 x2  2 x 2

11  1  11 y  0   5; y    ; y  1   . 2 2 2

Lập bảng biến thiên và dễ dàng suy ra phương án C là đúng. Câu 20: Đáp án A Ta có y 

m  cos x m  cos x  sin 2 x 1  cos 2 x

 1 Đặt t  cos x, t   0;  .  2

Xét hàm số g  t  

mt  1 , t   0;  2 1 t  2

   Hàm số nghịch biến trên  ;  khi và chỉ khi 3 2

t2 1  1  1 , t   0;  . g '  t   0,   0;   m  2t  2  2

Lại xét hàm số h  t  

t2 1  1 , t   0;  . 2t  2

t 2 1  1 Ta có h '  t   2  0, t   0;  . 2t  2 5  1 Lập bảng biến thiên trên  0;  , ta suy ra m  thỏa yêu cầu bài toán. 4  2

Câu 21: Đáp án A Ta có  3x  3 x   9x  9 x  2  23  2  25. 2

Suy ra 3x  3 x  5 Do đó P 

5  3x  3 x 5  5 5   . x x 1 3  3 1 5 2

Câu 22: Đáp án D Điều kiện: x  1; x  3 Ta có



10  3



3 x x 1





10  3



x 1 x 3



x  3 x 1 8   0 x 1 x  3  x  1 x  3





10  3



x 1 x 3



10  3



x 3 x 1



  x  1 x  3  0  3  x  1.

Do x 

nên x  2; 1;0 .

Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên. Câu 23: Đáp án D

 Ta có P  a  a

1 3

a 2  3 a 1

8 5

a 2  5 a 8

  a 1  1 .  a 1 a 1 2

Câu 24: Đáp án B Ta có log a3  a.b  

1 1 1 1 log a  a.b     log a a  log a b    log a b .  3 3 3 3

Câu 25: Đáp án C

3 4  4  5    5 4   0  a  1 và  Ta có  5  b  1. 4 a  a log b  3   log b  4   4 5 Vậy 0  a  1; b  1. Câu 26: Đáp án D Ta có M  log

A1 A  1  108 . A0 A0

A2 A1 108 6  10 . Khi đó Tương tự   100. A0 A2 106

Câu 27: Đáp án D 17

Ta có y '  2018.  x 2  x  1

2018 1

.  x 2  x  1  2018  2 x  1 .  x 2  x  1

2018 1

Câu 28: Đáp án B



Ta có 2  3

Đặt t 

 2  3 x

2  3



1 2  3





2  3

 t  0  , phương trình đã cho trở thành t

1 a  4  0  t 2  4t  1  a  0 t

 *

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt  phương trình (*) có 2nghiệm dương phân biệt t1  t2  4  0   a  1. t1t2  1  a  0



Ta có x1  x2  log 2 3 3  2 

2  3 3 3 2  3

x1  x2

3

t1  3. t2

Vì t1  t2  4 nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình  * có 2 nghiệm t  3; t  1. Khi đó 1  a  3.1  3  a  2. Câu 29: Đáp án B    1 2 2 x 1 sin x dx x x cos x       |02    4  2   1. 0  2

Ta có

Suy ra a  4, b  2. Vajay a  b  6 (B sai). Câu 30: Đáp án A 4

Ta có 70   f '  x  dx  f  x |  f  4   f 1  f  4   30 4

Vậy f  4   100. Câu 31: Đáp án C Đặt t  ln x  dt  Khi đó



ln  ln x  x

dx . x

dx   ln tdt 18

dt  u  ln t du  Đặt   t . Khi đó  ln tdt  t ln t  t  C . dv  dt v  t 



ln  ln x  x

dx  ln x.ln  ln x   ln x  C .

Câu 32: Đáp án C 1  dx u  ln  x  3 du   Đặt  x3 dv  dx v  x 6

Khi đó  ln  x  3 dx  x ln  x  3|   6 0

Vậy f  x  

x dx x3

x . x3

Câu 33: Đáp án A x

  3t

 2t  3 dt  x3  2  t 3  t 2  3t|  x3  2 x

x  1 .  x3  x 2  3x  x3  2  x 2  3x  2  0   x  2

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1; 2 . Câu 34: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x 2  mx  1  0 Ta có   m2  4  0, m . Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . Giả sử x1  x2 . Khi đó S 

  mx  2  x

 1 dx 

 mx 2 x3     x 3  2 

  mx  1  x  dx 2

x1 x2

 m2  1   x2  x1    1   m 2  1  3  2 

 m2 2  4  m 2  4.    .  6 3 3

Vậy min S 

4  m 0 3

Câu 35: Đáp án A 19

Ta có

  3at 0

1 25  5  bt  dt   at 3  bt 2   125a  b  150. 2 2  0

Tương tự ta có 1000a  50b  1100. Vậy từ đó ta tính được a  1; b  2. 20

Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là :

 h '  t  dt  t

 t 2 |  8400  m3  20

Câu 36: Đáp án D z 4  z 3  2 z 2  2 z  4  0   z 2  3z  2  z 2  2 z  2   0

z  1 z  2  z 3  3z  2  0  2   z  1  i  z  2z  2  0   z  1  i 1 1 1 1 9 Khi đó T   2    . 1 2 2 2 4

Câu 37: Đáp án A Gọi z  a  bi với a, b 

 a  1   b  1

Ta có z  z  1  i 3  a 2  b2 

 a  b  1  0. 2

1 1 1  Khi đó z  a  b  a   a  1  2a  2a  1  2  a     . 2 2 2  2

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi a  b  

1 2

1 1 Vậy số phức z có mô đun nhỏ nhất là z    i. 2 2

Câu 38: Đáp án D Gọi z  a  bi với a, b  Ta có 1  z  2i  2  1  a 2   b  2   4. 2

Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm I  0; 2  và bán kính R  2 đồng thời trừ đi hình tròn tâm I  0; 2  bán kính R '  1 . (Chúng ta thường nhầm lẫn giữa hai đáp án C và D ). Câu 39: Đáp án B Ta có 20





2  3i





2  3i  11

  2  2i   8i là số phức thuần ảo. 2





 



2  3i 5 12    i không phải là số phức thuần ảo. 1  3i 13 13

2  3i 



2  3i  2 2 

Câu 40: Đáp án C  AK  SC  AK     Ta có   AK  BC  BC   SAB  

Suy ra AK   SBC   AK  SB . Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm của SB. Ta có VS . AHK SA.SK .SH SH .   VS . ABC SA.SB.SC 2SC

Ta có AC  AB 2  BC 2  2a . SC  AC 2  SA2  a 5.

SH SH .SC SA2 1 Khi đó    . SC SC 2 SC 2 5 Suy ra

VS . AHK SH 1   . VS . ABC 2SC 10

a3 3 1 1 a3 3 . . Vậy VS . AHK  Mặt khác, VS . ABC  SA. . AB.BC  3 2 6 60

Câu 41: Đáp án C Ta có AI  BC , SA  BC Suy ra V  a 3 , S  ABC  Mà AI 

a2 3  SA  4a 3. 4

a 3 2

Trong tam giác vuông SAI ta có

1 1 1   2. 2 2 AK AS AI

Vậy d  AK 

AS 2 . AI 2 4a 195 .  2 2 AS  AI 65

Câu 42: Đáp án A Ta có AH 

a 1 AB  ; SA  AB  a; 2 2

SH  HC  BH 2  BC 2 

Do AH 2  SA2 

a 5 . 2

5a 2  SH 2 nên SA  AB . 4

Do đó SA   ABCD  nên  SC,  ABCD    SCA Trong tam giác vuông SAC có tan   tan SCA 

1 SA  . AC 2

Câu 43: Đáp án A Gọi bán kính hình trụ là x  0  cm  . Khi đó ta có diện tích của hai đáy thùng là

S1  2 x 2 Diện tích xung quanh của thùng là S2  2 xh  2 x

V 2V  . 2 x x

(trong đó h là chiều cao của thùng và từ V   x 2 .h  h 

V ).  x2

Vậy diện tích toàn phần của thùng là S  S1  S 2  2 x 2 

2V . x

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì S phải bé nhất. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

V V  V 2  S  2   x2  .    2.3 3 2x 2x  4  Do đó S bé nhất khi và chỉ khi  x 2 

V V x 3 . 2x 2

Câu 44: Đáp án B  Gọi M, N, F lần lượt là trung điểm của AB, SC, CD.

 Khi đó ta chứng minh được  MNF    ABCD  và MN   SCE  .  Từ  MNF    ABCD  và nếu dựng trục  của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE thì

   MNF   Từ MN   SCE  ta suy ra MN là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SCE  Trong mặt phẳng (MNF) gọi I    MN thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.  Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE thì R  IC  CF 2  IF 2 . 2 CD CE 2  DE 2 SA 1 IF MF ; NO     và Mà CF   3 2 2 2 2 2 NO MO 3  IF  3NO  . 2

cho nên R 

11 . 2

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là Smc  4 R2  11 . Câu 45: Đáp án B Ta có l  BC 

 2a    2a  2

 2a 2.

Câu 46: Đáp án A Gọi B    Ox . Khi đó B  b; 0; 0  Vì  vuông góc với đường thẳng d nên AB  ud . Ta có AB   b  1; 2; 3 , ud   2;1; 2  Suy ra AB.ud  0  b  1 Do đó AB   2; 2; 3 . Chọn vectơ chỉ phương cho đường thẳng  là u   2; 2;3 . Phương trình đường thẳng  là

x 1 y  2 z  3   . 2 2 3

Câu 47: Đáp án A Đường thẳng d qua M  2; 4;1 và có vectơ chỉ phương là u   2;3; 2  Đường thẳng d’ qua M '  0;1; 1 và có vectơ chỉ phương là u '   4;6; 4  23

Do u và u ' cùng phương đồng thời M  d ' nên hai đường thẳng đó song song nhau. Câu 48: Đáp án A Gọi A  2a  1; a  2; a  1  1 ; B  4b  2; b  1; b  2   2 Suy ra AB   2a  4b  1; a  b  3; a  b  3 . Vectơ chỉ phương của 1 và 2 lần lượt có phương trình là u1   2;1;1 , u2   4;1; 1  AB.u1  0 . Ta có   AB.u2  0

Giải hệ phương trình ta được a  1; b  1 . x  1 t  Suy ra phương trình đường vuông góc chung là  y  1  t  z  2  3t 

Lần lượt thay tọa độ các điểm M ta thu được kết quả đúng là A. Câu 49: Đáp án B Tâm nằm trên trục Oz nên có tọa độ I  0; 0; z0  Do mặt cầu (S) đi qua hai điểm A; B nên ta có IA  IB 

1  0    2  0   1  z0  2



 0  0    2  0    0  z0  2

 1   z02  2 z0  1  z02  z0  1

Vậy  S  : x 2  y 2   z  1  5 2

Câu 50: Đáp án B Gọi x   x1 ; x2 ; x3  a.x  3 2 x2  3 x2  x3  3  x1  4      x2  5. Khi đó b.x  4   x1  2 x2  x3  4   2 x  4 x  3 x  2  x  10 1 2 3  3  c.x  2

Vậy x   4; 5;10 .

ĐỀ SỐ 5 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Tìm các họ nghiệm của phương trình cos 3 x cos3 x  sin 3 x sin 3 x 

    x  16  k 2 A.  k  x     k   16 2     x  16  k 2 C.  k   x     k  16



   x  16  k B.  k  x     k   16 2



    x  16  k 2 D.  k  x     k   18 2



Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y 

A. D 

\ k 2 , k 

C. D 

\ k  , k 

23 2 8

5  3cos 2 x

  1  sin  2 x   2 

 

B. D 

   \ k , k    2 

D. D 

 2  \ k ,k    3 

   k , k  0 khi = x  2 Câu 3: Cho hàm số f  x    1  khi x bằng những giá trị còn lại  2  tan 2 x Tìm điều kiện của a để hàm số g  x   f  x   f  ax  tuần hoàn A. a 

C. a 

B. a 

D. a   0;  

Câu 4: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  cos 2 x .

Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai? A.

2Mm  2

B. M  m  2

M 0 m

D. M  m  2

Câu 5: Tính giới hạn lim  x 

A. 0

k 1

3

k 1

 2k 1  3k  2k 

C. 1

B. 1

D. 2

Câu 6: Cho hàm số f  x    x  1 x  2  x  3 ...  x  2019  . Tính f ' 1 A. 0

B. 1

Câu 7: Giả sử f :

hạn lim



C. 2018!

là hàm đơn điệu sao cho lim

 x 

D. 2019!

f  2x  1 . Với mọi k  0 , tính giới f  x

f  kx 

x 

A. 1

B. 2

1 2

D. 

Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy , hãy tìm ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ u   2; 4  của đường thẳng  : 3x  2 y  5  0 A. 3x  2 y  19  0

B. 3x  2 y  19  0

C. 3x  2 y  19  0

D. 3 x  2 y  29  0

Câu 9: Cho phương trình x12  1  4 x 4 x n  1 1 . Tìm số n nguyên dương bé nhất để phương trình có nghiệm A. n  3 Câu 10: Cho hàm số y  A. 168

B. n  4

C. n  5

D. n  6

3x  1 4 . Tính giá trị của y    3 x2

B. 186

C. 861

D. 816

Câu 11: Tìm a để hàm số y  x  x 2  x  a luôn nghịch biến trên A. a 

1 4

B. a 

1 4

C. 0  a 

1 4

D. a 

Câu 12: Tìm giá trị của tham số a để hàm số f  x   ax  cos 2 x đồng biến trên A. a  2

B. 0  a  2

C. 0  a  2

Câu 13: Tìm giá trị của tham số a để hàm số sau đạt cực tiểu tại x 

D. a  2

 3

f  x   2  a 2  3 sin x  2a sin 2 x  3a  1

A. a  3

C. a  3;1

B. a  1

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2

D. a 

f  x 

m 1 3 m  3 2 3 x  x  3  m x  m  3 2 2

có cực trị và số 2 nằm giữa hai điểm cực trị của hàm số. A. 1  m  7

B. 1  m  7

Câu 15: Cho Hyperbol  H m  : y 

C. 1  m  7

D. 1  m  7

mx  4 . Mệnh đề nào sau đây đúng? xm

A.  H m  luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m. B.  H m  luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. C.  H m  không đi qua một điểm cố định nào. D.  H m  luôn đi qua ba điểm cố định với mọi m. Câu 16: Gọi m, n, p lần lượt là số tiềm cận của đồ thị các hàm số

y

6  2x 4 x 2  3x  1 11 ;y ;y 2 2 3x  8 3x  1 4x  x  2

Bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. m  n  p

B. m  p  n

C. p  m  n

D. n  p  m

Câu 17: Tìm giá trị của m để  Cm  : y  x 4  m2  2  x 2  m2  1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành phần phía trên trục hoành có diện tích bằng 96 . 15

A. m  2

B. m  2

Câu 18: Tìm trên đồ thị  Cm  : y 

C. m  2

D. m  3

2x hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC x 1

vuông cân tại đỉnh A  2;0  A. B  1;1 , C  3;3 Câu 19: Cho x, y 

B. B  2; 4  , C  3;3

C. B  1;1 , C  2; 4 

D. B  0;0  , C  1;1

thỏa mãn điều kiện 2 y  x 2 và y  2 x3  3x . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức P  x 2  y 2 A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Câu 20: Một công ty Container cần thiết kết các thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình vuông, thể tích là 108m 3 . Tìm tôngr diện tích nhỏ nhất của các mặt xung quanh và mặt đáy 3

A. S  100m 2

B. S  108m 2

Câu 21: Tìm m để hàm số y  A. m  0

C. S  120m 2

 m  1 x  m  0  a  1 log a  mx  m  2 

B. m  0

D. S  150m 2

xác định với mọi x  1

C. m  0

D. m  0

Câu 22: Cho 0  a, b, c  1 thỏa log a b  3,log a c  2 . Hãy tính log a A. 11

B. 10

C. 9

Câu 23: x  0 . Rút gọn biểu thức P 

1  2x 1  2x

a4 3 b c3

D. 8

2 1 x 2  2 x   4 2 1 1  1   2 x  2 x  4

1  1 

1  2x 1  2x

1  2 x 1  2 x

1  2 x 1  2 x

Câu 24: Cho a, b  0 thỏa mãn a 2  4b 2  12ab . Xét hai mệnh đề sau: 1 2

 I  .log3  a  2b   2 log3 2   log3 a  log3 b  1 2

 II  .log3  a  2b    log3 a  log3 b  Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau? A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

Câu 25: Rút gọn biểu thức P 

1  log 3a b a  log a b  log b a  1 log a b

B. log a b

A. 1

D. Cả hai đúng

C. Cả hai sai

với 0  a, b  1

D.  logb a

C. log b a



Câu 26: Tìm các giá trị của m để phương trình 4 log 2 x



 log 1 x  m  0 có nghiệm thuộc 2

khoảng  0;1 A. m 

1 4

B. m 

1 4

C. 0  m 

1 4

D. 0  m 

1 4

Câu 27: Tính tổng của nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất trong bất phương trình

x2  4 x log3 1 2x  3 4

A. 6

B. 4

C. 6

D. 4

Câu 28: Trong loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cácbon 14 nữa. Lương cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P  t  là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng thì từ t t

năm trước đây thì P  t  được tính theo công thức P  t   100.  0,5  5750  %  Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại công trình kiến trúc đó (lấy gần đúng). A. 3576 năm

B. 3575 năm

  Câu 29: Cho a   0;  . Hãy tính  2

A. I  1

tan a

 e

xdx  1  x2

C. 3574 năm cot a

D. 3573 năm

 x 1  x  2

C. I  e

B. I  1

D. I  e

Câu 30: Cho biết với mỗi u  0 phương trình t 3  ut  8  0 có nghiệm dương duy nhất f  u  . 7

Hãy tính

 f  u  du 2

31 2

33 2

35 2

37 2

Câu 31: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A.



 xf  sin x  dx    f sin x  dx



 xf  sin x  dx  2  f sin x  dx 

 xf  sin x  dx    f  sin x  dx 2



 xf  sin x  dx  2  f  sin x  dx 0



Câu 32: Cho số thực a bất kì và giả sử f là môt hàm liên tục. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? a

 0

x  f  x  x  a  dx     f  t  dt  dx 00 

a x   f  x  x  2a  dx     f  t  dt  dx 00 

 0

x  f  x  a  x  dx     f  t  dt  dx 00  a

a x   f  x  2a  x  dx     f  t  dt  dx 00 

Câu 33: Thời gian và vận tốc của một vật khi nó đang trược xuống mặt phẳng nghiêng được xác định bởi công thức

 20  3vdv (giây). Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu chuyển động.

Hãy tìm phương trình vận tốc. A.

20 20  32t  e 3 3

20 20  32t  e 3 3

20 20  32t 20 20  3t  e hoặc  e 2 3 3 3 3

D. 4  4e



3t 2

Câu 34: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 và y  x . Tính giá trị của biểu thức 3S  3S  2 

2018

B. 1

A. 1

Câu 35: Cho hình phẳng

 P : y 

D. 32018

C. 0

H 

giới hạn bởi đường cong

 C  : y  x3  3x  2 và

2 x  2 . Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi cho  H  quay quanh trục Ox

có dạng V 

a b

 2018c  2019d

Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai? A. abcd  0

B. 9a  b  c  d  1

C. a  b  2c  3d  39

bd 8 a  c 1

Câu 36: Tìm m để số phức z  1  1  mi   1  mi  là số thuần ảo. 2

A. m   3

B. m   2

C. m   5

D. m  1

Câu 37: Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B, C biểu diễn các số phức a  2  2i; b  1  i và c  5  ki với k 

A. k  5

. Tìm k để ABCD là hình chữ nhật

B. k  6

C. k  7

D. k  8

Câu 38: Cho z1  1  3i; z2  2  i; z3  3  4i . Tính z1 z2 z3  z22 z3 A. 20  35i

B. 20  35i

C. 20  35i

D. 20  35i

Câu 39: Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn z  5 và z  2  3i  4 . Tính P

13z  1 z2

A. P  898

889

C. 6

998

888

Câu 40: Cho lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng  C ' BD  hợp với đáy góc 45 . Tính thể tích lăng trụ A. V  a 3

B. V  a 3 2

C. V 

a3 2 4

D. V 

a3 2 2

Câu 41: Hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h, các mặt bên hợp với đáy một góc 45 . Tính diện tích đáy. A. S  h2 3

B. S  3h2 3

C. S 

3 3 2 h 4

D. S 

9 3 2 h 4

Câu 42: Cho hình chóp S . ABC có ABC là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SB và mặt phẳng

 ABC 

bằng 60 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

 SBC  . A.

a 15 5

a 15 3

3a 5

5a 3

Câu 43: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' cạnh bên AA '  2 , đáy là tam giác vuông cân ABC đỉnh A, canh huyền BC  a 2 . Tính thể tích của hình trụ tròn xoay có dáy là hai đường tròn tâm A, bán kính AB và đường tròn tâm A’, bán kính A’B’. B. V  2

A. V  

C. V  3

D. V  4

Câu 44: Cho tứ diện S . ABC có SA  AB  AC  a và AS , AB, AC vuông góc nhau từng đôi một. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A. S 

 a2 2

B. S 

3 a 2 2

C. S 

3 a 2 4

D. S  3 a 2

Câu 45: Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Khi dung tích của cái hộp đó là 4800cm3 , tính độ dài cạnh của tấm bìa A. 42 cm

B. 36 cm

C. 44 cm

D. 38 cm

Câu 46: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  2  0 và các điểm A  0;1;1 , B  1; 2; 3 , C 1;0; 3 . Tìm điểm K thuộc mặt cầu  S  sao cho thể tích tứ diện

ABCD lớn nhất A. D 1; 2; 1

B. D 1; 0; 3

C. D  3; 0; 1 7

7 4 1 D. D  ;  ;    3 3 3

Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho điểm H  4;5; 6  . Viết phương trình mặt phẳng  P  qua H, cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC A. 4 x  5 y  6 z  77  0

B. 4 x  5 y  6 z  77  0

C. 4 x  5 y  6 z  77  0

D. 4 x  5 y  6 z  77  0

Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  11  0 và mặt phẳng   : 2 x  2 y  z  17  0 . Viết phương trình mặt phẳng    song song với   và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6 A. 2 x  2 y  z  7  0

B. 2 x  2 y  z  7  0

C. 2 x  2 y  z  7  0

D. 2 x  2 y  z  7  0

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A  4; 0; 0  , B  0; 4; 0  và măt phẳng

 P  : 3x  2 y  z  4  0 .

Gọi I là trung điểm của AB. Tìm K sao cho KI vuông góc với

 P  đồng thời K cách đều gốc O và  P   1 1 3 A. K   ;  ;   4 2 4

 1 1 3 B. K   ; ;    4 2 4

1 1 3 D. K  ; ;  4 2 4

 1 1 3 C. K   ; ;   4 2 4

Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  0; 0; 4  , B  2; 0; 0  và mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  5  0 . Lập phương trình mặt cầu  S  tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng  P  bằng

đi qua O, A, B và có khoảng cách từ

5 6

A. x 2  y 2  z 2  2 x  4 z  0; x 2  y 2  z 2  2 x  20 y  4 z  0 B. x 2  y 2  z 2  2 x  4 z  0; x 2  y 2  z 2  2 x  20 y  4 z  0 C. x 2  y 2  z 2  2 x  4 z  0; x 2  y 2  z 2  2 x  20 y  4 z  0 D. x 2  y 2  z 2  2 x  4 z  0; x 2  y 2  z 2  2 x  20 y  4 z  0

Đáp án 1-A

2-C

3-B

4-C

5-D

6-C

7-A

8-B

9-C

10-A

11-D

12-A

13-B

14-C

15-A

16-C

17-A

18-A

19-D

20-B

21-B

22-A

23-B

24-C

25-B

26-A

27-C

28-C

29-B

30-A

31-D

32-B

33-A

34-A

35-D

36-A

37-C

38-B

39-A

40-D

41-D

42-A

43-B

44-D

45-C

46-D

47-B

48-B

49-C

50-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Ta có cos 3 x cos3 x  sin 3 x sin 3 x   cos 3 x.

23 2 8

cos 3 x  3cos x 3sin x  sin 3 x 2  3 2  sin 3 x.  4 4 8

 2cos 2 3x  6cos 3x cos x  6sin 3x sin x  2sin 2 3 x  2  3 2

 2  cos 2 3x  sin 2 3x   6  cos 3x cos x  sin 3x sin x   2  3 2

   x  k  2 16 2  cos 4 x   k  2 x     k   16 2



Câu 2: Đáp án C Ta có 1  cos 2 x  1 nên 5  3cos 2 x  0

  Mặt khác 1  sin  2 x    0 2  Hàm số xác định khi và chỉ khi  5  3cos 2 x 0     1  sin  2 x   2     1  sin  2 x    0 2  

 2x 

 2



 2

 *    sin  2 x    1 2 

 k 2  x  k , k 

(Để ý rằng bất phương trình (*) luôn đúng) Tập xác định là D 

\ k  , k 



Câu 3: Đáp án B Xét hàm số g  x   f  x   f  ax 

- Nếu a 

p với p  , q  q

thì T  q là chu kì của g  x 

Vì g  x  q   f  x  q   f  ax  p  còn  là chu kì của hàm số f  x  - Ta sẽ chứng minh nếu a là số vô tỉ thì g  x  không tuần hoàn Để ý rằng g  0   f  0   f  0   1 . Nếu g  x0   1 đối với x0  0 nào đó thì tan 2 x0  0 và

tan 2 ax0  0 . Điều này có nghĩa là x0  k và ax0  l với k , l  Nhưng x0  0 nghĩa là a 

1 . Điều này mâu thuẫn vì a là số vô tỉ. Do đó hàm số g  x  nhận k

giá trị 1 tại điểm duy nhất x  0 . Như vậy f  x  sẽ không tuần hoàn Câu 4: Đáp án C Ta có y  sin x  cos 2 x  sin x  1  2sin 2 x   2sin 2 x  sin x  1 Đặt t  sin x, 1  t  1 Ta sẽ đi tìm GTLN và GTNN của hàm số y  g  t   2t 2  t  1 trên đoạn  1;1 1  2 2t  t  1,  1  t  2 Ta có y  g  t    1 2t 2  t  1,  t 1  2  1 * Xét hàm số h  t   2t 2  t  1 trên đoạn  1;   2

Dễ dàng tìm được Max h  t    1 t 1;   2

9 1 1  t   ; Min h  t   0  t  8 4 t1; 1  2 

2

1  * Xét hàm số k  t   2t 2  t  1 trên đoạn  ;1 2 

Cũng dễ dàng tìm được Max k  t   2  t  1; Min k  t   0  t  1  t ;1 2 

1  t ;1 2 

Qua hai trường hợp trên ta đi đến kết luận Max g  t   2  t  1; Min g  t   0  t 

t 1;1

Hay M  Max y  2  sin x  1  x   x

1 2

 2

 k 2 , k 

1 2

  x   k 2  1 6 ,k  m  Min y  0  sin x    x 2  x  5  k 2  6 Câu 5: Đáp án D Ta có:

 3k  2k 3k 1  2k 1  6    3k 1  2k 1  3k  2k   3k 1  2k 1 3k  2k  6k

 3

k 1

k 1

6

 2k 1  3k  2k 

3n  2n 3n 1  2n 1 n

Do đó: lim  n 

k 1

3

k 1

 2k 1  3k  2k 

3n  2n n  3n 1  2 n 1

 6 lim

2 1   3  2  6 lim 2 n  2 1  2.   3

Câu 6: Đáp án C Ta có lim x 1

f  x   f 1 x 1

 lim

 x  1 x  2  x  3 ...  x  2019 

x 1

x 1

 lim  x  2  x  3 ...  x  2019    1 .  2  .  3 ...  2018   2018! x 1

Vậy f ' 1  2018! Câu 7: Đáp án A f  2n x  f  2n x  f  2n 1 x  f  2 x  f  2x   1  lim  lim 1 ... Ta có lim x  f  x  x  x  f 2 n 1 x f  x   f  2n  2 x  f  x 

Giả sử f  x  tăng và k  1 . Ta thấy tồn tại n 

sao cho 2n  k  2n 1

Theo tính đơn điệu của f, ta có f  2n x   f  kx   f  2n 1 x  Từ đây suy ra lim x 

f  kx   1, k  1 f  x

Cũng suy luận như trên, trong trường hợp 0  k  1 ta có lim

x 

f  kx  f u   lim 1 f  x  u   u  f  k

Vậy ta thu được lim x 

f  kx  x

 1, k  0 11

Câu 8: Đáp án B Cách 1: x '  x  2  x  x ' 2 Gọi M  x '; y ' là ảnh của M  x; y  qua Tu . Ta có   y'  y  4  y  y ' 4 M    3  x ' 2   2  y ' 4   5  0  3 x ' 2 y ' 19  0 M '   ' : 3x  2 y  19  0

Cách 2: Lấy M  1;1   . Suy ra ảnh của M qua Tu là M '  3;5  Gọi  ' là ảnh của  qua Tu Đường thẳng  ' qua M '  3;5  nhận n   3; 2  làm vecto pháp tuyến nên có phương trình 3  x  3  2  y  5   0  3 x  2 y  19  0

Cách 3: Lấy M  1;1 , N 1;4    Suy ra ảnh của M, N qua Tu là M '  3;5  , N '  1;8  Gọi  ' là ảnh của  qua Tu Đường thẳng  ' qua M '  3;5  nhận MN   2;3 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

x 3 y 5   3x  2 y  19  0 2 3

Câu 9: Đáp án C Cái hay của bài toán này là đi tìm giá trị bé nhất của n bởi vì nó yêu cầu người làm toán phải biết “khôn khéo” trong quá trình biện luận để loại bỏ những giá trị không cần thiết và sử dụng linh hoạt phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức. Điều kiện: x n  1  0 * x  1 không phải là nghiệm của phương trình (1) * Với n chẵn thì nếu x0 là một nghiệm của (1) thì  x0 cũng là một nghiệm của (1) * Với n lẻ thì x  1. Khi đó phương trình (1) xác định và ta chỉ cần xét x  1 Từ x  1 ta có x 4  1  2 x 2 và x8  x 4  1  x 4  x 4  1  1  2 x 2 x 4  1 Nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức này ta được: 12

x

 1 x8  x 4  1  4 x 4 x 4  1  x12  1  4 x 4 x 4  1  2 

Từ (2) ta thấy với n  4 , phương trình (1) vô nghiệm và do x  1 nên với n  4 thì phương trình (1) cũng vô nghiệm * Với n  5 Xét hàm số f  x   x12  1  4 x 4 x5  1 liên tục và xác định trên 1;   12

6 6 6 Ta có f 1  2  0; f       1  4   5 5 5

6   1  0 5

 6 Như vậy, phương trình f  x   0 có nghiệm x0   0;   5

* Với n  5 lại xét hàm số g  x   x12  1  4 x 4 x n  1 liên tục trên 1;   Lập luận hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được phương trình g  x   0 có nghiệm  6 x0  1;   5

Do đó phương trình có nghiệm với mọi n  5 và số tự nhiên bé nhất cần tìm là n  5 Câu 10: Đáp án A \ 2

Tập xác định: D  Ta có y ' 

 x  2

; y '' 

 x  2

; y ''' 

 x  2

; y  4 

168

 x  2

4 Suy ra y    3  168

Câu 11: Đáp án D Trước hết, hàm số xác định với mọi x  Đạo hàm y '  1 

   0  1  4a  0  a 

2x 1 2 x2  x  a  y '  0, x 

Hàm số nghịch biến trên Xét hai trường hợp: 

Trường hợp: a 

1 4

1  2, x   2x 1 2x 1  2 Khi đó y '  1   1  1 x 2 1  1 0, x  2 x2  x   2 4 1  Do đó y '  0 trên  ;  . Do đó không thỏa mãn 2 



Trường hợp 2: a 

Khi đó y '  1 

1 4

2x 1 2 x xa 2

2x 1

 1

2 x2  x 

1 4

 1

2x 1  0, x  2x 1

Trường hợp này cũng không thỏa mãn Vậy không tồn tại giá trị nào của a để hàm số luôn nghịch biến. Câu 12: Đáp án A Ta có f '  x   a  2sin 2 x  a  2, x  

Nếu a  2  0  a  2 thì f '  x   0, x 



Nếu a  2  0  a  2 thì f '  x   2 1  sin 2 x   0, x  f ' x  0  x 

 4

 k , k 

   Hàm số f đồng biến trên mỗi đoạn   k ;   k  1   , do đó đồng biến trên 4 4  

  Nếu a  2  0  a  2 thì f '    a  2  0 , do đó hàm số f đồng biến trên 4

Câu 13: Đáp án B Ta có

f '  x   2  a 2  3 cos x  4a cos 2 x f ''  x   2  3  a 2  sin x  8a sin 2 x

Hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x 

 f   f 

 3

khi và chỉ khi

  '   0 3

2 a  2a  3  0   a 1 2     3 4 3 0 a a      ''    0 3  

Câu 14: Đáp án C Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình f '  x    m  1 x 2   m  3 x  3  m  0 có hai nghiệm phân biệt

Đặt x  t  2 , phương trình f '  x   0 trở thành

 m  1 t 2   3m  7  t  m  7  0 * Phương trình  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1  2  x2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu 

m7  0 1 m  7 m 1

Câu 15: Đáp án A Gọi  x0 ; y0  là điểm cố định  H m  . Khi đó y0 

mx0  4  x0 y0  y0 m  mx0  4, m x0  m   x0  y0  m  x0 y0  4  0, m

 x0  y0  0  x0  2   hoặc  x0 y0  4  0  y0  2

 x0  2   y0  2

Vậy  H m  luôn đi qua hai điểm cố định là  2; 2  ,  2; 2  Câu 16: Đáp án C Đồ thị hàm số y 

6  2x có 2 tiệm cận (đứng, ngang). Suy ra m  2 3x  8

Đồ thị hàm số y 

4 x 2  3x  1 có 1 tiệm cận (ngang). Suy ra n  1 3x 2  1

Đồ thị hàm số y 

11 có 3 tiệm cận (1ngang, 2 đứng). Suy ra p  3 4x  x  2 2

Vậy p  m  n Câu 17: Đáp án A Phương trình hoành độ giao điểm của  Cm  với trục Ox:  x  1 x 4   m2  2  x 2  m2  1  0   2  x   m  1   Cm  cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt  m  0 *

Khi đó: diện tích hình phẳng giới hạn bởi  Cm  với trục hoành phần phía trên trục hoành là:

 1

S



x 4   m2  2  x 2  m2  1 dx 

1

20m2  16 96   m  2 (thỏa (*)) 15 15

Câu 18: Đáp án A Ta có  C  : y  2 

2   2  2  , Gọi B  b; 2   , C  c; 2   với b  1  c b 1   c 1  x 1 

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên trục Ox Ta có: AB  AC ; BAC  90  CAK  BAH  90  CAK  ACK

 BAH  ACK  AH  CK Và BHA  CKA  90  ABH  CAK    HB  AK

2  2  b  2  c  1 b  1 Hay   c  3 2 2  c2  b 1 Vậy B  1;1 , C 3;3  Câu 19: Đáp án D y  0 y  0 y  0  2   2  Từ giả thiết bài toán suy ra  x 6 2 5 x  6 x  0   2 x  3 x 0  x  5 2

Ta có x 2  y 2  x 2   2 x 2  3x   4 x 4  12 x3  10 x 2 2

Ta có f '  x   4 x  x  1 x  5  x  0  f '  x   0  x  1 . So điều kiện, chọn x  0; x  1 x  5   6  1224 f  0  ; f 1  2; f     5  625

Vậy max P  2 Câu 20: Đáp án B

Gọi x, y  0 lần lượt là chiều dài cạnh đáy và chiều cao của hình hộp Tổng diện tích xung quanh và diện tích của một mặt đáy của thùng đựng hành là

S  x 2  4 xy Thể tích của thùng đựng hàng là V  x 2 y  108  y  Suy ra S  x 2  4 x.

