Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12 (Có lời giải) Phần 1 by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Mệnh đề Định nghĩa: • Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. • Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P, mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P. Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. Mệnh đề kéo theo Cho mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P  Q , (P suy ra Q). Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P  Q . Khi đó: P là giả thiết, Q là kết luận, P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P. Mệnh đề đảo • Cho mệnh đề kéo theo P  Q . Mệnh đề Q  P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q . • Cho mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P  Q . Mệnh đề P  Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng. Chú ý: Nếu mệnh đề P  Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q. Kí hiệu  và  : Cho mệnh đề chứa biến P (x). Khi đó: “Với mọi x thuộc X để P (x) đúng” được ký hiệu là: “ x  X, P  x  ” hoặc “ x  X : P  x  ”. “Tồn tại x thuộc X để P (x) đúng” được ký hiệu là “  x  X, P  x  ” hoặc “  x  X : P  x  ” • Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ x  X, P  x  ” là “  x  X, P  x  ”. • Mệnh đề phủ định của mệnh đề “  x  X, P  x  ” là “ x  X, P  x  ”. 2. Tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Các xác định tập hợp Liệt kê các phân từ: Viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { ; ; }. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu  . Tập hợp con: A  B    x  A  x  B  . Trang 1

A  A,  A.

  A, A.

A  B, B  C  A  C.

A  B Tập hợp bằng nhau: A  B   B  A Chú ý: Nếu tập hợp có n phần tử thì có 2n tập con. 3. Một số tập hợp con của tập hợp số thực 

*        . * : là tập hợp số tự nhiên không có số 0.

 : là tập hợp số nguyên.

 : là tập hợp số tự nhiên.

 : là tập hợp số hữu tỉ.

   ;   : là tập hợp số thực. Khoảng

 a; b   x   | a  x  b :  a;    x   | a  x :  ; b   x   | x  b : Đoạn:  a; b   x   | a  x  b : Nửa khoảng:

a; b   x   | a  x  b :  a; b  x   | a  x  b :

a;    x   | a  x :  ; b  x   | x  b : 4. Các phép toán trên tập hợp Giao của hai tập hợp A  B  { x|x  A và x  B }. Hợp của hai tập hợp A  B  { x | x  A hoặc x  B }. Hiệu của hai tập hợp: A \ B  { x | x  A và x  B }. Phần bù: Cho B  A thì CA B  A \ B. 5. Số gần đúng Sai số tuyệt đối Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì  a  a  a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. Độ chính xác của một số gần đúng Nếu  a  a  a  d thì a  d  a  a  d . Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d và qui ước viết gọn là a  a  d. Trang 2

Sai số tương đối Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu a 

a . a càng a

nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn. Ta thường viết a dưới dạng phần trăm. Quy tròn số gần đúng Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0. Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn. Chữ số chắc Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Mệnh đề 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Các câu sau đây, có bao nhiêu câu là mệnh đề đúng? (1) Chạy ngay đi! (2) Phương trình x 2  3x  1  0 vô nghiệm. (3) 16 không là số nguyên tố. (4) Hai phương trình x 2  4x  3  0 và x 2  x  3  1  0 có nghiệm chung. (5) Ba giờ sáng anh còn chưa ngủ, tương tư về em biết bao nhiêu cho đủ? (6) U23 Việt Nam đoạt giải chơi đẹp nhất U23 Châu Á. (7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. (8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 5.

Hướng dẫn Câu (1) và (5) không là mệnh đề (vì là câu đầu khiến, câu nghi vấn). Các câu (3), (4), (6), (8) là những mệnh đề đúng. Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai.  Chọn A.

Ví dụ 2: Mệnh đề P  x  :"  x  , x 2  x  7  0" . Phủ định của mệnh đề P là A.  x  , x 2  x  7  0.

B.  x  , x 2  x  7  0.

C.  x  , x 2  x  7  0.

D.  x  , x 2  x  7  0. Trang 3

Hướng dẫn Phủ định của mệnh đề P là P  x  : "  x  , x 2  x  7  0".  Chọn D.

Ví dụ 3: Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển”? A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển. Hướng dẫn Phủ định của mệnh đề "  x  K, P  x  " là mệnh đề "  x  K, P  x  ". Do đó, phủ định của mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển” là mệnh đề: “Có ít nhất một động vật không di chuyển”.  Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân”. B. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc 60 ”. C. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau”. D. “ABC là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC có hai góc bằng 60 ”. Câu 3. Cho mệnh đề P  x  :"  x  , x 2  x  1  0". Mệnh đề phủ định của mệnh đề P (x) là A. "  x  , x 2  x  1  0".

B. "  x  , x 2  x  1  0".

C. "  x  , x 2  x  1  0".

D. " x  , x 2  x  1  0".

Câu 4. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Số 6 chia hết cho 2 và 3”. A. Số 6 chia hết cho 2 hoặc 3.

B. Số 6 không chia hết cho 2 và 3.

C. Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3.

D. Số 6 không chia hết cho 2, chia hết cho 3.

Đáp án: 1–D

2–A

3–C

4–C

Dạng 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp 1. Ví dụ minh họa Trang 4

Ví dụ 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập X  x   | 2x 2  5x  3  0 . A. X  0 .

3 C. X    . 2

B. X  1 .

 3 D. X  1;  .  2

Hướng dẫn  x  1  Ta có 2x  5x  3  0   x  3    2 2

Vậy X  1 .  Chọn B.

Ví dụ 2: Cho X  0;1; 2;3; 4;8;9;7 . Tập X có bao nhiêu tập hợp con? A. 8.

B. 128.

C. 256.

D. 64.

Hướng dẫn Nếu tập hợp có n phần tử thì có

tập hợp con.

Tập X có 8 phần tử nên có 28  256 tập hợp con.  Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tập hợp X  1; 2;3; 4 . Câu nào sau đây đúng? A. Số tập con của X là 16.

B. Số tập con của X gồm có 2 phần tử là 8.

C. Số tập con của X chứa số 1 là 6.

D. Số tập con của X gồm có 3 phần tử là 2. Hướng dẫn

Số tập con của tập hợp X là: 24  16. Số tập con có 2 phần tử của tập hợp X là: C24  6. Số tập con của tập hợp X chứa số 1 là: 8, bao gồm:

1 , 1; 2 , 1;3 , 1; 4 , 1; 2;3 , 1; 2; 4 , 1;3; 4 , 1; 2;3; 4 . Số tập con có 3 phần tử của tập hợp X là: C34  4.  Chọn A.

Ví dụ 4: Cho A  0;1; 2;3; 4 ; B  2;3; 4;5;6 . Tập hợp  A \ B    B \ A  bằng A. {0;1;5;6}.

B. {1;2}.

C. {5}.

D.  .

Hướng dẫn

A \ B  0;1 Ta có    A \ B   B \ A    . B \ A  5;6  Chọn D.

Ví dụ 5: Lớp 12A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý. 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 12A là Trang 5

A. 9.

B. 10.

C. 18.

D. 28.

Hướng dẫn Có 1 học sinh giỏi cả 3 môn học. Ta có: 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, do đó số học sinh chỉ giỏi Toán, Hóa, không giỏi Lý là 4  1  3 (học sinh). 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, do đó số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa, không giỏi Toán là 2  1  1 (học sinh). 3 học sinh giỏi cả Lý và Toán, do đó số học sinh chỉ giỏi Lý và Toán, không giỏi Hóa là 3  1  2 (học sinh). Số học sinh chỉ giỏi Toán, không giỏi Lý, Hóa là 7  1  2  3  1 (học sinh). Số học sinh chỉ giỏi Hóa, không giỏi Lý, Toán là 6  1  1  3  1 (học sinh). Số học sinh chỉ giỏi Lý, không giỏi Toán, Hóa là 5  1  1  2  1 (học sinh). Từ đó lập biểu đồ Ven ta được:

Theo biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là: 1  2  1  3  1  1  1  10 (học sinh).  Chọn B.

Ví dụ 6: Cho A   ; 2 ; B  3;   ; C   0; 4  . Khi đó  A  B   C là A. 3; 4

B. 3; 4 

C.  ; 2   3;  

D.  ; 2   3;  

Hướng dẫn

Ta có A  B   ; 2  3;     A  B   C  3; 4   Chọn B

Ví dụ 7: Cho hai tập hợp A   4;7  và B   ; 2    3;   . Khi đó A  B là A.  ; 2   3;  

B.  4; 2    3;7 

C.  4; 2    3;7 

D.  ; 2   3;  

Hướng dẫn

Ta có A  B  1;7    ; 2    3;     4; 2    3;7  Trang 6

 Chọn B

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào rỗng? A. A  x   | x 2  4  0 .

B. B  x   | x 2  2x  3  0 .

C. C  x   | x 2  5  0 .

D. D  x   | x 2  x  12  0 .

Câu 2. Cho 2 tập hợp: X  1;3;5;8 ; Y 3;5;7;9 . Tập hợp X  Y bằng tập hợp nào sau đây? A. 3;5 .

B. 1;3;5;7;8;9 .

C. 1;7;9 .

D. 1;3;5 .

Câu 3. Cho A  0;1; 2;3; 4 ; B  2;3; 4;5;6 . Tập hợp A \ B bằng A. 0 .

B. 0;1 .

C. 1; 2 .

D. 1;5 .

Câu 4. Cho A  1; 4 ; B  2;6  ; C  1; 2  . Khi đó, A  B  C là A. 1;6  .

B.  2; 4 .

C. 1; 2 .

D.  .

Câu 5. Cho A  0; 2; 4;6 . Tập A có bao nhiêu tập con có 2 phần tử? A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Đáp án: 1–B

2–B

3–B

4–D

5–B

Dạng 3: Số gần đúng và sai số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho giá trị gần đúng của A. 0,0025.

9 là 0,56. Sai số tuyệt đối của số là 0,56 là 16

B. 0,002.

C. 0,003.

D. 0,0075.

Hướng dẫn Ta có 

9  0,5625 nên sai số tuyệt đối của 0,56 là: 16

9  0,56  0,5625  0,56  0, 0025. 16

 Chọn A.

Ví dụ 2: Độ dài các cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật là: x  7,1m  7cm và y  25, 6m  4cm. Số đo chu vi của mảnh vườn dưới dạng chuẩn là A. 66m  12cm.

B. 67m  11cm.

C. 66m  11cm.

D. 65m  22cm.

Hướng dẫn

Trang 7

Ta có x  7,1m  7cm  7, 03m  x  7,17 m và y  25, 6m  4cm  25,56m  y  25, 64m . Do đó chu vi hình chữ nhật là P  2  x  y    65,18;65, 62  P  65, 4m  22cm. Vì d  22cm  0, 22m  0,5 

1 nên 5 là chữ số chắc. Do đó dạng chuẩn của chu vi là 65m  22cm. 2

 Chọn D.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho số gần đúng a  23748023 với độ chính xác d  101. Hãy viết số quy tròn của số a. A. 23749000.

B. 23748000.

Câu 2. Cho giá trị gần đúng của A. 0,001

C. 23746000.

D. 23747000.

17 là 0,42. Sai số tuyệt đối của số 0,42 là 40

B. 0,002

C. 0,004

D. 0,005

Câu 3. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x  43m  0,5m và chiều dài y  63m  0,5m. Tính chu vi P của miếng đất đã cho. A. P  212m  4m.

B. P  212m  2m.

C. P  212m  0,5m.

D. P  212m  1m.

C. a   a; b  .

D. a   a; b  .

Đáp án: 1–B

2–D

3–B

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Câu 1. Cách viết nào sau đây là đúng A. a   a; b  .

B. a   a; b  .

Câu 2. Cho giá trị gần đúng của  là a  3,141592653589 với độ chính xác 1010. Hãy viết số quy tròn của số a. A. 3,141592654.

B. 3,1415926536.

C. 3,141592653.

D. 3,1415926535.

Câu 3. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng A.  \   .

B. *    .

C. *    .

D. *    * .

Câu 4. Cho X  7; 2;8; 4;9;12 ; Y  1;3;7; 4 . Tập nào sau đây bằng tập X  Y ? A. 1; 2;3; 4;12 .

B. 2;8;9;12 .

C. 4;7 .

D. 1;3 .

Câu 5. Cho hai tập hợp A  2; 4;6;9 và B  1; 2;3; 4 . Tập hợp A\ B bằng tập nào sau đây? A. A  1; 2;3;5 .

B. 1;3;6;9 .

C. 6;9 .

D.  .

Câu 6. Cho A  0;1; 2;3; 4 , B  2;3; 4;5;6 . Tập hợp  A \ B    B \ A  bằng ? A. 0;1;5;6 .

B. 1; 2 .

C. 2;3; 4 .

D. 5;6 .

Câu 7. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x  23m  0, 01m và chiều rộng là y  15m  0, 01m. Tính diện tích S của thửa ruộng đã cho. Trang 8

A. S  345m  0, 001m.

B. S  345m  0,38m.

C. S  345m  0, 01m.

D. S  345m  0,3801m.



 3; 11 . Tập C C.  5; 11  .

Câu 8. Cho tập hợp C A   3; 8 và C B   5; 2  





A. 3; 3 .

B.  .

 A  B

là

D.  3; 2  





3; 8 .

Câu 9. Số các tập con 2 phần tử của B  a; b;c;d;e;f  là A. 15.

B. 16.

C. 22.

D. 25.

Câu 10. Cho A  x   | x  2  0 , B  x   | 5  x  0 . Khi đó A  B là A.  2;5 .

B.  2;6 .

C.  5; 2 .

D.  2;  

Đáp án: 1–B

2–A

3–D

4–C

5–C

6–A

7–B

8–C

9–A

10 – A

Trang 9

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ 3: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hàm số bậc nhất y  ax  b

 a  0

Tập xác định: D  . Chiều biến thiên: Với a  0 hàm số đồng biến trên .

Với a  0 hàm số nghịch biến trên . Bảng biến thiên: a0



a0









Đồ thị: Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng y  ax (nếu b  0 ) và đi qua hai điểm A  0; b  ,  b  B   ;0  .  a  a0

a0

Chú ý: • Hàm số hằng y  b : Đồ thị hàm số y  b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm  0; b  . Đường thẳng này gọi là đường thẳng y  b. b  khi x   ax  b a • Đối với hàm số y  ax  b ,  a  0  thì ta có: y  ax  b    a  0   ax  b  khi x   b  a

Trường hợp a  0 ta làm tương tự.

Trang 1

Do đó để vẽ hàm số y  ax  b , ta sẽ vẽ hai đường thẳng y  ax  b và y  ax  b , rồi xóa đi phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành Ox. • Cho hai đường thẳng d: y  ax  b và d : y  a x  b . Khi đó:

d // d  a  a  và b  b.

d  d  a.a   1.

d  d  a  a  và b  b.

d  d  a  a .

• Phương trình đường thẳng d qua A  x A ; y A  và có hệ số góc k có dạng: y  k.  x  x A   y A. 2. Hàm số bậc hai y  ax 2  bx  c

 a  0

Tập xác định: D  . Bảng biến thiên: a0

X Y





a0

b 2a



 



 4a





b 2a



 4a





b   • Nếu a  0 thì hàm số y  ax 2  bx  c nghịch biến trên khoảng  ;   , đồng biến trên khoảng 2a    b    ;   .  2a  b   • Nếu a  0 thì hàm số y  ax 2  bx  c đồng biến trên khoảng  ;   , nghịch biến trên khoảng 2a    b    ;   .  2a 

Đồ thị của hàm số bậc hai:   b Đồ thị của hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  là một đường parabol có đỉnh là điểm I   ;   , có trục  2a 4a  b đối xứng là đường thẳng x   . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a  0, xuống dưới nếu a  0. 2a

Trang 2

Chú ý: Đồ thị hàm y  f  x   ax 2  bx  c ,  a  0 

Đồ thị hàm y  f  x   ax 2  b x  c,  a  0 

• Bước 1: Vẽ  P  : y  ax 2  bx  c.

• Bước 1: Vẽ (P): y  ax 2  bx  c

• Bước 2: Do y  f  x  là hàm chẵn nên đồ thị đối f  x  khi f  x   0 • Bước 2:Do y  f  x    nên xứng nhau qua trục Oy, đồ thị hàm số được vẽ như f  x  khi f  x   0 sau: đồ thị hàm số y  f  x  được vẽ như sau Giữ nguyên phần (P) bên phải Oy. Giữ nguyên phần (P) phía trên Ox. Lấy đối xứng phần này qua Oy. Lấy đối xứng phần (P) dưới Ox qua Ox. Đồ thị y  f  x  là hợp của hai phần trên.

Đồ thị y  f  x  là hợp của hai phần trên.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc nhất, bậc hai 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y  m  x  2   x  2m  1 nghịch biến trên . A. m  2.

1 B. m   . 2

C. m  1.

1 D. m   . 2

Hướng dẫn

y  m  x  2   x  2m  1  mx  2m  x  2m  1   1  m  x  2m. Hàm số bậc nhất y  ax  b nghịch biến  a  0  1  m  0  m  1.  Chọn C.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

 2019; 2019

để hàm số

y   m  2  x  2m đồng biến trên  ? A. 2022.

B. 2019.

C. Vô số

D. 2017.

Hướng dẫn Hàm số bậc nhất y  ax  b đồng biến khi và chỉ khi a  0  m  2  0  m  2. Mà m  , thuộc đoạn  2019; 2019 nên m  3; 4;5;...; 2019 . Vậy có 2019  3  1  2017 giá trị nguyên của m cần tìm. Trang 3

 Chọn D.

Ví dụ 3: Cho hàm số y  2x 2  4x  1. Chọn đáp án đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2  và nghịch biến trên khoảng  2;   . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  và đồng biến trên khoảng  2;   . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1 và nghịch biến trên khoảng  1;   . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 và đồng biến trên khoảng  1;   . Hướng dẫn  b  Áp dụng: Hàm số y  ax 2  bx  c với a  0 đồng biến trên khoảng   ;   , nghịch biến trên khoảng  2a  b    ;   . 2a  

Ta có 

b  1. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 và đồng biến trên khoảng  1;   . 2a

 Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x 2   m  1 x  2 nghịch biến trên khoảng 1; 2  . A. m  5.

B. m  5.

C. m  3.

D. m  3.

Hướng dẫn Hàm số có a  1  0; 

b m 1  m 1  ;   .   hàm số nghịch biến trên khoảng  2a 2  2 

m 1  m 1  ;     1  m  3. Vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) thì 1; 2    2  2   Chọn C.

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  f  x   x 2  3x trên đoạn  0; 2 . 9 A. M  0; m   . 4

9 B. M  ; m  0. 4

9 C. M  2; m   . 4

9 D. M  2; m   . 4

Hướng dẫn Cách 1: Hàm số y  x  3x có a  1  0 nên bề lõm hướng lên. 2

Hoành độ đỉnh x  

b 3    0; 2 . 2a 2

9 3 Ta có: f     ;f  0   0;f  2   2. 4 2 9 3 Vậy: m  min y  f     ; M  max y  f  0   0. 4 2

Cách 2: Sử dụng máy tính Fx 570 VN PLUS Trang 4

Bước 1: Sử dụng Mode 7. Nhập hàm số F  x   X 2  3X Start 0   End 2   Step 0.2 Bước 2: Quan sát giá trị của cột F(x), giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của cột F(x) xấp xỉ giá trị M và m cần tìm.  Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số f  x   4  3x. Khẳng định nào sau đây đúng? 4  A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   . 3 

4  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   . 3 

C. Hàm số đồng biến trên .

3  D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   . 4 

Câu 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f  x   x 2  4x  5 trên khoảng  ; 2  và trên khoảng  2;   . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên  ; 2  , đồng biến trên  2;   . B. Hàm số đồng biến trên  ; 2  , nghịch biến trên  2;   . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   . D. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   . Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất y min của hàm số y  x 2  4x  5. A. y min  0.

B. y min  2.

C. y min  2.

D. y min  1.

Đáp án: 1–B

2–A

3–D

Dạng 2: Xác định hàm số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y   m 2  3 x  2m  3 song song với đường thẳng y  x  1. A. m  2.

B. m  2.

C. m  2

D. m  1

Hướng dẫn

a  a 2 Để đường thẳng y   m 2  3 x  2m  3 song song với đường thẳng y  x  1 khi và chỉ khi  1 b1  b 2 m 2  3  1 m  2    m  2. m  2 2m  3  1   Trang 5

 Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm a và b để đồ thị hàm số y  ax  b đi qua các điểm A  2;1 , B 1; 2  . A. a  2, b  1.

B. a  2, b  1.

C. a  1, b  1.

D. a  1, b  1.

Hướng dẫn Đồ thị hàm số đi qua các điểm A  2;1 , B 1; 2  nên ta có hệ phương trình:

1  a.  2   b a  1  .  2  a.1  b b  1  Chọn D.

Ví dụ 3: Biết rằng đồ thị hàm số y  ax  b đi qua các điểm N  4; 1 và vuông góc với đường thẳng

4x  y  1  0. Tính tích P  ab. A. P  0 .

1 B. P   . 4

1 C. P  . 4

1 D. P   . 2

Hướng dẫn Đồ thị hàm số đi qua điểm N  4; 1 nên 1  a.4  b.

1

Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đường y  4x  1 nên 4.a  1

 2

1  1  a.4  b a   Từ (1) và (2), ta có hệ   4  P  ab  0. 4.a  1 b  0

 Chọn A.

1 Ví dụ 4: Biết rằng  P  : y  ax 2  bx  2  a  1 đi qua điểm M  1;6  và có tung độ đỉnh bằng  . Tính 4 tích T  ab.

A. T  3.

B. T  2.

C. T  192.

D. T  28.

Hướng dẫn Vì (P) đi qua điểm M  1;6  và có tung độ đỉnh bằng 

1 nên ta có hệ phương trình: 4

 a  16  a  b  2  6 a  4  b a  b  4 a  4  b  b  12  2  2  1  2    a  1 b  4.2a  a b  9b  36  0 b  8  4  b   4  b  4a   4   b  3

a  16 Do a  1 nên  . Suy ra T  ab  16.12  192 . b  12  Chọn C.

Ví dụ 5: Xác định phương trình parabol (P): y  ax 2  bx  c, biết rằng (P) đi qua ba điểm A 1;1 ,

B  1; 3 và O  0;0  . Trang 6

A. y  x 2  2x.

B. y   x 2  2x.

C. y   x 2  2x.

D. y  x 2  2x.

Hướng dẫn Cách 1: Vì (P) đi qua ba điểm A 1;1 , B  1; 3 , O  0;0  nên ta có hệ phương trình:

a  b  c  1 a  1   a  b  c  3  b  2 . c  0 c  0   Vậy phương trình của (P): y   x 2  2x. Cách 2: Thay tọa độ ba điểm vào các đáp án xem đáp án nào chứa cả 3 điểm A, B và O.  Chọn C.

Ví dụ 6: Xác định phương trình parabol (P): y  ax 2  bx  c, biết rằng (P) có đỉnh I  2; 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. A. y  x 2  2x  3.

1 B. y   x 2  2x  3. 2

C. y 

1 2 x  2x  3. 2

D. y   x 2  2x  3.

Hướng dẫn  b  2a  2 b  4a  2 Vì (P) có đỉnh I  2; 1 nên ta có  b  4ac  4a    1  4a

1

Gọi A là giao điểm của (P) với Oy tại điểm có tung độ bằng 3. Suy ra A  0; 3 . Theo giả thiết, A  0; 3 thuộc (P) nên a.0  b.0  c  3  c  3.

 2

1  a    a  0  loai  b  4a 2    2 Từ (1) và (2), ta có hệ 16a  8a  0  b  0 hoặc b  2 c  3 c  3 c  3     1 Vậy phương trình của (P): y   x 2  2x  3. 2  Chọn B.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số y  ax  b đi qua điểm M 1; 4  và song song với đường thẳng

y  2x  1. Tính tổng S  a  b. A. S  4.

B. S  2.

C. S  0.

D. S  4.

Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số y  ax  b đi qua hai điểm M  1;3 và N 1; 2  . Tính tổng S  a  b. 1 A. S   . 2

B. S  3.

C. S  2.

5 D. S  . 2

Trang 7

Câu 3. Xác định phương trình của parabol (P): y  ax 2  bx  c, biết rằng (P) cắt trục Ox tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 2, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2. A. y  2x 2  x  2.

B. y   x 2  x  2.

C. y 

1 2 x  x  2. 2

D. y  x 2  x  2.

Đáp án: 1–A

2–C

3–D

Dạng 3: Sự tương giao của hàm số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y  2x  m  1. Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. A. m  7.

B. m  3.

C. m  7.

D. m  7.

Hướng dẫn Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3  A  3;0  thuộc đồ thị hàm số. Thay x  3, y  0 vào hàm số ta được 0  2.3  m  1  m  7.  Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hàm số bậc nhất y  ax  b . Tìm a và b, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng

1 : y  2x  5 tại điểm có hoành độ bằng 2 và cắt đường thẳng  2 : y  3x  4 tại điểm có tung độ bằng 2 . 3 1 A. a  ; b  . 4 2

3 1 B. a   ; b  . 4 2

3 1 C. a   ; b   . 4 2

3 1 D. a  ; b   . 4 2

Hướng dẫn Với x  2 thay vào y  2x  5 , ta được y  1. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 nên đi qua điểm A  2;1 . Do đó ta có 1  a.  2   b.

1

Với y  2 thay vào y  3x  4, ta được x  2. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  3x  4 tại điểm có tung độ bằng 2 nên đi qua điểm B  2; 2  . Do đó ta có 2  a.2  b

 2

3  a  1  a.  2   b  2 a  b  1   4   . Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:  2  a.2  b 2a  b  2 b   1  2  Chọn C.

Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y  2x, y   x  3 và y  mx  5 phân biệt và đồng quy. Trang 8

A. m  7.

B. m  5.

C. m  5.

D. m  7.

Hướng dẫn Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng y  2x và y   x  3 là nghiệm của hệ:

 y  2x x  1   A  1; 2  .   y   x  3  y  2 Để ba đường thẳng đồng quy thì y  mx  5 đi qua A  2  1.m  5  m  7.  Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm phương trình đường thẳng d: y  ax  b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I 1; 2  và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. A. y  2x  4.

B. y  2x  4.

C. y  2x  4.

D. y  2x  4.

Hướng dẫn Đường thẳng d: y  ax  b đi qua điểm I 1; 2   2  a  b

1

 b  Ta có d  Ox  A   ;0  ; d  Oy  B  0; b  .  a 

Suy ra OA  

b b   và OB  b  b (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy). a a

Tam giác OAB vuông tại O. 1 1  b Do đó, ta có SABC  OA.OB  4  .    .b  4  b 2  8a  2  2 2  a

Từ (1) suy ra b  2  a . Thay vào (2), ta được:

2  a

 8a  a 2  4a  4  8a  a 2  4a  4  0  a  2.

Với a  2  b  4. Vậy đường thẳng cần tìm là d: y  2x  4.  Chọn B.

Ví dụ 5: Cho parabol (P): y  x 2  2x  m  1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. A. 1  m  2.

B. m  2.

C. m  2.

D. m  1.

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox là x 2  2x  m  1  0.

1

Để parabol cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm dương do    2  m  0 m  2  đó: S  2  0   1  m  2. m  1  P  m  1  0   Chọn A.

Ví dụ 6: Cho parabol (P): y  x 2  4x  3 và đường thẳng d: y  mx  3. Tìm giá trị thực của tham số m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1 , x 2 thỏa mãn x13  x 32  8. Trang 9

A. m  2.

B. m  2.

C. m  4.

D. m  1.

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: x 2  4x  3  mx  3.

x  0  x  x   m  4    0   x  m  4 Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 4  m  0  m  4. Khi đó, ta có x13  x 32  8  0   4  m   8  4  m  2  m  2. 3

 Chọn B.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y  A.  0; 1 .

1  3x x  và y     1 là 4 3   1 C.  0;  .  4

B.  2; 3 .

D.  3; 2  .

Câu 2. Tìm giá trị thực của m để hai đường thẳng d: y  mx  3 và  : y  x  m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. A. m  3.

B. m  3.

C. m  3.

D. m  0.

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để ba đường thẳng y  5  x  1 , y  mx  3 và y  3x  m phân biệt và đồng quy. A. m  3.

B. m  13.

C. m  13.

D. m  3.

Câu 4. Parabol (P): y  x 2  4x  4 có số điểm chung với trục hoành là A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 5. Cho parabol (P): y  x 2  2x  m  1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để parabol không cắt Ox. A. m  2.

B. m  2.

C. m  2.

D. m  2.

Đáp án: 1–D

2–A

3–C

4–B

5–B

Dạng 4: Đồ thị hàm số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào? A. y  x  1. B. y   x  2. C. y  2x  1. D. y   x  1. Hướng dẫn Trang 10

Đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hệ số góc a  0. Loại đáp án A và C. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm  0;1 . Thay x  0; y  1 vào ta thấy hàm số y   x  1 thỏa mãn.  Chọn D.

Ví dụ 2: Hình bên là đồ thị của hàm số nào? A. y  x .

B. y  x  1.

C. y  1  x .

D. y  x  1. Hướng dẫn

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là  0;1 . Loại đáp án A và D. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là  1;0  và 1;0  . Thay vào hai đáp án còn lại ta thấy y  1  x thỏa mãn.  Chọn C.

Ví dụ 3: Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào? A. y  x 2  4x  1. B. y  2x 2  4x  1. C. y  2x 2  4x  1. D. y  2x 2  4x  1. Hướng dẫn • Parabol có bề lõm hướng lên hoặc góc bên phải ngoài cùng hướng lên trên, nên a  0 . Loại C. • Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là 1 nên c  1. Loại D. • Đỉnh của parabol là điểm 1; 3 . Thay vào A và B, ta thấy B thỏa mãn. Do đó hàm số trên là y  2x 2  4x  1.  Chọn B.

Ví dụ 4: Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a  0, b  0, c  0. B. a  0, b  0, c  0. C. a  0, b  0, c  0. D. a  0, b  0, c  0. Hướng dẫn Bề lõm hướng lên hoặc góc ngoài cùng bên phải hướng lên trên nên a  0.

Trang 11

Hoành độ đỉnh parabol x  

b  0, mà a  0 nên b  0. 2a

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c  0.  Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hàm số f  x   ax 2  bx  c có đồ thị như hình dưới đây. Với giá trị nào của tham số thực m thì phương trình f  x   m có đúng 4 nghiệm phân biệt. A. 0  m  1. B. m  3. C. m  1, m  3. D. 1  m  0. Hướng dẫn Cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y  f  x  như sau: Giữ nguyên đồ thị y  f  x  phía trên trục hoành. Lấy đối xứng phần đồ thị y  f  x  phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới). Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ. Phương trình f  x   m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y  m (song song hoặc trùng với trục hoành). Dựa vào đồ thị, với 0  m  1 thì phương trình f  x   m có đúng bốn nghiệm phân biệt.  Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số f  x   ax 2  bx  c có đồ thị như hình dưới đây. Với giá trị nào của tham số thực m thì phương trình f  x   1  m có đúng 3 nghiệm phân biệt. A. m  1 B. m  1 C. m  2 D. m  2 Hướng dẫn Cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y  f  x  như sau: • Giữ nguyên đồ thị y  f  x  phía bên phải trục tung. • Lấy đối xứng phần đồ thị y  f  x  phía bên phải trục tung qua trục tung. Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y  f  x  như hình vẽ.

Trang 12

Phương trình f  x   1  m  f  x   m  1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y  m  1 (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, theo yêu cầu bài toán thì m  1  3  m  2.  Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số y  ax  b có đồ thị là hình bên. Tìm a và b. A. a  2 và b  3.

B. a  

C. a  3 và b  3.

D. a 

3 và b  2. 2

3 và b  3. 2

Câu 2. Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào? A. y   x 2  3x  1. B. y  2x 2  3x  1. C. y  2x 2  3x  1. D. y  x 2  3x  1. Câu 3. Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  0, b  0, c  0. B. a  0, b  0, c  0. C. a  0, b  0, c  0. D. a  0, b  0, c  0. Đáp án: 1–D

2–C

3–C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Tìm giá trị thực của tham số m để parabol (P): y  mx 2  2mx  3m  2

 m  0

có đỉnh thuộc

đường thẳng y  3x  1. A. m  1.

B. m  1.

C. m  6.

D. m  6.

Câu 2. Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  0, b  0, c  0. B. a  0, b  0, c  0. C. a  0, b  0, c  0. D. a  0, b  0, c  0. Trang 13

Câu 3. Biết rằng (P): y  ax 2  bx  c , đi qua điểm A  2;3 và có đỉnh I 1; 2  . Tính tổng S  a 2  b 2  c 2 . A. S  2.

B. S  4.

C. S  6.

D. S  14.

Câu 4. Xác định phương trình của parabol (P): y  ax 2  bx  c , biết rằng (P) có đỉnh thuộc trục hoành và đi qua hai điểm M  0;1 , N  2;1 . A. y  x 2  2x  1.

B. y  x 2  3x  1.

C. y  x 2  2x  1.

D. y  x 2  3x  1.

Câu 5. Hình bên là đồ thị của hàm số nào? A. y  2x  3 . B. y  2x  3  1. C. y  x  2 . D. y  3x  2  1. x y   1,  a  0; b  0  đi qua điểm M  1;6  tạo với các tia Ox, Oy một tam a b giác có diện tích bằng 4. Tính S  a  2b.

Câu 6. Đường thẳng d:

A. S  

38 . 3

B. S 

5  7 7 . 3

C. S  10.

D. S  6.

Câu 7. Hình sau đây là đồ thị của hàm số nào? 3 A. y   x 2  2x  . 2 1 5 B. y   x 2  x  . 2 2

C. y  x 2  2x. 1 2 D. y   x 2  x  1. 3 3

 a  0 .

Câu 8. Cho parabol (P): y  ax 2  bx  c

Xét dấu hệ số a và biệt thức  của phương trình

parabol (P) khi cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành. A. a  0,   0.

B. a  0,   0.

C. a  0,   0.

D. a  0,   0.

Đáp án: 1–B

2–A

3–D

4–A

5–B

6–C

7–D

8–D

Trang 14

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Đại cương về phương trình Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x  (1).

Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Nếu phương trình f  x   g  x  tương đương

Trong đó: f(x) và g(x) là những biểu thức của x x gọi là ẩn. Nếu có số thực x0 sao cho f  x 0   g  x 0  là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Ta nói: f(x) là vế trái của phương trình (1), g(x) là vế phải của phương trình (1). Ta có: f(x) và g(x) xác định lần lượt trên Df và Dg. Khi đó D  Df  Dg gọi là tập xác định của

với phương trình f1  x   g1  x  thì ta viết

f  x   g  x   f1  x   g1  x  . Cho phương trình f  x   g  x  xác định trên D và h(x) xác định trên D. Khi đó, ta có:

f  x   g  x   f  x   h  x   g  x   h  x  và f  x   g  x   f  x  .h  x   g  x  .h  x  ;  h  x   0  .

Phương trình hệ quả

phương trình.

Nếu

mọi

nghiệm

của

phương

trình

Tập hợp chứa tất cả các nghiệm của phương trình (1) được gọi là tập nghiệm của phương trình (1).

f1  x   g1  x  thì phương trình f1  x   g1  x  được

Phương trình nhiều ẩn:

gọi là phương trình hệ quả của phương trình

f  x   g  x  đều là nghiệm của phương trình

Ví dụ:

f x  gx .

3x  4y  5  9x  1 : phương trình hai ẩn x và y.

Ta viết f  x   g  x   f1  x   g1  x  .

4x 2  y  z  6 : phương trình ba ẩn x; y; z.

Ta có f  x   g  x   f  x    g  x   .

Phương trình chứa tham số Ví dụ: 5x  m  1  0 : phương trình một ẩn x, tham số m.

Chú ý:

Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được một 4x 2  y3  2  m : phương trình hai ẩn x và phương trình tương đương. y, tham số m. Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến Chú ý: Than sốm trong phương trình đóng vai trò phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm như một hằng số. được vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax  b  0  a  0  . Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax 2  bx  c  0  a  0  . Trang 1

b 2 Ta có:   b 2  4ac và  '   b '  ac, trong đó b '  . 2 b  S  x1  x 2     a Định lí Vi-ét: Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm x1; x2 thì:  P  x .x  c 1 2  a

u  v  S Nếu u và v có  thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2  Sx  P  0 uv  P 3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Phương trình chứa dấu căn. Phương trình bậc ba. Phương trình bậc bốn trùng phương. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình 1. Phương pháp giải Một số cách xác định điều kiện:

Chú ý:

Đa thức xác định với mọi giá trị thuộc  .

Ta cần phân biệt điều kiện xác định và tập xác định.

f x

xác định khi g  x   0 .

Phân thức

gx

Căn thức

f  x  xác định khi f  x   0.

Phân thức

f x f x gx

Điều kiện xác định là điều kiện nào đó của ẩn.



Tập xác định là tập hợp

Ví dụ: phương trình

xác định khi g  x   0

gx



x  0 có điều kiện xác định

là x  0 , có tập xác định là D   0;   .

xác định khi g  x   0

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tập xác định của phương trình A.  \ 2;0 .

x2 1 2 là   x  2 x x  x  2

B.  \  2;   .

C.  \  ; 2 .

D.  \ 2;0; 2 .

Hướng dẫn

x  2  0  x  2   Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định :  x  0  x  0 x  2  0 x  2   Vậy tập xác định của phương trình là  \ 2;0; 2 . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Trang 2

Thử các đáp án: Thay x  2 vào phương trình , ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x  2 không thuộc tập xác định. Nên loại đáp án B. Thay x  2 vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x  2 không thuộc tập xác định. Nên loại đáp án A và C.  Chọn D.

Ví dụ 2: Tập xác định của phương trình 4 A.  \   . 3

3x  2  4  3x  1 là

2 4 B.  ;  . 3 3

2 4 C.  ;  . 3 3

2 4 D.  \  ;  . 3 3

Hướng dẫn   x  3x  2  0  Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định :  4  3x  0 x  

2 2 4 3  x   ; . 4 3 3 3

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thử các đáp án: 4 4 vào phương trình , ta thấy máy tính hiện 1  2 , do đó x  thuộc tập xác định. Nên loại 3 3 đáp án A, B và D.

Thay x 

 Chọn C.

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của phương trình A. D  .

3x 1 . 4 2 x 2 3x  5 2

B. D   \ 2

C. D   \ 3

D. D   \ 5

Hướng dẫn

 x 2  2  0 Phương trình có điều kiện xác định:  2 (luôn đúng). 3x  5  0 Vậy tập xác định của phương trình là D   .  Chọn A.

Ví dụ 4: Cho phương trình

2x  1 7x 6x  4  2  2 , tập xác định của phương trình trên x  5x  6 x  6x  8 x  7x  12 2

là A.  4;   .

B.  \ 2;3; 4 .

C.  .

D.  \ 4 .

Hướng dẫn  x 2  5x  6  0 x  2  2  Phương trình có điều kiện xác định :  x  6x  8  0   x  3  x 2  7x  12  0 x  4  

Vậy tập xác định của phương trình trên là  \ 2;3; 4. . Trang 3

 Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:31923) Tập xác định của phương trình A.  2;   .

C.  2;   .

B.  \ 2; 2 .

Câu 2. (ID: 31924) Tập xác định của phương trình

2x 1 6  5x   là 3  x 2x  1 3x  2

Câu 3. (ID: 31925) Điều kiện xác định của phương trình A. x  0 .

D.  .

1 2 C.  \  ;3;  . 2 3

B. 3;   .

A.  3;   .

1 3 4   2 là x2 x2 x 4

1  x 2  1  0 là x

C. x  0; x 2  1  0 .

B. x  0 .

1 3 D.  \  ;3;  . 2 2

D. x  0; x 2  1  0 .

Đáp án: 1-B

2-C

3-C

Dạng 2: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. 3x  x  2  x 2  x  2  3x  x 2 .

B. 10x  1  3x  10x  1  9x 2 .

C. 3x  x  2  x 2  3x  x 2  x  2 .

D. Cả A, B, C đều sai. Hướng dẫn

Đáp án A và B: Ta thấy hai phương trình này không có cùng tập nghiệm. Từ đó suy ra hai phương trình đó không tương đương với nhau. Đáp án C: chuyển vế các hạng tử của phương trình thì ta được phương trình tương đương  Chọn C

Ví dụ 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? B. x  2  x  2 .

A. x  3  2  x  3  4 . C.

x  x  3 x 3

 2  x  2.

x 2  3 2x  x 2  0.

Hướng dẫn Đáp án A: Ta bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả. Đáp án B: Vì x  2  x  2. Nên đáp án B sai.  Chọn B.

Ví dụ 3: Phương trình  x  4   x  2 là phương trình hệ quả của phương trình nào? 2

x  2  x  4.

B. x  4  x  2 .

C. x  4  x  2 .

x  4  x  2.

Hướng dẫn Trang 4

Đáp án A: Ta có

x  2  x  4  x  2   x  4 . 2

 Chọn A.





Ví dụ 4: Cho phương trình x 2  3  x  1 x  1  0. Phương trình đã cho tương đương với phương trình B. x 2  1  0 .

A. x  1  0 .

C. x  1  0 .

D.  x  1 x  1  0 .

Hướng dẫn Phương trình đã cho có nghiệm x  1 hoặc x  1 . Đáp án A: phương trình có nghiệm x  1 . Loại đáp án A. Đáp án B: phương trình vô nghiệm . Loại đáp án B. Đáp án C: phương trình có nghiệm x  1 . Loại đáp án C. Đáp án D: phương trình có nghiệm x  1 hoặc x  1 . Chọn đáp án D.  Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hai phương trình x 2  x  1  0 1 và

1  7  2  . Chọn khẳng định đúng nhất x2

2x 

trong các khẳng định sau. A . Phương trình (1) và (2) tương đương B. Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1). C. Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2). D. Cả A, B, C đều đúng. Hướng dẫn Giải phương trình (1), ta thấy phương trình (1) vô nghiệm.

2  x  0 Giải phương trình (2), ta có điều kiện   x . nên phương trình (2) vô nghiệm . x  2  0 Nên đáp án A, B, C đều đúng.  Chọn D.

Ví dụ 6: Tập nghiệm của phương trình A. T  0 .

x 2  5x  5x  x 2 là

B. T  0;5 .

C. T   \ 0;5 .

D. T  5 .

Hướng dẫn 2 x  0  x  5x  0 Phương trình có điều kiện xác định:   x 2  5x  0   2 x  5 5x  x  0

Thay x  0 và x  5 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là T  0;5 .  Chọn B.

2. Bài tập tự luyện Câu 1.(ID:32)Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3x  5  0 ? A. 5x  3  2x  9

B. 4x  7  x  8

C. 6x  3  3x  9

D. 7x  9  x  1 Trang 5

Câu 2. ID: 38) Phương trình 2x  1  3x  1 nhận phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả? A. x 2  2x  1  0

B. x 3  8  0

C. x 2  5x  6  0

D. x  2  0

Câu 3. (ID: 31) Hai phương trình 2x  1  0 và  2m  4  x  2m  5  0 tương đương khi A. m là số nguyên tố.

C. m  1 .

B. m  0 .

D. m  0 .

Đáp án: 1-D

2-C

3-C

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn 1. Phương pháp giải Giải và biện luận phương trình dạng ax  b  0 1 Trường hợp 1: a  0; b  0 suy ra phương

Trường

hợp

a  0.

có:

 2   bx  c  0 (Đưa về dạng trên). Trường hợp 2 : a  0 . Ta có : (2) là phương

trình (1) nghiệm đúng với mọi x.

2 Trường hợp 2: a  0; b  0 suy ra phương trình bậc hai một ẩn có   b  4ac   0 , phương trình (2) vô nghiệm. trình (1) vô nghiệm.

  0 , phương trình (2) có nghiệm kép b x . 2a

a  0 suy ra phương trình

(1) Là phương trình bậc nhất một ẩn.   b (1) Có nghiệm duy nhất x   .  a Chú ý:

  0, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2 

a  0 Phương trình (1) vô nghiệm khi  b  0

b   . 2a

Chú ý: Phương trình (2) vô nghiệm khi

Phương trình (1) có vô số nghiệm khi

a  b  0 hoặc  c  0

a  0  b  0

a  0 .    0

Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi a  0 a  0 hoặc  .  b  0   0

Phương trình (1) có nghiệm khi a  0 .

Khi tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm (hoặc vô nghiệm), ta có thể tìm điều kiện Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt để phương trình (1) vô nghiệm (hoặc có nghiệm), a  0 sau đó lấy kết quả ngược lại. khi  . 0  Giải và biện luận phương trình dạng

ax 2  bx  c  0  2 

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình  a  3 x  b  2 vô nghiệm khi giá trị a, b là A. a  3 ; b tùy ý.

B. a tùy ý; b  2 .

C. a  3 ; b  2 .

D. a  3 ; b  2 .

Hướng dẫn Ta có :  a  3 x  b  2   a  3 x  2  b Trang 6

a  3  0 a  3 Phương trình vô nghiệm khi   . 2  b  0 b  2  Chọn C.





Ví dụ 2: Với m  a thì phương trình m 2  9 x  3m  m  3 có nghiệm duy nhất. Giá trị của a 2  2 là A. 7.

B. 11.

C. -11.

D. -2.

Hướng dẫn





Để phương trình m 2  9 x  3m  m  3 có nghiệm duy nhất thì m 2  9  0  m  3. Vậy a 2  9  a 2  2  7.  Chọn A.





Ví dụ 3: Phương trình m 2  4m  3 x  m 2  3m  2 có vô số nghiệm khi A. m  3 .

B. m  2 .

C. m  1 và m  3 .

D. m  1 .

Hướng dẫn

m  1  m  4m  3  0  m  3 Phương trình trên có vô số nghiệm khi  2   m  1. m  3m  2  0 m  1   m  2  2

 Chọn D.

Ví dụ 4: Với điều kiện nào của a thì phương trình  a  2  x  4  4x  a có nghiệm duy nhất và là 2

nghiệm âm ? A. 0  a  4 .

B. a  4 .

C. 0  a .

D. a  0;a  4 .

Hướng dẫn





Ta có  a  2  x  4  4x  a  a 2  4a x  4  a. 2

a  0 Phương trình có nghiệm duy nhất khi a 2  4a  0   a  4 Khi đó phương trình có nghiệm x 

4a 1  2 a  4a a

1 Phương trình có nghiệm âm khi x    0  a  0 . a

Kết hợp các điều kiện trên, ta có 0  a  4 .  Chọn A.

Ví dụ 5: Cho phương trình x 2  2  m  2  x  2m  1  0 1 . Giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm ? A. m  5 hoặc m  1 .

B. m  5 hoặc m  1 .

C. 5  m  1 .

D. m  1 hoặc m  5 . Trang 7

Hướng dẫn Phương trình trên có nghiệm khi:

  0   2  m  2    4.1.  2m  1  0  4  m  2   4  2m  1  0 2

 m  1 2 .   m  2   2m  1  0  m 2  6m  5  0    m  5  Chọn B.

Ví dụ 6: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình mx 2  2  m  2  x  m  3  0 có hai nghiệm phân biệt? A. m  4.

C. m  4 .

B. m  0 .

D. m  4 và m  0 .

Hướng dẫn Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi : m  0 m  0 m  0 m  0 m  0     2    2   0 m  4  0 m  4  m  2   m  m  3  0   2  m  2    4m  m  3  0  Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID: 20) Để phương trình mx  2  3x  2m có nghiệm duy nhất thì m 2  m phải khác số nào? A. 3.

B. 1.

C. 12.

D. 5.

Câu 2.(ID: 24) Tìm tập hợp m để phương trình mx  m  0 vô nghiệm. A.  .

B. 0 .

D.  .

C.   .

Câu 3. (ID: 31947) Phương trình x 2  m  0 có nghiệm khi và chỉ khi : A. m  0 .

B. m  0 .

C. m  0 .

D. m  0 .

Câu 4. (ID: 31948) Cho phương trình mx 2  2  m  2  x  m  3  0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? A. Nếu m  4 thì phương trình vô nghiệm. B. Nếu 0  m  4 thì phương trình có nghiệm x  C. Nếu m  0 thì phương trình có nghiệm x 

3 . 4

D. Nếu m  4 thì phương trình có nghiệm kép x 



m2 4m m2 4m ,x  . m m

3 . 4



Câu 5. (ID: 31949) Cho phương trình  x  1 x 2  4mx  4  0. Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi A. m  .

3 B. m   . 4

C. m 

3 . 4

D. m  0 .

Câu 6. (ID: 311950) Cho phương trình  m  1 x 2  6  m  1 x  2m  3  0 (1). Với giá trị nào sau đây của m thì phương trình (1) có nghiệm kép ? Trang 8

A. m 

7 . 6

B. m 

6 . 7

C. m  

6 . 7

D. m  1 .

Đáp án: 1-C

2-A

3-C

4-D

5-B

6-C

Dạng 4: Ứng dụng của định lí Vi -ét 1. Phương pháp giải Cho phương trình bậc hai

ax 2  bx  c  0  a  0 

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương

1

  0  khi S  0 . Phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2. Khi đó ta có: P  0  b  S  x1  x 2   a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt âm khi    0 P  x .x  c  1 2 a  S  0 . P  0 Chú ý:  Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi ac  0 . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho phương trình









3  1 x 2  2  5 x  2  3  0. Chọn khẳng định đúng

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có hai nghiệm dương.

C. Phương trình có hai nghiệm âm.

D. Phương trình có hai nghiệm trái dấu. Hướng dẫn

Vì ac 





3 1



2  3  0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

 Chọn D.

Ví dụ 2: Hai số 1  2 và 1  2 là các nghiệm của phương trình A. x 2  2x  1  0

B. x 2  2x  1  0

C. x 2  2x  1  0

D. x 2  2x  1  0

Hướng dẫn

S  x1  x 2  2 Đặt x1  1  2; x 2  1  2. Ta có  . P  x1.x 2  1 Suy ra phương trình nhận x1; x2 là nghiệm là x 2  Sx  P  0  x 2  2x  1  0.  Chọn B.

Ví dụ 3: Cho phương trình x 4   m  1 x 2  m  2  0. Giá trị của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt là A. m  2 .

B. m  1 .

C. m  2 .

D. m không dương.

Hướng dẫn Đặt t  x 2  0, khi đó phương trình đã cho trở thành t 2   m  1 t  m  2  0 1

Trang 9

Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có một nghiệm t  0 và một nghiệm dương. Thay t  0 vào (1) ta được: 02   m  1 0  m  2  0  m  2  0  m  2. 2 t  0 x  0 x  0 Với m  2 , phương trình (1) trở thành t  t  0    2  . t  1  x  1  x  1 2

Vậy với m  2 phương trình ban đầu có ba nghiệm.  Chọn A.

Ví dụ 4: Phương trình x 2  mx  m  1  0 (với m là tham số) luôn có nghiệm với mọi m. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không chứa m. A. x1.x 2  2x1  x 2  1 .

B. x1.x 2  x1  x 2  1 .

C. x1.x 2  x1  x 2  2 .

D. x1.x 2  x1  x 2  2 . Hướng dẫn

x  x 2  m  m  x1  x 2 Áp dụng định lí Vi-ét có  1   x1 x 2  m  1  x1 x 2  x1  x 2  1 Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không chứa m là x1x 2  x1  x 2  1  Chọn B.

Ví dụ 5: Cho phương trình x 2  7x  260  0 có một nghiệm x1  13. Tìm x2. A. -20.

B. -27.

C. 20.

D. 8.

Hướng dẫn Ta có x1  x 2  7  x 2  7  x1  20.  Chọn A.

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình 2x 2  3x  m  0 có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

x12  x 22  1? A. vô số.

B. 1.

C.0.

D. 2.

Hướng dẫn 9 2 Phương trình có hai nghiệm khi   0   3  4.2.m  0  9  8m  0  m  . 8 3   x1  x 2  2 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có  x x  m  1 2 2 2

m 5 2 3 Ta có x12  x 22  1   x1  x 2   2x1x 2  1     2.  1  m  (loại). 2 4 2 Vậy không có giá trị của m thỏa mãn.  Chọn C.

Trang 10

Ví dụ 7: Cho phương trình x 2   m  2  x  m  1  0. Tổng bình phương các giá trị của m bằng bao nhiêu để phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia? A. 1.

5 4

C.2.

1 . 4

Hướng dẫn Ta có: x 2   m  2  x  m  1  0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi    m  2   4m  4  m 2  0  m  0. 2

m2  x 2  3  x1  x 2  m  2  m  1 2  m2   Theo định lí Vi-ét và giả thiết ta có  x1x 2  m  1  2.  1   m 1   3 m    x  2x  2  2  1  x1  2x 2   2

5  1  Vậy tổng bình phương các giá trị m thỏa mãn là 1     . 4  2  2

 Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID: 229) Biết phương trình x 2  2mx  m 2  1  0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m. Tìm m để x1  x 2  2x1x 2  2  0 . A. m  1 hoặc m  2 .

B. m  0 .

C. m  2 .

D. m  3 .

Câu 2. (ID: 231) Xét phương trình ax 2  bx  c  0. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt không dương là

a  0   0  A.  ab  0 ac  0

  0  B. ab  0 ac  0 

a  0   0  C.  ab  0 ac  0

a  0   0  D.  ab  0 ac  0

Câu 3. (ID: 288) Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m 2  3  0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho A  x12  x 22  3x1x 2 đạt giá trị lớn nhất. A. m  4 .

B. m  2 .

C. m  8 .

D. m  0 .

Câu 4. (ID: 291) Cho phương trình 3x 2  4  m  1 x  m 2  4m  1  0. Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn A. 0.

B. 2.

1 1 1    x1  x 2  ? x1 x 2 2

C. 1.

D. 3.

Đáp án: 1-A

2-D

3-A

4-B Trang 11

Dạng 5: Một số phương trình quy về phương trình một ẩn 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình x  2  3x  5 là tập hợp nào sau đây?  7 3 A.  ;   .  4 2

 3 7 B.  ;  .  2 4

3 7 C.  ;  . 2 4

 7 3 D.  ;  .  4 2

Hướng dẫn 3  x  2  x  2  3x  5  2x  3   Ta có x  2  3x  5    x  2  5  3x  4x  7 x  7  4  Chọn C.

Ví dụ 2: Phương trình 2x  4  x  6  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 2.

B. 1.

C.0.

D. Vô số.

Hướng dẫn Điều kiện xác định : x  6

 x  10  2x  4  x  6  0  x  10  0   Ta có 2x  4  x  6  0   (loại). x  2  2x  4  x  6  0  3x  2  0 3  Vậy phương trình vô nghiệm.  Chọn C.

Ví dụ 3: Tập nghiệm của phương trình A. S  2 .

x 2  5x  4  2x  4 là 2x  4

B. S  1 .

C. S  0;1 .

D. S  7 .

Hướng dẫn Điều kiện xác định : x  2.

 x  0 (loại x 2  5x  4 ) Ta có  2x  4  x 2  5x  4  2x  4  x 2  7x  0   2x  4  x  7 (thỏa mãn) Vậy S  7 .  Chọn D.

Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình A. 0.





x  1 x 2  3x  2  0 là

B. 2.

C.1.

D. 3.

Hướng dẫn Điều kiện xác định: x  1 .

Trang 12

Ta có

 x  1  x 1  0 x  1 x  3x  2  0   2   x  1 (thỏa mãn).  x  3x  2  0  x  2





Vậy phương trình có ba nghiệm.  Chọn D.

Ví dụ 5: Phương trình nào sau đây có bao nhiều nghiệm âm x 6  2019x 3  2018  0? A. 0.

B. 1.

C.2.

D.6.

Hướng dẫn Phương trình x 6  2019x 3  2018  0

(1)

Đặt x 3  t, khi đó phương trình (1) trở thành t 2  2019t  2018  0

(2)

Ta thấy: vì 1.  2018   0 suy ra phương trình (2) có nghiệm t trái dấu. Với nghiệm t âm ta có một nghiệm x âm. Vậy phương trình (1) có một nghiệm âm.  Chọn B.

Ví dụ 6: Phương trình  x 4  2 A. 2.









2  1 x 2  3  2 2  0 có bao nhiêu nghiệm?

B. 3.

C. 4.

D. 0

Hướng dẫn Phương trình  x 4  2









2 1 x2  3  2 2  0

(1)

Đặt t  x 2  t  0  , khi đó phương trình (1) trở thành  t 2  2



 



2 1 t  3  2 2  0

(2)



Phương trình (2) có a.c   1 3  2 2  0 Suy ra phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu. Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.  Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID: 730) Tổng bình phương tất cả các nghiệm của x  2  A.

41 . 4

1 . 4

Câu 2. (ID :745) Phương trình A. m  1 .

x  x 1

B. m  1 .

Câu 3. (ID: 755) Cho phương trình phương trình trên là A. 1.

B. -1.

25 . 4

x2  x  6  0 là x2

81 . 4

m có nghiệm khi x 1

C. m  1 .

D. m  1 .

x 2  x  4  x 2  x  1  2x 2  2x  9. Tổng các nghiệm của C. 0.

D. 2.

Đáp án: Trang 13

1-C

2-A

3-B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. (ID: 22) Với a  0; b  0 thì phương trình ax  b  0 A. Có nghiệm duy nhất.

B. Có vô số nghiệm.

C. Vô nghiệm .

D. Có hai nghiệm phân biệt.





Câu 2. (ID: 27) Cho phương trình m 2  3m  2 x  m 2  4m  5  0. Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình có tập nghiệm là  ? A. 0.

B. 1.

D. Vô số.

Câu 3. (ID: 37) Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm duy nhất? A. 3x  2  x  1   2  2x  .

B.  x  1  x 2  2 .

C. x  1  3x   2x  1 .

D. x 3  3x  0 .

Câu 4. (ID: 66) Tổng các giá trị của m để phương trình A.

7 . 3

4 . 3

C. 0.

Câu 5. (ID: 682) Tập xác định của phương trình A.  2;5 .

2x  3m x  2   3 vô nghiệm là x2 x 1

11 . 3

1 x  x2 là x 1 5 x 2

B.  2;5 \ 1 .

C.  2;5 \ 1 .

D.  2;5  \ 1 .

Câu 6. (ID: 690) Phương trình  x  4  1  x 2  x 2  16 tương đương với phương trình nào dưới đây?

x  4  0 A.  2  1  x  x  4

1  x 2  0  B.   x  4  0  2   1  x  x  4

  1  x 2  x  4  C.  x  4  0  2 1  x  0

 x  4  0 D.  2  1  x  x  4





Câu 7. (ID: 711) Tổng bình phương các giá trị của m để phương trình 2 m 2  1 x  5  3 vô nghiệm là: A. 1.

B. 2.

C. 0.







D. 29.

Câu 8. (ID: 726) Phương trình 9x 2  1 3x  1  2 5x 2  1  0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 1.

B. 2.

C. 3.



D. 4.



Câu 9. (ID: 759) Phương trình 2 x 2  2  5 x 3  1 có nghiệm x1; x2. Tính x1  x 2 . A. 5.

C. 5  37 .

37 .



5  37 . 2



Câu 10. (ID: 761) Số nghiệm của phương trình 2 x 2  3x  2  3 x 3  8 là A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3. Trang 14

1-C

2-A

3-B

4-D

5-D

6-B

7-B

8-A

9â&#x20AC;&#x201C;B

10 - B

Trang 15

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI HAI ẨN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Các hệ phương trình cơ bản:

Các hệ phương trình đặc biệt:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình đối xứng loại 1. Hệ phương trình đối xứng loại 2.

a1x  b1 y  c1 .  a 2 x  b 2 y  c 2

Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2.

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

a1x  b1 y  c1z  d1  a 2 x  b 2 y  c 2 z  d 2 . a x  b y  c z  d 3 3 3  3 PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai, ba ẩn 1. Phương pháp giải 

Một số phương pháp giải hệ phương trình

Hệ có nghiệm duy nhất khi a1b 2  a 2 b1  0.

Phương pháp thế

Khi đó hệ có nghiệm

Phương pháp đại số

 c1b 2  c 2 b1 a c a c  ;y  1 2 2 1 . x  a1b 2  a 2 b1 a1b 2  a 2 b1  

Đặt ẩn phụ Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tìm nghiệm của một  số hệ phương trình đơn giản. Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS: MODE 5 1 

Nếu máy tính hiện No – Solution thì hệ phương trình vô nghiệm.



Nếu máy tính hiện Infinite – Sol thì hệ phương  trình có vô số nghiệm.



Nếu hệ phương trình có nghiệm, máy tính sẽ cho kết quả x, y.

Hệ vô nghiệm khi

a1b 2  a 2 b1  0  c1b 2  c 2 b1  0

hoặc

a1b 2  a 2 b1  0 .  a1c 2  a 2 c1  0

a1b 2  a 2 b1  0  Hệ có vô số nghiệm khi c1b 2  c 2 b1  0 . a c  a c  0  1 2 2 1

Biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a1x  b1 y  c1  a 2 x  b 2 y  c 2 2. Ví dụ minh họa

 3x  y  1 Ví dụ 1: Nghiệm của hệ phương trình  là 4x  3y   2 





A. 2  3; 4  2 3 .





B. 2  3; 4  2 3 .

Trang 1







C. 2  3; 4  2 3 .

D. 2  3; 4  2 3



Hướng dẫn Cách 1: Từ phương trình đầu ta được y  1  3x. Thế vào phương trình thứ hai ta được:



 3  2  3   4  2

4x  3 1  3x  2  4x  3  3x  2  x  2  3 Suy ra y  1 

Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VN PLUS Nhập MODE 5 1, sau đó nhập lần lượt các hệ số của hệ phương trình

3 4

1

1 . Ta nhận được 3  2 

nghiệm là đáp án B. → Chọn B. Ví dụ 2: Hệ phương trình nào sau đây có duy nhất một nghiệm?

5x  y  3 A.  10x  2y  1

 x  y  3 B.  2x  2y  6

x  y  1 C.   x  2y  0

3x  y  1 D.  6x  2y  0

Hướng dẫn Bấm nghiệm của các hệ phương trình này, ta thấy hệ phương trình ở đáp án C có nghiệm duy nhất. → Chọn C. 2x  y  4  Ví dụ 3: Hệ phương trình  x  2z  1  2 2 có nghiệm là  a; b;c  . Giá trị của a  b  c là  y  z  2  2

A. 3  2

B. 3  2

C. 3  2

D. 3  2

Hướng dẫn Cách 1: Từ phương trình đầu ta có y  4  2x , thế vào phương trình thứ ba ta được: 4  2x  z  2  2  2x  z  2  2.

Kết hợp với phương trình thứ hai, ta có hệ phương trình:

2x  z  2  2 2x  z  2  2 2x  z  2  2       x  2z  1  2 2 2x  4z  2  4 2 5z  5 2 2x  2  2  2  x  1    y  2. z  2 z  2





Suy ra nghiệm của hệ phương trình là 1; 2; 2 . Tức là a  1; b  2;c  2. Vậy a  b  c  1  2  2  3  2. Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VN PLUS Nhập MODE 5 2, sau đó nhập lần lượt các hệ số của hệ phương trình:

Trang 2

2  1 0  4 1  0  2  1  2 2  . Ta nhận được nghiệm của hệ phương trình là 1; 2; 2 . 0  1 1 2 2 





Vậy a  b  c  1  2  2  3  2. → Chọn C.

ax  2y  a  1 Ví dụ 4: Cho hệ phương trình  . Với giá trị nào của tham số a thì hệ có nghiệm duy nhất? 2x  ay  2a  1 A. a  2 .

B. a  2 .

C. a  3 .

D. a  2 .

Hướng dẫn Hệ có nghiệm duy nhất thì a1b 2  a 2 b1  0, tức là a.a  2.2  0  a 2  4  0  a  2. → Chọn D.

 x 2  4y 2  8 Ví dụ 5: Hệ phương trình  có nghiệm  x; y  . Giá trị của 3x  2y là  x  2y  4 A. -1.

B.4.

C.3.

D.2.

Hướng dẫn

 x 2  4y 2  8  x  4  2y  x  4  2y x  2 Ta có:      3x  2y  4. 2 2 y  1  x  2y  4  4  2y   4y  8  y  1  Chọn B.

2x  y  5 Ví dụ 6: Cho hệ phương trình  . Tìm a để hệ có nghiệm  x; y  sao cho biểu thức của 2y  x  10a  5

x 2  y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. a  

1 2

B. a  

3 2

D. a 

C. a  1

1 2

Hướng dẫn

2x  y  5 2x  y  5 5y  20a  15  y  4a  3 Ta có     2y  x  10a  5 2x  4y  20a  10 2x  y  5  x  1  2a x 2  y 2   4a  3  1  2a   16a 2  24a  9  1  4a  4a 2 2

1 1 1 1 1     20a  20a  10  20  a 2  a    20  a 2  2a     20  a    5  5, a  . 2 2 4 4 2    2

1 Dấu bằng xảy ra khi a   . 2

→ Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID: 352) Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm là 1;1 .

Trang 3

x  y  2 A.   x  2y  0

2x  y  1 B.  4x  2

x  y  0 C.   x  2y  3

4x  y  3 D.  y  7

ax  y  a 2 Câu 2. (ID: 382) Với a  m thì hệ phương trình  có nghiệm. Tổng lập phương các giá trị của x  ay  1  m là A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. -1.

x  y  5  Câu 3. (ID: 380) Hệ phương trình  y  z  1 có nghiệm  a; b;c  . Khi đó a  c  b bằng z  x  2  A. 3.

B. 7.

C. 1.

D. 9.

Đáp án: 1-C

2–D

3-B

Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2. 1. Phương pháp giải Hệ đối xứng loại 1

Hệ đối xứng loại 2

Dấu hiệu: Khi thay đổi vị trí của x và y cho Dấu hiện: Khi thay đổi vị trí của x và y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương các phương trình cũng không thay đổi. trình thay đổi (phương trình này thành phương trình kia). Phương pháp: Phương pháp: Biến đổi về dạng tổng và tích hai biến. Đặt Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, chú ý ta S  x  y, P  xy . Giải hệ với ẩn S và P với điều kiện có nghiệm luôn nhận được x  y .

 x; y  là S2  4P Ta có x; y là các nghiệm của phương trình

Chú ý: Ta có thể thử đáp án với các bài tập hỏi nghiệm.

t 2  St  P  0. 2. Ví dụ minh họa

 x.y  x  y  11 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình  2 . Khẳng định nào đúng? 2 x y  xy  30  A. Hệ có một nghiệm là  5;6  .

B. Hệ có hai nghiệm  2;1 và  3;5  .

C. Hệ có hai nghiệm  2;3 và 1;5 

D. Hệ có bốn nghiệm  2;3 ,  3; 2  , 1;5  ,  5;1 . Hướng dẫn

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.

 x.y  x  y  11  x.y  x  y  11 Ta có:  2  . Đặt S  x  y, P  xy S2  4P  0 . 2 xy x  y  30   x y  xy  30  





Khi đó, hệ phương trình tương đương với hệ sau:

Trang 4

S  11  P S  11  P S  P  11 S  11  P S  6; P  5  .   2  P  5    S  5; P  6  P  11P  30  0 11  P  P  30 SP  30   P  6  t  1 Trường hợp 1: S  6 và P  5 , x; y là nghiệm của phương trình t 2  6t  5  0   t  5 x  1 x  5 Suy ra  hoặc  . Nên hệ phương trình có nghiệm 1;5  ,  5;1 . y  5 y  1 t  2 Trường hợp 2: S  5 và P  6 , x; y là nghiệm của phương trình t 2  5t  6  0   t  3 x  2 x  3 Suy ra  hoặc  . Nên hệ phương trình có nghiệm  2;3 ,  3; 2  . y  3 y  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm  2;3 ,  3; 2  , 1;5  ,  5;1 . → Chọn D.

 x 2  xy  y 2  4 Ví dụ 2: Hệ phương trình  có bao nhiêu cặp nghiệm  x; y  ? x  xy  y  2  A. 3.

B. 2.

C. 4.

D. 1.

Hướng dẫn Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.

 x  y 2  xy  4  x 2  xy  y 2  4  x 2  2xy  y 2  xy  4 Ta có  .    x  xy  y  2  x  y  xy  2  x  y  xy  2





Đặt S  x  y, P  xy S2  4P  0 . Khi đó ta thu được: 2 S2  P  4 S2  P  4 S2  S  6  0 S   2  S  4     S  P  2 P  2  S P  2  S P  2  S

 S  2 S  2; P  0    S  3   S  3; P  5 P  2  S  t  0 Trường hợp 1: S  2 và P  0 , ta có x; y là nghiệm của phương trình : t 2  2t  0   t  2 x  0 x  2 hoặc  . Nên hệ phương trình có hai nghiệm.  y  2 y  0 Trường hợp 2: S  3 và P  5 , ta có x; y là nghiệm của phương trình : t 2  3t  5  0 (vô nghiệm). Nên hệ phương trình có nghiệm. Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm  x; y  . → Chọn B. Trang 5

3  x  2x  3y Ví dụ 3: Hệ phương trình  3 có số cặp nghiệm là  y  2y  3x

A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. 3.

Hướng dẫn Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2. Trừ hai vế của hai phương trình ta được:

x 3  y3  2x  2y  3y  3x  x 3  y3  x  y  0





  x  y  x 2  xy  y 2  1  0

x  y  0  2 2  x  xy  y  1  0 (vô nghiệm) Vì x 2  xy  y 2  1  0, x, y. Nên ta có được x  y .

x  0 Thay x  y vào phương trình thứ nhất ta có x 3  2x  3x  x 3  5x  0   . x   5  Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là  0;0  ,







5; 5 ,  5;  5 .

 Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

 x 2  y 2  xy  7 Câu 1. (ID: 392) Hệ phương trình  2 có số cặp nghiệm là 2  x  y  xy  3 A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

 x 2 y  xy 2  2m Câu 2. (ID: 381) Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình  có nghiệm duy nhất ? x  y  4 A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

 x  y  xy  5 Câu 3.(ID: 31997) Hệ phương trình  2 có cặp nghiệm là 2  x  y  xy  7 A. 1; 2  hoặc  2;1 .

B.  2; 3 hoặc  3; 2  ;

C.  2;3 hoặc  3; 2  ;

D.  1; 2  hoặc  2; 1 .

2x 2  9x  5y Câu 4. (ID: 31998) Cặp nghiệm  x; y  , x  0, y  0 của hệ phương trình  2 là 2y  9y  5x A.  3;3 .

B. 1;1 ,  2; 2  .

C.  2; 2  .

D.  2; 2  ,  3;3 .

2  x  7y  15 Câu 5. (ID: 31999) Hệ phương trình  2 có bao nhiêu nghiệm ?  y  7x  15

A. 6.

B. 4.

C. 2.

D. 0.

Đáp án: Trang 6

1-B

2-B

3-A

4-C

5 -D

Dạng 3: Hệ phương trình đẳng cấp 1. Phương pháp giải Lấy (1) - (2) ta sẽ thu được một phương trình đẳng cấp bậc 2, từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa x và y.

a1x 2  b1xy  c1 y 2  d1 Dạng tổng quát  2 2 a 2 x  b 2 xy  c 2 y  d 2 Phương pháp:

Chú ý:

a1x 2  b1xy  c1 y 2  d1 Ta có:  2 2 a 2 x  b 2 xy  c 2 y  d 2

 

Ta có thể thử đáp án với các bài tập hỏi nghiệm.

 

d 2 a1x 2  b1xy  c1 y 2  d1.d 2   2 2 d1 a 2 x  b 2 xy  c 2 y  d1.d 2

1  2

2. Ví dụ minh họa

3x 2  4xy  2y 2  17 Ví dụ 1: Hệ phương trình  2 có bao nhiêu nghiệm? 2  y  x  16 A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn 2 2 3x  4xy  2y  17 Ta có  2  16 3x 2  4xy  2y 2  17 y 2  x 2 2  y  x  16









 65x 2  64xy  15y 2  0  13x  5y  5x  3y   0 x

5 3 y hay x  y . 13 5 2

5 144 2 169 5  Trường hợp 1: Với x  y , ta có y 2   y   16  y  16  y 2  13 169 9  13  13 5  y  3  x  3   y   13  x   5  3 3 2

3 16 2 3  Trường hợp 2: Với x  y , ta có y 2   y   16  y  16  y 2  25 5 5 25  

y  5  x  3   y  5  x  3 Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm. → Chọn A. 2 2 3x  5xy  4y  3 Ví dụ 2: Nghiệm của hệ phương trình  2 là 2 9x  11xy  8y  6

Trang 7



3;  3 ,  3; 3





3; 3 ,  3;  3











1   1 1   1 D.  ; ; ,   2 2  2 2 

2;  2 ,  2; 2



Hướng dẫn

3x 2  5xy  4y 2  3 Ta có:  2  6 3x 2  5xy  4y 2  3 9x 2  11xy  8y 2 2 9x  11xy  8y  6









 45x 2  3xy  48y 2  0  3  x  y 15x  16y   0  x  y hay x  

16 y. 15

Trường hợp 1: Với x  y, ta có: 9x 2  11x 2  8x 2  6  12x 2  6  x 2 

1 2

1 1   x  2 thì y= 2  1 1   x   2 thì y   2 

Trường hợp 2 : Với x  

16 y, ta có 15

256 2 176 2  16   16  9   y   11  y  y  8y 2  6  y  y  8y 2  6 25 15  15   15  

712 2 y  6 (phương trình vô nghiệm). 75

1   1 1   1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là  ; ; ,   2 2  2 2   Chọn D.

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. (ID: 357) Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm ?

x  y  1 A.   x  2y  0

 x  y  0 B.  2x  2y  6

4x  3y  1 C.   x  2y  0

x  y  3 D.   x  y  3

 x  my  0 Câu 2. (ID: 365) Hệ phương trình  có nghiệm duy nhất khi mx  y  m  1 A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  0 .

D. m  1 .

x  y  9 Câu 3. (ID: 32005) Hệ phương trình  có nghiệm là  x.y  90 A. 15;6  ,  6;15  .

