Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12 (Có lời giải) Phần 2 by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa véc tơ Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.   A Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu: AB a     Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y,... B  Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0 . 2. Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng, hai vec tơ bằng nhau. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ.    Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài vectơ AB , kí hiệu AB . Ta có AB  AB . Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là vectơ cùng phương.

Hai vectơ cùng hướng

Hai vectơ ngược hướng

Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Chú ý: Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ 3. Các quy tắc về vec tơ

   Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB  AC  CB .

   Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có: AC  AB  AD .    Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB, M là điểm bất kì: 2MI  MA  MB .     Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC: GA  GB  GC  0     3MG  MA  MB  MC (M là điểm bất kỳ)    Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ: với ba điểm bất kì A, B, C ta có: AB  CB  CA        Vec tơ đối của vectơ a kí hiệu là a . Đặc biệt a  a  0, AB  BA

 

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định một vectơ 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho 7 điểm không thẳng hàng, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên? A. 21.

B. 42.

C. 12.

D. 7

Hướng dẫn Lấy 2 điểm bất kì trong 7 điểm ta được một đoạn thẳng, do đó có C27  21 đoạn thẳng. Trang 1

  Mỗi một đoạn thẳng tạo thành 2 vectơ, ví dụ đoạn thẳng AB sẽ tạo ra hai vectơ AB và BA .

Vậy số vectơ được tạo ra là 2C27  42 → Chọn B. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây là sai?         A. MN  QP . B. QP  MN . C. MQ  NP . D. MN  AC Hướng dẫn

MN / /PQ 1 Ta có  (do cùng song song và bằng AC ) 2 MN  PQ Nên MNPQ là hình bình hành.       Do đó MN  QP, QP  MN , MQ  NP là các đáp án đúng.

   1  Đáp án MN  AC sai do MN  AC 2 → Chọn D. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 9.

Câu 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?         A. MN và CB . B. AB và MB . C. MA và MB . D. AN và CA Câu 3. Hai vectơ gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều. D. Chúng cùng hướng và và độ dài của chúng bằng nhau. Đáp án: 1–B

2–B

3–D

Dạng 2: Các phép toán vectơ 1. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và một điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. M là trung điểm của BC.

B. M là trung điểm của AB.

C. M là trung điểm của AC.

D. ABMC là hình bình hành.

Hướng dẫn          MA  MB  MC  0  MA  MB  MC  BA  MC Trang 2

Vậy ABMC là hình bình hành. → Chọn D. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Hệ thức nào đúng?             A. AB  BE  CF  AB  AC  BC . B. AB  BE  CF  AF  CE  BD .             C. AD  BE  CF  AE  BF  CD . D. AD  BE  CF  BA  BC  AC Hướng dẫn Áp dụng quy tắc cộng ta được                   AD  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF  AE  BF  CD  ED  FE  DF  AE  BF  CD





→ Chọn C. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng?         A. IB  2IC  IA  0 . B. IB  IC  2IA  0 .         C. 2IB  IC  IA  0 . D. IB  IC  IA  0 . Hướng dẫn Vì M là trung điểm của BC nên theo quy tắc trung tuyến ta có:    IB  IC  2IM    Mặt khác I là trung điểm AM nên IA  IM  0         Suy ra IB  IC  2IA  2IM  2IA  2 IM  IA  0





→ Chọn B.

  Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C, AB  2 . Tính độ dài của AB  AC     A. AB  AC  5 . B. AB  AC  2 5 .

  C. AB  AC  3 .

  D. AB  AC  2 3 . Hướng dẫn

Ta có AB  2  AB  CB  1 Gọi I là trung điểm BC. Xét tam giác ACI vuông tại C, ta có: AI  AC2  CI 2 

5 2

Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:       5 AC  AB  2AI  AC  AB  2 AI  2.  5 2

→ Chọn A.

Trang 3

   Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC  30 0 và BC  a 5 . Tính độ dài của vectơ AB  AC B. a 5 .

A. a 2 .

C. a 7 .

D. a 3 .

Hướng dẫn Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.    Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB  AC  AD Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra

AD  BC  a 5    Vậy AB  AC  AD  AD  a 5 → Chọn B. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:8129)Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm khẳng định đúng?     A. AB  AC  a . B. AB  AC  a 3 .   3 C. AB  AC  a . 2

  D. AB  AC  2a .

Câu 2. (ID:8223)Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?          A. AB  BC  BD  0 . B. AC  BD  CB  DA  0 .        C. AD  DA  0 . D. OA  BC  DO  0 . Câu 3. (ID:13413)Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?         A. AH  HB  AH  HC . B. AH  AB  AH  AC .

    C. BC  BA  HC  HA .

  D. AH  AB  AH

Đáp án: 1–B

2–D

3–B

Dạng 3: Phân tích vec tơ. Quỹ tích vec tơ 1. Phương pháp giải Phân tích vectơ: Sử dụng định lí mọi vectơ đều phân tích được thành 2 vectơ không cùng phương. Sử dụng quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành trong phép cộng vectơ, quy tắc ba điểm trong phép trừ hai vectơ để phân tích một vectơ theo nhiều vectơ. Quỹ tích vectơ: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết.   Nếu phương trình có dạng MA  MB , trong đó A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

 Nếu phương trình có dạng MA  a , trong đó A cố định, a là độ dài đã biết thì tập hợp điểm M là đường tròn có tâm A, bán kính a. Trang 4

Tập hợp những điểm cách đều 2 đường thẳng cắt nhau là đường phân giác của góc được tạo bởi hai đường thẳng đó. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng?  1    1   A. AI  AB  AC . B. AI  AB  AC . 4 4  1  1   1  1  C. AI  AB  AC . D. AI  AB  AC . 4 2 4 2









Hướng dẫn    Vì M là trung điểm của BC nên AB  AC  2AM (1)   Mặt khác I là trung điểm của AM nên 2AI  AM (2) Từ (1) và (2) suy ra:     1   AB  AC  4AI  AI  AB  AC 4





→Chọn A.

  Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM  2AB và      3DN  2DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC  1  1  A. MN  AD  BC . 3 3  1  2  C. MN  AD  BC . 3 3

 1  2  B. MN  AD  BC . 3 3  2  1  D. MN  AD  BC 3 3

Hướng dẫn         Ta có MN  MA  AD  DN và MN  MB  BC  CN        Suy ra 3MN  MA  AD  DN  2 MB  BC  CN



       MA  2MB  AD  2BC  2 DN  2CN









      Theo bài ra, ta có MA  2MB  0 và DN  2CN  0     1  2  Vậy 3MN  AD  BC  MN  AD  BC 3 3 →Chọn C. Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm tập hợp các điểm M thỏa     mãn MA  MB  MC  MD A. Trung trực của đoạn thẳng AB. C. Đường tròn tâm I, bán kính

AC . 2

B. Trung trực của đoạn thẳng AD. D. Đường tròn tâm I, bán kính

AB  BC . 2

Trang 5

Hướng dẫn Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó theo công thức đường trung tuyến ta có:    MA  MB  2ME     MC  MD  2MF          Do đó MA  MB  MC  MD  2 ME  2 MF  ME  MF Vì E, F là 2 điểm cố định nên từ đẳng thức (*) ta có tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD. →Chọn B. Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức      2MA  3MB  4MC  MB  MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. A. r 

a . 3

B. r 

a . 9

C. r 

a . 2

D. r 

a . 6

Hướng dẫn Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.          Ta có 2MA  3MB  4MC  2 MI  IA  3 MI  IB  4 MI  IC



 



          Chọn điểm I sao cho 2IA  3IB  4IC  0  3 IA  IB  IC  IC  IA  0





    Mà G là trọng tâm của tam giác ABC  IA  IB  IC  3IG           Khi đó 9IG  IC  IA  0  9IG  AI  IC  0  9IG  CA

Do đó:           AB 2MA  3MB  4MC  MB  MA  9MI  2IA  3IB  4IC  AB  9MI  AB  MI  9 Vì I là điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I bán kính r

AB a  9 9

→Chọn B. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:8212) Cho tam giác ABC, E là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BE 

1 BC . Hãy chọn đẳng 4

thức đúng?    A. AE  3AB  4AC .

 3  1  B. AE  AB  AC . 4 4  3  1   1  1  C. AE  AB  AC . D. AE  AB  AC . 4 4 4 4    Câu 2. (ID:13287) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC .

Trang 6

  1  A. AB  AM  BC . 2   1  C. AB  AM  BC . 2

  1  B. AB  BC  AM . 2   1  D. AB  BC  AM . 2

Câu 3. (ID: 13471) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, Với I trung điểm của AB. Tìm tập hợp các     điểm M thỏa mãn đẳng thức MA  MB  MA  MB A. Đường tròn tâm I, đường kính

AB . 2

B. Đường tròn đường kính AB. C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. Đường trung trực của đoạn thẳng IA. Đáp án: 1–B

2–C

3–B

Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. (ID: 8162) Cho tam giác đều ABC. Nhận định nào sau đây là sai?     A. AB  BC . B. AB  AC .

  C. AB  BC .

  D. AC,BC không cùng phương.

Câu 2. (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c. Khi đó:   A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB và AC cùng phương.   B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M thì AB và MA cùng phương.   C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M thì AB và MA cùng phương.   D. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB  AC .   Câu 3. (ID: 13434) Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB  a . Tính AB  AC .

  A. AB  AC  a 2 .

  a 2 B. AB  AC  . 2   D. AB  AC  a .

  C. AB  AC  2a .

   Câu 4. (ID:13482) Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA  MB  MC  3 A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Câu 5. (ID:8214) Số các vec tơ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 6 điểm phân biệt cho trước là: A. 12.

B. 21.

C. 27.

A. 0.

B. a.

  Câu 6. (ID:8222) Cho tam giác đều ABC cạnh a. Khi đó bằng AB  AC : a 3 . 3

D. 30.

D. a 3 . Trang 7

Câu 7. (ID:13288) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?  2    1   A. AG  AB  AC . B. AG  AB  AC . 3 3  1  2   2   C. AG  AB  AC . D. AG  AB  3AC . 3 3 3









Câu 8. (ID:13474) Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn     MA  MB  MA  MC A. Đường trung trực của đoạn thẳng BC C. Đường tròn tâm G, bán kính

B. Đường tròn đường kính BC.

a . 3

D. Đường trung trực của đoạn thẳng AG

Câu 9. (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tìm tập hợp các     điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA  MB  MA  2MB A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.

B. Đường tròn đường kính AB.

C. Đường trung trực của đoạn thẳng IA.

D. Đường tròn tâm A, bán kính AB.

Đáp án: 1–C

2–A

3–A

4–D

5–D

6–B

7–B

8–A

9–A

Trang 8

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Trục và độ dài đại số trên trục • Định nghĩa: Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là  điểm gốc và một vectơ đơn vị e . • Điểm O gọi là gốc tọa độ. • Hướng của vectơ đơn vị là hướng của trục.  • Ta kí hiệu trục đó là  O; e  .

   • Cho M là một điểm tùy ý trên trục  O; e  . Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM  ke . Ta gọi số k

đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.    • Cho hai điểm A và B trên trục  O; e  . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB  ae . Ta gọi số a là độ dài  đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a  AB . 2. Hệ trục tọa độ Hệ gồm hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc với nhau.   Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i , j . O là gốc tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. 3. Tọa độ của vectơ      u   x; y   u  x; y   u  x i  yj .  x gọi là hoành độ của vectơ u .  y gọi là tung độ của vectơ u . Các công thức vectơ:   Cho hai vectơ u   u1 ; u 2  , v   v1 ; v 2 

u  v1   • uv 1 u 2  v 2   • u  v   u1  v1 ; u 2  v 2  ;   • u  v   u1  v1 ; u 2  v 2  ; 

• k u  (ku1 ; ku 2 ), k  R .  • Độ lớn của vectơ u  u12  u 22 .   • Hai vectơ u   u1 ; u 2  , v   v1 ; v 2  cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1  kv1 và

u 2  kv 2 .

     • Tích vô hướng: u.v  u . v cos  u, v  . Trang 1

 u.v  u1v1  u 2 v 2 .   u  v  u1v1  u 2 v 2  0 .

 u1v1  u 2 v 2 u.v   • Góc giữa hai vectơ: cos  u; v      . u.v u12  u 22 . v12  v 22 4. Tọa độ của một điểm    M   x; y   OM  x i  yj. Các công thức: Cho ba điểm A  x A ; y A  , B  x B ; y B  , C  x C ; y C  .  • AB   x B  x A ; y B  y A  .  • AB  AB 

 x B  x A    yB  yA  2

• Tọa độ trung điểm I của AB: x1 

xA  xB y  yB , y1  A . 2 2

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: x G 

xA  xB  xC y  yB  yC , yG  A 3 3

• Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k  1: x M 

x A  kx B y  ky B , yM  A . 1 k 1 k

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tọa độ vectơ, tích vô hướng của hai vectơ 1. Ví dụ minh họa

     Ví dụ 1: Cho hai vectơ a   2; 4  , b   5;3 . Tọa độ vectơ u  2a  b là: A.  7; 7  .

B.  9; 11 .

  Ta có: 2a   4; 8  ,  b   5; 3 .    Ta có: u  2a  b   4  5; 8  3   9; 11 .

C.  9;5  .

D.  1;5  .

Hướng dẫn

 Chọn B.

    Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; 2  , v  1; m  . Tìm m để hai vectơ u , v vuông góc với nhau. A.

1 . 2

1 . 2

1 . 3

1 . 3

Hướng dẫn 1    Ta có: u  v  u.v  0  1.1  2.m  0  m  . 2  Chọn B.

Trang 2

  Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; 2  , v  1; 3 . Góc giữa hai vectơ là: A. 450 .

B. 600 .

C. 300 .

D. 1350 .

Hướng dẫn   Ta có: cos  u; v  

1.1  2.3 12  22 . 12   3



5  2      u; v   1350 . 2 5 2

 Chọn D.

      Ví dụ 4: Cho hai vectơ a , b có giá vuông góc với nhau và a  4, a  b  5 . Độ dài b bằng: A. 9.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn    2     Ta có: a  b  5  a  b  25  a 2  b 2  2a.b  25 .    Vì a  b  a.b  0 , do đó ta có: 2  2 2 2 a  b  25  b  25  a  9  b  3





 Chọn C.

     Ví dụ 5: Cho hai vectơ a   3; 2  , b   1; 7  . Tìm tọa độ vectơ c biết c.a  9, c.b  20 .     A. c   1; 3 . B. c   1;3 . C. c  1; 3 . D. c  1;3 . Hướng dẫn

 Gọi tọa độ vectơ c   x; y  .

  Ta có: c.a  3x  2y  9 và c.b   x  7y  20 .

3x  2y  9  x  1  Do đó có hệ:    c  1;3 .  x  7y  20 y  3  Chọn B.

   Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a   m;1 , b   3; m  2  . Giá trị của m để vectơ a cùng  phương với vectơ b là: m  3 A.  . m  1

 m  3 B.  .  m  1

    Vectơ a cùng phương với vectơ b  a  kb

 m  3 C.  . m  1

m  3 D.  .  m  1

Hướng dẫn

 k  1   m  3 m  3k m  3k   Hay     1  k  1  k  m  2  1  k  3k  2  3   m  1

Trang 3

 Chọn D.

      Ví dụ 7: : Cho ba vectơ a   2;1 , b   3; 4  , c   7; 2  . Biểu diễn vectơ c qua các vectơ a , b .  22  3  b c . A. a  5 5

 22  3  b c. B. a  5 5

   Giả sử c  ma  nb , ta có hệ phương trình:

 22  3  b c. C. a  5 5

 22  3  b c. D. a  5 5

Hướng dẫn

22  m  7  2m  3n  5   2  m  4n n  3  5  22  3  b c. Vậy a  5 5  Chọn D.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID: 9106) Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?   A. Hai vectơ a   6;3 và b   2;1 ngược hướng với nhau.   B. Hai vectơ a   5;0  và b   4;0  cùng hướng với nhau.   C. Vectơ c   7;3 là vectơ đối của vectơ d  7;3 .   D. Hai vectơ a   6;3 và b   2; 2  cùng phương với nhau.

   Câu 2. (ID:9204) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a   0;1 , b   1; 2  , c   3; 2  . Tọa độ của     vectơ u  3a  2b  4c là: A. 10;15  .

B. 15;10  .

C. 10; 15  .

D.  10;15  . 

Câu 3. (ID:8722) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB  5, AC  5, A  30 0 . Giá trị biểu thức   AB.AC là: 25 3 25 . C. . D. –25. 2 2         Câu 4. (ID:8750) Cho hai vectơ a , b sao cho a  3, b  5, a, b  1200 . Độ dài vectơ a  b bằng:

25 3 . 2

 

A. 19 .

B. 7.

C. 4.

D. 2.

Đáp án: 1–B

2–A

3–A

4–B

Dạng 2: Tọa độ điểm 1. Ví dụ minh họa

   Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A 1;3 , B  4;0  . Tọa độ điểm M thỏa mãn 3AM  AB  0

Trang 4

là: A. M  4;0  .

B. M  5;3 .

C. M  0; 4  .

D. M  0; 4  .

Hướng dẫn Gọi tọa độ điểm M là M  x M ; y M  .   AM   x M  1; y M  3 , AB   4  1 ;0  3   3; 3 .

   x  0 3  x M  1  3  0 Ta có: 3AM  AB  0    M  M(0; 4) .  yM  4 3  y M  1  3  0  Chọn C.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A 1;3 , B  4;0  . Tìm điểm C đối xứng của A qua B. A. C  7,15  .

B. C  6,14  .

C. C  5,12  .

D. C 15, 7  .

Hướng dẫn C đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AC.

2x B  x A  x C  x C  2x B  x A  7 Tọa độ điểm B là   2y B  y A  y C  y C  2y B  y A  15  Chọn A.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A  2;5  , B 1;1 , C  3;3 và điểm E thỏa mãn    AE  3AB  2AC . Tọa độ điểm E là: A.  3; 3 .

B.  3;3 .

C.  3; 3 .

D.  3;3 .

Hướng dẫn  Giả sử tọa độ điểm E  a; b   AE   a  2; b  5  .     Ta có: AB   1; 4  , AC  1; 2   3AB  2AC   5; 8 

   a  2  5 a  3 AE  3AB  2AC     E  3; 3 b  5  8 b  3  Chọn C.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  1;1 , B  3;3 . Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy để tam giác MAB cân tại M. A.  4;0  .

B.  4;0  .

C.  0; 4  .

D.  0; 4  .

Hướng dẫn   Giả sử M  0; y   Oy  MA   1;1  y  , MB   3;3  y  . Vì tam giác MAB cân tại M nên ta có: MA 2  MB2  1  1  y   9   3  y   4y  16  0  y  4. 2

Vậy M  0; 4  . Trang 5

 Chọn C.

Ví dụ 5: Cho M  2;0  , N  2; 2  , P  1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ABC . Tọa độ B là: A. 1;1 .

B.  1; 1 .

C.  1;1 .

D. 1; 1 .

Hướng dẫn Vì BPNM là hình bình hành nên ta có:

x B  x N  x P  x M  x  1  x B  2  2   1   B   y B  2  0  3  yB  1  yB  y N  yP  yM Vậy B  1;1 .  Chọn C.

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho A  m  1; l  , B  2; 2  2m  , C  m  3;3 . Tìm giá trị m để A, B, C là ba điểm thẳng hàng? A. m  2 .

B. m  0 .

  Ta có: AB   3  m;3  2m  , AC   4; 4  .

C. m  3 .

D. m  1 .

Hướng dẫn

  Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC .



3  m 3  2m  m0 4 4

 Chọn B.

Ví dụ 7: Cho A 1; 2  , B  2;6  . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng thì tọa độ  10  A.  0;  .  3

B.  0; 10  .

C. 10;0  .

D.  10;0  .

Hướng dẫn Ta có: M trên trục Oy  M  0; y  .   Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM .   Ta có AB   3; 4  , AM   1; y  2  .

  1 y  2 10  y . Do đó, AB cùng phương với AM  3 4 3  10  Vậy M  0;  .  3  Chọn A.

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với AB  5 và AC  1 . Tính toạ độ điểm D là của chân đường phân giác trong góc A, biết B  7; 2  , C 1; 4  .

Trang 6

 1 11  A.   ;  .  2 2

B.  2;3 .

C.  2;0  .

 11 1  D.  ;  .  2 2

Hướng dẫn Theo tính chất đường phân giác:   DB AB   5  DB  5DC  DB  5DC DC AC Gọi

  D  x; y   DB   7  x; 2  y  ; DC  1  x; 4  y  .

7  x  5 1  x  x  2 Suy ra:   y  3 2  y  5  4  y  Vậy D  2;3 .  Chọn B.

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A 1; 4  , B  2; 2  và C  4; 2  . Xác định tọa độ điểm M sao cho tổng MA 2  2MB2  3MC2 nhỏ nhất.  3  A. M   ;1 .  2 

 3  B. M   ; 1 .  2 

3  C. M  ;1 . 2 

3  D. M  ; 1 . 2 

Hướng dẫn 2 2 2 2 2 2 MA 2  MB2  3MC2   x  1   y  4   2  x  2    y  2    3  x  4    y  2      

 6x 2  18x  6y 2  12y  93 

Do đó MA 2  2MB2  3MC2 nhỏ nhất bằng

3 147 147 2 2  2x  3  6  y  1   2 2 2

147 2

3   2x  32  0 x  Dấu bằng xảy ra khi   2 2 y  1  0   y  1 

3  Vậy M  ;1 2   Chọn C.

2. Bài tập tự luyện

 Câu 1. (ID:9161) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  5; 2  , B 10;8  . Tọa độ của AB là: A.  2; 4  .

B. 15;10  .

C.  5;6  .

D.  5;6  .

Câu 2. (ID:9175) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A  3;1 , B  2; 2  , C 1;6  , D 1; 6  . Hỏi điểm G  2; 1 là trọng tâm của tam giác nào sau đây? A. Tam giác ABC.

B. Tam giác ABD.

C. Tam giác ACD.

D. Tam giác BCD.

Trang 7

Câu 3. (ID:9192) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  1;0  , B 1;0  . Tìm tọa độ điểm N để tam giác ABN vuông cân tại A. A.  1; 2  hoặc  0;3 .

B.  2; 1 hoặc  0; 4  .

C.  1; 2  hoặc  2; 1 .

D.  1; 2  hoặc  1; 2  .

Câu 4. (ID:9191) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M  2; 2  , N 1;1 . Tọa độ điểm P trên trục Ox thỏa mãn M, N, P thẳng hàng là: A.  0; 4  .

B.  0; 4  .

C.  4;0  .

D.  0; 4  .

Đáp án: 1–C

2–B

3 –D

4–D

Dạng 3: Ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A  2;1 , B  1; 2  , C  3;0  . Côsin góc A trong tam giác ABC bằng: A.

2 5 . 5

2 5 . 5

  Ta có: AB   3;1 , AC  1; 1 .     cos AB, AC  cos A





 3 .1  1.  1 2 2  3  12 . 12   1

1 . 2

1 . 2

Hướng dẫn



4 2 5 .  5 2 5

 Chọn A.

 1  1  Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân OAB với OA  OB  a . Độ dài của vectơ v  OA  OB là: 4 3

5 a. 12

1 a. 5

  Vì tam giác OAB vuông tại O  OA.OB  0 .

C. a.

D. a 3 .

Hướng dẫn

2 1  2 1   1  2 1 1 25 2  2  1  1   Ta có: v   OA  OB   OA  OA.OB  OB  a 2  a 2  a . 3 6 9 16 9 144 4  16

5  Vây v  a . 12  Chọn A.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A  1;1 , B  3;1 , C  0; 4  . Gọi A là hình chiếu của A trên cạnh BC. Tọa độ điểm A là: Trang 8

A.  0; 2  .

B. 1;3 .

C.  2;3 .

D.  0;3 .

Hướng dẫn Giả sử A  x; y  .    AA   x  1; y  1 , BA   x  3; y  1 , BC   3;3 Vì A là hình chiếu của A trên cạnh BC nên B, A , C thẳng hàng và AA  BC

   x  1 3  x  1  3  y  1  0 AA.BC  0       y  3    x  3  3k  y  1  3k  BA  kBC 2  k  3  Vậy A 1;3 .  Chọn B.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  3; 2  , B  4;3 . Tìm tọa độ điểm C để tam giác CAB vuông cân tại C. A. 1; 1 hoặc  0;6  .

B. 1;0  hoặc  0;6  .

C. 1;0  hoặc  0;5  .

D. 1; 1 hoặc  0;5  .

Hướng dẫn   Giả sử C có tọa độ C  x; y   CA   3  x; 2  y  , CB   4  x;3  y  Vì tam giác CAB vuông cân tại C    3  x  4  x    2  y  3  y   0 CA.CB  0    2 2 2 2 CA  CB   3  x    2  y    4  x    3  y 

x  0   x 2  y 2  x  5y  6  0 y  6   x  1 7x  y  6    y  1 Vậy C 1; 1 hoặc C  0;6  .  Chọn A.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3 , B  4; 1 , C  2; 3 . Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:  1 1  A.  ;  .  2 2

 1 1  B.  ;  .  2 2 

 1 3  C.  ;  .  2 2

 1 1  D.  ;  . 2 2 

Hướng dẫn Giả sử I  a; b  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  IA 2   a  1   b  3 , IB2   a  4    b  1 , IC2   a  2    b  3 2

Trang 9

Ta có hệ: 1   a  12   b  32   a  4 2   b  12 a  2 IA 2  IB2 6a  8b  7     2 2 2 2 2 2 6a  12b   3 IA  IC   a  1   b  3   a  2    b  3 b  1  2  1 1  Vậy I  ;  . 2 2   Chọn D.

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác MNP có M  1;0  , N  2;0  , P  2;3 . Tọa độ trực tâm H của tam giác MNP là: 4   A.  2;  . 3  

 4  C.  2;  .  3 

 4 B.  2;  .  3

4  D.  2;  . 3 

Hướng dẫn Giả sử H  x; y  là trực tâm của tam giác MNP.     Ta có: MH   x  1; y  , NP   4;3 , NH   x  2; y  , MP   1;3     MH  NP MH.NP  0         NH  MP  NH.MP  0 Ta có hệ:

 x  2 4  x  1  3y  0   4   y  3   x  2   3y  0 4   Vậy H  2;  . 3    Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:9742) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A  1; 1 , B  3;1 , C  6;0  . Số đo góc B của tam giác ABC bằng: A. 450 .

B. 600 .

C. 1200 .

D. 1350 .   Câu 2. (ID:8744) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB  a, AC  2a . Khi đó AB.AC bằng bao

B. a 5 .

C. a.

nhiêu? A. a 3 .

D. 2a.

Câu 3. (ID:8959) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A  4;0  , B  5; 3 , C  2; 4  . Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: A.  2;1 .

B.  0;1 .

C. 1; 2  .

D. 1;0  .

Đáp án: Trang 10

1–D

2–B

3–D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

   Câu 1. (ID:9095) Trên trục tọa độ  O, e  cho điểm M sao cho OM  2e . Tọa độ của điểm M đối với

trục đã cho là: A. 1.

C. –1. D. –2.      Câu 2. (ID:8702) Tích vô hướng của hai vectơ a, b a, b  0 là số dương khi:   A. a và b cùng chiều.

B. 2.





    B. a và b cùng phương. C. 00  a, b  900 .

 

  D. 900  a, b  1800 .

 

  1  Câu 3. (ID:9183) Cho hai điểm B  9;7  , C 11; 1 và MN  BC . Tọa độ vectơ MN là: 3

A.  2; 8  .

B.  2;8  .

 2 8  C.  ;  .  3 3

 2 8  D.  ;  . 3 3 

Câu 4. (ID:9238) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A  2; 1 , B  0;3 , C  4; 2  và điểm D thỏa mãn    2AD  3BD  4CD  0 . Tọa độ điểm D là: A. 1;12  .

B. 12;1 .

C. 12; 1 .

D.  12; 1 .

Câu 5. (ID:9188) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  2m; m  , B  2m; m  . Với giá trị nào của m thì đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O? A. m  3 .

B. m  5 .

C. m   .

D. m  0 .

C.  2; 1 .

D.  1; 2  .

Câu 6. (ID:9203) Cho điểm M  2;1 . Tọa độ điểm M1 đối xứng với M qua gốc tọa độ O là: A.  2; 1 .

B. 1; 2  .

Câu 7. (ID:9214) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B  3; 2  , C  m  4; 2m  1 . Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng. A. 1.

B. 0.

C. –1.

D. –2.

Câu 8. (ID:9230) Cho tam giác ABC có A  6;1 , B  3;5  và trọng tâm của tam giác là G  1;1 . Tọa độ đỉnh C là: A.  6; 3 .

B.  6;3 .

C.  6; 3 .

D.  3;6  .

Câu 9. (ID:9235) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; 2  , B  0; 4  , C  3; 2  . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. A. D  2;0  .

D. D  0; 2  .       Câu 10. (ID:8925) Cho tam giác đều ABC cạnh a. Giá trị biểu thức AB.BC  BC.CA  CA.AB bằng: A.

3a 2 . 2

B. D  4; 4  .

3a 2 . 2

C. D  4; 4  .

a2 3 . 2

a 2 3 . 2

Câu 11. (ID:8937) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A  2; 1 , B  3; 4  , M  m;0  . Giá trị của m để MA 2  MB2 đạt giá trị Trang 11

1 . 2

B. 0.

C. 1.

1 . 2

Câu 12. (ID:8964) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A  1;3 , B  3;1 và trực tâm H 1;1 . Tọa độ đỉnh C là: A.  1; 2  .

B. 1; 3 .

C.  1; 3 .

D. 1; 2  .

Câu 13. (ID:8977) Cho tam giác ABC có A  5;6  , B  3; 2  , C  0; 4  . Chân đường phân giác trong của góc A có tọa độ là: A.  5; 2  .

 5 2  B.  ;  . 2 3 

 5 2  C.  ;  . 3 3 

 5 2  D.  ;  .  2 3 

Câu 14. (ID:8996) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A  2;0  , B  0;1 , M  2m  4; m  . Giá trị của m để MA  MB lớn nhất là: A.

1 . 2

B. –1.

1 . 2

D. 1.

Đáp án: 1–B

2–C

3–D

4–D

11 – D

12 – C

13 – C

14 – A

5–C

6–A

7–A

8–C

9–B

10 – A

Trang 12

CHƯƠNG 1 : VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định lí côsin Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c. Ta có:

a 2  b 2  c 2  2bc.cos A; b 2  c 2  a 2  2ca.cos B;c 2  a 2  b 2  2ab.cosC Hệ quả: cos A 

b2  c2  a 2 c2  a 2  b2 a 2  b2  c2 ;cos B  ;cosC  . 2bc 2ca 2ab

2. Định lí sin Trong tam giác ABC với BC  a, AC  b, AB  c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có: a b c    2R. sin A sinB sin C

3. Độ dài trung tuyến Cho tam giác ABC với m a , m b , m c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có :

m  2 a

2  b2  c2   a 2 4

;m  2 b

2  a 2  c2   b2 4

;m  2 c

2  a 2  b2   c2 4

4. Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu h a , h b , h c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p 

a bc là nửa chu vi tam giác; S 2

là diện tích tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 S  ah a  bh b  ch c 2 2 2 

1 1 1 bcsin A  casin B  absinC 2 2 2

abc 4R  pr



 p  p  a  p  b  p  c  (công thức Hê-rông). PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định các yếu tố trong tam giác. 1. Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tam giác ABC có A  150 0 , BC  6 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

Trang 1

A. 5.

B. 6.

3 . 2

D. 4.

Hướng dẫn Áp dụng công thức hàm số sin ra có: BC BC 6 6 6  2R  R      6. 0 0 1 sin A 2sin A 2.sin150 2.sin 30 2. 2  Chọn B. 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thỏa mãn: b2  c2  a2  3bc. Tính độ lớn góc A . 



A. A  30 0

B. A  450



C. A  60 0

D. A  750

Hướng dẫn Theo định lý côsin ta có: cos A 

b 2  c2  a 2 3bc 3   . 2bc 2bc 2



Vậy A  30 0  Chọn A.

1 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A có CA  3cm,CB  4cm,sin B  . Tính diện tích tam giác. 2

A. 3cm 2 .

B. 4cm 2 .

C. 5cm 2 .

D. 6cm 2 .

Hướng dẫn   1 Ta có C  B nên sin C  sin B  . 2

1 1 1 S  CA.CBsin C  .3.4.  3cm 2 . 2 2 2  Chọn A.

3 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cosA = . Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ 5 A.

A. BC  2, h a 

29 . 29

B. BC  29, h a 

6 29 . 29

C. BC  17, h a 

16 17 . 17

D. BC  29, h a 

3 29 . 29

Hướng dẫn 3 Áp dụng định lí côsin ta có BC2  AB2  AC2  2AB.AC.cos A  42  52  2.4.5.  17 5

Trang 2

Suy ra BC  29. Vì sin 2 A  cos2 A  1 nên sin A  1  cos2 A  1  Theo công thức tính diện tích ta có SABC 

9 4  . 25 5

1 1 4 AB.AC.sin A  .4.5.  8 1 . 2 2 5

1 1 Mặt khác SABC  a.h a  . 17.h a 2 2

Từ 1 và  2  suy ra

2 .

1 16 17 . 17.h a  8  h a  . 2 17

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là h a 

16 17 . 17

 Chọn C.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi a  BC, b  CA, c  AB. Khẳng định nào sau đây là đúng:





B. GA 2  GB2  GC2 

A. GA 2  GB2  GC2  2 a2  b2  c2 . C. GA 2  GB2  GC2 

1 2 a  b 2  c2 . 2





1 2 a  b 2  c2 . 3









D. GA 2  GB2  GC2  3 a2  b2  c2 . Hướng dẫn

Theo tính chất của trọng tâm ta có: GA   GA 2 

2 AM 3

4 AM 2 . 9

Áp dụng công thức tính trung tuyến của một tam giác, ta có:

1 BC2  1  2 a2  2 AM 2   AB2  AC2   c  b    . 2 2  2 2 GA 2 

4 4 1 a2  2  a2  AM 2  .  c2  b2     c2  b2   9 9 2 2  9 2

2 b2  Tương tự: GB2   a2  c2   . 9 2  2 2 c2  2 GC   a  b   . 9 2 2

Do đó: GA 2  GB2  GC2 

1 2 a  b 2  c2 . 3





 Chọn B.

Ví dụ 6: Khi khai quật một ngôi mộ cổ, người ta tìm được một mảnh của 1 chiếc đĩa phẳng hình tròn bị Trang 3

vỡ. Dựa vào các tài liệu đã có, người ta đo được kích thước của tam giác ABC trên đĩa là AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm. Các nhà khảo cổ muốn tạo lại 1 chiếc đĩa có kích thước như vậy. Hãy giúp nhà khảo cổ tìm bán kính chiếc đĩa? A. R = 6,735(cm).

B. R = 6,535 (cm).

C. R = 5,735 (cm).

D. R = 5,835 (cm). Hướng dẫn

Cách 1: Ta có: AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm. Áp dụng định lí hàm số cosin ta có: AB 2  AC 2  AB 2 4,32  7,5 2  3,7 2 407 cos BAC    2. AB. AC 2.4,3.7,5 430 



Như vậy, sin BAC  1  (cos BAC ) 2  0,323

2R 





sin BAC

3,7  11,47 0,323

 R  5,735  cm  .

Cách 2: Sử dụng công thức diện tích

a.b.c a bc  p.  p  a  p  b  p  c  . Trong đó: p  Từ đó ta 4R 2

tìm được đáp án là 5,735(cm).  Chọn C.

2. Bài tập tự luyện 

Câu 1. (ID:14020) Cho ABC có AB  3; C  450 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: A. 1.

3 2

C. 

3 . 2



Câu 2. (ID:14022) Cho ABC có A  450 ; B  30 0 . Tỉ số A.

2 . 2

3 . 2

1 2

2 . 2

AC là: BC

5 . 2

Đáp án: 1–B

2-A

Dạng 2: Giải tam giác. 1. Phương pháp giải Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước. Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau: biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh. Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn. Trang 4

2. Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a  2 3 , b  2, C  30 0 Tính cạnh c, góc A. A. 4 và 1200 .

B. 2 và 1100 .

C. 2 và 1200 .

D. 4 và 1100 .

Hướng dẫn Theo định lí côsin ta có: c2  a2  b2  2ab cos C  12  4  2.2 3.2.cos300  4. Vậy c = 2 và tam giác ABC cân tại A có b = c = 2. 



Ta có C  30 0 nên B  30 0 và A  180 0  2.30 0  120 0  Chọn C. 

Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 và A  87 0 



A. A  53,8, C  36 0 , B  57 0



B. A  53,8, B  40 0 , C  530

C. A  52,8, B  36 0 , C  57 0

D. A  53,8, B  36 0 , C  57 0 Hướng dẫn

Theo định lí côsin ta có: a2  b2  c2  2bc.cos A  322  452  2.32.45.cos870.

Suy ra a  53,8. Theo định lí sin ta có: sin B 

 b sin A 32. sin 87 0   B  36 0 a 53,8 



Suy ra C  180 0  A B  180 0  87 0  36 0  57 0  Chọn D. 

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các cạnh AC  10 cm, BC  16cm và góc C  110 0 Tính cạnh AB của tam giác đó. A. 20 cm.

B. 21,6cm.

C. 12,6cm.

D. 12,8 cm.

Hướng dẫn Đặt BC  a, CA  b, AB  c. Theo định lí côsin ta có: c2  a2  b2  2ab cos C  162  102  2.16.10.cos1100

c2  465,44. Vậy c  465,44  21,6 cm.  Chọn B.

Trang 5

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC  a,CA  b,AB  c thỏa mãn hệ thức

c b   1. Hãy tính số bc ac

đo góc A? 



A. A  120 0



B. A  30 0

C. A  90 0



D. A  60 0

Hướng dẫn Ta có

c b  1 ba ac

 c  a  c   b  b  a    b  a  a  c 

 ca  c2  b2  ba  ba  a2  bc  ac  b2  c2  a2  bc

b 2  c2  a 2 bc 1   2bc 2bc 2

ta có: cos A 

  600. Vậy A  Chọn D. 

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A  120 0 , AB  1, AC  2 Trên cạnh CA kéo dài lấy điểm D sao cho BD  2. Tính đoạn AD.

A. 2,3.

B. 5.

C. 4,6.

D. 2.

Hướng dẫn Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

7 BC2  AB2  AC2  2AB.AC.cos BAC  BC  7. Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta được: AB



AB. sin A 21   sin C     BC 14 sin C sin A 

Áp dụng định lí sin đối với tam giác DBC ta được: DB



BC. sin C 3   sin D     DB 4 sin C sin D 



 D  25,66 0 

 DBA  180 0  25,66 0  (180 0  120 0 )  94,34 0 Áp dụng định lí sin ta có: AB 

sin D



AD 

sin DBA



 AD 

AB. sin DBA 

sin D

sin 94.34 0   2,3 3 4

Trang 6

 Chọn A.

3. Bài tập tự luyện





Câu 1. (ID:13999) Cho tam giác ABC biết a  6 cm, b  2 cm,c  l  3 cm. Tính các góc A,B. 



A. A  60 0 ; B  450



B. A  50 0 ; B  450

C. A  450 ; B  650

D. A  450 ; B  60 0 



Câu 2. (ID:14030) Cho ABC có A  150 0 ; B  30 0 ; AC  3cm Độ dài BC là A. A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Đáp án: 1–A

2–D

Dạng 3: Nhận dạng tam giác 1. Phương pháp giải Sử dụng định lí côsin; sin; công thức đường trung tuyến; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh (hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC  2sinBcosA. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? A. ABC cân.

B. ABC đều.

C. ABC vuông.

D. ABC tù.

Hướng dẫn Áp dụng định lí côsin và sin ta có: c b b 2  c2  a 2 sinC  2sinBcosA   2. . . 2R 2R 2bc c2  b 2  c2  a 2  a  b

Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C.  Chọn A.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin A  A. ABC cân.

sinB  sin C . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? cos B  cos C

B. ABC đều.

C. ABC vuông.

D. ABC tù.

Hướng dẫn Ta có: sin A 

sinB  sin C  sin A  cos B  cos C   sin B  sin C cos B  cos C

a  c2  a 2  b 2 a 2  b 2  c2  b  c     2R  2ca 2ab  2R



 



 b c2  a2  b2  c a2  b2  c2  2b2 c  2c2 b





 b3  c3  b2 c  bc2  a2 b  a2 c  0   b  c  b2  c2  a2  b  c   0  b2  c2  a2 Trang 7

 ABC vuông tại A.

 Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng: A. b2  c2  a2 .

B. b2  c2  5a2 .

C. 2b2  3c2  5a2 .

D. 5b2  c2  a2 .

Hướng dẫn Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

m  2 b

m  2 c





2 a 2  c2  b 2 4





2 a 2  b 2  c2 4

G là trọng tâm của tam giác ABC





2 2 2 4 2 2 a c b Suy ra BG  m b  9 9 2





2 2 2 4 2 2 a b c CG  m c  9 9 2

BM  CN nên BG 2  CG 2  BC2

2c2  2a2  b2 2a2  2b2  c2    a2 9 9 2 2 2  b  c  5a

 Chọn B.

Ví dụ 4: Tam giác ABC có a2 + b2  c2  36r 2 thì có tính chất gì? A. Tam giác cân tại B.

B. Tam giác cân tại A.

C. Tam giác đều.

D. Tam giác vuông tại A. Hướng dẫn

 p  b  p  c  p  c p  a   p  a  p  b 

 p  a  p  b  p  c  36 S2 a + b  c  36 2  36 p p 2

Ta có: 2 

 p  b  p  c   2p  b  2p  c  a

 p  b  p  c  p  c p  a   p  a  p  b 

 a 2 + b 2  c2 



abc 8p

9abc   a  b  c  a2  b2  c2  9abc a bc





Mà a2 + b2  c2  ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca   9abc

Trang 8

 a  b  c  b  c  a  c  a  b   0  a  b  c 2

Vậy tam giác ABC có a2 + b2  c2  36r 2 thì tam giác ABC đều.  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:14506) Tam giác ABC thỏa mãn SABC 

1  a  b  c a  c  b  . Khi đó tam giác ABC là: 4

A. Tam giác vuông tại B.

B. Tam giác cân tại A.

C. Tam giác đều.

D. Tam giác vuông tại A.

 Câu 2. (ID:14475) Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: b b2  a2  c a2  c2 . Tính số đo góc A.





A. A  60 0



B. A  450

 





C. A  80 0

D. A  30 0

Đáp án: 1–D

2–A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP 1 4 Câu 1. (ID:14027) Tam giác ABC có sinA  , sinB  , độ dài đoạn BC bằng 3. Tính độ dài đoạn AC. 2 5

A. 24.

B. 5.

24 . 5

5 . 24



Câu 2. (ID:14039) Cho tam giác ABC có AB  14 cm,BC  16 cm và góc B  120 0 Tính cạnh AC của tam giác đó A. 14 cm.

B. 12.5 cm.

C. 27 cm.

D. 26 cm.

Câu 3. (ID:14068) Cho tam giác ABC có BC  7 cm,CA  8 cm,AB  6 cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến m a của tam giác ABC đã cho. A.

151 cm. 2

147 cm. 2

157 cm. 2

1 Câu 4. (ID:14074) Cho tam giác ABC có AB  3 cm,AC  4 cm,sin A  . Tính diện tích tam giác. 2

A. 1 cm 3 .

B. 2 cm 3 .

C. 3 cm 3 .

D. 4 cm 3 .

Câu 5. (ID:14096) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 12, diện tích bằng 20. Tìm tích 3 cạnh tam giác. A. 960.

B. 480.

C. 240.

D. 120.

Câu 6. (ID:14484) Gọi m a ,m b ,m c là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC. Tính tỉ số:

m 2a  m 2b  m 2c a 2  b 2  c2

Trang 9

4 . 3

3 . 4

C. 1.

1 . abc

Câu 7. (ID:14433) Tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 2S.

B. 6S.

C. 4S.

D. 3S.

Câu 8. (ID:14430) Tam giác ABC có BC  a,CA  b,AB  c và đường trung tuyến AM  c. Nếu độ dài đường trung tuyến AM  c thì kết luận nào sau đây là đúng: A. a2  b2  c2 .







B. a2  2 b2  c2 .



C. a2  2 b2  c2 .

D. a2  b2  c2 .

Câu 9. (ID:14423) Cho hình bình hành ABCD có AD  5,AB  9,BD  10. Độ dài đường chéo AC là: A. 2 7.

C. 6 5.

B. 7 4.

D. 4 7.

Câu 10. (ID:14495) Cho tam giác ABC có số đo ba góc thỏa mãn: sin 2 B  sin 2 C = 2sin 2 A. Kết luận nào sau đây là đúng: 



A. Tam giác ABC là tam giác nhọn.

B. A B  180 0 .

C. Tam giác ABC vuông tại A.

D. A  60 0



Câu 11. (ID:14469) Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m đồng thời thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ P và Q, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới góc 150 và 750 . Tính chiều cao AB của tháp hải đăng?

A. 85,6m.

B. 86,6m.

C. 88,6m.

D. 84,6m.

Câu 12. (ID:14468) Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao. (Hình vẽ) Biết  chiều cao của BC. Tính AH  4m, HB  20m, BAC  450

A. 17,3  m  .

B. 12,8  m  .

C. 14,5  m  .

D. 18,9  m  .



Câu 13. (ID:14501) Cho ABC cân tại A có A  a 0 ; AB  m 2 D là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BC = 3BD. Tính độ dài AD.

Trang 10

a A. 2m sin . 2

8 a B. m 1  sin 2 . 3 2

m a .sin . 2 2

a D. m sin . 2

Câu 14. (ID:14460) Cho ABC có BC  5,AC  6,AB  3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM  2,BK  2. Tính MK. A.

3 30 . 5

8 30 . 15

4 30 . 15

6 30 . 15

Đáp án: 1–C

2–D

3–B

4– C

11 – B

12 – A

13 – B

14 – B

5–A

6–B

7–B

8–C

9–D

10 – D

Trang 11

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Vectơ chỉ phương   Vectơ u  0 được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với  . Nhận xét:  Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.    Nếu u là vectơ chỉ phương của  thì ku  k  0  cũng là vectơ chỉ phương của  . 2. Phương trình tham số của đường thẳng

 Cho đường thẳng  đi qua M 0  x 0 ; y 0  và u   a; b  là vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

 x  x 0  at , t .   y  y 0  bt Nhận xét: A    A  x 0  at; y 0  bt  . 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

 Cho đường thẳng  đi qua M 0  x 0 ; y 0  và u   a; b  (với a  0 , b  0 ) là vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng: x  x 0 y  y0  a b

4. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng   Vectơ n  0 gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của  nếu giá của nó vuông góc với  . Nhận xét:  Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.    Nếu n là vectơ pháp tuyến của  thì kn  k  0  cũng là vectơ pháp tuyến của  .  Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến: vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương vuông góc   với nhau. Do đó nếu  có vectơ chỉ phương u   a; b  thì n   b;a  là một vectơ pháp tuyến của  . 5. Phương trình tổng quát của đường thẳng

 Cho đường thẳng  đi qua M 0  x 0 ; y 0  và có vectơ pháp tuyến n   a; b  . Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

a  x  x 0   b  y  y0   0 .

Chú ý:

 Nếu đường thẳng  : ax  by  c  0 thì n   a; b  là vectơ pháp tuyến của  . 6. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

 song song hoặc trùng với trục Ox   : by  c  0  song song hoặc trùng với trục Oy   : ax  c  0 Trang 1

 đi qua gốc tọa độ   : ax  by  0 Phương trình đoạn chắn:  đi qua hai điểm A  a;0  , B  0; b    :

x y   1 với  ab  0  a b

7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1 y  c1  0 và  2 : a 2 x  b 2 y  c 2  0 Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 và  2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

a1x  b1 y  c1  0  a 2 x  b 2 y  c 2  0

(I)

Nếu hệ (I) vô nghiệm, hai đường thẳng song song. Nếu hệ (I) vô số nghiệm, hai đường thẳng trùng nhau. Nếu hệ (I) có một nghiệm duy nhất, hai đường thẳng cắt nhau. Nghiệm của hệ chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng. Chú ý: Nếu a 2 b 2 c 2  0 thì: 1   2 

a1 b1  a 2 b2

1 //  2 

a1 b1 c1   a 2 b2 c2

1   2 

a1 b1 c1   a 2 b2 c2

1   2  a1a 2  b1b 2  0 . 8. Góc giữa hai đường thẳng

  Góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 có vectơ pháp tuyến n1   a1 ; b1  và n 2   a 2 ; b 2  :   n1.n 2   a1a 2  b1b 2 cos  1 ,  2   cos n1 , n 2     n1 n 2 a12  b12 . a 22  b 22





9. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểm M  x 0 ; y 0  đến đường thẳng  : ax  by  c  0 cho bởi công thức:

d  M0 ,   

ax 0  by 0  c a 2  b2

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng 1. Phương pháp giải  Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm AB biết A  x1 ; y1  , B  x 2 ; y 2   x1  x 2 , y1  y 2  là: x  x1 y  y1  . x 2  x1 y 2  y1

Trang 2

 Đường thẳng qua điểm M  x 0 ; y 0  có hệ số góc k có phương trình là: y  k  x  x 0   y 0  Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB biết A  x1 ; y1  , B  x 2 ; y 2  .  x  x 2 y1  y 2  ; Đường trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm I  1  của AB và nhận 2   2  AB  x 2  x1 ; y 2  y1  , làm vectơ pháp tuyến.

 Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác Cho 2 đường thẳng cắt nhau:  d1  : A1x  B1 y  C1  0 ;  d 2  : A 2 x  B2 y  C2  0 . Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

A1x  B1 y  C1 A B 2 1

2 1



A 2 x  B2 y  C 2 A 2 2  B2 2

Chú ý:  Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương.  Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.  Cho    : Ax  By  C  0 và A  x1 ; y1  , B  x 2 ; y 2  . A và B nằm về cùng một phía đối với  khi  Ax1  By1  C  Ax 2  By 2  C   0 A và B nằm khác phía đối với  khi  Ax1  By1  C  Ax 2  By 2  C   0 2. Ví dụ minh họa

 Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng  qua M  2;1 và có vectơ chỉ phương u   3;7  .  x  2  3t A.  :   y  1  7t

 x  2  3t B.  :   y  1  7t

 x  2  3t C.  :   y  1  7t

 x  3t D.  :   y  1  7t

Hướng dẫn   đi qua M  2;1 và có vectơ chỉ phương u   3;7  nên phương trình tham số có dạng:

 x  2  3t :  y  1  7t

t   .

 Chọn A.

 Ví dụ 2: Phương trình đường thẳng đi qua A 1;3 và có vectơ pháp tuyến n   3; 2  là: A. 3x  2y  3  0

B. 3x  2y  3  0

C. 3x  2y  3  0

D. 3x  2y  3  0

Hướng dẫn Phương trình đường thẳng có dạng: 3  x  1  2  y  3  0  3x  2y  3  0 .  Chọn C.

Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A  3; 1 và B 1;5  . A. 3x  y  6  0

B. 3x  y  8  0

C.  x  3y  6  0

D. 3x  y  10  0 Trang 3

Hướng dẫn  Đường thẳng đi qua 2 điểm nhận vectơ AB  2;6  là vectơ chỉ phương suy ra đường thẳng có vectơ pháp  tuyến là n   6; 2   2  3;1 . Vậy phương trình đường thẳng là: 3x  y  8  0 .  Chọn B.

Ví dụ 4: Cho 2 điểm A 1;7  , B  7;5  . Viết phương trình chính đường tắc trung trực của đoạn thẳng AB. A.

x 4 y6  3 1

x 4 y6  1 3

x 4 y6  1 3

x 4 y6  1 1 3

Hướng dẫn Đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Ta có I  4;6  là trung điểm của AB.   AB  6; 2  suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng là u   2;6   2 1;3 . Vậy phương trình đường thẳng là:

x 4 y6  . 1 3

 Chọn B.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A  2;0  , B  0;3 , C  3;1 . Đường thẳng đi qua B và song song với AC có phương trình: A. 5x  y  3  0

B. 5x  y  3  0

C. x  5y  15  0

D. x  5y  15  0

Hướng dẫn

 Gọi  d  là đường thẳng cần tìm. Do  d  song song với AC nên nhận AC  5;1 làm vectơ chỉ phương.  Suy ra n 1; 5  là vectơ pháp tuyến của  d  .

d

có phương trình: 1 x  0   5  y  3  0  x  5y  15  0 .

 Chọn D.

Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M  5; 3 và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB. A. 3x  5y  30  0

B. 3x  5y  30  0

C. 5x  3y  34  0

D. 5x  3y  34  0

Hướng dẫn Gọi A  Ox  A  x A ;0  ; B  Oy  B  0; y B  .

 x  x B  2x M  x  10 Ta có M là trung điểm AB   A  A  y A  y B  2y M  y B  6 Suy ra  AB  :

x y   1  3x  5y  30  0 . 10 6

 Chọn A.

Trang 4

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB : x  y  1  0 ; AC : 7x  y  2  0 ;

BC :10x  y  19  0 . Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC. A. 12x  4y  3  0

B. 2x  6y  7  0

C. 2x  6y  7  0

D. 2x  6y  7  0

Hướng dẫn Do B  AB  BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:

x  y  1  0 x  2   B  2; 1  10x  y  19  0  y  1 Do C  AC  BC nên tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình:

7x  y  2  0 x  1   C 1;9   10x  y  19  0 y  9 Phương trình các đường phân giác góc A là: x  y 1 12  12



7x  y  2 7 2   1

 2x  6y  7  0  d1   12x  4y  3  0  d 2 

Xét  d1  : 2x  6y  7  0 ta có:  2x B  6y B  7  2x C  6y C  7   0 . Suy ra B, C nằm khác phía so với d1 và cùng phía so với d 2 . Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là:  d1  : 2x  6y  7  0 .  Chọn B.

Ví dụ 8: Đường thẳng d đi qua M  1; 5  cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA = 2OB. Viết phương trình đường thẳng d. A. x  2y  11  0 và x  2y  9  0

B. x  y  6  0 và x  y  4  0

C. x  2y  11  0 và x  y  4  0

D. x  y  6  0 và x  2y  9  0 Hướng dẫn

Cách 1: Sử dụng phương trình đường thẳng dạng hệ số góc. Gọi α là góc giữa đường thẳng d và trục Ox.  Do tam giác OAB vuông tại O nên ta có: tan BAO

OB 1  . OA 2

    180  tan    1 . Trường hợp 1: BAO 2

Đường thẳng d có hệ số góc bằng  y

1 2

và đi qua M  1; 5  nên có phương trình là:

1  x  1  5  x  2y  11  0 . 2

    tan   1 . Trường hợp 2: BAO 2

Trang 5

1 2

Đường thẳng d có hệ số góc bằng y

và đi qua M  1; 5  nên có phương trình là:

1  x  1  5  x  2y  9  0 . 2

Cách 2: Sử dụng phương trình đoạn chắn. Giả sử A  a;0  , B  0; b  ; ab  0 phương trình đường thẳng AB là:

x y   1  bx  ay  ab  0 (1). a b

a  2b Do OA = 2OB nên a  2 b   . a  2b Trường hợp 1: Nếu a = 2b ta có (1)  bx  2by  2b 2  0  x  2y  2b  0

(2).

Do M  1; 5  nằm trên d nên 1  2.  5   2b  0  2b  11 . Thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là: x  2y  11  0 . Trường hợp 2: Nếu a  2b ta có (1)  bx  2by  2b 2  0  x  2y  2b  0

(3).

Do M  1; 5  nằm trên đường thẳng d nên 1  2.  5   2b  0  2b  9 . Thay vào (3) ta được phương trình đường thẳng d là: x  2y  9  0 .  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện

 Câu 1. Đường thẳng đi qua A  1; 2  , nhận n   2; 4  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: A. x  2y  4  0

B. x  y  4  0

C.  x  2y  4  0

D. x  2y  5  0

Câu 2. Phương trình đường thẳng qua A  5;1 và song song với  d  : x  y  2  0 là: A. 3x  2y  3  0

B. x  y  6  0

C. 3x  2y  0

D. 3x  2y  0

Câu 3. Phương trình đường thẳng qua B  2;1 và vuông góc với  d  : x  2y  1  0 là: A. 3x  2y  3  0

B. 2x  y  3  0

C. x  2y  0

D. 2x  y  5  0

Câu 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A  3; 1 và B 1;5  .

x  3  t A.   y  1  3t

x  3  t B.   y  1  3t

x  1  t C.   y  5  3t

x  3  t D.   y  1  3t

Câu 5. Cho tam giác ABC có A  2; 1 , B  1;3 , C  6;1 . Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC. A. x  y  1  0 Đáp án

1–D

B. 5x  3y  9  0 2–B

3–D

4–A

C. 3x  3y  5  0

D. x  y  3  0

5–D

Dạng 2: Vị trí tương đối của hai đường thẳng 1. Ví dụ minh họa

Trang 6

 x  3  4t  x  1  2t  Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: 1 :  và  2 :  .  y  2  6t  y  4  3t  A. Song song nhau.

B. Trùng nhau.

C. Vuông góc nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc. Hướng dẫn

1 có phương trình dạng tổng quát là

x 3 y2   3x  2y  5  0 4 6

 2 có phương trình dạng tổng quát là

x 1 y  4   3x  2y  11  0 2 3

Vì

3 3 5   nên hai đường thẳng song song. 2 2 11

 Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng  :

x y   1 và d : 3x  4y  10  0 . Khi đó hai đường thẳng này: 3 4

A. Cắt nhau nhưng không vuông góc C. Song song với nhau.

B. Vuông góc nhau. D. Trùng nhau. Hướng dẫn

:

x y   1  4x  3y  12  0 3 4

Vì

3 4  suy ra hai đường thẳng cắt nhau. 4 3

Ta lại có: 3.4  4.  3  0 suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau.  Chọn B.

Ví dụ 3: Hai đường thẳng d1 : 4x  3y  18  0 ; d 2 : 3x  5y  19  0 cắt nhau tại điểm có tọa độ: A.  3; 2 

B.  3; 2 

C.  3; 2 

D.  3; 2 

Hướng dẫn

4x  3y  18  0 x  3 Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình  .  3x  5y  19  0 y  2 Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ:  3; 2  .  Chọn A.

Ví dụ 4: Cho 4 điểm A  3;1 , B  9; 3 , C  6;0  , D  2; 4  . Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD. A.  6; 1

B.  9; 3

C.  9;3

D.  0; 4 

Hướng dẫn   Ta có AB   6; 4   VTPTn AB   2; 3   AB  : 2x  3y  9 Trang 7

  Ta có CD   4; 4   VTPTn CD  1; 1   CD  : x  y  6 Gọi N  AB  CD

2x  3y  9  x  9 Suy ra N là nghiệm của hệ    N  9; 3 .  x  y  6  y  3  Chọn B.

Ví dụ 5: Cho 3 đường thẳng d1 : 2x  y  1  0 , d 2 : x  2y  1  0 , d 3 : mx  y  7  0 . Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là: A. m  6

C. m  5

B. m = 6

D. m = 5

Hướng dẫn Giao điểm của d1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình:

2x  y  1  0 x  1    x  2y  1  0  y  1 Do đó d1 cắt d 2 tại A 1; 1 . Để 3 đường thẳng d1 , d 2 , d 3 đồng qui thì d 3 phải đi qua điểm A do đó tọa độ điểm A phải thỏa mãn phương trình d 3 : m  1  7  0  m  6 .  Chọn B.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho đường thẳng d : x  2y  1  0 và  :  x  3 y  0 , khi đó vị trí tương đối giữa hai đường thẳng là: A. d // 

B. d  

C. d  

D. d cắt 

Câu 2. Cho đường thẳng d : x  2y  1  0 và  :  x  3y  0 , tọa độ giao điểm giữa hai đường thẳng là:  3 1  A. A  ;   5 5

3 1 B. A  ;  5 5

 1 C. A  3;   5

 3 1  D. A  ;   5 5 

Câu 3. Cho 4 điểm A  4; 3 , B  5;1 , C  2;3 , D  2; 2  . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD. A. Trùng nhau.

B. Cắt nhau.

C. Song song.

D. Vuông góc nhau.

Câu 4. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng  :  2m  1 x  y  m 2  0 và d : x  m 2 y  1  0 vuông góc với nhau? B. 2

A. 1 Đáp án

1–D

2–B

C. 1 3–B

D. 3

4–C

Dạng 3: Góc và khoảng cách 1. Phương pháp giải  Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (d). Cách 1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và vuông góc với (d). Tọa độ điểm H là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng  . Trang 8

Cách 2: Cho d : ax  by  c  0  at  c  Gọi H là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d. Khi đó ta có: H  t; . b       Ta có: AH  u d  AH.u d  0 . Từ đó suy ra tọa độ điểm H.

Chú ý: Nếu điểm M  x 0 ; y 0  , khi đó tọa độ hình chiếu H của M trên: Ox có tọa độ H  x 0 ;0  . Oy có tọa độ H  0; y 0  .  Xác định điểm M1 đối xứng với điểm M qua (d). Bước 1: Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (d).

 x M  2x M  x M Bước 2: Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua d thì H là trung điểm của MM1 , ta được:  1  y M1  2y M  y M  Viết phương trình hình chiếu đối xứng của đường thẳng Cho đường thẳng d1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d 2 . Bước 1: Xác định giao điểm I của hai đường thẳng d1 và d 2 . Bước 2: Lấy điểm M  d1 . Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d 2 . Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua IM. Chú ý: Nếu d1 // d 2 ta làm như sau: Bước 1: Lấy điểm M, N  d1 sau đó xác định hình chiếu của điểm M, N qua d 2 là M , N . Bước 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, N . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng  : 3x  4y  17  0 là: A.

2 5

B. 2

18 5

10 5

Hướng dẫn Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng  : 3x  4y  17  0 là:

d  M,   

3.1  4.  1  17 32  42

2.

 Chọn B.

Ví dụ 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song  : 6x  8y  101  0 và d : 3x  4y  0 là: A. 10,1

B. 1,01

C. 101

D. 101

Hướng dẫn Trang 9

Lấy điểm O  0;0   d : 3x  4y  0 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là:

d  d;    d  O;   

101 62   8 



101  10,1 . 10

 Chọn A.

Ví dụ 3: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho nó cách đều hai đường thẳng: d1 : 3x  2y  6  0 và

d 2 : 3x  2y  6  0 ? A. 1;0  .



B.  0;0  .



C. 0; 2 .





2;0 .

Hướng dẫn Gọi M  a;0  thuộc Ox. Vì M cách đều hai đường thẳng d1 và d 2 nên ta có:

d  M, d1   d  M, d 2  

3a  6 32  22



3a  6  3a  6  3a  6  3a  6    a  0. 32  22 3a  6  3a  6

3a  6

Vậy M  0;0  .  Chọn B.

Ví dụ 4: Cho ba điểm A  0;0  , B  2;1 , C  2;3 . Tìm hình chiếu H của C lên đường thẳng AB.  2 1  A. H  ;  5 5 

 2 1  B. H  ;   5 5

C. H  4; 2 

D. H  4; 2 

Hướng dẫn Phương trình đường thẳng AB: x  2  0 .  Gọi H  2a; a  . CH   2a  2; a  3   1  2 1  H là hình chiếu của C lên AB nên CH.AB  0  a   H  ;  5 5 5   Chọn A.

Ví dụ 5: Cho điểm M 1; 2  và đường thẳng d : 2x  y  5  0 . Tọa độ của điểm đối xứng với điểm M qua d là: A.  0; 6 

 3 B.  0;   5

 9 12  C.  ;  5 5 

3  D.  ; 5  5 

Hướng dẫn Gọi A là hình chiếu của M lên d : 2x  y  5  0 suy ra A  x;5  2x   Khi đó MA  x  1;3  2x  . Vì MA vuông góc với d nên MA song song với vectơ pháp tuyến của d x  1 3  2x 7  7 11    x  1  6  4x  x   A  ;  2 1 5 5 5 

Trang 10

Gọi điểm đối xứng của M qua d là M1 , khi đó ta có A là trung điểm MM1 , suy ra 7 9   x M1  2x A  x M  2. 5  1  5   y  2y  y  2. 11  2  12 A M  M1 5 5  9 12  Vậy M1  ;  5 5   Chọn C.