108 x2

108 432  x2  2 x x

Do S  0 và x  0 nên ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của S trên khoảng  0;   Ta có S '  2 x  S ''  2 

432 ;S '  0  x  6 x2

864  0, x   0;   x3

Suy ra S  S  6   108 . Vậy diện tích nhỏ nhất cần tìm là 108m 2 Câu 21: Đáp án B  m  1 x  m  0  m  1 x  m  0    mx  m  2  0 Hàm số xác định mx  m  2  0   log a  mx  m  2   0 mx  m  2  1

1  2  3

Hàm số xác định với mọi x  1 khi và chỉ khi 1 ,  2  ,  3 đồng thời thỏa mãn với mọi x  1  m  1  0 Ta có g  x    m  1 x  m  0, x  1    m  1  g 1 0      m  0 m0 h  x   mx  m  2  0, x  1    h 1  0

Do đó 1 ,  2  đồng thời thỏa mãn với mọi x  1 khi m  0 Khi đó q  x   mx  m  2  m  x  1  2  2 . Suy ra (3) đúng. Tóm lại m  0 Câu 22: Đáp án A Ta có log a

1 a4 3 b 1 4 3  log a  log b  log a c 3  4  .3  3.  2   11 a a 3 c 3

Câu 23: Đáp án B

VT 

2 4   2 x  2 x  2 4  2  2 x



2 x  2 x  2 2 x  2 x  2





x 2



x   2x  2  2 2     x   2x  2  2 2    

2 22 x  22 x  2 2 22 x  22 x  2



2 2

 

x 2 x 2

 22 x



 22



2  2

2  2  2  2  x

x 2

1  2x 1  2x

Câu 24: Đáp án C Ta có a 2  4b2  12ab   a  2b   16ab 2

Suy ra 2 log 3  a  2b   log 3 24  log 3 a  log 3 b  log3  a  2b   2 log 3 2 

1  log3 a  log3 b  2

Do đó cả hai mệnh đề đều sai Câu 25: Đáp án B Ta có P 

1  log 3a b   1 a  1 log a  log a b  log a b  b 



1  log a b  1  log a2 b  log a b  log a b  log a b  log 2a b  1  log a b  1  log a b 

Câu 26: Đáp án A Phương trình đã cho tương ứng với log 22 x  log 2 x  m  0 (*) Đặt t  log 2 x  x  2t .Do 0  x  1  0  2t  1  t  0 Phương trình (*) thành t 2  t  m  0  t 2  t  m (**) Phương trình đã cho có nghiệm x   0;1  phương trình (**) có nghiệm t   ; 0  Xét hàm số f  t   t 2  t , t   ;0  Ta có f '  t   2t  1; f '  t   0  t  

1 2

Lập bảng biến thiên và đi đến kết luận m 

1 4

Câu 27: Đáp án C

 x2  4 x  x2  4 x  0  2 x  3  2 x  3  0 x2  4 x 1  2  2 log3 2x  3  x x 4   x  2x  9  0 3  2 x  3  2 x  3 2 x  3  0 2  2 (do x 2  2 x  9   x  1  8  0, x ) x  4x  0

 4  x  0 Do x 

nên x  3; 2; 1

Vậy tổng của nghiệm nguyên lớn nhất và bé nhất bằng 4 Câu 28: Đáp án C Thay giá trị P  t   65 vào công thức ta được t

100.  0,5  5750  65 t

2 5750 

100 100 log100  log 65 2  log 65 t   log 2   65 5750 65 log 2 log 2

Suy ra t  3570 (năm) Câu 29: Đáp án B Xét hàm số T  x  

tan x

 e

tdt  1 t2

cot x

 t 1  t  2

  xác định với mọi x   0;   2

Ta sẽ tính T  a  Gọi F  t  , G  t  lần lượt là nguyên hàm của các hàm số y

t 1 và y  2 1 t t 1  t 2 

Khi đó T  x   F  tan x   F  e   G  cot x   G  e  Suy ra T '  x   F '  tan x  .



1 1  G '  cot x  . 2 2 cos x sin x

tan x 1 1   tan x  0 2 2 2 2 cot x 1  tan x  cos x cot x 1  cot x  sin x

   Do đó T  x  là hàm hằng trên khoảng x   0;  . Khi a  thì 4  2 19

xdx dx dx      1 T  2 2 x  4  e 1 x e x 1  x  e 1

Câu 30: Đáp án A Xét hàm số h  t   t 3  ut  8 Ta có h '  t   3t 2  u  0 với mọi t  0 . Do đó h là hàm đồng biến trên khoảng  0;   Mặt khác h  0   8, h  2   2u  0 nên tồn tại duy nhất c   0; 2  suy cho h  c   0 Với mỗi 0  x  2 ta có u  x  

8  x3  0 . Suy ra x 3  u  x  .x  8  0 . Do đó x là nghiệm x

dương của phương trình t 3  u  x  .t  8  0 . Do tính duy nhất của nghiệm ta suy ra f u  x   x

Ta có u '  x   

8  2x x2

Khi x  2 thì u  0 và khi x  1 thì u  7 . Áp dụng công thức đổi biến ta có 7



f 2  u  du    f 2  u  x   dx   8  2 x3  dx 

31 2

Câu 31: Đáp án D 

Đặt I   xf  sin x  dx 0

Đổi biến x    t ta được 0



I      t  f  sin   t   dt     t  f  sin t  dt   f  sin t  dt  I Đén đây ta suy ra được kết quả ở (D) Câu 32: Đáp án B x

Đặt F  x    f  t  dt . Ta cần chứng minh 0



f  x  a  x  dx   F  x  dx

Ta có F '  x   f  x  . Khi đó a

 f  x  a  x  dx  a  f  x  dx   xf  x  dx  aF  a    xF '  x  dx

Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta có

 xF '  x  dx  aF  a    F  x  dx

Thay vào ta thu được kết quả ở B Câu 33: Đáp án A Ta có t  

2 2 dx   ln 20  3v  C với C là hằng số 20  3v 3

Vào thời điểm t  0 thì vật có vận tốc bằng 0. Suy ra 2 2 0   ln 20  C  C  ln 20 3 3

2 2 Khi đó t   ln 20  3v  ln 20 3 3 3  ln 20  3v  ln 20  t 2

 20  3v  20.e

3  t 2

 3  t  v  2 20  3v  20.e    3  t   20  3v  20.e 2 v  

20 20  32 t  e 3 3 20 20  32 t  e 3 3

Để ý rằng phương trình thứ hai không thể đạt v  0 tại t  0 cho nên ta chỉ nhận phương trình thứ nhất là v 

20 20  32 t  e 3 3

Câu 34: Đáp án A Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong

x 2  x  x  0 hoặc x  1 1

Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x  x dx   2

Do đó 3S  3S  2 

2018



1

Câu 35: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và  P  là

x 3  3x  2  2 x  2  2 x  x 3  3x Giải phương trình này, ta thu được hai nghiệm là x  0; x  2 21



x  x 2 dx 

1 3

Thể tích vật thể cần tìm là V    0



 x 2



 3x  dx  2

4 35

Suy ra a  4; b  35; c  0; d  0 Kiểm tra từng mệnh đề, nhận thấy D sai vì

35  0 bd  7 a  c 1 4  0 1

Câu 36: Đáp án A Ta có z  3  m 2  3mi z là số thuần ảo  3  m2  0  m   3 Câu 37: Đáp án C Ta có ABCD là hình bình hành  CD  BA  d  c  a  b  d  a  c  b  d  8   m  3 i

ABCD là hình chữ nhật  AC  BD  c  a  d  b  3   m  2  i  9   m  4  i

 32   m  2   92   m  4   m  7 2

Câu 38: Đáp án B Ta có z1 z2 z3  z22 z3  z1.z2 .z3  z22 z3  1  3i  2  i  3  4i    2  i   3  4i   20  35i 2

Câu 39: Đáp án A Gọi z  a  bi với a, b 

và a  0

 a 2  b 2  5 Theo giả thiết ta có  2 2  a  2    b  3  16

22  a  a  2  13 Giải hệ trên ta thu được  (thỏa mãn) hoặc  (loại) b  1 b   19  13

Do đó z  2  i và P  898 Câu 40: Đáp án D Ta có C ' C   ABCD  , BD  OC  BD  OC '  COC '  45

OCC ' vuông cân tại C  CC '  OC 

a 2 2

Vậy V  a 2 .

a 2 a3 2  2 2

Câu 41: Đáp án D Kẻ AM  BC và SH  AM , khi đó SHM vuông cân tại H Suy ra HM  HS  h, AM  3h Vậy S 

9 3 2 h 4

Câu 42: Đáp án A Kẻ AI  BC và AH  SI . Khi đó AH   SBC   d  A,  SBC    AH Ta có AI 

a 3 (do ABC đều cạnh a) 2

và  SB  ABC    SBA  60  SA  AB.tan 60  a 3 Vậy d  A  SBC    AH 

SA. AI SA  AI 2



a 15 5

Câu 43: Đáp án B

ABC vuông cân tại A  AB 

BC 1 2

V   AB 2 . AA '   .1.2  2

Câu 44: Đáp án D 2

 a 2   a  2 3a 2 Bán kính mặt cầu R        2 4   2 2

3a 2 Diện tích mặt cầu S  4 R  4 .  3 a 2 4 2

Câu 45: Đáp án

Đặt cạnh hình vuông là x, x  24 cm Theo đề ta có 4800   x  24  .12  x  44 cm 2

Vậy độ dài cạnh của tấm bìa hình vuông là 44cm Câu 46: Đáp án D (S) có tâm I 1; 0; 1 , bán kính R  2 AB   1; 3; 4  , AC  1; 1; 4 

Gọi   là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận n   AB, AC   8; 8;4  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 8  x  1  8  y  2   4  x  3  0  2 x  2 y  z  1  0

d  I ,  

2  0 11 22   2   12 2



2  2  R   S       3

1 Ta có VABCD  hD .SABC nên VABCD lớn nhất  hD lớn nhất 3

Gọi D1 D2 là đường kính của (S) vuông góc với mặt phẳng   Vì D là điểm bất kì thuộc (S) nên d  D,    max d  D1 ,   , d  D2 ,   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm D1 hoặc D2

D1 D2 qua I nhận vectơ pháp tuyến của   làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham  x  1  2t  số D1 D2 :  y  2t , t   z  1  t 

Gọi D 1  2d 0 ; 2d 0 ; 1  d 0   D1 D2 là điểm cần tìm. Khi đó D là nghiệm của phương trình:

1  2d0 

 4d 02   1  d 0   2 1  2d 0   2  1  d 0   2  0  d 0   2

2 3

 2 2 9.     2 9. 2  9d  2 2 3 3 Ta có d  D,    0 nên D phải ứng với d 0    . Vì 3 3 3 3 7 4 1 Vậy D  ;  ;   là điểm cần tìm  3 3 3

Câu 47: Đáp án B Giả sử  P   Ox  A  a;0;0  ,  P   Oy  A  0; b;0  ,  P   Oz  A  0;0; c  Khi đó (P) có phương trình Ta có: H  4;5;6    P  

x y z   1 a b c

4 5 6   1 a b c

AH   4  a;5;6  , BH   4;5  b;6  BC   0; b; c  , AC   a;0; c   AH .BC  0 5b  6c  0  Vì H là trực tâm tam giác ABC nên   4b  6c  0  BH . AC  0

77  a 4 5 6  4 a  b  c 1   77  Giải hệ phương trình 5b  6c  0  b  5 4b  6c  0  77    c  6 

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là

x y z    1  4 x  5 y  6 z  77  0 77 77 77 4 5 6 Câu 48: Đáp án B Do    / /   nên    : 2 x  2 y  z  D  0  D  17  Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  5 Đường tròn có chu vi là 6 nên bán kính của đường tròn này là r  3 Ta có d  I      R 2  r 2 

2.1  2.  2   3  D 22  22   1

 D  7  4  D  5  12    D  17

Nhận giá trị D  7 . Vậy    có phương trình là 2 x  2 y  z  7  0 Câu 49: Đáp án C Ta có I là trung điểm AB  I  2; 2;0  Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: n   3; 2; 1

Vì KI   P  nên đường thẳng KI qua I nhận n   3; 2; 1 làm vectơ chỉ phương nên có  x  2  3t  phương trình  y  2  2t  z  t  K  KI  K   2  3t ; 2  2t ; t 

Theo đề ta có: d  K  P    KO 

6  9t  4  4t  t  4 14



 2  3t    2  2t  2

 t2

14t 2  20t  4  14 t  1  14t 2  20t  4  14t 2  28t  14 t

3 4

 1 1 3 Vậy K   ; ;  thỏa mãn yêu cầu bài toán  4 2 4

Câu 50: Đáp án A Giả sử  S  có phương trình là

x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 . (Điều kiện: a 2  b 2  c 2  d  0 ) O S   d  0 A  0;0; 4    S   16  8c  d  0 . Mà d  0 nên suy ra c  2

A  2;0;0    S   4  4a  d  0 . Mà d  0 nên suy ra a  1

Với I 1; b; 2  , ta có d  I ;  P   

b5 b  0 5 5    6 6 6 b  5

Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:

x 2  y 2  z 2  2 x  4 z  0; x 2  y 2  z 2  2 x  20 y  4 z  0

ĐỀ SỐ 6 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình





  sin  3 x  9 x 2  16 x  80   0 4 

A. 0

B. 1

Câu 2: Cho hàm số f :  0;   

C. 2

D. 3

thỏa mãn điều kiện

f  tan 2 x   tan 4 x 

1   x   0;  . 4 tan x  4

  Tìm giá trị nhỏ nhất của f  sin x   f  cos x  trên khoảng  0;   2

A. 196

B. 1

D. 196

C. 169

Câu 3: Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải. A. 250

B. 91

250 91

250 90

Câu 4: Cho 8 quả cân có khối lượng lần lượt là 1 kg; 2 kg;…; 8 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân. Tính xác suất để trọng lượng quả cân được chọn không quá 9 kg A.

1 2

1 4

1 5

1 8

Câu 5: Khai triển và rút gọn biểu thức 1  x  2 1  x   ...  n 1  x  thu được đa thức 2

P  x   a0  a1 x  ...  an x n . Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn

1 7 1  3 2 Cn C n n

A. 79

B. 99

C. 89





D. 97





Câu 6: Tính giới hạn lim cos  n 3 n3  3n 2  n  1  sin  n 3 n3  3n 2  n  1   n    A. 

1 3 2

B. 1

C. 1

D. 0

Câu 7: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện lim  4 x 2  4 x  3   ax  b    0 . Tính x   

 a  2b 

2018

3a

A. 0

 3 ab  b 5 a

 C. 22018

B. 1

D. 1

Câu 8: Cho biết tập nghiệm của bất phương trình sau đây là hợp của các khoảng rời nhau 1 2 70 5   ...   x 1 x  2 x  70 4

Tính tổng độ dài các khoảng nghiệm A. 70

B. 4

C. 5

D. 1988

Câu 9: Cho hàm số f  x   x 3  2 x 2  mx  2018 . Tìm m để f '  x   0, x   0; 2  A. m  4

B. m  4

C. m  4

D. m  4

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy hai đường tròn

 C1  : x 2  y 2  6 x  4 y  3  0;  C2  : x 2  y 2  4 Xác định vectơ tịnh tiến u trong phép tịnh tiến Tu biến  C 1  thành  C 2  A. u   2;3

B. u   3; 2 

C. u   2; 3

D. u   2; 3

Câu 11: Tính giá trị của m để hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m nghịch biến trên một đoạn có độ dài l  1 A. m  

9 4

B. m 

9 4

C. m  1

D. m  1

Câu 12: Tính giá trị của  để hàm số 1 1 3 y  x3   sin   cos   x 2   sin 2  x  cos  2  2  luôn đồng biến trên 3 2 4 5    k   k  A.     k ; 12 12 



5    k 2   k  B.     k 2 ; 12 12 



5    k   k  C.     k ; 6 6 



5    k 2   k  D.     k 2 ; 6 6 



Câu 13: Cho hàm số f  x   e x 

9 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? ex

A. Hàm số f  x  đạt cực đại tại x  ln 9 B. Hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x  ln 9 2

C. Hàm số f  x  đạt cực đại tại x  ln 3 D. Hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x  ln 3 Câu 14: Tính giá trị của a để hàm số y 

a sin x  cos x  1 đạt cực trị tại ba điểm phân biệt a cos x

 9  thuộc  0;   4 

A. 

2 2 a 2 2

Câu 15: Cho hàm số y 

B. 0  a 

2 2

C.  2  a  2

D. 0  a  2

3x  2 có đồ thị  Cm  .Mệnh đề nào sau đây sai? x  4x  m 2

A.  Cm  có một tiềm cận ngang và hai tiệm cận đứng nếu m  4 B.  Cm  có một tiềm cận ngang và hai tiệm cận đứng nếu m  4 C.  Cm  luôn có hai tiệm cận đứng với mọi m D.  Cm  chỉ có một tiệm cận ngang nếu m  4 Câu 16: Cho hàm số f  x  

x  m2  m . Tìm giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của x 1

hàm số f  x  trên đoạn  0;1 bằng 2 A. m  1; 2 Câu 17: Cho hàm số y 

B. m  1; 2

C. m  1; 2

D. m  1; 2

2x 1 có đồ thị là  C  . Gọi d1d 2 lần lượt là khoảng cách từ một x 1

điểm M tùy ý thuộc  C  đến hai tiệm cận của  C  . Tính tích d1d 2 A. d1d 2  2

B. d1d 2  3

C. d1d 2  4

Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x   A. 1

D. d1d 2  5

x  1  3x 2 trên khoảng  0;   2x2  1

6 2

6 6

Câu 19: Tìm a để đồ thị hàm số y  x3  ax 2  4 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất A. a  3

B. a  3

C. a  3

D. a  3

Câu 20: Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là C  x   2 x  4 

2  x  6  trong đó x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm x6

số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

Câu 21: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x 2 .3x  3x  2  0 A. S   3;3

B. S   ; 3  3;  

C. S   ;3

D. S  3;  

Câu 22: Giả sử M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

ln 2 x trên đoạn x

1;e3  . Tính giá trị của Q  e2  M  m 

A. Q  1

B. Q  2

C. Q  e

D. Q  2e

Câu 23: Cho 0  a  1 và b  0 . Xét hai mệnh đề sau:

 I  ."n   II  .

; k  a.a 2 .a3 ...a n  log a k 

n2  n ”. 2

log a  logb ab  log 2 2

Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

D. Cả hai đúng

C. Cả hai sai

Câu 24: Cho các số thực a, b, c thỏa mãnh alog3 7  27, blog7 11  49,clog11 25  11 . Tính giá trị của biểu thức T  a

log3 7 

A. T  496

 b

log7 11

 clog11 25

B. T  649

C. T  469

D. T  694

1 1 1 1 1   16   12     13 6 6 6 3 2 K a b a b a a b b      Câu 25: Tính giá trị của biểu thức :    với a, b  0     

A. K  a  b Câu 26: Cho dãy số

C. K 

B. K  a  b

 xn 

1  ab a

xác định bởi công thức xn 

D. K 

1  ab a

1 với n  2,3, 4... Đặt log n 2010

a  x11  x 12  x13  x14  x24 ; b  x63  x 64  x65  x66  x67 . Tính b  a A. 0

B. 1

C. 2010 4

D. 2010

Câu 27: Cho a, b  0 thỏa 9a 2  b  10ab . Hãy chọn đẳng thức đúng  a  b  log a  log b A. log   2  4 

 3a  b  log a  log b B. log   2  4 

 ab C. log    log a  log b  2 

 3a  b  D. log    log a  log b  4 

Câu 28: Cường độ ánh sáng đi qua một môi trường khác không khí, chẳng hạn như nước, sương mù,… sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một hằng số  gọi là khả năng hấp thụ tùy thuộc môi trường theo công thức sau I  I 0e  x với x là độ dày của môi trường đó, tính bằng mét. Biết rằng nước biển có   1, 4 . Tính cường độ ánh sáng giảm đi từ 2 m xuống đến 10m A. 8, 7947.1010 lần

B. 8, 7497.1010 lần 

Câu 29: Giả sử tích phân I 



3 4

A. 1

C. 8, 7794.1010 lần

D. 8, 7479.1010 lần

tan 2 x  tan x dx  e k . Tính giá trị của k x e

B. 1

D. 

C. 0

Câu 30: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

x4  x2  1 x2  x  1

A. F  x  

x3 x 2   xC 3 2

B. F  x  

C. F  x  

x3 x 2   xC 3 2

D. F  x   

Câu 31: Cho hàm số f  x  liên tục trên

1 2

x3 x 2   xC 3 2 x3 x 2   xC 3 2

và thỏa mãn f   x   2 f  x   cos x . Tính tích



phân I 

 f  x  dx



A. I 

1 3

B. I 

2 3

C. I  

Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  thẳng x  1, x  e2 và trục hoành

D. I  2





x  1 ln x ; các đường

8e3  9e2  13 9

8e3  9e2  13 3

8e3  9e2  13 3

8e3  9e2  13 9

Câu 33: Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình  H  giới hạn bởi các đường y  log 2 x ; x  y  3  0; y  0 1  A. V     log 2 e  2 ln 2  1  3 

1  B. V     log 2 e  2 ln 2  1  3 

1  C. V     log 2 e  2 ln 2  1  3 

1  D. V     log 2 e  2 ln 2  1  3  ln10

Câu 34: Cho số thực a  ln 2 . Tính giới hạn L  lim

x ln 2

A. L  ln 6



ex 3

ex  2

C. L  6

B. L  ln 2

Câu 35: Vận tốc của một vật chuyển động là v  t  

D. L  2

1 sin  t  (m/s). Tính quãng đường  2 

di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm) A. 0,37 m

B. 0,36 m

C. 0,35 m

D. 0,34 m

Câu 36: Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức của nó thỏa mãn điều kiện: z  2  i  1 A. Đường tròn tâm I 1; 2  bán kính R  1 B. Đường tròn tâm I  1; 2  bán kính R  1 C. Đường tròn tâm I  2;1 bán kính R  1 D. Đường tròn tâm I  2; 1 bán kính R  1 Câu 37: Cho hai số phức z 1 , z2 . Đặt u  z1  z2 ; v  z1  z2 . Hãy lựa chọn phương án đúng. A. u  z1  z 2

B. u  z1  z 2

C. u  v  u  v

D. u  z1  z 2 ; v  z1  z 2

Câu 38: Xét số phức: z  A. m  0

 1 i  Câu 39: Cho z     1 i 

im 1 . Tìm m để z.z  1  m  m  2i  2

B. m  1

D. m  

C. m  1

2021

. Tính M  z k  z k 1  z k  2  z k 3 , k  6

1 2

A. M  0

C. M  2021

B. M  1

D. M  2021i

Câu 40: Một hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, góc

BAD  60 , cạnh bên hợp với đáy góc 45 sao cho A’ chiếu xuống mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm O của hai đường chéo mặt đáy. Tính thể tích hình hộp. A. V 

3a 3 3 4

B. V 

3a 3 4

C. V 

a3 3 4

D. V 

a3 4

Câu 41: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SH  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a: A. V 

3 3 a 24

B. V 

5 3 3 a 24

C. V 

3 3 a 12

D. V 

5 3 3 a 12

Câu 42: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AB  BC  a ; AD  2a ; SA   ABCD  . Góc giữa mặt phẳng  SCD  và  ABCD  bằng 45 .

Gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích V khối chóp S.MCD và khoảng cách d giữa hai đường thẳng SM và BD  a3 2 V   6 A.   d  a 22  11

 a3 6 V   6 B.   d  a 22  11

 a3 2 V   6 C.   d  a 22  22

 a3 6 V   6 D.   d  a 22  22

Câu 43: Cho ABC vuông tại A có AB  3, AC  4 . Quay tam giác quanh AB ta được hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh S1 và quay tam giác quanh AC ta thu được hình nón xoay có diện tích xung quanh S 2 . Tính tỉ số A.

4 3

S1 S2

3 4

Câu 44: Cho hình chữ nhật ABCD có canh AB 

4 5

3 5

4 , AD  1 . Lấy điểm M trên CD sao cho 3

MD  3 . Cho hình vẽ quay quanh AB, tam giác MAB tạo thành vật tròn xoay gồm 2 hình nón chung đáy. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay này. A. S  2

B. S 

 3 C. S  2 1   3  

2 3

 3 D. S   1   3  

Câu 45: Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Tỉ số thể tích của hai hình nón cùng đỉnh S, đáy lần lượt là hai đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC là: A. Câu

1 2

46:

Trong

không

1 4

gian

với

  : x  y  z  0,    : x  2 y  2 z  0 .

hệ

1 3

D. Tỉ số khác

độ

tọa

Oxyz ,

cho

hai

mặt

phẳng

Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm thuộc   ,

bán kính bằng 3 và tiếp xúc với    tại M biết điểm M   Oxz  A.  x  1   y  2    z  3  9;  x  1   y  2    z  3  9 2

B.  x  1   y  2    z  3  9;  x  1   y  2    z  3  9 2

C.  x  1   y  2    z  3  9;  x  1   y  2    z  3  9 2

D.  x  1   y  2    z  3  9;  x  1   y  2    z  3  9 2

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 0; 0  , B  0;3; 0  và mặt cầu

 S  :  x  1   y  2   z  3 2

 9 . Viết phương trình mặt phẳng

 ABC 

biết C   S  và

ACB  45 A. z  3  0

B. x  3  0

C. y  3  0

D. x  y  z  3  0

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tam giác đều S . ABC với A  3; 0; 0  , B  0;3; 0  và C  Oz . Tìm tọa độ của điểm biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 9

A. S  3;3;3 , S  1; 1; 1

B. S  3;3;3 , S 1;1;1

C. S  3; 3; 3 , S  1; 1; 1

D. S  3; 3; 3 , S 1;1;1

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

 P : x  2 y  2z 1  0

và hai điểm

A 1; 7; 1 , B  4; 2; 0  . Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường

thẳng AB lên mặt phẳng (P).  x  3  4s  A.  y  3s  z  2  s 

 x  3  4s  B.  y  3s z  2  s 

 x  3  4s  C.  y  3s z  2  s 

 x  3  4s  D.  y  3s z  2  s 

Câu 50: Trong không gian Oxyz cho điểm A  5;3;1 , B  4; 1;3 , C  6; 2; 4  , D  2;1;7  . Tìm tập hợp các điểm M sao cho 3MA  2MB  MC  MD  MA  MB 2

8  10   1 1  A.  x     y     z    3  3  3 9  8  10   1 1  B.  x     y     z    3  3  3 9 

8  10   1 1  C.  x     y     z    3  3  3 9  8  10   1 1  D.  x     y     z    3  3  3 9  Đáp án 1-C

2-A

3-C

4-D

5-C

6-A

7-A

8-D

9-D

10-B

11-B

12-A

13-D

14-B

15-C

16-A

17-B

18-C

19-C

20-D

21-A

22-B

23-A

24-C

25-D

26-B

27-B

28-A

29-B

30-A

31-B

32-D

33-A

34-C

35-D

36-C

37-D

38-C

39-A

40-B

41-B

42-A

43-A

44-C

45-A

46-D

47-A

48-A

49-C

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C Điều kiện 9 x 2  16 x  80  0  x  4 Phương trình đã cho tương đương với

 3x  4





90 x 2  16 x  80  k  k 



 3 x  9 x 2  16  80  4k  9 x 2  16 x  80  3 x  4k

4k  4k  x  x    3 3   2 9 x 2  16 x  80   3x  4k 2  x  2k  10   3k  2

 2k 2  10 4k  3k  2  3  2k 2  10  4 Yêu cầu bài toán tương đương với  x  3k  2   2k 2  10    3k  2

 2k 2  10 4k  6k 2  8k  30  0  3k  2  2 3 3k  2 Ta có   2  k 3 2 3  x  2k  10  4  2k  12k  18  0 3k  2 3k  2   nên k  1; 2;3

Vì k 

Với k  1 suy ra

2k 2  10  12  3k  2

Với k  2 suy ra

2k 2  10 9 9   3k  2 2 2

Với k  3 suy ra

2k 2  10  4 3k  2

Kết hợp với điều kiện ta suy ra x  4; x  12 Vậy có 2 giá trị nguyên dương cần tìm Câu 2: Đáp án A Đặt t  tan 2x Ta có t 

2 tan 2 1 4 1    tan x  2   tan 2 x  2 2 2 1  tan x t tan x t tan x 2

1 16 16 4   1  Từ đó  2  2     tan 2 x    tan 4 x  4  2  2 2 4 tan x t t t   tan x  Lúc đó f  t  

16 16    2  2 với t  tan 2 x, x   0;  4 t t  4

  Khi x   0;  thì t  tan 2 x   0;   và liên tục trên miền đó nên ta có:  4

f t  

16 16  2 t4 t2

t   0;  

Bắt đầu từ đây ta có: f  sin x   f  cos x  

16 16 16 16  2 2  2 4 4 sin x sin x cos x cos 2 x

1  1   1  1  16  4    16  2  4 4 2  sin x cos x   sin x cos x 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1 2 8       8 x   0;  4 4 2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin 2 x  2 1 1 2 4       4 x   0;  2 2 sin x cos x sin x cos x sin 2 x  2   Cuối cùng ta thu được f  sin x   f  cos x   196 x   0;   2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 

 4

Câu 3: Đáp án C Do thi đấu vòng tròn 1lượt nên 2 đột bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải là C142  91 Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2.23  46 Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa là 3.68  204 Vậy số điểm trung bình của 1 trận là

46  204 250 (điểm)  91 91

Câu 4: Đáp án D Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân từ 8 quả cân có C83 cách. Suy ra n     C83 Gọi A là biến cố: “chọn được 3 quả cân có tổng khối lượng không quá 9kg” Khi đó A  1; 2;3 , 1; 2; 4  , 1; 2;5  , 1; 2;6  , 1;3; 4  , 1;3;5  ,  2;3; 4  Suy ra n  A   7 Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 7 1   n    C83 8

Câu 5: Đáp án C n  3 1 7 1  7.3! 1 Ta có 2  3    2 Cn Cn n  n  n  1  n  n  1 n  2   n 

n  3  2 n9 n  5n  36  0

Suy ra a8 là hệ số của x 8 trong khai triển 8 1  x   9 1  x  8

Vậy ta thu được a8  8.C88  9.C98  89 Câu 6: Đáp án A Đặt un  3 n3  3n2  n  1 Ta có cos  nun   cos   nun   n  1 n   cos  n  n  1  un  3     n  1  un3  2 u 2 cos  cos  n     2 2 2 2   n  1   n  1 un  un    n  1   n  1 un  un 

    2    cos   1  2 un  1   un  2   1    1       n  n  n    n 

Suy ra lim cos  nun   cos n 

2 1  3 2

Biến đổi tương tự, ta cũng tìm được lim sin  nun    sin n 





2 3  3 2





1 3 Vậy lim cos  n3 n3  3n2  n  1  sin  n3 n3  3n2  n  1      n   2

Câu 7: Đáp án A Phân tích

4 x 2  4 x  4   ax  b   4 x 2  4 x  1   2 x  1   2 x  1   ax  b   4 x 2  4 x  1   2 x  1   2  a  x  1  b 2 Ta có lim  4 x 2  4 x  3   2 x  1   lim 0 x    x 4 x 2  4 x  3   2 x  1 Khi đó lim  4 x 2  4 x  3   ax  b    0 x    2  a  0 a  2  lim  2  a  x  1  b   0   x  1  b  0 b  1

Suy ra  a  2b 

2018

3a



 3 ab  b 5 a  0

Câu 8: Đáp án D Đây là một bài toán tương đối khó. Đầu tiên, chúng ta cần để ý đến những biến đổi sau đây: 1 2 70 5 70 k 5   ...     x 1 x  2 x  70 4 k 1 x  k 4



 k  x  j 

5   4

j k

 x  j

4 k   x  j   5  x  j  j k

4  x  j 



f  x với k , j  1,70 g  x

Rõ ràng g  x   0 có 70 nghiệm x  1; 2;...;70 , f  k  . f  k  1  0 với k  1, 69 và lim f  x   0, f  70   0 nên cũng

Vậy f liên tục trên

x 

có đủ 70 nghiệm xen kẽ là

1  x1  2  x2  ...  x69  70  x70 Tổng độ dài các khoảng nghiệm của bất phương trình

f  x  0 là g  x

L   x1  1   x2  2   ...   x70  70    x1  x2  ...  x70   1  2  ...  70 

Để ý đa thức f có bậc 70, hệ số cao nhất là 5 và hệ số của x 69 là: 9 1  2  ...  70 

Do đó L 

9 1  2  ...  70  5

 1  2  ...  70   1988

Câu 9: Đáp án D Ta có f '  x   0, x   0; 2   3x 2  4 x  m  0, x   0; 2   m  3x 2  4 x, x   0; 2 

Xét hàm số g  x   3 x 2  4 x trên khoảng  0; 2  Lập bảng biến thiên, ta suy ra m  4 Câu 10: Đáp án B

 C1 

và  C2  có tâm lần lượt là I  3; 2  ; O  0; 0 

Gọi u   a; b  là vectơ tịnh tiến Khi đó T u : I

3  0  a a  3  O , cho nên  2  0  b b  2

Vậy u   3;2  Câu 11: Đáp án B 

Tập xác định: D 



y '  3x 2  6x  m có  '  9  3m



Nếu m  3 thì y '  0, x 



Nếu m  3 thì y '  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2 

 hàm số đồng biến trên

Hàm số nghịch biến trên đoạn  x1 , x2  với độ dài l  x1  x2 Ta có x1  x 2  2; x 1 x 2 

m 3

Yêu cầu bài toán   x1  x2   4 x1 x2  1  2

9 4

Câu 12: Đáp án A 

3 Ta có y '  x 2   sin   cos   x  sin 2 4



Hàm số luôn đồng biến trên

khi và chỉ khi

   sin   cos    sin 2  0 2

sin 2 

1  5   k     k , k  2 12 12

Câu 13: Đáp án D 

Hàm số được viết lại như sau: f  x   e x  9.e  x



Tập xác định: D 



f '  x   e  9.e x

x

e2 x  9   0  x  ln 3 ex

Mặt khác f ''  x   e x  9.e  x  0, x  Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x  ln 3 Câu 14: Đáp án B 

Tập xác định của hàm số D 



y' 

    k k   2 

a sin x  sin 2 x  2a sin x  1 ; '' y  a cos2 x a cos3 x 14

(loại)



y '  0  sin x  a *



 9  Hàm số đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc  0;  thì trước hết phương trình (*) phải  4   9 có ba nghiệm thuộc  0;  4

     3  0;    ;  2 2 2



   3    ;   sin x  a có ba nghiệm phân biệt thuộc  2 2 

2   3 9    ;   0  a  2   2 4 

 2 Với a   0;  thì y ''  0  2  ( bởi vì  'f  a 2  1  0 với f  sin x    sin 2 x  2a sin x  1 )

Vậy 0  a 

2 thỏa mãn yêu cầu bài toán 2

Câu 15: Đáp án C Ta có lim y  0  y  0 là tiệm cận ngang của  Cm  x 

Xét tam thức bậc hai f  x   x 2  4 x  m . Nếu   4  m  0  m  4 thì f  x  có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt Do lim y  lim y     Cm  có hai tiềm cận đứng x  x1

x  x2

Câu 16: Đáp án A Ta có f '  x  

m2  m  1

 x  1

 0, x   0;1

Suy ra f  x  là hàm đồng biến trên  0;1 Do đó f  0   f  x   f 1 hay m2  m  f  x    m  1 Khi đó min f  x   m2  m  2   x0;1 m  2

Câu 17: Đáp án B

C 

có hai tiệm cận là: x  1  0 và y  2  0

Hàm số được viết lại như sau: y 

2x 1 3  2 x 1 x 1

1  m2  m  1 2

3   Do M   C  nên M  m; 2   (với m  1 ) m 1 

Khi đó d1.d 2  m  1 . 2 

3 2 3 m 1

Câu 18: Đáp án C 



Hàm số được viết lại như sau: f  x   f ' x 



1 1  3x 2  x

(nhân lượng liên hợp)

1  3x 2  3x 1  3x 2  x



1  3x 2

x  0 6  f '  x   0  1  3x  3x   2 1  x  6  x  6 2

Lập bảng biến ta suy ra được giá trị lớn nhất của f  x  là

6 2

Câu 19: Đáp án C 

y '  3x3  2ax



x  0 y'  0    x   2a 3 



Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất  4a 3   yCD . yCT  0  4   4  0  a  3  27 