B.  15; 6  ,  6; 15  .

C. 15;6  ,  6; 15  .

D. 15;6  ,  6;15  ,  15; 6  ,  6; 15  . Trang 8

Câu 4. (ID: 384) Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tam giác tăng thêm 17cm2. Nếu ta giảm mỗi cạnh góc vuông lần lượt đi 3cm và 1cm thì diện tích tam giác giảm 11cm2. Tính diện tích tam giác ban đầu. A. 50cm2.

C. 50 5cm 2 .

B. 25 cm2.

D. 50 2cm 2 .

2x 2  y 2  1 Câu 5. (ID: 32002) Hệ phương trình  có đúng một nghiệm khi và chỉ khi y  x  m A. m  

6 . 2

B. m 

6 . 2

C. m  

6 . 2

D. m tùy ý.

Câu 6. (ID: 385) Một công ty Taxi có 85 xe chở khách gồm hai loại, xe bốn chỗ và xe 7 chỗ. Dùng tất cả xe đó, tối đa mỗi lần công ty chở được 445 khách. Hỏi công ty có bao nhiêu xe mỗi loại? A. 50 xe 7 chỗ và 35 xe 4 chỗ.

B. 35 xe 7 chỗ và 50 xe 4 chỗ.

C. 45 xe 4 chỗ và 40 xe 7 chỗ.

D. 40 xe 4 chỗ và 45 xe 7 chỗ.

2x  y  4  Câu 7. (ID: 32003) Hệ phương trình  x  2z  1  2 2 có nghiệm là  y  z  2  2





A. 1; 2; 2 2 .





B. 1; 2; 2 .





C. 1;6; 2 .





D. 2;0; 2 .

Câu 8. (ID: 387) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m. Tìm chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng biết rằng khi ta giảm chiều dài 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi. A. 32m và 25m.

B. 50m và 45m.

C. 75m và 50m.

D. 60m và 40m.

 x  1  y  0 Câu 9. (ID: 32004) Hệ phương trình  có bao nhiêu cặp nghiệm? 2x  y  5 A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

 x 2  y 2  3x  2y  0 Câu 10. (ID: 32006) Cho hệ phương trình  . Từ hệ phương trình này ta thu được x  y  4 phương trình nào sau đây? A. 10x  24  0 .

B. 16x  5  0 .

C. 3x  2  0 .

D. Một kết quả khác.

2 3  x  y  13  Câu 11.(ID: 32007) Hệ phương trình  có nghiệm là  3  2  12  x y 1 1 A. x  ; y   . 2 3

1 1 B. x  ; y  . 2 3

1 1 C. x   ; y  . 2 3

D. Hệ vô nghiệm.

2x 2  y 2  3xy  12 Câu 12. (ID: 32008) Hệ phương trình  có các cặp nghiệm  x; y  với giá trị của x và 2 2 2 x  y  y  14    y thỏa mãn x  0; y  0 là

Trang 9

A. 1; 2  ,





2; 2 .

B.  2;1 ,





3; 3 .

 1   2 D.  ;1 ,  ; 3  . 2   3 

2  2   C.  ;3  ,  3; . 3 3  

 x  y  10 Câu 13.(ID: 32009) Hệ phương trình  2 có nghiệm là 2 x  y  58 

x  3 A.  y  7

x  7 B.  y  3

x  3 C.  , y  7

x  7  y  3

D. Một đáp số khác.

 x 3  3x  y3  3y Câu 14. (ID :32010) Hệ phương trình  6 có bao nhiêu nghiệm? 6  x  y  27 A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

3  x  y   2  x  y   17 Câu 15. (ID: 320011) Hệ phương trình  có nghiệm là  x  y   2  x  y   5 1 7 A.  ;  . 2 2

 1 7 B.   ;   .  2 2

1 7 C.  ;   . 2 2

 1 7 D.   ;  .  2 2

Câu 16. (ID: 359) Hệ phương trình nào sau đây có vô số nghiệm ?

x  y  1 A.   x  2y  0

2x  y  1 B.  4x  2y  2

3x  y  1 C.   x  2y  0

4x  y  3 D.   x  2y  7

mx  2y  m  1 Câu 17. (ID: 368) Cho hệ phương trình  và các mệnh đề sau 2x  my  2m  5 1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m  2 . 2. Hệ phương trình có vô số nghiệm khi m  2 . 3. Hệ vô nghiệm khi m  2 . Các mệnh đề đúng là A. Chỉ 1.

B. Chỉ 2.

C. Chỉ 2 và 3.

D. Cả 1, 2, 3.

Đáp án: 1-B

2-D

3-C

4-B

5 -A

6–B

7–B

11 – B

12 – A

13 – C

14 – A

15 – D

16 – B

17 - C

8–C

9–B

10 - D

Trang 10

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ 3: BẤT ĐẲNG THỨC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm Các mệnh đề dạng "a  b" hoặc "a  b" được gọi là bất đẳng thức. Nếu mệnh đề "a  b  c  d" đúng thì bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b và ta viết a  b  c  d. 2. Tính chất

a  b  ac bc a  b  ac  bc(c  0) a  b;c  d  a  c  b  d

a  b; b  c  a  c a  b  ac  bc(c  0) a  b;c  d  ac  bd(a  0;c  0)

a  b  a 2n 1  b 2n 1 (n  *)

a  b  a 2n  b 2n (n  *, a  0, b  0)

a  n  a  b(a  0, b  0) 1 1 a  b   (ab  0) a b

ab 3a  3 b 1 1 a  b   (ab  0) a b

3. Bất đẳng thức Cô-si Bất đẳng thức Cô-si: Với mọi số thức a; b  0, ta có Đẳng thức

ab 

ab 

ab . 2

ab xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2

Hệ quả: Với mọi số thực a > 0, ta có a 

1  2. 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y. (Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất). Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. (Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất). 4. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

x  0, x  x, x   x Với a > 0: x  a  a  x  a

a  b  ab  a  b x  a  x  a hoặc x  a

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Phương pháp giải Áp dụng các công thức ở phần lý thuyết. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x  , x  2  x 2  4.

B. x  , x 2  4  x  2.

C. x  , x  2  x 2  4.

C. x  , x 2  4  x  2. Trang 1

Hướng dẫn

x  2 Ta có mệnh đề tương đương x 2  4   , nên chỉ có mệnh đề ở đáp án C là đúng.  x  2 →Chọn C. Ví dụ 2: Cho số x > 6, số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất? A.

6 . x

6  1. x

6  1. x

x . 6

Hướng dẫn Ta có

6 6 6 6 x  1    1. Để tìm số nhỏ nhất, ta so sánh  1 và x x x x 6

6 6  x  1  x  1  1  1  0 Vì x  6   x 1  6

Suy ra

6 x 1  . x 6

Vậy số nhỏ nhất trong các số trên là

6  1. x

→Chọn C. Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  8x  12 với x   là A. – 8.

B. – 4.

C. – 5.

D. – 3.

Hướng dẫn Ta có P  x 2  8x  12  x 2  2x.4  16  4  (x  4) 2  4.

(x  4) 2  0  (x  4) 2  4  4  P  4. Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi x  4  0  x  4.

→Chọn B. Ví dụ 4: Cho biểu thức f (x)  1  x 2 . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số f (x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f (x) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn Ta có f (x)  0 và f(1) = 0. Vì x  0   x  0  1  x 2  1. Mà 1  x 2  0 2

Suy ra 0  1  x 2  1  1  x 2  1  f (x)  1 và f(0) = 1. Vậy hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 1. →Chọn C. Trang 2

Ví dụ 5: Cho biểu thức T  x 2  3x  1 với x  1 , giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn 2

3 9 5  3 5 Ta có T  x  3x  1  x  2x.     x    . 2 4 4  2 4 2

3 3 5  3 5 25  3  5 25 5 Vì x  1  x   1     x        x       5. 2 2 2  2 2 4 2 4 4 4   T  5. Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi x = 1.

→Chọn A. Ví dụ 6: Với hai số x, y dương thỏa mãn xy  36, bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2

A. 4xy  x 2  y 2 .

B. x  y  2xy  72.

C. x  y  2 xy  12.

xy D.    xy  36.  2 

Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x, y ta có:

x  y  2 xy  2 36  12. →Chọn C. PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Nếu a  2c  b  2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. 3a  3b.

B. a 2  b 2 .

C. 2a  2b.

1 1  . a b

Câu 2. Nếu 0  a  1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A.

1  a. a

1 B. a  . a

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)  x  A. m  1  2 2.

D. a 3  a 2 .

C. a  a.

B. m  1  2 2.

2 với x > 1. x 1

C. m  1  2.

D. m  1  2.

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

0  a  b a b A.    . c d 0  c  d

a  b  0 a b B.    . c d c  d  0

a  b a b C.    . c d c  d

a  b  0 a d D.    . b c c  d  0

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)  A. m = 0.

B. m = 1.

x 2  2x  2 với x > - 1 x 1

D. m  2.

C. m = 2.

Đáp án: 1-C

2-A

3-B

4-D

5-C Trang 3

Trang 4

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa bất phương trình một ẩn Cho hai hàm số y  f (x) và y  g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg . Đặt D  Df  Dg . Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f (x)  g(x), f(x)  g(x), f(x)  (x), f (x)  g(x) được gọi là bất phương trình một ẩn; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình. x 0  D là một nghiệm của bất phương trình f (x)  g(x) nếu f (x 0 )  g(x 0 ) là mệnh đề đúng. 2. Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình. Định nghĩa: Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Ký hiệu: Nếu f1 (x)  g1 (x) tương đương với f 2 (x)  g 2 (x) thì ta viết f1 (x)  g1 (x)  f 2 (x)  g 2 (x) Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình gọi là phép biến đổi tương đương. Định lý: Cho bất phương trình f (x)  g(x) có tập xác định D; y  h(x) là hàm số xác định trên D. Khi đó trên D, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau:

1) f (x)  h(x)  g(x)  h(x). 2) f(x).h(x)  g(x).h(x) nếu h(x)  0 với mọi x  D 3) f(x).h(x)  g(x).h(x) nếu h(x)  0 với mọi x  D Hệ quả: Cho bất phương trình f (x)  g(x) có tập xác định D. Khi đó:

1) f (x)  g(x)  f 3 (x)  g 3 (x). 2) f (x)  g(x)  f 2 (x)  g 2 (x) với f (x)  0, g(x)  0, x  D. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất. 1. Phương pháp giải Giải bất phương trình dạng ax  b  0 (1) Nếu a = 0 thì bất phương trình có dạng 0.x + b <0 Với b < 0 thì tập nghiệm bất phương trình là S   . Với b  0 thì tập nghiệm bất phương trình là S   . Nếu a > 0 thì (1)  x  

b b  suy ra tập nghiệm là S   ;   . a a 

Nếu a < 0 thì (1)  x  

b  b  suy ra tập nghiệm là S    ;   . a  a 

Các bất phương trình dạng ax  b  0, ax  b  0, ax  b  0 được giải tương tự.

Trang 1

Chú ý: Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chi nhị thức bậc nhất f (x)  5x  20 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. f (x)  0 với x  .

B. f (x)  0 với x   ; 4  .

C. f (x)  0 với x   ; 4  .

D. f (x)  0 với x   4;   . Hướng dẫn

5x  20  0  5x  20  x  4.

Vậy f (x)  0 với x   ; 4  . →Chọn C. Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình A.  1; 2  .

3  1 là 2x

B. (0; ).

C. (; 4).

D. (; 1)  (2; ).

Hướng dẫn Cách 1: Ta có

3 3 3 2 x 1 x 1 1  0  0  0. 2x 2x 2x 2x

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:



-1



-2

1+x

2–x

f(x)

Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm của bất phương trình là (; 1)  (2; ). Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx570 VNPLUS Bước 1: Nhập hàm số

3 1 2X

Bước 2: Sử dụng phím CALC. Chọn các giá trị của x thuộc đáp án này những không thuộc đáp án kia để loại bỏ đáp án làm biểu thức không âm. Chọn x = 0, nhập CALC 0 = ta được kết quả là

1  0, do đó loại các đáp án chứa x = 0, loại A và C. 2

Chọn x = 1, nhập CALC 1= ta được kết quả là 2 > 0, do đó loại các đáp án chứa x = 1, loại B. → Chọn D. Ví dụ 3: Tìm giá trị nào của m để phương trình (m 2  2)x  2(m  1) x  4 vô nghiệm. 1 A. 0  m  . 2

B. m = 1.

5 3 m . 6 2

D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn

(m 2  2)x  2(m  1) x  4  (m 2  2m  4)x  4  0 Trang 2

m 2  2m  4  0 Để bất phương trình vô nghiệm thì  4  0 (lu«n §óng) Hệ phương trình vô nghiệm nên không tồn tại m thỏa mãn. → Chọn D. Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình m 2 x  m(x  1)  2(x  1)  0 nghiệm đúng với mọi x   2;1 3 A. 0  m  . 2

3 C. m  . 2

B. m  0.

m  0 D.  m  3 .  2

Hướng dẫn Đặt f(x)  (m 2  m  2)x  m  2.

(m 2  m  2)(2)  m  2  0 f(2)  0 Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x   2;1    2 (m  m  2)(1)  m  2  0 f(1)  0

3  2  m   2m  m  6  0 2 3   2  0m m   2 2 m  2m  0     m  0 2

→ Chọn A.

2x  1  3x  4 Ví dụ 5: Giải hệ bất phương trình  5x  4  8x  9 A. x 

13 . 3

B. 3  x 

13 . 3

C. x  3.

D. x  3.

Hướng dẫn

x  3 2x  1  3x  4 x  3     13  x  3. 5x  4  8x  9 3x  13 x   3 → Chọn C.

x  2m  2x  m Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm:  3x  1  x  3 A. m  1.

B. m > 1.

C. m = 1.

D. m < -1.

Hướng dẫn

x  2m  2x  m x  m   3x  1  x  3 x  1 Để phương trình có nghiệm thì m > 1. → Chọn B. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm m để bất phương trình x  m  1 có tập nghiệm S   3;   Trang 3

A. m = -3.

B. m = 4.

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình 1  A. (;0)   ;   2 

 11  A. S    ;   .  7 

D. m = 1.

1 C. (; ) 2

1 D. (0; ). 2

1  2 là x

B. (0; ).

Câu 3. Giải bất phương trình:

C. m = - 2.

x 1 x  2 x  3 x    1 2 3 4 2

 11  B. S    ;5  .  7 

 6  C. S    ;   .  7 

 4  D. S    ;   .  9 

Câu 4. Tìm m để bất phương trình m 2 x  3  mx  4 có nghiệm. A. m = 1.

B. m = 0.

C. m = 3.

D. x  .

Đáp án: 1-B

2-D

3-A

4-D

Dạng 2: Bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn 1. Phương pháp giải Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax 2  bx  c. Trong đó a, b, c là những số cho trước với a  0. Nghiệm của phương trình

ax 2  bx  c  0

được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai

f(x)  ax  bx  c;   b  4ac và  '  b '  ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của 2

tam thức bậc hai f(x)  ax 2  bx  c. Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau:

f(x)  ax 2  bx  c,(a  0)

0

a.f(x)  0, x  

0

 b a.f(x)  0, x   \    2a 

a.f(x)  0, x  (;x1 )  (x 2 ; )

0

a.f(x)  0, x  (x1 ;x 2 )

Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng ax 2  bx  c  0 , ax 2  bx  c  0, ax 2  bx  c  0, ax 2  bx  c  0, trong đó ax 2  bx  c làm tam thức bậc hai.

Chú ý: Cho tam thức bậc hai ax 2  bx  c  

a  0 ax 2  bx  c  0, x       0 a  0 ax 2  bx  c, x       0

 

a  0 ax 2  bx  c  0, x       0 a  0 ax 2  bx  c  0, x       0

Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai. 2. Ví dụ minh họa Trang 4

Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình sau: 5x 2  4x  12  0.  6  A.   ;2  .  2 

2  B.  ;    (2; ). 5 

6  C.  ;     8;   . 5 

6  D.  ;     2;   . 5 

Hướng dẫn Tam thức bậc hai: f(x)  5x 2  4x  12 có hai nghiệm x  

6 và x = 2. 5

Bảng xét dấu: x



f(x)



6 5



2 +

6  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  ;     2;   . 5 

→ Chọn D. Ví dụ 2: Tìm m để f(x)  x 2  2(2m  3)x  4m  3  0, x   3 A. m  . 2

3 B. m  . 4

3 3 m . 4 2

D. 1  m  3.

Hướng dẫn

4m 2  16m  12  0   0 f(x)  x 2  2(2m  3)x  4m  3  0, x   khi    1  m  3. a  0 1  0 lu«n §óng → Chọn D. Ví dụ 3: Tìm nghiệm của hệ bất phương trình sau

A. 4  x  1.

 4  x  1 B.  7    x  2  2

x 8  2x  4  x2  x 2  3x  4  0  0  x  1 C.  7    x  2  2

7 D.   x  2. 2

Hướng dẫn

 7   x  2 x 8 (2x  4)(x  2)(x  8) 2x 2  7x  0 0  2 Ta có: 2x  4   x2 x2 x2 x  0 x 2  3x  4  0  (x  1)(x  4)  0  4  x  1.

0  x  1 Kết hợp nghiệm ta được, hệ bất phương trình có nghiệm là  7    x  2  2 → Chọn C.

Trang 5

x 2  1  0 Ví dụ 4: Hệ bất phương trình  có nghiệm khi: x  m  0 A. m  1.

B. m  1.

C. m  1.

D. m  1.

Hướng dẫn

x 2  1  0 1  x  1 Ta có   x  m x  m  0 Để bất phương trình có nghiệm thì m  1. → Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm các giá trị của m để f(x)  (m  4)x 2  (m  1)x  2m  1 luôn âm. 3 A. m  . 7

3 B. m   . 7

3 C. m  . 7

3 D. m  . 7

Câu 2. Tìm giá trị của m để bất phương trình sau (m 2  2)x  2(m  1)x  4 vô nghiệm. 1 A. 0  m  . 2

B. m  1.

5 1 C.   m  . 6 2

D. Không tồn tại m.

C. x 2  12  20  0.

D. (x  2)2 10  x  0.

Câu 3. Bất phương trình có tập nghiệm (2;10) là A. x 2  12x  20  0.

B. x 2  3x  2  0.

(x  3)(4  x)  0 Câu 4. Hệ bất phương trình  vô nghiệm khi: x  m  1 A. m  4.

B. m  2.

D. m  2.

C. m  5.

Đáp án: 1-A

2-D

3-C

4-D

Dạng 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp giải Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng:

ax  by  c  0,ax  by  c  0,ax  by  c  0,ax  by  c  0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số. Mỗi cặp số (x 0 ;y0 ) sao cho ax 0  by0  c  0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 . Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax  by  c  0 : Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax  by  c  0 Bước 2: Xét một điểm M(x 0 ;y0 ) không nằm trên d.  Nếu ax 0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 .  Nếu ax 0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 . Chú ý: Trang 6

Đối với các bất phương trình dạng ax  by  c  0 hoặc ax  by  c  0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Miền nghiệm của bất phương trình 4(x  1)  5(y  3)  2x  9 là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. (0;0).

B. (1;1).

C. (- 1; 1).

D. (2;5).

Hướng dẫn Ta có: 4(x  1)  5(y  3)  2 x  9  4 x  4  5y  15  2x  9  2x  5y  10  0 Thay tọa độ điểm (2;5) vào bất phương trình ta có: 2.2 + 5.5 -10 > 0 (đúng). → Chọn D. Ví dụ 2: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

y  0 A.  3x  2y  6

y  0 B.  3x  2y  6

x  0 C.  3x  2y  6

x  0 D.  3x  2y  6

Hướng dẫn Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng (d1 ) : y  0 và đường thẳng (d 2 ) : 3x  2 y  6 Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương Lại có (0;1) thỏa mãn bất phương trình 3x  2y  6 → Chọn A.

0  y  4 x  0  Ví dụ 3: Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y)  x  2y với điều kiện  là x  y  1  0 x  2y  10  0 A. 6.

B. 8.

C. 10.

D. 12.

Hướng dẫn Vẽ đường thẳng d1 : x  y  1  0, đường thẳng d1 qua hai điểm (0; -1) và (1;0). Vẽ đường thẳng d 2 : x  2y  10  0, đường thẳng d2 qua hai điểm (0;5) và (2;4). Vẽ đường thẳng d 3 : y  4.

Trang 7

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOD với A(4;3), B(2;4), C(0,4), D(1,0). Ta có: F(4;3) = 10, F(2;4) = 10, F(0;4) = 8, F(1;0) = 1, F(0;0) = 0. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) = x+ 2y bằng 10. → Chọn C. 3. Bài tập tự luyện

2x  3y  5 (1)  Câu 1. CHo hệ  . Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S1 là tập nghiệm của 3 x  y  5 (2)  2 bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì A. S1  S 2 .

B. S 2  S1.

C. S 2  S

D. S 1  S.

Câu 2. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất? A. 4 lít nước cam và 4 lít nước táo.

B. 5 lít nước cam và 5 lít nước táo.

C. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo.

D. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.

Đáp án: 1-B

2-D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

3  x  0 Câu 1. Giải hệ bất phương trình  x  2  0 A. 2  x  1.

B. 1  x  3.

C. 2  x  3.

D. 2  x  0.

Câu 2. Hàm số có bảng xét dấu như sau là hàm số nào?



x f(x)

1 -

2 +



3 -

A. f(x)  (x  3)(x 2  3x  2).

B. f(x)  (1  x)(x 2  5x  6).

C. f(x)  (x  2)(x 2  4x  3).

D. f(x)  (1  x)(2  x)(3  x).

Câu 3. Bất phương trình

x 1  0 có nghiệm là x x3 2

Trang 8

A. x > 1.

1 C. x  . 2

B. x < 1.

D. x > 0.

Câu 4. Tìm m để f(x)  mx 2  2(m  1)x  4m luôn dương với mọi x   .  1 A.  1;  .  3

1  B.  ; 1   ;   . 3 

1  D.  ;   . 3 

C. (0; ).

x 2  9x  14 0 Câu 5. Giải bất phương trình 2 x  5x  4

A. (;1)  (2;6)  (8; ).

B. (;1)  (2;4)  (7; ).

C. (;1)  (3;4)  (7; ).

D. (;1)  (2;4)  (6; ).

Câu 6. Giải bất phương trình A. x < -1.

x  2 x  5 x  8 x  11    89 86 83 80

B. x < -9.

C. x < -91.

D. x < -90.

2 2 (1  x)  5  3x  x Câu 7. Giải hệ bất phương trình:  2 2 (x  2)  2x  7x  13

A. x 

4 5

B. x  

4 5

C. x 

4 5

D. x  

4 5

x  2m  2x  m Câu 8. Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm:  3x  1  x  3 A. m  1.

B. m  1.

C. m  1.

D. m  1.

Đáp án: 1-C

2-A

3-A

4-D

5-B

6- C

7-B

8-B

Trang 9

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ 5: MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Một số bất phương trình quy về bất phương trình bậc hai: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bất phương trình chứa căn Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tìm đáp án đúng. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 1. Phương pháp giải Bước 1: Đặt điều kiện cho x để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Bước 2: Giải bất phương trình với từng điều kiện của x. Bước 3: Kết hợp kết quả giải được với điều kiện ban đầu. Bước 4: Kết luận tập nghiệm của bất phương trình. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình x 2  8x  x  3  15 là A. S   ;3 .

B. S   ;3   4;   .

C. S   6;   .

D. S   ;3   6;   . Hướng dẫn

Cách 1: Bất phương trình x 2  8x  x  3  15

(1)

Trường hợp 1: Nếu x  3  0  x  3, khi đó bất phương trình (1) trở thành:

x  4 x 2  8x  x  3  15  x 2  7x  12  0   x  3 Kết hợp với điều kiện x  3, ta được x > 4. Trường hợp 2: Nếu x  3  0  x  3, khi đó bất phương trình (1) trở thành:

x  6 x 2  8x  (x  3)  15  x 2  9x  18  0   x  3 Kết hợp với điều kiện x < 3, ta được x < 3. Vậy tập nghiệp của bất phương trình là S   ;3   4;   . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thay x = 5 vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1). Nên loại đáp án A, C và D. →Chọn B. Ví dụ 2: Điều kiện nào của x thõa mãn bất phương trình 2x  4  x 2  5x  6?

Trang 1

A. 2  x 

7  57 . 2

7  57  x  2. 2

7  57  x  5. 2

7  57  x  5. 2

Hướng dẫn Cách 1: Bất phương trình 2x  4  x 2  5x  6

(1)

Trường hợp 1: Nếu 2x  4  0  x  2, khi đó bất phương trình (1) trở thành:

2x  4  x 2  5x  6  x 2  3x  10  0  2  x  5. Kết hợp với điều kiện x  2 , ta được 2  x  5. Trường hợp 2: Nếu 2x  4  0  x  2, khi đó bất phương trình (1) trở thành:   2x  4   x 2  5x  6  x 2  7x  2  0 

Kết hợp với điều kiện x < 2, ta được

7  57 7  57 x 2 2

7  57  x  2. 2

Kết hợp hai trường hợp 1 và 2 ta được điều kiện của x là

7  57  x  5. 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thay x = 2 vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1). Nên loại đáp án B. Thay x 

7  57 vào bất phương trình (1), ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1). 2

Nên loại đáp án A và D. →Chọn B. Ví dụ 3: Tìm m để 4x  2m  3 A. m  . 2

1 1   x 2  2x   m đúng với mọi x. 2 2

3 B. m  . 2

C. m > 3.

D. -2 < m < 3.

Hướng dẫn Để 4x  2m 

1 1 1   x 2  2x   m đúng với mọi x thì  x 2  2x   m  0, x   2 2 2

3 1 1  Ta có:  x 2  2x   m  0, x   khi 22  4(1)   m   0  4  2  4m  0  m  . 2 2 2 

→Chọn A. Dạng 2: Bất phương trình chứa dấu căn 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình 5  A.  ;  . 2 

5  B.  ;  . 2 

2x  1  2x  3 là 5  C.  ;   . 2 

5  D.  ;   . 2 

Hướng dẫn Trang 2

Cách 1: Ta có

1  x  2 2x  1  0  3   2x  1  2x  3  2x  3  0  x  2 2x  1  (2x  3) 2   2x  1  4x 2  12x  9  

3  x  3 3 2    x  x      5 5 2 2 4x 2  14x  10  0 4x 2  14x  10  0  x  2  x  2     x  1 Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thay x 

5 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy thỏa mãn bất phương trình. 2

Nên loại đáp án B và C. Thay x = 3 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy thỏa mãn bất phương trình. Nên loại đáp án A. →Chọn D. Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình:  x 2  x  2  2x 2  1  0 là:

 5  13  A. 1;    2;   . 2  

9  B. 4; 5;   . 2 

 2  2  C.  2;  ;1 .  2   2  

 17  D.  ; 5  5;   3 .  5

Hướng dẫn

Cách 1: Ta có  x 2  x  2 

 2  x   2   2x 2  1  0 2 2x  1  0   2   2  x  x  2  0  x  2  2  x  1

 2  2   x   2; ;1 .  2   2   Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thay x = 5 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy không thỏa mãn bất phương trình. Nên loại đáp án A và D. Thay x = -4 vào bất phương trình ban đầu, ta thấy không thỏa mãn bất phương trình. Nên loại đáp án B. →Chọn C. Trang 3

Ví dụ 3: Bất phương trình: x 4  2x 2  3  x 2  5 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Nhiều hơn 2.

Hướng dẫn Bất phương trình x 4  2x 2  3  x 2  5

(1)

Đặt t  x 2 (t  0), khi đó (1) trở thành t 2  2t  3  t  5.

t  1 Nếu t 2  2t  3  0   , ta suy ra t  t  3  1  33 t  2 2 2 Nếu t  2t  3  0  1  t  3 thì ta có  t  t  8  0    1  33 t   2

Kết hợp với điều kiện 1  t  3 , ta suy ra t  Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm. →Chọn A. PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình

x  1(x  2)  0 là

A. S  1   2;   .

B. S  1   ; 2 .

C. S  .

D. S  .

Câu 2. Cho bất phương trình: x 2  2 x  m  2mx  3m 2  3m  1  0. Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: 1 A. 1  m   . 2

1 B. 1  m  . 2

Câu 3. Bất phương trình  1  A.   ; 4  2 2  .  2 

A. 3  x  5.

1  m  1. 2

2x  1  3  x có tập nghiệm là

B. (3; 4  2 2).

Câu 4. Bất phương trình

1 C.   m  1. 2

C. (4  2 2;3).

D. (4  2 2; ).

 x 2  6x  5  8  2x có nghiệm là B. 2  x  3.

C. 5  x  3.

D. 3  x  2.

Đáp án: 1-A

2-D

3-A

4-A

Trang 4

CHƯƠNG 3: LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ 1. CUNG VÀ GÓC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn Cung tròn bán kính R có số đo   0    2  , có số đo a 0  0  a  360  Độ dài là I của cung tròn là I = Rα = R

πa . 180

Quan hệ giữa số đo độ và số đo rađian

 a  .  180

  180  0 Đặc biệt: 1 rad   rad.  ,1  180    2. Đường tròn lượng giác * Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng (quy ước chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) và trên đó chọn điểm A làm gốc. * Điểm M  x; y  trên đường tròn lượng giác sao cho  OA, OM    được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo  Trục Ox được gọi là trục giá trị của cos. Trục Oy được gọi là trục giá trị của sin. Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy được gọi là trục giá trị của tang. Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox được gọi là trục giá trị của cotang. * Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và cotang: cos   OK  x

sin   OH  y, tan   AT 

sin         k  cos   2 

cot   BS 

cos    k  sin 

3. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị

III

cos 

sin 

tan 

cot 

lượng giác

Trang 1

4. Cung liên kết Góc đối nhau

Góc bù nhau

Góc phụ nhau

Góc hơn kém 

(cos đối)

(sin bù)

(phụ chéo)

(khác pi tan)

cos     cos 

sin      sin 

  sin      cos  2 

sin       sin 

sin      sin 

cos       cos 

  cos      sin  2 

cos       cos 

tan      tan 

tan       tan 

  tan      cot  2 

tan      tan 

cot      cot 

cot       cot 

  cot      tan  2 

cot      cot 

5. Công thức lượng giác cơ bản sin x cos x

sin 2 x  cos 2 x  1

tan x 

tan x.cot x  1

1  tan 2 x 

6. Công thức cộng cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b tan a  tan b 1  tan a.tan b tan a  tan b tan  a  b   1  tan a.tan b tan  a  b  

8. Công thức biến đổi tổng thành tích

ab a b cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2 cos sin 2 2 cos a  cos b  2 cos

cot x 

1 cos 2 x

cos x sin x

1  cot 2 x 

1 sin 2 x

7. Công thức nhân đôi, hạ bậc sin 2a  2sin a.cos a , tan 2a 

2 tan a 1  tan 2 a

cos 2a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a  cos 2 a  sin 2 a 1  cos 2a 1  cos 2a sin 2 a  , cos 2 a  2 2 3cos a  cos 3a cos 3a  4 cos3 a  3cos a  cos3 a  4 3sin a  sin 3a sin 3a  3sin a  4sin 3 a  sin 3 a  4

9. Công thức biến đổi tích thành tổng

1 cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a cos b  sin  a  b   sin  a  b   2 cos a cos b 

Trang 2

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Góc và cung lượng giác 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Góc có số đo 108o đổi ra radian là A.

3 . 5

 10

3 . 5

1 . 10

Hướng dẫn Áp dụng công thức đổi từ độ sang rad ta có:  

a 108 3   . 180 180 5

→ Chọn A. Ví dụ 2: Góc có số đo A. 240.

2 đổi sang độ là 5

B. 135.

C. 72.

D. 270.

Hướng dẫn Áp dụng công thức đổi từ độ sang rad ta có: a 

 .180 2 .180   72.  5

→ Chọn C. Ví dụ 3: trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng. Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy   3,1416 ). A. 22054 cm.

B. 22063 cm.

C. 22054 mm.

D. 22044 cm.

Hướng dẫn Độ dài quãng đường bánh xe lăn được một vòng là I  R  6,5.2  13 Trong 20s, bánh xe quay được 60 vòng. Trong 3 phút = 3.60 = 180s, bánh xe quay được

60.180  540 vòng 20

Vậy độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được là S  540.13  22054 (cm) → Chọn A. Ví dụ 4: Góc x 

 4



A. 12.

k , k   được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác? 3

B. 4.

C. 3.

D. 6.

Hướng dẫn Áp dụng góc x    x

 3



k 2 , k   được biểu diễn bởi n điểm trên đường tròn lượng giác, do đó góc n

k  k 2   được biểu diễn bởi 6 điểm trên đường tròn lượng giác. 3 3 6

→ Chọn D. 2. Bài tập tự luyện

Trang 3

Câu 1. Góc có số đo

 9

đổi sang độ là

A. 15.

B. 18.

C. 20.

D. 25.

Câu 2. Góc có số đo 120 đổi sang rađian là góc A.

 10

3 . 2

 4

2 . 3

Câu 3. Một đường tròn có bán kính R = 10cm. Độ dài cung 40 trên đường tròn gần bằng A. 7cm.

B. 9cm.

C. 11cm.

D. 13cm.

Câu 4. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là A. 30.

B. 40.

C. 50.

D. 60.

Đáp án: 1-C

2-D

3-A

4-C

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức lượng giác 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: tính giá trị của A  cos10.cos 30.cos 50.cos 70 A.

1 . 16

1 . 8

3 . 16

1 . 4

Hướng dẫn Cách 1: Áp dụng công thức: cos a.cos b  A  cos10.cos 30.

Vì cos 30  A 

1 cos  a  b   cos  a  b   2

1 1  cos120  cos 20   cos 30.  cos10.cos120  cos10.cos 20  2 2

3 1 , cos120  nên ta có: 2 2

3 1  cos10 3  cos10 cos 30  cos10  3 cos 30  .   cos10.cos 20    .   2 2 2 2 2 2  4   4

3 3 3 .  . 4 4 16

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN Plus Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT MODE 3. Bước 2: nhập cos 10  x cos  30  x cos  50  x cos  70  ta có kết quả là

3 . 16

→ Chọn C. Ví dụ 2: Cho sin   A.

4 . 5

3  và     . Giá trị của cos  là 5 2 4 B.  . 5

4 C.  . 5

16 . 25

Trang 4

Hướng dẫn Cách 1: Vì

 2

     cos   0.

4  cos    9 16 5   Ta có: sin 2   cos 2   1  cos 2   1  sin 2   1  25 25 cos    4  5

4 Kết hợp điều kiện ta có: cos    . 5

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4. Bước 2: xác định dấu của cos  : chọn một giá trị bất kì của α thỏa mãn

 2

   .

3 Bước 3: Sử dụng SHIFT sin để tìm góc  : sin 1   , ta được kết quả là 0,6435011. 5

Bước 4: Nhập cos  Ans  ta được kết quả là

4 4 , theo bước 2, ta thấy cos   0 , do đó cos    5 5

Chú ý: Phải xác định trước dấu của giá trị lượng giác cần tính, nếu không sẽ dẫn tới kết luận kết quả là 4 . 5 → Chọn B. Ví dụ 3: Cho tan   2. Giá trị của A  A. 5.

3sin   cos  là sin   cos 

C. 7.

5 . 3

7 . 3

Hướng dẫn Cách 1: Chia cả tử và mẫu của A cho cosx ta được: 3sin  cos   3 tan   1 3.2  1 A  cos  cos    7 sin  cos  tan   1 2  1  cos  cos 

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4 Bước 2: sử dụng SHIFT tan để tìm góc  : tan 1  2  , ta được kết quả là 1,1071487. Bước 3: nhập

3sin  Ans   cos  Ans  ta được kết quả là A = 7. sin  Ans   cos  Ans 

→ Chọn C. Ví dụ 4: Cho sin  

3 cot   2 tan  và 90    180 . Giá trị của biểu thức E  là 5 tan   3cot 

Trang 5

2 . 57

B. 

2 . 57

4 . 57

D. 

4 . 57

Hướng dẫn Cách 1: Vì 90    180  cos   0 , ta có: 4  cos    9 16 5 sin 2   cos 2   1  cos 2   1  sin 2   1    25 25 cos    4  5

4 sin  3 1 4   và cot    . Kết hợp điều kiện  cos    , do đó tan   5 cos  4 tan  3 4 3   2.   cot   2 tan  3 4   2 . E  3 tan   3cot  57  4   3.    4  3

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT MODE 3 Bước 2: Xác định dấu của tan  : chọn một giá trị bất kì của α thỏa mãn 90    180 Ta chọn   100 , nhập tan 100  ta được kết quả là -5,671 < 0 do đó tan   0 3 Bước 3: Sử dụng SHIFT sin để tìm góc  : sin 1   , ta được kết quả là 36.869897 5

Bước 4: nhập tan(Ans) ta được kết quả cot  

3 3 , theo bước 2 ta thấy tan   0 nên tan    và 4 4

1 4   , thay vào E ta được giá trị cần tính. tan  3

→ chọn B. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Giá trị của biểu thức cos A.

1 . 2

1 B.  . 2

Câu 2. Giá trị của biểu thức A  A. 3  3 .

2 4 6  cos  cos bằng 7 7 7

11 . 10

B. 2  3 3 .

1 . 4

1 D.  . 4

cos 750  sin 420 bằng sin  330   cos  390 

Câu 3. Cho tan   2 . Giá trị biểu thức A  A.

10 . 11

2 3 . 3 1

1 3 . 3

sin  bằng sin   3cos3  3

C. 

10 . 11

D. 

11 . 10

Câu 4. Biết tan   2 và 180    270 . Giá trị của cos   sin  bằng Trang 6

A. 

3 5 . 5

B. 1  5.

3 5 . 2

5 1 . 2

Đáp án: 1-B

2-A

3-B

4-A

Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức A  1  sin 2 x  .cot 2 x  1  cot 2 x  . Ta có A. A  sin 2 x.

B. A  cos 2 x.

C. A   sin 2 x.

D. A   cos 2 x.

Hướng dẫn Cách 1:

A  1  sin 2 x  cot 2 x  1  cot 2 x   cot 2 x  sin 2 x.cot 2 x  1  cot 2 x   cot 2 x  sin 2 x.

cos 2 x  1  cot 2 x  cot 2 x  cos 2 x  1  cot 2 x  1  cos 2 x  sin 2 x 2 sin x

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS Bước 1: thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4. Bước 2: Chọn một giá trị x bất kỳ thay vào biểu thức A. Chú ý cot 2 x 





Ta chọn x  1 , thay vào ta được A  1  sin 1 . 2

1 tan 2 x

 1   1     0, 7080734 2 2 tan 1  tan 1  1

Bước 3: thay x  1 vào bốn đáp án, đáp án nào ra kết quả như bước 2 thì chọn. Đáp án A, ta có sin 1  0, 7080734 do đó đáp án A là đáp án đúng. 2

→ Chọn A. Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức A  sin 6 x  cos 6 x  3sin 2 x cos 2 x . A. A  1.

C. A  4

B. A  1.

D. A  4.

Hướng dẫn Cách 1: Áp dụng hằng đẳng thức a 3  b3   a  b   3ab  a  b  ta được: 3

A  sin 6 x  cos 6 x  3sin 2 x cos 2 x   sin 2 x    cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x 3

  sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x.cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x 3

 1  3sin 2 x.cos 2 x  3sin 2 x.cos 2 x  1

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo rađian: SHIFT MODE 4. Bước 2: Chọn một giá trị x bất kì thay vào Biểu thức A Ta chọn x = 1, thay vào ta được A  sin 1  cos 1  3sin 1 x cos 1  1 6

→ Chọn B. Trang 7

Ví dụ 3: Nếu 5sin   3sin   2   thì giá trị của tan     bằng. A. 2 tan  .

B. 3 tan  .

C. 4 tan  .

D. 5 tan  .

Hướng dẫn

5sin   3sin   2    5sin         3sin       

 5sin     cos   5cos     sin   3sin     cos   3cos     sin   2sin     cos   8cos     sin  

sin     sin  4  tan      4 tan  cos     cos 

→ Chọn C. 2. Bài tập tự luyện     Câu 1. Biểu thức A  cos 2 x  cos 2   x   cos 2   x  không phụ thuộc x và có giá trị bằng 3  3 

3 . 4

4 . 3

3 . 2

2 . 3

Câu 2. Biểu thức D  cos 2 x.cot 2 x  3cos 2 x  cot 2 x  2sin 2 x có giá trị là A. 2.

B. -2.

C. 3.

D. -3.

Câu 3. Rút gọn biểu thức cos 120  x   cos 120  x   cos x A. 0.

B. –cos x.

C. -2cosx.

D. sinx – cosx.

3 C. sin   . 5

3 D. sin    . 5

Đáp án: 1-C

2-A

3-C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Cho cos   1 A. sin   . 5

4  với 0    . Tính sin  . 5 2 1 B. sin    . 5

Câu 2. Một đường tròn có bán kính R  A. 10 cm.

B. 5 cm.



cm . Tìm độ dài của cung



cm. 2

 2

trên đường tròn. D.

2 20

cm.

Câu 3. Một đồng hồ treo tường có kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm. Trong 30 phút, mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là A. 2,77 cm.

B. 2,9 cm.

C. 2,76 cm.

D. 2,8 cm.

1 1 Câu 4. Cho hai góc nhọn a và b. Biết cos a  , cos b  . Giá trị cos  a  b  .cos  a  b  bằng 3 4

A. 

113 . 144

B. 

115 . 144

C. 

117 . 144

D. 

119 . 144

Trang 8

Câu 5. Giá trị của biểu thức A  sin 2 A. 2.

 8

3 5 7  sin 2  sin 2 bằng 8 8 8

B. -2.

C. 1.

Câu 6. Gía trị đúng của biểu thức A  2 . 3

 sin 2

D. 0.

tan 30  tan 40  tan 50  tan 60 bằng bao nhiêu? cos 20

4 . 3

6 . 3

8 . 3

Câu 7. Cho tam giác ABC và các mệnh đề (I) cos

BC A  sin 2 2

(II) tan

A B C .tan  1 2 2

(III) cos  A  B  C   cos 2C  0

Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (I).

B. (II) và (III).

Câu 8. Cho cot   3 2 với

 2

C. (I) và (II).

    . Khi đó giá trị tan

B. 2 19.

A. 2 19.

 2

 cot

D. Chỉ (III).

 2

bằng

C.  19.

D. 19.

Câu 9. Rút gọn biểu thức: cos 120  x   cos 120  x   cos x B.  cos x.

A. 0.

C. 2 cos x.

D. sin x  cos x.

1 1 1 Câu 10. Cho A, B, C là các góc nhọn và tan A  ; tan B  , tan C  . Tổng A + B + C bằng 2 5 8

 6

 5

 4

 3

Câu 11. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức sai A. cos

A B C  sin . 2 2

B. cos  A  B  2C    cos C.

B. sin  A  C    sin B.

D. cos  A  B    cos C.

Câu 12. Cho tan a  cot a  m . Khi đó cot 3 a  tan 3 a có giá trị bằng A. m3  3m.

B. m3  3m.

C. 3m3  m.

D. 3m3  m.

Đáp án: 1–C

2–B

3–A

10 – C

11 – C

12 – B

4–D

5–A

6–D

7–C

8–A

9–C

Trang 9

CHƯƠNG 3 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hàm số y = sinx

2. Hàm số y = cosx

* Tập xác định:  .

* Hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .

* Tập giá trị:  1;1 .

 * Đồng biến trên  k 2 ;   k 2  và nghịch biến    * Đồng biến trên    k 2 ;  k 2  và nghịch 2  2  trên    k 2 ; k 2  , k   . 3    k 2  , k   . biến trên   k 2 ; * Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là 2 2  tâm đối xứng. * Hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

Hàm số lượng giác

3. Hàm số y = tanx * Tập giá trị:  .

4. Hàm số y = cotx * Tập giá trị:  .

  * Tập xác định: D   \   k , k    2 

* Hàm số tuần hoàn với chu kì T   .

* Tập xác định: D   \ k , k   * Hàm số tuần hoàn với chu kì T   .

* Hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là * Hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm tâm đối xứng. đối xứng. * Hàm nghịch biến trên  k ;   k  , k       * Hàm đồng biến trên    k ;  k  , k   * Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k , k   làm 2  2  một đường tiệm cận.  * Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x   k , k   2 làm một đường tiệm cận.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tập xác định của hàm số lượng giác 1. Phương pháp giải

y

f  x xác định khi g  x   0, g  x

y  2 n f  x  , n  * xác định khi f  x   0.

Trang 1

y  sin u  x   xác định khi u  x  xác định, y  cos u  x   xác định khi u  x  xác định.



y  tan u  x   xác định khi u  x  xác định và cos u  x    0  u  x    k , k   2 y  cot u  x   xác định khi u  x  xác định và sin u  x    0  u  x   k , k  

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: tìm tập xác định D của hàm số y 

2019 sin x

  A. D   \   k , k    2 

  B. D   \   k 2  3 

C. D   \ k , k  

D. D   Hướng dẫn

Cách 1: Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x  0  x  k , k  . Vậy tập xác định D   \ k , k   . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4 Bước 2: Nhập hàm số

2019 sin(X)

Bước 3: Sử dụng phím gán giá trị CALC, thử các giá trị không thuộc các đáp án, đáp án nào cho giá trị báo lỗi Math ERROR là đáp án đúng Đáp án A: Ấn CALC, nhập X  Đáp án B: Ấn CALC, nhập X 

 2

 3

, ta được kết quả là 2019, loại A. , ta được kết quả là 2331,34, loại B.

Đáp án C: Ấn CALC, nhập X  0 , ta được Math ERROR, chọn C. → Chọn C. 1 Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y  cos    2 x x

A. D   2; 2 .

C. D  .

B. D   1;1 \ 0 .

D. D   \ 0 .

Hướng dẫn Hàm số đã cho xác định khi cos

1 xác định khi và chỉ khi x  0. x

→ Chọn D. Ví dụ 3: Điều kiện xác định của hàm số y  tan 2 x A. x  

 3



k , k  . 2

B. x 

 2

 k , k  .

C. x 

 4



k , k  . 2

D. x 

 4

 k , k  .

Trang 2

Hướng dẫn Điều kiện xác định của hàm số y  tan 2 x  cos 2 x  0  2 x 

 2

 k  x 

 4



sin 2 x là: cos 2 x

k ,k  2

→ Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tập xác định của hàm số y  cot x là A. x 

 2

 k , k  .

B. x 

 4

 k , k  .

C. x 

 8

k

 2

, k  .

D. x  k , k  .

  Câu 2. Tập xác định của hàm số y  tan  2 x   3     A. D   \   k , k    . 2 3 

   B. D   \   k , k    . 2 4 

   C. D   \   k , k    . 2 12 

   D. D   \   k , k    . 2 8 

Câu 3. Tập xác định của hàm số y  cos x là: A. D   0; 2  .

B. D   0;   .

C. D  .

D. D   \ 0 .

Đáp án: 1–D

2–C

3-B

Dạng 2: Tính đơn điệu của hàm số lượng giác 1. Phương pháp giải

    Hàm số y  sin x đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ;  k 2   k    , nghịch biến trên mỗi khoảng 2  2  3    k 2   k      k 2 ; 2 2 

Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2  k    , đồng biến trên mỗi khoảng

   k 2 ; k 2  k    .     Hàm số y  tan x đồng biến trên mỗi khoảng    k ;  k   k    . 2  2  Hàm số y  cot x nghịch biến trên mỗi khoảng  k ;   k  k    . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét hàm số y  sin x trên đoạn   ;0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 3

     A. Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;   và   ;0  . 2   2    B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;   ; nghịch biến trên khoảng 2 

     ;0  .  2 

  C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng   ;   ; đồng biến trên khoảng 2 

     ;0  .  2 

     D. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;   và   ;0  . 2   2  Hướng dẫn

       Cách 1: Hàm số y  sin x đồng biến trên mỗi khoảng   ;0      k 2 ;  k 2   k    nghịch 2  2   2 

   3    k 2   k    biến trên mỗi khoảng   ;      k 2 ; 2 2 2   Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS: sử dụng phím

d   x  dx

Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4.

 d  2  sin  X   x   Bước 2: Chọn một giá trị bất kì thuộc khoảng   ;   , ta chọn x   , nhập  2 dx 3 3     được kết quả là 0,5 > 0, do đó hàm số đồng biến trên khoảng   ;0  .  2 

→ Chọn C. Ví dụ 2: Hàm số y  cos 2 x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

   A.  k ;  k   k    . 2  

    B.    k 2 ;  k 2   k    2  2 

  C.   k ;   k   k    2 

3    k 2   k    D.   k 2 ; 2 2 

Hướng dẫn Hàm số y  cos 2 x nghịch biến khi k 2  2 x    k 2  k  x 

 2

 k , k  

   Hay hàm số y  cos 2 x nghịch biến trên khoảng  k ;  k   k    2   → chọn A. Ví dụ 3: Xét các mệnh đề sau:  3 (I): x    ; 2 

1  nghịch biến  : hàm số y  sin x 

1  3  (II): x    ;  : hàm số y  nghịch biến 2  cos x 

Trang 4

Hãy chọn mệnh đề đúng: A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đúng.

D. Cả hai sai.

Hướng dẫn  3 Cách 1: x    ; 2   3 x    ; 2 

1  đồng biến, do đó (I) sai.  : hàm y  sin x nghịch biến, suy ra y  sin x 

1  nghịch biến, do đó (II) đúng.  : hàm y  cos x đồng biến suy ra hàm y  cos x 

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS Sử dụng phím

d   x  dx

Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4  3 Bước 2: Chọn một giá trị bất kì thuộc khoảng   ; 2 

  , ta chọn 

x  1, 2 

6 , nhập 5

1 d  1  6 , được kết quả là 2,3416 > 0, do đó hàm số y  đồng biến biến trên khoảng   x  sin x dx  sin  X   5  3  ; 2 

 . 

Bước 3: Nhập

1 d  1  6 , được kết quả là -0,898 < 0, do đó hàm số y  nghịch biến   x  cos x dx  cos  X   5

 3 biến trên khoảng   ; 2 

 . 

→ Chọn B. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Hàm số y  sin 2 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?   A.  0;  .  4

  B.  ;   . 2 

 3 C.   ; 2 

 . 

 3  D.  ; 2  .  2 

Câu 2. Xét hàm số y  cos x trên đoạn   ;   . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;0  và  0;   . B. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;0  và nghịch biến trên khoảng  0;   . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;0  và đồng biến trên khoảng  0;   . D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng   ;0  và  0;   .  31 33  ; Câu 3. Với x    , mệnh đề nào sau đây là đúng? 4   4

A. Hàm số y  cot x nghịch biến.

B. Hàm số y  tan x nghịch biến.

C. Hàm số y  sin x đồng biến.

D. Hàm số y  cos x nghịch biến Trang 5

Đáp án: 1–A

2–B

3-C

Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Phương pháp giải Áp dụng các bất đẳng thức sau: 1  sin x  1

1  cos x  1

1  sin  ax  b   1

0  sin x  1

0  cos x  1

0  sin  ax  b   1

0  cos  ax  b   1

0  sin x  1

0  cos x  1

0  sin  ax  b   1

0  cos  ax  b   1

2. Ví dụ minh họa

  Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  1  3sin  2 x   4  A. max y  2, min y  4.

B. max y  2, min y  4.

C. max y  2, min y  3.

D. max y  4, min y  2. Hướng dẫn

      Cách 1: Vì 1  sin  2 x    1  3  3sin  2 x    3  1  3  1  3sin  2 x    1  3 4 4 4   

   2  1  3sin  2 x    4 hay 2  y  4 4  Vậy max y  4, min y  2 . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4

  Bước 2: Sử dụng MODE 7, nhập hàm số f  x   1  3sin  2 X   ấn = 4  Start ? 0  End ? 2  Step ?

2 End  Start (ta thường chọn Step  ) 15 15

Bước 3: Quan sát giá trị cột F  x  , ta tìm được xấp xỉ giá trị lớn nhất là 3,963  4 và xấp xỉ giá trị nhỏ nhất là 1,995  2. → Chọn D. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  cos 2 x  4sin x A. -5.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hướng dẫn Cách 1: y  cos 2 x  4sin x  1  2sin 2 x  4sin x  2  sin 2 x  2sin x  1  3  3  2  sin x  1

Ta có 1  sin x  1  2  sin x  1  0  4   sin x  1  0  8  2  sin x  1  0 2

Trang 6

 3  8  3  2  sin x  1  3  0  5  y  3. 2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 khi và chỉ khi sin x  1  x 

 2

 k 2 , k  

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4 Bước 2: Sử dụng MODE 7, nhập hàm số f  x   cos  2 X   4sin  X  , ấn = Start ? 0  End ? 2  Step ?

2 End  Start (ta thường chọn Step  ) 15 15

Bước 3: Quan sát giá trị cột F  x  , ta tìm được xấp xỉ giá trị lớn nhất là 2,999  3. → Chọn B. Ví dụ 3: Hàm số y  1  2 cos 2 x đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu? A. x    k 2 , k  .

B. x 

C. x  k 2 , k  .

 2

 k , k  .

D. x  k , k  . Hướng dẫn

Ta có 1  cos x  1  0  cos 2 x  1  1  1  2 cos 2 x  3  1  y  3 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 khi và chỉ khi cos x  0  x 

 2

 k , k  .

→ chọn B. 3. Bài tập tự luyện

  Câu 1. Tìm tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2sin  x   3  A. 4.

B. 2.

C. 0.

D. -2.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1  4 cos 2 2 x A. min y  2; max y  1.

B. min y  3; max y  5.

C. min y  5; max y  1.

D. min y  3; max y  1.

Câu 3. Hàm số y  sin 6 x  cos 6 x đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng bao nhiêu? A. x 

 4



k . 3

B. x 

 4



k 3 . 2

C. x 

 3



k . 3

D. x 

 4



k . 2

Đáp án: 1–C

2–D

3-D

Dạng 4: Tính chẵn lẻ của hàm số 1. Phương pháp giải

x  D thi  x  D Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:   f   x   f  x  Trang 7

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

x  D thi  x  D Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:   f   x    f  x  Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y  2 cos x.

C. y  2sin   x  .

B. y  2sin x.

D. y  sin x  cos x.

Hướng dẫn Cách 1: xét đáp án y  2 cos x. Do tập xác định D   nên x     x  . Ta có f   x   2 cos   x   2 cos x  f  x  . Vậy hàm số y  2 cos x làm hàm số chẵn. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VN PLUS Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4 Bước 2: Sử dụng CALC để thử trường hợp x và -x. Đáp án A: Nhập vào màn hình hàm số 2 cos  X  sử dụng CALC với trường hợp x = 1 và trường hợp x  1 đều đưa kết quả giống nhau. Vì f  x    f  x   hàm số chẵn, chọn A.

→ Chọn A. Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y  cos 2 x.

B. y  sin x  16.

C. y  sin 2 2 x.

D. y   sin 3 3 x.

Hướng dẫn Đáp án A: y  cos 2 x là hàm số chẵn, do có tập xác định là D   , với mọi x  D thì  x  D và

f   x   cos  2 x   cos 2 x  f  x  .

Đáp án B: y  sin x  16 là hàm số không chẵn không lẻ, do có tập xác định là 16;   , không phải tập đối xứng. Đáp án C: y  sin 2 2 x là hàm số lẻ, do có tập xác định là D   , với mọi x  D thì  x  D và

f   x    sin 3  3 x   sin 3 2 x   f  x  .

→ Chọn D. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số không chẵn không lẻ? A. y  sin x.cos 3 x

B. y  sin x  cos x

C. y   cos x

D. y  cos x  sin 2 x

C. y  cos x.cot x

D. y 

Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn? A. y  sin 2 x

B. y  x.cos x

tan x sin x

Đáp án: Trang 8

1–B

2–D

Dạng 5: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác 1. Phương pháp giải Định nghĩa tính tuần hoàn của hàm số. Hàm số y  f  x  xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0 , sao cho x  D . Khi đó: x  T  D và f  x  T   f  x  . Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T. Chú ý: Các hàm số y  sin  ax  b  , y  cos  ax  b  tuần hoàn với chu kỳ T 

2 . a

Các hàm số y  tan  ax  b  , y  cot  ax  b  tuần hoàn với chu kỳ T 

 a

2. Ví dụ minh họa

  Ví dụ 1: tìm chu kì T của hàm số y  sin  5 x   . 4  A. T 

2 5

B. T 

5 2

C. T 

 2

D. T 

 8

Hướng dẫn Hàm số y  sin  ax  b  tuần hoàn với chu kì T 

2 a

 2  Do đó hàm số y  sin  5 x   có a  5 tuần hoàn với chu kì T  4 5  → Chọn A. Ví dụ 2: tìm chu kì T của hàm số y  cot A. T  4

x  sin 2 x . 3

C. T  3

B. T  

D. T 

 3

Hướng dẫn Hàm số y  cot

 x 1 có a1  tuần hoàn với chu kì T1   3 a1 3 3

Hàm số y  sin 2 x có a2  2 tuần hoàn với chu kì T2  Suy ra hàm số y  cot

2  a2

x  sin 2 x tuần hoàn với chu kì T2  3 3

→ Chọn C. Trang 9

x  Ví dụ 3: Nếu chu kì T của hàm số y  sin   2  là 8 thì a nhận giá trị nào dưới đây?  a 

A. 2.

B. 4.

D. 8.

C. 4. Hướng dẫn

2 x   2  là T   8  2 a  8  a  4  a  4 Chu kì của hàm số y  sin    a  a

→ Chọn B. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Chu kỳ của hàm số y  sin A.  .

x 2

là:

B. 2.

 2

D. 4.

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 . B. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 . C. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 . D. Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  . Câu 3. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y 

sin x . x

B. y  tan x  x

C. y  x 2  1 .

D. y  cot x

Đáp án: 1–D

2–C

3-D

Dạng 6: Đồ thị hàm số lượng giác 1. Phương pháp giải Đồ thị hàm số y  m sin  ax  b  , y  m cos  ax  b  có chu kỳ T 

2 , biên độ: m a

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là (C), với p > 0, ta có: * Tịnh tiến (C) lên trên p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x   p. * Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x   p. * Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x  p  . * Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x  p  . 2. Ví dụ minh họa x Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là đúng về đồ thị hàm số y  3cos ? 2

Trang 10

A. Biên độ là 3, chu kì là 4

B. Biên độ là -3, chu kì là 180

C. Biên độ là 3, chu kì là 2

D. Biên độ là 3, chu kì là  Hướng dẫn

Hàm số y  3cos

2 2 x   4 có m = -3 do đó có biên độ là m  3 , chu kì là T  1 a 2 2

→ Chọn A. Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số nào dưới đây là đồ thị của hàm số y  cos x dịch theo phương thẳng đứng lên trên 2 ? A. y  cos x  2

B. y  cos  x  2 

C. y  cos  x  2 

D. y  cos x  2

Hướng dẫn Đồ thị của hàm số y  f  x  dịch theo phương thẳng đứng lên trên a đơn vị trở thành đồ thị hàm số

y  f  x   a . Do đó, đồ thị của hàm số y  cos x dịch theo phương thẳng đứng lên trên 2 trở thành đồ thị hàm số y  cos x  2 → Chọn D. Ví dụ 3: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. sin

x 2

B. cos

x 2

C.  cos

x 4

 x D. sin     2

Hướng dẫn Tại x = 0 thì y = 0 do đó loại B và C vì cos 0  1  x   Tại x   thì y  1 . Thay x   vào hai đáp án còn lại chỉ có sin     sin     1 thỏa mãn.  2  2

→ Chọn D. Ví dụ 4: Hình vẽ dưới đây thuộc đồ thị của hàm số nào?

A. y  3cos x

B. y  2 cos  x

C. y  2sin  x

D. y  3sin  x

Hướng dẫn Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có biên độ là 2 nên ta loại đáp án A và D. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O, thay x = 0 vào hai đáp án còn lại. Trang 11

y  2 cos  x  2 cos  .0   2 do đó ta loại B. y  2sin  x  0 do đó đồ thị hàm số y  2sin  x đi qua gốc tọa độ O. Vậy hình vẽ là đồ thị của hàm số y  2sin  x → Chọn C 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị hàm số nào?

  A. sin  x   4 

3   B. cos  x   4  

  2 sin  x   4 

  D. cos  x   4 

Câu 2. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có biên độ 3 và chu kỳ 4 ? A. y  3cos

x 2

1 x B. y   cos 3 2

1 x C. y  cos 3 4

D. y  3cos

x 4

Câu 3. Đồ thị hàm số y  sin x suy ra từ đồ thị y  cos x  1 C  bằng cách: A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là

 

B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là C. Tịnh tiến (C) qua trên một đoạn có độ dài là D. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là

và lên trên 1 đơn vị.

 2

và lên trên 1 đơn vị. và xuống dưới 1 đơn vị.

và xuống dưới 1 đơn vị.

Đáp án: 1–A

2–A

3-D

PHẦN 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Tập xác định của hàm số y  A. x 

 2

 k 2

1  sin x là sin x  1

B. x  k 2

C. x 

3  k 2 2

D. x    k 2

  Câu 2. Trong khoảng  0;  , hàm số y  sin x  cos x là hàm số:  2

A. Đồng biến.

B. Nghịch biến.

C. Không đổi.

D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Trang 12

  Câu 3. Tập xác định của hàm số y  tan  2 x   là 3  A. x 

 6



k 2

B. x 

5  k 12



D. x 

5  k 12 2

C. y  cos x.cot x

D. y 

tan x sin x

C.  2;8

D. 5;8

C. x 

 k

Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? B. y  x cos x

A. y  sin 2 x

Câu 5. Tìm tập giá trị của hàm số y  3cos 2 x  5 A.  1;1

B.  1;11

Câu 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? A. y  sin x.cos 2 x C. y 

B. y  cos x.sin 3 x

  D. y  sin 3 x.cos  x   2 

tan x tan 2 x  1

Câu 7. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau? A. y  cos x và y  cot C. y  sin

x 2

B. y  sin x và y  tan 2 x

x x và y  cos 2 2

D. y  tan 2 x và y  cot 2 x

x  Câu 8. Tìm chu kì T của hàm số y  cos   2019  2 

A. T  4

B. T  2

D. T  

C. T  2

Đáp án: 1–C

2–A

3–D

4–D

5–C

6–D

7–B

8–A

Trang 13

CHƯƠNG 3 LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình lượng giác cơ bản

 x    k2 sin x  sin    ,k   x      k2

cos x  cos   x     k2, k  

tan x  tan   x    k, k  

cot x  cot   x    k, k  

2. Các trường hợp đặc biệt cos x  0  x 

sin x  0  x  k, k  

  k, k   2

cos x  1  x  k2, k  

sin x  1  x 

cos x  1  x    k2, k  

sin x  1  x 

  k2, k   2   k2, k   2

3. Một vài phép biến đổi đặc biệt hay gặp 1  sin 2x   sin x  cos x 

1  sin 2x   sin x  cos x 

x x  1  sin x   sin  cos  2 2 

x x  1  sin x   sin  cos  2 2 

1 sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2x 2

3 sin 6 x  cos 6 x  1  sin 2 2x 4

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương pháp giải Nếu u, v là các hàm theo biến x

 u  v  k2 sin u  sin v   ,k   u    v  k2 tan u  tan v  u  v  k, k  

cos u  cos v  u   v  k2, k   cot u  cot v  u  v  k, k  

2. Ví dụ minh họa  2x   Ví dụ 1: Giải phương trình sin   0  3 3

A. x  k  k    C. x 

  k  k    3

B. x 

2 k3  k   3 2

D. x 

 k3  k   2 2

Trang 1

Hướng dẫn 2x  2x   k3  2x    0   k    k  x   Cách 1: sin  k   3 3 3 3 2 2  3 3

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT MODE 4  2X     vào máy tính. Bước 2: Nhập biểu thức sin   3 3

Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án. 3  0 , loại A 2

Đối với đáp án A, ta thay x = π: Nhập CALC π ta được kết quả là Đối với đáp án B, ta thay x 

2 2 : Nhập CALC ta được kết quả là 0,342  0, loại B. 3 3

Đối với đáp án B, ta thay x 

  : Nhập CALC ta được kết quả là -0,342  0, loại C. 3 3

Đối với đáp án D, ta thay x 

  : Nhập CALC ta được kết quả là 0. 2 2

→ Chọn D. 3 trong khoảng (0; 3π) là: 2

Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình sin 2x  A. 1

B. 2

C. 6

D. 4

Hướng dẫn   2x  3   sin 2x  sin   Cách 1: sin 2 x  2 3  2x  

   k2 x  3  2 x   k2 3 

  k 6 ,k    k 3

  1 17 Với x    k ta có: 0   k  3    k   k  0;1; 2 6 6 6 6

Với x 

  1 8  k ta có: 0   k  3    k   k  0;1; 2 3 3 3 3

Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc (0;3π) nên phương trình có 6 nghiệm thuộc (0;3π). Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo radian: SHIFT MODE 4. Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7 Nhập hàm số f  x   sin  2X   Start? 0 = End? 3π = Step?

3 2

3 End  Start = (Ta thường lấy Step bằng 15 15

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x). Trang 2

Bước 3: Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f (x) xem có bao nhiêu lần đổi dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy có 6 lần đổi dấu, do đó phương trình có 6 nghiệm trong khoảng (0; 3π). → Chọn C   Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos  2x    m  2 có 3  nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T = 6

B. T = 3

C. T = -2

D. T = -6

Hướng dẫn     cos  2x    m  2  cos  2x    m  2 3 3     Vì 1  cos  2x    1 nên để phương trình có nghiệm thì: 1  m  2  1  3  m  1 3 

Vậy tập các số nguyên m thỏa mãn là S  3; 2; 1 . Tổng T   3   2    1  6 → Chọn D  a  Ví dụ 4: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos  3x    cos x  0 có dạng , trong đó a; b hai 3 b  số nguyên tố cùng nhau. Tính a + b

A. 4

B. 3

C. 5

D. 4

Hướng dẫn       Cách 1: cos  3x    cos x  0  cos  3x     cos x  cos  3x    cos  x    3 3 3   

 2   3x  3  x    k2  x  3  k   k   3x      x     k2  x     k 3 6 2  

Với k = 0, phương trình có nghiệm dương là: x 

2 3

5 2  x  3  3 Với k = 1, phương trình có hai nghiệm dương là:   x        2  6 2 3 3

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là: x 

 3

Do a; b là hai số nguyên tố cùng nhau nên a = 1; b = 3 → a + b = 4 Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT Mode 3. Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7 Trang 3

  Nhập hàm f  x   cos  3X    cos  X  3 

Start? 0 = → End? 180 = → Step? 10 = Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x) Bước 3: Nhìn vào giá trị cột f (x), xem giá trị nào f (x) = 0 đầu tiên, ứng với f (x) = 0, ta thấy x = 60. Do đó nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x = 600, ứng với x 

 3

→ Chọn D.

3  3 tan x  0 là

Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình A. x 

  k  k    3

 C. x    k  k    6

B. x 

  k2  k    2

D. x 

  k  k    2

Hướng dẫn Cách 1:

3  3 tan x  0  tan x  

3    tan x    x    k  k    3 6 6

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT MODE 4 Bước 2: Nhập biểu thức

3  3 tan  X  vào máy tính.

Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án. Đối với đáp án A, ta thay x 

  . Nhập CALC ta được kết quả là 4 3  0 , loại A. 3 3

Đối với đáp án B, ta thay x 

  . Nhập CALC ta được kết quả là Math error, loại B và D 2 2

  Đối với đáp án C, ta thay x   . Nhập CALC  ta được kết quả là 0 6 6

→ Chọn C 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Nghiệm của phương trình đặc biệt nào sau đây là sai?  A. sin x  1  x    k2 2

B. sin x  0  x  k

C. sin x  0  x  k2

D. sin x  1  x 

  k2 2

Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx . cosx = 0 là: A. x 

  k2 2

B. x 

k 2

C. x  k2

D. x 

  k2 6

Câu 3. Phương trình 2sin  2x  40o   3 có số nghiệm thuộc  180o ;180o  là: A. 2

B. 4

C. 6

D. 7 Trang 4

Câu 4. Phương trình cosx = m + 1 có nghiệm khi m là: A. 1  m  1

C. m  2

B. m  0

D. 2  m  0

Câu 5. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 4x  cos 5x  0 theo thứ tự là: A. x  

  ;x  18 6

B. x  

 2 ;x  18 9

C. x  

  ;x  18 2

D. x  

  ;x  18 3

Đáp án: 1–C

2–B

3–B

4–D

5–A

Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 1. Phương pháp giải Dạng phương trình:

Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình

a sin 2 x  b sin x  c  0

sin 2 x  3sin x  4  0

a cos 2 x  bcosx  c  0

A. x 

a tan 2 x  b tan x  c  0

  k2, k   2

B. x    k2, k  

a cot 2 x  b cot x  c  0 Ta đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc hai đổi với

C. x  k, k  

t là: at 2  bt  c  0

D. x 

Cụ thể:

a sin 2 x  b sin x  c  0 Đặt t  sin x  1  t  1

acos 2 x  b cos x  c  0 Đặt t  cos x  1  t  1

a tan x  b tan x  c  0 2

Điều kiện xác định cosx  0. Đặt t = tanx.

a cot 2 x  b cot x  c  0

  k, k   2

Hướng dẫn Đặt t  s inx  1  t  1 , phương trình trở thành:

t  1 t 2  3t  4  0   t  4  I  Với t = 1, ta có: sin x  1  x 

  k2  k    2

→ Chọn A

Điều kiện xác định sinx  0. Đặt t = cotx 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình 2 cos 2 x  3cos x  1  0 có nghiệm là: A. x  k2, x 

   k2, x    k2 3 3

 C. x    k2, x  k, x  k2 3

B. x  k, x 

   k, x    k 3 3

D. x  k2, x 

   k2, x   k 2 3

Hướng dẫn Cách 1: Đặt t  cos x  1  t  1 . Phương trình trở thành: Trang 5

t  1 2t  3t  1  0   1 (thỏa mãn điều kiện) t   2 2

Với t = 1  cos x  1  x  k2  k      x   k2  1 1  3 Với t   cos x   cos x  cos   k   2 2 3  x     k2  3

Vậy họ nghiệm của phương trình: x  k2, x 

   k2, x    k2  k    3 3

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4 Bước 2: Nhập biểu thức 2 cos 2  X   3cos  X   1 Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án: Ta thay x = 2π thuộc họ nghiệm x = k2π được 0, do đó nghiệm x = 2π thỏa mãn Ta thay x = π thuộc họ nghiệm x = kπ được 6, do đó nghiệm x = π không phải nghiệm của phương trình nên loại các đáp án chứa x = kπ là đáp án B và C.    thuộc họ nghiệm x   k2 , được 1, do đó nghiệm x   k2 không phải nghiệm của 2 2 2 phương trình nên loại đáp án D.

Ta thay x 

→ Chọn A Ví dụ 2: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 5  5sin x  2 cos 2 x  0 là: A.

 4

B. 

 2

D. 

Hướng dẫn Cách 1: 5  5sin x  2 cos 2 x  0  5  5sin x  2 1  sin 2 x   0 sin x  1  2sin x  5sin x  7  0   sin x   7  2 2

7 Với sin x    1 , phương trình vô nghiệm. 2

Với sin x  1  x 

   k2, k   , nghiệm dương bé nhất của phương trình là . 2 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4 Bước 2: Nhập biểu thức 5  5sin  X   2 cos 2  X  Bước 3: Sử dụng phím CALC (Phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án, xem đáp án nào làm biểu thức bằng 0 và có giá trị nhỏ nhất. Trang 6

→ Chọn C     Ví dụ 3: Tìm m để phương trình cos 2x   2m  1 cos x  m  1  0 * có đúng hai nghiệm x   ;  :  2 2

A. 1  m  0

B. 0  m  1

D. 1  m  1

C. 0  m  1 Hướng dẫn

1  cos x    Cách 1: cos 2x   2m  1 cos x  m  1  0  2 cos x   2m  1 cos x  m  0  2  cos x  m  2

1     Vì x   ;  nên 0  cos x  1 . Do đó cos x   (loại) 2  2 2     Vậy để phương trình có đúng hai nghiệm x   ;  thì 0  cos x  1  0  m  1  2 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo radian: SHIFT Mode 4 Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7 Thay m = -1 thuộc đáp án A vào (*). Phương trình (*) trở thành: cos 2x  3cos x  2  0 Nhập giá trị hàm f  x   cos  2X   3cos  X   2 vào ô f (x) = Start ?

     End ?   Step ?  2 2 15

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x). Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f(x) xem có bao nhiêu lần đổi dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy không có lần đổi dấu nào, do đó phương trình không có nghiệm với m = -1. Ta loại đáp án A và D. Thay m = 1 thuộc đáp án C. Phương trình trở thành: cos 2 x  cosx  0 Nhập giá trị hàm f  x   cos 2x  3cos x  2 vào ô f (x) = Start ?