Ví dụ 6: Phương trình của đường thẳng qua P  2;5  và cách Q  5;1 một khoảng bằng 3 là: A. 7x  24y  134  0 và x  y  7  0

B. 3x  4y  5  0 và x  2

C. 7x  24y  134  0 và x  2

D. 3x  4y  5  0 và x  y  7  0 Hướng dẫn

Gọi phương trình đường thẳng  qua P  2;5  có dạng:

 : a  x  2   b  y  5   0  ax  by  2a  5b  0 . Theo đề bài ta có:

d  Q,    3 

5a  b  2a  5b a b 2

 3  3a  4b  3 a 2  b 2

b  0  24ab  7b  0   .  b  24 a 7  2

Với b = 0, chọn a = 1 nên  : x  2 . Với b 

24 a , chọn a = 7  b = 24 nên  : 7x  24y  134  0 . 7

 Chọn C.

x  2  t Ví dụ 7: Tìm côsin góc giữa hai đường thẳng 1 :10x  5y  1  0 và  2 :  . y  1  t A.

3 10

10 10

3 10 10

D. 

3 10 10

Hướng dẫn   Vectơ pháp tuyến của 1 và  2 lần lượt là n1   2;1 và n 2  1;1     n1.n 2 2.1  1.1 3 3 10 . cos  1 ,  2   cos n1 , n 2       10 10 n1 . n 2 22  12 . 12  12





 Chọn C.

Trang 11

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với A  3;3 , B  1; 2  , C  4;1 . Tìm côsin góc tạo thành từ hai đường thẳng AB và AC. A. 

85 85

B. 

2 85 85

  Ta có: AB   4; 1 , AC  1; 2  .

2 85 85

Hướng dẫn

  Ta có: cos  AB, AC   cos AB, AC  cos  AB, AC  



85 85



4.1   1 .  2 

 4    1 2

. 12   2 



2 85 85

 Chọn D.

Ví dụ 9: Cho M  5;1 , viết phương trình đường thẳng d qua M và tạo với đường thẳng d : y  2x  4 góc 45 . A. 3x  y  14  0 và x  3y  8  0

B. 3x  y  14  0 và 2x  y  9  0

C. x  y  4  0 và x  3y  8  0

D. x  y  4  0 và 2x  y  9  0 Hướng dẫn

Gọi k và k  theo thứ tự là hệ số góc của hai đường thẳng d và d thì k   2 .

k  3 k  k 2  k 1 1  Ta có: tan  k, k    tan 45  k   1  1  k.k 1  2k 3  Trường hợp 1: Với k = 3 ta có phương trình đường thẳng d là:

y  3  x  5   1  3x  y  14  0 . Trường hợp 2: Với k   y

1 ta có phương trình đường thẳng d là: 3

1  x  5  1  x  3y  8  0 . 3

 Chọn A.

Ví dụ 10: Cho các đường thẳng d1 : 2x  y  5  0 , d 2 : 3x  6y  1  0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M  2; 1 cắt d1 , d 2 lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC cân đỉnh A. A. 3x  y  5  0 và 2x  3y  1  0

B. x  y  1  0 và x  3y  5  0

C. 3x  y  5  0 và x  3y  5  0

D. x  y  1  0 và 2x  3y  1  0 Hướng dẫn

Giả sử đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax  by  c  0 (1). Do M  2; 1  d nên 2a  b  c  0  c  b  2a (2).

Trang 12

Do tam giác ABC cân tại A nên  d, d1    d, d 2  



2a  b 5



3a  6b 3 5

2a  b 22   1 . a 2  b 2 2



3a  6b 32  62 . a 2  b 2

 2a  b  a  2b a  3b  2a  b  a  2b     2a  b  a  2b 3a  b

Trường hợp 1: Nếu a = 3b chọn b = 1  a  3 thay vào (2) ta có: c  b  2a  1  2.3  5 . Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: 3x  y  5  0 . Trường hợp 2: Nếu 3a  b chọn a = 1  b  3 thay vào (2) ta có: c  b  2a  3  2.1  5 . Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: x  3y  5  0 .  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Tìm hình chiếu H của điểm M  2;1 lên đường thẳng d : 2x  y  3  0 .  1 13  A. H  ;  5 5 

6 3 B. H  ;  5 5

C. H  3; 3

D. H  0;3

x  1  t Câu 2. Cho điểm M  2; 2  và đường thẳng d :  . Tọa độ của điểm đối xưng với điểm M qua d là: y  2  t  6 B. 1;   5

A. 1;3

 3 C.  0;   5

3  D.  ;3  5 

 x  1  3t Câu 3. Khoảng cách từ điểm M  2;0  đến đường thẳng  là:  y  2  4t A. 2

2 5

10 5

5 2

Câu 4. Viết phương trình đường thẳng (d) qua N  3; 2  và tạo với trục Ox một góc 45 . A. x  y  1  0

B. x  y  1  0

C. x  y  5  0

D. x  y  2  0

Câu 5. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox và cách đều hai đường thẳng: d1 : 3x  2y  6  0 và

d 2 : 3x  2y  3  0 .



1  A.  ;0  2 

B. 0; 2





2;0



D. 1;0 

Đáp án 1–B

2–A

3–A

4–A

5–A

Dạng 4: Các bài toán trong tam giác 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho ba điểm A  2; 1 , B  0;100  và C  2; 4  . Tính diện tích tam giác ABC. A. 3

3 2

D. 147

Trang 13

Hướng dẫn

 Phương trình đường thẳng AC qua A  2; 1 , nhận vectơ chỉ phương AC   0; 3 nên có vectơ pháp  tuyến là n   3;0   3 1;0  , có phương trình là: AC : x  2  0 2

Khoảng cách từ B tới phương trình AC là: d  B, AC  

AC 

 2  2    4  1 2

02  12

2.

3

Diện tích tam giác ABC là: SABC 

1 1 AC.d  B, AC   .3.2  3 2 2

 Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A 1; 2  và B  4;6  . Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1.  4 A.  0;0  và  0;   3

B. 1;0 

C.  4;0 

D.  0; 2 

Hướng dẫn Gọi M  0; m  thuộc Oy. Ta có: AB 

 4  1   6  2  2

 5.

2S 1 2 Vì diện tích tam giác MAB bằng 1 nên ta có SMAB  .d  M, AB  .AB  d  M, AB   MAB  . 2 AB 5

Phương trình đường thẳng AB :

x 1 y  2   4x  3y  2  0 . 4 1 6  2

m  0 3m  2 2  3m  2  2 2 d  M, AB       . m  4  3m  2   2 5 5 5  3   4 Vậy M  0;0  hoặc M  0;   3  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho A 1;3 , B  2;5  và C  3;1 . Xác định chân đường cao H từ đỉnh C của tam giác ABC.  3 11  A. H  ;  5 5 

 6 30  B. H  ;   7 7 

 3 9  C. H  ;  5 5 

 30 6  ;  D. H   7 7 

Hướng dẫn

 x  1  t Ta có AB 1; 2  . Phương trình đường thẳng AB là:   y  3  2t

 Gọi H 1  t;3  2t  là chân đường vuông góc từ đỉnh C suy ra HC  2  t; 2  2t  Vì CH  AB nên ta có 2  t  4  4t  0  t 

2  3 11   H ;  . 5 5 5 

Trang 14

 Chọn A.

x  1  t Ví dụ 4: Cho hai điểm A  1; 2  , B  3;1 và đường thẳng  :  . Tọa độ điểm C thuộc  để tam y  2  t giác ACB cân tại C.  7 13  A.  ;  6 6 

 7 13  B.  ;   6 6 

 7 13  C.   ;   6 6

 13 7  D.  ;   6 6

Hướng dẫn  CA   2  t;  t  Ta có C    C 1  t, 2  t     CB   2  t; 1  t  Ta có ACB cân tại C  CA 2  CB2   2  t     t    2  t    1  t   t  2

1 6

 7 13  Suy ra C  ;  6 6   Chọn A.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A  1; 2  ; B  0; 2  ;C  2;1 . Đường trung tuyến BM có phương trình là: A. 3x  5y  10  0

B. 5x  3y  6  0

C. x  3y  6  0

D. 3x  y  2  0

Hướng dẫn 1  3 1    3 5  Gọi M là trung điểm AC  M   ;   ; BM    ;      3;5  2  2 2  2 2  BM qua B  0; 2  và nhận n   5; 3 làm VTPT  BM : 5x  3  y  2   0  5x  3y  6  0  Chọn B.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có A 1; 2  , đường cao CH : x  y  1  0 , đường phân giác trong

BN : 2x  y  5  0 . Tọa độ điểm B là: A.  4;3

B.  4; 3

C.  4;3

D.  4; 3

Hướng dẫn Ta có AB  CH   AB  : x  y  c  0 Mà A 1; 2    AB   1  2  c  0  c  1 Suy ra  AB  : x  y  1  0 Có B  AB  BN nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình:

x  y  1  0  x  4   2x  y  5  0  y  3 Vậy B  4;3  Chọn C.

Trang 15

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC biết trực tâm H 1;1 và phương trình cạnh AB : 5x  2y  6  0 , phương trình cạnh AC : 4x  7y  21  0 . Phương trình cạnh BC là: A. 4x  2y  1  0

B. x  2y  14  0

 Ta có A  AB  AC  A  0;3  AH  1; 2 

C. x  2y  14  0

D. x  2y  14  0

Hướng dẫn

Ta có BH  AC   BH  : 7x  4y  d  0 Mà H 1;1   BH   d  3 suy ra  BH  : 7x  4y  3  0 19   Có B  AB  BH  B  5;   2   19   Phương trình (BC) nhận AH  1; 2  là VTPT và qua B  5;   2 

 

19   Suy ra  BC  :  x  5   2  y    0  x  2y  14  0 2   Chọn D.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho ABC có A  2; 1 , B  4;5  , C  3; 2  . Viết phương trình tham số của đường cao BH.

 x  4  5t A.   y  5  3t

 x  4  5t B.   y  5  3t

 x  4  5t C.   y  5  3t

 x  2  3t D.   y  1  5t

Câu 2. Cho tam giác ABC có A 1;3 , B  2;5  và C  3;1 . Tìm điểm đối xứng của đỉnh C qua đường thẳng AB. 3 9 A. H  ;  5 5

 6 30  B. H  ;   7 7 

 3 9  C. H  ;  5 5 

 9 17  D. H   ;   5 5

Câu 3. Cho A 1;0  và B 1; 2  , C  3;0  . Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

x  2  t A.  y  1  t

x  1  t B.  y  2  t

x  t C.  y  1  t

x  2  t D.  y  1  t

Đáp án 1–A

2–D

3–D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Phương trình đường thẳng 3x  2y  1  0 có vectơ pháp tuyến là: A.  3; 2 

B.  3; 2 

C.  3; 2 

D.  3; 2 

 x  3  2t Câu 2. Phương trình đường thẳng  d  :  có vectơ chỉ phương là: y  t A. 1; 2 

B.  3; 2 

C.  2;3

D.  2; 1 Trang 16

Câu 3. Phương trình đường thẳng  d  : A.  3;5 

x 5 y2  có vectơ chỉ phương là: 3 5

B.  3; 2 

C.  5;3

D.  2;3

Câu 4. Phương trình đường thẳng đi qua A  2;3 và có vectơ chỉ phương  3; 2  là:

 x  2  2t A.   y  3  3t

 x  2  3t B.   y  3  2t

 x  2  3t C.   y  3  2t

 x  2  3t D.   y  3  2t

Câu 5. Phương trình tham số của  đi qua A  3;5  và có hệ số góc k = 2.

x  t A.   y  1  2t

x  t B.   y  1  2t

x  t C.   y  1  2t

x  t D.   y  4  2t

 x  1  2t Câu 6. Tìm hình chiếu H của điểm M  2;1 lên đường thẳng d :   y  3  2t A. H 1; 3

B. H  2; 4 

C. H  0; 2 

 1 3  D. H  ;   2 2 

Câu 7. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A  0; 5  và B  3;0  . A.

x y  1 5 3

B. 

x y  1 5 3

x y  1 3 5

x y  1 5 3

Câu 8. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A 1;1 và vuông góc với đường thẳng có phương trình A.

x 3 y  . 2 3

x 1 y 1  3 2

x 1 y 1  2 3

x 1 y 1  3 2

x 1 y 1  3 2

Câu 9. Cho tam giác ABC có AB : x  2y  12  0 ; AC : 3x  2y  6  0 ; BC :  x  3y  12  0 . Tìm hình chiếu của A lên đường thẳng BC.  6 30  A. H  ;  7 7 

 6 30  B. H  ;   7 7 

 30 6  C. H  ;   7 7

 30 6  ;  D. H   7 7 

Câu 10. Tìm chân đường cao hạ từ M  2; 1 lên đường thẳng đi qua điểm A  3; 7  và B 1; 7  . A. H  2;7 

B. H  2; 7 

C. H  2; 7 

D. H  7; 2 

Câu 11. Cho đường thẳng d : x  2  1  0 và  : 3x  6y  3  0 , khi đó vị trí tương đối giữa hai đường thẳng là: A. d // 

B. d  

C. d  

D. d cắt 

Câu 12. Có mấy đường thẳng đi qua điểm M  2; 3 và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân. A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Câu 13. Cho ba điểm A  0;1 , B 12;5  và C  3;0  . Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A,B,C? A. x  3y  4  0

B.  x  y  10  0

C. x  y  0

D. 5x  y  1  0 Trang 17

Câu 14. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x  3y  5  0 , d 2 : 3x  4y  5  0 , đỉnh A  2;1 . Diện tích của hình chữ nhật là: A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 15. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 : 7x  y  3  0 và  2 : 7x  y  12  0 là: A.

9 50

B. 9

3 2 2

D. 15

Câu 16. Cho hai đường thẳng d1 : x  2y  1  0 , d 2 : x  3y  3  0 . Phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d 2 là: A. x  2y  2  0

B. 2x  y  2  0

C. x  2y  2  0

D. x  7y  1  0

Đáp án: 1-B

2-D

3-A

4-D

5-B

6-D

11 - A

12 - A

13 - A

14 - B

15 - C

16 - B

7-C

8-C

9-B

10 - C

Trang 18

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn (C) tâm I  a; b  , bán kính R là:  x  a    y  b   R 2 . 2

Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với điều kiện a 2  b 2  c  0 , là phương trình đường tròn tâm

I  a; b  bán kính R  a 2  b 2  c 2. Phương trình tiếp tuyến Cho đường tròn (C):  x  a    y  b   R 2 2

Tiếp tuyến  của (C) tại điểm M  x 0 ; y 0  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với IM. Nên có phương trình là:  :  x 0  a  x  a    y 0  a  y  a   R 2 Chú ý:

 : ax  by  c  0 là tiếp tuyến của (C)  d  I,    R PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn 1. Phương pháp giải Cách 1: Đưa phương trình về dạng: (C): x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (1) Xét dấu biểu thức P  a 2  b 2  c Nếu P  0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I  a; b  và bán kính R  a 2  b 2  c Nếu P  0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn. Cách 2: Đưa phương trình về dạng:  x  a    y  b   P (2). 2

Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I  a; b  và bán kính R  P Nếu P  0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường tròn có dạng  x  3   y  2   9 . Tìm tâm và bán kính? 2

A. I  3; 2  ; R  3

B. I  3; 2  ; R  3

C. I  3; 2  ; R  5

D. I  3; 2  ; R  3

Hướng dẫn 2 2 t©m I  3; 2  Phương trình đường tròn  x  3   y  2   9 có  R  9  3

 Chọn A.

Ví dụ 2: Cho đường tròn có phương trình x 2  y 2  6x  10y  2  0 . Tìm tọa độ tâm của đường tròn. A. I  3;5 

B. I  3; 5 

C. I  5;3

D. I  5; 3 Trang 1

Hướng dẫn Gọi tâm của phương trình đường tròn cần tìm là I  a; b  .

2ax  6x a  3 Khi đó ta có  do đó I  3; 5  .  2by  10y b  5  Chọn B.

Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. A. x 2  y 2  2x  4y  9  0

B. 2x 2  2y 2  8x  4y  6  0

C. x 2  y 2  6x  4y  13  0

D. 5x 2  4y 2  x  4y  1  0 Hướng dẫn

x 2  y 2  2x  4y  9  0 có a 2  b 2  c   1  22  9  4  0 nên loại đáp án A. 2

2x 2  2y 2  8x  4y  6  0  x 2  y 2  4x  2y  3  0 có a 2  b 2  c  22  12  3  8  0 . Do đó, phương trình 2x 2  2y 2  8x  4y  6  0 là phương trình đường tròn.  Chọn B.

Ví dụ 4: Cho đường cong  Cm  : x 2  y 2  2mx  4  m  2  y  6  m  0 . Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình đường tròn.

m  2 B.  m  1

A. m  2

m  2 C.  m  1

D. m < 1

Hướng dẫn Giả sử  Cm  : x  y  2mx  4  m  2  y  6  m  0 là phương trình đường tròn. 2

Ta có a  m ; b  2  m  2  ; c  6  m . Điều kiện để phương trình trên là phương trình đường tròn là: a 2  b2  c  0  m2  4  m  2   6  m  0 2

m  2  5m 2  15m  10  0  m 2  3m  2  0   m  1  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho đường tròn có dạng  x  4    y  3  36 . Tìm bán kính đường tròn đó. 2

A. 2

B. 6

Câu 2. Tìm tâm của đường tròn x 2  y 2  x  2y   1 A. I  0;   2

B. I 1;0 

C. 4

D. 5

59  0. 4

C. I 1; 1

1  D. I  ; 1 2 

Câu 3. Cho  C  : x 2  y 2  2x  4y  m  0 . Tìm m để (C) có bán kính R = 3. A. m = 3

B. m = 4

C. m  3

D. m  4 Trang 2

Đáp án 1–B

2–D

3–B

Dạng 2: Viết phương trình đường tròn 1. Phương pháp giải Cách 1: Tìm tọa độ tâm I  a; b  của đường tròn (C). Tìm bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình của (C) theo dạng  x  a    y  b   R 2 . 2

Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 . Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a,b,c. Giải hệ để tìm a,b,c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). Chú ý: A thuộc đường tròn (C)  IA  R (C) tiếp xúc với đường thẳng  tại A  IA  d  I;    R (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và  2  d  I; 1   d  I;  2   R . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn có tâm I 1; 5  và đi qua O  0;0  . A.  x  1   y  5   26

B.  x  1   y  5   26

C.  x  1   y  5   26

D.  x  1   y  5   26

Hướng dẫn Đường tròn cần tìm có bán kính là OI  12  52  26 nên có phương trình là:

 x  1   y  5 2

 26

 Chọn D.

Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn có đường kính AB với A 1;1 và B  7;5  . A.  C  :  x  4    y  3  13

C.  C  :  x  4    y  3  14

B.  C  :  x  4    y  3  14

D.  C  :  x  4    y  3  13

Hướng dẫn Đường tròn có tâm I là trung điểm của AB cho nên I  4;3 và bán kính đường tròn bằng một nửa AB  R 

AB 2 13   13 . 2 2

Trang 3

Phương trình đường tròn có dạng  C  :  x  4    y  3  13 . 2

 Chọn D.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A 1;1 , B  1; 2  , C  0; 1 . A. x 2  y 2  x  y  2  0

C. x 2  y 2  x  2y  2  0

B. x 2  y 2  x  y  4  0

D. 2x 2  2y 2  x  y  2  0 Hướng dẫn

Phương trình đường tròn có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 ,  a 2  b 2  c  0  . Vì đi qua 3 điểm A 1;1 , B  1; 2  , C  0; 1 nên ta có hệ phương trình sau: 1  a   2 2  2a  2b  c  0 2a  2b  c  2  1    5  2a  4b  c  0  2a  4b  c   5    b  2 1  2b  c  0 2b  c  1    c  2  

Vậy phương trình cần tìm có dạng x 2  y 2  x  y  2  0 .  Chọn A.

Ví dụ 4: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I  1; 2  và tiếp xúc với đường thẳng d : x  2y  7  0 . A.  C  :  x  1   y  2  

4 5

C.  C  :  x  1   y  2  

4 5

B.  C  :  x  1   y  2  

4 5

D.  C  :  x  1   y  2  

4 5

Hướng dẫn Ta có: R  d  I,d  

1  4  7 1 4



2 . 5

Vậy phương trình đường tròn có dạng  C  :  x  1   y  2   2

4 . 5

 Chọn D.

Ví dụ 5: Phương trình đường tròn (C) đi qua A 1;1 , B  3;3 và có tâm I thuộc trục Ox có dạng: A. x 2   y  4   18 2

B. x 2  y 2  10  0

C. 2x 2  2y 2  9

D.  x  4   y 2  10 2

Hướng dẫn Gọi phương trình đường tròn là:  C  : x 2  y 2  2ax  2by  c  0 ,  a 2  b 2  c  0  . Do A 1;1 , B  3;3   C  và I  Ox nên ta có hệ:

Trang 4

1  1  2a  2b  c  0 a  4   9  9  6a  6b  c  0  b  0 b  0 c  6   Vậy  C  : x 2  y 2  8x  6  0   x  4   y 2  10 . 2

 Chọn D.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x  3y  2  0 và tiếp xúc với hai đường 1 : x  y  4  0 ,  2 : 7x  y  4  0 . A.  x  4    y  6   18 2

B.  x  4    y  6   18 2

C.  x  4    y  6   18 ,  x  4    y  6   18 2

D.  x  2    y  2   8 ,  x  4    y  6   18 2

Hướng dẫn  2  3t  ; t   d : 4x  3y  2  0 . Gọi I   4 

Vì (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 : x  y  4  0 và  2 : 7x  y  4  0 nên ta có

2  3t  2  3t   t  4 7 t4 4  4  d  I, 1   d  I,  2    2 5 2  t  2  5. t  18  25t  30  t  18  5t  6   t  6 Với t = 2  I1  2; 2   R1  2 2   C1  :  x  2    y  2   8 . 2

Với t = 6  I 2  4;6   R 2  3 2   C2  :  x  4    y  6   18 . 2

 Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ và bán kính R = 3. A. x 2  y 2  9  0

B. x 2  y 2  9

C.  x  3   y  1  9 D.  x  3   y  1  9 2

Câu 2. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I  2;1 và khoảng cách từ tâm đến một điểm thuộc đường tròn bằng 5. A.  x  2    y  1  25

C.  x  2    y  1  5

B.  x  2    y  1  5

D.  x  2    y  1  25

Câu 3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A 1; 2  , B  1;0  , C  2;1 . A. x 2  y 2  x  y  2  0

C. x 2  y 2  x  y  2  0 Trang 5

B. x 2  y 2  2x  3y  2  0

D. x 2  2y 2  x  y  2  0

Câu 4. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I  2;3 và tiếp xúc với Ox. A.  C  :  x  2    y  3  9

C.  C  :  x  2    y  3  9

B.  C  :  x  2    y  3  9

D.  C  :  x  2    y  3  9

Đáp án

1-C

2-D

3-C

4–B

Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, đường tròn với đường tròn 1. Phương pháp giải  Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C) Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM. Nếu IM < R suy ra M nằm trong đường tròn. Nếu IM = R suy ra M thuộc đường tròn. Nếu IM > R suy ra M nằm ngoài đường tròn.  Vị trí tương đối giữa đường thẳng  và đường tròn (C) Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính d  I;   . Nếu d  I;   < R suy ra  cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Nếu d  I;   = R suy ra  tiếp xúc với đường tròn. Nếu d  I;   > R suy ra  không cắt đường tròn. Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng  và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.  Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn  C  Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I , bán kính R  của đường tròn  C  và tính II ,

R  R , R  R . Nếu II > R  R  suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau. Nếu II = R  R  suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau. Nếu II < R  R  suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau. Nếu II = R  R  suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau. Nếu R  R  < II < R  R  suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn  C  bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ. 2. Ví dụ minh họa 4  0 và đường thẳng d : mx  y  2m  3  0 , m   . Với 5 những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d và đường tròn (C) không có điểm chung.

Ví dụ 1: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2x 

Trang 6

A. m   ;1   3;  

B. m  1;3

 11  C. m   2;   2

 11  D. m   ; 2    ;   2 

Hướng dẫn Ta có  C  :  x  1  y 2  2

5 1 , tâm I 1;0  , bán kính R  . 5 5

Đường tròn (C) và đường thẳng d không có điểm chung nếu khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d lớn hơn bán kính. Ta có: d  I, d   R 

m  0  2m  3 m2  1

m  2 5 m 2  6m  9 1 2     4m  30m  44  0    m  11 5 m2  1 5  2

 11  Suy ra: m   ; 2    ;   . 2   Chọn D.

 C1  : x 2  y 2  2x  4y  4  0 Ví dụ 2: Cho hai đường tròn  2 2  C2  : x  y  2x  2y  14  0 Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn? A. Cắt nhau

B. Đồng tâm

C. Đựng nhau

D. Trùng nhau

Hướng dẫn Dễ thấy  C1  , có tâm I 1; 2  và R = 3;  C2  có tâm J  1;1 và R = 4.  IJ   2;3  IJ  13

3  4  R1  R 2  13  IJ  R1  R 2  7 Từ đó hai đường tròn cắt nhau.  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn  C  : x 2  y 2  2x  2my  m 2  0 và  C  :  x  4    y  1  m 2 . Tìm m 2

để (C) và  C  tiếp xúc ngoài. A. m = 0

C. 1  m  1

B. m  3

D. m 

9 4

Hướng dẫn (C) có tâm I1 1; m  , R1  1 ;  C  có tâm I 2  4;1 , R 2  m . Để hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì ta có: I1I 2  R1  R 2  32  1  m   1  m  m  2

9 . 4

 Chọn D.

Trang 7

Ví dụ 4: Cho (C): x 2  y 2  4x  8y  16  0 và (d): y  x  m . Tìm m để (d) cắt (C) tại 2 điểm A và B sao cho OAB là tam giác đều. A. m  2  3

B. m  2  6

C. m  3

D. m < 0

Hướng dẫn (C) có tâm O  2; 4  , R = 2; (d): x  y  m  0 . OAB đều  d  I,  d   



24m 2

R 3  3 2

 3  m2  6  m  2 6

 Chọn B.

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2  y 2  6x  2y  1  0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M  0; 2  và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài bằng 4. A. d1 : 2x  y  2  0, d 2 : x  2y  4  0

B. d1 : 2x  y  2  0, d 2 : x  2y  4  0

C. d1 : 2x  y  2  0, d 2 : x  2y  4  0

D. d1 : 2x  y  2  0, d 2 : x  2y  4  0 Hướng dẫn

O  3;1 (C):  ;  C   d  A, B . R  3 Gọi phương trình đường thẳng d đi qua M  0; 2  là:

ax  b  y  2   0  ax  by  2b  0 . Hạ OH vuông góc với AB thì H là trung điểm của AB. Suy ra AH = 2. Xét tam giác AOH vuông tại H, ta có:

OH  OA 2  AH 2  32  22  5 .

Trang 8

a  2b OH  5   5  2a  3ab  2b  0   2 2 a   1 b a b  2 3a  b

Với a = 2b, chọn b = 1, a = 2, phương trình đường thẳng d là: d1 : 2x  y  2  0 . 1 Với a   b , chọn a = 1, b  2 , phương trình đường thẳng d là: d 2 : x  2y  4  0 . 2  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho  C1  :  x  2    y  1  16 và  C2  : x 2  y 2  6x  2y  1  0 . Hai đường tròn trên: 2

A. Tiếp xúc ngoài.

B. Tiếp xúc trong.

C. Đựng nhau.

D. Ngoài nhau.

Câu 2. Cho  C  :  x  1   y  3  4 và    : y  mx  1 . Tìm m để  cắt (C) tại A và B sao cho IAB 2

đều. A. m 

2  6 2

Đáp án

1–B

C. m  2  3

B. m  0

D. m 

1 3 2

2–A

Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến với đường tròn 1. Phương pháp giải Cho đường tròn (C) tâm I  a; b  , bán kính R

 Nếu biết tiếp điểm là M  x 0 ; y 0  thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ IM  x 0  a; y 0  b  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là  x 0  a  x  x 0    y 0  b  y  y 0   0 . Nếu không biết tiếp điểm thì dùng diều kiện: Đường thẳng  tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi

d  I;    R để xác định tiếp tuyến. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M  3;5  biết đường tròn (C) có phương trình là:  x  1   y  3  9 . 2

A. x  2y  0

B. x  2  13  0

C. x  2y  7  0

D. x  y  13  0

Hướng dẫn Đường tròn (C) có tâm là điểm I 1; 3 và bán kính R = 3. Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M  3;5  là:

 3  1 x  3   5  3 y  5  0  4x  8y  52  0  x  2y  13  0 .  Chọn B.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C): x 2  y 2  4x  4y  4  0 , điểm M  4;6  . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M. Trang 9

A. 3x  4y  12  0

B. 3x  4y  8  0

C. 3x  4y  12  0

D. 3x  4y  2  0

Hướng dẫn Đường tròn (C) có a = 2, b = 2, c = 4, a 2  b 2  c  4 do đó đường tròn (C) có tâm I  2; 2  , bán kính R = 2 Gọi  là đường thẳng đi qua M  4;6  , nên  có dạng:  : A  x  4   B  y  6   0  A 2  B2  0   Ax  By  4A  6B  0

 là tiếp tuyến của (C)  d  I,    R 

2A  2B  4A  6B A B 2

 2  2A+4B  2 A 2  B2

 4A 2  16B2  16AB  4A 2  4B2  12B2  16AB  0

B  0  4B  3B  4A   0    B   4A 3  B  0 Chọn A = 3    B  4 Nếu A = 3, B = 0, ta có:  1  : x  4  0 Nếu A = 3, B  4 , ta có:   2  : 3x  4y  12  0  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho đường tròn (C) có phương trình: x 2  y 2  4x  8y  18  0 . Tổng hệ số góc của hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A 1;1 là: A. 10

B. 4

C. 12

D. 3

Hướng dẫn Ta thấy A 1;1 không thuộc đường tròn (C). Phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1;1 với hệ số góc k là:

 : y  k  x  1  1  kx  y  k  1  0 Để đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng  phải bằng bán kính R. Đường tròn (C) có tâm là điểm I  2; 4  và bán kính R  2 . Ta có:

d  I,   R 

2k  4  k  1 k 1 2

 2  k  5  2  k 2  1

 k 2  10k  25  2k 2  2  k 2  10k  23  0

 k1  5  4 3  k1  k 2  10   k 2  5  4 3 Trang 10

 Chọn A.

Ví dụ 4: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x 2  y 2  8x  12  0 và điểm E  4;1 . Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B là các tiếp điểm sao cho E thuộc đường thẳng AB. A. M 1; 4 

B. M  0; 4 

C. M  4; 4 

D. M  0; 4 

Hướng dẫn Đường tròn (C):  x  4   y 2  4  I  4;0  , R  2 2

Gọi M  0;a  thuộc Oy, A  x1 ; y1  , B  x 2 ; y 2    C  Tiếp tuyến tại A và B có phương trình là:

 x1  4  x  4   y1y  4 ,  x 2  4  x  4   y2 y  4 Để thỏa mãn 2 tiếp tuyến này cùng qua M  0;a 

  x1  4  0  4   y1a  4 ,  x 2  4  0  4   y1a  4 . Chứng tỏ (AB) có phương trình: 4  x  4   ay  4 Vì (AB) qua E  4;1 : 4  0   a.1  4  a  4 Vậy trên Oy có M  0; 4  thỏa mãn.  Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M  3; 4  biết đường tròn (C) có phương trình là:  x  1   y  2   8 . 2

A. 2x  2y  7  0

B. x  y  14  0

C. 2x  y  14  0

D. x  y  7  0

Câu 2. Cho đường tròn (C) có phương trình: x 2  y 2  4x  8y  18  0 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A 1; 3 . A. x  y  8  0 Đáp án

B. x  y  4  0

1–D

C. x  y  4  0

D. x  y  4  0

2–C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Tìm độ dài bán kính đường tròn 16x 2  16y 2  16x  8y  11  0 . A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 2. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I  2;0  và R = 2. A.  x  2    y  2   4 B.  x  2   y 2  4 2

C.  x  2   y 2  4

D.  x  2   y 2  1

Câu 3. Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính AB với A 1;1 , B  5;3 . A.  x  3   y  2   5 B.  x  3   y  2   5 C.  x  3   y  2   5 D.  x  3   y  2   5 2

Trang 11

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  Cm  có phương trình x 2  y 2  2mx  2  m  1 y  12  0 . Với giá trị nào của m thì bán kính đường tròn nhỏ nhất? A. m = 0

C. m  

B. m = 1

1 2

D. m 

1 2

Câu 5. Trong mp Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : 2x  y  1  0 , d 2 : 2x  y  2  0 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d 2 . 2

1 9  A.  x    y 2  2 20 

1 9  B.  x    y 2  2 20 

1 9 1 9   C.  x    y 2   0 D.  x    y 2  4 20 4 20  

Câu 6. Cho (C): x 2  y 2  8x  6y  0 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại O  0;0  thuộc (C). A. 2x  3y  0

B. 2x  3y  0

C. 4x  3y  0

D. 4x  3y  0

Câu 7. Cho  Cm  : x 2  y 2  2mx  4  m  1 x  m 2  1  0 và d : x  my  1  0 . Tìm m để d đi qua tâm của đường tròn. A. m = 1

B. m 

1  m 1 2

C. m 

1 2

D. m = 4

Câu 8. Cho  C  : x 2  y 2  4x  4y  4  0 và A  6; 2  . Tìm khẳng định đúng. A. A nằm trong (C).

B. A nằm trên (C).

C. A trùng với tâm (C).

D. AI = 2R

Câu 9. Cho  C1  : x 2  y 2  2x  4y  4  0;  C2  : x 2  y 2  6x  2y  6  0 . Hai đường tròn trên: A. Tiếp xúc ngoài.

B. Tiếp xúc trong. 2

C. Đựng nhau.

D. Ngoài nhau.

m2  m3  Câu 10. Cho đường tròn (C):  x   y  1. m 1   m 1   Tìm tập hợp tâm I của (C) A. Tập hợp là đường thẳng 2x  3y  5 . B. Tập hợp là đường thẳng 3x  2y  0 . C. Tập hợp là đường thẳng x  y  1  0 . D. Tập hợp là đường tròn  C  : x 2  y 2  3x  2y  1  0 . Câu 11. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2x  4y  8  0 . Tìm trên trục Oy những điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C). A. M  0; 2 

B. M  0; 2 

C. M  0; 3

D. M  0;3

Câu 12. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4x  2y  4  0 . Hãy viết phương trình tiếp tuyến  tiếp xúc với đường tròn tại điểm A  1;1 . A. 3x  2y  5  0

B. 3x  2y  5  0

C. 3x  2y  5  0

D. 3x  2y  5  0

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2x  6y  6  0 và điểm M  2; 4  . Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB. A. d : x  y  3  0

B. d : x  y  3  0

C. d : x  y  6  0

D. d : x  y  6  0 Trang 12

Câu 14. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  :  x  4    y  1  20 và điểm M  3; 1 . 2

Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB bằng 8. A. 4x  3y  9  0

B. 4x  3y  9  0

C. 4x  3y  9  0

D. 4x  3y  9  0

Đáp án: 1-D

2-C

3-A

4-C

11 - C

12 - B

13 - D

14 - C

5-D

6-C

7-B

8-D

9-D

10 - A

Trang 13

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ELIP PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa đường elip. Cho hai điểm cố định F1 và F2 sao cho F1 F2  2c  c  0  và số

2a  a  c  . Đường elip  E  là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a . Hai điểm F1 , F2 là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c là tiêu cự của elip. 2. Phương trình chính tắc của elip. Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm F1  c;0  và F2  c;0  với c  0 thì phương trình chính tắc của elip nhận F1 , F2 làm các tiêu điểm là:

E:

x2 y 2   1. a 2 b2

Trong đó: b 2  a 2  c 2 .  Elip  E  nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và nhận các gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

 E  cắt các trục tọa độ tại các điểm A1  a;0  , A2  a;0  , B1  0;  b  , B2  0; b  gọi là các đỉnh của

 Elip

elip.  Đoạn thẳng A1 A2  2a gọi là trục lớn.  Đoạn thẳng B1 B2  2b gọi là trục nhỏ.  Các đường thẳng x   a, y  b cắt nhau từng đôi một tại P, Q, R, S tạo thành hình chữ nhật cơ sở PQRS của elip  E  .  Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn: e 

c (do c  a nên e  1 ). a

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Elip có phương trình sau

x2 y 2   1 . Xác định tọa độ các đỉnh của elip. 4 1

A. A1  1;0  ; A2 1;0  ; B1  0; 1 ; B2  0;1

B. A1  2;0  ; A2  2;0  ; B1  0; 2  ; B2  0; 2 

C. A1  1;0  ; A2 1;0  ; B1  0; 2  ; B2  0; 2 

D. A1  2;0  ; A2  2;0  ; B1  0; 1 ; B2  0;1 Hướng dẫn

Từ phương trình của  E  ta có a  2 , b  1  c  a 2  b 2  3 . Trang 1

Suy ra tọa độ các đỉnh là A1  2;0  ; A2  2;0  ; B1  0; 1 ; B2  0;1 .  Chọn D.

Ví dụ 2: Cho elip có phương trình:



 

A. F1  7;0 , F2  7;0

x2 y 2   1 . Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là: 16 9



B. F1  16;0  , F2  16;0 

C. F1  9;0  , F2  9;0 

D. F1  4;0  , F2  4;0  Hướng dẫn

2 a  4 a  16 Ta có:  2   c  a 2  b2  7 . b  4  b  9



 



Tọa độ tiêu điểm của elip là F1  7;0 , F2  7;0 .  Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Xác định độ dài các trục của elip:  E  :

x2 y 2  1 52 32

A. A1 A2  5; B1 B2  3

B. A1 A2  6; B1 B2  10

C. A1 A2  10; B1 B2  6

D. A1 A2  3; B1 B2  5

Câu 2. Xác định tiêu cự của elip:  E  : A. 8

x2 y 2  1 25 16

B. 4

C. 6

D. 3

Đáp án: 1–C

2–C

Dạng 2: Viết phương trình elip 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Viết phương trình chính tắc của elip  E  có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai e  A.

x2 y 2  1 16 5

x2 y 2  1 9 4

x2 y 2  1 16 4

2 3

x2 y 2  1 9 5

Hướng dẫn Phương trình chính tắc của  E  có dạng:

 E  có độ dài trục lớn là 6 suy ra Tâm sai e 

x2 y 2   1 ,  a  b  0 . a 2 b2

2a  6  a  3 .

2 c 2 nên   c  2 , b 2  a 2  c 2  5 . 3 a 3

Trang 2

Vậy phương trình chính tắc  E  là

x2 y 2  1. 9 5

 Chọn D.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tục tọa độ Oxy, cho elip  E  có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip  E  . A.

x2 y 2  1 144 36

x2 y 2  1 9 36

x2 y 2  1 36 9

x2 y 2  0 144 36

Hướng dẫn Phương trình chính tắc của elip có dạng

x2 y 2   1  a, b  0  . a 2 b2

Ta có độ dài trục lớn bằng 12 nên 2a  12  a  6 . Độ dài trục bé bằng 6 nên 2b  6  b  3 . Vậy phương trình của Elip là:

x2 y 2   1. 36 9

 Chọn C.

12   Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình  E  đi qua điểm M  0;3 , N  3;   5  là:

x2 y 2  1 6 3

x2 y 2  1 25 9

x2 y 2  1 5 3

x2 y 2  1 36 9

Hướng dẫn 2

Cách 1: Phương trình elip có dạng:

x y  2  1 ,  a  b  0 2 a b

Vì phương trình  E  đi qua hai điểm M, N ta được: 0 9  a 2  b 2  1 b 2  9    2  9  144  1 a  25  a 2 25b 2

Vậy phương trình elip:

x2 y 2   1. 25 9

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio Fx 570 VN PLUS X2 Y2  Dùng máy tính nhập: 25 9

CALC X  0 ; Y  3 và CALC X  3 ; Y  

12 . 5

Kết quả ra bằng 1 là đáp án đúng.  Chọn B.

Trang 3

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A  0;5  . A.

x2 y 2  1 100 81

x2 y 2  1 34 25

x2 y 2  1 25 9

x2 y 2  1 25 16

Hướng dẫn Phương trình chính tắc của elip có dạng

x2 y 2   1  a, b  0  . a 2 b2

Theo giả thiết: 2c  6  c  3 . Vì A  0;5    E  nên ta có phương trình:

0 2 52   1  b 2  25 . a 2 b2

Khi đó: a 2  b 2  c 2  a 2  52  32  a 2  34  a  34 . Vậy phương trình chính tắc của Elip là:

x2 y 2   1. 34 25

 Chọn B.

Ví dụ 5: Viết phương trình chính tắc của elip tâm O có tiêu cự bằng 8, tỉ số x2 y2  1 A. 192 256

x2 y 2  1 B. 48 64

c 1  . a 2

x2 y2  1 C. 256 192

x2 y 2  1 D. 64 48

Hướng dẫn Tiêu cự 2c  8  c  4 . Tỉ số:

c 1   a  2c  8 . a 2

Suy ra: b  a 2  c 2  64  16  4 3 . x2 y 2   1. Vậy phương trình chính tắc của elip là: 64 48  Chọn D.

 3 Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của elip biết elip có một tiêu điểm F1  3;0 và điểm M 1;   2  nằm trên elip.



x2 y 2  1 A. 4 1

x2 y 2  1 B. 9 3

x2 y 2  1 C. 25 9



x2 y 2  1 D. 4 9

Hướng dẫn Phương trình chính tắc của elip có dạng



x2 y 2   1  a, b  0  . a 2 b2



Vì elip có một tiêu điểm F1  3;0 nên c  3  a 2  b 2  3

1 .

 3 1 3 Lại có M 1;    E   2  2  1  2  . a 4b  2  Trang 4

Thay (1) vào (2) ta được:

1 3  2  1  4b 2  5b 2  9  0  b 2  1  a 2  4 . b  3 4b 2

Vậy phương trình chính tắc của elip là:

x2 y 2  1 4 1

 Chọn A.

Ví dụ 7: Hình chữ nhật cơ sở của elip  E  có một cạnh nằm trên đường thẳng y  2  0 và có diện tích bằng 48. Viết phương trình chính tắc của elip  E  . A.

x2 y 2  1 25 22

x2 y 2  1 8 5

x2 y 2  1 16 4

x2 y 2  1 36 4

Hướng dẫn

 E  có hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng

y  2  0 suy ra b  2 .

Mặt khác hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng 48 nên 2a.2b  48  a  6 . Vậy phương trình chính tắc  E  là

x2 y 2  1 36 4

 Chọn D.

Ví dụ 8: Viết phương trình chính tắc của elip  E  có tâm sai bằng

5 và hình chữ nhật cơ sở của  E  3

có chu vi bằng 20. A.

x2 y 2  1 25 22

x2 y 2  1 8 5

x2 y 2  1 16 4

x2 y 2  1 9 4

Hướng dẫn

 E  có tâm sai bằng

5 suy ra 3

a 2  b2 5  hay 4a 2  9b 2 1 a 3

Hình chữ nhật cơ sở của  E  có chu vi bằng 20 suy ra 4  a  b   20  2  . Từ (1) và (2) suy ra a  3 , b  2 Vậy phương trình chính tắc  E  là

x2 y 2  1. 9 4

 Chọn D.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho elip  E  có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 2. Phương trình chính tắc của  E  có dạng: A.

x2 y 2  1 16 1

x2 y 2  1 64 1

x2 y 2  1 32 4

x2 y 2  1 16 4

x2 y2  1 152 102

Câu 2. Lập phương trình Elip  E  : độ dài các trục lớn là 10 và tiêu cự bằng 6. A.

x2 y2  1 252 162

x2 y 2  1 162 92

x2 y 2  1 92 252

Trang 5

Câu 3. Lập phương trình chính tắc của Elip  E  biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị. A.

x2 y 2  1 64 60

x2 y 2  1 25 9

x2 y 2  1 100 64

x2 y 2  1 9 1

Đáp án: 1–A

2–A

3–C

Dạng 3: Xác dịnh điểm nằm trên đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình chính tắc là

x2 y 2   1 ,  a  b  0  ta làm như a 2 b2

sau: xM2 yM2 Bước 1: Giả sử M  xM ; yM  , điểm M   E   2  2  1 ta thu được phương trình thứ nhất. a b

Bước 2: Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM , yM ta tìm được tọa độ của điểm M. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho elip  E  :

x2 y 2   1 . Tìm điểm M thuộc elip  E  biết điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới 1 20 4

góc vuông. A.





15;1



10; 2





5; 3



 4  D.  2;  5 

Hướng dẫn

 E  có

a  2 5 , b  2 , c  4.

Điểm M   E  nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông thì M nằm trên đường tròn  C  tâm O đường kính

F1 F2  8   C  : x 2  y 2  16 tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:  x2 y 2 2 1    x  15  M 20 4   2  x 2  y 2  16  y  1 





15;1 .

 Chọn A.

x2 y 2 Ví dụ 2: Cho elip  E  :   1 và đường thẳng d : 3 x  4 y  12  0 . Số giao điểm của đường thẳng d 16 9

và elip  E  là: A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn

Trang 6

Ta có d : 3 x  4 y  12  0  y  3 

x2 y 2 3x  1 ta được: , thay vào phương trình  E  :  16 9 4

3x   3  2  2 x  0  y  3 x  x2  x  4 4   1   1  2 x2  8x  0   16 9 16 16 x  4  y  0

Vậy d luôn cắt  E  tại hai điểm phân biệt A  0;3 , B  4;0  .  Chọn C.

Ví dụ 3: Cho  E  : x 2  4 y 2  4 . Đường thẳng đi qua một tiêu điểm của  E  và song song với trục Oy cắt

 E  tại 2 điểm M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN. A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn Do Elip có tính đối xứng nên đường thẳng qua F1 hoặc F2 song song với trục tung cắt  E  tại 2 điểm có tung độ nối nhau. Xét phương trình đường thẳng  d  đi qua tiêu điểm F2 và song song với trục tung, ta có:  d  : x  3 Tọa độ giao điểm của  d  và  E  là nghiệm của hệ: x  3 x  3  x  3      2   1 1 2 2  x  4 y  4 y  y   4 2   1 1   Do đó M  3;   , N  3;  . 2 2  

Vậy MN  2 yM  1 .  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện x2 y 2   1 . Hình vuông ABCD nội tiếp trong Elip đỉnh A nằm trong góc phần tư 16 4 thứ nhất. Tìm tọa độ A.

Câu 1. Cho elip  E  :



A. A 2 2; 2



Câu 2. Cho  E  :

 3 3 B. A  ;  2 2  

 4 4  C.  ;   5 5

D. A  4;0 

x2 y 2   1 , điểm M nằm trong góc phần tư thứ nhất và MF1  2 MF2 . Hoành độ điểm 4 1

M là: A.

3 2

4 3 3

C. 2

D. 3

Đáp án: 1–C

2–B Trang 7

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Xác định tọa độ các đỉnh của elip  E  :

x2 y 2  1. 252 92

A. A1  4, 0  , A2  0, 4  , B1  0,3 , B2  0, 3 B. A1  5, 0  , A2  5, 0  , B1  0, 3 , B2  0,3 C. A1  6, 0  , A2  6, 0  , B1  0, 2  , B2  0, 2  D. A1  2, 0  , A2  2, 0  , B1  0, 3 , B2  0,3 Câu 2. Cho Elip  E  : A.

x2 y 2 c  2  1 . Biết trục lớn bằng 3 lần trục nhỏ. Tỉ số là: 2 a b a

1 3

Câu 3. Cho elip  E  có tâm sai bằng

2 2 3

2 3

3 , độ dài trục nhỏ bằng 8. Phương trình chính tắc của elip  E  có 5

dạng: x2 y 2  1 A. 25 9

x2 y 2  1 B. 25 16

x2 y 2  1 9 4

x2 y 2  1 4 3

Câu 4. Viết phương trình chính tắc của  E  biết elip có một tiêu điểm là F  2;0  , độ dài trục lớn là 10: A.  F  :

x2 y 2  1 9 5

B.  F  :

x2 y 2 1 C.  F  :  8 5

Câu 5. Cho  E  :

x2 y 2 1 D.  F  :  7 4

x2 y 2   1 và đường tròn  C  : x 2  y 2  8x  6 y  24  0 . Tìm khẳng định sai. 36 20

A.  C  cắt  E  tại 2 điểm phân biệt. C.  E  có tỉ số

x2 y 2  1 25 21

c 2  . b 5

Câu 6. Cho elip  E  : x 2 

B. Tâm I của  C  nằm ngoài  E  . D.  C  có tâm I  4;3 , bán kính R  1 .

y2  1 và đường thẳng  d  : x  y  m  0 . Tìm m để (d) cắt  E  tại 2 điểm 9

phân biệt. A. 3  m  3

B. m  0

C.  10  m  10

D. m  2 2

Câu 7. Lập phương trình chính tắc của elip  E  :

x2 y 2 b  2  1 , c 2  a 2  b 2 biết  2 và a 2  c 2  16 2 a b c





. Trang 8

x2 y 2  1 8 12

x2 y 2  1 12 8

x2 y 2  1 12 4

x2 y 2  1 8 4

Câu 8. Cho elip  E  :

x2 y 2   1 và đường tròn  C  : x 2  y 2  2mx  2 y  m 2  0 . Tìm m để  C  cắt 25 9

 E  tại 4 điểm phân biệt. A. 0  m  1

B. 2  m  6

C. 2  m  6

D. m  5

Câu 9. Viết phương trình chính tắc của  E  trong trường hợp sau: Độ dài trục lớn là 6, tiêu cự là 4. A.  F  :

x2 y 2  1 9 5

B.  F  :

x2 y 2  1 8 4

C.  F  :

x2 y 2  1 8 5

D.  F  :

x2 y 2  1 7 4

x2 y 2  2  1 a, b, c  0; a 2  b 2  c 2 . Biết điểm trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm 2 a b c đối mặt vuông góc. Tỉ số là: a



Câu 10. Cho Elip  E  :

A. C.



1 2 3 2

2 2

5 2

x2 y 2   1 . Một đường thẳng đi qua tiêu điểm F2 của  E  và song song với trục tung 8 4 tại 2 điểm phân biệt M và N. Tìm độ dài MN.

Câu 11. Cho  E  :

A. 2 2

B. 3 2

C. 2 3

D. 2

 3 4  Câu 12. Viết phương trình chính tắc của elip  E  đi qua điểm M  ;  và M nhìn hai tiêu điểm F1 ,  5 5

F2 dưới một góc vuông. A.

x2 y 2  1 92 42

x2 y 2  1 32 22

x2 y 2  1 52 52

x2 y 2  1 52 32

Đáp án: 1–B

2–C

11 – A

12 - B

3–B

4–B

5–B

6–C

7–B

8–B

9–A

10 – B

Trang 9

Trang 10

CHƯƠNG 3 CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong bài toán hình chóp 1. Phương pháp giải Cách chọn hệ trục tọa độ: -

Hệ trục tọa độ nằm trên 3 đường thẳng đôi một vuông góc.

Gốc tọa độ thường là chân đường cao của hình chóp, lăng trụ có đáy là hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông hoặc có thể là trung điểm của cạnh nào đó, hoặc theo giả thiết của bài toán.

Một số cách chọn hệ trục tọa độ: 

Tứ diện



Hình chóp đáy là tứ giác lồi

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA  OB  a;OC  2a . Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng: A.

2a 3

2a 5 5

2a 2

2a 3

Hướng dẫn Gắn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Trang 1

a a  O  0;0;0  , A  a;0;0  , B  0;a;0  , C  0;0; 2a  , M  ; ;0  2 2      a a  AC  a;0; 2a  , OC  0;0; 2a  , OM   ; ;0  . 2 2 

  a OM, AC    a; a;      2

2   a 3a OM, AC   a 2   a 2       2 2       OM, AC  OC  a 2  OM, AC  OC  a 2 .    

Khoảng

cách

giữa hai đường thẳng    OM, AC  OC a 2 2a   d  OM, AC     .   3a 3 OM, AC    2

và

bằng

→ Chọn A. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau AB  6a, AC  7a, AD  4a . Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP là: A.

7 3 a 2

B. 14a 3

28 3 a 3

D. 7a 3

Hướng dẫn Do AB; AC; AD đôi một vuông góc với nhau chọn hệ trục tọa độ Oxyz theo hình vẽ. Chọn a = 1, ta có tọa độ các điểm:

A  0;0;0  , B  0;6;0  , C  7;0;0  , D  0;0; 4  . Khi đó để tính thể tích tứ diện AMNP ta cần tìm tọa độ A; M; N; P do M; N; P là trung điểm lần lượt của BC; CD; BD ta có tọa độ các đỉnh như sau: 7  M là trung điểm BC nên có tọa độ M  ;3;0  , 2  7  N là trung điểm CD nên có tọa độ N  ;0; 2  , 2 

P là trung điểm BD nên có tọa độ P  0;3; 2    7    7   AM   ;3;0  , AN   ;0; 2  , AP   0;3; 2  . 2  2    21    21  AM, AN    6; 7;   ;  AM, AN  .AP  3.7  2.  42      2 2

Tính thể tích V của tứ diện AMNP là: 1    V   AM, AN  AP  7 . 6 Thay a = 1 vào các đáp án, ta thấy đáp án D là đáp án đúng. → Chọn D. Trang 2

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA   ABCD  và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM). A. a 2

B. a 3

a 3 2

a 2 2

Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A  O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AS. Khi đó:  a  A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , M  0;0;a  , N  0; ;a  .  2      Ta có: BC   0;a;0  , BM   a;0;a    BC, BM    a 2 ;0;a 2  .

Mặt phẳng (BCM)  1   n  2 .  BC, BM   1;0;1 . a

có

vectơ

pháp

tuyến

Phương trình của (BCM) là: x + z – a = 0. Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM) là:

d  A,  BCM   

a 12  12



a . 2

→ Chọn D. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và

mp  SAD   mp  ABCD  . Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của DC, BC, SB, SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP. A.

3 a 5 10

a 5 10

a 5 6

a 5 12

Hướng dẫn Gọi O là trung điểm của AD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó: a   a   a   a   A  0;  ;0  , B  a;  ;0  , C  a; ;0  , D  0; ;0  . 2   2   2   2  

 a 3 a a  N  a;0;0  ,S  0;0;  , M  ; ;0  . 2   2 2    a a 3 a a a 3 K  0; ;  , P  ;  ;  .  4 4  2 4 4    a a a 3  a MK    ;  ; 2;1;  3 .    2 4 4  4





 Đường thẳng MK có vectơ chỉ phương là a  2;1;  3 .





Trang 3

  a a a 3  a AP   ; ;   2;1; 3 . 2 4 4   4





 Đường thẳng AP có vectơ chỉ phương là b  2;1; 3 .





    3a a 3  Ta có: a, b   2 3; 4 2;0 , AK   0; ;  .  4 4     a, b  .AK 3 3a 3a   Vậy d  MK; AP       2 15 2 5 a, b   





→ Chọn A. 3. Bài tập tự luyện 2a . Tam giác SAD cân tại S 4 và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a 3 . Tính 3 khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng

2 a 3

4 a 3

8 a 3

3 a 4

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SC tạo với đáy một góc 45 . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). A.

a 2 3

a 3

a 3 3

Đáp án 1-B

2-A

Dạng 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong bài toán hình lăng trụ 1. Bài tập tự luyện Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Tính thể tích của khối tứ diện A’CMN. A.

a3 4

a3 8

a3 16

a3 32

Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:

A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , A '  0;0;a  , B'  a;0;a  , C '  a;a;a  , D '  0;a;a  Thể tích của khối tứ diện A’CMN là: 1    V   A ' N, A ' M  .A 'C 6 Ta có: Trang 4

a   a    a    a    N  a;0;  , M  0; ;0   A ' N   a;0;   , A ' M   0; ; a  , A 'C   a;a; a  2  2  2    2 

   a 3    a 2 a3 3 a2    A ' N, A ' M    ;a 2 ;  và  A ' N, A ' M  .A 'C   a 3   a 3 . 4 2 4 2  4 1 3 3 a3 Vậy thể tích của khối tứ diện A’CMN là: V  . a  . 6 4 8

→ Chọn B. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân, AA '  2a, AB  AC  a . Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’. I là tâm của hình chữ nhật AA’B’B. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IG và G’C, biết hai đường thẳng này song song với nhau. A. 2a

5 41

B. a

5 41

C. 3a

5 41

D. 4a

5 41

Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. A  O  0;0;0  . Khi đó tọa độ của các điểm là: a a  a a  a  B  a;0;0  , C  0;a;0  , A '  0;0; 2a  , B'  a;0; 2a  , C '  0;a; 2a  , G  ; ;0  , G '  ; ; 2a  , I  ;0;a  3 3  3 3  2 

( I và I’ là trung điểm của AB’ và A’B)   a a    a 2a    a 2a   IG    ; ; a  , G 'C    ; ; 2a  , GC    ; ;0  .  6 3   3 3   3 3    G 'C, GC    d  IG, G 'C   d  G, G 'C    G 'C

   4a 2 2a 2  Ta có G 'C, GC    ; ;0  3  3  Vậy d  IG, G 'C   2a

5 . 41

→ Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đường thẳng OI sao cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng: A.

6 13 65

6 85 85

17 13 65

7 85 85

Trang 5

Hướng dẫn Không giảm tính tổng quát, giả sử cạnh hình lập phương bằng 6. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B’. Khi đó, C '  6;0;0  , D '  6;6;0  , M  3;3;1 , A  0;6;6  , B  0;0;6  .   MC'  3; 3; 1 , MD '   3;3; 1 Suy ra vectơ pháp tuyến của (MC’D’) là:    n1   MC', MD '   6;0;18   6 1;0;3 .   MA  3;3;5  , MB   3; 3;5  Suy ra vectơ pháp tuyến của (MAB) là:    n1   MA, MB   30;0;18   6  5;0;3 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB), ta có   n1.n 2 14 cos =    . 340 n1 n 2 Vậy sin   1  cos 2  

6 85 85

→ Chọn B. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy là 60 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). A.

a 13

13a 13

3a 13

a 3 13

Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  AD  a, AA '  b . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Tính thể tích của khối tứ diện BDA’M. A. V 

a 2b 2

B. V 

a 2b 4

C. V 

a 2b 8

D. V 

a 2b 16

Đáp án 1-C

2-B

Phần 2: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là: A.

1 10

1 5

5 10

10 5

Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC). A.

a2 5 16

a 2 10 16

a 2 10 32

a2 5 32

Trang 6

Câu 3. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi các cạnh AB  AD  a, AA'=

a 3 và 2

  60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Tính khoảng cách giữa hai góc BAD đường thẳng A’C và MN. A.

a 15 10

a 15 5

a 15 20

a 15 15

Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, có AA1  2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1. Lấy điểm M di động trên AA1 . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MC1D. A. SMC1D 

3a 2 4

B. SMC1D 

5a 2 4

C. SMC1D 

a 2 42 4

D. SMC1D 

a 2 15 4

Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và mặt phẳng (C’AB) hợp với

mặt đáy (ABC) một góc bằng   0    90  . Tìm  để hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) vuông góc với nhau. A.   90

B.   60

C.   45

D.   30

Câu 6. Cho tứ diện S.ABC có SC  CA  AB  a 2,SC   ABC  , tam giác ABC vuông tại A. Các điểm

M  SA, N  BC sao cho AM  CN  t  0  t  2a  . Tính t để MN ngắn nhất. A. t 

a 3

B. t 

2a 3

C. t  a

D. t 

a 2

Câu 7. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC vuông tại C. Độ dài của cạnh SA  4, AC  3, BC  1 . Gọi M là trung điểm của các cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính góc  tạo bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC) A.   8235'57 ''

B.   97 24 ' 2 ''

C.   6330 '

D.   1514 '13''

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  a, AD  2a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và SC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE. A. I  a; 2a;3a  , R 



a 11 2



C. I 2a;a 2;a 3 , R 



B. I a;a 2;a 3 , R 

a 11 3

a 11  a 3a 3a  D. I  ; ;  , R  2 2 2 2 

a 11 4

Đáp án: 1-D

2-B

3-C

4-D

5-C

6-B

7-A

8-D

Trang 7

CHƯƠNG 3: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH. PHÉP TỊNH TIẾN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phép biến hình Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Ta kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M)=M' hay M'=F(M), khi đó M' được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Nếu H là một hình nào đó thì hình H '   M | M '  F  M  , M  H được gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta viết H'=F(H). Vậy H '  F( H )   M  H  M '  F( M )  H '  . Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. 2. Phép tịnh tiến

   Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM '  v được  gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .  Phép tịnh tiến theo vectơ v được kí hiệu là Tv .   Vậy thì Tv ( M )  M '  MM '  v

Nhận xét: Tv ( M )  M 3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) và v  (a; b)    x ' x  a x '  x  a Gọi M '( x '; y ')  Tv ( M )  MM '  v    (*)  y ' y  b y '  y  b 4. Tính chất của phép tịnh tiến ● Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. ● Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. ● Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. ● Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. ● Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến 1. Phương pháp giải 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng song song b và b'. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành chính nó và biến đường thẳng b thành b'. A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Hướng dẫn Trang 1

Giả sử a cắt b tại m, cắt b' tại M'.  Khi đó MM ' là vectơ tịnh tiến duy nhất biến đường thẳng a thành chính nó và biến đường thẳng b thành b'. Do đó có duy nhất 1 phép tịnh tiến thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Chọn B.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.  1  Phép tịnh tiến theo vectơ v  BC biến: 2 A. điểm P thành điểm N

B. điểm N thành điểm P

C. điểm M thành điểm B

D. điểm M thành điểm N Hướng dẫn

  1   1   1  Ta có: PN  BC, NP   BC, MB   BC và MN 2 2 2   1 không cùng phương với BC. 2  1  Do đó phép tịnh tiến theo vectơ v  BC biến điểm P 2 thành điểm N.

 Chọn A.   Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u(3; 1) . Phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm M(1;-4)

thành: A. Điểm M'(4;-5)

B. Điểm M'(-2;-3)

C. Điểm M'(3;-4)

D. Điểm M'(4;5)

Hướng dẫn

 xM '  xM  3  1  3  4 Tu ( M )  M '    yM '  yM  1  4  1  5 Do đó M'(4;-5) Chọn A.

 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v(2;1) , điểm M(3;2). Tìm tọa độ điểm A sao cho M  Tv ( A) A. A(5;3)

B. A(1;1)

C. A(-5;-3)

D. A(2;1)

Hướng dẫn

 xM  xA  a  xA  3  2  1 Ta có: M  Tv (A)     yM  yA  b  yA  2  1  1 Vậy A(1;1). Chọn B. Trang 2

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm M(4;2) thành điểm M'(4;5) thì nó biến điểm A(2;5) thành: A. Điểm A'(5;2)

B. Điểm A'(1;6)

  Ta có: Tu ( M )  M'  u  MM '  (0;3)

C. Điểm A'(2;8)

D. Điểm A'(2;5)

Hướng dẫn

 xA'  xA  0  2 Tu ( A)  A '    yA'  yA  3  5  3  8 Do đó A’(2;8) Chọn C. Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x - 3y + 12 = 0. Tìm ảnh của d qua phép tịnh  tiến v  (4; 3) : A. 3x-2y-1=0

B. 2x+3y-2=0

C. 2x-3y-5=0

D. 2x+3y+1=0

Hướng dẫn Cách 1: Gọi M  x; y   d  2 x  3 y  12  0 (1)

x '  x  4  x  x ' 4 Gọi M'(x';y') là ảnh của M(x;y) qua Tv nên có   y '  y  3  y  y ' 3 Do đó (1)  2( x ' 4)  3( y ' 3)  12  0

 2 x ' 3 y ' 5  0 Vậy Tv (d )  (d ') : 2 x  3 y  5  0 Cách 2: Chọn M  3;2   d . Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua Tv , nên ta có

x '  x  4  x '  3  4  1   M '(1; 1)  y '  y  3  y '  2  3  1 Gọi Tv (d )  (d ')  d'  d nên d’ có dạng 2x-3y+m=0. Vì M '(1; 1)  d '  2.1  3.(1)  m  0  m  5 Vậy d’ : 2 x  3 y  5  0 . Cách 3: Chọn M  3;2   d và N  0;4   d

x '  x  4  x '  3  4  1 Gọi M '( x '; y ')  Tv ( M )     M '(1; 1) y '  y  3  y '  2  3  1 x '  x  4 x '  0  4  4 Gọi N '( x '; y ')  Tv (N )     N '(4;1) y '  y  3 y '  4  3  1   Gọi Tv (d )  (d ')  M ', N '  d ' nên d’ có vectơ chỉ phương M ' N '  (3;2)  nd '  (2; 3) là vectơ pháp tuyến của d’. Vậy phương trình d’ : 2  x  4   3  y  1  0  2 x  3 y  5  0 Chọn C. Trang 3

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hai điểm A(2;-4);B(1;1) và đường thẳng d có phương trình: 2x y+1=0. Viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến vectơ BA : A. 2x-y-6=0

B. 2x+y-6=0

C. 2x-y+2=0

D. 2x-y+6=0

Hướng dẫn

 Ta có BA  (1; 5).

 Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M  x; y   d qua phép tịnh tiến vectơ BA . Khi đó ta có:

 x '  x  1  x  x ' 1   y '  y  5  y  y ' 5 Ta có M  x; y   d  2 x  y  1  0  2( x ' 1)  ( y ' 5)  1  0  2 x ' y ' 6  0  Vậy ảnh của d qua phép tịnh tiến BA có phương trình d1: 2x-y-6=0. Chọn A. Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và a’ lần lượt có phương trình 3x 4y+5=0 và 3x-4y=0. Phép tịnh tiến theo u biến đường thẳng a thành đường thẳng a’. Khi đó độ dài bé  nhất của vectơ u bằng bao nhiêu: A. 5

B. 4

D. 1

Hướng dẫn  Độ dài bé nhất của vectơ u chính là khoảng cách giữa a và a’.  5 Lấy A  0;  thuộc a, ta có d(a;a’)=d(A;a’)   4

3.0  4.

5 4

3 4 2



5 1 5

Chọn D.

 Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ, cho Parabol có đồ thị y=x2. Phép tịnh tiến theo vectơ u(2; 3) biến parabol đó thành đồ thị của hàm số: A. y=x2+4x+1

B. y=x2-4x+1

C. y=x2-4x-1

D. y=x2+4x-1

Hướng dẫn Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là:

x '  x  2  x  x ' 2   y '  y  3  y  y ' 3 Thay vào phương trình y=x2 ta được y ' 3  ( x ' 2)2  y '  x'2  4 x ' 1 Vậy phép tịnh tiến biến parabol đã cho thành y=x2-4x+1 Chọn B Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường tròn: (x-2)2+(y-1)2=16 qua phép tịnh tiến theo  vectơ v(1;3) là đường tròn có phương trình: A. (x-2)2+(y-1)2=16

B. (x+2)2+(y+1)2=16

C. (x-3)2+(y-4)2=16

D. (x+3)2+(y+4)2=16

Hướng dẫn Trang 4

Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là:

 x '  x  1  x  x ' 1    y '  y  3  y  y ' 3 Thay vào phương trình đường tròn ta có:

( x  2)2  ( y  1)2  16  ( x ' 1  2)2  ( y ' 1  3)2  16  ( x ' 3)2  ( y ' 4)2  16  Vậy ảnh của đường tròn đã cho qua phép tịnh tiến theo vectơ v(1;3) là đường tròn có phương trình: (x-3)2+(y-4)2=16. Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hai đường thẳng cắt nha d và d’. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép   Câu 2. Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ v # 0 , đường thẳng d biến thành đường thẳng d’. Mệnh đề nào sau đây sai?  A. d trùng d’ khi v là vectơ chỉ phương của d.  B. d song song d’ khi v không phải là vectơ chỉ phương của d.  C. d trùng d’ khi v không phải là vectơ chỉ phương của d. D. d không bao giờ cắt d’.

 Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  (2; 1) , điểm M(3;2). Tìm tọa độ điểm A sao cho A  Tv ( M ) : A. A(5;3)

B. A(1;1)

C. A(-5;-3) D. A(1;2)  Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến vectơ u  (4;6) biến đường thẳng a có phương trình x+y-1=0 thành đường thẳng: A. x+y+11=0

B. x+y-11=0

C. x-y+11=0

D. -x+y+11=0

ĐÁP ÁN 1-A

2-C

3-A

4-B

Dạng 2: Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh 1. Phương pháp giải

 Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của v .   Để tìm tọa độ của v ta có thể giả sử v  (a; b), sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập

hệ phương trình hai ẩn a,b và giải hệ tìm a,b. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho điểm M(-10;1) và M’(3;8). Phép tịnh tiến theo   vectơ v biến điểm M thành điểm M’, khi đó tọa độ của vectơ v là:     A. v  (13;7) B. v  (13; 7) C. v  (13;7) D. v  (13; 7) Trang 5

Hướng dẫn    Phép tịnh tiến theo vectơ v biến điểm M thành điểm M’ nên ta có: v  MM '  (13;7) Chọn C.

 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:3x+y-9=0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ v có giá song song với Oy biến d thành d’ đi qua điểm A(1;1).     A. v  (0;5) B. v  (1; 5) C. v  (2; 3) D. v  (0; 5)   v có giá song song với Oy nên v  (0; k ) (k # 0)

Hướng dẫn

Lấy M (x;y)  d  3 x  y  9  0 (*)

x '  x Gọi M '( x '; y ')  Tv ( M )   thay vào (*)  3 x ' y ' k  9  0 y '  y  k Hay Tv (d )  d ' : 3 x  y  k  9  0, mà d’ đi qua A(1;1)  k  5  Vậy v = (0;-5). Chọn D. Ví dụ 3: Cho một phép tịnh tiến biến đường tròn (C): (x+m)2+(y-2)2=5 thành đường tròn (C’): x2+y2+2(m-2)y-6x+12+m2=0. Hãy xác định vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến đó:     A. u  (3;2) B. u  (3; 2) C. u  (2; 1) D. u  (2;1) Hướng dẫn Đường tròn (C) có tâm I(-m;2) bán kính R  5 Đường tròn (C’) có tâm I’(3;-m+2) bán kính R '  1  4 m với m 

1 4

Do (c ')  Tv (C)  R  R '  5  1  4 m  5  1  4 m  m  1   Vậy phép tịnh tiến biến (C) thành (C’) vó vectơ tịnh tiến u  II'  (2;1) Chọn D. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x-3y+3=0, đường thẳng d1 có phương  trình 2x-3y-5=0. Tìm tọa độ của u có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tu ?  11 12 ) A. u  ( ; 13 13

 6 4 B. u  ( ; ) 13 13

 16 24 ) C. u  ( ; 13 13

 12 24 ; ) D. u  ( 13 13

Hướng dẫn       Gọi u  (a; b) . Vì u có giá vuông góc với đường thẳng d  u  ud  u.ud  0  3a  2 b  0 (1)

 x M  x M  a Có d1  Tu (d ). Gọi M1  Tu ( M )   1  yM1  yM  b Nếu M  d  M1  d1

Trang 6

M  d  2 x M  3yM  3  0 M1  d1  2 x M1  3 yM1  5  0  2( x M  a)  3( yM  b)  5  0  2 x M  3 yM  2 a  3b  5  0  3  2 a  3b  5  0  2 a  3b  8 (2)

16  a   16 24   3a  2 b  0  13   u ; . Từ (1) và (2) có hệ   13 13   2 a  3b  8 b   24  13

Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến biến đường thẳng d: x + y + 1 = 0 thành đường  thẳng d’: x + y – 1 = 0 theo vectơ cùng phương với vectơ i. Đó là phép tịnh tiến theo vectơ:     A. v  (2;0) B. v  (0;2) C. v  (0; 2) D. v  (2;0)   Câu 2. Phép tịnh tiến theo v biến điểm A(1;3) thành điểm A’(1;7). Tìm tọa độ của vectơ tịnh tiến v ?     A. v  (0; 4) B. v  (4;0) C. v  (0;4) D. v  (0;5)  Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ v  (a; b) biến đường thẳng d1: x + y = 0 thành d1' : x + y – 4 = 0. Tính m = a + b. A. m=4

B. m=-4

C. m=5

D. m=-5

Đáp án: 1-C

2-C

3-A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến a thành b? A. 1

B. 4

C. 2

D. Vô số

Câu 2. Cho đường thẳng d. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A(3;2) thành điểm A’(2;3) thì nó biến điểm B(2;5) thành: A. Điểm B’(5;2)

B. Điểm B’(1;6)

C. Điểm B’(5;5)

D. Điểm B’(1;1)

Câu 4. Cho bốn đường thẳng a,b,a’,b’ trong đó a // a’, b // b’ và a cắt b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ và biến mỗi đường thẳng b và b’ thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị của hàm số y=sinx. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép. Trang 7

Câu 6. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép.

Câu 7. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. B. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. C. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. D. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

  Câu 8. Cho hai điểm P và Q cố định. Phép tịnh tiến T biến điểm M bất kì thành M; sao cho 2 MM '  PQ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

 A. T là phép tịnh tiến theo vectơ PQ.

 B. T là phép tịnh tiến theo vectơ MM '.

 C. T là phép tịnh tiến theo vectơ 2 PQ.

D. T là phép tịnh tiến theo vectơ

1  PQ. 2

 Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho phép tịnh tiến theo vectơ v  (1;1), phép tịnh tiến  theo vectơ v biến đường thẳng  : x  1  0 thành đường thẳng  '. Khi đó phương trình đường thẳng  ' là? A.  ' : x  1  0

B.  ' : x  2  0

C.  ' : x  y  2  0

D.  ' : y  2  0

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A(2;-1) thành điểm A’(3;0) thì nó biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó? A. x+y-1=0

B. x-y-100=0

C. 2x+y-4=0

D. 2x-y-1=0

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A(2;-1) thành điểm A’(1;2) thì nó biến đường thẳng a có phương trình 2x-y+1=0 thành đường thẳng có phương trình? A. 2x-y+1=0

B. 2x-y=0

C. 2x-y+6=0

D. 2x-y-1=0

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(1;6); B(-1;-4). Gọi C, D lần lượt là ảnh của A và B  qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (1;5). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. ABCD là hình thang

B. ABCD là hình bình hành

C. ABCD là hình chữ nhật

D. Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng

Câu 13. Cho hình bình hành ABCD, M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Phép tịnh tiến theo vectơ  BC biến điểm M thành điểm M’ thì khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Điểm M’ trùng với điểm M

B. Điểm M’ nằm trên cạnh BC

C. Điểm M’ là trung điểm cạnh CD

D. Điểm M’ nằm trên cạnh DC  Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho phép tịnh tiến theo v(2; 1), phép tịnh tiến theo  vectơ v biến parabol (P): y = x2 thành parabol (P’). Khi đó phương trình của (P’) là? A. y = x2 + 4x + 5

B. y = x2 + 4x - 5

C. y = x2 + 4x + 3

D. y = x2 - 4x + 5

 Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho phép tịnh tiến theo v(3; 2), phép tịnh tiến theo  vectơ v biến đường tròn (C): x2 +(y-1)2=1 thành đường tròn (C’). Khi đó phương trình đường tròn (C’) là? Trang 8

A. (C’): (x + 3)2 + (y + 1)2 = 1

B. (C’): (x - 3)2 + (y + 1)2 = 1

C. (C’): (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4

D. (C’): (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4

Câu 16. Tìm phương trình ảnh của đường elip ( E ) :

 x2 y2   1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u  (3;4) 9 4

( x  3)2 (y  4)2  1 9 4

( x  3)2 (y  4)2  1 9 4

( x  3)2 (y  4)2  2 9 4

( x  3)2 (y  4)2  1 9 4

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 3x-5y+3=0 và d’: 3x-5y+24=0. Tìm tọa độ   vectơ v biết v  13 và Tv (d )  d '.   29 54   A. v    ;  , v   2;3   17 17    9 15   C. v    ;  , v   2;1  17 17 

  29 15   B. v    ;  , v   2;3   17 17    29 54   D. v    ;  , v   2;1  17 17 

Đáp án: 1-D

2-D

3-B

4-B

5-D

6-B

7-D

11-C

12-D

13-D

14-C

15-A

16-B

17-A

8-D

9-B

10-B

Trang 9

CHƯƠNG 3: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phép đối xứng trục ● Định nghĩa: Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d, hay còn gọi là phép đối xứng trục d. Phép đổi xứng trục có trục là đường thẳng d được kí hiệu là Đd. Như vậy §d (M)  M'  IM  IM ' với I là hình chiếu vuông góc của M trên d. Nếu §d [H]  [H] thì d được gọi là trục đối xứng của hình (H) ● Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng Oxy, với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x':y')=Đd(M).

x '  x Nếu chọn d là trục Ox , thì  y '  y x '  x Nếu chọn d là trục Oy , thì  y '  y 2. Phép đối xứng tâm ● Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M' sao cho I là trung điểm của MM' được gọi là phép đối xứng tâm I. Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là ĐI.    Vậy ĐI (M) = M'  IM  IM '  0 Nếu ĐI((H)) = (H) thì I được gọi là tâm đối xứng của hình (H). ● Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng Oxy cho I(a;b), M(x;y), gọi M'(x':y') là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I thì x '  2a  x  y '  2b  y 3. Tính chất phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Biến một đường thẳng thành đường thẳng. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho. Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua dối xứng trục 1. Phương pháp giải Đề xác định ảnh (H') của hình (H) qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau: Dùng định nghĩa phép đối xứng trục. Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ. Trang 1

Dùng biểu thức vectơ của phép đối xứng trục. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong các hình dưới đây, hình nào có ba trục đối xứng? A. Đoạn thẳng

B. Đường tròn

C. Tam giác đều

D. Hình vuông Hướng dẫn

Đoạn thẳng có hai trục đối xứng: là chính nó và đường trung trực. Đường tròn có vô số trục đối xứng: là các đường thẳng đi qua tâm đường tròn. Tam giác đều có ba trục đối xứng: là ba đường cao hạ từ ba đỉnh của tam giác đều. Hình vuông có bốn trục đối xứng là hai đường chéo và hai đường nối trung điểm của các cạnh đối diện.  Chọn C Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho M(1;5). Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox. A. M’ = (1;-5)

B. M’ = (2;-3)

C. M’ = (1; -9)

D. M’ = (2; -5)

Hướng dẫn

x  x M x  1 Gọi M '  §Ox (M)   M '   M'  M '(1; 5) y  y y   5  M' M  M'  Chọn A Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;-2), B(3;1). Tìm ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox A. 3x + 2y = 7

B. 2x – 3y = 8

C. x + 2y = 3

D. -2x +3y = 5

Hướng dẫn

x  x A x  1 Gọi A'  §Ox (A)   A'   A'  A '(1;2) y A'  y A y A'  2 x  x B x  1 Gọi B '  §Oy (B)   B'   B'  B '(1; 1) y B'  y B y B'  1 Đường thẳng A’B’ là ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox   Phương trình A’B’ qua A’(1;2) và có vecto chỉ phương A ' B '  (2; 3)  VTPTn  (3;2) A’B’: 3(x  1)  2(y  2)  0  3x  2 y  7  0  3x  2 y  7  Chọn A Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy A. 3x – y = -7

B. 3x + 2y = -7

C. x + 2y = -7

D. 3x + y =2

Hướng dẫn Chọn M(1;5), N(-1;-1)  d

x  x M x  1 Gọi M'  §Ox (M)   M'   M'  M '(1;5) y M'  y M y M'  5 Trang 2

x  x N x N'  1 Gọi N'  §Oy (N)   N'   N '(1; 1) y N'  y N y N'  1 Suy ra ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’ đi qua hai điểm M’N’. Đường thẳng d’ nhận

M ' N '  (2; 6) làm VTCP Do đó phương trình d’ là: 3(x  1)  (y  1)  0  3x  y  2  0  Chọn D Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 -2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox. A. (x  1)2  (y  2)2  9

B. (x  1)2  (y  3)2  9

C. (x  1)2  (y  1)2  9

D. (x  1)2  (y  2)2  3 Hướng dẫn

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R  1  4  4  3

x  x I x  1 Gọi I'  §Ox (I)   I'   I'  M '(1;2) y   y y  2  I' I  I' Phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox là: (x  1)2  (y  2)2  9  Chọn A Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 - 2x + 3y - 1 = 0. Phép đối xứng qua trục Oy biến đường tròn đó thành đường tròn (C') có phương trình: A. x 2  y 2  2x  3y  1  0

B. x 2  y 2  2x  3y  1  0

C. x 2  y 2  2x  3y  1  0

D. x 2  y 2  2x  3y  1  0 Hướng dẫn

x  x ' Qua phép đối xứng trục Oy, ta có:  y  y ' Thay vào x2 + y2 - 2x + 3y - 1 = 0 ta được x '2  y '2  2x ' 3y ' 1  0 Do đó phép đối xứng qua trục Oy biến đường tròn đó thành đường tròn (C') có phương trình:

x 2  y 2  2x  3y  1  0  Chọn C Ví dụ 7: Cho điểm M(2;-3). Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d: 2x - y = 0  18 1  A. M '    ;    5 5

 17 1  B. M '    ;   5 5

9 2 C. M '   ;   5 5

 13 3  D. M '   ;    5 5

Hướng dẫn Gọi M'(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MM’   MM '.u d  0 khi đó ta có:  (*) H  d

Trang 3

   x 2 y3 ; Ta có: MM '  (x  y;y  3);u d  (1;2);H   2   2

(x  2).1  (y  3).2  0  Điều kiện (*)    x  2  y  3 2  2   2  0    18  x x  2y  4   18 1  5    M '  ;   5 5 2x  y  7 y   1  5

 Chọn A Ví dụ 8: Cho đường thẳng d:x - 2y - 2 = 0 và đường thẳng d’: y = x. Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d A. 2x + y – 7 = 0

B. x – 7y – 12 = 0

C. x – 2y – 12 – 0

D. x – 7y + 7 = 0

Hướng dẫn Gọi A là giao điểm của d và d’, tọa độ điểm A nghiệm của hệ

x  2y  2  0 x  2   A(2; 2)  x  y  0 y  2 Trên d’ lấy điểm M(3;3). Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d. Gọi H là trung điểm của MN thì điều kiện để M, N đối xứng nhau qua d là:   MN.u d  0 (*)  H  d    x3 y3 ; Ta có: MN  (x  3;y  3);u d  (2;1);H  2   2

(x  3).2  (y  3).1  0 2x  y  9 x  5     N(5; 1) Điều kiện (*)   x  3 y3 x  2y  7 y   1  2.  2  0    2 2 Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có vectơ chỉ phương là AN = (7;1), nên (m) có phương trình x2 y2 là:   x  7y  12  0 7 1  Chọn B 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ cỏ hai phép

D. Có vô số phép

Câu 2. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ cỏ hai phép

D. Có vô số phép Trang 4

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;-2), B(3;1). Tìm ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Oy. A. 3x + 2y = -7

B. 2x - 3y = 8

C. x + 2y = 3

D. . -2x + 3y = 5

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d:x - 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox. A. x + 2y + 4 = 0

B. 2x – y = 2

C. x + 2y = -7

D. 2x – y + 4 = 0

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho M(1; 5) và đường thẳng d: X - 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của M qua phép đối xứng đường thẳng d. A. M’ = (2;1)

B. M’ = (3;1)

C. M’ = (-3;1)

D. M’ = (2;3)

Đáp án: 1–D

2–B

3–A

4–A

5–B

Dạng 2: Xác định ảnh của một hình qua đối xứng tâm 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng? A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp C. Hình lục giác đều. D. Hình gồm một đường tròn và một hình vuông nội tiếp Hướng dẫn Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp không có tâm đối xứng vì tam giác đều không có tâm đối xứng.  Chọn B Ví dụ 2: Cho hai điểm I(1;2) và M(3;-1). Điểm M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I có tọa độ nào sau đây? A. (2;1)

B. (-1;5)

C. (-1;3)

D. (5;-4)

Hướng dẫn Vì điểm M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I nên I là trung điểm của MM’ Do đó, ta có tọa độ điểm M’ là:

x M '  2x I  x M  2.1  3  1  y M '  2y I  y M  2.2  1  5 Vậy M’(-1;5)  Chọn B Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng tâm biến điểm A(5;2) thành điểm A'(-3;4) thì nó biến điểm B(1; -1) thành điểm A. B’(1;7)

B. B’(1;6)

C. B’(2;5)

D. B’ (1;-5)

Hướng dẫn Trang 5

Tâm I biến A thành A’ nên I là trung điểm AA’, do đó I có tọa độ là I(1;3) I biến B thành B’, tọa độ của B’ là:

x B'  2x I  x B  2.1  1  1  y B'  2y I  y B  2.3  1  7 Vậy B’(1;7)  Chọn A Ví dụ 4: Cho điểm I(1;1) và đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I. A. d’: x + y – 3 = 0

B. d’: x + 2y – 7 = 0

C. d’: 2x + 2y – 3 = 0

D. d’: x + 2y – 9 = 0 Hướng dẫn

Cách 1. Lấy điểm M(x;y)  d => x + 2y+ 3 = 0 (*)

x '  2  x x  2  x ' Gọi M'(x';y’)=ĐI(M) thì   y '  2  y y  2  y ' Thay vào (*) ta được (2 - x') + 2(2 - y') + 3 = 0  x' + 2y' - 9 = 0 Vậy ảnh của d là đường thẳng d': x + 2y - 9 = 0. Cách 2. Gọi d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I, thì d' song song hoặc trùng với d nên phương trình d' có dạng x + 2y + c = 0. Lấy N(-3;0)  d, gọi N'=ĐI(N) thì N'(5;2). Lại có N'  d'=> 5 + 2.2 + c = 0<=>c = -9 . Vậy d': x + 2y - 9 = 0.  Chọn D Ví dụ 5: Tìm tâm đối xứng của đường cong (C) có phương trình y = x3 – 3x2 + 3. A. I(2;1)

B. I(2;2)

C. I(1;1)

D. I(1;2)

Hướng dẫn Lấy điểm M(x;y)  (C)  y = x3 - 3x2 + 2 (*) Gọi I(a;b) là tâm đối xứng của (C) và M'(x';y') là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I.

x '  2a  x x  2a  x ' Ta có   y '  2b  y y  2b  y ' Thay vào (*) ta được 2b  y '  (2 a  x')3  3(2a  x ')2  3

 y '  x '3  3x '2  3  (6  6a)x '2  (12a 2  12a)x ' 8a 2  2b  6(**) Mặt khác M'  (C) nên y '  x '3  3x '2  3 do đó (**)

 (6  6 a) x'2  (12a 2  12a)x ' 8a 3  12a 2  2b  6  0, x ' 6  6a  0 a  1   12a 2  12a  0  b  1 8a 3  12a 2  2b  6  0 

Vậy I(1;1) là tâm đối xứng của (C) Trang 6

 Chọn C Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 và d': x - 2y - 8 = 0. Tìm tâm đối xứng của phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó? A. I(3;0)

B. I(2;-5)

C. I(1;2)

D. I(-3;1)

Hướng dẫn Gọi I(a;b) là tâm đối xứng cần tìm. Gọi M(x;y)  d  x  2y  2  0(1)

x '  2a  x Gọi M’(x’;y’) = ĐI(M)   y '  2b  y Ngoài ra có M '(x ';y ')  d '  x ' 2y ' 8  0  (2a  x)  2(2b  y)  8  0

 (x  2y)  2a  4b  8  0(2) Thay (1) vào (2) được: a – 2b = 3 Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải thuộc trục Ox  b = 0

a  2b  3 a  3 Từ hai kết quả trên ta có:    I(3;0) b  0 b  0 Vậy tâm đối xứng cần tìm là I(3;0)  Chọn A Ví dụ 7: Trong mặt phăng Oxy cho hai điểm A(3;2); B(2;3). Tìm tâm I biết phép đôi xứng tâm I biến trục Ox thành chính nó và biến đường thẳng AB thành đường thẳng qua O và song song với đường thẳng AB 7 A. I( ;0) 2

9 B. I( ;1) 2

1 C. I(14; ) 2

D. I(2;0)

Hướng dẫn Gọi I(a;b). Vì phép đối xứng tâm I biến trục Ox thành Ox  I  Ox  b = 0. Đường thẳng AB qua A(3;2) và cỏ vectơ chỉ phương AB = (-2;1) nên có phương trình: (x  3)  2(y  2)  0  x  2 y  7  0 Gọi d’ là ảnh của đường thẳng AB =>d'||AB nên d’ có dạng x + 2y + m = 0. Ngoài ra có O(0;0)  d  d’ có phương trình x + 2y = 0 Gọi M(x;y)  AB  x + 2y – 7 = 0 (1)

x '  2a  x x '  2a  x Gọi M’ (x’;y’) = ĐI(M)    y '  2b  y y '  y Ngoài ra M '(x ';y ')  d  x ' 2 '  0  2a  x  2y  0  x  2y  2a (2) Thay (2) vào (1) được: 2a – 7 = 0  a 

7 2

7 Vậy I( ;0) 2

 Chọn A 2. Bài tập tự luyện Trang 7

Câu 1. Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d'? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 2. Cho bốn đường thẳng a,b,a',b' trong đó a//a',b//b' và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a' và b'? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O? A. x = -2

B. y = 2

C. x = 2

D. y = -2

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình d: x - 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm O A. x - 2y - 3 = 0

B. x + y – 7 = 0

C. x + y – 12 = 0

D. x – 2y – 12 = 0

Đáp án: 1–D

2–B

3–A

4-A

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành đường thẳng d'? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 3. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c không song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến đường thẳng a thành đường thẳng b và biến đường thẳng c thành chính A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 4. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng? A. Đường elip

B. Đường hypebol

C. Đường parabol

D. Đồ thị của hàm số y = sin X

Câu 5. Trong các hình dưới đây, hình nào không có trục đối xứng? A. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau B. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý C. Hình gồm một đường tròn và một đường thẳng tùy ý. D. Hình gồm một tam giác cân và đường tròn nội tiếp Câu 6. Trong các hình dưới đây hình nào không có vô số tâm đối xứng? A. Đồ thị của hàm số y = sin x

B. Đồ thị của hàm số y = sinx +1 Trang 8

C. Đồ thị của hàm số y = tan x

D. Đồ thị của hàm số y 

1 x

Câu 7. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 8. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c không vuông góc với chúng cũng không song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 9. Trong các hình dưới đây, hình nào có bốn trục đối xứng? A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình thoi

D. Hình vuông

Câu 10. Hình gồm hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau có mấy trục đối xứng? A. 0

B. 2

C. 4

D. vô số

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Ox. Với M(x;y) bất kì, gọi M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó tọa độ điểm M' là: A. M'(x;y).

B. M'(-x,y).

C. M'(-x,-y).

D. M'(x,-y).

Câu 12. Hình tam giác đều ABC có bao nhiêu trục đối xứng A. Không có trục đối xứng

B. Có duy nhất 1 trục đối xứng

C. Có đúng 2 trục đối xứng

D. Có đúng 3 trục đối xứng

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x - y+ 4 = 0. Hỏi trong các đường thẳng sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm? A. 2x + y - 4 = 0

B. x + y - 1 = 0.

C. 2x - 2y + 1 = 0

D. 2x + 2y - 3 = 0

Câu 14. Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường tròn (c): (x-1)2 +(y-3)2 =16. Giả sử qua phép đối xứng tâm I điểm A(1;3) biến thành điêm B(a;b). Tìm phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm I. A. (x  a)2  (y  b)2  1

B. (x  a)2  (y  b)2  4

C. (x  a)2  (y  b)2  9

D. (x  a)2  (y  b)2  18

Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;3). Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O. A. A '(1; 3)

B. A '(2; 1)

C. A '(1;2)

D. A '(1; 2)

Câu 16. Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm 1(1;2) của đường tròn A. (x  3)2  (y  1)2  4 B. (x  1)2  (y  2)2  4 C. (x  2)2  (y  2)2  4 D. (x  1)2  (y  2)2  2 Câu 17. Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 và d': x - 2y - 8 = 0 . Tìm tâm đối xứng của phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Oy thành chính nó? 3 A. I(0;  ) 2

1 B. I(0; ) 2

4 C. I( ;0) 3

D. I(3;0)

Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (p): y2 = x . Hỏi parabol nào sau đây là ảnh của parabol (p) qua phép đối xứng trục Oy? A. y2 = x

B. y2 = -x

C. x2 = -y

D. x2 = y Trang 9

Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn (C):

(x  1)2  (y  2)2  4 thành đường tròn (C') có phương trình là: A. (x  1)2  (y  2)2  4

B. (x  1)2  (y  2)2  4

C. (x  1)2  (y  2)2  4

D. (x  1)2  (y  2)2  4

Đáp án: 1–A

2–B

3–B

4–C

5–B

6–D

7–D

8–A

9–D

11 – D

12 – D

13 – C

14 – D

15 – A

16 – A

17 – A

18 – B

19 – C

10 - C

Trang 10

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP QUAY. PHÉP DỜI HÌNH PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phép quay ● Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM;OM') =  được gọi là phép quay tâm O,  được gọi là góc quay. ● Phép quay tâm O góc quay  được kí hiệu là Q(O,) ● Nhận xét Khi   (2k  1), k   thì Q(O,) là phép đối xứng tâm O. Khi   2k, k   thì Q(O,) là phép đồng nhất. ● Biểu thức tọa độ của phép quay Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M(x;y) và M'(x';y') = Q(O,) (M) thì

x '  x cos   y sin   y '  x sin   y cos  Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M(x;y) và M’(x’;y’) = Q(O,)(M) thì

x '  a  (x  a) cos   (y  b)sin   y '  b  (x  a)sin   (y  b) cos  ● Công thức tính nhanh: Nếu  

 thì 2

x '   y  y '  x

 Nếu    thì 2

x '  y   y '  x

x '  x Nếu    thì  y '  y Trong mặt phẳng (Oxy), cho d: Ax + By + C = 0 Nếu Q(O,) (d) = d’ và  

  k thì d’ có phương trình là Bx  Ay  C.sin   0 . 2

Nếu Q(O,) (d) = d’ và     k2 ,O  d thì d’ có phương trình là Ax  By  C  0 . Nếu Q(O,) (d) = d’ và     k2 ,I(a;b)  d thì d’ có phương trình là Ax  By  2Aa  2Bb  C  0 . ● Tính chất của phép quay: Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì Biến một đường thẳng thành đường thẳng Biển một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính ● Lưu ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay a biến đường thẳng d thành đường thẳng d', khi đó Trang 1

Nếu 0    Nếu

 thì góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng . 2

     thì góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng  - . 2

2. Phép dời hình ● Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ M,N và giữa hai ảnh M',N' của chúng.

f(M)  M ' M, N  H;   MN  M 'N' f(N)  N ' ● Nhận xét: Các phép biến hình: Đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình. Thực hiện liên tiếp các phép dời hình thì cũng được một phép dời hình. ● Tính chất: Phép dời hình f biến: Ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. f f Tam giác thành tam giác bằng nó (trực tâm ¾¾ ® trực tâm, trọng tâm ¾¾ ® trọng tâm)

f I  I' Đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’,R’) thỏa mãn  R  R '

Góc thành góc bằng nó ● Định nghĩa hai hình bằng nhau: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình f biến hình này thành hình kia. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phép quay 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD tâm O như hình bên. Hãy cho biết A phép quay nào trong các phép quay dưới đây biến tam giác OAD thành tam giác ODC? A. Q (O,90)

B. Q (O,45)

C. Q (O,90)

D. Q (O,45) Hướng dẫn

Do Q (O,90) (O)  0;Q (O,90) (A)  D;Q (O,90) (D)  C; nên phép quay Q (O,90) biến tam giác OAD thành tam giác ODC  Chọn A Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x  3y  5  0 và x + 7y - 4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thi số đo của góc quay  (0 <  < 90°) là: Trang 2

A. 45

B. 60

C. 90

D. 30

Hướng dẫn  Đường thẳng a: 4x + 3y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến na  (4;3)  Đường thẳng b: x + 7y - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến na  (1;7) Góc  là góc tạo bởi a và b ta có:

  cos   cos(na , n b ) 

4.1  3.7 4 2  32 . 12  72



2    45 2

 Chọn A Ví dụ 3: Cho M(3;4). Tìm ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay 30°

3 3 3  A. M '  ; 2 3  2 2   

B. M ' 2;2 3

3 3  C. M '  ;2 3   2   

3 3  3 D. M '   2;  2 3   2  2  





Hướng dẫn

x '  x cos   y sin  Gọi M '(x';y')  Q (O,30) . Áp dụng biểu thực tọa độ  ta có: y '  x sin   y cos   3 3 2 x '  3cos30  4 sin 30  3 3  3 2  M '  2;  2 3     2 y '  3sin 30  4 cos30  3  2 3  2   2

 Chọn D Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm o, góc quay 180°. A. 2x – 5y – 3 = 0

B. 2x – y – 3 = 0

C. x – 2y – 3 = 0

D. x – 2y + 3 = 0

Hướng dẫn Cách 1: Vì Q(O,180) (d)  d ' nên d’ // d. Do đó d’ có phương trình dạng: 2x – y + m = 0 (m  3) Chọn M(1;5)  d , gọi M’(x’,y’)  d’ là ảnh của điểm M qua phép quay Q (O,180)

x '  y M  1   M '(1, 5) y '  x M  5 Do M’(-1;-1)  d’ nên 2.(-1) – (-5) + m = 0  m = -3 Vậy d’ có phương trình là 2x – y – 3 = 0 Cách 2: Với mọi điểm M(x;y)  d,M '(x ';y ')  d ' sao cho Q(O,180) (M)  M '

x '  x x  x ' Khi đó ta có:   y '  y y  y ' Vì M(x;y)  d nên ta có 2x  y  3  0  2x ' y ' 3  0  2x ' y ' 3  0 Trang 3

Vậy d’ có phương trình là 2x – y – 3 = 0 Cách 3 (công thức tính nhanh) Trong mp(Oxy) cho d : Ax  By  C  0 . Nếu Q (O, ) (d)  d ' và     k2  (O  d) thì d’ có phương trình là Ax + By + C = 0 Vì d : 2 x  y  3  0 và Q(O.180) (d)  d ' nên d’ có phương trình là 2x – y – 3 = 0  Chọn B Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x + 3y - 6 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay 90°? A. d ' : 3x  2y  6  0

B. d ' : x  y  9  0

C. d ' : 2x  3y  4  0

D. d ' : 3x  2y  9  0 Hướng dẫn

Vì d '  Q(O,90) (d)  d '  d nên d’ có dạng: 3x – 2y + m = 0. Gọi M(3;0)  d. Gọi M’ là ảnh của M qua phép quay tâm O góc quay 90 , vì M  Ox  M’  Oy  M '(0;3) Ngoài ra M  d  M '  d '  3.0  2.3  m  0  m  6 Vậy phương trình d’: 3x – 2y + 6 = 0  Chọn A Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 3)2 + (y + 4)2 =16. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 180°. A. (x  3) 2  (y  4) 2  16

B. (x  3) 2  (y  4) 2  16

C. (x  3) 2  (y  4) 2  16

D. (x  3) 2  (y  4) 2  16 Hướng dẫn

Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I(3;-4) và bán kính R = 4 Gọi C'(I',R') là ảnh của (C) qua phép quay Q(O,180)

 x   x I  3 Khi đó ta có: R '  R  4 và Q(O,180) (I)  (I ') , suy ra  I'  I '(3; 4)  y I'   y I  4 Vậy (C’) có phương trình là: (x  3) 2  (y  4) 2  16 Cách 2: Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép quay Q(O,180) Với mọi điểm M(x;y)  (C), M’(x’;y’)  (C’) sao cho Q(O,180) (M)  (M ')

x '  x x  x ' Khi đó ta có:   y '  y y  y ' Vì M(x;y)  (C) nên ta có: (C): (x  3) 2  (y  4) 2  16  (C) : ( x ' 3) 2  ( y ' 4) 2  16  (x ' 3) 2  (y ' 4) 2  16 Vậy (C’) có phương trình là: (x  3) 2  (y  4) 2  16 Cách 3: Sử dụng công thức nhanh Trang 4

Trong mặt phẳng (Oxy), cho (C): (x  A) 2  (y  B) 2  R 2 Nếu Q(O, ) (C)  (C') và     k2 thì (C): (x  A) 2  (y  B) 2  R 2  Chọn C Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (c) : x2 + y2 - 4x - 4y - 1 = 0. Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép Q(O,90) A. (x  2) 2  (y  2) 2  9

B. (x  1) 2  (y  1) 2  9

C. (x  2) 2  (y  2) 2  3

D. (x  2) 2  (y  2) 2  9 Hướng dẫn

Đường tròn (C) có tâm I(2;2) bán kính R  22  22  1  3 Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm O góc 90 : Q(O,90) (C)  (C ') Gọi Q(O,90) (I)  I '(x; y)  I’ là tâm của (C’) Gọi A(2;0) là hình chiếu của I lên trục Ox Gọi B(0;2) là hình chiếu của I lên trục Oy Dễ thấy Q(O,90) (A)  A '(0, 2);Q(O,90) (B)  B'(2, 0);  I'(2; 2) Vậy phương trình (C ') : (x  2) 2  (y  2) 2  9  Chọn A 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc , 0    2 , biến hình chữ nhật trên thành chính nó? A. Không có

B. Hai

C. Ba

D. Bốn

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1,3). Tìm ảnh của M qua phép Q(O,90) A. I(-3;1)

B. I(3;1)

C. I(1;0)

D. I(-1;-3)

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d:2x - 3y + 2 = 0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép Q(O,90) A. d ' : 3x  2y  2  0

B. d ' : 3x  2y  1  0

C. d ' : x  2y  3  0

D. d ' : 3x  2y  1  0

Câu 4. Phép quay Q(O,) biến điểm M thành điểm M'. Khi đó   A. OM  OM ';(OM, OM ')   B. OM  OM ';(OM, OM ')     '   '   C. OM  OM '; MOM D. OM  OM '; MOM Đáp án: 1–C

2–A

3–A

4–B

Dạng 2: Phép dời hình. Hai hình bằng nhau 1. Phương pháp giải Trang 5

Xác định ảnh của một hình qua phép dời hình: Dùng định nghĩa, biểu thức tọa độ và các tính chất của các phép dời hình cụ thể (tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay ) có trong bài toán 2. Ví dụ minh họa

 Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: 2x + y = 0 và v  (3; 1) . Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng  cách thực hiện liên tiếp phép quay Q(O,90) và phép tịnh tiến theo v A. d ' : x  2y  5  0

B. d ' : x  2y  5  0

C. d ' : x  2y  3  0

D. d ' : x  2y  3  0 Hướng dẫn

Đặt F  Tv Q(O,90) là phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay Q(O,90) và phép tính  tiến v Gọi d '  F(d) thì d '  d  d ' : x  2y  c  0 Lấy O(0;0)  d  F(O)  Tv Q(O,90) (O)  Tv (O)  O '(3; 1);O '  d '  c  5 Vậy F(d)  d ' : x  2y  5  0  Chọn B Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 3x + y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I(1;2) và phép tịnh tiến theo vectơ  v  (2;1) A. d ' : 3x  2y  8  0

B. d ' : x  y  8  0

C. d ' : 2x  y  8  0

D. d ' : 3x  y  8  0

Hướng dẫn Gọi F  Tv Q(O,90) là phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I và phép tính tiến

Tv Gọi d I  §I (d),d '  Tv (d I )  d '  F(d) Do d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của d' có dạng 3x + y + c = 0. Lấy M(0;-3)  d ta có §1 (M)  M'(2;7) Lại có Tv (M ')  M"(2  (2);7  1)  M"(0;8) nên F(M) = M”(0;8) Mà M"  d '  8  c  0  c  8 Vậy d’: 3x + y – 8 = 0  Chọn D Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tạo ảnh của đường tròn (C): (x + 2)2 +(y - 5)2 = 9 qua phép dời hình x '  x  2  y '  y  1 A. (x  4)2  (y  6)2  9

B. (x  4)2  (y  7)2  9

C. x 2  (y  4)2  9

D. (x  4)2  (y  1)2  9 Hướng dẫn Trang 6

x '  x  2 Theo đề bài:  y '  y  1 Thay vào phương trình đường tròn (C’): (x + 2)2 + (y - 5)2 =9 ta có:

(x  2  2)2  (y  1  5)2  9  (x  4)2  (y  6)2  9 Vậy tạo ảnh của đường tròn đã cho qua phép dời hình là đường tròn có phương trình: (x + 4)2+(y - 6)2 = 9  Chọn A 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) phép biến hình nào sau đây là phép dời hình? A. Phép biến hình F1, biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M'(y;-x). B. Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M'(2x;y). C. Phép biến hình F3 biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M'(3x + 1;y - 1). D. Phép biến hình F4 biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M'(2y;-2x). Câu 2. Trong mặt phẳng (Oxy), tìm tạo ảnh của đường tròn (C'): (x - 3)2 +(y - 4)2 =16 qua phép dời hình x '  x  1  y '  y  3 A. (x  2)2  (y  1)2  16

B. (x  2)2  (y  1)2  16

C. (x  2)2  (y  1)2  16

D. (x  2)2  (y  1)2  16

Đáp án: 1–A

2–B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;1). Hỏi trong các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc 45°? A. (-1;1)

B. (1;0)

C. ( 2;0)

D. (0; 2)

Câu 2. Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc , 0    2  , biến tam giác trên thành chính nó? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 3. Chọn câu sai trong các câu sau: A. Qua phép quay Q (O,) , điểm O biến thành chính nó B. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O, góc quay -180°. C. Phép quay tâm O góc quay 90° và phép quay tâm O góc quay -90° là hai phép quay giống nhau D. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O, góc quay 180°. Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ ảnh A' của điềm A qua phép quay Qæ

çç0; p ö÷÷ çèç 2 ÷ø÷

A. A’(0;-3)

B. A’(0;3)

C. A’(-3;0)

D. A '(2 3,2 3)

Câu 5. Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay? Trang 7

A. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và điểm M khác điểm O thành điểm M' sao cho (OM,OM') =  được gọi là phép quay tâm O với góc quay  B. Nếu Q (O,90) : M  M '(M  0) thì OM '  OM C. Phép quay không phải là một phép dời hình D. Nếu Q (O,90) : M  M '(M  0) thì OM '  OM Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(2;0) và điểm N(0;2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điểm N, khi đó góc quay của nó là: A.   30

B.   30 hoặc   45 C.   90

D.   90 hoặc   270

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):x2 + y2 - 6x + 2y - 15 = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm o góc quay 90°. A. (x  1)2  (y  3)2  25

B. (x  3)2  (y  6)2  9

C. (x  3)2  (y  1)2  36

D. (x  3)2  (y  1)2  25

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;2). Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O góc quay 45°. A. M '(0;2 2)

B. M '(1; 8)

C. M '(2; 2)

D. M '( 2; 2)

Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x – y - 2 = 0. Tìm ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay 45°. A. 3x  y  2 2  0

B. 2x  y  8  0

C. 2x  2y  2  0

D. x  2y  2  0

Đáp án: 1–D

2–D

3–C

4–B

5–B

6–D

7–A

8–A

9–A

Trang 8

CHƯƠNG 3: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 4: PHÉP VỊ TỰ. PHÉP ĐỒNG DẠNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phép vị tự ● Định nghĩa: Cho điểm I và một số thực k ≠ 0.Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho   IM '  k.IM được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k. Kí hiệu V(I;k)   Vậy V I ;k   M   M’  IM '  k.IM ● Biểu thức tọa độ. Trong mặt phẳng tọa độ, cho I(x0;y0), M(x;y), gọi M’(x’;y’)= V(I;k) thì

 x '  kx  (1  k ) x0   y '  ky  (1  k ) y0 ● Tính chất:

  Nếu V( I ;k ) ( M )  M', V( I ;k ) (N )  N ' thì M ' N '  k MN và M ' N '  k MN

Phép vị tự tỉ số k: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó. Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R ● Tâm vị tự của hai đường tròn. Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn. Cho hai đường tròn (I;R) và (I’;R’): Nếu I  I ' thì các phép vị tự V

R'   I ; R   

biến (I;R) thành (I’;R’)

Nếu I  I ' và R  R ' thì các phép vị tự V

R'   O; R   

và V

R'   O ; R   

biến (I;R) thành (I’;R’). Ta gọi O là tâm vị tự

ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

Nếu I ≠ I’ và R=R’ thì có V( O1 ;1) biến (I;R) thành (I’;R’). Trang 1

2. Phép đồng dạng ● Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ của chúng ta luôn có M’N’=k.MN. Nhận xét: Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k=1. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k Nếu thực hiện liên tiếp các phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng. ● Tính chất của phép đồng dạng: Phép đồng dạng tỉ số k: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó. Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k.R. ● Hai hình đồng dạng. Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. 3. Sơ đồ biểu thị mối quan hệ giữa các phép biến hình

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phép vị tự 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho phép vị tự tỉ số k=2 biến điểm A thành điểm B và biến điểm C thành điểm D. Khi đó:         A. AB  2CD B. 2AB  CD C. 2AC  BD D. AC  2 BD Hướng dẫn Phép vị tự tỉ số k=2 biến điểm A thành điểm B và biến điểm C thành điểm D do đó nó biến đoạn thẳng   AC thành đoạn thẳng BD do đó 2AC  BD Chọn C. Trang 2

Ví dụ 2: Cho phép vị tự tâm I tỉ số k, có các mệnh đề sau: Phép vị tự (1) Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không bảo toàn vị trí của nó. (2) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. (3) Biến tam giác này thành tam giác bằng với nó, biến góc này thành góc bằng với nó. (4) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R. Số mệnh đề phát biểu đúng? A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn (1) Sai, phép vị tự bảo toàn vị trí các điểm. (2) Đúng. (3) Sai, phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. (4) Sai, phép vị tự biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R Chọn B. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-2;4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau? A. (-3;4)

B. (-4;-8)

C. (4;-8)

D. (4;8)

Hướng dẫn   M '  V(O;2) ( M )  OM '  2OM  2(2;4)  (4; 8)  M '(4; 8) . Chọn C. Ví dụ 4: Phép vị tự tâm I tỉ số k  A. I(-7;6)

1 biến điểm M thành điểm M’ với M(4;-3) và M’(2;1). Tọa độ tâm I là: 2

 7 3  B. I  ;   2 2

7 3 C. I  ;  2 2

D. I(0;5)

Hướng dẫn    1  Gọi tâm I(x;y). Theo bài ra, ta có: IM '  k.IM  M ' I  MI 2   Mà M ' I  ( x  2; y  1) và MI  ( x  4; y  3) suy ra 1   x  2  2 ( x  4) x  0   I (0;5).  y  5  y  1  1 ( y  3)  2

Chọn D. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2 + (y -1)2 = 4 . Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k = 3. A. (C’): (x-5)2 + (y-2)2 = 36.

B. (C’): (x-5)2 + (y-2)2 = 4.

C. (C’): (x-7)2 + (y+2)2 = 4.

D. (C’): (x-7)2 + (y+2)2 = 36. Trang 3

Hướng dẫn Đường tròn (C) có tâm J(1;1), bán kính R = 2.   ìïx '-1 = 3(1 + 1) ìïx ' = 7 Gọi J’(x’;y’) = V(1;3)(J) Þ IJ ' = 3IJ Û ïí Û ïí ïîïy '-1 = 3(1- 2) ïîïy ' = -2

Þ J '(7; -2).

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự V(1;3) thì (C’) có tâm J’(7;-2), bán kính R’ = 3R = 6. Vậy (C’): (x – 7)2 + (y +2)2 = 36. → Chọn D. Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x+3y-5=0. Lập phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(1;5), tỉ số k=3. A. 2x+3y+19=0

B. 3x+2y+19=0

C. -2x+3y+19=0

D. 2x+3y-19=0 Hướng dẫn

Giả sử M ( x; y )  d và M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm I(1;5), tỉ số k=3 x ' 2     x  3  x ' 1  3( x  1)  x '  3x  2   Khi đó ta có IM '  3 IM    y ' 5  3( y  5)  y '  3 y  10  y  y ' 10  3

Mà M ( x; y )  d nên 2.

x ' 2 y ' 10  3.  5  0  2 x ' 3 y ' 19  0 3 3

→ Chọn A. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(4;5) và I(3;-2), A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=3. Tọa độ A’ là: A. A’(3;21)

B. A’(6;19)

C. A’(6;-19)

D. A’(-3;-21)

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2+y2-4x+6y-3=0. Hãy viết phương trình đường tròn (C2) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(2;1), tỉ số k=2. A. (x-2)2+(y+7)2=64

B. (x+3)2+(y-6)2=9

C. (x-3)2+(y+1)2=36

D. (x-3)2+(y+5)2=16

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x+y-3=0. Phép vị tự tâm O tỉ số k=2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau: A. 2x+y+3=0

B. 2x+y-6=0

C. 4x-2y-3=0

D. 4x+2y-5=0

Đáp án: Trang 4

1-D

2-B

3-A

4-B

Dạng 2: Phép đồng dạng 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB,CD,CI,FC. Phép đồng dạng hợp bởi phép vị tự tâm C tỉ số k=2 và phép đối xứng tâm I biến tứ giác IGHF thành: A. AIFG

B. BCFI

C. CIEB

D. DIEA

Hướng dẫn Phép đồng dạng hợp bởi phép vị tự tâm C tỉ số k=2 biến tứ giác IGHF thành tứ giá AIFD. V(C;2)(IGHF)=(AIFD). Phép đối xứng tâm I biến tứ giác AIFD thành CIEB. ĐI(AIFD)=CIEB Chọn C. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép đồng dạng F hợp thành bởi phép vị tự tâm O(0;0), tỉ số 1 k  và phép đối xứng trục Ox biến điểm M(4;2) thành điểm có tọa độ: 2 A. (2;-1)

B. (8;1)

C. (4;2)

D. (8;4)

Hướng dẫn V

1  O; 

§§  2 Cách 1: M ( x; y )   M1 ( x1 ; y1 )  M2 ( x 2 ; y 2 )

1 1   1   x1  2 x  2 .4  2  M1 (2;1). Ta có: OM1  OM nên  2  y  1 y  1 .2  1  1 2 2

 x  x1  2 Ta có:  2  M2 (2; 1)  y2   y1  1 Cách 2: Sử dụng đồ thị Oxy

Chú ý: Ta có thể sử dụng công thức sau: Trong mặt phẳng Oxy, cho phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số k. Phép vị tự trên biến điểm M(x;y) thành điểm M1(x1;y1). Trang 5

   x  k ( x  a)  a Ta có: IM1  k IM   1  y1  k ( y  b)  b → Chọn A. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm I(3;-2) và A(4;5). Tìm ảnh của điểm A qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I, tỉ số 3 và phép tịnh tiến theo vectơ  u  (2; 4)? A. A’(8;15)

B. A’(7;20)

C. A’(6;19)

D. A’(5;10)

Hướng dẫn Gọi A1(x1;y1) là ảnh của A qua phép vị tự tâm I(3;-2), tỉ số 3. Ta có:

   x1  x I  3( x A  x I )  x  3  3(4  3) x  6 IA1  3 IA    1  1  y1  2  3(5  2)  y1  19  y1  yI  3( y A  yI )  Gọi A’(x’;y’) là ảnh của A1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u . Ta có:  x '  x1  2  6  2  8   y '  y1  4  19  4  15 Vậy A’(8;15) cũng là ảnh của A qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm  I, tỉ số 3 và phép tịnh tiến theo vectơ u  (2; 4) . 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d: 3x-4y+12=0 qua phép đồng dạng có được  bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay Q( O;900 ) và phép tịnh tiến theo vectơ v  (2;4). A. (d’):4x+3y-8=0

B. (d’):4x+3y+1=0

C. (d’):4x+y-7=0

D. (d’):4x+y+3=0

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d:3x+2y-6=0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2), tỉ số k=-2. A. (d’):2x+3y-4=0

B. (d’): x+y-9=0

C. (d’):3x+2y-9=0

D. (d’):3x+2+9=0

Đáp án: 1-A

2-C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1: Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành d’? A. Không có phép nào

B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép

D. Có vô số phép.

Câu 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến. B. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục. C. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng qua tâm. D. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến. Trang 6

 1   11 4  Câu 3: Cho 3 điểm A(1;2), B  ;4  , C  ;  . Tìm tỉ số k trong phép vị tự tậm A tỉ số k biến điểm B 2   6 3  thành điểm C?

A. Không tồn tại

B. k 

1 2

C. k 

1 3

D. k 

5 3

Câu 4: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Có một phép tịnh tiến theo vectơ khách không biến mọi điểm thành chính nó. B. Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó. C. Có một phép đối xứng tâm mọi điểm thành chính nó. D. Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó. Câu 5: Cho hình thang ABCD tâm I có hai cạnh đáy là AB và CD mà AB=3CD. Phép vị tự tâm I biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số là: B. k  

A.k=3

1 3

C. k 

1 3

D. k=-3

Câu 6: Cho phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Cho các mệnh đề sau: (1) I, M, M’ thẳng hàng. (2) k < 0, M, M’ nằm cùng phía so với I. (3) k > 0, M, M’ nằm khác phía so với I. (4) Ta luôn có IM’=k.IM. Số mệnh đề phát biểu sai là? A. 2

B. 1

C. 3

D. 4.

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x+y-2=0. Phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? A. 2x+2y+1=0.

B. 2x+2y-3=0.

C. x+y+4=0.

D. x+y-4=0.

Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2+(y-2)2=4. Phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? A. (x-2)2+(y-4)2=16

B. (x-4)2+(y-2)2=4

C. (x-4)2+(y-2)2=16

D. (x+2)2+(y+4)2=16

Câu 9: Cho phép vị tự V(O;k)(M)=M’ và V M ',  (O)  M khi đó ta có: A.  

k k 1

B.  

1 k k

C.  

k 1 k

D.  

k 1 k

Câu 10: Cho đường thẳng d: 2x-3y+6=0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(2;-1), tỉ số vị tự k=-2 và phép tịnh tiến theo  v  (1;1) A. -2x+3y+28=0

B. 3x-2y+6=0

C. 3x+2+9=0

d. -2x+3y+12=0

Đáp án: 1-A

2-A

3-B

4-D

5-B

6-C

7-C

8-D

9-D

10-A

Trang 7

Trang 8

CHƯƠNG 4: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG CHUYÊN ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Các tính chất thừa nhận  Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.  Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.  Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.  Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.  Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Do đó nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.  Trên mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 2. Cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:  Mặt phẳng đó đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Kí hiệu:  ABC 

 Mặt phẳng đó đi qua một điểm A và một đường thẳng d không đi qua điểm A đó. Kí hiệu:  A, d 

 Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d, d ' Kí hiệu:  d, d '

Trang 1

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giao tuyến hai mặt phẳng 1. Phương pháp giải Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng    và    , ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến

A      A        A      B      B        B     Do đó AB         2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng  ACD  và  GAB  là: A. AM (M là trung điểm của AB)

B. AN (N là trung điểm của CD)

C. AH (H là hình chiếu của B trên CD)

D. AK (K là hình chiếu của C trên BD) Hướng dẫn

A   ACD  Ta có:  A   GAB  Do đó A   ACD    GAB  . A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng  ACD  và  GAB  . Gọi N là trung điểm của CD. Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên BG  CD  N

 N  BG, BG   ABG   N   ABG    N  CD, CD   ACD   N   ACD  Do đó N   ACD    GAB  . N là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng  ACD  và  GAB  . Vậy AN   ACD    GAB  với N là trung điểm của CD  Chọn B.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD  AD / /BC  . Gọi M là trung điểm CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng  MSB  và  SAC  là: A. SI (I là giao điểm của AC và BM)

B. SJ (J là giao điểm của AM và BD) Trang 2

C. SO (O là giao điểm của AC và BD)

D. SP (P là giao điểm của AB và CD) Hướng dẫn

S  MSB  Ta có:  S  SAC  Do đó S  MSB    SAC  S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng  MSB  và  SAC  . Gọi I là giao điểm của AC và BM.

I  BM, BM   SBM   I   SBM   I  AC, AC   SAC   I   SAC  Do đó I  MSB    SAC  I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng  MSB  và  SAC  . Vậy  MSB    SAC   SI với I là giao điểm của AC và BM.  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho tứ diện S.ABC. Lấy M  SB, N  AC, I  SC sao cho MI không song song với BC, NI không song song với SA. Gọi K  MI  BC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng  MNI  với mặt  ABC  ? A. NK

B. NC

C. MI

D. MK

Hướng dẫn

 N   MNI  Vì   N  AC, AC   ABC   N   ABC  Do đó N   MNI    ABC 1 Trong mp  SBC  , K  MI  BC

K  MI, MI   MNI   K   MNI   K  BC, BC   ABC   K   ABC  Do đó K   MNI    ABC  2  Từ (1) và (2) suy ra  MNI    ABC   NK  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB//CD). Khẳng định nào sau đây sai? A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên. B. Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  là SO (O là giao điểm của AC và BD). C. Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD  và  SBC  là SI (I là giao điểm của AD và BC). D. Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  là đường trung bình của ABCD. Trang 3

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên cạnh SC và J không trùng với trung điểm SC. Giao tuyến của 2 mặt phẳng  ABCD  và  AIJ  là: A. AK (K là giao điểm của IJ và BC)

B. AH (H là giao điểm của IJ và AB)

C. AG (G là giao điểm của IJ và AD)

D. AF (F là giao điểm của IJ và CD)

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB / /CD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh SB lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  ADM  và  SAC  . A. SI

B. AE (E là giao điểm của DM và SI)

C. DM

D. DE (E là giao điểm của DM và SI)

Đáp án: 1D

2D

3B

Dạng 2: Giao điểm đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp giải Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P  ta cần lưu ý một số trường hợp sau: Trường hợp 1. Nếu trong  P  có sẵn một đường thẳng d ' cắt d tại M, khi đó:

M  d M  d   M  d  P  M  d   P  M   P  Trường hợp 2. Nếu trong  P  chưa có sẵn d ' cắt d thì ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn một mặt phẳng  Q  chứa d Bước 2: Tìm giao tuyến    P    Q  Bước 3: Trong  Q  gọi M  d   thì M chính là giao điểm của d   P  2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm p sao cho BP  2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng  MNP  là giao điểm của CD với đường thẳng: A. NP

B. MN

C. MP

D. AP

Hướng dẫn Cách 1: Xét mặt phẳng  BCD  chứa CD. Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E. Điểm E  NP, NP   MNP   E   MNP  . Vậy CD   MNP  tại E. Trang 4

Cách 2:

 N  BC Ta có   NP   BCD  suy ra NP, CD đồng phẳng. P  BD Gọi E là giao điểm của NP và CD.

E  NP, NP   MNP   E   MNP  E  CD. Do đó CD   MNP   E. Vậy giao điểm của CD và  MNP  là giao điểm E của NP và CD .  Chọn A.

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng

 ABCD  .

Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Giao điểm của đường thẳng SD với

mặt phẳng  ABM  là: A. Giao điểm của SD và AB B. Giao điểm của SD và AM C. Giao điểm của SD và BK (với K  SO  AM) D. Giao điểm của SD và MK (với K  SO  AM) Hướng dẫn

B   SBD  Ta có:  B   ABM  Do đó B   SBD    ABM  . B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABM  . Trong mặt phẳng  SAC  , gọi K  AM  SO Ta có

K  SO,SO   SBD   K   SBD   K  AM, AM   ABM   K   ABM  Do đó K   SBD    ABM  . K là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABM  . Từ đó ta có: KB   SBD    ABM  . Trong mặt phẳng  SBD  , gọi N  BK  SD.

 N  BK, BK   ABM   N   ABM    N  SD Do đó N  SD   ABM  .

Trang 5

 ABM 

Vậy giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng

là giao điểm của SD và BK (với

K  SO  AM ).  Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SD. I là giao BI điểm của BM với mp  SAC  . Tính tỉ số MI A.

1 2

1 3

C. 2

2 3

Hướng dẫn Có S   SAC    SBD 1 . Trong mp  ABCD  gọi

O  AC  BD  O   SAC    SBD  2  . Từ (1) và (2) suy ra  SAC    SBD   SO.

I  BM Trong mp  SBD  gọi I  BM  SO   I  SO  (SAC)  I  BM   SAC  . Trong SBD có I là giao điểm của hai đường trung tuyến SO và BM suy ra I là trọng tâm của SBD. Do đó BI  2IM Vậy

BI 2 MI

 Chọn C.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm thuộc đoạn SD sao cho SN  2ND. E là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng  ABCD  . Tính A.

EN . EM 2 3

B. 2

1 2

D. 1

Hướng dẫn Trong mp  SBD  gọi E  MN  BD,

E  MN có   E  MN   ABCD  . E  BD   ABCD  Trong mp  SBD  , dựng DL || MN, L  SB. Trang 6

Có

SN SM BM  2  2  L trung điêm của BM. ND ML ML

Suy ra LD là đường trung bình của BEM  2LD  EM. 2 DL EN MN 2 3 Vậy có  1  1  EM EM 2DL 3

 Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song với CD. Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD. H là giao điểm CD và MN, I là giao điểm BD và HO. Tìm giao điểm của BD và  OMN  . A. I

B. B

C. H

D. M

Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song với CD. Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD. K là giao điểm của BO và CD. L là giao điểm của MN và AK. E là giao điểm của AO và BL. Tìm giao điểm của MN và  ABO  . A. K

B. E

C. L

D. O

Đáp án: 1A

2C

Dạng 3: Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng 1. Phương pháp giải Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng  P  là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của (P) với các mặt hình chóp. Xác định lần lượt các giao tuyến của  P  với các mặt của hình chóp theo các bước sau:  Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của  P  với một mặt của hình chóp (Có thể là mặt trung gian).  Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của  P  với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này.  Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. Chú ý: Mặt phẳng    có thể chỉ cắt một số mặt của hình chóp 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  PAB  là hình gì? A. Tam giác

B. Tứ giác

C. Hình thang

D. Hình bình hành

Trang 7

Hướng dẫn Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi E  AB  CD. Trong mặt phẳng  SCD  , gọi Q  SC  EP. Ta có E  AB nên E   ABP   Q   ABP  Do đó Q  SC   ABP  . Thiết diện là tứ giác ABQP.  Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh CD với ED  3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng  MNE  và tứ diện ABCD là: A. Tam giác MNE B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF / /BC D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF / /BC Hướng dẫn Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC  MN / /BC. Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F  EF / /BC. Do đó MN / /EF suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng và MNEF là hình thang. Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.  Chọn D.

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng  GCD  cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là: A.

a2 3 2

a2 2 4

a2 2 6

a2 3 4

Hướng dẫn Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN  MC  G. Dễ thấy mặt phẳng  GCD  cắt đường thẳng AB tại điểm M. Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng  GCD  và tứ diện ABCD. Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra MD 

a 3 2

Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra MC 

a 3 2

Trang 8

1 Gọi H là trung điểm của CD  MH  CD  SMCD  .MH.CD 2

Với MH  MC2  HC2  MC2  Vậy SMCD

CD 2 a 2  4 2

1 a 2 a2 2  . .a  2 2 4

 Chọn B.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM) là: A. Tứ giác HKMN với N  AD . B. Hình thang HKMN với N  AD và HK / /MN . C. Tam giác HKL với L  KM  BD . D. Tam giác HKL với L  HM  AD . Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a  a  0  . Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Mặt phẳng  MNP  cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng: A. a

a2 B. 2

a2 C. 4

a2 D. 16

Đáp án: 1C

2C

Dạng 4: Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 1. Phương pháp giải Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng. Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Ba điểm B, J, K thẳng hàng

B. Ba điểm I, J, K thẳng hàng

C. Ba điểm I, J, K không thẳng hàng

D. Ba điểm I, J, C thẳng hàng

Hướng dẫn Ta có I  DE  AB, DE   DEF   I   DEF  ;

AB   ABC   I   ABC  1 . Trang 9

Tương tự J  EF  BC

J  EF   DEF    2 J  BC  (ABC) K  DF  AC

K  DF   DEF    3 K  AC   ABC  Từ (1), (2) và (3) ta có I, J, K là điểm chung của hai mặt phẳng  ABC  và  DEF  nên chúng thẳng hàng.  Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Mặt phẳng    qua MN cắt AD và BC lần lượt tại P, Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I, A, C

B. I, B, D

C. I, A, B

D. I, C, D

Hướng dẫn

I  MP I   ABD  Ta có MP cắt NQ tại I    I  NQ I   CBD   I   ABD    CBD   I  BD

Vậy I, B, D thẳng hàng.  Chọn B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một mặt phẳng    cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm M, N, P, Q. Khẳng định nào đúng? A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng quy

B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau

C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song.

