CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 - 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HN by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TOÁN 10

VÉCTƠ

Câu 6.

0H1-1

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI .....................................................................................................................................................1

Câu 7.

Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ .....................................................................................................................1 Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ ..........................................................................................................................3 Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước .................................................................................................6 Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ............................................................................................8 Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương.......................................................................................10 Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ .......................................................................................................................14 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ..........................................................................................................................17 Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ ...................................................................................................................17 Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ ........................................................................................................................22 Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ...............................................................................................26 Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện ..........................................................................................................29 Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương.......................................................................................32 Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ .......................................................................................................................40

Câu 8. Câu 9.

Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD A. ABCD là hình bình hành B. ACBD là hình bình hành C. AD và BC có cùng trung điểm D. AB = CD và AB / / CD

Cho hình vuông ABCD, câu nào sau đây là đúng? A. AB = BC B. AB = CD C. AC = BD

D. AD = CB

Cho vectơ AB và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD . A. 1 B. 2 C. 0 D. Vô số Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai? A. AB = CD B. AD = BC C. AO = OC D. OD = BO

Câu 10. Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. MN = QP B. QP = MN C. MQ = NP D. MN = AC Câu 11. Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng? B. CA và CB cùng hướng A. AB = BC C. AB và AC ngược hướng D. BA và BC cùng phương Câu 12. Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 Câu 13. Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các điểm đã cho: A. 4 B. 20 C. 10 D. 12

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 14. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau

Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Nếu AB = AC thì: A. tam giác ABC là tam giác cân C. A là trung điểm đoạn BC

B. tam giác ABC là tam giác đều D. điểm B trùng với điểm C

Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó cặp vectơ nào sau đây cùng hướng? A. MN và MP B. MN và PN C. MP và PN D. NP và NM Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C? A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng A. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b B. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 D. Cả A, B, C đều sai Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 1

Câu 15. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với AB ? A. FO, OC , FD B. FO, AC , ED C. BO, OC , ED D. FO, OC , ED Câu 16. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ cùng phương với MN . A. AC , CA, AP, PA, PC , CP B. NM , BC, CB, PA, AP C. NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP D. NM , BC , CA, AM , MA, PN , CP Câu 17. Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và chỉ khi: A. Điểm B thuộc đoạn AC B. Điểm A thuộc đoạn BC D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC C. Điểm C thuộc đoạn AB Câu 18. Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. AB = AC B. AB = 2a C. AB = 2a

D. AB = AB

Câu 19. Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2

A. Tam giác ABC nhọn thì AH , OM cùng hướng. B. AH , OM luôn cùng hướng. C. AH , OM cùng phương nhưng ngược hướng. D. AH , OM có cùng giá

A. AB = OA − AB

Câu 22. Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. HA = CD và AD = CH B. HA = CD và DA = HC C. HA = CD và AD = HC D. AD = HC và OB = OD Câu 23. Cho ∆ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi A ', B ', C ' lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A ', B ', C ' . Câu nào sau đây đúng? A. AM = PC và QB = NC B. AC = QN và AM = PC C. AB = CN và AP = QN D. AB ' = BN và MN = BC Câu 24. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng với B qua O. Câu nào sau đây đúng? A. AH = DC B. AB = DC C. AD = BC D. AO = AH Câu 25. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài ( O ) , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới ( O ) . Xét mệnh đề: (I) AB = AC (II) OB = −OC (III) BO = CO B. (I) và (III)

C. (I), (II), (III)

D. Chỉ (III)

Câu 26. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm mệnh đề sai? A. Có 2 vectơ bằng PR B. Có 4 vectơ bằng AR C. Có 2 vectơ bằng BO D. Có 5 vectơ bằng OP Câu 27. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D. Hãy tính độ dài của vectơ MN . a 15 a 5 a 13 a 5 A. MN = B. MN = C. MN = D. MN = 2 3 2 4 Câu 28. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD tương ứng là I, J. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. OI = OJ B. MP = NQ C. MN = PQ D. OI = −OJ

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ Câu 29. Cho hình bình hành tâm O. Kết quả nào sau đây là đúng? 3

C. AB − AD = AC

D. AO + OD = CB

Câu 30. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng thức sai: A. AM + AN = AC B. AM + AN = AB + AD C. AM + AN = MC + NC D. AM + AN = DB

Câu 20. Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và A = 60° . Kết luận nào sau đây là đúng? a 3 a 2 A. AO = B. OA = a C. OA = OB D. OA = 2 2 Câu 21. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN . Chọn câu đúng. A. AC = BD B. AC = BC C. AD = BC D. AD = BD

Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (I)

B. CO − OB = BA

Câu 31. Cho ∆ABC, D, E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. AD + BE + CF = AB + AC + BC B. AD + BE + CF = AF + CE + BD C. AD + BE + CF = AE + BF + CD D. AD + BE + CF = BA + BC + AC Câu 32. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì trên mặt phẳng. Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau: A. AB + CD = AD + CB B. AB + CD + EA = ED + CB C. AB + CD + EF + CA = CB + ED + CF D. BA + CB + DC + BD = 0 Câu 33. Cho ∆ ABC , các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Với O là điểm bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. OA + OB + OC = 2 OM + ON + OP B. OA + OB + OC = OM + ON + OP C. 2 OA + OB + OC = OM + ON + OP D. 2 OA + OB + OC = 3 OM + ON + OP

(

)

(

) (

)

Câu 34. Cho 4 điểm A, B, C, D. Câu nào sau đây đúng? A. AB + CD = AD + CB B. AB + BC + CD = DA C. AB + BC = CD + DA D. AB + AD = CB + CD Câu 35. Cho hai tam giác ∆ABC và ∆A ' B ' C ' có trọng tâm lần lượt là G và G ' . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. A ' A + B ' B + C ' C = 3GG ' B. AB ' + BC ' + CA ' = 3GG ' C. AC ' + BA ' + CB ' = 3GG ' D. AA ' + BB ' + CC ' = 3GG ' Câu 36. Cho 5 điểm A, B C, D, E. Đẳng thức nào sau đây là đúng? 1 A. AB + CD + EA = 2 CB + ED B. AB + CD + EA = CB + ED 2 3 C. AB + CD + EA = CB + ED D. AB + CD + EA = CB + ED 2

( (

(

) )

)

Câu 37. Cho ∆ ABC và một điểm M tùy ý. Chọn hệ thức đúng? A. 2 MA + MB − 3MC = AC + 2 BC B. 2 MA + MB − 3MC = 2 AC + BC C. 2 MA + MB − 3MC = 2CA + CB D. 2 MA + MB − 3MC = 2CB − CA Câu 38. Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng. 3 A. AI + AK = 2 AC B. AI + AK = AB + AD C. AI + AK = IK D. AI + AK = AC 2 Câu 39. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chọn đẳng thức sai. A. GA1 + GB1 + GC1 = 0 B. AG + BG + CG = 0 C. AA1 + BB1 + CC1 = 0 D. GC = 2GC1 Câu 40. Cho 4 điểm M, N, P, Q bất kì. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng. A. PQ + NP = MQ + MN B. NP + MN = QP + MQ C. MN + PQ = NP + MQ D. NM + QP = NP + MQ Câu 41. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. AB + DF + BD + FA = 0 B. BE − CE + CF − BF = 0 4

C. AD + BE + CF = AE + BF + CD

D. FD + BE + AC = BD + AE + CF

C. a. AM + b.BN + c.CP = 0

Câu 42. Cho ∆ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng? 3 1 A. OH = OG B. HO = 3OG C. OG = GH D. 2GO = −3OH 2 2 Câu 43. Cho 4 điểm A, B, C,D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. AB + CD = 2 IJ B. AC + BD = 2 IJ C. AD + BC = 2 IJ D. 2 IJ + DB + CA = 0 Câu 44. Cho ∆ ABC , M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng? MC MB MA MB A. AM = B. BM = . AB + . AC . AC + .BC BC BC AB AB MB MA MC MB C. 3CM = D. 2 AM = . AB + . AC . AB + . AC AC AB BC BC Câu 45. Cho ∆ABC , AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. OA + OB + OC = OD + OE + OF B. 2 OA + OB + OC = 3 OD + OE + OF C. OA + OB + OC = 2 OD + OE + OF D. OA + OB + OC = 3 OD + OE + OF

(

)

) ( (

)

Câu 46. Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng? 1 2 A. MD + ME + MF = MO B. MD + ME + MF = MO 2 3 3 3 C. MD + ME + MF = MO D. MD + ME + MF = MO 4 2 Câu 47. Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC. G là trung điểm của IJ. Xét các mệnh đề: (I) AB + AC + AD = 4 AG (II) IA + IC = 2 IG (III) JB + ID = JI Mệnh đề sai là: A. (I) và (II) B. (II) và (III) C. Chỉ (I) D. Tất cả đều sai Câu 48. Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho

MA NB m = = . MD NC n

Đẳng thức nào sau đây là đúng? nAB + mDC n AC + mAB nBC + mCD A. MN = B. AM = C. BN = D. m+n m+n m+n nCD + mAD DM = m+n Câu 49. Cho ∆ABC và một điểm M bất kì trong tam giác. Đặt S MBC = Sa , S MCA = Sb , S MAB = Sc . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. S a .MA + Sb .MB + Sc .MC = 0 B. S a . AB + Sb .BC + S c .CA = 0 C. S a .MC + Sb .MB + Sc .MA = 0 D. S a . AC + Sb . AB + S c .BC = 0 Câu 50. Cho ∆ABC với BC = a, AC = b, AB = c . I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC , đường tròn nội tiếp ( I ) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a.IM + b.IN + c.IP = 0 B. a.MA + b.NB + c.PC = 0 5

D. a. AB + b.BC + c.CA = 0

Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 51. Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho IA + 2 IB = 0 . 1 A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho IB = AB 3 1 B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho IB = AB 3 C. Điểm I là trung điểm đoạn AB 1 D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và IB = AB . 3

3 Câu 52. Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho AI = − BA . 5 A.

Câu 53. Cho hai điểm A, B phần biệt. Xác định điểm M sao cho MA + MB = 0 A. M ở vị trí bất kì B. M là trung điểm của AB C. Không tìm được M D. M nằm trên đường trung trực của AB Câu 54. Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN = −3MP . Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị trí điểm M.

1 Câu 55. Cho đoạn thẳng AB và điểm M là một điểm trong đoạn AB sao cho AM = AB . Tìm k để 5 MA = k MB . 1 1 A. k = B. k = 4 C. k = − D. k = −4 4 4 Câu 56. Cho ∆ABC . Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho MB = 3MC . Điểm M được vẽ đúng trong hình nào sau đây?

