Bài tập và Lý thuyết chương 3 Hình học lớp 11 - QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN - Đặng Việt Đông by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Định nghĩa

d  (P)  d  a, a  (P) 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b  ( P ), a  b  O  d  (P )  d  a, d  b 3. Tính chất  Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. a b a  b      (P )  b  a b (P )  a a  (P ), b  (P ) ( P )  (Q) ( P )  (Q)      a  (Q)  ( P ) Q) a  (P ) ( P )  a,(Q)  a a  (P ) a  (P )     ba  a  P ) b  ( P )  a  b,(P )  b 4. Định lí ba đường vuông góc Cho a  (P ), b  (P ) , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng





 Nếu d  (P) thì d ,(P) = 900.

  Chú ý: 00   d ,(P)   900.

 Nếu d  (P ) thì d ,(P) =  d , d '  với d là hình chiếu của d trên (P).

B – BÀI TẬP Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng P , trong đó a đây là sai? A. Nếu b

P thì b // a .

C. Nếu b // a thì b

B. Nếu b // P thì b

P .

D. Nếu b

P . Mệnh đề nào sau a.

a thì b // P .

Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng  và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với

 cho trước? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. Vô số. Hướng dẫn giải: Chọn D. Qua điểm O có thể dựng vô số đường thẳng vuông góc với  , các đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với  . Câu 3: Mệnh đề nào sau đây có thể sai? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

Trang 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. Hướng dẫn giải: Chọn C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba đường thẳng đó đồng phẳng. Câu 4: Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng d    thì d vuông góc với hai đường thẳng trong   . B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong   thì d    . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong   thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong   . D. Nếu d    và đường thẳng a //   thì d  a . Hướng dẫn giải: Chọn B. Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong   thì d    chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau. Câu 5: Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB . C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A . D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB . Hướng dẫn giải: Chọn A. Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực. Câu 6: Trong không gian cho đường thẳng và điểmO . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với cho trước? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 7: Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước?

A. 1 B. Vô số C. 3 D. 2 Hướng dẫn giải: Theo tiên đề qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  Chọn đáp án A. Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng  không nằm trong mp  P  , đường thẳng  được gọi là vuông góc với mp  P  nếu: A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp  P  . B. vuông góc với đường thẳng a mà a song song với mp  P  C. vuông góc với đường thẳng a nằm trong mp  P  . D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp  P  . Hướng dẫn giải: Đường thẳng  được gọi là vuông góc với mặt phẳng  P  nếu  vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng  P  .(ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Vậy đáp án D đúng. Câu 9: Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Nếu a  b và b  c thì a / / c.

Trang 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

B. Nếu a vuông góc với mặt phẳng   và b / /   thì a  b. C. Nếu a / /b và b  c thì c  a. D. Nếu a  b , b  c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng  a, c  . Hướng dẫn giải: a  b Nếu  thì a và c có thể trùng nhau nên đáp án A sai. b  c Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Hướng dẫn giải: Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước. Vậy chọn đáp án D . Câu 11: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Nếu a   P  và b  a thì b  P  . B. Nếu a  P  và a b thì b  P  . C. Nếu a

 P

và b  a thì b   P  .

D. Nếu a

 P

và b   P  thì b  a .

Câu 12: Cho hai đường thẳng a, b và mp  P  . Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu a //  P  và b  a thì b //  P  .

B. Nếu a //  P  và b   P  thì a  b .

C. Nếu a //  P  và b  a thì b   P  . D. Nếu a   P  và b  a thì b //  P  . Hướng dẫn giải: Câu A sai vì b có thể vuông góc với a . Câu B đúng bởi a //  P   a   P  sao cho a //a , b   P   b  a . Khi đó  a  b . Câu C sai vì b có thể nằm trong  P  . Câu D sai vì b có thể nằm trong  P  . Vậy chọn B. Câu 13: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mp chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng  cho trước. C. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Câu 14: Tập hợp các điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó và đi qua: A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. B. Trọng tâm tam giác đó. C. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. D. Trực tâm tam giác đó. mệnh đề đúng trong các mặt phẳng sau: A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

Câu 15:

Trang 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. Hướng dẫn giải:: Đáp án A sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau. Đáp án B sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau. Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau. Chọn đáp án D. Câu 16: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song với nhau. C. Cho hai mp song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt mp này thì cũng vuông góc với mp kia. D. Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải: Vì qua một đường thẳng dựng được vô số mặt phẳng Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng P . B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng P thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng P . C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng

P thì a vuông góc với b. D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Hướng dẫn giải: Giả sử xét hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' như hình vẽ có A ' B '/ / ABCD nhưng B ' C '/ / ABCD . B 'C ' A' B ' Chọn đáp án A.

Câu 18: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ SH   ABC  ,

H   ABC  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . C. H trùng với trung điểm của AC . Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. H trùng với trực tâm tam giác ABC . D. H trùng với trung điểm của BC .

Do SA  SB  SC nên HA  HB  HC . Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Mà ABC vuông tại B nên H là trung điểm của AC . Trang 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 19: Cho hình chóp S . ABC thỏa mãn SA  SB  SC . Tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là

hình chiếu vuông góc của S lên mp  ABC  . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A.  SBH    SCH   SH .

B.  SAH    SBH   SH . D.  SAH    SCH   SH .

C. AB  SH . Hướng dẫn giải:.  SBH    SCH    SBC  Chọn A.

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA  SB  SC  SD . Gọi H là hình

chiếu của S lên mặt đáy ABCD . Khẳng định nào sau đây sai? A. HA  HB  HC  HD . B. Tứ giác ABCD là hình bình hành. C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. D. Các cạnh SA , SB , SC , SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau. Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì hình chóp S . ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA  SB  SC  SD và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy ra HA  HB  HC  HD . Nên đáp án B sai. Câu 21: Cho hình chóp S . ABC có SA  ( ABC ) và tam giác ABC không vuông, gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC . Các đường thẳng AH , SK , BC thỏa mãn: A. Đồng quy. B. Đôi một song song. C. Đôi một chéo nhau. D. Đáp án khác. Hướng dẫn giải: Gọi AA là đường cao của tam giác ABC  AA '  BC mà BC  SA nên BC  SA '

Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc

bằng nhau. Hình chiếu H của S trên ( ABC ). là: A. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. C. Trọng tâm tam giác ABC. Trang 5

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. D. Giao điểm hai đường thẳng AC và BD.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của S lên các cạnh AB, AC , BC . Theo định lý ba đường vuông góc ta có M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC , BC .

 SMH  SNH  SPH  SMH  SNH  SPH .  HM  HN  NP  H là tâm dường tròn nội tiếp của ABC. Câu 23: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó. B. Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau. C. Đáy của hình chóp đều là miền đa giác đều. D. Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân. Hướng dẫn giải: Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai. Câu 24: Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng? A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành. B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật. C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau. D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A.

Trang 6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Muốn chứng minh đương thẳng d    ta có thể dùng môt trong hai cách sau. Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau trong   .

d  a d  b   a     a   , b        a  b  I  Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với   . d a  d        a Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d  a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:  Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.  Sử dụng định lí ba đường vuông góc.  Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Câu : Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  và ABC vuông ở B , AH là đường cao của

SAB . Khẳng định nào sau đây sai? A. SA  BC . B. AH  BC . Hướng dẫn giải: Chọn C. Do SA   ABC  nên câu A đúng.

C. AH  AC .

D. AH  SC .

Do BC   SAB  nên câu B và D đúng. Vậy câu C sai.

Câu 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA   ABC 

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh BC   SAB  . A. BC   SAB 

B. BC   SAC 

C. AD, BC  450

D. AD, BC  800









b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB , thì khẳng định nào sau đây đúng nhất. Chứng minh AH  SC . A. AH  AD B. AH  SC C. AH   SAC  D. AH  AC Hướng dẫn giải:.

Trang 7

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

a) Ta có SA   ABC  nên SA  BC .

BC  SA    BC   SAB  Chọn A BC  AB  b) Ta có BC   SAB   BC  AH

Do đó

Vậy

AH  BC    AH  SC .Chọn B AH  SB 

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB  AC và DB  DC . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB   ABC  . Hướng dẫn giải: Chọn D.

C. CD   ABD  .

B. AC  BD .

Gọi E là trung điểm của BC .  AE  BC  BC   ADE   BC  AD .   DE  BC

Khi

đó

D. BC  AD .

có

Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có SA  ( ABC ) và AB  BC. Số các mặt của tứ diện S . ABC là tam

giác vuông là: A. 1. B. 3. C. 2. Hướng dẫn giải: Có AB  BC  ABC là tam giác vuông tại B.  SA  AB Ta có SA  ( ABC )    SAB, SAC là các tam giác vuông tại A.  SA  AC  AB  BC  BC  SB  SBC là tam giác vuông tại B. Mặt khác   SA  BC Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng.

D. 4.

Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA  SC và SB  SD . Khẳng

định nào sau đây sai? A. SO   ABCD  . B. CD   SBD  . C. AB   SAC  . D. CD  AC . Hướng dẫn giải: Chọn B. Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến  SO cũng là đường cao  SO  AC . Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến  SO cũng là đường cao  SO  BD . Từ đó suy ra SO   ABCD  . Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD . Do đó CD không vuông góc với  SBD  .

Trang 8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  ( ABCD ). Gọi AE ; AF lần lượt

là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? A. SC   AFB  . B. SC   AEC  . C. SC   AED  . D. SC   AEF  . Hướng dẫn giải:  AB  BC Ta có:   BC   SAB   BC  AE.  SA  BC  AE  SB Vậy:   AE  SC 1  AE  BC Tương tự : AF  SC  2 

Từ 1 ;  2   SC   AEF  . vậy đáp án D đúng. Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA   ABC  và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K

lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?

A. CH  SA . B. CH  SB . C. CH  AK . D. AK  SB . Hướng dẫn giải: Chọn D. Do ABC cân tại C nên CH  AB . Suy ra CH   SAB  . Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai. Câu 7: Cho tứ diện ABCD . Vẽ AH  ( BCD ) . Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào

sau đây đúng? A. CD  BD . B. AC  BD . C. AB  CD . Hướng dẫn giải:: CD  AH  CD  ( ABH )  CD  AB  Chọn đáp án D.  CD  BH

Trang 9

D. AB  CD .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA  ( ABC ) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K

lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ? A. CH  AK . B. CH  SB . C. CH  SA . D. AK  SB . Hướng dẫn giải:: CH  AB Ta có   CH  ( SAB) . CH  SA Từ đó suy ra CH  AK , CH  SB, CH  SA nên A, B, C đúng. Đáp án D sai trong trường hợp SA và AB không bằng nhau  Chọn đáp án D. Câu 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA SB SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp ABC . Đối với ABC ta có điểm H là: A. Trực tâm. C. Trọng tâm. Hướng dẫn giải: SH AH

ABC

Xét ba tam giác vuông SA

SH chung HA

SHA, SHB, SHC có

SHA HC mà H

B. Tâm đường tròn nội tiếp. D. Tâm đường tròn ngoại tiếp.

SHB ABC

chính là tâm đường tròn ngoại tiếp Chọn đáp án D.

SHC H

ABC.

Câu 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O

trên mp( ABC ) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau: A. H là trực tâm ABC . B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 1 1 1 1 C. .    2 2 2 OH OA OB OC 2 D. CH là đường cao của ABC . Hướng dẫn giải:: Ta có OA  (OBC )  OA  BC và OH  BC  BC  (OAH )  BC  AH . Tương tự, ta có AB  CH , suy ra đáp án A, D đúng. 1 1 1 1 1 1 Ta có , với I  AH  BC , suy ra đáp án C đúng.   2    2 2 2 2 OH OA OI OA OB OC 2  Chọn đáp án B. Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB  CD và AC  BD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp( BCD) . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. H là trực tâm tam giác BCD . B. CD  ( ABH ) . C. AD  BC . D. Các khẳng định trên đều sai. Hướng dẫn giải:: CD  AB  CD  ( ABH )  CD  BH . Tương tự BD  CH Ta có  CD  AH Suy ra H là trực tâm BCD . Suy ra đáp án A, B đúng.

Trang 10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 BC  AH Ta có   BC  AD , suy ra C đúng.  BC  DH  Chọn đáp án D. Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB   ABC  . B. BC  AD. C. CD   ABD  . D. AC  BD. Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC . AB AC BC AM BC ADM BC AD. DB DC BC DM Chọn đáp án B.

Câu 13: Cho hình chóp SABC có SA   ABC  . Gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và

ABC . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? A. BC   SAH  . B. HK   SBC  . C. BC   SAB  . D. SH , AK và BC đồng quy. Hướng dẫn giải: Ta có BC  SA, BC  SH  BC  ( SAH ) Ta có CK  AB, CK  SA  CK  ( SAB) hay CK  SB ặt khác có CH  SB nên suy ra SB  (CHK ) hay SB  HK , tương tự SC  HK nên HK  ( SBC ) Gọi M là giao điểm của SH và BC . Do BC  ( SAH )  BC  AM hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK . Hay SH , AK và BC đồng quy. Do đó BC   SAB  . sai Chọn đáp án C. Câu 14: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng AC và BF vuông góc với nhau. Gọi CH và FK lần lượt là đường cao của hai tam giác BCE và ADF . Chứng minh rằng : a) Khẳng định nào sau đây là đúng về 2 tam giác ACH và BFK ? A. ACH và BFK là các tam giác vuông B. ACH và BFK là các tam giác tù C. ACH và BFK là các tam giác nhọn D. ACH và BFK là các tam giác cân b) Khẳng định nào sau đây là sai? A. BF  AH





B. BF , AH  450

D. AC   BKF 

C. AC  BK

Hướng dẫn giải:. AB  BC  a) Ta có   AB   BCE  AB  BE  ..

B H

Trang 11

E C

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

CH  AB Vậy   CH   ABEF  CH  BE  CH  AH ,hay ACH vuông tại H . FK  AD  Tương tự   FK   ABCD  FK  AB   BFK vuông tại K .

b) Ta có CH   ABEF   CH  BF , mặt khác AC  BF  BF   ACH   BF  AH . AC  KF    AC   BKF   AC  BK . AC  BF  Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA  SC , SB  SD . a)Khẳng định nào sau đây là sai?. A. SO   ABCD  B. SO  AC C. SO  BD D. Cả A, B, C đều sai b) Khẳng định nào sau đây là sai?. A. AC   SBD  B. AC  SO C. AC  SB D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải:. a) Ta có O là trung điểm của AC và S SA  SC  SO  AC . Tương tự SO  BD . SO  AC  Vậy   SO   ABCD  .Chọn D SO  BD  b) Ta có AC  BD ( do ABCD là hình thoi). D A Lại có AC  SO ( do SO   ABCD  )

Tương tự

Suy ra AC   SBD   AC  SD .Chọn D

O B

Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA  ( ABCD). Các khẳng định

sau, khẳng định nào sai? A. SA  BD B. SC  BD C. SO  BD Hướng dẫn giải: Ta có SA  ( ABCD )  SA  BD Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD  AC , mà SA  BD nên BD  ( SAC ) hay BD  SC , BD  SO AD không vuông góc SC Chọn đáp án D.

Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và

D. AD  SC

SA   ABCD  . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AB , BC và SB . Khẳng định nào sau đây sai? A.  IJK  //  SAC  . B. BD   IJK  .

Trang 12

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

D. BD   SAC  .

C. Góc giữa SC và BD có số đo 60 . Hướng dẫn giải: Chọn C.

Do IJ // AC và IK // SA nên  IJK  //  SAC  . Vậy A đúng. Do BD  AC và BD  SA nên BD   SAC  nên D đúng. Do BD   SAC  và  IJK  //  SAC  nên BD   IJK  nên B đúng. Vậy C sai.

Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và

SH   ABCD  . Gọi K là trung điểm của cạnh AD . a) Khẳng định nào sau đây là sai? A. AC  SH B. AC  KH sai

b) Khẳng định nào sau đây là sai?. A. CK  SD

C. AC   SHK 

D. Cả A, B, C đều

B. DH  CK

C. DKC  ADH  90 Hướng dẫn giải:. a) Ta có SH   ABCD   SH  AC

D. Cả A, B, C đều sai

 HK BD lại có   AC  HK  AC  BD  AC   SHK  .

b) Dễ thấy AHD  DKC  AHD  DKC mà AHD  ADH  900

 DKC  ADH  90 hay DH  CK , mặt khác ta có SH  CK  CK   SDH   CK  SD .

H B

Câu 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một

vuông góC. Gọi H là hình chiếu của O lên ABC . Khẳng định nào sau đây sai? 1 1 1 1 A. OA BC. B.    . 2 2 2 OH OA OB OC 2 C. H là trực tâm ABC. D. 3OH 2  AB 2  AC 2  BC 2 . Hướng dẫn giải:

Trang 13

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word OA

OA OBC OA BC OA OC đúng. Tương tự chứng minh được OC AB. OI BC Hạ . OH AI Ta có: OI BC BC OAI BC OH BC OA 1 OH 2

Ta có:

1 1 2 OA OI 2 AB OC

1 OA2

1 OB 2

1 OC 2

OCH

Quan hệ vuông góc – HH 11

đáp án A

ABC .

Đáp án B đúng. HC 1 . Tương tự BC

OH 2 .

H là trực tâm ABC Đáp án C đúng. Từ 1 và 2 Chọn đáp án D. Câu 20: Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  . Gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC . Khẳng định nào sau đây là đúng a) AH , SK và BC đồng qui. A. AH và BC chéo nhau B. AH và SK chéo nhau C. AH , SK và BC đồng qui. D. AH , SK và BC không đồng qui.

b) Khẳng định nào sau đây là sai?. A. SB   CHK  B. SB  HK sai

C. CH   SAB 

D. Cả A, B, C đều

C. BC  HK

D. Cả A, B, C đều

c) HK   SBC  .Khẳng định nào sau đây là sai? A. HK   SBC 

B. BC   SAI 

sai Hướng dẫn giải:. a) Gọi I  AH  BC , để chứng minh AH , SK và BC đồng qui. Ta cần chứng minh SI là đường cao của tam giác SBC , nhưng điều này đúng do BC  SA và BC  AI . b) Ta có SB  CK CH  AB  CH   SAB   CH  SB thêm nữa ta có  CH  SA Vậy SB  CHK  . b) Theo các chứng minh trên ta có SB   CHK   SB  HK và BC   SAI   BC  HK do đó

H I

HK   SBC  . B

Câu 21: Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách

đều bốn điểm A , B , C , D . A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . B. O là trọng tâm tam giác ACD . Trang 14

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

C. O là trung điểm cạnh BD . D. O là trung điểm cạnh AD . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi O là trung điểm của AD .  AB  CD Từ giả thiết ta có   CD   ABC   CD  AC .  BC  CD Vậy ACD vuông tại C . Do đó OA  OC  OA (1)  AB  CD Mặt khác   AB   BCD   AB  BD  ABD  AB  BC vuông tại B . Do đó OA  OB  OD (2) Từ (1) và (2) ta có OA  OB  OC  OD . Câu 22: Cho tứ diện ABCD có AB  AC và DB  DC . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB   ABC  . Hướng dẫn giải: Chọn D.

C. CD   ABD  .

B. AC  BD .

Gọi E là trung điểm của BC .  AE  BC  BC   ADE   BC  AD .   DE  BC

Khi

đó

D. BC  AD .

có

Câu 23: Cho tứ diện ABCD . Vẽ AH   BCD  . Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào

sau đây không sai? A. AB  CD . Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. AC  BD .

C. AB  CD .

D. CD  BD .

Do AH   BCD   AH  CD . Mặt khác, H là trực tâm ABC nên BH  CD . Suy ra CD   ABH  nên CD  AB .

Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều

và SC  a 2 . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . a) Khẳng định nào sau đây là sai?. Trang 15

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

A. SH   ABCD  B. SH  HC C. A, B đều đúng b) Khẳng định nào sau đây là sai? A. CK  HD B. CK  SD C. AC  SK D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải:. a) Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên S SH  AB a 3 a 5 , SC  a 2, HC = DH 2  DC 2  Lại có SH  2 2 2 2 3a 5a Do đó HC 2  HS 2    2a 2  SC 2 4 4 A  HSC vuông tại H  SH  HC  SH  HC Vậy   SH   ABCD  .  SH  AB H b) Ta có AC  HK và AC  SH  AC  SHK  B  AC  SK . Tương tự CK  HD ( như bài 32) và CK  SH  CK   SDH   CK  SD .

D. A, B là sai

Câu 25: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đường thẳng AC ' vuông góc với mặt phẳng nào sau

đây? A.  A ' BD  .

B.  A ' DC ' .

C.  A ' CD ' .

D.  A ' B ' CD  .

Hướng dẫn giải: Ta có:   t / c HV   A ' D  AD '    A ' D  C ' D '  C ' D '   A ' D ' DA  

 A ' D   AC ' D '   A ' D  AC '

1   t / c HV   A ' B  AB '    A ' B  B ' C '  B ' C '   A ' D ' DA    A ' B   AB ' C '   A ' B  AC '  2  Từ 1 ,  2   AC '   A ' BD  Vậy chọn đáp án A . Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA  SC . Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. SA   ABCD  . B. BD   SAC  . C. AC   SBD  . D. AB   SAC  . Hướng dẫn giải: Ta có: SA  SC  SAC là tam giác cân Mặt khác: O là trung điểm của AC (tính chất hình thoi) Khi đó ta có: AC  SO  AC  BD  t / c hinh thoi    AC   SBD   AC  SO Vậy chọn đáp án C . Câu 26:

Trang 16

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD  . Mặt phẳng qua A và

vuông góc với SC cắt SB, SC , SD theo thứ tự tại H , M , K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. AK  HK . B. HK  AM . C. BD  HK . D. AH  SB . Hướng dẫn giải: Ta có:   BD  AC  t / c HV   BD   SAC   BD  AM   gt    BD  SA Gọi O  AC  BD, I  SO  HK

 P

là mặt phẳng A và vuông góc với SC

Qua I kẻ  BD    AM     P  Khi đó: K    SD, H    SB Ta có: AK   SDC  , mà HK   SDC   K  AK không vuông góc với HK . Vậy chọn đáp án A . Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông. A. SBC . B. SCD . C. SAB . D. SBD . Hướng dẫn giải: Ta có :  AB  AD  tc HV    AB   SAD   AB  SD  AB  SA SA  ABCD       Giả sử SB  SD  SD   SAB  (vô lý)

Hay SBD không thể là tam giác vuông Vậy chọn đáp án D .

0 0 0 Câu 29: Cho hình chóp S . ABC có BSC  120 , CSA  60 , ASB  90 , SA  SB  SC. Gọi I là hình

chiếu vuông góc của S lên mp  ABC  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. I là trung điểm AB . C. I là trung điểm AC . Hướng dẫn giải:

B. I là trọng tâm tam giác ABC . D. I là trung điểm BC .

Gọi SA  SB  SC  a Ta có : SAC đều  AC  SA  a SAB vuông cân tại S  AB  a 2

Trang 17

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

BC  SB 2  SC 2  2SB.SC.cos BSC  a 3  AC 2  AB 2  BC 2  ABC vuông tại A Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là trục của tam giác ABC thi d đi qua I và d   ABC 

Mặt khác : SA  SB  SC nên S  d . Vậy SI   ABC  nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  Vì H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC nên H và K lần lượt thuộc AA và SA Vậy AH , SK , BC đồng quy tại A Câu 30: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng  ABC  . Xét các mệnh đề sau : I. Vì OC  OA, OC  OB nên OC   OAB  . II. Do AB   OAB  nên AB  OC.

1

III. Có OH   ABC  và AB   ABC  nên AB  OH .

 2

IV. Từ 1 và  2  AB   OCH  . A. I , II , III , IV . B. I , II , III . C. II , III , IV . D. I , IV . Hướng dẫn giải: Ta có: OC  OA OC  OB   OC   OAB  . Vậy I đúng.  OA  OB  O OA, OB   OAB   OC   OAB   AB  OC . Vậy II đúng.   AB   OAB  OH   ABC   AB  OH . Vậy III đúng.   AB   ABC    AB  OC   AB  OH  AB   OCH  . Vậy IV đúng.  OC  OH  O  OC , OH   OCH  Vậy chọn đáp án A . Câu 31: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '. Có đáy là hình thoi BAD 600 và A ' A A ' B A ' D. Gọi O AC BD. Hình chiếu của A ' trên ABCD là : A. trung điểm của AO. tâm ABD. C. giao của hai đoạn AC và BD. tâm BCD. Hướng dẫn giải:

trọng

Trang 18

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Vì A ' A

A' B

A' D

Quan hệ vuông góc – HH 11

hình chiếu của A ' trên ABCD trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABD 1 . Mà tứ giác ABCD là hình thoi và BAD H là trọng tâm Từ 1 & 2 Chọn đáp án B.

600 nên

BAD là tam giác đều 2 .

ABD .

Trang 19

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 2: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp: Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng    ta thực hiện theo các bước sau:

A a

a' φ O A'

- Tìm giao điểm O  a     - Dựng hình chiếu A ' của một điểm A  a xuống    - Góc AOA '   chính là góc giữa đường thẳng a và    . Lưu ý: - Để dựng hình chiếu A ' của điểm A trên    ta chọn một đường thẳng b     khi đó AA ' b . - Để tính góc  ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA ' . Ngoài ra nếu không xác định góc  thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng    theo công thức

sin  

u.n u n

trong đó u là VTCP của a còn n là vec tơ có giá vuông góc với    .

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , BC , BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một.

Khẳng định nào sau đây đúng? A. Góc giữa AC và  BCD  là góc ACB . C. Góc giữa AC và  ABD  là góc CAB . Hướng dẫn giải: Chọn A.

B. Góc giữa AD và  ABC  là góc ADB . D. Góc giữa CD và  ABD  là góc CBD .

 AB  BC Từ giả thiết ta có   AB   BCD  .  AB  CD Do đó  AC ,  BCD    ACB .

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC  a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với

 ABC  lấy điểm

S sao cho SA 

a 6 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và  ABC  . 2

Trang 20

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A. 30 . Hướng dẫn giải: Chọn D.

B. 45 .

C. 60 .

Quan hệ vuông góc – HH 11 D. 90 .

SA   ABC    SA,  ABC    90 .

Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC , BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào

sau đây đúng ? A. Góc giữa CD và  ABD  là góc CBD .

B. Góc giữa AC và  BCD  là góc ACB .

C. Góc giữa AD và  ABC  là góc ADB . D. Góc giữa AC và  ABD  là góc CBA . Hướng dẫn giải: Do AB, BC , BD vuông góc với nhau từng đôi một nên AB   BCD  , suy ra BC là hình chiếu của

AC lên  BCD  . Chọn B. Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC  a . Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với trung điểm BC . Biết SB  a . Tính số đo của góc giữa SA và  ABC  . A. 30 . Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. 45 .

C. 60 .

D. 75 .

Gọi H là trung điểm của BC suy ra 1 a AH  BH  CH  BC  . 2 2 Ta có: SH   ABC   SH  SB 2  BH 2 

a 3 . 2

 SA,  ABC   SAH    tan  

SH  3    60 . AH

Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA   ABCD  . Biết

a 6 . Tính góc giữa SC và  ABCD  . 3 A. 30 . B. 45 . 60 . D. 75 . Hướng dẫn giải: Chọn A. SA 

Ta có: SA   ABCD   SA  AC Trang 21

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

  SC;  ABCD    SCA  

ABCD là hình vuông cạnh a  AC  a 2, SA 

a 6 SA 3  tan       30 . AC 3 3

Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên

 ABC 

trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của

góc giữa SA và  ABC  . A. 60 0 B. 750 C. 450 Hướng dẫn giải: Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  nên

D. 30 0

SH   ABC 

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp  ABC 

  SA;  ABC     SA; AH   SAH

Ta có: SH   ABC   SH  AH

ABC  SBC  SH  AH . Vậy tam giác SAH vuông cân tại H  SAH  450 Mà:

Câu 7: Cho hình thoi ABCD có tâm O , AC  2a; BD  2AC . Lấy điểm S không thuộc  ABCD  sao

1 . Tính số đo của góc giữa SC và  ABCD  . 2 B. 45 . C. 60 . D. 75 .

cho SO   ABCD  . Biết tan SBO  A. 30 . Hướng dẫn giải: Chọn B.

Ta có: AC  2a; BD  2AC  4a  OB  2a SO 1 1  tan SBO    SO  OB  a . OB 2 2 SO a Mặt khác  SC ,  ABCD    SCO;  1 OC a Suy ra số đo của góc giữa SC và  ABCD  bằng 45 .

Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

. Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và  ABC  . A. 30 . Hướng dẫn giải: Chọn B.

B. 45 .

C. 60 .

Trang 22

D. 75 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Ta có:

SH   ABC   SH  AH   SA;  ABC    SAH   .

ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a  AH  SH   AH  SH 

a 3 2

a 3  SHA vuông cân tại H    45 . 2

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  ( ABCD), SA  a 6. Gọi  là góc giữa SC và mp ( ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? Câu 9:

A.   300.

B. cos  

3 . 3

C.   450.

D.   600.

Hướng dẫn giải: Vì SA  ( ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ( ABCD).  Góc giữa giữa SC và mp ( ABCD ) bằng góc SC & AC.

   SCA. Xét tam giác vuông SAC SA a 6 tan     3    600. AC a 2

tại

có:

Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA

a 6 . Tính góc giữa SC và ABCD . 3 A. 300. B. 600. C. 750. Hướng dẫn giải: Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên AC a 2. SA ABCD AC là hình chiếu vuông góc của SC lên

ABCD . Biết

SA 

ABCD

D. 450.

SCA là góc giữa SC và ABCD .

Tam giác SAC vuông tại A nên SA a 6 1 1 tan SCA . AC 3 a 2 3 Chọn đáp án A.

SCA

300.

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi

khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 . A.   300. B. tan   3

là góc giữa AC ' và mp A ' BCD ' . Chọn C.   450.

Trang 23

D. tan   2.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Hướng dẫn giải: A ' C AC ' I Gọi C ' D CD ' H C ' D CD ' mà C'D C ' D A' D ' góc của AC ' lên A ' BCD '

A ' BCD ' . Mà tan C ' IH

A ' BCD '

Quan hệ vuông góc – HH 11

IH là hình chiếu vuông

C ' IH là góc giữa AC ' và

C'H IH

1 .2 2

Chọn đáp án D. Câu 12: Cho hình chóp S . ABC có SA  ( ABC ) và tam giác ABC không vuông, gọi H , K lần lượt là

trực tâm các ABC và SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp ( SBC ) là? A. 65 . B. 90 . C. 45 . D. 120 . Hướng dẫn giải::  BC  SA Gọi I  AH  BC . Ta có   BC  ( SAI )  ( SBC )  ( SAI ) và K  SI .  BC  AI  SB  CK Ta lại có   SB  (CHK )  ( SBC )  (CHK ) .  SB  CH Mà HK  ( SAI )  ( SHK ) , suy ra HK  ( SBC )  Chọn đáp án B. Câu 13: Cho hình chóp S . ABC thỏa mãn SA  SB  SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp  ABC  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. H là trực tâm tam giác ABC . B. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . D. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Hướng dẫn giải: Do hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và SH   ABC  nên SH là

trục của hình chóp S . ABC .  HA  HB  HC . Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vậy chọn C.

A C

Câu 14: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh

huyền BC  a . Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với trung điểm BC . Biết SB  a . Tính số đo của góc giữa SA và  ABC  . A. 300. B. 450. C. 600. Hướng dẫn giải: Trang 24

D. 750.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

a , SB  a 2 Có SM   ABC  nên AM là hình chiếu của SA lên mp  ABC  AM  BM 

  SA,  ABC     SA, AM   SAM .

Áp dụng định lý Pytago a 3 SM  SB 2  AM 2  2 Xét tam giác SAM có SM tan SAM   3  SAM  600 . AM Vậy chọn C. Câu 15: Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và ABC vuông ở B . AH là đường cao của SAB . Khẳng định nào sau đây sai ? A. SA  BC. B. AH  BC. C. AH  AC. D. AH  SC. Hướng dẫn giải: Do SA   ABC  nên SA  BC . Nên Phương án A đúng.

 AH  SB  AH   SBC  . Phương án D đúng. Có   AH  BC  BC   SAB   Suy ra AH  BC , AH  SC . Phương án B, D đúng. Phương án C sai. Thật vậy với AH  AC , ta có  AH  AC  AC  AB (vô lý).   SA  AC Vậy chọn C. Câu 16: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P  khi a và b song song (hoặc a trùng với b ). C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  Q  thì mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  . D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P  thì a song song với b . Hướng dẫn giải: Chọn B. 0 0 0 Câu 17: Cho góc tam diện Sxyz với xSy  120 , ySz  60 , zSx  90 . Trên các tia Sx, Sy, Sz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho SA  SB  SC  a . Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các số các đặc

điểm sau : A. Vuông cân. B. Đều. C. Cân nhưng không vuông. D. Vuông nhưng không cân. Hướng dẫn giải: Xét SAB có AB2  SA2  SB2  2SA.SB.cos ASB  3a 2  AB  a 3 . SBC đều  BC  a.

Trang 25

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

SAC có AB  SA2  SC 2  a 2 . Từ đó ABC vuông tại C. Vậy chọn D. Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. IO   ABCD  . B. BC  SB. C.  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD. D. Tam giác SCD vuông ở D. Hướng dẫn giải: Có IO là đường trung bình tam giác SAC nên IO //SA nên IO   ABCD  . Phương án A đúng.  BC  AB Có   BC  SB . Phương án B đúng  BC  SA CD  AD Và   CD  SD nên phương án D đúng. CD  SA

Phương án C sai. Thật vậy nếu  SAC  là mặt phẳng trung trực của BD  BD  AC (vô lý). Vậy chọn C. Câu 19: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Với mỗi điểm A    và mỗi điểm B     thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của   và    . D. Nếu hai mặt phẳng   và    đều vuông góc với mặt phẳng    thì giao tuyến d của   và nếu có sẽ vuông góc với    . Hướng dẫn giải: Phương án A sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Phương án B sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau. Phương án C sai. Vậy chọn D. Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  , SA  a 6 .

 

Gọi  là góc giữa SC và mp  SAB  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 1 . . B. tan   C.   300. 8 7 Hướng dẫn giải: Do BC   SAB  nên SB là hình chiếu của SC lên  SAB 

A. tan  

  SC ,  SAB     SC , SB   BSC

Xét tam giác SBC có

Trang 26

D. tan  

1 . 6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

BC a 1   . SB a 7 7 Vậy chọn B. Câu 21: Cho hình chóp S . ABDC , với đáy ABDC là hình bình hành tâm O; AD, SA, AB đôi một vuông góc AD  8, SA  6 . ( P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB . Thiết diện của ( P) và hình chóp có diện tích bằng? A. 20. B. 16. C. 17. D. 36. Hướng dẫn giải: Thiết diện là hình thang vuông đi qua trung điểm các cạnh AB; CD; CS ; SB , nên diện tích thiết diện là 1 1 ( BC  BC ). SA (8  4)6 2 2 dt    36 2 2 Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA  SB  SC  b . Gọi G là trọng tâm ABC . Độ dài SG là: tan BSC 

9b 2  3a 2 b 2  3a 2 9b 2  3a 2 b 2  3a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Theo bài ra hình chóp S . ABC là hình chóp tam giác đều. Gọi H là trung điểm của BC , ta có SG  ( ABC ), G  AH . a 3 a2 2 Mặt khác ta có: AH  , SH  b  2 4

a2 AG 2 3b 2  a 2  SG  SA.sin SAG  b. 1  ( )  b 1  32  SA b 3 Câu 23: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA  SB  SC  b . Gọi G là trọng tâm ABC . Xét mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với SC . Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để ( P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C . A. b  a 2 . Hướng dẫn giải:

B. b  a 2 .

C. a  b 2 .

D. a  b 2 .

2b2  a 2 Để C1 nằm giữa S và C thì ASC  90  cos ASC  0  0b 2 a 2b2 Chọn đáp án C Câu 24: Cho tứ diện ABCD có AB, BC , CD đôi một vuông góc. Điểm cách đều A, B, C , D là: A. Trung điểm BC . B. Trung điểm AD . C. Trung điểm AC . D. Trung điểm AB . Hướng dẫn giải: Sử dụng tính chất trung điểm của tam giác vuông Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA  SC , SB  SD . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. AB  ( SAC ) . B. CD  AC . C. SO  ( ABCD ) . D. CD  ( SBD ) . Hướng dẫn giải: Do hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SA  SC , SB  SD nên SO  ( ABCD ) Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD) . Gọi  là góc giữa BD và mp ( SAD ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 0

Trang 27

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A.   600 .

C. cos  

B.   300 .

Quan hệ vuông góc – HH 11

3 . 2 2

D. sin  

3 . 2 2

Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm AS , suy ra BI  ( SAD)    IDB . Ta có: BI 

AB 3 , BD  AB 2 . Suy ra 2

BI 3  BD 2 2 Câu 27: Cho tứ diện ABCD đều. Gọi  là góc giữa AB và mp ( BCD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 3 3 3 A. cos   . B. cos   . C. cos   0 . D. cos   . 3 4 2 Hướng dẫn giải:: Gọi H là hình chiếu của A lên mp( BCD) , a là độ dài cạnh của tứ diện ABCD . sin  

a 3 BH 3  Chọn đáp án A.  . cos   3 AB 3 Câu 28: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC  a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với a 6 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và  ABC  .  ABC  lấy điểm S sao cho SA  2 A. 750 B. 30 0 C. 450 D. 60 0 Hướng dẫn giải: a 6 SA SB, ( ABC )  SBA    tan    2  3    60 a AB 2

Ta có   ABH , BH 

Câu 29: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Gọi  là góc giữa

AC1 và mp  ABCD  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A.   450

B. tan  

1 2

C. tan  

2 3

D.   300

Hướng dẫn giải: Ta có AC1 ,  ABCD   CAC1    tan  

CC1 a 1   AC a 2 2

Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, SA  a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  SAB  là  , khi đó tan  nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A. tan   2 . B. tan   3 . C. 1 . D. tan   1 . tan   2 Hướng dẫn giải: Ta có:

Trang 28

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

S   SAB   S là hình chiếu của S trên  SAB  1  BC  AB  t / c HV   BC   SAB    BC  SA  SA   ABCD    B là hình chiếu của C trên  SAB   2  Từ 1 ,  2    SC ,  SAB     SC , SB   BSC   Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: SB  SA2  AB 2  a 2 BC a 1 Xét tam giác SBC vuông tại B ta có: tan     SB a 2 2 Vậy chọn đáp án C . Câu 31: Cho hình thoi ABCD có tâm O , AC  2a . Lấy điểm S không thuộc

SO   ABCD  . Biết tan SOB  A. 750 . Hướng dẫn giải:

1 . Tính số đo của góc giữa SC và  ABCD  . 2 B. 450 . C. 30 0 .

 ABCD 

Câu 32: Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và tam giác ABC

không vuông. Gọi H , K lần lượt là trực tâm ABC và SBC . Số đo góc tạo bởi SC và  BHK  là: A. 450 . B. 120 0 . C. 90 0 . D. 650 . Hướng dẫn giải: Ta có:  BH  AC  gt   BH   SAC   BH  SC   SA   ABCD    BH  SA Mà BK  SC  SC   BHK  Vậy chọn đáp án C .

Trang 29

D. 60 0 .

sao cho

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 3: THIẾT DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN. Phương pháp: Để xác định thiết diện của mặt phẳng    đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d với một hình chóp ta thực hiện theo một trong hai cách sau: d

b O α

Cách 1. Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với d , khi đó    sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở ( dạng 2, §2 chương II). Cách 2. Ta dựng mặt phẳng    như sau: Dựng hai đường thẳng a , b cắt nhau cùng vuông góc với d trong đó có một đường thẳng đi qua O , khi đó    chính là mặt phẳng mp  a , b  . Câu 130: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA   ABC  . Gọi  P  là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC . Thiết diện của  P  và hình chóp S . ABC là: A. Hình thang vuông. B. Tam giác đều. C. Tam giác cân. Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của AC , kẻ IH  SC . Ta có BI  AC , BI  SA  BI  SC .

D. Tam giác vuông.

Do đó SC   BIH  hay thiết diện là tam giác BIH . Mà BI   SAC  nên BI  IH hay thiết diện là tam giác vuông. Chọn D.

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

12 , gọi P là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD.

Thiết diện của P và hình chóp có diện tích bằng A. 36 2 . B. 40 . C. 36 3 D. 36 . Hướng dẫn giải: Thiết diện là tam giác BCE , với E là trung điểm của AD . Gọi F là trung điểm của BC .

Trang 30

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ta có BE

12 3 2

Quan hệ vuông góc – HH 11

6 3;

EF BE 2 BF 2 6 2 . Diện tích thiết diện là: 1 S EF .BC 36 2 . 2

Câu 2: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA   ABC  . Mặt

phẳng  P  đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC , SC , SB lần lượt tại N , P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ? A. Hình thang vuông. B. Hình thang cân. Hướng dẫn giải:  AB  BC Ta có:   BC  SB.  SA  BC  BC  SB Vậy    P  / / BC 1.  P   SB Mà  P    ABC   MN  2  .