D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau Hướng dẫn

Trong mặt phẳng  MNPQ  gọi I  MP  NQ. Ta sẽ chứng minh I  SO Dễ thấy SO   SAC    SBD  .

I  MP   SAC  I   SAC    I  SO  I  NQ   SBD  I   SBD  Vậy MP, NQ, SO đồng quy tại I.  Chọn A

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Mặt phẳng    qua MN cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I, A, C

B. I, B, D

C. I, A, B

D. I, C, D Trang 10

Câu 2. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm BCD , M là trung điểm CD, I là điểm ở trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng  ACD  tại J. Khẳng định nào sau đây sai? A. AM   ACD    ABG 

B. A, J, M thẳng hàng

C. J là trung điểm của AM

D. DJ   ACD    BDJ 

Đáp án: 1B

2C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Trong mặt phẳng    , cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm S không thuộc mặt phẳng    . Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi S và hai trong bốn điểm nói trên? A. 4

B. 5

C. 6

D. 8

Câu 2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm ở trên một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho? A. 10

B. 12

C. 8

D. 14

Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng  MBD  và  ABN  là A. Đường thẳng MN. B. Đường thẳng AM. C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm ACD) . D. Đường thẳng AH (H là trực tâm ACD) . Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng  SMN  và  SAC  là: A. SD

B. SO (O là tâm hình bình hành ABCD)

C. SG (G là trung điểm AB)

D. SF (F là trung điểm CD)

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm SCD . Gọi E trung điểm của CD. G là giao của AC và BE. H là giao của MN và SG. K là giao SC và AH. Chọn đáp án đúng? A. H là giao điểm của MN và  ABCD 

B. K là giao điểm của SC và  AMN 

C. K là giao điểm của SA và  CMN 

D. E là giao điểm của MN và  SAC 

Câu 6. Cho tứ diện SABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm SA và BC. M là điểm thuôc đoạn SC sao cho IA . 3SM  2MC. Mặt phẳng  KMN  cắt AB tại I. Tính tỉ số IB A.

2 3

B. 2

C. 1

3 4

Câu 7. Cho tứ diện SABC; lấy điểm M là trung điểm SA; lấy điểm N là trọng tâm SBC , I là giao điểm của MN với  ABC  . Tứ giác ABIC là hình gì? Trang 11

A. Hình bình hành

B. Hình thang

C. Hình thoi

D. Hình chữ nhật

Câu 8. Cho tứ diện SABC. Lấy điểm E, F lần lượt trên đoạn SA, SB và điểm G trọng tâm tam giác ABC. H là giao điểm của EF và AB. J là giao điểm của HG và BC. Tìm giao tuyến của  EFG  và  SBC  ? A. AH

B. GE

C. JF

D. HG

Câu 9. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M, N không song song với CD. Gọi O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD. K là giao điểm của BO và CD. L là giao điểm của MN và AK. E là giao điểm AO và BL. Tìm giao điểm của AO và  BMN  . A. E

B. K

C. L

D. O

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SA, SB. Khẳng định nào sau đây sai? A. IJCD là hình thang

B.  SAB    IBC   IB

C.  SBD    JCD   JD

D.  IAC    JBD   AO (O là tâm ABCD).

Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD cỏ độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC; P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng  MNP  cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là: A.

a 2 11 2

a2 2 4

a 2 11 4

a2 3 4

Câu 12. Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng  LMN  cắt các cạnh AB, BC, SC lần lượt tại K, I, J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. K, I, J

B. M, I, J

C. N, I, J

D. M, K, J

Câu 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai? A. AM   ACD    ABG 

B. A, J, M thẳng hàng

C. J là trung điểm của AM

D. DJ   ACD    BDJ 

Đáp án: 1C

2 A

3 C

11  C

12 B

13 C

4B

5 B

6 A

7 A

8 C

9 A

10  D

Trang 12

CHƯƠNG 4: Đường thẳng và mặt phẳng TKG. QH song song CHUYÊN ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hai đường thẳng chéo nhau. Hai đường thẳng song song  Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

 Tính chất Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Định lý 1: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Trang 1

2. Hai mặt phẳng song song  Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu    //              .  Định lý: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng (β) thì    //    . a     , b      Vậy a  b  M     //    . a //  , b //      

 Tính chất: Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.  Hệ quả 1: Nếu d//(α) thì trong (α) có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α).  Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.  Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A song song với (α).

A     , A      A  d Vậy   d   d//       //      Định lý: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau.

   //    Vậy           b //a .         a  Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn bằng nhau.  Định lí Ta-lét: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.    //    //     A1B1 A 2 B2  . d1      A1 , d1      B1 , d1      C1  B1C1 B2 C2  d 2      A 2 , d 2      B2 , d 2      C 2

 Định lí Ta-lét đảo: Cho hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau và các điểm A1, B1, C1 nằm trên AB A B d1; các điểm A2, B2, C2 nằm trên d2 sao cho 1 1  2 2 . Lúc đó, các B1C1 B2 C2 đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 cùng song song với một mặt phẳng. Trang 2

3. Phép chiếu song song Cho đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α). Lấy một điểm M trong không gian. Từ M dựng đường thẳng d (d//∆ hoặc d ≡ ∆). Đường thẳng d      M . Ta nói M là hình chiếu của M theo phép chiếu song song là đường thẳng ∆. Ta kí hiệu Ch     M   M .  Tính chất: Bảo toàn sự thẳng hàng và thứ tự các điểm. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.  Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng. Hình biểu diễn của một hình trong không gian là chiếu song song của hình đó lên mặt phẳng theo một phương chiều nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó. Hình biểu diễn của tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều thường là một tam giác bất kỳ. Hình biểu diễn của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông thường là hình bình hành. Hình biểu diễn của hình thang là một hình thang. Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip hay hình tròn. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hai đường thẳng chéo nhau. Hai đường thẳng song song. 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau, hoặc song song. Hướng dẫn Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng có thể song song với nhau (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).  Chọn A. Ví dụ 2: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. D. Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng. Hướng dẫn Khẳng định sai là B vì hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau, tức là có vô số đường thẳng chung.  Chọn B. Trang 3

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ? A. EF.

B. DC.

C. AD.

D. AB.

Hướng dẫn Ta có IJ là đường trung bình tam giác SAB nên IJ//AB. ABCD là hình bình hành nên AB//CD. Suy ra IJ//CD. EF là đường trung bình tam giác SCD nên EF//CD. Suy ra IJ//EF.  Chọn C. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 BD . 2

B. MN//PQ và MN = PQ.

C. MNPQ là hình bình hành.

D. MP và NQ chéo nhau.

A. MN//BD và MN 

Hướng dẫn Có MN, PQ lần lượt là đường trung bình tam giác ABD, BCD nên 1  MN //BD, MN  2 BD  PQ//BD, PQ  1 BD  2

Nên MN//PQ và MN = PQ. Suy ra MNPQ là hình bình hành. Do đó MP và NQ cùng thuộc mặt phẳng MNPQ.  Chọn D. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (IJG) và hình chóp là một hình bình hành. 2 A. AB  CD . 3

B. AB  CD .

3 C. AB  CD . 2

D. AB  3CD .

Hướng dẫn Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD, BC nên IJ//AB.

G   SAB    IJG   AB   SAB  Vậy  IJ   IJG  AB//IJ    SAB    IJG   MN / / I J / /AB với M  SA,N  SB Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI. Trang 4

Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN//AB nên

MN SG 2   ( E là trung điểm của AB) AB SE 3

 MN 

2 AB . 3

1  AB  CD  . Vì MN//IJ nên MNJI là hình thang, do đó MNJI là hình bình hành khi 2 2 1 MN  IJ  AB   AB  CD   AB  3CD . 3 2

Lại có IJ 

Vậy thiết diện là hình bình hành khi AB = 3CD.  Chọn D. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khí nói về hai đường thẳng AD và BC? A. Có thể song song hoặc cắt nhau.

B. Cắt nhau.

C. Song song nhau.

D. Chéo nhau.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng? A. d qua S và song song với BC.

B. d qua S và song song với DC.

C. d qua S và song song với AB.

D. d qua S và song song với BD.

Câu 3. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b? A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 4. Hãy chọn câu đúng: A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau. Đáp án: 1–D

2–A

3–B

4–D

Dạng 2: Đường thẳng song song với mặt phẳng 1. Phương pháp giải Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) ta chứng minh d song song với một đường thẳng d ' nằm trong ( ) . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA và SC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Kẻ Gx song song với AC, Gx là giao tuyến của hai mặt phẳng nào? A. (ABCD) và (GSC).

B. (GHK) và (ABCD).

C. (ABCD) và (GSB).

D. (GHA) và (ABCD).

Trang 5

Hướng dẫn

G   GHK    ABCD   HK //AC Ta có  HK   GHK  ; AC   ABCD    GHK    ABCD   Gx // HK // AC.  Chọn B. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB, P là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. GP//(BCD).

B. GQ//(BCD).

C. GQ cắt (BCD).

D. Q thuộc mặt phẳng (CDP). Hướng dẫn

Gọi M là trung điểm của BD. Vì G là trọng tâm tam giác ABD  Điể Q  AB sao cho AQ  2QB  Suy ra

AG 2  . AM 3

AQ 2  AB 3

AG AQ  . Do đó GQ//BD. AM AB

Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQ // (BDC).  Chọn B. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, CD, AD, BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng? A. P. Q, R, S.

B. M, P, R, S.

C. M, R, S, N.

D. M, N, P, Q.

Hướng dẫn Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có PS//AC//QR suy ra P, Q, R, S đồng phẳng. Tương tụ, ta có được PM//BC//NQ suy ra P, M, N, Q đồng phẳng. Và MR//CD//SN suy ra M, R, S, N đồng phẳng.  Chọn B. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC, (α) là mặt phẳng đi qua H song song với AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của (α) và tứ diện? A. Thiết diện là hình vuông.

B. Thiết diện là hình thang cân.

C. Thiết diện là hình bình hành.

D. Thiết diện là hình chữ nhật.

Trang 6

Hướng dẫn Qua H kẻ đường thẳng (d) song song AB và cắt BC, AC lần lượt tại M, N. Từ N kẻ NP song song với CD  P  AD  . Từ P kẻ PQ song song với AB  Q  BD  . Ta có MN //PQ//AB suy ra M, N, P Q đồng phẳng và

AB//  MNPQ  . Suy ra MNPQ là thiết diện của (α) và tứ diện. Vậy tứ thiết diện là hình bình hành.  Chọn C. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm E trên cạnh SC sao cho EC = 2ES. M là giao điểm của hai đường thẳng AE và mặt SO phẳng (SBD). Tính tỉ lệ ? SM A. 1.

B. 2.

C. 3.

3 . 2

Hướng dẫn Chọn mp(SAC) chứa AM. Ta tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD): Có S và O là 2 điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SO. Điểm M cần tìm là giao điểm của SO và AE. Trong (SAC) dựng OI//SC, I  AM , Từ đó suy ra OI là đường trung bình của tam giác ACE. 1 1  OI  CE , ngoài ra có SE  CE  OI  SE . 2 2

Như vậy tứ giác SEOI là hình bình hành.  M trung điểm của SO. Do đó

SO  2. SM

 Chọn B. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) đi qua MN và song song với mặt phẳng (SAD). Thiết diện là hình gì? A. Tam giác.

B. Hình thang.

C. Tứ giác.

D. Hình bình hành.

Hướng dẫn

Trang 7

M   SAB      Ta có:    SAB       MK //SA, K  SB .  SAB    SAD   SA Tương tự:  N   SCD         SCD       NH // SD, H  SC    / /  SAD    SCD    SAD   SD

Dễ thấy HK       SBC  . Thiết diện là tứ giác MNHK. Ba mặt phẳng (ABCD), (SBC) và (α) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN, HK, BC mà MN//BC  MN//HK. Vậy thiết diện là một hình thang.  Chọn B. SM 2  . SA 3 Một mặt phẳng (α) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là:

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho

400 . 9

20 . 3

4 . 9

16 . 9

Hướng dẫn Ta có (α)//AB và CD mà A, B, C, D đồng phẳng suy ra (α)//(ABCD) Giả sử (α) cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P, Q với M  SA, N  SB, P  SC, Q  SD suy ra

     MNPQ  . Khi đó MN //AB 

SM MN 2   . SA AB 3

Tương tự, ta có được

NP PQ QM 2    và MNPQ là hình BC CD DA 3

vuông. Vì tỉ lệ thể tích bằng bình phương tỉ lệ đồng dạng nên ta có: 2

4 4 400 2 SMNPQ    SABCD  SABCD  .10.10  9 9 9 3  Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng b   P  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu b//(P) thì b//a. B. Nếu b cắt (P) thì b cắt a. C. Nếu b//a thì b//(P). D. Nếu b cắt (P) và mặt phẳng (Q) chứa b thì giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng cắt cả a và b. Trang 8

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M  SC . Kẻ Mt song song với DC. Mt là giao tuyến của hai mặt phẳng nào? A. (ABM) và (SCD).

B. (SAB) và (ABM).

C. (SBM) và (SCD).

D. (SBM) và (AMC).

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của SB và SD. J là giao điểm của SA và (CKB). Đường thẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (IJD)? A. AD.

B. AB.

C. BC.

D. AC.

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA và SC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi F là trung điểm của HK. M là giao điểm của SD và (GHK). Khẳng định nào sau đây đúng? A. M là giao điểm của SD và GK.

B. G, M, F thẳng hàng.

C. M là giao điểm của SD và GH.

D. G, K, M thẳng hàng.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. M, N lần lượt là hai trung điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện của (P) và hình chóp là: A. Hình bình hành.

B. Hình thang.

C. Hình chữ nhật.

D. Hình vuông.

Đáp án: 1–C

2–A

3–B

4–B

5–B

Dạng 3: Hai mặt phẳng song song 1. Phương pháp giải Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau: Cách 1: Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

a     , b      a  b  I     //    .  a //    b //     Cách 2: Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.

   //        //      //      

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nằm trong (α) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (β). Trang 9

C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì (α)//(β). D. Nếu đường thẳng d song song với mp(α) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp(α). Hướng dẫn Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và (β) có thể chéo nhau, ta loại B.

Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau, ta loại C.

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α), ta loại D.

 Chọn A. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. (NOM) cắt (OPM).

B. (MON) // (SBC).

C.  PON    MNP   NP .

D. (NMP) // (SBD). Hướng dẫn

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD. Suy ra MN//AD. (1) Và OP là đường trung bình của tam giác BAD. Suy ra OP//AD. (2) Từ (1) và (2) suy ra MN//OP//AD  M, N, O, P đồng phẳng. Lại có MP//SB, OP//BC. Suy ra (MNOP)//(SBC) hay (MON)//(SBC).  Chọn B. Trang 10

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.ABCD có các cạnh bên AA, BB, CC, DD . Khẳng định nào dưới đây sai? A.  AABB  //  DDCC  .

B.  BAD  //  ADC  .

C. ABCD là hình bình hành.

D. BBDD là một tứ giác. Hướng dẫn

Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:  Hai mặt bên  AABB  và  DDCC  đối diện, song song với nhau.  Hình hộp có hai đáy  AB  CD và AB//CD

 ABCD  ,  ABCD  là hình bình suy ra  ABCD  là hình bình hành.

hành

 BD//BD suy ra B, B, D, D đồng phẳng  BBDD là tứ giác.  Mặt phẳng  BAD  chứa đường thẳng CD mà CD cắt CD suy ra

 BAD  không song song với mặt phẳng  ADC  .  Chọn B. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của (P) và hình chóp là hình gì? A. Hình bình hành.

B. Tam giác cân.

C. Tam giác vuông.

D. Tam giác đều.

Hướng dẫn Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy (ABCD). M thuộc AB và N thuộc AD. Vì  P  //  SBD  ,  P    ABCD   MN và  SBD    ABCD   BD suy ra MN//BD. Lập luận tương tự ta có: (P) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến NP với NP//SD. (P) cắt mặt phẳng (SAB) theo giao tuyến MP với MP//SB. Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều MNP.  Chọn D.

  30 . Mặt phẳng Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, BAC (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? A.

16 . 9

14 . 9

25 . 9

D.1.

Trang 11

Hướng dẫn Diện tích tam giác ABC là SABC 

1   1 .4.4.sin 30  4 . AB.AC.sin BAC 2 2

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC. Vì (P)//(ABC) nên theo định lí Ta-lét, ta có

SM SN SP 2    . SA SB SC 3

Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng 2 dạng với tam giác ABC theo tỉ số k  . 3 2

Vậy SMNP  k .SABC 2

16 2    .4  . 9 3

 Chọn A. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh BC = 2, hai đáy AB = 6, CD = 4. Mặt phẳng (P) song song với (ABCD) và cắt SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? A.

5 3 . 9

2 3 . 3

C. 2.

7 3 . 9

Hướng dẫn

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB.

AH  BK;CD  HK ABCD là hình thang cân    BK  1 . AH  HK  BK  AB Tam giác BCK vuông tại K, có CK  BC2  BK 2  22  12  3 . Suy ra diện tích hình thang ABCD là SABCD  CK.

AB  CD 46  3. 5 3. 2 2

Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của (P) và các cạnh SB, SC, SD. Vì (P)//(ABCD) nên theo định lí Ta-lét, ta có

MN NP PQ QM 1     . AB BC CD AD 3 2

Khi đó (P) cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích SMNPQ  k .SABCD 2

5 3 1 .    .5 3  9 3

 Chọn A. Trang 12

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho đường thẳng a  mp  P  và đường thẳng b  mp  Q  . Mệnh đề nào sau đây không sai? A.  P  //  Q   a //b .

B. a //b   P  //  Q  .

C.  P  //  Q   a//  Q  và b//  P  .

D. a và b chéo nhau.

Câu 2. Hãy chọn câu đúng: A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia. B. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì chúng song song với nhau. C. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau. Câu 3. Hãy chọn câu sai: A. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia. B. Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. C. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song nhau. D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại. Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A.  ABC  / /  A1B1C1  .

B. AA1 //  BCC1  .

C. AB / /  A1B1C1  .

D. AA1B1B là hình chữ nhật.

Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Khẳng định nào dưới đây là sai? A. ABCD là hình bình hành. B. Các đường thẳng A1C, AC1, DB1, D1B đồng quy. C. (ADD1A1)//(BCC1B1). D. AD1CB là hình chữ nhật. Câu 6. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Mặt phẳng  ABD  song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? A.  BCA  .

B.  BCD  .

C.  ACC  .

D.  BDA  .

Đáp án: 1–C

2–D

3–B

4–D

5–D

6–B

Trang 13

Dạng 4: Phép chiếu song song 1. Phương pháp giải  Để vẽ hình biểu diễn của hình (H) ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình (H). Xác định các yếu tố song song. Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB.  Trong hình  H  phải bảo đảm tính song song và tỉ số của điểm M chia đoạn AB. MA ) ta xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (α) theo MB phương I không song song với AB sao cho ảnh của M, A, B là ba điểm M, A, B mà ta có thể tính được

Để tính tỉ số của điểm M chia đoạn AB ( tính MA MA MA  , khi đó . MB MB MB

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.ABCD theo phương AA lên mặt phẳng (ABCD) là hình bình hành. B. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.ABCD theo phương AA lên mặt phẳng (ABCD) là hình vuông. C. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.ABCD theo phương AA lên mặt phẳng (ABCD) là hình thoi. D. Hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.ABCD theo phương AA lên mặt phẳng (ABCD) là một tam giác. Hướng dẫn Qua phép chiếu song song đường thẳng AA lên mặt phẳng (ABCD) sẽ biến A thành A, B thành B, C thành C, D thành D. Nên hình chiếu song song của hình lập phương ABCD.ABCD là hình vuông.  Chọn B. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.ABC , qua phép chiếu song song đường thẳng CC , mặt phẳng chiếu

 ABC 

biến M thành M . Trong đó M là trung điểm của BC. Chọn mệnh đề đúng?

A. M là trung điểm của AB .

B. M là trung điểm của BC .

C. M là trung điểm của AC .

D. Cả ba đáp án trên đều sai. Hướng dẫn

Ta có phép chiếu song song đường thẳng CC , biến C thành C , biến B thành B . Do M là trung điểm của BC suy ra M là trung điểm của BC .  Chọn B. Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.ABC , gọi I, I lần lượt là trung điểm của AB, AB . Qua phép chiếu song song đường thẳng AI , mặt phẳng chiếu  ABC  biến I thành? A. A .

B. B .

C. C .

D. I . Trang 14

Hướng dẫn Ta có

AI//BI    AIBI là hình bình hành. AI  BI

Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng AI , mặt phẳng chiếu  ABC  biến điểm I thành điểm B .  Chọn B. Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.ABCD . Các điểm M, N tương ứng trên các đoạn AC, BD sao cho MN song song với BA . Tính tỉ số A. 2.

MA . MC

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Hướng dẫn Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng ( ABCD ) theo phương chiếu BA . Ta có N là ảnh của M hay N chính là giao điểm của BD và ảnh AC qua phép chiếu này. Do đó ta xác định M, N như sau: Trên AB kéo dài lấy điểm K sao cho AK  BA thì ABAK là hình bình hành nên AK //BA suy ra K là ảnh của A qua phép chiếu song song. Gọi N  BD  KC . Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC tại M. Ta có M, N là các điểm cần xác định. Theo định lí Ta-lét, ta có

MA NK KB   2 MC NC CD

 Chọn A. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC còn N là điểm trên cạnh 1 DQ AB sao cho AN  AB . Gọi Q là giao điểm của DC với (MNP). Tính tỉ số . 3 DC A. 2.

1 . 2

1 . 3

D. 2.

Hướng dẫn Trong (ABC) gọi Q  EM  CD

E  AC  NP , trong (ACD) gọi

Q  CD   Q  CD   MNP  . Q  EM   MNP  Kẻ AF//CD, F  EQ , kẻ PK //AN, K  AC . Ta có:

AF MA AF EA   1  AF  DQ 1 ,  DQ MD QC EC

 2

Trang 15

Do KP  

1 1 3 AN 2 AB  .3AN  AN nên  2 2 2 KP 3

EA AN 2 EA 1     EK KP 3 EC 2

Từ 1 ,  2  ,  3 suy ra

 3

QD FA EA 1 QD 1      . QC QC EC 2 QC 3

 Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Phép chiếu song song theo phương I không song song với a hoặc b, mặt phẳng chiếu là (P), hai đường thẳng a và b biến thành a  và b . Quan hệ nào giữa a và b không được bảo toàn đối cói phép chiếu nói trên? A. Cắt nhau.

B. Chéo nhau.

C. Song song.

D. Trùng nhau.

Câu 2. Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Hình thoi.

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm nào sau đây? A. S.

B. Trung điểm của BC.

C. B.

D. C.

Câu 4. Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một tứ diện ABCD . Nếu ABCD là một hình vuông, tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. ABC là tam giác vuông cân tại A.

B. ABC là tam giác vuông cân tại C.

C. ABC là tam giác vuông cân tại B.

D. ABC là tam giác đều.

Đáp án: 1–B

2–A

3–C

4–C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a // b. Khẳng định nào sau đây không đúng? A. Nếu a // c thì b // c. B. Nếu c cắt a thì c cắt b. C. Nếu A  a và B  b thì ba đường thẳng a, b, AB cùng ở trên một mặt phẳng. D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b. Câu 2. Cho hình hộp ABCD.ABCD . Người ta định nghĩa: “Mặt chéo của hình hộp là mặt tạo bởi hai đường chéo của hình hộp đó”. Hỏi hình hộp ABCD.ABCD có bao nhiêu mặt chéo? A. 4.

B. 6.

C. 8.

D. 7.

Câu 3. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau. Trang 16

Câu 4. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau không thể có vị trí nào trong các vị trí tương đối sau: A. Cắt nhau.

B. Song song.

C. Trùng nhau.

D. Chéo nhau.

Câu 5. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng thuộc mặt phẳng (P). Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 6. Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b? A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. vô số.

Câu 7. Chọn câu đúng: A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song. D. Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau. Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Kẻ Sy song song với AD. Sy là giao tuyến của hai mặt phẳng nào? A. (SAB) và (SCD).

B. (SAC) và (SBD).

C. (SAD) và (SBC)

D. Không là giao tuyến của hai mặt nào.

Câu 9. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau. B. Các cạnh bên của hình lăng trụ là các hình bình hành. C. Các cạnh bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau. D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. Câu 10. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành đường thẳng. B. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành đoạn thẳng. C. Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành một điểm. D. Phép chiếu song song có thể biến một đường thẳng thành chính nó. Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. A. Phép chiếu song song có thể biến một tam giác đều thành một tam giác bất kỳ. B. Phép chiếu song song có thể biến một tam giác vuông thành một tam giác bất kỳ. C. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác. D. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác, thành một điểm hoặc một đoạn thẳng. Câu 12. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. (M khác A và B). Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Gọi N, P, Q lần lượt là giao của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD, SD, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ và NP là: A. Đường thẳng song song với AB.

B. Nửa đường thẳng.

C. Đoạn thẳng song song với AB.

D. Tập hợp rỗng.

Trang 17

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6. Gọi (P) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB). Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là: A. 5 5 .

B. 6 5 .

C. 12.

D. 13.

Câu 14. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất bao nhiêu cạnh? A. 3 cạnh.

B. 4 cạnh.

C. 5 cạnh.

D. 6 cạnh.

Câu 15. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất bao nhiêu cạnh? A. 4 cạnh.

B. 5 cạnh.

C. 6 cạnh.

D. 7 cạnh.

Câu 16. Cho hình hộp ABCD.ABCD . Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng  IBD  cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác.

B. Hình thang.

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật.

Câu 17. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình tam giác.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang.

D. Hình vuông.

Câu 18. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là A. Tam giác cân tại M.

B. Tam giác đều.

C. Hình bình hành.

D. Hình thoi.

Đáp án: 1–B

2–B

3–C

4–D

5–C

6–D

7–A

8–C

11 – C

12 – C

13 – B

14 – C

15 – C

16 – B

17 – C

18 – A

9–C

10 – B

Trang 18

CHƯƠNG 5: VECTƠ – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Vectơ trong không gian  Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.     Kí hiệu: a, b, c,..., AB : điểm đầu A, điểm cuối B.  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại, hai vectơ có giá cắt nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.  Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Vectơ  có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. Kí hiệu: AB  AB  BA .  Vectơ – không: là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.    Kí hiệu: 0, AA, BB,... 2. Các qui tắc và tính chất

    Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: AC  AB  BC

Mở rộng: Cho n điểm bất kì A1 , A2 , A3 , ..., An 1 , An .     Ta có: A1 A2  A2 A3  ...  An 1 An  A1 An  Qui ba điểm cho phép trừ:

   Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: AC  BC  BA

 Qui tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta có:    AC  AB  AD    DB  AB  AD  Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp S với AB, AD, AA là ba cạnh có chung đỉnh A và AC  là đường chéo, ta có:     AC   AB  AD  AA  Điều kiện để hai vectơ cùng phương.       Cho hai vectơ a và b   0  , k  0 : a cùng phương b  a  kb   Hệ quả: Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng là AB  k AC  Tính chất trung điểm. Cho đoạn thẳng AB có I là trung điểm, ta có:        1     IA  IB  0; IA   IB; AI  IB  AB; MA  MB  2 MI (M bất kì) 2  Tính chất trọng tâm. Trang 1

Cho ABC , G là trọng tâm, ta có:     GA  GB  GC  0 .     MA  MB  MC  3MG (M bất kì).  Tính chất hình bình hành. Cho hình bình hành ABCD tâm O, ta có:      OA  OB  OC  OD  0      MA  MB  MC  MD  4 MO (M bất kì). PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ, hai vectơ cùng phương 1. Ví dụ minh họa

            Ví dụ 1: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x  2a  b; y  4a  2b; z  3b  2c . Chọn khẳng định đúng.   A. Hai vectơ y, z cùng phương.   C. Hai vectơ x, z cùng phương.

  B. Hai vectơ x, y cùng phương.    D. Ba vectơ x, y, z đồng phẳng.

Hướng dẫn         Nhận thấy: y  4a  2b  2 2a  b  2 x nên hai vectơ x, y cùng phương.





 Chọn B.

        Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 . Đặt AA1  a, AB  b, AC  c, BC  d , trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?         A. a  b  c  d  0 B. a  b  c  d

   C. b  c  d  0

   D. a  b  c

Hướng dẫn Ta có:       b  c  d  AB  AC  BC      CB  BC  CC  0  Chọn C.

  Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Ta có AB.EG bằng:

A. a 2 2

B. a 2

C. a 2 3

a2 2 2

Hướng dẫn Xét hình vuông EFGH, áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:    EG  EF  EH . Trang 2

         Ta có: AB.EG  AB. EF  EH  AB.EF  AB.EH         Do EH  AD và AB  AD nên AB.EF  AB. AD  0      2  2   Do AB  EF nên AB.EF  AB. AB  AB  AB  a 2 .





       2   Do đó AB.EG  AB.EF  AB.EH  AB  AB. AD  a 2  Chọn B.

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD. Chọn khẳng định đúng.  1    1   A. PQ  BC  AD B. PQ  BC  AD 4 2  1      C. PQ  BC  AD D. PQ  BC  AD 2













Hướng dẫn         Ta có: PQ  PB  BC  CQ và PQ  PA  AD  DQ          Nên 2PQ  PA  PB  BC  AD  CQ  DQ  BC  AD .









 1   Vậy PQ  BC  AD . 2





 Chọn B.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho tứ diện ABCD có I, J tương ứng là trung điểm của các cạnh AB và CD. Với điểm M bất kì, ta có:            A. MA  MB  MC  MD  4 IJ B. MA  MB  MC  MD  MI  MJ            C. MA  MB  MC  MD  2 IJ D. MA  MB  MC  MD  2 MI  MJ





Câu 2. Cho hai hình bình hành ABCD và MNPQ có O và O tương ứng là giao điểm hai đường chéo của mỗi hình đó. Khi đó:           A. AM  BN  CP  DQ  4OO B. AM  BN  CP  DQ  2OO           C. AM  BN  CP  DQ  OO D. AM  BN  CP  DQ  0  Câu 3. Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, SG cùng phương với:             A. SA  SB  SC B. SA  SB  SC C. SA  SB  SC D.  SA  SB  SC  Câu 4. Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, SG cùng hướng với:             A. SA  SB  SC B. SA  SB  SC C. SA  SB  SC D.  SA  SB  SC Câu 5. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?  1 A. AO  3  1 C. AO  4

  

 AB  AD  AA  1

  

 AB  AD  AA  1

 1 B. AO  2  2 D. AO  3

  

 AB  AD  AA  1

  

 AB  AD  AA  1

Trang 3

Câu 6. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     AB  B1C1  DD1  k AC1 . A. k  4

B. k  1

C. k  0

D. k  2

Đáp án: 1–D

2–A

3–A

4–A

5–B

6–B

Dạng 2: Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng 1. Phương pháp giải  Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.       Trên hình bên, giá của các vectơ a, b, c cùng song song với mặt phẳng   nên ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng         Cho ba vectơ a, b, c trong đó a và b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a, b, c    đồng phẳng là có duy nhất cặp số m, n sao cho c  ma  nb .

2. Ví dụ minh họa

             Ví dụ 1: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x  2a  b, y  a  b  c, z  3b  2c . Chọn khẳng định đúng.    A. Ba vectơ x, y, z đồng phẳng.   C. Hai vectơ x, b cùng phương.

  B. Hai vectơ x, a cùng phương.    D. Ba vectơ x, y, z đôi một cùng phương.

Hướng dẫn              Ta có: x  z  2a  b  3b  2c  2a  2b  2c  2 a  b  c  2 y



 







 1      Do đó y  x  z nên ba vectơ x, y, z đồng phẳng. 2





Trang 4

 Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABFE và K là tâm hình bình hành BCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?       A. BD, AK , GF đồng phẳng. B. BD, IK , GF đồng phẳng.       C. BD, EK , GF đồng phẳng. D. BD, AK , GC đồng phẳng. Hướng dẫn Ta có:  IK  AC  IK   ABCD      GF  BC  GF  ABCD  IK , GF , BD đồng phẳng.      BD   ABCD 

Các bộ vectơ ở câu A, C, D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.  Chọn B.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M, N sao cho AM  3MD, BN  3 NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?   A. Các vectơ BD, AC ,   C. Các vectơ AB, DC ,

 MN đồng phẳng.  PQ đồng phẳng.

   B. Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng.    D. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.

Hướng dẫn Đáp án A là sai vì:          MN  MA  AC  CN  MN  MA  AC  CN             MN  MD  DB  BN 3MN  3MD  3DB  3BN        Do đó 4 MN  AC  3BD  2 BC  BD, AC , MN không đồng phẳng. Đáp án B là đúng vì:         1    MN  MP  PQ  QN       2 MN  PQ  DC  MN  PQ  DC 2  MN  MD  DC  CN    Do đó MN , DC , PQ đồng phẳng.





 1    Đáp án C là đúng vì: Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có PQ  AB  DC . 2  1   Đáp án D là đúng vì: Biểu diễn giống đáp án A ta có MN  AB  3DC . 4





 Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng?       A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng. B. CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng. Trang 5

   C. CD1 , AD, A1C đồng phẳng.

   D. AB, AD, C1 A đồng phẳng.

Câu 2. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABBA và BCC B . Khẳng định nào sau đây sai?    A. Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng. B. Ba vectơ BD; IK ; BC  không đồng phẳng.  1  1  C. IK  AC  AC  2 2

   D. BD  2 IK  2 BC

Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.    B. Các vectơ AB, AC , MN không đồng phẳng.    C. Các vectơ AN , CM , MN đồng phẳng.    D. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng. Đáp án: 1–C

2–B

3-C

Dạng 3: Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng 1. Phương pháp giải    Nếu ba vectơ a, b, c không đồng phẳng thì với mỗi vectơ  d , ta tìm được duy nhất các số m, n, p sao cho     d  ma  nb  pc .

2. Ví dụ minh họa

       Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC  có AA  a, AB  b, AC  c . Hãy phân tích vectơ BC  qua    các vectơ a, b, c .                 A. BC   a  b  c B. BC   a  b  c C. BC   a  b  c D. BC   a  b  c

Hướng dẫn

   Xét hình bình hành ACC A , áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: AC   AC  AA .             Do đó: BC   BA  AC    AB  AC  AA  b  c  a  a  b  c .

Trang 6

 Chọn D.

      Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB  a, AC  b, AD  c , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Hãy     phân tích vectơ AG qua các vectơ a, b, c .  1 B. AG  3  1 D. AG  4

    A. AG  a  b  c

 1    C. AG  a  b  c 2





  

a  b  c   

a  b  c

Hướng dẫn Gọi M là trung điểm DC.     2   2 1   AG  AB  BG  AB  BM  AB  . BC  BD 3 3 2  1      1    1     AB  AC  AB  AD  AB  a  2a  b  c  a  b  c . 3 3 3







 



 Chọn B.

      Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC. ABC  , M là trung điểm của BB . Đặt CA  a, CB  b, AA  c . Hãy     phân tích vectơ AM qua các vectơ a, b, c .    1  A. AM  a  c  b 2

   1  B. AM  b  c  a 2

   1  C. AM  b  a  c 2

   1  D. AM  a  c  b 2

Hướng dẫn

   Xét tam giác ABC, ta có: AB  CB  CA .  1  Do M là trung điểm BB nên BM  BB . 2      1    1  Ta có AM  AB  BM  CB  CA  BB  b  a  c 2 2  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình hộp ABCD. ABC D có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt         AC   u , CA  v, BD  x, DB  y . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? Trang 7

 1     A. 2OI   u  v  x  y 4  1     C. 2OI  u  v  x  y 2





 1     B. 2OI   u  v  x  y 2  1     D. 2OI  u  v  x  y 4





Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt       AB  b, AC  c, AD  d . Khẳng định nào sau đây đúng.  1 A. MP  2  1 C. MP  2

  

 1 B. MP  2  1 D. MP  2

c  d  b   

c  b  d 

  

d  b  c   

c  d  b

Đáp án: 1–A

2–D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

 Câu 1. Trong không gian cho vectơ AB . Chọn đáp án đúng.   A. Giá của vectơ AB là AB . B. Giá của vectơ  C. Giá của vectơ AB là đoạn thẳng AB. D. Giá của vectơ

  AB là AB .  AB là đường thẳng AB.

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?    A. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.     B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phằng.    C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.    D. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D . Khi đó:       A. DA  DC   DD B. DA  DC   DC       C. DA  DC   DB D. DA  DC   DA    Câu 4. Trong không gian, với ba vectơ a, b và c đều khác vectơ – không, ta luôn có:         A. a.b .c  a. b.c B. a.b .c  a. b.c  0

        C.  a.b  .c  a.  b.c 

         D.  a.b  .c  a.  b.c   0

  Câu 5. Trong không gian, với hai vectơ a và b khác vectơ không, ta luôn có:             A. a.b  a . b B. a.b  a . b C. a.b  a . b D. a.b  a . b   Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Ta có AB.EG bằng?

A. a 2 2

B. a 2

C. a 2 3

a2 2 2

Câu 7. Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Trang 8

     A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA  OB  OC  OD  0 .      B. Nếu ABCD là hình thang thì OA  OB  2OC  2OD  0 .      C. Nếu OA  OB  OC  OD  0 thì ABCD là hình bình hành.      D. Nếu OA  OB  2OC  2OD  0 thì ABCD là hình thang.

Câu 8. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh a. Khi đó:     A. AC.BD  6a 2 B. AC.BD  a 2 6     C. AC .BD  a 2 3 D. AC.BD  0 Câu 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp    điền vào đẳng thức vectơ: MN  k AD  BC



B. k 

A. k  3



1 2

D. k 

C. k  2

1 3

Câu 10. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:      A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  BC  CD  DA  O .   B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  CD .     C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB  SD  SA  SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.    D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  AC  AD . Câu 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D . Khi đó, ba vectơ không đồng phẳng là:       A. CD, BA và DC  B. CD, BA và AB       C. CD, AD và AA D. CD, C D và AB Câu 12. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?       1     A. GA  GB  GC  GD  0 B. OG  OA  OB  OC  OD 4  2     1    C. AG  AB  AC  AD D. AG  AB  AC  AD 3 4







Câu 13. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh a. Khi đó:       A. AC.BD  4a 2 B. AC.BD  2a 2 C. AC.BD  a 2



  D. AC.BD  0

Câu 14. Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chọn hệ thức đúng?



A. AB 2  AC 2  BC 2  2 GA2  GB 2  GC 2



B. AB 2  AC 2  BC 2  GA2  GB 2  GC 2

  3  GA

C. AB 2  AC 2  BC 2  4 GA2  GB 2  GC 2 D. AB 2  AC 2  BC 2

 GB 2  GC 2

 

     Câu 15. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA  GB  GC  GD  0 (G là trọng tâm của tứ diện).

Gọi G0 là giao điểm của GA và mp  BCD  . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?         A. GA  2G0G B. GA  4G0G C. GA  3G0G D. GA  2G0G Trang 9

Đáp án: 1–D

2–A

3–C

4–C

5–D

11 – C

12 – C

13 – D

14 – D

15 - C

6–B

7–B

8–D

9–B

10 – C

Trang 10

CHƯƠNG 5: VECTƠ – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ 2: QUAN HỆ VUÔNG GÓC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hai đường thẳng vuông góc • Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90. • Kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a  b. 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng • Định nghĩa Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.

a  mp  P   a  c, c   P 

d   P  da Nhận xét:  a  P   

• Điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng d vuông góc với (P) nếu d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (P). d  a   d  P d  b a, b  P ; a  b  M   

• Các tính chất Mặt phẳng trung trực của đoạn AB là mặt phẳng đi qua trung điểm O của đoạn AB và vuông góc với AB. Nhận xét: (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB: M   P   MA  MB

a // b  b  P  a   P  a  b  a // b  a   P  ; b   P 

 P  //  Q   a  Q  a   P   P    Q    Q  //  P    P   a;  Q   a Trang 1

a //  P  ba  b  P    a   P   a //  P   a  b; b   P  Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a   P  , b   P  và a’ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a   b  a.

3. Hai mặt phẳng vuông góc Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 Các định lý: Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

a  mp  P   mp  Q   mp  P   a  mp  Q 

Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).

 P    Q    P    Q   d  a   Q   a   P  , a  d

Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

 P    Q   A   P   a  P  A  a a   Q  

Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

 P    Q   a   a  R   P    R    Q    R 

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc Trang 2

1. Phương pháp giải • Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với (P), ta chứng minh d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (P). d  a   d  P d  b a, b  P ; a  b  M   

• Để chứng minh mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q), ta chứng minh mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng (Q).

a  mp  P   mp  Q   mp  P   a  mp Q    2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào sai? A. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. B. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b. C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng (P). D. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng (P) thì a song song hoặc thuộc mặt phẳng (P). Hướng dẫn Đáp án C là sai, ví dụ: Nhìn hình vẽ dễ thấy b  a //  P  nhưng b không vuông góc với (P).  Chọn C.

Ví dụ 2: Cho các mệnh đề sau: (1) Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ này cùng phương với nhau. (2) Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. (3) Một đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng    thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng    . (4) Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng    thì d vuông góc với mặt phẳng    . Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn Trang 3

Các mệnh đề đúng là (1), (2), (3). Mệnh đề (4) sai do đường thẳng d có thể vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trong mặt phẳng



nên chưa kết luận được d vuông góc với mặt phẳng    .

 Chọn B.

Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Một mặt phẳng    và một đường thẳng a không thuộc    cùng vuông góc với đường thẳng b thì



song song với a.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. Hướng dẫn Đáp án B - sai do hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Đáp án C - sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì có thể song song với nhau.

Đáp án D - sai do hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau.

 Chọn A.

Ví dụ 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và b nằm trong mặt phẳng (P). Mọi mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với b thì vuông góc với (P). B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và mặt phẳng (P) chứa a, mặt phẳng (Q) chứa b thì (P) vuông góc với (Q). C. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), mọi mặt phăng (Q) chứa a thì vuông góc với (P). D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Trang 4

Hướng dẫn Đáp án B sai, để mặt phẳng (P) vuông góc với (Q) thì đường thẳng a phải vuông góc với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng (Q).  Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA   ABC  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AC   SAB  .

B. BC   SAB  .

C. AB   SBC  .

D. AC   SBC  .

Hướng dẫn ABC là tam giác vuông tại B nên BC  AB. Vì SA   ABC   SA  BC.

BC  AB  BC   SAB  .  BC  SA  Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SO   ABCD  . Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. IJ   SAB  .

B. CD   SAD  .

C. IJ   SBD  .

D. IJ   SAC  .

Hướng dẫn Vì I, J lần lượt là trung điểm AB, BC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC, do đó IJ // AC. ABCD là hình thoi nên AC  BD .

SO   ABCD   SO  AC.

AC  BD Do đó   AC   SBD  . AC  SO  IJ   SBD  .  Chọn C.

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Hỏi đường thẳng SC vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? A. (AHK).

B. (AHD).

C. (AKB).

D. (SBD).

Hướng dẫn

BC  AB  BC   SAB   BC  AH.  BC  SA AH  BC  AH   SBC   AH  SC.  AH  SB

1 Trang 5

CD  AD  CD   SAD   CD  AK.  CD  SA AK  CD  AK   SCD   AK  SC.  AK  SD

 2

Từ (1) và (2) ta có SC   AHK  .  Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA  SC . Khẳng định nào sau đây đúng? A.  SBD    ABCD  .

B.  SBC    ABCD  .

C.  SAD    ABCD  .

D.  SBA    ABCD  . Hướng dẫn

Do ABCD là hình thoi nên AC  BD (1). Do SAC là tam giác cân tại S và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác, do đó AC  SO (2). Từ (1) và (2) suy ra:

AC   SBD  mà AC   ABCD  nên  SBD    ABCD  .  Chọn A.

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai? A. BM  AC.

B.  SBM    SAC  .

C.  SAB    SBC  .

D.  SAB    SAC  .

Hướng dẫn ABC là tam giác vuông cân tại B và M là trung điểm AC  BM  AC . Vậy A đúng.

SA   ABC  Lại có:   SA  BM BM   ABC   BM   SAC  , mà BM   SBM    SBM    SAC  . Vậy B đúng.

SA   ABC  Ta có:   SA  BC BC   ABC  Mặt khác: BC  AB vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B.

 BC   SAB  mà BC   SBC  nên  SAB    SBC  . Vậy C đúng.  Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

Trang 6

Câu 1. (ID:19111) Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ

SH   ABC  , H   ABC  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H trùng với trung điểm của AC.

B. H trùng với trực tâm tam giác ABC.

C. H trùng với trọng tâm tam giác ABC.

D. H trùng với trung điểm của BC.

Câu 2. (ID:19122) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA  SC , SB  SD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB   SAC  .

B. CD  AC.

C. SO   ABCD  .

D. CD   SBD  .

Câu 3. (ID:19202) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA  SC . Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. SA   ABCD  .

B. BD   SAC  .

C. AC   SBD  .

D. AB   SAC  .

Câu 4. (ID:19257) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  và AB  BC . Số các mặt của tứ diện SABC là tam giác vuông là: A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Đáp án: 1–A

2–C

3–C

4–D

Dạng 2: Hai đường thẳng vuông góc 1. Phương pháp giải Để chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau: Cách 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng 90 . Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Cách 3: Sử dụng vectơ. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Hướng dẫn Đáp án A là sai: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau. Ví dụ như hình vẽ.

Trang 7

Đáp án B là sai: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể song song với nhau. Ví dụ như hình vẽ.

Đáp án C là sai: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể song song hoặc cắt đường thẳng còn lại. Ví dụ như đáp án A và B.  Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O và SA  SC , SB  SD . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. AC  SA.

B. SD  AC.

C. SA  BD.

D. AC  BD.

Hướng dẫn Do SA  SC nên SAC cân S và SO  AC. Do SB  SD nên SBD cân tại S và SO  BD . Do đó SO   ABCD  . Do ABCD là hình thoi, ta có AC  BD nên đáp án D đúng.

AC  SO  AC   SBD   AC  SD nên đáp án B đúng.  AC  BD BD  SO  BD   SAC   BD  SA nên đáp án C đúng.  AC  BD AC không vuông góc với SA nên đáp án A là sai.  Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SD, SB. Khẳng định nào sau đây sai? A. SC  EF .

B. SC  AE .

C. SC  AF .

D. SC  BC.

Hướng dẫn

BC  AB  BC   SAB   BC  AF  BC  SA AF  BC  AF   SBC   AF  SC do đó C đúng.  AF  SB

(1) Trang 8

CD  AD  CD   SAD   CD  AE.  CD  SA AE  CD  AE   SCD   AE  SC do đó B đúng.  AE  SD

(2)

Từ (1) và (2) ta có SC   AEF   SC  EF do đó A đúng.  Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:19239) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Câu 2. (ID:19246) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA   ABCD  . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai? A. SA  BD.

B. SC  BD.

C. SO  BD.

D. AD  SC.

Câu 3. (ID:19267) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  và ABC vuông ở B. AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA  BC.

B. AH  BC.

C. AH  AC.

D. AH  SC.

Đáp án: 1–D

2–D

3–C

Dạng 3: Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA   ABC  . Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang vuông.

B. Hình thang cân.

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật. Hướng dẫn

AB  BC Ta có:   BC  SB . SA  BC BC  SB Vậy    P  / / BC  P   SB

1 . Trang 9

Mà  P    ABC   MN

 2 .

Từ (1) và (2)  MN // BC Tương tự ta có PQ // BC. Ta có: BC   SAB  Suy ra BC  MQ. Mà BC // MN  MN  MQ Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại M và Q  Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. (A’BD).

B. (A’DC’).

C. (A’CD’).

D. (A’B’CD).

Hướng dẫn

A D  AD Ta có:  A D  C D  C D   A D DA    A D   AC D   A D  AC A B  AB  A B  B C

1

 B C   ABBA  

 A B   ABC   A B  AC

 2

Từ (1), (2)  AC   A BD   Chọn A.

3 . Gọi (P) 2 là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. Thiết diện của hình chóp S.ABCD được cắt bởi (P) có diện tích bằng?

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA   ABC  , SA  a

3a 2 . 8

3a 2 . 2

3 2 a . 4

2a 2 . 3

Hướng dẫn Gọi M là trung điểm của BC thì BC  AM Ta có ABC đều cạnh 2a nên AM  2a Mà SA   ABC   BC  SA

1 .

3  a 3. 2

 2 .

Từ (1) và (2) suy ra BC   SAM    P    SAM  Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P) chính là SAM. 1 1a 3 3a 2 .a 3  SAM vuông tại A nên SSAM  .SA.AM  2 2 2 4  Chọn C.

Trang 10

Ví dụ 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a  12 , gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng A.

Hướng dẫn Kẻ BE vuông góc với AD. Do ABD là tam giác đều nên E là trung điểm AD. Do ACD là tam giác đều nên CE là đường cao, do đó CE vuông góc với AD.

AD  BE  AD   BCE  .  AD  CE Do đó thiết diện (P) là tam giác BCE. Gọi F là trung điểm của BC. Ta có BE  CE 

12 3  6 3; 2

EF  BE 2  BF2  6 2. Diện tích thiết diện BCE là: S 

1 EF.BC  36 2 . 2

 Chọn A.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB  4 , CD  6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao 1 cho MC  BM . Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của (P) với tứ 2 diện là? A. 5.

B. 6.

17 . 3

16 . 3

Hướng dẫn Kẻ MN song song AB (N thuộc AC), NP song song CD (P thuộc AD), PQ song song AB (Q thuộc BD). Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) là tứ giác MNPQ. 

Ta có ( AB, CD )  ( MN , MQ)  NMQ  90 0 . Suy ra thiết diện MNPQ là hình chữ nhật. Lại có: CMN ~ CBA 

CM MN 1 4    MN  CB AB 3 3

ANP ~ ACD 

AN NP 2    NP  4 AC CD 3

Suy ra S MNPQ  MN.NP 

16 . 3

 Chọn D.

2. Bài tập tự luyện

Trang 11

Câu 1. (ID:19100) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Tứ giác không phải là hình thang.

Câu 2. (ID:19127) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a  12 , AP là đường cao của tam giác ACD. Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AP cắt mp (ACD) theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng? A. 9.

B. 6.

C. 8.

D. 7.

Câu 3. (ID:19129) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA   ABC  , SA  a . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC có diện tích bằng? A.

a2 3 . 4

a2 . 6

a2 . 2

D. a 2 .

Đáp án: 1-C

2–C

3–A

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. (ID:19112) Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng A cho trước? A. 1.

B. Vô số.

C. 3.

D. 2.

Câu 2. (ID:19115) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Mặt phẳng (P) và đường thẳng a không thuộc (P) cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Câu 3. (ID:19117) Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó. B. Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau. C. Đáy của hình chóp đều là miền đa giác đều. D. Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân. Câu 4. (ID:19128) Cho hình chóp S.ABCDcó các cạnh bên bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai? A. HA  HB  HC  HD. B. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. C. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy những góc bằng nhau. D. Tứ giác ABCD là hình vuông.

Trang 12



Câu 5. (ID:19262) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Có đáy là hình thoi, BAD  60 0 và AA  A B  A D . Gọi O  AC  BD . Hình chiếu của A’ trên (ABCD) là: A. Trung điểm của AO.

B. Trọng tâm ABD.

C. Điểm O.

D. Trọng tâm BCD.

Câu 6. (ID:19101) Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình vuông.

D. Hình thang.

Câu 7. (ID:19131) Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AD  CD  a , AB  2a , SA   ABCD  , E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh

đề sau: A. CE   SAB  .

B. CB   SAB  .

C. SDC vuông tại C.

D. CE   SDC  .

Câu 8. (ID:19201) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Câu 9. (ID:19211) Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu tứ diện AA’B’D’ có các cạnh đối vuông góc. A. Hình hộp chữ nhật.

B. Hình hộp tam giác.

C. Hình hộp thoi.

D. Hình hộp tứ giác.

Câu 10. (ID:19263) Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó a   P  . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A. Nếu b   P  thì a // b.

B. Nếu b // a thì b   P  .

C. Nếu b   P  thì b  a .

D. Nếu a  b thì b //  P  .

Câu 11. (ID:19264) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng (P). B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng (P) thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P). C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b. Trang 13

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Câu 12. (ID:19286) Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có ACC’A’ là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng: A. a 2.

a 3 . 3

C. a 3.

a 2 . 2

Câu 13. (ID:19269) Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai? A. IO   ABCD  .

B. BC  SB.

C. (SAC) là mặt phẳng trung trục của đoạn BD.

D. Tam giác SCD vuông ở D.

Câu 14. (ID:19274) Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của o trên mp(ABC). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau: A. H là trực tâm ABC. C.

B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.

1 1 1 1    . 2 2 2 OH OA OB OC2

D. CH là đường cao của ABC.

Câu 15. (ID:19279) Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  . Trong các tam giác sau tam giác nàc không phải là tam giác vuông. A. SBC .

B. SCD.

C. SAB.

D. SBD.

Câu 16. (ID:19285) Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính độ dài đường cao SH. A. SH 

a 3 . 3

B. SH 

a 2 . 3

C. SH 

1a . 2

D. SH 

a 3 . 2

Câu 17. (ID :19125) Cho hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình bình hành tâm O; AD, SA, AB đôi một vuông góc AD  8, SA  6 . (P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB . Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng? A. 20.

B. 16.

C. 17.

D. 18.

Đáp án: 1–A

2–A

3–B

4–D

5–B

6–B

7–A

11 – A

12 – D

13 – C

14 – B

15 – D

16 – C

17 – D

8–C

9–A

10 – D

Trang 14

CHƯƠNG 5: VECTƠ – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ 3: GÓC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Góc giữa 2 đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P  :  d ' là hình chiếu của d lên  P  .  Lấy điểm A bất kì trên đường thẳng d. I  d   P   H là hình chiếu của A lên  P  .

 d;  P     d;d '  AIH  Chú ý: 0   d;  P    90

d   P    d;  P    90 3. Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đỏ. Diện tích hình chiếu của một đa giác: Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng    và S' là diện tích hình chiếu của H ' của H trên mặt phẳng    thì S'  S.cos trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng

   và   PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Góc giữa 2 đường thẳng 1. Phương pháp giải  Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. a, b   , 0    90.  Góc giữa hai đường thẳng 

Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0.

   Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau, ta chỉ cần chứng minh: AB.CD  0

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Góc giữa AC và DA1 là A. 45

B. 90

C. 60

D. 120

Hướng dẫn

 Vì A1C1 / /AC nên góc giữa AC và DA1 là DA 1C1 Trang 1

Xét tam giác DA1C1 ta thấy các cạnh của tam giác đều là đường chéo của

 các hình vuông bằng nhau, do đó tam giác DA1C1 đều nên DA 1C1  60. Vậy góc giữa AC và DA1 bằng 60.  Chọn C

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có các mặt  ABC  và  ABD  là các tam giác đều cạnh a, các mặt  ACD  và  BCD  vuông góc với nhau. Tính số đo của goc giữa hai đường thẳng AD và BC A. 30

B. 60

C. 90

D. 45

Hướng dẫn Gọi M, N, E lần lượt là các trung điểm của các cạnh CD, AB, BD.

AB  DN Ta có:   AB   DCN   AB  MN  AB  DN Do ACD cân tại A  AM  CD

 AM   BCD   AM  BM  AMB vuông tại M Suy ra MN 

AB a  2 2

  60 Suy ra MNE là tam giác đều  MEN  NE / /AD   60. Do    AD, BC    NE, EM   MEN EM / /BC   Chọn B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC, đôi một vuông góc với nhau và SA  SB  SC  a. Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB A. 30

B. 60

C. 90

D. 120

Hướng dẫn Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM Và cắt đường thẳng SA tại N.  SM; BC    SN; BC   NBC Do đó 

Ta có SM || BN và M là trung điểm của AB. Nên SN  SA  SC  a  NC  a 2. NB  2SM  a 2

Mà BC  SB2  SC2  a 2  NBC là tam giác đều   60. SM; BC   NBC Vậy 

Trang 2

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA  a, và SB  a 3  SAB  vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là: A. 

2 5

C. 

1 5

Hướng dẫn Kẻ ME song song với DN với E  AD suy ra AE 

a 2

Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM, DN nên  SM; ME   . Ta thấy SA 2  SB2  AB2 Suy ra tam giác ASB vuông tại S Suy ra SM 

SA a 2

Ta có AD  AB và  SAB    ABCD  Suy ra AD   SAB  suy ra AD  SA 5a 2 a 5 a 5  SE  Do đó SE  SA  AE  và ME  4 2 2 2

Tam giác SME cân tại E, có SE  ME 

a 5  5 và SM  a  cos  cosSME 2 5

 Chọn D

Ví dụ 5: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD A. 60

B. 30

C. 90

D. 45

Hướng dẫn            Đặt AB  a, AC  b, AD  c. Ta có: CD  AD  AC  c  b          a.a. 1  a.a. 1 a. c  b   AB.CD a.c  a.b 2 2 0 cos AB, CD          a.a a2 AB . CD a . c  b





  Vậy AB, CD  900





 Chọn C

AB, DM  bằng Ví dụ 6: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos

2 2

3 6

1 2

3 2

Hướng dẫn Giả sử cạnh của tứ diện là a

Trang 3

      AB.DM AB.DM Ta có cos AB, DM     a 3 AB . DM a. 2





Mặt khác          AB.DM  AB AM  AD  AB.AM  AB.AD





AB.AM.cos300  AB.AD.cos600  a.

a 3 3 1 3a 2 a 2 a 2 .  a.a.    2 2 2 4 2 4

  3 3  . Suy ra cos AB, DM   Do có cos AB, DM  6 6





 Chọn B

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA  a 3. Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng A.

2 2

2 4

3 2

3 4

Hướng dẫn Gọi I là trung điểm của SD.  OI là đường trung bình của SBD

OI / /SB   SB SA 2  AB2 3a 2  a 2 OI    a   2 2 2  SB, AC    OI, AC   AOI Vì OI || SB  

Ta có: AI 

SD SA 2  AD 2 3a 2  a 2   a 2 2 2

 AI  OI  AOI cân tại I.

Gọi H là trung điểm của OA  IH  OA Và OH 

OA AC a 2   2 4 4

a 2   OH  4  2 Xét OHI, ta có: cosHOI OI a 4  2 SB, AC   cosHOI Vậy cos 4  Chọn B.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh Trang 4

AB  2a, AD  DC  a; SA  AB,SA  AD và SA 

2a 3 . Gọi  là góc giữa SD và BC Khi đó, cos 3

bằng A.

3 14

42 14

42 28

3 28

Hướng dẫn Gọi E là trung điểm của AB. Khi đó, BCDE là hình bình hành  DE / /BC   SD; BC    SD; DE   .

Ta có: 2  2 7a 2 2 2 2 4a 2 a  SE  SD  SA  AD 3 3  DE 2  2a 2 

 7 SE  SD  a  3  DE  a 2

Áp dụng định lí hàm cosin trong tam giác SDE, ta được: 2 2 2   SD  DE  SE  cosSDE 2.SD.DE

2a 2 3 42   900    0  SDE 14 14 7 2.a. .a 2 3

  42 .  cos  cosSDE 14  Chọn B

Ví dụ 9: Cho lăng trụ ABC.A ' B'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA ', B'C ' A.

3 4

1 4

1 2

3 2

Hướng dẫn Gọi H là trung điểm của BC  A ' H   ABC  . Và BH 

1 1 2 BC  a  3a 2  a. 2 2

Do đó:

A ' H 2  A ' A 2  AH 2  3a 2  A ' H  a 3. Trong tam giác vuông A ' B' H có HB'  A ' B'2  A ' H 2  2a nên tam giác B' BH là cân tại B' Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA ' và B'C ' thì   B' BH Trang 5

Kẻ B' M vuông góc với BC. BM 

1 a BH  2 2

Xét tam giác B’MB vuông tại M, ta có: cos 

BM a 1   BB' 2.2a 4

 Chọn B

3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:18852) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c) B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó Câu 2. (ID:18855) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là A. 120

B. 60

C. 90

D. 30

Câu 3. (ID:19047) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng Cl và AC, với I là trung điểm của AB A. 10

B. 30

C. 150

D. 170

Câu 4. (ID:19049) Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. số đo của góc  IJ, CD  bằng A. 90

B. 45

C. 30

D. 60

Câu 5. (ID:19054) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 30

B. 45

C. 60

D. 90

Đáp án: 1A

2C

3B

4D

5C

Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp giải Cách 1: Để xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P  . Bước 1: Tìm d   P   I. Bước 2: Trên d lấy điểm A khác I. Tìm hình chiếu H của A lên  P  .

 Bước 3: Khi đó  d;  P     AI, HI   AIH  (nếu đề bài yêu cầu tính góc). Bước 4: Tính AIH

Trang 6

Chú ý: d / /a   a,       d,     a,       a,       / /     

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB  BC  a;

SA   ABC  . SA  a 3. Cosin góc tạo bởi đường thẳng sc và mặt phẳng  ABC  là: A.

10 15

10 10

10 20

10 5

Hướng dẫn Ta có: SC   ABC   C.

SA   ABC  .

   SC,  ABC    SCA   AC  cos SC,  ABC    cosSCA SC ABC vuông cân B, ta có: AC  AB  a 2.

Tam giác SAC vuông tại A, ta có:

SC2  SA 2  AC2  3a 2  2a 2  5a 2  SC  a 5  cos SC,  ABC   

AC a 2 10   SC a 5 5

 Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD  ,SA  a 6. Gọi  là góc giữa SC và mp  ABCD  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A.   300

B. cos 

3 3

C.   450

D.   600

Hướng dẫn Vì SA   ABCD  nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên

 ABCD  .  Góc giữa giữa SC và mp  ABCD  bằng góc SCA. Xét tam giác SAC vuông tại A có:

  SA  a 6  3    60. tan SCA AC a 2  Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với đáy; SA  a. Trang 7

Góc giữa SA và  SBD  bằng A. 450

B. 600

C. 35015'

D. 750 05'

Hướng dẫn Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO. Ta có: AH  SO; BD  AC; BD  SA  BD   SAC   BD  AH   SAC   AH   SBD 

H là hình chiếu của A lên  SBD  SH là hình chiếu của SA lên  SBD 

   ASH   (SA, (SBD))  (SA,SH) Xét tam giác ASO vuông tại A; có SA  a, AO 

  AO  tan ASH SA

AC a 2  2 2

a 2 2  2  ASH   3515'. a 2

 Chọn C

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của s lên

 ABC  trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và  ABC  . A. 600

B. 750

C. 450

D. 300

Hướng dẫn Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng

 ABC 

nên

SH   ABC  Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp  ABC 

   SA;  ABC     SA; AH   SAH Ta có: SH   ABC   SH  AH Mà: ABC  SBC  SH  AH

  450 Vậy tam giác SAH vuông cân tại H  SAH  Chọn C

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. M là trung điểm CD. Biết

SA  SC  SB  SD  a 2, đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a. Gọi  là góc giữa SM và mặt đáy. Tính tan Trang 8

3 2

6 6

Hướng dẫn Tam giác SAC cân tại S nên SO  AC. Tam giác SBD cân tại S nên SO  BD.