Câu 57. Cho ∆ ABC có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho: MA + MB + 2 MC = 0 . A. Điểm M là trung điểm cạnh AC. B. Điểm M là trung điểm cạnh GC. 6

C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4. D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn GC = 4GM . Câu 58. Cho ∆ABC , I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn NA + 2 NB = CB xác định bởi hệ thức: 1 2 A. BN = BI B. BN = 2 BI C. BN = BI D. BN = 3 BI 3 3

Câu 59. Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm N thỏa mãn: NC + ND − NA = AB + AD − AC . A. Điểm N là trung điểm cạnh AB B. Điểm C là trung điểm cạnh BN C. Điểm C là trung điểm cạnh AM D. Điểm B là trung điểm cạnh NC Câu 60. Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho a + b ≠ 0 . Xét các mệnh đề: (I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn aMA + bMB = 0 . b (II) MA = − AB . a+b (III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB. Trong các mệnh đề trên thì: A. (I) và (III) tương đương nhau B. (II) và (III) tương đương nhau C. (I) và (II) tương đương nhau D. (I), (II), (III) tương đương nhau Câu 61. Cho ∆ ABC với BC = a, AC = b, AB = c . Nếu điểm I thỏa mãn hệ thức aIA + bIB + cIC = 0 thì: A. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC . C. Điểm I là trực tâm của ∆ABC . D. Điểm I là trọng tâm của ∆ABC . Câu 62. Cho ∆ ABC . Xác định điểm I sao cho: 2 IA − 3IB = 3BC . A. Điểm I là trung điểm của cạnh AC B. Điểm C là trung điểm của cạnh IA C. Điểm C chia đoạn IA theo tỉ số −2 D. Điểm I chia đoạn AC theo tỉ số 2 Câu 63. Cho ∆ ABC có M là trung điểm AB và N trên cạnh AC sao cho NC = 2 NA . Xác định điểm K sao cho 3 AB + 2 AC − 12 AK = 0 . A. Điểm K là trung điểm cạnh AM B. Điểm K là trung điểm cạnh BN C. Điểm K là trung điểm cạnh BC D. Điểm K là trung điểm cạnh MN Câu 64. Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm M thỏa mãn: MA − MB − MC = AD . A. Điểm M là trung điểm cạnh AC B. Điểm M là trung điểm cạnh BD C. Điểm C là trung điểm cạnh AM D. Điểm B là trung điểm cạnh MC NA NB NC ∆ ABC 2 + + =0. Câu 65. Cho . Tìm điểm N sao cho: A. N là trọng tâm ∆ABC B. N là trung điểm của BC C. N là trung điểm của AK với K là trung điểm của BC D. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm 2 cạnh Câu 66. Cho ∆ ABC . Xác định điểm M sao cho: MA + 2 MB = CB . A. M là trung điểm cạnh AB B. M là trung điểm cạnh BC C. M chia đoạn AB theo tỉ số 2 D. M là trọng tâm ∆ ABC Câu 67. Cho ∆ ABC có trọng tâm G, điểm M thỏa mãn 2 MA + MB + 3MC = 0 . Khi đó điểm M thỏa mãn hệ thức nào sau đây? 1 1 1 1 A. GM = BC B. GM = CA C. GM = AB D. GM = CB 6 6 6 3 Câu 68. Gọi G là trọng tâm ∆ABC . Nối điểm M thỏa mãn hệ thức MA + MB + 4 MC = 0 thì M ở vị trí nào trong hình vẽ:

A. Miền (1)

B. Miền (2)

C. Miền (3)

D. Ở ngoài ∆ABC

Câu 69. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M thỏa mãn đẳng thức AB + AC + AD = 4 AM . Khi đó điểm M trùng với điểm: A. O B. I là trung điểm đoạn OA C. I là trung điểm đoạn OC D. C Câu 70. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi điểm M thỏa mãn đẳng thức MA = α MB + β MC ; α , β ∈ ℝ . Nếu M là trọng tâm ∆ABC thì α , β thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. α 2 − β 2 = 0 đúng

B. α .β = 1

C. α − β = 0

D. Cả A, B, C đều

Câu 71. Cho ∆ ABC . Nếu điểm D thỏa mãn hệ thức MA + 2 MB − 3MC = CD với M tùy ý, thì D là đỉnh của hình bình hành: A. ABCD B. ACBD C. ABED với E là trung điểm của BC D. ACED với B là trung điểm của EC Câu 72. Cho đoạn AB và điểm I sao cho 2 IA + 3 IB = 0 . Tìm số k ∈ ℝ sao cho AI = k AB . 3 3 2 3 A. k = B. k = C. k = D. k = 4 5 5 2

Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 73. Gọi G là trọng tâm của ∆ ABC . Tập hợp điểm M sao cho MA + MB + MC = 6 là: A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. C. Đường tròn tâm G bán kính là 2.

B. Đường tròn tâm G bán kính là 1. D. Đường tròn tâm G bán kính là 6.

Câu 74. Cho ∆ABC có trọng tâm G. I là trung điểm của BC. Tập hợp điểm M sao cho: 2 MA + MB + MC = 3 MB + MC là: A. đường trung trực của đoạn GI C. đường thẳng GI

B. đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC D. đường trung trực của đoạn AI

Câu 75. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB − MC = MD là A. một đoạn thẳng B. một đường tròn C. một điểm D. tập hợp rỗng Câu 76. Trên đường tròn C ( O; R ) lấy điểm cố định A; B là điểm di động trên đường tròn đó. Gọi M là điểm di động sao cho OM = OA + OB . Khi đó tập hợp điểm M là: A. đường tròn tâm O bán kính 2R. B. đường tròn tâm A bán kính R C. đường thẳng song song với OA D. đường tròn tâm C bán kính R 3 Câu 77. Cho ∆ ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA − MB = MC là: A. một đường tròn tâm C C. một đường thẳng song song với AB

B. đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB) D. là đường thẳng trung trực của BC

Câu 78. Cho hình chữ nhật ABCD tâm MA + MB + MC + MD = k , k > 0 là: 8

Tập

hợp

các

điểm

thỏa

mãn

A. đường tròn tâm O bán kính là C. đường trung trực của AB

k 4

B. đường tròn đi qua A, B, C, D D. tập rỗng

Câu 79.

Cho ∆ABC trọng tâm G. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, AB, CA. Quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA + MB + MC = MA − MC là:

1 JK 2 1 C. đường tròn tâm G bán kính CA 3 A. đường tròn tâm I bán kính

B. đường tròn tâm G bán kính

1 IJ 3

D. trung trực AC

Câu 80. Cho đường tròn ( O ; R ) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M ' sao cho MM ' = MA + MB , lúc đó: A. Khi M chạy trên ( O; R ) thì M ' chạy trên đường thẳng AB B. Khi M chạy trên ( O; R ) thì M ' chạy trên đường thẳng đối xứng với AB qua O C. Khi M chạy trên ( O; R ) thì M ' chạy trên một đường tròn cố định

B. nửa đường tròn C. một đường tròn Câu 90. Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 3MA + 2MB − 2MC = MB − MC

AB BC B. là một đường tròn có bán kính là 2 3 C. là một đường thẳng qua A và song song với BC D. là một điểm

B. đường thẳng qua B và C D. một điểm duy nhất + k MB = 2 MC , k ≠ 1 là: k MA Câu 83. Tập hợp điểm M mà A. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ C B. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ B C. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ A D. đường trung trực của AB Câu 84. Cho ∆ ABC . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: 2MA + 3MB + 4MC = MB − MA

C. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính D. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính Câu 85. Cho Tìm quỹ tích ∆ ABC . MA + MB = k MA + 2MB − 3MC , k ∈ ℝ .

(

Câu 91. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức: 2MA − (1 + k ) MB − 3k MC = 0 , k là giá trị thay đổi trên ℝ . A. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng. B. Tập hợp điểm M là một đường tròn. C. Tập hợp điểm M là một đường thẳng. D. Tập hợp điểm M là một nửa đường tròn.

Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương

AB 3 AB 4 AB 9 AB 2

điểm

Câu 92. Cho AK và BM là hai trung tuyến của ∆ABC . Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK và BM . 2 1 3 2 A. AB = AK − BM B. AB = AK − BM C. AB = AK − BM D. AB = AK + BM 3 3 2 3 11 5 Câu 93. Cho ∆ABC vuông cân, AB = AC . Khi đó vectơ u = AB + AC được vẽ đúng ở hình nào 4 2 sau đây?

(

thỏa

mãn

điều

D. một đường thẳng

A. là một đường tròn có bán kính là

A. đường thẳng qua A C. đường tròn

B. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính

nhận giá trị nhỏ nhất. A. Tập hợp điểm M là một đường thẳng B. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng C. Tập hợp điểm M là một đường tròn D. Là một điểm Câu 88. Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 2 MA + k MB + (1 − k ) MC = 0, k ∈ ℝ là: A. đường thẳng B. đường tròn C. đoạn thẳng D. một điểm Câu 89. Cho ∆ ABC và điểm M thỏa mãn đẳng thức: 3MA − 2MB + MC = MB − MA .

Tập hợp điểm M là A. một đoạn thẳng

D. Khi M chạy trên ( O; R ) thì M ' chạy trên một đường tròn cố định bán kính R Câu 81. Cho ∆ ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + MB + 2 MC = k BC với k ∈ ℝ A. là một đoạn thẳng B. là một đường thẳng C. là một đường tròn D. là một điểm Câu 82. Cho ∆ ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: 4MA + MB + MC = 2 MA − MB − MC là:

A. Quỹ tích điểm M là một đường tròn bán kính

Câu 86. Cho tứ giác ABCD với K là số tùy ý. Lấy cá điểm M, N sao cho AM = k AB, DN = k DC . Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi. A. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AC, BD B. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AD, BC C. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AB, DC D. Cả A, B, C đều sai. Câu 87. Cho lục giác đều ABCDEF. Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + MB + MC + MD + ME + MF

kiện:

)

(

)

(

)

(

)

A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF, với E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC B. Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC AB C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 9 3 D. Với H là điểm thỏa mãn AH = AC thì tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song 2 song với HB với E là trung điểm của AB

)

Câu 94. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vectơ u = 3 AB − 4 AC đưuọc vẽ đúng ở hình nào dưới đây?