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật.

Từ 1 ;  2   MN / / BC Tương tự ta có PQ / / BC ; PN / / SA Mà SA  BC  PN  NM . Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại N . Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC , SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên OH (không trùng với O và H ). mặt phẳng  P  qua I và vuông góc với OH . Thiết diện của  P  và hình chóp S . ABC là hình gì? A. Hình thang cân B. Hình thang vuông C. Hình bình hành D. Tam giác vuông Hướng dẫn giải: ặt phẳng ( P) vuông góc với OH nên ( P) song song với SO Suy ra ( P) cắt ( SAH ) theo giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SO cắt SH tại K Từ giả thiết suy ra ( P) song song BC , do đó ( P) sẽ cắt ( ABC ), ( SBC ) lần lượt là các đường thẳng qua I và K song song với BC cắt AB, AC , SB, SC lần lượt tại M , N , Q, P . Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ Ta có MN và PQ cùng song song BC suy ra I là trung điểm của MN và K là trung điểm của PQ , lại có các tam giác ABC đều và tam giác SBC cân tại S suy ra IK vuông góc với MN và PQ dó đó MNPQ là hình thang cân. Chọn đáp án A. Trang 31

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA  SB  SC  b ( a  b 2 ).

Gọi G là trọng tâm ABC . Xét mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với SC tại điểm C1 nằm giữa

S và C . Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng  P  là A. S 

a 2 3b 2  a 2 . 4b

B. S 

a 2 3b 2  a 2 . 2b

C. S 

a 2 3b 2  a 2 . 2b

D. S 

a 2 3b 2  a 2 4b

. Hướng dẫn giải: Kẻ AI  SC   AIB   SC . Thiết diện là tam giác AIB .

 a 2  b2  b2  a Ta có AI  AC sin ACS  a 1  cos 2 ACS  a 1   4b 2  a 2  2 ab 2 b   Gọi J là trung điểm của AB . Dễ thất tam giác AIB cân tại I , suy ra IJ  AB . a IJ  AI 2  AJ 2  3b 2  a 2 . 2b Do đó: 1 a 2 3b 2  a 2 AB.IJ  . 2 4b Chọn A. S

Câu 5: Tam giác ABC có BC  2a , đường cao AD  a 2 . Trên đường thẳng vuông góc với  ABC 

tại A , lấy điểm S sao cho SA  a 2 . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của SB và SC . Diện tích tam giác AEF bằng? 3 2 3 2 3 2 1 a a a A. B. C. a 2 D. 4 6 2 2 Hướng dẫn giải: Do AD  BC , SA  BC  BC   SAD   BC  AH  EF  AH 1 EF . AH 2 1 Mà EF  BC  a . 2 1  SAEF  a 2 2  SAEF 

là

trung

điểm

Trang 32

SD  AH  a

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

3 . Gọi P 2 là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. Thiết diện của hình chóp S . ABC được cắt bởi P có diện tích bằng? 3a 2 3a 2 A. B. . . 8 2 2a 2 3 C. a 2 . D. . 4 3 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC thì BC AM 1 . Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA

Hiển nhiên AM ABC Mà SA

a 3. BC

ABC , SA

SA 2 .

Từ 1 và 2 suy ra BC

SAM

Khi đó thiết diện của hình chóp S . ABC được cắt bởi P chính

SAM . SAM vuông tại A nên 1 1a 3 S SAM SA. AM .a 3 2 2 2 Chọn đáp án C. là

3a 2 . 4

Câu 7: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA   ABC  , SA  a . Gọi  P  là

mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC . Thiết diện của  P  và hình chóp S . ABC có diện tích bằng ? a2 a2 a2 3 A. B. C. D. a 2 6 2 4 Hướng dẫn giải: Kẻ AE  BC , SA  BC  BC   SAE    P  Thiết diện của mặt phẳng  P  và hình chóp S . ABC là tam giác SAE có diện tích : S SAE 

1 1 3 a2 3 SA. AE  a.a  2 2 2 4

3 . M là 2 a . P là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết

Câu 8: Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều cạnh a, SA

điểm trên AB sao cho AM

b 0

diện của P và tứ diện SABC có diện tích bằng?

Trang 33

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 3 3  a b  3  a b  B. . .  .  . 4  a  4  a  Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm của BC . SB SC BC SN BC SAN . AB AC BC AN 2

Kẻ MI / / AN , MK / / SA là

P / / SAN

3 3  a b    . 16  a  2

Theo bài ra BC

Quan hệ vuông góc – HH 11

3 3  a b    . 8  a  2

Thiết diện của P và tứ diện SABC

KMI . ABC SBC

là hai tam giác đều cạnh a

a 3 2

SAN là tam giác đều cạnh 2

a 3 3 a b 3 3 a b KMI là tam giác đều cạnh . S KMI . . 2 2 a 16 a Chọn đáp án C. Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a  12 , AP là đường cao của tam giác ACD . Mặt phẳng  P 

qua B vuông góc với AP cắt mp  ACD  theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng ? A. 9 B. 6 C. 8 Hướng dẫn giải: Ta có : CD  AP, CD  BP  CD   APB   BG  CD

D. 7

Tương tự : AD  CM , AD  BM  AD   BCM   AD  BG Suy ra : BG   ABC   BG  AP Kẻ KL đi qua trọng tâm G của ACD và song song với CD   P chính là mặt phẳng  AP  KL  BKL  2 CD  8 3 Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: Gọi G là trọng tâm ACD thì G là tâm ACD và BG  ( ACD ) Trong mp( ACD) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC , AD lần lượt tại K , L ( BKL)  ( ACD), AP  KL  AP  ( BKL) . Ta có Vậy ( P)  ( BKL) 2   ACD    BKL   KL  CD  8 . 3 Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD , với đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD  8 , BC  6 , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  6 . Gọi M là trung điểm AB .  P  là mặt phẳng qua   ACD    BKL   KL 

M và vuông góc với AB . Thiết diện của  P  và hình chóp có diện tích bằng?

A. 10 . Hướng dẫn giải:

B. 20 .

C. 15 .

Trang 34

D. 16 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Do  P   AB   P  SA Gọi I là trung điểm của SB  MI SA  MI   P  Gọi N là trung điểm của CD  MN  AB  MN   P  Gọi K là trung điểm của SC  IK BC , mà MN BC  MN IK

 IK   P  Vậy thiết diện của  P  và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M Ta có: 1 MI là đường trung bình của tam giác SAB  MI  SA  3 2 1 IK là đường trung bình của tam giác SBC  IK  BC  3 2 1 MN là đường trung bình của hình thang ABCD  MN   AD  BC   7 2 IK  MN 3 7 Khi đó S MNKI  .MI  .3  15 2 2 Vậy chọn đáp án C . Câu 11: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH   ABC  . a) Khẳng định nào đúng nhất? H là trực tâm của ABC . A. H là trực tâm của ABC . B. H là tâm đường tròn nội tiếp của ABC . C. H là trọng tâm của ABC . D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC . b) ABC là tam giác gì? A. ABC là tam giác nhọn. B. ABC là tam giác tù C. ABC là tam giác vuông D. ABC là tam giác cân c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 1 1 1 1 A. S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA B. S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 2 2 2 2 1 C. S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA D. S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA 3 d) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA2  MB 2  MC 2  3MO 2 . A. M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG , trong đó I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC B. M thuộc mặt phẳng đi qua I và song song với OG ,trong đó I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và. là trọng tâm của tam giác ABC C. M thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với OG , trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC D. M thuộc mặt phẳng đi qua O và song song với OG , trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC Hướng dẫn giải:. OA  OB  a) Ta có   OA   OBC   OA  BC OA  OC 

Trang 35

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lại có OH   ABC   OH  BC

Quan hệ vuông góc – HH 11

BC  OA  Vậy   BC   OAH  BC  OH   BC  AH 1 . AC  OB    AC   OBH   BH  AC AC  OH  Từ 1 ,  2  suy ra H là trực tâm của tam giác ABC .

Tương tự

 2 .

b) Đặt OA  a, OB  b, OC  c

Ta có BC  OB 2  OC 2  b 2  c 2

Tương tự AC  a 2  c 2 , AB  a 2  b 2 Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có 2 2 2 2 2 2 AB 2  AC 2  BC 2  a  b   (a  c )   b  c  cos A   2 AB. AC 2  a 2  b 2  (a 2  b 2 ) 

 a 2  b 2  (a 2  b 2 )

 0 suy ra A nhọn.

Tương tự các góc B, C nhọn. 1 1 2  AI 2 BC 2   OI 2  OA2  OB 2  OC 2  c) Ta có S ABC 4 4 1 2 2 1 1  OI BC  OA2OB 2  OA2OC 2  S2OAB  S2OBC  S2OCA 4 4 4 d) Gọi I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có : MA2  MB 2  MC 2  3MO 2

       3(MI  IO)   IA  IB  IC  IM  3IO.MI  3IG.MI  3IO.IM  OGMI  0  MI  OG ( do 2

 MI  IA  MI  IB  MI  IC

IA  IB  IC  3IG ) Vậy M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG . Câu 12: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  và SA  a . Gọi

I , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC . Tính IK . A. IK 

a 2 2

a 2 3 Hướng dẫn giải:. IK 

a 3 2 3a 2 D. IK  2

B. IK 

C. S

a 5 a Ta có IS  AI 2  AS 2     a 2  Tương tự 2 2

K A

a 5 suy ra 2 IS  ID  IC nên I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD .

ID  IC 

Trang 36

B I

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

CD  AD Mặt khác   CD   SAD  CD  SA  CD  SD  SCD vuông tại D , lại có K là trung điểm của SC nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD , do đó KI   SCD  .

1 1 Ta có IK 2  ID 2  DK 2  ID 2  SC 2  ID 2   SA2  AC 2  4 4 2 2 5a 1 2 a a 2   a  2a 2    IK  . 4 4 2 2 Câu 13: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a . Trên đường thẳng qua O vuông góc với  ABCD  lấy điểm S . Biết góc giữa SA và  ABCD  có số đo bằng 45 . Tính độ dài SO . A. SO  a 3 .

B. SO  a 2 .

C. SO 

a 3 . 2

D. SO 

a 2 . 2

Hướng dẫn giải: Chọn B. Do SO   ABCD    SA,  ABCD    SAO  45 . Do đó SAO vuông cân tại O nên SO  AO  a 2 .

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa các

đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng  ABC  .

Tìm Giá trị nhỏ nhất của M   2  cot 2   2  cot 2   2  cot 2   . A. 64 B. 8 Hướng dẫn giải:. Gọi H là hình chiếu của D trên  ABC 

D. 64 2

C. 1

Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC . Và  DA,  ABC     DA, AH   DAH   Đặt DA  a, DB  b, DC  c Gọi I  AH  BC thì DI là đường cao của tam giác DBC nên DB.DC bc DI   BC b2  c2

2 2 2 D DA a  b  c  cot    DI b2c 2 I a 2 b2  c2  2a 2 4a 2  2  cot   2   2   Vậy b2c 2 bc bc B 4a 2 2  cot   1  bc 4b 4c Tương tự 2  cot 2    2 và 2  cot 2    3 ac ab Nhân theo vế các BĐT 1 ,  2  ,  3 ta được  2  cot 2   2  cot 2   2  cot 2    64 ( đpcm) 2

Trang 37

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 15: Trong mặt phẳng   cho đường tròn đường kính cố định BC và M là điểm di động trên

đường tròn này. Trên đường thẳng d vuông góc với   tại B lấy một điểm A . a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông B. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông cân C. tam giác ACM vuông tại A. D. tam giác ACM vuông cân tại M . b) Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC . Khẳng định nào sau đây là sai? A. AC   BHK  . B. BH  AC C. A, B đều đúng D. A, B đều sai c) Tìm tập hợp điểm H khi M di động. A. H thuộc đường tròn đường kính BK . B. H thuộc đường tròn đường kính AC. C. H thuộc đường tròn đường kính BM. D. H thuộc đường tròn đường kính AB. d) Tìm vị trí của M để đoạn AM lớn nhất. A. M  C B. C. M  H D. e) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất. A. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC BA.BC 2 2 BA2  BC 2 B. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC 1 BA.BC 2 2 BA2  BC 2 C. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC BA.BC 3 2 BA2  BC 2 D. M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC BA.BC

M B M K

với đường tròn tâm B bán kính

với đường tròn tâm B bán

kính

với đường tròn tâm B bán kính

2 BA2  BC 2 Hướng dẫn giải:.

 AB  BM a) Ta có AB      suy ra các tam giác ABM và  AB  BC ABC vuông tại B .  MC  MB Tiếp theo ta có   MC   ABM   MC  AB  MC  AM hay tam giác ACM vuông tại M .  BH  AM  BH   ACM  b) Ta có   BH  MC  BH  AC . AC  BH  Vậy   AC   BHK  . AC  BK 

H C

c) Dễ thấy BK cố định và BHK  900 nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK .Từ đó ta có tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BK . Trang 38

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

d) MA2  AB2  BM 2 mà AB không đỏi nên AM lớn nhất khi MB lớn nhất  BM  BC  M  C . 1 BH 2  HK 2 BK 2 e) Ta có S BHK  BH .HK  không đổi nên  2 4 4 BK BK 2 . max S BHK   BH  HK , lúc này HBK vuông cân tại H nên BH  4 2 1 1 1 1 1 1   ;   Ta có 2 2 2 2 2 BH BA BM BK AB BC 2 1  1 1 1 1 2  1      nên 2  2  2  2 2 2 2 BA BM BA BC 2  BA BC  BM BA.BC  MB  2 BA2  BC 2 BK 2 BA.BC  M là các giao điểm của đường tròn đường kính Vậy max S BHK    MB  4 2 BA2  BC 2 BA.BC BC với đường tròn tâm B bán kính 2 BA2  BC 2 Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, BC  a 3 , mặt bên

SBC là tam giác vuông tại B , mặt bên SCD vuông tại D và SD  a 5 . a) Tính SA . A. SA  a B. SA  2a C. SA  3a D. SA  4a b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB, CD lần lượt tại I , J . Gọi H là hình chiếu của A trên SC .Gọi K , L là các giao điểm K , L của SB, SD với  HIJ  . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. AK   SBC  , B. AL   SCD  C. AK  SC D. Cả A, B, C đều đúng Hướng dẫn giải:. a) SBC vuông tại B  BC  SB mà BC  AD  BC   SAB   BC  SA . S Tương tự ta có SA  CD nên SA   ABCD  . Ta có SC  DS 2  DC 2  a 6 2

 SA  SB 2  AB 2  a . Vậy SA  a .  IJ  AC b) Do   IJ   SAC   IJ  SC  IJ  SA Lại có AH  SC   HIJ   SC  AK  SC

Dế thấy BC   SAB   BC  AK

1

2 

Từ 1 ,  2  suy ra AK   SBC  . Lập luận tương tự ta có AL   SCD  .

Trang 39

 SB  SC  BC  a 2 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 17: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  a, SA  a 3 và

SA   ABC  . Gọi M là điểm trên cạnh AB và AM  x  0  x  a  , mặt phẳng   đi qua M và

vuông góc với AB Giả sử thiết diện của hình chóp S . ABC với   là tứ giác MNPQ . a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì A. Hình chữ nhật B. hình vuông b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn nhất. a a A. x  B. x  2 2 Hướng dẫn giải:.    AB . Ta có   SA    SA  AB

C. hình thang C. x 

 M   SAB      Do đó  SA   SAB       SAB   MN SA Tương tự   SA      AB  BC     BC  AB  M      ABC    BC   ABC    BC        ABC   MQ BC , Q  AC

D. hình bình hành

3a 2

D. x  a

P N C A

Q M

B  N   SBC           SBC   NP BC , P  SC .  BC   SBC    BC   Thiết diện là tứ giác MNPQ . b) Ta có MN SA, PQ SA  MN PQ và MQ BC , NP BC  MQ NP nên MNPQ là hình bình hành.  MN SA  Mặt khác  NP BC  MN  NP . Vậy MNPQ là hình chữ nhật.  SA  BC  MN MB MB.SA  a  x  a 3   MN    3 a  x SA AB AB a 2 a2  a a2 3  MN .MQ  3  a  x  x  3[   x   ]  4  2 4

b) Ta có MQ  AM  x , SMNPQ

a a2 3 max S MNPQ  khi x  . 4 2 Câu 18: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a . Trên đường thẳng qua O vuông góc với  ABCD  lấy điểm S . Biết góc giữa SA và  ABCD  có số đo bằng 45 . Tính độ dài SO .

Trang 40

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A. SO  a 3 .

B. SO  a 2 .

C. SO 

Quan hệ vuông góc – HH 11 a 3 . 2

D. SO 

a 2 . 2

Hướng dẫn giải: Chọn B. Do SO   ABCD    SA,  ABCD    SAO  45 . Do đó SAO vuông cân tại O nên SO  AO  a 2 .

Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AB, BC , CD đôi một vuông góc và AB  a, BC  b, CD  c . Độ dài

AD :

A. a 2  b 2  c 2 . Hướng dẫn giải::

a 2  b2  c2 .

a 2  b2  c2 .

a 2  b 2  c 2 .

Ta có: BC  CD  BD  BC 2  CD 2  b 2  c 2  AB  BC Mặt khác:   AB   BCD   AB  BD  AB  CD

AD  AB 2  BD 2  a 2  b 2  c 2 Vậy chọn đáp án A .

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  và SA  a 2 .

Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng   đi qua A vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện. a2 2 a2 2 a2 3 4a 2 2 A. S  B. S  C. S  D. S  3 3 3 2 Hướng dẫn giải:. Gọi K là hình chiếu của A trên SC thì K    .Trong  SAC  gọi I  SO  AK . Ta có

BD  SA    BD   SAC  BD  AC 

 BD  SC , mặt khác    SC nên BD

  .

 I      SBD   Vậy  BD   SBD    BD        SBD   HL BD, H  SD, L  SB

Trang 41

O D

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Thiết diện là tứ giác AHKL .  HL BD 1 b) Do   HL  AK  S AHKL  AH .KL 2  BD  AK Ta có SA  AC  a 2  SAC cân tại., mà AK  SC nên K là trung điểm của SC SC 2a  AK    a. 2 2 HL SH SI 2 2 2a 2 HL BD      HL  BD  BD SD SO 3 3 3 2 1 2a 2 a 2  Vậy S AHKL  a. . 2 3 3 Câu 21: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao SO  2a . Gọi M là điểm thuộc đường cao AA ' của tam giác ABC . Xét mặt phẳng   đi qua M và vuông góc với AA ' . Đặt AM  x . Giả sử tồn tại thiết diện của hình chóp khi cắt bởi   . Giả sử tính được diện tích thiết diện theo a và x . Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất. 3a a 3 3a 3 3a 3 A. x  B. x  C. x  D. x  8 2 8 8 Hướng dẫn giải:. S Vì S . ABC là hình chóp đều nên SO   ABC  ( O là tâm tam giác ABC ).Do đó SO  AA1 mà

 

AA1  SO

  .

Tương tự ta cũng có BC

 

Trường hợp 1. x  0 thì thiết diện là điểm A . A a 3 Trường hợp 2. 0  x  thì M thuộc đoạn AO  M  A  . 3 Ta có :  M   ABC           ABC   IJ BC , I  AB, J  AC  BC   ABC    BC    M      SAA1   Tương tự  SO   SAA1       SAA1   MK SO, K  SA .   SO   Thiết diện là tam giác KIJ . a 3 a 3 x Trường hợp 3. khi đó M thuộc đoạn 3 2 OA  M  0; M  A  Tương tự như trường hợp trên ta có:  M   ABC       BC   ABC   A  BC  

O A1 B

F N

J O

Trang 42

J M

I B

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word      ABC   IJ BC , I  AB, J  AC

Quan hệ vuông góc – HH 11

 M      SAA1        SAA1   MN SO, N  SA1 .  SO   SAA1    SO    N      SBC        SBC   EF IJ , N  EF  BC   SBC    BC   Thiết diện là tứ giác IJEF . a 3 Trường hợp 4. x  thì thiết diện là đoạn BC . 2 b) Xét các trường hợp: a 3 x  0  Std  0 , x   Std  0 2 1 a 3 0 x , thì S IJK  IJ .MK . 3 2 IJ AM x 2x 3    IJ  Ta có IJ BC  BC AA1 a 3 3 2 MK AM x Tương tự    MK  2 x 3 . SO AO a 3 3 1 2x 3 .2 x 3  2 x 2 . Vậy S IJK  2 3 1 a 3 a 2 x , dễ thây IJEF là hình thang nên S IJEF   IJ  EF  MN 3 3 2 a 3 x 2 x 3 EF SN OM 3  EF  2 x 3  a IJ     , 3 BC SA1 OA1 a 3 6 a 3 x MN MA1   2  MN  2 3a  2 x 3 SO OA1 a 3 6 2 Vậy S IJEF  4 x 3  3a 3a  2 x 3 . 3 3a 2 a 3 a 3 x Xét các trường hợp ta thấy Std lớn nhất trong trường hợp và max S IJEF  khi 3 2 4 3a 3 x . 8







Trang 43



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 22: Cho tam giác ABC tại C có cạnh huyền nằm trên mặt phẳng  P  và các cạnh góc vuông tạo

với  P  các góc  ,  . Giả sử  là độ lớn góc giữa đường cao CK với  P  .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? B. sin   sin 2   sin 2 

A. sin   2sin 2   2sin 2  1 C. sin   sin 2   sin 2  3 Hướng dẫn giải:.

D. sin   2 sin 2   sin 2 

Kẻ CH   P  thì CKH là góc giữa CK và  P  và dễ thấy

CA,  P  CAH   , CB,  P  CBH   h h , CB  sin  sin  2 2 h h AB 2  CA2  CB 2   2 2 sin  sin 

Đặt CH  h , ta có CA 

 1 1   h2  2  2  .  sin  sin   Xét tam giác ABC có CK . AB  CACB .

A  CK 

CA.CB  AB



h h . sin  sin 

H K

1  sin 2   sin 2     h 2  sin 2  sin 2  

. sin   sin 2  CH  sin 2   sin 2  . Ta có sin CKH  CK Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . SO   ABCD  , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng  ABCD  và  SBC  các góc bằng nhau. Gọi 2

H là hình chiếu của A trên  SBC  .

a)Tính SA khi HB  A.

a 5 2

a 2 B.

a 5 3

a 5 4

b) Tính góc giữa đường thẳng SA với  ABCD  . A.   arctan

3 5

B.   arctan

3 7

C.   arctan

3 8

D.   arctan

3 2

Hướng dẫn giải:.

Trang 44

a 3 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word a) Dễ thấy  SA,  ABCD    SAO   nên SO  SA cos 

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 .

OI  BC Gọi I là trung điểm của BC thì ta có   BC   SIO   SO  BC Kẻ OK  SI thì OK  BC nên OK   SBC  .

Kẻ At OK cắt CK tại H , khi đó ta có

 AH CK  AH   SBC  nên  SA,  SBC    SAH   do  CK   SBC  đó AH  SA cos   2  .

Từ 1 ,  2  ta có AH  SO . Khi BH 

a thì trong tam giác vuông HAB có 2

a 3 a . AH  AB  HB  a     2 2 2

a 3 a 2 a 3 a 5 .  SO  AH   SA  SO 2  OA2        2 2 2 2     a 3 SO 3 3  2     arctan b) tan   . OA a 2 2 2 2 Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  , SC  a . Góc giữa

đường thẳng SC với các mặt phẳng  ABCD  và  SAB  lần lượt là  và  . a) Tính SA A. SA  a sin  C. SA  a tan 

B. SA  a cos  D. SA  2a sin 

b) Tính AB 1 A. a cos     cos     2 C. 3a cos     cos    

B. 2a cos     cos     D. a cos     cos    

Hướng dẫn giải:. a) Do SA   ABCD    SA,  ABCD  

 SAC   .  BC  AB Tương tự   BC   SAB   BC  SA   SC,  SAB    SBC   .

SA  SC sin   a sin  b) SB  SC sin   a sin 

AB  SB 2  SA2  a 2 sin 2   a 2 sin 2 

α D

Trang 45

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word a

Quan hệ vuông góc – HH 11

1  cos 2  1  cos 2  2 2 .

 a cos     cos     Câu 25: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của tứ diện. Gọi

A, B, C là ba góc tương ứng của tam giác ABC . Đặt   AOH ,   BOH ,   COH . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

sin 2  sin 2  sin 2    sin A sin B sin C sin 2 2 sin 2 2 sin 2 2 C.   sin A sin B sin C Hướng dẫn giải:. ( HS tự giải)

sin 2 2 sin 2 2 sin 2 2   sin 2 A sin 2 B sin 2C sin 2  sin 2  sin 2  D.   sin 2 A sin 2 B sin 2C

Câu 26: Cho tứ diện ABCD có BDC  900 . Hình chiếu H của D trên mặt phẳng ABC là trực tâm

tam giác ABC . a) Tính CDA . A. CDA  600

B. CDA  900

C. CDA  450

b)Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

A. 6  DA2  DB 2  DC 2    AB  BC  CA C. 3  DA2  DB 2  DC 2    AB  BC  CA

D. CDA  300

B. 6  DA2  DB 2  DC 2   5  AB  BC  CA

D. 2  DA2  DB 2  DC 2   3  AB  BC  CA

Hướng dẫn giải:.

 BC  DA 1

Tương tự ta có  BDH   AC  DB  AC , vì vậy

 DB  DC  DB   ACD    DB  AC

H N

 2 .

Từ 1 ,  2  suy ra DA   BCD   DA  DC ha CDA  900 . b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có các cạnh DA, DB, DC đôi một vuông góc. Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có

 AB  BC  CA

 BC  DH a) Vì   BC   ADH   BC  AH

 DB  DA

 3  AB 2  BC 2  CA2 

 AB 2  DA2  DB 2  2 Mà  BC 2  DB 2  DC 2 nên  AB  BC  CA  6 DA2  DB 2  DC 2 . CA2  DA2  DC 2 





Đẳng thức xảy ra khi AB  BC  CA  ABC đều, kết hợp với chân đường cao của D trùng với tâm đáy ta được D. ABC là hình chóp đều đỉnh D .

Trang 46

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 27: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc

miền trong tam giác ABC .

MA2 MB 2 MC 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của T  .   OA2 OB2 OC 2 A. min T  3 B. min T  2

D. min T  6

C. min T  4

b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC và  ,  ,  lần lượt là góc gữa đường thẳng OH với các đường thẳng OA, OB, OC . Tìm giá trị lớn nhất của A  cot  cot  cot  A. max A 

2 4

c) Tìm GTNN của S 

B. max A 

2 3

C. max A 

cos   cos  cos   cos  cos   cos    cos 2  cos 2  cos 2 

A. min S  6 3 B. min S  3 Hướng dẫn giải:. a) Gọi N  AM  BC , kẻ MM1 OA thì ta có

1 2

D. max A  2

C. min S  6

D. min S  4 O

OA   OBC   MM 1   OBC    MM 1 OA

kẻ MA1  OA, A1  OA . Khi đó

AM 2  AA12  MA12  AA12  MO2  OA12

 OM 2   AA1  OA1  AA1  OA1 

B M

 OM 2  OA  OA  2OA1 

 OM 2  OA2  2OAOA . 1

2OA1 AM 2 OM 2 Suy ra  1 1 . 2 2 OA OA OA Tương tự gọi B1 , C1 là các điểm tương tự như A1 thì ta có

2OB1 MB 2 OM 2  1  2 2 2 OB OB OB 2OC1 MC 2 OM 2  1  3 2 2 OC OC OC 1 1   OA1 OB1 OC1   1    2   Từ 1 ,  2  ,  3 ta có T  OM 2  3 2 2 2   OA OB OC   OA OB OC  Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì ta đã biết kết quả quen thuộc OM 2 1 1 1 1  OA OB OC1  T   2 1  1     nên 3 2 2 2 2 2 OH OA OB OC OH  OA OB OC  OA1 NM S MBC   Mặt khác OA NA S ABC OA1 OB1 OC1 OB1 S MAC OC1 S MAB  ,    1 Tương tự nên OB S ABC OC S ABC OA OB OC

OM 2  1  2 do OM  OH . OH 2 Vậy min T  2 khi M  H . Do đó T 

Trang 47

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Cách 2. Đặt OA  a, OB  b, OC  c . Do A, B, C , M đồng phẳng nên tồn tại x, y, z sao cho OM  xOA  yOB  zOC  x  y  z  1 .

Ta có AM  OM  OA   x  1 a  b  c , bình phương vô hướng ta được

MA2 y 2b2 z 2 c 2 2 AM   x  1 a  y b  z c    x  1  2  2 . OA2 a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MB xa z c MC xa yb 2 2 Tương tự  2   y  1  2 ,  2  2   z  1 2 2 OB b b OC c c  1 1 1  2 2 2 2 2 2 Vì vậy T   2  2  2   a x  b y  c z   1 a b c  2

2 2

1 1  1   .ax  .by  .cz   1  2 ( Theo Cauchy-Schwarz) b c  a Vậy min T  2 . b) Dễ thấy   AOH ,   BOH ,   COH . 2

1 1 1 1  OH   OH   OH  Ta có          1 2 2 2 2 OA OB OC OH  OA   OB   OC   cos 2   cos 2   cos 2   1 1 .

1 1 cot 2 x 2 Lại có 1  tan x   cos x   * cos2 x 1  tan 2 x 1  cot 2 x Áp dụng CT (*) cho x nhận các giá trị  ,  ,  và kết hợp với 1 thu được 2

cot 2  cot 2  cot 2    1. 1  cot 2  1  cot 2  1  cot 2  Đặt x  cot 2  , y  cot 2  , z  cot 2   x, y , z  0  thì bài toán trỏ thành Cho x, y, z  0 thỏa Ta có 

1 x y z    1 . Chứng minh xyz  . 8 1 x 1 y 1 z

x y z x y z    1  1   2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z

1 2 1 x

yz 1  y 1  z 

 2 .

Tương tự ta có : 1 xz 1 2 2  3 và 1 y 1 z 1  x 1  z 

xy 1  x 1  y 

Nhân theo từng vế các BĐT  2  ,  3 4  ta được xyz 

 4 1 8

c) Tương tự như câu b) ta có min S  6 3 .

Trang 48

 dpcm  .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: a  0 là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với d. 2. Góc giữa hai đường thẳng:  a//a, b//b   a, b    a ', b '   Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, (u , v )   . Khi đó:

 a, b   

0 180  

neáu 00    1800 neáu 900    1800

 Nếu a//b hoặc a  b thì  a, b   00

Chú ý: 00   a, b   900 3. Hai đường thẳng vuông góc:

 a  b   a, b   900  Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a  b  u.v  0 .  Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b . B. Nếu a // b và c  a thì c  b . C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b . D. Nếu a và b cùng nằm trong mp   // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c . Hướng dẫn giải: Chọn B. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. C sai do: Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b . Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng 90 , nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song. D sai do: giả sử a vuông góc với c , b song song với c , khi đó góc giữa a và c bằng 90 , còn góc giữa b và c bằng 0 . Do đó B đúng. Câu 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c ). B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 3: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn. B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn. C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn. Trang 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 4: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là? A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A. Theo lý thuyết. Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c B. Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng  a , b  . Hướng dẫn giải: Chọn C. Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi d1 , d 2 , d 3 là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử d1 , d 2 cắt nhau tại A , vì d 3 không nằm cùng mặt phẳng với d1 , d 2 mà d 3 cắt d1 , d 2 nên d 3 phải đi qua A . Thật vậy giả sử d 3 không đi qua A thì nó phải cắt d1 , d 2 tại hai điểm B , C điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt. Câu 7: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c . C. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b . Nếu đường thẳng c vuông góc với a và b thì a , b , c không đồng phẳng. D. Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuông góc với c . Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trang 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. Câu 9: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. Câu 10: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng a, b . B. Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c . C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c . D. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c . Hướng dẫn giải: Chọn D. Theo định lý-sgk

Trang 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 1: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường thẳng). d1 d'1 O d'2 d2

Từ O dựng các đường thẳng d1' , d2' lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2 . Góc giữa hai đường thẳng d1' , d2' chính là góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 . Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác b2  c 2  a 2 . cos A  2bc Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1 , u2 của hai đường thẳng d1 , d2 Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 xác định bởi cos  d1 , d2  

u1 .u2

u1 u2

Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a , b , c không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1 , u2 qua các vec tơ a , b , c rồi thực hiện các tính toán Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a , IJ 

a 3 ( I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD 2

). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 30 . B. 45 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC . Ta có: 1 1 a   MI  NI  AB  CD  2 2 2  MINJ là hình thoi.   MI // AB // CD // NI Gọi O là giao điểm của MN và IJ . Ta có: MIN  2MIO .

Trang 4

C. 60 .

D. 90 . A J M O

N I C

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

a 3 IO 3  4   MIO  30  MIN  60 . Xét MIO vuông tại O , ta có: cos MIO  a MI 2 2 Mà:  AB, CD    IM , IN   MIN  60 . Câu 2: Cho hình hộp ABCD.ABCD . Giả sử tam giác ABC và ADC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và AD là góc nào sau đây? A. BDB . B. ABC . C. DBB . D. DAC . A' D' Hướng dẫn giải: Chọn D. B' C' Ta có: AC // AC (tính chất của hình hộp) A   AC , AD    AC, AD   DAC (do giả thiết D cho DAC nhọn). B

Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Hướng dẫn giải: A Chọn D. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD  . Gọi E là trung điểm CD  BE  CD (do BCD đều). Do AH   BCD   AH  CD .

H CD  BE E  CD   ABE   CD  AB   AB, CD   90 . Ta có:  CD  AH  C Câu 17. [1H3-2] Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos  AB, DM  bằng 3 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 2 2 Hướng dẫn giải: A Chọn A. Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a . E Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD  . B D Gọi E là trung điểm AC  ME // AB   AB, DM    ME , MD  H M





Ta có: cos  AB, DM   cos  ME , MD   cos ME , MD  cos EMD .

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của MED : a 3 . ME  a , ED  MD  2 2

2 a a 3 a 3       ME 2  MD 2  ED 2  2   2   2  3   Xét MED , ta có: cos EMD  . 2 ME.MD 6 a a 3 2. . 2 2

Trang 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Từ đó: cos  AB, DM  

Quan hệ vuông góc – HH 11

3 3 .  6 6

Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc  MN , SC  bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD  O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA  SB  SC  SD  S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2). Từ (1) và (2)  SO   ABCD  . Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình của SAD ).   MN , SC    SA, SC  .

D. 90 .

N A

 SA  SC  a  a  2a  SAC vuông tại S  SA  SC . Xét SAC , ta có:  2 2  AC  2 AD  2a   SA, SC    MN , SC   90 . 2

Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc  IJ , CD  bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD  O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA  SB  SC  SD  S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2). Từ (1) và (2)  SO   ABCD  . Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của SAB ).   IJ , CD    SB, AB  .

D. 90 .

I A

B O

J C

Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó SBA  60   SB, AB   60   IJ , CD   60 .

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm của AC , BC , BD , AD . Góc giữa  IE , JF  bằng A. 30 . Hướng dẫn giải: Chọn D.

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 . A

 IJ // EF // AB Từ giả thiết ta có:  (tính chất đường trung bình trong  JE // IF // CD tam giác) Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành. B 1 1 Mặt khác: AB  CD  IJ  AB  JE  CD  ABCD là hình thoi J 2 2  IE  JF (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

Trang 6

F I E C

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

  IE , JF   90 . Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và DH ? A. 45 B. 90 C. 120 D. 60

Hướng dẫn giải: Chọn B. AB  AE    AB  DH   AB, DH   90 AE // DH  Câu 8: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC ' D ' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O ' . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và OO ' ? A. 60 B. 45 C. 120 D. 90 Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì ABCD và ABC ' D ' là hình vuông nên AD // BC '; AD  BC '  ADBC ' là hình bình hành Mà O; O ' là tâm của 2 hình vuông nên O; O ' là trung điểm của BD và AC '  OO ' là đường trung bình của ADBC '  OO ' // AD Mặt khác, AD  AB nên OO '  AB   OO ', AB   90o 0 0 Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  60 , CAD  90 . Gọi I và J lần

lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD ? A. 45 B. 90 C. 60 D. 120 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI  DI (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB ) nên CID là tam giác cân ở I . Do đó IJ  CD. Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và ASB  BSC  CSA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SB và AC ? A. 60 . B. 120 . C. 45 . D. 90 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: SAB  SBC  SCA  c  g  c   AB  BC  CA . Do đótam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Vì hình chóp S . ABC có SA  SB  SC nên hình chiếu của S trùng với G Hay SG   ABC  .

 AC  BG  AC   SBG  Ta có:   AC  SG Suy ra AC  SB . Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 90 0 . Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD

và

BAC  BAD  600 , CAD  900 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ? A. 120 . B. 90 . C. 60 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Trang 7

D. 45 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD . 1 Ta có: IJ  IC  ID 2 Vì tam giác ABC có AB  AC và BAC  60 Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI  AB Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI  AB . 1 1 1 Xét IJ . AB  IC  ID . AB  IC. AB  ID. AB  0 . 2 2 2 Suy ra IJ  AB . Hay góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng 90 0 . Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn khẳng định đúng? A. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2  3  GA2  GB 2  GC 2  GD 2  .









B. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2  4  GA2  GB 2  GC 2  GD 2  . C. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2  6  GA2  GB 2  GC 2  GD 2  .

D. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2  2  GA2  GB 2  GC 2  GD 2  . Hướng dẫn giải: Chọn B. AB 2  AC 2  AD 2  BC 2  BD 2  CD 2



  2

   AG  GD    BG  GC    BG  GD   CG  GD   3DG  2  AG.GB  AG.GC  AG.GD  BG.GD  BG.GD  CG.GD  1

 AG  GB  AG  GC  3 AG 2  3BG 2  3CG 2

Lại có:

GA  GB  GC  GD   0  GA2  GB 2  GC 2  GD2





 2 AG.GB  AG.GC  AG.GD  BG.GD  BG.GD  CG.GD  2  Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Câu 13: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác

đều. Góc giữa AB và CD là? A. 120 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi I là trung điểm của AB Vì ABC và ABD là các tam giác đều CI  AB Nên  .  DI  AB Suy ra AB   CID   AB  CD .

Trang 8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm

của SC và BC . Số đo của góc

 IJ , CD 

bằng:

A. 90 . B. 45 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Ta có: OJ //CD . Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa I J và OJ . Xét tam giác IOJ có 1 a 1 a 1 a IJ  SB  , OJ  CD  , IO  SA  . 2 2 2 2 2 2 IOJ Nên tam giác đều. Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa I J và OJ

C. 30 .

D. 60 .

bằng góc IJO  600 . Câu 15: Cho hình hộp ABCD. ABC D . Giả sử tam giác ABC và ADC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và AD là góc nào sau đây? A. ABC . B. DAC  . C. BBD . D. BDB . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: AC //AC nên góc giữa hai đường thẳng AC và AD là góc giữa hai đường thẳng AC và AD bằng góc nhọn DAC  (Vì tam giác ADC đều có 3 góc nhọn

Câu 16: Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 .

Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì tứ diện ABCD đều nên AG   BCD  .

CD  AG  CD   ABG   CD  AB . Ta có:  CD  BG Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90 0

Câu 17: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Cắt tứ diện đó bằng một mặt phẳng song

song với một cặp cạnh đối diện của tứ diện. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Thiết diện là hình chữ nhật. B. Thiết diện là hình vuông. Trang 9

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình thang. Hướng dẫn giải: A Chọn A. Gỉa sử thiết diện là tứ giác MNPQ . Ta có: MN //PQ và MN  PQ nên MNPQ là hình bình hành M Lại có AC  BD  MQ  PQ Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

D P

N C

Câu 18: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB. AC  . AC. AD  AD. AB thì AB  CD ,

AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải: Bước 1: AB. AC  . AC. AD  AC.( AB  AD)  0  AC.DB  0  AC  BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC. AD  AD. AB ta được AD  BC và AB. AC  AD. AB ta được AB  CD . Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Sai ở bước 3. B. Đúng C. Sai ở bước 2. D. Sai ở bước 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. Bài giải đúng. Câu 19: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và ASB  BSC  CSA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC và AB ? A. 120 B. 45 C. 60 D. 90 Hướng dẫn giải: S Chọn D. Ta có: SC. AB  SC. SB  SA  SC.SB  SC.SA





 SA.SB cos BSC  SC.SA.cos ASC  0 Vì SA  SB  SC và BSC  ASC





Do đó: SC, AB  900

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng

a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc  MN , SC  bằng:

A. 45 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: AC  a 2  AC 2  2a 2  SA2  SC 2  SAC vuông tại S .

B. 30

C. 90

Trang 10

D. 60

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word



Quan hệ vuông góc – HH 11



1 SA.SC  0  NM , SC  90 2   MN , SC   90

Khi đó: NM .SC 

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và B1D1 bằng 90 . C. Góc giữa AD và B1C bằng 45 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: AA1.B1D1  BB1.BD  BB1. BA  BC



 BB1.BA  BB1.BC  0







B. Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 60 . D. Góc giữa BD và A1C1 bằng 90 . A1



(vì BB1 , BA  900 và BB1 , BC  900 )





Do đó: AA1 , B1D1  900   AA1 , B1D1   900

Câu 22: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 có cạnh a . Gọi M là trung điểm AD . Giá trị

B1M .BD1 là: 1 A. a 2 . B. a 2 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: B1M .BD1  B1B  BA  AM BA  AD  DD1





3 2 a . 4



 B1 B.DD1  BA  AM . AD D1

a2  a  a  2 2 a  2 2

Câu 23: Cho hình hộp ABCD. ABC D có tất cả các cạnh đều bằng

nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. AC  BD B. BB  BD C. AB  DC Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: BB.BD  BB. BA  BC  BB.BA  BB.BC



 BB.BA cosBBA  cosBBC



Vì AABB và ABCD là hai hình thoi bằng nhau nên + BBA  BBC  BB.BD  0 suy ra BB không vuông góc với BD + BBA  BBC  1800  cosBBA  cosBBC  BB.BD  0 suy ra BB  BD Trang 11

B1 C1



3 2 a . 2

D. BC  AD

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Nên đáp án B có thể sai vì chưa có điều kiện của góc BBA và BBC Chọn B. Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A. 90 B. 60 C. 45 D. 120 Hướng dẫn giải: E Chọn C. Ta có: EG //AC (do ACGE là hình chữ nhật) F



 



 AB, EG  AB, AC  BAC  45

A B

Câu 25: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm CD ,  là góc giữa AC và BM .