     End ?   Step ?  2 2 15

Ta được bảng giá trị gồm cột x và f (x). Ta tìm số nghiệm của phương trình dựa vào tính chất đổi dấu, quan sát cột f (x) xem có bao nhiêu lần đổi dấu từ âm sang dương và từ dương sang âm, ta thấy không có lần đổi dấu nào, do đó phương trình không có nghiệm với m = -1. Ta loại đáp án C → Chọn B 3. Bài tập tự luyện Câu Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin 2 x  5sin x  3  0 là: A. x 

 6

B. x 

 2

C. x 

3 2

D. x 

5 2

Câu 2 Nghiệm của phương trình sin 2 x  sin x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   là:

Trang 7

A. x 

 2

B. x  

C. x  0

D. x  

 2

D. x  

  k2 2

Câu 3 Nghiệm của phương trình cos 2 x  sin x  1  0 là:  A. x    k2 2

B. x 

  k2 2

 C. x    k 2

Câu 4 Họ nghiệm của phương trình sin 2 2x  2sin 2x  1  0 là:  A.   k 4

  k 4

  k2 4

 D.   k2 4

   Câu 5 Tìm m để phương trình 2sin 2 x   2m  1 sin x  m  0 có nghiệm x    ;0   2 

1 A.   m  0 2

B. 1 < m < 2

C. -1 < m < 0

D. 0 < m < 1

Đáp án 1–A

2–A

3–A

4–B

5–C

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 1. Phương pháp giải * Dạng phương trình: asinx + bcosx = c

Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình

* Điều kiện để phương trình có nghiệm là

sin x  3 cos x  2

a b c 2

Bước 1: Kiểm tra điều kiện để phương trình có nghiệm

A. x  

 5  k2; x   k2 12 12

 3  k2 B. x    k2; x  Nếu a  b  c , ta kết luận phương trình vô 4 4 nghiệm  2 x   k2  ; x   k2 C. 3 3 Nếu a 2  b 2  c 2 , ta thực hiện bước 2 2

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho D. x     k2; x   5  k2 4 4 a 2  b 2 ta được: Hướng dẫn a b c sin x  cos x  Phương trình có a = 1; b = 3 ; c = 2 a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2  4  c2  2 a   cos   2 Chia cả hai vế của phương trình cho  a  b2 Đặt  , khi đó phương trình trở 2 b  a 2  b 2  12  3 0  2 ta được:  sin   a 2  b 2 1 3 2 thành: sin x  cos x  2 2 2 c cos  sin x  sin  cos x   1 a 2  b2  2  cos 3 c Đặt  , khi đó phương trình trở thành:  sin  x     3  2 2  a b  sin  2 3

 

Trang 8

  2 cos .sin x  sin .cosx  3 3 2

   x    k2     3 4  sin  x    sin   3 4   x    3  k2  3 4    x   12  k2  k    x  5  k2  12

→ Chọn A. Chú ý: Ta có kết quả như sau:  a 2  b 2  a sin x  b cos x  a 2  b 2 , kết quả đó ứng dụng khi ta gặp các bài toàn về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số a sin x  b cos x f  x   a sin x  b cos x, f  x   c sin x  d cos x Một vài công thức hay dùng:     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4  

    sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4  

    sin x  3 cos x  2 cos  x    2sin  x   6 3  

    sin x  3 cos x  2 cos  x    2sin  x   6 3  

    3 sin x  cos x  2sin  x    2 cos  x   6 3  

    3 sin x  cos x  2sin  x    2 cos  x   6 3  

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây vô nghiệm? A. 2sin x  cos x  3 C.

B. 3sin x  cos x  1

3 sin 2x  cos 2x  2

D. 3sin x  4 cos x  5 Hướng dẫn

Điều kiện để phương trình asinx + bcosx = c vô nghiệm là a 2  b 2  c 2 Đáp án A có a = 2; b = -1; c = 3, ta có: a 2  b 2  22   1  5  32  9  c 2 2

Do đó phương trình 2sinx – cosx = 3 vô nghiệm. → Chọn A. Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì phương trình  m  1 sin x  cos x  5 có nghiệm? A. 3  m  1

B. 0  m  2

m  1 C.   m  3

D.  2  m  2

Hướng dẫn Cách 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2  b 2  c 2 Trang 9

Phương trình:  m  1 sin x  cos x  5 có a  m  1; b  1;c  5 Để phương trình có nghiệm thì:

m  1  2 m  1 2 2 a 2  b 2  c 2   m  1  1  5   m  1  4     m  1  2  m  3 Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của phương trình. Đáp án nào ra kết quả là Can’t Solve, tức là giá trị của m làm phương trình vô nghiệm. Từ đáp án A, ta thay m = 0 vào phương trình ta được sin x  cos x  5 . Nhập sin  X   cos  X   5 Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t Solve, tức là với m = 0, phương trình vô nghiệm, ta loại đáp án chứa m = 0 là đáp án A, B, D. → Chọn C Ví dụ 3: Tìm m để phương trình m sin x   m  1 cos x  1 vô nghiệm A. m  1; 2 

B. m   ; 1   0;  

C. m   1;0 

D. m   ; 1   0;   Hướng dẫn

Cách 1: Điều kiện để phương trình vô nghiệm là a 2  b 2  c 2 Ta có a = m, b = m + 1, c = 1 Để phương trình vô nghiệm thì: a 2  b 2  c 2 m 2   m  1  1  m 2  m  0  1  m  0 2

Vậy với m   1;0  thì phương trình ban đầu vô nghiệm. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của phương trình. Từ đáp án A, ta thay m 

3 3 3  vào phương trình, nhập sin  X     1 cos  X   1 2 2 2 

Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là một số, tức là với m  chứa m 

3 , phương trình có nghiệm, ta loại đáp án 2

3 là đáp án A, B, D. 2

→ Chọn C Ví dụ 4: Hàm số y  3sin x  4 cos x  7 đạt giá trị lớn nhất bằng a và giá trị nhỏ nhất bằng b. Giá trị của a – 6b là: A. 0

B. 10

C. 12

D. 20

Hướng dẫn Áp dụng kết quả  a 2  b 2  a sin x  b cos x  a 2  b 2 ta có: Trang 10

Ta có  32   4   3sin x  4 cos x  32   4   5  3sin x  4 cos x  5 2

 5  7  3sin x  4 cos x  7  5  7  2  y  12 Vậy a = max y = 12, b = min y = 2 Do đó a – 6b = 12 – 6.2 = 0 → Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 Điều kiện để phương trình asin5x + bcos5x = c có nghiệm là: A. a 2  b 2  c 2

B. a 2  b 2  c 2

C. a 2  b 2  c 2

D. a 2  b 2  c 2

Câu 2 Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  0 là: A. x 

  k2 6

B. x 

  k2 3

C. x 

  k 6

D. x 

  k 3

Câu 3 Số nghiệm của phương trình sinx + cosx = 1 trên khoảng (0; π) là: A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 4 Điều kiện để phương trình msinx + 8cosx = 10 vô nghiệm là:

 m  6 B.  m  6

A. m > 6

C. m < -6

D. -6 < m < 6

Câu 5 Điều kiện để phương trình 12sinx + mcosx = 13 có nghiệm là:

 m  5 B.  m  5

A. m > 5

C. m < -5

D. -5 < m < 5

Đáp án 1–C

2–D

3–B

4–D

5–B

Dạng 4: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 1. Phương pháp giải Dạng phương trình:

Ví

dụ:

a.sin 2 x  b.sin x.cos x  c.cos 2 x  d

6sin 2 x  14 3 sin x.cos x  8cos 2 x  6 là:  x  A.  x  

Họ

  k 2   k 6

   x  8  k C.   x    k  12

nghiệm

của  x  B.  x  

phương

trình

  k 4   k 3

3   x  4  k D.   x  2   k  3

Trường hợp 1: Với cosx = 0. Thế vào phương trình  Trường hợp 1: với cosx = 0  x   k phương thử nghiệm. 2 trình trở thành:

6sin 2 x  6  sin 2 x  1  cos 2 x  0 Trang 11

 cos x  0  x 

Trường hợp 2: Với cos x  0  x 

  k2 2

Trường hợp 2: Với cos x  0  x 

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được: a.

  k 2

sin 2 x sin x d  b. c 0 2 cos x cos x cos 2 x

  k 2

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được: 6 tan 2 x  14 3 tan x  8 

6 cos 2 x

 a.tan 2 x  b.tan x  c  d 1  tan 2 x   0

 6 tan 2 x  14 3 tan x  8  6 1  tan 2 x 

  a  d  .tan 2 x  b.tan x  c  d  0

 14 30 tan x  14  tan x 

Đặt t = tanx, đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t:

x

 a  d  t 2  bt  c  d  0

1 3

  k 6

Giải phương trình theo ẩn t, sau đó suy ra nghiệm của phương trình lượng giác. Bước 3. Kết luận họ nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là:

Chú ý: Công thức

x

1     tan 2 x  1 x   k  2 cos x 2  

   k, x   k 2 6

→ Chọn A

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình 3cos 2 4x  5sin 2 4x  2  2 3 sin 4 x cos 4 x có nghiệm là:  A. x    k, k   6

C. x  

   k ,k  18 3

B. x  

   k ,k  12 2

D. x  

   k ,k  24 4

Hướng dẫn Cách 1: Trường hợp 1: Với cos 4x  0  4x  5sin 2 4x  2  sin 2 4x 

2 (mâu thuẫn vì cos x  0  sin 2 x  1  cos 2 x  1 ) 5

Trường hợp 2: Với cos 4x  0  x  3  5 tan 2 4x 

  k  k  x   , thay vào phương trình ta có: 2 8 4

 k  chia cả hai vế cho cos 2 4x ta được: 8 4

2  2 3 tan 4x  3  5 tan 2 4x  2 1  tan 2 4x   2 3 tan 4x cos 2 4x

 3 tan 2 4x  2 3 tan 4x  1  0  tan 4x  

3   k  4x    k  x    3 6 24 4

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường radian: SHIFT Mode 4 Trang 12

Bước 2: Nhập biểu thức 3cos  4X   5sin  4X   2  2 3 sin  4X  cos  4X  2

Bước 3: Sử dụng phím CALC (phím gán giá trị) để kiểm tra bốn đáp án: Đáp án A: Ta thay x  

 vào được kết quả khác 0, loại A. 6

Đáp án B: Ta thay x  

 vào được kết quả khác 0, loại B. 12

Đáp án C: Ta thay x  

 vào được kết quả khác 0, loại C. 18

→ Chọn D. Ví dụ 2: Cho phương trình sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x . Tính tổng các nghiệm dương nhỏ hơn 2π của phương trình trên. A.

5 2

B. π

C. 2π

 2

Hướng dẫn Cách 1: Trường hợp 1: cos x  0  x  sin x  1 (thỏa mãn). Do đó x 

  k , phương trình trở thành: 2

  k là một nghiệm của phương trình 2

Trường hợp 2: cos x  0 . Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được: tan 3 x  1  tan x 1  tan 2 x   1  tan 2 x  tan 2 x  tan x  2  0 (phương trình vô nghiệm)

Theo đề bài ta có: 0  x  Với k = 0 ta có: x 

 1 3  k  2   k  nên k  0;1 2 2 2

  3 . Với k = 1 ta có: x     . 2 2 2

Do đó phương trình có các nghiệm dương nhỏ hơn 2π là Vậy tổng các nghiệm của phương trình là

 3 ; 2 2

 3   2 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường tính theo độ: SHIFT Mode 3 Bước 2: Sử dụng công cụ TABLE: MODE 7 Vì khoảng xét quá lớn nên ta chia nhỏ thành bốn khoảng xét. Chuyển vế phải sang vế trái. Nhập hàm số f  x   sin  X   cos  X   sin  X   cos  X  3

Start? 0 =

→

End? 180 =

→

Step? 10 =

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x). Kiểm tra cột f (x), xét các giá trị f (x) = 0, ta được một giá trị x = 90 Bấm AC. Giữ nguyên hàm f (x) . Start? 180 =

→

End? 360 =

→

Step? 10 = Trang 13

Ta được bảng giá trị gồm hai cột x và f (x). Kiểm tra cột f (x), xét các giá trị f (x) = 0, ta được một giá trị x = 270 Bước 3: Do đó tổng các nghiệm là 90 + 270 = 360 Đổi sang radian ta được

360  2 180

→ Chọn C. Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sin 2 x   2m  2  sin x cos x  1  m  cos 2 x  m 1 có nghiệm. B. m  

A. m  2  m  2

C. 2  m  2

D. 2  m  1

Hướng dẫn Cách 1: Nếu cosx = 0 là nghiệm của (1), thì từ (1) suy ra: m  1 sin 2 x  1 cos x  0   2   2  sin x  m sin x  m  x  2  k, k  

Nếu m  1 thì cosx = 0 không là nghiệm của (1), khi đó chia hai vế cho cos2x được: tan 2 x   2m  2  tan x   m  1  m 1  tan 2 x    m  1 tan 2 x  2  m  1 tan x  2m  1  0

Đặt t = tanx, phương trình (1) có dạng:  m  1 t 2  2  m  1 t  2m  1  0  2 

 2  0 m 2  m  2  0 Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi    2  m  1 m  1 m  1 Vậy với 2  m  1 thì phương trình (1) có nghiệm. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS Sử dụng phím SHIFT SOLVE và thay giá trị của m thuộc các khoảng để kiểm tra tính có nghiệm của phương trình. Từ đáp án A, ta thay m = 4 vào phương trình, nhập phương trình:

sin 2 X   2.4  2  sin X cos X  1  4  cos 2 X  4 Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t solve, tức là với m = 4, phương trình vô nghiệm, ta loại đáp án A và B. Từ đáp án C và D, ta thay m = 2 vào phương trình, nhập phương trình:

sin 2 X   2.2  2  sin X cos X  1  2  cos 2 X  2 Ấn SHIFT SOLVE, ta được kết quả là Can’t solve, tức là với m = 2, phương trình vô nghiệm, do đó ta loại đáp án có chứa m = 2, tức là đáp án C. → Chọn D. Ví dụ 4: Cho phương trình 6sin x  2 cos3 x  5sin 2x cos x . Tìm số nghiệm dương nhỏ hơn 3π của phương trình. A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn

6sin x  2 cos3 x  5sin 2x cos x  6sin x  2 cos3 x  10sin x cos 2 x 1 Trang 14

Trường hợp 1: Với cos x  0  sin x   1: 1  6  0 (vô lý) Trường hợp 2: Với cos x  0 . Chia hai vế của (1) cho cos3x được: 6

sin x cos3 x sin x cos 2 x  2  10  6 tan x 1  tan 2 x   2  10 tan x cos3 x cos3 x cos3 x

  3 tan 3 x  2 tan x  1  0  tan x  1  x    k, k   4  1 13 Ta có: 0    k  3   k  4 4 4

Do đó k  1; 2;3 nên phương trình có ba nghiệm dương nhỏ hơn 3π. → Chọn C 3. Bài tập tự luyện Câu Một họ nghiệm của phương trình 3sin 2 x  4sin x cos x  5sos 2 x  2 là:  A.   k2 4

  k 4

 C.   k 4

3  k2 4

Câu 2 Phương trình cos 2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x có nghiệm là:

 x  k2 A.   x    k2 3 

1  x  k 2  B.  x    k 1   3 2

2  x  k 3  C.  x    k 2   3 3

 x  k D.   x    k 3 

Đáp án: 1–B

1–D

Dạng 5: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 1. Phương pháp giải Dạng phương trình:

Ví dụ: Tìm họ nghiệm của phương trình

a  sin x  cos x   b sin x.cos x  c  0

sin x  cos x  sin x cos x  1  0



Đặt ẩn phụ t  sin x  cos x, t  2

  x   k2  A. k   2   x  k

  x   k  B. k   4   x  k

  x   k2  C. k   2   x  k2

  x   k2  D. k   3   x  k2

Hướng dẫn





Đặt t  sin x  cos x, t  2



t 1 t 2  1  2sin x.cos x  sin x.cos x   thế vào t2 1 2 t 2  1  2sin x.cos x  sin x.cos x  2 phương trình ta được phương trình bậc hai đối với Thay vào phương trình ta được: t, giải ra t, sau đó tìm nghiệm của phương trình. 2

Trang 15

t

Chú ý:     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4       sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x   4 4  

t2 1  1  0  t 2  2t  3  0  t  1 2

Với t = 1 thỏa mãn điều kiện, ta có:    x    k2    4 4 2 cos  x    1   4   x       k2  4 4   x   k2   ,k  2   x  k2

→ Chọn C. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Họ nghiệm của phương trình sin 2 x  4  sin x  cos x   4 là.  k2  x  2  3 B.  k    x    k2  3

  x   k  A. k   2   x    k

 k  x  2  2 C.  k   k  x     2

  x   k2 D.  k   2   x    k2

Hướng dẫn Đặt t  sin x  cos x, t    2; 2  , ta có t 2  1  2sin x.cos x  2sin x.cos x  1  t 2 Thay vào phương trình ta được: 1  t 2  4t  4  t 2  4t  3  0  t  1 (thỏa mãn)   x   k2  1   Với t = 1 ta có sin x  cos x  1  sin  x     k   2  4 2   x    k2

→ Chọn D. Ví dụ 2: Số nghiệm dương nhỏ hơn 7π của phương trình 2 2  sin x  cos x   3  sin 2x là A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Hướng dẫn





Đặt t  sin x  cos x t  2  t 2   sin x  cos x   sin 2x  1  t 2 2

Phương trình trở thành: 2 2  3  1  t 2   t 2  2 2t  2  0  t  2 (thỏa mãn) Với t  2 ta có: x

      2 sin  x    2  sin  x    1  x    k2 4 4 4 2  

3  k2  k    4

Trang 16

Nghiệm của phương trình: x 

3  k2,  k    4

3 3 25  k2  7   k . Do k nguyên nên k  0;1; 2;3 4 8 8

Vì 0 < x < 7π nên 0 

Do đó có bốn nghiệm dương của phương trình nhỏ hơn 7π → Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 Phương trình sin2x – 12 (sinx – cosx) + 12 = 0 có họ nghiệm là: A. x 

  k, x    k2  k    2

B. x 

 k2  k2, x    k   2 3

C. x 

 k k2  , x    k   2 3 3

D. x 

  k2, x    k2  k    2

2  sin x  cos x   tan x  cot x có họ nghiệm là:

Câu 2 Phương trình A. x 

  k,  k    4

B. x 

 k  k   4 2

C. x 

 k2  k   4 3

D. x 

  k2  k    4

Đáp án: 1–D

2–D

Phần 3: Bài tập tổng hợp Câu 1 Cho biết x   A. 2 cos x  3  0

  k2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây? 3

B. 2 cos x  1  0

C. 2sinx + 1 = 0

D. 2sin x  3  0

Câu 2 Phương trình sin2x – 3cosx – 4 = 0 có nghiệm?  A. x    k2 2

B. x    k2

C. x 

  k 6

D. Vô nghiệm

Câu 3 Với giá trị nào của m thì phương trình 2sinx – m = 0 vô nghiệm? A. 2  m  2

B. m < - 1

C. m > 1

D. m < -2 hoặc m > 2

Câu 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình (sinx + 2cosx + 3) m = 1 + cosx có nghiệm? A. 0

B. 2

C. 1

D. 4

Câu 5 Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos 2 x  6sin x cos x  3  3 là A.

3  k2  k    4

  k  k    4

 C.   k  k    4

 D.   k2  k    4

Câu 6 Phương trình cos2x + 2cosx – 3 = 0 có nghiệm là A. x  k2  k   

B. x = 0

C. x 

  k2  k    2

D. Vô nghiệm

Câu 7 Tìm điều kiện để phương trình msinx + 12cosx = -13 vô nghiệm. A. m > 5

 m  5 B.  m  5

C. m < -5

D. -5 < m < 5

Trang 17

    Câu 8 Phương trình tan  4x    tan   2x   0 có bao nhiêu nghiệm dương nhỏ hơn π? 3  6 

A. 6

B. 4

C. 3

D. 2

Câu 9 Cho phương trình (m2 + 2) cos2x – 2msin2x + 1 = 0. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là: 1 1 B.   m  2 2

A. 1  m  1

1 1 C.   m  4 4

D. m  1

Đáp án: 1–B

2–D

3–D

4–C

5–B

6–A

7–D

8–A

9–D

Trang 18

CHƯƠNG 4: TỔ HỢP, XÁC SUẤT CHUYÊN ĐỀ 1: HAI QUY TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Quy tắc cộng

2. Quy tắc nhân

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m  n cách thực

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

hiện.

Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi m trong m phương án, trong đó: công đoạn liên tiếp, trong đó: • Phương án 1 có n1 cách thực hiện.

• Công đoạn 1 có n1 cách thực hiện.

• Phương án 2 có n2 cách thực hiện.

• Công đoạn 2 có n2 cách thực hiện.

•…

• Phương án m có nm cách thực hiện.

• Công đoạn m có nm cách thực hiện.

Khi đó công việc có n1  n 2  ...  n m cách thực Khi đó công việc có n1n2 … nm cách thực hiện. hiện. Chú ý: • Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì n  A  B   n  A   n  B   n  A  B  . • Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì n  A  B   n  A   n  B  . • Nếu A1 , A 2 ,..., A m là các tập hợp hữu hạn tùy ý, đôi một không giao nhau thì:

n  A1  A 2  ...  A m   n  A1   n  A 2   ...  n  A m  3. Hoán vị Định nghĩa:

4. Chỉnh hợp Định nghĩa:

5. Tổ hợp Định nghĩa:

Một tập hợp gồm n phần tử Cho tập hợp A gồm n phần tử.  n  1 . Mỗi cách sắp xếp n phần Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp A theo một thứ tự nào đó tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k được gọi là một hoán vị của n của n phần tử của tập A. phần tử.

Cho tập hợp A gồm n phần tử.

Số các hoán vị:

Số các tổ hợp:

Số các chỉnh hợp:

Mỗi tập con gồm k 1  k  n  phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Trang 1

Số các hoán vị của n phần tử Số các chỉnh hợp chập k của n Số các tổ hợp chập k của n phần được kí hiệu là Pn : phần tử 1  k  n  được kí hiệu tử 1  k  n  được kí hiệu là Ckn ,

Pn  n!  n  n  1 ...2.1

ta có:

là A kn , ta có: A kn 

n!  n  k !

Ckn 

n! k! n  k  !

Tính chất:

Quy ước: 0!  1

A 0n  1  n  0 

C0n  Cnn  1  n  0 

A nn  Pn  n! .

Ckn  Cnn  k  0  k  n  Ckn 11  Ckn 1  Ckn 1  k  n 

Dấu hiệu phân biệt:

• Lấy ra n phần tử trong n phần • Lấy ra k phần tử trong n phần • Lấy ra k phần tử trong n phần tử. tử. tử. • Có sự sắp xếp theo thứ tự.

• Có sự sắp xếp theo thứ tự.

• Không có sự sắp xếp theo thứ tự.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hai quy tắc đếm cơ bản 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương Anh có 6 postcard SNSD, 4 postcard TVXQ và 10 postcard EXO. Phương Anh cần chọn một postcard để tặng bạn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 20 cách.

B. 240 cách.

C. 30 cách.

D. 42 cách.

Hướng dẫn Trường hợp 1: Phương Anh chọn 1 trong 6 postcard SNSD  Có 6 cách chọn. Trường hợp 2: Phương Anh chọn 1 trong 4 postcard SNSD  Có 4 cách chọn. Trường hợp 3: Phương Anh chọn 1 trong 10 postcard SNSD  Có 10 cách chọn. Theo quy tắc cộng, có tổng cộng 6  4  10  20 cách chọn  Chọn A.

Ví dụ 2: Từ tỉnh A tới tỉnh B có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Từ tỉnh B tới tỉnh C có thể đi bằng ô tô hoặc tàu hỏa. Muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B. Số cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C là: A. 4 cách.

B. 2 cách.

C. 6 cách.

D. 8 cách.

Hướng dẫn Giai đoạn 1: Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B có 4 cách chọn phương tiện di chuyển. Giai đoạn 2: Để đi từ tỉnh B đến tỉnh C có 2 cách chọn phương tiện di chuyển. Theo quy tắc nhân có 4.2  8 cách di chuyển từ A đến C.  Chọn D.

Ví dụ 3: Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Trang 2

Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (biết rằng A có thể thăm một bạn nhiều lần)? A. 7!.

B. 35831808.

C. 12!.

D. 3991680.

Hướng dẫn Vào thứ 2: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm. Vào thứ 3: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm. Vào thứ 4: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm. Vào thứ 5: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm. Vào thứ 6: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm. Vào thứ 7: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm. Vào chủ nhật: A có 12 cách chọn 1 trong 12 người bạn để đi thăm. Theo quy tắc nhân có 127  35831808 kế hoạch đi thăm bạn.  Chọn B.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Một lớp học có 18 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Nếu muốn chọn một học sinh nam và một học sinh nữ đi dự một cuộc thi nào đó thì số cách chọn là: A. 38.

B. 18.

C. 20.

D. 360.

Câu 2. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A, B, C, D lên 3 toa tàu? Biết mỗi toa có thể chứa 4 người A. 81.

B. 68.

C. 42.

D. 98.

Đáp án: 1–D

2–A

Dạng 2: Bài toán đếm số 1. Phương pháp giải Khi lập một số tự nhiên x  a1...a n , a i  0,1, 2,...,9 và a1  0, ta cần lưu ý: • x là số chẵn  a n là số chẵn.

• x là số lẻ  a n là số lẻ.

• x chia hết cho 3  a1  a 2  ...  a n chia hết cho 3. • x chia hết cho 4  hai số tận cùng của x chia hết cho 4. • x chia hết cho 5  a n  0;5 . • x chia hết cho 6  x là số chẵn và chia hết cho 3. • x chia hết cho 8  ba số tận cùng của x chia hết cho 8. • x chia hết cho 9   a1  a 2  ...  a n  chia hết cho 9. • x chia hết cho 11  tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11. • x chia hết cho 25  hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75. Trang 3

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là: 8 A. A10 .

2 B. A10 .

2 C. C10 .

D. 102.

Hướng dẫn 2 2 Lấy 2 trong 10 phần tử, có C10 cách. Vậy số tập con gồm 2 phần tử của M là C10 .

 Chọn C.

Ví dụ 2: Từ 7 chữ số 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau? A. 804.

B. 408.

C. 480.

D. 840.

Hướng dẫn Ta chọn 4 số trong 7 chữ số và sắp xếp để lập thành số cỏ 4 chữ số, nên số có 4 chữ số lập được là:

A 74  840 số.  Chọn D.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số? A. 5040.

B. 9000.

C. 720.

D. 1440.

Hướng dẫn Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là abcd , trong đó a  0; a, b, c, d  0;1; 2;...;9 a có 9 cách chọn trong tập 1; 2;...;9 . b, c, d đều cso 10 cách chọn trong tập 0;1; 2;...;9 . Vậy số tự nhiên có bốn chữ số là: 9.10.10.10  9.103  9000 số.  Chọn B.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5 ? A. 5.

B. 15.

C. 13.

D. 22.

Hướng dẫn Số tự nhiên thỏa mãn có dạng ab , trong đó: a  1; 2;...;9 , b  0; 2; 4 do số cần lập là số chẵn. Trường hợp 1: Với b  0  a  1; 2;3; 4;5 , lập được 5 số. Trường hợp 2: Với b  0  b có 2 cách chọn là 2, 4. a có 4 cách chọn.

  Do đó có 2.4  8 số

Theo quy tắc cộng, có: 8  5  13 số  Chọn C.

Ví dụ 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước? A. 84.

B. 60480.

C. 84600.

D. 75600.

Hướng dẫn Gọi a1a 2 a 3a 4 a 5a 6 là số có 6 chữ số và a1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6 . Trang 4

Ta có a i  0 nên a i  E  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 . * Lấy 6 chữ số thuộc E có C96 cách. * Mỗi bộ 6 chữ số trên lập được đúng 1 số thỏa yêu cầu bài toán. Vậy số các số lập được là C96  84 số.  Chọn A.

Ví dụ 6: Tìm số các ước số dương của số 490000? A. 260.

B. 32.

C. 25.

D. 75.

Hướng dẫn

B  490000  7 2.104  24.54.7 2 Vì các ước số dương của B có dạng U  2m.5n.7 p  m, n, p  ; 0  m  4, 0  n  4, 0  p  2  . Ta có: m có 5 cách chọn (từ 0 tới 4); n có 5 cách chọn (từ 0 tới 4); p có 3 cách chọn (từ 0 tới 2). Vậy có 5.5.3  75 ước số dương của B.  Chọn D.

Chú ý: Công thức tổng quát tìm ước số dương của một số X: Phân tích X về thừa số nguyên tố: Giả sử X  A a Bb Cc Dd E e (A, B, C, D, E là các số nguyên tố, a, b, c, d, e  0;1; 2;...;9 ). Tổng tất cả các ước số của X là:  a  1 b  1 c  1 d  1 e  1 . Ví dụ 7: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có chữ số 0 nhưng không có chữ số 1? A. 12000.

B. 23300.

C. 33600.

D. 6720.

Hướng dẫn Gọi a1a 2 a 3a 4 a 5a 6 là số có sáu chữ số khác nhau cần lập, a i  a j , i  j, a i  0;1; 2;...;9 , a1  0. Xếp số 0 vào một trong năm vị trí từ a 2 tới a 6 có 5 cách xếp. Chọn 5 số thuộc tập hợp 2;3; 4;5;6;7;8;9 và xếp vào 5 vị trí còn lại có A85 cách. Vậy ta có 5.A85  33600 số.  Chọn C.

Ví dụ 8: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần, chữ số 3 xuất hiện đúng ba lần và các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần? A. 12900.

B. 23300.

C. 11280.

D. 13440.

Hướng dẫn Gọi a1a 2 a 3a 4 a 5a 6 a 7 là số có bảy chữ số cần lập  a i  0;1; 2;...;9 , a1  0  . Ta tìm số các số cần lập bằng cách tìm số các số lập được (bao gồm cả trường hợp số 0 đứng đầu) trừ đi số các số có số 0 đứng đầu. Chọn hai vị trí để xếp hai số 2: có C72 cách; Trang 5

Chọn ba vị trí để xếp ba số 3: có C35 cách; Chọn hai số (khác 2 và 3) xếp vào hai vị trí còn lại: có A82 cách;

 Có C72 .C35 .A82  11760 số (tính cả các số có số 0 đứng đầu). * Khi số 0 đứng ở vị trí a1 : có C62 cách xếp hai số 2; có C34 cách xếp ba số 3; có 8 cách xếp số vào ô còn lại;

 Có C62 .C34 .7  420 số mà chữ số 0 đứng đầu. Vậy số các số lập được là 11760  420  11340.  Chọn C.

Ví dụ 9: Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ các số 1, 3, 4, 5, 7, 9. A. 38666280.

B. 18666480.

C. 3260400.

D. 3732960.

Hướng dẫn Từ 6 chữ số trên ta lập được A  720 số có 5 chữ số khác nhau. Ta có: 5 6

Số có dạng abcd1: lấy bốn trong năm số còn lại xếp vào năm vị trí, có A 54 số. Tương tự: Số có dạng abcd3 : có A 54 số; Số có dạng abcd4 : có A 54 số;

 a  0; a, b, c, d  0;1; 2;...;9

Số có dạng abcd5 : A 54 số; Số có dạng abcd7 : A 54 số; Số có dạng abcd9 : A 54 số;

 Tổng các chữ số ở hàng đơn vị của 720 số trên là : 1  3  4  5  7  9  A 54  3480 Tương tự ta cũng có: Tổng các chữ số hàng chục của 720 số trên là: 1  3  4  5  7  9  A 54  3480 . Tổng các chữ số hàng trăm của 720 số trên là: 1  3  4  5  7  9  A 54  3480 . Tổng các chữ số hàng ngàn của 720 số trên là: 1  3  4  5  7  9  A 54  3480 . Tổng các chữ số hàng chục ngàn của 720 số trên là: 1  3  4  5  7  9  A 54  3480 . Vậy tổng của 720 số lập được là S  3480 1  10  102  103  104   38666280.  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số? A. 899.

B. 900.

C. 901.

D. 999

Câu 2. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5? A. P4 .

B. P5 .

C. A 54

D. C54 Trang 6

Câu 3. Cho các chữ số 0, 1, 4, 6, 8, 9. Số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau lập thành từ các chữ số trên là: A. 240.

B. 204.

C. 402.

D. 420.

Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôi một, trong đó nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1 và 3? A. 6216.

B. 2688.

C. 6598.

D. 8123.

Đáp án: 1–B

2–C

3–B

4–A

Dạng 3: Sắp xếp vị trí, phân công công việc 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)? A. 3991680.

B. 12!.

C. 35831808.

D. 7!.

Hướng dẫn 7 Chọn 7 người trong 12 người xếp vào 7 ngày để lên kế hoạch, có A12  3991680 cách.

 Chọn A.

Ví dụ 2: Một hộp có 14 quả đỏ, 12 quả vàng, 9 quả xanh. Số cách lấy ra 4 quả sao cho 4 quả lấy ra có đủ ba màu là: A. 24912.

B. 24192.

C. 29412.

D. 29124.

Hướng dẫn Trường hợp 1: Lấy 1 quả đỏ, 1 quả vàng và 2 quả xanh có: C114 .C112 .C92  6048 cách. 2 Trường hợp 2: Lấy 1 quả đỏ, 2 quả vàng và 1 quả xanh có: C114 .C12 .C19  8316 cách. 2 Trường hợp 3: Lấy 2 quả đỏ, 1 quả vàng và 1 quả xanh có: C14 .C112 .C19  9828 cách.

Vậy số cách lấy ra 4 quả đủ ba màu là: 6048  8316  9828  24192 cách.  Chọn B.

Ví dụ 3: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? A. 2037131.

B. 3912363.

C. 207900.

D. 213930.

Hướng dẫn 4 Chọn 4 nam trong 12 nam và 1 nữ trong 3 nữ phân công về tỉnh 1, có C12 .C13 cách.

Chọn 4 nam trong 8 nam và 1 nữ trong 2 nữ còn lại phân công về tỉnh 2, có C84 .C12 cách. Chọn 4 nam trong 4 nam và 1 nữ trong 1 nữ còn lại phân công về tỉnh 3, có C44 .C11 cách. 4 Vậy số cách phân công thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C12 .C13 . C84 .C12 . C44 .C11  207900.

 Chọn C.

Trang 7

Ví dụ 4: Có một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng, có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên bi có đủ ba màu? A. 4560.

B. 1240.

C. 4939.

D. 5005.

Hướng dẫn 9 15

Lấy ra 9 viên bi trong 15 viên bi bất kỳ, có C cách. Ta tìm số cách lấy ra 9 viên bi không có đủ 3 màu: 9 Trường hợp 1: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và đỏ, có C11 cách.

Trường hợp 2: lấy 9 viên bi chỉ có 2 màu là xanh và vàng, có C99 cách 9 Trường hợp 3: lấy ra 9 viên bi chỉ có màu đỏ và vàng, có C10 cách. 9 9 9   C11  C99  C10 Vậy có : C15   4939 cách.

 Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách, số trận đấu được sắp xếp là: A. 180.

B. 160.

C. 90.

D. 45.

Câu 2. Có hai hộp đựng bóng. Hộp thứ nhất chứa 3 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh. Hộp thứ hai chứa 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả bóng mà có cả hai màu? A. 364.

B. 349.

C. 934.

D. 943.

Câu 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh? A. 85.

B. 58.

C. 508.

D. 805.

Câu 4. Đội học sinh giỏi cấp trường môn Toán của trường THPT Thanh Oai B theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia thi học sinh giỏi. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10. A. 50.

B. 500.

C. 502.

D. 501.

Đáp án: 1–A

2–A

3–D

4–B

Dạng 4: Bài toán sắp xếp vị trí theo hàng 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài? A. 120.

B. 5.

C. 20.

D. 25.

Hướng dẫn

Trang 8

Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5!  120 cách.  Chọn A.

Ví dụ 2: Một nhóm học sinh có 7 bạn nam và 3 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 bạn này trên một hàng ngang biết hai vị trí đầu và cuối hàng là các bạn nam và không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau? A. 344000.

B. 100800.

C. 604800.

D. 120120.

Hướng dẫn Bước 1: Xếp 7 bạn nam thành một hàng ngang, có 7! cách xếp. Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 7 bạn nam có sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ. Chọn 3 vị trí trong sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ có A 36 cách. Theo quy tắc nhân có: 7!.A 36  604800 cách.  Chọn C.

Ví dụ 3: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau? A. 1036800.

B. 1202540.

C. 136000.

D. 518400.

Hướng dẫn Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp: A

Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các học sinh vào 6 chỗ. Tương tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ. Vậy có 2.6!.6!  1036800 cách  Chọn A.

Ví dụ 4: Có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để sắp xếp 10 học sinh này ngồi vào một bàn tròn 10 ghế? A. 10!.

B. 9!.

C. 2.10!.

D. 2.9!.

Hướng dẫn Với một bàn tròn, người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồi, tức là các kết quả có được do đổi chỗ vòng tròn sẽ không coi là khác nhau. Do đó để làm bài toán “bàn tròn”, ta thường cố định một người ngồi ở vị trí đầu tiên. Lấy cố định người đầu tiên vào bàn tròn, còn 9 người để sắp xếp vào 9 vị trí còn lại. Do đó ta có 9! cách sắp xếp 10 người vào một bàn tròn.  Chọn B.

Ví dụ 5: Có 4 bạn nữ và 4 bạn nam cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ nhau là: A. 142.

B. 143.

C. 144.

D. 145.

Hướng dẫn Trang 9

Cố định 1 bạn nam vào vị trí đầu tiên, xếp 3 bạn nam ngồi vào bàn tròn có 3! cách. Giữa các bạn nam tạo ra 4 khoảng trống, xếp 4 bạn nữ vào 4 chỗ trống có 4! cách. Do đó có 3!.4!  144 cách xếp.  Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là: A. 6!4!.

B. 10!.

C. 6! 4!.

D. 6!  4!.

Câu 2. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi, số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là: A. 24.

B. 120.

C. 60.

D. 16.

Câu 3. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? A. 3600.

B. 720.

C. 68400.

D. 86400.

Câu 4. Có 7 nam, 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai vị trí đầu và cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau? A. 118540800.

B. 152409600.

C. 12700800.

D. 3628800.

Đáp án: 1–B

2–A

3–D

4–D

Dạng 5: Các bài toán liên quan đến hình học 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng song song d1,d2. Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d2 lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói trên? A. 675.

B. 1050.

C. 1725.

D. 708750.

Hướng dẫn Trường hợp 1: Tam giác gồm hai đỉnh thuộc d1 và một đỉnh thuộc d2. 2 Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 điểm thuộc d1 là: C10 .

Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc d2 là: C115 . 2 Theo quy tắc nhân, có: C10 . C115 tam giác.

Trường hợp 2: Tam giác gồm một đỉnh thuộc d1 và hai đỉnh thuộc d2 Số cách chọn một điểm trong 10 điểm thuộc d1 là: C110 . 2 Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc d2 là: C15 . 2 Theo quy tắc nhân, có C110 . C15 tam giác. 2 2 Vậy có C10 C115  C110 C15  1725 tam giác thỏa yêu cầu bài toán.

 Chọn C.

Trang 10

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm đã cho? A. 15.

B. 20.

C. 60.

D. 120.

Hướng dẫn Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác. Lấy 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm có C36  20 tam giác được tạo thành.  Chọn B.

Ví dụ 3: Cho đa giác đều 12 cạnh. Hỏi đa giác có bao nhiêu đường chéo? A. 121.

B. 66.

C. 132.

D. 54.

Hướng dẫn 2 Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng. Khi đó có C12  66 đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa

giác và đường chéo). Vậy số đường chéo là: 66  12  54.  Chọn D.

Ví dụ 4: Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đều đó có bao nhiêu cạnh? A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn Đa giác có n cạnh  n  , n  3 . Lấy 2 cạnh bất kì tạo thành 1 đoạn thẳng, khi đó có C2n đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo). Số đường chéo trong đa giác là: C2n  n. Ta có: C2n  n  2n 

n  7 n!  3n  n  n  1  6n    n  7.  n  2 !.2! n  0

 Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. 12 đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm? A. 12.

B. 66.

C. 132.

D. 144.

Câu 2. Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu véctơ (khác véctơ không) có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho? A. 4039137.

B. 4038090.

C. 4167114.

D. 167541284.

Câu 3. Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là: A. 35.

B. 120.

C. 240.

D. 720.

Câu 4. Cho hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt  n  2  . Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n. A. 20.

B. 21.

C. 30.

D. 32.

Đáp án: Trang 11

1–B

2–B

3–B

4–A

Dạng 6: Phương trình, bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn: 3A 2x  A 22x  42  0. A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 6.

Hướng dẫn Điều kiện: x  2 và x  . Ta có 3A 2x  A 22x  42  0  3.

 2x !  42  0 x!   x  2 !  2x  2 !

 x  7  lo¹i   3.  x  1 .x   2x  1 .2x  42  0  x 2  x  42  0    x  6  tháa m·n  Do đó có 1 số tự nhiên x thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Chọn B.

Ví dụ 2: Tìm tổng các giá trị n   thỏa mãn C1n 1  3C2n  2  C3n 1. A. 12.

B. 10.

D. 10.

C. 16. Hướng dẫn

Điều kiện: n  2 và n  . Ta có C1n 1  3C2n  2  C3n 1   n  1  3.

 n  1!  3.  n  2 !   n  1! 1!.n! 2!.n! 3!.  n  2  !

 n  1 .  n  2    n  1 .n.  n  1  1  3.  n  2    n  1 .n 2

 n  2  lo¹i   6  9n  18  n 2  n  n 2  10n  24  0    n  12  tháa m·n  Do đó tổng các giá trị n thỏa mãn đẳng thức là 12.  Chọn A.

Ví dụ 3: Giải bất phương trình A. n  6.

Cnn 13 1  . 4 A n 1 14P3

B. 3  n  9.

C. n  11.

D. 3  n  5.

Hướng dẫn Điều kiện: n  3, n  . n 3 n 1 4 n 1

C A

 n  1!  n  3!2!  1   n  1!  1  1  1 1   14P3  n  1! 14.3! 2  n  1! 84 2n  n  1 84  n  3 ! Trang 12

n  6  n  n  1  42  n 2  n  42  0    n  7 Kết hợp với điều kiện ta được n  6.  Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn P2 .x 2  P3 .x  8. A. S  4.

B. S  1.

C. S  4.

D. S  3.

9 8 Câu 2. Cho đẳng thức A10 x  A x  9A x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. x là số chính phương.

B. x là số nguyên tố.

C. x là số chẵn.

D. x là số chia hết cho 3.

Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn A  5A  2  n  15  ? 3 n

A. 0.

B. 1.

2 n

C. 2. x 2 14

Câu 4. Tính tích P của tất cả các giá trị x thỏa mãn C  C x 14

A. P  4.

B. P  32.

D. 3. x 1 14

 2C

C. P  32.

. D. P  12.

Đáp án: 1–D

2–B

3–B

4–B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người, sao cho có đúng 2 nam trong 5 người đó? A. 1203.

B. 3600.

C. 5400.

D. 4768.

Câu 2. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời? A. 400.

B. 410.

C. 100.

D. 104.

Câu 3. Có hai dãy ghế, mỗl dãy 5 ghế. xếp 5 nam, 5 nữ vào hai dãy ghế trên. Có bao nhiêu cách nếu nam và nữ được xếp tùy ý? A. 340980.

B. 3628800.

C. 120.

D. 210.

Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau? A. 27216.

B. 72216.

C. 22716.

D. 62721.

Câu 5. Một đội văn nghệ gồm 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người, sao cho có ít nhất hai nam, ít nhất một nữ? A. 10800.

B. 7500.

C. 12900.

D. 47010.

Câu 6. Xếp 6 học sinh A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu A và F luôn ngồi ở hai đầu ghế? A. 36.

B. 24.

C. 96.

D. 48. Trang 13

Câu 7. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 5 học sinh lập thành một đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh, trong đó có không quá 3 nữ? A. 378000.

B. 567750.

C. 620880.

D. 567750.

Câu 8. Cho các số 1,2,4,5,7. Có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ năm chữ số đã cho? A. 120.

B. 256.

C. 24.

D. 36.

Câu 9. Từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 25? A. 36.

B. 60.

C. 52.

D. 38.

Câu 10. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ tập hợp A  1; 2;3; 4;5;6 , trong đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số sau 1 đơn vị? A. 104.

B. 106.

C. 108.

D. 112.

Câu 11. Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là: A. 11.

B. 10.

C. 9.

Câu 12. Tính tổng S của tất cả các giá trị của n thỏa mãn A. S  8.

B. S  11.

D. 8.

1 1 7  2  1 . 1 Cn Cn 1 6Cn  4

C. S  12.

D. S  15.

x  2 C.  . y  5

x  6 D.  . y  3

2A xy  5C xy  90 Câu 13. Giải hệ phương trình  y . y 5A x  2C x  80

x  5 A.  . y  2

 x  20 B.  .  y  10

Đáp án: 1–C

2–B

3–B

11 – A

12 – B

13 – A

4–A

5–C

6–D

7–C

8–C

9–C

10 – C

Trang 14

CHƯƠNG 4: TỔ HỢP XÁC SUẤT CHUYÊN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NIU-TƠN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Công thức nhị thức Niu-tơn

a  b

  Ckn a n  k b k  C0n a n  C1n a n 1b  ...  Ckn a n  k b k  ...  Cnn b n k 0

2. Tính chất Số các số hạng của khai triển bằng n  1 . Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n. Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Số hạng tổng quát thứ k  1 có dạng: Tk 1  Ckn a n  k b k , 1  k  n  . Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Ckn  Cnn  k . 3. Một số công thức khai triển hay sử dụng n

2n  1  1   Ckn  Cnn  Cnn 1  ...  C0n n

k 0

0  1  1    1 Ckn  C0n  C1n  ...   1 Cnn n

k 0

1  x 

  Ckn x n  k  C0n x n  C1n x n 1  ...  Cnn x 0 k 0

1  x 

   1 Ckn x k  C0n x 0  C1n x1  ...   1 Cnn x n n

k 0

 x  1

   1 Ckn x n  k  C0n x n  C1n x n 1  ...   1 Cnn x 0 k

k 0

4. Tam giác Pascal Trong công thức nhị thức Niu-tơn, cho n  0;1;... và sắp xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác Pa-xcan.

n 1

C10

C11

n2

C02

C12

n 3

C30

C13

n4

C04

n 5 n6

C22 C32

C33

C14

 C24

C34

C44

C50

C15

C52

C35

C54

C55

C06

C16

C62

C36

C64

C56

C66 Trang 1

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-tơn 1. Phương pháp giải n

Khai triển nhị thức Niu-tơn:  a  b    Ckn a n  k b k  C0n a n  C1n a n 1b  ...  Ckn a n  k b k  ...  Cnn b n n

k 0

• Số các số hạng của khai triển bằng n  1 . • Số hạng tổng quát thứ k  1 có dạng: Tk 1  Ckn a n  k b k • Nếu n chẵn, số hạng chính giữa trong khai triển  a  b  là Ckn a n  k b k với k  n

• Nếu n lẻ, hai số hạng chính giữa trong khai triển k1 

a  b

n 2

là Ckn1 a n  k1 b k1 , Ckn 2 a n  k 2 b k 2 với

n 1 n 1 , k2  2 2

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Biểu thức nào là khai triển của biểu thức  x  2y  ? 5

A. x 5  10x 4 y  40x 3 y 2  80x 2 y3  80xy 4  32y5 . B. x 5  10x 4 y  40x 3 y 2  90x 2 y3  80xy 4  12y5  4. C. x 5  10x 4 y  40x 3 y 2  90x 2 y3  80xy 4  10y5 . D. x 5  10x 4 y  40x 3 y 2  90x 2 y3  80xy 4  10y5 . Hướng dẫn Cách 1:

 x  2y 

  C5k x 5 k  2y   C50 x 5  C15 x 4 .  2y   C52 x 3 .  2y   C35 x 2 .  2y   C54 x.  2y   C55  2y  k

k 0

 x 5  10x 4 y  40x 3 y 2  80x 2 y3  80xy 4  32y5 . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS 5

Bước 1: Khai triển  x  2y    C x 5

k 0

k 5

5 k

 2y 

  C5k .2k.x 5 k .y k k 0

Bước 2: Sử dụng MODE 7. Nhập f  X   5CX  25 X Start? 0  End? 5  Step? 1 Bước 3: Nhìn vào cột F(X), cột F(X) chính là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn x

F(X)

10 Trang 2

 Chọn A.

Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức  x  3 A. 17.

n 6

,  n    có tất cả 18 số hạng. Tìm n.

B. 11.

C. 10.

D. 12.

Hướng dẫn Khai triển  x  3

n 6

,  n    có tất cả n  6  1  n  7 số hạng.

Do đó n  7  18  n  11.  Chọn B.

Ví dụ 3: Trong khai triển  0, 2  0,8  , số hạng thứ ba là: 5

A. 0,0064.

B. 0,4096.

C. 0,0512.

D. 0,2048.

Hướng dẫn 5

Khai triển  0, 2  0,8    C5k  0, 2  5

5 k

.  0,8 

k 0

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C5k  0, 2 

5 k

.  0,8  . k

Vậy số hạng thứ ba ứng với k  2 là C52  0, 2  .  0,8   0, 0512. 3

 Chọn C.

Ví dụ 4: Trong khai triển,  3x 2  y  , hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu? 10

4 B. 34.C10 .

4 A. 34.C10 .

5 D. 35.C10 .

5 C. 35.C10 .

Hướng dẫn 10

k Khai triển  3x 2  y    C10  3x 2  10

10  k

k 0

 y

k   C10 .310 k.  1 x 303k .y k . k

k 0

k .310 k.  1 Hệ số của số hạng tổng quát trong khai triển trên là C10

Vì n  10 chẵn nên số hạng chính giữa ứng với k 

n 10   5. 2 2

5 5 .35.  1  35.C10 . Vậy hệ số của số hạng chính giữa trong khai triển là: C10 5

 Chọn D.

Ví dụ 5: Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển A. 1203.

B. 3600.





3 3 2 ?

C. 4768.

D. 4544.

Hướng dẫn Trang 3

Cách 1: Khai triển



3 2 3

  C  3  2  9

9 k

k 9

k 0

 1   C  32  k 0   9

9 k

k 9

9 k k 9  13  k 2 2  C 3 23    9 k 0  

 9  k  2  Để có số hạng chứa số nguyên thì k  3 0  k  9 

k  3 Vì  nên k  0;3;6;9 . 0  k  9 k

9–k

Loại vì

Thỏa mãn

 9  k  2

Thỏa mãn

Vậy số hạng nguyên trong khai triển là C39 33 2  C99 23  4544. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS Bước 1: Khai triển



3 3 2



  C9k

 3  2 

 2

 Start? 0  End? 9  Step? 1

k 0

9 k

Bước 2: Sử dụng MODE 7. Nhập f  X   9CX 

 3

9 X



Bước 3: Nhìn vào cột F(X) là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn, nhìn xem có hệ số nào là hệ số nguyên. Tại x  3 ta thấy f  X   4536 . Tại x  9 ta thấy f  X   8. Vậy số hạng nguyên trong khai triển là 4536  8  4544.  Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Số hạng tử trong khai triển  2x  1 là: 15

A. 14.

B. 15.

C. 16.

D. 17.

1  Câu 2. Trong khai triển  a 2   , số hạng thứ năm là: b  A. 35.a 6 .b 4 .

B. 35.a 6 .b 4 .

C. 35.a 4 .b 5 .

D. 35.a 4 .b.

Câu 3. Trong khai triển 1  30  với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là: 20

A. 39 C920 .

B. 312 C12 20 .

Câu 4. Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển

C. 311 C11 20 .





D. 310 C10 20 .

3  15 .

Trang 4

A. 1020.

B. 7500.

C. 15552.

D. 4700.

Đáp án: 1–C

2–A

3–D

4–C

Dạng 2: Xác định hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn 1. Phương pháp giải n

 ax p  bx q    Ckn  ax p  n

n k

k 0

 bx q    Ckn a n k bk x nppk qk . k

k 0

Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa mãn: np  pk  qk  m. Từ đó k 

m  np  p  q. pq

Vậy hệ số của số hạng chứa x m là: Ckn a n  k .b k với giá trị k đã tìm được ở trên. Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0. Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn. Ta làm như sau: * Tính hệ số a k theo k và n; * Giải bất phương trình a k 1  a k với ẩn số k; * Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên. Các công thức mũ thường sử dụng:

a .a  a m

a 

m n

mn

a

m.n

am  a mn  a  0  an

 a n

am a   b  0   bm b

 ab 

 n am  a n

1  a n  a  0 n a

 a  0

 a m bm

a. n b  n ab

 a, b  0 

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm hệ số của x101 y99 trong khai triển  2x  3y  101 A. C98  3 200 2

101 B. C99  3 200 2

200

101 C. C100  3 200 2

101 D. C102  3 200 2

Hướng dẫn Ta có  2x  3y 

200

  2x   3y  

200

  Ck200  2x  k 0

200  k

200

 3y    Ck200 2200k  3 x 200k yk . k

k 0

200  k  101 Để có hệ số của x101 y99 thì   k  99 (thỏa mãn) k  99 101 Vậy hệ số của x101 y99 là C99  3 200 2

 Chọn B.

Trang 5

1  Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển  x 2   . x  8 A. C15

B. C115

5 C. C15

D. C11 15

Hướng dẫn 15

15 15 15 1  k 2 15  k  1  k 30  2k k k 30 3k Ta có  x 2     C15 x  C x .x  C15 x .       15 x  x k 0 k 0 k 0

Để có số hạng không chứa x thì 30  3k  0  k  10. 5 Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là C10 15  C15 .

 Chọn C.

2   Ví dụ 3: Trong khai triển  x   x  A. 60.

 x  0  , hệ số của x3 là:

B. 80.

C. 160.

D. 240.

Hướng dẫn 6

1 3k 6 6 6 6  2  6 k  2   k k k 6 k  k k 2 2 Khai triển  x   C . x .  C .2 .x . x  C .2 .x    6   6     6 x  k 0   x k 0 k  0  

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là C6k .2k.x Hệ số của x 3 nên 6 

6

3k 2

3k  3  k  4. 2

Khi đó hệ số của x 3 là: C64 .24  240.  Chọn D.

1  Ví dụ 4: Trong khai triển  x   x  hạng không chứa x. A. 252.

 x  0 ,

hệ số số hạng thứ ba lớn hơn hệ số số hạng hai là 35. Tính số

B. 720.

C. 124.

D. 210.

Hướng dẫn n

n n 1  1 Khai triển  x     Ckn x n  k     Ckn x n  2k . x  x k 0 k 0

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là Ckn x n  2k . Hệ số của số hạng thứ hai là C1n . Hệ số của số hạng thứ ba là C2n .

 n  10 (chän) Từ giả thiết suy ra C2n  C1n  35  n 2  3n  70  0   .  n  7 (lo¹i) k 10  2k Với n  10, số hạng C10 không phụ thuộc x khi 10  2k  0  k  5. x 5 Vậy số hạng ấy là C10  252.

 Chọn A.

Trang 6

Ví dụ 5: Cho đa thức P  x   1  x   1  x   1  x   ...  1  x   a10 x10  a 9 x 9  ...  a 0 . Tính hệ số 6

a8 A. 60.

B. 16.

C. 42.

D. 55.

Hướng dẫn n

Khai triển 1  x    Ckn x k n

k 0

Vì a 8 là hệ số của số hạng chứa x8 , hệ số của a 8 trong khai triển 1  x  là C8n . n

Hệ số của x8 trong 1  x  là C88 . 8

Hệ số của x8 trong 1  x  là C89 . 9

8 Hệ số của x8 trong 1  x  là C10 . 10

8 Vậy a 8  C88  C89  C10  55.

 Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển: P  x 1  3x   x 2 1  2x  . 5

A. 1200.

B. 1365.

C. 1480.

D. 405.

Hướng dẫn 5

m Ta có P  x 1  3x   x 2 1  2x   x  C5k  3x   x 2  C10  2x  5

k 0

m 0

m   C5k  3 x k 1   C10  2  x m 2 k

k 0

m 0

k  1  5 k  4 Để có hệ số của x 5 thì   . m  2  5 m  3 3 Vậy hệ số của x 5 là a 5  C54 34  C10  2   1365. 3

 Chọn B.

Ví dụ 7: Cho đa thức P  x   1  2x  . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn. 12

A. 126720.

B. 421785.

C. 112640.

D. 101376.

Hướng dẫn 12

k Cách 1: P  x   1  2x    C12  2x    C12k 2k x k  a 0  a1x  a 2 x 2  ...  a12 x12 12

k 0

k Hệ số của số hạng tổng quát a k  C12 2 k. k k 1 k 1 Ta có a k  a k 1  C12 .2k  C12 .2 .



12! 12! 1 2 23  .2   k k!12  k  !  k  1 !11  k  ! 12  k k  1 3

Tức là với mọi k  8 , ta có a k  a k 1 hay a 8  a 9  a10  a11  a12 . Trang 7

k k 1 k 1 Tương tự, ta có a k  a k 1  C12 .2k  C12 .2



12! 12! 1 2 23  .2   k k!12  k  !  k  1 !11  k  ! 12  k k  1 3

Tức là với mọi k  7, ta có a k  a k 1 hay a 0  a1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6  a 7  a 8 . 8 Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: a 8  C12 .28  126720

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570 VNPLUS 12

k Bước 1: Khai triển 1  2x    C12  2x    C12k 2k x k 12

k 0

Bước 2: Sử dụng MODE 7. Nhập f  X   12CX  2X  Start? 0  End? 12  Step? 1 Bước 3: Nhìn vào cột F(X), cột F(X) chính là các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn, nhìn xem có hệ số nào là hệ số lớn nhất. Tại x  8 ta thấy f  X   126720 là hệ số lớn nhất trong khai triển.  Chọn A. n

2  Ví dụ 8: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển  x 3   , biết rằng Cnn 1  Cnn  2  78 với x  0. x  A. 112643.

C. 112640.

B. 112640.

D. 112643.

Hướng dẫn Ta có: Cnn 1  Cnn  2  78  n

n! n!   78  n  1!1!  n  2 !2!

n  n  1  78  n 2  n  156  0  n  12. 2 12

12 2 k  k Khi đó:  x 3     C12  2  x 364k x  k 0

Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn 36  4k  0  k  9. 9  112640. Vậy số hạng không chứa x là:  2  C12 9

 Chọn C.

Ví dụ 9: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1  x 2  x 3  . 8

A. 190.

B. 230.

C. 238.

D. 70.

Hướng dẫn 8

k 0

m 0

Ta có 1  x 2  x 3    C8k  x 2  x 3    C8k  Cmk  x 2  8

k 0

k m

 x 

3 m

   C8k Ckm  1 x 2k  m m

k 0 m 0

Trang 8

2k  m  8 m  2 m  0  Để có hệ số của x thì 0  m  k  8   hoặc  . k  3 k  4   m, k    8

Vậy hệ số của x8 là a 8  C84 C04  C83C32  238.  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong khai triển  2x  5y  , hệ số của số hạng chứa x 5 .y3 là: 8

A. 224000.

B. 40000.

C. 8960.

D. 4000.

8   Câu 2. Trong khai triển  x  2  , số hạng không chứa x là: x   A. 4308.

B. 86016.

C. 84.

D. 43008. 7

2  Câu 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức  2x 4   ; x  0. x  8

B. 4480.

A. 1090.

C. 8960.

D. 4480.

Câu 4. Xét khai triển  3x  2   a 0  a1x  a x x 2  ...  a 9 x 9 . Tìm max  a1 , a 2 ,..., a 9  . 9

A. 314928.

B. 489888.

C. 326592.

D. 1134008.

Đáp án: 1–A

2–D

3–D

4–B

Dạng 3: Sử dụng nhị thức Niu-tơn chứng minh các đẳng thức tổ hợp 1. Phương pháp giải Ta thường sử dụng các kết quả sau với giá trị thích hợp của x:

1  x 

 C0n  C1n x  C2n x 2 ...  Cnn x n

1  x 

 C0n x 0  C1n x1  ...   1 Cnn x n

 x  1

 C0n x n  C1n x n 1  ...   1 Cnn x 0

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức S1  C1n  C2n  ...  Cnn . C. 2n  1.

B. 2n .

A. 0.

D. 2n  1.

Hướng dẫn Ta có 1  x   C0n  C1n x  C2n x 2  ...  Cnn x n n

 *

Chọn x  1 thay vào (*) ta được: 1  1  C0n  C1n  C2n  ...  Cnn . n

Trang 9

hay 2n  C0n  C1n  C2n  ...  Cnn . Vậy S1  C1n  C2n  ...  Cnn  2n  C0n  2n  1.  Chọn C.

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức S  C02019  2C12019  22 C22019  ...  22019 C2019 2019 . B. 32019  1.

A. 32019.

C. 32020.

D. 0.

Hướng dẫn Ta có 1  x 

2019

 *

2019  C02019  C12019 x  C22019 x 2  ...  C2019 2019 x

Chọn x  2, thay vào (*) ta được: 1  2 

2019

 C02019  2C12019  22 C22019  ...  22019 C2019 2019

2 hay 32019  C02019  2C12019  22 C2019  ...  22019 C2019 2019  S

Vậy S  32019 .  Chọn A.

Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương n sao cho: C0n  2C1n  4C2n  ...  2n Cnn  243. A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Hướng dẫn Ta có: 1  x   C0n  C1n x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n n

 *

Thay x  1 vào hai vế của (*) ta được: C0n  2C1n  4C2n  ...  2n Cnn  3n Theo đề bài có 3n  243  n  5.  Chọn B.

Ví dụ 4: Tính tổng S2  C02011  22 C22011  ...  22010 C2010 2011 . A.

32011  1 . 2

3211  1 . 2

32011  12 . 2

32011  1 . 2

Hướng dẫn Ta có 1  x 

2011

2011 2011  C02011  xC12011  x 2 C22011  ...  x 2010 C2010 C2011 2011  x

 *

Thay x  2 vào hai vế của (*) ta được: 2011 2011 32011  C02011  2.C12011  22 C22011  ...  22010 C2010 C2011 2011  2

(1)

Thay x  2 vào hai vế của (*) ta được: 2011 2011 1  C02011  2.C12011  22 C22011  ...  22010 C2010 C2011 2011  2

(2)

2 2010  ...  22010 C2011 Lấy (1) + (2) ta có: 2  C02011  22 C2011   32011  1

2010  Suy ra: S2  C02011  22 C22011  ...  22010 C2011

32011  1 . 2

 Chọn D.

Trang 10

Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x

 1  trong khai triển nhị thức Niu tơn của  4  x 7  , biết rằng x 

C12n 1  C22n 1  ...  Cn2n 1  220  1. A. 612.

B. 230.

C. 210.

D. 310.

Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra: C

0 2n 1

C

1 2n 1

C

2 2n 1

 ...  C

n 2n 1

 220  1

1 k Vì Ck2n 1  C2n 2n 1 , k, 0  k  2n  1 nên: 2 n n 1 n 2 2n 1 C02n 1  C12n 1  C2n 1  ...  C 2n 1  C 2n 1  C 2n 1  ...  C 2n 1

Do đó: C02n 1  C12n 1  C22n 1  ...  Cn2n 1  Hay: 220 

1 0 1 C2n 1  C12n 1  ...  C2n  2n 1  . 2

1 0 1 0 1 2n 1 21 C2n 1  C12n 1  ...  C2n  2n 1   C 2n 1  C 2n 1  ...  C 2n 1  2 2

Ta có: 1  x 

2n 1

1 2n 1  C02n 1  C12n 1x  C22n 1x 2  ...  C2n 2n 1 x

1

 *

1 Thay x  1 vào hai vế của (*) ta được: C02n 1  C12n 1  C22n 1  ...  C2n 2n 1  1  1

2n 1

 22n 1

 2

Từ (1), (2) suy ra: 22n 1  221  2n  1  21  n  10. 10

10 10  1  k 4 10  k 7 k k 11k  40 • Ta có:  4  x 7    C10 x x  C10 x      x  k 0 k 0

Số hạng chứa x 26 ứng với giá trị k thỏa mãn 11k  40  26  k  6. 6 Vậy hệ số của x 26 là C10  210.

 Chọn C.

Ví dụ 6: Tính tổng S  C1n  2C2n  ...  nCnn . A. 2n.2n 1.

B. n.2n 1.

C. 2n.2n 1.

D. n.2n 1.

Hướng dẫn Ta có: 1  x   C0n  C1n x  C2n x 2  ...  Cnn x n n

(*)

Lấy đạo hàm theo x hai vế của (*) ta được: n 1  x 

n 1

**

 C1n  2C2n x  3C3n x 2  ...  nCnn x n 1

Thay x  1 vào hai vế của (**) ta được: n 1  1

n 1

 C1n  2C2n  ...  nCnn

Hay: n.2n 1  C1n  2C2n  ...  nCnn  S.  Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Giá trị của tổng S  C06  C16  ...  C66 bằng A. 100.

B. 48.

C. 72.

D. 64. Trang 11

Câu 2. Tính giá trị biểu thức S  C0n  10C1n  102 C2n  ...  10n Cnn . C. 11n 1.

B. 11n  1.

A. 11n.

D. 0.

Câu 3. Tính giá trị biểu thức S  2n C0n  2n 1 C1n  2n  2 C2n  ...  Cnn . A. 3n  1.

B. 3n.

C. 2n.

D. 2n  1.

Đáp án: 1–D

2–A

3–B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Trong khai triển  3x  y  , số hạng chứa x 4 y3 là 7

A. 2835x 4 y3 .

B. 2835x 4 y3 .

C. 945x 4 y3 .

D. 945x 4 y3 .

C. 1.

D. 12.

C. 41184x 6 y 6 .

D. 41184x8 y5 .

9 10 C. C19 2 .

11 D. C10 19 2 .

Câu 2. Tính tổng S  C50  C15  ...  C55 . A. 64.

B. 32.

Câu 3. Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển  x  2y  . 13

A. 2x 6 y 6 .

B. 4100x8 y 6 .

Câu 4. Tìm hệ số của x 9 trong khai triển  2  x  . 19

11 A. C10 19 2 .

8 B. C19 29.



Câu 5. Trong khai triển x  y A. 16x y15  y8 .



, tổng hai số hạng cuối là

B. 16x y15  y 4 .

C. 16xy15  y 4 .

D. 16xy15  y8 .

8   Câu 6. Trong khai triển  x  2  , số hạng không chứa x là x   A. 4308.

B. 86016.

C. 84.

D. 43008.

2  Câu 7. Trong khai triển của nhị thức  x 2   , cho biết tổng hệ số của 3 hạng đầu tiên trong khai x  triển trên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa x 4 . A. 1120.

B. 600.

C. 1220.

D. 70.

Câu 8. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức f  x    2x  1   2x  1   2x  1   2x  1 . 4

A. 1020.

B. 280.

C. 896.

D. 964.

Câu 9. Tìm n   sao cho: C04n  2  C24n  2  C44n  2  ...  C2n 4n  2  256. A. 6.

B. 2.

C. 12.

D. 9.

Trang 12

Câu 10. Khai triển 1  3x 

thành đa thức: a 0  a1x  a 2 x 2  ...  a 30 x 30 . Tìm hệ số lớn nhất của các hệ số

a 0 ;a1 ;a 2 ;...;a 30 . 23 23 A. C30 3 .

23 24 B. C30 3 .

22 22 C. C30 3 .

20 29 D. C30 3 .

Câu 11. Số hạng chính giữa trong khai triển  3x  2y  là 4

B. 6  3x   2y  2

A. C24 x 2 y 2 .

C. 6C24 x 2 y 2

D. 36C24 x 2 y 2

1   Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong triển khai  x 2  4  . x   A. C12 12 .

9 B. C12 .

3 C. C12 .

4 D. C12 . n

 1  Câu 13. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  3  x 5  , biết rằng: x  8

Cnn 14  Cnn 3  7  n  3 (n nguyên dương, x  0 ). A. 424.

B. 280.

C. 495.

D. 322.

 2  Câu 14. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển biểu thức  3  x 5  x 

 x  0  . Biết số nguyên

dương n thỏa mãn: C1n  C2n  ...  Cnn  4095. A. 7920.

B. 1400.

C. 6590.

D. 8120.

Đáp án: 1–A

2–B

3–D

4–C

11 – B

12 – D

13 – C

14 – A

5–A

6–D

7–A

8–C

9–B

10 – A

Trang 13

CHƯƠNG 4: TỔ HỢP XÁC SUẤT CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC SUẤT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Biến cố Phép thử và không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà: • Kết quả của nó không đoán trước được. • Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và được kí hiệu là  . Số phần tử của không gian mẫu được kí hiệu là n    hay  . Biến cố • Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. • Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. • Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là n(A) hay  A . 2. Xác suất Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.  là không gian mẫu của phép thử đó. Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

P A 

n  A  A .  n  

Trong đó: •  A hay n(A) là số phần tử của biến cố A. •  hay n    là số phần tử của không gian mẫu. Tính chất • P     0, P     1. • Với mọi biến cố A, 0  P  A   1. 3. Quy tắc cộng xác suất Biến cố hợp Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A  B được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Khi đó:  A   B   . Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Khi đó:  A   B   . Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì xác suất biến cố A  B là P  A  B   P  A   P  B  . Trang 1

Cho n biến cố A1, A2,...., An đôi một xung khắc với nhau. Khi đó:

P  A1  A 2  ...  A n   P  A1   P  A 2   ...  P  A n  . Biến cố đối Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của A. Ta nói A và A là hai biến cố đối của nhau.

 

Khi đó:  A   \  A  P A  1  P  A  . 4. Quy tắc nhân xác suất Giao hai biến cố A và B. Biến cố “A và B cùng xảy ra”, kí hiệu A  B (hay AB), gọi là giao của hai biến cố A và B. Hai biến cố độc lập Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia. Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B , A và B, A và B cũng là độc lập. Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì ta luôn có P  AB   P  A  .P  B  . Cho n biến cố A1, A2, ……, An độc lập với nhau từng đôi một. Khi đó:

P  A1 , A 2 ,..., A n   P  A1  P  A 2  ...P  A n  . PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Biến cố và xác suất của biến cố 1. Phương pháp giải Bước 1: Tìm số phần tử của không gian mẫu n    hay  .

Ví dụ: Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để cả hai đồng xu đều sấp. A.

1 4

3 4

1 2

3 8

Hướng dẫn Không gian mẫu: Gieo hai đồng xu một cách cân Bước 2: Gọi tên biến cố là A (người ta thường sử đối, độc lập, mỗi đồng xu ra các khả năng sấp (S) dụng chữ cái in hoa để gọi tên biến cố). hoặc ngửa (N), các phần tử của không gian mẫu là Tìm kết quả thuận lợi của biến cố A là n(A)hay    S;S ;  S; N  ;  N;S ;  N; N     4. .

 A dựa vào các quy tắc đếm và các công thức

Gọi A là các biến cố “cả hai đồng xu đều sấp” . hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, hoặc sử dụng phương Các phần tử của biến cố A là pháp liệt kê. A   S;S   A  1. Xác suất của biến cố A là: Trang 2

Bước 3: Tính xác suất của biến cố A.

P A 

n  A  A  n  

A

1  .  4

 Chọn A.

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. A.

1 . 15

7 . 15

8 . 15

1 . 5

Hướng dẫn 2 2 Không gian mẫu: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong 10 người, có C10 cách    C10 .

Gọi A là biến cố “2 người được chọn đều là nữ”. Kết quả thuận lợi của biến cố A: Chọn 2 học sinh nữ có C32 cách   A  C32 . . Vậy xác suất của biến cố A là: P  A  

A C2 1  23  .  C10 15

 Chọn A.

Ví dụ 2: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng: A.

5 . 22

6 . 11

5 . 11

8 . 11

Hướng dẫn 2 2 Không gian mẫu: Chọn ngẫu nhiên 2 quả từ 11 quả nên có C11 cách    C11  55 cách.

Gọi A là biến cố “Chọn được hai quả cầu cùng màu”. Kết quả thuận lợi của biến cố A: Trường hợp 1: Chọn 2 quả cầu trong 5 quả cầu xanh, có C52 cách. Trường hợp 2: Chọn 2 quả cầu trong 6 quả cầu đỏ, có C62 cách. Suy ra  A  C52  C62  25. Vậy xác suất của biến cố A là P  A  

 A 25 5   .  55 11

 Chọn A.

Ví dụ 3: Từ một hộp có 13 bóng đèn, trong đỏ có 6 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 5 bóng ra khỏi hộp. Tính xác suất sao cho có nhiều nhất 2 bóng hỏng. A.

427 . 429

61 . 68

63 . 68

84 . 143

Hướng dẫn Trang 3

5 5 Không gian mẫu: Chọn 5 bòng đèn trong 13 bóng có C13 cách  n     C13 .

Gọi A là biến cố “Chọn được 5 bóng và nhiều nhất 2 bóng hỏng”. Kết quả thuận lợi của biến cố A là: Trường hợp 1: Chọn được 2 bóng hỏng và 3 bỏng tốt có C62 .C37 cách. Trường hợp 2: Chọn được 1 bóng hỏng và 4 bóng tốt có C16 .C74 cách. Trường hợp 3: Chọn được 5 bóng đều tốt có C57 cách. Số cách thuận lợi cho A là: n  A   C62 .C37  C16 .C74  C57  756 cách. Xác suất của biến cố A là: P  A  

n   A  756 84  5  n  C13 143

 Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng song song d1, d2. Trên d1 có 6 điểm phân biệt được tô màu đỏ, trên d2 có 4 điểm phân biệt được tô màu xanh. Xét tất cả các tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau. Chọn ngẫu nhiên một tam giác, khi đó xác suất để thu được tam giác có hai đỉnh màu đỏ là: A.

2 . 9

3 . 8

5 . 9

5 . 8

Hướng dẫn Không gian mẫu: Trường hợp 1: Lấy 2 điểm trên d1, 1 điểm trên d2 có C62 C14 cách. Trường hợp 2: Lấy 1 điểm trên d1, 2 điểm trên d2 có C16 C42 cách.

   C62 C14  C16 C24  96 Gọi A là biến cố “tam giác có hai đỉnh màu đỏ”. Số phần tử thuận lợi của biến cố A là lấy 2 điểm trên d1; 1 điểm trên d2 có C62 C14 cách.

  A  C62 C14  60 Xác suất của biến cố A là: P  A  

A 5  .  8

 Chọn D.

Ví dụ 5: Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau. A.