Câu 95. Cho ∆ ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Phân tích AB theo hai vectơ BN là CP . 4 2 4 2 A. AB = BN − CP B. AB = − BN + CP 3 3 3 3 4 2 2 4 C. AB = − BN − CP D. AB = − BN − CP 3 3 3 3 Câu 96. Cho ∆ABC . Diểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho MB = k MC ( k ≠ 1) . Phân tích AM theo AB, AC . AB + k AC AB − k AC AB − k AC AB + k AC A. AM = B. AM = C. AM = D. AM = 1− k 1+ k 1− k 1− k Câu 97. Cho ∆OAB với M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm số m, n thích hợp để NA = mOA + nOB . 1 1 1 1 A. m = −1, n = B. m = 1, n = − C. m = 1, n = D. m = −1, n = − 2 2 2 2 Câu 98. Cho hình bình hành ABCD có E, N lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tìm các số p và q sao cho DN = pAB + qAC . 5 3 4 2 4 2 5 3 A. p = ; q = B. p = − ; q = C. p = − ; q = − D. p = ; q = − 4 4 3 3 3 3 4 4 Câu 99. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, L lần lượt là trung điểm BC, CD. Biết AK = a, AL = b . Biểu diễn BA, BC theo a, b 4 2 2 4 1 2 1 4 A. BA = a + b, BC = − a + b B. BA = − a + b, BC = − a + b 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 4 4 2 2 4 C. BA = − a − b, BC = − a + b D. BA = − a + b, BC = − a + b 3 3 3 3 3 3 3 3 Câu 100. Cho ∆ ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên BC sao cho 2CI = 3 BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5 JB = 2 JC . Tính AG theo AI và AJ 15 1 35 1 A. AG = AI − AJ B. AG = AI − AJ 16 16 48 16 15 1 35 1 C. AG = AI + AJ D. AG = AI + AJ 16 16 48 16

Câu 101. Cho ∆ABC . Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho nBM = mBC ( n, m ≠ 0 ) . Phân tích vectơ AM theo AB, AC 1 1 m m A. AM = B. AM = AB + AC AB + AC m+n m+n m+n m+n n n n m C. AM = D. AM = AB + AC AB + AC m+n m+n m+n m+n

Câu 102. Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chép DB của hình bình hành ABCD lần lượt tại các điểm E, F và M. Biết rẳng DE = mDA , DF = nDC ( m, n > 0 ) . Hãy biểu diễn DM qua DB và m, n. m.n m.n m n A. DM = B. DM = C. DM = DB DB DB D. DM = DB m+n m+n m+n m−n 1 Câu 103. Cho ∆ABC . Trên BC lấy điểm D sao cho BD = BC . Khi đó phân tích AD theo các vectơ 3 AB và AC . 2 1 1 2 A. AD = AB + AC B. AD = AB + AC 3 3 3 3 2 5 1 C. AD = AB + AC D. AD = AB − AC 3 3 3 Câu 104. Cho tam giác ABC, hai điểm M, N thỏa mãn hệ thức MA + MB − MC = 0 và 2 NA + NB + NC = 0 . Tìm hai số p,q sao cho MN = pAB + q AC . 3 1 1 3 5 A. p = q = − B. p = 2, q = 0 C. p = − , q = − D. p = − , q = 4 2 2 4 4 Câu 105. Cho ∆ABC . Lấy các điểm M, N, P sao cho MB = 3MC, NA + 3NC = 0, PA + PB = 0 . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng. A. MP = −2 MN B. MP = 3MN C. MP = 2 MN D. MP = −3MN Câu 106. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên cạnh AB và CD sao cho 1 1 AM = AB , CN = CD . Gọi G là trọng tâm của ∆BMN . Gọi I là điểm xác định bởi 3 2 BI = mBC . Xác định m để AI đi qua G. 6 11 6 18 A. m = B. m = C. m = D. m = 11 6 5 11 Câu 107. Cho ∆ ABC có trung tuyến AD. Xét các điểm M, N, P cho bởi 1 1 AM = AB, AN = AC, AP = mAD . Tìm m để M, N, P thẳng hàng. 2 4 1 1 1 2 A. m = B. m = C. m = D. m = 6 3 4 3 Câu 108. Cho ∆ ABC . M và N là hai điểm xác định thỏa mãn: MA + 3MC = 0 và NA + 2 NB + 3 NC = 0 . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, B thẳng hàng? 1 3 2 1 A. BM = BN B. BN = BN C. BM = BN D. BM = BN 2 2 3 2 Câu 109. Cho ∆ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để H, O, G thẳng hàng?

3 A. OH = OG 2

1 C. OG = GH 2

B. HO = 3OG

D. 2GO = −3OH

Câu 110. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để IJ / / AE ? 3 5 1 1 A. IJ = AE B. IJ = AE C. IJ = AE D. IJ = AE 4 4 4 3 1 Câu 111. Cho ∆ABC . Các điểm I, J thỏa mãn hệ thức AI = AB, AI = 3 AC . Đẳng thức nào sau đây là 3 điều kiện cần và đủ để IC / / BJ ? 1 2 1 A. CI = − BJ B. CI = 3BJ C. CI = − BJ D. CI = BJ 3 3 3 Câu 112. Cho ∆ABC . Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho AM = giao điểm của AN và CM. Tính tỉ số

BN 1 2 MB, = . Gọi I là 5 NC 3

AI CI và . AN IM

AI 3 CI 21 = ; = AN 7 IM 2 AI 8 CI 7 C. = ; = AN 23 IM 4

AI 4 CI 7 = ; = AN 11 IM 2 AI 8 CI 21 D. = ; = AN 23 IM 2

Câu 113. Cho ∆ ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E, và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song với AC. ED Tính . GB 1 1 1 A. B. C. D. 1 2 3 4 Câu 114. Cho tứ giác ABCD có hai đưuòng chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường CN thẳng MO cắt CD tại N. Biết OA = 1, OB = 2, OC = 3 , OD = 4 . Tính . ND 1 3 5 A. 1 B. C. D. 2 2 2 Câu 115. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho 1 1 AM = AB, CN = CD . Gọi G là trọng tâm của ∆BMN . Hãy phân tích AG theo hai vectơ 2 3 AB = a, AC = b . 1 5 1 1 5 1 5 1 A. AG = a + b B. AG = a + b C. AG = a + b D. AG = a − b 18 3 18 5 18 3 18 3 Câu 116. Cho ∆ABC . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3 BI và J là điểm trên tia đối của BC sao cho 5 JB = 2 JC . Tính AI , AJ theo a = AB, b = AC . 3 2 5 2 3 2 5 2 A. AI = a + b, AJ = a − b B. AI = a − b, AJ = a − b 5 5 3 3 5 5 3 3 2 3 5 2 3 2 5 2 C. AI = a + b, AJ = a − b D. AI = a + b, AJ = a + b 5 5 3 3 5 5 3 3 Câu 117. Cho tứ giác ABCD. Trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = k AB , DN = k DC , k ≠ 1 . Hãy biểu diễn MN theo hai vectơ AD và BC . 13

A. MN = k . AD + (1 − k ) .BC C. MN = (1 − k ) . AD + k .BC

B. MN = (1 + k ) . AD + k .BC D. MN = −k . AD + ( k + 1) .BC

Câu 118. Cho ∆ ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm trên AC sao cho 1 AK = AC . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để ba điểm B, I, K thẳng hàng. 3 2 4 3 A. BK = BI B. BK = BI C. BK = 2 BI D. BK = BI 3 3 2 Câu 119. Cho ∆ABC, E là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, I, J, K lần lượt là các điểm 1 thỏa mãn BE = 2 BD, AJ = JC , IK = mIJ . Tìm m để A, K, D thẳng hàng. 2 5 1 1 2 A. m = B. m = C. m = D. m = 6 3 2 5 Câu 120. Cho ∆ABC . Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức BC + MA = 0 , AB − NA − 3 AC = 0 . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để MN / / AC . 1 1 A. MN = 2 AC B. MN = AC C. MN = −3 AC D. MN = AC 2 3 Câu 121. Cho ∆ABC; M và N xác định bởi 3MA + 4 MB = 0 , NB − 3 NC = 0 . Trọng tâm ∆ABC là G. PA Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho = 4 . Các đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ PC để M, G, N, P thẳng hàng. A. 7GM + 2GN = 0 và 3PG + 2 PN = 0 B. 5GM + 2GN = 0 và 3PG + 2 PN = 0 C. 7GM + 2GN = 0 và 2 PQ − 3PN = 0 D. 3GM + 2GN = 0 và 3PG + 2 PN = 0 Câu 122. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của ∆ADC và ∆BCD . Đẳng thức nào là điều kiện cần và đủ để IJ / / AB . 1 2 1 1 A. IJ = AB B. IJ = . AB C. IJ = AB D. IJ = AB . 3 3 2 4 1 3 Câu 123. Cho ∆ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB; N ∈ cạnh AC sao cho AM = AB , AN = AC . 3 4 ON OM Gọi O là giao điểm của CM và BN. Tính tỉ số và tương ứng. OB OC 1 2 1 1 1 1 1 1 A. và B. và C. và D. và 9 3 3 4 4 6 6 9 Câu 124. Cho hình bình hành ABCD. M thuộc AC sao cho: AM = kAC . Trên cạnh AB, BC lấy các điểm CN AN P, Q sao cho MP / / BC , MQ / / AB . Gọi N là giao điểm của AQ và CP. Tính tỉ số và CP AQ theo k. 1− k 1− k AN k CN AN k CN A. = = B. = = ; ; AQ k 2 + k − 1 CP k 2 + k + 1 AQ k 2 − k + 1 CP k 2 − k + 1 1− k 1− k AN k CN AN k CN C. D. = ; = = ; = AQ k 2 + k + 1 CP k 2 + k − 1 AQ k 2 + k + 1 CP k 2 + k + 1

Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ Câu 125. Cho ∆ ABC . Vectơ BC − AC được vẽ đúng ở hình nào sau đây? 14

Câu 135. Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. O là giao điểm của hai đường chéo. Tính OA − CB .

a 2 2 Câu 136. Cho ∆ ABC đều cạnh a. Độ dài vectơ tổng: AB + AC là

Câu 126. Cho tam giác ∆ABC vuông tại A có AB = 3cm , BC = 5cm . Khi đó độ dài BA + BC là:

A. 4

B. 8

C. 2 13

D. 13

C. a 5 D. a 2 Câu 128. Cho 2 vectơ a và b tạo với nhau góc 60°. Biết a = 6; b = 3 . Tính a + b + a − b

B. 2a 5

)

(

)

(

)

Câu 131. Cho hình thang ABCD có AB song song với CD. Cho AB = 2a , CD = a . Gọi O là trung điểm của AD. Khi đó: 3a A. OB + OC = 3a B. OB + OC = a C. OB + OC = D. OB + OC = 0 2 Câu 132. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ: u = MA − 2 MB + 3MC − 2 MD A. u = 4a 2 B. u = a 2 C. u = 3a 2 D. u = 2a 2 Câu 133. Cho ∆ ABC . Vectơ BC + AB được vẽ đúng ở hình nào dưới đây? B. C. A.

a 3 2

A. a 3

A. Bao giờ cũng lớn hơn a + b C. Bao giờ cũng nhỏ hơn a + b

A. a 3

a 3 2

C. a 2

D. 2a

D. a 2

C. 2a 3

a 3 2

B. Không nhỏ hơn a + b D. Không lớn hơn a + b

B. 3a

C. a

D. a

(

)

3 −1

Câu 139. Cho tam giác ∆ABC đều cạnh a. Tính độ dài AB − BC .