Chọn khẳng định đúng? 3 A. cos   4 Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. cos  

1 3

C. cos  

3 6

0 D.   60

Gọi O là trọng tâm của BCD  AO   BCD  Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra:

 AC, BM    AC, CN    ACN   

Có: CN  BM 

a 3 a và BN  CN  2 2 2

2 2  AO  AB  BO  AB   BM   a 2 3 3  7 5 AC 2  CN 2  AN 2 3 a  cos    ON 2  BN 2  BO 2  a 2 ; AN  AO 2  ON 2  2 2 AC.CN 6 12 Câu 26: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC ' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC ' và C ' A . 2

Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CC ' ? A. 450 B. 1200 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi I là trung điểm CC  CAC cân tại A  CC   AI (1) CBC cân tại B  CC   BI (2)

C. 600

(1),(2)   CC    AIB   CC   AB  CC   AB

Kết luận: góc giữa CC  và AB là 90

Trang 12

D. 900

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 27: Cho a  3, b  5 góc giữa a và b bằng 120 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng đính sau?

A. a  b  19

B. a  b  7

C. a  2b  139

Hướng dẫn giải: Chọn A.

 

D. a  2b  9

 

Ta có: a  b  a 2  b 2  2a.b .cos a , b  19 a  b  a  b  2a.b.cos a,b  19 Câu 28: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AF và EG ?

A. 90 0 B. 60 0 Hướng dẫn giải: Chọn B. Đặt cạnh của hình lập phương trên là a Gọi I là giao trung điểm EG Qua A kẻ đường thẳng d //FI Qua I kẻ đường thẳng d //FA Suy ra d cắt d  tại J .



C. 450

D. 120 0



Từ đó suy ra EG, AF  EIJ   IJ  AF  2 EI  2 FI  2 AJ  a 2 3 EJ 2  AE 2  AJ 2  2 2 2 EI  IJ  AJ 2 1 cos       60 2.EI .EJ 2 Câu 29: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD và BAC  BAD  600 . Hãy xác định góc giữa cặp

vectơ AB và CD ? A. 600 . Hướng dẫn giải: Ta có



B. 450 .

C. 1200 .

D. 900 .



AB.CD  AB. AD  AC  AB. AD  AB. AC  AB. AD.cos 600  AB. AC.cos 600  0





 AB, CD  900

Câu 30: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Góc giữa AC và DA1 là

A. 450 . B. 900 . Hướng dẫn giải: Vì A ' C ' //AC nên góc giữa AC và DA1 là DA1C1 .

C. 600 .

Vì tam giác DA1C1 đều nên DA1C1  600 . Vậy góc giữa AC và DA1 bằng 600 .

Trang 13

D. 1200 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 31: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và ASB  BSC  CSA . Hãy xác định góc giữa cặp

vectơ SA và BC ? A. 1200 . B. 900 . Hướng dẫn giải: Ta có SA.BC  SA. SC  SB  SA.SC  SA.SB



C. 600 .

D. 450 .



 SA.SC.cos ASC  SA.SB.cos ASB  0  SA, BC  900





Câu 32: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos  AB, DM  bằng

1 2 3 3 . B. . C. . D. . 2 6 2 2 Hướng dẫn giải: Giả sử cạnh của tứ diện là a . AB.DM AB.DM  Ta có cos AB, DM  a 3 AB . DM a. 2 Mặt khác AB.DM  AB AM  AD  AB. AM  AB. AD  AB. AM .cos 300  AB. AD.cos 600









a 3 3 1 3a 2 a 2 a 2 .  a.a.    . 2 2 2 4 2 4 3 3 Do có cos AB, DM  . Suy ra cos  AB, DM   . 6 6 Câu 33: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB  CD  6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC  x.BC  0  x  1 . mp  P  song song với AB và CD lần lượt cắt BC , DB, AD, AC tại  a.





M , N , P, Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ? A. 9 . B. 11 . C. 10 . Hướng dẫn giải:  MQ //NP //AB Xét tứ giác MNPQ có   MN //PQ //CD  MNPQ là hình bình hành. Mặt khác, AB  CD  MQ  MN . Do đó, MNPQ là hình chữ nhật. MQ CM Vì MQ //AB nên   x  MQ  x. AB  6 x . AB CB Theo giả thiết MC  x.BC  BM  1  x  BC .

Vì MN //CD nên

MN BM   1  x  MN  1  x  .CD  6 1  x  CD BC

. Diên tích hình chữ nhật MNPQ là Trang 14

D. 8 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 x 1 x  SMNPQ  MN .MQ  6 1  x  .6 x  36.x. 1  x   36   9. 2   1 Ta có SMNPQ  9 khi x  1  x  x  2 Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC . Câu 34: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ? A. 00 . B. 300 . C. 900 . D. 600 . Hướng dẫn giải:





Ta có AO.CD  CO  CA CD

 CO.CD  CA.CD  CO.CD.cos 300  CA.CD.cos 600 a 3 3 1 a2 a2 .a.  a.a.    0. 3 2 2 2 2 Suy ra AO  CD . 

Câu 35: Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm của AC , BC , BD, AD .

Góc  IE , JF  bằng A. 300 . B. 450 . Hướng dẫn giải: Tứ giác IJEF là hình bình hành. 1  IJ  AB  2 Mặt khác  mà AB  CD nên IJ  JE . 1  JE  CD  2 Do đó IJEF là hình thoi. Suy ra  IE , JF   900 .

Câu 36: Cho tứ diện ABCD với AC 

D. 900 .

3 AD, CAB  DAB  600 , CD  AD . Gọi  là góc giữa AB và 2

CD . Chọn khẳng định đúng ? 3 A. cos  . B.   600 . 4 Hướng dẫn giải: AB.CD AB.CD  Ta có cos AB, CD  AB . CD AB.CD



C. 600 .

C.   300 .



Mặt khác

Trang 15

D. cos 

1 . 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word



Quan hệ vuông góc – HH 11



AB.CD  AB AD  AC  AB. AD  AB. AC  AB. AD.cos 600  AB. AC.cos 600 1 3 1 1 1  AB. AD.  AB. AD.   AB. AD   AB.CD. 2 2 2 4 4 1  AB.CD 1 1 Do có cos AB, CD  4   . Suy ra cos   . 4 AB.CD 4





Câu 37: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC ' D ' có chung cạnh AB và nằm trong

hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O ' . Tứ giác CDD ' C ' là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình vuông. C. Hình thang. D. Hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: Tứ giác CDD ' C ' là hình bình hành. Lại có: DC   ADD '  DC  DD '. Vậy tứ giác CDD ' C ' là hình chữ nhật. Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, IJ=

a 3 ( I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD ). 2

Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là : A. 300. B. 450. C. 600. Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của AC. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ. IM 2  MJ 2  IJ 2 1 Tính được: cosIMJ   2MI .MJ 2 Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 600.

D. 900.

Câu 38: Cho tứ diện ABCD với AB  AC , AB  BD . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và

CD . Góc giữa PQ và AB là? A. 900. B. 600. Hướng dẫn giải: AB.PQ  AB  PQ

C. 300.

D. 450.

Câu 39: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a  b  4 . Gọi  là góc giữa hai vectơ a, b . Chọn

khẳng định đúng? 3 A. cos   . 8 Hướng dẫn giải:

B.   300 .

1 C. cos   . 3

2 2 9 (a  b)2  a  b  2a.b  a.b  . 2 a.b 3  . Do đó: cos  a.b 8

Trang 16

D.   600 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 40: Cho tứ diện ABCD . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: AB.CD  AC.DB  AD.BC  k

A. k  1. Hướng dẫn giải:

B. k  2.



C. k  0.

D. k  4.



AB.CD  AC.DB  AD.BC  AC  CB .CD  AC.DB  AD.CB









 AC CD  DB  CB CD  AD  AC.CB  CB. AC  0. Chọn đáp án C. Câu 41: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chọn hệ thức đúng? A. AB 2  AC 2  BC 2  2  GA2  GB 2  GC 2  . B. AB 2  AC 2  BC 2  GA2  GB 2  GC 2 . C. AB 2  AC 2  BC 2  4  GA2  GB 2  GC 2  . D. AB 2  AC 2  BC 2  3  GA2  GB 2  GC 2  . Hướng dẫn giải: Cách 1 Ta có

GA  GB  GC 

0

 GA2  GB 2  GC 2  2GA.GB  2GA.GC  2GB.GC  0  GA2  GB 2  GC 2   GA2  GB 2  AB 2    GA2  GC 2  AC 2    GB 2  GC 2  BC 2   0  AB 2  AC 2  BC 2  3  GA2  GB 2  GC 2 

Cách 2: Ta có: AB 2 AC 2 BC 2 MA2 2 4 GA2 2 GA MA 3 Tương tự ta suy ra được 4 AB 2 AC 2 GA2 GB 2 GC 2 9 2 1 AB 2 3 3 GA2

BC 2

CA2 .

GB 2

GC 2

AB 2

BC 2

4 AB 2 AC 2 9 2

BC 2 4

BA2

BC 2 . 4

BC 2 2

AC 2 4

CA2

CB 2 2

AB 2 . 4

CA2

Chọn đáp án D. Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó AB 2 BC 2 CA2 3 3 GA2 GB 2 GC 2 AB 2 BC 2 CA2 . 2 2 2 GA GB GC 1 Chọn đáp án D. Câu 42: Trong không gian cho tam giác

ABC . Tìm M

P  MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất. A. M là trọng tâm tam giác ABC . B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. M là trực tâm tam giác ABC . 2

Trang 17

sao cho giá trị của biểu thức

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC G cố định và GA GB 2

MG 3MG 2

2 MG. GA

3MG 2 GA2 GB 2 Dấu bằng xảy ra M 2 Vậy Pmin GA GB 2 Chọn đáp án A.

Quan hệ vuông góc – HH 11

GA2

GB 2

GC 2

GC 2 GA2 GB 2 GC 2 . G. GC 2 với M G là trọng tâm tam giác ABC.

Câu 43: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  26; b  28; a  b  48 . Độ dài vectơ a  b bằng?

A. 25. Hướng dẫn giải: 2



a b  a b



B. 2

616 .



C. 9. 2

 a  b  2a.b  2 a  b



  a  b

618 .



2 2 2  2  a  b   a  b  2 262  282  482  616  

 a  b  616. 0 0 0 Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC và BDA  60 , ADC  90 , BDC  120 . Trong các

mặt của tứ diện đó: A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất. C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn giải: Đặt DA  DB  DC  a

B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất. D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

a2 3 . 4 1 a2 Tam giác ACD vuôn tại D nên diện tích S ACD  DA.DC  . 2 2 2 1 a 3 Diện tích tam giác BCD là S BCD  DB.DC sin1200  . 2 4 Tam giác ABC có AB  a, AC  a 2, BC  a 3 nên tam giác ABC

Tam giác ABD đều cạnh a nên diện tích S ABD 

vuông tại A . Diện tích tam giác ABC là S ABC 

1 a2 2 . AB. AC  2 2

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất. Câu 45: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a.b  10 . Xét hai vectơ y  a  b x  a  2b, . Gọi

α là góc giữa hai vectơ x, y . Chọn khẳng định đúng. 2 1 A. cos   . B. cos   . 15 15 Hướng dẫn giải:





 



C. cos  

Ta có x. y  a  2b a  b  a  2 b  3a.b  4 .

Trang 18

3 . 15

D. cos  

2 . 15

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word x  y 

 x  y



 a  2b    a   4 b   4a.b  2  a  b    a   b   2a.b  5 . 2

x. y

cos  



x. y

Quan hệ vuông góc – HH 11

4 2  2 3. 5 15

Câu 46: Cho tam giác

ABC có diện tích S . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn:





2 1 AB . AC  2k AB. AC . 2 1 1 A. k  . B. k = 0. C. k  . D. k  1 . 4 2 Hướng dẫn giải: 1 1 1 S  AB. AC.sin C  AB 2 . AC 2 sin 2 C  AB 2 . AC 2 1  cos 2 C  2 2 2 2 2 2 1  AB . AC  AB. AC . 2 Chọn C. Câu 47: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều a) Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. AB và CD chéo nhau B. AB và CD vuông góc với nhau C. AB và CD đồng phẳng D. AB và CD cắt nhau b) Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC , BC , BD, DA . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật. A. MNPQ là hình vuông B. MNPQ là hình bình hành C. MNPQ là hình chữ nhật D. MNPQ là hình thoi Hướng dẫn giải: a) Đặt AB  AD  AC  a

S





Ta có CD. AB  AD  AC AB 1 1  AB AD cos 600  AB AC cos 600  a.a.  a.a.  0 2 2 Vậy AB  CD . AB a b) Ta có MN PQ AB và MN  PQ   nên tứ giác 2 2 MNPQ là hình bình hành.  MN AB  Lại có  NP CD  MN  NP , do đó MNPQ là hình chữ nhật.  AB  CD 

N M B

P D

Câu 48: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  a và BC  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng

AB và SC . A.  AB, SC   600

B.  AB, SC   450

Trang 19

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

C.  AB, SC   300 D.  AB, SC   900 Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC , khi đó MN AB nên

 AB, SC    MN , SC  . Đặt   NMP , trong tam giác MNP có MN 2  MP 2  NP 2 cos   1 . 2MN .MP a Ta có MN  MP  , AB 2  AC 2  BC 2  ABC vuông tại A , 2 5a 2 3a 2 vì vậy PB 2  AP 2  AC 2  , PS 2  .Trong tam giác PBS 4 4 theo công thứ tính đường trung tuyến ta có 5a 2 3a 2  2 2 PB 2  PS 2 SB 2 4  a  3a . PN 2    4 2 4 2 4 4 1 Thay MN , MP, NP vào 1 ta được cos       120 0 . 2

B P C

Vậy  AB, SC    MN , SC   60 0 . Câu 49: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA  AB và SA  BC .

a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC . A.  BC , SD   300

B.  BC , SD   450

C.  BC , SD   600

D.  BC , SD   500

b) Gọi I , J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ BD . Chứng minh góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J . A.  IJ , AC   900 Hướng dẫn giải:

B.  IJ , AC   600

C.  IJ , AC   300

D.  IJ , AC   450

a)  BC , SD   450 b)  IJ , AC   900 . Câu 50: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác

nhau. a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. AD  BC B. AD cắt BC C. AD và BC chéo nhau D. Cả A, B, C đều đúng b) Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho MA  kMB, ND  k NB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC . A.  MN , BC   900

B.  MN , BC   800

C.  MN , BC   600 Hướng dẫn giải:

D.  MN , BC   450

Trang 20

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

a) Gọi P là trung điểm của BC , thì các tam giác  AP  BC . ABC và DBC cân nên   DP  BC





Ta có BC. AD  BC PD  PA  0 Vậy BC  AD . b) Ta có MA  k MB  

MA ND  k , ND  k NB  k MB NB

MA ND  MB NB

M N

suy ra MN AD   MN , BC    AD, BC   900 ( Theo câu a)

P C

Câu 51: Cho hình hộp thoi ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh đều bằng a và

ABC  B ' BA  B ' BC  600 .Tính góc giữa hai đường thẳng AC và B’D’.

A.  AC, B 'D'  900 Hướng dẫn giải: HS tự giải.

B.  AC, B 'D'  600

C.  AC, B 'D'  450

D.  AC, B 'D'  300

Câu 52: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD . Cho biết

AB  CD  2a và MN  a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . A.  AB, CD   300

B.  AB, CD   450

C.  AB, CD   600 D.  AB, CD   900 Hướng dẫn giải: Gọi O là trung điểm của AC , ta có OM  ON  a . OM AB   AB, CD    OM , ON   ON CD Áp dụng định lí côsin cho tam giác OMN ta có



2 2 OM 2  ON 2  MN 2 a  a  a 3  cos MON  2.a.a 2OM .ON



1  . 2

Vậy  AB, CD   60 0 . N O B

D M C

Câu 53: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c .

a)Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. A. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó B. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì không vuông góc với hai cạnh đó Trang 21

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

C. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì có thể vuông góc có thể không vuông góc với hai cạnh đó D. cả A, B, C đều sai b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD . a2  c2   A.  AC , BD   arccos b2 B.  AC , BD   arccos C.  AC , BD   arccos D.  AC , BD   arccos

2  a2  c2  b

2  a2  c2  3b 2 2a  c 2

B 2



N C

Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD . a) Do hai tam giác ACD và BCD có CD chung và AC  BD, AD  BC nên chúng bằng nhau, suy ra MC  MD Vậy tam giác MCD cân tại M và có trung tuyến MN nên MN  CD . Tương tự MN  AB . Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối còn lại.  PM BD   BD, AC    PM , PN  b) Ta có   PN AC Theo công thức tính đường trung tuyến ta có 2 2 2 CA2  CB 2 AB 2 2  b  c   a 2 CM    2 4 4 2 2 2 2 b c a Tương tự DM 2  , nên 4 2 2 2 MC 2  MD 2 CD 2 2  b  c   a a 2 b 2  c 2  a 2 MN 2      2 4 4 4 2 Áp dụng định lí cô sin cho tam giác PMN ta có 2 2 2 2 2 b b b c a   2  a2  c2  PM 2  PN 2  MN 2  2   2  2 cos MPN    2.PM .PN b2  b  b  2     2  2 



Vậy  AC , BD   arccos



2  a2  c2  b2

Trang 22

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp: Để chứng minh d1  d2 ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau:  Chứng minh d1  d2 ta chứng minh u1 u2  0 trong đó u1 , u2 lần lượt là các vec tơ chỉ phương của d1 và d2 .

b c ab.  Sử dụng tính chất  a  c  Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa d1 , d2 và tính trực tiếp góc đó.  Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác  Tính tích vô hướng… Câu 1: Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. AC  BD . B. BB  BD . C. AB  DC . D. BC  AD . Hướng dẫn giải: Chọn B. A' D' Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi. A đúng vì: B' C'     A C  B D   AC   BD .    B D // BD  A B sai vì: D  AB  AB  AB  DC  . C đúng vì:   AB // DC  B C  BC   BC  BC   AD . D đúng vì:   BC // AD Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB. AC  AC. AD  AD. AB thì AB  CD , AC  BD , AD  BC . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải:





Bước 1: AB. AC  AC. AD  AC. AB  AD  0  AC .DB  0  AC  BD . Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC . AD  AD. AB ta được AD  BC và AB. AC  AD. AB ta được AB  CD . Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 1. D. Sai ở bước 3. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng  P  song song với AB và CD lần lượt cắt BC , DB, AD, AC tại M , N , P, Q . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang. B. Hình bình hành. Trang 23

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C. Hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: Chọn C.  MNPQ  //AB  MQ //AB. Ta có:   MNPQ    ABC   MQ Tương tự ta có: MN //CD, NP //AB, QP //CD . Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Quan hệ vuông góc – HH 11

D. Tứ giác không phải là hình thang.

lại có MN  MQ  do AB  CD  . Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N , P, Q, R lần lượt là trung điểm của

AB, CD, AD, BC và AC . a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. MN  RP, MN  RQ C. MN chéo RP; MN chéo RQ b) Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?

B. MN  RP, MN cắt RQ D. Cả A, B, C đều sai

A.  AB, CD   600

B.  AB, CD   300

C.  AB, CD   450 Hướng dẫn giải:

D.  AB, CD   900

a 3 nên tam giác MCD cân tại M , do đó MN  CD . 2 Lại có RP CD  MN  RQ . b) Tương tự ta có QP  AD Trong tam giác vuông PDQ ta có

a) Ta có MC  MD 

 a 3   a 2 a 2 QP  QD  DP   Ta có :      2  2  2 2

M R

a a RQ 2  RP 2        a 2  QP 2 2 2 Do đó tam giác RPQ vuông tại R , hay RP  RQ .

 AB RQ Q N  Vì vậy CD RP  AB  CD . C  RP  RQ  Câu 6: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC  có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , CB, BC  và CA . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì M , N , P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bhình hành.

Trang 24

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi H là trung điểm của AB .

CH  AB Vì hai tam giác ABC và ABC nên  C H  AB Suy ra AB   CHC   . Do đó AB  CC .  PQ //AB  Ta có:  PN //CC   PQ  PN .  AB  CC  

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành với AB  a, AD  2a .

Tam giác SAB vuông can tại A , M là một điểm trên cạnh AD ( M khác A và D ). Mặt phẳng   đi qua M và song sog với  SAB  cắt BC , SC , SD lần lượt tại N , P, Q . a) MNPQ là hình gi?. A. MNPQ là hình thang vuông. B. MNPQ là hình vuông. C. MNPQ là hình chữ nhật. D. MNPQ là hình bình hành. b)Tính diện tích của MNPQ theo a . a2 3a 2 3a 2 A. SMNPQ  B. S MNPQ  C. SMNPQ  8 8 4 Hướng dẫn giải:    SAB   a) Ta có  SAB    ABCD   AB  MN AB .      ABCD   MN    SAB   Tương tự  SBC    SAB   SB  NP SB      SBC   NP    SAB    SAD    SAB   SA  MQ SA      SAD   MQ Dễ thấy MN PQ AB CD nên MNPQ là hình bình hành  MN AB  Lại có  MQ SA  MN  MQ .  AB  SA 

Vậy MNPQ là hình thang vuông. SA a CD a b) Ta có MN  AB  a , MQ   , PQ   . 2 2 2 2 2 1 a  a 3a 1 Vậy S MNPQ   MN  PQ  .MQ   a    . 2 22 8 2

Trang 25

D. S MNPQ

a2  4

Q P D A

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB ' lấy các điểm M

và N sao cho MD  NB  x  0  x  a  . Khẳng định nào sau đây là đúng? a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AC '  B ' D ' B. AC’ cắt B’D’ C. AC’và B’D’ đồng phẳng D. Cả A, B, C đều đúng b) khẳng định nào sau đây là đúng ?. A A. AC '  MN B. AC’ và MN cắt nhau C. AC’ và MN đồng phẳng D D. Cả A, B, C đều đúng Hướng dẫn giải: Đặt AA '  a, AB  b, AD  c . a) Ta có AC '  a  b  c , B ' D '  c  b nên





AC '.B ' D '  a  b  c c  b





M C N B'

A' C'

 a c  b  c  b  a2  a2  0

 AC '  B ' D ' .



 



x   x  x   x b) MN  AN  AM  AB  BN  AD  DM   b  a  -  c  b   a  1-  b - c a   a  a   a x   x  x   x Từ đó ta có AC '.MN  a  b  c [  b  a  -  c  b   a  1-  b - c] a   a  a   a x 2  x 2 2  x  a  1   b  c  x.a  1   a 2  a 2  0 . a  a  a Vậy AC '  MN . Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC  a , BD  3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN . a 10 a 6 3a 2 2a 3 A. MN  . B. MN  . C. MN  . D. MN  . 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và CD . A EN // AC    AC , BD    NE , NF   90  NE  NF (1). Ta có:  M  NF // BD





1   NE  FM  2 AC Mà:  (2). 1  NF  ME  BD  2 Từ (1), (2)  MENF là hình chữ nhật.

E C

F N B

a 10  AC   BD   a   3a  Từ đó ta có: MN  NE  NF   .          2  2   2  2  2  Chọn D Câu 10: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng? 2

A. 2 AB. AC  AB 2  AC 2  BC 2

B. 2 AB. AC  AB 2  AC 2  2 BC 2

Trang 26

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

C. AB. AC  AB 2  AC 2  2 BC 2 D. AB. AC  AB 2  AC 2  BC 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos  AB, AC   AB 2  AC 2  2. AB. AC Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG

A. a

a2 2 C. 2

B. a 2

D. a 2 2

Hướng dẫn giải:. Chọn B. Ta có AB.EG  AB. AC , mặt khác AC  AB  AD .





Suy ra AB.EG  AB. AC  AB AB  AD  AB 2  AB. AD  a 2 Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB  a, BD  3a . Gọi M , N lần

lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN a 6 a 10 A. MN  B. MN  C. 3 2 2a 3 3a 2 D. MN  MN  3 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Kẻ NP //AC  P  AB  , nối MP . 1 a AC  . 2 2 1 3a MP là đường trung bình ABD  PM  BD  . 2 2 Lại có  AC , BD    PN , PM   NPM  90 suy ra  MNP vuông tại P . a 10 Vậy MN  PN 2  PM 2  . 2

NP là đường trung bình ABC  PN 

Câu 13: Cho tứ diện ABCD trong đó AB  6 , CD  3 , góc giữa AB và CD là 60 và điểm M trên

BC sao cho BM  2MC . Mặt phẳng  P  qua M song song với AB và CD cắt BD , AD , AC lần lượt tại M , N , Q . Diện tích MNPQ bằng: 3 A. 2 2 B. 2 C. 2 3 D. 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Thiết diện MNPQ là hình bình hành. Ta có  AB, CD    QM , MP   QMP  60 . Suy ra SMPNQ  QN .QN .sin 60 . Lại có

Trang 27

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

CM MO 1    MQ  2 AB AB 3 AQ QN 2 AQN # ACD     QN  2 AC CD 3 Do đó S MPNQ  QM .QN .sin 60  2.2.sin 60  2 3 . CMQ # CBA 

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB  4, CD  6 . M là điểm thuộc cạnh BC

sao cho MC  2BM . Mặt phẳng  P  đi qua M song song với AB và CD . Diện tích thiết diện của

 P

với tứ diện là?

A. 5

B. 6

Hướng dẫn giải: Ta có  AB, CD    MN , MQ   NMQ  90 . Suy ra thiết diện MNPQ là hình chữ nhật. Lại có: CM MN 1 4 CMN CBA     MN  CB AB 3 3 AN NP 2 ANP ACD     MP  4 AC CD 3 16 Suy ra SMNPQ  MN.NP  . 3

Trang 28

17 3

16 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Góc giữa hai mặt phẳng   a  ( P )  (P ),(Q)   a, b  b  (Q)







  

  Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng a  ( P ), a  c  (P),(Q)  a, b b  (Q), b  c





Chú ý: 00  (P),(Q)  900 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),  =

(P),(Q) . Khi đó:

S = S.cos 3. Hai mặt phẳng vuông góc





 (P)  (Q)  (P ),(Q)  900   Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( P )  a  ( P )  (Q) a  (Q) 4. Tính chất   ( P )  (Q),( P )  (Q)  c  a  (Q) a  (P ), a  c ( P )  (Q)   a  (P)  A  (P)  a  A, a  (Q) ( P )  (Q)  a   ( P )  ( R)  a  ( R)  (Q)  ( R)



B – BÀI TẬP Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định. D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường kia. B. Cho đường thẳng a    , mọi mặt phẳng    chứa a thì       . C. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b , luôn luôn có mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường thẳng kia. D. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng   chứa a và mặt phẳng    chứa b thì       . Hướng dẫn giải: Trang 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Chọn B Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông và có một cạnh bên vuông góc với đáy.

Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. B. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. C. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. D. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau. D. Một mặt phẳng  P  và một đường thẳng a không thuộc  P  cùng vuông góc với đường thẳng b thì  P  //a . Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, h y tìm mệnh đề đúng. A. Hai mặt phẳng phân iệt c ng vuông góc với một mặt phẳng thứ a thì song song với nhau. B. Nếu hai mặt vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này s vuông góc với mặt phẳng ia. C. Hai mặt phẳng   và    vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d . ới m i điểm A thuộc   và m i điểm B thuộc    thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d .

D. Nếu hai mặt phẳng   và    đều vuông góc với mặt phẳng    thì giao tuyến d của   và vuông góc với    . Hướng dẫn giải: Theo Định lí 2  tr109  SGK  HH 11  CB  . Chọn D

   nếu có s

Câu 7: Cho hai mặt phẳng   và    vuông góc với nhau và gọi d        .

I. Nếu a    và a  d thì a     .

II. Nếu d     thì d   d .

III. Nếu b  d thì b  () hoặc b  (). IV. Nếu ()  d thì ()  () và ()  (). Các mệnh đề đúng là : A. I, II và III. B. III và IV. C. II và III. D. I, II và IV. Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 8: Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau và một điểm M không thuộc  P  và  Q  . Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với  P  và  Q  ? A. 1. B. 2. Hướng dẫn giải: Trang 2

C. 3.

D. Vô số.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Chọn A. Câu 9: Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  , a là một đường thẳng nằm trên  P  . Mệnh đề nào sau đây sai ? A. Nếu a //b với b   P    Q  thì a//  Q  . B. Nếu  P    Q  thì a   Q  . C. Nếu a cắt  Q  thì  P  cắt  Q  . Hướng dẫn giải: Gọi b =  P    Q  nếu a //b thì a / /  Q  . Chọn B.

D. Nếu  P  / /  Q  thì a / /  Q  .

Câu 10: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a  b . Luôn có mặt phẳng   chứa a và    b . C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng   chứa a và mặt phẳng    chứa b thì       . D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 11: Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  song song với nhau và một điểm M không thuộc  P  và

 Q  . Qua

M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với  P  và  Q  ?

A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. Vô số. Hướng dẫn giải: Qua M dựng đường thẳng d vuông cóc với  P  và  Q  . Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh d thỏa yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. B. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này s vuông góc với mặt phẳng kia. C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 13: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Một mặt phẳng ( ) và một đường thẳng a không thuộc ( ) cùng vuông góc với đường thẳng b thì () song song với a. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau Hướng dẫn giải:

Trang 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Đáp án A đúng.

Quan hệ vuông góc – HH 11 Đáp án B sai.

Đáp án D sai. Đáp án C sai. Chọn A. Câu 14: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. B. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Hướng dẫn giải:

Qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng B đúng

Đáp án A đúng

Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Đáp án D sai.

Đáp án C đúng. Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và b nằm trong mặt phẳng  P  . Mọi mặt phẳng  Q  chứa a và vuông góc với b thì  P  vuông góc với  Q  . B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và mặt phẳng  P  chứa a, mặt phẳng  Q  chứa b thì  P  vuông góc với  Q  . C. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng  P  , mọi mặt phẳng  Q  chứa a thì  P  vuông góc với  Q  . D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Hướng dẫn giải:

Trang 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Đáp án B sai. Đáp án A đúng.

Đáp án D đúng. Đáp án C đúng. Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước. D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải: Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước, đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau đ cho. Chọn C. Câu 17: Cho a, b, c là các đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Cho a  b . Mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a . B. Nếu a  b và mặt phẳng   chứa a ; mặt phẳng    chứa b thì       . C. Cho a  b nằm trong mặt phẳng   . Mọi mặt phẳng    chứa a và vuông góc với b thì

      . D. Cho a //b , mọi mặt phẳng   chứa c trong đó c  a và c  b thì đều vuông góc với mặt phẳng

 a, b  . Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 18: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a  b . Chỉ ra mệnh đề đúng trong các

mệnh đề sau: A. mặt phẳng Q chứa b và đường vuông góc chung của a và b thì mp(Q)  a . B. mặt phẳng R chứa b và chứa đường thẳng b '  a thì mp  R   a . C. mặt phẳng

chứa a , mp() chứa b thì ()  () .

D. mặt phẳng P chứa b thì mặt phẳng P Hướng dẫn giải: Chọn A

Trang 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Giả sử AB là đoạn vuông góc chung của a và b thì mp  Q    AB, b  mà a  AB, a  b, a   AB, b   a  mp  Q  Câu 19: Cho các mệnh đề sau với   và    là hai mặt phẳng vuông góc với nhau với giao tuyến

m        và a, b, c, d là các đường thẳng. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu b  m thì b    hoặc b     .

B. Nếu b  m thì d    .

C. Nếu a    và a  m thì a     . D. Nếu c //m thì c //   hoặc c //    . Hướng dẫn giải: Chọn C Do a    , a  m , ()  () nên a     Câu 20: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c  a, c  b . Mọi mặt phẳng ( ) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng  a, b  .

B. Cho a  ( ) , mọi mặt phẳng    chứa a thì       . C. Cho a  b , mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a . D. Cho a  b , nếu a  ( ) và b     thì       . Hướng dẫn giải: Câu A sai vì a, b có thể trùng nhau. Câu C sai vì khi a, b cắt nhau, mặt phẳng  a, b  không vuông góc với a . Câu D sai vì khi a, b chéo nhau và vuông góc với nhau, ta gọi   là mặt phẳng chứa a , song song với b và    là mặt phẳng chứa b và song song với a thì   //    Chọn B. Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này s vuông góc với mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng s vuông góc với mặt phẳng kia. Hướng dẫn giải: Mệnh đề A sai vì có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng vuông góc với nhau nhưng đường thẳng thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia. Mệnh đề B sai vì xảy ra trường hợp hai mặt phẳng song song. Mệnh đề C sai vì xảy ra trường hợp hai mặt phẳng vuông góc. Chọn đáp án D Câu 22: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng không cắt nhau, không song song thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. Hướng dẫn giải: Mệnh đề sai vì còn trường hợp chéo nhau hoặc trùng nhau. Mênh đề C sai vì còn trường hợp hai đường thẳng chéo nhau. Mênh đề D sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Chọn B. Trang 6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 23: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Hướng dẫn giải:

* Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước, chúng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm đó và vuông góc với một đường thẳng cho trước  “Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước”: SAI * Có vô số mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước, trong trường hợp: đường thẳng cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước :Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước”: SAI * Có vố số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước ”Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước”: SAI Chọn D Câu 24: Cho hình chóp S . ABC có đường cao SH . Xét các mệnh đề sau: (I) SA  SB  SC . (II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . (III) Tam giác ABC là tam giác đều. (IV) H là trực tâm tam giác ABC . Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận S . ABC là hình chóp đều? A. (III) và (IV). B. (II) và (III). C. (I) và (II). D. (IV) và (I). Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 25: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. S . ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân đỉnh S . B. S . ABC là hình chóp đều nếu góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy ằng nhau. C. S . ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên của nó là tam giác cân. D. S . ABC là hình chóp đều nếu các mặt bên có diện tích bằng nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 26: Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?

A. Đáy là đa giác đều. B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Trang 7

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

C. Các cạnh bên là những đường cao. D. Các mặt bên là những hình bình hành. Hướng dẫn giải: A. ì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều. B. ì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy. C . ì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy. D. ì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông. Chọn D. Câu 27: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương. B. Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương. C. Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương. D. Nếu hình hộp có sau mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương. Hướng dẫn giải: Đây là câu hỏi lý thuyết. Chọn đáp án B Câu 28: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. B. Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. C. Nếu hình hộp có bốn mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. D. Nếu hình hộp có ba mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B A sai vì đáy có thể là hình bình hành. B đúng C sai vì đáy có thể là hình bình hành D sai vì đáy có thể là hình bình hành. Câu 29: Hình hộp ABCD. ABC D là hình hộp gì nếu tứ diện ABCD đều. A. Hình lập phương. B. Hình hộp chữ nhật. C. Hình hộp thoi. D. Đáp số khác. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A

Câu 30: Hình hộp ABCD.AB C D trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào

sau đây? A. Tất cả các cạnh đáy ằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. B. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông. C. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông. D. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Trang 8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 31: Hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu tứ diện AA’B’D’ có các cạnh đối vuông góc.

A. Hình lập phương. B. Hình hộp tam giác. C. Hình hộp thoi. D. Hình hộp tứ giác. Hướng dẫn giải: Ta có AA'  B'D', A'D'  AB', A'B'  AD' suy ra Hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương. Câu 32: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng Q  bằng góc nhọn giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng (R) khi mặt phẳng Q  song song với mặt phẳng  R  .

B. Góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  Q  bằng góc nhọn giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng

 R

khi mặt phẳng Q  song song với mặt phẳng  R  (hoặc Q    R  ). C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn. D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Câu 33: Cho hình chóp tam giác S . ABC với đường cao SH . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng A. H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi các cạnh bên bằng nhau B. H là trung điểm của một cạnh đáy hi hình hộp đó có một mặt bên vuông góc với mặt đáy. C. H trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi các góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy ằng nhau. D. H thuộc cạnh đáy thì hình chóp đó có một mặt bên vuông góc với đáy Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Câu 34: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hình lăng trụ tam giác có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng. B. Hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều. C. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều. D. Hình lăng trụ có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều. Hướng dẫn giải: Giả sử lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có các mặt bên  AA ' B ' B  ,  AA ' C ' C  là hình chữ nhật, khi  AA '  AB  AA '   ABC  đó ta có  AA '  AC . Vậy là ABC. A ' B ' C ' lăng trụ đứng. Theo định nghĩa hình chóp đều và hình lăng trụ đều ta có đáp án B, C đúng. Đáp án D sai. Câu 35: Cho  P  và  Q  là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi a, b, c, d là các đường thẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu a   P  và a  m thì a   Q  .

B. Nếu c  m thì c   Q  .

C. Nếu b  m thì b   P  hoặc b   Q  . D. Nếu d  m thì d   P  . Hướng dẫn giải: Áp dụng hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Chọn đáp án A.

Trang 9

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG. Phương pháp: Để tính góc giữa hai mặt phẳng H và    ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau: Cách 1. Tìm hai đường thẳng a,b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng  α  và Ox, Oy, Oz . Khi đó góc giữa hai đường thẳng A, B, C chính là góc giữa hai mặt phẳng OA  OB  OC  1 và OABC .

OBA  ABC  OCB . Cách 2. Tìm hai vec tơ ABC. A ' B ' C ' có giá lần lượt vuông góc với AB  AC  a, AA '  a 2 và M hi đó góc giữa hai mặt phẳng AB và   xác định bởi M . Cách 3. Sử dụng công thức hình chiếu B ' C , từ đó để tính cos  thì ta cần tính a và b . Cách 4. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính. Ta thường xác định góc giữa hai mặt phẳng theo một trong hai cách sau: a)

β a

b p

Tìm giao tuyến M , N Chọn mặt phẳng AB, BC Tìm các giao tuyến  

  ,       a, b  b) β M

φ α

Tìm giao tuyến SB Lấy M , N , P .Dựng hình chiếu AB, BC , C ' D ' của ABCD.A ' B ' C ' D ' trên MN Dựng BD . Phương pháp này có nghĩa là tìm hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng AD ' và vuông góc với giao tuyến MN tại một điểm trên giao tuyến.

Trang 10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC  AD và BC  BD . Gọi I là trung điểm của CD . Khẳng định nào

sau đây sai? A. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABD  là CBD . B. Góc giữa hai mặt phẳng  ACD  và  BCD  là AIB . C.  BCD    AIB  . D.  ACD    AIB  . Hướng dẫn giải: Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD  CD  BI (1) Tam giác ACD cân tại A có I trung điểm đáy CD  CD  AI (2) (1) và (2)  CD   ABI  . Vậy A: sai Chọn A

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng A và góc

A  600 , cạnh SC 

a 6 và SC vuông góc với mặt phẳng 2

 ABCD  .

IK  SA tại K . Tính số đo góc BKD . A. 60 0 . B. 450 . C. 90 0 . Hướng dẫn giải: CS .CA  a;( CA  2 AI  a 3) ; Ta có CH  CS 2  CA2 1 1 IK  CH  a  IB  ID . 2 2 với H là hình chiếu của C lên SA , K là hình chiếu của I lên SA . Vậy chọn đáp án C .

Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD . Góc giữa

 ABC 

các khẳng định sau? 1 1 A. cos   . B. cos   . 3 4 Hướng dẫn giải: Đặt AB  a . Gọi I là trung điểm của AB .

D. 30 0 .

và  ABD  bằng  . Chọn khẳng định đúng trong C.   600 .