Câu 20: Đáp án D 2 x 2  24 x  70



Ta có C '  x  



x  5 So điều kiện x  6 , chọn x  7 C ' x  0   x  7

 x  6

Vậy để tổng chi phí lớn nhất thì công ty cần cải tiến 7 đơn vị sản phẩm Câu 21: Đáp án A Bất phương trình tương đương với 3x  x 2  9   0  x 2  9  0  3  x  3

Vậy S   3;3  Câu 22: Đáp án B

 2  ln x  ln x



Ta có y ' 



x  1 y' 0   2 x  e



y 1  0; y  e3  



4  Vậy Q  e 2  M  m   e 2  2  0   2 e 

9 4 4 ; y  e 2   2 . Suy ra M  2 và m  0 3 e e e

Câu 23: Đáp án A * Xét mệnh đề (I):

log a k  1  2log a a  ...  n log a a  1  2  ...  n



n  n  1 2

n2  n (mệnh đề đúng)  2

* Xét mệnh đề (II): log a  log b ab ab  log  log ab  log 2 2 2  ab 

ab (mệnh đề sai) 2

Câu 24: Đáp án C Ta có T   a log3 7 

log3 7



 blog7 11

 27log3 7  49log7 11 



log 7 11

 11

  c log11 25 

log11 25

 73  112  25 2  469

Câu 25: Đáp án D 

Đặt x  a 6 , y  b 6 . Khi đó K   x  y   x 2  xy  y 2  x3  y 3    x3  y 3  x3  y 3 

 x 6  y 6  a 1  b 

1  ab a

Câu 26: Đáp án B Ta có xn  log 2010 n với n  2,3, 4,... 17

Khi đó

a  x11  x12  x13  x 24  log 2010 11  log 2010 12  log 2010 13  log 2010 14  log 2010 24  log 2010 11.12.13.14.24  b  x63  x64  x65  x 66  x 67  log 2010  63.64.65.66.67 

Suy ra b  a  log 2010  2.3.5.6.7   log 2010 2010  1 Câu 27: Đáp án B

 3a  b  Ta có 9a  b  10ab     ab  4  2

 3a  b   3a  b  log a  log b Suy ra log    log  ab   log   2  4   4  2

Câu 28: Đáp án A Theo công thức đã cho thì cường độ ánh sáng thay đổi khi đi từ độ sai h1 đến h2 là I1 I 0 .e  h1   h h   e  2 1   h2 I 2 I 0 .e

Do đó khi đi từ độ sau 2m xuống độ sau 20 m thì cường độ ánh sáng giảm đi 1,4 20 2

 e25,2  8,7947.1010 lần

Giá trị này rất lơn chứng tỏ ở độ sâu 20 m dưới mặt nước biển gần như không có ánh sáng được chiếu tới Câu 29: Đáp án B 

Ta có I 

  tan

x  tan x e dx  x

3 4



Trong đó J 

x 2  e tan xdx; K 

3 4



 e

x



tan xdx  2

3 4



 e

x

 e

x

tan xdx  J  K

3 4

tan xdx

3 4

Ta sẽ tính tích phân K bằng phương trình tích phân từng phần du  1  tan 2 x  dx u  tan x  Đặt  x dv  e dx v  e x



x

Khi đó K  e tan x

e







 e

x

3 4

dx  J  e





 e 1  tan x  dx x

3 4 3 4



e

x 3 4

3 4

 J  e   J

Vậy I  e   e  k  k  1 Câu 30: Đáp án A Ta có

 f  x  dx  

x

 1  x 2 2

x3 x 2 dx    x  x  1 dx    x  C 3 2 x2  x  1 2

Câu 31: Đáp án B  2

 f   x  dx

Xét tích phân J 



Đặt x  t  dx  dt Đổi cận x  

 2

t 

 2

;x 

 2

t 

 2

Khi đó

I







f  t  dt  J  3I  2 I 



Vậy I 





 f   x   2 f  x   dx 

 cos xdx  2



2 3

Câu 32: Đáp án D Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Đó f  x   0, x  1; e2  nên S

 f  x  dx   



x  1 ln xdx

1  u  ln x du  x dx  Đặt  dv  x  1 dx v  2 x x  x  3





2 x  Khi đó S    1 x ln x  3 

2 x  8e3  8e 2  13     1 dx  3 9 1   e2

Câu 33: Đáp án A Ta có x  y  3  0  y  3  x Giao điểm của đồ thị hàm số y  log 2 x với đường thẳng y  3  x và y  0 lần lượt là

 2;1 , 1;0  3 2  2 Khi đó V     log 2 xdx    3  x  dx   V1  V2 2 1 

Trong đó V1    log 2 xdx   log 2 e  ln xdx   log 2 e  2 ln 2  1 3

V2     3  x  dx  2

 3

1  Vậy V     log 2 e. 2ln 2 1   3 

Câu 34: Đáp án C ln10

Đặt I 

 a

ex 3

ex  2

Đặt t  3 e x  1  t 3  e x  1  3t 2 dt  e x dx Đổi cận: x  a  t  3 ea  1; x  ln10  t  3 2

3t 2 dt 3  3  tdt  t 2 Khi đó I   t 2 3 a 3 a e 1 e 1

 3

ea 1

2  3 a 3   4 e 2     2 

3 Vậy lim I  .4  6 a ln 2 2

Câu 35: Đáp án D Quãng đường mà vật đó di chuyển là:  1 sin  t   1  1  S  dt   t  2 cos  t      2  2  0  1,5

1,5

 0

Câu 36: Đáp án C Hai số phức liên hợp có môđun bằng nhau, ta suy ra 20

3 1  2  0,34 (m) 4 

z  2  i  z  2  i (vì z  2  i  z   2  i   z  2  i ) Từ đó ta có z  2  i  1 Đặt z  x  iy  x, y 



Suy ra z  2  i  1   x  2    y  1 i  1

 x  2    y  1



 1   x  2    y  1  1 2

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R  1 Câu 37: Đáp án D Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 , z 2 Khi đó OM  z1 , ON  z2 Sử dụng các bất đẳng thức vectơ quen thuộc ta suy ra được các bắt đẳng thức ở D Câu 38: Đáp án C Ta có

 m  i  1  m2  2mi  im z  2 1  m2   2mi 1  m2   4m2 



m 1  m2   2m  i 1  m2  2m2 

1  m2 



m 1  m2   i 1  m 2 

1  m 

2 2

m 1 m 1  iz  i 2 2 2 1 m 1 m 1  m 1  m2

Do đó z.z 

1 1 1 1 m2  1    2   m 2  1  2  m  1 2 2  m2  1 2 m  1 2

Câu 39: Đáp án A Ta có

1010 1  i 1  i 1  i  i 2  2i  1    i  z  i 2021   i 2  i  i 2 1  i 1  i 1  i  1 i

Do đó M  z k  z k 1  z k  2  z k 3  i k  i k 1  i k  2  i k 3  i k 1  i  i 2  i 3   i k 1  i  1  i   0

Câu 40: Đáp án B

S ABCD  2.

a2 3 a2 3  4 2

AA ' O vuông cân  A ' O  AO  Vậy V 

a 3 2

a 2 3 a 3 3a 3 .  2 3 4

Câu 41: Đáp án B Vì SH   ABCD  nên 1 1 VS .CDMN  SH .SCDMN  SH .  S ABCD  S BCM  S AMN  3 3 1 5 5 3 3  a 3 a2  a 3 8 24

Câu 42: Đáp án A Ta có  SCD    ABCD   CD CD  SA  CD   SAC   SC  CD  CD  AC  SC  CD, SC   SCD  Vì   AC  CD, AC   ABCD 

Nên

 SCD ,  ABCD  SCA  45

Dễ thấy SAC vuông cân tại A Suy ra SA  AC  a 2 Lại có SMCD 

1 1 a2 MC.MD  a.a  2 2 2

Do đó V  VS .MCD

a3 2 1 1 a2  S MCD .SA  . .a 2  3 3 2 6

  BD / / MN Ta có   BD / /  SMN    MN   SMN 

Khi đó d  SM , BD   d  SM ,  SMN    d  D,  SMN    d  A,  SMN    AP  MN , P  MN Kẻ   AH  SP, H  SP

Suy ra AH   SMN   d  A  SMN    AH

SAP vuông tại A có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11  2  2   2 2  2  2 2 2 2 2 a 2a 2a AH SA AP SA AN AM a 4

Do đó d  d  SM , BD   AH 

a 22 11

Câu 43: Đáp án A Vì BAC  90 nên BC  5 . Khi đó

S1  .4.5 4   S 2  .3.5 3

Câu 44: Đáp án C Kẻ MN  AB  MN  1, AM  2, MC 

1 2 , BM  3 3

2  1    S   MN . AM   MN .BM   .1.  2    2 1   3 3  

Câu 45: Đáp án A Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Kẻ OH  AB . Khi đó

V1 OH a 3 3 1 .    6 a 3 2 V2 OA Câu 46: Đáp án D Gọi M  a;0; b    Oxz  .M      a  2b . Suy ra M  2b; 0; b  Gọi I là tâm của (S). Do (S) tiếp xúc với    tại M nên IM     Phương trình đường thẳng IM :

x  2b y z  b   2 2 1

Điểm I  IM nên I  2b  t ; 2t ; b  2t  Mặt khác, I      2b  t    2t    b  2t   0  t  b  I  b; 2b;3b  Ta có d  I ,      R 

9b 3

 3  b  1

Với b  1 suy ra I 1; 2;3 và R  3 . Do đó phương trình mặt cầu (S) là

 x  1   y  2    z  3 2

9

Với b  1 làm tương tự, ta cũng thu được phương trình mặt cầu (S) là

 x  1   y  2    z  3 2

9

Câu 47: Đáp án A (S) có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  3 Ta có AB  3 2 . Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

Theo định lí hàm số sin ta có

 2r  r 

sin ACB

3 R

2sin ACB

Do đó mặt phẳng  ABC  đi qua tâm I Ta có AB   3;3;0  , AI   0;3;0  ,  AB, BI    0;0;9  Mặt phẳng

 ABC 

qua A 1; 1;3 có vectơ pháp tuyến n   AB, AI    0;0;9  nên có

phương trình  ABC  là z  3  0 Câu 48: Đáp án A Do S . ABC là hình chóp tam giác đều nên ABC là tam giác đều cạnh AB  3 2 Điểm C  Oz suy ra C  0; 0; c  với c  0 Ta có AC  3 2  9  c 2  18  c  3  C  0;0;3 Gọi G là trọng tâm ABC , suy ra G 1;1;1 Theo giả thiết bài toán, ta có 1 1 18 3 VS .ABC  S ABC .SG  9  . .SG  SG  2 3 3 3 4

Đường thẳng SG qua G 1;1;1 và vuông góc với mặt phẳng  ABC  nên có vectơ chỉ phương

u   AB, AC    9;9;9  . Do đó SG :

x 1 y 1 z 1   1 1 1

S  SG  S 1  t ;1  t ;1  t 

SG  2 3  t 2  t 2  t 2  2 3  t  2  S  3;3;3 , S  1; 1; 1 Câu 49: Đáp án C  x  4  3t  Phương trình tham số của đường AB :  y  2  5t z  t 

Gọi M  AB   P   tọa độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình

 4  3t   2  2  5t   2t  1  0  t  1  M  7; 3;1 Gọi I là hình chiếu của B lên (P). Dễ dàng tìm được I  3;0; 2  . Hình chiếu d của đường thẳng AB lên (P) là MI  x  3  4s  Vậy phương trình đường thẳng d là  y  3s z  2  s 

Câu 50: Đáp án B Giả sử tồn tại điểm I  x0 ; y0 ; z0  thỏa mãn hệ thức 3IA  2 IB  IC  ID  0  8 10 1  Dễ dàng tìm được điểm I  ; ;  3 3 3

Ta có 3MA  2MB  MC  MD  MA  MB  MI  MI 

1 AB 3

1 1  8 10 1  Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I  ; ;  , bán kính R  AB  3 3 3 3 3 2

8  10   1 1  Và phương trình mặt cầu là:  x     y     z    3  3  3 9 

ĐỀ SỐ 7 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Tìm các họ nghiệm của phương trình cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3 x  cos 2 4 x  2

  x   k  2    A.  x   k  k   4 2  x    k   10 5

   x  2  k    C.  x    k  k   4 2  x    k   10 5

  x    k  2    B.  x   k  k   4 2  x    k   10 5



   x  2  k    D.  x   k k   4 2  x     k   10 5



Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  sin 4 x cos6 x A.

181 3125

108 3125

108 3155

108 311

Câu 3: Một hộp đựng 15 viên bị khác nhau gòm 4 bo đpr, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu A. 465

B. 456

C. 654

D. 645

Câu 4: Trong cụm thi để xét tốt nghiệm Trung học phổ thông thí sinh phải thi 4 môn trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lý, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lý và 20 học sinh chọn môn hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường X, tính xác suất để 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học sinh chọn môn Hóa học. A.

120 247

120 427

1 247

Câu 5: Tìm số các số hạng hữu tỉ trong khai triển



3 4 5



1 274

biết n thỏa mãn

C41n1  C42n1  C43n1  ...  C42nn1  2496  1 A. 29

B. 30

C. 31 1

D. 32

1.1! 2.2! ...  n.n ! n   n  1!

Câu 6: Tính giới hạn của dãy số lim A. 1

B. 2

C. 3 3

Câu 7: Tính giới hạn của hàm số lim x 0

1 4

x 8  x 4 x

1 3

Câu 8: Tìm số điểm gián đoạn của hàm số y  A. 4

D. 4

B. 2

1 2

D. 0

x4 x  10 x 2  9 4

C. 3

D. 1

Câu 9: Tính giá trị gần đúng với 3 chữ số thập phân của ln  0, 004  A. 1,002

B. 0,002

C. 1,003

D. 0,004

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA  x . Giả sử SA   ABC  và góc giữa hai mặt  SBC  và  SCD  bằng 120 . Tìm x

A. a

B. 2a

a 2

3a 2

Câu 11: Xác định m để hàm số y  x 4   2m  1 x 2  m  5 có hai khoảng đồng biến dạng

 a, b 

và  c,   với b  c

A. m  0

B. m 

1 2

C. 0  m 

1 2

D. m  0

x 2  2mx  3m 2 Câu 12: Tìm giá trị của m để hàm số y  nghịch biến trên khoảng 1;   2m  x

A. m  2  3

B. m  2  3

C. m  2  3

D. m  2  3

1 Câu 13: Tìm giá trị m để hàm số y  x3  mx 2   m2  1 x  1  3x có cực đại, cực tiểu sao 3

cho yCD  yCT  2  1  m  0 A.  m  1

B. 1  m  0

C. m  1

D. 0  m  1

Câu 14: Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d đạt cực đại tại x  2 với giá trị cực đại là 64; đạt cực tiểu tại x  3 với giá trị cực tiểu là 61 . Khi đó giá trị của a  b  c  d bằng A. 1

C. 17

B. 7 2

D. 5

Câu 15: Khẳng định nào sau đây là sai? A. max sin x, cos x  cos x khi 0  x  C. max sin x, cos x  sin x khi

 4



B. max sin x, cos x  cos x khi 0  x 

D. max sin x, cos x  cos x khi

 x 

 4

 2

 x 

Câu 16: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x  2 y  xy  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  A.

8 5

Câu 17: Tìm M   C  : y 

x2 y2  4  8y 1 x

5 8

4 5

5 4

2x 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng x 1

hai lần khoảng các từ điểm M đến tiệm cận ngang. A. M  2;5  , M  2;1

B. M  2;5  , M  0; 1

C. M  4;3 , M  2;1

D. M  4;3 , M  0; 1

Câu 18: Cho hàm số y 

2x 1 có đồ thị  C  . Gọi I là giao điểm tại hai tiềm cận. Có bao x 1

nhiêu điểm M thuộc  C  biết tiếp tuyến của  C  tại M cắt hai tiệm cận tại A, B tạo thành tam giác IAB có trung tuyến IN  10 . A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 19: Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa cos BAI 

5 26 26

A. y  5 x  2; y  5 x  3

B. y  5 x  2; y  5 x  3

C. y  5 x  2; y  5 x  2

D. y  5 x  3; y  5 x  2

Câu 20: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thu mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng? A. 2.250.000 đồng/tháng

B. 2.350.000 đồng/tháng

C. 2.450.000 đồng/tháng

D. 3.000.000 đồng/tháng 3

Câu 21: Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình log32 log32 x  1  2m  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3    A. 1

B. 2

Câu 22: Cho hàm số y 

C. 3

D. 4

ln x . Mệnh đề nào là mệnh đề đúng? x

A. Có một cực tiểu

B. Có một cực đại

C. Không có cực trị

D. Có một cực đại và một cực tiểu

Câu 23: Rút gọn biểu thức A.

a.6 a  a  0 3 a4 a

Câu 24: Cho a  log3 2, b  log5 2 . Khi đó log16 60 bằng: A.

ab a b

C. 1 

B. 1  a  b

ab ab

1 ab 1   2 ab 

Câu 25: Cho a, b, c  1 . Xét hai mệnh đề sau:

 I  .log a b  log b c  log c a  3  II  .log a b 2  log b c 2  log c a 2  24 A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

D. Cả hai đúng

C. Cả hai sai

  x4 1   1   tại x  2 Câu 26: Giá trị của biểu thức P  4 1  1   2  2   2 x  



2

 22

 2

2 2

B. P 

2 2

2 2

 22

 2

C. P 

2 2

 22

2

 2



D. P 

2

 22

2

2 2

Câu 27: Năm 1992, người ta đã biết số p  2756839  1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó) Hỏi rằng, viết trong hệ thập phân số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số? (Biết rằng log 2  0,30102 ) A. 227821

B. 227822

Câu 28: Cho x, y, z  0 thỏa mãn điều kiện

C. 227823 x  y  z  x log x

Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x z y z  y x z x  z y x y 4



D. 227824

y  z  x  y log y



z x  y  z log z

B.  x  y    y  z    z  x  z

C. x y y x  z y y z  z x x z D.  x  y  z    y  z  x    z  x  y  z

e x dx ae  e3 với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu ln   2  ex ae  b 1 2

Câu 29: Giả sử

 b   b   2017   cos   sin 2018  thức P  sin   a   a 

B. 1

A. 1 Câu 30: Cho A. 



1 2

D. 

1 2 e

1 mx  m 2  8

1   e  1 2

dx 

Câu 31: Cho hàm số g  x  

2 3 x  1  C . Tính giá trị của tích phân I   x ln 2 xdx 3 m 2

1   e  1 2 x2

 ln t

1   e  1 4

D. 

1   e  1 4

với x  1 . Tìm tập giá trị T của hàm số

A. T   0;  

B. T  1;  

C. T   ; ln 2 

D. T   ln 2;  

Câu 32: Ở một thành phố nhiệt độ (theo ℉) sau t giờ, tính từ 8 giờ sáng được mô hình hóa bởi hàm T  t   50  14sin

t 2

. Tìm nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 8 giờ sáng

đến 8 giờ tối. (Lấy kết quả gần đúng) A. 54,54 F

B. 45, 45 F

C. 45,54 F

D. 54, 45 F

Câu 33: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong

y  x , trục tung và đường thẳng y  2 quay quanh trục Oy. A. V 

31 5

B. V 

32 5

C. V 

33 5

D. V 

34 5

Câu 34: Trong mặt phẳng Oxy , cho prabol  P  : y  x 2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 1;3 sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và d đạt giá trị nhỏ nhất. A. 2 x  y  1  0

B. 2 x  y  1  0

C. x  2 y  1  0

D. x  2 y  1  0

Câu 35: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 2a  . Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? 5



f  x  dx 

0 2a



 f  x   f  2a  x  dx 0 2a

f  x  dx     f  x   f  2a  x   dx

0 2a



0 a

f  x  dx    f  x   f  2a  x   dx

0 2a



0 a

f  x  dx    f  x   f  2a  x  dx

Câu 36: Hai số phức z và 

1 có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là A, B. Khi đó z

A. OAB vuông tại O

B. O, A, B thẳng hàng

C. OAB đều

D. OAB cân tại O

Câu 37: Số phức z thỏa mãn

z  2i là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z2

P  z 1  z  i

Câu 38: Cho số phức z 

1  P z  z 

2016

C. 2 5

D. 3 5

1  3i . Tính giá trị của biểu thức 2

1    z2  2  z  

A. P  2019

5 2

2017

1    z3  3  z  

2018

1    z4  4  z  

B. P  2019

2019

 22018

C. P  1

D. P  1

Câu 39: Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn iz  3  z  2  i 1 2 A. z    i 5 5

1 2 B. z    i 5 5

1 2 C. z   i 5 5

1 2 D. z   i 5 5

Câu 40: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có góc giữa hai mặt phẳng  A ' BC  và

 ABC  bằng 60 ; cạnh A.

3 3 a 4

AB  a . Tính thể tích khối đa diện ABCC ' B ' B.

3 3 a 4

3a3

3 3 3 a 4

Câu

41:

Cho

hình

chóp

tứ

giác

đều

S . ABCD ,

đáy

cạnh

AB  2a ,

góc

ASB  2  00    90  . Gọi V là thể tích của khối chóp. Kết quả nào sau đây sai? A. V 

4a 3 sin 2 . 3 sin 

B. V 

4a 3 cos 2 . 3 sin 

4a 3 1 2 . D. V  3 sin 2 

4a 3 C. V  . cos 2   1 3

Câu 42: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi canh a, BCD  120 và AA ' 

7a . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm của AC 2

và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' B. V  3a 3

A. V  12a 3

C. V  9a 3

D. V  6a 3

Câu 43: Cho lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên  ABC  trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A '. ABC A. R 

a 3 9

B. R 

2a 3 3

C. R 

a 3 3

D. R 

a 3 6

Câu 44: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD  2 . Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là V1 , V2 . Hệ thức nào sau đây là đúng? A. V1  V2

B. V2  2V1

D. 2V1  3V2

C. V1  2V2

Câu 45: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R có BAC  75, ACB  60 . Kẻ BH vuông góc với AC. Quay ABC quanh AC thì BHC tạo thành hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay này. A. S xq  C. S xq 

 R2 3 2

 R2 3 4



3 1





3 1



B. S xq 

D. S xq 

 R2 3 2

 R2 3 4



3 1





3 1



Câu 46: Cho hình lập phương ABCD.EFGH với AE  BF  CG  HD . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh BF , FE , DH , DC . Hỏi mệnh đề nào đúng? A. MNPQ là một tứ diện

B. MNPQ là một hình chữ nhật 7

C. MNPQ là một hình thoi

D. MNPQ là một hình vuông

Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

 S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  m 2  2m  5  0

và mặt phẳng   : x  2 y  2z  3  0 . Tìm

m để giao tuyến giữa   và  S  là một đường tròn A. m  4; 2; 2; 4

B. m  2 hoặc m  4

C. m  4 hoặc m  2

D. m  4 hoặc m  2

Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A  2; 0; 0  , B  0; 4; 0  , C  0; 0; 6 , D  2; 4; 6 . Xét các mệnh đề sau: (I). Tập hợp các điểm M sao cho MA  MB  MC  MD là một mặt phẳng (II). Tập hợp các điểm M sao cho MA  MB  MC  MD  4 là một mặt cầu tâm I 1; 2;3 và bán kính R  1 A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Không có

D. Cả (I) cả (II)

x  1 t  Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  3  3t và mặt phẳng  z  3  2t 

  : x  2 y  2 z  1  0 . Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho khoảng cách từ M đến   bằng 3 A. M 1;3;3 , M  0;6;5 

B. M 10; 24; 15  , M  0;6;5 

C. M 10; 24; 15  , M  8;30; 21

D. M  8;30; 21 , M 1;3;3

Câu 50: Trong không gian Oxyz có 6 mặt phẳng sau

 1  : 2 x  y  z  4  0

 2  : x  z  3  0  1  : 3x  y  7  0   2  : 2 x  3z  5  0   1  : x  my  2 z  3  0  2  : 2 x  y  z  6  0 8

Gọi d1 , d 2 , d3 lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng 1  và  2  ;  1  và   2  ;   1  và   2  . Tìm m để d1 , d 2 và d 3 đồng quy. A. m  2

B. m  2

C. m  1

D. m  1

Đáp án 1-A

2-B

3-D

4-A

5-C

6-A

7-B

8-A

9-D

10-A

11-B

12-C

13-A

14-C

15-B

16-A

17-C

18-D

19-C

20-A

21-C

22-B

23-D

24-D

25-A

26-A

27-D

28-C

29-B

30-C

31-D

32-C

33-B

34-A

35-C

36-B

37-C

38-D

39-A

40-B

41-A

42-B

43-C

44-C

45-D

46-B

47-D

48-D

49-C

50-D

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A Phương trình đã cho tương đương với: 1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos 6 x 1  cos8 x    2 2 2 2 2

 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos8x  0   cos 2 x  cos 4 x    cos 6 x  cos8 x   0

 2cos3x cos x  2cos 7 x cos x  0  2 cos x  cos 3 x  cos 7 x   0  4 cos x cos 2 x cos 5 x  0

     x  2  k  x  2  k cos x  0         cos 2 x  0  2 x   k   x   k  k    2 4 2 cos 5 x  0   5 x    k x    k    2 10 5



Câu 2: Đáp án B Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số không âm ta có: 1  1  1  1  1  y  108  sin 2 x  .  sin 2 x  .  cos 2 x  .  cos 2 x  .  cos 2 x  2  2  3  3  3 

1 2 1 1 1 1 2  2 2 2  2 sin x  2 sin x  3 cos x 3 cos x  3 cos x  108  108.   5   3125  

Dấu “=” xảy ra 1 1 1 1  cos 2 x 1 1  cos 2 x 1  sin 2 x  cos 2 x  .  .  cos 2 x  2 3 2 2 3 2 5

Vậy max y 

1 1  x là những họ nghiệm của phương trình lượng giác cos 2 x  5 5

Câu 3: Đáp án D Cách 1: + Trường hợp 1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có C94  126 cách + Trường hợp 2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4 bi vàng có C104  C44  209 cách + Trường hợp 3: chọn 3 bi trắng và vàng có C114   C54  C64   310 cách Vậy có 126  209  310  645 cách Cách 2: + Loại 1: chọn tùy ý trong 15 viên bi có C154  1365 cách + Loại 2: chọn đủ cả 3 màu có 720 cách gồm các trường hợp sau: - Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng có 180 cách - Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng có 240 cách - Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng có 300 cách Vậy có 1365  720  645 cách Câu 4: Đáp án A 3 Số phần tử của không gian mẫu là n     C40

Gọi A là biến cố: “3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và học sinh chọn môn Hóa học”. 1 1 1 1  C20 C10 C10 Số phần tử của biến cố A là n  A   C101 C202  C102 C20

Vậy xác suất cần tìm là

P  A 

1 1 n  A C101 C202  C102 C20  C20 C101 C101 120   3 n   C40 247

Câu 5: Đáp án C Ta có 1  x 

4 n 1

 C40n 1  C41n 1 x  C42n 1 x 2  C43n 1 x3  ...  C44nn11 x 4 n 1

Chọn x  1  24n1  C40n1  C41n1 x  C42n1 x 2  C43n1 x3  ...  C44nn11x 4 n1  2  C40n1  C41n1  C42n1  C43n1  ...  C42nn1 

Suy ra 24n  C40n1  C41n1  C42n1  C43n1  ...  C42nn1 Hay 24 n  2496  4n  496  n  124 11

Khi đó



3 4 5



124

k   C124 k 0

    124  k

124

124  k 2

k   C124 3

k 0

Trong khai triển có số hạng hữu tỉ khi và chỉ khi 124  k 2 k 4 k  4t   k 4    0  t  31 0 124 0 124 k k       0  k  124 

Có 32 giá trị của t suy ra có 32 giá trị của k Vậy trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ Câu 6: Đáp án A k , ta có k .k !   k  1 ! k !

Ta có un 

 2! 1!   3! 2!  ...   n  1! n! 1  1  n  1!  n  1!

Vậy lim un  1 n 

Câu 7: Đáp án B 3

Ta có lim x 0

3 x 8  x 4 x8 2 x4 2  lim  lim x 0 x 0 x x x

 lim

x 0 3

 x  8

 23 x  8  4

 lim x 0

1 1 1 1    x  4  2 12 4 3

Câu 8: Đáp án A Số điểm gián đoạn của hàm số trên chính là số nghiệm của phương trình x 4  10 x 2  9  0 Do phương trình x 4  10 x 2  9  0 có 4 nghiệm phân biệt nên hàm số có 4 điểm gián đoạn Câu 9: Đáp án D Áp dụng công thức f  x 0  x   f  x0   f '  x0  .x Với f  x   ln x; x0  1; x  0, 004 ta có 1 ln 1, 004   ln 1  0, 004   ln1  .0, 004  0, 004 1

Câu 10: Đáp án A Gọi O là tâm hình vuông và H là hình chiếu của O lên SC Ta có OHD  60 ( DHB là góc giữa hai mặt phẳng  SCD  và  SBC  ) Diện tích của SOC là 12

a 2 1 xa 2 xa 2 và OH  .  OH .SC  OH  a 2 2 2 3 2 x  2a Do đó x  a Câu 11: Đáp án B Yêu cầu bài toán  phương trình y '  2 x  2 x 2   2m  1   0 có ba nghiệm phân biệt m

1 2

Câu 12: Đáp án C \ 2m



Tập xác định: D 



y' 



Đặt t  x  1 . Khi đó bất phương trình f  x   0 trở thành

 x 2  4mx  m 2

 x  2m 



f  x

 x  2m 

g  t   t 2  2 1  2m  t  m 2  4m  1  0

Hàm số nghịch biến trên 1;   khi và chỉ khi   2m  1 y '  0, x  1;       g  t   0, t  0 * m  0  '  0   m  0  '  0    m  2 3 *      4m  2  0 S  0  2    P  0  m  4m  1  0

Vậy m  2  3 Câu 13: Đáp án A 

y '  x 2  2mx  m2  1



Dễ thấy rằng hàm số có hai điểm cực trị x  m  1; x  m  1 với mọi m.



Ta có yCD  yCT  2  y  m  1  y  m  1  2  2m3  2m  2  2  1  m  0  m  1

Câu 14: Đáp án C Ta có 64  8a  4b  2c  d ; 61  27a  9b  3c  d 13

Từ y '  3ax 2  2bx  c ta thu được hai phương trình 0  12a  4b  c;0  27a  6b  c

Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta thu được a  2; b  3; c  36; d  20 hay a  b  c  d  17 Câu 15: Đáp án B

sin x  cos x khi

 4

 x   và cos x  sin x khi 0  x 

Vậy max sin x,cos x cos x khi 0  x 

 4

 2

Câu 16: Đáp án A

2y   x  2y x2 y2 x2 Ta có P     4  8 y 1 x 4  8 y 4  4x 8  4  x  2 y  2

Dấu “=” xảy ra  x  2 y Đặt t  x  2 y, t  8 . Khi đó P  Xét hàm số f  t   f t  

4t 2  8t

8  4t 

t2 8  4t

t2 , t  8;   8  4t

 0, t  8

Suy ra f  t  đồng biến trên 8;   nên f  t   f  8   Vậy max P 

8 5

8  x  4; y  2 5

Câu 17: Đáp án C  2m  1  M  m;    C  với m  1 m 1  

Tiệm cận đứng x  1 và tiệm cận ngang y  2 Yêu cầu bài toán  a  1  3

 a  4  M  4;3 2a  1 2   a2  a  2  M  2;1

Câu 18: Đáp án D

 2m  1  Gọi M  m;    C  . Tiếp tuyến với  C  tại M có dạng: m 1  

y

 m  1

 x  m 

2m  1 d  m 1

 2m  4  d cắt tiệm cận đứng tại A 1;  và d cắt tiệm cận ngang tại B  2m  1; 2  m 1   2m  1  Suy ra trung điểm của AB là N  m; M m 1  

Từ giả thiết bài toán ta có

 2m  1  IN  10   m  1    2   10  m  0; 2; 2; 4  m 1  2

Vậy có 4 điểm M cần tìm Câu 19: Đáp án C  3x  2  Gọi M  x0 ; 0    C  x0  1 x0  1  

Tiếp tuyến d với  C  tại M có phương trình: y 

3x0  2 5   x  x0  x0  1  x0  12

Do d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B và IAB có cos BAI 

5 26 nên 26

BAI  5

Lại có 5

 x0  1

BAI

là hệ số góc của tiếp tuyến d mà

y ' x 0  

 x0  1

0

nên

 x0  0 2  5   x0  1  1    x0  2

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán y  5 x  2; y  5 x  2 Câu 20: Đáp án A Giả sử giá thuê mỗi căn hộ là 2000000  10000x (đồng/tháng). Khi đó, theo đề bài số căn hộ bị bỏ trống là 2x và số căn hộ được thuê là 50  2x . Do đó số tiền công ty thu được mỗi tháng là S   2000000  100000 x  50  2 x   200000  20  x  25  x 

Để công ty thu được nhiều lợi nhuận nhất, ta cần tìm x   0; 25 sao cho hàm số f  x    20  x  25  x  đạt giá trị lớn nhất

Ta có f '  x   5  2 x; f '  x   0  x 

5 2 2025 5 x 4 2

Lập bảng biến thiên ta thu được max f  x   x0;25

Khi đó, giá thuê cho mỗi căn hộ là 5 2000000  100000.  2250000 (đồng/tháng) 2

Câu 21: Đáp án C Đặt t  log32 x  1 . Do 1  x  3 3 nên 1  t  2 Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3     Phương trình t 2  1  t  2m  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 2  Phương trình t 2  t  2  2m có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 2

Xét hàm số f  t   t 2  t  2, t  1; 2 f '  t   2t  1  0, t  1; 2  f  t  là hàm đồng biến trên 1; 2

 f 1  f  t   f  2   0  m  2

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 22: Đáp án B 

Tập xác định: D   0;  



y' 



Lập bảng biến thiên và suy ra hàm số y 

1  ln x 0 xe x2

Câu 23: Đáp án D Ta có

a . 6 a 12 a 6 .12 a 2 12 a 8 12    a a . 4 a 12 a 4 .12 a 3 12 a 7

Câu 24: Đáp án D

ln x có một cực đại x

2 log 2 60 log 2  2 .3.5  1  1 1  1  a  b  Ta có log 6 60    1     1   log 2 16 log 2 24 2 a b 2 ab 

Câu 25: Đáp án A Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương

 I  .log a b  logb c  log c a  3 3 log a b.logb c.log c a  3

(mệnh đề đúng)

 II  .loga b2  logb c2  logc a2  3 3 log a b2 .logb c2 .logc a2  3 3 8  6 (mệnh đề sai) Câu 26: Đáp án A 2  x4 1   x4 1  x8  2 x 4  1 x 4  1  x  1 Ta có 1     1 1   1  2  2  4 x4 2x2 2x2  2x   2x  2

Do x  0 nên P 



x2  1 1 2 . Thay x  2 x 2

 

1 2 2 2  22 2  2  1 22 P 2 . 2 1 2 2 2  2 2 2



 22

 2

 vào P ta được

2 2

Câu 27: Đáp án D Ta có p  1  2756839  log  p  1  756839.log 2  227823, 68

 p  1  10227823,68  10227823  p  1  20227824 Câu 28: Đáp án C Đặt

x  y  z  x log x



y  z  x  y log x



z  x  y  z log x



1 t

Suy ra log x  tx  y  z  z   y log x  txy  y  z  x  log y  ty  z  x  y   x log y  txy  z  x  y 

Từ đó ta có

x log y  y log x  2txyz

1

y log z  z log y  2txyz

2

z log x  x log z  2txyz

 3

Từ (1), (2) và (3) suy ra x log y  y log x  y log z  z log y  z log x  x log z

 log  x y y x   log  z y y z   log  z x x z   x y y x  z y y z  z x x z

Câu 29: Đáp án B d 2  e e x dx Ta có   x 2e 2  ex 1 1 2

  ln

 2  ex 

 ln  2  e2   ln  2  e1 

1

ae  e3 2  ee 2e  e3 ln ln   ae  b 2  e1 2e  1

    Suy ra a  2; b  1 hay P  sin   2017   cos   2018   1 2  2 

Câu 30: Đáp án C Do



1 mx  m 2  8

dx 

2 3 x  1  C nên 3 '