SO  AC  SO   ABCD   SO  BD Do đó OM là hình chiếu của SM lên  ABCD 

   SM;  ABCD     SM;OM   SMO Xét tam giác SMO vuông tại O, ta có:

BC a 2  ;SO  a 2 2 SO a tan     2 OM a 2 2

OM 

 Chọn D

Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với đáy một góc 60, gọi M là trung điểm của BC. Cosin góc tạo với SM và mặt đáy là A. cos 

6 3

B. cos 

1 10

C. cos 

3 3

D. cos 

3 10

Hướng dẫn Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH  AB. Mặt khác  SAB    ABC  suy ra SH   ABC  Khi đó CH 

a 3 3a  SH  CHtan60  2 2

Do M là trung điểm của BC nên HM   cosSMH

HM HM  SH 2



BC a  2 2

1 10

 Chọn B

Ví dụ 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB  3cm, BC '  3 2cm. Tính góc hợp bởi đường thẳng BC ' và mặt phẳng  ACC ' A '

A. 90

B. 60

C. 45

D. 30

Hướng dẫn Gọi H là trung điểm của cạnh AC. Trang 9

ABC vuông cân tại B nên BH  AC.

BH  AC  BH  (ACC ' A ')  BH  BB' BC ' (ACC ' A ')  C ' BH  (ACC ' A ') Suy ra HC ' là hình chiếu của BC ' lên mặt phẳng  ACC ' A '

 Do đó  BC ',  ACC ' A '    BC ', HC '  BC ' H. Ta có tam giác BHC ' vuông tại H, cạnh BH 

3 2 cm 2

BH 1   'B    HC ' B  300 Ta có sinHC BC ' 2

BC ',  ACC ' A '   30 

 Chọn D.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:18865) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P  khi a và b song song (hoặc a trùng với b). C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẩng  Q  thì mặt phẩng  P  song song với mặt phẳng  Q  . D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt  P  thì a song song với b Câu 2. (ID:18871) Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC  a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với  ABC  lấy điểm S sao cho SA  A. 75

a 6 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và  ABC  . 2

B. 30

C. 45

D. 60

Câu 3. (ID:18866) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA   ABCD  ,SA  a 6. Gọi  là góc giữa SC và mp  SAB  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. tan  

1 8

B. tan  

1 7

C.   300

D. tan  

1 6

Đáp án: 1B

2D

3B

Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng Trang 10

1. Phương pháp giải Cách tìm góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  : Cách 1: Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng  P  và  Q  . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  chính là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước: Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng  P  và  Q  Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong  P  ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua I và vuông góc với đường thẳng d và trong  Q  ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d Khi đó: Góc giữa hai  P  và  Q  chính là góc giữa a và b

Cách 3: Nếu hai mặt phẳng đỏ vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng 90. Cách 4: Ta sử dụng công thức tính diện tích hình chiếu của một đa giác trong không gian S'  S.cos 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là

 A. SCA

 B. SBA

 C. SAB

 D. BAC

Hướng dẫn Tacó:  SBC    ABC   BC 1

AB   ABC  , AB  BC  2  SB   SBC  ,SB  BC  BC   SAB    3 Trang 11

 Từ (1), (2) và (3) suy ra góc giữa 2 mp  SBC  và  ABC  là SBA  Chọn B

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy  ABC  . H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Góc giữa mặt bên  SBC  và mặt đáy  ABC  là

 A. SAH

 B. SBA

 C. SHA

 D. ASH

Hướng dẫn

BC  SA Vì   BC   SAH   BC  SH BC  AH Ta có  SBC    ABC   BC.

AH   ABC  , AH  BC. SH   SBC  ,SH  BC.

 Vậy góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là góc SHA  Chọn C

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khi đó mặt bên  ABC  tạo với mặt đáy  BCD  một góc  thoả mãn điều kiện nào dưới đâỵ A. cos 

1 2

B. cos 

1 3

C. cos 

1 4

D. cos 

2 2

Hướng dẫn Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Vì ABCD là tứ diện đều nên AH   BCD  . DH  BC  M  DM  BC

BC  DM  BC  (AMH)  BC  AH Ta có:  ABC    BCD   BC.

DM   BCD  , DM  BC. AM   ABC  , AM  BC.  = Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCD  là góc AMD

Trang 12

Ta có AM  DM 

a 3 1 HM 1 , HM  DM  cos   2 3 AM 3

 Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SO  A. 30

a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  2

B. 45

C. 60

D. 90

Hướng dẫn

SBC    ABCD   BC. Gọi Q là trung điểm BC, suy ra OQ  BC.

BC  OQ Ta có   BC   SOQ   BC  SQ BC  SO

 Do đó  SQ, OQ   SQO SBC  ,  ABCD       SO  3 Tam giác vuông SOQ , có tanSQO OQ

Vậy mặt phẳng  SBC  hợp với mặt đáy  ABCD  một góc 60.  Chọn C

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A ' B'C ' D ' có đáy cạnh bằng a, góc giữa hai mặt phẳng

 ABCD 

và  ABC ' có số đo bằng 60. Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ bằng

A. 2a

B. 3a

C. a 3

D. a 2

Hướng dẫn Vì ABCD.A ' B'C ' D ' là lăng trụ tứ giác đều nên ta có:

AB  BB  AB  (BBCB)  AB  CB  AB  BC Ta có:

 ABCD    ABC '  AB. CB   ABCD  , CB  AB . C ' B   ABC ' , C ' B  AB .  Suy ra  BC '; BC   C ' BC  60.  ABC ' ;  ABCD     Tam giác BCC ' vuông tại C, ta có: CC '  tanC ' BC   CC '  tan60.a  a 3. BC  Chọn C.

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC.A ' B'C ' có AB  2a, AC  a, AA 

a 10  , BAC  1200. Hình chiếu 2

Trang 13

vuông góc của C ' lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh BC. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng

 ABC  và  ACC ' A ' . A. 75

B. 30

C. 45

D. 15

Hướng dẫn Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C ' H   ABC  . Trong ABC ta có:

BC2  AC2  AB2  2AC.AB.cos1200  7a 2 a 7 2 a 3  CH  C 'C2  CH 2  2  BC  a 7  CH 

Hạ HK  AC (K thuộc AC). Vì C ' H   ABC  nên đường xiên C ' K  AC

  ' KH  ABC  ,  ACC ' A '   C  (CHK vuông tại H nên C ' KH  90). Trôna HAC ta có HK 

2SHAC SABC a 3 C'H   KH  KH  450    tanC  1  C AC AC 2 HK

Vây   ABC  ,  ACC ' A '   45.  Chọn C

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A ' B'C ' D ' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A ' B'C ' D ' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  MC ' D ' và  MAB  bằng A.

6 13 65

6 85 85

17 13 65

7 85 85

Hướng dẫn Không mất tính tổng quát, giả sử cạnh hình lập phương bằng 6. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm D 'C ' và AB. Ta thấy: Giao tuyến của 2 mặt phẳng  MD 'C ' và  MAB  là đường thẳng qua M song song với D 'C ' và AB Dễ thấy MP và MQ vuông góc với giao tuyến này tại M Suy ra MP, MQ . Góc tạo bởi hai mặt phẳng  MC ' D ' và  MAB  là 

Tacó: MI 

1 1 6 6 OI  .  1, IP   3. 3 3 2 2

Trang 14

Xét tam giác vuông MIP, ta có MP  IM 2  IP 2  10 Tương tự ta tính được MQ  34, PQ  6 2. Xét tam giác PMQ, áp dụng công thức hàm số cos, ta có: 2 2 2   MP  MQ  PQ  14 cosPMQ 2MP.MQ 340

Gọi   0    90  cos  0  là góc giữa hai mặt phẳng

 MC ' D ' và  MAB  ta có:   14 cos  cosPMQ 340

Vậy sin  l  cos 2  

6 85 85

 Chọn B.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác SBC vuông cân tại S, có SB  a. Mặt phẳng  SBC  hợp với đáy một góc 30. Diện tích tam giác ABC bằng a2 3 A. 3

a2 3 B. 4

a2 3 C. 2

a2 2 D. 4

Hướng dẫn Do SBC vuông cân tại S có SB  a nên diện tích tam giác SBC là: 1 a2 S  SB.SC  2 2

Do SA   ABC  nên ABC là hình chiếu vuông góc của SBC lên mặt phẳng  ABC  . Gọi  là góc giữa hai mp  SBC  và mp  ABC  ta có   30. Áp dụng tính chất diện tích hình chiếu của đa giác, ta có: SABC  SSBC cos 

a2 a2 3 .cos30  2 4

a2 3 Vậy diện tích tam giác ABC bằng 4  Chọn B

Ví dụ 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB  a 2. Mặt phẳng bên  SBC  hợp với đáy một góc 60. Tính diện tích tam giác SBC

a2 3 A. 12

a2 2 B. 6

a2 3 C. 2

a2 3 D. 3

Hướng dẫn Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC. Trang 15

M là trung điểm cạnh BC. Ta có SH   ABC  tại H. Do đó HBC là hình chiếu vuông góc của SBC lên mp  ABC  . Ta có: SHBC  SSBC .cos600 (Vì góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 60). SSBC 

SHBC  2SHBC cos600

2 1 1 a 3 Ta lại có: SHBC  SABC  .AB.BC.sin ABC 3 6 6

SSBC  2SHBC 

a2 3 3

 Chọn D

Ví dụ 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B'C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

2 2, AA '  4. Tính góc giữa mặt phẳng  A ' BC  với mặt phẳng  ABCD  . A. 54, 7

B. 63, 4

C. 75,9

D. 90

Hướng dẫn Ta có

BC  AB  BC   AA ' B' B   BC  A ' B  BC  BB' Mặt khác AB  BC và  A ' BC    ABCD   BC

 Do đó  A ' B; AB   A ' BA  A ' BC  ;  ABCD      ' BA  Ta có: tan A

AA ' 4 2    A ' BA  54, 7 0 AB 2 2 2

 Chọn A

3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:19060) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB  2a,

AD  DC  a,SA  a và SA   ABCD  . Tan của góc giữa 2 mặt phẳng  SBC  và  ABCD  là A.

1 3

1 2

Câu 2. (ID:19071) Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB  BC  4. Gọi H là trung điểm của AB, SH   ABC  . Mặt phẳng  SBC  tạo với đáy một góc 60. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng  SAC  và  ABC  là: A.

5 5

5 4

10 5

1 7

Trang 16

Câu 3. (ID:19070) Cho lăng trụ ABC.A ' B'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A ' A  A ' B  A 'C  a

7 . Tinh góc giữa hai phẳng  ABB' A ' và  ABC  . 12

A. 75

B. 30

C. 45

D. 60

Đáp án: 1D

2D

3D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. (ID:18858) Cho tứ diện đều ABCD. số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 60

B. 30

C. 90

D. 45

Câu 2. (ID:18864) Cho tứ diện ABCD với AB  AC, AB  BD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa PQ và AB là? A. 90

B. 60

C. 30

D. 45

Câu 3. (ID:18868) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với mp(ABCD). Gọi  là góc giữa BDvà mp  SAD  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A.   600

B.   300

C. cos 

3 2 2

D. sin  

3 2 2

Câu 4. (ID:19044) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC  a. Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với trung điểm BC. Biết SB  a. Tính số đo của góc giữa SA và

 ABCD  . A. 30

B. 45

C. 60

D. 75

Câu 5. (ID:19067) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB  2a và góc BAD  120. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy  ABCD  trùng với giao điểm I của hai

a đường chéo và SI  . Tính góc tạo bởi mặt phẳng  SAB  và mặt phẳng  ABCD  . 2

A. 30

B. 45

C. 60

D. 90

Câu 6. (ID:19073) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a và SA   ABCD  . Để góc giữa  SBC  và  SCD  bằng 60 thì độ dài của SA là: A. a

B. a 2

C. a 3

D. 2a

Câu 7. (ID:18875) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. số đo của góc  MN,SC  bằng A. 45

B. 30

C. 90

D. 60

Câu 8. (ID:19036) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng? Trang 17

 A. Góc giữa CD và  ABD  là góc CBD

 B. Góc giữa AC và  BCD  là góc ACB

 C. Góc giữa AD và  ABC  là góc ADB

 D. Góc giữa AC và  ABD  là góc CBA

Câu 9. (ID:19052) Cho tứ diện ABCD với AC 

3   DAB   60, CD  AD. Gọi  là góc giữa AD, CAB 2

AB và CD. Chọn khẳng định đúng A. cos 

3 4

B.   600

D. cos 

C.   300

1 4

Câu 10. (ID:19057) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  ,SA  AB  a, AD  3a. Gọi M là trung điểm BC. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABCD  và  SDM  . A.

5 7

6 7

3 7

1 7

Đáp án: 1C

2A

3D

4C

5A

6A

7C

8B

9D

10  B

Trang 18

CHƯƠNG 5: Vec tơ quan hệ vuông góc trong không gian CHUYÊN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là khoảng cách giữa hai điểm O và H, trong đó H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng a. Kí hiệu: d  O;a   OH Nhận xét: N  a : ON  d  O;a   OH d  O;a   0  O  a

2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  P  là khoảng cách giữa hai điểm O và H, trong đó H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng

P .





Kí hiệu: d O;  P   OH





Nhận xét: N   P  : ON  d O;  P   OH





d O;  P   0  O   P  3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp  P  song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mp  P  .



 



Kí hiệu: d a;  P   d O;  P   OH 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song  P  và  Q  là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.



 



Kí hiệu: d  P  ;  Q   d O;  Q   OH 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Kí hiệu: d  a; b   AB Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.

Trang 1

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 1. Phương pháp giải Để tìm khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a ta dựng OH vuông góc với đường thẳng a tại O. Khi đó OH  d  O;a 

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA  3a, SB  a , SC  2a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng A.

3a 2 . 2

7a 5 . 5

8a 3 . 3

5a 6 . 6

Hướng dẫn Dựng AH  BC . Ta có d  A,BC   AH Xét tam giác SBC vuông tại S, ta có:

1 1 1 1 1 5 2a   2  2  2  2  SH  2 2 SH SC SB 4a a 4a 5 SA  SB Do   SA   SBC   SA  SH SA  SC Xét tam giác ASH vuông tại S, ta có: 2

 2  7a 5 AH  SA  SH  9a   a  5  5  2

Vậy d  A,BC  

7a 5 5

→ Chọn B. 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  ,đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và B  60 0 . Biết SA  2a . Khoảng cách từ A đến SC là: A.

3a 2 . 2

2a 5 . 5

5a 6 . 2

4a 3 . 3

Hướng dẫn 

Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng a và B  60 0 nên ABC đều, do đó AC  a Trang 2

Dựng AK  SC, AK  d  A;SC  Xét tam giác SAC vuông tại S, ta có:

1 1 1 1 1 5     2  2 2 2 2 2 AK SA AC  2a  a 4a  AK 

2a 5 5

Vậy d  A;SC  

2a 5 5

→ Chọn B. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA  a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE. A.

a 5 . 3

a 5 . 5

3a 5 5

2a 5 . 5

Hướng dẫn Dựng SH  BE tại H, khi đó SH  d  S; BE 

BE  SA Ta có   BE   SHA   BE  AH BE  SH 2

a a 5 BE  BC  CE  a     2 2 2

1 1 a2 2a 5 SABE  SABCD  AH.BE  AH   2 2 2 a 5 2

Trong tam giác SAH có SH  SA 2  AH 2  a2  Vậy d  S; BE  

4a2 3a 5  5 2

3a 5 2

→ Chọn C. Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a. Khoảng cách từ C đến AC là A.

a 3 . 3

a 5 . 3

a 2 . 3

a 6 . 3

Hướng dẫn Kẻ CK vuông góc với AC . d  C; AC   CK Vì ABCD.ABCD là hình lập phương cạnh a nên CC  AC Xét tam giác vuông ACC', ta có: Trang 3

1 1 1 1    2 2 2 CK AC CC a 2

 

Vậy d  C; AC  



1 3 a 6  2  CK  2 3 a 2a

a 6 3

→ Chọn D. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và

SA  3a, AB  a 3 , BC  a 6 . Khoảng cách từ B đến đường thẳng SC bằng: A. 2a 3 .

B. a 3 .

C. a 2 .

D. 2a.

Câu 2. Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và OA  OB  OC  a . Khoảng cách từ O đến đường thẳng BC bằng:

a 3 . 2

C. a.

a . 2

Câu 3. Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AC  a 2 . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: A.

a 11 . 2

4a 5 . 3

3a 2 . 2

2a 3 . 3

Đáp án: 1–D

2–A

3–A

Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng 1. Phương pháp giải Trường hợp 1: Khoảng cách từ chân đường vuông góc tới mặt phẳng bất kì Bài toán cơ bản





Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  . Tìm d A,  SBC  . Bước 1: Kẻ AM  BC

AM  BC Bước 2:   BC   SAM  BC  SA Bước 3: Kẻ AH  SM AH  SM  AH   SBC  Bước 4: Ta có  AH  BC do BC   SAM 





Do đó d A,  SBC   AH Bước 5: Tính AH: Trang 4

Xét tam giác vuông SAM, đường cao AH, ta có: 1 1 1   2 2 AH AM SA 2

Trường hợp 2: Khoảng cách từ một điểm bất kì tới mặt phẳng chứa chân đường vuông góc. Bài toán cơ bản



Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  . Tìm d B,  SAC 



Bước 1: Kẻ BM  AC Bước 2:

BM  AC  BM   SAC   SA  BD (do SA   ABC 





Do đó d B,  SAC   BM Trường hợp 3: Khoảng cách từ một điểm bất kì tới mặt phẳng bất kì Áp dụng công thức đổi điểm:



 



  d  B;  P  

Nếu AB / /  P  thì d A;  P   d B;  P 

Nếu AB   P  thì

d A;  P  AO



2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD  2a, SA  a . Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng: A.

3a 7

3a 2 . 2

2a 5

2a 3 . 3

Trang 5

Hướng dẫn Bước 1: AD  CD tại D

CD  AD Bước 2:   CD   SAD  CD  SA Bước 3: Kẻ AH  SD AH  SD  AH   SCD  Bước 4:  AH  CD do CD  SAD   





Do đó d A,  SCD   AH Xét tam giác vuông SAD, đường cao AH, ta có:

1 1 1 1 1 5    2  2 2 2 2 2 AH SA AD a  2a  4a





d A,  SCD   AH 

2a 5 5

→ Chọn C. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AD  AC  4; AB  3; BC  5 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). A.

6 34 . 17

34 . 17

2 34 . 17

3 34 . 17

Hướng dẫn Cách 1: Bước 1: Kẻ AE  BC tại E

AE  BC Bước 2:   BC   AED  BC  AD Bước 3: Kẻ AH  DE AH  DE  AH   DBC  Bước 4:  AH  BC do BC   ADE 



Do đó AH  d A;  DBC 



Ta có ABC vuông tại A, nên 1 1 1 1 1 25      2 2 2 9 16 144 AE AB AC

AH là đường cao của tam giác ADE nên ta có: 1 1 1 1 25 17 6 34       AH  2 2 2 16 144 72 17 AH AD AE





Vậy d A;  DBC  

6 34 17

Trang 6

Cách 2: Ta thấy AD; AB; AC đôi một vuông góc với nhau nên tứ diện ABCD là tứ diện vuông. Vì vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) có thể tính theo công thức 1



d A;  DBC 









1 1 1 1 1 1    2 2 2 2 2 2 AD AB AC 4 3 4

 d A;  DBC  

6 34 . 17

→ Chọn A. Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có ba kích thước AB  a, AD  2a, AA1  3a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A1BD  bằng bao nhiêu? A. a.

7 a. 6

5 a. 7

6 a. 7

Hướng dẫn Bước 1: Kẻ AH  BD tại H BD  AH  BD   A1AH  Bước 2:  BD  AA1 do AA1   ABCD 





Bước 3: Kẻ AK  A1H AK  A1H  AK   A1BD  Bước 4:  AK  BD do BD   A1AH 





Do đó d A,  A1BD   AK Ta có

1 1 1 1 1 1   mà   2 2 2 2 2 AH AB AD2 AK AH A1A

Do đó

1 1 1 1 1 1 1 49     2 2 2  2 2 2 2 AK AB AD A1A a 4a 9a 36a2

6 6 Vậy AK  a hay d A,  A1BD   a 7 7





→ Chọn D. Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên: A.

a 5 . 2

2a 3 . 3

C. a

3 . 10

D. a

2 . 5

Hướng dẫn Hình chóp tam giác đều S.ABC nên SO   ABC  Bước 1: Kẻ OM  AB tại M Trang 7

AB  OM  AB   SOM  Bước 2:  AB  SO do SO   ABC 





Bước 3: Kẻ OK  SM tại K OK  SM  OK   SAB Bước 4:  OK  AB do AB   SOM 





Do đó d O;  SAB  OK Ta có tam giác ABC đều nên CM 

2a 3 a 3 2

1 1 a 3 OM  CM  .a 3  3 3 3

SO là chiều cao nên SO  a 3 Xét tam giác vuông SOM vuông tại O, đường cao OK, ta có:

1 1 1 1 1     2 2 2 2 OK OM SO a 3 a 3    3   

 





Vậy d O;  SAB  a

 OK  a

3 10

→ Chọn C. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc tạo bởi SB và đáy là 300 . Khoảng cách từ AB đến (SCD) bằng: A. 2a.

B. a.

a . 2

a 2 . 2

Hướng dẫn Vì AB / /CD nên AB / /  SCD  , do đó



 

d AB;  SCD   d A;  SCD 



Bước 1: AD  CD tại D

CD  AD Bước 2:   CD   SAD  CD  SA Bước 3: Kẻ AH  SD tại H AH  SD  AH   SCD  Bước 4:  AH  CD do CD   SAD 



 



Do đó d AB;  SCD   d A;  SCD   AH Trang 8

Góc tạo bởi SB và đáy: SB   ABCD   B SA   ABCD  

Do đó SB;  ABCD   SBA  30 0 SA a 3  SA  AB.tan 300  AB 3

Xét tam giác SBA vuông tại A, ta có: tan 300  Xét tam giác vuông SDA, đường cao AH, ta có: 1 1 1 1 1 4     2  2 2 2 2 2 AH SA AD a a 3 a    3   



 



Vậy d AB;  SCD   d A;  SCD   AH 

a 2

→ Chọn C.

  600 . Đường thẳng Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc BAD SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO  A.

a 3 . 2

3a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: 4

3a . 2

3a . 8

3a . 4

Hướng dẫn Ta có ABD và BCD đều cạnh a AC cắt (SBC) tại C, O là trung điểm AC. Vì AO   SBC   C nên ta có:



d A,  SBC  AC



  d  O,  SBC  OC



 d A,  SBC  

AC .d O,  SBC   2d O,  SBC  OC









Bước 1: Kẻ OH  BC tại H Bước 2: BC  OH  BC   SOH   BC  SO do SO   ABCD 





Bước 3: Kẻ OK  SH OK  SH  OK   SBC  Bước 4:  OK  BC do BC   SOH 





Do đó d O,  SBC   OK Trang 9

Xét OBC vuông tại O có OH là đường cao, ta có: 1 1 1   2 2 OH OB OC2

Xét SOH vuông tại O có OK là đường cao, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 64          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OK OH SO OB OC SO 9a  a   a 3   3a  2    4    2   

 OK 

3a 8





Vậy d A,  SBC   2OK 

3a 4

→ Chọn D. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:18902) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng bao nhiêu?

B. a.

a . 2

a 3

Câu 2. (ID:18906) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a . Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A.

a 2 . 2

C. a 2 .

B. 2a.

D. a.

Câu 3. (ID:18947) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, tâm O có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAD) bằng bao nhiêu? A.

a . 2

a 2

D. a.

Câu 4. (ID:18960) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  AA '  a, AC  2a . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD') là: A.

a 5 . 5

2a . 3

a 21 . 3

a 21 7

Đáp án: 1–A

2–D

3–C

4–D

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1. Phương pháp giải Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1: Khi a  b Trang 10

Dựng một mp  P   b,  P   a tại H Trong  P  dựng HK  b tại K. Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b. Cách 2: Dựng  P   b,  P  / /a Lấy M  a dựng đoạn MN   P  , lúc đó a' là đường thẳng đi qua N và song song a. Ta được a' là hình chiếu vuông góc của a lên mặt phẳng  P 

Gọi H  a  b , dựng HK / /MN  HK là đoạn vuông góc chung cần tìm

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ 1 điểm trên đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao bằng a, hai mặt phẳng  SAB và  SAD  đều vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD. A.

a 6 . 3

a 6 . 2

a 6 . 6

a 3 . 6

Hướng dẫn  SAB   ABCD    SA   ABCD   SAD    ABCD    SAB   SAD   SA

Gọi O  AC  BD , kẻ OH  SC, H  SC (1)

BD  AC Ta có   BD   SAC   BD  OH (2) BD  SA Từ (1) và (2) ta có OH là đường vuông góc chung của SC và BD.  d  SC,BD   OH

Do ABCD là hình vuông nên AC  a 2 Trang 11

Kẻ AK  SC, K  SC Ta có

1 1 1 1 1    2 2 2 2 AK SA AC a a 2

OH 

1 1 a 6 a 6 AK  .  2 2 3 6

 

Vậy d  SC,BD   OH 



3 a 6  AK  2 3 2a

a 6 6

→ Chọn C. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SD  a 2, SA  SB  a , và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD. A.

a . 4

5a . 2

a . 2

3a . 2

Hướng dẫn Theo giả thiết  ABCD    SBD  theo giao tuyến BD. Do đó nếu dựng AO   SBD  thì O  BD Mặt khác AS  AB  AD  OS  OB  OD hay SBD là tam giác vuông tại S.

BD  SB2  SD2  a2  2a2  a 3 3a2 a  4 2

AO  AB2  OB2  a2 

Trong SBD dựng OH  SD tại H (1)

 H là trung điểm của SD. Theo chứng minh trên AO   SBD   AO  OH Từ (1) và (2) chứng tỏ OH là đoạn vuông góc chung của AC và SD. 1 a Vậy d  AC,SD   OH  SB  2 2

→ Chọn C. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D. SA vuông góc với đáy. SA  AD  a . Tính khoảng cách giữa AB và SC. A. a 2 .

a 2 . 2

a 6 . 6

a 2 . 4

Hướng dẫn Ta có: AB / /DC nên AB / /  SCD  , do đó: Trang 12



 

d  AB,SC   d AB,  SDC   d A,  SCD 



Trong mặt phẳng (SAD) từ A kẻ AH  SD, H  SD (1) Ta có:

DC  AD    DC   SAD   DC  AH (2) DC  SA  Từ (1) và (2) suy ra AH   SCD 





AH  d AB,  SDC   d  AB,SC  Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có:

1 1 1 1 1 2 a 2    2  2  2  AH  2 2 2 2 AH SA AD a a a Vậy d  AB,SC  

a 2 2

→ Chọn B. Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB  AC  2a ;

BC  2a 3 .Tam giác A'BC vuông cân tại A' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và BC là: A. a 3 .

a 2 . 2

a 5 . 2

a 3 . 2

Hướng dẫn Gọi H là trung điểm của cạnh BC.  AH   ABC   AH  HC

HC  HA ABC cân tại A  AH  HC   HC  HA  HC   AAH   BC   AAH 

Kẻ HP  AA  P  AA   BC  HP HP là đường vuông góc chung của AA' và BC  d  AA,BC   HP

Xét ABC vuông cân tại A  AH 

BC a 3 2

Cạnh HA  AB2  BH 2  4a2  3a2  a Xét AHA vuông cân tại H, đường cao HP, ta có:

1 1 1 1 1 4 a 3    2  2  2  HP  2 2 2 2 HP AH HA 3a a 3a Trang 13

a 3 2

Vậy d  AA,BC   → Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a 3, BC  2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B'C biết AA  a 2 . A.

a 10 . 10

B. a 2 .

a 30 . 10

D. 2A.

Hướng dẫn Gọi N là trung điểm của BB' suy ra MN//B'C



 

Do đó d  AM,BC   d BC,  AMN   d C,  AMN 





 

Mà M là trung điểm của BC nên d B,  AMN   d C,  AMN 



Ta có BA, BM, BN đôi một vuông góc với nhau. Nên



d B,  AMN  2

Mặt khác BM  Suy ra







BC 1 a  a, AB  a 3,BN  BB  2 2 2

d B,  AMN  2





1 1 1   2 2 BA BM BN 2

 d B  AMN  





1 1  2 a a 3

 



1  a     2



10 3a2

a 30 a 30  d  AM,BC   10 10

→ Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:18905) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC  a 5 , BC  a 2 . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC. A.

2a . 3

a 3 . 2

3a 4

D. a 3 .

Câu 2. (ID :18927) Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC' và CD' là: A.

a . 2

a 2 . 2

a 3 . 3

a 3 . 4

Câu 3. (ID :18963) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy (ABCD), SA  a . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và BD bằng bao nhiêu? A.

a 6

a 7

a . 2

a 5

. Trang 14

Đáp án: 1–D

2–B

3–A

Dạng 4: Tính khoảng cách bằng phương pháp sử dụng thể tích 1. Phương pháp giải Ta có một hình chóp S.ABC, việc tích thể tích của khối chóp này được thực hiện rất dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABC)), ta cần tính khoảng cách từ C đến (SAB) tức tìm chiều cao CE. Vì thể tích của hình chóp là không thay đổi dù ta có

xem điểm nào đó  S, A, B, C  là đỉnh vì vậy nếu ta biết diện tích thì khoảng cách cần tìm đó

CE 

3V SSAB

Phương pháp tính CE như vậy gọi là phương pháp tính thể tích 2 lần. Chú ý: Khi áp dụng phương pháp này ta cần nhớ công thức tính diện tích tam giác hay sử dụng:

SSAB  p  p  a  p  b  p  c  với p là nửa chu vi và a, b, c là kích thước của 3 cạnh 2. Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC  30 0 ; SBC là tam giác đều cạnh a và nặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách từ C đến (SAB). A.

a 39 . 13

a 39 . 39

a 13 . 13

a 13 . 39

Hướng dẫn Gọi E là trung điểm của BC khi đó SE   ABC  và SE  Ta có BC  a  AB 

a 3 2

a 3 a ; AC  vì vậy thể tích của khối chóp là: 2 2

1 3a 1 a a 3 a 3 VS . ABC  . . . .  3 2 2 2 2 16

Để tính khoảng cách từ C đến (SAB) ta cần tính diện tích SAB 2

 a 3   a 2 a 3 2 2 ; SB  a; SA  SE  EA   Ta có: AB     2   2  2  

Trang 15

Áp dụng công thức Heron ta được: 39 2 a 16

SSAB  p  p  SA  p  SB p  AB 

với p 

aa 2



a 3 2



Vậy d C,  SAB 

3VS.ABC a 39  SSAB 13

→ Chọn A. 3a , hình chiếu vuông góc 2 của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBD).

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 

A. a.

2a . 3

a . 3

4a . 3

Hướng dẫn Gọi E là trung điểm của AB khi đó SE   ABC  , dùng định lý Pitago ta tính được SE  a . Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SBD) Ta quan sát hình chóp S.ADB có thể tích là 1 1 1 1 VSABD  SE.SABD  . .a2 .a  a3 3 3 2 6

Ta có BD  a 2; SD 

3a 5 ; SB  a 2 2

Áp dụng công thức Heron ta được: SSBD  p  p  SB p  SD  p  BD  

với p 

a 2



3 2 a 4

3a 5  a 2 2 2



Vậy d A,  SBD  

3VS.ABD SSBD

a3 2a  62  3 a 3. 4 3.

→ Chọn B. Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt đáy bằng 600 . Tính theo a khoảng cách từ B đến (ACC'A'). Trang 16

A. a 13 .

3a . 13

a 13 . 13

3a 13 . 13

Hướng dẫn Gọi E là trung điểm của AB khi đó 

A' E  ( ABC ),60 0  ( A' C , ( ABC ))  A' CE Ta có CE 

a 3 (đường cao trong tam giác đều) 2

 AE  tan 600.CE 

3 2

Ta cần tính khoảng cách từ B đến (ACC'A') tức từ B đến (AA'C). Khối chóp A'.ABC có thể tích là: 1 3a a2 3 a3 3 VA.ABC  . .  3 2 4 8 2

a 3  a 10 CE Ta có AC  a; AA      a   ; AC  a 3 2 cos600 2 2 

Áp dụng công thức Heron ta được: SAAC  p  p  AA  p  AC  p  AC  



 



Vậy d B,  ACCA   d B,  AAC  

39 2 a với p  8

a

a 10 a 3 2 2

3VA.ABC 3 13  a SAAC 13

→ Chọn D. 

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AC  a 3; BC  3a; ACB  30 0 . Cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 . Mặt phẳng  ABC    ABC  . Điểm H  BC,BC  3BH và mặt phẳng  AAH    ABC  . Tính theo a khoảng cách từ B đến (A'AC). A.

3a 3 . 4

a 3 . 4

3a 6 . 4

a 6 . 4

Hướng dẫn Ta có:  AAH    ABC    AH   ABC   ABC    ABC    AAH    ABC   AH 



Khi đó góc giữa cạnh bên A'A và mặt đáy  ABC  là A' AH tức A' AH  60 0 Trang 17

Ta lại có: AH  AH 2  CA 2  2CH.CA.cos300  a do đó AH  AH.tan 600  a 3 . Thể tích khối lăng trụ là:

1  9a3 VABC.ABC  a 3.  .3a. 3a.sin 300   4 2  Khối

chóp

A'ABC

thể

tích

AH  2a; AC  cos600

 2a 

1 3a VAABC  VABC.ABC  3 4

có

là:

Ta tính diện tích của AAC Ta có: AC  a 3; AA 

 

 a 3

a 7

Diện tích AAC là:

SAAC  p  p  AA  p  AC  p  AC   a2 3 với p 





Vậy d B,  AAC  

a 3  2a  a 7 2

3VA.ABC 3 3  a SAAC 4

→ Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:19090) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Các cạnh bên

SA  SB  SC  SD  a 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: A.

a 7 . 2

a 42 . 6

a 6 7

a 6 . 2 

Câu 2. (ID:19058) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc BAD  60 0 . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO 

3a . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng 4

(SBC) là: A.

a . 3

3a . 4

3a . 8

a 3 . 4

Đáp án: 1–C

2–C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. (ID:18900) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. B. Cho ba đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng này sẽ nằm trong ba mặt phẳng song song với nhau từng đôi một. Trang 18

C. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại. D. Qua một điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Câu 2. (ID:19080) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó. C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó. Câu 3. (ID:18904) Cho mặt phẳng  P  và điểm M ngoài  P  , khoảng cách từ M đến  P  bằng 6. Lấy A thuộc  P  và N trên AM sao cho 2MN  NA . Khoảng cách từ N đến  P  bằng bao nhiêu? A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Câu 4. (ID:18915) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  bằng bao nhiêu? A. 2a.

B. a

6 . 3

3a . 2

D. a

6 . 2

Câu 5. (ID :18924) Khoảng cách giữa hai cạnh đối nhau trong một tứ diện đều cạnh a bằng: A.

2a . 3

a 2 . 2

a 3 . 3

D. 2a.

Câu 6. (ID :18945) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có ba kích thước AB  a, DA  b, AA '  c . Trong các kết quả sau kết quả nào sai? A. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABD  bằng

a 2  b 2  c2 . 3

a2  b 2 .

B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và DD' bằng C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC' bằng b. D. độ dài đường chéo BD' bằng

a 2  b 2  c2 .

Câu 7. (ID :18946) Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng

đáy bằng 300 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng  ABC  thuộc đường thẳng BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC là: A.

a 3 . 4

a . 2

a 3 . 2

a . 3

Câu 8. (ID:18955) Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD  2a . Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD  a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DC và (SAB) Trang 19

A. a 2 .

a 3 . 3

a 2

2a 3

Câu 9. (ID :18959) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 600 , đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A' cách đều A, B, C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình trụ B. a 2 .

A. a.

2a . 3

a 3 . 2

Câu 10. (ID :18983) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 600 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  A1B1C1  là trung điểm của

B1C1 . Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu? A. a

3 . 2

a . 3

C. a

2 . 2

a . 2

Câu 11. (ID :19043) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng  . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một mặt bên bằng: A.

a 2 cos . 2

B. a 2 tan  .

a 2 sin  . 2

D. a 2 cot  .

Câu 12. (ID :19088) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB  AA '  a, AC  2a . Tính khoảng cách giữa AC' và CD': A.

a 2 . 2

a . 3

a 3 . 2

a 30 . 10

Câu 13. (ID:19061) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB  SA  2a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu? A.

a 6 . 2

a 6 . 3

a . 2

D. a.

Đáp án: 1–C

2–A

3–A

11 – C

12 – D

13 – B

4–B

5–B

6–A

7–A

8–D

9–A

10 – A

Trang 20

CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau: • Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một cạnh chung. • Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

2. Khối đa diện Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian Các hình là khối đa diện: được giới hạn bởi hình đa diện. Chú ý: • Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện. • Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. • Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.

Các hình không phải khối đa diện:

• Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh. • Không tồn tại một hình đa diện có: + Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh. + Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh. 3. Khối đa diện đều Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là chất sau đây: tổng các mặt của khối đa diện đều loại n; p . Ta • Các mặt là những đa giác đều n cạnh. có: • Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n; p

pĐ = 2C = nM

Trang 1

PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH 1. Khối đa diện đều Khối đa diện đều

Số đỉnh

Số cạnh

Số mặt

Loại

Tứ diện đều

3;3

Khối lập phương

4;3

Bát diện đều

3; 4

Mười hai mặt đều

5;3

Hai mươi mặt đều

3;5

2. Mặt phẳng đối xứng Hình

Số mặt phẳng đối xứng

Tứ diện đều

Hình lập phương

Hình chóp tứ giác đều

Hình hộp chữ nhật

Bát diện đều

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Ví dụ 1: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

Trang 2

A. Tứ diện đều.

B. Bát diện đều

C. Hình lập phương

D. Lăng trụ lục giác đều Hướng dẫn

Hình tứ diện đều không có tâm đối xứng. → Chọn A. Ví dụ 2: Cho các hình khối sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là: A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB cũng thuộc khối đó. Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 và hình 4. → Chọn B. Ví dụ 3: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai: A. Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều. B. Trong một hình chóp đều các góc giữa một cạnh bên và mặt đáy thì bằng nhau. C. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy. D. Hình chóp đều là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau. Hướng dẫn Hình chóp đều thỏa mãn hai điều kiện sau: + Đáy là đa giác đều + Chân đường cao của hình chóp là tâm của đáy. Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân nên các cạnh bên của hình chóp đều chưa chắc đã bằng cạnh đáy do đó đáp án D là phát biểu sai. → Chọn D. Trang 3

Ví dụ 4: Một hình chóp có 46 cạnh có bao nhiêu mặt? A. 24.

B. 46.

C. 69.

D. 25.

Hướng dẫn Giả sử đa giác đáy có n cạnh, n đỉnh, Hình chóp có 2n cạnh. Ta có: 2n  46  n  23. Suy ra hình chóp có 23 cạnh, từ đó có 23 mặt bên và 1 mặt đáy. Vậy tổng cộng hình chóp có 24 mặt. → Chọn A. Ví dụ 5: Khối tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành: A. Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác. B. Hai khối tứ diện. C. Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác. D. Hai khối chóp tứ giác. Hướng dẫn

Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành khối tứ diện ABMN và khối chóp tứ giác A.MNDC. → Chọn C. PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là: A. 10.

B. 8.

C. 6.

D. 4.

Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện đều loại 4;3 là: A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tồn tại hình đa diện có số cạnh bằng 7. B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 7. C. Số cạnh đa diện luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 6. D. Tồn tại hình đa diện có số cạnh lớn hơn 7. Câu 4: Tổng độ dài  của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2. A.   8 .

B.   16 .

C.   24 .

D.   60 .

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Trang 4

A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh. B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau. C. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau. D. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau. Câu 6: Gọi m là số mặt đối xứng của hình lập phương, n là số mặt đối xứng của hình bát diện đều. Khi đó: A. Không thể so sánh m và n.

B. m  n.

C. m  n.

D. m  n.

Câu 7: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp. B. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp. C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp. D. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp. Câu 8: Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt. B. Hình hai mươi mặt đều có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt. C. Hình hai mươi mặt đều có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt. D. Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt. Câu 9: Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãn A. 3C  2 M.

B. C  M  2.

C. M  C.

D. 3M  2 C.

C. 20.

D. 24.

Câu 10: Số đỉnh của một hình mười hai mặt đều là: A. 12.

B. 19.

Câu 11: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành A. các đỉnh của một hình tứ diện đều. B. các đỉnh của một hình bát diện đều. C. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. D. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều. Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều. B. Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều. C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều. D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều. Câu 13: Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 14: Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 3;5 là: A. 12.

B. 16.

C. 20.

D. 24.

Câu 15: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là: A. 10.

B. 8.

C. 6.

D. 4. Trang 5

Câu 16: Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Tính S. A. S  4 3a 2 .

B. S  3a 2 .

D. S  8a 2 .

C. S  2 3a 2 .

Câu 17: Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A. 11.

B. 12.

C. 13.

D. 14.

Câu 18: Cho các hình sau:

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là: A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án: 1-C

2-A

3-A

4-D

5-D

6-D

7- B

8-D

11 - B

12 - D

13 - D

14 - C

15 - C

16 - C

17 - B

18 - C

9-C

10 - C

Trang 6

CHUYÊN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Thể tích khối chóp 1 V  B.h 3

Trong đó: B: diện tích đáy h: chiều cao của hình chóp

2. Các công thức hình học phẳng hay sử dụng a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho  ABC vuông ở đường cao AH ta có: • Định lý Pitago: BC2  AB2  AC2 • BA 2  BH.BC ; CA 2  CH.CB • AB.AC  BC.AH •

1 1 1   2 2 AH AB AC2

b. Hệ thức lượng trong tam giác thường  Định lý côsin:

a 2  b 2  c 2  2bc.cosA b 2  a 2  c 2  2 ac.cosB c 2  a 2  b 2  2 ab.cosC

 Định lý sin:

a b c    2R sin A sin B sin C

 Định lý đường trung tuyến:

2b 2  2c 2  a 2 m  4 2 a

m 2b 

2a 2  2c 2  b 2 4

2a 2  2b 2  c 2 m  4 2 c

c. Các công thức tính diện tích  Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 a.b.c S  a.h a  a.b sin C   p.r  p.  p  a  p  b  p  c  2 2 4R

Trong đó: R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. p

abc là nửa chu vi. 2

Trang 1

Đặc biệt:  ABC vuông ở A: S 

1 AB.AC 2

 ABC đều cạnh a: S 

a2 3 4

 Diện tích hình vuông: S = cạnh  cạnh  Diện tích hình chữ nhật: S = chiều dài  chiều rộng  Diện tích hình thoi: S 

1 đường chéo  đường chéo 2

 Diện tích hình thang: S 

1 (đáy lớn + đáy nhỏ)  chiều cao 2

 Diện tích hình bình hành: S = đáy  chiều cao  Diện tích hình tròn: S  .R 2 d. Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều

PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH Bài toán

Hình vẽ

Thể tích tứ diện ABCD đều cạnh a.

Thể tích hình chóp S.ABC với các mặt (SAB), (SAC), (SBC) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác lần lượt là S1 , S2 , S3 .

Thể tích

VABCD 

VS.ABC 

a3 2 12

2S1.S2 .S3 3

Thể tích tứ diện ABCD gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau) AB  BC  a , AC  BD  c

BC  AD  b ,

Trang 2

VABCD 

2 12

a

 b 2  c 2  a 2  c 2  b 2  c 2  b 2  a 2 

Thể tích hình chóp biết ba cạnh bên và ba góc ở đỉnh SA  a , SB  b ,   y,   x , BSC SC  c , ASB

 z CSA 1 VABCD  .abc 1  2 cos x.cos y.cos z  cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z 6

Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy góc  Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh bên là b, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích hình chóp tam giác đều cạnh đáy là a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

VS.ABC 

VS.ABC

a 3 tan  24

3a 3 sin .cos 2   4

VS.ABC

VS.ABCD 

Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b

a 2 3b 2  a 2 12

a 3 tan   12 a 2 4b 2  2a 2 6

Khi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. VS.ABCD 

Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên   và mặt đáy là góc SMO

VS.ABCD

Thể tích hình chóp tứ giác đều có    với cạnh đáy bằng a, SAB

VS.ABCD 

a3 2 6

a 3 tan   6

a 3 tan 2   1 6 Trang 3

   ;  4 2

Thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng b, góc tạo bởi mặt    với bên và mặt đáy là SMO

VS.ABCD 

4b3 tan  3

     0;   2

 2  tan   2

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy 1. Phương pháp giải Thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với Ví dụ: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy: đáy, SA  4, AB  6, BC  10 và CA  8 . Tính 1 V  .B.h 3

Trong đó:

thể tích khối chóp S.ABC. A. V  40.

B. V  192.

C. V  32.

D. V  24.

B: diện tích đáy.

Hướng dẫn

h = độ dài đường cao = độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Vì SA vuông góc với đáy nên chiều cao là h  SA . Xét tam giác ABC, ta có:

AB2  AC2  62  82  102  BC2 Suy ra tam giác ABC vuông tại A, do đó diện tích tam giác ABC là: B  SABC 

1 1 AB.AC  .6.8  24 2 2

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 1 1 VSABC  B.h  .SABC .SA  .24.4  32. 3 3 3

→ Chọn C. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc Trang 4

với mặt đáy và SB  a 5 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. V 

a3 3 . 3

C. V 

B. V  a 3 3.

a3 3 . 2

D. V 

a3 3 . 6

Hướng dẫn Do tam giác ABC là tam giác đều nên diện tích đáy là:

 2a  

B  SABC

 3a 2

Vì SA vuông góc với đáy nên chiều cao của hình chóp là:

h  SA  SB2  AB2  5a 2  4a 2  a Vậy thể tích V của khối chóp S.ABC là: 1 1 a3 3 VS.ABC  B.h  a 2 3.a  3 3 3

→ Chọn A Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC  2a , góc giữa SB và (ABC) là 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. A.

a3 3 . 3

B. V 

a3 6 . 3

C. V 

a3 6 . 9

D. V 

a3 2 . 4

Hướng dẫn

SB   ABC   B mà SA   ABC  nên AB là hình chiếu của SB lên  ABC  suy ra góc giữa SB và

  30 .  ABC  là góc SBA Tam giác ABC vuông cân tại A, BC  2a  AB  AC  a 2 SA  AB.tan 30  a 2.

3 a 6  . 3 3

Diện tích tam giác ABC là: SABC 

1 AB2  a 2 . 2

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: 1 1 a 6 2 a3 6 VS.ABC  .SA.SABC  . .a  . 3 3 3 9

→ Chọn C. Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC đều cạnh a, CA  a . Hai mặt  ABC  và  ASC  cùng vuông góc với  SBC  . Thể tích hình chóp là: a3 3 . A. V  12

a3 3 . B. V  2

a3 3 . C. V  4

a3 D. V  . 12

Hướng dẫn Trang 5

 ABC    SBC    AC   SBC  . Do  SAC    SBC    ABC    SAC   AC

Suy ra AC là chiều cao của hình chóp. Ta có: AC  a Tam giác SBC đều cạnh a nên diện tích đáy là SABC 

a2 3 4

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: 1 1 a2 3 a3 3 V  SSBC .AC  a 3 3 4 12

→ Chọn A. Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. B. V 

A. V  3a 3 .

3a 3 . 3

C. V  a 3 .

D. V 

a3 . 3

Hướng dẫn Ta có diện tích đáy là:

SABCD  AB.AD  a .a 3  3 a 2 . Ta có:

BC  SA  BC   SAB   BC  SB  BC  AB

SBC    ABCD   BC Vì BC  AB ; BC  SB .   60    SBC  ,  ABCD     SB, AB   SBA

Xét tam giác SAB vuông tại A có: tan 60 

SA  SA  AB tan 60  a 3 AB

Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: 1 1 VS.ABCD  SABCD .SA  a 2 3.a 3  a 3 . 3 3

→ Chọn C. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC  a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Trang 6

A. V 

a3 2 . 12

B. V 

a3 2 . 4

C. V 

a3 2 . 6

D. V 

a3 3 . 18

Hướng dẫn Do ABC là tam giác vuông cân tại A, BC  a 2 nên AB=AC 

BC a. 2

Diện tích tam giác ABC là: SABC 

1 a2 AB.AC  . 2 2

Kẻ SM vuông góc với BC.

BC  SA  BC   SAM   BC  SM  BC  SM

SBC    ABC   BC Vì BC  SM ; BC  AM .   45    SBC  ,  ABC     SM, AM   SMA

Do đó tam giác SAM vuông cân tại A nên ta có SA  AM 

a 2 . 2

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: 1 1 a2 a 2 a3 2 VS.ABC  .SABC .SA  . .  . 3 3 2 2 12

→ Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. A. V 

a 3 13 . 2

B. V 

a3 . 12

C. V 

3a 3 13 . 2

D. V 

5a 3 13 . 2

 Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA bằng a. Mặt đáy (ABCD) là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. a3 3 A. . 6

a3 3 . B. 3

a3 . C. 3

2a 3 . D. 3

  60 . Cạnh bên SA Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  2a, BAC vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA  a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. A. V  a 3 .

B. V  3a 3 .

C. V  2a 3 .

D. V  4a 3 .

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60 . Thể tích hình chóp S.ABCD là: Trang 7

a3 . 8

a3 . 3

3a 3 3 . 8

a3 3 . 3

Đáp án 1-B

2-A

3-C

4-D

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy 1. Phương pháp giải Thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là đáy: hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy 1 V  .h.B ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3 Trong đó: B: diện tích đáy.

a3 3 . 3

h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh a3 C. . chóp của mặt bên vuông góc với cạnh đáy. 6

a3 3 . 6

D. a 3 3. Hướng dẫn

Chú ý: Cho mặt phẳng hai mặt phẳng (P) và (Q) và Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD và  P    Q   SAB    ABCD   AB.  P    Q   a Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó:

b   P   b  Q  b  a

ABC đều  SH  AB.

Do đó SH   ABCD  . Đường cao của hình chóp là SH. Diện tích đáy ABCD là:

B  SABCD  a 2 Tam giác SAB đều nên h  SA 

a 3 . 2

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 1 a3 3 V  h .B  .SH.SABCD  . 3 3 6

→ Chọn B. Trang 8

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA  a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng A.

6a 3 . 4

6a 3 . 24

6a 3 . C. 12

6a 3 . 8

Hướng dẫn Tam giác SAB vuông cân tại S và SA  a nên AB  a 2. Gọi M là trung điểm AB, ta có SM  AB và SM 

AB a 2  (SM là đường trung tuyến của tam giác 2 2

SAB vuông cân tại S). Mặt khác  SAB    ABC  , SM  AB và  SAB    ABC   AB nên

SM   ABC  . Suy ra SM là đường cao của hình chóp S.ABC ứng với đáy là tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC là:

a 2  .  2

SABC

Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC

1 1 a  SM.SABC  . 3 3 2

2 a 2  . 4

a3 6  . 12

→ Chọn C. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a , AD  a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy một góc 45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V 

2 2a 3 . 3

B. V 

a3 . 3

C. V 

2a 3 . 3

D. V 

3a 3 . 2

Hướng dẫn Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là:

SABCD  AB.AD  2 a .a  2a 2 . Ta có:

SC  ABCD   C SH   ABCD    45 Do đó  SC,  ABCD    SCH

Do đó tam giác SHC vuông cân tại H nên SH  HC. Mà HC  BH 2  BC2  a 2  a 2  a 2  SH. Trang 9

Vậy tích khối chóp S.ABCD là: 1 1 2a 3 2 VABCD  .SABCD .SH  .2a 2 .a 2  . 3 3 3

→ Chọn A. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 45 , đáy ABC là tam giác vuông tại A   60 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo a thể có AB  2a , góc ABC tích khối chóp S.ABC A. V 

2.a 3 39 . 3

B. V 

a 3 39 . 3

C. V 

2.a 3 37 . 3

D. V 

4.a 3 39 . 3

Hướng dẫn Gọi H là trung điểm AB. Theo đề bài ta có SH   ABC  . Ta có:

SC  ABC   C SH   ABCD    45. Do đó  SC,  ABC    SCH

Tam giác SHC vuông cân tại H nên SH  HC

  60 . Ta có Vì ABC là tam giác vuông tại A có AB  2a , góc ABC AC  AB.tan 60  2a 3. Diện tích tam giác ABC là: SABC 

1 AB.AC  2a 2 3. 2

Tam giác AHC vuông tại A: HC  AH 2  AC2  a 13. Do đó SH  HC  a 13. Vậy tích khối chóp S.ABC là: 1 1 2a 3 39 VS.ABC  SH.SABC  a 13.2a 2 3  . 3 3 3

→ Chọn A. Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) bằng

3 7a . Tính 7

thể tích V của khối chóp S.ABCD. 1 A. V  a 3 . 3

2 C. V  a 3 . 3

B. V  a 3 .

3 D. V  a 3 . 2

Hướng dẫn Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AB, CD.

 SM   ABCD  và CD  MH  CD   SMH  . Trang 10

Đặt AB  x  MH  AD  x,SM 

AB 3 x 3  . 2 2

Kẻ MK vuông góc với SH  K  SH   MK   SCD  . Tam giác SMH vuông tại M, có: 1 1 1 1 1 1 7 7     2  2  2  x  a 3. 2 2 2 2 2 MK SM MH x x 3 9a 3x  3a 7       7   2 

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:



1 1 3a V  .SM.SABCD  . . a 3 3 3 2





3a 3 . 2

→ Chọn D 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. A.

a3 . 9

a3 3 . 9

a3 3 . 24

a3 . 16

3a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh 2 S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 

A. V 

a3 . 3

B. V 

2a 3 . 3

C. V 

2a 3 . 13

D. V 

2a 3 . 5

Câu 3. Tứ diện ABCD có ABC là BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD  a . Tính thể tích tứ diện. a3 6 . A. 9

a3 3 . B. 9

a3 3 . C. 36

a3 6 . D. 36

Đáp án: 1–C

2–A

3–D

Dạng 3: Khối chóp đều 1. Phương pháp giải Thể tích hình chóp đều : 1 V  .h .B 3

Trong đó : B: diện tích đáy.

Ví dụ: Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp đều S.ABC. A.

a 3 11 . 12

h = độ dài đường cao = độ dài đường cao hạ từ đỉnh a3 . C. tới tâm hình chóp. 12

a 3 12 . 11

a3 . 11

Trang 11

Chú ý: Khối chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, Hướng dẫn chân đường vuông góc hạ từ đỉnh là tâm của đáy. Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác Khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông, chân ABC đều nên SO   ABC  . đường vuông góc hạ từ đỉnh là giao điểm hai đường Xét tam giác ABC đều, ta có: chéo. 2 2a 3 a 3 AO  AH   . 3 3 2 3 Trong tam giác vuông SOA SO 2  SA 2  OA 2 

 h  SO 

11a 2 3

a 11 . 3

Diện tích tam giác ABC là: B  SABC 

a3 3 . 4

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 a 3 11 V  SABC .SO  3 12

→ Chọn A. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. A.

a3 2 . 12

a3 3 . 12

a3 2 . 6

a3 . 6

Hướng dẫn Gọi O là trọng tâm của ABC , do ABCD là tứ diện đều nên DO   ABC  Tam giác ABC đều cạnh a nên diện tích tam giác ABC là: SABC 

a2 3 . 4

Gọi I là trung điểm AB. Do đáy là tam giác đều nên

Trang 12

2 2 a 3 a 3 OC  CI  .  3 3 2 3

Trong tam giác vuông DOC: DO  DC2  OC2 

a 6 3

Vậy thể tích tứ diện ABCD là: 1 a3 2 V  SABC .DO  3 12

→ Chọn A. Ví dụ 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . B. 2a 3 .

A. 2a 3 3 .

2a 3 3 . 3

D. 6a 3 .

Hướng dẫn Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Vì tứ giác S.ABCD là tứ giác đều nên SO   ABCD  . Ta có:

S B   ABCD   B SO   ABCD    60. Do đó  SB,  ABCD    SBO

Xét tam giác SBO vuông tại O. 1 OB  SB.cos 60  2 a .  a . 2

Độ dài đường cao: SO  SB.sin 60  2a.

3  a 3. 2

Xét tam giác ABO vuông tại O: AB  AO 2  BO 2  a 2. Diện tích đáy ABCD là:



SABCD  AB2  a 2



 2a 2

Vậy thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD là: 1 1 2a 3 3 V  .SO.SABCD  .2a 2 .a 3  . 3 3 3

→ Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A.

8a 3 . 3

a3 3 . 3

4a 3 . 3

2a 3 . 3

Trang 13

Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp S.ABC. A.

a3 3 . 12

a3 2 . 24

a3 3 . 24

a3 . 24

Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC. A.

a3 3 . 3

a3 3 . 6

a3 3 . 9

a3 3 . 12

Đáp án: 1–C

2–C

3–D

Dạng 4: Tỉ số thể tích 1. Phương pháp giải Cho hình chóp S.ABC, trên cạnh SA, SB, SC lấy Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có thể tích V và các   lần lượt A, B và C . điểm M, N, P thỏa mãn điều kiện AM  2AB ,     Khi đó ta có: AN  3AC và AP  4AD . Mệnh đề nào dưới đây VS.ABC SA SB SC  . . VS.ABC SA SB SC

đúng? A. VAMNP 

V . 24

C. VAMNP  8V.

B. VAMNP  24V. D. VAMNP 

V . 8

Hướng dẫn

Chú ý: Công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác.

Từ giả thiết, ta có:   AB 1 AM  2AB nên  . AM 2   AC 1  . AN  3AC nên AN 3   AD 1 AP  4AD nên  . AP 4 Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: Trang 14

VA.BCD AB AC AD 1 1 1 1  . .     . VA.MNP AM AN AP 2 3 4 24

Suy ra VA.MNP  24.VA.BCD  24V. → Chọn C. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Hình chóp S.ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Đặt k 

VMNPA BC . Khi đó VSABC

giá trị của k là: A.

8 . 7

7 . 8

C. 8

1 . 8

Hướng dẫn Do M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC nên ta có: SM SN SP 1    . SA SB SC 2

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: VSMNP SM SN SP 1 1 1 1  . .  . .  . VSABC SA SB SC 2 2 2 8

Do đó: VMNPABC VSABC  VSMNP V 1 7 7   1  SMNP  1    k  . VSABC VSABC VSABC 8 8 8

→ Chọn B Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS  2NC . Tính thể tích của khối chóp A.BMNC. A. V  15.

B. V  5.

C. V  30.

D. V  10.

Hướng dẫn Từ giả thiết, ta có

SN 2 SM 1  và  . SC 3 SB 2

1 Thể tích khối chóp VS.ABC  .9.5  15. 3

Ta có

VS.AMN SM SN 1 1  .   VS.AMN  VS.ABC VS.ABC SB SC 3 3

1 2 2 VABMNC  VS.ABC  VS.MNP  VS.ABC  VS.ABC  VS.ABC  .15  10 3 3 3

→ Chọn D. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho SM  MB ,   SN  2CN . Mặt phẳng (AMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi V1  VS.AMN và V2  VABCNM . Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 15

1 B. V1  V2 . 3

A. V1  V2 .

C. V1 

1 V2 . 2

D. V1 

2 V2 . 3

Hướng dẫn Do SM  MB 

SM 1  . SB 2

  SN 2 SN  2CN   . SC 3

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích, ta có: VS.AMN SM SN 1 2 1  .  .  . VS.ABC SB SC 2 3 3

1 2  VS.AMN  .VS.ABC  VABCNM  VS.ABC 3 3

Vậy V1 

1 V2 . 2

→ Chọn C. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng    đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng    chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là V1 , V2 với

V1  V2 . Tính tỉ số A.

V1 1  . V2 4

V1 . V2

V1 3  . V2 8

V1 5  . V2 8

V1 3  . V2 5

Hướng dẫn Kẻ MN  CD  N  CD  , suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp. Ta có VS.ABMN  VS.ABM  VS.AMN . VS.ABM SM 1 1 1    VS.ABM  VS.ABC  VS.ABCD . VS.ABC SC 2 2 4 VS.AMN SM SN 1 1  .   VS.AMN  VS.ABCD . VS.ACD SC SD 4 8

Do đó VS.ABMN 

1 1 3 VS.ABCD  VS.ABCD  VS.ABCD . 4 8 8

5 Suy ra VABMNDC  VS.ABCD . 8

Vậy

V1 3  . V2 5

→ Chọn D. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD bằng: Trang 16

1 . 8

1 . 16

1 . 4

1 . 3

Hướng dẫn Ta có: Tỉ số Tỉ số

VS.MNP SM SN SP 1 1 1 1  . .  . .  . VS.ABC SA SB SC 2 2 2 8

VS.MPQ VS.ACD



SM SP SQ 1 1 1 1 . .  . .  . SA SC SD 2 2 2 8

1 1 1  VS.MNPQ  VS.MNP  VS.MPQ  VS.ABC  VS.ACD  VS.ABCD 8 8 8 V 1 1  V1  V2  1  . 8 V2 8

→ Chọn A. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với đáy SA  a 2 . Gọi B, D là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng  ABD  cắt SC tại C . Thể tích khối chóp S.ABCD là: A. V 

2a 3 3 . 9

B. V 

2a 3 2 . 3

C. V 

a3 2 . 9

D. V 

2a 3 3 . 3

Hướng dẫn Gọi O là tâm hình vuông ABCD. I  SO  BD  C  AI  SC.

BC  AB Ta có:   BC  AB BC  SA Lại có AB  SB  AB  SC , tương tự AD  SC Do đó AC  SC Xét tam giác SAB có: SB.SB  SA 2 

SB SA 2 2   SB SB2 3

SC SA 2 2   Tương tự SC SC2 4

Do đó

VS.ABC 2 2 1  .  , do tính chất đối xứng nên: VS.ABC 3 4 3

VS.ABCD 1 a3 2 a3 2 .  ; VS.ABCD  V VS.ABCD 3 3 9 → Chọn C. 3. Bài tập tự luyện

Trang 17

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA  a , ABC đều cạnh 2a. Gọi M, N   lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho SM  MB,SN  2CN . Tính thể tích khối AMNCB. 2 3a 3 . A. 9

3a 3 . 9

4 3a 3 . C. 9

2 3a 3 . D. 3

Câu 2. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng    qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. A.

1 . 3

3 . 8

3 . 5

5 . 8

Đáp án: 1–A

2-C

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V 

2a 3 . 6

2a 3 . 4

B. V 

C. V  2a 3 .

2a 3 . 3

D. V 

Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  và AB  3a , BC  4a , AC  5a , AD  6a . Thể tích khối tứ diện ABCD là:

A. 6a 3 .

B. 12a 3 .

C. 18a 3 .

D. 36a 3 .

  120 . Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB  a , AC  2a , BAC Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC. a 3 21 . A. V  14

a 3 21 . B. V  13

2a 3 21 . C. V  13

3.a 3 21 . D. V  14

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  3a , AD  4a , SA   ABCD  , SC tạo với đáy góc 45 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD A. V  20a 3 .

B. V  20a 3 2.

C. V  30a 3 .

D. V  22a 3 .

  90 , BSC   120 , ASC   90 . Thể tích Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a , ASB khối chóp S.ABC là: A.

a3 . 2

a3 . 6

a3 3 . 4

a3 3 . 12

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a , BC  2a . Gọi H là trung điểm cạnh AB, SH vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SA  A. V 

a3 . 3

B. V 

2a 3 . 3

a 5 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 2

C. V 

2a 3 . 13

D. V 

2a 3 . 5

Câu 7. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp đều S.ABC. Trang 18

a 3 11 . 12

a 3 12 . 11

a3 . 12

a3 . 11

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD vuông góc với đáy, cho AB  AD  a , CD  3a , SA  a 3 . Thể tích khối chóp S.ABCD là: A.

2a 3 . 3

4a 3 . 3

a3 2 . 3

2a 3 2 . 3

  60 , cạnh bên SA vuông Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB  a , ACB góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45 . Thể tích khối chóp S.ABC là: a3 3 . A. 6

a3 3 . B. 18

a3 3 . C. 9

a3 3 . D. 12

Câu 10. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B , D lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng ABD cắt SC tại C . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ABCD và S.ABCD . A.