37 . 42

5 . 42

5 . 1008

1 . 6

Hướng dẫn Không gian mẫu: Cố định 1 vị trí cho một học sinh nam (hoặc nữ), đánh dấu các ghế còn lại từ 1 đến 9. Không gian mẫu là hoán vị 9 học sinh (còn lại không cố định) trên 9 ghế đánh dấu. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là   9! . Gọi A là biến cố “không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau”. Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau: Trang 4

Đầu tiên, ta cố định 1 học sinh nam, 5 học sinh nam còn lại có 5! cách xếp. Ta xem 6 học sinh nam như 6 vách ngăn trên vòng tròn, thì sẽ tạo ra 6 ô trống để ta xếp 4 học sinh nữ vào (mỗi ô trống chỉ được xếp 1 học sinh nữ). Do đó có A 64 cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là  A  5!.A 64 . Vậy xác suất cần tính P  A  

 A 5!.A 64 5   .  9! 42

 Chọn B.

Ví dụ 6: Một chiếc hộp đựng 6 bút màu xanh, 6 bút màu đen, 5 bút màu tím và 3 bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. A.

200 . 323

287 . 323

1 . 2

1 . 6

Hướng dẫn Không gian mẫu: Lấy 4 bút bất kì từ 20 bút đã cho có C420  4845 cách    C420  4845. Gọi A là biến cố “lấy được ít nhất hai bút cùng màu”.

A là biến cố “lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu”. Số cách lấy được 4 bút trong đó không có hai cái nào cùng màu là: A  C16 .C16 .C15 .C13 . Vậy xác suất lấy được 4 bút trong đó có ít nhất hai bút cùng màu là:

 

P A  1 P A  1

C16 .C16 .C15 .C13 287  . C420 323

 Chọn B.

Ví dụ 7: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng: A.

11 . 630

1 . 126

1 . 105

1 . 42

Hướng dẫn Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lượt là A, B, C. Không gian mẫu: Số cách xếp 10 học sinh thành 1 hàng ngang là 10! (cách)    10!. Gọi X là biến cố “trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”. Ta xếp 5 học sinh lớp 12C trước, số cách xếp chia thành các trường hợp như sau: Trường hợp 1: C  C  C  C  C (quy ước vị trí của – là vị trí trống), đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! cách xếp. Xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí trống ta có 5! cách xếp. Vậy trường hợp này có 5!.5! cách xếp. Trường hợp 2: C  C  C  C  C , tương tự như trường hợp 1 ta có 5!.5! cách. Trường hợp 3: C  C  C  C  C , đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! cách xếp

Trang 5

Ta có 2 vị trí trống liền nhau, chọn 1 học sinh lớp 12A và 1 học sinh lớp 12B để xếp vào 2 vị trí trống đó, 2 học sinh này có thể đổi chỗ cho nhau nên có: C12 .C13 .2!  2.3.2  12 cách. Xếp 3 học sinh còn lại vào 3 chỗ trống có 3! cách. Vậy trường hợp này có 5!.12.3! cách. Trường hợp 4: C  C  C  C  C ; Trường hợp 5: C  C  C  C  C ; Trường hợp 6: C  C  C  C  C ; Ba trường hợp 4, 5, 6 có số cách xếp giống trường hợp 3. Vậy có tất cả: 5!.5!.2  4.5!.12.3!  63360 cách xếp   A  63360 Vậy xác suất của biến cố X là P  X  

 A 63360 11   .  10! 630

 Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để có đúng một đồng xu ngửa. A.

1 . 4

3 . 4

1 . 2

3 . 8

Câu 2. Một bình đựng 6 viên bi khác màu, trong đó có 2 viên màu xanh, 2 viên màu vàng, 2 viên màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được 2 viên bi xanh. A.

1 . 4

1 . 2

1 . 15

1 . 5

Câu 3. Một lô hàng có 100 sản phẩm, biết rằng trong đó có 8 sản phẩm hỏng. Người kiểm định lấy ra ngẫu nhiên từ đó 5 sản phẩm. Tính xác suất của biến cố A: “ Người đó lấy được đúng 2 sản phẩm hỏng”. A.

2 . 25

229 . 6402

1 . 50

1 . 2688840

Câu 4. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất lấy được ít nhất 2 viên bi màu đỏ. A.

19 . 220

7 . 11

7 . 44

21 . 44

Đáp án: 1–C

2–C

3–B

4–B

Dạng 2: 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết 1 2 rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là và . Gọi A là biến cố: “Cả hai 5 7 Trang 6

cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là bao nhiêu? A.

12 . 35

1 . 25

4 . 49

2 . 35

Hướng dẫn Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ.” Gọi X là biên cố: “Người thứ nhất ném trúng rổ.” P  X   Goi Y là biến cố: “Người thứ hai ném trúng rổ.” P  Y  

1 5

Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau A  X.Y , theo công thức nhân xác suất: 1 2 2 P  A   P  X  .P  Y   .  . 5 7 35  Chọn D.

Ví dụ 2: Ba người cùng bắn vào một bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6; 0,5. Tính xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích. A. 0,24

B. 0,96

C. 0,46

D. 0,92.

Hướng dẫn Gọi A1 là biến cố người thứ nhất bắn trúng đích, ta có: P  A1   0,8

 

A1 là biến cố người thứ nhất bắn trượt đích, ta có: P A1  1  P  A1   1  0,8  0, 2. Gọi A2 là biến cố người thứ hai bắn trúng đích, ta có: P  A 2   0, 6

 

A 2 là biến cố người thứ hai bắn trượt đích, ta có: P A 2  1  P  A 2   1  0, 6  0, 4. Gọi A3 là biến cố người thứ ba bắn trúng đích, ta có: P  A 3   0,5

 

A 3 là biến cố người thứ ba bắn trượt đích, ta có: P A 3  1  P  A 3   1  0,5  0,5.



 



Gọi B là biến cố: “Có đúng hai người bắn trúng đích”. B  A1A 2 A 3  A1 A 2 A 3  A1A 2 A 3 . Xác suất để có đúng hai người bắn trúng đích là: P  B   P  A1  P  A 2  P  A 3   P  A1  P  A 2 P  A 3   P  A1 P  A 2  P  A 3   0, 46 .  Chọn C.

Ví dụ 3: Bài kiểm tra môn toán có 20 câu trắc nghiệm khách quan. Mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời sai cả 20 câu. A.  0, 25  . 20

B. 1   0, 75  .

C. 1   0, 25  .

D.  0, 75  . 20

Hướng dẫn Gọi A là biến cố: “Học sinh đó trả lời sai 20 câu.” Trong một câu, xác suất học sinh trả lời sai là:

3  0, 75. 4

Trang 7

Vậy xác suất để học sinh đó trả lời sai 20 câu là P  A   0, 7520  Chọn D.

Ví dụ 4: Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào tấm bia mỗi người mỗi phát. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ A là 0,7. Tìm xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B biết xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia là 0,94. A. 0,25

B. 0,45

C. 0,8

D. 0,12

Hướng dẫn Gọi xác suất bắn trúng bia của xạ thủ B là P  B   b với 0  b  1 . Gọi X là xác suất cả hai xạ thủ bắn trật. Có X  A  B và A , B là hai biến cố độc lập nên



    

P  X   P A  B  P A .P B  1  0, 7 1  b 

1

Gọi X là biến cố có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia, dễ dàng thấy X và X là hai biến cố đối nên

 

P  X   1  P X  1  0,94  0, 06

(2)

Từ (1) và (2) được 1  0, 7 1  b   0, 06  b  0,8.  Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là: A. 0,4

B. 0,6

C. 0,48

D. 0,24

Câu 2. Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia, biết xác suất bắn trúng vòng 10 của xạ thủ thứ nhất là 0,75 và của xạ thủ thứ hai là 0,85. Tính xác suất để có ít nhất một viên trúng vòng 10. A. 0,9625.

B. 0,325.

C. 0,6375.

D. 0,0375.

Đáp án: 1–C

2–A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Trong các thí nghiệm sau đây thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên? A. Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp. B. Gieo 3 đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa. C. Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ. D. Bỏ 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi Câu 2. Cho phép thử có không gian mẫu Q  1, 2,3, 4,5, 6 . Các cặp biến cố không đối nhau là: A. A  1 và B  2;3; 4;5;6 .

B. C 1, 4,5 và D  2;3;6

C. E  1; 4;6 và F  2;3

D.  và  Trang 8

Câu 3. Gieo hai đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để có ít nhất một đồng xu sấp. A.

1 . 4

3 . 4

1 . 2

3 . 8

Câu 4. Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ, 20 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp. Tính xác suất sao cho quả cầu được chọn màu đỏ. A.

1 . 6

1 . 3

1 . 2

3 . 10

Câu 5. Từ 1 hộp chứa 4 bi xanh, 3 bi đỏ, 2 bi vàng, lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất các biến cố hai bi cùng màu xanh. A.

1 . 6

1 . 3

1 . 2

1 . 18

Câu 6. Trong một kì thi có 60% thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: A. 0,24

B. 0,36

C. 0,16

D. 0,48

Câu 7. Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để khi gieo 2 đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa. A.

1 . 4

3 . 4

1 . 8

3 . 8

Câu 8. Một hộp chứa các quả cầu kích thước khác nhau gồm 3 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh và 9 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để 2 quả cầu được chọn khác màu. A.

19 . 765

11 . 17

7 . 765

5 . 17

Câu 9. Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc ra 4 quả. Tính xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng. A.

19 . 765

8 . 105

209 . 210

10 . 21

Câu 10. Có 2 hộp: hộp 1 chứa 5 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp 2 chứa 3 bi đỏ, 6 bi trắng. Mỗi hộp chọn 1 bi. Tính xác suất biến cố 2 bi màu đỏ. A.

5 . 27

13 . 27

14 . 27

1 . 72

Đáp án: 1–D

2–C

3–B

4–B

5–A

6–D

7–C

8–B

9–C

10 – A

Trang 9

CHƯƠNG 5: DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM CHUYÊN ĐỀ 1: DÃY SỐ. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương pháp quy nạp toán học (Phương pháp quy nạp) Phương pháp này thường để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n  p mà không thể thử trực tiếp được. Các bước giải: Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n  k  p (giả thiết quy nạp). Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi n  p . 2. Dãy số Một dãy số thường được kí hiệu u  n  hoặc  u n  hoặc u n .  u n là số hạng tổng quát thứ n của dãy số u  n  .  u1 là số hạng đầu. Dãy số tăng, dãy số giảm:  Dãy số u  n  tăng khi và chỉ khi u n 1  u n , với mọi n  *

 u n 1  u n  0 , với mọi n  * 

u n 1  1 , u n  0 , với mọi n  * . un

 Dãy số u  n  giảm khi và chỉ khi u n 1  u n , với mọi n  *

 u n 1  u n  0 , với mọi n  * 

u n 1  1 , u n  0 , với mọi n  * . un

Dãy số bị chặn:  Dãy số u  n  bị chặn trên nếu M : u n  M , n  * .  Dãy số u  n  bị chặn dưới nếu m : u n  m , n  * .  Dãy số u  n  bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, tức là:

m, M : m  u n  M ; n  * . Chú ý:  Một dãy số có thể có số hạng tổng quát hoặc không có số hạng tổng quát.  Một dãy số có thể tăng hoặc giảm hoặc không tăng, không giảm.  Một dãy số có thể bị chặn trên hoặc bị chặn dưới hoặc bị chặn hoặc không bị chặn.  Dãy số không bị chặn là dãy số hoặc không bị chặn trên hoặc không bị chặn dưới. 3. Giới hạn của dãy số Trang 1

Giới hạn hữu hạn lim u n  lim u n  a ; lum v n  lim v n  a .

Các loại giới hạn:

n 

Giới hạn vô cực lim u n  lim u n   ; lim u n  lim u n   . n 

n 

PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC lim

1 1  0 ; lim k  0 . n n

lim q n   nếu q  1 .

lim n   , n   . *

lim c  c (c là hằng số).

lim q n  0 nếu q  1 .

lim  u n  v n   lim u n  lim v n .

lim  u n .v n   lim u n .lim v n .

lim

lim u n  a ; lim v n   .

lim u n   ; lim v n  a  0

lim u n  a  0 ; lim v n  0

lim  u n v n   , a  0 .  lim  u n v n   , a  0

un  lim v  , a.v n  0  n  lim u n  , a.v  0 n  vn

 lim

un  0. vn

u n  0  n  ; lim u n  a

u n lim u n  v n lim v n

 lim vn  0  .

Định lí kẹp:

u n  v n , n ; lim v n  0  lim u n  0 .

 a  0 ; lim u n  a .

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Số hạng, công thức tổng quát của dãy số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1 1 A. u n  . n 1 2 3

B. u n 

1 1 1 1 1 ; ; ; ; ;... . Số hạng tổng quát của dãy số này là: 3 32 33 34 35

1 3

C. u n 

n 1

1 3n

D. u n 

1 3n 1

Hướng dẫn Ta thấy năm số hạng đầu có dạng:

1 1 1 1 1 ; ; ; ; ;... 3 32 33 34 35

Do đó số hạng tổng quát của dãy số trên là: u n 

1 . 3n

 Chọn C.

u  3 Ví dụ 2: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số u n . Biết rằng  1 . u n 1  3u n A. u n  3n 1

B. u n  1  3n

C. u n  3n

D. u n  3n

Hướng dẫn

u  3 Cách 1: Ta có  1 nên suy ra: u 2  3u1  3.3  9  32 u n 1  3u n Trang 2

u 3  3u 2  3.9  27  33 u 4  3u 3  3.27  81  34 u 5  3u 4  3.81  243  35 . Ta dự đoán số hạng tổng quát u n có dạng: u n  3n ; n  1

(1)

Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1, ta có u1  31  3 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có u k  3k . Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là ta phải chứng minh u k 1  3k 1 . Thật vậy ta có u k 1  3.u k  3.3k  3k 1 . Vậy (1) đúng với n = k + 1. Kết luận (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Ta bấm máy tính, tìm ra một vài số hạng đầu của dãy số là 3; 9; 27; 81; 243; … Thử các đáp án: (Tìm một vài số hạng đầu của các dãy số ở các đáp án) Đáp án A: Các số hạng đầu của dãy số u n  3n 1 là 9; 27; 81; 243; … . Ta thấy không trùng với dãy số đề bài, nên loại đáp án A. Đáp án B: Các số hạng đầu của dãy số u n  1  3n là 4; 10; 28; 82; 244; … . Ta thấy không trùng với dãy số đề bài, nên loại đáp án B. Đáp án C: Các số hạng đầu của dãy số u n  3n là 3; 6; 9; 12; 15; … . Ta thấy không trùng với dãy số đề bài, nên loại đáp án C. Đáp án D: Các số hạng đầu của dãy số u n  3n là 3; 9; 27; 81; 243; … . Ta thấy trùng với dãy số đề bài.  Chọn D.

u  5 Ví dụ 3: Cho dãy số  u n  với  1 . Số hạng thứ n + 2 của dãy số u n là: u n 1  u n  n A. u n  2  5 

 n  2  n  1

C. u n  2  5 

B. u n  2  5 

 n  2  n  1

D. u n  2  5 

 n  2  n  1 2

 n  2  n  1 3

Hướng dẫn Ta có u1  5

u2  5 1

u3  5  1  2

u4  5 1 2  3

u5  5  1  2  3  4

u6  5 1 2  3  4  5

 u n  5  1  2  3  ...  n  1  5 

…

n  n  1 (Chứng minh bằng quy nạp). 2

Trang 3

Do đó, số hạng tổng quát của dãy số trên là: u n  5  Vậy số hạng thứ n + 2 của dãy số trên là: u n  2  5 

n  n  1 . 2

 n  2  n  2  1  5   n  2  n  1 . 2

 Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho dãy số có các số hạng đầu là 8; 15; 22; 29; 36; … . Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. u n  7n  7

B. u n  7n

C. u n  7n  1

D. u n không viết được dưới dạng công thức.

u  3 Câu 2. Tìm công thức tính số hạng tổng quát u n theo n của dãy số sau  1 . u n 1  u n  2 A. u n  2n  1 Đáp án

1–C

B. u n  n  2

C. u n  n  4

D. u n  3n

2–A

Dạng 2: Dãy số tăng, giảm, bị chặn 1. Phương pháp giải Cách 1: Sử dụng kiến thức phần lí thuyết trọng tâm. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Dãy số tăng, giảm: Cho dãy số u n  f  n  . Nhập MODE 7. Nhập f  X    Start? 1 = End? 10 =

 Step 1 =

Ví dụ: Cho dãy số u n 

2n  1 . n 3

Nhập MODE 7. Nhập f  X  

2X  1   Start? 1 = X3

End? 10 =

 Step 1 =

Ta nhận được bảng giá trị của f  X  , tương ứng Ta nhận được bảng giá trị của f  X  , tương ứng với với các số hạng của dãy số. các số hạng của dãy số là: Nhìn vào bảng giá trị này:

0,25; 0,6; 0,8333; 1; 1,125;

 Các giá trị tăng dần thì dãy số u n tăng.

1,2222; 1,3; 1,3636; 1,4166; 1,4615

 Các giá trị giảm dần thì dãy số u n giảm.

Ta thấy các giá trị này tăng, nên dãy số u n là dãy

 Các trường hợp khác thì dãy số u n không tăng,

tăng.

không giảm. Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn: Cho dãy số u n  f  n  . Nhập MODE 7.

Ví dụ: Cho dãy số u n 

2n  1 . n 3

Nhập MODE 7. Trang 4

Nhập f  X  

Start? 1 =

End? 20 =

Step 1 =

Nhập f  X  

Ta nhận được bảng giá trị của f  X  , tương ứng với các số hạng của dãy số.

2X  1  X3

Start? 1 =

End? 20 =

Step 1 =

Ta nhận được bảng giá trị của f  X  tương ứng với các số hạng của dãy số là:

Nhìn vào bảng giá trị này:  Các giá trị nhỏ hơn một số M  Dãy số u n bị chặn trên bởi M.  Các giá trị lớn hơn một số m  Dãy số u n bị chặn dưới.

0,25; 0,6; 0,8333; 1; 1,125; 1,2222; 1,3; 1,3636; 1,4166; 1,4615; 1,5; 1,5333; 1,5625; 1,5882; 1,6111; 1,6315; 1,65; 1,6666; 1,6818; 1,6956

Ta thấy các giá trị này tăng và luôn lớn hơn 0 và  Các trường hợp khác  Dãy số u n không bị nhỏ hơn 2, nên dãy số u bị chặn dưới bởi 0 và bị n chặn. chặn trên bởi 2. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm? A. u n   1  5n  2  n

B. u n 

2n  4 n 3

C. u n 

6n 7 n 1

D. u n 

1 5 n

D. u n 

n2 n2 1

Hướng dẫn Xét dãy số u n 

u n 1  u n 

1  5 ta có: n

1 1 1 1 1   5    5     0 ; x  * . n 1 n  n  1 n n  n  1

Vậy dãy số u n 

1  5 là dãy số giảm. n

 Chọn D.

Ví dụ 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng? A. u n  3  2n n

1 2 B. u n  2n

n2  n 1 C. u n  3n 2  2

Hướng dẫn Xét dãy số u n  3n  2n ta có u n 1  u n  3n 1  2  n  1   3n  2n 

 3.3n  2n  2  3n  2n  2.3n  2  0 ; x  * . Vậy dãy số u n  3n  2n là một dãy số tăng.  Chọn A.

Ví dụ 3: Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số không bị chặn? 8n  3 A. u n  5n  7

B. u n  n  4n  3 2

n2 C. u n  5n  9

2  D. u n   3   n 

Trang 5

Hướng dẫn Ta có: u n  n 2  4n  4  1   n  2   1  1 , n  1 . 2

Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.  Chọn B.

Ví dụ 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn? A. u n 

7n  5 5n  7

B. u n  n 3  2 n  3

C. u n  2n 2  4n  7

D. u n   1  32n  2  n

Hướng dẫn Xét dãy số u n  Nhận xét 0  

7 24 7n  5 ta có: u n   . 5 5  5n  7  5n  7

24 2 1 1   ; n  1  0   5  5n  7  5 5n  7 12

7 7 24 7 2 7      1  un  . 5 5 5  5n  7  5 5 5

Suy ra: u n 

7n  5 là một dãy số bị chặn. 5n  7

 Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng? 1 B. u n   2 n

A. u n   1  2  1 n

2n  1 C. u n  n 3

 u1  3  D.  2u n u n 1  3  u  n

Câu 2. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm? A. u n   1  2n  1 n

B. u n  2n  4n 2  1

Câu 3. Cho dãy số u n  sin A. Dãy số âm. Đáp án

1–C

C. u n 

n 1 n 1

D. u n 

3n 2n 1

 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: n

B. Dãy số giảm. 2–B

C. Dãy số tăng.

D. Dãy số bị chặn.

3–D

Dạng 3: Giới hạn của dãy số 1. Phương pháp giải Cách 1: Sử dụng công thức trong phần 2. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Tính giới hạn của dãy số u n  f  n  .

Tính giới hạn của dãy số u n 

2n  1 . n 3

Trang 6

Nhập f  X  , CALC X  109 =

Nhập

2X  1 , CALC X  109 = X3

Ta nhận được kết quả 1,99999. Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của Do đó giới hạn của dãy số u n là 2. dãy số. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy số  u n  , biết u n  A.

3 4

B. 

3n 2  n  2 . 4n 2  2n  3

1 2

C. 0

D. 1

Hướng dẫn Cách 1: Ta thấy n 2 là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của u n cho n 2 được: 3n 2  n  2 1 2 3  2 2 3n  n  2 n n 3. lim u n  2  lim 2 n  lim 2 3 4n  2n  3 4n  2n  3 4  2 4 2 n n n 2

(Vì lim

1 2 3  0 ; lim 2  0 ; lim 2  0 ). n n n

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS 3X 2  X  2 Ta nhập vào máy tính . Sau đó bấm nút CALC 109  0,750000. 2 4X  2X  3

Ta thấy kết quả gần với đáp án A.  Chọn A.

Ví dụ 2: Giới hạn của dãy số u n 

2n  7 n a a là với là phân số tối giản, b > 0. Giá trị của a 3  b3 là: n n 7 4 b b

B. 

A. 1

C. 0

D. 2

Hướng dẫn n

2 2n  7 n 2n 7 n  n   1 n n n n 2 7 1 7 7 7 7  lim n  lim n  lim   n  1  Ta có: lim u n  n n n n 7 4 7 4 7 4 1 4  n 1   n n 7 7 7 7 n

(Vì

2 4 2 4  1  lim    0 ;  1  lim    0 ). 7 7 7 7

Khi đó: a  1 ; b = 1 nên a 3  b3  0 .  Chọn C.

Trang 7

Ví dụ 3: Cho giới hạn lim A.



9 16



4n 3  1 1 1  b . Tính 2  2 . n  n  n  a và lim 3 4n a b 2

9 2

C. 0

65 16

Hướng dẫn Ta có: lim

 lim





n 2  n  n  lim

n  1  n  1   1 n  

 lim

n nn 2

n n n 2

 lim

n  1 n 2 1    n  n

1 1  a. 2 1 1 1 n

1 4n  1 n 3  4  b . Vậy 1  1  1  1  65 . Ta có: lim  lim 4 4  n3 a 2 b 2  1  2 42 16  1   n3  2 4

 Chọn D.

Ví dụ 4: Giá trị của giới hạn lim 3 30  4n 3  5n bằng: A. 0

D. 

C. 

B. 1

Hướng dẫn Cách 1: Ta có: lim 3 30  4n 3  5n  lim 3 Vì lim 3

30 5 4 2 . 3 n n

30 5  4  2  3 4  0 và lim n   . Nên lim 3 30  4n 3  5n   . 3 n n

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Ta nhập vào máy tính

30  4X 3  5X . Sau đó bấm nút CALC 109  1587401052.

Ta thấy kết quả gần với đáp án C.  Chọn C.

Ví dụ 5: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng  ? A. lim 2n 4  5n 3  7n

B. lim 3 1  5n  2n 3

C. lim  3n 3  2n  5 

D. lim  2n 2 cos n 2  3n 2  Hướng dẫn

 5 7  5 7  Ta có: L A  lim 2n 4  5n 3  7n  lim n 4  2   3   lim  n 2 2   3 n n  n n   Do lim

  . 

5 7 5 7  0 , lim 3  0 nên lim 2   3  2 và lim n 2   . n n n n

Trang 8

Suy ra L A  

  1 5  1 5  Ta có: L B  lim 3 1  5n  2n 3  lim 3 n 3  3  2  2   lim  n. 3 3  2  2  . n n n n    Ta có lim

 1 5  1 5 3 3  0 lim  0 , nên lim   2     2 và lim n   . 3 2 3 2  n n  n n 

Suy ra L B   .

  2 5  Ta có: LC  lim  3n 3  2n  5   lim  n 3  3  2  3   . n n    Do lim

2 5  2 5   0 và lim 3  0 nên lim  3  2  3   3 và lim n 3   . 2 n n  n n 

Suy ra LC   .

  cos n 2  Ta có L D  lim  2n 2 cos n 2  3n 3   lim  n 3  2.  3  . n    1 cos n 2 cos n 2 1 1 0. Mà   mà lim  0  lim n n n n n

 cos n 2  Do đó lim  2.  3   3 , ngoài ra lim n 3   . Suy ra có L D   . n    Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Giới hạn của dãy số  u n  , với u n  A. 

3n  n 4 là: 4n  5

B. 

Câu 2. Tính lim A. 

10 n  n2 1 4

3 4

D. 0

B. 10

D. 

C. 0

Câu 3. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào có giá trị bằng 1? A. lim

1 n

B. lim

2n 2  3n  5 2n 2  1

Câu 4. Tìm giới hạn của dãy  u n  , biết u n  A.

1 6

Đáp án

2–C

3–C

n2 n 1

D. lim

3n 2  n  5 2n 2  1

3.2n  5n . 5.4n  6.5n

B.  1–A

C. lim

C. 0

D. 1

4–A

Trang 9

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng? A. u n 

n2  n 1 2n 2  1

1 2 n

B. u n 

C. u n  3n  n

D. u n 

n n 1 2

Câu 2. Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số giảm? A. u n   1  2  1 n

Câu 3. Cho dãy số  U n  với U n 

n 1 C. u n  n 1

B. u n 

3n 2  2n  1 D. u n  n 1

n . Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1

A. Năm số hạng đầu của dãy số là:

1 2 3 5 5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6

B. Năm số hạng đầu của dãy số là:

1 2 3 4 5 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6

C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số 2 . Câu 4. Cho giới hạn lim





8n 3  n 2  1  4n 2  n  3 

a a với là phân số tối giản, b > 0. Giá trị của b b

a 3  b3 là: A. 26

B. 27

Câu 5. Cho giới hạn lim A. x 2  3  0

C. 28 1

3n  2n  3n 2  1 2

 a . Giá trị a là nghiệm của phương trình nào dưới đây?

B. x 2  4x  3  0

Câu 6. Tìm giới hạn của dãy số  u n  , biết lim 1 6

D. 29

C. x 2  4  0

D. x 2  5x  6  0

3n  5.4n . 7 n  2n

B. 1

D. 

C. 0





Câu 7. Biết giới hạn lim 3n  5  9n 2  1  m . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. m  3  0 B. m   C. Giá trị của m là một số dương. D. Giá trị của m thỏa mãn bất phương trình 2x 2  6x  2  0 . Câu 8. Cho dãy số u n  A.

1 4

n . Tìm giá trị nghịch đảo giới hạn của dãy số u n . 4n

B. 1

Câu 9. Tìm giới hạn của dãy số  u n  , biết lim

C. 4



D. Không xác định.



n2  n  n .

Trang 10

1 2

1 2

C. 0

D. 2

Đáp án: 1-C

2-B

3-B

4-A

5-A

6-C

7-D

8-D

9-B

Trang 11

CHƯƠNG 5: DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM CHUYÊN ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ, HÀM SỐ LIÊN TỤC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn lim f  x   L hay f  x   L khi x  x 0 . x x0

 Giới hạn bên phải lim f  x   L . x x0

 Giới hạn bên trái lim f  x   L . x x0

Định lí

lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L

x x0

Giới hạn tại vô cực lim f  x   L hay f  x   L khi x   ; x 

lim f  x   L hay f  x   L khi x   .

x 

Giới hạn vô cực

lim f  x    hay f  x    khi x   ;

x 

lim f  x    hay f  x    khi x   ;

x 

lim f  x    hay f  x    khi x   ;

x 

lim f  x    hay f  x    khi x   .

x 

Các dạng giới hạn vô định của hàm số:

0  ; ;    ; 0. ; 1 . 0 

2. Hàm số liên tục Hàm số liên tục tại một điểm Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng K và x 0  K . Hàm số y  f  x  liên tục tại x 0 khi và chỉ khi lim f  x   f  x 0  . x x0

Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn

y  f  x  liên tục trên  a; b  khi và chỉ khi y  f  x  liên tục tại mọi điểm x   a; b  . y  f  x  liên tục trên  a; b  khi và chỉ khi y  f  x  liên tục trên

 a; b  ;

lim  f  a  và

x a 

lim  f  b  .

x b

Tính chất: Các hàm số sơ cấp (đa thức, lượng giác, mũ, lôgarit) liên tục trên các khoảng của tập xác định. Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  .f  b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm

c   a; b  sao cho f  c   0 . Nói cách khác: Nếu hàm số y  f  x  liên trục trên đoạn  a; b  và f  a  .f  b   0 thì phương trình

f  x   0 có ít nhất một nghiệm c   a; b  . Trang 1

Mở rộng: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Đặt m  min f  x  , M  max f  x  . Khi đó với a;b

a;b

mọi T   m; M  luôn tồn tại ít nhất một số c   a; b  sao cho f  c   T . PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC Giới hạn đặc biệt lim x  x 0 ; lim c  c

x x0

lim c  c

(c là hằng số)

lim c  c

x 

x 

(c là hằng số)

x x0

lim x k  

lim x k   ; k chẵn

x 

x 

lim

1   ; x

lim

1   x

x 0

lim x   ; k lẻ k

x 

x 0

lim

c 0 xk

lim

1 1  lim   x x 0 x

x 

x 0

Định lí về giới hạn

lim f  x   L

lim g  x   M

x x0

lim f  x   g  x    L  M

x x0

f x L  x x0 g  x  M

lim f  x  .g  x    L.M

lim

x x0

f  x   0 ; lim f  x   L

 M  0

lim f  x   L  lim f  x   L

x x0

 L  0 và lim f  x   L x x0

Quy tắc về giới hạn vô cực

lim f  x 

lim g  x 

x x0

L>0

L<0

lim f  x  .g  x  

x x0











lim g  x 

Dấu của g  x 

f x x x0 g  x 



Tùy ý

L>0







L<0







lim f  x 

x x0

lim

Trang 2

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tím giới hạn của hàm số 1. Phương pháp giải Cách 1: Các cách khử dạng vô định:  Phân tích thành nhân tử.  Nhân liên hợp.  Chia cả tử và mẫu cho một biểu thức.  Thêm bớt số hoặc biểu thức. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS  Tính lim f  x  .

2x  1 . x 1 x  3

Tính lim

x x0

Nhập f  X  , CALC X  x 0  109 

Nhập

2X  1 , CALC X  1  109  X3

Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của dãy số. Ta nhận được kết quả 0,25000. 2x  1 1  0, 25  . x 1 x  3 4

Do đó: lim  Tính lim f  x  .

Tính lim

x x0

x 1

Nhập f  X  , CALC X  x 0  10  9

Nhập

2x  1 . x 3

2X  1 , CALC X  1  109  X3

Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của dãy số. Ta nhận được kết quả 0,25000. Do đó lim x 1

 Tính lim f  x  .

Tính lim

x x0

x 1

Nhập f  X  , CALC X  x 0  10  9

Nhập

2x  1 1  0, 25  . x 3 4

2x  1 . x 3

2X  1 , CALC X  1  109  X3

Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của Ta nhận được kết quả 0,24999. dãy số. Do đó lim x 1

 Tính lim f  x  . x 

Nhập f  X  , CALC X  109 

Tính lim

x 

Nhập

2x  1 1  0, 25  . x 3 4

2x  1 . x 3

2X  1 , CALC X  109  X3

Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của Ta nhận được kết quả 1,99999. dãy số. Do đó lim

x 

2x  1 2. x 3

Trang 3

 Tính lim f  x  .

Tính lim

x 

Nhập f  X  , CALC X  109 

Nhập

2x  1 . x 3

2X  1 , CALC X  109  X3

Ta nhận được kết quả gần với giá trị giới hạn của dãy số. Ta nhận được kết quả 2,000000. 2x  1 2. x  x  3

Do đó lim 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giới hạn lim  5x 4  2x 2  1 . x 

B. 

A. 5

D. 

C. 0 Hướng dẫn

2 1   Ta có lim  5x 4  2x 2  1  lim x 4  5  2  4    . x  x  x x    Chọn B.

x 2  2x  5 1 Ví dụ 2: Cho giới hạn lim  L . Tính 3  2 . 2 x 1 x 1 L

B. 1

A. 2

C. 5

D. 1

Hướng dẫn x 2  2x  5 12  2.1  5 1  lim  1  L . Vậy 3  2  1 . Ta có lim 2 2 x 1 x  1 x 1 1 1 L  Chọn D.

x2  x  6 Ví dụ 3: Cho giới hạn lim 2  L . Giá trị của 3L2  4L  6 bằng: x 2 x  x  2

5 3

B. 13

23 3

D. 21

Hướng dẫn

 x  3 x  2   lim x  3  5  L . x  x 6  lim 2 x  2 x x2  x  2  x  1 x 2 x  1 3 2

Ta có lim x 2

5 23 5 Vậy 3L  4L  6  3    4.  6  . 3 3 3 2

 Chọn C.

Ví dụ 4: Cho giới hạn lim x 2

A. 

1 4

1 x  2  2x bằng:  L . Giá trị của 3 L 1 x 1  3  x

B. 

65 64

C. 

64 65

D. 1

Trang 4

Hướng dẫn Ta có lim x 2

 lim



 x  2  2x  x  1  3  x x  2  2x  lim x  1  3  x x 2  x  1  3  x  x  2  2x



 

 x  1  3  x   lim   x  1  3  x    1 . 4 2  x  2   x  2  2x  2  x  2  2x 

  x  2

x 2

1 1 64  . Vậy L    3 4 L 1 65  Chọn C.

 x 2  x  4 khi x  3  Ví dụ 5: Cho hàm số f  x    x 2  4x  21 . Chọn kết quả đúng của lim f  x  : x 3 khi x  3  x 3 

A. 1

B. 18

C. 10

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn Ta có lim f  x   lim  x 2  x  4   10 ; x 3

x 3

lim f  x   lim

x 3

 x  7  x  3  lim x  7  10 . x 2  4x  21  lim   x 3 x 3 x 3 x 3

Vì lim f  x   lim f  x   10 nên lim f  x   10 . x 3

x 3

 Chọn C.

 x3  8 khi x  2  Ví dụ 6: Tìm giá trị dương của tham số m để hàm số h  x    x  2 có giới hạn tại mx 2  x  m 2 , khi x  2 

x  2 . A. m  2

B. m   2

C. m   2

D. m  2

Hướng dẫn  x3  8 lim h x  lim  x 2  2x  4   12  x 2   x 2 x  2  xlim 2 Ta có  . 2 2 2 2  lim h  x   lim  mx  x  m   4m  2  m x 2  x 2

Hàm số có giới hạn tại x  2  lim h  x   lim h  x  x 2

x 2

 12  4m 2  2  m 2  5m 2  10  m 2  2  m   2 .

Do m > 0 nên m  2 .  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm giới hạn lim

x 





2x  1  x .

Trang 5

1 2

Câu 2. Tìm giới hạn lim x 3

C. 

B. 

2 5

D. 1

x 3 . 5x  15

B. 1

1 5

D. 1

3 2x  2x, x  1 Câu 3. Cho hàm số f  x    3 . Nhận xét nào sau đây là sai?  x  3x, x  1

A. lim f  x   0 x 1

B. lim f  x   0 . x 1

C. Hàm số đã cho không có giới hạn tại 1. D. Hàm số có tập xác định là  . x 2  2x  1 là: x 1 2x 3  2

Câu 4. Kết quả đúng của lim A.  Đáp án

B. 0 1–B

2–C

C. 3–A

1 2

D. 

4–B

Dạng 2: Hàm số liên tục 1. Phương pháp giải Hàm số y  f  x  liên tục tại điểm x 0 khi và chỉ khi lim f  x   lim f  x   f  x 0  . x x0

x x0

Chú ý: Ta có thể tính giới hạn bằng cách sử dụng máy tính. 2. Ví dụ minh họa

 9  x 2 khi  3  x  3 Ví dụ 1: Cho hàm số f  x    và các khẳng định: khi x  3 0 (I) Hàm số f  x  xác định tại x = 6.

(II) Hàm số f  x  không liên tục tại x = 2. (IV) Hàm số f  x  liên tục tại x = 3.

(III) lim f  x   3 . x 3

Chọn đáp án đúng. A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (I) và (IV) đúng. C. Chỉ (II) và (IV) sai.

D. Tất cả đều đúng.

Hướng dẫn Vì hàm số f  x  xác định tại x = 6. Nên (I) đúng: Hàm số có các khoảng xác định là  3;3 và  3;   . Vì x = 2 thuộc các khoảng xác định của hàm số, do đó hàm số liên tục tại x = 2. Nên (II) sai. Trang 6

Mà lim f  x   lim 9  x 2  0 ; lim f  x   lim 0  0 ; f  3  9  32  0 . x 3

x 3

Vậy lim f  x   0 và hàm số liên tục tại x = 3. Nên (III) sai, (IV) đúng. x 3

Vậy chỉ có (I) và (IV) là đúng.  Chọn B.

3  x2  5 khi x  2  2 Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x    x  4 . Nhận xét nào sau đây là đúng? 1  khi x  2  6

A. lim f  x   x 2

1 . 6

B. lim f  x   f  2  . x 2

C. Hàm số liên tục tại x  2 .

D. Hàm số xác định tại x  2 . Hướng dẫn

Ta thấy hàm số không xác định tại x  2 . Nên đáp án D sai. 3  x2  5 9  x2  5 1 1  lim  lim  . 2 x 2 x 2 x 4  x 2  4  3  x 2  5 x 2 3  x 2  5 6

Ta có lim f  x   lim x 2





Nên đáp án A sai. 1 Mà f  2     lim f  x   f  2  . Nên đáp án B sai. x 2 6

Tương tự ta tìm được lim f  x   x  2 

1  f  2  . 6

Do đó hàm số liên tục tại x  2 .  Chọn C.

 x 2  2x  3 khi x  3  Ví dụ 3: Giá trị nào của a thì hàm số f  x    x  3 liên tục tại x = 3? 5a  6 khi x  3  A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Hướng dẫn Ta có

lim f  x   lim

x 3

 x  1 x  3  lim x  1  4 ; x 2  2x  3  lim   x 3 x 3 x 3 x 3

lim  5a  6   5a  6 ; f  3  5a  6 .

x 3

Để hàm số liên tục tại x = 3 thì 5a  6  4  a  2 .  Chọn A.

Trang 7

 x 2  2x  3 khi x  1  Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x    x  3  2 . Khẳng định đúng là: 9x  7 khi  3  x  1 

A. Hàm số liên tục tại điểm x  3 .

B. Hàm số không liên tục tại điểm x = 1.

C. Hàm số liên tục tại điểm x  4 .

D. Hàm số liên tục tại điểm x = 1. Hướng dẫn

Hàm số có các khoảng xác định là  3;1 và 1;   . Vì x  3 và x  4 không thuộc các khoảng xác định của hàm số, do đó hàm số không liên tục tại x  3 và x  4 . Nên đáp án A và C sai. Ta có lim f  x   lim x 1

x 1

 lim  x  3 x 1



 x  1 x  3 x  3  2 x 2  2x  3  lim x 3 4 x  3  2 x 1



x  3  2  16 .

Ta lại có lim f  x   lim  9x  7   16 ; f 1  9.1  7  16 . x 1

x 1

Suy ra lim f  x   f 1 . Do đó, hàm số liên tục tại điểm x = 1. Nên đáp án D đúng. x 1

 Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

 x 2  3x  2 khi x  2  Câu 1. Cho hàm số f  x    x  2 . Chọn khẳng định sai. 1 khi x  2  A. lim f  x   2 .

B. Hàm số f  x  liên tục tại điểm x 0  4 .

C. Hàm số liên tục tại x = 2.

D. Hàm số có tập xác định  .

x 2

4 2 5x  6x  x khi x  1 Câu 2. Cho hàm số f  x    3 . Chọn khẳng định sai. khi x  1  x  3x

A. lim f  x   0 .

B. lim f  x   2 .

C. Hàm số không liên tục tại x = 1.

D. Hàm số có tập xác định  .

x 0

x 1

 2x 2  7x  6  khi x  2  x2 Câu 3. Cho hàm số y  f  x    . Xác định a để hàm số f  x  liên tục tại x 0  2 . a  1  x khi x  2  2  x

3 4

1 2

C. 0

D. 2

Trang 8

khi x  1 a  3  x  3x  2 khi x  1 liên tục tại x 0  1 . Câu 4. Tìm a để hàm số f  x    2 x  6x  5  khi x  1 b 

3 4

Đáp án

3 4

B.  1–A

2–C

3–A

1 6

D. 1

1 2

D. 2

4–B

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP x 3  2x 2  1 . x 1 2x 5  1

Câu 1. Tính giới hạn lim A. 2

B. 

Câu 2. Tìm giá trị đúng của lim x 3

A. Không tồn tại.

1 2 x 3 . x 3

B. 0

C. 1

D. 

x3  8 . x 2 x 2  11x  18

Câu 3. Tìm giới hạn lim A.

2 5

B. 1

Câu 4. Tìm giới hạn lim

x 

1 2

3x  2x 2  1

 5x  1  x 2  2x  B. 

12 7

D. 0

6 5

D. 1

2x 3  5x 2  4x  1 1 Câu 5. Tìm , với L là giới hạn của hàm số tại x  1 . x3  x 2  x 1 L

1 2

B. 1

C. 0

D. 2

5x 4  6x 2  x khi x  1 Câu 6. Cho hàm số f  x    3 . Nhận xét nào là sai? khi x  1  x  3x A. lim f  x   0 .

B. Hàm số không có giới hạn tại x = 1.

C. lim f  x   2 .

D. Hàm số có tập xác định là  .

x 0

x 1

 3x  2  4x  5 , khi x  3 Câu 7. Tìm giơi hạn lim g  x  với g  x    . x 3 62  x  , khi x  3  17

Trang 9

3 4

B. 1

Câu 8. Biết lim

x 



A. 11

11 17

D. Không tồn tại giới hạn



ax 2  bx  1  x  5 với a, b   . Khi đó a 2  ab  b 2 bằng: B. 101

C. 111

D. 110

 3 x  a2  4 Câu 9. Biết lim  x  1 2   . Tìm giá trị của a. x 1 x 1  5  A. a  2

B. 

Câu 10. Giá trị của giới hạn lim

x 2017  2017x  2016

 x  1

x 1

A. Không tồn tại.

B. 0

17 4

B. 

D. 4

là: C. 2034000

Câu 11. Tìm giới hạn của hàm số y 

A. 

1 6

D. 2033136

sin x  sin 2x khi x tiến đến 0.  2 x x 1  2sin  2 

3 16

C. 1

D. 1

 x 2  3x  2 khi x  2  Câu 12. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f  x    x 2  2x liên tục trên  . mx  m  1 khi x  2  A. 

1 6

B. m 

2 3

C. Không tồn tại m.

D. m 

1 . 6

  tan x khi x  0  x   k, k    Câu 13. Cho hàm số f  x    x . Hàm số y  f  x  liên tục trên các 2 0 khi x  0 khoảng nào sau đây?

A.  ;0 

  B.  ;  4 

   C.   ;   4 6

  D.  0;   2

khi x  3 1 a 2  b2  Câu 14. Cho hàm số f  x   ax  b khi 3  x  5 liên tục trên  . Tính . 3 7 khi x  5  A. 

1 3

B. 73

C. 1

73 3

3  9  x khi 0  x  9  x  khi x  0 Câu 15. Cho hàm số f  x   m . Tìm m để f  x  liên tục trên nửa khoảng 3  khi x  9  x

0;   . Trang 10

1 3

1 2

1 6

D. 1

  khi x   sin x 2     Câu 16. Cho hàm số f  x   a sin x  b khi   x  . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên  . 2 2    2  cos x khi x  2 

3 2

2 3

1 2

D. 1

Đáp án: 1-A

2-A

3-C

4-C

5-D

6-B

11 - C

12 - A

13 - D

14 - D

15 - C

16 - A

7-C

8-C

9-A

10 - D

Trang 11

CHƯƠNG 5 DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Cấp số cộng

un 

là cấp số cộng khi và chỉ khi u n 1  u n  d, n  * , d là hằng số.

d: công sai; d  u n 1  u n . Số hạng tổng quát u n  u1   n  1 d, n  2;d  Tính chất u k 

u n  u1 n 1

u k 1  u k 1 hay u k 1  u k 1  2u k , k  2 . 2

Tổng n số hạng đầu Sn  u1  u 2  u 3  ...  u n . Sn 

n  2u1   n  1 d  n  u1  u n  , n  * hay Sn   2 2

2. Cấp số nhân

un 

là cấp số nhân khi và chỉ khi u n 1  u n q, n  * , q là hằng số.

q: công bội; q 

u n 1 un

Số hạng tổng quát u n  u1q n 1 , n  2 . Tính chất: u 2k  u k 1u k 1 hay u k  u k 1u k 1 , k  2 . Tổng n số hạng đầu Sn  u1  u 2  u 3  ...  u n . • Nếu q  1 thì Sn  nu1 , n  * . • Nếu q  1 thì Sn 

u1 1  q n  1 q

, n  * .

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn q  1 . Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Sn  u1  u 2  u 3  ...  u n 

u1 1 q

Chú ý: Trong cuốn sách này, ta viết tắt cấp số cộng là CSC; viết tắt cấp số nhân là CSN. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm cấp số cộng, cấp số nhân 1. Ví dụ minh họa 3 3 3 3 Ví dụ 1: Cho dãy số. 3;  ;  ;  ;  ;.... . Khẳng định nào sau đây là sai? 2 4 8 16

A. Dãy số này là cấp số nhân u1  3;q  B. Số hạng tổng quát u n 

1 . 2

3 . 2n

Trang 1

C. Số hạng tổng quát u n 

3 . 2n 1

D. Dãy số này là dãy số giảm. Hướng dẫn Ta có: 

3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1  3. ;    . ;    . ;    . 2 2 4 2 2 8 4 2 16 8 2

Vậy dãy số trên là cấp số nhân giảm với u1  3; q  Số hạng tổng quát của cấp số nhân trên là: u n  u1.q

1 . Nên đáp án A và D đúng. 2

n 1

1  3   2

n 1



3 2n 1

 Chọn B.

Ví dụ 2: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng? A. u n  3n 4  4n  1 .

B. u n   1 n  8n . n

C. u n  n 2  n  1 .

D. u n  5n  1 .

Hướng dẫn Cách 1: Xét dãy số  u n  với u n  5n  1 . Ta có: u n 1  u n  5  n  1  1   5n  1  5n  5  1  5n  1  5. Vậy  u n  là một cấp số cộng với công sai d  5 . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS Tìm một vài số hạng của từng dãy số trong các đáp án và kiểm tra xem dãy số nào là cấp số cộng.  Chọn D.

Ví dụ 3: Giữa các số –2 và –8192 ta đặt thêm ba số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Ba số cần điền thêm là: A. 16; –128; 1024.

B. –16; 128; –1024.

C. 16; 128; 1024.

D. –16; –128;1024.

Hướng dẫn Cách 1: Theo đề bài ta được cấp số nhân có năm số hạng với số hạng đầu là –2 và số hạng cuối là –8192.

u1  2 u1  2 u  2   4  1 q  8 u 5  8192 u1q  8192 Với q  8  ba số cần điền thêm là 16; –128; 1024. Với q  8  ba số cần điền thêm là –16; –128; –1024. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thử các đáp án và kiểm tra xem dãy số nào là cấp số nhân.  Chọn A.

Ví dụ 4: Biết C1n ;C2n ;C3n lập thành một cấp số cộng với n  3 . Khi đó giá trị của n là: A. 5.

B. 7.

C. 9.

D. 11.

Hướng dẫn Trang 2

Cách 1: Điều kiện n  * , n  3 Vì C1n ;Cn2 ;C3n lập thành một cấp số cộng, nên ta có C1n  C3n  2Cn2

n

n.  n  1 .  n  2  n! n!  2. n  n  n  1 3!.  n  3 ! 2!.  n  2  ! 6

 n  0 (Loaïi) n  7   n 2  9n  14  0   6   n  1 n  2   6  n  1  n  2  Loaïi  Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thử các đáp án với các giá trị n và kiểm tra xem dãy số C1n ;C2n ;C3n nào là cấp số cộng.  Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? B. un   1  10n . n

A. un  19n  5 .

C. un  n 2  n  1 .

D. un  2n3  1 .

Câu 2. Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có năm số hạng. A. 7; 12; 17.

B. 6; 10; 14.

C. 8; 13; 18.

D. 6; 12; 18.

Câu 3. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? A. un   1  10n . n

B. un  3n  4 .

 u1  3  C.  9 . u  n  1  un 

 u1  2 D.  . 2 u n 1  u n

Câu 4. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây A. u n 

1 . 4 1

B. u n 

1 4

n 2

C. u n  n 2 

1 . 4

D. u n  n 2 

1 . 4

Đáp án: 1–A

2–A

3–C

4–B

Dạng 2: Tìm công bội, công sai, số hạng thứ n của cấp số 1. Phương pháp giải Sử dụng các công thức: Cấp số cộng: d  u n 1  u n ;d  Cấp số nhân: q 

u n  u1 ; u n  u1   n  1 d n 1

u n 1 ; u n  u1q n 1 un

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có u 2  15; u 7  3645 . Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. A. u1  5;q  3 .

B. u1  5;d  3 .

C. u1  5;d  3 .

D. u1  5;d  2 .

Hướng dẫn Trang 3

u1.q  15 u 2  15 1 1 Ta có:    5   q  3  u1  5 . 6 243 u 7  3645 u1.q  3645 q Vậy u1  5;d  3  Chọn C.

u 3  u 5  u 9  9 Ví dụ 2: Tìm công sai của cấp số cộng sau  u 2  u 7  26 A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 5.

Hướng dẫn

u1  2d  u1  4d   u1  8d   9 u 3  u 5  u 9  9 u  2d  9 u  1 Ta có:    1  1 . u1  d  u1  6d  26 d  4 2u1  7d  26 u 2  u 7  26 Vậy công sai d  4 .  Chọn A.

u1  3u 3  u 6  2 Ví dụ 3: Cho cấp số cộng  u n  thỏa mãn  . Xác định số hạng tổng quát của cấp số 2u 4  u 3  4 cộng. A. u n  2  4  n  1 .

B. u n  2  4  n  1 .

C. u n  4  2  n  1 .

D. u n  4  2  n  1 .

Hướng dẫn

u1  3u 3  u 6  2 u  d  2 u  4 u1  3  u1  2d   u1  5d  2 Ta có:  .   1  1 d  2 u1  4d  4 2u 4  u 3  4 2  u1  3d    u1  2d   4 Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là u n  4   n  1 2  hay u n  4  2  n  1 .  Chọn D.

35  u 2  u 3  u 4  2  Ví dụ 4: Cho cấp số nhân u1.u 5  25 có công bội nguyên, số 320 là số hạng thứ bao nhiêu của u  0 i  1,.....,5    1  cấp số nhân? A. Số hạng thứ 6.

B. Số hạng thứ 7.

C. Số hạng thứ 8.

D. Số hạng thứ 9.

Hướng dẫn 35  2 3 35 35   2 3  u1  q  q  q   2 u 2  u 3  u 4  u1q  u1q  u1q  Ta có:  2  2  4 u1.u 5  25 u .u q  25  u q 2 2  25  1 1  1  q  q 2  q3 7 35  2 3   u1  q  q  q    q2 2  2  2 u q  5 u q 2  5  1  1

1  2 Trang 4

q  2 1  q  q2 7 2 2 Từ 1 và q  0 ta có: .   2 1  q  q   7q  2q  5q  2  0   q  1 q 2  2

Vì cấp số có công bội nguyên, nên chọn q  2 nên u1 

5 . 4

5 Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân là u n  .2n 1 . 4 5 Ta có 320  .2n 1  n  9 . Vậy số 320 là số hạng thứ chín của cấp số nhân. 4  Chọn D.

u 3  u 5  14 Ví dụ 5: Cho cấp số cộng sau  . Số hạng thứ mười hai của cấp số này là S12  129 A. 19.

B. 15.

C. 23.

D. 38.

Hướng dẫn Ta có: Sn 

n  u1  u n  12.  u1  u12   S12   129 . 2 2

 6  u1  u12   129  6  u1  u1  11d   129  12u1  66d  129 5  u1   u 3  u 5  14 u  2d  u1  4d  14 2u  6d  14  2  1  1  Mà:  . 12u1  66d  129 12u1  66d  129 S12  129 d  3  2

Suy ra số hạng tổng quát của cấp số trên là: u n 

5 3   n  1 . 2 2

Vậy số hạng thứ mười hai của cấp số trên là: u12 

5 3  12  1  19 . 2 2

 Chọn A.

Ví dụ 6: Cho ba số x; 3; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x 4  y 3 . Tính giá trị biểu thức

x 2  xy  2y 2 . A. 88.

B. 77.

C. 66.

D. 99.

Hướng dẫn Vì ba số x; 3; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có xy  32  9

1

x4 y 3

Nếu x  0  y  0  x; 3; y không tạo thành cấp số nhân (Loại). Xét x  0 , từ 1 ta có y  x4 

9 . Thay vào x 4  y 3 ta được: x

9 3  x5  9 3  x  3  y  3 3 . x

Trang 5

Vậy x 2  xy  2y 2 

 3

 

 3.3 3  2 3 3

 66

 Chọn C.

3. Bài tập tự luyện

u 2  6 Câu 1. Tìm công bội nguyên của cấp số nhân sau:  . S3  43 A. 2.

1 . 2

C. 6.

D. 3.

u 9  5u 2 Câu 2. Tìm công sai của cấp số cộng sau:  . u13  2u 6  5 A. 2.

B. 4.

C. 3.

1 . 2

u1  u 2  u 3  14 Câu 3. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân công bội nguyên sau:  u1.u 2 .u 3  64 A. –7.

B. –12.

C. 2.

D. 3.

Câu 4. Giữa các số 160 và 5, ta chèn vào bốn số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm số hạng thứ ba. A. 40.

B. 80.

C. 20.

D. 10.

u1  u 3  3 Câu 5. Có bao nhiêu cấp số nhân thỏa mãn:  2 ? 2 u 1  u 3  5 A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

S12  34 Câu 6. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng sau:  S18  45 A.

1 . 9

31 . 9

1 . 9

D. 2.

Đáp án: 1–C

2–B

3–C

4–A

5–C

6–B

Dạng 3: Tính tổng của cấp số, tìm số số hạng của cấp số. 1. Phương pháp giải Sử dụng các công thức: Cấp số cộng: Sn 

n  2u1   n  1 d  n  u1  u n  ;Sn   2 2

Cấp số nhân: q  1  Sn  nu1

q  1  Sn 

u1 1  q n  1 q

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S 

u1 1 q

Trang 6

2. Ví dụ minh họa

u1  u 5  51 Ví dụ 1: Tìm tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân sau:  . u 2  u 6  102 A. 3069.

B. 3096.

C. 3079.

D. 3097.

Hướng dẫn u1 1  q 4   51 4  u 1  q  51  u1  u 5  51 q  2  u1  u1q  51  1     1 51  Ta có:  . 5 4 u  3  u q 1  q  102 u1q  u1q  102  1 u 2  u 6  102     1  q 102 4

Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên là: S10 

3 1  210  1 2

 3069

 Chọn A.

Ví dụ 2: Cho một cấp số cộng có công sai âm, số hạng thứ tư bằng 11. Hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng 6. Hỏi 45 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên? A. 12.

B. 13.

C. 14.

D. 15.

Hướng dẫn

u1  3d  11 u 4  11 u  3d  11 u1  17 Theo đề bài ta có:    1  . u1  2d   u1  5d   6 3d  6 d  2 u 3  u 6  6 Ta có:

n  2u1   n  1 d  n  2.17   n  1 2   n  3 Sn    45    90  n  2n  36    2 2  n  15 Vậy 45 là tổng của 3 hoặc 15 số hạng đầu tiên.  Chọn D.

1 21845 Ví dụ 3: Cho cấp số nhân  u n  , biết u 2  ; u 5  16 và tổng Sn  . Cấp số nhân này có bao nhiêu 4 16 số hạng?

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 10.

Hướng dẫn 1 1   1 u1q  u1q  1 1 1       u q  u  4 4  2  1   u1q   u1  Ta có:    4  4  16 . 4 u 5  16 u q 4  16  q4  1  13  1 q  4 q  4  1 64 64  q  q

Ta có: Sn 

u1 1  q n  1 q

1 1  4n  21845 16     65535  1  4n  4n  65536  n  8 16 1 4

 Chọn B.

3. Bài tập tự luyện

Trang 7

Câu 1. Cho cấp số nhân có u1  3;q  A. 9.

1 . Tính tổng của dãy số trên. 2

B. 8.

C. 7.

D. 6.

u  150 Câu 2. Cho dãy số  u n  xác định bởi  1 với mọi n  2 . Khi đó số 300 là tổng của bao u n  u n 1  3 nhiêu số hạng đầu tiên? A. 100.

B. 120.

C. 150.

D. 180.

1 C. a   . 5

D. a  5 .

Đáp án: 1–D

2–A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Cho cấp số nhân A. a  

1 . 5

1 1 ;a; . Giá trị của a là: 5 125

B. a  

1 . 25

Câu 2. Cho cấp số nhân có u1  3;q  A. u 5 

27 . 16

B. u 5 

2 . Tính u 5 . 3

16 . 27

C. u 5 

16 . 27

D. u 5 

27 . 16

u1  u 2  u 3  7 Câu 3. Cấp số nhân  2 có công bội q1 và q 2 .Tổng q1  q 2 bằng: 2 2 u 1  u 2  u 3  21 A.

19 . 2

5 . 2

C. 1.

Câu 4. Tìm tích các số dương a và b sao cho

 b  1

1 . 2

a, a  2b, 2a  b lập thành một cấp số cộng và

, ab  5,  a  1 lập thành một cấp số nhân. 2

A. 12.

B. 6.

Câu 5. Cho cấp số nhân có u1  3;q 

C. 18.

D. 3.

2 96 . Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số này? 3 243

A. Thứ năm.

B. Thứ sáu.

C. Thứ bảy.

D. Không phải là số hạng của cấp số.

Câu 6. Cho cấp số nhân  u n  , biết u1  5; u 5  405 và tổng Sn  1820 . Cấp số nhân này có bao nhiêu số hạng? A. 8. Câu 7.

B. 7.

C. 6.

D. 5.

Cho cấp số cộng u1 ; u 2 ; u 3 ;... có công sai d. Biết u1  u 4  u 7  u10  u13  u16  147 . Tính

u1  u 6  u11  u16 ? A. 34.

B. 29.

C. 98.

D. 71.

Trang 8

u1  u 5  51 Câu 8. Cho cấp số nhân  u n  có các số hạng thỏa mãn  . Hỏi số 12288 là số hạng thứ u 2  u 6  102 mấy? A. 20.

B. 13.

C. 7.

D. 12.

1 Câu 9. Cho một cấp số cộng có u1  ; u 8  26 . Tìm công sai d. 3

A. d 

11 . 3

3 . 11

B. d 

C. d 

10 . 3

D. d 

3 . 10

2 2 2 u  u 2  u 3  155 Câu 10. Cấp số nhân  1 có công bội q1 và q 2 . Tính tổng q1  q 2 . S3  21

A. 0.

17 . 4

C. 1.

5 . 4

S5  5 Câu 11. Tìm công sai của cấp số cộng sau  , biết công sai là một số dương. u1.u 2 .u 3 .u 4 .u 5  45 A. 2.

B. 3.

C. 4.

D.5.

u1  u 2  u 3  9 Câu 12. Cấp số cộng  2 có hai công sai d1 , d 2 . Tính tổng d1  d 2 . 2 2 u 1  u 2  u 3  35 A. 2.

B. 0.

C. 4.

D. 1.

Đáp án: 1–B

2–C

11–A

12–B

3–B

4–D

5–B

6–C

7–C

8–B

9–A

10–B

Trang 9

CHƯƠNG 5 DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM CHUYÊN ĐỀ 4: ĐẠO HÀM PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm đạo hàm Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng (a;b) và x 0   a; b  . Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số

f  x   f  x0  khi x  x 0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x 0 , kí hiệu f   x 0  hay y  x 0  . x  x0 f  x   f  x0  y  lim x x0 x  0 x x  x0

Như vậy ta có: f   x 0   lim

 x  x  x

, y  f  x 0  x   f  x 0  

Chú ý: Nếu hàm số f  x  có đạo hàm tại điểm x 0 thì f  x  liên tục tại x 0 . 2. Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử u  u  x  ; v  v  x  ; w  w  x  là các hàm số có đạo hàm, khi đó:

 u  v   u  v

 u  v   u  v

 uv   uv  uv

 u  u v  uv    v2 v

 ku   ku, k  

3. Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

 C   0

Đạo hàm của hàm số hợp  u  u  x  

(C là một số).

 x   x    , x  0  .

 u   u

 x   2 1 x  x  0 .

 u   2uu  u  0 .

1  1      2  x  0. x x

u  1      2  u  0. u u



 1  n x

1

n     n 1  x  0  . x 



 1  n u

1

u     , u  0  .

n     n 1 .u   u  0  . u 

 s inx   cosx .

 s inu   cosu .u .

 cosx    s inx.

 cosu    s inu.u.

 tan x  

1  1  tan 2 x 2 cos x

 tanu  

u  1  tan 2 u  .u  2 cos u

Trang 1

    x   k, k   . 2  

 cot x   

    u   k, k   . 2  

1   1  co t 2 x  2 sin x

 cotu   

u   1  co t 2 u  u  2 sin u

 x  k, k   .

 u  k, k   .

 a   a .ln a.

 a   a .ln a.u .

 e   e .

 e   e .u .

 log a x    ln x  

1 ,  x  0. x.ln a

 log a u  

1 ,  x  0. x

 lnu  

u ,  u  0. u .ln a

u ,  u  0. u

4. Một số công thức tính đạo hàm nhanh ad  bc  ax  b     2  cx  d   cx  d 

 ax 2  bx  c  adx 2  2aex  be  dc    2  dx  e   dx  e 

 ax 2  bx  c   ae  bd  x 2  2  af  dc  x  bf  ec  2   2  dx  ex  f   dx 2  ex  f  5. Vi phân Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x. Ta gọi tích f   x  .x là vi phân của hàm số f  x  tại điểm x ứng với số gia x (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu df  x   f   x  x. Nếu chọn hàm số y = x thì dy  dx  1.x  x. Vì vậy ta thường kí hiệu x  dx và dy  f   x  dx. Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: f  x 0  x   f  x 0   f '  x 0  .x. 6. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  . Hàm số f   x  còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f  x  . Nếu hàm số f   x  có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f  x  , kí hiệu là y" hay f "  x  . Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f  x  , kí hiệu là y hay f   x  . n Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) là đạo hàm cấp n của hàm số f  x  , kí hiệu là y  hay

f  n   x  , tức là ta có:





 y n   y n 1 ;  n  N, n  1 .

Chú ý: Vận tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm của độ dời của chuyển động theo thời gian. Gia tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm của vận tốc thức thời của chuyển động theo thời gian. Trang 2

Đạo hàm cấp 2 của độ dời là gia tốc tức thời của chuyền động tại thời điểm t. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các quy tắc tính đạo hàm 1. Ví dụ minh họa 3  4  x x0  4 Ví dụ 1: Cho hàm số f  x    khi . Khi đó f   0  là kết quả nào sau đây? 1  x0  4

1 . 4

1 . 16

1 . 32

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn

f  x   f  0 Ta có: lim  lim x 0 x 0 x 0

 lim

2 

4x



 2 

4x

4x 2  4  x

x 0



3 4 x 1  4 4  lim 2  4  x x 0 x 4x

  lim x 0



4x 2  4  x



 lim x 0



4 2 4x





1 . 16

 Chọn B.

 x 2  1 khi x  0 Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số f  x    2 có đạo hàm trên . 2x  ax  b khi x  0 A. a  10, b  11.

B. a  0, b  1.

C. a  0, b  1.

D. a  20, b  1.

Hướng dẫn Ta thấy với x  0 thì f  x  luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên  khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại x = 0. Ta có lim f  x   lim  x 2  1  1, lim f  x   lim  2x 2 +ax  b   b x 0

x 0

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì b = 1. lim

x 0

f  x   f  0 x2 11  lim  lim x  0; x 0 x 0 x x

 lim x 0

f  x   f  0 2x 2 +ax  lim  lim  2x  a   a x 0 x 0 x x

Để hàm số có đạo hàm tại x = 0 thì: lim

x 0

f  x   f  0 f  x   f  0  lim  a  0. x 0 x x

Vậy a = 0, b = 1 là những giá trị cần tìm.  Chọn C.

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số sau y   x 7  x  là: 2

Trang 3

A. y  2  x 7  x 

B. y   7x 7  1 x 6  1 .

C. y   7x 7  x  x 6  1 .

D. y  2  x 7  x  7x 6  1 . Hướng dẫn

2 Cách 1: y   x 7  x  . Sử dụng công thức  u    .u 1.u  (với u  x 7  x )

y  2  x 7  x  .  x 7  x   2  x 7  x  7x 6  1

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS Bước 1: Sử dụng SHIFT



 

, nhập hàm số y   x 7  x  với x = 2 (hoặc một số chứa căn, nhập số càng 2

lẻ thì kết quả có tính chính xác càng cao). d dx

 X  X   x  2 ta được kết quả là 116740. 7

Bước 2: Thay x = 2 vào bốn đáp án, chọn đáp án có kết quả là 116740. Với đáp án A, ta có y  2  x 7  x   2  27  2   260. Không thỏa mãn, loại A. Với đáp án B, ta có y   7x 7  1 x 6  1   27  2  26  1  8450. Không thỏa mãn, loại B. Với đáp án C, ta có y   7x 7  x  x 6  1   7.27  2  26  1  58370. Không thỏa mãn, loại C. Với đáp án D, ta có y  2  x 7  x  7x 6  1  2  27  2  7.26  1  116740. Thỏa mãn, chọn D.  Chọn D.

Ví dụ 4: Cho f  x   A. 1.

x 2  2x  5 . Tính f   1 . x 1

B. –3.

C. –5.

D. 0.

Hướng dẫn x 2  2x  5 4 4  x1  f  x  1  f   1  0. Cách 1: Ta có f  x   2 x 1 x 1 x  1  

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS Sử dụng SHIFT



 

x 2  2x  5 d  X 2  2X  5  , nhập hàm số f  x   với x  1:   x  1 x 1 dx  X 1 

ta được kết quả là 0.  Chọn D.

Ví dụ 5: Đạo hàm của hàm số sau y  A. y 

2sin 2x . cos2 2x

B. y 

1 là cos x  sin 2 x 2

2cos2x . cos2 2x

C. y 

cos2x . cos2 2x

D. y 

sin 2x . cos2 2x

Hướng dẫn

Trang 4

y

1 1  . Áp dụng 2 2 cos x  sin x cos2x

y 

  cos2x 

 cos2x 



sin 2x.  2x 

2sin 2x . cos2 2x



cos 2x 2

 1   u    2 ta được: u u

 Chọn A.

Ví dụ 6: Đạo hàm của hàm số y  A. 1.

2x 2  4x  1 ax 2  bx  c bằng . Tính tổng a + b + c ? 2 x 3  x  3

B. 4.

C. 2.

D. 10.

Hướng dẫn Ta có

 2x y 

 4x  1  x  3   x  3  2x 2  4x  1

 x  3

 4x  4  x  3   2x 2  4x  1 2x 2  12x  11   2 2  x  3  x  3 Do đó: a = 2; b = –12; c = 11 nên a + b + c = 2 – 12 + 11 = 1.  Chọn A.

Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  1  x 2 . Tính 2 1  x 2 .y . A. 0.

B. y.

C. xy.

D. 1.

Hướng dẫn Cách 1: Áp dụng công thức  y   x  1  x2 



 u   2 1 u .u

ta được:

 1 1  . x  1  x2     2 x  1  x2 2 x  1  x2





 x .  1  1  x2 2 x  1  x2  1

 1 1  x2  x  .   2 2 1  x  2 x  1 x

Do đó: 2 1  x 2 .y  2 1  x 2 .

x  1  x2 2 1 x

 1 . 1  x2  1  2  2 1 x

1  x2  x 2 1  x2





  

 x  1  x2  y

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS Bước 1: Thay x  3 vào y  x  1  x 2 ta tính được y 

3  1  3  1,931851653.

Bước 2: Tính giá trị 2 1  x 2 .y  2 1  3.y  4y. Sử dụng SHIFT



 

, nhập hàm số y  x  1  x 2 với x  3. Trang 5

d  2   X  1  X  x  3 ta được kết quả là 1,931851653 . dx  

Do đó: 2 1  x 2 .y  y.  Chọn B.

x Ví dụ 8: Cho hàm số y  cot . Hệ thức nào sau đây là đúng? 2

A. y 2  2y  0.

B. y 2  2y  1  0.

C. y 2  2y  2  0.

D. y 2  2y  1  0.

Hướng dẫn Cách 1: Ta có: y  

1 x    1  cot 2  . x 2 2 2sin 2 2

Do đó: y 2  2y  cot 2

x 1 x x  x  2.  1  cot 2   cot 2   1  cot 2   1 nên y 2  2y  1  0. 2 2 2 2  2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường SHIFT MODE 4. Thay x = 1 vào y  cot

x 1 ta tính được y  cot  2 2

Bước 2: Tính giá trị y 2  2y. Sử dụng SHIFT



 

1 1 tan 2

 1,830487722.

, nhập hàm số y  cot

x với x = 1. 2

  d  1   2.   x  1 ta được kết quả là –1. 2 X dx    1  tan   tan 2   2   1

Do đó: y 2  2y  1 hay y 2  2y  1  0.  Chọn B.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Đạo hàm của hàm số sau y  xcosx là: A. y  cosx  x s inx.

B. y  xcosx  s inx.

C. y  cosx  x s inx.

D. y  xcosx  s inx.

Câu 2. Tìm số gia của hàm số y  f  x   x3  3x 2  2 ứng với số gia x  0,1 của đối số x tại x 0  1. A. 0,329.

B. 0,178.

Câu 3. Đạo hàm của hàm số sau y  A. y 

6 1   x. 3 x 2 x

C. 0,299.

D. 0,198

3 2  x  x x là: 2 3 x

B. y 

6 1   x. 3 x x Trang 6

C. y 

6 1   2 x. 3 x x

D. y 

6 1   x. x3 x

 Câu 4. Cho hàm số y  cos3x.sin2x. Giá trị của y   bằng: 3 A. –1.

1 C.  . 2

B. 1.

1 . 2

Đáp án: 1–A

2–C

3–A

4–B

Dạng 2: Vi phân, đạo hàm cấp cao 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y  x3  2x 2  2. Tính vi phân của hàm số tại điểm x 0  1, ứng với số gia x  0,02.

A. –0,02.

B. 0,12.

C. 0,03.

D. –0,12.

Hướng dẫn Ta có : y  f   x   3x 2  4x. Do đó vi phân của hàm số tại điểm x 0  1, ứng với số gia x  0,02 là:





df 1  f  1 .x  3.12  4.1 .0,02  0,02.  Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hàm số y  x3  9x 2  12x  5. Vi phân của hàm số là:





 D. dy   3x

A. dy  3x 2  18x  12 dx.



  18x  12  dx.

B. dy  3x 2  18x  12 dx.



C. dy   3x 2  18x  12 dx.

Hướng dẫn









 Ta có dy  x3  9x 2  12x  5 dx  3x 2  18x  12 dx.

 Chọn A

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau y  cos2 x. A. 2sin2x.

B. 8sin2x.

C. 4 sin2x.

D. 2cos2x.

Hướng dẫn Ta có: y  cos2 x 

1 1  cos2x   y   sin 2x 2

 y    sin 2x   2cos2x  y   2cos2x   4sin 2x.  Chọn C.

Trang 7

Ví dụ 4: Cho hàm số f  x    x  1 . Giá trị f "  0  bằng: 3

A. 3.

B. 6.

C. 12.

D. 24.

Hướng dẫn Cách 1: Vì: f   x   3  x  1 ,f   x   6  x  1  f   0   6. 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS Sử dụng SHIFT

d dx



 

, nhập hàm số

 X  1  x  0.0001  dxd  X  1  x  0 3

0,0001  0



60003  6. 10000

Chú ý: Công thức bấm đạo hàm cấp 2 của hàm số y  f  x  tại x = a là:

d d f  x  x  a  0.0001  f x x  a dx dx 0,0001









 Chọn C.





Ví dụ 5: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y  sin x n  * ?

  A. y n  sin  x   . 2 

  B. y n  cos  x  n  . 2 

  C. y n  sin  x  n  . 2 

  D. y n  cos  x   . 2  Hướng dẫn

    Bước 1: Ta có: y  cosx  sin  x  1.  ; y   s inx  sin  x  2  2 2     Dự đoán: y n  sin  x  n  , với n  * . 1 2  Bước 2: Chứng minh (1) bằng quy nạp: * n = 1: (1) hiển nhiên đúng.