1 2   m3 3x  1  C   3x  1  mx  m 2  8  3 1

Khi đó I   x ln 2 xdx  1

1 2  e  1 4

Câu 31: Đáp án D Ta có g '  x   2 x

1 1 x 1    0, x  1  g  x  đồng biến trên 1;   2 ln x ln x ln



Suy ra tập giá trị của hàm số g  x  là T  g 1  ; g    Do



1 1 là hàm số nghịch biến nên g  x    x 2  x    khi x   ln t ln x 2

Do đó g      Để tính g 1  đặt t  e v , ta được g  x  

2ln x



ln x

Khi đó g  x   e2ln x 

2ln x



ln x

ev dv v

dv  x 2 ln 2 v

Chứng minh tương tự, ta thu được g  x   x ln 2 Theo định lí kẹp, ta suy ra g 1   ln 2 Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T   ln 2;   Câu 32: Đáp án C

Nhiệt độ trung bình từ 8h sáng cho đến 20h là tổng nhiệt độ chia cho khoảng thời gian, cho nên được tính bằng:

1 14 t    50  14sin dt  50   45,54 F   20  8 8  2 20

Câu 33: Đáp án B 2

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V    x dy    y 4 dy  2

32 5

Câu 34: Đáp án A Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A  a; a 2  , B  b; b 2  với b  a Phương trình đường thẳng d : y   a  b  x  ab Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Ta có: b

S    a  b  x  ab  x 2 dx    x  a  x  b  dx     x  a  x  b  dx ab 2 1     x3  x  abx  2 3 

 a

1 3 b  a  6

Do M 1;3  d nên a  b  ab  3 Suy ra S 2 

3 1  1 1 2 3 2 2 b  a     a  b   4ab    ab  3  4ab         36 36 36

3 1  83 128 8 2 2    ab  1  8    S   36 36 9 3

min S 

8 2  ab  1  0  ab  1  a  b  2 3

Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y  2 x  1  2 x  y  1  0 Câu 35: Đáp án C Đặt t  2a  x . Khi đó 2a

 0

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    2a  t  dt   f  x  dx   f  2a  x  dx    f  x   f  2a  x   dx

Câu 36: Đáp án B 19

Ta có OA   x; y 

 x  yi 1 1 x y    2  2  2 i 2 2 x  yi x  y x y x  y2 z  x y  ; 2  OB    2  2 x  y2   x y

Rõ ràng OA và OB cùng phương nên ba điểm O, A, B thẳng hàng Câu 37: Đáp án C Đặt z  a  bi với a, b  Khi đó

z  2i a   b  2  i  a   b  2  i   a  2   bi    2 z  2  a  2   bi  a  2   b2 

a  a  2  b b  2

 a  2

b



 a  2  b  2   ab i 2  a  2  b2

a 2  b 2  2  a  b  a  a  2  b b  2 z  2i 0 là số ảo khi và chỉ khi 2 2 2 z2  a  2   b2  a  2   b  0

Ta có P  z  1  z  i   a  1  bi  a   b  1 i



 a  1

 b 2  a 2   b  1

 a 2  b 2  2a  1  a 2  b 2  2b  1

 2  a  b   2a  1  1 a  b   2b  1  1  2b  1  2a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2  a  b   a 2  b 2  Suy ra a  b  4 Do đó P 2  2  2  2  a  b    20  P  2 5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  2 Vậy max P  2 5 đạt được khi z  2  2i Câu 38: Đáp án D 20

1 2 a  b 2

Ta có z 

1  3i 2  2 z  1  3i   2 x  1  3 2

hay z 2  z  1  0  z 

1  1 z

Khi đó z 2 

1  1   z    2  1 2 z z  3

z3 

1  1 1    z    3 z    2 3 z  z z 

z4 

1  2 1   z  2   2  1 z4  z 

Như vậy P   1

2016

  1

2017

 2 2018   1

2019

 22018   1

Câu 39: Đáp án A Giả sử z  a  bi với a, b  Khi đó iz  3  z  2  i 

 b  3

 a2 

 a  2    b  1 2

 a  2b  1 2

2 1 5  Suy ra z  a  b   2b  1  b  5b  4b  1  9  b     5 5 5  2

1 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a   , b   5 5 1 2 Vậy số phức z cần tìm là z    i 5 5

Câu 40: Đáp án B Gọi H là trung điểm BC  AH  Suy ra AA '  AH .tan 60 

a 3 . Góc giữa  ABC  và  A ' BC  là AHA '  60 2

3a 1 3 3  VABCC ' B '  AH .BC.BB '  a 2 3 4

Câu 41: Đáp án A Diện tích đáy S  4a 2 cot 2   1 

1 1  cot 2   1   2 . Do đó (C) và (D) đúng 2 sin  sin 2 

4a3 1  sin 2  4a3  Từ câu (D) suy ra V  3 sin 2  3

cos 2 . Do đó (B) đúng sin 

Vậy (A) là kết quả sai Câu 42: Đáp án B Gọi O  AC  BD Từ giả thuyết suy ra A ' O   ABCD  Ta có S ABCD  BC.CD.sin120 

a2 3 2

Vì BCD  120 nên ABC  60 Suy ra ABC đều  AC  a  A ' O  A ' A2  AO 2 

49a 2 a 2   2 3a 4 4

Vậy VABCD .A 'B 'C 'D '  3a3 Câu 43: Đáp án C

Gọi G là tâm của ABC . Qua G kẻ đường thẳng d / / A ' H cắt AA ' tại E. Gọi F là trung điểm của AA’. Trong mặt phẳng  AA ' H  kẻ đường trung trực của AA’ cắt d tại I. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC và bán kính R  IA Ta có AEI  60, EF 

1 a AA '  6 6

IF  EF .tan 60 

a 3 6

R  AF 2  FI 2 

a 3 3

Câu 44: Đáp án C Quay quanh AD : V1   AB2 . AD  4 22

Quay quanh AB : V2   AD2 . AB  2 Do đó V1  2V2 Câu 45: Đáp án D

ABC có BC  2 R sin 75 

R 2

BHC có BH  BC sin 60  S xq   BH .BC 

 R2 3 4



6 2

R 6 4



3 1



 

3 1

Câu 46: Đáp án B Đặt hình lập phương vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  A; Ox, Oy, Oz hướng theo

AB, AD, AE . Gọi a  0 là cạnh hình lập phương. Khi đó a a a    a  M  a;0;  , N  ;0; a  , P  0; a;  , M  ; a;0  2 2 2    2  a a a  a  a  a Ta có MN    ;0;  , QP    ;0;  , MQ    ; a;   2 2 2  2  2  2

Suy ra MN  QPMN MQ  0, MN 

a 2 a 6 , MQ  2 2

Vậy MNPQ là hình chữ nhật Câu 47: Đáp án D (S) có tâm I  2;1; 1 và bán kính R  m2  2m  1  m  1 Giao tuyến của   và (S) là đường tròn  m  4  d  I     R  m  1  3   m  2

Câu 48: Đáp án D * Xét mệnh đề (I): Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó

MA  MB  MC  MD  2MI  2MJ  MI  MJ Do đó tập hợp các điểm M là mặt phẳng trung trực của IJ Vậy mệnh đề này đúng. 23

* Xét mệnh đề (II): Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD Khi đó MA  MB  MC  MD  4

 4MG  4  MG  1 Do đó tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G 1; 2;3 và bán kính R  1 Vậy mệnh đề này đúng Câu 49: Đáp án C M  d  M 1  t ;3  3t ;3  2t 

Ta có: d  M     3 

1  t  2  3  3t   2  3  2t   1 12  22   2 

3

 t  9  t  9

Suy ra M 10; 24; 15  , M  8;30; 21 Câu 50: Đáp án D Gọi I  d1  d 2 . Khi đó tọa độ điểm I (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình

2 x  y  z  4  0 x  z  3  0   I  2;1;1     x y 3 7 0  2 y  3z  5  0

d1 , d 2 và d 3 đồng quy 2  m  2  3  0  I  d3    m  1 4  1  1  6  0

ĐỀ SỐ 8 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x, y   A.

ab cd

ac bd

a sin 4 x  b cos 4 y a cos 4 x  b sin 4 y  c sin 2 x  d cos 2 y c cos 2 x  d sin 4 y

ad bc

Câu 2: Tìm các họ nghiệm của phương trình 1  4sin 2 x  sin 3x 

 2     x k  14 7 A.  k   x    k 2  10 5  2   x  14  k 7 C.  k   2  x   k  10 5



bc ad

1 2

 2    x k  14 7 B.  k   x     k 2  10 5



 2   x   14  k 7 D.  k   2  x    k  10 5



Câu 3: Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau. Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên A. 114

B. 124

C. 134

D. 144

Câu 4: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để một toa có 3 hành khách; một toa có 1 hành khách và hai toa không có hành khách. A.

3 11

3 16

3 13

3 17

Câu 5: Tìm số nguyên dương n sao cho C21n 1  2.2.C22n 1  3.22.C23n 1  4.23.C24n 1  ...   2n  1 22 n.C22nn11  2019

A. 1009 Câu 6: Tính giới hạn lim

B. 1010

C. 1011

1  a  a 2  ...  a n (với a  1, b  1 ) 1  b  b2  ...  bn 1

D. 1012

1 a 1 b

1 b 1 a

1 a 1 b

1 b 1 a

Câu 7: Xác định một hàm số f  x  thỏa mãn các điều kiện sau (i). f  x  có tập xác định là D 

\ 4

(ii). lim f  x   ; lim f  x   3 và lim f  x   3 x 4

A. f  x  

x 

x 

3x 2

 x  4

3x 2  1 B. f  x   x4

C. f  x  

3  x2

 x  4

D. f  x  

x  3x 2

 x  4

 2x2  7 x  6  khi x  2  x2 Câu 8: Cho hàm số f  x    m  1  x khi x  2  2 x

Tìm m để hàm số đã cho liên tục tại điểm x0  2 A. m  1 Câu 9: Cho hàm số y  A.

2 x  x  x 

C. m  

B. m  0

3 4

D. m 

3 4

x 1 y . Tính tỉ số theo x x x

1 x  x  x 

1 x  x  x 

1 x 1  x  2

Câu 10: Cho ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn  O; R  . Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC 1  1  A. Đường tròn  O '; R  là ảnh của đường tròn  O; R  qua phép vị tự tâm I tỉ số k  3  3  2  2  B. Đường tròn  O '; R  là ảnh của đường tròn  O; R  qua phép vị tự tâm I tỉ số k  3  3  4  4  C. Đường tròn  O '; R  là ảnh của đường tròn  O; R  qua phép vị tự tâm I tỉ số k  3  3 

D. Đường tròn  O ';3R  là ảnh của đường tròn  O; R  qua phép vị tự tâm I tỉ số k  3 Câu 11: Đây là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y   x3  3x 2  1 B. y  x3  3x 2  1 2

C. y   x3  3x 2  x  1 D. y  x3  3x 2  x  1 Câu 12: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y  x3  3x 2  9 x  2018 A.  ; 3 ,  3;1

B.  ; 3 , 1;  

C. 1;   ,  3;1

D.  ;1 , 1;  

Câu 13: Cho hàm số y  cos 2 x  sin 2 x tan x  2017 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?    A. Hàm hằng trên khoảng   ;   2 2

   B. Hàm nghịch biến trên khoảng   ;   2 2    C. Hàm đồng biến trên khoảng   ;   2 2   D. Hàm đồng biến trên khoảng  0;   2

Câu 14: Hàm số y  3x 4  4 x3  24 x 2  48 x  3 đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x0  1

B. x0  2

Câu 15: Tìm các giá trị của m để hàm số

C. x0  2

D. x0  1

y   x  m 3 x để hàm số cực tiểu tại điểm 3

x0 A. m  1

B. m  1

C. m  0

Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f  x  

D. m x 1 x2  1

trên đoạn  1; 2 

 max f  x   2  x2;3 A.  3  min f  x   x 2;3 5 

3  f  x   xmax  2;3 5 B.     min f  x   0  x2;3

 max f  x   2  x2;3 C.  f  x  0  xmin  2;3

 max f  x   2  x2;3 D.  3  min f  x    5  x2;3

Câu 17: Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số y  x 4  2mx 2  m2  m có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 120

A. m  3 3

B. m   3 3

C. m 

Câu 18: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y  A. 1

B. 2

1 3

D. m  

1 3

x 1 x2  4

C. 3

D. 4

Câu 19: Tìm m để hàm số y  mx3  x 2  2 x  8m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 1 1 A.   m  6 2

1  1   m  B.  6 2 m  0

1  1   m  D.  6 2 m  0

1 1 C.   m  6 2

Câu 20: Một trang chữ của một quyển sách toán cần diện tích 384 cm 2 . Lề trên, lề dưới là 3 cm; lề phải, lề trái 2cm. Tính kích thước tối ưu cho trang giấy. A. 50 cm và 40 cm

B. 40 cm và 30 cm

C. 30 cm và 20 cm

D. 20 cm và 10 cm

Câu 21: Tìm giá trị của m để hàm số y  log3  m2  x 2  xác định trên khoảng  2; 2  A. m  2

B. m  2

D. m  1

C. 0  m  2

Câu 22: Cho 0  a, b, c  1 thỏa log a b  3 và log a c  2 . Tính log a a 3b 2 c A. 2

B. 4

C. 6

 Câu 23: Tính giá trị của biểu thức P   log 5  log 5  

A. P  52018

B. P  52018

5 5

D. 8

 ... 5 5   2018 

C. P  2018

D. P  2018

Câu 24: Cho log 4 75  a;log8 45  b . Tính log 3 25 135 theo a, b A.

2 15b  2a  3  4a  3b 

3 15b  2a  2  4a  3b 

2 15a  2b  3  4a  3b 

3 15a  2b  2  4a  3b 

Câu 25: Tính tổng các nghiệm của phương trình 2 3 1 log 4  x 2  x  1  log 1  x 2  x  1  log 2  x 4  x 2  1  log 3 2

A. 0

x4  x2  1

C. 1

B. 1

D. 3

Câu 26: Tìm số giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình

log 2 A. 0







3x  1  6  1  log 2 7  10  x

B. 9

C. 8 4

 D. 7

Câu 27: Cho a  b  1 và x  0 . Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng? A. Đồ thị hàm số y  a x nằm phía trên đồ thị hàm số y  b x B. Đồ thị hàm số y  a x nằm phía dưới đồ thị hàm số y  b x C. Đồ thị hàm số y  a x cắt đồ thị hàm số y  b x D. Đồ thị hàm số y  a x nằm phía trên đồ thị hàm số y  b x khi x  1 và ở phía dưới đồ thị hàm số y  b x khi 0  x  1 Câu 28: Giả sử một hàm chỉ mức sản xuất của một hang DVD trong một ngày là y  b x trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hang phải sản xuất được 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng. Biết rằng tiền lương cho nhân viên là 16 USD và của một lao động chính là 27 USD. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong một ngày của hang sản xuất này A. 1000 USD

B. 1440 USD 

Câu 29: Giả sử tích phân



3 4

A. 1

C. 1500 USD

D. 1550 USD

tan 2 x  tan x dx  e k . Tính giá trị của k x e

B. 1

D. 

C. 0

Câu 30: Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

x4  x2  1 x2  x  1

A. F  x  

x3 x 2   xC 3 2

B. F  x  

C. F  x  

x3 x 2   xC 3 2

D. F  x   

Câu 31: Cho hàm số f  x  liên tục trên

1 2

x3 x 2   xC 3 2 x3 x 2   xC 3 2

và thỏa mãn f   x   2 f  x   cos x . Tính tích



phân I 

 f  x  dx



A. I 

1 3

B. I 

2 3

C. I  

Câu 32: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  thẳng x  1, x  e2 và trục hoành 5

D. I  2





x  1 ln x ; các đường

8e3  9e2  13 9

8e3  9e2  13 3

8e3  9e2  13 3

8e3  9e2  13 9

1  B. V     log 2 e  2 ln 2  1  3 

1  C. V     log 2 e  2 ln 2  1  3 

1  D. V     log 2 e  2 ln 2  1  3  ln10

Câu 34: Cho số thực a  ln 2 . Tính giới hạn L  lim

a ln 2

A. L  ln 6



ex 3

ex  2

C. L  6

B. L  ln 2

Câu 35: Vận tốc của một chuyển động là v  t  

D. L  2

1 sin  t  (m/s).Tính quãng đường di  2 

chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm) A. 0,37 m

B. 0,36 m

C. 0,35 m

D. 0,34 m

Câu 36: Cho hai số phức z1 và z2 .Xét các cặp số phức sau: (I). z1  z2 và z1  z 2 (II). z1 z 2 và z1 z2 (III). z1 z2 và z1 z2 Cặp số nào liên hợp? A. Cả (I), (II) và (III) B. Chỉ (I) và (II)

C. Chỉ (II) và (III)

D. Chỉ (I) và (III)

Câu 37: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  4i  z  4i  10

A. Một đường tròn

B. Một elip

C. Một hypebol

D. Một parabol

1  3i   2  i  là nghiệm của Câu 38: Tìm mô đun của số phức w  b  ci biết số phức z  1  3i  1  i  12

phương trình z 2  8bz  64c  0 A. 3 29

B. 2 29

C. 6

29 2

Câu 39: Tìm mô đun của số phức w 

z3  z  1 biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện z2 1

 z  z  1 i    z  z   2  3i   4  i A.

170 10

171 10

172 10

173 10

Câu 40: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, với SA 

a a 3 , SB  2 2

và BAD  60 và mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích V của tứ diện K .SDC A. V 

a3 4

B. V 

a3 16

C. V 

a3 8

D. V 

a3 32

Câu 41: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' ; đáy ABC có AC  a 3, BC  3a, ACB  30 . Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60 và mặt phẳng  A ' BC  vuông góc với  ABC  . Điểm H trên cạnh BC sao cho BC  3BH và mặt phẳng  A ' AH  vuông góc với mặt phẳng

 ABC  .Tính thể tích V của khối lăng trụ A. V 

4a 3 9

B. V 

ABC. A ' B ' C '

19a3 4

C. V 

9a 3 4

D. V 

4a 3 19

Câu 42: Một hình trụ tròn xoay bán kính đáy bằng R, trục O ' O  R 6 . Một đoạn thẳng AB  R 2 với A   O  và B   O '  . Tính góc giữa AB và trục hình trụ.

A. 30

B. 45

C. 60

D. 75

Câu 43: Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a. A. S xq 

 a2 3

B. S xq 

 a2 2

C. S xq 

 a2 3 3

D. S xq 

 a2 3 6

Câu 44: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông. Xét hình cầu nhận hai đáy của hình trụ là hai hình tròn nhỏ đối xứng nhau qua tâm hình câu. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của hình trụ và hình cầu. Tính tỉ số

V1 V2

3 2 2

3 2 4

1 2

3 2 8

Câu 45: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập lại phần còn lại của tấm bìa để được một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (xem hình vẽ bên). Cho chiều cao khối chóp tứ giác đều này bằng

5 . Tính giá 2

trị của x A. x  1

B. x  2

C. x  3

Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

D. x  4

 P  : 2 x  y  2 z  12  0

và hai điểm

A 1;1;3 , B  2;1; 4 . Tìm tập hợp tất cả các điểm C   P  sao cho tam giác ABC có diện tích

nhỏ nhất   x  t  8  A.  y   9  8   z   9  t

 x  t  8  B.  y   9  8   z   9  t

  x  2t  8  C.  y   9  8   z   9  t

  x  2t  8  D.  y   9  8   z   9  t

Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hình vuông ABCD có đỉnh C 1; 1; 2  và đường chéo BD :

x  1 y 1 z  1 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D biết điểm B có hoành độ dương   4 1 1

A. A 1; 2;3 , B  5; 2; 2  , D  7; 1;1 B. A 1; 2;3 , B  3;0;0  , D  7; 1;1 C. A 1; 2;3 , B  5; 2; 2  , D  9;3; 3  D. A 1; 2;3 , B  3;0;0  , D  1;1; 1 Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

x 1 y  4 z   và các điểm 1 2 2

A 1; 2;7  , B 1;5; 2  , C  3; 2; 4  . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho MA2  MB 2  MC 2 đạt

giá trị lớn nhất A. M  1; 4; 0 

B. M 1;3; 2 

C. M 1;3; 2 

D. M  5; 6; 4 

5  5  Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;  , B  4; 2;  . Tìm tọa độ điểm M 2  2 

trên mặt phẳng  Oxy  sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất 5  A. M  ;0;0  2 

 5  B. M   ;0;0   2 

1  C. M  ;0;0  2 

 1  D. M   ;0;0   2 

Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  2  0 . Tìm điểm A thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  6  0 lớn nhất 7 4 1 B. A  ;  ;    3 3 3

A. A 1;1; 6 

C. A  3; 0; 0 

D. A  0;3;0 

Đáp án 1-A

2-C

3-D

4-B

5-A

6-B

7-A

8-C

9-C

10-A

11-A

12-B

13-A

14-A

15-B

16-C

17-D

18-D

19-B

20-C

21-A

22-D

23-C

24-B

25-A

26-D

27-A

28-B

29-B

30-A

31-B

32-D

33-A

34-C

35-D

36-A

37-B

38-C

39-A

40-D

41-C

42-A

43-C

44-D

45-B

46-B

47-D

48-C

49-A

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A a sin 4 x  b cos 4 y a cos 4 x  b sin 4 y Đặt f  x; y   af1  bf 2 với f1  ; f2  a sin 2 x  b cos 2 y a cos 2 x  b sin 2 y

Ta có c  d  c  sin 2 x  cos 2 x   d  sin 2 y  cos 2 y  Do đó  O; R  

 sin 4 x cos 4 x   2 2 2 2  c sin x  d cos y c cos x  d sin y 

 c  d  f1   c sin 2 x  d cos 2 y    c cos 2 x  d sin 2 y  

  sin 2 x cos 2 x  1   c sin 2 x  d cos 2 y  c cos 2 x  d sin 2 y 2 2 2 2     c x d y c x d y sin cos cos sin    f1 

1 cd

Tương tự f 2 

ab 1 . Vậy f  x; y   af1  bf 2  cd cd

Câu 2: Đáp án C Nhận xét cos x  0 không phải là nghiệm của phương trình. Do đó, nhân cả hai vế của phương trình cho cos x  0 ta được

 cos x  4cos x sin x  sin 3x  12 cos x 2

 2sin 3x  4cos3 x  3cos x   cos x

 2sin 3x cos3x  cos x  sin 6 x  cos x

 2  x  k    14 7  sin 6 x  sin   x    k   2 2   x   k   10 5



Câu 3: Đáp án D Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền,1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách có 2!  2 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 4.2  8 cách chọn nền Bước 2 nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách và mỗi cách có 3!  6 cách chọn nền cho mỗi người. Suy ra có 3.6  18 cách chọn nền Vậy có 8.18  144 cách chọn nền cho mỗi người Câu 4: Đáp án B Mỗi hành khách có 4 cách chọn 1 toa để lên tàu nên số cách 4 hành khách chọn toa để lên tàu là 44  256 cách. Suy ra n     256 Gọi A là biến cố: “một toa có 3 hành khách; một toa có 1 hành khách và hai toa không có hành khách”. Chon 3 hành khách từ 4 hành khách và xếp 3 hành khách vừa chọn lên 1 trong 4 toa tàu có

C43 .4  16 cách Xếp hành khách còn lại lên 1 trong 3 toa tàu còn lại có 3 cách Suy ra n  A   16.3  48 Vậy xác suất của biến cố cần tìm là P  A  

48 3  256 16

Câu 5: Đáp án A 10

Xét khai triển

1  x 

2 n 1

 C20n 1  C21n 1 x  C22n 1 x 2  C23n 1 x3  C24n 1 x 4  ...  C22nn11 x 2 n1

Lấy đạo hàm cả hai vế ta được

 2n  1 x 2 n  C21n1  2 x.C22n1  3x 2C23n1  4 x3C24n1  ...   2n  1 x 2 nC22nn11 Thay x  2 vào ta được 2n  1  C21n 1  2.2.C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n 1  ...   2n  1 22 n C22nn11

Kết hợp với giả thiết bài toán ta được: 2n  1  2019  n  1009 Vậy n  1009 là giá trị cần tìm Câu 6: Đáp án B Ta có 1  a  a 2  ...  a n 

1  a n1 1 a

1  b  b2  ...  bn  Khi đó

1  bn1 1 b

1  a  a 2  ...  a n 1  b 1  a n1 .  1  b  b2  ...  bn 1  a 1  bn 1

Do a  1, b  1 nên lim a n1  0, lim bn1  0 Vậy

1  a  a 2  ...  a n 1  b  1  b  b 2  ...  b n 1  a

Câu 7: Đáp án A Lần lượt kiểm tra từng hàm số ta thấy chỉ có hàm số f  x  

3x 2

 x  4

thỏa mãn cả hai điều

kiện Câu 8: Đáp án C Ta có lim f  x   lim x 2

x 2

2 x2  7 x  6 x2

 lim x 2

 2  x  2 x  3  lim x2

1 x  1  lim f  x   lim  m _  m   f  2  x 2 x 2  2 x 4

Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0  2 khi và chỉ khi lim f  x   lim f  x   f  2   m 

x 2

1 3  1  m   4 4

Câu 9: Đáp án C 11

x  2

 2 x  3  1

y f  x  x   f  x  Ta có   x x

x  x  1 x  1  1 x  x x  x  x  x  x

Câu 10: Đáp án A 1 Gọi I là trung điểm BC. Khi đó IG  IA  G  V 1   A  3 I;   3 1   Mà A   O; R  nên quỹ tích trọng tâm G của ABC là đường tròn  O '; R  là ảnh của 3  

đường tròn  O; R  , qua phép vị tự tâm I tỉ số k 

1 3

Câu 11: Đáp án A 

Tập xác định D 



Sự biến thiên:

x  0 - Chiều biến thiên y '  2 x 2  6 x; y '  0   x  2

Khoảng đồng biến là  0; 2  và các khoảng nghịch biến là  ;0  ;  2;   - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  0; yCT  1 ; đạt cực tiểu tại x  2, yCD  3 - Giới hạn lim y  ; lim y   x 

x 

Chỉ có hàm số ở đáp án (A) mới thỏa mã các yếu tố đơn điệu, cực trị, giới hạn Câu 12: Đáp án B 

Tập xác định D 



y '  3x 2  6 x  9



 x  3 y'  0   x  1



Lập bảng biến thiên và suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3 , 1;  

Câu 13: Đáp án A Ta có y '  2sin 2 x  2cos 2 x tan x 

sin 2 x cos 2 x

 2sin 2 x  2cos 2 x tan x  2 tan x  2sin 2 x  2 1  cos 2 x  tan x  2sin 2 x  4 cos 2 x tan x

 2sin 2 x  2sin 2 x  0    Do đó hàm số đã cho là hàm hằng trên khoảng   ;   2 2

Câu 14: Đáp án A 

y '  12  x  1  x 2  4 



y '  0  x  1; x  2



Lập bảng biến thiên và suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm x0  1

Câu 15: Đáp án B 

y '  3  x  m  ; y ''  6  x  m 



 y '  0   0 3m 2  3  0   m  1 Hàm số đạt cực tiểu tại x  0     m 6 0  y '' 0 0    

Câu 16: Đáp án C 

Ta có f '  x  

x

1 x

 1 x 2  1



f ' x  0  x  1



f  1  0; f 1  2; f  2  

3 5

Vậy max f  x   2 khi x  1 ; min f  x   0 khi x  1 x 2;3

x 2;3 

Câu 17: Đáp án D 

Ta có y '  4 x3  4mx; y '  0  4 x  x 2  m   0



Đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị  phương trình 4 x  x 2  m   0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 . Khi đó phương trình y '  0 có ba nghiệm là: x  0   x   m  x  m 

  m; m là các điểm cực trị Ta có AB    m ; m  , AC   m ; m  



Gọi A  0; m2  m  , B  m ; m , C 2



Vì A  Ox , B và C là hai điểm đối xứng nhau qua Oy nên ABC cân tại A. Như vậy góc 120 chính là A

Ta có cos A  

AB. AC m  m4 1 1 1    4  m m 2 2 2 AB AC

1  3m4  m  0  3m3  1  0  m   3 3 Câu 18: Đáp án D 

 lim y   x 2 có hai tiệm cận đứng là x  2; x  2  y    xlim  2



 lim y  1 x  có hai tiệm cận ngang là y  1; y  1  lim y 1    x

Câu 19: Đáp án B Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là: mx3  x 2  2 x  8m  0

  m  2   mx 2   2m  1 x  4m   0  x  2  2  f  x   mx   2m  1 x  4m  0

Yêu cầu bài toán  phương trình f  x   0 có hai nghiệm phân biệt khác 2 m  0 1  1    m  2    12m  4m  1  0   6 2  g 2  12m  2  0 m  0   

Câu 20: Đáp án C Gọi x, y  0 là khích thước hai trang chữ, Khi đó, hai kích thước của trang giấy là x  6 và y4

Theo đề xy  384  y 

384 x

Diện tích của trang giấy 2304  384   4   4x   408 S   x  6  y  4    x  6   x  x 

Lập bảng biến thiên dễ dàng suy ra min S  600  x  24 . Suy ra y  16 x 0; 

Do đó x  6  30 cm và y  4  20 cm là kích thước tối ưu cho trang giấy Câu 21: Đáp án A Hàm số xác định  m 2  x 2  0   m  x  m Để hàm số xác định trên khoảng  2; 2  thì phải có  m  2  2  m  m  2

Câu 22: Đáp án D 1 1 Ta có log a a3b 2 c  3  2 log a b  log a c  2  2.3  .  2   8 2 2

Câu 23: Đáp án C 1

Ta có

5 5

... 5 5  5 2018 2018

Khi đó log 5

5 5

... 5 5  2018

 Vậy P   log 5  log 5  

1 5

5 5

2018

 52018

 ... 5 5   2018  2018 

Câu 24: Đáp án B Sử dụng công thức đổi cơ số log 3 25 135  3log 25 135 

3 1  3log 5 3  2

log 2 3  3 1  3  1 2 log 2 5 

1 1 Ta có a  log 4 75  log 2 75   2log 2 5  log 2 3 2 2

Suy ra 2log 2 5  log 2 3  2a (2) 1 1 Lại có b  log8 45  log 2 45   log 2 5  2 log 2 3 3 3

Suy ra log 2 5  2log 2 3  3b (3) Giải hệ gồm (2) và (3) ta được log 2 5  Thay vào (1) ta thu được P 

4a  3b 6b  2a ;log 2 3  3 3

3 15b  2a  2  4a  3b  15

Câu 25: Đáp án A Ta có log 2  x 2  x  1  log 2  x 2  x  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 2  x  1 x 2  x  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1  0  x 4  x 2  1  1  x 4  x 2  0  x  0; x  1

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 0 Câu 26: Đáp án D Điều kiện 

1  x  10 3

Bất phương trình đã cho tương đương với: log 2

3x  1  6 3x  1  6  log 2 7  10  x   7  10  x 2 2





 3x  1  2 10  x  8  3x  1  4 4

3x  110  x   4 10  x   64

 3x  110  x   x  23  16 3x  110  x    x  23

 49 x 2  418 x  369  0  1  x 

Mà x 

369  7,5 49

nên x  1; 2;3; 4;5; 6; 7

Vậy có 7 giá trị nguyên của x Câu 27: Đáp án A Do a  b  1 và x  0 nên a x  b x . Vậy đồ thị hàm số y  a x ở phía trên đồ thị hàm số

y  bx Câu 28: Đáp án B Gọi C là chi phí mỗi ngày. Khi đó C  16m  27n (USD) Do hàm sản xuất phải đạt chỉ tiêu 40 sản phẩm trong mỗi ngày nên 2

m 3 b 3  40  m2 n  403  n 

403 m2

Biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa số lượng nhân viên và chi phí kinh doanh là

C  16m 

27.403 m2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

C  16m 

27.403 27.403  8 m  8 m   1440 m2 m2

 27.403 8m  m  60  m2 Vậy C  1400 (USD) khi và chỉ khi  (có 60 nhân viên và lao động   3 18  n 40  n   m2 xấp xỉ 18 người) Câu 29: Đáp án B 

Ta có I 

  tan

x  tan x  e dx  x

3 4



Trong đó J 





 e

x



tan xdx  2

3 4

tan 2 x.e x dx; K 

3 4



 e

x

 e

x

tan xdx  J  K

3 4

tan xdx

3 4

Ta sẽ tính tích phân K bằng phương pháp tích phân từng phần du  1  tan 2 x  dx u  tan x  Đặt  x dv  e dx v  e x 



x

Khi đó K  e tan x

e







 e

x

3 4

dx  J  e



3 4



 e 1  tan x  dx x

3 4



e

3 4

x 3 4

 J  e   J

Vậy I  e   e  k  k  1 Câu 30: Đáp án A Ta có

 f  x  dx  

x

 1  x 2 2

x3 x 2 dx    x  x  1dx    x  C x2  x  1 3 2 2

Câu 31: Đáp án B

 2

 f   x  dx

Xét tích phân J 



Đặt x  t  dx  dt Đổi cận x  

 2

t 

 2

;x 

 2

t 

 2

Khi đó

I







f  t  dt  J  3I  J  2 I 







 f   x   2 f  x   dx  J 

 cos xdx  2



2 3

Vậy I 

Câu 32: Đáp án D Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Do f  x   0, x  1; e2  nên S 

 f  x  dx   



x  1 ln xdx

1  u  ln x du  x dx  Đặt  dv  x  1 dx  2  v x xx  3





2 x  Khi đó S    1 x ln x 3  

2 x  8e3  9e 2  13     1 dx  3 9 1   e2

Câu 33: Đáp án A Ta có x  y  3  0  y  3  x Giao điểm của đồ thị hàm số y  log 2 x với các đường thẳng y  3  x và y  0 lần lượt là

 2;1 , 1;0  3 2  2 Khi đó V     log 2 xdx    3  x  dx   V1  V2 2 1 

Trong đó V1    log 2 xdx   log 2 e  ln xdx   log 2 e  2 ln 2  1

V2     3  x  dx  2

 3

1  Vậy V     log 2 e 2ln 2 1   3 

Câu 34: Đáp án C ln10

Đặt I a 



ex 3

ex  2

Đặt t  3 e x  2  t 3  e x  1  3t 2 dt  e x dx Đổi cận x  a  t  3 ea  1; x  ln10  t  3 2

3t 2 dt 3  3  tdt  t 2 Khi đó I   2 t 3 a 3 a e 1 e 1

 3

ea 1

2  3 a 3 4   2 e     2 

3 Vậy lim I a  .4  6 x ln 2 2

Câu 35: Đáp án D Quãng đường mà vật đó di chuyển là  1 sin  t   1  1  0  2   dt   2 t   2 cos  t 

1,5

S

1,5

 0

3 1  2  0,34 (m) 4 

Câu 36: Đáp án A Ta có 

z1  z2  z1  z2  z1  z2



z1 z2  z1.z2  z1.z2



z1 z2  z1.z2

Câu 37: Đáp án B Đặt z  x  yi với x, y  Từ giả thiết bài toán ta có x  yi  4i  x  yi  4i  10  x   y  4  i  x   y  4  i  10  x 2   y  4   x 2   y  4   10 2

Gọi F1  0; 4  , F  0; 4  . Khi đó MF1  MF2  10 19

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là elip nhận F1 F2  8 làm tiêu cự, trục lớn bằng 10. Elip này x2 y2  1 có phương trình là 9 25

Câu 38: Đáp án C

 

 

 1  3 3  1  3 3i  3.3i 2  3 3i 3  8   3 Ta có  1  3  1  3 3i  3.3i 2  3 3i 3  8  2 1  i   2i 

1  3i   2  i    8 . 2  i    8  2  i   8 1  2i   8  16i Do đó x  i 1  3i  1  i   8 . 2i  12

Theo giả thiết ta có

8  16i 

 8b 8  16i   64c  0

 1  i   b 1  2i   c  0   2b  4  i  b  c  3  0 2

2b  4  0 b  2   b  c  3  0 c  5

Vậy w 

 2 

 52  29

Câu 39: Đáp án A Gọi z  a  bi với a, b 









Khi đó phương trình z  z 1  i   z  z  2  3i   4  i trở thành: 2a 1  i   2b  2  3i   4  i   2a  4b    2a  6b  i  4  i