A. 0

B. a

C. a 3

a 3 2

Câu 140. Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G. Tính độ dài vectơ AB − GC .

a 3 3 21 Câu 141. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a . Tính độ dài vectơ u = OA + 2,5OB 4 541 520 140 310 a a a a A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 142. Cho hình vuông ABCD có cạnh là 3. Tính độ dài AC + BD : A.

2a 3 3

a 3

2a 3

A. 6

B. 6 2

C. 12

A. a

B. 3a

D. 0 Câu 143. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và M là trung điểm AB. Tính độ dài OA + OB .

a 2

D. 2a

Câu 144. Cho ∆ ABC vuông cân tại A có BC = a 2 , M là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ AB + BM . A.

= 60° và cạnh là a. Tính độ dài AB + AD . Câu 134. Cho hình thoi ABCD có BAD

Câu 138. Cho ∆ ABC đều cạnh a. Khi đó AC − CB − AC bằng:

A. 0

1 2 3 + 51 A. 3 7 + 5 B. 3 7 + 3 C. 6 5 + 3 D. 2 11 3 Câu 129. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a . Tính độ dài vectơ v = OA − OB . 4 7 6073 3 2 C. D. A. 2a B. a a a 28 2 2 Câu 130. Một vật nặng (Đ) được kéo bởi hai lực F1 và F2 như hình vẽ. Xác định hướng di chuyển của (Đ) và tính độ lớn lực tổng hợp của F1 và F2 . Biết F1 = F2 = 60 N và góc giữa F1 và F2 là 60°. A. 50 3N B. 30 3N C. 60N D. 60 3N

(

Câu 137. Với ∀a, b độ dài a + b :

= 45° . Tính Câu 127. Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bằng 2a và ABC CB − AD + AC .

A. a 3

a 6 2

a 2 2

a 3 2

a 10 2

Câu 145. Cho tam giác đều ABC cạnh a điểm M là trung điểm của BC. Tính độ dài vectơ 3 u = MA − 2,5MB . 4 a 127 a 127 a 127 a 127 A. B. C. D. 4 8 3 2 Câu 146. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ u = 4 MA − 3MB + MC − 2 MD . 16

A. u = a 5

a 5 B. u = 2

C. u = 3a 5

D. u = 2a 5

Câu 147. Cho hai lực F1 = F2 = 100 N có điểm đặt tại O và tạo với nhau góc 60° . Tính cường độ lực tổng hợp của hai lực đó. C. 100 3 D. 25 3N A. 100N B. 50 3N

Câu 3. Câu 4.

Câu 148. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3. H là trung điểm của BC. Tìm mệnh đề sai. 63 A. AB + AC = 3 3 B. BA + BH = C. AH + HB = 3 D. HA + HB = 3 2 Câu 149. Cho hai lực F1 , F2 . Có điểm đặt tại M. Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng biết F1 và F2 có cùng cường độ lực là 100N, góc hợp bởi F1 và F2 là 120° . A. 120N B. 60N C. 100N D. 50N

Ta có các vectơ: AB, BA, BC, CB, CA, AC. Đáp án B. Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 . C. Đáp án

Câu 5. Các vectơ cùng phương với vectơ OB là: BE , EB, DC , CD, FA, AF . B. Đáp án

Câu 150. Một giá đỡ được gắn vào tường như hình vẽ: Câu 6.

Đáp án C Câu 7. Đáp án D Câu 8. Đáp án A

Trong đó ∆ABC vuông ở C. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10N . Khi đó lực tác dụng vào bức tường tại điểm B: A. Kéo bức tường theo hướng BA với cường độ 10 3N B. Kéo bức tường theo hướng BC với cường độ 10 2N C. Kéo bức tường theo hướng BA với cường độ 10 2N D. Kéo bức tường theo hướng BC với cường độ 10 2N 1 Câu 151. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH = HC . 3 Điểm M di động trên BC sao cho BM = x.BC . Tìm x sao cho độ dài vectơ MA + GC đạt giá trị nhỏ nhất. 4 A. x = 5

B. x =

5 6

C. x =

6 5

Câu 152. Cho ∆ ABC đều cạnh a. M là trung điểm BC. Tính độ dài A.

a 21 3

a 21 2

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ Câu 1. Đáp án D AB = AC ⇒ B ≡ C

a 21 4

D. x =

5 4

1 AB + 2 AC . 2 D.

a 21 7

Câu 9. Đáp án A

Câu 10.  MN //PQ 1 Ta có  (do cùng song song và bằng AC ). 2  MN = PQ Do đó MNPQ là hình bình hành. Đáp án D. Câu 11. Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta luôn có BA, BC cùng phương. D. Đáp án Câu 12. Đáp án D Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 12 cách chọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác. Câu 13. Đáp án A Câu 14. Đáp án D Câu 15. Đáp án D

Câu 2. Đáp án A 17

Câu 21. Đáp án C

Các vectơ bằng vectơ AB là: FO, OC , ED

Vì tam giác đều nên AB = AB = 2a

1 1 DC , PN / / AB, PN = AB .Mà MP = PN 2 2 ⇒ AB = DC ⇒ ABCD là hình bình hành ⇒ AD = BC Câu 22. Ta có BD là đường kính ⇒ OB = DO . AH ⊥ BC , DC ⊥ BC ⇒ AH / / DC (1) Ta lại có CH ⊥ AB, DA ⊥ AB ⇒ CH / / DA (2) Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác HADC là hình bình hành ⇒ HA = CD; AD = HC . C. Đáp án Câu 23. Ta có AMCP là hình bình hành ⇒ AM = PC Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành ⇒ NC = BM = QA ⇒ AQNC là hình bình hành ⇒ AC = QN . Đáp án B.

Đáp án A

Câu 24.

Câu 16. Đáp án C Có 3 đường thẳng song song với MN là AC, AP, PC Nên có 7 vectơ NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP Câu 17. Đáp án A

Câu 18. Đáp án C

Ta có: MP / / DC , MP =

Câu 19. Đáp án A

Thật vậy khi ∆ ABC nhọn thì ta có:

 AH ⊥ BC ⇒ AH //OM  OM ⊥ BC

Ta có thể chỉ ra được ADCH là hình bình hành ⇒ AH = DC

O, H nằm trong tam giác ⇒ AH , OM cùng hướng

Câu 25. Đáp án D

Câu 20. Đáp án A

Ta có: OB = OC = R ⇒ BO = CO

a 3 a 3 ⇒ AO = Vì A = 60° ⇒ ∆ABC đều ⇒ AO = 2 2 19

Câu 26. Đáp án D 20

Ta có: PQ = AO = OC AR = RQ = PO = BQ = QC, BO = OD = PR, OP = RA = DR = CQ = QB

Ta có: MNPQ là hình bình hành ⇒ MN = QP

Câu 27. Đáp án C

Ta có: 1 1 1 1 OI + OJ = OA + OC + OD + OB = OA + OB + OC + OD 2 2 2 2 = OM + ON = 0 ⇒ OI = −OJ

(

) (

)

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ

Câu 29. Đáp án B

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông MAD ta có: 2

a DM 2 = AM 2 + AD 2 =   + a 2 2 2 5a = 4

a 5 2 Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.

⇒ DM =

Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và PM = PA + AM = a + Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông NPM ta có:  3a  MN 2 = NP 2 + PM 2 = a 2 +    2  13a 2 = 4 a 13 ⇒ MN = 2

Câu 28.

a 3a = 2 2

CO − OB = CO + OD = CD = BA Câu 30. + Tứ giác AMCN là hình bình hành ⇒ AM + AN = AC ⇒ A đúng. + ABCD là hình bình hành ⇒ AB + AD = AC = AM + AN ⇒ B đúng. + AM = NC , AN = MC ⇒ AM + AN = MC + NC ⇒ C đúng. Đáp án D.

Câu 31. Đáp án C

AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF = AE + BF + CD + ED + DF + FE = AE + BF + CD

(

a 13 Suy ra MN = MN = 2

)

Câu 32. Đáp án D Ta có: BA + CB + BD + DC = 0 ⇔ BC + CA = BA = 0 ⇔ B ≡ A . Vì A, B bất kì ⇒ D sai.

Đáp án D

(

) (

)

Câu 33. Đáp án B

Câu 41.

VT = OA + OB + OC = OM + MA + ON + NB + OP + PC Mà NB = NM + NP ⇒ MA + NB + PC = MA + NM + NP + PC = NA + NC = 0 ⇒ VT = OM + ON + OP

Câu 42.

Câu 34. Đáp án A VT = AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD = AD + DB = VP

(

)

Câu 35. Đáp án D AA ' + BB ' + CC ' = AG + GG ' + G ' A ' + BG + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G ' C ' = 3GG '

Câu 43.

(

Câu 36. Đáp án D AB + CD + EA = AC + CB + CD + ED + DA ' = CB + ED + AC + CD + DA = CB + ED + AD + DA = CB + ED

(

)

(

)

(

)

Câu 37.

Câu 44.

Đáp án C 2 MA + MB − 3MC = 2 MC + 2CA + MC + CB − 3MC = 2CA + CB Câu 38. Đáp án D Câu 45.

1 1 1 3 AI + AK = AB + AC + AD + AC = AC + AB + AD = AC 2 2 2 2

(

Câu 39.