  * Giả sử (1) đúng với n  k  1 nghĩa là ta có: y k  sin  x  k  ta phải chứng minh (1) cũng đúng với 2  n  k  1 nghĩa là ta phải chứng minh:   k 1 y   sin  x   k  1  2 

2

Thật vậy: Vế trái  2   y

k 1

            y   sin  x  k    cos  x  k   sin  x   k  1   vế trái  2  2  2 2     k

Trang 8

Do đó  2  luôn đúng, nghĩa là 1 đúng với n = k +1.

  Bước 3: theo nguyên lí quy nạp suy ra y n  sin  x  n  , n  * . 2   Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số y  sin 2 x . Vi phân của hàm số là: A. dy   sin 2xdx.

B. dy  sin 2xdx.

Câu 2. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y 

A. y n 

C. y n

C. dy  sin xdx.

1 n  * . x3





, n  * . n 1

B. y n   1 .

, n  * .

D. y n   1 .

 x  3  n  1!   x  3

n 1

D. dy  2cosxdx.

 x  3

n 1

 x  3

n 1

, n  * . , n  * .

Câu 3. Cho hàm số y  cos2 3x. Tính giá trị biểu thức 18  2y  1  y" . A. 0.

B. 1.

C. 9.

D. 2.

Đáp án: 1–B

2–B

3–A

Dạng 2: Vi phân, đạo hàm cấp cao 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho f  x   2x3  x 2  3,g  x   x3 

x2  3. Tập nghiệm của bất phương trình f   x   g  x  2

là: A.  ; 0   1;   .

B.  ; 0   1;   .

C.  ;1 1   2;   .

D.  0;1

Hướng dẫn  3 x2  f   x   2x  x  3  6x  2x,g  x    x   3   3x 2  x. 2  







f   x   g  x   6x 2  2x>3x 2  x  3x 2  3x  0  x   ; 0   1;   .  Chọn A.

Ví dụ 2: Cho f  x   3x  A. 0.

60 64   5. Tổng các nghiệm của phương trình f '  x   0 là: x x3

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Hướng dẫn Trang 9

  60 64 60 192 Ta có : f   x    3x   3  5  3  2  4 . x x x x   f  x  0  3 

60 192 1  4  0 1 . Đặt t  2  t  0  , khi đó ta có: 2 x x x

 1 t  4 2 1  192t  60t  3  0   1  thoûa maõn  . t   16

Vôùi t 

1 1 1 thì 2   x 2  4  x  2. 4 4 x

Vôùi t 

1 1 1 thì 2   x 2  16  x  4. 16 16 x

f '  x   0 có 4 nghiệm x1,2  2, x3,4  4. Do đó tổng các nghiệm của phương trình bằng 0.  Chọn A.

Ví dụ 3: Tìm m để các hàm số y   m  1 x3  3  m  2  x 2  6  m  2  x  1 coù y '  0,  x  . A. m  3.

B. m  1.

C. m  4.

D. m .

Hướng dẫn Ta có : y  3  m  1 x 2  2  m  2  x  2  m  2   . Do đó: y  0   m  1 x 2  2  m  2  x  2  m  2   0 1 Với m = 1 thì 1  6x  6  0  x  1 nên m = 1 (loại).

a  m  1  0 m  1 Với m  1 thì 1 đúng với x       voâ nghieäm  .    0 m.  m  2   0 Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.  Chọn D.



Ví dụ 4: Cho khai triển sau 1  x  x 2  x3



 a0  a1x  ...  a30 x30 . Giá trị của tổng

S  a1  2a2  ...  30a30 là: A. 5.210.

C. 410.

B. 0.

D. 210.

Hướng dẫn



Ta có :  1  x  x 2  x3 



  a  a x  ...  a x30  0 1 30 







 1  x  x



 1  2x  3x   a  2a x  ...  30a

 10 1  x  x 2  x3  10 1  x  x 2  x3



  x3  a1  2a2 x  ...  30a30 x 29 2

x 29

Trang 10

Chọn x  1  10 1  1  1  1 .0  a1  2a2 x  ...  30a30  S  0 9

 Chọn B.

Ví dụ 5: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S  t 3  3t 2  4t, trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chất điểm lúc t = 2s bằng: A. 4m / s2 .

B. 6m / s2 .

C. 8m / s2 .

D. 12m / s2 .

Hướng dẫn





 Vận tốc của chất điểm lúc t là: v  t   S  t 3  3t 2  4t  3t 2  6t  4.





 Gia tốc của chất điểm lúc t là: a  t   v  3t 2  6t  4  6t  6.

Do đó a  2   6.2  6  6m / s2 .  Chọn B.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số y  x3  3x 2  9x  5. Phương trình y '  0 có nghiệm là: A. 1;2 .

B. 1;3 .

Câu 2. Tìm m để các hàm số y 

D. 1;2 .

mx3  mx 2   3m  1 x  1 có y  0, x  . 3

B. m  2

A. m  2

C. 0; 4 .

C. m  0

D. m  0

Đáp án: 1–B

2–C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Đạo hàm của hàm số sau y  sin3  2x  1 là: A. y  6sin 2  2x  1 cos  2x  1 .

B. y  3sin 2  2x  1 cos  2x  1 .

C. y  3cos2  2x  1 cos  2x  1 .

D. y  3sin 2  2x  1 .

1 4 t  3t 2 , trong đó t tính bằng giây (s) 2 và S được tính bằng mét (m). Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4s bằng:

Câu 2.Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S 

A. 280m/s. Câu 3. Cho hàm số y 

 A. y    1. 6

B. 232m/s.



C. 140m/s.



D. 116m/s.

 cosx . Giá tri của y   bằng: 1  s inx 6  B. y    1. 6

 C. y    2. 6

 D. y    2. 6

Trang 11

Câu 4. Cho hàm số y  f  x   cos2 x với f  x  là hàm liên tục trên  . Trong bốn biểu thức dưới đây, biểu thức nào xác định hàm f  x  thỏa mãn y '  1 với mọi x   ? 1 A. x  cos2x. 2

1 B. x  cos2x. 2

C. x  sin 2x.

D. x  sin 2x.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số y  x  2x  1 3x  2  bằng ax3  bx 2  cx  d. Tính tổng a  b  c  d. A. 18.

B. 30.

C. –30.

D. –24.

Câu 6. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S  t 3  3t 2  9t  27, trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: A. 0 m / s2 .

B. 6 m / s2 .

C. 24 m / s2 .

D. 12 m / s2 .

Câu 7. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  cos2x là: n   n A. y    1 cos  2x  n  . 2 

  n B. y   2n cos  2x   . 2 

  n C. y   2n 1 cos  2x  n  . 2 

  n D. y   2n cos  2x  n  . 2 

Câu 8. Cho hàm số: y 

2 x3 . Tính giá trị biểu thức 2  y '    y  1 .y"? x4

A. 0.

 x  4

C. 9.

14

 x  4

Đáp án: 1–A

2–D

3–C

4–A

5–A

6–D

7–D

8–A

Trang 12

CHƯƠNG 5 DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM CHUYÊN ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình tiếp tuyến của  C  : y  f  x  tại điểm M  x 0 ; y 0  có dạng:

y  f   x 0  x  x 0   y 0 Trong đó k  f   x 0  được gọi là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến.

f  x   g  x  Điều kiện cần và đủ để hai đường  C1  : y  f  x  và  C2  : y  g  x  tiếp xúc nhau là hệ  f   x   g  x  có nghiệm PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm 1. Phương pháp giải Viết phương trình tiếp tuyến của  C  : y  f  x  tại điểm M  x 0 ; y 0  Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f   x  . Bước 2: Tính k  f   x 0  Bước 3: Lập phương trình tiếp tuyến y  f   x 0  x  x 0   y 0 . Chú ý: Nếu đề bài cho hoành độ x 0 thì ta tính y 0  f  x 0  . Nếu đề bài cho tung độ y 0 thì giải phương trình y 0  f  x 0  , tìm ra x 0 . Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục tung thì cho x 0  0 . Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục hoành thì cho y 0  0 . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường cong y  A. y  2x .

x2  x  2  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  2; 4  . x 1

B. y  x  2 .

C. y  3x  10 .

D. y   x  6 .

Hướng dẫn Tập xác định: D   \ 1 .

 2x  1 x  1   x 2  x  2  2x 2  3x  1  x 2  x  2 x 2  2x  1 f x    2 2 2  x  1  x  1  x  1 Ta có: x 0  2  f   x 0   f   2   1 . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  2; 4  là y  1 x  2   4  y   x  6 .  Chọn D.

Trang 1

Ví dụ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x  1  x  2  tại điểm có hoành độ x  2 là: 2

A. y  8x  4 .

B. y  9x  18 .

C. y  4x  4 .

D. y  9x  18 .

Hướng dẫn Tập xác định: D   . Ta có: y   x  1  x  2   x 3  3x  2  y  3x 2  3 2

Gọi M  x 0 ; y 0  là tọa độ tiếp điểm. Ta có: x 0  2  y 0  0, f   x 0   f   2   9 . Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  9(x  2)  0  y  9x  18 .  Chọn D.

Ví dụ 3: Tiếp tuyến của đồ thi hàm số y 

x 2  3x  1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có 2x  1

phương trình là: A. y  x  1 .

C. y  x .

B. y  x  1 .

D. y   x .

Hướng dẫn

 2x  3 2x  1  2  x 2  3x  1 2x 2  2x  1 1  Tập xác định: D   \   . Ta có: y   2 2 2  2x  1  2x  1 Giao điểm M của đồ thị với trục tung có hoành độ là: x 0  0  y 0  1 . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là: k  y  0   1 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y  k  x  x 0   y 0  y  x  1 .  Chọn A.

Ví dụ 4: Cho hàm số y 

2x  4 có đồ thị là  H  . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của  H  với x 3

trục hoành là: A. y  2x  4 .

B. y  3x  1 .

C. y  2x  4 .

D. y  2x .

Hướng dẫn Tập xác định: D   \ 3 . Ta có: y 

2

 x  3

Tung độ giao điểm của  H  với trục hoành là y 0  0 

2x 0  4  0  x0  2 x0  3

Ta có: f   x 0   f   2   2 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  2  x  2  hay y  2x  4 .  Chọn C.

Ví dụ 5: Cho hàm số y 

3x  1 1 . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của x 1

đồ thị của hàm số 1 tại điểm M  2;5  ?

Trang 2

81 . 4

B. 81.

81 . 2

18 . 2

Hướng dẫn Tập xác định: D   \ 1 . Ta có: y 

 x  1

 y  2   2

Phương trình tiếp tuyến  d  tại điểm M  2;5  : y  2  x  2   5  y  2x  9 9  9  Gọi A là giao điểm của  d  và trục hoành y A  0  x A   , nên A   ;0  2  2 

Gọi B là giao điểm của  d  và trục tung x B  0  y B  9 , nên A  0;9  1 1 9 81 9 Ta có tam giác OAB vuông tại O nên SOAB  OA.OB  2 2 2 4  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho đường cong  C  : y  f  x   x 3  3x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm

M 0  l; 2  . A. y  3x .

B. y  3x  1

C. y  2x  1 .

D. y  3x  3 .

Câu 2. Cho hàm số  C  : y  l  x  x 2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  tại điểm có hoành độ x 0 

1 . 2

3 A. y  2x  . 2

B. y  x 

9 . 2

C. y  x  1 .

D. y  2x 

1 . 2

Câu 3. Cho đường cong  C  : y  f  x   x 3  3x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm của

C

với trục hoành.

A. y  x  1, y  x  3 .

B. y  x, y  9x  27 .

C. y  0, y  9x  27 .

D. y  0, y  9x  27 .

Đáp án: 1–B

2–A

3–C

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước 1. Phương pháp giải Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f   x  . Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm. Bước 2: Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k, giải phương trình k  y  x 0  tìm x 0 . Bước 3: Tính y 0  f  x 0  . Bước 4: Lập phương trình tiếp tuyến y  f   x 0  x  x 0   y 0 . Chú ý: Trang 3

Hệ số góc k  y  x 0  của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau: Tiếp tuyến  //d : y  ax  b  k  a . 1 Tiếp tuyến   d : y  ax  b  k   . a

Tiếp tuyến  tạo với trục hoành góc   k  tan  . Tiếp tuyến  cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B  k  Tiếp tuyến  tạo với d: y  ax  b góc  

OB . OA

k a  tan  . 1  k.a

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường cong y 

x2  x  2  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến có hệ x 1

số góc k  1 . A. y  x  6 .

B. y  x  10 .

C. Không tồn tại tiếp tuyến.

D. y  x  8 . Hướng dẫn

Tập xác định: D   \ 1 . Ta có: f '  x  

x 2  2x  1

 x  1

Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị. Vì tiếp tuyến có hệ sô góc k  1 nên f   x 0   1 

x 0 2  2x 0  1

 x 0  1

 1  1  1 (vô lý)

Vậy không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng 1.  Chọn C.

Ví dụ 2: Cho đường cong  C  : y 

3x  1 . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến song 1 x

song với đường thẳng  d  : x  4y  21  0 . A. y 

1 21 x . 4 4

C. y  x 

21 . 4

B. y 

1 21 1 5 x ,y  x . 4 4 4 4

D. y 

1 5 x . 4 4

Hướng dẫn Tập xác định: D   \ 1 . Ta có: y  f '  x  

 d  : x  4y  21  0  y 

1  x 

1 21 1 x có hệ số góc a  4 4 4

Trang 4

Vì tiếp tuyến song song với d nên k  a 

1 . 4

Gọi M  x 0 , y 0  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến. Ta có: f '  x 0   k 

1  x 0 

x0  5 1 2   x 0  1  16   (thỏa mãn điều kiện) 4  x 0  3



1 1 21  x  5  4  y  x  (loại, vì trùng với d). 4 4 4

Với x 0  5  y 0  4 , phương trình tiếp tuyến là: y 

Với x 0  3  y 0  2 , phương trình tiếp tuyến là: y 

1 1 5  x  3  2  y  x  . 4 4 4

 Chọn D.

Ví dụ 3: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  2 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng: A. –3.

B. 3.

C. 4.

D. 0.

Hướng dẫn Tập xác định: D   . Đạo hàm: y  3x 2  6x  3  x  1  3  3 2

Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng –3.  Chọn A.

Ví dụ 4: Cho đường cong  C  : y 

3x  1 . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến vuông 1 x

góc với đường thẳng    : 2x  2y  9  0 . A. y  x  3, y  x  4 .

B. y  x  8, y  x  4 .

C. y  x  3, y  x .

D. y  x  8, y  x . Hướng dẫn

Tập xác định: D   \ 1 . Ta có: y  f '  x  

   : 2x  2y  9  0  y   x 

1  x 

9  k   1 4

Vì tiếp tuyến vuông góc với  nên k tt .k   1  k tt  1 . Gọi N  x 0 , y 0  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có

f '  x 0   k tt 

1  x 0 

 1   x 0  1  4  x 0  3  x 0  1 . 2

Với x 0  3  y 0  5 , phương trình tiếp tuyến là: y   x  3  5  y  x  8 . Với x 0  1  y 0  1 , phương trình tiếp tuyến là: y   x  1  1  y  x .  Chọn D.

Trang 5

Ví dụ 5: Cho hàm số y  3x 3  4  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  d  :  x  3y  6  0 góc 300 A. y  3x  C. y 

14 10 , y  3x  . 3 3

B. y  3x  2, y 

1 14 x  2, y  3x  . 3 3

1 x  2. 3

1 2 x. D. y  3x  , y  2 3

Hướng dẫn Tập xác định: D   . Ta có: y  3 3x 2

d :

3y  x  6  0  y 

3 3 x  2 3  kd  3 3

Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 300 nên thỏa mãn:

k tt  k d  tan 300 1  k tt k d

3 2 2 3  1  3  k  3   1  3 k   k 2  3k  0  k  0  k  3  tt   tt  tt tt tt tt  3   3 3 3   1 k tt 3 k tt 

Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm. Với k tt  0  3 3x 02  0  x 0  0  y 0  4 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm  0; 4  : y  4 . Với k tt  3  3 3x 02  3  x 02  Với x 0 

1 1  x0   . 3 3

1 13 1  13 10   y 0  , phương trình tiếp tuyến y  3  x    y  3x   3 3 3 3 3 

Với x 0  

1 11 1  11 14   y 0  , phương trình tiếp tuyến y  3  x    y  3x   3 3 3 3 3 

 Chọn A.

Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị  C  : y 

2x  1 , biết rằng tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy x 1

lần lượt tại A và B sao cho AB  82.OB . 1 25 1 13 A.  : y   x  ,  : y   x  . 9 9 9 9

1 20 1 11 B.  : y   x  ,  : y   x  . 3 9 3 9

4 2 4 19 C.  : y   x  ,  : y   x  . 9 9 3 2

2 3 1 3 D.  : y   x  ,  : y   x  . 3 8 8 8

Hướng dẫn Tập xác định: D   \ 1 . Ta có: f '  x  

1

 x  1

. Trang 6

Tiếp tuyến  cắt trục Ox, Oy tại A, B:  OAB vuông tại O và OB tạo với trục Ox một góc  với k  tan   . OA

AB  82.OB OB 1 Ta có:   81.OB2  OA 2   . 2 2 2 OA 9 OA  OB  AB Hệ

số

góc

tiếp

tuyến

được

tính

1  k  9 OB 1 . k  tan     OA 9 k   1  9

Với k 

1 1 : phương trình vô nghiệm.  9  x 0  12

x0  4 1 1 2 Với k      x 0  1  9   (thỏa mãn điều kiện). 2 9  x 0  1  x 0  2 1 25 1 13 Vậy các phương trình tiếp tuyến là  : y   x  hoặc  : y   x  9 9 9 9  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số y  x 3  3x 2  9x  5  C  . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  C  , tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A. y  14x  7 .

B. y  18x  9 .

C. y  2x  4 .

D. y  12x  4 .

x2 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 , biết tiếp tuyến 2x  3 đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Câu 2. Cho hàm số y 

A. y  2x .

B. y   x  2 .

C. y  3x  2 .

D. y   x, y   x  2 .

Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y   x 4  x 2  6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y 

1 x  1. 6

A.  : y  6x  10 .

B.  : y  6x  1 .

C.  : y  6x  12 .

D.  : y  6x  9 .

Đáp án: 1–D

2–B

3–A

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A cho trước 1. Phương pháp giải Bước 1: Gọi M  x 0 ; y 0  là tiếp điểm. Tính y 0  f  x 0  và k  y  x 0  theo x 0 . Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến  tại M  x 0 ; y 0  là  : y  k  x  x 0   y 0 . Bước 3: Do A(x A ; y A )    y A  k(x A  x 0 )  y 0 . Giải phương trình ra x 0 . Trang 7

Bước 4: Tính y 0 , k  f   x 0  . Lập phương trình tiếp tuyến y  f   x 0  x  x 0   y 0 . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  x 3  3x 2 biết nó đi qua điểm A  1; 4  . A. y  4, y  x  3 .

B. y  x  3, y  3x  1 .

C. y  3x  1, y  9x  5 .

D. y  4, y  9x  5 . Hướng dẫn

Ta có: f   x   3x 2  6x . Gọi  x 0 ; y 0  là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A. Vì điểm  x 0 ; y 0    C   y 0  x 30  3x 02 , và f   x 0   3x 02  6x 0 . Phương trình d: y  f   x 0  x  x 0   y 0  y   3x 02  6x 0   x  x 0   x 30  3x 02 . Vì A  1; 4   d nên:

(3x 02  6x 0 )(1  x 0 )  x 30  3x 02  4  2x 30  6x 0  4  0  x 0  2  x 0  1 . Với x 0  2  y 0  4, f   2   0 , phương trình tiếp tuyến y  4 . Với x 0  1  y 0  4, f   1  9 , phương trình tiếp tuyến y  9  x  1  4  y  9x  5 .  Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 3  3mx 2   m  1 x  1 , m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x  1 đi qua điểm A 1; 2  ? A. m 

5 . 8

C. m 

B. m  3 .

1 . 2

D. m  2 .

Hướng dẫn Tập xác định: D   . Ta có: f   x   3x  6mx  m  1 2

Với x 0  1  y 0  2m  1, f   1  5m  4 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M  1; 2m  1 : y   5m  4  x  1  2m  1  d  . Ta có A(1; 2)  (d)  (5m  4).2  2m  1  2  m 

5 . 8

 Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hàm số y   x  2  x  1

 C  . Tìm các điểm M thuộc đường thẳng d:

y  2x  19 , biết

rằng tiếp tuyến của đồ thị  C  đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng x  9y  8  0 .  1 207  A. M  3;13 , M  ; .  11 11 

1  B. M  ;18  , M 1;17  . 2 

1  C. M  3;13 , M  ;18  . 2 

 1 207  D. M 1;17  , M  ; .  11 11 

Trang 8

Hướng dẫn 1 8 Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x  9y  8  0  y   x  9 9



nên k tt .k   1  k tt  9 .

Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là I  x 0 ; y 0  .

y(x 0 )  k tt  x 02  1  3  x 0  2  x 0  2 . Với x 0  2  y 0  4 , phương trình tiếp tuyến là d1 : y  y  2  x  2   4  d1 : y  9x  14 .

 y  9x  14 Suy ra M là giao điểm của d và d1 tọa độ điểm M là nghiệm của hệ   M  3;13 .  y  2x  19 Với x 0  2  y 0  0 khi đó phương trình tiếp tuyến d 2 : y  9x  18 .

 y  9x  18  1 207  Suy ra M là giao điểm của d và d 2 tọa độ điểm M là nghiệm của hệ   M ;   11 11   y  2x  19  1 207  Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M  3;13 hoặc M  ;   11 11   Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho đồ thị hàm số y  4x 3  6x 2  1 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm M  1; 9  . A. y  x  8 và y  4x  5 . C. y  x  8 và y 

B. y  24x  15 và y  4x  5 .

15 21 x . 4 4

D. y  24x  15 và y 

Câu 2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   2m  1 x 4  m 

15 21 x . 4 4

5 tại điểm có hoành độ x  1 4

vuông góc với đường thẳng d : 2x  y  3  0 . A.

3 . 4

1 . 4

7 . 16

9 . 16

Đáp án: 1–D

2–D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP 1 Câu 1. Cho hàm số y  x 3  3x 2  7x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A  0; 2  . 3

A. y  7x  2 .

B. y  7x  2 .

C. y  7x  2 .

D. y  7x  2 .

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y  x  3  x  tại điểm có hoành độ x  2 là 2

A. y  3x  8 .

B. y  3x  6 .

C. y  3x  8 .

D. y  3x  6 .

Câu 3. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y  tan x tại điểm có hoành độ x 

 . 4

Trang 9

A. k  1 .

B. k 

Câu 4. Cho đồ thị  C  : y 

1 . 2

C. k 

2 . 2

D. k  2 .

1 4 9 x  2x 2  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm của  C  4 4

với Ox. A. y  15x  45, y  15x  45 .

B. y  4x  12, y  4x  12 .

C. y  3x  15, y  3x  15 .

D. y  10x  30, y  10x  30 .

ax  b có đồ thị cắt trục tung tại A  0; 1 , tiếp tuyến tại A có hệ số góc k  3 x 1 . Các giá trị của a và b là:

Câu 5. Cho hàm số y 

A. a  1, b  1 .

B. a  2, b  1 .

C. a  1, b  2 .

D. a  2, b  2 .

Câu 6. Cho hàm số y   x 3  3x 2  9x  5  C  . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  C  , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất là: A. y  12x  4 .

B. y  10x  2 .

Câu 7. Cho đồ thị  Cm  : y 

 3m  1 x  m xm

C. y  20x  7 .

D. y  15x  20 .

tiếp tuyến tại giao điểm của  Cm  với Ox song song với

đường thẳng d: y   x  5 . 1 A. m    m  2 . 6

1 B. m    m  2 . 3

1 C. m    m  3 . 3

1 1 D. m    m   . 6 2

2x  1 có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của  C  tại M cắt các trục tọa độ Ox, x 1 Oy lần lượt tại A và B. Tính SOAB .

Câu 8. Gọi M   C  : y 

121 . 4

121 . 8

121 . 3

121 . 6

Đáp án: 1–C

2–A

3–D

4–A

5–B

6–A

7–D

8–D

Trang 10

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa:

Đồng biến

Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên I, với I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến trên I nếu: ∀x1 , x 2 ∈ I : x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) .

Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến trên I nếu: ∀x1 , x 2 ∈ I : x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .

Hàm số y = f ( x ) = x có f ′ ( x ) = 1 > 0 , ∀x ∈ ℝ thì Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến được gọi hàm số f ( x ) đồng biến trên ℝ . chung là hàm số đơn điệu trên I. 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Nghịch biến Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên I. Khi đó:

Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên I thì

f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ I . Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên I thì

f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ I . Hàm số y = f ( x ) = − x có f ′ ( x ) = −1 < 0 , ∀x ∈ ℝ thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên ℝ .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng I. Xét các hàm số: y = f ( x ) = x 3 + x Khi đó:

y = g ( x ) = −2x + 5 y = h (x) = −

2 3

Các hàm số trên có đạo hàm trên ℝ .

Trang 1

Nếu f ′ ( x ) > 0 , ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) đồng Ta có f ′ ( x ) = 3x 2 + 1 > 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số biến trên khoảng I.

Nếu f ′ ( x ) < 0 , ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng I.

Nếu f ′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) không đổi trên khoảng I.

f ( x ) đồng biến trên ℝ . Ta có g′ ( x ) = −2 < 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số g ( x ) nghịch biến trên ℝ .

Ta có h′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số h ( x ) không đổi trên ℝ .

Định lí: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng I.

Hàm số y = f ( x ) = ( m − 1) x 2 + x + 5 xác định trên ℝ.

Hàm số có f ′ ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 .

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên I thì f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ I và f ′ ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của t.

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên I thì f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ I và f ′ ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của t.

Chú ý: Ta có thể thay khoảng I thành một đoạn hoặc một nửa khoảng, khi đó ta cần bổ sung thêm giả thiết: “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ℝ khi

f ′ ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ . Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ℝ khi

f ′ ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 ≤ 0 , ∀x ∈ ℝ . Một số công thức tính đạo hàm

( u ± v )′ = u′ ± v′

( x )′ = nx

( ku )′ = ku′

( x )′ = 2 1 x

( uv )′ = u′v + uv′  u ′ u ′v − uv′   = v2 v

n −1

ad − bc  ax + b ′   = 2  cx + d  ( cx + d )

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số 1. Phương pháp giải Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x + 1 . Bước 1: Tìm tập xác định D. Bước 2: Tìm f ′ ( x ) . Tìm các điểm x i mà

f ′ ( x i ) = 0 và f ′ ( x i ) không xác định.

Tập xác định D = ℝ . Ta có: f ′ ( x ) = 3x 2 − 3

x = 1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔   x = −1 Trang 2

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bảng biến thiên Thay

x = −2 ∈ ( −∞; −1)

⇒ f ′(x) = 9 > 0 nên

⇒ f ′ ( x ) = −3 < 0

f ′ ( x ) có dấu + −∞

−1

f ′( x)

x = 0 ∈ ( −1;1)

Thay

−

nên

f ′ ( x ) có dấu -

+∞

f (x) Dấu +, mũi tên

Dấu − , mũi tên

đi lên, hàm số

đi xuống, hàm

đồng biến

số nghịch biến

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến Kết luận: của hàm số. Hàm số đồng biến trên khoảng

( −∞; −1)

và

(1; +∞ ) . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1; +∞ ) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) . Hướng dẫn

Cách 1: Hàm số có tập xác định: D = ℝ .

x = 0 Ta có y′ = 4x 3 − 4x khi đó y′ = 0 ⇔   x = ±1 Bảng biến thiên: x

f ′( x)

−1

−∞

−

+∞ +

f (x)

Trang 3

Vậy:

Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) và (1; +∞ ) . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS Nhập MODE 7, nhập f ( X ) = X 4 − 2X 2 + 4 Start ? −5 → End? 5 → Step? 1 Khi đó ta nhận được bảng giá trị: X

f (X)

−5

579

−4

228

-3

−3

−2

−1

−3

228

579

Nhìn vào bảng giá trị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) . → Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau: x

−2

f ′( x)

1 +

−

+∞ −

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5; +∞ ) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2; 2 ) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;5 ) . Hướng dẫn Nhìn vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;1) , nghịch biến trên khoảng (1;5 ) và ( 5; +∞ ) . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5; +∞ ) . → Chọn B.

Ví dụ 3: Hàm số y =

− x 2 + 2x − 4 đồng biến trên: x−2 Trang 4

( 0; 2 )

B. ( 0; 2 ) và ( 4; +∞ ) .

và ( 2; 4 ) .

C. ( −∞;0 ) và ( 4; +∞ ) .

D. ( −∞; 0 ) và ( 2; 4 ) . Hướng dẫn

Tập xác định D = ℝ \ {2} . Ta có y′ =

( −2x + 2 )( x − 2 ) − ( x 2 + 2x − 4 ) − x 2 + 4x = 2 2 ( x − 2) ( x − 2)

x = 0 khi đó y′ = 0 ⇔ − x 2 + 4x = 0 ⇔  x = 4

Bảng biến thiên: x

−∞

f ′(x)

−

2 +

4 +

+∞

−

f (x) Vậy hàm số đồng biến trên ( 0; 2 ) và ( 2; 4 ) .

→ Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số y =

x +1 . Phát biểu nào sau đây đúng? 1− x

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) ∩ (1; +∞ ) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ℝ . Câu 2. Cho hàm số y = x +

4 . Kết luận nào sau đây là đúng? x

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2; 2 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; 2 ) .

Đáp án

1–B

2–B

Dạng 2: Điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu 1. Phương pháp giải Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d

Xét hàm số y = mx 3 + x + 1

Tập xác định: D = ℝ .

Tập xác định D = ℝ .

y′ = 3ax 2 + 2bx + c

y′ = 3mx 2 + 1

Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y′ ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ . Trang 5

+ Nếu m = 0 thì y′ = 1 > 0 (thỏa mãn)

Để hàm số đồng biến trên ℝ thì:

y′ ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ .

+ Nếu m ≠ 0 :

a > 0 Khi đó:  ∆ ≤ 0

3m > 0 y ′ ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m > 0. ∆ = −12m ≤ 0

Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì:

Vậy m ≥ 0 thì hàm số đồng biến trên ℝ .

y ′ ≤ 0 , ∀x ∈ ℝ .

Hàm số nghịch biến trên ℝ

y′ ≤ 0 , ∀x ∈ ℝ ⇔ 3mx 2 + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ

a < 0 Khi đó:  ∆ ≤ 0

Hàm số y =

+ Nếu m = 0 thì y′ = 1 > 0 (loại)

ax + b cx + d

+ Nếu m ≠ 0 :

3m < 0 ⇔ y′ ≤ 0 , ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m ∈∅ ∆ = −12m ≤ 0

 d Tập xác định: D = ℝ \ −  .  c

y′ =

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên.

ad − bc

( cx + d )

Xét hàm số y =

x+m x −1

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và Tập xác định: D = ℝ \ {1} ; chỉ khi: −1 − m y′ = 2 y′ > 0 , ∀x ∈ D ⇒ ad − bc > 0 . ( x − 1) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi chỉ khi y′ > 0 , ∀x ∈ D và chỉ khi: −1 − m ⇔ > 0 , ∀x ∈ D y′ < 0 , ∀x ∈ D ⇒ ad − bc < 0 . 2 ( x − 1) ⇔ −1 − m > 0 ⇔ m < −1 .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định ⇔ y ′ < 0 , ∀x ∈ D ⇔

−1 − m

( x − 1)

< 0 , ∀x ∈ D

⇔ −1 − m < 0 ⇔ m > −1 .

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho hàm số y = A. −1 < m < 0

B. −1 < m ≤ 0

x3 + mx 2 − mx − m luôn đồng biến trên ℝ ? 3

C. −1 ≤ m ≤ 0

D. −1 ≤ m < 0

Hướng dẫn Tập xác định: D = ℝ . Ta có y′ = x 2 + 2mx − m . Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi:

Trang 6

1 > 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 . y′ ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ ⇔  2 ∆ = 4m + 4m ≤ 0

→ Chọn C. Ví dụ 2: Giá trị của tham số m để hàm số y = A. m < 2

x−m nghịch biến trên các khoảng xác định là: x−2

B. m ≥ 2

C. m > 2

D. m ≤ 2

Hướng dẫn Tập xác định: D = ℝ \ {2} . Ta có y′ =

−2 + m

( x − 2)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi: y ′ < 0 , ∀x ∈ D ⇔

−2 + m

( x − 2)

< 0 , ∀x ∈ D .

⇒ −2 + m < 0 ⇔ m < 2 → Chọn A. Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

mx + 4 giảm trên các khoảng xác x+m

định. A. −2 < m ≤ 2

B. −2 ≤ m ≤ −1

C. −2 ≤ m ≤ 2

D. −2 < m < 2

Hướng dẫn 2

Tập xác định: D = ℝ \ {− m} . Ta có y′ =

m −4

( x + m)

Hàm số giảm trên các khoảng xác định khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Khi đó: y ′ < 0 , ∀x ∈ D ⇔ m 2 − 4 < 0 ⇔ − 2 < m < 2 .

→ Chọn D. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

x−m+2 giảm trên các khoảng mà x +1

nó xác định.

A. m < −3

B. m ≤ −3

C. m ≤ 1

D. m < 1

1 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = − x 3 − mx 2 + ( 2m − 3) x − m + 2 3 luôn nghịch biến trên ℝ .

A. −3 ≤ m ≤ 1

B. m ≤ 1

C. −3 < m < 1

D. m ≤ −3; m ≥ 1

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2x 3 − 3 ( m + 2 ) x 2 + 6 ( m + 1) x − 3m + 5 luôn đồng biến trên ℝ . A. 0

B. -1

C. 2

D. 1 Trang 7

Đáp án

1–D

2–A

3–A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn nghịch biến trên ℝ . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) . D. Hàm số luôn đồng biến trên ℝ .

( m + 3) x − 2

Câu 2. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y =

x+m

luôn nghịch biến trên các khoảng

xác định của nó?

A. m = −1

B. m = −2

C. m = 0

D. Không có m.

Câu 3. Hàm số y = − x 4 + 4x 2 + 20 đồng biến trên khoảng nào?

(

A. −∞; − 2

)

(

)(

B. −∞; − 2 ; − 2;0

)

(

)(

C. − 2;0 ;

2; +∞

)

(

)(

D. − 2; 0 ; 0; 2

)

3 Câu 4. Hỏi hàm số y = x 5 − 3x 4 + 4x 3 − 2 đồng biến trên khoảng nào? 5

A. ( −∞; 0 )

B. ℝ

C. ( 0; 2 )

D. ( 2; +∞ )

Câu 5. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = − x 3 + 3 ( 3 − m ) x 2 − 2mx + 2 nghịch biến trên tập xác định

10 − 19 10 + 19 ≤m≤ 3 3

A. −3 < m < 3

C. −3 < m < 0

D. m > 3

Câu 6. Giá trị của m để hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( m + 1) x + 7 đồng biến trên ℝ là: A. −1 ≤ m ≤ 0

B. −1 < m < 0

 m < −1 C.  m > 0

 m ≤ −1 D.  m ≥ 0

Câu 7. Cho hàm số y = 3x 2 − x 3 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) ; ( 2;3) . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;3) . Câu 8. Hàm số y = A. ( −∞;1) ; (1; 2 )

x2 đồng biến trên các khoảng nào? x −1 B. ( −∞; 0 ) ; ( 2; +∞ )

C. ( −∞; −1) ; (1; +∞ )

D. ( 0;1) ; (1; 2 ) . Trang 8

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = A. −3 < m < 3

B. m < −3

Câu 10. Tìm m để hàm số y = A. m ≤ 1

mx + 3 nghịch biến trên các khoảng xác định. 3x + m

C. −3 < m < 0

D. m > 3

x−m+2 nghịch biến trên các khoảng xác định. x +1

B. m < 1

C. m ≤ 3

D. m < 3

Đáp án: 1-A

2-D

3-A

4-B

5-B

6-A

7-B

8-B

9-A

10 - B

Trang 9

CHƯƠNG 1 CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên

D  D    . Nếu tồn tại  a; b   D và x 0   a; b  sao cho: • f  x   f  x 0  , x   a; b  \ x 0  thì x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y  f  x  . • f  x   f  x 0  , x   a; b  \ x 0  thì x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y  f  x  .

Chú ý: Hàm số có thể không có cực trị, một hay nhiều điểm cực trị.

2. Các định lí Trang 1

Hàm số f  x   x 3  3x 2 có f   x   3x 2  6x .

Định lí 1:

Giả sử hàm số y  f  x  đạt cực trị tại điểm x 0 . Hàm số đạt cực trị tại điểm x  2 . Khi đó, nếu y  f  x  có đạo hàm tại x 0 thì Khi đó ta có f   2   0 .

f   0  0 .

Định lí 2: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  chứa

x 0 và có đạo hàm trên  a; x 0  và  x 0 ; b  . Khi đó: • f   x   0, x   a; x 0  ;f   x   0, x   x 0 ; b  thì

x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số. • f   x   0, x   a; x 0  ;f   x   0, x   x 0 ; b  thì

x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.

Định lí 3: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng  a; b  chứa x 0 . Hàm số f  x   x 3  3x 2

Khi đó:

• f   x 0   0 và f   x 0   0 thì x 0 là điểm cực tiểu Ta có f   x   3x 2  6x và f   x   6x  6 của hàm số. • f   x 0   0 và f   x 0   0 thì x 0 là điểm cực đại của hàm số.

• Vì f   2   0 và f   2   6  0 nên x  2 là điểm cực tiểu của hàm số. • Vì f   0   0 và f   0   6  0 nên x  0 là điểm cực đại của hàm số.

PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH Đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu    Đưa y về dạng y  h  x  .y  g  x 

 : y  g x Hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d

(Phần dư của phép chia y cho y )

 2c 2b 2  bc  x d 9a  3 9a 

 : y  g x  

   : y  g  x   9ay 

y.y 2

Trang 2

Đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu   

 : y  g x  y  Hàm số y 

u x vx

 : y 

y.y 3y

u  x  (Đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu) v  x 

Cực trị hàm số bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d Không có cực trị

 y  0

Có cực trị (chỉ có 2 cực trị)

 y  0

A, B là 2 điểm cực trị trên đồ thị

AB 

Đạt cực trị tại x 0

b 2  3ac 4e  16e3 với e  9a a

Cực đại

 y  x 0   0   y  x 0   0

Cực tiểu

 y  x 0   0   y  x 0   0

Cùng nằm bên phải (cùng dấu dương)

  y  0  ac  0 ab  0 

Cùng nằm bên trái (cùng dấu âm)

  y  0  ac  0 ab  0 

y  x 0   0

Hai cực trị nằm về hai phía trục tung  Oy 

ac  0

(trái dấu)

Hai cực trị nằm về cùng một phía trục tung  Oy  (cùng dấu)

  y  0  ac  0

Cực trị hàm số bậc bốn trùng phương: y  ax 4  bx 2  c có   b 2  4ac

Có 1 cực trị

Có 3 cực trị

Cực trị là cực đại

a  0  b  0

Cực trị là cực tiểu

a  0  b  0

2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu

a  0  b  0

ab  0

ab  0

Trang 3

Cực trị hàm số bậc bốn trùng phương: y  ax 4  bx 2  c có   b 2  4ac 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại

a  0  b  0

 b   b  A  0;c  ; B    ;   ;C   ;   2a 4a   2a 4a   A  Oy ; B và C đối xứng nhau qua Oy

Ba điểm cực trị trên đồ thị

b4 b b  ; BC  2  2 16a 2a 2a

AB  AC 

Đạt cực trị tại x 0

Cực đại

 y  x 0   0   y  x 0   0

Cực tiểu

 y  x 0   0   y  x 0   0

y  x 0   0

  Đặt BAC

 b3 cot  2 8a 2

Công thức thỏa mãn ab  0

Điều kiện Tam giác vuông ABC cân tại A

b3  8a  0

Tam giác ABC đều

b3  24a  0

Tam giác ABC có trọng tâm O

b 2  6ac

Tam giác ABC có trực tâm O

b3  8a  4ac  0

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp

b3  8a  4abc  0

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp

b3  8a  4abc  0

Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R

R

b3  8a 8a b

Trang 4

Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội nội tiếp r Tam giác ABC có diện tích S Đồ thị hàm số

C :

r

b2  b3  4 a  1 1 8a    

32a 3S2  b5  0

y  ax 4  bx 2  c cắt trục

b2 

hoành tại 4 điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng

100 ac 9

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số 1. Phương pháp giải Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số để xác định cực trị của hàm số. Cách 2: Sử dụng máy tính để xác định cực trị của hàm số. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x  2 và đạt cực tiểu tại x  0 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 và đạt cực đại tại x  0 . C. Hàm số đạt cực đại tại x  2 và đạt cực tiểu tại x  0 . D. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 . Hướng dẫn

x  0 Cách 1: Hàm số có tập xác định: D   . Ta có y  3x 2  6x nên y  0   x  2 Bảng biến thiên x

f x



0 +



2 –

f x Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 . Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS Nhập MODE 7, nhập f  X   X 3  3X 2  2 Start? –5  End? 5  Step? 1 Khi đó ta nhận được bảng giá trị: X

f X

–5

–198

–4

–110

–3

–52

–2

–18

2 Trang 5

f X

–1

–2

Nhìn vào bảng giá trị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 .  Chọn B.

Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 4  2x 2  3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. Hướng dẫn

x  0 Cách 1: Ta có y  4x  4x  0   x  1  x  1 3

Ta có y  12x 2  4  y  0   4  0; y 1  8  0; y  1  8  0 . Nên hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  1 và x  1 . Do đó hàm số có ba điểm cực trị. Cách 2: Ta chú ý, hàm số bậc bốn có thể có một cực trị hoặc 3 cực trị, nên loại đáp án B và C. Mà hàm số này có ab  1.  2   2  0 nên có ba cực trị.  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y  f  x  có mấy điểm cực trị?

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Hướng dẫn Nhìn vào đồ thị hàm số như hình vẽ, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  0 và cực tiểu tại x  2 . Vậy hàm số có hai cực trị.  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ:

Trang 6

Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số y  f  x  không có điểm cực trị. B. Đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị. C. Đồ thị hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị. D. Đồ thị hàm số y  f  x  có một điểm cực trị. Hướng dẫn Nhìn vào đồ thị hàm số đạo hàm, ta có bảng biên thiên x



f x

1 –

f x

2 +



3 –

Cực đại Cực tiểu

Cực tiểu

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có ba điểm cực trị.  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. ho hàm số y  x 3  17x 2  24x  8 . Kết luận nào sau đây là đúng? A. x CÑ  1.

2 B. x CÑ  . 3

C. x CÑ  3.

D. x CÑ  12.

Câu 2. Cho hàm số y  3x 4  6x 2  1 . Kết luận nào sau đây là đúng? A. y CÑ  2.

B. y CÑ  1.

C. y CÑ  1.

D. y CÑ  2.

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên:

Trang 7



f x

2 +



–

f x





–2

Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x  2 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x  3 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x  4 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x  2 .

Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại x  A. y 

1 4 x  x3  x 2  3x. 2

B. y 

C. y  4x 2  12x  8.

3 ? 2 x 1 . x2

D. y  x 2  3x  2.

Đáp án: 1–D

2–B

3–A

4–D

Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu 1. Phương pháp giải • Hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d ;

g  x   phần dư của phép chia y cho y • Hàm số y 

u x ; vx

g  x   đạo hàm tử : đạo hàm mẫu 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba y  x 3  9x 2  15x  1 . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A. x  8y  14  0.

B. x  8y  14  0.

C. 8x  y  14  0.

D. 8x  y  14  0.

Hướng dẫn

x  1  y  6 Cách 1: Hàm số y  x 3  9x 2  15x  1 có y  3x 2  18x  15  0   .  x  5  y  26 Suy ra hàm số có hai điểm cực trị trên đồ thị là A 1;6  ; B  5; 26  . Đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là đường thẳng có vectơ chỉ phương   AB   4; 32  nên có vectơ pháp tuyến là n   8;1 . Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là 8  x  1  1 y  6   0  8x  y  14  0 Trang 8

Cách 2: Hàm số có a  1; b  9; c  15; d  1 . Theo công thức giải nhanh, ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:

 2.15 2.  9 2   2c 2b 2   9  .15 bc y  gx     y   x 1 x d  3 9a 9.1  9.1  3 9a    y  8x  14  8x  y  14  0  Chọn C.

2x 2  x  1 Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng qua ĐCĐ, ĐCT của đồ thị hàm số y  là. x 1

A. x  4y  3  0.

B. 4x  y  1  0.

C. y  4 x  1.

D. y  4x  1.

Hướng dẫn Cách 1: Hàm số có dạng y 

u x với u  x   2x 2  x  1 và v  x   x  1. vx

Nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số là:

y

u   x  4x  1   4x  1  4x  y  1  0 v  x  1

 Chọn B.

Cách 2: Ta có y 

 4x  1 x  1   2x 2  x  1 2x 2  4x  2 2  x  1  x  1

 x  0  y  1 Khi đó: y  0  2x 2  4x  0    x  2  y  9 Hàm số có hai điểm cực trị trên đồ thị là: A  0; 1 ; B  2; 9  . Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có vectơ chỉ phương   AB   2; 8  nên có vectơ pháp tuyến là n   4; 1 . Vậy PT đường thẳng qua ĐCĐ, ĐCT của đồ thị là: 4  x  0   1 y  1  0  4x  y  1  0.  Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng  d  : y   3m  1 x  3  m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  1 . 1 A. m  . 2

3 B. m  . 2

1 C. m  . 4

3 D. m  . 4

Hướng dẫn Hàm số y  x 3  3x 2  1 có a  1; b  3; c  0; d  1. Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là:

 2.0 2.  32   2c 2b 2   3 .0  y  2x  1 bc y  gx     y   x 1 x d  3 9a 9.1  9.1  3 9a  

 d  Trang 9

1 Đường thẳng  d  vuông góc với đường thẳng  d    3m  1 .  2   1  m  . 2  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Biết đồ thị hàm số y  x 3  3x  1 có hai điểm cực trị A, B. Khi đó phương trình đường thẳng AB là: A. y  x  2.

B. y  2x  1.

Câu 2 Cho hàm số y 

C. y  2x  1.

D. y   x  2.

3x 2  13x  19 . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tại của đồ thị hàm số có x 3

phương trình là: A. y  6x  13.

B. y  3x  13.

C. 5x  2y  13  0.

D. 2x  4y  1  0.

Đáp án: 1–C

2–A

Dạng 3: Cực trị hàm bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  mx 2   2m  3 x  3 đạt cực đại tại x  1 . A. m  3.

B. m  3.

C. m  3.

D. m  3.

Hướng dẫn Ta có: y  3x 2  2mx   2m  3 ; y  6x  2m

 y 1  3.12  2m.1  2m  3  0 Hàm số đạt cực đại tại x  1    m  3.  y 1  6.1  2m  0  Chọn B.

Ví dụ 2: Cho hàm số y  mx 3  3x 2   m  1 x  3 . Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về cùng bên phải của trục Oy. A.

1  13  m  0. 2

1  13  m  0. 2

C. 0  m 

1  13 . 2

D. 0  m 

1  13 . 2

Hướng dẫn Ta có y  3mx  6x   m  1 . 2

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về cùng bên phải của trục Oy.

Trang 10

1  13 1  13 m  2 62  4.3m  m  1  0  2 12m 2  12m  36  0   y  0  m  1    ac  0  3m  m  1  0  m  m  1  0   ab  0 3m.6  0 m  0 m  0    m  0   

1  13 m0 2

 Chọn A.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x 3  3mx 2  3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. A. m  2; m  0

B. m  2

C. m  2

D. m  2

Hướng dẫn

x  0 Ta có y  3x 2  6mx  3x  x  2m  nên y  0   .  x  2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 2m  0  m  0.

(1)

Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A  0;3m3  , B  2m; m3  .  Ta có: OA  0;3m3   OA  3 m3 .

(2)

Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d  B, OA   d  B, Oy   2 m .

(3)

1 Từ (2) và (3) suy ra SOAB  .OA.d  B, OA   3m 4 . 2

Do đó: SOAB  48  3m 4  48  m  2 (thỏa mãn (1 )).  Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3  3x là: A. 4 5.

B. 2.

C. 2 5.

D. 4.

1 Câu 2. Cho hàm số y  x 3  mx 2   2m  1 x  3 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có 3 cực trị.

A. m  1.

B. m.

C. m  1.

D. m  1.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y   x 3  3mx  1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ). 3 A. m  . 2

1 B. m   . 2

C. m  1.

1 D. m  . 2

Trang 11

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

2 3 2 x  mx 2  2  3m 2  1 x  có 3 3

hai điểm cực tị có hoành độ x1 , x 2 sao cho x1.x 2  2  x1  x 2   1. 2 B. m   . 3

A. m  0.

2 C. m  . 3

1 D. m   . 2

Đáp án: 1–C

2–A

3–D

4–C

Dạng 4: Cực trị hàm bậc bốn trùng phương y  ax 4  bx 2  c 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Hàm số y  x 4  2  m  2  x 2  m 2  2m  3 có đúng một điểm cực trị thì giá trị của m là: A. m  2.

B. m  2.

C. m  2.

D. m  2.

Hướng dẫn Hàm trùng phương có một điểm cực trị khi và chỉ khi ab  0  m  2  0  m  2.  Chọn A.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2m 2 x 2  1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. A. m  1.

B. m  0.

C. m  1.

D. m  1.

Hướng dẫn Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân khi và chỉ khi:

b3  8a  0   2m 2   8.1  0  8m 6  8  0  m  1 . 3

 Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y  x 4  2mx 2  2m  m 4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. A. Không tồn tại m.

m  0 B.  . 3 m  3

C. m  3 3 .

D. m   3.

Hướng dẫn Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều   2m   24.1  0  m3  3  m  3 3. 3

 Chọn C.

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  8m 2 x 2  1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64. A. Không tồn tại m.

B. m  5 2.

C. m   5 2.

D. m   5 2.

Hàm số có ba điểm cực trị khi: ab  0  1.(8m 2 )  0  m  0. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 64 Trang 12

Ta có: SABC 

b2 4a



b 64m 4 8m 2 khi đó 64    m   5 2 (thỏa mãn). 2a 4 2

 Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y  x 4  2  m  1 x 2  m 2 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. B. m  0.

A. Không tồn tại m.

m  0 C.  .  m  1

D. m  1.

Câu 2. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. A. m  4.

B. m  2.

C. m  3.

D. m  1.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   m  1 x 4  mx 2 

3 chỉ có cực tiểu mà 2

không có cực đại. A. m  1.

B. 1  m  0.

C. m  1.

D. 1  m  0.

Câu 4. Cho hàm số y  mx 4   m 2  9  x 2  10 . Tìm tất các các giá trị của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị.

0  m  3 A.  .  m  3

B. m  3.

0  m  3 D.  .  m  3

C. 0  m  3.

Đáp án: 1–B

2–D

3–B

4–A

PHẦN 4 BÀI TẬP TỒNG HỢP Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  2   x  3  x  5  . Hỏi hàm số y  f  x  2

có mấy điểm cực trị? A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x 3  2x 2   m  3 x  1 không có cực trị. 8 A. m   . 3

5 B. m   . 3

5 C. m   . 3

8 D. m   . 3

1 Câu 3. Cho hàm số y  x 3  mx 2   m  1 x  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 đạt cực đại tại x  2 .

A. Không tồn tại m.

B. –1.

C. 2.

D. 3.

Câu 4. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3  m 2  l  x  m3  m . Gọi x1 , x 2 là hai điểm cực trị của hàm số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để x12  x 22  x1.x 2  7 . A. m   2.

B. m  2.

C. m  0.

D. m  1. Trang 13

Câu 5. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số y  f  x  đạt cực đại tại x  1 . B. Đồ thị hàm số y  f  x  có một điểm cực tiểu. C. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  ;1 . D. Đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị. Câu 6. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y  x 4  2mx 2  m  1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị trên đồ thị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. m  1 . A.   m   1  5  2

Câu 7. Hàm số y 

m  1 . B.   m  1  5  2

C. m  

1  5 . 2

D. m  1.

2x  1 có số cực trị là : 3x  5

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 8. Hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có thể có số cực trị là: A. 2.

B. 0 hoặc 2.

C. 1 hoặc 2.

D. 0 hoặc 1 hoặc 2.

Câu 9. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m  2 có đồ thị là  Cm  . Xác định m để  Cm  có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của Ox. A. m  4.

B. m  2.

C. m  3.

D. m  2.

Câu 10. Cho hàm số y   m  2  x 3  3x 2  mx  5 . Tìm giá trị của m để hàm số có các điểm cực trị có hoành độ dương. A. 3  m  2.

B. m  2.

C. 3  m  2.

D. m  2.

Câu 11. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đạo hàm f   x    x  1 x  2   x  3 2

2017

. Khẳng

định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 2  và  3;   . B. Hàm số có ba điểm cực trị. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 . D. Hàm số đạt cực đại tại x  2 , cực tiểu tại x  1 và x  3 . Đáp án: 1–A

2–C

3–B

4–B

5–B

6–B

7–D

8–B

9–C

10–A

11–C

Trang 14

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập M là giá trị Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. m là giá lớn nhất của hàm số trên D. trị nhỏ nhất của hàm số trên D.

x  D, f  x   M M  max f  x    xD x 0  D, f  x 0   M

x  D, f  x   m m  max f  x    xD x 0  D, f  x 0   m

Chú ý: Trong sách này, ta viết tắt giá trị lớn nhất là GTLN, giá trị nhỏ nhất là GTNN. GTLN luôn lớn hơn GTNN. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 1. Phương pháp giải Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn Tìm GTLN, GTNN của hàm số [a; b]. y  f  x   x 3  3x 2 trên đoạn [-1; 3]. Cách 1: Ta có f  x   3x 2  6x Bước 1: Tìm các điểm xi thuộc (a; b) mà f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định.  x1  0   1;3 Ta thấy f   x   0   Bước 2: Tính f  a  , f  x i  , f  b   x 2  2   1;3 Bước 3: Tím số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong Ta có a  1; x  0; b  3 1 các số trên. f (1)  2; f (0)  0; f (3)  54 Ta có M  max f  x  ; m  min f  x  x a;b  x a;b  Ta thấy f (3) = 54 là lớn nhất, f (0) = 0 là nhỏ nhất Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS Vậy m  max f  x   54; min f  x   0 x 1;3 x 1;3 Nhập Mode 7, nhập f (X) = … Nhập MODE 7, nhập f  X   X 3  3X 2 Start? a = → End? b = → Step? α = (α ta chọn tùy vào đoạn trong đề bài) Start? – 1 = End? 3 = Step? 0.5 = Ta nhận được bảng giá trị X

f (X)

Từ bảng giá trị f (x), tìm GTLN, GTNN

Bảng giá trị X

f (X)

-1

- 0.5

0.625

0 Trang 1

0.5

0.875

1.5

10.125

2.5

34.375

Từ bảng giá trị, ta thấy f  3  54 là GTLN,

f  0   0 là GTNN Vậy max f  x   54; min f  x   0 x 1;3

x 1;3

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 3  3x  5 trên đoạn [0; 2] là: A. min y  0

B. min y  3

x 0;2

C. min y  5

x 0;2

D. min y  7 x 0;2

Hướng dẫn Xét hàm số y  x 3  3x  5 liên tục trên đoạn [0; 2].

 x  1   0; 2 Có y  3x 2  3  3  x 2  1 ; y  0    x  1   0; 2 Ta có: y 1  3; y  0   5; y  2   7 . Do đó min y  y 1  3 x 0;2

→ Chọn B. Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x 4  2x 2  1 trên đoạn [0; 2] là: A. max f  x   64

B. max f  x   1

x 0;2

C. max f  x   0

x 0;2

D. max f  x   9 x 0;2

Hướng dẫn Xét hàm số f  x   x  2x  1 liên tục trên đoạn [0; 2] 4

 x  0   0; 2  Ta có f   x   4x 3  4x  4x  x 2  1 ;f   x   0   x  1   0; 2   x  1   0; 2

Khi đó f 1  0;f  0   1;f  2   9 . Do đó max f  x   f  2   9 x 0;2

→ Chọn D Ví dụ 3: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  5  4x trên đoạn [-1; 1] là: A. max y  5 và min y  0

B. max y  1 và min y  3

C. max y  3 và min y  1

D. max y  0 và min y   5

x 1;1

Hướng dẫn Hàm số có điều kiện xác định 5  4x  0  x 

5 . Suy ra hàm số xác định với x   1;1 4

Xét hàm số y  5  4x liên tục trên đoạn [-1; 1] Trang 2

Ta có y 

2  0, x   1;1 . Do đó max y  y  1  3; min y  y 1  1 x 1;1 x 1;1 5  4x

→ Chọn C 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  x 2  A. m = 5

2 trên đoạn x

C. m 

B. m = 3

1   2 ; 2 

17 4

D. m = 10

Câu 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  1   x  9 lần lượt là: A. 2; 2

B. 4; 2

C. 4; 2

D. 4; 2 2

Đáp án: 1–B

2-D

Dạng 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng 1. Phương pháp giải Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên tập Tìm GTLN, GTNN trong nửa khoảng [-1; 3) hàm bất kì (khoảng, nửa khoảng) số y  f  x   x 3  3x 2 Cách 1: Tập xác định: D   . Ta có: f   x   3x 2  6x Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số.  x1  0   1;3 Khi đó f   x   0    x 2  2   1;3 Bảng biến thiên (BBT) x -

-2

f x

-1 -

f x

0 -

3 +

54 0

Bước 2: Từ bảng biến thiên, kết luận GTLN, Từ BBT, ta thấy 0 là GTLN của hàm số tại x  0   1;3 , 54 là GTLN của hàm số tại GTNN của hàm số.

x  3   1;3 Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS

Do đó, hàm số không có GTLN có GTNN bằng 0

Ta có thể sử dụng máy tính như dạng 1. Nhưng cần chú ý chọn GTLN, GTNN. 2. Ví dụ minh họa 1 Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 3  2x 2  3x  4 trên khoảng (1;5) là: 3

8 3

10 3

C. -4

D. 

10 3

Hướng dẫn Hàm số có tập xác định: D   Trang 3

Ta có y  x 2  4x  3; y  0  x 2  4x  3  0  x  1 hoặc x = 3 Ta có bảng biến thiên x 1 f’ (x) f (x)

0 

8 3

-4 Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (1;5) bằng -4. → Chọn C x2  x 1 Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   trên khoảng 1;   là: x 1

A. min y  1

B. min y  3

x1;  

C. min y  5

x1;  

D. min y  x1;  

7 3

Hướng dẫn Hàm số xác định với x  1;   x2  x 1 Xét hàm số f  x   liên tục trên khoảng 1;   x 1

1 1 x 2  2x   f  x  1  ; Ta có f  x   x  2 2 x 1  x  1  x  1

x  0 f x  0   x  2

Ta lại có lim f  x   ; lim f  x    x 

x 1

Bảng biến thiên x f’ (x) f (x)

1 

2 0 3



+ 

Từ bảng biến thiên ta có: min f  x   f  2   3 x1;  

→ Chọn B 3. Bài tập tự luyện Câu 1: Cho hàm số y  x 2  3x 2  18x . GTNN của hàm số trên nửa khoảng 1;   là: A. 10

B. 22 C. 11 6  8x Câu 2: Cho hàm số y  2 . GTLN của hàm số trên khoảng  ;1 là: x 1 2 A. – 2 B. C. 8 3 1 Câu 3 Cho hàm số y  x  . GTNN của hàm số trên khoảng  0;   là: x A. 0 B. 1 C. 2 Đáp án:

D. 21

D. 10

Trang 4

1–B

2–C

3-D

Dạng 3: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y 

xm (m là tham số thức) thỏa mãn min y  3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 x 2;4

A. 3 < m  4 

B. 1  m < 3

C. m > 4

D. m < -1

Hướng dẫn 1  m Hàm số có tập xác định: D   \ 1 . Ta có y  2  x  1 * Nếu m  1  y  0  Hàm số đồng biến trên các khoảng của TXĐ Khi đó min y  y  2   3  x 2;4

2m  3  m  1 (loại) 2 1

* Nếu m  1  y  0  Hàm số nghịch biến trên các khoảng của TXĐ. Khi đó min y  y  4   3  x 2;4

4m  3  m  5 (thỏa mãn). Vậy m > 4 4 1

→ Chọn C Ví dụ 2: Cho hàm số y 

16 xm (m là tham số thực) thỏa mãn min y  max y  . Mệnh đề nào dưới 3 x 1 x1;2 x1;2

đây đúng? A. 0 < m  2

B. 2  m < 4

C. m ≤0

D. m > 4

Hướng dẫn Hàm số có tập xác định: D   \ 1 . Ta có y 

1 m

 x  1

* Nếu m  1  y  0  Hàm số đồng biến trên các khoảng của TXĐ Khi đó min y  y 1  x1;2

1 m 1 m 2m 2m  ; max y  y  2    11 2 2 1 3 x1;2

16 1  m 2  m 16     m  5 (loại vì m < 1) 3 2 3 3 x1;2 x1;2 * Nếu m  1  y  0  Hàm số nghịch biến trên các khoảng của TXĐ. min y  max y 

Khi đó min y  y  2   x1;2

 min y  max y  x1;2

x1;2

2m 2m 1 m 1 m  ; max y  y 1   2 1 3 11 2 x1;2

16 2  m 1  m 16     m  5 (thỏa mãn). Vậy m > 4 3 3 2 3

→ Chọn D 2. Bài tập tự luyện Câu 1 Tìm m để hàm số y  x 2  mx  5x  4 đạt giá trị nhỏ nhất lớn hơn 1 A. m  5  2 3

B. 2 3  m  5

C. 5  m  5  2 3

D. 5  2 3  m  5  2 3

Đáp án: 1 – D Trang 5

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1 Cho hàm số y  x 3  3x 2  9x  35 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-4; 4]. Tính giá trị a + b A. -1

B. 71

C. -2

D. 18

Câu 2 Cho hàm số y  x 3  3x 2  18x . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1;   là: A. 10

B. 22

C. 11

F. 21

1 Câu 3 Cho hàm số y  x 3  2x 2  3x  4 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-4; 0] là: 3

A. 

16 3

B. 0

Câu 4 Giá trị nhỏ nhất của hàm số A. 0

C. -4 x

1 trên khoảng  0;   là: x

B. 1

Câu 5 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  A. 1

D. 4

C. 2

1 trên khoảng  0;   là: x

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 6 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x 1  cos x  trên [0; π] là: A. 1

B. 0

C. 2

  Câu 7 Cho hàm số f  x   x  cos 2 x , với x  0;  . Giá trị lớn nhất của hàm số là:  2

A. 0

Câu Cho hàm số

 1  2 2

 1  4 2

 2

x 1 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giá trị của a x  x 1 2

– 3b là: A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: 1–A

2–B

3–A

4–D

5–B

6–B

7–D

8–B

Trang 6

CHƯƠNG 1 CHUYÊN ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. 

Nếu lim f(x)  y0 hoặc x 

lim f(x)  y0 thì đường

x 

thẳng y = y0 là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị hàm số.



Nếu lim f(x)   hoặc lim f(x)   thì đường x  x0

x  x0

thẳng x = x0 là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị hàm số.

2. Một số chú ý 

Ta có thể tính giới hạn bằng cách sử dụng máy tính.

x x2 X X2 Nhập x 2 x2 X2

lim

CALC 2 + 10-9 

Đồ thị hàm số đa thức không có tiệm cận.



Giá trị x0 là giá trị mà tại đó hàm số không xác định.



Đồ thị hàm số y 

0.75001

ax  b luôn có tiệm cận khi và Đồ thị hàm số y  x  2 có TCĐ: x = 1, TCN: y = 1 cx  d x 1

c  0 chỉ khi:  . ad  bc  0

Trang 1

d a Khi đó TCĐ là x   ; TCN là y  . c c



Hàm số xác định trên khoảng, đoạn không chứa Hàm số y  4  x 2 có TXĐ D = [-2;2] không chứa  thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.  nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y 

2x  3 . Đồ thị của hàm số trên có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang x 1

lần lượt là: A. x = 1 và y = -3.

B. x = 2 và y = 1

C. x = 1 và y = 2.

D. x = -1 và y = 2 Hướng dẫn

Cách 1: Tập xác định: D   \ 1 . Ta có: lim x 1

2x  3 2x  3   và lim   , nên đồ thị hàm số có TXĐ là x = 1. x 1 x  1 x 1

2x  3  2 , nên đồ thị hàm số có TCN là y = 2. x  x  1

Ta lại có: lim

Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VNPLUS Nhập biểu thực

2x  3 x 1

Ấn CALC x  1  109  được kết quả bằng

999999998 nên lim 2x  3   x 1 x  1

Ấn CALC x  1  109  được kết quả bằng

-999999998 nên xlim 1

2x  3   x 1

 Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1. Ấn CALC x  1010  được kết quả bằng

2 nên xlim 

2x  3 2 x 1

 Đồ thị hàm số có TCN là y = 2.  Chọn C. Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y 

2x  3 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: x  3x  2 2

A. x = 1, x = 2 và y = 0

B. x = 1, x = 2 và y = 2

C. x = 1 và y = 0

C. x = 1, x = 2 và y = -3 Hướng dẫn

Ta có x  3x  2  (x  1)(x  2) , nên hàm số không xác định tại x = 1 và x = 2 2

Sử dụng máy tính, ta tính được lim y   và lim y   ; lim y   và lim y   x 1

x 1

x 2

Trang 2

Suy ra đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1 và x = 2. Tương tự, ta tính được lim  x 

2x  3  0 , nên đồ thị hàm số có TCN là y = 0. x  3x  2 2

 Chọn A Ví dụ 3: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  A. 4

B. 3

C. 2

x  x là: x  3x  4 2

D. 5 Hướng dẫn

Ta có x 2  3x  4  (x  1)(x  4) , nên hàm số không xác định tại x = -1 và x = 4 Sử dụng máy tính, ta tính được lim  y   và lim  y   ; lim y   và lim y   x ( 1)

x 4

x ( 1)

x 4

Suy ra đồ thị hàm số có TCĐ là x = -1 và x = 4. Tương tự, ta tính được lim  x 

x  x   , nên đồ thị hàm số không có TCN. x  3x  4 2

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2  Chọn C Ví dụ 4: Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào sau đây: A. y 

x 1 x 1

B. y 

3x x 1

C. y 

x2 x 1

D. y 

x2 x 1

Hướng dẫn Từ đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1, nên loại đáp án A Đồ thị hàm số có TCN là y = 1, nên loại đáp án B. Ta thấy điểm (0;-2) thuộc đồ thị hàm số, nên loại đáp án D  Chọn C Ví dụ 5: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng? A. y 

3x  1 x2  1

B. y 

1 x

C. y 

x3 x2

D. y 

1 x  2x  1 2

Hướng dẫn Đáp án A: Hàm số xác định trên  , nên đồ thị hàm số không có TCĐ. Đáp án B: Hàm số có TCĐ là x = 0. Đáp án C: Hàm số có TCĐ là x = -2. Đáp án D: Hàm số có TCĐ là x = 1.  Chọn A 2. Bài tập tự luyện Trang 3

Câu 1. Đồ thị hàm số y  A. x = -2 và y = -3

1  3x có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: x2

B. x = -2 và y = 1

C. x = -2 và y = 3

D. x = 2 và y =1

Câu 2. Đồ thì hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận? A. y 

1  2x 1 x

B. y 

1 4  x2

C. y 

x3 5x  1

y

x x x9 2

Câu 3. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang? 2x  3 A. y  x 1

3 1 B. y  x2

3 C. y  2 x 1

Câu 4. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  A. y = 1

B. x = 1

x 4  3x 2  7 D. y  2x  1

x3 x2  1

C. y = 1

D. y = -1

Đáp án: 1-A

2-B

3-D

4-A

Dạng 2: Bài toán chứa tham số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y  A. m = 4

B. m = -4

C. m  4

mx  8 có tiệm cận đứng. x2

D. m  -4 Hướng dẫn

c  0 1  0 Đồ thị hàm số có TCĐ     m  4 ad  bc  0 2m  8  0  Chọn C Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì đồ thị (C): y  A. m 

2 2

B. m = 0

C. m 

mx  1 có tiệm cận đứng đi qua điểm M(t, 2)? 2x  m

1 2

D. m = 2 Hướng dẫn

2  0 c  0 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận dứng   2  m  R ad  bc  0 m  2  0 Khi đó, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x   Vậy để tiệm cận đứng đi qua điểm M(t, 2) thì 

m 2

m  1  m  2 2

 Chọn D

Trang 4

x 2  x  1  mx có đường tiệm cận đứng khi: x 1

Ví dụ 3: Đồ thị hàm số y  B. m  R

A. m  0

C. m  -1

D. m  1 Hướng dẫn

Xét phương trình

x 2  x  1  mx  0

 Nếu phương trình không có nghiệm x = 1 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1.  Nếu phương trình có nghiệm x = 1, tức là

t 2  1  1  m.1  0  m  1

x2  x  1  x 1 1 Khi đó xét giới hạn: lim  lim  2 x 1 x  1 x 1 2 x  x 1  x Do đó, đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi m  -1  Chọn C 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Giá trị của m để đồ thị hàm số y  A. m = 0; m =  1 Câu 2. Cho hàm số y 

xm không có tiệm cận đứng là mx  1

C. m =  1

B. m = -1

D. m = 1

mx  9 có đồ thị (C). Kết luận nào sau đây đúng? xm

A. Khi m = 3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng B. Khi m = -3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng C. Khi m  3 thì (C) có tiệm cận đứng x = -m, tiệm cận ngang y = m D. Khi m = 0 thì (C) không có tiệm cận ngang Đáp án: 1–A

2-C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  A. y = 8

8x  1999 là: 4x  6

Câu 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  A. x = 0; x = 3

C. y 

B. y = 3

25 8

D. y = 2

x x  3x 2

C. y = 0

D. x = 3

Câu 3. Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang? A. y  x 3  25x 2  8

B. y  x 4  8x 2  99

3x  1 C. y  2 x 2

2x 2  1 D. y  x2

Trang 5

Câu 4. Cho hàm số y 

x x 9 2

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 2 đường tiệm cận ngang là y =  1 B. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1 C. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1 D. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và không có đường tiệm cận ngang Câu 5. Đồ thị hàm số nào sau đây có hai đường tiệm cận ngang? x 1 A. y  2x  3

x 1 B. y  2 x  2x  1

Câu 6.) Cho hàm số y  A. y = 1

A. 1

D. y  x 3  3x 2  1

x2  1 . Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: x 1

B. y = -1

Câu 7. Đồ thị hàm số y 

x2  2 C. y  x 3

C. y = 1; y = -1

D. x = 1; x = -1

x 1 có bao nhiêu đường tiệm cận? x  2x  3 2

B. 3

C. 2

D. 0

mx  n có đồ thị (C). Biết đường tiệm cận của (C) đi qua điểm A(-1;2) và ta có x 1 điểm I(2;1) thuộc (C). Khi đó giá trị của m+n là

Câu 8. Cho hàm số y 

A. m + n = -1

B. m + n = 1

Câu 9. Giá trị của m để đồ thị hàm số y  A. m = 0; m =  1

C. m + n = -3

D. m + n = 3

xm không có tiệm cận đứng là mx  1

C. m =  1

B. m = -1

D. m = 1

Đáp án: 1–D

2–D

3-C

4–A

5–C

6–C

7–B

8–A

9–A

Trang 6

CHƯƠNG 5 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hàm số bậc ba Hàm số bậc ba có dạng: y  f  x   ax3  bx 2  cx  d  a  0  * Tập xác định: D  .