1  a  2a  4b  4 1 1  2  z  i Do đó:  2 2 2a  6b  1 b   1  2

Ta có: w  w

1 1 z3  z  1 1 . Thay z   i vào ta được:  z 2 2 2 2 z 1 z 1

1 1 1 1 1 1 13 1  i   i   i 2 2 2 1 1  2 2  1 i  1 10 10   i  1 2 2 2 

170  13   1  Suy ra w         10  10   10 

Câu 40: Đáp án D a a 3 Từ giả thiết ta có AB  a; SA  ; SB  2 2

ASB vuông tại S  SH 

AB  SAH đều. 2

Gọi M là trung điểm của AH thì SM  AB Do  SAB    ABCD  nên SM   ABCD 

1 a3 Vậy V  SM .S KCD  3 32 Câu 41: Đáp án C Áp dụng định lí côsin cho AHC ta dễ dàng tính được

AH  a  A ' BC    ABC   Do  A ' AH    ABC    A ' H   A ' BC    A ' AH   A ' H   ABC   A ' AH  60

Do AA ' H vuông tại H nên A ' H  d  A '  ABC    AH .tan 60  a 3

1 9a3 Vậy V  S ABC .d  A '  ABC    .3a.a 3.sin 30.a 3  2 4 Câu 42: Đáp án A Kẻ đường sinh B ' B . Khi đó B ' B  O ' O  R 6 Ta có tan   tan AB ' B 

3 AB R 2      30 3 B'B R 6

Câu 43: Đáp án C Kẻ SO   ABC  , SH  BC  OH  BC Ta có OA 

2 2 a 3 a 3 AH  .  3 3 2 3

a 3  a2 3 .a  3 3

S xq   .OA.SA  

Câu 44: Đáp án D 2

a    .a V 3 2 2 Ta có 1   3 V2 4  a 2  8   3  2  Câu 45: Đáp án B Gọi M là trung điểm một cạnh đáy. Khi đó h  SO  SM 2  OM 2 2 1 5  5 x  x 25  10 x  5  2x      4 2 2  2  2

5 5 5  5  2x   5  2x  1  x  2 2 2 2

Theo đề h 

Câu 46: Đáp án B Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: y  2 x  2 z  12 nên tọa độ điểm C  a; 2a  2b; b  Ta có AB  1;0;1 , AC   a  1; 2a  2b  13; v  3 Suy ra  AB, AC    2a  2b  13; b  a  2;13  2a  2b  Do đó S ABC 

1 1  AB, AC    2 2

 2a  2b  13   b  a  2   13  2a  2b  2

Đặt t  a  b thì 4S2ABC   2t  13   t  2   13  2t   9t 2  100t  342 2

50  578 578    30t     3  9 9  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t  Do đó min S ABC 

50 9

17 2 50 50 khi t  . Vì thế b  a  6 9 9

8 50   Suy ra C  a;  ; a   9 9  

 x  t  8  Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình  y   t  9  8   z   9  t

Câu 47: Đáp án D Gọi I là tâm của hình vuông thì I chính là hình chiếu của C lên BD Ta có: I  1  4t ;1  t ; 1  t  nên CI   4t  2; 2  t ; t  1 Vì CI  BD nên CI .uBD  0  4  4t  2    2  t   t  1  0  t  3 2  1 1 Do đó: I 1; ;   , CI  2  2 2

I là trung điểm AC  A 1; 2;3 Tọa độ điểm B  1  4t ;1  t ; 1  t  với t 

1 4

Ta có IB  IC nên

 2  4t 

2 2 t  0 9 1  1     t     t    t2  t  0   2 2  2  t  1

Tọa độ điểm B  3; 0; 0  . Suy ra D  1;1; 1 Câu 48: Đáp án C M  d  M  2t  1; t  4; 2t 

MA2  MB 2  MC 2  9t 2  18t  12  21  9  t  1  21 2

Dấu “=” xảy ra khi t  1 Vậy max  MA2  MB 2  MC 2  khi M 1;3; 2  Câu 49: Đáp án A 5 5 Gọi I là trung điểm AB  I  ;0;  ; AB  5 2 2 2

5 5  25   M thuộc mặt cầu  S  :  x    y 2   z    2 2 4  

1 2



z  0  2 2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ  5 5 25  2 x y z          2 2 4  

Hạ MH  AB; HK   Oxy  AB / /  Oxy   HK  d  AB,  Oxy   không đổi mà MH  HK nên SABM nhỏ nhất  MH

nhỏ nhất  M nằm trên đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng

 Oxy  Mặt khác  S  tiếp xúc với mặt phẳng  Oxy  nên M   5  Vậy M  ;0;0  2 

Câu 50: Đáp án B Cách 1: Ta có  S  :  x  1  y 2   z  1  4 có tâm I 1; 0; 1 , bán kính R  2 2

 P : 2x  2 y  z  6  0

có vecto pháp tuyến là n   2; 2;1

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I 1; 0; 1 và vuông góc với  P  . Suy ra d có phương trình  x  1  2t  là  y  2t  z  1  t 

Tọa độ giao điểm A của d với mặt cầu  S  có phương trình là:

 2t    2t  2

2 7 4 1  1 4 5  t 2  4  t   . Suy ra A1  ;  ;   , A2   ;  ;   3  3 3 3  3 3 3

Dễ dàng tính được d  A1 ,  P   

13 1  d  A2 ,  P    3 3

7 4 1 Vậy tọa độ điểm A cần tìm là A  ;  ;    3 3 3

Cách 2: Giả sử điểm A  x0 ; y0 ; z0    S    x0  1  y02   z0  1  4 2

d  A,  P   

2 x0  2 y0  z0  6 3 24



2  x0  1  2 y0   z0  1  7 3



2  x0  1  2 y0   z0  1 3

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 2 2  x0  1  2 y0   z0  1  9  x0  1  y02   z0  1   9.4  6  

Suy ra d  A,  P   

13 3

 x0  12  y02   z0  12  4  Dấu “=” xảy ra khi   x  1 y z 1 0  0  0  1  2 2

7 4 1 Giải hệ phương trình này ta tìm được x 0  , y 0   , z 0   3 3 3

Vậy max d  A,  P   

13 7 4 1 khi A  ;  ;   3  3 3 3



7 3

ĐỀ SỐ 9

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề



Câu 1: Tìm nghiệm x của phương trình 2  sin 3 x  sin 2 x  sin x  1  3  2sin x  cos 2 x

thỏa mãn điều kiện sin x  A. x  k , k  .

1 . 2

B. x 

 2

 k , k  . C. x 

 6

 k , k  . D. x  .

Câu 2: Tìm m để phương trình m sin 2 x   m  2  sin 2 x  m cos 2 x  5 có hai nghiệm    x   ;  .  2 2

7 A.   m  5 . 2

B. m 

7 . 2

7  m  5. 2

7 D. m   . 2

Câu 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, ,4 ,5 ,6 lập thành số tự nhiên chẵn có 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 25000. Tính số các số lập được. A. 360.

B. 370.

C. 380.

D. 400.

Câu 4: Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số 0, 1, 2, 3, ,4 ,5 ,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời chữ số hàng đơn vị bằng tổng các chữ số hàng chục, trăm và nghìn. A.

1 . 2

1 . 8

1 . 40

2 . 3

5 2  4 3 Cn 1  Cn 1  4 An  2 Câu 5: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau  C n  4  7 A3  n 1 15 n 1

(Ở đây Ank , Cnk lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử). A. n  7

B. n  8

C. n  9

D. n  10

Câu 6: Cho dãy số u n  xác định bởi un 

1 4

n  n  n  n  2n 2  n  4 n3  3n 2  3n  1 3

,n 1.

Hãy tính tổng S  u1  u2  ...  u20184 1 . A. 2016.

B. 2017.

Câu 7: Tính giới hạn lim

x 

A. 0.

C. 2018.

D. 2019.





x 2  3000  3 x3  3000 . C.  .

B. 6.

D.  .

 x  1 khi x    2sin x  Câu 8: Cho hàm số f  x    khi    x  0 .  x  x  2 khi x  0

Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số gián đoạn tại điểm x   . B. Hàm số gián đoạn tại các điểm x  0; x   . C. Hàm số gián đoạn tại điểm x  0 . D. Hàm số không có điểm gián đoạn. Câu 9: Cho hàm số 6

f  x 

f  x   ln

3  x 

. Tìm tập nghiệm của bất phương trình



t dt 2 0 . x2

sin 

1  A. S   ; 2    ; 4  . 2 

1  B. S   ; 2    ;5  . 2 

1  C. S   ; 2    ;6  . 2 

1  D. S   ; 2    ;3  . 2 

Câu 10: Cho tứ diện S . ABC có M, N lần lượt là điểm chia SA và SC theo cùng tỉ số k. Mặt phẳng   qua MN cắt  ABC  theo giao tuyến cắt BC tại P và cắt AB tại Q. Tính tỉ số

QB QA

để MNPQ là hình bình hành. A. k.

B. 2k .

Câu 11: Đồ thị hàm số y 

1 k. 2

3 k. 2

ax  4  9   1 13  đi qua điểm A 1;  , B  ;  . Hỏi mệnh đề nào sau 3x  b  10   2 17 

đây là đúng ? 2

A. a  b  11 .

B. a  b  2 .

C. ab  35 .

a 1  . b 2

Câu 12: Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm dưới trục hoành A. y  x 4  3x 2  1 .

B. y   x3  2 x 2  x  1 .

C. y   x 4  2 x 2  2 .

D. y   x 4  4 x 2  1 .

Câu 13: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 

 2m  1 x  1 xm

có tiệm cận ngang là

y  3.

A. m  3 .

B. m  2 .

C. m  1 .

D. m .

Câu 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của m làm cho hàm số 1 y  x3  mx 2  mx  m2  5m đồng biến trên 3

A. 4 .

B. 1 .

C. 0.

D. 1.

Câu 15: Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai? A. Hàm số y  f  x  đạt cực đại tại điểm x  x0 khi và chỉ khi f   x0   0 và f "  x0   0 . B. Đồ thị của một hàm đa thức y  f  x  luôn cắt trục tung. C. Đồ thị của hàm bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. D. Đồ thị hàm số y 

2x  2  2 đi qua điểm M  2;  . x 1  3

Câu 16: Tìm giá trị của m để hàm số y  A. m  0 .

xm x2  1

B. m  1 .

đồng biến trong khoảng  0;   . C. m  1 .

D. m  2 .

Câu 17: Đồ thị hàm số y  f  x   x3  ax 2  bx  c có hai điểm cực đại là A  2;16  và B  2; 16  . Tính a  b  c .

A. 12 .

C. 6 .

B. 0.

Câu 18: Cho biết hàm số f  x   1 . Tính giá trị của  a 2  b3  44 

A. 1.

D. 3 .

ax  b đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng x2  1

n2  n  2017

, n 

. C. 1 .

B. 0.

D. 2018.

Câu 19: Giả sử M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  9 x 2  24 x  68 trên đoạn  1; 4  . Khi đó giá trị

7 . 17

8 . 17

m bằng: M

9 . 17

10 . 17

Câu 20: Một nông dân muốn rào lại bãi cỏ hình chữ nhật dọc một con sông, cạnh dọc sông không cần phải rào. Ông có 1000m lưới sắt để rào. Tính diện tích bãi cỏ lớn nhất mô tả ở trên có thể rào được. A. 125 m2.

B. 1250 m2.

C. 12500 m2.

D. 125000 m2.

 5.2 x  8  Câu 21: Gọi a là nghiệm duy nhất của phương trình log 2  x   3  x . Tính giá trị của  2 2 

biểu thức P  a

log 2  4a 

. B. P  8 .

A. P  4 .

C. P  2 .

D. P  1 .

C. T  2 .

D. T  1 .

Câu 22: Cho a, b, n  0 và a  1, ab  1 . Tính giá trị của biểu thức T 

log a n  log a b . log ab n

B. T  3 .

A. T  4 .

Câu 23: Cho 0  x, y, z  1 và thỏa mãn xyz  1 . Tính giá trị của biểu thức  x y z  S   log z  log x  log y   log x z  log y x  log z y z x    y z x

A. S  7 .

B. S  8 .

 y.  

C. S  9 .

D. S  3 .

  Câu 24: Tìm số nghiệm của phương trình 2 log 3  cot x   log 2  cos x  trong đoạn  ; 2  . 3 

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x. a.9 x   a  1 3x  2  a  1  0 .

A. a  1 .

B. a  1 .

C. a  1 .

D. a  1 .

1 Câu 26: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy  4, x  , y  1 . Tìm giá trị lớn nhất của 2 3

    biểu thức P   log 1 x    log 1 y  1 .  2   2  4

A. 

27 . 4

C. 

B. 0.

4 . 27

D. 9 .

Câu 27: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. ln x  1  x  e .

B. ln a  ln b  a  b  0 .

C. log 2017 x  0  0  x  1 .

D. log

Câu 28: Chu kì bán rã của Cacbon

1 2018

a  log

1 2018

bab0.

C là khoảng 5730 năm. Người ta tìm một mẫu đồ cổ

một lượng Cacbon và xác định nó đã mất 25% lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu? (lấy gần đúng). A. 2376 năm.

B. 2377 năm.

C. 2378 năm.

D. 2379 năm.

Câu 29: Giả sử F  x  là một họ nguyên hàm của hàm số f  x  

sin x trên khoảng  0;   . x

Tính tích phân

sin 2x dx . x 1



A. F  3  F 1 .

B. F  6   F  2  .

C. F  4   F  2  .

D. F  6   F  4  .

Câu 30: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A. A. 48 m/s.

B. 36 m/s.

Câu 31: Cho hàm số g  x  



C. 24 m/s.

D. 12 m/s.

t sin tdt xác định với mọi x  0 . Tính g   x  .

A. 2 x 2 sin  x 2   C. x 2 sin  x 2  

sin

 x .

B. 2 x 2 sin  x 2  

24 x

sin

 x .

D. x 2 sin  x 2  

24 x

sin

 x .

sin

 x .

Câu 32: Tính giá trị của a để đẳng thức  cos  x  a 2  dx  sin a xảy ra. 0

A. a   .

B. a   .

C. a  3 .

D. a  2 . e

n Câu 33: Tìm tập S tất cả các số nguyên dương n thỏa điều kiện  ln dx  e  2 . x 1

A. S  1 .

C. S  1; 2 .

B. S  2 .

D. S   .

Câu 34: Xét hình chắn phía parabol  P  : y  x 2 , phía trên đường thẳng đi qua điểm A 1; 4  và hệ số góc k. Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất. A. k  2 .

B. k  1 .

C. k  1 .

D. k  0 .

 P  : y  x 2  6 x  5 Câu 35: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền  khi quay quanh Ox : y  0

trục Oy. B. 36 .

A. 24 .

C. 48 .

D. 64 .

Câu 36: Gọi D là tập hợp các số phức z mà z  1  i   1 . Mệnh đề nào trong các mệnh sau là đúng? A. D là hình tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1. B. D là hình tròn tâm tại điểm 1; 0  , bán kính bằng 1. C. D là hình tròn tâm tại điểm  0;1 , bán kính bằng 1. D. D là hình tròn tâm tại điểm 1;1 , bán kính bằng 1. Câu 37: Đặt z  1  i   1  i  . Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng? 5

A. z là số ảo.

B. z  x  yi với x, y  0 .

C. z là số thực.

D. z  z .

Câu 38: Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức z  1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i  . 2

A. 1.

C. 220 .

B. 2.

Câu 39: Tìm m 

z1 , z2 

D. 210 .

để phương trình 2 z 2  2  m  1 z  2m  1  0 có 2 nghiệm phân biệt

thỏa mãn z1  z2  10 .

A. m  2 .





B. m 2;3  2 5 .





C. m 2;3  2 5 .

D. m  3  2 5 .

Câu 40: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi với cạnh a 3, BAD  120 và cạnh bên SA   ABCD  . Biết số đo của góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng

60 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và SC.

A. d 

a 29 . 26

B. d 

3a 39 . 26

C. d 

3a 39 . 13

D. d 

a 16 . 6

Câu 41: Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. S 

3 a 2 . 2

B. S 

 a2

C. S  2 a 2 .

D. S   a 2 .

Câu 42: Một hình trụ có bán kính đáy R  2 và thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. S   .

C. S  3 .

B. S  2 .

D. S  4 .

Câu 43: Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai? A. Đường cao bằng bán kính đáy.

B. Đường sinh hợp với đáy góc 45 .

C. Đường sinh hợp với trục góc 45 .

D. Hai đường sinh tùy ý thì vuông góc nhau.

Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA   ABC  , DA  1 và ABC là tam giác đều cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DA, DB, DC lấy 3 điểm M, N, P mà DM 1 DN 1 DP 3  ,  ,  . DA 2 DB 3 DC 4

Tính thể tích khối tứ diện MNPD. A. V 

3 . 12

B. V 

2 . 12

C. V 

3 . 96

D. V 

2 . 96

Câu 45: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm  240 cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây): * Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. * Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số

V1 . V2

V1 1  . V2 2

V1  1. V2

V1  2. V2

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm M  0; 1;1 và có vectơ chỉ phương u  1; 2;0  . Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và có vectơ pháp tuyến là n   a; b; c  với a 2  b 2  c 2  0 . Cho biết kết quả nào sau đây đúng? A. a  2b .

B. a  3b .

C. a  3b .

D. a  2b .

Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M  3;1;1 , N  4;8; 3 , P  2;9; 7 và mặt phẳng  Q  : x  2 y  z  6  0 . Đường thẳng d qua G vuông góc với  Q  . Tìm giao điểm K của mặt phẳng  Q  và đường thẳng d. Biết G là trọng tâm MNP . A. K 1; 2;1 .

B. K 1; 2; 1 .

C. K  1; 2; 1 .

D. K 1; 2; 1 .

Câu 48: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu  S  đi qua điểm M 1; 4; 1 và tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ. A.  x  3   y  3   z  3  27 .

B. x 2  y 2  z 2  3x  3 y  3z  9  0 .

C.  x  3   y  3   z  3  9 .

D. x 2  y 2  z 2  6 x  6 y  6 z  18  0 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và điểm A 1; 1; 2  . Gọi  là đường thẳng đi qua A và vuông góc với  P  . Tính bán kính của mặt cầu  S  có tâm thuộc đường thẳng  , đi qua A và tiếp xúc với  P  . 8

A. R 

3 . 2

B. R 

3 . 3

C. R 

3 . 4

D. R 

3 . 5

Câu 50: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của hai mặt cầu sau

 S1  : x 2  y 2  z 2  4 x  8 y  2 z  4  0 .  S2  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  5  0 A. Ngoài nhau.

B. Cắt nhau.

C. Tiếp xúc ngoài.

D. Tiếp xúc trong.

Đáp án 1-A

2-C

3-A

4-C

5-D

6-B

7-C

8-A

9-D

10-A

11-C

12-C

13-B

14-B

15-A

16-A

17-A

18-C

19-B

20-D

21-B

22-D

23-C

24-A

25-B

26-A

27-D

28-C

29-B

30-C

31-A

32-D

33-C

34-B

35-D

36-D

37-C

38-A

39-B

40-B

41-C

42-D

43-D

44-C

45-C

46-D

47-D

48-C

49-A

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A

sin x  0 Phương trình đã cho tương đương với 2sin x  sin x  0   . sin x   1  2 3

Do điều kiện sin x 

1 nên sin x  0  x  k , k  . 2

Câu 2: Đáp án C Phương trình đã cho tương đương với

 m  5 sin 2 x  2  m  2  sin x cos x   m  5  cos 2 x  0 * . 

Nếu m  5 thì phương trình (*) thành 6sin x cos x  0 .

      Do cos x  0, x    ;  nên sin x  0  x  0    ;  .  2 2  2 2



Nếu m  5 thì cos x  0 . Chia cả hai vế của (*) cho cos 2 x ta được

 m  5 tan 2 x  2  m  2  tan x  m  5  0 Đặt t  tan x .

t 

   thì phương trình có một giá trị duy nhất x    ;  mà t  tan x nên có hai giá trị  2 2

   x   ;  .  2 2

Khi đó   6m  21  0  m  Vậy

7 . 2

7  m  5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2

Câu 3: Đáp án A 10

Gọi số cần lập là A  a1a2 a3 a4 a5 với 1  a1  2 . + Trường hợp 1: a1  1 . Có 4 cách chọn a5 và A53 cách chọn các chữ số còn lại nên có 4. A53  240 số. + Trường hợp 2: a1  2, a2 lẻ. Có 2 cách chọn a2 , 3 cách chọn a5 và A42 cách chọn các chữ số còn lại nên có 2.3. A42  72 số. + Trường hợp 3: a1  2, a2 chẵn. Có 2 cách chọn a2 , 2 cách chọn a5 và A42 cách chọn các chữ số còn lại nên có 2.2. A42  48 số. Vậy có 240  72  48  360 số, Câu 4: Đáp án C Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một được chọn từ các chữ số 0; 1; 2; 3;4;5;6 là abcd .

a có 6 cách chọn; các số còn lại có A63 cách chọn. Suy ra số phần tử của S là 6. A63  720 Do đó n     720 . Gọi A là biến cố: “số được chọn là số chẵn đồng thời chữ số hàng đơn vị bằng tổng các chữ số hàng chục, trăm và nghìn”. d  0; 2; 4;6  d  4;6  Số được chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài nếu  .  d  a  b  c d  a  b  c  

* Trường hợp 1: Số có dạng abc 4 với a  b  c  4 suy ra tập a; b; c là 0;1;3 . Vì a,b,c đôi một khác nhau nên có 2 cách chọn a; 2 cách chọn b; 1 cách chọn c. Do đó số các số thuộc dạng này là 2.2.1  4 . * Trường hợp 2: Số có dạng abc6 với a  b  c  6 suy ra tập a; b; c có thể là một trong các tập 0;1;5 , 0; 2; 4 , 1; 2;3 . + Nếu a; b; c là tập 0;1;5 hoặc 0; 2; 4 thì mỗi trường hợp có 4 số (tương tự trường hợp trên) + Nếu a; b; c là tập 1; 2;3 thì có P3  3! = 6 số. Do đó số các số thuộc dạng này là 4  4  6  14 . Qua hai trường hợp trên, ta suy ra n  A   14  4  18 . 11

Vậy xác suất cần tìm là P  A 

n  A 18 1 .   n    720 40

Câu 5: Đáp án D Điều kiện: n  1  4  n  5 Hệ điều kiện ban đầu tương đương:   n  1 n  2  n  3 n  4   n  1 n  2  n  3 5    n  2  n  3  4.3.2.1 3.2.1 4    n  1 n  n  1 n  2  n  3  7 n  1 n n  1      5.4.3.2.1 15

n 2  9n  22  0   n 2  5n  50  0  n  10 n  5 

Vậy n  10 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 6: Đáp án B Ta có un 

1 n  n  n  n  2n 2  n  4 n3  3n 2  3n  1



1 n n  n n 1  n 1 4 n  n 1 4 n 1

 n 





n  n 1  n 1 4



n  n 1



n  4 n 1

n  4 n 1 

 



n 1  4 n

n 1  n



n 1  n



 4 n 1  4 n, n  1 Khi đó

S  u1  u2  ....  u20184 1  4 2  4 1  4 3  4 2  ...  4 20184  4 20184  1  4 20184  1  2017

Câu 7: Đáp án C Ta có lim

x 





x 2  3000  3 x3  3000        

Câu 8: Đáp án A 12

Tại điểm x   hàm số không xác định nên hàm số gián đoạn.  2sin x  Ta có lim f  x   lim  2 x 0 x 0  x 

lim f  x   lim  x  2   2  f  0  .

x 0

x 0

Do lim f  x   lim f  x   f  0  nên hàm số liên tục tại điểm x  0 . x 0

x 0

Vậy hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x   . Câu 9: Đáp án D Điều kiện

3  x 

f  x   ln

0 x3 1

3  x 

f   x   3

 ln1  3ln  3  x   3ln  3  x 

1 3  3  x   3 x 3  x 

Ta có 6



2  sin 0



t 6 1  cos t 3 3 dt   dt   t  sin t     sin     0  sin 0    3 2  0 2   0

Khi đó 6

f  x 



t 2x 1 dt  3  3  x  2 0  2   0   3  x x  2    x  3 x  2   1 .   x3 x2  x  3; x  2  x  3; x  2 2 

sin 

1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 2    ;3  . 2 

Câu 10: Đáp án A Để MNPQ là hình bình hành thì MN //PQ và MQ //NP . Khi đó MQ //SB 

QB MS  k QA MA

Câu 11: Đáp án C Do đồ thị hàm số y 

ax  4  9   1 13  đi qua hai điểm A 1;  , B  ;  nên 3x  b  10   2 17 

 9 a4 10  3  b  a  5  1 .  a4   13 b  7 2    3 17 b  2

Suy ra ab  35 . Câu 12: Đáp án C * Hàm số bậc ba bất kì luôn nhận được mọi giá trị từ  đến  nên ta có thể loại ngay hàm này, tức là đáp án (B) sai. * Trong ba đáp án còn lại, ta loại ngay đáp án (A) vì hàm bậc bốn có hệ số cao nhất x 4 là 1 nên hàm này có thể nhận giá trị  . * Trong hai đáp án (C) và (D) ta cần làm sáng tỏ:

 C  y   x4  2x2  2    x2  1

 1  0, x 

 D  y   x4  4x2  1  5   x2  2

. Cho x  0 thì y  1  0 nên đáp án này cũng bị loại.

Câu 13: Đáp án B Do lim y  2m  1 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y  2m  1 . x 

Khi đó 2m  1  3  m  2 . Câu 14: Đáp án B Hàm số đồng biến trên

 y  x 2  2mx  m  0, x 

   m2  m  0  1  m  0 .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của m là 1 . Câu 15: Đáp án A Hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x0   0 và f "  x0   0 thì x  x0 là điểm cực đại của hàm số. Nhưng x  x0 là điểm cực đại của hàm số thì chưa chắc f "  x0   0 . Lấy ví dụ y  f  x    x 4 đạt cực đại tại x  0 nhưng f "  0   0 . Câu 16: Đáp án A * Tập xác định: D  * y 

mx  1

 x  1 x 2  1 2

. .

* Hàm số đồng biến trong khoảng  0;   khi và chỉ khi y  0, x   0;     mx  1  0, x   0;   .

- Nếu m  0 thì 1  0 luôn đúng. - Nếu m  0 thì mx  1  0  x 

1 (loại). m

- Nếu m  0 thì mx  1  0  x 

1 1 . Khi đó  0  m  0 . m m

Tóm lại, m  0 . Câu 17: Đáp án A Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là A, B nên f   2   0  12  4a  b  0 và f   2   0  12  4a  b  0 .

Do A thuộc đồ thị hàm số nên 16  8  4a  2b  c . Giải hệ gồm ba phương trình trên ta thu được a  c  0; b  12 . Suy ra a  b  c  12 . Câu 18: Đáp án C Tập xác định: D 

 ax  b  4, x  2  f  x   4, x   x  1 Ta có max f  x   4    x  ax20  b  4 x0  : f  x0   4  x0  1 2  4 x  ax  4  b  0, x   2 4 x0  ax0  4  b  0 

2   a  16b  64  0  2   a  16b  64  0 

 a 2  16b  64  0 1

Đối với min f  x   1 làm tương tự, ta đi đến a 2  4b  4  0  2  x

Giải hệ gồm (1) và (2) ta được a  4, b  3 . Do n 2  n  2017  n  n  1  2017 là số lẻ n  Câu 19: Đáp án B Xét hàm số f  x   x 3  9 x 2  24 x  68, x   1; 4 .

nên  a 2  b3  44 

n 2  n  2017

 1 .

x  2 . f   x   3x 2  18 x  24  0   x  4

Ta có f  1  102; f  2   48; f  4   52 . Do đó 102  f  x   48 . Suy ra 48  f  x   102 . Vậy m  48, M  102 hay

m 8  . M 17

Câu 20: Đáp án D Gọi x là chiều rộng bãi cỏ thì chiều dài bãi cỏ sẽ là 1000  2 x . Khi đó diện tích bãi cỏ là: S  x 1000  2 x   1000 x  2 x 2 . Ta có S   x   1000  4 x  0  x  250 . Vậy max S  S 250  125000  m2  . Câu 21: Đáp án B 8 Điều kiện: x  log 2 . 5

Phương trình đã cho tương đương với 2x  4 5.2 x  8  23 x  5.22 x  16.2 x  16  0   x  x2. x 2   4  0 2 2  5

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất a  2 . Thay vào biểu thức P ta thu được P  8 . Câu 22: Đáp án D Ta có T  log a n.

log a ab  log a b  log a ab  log a b  log a a  1 . log a n

Câu 23: Đáp án C a  0, a  1 ta có log a  xyz   0  log a x  log a y  log a z  0 .

Đặt m  log a x, n  log a y, p  log a z  m  n  p  0 . Theo tính chất của lôgarit, ta viết lại biểu thức S như sau:  m  n n  p p  m  p m n  S       . m n  m  n n  p p  m   p

Ta có

m  n n  p p  m mn  m  n   np  n  p   pm  p  m     p m n mnp 

 m  n  n  p  p  m  mnp

p  n  p  p  m   m  m  n  p  m   n  m  n  n  p  p m n    mn n p pm  m  n  n  p  p  m  



mn  m  n   np  n  p   pm  p  m    m3  n3  p 3  3mnp   6mnp

 m  n  n  p  p  m 

mn   p   np  m   pm  n   6mnp 9mnp .   m  n  n  p  p  m   m  n  n  p  p  m 

Vậy S  9 Câu 24: Đáp án A cos x  0 Điều kiện:  . cot x  0

Đặt 2 log 3  cot x   log 2  cos x   t . t 2

Ta có cot x  3 , cos x  2t  cot 2 x  3t , cos 2 x  4t . Mặt khác, cot 2  

cos2  ,   k nên 1  cos2  t

4t 4 3   3t  12t  4t  4t     1 1 t 1 4 3 t

Để ý rằng t  1 là một nghiệm của phương trình (1). Ta sẽ chứng minh t  1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Thật vậy, vế trái của (1) là một hàm đồng biến theo t và vế phải là hàm hằng nên t  1 là nghiệm duy nhất. Với cos x 

1   x    k 2 , k  . 2 3

So điều kiện, chọn x 

 3

 k 2 , k  .

   Mà x   ; 2  nên chỉ có x  . 3 3  Câu 25: Đáp án B Đặt t  3x  0 . Bất phương trình đã cho trở thành 17

at 2  9  a  1 t  a  1  0  a 

9t  1 . t  9t  1 2

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a  max f  t  với f  t   t 0;  

Ta có f   t  

9t 2  2

 t 2  9t  1

9t  1 . t  9t  1 2

 0, t  0  f  t  là hàm nghịch biến trên  0;   .

Suy ra f  t   f  0   1 . Do đó

9t  1  1, t  0 nên các giá trị của a cần tìm là a  1 . t  9t  1 2

Câu 26: Đáp án A Thay y 

4 vào biểu thức P và biến đổi ta thu được x

P  9  log 2   27 log 2 x  27 . 2

Do y  1 nên x  4 . Suy ra

1  x  4 . Đặt t  log 2 x , khi đó 1  t  2 . 2

Xét hàm số f  t   9t 2  27t  27, t   1; 2 . Ta có f   t   18t  27; f   t   0  t 

3 . 2

 3  27 f  1  63; f  2   9; f    . 2 4

Vậy max P  

27  x  2 2, y  2 . 4

Câu 27: Đáp án D Mệnh đề D sai bởi vì y  log

log

1 2018

a  log

1 2018

x là hàm nghịch biến trong khoảng

 0;  

nên

b  0 a b.

Câu 28: Đáp án C Giả sử tại thời điểm ban đầu mẫu đồ cổ có chứa khối lươgnj Cacbon là m0 và tại thời điểm t (tính từ thời điểm ban đầu), khối lượng đó là m  t  thì ta có

 ln 2

 ln 2 t 5730

m  t   m0 .e 5730  75%m0  m0 t

 t  2378 (năm).

Câu 29: Đáp án B Đặt t  2 x  dt  2dx . Đổi cận: x  1  t  2; x  3  t  6 . F  x  

sin x sin u dx  F  u    du x u

sin 2 x sin 2 x sin 2 x sin u 1 x dx  1 2 2 x dx  1 x dx  2 u du  F  6   F  2  .

Câu 30: Đáp án C Gọi gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều của chất điểm A là a thì vận tốc của A là v A  t   at . Tại thời điểm t  8 ta có vA  8  a.8  6  a 

3 m / s2  .  4

Quãng đường A chuyển động được trong 8 giây đầu là 8

3 3  S1    t  dt  t 2  24 m . 4  8 0 0 8

Thời gian A chuyển động đều cho đến lúc gặp B là 12 giây. Quãng đường A đi được trong chuyển động đều là S2  6.12  72m . Quãng đường A đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp B là

S  S1  S2  24  72  96m . Gọi gia tốc của B là b thì vận tốc của B là vB  t   bt . Quãng đường B đi được từ lúc xuất phát đến lúc gặp A là 96 m. 8

bt 2  32b  96  b  3 m / s 2 . Ta có S   btdt  2 0 0

Vận tốc của B tại thời điểm gặp A là vB  8   3.8  24 m/s . Câu 31: Đáp án A

 x. sin  x  f  x F x Khi đó g   x   2 xF   x   .  2 xf  x    2 x sin  x   2 x 2 x 2 x Đặt f  t   t sin t . Theo định nghĩa tích phân ta có g  x   F  x 2   F 2

Câu 32: Đáp án D 19

2 2 2 2 2 2  cos  x  a  dx   cos  x  a  d  x  a   sin  x  a   sin  a  a   sin  a  4

Với a  2 ta có sin





2  2  sin





2 .

Câu 33: Đáp án C e

n e I   ln dx    ln n  ln x  dx  x ln n 1   ln xdx x 1 1 1

  e  1 ln n   x ln x  x  1   e  1 ln n  1 e

Với n  1 ta có I  1  e  2 . Với n  2 ta có I  e ln 2   ln 2  1   e  1 ln 2  1  e  1  1  e  2 . Câu 34: Đáp án B Đường thẳng d đi qua A 1; 4  với hệ số góc k có phương trình y  k  x  1  4

Phương trình hoành độ giao điểm (P) và d là: x 2  k  x  1  4  x 2  kx  k  4  0 .

Ta có   k 2  4  k  4   k 2  4k  16   k  2   12  0, k  2

Suy ra phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt và giả sử rằng hai nghiệm đó x1  x2 . x2

1 S    k  x  1  4  x 2  dx  ...  6

k

 4k  16 



3 1  2 k  2   12  4 3   6 

Vậy min S  4 3 khi và chỉ khi k  2 . Câu 35: Đáp án D Vẽ đồ thị hàm số y  x 2  6 x  5 .

 P

có tọa độ đỉnh là B  3; 4  , cắt trục hoành tại A 1; 0  , C  5; 0  .

AB có phương trình x  y  4  3; BC có phương trình x  0

VOy   

4





y  4  3 dy   

4





y  4  3 dy  64 .

Câu 36: Đáp án D 20

y4 3.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Từ z  1  i   1 suy ra M nằm trên hình tròn tâm tại điểm 1;1 (là điểm biểu diễn số phức 1 i ) và bán kính R  1 . Câu 37: Đáp án C 5

Ta có 1  i    C5k .i k ; 1  i    C5k  1 i k . Suy ra trong biểu thức 5

k 0

1  i   1  i  5

k 0

chỉ chứa i 0 ; i 2 ; i 4 nên 1  i   1  i   5

Câu 38: Đáp án A

1  i   1  1  i  z i 1  i   1 21

Ta có

1

1  i 2    

1  i   1

 210   210  1 i .

Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 1. Câu 39: Đáp án B Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 

   0 .

Trường hợp 1:   0 . Ta có: z1  z2  10  z12  z22  2 z1 z2  10   z1  z2   2 z1 z2  2 z1 z2  10  1  m    2m  1  2m  1  10 2

Giải tìm được m  3  2 5 Trường hợp 2:   0 . Ta có: z1  z2  10 

1  m 

  m2  6m  1  10  m  2 . 2

Vậy m  3  2 5, m  2 là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán. Câu 40: Đáp án B Gọi O  AC  BD .  BD  AC Ta có   BD   SAC  tại O.  BD  SC

Kẻ OI  SC  OI là đoạn vuông góc chung của BD và SC. Lại có ICO ∽ ACS nên suy ra OI  Vậy d 

3a 39 . 26

Câu 41: Đáp án C Gọi O là tâm hình vuông của mặt đáy. Khi đó O cũng là tâm của mặt cầu. 2

a 2 a2 Ta có R  SO  a   .   2  2  2

S  4 R 2  2 a 2 .