) (

)

(

)

+ Ta có: AB + DF + BD + FA = AB + BD + DF + FA = AA = 0 ⇒ A đúng. + BE − CE + CF − BF = BC + CB = 0 ⇒ B đúng. + AD + BE + CF = AE + BF + CD ⇔ AD + DC + CF = AE + EB + BF ⇔ AF = AF ⇒ C đúng. + FD + DB + BE + EA + AC + FC = 0 ⇔ 2 FC = 0 ⇔ F ≡ C (mâu thuẫn giả thiết) ⇒ D sai. Đáp án D. Ta có GA + GB + GC = 0 ⇒ OA + OB + OC = 3OG (1) Gọi I là trung điểm BC, A ' đối xứng với A qua O. Dễ thấy HBA ' C là hình bình hành ⇔ HB + HC = HA ' ⇔ HA + HB + HC = HA + HA ' = 2 HO ⇔ 3HO + OA + OB + OC = 2 HO ⇔ OH = OA + OB + OC (2) 1 Từ (1) và (2) ⇒ OH = 3OG ⇔ OG + GH = 3OG ⇔ GH = 2OG ⇔ OG = GH . 2 Đáp án C. + B đúng vì AC + BD = AI + IJ + JC + BI + IJ + JD = 2 IJ + AI + BI + JC + JD = 2 IJ + C đúng vì AD + BC = AI + IJ + JD + BI + IJ + JC = 2 IJ + D đúng vì AC + BD = 2 IJ ⇔ 2 IJ + CA + DB = 0 Đáp án A. Kẻ MN / / AC , N ∈ AB . AN MC NM MB Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN = . AB = . AB . NM = . AC = . AC AB BC AC BC MC MB ⇒ AM = AN + NM = . AB + . AC . BC BC Đáp án A. Ta có: 2OA + OB + OC = 2OA + 2OM = 4OD (1) Tương tự OA + 2OB + OC = 4OE (2) OA + OB + 2OC = 4OF (3) Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A. A. Đáp án Qua M kẻ các đường thẳng A1B1 / / AB, A2C1 / / AC , B2C2 / / BC ⇒ Các tam giác đều ∆MB1C1 , ∆MA1C2 , ∆MA2 B2 1 1 1 Ta có: MD = MB1 + MC1 , ME = MA1 + MC2 , MF = MB2 + MA2 2 2 2 1 1 1 ⇒ MD + ME + MF = MA1 + MA2 + MB1 + MB2 + MC1 + MC2 2 2 2 1 3 = MA + MB + MC = MO . 2 2 Đáp án D.

Câu 46.

) (

)

(

Đáp án D

)

(

Ta có: GC = 2C1G ⇒ D sai. Nhận xét: ∆ABC và ∆A1 B1C1 cùng trọng tâm.

Câu 40.

(

)

) (

)

Câu 47. Đáp án B

Đáp án B Ta có: NP + MN = NQ + QP + MQ + QN = QP + MQ + NQ + QN = QP + MQ = VP

(

)

⇔ S a MA + Sb MB + Sc MC = 0

Câu 50. Đáp án A

AB + AC + AD = AG + GB + AG + GC + AG + GD = 3 AG + GB + GC + GD = 4GA + GA + GB + GC + GD = 4 AG + 2 I + 2GJ = 4 AG

(

) ( ) (

)

Gọi p là nửa chu vi ∆ABC , ta có:

(II) và (III) sai vì G không phải là trung điểm của AC và BD.

AP = AN = p − a BM = BP = p − b

Đáp án A

CN = CM = p − c MB MB Ta có IM = .IB + .IC ⇔ aIM = ( p − c ) IB + ( p − b ) IC (1) BC BC Tương tự: bIN = ( p − a ) IC + ( p − c ) IA ( 2 ) , cIP = ( p − b ) IA + ( p − a ) IB ( 3)

Câu 48.

Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được: ⇔ aIM + bIN + cIC = ( 2 p − b − c ) IA + ( 2 p − a − c ) IB + ( 2 p − a − b ) IC = aIA + bIB + cIC = 0

 MN = MA + AB + BN Ta có   MN = MD + DC + CN nMN = nMA + nAB + nBN ⇒  ⇒ ( m + n ) MN mMN = mMD + mDC + mCN

n AB + mDC = nMA + mMD + nAB + mDC + nBN + mCN = 0 + nAB + mDC + 0 ⇒ MN = m+n

(

Câu 49.

Nhận xét: Áp dụng kết quả nếu I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC thì ⇔ aIA + bBI + cCI = 0

) (

)

Câu 51.

Đáp án A

Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước IA + 2 IB = 0 ⇔ IA = −2 IB . 1 Vậy I thuộc đoạn AB sao cho IB = AB . 3 Đáp án B.

Câu 52. Đáp án B. Câu 53. Đáp án B Câu 54. Gọi A ' = AM ∩ BC A ' C A ' B Ta có MA ' = MB + MC BC BC

Đáp án C Ta có: MN = 3MP và P, N khác đối với M Câu 55.

Sb Sc A ' C SMA 'C SMAC Sb A 'C A' B = = = ⇒ = = ; A ' B S MA ' B S MAB Sc BC Sb + Sc BC Sb + Sc Sb Sc MA ' S MA ' B S MA 'C S MA ' B + S MA 'C Sa MA ' = MB + MC (*) Mặt khác = = = = Sb + S c S b + Sc MA S MAB S MAC S MAB + S MAC Sb + Sc

− Sa ⇒ Ma ' = MA , thay vào (*) ta được: − S a MA = Sb MB + S c MC Sb + S a 25

Đáp án C Câu 56. Đáp án B Câu 57.

MA + MB + 2 MC = MG + GA + MG + GB + 2 MG + 2GC = 0 ⇔ 4MG + GA + GB + GC + GC = 0 ⇔ GC = 4GM

(

)

Đáp án D. Câu 58. Ta có: NA + 2 NB = CB ⇔ NA + NB + NB = CN + NB 26

2 ⇔ NA + NC = − NB ⇔ 2 NI = − NB ⇒ BN = BI 3 Đáp án C. Câu 59. Ta có NC + ND − NA = AB + AD − AC ⇔ NC − NA + ND = AB + AD − AC ⇔ AC + ND = AC − AC ⇔ AC = DN ⇒ ACND là hình bình hành ⇒ C là trung điểm cạnh BN. Đáp án B. b Câu 60. a AM + bMB = 0 ⇔ aMA + b MA + AB = 0 ⇔ MA = − AB a+b Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB. Đáp án C. A' B c Câu 61. Lấy A ' sao cho = hay AA ' là đường phân giác. A ' C b Ta có: aIA + bIB + cIC = 0 ⇔ aIA + ( b + c ) IA ' = 0

(

)

(

Đáp án C

)

(

)

Gọi K là trung điểm BC ⇒ NB + NC = 2 NK Nên 2 NA + NB + NC = 0 ⇔ 2 NA + 2 NK = 0 ⇔ NA + NK = 0 ⇒ N là trung điểm AK

Câu 66. Đáp án D

IA b + c c BA = = = ac IA ' a BA ' b+c ⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC . Đáp án B. ⇔ I thuộc đoạn AA ' và

MA + 2 MB = CB ⇔ MA + MB + MB = CM + MC ⇔ MA + MB + MC = 0 ⇒ M là trọng tâm ∆ ABC

Câu 62.

Câu 67. Đáp án C 2 IA − 3IB = 3BC ⇔ 2 IA − 2 IB − IB = 3BC ⇔ 2 IA − IB = 2 BC + IB + BC ⇔ 2 BA = 2 BC + IC ⇔ 2 BA − 2 BC = IC ⇔ 2CA = IC ⇔ CI = −2CA

(

Câu 63.

)

Đáp án A 1 2MA + MB + 3MC = 2 MA + MB + MC + MC − MB = 6 MG + BC = 0 ⇒ GM = BC 6

(

Câu 68.

)

Đáp án B Ta có MA + MB + 4 MC = 0 ⇔ MA + MB + MC = −3MC ⇔ 3MG = −3MC ⇔ MG = − MC Hay M là trung điểm của GC

Đáp án D

Câu 69.

M là trung điểm AB nên AB = 2 AM , AC = 2 AN ⇔ 3 AB + 2 AC − 12 AK = 0 1 ⇔ 6 AM + 6 AN − 12 AK = 0 ⇔ AK = AM + AN ⇒ K là trung điểm của MN. 2

(

Câu 64.

Câu 70.

Đáp án D

)

Đáp án C

Đáp án A 1 Ta có AB + AC + AD = 4 AM ⇔ 4 AM = 2 AC ⇒ AM = AC ⇒ M ≡ O 2

Ta có M là trọng tâm thì MA + MB + MC = 0 So sánh với MA = α MB + β MC ⇒ α = −1; β = −1

Câu 71. Đáp án D CD = MA + 2MB − 3MC = MA + 2 MB + 2CM + CM = CA + 2CB = CA + CE

(

)

Vậy D là đỉnh của hình bình hành ACED.

Câu 72. MA − MB = BA ⇒ MA − MB − MC = AD ⇔ BA − MC = AD ⇔ CM = AD + AB = AC

Vậy C là trung điểm của AM

Câu 65. 27

Đáp án B 3 3 2 IA + 3IB = 0 ⇔ 5IA + 3IB − 3IA = 0 ⇔ 5 IA + 3 AB = 0 ⇔ AI = AB ⇒ k = 5 5 28

Câu 73.

Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện Ta có MA + MB + MC = 3MG ⇒ 3 MG = 6 ⇔ MG = 2

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm G bán kính là 2. Đáp án C. Câu 74. Ta có: MA + MB + MC = 3MG, MB + MC = 2MI ⇒ 2 3MG = 3 2 MI ⇔ MG = MI ⇒ Tập hợp điểm M là trung trực của GI.

Đáp án A. Ta có: MA + MB − MC = MD ⇔ MA + MB = MC + MD ⇒ 2 MI = 2 MJ ⇔ MI = MJ với I, J là trung điểm của AB, CD ⇒ Không có điểm M nào thỏa mãn. Đáp án D. Câu 76. Từ giả thiết OM = OA + OB ⇒ O, A, M, B theo thứ tự là các đỉnh của hình bình hành. Do AM = OB = R ⇒ Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A bán kính R. B. Đáp án Câu 77. Đáp án A MA − MB = MC ⇔ BA = MC Câu 75.

Gọi I là trung điểm AB ⇒ I là điểm cố định: MA + MB = 2MI ⇒ MM ' = 2 MI ⇒ I là trung điểm của MM ' Gọi O ' là điểm đối xứng của O qua điểm I thì O ' cố định và MOM ' O ' là hình bình hành ⇒ OM = OM ' = R ⇒ M ' nằm trên đường tròn cố định tâm O ' bán kính R.

Câu 81. Đáp án B

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm C bán kính AB.

Câu 78.

Gọi E là trung điểm của AB, I là trung điểm của EC k ⇒ MA + MB + 2MC = 3ME + 2 MC = 4MI ⇒ MI = BC 4 Do I, B, C cố định nên tập hợp điểm M là một đường thẳng đi qua I và song song với BC.

Đáp án A k MA + MB + MC + MD = 4MO = k ⇔ MO = 4 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính

Câu 79.

k 4

Câu 82. Đáp án C

Đáp án B

GT đã cho ⇔ MA + MB + MC + 3MA = 2 MA − 2MI ⇔ 3 MG + MA = 2 MA − MI (I là trung điểm AB)

(

)

1 ⇔ 6 MJ = 2 IA ⇔ MJ = IA (G là trọng tâm ∆ABC ) 3

Gọi I là trung điểm của AB thì MA + MB = 2 MC ⇔ 2MI = 2MC ⇔ Tập hợp điểm M là trung trực của IC

⇔ JM =

Câu 80.