* Đạo hàm: y  f   x   3ax 2  2bx  c

 b * Điểm đối xứng I   ; f  3a

 b     .  3a  

* Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;d). a. Đồ thị Trường hợp

a>0

a<0

Phương trình y  0 có hai * Có 1 cực đại, 1 cực tiểu nghiệm phân biệt (Điều * Có 1 cực đại, 1 cực tiểu. kiện:   0 ) * Đồng biến trên các khoảng * Nghịch biến trên các khoảng (-∞;ĐCĐ); (ĐCT;+∞) (-∞;ĐCĐ); (ĐCT;+∞) * Nghịch biến trên (ĐCĐ; * Đồng biến trên (ĐCĐ, ĐCT) ĐCT)

Phương trình

y  0

có

nghiệm kép (Điều kiện:   0)

* Không có cực trị * Luôn đồng biến trên 

Phương trình

y  0

* Không có cực trị. * Luôn nghịch biến trên 

vô

nghiệm (Điều kiện:   0 ) * Không có cực trị * Luôn đồng biến trên 

* Không có cực trị * Luôn nghịch biến trên 

b. Nhận dạng đồ thị * Nhánh cuối có hướng đi lên  a  0 , nhánh cuối có hướng đi xuống  a  0 * Giao điểm với trục tung suy ra dấu của d. * Các cực trị, hoành độ tâm đối xứng suy ra dấu của b và c Trang 1

2. Hàm số bậc bốn trùng phương Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  * Tập xác định: D  .

* Đạo hàm: y  f   x   4ax3  2bx. * Trục đối xứng x = 0 (trục tung) * Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;c). a. Đồ thị Trường hợp

a>0

a<0

Phương trình y  0 có ba * Có 1 cực đại, 1 cực tiểu nghiệm phân biệt (Điều * Có 1 cực đại, 2 cực tiểu. * Đồng biến trên các khoảng * Đồng biến trên các khoảng kiện: ab  0 ) (ĐCĐ1;ĐCĐ); (ĐCT2;+∞) (-∞;ĐCĐ1); (ĐCT;ĐCĐ2) * Nghịch biến trên các khoảng * Nghịch biến trên các khoảng (-∞;ĐCT1); (ĐCĐ;ĐCT2) (ĐCĐ1;ĐCT); (ĐCĐ2;+∞)

Phương trình y  0 có một nghiệm (Điều kiện: ab  0 ) * Có 1 cực tiểu * Đồng biến trên (ĐCT; +∞) * Nghịch biến trên (-∞;ĐCT)

* Có 1 cực đại * Đồng biến trên (-∞;ĐCĐ) * Nghịch biến trên (ĐCĐ; +∞)

b. Nhận dạng đồ thị * Nhánh cuối có hướng đi lên  a  0 , nhánh cuối có hướng đi xuống  a  0 * Giao điểm với trục tung suy ra dấu của c. * Các cực trị suy ra dấu của b. 3. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y  f  x    d * Tập xác định: D   \   .  c

* Đạo hàm: y  f   x   * TCĐ: x 

 d a * Điểm đối xứng I  ;   c c

ad  bc

 cx  d 

d a ; TCN: y  c c

ax  b  c  0; ad  bc  0  cx  d

 b  * Giao với trục Ox (nếu có) tại điểm A   ;0   a   b * Giao với trục Oy tại điểm: B  0;   d

* Hàm số không có cực trị. Trang 2

a. Đồ thị ad – bc > 0

Luôn đồng biến d  d    ;   ;   ;   c  c  

trên

ad – bc < 0

các

khoảng *

Luôn nghịch biến d  d    ;   ;   ;   c  c  

trên

các

khoảng

b. Nhận dạng đồ thị Dựa vào dấu các hệ số; sự đồng biến, nghịch biến; các đường tiệm cận; giao điểm của đồ thị với các trục tọa đọ suy ra các tính chất. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng đồ thị hàm số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây? A. y  x 4  3 x 2  1. B. y  x 4  2 x 2 . C. y  x 4  2 x 2 . D. y   x 4  2 x 2 . Hướng dẫn Từ đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc bốn trùng phương y  ax 4  bx 2  c  a  0  có a  0 Vì hàm số có ba cực trị nên ab  0  b  0 . Do đó loại đáp án B và D Vì đồ thị đi qua điểm O(0;0) nên c = 0. Do đó loại đáp án A. → Chọn C. Ví dụ 2. Hàm số y 

x2 có đồ thị là hình vẽ nào sau đây? x 1

Trang 3

C. Hướng dẫn Cách 1: Hàm số y  Đồ thị hàm số y  Cách 2: ta có

x2 có TCĐ là x  1 và TCN là y  1 . Do đó loại đáp án D. x 1

x2 đi qua điểm (0;2) nên chọn đáp án A. x 1

x2 d  x2 1 đồng biến trên các khoảng xác định. Do   0 , suy ra hàm số y    x 1 dx  x  1  x 10 81

đó loại đáp án B và D. Đồ thị hàm số y 

x2 đi qua điểm (0;2) nên chọn đáp án A. x 1

→ Chọn A. Ví dụ 3. Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có TCĐ là x = -1, TCN là y = 2 B. Hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞) C. Hàm số có hai cực trị. D. Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞;+∞) Hướng dẫn Nhìn vào ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2 → Chọn A. Ví dụ 4. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?



f x f x

0 +



CĐ



A. y   x3  3 x 2  2. B. y  x3  3 x 2  2. C. y  x3  3 x 2  2. D. y   x3  3 x 2  2. Hướng dẫn Trang 4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nhánh cuối của đồ thị hàm số có hướng đi lên Suy ra hệ số a > 0. Do đó loại đáp án A và D. Ta có y  0 có hai nghiệm là x = 0 hoặc x = 2 nên chỉ có đáp án B là phù hợp → Chọn B. Ví dụ 5. Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  có đồ thị sau, xác định dấu của a và d A. a > 0; d < 0

B. a < 0; d > 0.

C. a > 0; d > 0.

D. a < 0; d > 0.

Hướng dẫn Nhìn vào đồ thị hàm số, ta thấy nhánh cuối cùng có hướng đi lên suy ra a > 0 Ta lại thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương suy ra d > 0 Vậy hàm số có a > 0; d > 0. → Chọn C. Ví dụ 6. Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0. B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0. C. a > 0, d < 0, c < 0, d > 0. D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0. Hướng dẫn Nhìn vào đồ thị hàm số, ta thấy nhánh cuối cùng của đồ thị có hướng đi xuống  a  0 Nên loại đáp án C. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm  d  0 Ta có y  3ax 2  2bx  c , phương trình y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 là hoành độ hai điểm cực trị. Từ đồ thị hàm số, ta thấy hai điểm cực trị của hàm số có hoành độ trái dấu  x1.x2  0 

c a 0  0   c  0 . Nên loại đáp án D. 3a

Ta lại thấy, điểm đối xứng I của đồ thị hàm số có hoành độ dương  x1  0  

b a 0  0   b  0 . Nên loại đáp án B 3a

→ Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 5



f  x f  x



1 -



-1



-1

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = -1. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 1. C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang. Câu 2. Đồ thị hàm số y  x3  3 x  2 là hình nào trong bốn hình dưới đây?

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

A. Hình 1.

B. Hình 2.

Câu 3. Xác định a,b để hàm số y 

C. Hình 3.

D. Hình 4

ax  1 có đồ thị như hình vẽ. xb

Chọn đáp án đúng A. a = 1, b = -1. B. a = 1, b = 1. C. a = -1, b = 1. D. a = -1, b = -1. Câu 4. Cho đồ thị hàm số bậc ba y  f  x  như hình sau. Chọn đáp án đúng. A. Phương trình f   x   0 có nghiệm là x = 0. B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;1) và (1;2) C. Hàm số không có cực trị. D. Hàm số có hệ số a < 0

Trang 6

Đáp án:

1-A

2-A

3-B

4-A

Dạng 2: Bài toán chứa tham số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y  2 x3  mx 2  12 x  13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi: A. m = -1.

B. m = 0.

C. m = -1; m = -2.

D. m = -2.

Hướng dẫn Hàm số có y  6 x 2  2mx  12. Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi   0  m 2  72  0 (luôn đúng) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình y  0 Khi đó x1 , x2 là hoành độ của hai điểm cực trị Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung

 x1  x2  x1   x2  x1  x2  0  S  0  m  0 Vậy m = 0 → Chọn B Ví dụ 2: tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y  x3  3 x 2  m

 Cm 

có hai điểm

phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là: A. 1  m  0.

B. m  0.

C. m  3.

D. m  0.

Hướng dẫn Gọi điểm M  x0 ; y0  x0     Cm  ; x0  0. Gọi điểm M   x1 ; y  x1   là điểm đối xứng của M qua gốc tọa độ O.

 x0   x1  x0  x1 Vì M  đối xứng với M qua O, nên ta có    y  x0    y  x1   y  x0    y   x0  3 2  x03  3 x02  m     x0   3   x0   m   3 x02  m  m  0  

→ Chọn D. 2. Bài tập tự luyện Câu 1 Cho hàm số y  x3   3m  1 x 2  2mx  m  1 . Điều kiện của tham số m để đồ thị  Cm  của hàm số có ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Oy là: A. m  0.

B. m  0.

C. m  2.

D. m  2.

Câu 2 Đồ thị hàm số y  ax 4  bx 2  c có điểm cực tiểu là (0;3) và điểm cực đại là (1;5). Tìm giá trị của biểu thức P  a  2b  c. A. 3.

B. 6.

C. 12.

D. 9.

Trang 7

1–B

Đáp án:

2–D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên dưới đây:



-1

y y



0 +



-1



Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  0;   . C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. Câu 2 Đồ thị sau đây của hàm số nào? A. y  x3  6 x 2  9 x. B. y  x3  6 x 2  9 x. C. y   x3  6 x 2  9 x. D. y  x3  6 x 2  9 x  1. Câu 3 cho hàm số y  x3  5 x 2  mx  3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đi qua điểm A  1;9  . 2 A. m  . 3

B. m 

2 . 3

D. m 

C. m  2.

3 . 2

Câu 4 Cho hàm số y   x 4  2 x 2  3 có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là y1 và y2 . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? A. y1  3 y2  15.

B. 2 y1  y2  5.

D. y1  y2  12.

C. y2  y1  2 3.

Câu 5 Số các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

x  m2  m trên đoạn  0;1 x 1

bằng -2 là: A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Câu 6 Cho hàm số y  f  x  xác định trên M và có đạo hàm f   x    x  1  x  1 x 2 . Số điểm cực trị 2

của hàm số là: A. 1. Câu 7 Cho hàm số y 

B. 0.

C. 2.

D. 3.

ax  b có đồ thị như hình vẽ sau: cx  d

Mệnh đề nào sau đây là đúng? Trang 8

A. bc > 0; ad < 0.

C. bd < 0; ad > 0.

B. ac > 0; bd > 0.

D. ab < 0; cd < 0.

Câu 8 Đồ thị của hàm số y  x3  3 x 2  9 x  2 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB? A. P 1;3 .

B. M  0;1 .

C. Q  3; 29  .

D. N  0;5  .

Câu 9 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   3 x 2  2, x   . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;   . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   . Câu 10 Hàm số y  A. m .

1 2 m  1 x3   m  1 x 2  3 x  5 đồng biến trên  khi  3

 m  1 C.  . m  2

B. m  2.

D. m  1.

Đáp án: 1 -A

2–A

3–C

4–B

5–A

6–A

7–A

8–D

9–C

10 – C

Trang 9

CHƯƠNG 1 CHUYÊN ĐỀ 6 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Tương giao của hai đồ thị hàm số Cho hai hàm số f  x  và g  x  . Xét phương trình hoành độ giao điểm f  x   g  x  . Ta có: • Số giao điểm của hai đồ thị = Số nghiệm của phương trình. • Hoành độ giao điểm = Nghiệm của phương trình. Đồ thị có ba giao điểm 

phương trình

f  x   g  x  có ba nghiệm. Hoành độ giao điểm

x1 , x 2 , x 3  x1 , x 2 , x 3 là nghiệm của f  x   g  x  . 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm Cho hàm số y  f  x  và điểm M  x 0 ;f  x 0   . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là:

y  f   x 0  x  x 0   f  x 0  3. Một Số phép biến đổi đồ thị a. Tịnh tiến đồ thị hàm số Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  ; p, q là 2 số dương tùy ý. • Tịnh tiến  C  lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x   q . • Tịnh tiến  C  xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x   q . • Tịnh tiến  C  sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x  p  . • Tịnh tiến  C  sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y  f  x  p  .  • Tịnh tiến  C  theo vectơ u   a; b  thì được đồ thị hàm số y  f  x  a   b . b. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Từ đồ thị  C  : y  f  x  suy ra đồ thị  C  : y  f  x 

f  x  khi x  0 Ta có y  f  x    và y  f  x  là hàm chẵn. f   x  khi x  0 Nên đồ thị  C  nhận Oy làm trục đối xứng. Trang 1

Cách vẽ  C  từ  C  : • Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị  C  : y  f  x  (bỏ phần bên trái). • Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy của đồ thị  C  : y  f  x  qua Oy.

Đồ thị  C 

Giữ nguyên phần bên phải

Lấy đối xứng phần bên phải

Từ đồ thị  C  : y  f  x  suy ra đồ thị  C  : y  f  x 

f  x  khi f  x   0 Ta có y  f  x    . f   x  khi f  x   0 Cách vẽ  C  từ  C  : • Giữ nguyên phần đồ thị bên trên trục Ox của đồ thị  C  : y  f  x  (bỏ phần bên dưới). • Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục Ox của đồ thị  C  : y  f  x  qua Ox.

Đồ thị  C 

Giữ nguyên phần bên trên

Lấy đối xứng phần bên trên

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tương giao của hai đồ thị 1. Phương pháp giải Tương giao đồ thị hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d và trục Ox

  y  0 • Cắt nhau tại ba điểm khi và chỉ khi  . y CÑ .y CT  0 Trang 2

  y  0 • Cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi  . y CÑ .y CT  0   y  0 • Cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi  y  0 hoặc  . y .y  0  CÑ CT Tương giao đồ thị hàm số  C  : y  ax 3  bx 2  cx  d và đường thẳng (d): y  kx  n Xét phương trình ax3  bx 2  cx  d  kx  n

1

• Nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình bậc hai. • Cô lập tham số sau đó khảo sát hàm số. Tương giao đồ thị hàm số  C  : y  ax 4  bx 2  c và trục Ox

ab  0 • Cắt nhau tại bốn điểm khi và chỉ khi  . y CÑ .y CT  0

ab  0 • Cắt nhau tại ba điểm khi và chỉ khi  . c  0 Tương giao đồ thị hàm số  C  : y  ax 4  bx 2  c và đường thẳng (d): y  k Xét phương trình ax 4  bx 2  c  k Đặt t  x 2  t  0  ta có phương trình at 2  bt  c  k  0 • Cắt nhau tại bốn điểm

2  3

  2  có bốn nghiệm phân biệt.   3 có hai nghiệm dương phân biệt.

  0    3 thỏa mãn P  0 . S  0  • Cắt nhau tại ba điểm

  2  có ba nghiệm phân biệt.   3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một

nghiệm t  0 . • Cắt nhau tại hai điểm

  2  có hai nghiệm phân biệt   3 có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu.

• Cắt nhau tại một điểm

  2  có một nghiệm   3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó t = 0 và một nghiệm âm hoặc  3

có nghiệm kép t  0 . • Không cắt nhau

  2  vô nghiệm

Trang 3

  3 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm

Tương giao đồ thị hàm số y 

ax  b  C  và đường thẳng: y  kx  n bx  c

d

Ax 2  Bx  C  0 ax  b   kx  n   Xét phương trình d cx  d x   c  Cắt nhau tại hai điểm

 4

d   4  có hai nghiệm phân biệt khác  . c

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị  C  : y  x 4  2x 2  3 và trục hoành. A.  1;0  .

B.  0;1 .

C.  1;0  và 1;0  .

D. M  1;0  và  0;1 .

Hướng dẫn  x 2  1  thoûa maõn   x  1  Xét phương trình hoành độ giao điểm: x  2x  3  0   2  x  1  3  loaïi   x  1 4

Vậy đồ thị  C  cắt trục hoành tại hai điểm A  1;0  , B 1;0  .  Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y  2  2x với đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  2 . A. M  1; 4  .

B. M  0; 2  .

C. M  4; 5  .

D. M  3; 4  .

Hướng dẫn Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 3  3x 2  2  2  2x  x 3  3x 2  2x  0

x  0  y  2   x  1  y  0  x  2  y  2 Vậy đồ thị hàm số bậc ba cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt A  0; 2  , B 1;0  , C  2; 2  .  Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị  C  : y  A. 1;3 .

2x  1 và đường thẳng d: y  x  2 . 2x  1

3 1 B.  ;  . 2 2

C. 1; 3 .

3 1 D.  ;   . 2 2

Hướng dẫn Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2x  1  x2 2x  1

1 Trang 4

Điều kiện xác định: x 

1 . Khi đó 1  2x  1   2x  1 x  2   2x 2  x  3  0 2

3 1  x y   2 2  x  1  y  3

 3 1 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là   ;  và 1;3  2 2  Chọn A.

Ví dụ 4: Cho hàm số y  mx 3  x 2  2x  8m có đồ thị là  Cm  . Tìm m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.  1 A. m  0;  .  2

 1  B. m    ;0  .  6 

 1 1 C. m    ;  .  6 2

 1 D. m   0;  .  2

Hướng dẫn Xét phương trình hoành độ giao điểm:

 x  2 mx 3  x 2  2x  8m  0   x  2   mx 2   2m  1 x  4m   0   2  mx   2m  1 x  4m  0

 Cm 

 2

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi  2  có hai nghiệm phân biệt khác –2.

 m  0 m  0 m  0  1   1  2 Khi đó:   12m  4m  1  0    m    1 1 . 2 12m  2  0  6  6  m  2  1  m   6  1 1 Vậy m    ;  \ 0 thỏa mãn.  6 2  Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hàm số y  x 4   3m  2  x 2  3m  C  . Tìm m để đường thẳng d: y  1 cắt đồ thị  C  tại bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2? A. m   0;1 .

B. m   0;1 .

 1  C. m    ;1 .  3 

 1  D. m    ;1 .  3 

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của  C  và d: y  1 là:

x 4   3m  2  x 2  3m  1  x 4   3m  2  x 2  3m  1  0 x2  1 t  1 Đặt t  x  t  0  , ta có phương trình t   3m  2  t  3m  1  0    2  t  3m  1  x  3m  1 2

Theo yêu cầu bài toán thì m phải thỏa mãn hệ phương trình sau: Trang 5

0  3m  1  4 1    m  1 và m  0 .  3 3m  1  1 1 Vậy   m  1 và m  0 thỏa yêu cầu bài toán. 3  Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hàm số y 

2x  1 có đồ thị là  C  . Tìm m để đường thẳng (d): y   x  m cắt đồ thị  C  x 1

tại hai điểm phân biệt. A. m   ;1   5;   . B. m   ;1   5;   . C. m   ;1  5;   . D. m   ;1  5;   . Hướng dẫn Xét phương trình hoành độ giao điểm: Điều kiện xác định: x  1 . Khi đó 1

2x  1  x  m x 1

1

 2x  1    x  m  x  1

2

 x 2   m  1  m  1  0 Đường thẳng  d  cắt  C  tại hai điểm phân biệt thì 1 phải có hai nghiệm phân biệt

     m  1  2  4  m  1  0      2  có hai nghiệm phân biệt khác 1    1   m  1 .1  m  1  0  m 2  6m  5  0  m   ;1   5;   Vậy giá trị m cần tìm là m   ;1   5;    Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số y  2x 3  3mx 2   m  1 x  1 có đồ thị  C  . Tìm tập giá trị của m để đường thẳng d: y   x  1 cắt đồ thị  C  tại ba điểm phân biệt. 8  A.  ;0    ;   . 9 

8  B.  ;0    ;   . 9 

8  C.  ;0   ;   . 9 

8  D.  ;0    ;   . 9 

Câu 2. Tìm m để đồ thị hàm số y  x 3  mx  2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. A. m  3 . Câu 3. Cho hàm số y 

B. m  3 . mx  1 có đồ thị x2

C. m  3 .

D. m  3 .

là  Cm  . Tìm m để đường thẳng  d  : y  2x  1

cắt đồ thị  Cm  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  10 . A. m  9 .

B. m  3 .

C. m  3 .

D. m  3 .

Câu 4. Cho hàm số: y   x  1  x 2  mx  m  . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

Trang 6

1 B.   m  0 . 2

A. m  4 .

C. 0  m  4 .

 1  m0 D.  2 .  m  4

Đáp án: 1–A

2–C

3–D

4–D

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y 

x 1 có đồ thị  H  . Tiếp tuyến của  H  tại giao điểm của  H  với trục hoành x2

có phương trình là: A. y  3x .

B. y  x  3 .

C. y  3x  3 .

D. y 

1  x  1 . 3

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của  H  và trục hoành là

x 1  0  x  1  y 1  0 . x2

Phương trình tiếp tuyến của  H  tại điểm 1;0  có dạng: y  y 1 .  x  1  0  y 

1  x  1 . 3

 Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 3  3x 2  2x  1 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng

d :

2x  y  3  0 có phương trình là:

A. x  2y  19  0 .

B. 2x  y  19  0 .

C. 2x  y  2  0 .

D. y  2x  1 .

Hướng dẫn Hàm số có y  3x 2  6x  2 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng 2x  y  3  0  y  2x  3

x  0  y  2  3x 2  6x  2  2   . x  2 Với x  0  y  1  Phương trình tiếp tuyến: y  2x  1 hay 2x  y  1  0 . Với x  2  y  15  Phương trình tiếp tuyến: y  2  x  2   15 hay 2x  y  19  0 .  Chọn B.

Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị  C  : y  2x 3  3x 2  1 . Tìm trên  C  có những điểm M sao cho tiếp tuyến của  C  tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. A. M  0;8  .

B. M  1; 4  .

C. M 1;0  .

D. M  1;8  .

Hướng dẫn Trang 7

Ta có: M  0;8    C   Loại đáp án A. Ta có: M  1;8    C   Loại đáp án D. Xét đáp án B: M  1; 4  . Hàm số có y  6x 2  6x  y  1  12 . Phương trình tiếp tuyến tại M  1; 4  ) có dạng y  12  x  1  4  y  12x  8

d

Có đường thẳng  d  cắt trục tung tại điểm M  0;8  (thỏa mãn yêu cầu đề bài). Vậy điểm M  1; 4  là thỏa mãn.  Chọn B.

Ví dụ 4: : Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m  2 có đồ thị  C  . Gọi  là tiếp tuyến đồ thị  C  tại điểm có hoành độ bằng 1. Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng  vuông góc với đường thẳng 1  d  : y   x  2016 ? 4 A. m  1 .

C. m  1 .

B. m  0 .

D. m  2 .

Hướng dẫn Hàm số có y  4x  4  m  1 x  y 1  4m . 3

1 Vì tiếp tuyến  vuông góc với đường thẳng  d  : y   x  2016 4

 Tiếp tuyến  có hệ số góc là k  4 . Ta có y 1  k  4m  4  m  1 .  Chọn A.

2. Bài tập tự luyện 2x  1  C  . Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị  C  sao cho tiếp tuyến đó cắt x 1 trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn OA  4OB là:

Câu 1. Cho hàm số y 

1 A.  . 4

1 . 4

C. 

1 1 hoặc . 4 4

D. 1.

Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 4  6x 2  5 tại điểm cực tiểu của nó. A. y  5 .

B. y  5 .

C. y  0 .

D. y  x  5 .

Đáp án: 1–A

2–B

Dạng 3: Tịnh tiến đồ thị hàm số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 3  3x 2  4x  1 . Tịnh tiến đồ thị  C  lên trên 3 đơn vị thì được đồ thị của hàm số nào? Trang 8

A. y  x 3  3x 2  4x  2 .

B. y  x 3  3x 2  4x  2 .

C. y  x 3  3x 2  4x  4 .

D. y  x 3  3x 2  4x  4 . Hướng dẫn

Ta có  C  : y  f  x   x 3  3x 2  4 x  1 . Tịnh tiến  C  lên trên 3 đơn vị thì ta được đồ thị hàm số y  f  x   3

 y  x 3  3x 2  4x  1  3  y  x 3  3x 2  4x  4 .  Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  

x 2  4x  4 . Lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy đồ thị hàm 1 x

số trên để nhận được đồ thị của hàm số y 

x2 . 1 x

A. Tịnh tiến xuống dưới 4 đơn vị.

B. Tịnh tiến lên trên 4 đơn vị.

C. Tịnh tiến sang phải 4 đơn vị.

D. Tịnh tiến sang trái 4 đơn vị. Hướng dẫn

Ta có phép tịnh tiến song song với trục Oy là phép tịnh tiến lên trên hoặc xuống dưới. Suy ra loại đáp án C và D. Do đó đồ thị hàm số nhận được có dạng y  f  x   b . Ở đó, nếu b  0 : đồ thị tịnh tiến lên trên; nếu b  0 : đồ thị tịnh tiến xuống dưới. 

x2 x2 x 2  4x  4  f x  b   b 1 x 1 x 1 x



x 2  4x  4  b 1  x  x 2  x  b  4  4  b x2 x2    1 x 1 x 1 x 1 x

  b  4   0 Đồng nhất hệ số, ta được   b  4 . b  4  0 Vậy đồ thị tịnh tiến xuống dưới 4 đơn vị.  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x   được đồ thị của hàm số y  A. a  b  2 .

x2  x 1  . Tịnh tiến đồ thị hàm số trên theo vectơ u   a; b  để nhận x 1

x2 . Biết rằng a  0;  a; b   1 . Giá trị của a  b là x 1

B. a  b  5 .

C. a  b  1 .

D. a  b  1 .

Hướng dẫn  Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  theo vectơ u   a; b  thì nhận được đồ thị hàm số

y  f  x  a   b . Suy ra

x2  f x  a  b x 1

Trang 9

 x  a    x  a  1  b x2   x 1  x  a  1 2



x 2  2xa  a 2  x  a  1  b  x  a  1 x2  x 1 x  a 1



x 2  x  2a  1  b   a 2  a  1  ab  b x2  x 1 x  a 1

Đồng nhất hệ số, ta được: 2a  1  b  0 a  2   2 . Suy ra vectơ u   2; 3 . Vậy a  b  1 a  a  1  ab  b  0   b  3 a  1  1   Chọn D.

2. Bài tập tự luyện 1 Câu 1. Tịnh tiến đồ thị hàm số y   x 2  5x  7 sang trái 8 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào 2 trong các hàm số sau: 1 A. y   x 2  3x  1 . 2

1 B. y   x 2  5x  1 . 2

1 C. y   x 2  5x  1 . 2

1 D. y   x 2  3x  1 . 2

Câu 2. Cho hàm số y  f  x   x 3  3x 2  9x  5 . Lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox đồ thị hàm số trên để nhận được đồ thị của hàm số y  x 3  12x  6 . A. Tịnh tiến sang phải 2 đơn vị.

B. Tịnh tiến sang trái 2 đơn vị.

C. Tịnh tiến sang phải 1 đơn vị.

D. Tịnh tiến sang trái 1 đơn vị.

Đáp án: 1–A

2–D

Dạng 4: Đồ thị hàm chứa dấu tuyệt đối 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  2 . Chọn khẳng định đúng. A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 .

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x  2 .

D. Hàm số không có cực trị. Hướng dẫn

Ta có y  x  2  (x  2) 2 . Hàm số có đạo hàm y 

x2

 x  2

nên y  0  x  2 .

Ta có y  0  x   2;   ; y  0  x   ; 2  , nên hàm số đạt cực tiểu tại x  2 .  Chọn B.

Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số y  x 4  2x 2  1 là đồ thị nào trong các đồ thị sau?

Trang 10

D. Hướng dẫn

Ta có cách vẽ đồ thị hàm số y  x 4  2x 2  1 như sau Bước 1: Vẽ đồ thị y  x 4  2x 2  1 . Bước 2: Giữ nguyên phần đồ thị trên Ox (bỏ phần phía dưới Ox). Bước 3: Lấy đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox.

 Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hàm số y  x 3  6x 2  9x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Trang 11

A. y  x  6 x  9 x

B. y  x  6x 2  9 x

C. y  x 3  6x 2  9x

D. y   x 3  6x 2  9x Hướng dẫn

Nhìn vào Hình 2, ta thấy đồ thị Hình 2 đối xứng nhau qua trục Oy nên Hình 2 là đồ thị của hàm số có dạng y  f  x  . Do đó loại đáp án C và D. Mặt khác, ta thấy đồ thị Hình 2 đi qua điểm  1; 4  , 1; 4  nên chọn đáp án B.  Chọn B.

Ví dụ 4: Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm trùng phương. Giá trị của m để phương trình f  x   m có bốn nghiệm phân biệt là:

A. m  0; m  3 .

B. 1  m  3 .

C. 3  m  1 .

D. m  0 .

Hướng dẫn Từ đồ thị hàm số y  f  x  , ta có đồ thị của hàm số y  f  x  như hình bên.

Trang 12

Ta có, số nghiệm của phương trình f  x   m là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y  m .

m  0 Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy phương trình f  x   m có 4 nghiệm phân biệt   m  3  Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y   x 3  3x 2  2 .

B. y  x  3 x  2 .

C. y  x  3x 2  2 .

D. y  x 3  3x 2  2 .

Câu 2. Đồ thị sau là của hàm số nào sau đây:

Trang 13

B. y  x 3  3x 2  1 .

A. y  x 3  3x 2  1 .

C. y  x  3x 2  1 .

D. x  3x 2  1 .

Đáp án: 1–D

2–D

Dạng 5: Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x 4  2x 2  m  3  0 có bốn nghiệm phân biệt. A. m   2;3 .

C. m   2;3

B. m   2;3 .

D. m   2;3 .

Hướng dẫn

1

Phương trình x  2x  m  3  0  x  2x  3  m . 4

Phương trình 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  C  : y  x 4  2x 2  3 và đường thẳng

d :

y  m  Số nghiệm của 1 bằng số giao điểm của  C  và  d  .

Xét hàm số y  x 4  2x 2  3 có tập xác định: D   .

x  0 Đạo hàm y  4x  4x nên y  0  4x  4x  0   x  1 .  x  1 3

Bảng biến thiên: x



y

–1 –



0 +



1 –

+ 

y 2

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình 1 có bốn nghiệm phân biệt  2  m  3 .  Chọn B.

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình f  x   2m có đúng hai nghiệm phân biệt. Trang 14



–1

y

–



1 +

–





–3 m  0 C.  . m   3  2

m  0 B.  .  m  3

A. m  3 .

3 D. m   . 2

Hướng dẫn Ta có số nghiệm của phương trình f  x   2m là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y  2m song song với trục Oy. Do đó, dựa vào bảng biến thiên của hàm số f  x   2m , phương trình f  x   2m có đúng hai nghiệm m  0  2m  0 phân biệt   .  m   3  2m  3  2

 Chọn C.

Ví dụ 3: Cho phương trình m  x 2  2x   2x 2  4x  2  0 * . Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để 3

phương trình trên có nghiệm thỏa mãn x  3 ? A. 4.

B. Không có giá tị nào của m.

C. Vô số giá trị của m.

D. 6. Hướng dẫn

Ta có phương trình *  m  x 2  2x   2  x 2  2x   2  0 . 3

Đặt t  x 2  2x , ta được phương trình: mt 3  2t  2  0

1

Ta có f  x   x 2  2x; x  3  f  x   3  t  3;   . Ta lại có 1  m 

2 2   f  t  với t  3;   . t 2 t3

Khi đó, bài toán trở thành: Tìm m để phương trình m  f  t  có nghiệm trên nửa khoảng 3;   . Xét hàm số f  t  

2 2 4 6 3  3 ; t  3;   có f   t    3  4  f   t   0  t  2 t t t t 2

 Hàm số f  t  nghịch biến trên nửa khoảng 3;    Xét trên nửa khoảng 3;   , ta có f  t   f  3  Suy ra m 

4 27

4  Có vô số giá trị của m. 27

Trang 15

 Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm giá trị của tham số m để phương trình x 3  3x  2m  1 có ba nghiệm phân biệt. A.

3 1 m . 2 2

B. 2  m  2 .

3 1 m . 2 2

D. 2  m  2

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3  3x  m 2  m có 3 nghiệm phân biệt. A. 2  m  1 .

B. 1  m  2 .

C. m  1 .

D. m  21 .

Câu 3. Điều kiện của tham số m để phương trình x 2 x 2  2  m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt là: A. 0  m  1 .

B. m  0 .

C. m  1 .

D. m  0 .

Đáp án: 1–A

2–A

3–A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các đáp án sau?

A. y  x 3  3 x .

B. y  x 3  3x .

C. y  x  3 x .

D. y  x 3  3x .

Câu 2. Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 có đồ thị  Cm  . Tọa độ các điểm cố định của  Cm  là: A.  1;0  , 1;0  .

B. 1;0  ,  0;1 .

C.  2;1 ,  2;3 .

D.  2;1 ,  0;1 .

Câu 3. Cho hàm số  Cm  : y  x 4  mx 2  m  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

m  1 A.  . m  2

B. Không có m.

C. m  1 .

D. m  2 .

Câu 4. Cho hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d với a  0 . Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là

A 1;1 , B  1 ;3 . Tính f  4  . A. f  4   14 .

B. f  4   28 .

C. f  4   28 .

D. f  4   14 .

Câu 5. Tìm số giao điểm của đồ thị hai hàm số y  x  3 và y  x  1 . A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0. Trang 16

Câu 6. Đồ thị của hàm số y  x 3  3x 2  mx  m (m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là: A. M  1; 2  .

B. M  1; 4  .

C. M 1; 2  .

Câu 7. Biết đồ thị hai hàm số y  x  1 và y 

D. M 1; 4  .

2x  1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài x 1

đoạn thẳng AB. B. AB  4 .

A. AB  2 .

Câu 8. Cho đường cong  C  : y 

C. AB  2 2 .

D. AB  3 2 .

2x  3 và M là một điểm nằm trên  C  . Giả sử d1 , d 2 lần lượt là x 1

khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C  . Khi đó d1.d 2 bằng: A. 3.

B. 4.

Câu 9. Trên đồ thị  C  của hàm số y  A. 4.

C. 5.

x2 có bao nhiêu điểm tọa độ nguyên? 2x  1

B. 2.

Câu 10. Cho hàm số y 

D. 6.

C. 1.

D. 6.

x 1  C  . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y  2x  3 tại 2 điểm x 1

A  x1 ; y1  ; B  x 2 ; y 2  . Khi đó x1  x 2 bằng: A. 4.

B. 8.

C. 0.

D. 6.

Câu 11. Tìm m để đồ thị hàm số y  x 3   2m  1 x 2   m  1 x  m  1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có 2 điểm có hoành độ âm. A. m  1 .

B. m  1 .

Câu 12. Cho hàm số y 

C. m  1 .

D. m  1 .

1 x Tìm tham số m để đồ thị hàm số  C  cắt đường thẳng  d  : y  x  m tại 2x  1

hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  2 . A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  1 .

D. Không tồn tại m.

Câu 13. Tìm tham số m để đường thẳng  d  : y  x  m  1 cắt đồ thị hàm số  C  : y 

2x  3 tại hai x 1

 2 4 điểm phân biệt A, B sao cho OAB có trọng tâm là điểm G   ;  .  3 3

A. m  4 .

C. m  2 .

B. m  3 .

Câu 14. Cho hàm số y 

D. m  1

x 1 . Tìm m để đường thẳng  d  : y  m  x cắt đồ thị hàm số  C  tại 2 điểm x 1

phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến của  C  tại A và B song song với nhau. A. m  1 .

C. m  1 .

B. m  0 .

D. m  2

Đáp án: 1–A

2–A

3–A

4–B

5–C

6–B

7–C

8–C

9–A

10–C

11–A

12–B

13–A

14–B

Trang 17

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT CHUYÊN ĐỀ 1: LŨY THỪA VÀ LÔGARIT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Lũy thừa Lũy thừa với số mũ thực số mũ Lũy thừa a 

2 1 Ví dụ: Các lũy thừa 23 ;  4  ;   2

4

cơ số Đọc là: a mũ α. Hoặc a lũy thừa α. Hoặc Lũy thừa cơ số a số mũ α. Số mũ α

ĐK cơ số a a

Nguyên dương

α = n, n  *

Không

α=0

a0

Nguyên âm

   n , n  *

a0

Hữu tỉ Vô tỉ

Lũy thừa a  a n  a.a. ... .a    n thõa sè a

r

a>0

m , m , n  , n  2 n

  lim rn , rn   , n  *

a>0

a0  1 1 an

a n 

ar  a n  n am

a   lim a rn n 

n 

Chú ý: Chú ý điều kiện của cơ số a đối với từng dạng số mũ α. Không tồn tại lũy thừa 00 . Định nghĩa căn bậc n

Ví dụ:

Cho b   và n   ( n  2 )

Số 2 được gọi là căn bậc 3 của số 8 vì 23  8 .

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n  b .

Số 3 được gọi là căn bậc 4 của số 81 vì

 3  Với n lẻ: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu

 81 .

Ví dụ: n

Số 64 có một căn bậc 3 là số 4 . Số 6 có một căn bậc 3 là số

Số -12 có một căn bậc 5 là số

6. 5

12 .

Ví dụ: Trang 1

Số 16 có hai căn bậc 4 là 2 và 2 .

 Với n chẵn:

Nếu b > 0: có hai căn bậc n của b là hai số đối Số 15 có hai căn bậc 2 là 15 và  15 . nhau, kí hiệu là n b  0 và  n b  0 Nếu b < 0: không tồn tại căn bậc n của b. Nếu b = 0: có một căn bậc n của b là số 0. 2. Lôgarit Ví dụ:

Lôgarit log a b

Lôgarit cơ số 2 của 3 là log 2 3 . cơ số

Lôgarit cơ số 5 của 16 là log 5 16 .

Đọc là: Lôgarit cơ số a của b.

Ví dụ:

 Nếu a = 10, ta có lôgarit thập phân:

1 Lôgarit thập phân log16; log . 5

Kí hiệu: log10 b ; logb; lgb.

1 Lôga Nê-pe ln16; ln . 5

 Nếu a = e, ta có lôgarit tự nhiên Kí hiệu: (Lôga Nê-pe): log e b ; lnb. Định nghĩa:

Ví dụ:

Với a, b  0 , a  1 , ta có

3  log 2 8 vì 23  8 .

log a b    a   b

4  log 3

Chú ý: Để gọn, ta viết  log a b   log a2 b . 2

1 1 1 vì 34  4  . 81 3 81

PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC Các công thức lũy thừa

a 0  1 a  0 

a n 

1  a  0 an

a  a  n a m  a  0

a 

 ab 

a a    b b

m n

 

 a   a  0 

Với a,b > 0; ,    



a .a  a



a. b  ab n

a  a   a n

a na  b b



 a n



a b



 n am

 a  0, n   , m    *

n m

a  nm a

 a  0, n, m    *

 Nếu a > 1 thì a   a       Nếu 0 < a < 1 thì a   a     

Trang 2

Các công thức lôgarit Với a,b > 0, a  1 ,   

log a 1  0

log a  a    

log a a  1

a loga b  b

Với a, b, c, b1 , b 2  0 , a  1 ,   

log a  b1b 2   log a b1  log a b 2

log a

b log a 1  log a b1  log a b 2 b2

log a n b 

1   log a b b

1 log a b n

log a b    log a b

log a b 

n   

log c b log c a

 c  1

log a  b 

1 log a b 

   0 log a b 

1 log b a

 b  1

 Nếu a > 1 thì log a b  log a c  b  c  Nếu 0 < a < 1 thì log a b  log a c  b  c PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức lũy thừa, lôgarit 1. Phương pháp giải Sử dụng các công thức lũy thừa và công thức lôgarit. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức  2x  1 A. x 

1 2

B. x 

2

có nghĩa:

1  C. x   ; 2  2 

1 2

D. x 

1 2

Hướng dẫn Cách 1: Biểu thức  2x  1 có nghĩa khi và chỉ khi 2x  1  0  x  2

1 . 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS 2

1  1  Đáp án A: Chọn x  . Nhập  2.  1 , ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, tức là biểu thức không 2  2  có nghĩa. Loại đáp án A. 1 2 Đáp án C: Chọn x = 2. Nhập  2.2  1 , ta thu được kết quả  , tức là biểu thức có nghĩa. Loại đáp án 9 C.

Đáp án B: Chọn x = 0. Nhập  2.0  1 , ta thu được kết quả 1 , tức là biểu thức có nghĩa. Loại đáp án B. 2

 Chọn D.

Ví dụ 2: Viết biểu thức

23 4 về dạng lũy thừa 2m ta được giá trị của m là: 160,75 Trang 3

13 6

13 6

5 6

D. 

5 6

Hướng dẫn 5 6

13 2 4 2. 2 2   3 2 6 . Cách 1: Ta có 3 160,75 4 4 2  2 6

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Nhập vào máy tính biểu thức

23 4 , ta thu được kết quả xấp xỉ 0,22272. 160,75

Thử các đáp án: Đáp án A: Nhập 2



13 6

, ta thu được kết quả xấp xỉ 0,22272.

 Chọn A.

Ví dụ 3: Với giá trị nào của a thì biểu thức log 6  2a  a 2  xác định? A. 0 < a < 2

B. a > 2

C. –1 < a < 1

D. a < 3

Hướng dẫn Cách 1: Biểu thức log 6  2a  a 2  xác định khi 2a  a 2  0  0  a  2 . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Chọn a = 1. Nhập log 6  2.1  12  , ta thu được kết quả 0, tức là biểu thức có nghĩa. Nên loại đáp án B và đáp án C. 2 Chọn a  1 . Nhập log 6  2.  1   1  , ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, tức là biểu thức không   có nghĩa. Nên loại đáp án D.

 Chọn A.

Ví dụ 4: Cho 0  a  1 . Rút gọn biểu thức Q  log a A. Q 

19 5

B. Q 

19 7

a 3.3 a 2 . a C. Q 

19 4

D. Q 

19 6

Hướng dẫn 19  3 23  12  a 3.3 a 2 19 6  log a  a Cách 1: Ta có Q  log a   log a a  . 6 a  

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS 19 23. 3 22 Chọn a = 2. Nhập log 2 , ta thu được kết quả . 6 2  Chọn D.

Trang 4

3. Bài tập tự luyện 1 3

Bài 1. Với giá trị nào của x để biểu thức  x  1 có nghĩa: 2

A. x   ;1  1;  

B. x   ; 1  1;  

C. x   1;1

D. x   \ 1

Bài 2. Cho biểu thức log 2017  9  a 2    2a  3 3  A. a   ;3  2 

2018

. Giá trị nào của a để biểu thức trên xác định?  3 3  C. a   3;    ;3  2 2 

B. a   3;3

Bài 3. Rút gọn biểu thức P  a. 3 a 2 4

1 24 7 : a ,  a  0 . a 1

B. P  a 2

A. P = a

3 3   D. a   3;    ;3  2 2  

C. P  a 3

D. P  a 5

Bài 4. Rút gọn biểu thức P  2log a 12  3log a 5  log a 15  log a 150 . A. P  log a 8 Đáp án:

B. P  log8 a

1-B

2-D

C. P   log a 8

3-B

D. P  log a 6

4–A

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức lũy thừa, lôgarit 1. Phương pháp giải Sử dụng các công thức lũy thừa và công thức lôgarit 2. Ví dụ minh họa 1 Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức    16 

A. 12

0,75

1   8



4 3

bằng?

B. 16

C. 18

D. 24

Hướng dẫn 1 Cách 1:    16 

0,75

1   8



4 3

3

4

  24  4   23  3  23  24  24 .

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS 1 Nhập biểu thức    16 

0,75



1 3    , ta thu được kết quả 24. Nên đáp án D đúng. 8

 Chọn D.

Ví dụ 2: Cho P  x   A. 0,13

x 3 x2 . Khi đó P 1,3 bằng: 6 x B. 1,3

C. 0,013

D. 13

Hướng dẫn Trang 5

Cách 1: Vì x = 1,3 > 0 nên ta có: P  x  

x 3 x 2 x 2 .x 3   x  P 1,3  1,3 . 1 6 x 6 x

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Nhập vào máy tính biểu thức P  x  

x 3 x2 , nhập CALC X? 1.3, ta thu được kết quả 1.3. 6 x

 Chọn B.

1 . Giá trị của biểu thức log 2

Ví dụ 3: Cho log a 8  A. 25

6 2

B. 26

a  log 1 a 4 bằng: 2

C. 24

D. 23

Hướng dẫn Cách 1: Ta có A  log Ta lại có log a 8 

A

6 2

1 1 13 a  log 1 a 4  log 1 a 6  log 21 a 4  2. log 2 a  4 log 2 a  log 2 a . 6 3 22 2

1 1 1 1  log a 23   3log a 2   log a 2   log 2 a  6 2 2 2 6

13 13 log 2 a  .6  26 . 3 3

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Ta có log a 8  Nhập log

6 2

1 1  a 2  8  a  82  64 . 2

64  log 1  64  , ta thu được kết quả 26. 4

 Chọn B.

Ví dụ 4: Tìm n   , biết:

1 1 1 1 465 luôn đúng với mọi x > 0 và    ...   log 2 x log 22 x log 23 x log 2n x log 2 x

x  1. B. n 

A. n = 31

C. n = 30

D. n  31

Hướng dẫn Ta có

1 1 1 1    ...  log 2 x log 22 x log 23 x log 2n x

 log x 2  log x 22  log x 23  ...  log x 2n  log x  2.22.23...2n   log x 21 23... n

Mặt khác

465  465.log x 2  log x 2465 log 2 x

Suy ra: 1  2  3  ...  n  465 

 n  30 n  n  30 .  n  1  465  n 2  n  930  0   2  n  31

 Chọn C.

Trang 6

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho f  x   3 x 4 x 12 x 5 . Khi đó f  2, 7  bằng: A. 0,027

B. 0,27

C. 2,7

Bài 2. Giá trị của biểu thức A  log 2 4 3 16  2 log 1 27 3 3  3

A. 

17 3

Đáp án

B.  1-C

3 17

D. 27

4log2 3 bằng: 3log3 9

3 17

D. 11

2-D

Dạng 3: So sánh biểu thức lũy thừa, lôgarit 1. Phương pháp giải Nếu a > 1 thì a   a     

Nếu a > 1 thì log a b  log a c  b  c

Nếu 0 < a < 1 thì a   a     

Nếu 0 < a < 1 thì log a b  log a c  b  c

2. Ví dụ minh hoa





Ví dụ 1: Nếu 2 3  1

a 2

 2 3  1 thì:

A. a  1

C. a  1

B. a < 1

D. a  1

Hướng dẫn





Cách 1: Ta có 2 3  1

a2





 2 3 1  2 3 1

a2





 2 3 1

Mà do 2 3  1  1 nên  a + 2 < 1  a  1 . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Tính giá trị của 2 3  1  2.464 .





Chọn a  1 . Tính giá trị của 2 3  1





Chọn a = 0. Tính giá trị của 2 3  1

1 2

0 2

 2.464 . Nên loại đáp án D.





 6.071  2 3  1 . Nên loại đáp án B và C.

 Chọn A.

1 Ví dụ 2: Cho p, q là các số thực thỏa mãn m    e A. p  q

B. p > q

2p  q

; n  e p  2q , biết m > n. So sánh hai giá trị p và q. C. p  q

D. q > p

Hướng dẫn

1 Ta có m    e

2p  q

 eq  2p . Vì m > n và e > 1 nên q – 2p > p – 2q  q > p.

 Chọn D.

Trang 7

Ví dụ 3: Cho a

3 3

a

2 2

A. 0 < a < 1; 0 < b < 1

và log b

3 4  log b . Kết luận nào sau đây là đúng? 4 5

B. 0 < a < 1; b > 1

C. a > 1; 0 < b < 1

D. a > 1; b > 1

Hướng dẫn Ta có a

3 3

a

Ta lại có log b

2 2

3 2   0  a 1. 3 2

, mà

3 4 3 4  log b , mà   b  1 . 4 5 4 5

 Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. So sánh các số sau a  log 2 3 2 và b  log 2 A. a  b Bài 2. Nếu

B. a > b



3 2



A. x  

1 . 3

C. a  b

D. a = b

C. x  1

D. x  1

 3  2 thì:

B. x < 1

Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? (I):

(III):

0, 4  5 0,3

(II):

2  5 4

(IV):

A. (I) và (IV)

B. (I) và (III)

5  3 3 3

5  5 3

C. (IV)

D. (II) và (IV)

Bài 4. So sánh A  log n  n  1 và B  log n 1  n  2  , với mọi số nguyên n > 1. A. A  B Đáp án

B. A < B 1-B

2-D

3-C

C. A = B

D. A > B

4–D

Dạng 4: Biểu diễn các biểu thức lôgarit 1. Phương pháp giải Sử dụng các công thức lũy thừa và công thức lôgarit. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho log2 = a, log3 = b. Khi đó log15 theo a và b bằng: A. b – a + 1

B. b + a + 1

C. 6a + b

D. a – b + 1

Hướng dẫn Cách 1: Ta có a  log 2  log

10  log10  log 5  1  log 5  log 5  1  a 5

Mà log15  log  3.5   log 3  log 5  b  1  a . Vậy đáp án A đúng. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Trang 8

Bước 1: Nhập log2 SHIFT STO A để gán giá trị log2 cho A: log2  A. Bước 2: Nhập log3 SHIFT STO B để gán giá trị log3 cho B: log 3  B. Bước 3: Nhập các đáp án và chọn đáp án có kết quả bằng 0. Đáp án A, nhập log15 – (B – A +1) ta được kết quả bằng 0.  Chọn A.

Ví dụ 2: Đặt a  log 2 3 và b  log 5 3 . Hãy biểu diễn log 6 45 theo a và b? A. log 6 45 

a  2ab ab

B. log 6 45 

2a 2  2ab ab

C. log 6 45 

a  2ab ab  b

D. log 6 45 

2a 2  2ab ab  b

Hướng dẫn Cách 1: Ta có log 6 45  log 6 9  log 6 5  2 log 6 3  

Vì log 5 2 

1 2 1   log 5 6 log 3 6 log 5 6

2 1 2 1 2a a a  2ab       . 1  log 3 2 log 5 3  log 5 2 1  1 b  b a  1 b  a  1 ab  b a a

log 3 2 log 5 3 b   . log 3 5 log 2 3 a

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Bước 1: Nhập log 2 3 SHIFT STO A để gán giá trị log 2 3 cho A: log 2  3  A . Bước 2: Nhập log 5 3 SHIFT STO B để gán giá trị log 5 3 cho B: log 5  3  B . Bước 3: Nhập các đáp án và chọn đáp án có kết quả bằng 0. Đáp án A, nhập log 6 45 

A  2AB ta được kết quả khác 0 nên loại đáp án A. AB

Đáp án B, nhập log 6 45 

2A 2  2AB ta được kết quá khác 0 nên loại đáp án B. AB

Đáp án C, nhập log 6 45 

A  2AB ta được kết quả bằng 0. AB  B

 Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Biết a = ln2; b = ln5 thì ln400 tính theo a và b bằng: A. 2a + 4b

B. 4a + 2b

D. b 2  a 4

C. 8ab

Bài 2. Cho a > 0, b > 0 thỏa điều kiện a 2  b 2  7ab . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 3log  a  b  

1  log a  log b  2

C. 2  log a  log b   log  7ab  Đáp án

1–B

B. log  a  b   D. log

3  log a  log b  2

ab 1   log a  log b  3 2

2-D

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Trang 9

Bài 1. Rút gọn biểu thức P  A. P  a 3  b3

a 2 2 .  ab 

ta được:

a1 2 .b 1

C. P 

B. P  a 3 .b3

a3 b3

D. P  a 3  b3

Bài 2. Cho log 2 x  2 . Giá trị của biểu thức P  log 2 x 2  log 1 x 3  log 4 x bằng: 2

11 2 2

2 2

C. 

D. 3 2

Bài 3. Cho hai số thực a và b, với 1 < a < b. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. log a b  1  log b a

2017 567

Bài 5. Nếu A. m 



3 2

C. log b a  log a b  1

D. log b a  1  log a b

2 2 2 8 về dạng 2 x và biểu thức 3 về dạng 2 y . Tính x 2  y 2 4 8 4

Bài 4. Viết biểu thức A.

B. 1  log a b  log b a



2m  2

3 2

11 6

53 24

2017 576

 3  2 thì:

B. m 

1 2

C. m 

1 2

D. m 

3 2

 4a  9a 1 a  4  3a 1  Bài 6. Rút gọn biểu thức  1 với a > 0.  1 1 1    2  2 2 2 a a  2a  3a 

A. 9a

1 2

Bài 7. Cho a + b = 1 thì A. 4

B. 9a

C. 3a

D. 3a

C. 3

D. 1

1 2

4a 4b  bằng: 4a  2 4 b  2

B. 2

Bài 8. Cho a > 0, a  1 , biểu thức A   ln a  log a e   ln 2 a  log a2 e có giá trị bằng: 2

A. 2 ln 2 a  2

Bài 9. Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn A. 3



52



x 2 3x

B. 3





52



2x  2

C. 2

Bài 10. Cho a > 0, b > 0, nếu viết log 3 A. 3

C. 2 ln 2 a  2

B. 4lna + 2

B. 5





2 3



D. ln 2 a  2

? D. 1

x y log 3 a  log 3 b thì x + y bằng: 5 15

C. 2

D. 4

Bài 11. Biết 4 x  4 x  23 , tính giá trị của biểu thức P  2 x  2 x . A. 5

D. 25

Trang 10

Bài 12. Cho biểu thức P 

a b a  4 ab , với các số thực dương a và b. Rút gọn P được kết quả  4 a4b 4a4b

là: A.

a4b

C. b – a

Bài 13. Cho a log 6 3  b log 6 2  c log 6 5  a , với a,b và c là các số hữu tỷ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. c = a

C. a = b = c  0

B. a = b

Bài 14. Cho a > 0, a  1 , biểu thức B  2 ln a  3log a e  A. 4 ln a  6 log a 4

3 2  có giá trị bằng: ln a log a e

C. 3ln a 

B. 4lna

D. b = c

3 log a e

D. 6 log a e

Đáp án 1-B

2-C

3-D

4-D

11 - A

12 - A

13 - B

14 - C

5-C

6-B

7-D

8-A

9-C

10 - D

Trang 11

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa có dạng y  x  ,     Tập xác định:

Với α nguyên dương thì D =  .

Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D   \ 0 . Với α không nguyên thì D   0;   .  Đạo hàm: y   x    x 1 .  Khảo sát hàm số trên tập  0;   : Hàm số y  x  (α > 0)

Hàm số y  x  (α < 0)

Luôn đồng biến.

Luôn nghịch biến.

Không có tiệm cận.

Tiệm cận ngang là Ox. Tiệm cận đứng là Oy.

Luôn đi qua điểm 1;1 .

Đồ thị: Luôn nằm trong góc phần tư thứ I

2. Hàm số mũ Hàm số mũ có dạng y  a x , a  1  Ta có y  a x  0 , x   .  Tập xác định: D =  .  Đạo hàm: y   a x   a x .ln a  Khảo sát hàm số với a > 0, a  1 : Hàm số y  a x (a > 1)

Hàm số y  a x (0 < a < 1)

Luôn đồng biến.

Luôn nghịch biến.

Tiệm cận ngang là Ox.

Luôn đi qua điểm  0;1 ; 1;a  .

Luôn đi qua điểm  0;1 ; 1;a  . Trang 1

Đồ thị: Nằm phía trên trục Ox

3. Hàm số lôgarit Hàm số lôgarit có dạng y  log a x ; a > 0, a  1  Tập xác định: D   0;   .  Đạo hàm: y   log a x  

1 . x.ln a

 Khảo sát hàm số: Hàm số y  log a x (a > 1)

Hàm số y  log a x (0 < a < 1)

Luôn đồng biến.

Luôn nghịch biến.

Tiệm cận đứng là Oy.

Luôn đi qua điểm 1;0  ;  a;1 .

Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy

PHẦN 2: CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Công thức đạo hàm

 x   x 

 e   e x

 ln x  



 e   e .u

1 ,  x  0 x

 log a x  

 u   x

1

1 ,  x  0 x.ln a

 ln u  

u ,  u  0 u

 log a u  

u ,  u  0 u.ln a

1

.u 

 a   a .ln a

 a   a .ln a.u

 ln x   1x  x  0 

 ln u   uu  u  0 

 log

x  

1  x  0 x.ln a



 log

u  

u  u  0 u.ln a

Trang 2

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tập xác định của hàm số Ta có thể sử dụng máy tính để tìm tập xác định của hàm số như tìm điều kiện để biểu thức lũy thừa, lôgarit xác định trong bài 1. 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Hàm số y   x 2  2x  3 A. x  



2 3

xác định khi: C. x > 1; x  3

B. Không tồn tại x.

D. 3  x  1

Hướng dẫn Hàm số y   x 2  2x  3



2 3

x  1 xác định khi x 2  2x  3  0   .  x  3

 Chọn C.

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số y  32x  x 2  A.  ;1  1;  

1 là: x 1

B.  1;1

C. 1;  

D.  0;  

Hướng dẫn Hàm số y  32x  x 2 

1 xác định khi x  1  0  x  1 . x 1

Vậy tập xác định của hàm số là D   \ 1   ;1  1;   .  Chọn A.

Ví dụ 3: Với giá trị nào của x thì hàm số y  f  x   ln  4  x 2  xác định? A. x   2; 2 

B. x   2; 2

C. x   \  2; 2

D. x   \  2; 2 

Hướng dẫn Hàm số y  f  x   ln  4  x 2  xác định khi 4  x 2  0  2  x  2 .  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Tập xác định của hàm số y   3x  9  A. D = 

2

là:

B. D   \ 2

Bài 2. Tập xác định của hàm số y   x 2  3x  2 

C. D   ; 2  e

A. D   ;1   2;   B. D   \ 1; 2 Bài 3. Tập xác định của hàm số y  log 2 A.  0;1

B. 1;  

D. D   ; 2 

là: C. D   0;  

D. D  1; 2 

C.  \ 0

D.  ;0   1;  

x 1 là: x

Trang 3

1-B

Đáp án

2-A

3-D

Dạng 2: Đạo hàm của các hàm số 1. Phương pháp giải Sử dụng các công thức đạo hàm để tính toán. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Đạo hàm của hàm số y  x 2  A. 2x 

 52x.ln 5

4 x

B. 2x 

1 x  52x là: 2

1 4 x

 52x.ln 25 C. 2x 

1 2 x

 2.52x.ln 5 D. 2x 

1 4 x

 52x.ln 25

Hướng dẫn Cách 1: Ta có hàm số y  x 2 

1 x  52x 2

1 1 1 1  52x.ln 5.2  2x 2.52x.ln 5  2x   52x.ln 25 .  y  2x  . 2 2 x 4 x 4 x

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Nhập SHIFT



  , khi đó máy tính hiện 

d d 1   x  . Sau đó nhập  X 2  X  52X  ta được kết dx dx  2  X 1

quả 82.22. Thử các đáp án: Đáp án A: Nhập 2X 

1  52X.ln 5 , CALC X = 1, kết quả là 41.99. Nên loại đáp án A. 4 X

Đáp án B: Nhập 2X 

1  52X.ln 25 , CALC X = 1, kết quả là 82.22. 4 X

 Chọn B.

ex 1 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x    x 3   2 . f   2  gần với giá trị nào trong các giá trị sau: x 1 x

A. 11,1

B. 11,1

C. 10,11

D. 10,11

Hướng dẫn Cách 1: Ta có hàm số f  x  

 f   2 

e 2  2  1  e 2 .1

 2  1

e x  x  1  e x .1 ex 1 1  x3   2  f   x    3x 2  2 2 x 1 x x  x  1

 3.22 

1  10,11 . 22

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS

Trang 4

Nhập SHIFT



  , khi đó máy tính hiện 

 d d  eX 1  . Sau đó nhập  X 3   2  ta được kết   x   dx dx  X  1 X  X2

quả xấp xỉ 10,11 .  Chọn D.

1 Ví dụ 3: Cho hàm số f  x   log 3 x  x và biểu thức P  f   x   4x.f  x   3.f  2   .f  1  1 . Khi đó x biểu thức P là:

A. 4xlog 3 x  4x 2  log 3 8 

1 6 x

C. 4x log 3 x  4x 2  log 3 8 

1 6 x

B. 4x log 3 x  4x 2  log 3 8 

1 6 x

D. 4x log 3 x  4x 2  log 3 8 

1 6 x

Hướng dẫn Ta có hàm số f  x   log 3 x  x Đạo hàm: f   x  

 x  0

 f  2   log 3 2  2 .

1 1 1  1  f  1  1  1 . x ln 3 1.ln 3 ln 3

1 Khi đó P  f   x   4x.f  x   3.f  2   .f  1  1 2 

1 1  1   1  4x  log 3 x  x   3.  log 3 2  2   .   1  1 x ln 3 x  ln 3 



1 1 1  1  4x log 3 x  4x 2  3log 3 2  6   1 x ln 3 x ln 3 x

 4x log 3 x  4x 2  log 3 8 

1 6. x

 Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hàm số y  x.e A. xy  1  x 2  y



x2 2

. Hệ thức nào đúng trong các hệ thức sau:

B. x.y  1  x 2  .y

C. xy  1  x 2  .y

D. xy  1  x 2  .y

Hướng dẫn  Cách 1: Ta có y   x  .e

Suy ra x.y  x 1  x  e 2



x2 2

 x  x. e 2  

x x       e 2  x.  xe 2     2

x x  x   2 2   e 2  x e 2  1  x  e 2 .   2

 1  x 2  y .

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Chọn x = 2: Nhập X.e



X2 2

, CALC X = 2, được kết quả, nhập SHIFT STO  A.

Trang 5

X  d  Nhập  X.e 2 dx 

  , được kết quả, nhập SHIFT STO  B.  X2

Thử các đáp án: Đáp án A: Nhập XY  1  X 2  B , CALC X = 2; Y = A, được kết quả khác 0, nên loại. Đáp án B: Nhập X.B  1  X 2  .Y , CALC X = 2; Y = A, được kết quả khác 0, nên loại. Đáp án C: Nhập XY  1  X 2  .B , CALC X = 2; Y = A, được kết quả khác 0, nên loại. Đáp án D: Nhập X.B  1  X 2  .Y , CALC X = 2; Y = A, được kết quả gần bằng 0, nên chọn.  Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Đạo hàm của hàm số y  sin x  log 3 x 3 (x > 0) là: A. y  cos x 

3 x ln 3

B. y   cos x 

3 x ln 3

C. y  cos x 

1 x ln 3 3

D. y   cos x 

1 x ln 3 3

Bài 2. Cho hàm số y  ex  e  x . Nghiệm của phương trình y  0 là A. x = 0 Bài 3. Cho hàm số y  ln A. xy  1  e y

B. xy  1  e y

e

Đáp án

e 2x 2x

 1

1-A

D. x = ln2

1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? x 1

Bài 4. Đạo hàm của hàm số y  A. y 

C. x  1

B. x = 1

D. xy  1  e y

ex  e x là: ex  e x

B. y  2-C

C. xy  1  e y

e

4e 2x 2x

3-D

 1

C. y 

e

2e 2x 2x

 1

D. y 

e

3e 2x 2x

 1

4-B

Dạng 3: Đồ thị hàm số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y  log a x , y  log b x , y  log c x ( 0  a, b, c  1 ) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. b > c > a

B. a > b > c

C. b > a > c

D. a > c > b Trang 6

Hướng dẫn Do y  log a x và y  log b x là hai hàm đồng biến nên a,b > 1. Do y  log c x nghịch biến nên c < 1. Nên c nhỏ nhất.

a m  x1 log a x1  m Lấy y = m, khi đó tồn tại x1 , x 2 > 0 để   m . log b x 2  m b  x 2 Dễ thấy x1  x 2  a m  b m  a  b . Vậy b > a > c.  Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x 2 e x trên đoạn  1;1 ? A. e

1 e

C. 2e

D. 0

Hướng dẫn

 x  0   1;1 Cách 1: Ta có f   x   2x.e x  x 2 .e x  xe x  x  2   f   x   0   .  x  2   1;1 Ta lại có f  1 

1 ; f  0   0 ; f 1  e . Suy ra max f  x   e . x 1;1 e

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Ta có thể sử dụng máy tính để tìm GTLN của hàm số như chương 1.  Chọn A.

Ví dụ 3: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y  a x , y  b x , y  c x ( 0  a, b, c  1 ) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. a > b > c

B. b > a > c

C. a > c > b

D. c > b > a

Hướng dẫn Do y  a và y  b là hai hàm đồng biến nên a,b > 1. x

Do y  c x nghịch biến nên c < 1. Nên c nhỏ nhất.

a m  y1 Lấy x = m, khi đó tồn tại y1 , y 2 > 0 để  m . Dễ thấy y1  y 2  a m  b m  a  b . b  y 2 Vậy b > a > c.  Chọn B.

Trang 7

2. Bài tập tự luyện Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số y  log a x ( 0  a  1 ) có đồ thị là hình bên.

A. a  2

C. a 

B. a   2

1 2

D. a 

1 2





Bài 2. Cho hàm số y  x ln x  1  x 2  1  x 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số xác định trên khoảng  0;   .

B. Hàm số tăng trên khoảng  0;   .

C. Hàm số giảm trên khoảng  0;   .

D. Hàm số có đạo hàm y  ln x  1  x 2 .

Bài 3. Trong bốn hàm số y 





x 1 ; y  3x ; y  log 3 x ; y  x 2  x  1  x , có mấy hàm số mà đồ thị của x2

nó có đường tiệm cận? A. 2

B. 3

Đáp án

1-A

2-C

C. 1

D. 4

3–D

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Với giá trị nào của x để hàm số y  log x 2  x  12 có nghĩa? B. x   4;3

A. x  

Bài 2. Tập xác định y  2x 2  5x  2  ln A. D  1; 2

 x  4 C.  x  3

D. x   ; 4    3;  

C. D   1;1

D. D   1; 2 

1 là: x 1 2

B. D  1; 2

Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y  log 5  x 2  2  . A. y 

1  x  1 ln 5 2

B. y 

2x  x  2 2

C. y 

2x ln 5  x 2  2

D. y 

2x  x  2  ln 5 2

Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số y   x 2  2x  e  x . A. y    x 2  2  e  x

B. y   x 2  2  e  x

C. y  xe  x

D. y   2x  2  e x

Trang 8

Bài 5. Đồ thị sau của hàm số nào?

A. y 

  3

1 B. y    2

C. y 

  2

1 D. y    3

Bài 6. Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. y  log 2 x  1 Đáp án:

1-D

B. y  log 2  x  1 2-A

3-D

C. y  log 3 x  1 4-A

5-D

D. y  log 3  x  1

6-D

Trang 9

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mũ cơ bản có dạng a x  b , ( a  0, a  1 )  Nếu b  0 , phương trình vô nghiệm.  Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất x  log a b . Cách sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Ví dụ: Giải phương trình mũ f  x   0 .

Giải phương trình mũ 32x 1  4.3x  1  0

2x 1 x Nhập f  X  , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện Nhập 3  4.3  1 , SHIFT SOLVE = , máy tính X0 Xa hiện , tức là x = 0 là nghiệm của phương thì x = a là nghiệm. LR 0 LR 0 trình. f X  0 , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện Nhập 32x 1  4.3x  1 Nhập , SHIFT SOLVE = , máy tính Xa X0 Xb X  1 thì x = b là nghiệm. hiện , tức là x  1 là nghiệm của LR 0 LR 0 f X Nhập , SHIFT SOLVE = , máy phương trình.  X  x1  X  x 2  32x 1  4.3x  1 Nhập , SHIFT SOLVE = , máy tính Xc X  X  1 tính hiện , thì x =c là nghiệm của LR 0 hiện L  R  1,896461.1014  0 , nên dừng lại. phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x = 0 và x  1 .

Cứ làm như vậy cho đến khi máy tính hiện

Xm ; n  0 thì x=m không phải là nghiệm LR n của phương trình và ta dừng lại. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và lôgarit hóa 1. Phương pháp giải Phương trình a

f x

a  0, a  1   b  b  0 . f x  log b a   

a  0, a  1 f x g x Phương trình a    a    a  1 hoặc  . f  x   g  x  Trang 1

Phương trình a f  x   b g x   log a a f  x   log a b g x   f  x   g  x  .log a b .  Nếu a.b  1  b 

1 a  0, a  1  a 1  a f  x   b g x   a f  x   a  g x   a  1 hoặc  . a f  x   g  x 

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho phương trình 4 x A.

3x  4

 64 , tổng các nghiệm thực của phương trình là:

B. 3

C. 6

D. 2 5

Hướng dẫn

Ta có 4 x

3x  4

 64  4 x

3x  4

 3 5  x1  2  43  x 2  3x  4  3  x 2  3x  1  0    3 5 x2   2

 x1  x 2  3 .  Chọn B.

Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình mũ  2x  1 A. 0

x 2 7 x

B. 1

  2x  1

3x  2

là:

C. 2

D. 3

Hướng dẫn Ta có  2x  1

x 2 7 x

  2x  1

3x  2

2x  1  0   2x  1  1 hoặc 2x  1  1  x 2  7x  3x  2 

 1 1   x  2 x  2 x  1    .  x  1 hoặc x  1  x  1 hoặc  x  1 x  2  6   x 2  4x  2  0  x  2  6    x  2  6 lo¹i      Chọn C.

Ví dụ 3: Cho phương trình: 2

3x 2 3

 32 x 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên. C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ. D. Phương trình vô nghiệm. Hướng dẫn Ta có 2

3x 3

 32 x 1  2

3x 3

 25 x 1

5x  5  0   3x 2  3  5x  5   3x 2  3  5x  5  2  3x  3  5x  5

Trang 2

x  1 x  1    x  1 hoặc   3x 2  5x  2  0     2   x  lo¹i 2    3x  5x  8  0   3

x  1   x  1  x 1.  8  x   lo¹i     3

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1 .  Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Nghiệm của phương trình 2 x  2 x 1  3x  3x 1 là A. x  log 4 3

2 3

B. x  1

C. x  0

D. x  log 3 2

3 4

Bài 2. Cho phương trình e3 2x  e 1 2x  9  0 , khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình có một nghiệm.

B. Phương trình vô nghiệm.

C. Phương trình có hai nghiệm dương.

D. Phương trình có hai nghiệm âm.

Đáp án

1–D

2–A

Dạng 2: Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ 1. Phương pháp giải Phương trình có dạng A.a 2x  B.a x  C  0 . Đặt a x  t ,  t  0  . Phương trình có dạng A.a 2x  B.a x .b x  C.b 2x  0 2x

a a a  A.    B.    C  0 . Đặt    t ,  t  0  . b b b Phương trình có dạng A.a x  B.b x  C  0 với a.b = 1. Ta có a.b  1  b 

1 1 B  b x  x . Khi đó phương trình có dạng A.a x  x  C  0 . a a a

Đặt a x  t ,  t  0  . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình 25x  5x 1  6  0 có tổng các nghiệm là A. log 6 5

B. 1

C. log 5 6

D. log 2 5  log 3 5

Hướng dẫn Phương trình 25x  5x 1  6  0   52   5.5x  6  0   5x   5.5x  6  0 x

(1)

 t  2  tháa m·n  Đặt t  5x  0 . Khi đó (1)  t 2  5t  6  0    t  3  tháa m·n  5 x  2  x  log 5 2  x   log 5 2  log 5 3  log 5 6 .  x  log 5 3 5  3  Chọn C.

Trang 3

1 x

Ví dụ 2: Phương trình 6 A. 0

 1   5    có hai nghiệm x1  x 2 . Tính A  x12  6x1x 2 .  36  B. 6 log 6 5

D. log 62 5

C. log 6 5 Hướng dẫn

2 2 6 1  1   6.6 x  5.  6 x   1  5.  6 x   6.6 x  1  0 . Ta có 61 x  5     x  5  2 6  36   6x 

 t  1  tháa m·n  Đặt 6  t , t  0 . Khi đó phương trình trở thành 5t  6t  1  0   1  t   tháa m·n   5 x

6x  1 x  0   x 1 . Vì x1  x 2 nên x1   log 6 5 ; x 2  0 . 6   x  log 6 1   log 6 5  5  5 Vậy A  x12  6x1x 2    log 6 5   6.   log 6 5  .0  log 62 5 . 2

 Chọn D.



Ví dụ 3: Phương trình 4  2 3 A. Lớn hơn 1.

  1  3  x

 6 có nghiệm thỏa mãn

B. Nhỏ hơn 1.

C. Lớn hơn 2.

D. Nhỏ hơn 0.

Hướng dẫn



Ta có 4  2 3



Đặt t  1  3

  1  3 









x  6   1 3   1 3  



6

(1)

 t  0  . Khi đó phương trình (1) trở thành:

t  2 t2  t  6  0    x  log 1 3 2  1 .    t  3  lo¹i   Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Tập nghiệm của phương trình 22x  3.2 x  2  32  0 là: A. 2;3

B. 4;8

C. 2;8

D. 3; 4

Bài 2. Tập nghiệm của phương trình 6.4 x  13.6 x  6.9 x  0 là: 2 3 B.  ;  3 2

A. 1;1

C. 1;0

D. 0;1

Bài 3. Tập nghiệm của phương trình e6x  3e3x  2  0 là:  ln 2  B. 0;   3 

A. 0;ln 2 Đáp án

1–A

2–A

 ln 2  C. 1;   3 

D. 1;ln 2

3–B Trang 4

Dạng 3: Giải phương trình mũ bằng các phương pháp khác 1. Phương pháp giải Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ là:  Đưa về dạng phương trình tích.  Phương pháp hàm số (thường sử dụng khi gặp phương trình mũ phức tạp). 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tổng các nghiệm của phương trình 12.3x  3.15x  5x 1  20 là: A. log 3 5  1

C. log 3 5  1

B. log 3 5

D. log 5 3  1

Hướng dẫn Sử dụng phương pháp đưa về dạng phương trình tích. Ta có 12.3x  3.15x  5x 1  20

 12.3x  3.15x  5.5x  20  0

 3.3x  4  5x   5  5x  4   0   5x  4  3.3x  5   0 .

5x  4  ph¬ng tr×nh v« nghiÖm   x 5 3   3

5 x  4  0  x 3.3  5  0  x  log 3

5  log 3 5  log 3 3  log 3 5  1 . 3

 Chọn A. x 2

Ví dụ 2: Phương trình 4 A. 2

5

x 2 12 8

 141 có bao nhiêu nghiệm?

B. 0

C. 1

D. 3

Hướng dẫn Sử dụng phương pháp hàm số. Phương trình có điều kiện xác định x  2  0  x  2 . Xét hàm số f  x   4 Ta có f   x   4

x 2

5

x 2 12 8

xác định trên nửa khoảng  2;   .

x 1 .ln 4. 5 2 x2

12 8

x .ln 5. . 4

Với x  2  f   x   0 suy ra hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng  2;   . Mà ta thấy f  6   141 suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 6.  Chọn C.

Dạng 4: Phương trình mũ chứa tham số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình 2 x

4

 82x  m có nghiệm duy nhất khi:

Trang 5

A. m  

13 3

B. m  

13 3

C. m  

25 12

D. m  3

Hướng dẫn Cách 1: Ta có 2 x

4

 82x  m  2 x

4

 26x 3m  x 2  4  6x  3m  x 2  6x  4  3m  0 (1)

Phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Ta có:   0  9  4  3m  0  m 

13 . 3

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Thử các đáp án + sử dụng máy tính để tìm nghiệm của phương trình. Chọn m = 2. Thay vào phương trình, ta thấy có hai nghiệm phân biệt. Nên loại đáp án B và D. Chọn m  

13 . Thay vào phương trình, ta thấy có nghiệm duy nhất. 3

 Chọn A.