Tam giác ABC đều cạnh a nên CI  AB và CI 

Trong tam giác SAC kẻ

a 3 . 2

a 3 . 2 Do đó,   ABC  ,  ABD     CI , DI   CID   .

Tam giác ABD đều nên DI  AB và DI 

Trang 11

D. cos  

1 . 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

3a 2 3a 2 a2 2  a IC 2  ID 2  CD 2 1 4 Tam giác CID có cos    4  2 2  . Chọn A. 3a 2.IC.ID 3 a 3 a 3 2. . 2 2 2 Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải:. Chọn C. Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S . ABCD có đường cao SH . Ta có:  SCD    ABCD   CD . Gọi M là trung điểm CD .

Dễ chứng minh được SM  CD và HM  CD    SCD  ,  ABCD     SM , HM   SMH   . Từ giả thiết suy ra SCD là tam giác đều cạnh a có SM là a 3 đường trung tuyến  SM  . 2 a HM 1 .  cos    2  SM a 3 3 2 Câu 5: Cho hình chóp S . ABC có hai mặt bên  SAB  và  SAC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  , tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH

 H  BC  . Gọi

O là hình chiếu vuông góc của

A lên  SBC  . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. SC   ABC  .

B. O  SH .

C.  SAH    SBC  .

 SBC  ,  ABC   SBA .

Hướng dẫn giải:

 SAB    ABC    Ta có  SAC    ABC    SA   ABC   SA  BC .  SAB    SAC   SA BC  AH    BC   SAH   BC  SH . BC  SA 

Mặt khác, AH  BC nên Chọn D.

  SBC  ,  ABC     SH , AH   SHA .

Trang 12

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

0 Câu 6: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc BAD  60 . Đường

thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SO  trung điểm BE . Góc giữa hai mặt phẳng  SOF  và  SBC  là A. 90o.

B. 60o.

3a . Gọi E là trung điểm BC và F là 4

C. 30o.

D. 45o.

Hướng dẫn giải:  BCD đều nên DE  BC . Mặt khác OF //DE  BC  OF (1).  Do SO   ABCD   BC  SO (2).  Từ (1) và (2), suy ra BC   SOF    SBC    SOF  . Vậy, góc giữa  SOF  và  SBC  bằng 90o. Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA  SB  SC  a . Góc giữa

hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  bằng A. 30 o . B. 90 o . C. 60o . D. 45o . Hướng dẫn giải: Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy  ABCD  ( SH   ABCD  ) SA  SB  SC  a  các hình chiếu: HA  HB  HC  H là tâm đường tròn  ABC  Mà tam giác ABC cân tại B (vì BA  BC  a )  tâm H phải nằm trên BD  SH   SBD  SH   ABCD   Vậy có    SBD    ABCD  nên góc SH   SBD  

 SBD  ,  ABCD   90o .

Chọn B

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Các cạnh bên và các

cạnh đáy đều bằng a . Gọi M là trung điểm SC . Góc giữa hai mặt phẳng  MBD  và  ABCD  bằng: A. 90 0 . B. 60 0 . Hướng dẫn giải: Gọi M ' là trung điểm OC . Có 1 1 a a2 2 ; S MBD  MO.BD  . .a 2  2 2 2 4 1 1 1 a2 . Do đó SBM D  M O.BD  . .a 2.a 2  2 2 4 4 S 2 cos   BM D     450 SBMD 2 Vậy chọn đáp án C .

C. 450 .

Trang 13

D. 30 0 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A . Cạnh AB  a nằm trong mặt phẳng  P  , cạnh AC  a 2 ,

AC tạo với  P  một góc 60 0 . Chọn khẳng định đúng trong các hẳng định sau? A.  ABC  tạo với  P  góc 450 .

B. BC tạo với  P  góc 30 0 .

C. BC tạo với  P  góc 450 . D. BC tạo với  P  góc 60 0 . Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng  P  . Khi đó,  AC ,  P     AC , AH   CAH  600 và

 BC,  P     BC, AH   CBH   . Tam giác AHC vuông tại H nên CH a 6 sin CAH   CH  AC.sin CAH  a 2.sin 600  AC 2 . Tam giác CHB vuông tại H nên a 6 CH a 2 2 sin        450 . 2 BC 2 a2  a 2





Chọn C. Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và đáy ABC vuông ở A . Khẳng định nào sau đây sai ? A.  SAB    ABC  . B.  SAB    SAC  . C. V AH  BC , H  BC  góc AHS là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  . D. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  là góc SCB . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: SA   ABC    SAB    ABC  nên đáp án A đúng. AB  AC , AB  SA  AB   SAC    SAB    SAC  . Nên đáp án B đúng AH  BC ; BC  SA  BC   SAH 





 SH  BC   SBC  ,  ABC   SHA .

Nên đáp án C đúng. Ta có:  SBC    SAC   SC nên đáp án D sai. Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AC  AD và BC  BD . Gọi I là trung điểm của CD . Khẳng định

nào sau đây sai ? A. Góc giữa hai mặt phẳng  ACD  và  BCD  là góc AIB . B.  BCD    AIB  . C. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABD  là góc CBD .

Trang 14

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

D.  ACD    AIB  . Hướng dẫn giải: Chọn C.  ABC    ABD   AB  Ta có:     ABD  ,  ABC    CBD . BC  AB  BD  AB 

Nên đáp án C sai

Câu 12: Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và AB  BC , gọi I là trung điểm BC . Góc giữa hai

mặt phẳng  SBC  và  ABC  là góc nào sau đây? A. Góc SBA . Hướng dẫn giải: Chọn A.

B. Góc SCA .

C. Góc SCB .

D. Góc SIA .

Ta có: BC  SA, BC  AB  BC  SB   SBC    ABC   BC    AB  BC , AB   ABC     SBC  ,  ABC    SBA .  SB  BC , SB   SBC  

Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA   ABCD  , gọi O là tâm hình

vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây sai? A. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  là góc ABS . B. Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  là góc SOA . C. Góc giữa hai mặt phẳng

 SAD 

và

 ABCD 

SDA . D.  SAC    SBD  . Hướng dẫn giải: Chọn C.   SAD    ABCD   AD  Ta có:  AB  AD, AB   ABCD   SA  AD, SA   SAD  

   SAD  ,  ABCD    SAB . Nên đáp án C sai. Trang 15

là góc

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Biết SO   ABCD  ,

SO  a 3 và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a . Gọi  là góc hợp bởi mặt bên  SCD  với đáy. Khi đó tan   ? 3 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.

3 . 2

6 . 6

Gọi M là trung điểm của CD . CD  OM Khi đó   CD  SO

 CD  SM    SCD  ,  ABCD    SMO   . Ta có: R  OA  a  AC  2a  AB  AD  a 2 . a 2 SO  OM   tan    6. 2 OM Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA= 2AB . Góc giữa  SAB  và

Chọn khẳng định đúng trong các hẳng định sau? B. cos  

A.   600 . C. cos  

1 4 5

. 3 5 1 D. cos   . 2 5

Hướng dẫn giải: C Gọi O là tâm của tam giác đều ABC Gọi CO  AB  H suy ra H là trung điểm AB( vì ABC đều) 1 1 AB 3 AB 3   OH  AB và OH  CH  . 3 3 2 6 Tìm góc giữa  SAB  và  ABC    SAB    ABC   AB  OH  AB   SO  AB  SO  ( ABC )    SH  AB (1)

Ta có   SAB    ABC   AB   OH  AB, OH  ( ABC )  SH  AB, SH  ( SAB) 



 



 ( SAB);( ABC )  SH ; OH  SHO   2

15  AB  Từ (1) suy ra SH  SA  AH   2 AB    AB   2  2  2

Trang 16

 ABC 

bằng  .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

3 AB OH 1  6  Từ đó ta có : cos   SH 15 3 5 AB 2 Chọn B Câu 16: Cho tam giác cân ABC có đường cao AH  a 3 , BC  3a, BC chứa trong mặt phẳng  P  . Gọi A ' là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  P  . Biết tam giác A ' BC vuông tại A ' . Gọi  là góc giữa  P  và  ABC  . Chọn khẳng định đúng trong các hẳng định sau? A.   600 .

C. cos  

B.   450 .

2 . 3

D.   300 .

Hướng dẫn giải:  BC  AA ' Ta có   BC   A ' AH   BC  A ' H .  BC  AH Do đó:  ABC    A ' BC   BC     ABC  ,  A ' BC     AH , A ' H   AHA ' .    BC  AH , BC  A ' H Mặt khác, tam giác A ' BC vuông tại A ' nên A ' H 

1 3a BC  . 2 2

3a A' H 1  2  . Ta có cos   AH a 3 2 Chọn D. Câu 17: Trong hông gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt

phẳng vuông góc. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD . Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAB  và  SCD  bằng : 2 . 3 Hướng dẫn giải: Ta có: S   SAB    SCD 

2 3 . 3

3 . 3

Gọi d   SAB    SCD  với d  S ; d AB CD Do đó: d   SAB    SCD  Mặt khác:  SAB    ABCD  ; mà HK  AB  hv   HK   SAB  Vì H là trung điểm của AB  SH  AB  SH  d (vì d AB )  d  SK (theo định lí a đường vuông góc) Do đó: KSH   là góc giữa  SAB  và  SCD 

SH là đường a 3 a  SH  2

Mà

cao

trong

SAB đều

cạnh

Trang 17

3 . 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Xét SHK vuông tại H có: tan   Vậy chọn đáp án B .

Quan hệ vuông góc – HH 11

HK a 2 3   . SH a 3 3 2

Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và khoảng cách từ A đến

2a . Biết SA   ABCD  và SA  2a . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABCD  và 5  SBD  . Khẳng định nào sau đây sai? BD bằng

A.  SAB    SAD  . Hướng dẫn giải: Chọn D.

B.  SAC    ABCD  .

C. tan   5 .

D.   SOA .

Gọi AK là khoảng cách từ A đến BD 2a Khi đó AK  và BD  AK , BD  SA 5 SA  5.   SBD  ,  ABCD    SKA    tan   AK Vậy đáp án D sai.

Câu 19: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi, AC  2a . Các cạnh bên vuông

góc với đáy và AA  a . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật. B. Góc giữa hai mặt phẳng  AAC C  và  BBDD  có số đo ằng 60 . C. Hai mặt bên  AAC  và  BBD  vuông góc với hai đáy. D. Hai hai mặt bên  AABB  và  AAD D  bằng nhau. Hướng dẫn giải: Chọn B.

Ta có: các cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình thoi nên Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật. Hai mặt bên  AAC  và  BBD  vuông góc với hai đáy. Hai hai mặt bên  AABB  và  AAD D  bằng nhau. suy ra đáp án A,C,D đúng. Mặt hác hai đáy ABCD và ABCD là các hình thoi nên  AAC C    BBDD  . Suy ra đáp án B sai.

Trang 18

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Câu 20: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Gọi

Quan hệ vuông góc – HH 11

là góc giữa hai mặt phẳng

 A1 D1CB 

( ABCD ) . Chọn khẳng định đúng trong các hẳng định sau?

450 . A. Hướng dẫn giải:

300 .

600 .

900 .

là góc giữa hai mặt phẳng  A1 D1CB  và ( ABCD ) là

MNP MP 1 NP Chọn đáp án A.

Ta có tan

450

Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông

có tâm O và SA   ABCD  . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  là góc ABS . B.  SAC    SBD  . C. Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  là góc SOA . D. Góc giữa hai mặt phẳng  SAD  và  ABCD  là góc SDA . Hướng dẫn giải: Ta có:  SBC    ABCD   CD  AB  BC , AB   ABCD    SB  BC , SB   SBC 





 ( SBC );  ABCD   ABS

. Vậy A đúng

 BD  AC  BD   SAC   Ta có:  BD  SA Mà BD   SBD    SAC    SBD  . Vậy B đúng

Ta có:  SBD    ABCD   BD  AO  BD, AB   ABCD    SO  BD, SO   SBD 









 ( SBD);  ABCD   SOA

. Vậy C đúng SAD  ABCD  BD    Ta có:   AB  AD, AB   ABCD    SA  AD, SA   SAD   ( SAD);  ABCD   SAB  900

. Vậy D sai. Câu 22: Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều. 2 1 1 . A. . B. . C. 3 2 3 Hướng dẫn giải: Trang 19

3 . 2

và

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi H là trung điểm của AC hi đó BH  AC ; DH  AC Góc giữa hai mặt của tứ diện bằng BHD a 3 Ta có BH  DH  2 Trong tam giác BHD có :

BD2  BH 2  HD2  2BH .HD.cos BHD 3a 2 3a 2 3a 2  a2   2 .cos BHD 4 4 4 1  cos BHD  3

Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có SA  SB . Góc giữa  SAB  và  SAD  bằng  . Chọn

khẳng định đúng trong các hẳng định sau? 1 2 A. cos    . B. cos   . C.   600 . 3 5 Hướng dẫn giải: Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều S . ABCD là a . Gọi I là trung điểm của SB ta có DI  SB (vì tam giác SBD đều) và AI  SB (vì tam giác SAB đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng

D. cos  

2 . 3

( SAB ) và ( SAD) chính là góc AID .

Ta có : AD  a 2 (đường chéo hình vuông), AI  DI 

a 3 2

(đường cao tam giác đều) Áp dụng định lý cosin cho góc I trong tam giác AID ta có : 2

a 3 a 3      a 2 AI 2  DI 2  AD 2  2   2  cos( AID)   2 AD.DI a 3 a 3 2.   .  2   2 







1 3

1 3 Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC  600 . Các cạnh 3 SA, SB, SC đều bằng a . Gọi  là góc của hai mặt phẳng 2  SAC  và  ABCD  . Giá trị tan  bằng bao nhiêu?

Vậy cos   

A. 2 5 5 3 Hướng dẫn giải:

B. 3 5 D. 3

Do AB  BC và ABC  600 nên tam giác ABC đều. Trang 20

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi H là hình chiếu của A lên  ABCD  . Do SA  SB  SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiế tam giác ABC .

 SAC    ABCD   AC  Ta có :   SO  AC , HO  AC

   SAC  ,  ABCD     SO, HO   SOH

1 1 a 3 a 3 3a 2 a 2 a 5 , SH  SB 2  BH 2  BO  .    3 3 2 6 4 3 2 3 Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D . AB  2a, Mặt khác, HO 

AD  DC  a trong các khẳng định sau? A.  SBC    SAC  .

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Chọn khẳng định sai

B. Giao tuyến của  SAB  và  SCD  song song với AB . C.  SDC  tạo với  BCD  một góc 60 0 . D.  SBC  tạo với đáy một góc 450 . Hướng dẫn giải:  BC  SA  BC   SAB   +Ta có:  BC  AB

Mà BC   SBC    SBC    SAC  (A đúng)

 SAD    SAB   S   AB / /CD   SAD    SAB   Sx / / AB  AB  SAB    CD   SCD  + B đúng +  SCD    BCD   CD  AD  CD, AD   BCD  Ta có:   SD  CD, SD   SCD  Suy ra góc giữa  SDC  và  BCD  là SDA . SA tan SDA   2  SDA  540 44' (C sai) AD Vậy chọn C. Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có AB  AA  a , AD  2a . Gọi  là góc giữa đường chéo AC và đáy ABCD . Tính  . A.   2045 . B.   245 . C.   3018 . D.   2548 . Hướng dẫn giải:. Chọn B. Từ giả thiết ta suy ra: AA   ABCD   AC là hình chiếu

vuông góc của AC lên mặt phẳng  ABCD    AC ,  ABCD     AC , AC   ACA   .

Trang 21

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại B ta có: AC 2  AB 2  BC 2  a 2  4a 2  5a 2  AC  a 5 . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AAC vuông tại A ta có: AA a 1    245 . tan     AC a 5 5 Câu 27: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xét mặt phẳng  A ' BD  . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa mặt phẳng  A ' BD  và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương ằng  mà 1 . 2 B. Góc giữa mặt phẳng  A ' BD  và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương ằng  mà tan  

1 . 3 C. Góc giữa mặt phẳng  A ' BD  và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc sin  

vào ích thước của hình lập phương. D. Góc giữa mặt phẳng  A ' BD  và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương ằng nhau. Hướng dẫn giải: ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác A ' BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau. Gọi S1 là diện tích các tam giác này Lại có S1  S AB ' D .cos . Vậy chọn đáp án D .

Câu 28: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy ằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy.

Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy. A. 30 . B. 45 . C. 60 . Hướng dẫn giải:. Chọn C. + Vì SH   ABC  và AN   ABC   SH  AN hay  SH  AH  AH là hình chiếu vuông góc của SA lên  ABC  

 SA,  ABC     SA, AH   SAH . + Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , BC . Vì ABC là tam giác đều cạnh a nên dễ tính được : AN 

a 3 . 2

Từ giả thiết suy ra H là trọng tậm ABC 2 2 a 3 a 3 .  AH  AN  .  3 3 2 3 + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHA vuông tại H ta có:

Trang 22

D. 75 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word tan SAH 

Quan hệ vuông góc – HH 11

SH a   3  SAH  60 . AH a 3 3

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy ằng a 2 và chiều cao bằng

góc giữa mặt bên và mặt đáy. A. 30 . B. 45 . Hướng dẫn giải:. Chọn B.

C. 60 .

a 2 . Tính số đo của 2

D. 75 .

Giả sử hình chóp đ cho là S . ABCD có đường cao SH . Ta có:  ABCD    SCD   CD . Gọi M là trung điểm của CD  dễ chứng minh được SM  CD và HM  CD .    ABCD  ,  SCD     HM , SM   SMH . 1 a 2 AD  2 2 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H , ta có : SH a 2 2 tan SMH   .  1  SMH  45 . HM 2 a 2 Câu 30: Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều. 1 3 2 A. . B. . C. . 2 3 2 Hướng dẫn giải:. Chọn D.

Mặt khác: HM 

1 . 3

Giả sử tứ diện đều đ cho là ABCD có cạnh a . Ta có:  ABC    BCD   BC . Gọi E là trung điểm BC . Khi đó dễ dàng chứng minh được AE  BC và DE  BC .    ABC  ,  BCD     AE , DE   AED . a 3 . 2 Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác 3a 2 3a 2   a2 2 2 2 AE  DE  AD 4 4 cos AED    2. AE.DE a 3 a 3 2. . 2 2

Ta dễ tính được: AE  DE 

AED ta có: a2 2 1. 3a 2 3 2

Câu 31: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với

đáy và SA  a 3 . Gọi các khẳng định sau?

là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) . Chọn khẳng định đúng trong

Trang 23

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word



10 . 2 4 Hướng dẫn giải:

A. cos



B. cos

 2



1 . 4

C. sin

 2

Quan hệ vuông góc – HH 11 

10 . 4

D. sin

 2



1 . 4

Ta có SB SD 2a Vì SCD SCB (c.c.c) nên chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó tr ng nhau và độ dài đường cao bằng nhau BH DH Do đó ( SBC ),( SCD) DHB Ta có BD a 2 OB OD 2 2 1 1 1 1 1 5 2 5 BH DH a 2 2 2 2 2 2 BH SB BC 4a a 4a 5 Lại có BH DH và O là trung điểm BD nên HO BD hay HOB vuông tại O 2

Ta có sin

OH BH

2 5a 5

30 10 2 5 5

a 2 2

6 ;sin 4 2

30 a 10 2 2 2 5 5

OB BH

10 4

Chọn đáp án C.

Câu 32: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với

đáy và SA  a . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) bằng bao nhiêu? A. 30 0 B. 450 C. 90 0 Hướng dẫn giải:

D. 60 0

Ta có: SC  BD (vì BD  AC , BD  SA ) Trong mặt phẳng ( SAC ) , kẻ OI  SC thì ta có SC  ( BID)





Khi đó ( SBC ), ( SCD)  BID Trong tam giác SAC , kẻ đường cao AH thì AH  Mà O là trung điểm AC và OI AH nên OI 

a 2 3

a 6

Tam giác IOD vuông tại O có tan OID  3  OID  600 Vậy hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD ) hợp với nhau một góc 60 0 . Câu 33: Lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy ằng a . Gọi M là điểm trên cạnh AA sao 3a cho AM  . Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng  MBC  và  ABC  là: 4

Trang 24

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 2 . 2 Hướng dẫn giải:

B. 2 .

1 . 2

Quan hệ vuông góc – HH 11

3 . 2

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khi đó, AO   ABC  . Trong mặt phẳng  ABC  , dựng AH  BC . Vì tam giác ABC a 3 . 2 BC  AH  Ta có   BC   AHA  BC  MH . BC  AO 

đều nên AH 

Do đó,

  MBC  ,  ABC     MH , AH   MHA   .

3a AM 3 Tam giác MAH vuông tại A nên tan   .  4  AH a 3 2 2 Chọn D. Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA   ABCD  , SA  x . Xác định x để hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  tạo với nhau góc 60o .

3a 2 Hướng dẫn giải:

A. x 

B. x 

a 2

C. x  a

D. x  2a

* Trong  SAB  dựng AI  SB ta chứng minh được AI   SBC  (1) Trong  SAD  dựng AJ  SD ta chứng minh được AJ   SCD  (2) Từ (1) và (2) góc  ( SBC ), ( SCD)    AI , AJ   IAJ * Ta chứng minh được AI  AJ . Do đó, nếu góc IAJ  60o thì AIJ đều  AI  AJ  IJ SAB vuông tại A có AI là đường cao  AI .SB  SA. AB  SA. AB (3) AI  SB SA2 2 Và có SA  SI .SB  SI  (4) SB IJ SI SI .BD (4)  Ta chứng minh được IJ //BD   IJ   BD SB SB SA2 .BD (5) SB 2 SA.BD Thế (3)&(5) vào AI  IJ  AB   AB.SB  SA.BD SB  a. x 2  a 2  x.a 2  x 2  a 2  2 x 2  x  a Chọn C Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SO   ABCD  , SO  a 3 và đường tròn nội tiếp ABCD có bán kính bằng a. Tính góc hợp bởi m i mặt bên với đáy.

Trang 25

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A. 300. B. 450. C. 600. Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có SO  ( ABCD ) và OM , ON , OP, OQ lần lượt vuông góc với AB, BC , CD, DA Theo định lí a đường vuông góc ta có SM  AB, SN  BC , SP  CD, SQ  DA

Quan hệ vuông góc – HH 11 D. 750.

Từ đó suy ra SMO  SNO  SPO  SQO Xét tam giác SMO vuông tại O ta có tan SMO  3  SMO  600 Vậy m i mặt bên hợp với đáy các góc ằng nhau và bằng 60 0 Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA   ABC  . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Góc giữa hai mặt phẳng  SEF  và  SBC  là : A. CSF . B. BSF . Hướng dẫn giải: Ta có:  SEF    SBC   Sx / / EF / / BC

C. BSE .

D. CSE .

 BC  AB  BC   SAB    BC  SA  BC  SE , BC  SB  SB  Sx, SE  Sx

 Góc giữa hai mặt phẳng  SEF  và  SBC  là : BSE

Chọn C. Câu 37: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng  P  . Trên các đường thẳng vuông góc với  P  tại B, C lần lượt lấy D, E nằm trên cùng một phía đối với  P  sao cho BD  a

3 , CE  a 3 . Góc giữa  P  và  ADE  bằng bao nhiêu? 2 0 0 0 B. 60 C. 90 D. 45

A. 30 Hướng dẫn giải: Gọi     ABC  ,  ADE   . Ta có: S ABC 

a2 3 . 4

3a 2 a 7  Mặt khác, ta có: AD  AB  BD  a  , 4 2 2

AE  AC 2  CE 2  a 2  3a 2  2a . Gọi F là trung điểm EC , ta có DF  BC  a . 3a 2 a 7  Do đó DE  DF  FE  a  . 4 2 Suy ra tam giác ADE cân tại D . 2

Trang 26

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

7a 2 a 3 Gọi H là trung điểm AE , ta có DH  AD  AH  .  a2  4 2 1 1 a 3 a2 3 Suy ra S ADE  DH . AE  . .2a  2 2 2 2 a2 3 S 1 Vậy cos   ABC  24     60 o . S ADE a 3 2 2 2

Chọn B. 0 0 Câu 38: Cho góc tam diện Sxyz với xSy  120 , ySz  60 , zSx  900 . Trên các tia Sx , Sy , Sz lần

lượt lấy các điểm A, B, C sao cho SA  SB  SC  a . Góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) bằng : A. 150 B. 90 0 C. 450 D. 60 0 Hướng dẫn giải: Chọn B Áp dụng định lí Côsin trong tam giác SAB , ta có AB  a 3 Tam giác SAC vuông cân tại S nên AC  a 2 ; tam giác SBC đều nên BC  a . Vì AC 2  BC 2  AB 2 nên tam giác ABC vuông tại C Gọi H là trung điểm AB thì ta có  HA  HB  HC  SH  ( ABC )   SA  SB  SC Mà SH  ( SAB ) nên ( SAB)  ( ABC )



S I

600



Vậy ( SAB ),( ABC )  90 0

C z

Câu 39: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi d B , dC lần lượt là đường thẳng đi qua B, C và vuông góc

với  ABC  .  P  là mặt phẳng qua A và hợp với  ABC  góc 60 0 .  P  cắt d B , dC lần lượt tại D và 6 , AE  a 3. đặt DAE   . Chọn khẳng định đúng trong các hẳng định sau? 2 2 3 A. sin   . B.   600 . C. sin   . D.   300 . 6 6 Hướng dẫn giải: E . biết AD  a

Ta có: S ABC  S ADE .cos  với     ABC  ,  ADE    600 . Do đó S ADE

a2 3 S ABC a2 3 4    . cos  cos 600 2

Mặt khác, 1 a2 3 1 a 6 2 S ADE  AD. AE.sin    . .a 3.sin   sin   2 2 2 2 6 . Chọn A.

Trang 27

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC, CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp: * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:  Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q).





 Chứng minh (P ),(Q)  900 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:  Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).  Sử dụng các cách chứng minh đ iết ở phần trước. Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB   BCD  . Trong BCD v các đường cao BE và DF cắt nhau ở

O . Trong  ADC  v DK  AC tại K . Khẳng định nào sau đây sai ? A.  ADC    ABE  . Hướng dẫn giải:

* Ta có

B.  ADC    DFK  .

C.  ADC    ABC  .

D.  BDC    ABE  .

CD  BE  .   CD   ABE    CD  AB    ADC    ABE  CD   ADC  

Vậy “  ADC    ABE  ”: ĐÚNG.

* DF  BC  .   DF   ABC   DF  AB    DF  AC  SC   ABC     AC   DFK    DK  AC    ADC    DFK  AC   ADC   Vậy “  ADC    DFK  ”: ĐÚNG.

* Ta có

CD  BE  .   CD   ABE    CD  AB    BDC    ABE  CD   BDC  

Vậy “  BDC    ABE  ”: ĐÚNG. * “  ADC    ABC  ”: SAI Chọn C

Trang 28

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng  ABC  và  ABD  cùng vuông góc với  DBC  . Gọi BE

và DF là hai đường cao của tam giác BCD , DK là đường cao của tam giác ACD . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. ( ABE )  ( ADC ) . B. ( ABD)  ( ADC ) . C. ( ABC )  ( DFK ) . D. ( DFK )  ( ADC ) . Hướng dẫn giải:

 ABC    BCD    AB   BCD  . Ta có:  ABD    BCD    ABC    ABD   AB CD  BE Mặt khác:   CD   ABE  nên câu A CD  AB đúng.  ABC    BCD    ABC    BCD   BC  DF   ABC  nên câu C  DF  BC  đúng. Theo trên ta có DF   ABC  nên DF  AC .  AC  DF Vậy ta có   AC   DKF    ACD    DKF  . Do đó câu D đúng.  AC  DK Chọn B. Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD . Khẳng định nào sau đây không đúng? A. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp. B. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật. C. Hai mặt ACCA và BDDB vuông góc nhau. D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của m i đường. Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có hai mặt bên  SBC  và  SAC  vuông góc với đáy

định nào sau đây sai ? A. Đáy là đa giác đều. B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. C. Các cạnh bên là những đường cao. D. Các mặt bên là những hình bình hành.

Trang 29

 ABC  . Khẳng

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải:  SBC    ABC    SC   ABC  . Do Ta có:  SAC    ABC    SC   SBC    SAC  đó câu A và B đúng C . Sai. vì nếu A '  SB thì hai mặt phẳng  SAB  và

 SBC  phải

tuyến SB

vuông góc với nhau theo giao

 SC   ABC    SAC    ABC  theo  SC   SAC 

D. Ta có: 

giao tuyến AC Mà là đường cao của ABC BK  BK  AC  BK   SAC  . Vậy D. đúng Vậy chọn đáp án D . Câu 5: Cho hình lăng trụ ABCD. A’B’C’D’ . Hình chiếu vuông góc của A’ lên  ABC  trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng? A. BB’C’C là hình chữ nhật. B.  AA’H    A’B’C’ . C.  BB’C’C    AA’H  . D.  AA’B’B    BB’C’C  . Hướng dẫn giải: Ta có BC   A’ AH  nên BC  BB’ ,nếu  AA’B’B    BB’C’C  thì BC  AB vô lý vì H trùng A . Chọn D.

Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và đáy ABC là

tam giác cân ở A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên  SBC  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. H  SB . C. H  SC . Hướng dẫn giải: Chọn D.

B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC . D. H  SI ( I là trung điểm của BC ).

Gọi I là trung điểm của BC  AI  BC mà BC  SA  BC   SAI  . Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên  SBC  . Suy ra

H  SI .

Trang 30

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 7: Cho hình chóp S . ABC có hai mặt bên  SBC  và  SAC  vuông góc với đáy  ABC  . Khẳng

định nào sau đây sai? A. SC   ABC  . B. Nếu A là hình chiếu vuông góc của A lên  SBC  thì A  SB . C.  SAC    ABC  . D. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK   SAC  . Hướng dẫn giải: Chọn B.  SAC    SBC   SC  Ta có:   SAC    ABC   SC   ABC  .   SBC    ABC  

Gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên  SBC  , hi đó AA   SBC   AA  BC  A  BC . Suy ra đáp án B sai

Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có hai mặt bên  SAB  và  SAC  vuông góc với đáy  ABC  , tam giác

ABC vuông cân ở A và có đường cao AH , ( H  BC ) . Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên  SBC  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. SC   ABC  .

B.  SAH    SBC  .

C. O  SC .

D. Góc giữa  SBC  và  ABC  là góc SBA .

Hướng dẫn giải: Chọn B.  SAB    SAC   SA  Ta có:   SAC    ABC   SA   ABC  .   SAB    ABC  

Gọi H là trung điểm của BC  AH  BC mà BC  SA  BC   SAH    SBC    SAH  . Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên  SBC  Thì suy ra O  SI và   SBC  ,  ABC    SHA . Vậy đáp án B đúng. Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A . H là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Các mặt bên của ABC.ABC  là các hình chữ nhật bằng nhau. B.  AAH  là mặt phẳng trung trực của BC .

Trang 31

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

C. Nếu O là hình chiếu vuông góc của A lên  ABC  thì O  AH . D. Hai mặt phẳng  AABB  và  AAC C  vuông góc nhau. Hướng dẫn giải: Chọn A.

Vì ABC là tam giác vuông cân ở A  AB  AC  BC nên các mặt bên của lăng trụ không bằng nhau. Vậy đáp án A sai.

A H B

Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD . Khẳng định nào sau đây hông đúng?

A. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật. B. Hai mặt  ACC A  và  BDD B   vuông góc nhau. C. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp. D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của m i đường. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD Suy ra hai mặt  ACC A  và  BDD B   không vuông góc với nhau. Vậy đáp án B sai.

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Mặt phẳng

nào dưới đây? A.  AB1 D  . Hướng dẫn giải: * Gọi I  AB1  A1B .

B.  ACC1 A1  .

 A1BD 

C.  ABD1  .

Tam giác A1BD đều có DI là đường trung tuyến nên

DI  A1B .

DA   AA1 B1 B   DA  A1B .

A1 B  DI    A1 B   AB1 D  nên A đúng. A1 B  AD  * Ta có BD  AC    BD   ACC1 A1    A1 BD    ACC1 A1  nên BD  AA1  B đúng. Trang 32

không vuông góc với mặt phẳng D.  A1 BC1  .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

* Gọi J  AD1  A1D . Tam giác A1BD đều có BJ là đường trung tuyến nên BJ  A1D . BA   AA1 D1 D   BA  A1 D .

A1 D  BJ    A1 B   ABD1  nên C đúng. Chọn D. A1 D  BA Câu 12: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a . Khẳng định nào sau đây sai? A. Tam giác ABC là tam giác đều. 2 B. Nếu  là góc giữa AC  và  ABCD  thì cos   . 3 C. ACCA là hình chữ nhật có diện tích bằng 2a 2 . D. Hai mặt  AAC C  và  BBDD  ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải:. Chọn C. + Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra C là đáp án sai. Từ giả thiết dễ dàng tính được AC  a 2 . Mặt khác vì ABCD. ABCD là hình lập phương nên suy ra AAC   90 .  AA / / CC   Xét tứ giác ACCA có  AA  CC   a  ACCA là hình chữ   AAC   90 nhật có các cạnh a và a 2 . Diện tích hình chữ nhật ACCA là : S  a.a 2  a 2 2 (đvdt)  đáp án C sai. + Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A , B , D đều đúng và suy ra đáp án C sai. Câu 13: Cho hình chóp S . ABC có đường cao SH . Xét các mệnh đề sau: I) SA  SB  SC . II) H trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . III) Tam giác ABC là tam giác đều. IV) H là trực tâm tam giác ABC . Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận S . ABC là hình chóp đều? A.  I  và  II  . B.  II  và  III  . C.  III  và  IV  . D.  IV  và  I  . Hướng dẫn giải:. Chọn A. Câu 14: Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh bằng a . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hai mặt ACCA và BDDB vuông góc nhau. B. Bốn đường chéo AC  , AC , BD , BD bằng nhau và bằng a 3 . C. Hai mặt ACCA và BDDB là hai hình vuông bằng nhau. D. AC  BD . Hướng dẫn giải:. Chọn C. Vì theo giả thiết ABCD. ABCD ta dễ dàng chỉ ra được:

Trang 33

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 AC  BD + và BD cắt BB cùng nằm trong  BBDD   AC   BBDD  . Mà BD   BBDD   AC  BB   AC  BD  đáp án D đúng.   AC   ACC A  +   ACC A    BB D D   đáp án A đúng.   AC   BB D D  + Áp dụng đình lý Pytago trong tam giác BAD vuông tại A ta có: BD2  BA2  AD2  a 2  a 2  2a 2 . Áp dụng định lý Pytago trong tam giác BBD vuông tại B ta có: BD2  BB2  BD2  a 2  2a 2  3a 2  BD  a 3 . Hoàn toàn tương tự ta tính được độ dài các đường

chéo còn lại của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 3  đáp án B đúng.  AC / / AC    AC  AC   a 3 + Xét tứ giác ACCA có   ACC A là hình chữ nhật. hoàn toàn tương tự ta cũng  AA  CC   a  ACC   90  chỉ ra BDDB cũng là hình chữ nhật có các cạnh là a và a 3 .  Hai mặt ACCA và BDDB là hai hình vuông bằng nhau  đáp án C sai. Câu 15: Cho hình lăng trụ ABCD. ABC D . Hình chiếu vuông góc của A lên  ABC  trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây hông đúng? A.  AABB    BBC C  . B.  AAH    ABC   . D.  BBC C    AAH  .

C. BBCC là hình chữ nhật. Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC  H  AK , BC  AK , BC  AH  BC   AAH    AAH    ABC      BBC C    AAH  nên đáp án B,C,D đúng.  BC  BB 

Câu 16: Hình hộp ABCD. ABC D trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào

sau đây? A. Tất cả các cạnh đáy ằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy. C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông. D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông. Hướng dẫn giải: Chọn D. Theo lí thuyết lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. Câu 17: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D có cạnh đáy ằng a , góc giữa hai mặt phẳng  ABCD  và  ABC   có số đo ằng 60 . Cạnh bên của hình lăng trụ bằng: Trang 34

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A. 3a . B. a 3 . Hướng dẫn giải:. Chọn B. Ta có:  ABCD    ABC    AB .

Quan hệ vuông góc – HH 11

C. 2a .

D. a 2 .

Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được: AB   BBC C  mà C B   BBC C   AB  CB . Mặt khác: CB  AB .    ABCD  ,  ABC      CB, C B   CBC   60 .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BCC vuông tại C ta có: CC  tan CBC    CC   CB.tan CBC   a.tan 60  a 3 . CB

Câu 18: Cho hai mặt phẳng vuông góc  P  và  Q  có giao tuyến  . Lấy A , B cùng thuộc  và lấy

C trên (P), D trên (Q) sao cho AC  AB , BD  AB và AB  AC  BD . Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với CD là hình gì? A. Tam giác cân. B. Hình vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác vuông. Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của BC . Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AI  BC .  P   Q    Ta có  P    Q   d   BD   P   BD  AI .  Q   BD  d  AI  BC    AI   BCD   AI  CD . AI  BD 

Trong  ACD  , dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với CD cắt CD tại H . Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng   là tam giác AHI . Vì AI   BCD   AI  HI nên tam giác AHI là tam giác vuông tại I . Chọn D. Câu 19: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC  AD  BC  BD  a; CD  2 x . với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng  ABC  và  ABD  vuông góc. a a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: YCBT  CJD vuông cân tại J AB a2  a2 a 3  IJ  IC  ID   4 x 2  2 AI 2  2(  x2 )  x  2 2 3 ( Với I là trung điểm CD ; J là trung điểm AB ) Vậy chọn đáp án A . Trang 35

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Trang 36

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 3: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU, CHU VI VÀ DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có AB  a , BC  b , CC  c . Độ dài đường chéo

AC  là

A. AC '  a 2  b 2  c 2 .

B. AC '   a 2  b 2  c 2 .

C. AC '  a 2  b 2  c 2 . Hướng dẫn giải: Từ sách giáo

D. AC '  a 2  b 2  c 2 .

hoa, đường chéo hình hộp chữ nhật

AC '  a  b  c2 Chọn A 2

Câu 2: Cho hình hộp ABCD. ABC D có AB  a , BC  b , CC  c . Nếu

AC   BD  BD  a 2  b 2  c 2 thì hình hộp là A. Hình lập phương. B. Hình hộp chữ nhật Hướng dẫn giải:

C. Hình hộp thoi.

D. Hình hộp đứng.

AC  BD hình bình hành ABC D là hình chữ nhật BD  BD hình bình hành BDDB là hình chữ nhật AC  BD hình bình hành ADC B là hình chữ nhật Chọn B Câu 3: Cho hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến d của hai

mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB  8 . Gọi C là một điểm trên  P  , D là một điểm trên

Q 

sao cho AC , BD cùng vuông góc với giao tuyến d và AC  6 , BD  24 . Độ dài CD là:

A. 20 . Hướng dẫn giải:

B. 22 .

C. 30 .

Tam giác ABC vuông tại A nên BC  AB 2  AC 2  82  62  10 .