1 AG (J là trung điểm của AG) 2

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R =

Đáp án D Câu 83.

AG 2

Đáp án A k MA + k MB = 2 MC ⇔ 2k .MI = 2 MC ⇔ MC = k MI (I là trung điểm AB) ⇒ M nằm trên đường thẳng CI.

Câu 84. 29

Đáp án C

Vì A, B, C cố định nên ta chọn điểm I thỏa mãn: 2 IA + 3IB + 4 IC = 0

3 AB + 4 AC ⇔ 2 IA + 3 IA + IB + 4 IA + IC = 0 ⇔ 9 IA = −3 AB − 4 AC ⇔ IA = − 9 ⇒ I duy nhất từ đó 2MA + 3MB + 4MC = 9MI + 2 IA + 3IB + 4 IC = 9MI và MA − MB = AB

(

) (

)

(

Câu 85.

)

AB Từ giả thiết ⇒ 9 MI = BA ⇔ MI = 9

) (

)

(

)

(

)

(

Đáp án D MA + 2 MB − MC 3 = MA + MA + MB − 3 MA + AC (với H là điểm thỏa mãn AH = AC ) 2 = 2 AB − 3 AC = 2 AB − 2 AH = 2 HB ⇒ MA + MB = k MA + 2 MB − 3MC ⇔ 2ME = 2k HB ⇔ ME = k HB ⇒ Đáp án D

(

⇔ 2 MA − MB + MA + MC = AB ⇔ 2 BA + 2 ME = AB Gọi I là điểm thỏa mãn BA = EI 1 ⇔ 2 EI + ME = AB ⇔ 2 MI = AB ⇔ MI = AB 2 AB Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính . 2 Đáp án C. Câu 90. Chọn điểm I sao cho 3IA + 2 IB − 2 IC = 0 ⇔ −3 AI + 2 AB − AI − 2 AC − AI = 0 2 ⇔ −3 AI + 2 AB − AC = 0 ⇔ 3 AI = 2CB ⇔ AI = CB 3 ⇒ 3MA + 2MB − 2MC = 3 MI + IA + 2 MI + IB − 2 MI + IC = 3MI 1 ⇒ 3MA + 2MB − 2MC = MB − MC ⇔ 3MI = CB ⇔ MI = CB 3 CB Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính . 3 Đáp án B. Câu 91. Từ giả thiết ⇔ 2 MA − MB = k MB + 3MC (*) Gọi I, K là các điểm sao cho 2IA − IB = 0; KB + KC = 0 Thì I, K là các điểm cố định: I ∈ AB : IB = 2 IA; K ∈ BC : KB = 3KC Từ (*) ⇔ 2 MI + IA − MI + IB = k MK + KB + 3MK + 3KC ⇔ MI = 4k MK

)

Câu 86. Đáp án B

(

) (

(

Gọi O, O ' lần lượt là trung điểm AD và BC, ta có: AB ' = AO + OO ' + O ' B và DC = DO + OO ' + O ' C ⇒ AB + DC = 2OO ' 1 Gọi I là trung điểm MN ⇒ AM + DN = 2OI ⇒ OI = k AB + k DC = kOO ' 2 Vậy tập hợp điểm I là đường thẳng OO '

(

)

(

) (

)

) (

)

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng. Đáp án C.

Câu 92.

Câu 87.

Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương Cách 1: 1 1 Ta có: AB = AK + KB = AK + KM + MB = AK − AB − BM (vì KM = AB ) 2 2 1 2 3 ⇔ AB + AB = AK − BM ⇔ AB = AK − BM ⇔ AB = AK − BM 2 2 3 Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho AB = m AK + nBM , với G = AK ∩ BM 3 3 Ta có AB = AG + GB, AK = AG, BM = BG 2 2 3 3 3   3  ⇒ AG + GB = mAG − nGB ⇔  m − 1 AG =  − n − 1 BG (*) 2 2 2   2  2  3 m=  2 m − 1 = 0  3 Do AG, BG không cùng phương ⇒ (*) ⇒  ⇔ − n − 1 = 0 n = − 2  2 3  2 ⇒ AB = AK − BM . 3 Đáp án A.

(

Đáp án B Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm ∆ABC và ∆DEF . ⇒ MA + MB + MC + MD + ME + MF = 3 MP + 3 MQ ≥ 3 ( MP + MQ ) ≥ 3PQ Dấu " = " xảy ra khi M thuộc đoạn PQ. Vậy tập hợp điểm M là đoạn thẳng PQ.

Câu 88. Đáp án A Từ giả thiết ⇔ 2 MA + MC = k MC − MB ⇔ 2MA + MC = k BC (*) Gọi I là điểm sao cho: 2IA + IC = 0 ⇒ IC = 2IA, I ∈ AC Từ (*): 2 MI + IA + MI + IC = k BC ⇔ 3MI = k BC

(

) (

)

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua I và song song với BC. Câu 89. Gọi E là trung điểm của AC ⇒ 3MA − 2MB + MC = MB − MA 31

(

)

Câu 93. 32

)

11 5 Theo hình vẽ AM = AB, AN = AC ⇒ Chọn đáp án 4 2 Đáp án D. Câu 94. Đáp án A

4 2   BA = − 3 a + 3 b  2 BA − BC = −2a Từ đó ta có hệ phương trình:  ⇔   BC = − 2 a + 4 b  BA − 2 BC = −2b  3 3

Câu 95.

Câu 100.

Đáp án C

Đáp án B

AB = AM + MB = 3GM + GB − GM = 2GM + GB

(

Câu 96.

)

4 2 = GB + GC + GB = 2GB + GC = − BN − CP 3 3

(

Đáp án C AB − k AC MB = k MC ⇔ AB − AM = k AC − AM ⇔ AM = 1− k

(

Câu 97.

)

Đáp án B

Câu 101.

)

(

Đáp án D nBM = mBC ⇔ n AM − AB = m AC − AM

1 NA = OA − ON = OA − OB 2

(

)

(

⇔ ( m + n ) AM = n AB + m AC ⇔ AM =

Câu 98. Đáp án D 1 1 5 3 DN = DA + AN = CB + AE = AB − AC + AB + AC = AB − AC 2 4 4 4

(

Câu 99.

Gọi M là trung điểm BC: 2 1 3 2 AG = AM = AB + AC 2 IC = −3IB ⇔ 2 AC − AI = −3 AB − AI ⇔ AI = AB + AC 3 3 5 5 5 2 Tương tự: ⇔ AJ = AB − AC 3 3  3 2  5 3  5 3    5 AB + 5 AC = AI  AB = 8 AI + 8 AJ 1  8 AI + 8 AJ Ta có hệ:  2 ⇔  25 9 ⇒ AG = 3  9  3 25  AB − AC = AJ  AC = AI − AJ AI − AJ   +  5  5 16 16 16 16   35 1 = AI − AJ 48 16

)

(

)

n m AB + AC m+n m+n

Câu 102. Đáp án A

5 3 Vậy p = , q = − 4 4

Đặt DM = xDB, EM = yFM ⇒ DM = xDA + xDC nên EM = DM − DE = xDA + xDC − mDA = ( x − m ) DA + xDC Ta có: EM = yFM ⇔ ( x − m ) DA + xDC = xyDA + y ( x − n ) DC

Đáp án D

BC = 2 BK = 2 CD = 2 LD = 2

m.n  m.n  x = m + n  x − m = xy Do DA và DC không cùng phương nên:  ⇔ DM = DB ⇔ x = y x − n m m+n ( ) y = −   n

( BA + AK ) = 2 BA + 2a ⇔ 2BA − BC = −2a ( LA + AD ) = 2BC − 2b ⇔ BA − 2BC = −2b Câu 103. 33

Để AI đi qua G thì AI , AG cùng phương ⇒ AI = k AG

Đáp án A

1 1 2 1 AD = AB + BD = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC 3 3 3 3

(

Câu 104.

)

5k 6   1− m =  m = 11 5 1  18 ⇔ ⇒ (1 − m ) AB + m AC = k . AB + k . AC ⇒  18 3 m = k  k = 18  3 11 

Câu 107. Đáp án B

Đáp án D

Từ giả thiết: MA + MB = MC ⇒ M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBM. Từ giả thiết: 2 NA + NB + NC = 0 ⇔ 2 NA + 2 NK = 0 N là trung điểm AK, với K là trung điểm BC. Ta có: 1 1 3 5 3 5 MN = MA + AN = BC + AK = AC − AB + AB + AC = − AB + AC ⇒ p = − , q = 2 4 4 4 4 4

(

Câu 105.

Câu 108.

1 Gọi E là trung điểm AC ⇒ AN = AE ⇒ MN //BE ⇒ G là trọng tâm ∆ABE 2 2 1 1 ⇒ AG = AD nên M, N, P thẳng hàng ⇒ P là trung điểm AG. Vậy AP = AG = AD 3 2 3 Đáp án B MA + 2 MC = 0 ⇔ BA − BM + 3 BC − BM = 0 ⇔ 4 BM = BA + 3BC (1)

)

(

)

Theo bài ra: AN + 2 NB + 3 NC = 0 ⇔ BA − BN − 2 BN + 3 BC − BN = 0 ⇔ 6 BN = BA + 3BC ( 2 )

Đáp án C

(

Câu 109.

Đáp án C

1 3 3 1 AP = AB; AN = AC , MB = 3MC ⇒ AM = AC − AB 2 4 2 2 Do đó 3 MP = AP − AM = AB − AC (1) 2 1 3 MN = AN − AM = AB − AC ( 2 ) 2 4 Từ (1), (2) ⇒ MP = 2 MN ⇒ M, N, P thẳng hàng.

Nhận xét: Đường thẳng đi qua 3 điểm trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường Ơ – le.