Ví dụ 2: Phương trình 2 x 1  2 x  2  2 x  m  10 có nghiệm nguyên khi: A. m = 0

B. m = 1

C. m = 2

D. m = 5

Hướng dẫn Ta có 2 x 1  2 x  2  2 x  m  10  2.2 x  4.2 x  2 x.2m  10  2 x  6  2m   10  2 x 

10 . 6  2m

Thử các đáp án, ta thấy khi m = 2 thì x = 0 là nghiệm nguyên của phương trình.  Chọn C.

Ví dụ 3: Cho phương trình 25x  2.15x   m  2  9 x  0 . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. A. m   2;3

B. m   2;3

D. m   2;3

C. m   2;3 Hướng dẫn

Cách 1: Phương trình 25x  2.15x   m  2  9 x  0  52x  2.5x.3x   m  2  .32x  0 2x

5 5     2.    m  2  0 . 3 3 x

5 Đặt t     t  0  , khi đó ta có phương trình t 2  2t  m  2  0 . 3

(1)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương.

 1   m  2   0    0  m  3  0 m  3   2 Ta có: S  0   0    2  m  3. m  2  0 m  2 P  0  1  m  2  1  0 Trang 6

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS Chọn m = 2. Thay vào phương trình, ta thấy phương trình không có hai nghiệm phân biệt dương. Nên loại đáp án A và B. Chọn m = 3. Thay vào phương trình, ta thấy phương trình không có hai nghiệm phân biệt dương.  Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Bài 1. Xác định tất cả các giá trị thực của m để phương trình 22x 1  m 2  m  0 có nghiệm. A. m < 0

m  0 C.  m  1

B. 0 < m < 1

D. m > 1

Bài 2. Phương trình 4 x  m.2 x 1  2m  0 có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn x1  x 2  3 khi: A. m = 4 Đáp án

B. m = 2 1–B

C. m = 1

D. m = 3

2–A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Cho phương trình 28 x .58 x  0, 001. 105  2

A. 5

1 x

C. 7

B. 7

Bài 2. Cho phương trình 9 x A. 2

 x 1

 10.3x

 x 2

Bài 3. Phương trình 4 A. m  0 Bài 4. Phương trình

2

x 2

C. 1

3 2

A. 1

D. 0

 m  0 có nghiệm thì điều kiện của m là: C. m  1

B. m  0



D. 5

 1  0 . Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

B. 2 x 1

. Tính tổng các nghiệm của phương trình.

  x

3 2

   10  x

B. 2

D. m  1

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

C. 3

D. 4

Bài 5. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y  2 x  3 và đường thẳng y = 11 là: A.  3;11

B.  3;11 x 2

 1  Bài 6. Số nghiệm của phương trình 9  9.    3 A. 2 2

 k  k   4 2

D.  4;11

2x  2

B. 4

Bài 7. Phương trình 9sin x  9cos A. x 

C.  4;11

 4  0 là: C. 1

D. 0

 6 có họ nghiệm là:

B. x 

 k  k   2 2

C. x 

 k  k   6 2

D. x 

 k  k   3 2

Bài 8. Để phương trình  m  116 x  2  2m  3 4 x  6m  5  0 có hai nghiệm trái dấu thì m có thể là: A. Không tồn tại m.

B. 4  m  1

C. 1  m 

3 2

D. 1  m  

5 6

Bài 9. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 x  m.2 x 1  2m  0 có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn

x1  x 2  4 ? Trang 7

A. m = 8

B. m = 2

Bài 10. Phương trình 2 x 3  3x A. 3x1  2x 2  log 3 8

5x  6

C. m = 4

D. m = 3

có hai nghiệm x1 , x 2 , trrong đó x1  x 2 , chọn phát biểu đúng?

B. 2x1  3x 2  log 3 8

C. 2x1  3x 2  log 3 54

D. 3x1  2x 2  log 3 54

Bài 11. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình 2 x  2.3x  6 x  2 là: A. 2 2

B. 25

C. 7

Bài 12. Tổng các nghiệm của phương trình 16 A. 0

x 10 x 10

B. 10

 0,125.8

D. 1 x 5 x 15

là:

C. 20

D. 25

Đáp án: 1–A

2–A

11 – D

12 – C

3–C

4–A

5–B

6–A

7–A

8–B

9–A

10 – A

Trang 8

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình lôgarit cơ bản với a > 0; a  1 có dạng: log a x  b  x  a b (điều kiện: x > 0) Chú ý:  Khi giải phương trình lôgarit, phải đặt điều kiện cho ẩn: log f  x   mò lÎ  a   mò ch½n loga f  x  

®iÒu kiÖn f  x   0 

®iÒu kiÖn f  x   0 

 Kết luận nghiệm, phải so sánh nghiệm với điều kiện.  Ta cũng có thể bấm máy tính để giải phương trình lôgarit như giải phương trình mũ. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa 1. Phương pháp giải

f  x   0 Phương trình log a f  x   b   , với mọi 0  a  1 . b f  x   a f  x   0 Phương trình log a f  x   log a g  x    , với mọi 0  a  1 . f x  g x      f  x   0 Phương trình log a f  x   g  x    . g x  f x  a    2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình log 3  2x  3  2 log 9 5.log 5  x  1  1 có số nghiệm là: A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Hướng dẫn

2x  3  0 3 Điều kiện:  x . 2 x  1  0 Ta có log 3  2x  3  2 log 9 5.log 5  x  1  1  log 3  2x  3  2 log 9  x  1  1  log 3  2x  3  log 3  x  1  1  log 3  2x  3 x  1   1

  2x  3 x  1  31  2x 2  2x  3x  3  3  0 x  2 .  2x  x  6  0   x   3  2 2

Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm duy nhất x = 2.  Chọn A.

Trang 1

x 2  3x  2 Ví dụ 2: Cho phương trình log 1  0 có hai nghiệm x1 , x 2 . Tích của hai nghiệm là số nào dưới x 6 đây: B. 2 2

A. 4

C. 2

D. 0

Hướng dẫn Điều kiện:

x 2  3x  2 0. x

x 2  3x  2 x 2  3x  2  1  Ta có log 1 0   x x 6 6



x  2  2 x 2  3x  2 .  1  x 2  4x  2  0   1 x  x 2  2  2







Ta thấy hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện. Vậy x1x 2  2  2 2  2  4  2  2 .  Chọn C.

Ví dụ 3: Cho phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x 

2 . Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương 3

trình là: A. 0

80 9

C. 9

82 9

Hướng dẫn Điều kiện: x > 0. Ta có log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x 

1 1 1 4  . .  log 3 x  2 3 4  x1  x 2  9 

2 2  log 3 x.log 32 x.log 33 x.log 34 x  3 3

x1  32  9  tháa m·n  log x  2  3 2    log 34 x  16   x  32  1  tháa m·n  3 log 3 x  2  2 9

1 82  . 9 9

 Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Phương trình log 2 x  log 2  x  1  1 có tập nghiệm là: A. 1;3 Bài 2. Phương trình log A. 2

B. 1;3 3

C. 2

D. 1

x  1  2 có bao nhiêu nghiệm? B. 0

C. 1

D. 3

Bài 3. Phương trình 2 log  x  2   log 4  log x  4 log 3 có hai nghiệm là x1 , x 2 ,  x1  x 2  . Tỉ số

x1 khi x2

rút gọn là: Trang 2

A. 4

Đáp án:

1–C

1 4

2–A

C. 64

1 64

3–D

Dạng 2: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ 1. Phương pháp giải

 A.log a2 x  B.log a x  C  0 Phương trình có dạng  . Đặt log a x  t với x > 0. 3 2  A.log a  B.log a x  C.log a x  D  0 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình log 22  x  2   6 log 2 x  2  2  0 là: A. S  2; 4

B. S  0; 2

C. S  1; 2

D. S  4;6

Hướng dẫn

 x  2  0 Điều kiện:   x  2.  x  2  0 Ta có: log 22  x  2   6 log 2 x  2  2  0  log 22  x  2   3log 2  x  2   2  0 . Đặt t  log 2  x  2  , khi đó phương trình trở thành:

x  4  tháa m·n  log 2  x  2   1 t  1 x  2  2 . t 2  3t  2  0      x  6 tháa m·n    t  2 log 2  x  2   2 x  2  4   Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình log 3 x  2 log 2 x  log x  2 là: A. x = 10

B. x = 100

C. x = 1

D. x = 1000

Hướng dẫn Phương trình log 3 x  2 log 2 x  log x  2 có điều kiện x > 0. Đặt log x  t . Khi đó phương trình trở thành:

t  1 t2 1  0 t  2t  t  2  t  t  2    t  2   0   t  1  t  2   0     t  1 t  2  0  t  2 3

x  10  tháa m·n  log x  1  1   log x  1  x   tháa m·n  .  10 log x  2  x  100  tháa m·n   Chọn B.

Trang 3

Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình  log 4 log 2  x  1   log 2 log 4  x  1   3 là: A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Hướng dẫn x  1  0 x  1   Điều kiện log 2  x  1  0  log 2  x  1  0 .   log 4  x  1  0 log 4  x  1  0

Ta có  log 4 log 2  x  1   log 2 log 4  x  1   3   log 22 log 2  x  1   log 2 log 22  x  1   3

1 1    log 2 log 2  x  1   log 2  log 2  x  1   3 . 2 2 

Đặt t  log 2  x  1 , khi đó phương trình trở thành: 1 1 1 1   log 2 t  log 2  t   3   log 2 t  log 2  log 2 t  3 2 2 2 2 



1 log 2 t  1  3  log 2 t  8  t  28  256 2

 log 2  x  1  256  x  1  2256  x  2256  1 (thỏa mãn).  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Số nghiệm của phương trình log 4  log 2 x   log 2  log 4 x   2 là: A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Bài 2. Phương trình log 22  x  1  6 log 2 x  1  2  0 có tổng hai nghiệm là: A. 3

B. 4

C. 10

D. 0

Bài 3. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình log 32 x  2 log 22 x  log 2 x  2 là: B. x 

A. x = 4

1 4

C. x = 2

D. x 

1 2

Bài 4. Gọi x1 , x 2 là nghiệm của phương trình log x 2  log16 x  0 . Khi đó tích x1.x 2 bằng: A. 1 Đáp án:

B. 1 1–A

2–B

C. 2 3–D

D. 2

4–B

Dạng 3: Giải phương trình lôgarit bằng các phương pháp khác 1. Phương pháp giải Một số phương pháp khác để giải phương trình lôgarit là: Đưa về dạng phương trình tích. Phương pháp hàm số (thường sử dụng khi gặp phương trình lôgarit phức tạp). 2. Ví dụ minh họa Trang 4

Ví dụ 1: Gọi nghiệm của phương trình log 2 x.log 3  2x  1  2 log 2 x là x1  x 2 . Khi đó, giá trị của

2x1  5x 2  3 là: A. 10

C. 20

B. 15

D. 30

Hướng dẫn Sử dụng phương pháp đưa về dạng phương trình tích.

x  0 1 Điều kiện xác định:  x . 2 2x  1  0 Ta có log 2 x.log 3  2x  1  2 log 2 x  log 2 x.log 3  2x  1  2 log 2 x  0

log 2 x  0 log 2 x  0  log 2 x log 3  2x  1  2   0    log 3  2x  1  2  0 log 3  2x  1  2  x  20  1 x  1(tháa m·n)   x  5(tháa m·n) . 2   2x  1  3  9 Vậy 2x1  5x 2  3  2.1  5.5  3  20 .  Chọn C.

Ví dụ 2: Phương trình log 2  x 2  2x  17   2 log 4  5x  1  6 có nghiệm thỏa mãn: A. Lớn hơn 0.

B. Nhỏ hơn 1.

C. Là số nguyên tố.

D. Là số âm.

Hướng dẫn Sử dụng phương pháp hàm số.

 x 2  2x  17  0 1 Điều kiện:  x . 5 5x  1  0 Xét hàm số f  x   log 2  x 2  2x  17   2 log 4  5x  1 với x  Ta có f   x  

1 . 5

2x  2 5 1 . Ta thấy f   x   0 , x  .  2. 2 5 ln 4. 5x  1 ln 2. x  2x  17 

1  Nên hàm số f  x  luôn đồng biến trên khoảng  ;   . 5 

Mà ta có f 1  6 , nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu.  Chọn A.

Dạng 4: Phương trình lôgarit chứa tham số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để phương trình log 2 3 x  m log 3 x  1  0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1. A. m = 2

B. Không tồn tại m.

C. m  2

D. m  2

Hướng dẫn Điều kiện: x > 0. Trang 5

Phương trình log 2 3 x  m log 3 x  1  0 .

(1)

Đặt t  log 3 x , khi đó phương trình (1) trở thành t 2  mt  1  0

(2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0.

m  2 Khi phương trình (2) có nghiệm kép thì   2  0  m 2  4  0   .  m  2 Với m = 2  t 2  2t  1  0  t  1  log 3 x  1  x  3  1

(loại)

1 1 3

Với m  2  t 2  2t  1  0  t  1  log 3 x  1  x 

(thỏa mãn)

 Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình log 22 x  log 2 x  m  0 có hai nghiệm x   0;1 . A. 0  m 

1 4

B. m 

1 4

C. m 

1 4

D. m  0

Hướng dẫn Phương trình log x  log 2 x  m  0 (x > 0)

(1)

Đặt t  log 2 x , khi đó phương trình (1) trở thành t 2  t  m  0

(2)

2 2

Vì x   0;1  log 2 x  0  t  0 . Phương trình (1) có hai nghiệm x   0;1 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm âm khi:  2  0 1  4m  0  1  0m . S  0  1  0 4 P  0 m  0    Chọn A.

Ví dụ 3: Cho phương trình log 22 x  2 log 2 2x  m  1 . Giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm là: A. m  2

B. m  

D. m  2

C. m < 2 Hướng dẫn

Điều kiện: x > 0. Ta có: log 22 x  2 log 2 2x  m  1  log 22 x  2  log 2 2  log 2 x   1  m  log 22 x  2 log 2 x  1  m . Đặt t  log 2 x , khi đó phương trình có dạng: t 2  2t  1  m   t  1  m  2 . 2

Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m  2  0  m  2 .  Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình log 1  m  4x   2 log 2  x  2   0 có nghiệm trên 2

đoạn  2;5 . Trang 6

A. m   20;69

B. m   24;69

D. m  10;70

C. m  10;70  Hướng dẫn

Ta có log 1  m  4x   2 log 2  x  2   0   log 2  m  4x   log 2  x  2   0 2

 log 2  x  2   log 2  m  4x    x  2   m  4x  m  x 2  8x  4 . 2

Xét hàm số f  x   x 2  8x  4 trên đoạn  2;5 . Ta có f   x   2x  8  0 ; x   2;5 , do đó hàm số luôn đồng biến trên đoạn  2;5 . Mặt khác, ta có f  2   24 ; f  5   69 nên 24  f  x   69 . Vậy với m   24;69 thì phương trình đã cho có nghiệm trên đoạn  2;5 .  Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho phương trình log 3  x  1  log 3  x  3  m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm kép. B. m  

A. m 

C. m > 0

D. m  

4 3

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 24 x  3log 4 x  2m  1  0 có hai nghiệm phân biệt. A. m 

13 8

B. m 

13 8

C. m 

13 8

D. 0  m 

13 8

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 32 x  2 log 3 x  m  1  0 có nghiệm. B. m  2

A. m < 2

C. m  2

D. m > 2

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 2  mx  x 2   2 vô nghiệm.

Đáp án:

m  4 C.   m  4

B. m  4

A. m < 4 1–A

2–A

3–B

D. 4  m  4

4–D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Điều kiện xác định của phương trình log 2x 3 16  2 là: 3  A. x   \  ; 2  2 

B. x  2

3 x2 2

D. x 

3 2

Bài 2. Phương trình log 2  x  3  log 2  x  1  log 2 5 có số nghiệm là: A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Bài 3. Cho phương trình log 3  5x  3  log 1  x 2  1  0 có 2 nghiệm x1 , x 2 trong đó x1  x 2 . Giá trị của 3

P  2x1  3x 2 là: Trang 7

A. 5

B. 14

C. 3

D. 13

  Bài 4. Biết phương trình log 2 log 1  x 3   log 2 x  x  1  3 có nghiệm duy nhất. Nghiệm của phương  8  trình là: A. Số nguyên âm.

B. Số chính phương.

C. Số vô tỉ.

D. Số nguyên tố.

Bài 5. Điều kiện xác định của phương trình log 1 log 2  2  x 2    0 là: 2

A. x   1;1

B. x   1;0    0;1

Bài 6. Phương trình ln

C. x   1;1   2;  

D. x   1;1

C. x = 4

D. x = 1

x 1 1  ln có nghiệm là: x 8 x

x  4 B.   x  2

A. x  2

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình A. 0

1 2 log 2  x  2   1  0 là: 2

B. 0; 4

C. 4

 



D. 1;0



Bài 8. Cho phương trình log 2 x  x 2  1 log 3 x  x 2  1  log 6 x  x 2  1 . Điều kiện xác định của phương trình là: B. x  0; x  1

A. x  1

C. x  1

D. x  1 hoặc x  1

Bài 9. Phương trình log 2x 3  3x 2  7x  3  2  0 có nghiệm là: A. x = 2; x = 3

B. x = 1; x = 5

C. x = 2

D. x = 3

  x2  7  0 ta tìm được hai nghiệm là x1 , x 2 . Khi đó tích x1.x 2 Bài 10. Phương trình log 1  9x    log 3 81  3  là:

A. 38

1 93

C. 93

D. 36

Bài 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 32 x   m  2  log 3 x  3m  1  0 có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1.x 2  27 . A. m  2

B. m  1

C. m = 1

D. m = 2

Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 2  5x  1 .log 4  2.5x  2   m có nghiệm x  1 A. m   2;  

B. m  3;  

C. m   ; 2

D. m   ;3

Đáp án: 1–C

2–A

3–B

4–D

5–A

6–C

7–B

8–C

9–D

10 – B 11 – C 12 – B

Trang 8

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT CHUYÊN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LÃI SUẤT PHẦN 1: CÔNG THỨC TÍNH NHANH Bài toán

Công thức

Bài toán lãi đơn

S  A 1  r.n 

Bài toán lãi kép

S  A 1  r 

Bài toán tăng trưởng dân số

A m  A n .e m  n .r

Bài toán tăng lương

1  r  S  Ak.

1

1  r  .

Gửi tiền đầu tháng

S  A.1  r 

Rút tiền gửi hàng tháng

S  A. 1  r   X.

Vay vốn trả góp

S  A. 1  r   X.

1

1  r 

1

1  r  r

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bài toán lãi đơn 1. Phương pháp giải Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Công thức tính lãi đơn S  A 1  r.n  Trong đó:

S là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn. A là tiền gửi ban đầu. n là số kì hạn tính lãi. r là lãi suất định kì tính theo %.

2. Ví dụ minh họa Ví dụ: Bà An gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất đơn 7% một năm thì sau 5 năm số tiền bà An nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? A.13,5 triệu đồng.

B. 16 triệu đồng.

C. 12 triệu đồng.

D. 12,7 triệu đồng.

Hướng dẫn Số tiền cả gốc lẫn lãi của bà An nhận được sau 5 năm là: S  10. 1  5.7%   13,5 (triệu đồng).  Chọn A.

Dạng 2: Bài toán lãi kép 1. Phương pháp giải Số tiền lãi của kỳ hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Trang 1

Công thức tính lãi kép S  A 1  r  Trong đó:

S là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn. A là tiền gửi ban đầu. n là số kì hạn tính lãi. r là lãi suất định kì tính theo %.

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 7,5% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu? A. 9 năm.

B. 10 năm.

C. 8 năm.

D. 7 năm.

Hướng dẫn Gọi A là số tiền gửi ban đầu, r  7,5% /năm là lãi suất, n là số năm gửi. Ta có công thức lãi kép S  A 1  r  là số tiền nhận được sau n năm. n

Theo đề bài, ta có S  2A  2A  A(1  r) n  (1  r) n  2  n  log 1 r  2  log1,075 2  9,584 Do kỳ hạn là 1 năm nên phải đúng hạn mới được nhận, nên người này cần 10 năm.  Chọn B.

Ví dụ 2: Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn 3 tháng và lãi xuất 0,58% một tháng. Nếu ông A không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm ông A nhận được số tiền là bao nhiêu? A. 92576000 đồng.

B. 80486000 đồng.

C. 92690000 đồng.

D. 90930000 đồng.

Hướng dẫn Đây là bài toán lãi kép, chu kỳ một quý lãi suất là 3.0,59%  1, 77%. Sau 3 năm (12 quý), số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là: 75 000 000 . 1  0, 0177   92576000 (đồng). 12

 Chọn A.

Ví dụ 3: Một người gửi 350 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi xuất 6,7% một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 800 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi xuất không đổi và người đó không rút tiền ra. A. 13 năm.

B. 14 năm.

C. 11 năm.

D. 10 năm.

Hướng dẫn Gọi n là số năm ít nhất người đó gửi để nhận được số tiền hơn 800 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi. Số tiền người đó nhận được sau n năm là: S  350.1  6,7%   800  n  log 1 6,7%  n

800  n  12,747 . 350

Vậy sau ít nhất 13 năm thì người đó nhận được số tiền hơn 800 triệu đồng bao gồm gốc và lãi.  Chọn A.

Dạng 3: Bài toán tăng trưởng dân số Trang 2

1. Phương pháp giải Công thức tăng trưởng dân số A m  A n .e m  n .r Trong đó:

A m là dân số năm m. A n là dân số năm n. r là tỉ lệ tăng dân số từ năm n tới năm m tính theo %.

2. Ví dụ minh họa Ví dụ: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2003 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người. Dự đoán dân số năm 2010? A. 7781 triệu người.

B. 7782 triệu người.

C. 7783 triệu người.

D. 7784 triệu người.

Hướng dẫn Theo công thức tăng trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2010 là:

A 2010  A 2003 .e 2010 2003.1,32%  7781,82 triệu người  Chọn B.

Dạng 4: Bài toán tăng lương 1. Phương pháp giải Một người nhận lương khởi điểm là A đồng trên tháng. Cứ sau n tháng, người đó được tăng thêm r % một tháng, số tiền người đó nhận được sau kn tháng là

1  r  S  A.k.

1

2. Ví dụ minh họa Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó được tăng thêm 7% một tháng. Hỏi sau 36 tháng thì người đó nhận được lương tất cả là bao nhiêu? A.  700 triệu đồng.

B.  623 triệu đồng.

C.  954 triệu đồng.

D.  644 triệu đồng.

Hướng dẫn Vì cứ 3 tháng, người đó được tăng lương một lần, nên số lần được tăng lương là 12 lần. Sau 36 tháng thì người đó nhận được tiền lương là:

1  7%  S  3.12.

1

 643,98 triệu đồng.

 Chọn D.

Dạng 5: Gửi tiền hàng tháng 1. Phương pháp giải Mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % một tháng vào một thời gian cố định thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là: S  A.1  r 

1  r  .

1

2. Ví dụ minh họa Trang 3

Ví dụ 1: Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền A theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền A gần với số tiền nào nhất trong các số sau? A. 535 000 đồng.

B. 635 000 đồng.

C. 613 000 đồng.

D. 643 000 đồng.

Hướng dẫn Theo công thức gửi tiền hàng tháng, ta có: 10 000 000  A. 1  0, 6% 

1  0, 6%  .

1

0, 6%

Từ đó ta suy ra A  635 000 (đồng).  Chọn B.

Ví dụ 2: Hàng tháng, anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên? A. 30 tháng.

B. 35 tháng.

C. 31 tháng.

D. 40 tháng.

Hướng dẫn Theo công thức gửi tiền hàng tháng, ta có: 100  3. 1  0, 6% 

1  0, 6%  

1

0, 6%

 1  0, 6%   n



1  0, 6%  .

1

0, 6%

100 100.0, 6% n  1  0, 6%   1  3. 1  0, 6%  3. 1  0, 6% 

 100.0, 6%  100.0, 6%  1  n  log 1 0,6%    1  30,3117 3. 1  0, 6%   3. 1  0, 6%  

Vậy sau ít nhất 31 tháng thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên.  Chọn C.

Dạng 6: Rút tiền gửi hàng tháng 1. Phương pháp giải Gửi ngân hàng với số tiền là A đồng với lãi suất r% một tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền X đồng. Số tiền còn lại sau n tháng là S  A. 1  r 

1  r   X.

1

2. Ví dụ minh họa Ví dụ: Mẹ Lam gửi ngân hàng 20 tỷ đồng với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Hàng tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, mẹ Lam đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu? A. 11 tỷ đồng.

B. 15 tỷ đồng.

C. 13 tỷ đồng.

D. 16 tỷ đồng.

Hướng dẫn Ta có 2 năm là 24 tháng. Sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là:

S  20. 1  0, 75% 

1  0, 75%   0,3. 0, 75%

1

 16, 07 (tỷ đồng) Trang 4

 Chọn D.

Dạng 7: Vay vốn trả góp 1. Phương pháp giải Vay ngân hàng với số tiền là A đồng với lãi suất r % một tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ số tiền là X đồng, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng. Số tiền còn nợ sau n tháng là S  A. 1  r 

1  r   X.

1

Ví dụ 1: Ông Minh vay ngắn hạn ngân hàng 200 triệu đồng, với lãi suất 12% một năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kề từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông Minh sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Minh hoàn nợ. A. m  67 (triệu đồng). B. m  69 (triệu đồng).

C. m  70 (triệu đồng). D. m  68 (triệu đồng).

Hướng dẫn Theo đề bài ta thấy, ông Minh vay tiền ngân hàng theo hình thức “Vay vốn trả góp”. Số tiền mà ông Minh còn phải trả sau n tháng với lãi suất 12% mỗi năm tức là 1% mỗi tháng là:

S  A. 1  r 

n  1  r n  1  1  0, 01  1  n  X.    200. 1  0, 01  X. r 0, 01  

Vì sau ba tháng ông Minh trả hết nợ nên:

0  200.1  0,01

X

2. 1, 01

1, 01

1  0,01  X.

1

0,01

 200.1,01

1,01  X.

1

0,01

1

 68.

 Chọn D.

Ví dụ 2: Anh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9% một tháng, mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ? A. 40 tháng.

B. 50 tháng.

C. 45 tháng.

D. 48 tháng.

Hướng dẫn Gọi n là số tháng anh Ba trả hết nợ. Theo công thức vay vốn trả góp, ta có số tiền còn lại sau n tháng là:

S  500. 1  0,9% 

1  0,9%   15.

1

0,9%

Vì sau n tháng anh Ba trả hết nợ, nên ta có S  0 , tức là:

S  500. 1  0,9% 

1  0,9%   15. 0,9%

1

 0 . Từ đó suy ra n  39,809 .

Vậy sau 40 tháng anh Ba sẽ trả hết nợ.  Chọn A.

Trang 5

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Anh B gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý, với lãi suất 1,85% một quý. Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để anh B có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi? A. 19 quý.

B. 15 quý.

C. 4 năm.

D. 5 năm.

Bài 2. Đầu mỗi tháng chị N gửi vào ngân hàng số tiền 3 tỷ đồng. Sau 1 năm chị N nhận được số tiền cả gốc và lãi là 40 tỷ đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng? A. 1,51%.

B. 1,52%.

C. 1,71%.

D. 1,61%.

Bài 3. Bố Lan gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, bố Lan rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng bố Lan rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết? A. 300 000 đồng.

B. 450 000 đồng.

C. 400 000 đồng.

D. 409 000 đồng.

Bài 4. Mẹ Lê vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15% một tháng trong vòng 4 năm thì mỗi tháng mẹ Lê phải trả bao nhiêu tiền thì hết nợ? A. 1 362 000 đồng.

B. 1 240 000 đồng.

C. 1 154 000 đồng.

D. 1 680 000 đồng.

Đáp án: 1–C

2-D

3-D

4-A

Trang 6

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT CHUYÊN ĐỀ: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÔGARIT PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a x  b; a x  b ;a x  b; a x  b. Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng log a x  b; log a x  b; log a x  b; log a x  b . Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để giải và thử đáp án cho các bài tập giải bất phương trình mũ và lôgarit như các bài tập phương trình mũ và phương trình lôgarit. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số 1. Phương pháp giải Bất phương trình mũ: • Nếu a  1 thì a f  x   a g x   f  x   g  x  (cùng chiều nếu a  1 ) • Nếu 0  a  1 thì a f  x   a g x   f  x   g  x  (ngược chiều nếu 0  a  1 ) f x g x • Nếu a chứa ẩn thì a    a     a  1 . f  x   g  x    0 (Điều kiện a  0 )

Bất phương trình lôgarit:

g  x   0 • Nếu a  1 thì log a f  x   log a g  x    (cùng chiều nếu a  1 ) f  x   g  x  f  x   0 • Nếu 0  a  1 thì log a f  x   log a g  x    (ngược chiều nếu 0  a  1 ) f x  g x      log a f  x   0   a  1 . f  x   1  0  • Nếu a chứa ẩn thì  log a f  x   log g x  0  f  x   1 g  x   1  0  a  

2. Ví dụ minh họa 1

 3 x  3  Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình     là:  14   14   1 A.  0;  .  5

 1 B.  0;  .  5

1  C.  ;  . 5 

 1 D.  0;    0;   .  5

Hướng dẫn 1 x

 3   3  Điều kiện: x  0 . Ta có      14   14  Vì

1

3 1 1 1  5x 1  1 nên 1   5   5  0  00x x x x 5 14

Trang 1

 1 Vây tập nghiệm của bất phương trình là S   0;  .  5  Chọn B.

Ví dụ 2: Nghiệm lớn nhất của bất phương trình A. x  log 3 3 .

2.3x  2 x  2  1 là: 3x  2 x

C. x  1 .

B. x  0 .

D. x  log 3

3 . 2

Hướng dẫn x

Ta có

2.3x  2 x  2 3x  2 x

3 2.    4 x x 2.3  4.2 2 1  1   x 1 x x 3 2 3   1 2

3 2.    4 2 1  0 x 3   1 2

3 x   3 2 3    0  1     3  0  x  log 3 3 . x 2 3 2   1 2

1

Vậy nghiệm lớn nhất của bất phương trình là x  log 3 3 . 2

 Chọn A.

Ví dụ 3: Bất phương trình log 2  x 2  x  2   log 0,5  x  1  1 có tập nghiệm là:



A. ;1  2  .





B. 1  2;  .



C. ;1  2  .

D. 1  2;  .

Hướng dẫn

  x  1 x 2  x  2  0  Bất phương trình có điều kiện xác định:     x  2  x  2 . x  1  0 x  1  Ta có log 2  x 2  x  2   log 0,5  x  1  1  log 2  x 2  x  2   log 21  x  1  1  log 2  x 2  x  2   log 2  x  1  1  log 2  x 2  x  2   log 2  x  1  1  0

 log 2  x 2  x  2   log 2  x  1  log 2 2  0  log 2

x 

 x  2   x  1 2

x

 x  2   x  1 2

0

 1   x 2  x  2   x  1  2  x 3  x 2  x 2  x  2x  2  2 x 2

 x 3  2x 2  x  0  x  x 2  2x  1  0  x 2  2x  1  0

 x  1  2  Loaïi    x  1 2  x  1  2  Thoûa maõn   Trang 2

 Chọn D.

Ví dụ 4: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log3  log27 x   log9  log3 x  là: A. 19863.

B. 19683.

C. 19638.

D. 19836.

Hướng dẫn

x  0 x  0  Điều kiện xác định: log 27 x  0    x  1 . Ta có log3  log27 x   log9  log3 x  x  1 log x  0  3

1  log  log x   log  log x   log 3

1

1  1  log3 x   log3  log3 x  3  2

Đặt t  log3 x . Khi đó bất phương trình trở thành:

1  1 1 1 1 log3  t   log3 t  log3  log3 t  log3 t  0  log3 t  1  0  log3 t  2  t  32  9 3 2 2 3  2

 log 3 x  9  x  39  19683 Vậy nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình là x  19683 .  Chọn B.

3. Bài tập tự luyện x

2x 1 Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình    4 x 1 là:  16 

 x  2 A.  .  1  x  0

B. x  2 .

C. 1  x  0 .

Bài 2. Nghiệm nguyên dương của bất phương trình 11

x 6

D. 1  x  0 .

 11x là:

A. S  6; 5; 4; 3; 2;0;1; 2;3 .

B. S  0;1; 2;3 .

C. S  1; 2 .

D. S  1; 2;3 .

Bài 3. Cho bất phương trình log 3  l  x 2   log 1 1  x  . Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình 3

trên là: A. x 

1 5 . 2

B. x  1 .

C. x  0 .

D. x 

1 5 2

2 Bài 4. Bất phương trình log 0,2 x  5log 0,2 x  6 có tập nghiệm là:

 1 1  ; . B. S    125 25 

A. S   2;3 .

 1  C. S   0;  .  25 

D. S   0;3

Đáp án: 1–A

2–D

3–C

4–B

Dạng 2: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ 1. Ví dụ minh họa Trang 3

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình 16 x  4 x  6  0 là: A. x  1 .

B. x  log 4 3 .

C. x  log 4 3 .

D. x  3 .

Hướng dẫn Đặt t  4 x  t  0  , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với: t 0

t 2  t  6  0  2  t  3  0  t  3  0  4 x  3  x  log 4 3 .

 Chọn C. x 1

Ví dụ 2: Số chính phương nhỏ nhất là nghiệm của bất phương trình 3 A. x  16 .

2

2x 1

 12  0 là:

C. x  4 .

B. x  9 .

x 2

D. x  1 .

Hướng dẫn x

Ta có 3x 1  22x 1  12 2  0  3.3x  2.22x  12 2  0  3.3x  2.4 x  12 2  0 x 2

x 2

 4  2  2  4  2  16   4   3.9  2.16  12  0  3  2.       0  3  2        0  9  3  3    3  x 2

x 2

 4 2 Đặt    t; t  0 , khi đó bất phương trình trên trở thành: 3 t  1 . Kết hợp với điều kiện t  0 , suy ra t  1 . 3  2.t  t  0   t   3  2 2

 4 2 Từ đó, ta có    1  x  2 log 4 1  0 3 3 Vậy số chính phương nhỏ nhất là nghiệm của bất phương trình trên là 1.  Chọn D.

Ví dụ 3: Tập nghiệm nguyên của bất phương trình 2 A. S  1;0;1 .

B. S  1 .

 21

 1 là:

C. S  0;1 .

D. S  0 .

Hướng dẫn Điều kiện x  0 . Ta có 2

 21

1 2



2 2

1

 2

Đặt t  2 x . Do x  0  t  1 , khi đó ta có:

 2  t 

2  1  t 2  t  2  0  1  t  2 . Kết hợp với điều kiện t  1 , ta có: t

1 t  2 1 2

 2  0  x  1  0  x  1.

Vậy tập nghiệm nguyên của bất phương trình là S  0 .  Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Trang 4

Bài 1. Cho bất phương trình

1 5

x 1

1



1 . Tập nghiệm của bất phương trình là: 5  5x

A. S   1;0  1;   . B. S   ;0 .

C. S   1;0  1;   . D. S   ;0  .

Bài 2. Tập nghiệm của bất phương trình 4 x  3.2 x  2  0 là: A.  ;0   1;   .

B.  ;1   2;   .

C.  0;1 .

D. 1; 2  .

Bài 3. Cho bất phương trình x log2 x  4  32 . Tập nghiệm của bất phương trình là: A. Một khoảng.

B. Nửa khoảng.

C. Một đoạn.

D. Tập rỗng.

Bài 4. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn bất phương trình 31 x  2 A. 1.

B. 2.

C. 3.

 3

 7?

D. Vô số

Đáp án: 1–A

2–A

3–C

4–B

Dạng 3: Bất phương trình mũ và lôgarit chứa tham số 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 1  mx  x 2   log 1 4 vô nghiệm. 5

A. 4  m  4 .

m  4 B.  .  m  4

C. m  4 .

D. 4  m  4 .

Hướng dẫn Vì

1  1 nên log 1  mx  x 2   log 1 4  mx  x 2  4  x 2  mx  4  0 5 5 5

Bất phương trình ban đầu vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình

x 2  mx  4  0 vô nghiệm nên x 2  mx  4  0, x      m 2  16  0  4  m  4

 Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đoạn  2;3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình log 5  x 2  1  log 5  x 2  4x  m   1 . A. m   12;13 .

B. m  12;13 .

C. m   13;12 .

D. m   13; 12 .

Hướng dẫn  2 x 2  4x  m x  1  Ta có: log 5  x 2  1  log 5  x 2  4x  m   1   5  x 2  4x  m  0 

Trang 5

m  4x 2  4x  5  f  x  5x 2  5  x 2  4x  m  2  2  x  4x  m  0 m   x  4x  g  x 

m  min f  x   2 x 3 Hệ trên thỏa mãn x   2;3   . m  max g x    2 x 3  min f  x   13 khi x  2  2 x 3 Do đó:  g  x   12 khi x  2 max 2 x 3 Vậy điều kiện m cần tìm là 12  m  13 .  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho bất phương trình 9 x   m  1 .3x  m  0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình trên nghiệm đúng x  1 . 3 A. m   . 2

3 B. m   . 2

C. m  3  2 2 .

D. m  3  2 2 .

Hướng dẫn Đặt t  3x . Vì x  1  t  3 . Khi đó: 9 x   m  1 .3x  m  0 1

 t 2   m  1 .t  m  0

 2

Bất phương trình 1 nghiệm đúng x  1 khi và chỉ khi  2  nghiệm đúng t  3 nên m 

t2  t nghiệm đúng t  3 t 1

Suy ra m  min t 3

t2  t t 1

Xét hàm số g  t   t  2 

2 2 ; t  3 . Ta có g  t   1   0 ; t  3 2 t 1  t  1

Nên hàm số g  t  đồng biến trên nửa khoảng 3;   và g  3  Vậy m  min t 3

3 . 2

t2  t 3 3  m   m   t 1 2 2

 Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 3  x 2  4x  m   1 nghiệm đúng với mọi x   . A. 4  m  7 .

B. m  7 .

C. m  4 .

D. m  7 .

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 2  5x  l   m có nghiệm x  1 . A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  2 .

D. m  2 .

Đáp án: 1–D

2–A Trang 6

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP 1 1  x 1 là: 3  5 3 1

Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình A. 1  x  1 .

B. x  1 .

C. x  1 .

D. 1  x  2 .

Bài 2. Điều kiện xác định của bất phương trình log 1 log 2  2  x 2    0 là: 2

A. x   1;1 .

B. x   1;0    0;1 .

C. x   1;1   2;   . D. x   1;1 .

Bài 3. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  4.5x  4  10 x là: A. x  2 .

x  0 C.  . x  2

B. x  0 . 2

D. 0  x  2 .

Bài 4. Cho bất phương trình 2sin x  3cos x  m.3sin x . Với giá trị thực nào của tham số m thì bất phương trình trên có nghiệm? A. m  4 .

B. m  4 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Bài 5. Tập nghiệm của bất phương trình log 1  x 2  6x  5   log 3  x  1  0 là: 3

A. S  1;6 .

B. S   5;6 .

C. S   5;   .

D. S  1;   .

Bài 6. Cho bất phương trình log 0,2 x  log 5  x  2   log 0,2 3 . Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình trên là: A. x  6 .

B. x  3 .

D. x  4 .

C. x  5 .

Bài 7. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình log 3  4.3x 1   2x  1 là: B. x  2 .

A. x  3 .

C. x  1 .



D. x  1 .



Bài 8. Bất phương trình log x log 3  9 x  72   1 có tập nghiệm là:



A. S  log 3 73; 2  .

Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình log x 125x  .log 25 x 







A. S  1; 5 .



C. S   ; 2 .

B. S  log 3 72; 2  .



3  log 52 x là: 2



B. S  1; 5 .

D. S  log 3 73; 2  .





C. S   5;1 .



D. S   5; 1 .

Bài 10. Tập nghiệm của bất phương trình  x 2  x  1  1 là: x

A.  0;   . Bài

11.

Tìm

B.  ;0  . tất

cả

các

giá

C.  ; 1 . trị

thực

của

log 2  7x  7   log 2  mx  4x  m  có nghiệm x   . 2

số

để

bất

phương

trình

A. m   2;5 . Bài

tham

D.  0;1 .

12.

Tìm

B. m   2;5 . tất

cả

các

giá

C. m   2;5  . trị

thực

của

tham

1  log 5  x  1  log 5  mx  4x  m  có nghiệm đúng với mọi x. 2

A. m   2;3 .

D. m   2;5  . số

để

bất

phương

trình

B. m   2;3 .

C. m   2;3 .

D. m   2;3 . Trang 7

Đáp án: 1–A

2–D

3–C

4–A

5–B

6–D

7–C

8–D

9–A

10–C

11–B

12–A

Trang 8

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM HÀM CƠ BẢN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập K (K là

Hàm số y  2x xác định trên  . Ta có

khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x 

 x   2x

được gọi là nguyên hàm của hàm số y  f  x  trên K nếu F  x   f  x  x  K.

Định lí 1 Mọi hàm số f  x 

liên tục trên K đều có

nguyên hàm trên K. Định lí 2 Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số

f  x  trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K.

nên hàm số F  x   x 2 được gọi là

nguyên hàm của y  2x trên  .

Ta có:  x 2   2x

x

 2   2x

 100   2x

x

 C   2x

x

(C là hằng số) Hàm số F  x   x 2 được gọi là nguyên hàm của y  2x trên  thì với mỗi hằng số C, hàm số G  x   x 2  C cũng là một nguyên hàm của y  2x trên  .

Định lí 3 Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số

f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C với C là hằng số. Kí hiệu:  f  x  dx  F  x   C .

Mọi nguyên hàm của hàm số y  2x trên  đều có dạng x 2  C với C là hằng số. Kí hiệu:  2xdx  x 2  C

Trang 1

2. Tính chất của nguyên hàm

 f   x  dx  f  x   C với C là hằng số.

  3x dx    x  dx  x

 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

  3x

 kf  x  dx  k  f  x  dx với k  0 F  x  có đạo hàm thì  d  F  x    F  x   C

C

 2x  dx   3x 2 dx   2xdx

 x3  x 2  C

 8xdx   4.  2x  dx  4 2xdx  4x  dx   x 2

C

PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH Nguyên hàm các hàm số thường gặp

Nguyên hàm mở rộng

x a

 0dx  C

  x  a  x  b  dx  a  b ln x  b  C

 dx  x  C

x

n  x dx 

x

x n 1  C, n 1

dx 

 n  1

1 C x



1 1 x dx  arctan  C 2 a a a 1

x a 2

  ax  b 





dx  ln x  x 2  a 2  C

dx 

1  C.  a  0  a  ax  b 

 x dx  ln x  C

 ax  b dx  a ln ax  b  C.  a  0 

 e dx  e

e

x  a dx 

C

ax  C  0  a  1 ln a

ax  b

1 dx  eax  b  C,  a  0  a

mx  n  a dx 

a mx  n  C,  0  a  1 m.ln a 1

 cos xdx  sin x  C

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C,  a  0 

 sin xdx   cos x  C

 sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C,  a  0 

 cos

dx  tan x  C

 cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C  a  0  2

Trang 2

Nguyên hàm các hàm số thường gặp

 sin

Nguyên hàm mở rộng

 sin  ax  b  dx 

dx   cot x  C

1 cot  ax  b   C  a  0  a

1 ln cos  ax  b   C a

 tan xdx   ln cos x  C

 tan  ax  b  dx 

 cot xdx  ln sin x  C

 cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C  a  0 

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nguyên hàm cơ bản 1. Phương pháp giải Ví dụ: Tính A.



3 dx x2

2x 2 

2x 3 3  C. 3 2x

C. 2x 3 

3 C. x

2x 3 3  C. 3 x

2x 3 3  C. 3 x

Hướng dẫn: Cách 1: Áp dụng các công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Cách 1: Áp dụng n  x dx 



  2x



x

dx 

1  C và x

x n 1  C,  n  1 ta có: n 1 3  3 dx   2x 2 dx   2 dx 2  x  x

 2  x 2 dx  3

1 2x 3 3 dx   C x2 3 x

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS

Bước 1: Thay x  a (a là một số bất kì) vào hàm số

Thay x  2 vào hàm số f  x   2x 2 

y  f  x  , ta được kết quả là f  a  .

kết quả là Bước 2: Sử dụng SHIFT Nhập

d  x   dx

d (các đáp án) x  a dx

Đáp án nào ra kết quả bằng với kết quả ở bước 1 là đáp

3 ta được x2

35  8, 75 . 4

Đáp án A: Nhập

d  2X 3 3     x  2 ta được dx  3 2X 

kết quả là 7,625, khác kết quả ở bước 1, đó đó loại đáp án A.

Trang 3

án đúng.

Đáp án B: Nhập

d  2X 3 3    x  2 ta được kết  dx  3 X

quả là 8,75, bằng kết quả ở bước 1.  Chọn B.

2. Ví dụ minh họa

1   Ví dụ 1: Tính nguyên hàm   e3x 1  2  dx x   A.

1 3x 1 1 e  C. 3 x

B. 3e3x 1 

1 C. x

C. 3e3x 1 

1 C. x

1 3x 1 1 e  C. 3 x

Hướng dẫn

1 Áp dụng công thức  eax  b dx  eax  b  C,  a  0  và a

x

dx 

1  C ta có: x

1 e3x 1 1  3x 1 1  3x 1   e  x 2  dx   e dx   x 2 dx  3  x  C  Chọn D.

Ví dụ 2: Cho f  x    x 3  3x 2  2x . Một nguyên hàm F  x  của f  x  thỏa mãn F 1  2 là A. F  x   

x4 1  x3  x 2  . 4 4

B. F  x   

x4 1  x3  x 2  . 4 4

C. F  x   

x4 9  x3  x 2  . 4 4

D. F  x   

x4 9  x3  x 2  . 4 4

Hướng dẫn

F  x      x 3  3x 2  2x  dx    x 3dx  3 x 2 dx  2  xdx  

x4  x3  x 2  C 4

14 3 2 9 F 1  2    1  1  C  2  C  . 4 4

Vậy F  x   

x4 9  x3  x 2  4 4

 Chọn C.

 Ví dụ 3: Cho f  x   sinx  cosx . Một nguyên hàm F  x  của f  x  thỏa mãn F    0 là 4

A. F  x    cos x  sin x  2 .

B. F  x    cos x  sin x 

2 . 2

C. F  x   cos x  sin x  2 .

D. F  x    cos x  sin x 

2 . 2

Hướng dẫn Trang 4

F  x     sin x  cos x  dx   sin xdx   cos xdx   cos x  sin x  C    F    0   cos    sin    C  0  C  2 . 4 4 4

Vậy F  x    cos x  sin x  2  Chọn A.

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số F  x   mx 3   3m  2  x 2  10x  2018 là một nguyên hàm của hàm số

f  x   3x 2  10x  10 . A. m  3 .

C. m  1 .

B. m  0 .

D. m  2 .

Hướng dẫn Ta có

2   3x  10x  10  dx  3.

x3 x2  10.  10x  C  x 3  5x 2  10x  C . 3 2

Để F  x   mx 3   3m  2  x 2  10x  2018 là một nguyên hàm của hàm số

m  1 f  x   3x 2  10x  10    m 1 3m  2  5  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? A.  kf  x  dx  k  f  x  dx,

k   .

C.  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx .

B.  f  x  .g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . D.  f   x  dx  f  x   C .

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   5x 4  4x 2  6 là 4 A.  x 5  x 3  6x  C . 3

Câu 3. Hàm số f  x   A. ln x 

4 2  6. x x2

B. 20x 3  8x  C .

C. 20x 3  8x  C .

4 D.  x 5  x 3  C . 3

1 4 4  2  3 có nguyên hàm là F  x  . Biết F 1  6 . Tìm F  x  . x x x

B. ln x 

4 2  4. x x2

C. ln x 

4 2   12 . x x2

D. ln x 

4 2   6. x x2

  Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos  3x   . 6 

1   A.  f  x  dx  sin  3x    C . 3  6

  B.  f  x  dx  sin  3x    C . 6 

1   C.  f  x  dx   sin  3x    C 3  6

1   D.  f  x  dx  sin  3x    C . 6  6

Đáp án: Trang 5

1–B

2–A

3–C

4–A

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số 1. Phương pháp giải Nếu  f  u  du  F  u   C và u  u  x  có đạo hàm liên tục thì  f  u  x   .u   x  dx  F  u   C . Chú ý: Công thức tính vi phân: f   x  dx  d  f  x  

dx  d  x  1  d  x  2   ...  d  x  n  1 1 1 1 dx  d  ax   d  ax  1  d  ax  2   ...  d  ax  n  a a a a

sin xdx  d   cos x   d  cos x 

cos xdx  d  sin x 

1 dx  d  ln x  x

e x dx  d  e x 

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số A.

1 C. 4036  4x

 2x  2018 1

 2x  2018

là

C.

1 C. 4x  4036

1  C. 2x  2018

Hướng dẫn Cách 1: I  

 2x  2018

dx .

Đặt 2x  2018  t  dt  2dx . Do đó: I   Trở lại phép đổi biến ta được: I 

dt 1  C 2t 2 2t

1 1 C  C 2  2x  2018  4036  4x

Cách 2: Sử dụng vi phân I 

 2x  2018

dx  

2018  1   2x  2018  dx  d   2 2   2x  2018   2x  2018  2  1

1 1 1 1 1 d  2x  2018   . C  C 2  2  2x  2018  2 2x  2018 4036  4x

Cách 3: Sử dụng công thức tính nhanh

  ax  b 

dx 

1 C a  ax  b 

 Chọn A.

Trang 6

Ví dụ 2: Nguyên hàm của hàm số f  x   A.

1 4 x 5 C. 8

là

x4  5

1 4 x 5 C. 4

x4  5 C. 2

1 8 x4  5

C.

Hướng dẫn Cách 1: I   Đặt

x3 x4  5

dx .

x 4  5  t  t  0   x 4  5  t 2  4x 3dx  2tdt  x 3dx 

Do đó: I  

tdt . 2

tdt dt t    C 2t 2 2 x4  5 C 2

Trở lại phép đổi biến ta được: I 

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS

Bước 1: Thay x  2 vào hàm số f  x   Bước 2: Sử dụng SHIFT Đáp án A: Nhập

x4  5

ta được kết quả là 1,7457.

d   x  dx

d 1 4  x  5  x  2 ta được kết quả là 0,4364, khác kết quả của bước 1 do đó loại đáp  dx  8 

án A. Đáp án B: Nhập

d 1 4  x  5  x  2 ta được kết quả là 0,8728, khác kết quả của bước 1 do đó loại đáp  dx  4 

án B.

d  x4  5  Đáp án C: Nhập   x  2 ta được kết quả là 1,7457, bằng kết quả của bước 1. dx  2   Chọn C.

Ví dụ 3: Cho nguyên hàm sau I   A. I  

dt . t  t  1

B. I 

dx x x 1 10

1 dt . 2  10 t  1

. Khi đặt t  x10  1 ta được C. I 

1 dt . 3  10 t  t 2

D. I 

1 dt . 5  t2 1

Hướng dẫn

I

dx x x10  1



x 9 dx x10 x10  1

Đặt t  x10  1  t  0   t 2  x10  1  x10  t 2  1  10x 9 dx  2tdt  x 9 dx 

tdt , ta có: 5

Trang 7

I

tdt 1 dt   2 5  t  1 t 5 t  1 2

 Chọn D.

Ví dụ 4: Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  A.

10 . 3

32 . 3

x2 . Biết F 10   40 . Tính F  2  . x 1

20 . 3

D. 4.

Hướng dẫn Đặt

I

x  1  t  t  0   x  1  t 2  x  t 2  1  dx  2tdt

t

 1  2  2tdt

 Fx 

t 2 3

 x  1

Vì F 10   40 

 t3  2t 3   2  t 2  3 dt  2   3t   C   6t  C 3 3  3

 6 x 1  C

2 3 2 32 9  6 9  C  40  C  4  F  2    6  4  3 3 3

 Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   5  3x . A.  f  x  dx   C.  f  x  dx 

2  5  3x  5  3x  C . 9

2  5  3x  5  3x . 9

Câu 2. Biết một nguyên hàm của hàm số f  x  

B.  f  x  dx  

2  5  3x  5  3x . 3

D.  f  x  dx  

2 5  3x  C . 3

1 2  1 là hàm số F  x  thỏa mãn F  1  . Khi 3 1  3x

đó F  x  là hàm số nào sau đây? A. F  x   x 

2 1  3x  3 . 3

B. F  x   x 

2 1  3x  3 . 3

C. F  x   x 

2 1  3x  1 . 3

D. F  x   4 

2 1  3x . 3

2  2x  1 1  x  C . 3

Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

2x  1 x 1

A.  f  x  dx  

2  2x  1 1  x  C . 3

B.  f  x  dx 

C.  f  x  dx  

2  2x  1 1  x  C . 3

D.  f  x  dx  2 1  x 

1 C. 1 x

Câu 4. Hàm số f  x   x x  1 có một nguyên hàm là F  x  . Nếu F  0   2 thì F  3 bằng Trang 8

886 . 105

116 . 15

146 . 15

105 . 886

Câu 5. Biết hàm số F  x    x 1  2x  2018 là một nguyên hàm của hàm số f  x  

ax  b . Khi đó 1  2x

tổng của a và b là A. 2.

B. –2.

C. 0.

D. 1.

Đáp án: 1–A

2–B

3–A

4–C

5–A

Dạng 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần 1. Phương pháp giải Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

 udv  uv   vdu Cách ưu tiên đặt u: nhất log  lnx  , nhì đa  ax  b; ax 2  bx  c  , tam lượng  sin x;cos x  , tứ mũ  e x .a x  . Ví dụ: Đặt

 ln xdx

 x ln xdx

 x sin xdx

 xe dx

 e .cos xdx

ln x

cos x

vdv

xdx

sin xdx

e x dx

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm F  x    x sin xdx bằng A. sin x  x cos x  C .

B. x sin x  cos x  C .

C.  x cos x  sin x  C .

D. x sin x  cos x  C .

Hướng dẫn

u  x du  dx Cách 1: Đặt  .  dv  sin xdx  v   cos x I  uv   vdu   x.cos x   cos xdx   x.cos x  sin x  C . Cách 2: Sử dụng vi phân

 x sin xdx   xd   cos x   x.cos x    cos xdx  x.cos x  sin x  C  Chọn C.

Trang 9

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm  ln 4xdx A.

x  ln 4x  1  C . 4

x  ln 4x  1  C . 2

C. x  ln 4x  1  C .

D. 2x  ln 4x  1  C .

Hướng dẫn dx  u  ln 4x du  Cách 1: Đặt   x . dv  dx  v  x

1 Khi đó:  ln 4xdx  uv   vdu  x.ln 4x   x. dx  x.ln 4x   1dx  x  ln 4x  1  C . x Cách 2: Sử dụng vi phân

 ln 4xdx  x.ln 4x   xd  ln 4x   x.ln 4x   x.

4 dx  x.ln 4x   1dx  x ln 4x  x  C  x  ln 4x  1  C 4x

Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS Bước 1: Thay x  2 vào hàm số f  x   ln 4x ta được kết quả là 2,07944. Bước 2: Sử dụng SHIFT Đáp án B: Nhập

d   x  dx

d X   x  ln  4X   1  x  2 ta được kết quả là 0,519, khác kết quả của bước 1, do đó dx  4 

loại đáp án A. Đáp án B: Nhập

d X   x  ln  4X   1  x  2 ta được kết quả là 1,039, khác kết quả của bước 1, do đó dx  2 

loại đáp án B. Đáp án C: Nhập

d X  ln  4X   1 x  2 ta được kết quả là 2,07944, bằng kết quả của bước 1. dx





 Chọn C.

Ví dụ 3: Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số y  x.e 2x , biết F  0   1 . Tìm F  x  . A.

1 2x 3 e  x  2  . 2 4

1 2x  1 e x  . 2 2 

1 2x  1 5 e x   . 2 2 4 

1 3  D. 2e 2x  x    . 2 4 

Hướng dẫn du  dx u  x  Cách 1: I   x.e dx . Đặt   1 2x . 2x dv  e dx  v  e  2 2x

I  uv   vdu 

1 2x 1 1 1 1 1  xe   e 2x dx  xe 2x  e 2x  C  e 2x  x    C 2 2 2 4 2 2  Trang 10

1  1 1 5 1 1 5  F  0   .e0  0    C   C  1  C  . Do đó F  x   e 2x  x    2  2 4 4 2 2 4 

Cách 2: Sử dụng vi phân

 e 2x  x.e 2x e 2x 1 1 I   x.e dx   xd   dx  xe 2x   e 2x dx  2 2 2 2  2  2x



1 2x 1 2x 1 1  xe  e  C  e 2x  x    C 2 4 2 2 

1  1 1 5 1 1 5  F  0   e0  0    C   C  1  C  . Do đó F  x   e 2x  x    2  2 4 4 2 2 4   Chọn C.

3. Bài tập tự luyện x

Câu 1. Tính F  x    xe 3 dx . Chọn kết quả đúng. x  3 x3 e C. A. F  x   3

C. F  x  

x 3

B. F  x    x  3 e  C .

x  3 x3 e C. 3

D. F  x   3  x  3 e 3  C .

Câu 2. Tính F  x    x sin 2xdx . Chọn kết quả đúng. A. F  x   

1  2x cos 2x  sin 2x   C . 4

B. F  x  

1  2x cos 2x  sin 2x   C . 4

C. F  x   

1  2x cos 2x  sin 2x   C . 4

D. F  x  

1  2x cos 2x  sin 2x   C . 4

Câu 3. F  x   x sin x  cos x  2017 là một nguyên hàm của hàm số nào? A. f  x   x sin x .

B. f  x   x cos x .

C. f  x    x cos x .

D. f  x    x sin x .

Đáp án: 1–D

2–A

3–B

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  3  e  x  là A. F  x   3e x  x  C . C. F  x   3e x 

B. F  x   3e x  e x ln e x  C .

1 C. ex

D. F  x   3e x  x  C .

 1 1 Câu 2. Tính     dx  x 2 A.

x x  C. 2 2

B. 2 x 

x  C. 2

1  xC. 2 x 2

2 x  C. x 2

Trang 11

Câu 3. Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   x 3  x thỏa mãn F 1  0, F  x  

x4 x2 3   . a b c

Tính S  a  2b  c . A. 10.

B. 12.

C. 14.

D. 16.

Câu 4. Cho hàm số y  3 x  4 3 x có nguyên hàm f  x  sao cho f 1  7 . Tính giá trị của biểu thức

f  0   f  64  . A. 2018.

B. 1792.

C. 1945.

D. 1794.

x2 x 1

Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   A.  f  x  dx 

2  x  4 x  1  C . 3

B.  f  x  dx   x  4  x  1  C .

C.  f  x  dx 

x C. 2  x  1 x  1

D.  f  x  dx  x  1 

1 C. x 1

Câu 6. Tìm hàm số F  x  biết F  x   3x 2  2x  1 và đồ thị hàm số y  F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. A. F  x   x 3  x 2  x  2 .

B. F  x   x 3  x 2  x  2 .

C. F  x   6x  2 .

D. F  x   x 3  x 2  x  2 .

  5  9x 

Câu 7. Tính

 5  9x 

bằng

 5  9x 

 C.

117

 5  9x  

 C.

117

 5  9x 

C.

 C.

Câu 8. Cho hàm số f  x   2x  sin x  2 cos x . Một nguyên hàm F  x  của f  x  thỏa mãn F  0   1 là A. x 2  cos x  2sin x .

B. x 2  cos x  2sin x  2 .

C. 2  cos x  2sin x .

D. x 2  cos x  2sin x  2 .

1–A

2–B

3–B

4–D

5–A

6–B

7–C

8–B

Trang 12

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm tích phân Cho hàm số y  f  x  liên tục trên K và a, b  K.

F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số

Nếu F  x  một nguyên hàm của y  f  x  trên K

y  f  x   2x, tích phân cận từ 1 tới 2 của hàm số

thì F  b   F  a  được gọi là tích phân của y  f  x 

y  f  x   2x là:

từ a đến b và kí hiệu là  f  x  dx a

 f  x  dx  F  b   F  a  a

Trong đó: a là cận trên, b là cận dưới. f(x) là hàm số dưới dấu tích phân. dx: gọi là vi phân của đối số.

f  x  dx : gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Chú ý: Tích phân xác định không phụ thuộc biến b

 f  x  dx   f  t  dt F  b   F  a 

 2x dx   2tdt  2udu  3

2. Tính chất của tích phân 0

1.  f  x  dx  0

2.  f  x  dx    f  x  dx b

2. 3.

 f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx

5. Nếu f  x   0, x   a, b  thì b

 f  x  dx  0, x  a, b

 2x dx   2x dx 1

3.  kf  x  dx  k  f  x  dx,  k   4.

 2x dx  0

 2x dx  2 x dx 2

2 2  2x  x  dx   2x dx   x dx

5. Với f  x   2x  0, x  1, 2 , ta có: 2

 f  x  dx   2x dx  3  0, x  1; 2

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp phân tích Trang 1

1. Phương pháp giải b

Tính tích phân  f  x  dx.

Ví dụ: Tính tích phân I    x  1 dx.

8 . 3

B. 2.

7 . 3

D. 4.

Hướng dẫn Cách 1: Phân tích f  x  thành tổng, hiệu, tích, Cách 1: thương của nhiều hàm số khác, mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng. Sau đó tính tích phân theo công thức sau: b

 f  x  dx  F  b   F  a 

I    x  1 dx    x 2  2x  1 dx 0

 x3     x2  x   3 



Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS:





 13 2   03     1  1    02  0  3  3 

Sử dụng phím



7 3

Cách 2: Nhập

  X  1 0

dx, ta được kết quả là

7 . 3

 Chọn C.

2. Ví dụ minh họa 0

Ví dụ 1: Tích các giá trị của k để

  6x

 6x  2  dx  3 là

2 A.  . 3

B. –1.

3 . 2

3 D.  . 2

Hướng dẫn

 6x 3 6x 2  Ta có   6x  6x  2  dx     2x  2  3  k 0

  2x 3  3x 2  2x 

0 k

 2k 3  3k 2  2k.

 3 k  Theo đề bài ta có   6x  6x  2  dx  3 nên 2k  3k  2k  3  2 .  k  k  1 0

Do vậy tích các giá trị của k là

3 3 .1.  1  . 2 2

→ Chọn D. 4

Ví dụ 2: Tích phân I   3

x 1 dx  3 bằng x2 Trang 2

A. 1  3ln 2.

B. 2  3ln 2.

D. 1  3ln 2.

C. 4 ln 2. Hướng dẫn

Cách 1: I   3

x 1 x 23 3   dx   dx   1   dx x2 x  2 x  2   3 3

=  x  3ln  x  2     4  3ln 2    3  ln1  1  3ln 2. 4

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570 VN PLUS. Bước 1: Sử dụng phím





 . Nhập

X 1

 X  2 dx, ta được kết quả là 3,0794415. 3

Bước 2: Tính giá trị của bốn đáp án, đáp án nào có kết quả bằng kết quả bước 1 là đáp án đúng. Ta thấy 1  3ln2  3,0974415. → Chọn D. 4

Ví dụ 3: Biết I   3

dx  a ln 4  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng S  a  b  c. x x 2

A. S = 6.

B. S = 2.

C. S = –2.

D. S = 0.

Hướng dẫn 4

Cách 1: I   3

dx dx x 1 x 1  1   dx      dx  ln x  ln  x  1  2 x  x 3 x  x  1 3 x  x  1 x x 1  3

4 3

  ln 4  ln 5   ln 3  ln 4   2 ln 4  ln 3  ln 5.

Suy ra: a  2, b  1, c  –1  S  a   b  c  0. Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh 4

I 3

  x  a  x  b  dx  a  b  ln x  a  ln x  b 

4 dx dx 1   ln x  ln x  1  3   ln 4  ln 5    ln 3  ln 4   2 ln 4  ln 3  ln 5  2 x  x 3 x  x  1 0  1

Suy ra: a  2, b  1, c  –1  S  a   b  c  0. → Chọn D. Ví dụ 4: Để hàm số f  x   asin x  b thỏa mãn f 1  2 và

 f  x  dx  4

thì a, b nhận giá trị là bao

nhiêu? A. a  ; b  0.

B. a  ; b  2.

C. a  2; b  2.

D. a  2; b  3.

Hướng dẫn Ta có f 1  2  asin   b  2  b  2 suy ra: 1

1  a  2a f x dx  0   0  asin x  2  dx     cosx  2x  0    2. 1

Trang 3

Mà  f  x  dx  4  0

2a  2  4  a  . 

Vậy a  , b  2. → Chọn B. 3. Bài tập tự luyện  2

dx bằng 2  sin x

Câu 1. Tích phân I   4

A. 4.

B. 3. 5

Câu 2. Biết rằng

C. 1.

D. 2.

C. 27.

D. 81.

C. k = 3.

D. k = 4.

 2x  1 dx  ln a. Giá trị của a là 1

A. 9.

B. 3. k

Câu 3. Để

  k  4x  dx  6  5k, thì giá trị của k là 1

A. k = 1.

B. k = 2. 1

Câu 4. Biết rằng

2x  3 dx  a ln 2  b với a; b  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau 2x 0



A. a  5

B. b  4

C. a2  b2  50

D. a  b  1

Đáp án: 1–C

2–B

3–B

4–C

Dạng 2: Tích phân bằng phương pháp đổi biến 1. Phương pháp giải b

Để tính tích phân I   f  x  dx, nếu

Ví dụ: Tính tích phân I    x  1

f  x   g  u  x   .u'  x  , ta có thể thực hiện phép

đổi biến như sau:

2000

dx.

1 . 2001

22000 . 2001

C. 

22000 . 2001

22001 . 2001

Hướng dẫn Bước 1: Đặt t  u  x   dt  u  x  dx.

Đặt t  x  1  dt   x  1 dx  dt  dx

Bước 2: Đổi cận:

Đổi cận:

u(a)

u(b)

Bước 3: Thay vào ta có Trang 4

I

u b 

 g  t  dt  G  t 

b a

u a 

I  t

2000

t 2001 22001 dt   2001 0 2001

→ Chọn D.

2. Ví dụ minh họa 1

Ví dụ 1: Tính tích phân I   x 1  x 2 dx. 0

1 B. I  . 4

A. I  1.

C. I  1.

1 D. I  . 3

Hướng dẫn Cách 1: Đặt t  1  x 2  t  0   t 2  1  x 2  2tdt  2xdx  tdt  xdx Đổi cận:

t 3 Khi đó: I   t dt  3 1

 1

1 3

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio Fx570 VN Plus. Sử dụng phím Nhập hàm số









X 1  X2 dx ta được kết quả là

1 . 3

→ Chọn D. 1

Ví dụ 2: Đổi biến x  2sin t, tích phân I   0

 6

dx 4  x2

 6

A.  tdt.

 6

1 C.  dt. t 0

B.  dt.

trở thành:

 3

D.  dt. 0

Hướng dẫn Cách 1: Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt. Đổi cận:

 6

Khi đó: I   0

2 cos tdt 4  4sin 2 t

 6

 0

 6

2 cos tdt 2 1  sin 2 t

 6

 0

cos tdt cos2 t

 6

  dt. 0

Trang 5

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 570VN PLUS. Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4. 1

Bước 2: Nhập tích phân I   0

dx 4X

ta được kết quả là

 . 6

Bước 3: Tính tích phân của 4 đáp án, đáp án nào được kết quả như bước 1 thì chọn.  6

Đáp án A, nhập

 X dx được kết quả là 0,137077, khác với kết quả bước 1, loại đáp án A. 0

 6

Đáp án B, nhập  dx ta được kết quả là 0

 , bằng với kết quả bước 1, chọn đáp án B. 6

→ Chọn B. 1

Ví dụ 3: Cho I   0

x3 dx  a  b.ln 2, trong đó a; b nguyên. Chọn phát biểu đúng. x4 1

3 A. a  b  . 4

1 B. a  b  . 4

1 C. a  b  . 2

D. a  b.

Hướng dẫn Cách 1: Đặt u  x 4  1 u  1  dx  4x3dx. Đổi cận x  0  u  1; x  1  u  2. 2

du 1  ln u 4u 4 1

I

Do đó a  0; b 

2 1



1 1 1 ln 2  ln1  ln 2. 4 4 4

1 1 nên a  b  . 4 4

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570VN PLUS. 1

X3 Bước 1: Nhập tích phân I   4 dx, được kết quả là 0,1732867951. 0 X 1 Bước 2: Gán giá trị kết quả cho A: SHIFT STO A. Bước 3: Giải hệ phương trình hai ẩn.

a  b ln 2  A  Đáp án A: Nhập hệ phương trình  được kết quả là nghiệm lẻ, loại. 3 a  b   4 a  b ln 2  A a  0   Đáp án B: Nhập hệ phương trình  được kết quả là  1 1. a  b  b   4  4 → Chọn B. 3. Bài tập tự luyện 1

Câu 1. Tích phân I   x 3x  1dx bằng 0

Trang 6

16 . 135

B. 3

116 . 135

Câu 2. Tích phân I  

x2  1

14 . 135

dx có giá trị là

B. 2 2  3.

A. 2 2.

114 . 135

C. 2 2  3.

 2

Câu 3. Cho tích phân I   sinx 8  cosxdx. Đặt u  8 + cosx thì kết quả nào sau đây là đúng? 0

A. I  2  udu. 8



41001 3003

C. I   udu. 9

1000

Câu 4. Tính tích phân: I   x  3x A.

1 B. I   udu. 29 3

 . x

D. I   udu. 8



 1 dx.

31001 . 3000

41000 3000

31001 . 3003

Đáp án: 1–B

2–B

3–D

4–A

Dạng 3: Tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 1. Phương pháp giải Cho hai hàm số u và v liên tục trên a; b  và có đạo hàm liên tục trên a; b  .Khi đó: b

 udv  uv   vdu a

2. Ví dụ minh họa  2

Ví dụ 1: Tính tích phân  xcos xdx. 0

  1. 2

  1. 2

 1 . 2

 1 . 2

Hướng dẫn

 ux du  dx Cách 1: Đặt   . dv  cos xdx v  sin x Do đó I   x s inx 

 2 0

 2

   sin xdx    cosx  2 0

 2 0



  1. 2

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570VN PLUS. Bước 1: Thiết lập chế độ rađian SHIFT MODE 4. Trang 7



 2



Bước 2: Sử dụng phím  . Nhập  xcos xdx, ta được kết quả là 0,5707963. Bước 3: Tính giá trị của bốn đáp án, đáp án nào có kết quả bằng kết quả bước 1 là đáp án đúng. Ta thấy

  1  0,5707963. 2

→ Chọn B. 1

Ví dụ 2: Tích phân  x.e2x dx có giá trị bằng 0

A. –3.

e2  a . Tính ab. b

B. –4.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn du  dx  u  x   Đặt  e2x . 2x dv  e dx v   2

xe2x Do đó I  2

1 0

e2x e2 e2x dx   2 2 4 0



1 0



e2  e2 e 0  e2 1 e2  1       2  4 4 4 4 4

Do đó a  1, b  4  ab  4. → Chọn D. 2

Ví dụ 3: Cho tích phân I    4x  3 .ln xdx = aln2 + b. Tính giá tri của a  2b. 1

A. 1.

B. –1.

C. 2.

1 . 2

Hướng dẫn  1  u  ln x du  dx  . Cách 1: Đặt  x dv   4x  3 dx v  2x 2  3x







 14 ln 2  0  x 2  3x



2x 2  3x dx  2.22  3.2 ln 2  2.12  3.1 ln1    2x  3 dx x 1 1



Do đó I  2x 2  3x ln x  





 





 14 ln 2  0   22  3.2  12  3.1   14 ln 2  10  4   14 ln 2  6.  

2 1

Do đó a  14; b  6  a  2b  14  2  6   2. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO Fx 570VN PLUS. 2

Bước 1: Nhập tích phân

  4X  3 .ln  X  dx, được kết quả là 3,704060528. 1

Bước 2: Gán giá trị kết quả cho A: SHIFT STO A. Bước 3: Giải hệ phương trình hai ẩn. Trang 8

a ln 2  b  A Đáp án A: Nhập hệ phương trình  được kết quả là nghiệm lẻ, loại. a  2b  1 a ln 2  b  A Đáp án B: Nhập hệ phương trình  được kết quả là nghiệm lẻ, loại. a  2b  1 a ln 2  b  A Đáp án C: Nhập hệ phương trình  được kết quả là a  2b  2

a  14 .   b  6

→ Chọn C. 3. Bài tập tự luyện 2

ln x dx. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 1 x

Câu 1. Cho tích phân I   2

2 1 1 A. I   ln x   2 dx. 1 x 1 x

2 1 1 B. I   ln x   2 dx. 1 x 1 x

2 1 C. I   ln x   dx. 1 x 1

2 1 D. I   ln x   dx. 1 x 1

Câu 2. Tính tích phân: I    x  2  e2x 1dx. 0

5e  e5 . 4

5e  e5 . 4

5e  e5 . 2

5e  e5 . 2

Câu 3. Tính tích phân  x ln xdx. 1

A. I 

e2  1 4

B. I 

e2  2 2

C. I 

1 2

D. I 

e2  1 4

Đáp án: 1–B

2–A

3–D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP 1

x 1 dx bằng 0 x  2x  5

Câu 1. Tích phân I   8 A. ln . 5

1 8 ln . 2 5

8 C. 2 ln . 5

8 D. 2 ln . 5

C. –1.

1 Câu 2. Tích phân I   dx bằng x 1 A. e.

B. 1.

1 . e

Trang 9

Câu 3. Tính I 

 x



 2x 2  1 dx.