Câu 42: Đáp án D Ta có S  2 Rl  2 . 2. 2  4 . Câu 43: Đáp án D Sai vì thiết diện qua trục là tam giác vuông cân nghĩa là hai đường sinh tạo thành một mặt phẳng chứa SO mới vuông góc với nhau, còn hai đường sinh bất kì thì chưa chắc vuông góc. Câu 44: Đáp án C 1 3 3 Ta có VABCD  . .1  . 3 4 12 VDMNP DM DN DP 1 1 3 1 1 3 3  . .  . .  . Do đó VDMNP  .  . VDABC DA DB DC 2 3 4 8 8 12 96

Câu 45: Đáp án C Ban đầu bán kính đáy là R, sau khi cắt và gò ta được 2 khối trụ có bán kính đáy là cao của các khối trụ không thay đổi.

 R2h R Ta có: V1  Sd .h   .R .h; V2  2  Sd 1.h   2   .h  . 2 2 2

Khi đó:

V1  2 V2

Câu 46: Đáp án D Đường thẳng d đi qua M  0; 1;1 và có vectơ chỉ phương là u  1; 2;0  . Do d   P  nên u.n  0  a  2b  0  a  2b . Câu 47: Đáp án D

MNP có trọng tâm G  3; 6; 3 . Đường thẳng d qua G và vuông góc với  Q  có phương trình là:

R . Đường 2

x  3  t   y  6  2t ; t  .  z  3  t  K  d   Q   tọa độ điểm K ứng với tham số t là nghiệm của phương trình: 3  t  2  6  2t    3  t   6  0  t  2  K 1; 2; 1 .

Câu 48: Đáp án C Phương trình mặt cầu ở đáp án (C) có tâm I  3;3; 3 và bán kính R  3 nên R  xI  y I  z I .

Do đó  S  tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ. Hơn nữa M thỏa mãn phương trình  S  nên M   S  . Câu 49: Đáp án A Do  vuông góc với (P) nên  có vectơ chỉ phương u  n p  1; 1;1 . x  1 t  Phương trình đường thẳng  qua A 1; 1; 2  là:  y  1  t . z  2  t 

Gọi tâm I    I 1  t , 1  t , 2  t  . Lúc đó R  IA  d  I ,  P    3t 2 

Vậy R 

3  3t 3

t 

1 2

3 . 2

Câu 50: Đáp án B

 S1 

có tâm I1  2; 4;1 và bán kính R1  5 .

 S 2  có tâm

I 2  1; 2; 2  và bán kính R2  2 .

I1 I 2  46 .

Để ý rằng R1  R2  I1 I 2  R1  R2 cho nên  S1  và  S 2  cắt nhau.

ĐỀ SỐ 10

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề



Câu 1: Tìm số nghiệm của phương trình A. 1.

cos x 1  . 5 x

B. 2.

C. 3.

D. 4.

sin 3 x.sin 3 x  cos 3 x cos 3 x 1  . Câu 2: Tìm các họ nghiệm của phương trình   8   tan  x   .tan  x   6 3  

A. x   C. x  

 6

 k  k   k 2  k 

.

B. x 

.



D. x 

 k  k 



 k 2  k 

. .

Câu 3: Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu. A. 42913.

B. 42912.

C. 429000.

D. 42910.

Câu 4: Cho tập X  1, 2,3, 4,5 . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập X. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5. A.

12 . 25

Câu 5: Tìm n 

12 . 23

21 . 25

21 . 23

sao cho Cn1  3Cn2  7Cn3  ...   2n  1 Cnn  32 n  2n  6480 .

A. n  4 .

B. n  5 .

Câu 6: Cho dãy số u n 

C. n  6 .

D. n  7 .

u1  2  u1  2u2  ....   n  1 un 1 . xác định bởi  u  n  n  n 2  1 

Tìm lim  n  2018  un . 3

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. lim

x 

x15  x  x3   . x3  1

B. lim

x 

x4  3  0. x3  5

x  x8  1  0. x  x3  1

x2  x  0. x  x  x

C. lim

D. lim

 x2  n  Câu 8: Cho hàm số f  x   2mx  3 m  3 

Tính  m  n 

2018

 m 1     n 

A. 0.

khi x  1 khi x  1 liên tục tại điểm x  1 . khi x  1

2019

: C. 1 .

B. 1.

D. 2.

Câu 9: Tính đạo hàm cấp n  n  1 của hàm số y  sin  ax  b  .

  A. y  n   a sin  a n x  b  n  . 2 

  B. y  n   a n sin  ax  b  n  . 2 

  C. y  n   a n sin  ax  b n  n  . 2 

  D. y  n   a sin  a n x  b n  n  . 2 

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh A  3; 7  , trực tâm H  3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I  2;0  . Xác định tung độ đỉnh C. A. yC  1 .

B. yC  3 .

C. yC  3 .

D. yC  1 .

Câu 11: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y  2 x3  9 x 2  12 x  4 . Giá trị của m để phương trình 2 x  9 x 2  12 x  m có 6 nghiệm phân 3

biệt là: A. 0  m  1

B. 4  m  5

C. 0  m  4

D. 1  m  5

Câu 12: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y  x 4  x 2 .

  C.  2;  2  , 



  D.  2; 2  ,  

A. 2;  2 ,  2; 2 .

B.  2; 2 ,



2;2 .

 2;2  .

2; 2 .

Câu 13: Tìm giá trị của m để hàm số y  4 x 3   m  3 x 2  mx  4m3  m 2 đồng biến trên khoảng  0;   . A. m  0 .

B. m  0 .

C. m  0 . 2

D. m  0 .

Câu 14: Tìm giá trị của m theo a,b để hàm số

y  a sin x  b cos x  mx  a 2  2b 2 luôn đồng biến trên A. m   a 2  b 2 .

B. m  a 2  b 2 .

C. m   a 2  b 2 .

D. m  a 2  b 2 .

Câu 15: Đồ thị hàm số f  x   x 3  9 x 2  24 x  4 có điểm cực tiểu và điểm cực đại lần lượt là  x1 ; y1  ,  x2 ; y2  . Tính x1 y2  x2 y1 . A. 56 .

B. 56.

C. 136.

D. 136 .

Câu 16: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

m  1 A.  . m  5  1  2

 m  1 B.  . m  5  1  2

m  1 C.  . m  5  1  2

 m  1 D.  . m  5  1  2

Câu 17: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1  sin 6 x  cos6 x 2017 . Tính giá trị của  5M  6m  1 . y 4 4 1  sin x  cos x A. 0.

B. 2017.

C. 1.

D. 1 .

Câu 18: Thể tích V của 1kg nước ở nhiệt độ T  0  T  30  được cho bởi công thức V  999,87  0, 06426T  0, 0085043T 2  0, 0000679 T 3  cm3  .

Ở nhiệt độ nào nước có khối lượng riêng lớn nhất? A. T  3,9665  C  .

B. T  4,9665  C  .

C. T  5,9665  C  .

D. T  6,9665  C  .

Câu 19: Cho hàm số y  x  x 2  x  1 . Mệnh đề trong các mệnh đề sau là đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. Câu 20: Cho hàm số y 

2x  3  C  . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc x 3

(C). Biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có diện tích lớn nhất.

A. M 1;1 , M  3;3  .

 3  5 B. M  0;  , M  4;  .  2  2

 3 C. M 1;1 , M  0;  .  2

 5 D. M  3;3 , M  4;  .  2

4x Câu 21: Cho hàm số f  x   x . 4 2

 1  Hãy tính tổng S  f    2019 

A. 2018.

 2  f   ...   2017 

 2018  f .  2019 

B. 2019.

C. 1009.

D. 4037.

Câu 22: Xét các mệnh đề sau: (I). “a là cạnh huyền của một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là b,c khi và chỉ khi log c  a  b   log c  a  b   2 ”. (II). “Nếu 0  x 

 2

thì log sin x 1  cos x   log sin x 1  cos x   2 ”.

Lựa chọn phương án đúng. A. Chỉ có (I) đúng.

B. Chỉ có (II) đúng.

C. (I) và (II) đều sai.

D. (I) và (II) đều đúng.

Câu 23: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

 2a  A. S 

x2  4 x  6

 1  a 2 

x2  4 x  6

 1  a 2 

x2  4 x 6

C. S   0;1 .

B. S   .

với 0  a  1 . D. S   1;1 .

Câu 24: Cho log a 4  u và log a 3  v . Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng? A. log 2a 12   u  v  . B. log 2a 12   u  v  . 2

D. log a2 12 

C. log 2a 12  u 2v 2 .

u2 . v2

Câu 25: Cho hàm số y   x .x . TÍnh đạo hàm y’ của hàm số. A. y  x . x 1   x ln  

B. y   x .x 1  x ln    

C. y   x .x 1  x ln    

D. y   x .x 1   x ln  

Câu 26: Tìm giá trị của m để bất phương trình 2sin x  3cos x  m.3sin 2

A. m  4 .

B. m  4 .



C. m  1 .



Câu 27: Cho biểu thức M  log a a b  log sau đây là đúng nhất? 4

 a b   log

có nghiệm. D. m  1 .

b 0  a, b  1 . Mệnh đề nào

A. 2M  log M 16 .

B. 2 M  log 1 M

1 . 16

C. 2M  log M 15 .

D. M  4

Câu 28: Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ   , người ta dùng một máy đếm xung. Khi chất này phóng xạ ra các hạt   , các hạt này đập vào máy và khi đó, trong máy xuất hiện một xung điện và bộ đếm tăng thêm 1 đơn vị. Ban đầu máy đếm được 960 xung trong vòng một phút nhưng sau đó 3 giờ chỉ còn 120 xung trong một phút (với cùng điều kiện). Hỏi chu kì bán rã của chất này là bao nhiêu giờ? A. 0,5 giờ.

B. 1 giờ. a 2

Câu 29: Tính tích phân I   0

A. I 

 2  1 a . 2

C. 1,5 giờ.

D. 2 giờ.

x dx theo a. ax

B. I 

 2  1 a .

C. I 

  2  a .

D. I 

  2  a . 4

1  ln t 1 dt  . 2 t 1 x

Câu 30: Tính tích phân hai nghiệm của phương trình

 e

A. 1. Câu 31: Từ đẳng thức

1 . e2

C. 2e .

4 . e2

1  4cos3 u  2sin 2 v  C   f  t  dt có tìm được hàm số y  f  x  5 t

hay không ? A. Không tìm được hàm số y  f  x  .

x6 B. Tìm được hàm số y  f  x    . 5 C. Tìm được hàm số y  f  x   

5 . x6

D. Tìm được hàm số y  f  x  khác với kết quả ở (B), (C). Câu 32: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn

 a; b 

và thỏa mãn điều kiện

f  x   f  a  b  x  , x   a; b  .

Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A.

 xf  x  dx    a  b   f  x  dx .

B. 5

 xf  x  dx   a  b   f  x  dx .

 xf  x  dx   a

ab f  x  dx . 2 a b

 xf  x  dx  a

ab f  x  dx . 2 a b

Câu 33: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y   x  1 , x  sin xy và 0  y  1 . 2

1  .  3

1  .  3





1 . 2





1 . 2

Câu 34: Một ống hình trụ rỗng đường kính a được đặt xuyên qua tâm hình cầu bán kính a. Tìm thể tích phần còn lại của hình cầu. A.

 3 2

a3 .

B.  3a3 .

 2 3

a3 .

D.  2a 3 .

Câu 35: Gọi h  t  (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng h  t  

13 t  8 và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước 5

được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 1,66 cm.

B. 2,66 cm.

C. 3,66 cm.

1  3i  Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z 

D. 4,66 cm.

1 i

A. 8.

B. 8 .

. Tìm mô đun của số phức z  iz . C. 8 2 .

D. 16.

Câu 37: Cho số phức z  a  bi thỏa z  2iz  3  3i . Tính giá trị của biểu thức P  a 2016  b 2017 .

A. 0.

B. 2.

34032  32017 52017

D. 

Câu 38: Cho số phức z 3  z . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng. A. z  1 . B. z có thể nhận giá trị là số thực hoặc thuần ảo. C. Phần thực của z không lớn hơn 1. D. Đáp án B và C đều đúng.

 z1  2i  2 iz1  1  Câu 39: Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn điều kiện  z2  2i  2 iz2  1 .   z1  z2  1 Tính P  z1  z2 . 6

34032  32017 52017

C. 15 .

D. 17 .

Câu 40: Cho tứ diện S.ABC. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho MS  2MC . Gọi N là trung điểm cạnh SB. Tính tỉ số thể tích hai tứ diện SAMN và SACB. A.

1 . 3

1 . 2

1 . 6

2 . 3

Câu 41: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy 2a, cạnh bên hợp với cạnh đáy góc

45 . Tính diện tích xung quanh của hình chóp. A. 4a 2 .

B. 3a 2 .

C. 2a 2 .

D. a 2 .

Câu 42: Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; cạnh bên trùng với đáy một góc  sao cho A’ có hình chiếu xuống mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm của

ABC . Tính thể tích khối lăng trụ. A.

a3 tan  . 4

a3 cot  . 4

a3 tan  . 12

a3 cot  . 12

Câu 43: Một hình nón tròn xoay có bán kính bằng chiều cao và bằng 1. Gọi O là tâm của đường tròn đáy. Xét thiết diện qua đỉnh S hình nón là tam giác đều SAB. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  . A.

3 . 3

C. 2 3 .

2 3 . 3

Câu 44: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB  3, BC  4 . Hai mặt bên  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với  ABC  và SC hợp với  ABC  góc 45 . Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp S.ABC. A. V 

5 2 . 3

B. V 

25 2 . 3

C. V 

125 3 . 3

D. V 

125 2 . 3

Câu 45: Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0  x  2 .

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón. 7

2 3  R3 . 27

2  R3 . 27

2 3  R3 9

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

4 3  R3 . 27

x 1 y z và hai   2 1 2

điểm A  2;1; 0  , B  2;3; 2  . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. A.  x  1   y  1   z  2   17

B.  x  1  y 2  z 2  17

C.  x  3   y  1   z  2   17

D.  x  5   y  2    z  4   17

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng  Q  : 4 x  3 y  12 z  1  0 và tiếp xúc với mặt cầu

 S  : x2  y 2  z 2  2x  4 y  6z  2  0 . A. 4 x  3 y  12 z  78  0; 4 x  3 y  12 z  26  0 B. 4 x  3 y  12 z  78  0; 4 x  3 y  12 z  26  0 C. 4 x  3 y  12 z  78  0; 4 x  3 y  12 z  26  0 D. 4 x  3 y  12 z  78  0; 4 x  3 y  12 z  26  0 Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2;3 và đường thẳng d1 :

x 2 y  2 z 3 x 1 y 1 z 1 và d 2 : .     2 1 2 1 1 1

Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d 2 . A.

x 1 y  2 z  3   5 1 3

x 1 y  2 z  3   3 1 5

x 1 y  2 z  3   1 3 5

x 1 y  2 z  3   1 3 5

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;1;1 và đường thẳng d:

x 1 y z  1   . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và cắt d sao cho khoảng 2 2 1

cách từ gốc tọa độ đến  là nhỏ nhất. A.

x 1 y  2 z 1   1 3 9

x 1 y  2 z 1   1 3 9

x 1 y  2 z 1   3 1 9

x 1 y  2 z 1   9 1 3

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 S  :  x  1   y  1   z  1 2

 9 và đường thẳng d :

x 3 y 3 z 2 .   1 1 2

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. A. x  y  z  4  0

B. x  y  z  4  0

C. x  y  z  4  0

D. x  y  z  4  0

Đáp án 1-B

2-A

3-D

4-A

5-A

6-D

7-D

8-D

9-B

10-C

11-B

12-C

13-B

14-C

15-B

16-A

17-D

18-A

19-A

20-A

21-C

22-D

23-A

24-A

25-C

26-A

27-A

28-B

29-A

30-B

31-C

32-D

33-B

34-A

35-B

36-C

37-B

38-D

39-B

40-A

41-A

42-A

43-B

44-D

45-A

46-A

47-D

48-C

49-B

50-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B x  0 cos x 1    Ta có x. 5 x  cos x  5

Số nghiệm phương trình

cos x 1 x  là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y  cos x và y  . x 5 5

Để ý rằng đường thẳng y 

x cắt đồ thị hàm số y  cos x tại hai điểm (trừ điểm x  0 ) nên 5

phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Hãy xem hình vẽ dưới đây:

Câu 2: Đáp án A Điều kiện: x 

 6

 k  k 

.

        Ta có tan  x   .tan  x    tan  x   .cot   x   1 . 6 3 6    6  Phương trình đã cho tương đương với sin 3 x.sin 3x  cos3 x.cos 3x  

1 8

1  cos 2 x cos 2 x  cos 4 x 1  cos 2 x cos 2 x  cos 4 x 1 . .   2 2 2 2 8

 2  cos 2 x  cos 2 x.cos 4 x  

1 1  2cos 2 x. 1  cos 4 x   2 2

  x   k  1 1 6  cos3 2 x   cos 2 x    k  8 2  x     k  6 Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta chọn x  

 6

 k  k 



.

Câu 3: Đáp án D Số cách chọn 9 viên tùy ý là C189 . Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là: * Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng là 8. * Không có bi xanh: Có C139 cách. * Không có bi vàng: Có C159 cách. Mặt khác trong các cách chọn không có bi xanh, không có bi vàng thì C109 cách chọn 9 viên bi đỏ được tính hai lần. Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là: 10

C109  C189  C139  C159  42910 cách. Câu 4: Đáp án A Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập X là: 5.4.3  60 . Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2  24 và số các số có mặt chữ số 5 là

60  24  36 . Gọi A là biến cố hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số được viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5. Rõ ràng A và B xung khắc. Do đó áp dụng quy tắc cộng xác suất ta có: P  A  B   P  A  P  B  

1 1 1 1 C36 .C36 C24 .C24 13 .   1 1 1 1 C60 .C60 C60 .C60 25

Vậy xác suất cần tìm là P  1  P  A  B   1 

13 12 .  25 25

Câu 5: Đáp án A Ta có 1  x   Cn0  Cn1 .x  Cn2 .x 2  Cn3 .x3  ...  Cnn .x n . n

Lấy đạo hàm hai vế, ta được n 1  x 

n 1

 Cn1  2Cn2 .x  3Cn3 .x 2  ...  nCnn . x n 1 .

Lấy tích phân hai vế, ta được: 2

n  1  x 

n 1

dx  Cn1  dx  2Cn2  xdx  3Cn3  x 2 dx  ...  nCnn  x n 1dx .

Tính toán các tích phân trên, ta được: Cn1  3Cn2  7Cn3  ...   2n  1 Cnn  3n  2n

Theo đề ta có: 3n  2n  32 n  2n  6480  32 n  3n  6480  0 . Giải phương trình mũ này ta tìm được n  4 . Vậy n  4 là nghiệm của phương trình đã cho. Câu 6: Đáp án D 1 Ta có u2  . 3

Với n  3 ta có u1  2u2  ...   n  1 un 1   nun  n  n 2  1 un  nun  n3un

 n  1   n  1   n  1 u  nu  nun   n  1 un 1  n  3      un 1 n  n  n   n 1 3

3 n

Từ (1) suy ra 2 2 2 un un un 1 u3  n  1   n  2   2    n n  1 3  12 . ...   . ...   2   .  ...    .  u2 un 1 un 2 u2  n   n  1   3    n  1 n 4  n  n  1

 un 

4 . n  n  1 2

Vậy lim  n  2018  un  4 . 3

Câu 7: Đáp án D 1 x  x x3   .  lim Bởi vì lim x  x  1 x x  1  3 x x 1

Câu 8: Đáp án D Ta có lim f  x   lim  2mx  3  2m  3 . x 1

x 1

lim f  x   lim f  x 2  n   1  n .

x 1

x 1

m  5 Hàm số liên tục tại điểm x  1 khi và chỉ khi: 2m  3  1  n  m  2   . n  6

Vậy  m  n 

2018

 m 1     n 

2019

 2.

Câu 9: Đáp án B

  y  a sin  ax  b   2    y "  a 2 sin  ax  b  2.  2  ………………

  n Chứng minh rằng bằng quy nạp ta thu được y    a n sin  ax  b  n  . 2  Câu 10: Đáp án C Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua điểm I. Rõ ràng tứ giác AHCB’ là hình bình hành, cho nên BC  AH , tức là C  TAH  B 

Do B     là đường tròn ngoại tiếp ABC nên 12

B       TAH     C         

Dễ dàng lập được phương trình của các đường tròn

 x  2

 

và

 

lần lượt như sau

 y 2  74;  x  2    y  6   74 . 2

 x  2 2  y 2  74  x  2  65   Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình  .   2 2 y   3  x y     2 6 74       Do đó yC  3 . Câu 11: Đáp án B Đặt f  x   2 x 3  12 x 2  9 x  4  f  x  , x  0 . Ta có f  x     f   x  , x  0

Do f  x  là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Như vậy đồ thị của nó gồm hai phần: 

Phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số y  f  x  .



Đối xứng phần đồ thị trên qua trục tung. Ta có 2 x  9 x 2  12 x  m 3

 2 x  9 x 2  12 x  4  m  4 3

Phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt  Đường thẳng y  m  4 cắt đồ thị hàm số f  x  tại 6 điểm phân biệt

 0  m  4 1 4  m  5 Câu 12: Đáp án C * Tập xác định D   2; 2 . * y 

4  2x2 4  x2

, x   2; 2  .

* y  0  x   2 .





* Lập bảng biến thiên và suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;  2 , Câu 13: Đáp án B * Tập xác định: D  13



2;2 .

* Đạo hàm y  12 x 2  2  m  3 x  m . Cách 1 Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   khi và chỉ khi y  0, x   0;   khi và chỉ khi phương trình y  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc phương trình y  0 có nghiệm

x1 , x2 thỏa x1  x2  0 .  m  3  2  0     0 m  3  m  3  2  0       0 m  3       m3    m0. S  0   m  3  6  0      P  0  m  0 m  0 12

Vậy m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 2 Chịu khó quan sát, chúng ta sẽ thấy phương trình y  0 luôn có nghiệm 1 m x   ,x   . 2 6

Hàm số đồng b iến trên khoảng  0;   khi và chỉ khi y  0, x   0;   khi và chỉ khi phương trình y  0 có nghiệm kép hoặc phương trình y  0 có nghiệm x1 , x2 thỏa

x1  x2  0 khi và chỉ khi    0 m  3  m 1      0  0  m  3  m  0 .   2 6  m  m  3 1     0 2  6

Vậy m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách 3 Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   khi và chỉ khi y  0, x   0;   .  12 x 2  2  m  3 x  m  0, x   0;    m  2 x  1  12 x 2  6 x, x   0;  

 m  6 x, x   0;    m  Max  6 x   0 . x 0;  

Vậy m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 14: Đáp án C * y  a cos x  b sin x  m . * Hàm số đồng biến trên

y  0, x 

khi và chỉ khi

 a sin x  b cos x  m, x 

 m  min f  x  . x

với f  x   a sin x  b cos x . * Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

f  x   a 2  b2   a 2  b2  f  x   a 2  b2 . Vậy m   a 2  b 2 . Câu 15: Đáp án B * f   x   3x 2  18 x  24 . x  2 * f  x  0   . x  4

* Lập bảng biến thiên và suy ra  x1 ; y1    4; 20  ,  x2 ; y2    2; 24  . Suy ra x1 y2  x2 y1  56 . Câu 16: Đáp án A Tập xác định: D  Đạo hàm y  4 x3  4mx  4 x  x 2  m  . x  0 y  0   2 . x  m

Hàm số có 3 cực trị  phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó  m  0 . Cách 1 Giả sử 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:



 

A  0; m  1 , B  m; m2  m  1 , C



m ; m 2  m  1 .

Vì A  Oy và B, C đối xứng nhau qua Oy nên ABC cân tại A. 15

SABC 

Theo đề: R 

1 yB  y A xC  xB  m2 m ; AB  AC  m 4  m , BC  2 m . 2

 m 4  m  2 m  1  m3  2m  1  0 . AB. AC.BC 1 4SABC 4m 2 m

m  1 m  1  0    m  1  m  m  1  0   2  1  5 .     m m 1 0  m   2 2

m  1 So với điều kiện m  0 ta suy ra  . m  5  1  2 Cách 2 Vì A  Oy và B, C đối xứng nhau qua Oy nên tâm đường tròn ngoại tiếp I của ABC thuộc Oy. Giả sử I  0; t  .

 1  2m  t  1  Theo giả thiết ta có IA  IC  1   . 2 2 m m 2 m 1 t 1          Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 1  2m  t  1 t  2m 1  2m  t  1  t  2  2m .  

Trường hợp 1: Nếu t  2m thì

m   m2  2m  1  2m   1  m4  2m2  m  0 . Loại vì m  0 . 2

Trường hợp 2: Nếu t  2  2m thì

m   m 2  2m  2  2m 

 m  0   1  m 4  2m 2  m  0   m  1   m  1  5  2

m  1 So với điều kiện m  0 ta suy ra  . m  5  1  2 Câu 17: Đáp án D 16

3 2  sin 2 2 x 4 Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi hàm số về dạng: y  . 1 2 2  sin 2 x 2

Đặt t  sin 2 2 x, 0  t  1 . 3 2 t 4  3t  8 , t   0;1 . Xét hàm số f  t   1 1  t 2t  8 2

Ta có f   t  

8

 2t  8

 0, t   0;1  f  t  đồng biến trên  0;1 .

Do đó M  f  0   1, m  f 1  Vậy  5M  6m 1

2017

5 . 6

 5  5 1 

2017

 1 .

Câu 18: Đáp án A Xét hàm số V T   999,87  0, 06426T  0, 0085043T 2  0, 0000679T 3 với T   0;30  . V  T   0, 06426  0, 0170086T  2, 037.10 4 T 2 .

T  2,9665 . Do T   0;30  nên loại nghiệm T  79,5317 . V  T   0   T  79,5317

Lập bảng biến thiên và suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất tại T  3,9665 . Câu 19: Đáp án A Tập xác định: D  Ta có: lim y  lim x 

x 

x  x 2  x  1  lim

x 

x 1 x  x  x 1 2

Do đó đồ thị của hàm số có một tiệm cận ngang là y 



2 . 2

Câu 20: Đáp án A  2x  3  1 Ta có: M  x0 ; 0 .    C  , x0  2, y  x0   2 x0  2   x0  2  

Phương trình tiếp tuyến  với  C  tại M:  : y  17

1

 x0  2 

 x  x0  

2 x0  3 . x0  2

 2x  2  Tọa độ giao điểm J, K của  và hai tiệm cận là: J  2; 0  , K  2 x0  2; 2  .  x0  2 

Ta có

xJ  xK 2  2 x0  2 y  yK 2 x0  3   x0  xM , J   yM x0  2 2 2 2

=> M là trung điểm JK. Mặt khác I  2; 2  và IJK vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp IJK có diện tích: 2     2 x0  3   1 2 2 S   IM    x0  2     2      x0  2    2 . 2   x0  2    x0  2    2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x0  2  

 x0  2 

 x0  1  M 1;1  .  x0  3  M  3;3

Câu 21: Đáp án C Nếu a  b  1 thì f  a   f  b   1 . Áp dụng kết quả này ta có   1    1009   2018     2   2017    1010   S f   f     f   f     ...   f   f    2019     2019   2019    2019     2019    2019 

 1  1  ...  1  1009 . 1009

Câu 22: Đáp án D * Xét mệnh đề  I  : log c  a  b   log c  a  b   2  log c  a  b  a  b   2  a 2  b 2  c 2 (luôn đúng)

* Xét mệnh đề  II  : log sin x 1  cos x   log sin x 1  cos x   2  logsin x 1  cos 2 x   2  1  cos 2 x  sin 2 x (luôn đúng).

Câu 23: Đáp án A Chia cả hai vế của bất phương trình cho 1  a 2   2a   2   1 a 

Đặt a  tan

x2  4 x  6

 1  a2   2   1 a 

x2  4 x  6

1.

t t   với 0    0  t  . 2 2 4 2

x2  4 x  6

 0 ta được:

Khi đó

2a 1  a2 và  t sin  cos2 t . 2 2 1 a 1 a  x  2 2  2

Bất phương trình đã cho tương đương với  sin t   x  2 2  2

Bất phương trình (*) luôn đúng vì  sin t  Vậy S 

 x  2 2  2

  cos t 

 1 *

 x  2 2  2

 sin 2 t và  cos t 

 cos2 t .

Câu 24: Đáp án A Ta có log 2a 12   log a 4.3   u  v  . 2

Câu 25: Đáp án C Ta có y   x  .x   x .  x    x .x 1   x ln   . Câu 26: Đáp án A Chia cả hai vế của bất phương trình cho 3sin x  0 ta được: 2

2   3

sin 2 x

1  3.   9

sin 2 x

2 Xét hàm số f  x     3

m. sin 2 x

1  3.   9

sin 2 x

Hàm số f  x  là hàm nghịch biến. 1

2 1  2 1 Ta có 0  sin x  1     3.    f  x      3.   hay 1  f  x   4 . 3 9  3 9 2

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m  4 . Câu 27: Đáp án A

















Ta có M  log a a b  2log a a 4 b  3logb b  log a a b  log a a 2 b  3  a b  1  log a  2   3  log a  3  2 . a a b

Câu 28: Đáp án B Gọi N1 là số hạt   được phóng ra trong khoảng thời gian t1 kể từ thời điểm ban đầu. Ta có N1  N 01  N1  N 01 1  e k t1  với N 01 là số hạt phóng xạ   ban đầu. Sau 3 giờ, số nguyên tử còn lại trong chất phóng xạ là N02  N01.e3k . 19

Kể từ thời điểm này, trong khoảng thời gian t2 thì số hạt   tạo thành là N 2  N02  N01  N02 1  e k t2  .

Cho t1  t2  1 phút thì theo giả thiết, ta có N1  960, N 2  120 . Khi đó N1 120  e 3k   e 3k  81  e 3k  k  ln 2 . N 2 960

Vậy T 

k  1 (giờ) là chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. ln 2

Câu 29: Đáp án A Đặt x  a sin 2 t  dx  2a sin t cos tdt . Đổi cận: x  0  t  0; x   4

Khi đó I   0

a  t  2 4 

4   2  a . a sin t 2   .2 .sin .cos 2 sin a t tdt a t 0 4 a 1  sin 2 t  2

Câu 30: Đáp án B x 1  ln t  1  ln t 1 1 dt    1  ln t  d 1  ln t    Ta có  t 2 2 2 1 1 x

1  ln x  

2 x

 1 e

x  1 ln x  0 1 2   1  ln x   1    .  x  12 ln 2 x   2  e 

Do đó tích hai nghiệm của phương trình là

1 . e2

Câu 31: Đáp án C Từ đẳng thức đã cho, lấy đạo hàm hai vế ta được:  Do đó f  x   

1 . 2

5 . x6

Câu 32: Đáp án D Đặt t  a  b  x  dx  dt Đổi cận: x  a  t  b; x  b  t  a .

5  f t  . t6

Khi đó :

 xf  x  dx   xf  a  b  x  dx    a  b  t  f t  dt    a  b  t  f t  dt b

  a  b   f  t  dt   tf  t  dt   a  b   f  x  dx   xf  x  dx b

Do đó

 xf  x  dx  a

ab f  x  dx . 2 a b

Câu 33: Đáp án B Ta có x  sin  y   1;1  x  1  0 . Mà 0  y  1 nên y   x  1  x  y  1 . 2





Vậy S   sin  y  y  1 dy  0

1  .  3

Câu 34: Đáp án A Ta xem hình cầu được sinh bởi khi quay hình tròn  C  : x 2  y 2  a 2 quanh Oy và hình trụ sinh bởi phần mặt phẳng của hai đường thẳng x  0; x 

a quay quanh Oy. 2

Ta có y 2  a 2  x 2  y   a 2  x 2 . Thể tích cần tìm là: 3 4 2 2 2 V  4  x a  x dx  2   a  x  d  a  x    a  x  3 a a a

Câu 35: Đáp án B Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: 6

4 12  3 h  6    h  t  dt    t  8  3    2, 66  cm  5 0  20 0 6

Câu 36: Đáp án C Ta có z 



1  3i



1 i



 4  4i  z  4  4i  z  iz  8  8i .

Vậy z  iz  82  82  8 2 Câu 37: Đáp án B 21

a 2

 3 2

Ta có z  a  bi  iz  ai  b  z  2iz   a  2b    b  2a  i . a  2b  3 Suy ra   a  b  1  P  12016  12017  2 . 2 3 b a   

Câu 38: Đáp án D z 0 3 . Ta có z 3  z  z  z 3  z  z    z  1

Do đó khẳng định A là sai. Nhận thấy z  1, z  i thỏa mãn phương trình nên B đúng. Rõ ràng từ z  0, z  1 thì phần thực của z không lớn hơn 1 nên khẳng định C cũng đúng. Câu 39: Đáp án B Đặt z1  a  bi, z2  c  di với a, b, c, d  Ta có P  z1  z2 

 a  c   b  d  2

 a 2  b 2  c 2  d 2  2ac  2bd .

 a 2   b  2 2  2 1  b 2  a 2  z1  2i  2 iz1  1    2 2 Theo đề ta có  z2  2i  2 iz2  1   c 2   d  2   2 1  d   c 2   2 2 z  z 1   a  c   b  d   1  1 2 

a 2  b 2  2 a 2  b 2  c 2  d 2  4   c 2  d 2  2  .   ac bd 2 2 3 a 2  b 2  c 2  d 2  2ac  2bd  1  

Suy ra P  a 2  b 2  c 2  d 2  2ac  2bd  7 . Câu 40: Đáp án A Ta có

VS . AMN SA SM SN 2 1 1   1. .  . . . VS . ACB SA SC SB 3 2 3

Câu 41: Đáp án A Kẻ SI  AB . Khi đó SAI là tam giác vuông cân nên SI  AI  a . 1  Vậy S xq  4.  .2 a. a   4 a 2 . 2 

Câu 42: Đáp án A

2 a 3 a 3 .tan   .tan  . Đường cao của lăng trụ h  . 3 2 3 V

a2 3 a 3 a3 . tan   tan  . 4 3 4

Câu 43: Đáp án B

OSA vuông cân OA  OS  1 .

SAB đều suy ra AB  2 . Kẻ OI  AB  OI 

1 2 AB  . 2 2

Kẻ OH  SI  OH  d 

3 . 3

Câu 44: Đáp án D Ta có AC  5  SAB    ABC    SA   ABC   SAC    ABC    SA   SAB    SAC 

 SCA  45  SA  SC  5 . 3

3 4  SC  4  5 2  125 2 Do đó V    .      3  2  3  2  3

Câu 45: Đáp án A 1 Thể tích cái phễu là V   r 2 h . 3

Ta có chu vi đáy là 2 r  Rx . Suy ra r 

Rx R2 x2 R , h  R2  r 2  R2   2 2 4 2

4 2  x 2 .

R3 x 2 4 2  x 2 1 Do đó V   r 2 h   0  x  2  . 3 24 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có V

3R 3 2 2 .x . . 4 2  x 2 2 48 3

3R 3 2  4 2 3R3 2  16 2  2 2  x    x2  .x .    4  x   2 2 2.48 3  2.48  3  2



1 3R 3  2  16 2 1 3R 3 16 4 2 3 2      R3 . . x x      2  2 8 48  9 27  3   8 48

 2 2 2  3   4  x 2 2 Dấu bằng có khi và chỉ khi   x 16 3 2 2 2 x    x  3 Vậy max V 

2 3 2 2  R 3 khi và chỉ khi x  . 27 3

Câu 46: Đáp án A Tâm I  d  I 1  2t ; t ; 2 t   I  1; 1; 2  IA2  IB 2  t  1   .  R  IA  17

Vậy phương trình mặt cầu  S  là  x  1   y  1   z  2   17 . 2

Câu 47: Đáp án D

Q 

có vectơ pháp tuyến là n   4;3; 12  .

S 

có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  4 .