Câu 106. Đáp án A

)

3 Từ (1), (2) ⇒ 4 BM = 6 BN ⇔ BM = BN 2

Câu 110. Đáp án C

Ta có: 3 AG = AM + AN + AM 1 1 5 5 1 = AB − AB + AC + AB = AB + AC ⇒ AG = AB + AC 3 2 6 18 3 AI = AB + BI = AB + m AC = AB + m AC − AB = (1 − m ) AB + m AC

(

)

IQ + IN = 2IJ ⇔ IM + MQ + IP + PN = 2IJ ⇔ MQ + PN = 2IJ 36

⇔

1 1 1 AE + BD − BD = 2 IJ ⇔ AE = IJ 2 2 4

(

Suy ra x = 2k − 1 do đó ED CD = ( 2k − 1) a + (1 − k ) b, AB + GB = k AB ⇒ (1 − k ) AB = GB ⇒ =1 GB

)

Câu 111. Đáp án C 1 1 AI = AB ⇔ AC + CI = AC + CB 3 3 1 ⇔ CI = − 2 AC + BC (1) 3 AJ = 3 AC ⇔ AB + BJ = 3 AB + BC ⇔ BJ = 2 AB + BC = 2 AC + BC ( 2 ) 1 Từ (1) và (2) ⇒ CI = − BJ 3

(

Câu 112.

Câu 114.

)

Đáp án C OC = −OA; OD = −2OA Vì OM , ON cùng phương ⇒ ∃k sao cho k CN ON = kOM ⇒ ON = OA + OB Đặt = k, k > 0 2 ND −3 2k −6 −4k 3 Ta có: ON = .OA − OB ⇒ = ⇔k= 1+ k k +1 k ( k + 1) k ( k + 1) 2 1 Câu 115. Ta có AM + AN + AB = 3 AG mà AM = AB 3 1 1 1 AN = AC + AD = AC + AC − AB = − a + b 2 2 2 1 1 5 ⇒ 3 AG = AB − AB + AC + AB = AB + AC 3 2 6 5 1 ⇔ AG = a + b . 18 3 Đáp án C. Câu 116. Ta có: 2 IC = −3IB ⇔ 2 AC − AI = −3 AB − AI 3 2 ⇔ 5 AI = 3 AB + 2 AC ⇔ AI = AB + AC . 5 5 Ta lại có: 5 JB = 2 JC ⇔ 5 AB − AJ = 2 AC − AJ 5 2 ⇔ 3 AJ = 5 AB − 2 AC ⇔ AJ = AB − AC 3 3 Đáp án A. Câu 117. Với điểm O bất kì: OM = OA + AM = OA + k AB = OA + k OB − OA = (1 − k ) OA + kOB Tương tự ON = (1 − k ) OD + kOC ⇒ MN = ON − OM = (1 − k ) OD − OA + k OC − OB = (1 − k ) AD + k BC

(

Đáp án D

Đặt AI = xAN , CI = yCM x 3 x x 21x x Ta có: AI = x AB + BN = x AB + AC = AB + AC = AM + AC 4 4 4 8 4

(

)

Vì M, C, I thẳng hàng ⇒

IC 21 21x x 8 + =1⇔ x = . Tương tự ta chưa tìm được = 8 4 23 IM 2

Câu 113. Đáp án D

)

) (

)

(

)

(

)

) (

)

(

) (

)

Đáp án

b Ta đặt: CA = a, CB = b . Khi đó CM = CE = kCA = ka 2 Vì E nằm ngoài AC nên có số k sao cho: CE = kCA = k a với 0 < k < 1 . Khi đó CF = k .CB = kb . Điểm D nằm trên AM và EF nên có số x này: CD = xCA + (1 − x ) CM = yCE + (1 − y ) CF

( )

1− x Hay xa + b = kya + k (1 − y ) b 2 1− x Vì a, b không cùng phương nên x = ky và = k (1 − y ) 2 37

C. 1 Câu 118. Ta có: 2 BI = BA + BM = BA + BC ⇔ 4 BI = 2 BA + BC (1) 2 1 1 2 1 BK = BA + AK = BA + AC = BA + BC − BA = BA + BC 3 3 3 3 ⇔ 3BK = 2 BA + BC (2) 4 Từ (1) và (2) ⇔ BK = BI ⇔ B, I , K thẳng hàng. 3 B. Đáp án Câu 119. Ta có: A, K, D thẳng hàng ⇔ AD = n AK = n AI + IK (1) 1 3 1 2 AD = AB + AE = AB + AB + AC = AB + AC 2 2 2 3 3 9 3 = 3 AI + AJ = 3 AI + AI + IJ = AI + IJ 2 2 2 2

(

)

(

)

Câu 120.

Câu 121.

9 3 9 3 Mà IK = mIJ nên 2 AD = AI + IK ⇒ AD = AI + IK (2) 2 2m 4 4m 9 3 1 Từ (1) và (2) ⇒ = ⇔m= . 4 4m 3 Đáp án B. Ta có: BC + MA = 0 và AB − NA − 3 AC = 0 ⇒ BC + MA + AB − NA − 3 AC = 0 ⇔ AC + MN − 3 AC = 0 ⇔ MN = 2 AC Ta có: BC + MA = 0 ⇔ BC = AM ⇒ ABCM là hình bình hành hay M ∉ AC A. ⇒ MN / / AC ⇒ Chọn đáp án Đáp án A. + Ta có: 3MA + 4 MB = 0 ⇔ 3 MG + GA + 4 MG + GB = 0 ⇔ 3GA + 4GB = 7GM Tương tự: NB − 3 NC = 0 ⇔ NG + GB − 3 NG + GC = 0 ⇔ GB − 3GC − 2 NG = 0 ⇔ 3GA + 4GB = −2GN . Vậy 7GM = −2GN ⇔ 7GM + 2GN = 0 + Gọi E là trung điểm BC ⇒ 2 AC = AE + AN 3 3 1 ⇔ 2 AC = AG + AN ⇔ AC = AG + AN (1) 2 4 2 PA 1 5 = 4 ⇔ PC = − PA ⇒ AC = AP (2) PC 4 4 3 1 5 Từ (1) và (2) ⇔ AG + AN = AP 4 2 4 3 1 5 3 1 ⇔ AP + PG + AP + PN = AP ⇔ PG + PN = 0 ⇔ 3PG + 2 PN = 0 . 4 2 4 4 2 Đáp án A. 1 1 Gọi M là trung điểm ĐƯỢC. Ta có: MI = MA, MJ = MB 3 3 1 1 ⇒ MJ − MI = MB − MA ⇔ IJ = AB . 3 3 Đáp án A. Giả sử: ON = nBN ; OM = mCM 1 AO = AM + MO = AM − mCm = AM − m AM − AC = (1 − m ) . AB + mAC 3 3 Tương tự: AO = AN + NO = AN − nBN = (1 − n ) AC + n AB 4 Và AO chỉ biểu diễn duy nhất qua AB và AC 2 1 (1 − m ) = n m = ON 1 OM 2  3 3 ⇒ ⇔ ⇒ = ; = . 3 1 OB 9 OC 3  (1 − n ) = m n =  4  2 A. Đáp án Đặt AN = x AQ; CN = yCP Ta có: DN = DA + AN = DA + x AB + BQ

(

) (

Câu 122.

) (

(

Câu 123.

) (

)

(

Câu 124.

k   x = k 2 − k + 1  y = 1 − kx Từ (1), (2) ⇒  ⇔  x = 1 + ky − y  y = 1− k k 2 − k +1  B. Đáp án

)

(

BQ BQ = DA + xDC + x .BC = DA + xDC − x .DA BC BC BQ AM Vì MQ / / AB ⇒ = = k ⇒ DN = (1 − kx ) DA + x.DC (1) BC AC BP Mặt khác: DN = DC + CN = DC + yDA + y .BA BA BP CM CM − AM Vì: MP / / BC ⇒ = = = 1− k BA CA CA ⇒ DN = DC + yDA − y (1 − k ) DC = yDA + (1 − ky − y ) DC (2)

(

)

Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ

Câu 125. Vì BC − AC = BC + CA = BA Đáp án A. Câu 126. Ta có:

AC = BC 2 − AB 2 = 4 ⇒ AI = 2; BA + BC = 2 BI = 2 AB 2 + AI 2 = 2 13 .

C. Đáp án Câu 127. CB − AD + AC = CB + DA + AC = CB + DC = DB = BH 2 + DH 2 = 2a 5 Đáp án B. Câu 128. Dựng OA = a; OB = b

Dựng hình bình hành OACB ⇒ a + b = OC; a − b = BA ⇒ ∆OAB vuông tại B ⇒ IB =

OI = OB 2 + IB 2 =

AB 3 3 = 2 2

63 ⇒ OC = 63 ⇒ a + b + a − b = 63 + 3 3 . 2

Đáp án B. Câu 129. Biểu diễn vectơ v theo 2 vectơ OA, OB .

2 2 6073  11a   3a  Áp dụng Pitago ta có: v =  a.  +  = 28  4   7  Đáp án B. Câu 130. Đặt F1 = OA; F2 = OB; OC = OA + OB = F1 + F2

Ta có: ∆OAB là đều ⇒ OI =

Đáp án Câu 131. OB + OC (vì AB và Đáp án

60 3 , với I = AB ∩ OC ⇒ OC = 60 3 . 2

D. = OA + AB + OD + DC = AB + DC ⇒ AB + DC = 3a DC cùng hướng) A. 40

Câu 132. u = MO + OA − 2 MO + OB + 3 MO + OC − 2 MO + OD = OA − 2OB + 3OC − 2OD = −2OA ⇒ u = 2OA = AC = a 2 .

(

Đáp án

) (

)

AB − BC = AB − AB ' = BB ' = 2 BK = a 3

Câu 133. Đáp án C

Vì theo quy tắc 3 điểm BC + AB = AB + BC = AC

Câu 140. Đáp án A

Câu 134. Đáp án A

Gọi K là điểm đối xứng với G qua AC thì AK = GC ⇒ AB − GC Gọi O là giao của 2 đường chéo ⇒ AB + AD = AC = 2 AD = a 3 Câu 141.

Câu 135.

2a 3 = AB − AK = KB = 2 BG = 3 Đáp án A

Đáp án C

2 541 2  21a  Áp dụng Pitago: u =  a  + ( 2,5a ) = 4  4 

Câu 142. Đáp án A AC + BD = 2 AO + 2OD = 2 AD = 6

Câu 136.

BD a 2 OA − CB = OA + BC = OA + AD = OD = = 2 2

Câu 143. Đáp án A

Đáp án A

Câu 137.

a 3 = a 3 . M là trung điểm BC. AB + AC = 2 AM = 2. 2 Đáp án D Theo quy tắc 3 điểm độ dài vectơ tổng bao giờ cũng nhỏ hơn hoặc bằng tổng độ dài 2 vectơ thành phần.

Ta có: AC = a 2 và OA =

⇒ OM = Câu 144.

AC a 2 = 2 2

a . Gọi E là điểm sao cho OBEA là hình bình hành ⇒ OA + OB = OE = AB = a 2

Đáp án D

Câu 138. Đáp án A AC − CB − AC = AC + BC + CA = AA ' = 0 Câu 139.