10100 2030  . A. I  100 3

10100 1970  . B. I  100 3

10100 1970  . C. I  100 3

10100 2030  . D. I  100 3

x4 dx = aln2 + bln3. Tính P  a.b. 0 x  3x  2

Câu 4. Biết I  

A. –10.

B. 4. 1

Câu 5. Cho I   0

C. –15.

D. 6.

 2

x x3

cosx dx, phát biểu nào sau đây đúng? 3s inx  12 0

dx và J  

A. I  J.

1 C. J  ln 5. 3

B. I  2. 2

Câu 6. Cho tích phân



x



 2x  x  1 x 1

các khẳng định

D. I  2J.

dx = a + bln3 + cln2  a; b; c    . Chọn khẳng định đúng trong

A. a  0.

B. c  0. a

C. b  0.

D. a  b  c  0.

Câu 7. Tìm a  0 sao cho  x.e 2 dx  4. 0

A. 4.

1 . 4

1 . 2

D. 2.

2 Câu 8. Có bao nhiêu số a   0;20  sao cho  sin 5 x.sin 2xdx  . 7 0 A. 20.

B. 19. 3



C. 9.

D. 10.



Câu 9. Tích phân I   ln x 2  x dx  a.ln 3  b. Tính a. 2

A. 3.

B. 2.

C. –2.

D. –3.

C. 3

D. 4

Câu 10. Giá trị của  ln xdx bằng 1

A. 1

B. 2

Đáp án: 1–B

2–B

3–B

4–A

5–A

6–D

7–D

8–D

9–A

10 – A

Trang 10

CHƯƠNG 4 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Tính chất của tích phân 0

 f  x  dx  0

 f  x  dx   f  x  dx

 kf  x  dx  k  f  x  dx

 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a

 f   x  dx  f  x 

b a

 f b  f a 

2. Tích phân xác định không phụ thuộc biến b

 f  x  dx   f  t  dt  f  u  du PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phép tính tích phân cơ bản 1. Ví dụ minh họa 4

Ví dụ 1: Cho  f  x dx  18,  f  x dx  14 . Biểu thức  f  x  dx bằng A. 44.

B. 4.

C. -4.

D. -44

Hướng dẫn 8

Ta có  f  x  dx   f  x dx   f  x dx   f  x dx   f  x  dx   f  x dx  14  18  4 . → Chọn C. 5

Ví dụ 2: Cho  f  x  dx  10 . Khi đó 2

A. 32.

B. 46.

 2  4f  x  dx bằng 2

C. 36.

D. 43.

Hướng dẫn 5

 2  4f  x  dx   2dx  4 f  x  dx 2

 2x 2  4  f  x  dx  2  5  2   4  f  x  dx  6  4.10  46 . 5

→ Chọn B. 4

Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và f  4   2, f 1  5 . Tính I   f   x  dx 1

A. I  3 .

B. I  7 .

C. I =  3.

D. I  10 . Trang 1

Hướng dẫn 4

I   f   x  dx  f  x  1  f  4   f 1  2  5  3 . 4

→ Chọn C. Ví dụ 4: Cho

 f  x   3g  x  dx  10,  2f  x   g  x  dx  6 . Tính

A. 9.

B. 7.

 f  x   g  x  dx 1

C. 6.

D. 8.

Hướng dẫn 5

 f  x   3g  x  dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 5

 2f  x   g  x  dx  6  2 f  x  dx   g  x  dx  6 I  3J  10 I  4 Đặt I   f  x  dx, J   g  x  dx , theo đề bài ta có   2I  J  6 J  2 1 1 5

Ta có

 f  x   g  x  dx  f  x  dx   g  x  dx  I  J  4  2  6

→ Chọn C. 2. Bài tập tự luyện 1

Câu 1. Cho tích phân  f  x  dx  1,  f  x  dx  5 . Tính giá trị của biểu thức sau: I   f  x  dx A. 1.

B. 6.

C. 4.

D. 5.

Câu 2. Cho biết  f  x  dx  2,  f  x  dx  3,  g  x  dx  7 . Khẳng định nào sau đây là sai? 4

B.  f  x  dx  1 .

 f  x   g  x  dx  10 .

C.  f  x  dx  5 .

 4f  x   2g  x  dx  2 1

Câu 3. Cho hàm f  x  liên tục trên  thỏa mãn

 f  x  dx  10,  f  x  dx  8,

 f  x  dx  7 . Tính tích a

phân I   f  x  dx . b

A. I  5 .

B. I  7 . 2

Câu 4. Cho biết

 3f  x  dx  2g  x dx  1 và 1

A. 1.

B. 2.

C. I  5 .

D. I  7 .

 2f  x  dx  g  x dx  3 . Giá trị của  f  x  dx bằng: 5 C.  . 7

1 . 2

Trang 2

Đáp án: 1–B

2–B

3–C

4–C

Dạng 2: Phương pháp đổi biến số 1. Ví dụ minh họa 2

Ví dụ 1: Cho I   f  x xdx  1 . Tính giá trị của  f  x  dx 2

A. I  2 .

B. I  4 .

C. I 

1 . 2

D. I  1 .

Hướng dẫn Đặt t  x 2  t  0  thì dt  2xdx Đổi cận: x

1 1 I Khi đó tích phân  f  x xdx trở thành 1   f  t  . dt   f  t  dt   I  2 . 2 20 2 0 0 2

→ Chọn A. Ví dụ 2: Cho f  x  là hàm số chẵn và

 f  x  dx  a . Chọn mệnh đề đúng.

3 3

A.  f  x  dx  a .

 f  x  dx  2a .

3

 f  x  dx  a .

3

D.  f  x  dx  a 3

Hướng dẫn Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận: x

-3

3

Khi đó:  f  x  dx    f   t  dt   f   t  dt   f   x  dx 0

3

Vì f  x  là hàm số chẵn nên f   x   f  x    f  x  dx   f   x  dx   f  x  dx  a Do đó

3

 f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx  a  a  2a .

→ Chọn B.

Trang 3

Ví dụ 3: Cho

 4

 xf  x  dx  3 . Tính I   f  cos2x  sin 4xdx .

A. I  2 .

B. I  3 .

D. I  4 .

C. I  3 . Hướng dẫn

Đặt t  cos2x  dt  2.sin 2xdx . Đổi cận: x

 4

I   f  cos2x  .sin 4xdx   f  cos2x  .2cos2x.sin 2xdx    f  cos2x  .cos2x.  2  sin 2xdx 0

   f  t  tdt   f  t  tdt   xf  x  dx 3 . → Chọn B. Ví dụ 4: Cho f  0   1 và

 f   x   f   3  x  dx  5 . Tính f  3 . 0

A. f  3  3 .

C. f  3 

B. f  3  2 .

9 . 2

D. f  3  3 .

Hướng dẫn Đặt t  3  x  dt  dx . Đổi cận:

 f   3  x  dx   f   t  dt   f   t  dt  f   x  dx 0

Do đó 5   f   x   f   3  x   dx   f   x  dx   f   x  dx  2  f   x  dx 3

Suy ra  f   x  dx  0

3 5 5 5 1 5  f  x  0   f  3  f  0    f  3    f  3  3 2 2 2 2 2

→ Chọn A. 2. Bài tập tự luyện 2020

Câu 1. Cho



f  x  dx  8 . Khi đó giá trị của tích phân

1010

A. 32.

 f  2x  dx

bằng:

B. 8.

C. 6.

D. 4. Trang 4

Câu 2. Cho hàm số f  x  là hàm chẵn, liên tục trên  và 1 . 3

3 . 2

2

1 3

 f  x  dx  3 . Tính I   f  3x  1 dx .

1 . 2

D. 3.

Câu 3. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2.f  x   cos x . Tính tích phân I

 2

 f  x  dx . 

 2

A. I 

2 . 3

B. I 

4 . 3

1 C. I  . 3

D. I  1 .

Đáp án: 1–D

2–C

3–A

Dạng 3: Phép tính tích phân cơ bản 1. Phương pháp giải Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: b

 udv  uv  vdu b

2. Ví dụ minh họa 2

Ví dụ 1: Cho

  x  2  f   x dx  7, f  0   1. Tính 0

A. I  6 .

B. I  5 .

I   f  x  dx . 0

C. I  7 .

D. I  7 .

Hướng dẫn

u  x  2 du  dx Đặt   , áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: dv  f   x  dx  v  f  x  2

7    x  2  f   x dx   x  2  f  x  0   f  x dx  2f  0   I  2  I  I  5 2

→ Chọn C.  Ví dụ 2: Cho F  x  là là một nguyên hàm của f  x  . Biết F    2 và 3

 3

 xF  x  dx  1 . Tính giá trị của 0

 3

I   x 2 f  x  dx . 0

A. I 

2 2 2. 9

B. I 

2 2  2. 9

C. I 

2 2. 9

D. I 

2 2  2. 9

Trang 5

Hướng dẫn

u  x 2  u  0  du  2xdx Đặt  , áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:  v  F x   dv  f x dx       3

. I   x f  x  dx  x F  x  2

 3 0

 3

2   2xF  x  dx  9 0

2 2  F   2  2 9 3

→ Chọn A. Ví dụ 3: Cho F  x  là là một nguyên hàm của f  x  . Biết F  3  2 ,

 F  x  1 dx  1

và. Tính giá trị của

1 3

I   xf  x  dx . 0

B. I  11 .

A. I  10 .

C. I  9 .

D. I  5 .

Hướng dẫn Đặt t  x  1  dt  dx . Đổi cận: x

-1

1

Suy ra

 F  x  1 dx  F  t  dt  1   F  x  dx  1

u  x du  dx Đặt   , áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: dv  f  x  dx  v  F  x  3

I   xf  x  dx  x F  x  0   F  x  dx  3F  3  1  5 3

→ Chọn D. 3. Bài tập tự luyện 1

Câu 1. Cho f 1  2f  0   2 và  f  x  dx  15 . Tính I    2  x  f   x  dx A. 13.

B. 17.

C. -13.

D. 15.

Câu 2. Cho   2x  2  f   x  dx  6 và f  0   6 . Tính  f  x  dx . A. -3.

B. -9.

C. 3.

D. 6.

Đáp án: 1–B

2–C

Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP b

Câu 1. Giả sử  f  x  dx  2 và  f  x  dx  3 và a  b  c thì  f  x  dx bằng Trang 6

A. 5.

B. 1.

C. -1.

D. -5.

Câu 2. Nếu  f  x  dx  5 và  f  x  dx  2 thì  f  x  dx bằng. A. 8. Câu 3.

B. 2.

C. 3.

D. -3.

Cho f  x  , g  x  là các hàm số liên tục trên đoạn

 2;6

và thỏa mãn  f  x  dx  3 ; 2

 f  x  dx  7;  g  x  dx  5 . Hãy tìm mệnh đề không đúng. 6

 3g  x   f  x  dx  8 .

ln e6



 3f  x   4 dx  5 . 2

ln e6

 2f  x   1 dx  16 .



 4f  x   2g  x   dx  16 .

Câu 4. Cho biết

1

 f  x  dx  15 . Tính giá trị của P   f  5  3x   7  dx

A. 15.

B. 37.

bằng.

C. 27.

D. 19.

Câu 5. Giả sử  f  x  dx  3 và  f  z  dz  9 . Tổng  f  t  dt   f  t  dt bằng A. 12.

B. 5.

C. 6.

D. 3.

Câu 6. Cho y  f  x  là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết rằng

 f  x  dx  8

và

1 3

1

 f  2x  dx  3 . Tính  f  x  dx . A. I  11 . Câu 7.

B. I  5 .

C. I  2 .

Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn

1;3

D. I  14 . 3

thỏa mãn:

 f  x   3g  x  dx  14 . 1

 2f  x   g  x  dx  0 . Tính  f  x   g  x  dx . A. 8.

B. 9. b

C. 6.

Câu 8. Cho  f  x  dx  2 và  g  x  dx  3 . Tích phân A. -4.

B. 4.

D. 7.

  f  x   2g  x   dx

C. 6.

Câu 9. Cho hàm số f  x  liên tục trên khoảng  0;19  thỏa mãn

D. 8. 19

 f  x  dx  10 ; 0

bằng

 f  x  dx  3 . Khi đó 2

P   f  x  dx   f  x  dx có giá trị là A. 3.

B. 4.

C. 7.

D. 13. Trang 7

Câu 10. Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  0;3 và f  x  .f  3  x   1 với mọi x   0;3 . Tính 3

dx . 1 f  x 0

K

A. K 

2 . 3

B. K  2 .

C. K 

3 . 2

D. K  3 .

Đáp án: 1-C

2-C

3-D

4-D

5-C

6-D

7-C

8-D

9-C

10 - C

Trang 8

CHƯƠNG 5 CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Diện tích hình phẳng 1. Phương pháp giải a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  Đồ thị  C  của hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  .  Trục hoành y  0 .  Hai đường thẳng x  a, x  b . b

S   f  x  dx a

b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  Đồ thị  C  của hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  .  Hai đường thẳng x  a, x  b . b

S   f  x   g  x  dx a

c. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  Đồ thị  C  của hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Trường hợp 1: Giải phương trình:

x  a f x  gx   , a  b x  b b

S   f  x   g  x  dx a

Trường hợp 2: Giải phương trình:

x  a f  x   g  x    x  b ,  a  b  c   x  c b

S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx d. Hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi phần Trang 1

ta có thể tích theo công thức: c

S   f  x   h  x  dx   g  x   h  x  dx Chú ý: Bằng cách coi x là hàm của biến y, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

x  f  y  , x  g  y  liên tục trên đoạn  a; b  và hai đường thẳng y  a , y  b được tính theo công thức: b

S   f  y   g  y  dy a

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y 

 x  1

, trục hoành, đường thẳng

x  0 và đường thẳng x  4 là:

8 A. S   . 5

B. S 

8 . 5

C. S 

2 . 25

D. S 

4 . 25

Hướng dẫn 4

Diện tích hình phẳng cần tính là: S   0

2dx

 x  1

2  8       x 1  0 5

→ Chọn B. Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x 2  3 và y  4x . Xác định mệnh đề đúng. 3

A. S   x 2  4x  3 dx . 1





C. S   x 2  3  4x dx . 1

B. S    x 2  4x  3 dx . 1

D. S   x 2  4x  3 dx . 1

Hướng dẫn

x  1 Phương trình hoành độ giao điểm x 2  3  4x   x  3 3

Do đó ta có S   x 2  4x  3 dx . 1

→ Chọn A. Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị  C  của hàm số y  2x 3  x 2  x  5 và đồ thị

Trang 2

 C  của hàm số

y  x 2  x  5 bằng

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn

x  1 Ta có: 2x  x  x  5  x  x  5   x  0  x  1 3

S



2x 3  2x dx 

1



2x 3  2x dx 

1

 2x 4 2x 2     2   4

  2x

 2x  dx

 2x 4 2x 2     1 4 2   1 0

→ Chọn B. Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2x  1, y  x  1, x  0, x  m,  0  m  3 bằng A.

m3 3m 2  . 3 2

B. 

m3 3m 2  . 3 2

m3 m 2   2m . 3 2

m3 m 2   2m . 3 2

Hướng dẫn Ta có: x  3x  0, x   0; m  vì 0  m  3 2

Do đó: S   0

 x 3 3x 2  3m 2 m3 x  3x dx     x  3x dx        2 0 2 3  3 0 m

→ Chọn B. Ví dụ 5: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3x 2 , cung tròn có phương trình y  4  x 2 (với 0  x  2 ) và trục hoành (phần tô đen trong hình vẽ). Diện tích của  H  bằng A.

4  3 . 12

4  3 . 6

4  2 3  3 . 6

5 3  2 . 3

Hướng dẫn Ta có

 x  1  thoûa maõn   4 3x 2  4  x 2  3x 4  x 2  4  0  x 2  1  x 2    0   3  x  1  loaïi  



Do đó: S   3x 2 dx   4  x 2 dx 



3 31 3 x   4  x 2 dx    4  x 2 dx 0 3 3 1 1 Trang 3

Ta tính: I   4  x 2 dx 1

1    x  1  sin t  2  t  6 Đặt x  2sin t  dx  2 cos tdt . Đổi cận:   x  2  sin t  1  t    2 2

 2

 6

I   4  x 2 dx   4  4sin 2 t.2 cos tdt   4 cos 2 tdt   2  cos 2t  1 dt 1



 sin 2t 2  2t 2  Suy ra S 

2 3  3 2

3 2 3 4  3    3 3 2 6

Chú ý: Ta có thể tính tích phân S bằng máy tính CASIO fx 570 VN PLUS, sau đó đối chiếu với bốn đáp án. → Chọn B. Ví dụ 6: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I (1;1) và trục đối xứng song song như hình bên. Tính quãng đường S mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát (tính theo km) A. S  6km . C. S 

B. S  8km .

46 km . 3

D. S 

40 km . 3

Hướng dẫn Gọi parabol  P  có dạng y  at 2  bt  c,  a  0 

a  1 a  b  c  1   Đồ thị  P  đi qua điểm M  0; 2  và đỉnh I 1;1 suy ra  b  b  2  2a  1; c  2 c  2  Suy ra  P  :y  t  2t  2 . Vậy quãng đường S cần tính là 2

t 0

 2t  2 dt 

40 km 3

→ Chọn D. Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a, b, c  , a  0  có đồ thị  C  . Biết rằng đồ thị  C  tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y  f   x  cho bởi hình vẽ bên: Trang 4

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và trục hoành. A. S  9 . C. S 

21 . 4

B. S 

27 . 4

D. S 

5 . 4

Hướng dẫn Từ đồ thị suy ra f   x   3x 2  3 f  x    f   x  dx    3x 2  3dx  x 3  3x  C

Do  C  tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hoành độ x 0 âm nên

f   x 0   0  3x 02  3  0  x 0  1 Suy ra f  1  4  C  2   C  : y  x 3  3x  2

 x  2 Xét phương trình x 3  3x  2  0   x  1 1

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

 x

 3x  2  dx 

2

27 4

→ Chọn B. Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình bên. Đặt y  f   x  như hình bên. Đặt h  x   2f  x   x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. h  4   h  2   h  2  . B. h  4   h  2   h  2  . C. h  2   h  4   h  2  . D. h  2   h  2   h  4  . Hướng dẫn Gọi S1 ,S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng như hình vẽ bên. 2

Ta có 2S1  2  f   x   x dx   2f  x   x 2  2

2 2

 h  x  2 2

 h  2   h  2   0  h  2   h  2  (1) 4

Tương tự ta có 2S2  2   x  f   x  dx   2f  x   x 2  2

2 2

  h x 2 4

Trang 5

 h  2   h  4   0  h  2   h  4  (2) Nhìn đồ thị ta có S1  S2  2S1  2S2  h  2   h  2   h  2   h  4   h  4   h  2  (3) Từ (1), (2), (3) suy ra h  2   h  4   h  2  → Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x  1 , trục hoành và hai đường thẳng

x  ln 3, x  ln 8 nhận giá trị nào sau đây? 2 A. S  2  ln . 3

3 B. S  2  ln . 2

3 C. S  3  ln . 2

3 D. S  2  ln . 2

Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 1  x 2 , trục tung và đường thẳng x  1 là A. S 

1 . 3

B. S 

2 2 1 . 3

C. S 

2 2 1 . 3

D. S  2





2 1 .

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x  x, y  x  1 và x  ln 5 là A. S  5  ln 4 .

B. S  5  ln 4 .

C. S  4  ln 5 ..

D. S  4  ln 5 .

Câu 4. . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x ln x trục hoành và đường thẳng xe

A. S 

e2  1 . 4

B. S 

e2  1 . 6

C. S 

e2  1 . 8

D. S 

e2  1 . 2

Đáp án: 1–B

2–B

3–D

4–A

Dạng 2: Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay 1. Phương pháp giải a. Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. S  x  là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

a  x  b . S x 

liên tục trên đoạn  a; b  . Công

thức tính thể tích của B là b

V   S  x  dx a

b. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường

 C  :y  f  x  , trục hoành y  0 , hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  sinh ra khi quay quanh Ox là: Trang 6

V   f 2  x  dx a

c. . Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hai đường

y  f x, y  gx ,

hai

đường

thẳng

x  a, x  b  a  b  sinh ra khi quay quanh Ox là: b

V   f 2  x   g 2  x  dx a

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi phần mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x   0; 2 là một phần tư đường tròn bán kính A. V  32 .

2x 2 , ta được kết quả nào?

C. V 

B. V  64 .

16 . 5

D. V  8 .

Hướng dẫn 1 1 Diện tích của thiết diện là: S  x   .S r    4 4



2x 2





x 4 2

  x5  x 4  25 16 Khi đó, thể tích cần tìm là: V   . dx   .   .  2 2 5 2 5 5   0 0 2

→ Chọn C. Ví dụ 2: Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình là x  0 và x  3 , có thiết diện bị cắt bởi phần mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  3 là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9  x 2 bằng A. V  3 .

B. V  18 .

C. V  20 .

D. V  22 .

Hướng dẫn Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là x và 2 9  x 2 là 2x 9  x 2 b

Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức: V   S  x  dx   2x 9  x 2 dx Đặt t  9  x 2  t  0   t 2  9  x 2  xdx   tdt

x  0  t  3 Đổi cận:  x  3  t  0 Trang 7

2t 3 Suy ra V  2  t dt   18 3 0 3 2

→ Chọn B. Ví dụ 3: Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị

 P  : y  2x  x 2 A. V 

và trục Ox có thể tích là

16 . 15

B. V 

11 . 15

C. V 

12 . 15

D. V 

4 . 15

Hướng dẫn

x  0 Phương trình hoành độ giao điểm của  P  và Ox là 2x  x 2  0   x  2 Thể tích khối tròn xoay: 2

V    2x  x



2 2

 x5 4x 3  16 4 dx    x  4x  4x dx     x    3  0 15  5 0 2

→ Chọn A. Ví dụ 4: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  1  x 2 , y  0, x  0 và x  2 khi quay quanh trục Ox bằng A.

8 2 . 3

B. 2 .

46 . 15

5 . 2

Hướng dẫn Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  1  x 2 , y  0, x  0 và x  2 khi quay quanh trục Ox là: 2

V   1  x 0



2 2

 2x 3 x 5  46 . dx   1  2x  x  dx    x     3 5  0 15  0 2

→ Chọn C. Ví dụ 5: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x 2 , y  0 quanh trục Ox có kết quả dạng A. 11 .

a a  a; b    ; là phân số tối giản. Khi đó a  b có kết quả là b b

B. 17 .

C. 31 .

D. 25 .

Hướng dẫn Ta có 1  x  0  x  1 2

Vậy V    1  x 2  dx  1

16  a  16, b  15  a  b  31 15

→ Chọn C. Ví dụ 6: Quay hình phẳng  H  như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là Trang 8

A. V  4 3 .

B. V  6 3 .

C. V  5 3 .

D. V  2 3 . Hướng dẫn

x 2  y2  4  x 2  3  x   3 Xét hệ phương trình:    y  1 y  1  x  3 Do  H  đối xứng nhau qua Oy nên: 3

V  2   4  x 2   12 dx  2   3  x 2 dx 0

 x3   2  3x    4 3 3 0 

→ Chọn A. Ví dụ 7: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông A. 6 .

B. 12 .

C. 23 .

D. 16 . Hướng dẫn

Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba





điểm  0;0  , 4; 2 2 , 4; 2 2 x



nên có phương trình

y2 2

Thể tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng y  2x, x  0, x  4 quay quanh trục Ox 4

Do đó V   2xdx   x 0



 16 0

→ Chọn D. 3. Bài tập tự luyện   Câu 1. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  cosx ,  0  x   và hai trục tọa độ Ox, 2 

Oy. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H  xung quanh trục Ox bằng A.  .

B. 1.

 . 2

 . 4

Trang 9

Câu 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2x  x 2 và y  x quay quanh trục Ox tạo thành tích khối tròn xoay có thể tích bằng A. V 

 . 3

B. V 

 . 4

C. V 

 . 5

D. V   .

Câu 3. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0; x   , biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x    là một tam giác đều có cạnh là

2 s inx A.

 . 3

C. 2 3 .

D. 2 .

Câu 4. Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  2x  2 và đường cong y  2 1  x 2 xung quanh trục Ox. Hãy so sánh V1 , V2 A. V1  V2 .

B. V1  V2 .

C. V1  V2 .

D. V1  2V2

Câu 5. Hình phẳng S1 giới hạn bởi y  f  x  , y  0, x  a, x  b  a  b  quay quanh Ox có thể tích V1 . Hình phẳng S2 giới hạn bởi y  2f  x  , y  0, x  a, x  b  a  b  quay quanh Ox có thể tích V2 . Lựa chọn phương án đúng A. V1  4V2 .

B. V2  8V1 .

C. 2V1  V2 .

D. 4V1  V2 .

Đáp án: 1–A

2–C

3–C

4–B

5–D

Dạng 3: Ứng dụng của nguyên hàm tích phân trong các bài toán thực tế 1. Phương pháp giải  Giả sử v  t  là vận tốc của vật tại thời điểm t và s  t  là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Mối liên hệ giữa s  t  và v  t  như sau: Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: s  t   v  t  Chú ý: Khi vật dừng hẳn thì  v  t   0 Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s  t    v  t  dt Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t   a; b  là

 v  t  dt  s  b   s  a  a

 Nếu gọi a  t  là gia tốc của vật thì ta có mối liên hệ giữa v  t  và a  t  như sau: Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: v  t   a  t  Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc v  t    a  t  dt Trang 10

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   160  10t  m / s  . Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t  0  s  đến thời điểm mà vật dừng lại là A. 1028 m.

B. 1280 m.

C. 1308 m.

D. 1380 m.

Hướng dẫn Khi vật dừng lại thì v  t   160  10t  t  16 Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t  0  s  đến thời điểm mà vật dừng lại là 16

S   v  t  dt   160  10t  dt  160t  5t 2  0

16 0

 160.16  5.162  1280 m

→ Chọn B. Ví dụ 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc v  t   m / s  , có gia tốc a  t   v  t  

3  m / s2  . 2t  1

Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là A. 4,6 m/s.

B. 7,2 m/s.

C. 1,5 m/s.

D. 2,2 m/s.

Hướng dẫn Vận tốc của ô tô sau 10 giây là: 10

3 3 3 v   a  t  dt   dt  ln 2t  1  ln 21  4, 6  m / s  2t  1 2 2 0 0 0 → Chọn A. Ví dụ 3: Một vật chuyển động với vận tốc10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a  t   3t  t 2 . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A.

4300 m. 3

B. 4300 m.

C. 430 m.

430 m. 3

Hướng dẫn Hàm vận tốc v  t    a  t  dt    3t  t 2 dt 

3t 2 t 3  C 2 3

Lấy mốc thời gia lúc tăng tốc  v  0   10  C  10 . Ta được v  t  

3t 2 t 3   10 2 3

Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là: 10

 3t 2 t 3   t3 t 4  4300 S    10 dt     10t   m 2 3 3   2 12 0 0 10

→ Chọn A. Ví dụ 4: Gọi h  t   cm  là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng h   t  

13 t 8 5

Trang 11

và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01 cm). A. 2,67 cm.

B. 2,66 cm.

C. 2,65 cm.

D. 2,68 cm.

Hướng dẫn Hàm h  t   

13 3 t  8   t  8 3 t  8  C 5 20

Lúc t = 0, bồn không chứa nước Suy ra h  0   0 

12 12 3 12  C  0  C   . Vậy, hàm h  t    t  8  3 t  8  5 5 20 5

Mức nước trong bồn sau 6 giây là h  6   2, 66 cm . → Chọn B. Ví dụ 5: Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N  t  . Biết rằng N  t  

4000 và lúc đầu đám 1  0,5t

vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số nào sau đây nhất? A. 251000 con.

B. 264334 con.

C. 261000 con.

D. 274334 con.

Hướng dẫn Nt  

4000 dt  8000.ln 1  0,5t  C 1  0,5t

Lúc đầu có 250000 con, suy ra N  0   250000  C  250000 Vậy N  t   8000.ln 1  0,5t  250000  N 10   264334, 0758 → Chọn B. 3. Bài tập tự luyện Một hạt prôtôn di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm 2 / s ) là 20 a t  ( với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi t  0 thì v  30  cm / s  . 2 1  2t 

Câu 1.

A. v 

10 . 1  2t

B. v 

10  20 . 1  2t

C. v  1  2t   30 . 3

D. v 

20

1  2t 

 30 .

Câu 2. Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa ấy cách mặt đất bao nhiêu mét, biết gia tốc là 9,8m / s 2 . A. 30,625 m.

B. 37,5 m.

C. 68,125 m.

D. 6,875 m.

Câu 3. Một vật chuyển động với vận tốc v  t   1  2sin 2t  m / s  . Quãng đường mà vật chuyển động trong khoảng thời gian t  0  s  đến thời điểm t  A.

3 1 . 4

3  1 . 4

3  s  là 4

3  1 . 4

3 1. 4

Trang 12

t2  2  m / s  . Quãng đường mà vật đó đi được t2 trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 4. Một vật chuyển động với vận tốc v  t   1,5  A. 12,60 m.

B. 12,59 m.

C. 0,83 m.

D. 6,59 m.

Đáp án: 1–B

2–D

3–A

4–B

Phần 2. BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x , y  e  x , x  1 A.

e 2  2e  1 . e

e 2  2e  1 . e

e 2  2e  1 . e

e 2  2e  1 . e

Câu 2. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ln x, y  0, x  1, x  2 quay quanh trục Ox có kết quả là A. 2  ln 2  1 .

B. 2  ln 2  1 .

C.   2 ln 2  1 .

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 A. S  4 ln  1 . 3

4 B. S  4 ln . 3

D.   2 ln 2  1 .

3x  1 , Ox, Oy là x 1

4 C. S  4 ln  1 . 3

4 D. S  4 ln  2 . 3

Câu 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  : y  f  x  , trục hoành, hai đường thẳng x  a, x  b (như hình vẽ dưới đây).

Giả sử SD là diện tích hình phẳng D. Chọn công thức đúng 0

A. SD   f  x  dx   f  x  dx . C. SD   f  x  dx   f  x  dx .

B. SD    f  x  dx   f  x  dx . D. SD    f  x  dx   f  x  dx .

Câu 5. Một ô tô đang chạy với vận tốc 18m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   36t  18  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét? A. 5,5 m

B. 3,5 m

C. 6,5 m

D. 4,5 m Trang 13

Câu 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

1 , y  0, x  0, x  1 quay xung quanh 1  4  3x

trục Ox. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng A.

 3   4 ln  1 . 6 2 

 3   6 ln  1 . 4 2 

 3   9 ln  1 . 6 2 

 3   6 ln  1 . 9 2 

Câu 7. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m / s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   40t  20  m / s  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 10m.

B. 7m.

C. 5m.

D. 3m.

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e  x , trục hoành, trục tung và đường x

thẳng x  1 là 1 A. S  e  . 2

1 B. S  e  . 2

C. S  e  1 .

D. S  e  1 .

Câu 9. Cho đồ thị hàm số y  f  x  . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là

3

A. I   f  x  dx   f  x  dx .

3

B. I   f  x  dx   f  x  dx .

C. I   f  x  dx .

D. I   f  x  dx   f  x  dx .

3

Câu 10. Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y  0, x  0, x  ln 4 . Đường thẳng

x  k  0  x  ln 4  chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để

S1  2S2 2 A. k  ln 4 . 3

B. ln 2 .

8 C. ln . 3

D. ln 3 .

Câu 11 Trong hệ tọa độ Oxy, parabol y 

x2 chia đường tròn tâm O 2

(O là gốc tọa độ) bán kính r  2 2 thành 2 phần, diện tích phần nhỏ bằng 4 A. 2  . 3

4 . 3

4 C. 2  . 3

3 D. 2  . 4

Trang 14

Đáp án: 1–B

2–A

3–C

4–B

5–D

6–D

7–C

8–B

9–B

10 – D

11 - A

Trang 15

CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Số phức có dạng

Xét số phức sau:

z  a  bi(a, b  ) Phần thực

Phần ảo

Đơn vị ảo i 2  1

Nếu a = 0, số phức z là số thuần ảo.

z  2i Phần thực là 2 Số thuần ảo z  3i  0  3i Phần thực là 0

Nếu b = 0, số phức z là số thực

Phần ảo là – 1

Phần ảo là 3

Số thực: z  3  3  0i Phần thực là 3

Phần ảo là 0

Tập hợp các số phức là  Ta có: N      

Chú ý: Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo.

Số đối của số phức z = 2 – i là – z = - 2 + i.

Số đối của số phức z  a  bi là z  a  bi .

Số đối của số phức z = 3 là – z = -3. Số đối của số phức z = 3i là – z = -3i.

2. Tính chất của đơn vị ảo i Nhan i Nhan i i 2  1   i3  i 2 .i  i   i 4  i3 .i  i.i  1  i x  ?

Để tính i x ta thực hiện phép chia x cho 4.

Tính giá trị i 2018 .

Nếu số dư là 0, ta được kết quả là 1.

Ta chia 2018 cho 4, được:

Nếu số dư là 1, ta được kết quả là i.

2018  504.4  2, dư 2.

Nếu số dư là 2, ta được kết quả là -1.

Do đó i 2018  1

Nếu số dư là 3, ta được kết quả là -i. 3. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức z  a  bi là Số phức liên hợp của z  a  bi . Số phức z = 2 – i là z  2  i Chú ý: Số phức z = 3i là z  3i  z. z là số thực  z  z . Số phức z = 3 là z  3  z. z là số ảo  z  z. Trang 1

3. Môđun của số phức Môđun của số phức z  a  bi là z  a 2  b 2

Môđun của các số phức

Chú ý:

z  2  i là z  22  (1) 2  5.

z  0, a  

z  3i là z  02  32  3.

z 0z0

z = 3 là z  32  02  3

5. Hai số phức bằng nhau Cho hai số phức z1  a1  b1i, z 2  a 2  b 2i . Hai số Cho hai số phức z1  a  2i, z 2  3  bi . Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi:

phức bằng nhau khi và chỉ khi:

a 1  a 2  b1  b 2

a  3  b  2

6. Các phép toán trên tập số phức Cho hai số phức z1  a1  b1i, z 2  a 2  b 2i.

Cho hai số phức z1  1  2i, z 2  3  5i.

Tổng, hiệu hai số phức

z1  z 2   a1  a 2    b1  b 2  i

z1  z 2  (1  2i)  (3  5i)  1  2i  3  5i  (1  3)  (2  5)i  2  3i z1  z 2

z1  z 2   a1  a 2    b1  b 2  i

 (1  2i)  (3  5i)  1  2i  3  5i  (1  3)  (2  5)i  4  7i

Phép nhân hai số phức

z1 .z 2  (a1  b1i)(a 2  b 2 i)  a1 a 2  a1 b 2 i  a 2 b1i  b1 b 2 i

z1 .z 2  (1  2i)(3  5i) 2

 a1 a 2  a1 b 2 i  a 2 b1i  b1 b 2

  a1 a 2  b1 b 2    a1 b 2  a 2 b1  i Phép chia hai số phức

 3  5i  6i  10i 2  3  11i  10  7  11i

Phép chia hai số phức

Muốn chia hai số phức, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu.

Trang 2

z1 1  2i  z 2 3  5i

z1 a1  b1i  z 2 a 2  b 2i   

(1  2i)(3  5i) (3  5i)(3  5i) 3  5i  6i  10 13  i   (3) 2  52 34 13 1   i 34 34

(a1  b1i)(a 2  b 2i) (a 2  b 2i)(a 2  b 2i)



 a1a 2  b1b2   (b1a 2  a1b2 )i a 22  b 22

a1a 2  b1b 2  b1a 2  a1b 2  i  a 22  b 22 a 22  b 22

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các phép toán trên tập số phức 1. Phương pháp giải Các phép tính về số phức: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức. Tìm phần thực và phần ảo, số phức liên hợp, môđun của số phức: số phức z = a + bi có phần thực a, phần ảo b, số phức liên hợp là z  a  bi và môđun là z  a 2  b 2 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z  (2  7i)(1  3i). Số phức liên hợp của z là: A. z  2  7i

B. z  2  7i

C. z  2  7i

D. z  23  i

Hướng dẫn Cách 1: z  (2  7i)(1  3i)  2  6i  7i  21i 2  2  21  i(6  7)  23  i Do đó số phức liên hợp của z là z  23  i Cách 2: Sử dụng máy tính FX750VNPLUS Bước 1: Thiết lập chế độ số phức: MODE 2. Bước 2: Nhập (2+7i)(-1+3i) ta được kết quả là -23 – i. Do đó số phức liên hợp của z là z  23  i  Chọn D Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn (3  2i)z  (2  i) 2  20  3i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là: A. 1

B. 0

C. 4

D. 6

Hướng dẫn (3  2i)z  (2  i) 2  20  3i  (3  2i)z  4  4i  i 2  20  3i Cách 1: 17  7i (17  7i)(3  2i) 65  13i  (3  2i)z  17  7i  z   z  5i 2 2 3  2i 3 2 13

Có phần thực là 5, phần ảo là – 1. Vậy hiệu phần thực và phẩn ảo của z bằng 5 – (-1) = 6. Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2 Trang 3

Bước 2: Nhập

20  3i  (2  i) 2 ta được kết quả là 5 – i. 3  2i

Vậy hiệu phần thực và phẩn ảo của z bằng 5 – (-1) = 6.  Chọn D Ví dụ 3: Cho số phức z = 3 – i. Tìm số phức w  A. w 

6 3  i 5 5

zi . z i

6 3 B. w    i 5 5

C. w 

6 3  i 5 5

6 3 D. w    i 5 5

Hướng dẫn Cách 1: Ta có w 

z i 3i i 3 3(2  i) 6  3i 6 3    2    i 2 z  1 3  i  1 2  i 2  (1) 5 5 5

Cách 2: Cách sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2 Bước 2: Nhập

3i i 6 3 ta được kết quả là w   i 3  i 1 5 5

 Chọn A Ví dụ 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn: 3x + y – 3xi = 2y – 1 + (x – y)i. Tính tổng x + y. A. -3

B. 3

C. -1

D. 1

Hướng dẫn

3x  y  2y  1 3x  y  1  x  1 3x  y  3xi  2y  1  (x  y)i     3x  x  y 2x  y  0  y  2 Do đó x + y = -3  Chọn A 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hai số phức z1  3  i và z 2  4  2i . Phần ảo của số phức w  2z1  3z 2 là: A. 4

B. 4i

C. -6

D. -6i

Câu 2. Tìm môđun của số phức z thỏa mãn (1  i)z  (2  i)(3  i) A. 5

B. 2

C. 3

Câu 3. Cho số phức z  (4  2i)(2  3i) . Tìm phần ảo của số phức w  A. 10

B. 8

C. 3

D. 4 z2 zz

D. 2

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Môđun của số phức z là một số thực không âm. B. Môđun của số phức z là một số thực. C. Môđun của số phức z = a + bi là z  a 2  b 2 D. Môđun của số phức z luôn luôn là một số thực dương.

Trang 4

Đáp án: 1–A

2–A

3–B

4–D

Dạng 2: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Phương pháp giải Để tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta Ví dụ: Tìm phần thực của số phức z biết z thỏa mãn làm theo các bước sau: z  2z  3  i. A. 2

B. 1

C. 3

D. -1

Hướng dẫn Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng Gọi z  x  yi(x, y  ). Ta có: z  x  yi(x, y  ). z  2z  3  i  (x  yi)  2(x  yi)  3  i Bước 2: Thay số phức vào phương trình, khai triển  x  yi  2x  2yi  3  i Bước 3: Chuyển về một vế, rút gọn và đưa về dạng  x  yi  2x  2yi  3  i  0 A + Bi = 0  (x  2x  3)  i(y  2y  1)  0  (3x  3)  i( y  1)  0 Bước 4: Cho phần thực A bằng 0, phần ảo B bằng Ta có hệ: 0. Thiết lập hệ phương trình. 3x  3  0 x  1 A  0     y  1  0  y  1 B  0 Vậy z = 1 – i có phần thực là 1 Bước 5: Giải hệ phương trình, tìm ra số phức z.  Chọn B 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn (3  2i)z  1  11i  (2  2i)z. Môđun của số phức z là: A. 10

Hướng dẫn Cách 1: Gọi z  x  yi(x, y  ) Ta có: (3  2i)z  1  11i  (2  2i)z

 (3  2i)(x  yi)  1  11i  (2  2i)(x  yi)  3x  3yi  2xi  2yi 2  1  11i  2x  2yi  2xi  2yi 2  3x  3yi  2xi  2y  1  11i  2x  2yi  2xi  2y  0  (3x  2y  1  2x  2y)  (3x  2x  11  2y  2x)i  0  (x  1)  (4x  5y  11) i  0

x  1  0 x  1 Ta có hệ:   4x  5y  11  y  3 Vậy z = 1 – 3i nên z  32  (1) 2  10 Cách 2: Cách sử dụng máy tính fx 570 VNPLUS Trang 5

Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2 Bước 2: Nhập (3  2i)(X  Yi)  1  11i  (2  2i)(X  Yi) Bước 3: Gán giá trị X = 0, Y = 0: CACL X? 0 = Y ? 0, ta được kết quả là – 1 – 11i, điền vào giá trị cột c trong bảng ở bước 7. Bước 4: Nhập (3  2i)(X  Yi)  1  11i  (2  2i)(X  Yi)  (1  11i) Bước 5: Gán giá trị X = 0, Y = 1 : CACL X? 0 = Y ? 1 =, ta được kết quả là -5i, điền vào giá trị cột b trong bảng ở bước 7. Bước 6: Gán giá trị X = 1, Y = 0 : CACL X? 1 = Y ? 0 =, ta được kết quả là 1 - 4i, điền vào giá trị cột b trong bảng ở bước 7. Bước 7: Ta có bảng a

-4

-5

-11

1x  0y  1  0 x  1 Bước 8: Giải hệ phương trình   4x  5y  11  0  y  3 Do đó số phức z thỏa mãn yêu cầu đề bài là z = 1 – 3i. Vậy z  10  Chọn A Chú ý: Ta có thể tổng quát cách bấm máy tính của dạng bài tập này theo 8 bước như sau: Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2 Bước 2: Nhập biểu thực đề bài cho, chú ý chuyển tất cả sang vế trái.. Bước 3: Gán giá trị X = 0, Y = 0 : CACL X? 0 = Y ? 0 =, ta được kết quả là c1  c 2i Bước 4: Nhập biểu thức ở bước 1, trừ đi kết quả ở bước 2. Bước 5: Gán giá trị X = 0, Y = 1 : CACL X? 0 = Y ? 1 =, ta được kết quả là b1  b 2i Bước 6: Gán giá trị X = 1, Y = 0 : CACL X? 1 = Y ? 0 =, ta được kết quả là a1  a 2i Bước 7: Ta có bảng a

a x  b1 y  c1  0  x  x1 Bước 8: Giải hệ phương trình  1  a 2 x  b 2 y  c 2  0  y  y1 Ta được số phức z là z  x1  y1i Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: z  z  8  4i. Số phức liên hợp của z là: A. 3 – 4i

B. 3 + 4i

C. -3 + 4i

D. -3 – 4i

Hướng dẫn Trang 6

Cách 1: Đặt z  x  yi(x, y  )  z  x 2  y 2 Khi đó: z  z  8  4i  x  yi  x 2  y 2  8  4i  (x  x 2  y 2  8)  (y  4) i  0

 x  x 2  y 2  8  0  x  x 2  y 2  8    y  4  0  y  4  x 2  16  8  x  x 2  16  64  16x  x 2 16x  48  x  3     y   4 y   4   y  4  y  4  Vậy z = 3 – 4i  z  3  4i Cách 2: Thử trực tiếp đáp án Đáp án A: z  3  4i  z  3  4i , do đó z  z  3  4i  32  42  8  4i, loại Đáp án B: z  3  4i  z  3  4i , do đó z  z  3  4i  32  (4) 2  8  4i, thỏa mãn  Chọn B Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z.z  1 và z  1  2. Xác định phần thực của số phức z. A. 0

B. 1

C. -1

D. 2

Hướng dẫn Đặt: z  x  yi(x, y  ) . Suy ra z  x  yi Ta có: z.z  1  (x  yi)(x  yi)  1  x 2  (yi) 2  1  x 2  y 2  1 z  1  (x  1)  i( y)  z  1  2  (x  1) 2  ( y) 2  2  (x  1) 2  y 2  4

Ta có hệ phương trình:

 x 2  y 2  1  y 2  1  x 2  y2  1  x 2  x  1        2 2 2 2 (x  1)  y  4 (x  1)  1  x  4 y  0 2x  2  4 Vậy z = -1, có phần thực bằng -1, phần ảo bằng 0  Chọn C Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn (1+2i)z là số thuần ảo và 2z  z  13 . Môđun của số phức z là A.

D. 13

Hướng dẫn Giả sử z  x  yi(x, y  ) , khi đó (1  2i)z  (1  2i)(x  yi)  (x  2y)  (2x  y)i Vì (1  2i)z là số thuần ảo khi và chỉ khi x  2y  0  x  2y 2z  z  x  3yi  2y  3yi  13y 2  13  y  1

Với y = 1, ta có x = 2, số phức z  2  i  z  22  12  5 Với y = -1, ta có x = -2, số phức z  2  i  z  (2) 2  (1) 2  5  Chọn C Trang 7

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z  z  2  8i . Tìm số phức liên hợp của z A. -15 – 8i

B. -15 + 6i

C. -15 +2i

D. -15+ 7i

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: z  2z  (1  5i) 2 . Tính modun của z A. 2 45

C. 2 40

D. 2 41

Câu 3. Tìm số phức z biết: (z  1) 2  z  1  10i  z  3 . Tìm phần ảo của số phức z, biết z có phần thực là số dương A. 2

B. 5

1 2

C. 

D. 1

Đáp án: 1–A

2–D

3-A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Modun của số phức z  1  3i là A.

B. 1

C. 2

C. 1

D. -8

Câu 2. Phần thực của số phức z  (2  3i)(1  2i) là A. 8

B. -1

Câu 3. Cho 2 số phức z1  1  3i, z 2  3  2i . Tính modun của số phức z1  2z 2 A.

B. 7

D. 74

Câu 4. Cho số phức z  2  3i . Tìm số phức liên hợp của w biết w  iz  z A. w  2  3i

B. w  1  i

C. w  1  i

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2  i)z 

D. w  1  i

1 i  5  i . Modun của số phức w  1  2z  z 2 có 1 i

giá trị là A. 10

B. -10

C. 100

D. -100

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2  i)z  1  3i  0 . Phần ảo của số phức w  1  iz  z là A. 1

B. 0

C. -2

D. -1

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn: 3z  2z  (4  i) 2 . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z là A. -11

B. 5

C. 11

D. -5

Câu 8. Số phức z thỏa mãn: z  (2  3i)z  1  9i . Modun của z là A. 3

B. 5

Câu 9. Tìm modun của số phức z thỏa mãn hệ thức z  (2  i)  10 và z.z  25 A. 5

B. -5

C. 10

D. 10

Câu 10. Tìm hai số x, y. Biết x, y là các số thực thỏa mãn đẳng thức x(3  5i)  y(1  2i) 2  35  23i Trang 8

A. (x;y)  (3;4)

B. (x;y)  (3;4)

C. (x;y)  (3; 4)

D. (x;y)  (3; 4)

C. 4

D. -4

Câu 11. Giá trị của i105  i 23  i 20  i 38 là A. 2

B. -2

Đáp án: 1–C

2–A

3 –C

4–D

5–A

6–C

7–D

8–D

9–A

10 - B

11 - A

Trang 9

CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ 2: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Kiếm thức về hình học giải tích trong mặt phẳng Tọa độ điểm:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2),B(3; 4)  A(x A ;y A ),B(x B , y B ). AB  (3  (1); 4  2)  (4; 6)  AB  (x B  x A ;y B  y A ). Độ dài AB 

 x B  x A    yB  yA  2

Phương trình đường thẳng: Dạng tổng quát ax + by + c = 0.  Trong đó n  (a;b) là vectơ pháp tuyến (VTPT) của

Độ dài AB  4 2  (6)2  2 13 Phương trình 3x – y + 2 = 0 là phương trình đường  thẳng có vectơ pháp tuyến là n  (3; 1)

đường thẳng. Phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R:

(x  a)  (y  b)  R 2

Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với điều kiện a  b  c  0 là phương trình đường tròn có 2

Phương trình (x  1)2  (y  3)2  9 là phương trình đường tròn tâm I(-1;3), bán kính R = 3. Phương

trình

x 2  y 2  2x  6y  1  0 có

tâm I(a,b) và bán kính R  a 2  b 2  c

a  1;b  3;c  1;a 2  b 2  c  9  0 là phương trình đường tròn tâm I(-1;3), bán kính R = 3

Phương trình elip:

Phương x 2 y2  1 a 2 b2

Với hai tiêu cự F1 (c;0), F2 (c;0);F1F2  2c . Độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b và a 2  b 2  c2

trình

đường

elip

x 2 y2   1 có 25 9

a  5;b  3;c  a 2  b 2  4 . Với hai tiêu cự F1 (4;0), F2 (4;0), F1 F2  8 . Độ dài trục lớn là 10, độ dài trục bé là 6.

2. Biểu diễn hình học của số phức Trong mặt phẳng phức Oxy, mỗi số phức Số phức z  3  i được biểu diễn bởi điểm A(3;1) z  a  bi(a, b  ) được biểu diễn bởi điểm M(a;b). Số phức liên hợp của z là z  3  i được biểu diễn (Oy là trục ảo, Ox là trục thực) bởi điểm B(3;-1). Số đối của z là – z = - 3 – i được biểu diễn bởi điểm C(-3;-1).

Trang 1

Chú ý: Hai điểm biểu diễn số phức z và z đối xứng với Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua Ox. Hai điểm A và C đối xứng với nhau qua tâm O. nhau qua trục Ox. Hai điểm biểu diễn số phức z và – z đối xứng với nhau qua tâm O. Ý nghĩa hình học của mođun:  Đồ dài của vecto OM là mođun của số phức z  z  OM  OM

Độ dài OA  10  z

3. Tập hợp điểm biểu diễn số phức Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z  x  yi là đường thẳng nếu điểm M(x;y) thỏa mãn phương trình đường thẳng Ax + By + C = 0. Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z  x  yi là đường tròn nếu điểm M (x;y) thỏa mãn phương trình đường tròn (x  a)2  (y  b)2  R 2 . Trong đó I(a;b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường tròn. Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x + yi là đường elip nếu điểm M(x;y) thỏa mãn phương trình đường elip (E) :

x 2 y2   1, trong đó a, b là các bán kính trục lớn, trục nhỏ của elip. a 2 b2

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: 1. Phương pháp giải Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho số phức z  1  2i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng phức là A. M(-1;-2)

B. M(-1;2)

C. M(-2;1)

D. M(2;-1)

Hướng dẫn Số phức liên hợp của z là z  1  2i nên có điểm biểu diễn là M(-1;2).  Chọn B Ví dụ 2: Cho số phức z = -1 +3i. Điểm biểu diễn số phức 3  1 A. M   ;    10 10 

 1 3 B. M   ;   10 10 

1 trong mặt phẳng phức là z

3  1 C. M  ;    10 10 

 1 3 D. M  ;   10 10 

Hướng dẫn Ta có

3 1 1 1  3i 1 3  1      i có điểm biểu diễn là M   ;   2 2 z 1  3i (1)  3 10 10  10 10 

 Chọn A

Trang 2

Ví dụ 3: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = (1 + i)(3 – i)? A. P B. M C. N D. Q Hướng dẫn Ta có z  (1  i)(3  i)  3  i  3i  i 2  3  2i  1  4  2i có điểm biểu diễn Q(4;2).  Chọn D 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho số phức z thỏa (1  2i) z  4  3i . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng phức A. M(2; 1)

B. M(2;1)

C. M(2; 1)

D. M(2;1)

Câu 2. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1  4  i và B là điểm biểu diễn của z 2  4  i . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn (2  i)z  4  3i . Điểm biểu diễn của z là điểm ở hình bên? A. Điểm M

B. Điểm N

C. Điểm P

D. Điểm Q

nào

Đáp án: 1–D

2–D

3-C

Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức 1. Phương pháp giải Giả sử số phức z =x + yi được biểu diễn bởi điểm M(x;y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y thỏa mãn yêu cầu đề bài Chú ý: Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện z  (a  bi)  R,(R  0) là đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R. Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện z  (a  bi )  R, ( R  0)  z  (a  bi )  R là đường tròn có tâm

I (a; b) và có bán kính R. Tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện z  (a1  b1i)  z  (a 2  b 2 i) là đường trung trục của đoạn thẳng AB với A(a1 , b1 );B(a 2 , b 2 ). Trang 3

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

z  i(2  i)  5 . Phát biểu nào sau đây là sai? A. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(-1;-2) B. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính R = 5 C. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có đường kính bằng 10 D. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có tâm I(1;2) Hướng dẫn Cách 1: Gọi z  x  yi,(x;y  ) . Theo giả thiết, ta có: z  i(2  i)  5  x  yi  2i  i 2  5  x  y  2i  1  5  (x  1)  i(y  2)  5 

 x  1   y  2  2

 5  (x  1)2  (y  2)2  25

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(-1;-2), bán kính R = 5 Cách 2: z  i(2  i)  5  x  yi  2i  i 2  5  z  2i  1  5  z  (1  2i)  5 Do đó áp dụng “tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện z  (a  bi)  R,(R  0) là đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R” ta được tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(-1;-2), bán kính R = 5  Chọn D Ví dụ 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2  i  3 là A. (x  2)2  (y  1)2  9

B. (x  2)2  (y  1)2  9

C. (x  2)2  (y  1)2  4

D. (x  2)2  (y  1)2  1 Hướng dẫn

Cách 1: Gọi z  x  yi,(x;y  ) , khi đó z  x  yi . Theo bài ra ta có: x  yi  2  i  3  x  2  (y  1)  3  (x  2)2  (y  1)2  3  (x  2)2  (y  1)2  9

Cách 2: Áp dụng chú ý ở phần phương pháp giải ta có:

z  2  i  3  z  (2  i)  3  z  (2  i)  3 có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;-1), bán kính R=3. Phương trình đường tròn tâm I(2;-1), bán kính R = 3 có dạng (x  2)2  (y  1)2  9  Chọn A Ví dụ 3: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  3  i  z  2i là đường thẳng có phương trình A. 3x  y  3  0

B. 3x  y  3  0

C. 3x  y  3  0

D. 3x  y  3  0

Hướng dẫn Cách 1: Gọi z  x  yi,(x;y  ) , khi đó z  x  yi . Theo bài ra ta có: Trang 4

x  yi  3  i  x  yi  2i  x  3  (y  1)i  x  (2  y)i  (x  3)2  (y  1)2  x 2  (2  y)2  x 2  6x  9  y 2  2y  1  x 2  y 2  4y  4  6x  2y  10  4y  4  6x  2y  6  0 Do đó tập hợp biểu diễn số phức z là đường thẳng 6x  2y  6  0  3x  y  3  0 Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx 579 VNPLUS Bước 1: Thiết lập chế độ sử dụng số phức: MODE 2 Bước 2: Sử dụng SHIFT 2 (CMPLX) 2 (Conjg) để nhập số phức liên hợp Lấy điểm bất kì thuộc các đáp án, thửu vào xem có thỏa mãn z  3  i  z  2i thì chọn Đáp án A: Chọn x  1  y  6 ta được z = 1 – 6i, nhập 1  6i  3  i  Conjg(1  6i)  2i được kết quả là 1 số khác 0 nên loại. Đáp án B: Chọn x  1  y  66 ta được z = 1 + 6i, nhập 1  6i  3  i  Conjg(166i)  2i được kết quả là 1 số khác 0 nên loại. Đáp án C: Chọn x  2  y  3 ta được z = 2 - 3i, nhập 2  3i  3  i  Conjg(2  3i)  2i được kết quả là 1 số khác 0 nên loại. Đáp án D: Chọn x  2  y  3 ta được z = 2 + 3i, nhập 2  3i  3  i  Conjg(2  3i)  2i được kết quả là 0.  Chọn D Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa z  3 . Biết rằng tập hợp số phức w  z  2i là 1 đường tròn. Tâm của đường tròn là A. I(0;2)

B. I(0;-2)

C. I(-2;0)

D. I(2;0)

Hướng dẫn Cách 1: Đặt w  x  yi (x, y  ), ta có:

z  w  2i  z  x  yi  z  x  (y  2)  z  x  (y  2)i Theo đề suy ra z  3  x  (y  2) i  3  x 2  (y  2)2  9 Vậy tập hợp số phức cần tìm nằm trên đường tròn có tâm I(0;2) Cách 2: w  z  2i  w  2i  z  w  2i  z Mà z  z  3 nên w  2  3  w  (0  2i)  3 Do đó điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(0;2), bán kính R = 3.  Chọn A Ví dụ 5: Cho các số phưc z thỏa mãn z  8 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

w  3  2i  (2  i)z là 1 đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là: A. 8

B. 8 5

D. 13

Hướng dẫn

w  3  2i  (2  i)z  w  3  2i  (2  i)z  w  3  2i  (2  i)z Trang 5

Áp dụng công thức z.z '  z . z ' ta có: w  3  2i  2  i.z  8 2 2  (1)2  8 5 Do đó điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(3;-2), bán kính R  8 5  Chọn B 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

z  1  z  i là đường thẳng có phương trình là: A. y = x

B. x + y = 0

C. y = 2x +1

D. y – x + 1 = 0

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

z  3  4i  2 là A. Đường thẳng qua gốc tọa độ

B. Đường tròn bán kính 1

C. Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính 2

D. Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính 3 2

Câu 3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện z  5z  5z  0 là A. Đường thẳng qua gốc tọa độ

B. Đường thẳng x – y = 5

C. Đường tròn tâm I(5;0), bán kính 5

D. Đường tròn tâm I(-5;0), bán kính 5

Câu 4. Cho các số phức z thỏa mãn z  2 và số phức w thỏa mãn w  (4  3i)z  2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. r = 5

B. r = 10

C. r = 14

D. r = 20

Đáp án: 1–B

2–C

3–C

4–B

Dạng 3: Cực trị số phức 1. Phương pháp giải Áp dụng các bất đẳng thức z1  z 2  z1  z 2  z1  z 2 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Số phức z thỏa mãn điều kiện z  4  3i  0 . Giá trị lớn nhất của z là A. 3

B. 4

C. 5

D. 8

Hướng dẫn Áp dụng công thức z1  z 2  z1  z 2 ta có:

z  z  4  3i  4  3i  (z  4  3i)  (4  3i)  z  4  3i  4  3i  3  5  8 Do đó giá trị lớn nhất của z là 8.  Chọn D Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là A. 13  1

B. 4

C. 6

D. 13  2

Hướng dẫn Trang 6

Áp dụng công thức z1  z 2  z1  z 2 ta có:

z  2  3i  1  z  (2  3i)  1  z  (2  3i)  1  z  (2  3i)  1  z  2  3i  1 Áp dụng công thức z1  z 2  z1  z 2 ta có: z  1  i  (z  2  3i)  (3  2i)  z  2  3i  3  2i  1  32  (2)2  1  13

Do đó giá trí lớn nhất của z  1  i là 1  13  Chọn A Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

z  2  i . Tính S = M2 + m2 A. S = 34

B. S = 83

C. S = 68

D. S = 36

Hướng dẫn

z  2  i  z  1  2i  3  3i  (z  1  2 i)  (3  3i) .

Áp

dụng

z1  z 2  z1  z 2  z1  z 2 : z  1  2i  3  3i  (z  1  2i)  (3  3i)  z  1  2i  3  3i  4  3 2  (z  1  2i)  (3  3i)  4  3 2 Hay m  4  3 2  z  2  i  4  3 2 Vậy S = M2 + m2 = 68  Chọn C 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Giá trị nhỏ nhất của z  i là A.

5 1

5 1

5 2

52

Câu 2. Cho các số phức z thỏa mãn z  3  4i  1 . Giá trị lớn nhất của z là A. 4

B. 3

C. 7

D. 6

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn z  i  1 . Giá trị lớn nhất của z  2  i là A. 3

5 1

C. 6

5 1

Đáp án: 1–A

2–D

3-A

PHẦN 2: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Điểm biểu diễn số phức z  A. (1;-4)

B. (-1;4)

(2  3i)(4  i) có tọa độ là 3  2i

C. (1;4)

D. (-1;-4)

Câu 2. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn zi  (2  i)  2 là Trang 7

A. (x  1)2  (y  2)2  4

B. (x  1)2  (y  2)2  4

C. x + 2y – 1 = 0

D. 3x + 4y – 2 = 0

Câu 3. Cho các số phức z thỏa mãn z  1  i  z  1  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Đường thẳng đó có phương trình là A. 4x + 6y – 3 = 0

B. 4x – 6y – 3 = 0

C. 4x + 6y + 3 = 0

D. 4x – 6y + 3 = 0

Câu 4. Cho điểm A biểu diễn số phức 3 – 2i, điểm B biểu diễn số phức -1 + 6i. Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó điểm M biểu diễn số phức nào trong các số phức sau: A. 1 – 2i

B. 2 – 4i

C. 2 + 4i

D. 1 + 2i

Câu 5. Tập hợp biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  3z  (2  3i) z là A. Là đường thẳng y   3x

B. Là đường thẳng y  3x

C. Là đường thẳng y = -3x

D. Là đường thẳng y = 3x

Câu 6. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2i  1 nằm trên đường tròn có tâm là A. I(1;2)

B. I(-1;2)

C. I(1;-2)

D. I(-1;-2)

Câu 7. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn tâm (a;b), sao cho u 

z  2  3i là một zi

số thuần ảo là một đường tròn tâm I(a;b). Tổng a + b bằng A. 2

B. 1

C. -2

D. 3

Câu 8. Cho số phức z  0 thỏa mãn z  2 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

zi bằng z

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: 1–D

2–A

3–B

4–D

5–A

6–B

7–C

8-B

Trang 8

CHƯƠNG 4 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Căn bậc hai của số phức Số phức z = x + yi là căn bậc hai của số phức Cho z  1  2i, z 2  (1  2i)2  3  4i  w w  a  bi khi và chỉ khi z 2  w Ta nói số phức z = 1 + 2i là căn bậc hai của số phức w = 0 có duy nhất một căn bậc hai là z = 0.

w  3  4i

w  0 có hai căn bậc hai. 2. Phương trình bậc hai Phương trình bậc hai az 2  bz  c  0 với a, b, c là Phương trình bậc hai z 2  z  1  0 có a = 1; b = -1; các số phức cho trước. c = 1.   b 2  4ac có một căn bậc hai là  , khi đó:

  b 2  4ac  3  3i 2  (i 3)2

  0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt là  có một căn bậc hai là   i 3 b   . z1,2  Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là 2a 1 i 3 b z1,2    0 , phương trình có nghiệm kép là z1  z 2  2 2a 3. Hệ thức Viet đối với phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình az 2  bz  c  0(a  0) có hai nghiệm Phương trình bậc hai z 2  z  1  0 có a = 1; b = -1; c = 1. phân biệt z , z (thực hoặc phức) 1

b  S  z1  z 2   a  1 Ta có hệ thức Viet  P  z .z  c  1 1 2  a

b  S  z1  z 2   a Ta có hệ thức Viet  P  z .z  c 1 2  a

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức 1. Phương pháp giải Tìm căn bậc hai của số phức w: Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

Số 9 có hai căn bậc hai là  9  3

a < 0, a có các căn bậc hai là i a .

Số -9 có hai căn bậc hai là 3i

a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0 a > 0, a có hai căn bậc hai là  a Trường hợp w là w  a  bi(a, b  , b  0)

số

phức

có

dạng

Ví dụ: Số phức w = 8 – 6i có hai căn bậc hai. Tìm phần thực của căn bậc hai có phần ảo là một số dương. A. -2

B. -3

C. 3

D. 2 Trang 1

Hướng dẫn Cách 1: Gọi z  x  yi(x, y  ) là một căn bậc hai Cách 1: Gọi z  x  yi(x, y  ) là một căn bậc hai của w

của số phức w = 8 – 6i

Ta có:

z  w  (x  yi)  a  bi

z 2  w  ( x  yi ) 2  8  6i

 x 2  2xyi  (yi) 2  a  bi

 x 2  2 xyi  ( yi ) 2  8  6i

 x 2  y 2  2xyi  a  bi

 x 2  y 2  2 xyi  8  6i

x 2  y2  a  2xy  b

 x2  y 2  8  x2  y 2  8    3 2 xy  6 y   x   2 9  x4  8x2  9  0  x  x 2  8    3  y  3 y  x   x

Giải hệ phương trình ra nghiệm (x;y). Mỗi cặp số thực (x;y) là nghiệm của hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z  x  yi của số phức w = a + bi

 x  3   x 2  9 (tm)   2   x  1(loai )   y  1     x  3 3    y  x   y  1 Vậy w = 8 – 6i z1  3  i, z 2  3  i .

căn

bậc

hai

là:

Cách 2: Sử dụng casio fx-570 VNPLUS

Mode 1 (COMP).

Bước 1: Mode 1 (COMP). Bước 2: Nhấn SHIFT + (pol), ta nhập Pol(a,b), ấn = Bước3: Nhấn Shift – (Rec), t nhập Re c

có





X, y : 2 ,

ta thu được kết quả X = x, Y = y.

Nhấn SHIFT + (pol), ta nhập Pol(8,-6), ấn =. Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Re c





X, y : 2 ta thu

được kết quả X = 3, Y = -1. Vậy hai căn bậc hai cần tìm là 3 – i và -3 + i.

Căn bậc hai cần tìm là x + yi và –x – yi.

 Chọn B

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một căn bậc hai của số phức w = 3 + 4i có dạng z = x + yi. Trong đó x, y là các số nguyên dương, tổng x + y bằng A. -3

B. 4

C. 3

D. 2

Hướng dẫn Cách 1: Vì z  x  yi là căn bậc hai của số phức w  3  4i nên z 2  w

x  2  x 2  y2  3  y  1 2 2 2 (x  yi)  3  4i  x  y  2xyi  3  4i      x  2 2xy  4    y  1 Trang 2

Vì x, y là các số nguyên dương nên x = 2, y = 1  x + y = 3 Cách 2: w  3  4i  4  4i  1  22  2.2i  i 2  (2  i) 2 Do đó một căn bậc hai của w = 3 +4i có phần thực, phần ảo là những số nguyên dương là z = 2 + i. Cách 3: Sử dụng Casio fx-570VNPLUS Bước 1: Mode 1 (COMP) Bước 2: Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol (3,4), ấn =. Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Re c





X, Y : 2 , ấn =, ta thu được kết quả là X = 2, Y = 1

Vậy hai số phức cần tìm là 2 + i và – 2 – i  Chọn C Ví dụ 2: z là căn bậc hai có phần ảo âm của số phức là 24 – 10i. Phần thực là z là A. -1

B. 5

C. 4

D. -5

Hướng dẫn

24  10i  25  2.5i  1  52  2.5i  i 2  (5  i) 2 Vì z có phần ảo âm nên z = 5 – i Vậy phần thực của z là 5  Chọn B 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Căn bậc hai của 1  4 3i là A. 2  2 3i

B. 2  2 3i

C. (2  2 3i)

D. (2  2 3i)

Câu 2. z là căn bậc hai có phần thực âm của số phức 35 – 12i. Phần ảo của z là A. -1

B. i

C. 1

D. -i

Đáp án: 1–C

2–C

Dạng 2: Phương trình trên tập số phức 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2z  10  0 . Giá trị của A  z12  z 22 là A. 30

B. 10

C. 20

D. 50

Hướng dẫn Cách 1: Phương trình z 2  2z  10  0 có  '  (1) 2  10  9  (3i) 2 nên phương trình có hai nghiệm phức là z1  1  3i, z 2  1  3i

A  (1  3i) 2  (1  3i) 2  8  6i  8  6i  (8) 2  62  (8) 2  62  20 Cách 2: Sử dụng Casio fx-570VNPLUS Bước 1: Sử dụng chức năng giải phương trình bậc 2 MODE 5 3 Bước 2: Nhập các hệ số a = 1, b = 2, c = 10 Trang 3

Ta được hai nghiệm z1  1  3i, z 2  1  3i Bước 3: Sử dụng SHIFT hyp (abs) để bấm dấu môđun Nhập A  (1  3i) 2  (1  3i) 2  20  Chọn C Ví dụ 2: Kí hiệu z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4  z 2  12  0 . Tổng

T  z1  z 2  z3  z 4 bằng A. 5

C. 4  2 3

D. 10

Hướng dẫn

t  4 Đặt z2 = t, phương trình trở thành t 2  t  12  0    t  3 z  2 Với t = 4, z2 = 4   1  z 2  2

z  i 3 Với t = 3, z2 = -3 = 3i2   1  z 2  i 3 Vậy P  z1  z 2  z3  z 4  2  2  i 3  i 3  4  2 3  Chọn C Ví dụ 3: Phương trình z 2  az  b  0 có một nghiệm phức là z  3  2i . Tổng a + b bằng A. 0

B. -3

C. 3

D. 7

Hướng dẫn Vì z = 3 + 2i là một nghiệm của phương trình z 2  az  b  0 nên ta có:

(3  2i) 2  a(3  2i)  b  0  5  12i  3a  2ai  b  0  (3a  b  5)  (12  2a)i  0 3a  b  5  0 a  6   12  2a  0 b  13 Do đó: a + b = -6 + 13 = 7  Chọn D Ví dụ 4: Cho phương trình z 2  mz  2m  1  0 trong đó m là tham số phức. Để phương trình có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z12  z 22  1 thì giá trị của m là

m  1 A.  m  3

 m  1 B.   m  3

 m  1 C.  m  3

m  1 D.   m  3

Hướng dẫn Phương trình z 2  mz  2m  1  0 có a = 1, b = -m, c = 2m – 1.

z12  z 22  1  (z1  z 2 ) 2  2z1z 2  1

Trang 4

b  z1  z 2   a  m Theo định lí Viet, ta có:  , thay vào ta được: z .z  c  2m  1  1 2 a

m  1 m 2  2(2m  1)  1  m 2  4m  3  0   m  3  Chọn A Ví dụ 5: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phứ ccủa phương trình z 2  z  2  0 . Phần thực của số phức

(i  z1 )(i  z 2 )

2017

là

A. 22016

B. 21008

C. 21008

D. 22016

Hướng dẫn

z  z  1 Ta có z1, z2 là hai nghiệm của phương trình: z 2  z  2  0 nên  1 2 z1.z 2  2 Ta có  (i  z1 )(i  z 2 ) 

2017

  z1z 2  i(z1  z 2 )  i 2  1008

 (1  i) 2016 (1  i)  (1  i) 2 

2017

 (2  i  1) 2017  (1  i) 2017

(1  i)  (2i)1008 (1  i)  21008  21008 i

Vậy phần thực của  (i  z1 )(i  z 2 ) 

2017

là -21008.

 Chọn B 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Phương trình z 2  bz  c  0 có một nghiệm phức là z = 1 – 2i. Tích của hai số b và c bằng A. 3

B. -2 và 5

C. -10

D. 5

Câu 2. Trên tập hợp số phức, phương trình z 2  7z  15  0 có hai nghiệm z1, z2. Giá trị biểu thức z1  z 2  z1z 2 là A. -7

B. 8

C. 15

D. 22

Câu 3. Kí hiệu z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm của phương trình z 4  z 2  6  0 . Tổng P  z1  z 2  z3  z 4 là A. 2( 2  3)

B. ( 2  3)

C. 3( 2  3)

D. 4( 2  3)

Đáp án: 1–C

2–B

3-A

3. Bài tập tổng hợp Câu 1. Tập hợp các nghiệm của phương trình z  A. 0;1  i

B. 0

z là zi

C. 1  i

D. 0;1

Câu 2. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2  2z  5  0 . Biết A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1, z2. Độ dài đoạn AB là Trang 5

4 3

B. 3

C. 4

3 4

Câu 3. Trên tập số phức C cho phương trình (z 2  2z) 2  5(z 2  2z)  6  0 . Các nghiệm của phương trình là

 z  1  i A.   z  1  i 2

 z  1  i B.  z  1  i 2

z  1  i C.   z  1  i 2

 z  2  i D.   z  1  i 2

Câu 4. Phương trình z2 = 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Câu 5. Phương trình (2  i)z 2  az  b  0(a, b  ) có hai nghiệm là 3 + I và 1 – 2i. Giá trị của a là A. -9 – 2i

B. 15 + 5i

C. 9 + 2i

D. 15 – 5i

Câu 6. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i.

x  3 A.   y  1

x  3 B.   y  1

x  3 C.  y  1

 x  3 D.   y  1

Câu 7. Trên tập số phức, cho phương trình sau: (z  i) 4  4z 2  0 . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau? 1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực 

2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức  3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thức 4. Phương trình có 4 nghiệm thuộc tập số phức 5. Phương trình chỉ có 2 nghiệm là số phức 6. Phương trình có 2 nghiệm là số thực A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Câu 8. Phương trình z 6  9z3  8  0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức? A. 3

B. 4

C. 2

D. 6

Câu 9. Giả sử z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2  2z  5  0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1, z2. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là A. I(1;1)

B. I(-1;0)

C. I(0;1)

D. I(1;0)

Câu 10. Cho các số phức z1  1  2i, z 2  1  2i . Hỏi z1, z2 là nghiệm của phương trình phức nào sau đây? A. z 2  2z  5  0

B. z 2  2z  5  0

C. z 2  2z  5  0

D. z 2  2z  5  0

Câu 11. Gọi z1, z2 là các nghiệm của phương trình z 2  (1  3i)z  2(1  i)  0 . Khi đó w  z12  z 22  3z1z 2 là số phức có môđun là A. 2

B. 13

C. 2 13

Đáp án: 1–A

2–C

3–A

4–A

5–A

6–C

7 –D

8–D

9–D

10 –C

11 - D

Trang 6