 P  //  Q   P

nên  P  : 4 x  3 y  12 z  d  0 (với d  1 ).

tiếp xúc với  S   d  I ,  P    R 

4.1  3.2  12.3  d 16  9  44

 d  26  4  d  26  52   .  d  78

Vậy  P  có phương trình 4 x  3 y  12 z  78  0; 4 x  3 y  12 z  26  0 . Câu 48: Đáp án C x  1 t  d 2 có phương trình tham số là  y  1  2t .  z  1  t 

d1 có vectơ chỉ phương u   2; 1;1 . Gọi B  d  d 2 , khi đó B  d 2  B 1  t ;1  2t ; 1  t   AB   t ; 2t  1; t  4  .

Theo giả thiết d  d1  AB.u  0  t  1  AB  1; 3; 5 . Vậy phương trình đường thẳng  là

x 1 y  2 z  3 .   3 5 1

Câu 49: Đáp án B Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P) qua A và chứa d. Khi đó

 P  : 3x  2 y  z  4  0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên  P  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

 x  3t  y  2t  6 4 2  H  ; ;  .  7 7 7  z  t 3x  2 y  z  4  0 Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên  , khi ấy d  O;    OK  OH . d  O;   nhỏ nhất  K  H  H  .

Đường thẳng  qua hai điểm A và H nên có phương trình là x 1 y  2 z 1 . (Rõ ràng  cắt d).   1 3 9

Câu 50: Đáp án A Mặt cầu  S  có tâm I 1;1;1 và bán kính R  3 . Gọi K là hình chiếu của I lên  P  , H là hình chiếu của I lên d và r là bán kính đường tròn tức giao tuyến của  P  với  S  . Khi đó ta có r  R2  IK 2  R2  IH 2 . Dấu “=” xảy ra  K  H . Từ đó suy ra để  P  cắt  S  theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì  P  phải vuông góc với IH. x  3  t  Phương trình tham số của d là  y  3  t  H  3  t ;3  t ; 2  2t  .  z  2  2t 

Do IH  d nên ta có IH .ud  0  t  1  H  2; 2;0  .

 P

qua H  2; 2;0  và nhận IH  1;1; 1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình

x y z4  0.

ĐỀ SỐ 11 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Cho góc  thỏa mãn điều kiện    

3 và tan   2 . Tính giá trị của biểu thức 2

   5  2   . M  sin 2   sin      sin  2   2  A.

1 . 5

B. 

1 . 5

1 5 . 5

1 5 . 5

Câu 2: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  sin 5 x  3 cos x . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai? A. M  m  0 .

C. M  m  2 3 .

B. Mm  3 .

3n  n Câu 3: Tìm hệ số của x trong khai triển P  x   1  x 3 8  4

 x 

M 1. m

n4

với x  0 . Biết n là số

nguyên dương thỏa mãn điều kiện An2  3Cnn2  Cn31  An21  2n . A. 28.

B. 78.

C. 218.

D. 80.

Câu 4: Tìm số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3. A. 7330.

B. 7300.

C. 7400.

D. 7440.

Câu 5: Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thứ vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó. A.

2 . 3

2 . 5

2 . 7

2 . 9

Câu 6: Cho dãy số  xn  xác định bởi:   x1  0 . Hãy tìm lim xn .  2 2  3  n  2  xn 1  2  n  1 xn   n  4  , n  1

A. 0.

B. 1.

C. 2.

  Câu 7: Tính giới hạn lim  3 x  3 x  3 x  3 x  . x   

D. 3.

A.  .

B. 0.

1 . 2

D. 3.

Câu 8: Cho hàm số y   x 2  1 e x . Tính vi phân của y. 1 2 A. dy  e x  x  1 dx . 2

B. dy  e x  x  1 dx .

C. dy  e x  x  1 dx .

D. dy  e x  x  1 dx .

 x  2a  b Câu 9: Cho hàm số f  x    2 ax  bx  2

trị của biểu thức P   a  b  A. 0.

2018

 a  b  1

2019

khi x  1 khi x  1

có đạo hàm tại điểm x0  1 . Tính giá

 3a  2b .

C. 1 .

B. 1.

D. 5.

Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  :  x  1   y  2   4 . Viết phương 2

trình đường tròn ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k  2 và phép tịnh tiến theo vectơ v  1; 2  . A.  x  3   y  6   16 .

B.  x  3   y  6   4 .

C.  x  1   y  2   16 .

D.  x  1   y  2   4 .

Câu 11: Hình vẽ sau đây thể hiện sự tương giao giữa đồ thị

C 

của hàm số

y   x 4  3x 2  1 và đường thẳng y  m  1 .

Dựa vào hình vẽ trên, hãy xác định m để phương trình x 4  3x 2  m  0 có 3 nghiệm phân biệt. A. m  0 .

B. 0  m  1 .

C. 0  m  1 .

x 2  8 x  24 Câu 12: Xét chiều biến thiên của hàm số y  . x2  4 2

D. m  1 .

A. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 2  ,  2;1 ,  4;   và đồng biến trên mỗi khoảng 1; 2  ,  2; 4  . B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2  ,  2;1 ,  4;   và nghịch biến trên mỗi khoảng 1; 2  ,  2; 4  . C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2  ,  2;1 và nghịch biến trên mỗi khoảng

1; 2  ,  2; 4  ,  4;   . D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 2  ,  2;1 và đồng biến trên mỗi khoảng

1; 2  ,  2; 4  ,  4;   . Câu 13: Tìm giá trị của m để hàm số y  x  m  sin x  cos x  m  luôn đồng biến trên A. 

2 2 m . 2 2

B. 0  m 

2 . 2

2  m  0. 2

C. 

Câu 14: Cho hàm số f  x  có đạo hàm là f   x    x  1  x3  8

2018

D.  2  m  2 . . Mệnh đề nào sau đây

đúng? A. Hàm số f  x  chỉ có một cực tiểu; B. Hàm số f  x  chỉ có một cực đại; C. Hàm số f  x  có một cực đại và một cực tiểu; D. Hàm số f  x  không có cực trị. Câu 15: Tìm giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số y   x 4  2mx 2  4 nằm trên các trục tọa độ. A. m   ; 0   2

B. m   ; 0  2

C. m   ;0   2 D. m  2

Câu 16: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f  x   x6  4 1  x 2  trên đoạn  1;1 . Tính giá trị của 3

M  2. m

M 3  . m 2

M . m

M 4  . m 3

M  3. m

Câu 17: Tìm giá trị của m để đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị  C  của hàm số y

x 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 0  AOB  90 . x 1

A. m  4 .

B. m  5 .

Câu 18: Tìm m để đồ thị hàm số y 

C. m  5 .

D. m  5 .

x3  2018 có hai tiệm cận song song với Oy. x2  4 x  m

A. m  2 hoặc m  2 .

B. m  2 hoặc m  2 .

C. m  4 hoặc m  4 .

D. m  1 hoặc m  1 .

Câu 19: Cho hàm số y 

x2  x  1 có đồ thị  C  và điểm M  x0 ; y0    C  . Biết rằng điểm M x 1

thuộc nhánh bên phải tiệm cận đứng của  C  . Tìm x0 để điểm M ở gần điểm I  1; 1 nhất. A. x0  1 

1 . 2

1 1. 2

B. x0 

C. x0  1 

1 . 2

D. x0  1 

1 . 2

1 Câu 20: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s  t 2  t 3 . Tính thời điểm t (giây) tại đó 6

vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. A. t  0,5 .

B. t  1 .

C. t  2 .

D. t  2,5 .

Câu 21: Cho x, y  0 thỏa mãn log 9 x  log 6 y  log  x  y  . Tính tỉ số

x 2. y

x 1  . y 2

x 5 1 .  y 2

x . y

x 5 1 .  y 2

Câu 22: Tìm số bộ số  x; y; z  thỏa mãn các điều kiện sau:

2 x  3y  5z  10; 2 x3 y5z  30; xyz  1 A. 1.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Câu 23: Tìm giá trị của m để hàm số y  log 2 log3  m  2  x 2  2  m  3 x  m  xác định trên A. m  2 .

B. m 

7 . 3

C. 2  m 

7 . 3

D. m  2 .

Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số y  log 2 x  3 x  1 . A. y 

1 .  3x  1 ln  2 x 

B. y 

3 .  3x  1 ln  2 x 

C. y 

3x ln  2 x    3 x  1 ln  3 x  1 x  3x  1 ln  2 x  

D. y 

3x ln  2 x    3 x  1 ln  3 x  1 x 2  3x  1 ln  2 x   2

Câu 25: Cho a, b, c, d là bốn số dương tạo thành một cấp số nhân với công bội q  1 . Xét dãy số log a, log b, log c, log d . Mệnh đề nào là đúng? A. Dãy là cấp số nhân. B. Dãy không phải là cấp số nhân, cấp số cộng. C. Dãy là cấp số cọng. D. Dãy là dãy giảm. Câu 26: Cho a  log 2 3; b  log3 5; c  log 7 2 . Tính theo a, b, c giá trị của log140 63 . A. log140 63 

2ac  1 . abc  2c  1

B. log140 63 

2ac  1 . abc  2c  1

C. log140 63 

2ac  1 . abc  2c  1

D. log140 63 

2abc  1 . abc  2c  1

Câu 27: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của mỗi học sinh được tính theo công thức M  t   75  20 ln 1  t  , t  0 (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%? A. 24 tháng.

C. 2 năm 1 tháng.

B. 20 tháng.

D. 2 năm.

Câu 28: Cho số thực a, b, c thỏa mãn 1  a  b  c . Bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   0 . B. log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   3 . C. log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   3 . D. log a  log a b   logb  logb c   log c  log c a   3 3 . 2  x  1 , x  0 Câu 29: Cho hàm số f  x    . Tìm k để 2 k 1  x  , x  0

A. k  1 .

B. k  2 .

Câu 30: Cho hàm số g  x  

 f  x  dx  1 .

1

C. k  3 .

t 2 1  t 2  1 dt . Tính đạo hàm g   x  . 2x 3x

D. k  4 .

A. g   x  

9 x2 1 . 9 x2  1

B. g   x  

9 x2 1 4 x2 1 . C. g   x   2  9 x  1 4 x2  1

D. g   x  

4 x2 1 . 4 x2  1 3  9 x 2  1 9x2  1



2  4 x 2  1 4 x2  1

Câu 31: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

 C1  : x  4 y  y 2  0

và  C2  : x  2 y  y 2  0 .

A. 11.

B. 10.

C. 9.

Câu 32: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip  E  : A.

4  ab 2 . 3

4 2 a b. 3

D. 8. x2 y 2   1 quay quanh trục Ox. a 2 b2

3  ab 2 . 4

3 2 a b. 4

3ea  1 . Mệnh đề nào là đúng? Câu 33: Cho I   x ln xdx  b 1 e

a 1  . b 2

B. a  b  20 .

C. ab  60 .

D. a  b  12 .

4 x2  4 x  3 Câu 34: Cho hàm số f  x  biết f  0   1 và f   x   . Biết nguyên hàm của 2x  1 f  x  có dạng F  x   ax 2  bx  ln 2 x  1  c . Tính tỉ lệ a : b : c .

A. a : b : c  1: 2 :1 .

B. a : b : c  1:1:1.

C. a : b : c  2 : 2 :1 .

Câu 35: Một vật chuyển động với vận tốc v  t  (m/s) có gia tốc v  t  

D. a : b : c  1: 2 : 2 . 3 (m/s2). Vận tốc t 1

ban đầu của vật là 6 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) A. 10 m/s.

B. 11 m/s.

C. 12 m/s.

D. 13 m/s.

Câu 36: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1; z1  z2  3 . Tính z1  z2 . A. 4.

B. 3.

C. 2.

Câu 37: Cho số phức z  a   a  3 i với a 

D. 1.

. Tìm a để khoảng cách từ điểm biểu diễn

của số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất. A.

2 . 3

3 . 2

2 . 3

Câu 38: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa z  z  i  z  z   2z . A. Đườn tròn đơn vị. 6

B. Tia phân giác của góc phần tư thứ nhất (bao gồm cả gốc tọa độ). C. Đường thẳng có phương trình y  x  1 D. Đường elip có phương trình

x2  y 2  1. 4

Câu 39: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3, z2  4, z1  z2  37 . Tìm các số phức z

z1 . z2

3 3 3 i. A. z    8 8

3 3 3 i. B. z   8 8

3 3 3 i. C. z    4 4

D. z 

3 3 3  i. 4 4

Câu 40: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với

AB  a, AC  a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC. ABC . Tính 3 V  A. 1.

V 1 . a3

C. a 2 .

B. a.

D. a 3 .

Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt đáy và SA  AB  a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. A.

a 2 . 2

B. a.

a 5 . 2

a 3 . 2

Câu 42: Một hình chữ nhật ABCD có AB  a và BAC   với 0    90 . Cho hình chữ nhật đó quay quanh cạnh AB, tam giác ABC tạo thành một hình nón có diện tích xung quanh là S. Mệnh đề nào là sai? A. S 

 a 2 tan  . cos 

B. S 

C. S   a 2 sin  1  tan 2   .

 a 2 sin  . cos 2 

D. S   a 2 tan  .

Câu 43: Cho hình trụ trục OO , đường tròn đáy  C  và  C   . Xét hình nón đỉnh O’, đáy

C 

có đường sinh hợp với đáy góc   0    90  . Cho biết tỉ số diện tích xung quanh của

hình lăng trụ và hình nón bằng A. 30 .

3 . Tính giá trị  .

B. 45 .

C. 60 . 7

D. Kết quả khác.

Câu 44: Cho hình nón tròn xoay đáy là đường tròn  C  tâm O, bán kính R  SO 

3 , đường cao 2

3 . Xét hình cầu tâm I, nhận  O  làm đường tròn nhỏ và nhận tất cả đường sinh của 2

hình nón làm tiếp tuyến. Tính thể tích hình cầu. A. V 

 3

B. V 

2 . 3

C. V 

4 . 3

D. V 

5 . 3

Câu 45: Một hợp đựng Chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x  x0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là V0 . Tìm V0 . A. 48 đvtt.

B. 16 đvtt.

C. 64 đvtt.

64 đvtt. 3

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 S  : x2  y2  z 2  4x  4 y  4z  0

và điểm A  4; 4; 0  .

Viết phương trình mặt phẳng  OAB  , biết điểm B   S  và tam giác OAB đều. A. x  y  z  0, x  y  z  0 .

B. x  y  z  0, x  y  z  0 .

C. x  y  z  0, x  y  z  0 .

D. x  y  z  0, x  y  z  0 .

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A 1;0;5  , B  2; 2;6  và đường thẳng :

x y2 z4   và mặt phẳng   : 2 x  y  z  3  0 . Tìm điểm M nằm trên mặt phẳng 1 2 1

sao cho MB 

6 và ABM  60 . 2

 3 13  A. M 1; ;  .  2 2

B. M  0;0;3 .

 

C. M 1;1; 6  .

1  D. M  ; 2;6  . 2 

 x  3  2t  Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :  y  1  t  t  z  3  t 



và

mặt phẳng có phương trình   : x  2 y  z  5  0 . Gọi A là giao điểm của  và   . Tìm điểm B  , C    sao cho BA  2 BC  6 và ABC  60 .  5 5  1 11  A. B  3; 1;3 , C   ;0;  hoặc B  1;0; 4  , C  ;0;  . 2  2 2 2  5 5  1 11  B. B  3; 1;3 , C   ;0;  hoặc B 1;1;5  , C  ;0;  . 2  2 2 2  5 5  1 11  C. B  3; 1;3 , C   ;0;  hoặc B  7; 3;1 , C  ;0;  . 2  2 2 2  5 5  1 11  D. B  3; 1;3 , C   ;0;  hoặc B  3; 2;6  , C  ;0;  . 2  2 2 2

Câu 49: Trong không gian tọa độ cho đường thẳng d :

 P  : x  y  z  2  0 . Gọi M

x  3 y  2 z 1 và mặt phẳng   2 1 1

là giao điểm của d và  P  . Viết phương trình đường thẳng 

nằm trong mặt phẳng  P  , vuông góc với d đồng thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới  bằng

42 .

x 5 y  2 z 5 x 3 y  4 z 5 . ;     2 1 2 1 3 3

x 5 y  2 z 5 x 3 y  4 z 5 . ;     1 2 1 2 3 3

x 5 y  2 z 5 x 3 y  4 z 5   ;   . 2 3 1 2 3 1

x 5 y  2 z 5 x 3 y  4 z 5     ; . 3 3 2 1 2 1

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ và A  3; 1; 2  , B 1;5;1 , C  2;3;3  . Tìm tọa độ điểm D của hình thang cân. A. D  4; 3;0  .

 164 51 48  1 1 1 ;  ;  . C. D  ; ;  . B. D  49 49   49 2 3 4

D. D  4;3;0  .

Đáp án 1-C

2-D

3-B

4-D

5-A

6-B

7-C

8-C

9-D

10-A

11-A

12-B

13-A

14-A

15-B

16-D

17-C

18-B

19-B

20-C

21-C

22-C

23-B

24-C

25-C

26-B

27-C

28-A

29-C

30-D

31-C

32-A

33-B

34-B

35-D

36-D

37-C

38-B

39-A

40-B

41-D

42-D

43-C

44-C

45-A

46-B

47-A

48-B

49-D

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C Ta có

3 1 nên cos   0  1  tan 2   1  4  5 . Vì     2 2 cos 

Suy ra cos   

1 . 5

   5   2   sin 2   cos   cos 2 Khi đó M  sin 2   sin      sin  2   2  1 1 1 5 .  sin 2   cos   2cos 2   1  cos 2   cos     5 5 5

Câu 2: Đáp án D Ta có sin5 x  sin 4 x  y  sin 4 x  3 cos x . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 2

1  cos x 1  cos x 1  cos x    2  2cos x 1  cos x 1  cos x  1  2  2cos x  1  cos x  1  cos x  32    3   2 3  27 3

 3  1  cos x 1  cos x 1  cos x   0 2  1  cos x   3  1  cos x 1  cos x    0  

 3 1  cos x   sin 4 x  0  sin 4 x  3 cos x  3

M  max y  3  cos x  1  x  k 2 , k  Ta lại có y   sin 4 x  3 cos x . Tương tự như trên, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 10

1 2

1  cos x 1  cos x 1  cos x    2  2cos x 1  cos x 1  cos x  32  3 27



 3  1  cos x 1  cos x 1  cos x   0 2  1  cos x   3  1  cos x 1  cos x    0  

  sin 4 x  3 cos x   3

m  min y   3  cos x  1  x    k 2 , k  . Do đó

M  1 . Vì vậy, mệnh đề D sai. m

Câu 3: Đáp án B An2  3Cnn  2  Cn31  An21  2n *

Điều kiện: n  , n  2 . Với điều kiện trên, (*) tương đương với: 3 1 n  n  1  n  n  1  n  n  1 n  1  n  n  1  2n 6 6 

3 1  n  1   n2  1  n  1  2  n  8 2 6



Khi đó : P  x   1  2 x  3 x 4

  C4k .  3

k 0

4 k

4k 3

k 0

Hệ số của số hạng x ứng với Vì i, k 

  C 4

k 4

 3

4 k

4 k 3

1   2 1 2 x     

 Cki 2i x 2 . i 0

4k i   1  2k  3i  2 . 3 2

và i  k  4 nên ta suy ra : k  4; i  2 hoặc k  2; i  0 .

Như vậy hệ số của x trong khai triển là: C44 .  3 .C42 .22  C42 .  3 .C20 .20  78 . 0

Câu 4: Đáp án D Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Số phải tìm chứa bộ 123. Lấy 4 chữ số  0; 4;5;6;7;8;9 : có A74 cách 11

Cài bộ 123 vào vị trí đầu, hoặc cuối, hoặc giữa hai chữ số liền nhau trong 4 chữ số vừa lấy: có 5 cách. Suy ra có 5A74  5.840  4200 số gồm 7 chữ số khác nhau trong đó chứa bộ 123 Trong các số trên, có 4 A63  4.120  480 số có chữ số 0 đứng đầu. Suy ra có 5 A74  4 A63  3720 số phải tìm trong đó có mặt bộ 123 Trường hợp 2: Số phải tìm có mặt bộ 321 (lập luận tương tự) Có 3720 số gồm 7 chữ số khác nhau, có mặt 321 Tóm lại, có 3720.2  7440 số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền 2 chữ số 1 và 3. Câu 5: Đáp án A Xét các dãy số  x1 , x2 , x3  , trong đó  x1 , x2 , x3  là một hoán vị của ba số 1,2,3 (ở đây xi  i , tức là lá thư i đã bỏ đúng địa chỉ). Gọi  là tập hợp tất cả các khả năng bỏ 3 lá thư vào 3 phong bì. Khi đó   3!  6 . Gọi A là biến cố: “Có ít nhât 1 lá thư bỏ đúng phong bì”. Các khả năng thuận lợi của A là

1, 2,3 ; 1,3, 2  ;  3, 2,1 ;  2,1,3 . Do vậy Từ đó P  A 

A 



A  4 .

4 2  . 6 3

Câu 6: Đáp án B Ta có: 3  n  2  xn21  2  n  1 xn2   n  4  , n  1  3  n  2  xn21  2  n  1 xn2  2  n  1  3  n  2  , n  1

 3  n  2   xn21  1  2  n  1  xn2  1 , n  1

2 n 1 yn . Đặt yn  xn2  1 . Khi đó yn 1  . 3 n2

Suy ra yn 1 

2  n  1

2n 2 2 ... y1    3  n  2  3  n  1 3 3 .

n 1

1 y1 hay lim yn  0 . n2

Vậy lim xn  1 . Câu 7: Đáp án C   Ta có lim  3 x  3 x  3 x  3 x  x   

3x  3x

 lim

x 

1 3x

1  lim

3x  3x  3x  3x

x 

1



1 1  2 1 3x 9 x

1 . 2

Câu 8: Đáp án C Ta có y  2 xe x   x 2  1 e x  e x  x 2  2 x  1  e x  x  1 . 2

Vậy dy  e x  x  1 dx . 2

Câu 9: Đáp án D Do f có đạo hàm tại điểm x0  1 nên f liên tục tại điểm x0  1 . Khi đó

lim f  x   lim f  x   f 1  lim  ax 2  bx  c   lim  x  2a  b   f

x 1

x 1

1

 a  b  2  2a  b  1  a  1 . x  2  b Với a  1 , hàm số f  x  trở thành f  x    2  x  bx  2

khi x  1 khi x  1

f  x  có đạo hàm tại điểm x0  1 khi và chỉ khi

lim

x 1

f  x   f 1 x 1

 lim

f  x   f 1

x 1

x 1

 lim x 1

x 2  bx  2  b  3 x  2bb3 .  lim x 1 x 1 x 1

 lim  x  b  1  lim1  b  2  1  b  1  x 1

x 1

Suy ra a  b  0 . Vậy P  5 . Câu 10: Đáp án A  x  2 x * VO;2 : M  x; y   M   x; y   OM   2OM   .  y  2 y  x "  x  1 * Tv : M   x; y   M "  x "; y"   .  y "  y  2

Do đó phép đồng dạng F : M  x; y   M   x; y   có tọa độ thỏa mãn hệ thức x x  1   x  2  2   y  y  y  2  2 2

2 2  x  1   y  2  Do M  x; y    C  nên   1    2   4   x  3   y  6   16 .  2   2  2

Vậy ảnh của (C) qua F là đường tròn có phương trình  x  3   y  6   16 . 2

Câu 11: Đáp án A * x 4  3x 2  m  0   x 4  3x 2  1  m  1 . * Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y  m  1 . * Dựa vào đồ thị, phương trình có 3 nghiệm phân biệt  m  1  1  m  0 . Câu 12: Đáp án B * Tập xác định: D  * y 

\ 2; 2 .

8 x 2  40 x  32 .  x2  4

x  1 * y  0   . x  4 * Lập bảng biến thiên và suy ra chiều biến thiên của hàm số là đồng biến trên mỗi khoảng

 ; 2  ,  2;1 ,  4;  

và nghịch biến trên mỗi khoảng 1; 2  ,  2; 4  .

Câu 13: Đáp án A

  * y  1  m  cos x  sin x   1  2m sin  x   . 4    * Đặt t  sin  x   với t   1;1 , ta có f  t   1  2mt . 4  * Để hàm số đồng biến trên

thì

1  2m  0  f  1  0 f  t   0, t   1;1     f 1  0 1  2m  0

 2 m   2 2  2   m . 2 2 m  2  2

Câu 14: Đáp án A * Tập xác định: D 

x  1 * f  x  0   . (Lưu ý x  2 là nghiệm bội). x  2

* Dấu của f   x  là dấu của x  1 . Nhận thấy đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . Câu 15: Đáp án B x  0 . Ta có: y  4 x3  4mx  4 x   x 2  m  ; y  0   2  x m 

* Nếu m  0 thì  Cm  chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục tung. * Nếu m  0 thì  Cm  có 3 điểm cực trị. Một điểm cực tiểu nằm trên trục tung và hai điểm





cực đại có tọa độ  m ; m2  4 ,



m; m2  4 . Hai điểm cực đại này chỉ có thể nằm trên trục

hoành. Do đó m 2  4  0  m  2 . Nhưng do m  0 nên chọn m  2 . Vậy m    ;0   2 là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 16: Đáp án D Đặt t  x 2 . Do x   1;1 nên t   0;1 . Khi đó g  t   3t 3  12t 2  12t  4 . g   t   9t 2  24t  12 .

t  2 g   t   0   2 . (Loại t  2 ). t   3 2 4 Ta có g  0   4; g    ; g 1  1 . 3 9

Suy ra M  4, m 

Vậy

4 . 9

M  3. m

Câu 17: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x  1 x 1  .  2x  m   2 x 1   f  x   2 x   m  3 x  m  1  0

  m 2  2m  7  0,  m Ta có  .  f 1  2  0

=> d luôn cắt  C  tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ các điểm A, B. Khi đó

AOB nhọn  cos AOB 

OA2  OB 2  AB 2  0  OA2  OB  AB 2 . 2.OA.OB

 x12   2 x1  m   x22   2 x2  m   5  x2  x1  . 2

Sử dụng định lí Viet và giải bất phương trình theo m ta thu được m  5 . Câu 18: Đáp án B Xét tam thức bậc hai f  x   x 2  mx  1 . f  x  có   m 2  4

Khi m  2 hoặc m  2 thì f  x  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Do đó đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng x  x1 , x  x2 song song với Oy. Câu 19: Đáp án B  1  M   C   M  x0 ; x0   với x0  1 .  x 1 0   2

 1  1 2 IM   x0  1   x0  1  2 2 2 2.   2  x0  1  2 x0  1   x0  1  2

IM ngắn nhất  2  x0  1 

 x0  1

 x0 

1 1 4 2

(do x0  1 vì M nằm trên nhánh phải của đồ thị  C  ). Câu 20: Đáp án C 1 Xét hàm số s  t 2  t 3 , t   0;   . 6 1 Vận tốc của chuyển động là v  s  2t  t 2 . 2

Ta có v  2  t ; v  0  t  2 . Lập bảng biến thiên và suy ra max v  t 0;  

8  t  2. 3

Câu 21: Đáp án C Đặt log 9 x  log 6 y  log 4  x  y   t  x  9t , y  6t , x  y  4t .

 3 t 5 1    2t t 2 2 3 3 Khi đó 9t  6t  4t        1  0   .  3 t  5 1 2 2    0 2  2 

5 1 x 9t  3  .  t    2 y 6 2 t

Hơn nữa

Câu 22: Đáp án C Xét các bộ số  x; y; z    log 2 a;log 3 b;log 5 c  trong đó a, b, c là hoán vị của 2;3;5 . Với các bộ số này thì điều kiện thứ ba của bài toán luôn được thỏa mãn. Ta lại thấy 2 x  3 y  5z  2log2 a  3log3 b  5log5 c  a  b  c  2  3  5  10 . Và 2 x.3 y.5z  2log2 x.3log3 b.5log5 c  abc  2.3.5  30 . Do đó các bộ xác định như trên luôn thỏa mãn các điều kiện đã cho. Do đó số các hoán vị của

2;3;5

là 3!  6 .

Câu 23: Đáp án B Hàm số đã cho xác định trên

 log3  m  2  x 2  2  m  3 x  m   0, x   f  x    m  2  x 2  2  m  3 x  m  1  0, x 

* Nếu m  2 thì f  x   2 x  1  0  x 

 *

1 . 2

a  m  2  0 7 * Nếu m  2 thì *   m . 3   3m  7  0

Câu 24: Đáp án C Ta có y  log 2 x  3x  1 

ln  3x  1 ln 2 x

ln  3 x  1  .ln  2 x   ln  3 x  1 ln  2 x    Suy ra y  2 ln  2 x  

3 2 ln  2 x   ln  3 x  1 3 x ln 2 x  3 x  1 ln 3 x  1      . 2x  3x  1  2 2 x  3 x  1 ln  2 x   ln  2 x  

Câu 25: Đáp án C Xét cấp số nhân a, aq, aq 2 , aq 3 . Suy ra có dãy số log a, log a  log q, log a  2 log q, log a  3log q . Đây là cấp số cộng với công sai d  log q  0 . Câu 26: Đáp án B Áp dụng công thức đổi cơ số ta có: log140 63 

Mặt khác log 2 7 

log 2 63 log 2 7  2 log 2 3   * log 2 140 1  log 2 5  log 2 7 log 3 5 1 1  ;log 2 5   log 3 5.log 2 3  ab . log 7 2 c log 3 2

Thay vào (*) ta được: log140 63 

1  2a c 2  ab 

1 c



2ac  1 . abc  2c  1

Câu 27: Đáp án C Theo công thức tính tỉ lệ % đã cho thì cần tìm nghiệm t của bất phương trình; 75  20 ln 1  t   10  ln 1  t   3, 25  t  24, 79 (tháng).

Vậy sau khoảng 25 tháng (tức 2 năm 1 tháng) thì học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%. Câu 28: Đáp án A Để ý rằng 1  a  b nên log a b  1 . Khi đó nếu xét cùng các cơ số a và b thì log a  log a b   log b  log a b   0 .

Do 1  a  c nên log c a  1  0  log c  log c a   log b  log c a  . Từ đó suy ra log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   logb  log a b.logb c.log c a   logb 1  0 .

Câu 29: Đáp án C 1

Ta có

 f  x  dx   2  x  1 dx   k 1  x dx   1  2

1

2k 1 k  3. 3

Câu 30: Đáp án D Đặt f  t  

t 2 1 . t2 1

Gọi F là một nguyên hàm của f. Theo định nghĩa tích phân ta có

g  x   F  t  2 x  F  3x   F  2 x  . 3x

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp ta được g   x   3F   3 x   2 F   2 x   3 f  3 x   2 f  2 x  

3  9 x 2  1 9 x2  1



2  4 x 2  1 4 x2  1

Câu 31: Đáp án C Phương trình tung độ giao điểm giữa  C1  : x  y 2  4 y và  C2  : x  2 y  y 2 là: y  0 . y2  4 y  2 y  y2   y  3 3

Vậy S    2 y  y 2    y 2  4 y  dy  9 . 0

Câu 32: Đáp án A Ta có thể xem khối tròn xoay này là do hình giới hạn bởi bốn đường x  a, x  a, y  0, y 

b 2 a  x 2 quay quanh trục Ox tạo nên. a 

4 b2 2 x3   b2  2 2 Vậy V    2  a  x  dx  2  a x     ab  . a a  3   3 a a

Câu 33: Đáp án B 1  du  dx   u ln x   x  Đặt  . 3 4 dv  x dx v  x  4 e

x4 1 e4 1 3e4  1 Khi đó I  ln x   x3dx   x 4  . 4 41 4 14 1 16 1 e

Suy ra a  3, b  16 hay a  b  20 . Câu 34: Đáp án B Ta có f  x   

4x2  4 x  3 2   2 dx    2 x  1   dx  x  x  ln x  1  C . 2x 1 2 1  x  

Do f  0   1 nên c  1 . Suy ra f  x   x 2  x  ln 2 x  1  1 . Vậy a : b : c  1:1:1 . Câu 35: Đáp án D Ta có v  t    v  t  dt  

3 dt  3ln t  1  C . t 1

Do vận tốc ban đầu là 6 m/s nên v  t   3ln t  1  6 . Vận tốc của vật sau 10 giây là v  6   3ln11  6  13  m / s  . Câu 36: Đáp án D Đặt z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy2 .  x12  y12  x22  y22  1  2  x1 y1  x2 y2   1 . Từ giả thiết ta suy ra  2 2  x1  x2    y1  y2   3

Suy ra z1  z2   x1  x2    y1  y2    x1  x2    y1  y2   4  x1 y1  x2 y2   3  2  1 2

Vậy z1  z2  1 . Câu 37: Đáp án C Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó 2

3 9 3 2  . OM  z  a 2   a  3  2  a     2 2 2 

Dấu “=” xảy ra  a 

3 . 2

Câu 38: Đáp án B Đặt z  x  yi với x, y 

. Suy ra z  z  2 x .

 2x  2x x  0  .  z  z  i  z  z   2 z  2 x  i  2 x   2 x  2iy   2 x  2 y y  x 

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là tia phân giác của góc phần tư thứ nhất (bao gồm cả gốc tọa độ). Câu 39: Đáp án A Đặt z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 . Từ giả thiết ta có

 x12  y12  9  x12  y12  x22  y22    6 x x y y  2  1 2 1 2 2 2   x2  y2  16   x y  x y 2   x 2  y 2  x 2  y 2    x x  y y   108 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2     37 x x y y  2 1 1 2  1 2   1 2 

Vậy z 

z1 z1z2 z1z2 6  6 3i 3 3 3   2    i. z2 z2 z2 z2 16 8 8

Câu 40: Đáp án B Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có BC  2a, AG  Suy ra AG  AG tan 60  Ta có V  S ABC . AG  Vậy 3 V 

2 2a AI  , AAG  60 . 3 3

2a 3 . 3

1 1 2a 3 AB. AC. AG  .a.a 3.  a3 . 2 2 3

V 1  a . a3

Câu 41: Đáp án D  SA   ABC   SA  AC . Ta có   AC   ABC 

 SA   ABC   SB  BC .   AB  BC

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền SC. SC SA2  AC 2 SA2  AB 2  BC 2 a2  a2  a2 a 3     Bán kính: R  SI  . 2 2 2 2 2

Câu 42: Đáp án D

ABC có BC  a.tan  ; AC 

S   BC. AC 

a . cos 

 a 2 tan   a 2 sin     a 2 sin  1  tan 2   . 2 cos  cos 

Do đó (A), (B), (C) đúng cho nên (D) sai. Câu 43: Đáp án C 21

Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích hình trụ và hình nón. Khi đó V1 2 Rh 2 Ra sin     2sin   3 . Vì 0    90 nên   60 .  Ra V2  Ra

Câu 44: Đáp án C Gọi ST là đường sinh hình nón. Ta có tan IST 

3  OTI  IST  30 . 3

3 OT  2  1. OIT có R  cos 30 3 2

4 4 Vậy V   R 3  . 3 3

Câu 45: Đáp án A Ta có V   6  x 12  2 x  x  2 x  x  6   2 x  x 2  12 x  36   2 x3  24 x 2  72 x . 2

Xét hàm số f  x   2 x 3  24 x 2  72 x trên  0;6  x  6 f   x   6 x 2  48 x  72; f   x   0   x  2

Khi đó max f  x   f  2   64 đvtt. Đến đây nhiều bạn vội vã khoanh C mà không đắn đo gì.  0;6 

Tuy nhiên, nếu vội vã như vậy là bạn đã sai, bởi đề bài yêu cầu tìm thể tích Chocolate nguyên chất mà không phải là thể tích hộp do đó ta cần. Tức là 1  3 .64  48 (đvtt). 4

Câu 46: Đáp án B Cách 1: B   S  và OAB đều nên ta có hệ phương trình sau:

 xB2  yB2  z B2  4 xB  4 yB  4 z B  0  2 2 OA  OB OA2  AB 2 

1 3 thể tích hộp, tức là  4 4

 xB2  yB2  z B2  4  xB  yB  z B   xB  y B  z B  8   2 2 2  32  xB  yB  z B   xB2  yB2  z B2  32   2 2 2 2 2 2  xB  y B  z B  8  x B  y B   0 32   4  xB    4  yB   z B

 zB  4  xB  y B  z B  8   2 2   xB  yB2  z B2  32   xB  yB   2 xB yB  z B2  32  x  y  4 B  xB  y B  4  B  xB  0  xB  4     yB  4 hay  yB  0 z  4 z  4  B  B

 

Trường hợp 1: OA   4;4;0  , OB   0;4;4   OA, OB   16; 16;16  Phương trình mp  OAB  : x  y  z  0

 

Trường hợp 2: OA   4;4;0  , OB   4;0;4   OA, OB   16; 16; 16  . Phương trình mp  OAB  : x  y  z  0 . Cách 2 có tâm I  2; 2; 2  , bán kính R  2 3 . Nhận thấy O và A đều thuộc  S  .