Trang 37

D. 26 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 P   Q    Ta có  P    Q   d   BD   P   BD  BC .  Q   BD  d  Tam

BCD

giác

vuông

tại

nên

CD  BD  BC  24  10  26 . Chọn D. 2

Câu 4: Cho ba tia Ox , Oy , Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox , Oy , Oz lần lượt lấy các

điểm A , B , C sao cho OA  OB  OC  a . Khẳng định nào sau đây sai? A. O. ABC là hình chóp đều. a2 3 B. Tam giác ABC có diện tích S  . 2 3a 2 C. Tam giác ABC có chu vi 2 p  . 2 D. Ba mặt phẳng  OAB  ,  OBC  ,  OCA  vuông góc với nhau từng đôi một. Hướng dẫn giải:. Chọn C. + Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB vuông tại O ta có: AB 2  OA2  OB 2  a 2  a 2  2a 2  AB  a 2 . Hoàn toàn tương tự ta tính được BC  AC  a 2 .  ABC là tam giác đều. Mặt khác theo giả thiết OA  OB  OC  a  các mặt bên của hình chóp O. ABC là các tam giác cân tại O  O. ABC là hình chóp đều  đáp án A đúng. + Chu vi ABC là: 2 p  AB  AC  BC  a 2  a 2  a 2  3a 2  đáp án C sai. 3a 2 + Nửa chu vi Diện tích ABC là: p  . Diện tích ABC 2 là: 3

 3a 2  3a 2 3a 2  a 2  3a 2 2a 3 2 3a 4 a 2 3 S  a 2   .   (đvdt).     2  2 2 2 2 8 4 2     đáp án B đúng. OA   OBC     OAB    OBC  OB   OAC    OAB    OAC  . + Dễ chứng minh được OA   OAB    ,   OAC    OBC  OB   OAB    OA   OAC   đáp án D đúng. Câu 5: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và A  60 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 ABCD 

tại O ( O là tâm của ABCD ), lấy điểm S sao cho tam giác SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng? A. S . ABCD là hình chóp đều. Trang 38

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

B. Hình chóp S . ABCD có các mặt bên là các tam giác cân. 3a C. SO  . 2 D. SA và SB hợp với mặt phẳng  ABCD  những góc bằng nhau. Hướng dẫn giải:. Chọn C. Xét ABD có A  60 , AB  AD  a  ABD là tam giác đều cạnh a . Vì O là tâm của ABCD nên suy ra AO là đường trung a 3 tuyến trong ABD đều cạnh a nên dễ tính được AO  2  AC  2 AO  a 3 . Mặt khác theo giả thiết SAC là tam giác đều 3 3a  SA  SC  AC  a 3  SO  a 3. .  2 2 Câu 6: Cho hình chóp cụt đều ABC. ABC với đáy lớn ABC có a a cạnh bằng a . Đáy nhỏ ABC có cạnh bằng , chiều cao OO  . Khẳng định nào sau đây sai? 2 2 A. Ba đường cao AA , BB , CC  đồng qui tại S . a B. AA  BB  CC   . 2 C. Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc SIO ( I là trung điểm BC ). D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ ABC . Hướng dẫn giải:. Chọn B. + Đáp án A đúng. + Gọi I là trung điểm của BC . AA OO 1    SO  2OO  a . Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được SA SO 2 Mặt khác ABC là tam giác đều cạnh a , có AI là đường trung a 3 2 a 3 a 3 tuyến  AI  .  AO  .  3 2 3 2 Áp dụng định lý Pytago trong SOA vuông tại O ta có: 2

 a 3  12a 2 2a 3 SA  SO  AO  a    SA    3 9  3  2

a 3 . Vì ABC. ABC là hình chóp cụt đều nên 3 a 3  đáp án B sai. AA  BB  CC   3 + Ta có:  SBC    ABC   BC . Vì SBC cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra SI  BC  AA 

. Mặt khác ABC là tam giác đều có I là trung điểm của BC  AI  BC .    SBC  ,  ABC     SI , AI    SI , OI   SIO  đáp án C đúng.

Trang 39

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 . AB. AC.sin A S ABC AB. AC 2 AB.2 AC  2     4  đáp án D đúng. + Ta có: S ABC  1 . AB. AC .sin A AB. AC  AB. AC  2 a Câu 7: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD. ABC D cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng và cạnh của 3 đáy lớn ABCD bằng a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy ằng 60 . Tính chiều cao OO của hình chóp cụt đ cho. a 6 a 3 2a 6 3a 2 A. OO  . B. OO  . C. OO  . D. OO  . 2 3 4 6 Hướng dẫn giải:. Chọn A. Ta có SO   ABC D   BD  SO  BD  OD là hình

chiếu vuông góc của SD lên  ABC D    SD,  ABCD     SD, OD   SDO  60 .

AA OO 1   . SA SO 3 Vì ADC là tam giác vuông cân tại D có DO là đường cao nên ta có: 1 1 1 1 1 2 a2 2         D O  DO2 AD2 DC 2 a 2 a 2 a 2 2 a 2 .  DO  2 Áp dụng hệ thức lượng trong SDO vuông tại O ta có: SO a 2 a 6 1 1 a 6 a 6 tan 60  .  SO  OD.tan 60  . 3  OO  SO  .  2 2 3 3 2 6 OD Câu 8: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF . ABCDEF  có cạnh bên bằng a và ADDA là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng: a a 3 a 2 A. a . B. . C. . D. . 3 2 2 Hướng dẫn giải:. Chọn B. Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được

Tổng số đo các góc của hình lục giác là 4.180  720 . Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên m i góc của hình lục giác đều ABCDEF là

120  FAB  120 . Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra: + AD là tia phân giác của góc FAB và EDC  FAD 

FAB  60 . 2

+ Tam giác AFD vuông tại F . Xét tam giác AFD vuông tại F có FAD  60 và AD  a ta suy ra:

Trang 40

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word cos FAD 

Quan hệ vuông góc – HH 11

AF AD

1 a  AF  AD.cos FAD  a.cos 60  a.  . 2 2 Câu 9: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABC D có ACCA là hình vuông, cạnh bằng a . Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng: a 2 a 3 A. . B. a 2 . C. . D. a 3 . 2 3 Hướng dẫn giải:. Chọn A. Từ giả thiết ta sauy ra ABC vuông cân tại B

 BAC  BCA  45 . Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông cân tại B có BAC  45 và cạnh AC  a , ta có: AB 2 a 2 cos BAC   AB  AC.cos BAC  a.cos 45  a.  2 2 AC .

Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy ằng 2a 3 và cạnh bên bằng 2a .

Gọi G và G  lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và ABC . Khẳng định nào sau đây đúng hi nói về AAGG ? A. AAGG là hình chữ nhật có hai ích thước là 2a và 3a . B. AAGG là hình vuông có cạnh bằng 2a . C. AAGG là hình chữ nhật có diện tích bằng 6a 2 . D. AAGG là hình vuông có diện tích bằng 8a 2 . Hướng dẫn giải:. Chọn B. Gọi M là trung điểm BC . Khi đó ta dễ dàng tính được : 3 AM  2a 3.  3a . 2 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: 2 2 AG  AM  .3a  2a  AA . 3 3  AAGG là hình vuông có cạnh bằng 2a .

Trang 41

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 11: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

AC  AD  BC  BD  a , CD  2 x . Tính AB theo a và x ? A. AB  2  a 2  x 2  . C. AB  2  a 2  x 2 

B. AB  a 2  x 2 . D. AB  a 2  x 2 .

Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của CD . Vì tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B nên AH  CD , BH  CD . Ta có   ACD    BCD    ACD    BCD   CD   AH   BCD   AH  BH .  ACD   AH  CD 

ACD  BCD  c.c.c   AH  BH  BC 2  CH 2  a 2  x 2 . Tam giác AHB vuông tại H nên AB  AH 2  BH 2  2  a 2  x 2  . Chọn C.

Câu 12: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

AC  AD  BC  BD  a , CD  2 x . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính IJ theo a và x ?

a2  x2 A. IJ  . 2 Hướng dẫn giải:

B. IJ 

2  a2  x2  2

C. IJ 

2  a2  x2  2

D. IJ 

a2  x2 . 2

CD  AJ  Ta có:  ACD    BCD   AJ   BCD   AJ  BJ . Vậy   ACD    BCD   CD tam giác ABJ vuông tại J

Ta có: AJ  BJ  a 2  x 2 . Do đó tam giác ABJ vuông cân tại J . Suy ra

2  a2  x2  AJ 2 IJ   2 2 Chọn C. Câu 13: Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy ằng a , góc giữa một mặt bên và mặt đáy ằng 60 . Tính độ dài đường cao SH . a a 3 a 2 a 3 A. SH  . B. SH  . C. SH  . D. SH  . 2 3 3 2

Trang 42

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải:. Chọn A. Ta có:  SBC    ABC   BC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC . Dễ chứng minh được SM  BC và AM  BC .    SBC  ,  ABC     SM , AM   SMA  SMH  60 . a 3 . Vì H là chân đường cao của hình chóp 2 đều S . ABC nên H trùng với trọng tâm của tam giác ABC 1 1 a 3 a 3 .  MH  AM  .  3 3 2 6 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H ta có : SH a 3 a 3 3a a tan SMH   SH  MH .tan SMH  .tan 60  . 3  . 6 6 6 2 MH Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có AB  AA  a , BC  2a , CA  a 5 . Khẳng định nào sau đây sai? A. Đáy ABC là tam giác vuông. B. Hai mặt  AABB  và  BBC   vuông góc nhau.

Ta dễ tính được: AM 

C. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  có số đo ằng 45 . D. AC   2a 2 . Hướng dẫn giải:. Chọn D. + Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra D là đáp án sai. Từ giả thiết dễ dàng suy ra CC  AA  a . Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ACC vuông tại C ta có: AC 2  AC 2  CC 2  5a 2  a 2  6a 2  AC   a 6  đáp án D sai. + Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A , B , C đều đúng suy ra đáp án D sai.

Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD , có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc

a 6 và SC vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Trong tam giác SCA kẻ 2 IK  SA tại K . Tính độ dài IK được a a a 3 a 2 A. B. C. D. 3 2 2 3 Hướng dẫn giải:

A  600 , cạnh SC 

Trang 43

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS 

IK 

Quan hệ vuông góc – HH 11

IK AI   SC SA

SC. AI SA

BCD và ABD đều cạnh a  IA  IC 

a 3  2

AC  a 3

SAC vuông tại C  SA  SC 2  AC 2 = 2

2 a 6 3a 2    a 3 =  2  2 a Vậy IK  2 Chọn A Câu 16: Cho tam giác ABC và mặt phẳng  P  . Biết góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  ABC  là

 . Hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng  P  là tam giác ABC. Tìm hệ thức liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác ABC. A. SA ' B 'C '  SABC .cot . B. SA ' B 'C '  SABC .sin . C. SA ' B 'C '  SABC .tan . D. SA ' B 'C '  SABC .cos . Hướng dẫn giải: Qua B kẻ mặt phẳng  Q  //  P  cắt AA; CC  lần lượt tại A1 ; C1 hi đó S ABC  S A BC 1

Góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  ABC  bằng góc giữa mặt phẳng  ABC  và  BA1C1  và bằng  Kẻ AH  BF  A1H  BF 1 S A1BC1  A1 H .BF 2 1  AH .cos  .BF 2  S ABC .cos  Vậy SA ' B 'C '  SABC .cos .

Trang 44

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG. Phương pháp: Cho mặt phẳng   và đường thẳng a không vuông góc với   .Xác định mặt phẳng    chứa a và vuông góc với   β A

. Để giải ài toán này ta làm theo các ước sau:  Chọn một điểm A  a  Dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với   . Khi đó mp  a, b  chính là mặt phẳng    . Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông, SA

( ABCD) . Gọi ( ) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với ( SCD ) , ( ) cắt chóp S . ABCD theo thiết diện là hình gì? A. hình bình hành. B. hình thang vuông. C. hình thang không vuông. D. hình chữ nhật. Hướng dẫn giải:

Dựng AH CD CD SA Ta có CD ( SAD) . CD AD Suy ra CD AH mà AH ( SCD ) suy ra AH ( ) ( AHB ) Do đó //CD nên ( SAD) HK //CD( K SC ) . Vì Từ đó thiết diện là hình thang ABKH . Mặt khác AB ( SAD ) nên AB AH Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H . Chọn đáp án B. 1 a a a Ta có AC  a 2, OC  , mà SO  OC  OM  SC  . Chon A , SO  SC 2  OC 2  2 2 2 2 Câu 2: Cho hình chóp S . ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB  a, AD  2a. SA vuông góc với đáy và SA  a . Gọi  P  là mặt phẳng qua SO và vuông góc với  SAD  . Diện tích thiết diện

của  P  và hình chóp S . ABCD bằng bao nhiêu? 3 A. a . 2 Hướng dẫn giải: 2

B. a

2 . 2

a2 C. . 2

Trang 45

D. a 2 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi MN là đoạn thẳng qua O vuông góc AD ( M , N thuộc AD, BC ) ta có MN   SAD  nên

SMN là thiết diện cần tìm.  SMN vuông tại M nên S SMN 

SM .MN 2 .  a2 2 2

Chọn B. Câu 3: Cho hai mặt phẳng vuông góc ( P) và (Q ) có giao tuyến  . Lấy A , B cùng thuộc  và lấy C trên ( P) , D trên (Q) sao cho AC  AB , BD  AB và AB  AC  BD  a . Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với CD là? a2 2 a2 2 a2 3 A. B. C. 12 8 12 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: ( P )  (Q)   BD  ( P)  ( P )  (Q )    BD  (Q ), BD     AH  BC Gọi H là trung điểm BC , ta có   AH  CD  AH  BD Trong mặt phẳng ( BCD ) , kẻ HI  CD thì ta có CD  ( AHI ) Khi đó mặt phẳng ( ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác AHI Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên BC  a 2 . a 2 Trong tam giác vuông BCD , kẻ đường cao BK thì BK  3 a và HI  6

a2 3 D. 8

a2 3 Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích S  12 Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , với AB  c , AC  b , cạnh bên AA’  h . Mặt phẳng  P  đi qua A’ và vuông góc với B’C .Thiết diện của lăng trụ cắt bởi

mặt phẳng  P  có hình:

Trang 46

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

A. h.1 và h.2 . B. h.2 và h.3 . C. h.2 . D. h.1 . Hướng dẫn giải: Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua A ' và vuông góc với BC . Từ A ' ta dựng A ' K '  B ' C ' , Vì ( ABC )  ( BCC ' B ') nên A ' K '  B ' C '  A ' K '  ( BCC ' B ')  A ' K '  BC ' (1) . Mặt khác trong mặt phẳng ( BCC ' B ') dựng K ' x  B ' C và cắt B ' B tại 1 điểm N (2) (điểm gì đề chưa có cho nên cho tạm điểm N ).  BC '  A ' K ' Từ (1) và (2) ta có :   BC '  ( A ' K ' N )  BC '  K ' N Chọn đáp án A Câu 5: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Cắt hình lập phương ởi mặt phẳng trung trực của AC ' . Thiết diện là hình gì? A. Hình vuông. B. Lục giác đều. C. Ngũ giác đều. D. Tam giác đều. Hướng dẫn giải: Ta có AC là hình chiếu của AC ' lên ( ABCD ) . mà AC BD nên AC ' BD, (1) AD ( AA ' B ' B) Ta có A ' B AD A ' B ( AA ' B ' B Lại có A ' B AB ' suy ra A ' B ( AB ' C ' D) AC ' A ' B, (2) AC ' ( AB ' C ' D) Từ (1) và (2) suy ra AC ' ( A ' BD), (3) Mặt phẳng trung trực AC ' là mặt phẳng ( ) đi qua trung điểm I của AC ' và ( ) AC ', (4) mp( ) qua I Từ (3) và (4) suy ra ( )//( A ' BD) Do đó Qua I dựng MQ //BD Dựng

Trang 47

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

MN //A'D NP//B ' D ' //BD QK //B'C//A'D KH //BD Mà MN

PQ QK

a 2 2

Suy ra thiết diện là lục giác đều. Chọn đáp án B. Câu 6: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương ởi mặt phẳng

trung trực của AC. Diện tích thiết diện là a2 3 a2 3 A. S  B. S  a 2 . C. S  . . 2 4 Hướng dẫn giải: Ta có mặt phẳng trung trực của AC  cắt hình lập phương ABCD. ABCD theo thiết diện là lục giác đều MNPQRDS cạnh 1 a 2 BC  2 2

Khi đó S  6.

1a 2a 2 3 3 3 .  a2 2 2 2 2 4

Trang 48

D. S 

3a 2 3 . 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

KHOẢNG CÁCH A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Cho điểm M và một đường thẳng  . Trong mp  M ,   gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên  . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến  . d  M ,    MH Nhận xét: OH  OM , M   2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng và ' : - Nếu và ' cắt nhau hoặc trùng nhau thì d( , - Nếu

và

' song song với nhau thì d( ,

') 0 . d(M , ')

d(N , )



'

3. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Cho mặt phẳng   và một điểm M , gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng   . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   . d  M ,     MH

4. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng.

Trang 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Cho đường thẳng  và mặt phẳng   song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến mặt phẳng   được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng   . d   ,     d  M ,    , M   .

- Nếu cắt ( ) hoặc nằm trong ( ) thì d( ,( )) 5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng   và    song song với nhau, khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳn kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng   và    . d     ,      d  M ,      d  N ,    , M     , N     .

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b . Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b . M



' N

B – BÀI TẬP Câu 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây? A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng () chứa đường này và () vuông góc với đường kia. C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc () chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b. D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng () song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng () Trang 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó. Hướng dẫn giải:  Đáp án A: Đúng  Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.  Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.  Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc. Chọn đáp án D. Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P). C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b. D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.

DẠNG 1: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM

ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

Δ.

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ , rồi xem MH là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau: Trong mp  M,Δ  vẽ MH  Δ  d  M,Δ   MH Dựng mặt phẳng  α  qua M và vuông góc với Δ tại H

 d  M,Δ   MH .

Hai công thức sau thường được dùng để tính MH ΔMAB vuông tại M và có đường cao AH thì MH là đường cao của ΔMAB thì MH 

1 1 1   . 2 2 MH MA MB 2

2S MAB . AB

Câu 1: Cho hình chóp tam giác S . ABC với SA vuông góc với  ABC  và SA  3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a 2 , BC  a . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu? A. 2a. B. 4a. C. 3a. Hướng dẫn giải:

Trang 3

D. 5a.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Kẻ AH vuông góc với BC : 2.SABC 4a 2 1 SABC  AH .BC  AH    4a 2 BC a Khoảng cách từ S đến BC chính là SH Dựa vào tam giác vuông SAH ta có SH  SA2  AH 2  (3a)2  (4a)2  5a

Câu 2: Cho hình chóp S . ABCD trong đó SA, AB, BC đôi một vuông góc và SA  AB  BC  1. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào trong các giá trị sau ? A.

C. 2.

Hướng dẫn giải:  SA  AB Do  nên SA  ( ABC )  SA  AC SA  BC 

3 . 2

Như vậy SC  SA 2  AC 2  SA 2  (AB 2  BC 2 )  3 Chọn đáp án B.

C B

Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết

AC  a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng 7 4 6 2 . A. a . B. a . C. a D. a . 5 7 11 3 Hướng dẫn giải: A a 3 Do  ABC đều cạnh a nên đường cao MC  2

d  C , AM   CH 

AC.MC AC  MC 2

a

66 11

H D

Chọn đáp án C.

Câu 4: Trong mặt phẳng  P  cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên tia Ax

vuông góc với mặt phẳng  P  lấy điểm S sao cho SA  a . Khoảng cách từ A đến  SBC  bằng A. a 5.

B. 2a.

a 21 . 7

Hướng dẫn giải:  Gọi M là trung điểm của BC ; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM .  Ta có BC  AM và BC  SA nên BC   SAM   BC  AH .

Trang 4

D. a 3.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Mà AH  SM , do đó AH   SBC  . Vậy AH  d  A,  SBC   .

a 3 ; AH  2 Chọn đáp án C.  AM 

AS . AM AS 2  AM 2



a 21 . 7

Câu 5: Cho tứ diện SABC trong đó SA , SB , SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA  3a , SB  a , SC  2a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: 3a 2 7a 5 8a 3 5a 6 A. . B. . C. . D. . 2 5 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. + Dựng AH  BC  d  A, BC   AH .   AS   SBC   BC  AS  BC +  , AH cắt AS cùng   AH  BC nằm trong  SAH  .

 BC   SAH   SH  BC  SH .

Xét trong SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có: 1 1 1 1 1 5 4a 2 2  SH       5 SH 2 SB 2 SC 2 a 2 4a 2 4a 2 2a 5 .  SH  5 + Ta dễ chứng minh được AS   SBC   SH  AS  SH  ASH vuông tại S . Áp dụng hệ thức lượng trong ASH vuông tại S ta có: 7a 5 4a 2 49a 2 .  AH  AH 2  SA2  SH 2  9a 2   5 5 5 Câu 6: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết

AC  a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng 2 6 7 4 A. a . B. a . C. a . D. a . 3 11 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Dựng CH  AM  d  C , AM   CH . Vì BCD là tam giác đều cạnh a và M là trung điểm của BD nên dễ tính được CM  Xét ACM vuông tại C có CH là đường cao, ta có:

Trang 5

a 3 . 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 1 1 1 1 11 6a 2 2       CH  CH 2 CA2 CM 2 2a 2 3a 2 6a 2 11 4 6  CH  a . 11

Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD  2a,

SA  a. Khoảng cách từ A đến  SCD  bằng: 3a 3a 2 B. . . 2 7 Hướng dẫn giải: SA   ABCD  nên SA  CD; AD  CD .

2a . 5

2a 3 . 3

Suy ra  SAD   CD Trong  SAD  kẻ AH vuông góc SD tại H

H . Khi đó AH   SCD 

d  A,  SCD    AH 

SA. AD SA2  AD 2



a.2a a 2  (2a) 2



2a 5 .. 5

Chọn đáp án C. Câu 8: Hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên B bằng 2a. Khoảng cách từ S đến  ABC  bằng : A. 2a. B. a 3. Hướng dẫn giải: Gọi O là chân đường cao của hình chóp. 2 2 3 Ta có AO  AH  .3a. a 3 3 3 2

D. a 5.

C. a.

d  O,( ABC )   SO  SA2  AO 2  a Chọn đáp án C.

C O

H B Câu 9: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a . Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách từ M đến  SAB  nhận giá trị nào

trong các giá trị sau? a 2 A. B. 2a. . C. a 2. 2 Hướng dẫn giải:  Khoảng cách từ M đến  SAB  : d  M ,  SAB    d  D,  SAB    a.

Trang 6

D. a.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC   BCD  và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết

AC  a 2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: 3a 2 2a 3 4a 5 . B. . C. . 2 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.  AC  BD Ta có:   BD  AM (Định lý 3 đường vuông CM  BD

a 11 . 2

góc)  d  A; BD   AM . CM 

a 3 (vì tam giác BCD đều). 2

3a 2 a 11  . 4 2 Câu 11: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ  60 .

Ta có: AM  AC 2  MC 2  2a 2 

Biết SA  2a . Tính khoảng cách từ A đến SC . 3a 2 4a 3 2a 5 A. . B. . C. . 2 3 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. Kẻ AH  SC , khi đó d  A; SC   AH . ABCD là hình thoi cạnh bằng a và Bˆ  60  ABC đều nên AC  a . Trong tam giác vuông SAC ta có: 1 1 1  2 2 AH SA AC 2 SA. AC 2a.a 2 5a .  AH    2 2 2 2 5 SA  AC 4a  a

5a 6 . 2

Câu 12: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , SA  2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC . a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . 3 4 3

Trang 7

a 2 . 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Hướng dẫn giải: Chọn A. Kẻ OH  SC , khi đó d  O; SC   OH . Ta có: SAC

Quan hệ vuông góc – HH 11

OCH (g-g)

OH OC OC   OH  .SA . SA SC SC 1 a 2 Mà: OC  AC  , SC  SA2  AC 2  a 6 . 2 2 OC a a 3 Vậy OH  . .SA   SC 3 3 Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng  . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng A. a 2 cot  . B. a 2 tan  . C. a 2 a 2 D. cos . sin  . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. SO   ABCD  , O là tâm của hình vuông ABCD .

nên

Kẻ OH  SD , khi đó d  O; SD   OH ,   SDO . Ta có: OH  OD sin  

a 2 sin  . 2

Câu 14: Cho hình chóp S . ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA  3a , AB  a 3 , BC  a 6 . Khoảng cách từ B đến SC bằng A. a 2 . B. 2a . C. 2a 3 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB  SB . Kẻ BH  SC , khi đó d  B; SC   BH .

D. a 3 .

Ta có: SB  SA2  AB 2  9a 2  3a 2  2 3a . Trong tam giác vuông SBC ta có: 1 1 1 SB.BC  2  BH   2a . 2 2 BH SB BC SB 2  BC 2 Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng: a 2 a 2 A. cosα B. a 2 tan C. sinα D. a 2 cotα 2 2 Hướng dẫn giải: a 2  AC  a 2  OC  2  Khoảng cách cần tìm là đoạn OH . a 2 OH  OC sin   sin  . 2 Chọn đáp án C.

Trang 8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 16: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC  a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AM bằng 2 6 7 4 A. a . B. a . C. a . D. a . 3 11 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Nối CM . Kẻ CH  AM Suy ra d (C ; AM )  CH Xét ACM có 1 1 1 1 1 11      2 2 2 2 2 2 CH AC CM 6a a 3 a 2    2 



 CH  a



6 11

6 . 11 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có cạnh bên AC vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC  a 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng 3a 2 2a 3 4a 5 a 11 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. a 11 AC   BCD   AC  BD Ta có d ( A; BD)  2 Lại có với M là trung điểm BD mà BCD đều nên CM  BD  AC  BD  AM  BD Từ đó ta có  CM  BD Suy ra d (A; BD)  AM Xét tam giác vuông ACM , ta có Vậy d (C; AM )  CH  a

AM  AC  CM  2

Vậy d ( A; BD) 

a 2 

a 3 a 11     2  2 

a 11 . 2

Trang 9

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 18: Cho hình chóp S . ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA  3a, AB  a 3, BC  a 6. Khoảng cách từ B đến SC bằng

A. a 2 . B. 2a . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có  SA  AB  SB  BC   AB  BC Suy ra SBC vuông tại B Kẻ BH  SC . Ta có d ( B; SC )  BH Lại có 1 1 1 1 1 1  2  2   2 2 2 2 2 BH SB BC SA  AB BC 4a  d ( B; SC )  BH  2a .

C. 2a 3 .

D. a 3 .

Câu 19: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD bằng a 6 a 3 A. a 2 . B. . C. . D. a 3 . 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của CD . Do ABCD. ABC D là hình lập phương nên tam giác ACD ' là tam giác đều cạnh a 2 .

AM  CD  d  A, CD   AM 

a 6 2

Đáp án: B. Câu 20: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB  bằng a 6 a 3 a 6 A. a 2 . B. . C. . D. . 2 2 3 Hướng dẫn giải: Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB . A. Dễ thấy đỉnh AD   ABB ' A   ADB ' vuông

AD  a; AB  a 2  Đáp án D.

1 1 1 a 6    AH  2 2 2 3 AH AD AB '

Trang 10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC  bằng nhau ? A. A, B, C  . B. B, C , D . C. B , C , D  . D. A, A, D  . Hướng dẫn giải: Dễ thấy các tam giác ABC ', CCA, ADC là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau. Vậy: d  B, AC    d C , AC    d  D, AC   Đáp án B.

Trang 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG. Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng  α  thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm M trên   . Phương pháp này, chúng tôi chia ra làm 3 trường hợp sau (minh hoạ bằng hình vẽ): TH 1: A là chân đường cao, tức là A H . S

P  A



Bước 1: Dựng AK       SAK       SAK  và     SAK   SK .

Bước 2: Dựng AP  SK  AP     d  A,     AP. TH 2: Dựng đường thẳng AH, AH

  . A

H' 

Lúc đó: d  A,     d  H ,    . TH 2: Dựng đường thẳng AH, AH

I . A H

A' 

Lúc đó:

d  A,   

d  H ,   



IA IA .d  H ,     d  A,     IH IH

Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là: Nếu tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và có đường cao OH thì 1 1 1 1    . 2 2 2 OH OA OB OC 2 Câu 1: Cho hình chóp S . ABC trong đó SA , AB , BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA  a 3 , AB  a 3 . Khoảng cách từ A đến  SBC  bằng: Trang 12

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

a 3 a 2 . B. . 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Kẻ AH  SB .  BC  SA Ta có:   BC   SAB   BC  AH .  BC  AB Suy ra AH   SBC   d  A;  SBC    AH .

2a 5 . 5

Quan hệ vuông góc – HH 11 D.

a 6 . 2

Trong tam giác vuông SAB ta có: 1 1 1 SA. AB 6a .  2  AH   2 2 AH SA AB 2 SA2  AB 2

Câu 2: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD  2a ,

SA  a . Khoảng cách từ A đến  SCD  bằng: 3a 2 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Kẻ AH  SD ,

mà

vì

2a 3 . 3

2a 5

3a 7

CD   SAD   CD  AH nên

d  A; SCD   AH .

Trong tam giác vuông SAD ta có: 1 1 1  2 2 AH SA AD 2 SA. AD a.2a 2a .  AH    2 2 2 2 5 SA  AD 4a  a Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:

3 a 5 2a 3 . B. . C. a . 2 3 10 Hướng dẫn giải: Chọn C. SO   ABC  , với O là trọng tâm của tam giác ABC . M là A.

trung điểm của BC . OH  SM , Kẻ ta BC  SO   BC   SOM   BC  OH   BC  MO

có

nên suy ra d  O;  SBC    OH . 1 a 3 AM  3 3 1 1 1   2 2 OH SO OM 2

Ta có: OM 

Trang 13

D. a

2 . 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

a 3 SO.OM 3  3a  3 a .  OH   2 2 10 3 30 SO  OM 3a 2  a 2 9 Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến  BCD  bằng: a 3.

a 6 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.

a 6 . 3

a 3 . 6

a 3 . 3

Ta có: AO   BCD   O là trọng tâm tam giác BCD . d  A;  BCD    AO  AB 2  BO 2  a 2 

3a 2 a 6 .  9 3

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc BAD  60o. Đường thẳng 3a SO vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  và SO  . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  4 là: a 3a 3a a 3 A. . B. C. D. . . . 4 3 4 8 Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng  ABCD  : kẻ OK  BC  K  BC  . Mà BC  SO nên suy ra hai mặt phẳng

 SBC 

 SOK 

và

vuông góc nhau theo giao tuyến SK .

Trong mặt phẳng  SOK  : kẻ OH  SK  H  SK  . Suy ra: OH   SBC   d  O,  SBC    OH .

Câu 6: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60o , ABC cân ở C , ABD cân ở D. Đường cao DK của ABD bằng 12cm. Khoảng cách từ D đến  ABC  bằng C. 6 A. 3 3 cm B. 6 3 cm cm Hướng dẫn giải:

D. 6 2 cm

Trang 14

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi M là trung điểm AB suy ra: Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM  DH  d (D, (ABC))

DH  sin 600.DM  6 3 Chọn đáp án B.

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách từ tâm của hình lập phương đến mặt phẳng ( BDA) bằng A. a 2 .

B. a 3 .

a 3 . 3

a 3 . 6

Hướng dẫn giải: Bài toán chứng minh AC    ABD  trong sách giáo khoa đã có. Không chứng minh lại. Dễ dàng tìm được AC   a 3





d O,  ABD   OJ 

1 a 3 AC   6 6

Đáp án: D Câu 8: Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh a. Khoảng cách từ A đến ( BDA) bằng a 2 . 2 Hướng dẫn giải:

Ta có

AC '   BDA 

a 3 . 3

a 3 . 2

a 6 . 3

 1    d A,  BDA   AG  AC  3 AC '  BDA   G 





d A,  BCA  





a 3 3

Đáp án B. Câu 9: Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh a. Khoảng cách từ A đến ( B CD) bằng a 2 a 3 2a 3 . B. . C. . 2 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có: AB '  AC  AD '  B ' D '  B ' C  CD '  a 2 Nên tứ diện AB ' CD ' là tứ diện đều. Gọi I là trung điểm B ' C , G là trọng tâm tam giác B ' CD ' . Khi đó ta có: d  A;  B ' CD '   AG

3 a 6 .  2 2 2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: D ' G  D ' I  . 3 3 Trong tam giác vuông AGD ' có:

Vì tam giác B ' CD ' đều nên D ' I  a 2.

Trang 15

a 6 . 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

a 6 2a 3 . Chọn C AG  D ' A  D ' G  a 2     3  3  Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB  a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy ( ABC ) . 2





a a 2 a 3 . B. . C. . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu của S lên  ABC  , vì mặt bên  SBC  vuông

3a . 2

góc với ( ABC ) nên H  BC. Dựng HI  AB, HJ  AC , theo đề bài ta có SIH  SJH  450 . Do đó tam giác SHI  SHJ (cạnh góc vuông - góc nhọn) Suy ra HI  HJ . Lại có B  C  450  BIH  CJH  HB  HC Vậy H trùng với trung điểm của BC . Từ đó ta có HI là đường AC a trung bình của tam giác ABC nên HI   . 2 2 0 Tam giác SHI vuông tại H và có SIH  45  SHI vuông cân. a Do đó: SH  HI  .Chọn đáp án A. 2 Câu 11: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng d , với d  b 3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới. 1 A. d  S , ( ABC )   b 2  d 2 . B. d  S ,( ABC )   b 2  d 2 . 2

1 C. d  S , ( ABC )   b 2  d 2 . 3 Hướng dẫn giải:

D. d  S ,( ABC )   b 2  d 2 .

Gọi I là trung điểm của BC , H là trọng tâm tam giác ABC . Do S.ABC là hình chóp đều nên SH   ABC   d  S ,  ABC    SH . Ta có AI  AB 2  BI 2  d 2  AH 

d2 d 3  . 4 2

d2 2 d 3  SH  SA2  AH 2  b 2  . Chọn C . AI  3 3 3

Trang 16

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Câu 12: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO  cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng a 6 A. a 6 . B. . C. a 3 . 6 Hướng dẫn giải: Vì hình chóp S . ABC đều có SO là đường cao  O là tâm của ABC Gọi I là trung điểm cạnh BC .

a 3 . Khoảng 3

a 3 . 3

a 3 2 a 3 .  AO  AI  3 3 2 Kẻ OH  SA .  d  O, SA   OH . Xét tam giác SOA vuông tại O

Tam giác ABC đều nên AI 

: 1 1 1 1 1 6 a 6 .      2  OH  2 2 2 2 2 6 OH SO OA a a 3 a 3      3   3  Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng

cách từ A1 đến mặt phẳng  C1 D1M  bằng bao nhiêu?

1 2a 2a B. C. a 2 5 6 Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và H  A1 N  MD1 A Khi đó ta chứng minh được A1 N  MD1

suy ra A1 N  (C1D1M )

 d  A1 , (C1 D1M )   AH   d  A1 , (C1D1M )  

D. a

A1 D12 A1 D12  ND12

B H

A1 D12  A1 N

N D1

A1 B1

2a 5

Chọn đáp án A. Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC  bằng: A. 4a. B. 3a. C. a. Hướng dẫn giải:  Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Do S . ABC là chóp đều nên SG   ABC  .  AM 

3a 3 2  AG  AM  a 3. 2 3

 SAG vuông tại SG  SA2  AG 2  4a 2  3a 2  a. Chọn đáp án C. Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và

Trang 17

D. 2a.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

chiều cao bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên: a 3 a 2 2a 5 a 10 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. SO   ABCD  , với O là tâm của hình vuông ABCD . M là trung điểm của CD . Kẻ OH  SM , ta có:  DC  SO  DC   SOM   DC  OH .   DC  MO

nên suy ra d  O;  SCD    OH .

1 a AD  2 2 1 1 1 SO.OM 2a .    OH   2 2 2 OH SO OM 3 SO 2  OM 2 Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là n a lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tr n đường kính AD  2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  với SA  a 6 . Khoảng cách từ

Ta có: OM 

A và B đến mặt phẳng  SCD  lần lượt là:

a 2 2 Hướng dẫn giải:

A. a 2 ;

B. a 2 ;

a 3 2

C. a 3 ;

 d  A,  SCD    AH ;

1 1 1 1  2  2  2  AH  a 2 . 2 AH 6a 3a 2a 1 a 2  d  B,  SCD    d  I ,  SCD    .d  A,  SCD    . 2 2 Chọn đáp án A.

Trang 18

a 2 2

D. a 3 ;

a 3 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 có ba kích thước AB = a, AD = b, AA1 = c. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai? A. khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC1 bằng b. ab B. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng . 2 a  b2 abc C. khoảng cách từ A đến mặt phẳng (B1BD) bằng . a 2  b2  c2 D. BD1  a 2  b 2  c 2 Hướng dẫn giải:  d  AB, CC1   BC  b  Câu A đúng.  1 1 1 a 2  b2 ab d  A,  B1 BD    AH ;   2   AH  . 2 2 2 2 AH a b a  b2  ab  Câu B đúng.  Suy ra câu C sai.  Suy ra câu D đúng, đường chéo hình chữ nhật bằng BD1  a 2  b 2  c 2 . Chọn đáp án C.

Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O , cạnh a và góc BAD  120 , đường cao SO  a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) . a 67 . 19 Hướng dẫn giải:

a 47 . 19

a 37 . 19

a 57 . 19

Vì hình thoi ABCD có BAD bằng 120 Suy ra tam giác ABC đều cạnh a . Kẻ đường cao AM của tam giác ABC a 3 .  AM  2 AM a 3 Kẻ OI  BC tại I  OI  .  2 4 Kẻ OH  SI  OH   SBC   d  O,  SBC    OH

Xét tam giác vuông SOI ta có: 1 1 1 a 57 .   2  OH  2 2 OH SO OI 19 Chọn D . Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3a; AD  2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH  2HB. Góc giữa mặt phẳng  SCD  và mặt phẳng  ABCD  bằng 60 . Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng

 SBC  A.

tính theo a bằng

a 39 . 13

3a 39 . 13

Trang 19

6a 39 . 13

6a 13 . 13

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Kẻ HK  CD  góc giữa hai mặt phẳng  SCD  và  ABCD  là SKH  60 Có HK  AD  2a , SH  HK .tan 60  2a 3 Có BC   SAB  , Kẻ HJ  SB , mà HJ  BC HJ   SBC  d  A,  SBC  

d  H ,  SBC  



BA 3 BH

d  A,  SBC    3.d  H ,  SBC    3HJ

1 1 1 1 1 13    2  2 2 2 2 HJ HB SH a 12a 12a 2 2a 39 6a 39 .  HJ   d  A,  SBC    13 13 Chọn C .

Mà

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a; ABC  120 . Hình chiếu

 ABCD  là trọng tâm đến mặt phẳng  SBD  tính theo a bằng

vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng Khoảng cách từ điểm A a 3 . 6 Hướng dẫn giải:

a 3 . 3

a 2 . 3

G của tam giác ABD, ASC  90 .

a 6 . 3

Xác định khoảng cách: - Đặc điểm của hình: Có đáy là hình thoi, góc ABC  120 a 3 nên tam giác ABD đều cạnh a; AC  a 3; AG  3 Tam giác SAC vuông ở S , có đường cao SG nên

SA  AG. AC 

a 3 a 6 .a 3  a ; SG  3 3

Xét hình chóp S. ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA  SB  SD  a . - Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng  SBD  : Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi.  BD  AC  BD   SAO   BD  AH   BD  SG  AH  BD  AH   SBD  . Vậy d  A,  SBD    AH   AH  SO - Tính độ dài AH SG. AO AH  SO Trang 20

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

a 6 a 3 a 3 ; SG  ; SO  3 2 2 a 6 . AH  3 Cách khác: Nhận xét tứ diện S. ABD có tất cả các cạnh bằng a; Do đó S. ABD là tứ diện đều, vậy Với AO 

a 6 . 3 Chọn đáp án D . Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA  a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC. Góc giữa mặt phẳng  SBM  và mặt AH  SG 

phẳng  ABCD  bằng 45 . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  SBM  bằng a 3 a 2 . B. . 3 3 Hướng dẫn giải: + Đặc điểm của hình: Đáy là hình vuông ABCD nên AN  BM . Góc giữa mặt phẳng  SBM  và mặt phẳng

 ABCD  là

a 3 . 2

a 2 . 2

góc AIS  45 .Vậy tam giác ASI

vuông cân tại A . AI  a Xác định khoảng cách: d  D,  SBM    d  A,  SBM    AH . Với H là chân đường cao của tam giác ASI . 1 1 1 2 Tính   2  2 AH : 2 2 AH AS AI a a 2 . Chọn đáp án D  AH  2

Câu 22: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm H của cạnh AD , góc giữa hai mặt phẳng

 SAC 

và  ABCD  bằng 60 . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SBC  tính theo a bằng

a 11 a 11 . B. . 33 11 Hướng dẫn giải: - Đặc điểm của hình: Góc giữa hai mặt phẳng

 SAC 

và  ABCD  là SIH  60 .

a 2 a 6  SH  IH .tan 600  4 4 - Xác định khoảng cách: d  H ,  SAC    HK . Với IH 

HK là đường cao của tam giác SHM với M là trung điểm BC . - Tính HK .