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

Đáp án: 1-D

2-B

3-A

4-A

5-D

6-B

7-A

8-D

9-B

10 - C

Trang 19

CHƯƠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CHUYÊN ĐỀ 3: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Cho hai mặt song song () và (') . Trên () ta lấy đa giác lồi A1A2...An, qua các đỉnh này ta dựng các đường thẳng song song cắt (’) tại A1’A2’...An’ Hình bao gồm hai đa giác A1A2...An, A1’A2’...An’ và các hình bình hành A1A2A1’A2’,... được gọi là hình lăng trụ. Chú ý: Các mặt đáy của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau. Các mặt bên là các hình bình hành. Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. 2. Các lăng trụ đặc biệt - Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên Hình lăng trụ đứng vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ. Lúc đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật. - Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là Hình lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều. đa giác đều. Hình lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Hình hộp - Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

- Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là - Hình hộp đứng có mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là hình bình hành. hình bình hành. - Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là - Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật hình chữ nhật - Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có đáy là - Hình lập phương là có tất cả các mặt là hình vuông. hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông. 3. Thể tích khối lăng trụ

Trang 1

V = B.h Trong đó: - B là diện tích đáy, - h là hiều cao khối lăng trụ 4. Thể tích khối hộp chữ nhật V = a.b.c Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. 5. Thể tích khối lập phương V = a3 Trong đó: a là độ dài cạnh của hình lập phương

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khối lăng trụ đứng 1. Phương pháp giải Thể tích khối lăng trụ đứng V = B.h B là diện tích đáy.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, BB' = 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

h là độ dài cạnh bên của khối lăng trụ.

A. V 

Trong đó:

2a 3 3

B. V  a 3

C. V 

a3 3

D. V  2a 3 Hướng dẫn

Độ dài chiều cao của khối lăng trụ là h = BB' = 2a. Vì đáy là tam giác vuông cân tại A nên AB = AC = a. Diện tích đáy là: Trang 2

SABC 

1 1 a2 AB.AC  .a.a  2 2 2

Vậy thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là: V  BB'.SABC  2a.

a2  a3 2

 Chọn B 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AB' = 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C’ A. V 

a3 4

B. V 

3a 3 2

C. V 

3a 3 4

D. V = 2a3

Hướng dẫn Tam giác ABC là tam giác đều nên có diện tích là: SABC 

3a 2 4

Do A’B’A vuông cân tại A’ nên A ' A 

( B ' A)2  ( A 'B')2  a 3 3a 3 Vậy thể tích V của khối lăng trụ là V  A ' A.SA ' B ' C '  4  Chọn C

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A’B’A cân. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ A. V 

3a 3 12

B. V 

3a 3 4

C. V 

3a 3 3

D. V = 2a3

Hướng dẫn Tám giác ABC là tam giác đều nên có diện tích đáy là: SABC 

3a 2 4

Do A’B’A vuông cân tại A’ nên A’A = A’B’ = a Do đó chiều cao của lăng trụ là h = A’A = a Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V  AA '.SABC  a.

a2 3 3a 3  4 4

Chọn B. Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a, AC = a 3 , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30°. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Trang 3

a3 3 4

a3 3 3

a3 3 7

a3 3 8

Hướng dẫn Diện tích đáy của lăng trụ là: SABC 

1 a2 3 AB.AC  2 2

Kẻ AM  BC với M thuộc BC. Vì BC  AA ' nên BC  (A 'MA)  'MA    A ' BC  ,  ABC    30 Suy ra A

Tám giác ABC vuông tại A nên ta có: 1 1 1 1 1 4    2 2  2 2 2 2 AM AB AC a 3a 3a

Suy ra AM 

a 3 a 3 3 a .  . Ta có: AA '  AM.tan 30  2 2 3 2

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: VABC.A 'B'C'  AA '.SABC

a a2 3 a3 3  .  2 2 4

 Chọn A Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AB' hợp với đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'. 3.a 3 A. V  6

B. V  3a

a3 C. V  3

3.a 3 D. V  2

Hướng dẫn Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a. Diện tích tam giác ABC là: SABC 

1 a2 AB.AC  2 2

 Do AA '  (A ' B'C ')  (AB';(A ' B'C '))  AB' A '  60 Xét tam giác AB’A’ vuông tại A’:

 A ' A  A ' B'.tan AB' A'  a 3 Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V  AA '.SABC  a 3.

a2 3a 3  2 2

 Chọn D Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AB' hợp với mặt phẳng (ACC’A’) một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'. A. V 

2 3a 3 3

B. V 

3a 3 6

C. V 

a3 3

D. V 

3a 3 2

Trang 4

Hướng dẫn Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a. Diện tích tam giác ABC là: SABC 

1 a2 AB.AC  2 2

Do AA '  A ' B' và A ' B'  A 'C '  A ' B'  (ACC ' A ')

  (AB';(A ' B'C '))  B' AA '  60 Xét tam giác AB’A’ vuông tại A’:

 tan B' AA ' 

A ' B' A ' B' a 3  A 'A    A 'A 3 tan B' AA '

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là V  AA '.SABC 

a 3 a2 3a 3 .  3 2 6

 Chọn B

  30 , Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC AB'  2a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' 3a 3 A. V  6

3a 3 B. V  2

3a 3 C. V  8

3 3a 3 D. V  8

Hướng dẫn

 Do A’B’C’D’ là hình thoi cạnh a và B' A 'C '  30 nên A’B’D’ là tam giác đều cạnh a. Diện tích đáy của lăng trụ là: SA 'B'C'D'  2SA 'B'D' 

3a 2 2

Xét tam giác A’AB’ vuông tại A’, ta có: A ' A  (B' A) 2  (A ' B') 2  a

Vậy thể tích của khối lăng trụ là: V  AA '.SA 'B'C'D' 

3a 3 2

 Chọn B Ví dụ 7: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. A. 4800 cm3

B. 1400 cm3

C. 1200 cm3

D. 4000 cm3

Hướng dẫn

Trang 5

Theo đề bài, ta có AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = 12cm Do đó ABCD là hình vuông có AB = 44cm – 24cm = 20cm và chiều cao hộp h = AA’ = 12cm Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800 cm3.  Chọn A 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB = 3cm, BC '  3 2cm . Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A. 27cm3

27 3 cm 2

27 3 cm 4

27 3 cm 8

Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA '  a 2 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

2 3 a 2

B. 2a3

2a 3

D. 2 2a 3

Câu 3. Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD’ của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30°. Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ A.

a2 2 6

a2 3 6

a2 6 4

4a 2 6 3

Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, (AB'C') hợp với mặt đáy một góc 30°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'. A. V 

6a 3 6

B. V 

6a 3 36

C. V 

6a 3 12

D. V 

6a 3 4

Đáp án: 1-B

2-A

3-D

4-C

Dạng 2: Khối lăng trụ đều 1. Phương pháp giải Thể tích khối lăng trụ đứng V = B.h Trong đó: B là diện tích đáy (đáy là đa giác đều), h là độ dài cạnh bên của khối lăng trụ.

Ví dụ: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng 2a. A. V  2 3a 3 B. V 

2 3a 3 3

C. V 

3a 3 4

D. V  3a 3 Hướng dẫn Trang 6

Do ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên đường cao của lăng trụ là BB' = 2a. Diện tích đáy là: SABC 

(2a) 2 . 3  3a 2 4

Vậy thể tích của khối lăng trụ là:

V  BB'.SABC  2 3a 3  Chọn A 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B'C. Mặt phẳng (A'BC) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần đó bằng: A.

1 2

1 3

1 4

3 5

Hướng dẫn Mặt phẳng (A'BC) chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành hai phần là A'.ABC và A'B'C'CB. Gọi V là thể tích của lăng trụ ABC.A’B'C'. Ta có:

1 1 1 VA '.ABC  AA '.SABC  VABC.A 'B'C'  V 3 3 3 1 2  VA 'B'C'BC  V  VA '.ABC  V  V  V 3 3 Suy ra tỉ số thể tích của hai phần đó bằng

VA '.ABC 1  VA 'B'C'BC 2

 Chọn A Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cỏ cạnh đáy bằng a, (AB'C') hợp với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' A. V 

3a 3 24

B. V 

3a 3 4

C. V 

3a 3 8

D. V 

3 3a 3 8

Hướng dẫn Vì hình lăng trụ tam giác đều nên đáy là tam giác đều cạnh a. Diện tích đáy là SABC 

3a 2 4

Trang 7

Gọi M là trung điểm B’C’. Do tam giác A’B’C’ đều nên A'M  B'C'. Kết hợp với AA'  B'C' suy ra B'C'  (AMA') => B'C'  AM. ' = 60°. Do đó ((AB'C');(A'B'C’)) = AMA

Xét tam giác AMA' vuông tại A': '  3a A ' A  A ' M tan AMA 2

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là V  AA '.SABC 

3a a 2 3 3 3a 3 .  2 4 8

 Chọn D Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ngũ giác đều ABCDE.A'B'C'D'E' có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 4. Thể tích của khối lăng trụ đã cho gần bằng giá trị nào sau đây? A. V  22, 02

B. V  7,34

C. V  32, 02

D. V  27,53

Hướng dẫn

Do ABCDE.A’B’C’D’E’ là lăng trụ đều nên đường cao của lăng trụ là BB’ = 4. '  360  72  HOB'   36  OH  HB'  1 Ta có: B'OC  tan 36 5 tan HOB'

1 5 Do đó SA 'B'C'D'E '  5SOB'C'  5. OH.B'C '  2 tan 36

Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là: V  BB'.SA 'B'C'D'E ' 

20  27,53 tan 36

 Chọn D Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh đáy bằng a,cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCDEF.A'B'C'D'E'F' 3 3a 3 A. V  2

B. V  3 3a

C. V  6 3a

4 3a 3 D. V  3

Hướng dẫn

Trang 8

Do ABCDEF.A'B'C'D'E'F' là lăng trụ đều nên đường cao của lăng trụ là BB' = 2a. '  360  60  OB'C ' là tam giác đều Ta có: B'OC 6

Do đó: SA 'B'C'D'E 'F'  6SOB'C'  6.

3a 2 3 3a 2  4 2

Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

V  BB'.SA 'B'C'D'E '  3 3a 3  Chọn B 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này A. 8a3

B. 9a3

C. 18a3

D. 21a3

Câu 2. Tính thể tích lăng trụ đều ABC.A’B’C’ biết (ABC’) hợp với đáy góc 60 và diện tích tam giác

3a 2

ABC bằng A.

6 3 a 4

3 6 3 a 8

3 6 3 a 4

3 6 3 a 2

Câu 3. Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng 2a. A. V 

8a 3 3

B. V 

2a 3 3

C. V  8a 3

D. V  2 3a 3

Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, AC' hợp với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 45°. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'. A. V 

6a 3 24

B. V 

3a 3 4

C. V 

6a 3 8

D. V 

6a 3 4

Đáp án: 1–C

2–C

3–C

4-C

Dạng 3: Khối lăng trụ xiên 1. Phương pháp giải Thể tích khối lăng trụ xiên V = B.h Trong đó:

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung Trang 9

B là diện tích đáy

điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đó

h là khoảng cách đường cao hạ từ đỉnh bất kì xuống 3a 3 A. mặt phẳng đáy 8

a3 3 B. 8

3a 3 3 8

a3 D. 8

Hướng dẫn

Gọi H là trung điểm của cạnh BC, theo đề bài ta có A ' H  (ABC) Vì tam giác ABC là tam giác đều nên a 3 a2 3 AH  ;SABC  2 4

Tam giác vuông A’HA:

3a 2 3a AH  A ' A  AH  3a   4 2 2

Do đó, thể tích của khối lăng trụ là: VABC.A 'B'C'  A ' H.SABC 

3a a 2 3 3a 3 3 .  2 4 8

 Chọn C 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là

a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60°. Tính thể tích lăng trụ. 3a 3 3 A. 8

a3 3 B. 8

3a 3 C. 8

a3 D. 8

Hướng dẫn Kẻ C’H  (ABC) nên H là hình chiếu của CC’ trên (ABC) Ta có CC ' (ABC)  C, CH '  (ABC) Xét tam giác vuông CHC’, ta có: C ' H  CC '.sin 60 

3a 2

Do tam giác ABC là tam giác đều nên: SABC 

a2 3 4

Vậy thể tích lăng trụ là: Trang 10

V  SABC .C ' H 

3a 3 3 8

 Chọn A Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm H của cạnh BC, tam giác A'HA là tam giác cân. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'. A. V 

2a 3 4

B. V 

2a 3 12

C. V 

5 2a 3 3

D. V 

2a 3 2

Hướng dẫn Tam giác A’HA vuông cân tại H  A ' H  AH 

a 2 2

Diện tích tam giác ABC là: SABC 

1 a2 AB.AC  2 2

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V  A ' H.SABC

2a 3  4

 Chọn A Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) là trung điểm BC, A’A hợp với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'. A. V 

3a 3 8

C. V 

B. V  a 3

3a 3 3

D. V 

3 3a 3 8

Hướng dẫn

A ' A  (ABC)  A

 Do A’H  (ABC)  (A’A;(ABC)) = A ' AH  60 Xét tam giác A’HA vuông tại H, ta có: 3a  A ' H  AH.tan A ' AH  2

Do ABC là tam giác đều nên diện tích tam giác ABC là SABC 

3a 2 4

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V  A ' H.SABC

3 3a 3  8

 Chọn D Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ABC đều có cạnh bằng a, AA' = a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: Trang 11

a3 2 2

a3 2 4

a3 2 8

a3 2 3

Hướng dẫn Gọi O là tâm tam giác đều ABC, do A’ cách đều các đỉnh A, B, C nên hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O. Do đó A’O  (ABC) Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên: AM 

a 3 2 a 3 , AO  AM  2 3 3

Diện tích tam giác ABC là: SABC

a2 3  4

Xét tam giác A’OA vuông tại O, ta có:

a2 a 6 A 'O  AA '  AO  a   3 3 2

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V  SABC .A 'O 

a2 3 a 6 a3 2 .  4 3 4

 Chọn B Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7. Thể tích khối lăng trụ là: A. 10

B. 12

C. 14

D. 16

Hướng dẫn Kẻ thêm hình, ta dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có: 1 VABC.A'B'C '  VABCD.A'B'C 'D' 2

Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là khối lăng trụ có hai đáy là ABB’A’ và DCC’D’. Vậy VABCD.A'B'C 'D'  S ABB'A' .h, trong đó

h  d(C,(ABB ' A '))  d(CC ',(ABB ' A '))  7 và S ABB'A'  4 1  VABC.A'B'C '  .4.7  14 2

 Chọn C   120 , Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ADC (ADC'B') hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'

A. V 

a3 4

B. V 

3a 3 2

C. V 

3a 3 4

D. V 

3a 3 2

Trang 12

Hướng dẫn   120 nên A ' B ' D ' là tam giác đều cạnh a Do A'B'C'D' là hình thoi cạnh a và ADC S A'B'C 'D'  2S A'B'D'

a2 3 a2 3  2.  4 2

D’M là đường cao của tam giác đều D’C’B’ nên: D'M 

a 3 2

D 'M  B'C'  B'C'  (D'DM)  B'C'  DM '  45 Do đó ((ADC ' B ');(A ' B ' C ' D '))  DMD Suy ra D’MD vuông cân tại D’  D ' D  D ' M 

3a 2

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: V  DD '.S A'B'C 'D' 

3a 3 4

 Chọn C Ví dụ 7: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’và A‘M = 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 2

B. 1

2 3 3

Hướng dẫn

Dựng AK  BB '  AK  A ' A, tương tự dựng AE  C ' C  AE  A ' A Từ đó A ' A  (AKE)  AA'  KE

EK  B ' B Do đó ta có   EK  d(C,BB ')  2 EK  C ' C Suy ra tam giác AKE vuông tại A, suy ra AI = 1 với I là trung điểm của KE Suy ra MI  3

Trang 13

A ' A  (AKE) Do   MI  (AKE) AM  (A ' B ' C ') Suy ra

 MI, AM   AMI  AKE  ,  A ' B ' C '     





MI 3  ' B ' C ')   Suy ra cos (AKE),(A AM 2

Neen VABC.A'B'C '  S ABC .AM 

S AKE 1 2 .2  .1. 3.2. 2 cos  2 3

 Chọn A 3. Bài tập tự luyện   120 . Mặt phẳng Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB = AC = a, BAC (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 60°. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’

8 3 a 3

3 3 a 8

a3 8

3 3 a 8

Câu 2. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AA’ hợp với đáy ABC một góc 60°. Tính thể tích khối lăng trụ A.

3 3 a 3

3 3 a 4

3 3 a 8

3 3 a 2

Câu 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC’) hợp với đáy (ABCD) một góc 60°. Tính thể tích khối hộp chữ nhật A.

6 3 a 2

6 3 a 4

6 3 a 3

6 3 a 12

Đáp án: 1–B

2–B

3-A

PHẦN 2: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA '  a 2 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ.

2 3 a 2

B. 2a3

2a 3

D. 2 2a 3

Câu 2. Cho hinh hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60°. Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp A.

3 6 3 a 2

6 3 a 3

6 3 a 2

2 6 3 a 3

Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cho AB = 3a, BC = 4a, CC' = 2a. Thể tích lăng trụ này bằng: A. 24a3

B. 4a3

C. 12a3

D. 8a3 Trang 14

Câu 4. Thể tích hình lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a là A.

a3 3 6

a3 3 2

a3 2

D. 2a3

Câu 5. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a2 a3 3 A. V  6

a3 3 B. V  12

a3 2 C. V  3

a3 3 D. V  4

Câu 6. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. A. V 

a3 3 6

B. V 

a3 3 12

C. V 

a3 3 2

D. V 

a3 3 4

Câu 7. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB' = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC  2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. V 

a3 6

B. V 

a3 3

C. V 

a3 2

D. V = a3

Câu 8. Khối lập phương có độ dài đường chéo bằng d thì thể tích của khối lập phương là: A. d3

3d 3

C. 3d3

d3 3 9

Câu 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC  a 2 , mặt bên (A’BC) hợp với mặt đáy (ABC) môt góc 30 . Tính thể tích khối lăng trụ A.

a3 6 9

a3 6 4

a3 6 3

a3 6 6

Câu 10. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a, AC  a 3 , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30°. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: A.

a3 3 4

2a 3 3 3

3a 3 2 7

Câu 11. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60°. Tính thể tích lăng trụ

3a 3 3 8

a3 3 8

3a 3 8

a3 8

  30 . Cạnh bên hợp với Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC  3 , BC = 3a, ACB mặt phẳng đáy góc 60° và mặt phẳng (A'BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho HC = 2BH và mặt phẳng (A'AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ ABC.AB’C’ là:

3a 3 4

9a 3 4

9a 3 2

3 3a 3 4

Câu 13. Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, có cạnh đáy bằng a, đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

Trang 15

a3 6 3

a3 6 8

a3 6 6

a3 6 4

Câu 14. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a,   60 , biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30°. Thể tích lăng trụ là: ACB A. 3a 3 3

B. 2a 3 6

C. a 3 3

D. a 3 6

Đáp án: 1–A

2–C

3–C

4–B

11 – A

12 – B

13 – D

14 - D

5–D

6–D

7–C

8–D

9–D

10 - A

Trang 16

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU CHUYÊN ĐỀ 1: MẶT NÓN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Mặt nón tròn xoay Đường thẳng d , cắt nhau tại

O và tạo

thành

góc  với 0    90 , mp  P  chứa d , .  P  quay quanh trục  với góc  không đổi. Ta được mặt nón tròn xoay đỉnh O .   gọi là trục.  d được gọi là đường sinh.  Góc 2  gọi là góc ở đỉnh. 2. Hình nón tròn xoay, khối nón tròn xoay Cho tam giác SOA vuông tại O . Quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông SO tạo ra hình nón tròn xoay. Khối nón là phần không gian giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể cả hình nón đó. Các thông số thường gặp:  r  OA  OB : bán kính đáy.  h  SO : chiều cao của hình nón.  I  SA : đường sinh của hình nón.   SAB : góc ở đỉnh. 3. Các công thức về khối nón  Mối liên hệ giữa h , l và r :

Ví dụ: Hình nón có chiều cao là 4, bán kính đáy là 3.

h2  r 2  l 2

 Độ dài đường sinh là:

 Diện tích xung quanh:

l 2  h 2  r 2  33  4 2  25  l  5

S xq   rl

 Diện tích xung quanh:

 Diện tích đáy:

S xq   rl   .3.5  15

Sd   r 2

 Diện tích đáy:

 Diện tích toàn phần:

Stp  S xq  S d   rl   r  Thể tích khối nón: 1 V   r 2h 3

 Chu vi đáy:

Cd  2 r

S d   r 2   .32  9  Diện tích toàn phần:

Stp  S xq  S d  15  9  24  Thể tích khối nón: 1 1 V   r 2 h   .32 .4  12 3 3

Trang 1

 Chu vi đáy:

Cd  2 r  2 .3  6  4. Hình nón cụt  Diện tích xung quanh:

S xq   l  r1  r2   Diện tích toàn phần:

Stp    r1  r2  lr1  lr2   Thể tích khối nón: 1 V   h r12  r1r2  r22 3





PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích khối nón 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a , chiều cao là 3a . Diện tích xung quanh hình nón là: A. 20 a 2

B. 40 a 2

C. 24 a 2

D. 12 a 2

Hướng dẫn Áp dụng công thức h  r  l , đường sinh của hình nón là: 2

l  r 2  h2 

 4a    3a  2

 25a 2  5a .

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S xq   rl   .4a.5a  20 a 2 .  Chọn A.

Ví dụ 2: Một khối nón có diện tích đáy 25 cm 2 và thể tích bằng

125 cm3 . Khi đó đường sinh của 3

khối nón bằng: A. 2 5 cm

B. 5 2 cm

5 cm

2 cm

Hướng dẫn Ta có: S d  25   r 2  25  r 2  25  r  5cm . V

125 1 125   r 2h   h  5cm . 3 3 3

Vậy đường sinh của hình nón là: l  r 2  h 2  5 2  5 2  5 2cm .  Chọn B.

Trang 2

Ví dụ 3: Một khối nón có bán kính r  2a , góc ở đỉnh là 60 . Tính thể tích của khối nón. A. 8 3a 3

2 2a 3 3

 a3 3 3

8 3a 3 3

Hướng dẫn Góc ở đỉnh là  ASB  60 nên tam giác SAB là tam giác đều. r  OA  2a  SA  AB  SB  2r  4a .

Chiều cao của hình nón bằng với chiều cao của tam giác đều SAB cạnh 4a nên h  SO 

4a 3  2 3a . 2

Thể tích khối nón là: 1 1 8 3a 3 2 V   r 2 h   . 2a  .2 3a  . 3 3 3  Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy,

SC  a 6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là: 4 a 3 A. 3

a 3 2 B. 3

 a3 3 3

 a3 3 6

Hướng dẫn Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AC  a 2 .

SA  SC 2  AC 2  6a 2  2a 2  2a . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay có đường cao là: h  SA  2a , độ dài bán kính r  AC  a 2 .

Thể tích của khối nón tròn xoay là: 1 1 4 a 3 V   r 2 h   .2a 2 .2a  . 3 3 3  Chọn A.

Ví dụ 5: Cho ABO vuông tại O ,  BAO  30 , AB  a , quay ABO quanh trục AO ta được hình nón có diện tích xung quanh bằng: A.  a 2

 a2 2

 a2 4

D. 2 a 2

Hướng dẫn Khi quay ABO quanh trục AO ta được hình nón có bán kính đáy là l  OB , đường sinh l  AB  a . Xét tam giác ABO vuông tại O ta có: Trang 3

l  OB  AB.sin 30 

a 2

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: S xq   rl 

 a2 2

 Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hình tròn có bán kính là 6, như hình vẽ.

1 hình tròn giữa 2 bán kính OA , OB , rồi ghép 2 bán kính đó lại sao cho thành một hình nón. Thể 4 tích khối nón tương ứng đó là:

Cắt bỏ

81 7 8

9 7 8

81 7 4

9 7 2

Hướng dẫn Chu vi hình tròn ban đầu là: C  2 6  12 . 1 hình tròn giữa 2 bán kính OA , OB , rồi ghép 2 bán kính đó lại sao cho thành một hình 4 3 nón nên độ dài cung AB (bằng chu vi hình tròn) bằng với chu vi đáy của hình nón. Do đó ta có bán 4 kính đáy của hình nón là:

Sau khi cắt bỏ

3 .12 3 9 4 .12  2 r  r   . 4 2 2

Đường sinh của hình nón chính là độ dài OA : l  OA  6 . 2

3 7 9 Chiều cao của hình nón là: h  l  r  6     . 2 2 2

Vậy thể tích của khối nón là: 2

1 1  9  3 7 81 7 . V   r 2 .h  . .  .  3 3 2 2 8  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Trang 4

Câu 1. Cho ABO vuông tại O ,  BAO  30 , AB  a , quay ABO quanh trục AO ta được hình nón có diện tích xung quanh bằng: A.  a 2

 a2 2

 a2 4

D. 2 a 2

Câu 2. Một hình nón có đường sinh bằng 6cm, diện tích xung quanh bằng 240 cm 2 . Đường kính của đường tròn đáy hình nón bằng: A. 3 30 cm

B. 40 cm

C. 60 cm

D. 80 cm

Câu 3. Một hình nón có đường sinh bằng 8cm, diện tích xung quanh bằng 240 cm 2 . Đường kính của đường tròn đáy hình nón bằng: A. 2 30 cm

B. 30 cm

C. 60 cm

D. 50 cm

Đáp án: 1–B

2–D

3–C

Dạng 2: Thiết diện của khối nón 1. Phương pháp giải Trường hợp 1: Thiết diện qua trục của hình nón: mp  P  đi qua trục của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh SA , SB ( AB là đường kính đáy). Thiết diện là tam giác cân SAB .

Thiết diện qua trục của hình nón thông thường hay gặp ở một số dạng như:  Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân: AB  SA 2 .  Thiết diện qua trục là một tam giác đều: AB  SA  SB .  Thiết diện qua trục có góc ở đỉnh (góc  ASB ) bằng số độ cho trước… Trường hợp 2: Thiết diện qua đỉnh của hình nón: mp  P  đi qua đỉnh của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh SA , SB ( AB là dây cung bất kì của đáy). Thiết diện là tam giác cân SAB .

Trang 5

Chú ý: Kẻ OH  AB thì H chính là trung điểm của AB . Góc giữa mặt phẳng  SAB  với đường tròn đáy là  SHO . Kẻ OK  SH thì OK  d  O, SAB   . Trường hợp 3: Thiết diện vuông góc với trục của hình nón và song song với đường tròn đáy hình nón: mp

 P

vuông góc với trục hình nón. Giao tuyến là một đường tròn.

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a . Diện tích xung quanh của hình nón bằng: A.

 a2

 a2 2

3 a 2 2

D.  a 2

Hướng dẫn Gọi SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ). Tam giác SAB cân tại S và là tam giác cân nên I  SA  SB  a . Do đó, AB  SA 2  a 2 và r  SO  OA 

1 a 2 AB  . 2 2

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: S xq   rl   .

a 2  a2 2 .a  . 2 2

 Chọn B.

Ví dụ 2: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng a . Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác có góc ở đỉnh bằng 120 . Tính thể tích V của khối nón. A. V 

 a3 6

B. V 

 a3 3

C. V 

 a3 3 9

D. V 

 a3 3

Hướng dẫn Gọi SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ). Theo đề bài ta có r  a . Tam giác SAB có góc ở đỉnh bằng  ASB  120 . Do đó  ASO  60 . Trang 6

Xét tam giác SAO vuông tại O , ta có: h  SO 

a a 3  . tan60 3

Vậy thể tích V của khối nón là: 1 2 1 2 a 3  a3 3 V  r h  a .  . 3 3 3 9  Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h  4 , r  3 , mặt phẳng  P  đi qua đỉnh của hình nón nhưng không qua trục của hình nón và cắt hình nón theo giao tuyến là một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2. Tính diện tích S của thiết diện được tạo ra. A. S  91

B. S  2 3

C. S  19

D. S  2 6

Hướng dẫn Mặt phẳng  P  đi qua đỉnh của hình nón nhưng không qua trục của hình nón và cắt hình nón theo giao tuyến là một tam giác cân SAB (như hình vẽ). Ta có giao tuyến là một tam giác cân có độ dài cạnh đáy AB  2 . Đường sinh của hình nón là:

SA  SB  l  h 2  r 2  4 2  32  25  5 . Gọi M là trung điểm cạnh đáy AB của tam giác cân SAB . Xét tam giác SAM vuông tại M , ta có:

SM  SA2  AM 2  2 6 . Diện tích S của thiết diện được tạo ra là: S  S SAB 

1 1 SM .AB  .2 6 .2  2 6 . 2 2

 Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và  SAO  30 ;  SAB  60 . Tính diện tích xung quanh hình nón. A. 4 3

3 2 4

C. 2 3

D. 3 2

Hướng dẫn Gọi I là trung điểm của AB thì OI  AB , SI  AB , OI  2 . Xét hai tam giác vuông SAO và SAI ta có:  3   AO  SA.cos SAO  SA.cos 30  SA. 2  SA  AI  SA.cos  SAI  SA.cos 60   2

Trang 7

Do đó:

AI 1  . AO 3

Mặt khác:



AI 1  cos  IAO   sin  IAO  1  cos  IAO AO 3 Mà SA 





6 OI 2    OA  6 3 OA OA

OA 2  6. 2 2. cos 30 3

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S xq   rl   OA.SA   6 .2 2  4 3 .  Chọn A.

Ví dụ 5: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h  a và bán kính đáy r  2a . Mặt phẳng  P  đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB  2 3a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến  P  . A. d 

3a 2

C. d 

B. d  a

5a 5

D. d 

2a 2

Hướng dẫn Gọi O là tâm đường tròn đáy của hình nón. Từ O kẻ OH  AB ( HA  HB ), kẻ OK  SH .  OK   SAB   d  O;  SAB    OK hay d  O;  P    OK .

Xét tam giác OAH vuông tại H, ta có: 2

 AB  OH  OA  AH  r      2  2

 2a 

2 3     a . a  

Suy ra SOH có SO  OH  a nên vuông cân tại O. Do đó khoảng cách từ O đến mặt  SAB  là: d  OK 

1 1 a 2 SH  .a 2  . 2 2 2

 Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với đáy góc 60 là tam giác đều cạnh bằng 4 cm. Thể tích của khối nón đó là: A. 9 cm3

B. 4 3 cm3

C. 3 cm3

D. 7 cm3

Hướng dẫn Gọi thiết diện qua đỉnh là SAB , tâm đường tròn đáy là O. Gọi H là trung điểm của AB. Góc giữa  SAB  và đáy là:  SHO  60 . Giả thiết cho SAB đều cạnh 4 cm  SH 

4 3  2 3 cm. 2

Trang 8

Xét tam giác SOH vuông tại O, ta có: sin60 

OH 

SO 3  SO  sin60.SH  .2 3  3 cm. SH 2

SO 3  cm. tan60 3

Xét tam giác OAH vuông tại O, ta có: 2

 3  2 OA  OH  AH     2  7 cm.  3 2

Thể tích của khối nón đó là: V

1 2 1 1 2 h.r  .SO.  OA   .3. 3 3 3

 7





 7 cm3 .

 Chọn D.

Ví dụ 7: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h  a và bán kính đáy r  qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy bằng

5a . Một mặt phẳng  P  đi 4

3a . Diện tích thiết diện tạo bởi  P  5

và hình nón là: A.

5 2 a 2

5 2 a 4

15 2 a 4

7 2 a 2

Hướng dẫn Gọi mặt phẳng qua đỉnh là (SAB). SA, SB là hai đường sinh bất kì. Từ O kẻ OH  AB, từ O kẻ OK  SH .  OK   SAB   d  O;  SAB    OK 

3a . 5

Xét tam giác SOH vuông tại O, ta có:

1 1 1 1 1 1 1 16     2   2. 2 2 2 2 2 2 OK OS OH a OH OH 9a  3a     5   OH 

3 a. 4 2

5 3  SH  SO  OH  a   a   a . 4 4  2

Xét tam giác AOH vuông tại H, ta có: 2

 5a   3a  AH  OA  OH        a  AB  2a .  4   4  2

Vậy diện tích thiết diện tạo bởi  P  và hình nón là:

Trang 9

S SAB 

1 1 5 5 SH .AB  . a.2a  a 2 . 2 2 4 4

 Chọn B.

Ví dụ 8: Cho hình nón có đáy là đường tròn có đường kính 10. Mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn như hình vẽ. Tính thể tích của khối nón có chiều cao bằng 6.

A. 8

B. 24

C. 96 

200 9

Hướng dẫn Vì AO // BO nên áp dụng định lý Talet trong tam giác SBO, ta có: SO AO 6 AO     AO  2 . SO AO 15 5

Thể tích của khối nón có chiều cao bằng 6 là: 1 1 1 2 V   r 2 h   . AO  .SO  .6. 2 2  8 . 3 3 3  Chọn A.

Ví dụ 9: Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40 cm. Người ta cắt vật N1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ N 2 có thể tích bằng

1 thể tích N1 . Tính chiều 8

cao h của hình nón N 2 . A. 5 cm

B. 10 cm

C. 20 cm

D. 40 cm

Hướng dẫn Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của N1 , N 2 và r1 , r2 lần lượt là bán kính đáy của N1 , N 2 ta có: 1 2  r2 .h r 2 .h 1 V2 .   3  22 8 V1 1  r 2 .40 r1 .40 1 3 2

r r2  r   h  h Mặt khác ta có: 2   22   2     . r1 40 r1  r1   40  Trang 10

Do đó thay vào ta được: 3

1  h  h 1      h  20 cm. 8  40  40 2 Vậy chiều cao h của hình nón N 2 là 20 cm.  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng: A.

 a2

 a2 2 2

3 a 2 C. 2

D.  a 2

Câu 2. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là: A. a 3 3

2 3 a 3 9

a 3 3 24

3a 3 8

Câu 3. Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40 cm. Người ta cắt vật N1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ N 2 có thể tích bằng

1 thể tích N1 . Tính chiều 64

cao h của hình nón N 2 ? A. 5 cm

B. 10 cm

C. 20 cm

D. 40 cm

Câu 4. Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90 . Cắt hình nón bằng mặt phẳng  P  đi qua đỉnh sao cho góc giữa  P  và mặt đáy hình nón bằng 60 . Khi đó diện tích thiết diện là: A.

 2a 2

 3 2

2 2 a 3

3 2 a 2

Đáp án: 1–B

2–C

3–B

4-A

Dạng 3: Khối nón nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện 1. Phương pháp giải - Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu:  Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón.  Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó chiều cao h của hình nón bằng với chiều cao của hình chóp. Bán kính đáy của hình nón là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp. - Một hình chóp gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu:  Đáy của hình chóp là đa giác ngoại tiếp đáy của hình nón.  Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó chiều cao h của hình nón bằng với chiều cao của hình chóp. Bán kính đáy của hình nón là bán kính đường tròn nội tiếp đáy của hình chóp. Trang 11

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc  SAB  60 . Thể tích của hình nón đỉnh S đáy là dường tròn ngoại tiếp ABCD là: A.

 a3 3

 a3 2

 a3 3 6

Hướng dẫn Hình nón đỉnh S đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp h  SO , bán kính đáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD: r  AO và đường sinh là l  SA . Vì  SAB  60 nên tam giác SAB đều nên SA  AB  a . Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:

h  SO  SA2  AO 2  a 2 

2a 2 a 2 .  4 2

Bán kính đáy của hình nón là: r  AO 

1 1 a 2 AC  a 2  2 2 2

Vậy thể tích của hình nón đỉnh S đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD là: 2

1 1  a 2  a 2  a3 2 . V   r 2 h      . 3 3  2  2 12  Chọn B.

Ví dụ 2: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a, có diện tích xung quanh là: A. S xq 

 a2 3

B. S xq 

 a2 2

C. S xq 

 a2 3 3

D. S xq 

 a2 3 6

Hướng dẫn Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: SO   ABC  . Hình nón đỉnh S đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp h  SO , bán kính đáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC: r  AO và đường sinh là l  SA . Xét tam giác đều ABC cạnh a, ta có: AH  Do O là tâm tam giác ABC nên: OA  Do đó r  AO 

a 3 . 2

2 2 a 3 a 3 AH  .  . 3 3 2 3

a 3 , l  SA  a . 3

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều là: S xq   rl   .

a 3  a2 3 .a  3 3

 Chọn C.

Trang 12

Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính thể tích khối nón nội tiếp chóp tam giác đều đó. A.

 a2 3

108

 a3 3

108

 a3 3 6

 a2 3 6

Hướng dẫn Gọi H là trọng tâm tam giác đều BCD. Ta có: AH   BCD  . Hình nón đỉnh A đáy là đường tròn nội tiếp BCD có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp h  AH , bán kính đáy là bán kính đường tròn nội tiếp BCD: r  HM (M là trung điểm BC) và đường sinh l  AM . Vì tam giác BCD đều cạnh a nên DM  Do H là tâm tam giác BCD nên: MH 

a 3 . 2

1 1 a 3 a 3 DM  .  . 3 3 2 6

Vì cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 45 nên  ADH  45 , do đó tam giác AHD vuông cân. AH  HD 

2 2 a 3 a 3 DM  .  . 3 3 2 3

Do đó r  HM 

a 3 a 3 ,h  AH  . 6 3

Thể tích khối nón là: 2

1 1  a 3  a 3  a3 3 . V   r 2 h   .   . 3 3  6  3 108  Chọn B.

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.ABC D có cạnh bằng a, một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABC D . Diện tích xung quanh của hình nón đó là: A.

 a2 3 3

 a2 2 2

 a2 3 2

 a2 6 2

Hướng dẫn Gọi O , O lần lượt là tâm của hai đáy. Hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABC D nên có đường cao là h  OO  AA  a , bán kính đáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABC D : r  OA , đường sinh là l  OA . Do ABC D là hình vuông cạnh a nên r  OA 

1 1 2 AC   .a 2  a . 2 2 2

Trang 13

Xét tam giác OOA vuông tại O , độ dài đường sinh của hình nón là: 2

l  OA 

 OA   OO 2

a 2 6 2     a  a 2  2 

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đó là: a 2 a 6  a2 3 S   rl   . .  . 2 2 2  Chọn C.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 45 . Hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD, có diện tích xung quanh là: B. S xq   a 2

A. S xq  2 a 2

C. S xq 

 a2 3 4

D. S xq 

 a2 4

Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng A. 2 3 a

3 a 2 2

2 3 a 2 C. 3

3 a 2 3

Câu 3. Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một hình nón. Thể tích khối nón là 3 a 3 27

6 a3 27

3 a 3 9

6 a3 9

Đáp án: 1–C

2–C

3–B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Hình trụ luôn chứa một đường tròn. B. Hình nón luôn chứa một đường tròn. C. Hình nón luôn chứa một đường thẳng. D. Mặt trụ luôn chứa một đường thẳng. Câu 2. Cho khối nón có thể tích là bằng A.

100 , biết rằng tỉ số giữa đường cao và đường sinh của khối nón 81

5 . Tính diện tích xung quanh của khối nón 3

10 9

10 5 3

10 5 9

10 3

Câu 3. Một hình nón có đường cao h  20 cm, bán kính đáy r  25 cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó: A. 5 41

B. 25 41

C. 75 41

D. 125 41 Trang 14

Câu 4. Một hình nón có bán kính đáy bằng R, đường cao

4R . Khi đó, góc ở đỉnh của hình nón là 2 . 3

Khi đó khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. tan  

3 5

B. cot  

3 5

C. cos  

3 5

D. sin  

3 5

Câu 5. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC  của hình lập phương ABCDABC D có cạnh b khi quay xung quanh trục AA . Diện tích S là: B.  b 2 2

A.  b 2

D.  b 2 6

C.  b 2 3

Câu 6. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 3a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng A.

 a2

B. 16  a 2

9 a 2 2 2

D.  a 2

Câu 7. Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 90 . Thể tích của khối nón xác định bởi hình nón trên: A.

 h3

6 h3 3

2 h3 3

D. 2 h3

Câu 8. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Khai triển hình nón theo một đường sinh, ta được một hình quạt tròn có góc ở tâm là  . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? A.  



B.  

2 3

C.  

3 4

D.   

Câu 9. Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh bằng 2a. Một mặt phẳng qua đỉnh S cắt hình nón theo một thiết diện, diện tích lớn nhất của thiết diện là A. 2a 2

B. a 2

C. 4a 2

3a 2

Câu 10. Hình chữ nhật ABCD có AB  6 , AD  4 . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng: A. V  8

B. V  6 

C. V  4

D. V  2

Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD. A. S xq   a 2 ;V 

 a3 6

C. S xq  2 a 2 ;V 

B. S xq   a 2 ;V 

 a3 3

D. S xq  2 a 2 ;V 

 a3 6 6

Câu 12. Khối nón có chiều cao bằng 3a. Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện 64 2 tích bằng  a . Khi đó, thể tích của khối nón là 9 A. 16  a 3

25 3 a 3

C. 48 a 3

16 3 a 3

Trang 15

Đáp án: 1–C

2–D

11 – B

12 - A

3–D

4–D

5–D

6–C

7–A

8–D

9–A

10 – A

Trang 16

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ 2: MẶT TRỤ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Mặt trụ tròn xoay Trong mặt phẳng  P  cho hai đường thẳng  và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay

mặt phẳng  P  quanh trục cố định  thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng  được gọi là trục. Đường thẳng l được gọi là đường sinh. Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ. Đường thẳng AB được gọi là trục. r  AD  BC : bán kính đáy. l  CD : đường sinh của hình trụ. AB  CD  h : chiều cao của hình trụ.

3. Công thức về khối trụ Mối liên hệ giữa h và l:

Ví dụ: Hình trụ có chiều cao là 4, bán kính đáy là 3.

hl

Độ dài đường sinh là:

Diện tích xunh quanh:

lh4

Sxq  2rl

Diện tích xunh quanh:

Diện tích hai đáy:

Sxq  2rl  .2.3.4  24

S2ñ  2r 2

Diện tích hai đáy:

Diện tích toàn phần:

S2ñ  2r 2  2.32  18

Stp  Sxq  S2ñ  2rl  2r 2

Diện tích toàn phần:

Thể tích khối trụ:

Stp  Sxq  S2ñ  24  18  42

V  r 2 h

Thể tích khối trụ: V  r 2 h  .32.4  36

Trang 1

PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH AB và CD là hai đường kính bất kì trên đáy của hình trụ

VABCD 

1 AB.CD.OO.sin  AB,CD  6

Đặc biệt AB  CD VABCD 

Hình trụ cụt

1 AB.CD.OO 6

Sxq  R  h1  h 2 

 h  h2  V  R 2  1   2 

Hình nêm loại 1

Hình nêm loại 2

Chỏm cầu

V

2 3 R tan  3

 2 V     R 3 tan  2 3



Sxq  2Rh   R 2  h 2

 Trang 2

 h  h 2 Sxq  h 2  R    h  3r 2 3 6  





PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích khối trụ 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 và có chiều cao bằng đường kính đáy. Thể tích khối trụ tương ứng bằng: A. 2 .

B.  .

C. 3 .

D. 4 .

Hướng dẫn Vì khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy nên h  2r  r 

h 2

Goi l là độ dài đường sinh của hình trụ: l  h

Sxq  2rl  4  rl  2 Thay r 

h h và l  h vào ta được .h  2  h 2  4  h  2 2 2

Do đó r 

h 2  1 2 2

Thể tích khối trụ là: V  r 2 h  2 → Chọn A. Ví dụ 2: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB  1 và AD  2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng: A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 8 .

Hướng dẫn

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h  AB  1 , bán kính đáy r  AM 

AD 1 2

Do đó diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp  2rh  2r 2  2.1.1  2.12  4 → Chọn C.

  300 . Quay hình chữ nhật này xung quanh Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a và góc BDC Trang 3

cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là: A.

3a2 .

B. 2 3a2 .

2 3

D. a2 .

a2 .

Hướng dẫn Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ như hình vẽ. Hình trụ tạo thành có bán kính là r  AB  a và đường sinh là l  BC Xét tam giác BCD vuông tại C, ta có Ta có: l  BC  CD tan 300  a.

1 3



a 3

Diện tích xunh quanh của hình trụ được tạo thành là:

Sxq  2rl  2.a

a 3



2a2 3

→ Chọn C. Ví dụ 4: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).





A. 700 cm 2 .







B. 754,25 cm 2 .



C. 750,25 cm 2 .





D. 756,25 cm 2 .

Hướng dẫn Tổng diện tích được tính bằng tổng diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích một đáy, với diện tích vành khăn. Hình trụ có chiều cao bằng đường sinh h  l  30 , bán kính đáy r  Diện tích xunh quanh của hình trụ là: Sxq  2rl  2.

35  20 15  cm . 2 2

15 .30  450 cm 2 2

 15  Diện tích một đáy của hình trụ là: Sñ  r     cm 2  2 2

 35   15  Diện tích vành khăn là: Svk  R  r  .       cm 2  2   2 2

Vậy tổng diện tích vải cần có để làm cái mũ đó là: Trang 4

2  15   35   15  Ta có S  Sxq  Sñ  Svk  450      .        756,25  cm   2  2   2

→ Chọn D. Ví dụ 5: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 50  cm   240  cm  , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. Cách 2; Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số A.

1 2

V1 bằng: V2 B. 1

C. 2

D. 4

Hướng dẫn Ở cách 1, thùng được tạo thành có chiều cao là h  50  cm  Chiều dài của hình chữ nhật bằng với chu vi đáy của hình trụ tạo thành. Gọi bán kính đáy của hình trụ tạo thành ở cách 1 là r1 , ta có: 2r1  240  r1 

120  cm   2

3  120  Do đó thể tích của thùng gò được theo cách 1 là: V1  .   .50  cm    

Ở cách 2, mỗi thùng được tạo thành có chiều cao là h  50  cm  Một nửa chiều dài của hình chữ nhật bằng với chu vi đáy của hình trụ tạo thành. Gọi bán kính đáy của hình trụ tạo thành ở cách 2 là r2 , ta có: 2r2 

240 60  r2   cm  2 

  60 2  Do đó thể tích của thùng gò được theo cách 2 là: V2  2   .   .50  cm 3     





Trang 5

 120  .  .50 V1 V1    Tỉ số bằng:  2 V2 V2   60 2  2   .   .50       → Chọn C. Ví dụ 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1 , đáy lớn CD  3 , cạnh bên AC  2 , quay quanh đường thẳng AB. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. A. V  3 .

B. V 

4 . 3

C. V 

7 . 3

5 D. V   . 3

Hướng dẫn Kẻ AK  CD, BH  CD Ta có HK  AB  1  CK  DH 

3 1 1 2

Xét tam giác AKC vuông tại K, ta có AK  AC2  KC2  2  1  1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích khối trụ có bán kính r  AK  1 , chiều cao CD  3 trừ đi thể tích hai khối nón bằng nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ). Thể tích khối trụ lớn là: V1  .AK 2 .CD  3 1 2 Thể tích hai khối nón bằng nhau là: V2  2. .AK 2 .CK  3 3

Vậy thể tích V của khối tròn xoay tạo thành

 2 7 V  V1  V2    3     3 3  → Chọn C.





Ví dụ 7: Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích V cm 3 . Hỏi bán kính của đáy trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất. A. x 

V . 4

B. x 

V . 

C. x 

3V . 2

D. x 

V . 2

Hướng dẫn Bài toán yêu cầu xác định giá trị của bán kính đáy là R, sao cho Stp nhỏ nhất. Gọi h là chiều cao của hình trụ, ta có: V  R 2 h  h 

Stp  2.Sñ  Sxq  2R 2  2Rh  2R 2  2R.

V R 2

 2 V  V  2  R   R  R 2 

Trang 6

 2 V V  V V V2 2 3 3 2  R   .  6   2.3 R . 2R 2R  2R 2R 4 2 

V2 Do đó Stp nhỏ nhất bằng 6 4 2 3

Dấu bằng xảy ra khi R 2 

V V V  R3  R3 2R 2 2

→ Chọn D. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Một hình trụ có bán kính bằng r  50 cm và có chiều cao h  50 cm . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:







A. 2500 cm 2 .



B. 5000 cm 2 .





C. 2500 cm 2 .





D. 5000 cm 2 .

Câu 2. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1 và AD  2 . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục AB ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó: A. Stp  12 .

B. Stp  6 .

C. Stp  4 .

D. Stp  8 .

Câu 3. Một hình trụ có bán kính bằng r  a , độ dài đường sinh l  2a . Diện tích toàn phần của hình trụ bằng: A. 6a2 .

B. 2a2 .

C. 4a2 .

D. 5a2 .

Đáp án: 1–B

2–A

3–A

Dạng 2: Thiết diện của khối trụ cắt bởi mặt phẳng. 1. Phương pháp giải Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp    vuông góc với trục  thì ta được đường tròn có tâm trên  và bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó. Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp    không vuông góc với trục  nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elip có trục nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng

2r , sin 

trong đó  là góc giữa trục  và mp    với 00    900 . của mặt trụ đó. Cho mp    song song với trục  của mặt trục tròn xoay và cách  một khoảng d. Nếu d  r thì mp    cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật. Nếu d  r thì mp    tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh Nếu d  r thì mp    không cắt mặt trụ. Trang 7

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a  2  cm  có thể tích là: A.  cm 3 .

B. 2 cm 3 .

C. 3 cm 3 .

D. 4 cm 3 .

Hướng dẫn Thiết diện qua trục của khối trụ là hình vuông ABCD như hình vẽ. Hình vuông cạnh a  2  cm  nên AB  2r  2  r  1 cm 

Chiều cao của khối trụ là: h  AD  2  cm  Thể tích của khối trụ là:



V  r 2 h  2 cm 3



→ Chọn B. Ví dụ 2: Cho hình trụ có trục OO', thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng

a . Tính diện tích thiết diện của trục cắt bởi  P  . 2

B. a2 .

A. a2 3 .

C. 2a2 3 .

D. a2 .

Hướng dẫn Do hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a nên bán kính của hình trụ là r  a , chiều cao và đường sinh của hình trụ là l  h  2a Gọi thiết diện của trục cắt bởi mặt phẳng  P  là ABCD. Kẻ OH vuông góc với AB





OH  d O,  P  

a 2

BC  h  2a, OA  r  a Xét tam giác OHA vuông tại H, ta có: 2

a a 3 AH  OA  OH  a     2 2 2

Do đó AB  2AH  a 3 Diện tích thiết diện ABCD là SABCD  AB.BC  a 3.2a  2a2 3 → Chọn C. Ví dụ 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4 , thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng



song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB'A', biết một cạnh của thiết diện là một dây của

đường tròn đáy hình trụ căng một cung 1200 . Diện tích thiết diện ABB'A' bằng A.

B. 2 3 .

C. 2 2 .

D. 3 2 . Trang 8

Hướng dẫn Gọi l, r lần lượt là độ dài đường sinh và bán kính của hình trụ. Do thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên r 

1 2

Ta có: Sxq  2rl  4  l 2  4  l  2  r  1 Xét tam giác OHA vuông tại H, ta có:  sin AOH

AH   3  AB  2AH  3  AH  OA.sin AOH OA 2

Vậy diện tích thiết diện bằng: S  AA '.AB  2 3 . → Chọn B. Ví dụ 4: Cho hình trụ có các đường tròn đáy là  O  và  O  , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Các điểm A, B lần lượt thuộc các đường tròn đáy là  O  và  O  sao cho AB  3a . Thể tích khối tứ diện ABOO' là: a3 A. . 2

a3 B. . 3

a3 C. . 6

D. a3 .

Hướng dẫn Kẻ AA' song song với trục OO' Tam giác AA'B vuông tại A', ta có:

A ' B  AB2  AA '2  3a2  a2  a 2 Xét tam giác O'A'B có A ' B2  2a2  O ' B'2  O ' A '2

Suy ra tam giác O'A'B vuông tại O' Suy ra BO' vuông góc với O'A Suy ra BO' vuông góc với  AOO '  Thể tích của khối tứ diện ABOO' là: 1 1 1 a3 VABOO'  BO '.SAOO'  .a. .a2  3 3 2 6

→ Chọn C. Ví dụ 5: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn  O  và  O  . Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng 450 và khoảng cách đến trục OO' bằng

a 2 . Biết 2

bán kính đáy bằng a, tính thể tích khối trụ theo a. A. V 

a3 2 . 6

B. V  a3 2 .

C. V 

a3 2 . 2

D. V 

a3 2 . 3

Trang 9

Hướng dẫn Kẻ AC song song với OO'

  450 Góc giữa AB và mặt phẳng đáy là ABC Đặt OO '  h . Gọi I lần lượt là trung điểm của BC. O ' I  BC, O ' I  AC  O ' I   ABC 

Do đó: d  AB;OO '   IO ' 

a 2 2

  450 nên ABC là tam giác vuông Tam giác ABC vuông tại C có ABC cân  BC  AC  h Xét tam giác CIO' vuông tại I, ta có: 2

2 h a 2  CO '  CI  IO '  a       ha 2  2   2  2

Thể tích khối trụ là: V  a2 .a 2  a3 2 → Chọn B. Ví dụ 6: Cho hình trụ có chiều cao h  2 , bán kính đáy r  3 . Một mặt phẳng  P  không vuông góc với đáy của hình trụ, lần lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB và CD sao cho ABCD là hình vuông. Tính diện tích S của hình vuông ABCD. A. S  12 .

B. S  12 .

C. S  20 .

D. S  20 .

Hướng dẫn Kẻ thiết diện qua trục BB'DD' của hình trụ. Gọi độ dài cạnh của hình vuông ABCD là x, x  0

CD  BC Do   CD   BB'C   CD  B'C CD  BB' Do đó tam giác B'CD vuông tại C. Khi đó B'D là đường kính của đường tròn  O' 

Xét tam giác B'CD vuông tại C, ta có: B' D2  CD2  CB'2  4r 2  x 2  CB'2 (1)

Xét tam giác BB'C vuông tại B, ta có: BC2  BB'2  CB'2  x 2  h 2  CB'2 (2)

Từ (1) và (2)  x 2 

4r 2  h 2  20 2

Suy ra diện tích hình vuông ABCD là S  20 → Chọn C. Ví dụ 7: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD canh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng Trang 10

 ABCD  tạo với đáy hình trụ góc 45

. Diện tích xung quanh Sxq hình trụ và thể tích V khối trụ là:

A. Sxq 

a2 3 3 2a3 ;V  . 3 8

B. Sxq 

a2 2 3 2a3 ;V  . 3 32

C. Sxq 

a2 3 3 3a3 ;V  . 4 16

D. Sxq 

a2 3 3 2a3 ;V  . 2 16

Hướng dẫn Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó: OM  AB và O ' N  DC Giả sử I là giao điểm của MN và OO' Đặt R  OA, h  OO ' Trong tam giác IOM vuông cân tại O nên: OM  OI 

2 h 2 a 2 IM   . h a 2 2 2 2 2 2

2  a   a 2  a2 a2 3a2 2 2 2 2 Ta có: R  OA  AM  MO          4 8 8  2   4 

Diện tích xung quanh Sxq hình trụ là:

Sxq  2Rh  2

a 3 a 2 a2 3 .  2 2 2 2

Thể tích V khối trụ là: V  R 2 h  

3a2 a 2 3 2a3 .  8 2 16

→ Chọn D. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Một hình trụ  H  có diện tích xung quanh bằng 4 . Biết thiết diện của  H  qua trục là hình vuông. Diện tích toàn phần của  H  bằng A. 6 .

B. 10 .

C. 8 .

D. 12 .

Câu 2. Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AB  4a, AC  5a . Thể tích của khối trụ là A. 16a3 .

B. 8a3 .

C. 4a3 .

D. 12a3 .

Câu 3. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao là 50 cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ. A. d  50 cm .

B. d  50 3cm .

C. d  25cm .

D. d  25 3cm .

Đáp án: 1–A

2–D

3–C

Dạng 3: Khối trụ nội tiếp, khối trụ ngoại tiếp. Trang 11

1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng: A.

a2 3 . 3

a2 2 . 2

a2 2 . 3

a2 3 . 2

Hướng dẫn Gọi O là tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Hình hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao tứ diện h  DO và bán kính bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC: r  OM Do hình tứ diện đều ABCD cạnh a nên tam giác ABC là tam giác đều cạnh a  AM 

a 3 2

O là tâm tam giác ABC nên AO 

2 2 a 3 a 3 AM  .  3 3 2 3

Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC: r  MO 

AM a 3  3 6

Xét tam giác DOA vuông tại O, ta có: 2

a 3 a 6 h  DO  DA  AO  a      3  3   2

Diện tích xung quanh của hình trụ đó là: Sxq  2rl  2rh 

a2 2 3

→ Chọn C. Ví dụ 2: Một hình trụ có đáy là hai hình tròn  O;6  ;  O ';6  và OO '  10 . Một hình nón có đỉnh O' và có đáy là hình tròn  O;6  . Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần. Thể tích phần khối trụ còn lại (không chứa khối nón) bằng: A. 60 .

B. 90 .

C. 120 .

D. 240 .

Hướng dẫn Hình trụ có chiều cao h  OO '  10 và bán kính đáy r  6 nên khối trụ có thể tích là: V1  hr 2  360 Hình nón có đỉnh O', chiều cao h  OO '  10 và bán kính đáy r  6 1 nên khối nón có thể tích là: V2  hr 2  120 3

Vậy thể tích phần khối trụ còn lại (không chứa khối nón) là:

V  V1  V2  240 → Chọn D. Trang 12

Ví dụ 3: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể tích của khối trụ bằng: a3 B. . 2

A. a . 3

a3 C. . 3

a3 D. . 4

Hướng dẫn Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a nên có chiều cao bằng với chiều cao hình lập phương h  a và bán kính đáy bằng bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Đáy là hình tròn nội tiếp hình lập phương cạnh a nên có r 

a 2

Thể tích của khối trụ là: 2

a a3 V  r h     a  4 2 2

→ Chọn D. Ví dụ 4: Trong không gian, cho hình lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4a. Tính diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều đó.



A. Stp  a2 8 3 .





B. Stp  a 8 3  6 .





C. Stp  2a 8 3  6 .



D. Stp  a2  8 3  6 . Hướng dẫn

Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có chiều cao bằng với chiều cao của khối lăng trụ l  h  AA '  4a và bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: r  OB . Vì tam giác ABC đều cạnh 3a nên BH  Khối trụ có bán kính: r  BO  Diện

tích

xung

3a 3 2

2 2 3a 3 BH  . a 3 3 3 2

quanh

của

hình





trụ

là:

Sxq  2..a 3.4a  8 3.a2 Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Stp  2rl  2r 2  8 3.a2  6a2   a2  8 3  6 → Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, với AB  a . Góc giữa A'B và mặt đáy bằng 450 . Diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng: A. a2 .

3a2 .

C. 2a2 .

2a2 . Trang 13

Hướng dẫn Hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao bằng chiều cao của hình trụ h  AA ' và bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC có BC  a 2 . Gọi O là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông cân tại A nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó r  OB  OC 

BC 2

AA '   ABC 

nên

góc

giữa

A'B

và

 ABC 

là

góc

 A ' BA  450  AA '  AB  a  BC a 2 r   Hình trụ có:  2 2 l  h  AA '  a 

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Sxq  2rl  2a2 → Chọn D. Ví dụ 6: Cho một hình nón đỉnh S, mặt đáy là hình tròn tâm O, bán kính R= 6 (cm) và có thiết diện qua

trục là tam giác đều. Cho một hình trụ có hai đường tròn đáy là  O; r  và  I; r  , có thiết diện qua trục là hình vuông, biết đường tròn  O; r  nằm trên mặt đáy của hình nón, đường tròn  I; r  nằm trên mặt xung quanh của hình nón (I thuộc đoạn SO). Tính thể tích khối trụ.



 



A. 432 26 3  45 cm 3 .



 

B. 1296 26 3  45 cm 3 .

 



C. 1296 7  4 3 cm 3 .

 

D. 432 7  4 3 cm 3 . Hướng dẫn

Hình nón có bán kính đường tròn đáy R  6  cm  và có thiết diện qua trục là tam giác đều nên ta có:

SM  2R  12 cm SO 

SM 3  6 3cm 2

Đặt SI  x , vì BI / /AO nên ta có:

BI SI r x x    r OM SO 6 6 3 3 Chiều cao của hình trụ là: h  OI  SO  OI  6 3  x Do đó, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông khi và chỉ khi:

h  2r  6 3  x 

2x 3

x

18 2 3



 18 2  3



Khi đó: Trang 14





h  6 3  x  12 2 3  3 , r 



h  6 2 3 3 2



Thể tích khối trụ là:











 

V  r 2 h  . 6 2 3  3  .12 2 3  3  1296 26 3  45 cm 3  

→ Chọn B. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích 6 mặt của của hình lập phương, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số A.

S2  . S1

S2 . S1

S2   . S1 2

S2 1  . S1 2

S2   . S1 6

Câu 2. Một hình trụ có bán kính đáy r  5cm , chiều cao h  7cm . Diện tích xung quanh của hình trụ này là:







A. 35 cm 2 .



B. 70 cm 2 .

70  cm 2 . 3





35  cm 2 . 3





Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi  O  và  O'  lần lượt là hai đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Hình trụ có hai đáy là  O  và  O'  có thể tích là: A.

1 3 a . 3

B. 2a3 .

C. a3 .

a3 . 2

Câu 4. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng 1 và cạnh bên bằng 2. Thể tích khối trụ nội tiếp trong hình lăng trụ là: A.

1 . 2

1 . 8

2 . 4

2 . 8

Đáp án: 1–D

2–B

3–D

4–A

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có đường cao h  a và thể tích V  a3 . A. Sxq  4a2 .

B. Sxq  6a2 .

C. Sxq  8a2 .

D. Sxq  2a2 .

Câu 2. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  4 và BC = 2. Gọi P, Q lần lượt là các điểm trên cạnh AB và CD sao cho: BP  1, QD  3QC . Quay hình chữ nhật APQD xung quanh trục PQ ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó A. 10 .

B. 12 .

C. 4 .

D. 6 .

Câu 3. Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình vuông ABCD xung quanh MN. Diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là: Trang 15





A. 64 cm 2 .





B. 32 cm 2 .







C. 96 cm 2 .



D. 126 cm 2 .

Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3, BC  4 . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích các khối trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật quanh trục AB và BC. Khi đó tỉ số A.

4 . 3

3 . 4

V1 bằng: V2

9 . 16

6 . 9

Câu 5. Hình trụ có bán kính bằng 5, khoảng cách giữa hai đáy bằng 7. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng: A. 10 .

B. 85 .

C. 95 .

D. 120 .

Câu 6. Hình chữ nhật ABCD có AB  3 cm,AD  5 cm . Thể tích khối trụ hình thành được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đoạn AB. A. 25 cm 3 .

B. 75 cm 3 .

C. 50 cm 3 .

D. 45 cm 3 .

Câu 7. Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh 2a. Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau: A. 4S1  3S2 .

B. 3S1  2S2 .

C. 2S1  S2 .

D. 2S1  3S2 .

Câu 8. Một hình trụ có hai đáy ngoại tiếp hai đáy một hình lập phương. Biết thể tích khối trụ đó là

 thì 2

thể tích khối lập phương bằng: A. 1.

B. 2.

1 . 4

3 . 4

Câu 9. Cắt hình trụ  T  bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm 2 và chu vi bằng 26 cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ  T  . Diện tích toàn phần của  T  là: A.

69  cm 2 . 2









B. 69 cm 2 .





C. 23 cm 2 .

23  cm 2 . 2





Câu 10. Cho một khối trụ có chiều cao bằng 8 cm, bán kính đường tròn đáy bằng 6 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4 cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là: A. 16 5cm 2 .

B. 32 3cm 2 .

C. 32 5cm 2 .

D. 16 3cm 2 .

Câu 11. Hai bạn Tú và Quân có hai miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b. Bạn Tú cuộn tấm bìa theo chiều dài cho hai mép sát nhau rồi dùng băng dính dán lại được một hình trụ không có đáy có thể tích V1 (khi đó chiều rộng của tấm bìa là chiều cao của hình trụ). Bạn Quân cuộn tấm bìa theo chiều rộng theo cách tương tự như trên được hình trụ có thể tích V2 . Tính tỉ số A.

V1 a  . V2 b

V1 b  . V2 a

V1 . V2

V1  ab . V2

V1 1 .  V2 ab

Câu 12. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a. Trang 16

A. V 

a3 . 4

C. V 

B. V  a3 .

a3 . 6

D. V 

a3 . 2

Câu 13. Cho hình trụ có bán kính đáy là R, độ dài đường cao h. Đường kính MN của đáy dưới vuông góc với đường kính PQ đáy trên. Thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng: A.