S 

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r  Khoảng cách d  I ;  P    R 2  r 2 

OA 4 2 .  3 3

2 . 3

 P

đi qua O có phương trình dạng: ax  by  cz  0; a 2  b2  c 2  0 .

 P

đi qua A, suy ra b  a .

d  I ;  P  



2a  b  c 2 2    2 2 2 3 3 a b c

2c 2a  c 2



2 3

4c 2 4   12c 2  8a 2  4c 2  c 2  a 2  c  a 2 2 2a  c 3

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm: x  y  z  0, x  y  z  0 . Câu 47: Đáp án A Ta thấy A  , A    và B   . 23

Áp dụng định lý hàm số Cosin cho tam giác MAB ta có: MA2  BA2  BM 2  2 BA.BM .cos 60  6 

Suy ra MA 

3 6 1 9  2 6. .  . 2 2 2 2

3 2 . Từ đây ta nhận thấy AB 2  MA2  MB 2 nên tam giác MAB vuông tại M 2

và có MAB  30 .





Mặt khác: sin ,   

2  2 1 6. 6







1  ,    30  MAB . 2

Từ đó suy ra M chính là hình chiếu của B lên mặt phẳng   . Khi đó MB :

x2 y2 z 6    M  2m  2; m  2; m  6  . 1 2 1

Vì M thuộc mặt phẳng   nên 1  3 13  2  2m  2    m  2     m  6   3  0  m    M 1; ;  . 2  2 2  3 13  Vậy M 1; ;  .  2 2

Câu 48: Đáp án B Góc giữa  và   là 30 . Điểm A  1; 0; 4  . Ta có B  3  2t ; 1  t ;3  t  và AB  6 nên B  3; 1;3 hoặc B 1;1;5  . Vì BA  2 BC  6 và ABC  60 nên tam giác ABC vuông tại C. Suy ra : BAC  30 , do đó C là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng   . Từ đó ta tìm được hai điểm C tương ứng với hai điểm B ở trên là:  5 5  1 11  C   ;0;  hoặc C  ;0;  . 2  2 2 2

Câu 49: Đáp án D  x  3  2t  Ta có phương trình tham số của d là:  y  2  t với t    z  1  t

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình: 3  2t  2  t  1  t  2  0  t  1  M 1; 3;0  .

Lại có VTPT của  P  là n p 1;1;1 , VTCP của d là ud  2;1; 1 . Vì  nằm trong  P  và vuông góc với d nên VTCP u  ud , n p    2; 3;1 . Gọi N  x; y; z  là hình chiếu vuông góc của M trên  , khi đó MN   x  1; y  3; z  .

Ta có MN vuông góc với u  nên ta có hệ phương trình: 2x  3 y  z  11  0 x  y  z  2  0  Lại có N   P  và MN  42 ta có hệ: 2 x  3 y  z  11  0  2 2 2  x  1   y  3  z  42

Giải hệ ta tìm được hai nghiệm  x; y; z  là  5; 2; 5  ,  3; 4;5  . - Nếu N  5; 2; 5  ta có phương trình  :

x 5 y  2 z 5 .   2 1 3

- Nếu N  3; 4;5  ta có phương trình  :

x 3 y  4 z 5 .   2 1 3

Câu 50: Đáp án B Vì ABCD là hình thang cân nên AD  BC  3 . Gọi  là đường thẳng qua C và song song với AB. Gọi  S  là mặt cầu tâm A bán kính R  3 . Điểm D cần tìm là giao điểm của  và  S  .  x  2  2t  Đường thẳng  có vectơ chỉ phương AB   2;6;3 nên có phương trình:  y  3  6t .  z  3  3t 

Phương trình mặt cầu  S  :  x  3   y  1   z  2   9 . 2

Tọa độ điểm D là nghiệm của phương trình

 2t  1   6t  4    3t  5  2

t  1  9  49t  82t  33  0   . t   33 49  2

+ Với t  1 thì D  4; 3;0  : không thỏa vì AB  CD  7 . + Với t  

33  164 51 48  ;  ;  (thỏa mãn). thì D  49 49  49  49

ĐỀ SỐ 12 

BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC Môn: Toán Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: Cho góc  thỏa mãn     A. 6.

3 và sin   2cos   1 . Tính A  2 tan   cot  . 2

1 . 6

C. 2.

1 . 2

  Câu 2: Tìm các nghiệm x   0;  của phương trình sau  2 3  x     4sin 2      3 sin   2 x   1  2 cos 2  x   2 4   2  

A. x 

5 . 18

 5 7  B. x   ;  .  18 18 

 a b2 3 b2 Câu 3: Cho khai triển nhị thức:  3   b a 3 a2  hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng 

C. x 

   

7 . 18

D. x 

với a  0, b  0 . Hãy xác định hệ số của số

1 biết rằng 2

1 1 3 10923 3C20n  C21n  C22n  C23n  ...  C22nn  2 4 2n  1 5

A. 161280.

B. 280161.

C. 280116.

D. 116280.

Câu 4: Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  4  . Tìm n biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ. A. n  8.

B. n  9.

C. n  10.

D. n  16.

Câu 5: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại. A.

2 . 11

3 . 11

4 . 11

2 . 3

 2  2   2  Câu 6: Tính giới hạn lim 1   1   ... 1   2.3  3.4    n  1 n  2  

2 . 3

B. 0

C. 1

1 . 3

D.  .



Câu 7: Tính giới hạn lim x x  x 2  1 x 

1 . 2

Câu 8: Cho hàm số y 



1 B.  . 2

C. 

D. 

x3   sin  3x   . Tính đạo hàm y’. 3 4 

    A. y '  x 2 sin  3x    x 3 cos  3x   . 4 4       B. y '  x 2 sin  3x    x 3 cos  3x   . 4 3       C. y '  x3 sin  3x    x 2 cos  3x   . 4 4  

    D. y '  x 2 cos  3x    x 3 sin  3x   . 4 4   Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) và đường tròn (C) có tâm I, bán kính R. Gọi M   C  và N   C ' : x 2  y 2  2 x  4  0 sao cho MN  IA . Gọi yM , yN lần lượt là tung độ

các điểm M, N. Hỏi mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? A. yM  yN  4.

C. yM  y N  4.

B. yM yN  0.

yM 1 yN

Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a, AD  b, AA '  c . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD’ A.

a b2  c2

a 2  b2  c2 c a 2  b2

a 2  b2  c2

Câu 11: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số

y  ax3  bx 2  c Phương án nào sau đây là đúng? A. a  2; b  3; c  4. B. a  1; b  3; c  4. C. a  1; b  3; c  4. 2

b c2  a2 a 2  b2  c2

ab  bc  ca a 2  b2  c 2

D. a  1; b  3; c  4. Câu 12: Tìm giá trị của m để hàm số y 

mx 2  2 x  1 luôn đồng biến trên từng khoảng xác x 1

định của nó. A. 0  m  1

B. 0  m  1

Câu 13: Cho hàm số f  x  

C. 0  m  1

D. 0  m  1

x 9 x8 x 6 x 5 x 4 x 2       x  2017 . Mệnh đề nào sau đây 9 8 6 5 4 2

đúng? A. Hàm số f  x  chỉ có cực đại; B. Hàm số f  x  chỉ có cực tiểu; C. Hàm số f  x  chỉ có cực đại và cực tiểu; D. Hàm số f  x  không có cực trị. Câu 14: Tìm điều kiện của a,b để hàm số y   x  a    x  b   x3 có cực trị. 3

a  0 B.  b  0

A. ab  0

a  0 C.  b  0

D. ab  0

Câu 15: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y  x3  3x 2  2 có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn

 Cm  : x 2  y 2  2mx  4my  5m2  1  0. A. 1  m 

5 3

B. 1  m 

5 3

3  m 1 5

3 D.   m  1 5

Câu 16: Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số    f  x   5cos x  cos 5 x trên đoạn   ;  . Tính Mm.  3 3

A. 6 3.

C. 12 3.

B. 8.

D. 3 3.

Câu 17: Một đường dây điện nối một nhà máy điện từ A đến một hòn đảo tại C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất là 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C ít tốn kém nhất? A.

11 km. 4

13 km. 4

C. 3

15 km. 4

17 km. 4

x2  x x 1

Câu 18: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y  A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 19: Cho hàm số y  x3  2mx 2  m2 x  1  m có đồ thị (Cm). Tìm giá trị nguyên của m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành. A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 20: Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị  C  : y  x 3  3x 2  4 và tiếp xúc với đường thẳng y  2 x  2 . A. y  2 x 2  6 x  4.

B. y  2 x 2  6 x  4.

C. y  2 x 2  6 x  4.

D. y  2 x 2  6 x  4.

Câu 21: Cho hai hàm số f  x  

e x  e x e x  e x và g  x   . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 2

A. f  x  là hàm số lẻ trên

B. g  x  là hàm số lẻ trên

C. f '  x    g  x 

D. g '  x   f  x 

Câu 22: Cho log 2 3  a, log 2 5  b . Hãy tính log 3 125 A.

b . 3a

3b . a

2a . b

2b . a

a . 1 b

b . 1 a

Câu 23: Cho log12 6  a,log12 7  b . Hãy tính log 2 7 A.

a . a 1

a . 1 b

Câu 24: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình x log

A. 1.

x  log x3  3



2 1 1  1  x 1 1 x 1

B. 2.

C. 3.

Câu 25: Tìm miền xác định của hàm số y  ln A. D  100;  



B. D   0;  

D. 4.

82log x  3 42log x



C. D  1000;  

D. D  10;  

Câu 26: Tìm m để phương trình

3log 27  2 x 2  x  2m  4m2   log 1 3

x 2  mx  2m2  0

có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x12  x22  1 .  1  m  0 A.  2 .  m 1 2 5

 1  m  0 B.  2 .  m 1 2 5

 1  m  0 C.  2 .  m 1 2 5

 1  m  0 D.  2 .  m 1 2 5

1  Câu 27: Cho x, y, z , t   ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4  1 1 1    1  P  log x  y    log y  z    log z  t    log t  x   4 4 4    4 

A. 4.

B. 8.

C. 16.

D. 64.

Câu 28: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi). A. 15 quý.

B. 16 quý.

C. 17 quý.

D. 18 quý.

b x 1 Câu 29: Giả sử S  a ln  1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  với c x2

các trục tọa độ. Hỏi mệnh đề nào là đúng? A. a  b  c  8 Câu 30: Giả sử rằng

B. a  b

C. a  b  c  1

  x  2 sin 3xdx  

D. a  2b  9  0

 x  m  cos 3x  1 sin 3x  C . n

Tính giá trị của

mn p . A. 14

B. 2.

C. 9

D. 10 x

Câu 31: Cho f là một hàm số. Tìm số thực a  0 sao cho x  0 ,

 a

A. 7.

B. 8.

C. 9.

f t  dt  6  2 x t2 D. 10.

Câu 32: Cho f  x  là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với mọi x   0; a  ta có f  x   0 a

dx theo a. 1 f  x 0

và f  x  f  a  x   1. Hãy tính I   A. a. Câu 33: Hàm số f  x  

a . 2

C. 2a

e2 x

 t ln tdt

D. a 2 .

A. Đạt cực tiểu tại x  0 và đạt cực đại tại x   ln 2. B. Đạt cực tiểu tại x   ln 2 và đạt cực đại tại x  0. C. Đạt cực tiểu tại x  0 và đạt cực đại tại x  ln 2. D. Đạt cực tiểu tại x  ln 2 và đạt cực đại tại x  0. Câu 34: Hình phẳng S giới hạn bởi ba đường y  x, y  2  x, x  0 . Khi quay S quanh Ox, Oy tương ứng ta được hai vật thể tròn xoay có thể tích là Vx , Vy . Hãy lựa chọn phương án đúng? A. Vy 

 3

B. Vx  12.

C. Vx  Vy 

20 . 3

D. Vx  Vy 

8 . 3

Câu 35: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 m3 . Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ? (Lấy số gần đúng). A. 4,8666.105 m3 .

B. 4, 7666.105 m3 .

C. 4, 6666.105 m3 .

D. 4,5666.105 m3 .

Câu 36: Cho n  , n  3 thỏa mãn phương trình log 4  n  3  log 4  n  9   3. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z  1  i  . n

A. 3.

B. 2.

C. 1

D. 0

Câu 37: Cho phương trình 8 z 2  4  a  1 z  4a  1  0 với a là tham số. Tìm a  phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

để

z1 là số ảo, trong đó z2 là số phức có phần ảo z2

dương. A. a  0.

C. a  0; 2 .

B. a  2.

D. a  0;1; 2 .

Câu 38: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình  z 2  1 z 2  2 z  2   0. Hãy tính

S  z12018  z22018  z32018  z42018 A. S  2.

B. S  2.

C. S  1.

D. S  1.

Câu 39: Cho ba số phức a,b,c phân biệt, khác 0 và thỏa mãn a  b  c . Biết một nghiệm của phương trình az 2  bz  c  0 có môđun bằng 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 6

A. b 2  4ac.

B. b 2  ac.

C. b 2  2ac.

D. b 2  3ac.

Câu 40: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A sao cho BC  AC '  5a và AC  4a . Tính thể tích hình lăng trụ. A. V  9a 3 .

B. V  36a 3 .

C. V  18a 3 .

D. Kết quả khác.

Câu 41: Một hộp đựng quả bóng tennis được thiết kế có dạng hình trụ sao cho đáy hộp là đường tròn bằng với đường tròn lớn của quả bóng và chứa đúng 5 quả bóng (khi đậy nắp hộp thì nắp hộp tiếp xúc với quả bóng trên cùng). Cho biết chiều cao của hộp là 25 cm. Tính diện tích một quả bóng tennis. A. S  25 cm2

B. S  25 cm2

C. S  50 cm2

D. S  100 cm2

Câu 42: Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là tam giác đều, cạnh a. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và hình cầu nội tiếp hình nón. A.

B. 2.

C. 4.

D. 8.

Câu 43: Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB  4, AD  2 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB và CD. Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta thu được hình trụ tròn xoay. Tính thể tích của hình trụ tròn xoay. C. V  16 .

B. V  8 .

A. V  4 .

D. V  32 .

Câu 44: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc

60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A. S xq 

 a2 3

B. S xq 

2 a 2 . 3

C. S xq   a 2 .

D. S xq  2 a 2 .

Câu 45: Cho hình lập phương (L) và hình trụ (T) có thể tích lần lượt là V1 và V2 . Cho biết chiều cao của (T) bằng đường kính đáy và bằng cạnh của (L). Hãy chọn phương án đúng. A. V1  V2 .

B. V1  V2 .

C. V1  V2 .

D. Không so sánh được.

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 S  : x2  y2  z 2  4 y  2z  4  0

phẳng   : x  y  2 z  8  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A.   cắt (S) theo một đường tròn. B.   tiếp xúc với (S). 7

và mặt

C.   quâ tâm I của (S). D.   và (S) không có điểm chung. Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho A  O  0;0;0  , B  a;0;0  , D  0; a;0  , A '  0;0; a  . Xét các mệnh đề sau:

(I). x  y  z  a  0 là phương trình mặt phẳng (A’BD). (II). x  y  z  2a  0 là phương trình mặt phẳng (CB’D). Hãy chọn mệnh đề đúng. A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều sai.

D. Cả hai đều đúng.

Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho  ABC có A 1;1;0  , B  0; 2;1 và trọng tâm G  0; 2; 1 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng

(ABC).  x  1  t  A.  y  3  t  z  4 

 x  1  t  B.  y  3  t  z  4 

 x  1  t  C.  y  3  t  z  4  t 

 x  1  t  D.  y  3  t  z  4 

Câu 49: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tập hợp các điểm M sao cho AMB  90 với A  2; 1; 3 , B  0; 3;5 A.  x  1   y  2    z  1  18.

B.  x  1   y  2    z  1  18.

C.  x  1   y  2    z  1  3.

D.  x  1   y  2    z  1  3.

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x 1 y 1 z  2   và 1 1 2

mặt phẳng  P  : x  2 y  z  6  0 . Mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng  cách gốc tọa độ O một khoảng ngắn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (Q). A. x  y  z  4  0

B. x  y  z  4  0

C. x  y  z  4  0

D. x  y  z  4  0

Đáp án 1-B

2-A

3-D

4-A

5-B

6-C 8

7-B

8-A

9-D

10-A

11-D

12-B

13-D

14-D

15-C

16-A

17-B

18-C

19-C

20-A

21-D

22-B

23-D

24-A

25-A

26-C

27-B

28-D

29-A

30-A

31-C

32-B

33-A

34-D

35-A

36-D

37-C

38-C

39-B

40-A

41-B

42-C

43-B

44-B

45-B

46-D

47-D

48-D

49-A

50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B Vì    

3 nên sin   0, cos   0. 2

sin   2 cos   1 2  1  2 cos    cos 2   1 Ta có  2 2 sin   cos   1

 5cos 2   4 cos   0  cos   

4 5

3 3 4 Suy ra sin    1  cos 2    ; tan   ;cot   5 4 3

Vậy A  2 tan   cot   2.

3 4 1   . 4 3 6

Câu 2: Đáp án A x 3      Ta có 4sin 2      3 sin   2 x   1  2 cos 2  x   2 4   2   3    2 1  cos  2  x    3 cos 2 x  1  1  cos  2 x   2  

 2  2cos x  3 cos 2 x  2  sin 2 x  sin 2 x  3 cos 2 x  2cos x 1 3      sin 2 x  cos 2 x  cos x  sin  2 x    cos   x  2 2 3  3 

  5 2    2 x  3  2  x  k 2  x  18  k 3    2 x      x  k 2  x  5  k 2  3 2 6 

k  

 5  . Vì  x  0;  nên ta chọn được nghiệm x  2 18  Câu 3: Đáp án D 9

Xét

3 3 1 1 C22nk  C22nk11 và  C22nk   C22nk11 2k  1 2n  1 2k  1 2n  1

Điều kiện bài toán tương đương với: 3 1 10923 C21n 1  C23n 1  ...  C22nn11   C22n 1  C24n 1  ...  C22nn1     2n  1 2n  1 5  10923 2 22 n 1 1  22 n 1    C20n 1   . .  2n  1 2 2n  1  2 5 

Giải phương trình này hết sức đơn giản ta tìm được n  7.

 a b2 3 b2 Ta có:  3   b a 3 a2 

k k 8 21 k  5 21 k  21   k 3 3 C a b b 3 a 3    21  k 0 

k 5k  35  1 35   1  k  14 Hệ số của số hạng có tỉ số lũy thừa của a và b bằng  nên: 3 8k k 2 2   56  3 3 14 Vậy hệ số của bài toán thỏa mãn yêu cầu bài toán là C21  116280.

Câu 4: Đáp án A

Cn1 , Cn2 , Cn3 ,... lần lượt là số các tập con của A gồm 1;3;5… phần tử. Ta luôn có

Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n  Cn1  Cn2  Cn3  ...  2n1 Từ giả thiết ta có phương trình: 2n 1  16n  2n 5  n Vì n  4, n 

 *

nên ta xét n  5 thấy không thỏa (*), do đó ta xét n  6, n 

Xét hàm số f  x   2 x 5  x liên tục trên nửa khoảng  6;   , x  Ta có f '  x   2 x 5 ln 2  1  0, x  6  f  x  liên tục và đồng biến trên nửa khoảng  6;   ,

x

và f  8   0  x  8 là nghiệm duy nhất của phương trình 2 x 5  x  0, x  6, x  .

Vậy n  8 thỏa mãn đề bài. Câu 5: Đáp án B Số cách chọn 3 hộp sữa từ 12 hộp là: C123  220 Số cách chọn 3 hộp có cả 3 loại là C51C41C31  60 Xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại là Câu 6: Đáp án C 10

60 3  . 220 11

 2  2   2  Đặt xn  1  1 ... 1        2.3  3.4    n  1 n  2  

Từ 1 

xn 

 k  1 k  2 



k  k  3 , k  1,..., n ta có  k  1 k  2 

n  n  3 1.4 2.5 3.6 n3 ...  2.3 3.4 4.5  n  1 n  2  3  n  1

1 Vậy lim xn  . 3

Câu 7: Đáp án B





  1  1  Ta có lim x x  x 2  1  lim x  x  x 1  2   lim x  x  x 1  2  x  x  x  x   x   1   1  1  2   1  1 x   lim x 2 1  1  2   lim x 2   . x  2 x  x  1  1 1 2 x

Câu 8: Đáp án A '

 x3    x3          y '    sin  3x     sin  3x     x 2 sin  3x    x3 cos  3x   4 3   4  4 4     3

Câu 9: Đáp án D Do MN  IA nên N  TIA  M  M   C   N   C1  là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến TIA

Do TIA  I   A nên  C1  :  x  1   y  2   9. 2

N   C '    C1   tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 2 2  x  y  2 x  4  0  x  1  5  xN   2 2  x  1   y  2   9  y  0  y N

Suy ra xM  1  5, yM  4 Vậy D sai. Câu 10: Đáp án A Do AB  AD ' nên  ABD ' vuông tại A. 11

Trong  ABD ' kẻ đường cao AH thì AH  d  A, BD ' Trong  ADD ' ta có AD '  AD 2  DD '  b 2  c 2 BD '  AB 2  AD 2  a 2  b 2  c 2

Xét  ABD ' ta được AH .BD '  AB. AD '  AH  Vậy d  A, BD '  AH 

AB. AD ' a b2  c2  . BD ' a 2  b2  c2

a b2  c2 a 2  b2  c2

Câu 11: Đáp án D  c  4 a  1   Vì đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;-4),(l;0),(-l;-2) nên a  b  c  0  b  3   a  b  c  2  c  4  

Câu 12: Đáp án B  Tập xác định: D   y' 

1

mx 2  2mx  1

 x  1

 Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y '  0, x  1  Xét m  0 , ta có y ' 

 x  1

 0, x  1 (thỏa).

 Xét m  0  '  m2  m  0 0  m  1   0  m  1. Yêu cầu bài toán   m  0 m  0  

Kết luận: 0  m  1. Câu 13: Đáp án D  Tập xác định: D   f '  x   x8  x 7  x5  x 4  x3  x  1   x  1  x 7  x 4  x 2  x   1 

x

 1 x 7  x 4  x 2  x  x2  x  1

1 

x10  x5  1 1 x2  x  1

 5 1 3 x    2 4   0, x  2 1 3  x   2 4 

Vậy hàm số f  x  không có cực trị. Câu 14: Đáp án D  Tập xác định: D   y '  3  x  a   3  x  b   3x 2  3x 2  6  a  b  x  3  a 2  b 2  2

 Hàm số có cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt

  '  9  a  b   3.3  a 2  b2   0  ab  0. 2

Câu 15: Đáp án C Hàm số xác định và liên tục trên

x  0 . Ta có: y '  3x 2  6 x ; y '  0  3x 2  6 x  0   x  2

Tọa độ các điểm cực trị: A  0; 2  , B  2; 2  Cách 1 Đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường tròn (Cm) khi và chỉ khi   4  8m  5m2  1 4  4  4m  8m  5m2  1  0   5m2  8m  3 5m2  4m  7   0  5m2  8m  3  0

(vì 5m2  4m  7  0, m  

)

3  m  1. 5

Cách 2  Đường tròn  Cm  :  x  m    y  2m   1 có tâm I  m; 2m  , bán kính R  1 . 2

2  36 6    1  R  điểm B nằm ở phía ngoài  Ta có: IB  5m  4m  8  5  m    5 5 5  2

đường tròn  Cm  . Do đó điểm A nằm ở phía trong đường tròn  Cm  , tức là: IA  1  R  5m2  8m  4  1  5m2  8m  3  0 

3  m  1. 5

Câu 16: Đáp án A f '  x   5sin x  5sin 5 x  10 cos 3 x sin 2 x.

  xk  sin 2 x  0 2  f ' x  0   ,k  . cos 3 x  0 x    k   6 3       Do x    ;  nên x   ;0;  6  6  3 3     Ta có f     f    2,  3 3

    f     f    3 3, f  0   4.  6 6

Suy ra M  3 3, m  2 . Vậy Mm  6 3. Câu 17: Đáp án B Gọi x là khoảng cách từ S đến B. Khi đó khoảng cách từ S đến A là 4  x  0  x  4  . Chi phí mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là:

f  x   5000 1  x 2  3000  4  x   5x  3 1  x2 f ' x   3000  1000   1  x2 1  x2  5000 x

   

3 f ' x  0  x  . 4

f ' x 



5000 1  x2



3  0, x  f ''    0. 4

Do đó min f  x   x 0;  

13 3 x . 4 4

Vậy để chi phí ít tốn kém nhất thì S phải cách A là Câu 18: Đáp án C  Tập xác định: D   ; 1   0;   {1}.

lim y       Ta có  x1  x  1 là tiệm cận đứng. lim y     x1 lim y  1  y  1 là tiệm cận ngang.

x 

13 km. 4

lim y  1  y  1 là tiệm cận ngang.

x 

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận. Câu 19: Đáp án C (Cm) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  x3  2mx 2  m 2 x  1  m  0 3 2 2  x  2mx  m x  1  m  0    2 m 2 3 x  4mx  m  0  x  m, x  3  3   m  3;1;  2 

Do m 

nên m  3; m  1

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 20: Đáp án A (C) có hai điểm cực trị là A  0; 4  , B  2;0  Gọi  P  : y  ax 2  bx  c  a  0  là parabol cần tìm. c  4 b  2a  2 Ta có A, B   P    .  4a  2b  c  0 c  4

Khi đó  P  : y  ax 2  2  a  1 x  4 (P) tiếp xúc với đường thẳng y  2 x  2 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ax 2  2  a  1 x  4  2 x  2  a  2  b  6 .      ax a 2 2 1 2   

Vậy parabol  P  : y  2 x 2  6 x  4 . Câu 21: Đáp án D

x 

 x 

và f   x  

e x  e x  f  x 2

Do đó f  x  là hàm số chẵn. Suy ra A sai. Chứng minh tương tự g  x  là hàm số lẻ. Suy ra B sai. Mặt khác, f '  x   g  x  . Suy ra C sai. Vậy chỉ có D đúng. Câu 22: Đáp án B 15

Ta có log 3 125  3log 3 5  3

log 2 5 3b  . log 2 3 a

Câu 23: Đáp án D Ta có a  log12 6  1; b  log12 7  1 . Suy ra Rõ ràng b  a  0  Mặt khác log 2 7 

a  0 . Do đó (A) sai. 1 a

a  1. Do đó (C) sai. 1 b

log12 7 b  . log12 2 1  a

Vậy (D) là phương án đúng. Câu 24: Đáp án A Điều kiện: x  0 Phương trình đã cho tương đương với

xlog

x  log x3 3

 x   log 2 x  log x3  3 log x  log x

 x  1 log x  0  1  2 .  log x  log x  3log x  2   0  log x  1   x   10 log x  2  1 x  100 

Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm nguyên. Câu 25: Đáp án A Hàm số xác định khi và chỉ khi  x  0  x  0 82 log x  3 42log x  0   2 log x 3 2log x   2 log x 3 2  4    42log x   8  8 x  0   x  0   9 9 log x    4 2  log x  2    9  2  log x   4  2  log x  2

x  0 x  0    x  100. log x  2  x  100

Vậy miền xác định của hàm số đã cho là: D  100;   Câu 26: Đáp án C

Ta có: 3log 27  2 x 2  x  2m  4m2   log 1

x 2  mx  2m2  0

 log3  2 x 2  x  2m  4m2   log3  x 2  mx  2m2  2 2   x  mx  2m  0  2 2 2 2  2 x  x  2m  4m  x  mx  2m

 x 2  mx  2m2  0  x 2  mx  2m2  0   2    x1  m 2   x   m  1 x  2m  2m  0   x2  1  m

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  1  2m 2  m.2m  2m 2  0  4m 2  0   2   1  m   m. 1  m   2m 2  0  2m 2  m  1  0  5m 2  2m  0 2 2   2m   1  m   1

 m  0  1  m  0  1   1  m   2 1.  2 m    2 5 2  0 m m     5

Câu 27: Đáp án B 1 1 1 1 Dễ dàng có được x 2  x  ; y 2  y  ; z 2  z  ; t 2  t  4 4 4 4

1

Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi x  y  z  t 

1 2

1  Vì x, y, z , t   ;1 nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1) ta 4 

có: 1 1 1    1  log x y 2  log x  y   ;log y z 2  log y  z   ;log z t 2  log z  t   ;log t x 2  log t  z   4 4 4    4 

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được: 1 1 1    1  log x  y    log y  z    log z  t    log t  z    2  log x y  log y z  log z t  log t x  (2) 4 4 4    4 

Dễ thấy log x y;log y z;log z t;log t x luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 17

log x y  log y z  log z t  log t x  4 4 log x y log y z log z t log t x 3 

Mà log x y log y z log z t logt x  log x y

log x z log x t logt x  1 log x y log x z

 4

Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh. Câu 28: Đáp án D Người gửi 15 triệu đồng sau n quý sẽ nhận được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 15. 1, 0165  . n

Để có ít nhất 20 triệu ta phải có 15.  0,165   20 n

 n log  0, 0165   log 20  log15

20 15 n  17,58. log 1, 0165  log

Vậy người đó cần gửi tiền liên tục 18 quý. Câu 29: Đáp án A Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có tọa độ  1;0  . Khi đó 0

S



1

x 1 dx  x2

x 1 1 x  2 dx  0



3 

 1  x  2  dx

1

0 3   x  3ln x  2 |  3ln  1 1 2

Suy ra a  b  3, c  2 Vậy a  b  c  8. Câu 30: Đáp án A du  dx u  x  2   Đặt  cos 3x . dv  sin 3xdx v   3 

Khi đó

  x  2 sin 3xdx  

 x  2 cos3x  1 sin 3x  C. 3

Suy ra m  2, n  3, p  9 Vậy m  n  p  14. Câu 31: Đáp án C

Gọi F  t  là một nguyên hàm của

f t  t2

Theo định nghĩa tích phân ta có: x  0, F  x   F  a   6  2 x Cho x  a ta thu được

a  3  a  9.

Câu 32: Đáp án B Đặt x  a  t  dx  dt . a a f t  dt dt   dt Ta có I    1 f a  t  0 1 1 1  f t  0 a f t  0

Suy ra 2 I  I  I   dt  a. 0

Vậy I 

a 2

Câu 33: Đáp án A Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên  0;   . Ta có f  x   F  e2 x   F  e x  Suy ra f '  x   2e2 x F '  e2 x   e x F  e x   4 xe4 x  xe2 x  xe2 x  4e2 x  1 . Vậy f '  x   0  x  0, x   ln 2. Kết luận: f đạt cực tiểu tại x  0 và đạt cực đại tại x   ln 2 Câu 34: Đáp án D 1 2 Ta có Vy  2.  r 2 h  (do r  h  1 ) 3 3 1 1 Vx   h  R 2  r 2  Rr  r 2    .1 4  2.1  2 3 3

Do đó Vx  Vy 

8 . 3

Câu 35: Đáp án A Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần trăm. Ta có: - Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là V1  V0  iV0  V0 1  i  ; 19

- Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là V2  V1  iV1  V1 1  i   V0 1  i  ; 2

… - Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là V5  V0 1  i  . 5

Thay V0  4.105 m3 ; i  4%  0,04 ta được: V5  4.105 1  0, 04   4,8666.105 m3 5

Câu 36: Đáp án D Ta có log 4  n  3  log 4  n  9   3  log 4  n  3 n  9   3 n  7  n 2  6n  91  0    n  13 3

7 2 z  1  i   1  i  1  i    8  8i.  

Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 0. Câu 37: Đáp án C Từ giả thiết suy ra z1 , z2 không phải là số thực. Khi đó

 '  0  4  a  1  8  4a  1  0  4  a 2  6a  1  0 * 2

Suy ra z1 

a  1    a 2  6a  1 i 2 4

; z2 

a  1    a 2  6a  1 i 2 4

 z1

a  0 z1 2 là số ảo  z12 là số ảo   a  1     a 2  6a  1   0  a 2  2a  0   . z2 a  2

Thay vào điều kiện (*) thấy thỏa mãn. Câu 38: Đáp án C  z 2  1  i 2  z  i Phương trình đã cho tương đương với  2  z  1 i  z  2z  2  0

Ta có S  z12018  z22018  z32018  z42018   i 2 

1009

 2   2 

1009 1009



  i 



2 1009

  2i 

1009

  2i 

 21009 i1009  2.

Câu 39: Đáp án B Giả sử z1 , z2 là các nghiệm của phương trình az 2  bz  c  0 với z1  1. Theo định lí Viet ta có: z1 z2 

c c 1 c 1  z2   z2  .  1. a a z1 a z1

1009

b 2 Bởi vì z1  z2   ; a  b  z1  z2  1. a 1 1 2 Suy ra  z1  z2  z1  z2 1   z1  z2      1   z1  z2   z1 z2  b 2  ac.  z1 z2 





Câu 40: Đáp án A Đường cao của hình lăng trụ là CC '  25a 2  16a 2  3a 1  Do đó V  3a.  .3a.4a   18a 3 2 

Câu 41: Đáp án B Đường kính quả bóng tennis là 2 R 

25  5. 5 2

5 Diện tích quả bóng S  4 R 2  4 .    25  cm2  2 Câu 42: Đáp án C 2

a 3   V1  2    4. Ta có V2  a 3  2    6 

Câu 43: Đáp án B Ta có: V   MA2 .MN   .4.2  8 Câu 44: Đáp án B Kẻ SO   ABC  thì O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC Do  ABC đều cạnh a nên ta có

2 a 3 . AO 3 2  2a 3 SA   1 cos 60 3 2 a 3 2 a 3 2 a 2 .  Vậy S xq   .OA.SA   . . 3 3 3

Câu 45: Đáp án B Do (T) nội tiếp trong (L) nên V1  V2 Câu 46: Đáp án D 21

(S) có tâm I  0; 2;1 và bán kính R  3 . Ta có d  I ,    

2  2  8 6



4 6  R  3. 3

Vậy   không cắt mặt cầu (S). Câu 47: Đáp án D Thay các tọa độ A '  0;0; a  , B  a;0;0  , D  0; a;0  vào phương trình ở (I) thấy thỏa. Cho nên (I) đúng. Tương tự như vậy ta chứng minh được (III) đúng. Câu 48: Đáp án D Do G là trọng tâm  ABC nên C  1;3; 4  Ta có AB   1;1;1 , AC   2; 2; 4   x  1  t  Đường thẳng  qua G nhận u  AB; AC   6; 6;0  nên có phương trình là  y  3  t  z  4 

Câu 49: Đáp án A Tập hợp các điểm M là mặt cầu đường kính AB. Tâm I là trung điểm AB  I 1; 2;1 Bán kính R  IA  3 2 Vậy phương trình mặt cầu nói trên là  x  1   y  2    z  1  18 . 2

Câu 50: Đáp án C Gọi H,I lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và  . Ta có d  O,    OI  OH . Dấu “=” xảy ra  I  H . Đường thẳng OH qua O  0; 0; 0  nhận n  1; 2;1 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình x  t  là  y  2t z  t 

Mặt phẳng (P) có phương trình: x  2 y  z  6  0 . Từ hai phương trình trên suy ra t  1  H 1; 2;1 . 22

Khi đó (Q) là mặt phẳng chứa d và đi qua H. Ta có M 1;1; 2   d , vectơ chỉ phương của d là u  1;1; 2  , HM   0; 1;1 . Suy ra vectơ pháp tuyến của (Q) là n  u; HM    1; 1; 1 Hơn nữa (Q) qua điểm M 1;1; 2  nên (Q) có phương trình là: x  y  z  4  0