Trang 21

a 33 . 11

2a 33 . 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Xét tam giác vuông SHM có

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 1 1 1 1 11      2 2 2 2 2 2 HK HS HM 3a  6a   a     4 

33a . Chọn đáp án C 11 Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng HK 

 ABCD 

một góc bằng 60 . Khoảng cách từ A tới mặt phẳng  SBC  tính theo a bằng

3a 285 . 19 Hướng dẫn giải:

a 285 . 19

a 285 . 18

5a 285 . 18

Đặc điểm hình: Góc giữa SD tạo với mặt phẳng  ABCD  là SDE  60 . DE  OD 2  OE 2 

2 5a ; 6

2 15 a 6 Xác định khoảng cách 3 3 d  A,  SBC    d  E ,  SBC    EH 2 2 Tính EH : 1 1 1 1 1 57      2 2 2 2 2 EH EK ES 20a 2  2a   2 15a       3   6  SE  DE.tan 600 

2 5a . Vậy 57 3 3 a 285 . d  A,  SBC    d  E ,  SBC    EH  2 2 19 Chọn đáp án B . Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB  2a 3; BC  2a . Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy  ABCD  một góc 60 . Khoảng cách từ D đến  SBC  tính theo a bằng EH 

a 15 2a 15 . B. . 5 5 Hướng dẫn giải: Đặc điểm của hình: Góc giữa SB tạo với mặt phẳng

 ABCD  là

SBM  60 . BM 

3 BD  3a ; 4

SM  BM .tan 600  3 3a Xác định khoảng cách: 4 4 d  D,  SBC    d  M ,  SBC    MH 3 3

Trang 22

4a 15 . 5

3a 15 . 5

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Tính khoảng cách MH :

1 1 1 1 1     2 2 2 2 MH MK MS 3  3 3a  .2 3a  4  







5 27 a 2

27 4 4 4 15 a , vậy d  D,  SBC    d  M ,  SBC    MH  a 3 3 5 5 Chọn đáp án C . Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a, AC  2a, SA vuông góc với mặt MH 

phẳng  ABCD  , SC tạo với mặt phẳng  SAB  một góc 30 . Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM  3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SCM  là 34a 2 34a . B. . 51 51 Đặc điểm của hình: SC tạo với mặt phẳng

 SAB  góc

3 34a . 51

4 34a . 51

CSB  30 . BC  3a ;

SB  BC .tan 30 0  a ; 2

57  3a  MC     3a 2  a; 4  4 

MA 

a ; 4

AC  2a ; AS  2 2a 2S 19 AK  AMC  a MC 19 Xác định khoảng cách: d  A,  SBC    AH Tính AH 1 1 1 1 1 153      2 2 2 2 2 2 AH AK AS 8a  19  2 2a a   19 



Vậy d  A,  SBC    AH 



2 34 51

Chọn đáp án B . Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM , biết SH vuông góc

 ABCD  ,

SH  a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SBP  tính theo a bằng

a 2 . 4 Hướng dẫn giải:

a 3 . 2

Trang 23

a 3 . 4

a 2 . 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Ta chứng minh : NC  MD Thật vậy : ADM  DCM vì A  D  900 ; AD  DC ; AM  DN  ADM  DCN ; mà ADM  MDC  900  MDC  DCN  900  NC  MD

Ta có : BP  NC  MD / / BP  ; BP  SH  BP   SNC    SBP    SNC  Kẻ HE  SF  HE   SBP   d  H , ( SBP )   d (C , ( SBP ))  HE DC 2 2a 5 a 5   HF  NC 5 5 SH .HF SH .HF a 3 Mà HE    2 2 SF 4 SH  HF Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC , BD

Do DC 2  HC.NC  HC 

vuông góc với nhau, AD  2a 2; BC  a 2 . Hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với mặt đáy

 ABCD  .

Góc giữa hai mặt phẳng  SCD  và  ABCD  bằng 60 . Khoảng cách từ M là

trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng  SCD  là a 15 . 2 Hướng dẫn giải:

a 15 . 20

3a 15 . 20

Do  SAC    ABCD  ,  SBD    ABCD  ,  SAC    SBD   SO  SO   ABCD  Dựng góc giữa  SCD  , ( ABCD ) :

 SCD    ABCD   DC . Kẻ OK  DC  SK  DC    SCD  ,  ABCD    SKO

Kéo dài MO cắt DC tại E Ta có : 0 A1  D1 ; A1  M 1 ; M 1  M 2  O1  D1  O1 ; O1  EOD  90  E  900

EK Ta có: OK 

2a.a AB a 5 9a 5 ; OM   ; MK  2 2 10 a 5

Trang 24

9a 15 . 20

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

d (O, ( SCD)) OE 9    d  M , ( SCD)  d ( M , ( SCD)) ME 4 OK .OS a 15 9a 15 9 9  OH    d  M , ( SCD)    d  O, ( SCD)   OH 5 20 4 4 OK 2  OS 2 2a 15 OS  OK .tan 600  5 Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD  là điểm H thuộc cạnh AD sao cho

HA  3HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA  2 3a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30 . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SBC  tính theo a bằng 2 66a 11a . B. . 11 66 Hướng dẫn giải: SC có hình chiếu vuông góc lên mp  ABCD  là HC

2 66a . 11

66a . 11

 SC,  ABCD   SCH  300 Đặt AD  4 x  x  0  Ta có : SA2  AH . AD  12a 2  12 x 2  x  a  AD  4a, AH  3a, HD  a Mà : SH  SA2  AH 2  a 3  HC  3a  DC  2 2a Kẻ HE  BC , SH  BC   SHE    SBC 

Kẻ HK  SE  HK   SBC   d  H , SBC   HK  d  M , (SBC )  

HK 

SH .EH



HK 2

2a 66 a 66  d  M , ( SBC )   11 11

SH  EH Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , AB  a; BC  a 3 , tam giác SAC vuông tại S . Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  tính theo a bằng 2

a 3 . 2 Hướng dẫn giải:

a 3 . 4

Ta có : AC  AB 2  BC 2  2a , mà SAC vuông AB a tại S  SI  2  SH  SI 2  HI 2  a 2 

a2 a 3  4 2

Kẻ HK  AB; AB  SH  AB   KHS    SAB   ( KHS )

Trang 25

3a 3 . 4

a 3 . 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Mà  SAB    KHS   SK . Kẻ HE  SK  HE   SAB   d ( H , ( SCD ))  HE

A  HC   SAB  

d  C ,  SAB  

d  H , ( SAB) 



CA  4  d  C , ( SAB)   4d ( H , ( SAB))  4 HE HA

a 3 a 3 . 2  a 15  d  C , ( SAB)   2a 15 HE   4 5 10 HK 2  SH 2 3a 2 3a 2  16 4 Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O , hình chiếu vuông góc của S trên  ABCD  là trung điểm của AO , góc giữa  SCD  và  ABCD  là 60 . Khoảng cách từ trọng tâm HK .SH

của tam giác SAB đến mặt phẳng  SCD  tính theo a bằng 2a 3 a 2 . B. . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: HI CH 3 3a    HI  AD CA 4 4 SH 3 3 tan 600   SH  a HI 4

2a 2 . 3

a 3 . 3

 3 3a   3a 2 3 SI  SH  HI        a 4 2    4  3 2 2 4 d  G,  SCD    d  J ,  SCD    d  K ,  SCD    . .d  H ,  SCD   2 3 3 3 2

3 3 3a a. 8 8 8 SH .HI 8 4 4  3a  d  H ,  SCD    HL  .  3a 9 9 9 SI 9 3 2

Câu 31: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB  AC  a, BAC  120 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc  sao cho tan   phẳng  SAB  tính theo a bằng a 13 3a 13 . B. . 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: Gọi H là hình chiếu của J lên AB

Trang 26

3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt 7

5a 13 . 13

3a . 13

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi G là hình chiếu của G lên AB Gọi I là hình chiếu của G lên SZ 7 a 2

BJ  BA2  AJ 2  2 BA. AJ .cos1200 

1 1 3a SBAJ  . AB. AJ .sin1200  JH . AB  JH  2 2 4 GZ BG 2 3    GZ  a JH BJ 3 6 SG 3 SG 3 SG tan       GC 7 BG 7 2 BJ 3

 SG 

2 7 . aa 7 2

d  C ,  SAB    3d  G,  SAB    3GI  3.

3

SG.GZ SG 2  GZ 2

 3.

3 a 6 2



SG.GZ SZ

3 13 a 13

 3  a  a  6  Câu 32: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SMN  tính theo a bằng a . 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có:

7a . 3

2 3a  a. 3 2 Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE .

Trong SGC vuông tại G suy ra SG  GC 3  Khi đó d  C,  SMN    3d  G,  SMN    3GF GE 

Ta có :

1 1 2 d  G, AC   . .d  M , AC  2 2 3

1 1 a 3  d  M , AC   d  B, AC   . 3 6 12 Trong SGE vuông tại H suy ra a 3 .a GE.SG a 12 GF    2 7 GE 2  SG 2 a 3 2   a  12 

Trang 27

3a . 7

a . 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 33: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI , góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60 . Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SBC  là

a 21 a 21 . B. . 4 29 29 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: Trong ACI có trung tuyến AH suy ra A.

AH 





2 AI 2  AC 2  CI 2 4

4a 21 . 29

7a 2 a 7  . 16 4



a 21 4 Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của H trên BC và SE . Khi

Trong SHA vuông tại H suy ra SH  AH 3  đó d  H ,  SBC    HF

1 1 a 3 d  I , BC   d  A, BC   . 2 4 8 Trong SHE vuông tại H suy ra

Ta có : HE 

HF 

HE.SH HE  SH 2



a 3 a 21 . 8 4 2

 a 3   a 21       8   4 



a 21 . 4 29

Trang 28

a 21 . 2 29

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG.

Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình thang vuông cạnh a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và  SAD  . a 2 a 3 . B. . 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: Vì IJ // AD nên IJ //  SAD 

a . 2

a . 3

a 3 . 3

 d  IJ ;  SAD    d  I;  SAD    IA 

a . 2 Câu 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD  2a . Trên đường thẳng vuông góc tại D với  ABCD 

lấy điểm S với SD  a 2 . Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và  SAB  . A.

3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì DC // AB nên DC //  SAB 

a 2

C. a 2 .

 d  DC;  SAB    d  D;  SAB   .

Kẻ do DH  SA , AB  SA nên AB  AD , AB   SAD   DH  AB suy ra d  D; SC   DH . Trong tam giác vuông SAD ta có: 1 1 1 SA. AD 2a .  2  DH   2 2 DH SA AD 3 SA2  AD 2 2a . Gọi M 3 và N lần lượt là trung điểm của OA và OB . Khoảng cách giữa đường thẳng MN và  ABC  bằng:

Câu 3: Cho hình chóp O. ABC có đường cao OH 

a . 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.

a 2 . 2

a . 3

Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên MN // AB MN //  ABC  . 1 a 3 Ta có: d  MN ;  ABC    d  M ;  ABC    OH  (vì M 2 3 là trung điểm của OA). Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB  SA  2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến  SCD  bằng bao nhiêu?

Trang 29

a 3 . 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

a 6 . 2 Hướng dẫn giải:

a 6 . 3

a . 2

Quan hệ vuông góc – HH 11 D. a.

Gọi I , M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD thì CD  ( SIM ) S Vẽ IH  SM tại H  SM thì IH  ( SCD ) SO.IM  d  AB, ( SCD)   d  I , ( SCD)   IH  SM H  SAB đều cạnh 2a  SI  a 3  SM  a 3 A D 1 Và OM  IM  a  SO  SM 2  OM 2  a 2 I 2 M O SO.IM a 2.2a 2a 6 B C Cuối cùng d  AB, ( SCD)     SM 3 a 3 Chọn đáp án B. Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao

AB  a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CB . Tính khỏang cách giữa đường thẳng IJ và  SAD  . a 2 2 Hướng dẫn giải:

a 2

a 3 3

a 3

IJ / / AD  IJ / /( SAD) a  d  IJ,(SAD)   d  I , ( SAD )   IA  . 2

Chọn đáp án B. 2a . 3 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB . Tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và  ABC  .

Câu 6: Cho hình chóp O. ABC có đường cao OH 

a 3 a 2 B. . . 3 2 Hướng dẫn giải: Khoảng cách giữa đường thẳng MN và  ABC  :

d  MN ,  ABC    d   MNP  ,  ABC   

a . 2

a . 3

OH a 3  . 2 3

2a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA 3 và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và  ABC  bằng

Câu 7: Cho hình chóp O. ABC có đường cao OH 

a . 2 Hướng dẫn giải:

a 2 . 2

Trang 30

a . 3

a 3 . 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Do MN //  ABC   d  MN ,  ABC    d  M ,  ABC  

Lại có

OA d  O,  ABC     2  d  M ,  ABC   MA d  M ,  ABC  

 Chọn D .

1 OH a 3 d  O,  ABC     2 2 3

Chọn đáp án A. Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB  a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và  SAD  . a 2 . 2 Hướng dẫn giải:

a 3 . 3

a . 2

a . 3

SA   ABCD   SA  AI .

Lại có AI  AD ( hình thang vuông) suy ra IA   SAD 

IJ AD theo tính chất hình thang, nên d  IJ ,  SAD    d  I ,  SAD    IA 

a 2

Câu 9: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD  2a. Trên đường thẳng vuông góc với

 ABCD  A.

tại D lấy điểm S với SD  a 2. Tính khoảng cách giữa DC và  SAB  . .

3 2 Hướng dẫn giải: * Trong tam giác DHA , dựng DH  SA ; * Vì DC / / AB  d  DC ;  SAB    d  D;  SAB    DH

C. a 2 .

a 3 . 3

Xét tam giác vuông SDA có : 1 1 1 a 12 2a    DH   2 2 2 DH SD AD 3 3 Chọn A.

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( SCD ) bằng a 6 . 2 Hướng dẫn giải:

a 6 . 4

Trang 31

2a 6 . 9

a 6 . 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Khi đó SO   ABCD  . Kẻ OI  CD, OH  SI  OH   SCD  Ta tính được AO 

a 2 a 2 , SO  SA2  AO 2  2 2

AD a  2 2 1 1 1 a 6 a 6 .   2  OH   d  A,  SCD    2 2 OH SO OI 6 3 Chọn D . OI 

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB D) bằng a 2 2a 3 . B. . 2 3 Hướng dẫn giải: Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ A  0;0;0  ; B 1;0;0  ; D  0;1;0  ; A  0;0;1

C 1;1;0  ; B 1;0;1 ; D  0;1;1 ; C  1;1;1 CB   0; 1;1 ; CD   1;0;1

Viết phương trình mặt phẳng  CB D   Có VTPT n  CB; CD   1; 1; 1

 CBD  :1 x  1  1 y  1  1 z  0   0  x  y  z  2  0 d  BD;  CBD    d  B;  CBD   

Vậy d  BD;  CBD   

1 0  0  2 12  12  12



1 3  3 3

a 3 . 3

Trang 32

a 3 . 3

a 6 . 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AD , DC , A ' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng  MNP  và  ACC '  . a 3 . 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có:  MNP  //  ACA 

a . 4

 d   MNP  ;  ACA    d  P;  ACA   

a . 3

a 2 . 4

1 a 2 . OD  2 4

Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60 , đáy ABC là tam giác đều và A cách đều A , B , C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ. a 3 2a A. a . B. a 2 . C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì ABC đều và AA  AB  AC  AABC là hình chóp đều. Gọi AH là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm AAH  60 . a 3 AH  AH .tan 60  3  a. 3

ABC ,

Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60o. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  A1B1C1  là trung điểm của B1C1 . Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu? 3 2 a . . A. a B. . C. a 2 2 3 Hướng dẫn giải: Ta có: A 'H   ABC   A 'AH  60o.

 A ' B ' C ' ,  ABC   A ' H  A ' A.cos60

a

3 . 2

Chọn đáp án A.

Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC. ABC có tất cả các cạnh đều

Trang 1

a . 2

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng  ABC   thuộc đường thẳng BC . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là: a . 3 Hướng dẫn giải:

a 3 . 2

a . 2

a 2 . 2

D. A

 Do hình lăng trụ ABC. ABC có tất cả các cạnh đều bằng a suy ra a 3 a AB  AC   BH  HC   AH   AH  . 2 2 Chọn đáp án C.

C' H

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa  ABC  và  ADC   bằng : B. a 2 .

A. a 3 .

a . 3

Hướng dẫn giải: Ta có d   ABC  ,  ADC     d  B,  ADC     d  D,  ADC   

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Gọi I là hình Chiếu của D trên OD , suy ra I là hình chiếu của D trên  ADC   .

DI 

DO  DD 2



a 2 .a 2 2

a 2 2   a  2 

d  ABC  ,  ADC     d  D,  ADC     DO.DD

a 3 . 3

B

C I



a 3 . 3

O A

D

Chọn đáp án D. Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AD, DC , AD . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng  MNP  và  ACC   . a 2 a . B. . 4 3 Hướng dẫn giải: Nhận xét ( ACC )  ( ACC A) Gọi O  AC  BD, I  MN  BD Khi đó, OI  AC , OI  AA  OI  ( ACC A)

a 3 . 3

a . 4

1 a 2 Suy ra d  ( MNP), ( ACC )   OI  AC  4 4

Trang 2

M A

N I

C A'

D B

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Chọn đáp án B.

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ACD ) và ( BAC ) bằng A. khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC  . B. khoảng cách giữa hai điểm B và D . C. khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và AC  . D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác ACD và BAC  Hướng dẫn giải: Ta có ( ACD) / /( BAC ) . A D C DB  ( ACD) B (đã chứng minh trong SGK)    DB  ( BA C ) G Đáp án D. G' A'

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB D) và ( BDA) bằng a 2 a 3 . B. . 2 3 Hướng dẫn giải: Vì  A ' BD  / /( B ' CD ') nên ta có:

2a 3 . 3

a 6 . 3

d   A ' BD  ,  B ' CD '    d  C ;  A ' BD    d  A;  A ' BD   .

D C

Vì AB  AD  AA '  a và A ' B  A ' D  BD  a 2 nên A. A ' BD là hình chóp tam giác đều. Gọi I là trung điểm A ' B, G là trọng tâm tam giác A ' BD . Khi đó ta có: d  A;  A ' BD    AG

G I

3 a 6  . 2 2 2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: DG  DI  . 3 3 Trong tam giác vuông AGD có:

Vì tam giác A ' BD đều nên DI  a 2.

6a 2 a 3  . Chọn B 9 3 Câu 9: Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh a. Khoảng cách giữa  ACB   và  DA C   bằng AG  AD 2  DG 2  a 2 

A. a 3 .

B. a 2 .

Hướng dẫn giải: Trang 3

a 3 . 3

a . 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Vì  ACB ' / /( DA ' C ') nên ta có:

d   ACB ' ,  DA ' C '   d  D;  ACB '    d  B;  ACB '   .

Vì BA  BB '  BC  a và AB '  AC  CB '  a 2 nên B. ACB ' là hình chóp tam giác đều. Gọi I là trung điểm AC , G là trọng tâm tam giác ACB ' . Khi đó ta có: d  B;  ACB '   BG

D I

B G

3 a 6 .  2 2 2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: B ' G  B ' I  . 3 3 Trong tam giác vuông BGB ' có:

Vì tam giác ACB ' đều nên B ' I  a 2.

6a 2 a 3 . Chọn C.  9 3 Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  4, AD  3. Mặt phẳng ( ACD ') tạo với BG  BB '2  B ' G 2  a 2 

mặt đáy một góc 60 . Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp. 6 3 12 3 4 3 A. . B. . C. . 5 5 5 Hướng dẫn giải: Gọi O là hình chiếu của D lên AC .  ACD '   ABCD   AC  Ta có  AC  DO   AC  D ' O  AC   ODD '  OD '



5 3 . 3

D' C'



  D ' AC  ,  ABCD   D ' OD  600 AC  32  42  5 ; DO 

A 4

AD.DC 12  AC 5

Khoảng cách giữa hai mặt đáy là DD '  DO.tan 600 

12 3 5

Chọn đáp án B.

Trang 4

O B

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b . Khi đó d  a, b   MN . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng : Phương pháp 1 Chọn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng  và song song với  ' . Khi đó d( , ') d(

',( ))

'

 H



Phương pháp 2 Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm. 



'



Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Trường hợp 1:  và  ' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa  ' và vuông góc với  tại I . Bước 2: Trong mặt phẳng ( ) kẻ IJ   ' . Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d (,  ')  IJ . 

'



Trường hợp 2:  và  ' chéo nhau mà không vuông góc với nhau Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa  ' và song song với  . Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của xuống ( ) bằng cách lấy điểm M   dựng đoạn MN    , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với  . Bước 3: Gọi H  d   ' , dựng HK MN Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d (,  ')  HK  MN .

Trang 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word



Quan hệ vuông góc – HH 11

N '



Hoặc Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )   tại I . Bước 2: Tìm hình chiếu d của  ' xuống mặt phẳng ( ) . Bước 3: Trong mặt phẳng ( ) , dựng IJ  d , từ J dựng đường thẳng song song với  cắt  ' tại H , từ H dựng HM IJ . Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d (,  ')  HM  IJ . 

'



Sử dụng phương pháp vec tơ

 AM  x AB  CN  yCD a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi   MN . AB  0   MN .CD  0 OH  u1  b) Nếu trong   có hai vec tơ không cùng phương u1 , u2 thì OH  d  O,     OH  u2 H      OH .u1  0   OH .u2  0 . H     

Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy  ABCD  . Gọi K , H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? Trang 6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK. B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD. C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH. D. Các khẳng định trên đều sai. Hướng dẫn giải: Nếu AK  AC , do AK  AB  AK  ( ABC ) S  AK  SA (vì SA  ( ABC )  SA  SD  SAD có 2 góc vuông (vô K lý). H Theo tính chất của hình vuông CD   AC . A D Nếu AC  OH , do AC  BD  AC  ( SBD)  AC  SO  SOA có 2 góc vuông (vô lý) O Như vậy AC   AK , AC   CD , AC   OH B C Chọn đáp án D. Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa AB và CD . a 3 a 2 a 2 a 3 A. B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a 3 Khi đó NA  NB  nên tam giác ANB cân, suy ra 2 NM  AB . Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d  AB; CD   MN . Ta có: S ABN 

p  p  AB  p  BN  p  AN  (p là nửa chu vi).

aa 3 aa 3 a a 2a . . . .  2 2 2 2 4 2a 1 1 Mặt khác: S ABN  AB.MN  a.MN  MN  . 2 2 2 

3a 2 a 2 a 2   . 4 4 2 Câu 3: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC  a 5 và

Cách khác. Tính MN  AN 2  AM 2 

BC  a 2 . Tính khoảng cách giữa SD và BC . 3a 2a A. . B. . 4 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: BC //  SAD 

a 3 . 2

D. a 3 .

 d  BC; SD   d  BC;  SAD    d  B;  SAD   .

 AB  AD  AB   SAD   d  B;  SAD    AB . Mà   AB  SA

Ta có: AB  AC 2  BC 2  5a 2  2a 2  3a . Câu 4: Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa BB ' và AC bằng: a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3

Trang 7

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: d  BB; AC   d  BB;  ACC ' A   

1 a 2 . DB  2 2

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa AA ' và BD ' bằng: 3 2 2 2 A. . B. . C. . 3 2 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: d  AA; BD   d  BB;  DBBD   

3 5 . 7

1 2 . AC  2 2

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a 3 Khi đó NA  NB  nên tam giác ANB cân, suy ra 2 NM  AB . Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d  AB; CD   MN . Ta có: S ABN 

p  p  AB  p  BN  p  AN  (p là nửa chu vi).

aa 3 aa 3 a a 2a . . . .  2 2 2 2 4 2a 1 1 Mặt khác: S ABN  AB.MN  a.MN  MN  . 2 2 2 Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A ' B ' C ' D '. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A ' C ' là : 

A. AA '. Hướng dẫn giải:

B. BB '.

C. DA '.

Trang 8

D. DD '.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 AA '   A ' B ' C ' D '   AA '  A ' C '   A ' C '   A ' B ' C ' D '   AA '   ABCD    AD  ( ABCD Chọn đáp án A.

 AA '  AD

Câu 8: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A. a. B. a 2. C. a 3. D. 2a. Hướng dẫn giải: Ta có: d  CD, SB   d  CD,  SAB    AD  a. Chọn phương án A.

Câu 9: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA  OB  OC  a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu? a a 3 a A. a B. C. D. 2 2 5 Hướng dẫn giải: Gọi J là trung điểm OB . Kẻ OH vuông góc AJ tại H . Tam giác AOJ vuông tại O , có OH là đường cao A a a. OA.OJ a 2 OH    2 5 OA2  OJ 2 a a2    2 H Ta có: OC //IJ nên OC //  AIJ  C Do đó: O d  AI , OC   d  OC ,  AIJ    d  O,  AIJ    OH 

a 5 . 5

Chọn đáp án B. B Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  a, AD  2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA  a. Tính khoảng cách giữa SB và CD. a 2 a 3 a 2 a A. . B. . C. . D. . 4 3 2 2 Hướng dẫ giải: Trang 9

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Gọi là trung điểm ta có: H AD d(CD;SB)  d(D;(SBH))  d(A;(SBH)) Mà 1 1 1 1 3 a 3     2  d(CD;SB)  2 2 2 2 d (A;(SBH)) AS AB AH a 3 Chọn đáp án C

Câu 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD  a. Tính khoảng cách giữa AD và SB. a 21 a 21 a 15 a 15 A. . B. . C. . D. . 3 7 5 3 Hướng dẫn giải: Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD, BC . Ta có: AD, BC  (SFE) , suy ra SF là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SEF) Nên 3 a a SE.FE 21 2 d(AD;SB)  d(E;SF)    a 7 3 2 SE 2  FE 2 2 a a 4 Chọn đáp án B Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A1 B1C1 D1 có AA1  2a, AD  4a . Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B1 và C1M bằng bao nhiêu? A. 3a.

B. 2a 2.

D. 2a.

C. a 2.

Hướng dẫn giải: Ta có A1 B1 //C1 D1 suy ra

d  A1B1 , C1M   d  A1B1 ,  C1D1M    d  A1 ,  C1D1M  

Vì AA1  2a, AD  4a và M là trung điểm AD nên A1M  D1M ,

M D

suy ra A1M   C1 D1M 

 d  A1 ,  C1D1M    A1M  2a 2 .

Chọn đáp án B. Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD  và AB bằng bao nhiêu ? a 2 a 3 a 3 A. a 2 . B. . C. . D. . 2 3 2

Trang 10

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Hướng dẫn giải: A' B '  A' A  A ' B '   ADD ' A ' . Ta có  A' B '  A' D ' Gọi H là giao điểm của AD ' với A ' D .  A ' H  AD '  A ' H  AD ' a 2 .  d  A ' B '; AD '  A ' H   2 A' H  A' B ' Chọn B. Câu 14: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB và AC bằng a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: B C  AAC C   AC  Vì  nên d  BB; AC   d  BB;  AAC C   .    AAC C  //BB I Gọi I  AC  BD . Vì ABCD. ABCD là hình A D lập phương nên BI   AAC C  . B

a 2 Suy ra d  BB; AC   d  BB;  AAC C    IB  . 2 Chọn đáp án C.

C

A

D

Câu 15: Hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB  3, AD  4, AA  5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng bao nhiêu ? A. 34 . B. 41 . C. 5 . D. 8 . B C Hướng dẫn giải:   ABCD  //  ABC D   Ta có    AC   ABCD  ; BD   ABC D  A D

 d  AC ; BD   d   ABCD  ;  ABC D    AA  5

B

Chọn đáp án C.

C

A

D

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD. ah ah ah ah A. . B. . C. . D. . 3a 2  h 2 a 2  h2 2a 2  h 2 a 2  2h 2 Hướng dẫn giải: Gọi O  AC  BD . Gọi H là hình chiếu của O lên S SA . Vì S . ABCD là hình chóp đều nên BD   SAC   BD  OH . Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của BD, SA. H A

Trang 11 O B

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

OH 

OS .OA OS 2  OA2



a 2.h 2h 2  a 2 2 2



2h 2  a 2

Quan hệ vuông góc – HH 11

Chọn đáp án D. Câu 17: Cho hai tam giác đều ABC và ABD cạnh x nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng x 6 x 3 x 3 x 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 2 Hướng dẫn giải: C Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD .

 ABC    ABD  và hai tam giác ABC và ABD đều nên AB   CDI  và CI  DI suy ra IJ là đoạn vuông góc chung Của hai đường thẳng AB, CD . Vì tam giác CDI vuông tại I và J là trung điểm của CD

x 3 2.   I CD 2CI 2 x 6  2  Nên IJ  .    B 2 2 2 4 Chọn đáp án A. Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) và SA  a. Tính theo a khoảng cách giữa SB và CD. a 2 a 3 A. a 2 . B. a . C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có d  SB; CD   d  CD;  SAB    d  D;  SAB    DA  a . Chọn đáp án B.

Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA  a. Tính khoảng cách giữa SA và BD theo a. 2a 2a a 3 A. . B. a 2 . C. . D. . 2 3 5 Hướng dẫn giải: Trang 12

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Vì SA   ABCD  tại A và BD   ABCD  nên d  SA; BD   d  A; BD  

AB. AD AB 2  AD 2

2a 2



5a 2



2a 5 . 5

Chọn đáp án D.

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  a, AD  2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA  a. Tính khoảng cách giữa AD và SB. a 2 a 3 a 2 a A. . B. . C. . D. . 4 3 2 2 Hướng dẫn giải: Vì AD   SAB  tại A và SB   SAB  nên d  AD; SB   d  A; SB  

AS . AB AS 2  AB 2



a 2 . 2

Chọn đáp án D.

Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2. Khoảng cách giữa AD và SB là

A. a .

a 2 . 2

a 6 . 3

a 3 . 4

Hướng dẫn giải: Vì hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA   ABCD  . Vì AD   SAB  tại A và SB   SAB  nên d  AD; SB   d  A; SB   AH 

AS . AB AS 2  AB 2



a 6 . 3

Chọn đáp án C.

Câu 22: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a. Biết hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2. Khoảng cách giữa SO và AB là

A. a .

a 2 . 3

Trang 13

a 6 . 3

a 3 . 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Gọi E là trung điểm của AD khi đó d  SO; AB   d  AB;  SOE    AH , với H là hình chiếu của A lên SE . a 2 a 2 .  Ta có AH  3 EA2  ES 2 a2 2a 2  4 Chọn đáp án B. EA.ES

a 2.

Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a. Biết hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2. Khoảng cách giữa BD và SC là A. độ dài của đoạn thẳng OA . B. độ dài của đoạn thẳng BC . C. khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC . D. khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD . Hướng dẫn giải: Vì hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD) cùng vuông

góc với mặt phẳng đáy nên SA   ABCD  . Suy ra BD   SAC  tại O , mà SC   SAC  nên Khoảng cách giữa BD và SC bằng khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC . Chọn đáp án C.

Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC  a 5 và

BC  a 2. Tính khoảng cách giữa SD và BC. 3a 2a A. . B. . 4 3 Hướng dẫn giải: Dễ thấy BA   SAD 



a 3 . 2

D. a 3 .



BC / / AD  BC / /  SAD   d  BC, SD   d BC,  SAD   BA

Xét tam giác vuông ABC có AB  5a2  2a2  a 3 Đáp án D

Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD  và SA  a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD bằng a 6 A. . B. a 6 . C. a 3 . 6 Hướng dẫn giải:

Trang 14

D. a .

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Dựng Cx / / BD ,      SC, Cx 



 BD / /     d  BD, SC   d BD,   



1 d BD,     d O,     d A,    2 Dựng AK  SC . Dễ thấy AK      d A,     AK



 











1 1 1 1 1 1 a 6  2   2  2  AK  2 2 2 3 AK SA AC AK a 2a





Vậy d O,    

a 6 6

Đáp án A. Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD  và SA  a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và CD bằng A. a . B. a 2 . C. a 3 . Hướng dẫn giải: Dễ thấy AD   SAD 



D. a 6 .



CD / / AB  CD / /  SAB   d  SB, DC   d CD,  SAB   AD  a

Xét tam giác vuông ABC có AB  5a2  2a2  a 3 Đáp án A

Câu 27: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính khoảng cách giữa AB và CC1. A.

a 2 . 2

a 3 . 2

ab 3 4a 2  3b 2

ab 3 3a 2  2b 2

Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của AB CC1 / AA1  CC1 /  ABB1A1   d  AB, CC1 





 d CC1 ,  ABB1A1   CM 

a 3 2

Đáp án B.

Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB  2a, BC  a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là: a 3 a 6 a 15 a 21 . . . . A. B. C. D. 3 3 5 7 Hướng dẫn giải:

Trang 15

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Gọi O  AC  BD, I là trung điểm cạnh đáy BC. Do SA  SB  SC  SD nên SO  ( ABCD ) Từ đó ta chứng minh được BC  ( SOI )  OH  ( SBC ) (với OH  BC tại SI )  EF //( SBC ) Do  nên d  EF , SK   d  EF , ( SBC )   OH SK  ( SBC )  1 a 5 a 3  SO  Thực hiện tính toán để được OC  AC  2 2 2 SO.OI a 21  Cuối cùng d  EF , SK   OH  2 2 7 SO  OI

Quan hệ vuông góc – HH 11

H B

Chọn đáp án D. Câu 29: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao nhiêu? a 2 a 3 a 3 a A. B. C. D. 3 3 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm của cạnh đáy AC. Khi đó BC //( SMN )

Nên d  SM , BC   d  B, ( SMN )   d  A, ( SMN )  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM . Ta có thể chứng minh được MN  ( SAM ), từ đó AH  ( SMN )  d  A, ( SMN )   AH 

SA. AM SA  AM 2



a 2 3

Chọn đáp án A.

B Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu? a a a A. B. C. a D. 2 2 3 Hướng dẫn giải: Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, AB Tam giác MAB cân tại M và  NCD cân tại N do đó MN  AB, MN  CD

 a 3   a 2 a 2  d  AB, CD   MN  BM  NB        2  2  2 Chọn đáp án B. 2

N B O C

Trang 16

D M

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 31: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có AB  AA  a , AC  2a . Tính khoảng cách giữa AC  và CD : a 2 . 2 Hướng dẫn giải:

a . 3

a 3 . 2

a . 2

 Ta có hình chiếu của AC  trên mặt phẳng  DCC D  là DC  DC nên AC   D ' C   ADC B '  D ' C tại điểm H là trung điểm CD . Từ H ta kẻ HK  AC   d  AC , DC   HK .

1 1 1 5a 2 6 30 30    d  a a  HK  a 2 2 2 4 d 3a 2a 6a 5 5 10 Chọn đáp án D. Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách giữa AA và BD bằng: 2 2 3 5 3 2 A. B. C. D. 5 7 3 2 Hướng dẫn giải: AA '/ / BB '  AA '/ /(DBB'D')  Ta có

Ta có :

2 . 2

 d ( AA' )  d  A, ( DBB ' D ')   AO 

Câu 33: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a là : A. a 2 .

B. a 3 .

C. a 5 .

Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm DC , H là hình chiếu vuông góc của M lên AB .  BM  CD  CD  (ABM) Ta có:   AM  CD Trang 17

a 2 . 2

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

CD  MH  MH  d (AB, CD)   AB  MH 2 S ABM a 2  AB 2 Chọn đáp án D. MH 

Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC  a 5 , BC  a 2 . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC. a 3 2a 3a . . . A. B. C. D. a 3. 2 3 4 Hướng dẫn giải:  Khoảng cách giữa SD và BC : d  BC , SD   CD  a 3. Chọn đáp án D.

Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Các cạnh bên SA  SB  SC  SD  a 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: a 7 2 Hướng dẫn giải:

a 42 6

a 6 7

a 6 2

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: HK . a2 a 7 7a 2 a 2 a 6  ; SO    . 4 2 4 4 2 6 a .a SO.MH a 42 2 HK    .  Có : SM 7 7 a 2 Chọn đáp án C.

 SH  SM  2a 2 

a 17 . Hình chiếu vuông góc 2 H của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD.

Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 

Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a. a 3 3a A. . B. . 5 7 a 21 a 7 . D. . 7 5 Hướng dẫn giải:

J A

Trang 18

I C

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Ta có: HK / / BD  HK / /  SBD   d  HK , SD   d  HK ,  SBD    d  H ,  SBD  

Kẻ HI  BD , HJ  SI Khi đó: BD  HI , BD  SH  BD   SHI   BD  HJ Nên HJ   SBD   d  H ,  SBD    HJ 1 a 2 5 AO  và HD 2  HA2  AD 2  a 2  SH 2  SD 2  HD 2  3a 2 2 2 4 2 2 SH .HI 3 a 21 a 21 2  a 2  HJ  Do đó: HJ  . Vậy d  SD, HK   2 2 SH  HI 7 7 7 Chọn đáp án C. Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  có đáy là tam giác vuông tại A, AB  AC  b và có cạnh bên bằng b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB  và BC bằng

Ta có: HI 

A. b .

b 2 . 2

C. b 3 .

b 3 . 3

A

Hướng dẫn giải: Kẻ Ax / / BC  BC / /  ABx 

C

 d  BC , AB   d  BC ,  ABx    d  B,  ABx  

B

Kẻ BD  Ax, BK  DB Ta có: AD  BD, AD  BB  AD   BDB 

 AD  BK . Dó BK   ADB   d  B,  ADB    BK

đó:

b 2 2 2 2 BD .BB b 3 2  Nên BK  2 2 BD  BB 3 Chọn đáp án D.

Khi đó: BD  AH 

Câu 38: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC  60 . Hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABCD  bằng 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a bằng: a 3 a 3 a 3 . B. . C. . 2 4 3 Hướng dẫn giải: Gọi O  AC  BD . Kẻ OI  AB , OH  SI Ta có:  SAC    ABCD  ,  SBD    ABCD   SO   ABCD 

D. a 3 .

 SAB    ABCD   AB   SAO  300 Ta lại có:  AB  OI  AB  SI 

Khi đó: CD / / AB  CD / /  SAB 

 d  CD, SA   d  CD,  SAB    d  C ,  SAB    2d  O,  SAB  

Trang 19

I A

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Ta có: AB  SO, AB  OI  AB   SOI   AB  OH Nên OH   SAB   d  O,  SAB    OH a 3 1 1 AB  a nên ABC  OCD  600  OI  OC.sin 600  . 4 2 2 a 3 a 3 0  d  CD, SA   2OH  Do đó: OH  OI .sin 30  8 4 Chọn đáp án B. Câu 39: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , AB  2a; BD  3 AC , mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: a 35 2a 35 2a 7 2a 35 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 35 Hướng dẫn giải: S Ta có: CD / / AB  CD / /  SAB 

Mà OC 

 d  CD, SB   d  CD,  SAB    d  C ,  SAB    4d  H ,  SAB  

Kẻ MH  AB, HK  SM Ta có: AB  HM , AB  SH  AB   SHM   HK  AB

Khi đó: HK   SAB   d  H ,  SAB    HK

A D BI 0 M  3  BAC  60  ABC đều Ta có: tan BAC  H IA I 1 1  AC  2a  AH  AC  a B 4 2 C 2 15 a a 3 2 2 2 0 Mà HM  AI .sin 60  và SH  SA  AH  4 4 2 2 2 HM .SH 5a a 35 2a 35 2   HK   d  CD, SB   4 HK  Do đó: HK  2 2 HM  SH 28 14 7 Chọn đáp án B. Câu 40: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt

phẳng  ABC  bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a là: a 42 a 42 . B. . 8 4 Hướng dẫn giải: Kẻ Ax / / BC , HI  Ax, HK  SI .

3a 42 . 8

3a 42 . 4

Ta có: BC / / Ax  BC / /  SAx   d  BC , SA  d  BC ,  SAx    d  B,  SAx   

3 d  H ,  SAx   2 Ta lại có: AI  HI , AI  SH  AI   SHI   AI  HK

Nên HK   SAI   d  H ,  SAI    HK Gọi M là trung điểm của AB

Trang 20

H x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 2 1 1 a 3 Khi đó: BH  a, AH  a, AM  a, HM  a, CM  3 3 2 6 2 a 7 2 2 và HC  CM  MH  3 0 Mà SH   ABC   CH là hình chiếu của SC lên  ABC  nên SCH  60 0 Suy ra SH  HC.tan 60 

a 21 3

a 3 3 2 2 HI .SH 7 2 a 42 3 a 42 2  a  HK   d  BC , SA   HK  Khi đó: HK  2 2 HI  SH 24 12 2 8 Chọn đáp án Câu 41: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , gọi I là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng  ABC  bằng 0 Do ABC  HAI  60 nên HI  AH .sin 600 

60 0 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. 4a 3a a A. . B. . C. . 3 4 4 Hướng dẫn giải: Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng  ABC  là

a . 3

AI nên góc giữa SI và

mặt phẳng  ABC  là SIA (vì tam giác SIA vuông tại A 0 nên SIA nhọn). Suy ra SIA  60 . 0 Xét tam giác SIA vuông tại A , SIA  60 , AI 

nên SA 

a 3 2

3a . 2

Dựng hình bình hành ACBD , tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều. Ta có AC / / BD, AC   SBD   AC / /  SBD  mà  SBD   SB  d  AC , SB   d  A,  SBD   . Gọi K là trung điểm đoạn BD , tam giác ABD đều suy ra AK  BD và AK  BD   SAK  .

Dựng AH  SK , H  SK lại có AH  BD suy ra AH   SBD  Vậy d  A,  SBD    AH . Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A , đường cao AH ta có 1 1 1 3a    AH  2 2 2 4 AH AK AS  d  AC , SB   d  A,  SBD   

3a . 4

Đáp án B. Trang 21

a 3 mà BD  SA nên 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 42: Cho hình chóp S . ABC tam giác ABC vuông tại B, BC  a, AC  2a, tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm M của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là: a 66 A. . 11

2a 11 . 11

2a 66 . 11

a 66 . 11

Hướng dẫn giải: Tam giác ABC vuông tại B, BC  a, AC  2a suy ra AB  a 3 . Tam giác SAM vuông tại M , SA  a 3, AM  a  SM  a 2 . 0 Dựng hình bình hành ABCD , gọi N là trung điểm của AD . Do ABC  90 suy ra ABCD là hình chữ nhật suy ra MN  AD. Lại có SM  AD nên AD   SMN  . Dựng MH  SD, H  SN .