2 2 Rh . 3

1 2 Rh . 6

1 2 Rh . 3

D. 2Rh 2 .

Câu 14. Tỉ số thể tích của khối trụ nội tiếp và khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a bằng: A.

1 . 2

1 . 3

1 . 6

1 . 4

Câu 15. Một hình thang vuông ABCD có đường cao AD = a, đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 2a. Cho hình thang đó quay quanh cạnh CD, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng A. V 

4 3 a . 3

1 C. V  a3 . 3

B. V  2a3 .

1 D. V  a3 . 3

Câu 16. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao là 50 cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ . B. d  50 3cm .

A. d  50cm .

C. d  25cm .

D. d  25 3cm .

Đáp án: 1–D

2–B

3–A

4–A

5–D

6–B

11 – A

12 – D

13 – A

14 – A

15 – A

16 – C

7–B

8–A

9–A

10 – C

Trang 17

CHƯƠNG 2: Mắt nón, mặt trụ, mặt cầu CHUYÊN ĐỀ 3: KHỐI CẦU PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi được gọi là mặt cầu có tâm O và bán kính R, kí hiệu S(O;R). Mặt cầu S  O; R   M OM  R .

2. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu Cho điểm A và mặt cầu S(O;R). Ta có:  Điểm A thuộc mặt cầu khi OA = R.  Điểm A nằm trong mặt cầu khi OA < R.  Điểm A nằm ngoài mặt cầu khi OA > R. 3. Hình cầu, khối cầu. Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O;R). Khối cầu S  O; R   M OM  R .

4. Giao của mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P).  Nếu h > R: mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu.  Nếu h = R: mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H. Ta có OH  (P). Điểm H gọi là điểm của mặt cầu S (O;R) và mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Trang 1

Vậy ta có: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.  Nếu h < R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r  R 2  h 2 . Đặc biệt khi h = 0 mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính r = R.

5. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O và d = OH là khoảng cách từ O đến ∆.  Nếu d < R, đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm M, N. Đặc biệt, khi d = 0 thì đường thẳng ∆ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó AB là đường kính của mặt cầu.  Nếu d = R, đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm H. ( H gọi là tiếp điểm và đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu).  Nếu d > R, đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu.

Trang 2

6. Các công thức về khối cầu Ví dụ: Mặt cầu có bán kính là R = 3a.

Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4R 2 . Khối cầu bán kính R có thể tích là: V 

Diện tích mặt cầu là:

4 3 R . 3

S  4R 2  4.  3a   36a 2 . 2

Thể tích khối cầu là: V

4 3 4 3 R    3a   36a 3 . 3 3

PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với đáy, đáy có bán kính đường tròn ngoại tiếp là r. Nếu đáy là tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c, nửa chu vi là p

r

abc 4 p  p  a  p  b  p  c 

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: SA 2 R r  4 2

Nếu đáy là tam giác đều r

a 3 3

Nếu đáy là hình vuông cạnh a r

a 2 2

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và bằng SA thì có: SO vuông góc với đáy với O là tâm hình tròn ngoại tiếp đáy. Nếu đáy là hình vuông, O là giao điểm hai đường chéo. Nếu đáy là tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R2 

SA 2 2SO

Nếu đáy là tam giác đều, O là trọng tâm.

Trang 3

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và bằng SA thì có: SO vuông góc với đáy với O là tâm hình tròn ngoại tiếp đáy.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:

Nếu đáy là hình vuông, O là giao điểm hai đường chéo.

R2 

Nếu đáy là tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền.

SA 2 2SO

Nếu đáy là tam giác đều, O là trọng tâm. Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với đáy. Giao tuyến của mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy là AB.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: AB2 R R R  4 2

2 1

2 2

R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và đáy.

PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích, thể tích khối cầu 1. Phương pháp giải 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Mặt cầu có bán kính R 6 có thể tích là: A.

4 6 R 3 . 3

B. 8 6R 3 .

C. 4 6R 3 .

D. 8R 3 .

Hướng dẫn Áp dụng công thức V 

4 3 R ta có: 3

Thể tích khối cầu có bán kính R 6 là: V 



4  R 6 3



 8 6R 3 .

 Chọn B. Ví dụ 2: Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng: A.

32 3 a . 3

4 3 a . 3

8 3 a . 3

64 3 a . 3

Hướng dẫn Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a. Trang 4

Vậy thể tích khối cầu là: V 

4 3 4 32 3 R    2a   a 3 . 3 3 3

 Chọn A. Ví dụ 3: Một khối cầu có diện tích đường tròn lớn là 2π thì diện tích của khối cầu đó là: A.

8 . 3

B. 4 .

C. 8 .

D. 16 .

Hướng dẫn Gọi r là bán kính của mặt cầu. Diện tích đường tròn lớn bằng πr2. Theo giả thiết: r 2  2  r  2 . Vậy diện tích mặt cầu là: S  4r 2  8 .  Chọn C. Ví dụ 4: Một mặt cầu có bán kính bằng 10cm. Một mặt phẳng cách tâm mặt cầu 8 cm cắt mặt cầu theo một đường tròn. Chu vi của đường tròn đó bằng: A. 6π cm.

B. 12π cm.

C. 24π cm.

D. 16 5 cm.

Hướng dẫn Gọi I là tâm mặt cầu. O là tâm đường tròn. OI chính là khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng cắt. Ta có IA = 10, OI = 8. Xét tam giác IOA vuông tại O Ta có: OA  IA 2  IO 2  6cm Vậy chu vi đường tròn là: C  2r  12 cm.

 Chọn B. Ví dụ 5: Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O, biết thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích mặt cầu bằng 72  cm 2  . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. 12  cm 2  .

B. 16  cm 2  .

C. 18  cm 2  .

D. 36  cm 2  .

Hướng dẫn Ta có diện tích của mặt cầu là: Smc  4R 2  72  cm 2   R  3 2  cm 

Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên h = 2r. Nên: R  r 2  3 2  r  3  cm  Do đó diện tích xung quanh hình trụ là: S  2rh  36  cm 2 

 Chọn D. Trang 5

Ví dụ 6: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông. Xét hai mặt cầu sau:

Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình trụ, gọi là mặt cầu nội tiếp hình trụ. Mặt cầu đi qua hai đường tròn đáy của hình trụ, gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình trụ. Kí hiệu S1 là diện tích mặt cầu nội tiếp của hình trụ, S2 là diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ. Tính tỉ số S1 . S2 A.

S1 1  . S2 4

S1 1  . S2 2

S1 2. S2

S1 1  . S2 3

Hướng dẫn Gọi a là cạnh hình vuông thiết diện. Khi đó bán kính đáy của hình trụ là r 

a . 2

Mặt cầu nội tiếp hình trụ có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ R1  r 

a . 2

a Diện tích mặt cầu nội tiếp hình trụ là S1  4R  4    a 2 . 2 2 1

Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có bán kính bằng nửa đường chéo của hình vuông R 2 

a 2 . 2

a 2 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ là S2  4R  4    2a .  2  2 2

Vậy, tỉ số

S1 S a 2 1 là 1   . 2 S2 S2 2a 2

 Chọn B. Ví dụ 7: Một bình đựng nước có dạng hình nón ( không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18π (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước ( hình dưới). Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. 24π (dm3)

B. 54π (dm3)

C. 6π (dm3)

D. 12π (dm3)

Hướng dẫn

Gọi R là bán kính của khối cầu thì thể tích nước tràn ra bằng một nửa thể tích khối cầu.

Trang 6

1 4 3 . R  18  R  3 dm . 2 3

Suy ra chiều cao của nón là h = 2R = 6 dm. Gọi r là bán kính đáy của nón thì

1 1 1  2  2  r  2 3 dm, suy ra 2 r h R

1 VN  r 2 h  24 dm3. 3

Vậy thể tích nước còn lại là 24  18  6 dm3.  Chọn C. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Mặt cầu (S) có thể tích 36π dm3. Diện tích của mặt cầu (s) bằng A. 24π cm2.

B. 36π cm2.

C. 18π cm2.

D. 20π cm2.

Câu 2. Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính r = 5cm. Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu (S) theo một dây cung AB = 6cm. Khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ bằng B. 4 2 cm.

A. 3 cm.

C. 5 cm.

D. 4 cm.

Câu 3. Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính bằng r = 3a. Mặt phẳng    cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn có diện tích là a 2 . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng    bằng A. 3a.

B. 2a.

C. 2 2a .

D. 2 3a

Đáp án: 1–B

2–D

3–C

Dạng 2: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp 1. Phương pháp giải Cho hình chóp S.A1A2...An (đáy là đa giác nội tiếp). Để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo ba bước:  Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2: Qua H dựng ∆ vuông góc với mặt phẳng đáy. ∆ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 3: Lập mặt phẳng trung trực    của một cạnh bên. Tâm O của mặt cầu là giao điểm của ∆ và mặt phẳng    . Bán kính: R = OA (=OS)

Trang 7

Chú ý:  Một số trường hợp đặc biệt xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Tam giác vuông

Tam giác đều

Tam giác bất kì

 Công thức tam giác đồng dạng: ∆SMO đồng dạng với ∆SIA SO SM MO   SA SI IA

2. Ví dụ minh họa 2.1. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Cách 1: Cho hình chóp S.A1A2...An có cạnh bên SA  (A1A2...An) và đáy A1A2...An nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (A1A2...An) tại O. Dựng đường trung trực ∆ của cạnh SA1, cắt d tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA1 = IA2 = ... = IAn = IS. Ta có MIOA1 là hình chữ nhật. Xét ∆MA1I vuông tại M có: 2

 SA  R  A1I  MI  MA  A1O   1  .  2  2

2 1

Cách 2: (Công thức tính nhanh) Gọi h là chiều cao của hình chóp và r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì bán kính mặt cầu là: h R  r   2

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông tại A biết AB = 6a, AC = 8a, SA = 10a. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. 5a 2 .

B. 5a 5 .

C. 10a 2 .

D. 2a 5 .

Hướng dẫn

Trang 8

Cách 1: Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A. Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trong mặt phẳng (SA,d) vẽ trung trực cạnh SA và cắt d tại I. Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R = IA = IB = IC = IS. Ta có tứ giác NIOA là hình chữ nhật. Xét tam giác NAI vuông tại N có: 2

AB2  AC2  SA   SA   BC   SA  R  IA  NI  NA  AO              5a 2 . 4  2   2   2   2  2

Cách 2: Tam giác ABC vuông tại A nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là BC AB2  AC2 r   5a . 2 2

Đường cao h = SA = 10a. 2

h Áp dụng công thức tính nhanh R  r    ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 2 2

R

 5a 

 10a     5a 2 .  2 

 Chọn A. 2.2 Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Đối với dạng bài này thì mặt bên vuông góc thường là tam giác vuông, tam giác cân hoặc tam giác đều. Cách 1: Xác định trục d của đường tròn đáy. Xác định trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy. Giao điểm I của d và ∆ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Cách 2: (Công thức tính nhanh) Gọi R1, R2 là bán kính của mặt bên, mặt đáy, a là độ dài cạnh chung của mặt bên vuông góc và đáy thì bán kính mặt cầu là: R  R12  R 22 

a2 4

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. V 

5 . 3

B. V 

5 15 . 54

C. V 

4 3 . 27

D. V 

5 15 . 18

Hướng dẫn Cách 1: Gọi M là trung điểm AB thì SM  AB (vì tam giác SAB đều). Mặt khác do ( SAB)  (ABC) nên SM  (ABC). Trang 9

Tương tự ta có CM  (SAB). Gọi G và K lần lượt là tâm của các tam giác ABC và SAB. Trong mặt phẳng (SMC), kẻ đường thẳng Gx//SM và kẻ đường thẳng Ky  SM.

OG   SAB  Gọi O  Gx  Ky , thì ta có:  OK   ABC  Suy ra OG, OK lần lượt là trục của tam giác ABC và tam giác SAB. Do đó ta có: OA = OB = OC = OD = OS hay O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tứ giác OKMN là hình chữ nhật có MK  MG  Do đó OK 

3 nên OKMG là hình vuông. 6

3 2 2 3 3  . Ta có: SK  SM  . . 6 3 3 2 3

Xét tam giác SKO vuông tại K có OS  OK 2  SK 2  Do đó bán kính mặt cầu cần tìm là R  OS 

3 3 15   . 36 9 6

15 . 6 3

4 4  15  5 15 Vậy thể tích của khối cầu cần tìm là: V  R 3  .  .   3 3  6  54 Cách 2: Gọi R1, R2 là bán kính của mặt bên, mặt đáy. 2 2 3 3  Ta có R1  R 2  CG  CM  . . 3 3 2 3

Độ dài cạnh chung của mặt bên vuông góc và đáy là a = 1. Áp dụng công thức tính nhanh R  R12  R 22  2

a2 ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: 4

 3  3 1 15 R   .       6  3   3  4

Vậy thể tích khối cầu là: V 

4 3 5 15 R  3 54

 Chọn B. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A.

a 21 . 6

a 21 . 3

a 3 . 3

a 3 . 6

Hướng dẫn Trang 10

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy R1 

AC a 2  . 2 2

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên R 2  SG 

a 3 3

Cạnh chung của mặt bên (SAB) và mặt đáy là AB = a. Vậy bán kính của mặt cầu là: 2

 a 2   a 3   a  2 a 21 R   .         6  2   3  2

 Chọn A. 2.3. Hình chóp đều Cách 1: Gọi O là tâm đáy, SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA và cắt SO tại I, I là tâm mặt cầu. SNI  SOA 

SN.SA SA 2 SN SI    Bán kính là: R  IS  . SO 2SO SO SA

Cách 2: (Công thức tính nhanh) Giả sử hình chóp đều có cạnh bên SA, đường cao là SO thì bán kính mặt cầu là:

R

SA 2 2SO

Ví dụ 4: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA  a 3 . A.

2a 3 . 2

3a 3 . 2 2

a 3 . 8

3a 6 . 8

Hướng dẫn Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, ta có SO   ABC  nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của SA, trong mặt phẳng (SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS = IA = IB = IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bán kính mặt cầu là R = SI. 2 a 3 a 3 2a 6  ,SO  SA 2  AO 2  Ta có AO  . . 3 2 3 3

Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có

SN SI  . SO SA

Trang 11

Suy ra R  SI 

SN.SA SA 2 3a 6   . SO 2SO 8

 Chọn D Ví dụ 5: Cho hình chóp đều S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. B. R 

A. R  a .

a 3 . 2

C. R 

a 2 . 2

D. R 

a 3 . 3

Hướng dẫn Ta có: SA = a. Xét tam giác SAC đều cạnh a, ta có SO  Áp dụng công thức tính nhanh R 

a 3 . 2

SA 2 ta có bán kính mặt 2SO

cầu ngoại tiếp hình chóp là:

R

SA 2  2SO

a2 a 3 .  3 a 3 2. 2

 Chọn D. 2.4. Mặt cầu nội tiếp hình chóp. Điều kiện tồn tại mặt cầu nội tiếp được khối chóp: Nếu trên đáy của một hình chóp tồn tại một điểm cách đều tất cả các mặt xung quanh của hình chóp thì hình chóp đó có một hình cầu nội tiếp. Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh trùng với điểm ở đáy mà cách đều tất cả các mặt bên: - Xác định được điểm O cách đều trên đáy. - Nối đỉnh hình chóp với O bằng một đoạn thẳng. - Dựng mặt phẳng phân giác của một góc nhị diện nào đó ở đáy. Giao điểm của mặt phẳng phân giác với đường thẳng trên là tâm hình cầu nội tiếp cần tìm. Công thức tính nhanh: Nếu đặt V là thể tích khối chóp và Stp là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp (diện tích toàn phần) thì bán kính r của mặt cầu nội tiếp khối chóp là: r

3V Stp

Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD. A.

6 2 a. 8

6 2 a. 2

6 2 a. 4

6 2 a. 12

Hướng dẫn

Trang 12

Cách 1: Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Suy ra O cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Suy ra mọi điểm thuộc SO cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S.ABCD. (1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó tam giác SMN cân tại S nên SO cũng là đường phân  . giác của góc MSN

 cắt SO tại I. Trong tam giác SMN, kẻ phân giác góc SMN Suy ra IO = IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên (SAB). (2) Từ (1) và (2) suy ra I cách đều các mặt của hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Hay I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SMN nên: a 3 2. a SSMN SM  SN  MN 2SM  MN a 3a 2 r , vôùi p     . p 2 2 2 2 1 1 a 2 a2 2 SSMN  SO.MN  . .a  . 2 2 2 4

a2 2 a 2 6 2 4 Suy ra: r    a. 4 a 3  a 2 1 3 2





Cách 2: (Công thức tính nhanh) SO  SA 2  AO 2 

a 2 1 a 2 a3 2  VS.ABCD  a 2 .  . 2 3 2 6

Stp  SABCD  4SSAB  a 2  4.

a2 3  a2  a2 3 . 4

Áp dụng công thức trên ta có: r 

3.VS.ABCD Stp

a3 2 3. a 2 6 2  2 62   a. 4 a  a 3 2 1 3





 Chọn C. Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC. Trang 13

a 3 . 6

a 12 . 12

a 6 . 3

a 6 . 12

Hướng dẫn

Xét tam giác ABC đều cạnh a, ta có AM 

a 3 a2 3 ,SABC  . 2 4

2 2 a 3 a 3  Gọi O là tâm đáy, ta có: AO  .AM  . . 3 3 2 3

Xét tam giác SOA vuông tại O: 2

a 3 a 6 SO  SA  AO  a   .   3 3   2

Stp  4.SSAB

a2 3  4.  a2 3 . 4

1 1 a2 3 a 6 a3 2 .  Thể tích hình chóp là: VS.ABC  SO.SABC  . . 3 3 4 3 12

Áp dụng công thức tính nhanh, ta có: r 

3.VS.ABC Stp

a3 2 a 2 a 6 .  2 12   12 a 3 4 3 3.

 Chọn D. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh a có bán kính là A.

a 2 . 2

a 2 . 4

C. a 2 .

D. 2a 2 .

Câu 2. Hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a 3 và có chiều cao a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. Smc 

9a 2 . 2

B. Smc 

9a 2 . 2

C. Smc 

9a 2 . 4

D. Smc 

9a 2 . 4

Câu 3. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho? Trang 14

24. 15a 3 . 27

25. 15a 3 . 27

20. 15a 3 . 27

24. 15a 3 . 25

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD theo a. A.

a 12 . 12

a . 2

a 2 . 2

a 21 . 6

Đáp án: 1–B

2–B

3–C

4–D

Dạng 3: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp lăng trụ 1. Phương pháp giải 1.1. Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ  Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một hình đa giác nội tiếp một đường tròn.  Phương pháp chung tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ: Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ  O1O2 là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy. Gọi I là trung điểm của O1O2  IA  IB  IC  IA '  IB  IC ' . Suy ra:

- Trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. - Bán kính: 2

OO  R  IA  AO  IO  AO   1 2  .  2  2 1

2 1

2 2

Chú ý: Đối với hình hộp chữ nhật: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R 

a 2  b2  c2 , trong đó a, b, c là ba kích 2

thước.

Trang 15

1.2. Mặt cầu nội tiếp lăng trụ - Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán a kính R  . 2 - Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.

2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC  a; BC  a 2 . Góc giữa đường chéo AC của mặt bên ACCA với mặt đáy bằng 30 . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ. A.

10a 2 . 7

10a 2 . 3

8a 2 . 9

10a 2 . 9

Hướng dẫn Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy. Vì tam giác ABC vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy là trung điểm O1 của cạnh huyền AB, tương tự ta có O2 là trung điểm AB . Trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu là IA.

AC   ABC   A    ;  ABC   AC ; AC  C AC  30 . Ta có:   AC  C C  ABC  C   



 



Xét tam giác ACC vuông tại C, ta có: tan 30 

CC 3 1 a 3  CC  a  IO1  CC  . AC 3 2 6

Xét tam giác ACB vuông tại C, ta có: AB  AC2  BC2  a 2  2a 2  a 3  AO1 

a 3 . 2

Xét tam giác AIO1 vuông tại O1, ta có: Trang 16

a 3 a 3 30 IA  IO  AO   a.      6  6   2  2 1

2 1

 30  10a 2 Diện tích khối cầu là: S  4  . a   3  6   Chọn B. Ví dụ 2: Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó. A.

a 39 . 6

a 12 . 6

2a 3 . 3

4a . 3

Hướng dẫn Gọi O1, O2 lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy. Ta có trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. 1 1 IO1  O 2 O1  .2a  a . 2 2 2 a 3 a 3  Vì tam giác ABC đều cạnh a  AO1  . . 3 2 3

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là:

2  a 3   2a  2 2 3  O1O 2  R  IA  AO  IO  AO   a  Chọn C.         3  2   3   2  2 1

2 1

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 2 3 . A. 32 3 .

B. 36 .

C. 64 6 .

D. 4 3 .

Hướng dẫn Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.ABCD có bán kính r  Ta có AC  2 3. 3  r 

AC . 2

2 3. 3  3. 2

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là V

4 3 4 3 r  .3  36 . 3 3

 Chọn B. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, 2a, 2a bằng:

Trang 17

9a 3 . 2

9a 3 . 8

27 a 3 . 2

D. 36a 3 .

Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều có chín cạnh đều bằng a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó là: 7 a 3 21 A. . 54

7 a 3 3 B. . 54

7 a 3 7 C. . 54

7 a 3 21 D. . 18

  60 . Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC  b; ACB Đường chéo BC của mặt bên BBCC tạo với mặt phẳng  AACC  một góc 30 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. A.

b 3 . 2

B. b 3 .

b 3 . 6

D. 2b 3 .

Đáp án: 1–A

2–A

3–B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Cho mặt cầu có diện tích bằng A.

a 6 . 3

a 3 . 3

Câu 2. Cho hình cầu có thể tích bẳng A.

a 6 . 3

8a 2 , khi đó bán kính mặt cầu là: 3

a 6 . 2

a 2 . 3

8a 3 6 , khi đó bán kính mặt cầu là: 27

a 3 . 3

a 6 . 2

Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính bằng 5 (cm). Diện tích của mặt cầu này là: A. 100  cm3  .

B. 400  cm 2  .

C. 500  cm 2  .

D. 100  cm 2  .

Câu 4. Khối cầu (S) có diện tích mặt cầu bằng 16π. Tính thể tích khối cầu. A.

32 3 . 9

32 3 . 3

32 . 9

32 . 3

Câu 5. Cho khối cầu có thể tích là 36  cm3  . Bán kính R của khối cầu là: A. R  6  cm  .

B. R  3  cm  .

Câu 6. Cho mặt cầu có diện tích bằng A.

a 6 . 2

C. R  3 2  cm  .

D. R  6  cm  .

8a 2 , khi đó bán kính mặt cầu là: 3

a 6 . 3

a 3 . 3

a 2 . 3

Câu 7. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp. Trang 18

B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp. C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp. D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp. Câu 8. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng: A.

2 a  b  c . 3

B. 2 a 2  b 2  c 2 .

1 2 a  b2  c2 . 2

a 2  b2  c2 .

Câu 9. Mặt cầu tâm O bán kính R = 17 dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà AB = 18 dm, BC = 24 dm, CA = 30 dm. Tính khoảng cách từ O đến (P). A. 7 dm.

B. 8 dm.

C. 14 dm.

D. 16 dm.

Câu 10. Cho mặt cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao 2r. Tỉ số thể tích giữa khối cầu và khối trụ là: A. 2.

3 . 2

2 . 3

1 . 2

Câu 11. Hai khối cầu (O1;R1) và (O2;R2) có diện tích lần lượt là S1, S2. Nếu R 2  2R1 thì A. 16.

B. 8.

C. 4.

S2 bằng S1

D. 2.

Câu 12. Cho hình trụ có bán kính đáy là 3 cm, trục OO  8cm và mặt cầu đường kính OO . Hiệu số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh hình trụ là: A. 6π cm2.

B. 16π cm2.

C. 40π cm2.

D. 208π cm2.

Câu 13. Người ta bỏ bốn quả bóng bàn cùng kích thước, bán kính bằng a vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn. Biết quả bóng bàn nằm dưới cùng, quả bóng trên cùng lần lượt tiếp xúc với mặt đáy dưới và mặt đáy trên của hình trụ đó. Lúc đó, diện tích xung quanh của hình trụ bằng: A. 8a 2 .

B. 4a 2 .

C. 16a 2 .

D. 12a 2 .

Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: A.

16a 3  14 . 49

2a 3  14 . 7

64a 3  14 . 147

64a 3  14 . 49

Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5a 3  15 A. . 18

5a 3  15 B. . 54

4a 3  3 C. . 27

5a 3  D. . 3

Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = 3. Cạnh bên SA = 6 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A.

3 2 . 2

Câu

17.

B. 9.

3 6 . 2

D. 3 6 .

Cho

hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,   SCB   90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 . Tính diện tích AB  BC  a 3, SAB

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. Trang 19

A. S  3a 2 .

B. S  16a 2 .

C. S  2a 2 .

D. S  12a 2 .

Đáp án: 1–A

2–A

3–D

4–D

5–B

6–B

7–D

11 – C

12 – B

13 – C

14 – C

15 – B

16 – C

17 – D

8–C

9–B

10 – C

Trang 20

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian hệ gồm ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz đôi một vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Điểm O được gọi là gốc tọa độ. Trục Ox: trục hoành. Trục Oy: trục tung. Trục Oz: trục cao.

   Gọi i 1;0;0  , j  0;1;0  , k  0;0;1 lần lượt là ba

Các mặt phẳng chứa hai trục tọa độ gọi là các mặt vecto đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz. phẳng tọa độ, kí hiệu là (Oxy), (Oyz), (Ozx).

2. Tọa độ của vecto

 Trong không gian Oxyz, với mọi vecto u tồn tại Ví dụ:          duy nhất bộ ba số (x;y;z) sao cho u  xi  y j  xk . • u  1; 3; 4   u  i  3 j  4k .         Ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ của vecto u . Kí v  1;0; 4   v  i  0 j  4k  i  4k .          hiệu: u  x; y; z  hoặc u   x; y; z  . w   3;1;0   w  3i  j  0k  3i  j.      1 1 Biểu thức tọa độ các phép toán trên vecto: 1 n   0;0;   u  0.i  0. j  k  k .   2 2 2  • Cho hai vecto u  x1 ; y1 ; z1  , v  x2 ; y2 ; z2  , ta có:     • Cho hai vecto u 1; 3; 4  , v  2;3;5  : u  v   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2  .     u  v  1  2; 3  3; 4  5    1;0;9  . u  v   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2  .    u  v  1  2; 3  3; 4  5    3; 6; 1 ku   kx1 ; ky1 ; kz1  , k  R . 1 1 1 1   1 3  • Độ lớn của vecto: u   .1; .(3); .4    ; ; 2   2 2  2 2  2 2 u  x12  x22  x32 • Độ lớn của vecto:  •Tích vô hướng của hai vecto: u  12  (3) 2  42  26.  u.v  x1 x2  y1 y2  z1 z2 . • Tích vô hướng của hai vecto: •Góc giữa hai vecto:   u.v  1.(2)  (3).3  4.5  9 .  x1 x2  y1 y2  z1 z2 u.v cos u.v     • Góc giữa hai vecto: 2 u v x1  y12  z12 . x22  y22  z22  1.(2)  (3).3  4.5   cos u.v  2 Với u , v  0 1  (3) 2  42 . (2) 2  32  52 Đặc biệt: 9 9   . 26. 38 2 247

 

Trang 1

 x1  x2    • Hai vecto bằng nhau u  v   y1  y2 z  z 2  1   • Hai vecto u và v cùng phương khi và chỉ khi     u  kv; v  0, k  R.    • u  v  u.v  0  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0 . 3. Tọa độ một điểm Với mọi điểm M, tồn tại duy nhất bộ ba số (x;y;z)     sao cho OM  xi  y j  zk . Ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M. Kí hiệu: M  x; y; z  hay M   x; y; z  .     Do đó OM  xi  y j  zk  M  x; y; z  . Nếu điểm M có tọa độ là (x;y;z) thì x, y, z lần lượt được gọi là hoành độ, tung độ và cao độ của điểm M.

Ví dụ:      OM  3 i  j  3 k  OM   3; 1; 3  M  3; 1; 3 Điểm M thuộc các trục Ox, Oy, Oz:     ON  2i  j  ON   2; 1;0   N  2; 1;0  M  Ox  M  x;0;0  ; M  Oy  M  0; y;0  .    Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) có z = 0, thuộc OP  1 k  OP   0;0; 1   P  0;0; 1  2 2 2   mặt phẳng (Oyz) có x = 0, thuộc mặt phẳng (Oxz) Cho bốn điểm A 1; 2; 3 , B  2; 2;1 , có y = 0. Nhận xét:

Biểu thức tọa độ của điểm: Cho bốn điểm A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  ,

C  xC ; yC ; zC  , D  xD ; yD ; z D  ta có:  • AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A  •B 

 xB  x A    y B  y A    z B  z A  2

• Trung điểm I của AB có tọa độ là:  x  x y  yB z A  z B I A B ; A ; 2 2  2

 . 

• Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:  x  x  x y  yB  yC z A  z B  zC  G A B C ; A ;  3 3 3  

• Điểm N của AB theo tỉ số k:

C  0; 3; 4  , D  2;0;0  , ta có:  • AB   2  1; 2  2;1  3  1; 4; 4  • AB 

 2  1   2  2   1  3 2

 33

• Trung điểm I của AB có tọa độ là:  1  2 2  2 3  1   3  I  ; ;    ;0; 1 . 2 2  2  2 

• Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: 2  1  2  0 2  2  3 3  1  4   G  ; ;   1; 1;  3 3 3 3   

• Điểm N chia AB theo tỉ số 2:    1  2.1 2  2.(2) 3  2.1  NA  2 NB  N   ; ;  1 2 1 2   1 2

 1; 6;5  Trang 2

   x  kxB y A  kyB z A  kz A  NA  k NB  N  A ; ;  1 k 1 k   1 k

4. Tích có hướng của hai vecto • Trong không gian Oxyz, cho hai vecto: Ví dụ: tính tích có hướng của hai vecto     u   x1 ; y1 ; z1  , v   x2 ; y2 ; z2  . Tích có hướng của u   3;3;1 , v  1;1; 1 .    hai vecto u và v là một vecto n có tọa độ được Cách 1: xác định như sau:    3 1 1 3 3 3  u , v    ; ;      y1 z1 z1 x1 x1 y1  1 1 1 1 1 1   n ; ;   y2 z2 z2 x2 x2 y2    3.  1  1.1;1.1   1 3 ;  3 .1  3.1   y1 z2  y2 z1 ; z1 x2  z2 x1 ; x1 y2  x2 y1    4; 2; 6     • Kí hiệu: n  u , v  Cách 2: Phương pháp sử dụng CASIO fx 570VN PLUS • Nhận xét:        Bước 1: Thiết lập môi trường vecto: i, j   k ,  j , k   i,  k .i   j.       Mode 8        • Cho u , v  0 . Gọi n  u , v  , ta có: Bước 2: Nhập vecto u : 1 1 , nhập tọa độ vecto      n  u,n  v . u : 3 3 1       • n  u v sin u , v . Bước 3: Nhập vecto v : AC Shift 5 1 2 1    u , v cùng phương thì : Nhập tọa độ vecto v :1 1 1 • Nếu hai vecto     u , v   0 . Bước 4: Tính tích có hướng của hai vecto u : AC      •Nếu ba vecto u , v , w đồng phẳng thì: Shift 5 3  shift 5 4        u , v  w  0 .   Ta được kết quả là: u , v    4; 2; 6     Do đó để chứng minh u , v , w không đồng     phẳng, ta cần chứng minh: u , v  w  0 .

 

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định tọa độ của một vecto, áp dụng các tính chất và các phép toán trong vecto 1. Ví dụ minh họa

  Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto : a  1; 2; 3 , b   2;1;1 ,      c   3;1;0  . Tìm tọa độ của vecto u  3a  2b  c .     A. u  10;7; 7  B. u   4;9; 7  C. u  10;7;7  D. u   10; 7;7  Hướng dẫn Trang 3

   Cách 1: Ta có : 3a   3;6; 9  , 2b   4; 2; 2  , c   3; 1;0  .     Suy ra: u  3a  2b  c   3  4  3;6  2  1; 9  2  0   10;7; 7  Cách 2: Phương pháp sử dụng CASIO fx 570VN PLUS Bước 1: Thiết lập môi trường vecto: Mode 8   Bước 2: Nhập vecto a : 1 1 , nhập tọa độ vecto a : 1 2 3  Bước 3: Nhập vecto b : AC Shift 5 1 2 1 , nhập tọa độ vecto  Bước 4: Nhập vecto c : AC Shift 5 1 3 1 , nhập tọa độ vecto  Bước 5: Tính tọa độ vecto u : AC 3  Shift 5 3  2  Shift  Ta được kết quả là u  10;7; 7 

 b 211  c 310 5 4  Shift 5 5 

 Chọn A

    Ví dụ 2: Cho ba vecto a   0;1;3 , b   5; 1;0  , c   3,1, 2  . Hãy biểu diễn vecto d   5;10;12  theo    ba vecto a, b, c .   7  15  A. d  a  b  c. 2 2   7  15  C. d  a  b  c. 2 2

 18  20  5  B. d  a  b  c. 7 7 7  18  20  5  D. d   a  b  c. 7 7 7

Hướng dẫn      Gỉa sử d có phân tích d  ma  nb  pc , ta có:

 m  1 5  5n  3 p  7   10  m  n  p   n  2 12  3m  2 p   15   p  2   7  15  Vậy d  a  b  c. 2 2  Chọn C

 Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u   m; 2; m  1 và    v   3; 2m  4;6  .Tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto u , v cùng phương. A. m = 0

B. m = -2

  Với m = -2; u   2; 2; 1 ; v   3;0;6 

C. m = 1

D. m = -1

Hướng dẫn

Trang 4

  3 0  nên hai vecto u , v không cùng phương, do đó m = -2 không thỏa mãn. 2 2   Với m  2 . Để hai vecto u , v cùng phương Vì

 m m 1  3  6 m 2 m 1     m 1 3 2m  4 6  m  2  3 2m  4  Chọn C

2. Bài tập tự luyện

  Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a   m;1; m  , b   3; m  2;3 . Giá trị   của m để vecto a cùng phương với vecto b là: A. m  2 .

B. m = -3.

C. m = 1.

D. m = 3 hoặc m = -1.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto        a   2;3; 5  , b   0; 3; 4  ; c  1; 2;3 . Tọa độ của vecto n  3a  2b  c     A. n   5;5; 10  B. n   5;1; 10  C. n   7;1; 4  D. n   5; 5; 10    Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a   2;1;1 , c   3; 1; 2  . Tọa độ     của vecto b thõa mãn biểu thức 2b  a  3c  0 là:  3 5  A.  ;1;  2   2

5   1 B.  ; 2;  2   2

 7 5  C.  ; 2;  2   2

 3 1  D.  ; 2;  2  2

Đáp án: 1-D

2-A

3-C

Dạng 2: Tọa độ điểm đặc biệt 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;0;0  , B  0;0;1 , C  3;1;1 . Để ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là: A. D 1;1; 2 

B. D  4;1;0 

C. D  1; 1; 2 

D. D  3; 10 

Hướng dẫn Gọi tọa độ D là D  x; y; z  .   Ta có: BA  1;0; 1 , CD   x  3; y  1; z  1

x  3  1 x  4     ABCD là hình bình hành  BA  CD   y  1  0   y  1  D  4;1;0   z  1  1  z  0   Trang 5

 Chọn B

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm B 1; 2; 3 , C  7; 4; 2  . Nếu E là   điểm thỏa mãn đẳng thức CE  2 EB thì tọa độ điểm E là:  8 8  A.  3; ;   3 3 

 8 8  B.  ;3;  3  3

8   C.  3;3;  3  

1  D. 1; 2;  3 

Hướng dẫn   Gỉa sử E  x; y; z   CE   x  7; y  4; z  2  , EB  1  x; 2  y; 3  z 

 x  3  x  7  2 1  x      8   8 8  Ta có: CE  2 EB   y  4  2  2  y    y   E  3; ;  . 3  3 3    z  2  2  3  z    8   z  3  Chọn A

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A 1;0;1 ,

B  2;1; 2  , D 1; 1;1 , C   4;5; 5  . Tìm tọa độ điểm A’. A. A  2;1;1 .

B. A  3;5; 6  .

C. A  5; 1;0  .

D. A  2;0; 2  .

Hướng dẫn Gọi tọa độ C  x; y; z  , A  x; y; z   .   Ta có: AB  1;1;1 , DC   x  1; y  1; z  1 .

x 1  1 x  2     AB  DC   y  1  1   y  0  C  2;0; 2  z 1  1 z  2     CC    2;5; 7  , AA   x  1; y; z   1  x  1  2  x  3     CC   AA   y  5   y  5  A  3;5; 6   z   1  7  z   6    Chọn B

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;3 ; B 1; 2;1 . Đặt   p  MA  MB với M là một điểm nằm trên mặt phẳng Oxy. Tìm tọa độ điểm M để p đạt giá trị nhỏ nhất. A. ( 1; 2; 0).

B. ( 1; 2; 2).

C. ( 0; 2; 1 ).

D. ( -1; 1; 0 ).

Hướng dẫn Cách 1: Gỉa sử M  x; y;0   (Oxy ) Trang 6

 Gọi I là trung điểm của AB  I 1; 2; 2   MI  1  x; 2  y; 2        Ta có: MA  MB  2 MI  P  MA  MB  2 MI P đạt giá trị nhỏ nhất  MI ngắn nhất  M là chân đường vuông góc hạ từ I xuống mặt phẳng Oxy

 xM  xI  1  MI   Oxy    yM  yI  2  M 1; 2;0  z  0  M Cách 2: Vì điểm M thuộc mặt phẳng Oxy nên có zM  0 , do đó ta loại đáp án B,C. Thay tọa độ điểm M thuộc hai đáp án còn lại vào p, chọn giá trị M làm biểu thức p nhỏ nhất.   Đáp án A, M 1; 2;0  , ta được MA   0;0;3 , MB   0;0;1     MA  MB   0;0; 4   p  MA  MB  4.   Đáp án D, M  1;1;0  , ta được MA   2;1;3 , MB   2;1;1     MA  MB   4; 2; 4   p  MA  MB  42  22  42  6  4  Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2; 2;1 , B  3; 2;1 . Tọa dộ điểm C đối xứng với A qua B là: A. C 1; 2;1 .

B. C 1; 2; 1 .

C. C  1; 2; 1 .

D. C  4; 2;1 .

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A  3; 2; 7  , B  2; 2; 3 ,

C  3;6; 2  . Điểm nào sau đây là trọng tâm tam giác ABC? A. G  4;10; 12  .

 4 10  ;4 . B. G  ; 3 3 

C. G  4; 10;12  .

 4 10  D. G  ; ; 4  .  3 3 

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 2;1 , B 1;1;0  , C 1;0; 2  . Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác ABC đến trung điểm cạnh AB bằng: A.

3 . 2

2 . 2

3 . 3

2 2 . 3

Đáp án 1-D

2–D

3-B

Dạng 3: Tích vô hướng, góc và ứng dụng 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  2;1;0  , B  3;0; 4  , C  0;7;3 .   Khi đó cos AB, BC bằng:





Trang 7

14 . 3 118

7 2 . 3 59

14 . 57

 14 . 57

Hướng dẫn     Ta có: AB   1; 1; 4  , BC   3;7; 1  AB.BC  14     AB.BC 14 cos AB, BC     AB . BC 3 118





 Chọn A.

  Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a và b tạo với nhau một góc 120     . Biết a  3, b  5 thì a  b bằng:

A. 6.

B. 5.

2  2 2  2 Ta có: a  a  9, b  b  25.  2   a b  a b



  Vậy a  b  7



C. 4.

D. 7.

Hướng dẫn

2   2  2     2  1   a  2a.b  b  a  2. a . b .cos a, b  b  9  2.3.5.    25  49  2 

 

 Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M  2;3; 1 , N  1;1;1 ,

P 1; m  1; 2  . Với giá trị nào của m thì tam giác MNP vuông tại N? A. m = 3.

B. m = 2.

C. m = 1.

D. m = 0.

Hướng dẫn     Ta có: NM   3; 2; 2  , NP   2; m  2;1  NM .NP  6  2  m  2   2  2m.   Tam giác MNP vuông tại N  NM .NP  0  2m  0  m  0.  Chọn D.

    Ví dụ 4: Cho hai vecto a 1; 2;3 , b 1; 1;0  . Tìm vecto c vuông góc với hai vecto biết c  27 , và  tạo với k  0;0;1 một góc tù.     A. c   3; 3;3 . B. c   3;3; 3 . C. c  1;1;5  . D. c   0;0; 27  .

Hướng dẫn  Gọi tọa độ vecto c   x; y; z  .     Vì c  a  x  2 y  3 z  0, c  b  x  y  0 nên ta có hệ:

y  x  x  2 y  3z  0    x  2 y 3 x    x x  y  0  z  3 3 Trang 8

 Do đó c   x; x;  x  .

     c.k x Góc giữa hai vecto c và k là cos c; k     . c k 3x 2   Để c tạo với k  0;0;1 một góc tù thì x > 0.  Mặt khác: c  27 nên x 2  x 2  ( x) 2  27  3 x 2  27  x 2  9  x  3 (do x > 0).  Vậy vecto c cần tìm là c   3;3; 3 .

 

 Chọn B.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A  2;3; 1 , B  4; 6; 2  , C  3;9; 9  . Tọa độ điểm M  a; b;c  làm cho biểu thức P  AM 2  BM 2  CM 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c A. 0

B. 2

C. 3

D. -1

Hướng dẫn Cách 1: Gọi M  a; b; c  Ta có P  AM 2  BM 2  CM 2   a  2    b  3   c  1   a  4    b  6    c  2    a  3   b  9    c  9  2

 3a 2  3b 2  3c 2  6a  12b  24c  241  3  a 2  2a  1  3  b 2  4b  4   3  c 2  8c  16   178 2 2 2  3  a  1   b  2    c  4    178  178   a  1  Pmin  178  b  2 c  4 

Vậy a + b + c = 1 + 2 – 4 = -1 Cách 2: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  2   2  2  2   AM 2  AM  AG  GM  AG  GM  2. AG.GM  2   2  2  2   BM 2  BM  BG  GM  BG  GM  2.BG.GM  2   2  2  2   CM 2  CM  CG  GM  CG  GM  2.CG.GM

  

  

    P  AM 2  BM 2  CM 2  3MG 2  GA2  GB 2  GC 2  2GM . AG  BG  CG    3MG 2  GA2  GB 2  GC 2  2GM .0





 3MG 2  GA2  GB 2  GC 2

Do đó: P  GA2  GB 2  GC 2

Pmin  M  G 1; 2; 4  Do đó a + b + c = 1 + 2 – 4 = -1  Chọn D.

Trang 9

2. Bài tập tự luyện

  Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto m  1;0; 1 , n   0;1;1 . Kết luận nào sau đây sai?   A. m.n  1.   C. m và n không cùng phương.

  B.  m, n   1; 1;1 .   D. Góc giữa m và n là 60 .   Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a và b có độ dài bằng 1 và 2. Biết      a, b  thì a  b bằng: 3

 

A. 1.

3 . 2

3 2 . 2

    Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a  1; m; 1 , b   2;1;3 , a  b khi: A. m = -1.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = -2.

Đáp án 1-D

2-C

3-B

Dạng 4: Tích có hướng và ứng dụng của tích có hướng. 1. Phương pháp giải Ứng dụng của tích có hướng:

   Để chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện, ta chứng minh:  AB, AC  AD  0.   Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AC  . 1   Diện tích tam giác ABC: S ABC   AB, AC  . 2    Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD. A ' B 'C ' D '   AB, AD  . AA ' . 1    Thể tích tứ diện ABCD: VABCD   AB, AC  . AD . 6 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A  0; 2; 2  , B  3;1; 1 , C  4;3;0  ,

D 1; 2; m  . Tìm m để A, B, C, D đồng phẳng. A. m  5.

B. m 

5 . 13

C. m = 1.

D. m = 5.

Hướng dẫn    Ta có: AB   3; 1;1 , AC   4;1; 2  , AD  1;0; m  2  .       AB, AC    3;10;1   AB, AC  . AD  3  m  2  m  1.     Trang 10

   A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  . AD  0  m  1  0  m  1  Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A  2; 1;6  , B  3; 1; 4  ,

C  5; 1;0  , D 1; 2;1 . Thể tích tứ diện ABCD bằng: A. V = 30.

B. V = 40.

C. V = 50.

D. V = 60.

Hướng dẫn    Ta có: AB   5;0; 10  , AC   3;0; 6  , AD   1;3; 5        AB, AC    0; 60;0    AB, AC  . AD  180     1    Thể tích của tứ diện ABCD bằng : VABCD   AB, AC  . AD  30. 6  Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 1 , B  2;1;1 , C  0;1; 2  . Gọi

H ( x; y; z ) là trực tâm của tam giác ABC. Giá trị của x + y + z bằng: A. 4.

B. 5.

C. 7.

D. 6.

Hướng dẫn Gỉa sử H  x; y; z  là trực tâm của tam giác ABC      AH   x  1; y  2; z  1 , BH   x  2; y  1; z  1 , BC   2;0;1 , AC   1; 1;3 , AB  1; 1; 2      AB, AC    1; 5; 2  H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:    AH .BC  0 2  x  1   z  1  0 2 x  z  3 x  2          x  2    y  1  3  z  1  0   x  y  3 z  0   y  1  BH . AC  0       x  5 y  2 z  9   z  1   x  1  5  y  2   2  z  1  0   AB, AC  . AH  0 Vậy x + y + z = 4  Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1;0;3 , B  2; 2;0  , C  3; 2;1 . Diện tích tam giác ABC bằng: A.

62 .

B. 2 62 .

C. 12.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD A  0;0;1 , B  0;1;0  ,

C 1;0;0  , D  2;3; 1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng:

Trang 11

1 A. V  . 3

B. V 

1 . 2

1 C. V  . 6

D. V 

1 . 4

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;0;1 , B  2;1;3 , C 1; 4;0  . Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là:  8 7 15  A.  ; ;  .  13 13 13 

 8 7 15  B.  ; ;  .  13 13 13 

 8 7 15  C.  ; ;  .  13 13 13 

 8 7 15  D.  ; ; .  13 13 13 

Đáp án 1-A

2-C

3-B

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

  Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vecto u   a; b; c  . Khi đó độ dài của u được

tính theo công thức nào sau đây? C. a + b + c. D. a 2  b 2  c 2 .    Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto a   1;1;0  , b  1;1;0  , c  1;1;1 . A.

abc .

a 2  b2  c2 .

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?   A. a  2 . B. c  3 .

  C. a  b .

  D. b  c .

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M  2; 3;5  , N  4;7; 9  , P  3; 2;1 ,

Q 1; 8;12  . Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. N, P, Q.

B. M, N, P.

C. M, P, Q.

D. M, N, Q.

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M  3;1; 2  . Điểm N đối xứng với M qua trục Ox có tọa độ là: A.  3;1; 2  .

B.  3; 1; 2  .

C.  3;1;0  .

D.  3; 1; 2  .

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  2;0;0  , B  0;3;0  , C  0;0; 4  . Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. cos A 

2 65 . 65

B. sin A 

61 . 65

C. S ABC  61.

D. S ABC  65.

  Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vecto a   0;1; 2  , b  1; 2;1 ,  c   4;3; m  . Để ba vecto đồng phẳng thì giá trị của m là: A. m = 14.

B. m = 5.

C. m = -7.

D. m = 7.   Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u  1;1; 2  , v  1;0; m  . Tìm m để   góc giữa hai vecto u , v có số đo 45 ? A. m  2  5 .

B. m  2  3 .

C. m  2  6 .

D. m  2 6 .

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, M’ là hình chiếu vuông góc của M  3; 2;1 trên trục Ox. M’ có tọa độ là: Trang 12

A.  0;0;1 .

B.  3;0;0  .

C.  3;0;0  .

D.  0; 2;0  .

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A 1;0;1 , 3 3 B  2;1; 2  và giao điểm của hai đường chéo là I  ;0;  . Diện tích hình bình hành ABCD bằng: 2 2

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A 1; 2; 1 , B  2; 1;3 ,

C  4;7;5  . Độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ A bằng: 111 . 57   Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto a  1;log 5 3; m  , b   3;log 3 25; 3   a vuông góc với b khi:

110 . 57

555 . 26

B. m 

A. m  3 .

5 . 3

1110 . 57

C. m 

3 . 5

D. m 



5 . 3

 



Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 2; 10  1;0 , B 2; 7;3 ,    C 2, 2 5,3 . Đặt P  MA  MB  MC với M là một điểm nằm trên mặt phẳng Oyz. Giá trị nhỏ





nhất của P là: A. 2 2  1.

C. 3 2 .

Đáp án 1–B

2-D

11 - B

12 – C

3-D

4-D

5-C

6-A

7-C

8-B

9-C

10 - B

Trang 13

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng    Cho mặt phẳng   , vectơ n n  0 được gọi là vectơ pháp tuyến





(VTPT) của mặt phẳng   nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng   . Chú ý:  Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến.    Nếu n là một vectơ pháp tuyến thì k n cũng là vecto pháp tuyến. 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Ví dụ:  Trong hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng   có  Phương trình mặt phẳng: phương trình tổng quát là:

Ax  By  Cz  D  0 , trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   n   A; B; C  n   2;3; 1

 

là

 2x – y + 3z = 0 có VTPT là n   2; 1;3 .  x + 3z = 0 có VTPT n  1;0;3 .  z = 0 có VTPT là n   0;0;1 .

 Mặt phẳng   đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và  có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  , có phương

 Mặt phẳng   đi qua điểm M 1; 2;3 , và có  vecto pháp tuyến n   2;3; 1 , có phương trình

trình là:

là: 2  x  1  3  y  2    z  3  0

A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 .

 2x  3 y  z  11  0 3. Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  0 Các hệ số

Phương trình mặt phẳng  

Tính chất mặt phẳng  

D=0

Ax + By + Cz = 0

 

A=0

By + Cz + D = 0

  //Ox hoặc Ox    .

B=0

Ax + Cz + D = 0

  //Oy hoặc Oy    .

C=0

Ax + By + D = 0

  //Oz hoặc Oz    .

A=B=0

Cz + D = 0

  //(Oxy) hoặc     Oxy  .

A=C=0

By + D = 0

  //(Oxz) hoặc     Oxz  .

B=C=0

Ax + D = 0

  //(Oyz) hoặc     Oyz  .

đi qua gốc tọa độ O.

Trang 1

4. Phương trình đoạn chắn Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

A  a;0;0   Ox, B  0; b;0   Oy, C  0;0; c   Oz

 a, b, c  0 

được gọi là phương trình đoạn

chắn và có dạng: x y z   1. a b c 5. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng:

  : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0    : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

Ví dụ: Phương trình đoạn chắn đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;-3) có dạng: x y z   1. 1 2 3

 Vị trí tương đối của   : x  2 y  3z  1  0 với

   : 2x  4 y  6z  1  0 : 1 2 3 1    nên   / /    . 2 4 6 1

Khi đó vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng  

Vì

và    :

 Vị trí tương đối của   : x  2 y  3z  1  0 với

  / /           

 

A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2

cắt     A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2

Đặc biệt:        A1. A2  B1.B2  C1.C2  0 6. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm

M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức: Ax0  By0  Cz0  D . d  M ,     A2  B 2  C 2 7. Góc giữa hai mặt phẳng Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  n P    A; B; C  và (Q) có vectơ pháp tuyến  nQ    A; B; C   . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:   n P  .nQ    cos   cos n P  , nQ     n P  nQ 







AA  BB  CC 

A2  B 2  C 2 . A2  B2  C 2  0    90 

  : 2x  4 y  6z  2  0 . Vì

1 2 3 1    nên      . 2 4 6 2

 Vị trí tương đối của   : x  2 y  3z  1  0 với

  : x  4 y  6z  3  0 . Vì

1 2  nên   cắt    . 1 4

Khoảng cách từ điểm M  1; 2; 4  đến mặt phẳng

( P) :2 x  2 y  z  8  0: d  M ,  P  

Cho

mặt

2.  1  2.2   4   8 2   2   1 2

6

 P  : 2x  y  2z  2017  0 ,

phẳng

 Q  : y  z  2017  0 . Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):  Ta có n P    2;1; 2  là vectơ pháp tuyến của mặt  phẳng (P), nQ    0;1; 1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).   3 2 cos   P  ,  Q    cos n P  , nQ    2 3 2    P  ,  Q    45





Trang 2

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng 1. Phương pháp giải Các trường hợp hay gặp của phương trình mặt phẳng:

 Trường hợp 1: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  , và có VTPT n   A; B; C  , có phương trình là:

A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

  Trường hợp 2: Phương trình mặt phẳng đi qua M, có cặp VTCP u , v khi đó VTPT của mặt phẳng là    n  u , v  .

Trường hợp 3: Phương trình mặt phẳng đi qua M  x0 ; y0 ; z0  , và song song với mặt phẳng

 P  : Ax  By  Cz  D  0 có phương trình là A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 . Trường hợp 4: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng, khi đó VTPT của mặt    phẳng là n   AB, AC  . Trường hợp 5: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M, vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q),    khi đó VTPT của mặt phẳng là n   n P  , nQ   . Trường hợp 6: Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.  x  x y  yB z A  z B  ; Đi qua trung điểm I của AB  I  A B ; A . 2 2   2   Nhận VTPT là n  AB . 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng  P  : 2x  3 y  z  1  0 có một vectơ pháp tuyến là:     A. n4   2;3;1 B. n3  1; 2;3 C. n2   1;3; 2  D. n1   2;3; 1 Hướng dẫn

 Mặt phẳng  P  : 2x  3 y  z  1  0 có một vectơ pháp tuyến là n4   2;3;1  Chọn A. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;4;5) và có vectơ pháp  tuyến n  1; 3; 7  là:

A.  P  : x  3 y  7z  20  0

B.  P  : x  3 y  7z  44  0

C.  P  : 3 x  4 y  5z  44  0

 P  : x  3 y  7z  44  0

Hướng dẫn  Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;4;5) có vectơ pháp tuyến n  1; 3; 7  . Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:

1 x  3  3  y  4   7  z  5   0  x  3 y  7z  44  0  Chọn D Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(-1;1;1), B(2;1;0), C(1;-1;2). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có phương trình là:

Trang 3

A. 3x + 2z – 1 = 0 C. x + 2y – 2z + 1 = 0

B. x + 2y - 2z – 1 = 0 D. 3x + 2z + 1 =0 Hướng dẫn   Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có vectơ pháp tuyến là n  BC   1; 2; 2  . Khi đó phương trình mặt phẳng cần tìm là:

1 x  1  2  y  1  2  z  1  0   x  2 y  2  1  0  x  2 y  2z  1  0  Chọn C. Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 5x – 3y + 2z + 10 = 0. A. (P): 5x – 3y + 2z + 2 = 0 B. (P): 5x – 3y + 2z + 1 = 0 C. (P): 5x – 3y + 2z = 0 D. (P): 5x + 3y - 2z = 0 Hướng dẫn Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có cùng VTPT với mặt phẳng (Q), phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 5x – 3y + 2z + D = 0. Mà (P) đi qua gốc tọa độ nên 5.0 – 3.0 + 2.0 + D = 0. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 5x – 3y + 2z = 0  Chọn C Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, biết A(2;3;-4), B(4;-1;0). A. (P): 3x + y – 2z + 3 = 0 B. (P): 3x + y – 2z – 3 = 0 C. (P): x – 2y + 2z – 3 = 0 D. (P): x – 2y + 2z + 3 = 0 Hướng dẫn Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó tọa độ điểm I là:

x A  xB 2  4   3  xI  2 2  y A  yB 3  1    1  I  3;1; 2   yI  2 2  z A  z B 4  0    2  zI  2 2     Vì (P)  AB  nP / / AB   2; 4; 4   2 1; 2; 2  . Chọn nP  1; 2; 2  . Phương trình mặt phẳng (P) là: 1.(x – 3) – 2.(y – 1) + 2.(z + 2) = 0  x – 2y + 2z + 3 = 0.  Chọn D. Ví dụ 6: trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;-2;4), B(3;2;-1), C(-2;1;-3). A. (P): x – 2y + 4z – 1 =0 B. (P): 13x – 29y – 18z + 1 =0 C. (P): x – 2y + 4z + 1 =0 D. (P): 13x – 29y – 18z – 1 =0

Trang 4

  Mà AB   2; 4; 5  , AC   3;3; 7  .

Hướng dẫn

   4 5 5 2 2 4    AB, AC    ; ;    13; 29;18  3  7  7  3  3 3  

   Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C có VTPT là n   AB, AC    13; 29;18  . Phương trình của mặt phẳng (P) là: 13.(x – 1) – 29.(y+2) – 18.(z – 4) = 0  13x – 29y – 18z + 1 = 0  Chọn B Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z – 1 = 0 và (R): x + 2y +z = 0. A. (P): 7x – y – 5z = 0 B. (P): 7x – y + 5z = 0 C. (P): 7x + y – 5z = 0 D. (P): 7x – y + 5z = 0 Hướng dẫn   Mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến lần lượt là nQ   2; 1;3 , n R  1; 2;1 .       P    Q  nP  nQ      nP   nQ , nR  Vì  nP  nR  P    R 

   1 3 3 2 2 1   nQ , nR    ; ;    7;1;5     2 1 1 1 1 2 

 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và có vectơ pháp tuyến nP   7;1;5  là: -7(x – 0) + 1(y – 0) + 5(z – 0) = 0  -7x + y + 5z = 0  7x – y – 5z = 0.  Chọn A Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng   di qua A(2;-1;3) và giao tuyến hai mặt phẳng x – y + z – 4 = 0 và y + 2z +4 = 0. A. 2x + 3y – 2z – 5 = 0 C. 2x + 3y – 2z + 5 = 0

B. -9x + 11y – 5z + 44 = 0 D. -9x + 11y – 5z – 44 = 0 Hướng dẫn

x  y  z  4  0 Xét hệ gồm hai mặt phẳng:   y  2z  4  0  y  z  4  y  4 Cho x = 0, ta được hệ:    y  2z  4 z  0 Ta có điểm D (0;-4;0) thuộc giao tuyến.  x  3 Tương tự cho z = 1, ta được   y  6 Ta có điểm E(-3;-6 ;1) thuộc giao tuyến. Do đó mặt phẳng   là mặt phẳng đi qua ba điểm A, D, E.   Ta có: AD   2; 3; 3 , AE   5; 5; 2  .    n   AD, AE    9;11; 5  Trang 5

 Mặt phẳng   đi qua ba điểm A, D, E nên nhận n làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng   là: -9x + 11(y + 4) – 5z = 0 hay -9x + 11y – 5z + 44 = 0.  Chọn B 3. Bài tập tự luyện

 Câu 1. Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến nP của mặt phẳng (P): -x + 2y + 5z – 12 = 0 là:     A. nP  1; 2;5  B. nP  1; 2; 5  C. nP   2; 4;10  D. nP   2; 4; 10  Câu 2. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1;1;-1) và có vectơ pháp  tuyến nP  1;1;1 là: A. x + y – z – 2 = 0 B. x + y + z – 1 = 0 C. x + y + z – 3 = 0 D. x + y + z + 2 = 0 Câu 3. Trong không gian Oxyz, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): -x + 2y – 8z – 3 = 0 A. (P): x – z = 0 B. (P) x + y = 0 C. (P): y + 4z = 0 D. (P): 4y + z = 0 Câu 4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, biết A (2;1;1), B (2;-1;-1). A. (P): y + z = 0 B. (P): x + y +z – 2 = 0 C. (P): x – 2 = 0 D. (P): y + z – 2 = 0 Câu 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm O, B (-2;-1;3), C (4;-2;1) A. (P): 5x + 14y + 8z – 2 = 0 B. (P): 5x + 14y + 8z +1 = 0 C. (P): 5x + 14y + 8z = 0 D. (P): 5x + 14y + 8z +3 = 0 Đáp án: 1–B 2–B 3–D 4–A 5–C Dạng 2: Phương trình đoạn chắn 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):

x y z    1 . Vectơ 1 2 3

nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?   1 1    A. n  (1; 2;3) B. n  (1; 2;3) C. n  1; ;  D. n  (6;3; 2)  2 3 Hướng dẫn  x y z Mặt phẳng  Q  :    1  6x  3 y  2z  6 có VTPT là nQ    6;3; 2  1 2 3 Vì (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có cùng VTPT với mặt phẳng (Q).  Do đó n P    6;3; 2  .  Chọn D Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A (0;0;3), B (0;2;0), C (6;0;0). A. (P): x – 3y – 2z – 6 = 0 B. (P): x + 3y + 2z – 6 = 0 C. (P): x + 3y – 2z – 6 = 0 D. (P): x + 3y + 5z + 6 = 0

Trang 6

Hướng dẫn Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A (0;0;3), B (0;2;0), C (6;0;0). Khi đó phương trình mặt phẳng đoạn chắn của (P) là: x y z    1  x  3 y  2z  6  0 6 2 3  Chọn B Ví dụ 3: Cho điểm G (2;-1;4), viết phương trình mặt phẳng   đi qua G, cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. x y z 0 A.   B. 2 x  4 y  z  12  0 6 3 12 x y z   1 C. 2x  4 y  z  12  0 D. 6 3 12 Hướng dẫn Gọi giao của mặt phẳng   với các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: A  x0 ;0;0  , B  0; y0 ;0  , C  0;0; z0  . Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: x A  xB  xC x   2 0  xG   3 3  x0  6   y A  yB  yC y0    hay 1    y0  3  yG  3 3    z  12  0 z A  z B  zC z0   4  zG   3 3   Vậy phương trình mặt phẳng   là:

x y z    1 hay 2x  4 y  z  12  0 6 3 12

 Chọn B Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1;2;4) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA=OB=OC A. (P): x + y – z + 3 = 0 B. (P): x + y + z – 5 = 0 C. (P): x + 2y + z – 7 = 0 D. (P): x + 2y + 3z – 15 = 0 Hướng dẫn Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C, nên tọa độ các điểm A, B, C lần lượt là: A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) với a,b,c > 0.