Theo trên có AD   SMN   MH  AD  MH   SAD  . Vậy d  M ,  SAD    MH . Ta có BC / / AD, BC   SAD   BC / /  SAD  Mà SA   SAD 

 d  SA, BC   d  BC ,  SAD    d  C ,  SAD    2d  H ,  SAD    2 MH .

Xét tam giác SMN vuông tại M , đường cao a MH , SM  a 2, MN  có 2 1 1 1 a 66 2a 66    MH   d  SA, BC   2 2 2 11 11 MH MN MS Câu 43: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành với AB  2a ; BC  a 2 ; BD  a 6 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD  là trọng tâm G của tam giác BCD, biết

SG  2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là: a A. a . B. 2a . C. . 2 Hướng dẫn giải: Ta có ABCD là hình bình hành, AB  2a, BC  a 2, BD  a 6 nên ABCD là hình chữ nhật. Dựng hình bình hành ACEB . Ta có AC / / BE , AC   SBE   AC / /  SBE  mà  SBE   SB vậy d  SB, AC   d  AC ,  SBE    d  G ,  SBE   . Dựng GK  BE , K  BE lại có SG  BE nên BE   SGK  . Dựng GH  SK , H  SK lại có GH  BE nên GH   SBE   d  G ,  SBE    GH . Trang 22

a . 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Ta có GK  d  B, AC  . Tam giác ABC vuông tại B suy ra

GK  d  B, AC  

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 1 1 vậy   d 2  B, AC  BA2 BC 2

2a . 3

Xét tam giác SGK vuông tại G , đường cao GH , SG  2a, GK 

2a có 3

1 1 1    GH  a  d  SB, AC   a . 2 2 GH GK GS 2 Đáp án A. Câu 44: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  4a; BC  3a, gọi I là

trung điểm của AB, hai mặt phẳng  SIC  và  SIB  cùng vuông góc với  ABC  , góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  ABC  bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là: 12a 3 3a 3 2a 3 . B. . C. . 5 5 5 Hướng dẫn giải: Ta có  SIC  ,  SIB  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABC  nên SI   ABC  .

5a 3 . 3

Dựng hình bình hành ACBE . Ta có AC / / BE , AC   SBE   AC / /  SBE  mà  SBE   SB vậy d  SB, AC   d  AC ,  SBE    d  A,  SBE    2d  I ,  SBE  

Dựng IK  BE , K  BE lại có SI  BE nên BE   SGK  . Dựng IH  SK , H  SK lại có IH  BE nên IH   SBE   d  I ,  SBE    IH . Kéo dài IK cắt AC tại D mà SI  AC   SID   AC . Lại có  SAC    ABC   AC .

 SAD    ABC   AD  SAD    ASC   SD Góc giữa  SAC  và  ABC  bằng

SDI suy ra SDI  600 .

1 d  B, AC  2 Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra 1 1 1   vậy 2 2 d  B, AC  BA BC 2

Ta có ID  IK 

ID  IK  d  B, AC  

12a . 5

Xét tam giác SID vuông tại I , ID 

12a 3 12a , SDI  600 suy ra SI  . 5 5

Trang 23

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Xét tam giác SIK vuông tại I , đường cao IH có 1 1 1 6a 3 12a 3  2  2  IH   d  SB, AC   . 2 5 5 IH IK IS Đã sửa đáp án A. Câu 45: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A. Gọi H , M lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC , SH vuông góc với  ABC  , SA  2a và tạo với mặt đáy góc 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC là: a 3 a 7 a 21 A. . B. . C. . 7 7 7 Hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng  ABC  là HA .

a 7 . 21

0 Vậy góc giữa SA và  ABC  là SAH . Ta có SAH  60 suy ra

AH  a, SH  a 3 . Gọi N , I lần lượt là trung điểm của SB, SI .

Ta có mặt phẳng  AMN  song song với BC và chứa AM . Vậy d  AM , BC   d  BC ,  SAM    d  H ,  SAM   .

Dựng HK  AI , K  AI . Ta có BC  SH , BC  MH  BC   SMH  .

 BC  HK mà MN / / BC  HK  MN Do HK  AI (cách dựng). Suy ra HK   AMN   d  H ,  AMN    HK . Xét tam giác IAH vuông tại H , đường cao HK 1 1 1 a 21 a 21   2  HK  , d  H ,  AMN    HK  2 2 7 7 HK HA HI Đáp án C. Câu 46: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, AD  2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng  ABCD  một góc 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a là: 2a 22 a 22 a 11 . B. . C. . 11 11 11 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M là trung điểm của SB . Mặt phẳng  ACM  chứa AC và song song SD . Do đó d ( SD, AC )  d ( SD, ( ACM ))  d ( D, ( ACM )) . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó  2a 4 2a  A  0;0;0  , B  a;0;0  , D 0; 2 2a;0 , S  ; ; 2a  , C a; 2 2a;0 3  3 







Trang 24



2a 11 . 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 5a 2 2a   5a 2 2a  M  ; ; a  . AC  a; 2 2a;0 , AM   ; ; a  6 3 6 3    



 AC  AM  2 2a 2 ; a 2 ; 

Mặt phẳng

 ACM 

 2a  2



đi qua điểm A và có vtpt n  2 2; 1;  2

2 2 x  y  2 z  0  d ( D;( ACM )) 

2 2a





nên có phương trình là

2a 22 . 11

8 1 2 Câu 47: Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC , tam giác ABC vuông tại A, AB  a, AC  a 3 . Ngoài ra DBC là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CD, với M là trung điểm của BC . a 3 a 7 a 17 a 21 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi N là trung điểm BD. Ta chứng minh được CD / /  AMN  . Do đó d  CD, AM   d  CD,  AMN    d  C ,  AMN   . Xét tứ diện ACMN . Thể tích tứ diện này là : 1 1 VACMN  d  C ,  AMN   .SAMN  d  N ,  ACM   .S ACM 3 3 d  N ,  ACM   .S ACM Suy ra d  C ,  AMN    (*) S AMN Gọi H là trung điểm BM . Khi đó, NH / / DM NH   ACM  nên NH  d  N ,  ACM    S ACM 

1 a2 S ABC  2 4

1 1 DM  a. 2 2 3 . (2)

suy ra

(1)

1 1 2 2 2 2 2 Áp dụng công thức trung tuyến AN   AB  AD  DB   a  AN  a. 2 2  1 Ta có AM  BC  a nên AMN cân tại A. Gọi K là trung điểm MN thì AK  MN . 2 CD a 2 a 14 MN   . Trong tam giác vuông AKM , ta có AK  . 4 2 2 1 a2 7 . Suy ra SAMN  AK .MN  (3) 2 8 a 21 a 21 . Vậy d  CD, AM   . Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được d  C ,  AMN    7 7 Câu 48: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , hình chiếu của S mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của cạnh AB . Góc tạo bởi SA và mặt phẳng  ABC  bằng 60 .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC .

Trang 25

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

2 15 a. 5 Hướng dẫn giải: Chọn D.

3 a. 5

5 a. 5

Quan hệ vuông góc – HH 11 D.

15 a. 5

Ta có: Từ A Kẻ Ax song song với BC .Từ H kẻ HI  Ax .Từ H Kẻ KH  SI với SI thì: d  SA, BC   d  B,  SAx    2d  H ,  SAx    2 HK a 3 và 4 a a 3 SH  AH .ta n 600  . 3  2 2 1 1 1 a 15   2  HK  2 2 HK SH IH 10 IH  AH .sin 600 

d  SA, BC   2d  H ,  SAx    2 HK 

a 15 5

3a . Hình chiếu vuông góc H 2 của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD .

Câu 49: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD . a 2a A. . B. . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A.

Ta có: SD cắt

 ABCD 

a . 2

tại D . Từ H kẻ HI  BD ,

HK HM  SI .Ta thấy song d  HK , SD   d  H ,  SBD    HM

song

BD :

SHD : SH  SD 2  HD 2 

2 2 2 9a 9a  2 a    AD 2  AH 2   a    a 4 4 4  

AC a 2  4 4 1 1 1 a    HM  2 2 2 HM SH IH 3

IH 

d  SA, BC   d  H ,  SBD    HM 

a 3

Trang 26

3a . 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 50: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  BC  a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC . 13 78 13 78 A. 2a. . B. 2a. . C. a. . D. a. . 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi I là trung điểm của AC . Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC , trong mặt phẳng  ABC  kẻ AE vuông góc với d tại E . Khi đó AE  BE và AE  AC . Ta có: AC //BE  AC //  SBE   d  AC , SB   d  A,  SBE   . Gọi AH là đường cao của  SAE  , ta có

 BE  SA  BE   SAE   BE  AH   BE  AE Mặt khác AH  SE nên AH   SBE  Do đó d  AC , SB   d  A,  SBE    AH Vì SA   ABC  nên hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( ABC ) là AC suy ra gó giữa SC và mặt o phẳng ( ABC ) là SCA  60

Xét SAE vuông tại A có: AH là đường cao, SA  tan 60o. AC  3.a 2  a 6 , AE  BI 

a 2 2

1 1 1 2 1 13   2  2 2  2 2 2 AH AE SA a 6a 6a 2 6a a 78  AH 2   AH  13 13 a 78 Vậy d  AC , SB   13 .

nên

Câu 51: Cho hình chóp S . ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC  , SA  a 6 ,

AB  AC  a 3 , góc BAC  120 , lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC  2MB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC . a 3a 2a 42 a 42 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn B. Dựa vào định lý Côsin trong tam giác ta có: BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos BAC BC 2  3a 2  3a 2  2.a 3.a 3. cos120 BC 2  9a 2  BC  3a

Trang 27

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

2 BC  2a . 3 AM 2  CM 2  CA2  2CM .CA.cos MCA

CM 

AM 2  4a 2  3a 2  2.2a.a 3. cos 30 AM 2  a 2  AM  a 2 2 2 2 Xét tam giác ACM có CM  AM  AC  4a nên tam giác ACM vuông tại A suy ra AC  AM mà AC  SA nên AC   SAM 

Gọi H là hình chiếu của A trên SM , ta có  AH  AC  d  AC , SM   AH   AH  SM Xét tam giác SAM có SA  a 6 , AM  a , AH là đường cao nên 1 1 1 1 1 7   2  2 2  2 2 2 AH AM SA a 6a 6a 2 6a a 42 AH 2   AH  7 7 a 42 d  AC , SM   7 Câu 52: Trong không gian cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt phẳng

 SAB 

vuông góc với đáy, tam giác SAB vuông cân tại S . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

SB và AC . 21 21 7 7 A. a . B. 3a . C. a . D. 2a . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. SH (ABC ). Kẻ SH AB AC //(SBM ) d (AC , SB ) d (AC ,(SBM )) d (A,(SBM )) 2d (H ,(SBM )). Kẻ BM //AC BM (SHK). Kẻ HK BM, ta có: SH BM (ABC) HQ (SBM) d (H ,(SBM )) HQ. Kẻ HQ SK , ta có: BM HQ (SHK) Xét tam giác vuông SHK ta có:

1 1 = 2 HQ HK 2

1 . SH 2

a Trong đó: SH=AH= (do tam giác SAB vuông cân tại S ), HK=HB.sin60 2 1 16 = 2 2 HQ 3a

4 a2

28 3a 2

a 21 14

d(AC , SB )

2HQ

a 3 . 2 2

a 3 . 4

a 21 . 7

Câu 53: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SD vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , AD  a, góc AOB  120 , góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB . A.

a 3 4

a 6 4

Trang 28

3a 3 4

5a 6 4

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì: BC DC BC BC SD SD

(SDC )

AD tan 60

SCD

a 3.

Kẻ

OI //SB(I

SD)

ID=SI=

a 3 , SB//(IAC ) 2

d (AC , SB ) d (SB,(IAC )) d (B,(IAC )) d (D,(IAC )). AC (IDH ) DH AC . Kẻ IH AC Kẻ DK IH , ta có: DK AC (AC (DIH)) DK (IAC) d(D,(IAC))=DK.

Xét tam giác vuông DHA : ta có DH

a 3 2

a.sin 60

tam giác DHI vuông cân tại

a 6 . 4 Câu 54: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC  a 3, AB  a ; hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với mặt đáy  ABCD  và đường thẳng SC tạo với mặt đáy DK

DH .sin 45

 ABCD 

một góc 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC .

2 5a . 5 Hướng dẫn giải: Chọn D.

3 15a . 5

5a . 5

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có  SAC    SBD   SO,  SAC    ABCD  ,  SBD    ABCD   SO   ABCD  .

OC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng

 ABCD    SC ,  ABCD    SCO  600

 ACM  SO  MH   ABCD 

Gọi M là trung điểm của SD  OM SB  SB

Trong mặt phẳng  SBD  kẻ MH Khi đó d  SB, AC   d  SB,  ACM    d  B,  ACM    2d  H ,  ACM    2 HI . 1 a 3 d  D, AC   2 4 AC a 3  a  SO  OC.tan 600  a 3  MH  Có OC  2 2

Ta có HK 

Trang 29

15a . 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 1 1 20 a 15 a 15    2  HI  . Vậy d  SB, AC   2 HI  . 2 2 2 HI HM HK 3a 10 5 Câu 55: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB  BC  a, AD  2a. Các mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với mặt đáy  ABCD  .

Biết góc giữa hai mặt phẳng

 SAB  và  ABCD 

CD và SB . a 3 A. . 5 Hướng dẫn giải: Chọn B.

2a 3 . 5

bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

2a 3 . 3

a 3 . 3

Gọi O là giao điểm của AC và BD .  SAC    SBD   SO,  SAC    ABCD  , Ta có .  SBD    ABCD   SO   ABCD  Gọi E là trung điểm của AD , H  AC  BE  BE CD  CD  SBE   d  CD, SB   d  C ,  SBE   .  3d  O,  SBE    3OI

OM  AB, SO  AB  SM  AB Kẻ

   SAB  ,  ABCD    SMO  600

Tính AC  a 2  OH 

1 a 2 1 2a 2a 3 AC   SO  OM .tan 600  , OM  AD  6 6 3 3 3

1 1 1 75 2a 2a 3    2  OI   d  CD, SB   . 2 2 2 OI OH SO 4a 5 5 3 Câu 56: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Đường thẳng SD tạo với đáy 3a 5 ABCD một góc 60 . Gọi M là trung điểm AB. Biết MD  , mặt phẳng  SDM  và mặt phẳng 2  SAC  cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SM theo a là: a 5 3a 5 . B. . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có  SMD    SAC   SG suy ra SG   ABCD 

Kẻ GH  AB , GK  SH Khi đó, d  DC , SM   d  DC ,  SAB    d  D,  SAB   

GD 3a 15 .d  G,  SAB    3GK  GM 4

Trang 30

a 15 . 4

3a 15 . 4

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Câu 57: Một hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bên bằng 2 2 và tạo với mặt đáy một góc 45 . Tính khoảng cách giữa SA và BC . 3 2 3 2 3 3 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải: S Chọn A . + Vì SABC là hình chóp tam giác đều nên SO   ABC  ( Với O là trọng tâm của ABC ). + Xét SOA Vuông tại O có:

- SAO  45 mà SA  2 2 nên OA  SO  2.  AI  3. - Với H là chân đường cao hạ từ O 1 1 1 Ta có:    OH  2. 2 2 OH OA SO 2 + Trong SIA Gọi J là chân đường cao hạ từ I xuống SA. Lại có BC   SAI  nên BC  IJ . Từ đó IJ là đương 0

H A

vuông góc chung của SA & BC.

C O I B

OH OA OH . AI 3 2   IJ   . + Xét trong AIJ : IJ AI OA 2 Câu 58: Cho hình chóp S . ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O , cạnh a, BAD  60 và SO  Biết SA  SC và SB  SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ? 3a 7 3a 7 3a 3a A. . B. . C. . D. . 14 7 7 14 Hướng dẫn giải: SO  AC  Ta có:   SO  ( ABCD)  DB  SO SO  DB  S H DB  SO  Ta có:   BD  ( SAC ) A BD  AC  Trong mp ( SAC ) , kẻ OH  SA ( H  SA) , ta có: OH  SA, OH  BD O d ( SA, DB)  OH . Do đó: Ta có: B

3a . 4

a 21  3a   a 3  SA  SO 2  OA2        4  4   2  Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có: SO.OA 3a a 3 4 3a 7 OH   . .  SA 4 2 a 21 14 2

Vậy d ( SA, DB)  OH 

3a 7 . 14

Chọn B. Câu 59: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đường cao SO  2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc

60 . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng Trang 31

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

4 3 . B. 2 . 3 Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của CD . Ta có:  SCD  ( ABCD)  CD

C. 2 3 .

( SOI )

( ABCD)  OI ,( SOI )





D 600

 ( SCD),( ABCD)  (OI , SI )  600

Ta có: AB / / CD  AB / /( SCD)  d ( AB, SD)  d ( AB,( SCD))  d ( A,( SCD))  2d (O,( SCD))

Trong mp ( SOI ) , kẻ OH  SI ( H  SI ) , ta có: OH  ( SCD ) và OI  Do đó: d (O,( SCD))  OH . Ta có: SI  SO 2  OI 2  22 

3 2 . 2

   ( SCD)  SI 

( SOI )  CD

SO 2 3  0 tan 60 3

4 4  3 3

SO.OI 2 3 3  2. . 1 SI 3 4 Do đó: d ( AB, SD)  2d (O,( SCD))  2OH  2.1  2 . Chọn B. Câu 60: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3a; AD  2a. Hình chiếu

Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên OH 

vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH  2HB. Góc giữa mặt phẳng  SCD  và mặt phẳng  ABCD  bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD theo a là 6a 39 6a 13 a 39 A. . B. . C. . 13 13 13 Hướng dẫn giải: Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD  là điểm H nên SH  ( ABCD ) . Kẻ HM  CD ( M  CD) , ta có: ( ABCD) ( SCD)  CD   ( SHM )  CD  0   ( ABCD),( SCD)  SMH  60 Ta có: ( SHM ) ( ABCD)  HM  ( SHM ) ( SCD)  SM  AD / / BC  AD / /( SBC ) và d ( AD, SC )  d ( A,( SBC ))  3d ( H ,( SBC )) Kẻ HI  SB ( I  SB) , ta có: HI  ( SBC ) và d ( H ,( SBC ))  HI





a 13 . 13

3a I

600 M

H B 2a

Ta có: SH  HM .tan 600  2a. 3 và SB  SH 2  HB 2  a 13 SH .HB 2a 39 6a 39  . Vậy d ( AD, SC)  3 HI  . Chọn A. 13 SB 13 Câu 61: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C , AB  5a; BC  4a. Cạnh SA

Suy ra: IH 

vuông góc với đáy và góc giữa mặt phẳng  SBC  với mặt đáy  ABC  bằng 60 . Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC là:

Trang 32

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

3a 39 3a 13 . B. . 13 13 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AC , ta có: BC / /( SMD)  d ( BC , SD)  d (C ,( SMD))  d ( A,( SMD)) Kẻ AH  SM ( H  SM ) , ta có: AH  ( SMD )

Quan hệ vuông góc – HH 11

a 13 . 13

a 39 . 13

SA. AM 3a 39  SM 13 3a 13 Với SM  SA2  AM 2  . 2 Chọn A. Câu 62: hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B, AB  BC  a, AD  2a, tam giác SAB cân tại đỉnh S nằm  d ( A,( SMD))  AH 

trong mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng

 SCD 

H D

4a C

tạo với đáy một góc 60 . Khoảng cách

AB và SD là: a 177 6a 177 2a 177 A. . B. . C. . 59 59 59 Hướng dẫn giải: Dựng hình chữ nhật ABED , ta có tam giác ACD vuông cân tại C . Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, ED , ta có: SH  ( ABCD ) . Gọi F là đối xứng của A qua B, kẻ HM  DF ( M  DF )

Ta có: SK  SH 2  HK 2 

3 3a 2 AC  4 4 Ta có: AB / / ED  AB / /( SED) và d ( AB, SD)  d ( H ,( SED)) Kẻ HI  SK , ta có: HI  ( SED) và d ( H ,( SED ))  HI

3a 177 . 59

a a

Suy ra: ( SHM )  DF và ( SCD),( ABCD)  SMH  600 Ta có: HM / / AC  HM 

B 5a

a 59

2 2 SI .IK 6a 3 6a 177 Suy ra: HI  .   SK 59 59 Chọn B. Câu 63: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc giữa SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 , M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC là: S 4a 51 2a 51 a 51 a 51 A. . B. . C. . D. . 51 3 51 17 Hướng dẫn giải: Gọi N , I lần lượt là trung điểm của AC , BC . MN là đường trung bình của ABC  MN€ BC K

 BC€  SMN 

Ta có: d  BC ; SM   d  BC ;  SMN    d  I ;  SMN  

N H

Trang 33

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 d  A;  SMN   . Dễ thấy BC   SAI   MN   SAI    SMN    SAI  theo giao tuyến SH . Trong mặt phẳng  SAI  kẻ AK  SH  AK   SMN  ậy d  BC ; SM   d  A;  SMN    AK

a 3 1 a 3  AH  AI  2 2 4 ì SA   ABC  nên  SB;  ABC     SB; AB   SBA  60  SA  AB.tan 60  a 3.

Ta có: AI 

1 1 1 1 16 17  2  2 2  2 2 2 AK SA AH 3a 3a 3a a 51 .  AK  17 Câu 64: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng 2a. Mặt

bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với  SCD  và I là trung điểm AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB là: 3a 3 a 2 A. . B. . 2 2 Kẻ MN / / AB  d  SO, AB   d  AB,  SMN    d  I , ( SMN ) 

a 3 . 2

a 3 . 3

Ta có AB  SI  MN  SI , AB  OI  MN  OI  MN  ( SOI )   SMN    SOI  .Kẻ

a 3

IH  SO  IH   SMN 

 IH  d  I ;  SMN   A

Gọi J là trung điểm của CD Do SI   SCD   SI  SJ  SO  + Do SIO cân tại O . kẻ OE  SI

JI a 2 B

I 2a

3a 2 a  4 2 2 2S 1 1a a 3 a 3 .a 3   IH  OSI  IH  + SOSI  OE.SI  2 22 4 SO 2 Câu 65: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , AB  a, AD  2a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là trung điểm đoạn MI . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với điểm N . Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng  ABCD  bằng  OE  OI 2  IE 2  a 2 

45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a là: a 6 a 6 A. a 6 . B. . C. . 2 3

Trang 34

a 6 . 6

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Hướng dẫn giải: S

MN / / AD  MN / /  SAD   d  MN , SD   d ( MN , ( SAD))  d ( N , ( SAD))

Kẻ NE  AD, SN  AD  AD   SNE    SAD    SNE  NH  SE  NH  ( SAD ) Kẻ  d  N ,  SAD    d  MN , ( SAD )   NH

H 2a

A a

Ta có : SB;  ABCD   SBN  450

M 45°

Xét BMN 

a a a 2 a 2    SN  4 4 2 2 a a 2 . NE.NS a 6 Do NH   2 2  6 a 3 NE 2  NS 2 2 Câu 66: hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ; AB  BC  a; AD  2a ; SA BN  BM 2  NM 2 

vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45 . Gọi M là trung điểm của cạnh AD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD là: a 22 a 2 a 11 a 11 A. . B. . C. . D. . 11 11 22 2 Hướng dẫn giải:

Ta có : SC ,  ABCD   SCA  450 Gọi E , K lần lượt là giao điểm của AC với BD, NM

Kẻ MN / / BD  BD / /  SMN   d  SM , BD   d  BD,  SMN    d  E,  SMN   Do MN / / BD  K trung điểm AE  d  E;  SMN    d  A,  SMN   Kẻ AE  MN , SA  MN  MN   SAE    SAE    SMN  Kẻ AF  SE  FA   SMN   d  A, ( SMN )   FA

Xét ABC  AC  a 2  SA  a 2 a .a AN . AM a 5 2 AE    2 2 2 5 AN  AM a  a2 4

a 5 a 2. SA. AE 5  a 22 FA   2 2 11 55 SA  AE 5

2a M

a E N

Trang 35

K 45° E

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Câu 67: Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD  60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, SG  ( ABCD ) và SG 

a 6 . Gọi M là trung điểm CD. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng 3

AB và SM theo a . a 2 a 3 a 5 A. . B. . C. . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: Gọi J , K lần lượt là hình chiếu của H lên DC , SJ 3 d  AB, SM   d  AB,  SDC    d  A,  SDC    d G ,  SDC   2 3 3 SG.GJ 3 SG.GC.sin GCJ  GK  .  . 2 2 SJ 2 SG 2  GJ 2 3  . 2

a 7 . 2

SG.GC.sin GCJ



SG 2  GC.sin GCJ



a 6 2 . . AC.sin 300 3 3 3  . 2 2 2  a 6 2 0  . AC .sin 30       3  3

a 6 2 . .2 AO.sin 300 3 3

a 6

3  . 2 2 2  a 6 2 0     .2 AO.sin 30    3  3

K H

a 6 2 a 3 . .2. .sin 300 3 3 2

600

3 a 2  .  2 2 2  2  a 6 2 a 3 0 .sin 30      .2. 2  3  3 

G O D J

Câu 68: Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết SA  a và cạnh bên SB tạo với mặt đáy  ABCD  một góc 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là: a 21 2a 7 2a 21 A. . B. . C. . 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A và song song với AC Gọi L, M lần lượt là hình chiếu của H lên d , SL

a 7 . 7

a M

300 H

Trang 36

O D C

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

d  SA, BD   d  BD,  SAL    d  B,  SAL   

BA BA .d  H ,  SAL    .HM HA HA

a 0 BA SH .HL BA SH .HL SH .HL SH .HL  .  .  sin 30 0 .  4. 2 2 2 2 HA SL HA SH  HL a.cos60 SH  HL SH 2  HL2 . SH 3 sin 600   SH  a SA 2 HL HL sin LAH   sin ABO  AH AH AH a cos600   AH  SA 2 a 3 2 . .a AO HL AO.AH 2 2 SH .HL 2 21 2 4    HL   AH  a 4.  4.  a 2 2 AB AH AB 2 4 7 3 2 1 2 SH  HL a  a 4 8 Câu 69: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  a 2 . Gọi H là trung điểm của cạnh AB ; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ; góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  ABCD  bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CH và SD là : 2a 5 2a 10 a 5 2a 2 . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì H là trung điểm của cạnh AB ; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH   ABCD  .

H a 2

I O

Gọi I là hình chiếu của H trên AC suy ra góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  ABCD  là góc SIH  600 . IH BC a 2 a a 6   IH  .  . Ta có ABC AIH  AH AC 6 a 3 2 a 2 . 2 Gọi K là điểm đối xứng của H qua A ta có tứ giác CDKH là hình bình hành suy ra CH song song với mặt phẳng  SDK   SD .

Trong SHI vuông tại H có SH  IH 3 

Trang 37

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Nên ta có: d  CH ,SD   d  CH ,  SDK    d  H ,  SDK  

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên DK và SE. Khi đó ta có d  H ,  SDK    HF . a .a 2 BH .BC 2a 2 2 Ta có HE  2d  B, H C   2 2  2 2 2 3 BH  BC a  2a 2 4

a 2 2a 2 2 3  2a . 3 2  2a 2 . Chọn D. Trong SHE vuông tại H có HF   2 3 5a 5 SH 2  HE 2 a 2 8a 2  2 9 Câu 70: hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a , tam giác SAB cân 2a tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ D đến  SBC  bằng . Khoảng 3 cách giữa hai đường thẳng SB và AC là : a 10 a 10 2a 10 2a 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 5 Hướng dẫn giải: S Chọn B. Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A và song song với AC Gọi K , I lần lượt là hình chiếu của H lên d , SK L 2a 2a d  D,  SBC     d  A,  SBc    I 3 3 a a K A  d  H ,  SBC     HI  a H B 2a 3 3 O 1 1 1 D   2 2 C HI SH HB 2 a 5 9 1 4 1 5  2   2   2  SH  2 2 5 a SH a SH a HK HK sin KBH   sin CAB  HB HB a .2a CB HK HB.CB 2 5a    HK    AC HB AC 5 5.a d  AC , SB   d  A,  SBK    2d  H ,  SBK    2 HL SH .HE

SH .HK SH .HK SH 2 SH a 10 2  2. 2  =2 2 2 SK 5 SH 2 2 SH  HK Câu 71: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, có SH  ( ABC ) với H thuộc cạnh AB sao cho AB  3 AH . Góc tạo bởi SA và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Khoảng cách giữa

hai đường thẳng SA và BC là: a 5 3a 15 A. . B. . 5 5 Hướng dẫn giải:

Trang 38

a 15 . 5

3a 5 . 5

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Chọn B. Ta có: ẽ đường thẳng d qua A và song song với BC Gọi F , G lần lượt là hình chiếu của H lên d , SF SH tan 600   SH  a 3 a HF HF a 3 sin FAH   sin 600   HF  AH a 2 a 3 a 3. SH .HF 2  15 a HG   5 3 SH 2  HF 2 3a 2  a 2 4 d  BC , SA  d  B,  SAF  

F A

600 H

B 3a

 3d  H ,  SAF    3HG  3

15 a 5 Câu 72: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S

lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm của AD , góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 60 . Gọi M là trung điểm của DC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM là : a 285 3a 285 a 285 A. . B. . C. . 9 19 19 Hướng dẫn giải: S Chọn C. Vẽ đường thẳng d qua A và song song với BM Gọi O, P lần lượt là hình chiếu của H lên d , SO P Ta có:

BH  AB 2  AH 2  a 2 

a2 a 5  4 2

2a 285 . 9

O D

H 600 M

tan 600 

SH a 15  SH  BH 2

sin OAH 

OH OH CM OH CM . AH  sin MBC     OH   AH AH BM AH BM 2

a a . 2 2  5a 10 a2 a2  4

 a 15   a 5  95a SO  SH  OH        5  2   10  2

SH .OH d  SA, BM   d  N ,  SAO    4d  H ,  SAO    4 HP  4.  4. SO

Trang 39

a 15 a 5 . 2 10  285 a 19 95a 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Trang 40

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Trang 1

Quan hệ vuông góc – HH 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP 1. Định nghĩa và các phép toán  Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.  Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

IA  IB  0 ; OA  OB  2OI Ta có: + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG + Điều kiện hai vectơ cùng phƣơng: a vaø b cuøng phöông (a  0) !k  R : b  ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý. Ta có: OA  kOB MA  k MB; OM  1 k 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ  Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , trong đó a vaø b không cùng phương. Khi đó: a , b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb  Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý. Khi đó: ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc 3. Tích vô hƣớng của hai vectơ  Góc giữa hai vectơ trong không gian: AB  u , AC  v  (u , v )  BAC (00  BAC  1800 )  Tích vô hƣớng của hai vectơ trong không gian: + Cho u , v  0 . Khi đó: u.v  u . v .cos(u , v ) + Với u  0 hoaëc v  0 . Qui ước: u.v  0 + u  v  u.v  0 4. Các dạng toán thƣờng gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ. b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: - Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n  R: c  ma  nb thì a, b , c đồng phẳng + Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x  ma  nb  pc c) Tính tích vô hƣớng cuả hai véc tơ trong không gian d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ. Trang 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11 2

+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a  a  a  a . Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau: - Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a , b , c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được. - Phân tích MN  ma  nb  pc

 ma  nb  pc   2mn cos  a , b   2np cos  b , c   2mp cos  c , a  2

- Khi đó MN  MN  MN  2

 m2 a  n2 b  p2 c

e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian. Sử dụng các kết quả  A, B, C , D là bốn điểm đồng phẳng  DA  mDB  nDC  A, B, C , D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có OD  xOA  yOB  zOC trong đó x  y  z  1 .

B – BÀI TẬP Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC. ABC , M là trung điểm của BB . Đặt CA  a , CB  b , AA  c . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 A. AM  b  c  a . B. AM  a  c  b . C. AM  a  c  b . D. 2 2 2 1 AM  b  a  c . 2 Hướng dẫn giải: A' C' Chọn D. B' Ta phân tích như sau: 1 AM  AB  BM  CB  CA  BB M 2 A C 1 1  b  a  AA  b  a  c . 2 2 B Câu 2: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là A. OA  OB  OC  OD  0 . B. OA  OC  OB  OD . 1 1 1 1 C. OA  OB  OC  OD . D. OA  OC  OB  OD . 2 2 2 2 O Hướng dẫn giải: Chọn B. Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là: A D BD  BA  BC . Với mọi điểm O bất kì khác A , B , C , D , ta có: B BD  BA  BC  OD  OB  OA  OB  OC  OB C  OA  OC  OB  OD . Câu 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA  a ; SB  b ; SC  c ; SD  d . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  c  d  b . B. a  b  c  d . C. a  d  b  c . D. a  b  c  d  0 .

Trang 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau:  SA  SC  2SO (do tính chất của đường trung tuyến)   SB  SD  2SO  SA  SC  SB  SD  a  c  d  b .

D O

Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB  b , AC  c , AD  d . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. MP  c  d  b . B. MP  d  b  c . 2 2 1 1 C. MP  c  b  d . D. MP  c  d  b . 2 2 Hướng dẫn giải: A Chọn A. Ta phân tích: b 1 M d MP  MC  MD (tính chất đường trung tuyến) 2 c 1 1 B  AC  AM  AD  AM  c  d  2 AM 2 2 P 1 1  c  d  AB  c  d  b . C 2 2



 

















 

  



Câu 5: Cho hình hộp ABCD.ABCD có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC   u , CA '  v , BD  x , DB  y . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. 2OI   u  v  x  y  . B. 2OI    u  v  x  y  . 2 2 1 1 C. 2OI   u  v  x  y  . D. 2OI    u  v  x  y  . 4 4 Hướng dẫn giải: A' D' x Chọn D. v Ta phân tích: B' C' y u I u  v  AC  CA  AC  CC  CA  AA  2 AA .

    x  y  BD  DB   BD  DD   DB  BB   2BB  2 AA .

O  u  v  x  y  4 AA  4 AA  4.2OI . B C 1  2OI    u  v  x  y  . 4 Câu 6: Cho hình hộp ABCD.ABCD . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABBA và A' D' BCCB . Khẳng định nào sau đây sai? 1 1 A. IK  AC  AC  . 2 2 B' C' B. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng. I C. BD  2 IK  2 BC . K A D D. Ba vectơ BD ; IK ; BC không đồng phẳng. Hướng dẫn giải:

Trang 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Chọn D. A đúng do tính chất đường trung bình trong BAC và tính chất của hình bình hành ACCA . B đúng do IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng. C đúng do việc ta phân tích: BD  2 IK  BC  CD  AC  BC  CD  AD  DC  BC  BC  2 BC . D sai do giá của ba vectơ BD ; IK ; BC đều song song hoặc trùng với mặt phẳng  ABCD  . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng. Câu 7: Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA  GB  GC  GD  0 ”. Khẳng định nào sau đây sai? A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ). B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD . C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC . D. Chưa thể xác định được. Hướng dẫn giải: A Chọn D. Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD . Từ giả thiết, ta biến đổi như sau: I GA  GB  GC  GD  0  2GI  2GJ  0  GI  GJ  0  G là trung điểm đoạn IJ . G Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được B D phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phƣơng án D sai. J

C Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x  AB ; y  AC ; z  AD . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. AG   x  y  z  . B. AG    x  y  z  . 3 3 2 2 C. AG   x  y  z  . D. AG    x  y  z  . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M là trung điểm CD . A Ta phân tích: 2 2 AG  AB  BG  AB  BM  AB  AM  AB x z 3 3 y 2 1 1  1  AB   AC  AD  AB   AB  AC  AD   x  y  z  . 3 2 3  3 B D









G C

Trang 5

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 9: Cho hình hộp ABCD.ABCD có tâm O . Đặt AB  a ; BC  b . M là điểm xác định bởi 1 OM  a  b . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. M là tâm hình bình hành ABBA . B. M là tâm hình bình hành BCCB . C. M là trung điểm BB . D. M là trung điểm CC . Hướng dẫn giải: Chọn C. A' Ta phân tích: 1 1 1 1 B' C' OM  a  b  AB  BC  AB  AD  DB . 2 2 2 2 O  M là trung điểm của BB . A





 



Câu 10: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x  2a  b; y  4a  2b; z  3b  2c .

Chọn khẳng định đúng? A. Hai vectơ y; z cùng phương.

B. Hai vectơ x; y cùng phương.

C. Hai vectơ x; z cùng phương. D. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn B. + Nhận thấy: y  2 x nên hai vectơ x; y cùng phương. Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA  OB  OC  OD  0 . B. Nếu ABCD là hình thang thì OA  OB  2OC  2OD  0 C. Nếu OA  OB  OC  OD  0 thì ABCD là hình bình hành. D. Nếu OA  OB  2OC  2OD  0 thì ABCD là hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 12: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . Chọn khẳng định đúng? A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng.

B. CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng.

C. CD1 , AD, A1C đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn C.

D. AB, AD, C1 A đồng phẳng. D

 M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AA1 , DD1 , CD .

Ta có CD1 / /( MNPQ); AD / /  MNPQ  ; A1C / /( MNPQ)

 CD1 , AD, A1C đồng phẳng.

Trang 6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 13: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x  2a  b; y  a  b  c; z  3b  2c .

Chọn khẳng định đúng? A. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng.

B. Hai vectơ x; a cùng phương.

C. Hai vectơ x; b cùng phương. D. Ba vectơ x; y; z đôi một cùng phương. Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 Ta có: y  x  z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng. 2 Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:





AB  B1C1  DD1  k AC1 A. k  4 . Hướng dẫn giải: Chọn B.

B. k  1 .

C. k  0 .

D. k  2 . D

+ Ta có: AB  B1C1  DD1  AB  BC  CC1  AC1 . Nên k  1 .

Câu 15: Cho hình hộp ABCD.AB C D có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC   u ,

CA  v , BD  x , DB  y . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? 1 1 A. 2OI   (u  v  x  y ) . B. 2OI   (u  v  x  y ) . 4 2 1 1 C. 2OI  (u  v  x  y ) . D. 2OI  (u  v  x  y ) . 2 4 Hướng dẫn giải: D Chọn A. + Gọi J , K lần lượt là trung điểm của AB, CD . +Ta có: J A 1 1 2OI  OJ  OK  OA  OB  OC  OD   (u  v  x  y ) 2 4





O D’

A’

Trang 7

C’

B’

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 . Đặt AA1  a, AB  b, AC  c, BC  d , trong các đẳng

thức sau, đẳng thức nào đúng? A. a  b  c  d  0 . B. a  b  c  d . Hướng dẫn giải: Chọn C.

C. b  c  d  0 .

D. a  b  c .

+ Dễ thấy: AB  BC  CA  0  b  d  c  0 . B

B1 Câu 17: Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình

hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. BD, AK , GF đồng phẳng. B. BD, IK , GF đồng phẳng. C. BD, EK , GF đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn B.

D. BD, IK , GC đồng phẳng.

 IK //( ABCD )  + GF //( ABCD )  IK , GF , BD đồng phẳng.  BD  (ABCD)  + Các bộ véctơ ở câu A, C , D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.

B K I H

Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. D. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Trang 8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Chọn A. + Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng. Câu 19: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. AC1  A1C  2 AC .

B. AC1  CA1  2C1C  0 .

C. AC1  A1C  AA1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. + Gọi O là tâm của hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

D. CA1  AC  CC1 . D

O D1

Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  BC  CD  DA  O . B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  CD . C. Cho hình chóp S . ABCD . Nếu có SB  SD  SA  SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành. D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB  AC  AD . Hướng dẫn giải: Chọn C.

SB  SD  SA  SC  SA  AB  SA  AD  SA  SA  AC.  AB  AD  AC.  ABCD là hình bình hành

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Ta có AB.EG bằng?

A. a 2 2 .

C. a 2 3 .

B. a 2 .

Hướng dẫn giải: Chọn B.





AB.EG  AB. EF  EH  AB.EF  AB.EH 2

 AB  AB. AD ( EH  AD)  a 2 (Vì AB  AD )

Trang 9

a2 2 . 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 22: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ

để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là: 1 1 1 1 A. OA  OB  OC  OD . B. OA  OC  OB  OD . 2 2 2 2 C. OA  OC  OB  OD . D. OA  OB  OC  OD  0 . Hướng dẫn giải: Chọn C. OA  OC  OB  OD  OA  OA  AC  OA  AB  OA  BC  AC  AB  BC

Câu 23: Cho hình hộp ABCD. ABC D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’ A’ và

BCCB . Khẳng định nào sau đây sai ?

C. Ba vectơ BD; IK ; BC  không đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn C. A. Đúng vì IK , AC cùng thuộc  BAC 



1 1 AC  AC  2 2 D. BD  2 IK  2 BC

B. IK 

A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng

         

1 1 1 1 1 a  b  a  c  b  c  AC  AC . 2 2 2 2 2 1 1 1 C. Sai vì IK  IB  B ' K  a  b  a  c  b  c . 2 2 2  BD  2 IK  b  c  b  c  2c  2BC   ba véctơ đồng phẳng. D. Đúng vì theo câu C  BD  2 IK  b  c  b  c  2c  2BC   2BC. Câu 24: Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho AM  3MD , BN  3NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Các vectơ BD, AC, MN đồng phẳng. B. Các vectơ MN , DC, PQ đồng phẳng.