Mà ta có OA=OB=OC nên a  b  c  a  b  c . Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là:

x y z   1 a b c

1 2 4 5   1 1 a  5 a a a a x y z Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:    1  x  y  z  5  0 5 5 5  Chọn B

Mà M   P  

Ví dụ 5: Phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M (2;3;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất có dạng ax + by + cz – 18 = 0. Tính tổng ab – c ? A. 9 B. 0 C. 16 D. 1 Trang 7

Hướng dẫn Mặt phẳng   cắt ba tia Ox, Oy, Oz tại ba điểm A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c). x y z    1 (a,b,c > 0) (1) a b c 2 3 1 Mặt phẳng   qua M nên ta có    1 (2) a b c 1 1 Ta có: VOABC  OA.SOBC  abc . 3 6 2 3 1 Áp dụng bất dẳng thức Cauchy cho ba số dương ; ; ta có: a b c

Do đó phương trình mặt phẳng   là:

1

2 3 1 6 1    33 , do đó abc  162  abc  27 hay VOABC  27 a b c abc 6

Do đó Min VOABC  27 2 3 1 a  6  a  b  c 2 3 1 1  Dấu bằng xảy ra   hay     b  9 a b c 3 2  3  1 1 c  3   a b c

Vậy thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là VOABC  27 khi và chỉ khi mặt phẳng   có phương x y z    1  3 x  2 y  6 z  18 6 9 3 Do đó a = 3, b = 2, c = 6  ab – c = 0  Chọn B 2. Bài tập tự luyện Câu 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A (-5;0;0), B (0;1;0), C (0;0;7). A. (P): 7x + 35y – 5z + 35 = 0 B. (P): 7x – 35y – 5z + 35 = 0 C. (P): 7x – 35y + 5z + 35 = 0 D. (P): 7x – 35y – 5z – 35 = 0 Câu 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1;2;4) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. A. (P): x + y – z + 3 = 0 B. (P): x + y + z – 5 = 0 C. (P): x + 2y + z – 7 = 0 D. (P): x + 2y + 3z – 15 = 0 Câu 3: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (4;-3;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC đều. A. (P): x + y + z – 2 = 0 B. (P): x + 2y + z – 8 = 0 C. (P): x + 2y + 2z – 12 = 0 D. (P): x + 2y + 3z – 16 = 0 Đáp án: 1–C 2–B 3–A

trình là:

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (P)? Trang 8

A. x – 4y + z – 2 = 0 C. –x + 4y + z – 2 = 0

B. x + 4y – z – 2 = 0 D. x + 4y + z – 1 = 0 Hướng dẫn

 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n P    2; 1; 2  .  Mặt phẳng x + 4y + z – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n  1; 4;1 .     Ta có n P  .n  0  n P   n  (P) vuông góc với mặt phẳng x + 4y + z – 1 = 0.  Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P  : x  y  z  1  0 và

 Q  : 2x  my  2z  2  0 . Tìm m để (P) song song với (Q). A. Không tồn tại m

B.m = -2

C. m = 2 Hướng dẫn 1 1 1 1    Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau  . 2 m 2 2 Do đó không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Chọn A. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

D. m = 5

 P  : x  2 y  mz  9  0

và

 Q  : x   2m  1 y  z  3  0 . Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau? A. m = -1

B. m = 2

C. m = 3 Hướng dẫn

D. m = 1

 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n  1; 2; m  .  Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n   1; 2m  1;1 .   Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau  n.n   0  1.1  2  2m  1  m.1  0  m  1  Chọn A. 2. Bài tập tự luyện Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): x + y – 2z – 4 = 0,

Q  : x  y  z  2  0

và (R): x – y + 1 = 0. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. (R) vuông góc với (Q) B. (P) vuông góc với (Q) C. (R) vuông góc với (P) D. (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): nx + 7y – 6z + 4 = 0 và

 Q  : 3x  my  2 z  7  0 A. m 

7 ,n 1 3

Đáp án: 1–D

song song với nhau. Khi đó giá trị của m, n là: B. m  9, n 

7 3

C. m 

7 ,n  9 3

D. m 

3 ,n  9 7

2–C

Trang 9

Dạng 4: Các bài toán liên quan tới góc và khoảng cách 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P  : 2x  2 y  z  11  0

và

 Q  : 2x+2y  z  4  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng: A. 3

B. 5

C. 7 Hướng dẫn

D. 9

  Ta có n P    2; 2; 1  nQ    P  / /  Q   d   P  ,  Q    d  M ,  P   với M   Q 

Ta lấy M  1; 1;0    Q   d   P  ,  Q    d  M ,  P   

2.  1  2.  1  0  11 22  22   1

5

 Chọn B

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2x  y  2z  3  0 , lập phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 9. A.  Q  : 2x  y  2 z  24  0 hoặc  Q  : 2x  y  2 z  30  0 B.  Q  : 2x  y  2 z  30  0 hoặc  Q  : 2x  y  2 z  18  0 C.  Q  : 2x  y  2 z  18  0 D.  Q  : 2x  y  2 z  30  0 Hướng dẫn Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0, nên mặt phẳng (Q) có phương trình dạng 2x  y  2 z  D  0 . Ta có d   P  ,  Q    d  M ,  Q    9 với M là một diểm bất kì thuộc (P). Lấy M (0;-3;0)   P  , ta có: d  M , Q  

2.0   3  2.0  D 22   1  22 2

9

3 D 3

 D  24  9  3  D  27    D  30

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x  y  2 z  24  0 hoặc 2x  y  2 z  30  0 .  Chọn A

Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P : x  y  z  1  0

và

 Q  : x  y  z  5  0 . Điểm nằm trên trục Oy cách đều hai mặt phẳng (P), (Q) có tọa độ là: A. (0;2;0)

B. (0;-2;0)

Giả sử M (0;y;0)  Oy  d  M ;  P   

d  M ,  P   d  M , Q  

y 1 3



C. (0;3;0) Hướng dẫn

y 1 3

, d  M ; Q  

D. (0;-3;0)

y 5 3

y 5

y 1  y  5   y2 3 y 1  5  y

Vậy M (0;2;0)  Chọn A

Trang 10

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;0;2), B (0;-1;2) và mặt phẳng

 P  : x  2 y  2 z  12  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.  6 18 25  B. M   ;  ;   11 11 11 

A. M  2; 2;9   7 7 31  C. M  ; ;  6 6 4 

 2 11 18  D. M   ;  ;   5 5 5 Hướng dẫn Cách 1: Thay tọa độ A (1;0;2), B (0;-1;2) vào phương trình mặt phẳng (P), ta thấy P(A).P(B) > 0 nên hai điểm A, B cùng phía với đối với mặt phẳng (P). Gọi A là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có MA  MB  MA  MB  AB . Nên MA  MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi M  AB   P 

Phương trình đường thẳng AA đi qua A (1;0;2) và vuông góc với

x  1  t  (P) là AA :  y  2t  z  2  2t  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P)  H  AA    P  . Giải phương trình 1 + t +2.2t – 2(2-2t) + 12 = 0 được t = -1

 H  0; 2; 4 

A là điểm đối xứng của A qua (P)  H là trung điểm AA   A  1; 4;6  .  Phương trình đường thẳng AB đi qua B (0;-1;2) và có VTCP AB  1;3; 4  là: x  t  AB;  y  1  3t  z  2  4t  M  AB   P  nên giải phương trình t + 2(-1 + 3t) – 2(2 – 4t) +12 = 0 được t  

2 5

 2 11 18  Vậy M   ;  ;   5 5 5 Cách 2: Do điểm M thuộc (P) nên thế tọa độ điểm M ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng (P) ta loại đáp án B.

Với M  2; 2;9  ta có MA  MB  54  62  15 11 41 5441  7 7 31    12 Với M  ; ;  ta có MA  MB  12 12 6 6 4  3 26 2 26  2 11 18   5 Với M   ;  ;  ta có MA  MB  5 65  5 5 5  Chọn D Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (3;1;1), B (7;3;9), C (2;2;2) và mặt phẳng     P  : x  y  z  3  0 . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA  2MB  3MC nhỏ nhất.

Trang 11

 13 2 16  A. M  ;  ;  9 9 9

 13 2 16  B. M  ; ;  9 9 9

 13 2 6   13 2 6  C. M  ; ;  D. M  ;  ;   7 7 7  7 7 7 Hướng dẫn           Cách 1: Gọi I là điểm thỏa mãn IA  2 IB  3IC  0  IA  2 IA  AB  3 IA  AC  0



 



 1  1   23 13 25   AI  AB  AC  I  ; ;  3 2  6 6 6 

Mặt khác:               MA  2 MB  3MC  MI  IA  2( MI  IB)  3( MI  IC )  6 MI  ( IA  2 IB  3IC )  6 MI  6 MI .    Do đó MA  2 MB  3MC nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).  13 2 16  Dùng công thức tính nhanh tọa độ hình chiếu ta được M  ;  ;  9 9 9

Chú ý: Công thức tính nhanh tọa độ hình chiếu vuông góc M (x;y;z) của điểm I  x0 ; y0 ; z  lên mặt phẳng (P): ax + by + cx + d = 0 là:

a (ax0  by0  cz  d )   x  x0  a 2  b2  c2  b(ax0  by0  cz  d )   y  y0  a 2  b2  c2  c(ax0  by0  cz  d )   z  z0  a 2  b2  c2  Cách 2: Do điểm M thuộc (P) nên thế tọa độ điểm M ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng (P) ta loại đáp án B, D. 2 2 2    6036  13 2 16   50   20   56  Với M  ;  ;  ta có MA  2 MB  3MC            26 3 9 9 9  3   3   3      13 2 6  Với M  ; ;  ta có MA  2 MB  3MC  182  82  202  788  28  7 7 7  Chọn A 2. Bài tập tự luyện Câu 1: Mặt phẳng (Q) qua A (1;-2;-5) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 1 = 0 cách (P) một khoảng bằng:

A. 4 B. 2 C. 2 2 D. 2 Câu 2: Trên mặt phẳng Oxy điểm E có hoành độ bằng 1, tung độ nguyên và cách đều hai mặt phẳng

 P  : x  2 y  z  1  0 ,  Q  : 2x  y  z  2  0 . Tọa độ của E là: A. (1;4;0)

B. (1;-4;0)

C. (1;0;4)

D. (1;0;-4)

Câu 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  4 y  8 z  12  0 ,  Q  : x  mz  0 . Tìm số nguyên m để ((P),(Q)) = 45 . A. 10 B. 1 Đáp án: 1–C 2–B

C. 5

D. 7

3–B Trang 12

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) chứa trục Oz. A.  R  : Ax  By  D  0

B.  R  : Ax  By  0

C.  R  : By  Cz  D  0

D.  R  : By  Cz  0

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa Oy và vuông góc với mặt phẳng  Q  : x  y  z  1  0 . A.  P  : x  y  0

B.  P  : y  4 z  0

C.  P  : x  z  0

D.  P  : x  y  0

Câu 3: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;-2;3) và song song với   phương của hai vectơ a   3; 1; 2  , b   0;3; 4  . A.  P  : x  2 y  3z  53  0

B.  P  : x  2 y  3z + 53  0

C.  P  : 2 x  12 y  9z + 53  0

D.  P  : 2 x  12 y  9z  53  0

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định cặp giá trị (k;m) để các cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau: 2x + ky + 3z – 5 = 0 , mx – 6y – 6z – 2 = 0. A. (3;-4) B. (4;-3) C. (-4;3) D. (4;3) Câu 5: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A (1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng BC với B (0;2;-3) và C (1;-4;1). A.  P  : x  6 y  4z  25  0

B.  P  : x  6 y  4z  25  0

C.  P  : x  3 y  2z  25  0

D.  P  : x  3 y  2z  25  0

Câu 6: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A (0;1;1), B (-1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + z + 1 = 0 là: A. (P): x + y + 2 = 0 B. (P): y + z – 2 = 0 C. (P): x – y + z = 0 D. (P): x + y + z – 2 = 0 Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (3;2;-1), B (5;-2;-1), C (-3;8;1). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, BC, CA. Phương trình mặt phẳng (MNP) là: A. (MNP): 2x – y – 3z – 5 = 0 B. (MNP): -2x + y – 3z + 5 = 0 C. (MNP): 2x + y + 3z – 5 = 0 D. (MNP): 2x – y + 3z + 5 = 0 Câu 8: Tồn tại bao nhiêu mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng

   : 2 x  y  3z  4  0

sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng

  : x  y  z  1  0 , 26 ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0;0;-3), B (2;0;-1). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) : 3x – y – z + 1 = 0 để tam giác MAB đều.  2 2 1   3 10 1  ;  A. M  0; 2; 1 hoặc M  ; ;  B. M  0; 2; 1 hoặc M  ;  3 3 3   2 3 6   2 17 1  C. M  0; 2; 1 hoặc M  ; ;  3 6 6

 2 2 1   2 10 1  D. M  ; ;  hoặc M  ; ;   3 3 3  3 3 6 

Trang 13

Câu 10: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c), b > 0, c > 0 và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b,c biết mặt phẳng (P) vuông góc với (ABC) và khoảng cách từ O đến 1 (ABC) bằng . 3 1 1 A. b = 2 và c = 2 B. b  và c  C. b = 2 và c = 1 D. b = 1 và c = 2 2 2 Đáp án 1–B 2–C 3–D 4–A 5–A 6–B 7–C 8–C 9–A 10 – B

Trang 14

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng  Vectơ u  a; b; c  gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d khi và chỉ khi đường thẳng d  song song với giá của vectơ u .  Nhận xét: Nếu u là một vectơ chỉ phương của  đường thẳng d thì k u (k0) cũng là vectơ chỉ phương của d. 2. Phương trình tham số của đường thẳng Ví dụ: Phương trình đường thẳng d đi qua A  x 0 ; y 0 ; z 0  , Phương trình đường thẳng d đi qua A  2;5; 3 ,   VTCP u  a; b; c  có phương trình tham số là: VTCP u  2;1; 2  có phương trình tham số là:  x  x0  at  x  2  2t   y  y0  bt ;  t      y  5  t;  t     z  z  ct 0   z  3  2t  3. Phương trình chính tắc Phương trình đường thẳng d đi qua A  x 0 ; y 0 ; z 0  , Phương trình đường thẳng d đi qua A  2;5; 3 ,   VTCP u  a; b; c  , (a,b,c0) có phương trình chính VTCP u  2;1; 2  có phương trình chính tắc là: tắc là: x  x0 y  y0 z  z0   a b c

x  2 y 5 z 3   2 1 2

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 có vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C ) .  x  x0  at   Đường thẳng d  y  y0  bt đi qua M  x 0 ; y 0 ; z 0  , VTCP u  a; b; c   z  z  ct 0  Phương pháp 1  ( ) cắt d  n.u  0  Aa  Bb  Cc  0.   Aa  Bb  Cc  0 n.u  0    / / d    Ax0  By0  Cz0  D  0  M   

Phương pháp 2 Giải phương trình: A(x0 + at)+B(y0 + bt)+C(z0 + ct)+D=0

(1)

Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì ( ) cắt d. Phương trình (1) vô nghiệm thì   / /d . Trang 1

 n.u  0  Aa  Bb  Cc  0 d        Ax0  By0  Cz0  D  0  M   

Phương trình (1) vô số nghiệm d   

6. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng:

Ví dụ:

d1đi qua M1(x1;y1;z1), có vectơ chỉ phương  u1   a1 ; b;1 ; c1  .

Cho 2 đường thẳng:

d2 đi qua M2 (x2;y2;z2), có vectơ chỉ phương  u2   a2 ; b;2 ; c2  .     d1 và d2 chéo nhau  u1 , u2  .M 1M 2  0     d1 và d2 đồng phẳng  u1 , u2  .M 1M 2  0     u1 , u2  .M 1M 2  0    d1 và d2 cắt nhau      u1 , u2   0     u1 , u2   0    d1 / / d 2       u2 , M 1M 2   0     u1 , u2   0    d1  d 2       u2 , M 1M 2   0

 x  3  2t x  5  t   d1 :  y  2  3t và d 2 :  y  1  4t .  z  6  4t  z  20  t   d1đi qua M1(-3;-2;6), có vectơ chỉ phương  u1   2;3; 4  . d2 đi qua M2 (5;-1;20), có vectơ chỉ phương  u2  1; 4;1 .   u1 , u2   19; 2; 11 .    M 1M 2   8;1;14  .    u1 , u2  .M 1M 2  19.8  2.1  11.14  0   Do đó d1 và d2 cắt nhau.

7. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng: d1 đi qua M1(x1;y1;z1), có vectơ chỉ phương  u1   a1 ; b;1 ; c1  . d2 đi qua M2 (x2;y2;z2), có vectơ chỉ phương  u2   a2 ; b;2 ; c2  .

Góc giữa 2 đường thẳng d1 và d2 là

 d1 , d 2    ,   00 ,900  

  u1.u2 2.1  3.(4)  4.1 6 cos       522 u1 . u2 22  32  42 . 12  (4) 2  12

Góc giữa 2 đường thẳng d1 và d2 là

 d1 , d 2    ,   00 ,900  

  u1.u2 a1a2  b1b2  c1c2 cos      u1 . u2 a12  b12  c12 . a22  b22  c22

8. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho mặt phẳng   : Ax+By+Cz+D=0 có vectơ  pháp tuyến n   A; B; C  ; Đường thẳng d đi qua M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ

Ví dụ: x 1 y 1 z  3   và mặt 1 2 2 phẳng (P): 2x - 2y + z – 3 = 0. Sin góc giữa d và (P) là:

Cho đường thẳng d:

Trang 2

 phương u   a; b; c  ; Góc giữa

   , d    ,   0 ,90   0

 n.u Aa  Bb  Cc sin      n.u a 2  b 2  c 2 . A2  B 2  C 2

 Ta có u  1; 2; 2  là vec tơ chỉ phương của đường  thẳng d và n   2; 2;1 là vectơ pháp tuyến của mặt  phẳng (P)  u.n  2  4  2  4.  n.u   4 sin  d , ( P)   cos u , n     . n.u 9

 

9. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng Đường thẳng d đi qua M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ  phương u   a; b; c  ; Khoảng cách từ điểm A(x1;y1;z1) đến đường thẳng d là:   u.MA   d  A, d    u

Ví dụ: Cho điểm A(-2;2;3) và đường thẳng x 1 y  2 z 1 . Khoảng cách từ A đến :   2 2 3 đường thẳng  là:  Lấy điểm M (1; 2;1)    MA  (3;0; 2)  Ta có u  (2; 2;3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng  .    MA, u   (4;13; 6)      MA, u    d  A,     13  u

10. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 đi qua M1(x1;y1;z1), có vectơ chỉ phương  u1   a1 ; b;1 ; c1  . d2 đi qua M2 (x2;y2;z2), có vectơ chỉ phương  u2   a2 ; b;2 ; c2  . Gỉa sử d1,d2 chéo nhau, khi đó:    u1 , u2  .M 1M 2   d  d1 , d 2     u1 , u2   

 x  2t  1  Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1:  y  t  1 z  1  x 2 y  2 z 3 . Lấy điểm   1 1 1  M 1 (1; 1;1)  d1 và chọn u1   2;1;0  làm vectơ chỉ

và d2:

phương của đường thẳng d1, điểm M 2 (2; 2;3)  d 2  và chọn u2   1;1;1 làm vectơ chỉ phương của đường thẳng d2.  M 1M 2  (1; 1; 2)   u1 , u2   (1; 2;3)      u1 , u2  .M 1M 2 9 9 14   d  d1 , d 2       14 14 u1 , u2   

PHẦN 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH Trang 3

1. Tọa độ hình chiếu của một điểm lên các trục tọa độ  Cho điểm A(x0;y0;z0), hình chiếu vuông góc của A lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là các điểm có tọa độ là M(x0;0;0), N(0;y0;0), P(0;0;z0).  Cho điểm A(x0;y0;z0), hình chiếu vuông góc của A lên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) lần lượt là các điểm có tọa độ là M(x0;y0;0), N(0;y0;z0), P(x0;0;z0). 2. Hình chiếu H và điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P). Cho điểm A(x0;y0;z0) và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0, A  (P).

 xH  x0  At   Hình chiếu H của A lên mặt phẳng (P) là:  yH  y0  Bt  z  z  Ct 0  H  x A '  x0  2 At   Điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là:  y A '  y0  2 Bt  z  z  2Ct 0  A' Với hằng số t  

Ax0  By0  Cz0  D . A2  B 2  C 2

3. Mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng giao nhau Xét 2 mặt phẳng   : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 ;    : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 Khi đó phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi   và    là:

a1 x  b1 y  c1 z  d1 a b c 2 1

2 1



a2 x  b2 y  c2 z  d 2 a22  b22  c22

4. Phương trình đường phân giác trong và ngoài của tam giác Xét tam giác ABC, khi đó đường phân giác trong góc A có VTCP là:  1  1  u . AB  . AC AB AC Đường phân giác ngoài góc A có VTCP là:  1  1  u . AB  . AC AB AC PHẦN 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng 1. Phương pháp giải Các trường hợp hay gặp của phương trình đường thẳng

  Trường hợp 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A,B, khi đó VTCP của đường thẳng là u  AB .

Trường hợp 2: Phương trình đường thẳng đi qua đi qua M, song song với đường thẳng    , khi đó   VTCP của đường thẳng d là ud  u Trường hợp 3: Phương trình đường thẳng đi qua đi qua M, vuông góc với mặt phẳng (P), khi đó VTCP   của đường thẳng d là u  n( P ) . Trang 4

Trường hợp 4: Phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) đi qua ( P ) điểm A được tìm bằng cách giải hệ phương trình  với việc chọn giá trị bất kỳ cho một ẩn. Vectơ chỉ (Q)    phương u   n( P ) , n(Q )  Trường hợp 5: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2, khi đó    VTCP của đường thẳng d là u  ud1 , ud2  . Trường hợp 6: Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M vuông góc và cắt đường thẳng    . H là hình   chiếu của M trên đường thẳng d, khi đó phương trình đường d có VTCP là u  MH 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d: A. N(2;-1;2)

B. M(-2;-2;1)

x  2 y 1 z  2 ?   1 1 2

C. P(1;1;2)

D. Q(-2;1;-2)

Hướng dẫn Thay tọa độ điểm N vào đường thẳng d ta được

2  2 1  1  nên điểm N không thuộc d. 1 1

Thay tọa độ điểm M vào đường thẳng d ta được

2  2 2  1  nên điểm M không thuộc d. 1 1

Thay tọa độ điểm P vào đường thẳng d ta được Thay tọa độ điểm Q vào đường thẳng d ta được

1 2 11  nên điểm P không thuộc d. 1 1 2  2 1  1 2  2   nên điểm Q thuộc d. 1 1 2

 Chọn D Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: của đường thẳng d?  A. u  (1; 2;0)

x 1 y  2 z . Vectơ nào là vectơ chỉ phương   4 1 5

 B. u  (1; 2;0)

 C. u  (4; 1;5)

 D. u  (4; 1; 5)

Hướng dẫn x 1 y  2 z   . 4 1 5  Nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u  (4; 1; 5)

Ta có phương trình đường thẳng d:

 Chọn D Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;2;3) và B(2;1;1) là:

Trang 5

x  1 t  A. d :  y  2  t  z  3  2t 

x  1 t  B. d :  y  2  t  z  3  2t 

x  1 t  d : y  2t z  3  t 

x  1 t  D. d :  y  2  t z  3  t 

Hướng dẫn   Ta có A, B  d  AB  d  u  AB  (1; 1; 2)

x  1 t   Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;2;3) và có VTCP là u  (1; 1; 2) là: d :  y  2  t  z  3  2t   Chọn B Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 6y - 4z - 1=0 là:

 x  1  2t  A.  y  6  t  z  4  3t  C.

x  2  t  B. d :  y  1  6t  z  3  4t 

x  2 y 1 z  3   1 6 4

x  2 y 1 z  3   1 6 4

Hướng dẫn

  Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 6y - 4z - 1=0, nên ta có ud  nP  (1;6; 4)  Khi đó phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;3) và có VTCP là ud  (1;6; 4) là:

x  2  t x  2 y 1 z  3     y  1  6t hay 1 6 4  z  3  4t   Chọn C Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm N(-1;2;-3) và x y 1 1 z  song song với đường thẳng  :  2 2 3

 x  1  2t  A. d :  y  2  2t  z  3  3t 

 x  1  2t  B. d :  y  2  2t  z  3  3t 

 x  1  2t  C. d :  y  2  2t  z  3  3t 

 x  1  2t  D. d :  y  2  2t  z  3  3t 

Hướng dẫn Vì đường thẳng d song song với đường thẳng  :

  ud  u  (2; 2; 3)

x y 1 1 z   , nên đường thẳng d có VTCP là 2 2 3

Trang 6

  Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm N(-1;2;-3) và có VTCP ud  u  (2; 2; 3) là

 x  1  2t  d :  y  2  2t  z  3  3t   Chọn D Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1 x  2  y  1  z  1 và 1 3 2  x  1  3t  d 2 :  y  2  t . Phương trình đường thẳng nằm trong (): x + 2y - 3z – 2 = 0 và cắt hai đường thẳng d1  z  1  t  và d2 là A.

x  3 y  2 z 1   5 1 1

B. x  3  y  2  z  1 5 1 1

C. x  3  y  2  z  1 5 1 1

D. x  8  y  3  z 1 3 4 Hướng dẫn

Gọi d là đường thẳng cần tìm. Gọi A  d1  ( ) , ta có:

A  d1  A(2  a;1  3a;1  2a ), A  ( )  2  a  2(1  3a )  3(1  2a )  2  0  a  1  A(3; 2; 1) Gọi B  d 2  ( ) , ta có:

B  d1  B(1  3b; 2  b; 1  b), B  ( )  1  3b  2(2  b)  3(1  b)  2  0  b  1  B(2; 1; 2)  d đi qua điểm A(3;-2;-1) và có vectơ chỉ phương AB  (5;1; 1) Vậy phương trình chính tắc của d là x  3  y  2  z  1 5 1 1  Chọn C x 1 y z  2 và mặt phẳng (P): x+y-z+1=0.   2 1 2 Đường thẳng d nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với  có phương trình là:

Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  :

 x  1  t  A.  y  4t  z  3t 

x  3  t  B.  y  2  4t z  2  t 

 x  3  2t  C.  y  2  6t z  2  t 

x  3  t  D.  y  2  4t  z  2  3t 

Hướng dẫn Đường thẳng d nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với  nên d có vectơ chỉ phương là:

Trang 7

   ud   n( P ) , u   (1; 4  3) . Gọi M    (P) , ta có: M    M (2t  1; t ; 2t  2), M  (P)  2t  1  t  (2t  2)  1  0  t  2  M (3; 2; 2)

Tọa độ giao điểm của (P) và  là M(3;-2;2), khi đó d đi qua M(3;-2;2).

x  3  t  Vậy phương trình d là  y  2  4t  z  2  3t   Chọn D 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và nhận vectơ  u  (4;0; 2) làm vectơ chỉ phương là:

 x  1  2t  A. d :  y  2 . z  3  t 

 x  1  2t  B. d :  y  2 . z  3  t 

x  1 t  C. d :  y  2 . z  3  t 

x  1 t  D. d :  y  2 . z  3  t 

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1;-1;3), B(4;3;-1), C(3;-2;3). Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với BC là:

 x  4  3t  A. d :  y  3  2t .  z  1  3t  C. d :

x 1 y 1 z  3   7 1 2

x  1 t  B. d :  y  1  5t .  z  3  4t  D. d :

x y z 3   1 5 4

Đáp án: 1-A

2-B

Dạng 2: Hình chiếu vuông góc 1. Phương pháp giải  Để tìm giao điểm của đường thẳng d: Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 3y - z + 9 = 0 và đường thẳng d có phương x  x0 y  y0 z  z0   và mặt phẳng (P): x 1 y z 1 a b c   trình . Tìm tọa độ giao điểm H của 2 2 3 Ax+By+Cz+D=0. mặt phẳng (P) và đường thẳng d: A. H(-1;-2;2)

B. H(1;-2;4)

C. H(1;0;-1)

D. H(1;0;9) Hướng dẫn

Bước 1: Gọi H  d  (P)

Gọi H thuộc đường thẳng d

H thuộc d nên gọi tọa độ của H theo ẩn t

 H(2t+1;2t;-3t-1) Trang 8

H(x0+at;y0+bt;z0+ct).

Vì H  d  (P) nên

Bước 2: Thay tọa độ H vào mặt phẳng (P): 2t + 1 + 3( 2t) – (-3t – 1) + 9 = 0 A(x0+at)+B(y0+bt)+C(z0+ct)+D=0 giải ra ẩn t  11t = -11  t = -1 Từ đó ta tìm được giao điểm H. Do đó H(-1;-2;2)  Chọn A

 Để tìm hình chiếu H của điểm M lên một mặt Ví dụ: Cho điểm M(-4;5;-1) và mặt phẳng (P): phẳng (P) ta làm theo các bước sau: x+y+3z-9=0. Tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mp (P) là: A. H(-3;-3;1)

B. H(3;3;1)

C. H(3;-6;-2)

D. H(-3;6;2) Hướng dẫn

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M và Đường thẳng d đi qua M(-4;5;-1) và vuông góc với    vuông góc với mặt phẳng (P), có VTCP ud  n P  mặt phẳng (P) nên d có VTCP là ud  (1;1;3)

 x  4  t  Phương trình đường thẳng d là:  y  5  t  z  1  3t  Bước 2: Gọi H  d  (P) . Gọi H theo ẩn t thuộc Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường đường thẳng d. thẳng d  H  d  (P) Vì H thuộc d  H(-4+t;5+t;-1+3t) Bước 3: Thay tọa độ điểm H vào mặt phẳng (P), H  (P)  (- 4 - t) + ( 5 + t) + 3(-1 + 3t) - 9=0 giải ra t, từ được tọa độ điểm H.  11t-11=0  t=1  H(-3;6;2)  Chọn D  Để tìm hình chiếu H của một điểm M lên một Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1) đường thẳng d ta làm theo các bước sau: và đường thẳng d có phương trình x  14 y z  5   . Điểm H(a;b;c) là hình chiếu 4 1 2 vuông góc của điểm A lên đường thẳng d. Tính tổng a+b+c: A. 2

B. 1

C. 0

D. 4 Hướng dẫn

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và Phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với     vuông góc với đường thẳng d, có VTPT n P   ud d có VTPT n P   ud  (4;1; 2) 4(x-1) + 1(y-1) – 2(z-1)=0  4x + y – 2z – 3 = 0 Bước 2: Gọi H  d  (P) . Gọi H theo ẩn t thuộc đường thẳng d.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d  H  d  (P) Gọi H thuộc d  H(14+4t;t;-5-2t) Trang 9

Bước 3: Thay tọa độ điểm H vào mặt phẳng (P), H (P)  4( 14 + 4t) + t - 2(-5 -2t) - 3=0 giải ra t, từ đó tìm được tọa độ điểm H.  21t = -63  t = -3 Vậy H(2;-3;1) Do đó a=2; b= -3; c=1  a+b+c=0  Chọn C 2. Ví dụ minh họa

 x  4  3t  Ví dụ 1: Tìm tọa độ điểm đối xứng của M(-3;1;-1) qua đường thẳng d:  y  1  4t  z  3  2t  A. (-2;-5;-3)

B. (2;-5;3)

C. (5;-7;-3)

D. (5;-7;3)

Hướng dẫn

  Phương trình mặt phẳng (P) qua M, vuông góc với d có VTPT n P   ud  (3; 4; 2)

3(x + 3) + 4(y - 1) + 2(z + 1) = 0  3x + 4y + 2z + 7 = 0 Điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên có tọa độ H(4+3t;1+4t;3+2t). H (P)  3(4 + 3t) +4(1 + 4t) + 2(3 + 2t) + 7 = 0  t = -1  H(1;-3;1) M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.  xM  xM '  xH  2  xM '  2 xH  xM  5   yM  yM '   yH   yM '  2 yH  yM  7  2  z  2z  z  3 H M  M'  zM  zM '  z H  2 

Vậy M’(5;-7;3)  Chọn D

x  1 t  Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y  2  2t và mặt phẳng (P):  z  1  t  x-y+z-1=0. Phương trình đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của d trên (P) là:

x  t  A.  y  3  2t  z  2  t 

x  t  B.  y  3  2t  z  2  t 

x  t  C.  y  3  2t z  2  t 

x  t  D.  y  3  2t z  2  t 

Hướng dẫn Gọi () là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).      Cặp VTCP của () là ud  (1; 2; 1), n P   (1; 1;1)  n   ud , n P    (1;0; 1) Trang 10

Chọn M(1;2;-1)  d  (): x – z - 2=0

x  y  z 1  0 Khi đó ’ cần tìm là giao tuyến của (P) và () nên thỏa mãn hệ  x  z  2  0

x  t  Đặt x = t, ta có phương trình tham số của  là  y  3  2t  z  2  t   Chọn A 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x  12 y  9 z  1   cắt mặt phẳng 4 3 1

(P): 3x + 5y – z – 2 = 0 tại điểm A có tọa độ là: A. (2;0;4)

B. (0;1;3)

C. (1;0;1)

D. (0;0;-2)

 x  1  t x 1 y  3 z  2  Câu 2. Cho điểm A(6;2;-1) và hai đường thẳng d :   ; d ' :  y  3  6t . M, N lần lượt là 1 2 2  z  1  hình chiếu vuông góc của A trên 2 đường thẳng d và d’. Độ dài MN là: A. MN  13

B. MN  31

D. MN  41

C. MN  3

x  3 y z 1   và mặt phẳng (P): 4x-y-z+7=0. Phương trình đường thẳng 7 3 7 d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên trên mặt phẳng (P) là:

Câu 3. Cho đường thẳng d :

 x  1  3t  A. d ' :  y  1  4t  z  2  8t 

 x  1  3t  B. d ' :  y  1  4t  z  2  8t 

 x  2  3t  C. d ' :  y  4t  z  3  8t 

 x  3t  D. d ' :  y  2  4t  z  5  8t 

Đáp án: 1-D

2-C

3-B

Dạng 3: Vị trí tương đối 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, giá trị của m để đường thẳng d:

x 1 y  2 z  3 song song với mặt   3 m 2

phẳng (P): x – 3y + 6z = 0 là: A. m = -4

B. m = -3

C. m = -2

D. m = 9

Hướng dẫn  Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương u  (3; m; 2) .  Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n  (1; 3;6) .    d / /( P)  u  n  u.n  0  3  3m  12  0  m  3 Vậy giá trị m cần tìm là m = -3 Trang 11

 Chọn B Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d):

x  2 y  4 1 z và (d’):   2 3 2

 x  4t   y  1  6t . Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d và d’ là:  z  1  4t  A. d và d’ song song với nhau

B. d và d’ trùng nhau

C. d và d’ cắt nhau

D. d và d’ chéo nhau Hướng dẫn

x  2 y  4 1 z x  2 y  4 z 1      . 2 3 2 2 3 2

Ta có (d):

 Đường thẳng d đi qua M(2;-4;1) và có vectơ chỉ phương u  (2;3; 2) , đường thẳng d’ đi qua M’(0;1;-1)   và có vectơ chỉ phương u '  (4;6; 4)  MM '  (2;5; 2)      u , u ' cùng phương và u , MM ' không cùng phương. Vậy d và d’ song song với nhau.  Chọn A

 x  1  mt  Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d):  y  t và (d’):  z  1  2t 

x  1 t '   y  2  2t ' . z  3  t ' 

Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt d’. A. m = 0

B. m = 1

C. m = 2

D. m = -1

Hướng dẫn  Đường thẳng d đi qua M(1;0;-1) và có vectơ chỉ phương u  (m;1; 2) .   Đường thẳng d’ đi qua M’(1;2;3) và có vectơ chỉ phương u  (1; 2; 1)  MM '  (0; 2; 4)      Ta có: u , u '  (5; m  2; 2 m  1), u , u ' .MM '  10m

d cắt d’

5  0     u , u '  0 m  2  0           m0. 2 m  1  0    u , u ' .MM '  0  10m  0

 Chọn A 2. Bài tập tự luyện

 x  3  2t x  5  t '   Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d):  y  2  3t và (d’):  y  1  4t ' . Khẳng định  z  6  4t  z  20  t '   nào sau đây đúng: A. Đường thẳng d trùng với đường thẳng d’. Trang 12

B. Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. C. Đường thẳng d song song với đường thẳng d’. D. Đường thẳng d cắt đường thẳng d’. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng

x 1 y z   vuông góc với mặt phẳng nào 3 2 1

trong các mặt phẳng sau đây: A. 6x – 4y – 2z + 1 = 0

B. 6x + 4y + 2z + 1 = 0

C. 6x – 4y + 2z + 1 = 0

D. 6x + 4y – 2z + 1 = 0

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d:

x 1 y 1 z  5   , d’: 2 3 1

x 1 y 1 z 1   . Vị trí tương đối của d và d’ là: 4 3 5

A. Song song với nhau .

B. Cắt nhau tại điểm M(3;2;6).

C. Cắt nhau tại điểm M(3;2;-6).

D. Chéo nhau.

Đáp án: 1-D

2-C

3-B

Dạng 4: Góc và khoảng cách 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:

x 5 y  2 z 4   1 1 2

và d’:

x y  2 z  2017   . Góc giữa d và d’ là: 1 1 2

A. 30o

B. 45o

C. 60o

D. 135o

Hướng dẫn   Ta có u  (1;1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và u '  (1;1; 2) là vectơ chỉ phương của   đường thẳng d’  u.u '  1  1  2  2   u.u '   2 1  cos(d , d ')  cos u , u '      . u . u ' 2.2 2





Vậy (d,d’) = 30o vì 0o ≤ (d,d’) ≤ 90o  Chọn A. Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ():

x 1 y  2 z 1 và điểm A(2;  2 1 3

5;-6). Tìm tọa độ điểm M nằm trên  sao cho AM  35 . A. M(1;0;-1) hoặc M(5;0;-7). C. M(1;-2;0) hoặc M(5;0;-7).

B. M(1;-2;-1) hoặc M(5;0;-7). D. M(1;-2;-1) hoặc M(-3;-4;5). Hướng dẫn Trang 13

 Vì M    M (1  2t ; 2  t ; 1  3t )  AM  (2t  1; t  3; 3t  5) . Ta có: t  0  M (1; 2; 1) AM  35  (2t  1) 2  (t  3) 2  (3t  5) 2  35  t 2  2t  0    t  2  M (5;0; 7)  Chọn B. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

x y z 1 và mặt phẳng ():   2 1 1

x – 2y – 2z + 5 = 0. Tìm điểm A trên d có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ A đến () bằng 3. A. A(0;0;-1)

B. A(-2;1-2)

C. A(2;-1;0)

D. A(4;-2;1)

Hướng dẫn Gọi A(2t;-t;t-1)  d với t > 0. Ta có: d  A,( )   3 

2t  2( t)  2(t  1)  5 12  (2) 2  (2) 2

3

2t  7 3

3

t  1  2t  7  9    t  1 (do t>0) t  8  A(2;-1;0)  Chọn C

x  1 t  Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:  y  2  t , gọi  là đường thẳng đi qua điểm z  3   A(1;2;3) và vectơ chỉ phương u  (0; 7; 1) . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  có phương trình là:

 x  4  5t  A.  y  10  12t z  2  t 

 x  4  5t  B.  y  10  12t  z  2  t 

 x  1  5t  C.  y  2  2t z  3  t 

 x  1  6t  D.  y  2  11t  z  3  8t 

Hướng dẫn   Ta có VTCP của d: u1  (1;1;0) , VTCP của  là u  (0; 7; 1)   u1.u   Góc giữa 2 vectơ chỉ phương là: cos u1 , u     0. u1 . u   Nên ta chọn VTCP của d là : u  (1; 1;0) ngược hướng với VTCP u1





Áp dụng công thức tính nhanh, VTCP của đường phân giác:  1  1  1  12 1  5 m   .u   .u  ;    5;12;1 .  1; 5 5 2 2 u u

 Chọn w  (5;12;1) là VTCP của đường phân giác tạm gọi là d’. Dễ thấy d và  và d’ cùng đi qua điểm A(1;2;3)  d’:

x 1 y  2 z  3   . 5 12 1

Trang 14

Thay điểm (-4;-10;2) ở đáp án A vào thấy thỏa mãn.  Chọn A. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(-2;3;1), B(2;3;5) và đường thẳng : x 1 y  2 z   . Điểm M   mà MA2+MB2 nhỏ nhất có tọa độ: 1 1 2 A. M(-1;0;4)

B. M(1;-2;0)

C. M(-1;-3;1)

D. M(2;-3;-2)

Hướng dẫn Cách 1: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB và H là hình chiếu của I lên đường thẳng . Khi đó ta có: MI 2 

MA2  MB 2 AB 2 4 MI 2  AB 2 4 HI 2  AB 2   MA2  MB 2   . 2 4 2 2

MA2+MB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với H.

 Ta có I(0;3;3), H thuộc đường thẳng  nên H(1-t;-2+t;2t) và IH  (1  t ; 5  t ; 2t  3).   Do HI vuông góc  nên ta có HI .u  0  (1  t )  (5  t )  2(2t  3)  0  t  2 Vậy M(-1;0;4). Cách 2: Giả sử M(-t+1;t-2;2t)  d. Ta có: MA2 = t2 + (t-6)2 + (2t-2)2 = 6t2 - 20t + 40 MB2 = (-t + 2)2 + (t - 4)2 + (2t - 4)2 = 6t2 - 28t + 36 Do đó MA2+MB2 = 12t2 - 48t + 76 = 12(t-2)2 + 28 ≥ 28. Vậy min(MA2+MB2) = 28  t = 2  M(-1;0;4).  Chọn A. 2. Bài tập tự luyện

x  1 t  Câu 1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d):  y  2t và (d’): z  2  t  A. 4

2 5 5

x  2  t   y  4t là:  z  1  2t 

2 2

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d: x 1 y  7 z  3 . Gọi Q là mặt phẳng chứa d và song song với (P). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng   2 1 4 (P) và (Q) là: A.

9 14

9 14 14

3 14

Câu 3. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

3 14 14

x 1 y z 1   và mặt phẳng (P): 2 1 1

x + y + z + 8 = 0. Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng: A.

8 3

8 3 3

3 3

Đáp án: Trang 15

1-B

2-B

3-C

PHẦN 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP

x  t  Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):  y  1  t . Vectơ nào là vectơ chỉ phương của  z  6  2t  đường thẳng d?  A. u  (1; 1; 2)

 B. u  (1; 2;0)

 C. u  (0; 1;6)

 D. u  (0;1; 6)

Câu 2. Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2;3) và

 x  1  2t  song song với đường thẳng  :  y  2  t .  z  3  t  A. d :

x 1 y  2 z  3   2 1 1

B. d :

x 1 y  2 z  3   2 1 1

C. d :

x 1 y  2 z  3   2 1 1

D. d :

x 1 y  2 z  3   2 1 1

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng  :

x 1 y 1 z   . Đường thẳng d 2 1 1

đi qua M và song song với  là: A.

x  2 y 1 z   2 1 1

x  2 y 1 z   2 1 1

x  2 y 1 z   2 1 1

x  2 y 1 z   2 1 1

 x  2  t  Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y  6t . Đường thẳng d đi qua điểm nào trong  z  3  các điểm sau đây: A. M(-1;6;-2)

B. M(0;12;-3)

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

C. M(1;8;1)

D. M(1;18;-3)

x 1 y 1 z   . Điểm M thuộc đường thẳng d có 2 3 4

cao độ bằng 4 có tọa độ là : A. M(3;-2;4)

B. M(4;3;-2)

C. M(-2;3;-1)

Câu 6. Cho 3 điểm A(-1;0;2), B(2;1;-1), C(0;-3;4) và đường thẳng d :

D. M(3;-2;4) x  11 y  9 z  14   . D là điểm 2 4 5

 1  thỏa mãn AB  CD . Tọa độ điểm đối xứng của D qua đường thẳng d là: 3  1 2 5  A. D '  ; ;  3 3 3

B. D’(9;0;-5)

C. D’(5;-3;1)

D. D’(1;-6;3)

Trang 16

Câu 7. Cho 2 điểm A(2;1;-3), B(-3;5;2) và đường thẳng d :

x  2 y z 1   . Phương trình đường thẳng 1 4 2

đối xứng với đường thẳng AB qua d là:

 x  1  7t '  A.  y  3  4t ' z  4  t ' 

 x  1  7t '  B.  y  3  4t ' z  4  t ' 

Câu 8. Đường thẳng nào sau đây song song với d :

 x  1  7t '  C.  y  3  4t ' z  4  t ' 

 x  1  7t '  D.  y  3  4t '  z  4  t ' 

x2 y4 z4   1 2 3

x 1 y  2 z 1   1 2 3

x2 y4 z4   1 1 1

x 1 y  2 z 1   1 2 3

x 1 y  2 z 1   1 2 3

x 1 y  2 z 1   và mặt phẳng (P): 2 1 1 x + y - z + m = 0. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

A. m  0

B. m = 0

C. m > 0

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:

D. m  

x  2 y 1 z  3 x 1 y 1 z 1     và d’: . 1 2 2 1 2 2

Khoảng cách giữa d và d’ là: A. 4 2

4 2 3

4 3

4 3 2

 x  1  2t  Câu 11. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;-1;3) và đường thẳng d  y  2 . Khoảng cách  z  t  từ A đến đường thẳng d là: A.

B. 14

x y 1 z   . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng 2 1 2 cách từ M đến  bằng OM với O là gốc tọa độ.

Câu 12. Cho đường thẳng  :

A. (-1;0;0) hoặc (1;0;0)

B. (2;0;0) hoặc (-2;0;0)

C. (1;0;0) hoặc (-2;0;0)

D. (2;0;0) hoặc (-1;0;0)

x  5  t  Câu 13. Góc giữa đường thẳng d :  y  6 và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0 là: z  2  t  A. 30o

B. 45o

C. 60o

Câu 14. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

D. 90o x  6 y 1 z  2   và điểm A(1;7;3). Tìm 3 2 1

tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, M bằng 2 30 , biết M có hoành độ nguyên.

Trang 17

 51 1 17  A.  ; ;  7 7 7 

B. (9;1;-3)

C. (3;-3;1)

D. (6;-1;2)

Đáp án: 1-A

2-C

3-D

4-D

11-B

12-D

13-A

14-C

5-A

6-D

7-B

8-D

9-A

10-B

Trang 18

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRONG TÂM 1. Phương trình chính tắc của mặt cầu Trong không gian Oxyz, mặt cầu  S tâm I  a;b;c  ,

Ví dụ:

có bán kính R có phương trình là:

Mặt cầu  S tâm I 1; 2;3 ,bán kính 4

 x  a    y  b   z  c

Phương trình chính tắc của mặt cầu là:

 R 2.

 x  1   y  2    z  3 2

 16.

2. Phương trình tổng quát của mặt cầu Trong không gian Oxyz, dạng khai triển 2

Phương trình tổng quát của mặt cầu là:

x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với

x 2  y 2  z 2  2x + 4y  6 z  2  0.

a 2 + b 2 + c 2  d > 0 là phương trình tổng quát của mặt cầu tâm I  a;  b;  c  , có bán kính

R  a 2 + b2 + c2  d . 3. Vị trí tương đối của hai mặt cầu Cho hai mặt cầu:

Ví dụ:

S1  :  x  a1    y  b1    z  c1  I1  a1 ;b1 ;c1  , bán kính R1 2

 R 22 có tâm

Ta có: I1I 2 

S2  : x 2   y  1   z  3 2

 4. có tâm I 2  0;1;3 ,

bán kính R 2  2.

I 2  a 2 ;b 2 ;c 2  , bán kính R 2

 a 2  a1    b2  b1    c2  c1  2

Cho mặt cầu:  x  1   y  2    z  3  9 có tâm I1 1; 2;3 , bán kính R1  3.

S2  :  x  a 2    y  b2    z  c2  2

 R12 có tâm

Nếu: I1I 2  R1  R 2 , hai mặt cầu  S1  ,  S2  lồng

Ta có:

I1 I 2 

 0  1  1  2    3  3

nhau.

R1  R 2  5

Nếu I1I 2  R1  R 2 , hai mặt cầu  S1  ,  S2  tiếp xúc

R1  R 2  1

 10

trong.

Do đó R1  R 2  I1 I 2  R1  R 2 nên hai mặt cầu

Nếu R1  R 2  I1 I 2  R1  R 2 , hai mặt cầu

S1  , S2  cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn.

S1  , S2  cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn. Nếu I1I 2  R1  R 2 , hai mặt cầu  S1  ,  S2  tiếp xúc nhau. Nếu I1 I 2 >R1  R 2 , hai mặt cầu  S1  ,  S2  ở ngoài nhau.

Trang 1

4. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu  S tâm I  a;b;c  , bán kính R, có

Ví dụ: Cho mặt cầu  S tâm I 1;2;3 và bán kính R = 3

phương trình:

 S :  x  a    y  b    z  c  2

có phương trình:

 R 2.

S : x 2  y2  z 2  2x  4y  6 z  5  0

Và mặt phẳng  P  có phương trình:

 P  : Ax  By  Cz  D  0

và mặt phẳng  P  : x  y  z  0.

Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P  .

Ta có: IH  d  I;  P   

Aa+Bb+Cc+D 2

A +B +C

Nếu IH > R, mặt phẳng  P  không cắt mặt cầu

1+2+3 12 + 12 + 12

2 3R

Vì IH > R, mặt phẳng  P  không cắt mặt cầu  S .

 S . Nếu IH  R, mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu

S . Mặt phẳng  P   S .

gọi là tiếp diện của mặt cầu

Nếu IH < R, mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S theo thiết diện là một đường tròn  C  có tâm H, bán kính r được xác định theo công thức r 2  R 2  IH 2 PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của phương trình mặt cầu 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :  x + 3   y + 1   z  1  2. Tâm của  S có tọa 2

độ là: A.  3; 1;1 .

B.  3; 1;1 .

C.  3;1; 1 .

D.  3;1.  1 .

Hướng dẫn Mặt cầu  S :  x + 3   y + 1   z  1  2 có tâm I  3; 1;1 và bán kính R  2. 2

 Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 S

có phương trình

x 2  y 2  z 2  2x  4y + 6 z  2  0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của  S A. Tâm I  1; 2; 3 và bán kính R  4.

B. Tâm I 1; 2;3 và bán kính R  4.

C. Tâm I  1; 2;3 và bán kính R  4.

D. Tâm I 1; 2;3 và bán kính R  16.

Trang 2

Hướng dẫn Dựa vào phương trình mặt cầu  S : x 2  y 2  z 2  2x  4y + 6 z  2  0, ta có: tâm I  1; 2; 3 bán kính R 

 1

 22   3   2   16  4 2

 Chọn A.

Ví dụ 3: Phương trình  S : x 2  y 2  z 2  2mx + 4y + 2mz  m 2  5m  0 là phương trình mặt cầu với điều kiện nào của m?

m  1 B.  . m  4

A. m  1.

m  1 C.  . m  4

D. m  4.

Hướng dẫn Tương ứng với dạng tổng quát

x 2  y 2  z 2  2ax + 2by + 2cz  d  0,

S : x 2  y2  z 2  2mx  4y  2mz  m 2  5m  0

ta có phương trình

có a = m, b = 2 , c = m , d = m 2  5m .

Phương trình  S là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi:

m  1 2 2 2 a 2  b 2  c 2  d  0 hay m 2   2    m    m  5m   0  m 2  5m  4  0   m  4  Chọn C.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :  x  2    y  1   z  3  16. Tìm 2

tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu  S . A. I  2; 1; 3 , R  16.

B. I  2;1; 3 , R  4.

C. I  2; 1;3 , R  16.

D. I  2; 1;3 , R  4.

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :  x + 1   y  2    z  3  12. Khẳng định nào sai 2

trong các khẳng định sau? A.  S đi qua điểm N  3; 4; 2  .

B.  S đi qua điểm M 1;0;1 .

C.  S có bán kính R  2 3.

D.  S có tâm I  1; 2;3 .

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : x 2  y 2  z 2  2x  4y  4  0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu  S A. I  1; 2;0  , R  3.

B. I  1; 2;0  , R  4.

C. I 1; 2;0  , R  3.

D. I 1; 2;0  , R  4.

Đáp án: 1B

2A

3A

Trang 3

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu 1. Phương pháp giải Các trường hợp hay gặp của phương trình mặt cầu: Trường hợp 1: Mặt cầu tâm I, đi qua điểm A.

 x A  x I    yA  yI    zA  zI  2

Khi đó bán kính R  IA 

Trường hợp 2: Mặt cầu đường kính AB,  x  xB yA  yB zA  zB  ; ; Tâm I là trung điểm AB  I  A  2 2   2

Bán kính R  IA 

 x A  x I    yA  yI    zA  zI  2

Trường hơp 3: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bước 1: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng

x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

với

a 2  b2  c2  d  0 Bước 2: Vì 4 điểm A, B, C, D thuộc mặt cầu nên ta thay tọa độ của A, B, C, D vào được hệ phương trình bốn ẩn

 x 2A  y 2A  z 2A  2ax A  2by A  2cz A  d  0  2 2 2  x B  y B  z B  2ax B  2by B  2cz B  d  0  2 2 2  x C  y C  z C  2ax C  2by C  2cz C  d  0  x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0  D D D D D D Bước 3: Giải ra a, b, c, và d , từ đó tìm được phương trình mặt cầu. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho A  2;1;0  , B  2; 1; 2  . Viết phương trình mặt cầu  S có tâm B và đi qua điểm A. A.  S :  x  2    y  1   z  2   24.

B.  S :  x  2    y  1   z  2   24.

C.  S :  x  2    y  1  z 2  24.

D.  S :  x  2    y  1   z  2   24.

Hướng dẫn Phương trình mặt cầu  S có tâm B  2; 1; 2  và đi qua điểm A có bán kính là:

R  AB 

 2  2    1  1   2  0  2

 2 6.

Vậy phương trình mặt cầu là  S :  x  2    y  1   z  2   24. 2

 Chọn B.

Trang 4

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho A  2;1;0  , B  2; 1; 2  . Viết phương trình mặt cầu  S có đường kính là AB A.  S : x 2  y 2   z  1  24.

B.  S : x 2  y 2   z  1  6.

C.  S : x 2  y 2   z  1  6.

D.  S : x 2  y 2   z  1  24.

Hướng dẫn Phương trình mặt cầu  S có đường kính là AB có.  x  xB yA  yB zA  zB  ; ; Tâm I là trung điểm của AB  I  A    0;0;1 . 2 2   2

AB  Bán kính R  2

 2  2    1  1   2  0  2

24  6. 2



Vậy phương trình mặt cầu là  S : x 2  y 2   z  1  6. 2

 Chọn C.

Ví

dụ

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

tứ

diện

ABCO

với

A 1; 2; 2;  , B  1; 2; 1 , C 1;0; 1 . Tìm bán kính mặt cầu  S ngoại tiếp tứ diện ABCO. A.

9 . 2

443 . 2

443 . 10

Hướng dẫn Gọi phương trình mặt cầu có dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 . Vì 4 điểm A, B, C, O thuộc mặt cầu nên ta có hệ: d  0  1  2  2  2a  4b  4c  d  0 d  0 a  9  2 2 2 2a  4b  4c  9 10   1  2   1  2a  4b  2c  d  0    1 2   2 1  02   1  2a  2c  0 2a  4b  2c =  6 c  10  2a  2c  2  d  0 b  19  10 2

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R  a 2  b 2  c 2  d 

443 . 10

 Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 1;0  và mặt phẳng  P  : x  2y  z  2  0 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  P  . Viết phương trình mặt cầu  S đi qua điểm A và có tâm I. A.  S :  x  1   y  1   z  1  6. 2

B.  S :  x  1   y  1   z  1  6. 2

Trang 5

C.  S :  x  1   y  1   z  1  6. 2

D.  S :  x  1   y  1   z  1  6.

Hướng dẫn

  Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng  P   ud  n P  1; 2;1 .

x  2  t  Phương trình đường thẳng d là:  y  1  2t . z  t  x  2  t  t  1  y  1  2t x  1   d   P   I nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ    I 1;1; 1 . z  t y  1  x  2y  z  2  0 z  1 Bán kính mặt cầu là R  IA  6. Vậy phương trình mặt cầu  S là:  S :  x  1   y  1   z  1  6. 2

 Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x 1 y  2 z  3 và điểm   2 1 1

I 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là: A.  x  1   y  2    z  3  5 2.

B.  x  1   y  2    z  3  50.

C.  x + 1   y  2    z  3  50.

D.  x  1   y  2    z + 3  50.

Hướng dẫn

   IA; u     d đi qua A  1; 2; 3 và có vectơ chỉ phương u   2;1; 1  d  I,d   5 2.  u Do đó, suy ra mặt cầu có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  d  I,d   5 2. Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1   y +2    z  3  50. 2

 Chọn B.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1;0  , B  2;3; 2  và đường thẳng

 x  2t  1  d  :  y  1 . Viết phương trình mặt cầu S đi qua hai điểm A, B và có tâm nằm trên đường thẳng d. z  2t  A.  S :  x  1   y  1   z  2   17.

B.  S :  x  1   y  1   z  2   9.

C.  S :  x  1   y  1   z  2   5.

D.  S :  x  1   y  1   z  2   16.

Hướng dẫn Trang 6

Giả sử I  2t  1; t; 2 t   d là tâm của mặt cầu  S

IA =

 2t  1   t  1   2 t  2

 9t 2  6t +2, IB =

 2t  3   t  3   2t  2  2

 9t 2  14t + 22 .

Vì IA  IB  9t 2  6t +2  9t 2  14t + 22  t  1. Tọa độ tâm I của mặt cầu là I  1; 1; 2  và bán kính R  IA  17. Vậy phương trình mặt cầu  S là:  S :  x  1   y  1   z  2   17. 2

 Chọn A.

3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E  2;1;1 , F  0;3; 1 . Phương trình mặt cầu

 S

đường kính EF là:

A.  S :  x  1   y  2   z 2  3.

B.  S :  x  1   y  2   z 2  9.

C.  S :  x  1   y  2   z 2  3.

D.  S :  x  1   y  2   z 2  9.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I 1; 2;3 , A 1;1; 2  . Phương trình mặt cầu  S tâm I và đi qua điểm A là: A.  S :  x  1   y  2    z  3  2.

B.  S :  x  1   y  2    z  3  2.

C.  S :  x  1   y  2    z  3  2.

D.  S :  x  1   y  2    z  3  2.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  2;1;1 và mặt phẳng  P  : 2x  y  2z  1  0. Viết phương trình mặt cầu  S tâm I tiếp xúc với mặt phẳng  P  . A.  S :  x  2    y  1   z  1  4.

B.  S :  x  2    y  1   z  1  9.

C.  S :  x  2    y  1   z  1  3.

D.  S :  x  2    y  1   z  1  5.

Đáp án: 1A

2D

3A

Dạng 3: Vị trí tương đối 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  2;1; 1 và mặt phẳng  P  : x  2y  2z  1  0 . Bán kính mặt cầu  S tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng  P  là: A. 1.

B. 1.

1 . 3

1 . 9

Hướng dẫn Trang 7

Bán kính mặt cầu  S là: R  d  I,  P   

2  2.1  2.  1  1 1   2   2 2

 1.

 Chọn A.

Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2; 2  và mặt phẳng  P  : 2x  2y  z  5  0 . Viết phương trình mặt cầu  S tâm I và cắt mặt phẳng  P  theo một đường tròn có chu vi bằng 8π. A.  S :  x  1   y  2    z  2   36. 2

C.  S :  x  1   y  2    z  2   2

B.  S :  x  1   y  2    z  2  

313 . 3

D.  S :  x  1   y  2    z  2  

313 . 9

Hướng dẫn Bán kính đường tròn là: r  Ta có: d  I,  P   

C  4. 2π

2.1  2.2  1.2  5 22  22  12



13 . 3

Do đó bán kính của mặt cầu  S là: R  r  d  I,  P   2

313  13   4    . 3 3 2

Vậy phương trình mặt cầu  S là:  S :  x  1   y  2    z  2   2

313 . 9

 Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S :  x  1   y  2    z  3  1 và điểm A  2;3; 4  . 2

Xét các điểm M thuộc  S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S , M thuộc mặt phẳng có phương trình là? A. x  y  z  7  0.

B. 2x  2y  2z  15  0.

C. x  y  z  7  0.

D. 2x  2y  2z  15  0. Hướng dẫn

Cách 1: Mặt cầu  S có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  1. Ta có IA = 3. Khi đó AM  IA 2  R 2  2. Hạ MH  AI thì AH  hay AH =

AM 2 2  . AI 3

  2  4 7 10  AI  HA  2HI  0  H  ; ;  3 3 3 3 

 Khi đó ta có M thuộc mặt phẳng  P  đi qua H và nhận vectơ IA  1;1;1 làm vectơ pháp tuyến nên M   P  : x  y  z  7  0.

Trang 8

Cách 2: Ta có AM = IA 2  R 2  2. M thuộc mặt cầu tâm A bán kính AM và M thuộc  S . Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:  x  12   y  2 2   z  32  1  2 2 2  x  2    y  3   z  4   2

Trừ hai vế của hệ phương trình ta được điểm M thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z  7  0.  Chọn A.

2. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình mặt phẳng nào tiếp xúc với mặt cầu

S :  x  1   y  3   z  2  2

 49 tại điểm M  7; 1;5  ?

A.  P1  : 6x  2y  3z  55  0.

B.  P2  : 6x  2y  2z  34  0.

C.  P3  : 2x  2y  3z  27  0.

D.  P4  : 6x  2y  3z  55  0.

Câu 2. Trong không gian vớii hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 S : x 2  y 2   z  2 

 P  : 3x  4y  12  0

và mặt cầu

 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.  P  đi qua tâm của mặt cầu  S B.  P  tiếp xúc với mặt cầu  S C.  P  cắt mặt cầu  S theo một đường tròn và mặt phẳng  P  đi qua tâm của mặt cầu  S . D.  P  không có điểm chung với mặt cầu  S . Đáp án: 1A

2D

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình  S : x 2  y 2  z 2  x  y  2z  10  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 1  A.  S là mặt cầu có tâm I  ; ; 1 . 2 2 

C.  S là mặt cầu có bán kính R  Câu

Trong

không

gian

B.  S không phải là phương trình mặt cầu.  1 1  D.  S là mặt cầu có tâm I  ; ; 1 .  2 2 

46 . 2

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

các

phương

trình

1 2 2 2 2 2 S1  :  x     y  2    z  3  4, S2  : 4  x  1   y  2    z  1  9, 2  4 2 2 2 S3  :  2x  1   2y  2    2z  3  . 9 Trang 9

Có bao nhiêu phương trình là phương trình mặt cầu? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình  S : x 2  y 2  z 2  2m 2 x  4my  8m 2  4  0 là phương trình mặt cầu với điều kiện nào của m? A. m  2 hoặc m   2.

B.  2  m  2.

C. m  .

D. m  2 hoặc m   2.

Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S tâm I bán kính R và mặt phẳng  α  . Nếu d  I,α   R thì vị trí tương đối giữa mặt cầu  S và mặt phẳng  α  là: A. Mặt phẳng  α  tiếp xúc với mặt cầu  S . B. Mặt phẳng  α  cắt mặt cầu  S . C. Mặt phẳng  α  và mặt cầu  S không có điểm chung. D. Mặt phẳng  α  cắt mặt cầu  S hoặc tiếp xúc với mặt cầu  S . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 3; 2  , gọi A là giao điểm của đường thẳng

x  t  1  d  :  y   t và măt phẳng  P  : x  2y  z  0 . Viết phương trình mặt cầu S tâm I và đi qua điểm A. z  2  A.  S :  x  1   y  3   z  2   21.

B.  S :  x  1   y  3   z  2   5.

C.  S :  x  1   y  3   z  2   21.

D.  S :  x  1   y  3   z  2   25.

Câu 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  y  1  0,  Q  : x  2y  z  0 . Gọi

 S

là mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P  tại A 1;0; 2  và có tâm thuộc mặt phẳng  Q  . Bán kính mặt

cầu  S bằng: A. 3 2.

B. 2 3.

C. 4 2.

D. 3 3.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I 1; 2; 3 ,A 1;0; 4  . Phương trình mặt cầu

 S

tâm I và đi qua điểm A là:

A.  S :  x  1   y  2    z  3  5.

B.  S :  x  1   y  2    z  3  53.

C.  S :  x  1   y  2    z  3  5.

D.  S :  x  1   y  2    z  3  53.

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :  x  1   y  2    z  3  56. Gọi I là 2

tâm của mặt cầu  S . Giao điểm của OI và mặt cầu  S có tọa độ là: A.  1; 2; 3 và  3; 6;9  .

B.  1; 2; 3 và  3; 6;9  .

C.  1; 2; 3 và  3; 6; 9  .

D.  1; 2; 3 và  3;6;9  .

Trang 10

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : x 2  y 2  z 2  2x  6y  4z  0. Biết OA là đường kính của mặt cầu  S . Tọa độ điểm A là: A.  1;3; 2  .

B. 1; 2;3 .

C.  2; 6; 4  .

D.  2;6; 4  .

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxzy, cho mặt cầu  S : x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z + m  0. Tìm m để  S tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  2y  2z  1  0 A. m  2.

B. m  2.

C. m  10.

D. m  10.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : x 2  y 2  z 2  4x  2y  10z + 14  0 và mặt phẳng  P  : x  y  z  4  0. Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S theo một đường tròn có chu vi là: A. 8π.

B. 4π.

C. 4π 3.

D. 2π.

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I  1; 2; 3 , gọi A là giao điểm của đường x 1 y  2 z  5   và mặt phẳng  P  : 2x  2y  z  1  0 . Viết phương trình mặt cầu  S tâm 2 3 4 I và đi qua điểm A.

thẳng  d  :

A.  S :  x  1   y  2    z  3  21.

B.  S :  x  1   y  2    z  3  25.

C.  S :  x  1   y  2    z  3  21.

D.  S :  x  1   y  2    z  3  25.

Đáp án: 1B

2B

11  B

12  D

3A

4D

5D

6A

7D

8B

9C

10  D

Trang 11