B. Đúng vì IK  IB  B ' K 



C. Các vectơ AB, DC, PQ đồng phẳng. Chọn A.

D. Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng.

 MN  MA  AC  CN  MN  MA  AC  CN  A. Sai vì   MN  MD  DB  BN 3MN  3MD  3DB  3BN 1  4MN  AC  3BD  BC  BD, AC, MN không đồng phẳng. 2 B. Đúng vì  MN  MP  PQ  QN 1  2 MN  PQ  DC  MN  PQ  DC  2  MN  MD  DC  CN  MN , DC, PQ : đồng phẳng.



Trang 10



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có PQ 

Quan hệ vuông góc – HH 11





1 AB  DC . 2

1 1 AB  DC . 4 4 Câu 25: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: a2 A. AD  CB  BC  DA  0 B. AB.BC   . 2 C. AC. AD  AC.CD. D. AB  CD hay AB.CD  0 . Hướng dẫn giải: Chọn C.

D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có MN 

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC , BCD, CDA, ABD là các tam giác đều. A. Đúng vì AD  CB  BC  DA  DA  AD  BC  CB  0 . a 2 B. Đúng vì AB.BC   BA.BC  a.a.cos 600  . 2 C. Sai vì a2 a2 AC. AD  a.a.cos 600  ; AC.CD  CA.CD  a.a.cos 600   . 2 2 D. Đúng vì AB  CD  AB.CD  0.

Câu 26: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB  a, AC  b, AD  c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD .

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?



B. AG 



1 abc . 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.

C. AG 

 

 

1 abc . 3 1 D. AG  a  b  c . 4

A. AG  a  b  c .

Gọi M là trung điểm BC . 2 2 1 AG  AB  BG  a  BM  a  . BC  BD 3 3 2 1 1 1  a  AC  AB  AD  AB  a  2a  b  c  a  b  c . 3 3 3







 



Câu 27: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.

Trang 11

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

1 B. C1M  C1C  C1D1  C1 B1 . 2

A. B1M  B1 B  B1 A1  B1C1 . 1 1 C. C1M  C1C  C1 D1  C1 B1 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B.

D. BB1  B1 A1  B1C1  2 B1 D .







1 1 BA  BD  BB1  B1 A1  B1D1 2 2 1 1  BB1  B1 A1  B1 A1  B1C1  BB1  B1 A1  B1C1. 2 2 B. Đúng vì 1 1 C1M  C1C  CM  C1C  CA  CD  C1C  C1 A1  C1D1 2 2 1 1  C1C  C1B1  C1D1  C1D1  C1C  C1D1  C1B1. 2 2 C. Sai. theo câu B suy ra D. Đúng vì BB1  B1 A1  B1C1  BA1  BC  BD1 .

A. Sai vì B1M  B1 B  BM  BB1 



Quan hệ vuông góc – HH 11











Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA  GB  GC  GD  0 ( G là trọng tâm của tứ

diện). Gọi GO là giao điểm của GA và mp ( BCD ) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. GA  2G0G . Hướng dẫn giải: Chọn C.

B. GA  4G0G .

C. GA  3G0G .

D. GA  2G0G .

Theo đề: GO là giao điểm của GA và mp  BCD   G0 là trọng tâm tam giác BCD .  G0 A  G0 B  G0C  0 Ta có: GA  GB  GC  GD  0



 



 GA   GB  GC  GD   3GG0  G0 A  G0 B  G0C  3GG0  3G0G

Câu 29: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Trong các khẳng định sau,

khẳng định nào sai? A. Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. C. Các vectơ AN , CM , MN đồng phẳng.

B. Các vectơ AB, AC, MN không đồng phẳng. D. Các vectơ BD, AC, MN đồng phẳng.

Trang 12

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Chọn C. A. Đúng vì MN 





1 AB  DC . 2

B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì MN không nằm trong mặt phẳng  ABC  . C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN không nằm trong mặt phẳng  CMN  . D. Đúng vì MN 





1 AC  BD . 2

Câu 30: Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G

là trọng tâm tứ diện ABCD khi

GA  GB  GC  GD  0 ”. Khẳng định nào sau đây sai ? A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ) B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC D. Chưa thể xác định được. Hướng dẫn giải: Chọn D.



 



Ta có: GA  GB  GC  GD  0  2GI  2GJ  0

G là trung điểm IJ nên đáp án A đúng Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng.

Câu 31: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức

đúng?

 

 

1 AB  AD  AA1 3 1 C. AO  AB  AD  AA1 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Theo quy tắc hình hộp: AC1  AB  AD  AA1 1 1 Mà AO  AC1 nên AO  AB  AD  AA1 . 2 2

A. AO 



 

 

1 AB  AD  AA1 2 2 D. AO  AB  AD  AA1 . 3

B. AO 



Trang 13

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Từ AB  3 AC ta suy ra BA  3CA 1 B. Nếu AB   BC thì B là trung điểm đoạn AC . 2 C. Vì AB  2 AC  5 AD nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng D. Từ AB  3 AC ta suy ra CB  2 AC . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: AB  2 AC  5 AD Suy ra: AB, AC, AD hay bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng.

Câu 33: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của

MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. MA  MB  MC  MD  4MG B. GA  GB  GC  GD C. GA  GB  GC  GD  0 D. GM  GN  0 . Hướng dẫn giải: Chọn B. M , N , G lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN theo quy tắc trung điểm :

GA  GB  2GM ; GC  GD  2GN ; GM  GN  0 Suy ra: GA  GB  GC  GD  0 hay GA  GB  GC  GD . Câu 34: Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a . Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây: A. 2 AB  B C   CD  D A  0 B. AD . AB   a 2 C. AB .CD   0 D. AC   a 3 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có : 2 AB  BC   CD  DA  0



 



 AB  AB  CD  BC   DA  0

 AB  0  0  0  AB  0 (vô lí)

Câu 35: Cho hình hộp ABCD.AB C D với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

đây: A. AB  BC  CC   AD   D O  OC  C. AB  BC   CD  D A  0

B. AB  AA  AD  DD  D. AC   AB  AD  AA . Trang 14

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có : AB  AA  AD  DD  AB  AD (vô lí) Câu 36: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Các vectơ x  a  b  2c; y  2a  3b  6c; z  a  3b  6c đồng phẳng. B. Các vectơ x  a  2b  4c; y  3a  3b  2c; z  2a  3b  3c đồng phẳng. C. Các vectơ x  a  b  c; y  2a  3b  c; z  a  3b  3c đồng phẳng. D. Các vectơ x  a  b  c; y  2a  b  3c; z  a  b  2c đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn B. Các vectơ x, y, z đồng phẳng  m, n : x  my  nz Mà : x  my  nz

3m  2n  1   a  2b  4c  m 3a  3b  2c  n 2a  3b  3c   3m  3n  2 (hệ vô nghiệm) 2m  3n  4  Vậy không tồn tại hai số m, n : x  my  nz Câu 37: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn: GS  GA  GB  GC  GD  0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. G , S , O không thẳng hàng. B. GS  4OG



 

C. GS  5OG Hướng dẫn giải: Chọn B. GS  GA  GB  GC  GD  0





D. GS  3OG .



 GS  4GO  OA  OB  OC  OD  0

 GS  4GO  0  GS  4OG

Câu 38: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC có AA  a, AB  b, AC  c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ

BC  qua các vectơ a, b, c . A. BC   a  b  c B. BC   a  b  c C. BC   a  b  c Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: BC   BA  AC    AB  AC  AA  b  c  a  a  b  c .

Câu 39: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây là sai?

Trang 15

D. BC   a  b  c .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word



2 AB  AC  AD 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. G là trọng tâm tứ diện ABCD

 

1 OA  OB  OC  OD 4 1 D. AG  AB  AC  AD . 4

A. GA  GB  GC  GD  0 C. AG 

Quan hệ vuông góc – HH 11

B. OG 







1 AB  AC  AD . 4 Câu 40: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN  k AC  BD  GA  GB  GC  GD  0  4GA  AB  AC  AD  0  AG 





1 1 A. k  . B. k  . C. k  3. D. k  2. 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 MN  MC  MD (quy tắc trung điểm)  MA  AC  MB  BD 2 2 1 Mà MA  MB  0 (vì M là trung điểm AB )  MN  AC  BD . 2 Câu 41: Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng?













A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m  n  p  0 và ma  nb  pc  0 . B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m  n  p  0 và ma  nb  pc  0 . C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma  nb  pc  0 . D. Giá của a, b, c đồng qui. Hướng dẫn giải: Chọn B. Theo giả thuyết m  n  p  0  tồn tại ít nhất một số khác 0 . n p Giả sử m  0 . Từ ma  nb  pc  0  a   b  c . m m a, b, c đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ). Câu 42: Cho lăng trụ tam giác ABC. ABC có AA  a, AB  b, AC  c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ

BC qua các vectơ a, b, c . A. BC  a  b  c. B. BC  a  b  c. Hướng dẫn giải: Chọn D. BC  BB  BC  (qt hình bình hành)   AA  BC  a  AC  AB  a  b  c.

C. BC  a  b  c.

Trang 16

D. BC  a  b  c.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 43: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

1 A. Nếu AB   BC thì B là trung điểm của đoạn AC . 2 B. Từ AB  3 AC ta suy ra CB  AC. C. Vì AB  2 AC  5 AD nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.

D. Từ AB  3 AC ta suy ra BA  3CA. Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 A. Sai vì AB   BC  A là trung điểm BC . 2

B. Sai vì AB  3 AC  CB  4 AC .

C. Đúng theo định lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ. D. Sai vì AB  3 AC  BA  3CA (nhân 2 vế cho 1 ). Câu 44: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương. B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ 0 . C. véctơ x  a  b  c luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a và b . D. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ ba véctơ AB, CA, DA đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn C. A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. C. Sai  DA  AA  AD  a  c   AB  DA  CA  3 D. Đúng vì  AB  a  b  C A  CA  b  c vectơ AB, CA, DA đồng phẳng. Câu 45: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a . Ta có AB.EG bằng: a 2 . A. a 2 . B. a 2 C. a 3. D. 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.

Trang 17

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word



AB.EG  EF  EH

Quan hệ vuông góc – HH 11

 AE  EF  FB 

 EF . AE  EF 2  EF .FB  EH . AE  EH .EF  EH .FB  0  a 2  0  0  0  EH .EA  a 2  0  a 2

Câu 46: Cho hình chóp S . ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau,

khẳng định nào sai? A. Nếu SA  SB  2SC  2SD  6SO thì ABCD là hình thang. B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA  SB  SC  SD  4SO . C. Nếu ABCD là hình thang thì SA  SB  2SC  2SD  6SO . D. Nếu SA  SB  SC  SD  4SO thì ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn giải: Chọn C. A. Đúng vì SA  SB  2SC  2SD  6SO  OA  OB  2OC  2OD  0 . Vì O, A, C và O, B, D thẳng hàng nên đặt OA  kOC; OB  mOD   k  1 OC   m  1 OD  0 .

Mà OC , OD không cùng phương nên k  2 và m  2  OA OB   2  AB / / CD. OC OD B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái. C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai. D. Đúng. Tương tự đáp án A với k  1, m  1  O là trung điểm 2 đường chéo. Câu 47: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai? A. Từ hệ thức AB  2 AC  8 AD ta suy ra ba véctơ AB, AC, AD đồng phẳng. B. Vì NM  NP  0 nên N là trung điểm của đoạn MP.





1 OA  OB. 2 D. Vì AB  BC  CD  DA  0 nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn D. A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ. B. Đúng C. Đúng vì OA  OB  OI  IA  OI  IB Mà IA  IB  0 (vì I là trung điểm AB )  OA  OB  2OI . D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng. Câu 48: Cho hình hộp ABCD.AB C D có tâm O . Đặt AB  a ; BC  b . M là điểm xác định bởi 1 OM  a  b . Khẳng định nào sau đây đúng? 2

C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có OI 





Trang 18

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A. M là trung điểm BB. C. M là tâm hình bình hành ABBA. Hướng dẫn giải: Chọn A.

Quan hệ vuông góc – HH 11

B. M là tâm hình bình hành BCC B. D. M là trung điểm CC.





1 BD  BD (quy tắc trung điểm). 2 1 1   BB  b  a  BB  b  a (quy tắc hình hộp)   2a  2b  a  b . 2 2 Câu 49: Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  OA  OB . B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  OB  k BA . C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  kOA  1  k  OB .

A. M là trung điểm BB  2OM  OB  OB  













D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM  OB  k OB  OA . Hướng dẫn giải: Chọn C. A. Sai vì OA  OB  2OI ( I là trung điểm AB )  OM  2OI  O, M , I thẳng hàng. B. Sai vì OM  OB  M  B và OB  k BA  O, B, A thẳng hàng: vô lý

  D. Sai vì OB  OA  AB  OB  k OB  OA  k AB  O, B, A thẳng hàng: vô lý.

C. OM  kOA  1  k  OB  OM  OB  k OA  OB  BM  k BA  B, A, M thẳng hàng. Câu 50: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là

trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: PI  k PA  PB  PC  PD .



A. k  4 .



B. k 

1 . 2

C. k 

1 . 4

D. k  2 .

Hướng dẫn giải: : Chọn C. Ta có PA  PC  2 PM , PB  PD  2 PN nên PA  PB PC  PD  2PM  2PN  2( PM  PN )  2.2.PI  4PI . Vậy k 

1 4

Câu 51: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn đẳng thức sai?

A. BC  BA  B1C1  B1 A1 .

B. AD  D1C1  D1 A1  DC .

C. BC  BA  BB1  BD1 .

D. BA  DD1  BD1  BC .

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Ta có : BA  DD1  BD1  BA  BB1  BD1  BA1  BD1  BC nên D sai. Do BC  B1C1 và BA  B1 A1 nên BC  BA  B1C1  B1 A1 . A đúng

Trang 19

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Do AD  D1C1  D1 A1  AD  D1 B1  A1 D1  D1 B1  A1 B1  DC nên AD  D1C1  D1 A1  DC nên B đúng.

Do BC  BA  BB1  BD  DD1  BD1 nên C đúng. Câu 52: Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng? 1 1 A. PQ  BC  AD . B. PQ  BC  AD . 4 2 1 C. PQ  BC  AD . D. PQ  BC  AD . 2 Hướng dẫn giải: : Chọn B. Ta có : PQ  PB  BC  CQ và PQ  PA  AD  DQ 1 nên 2PQ  PA  PB  BC  AD  CQ  DQ  BC  AD . Vậy PQ  BC  AD 2     Câu 53: Cho hình hộp ABCD. A B C D . M là điểm trên AC sao cho AC  3MC . Lấy N trên đoạn C D sao cho xCD  CN . Với giá trị nào của x thì MN //D . 2 1 1 1 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 3 3 4 2 Hướng dẫn giải: : Chọn A.

 



 











Câu 54: Cho hình hộp ABCD. ABC D . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

BD  DD  BD  k BB A. k  2 . Hướng dẫn giải: : Chọn C.

B. k  4 .

C. k  1 .

Ta có BD  DD  DB  BB nên k  1

Câu 55: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

Trang 20

D. k  0 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11





1 OA  OB . 2 B. Vì AB  BC  CD  DA  0 nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI 

C. Vì NM  NP  0 nên N là trung điểm đoạn NP . D. Từ hệ thức AB  2 AC  8 AD ta suy ra ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng. Hướng dẫn giải: : Chọn B. Do AB  BC  CD  DA  0 đúng với mọi điểm A, B, C, D nên câu B sai. Câu 56: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng B. Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng. C. Cho hai véctơ không cùng phương a và b . Khi đó ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c  ma  nb , ngoài ra cặp số m, n là duy nhất. D. Nếu có ma  nb  pc  0 và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba véctơ a, b, c đồng phẳng. Hướng dẫn giải: : Chọn A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai Câu 57: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: IA  (2k  1) IB  k IC  ID  0 A. k  2 . B. k  4 . C. k  1 . D. k  0 . Hướng dẫn giải: : Chọn C. Ta chứng minh được IA  IB  IC  ID  0 nên k  1 Câu 58: Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu a, b, c không đồng phẳng thì từ ma  nb  pc  0 ta suy ra m  n  p  0 . B. Nếu có ma  nb  pc  0 , trong đó m2  n 2  p 2  0 thì a, b, c đồng phẳng. C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m  n  p  0 ta có ma  nb  pc  0 thì a, b, c đồng phẳng. D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng. Hướng dẫn giải: : Chọn D. Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng. Câu 59: Cho hình lăng trụ ABCABC , M là trung điểm của BB’ . Đặt CA  a , CB  b , AA '  c . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 A. AM  a  c  b B. AM  b  c  a . C. AM  b  a  c . D. 2 2 2 1 AM  a  c  b . 2 Hướng dẫn giải: : Chọn C. 1 1 Ta có AM  AB  BM  CB  CA  BB  b  a  c 2 2 Trang 21

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác ABCABC . Đặt AA  a, AB  b, AC  c, BC  d . Trong các biểu

thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng. A. a  b  c . B. a  b  c  d  0 . C. b  c  d  0 . D. a  b  c  d . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: b  c  d  AB  AC  BC  CB  BC  0 . Câu 61: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức đúng là. A. 6SI  SA  SB  SC . B. SI  SA  SB  SC . 1 1 1 C. SI  3 SA  SB  SC . D. SI  SA  SB  SC . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 1 Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên SA  SB  SC  3SI  SI  SA  SB  SC . 3 3 3 Câu 62: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng. A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng. B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng thì có c  ma  nb với m, n là các số duy nhất.





C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d  ma  nb  pc với d là véctơ bất kì. D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng. Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ a, b không cùng phương. Câu C sai vì d  ma  nb  pc với d là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ a, b, c đồng phẳng. Câu 63: Cho hình hộp ABCD. ABC D . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: AC  BA  k DB  C ' D  0 .





A. k  0 . B. k  1 . C. k  4 . D. k  2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Với k  1 ta có: AC  BA '  1. DB  C ' D  AC  BA '  C 'B  AC  C 'A'  AC  CA  0 .





Trang 22

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 64: Cho hình chóp S . ABC Lấy các điểm A, B, C  lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho

SA  a.SA, SB  b.SB, SC  c.SC  , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để mặt phẳng  ABC   đi qua trọng tâm của tam giác ABC .

A. a  b  c  3 . B. a  b  c  4 . C. a  b  c  2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Nếu a  b  c  1 thì SA  SA, SB  SB, SC  SC  nên  ABC    ABC   .

D. a  b  c  1.

Suy ra  ABC   đi qua trọng tâm của tam giác ABC => a  b  c  3 là đáp án đúng. Câu 65: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA  a, SB  b, SC  c, SD  d .

Khẳng định nào sau đây đúng. A. a  c  d  b . B. a  c  d  b  0 . C. a  d  b  c . D. a  b  c  d . Hướng dẫn giải: Chọn A. a  c  SA  SC  2SO Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Ta có:  => a  c  d  b b  d  SB  SD  2SO Câu 66: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai. 2 1 A. AG  AB  AC  AD . B. AG  AB  AC  AD . 3 4 1 C. OG  OA  OB  OC  OD . D. GA  GB  GC  GD  0 . 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 Theo giả thuyết trên thì với O là một điểm bất kỳ ta luôn có: OG  OA  OB  OC  OD . 4 Ta thay điểm O bởi điểm A thì ta có: 1 1 AG  AA  AB  AC  AD  AG  AB  AC  AD 4 4 2 Do vậy AG  AB  AC  AD là sai. 3 Câu 67: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 với tâm O . Chọn đẳng thức sai.

 















A. AB  AA1  AD  DD1 .

B. AC1  AB  AD  AA1 .

C. AB  BC1  CD  D1 A  0 . D. AB  BC  CC1  AD1  D1O  OC1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có AB  AA1  AB1 , AD  DD1  AD1 mà AB1  AD1 nên AB  AA1  AD  DD1 sai. Câu 68: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB  b , AC  c ,

AD  d . Khẳng định nào sau đây đúng. 1 A. MP  (c  d  b) . 2 1 C. MP  (c  b  d ) . 2 Hướng dẫn giải: Chọn D.

1 B. MP  (d  b  c) . 2 1 D. MP  (c  d  b) . 2

Trang 23

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 

1 Ta có c  d  b  AC  AD  AB  2 AP  2 AM  2 MP  MP  (c  d  b) . 2 Câu 69: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . Chọn khẳng định đúng.

A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng.

B. BA1 , BD1 , BD đồng phẳng.

C. BA1 , BD1 , BC đồng phẳng. D. BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có 3 véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng  BCD1 A1  . Câu 70: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x  AB; y  AC; z  AD. Khẳng

định nào sau đây đúng? 1 1 A. AG  ( x  y  z ) . B. AG   ( x  y  z ) . 3 3 2 2 C. AG  ( x  y  z ) . D. AG   ( x  y  z ) . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: AG  AB  BG; AG  AC  CG; AG  AD  DG  3AG  AB  AC  AD  BG  CG  DG  AB  AC  AD  x  y  z

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên BG  CG  DG  0. Câu 71: Cho hình chóp S. ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB  SD  SA  SC . B. Nếu SB  SD  SA  SC thì ABCD là hình bình hành. C. Nếu ABCD là hình thang thì SB  2SD  SA  2SC . D. Nếu SB  2SD  SA  2SC thì ABCD là hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn C. Đáp án C sai do nếu ABCD là hình thang có 2 đáy lần lượt là AD và BC thì ta có SD  2SB  SC  2SA. Câu 72: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN  k AD  BC



A. k  3.

B. k 



1 . 2

1 D. k  . 3

C. k  2.

Hướng dẫn giải: Chọn B. MN  MA  AD  DN  Ta có:   2 MN  AD  BC  MA  MB  DN  CN MN  MB  BC  CN  Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MA  BM  MB; DN  NC  CN 1 Do đó 2MN  AD  BC  MN  AD  BC . 2 Câu 73: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB  a, AC  b, AD  c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 1 A. DM  a  b  2c B. DM  2a  b  c 2 2







Trang 24



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word





1 a  2b  c . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.

C. DM 

Quan hệ vuông góc – HH 11

D. DM 



1 a  2b  c 2



1 1 Ta có: DM  DA  AB  BM  AB  AD  BC  AB  AD  BA  AC 2 2 1 1 1 1 1  AB  AC  AD  a  b  c  a  b  2c . 2 2 2 2 2 Câu 74: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: DA  DB  DC  k DG 1 1 A. k  . B. k  2. C. k  3. D. k  . 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Chứng minh tương tự câu 61 ta có DA  DB  DC  3DG . Câu 75: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F là các điểm thỏa nãm EA  kEB, FD  kFC còn P , Q , R là các





điểm xác định bởi PA  lPD , QE  lQF , RB  lRC . Chứng minh ba điểm P , Q , R thẳng hàng.Khẳng định nào sau đây là đúng? A. P, Q, R thẳng hàng B. P, Q, R không đồng phẳng C. P, Q, R không thẳng hàng D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C.

Ta có PQ  PA  AE  EQ 1 PQ  PD  DF  FQ

 2

Từ  2  ta có l PQ  l PD  l DF  l FQ

 3

Lấy 1   3  theo vế ta có

1 l  PQ  AE  l DF

p 1 l  PQ  AE  DF Q 1 l 1 l B 1 l Tương tự QR  EB  FC R 1 l 1 l D F Mặt khác EA  k EB, FD  k FC nên C 1 l k kl PQ  AE  DF  EB  FC  kQR 1 l 1 l 1 l 1 l Vậy P, Q, R thẳng hàng. Câu 76: Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ . a) Giả sử a.IJ  AC  BD thì giá trị của a là? 1 A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 b) Cho các đẵng thức sau, đẵng thức nào đúng? A. GA  GB  GC  GD  0 B. GA  GB  GC  GD  2IJ C. GA  GB  GC  GD  JI D. GA  GB  GC  GD  2 JI

Trang 25

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

c) Xác định vị trí của M để MA  MB  MC  MD nhỏ nhất. A. Trung điểm AB B. Trùng với G Hướng dẫn giải:  IJ  IA  AC  CJ  2 IJ  AC  BD . a)   IJ  IB  BD  DJ



 

C. Trung điểm AC

b) GA  GB  GC  GD  GA  GB  GC  GD



D. Trung điểm CD



 2GI  2GJ  2 GI  GJ  0 .

G B

c) Ta có MA  MB  MC  MD  4 MG nên

MA  MB  MC  MD nhỏ nhất khi M  G .

D J

Câu 77: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định vị trí các điểm M , N lần lượt trên AC và DC '

MN bằng? BD ' 1 B. 2

sao cho MN BD ' . Tính tỉ số 1 3 Hướng dẫn giải:

C. 1

2 3

Chọn A.

BA  a, BC  b, BB '  c .

Giả sử AM  x AC, DN  yDC ' . Dễ dàng có các biểu diễn BM  1  x  a  xb và BN  1  y  a  b  yc .

Từ đó suy ra MN   x  y  a  1  x  b  yc Để MN BD ' thì

1 MN  zBD '  z  a  b  c   2 



Từ 1 và  2  ta có:  x  y  a  1  x  b  yc =z a  b  c



D' N D

  x  y  z  a  1  x  z  b   y  z  c =0 M

2  x  3 x  y  z  0  1    1  x  z  0   y  . 3 y  z  0   1  z  3  Vậy các điểm M , N được xác định bởi AM 

2 1 AC , DN  DC ' . 3 3

1 MN 1 Ta cũng có MN  zBD '  BD '   . 3 BD ' 3 Câu 78: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có các cạnh đều bằng a và các góc

B ' A ' D '  600 , B ' A ' A  D ' A ' A  1200 . a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A ' D ; AC ' với B ' D . Trang 26

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

A.  AB, A ' D   600 ;  AC ', B ' D   900

B.  AB, A ' D   500 ;  AC ', B ' D   900

C.  AB, A ' D   400 ;  AC ', B ' D   900

D.  AB, A ' D   300 ;  AC ', B ' D   900

b) Tính diện tích các tứ giác A ' B ' CD và ACC ' A ' . A. S A ' B 'CD  a 2 3 ; S AA 'C 'C  a 2 2 B. S A' B 'CD  a 2 ; S AA 'C 'C  a 2 2 2 1 C. S A ' B 'CD  a 2 ; S AA 'C 'C  2a 2 2 D. S A' B 'CD  a 2 ; S AA 'C 'C  a 2 2 2 c) Tính góc giữa đường thẳng AC ' với các đường thẳng AB, AD, AA ' .



 





 





 





 



6 2 6 B. AC ', AB  AC ', AD  AC ', AA '  arccos 4 6 C. AC ', AB  AC ', AD  AC ', AA '  arccos 3 5 D. AC ', AB  AC ', AD  AC ', AA '  arccos 3

A. AC ', AB  AC ', AD  AC ', AA '  arccos

Hướng dẫn giải: a) Đặt AA '  a, A ' B '  b, A ' D '  c Ta có A ' D  a  c nên







cos AB, A ' D  cos AB, A ' D 

AB. A ' D



a ac





.

a ac

AB A ' D

 

a2 Để ý rằng a  c  a , a a  c  . 2 1 Từ đó cos AB, A ' D    AB, A ' D   600 2 Ta có AC '  b  c  a, B ' D  a  b  c , từ đó tính được









AC 'B ' D  b  c  a a  b  c  0   AC ', B ' D   90 .





 A ' C  B ' D nên S A ' B ' DC 



1 A ' C.B ' D . 2

Dễ dàng tính được A ' C  a 2, B ' D  a 2  S A ' B 'CD 





S AA'C 'C  AA ' AC sin AA ', AC , AA '  a, Ac  a 3 .







Tính được sin AA ', AC  1  cos 2 AA ', AC 

6 3

Trang 27

b) A ' C  a  b  c, B ' D  a  b  c  A ' C.B ' D  a  b  c a  b  c  0



1 a 2a. 2  a 2 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word



Quan hệ vuông góc – HH 11



6  a2 2 . 3 6 c) ĐS: AC ', AB  AC ', AD  AC ', AA '  arccos . 3

Vậy S AA 'C 'C  AA ' AC sin AA ', AC  a.a 3.



 



Câu 79: Cho tam giác ABC , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.

A. S 

1 AB 2 AC 2  BC 2 2



1 1 AB 2 AC 2  AB. AC 2 2 Hướng dẫn giải: C. S 





B. S 

1 1 AB 2 AC 2  AB. AC 2 2

D. S 

1 AB 2 AC 2  AB. AC 2





Chọn D.

S ABC 

1 1 1 ABAC sin A  AB 2 AB 2 sin 2 A  AB 2 AC 2 1  cos 2 A  2 2 2





2 1 AB 2 AC 2  AB. AC . 2 Câu 6. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N , P, Q lần lượt thuộc AB, BC , CD, DA sao cho 1 2 1 AM  AB, BN  BC , AQ  AD, DP  k DC . 3 3 2 Hãy xác định k để M , N , P, Q đồng phẳng. 1 1 1 1 A. k  B. k  C. k  D. k  4 5 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. A Cách 1. 1 1 Ta có AM  AB  BM  BA   BA M 3 3 Q 2  BM  BA . 3 2 Lại có BN  BC do đó MN AC . 3 B Vậy Nếu M , N , P, Q đồng phẳng thì  MNPQ    ACD   PQ AC N P PC QA 1 1 C    1 hay DP  DC  k  . 2 2 PD QD



Cách 2. Đặt DA  a, DB  b, DC  c thì không khó khăn ta có các biểu diễn 2 2 2 1 1 1 MN   a  b , MP   a  b  kc , MN   a  b 3 3 3 3 6 3 Các điểm M , N , P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ MN , MP, MQ đồng phẳng  x, y : MP  xMN  yMQ 2 1 2  1   2  1   a  b  kc  x   a  c   y   a  b  3 3 3  3   3  6

Do các vec tơ a, b,c không đồng phẳng nên điều này tương đương với

Trang 28

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 2  2  3 x  6 y   3  1 3 1  1  x  , y  1, k  .  y   3 4 2  3 2 3 x  k  Câu 80: Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC  a , ASB  BSC  CSA   . Gọi    là mặt phẳng

đi qua A và các trung điểm của SB, SC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng    .

a2 7 cos2   16cos   9 2 a2 C. S  7 cos 2   6cos   9 8 Hướng dẫn giải:

a2 7 cos 2   6cos   9 2 a2 D. S  7 cos2   16cos   9 8

A. S 

B. S 

Chọn D.

Gọi B ', C ' lần lượt là trung điểm của SB, SC . Thiết diện là tam giác AB ' C ' . 2 1 Theo bài tập 5 thì S AB 'C '  AB '2 AC '2  AB '. AC ' S 2 1 Ta có AB '  SB '  SA  SB  SA 2 B' 1  AB '2  SB 2  SA2  SASB 4 C' 2 a   5  4 cos   . Tính tương tự, ta có 4 B a2 AB ' AC '   4  3cos   . 4



Vậy SAB'C ' 



2 2 1 a4 a4 5  4 cos     4  3cos    2 16 16

a2  7 cos 2   16cos   9 . 8 Câu 81: Cho hình chóp S . ABC , mặt phẳng   cắt các tia SA, SB, SC , SG ( G là trọng tâm tam giác

ABC ) lần lượt tại các điểm A ', B ', C ', G ' .Ta có A. 3 Hướng dẫn giải:

B. 4

SA SB SC SG . Hỏi k bằng bao nhiêu?   k SA ' SB ' SC ' SG ' C. 2 D. 1 S

Chọn A.

Do G là trọng tâm của ABC nên GA  GB  GC  0  3SG  SA  SB  SC SG SA SB 3 SG '  SA '  SB ' SG ' SA ' SB ' SC  SC ' SC ' Mặt khác A ', B ', C ', G ' đồng phẳng nên

B' G' C'

B G C

Trang 29

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

SA SB SC SG .   3 SA ' SB ' SC ' SG '

Chú ý: Ta có một kết quả quen thuộc trong hình học phẳng : Nếu M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC thì S a MA  Sb MB  Sc MC  0 trong đó Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác MBC , MCA, MAB . Vì vậy ta có bài toán tổng quát hơn như sau: Cho hình chóp S . ABC , mặt phẳng   cắt các tia SA, SB, SC , SM ( M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC ) lần lượt tại các điểm A ', B ', C ', M ' . Sa SA Sb SB Sc SC S .SM . ( Với Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác    SA ' SB ' SC ' SM ' MBC , MCA, MAB và S là diện tích tam giác ABC ).

Chứng minh:

Câu 82: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng   cắt các cạnh

SA, SB, SC , SD lần lượt tại A ', B ', C ', D ' .Đẳng thức nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SB SD A. B. 2  2    SA ' SC ' SB ' SD ' SA ' 2SC ' SB ' 2SD ' SA SC SB SD SA SC SB SD C. D.       SA ' SC ' SB ' SD ' SA ' SC ' SB ' SD ' Hướng dẫn giải: S Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì SA  SC  SB  SD  2SO SA SB SB SC  SA '  SC '  SB '  SC ' Do A ', B ', C ', D ' đồng phẳng SA ' SB ' SB ' SC ' D' SA SC SB SD A' nên đẳng thức trên  .    SA ' SC ' SB ' SD '

C' B' C

D O A

Câu 83: Cho hình chóp S . ABC có SA  a, SB  b, SC  c . Một mặt phẳng   luôn đi qua trọng tâm

của tam giác ABC , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B ', C ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 .   2 2 SA ' SB ' SC '2 2 3 2 9 A. 2 2 2 B. 2 C. 2 2 2 D. 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c Hướng dẫn giải: Chọn D.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có 3SG  SA  SB  SC SA SB SC  SA '  SB '  SC ' . SA ' SB ' SC ' SA SB SC a b c Mà G, A ', B ', C ' đồng phẳng nên   3   3 SA ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: 1 1  2 b c   1  a Ta có    a  b2  c 2       2 2 2   SA ' SB ' SC '   SA ' SB ' SC ' 

Trang 30

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

1 1 1 9 .    2 2 2 2 SA ' SB ' SC ' a  b2  c 2 Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 a b c kết hợp với      3 ta được aSA ' bSB ' cSC ' SA ' SB ' SC ' a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2 . SA '  , SB '  , SC '  3a 3b 3c 1 1 1 9 Vậy GTNN của là 2 2 2 .   2 2 2 SA ' SB ' SC ' a b c Câu 84: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM , BM , CM , DM 

cắt các mặt  BCD  ,  CDA ,  DAB  ,  ABC  lần lượt tại A ', B ', C ', D ' . Mặt phẳng   đi qua M và song song với  BCD  lần lượt cắt A ' B ', A ' C ', A ' D ' tại các điểm B1 , C1 , D1 .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh M là trọng tâm của tam giác B1C1D1 . A. M là trọng tâm của tam giác B1C1D1 . B. M là trực tâm của tam giác B1C1D1 . C. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B1C1D1 . D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác B1C1D1 . Hướng dẫn giải: Chọn D.

Vì M nằm trong tứ diện ABCD nên tồn tại x, y, z, t  0 sao cho xMA  yMB  zMC  tMD  0

1

Gọi   là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng

 BCD  .    BCD   Ta có  BB ' A '     MB1  MB1   BB ' A '   BCD   BA '

BA ' . B'

MB1 MB ' MB ' Do đó   MB1  BA '  2  BA ' BB ' BB ' Trong 1 , chiếu các vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương

 ACD 

M B1 B A'

ta được:

xMB '  yMB  zMB '  tMB '  0   x  y  z  MB '  yMB  0

  x  y  z  t  MB '  yBB ' 

MB ' y  BB ' x  y  z  t

y BA '  3 x y  z t z Tương tự ta có MC1  CA '  4  x y  z t z MD1  DA '  5 x y  z t Từ  2  suy ra MB1 

Trang 31

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Mặt khác chiếu các vec tơ trong 1 lên mặt phẳng  BCD  theo phương AA ' tì thu được y A ' B  z A ' C  t A ' D  0 . Vậy từ  3 ,  4  ,  5  ta có





1 yBA '  zCA '  t DA '  0 , hay M là trọng tâm của tam giác B1C1D1 . x y  z t Câu 85: Cho tứ diện ABCD có BC  DA  a, CA  DB  b, AB  DC  c Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của 1 1 1  2 2 2 2. 2 2 ab bc ca 2 9 3 2 A. 2 B. C. 2 D. S S S S Hướng dẫn giải: Do tứ diện ABCD có BC  DA  a, CA  DB  b, AB  DC  c nên BCD  ADC  DAB  CBA abc . Gọi S ' là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì S  4S '  , nên bất R 1 1 1 9 đẳng thức cần chứng minh 2 2  2 2  2 2  2  a 2  b2  c 2  9 R 2 . ab bc ca S Theo công thức Leibbnitz: Với điểm M bất kì và G là trọng tâm của tam giác ABC thì 1 MA2  MB 2  MC 2  GA2  GB 2  BC 2  3MG 2   a 2  b 2  c 2  9MG 2  3 Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta được 9 R 2  aa 2  b2  c 2  9OG 2  a 2  b2  c2 . Câu 86: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' và các điểm M , N , P xác định bởi MB1  MC1  MD1 

MA  k MB '  k  0  , NB  xNC ', PC  yPD ' .

Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng. 2k 2 A. x  ,y 2k k Hướng dẫn giải:

1 k 1 1  2k 1 1 k 1 B. x  C. x  2 D. x  ,y ,y ,y 1  2k 2k 1 k k 2k 2k

Chọn D.

Đặt AD  a, AB  b, AA '  c . Từ giả thiết ta có : k AM  b  c 1 k 1 y x AN  b  a  c  2  AP  a  b  c  b  3 x 1 y 1 Từ đó ta có x 1 k   x MN  AN  AM  a b  c x 1 k 1  x 1 k 1   x y    c .  x 1 y 1 













 y y 1 k   )b    c y 1 k 1  y 1 k 1  Ba điểm M , N , P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại  sao cho

A' D

C M

MP  AP  AM  a  (

Trang 32

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word MN   MP

Quan hệ vuông góc – HH 11

 * .

Thay các vec tơ MN , MP vào  * và lưu ý a, b, c không đồng phẳng ta tính được x 

1 k 1 ,y . 1 k k

Câu 87: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Một đường thẳng  cắt các đường thẳng AA ', BC , C ' D ' lần

lượt tại M , N , P sao cho NM  2 NP . Tính MA 1 MA ' Hướng dẫn giải:

MA . MA '

MA  2 MA '

MA 2 MA '

MA  3 MA '

Chọn C.

Đặt AD  a, AB  b, AA '  c .

Vì M  AA ' nên AM  k AA '  kc N  BC  BN  l BC  la , P  C ' D '  C ' P  mb Ta có NM  NB  BA  AM  la  b  kc NP  BN  BB '  B ' C '  C ' P  (1  l )a  mb  c

Do NM  2 NP  la  b  kc  2[ 1  l  a  mb  c] l  2 1  l   1 MA   1  2 m  k  2, m   , l  2 . Vậy  2. 2 MA ' k  2 

N D'

A' P B'

Câu 88: Giả sử M , N , P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là

giao điểm của ba mặt phẳng  BCM  ,  CAN  ,  ABP  và J là giao điểm của ba mặt phẳng

 ANP  ,  BPM  ,  CMN  . Ta được S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng? MS NS PS 1 JS MS NS PS 1 JS A. B.         MA NB PC 2 JI MA NB PC 4 JI MS NS PS 1 JS MS NS PS JS C. D.       1  MA NB PC 3 JI MA NB PC JI Hướng dẫn giải: Chọn D.

Goi E  BP  CN , F  CM  AP, T  AN  BM . Trong  BCM  có I  BF  CT trong  ANP  có

NF  PT  J . Đặt SA  a, SB  b, SC  c và

P F

SM  xMA, SN  yNB, Sp  zPC x y z Ta có SM  a, SN  b, SP  c  x  0, y  0, z  0  x 1 y 1 z 1 .

T N

Trang 33

E C

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

 ST   SM  1    SB T  AN    SM  1    SB   SN  1    SA Do T  AN  BM nên  ST   SN  1   SA T  BM    x y  a  1    b  b  1    a . Vì a, b không cùng phương nên ta có x 1 y 1 x   x    1     x  1 x  y 1 x y    ST  a b.  y y x  y 1 x  y 1     1 x  y 1  y  1  Hoàn toàn tương tự ta có : y z z x SE  b c, SF  c a. y  z 1 y  z 1 z  x 1 z  x 1 Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm I  BF  CT và NF  PT  J ta được : 1 1 SI  xa  yb  zc , SJ  xa  yb  zc x  y  z 1 x yz2 x  y  z 1 Suy ra SJ  SI  SJ   x  y  z  1 IJ x yz2 SI SM SN SP Vậy S , I , J thẳng hàng và  x  y  z 1     1. IJ MA NB PC







Trang 34