Dựng hình bình hành ABMN ⇒ BA + BM = BN = BN

Đáp án C 41

Ta có: NC = AM =

Câu 145.

a 2 a 10 1 BC = ⇒ BN = BC 2 + NC 2 = 2 2 2

AB + AC = AD = 3 3 ⇒ A đúng. HA + HB = HE = AB = 3 ⇒ B đúng.

Đáp án B

3 MA H ∈ MB : MH = 2,5MB 4 3 Do đó: MA − 2,5MB = MK − MH = HK 4 Gọi K ∈ AM : MK =

Ta có: MK =

Câu 146.

a 127 3 3 3a 5a AM = , MH = ⇒ KH = MH 2 + MK 2 = 4 8 4 8

63 BA + BH = BI = ⇒ C đúng. 2 HA − HB = BA = 3 ⇒ D sai. Câu 149. Đáp án C

Đáp án A

Theo quy tắc hình bình hành: F1 + F2 = MA + MC = MB ∆AMB là tam giác đều ⇒ MB = 100 N u = 4 MO + OA − 3 MO + OB + MO + OC − 2 MO + OD = 3OA − OB

(

) (

)

Trên OA lấy A ' sao cho OA ' = 3OA ⇒ u = OA ' − OB ' ⇒ BA ' = OB 2 + OA2 = a 5

Câu 150. Đáp án C

Câu 147. Đáp án C

F1 + F2 = OB + OD = OC ⇒ F1 + F2 = OC = 2OI = 100 3 (vì ∆OBD đều) Câu 148. Đáp án D

Ta xem F là tổng của vectơ F1 , F2 lần lượt nằm trên 2 dường thẳng AC và AB và ta có: F1 = F = 10 N ; F2 = 10 2 và lực F2 theo hướng BA Câu 151. Dựng hình bình hành AGCE. Ta có MA + GC = MA + AE = ME Kẻ EF ⊥ BC , F ∈ BC ⇒ MA + GC = ME ≥ EF Do đó: MA + GC nhỏ nhất khi M ≡ F . Gọi P là trung điểm AC, Q là hình chiếu của B trên BC. Ta có BP =

∆BPQ ~ ∆BEF ⇒

BQ BP 3 4 = = ⇒ BF = BQ BF BE 4 3 44

3 BE 4

1 1 Mặt khác: BH = HC ⇒ PQ là đường trung bình của ∆AHC ⇒ HQ = HC 3 2 1 1 5 5 4 5 5 BQ = BH + HQ = HC + HC = HC = BC ⇒ BF = BQ = BC ⇒ x = . 3 2 6 8 3 6 6 Đáp án B. Câu 152. Gọi N là trung điểm của AB, Q là điểm đối xứng với A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN. 1 1 AN = AB, AQ = 2 AC ; AN + AQ = AP ⇔ AB + 2 AC = AP 2 2 Gọi L là hình chiếu của A trên PN. = CAB = 60° MN / / AC ⇒ ANL = MNB Xét tam giác vuông ANL có: sin ANL =

AL AN

a a 3 a 9a ⇒ AL = .sin 60° = ⇒ NL = AN .cos ANL = ⇒ PL = PN + NL = 2 4 4 4 a 21 2 2 Xét tam giác vuông APL có: AP = AL + PL = . 2

TOÁN 10

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Câu 3.

0H1-2

MỤC LỤC

Câu 4.

Phần A. Câu hỏi ................................................................................................................................................... 1 Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số bài toán................................................................................................................................................................. 1 Dạng 2. Tọa độ vectơ ........................................................................................................................................... 3

Câu 5.

Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán............................ 3 Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương .................................................................... 6

D. M là trung điểm của AB ⇔ OM = Câu 6.

Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ ............................................................. 11

Câu 7.

Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số bài toán............................................................................................................................................................... 13 Dạng 2. Tọa độ vectơ ......................................................................................................................................... 14

Câu 8.

Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau.............................................................. 15 Dạng 3. Tọa độ điểm .......................................................................................................................................... 17 Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng .......................................... 17 Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ..................................................................... 20 Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ ............................................................. 26

Phần A. Câu hỏi Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số bài toán Câu 1.

Câu 2.

Trên trục x ' Ox cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm thỏa mãn MA = kMB, k ≠ 1 . Khi đó tọa độ của điểm M là: ka − b kb − a a − kb kb + a A. B. C. D. k −1 k −1 k +1 k −1 Trên trục O; i cho ba điểm A, B, C. Nếu biết AB = 5, AC = 7 thì CB bằng:

( )

A. −2

B. 2

C. 4 1

D. 3

Câu 9.

D. 4

C. − 6

Trên trục x ' Ox cho tọa độ các điểm A, B lần lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua B là: a+b A. b − a B. C. 2a − b D. 2b − a 2 Trên trục O; i tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA + 2 MC = 0 , với A, C có tọa độ tương ứng

( )

là −1 và 3 5 A. x = 3

Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương .................................................................. 16

OA + OB 2

Trên trục x ' Ox , cho tọa độ của A, B lần lượt là −2;3 . Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn: OM 2 = MA.MB là: A. 6

Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ....................................................................... 8

Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán.......................... 14

Trên trục x ' Ox cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 3;5; −7;9 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. AB = 2 B. AC = −10 C. CD = −16 D. AB + AC = −8 Trên trục x ' Ox có vectơ đơn vị i . Mệnh đề nào sau đây sai? A. xA là tọa độ điểm A ⇔ OA = x A .i C. AC + CB = AB

Dạng 3. Tọa độ điểm ............................................................................................................................................ 6

Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .................................................................................................................... 13

( )

B. xB , xC là tọa độ của điểm B và C thì BC = xB − xC

Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau................................................................ 4

Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng ............................................ 6

Tên trục O; i cho hai điểm A, B lần lượt có tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn 2 MA − 3M B = 0 là: A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

B. x =

2 3

C. x =

2 5

D. x =

5 2

Trên trục O; i cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ

( )

lần lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề: I. e + f + g + h = a + b + c + d II. EG = EF + EH III. AE + CF = 0 Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I B. II và III C. I, II, III D. Chỉ III CA DA =− Câu 10. Cho 4 điểm A, B, C, D trên trục O; i thỏa mãn . Khi sso mệnh đề nào sau đây là CB DB đúng? 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 A. B. C. D. = + = + = + = + AC AB AD AB AC DA AB AC AD AD AB AC

( )

Câu 11. Trên trục ( ∆ ) cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. AB.CD + AC .DB + AD.BC = 0 B. AB.DB + AC .BC + AD.CD = 0 C. AB. AC + AD.BC + BC .CD = 0 D. BD.BC + AD. AC + CB.CA = 0 Câu 12. Trên trục O; i cho ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là −5; 2; 4 . Khi đó tọa độ điểm M thảo mãn 2 MA + 3MC + 4 MB = 0 là:

( )

10 3

10 9

5 3

5 4

A. 6 . Câu 24.

Câu 13. Trên trục x ' Ox cho tọa độ các điểm B, C lần lượt là m − 2 và m2 + 3m + 2 . Tìm m để đoạn thẳng BC có độ dài nhỏ nhất. A. m = 2 B. m = 1 C. m = −1 D. m = −2 Câu 14. Trên trục x ' Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AC, DB, AD, BC. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. AD + CB = 2 IJ B. AC + DB = 2 KI C. Trung điểm các đoạn IJ và KL trùng nhau D. AB + CD = 2 IK Câu 15. Trên trục x ' Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là 2;1; −2 . Khi đó tọa độ điểm M nguyên 1 1 1 dương thỏa mãn = + là: MA MB MC A. 0 B. 4 C. 2 D. 3 Câu 16. Trên trục x ' Ox cho 4 điểm A, B, C, 2

D. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

A. DA .BC + DB .CA + DC .AB + BC.CA. AB = 0 B. DA .BC + DB .CA + DC . AB = 0

Câu 29.

C. AB .BC + CD .DB + DB .CA = 0 D. DA.BC + DB.CA + CD. AB + BC . AB = 0

C. 2 .

B. 2 5 .

(Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A (1;3 ) và B ( 0;6 ) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB = ( 5; −3) . B. AB = (1; −3) . C. AB = ( 3; −5) . D. AB = ( −1;3) . Xác định tọa độ của vectơ c = a + 3b biết a = ( 2; −1) , b = ( 3;4 ) A. c = (11;11) B. c = (11; −13) C. c = (11;13) D. c = ( 7;13) Cho a = ( 2;1) , b = ( 3; 4 ) , c = ( −7; 2 ) . Tìm vectơ x sao cho x − 2a = b − 3c . A. x = ( 28; 2 ) B. x = (13;5) C. x = (16; 4 ) D. x = ( 28;0 ) Vectơ a = ( 5;0 ) biểu diễn dạng a = x.i + y. j được kết quả nào sau đây? A. a = 5i − j B. a = 5i C. a = i − 5 j D. a = −i + 5 j Xác định tọa độ vectơ c = 5a − 2b biết a = ( 3; −2 ) , b = (1; 4 ) A. c = ( 2; −11) B. c = ( −2;11) C. c = ( 2;11) D. c = (11; 2 ) Cho a = ( 3; −1) , b = ( 0; 4 ) , c = ( 5;3) . Tìm vectơ x sao cho x − a + 2b − 3c = 0 . A. (18; 0 )

B. ( −8;18 ) C. ( 8;18 ) D. ( 8; −18 ) Câu 30. Cho điểm A ( −2;3) và vectơ AM = 3i − 2 j .Vectơ nào trong hình là vectơ AM ?

Dạng 2. Tọa độ vectơ Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán Câu 17. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ O; i, j , tọa độ của véc tơ 2i + 3 j là:

(

)

A. ( 2;3 ) . Câu 18.

Câu 19.

B. ( 0;1) .

C. (1;0 ) .

D. ( 3; 2 ) .

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho vectơ u = 3i − 4 j .

Tọa độ của vectơ u là A. u = ( 3; −4) .

B. u = ( 3;4) .

C. u = ( −3; −4) .

1 Trong hệ tọa độ Oxy cho u = i − 5 j. Tọa độ của vecto u là 2 1  1  A. u =  ;5  . B. u =  ; −5  . C. u = ( −1;10 ) . 2  2 

D. u = ( −3;4 ) .

Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; − 1) , B ( 4;3) . Tọa độ của véctơ AB bằng A. AB = ( 8; − 3) . B. AB = ( −2; − 4 ) . C. AB = ( 2; 4 ) . D. AB = ( 6; 2 ) . Câu 22. Trong hệ trục toạ độ Oxy , toạ độ của vectơ a = 8 j − 3i bằng A. a = ( −3;8 ) . B. a = ( 3; − 8 ) . C. a = ( 8;3 ) . D. a = ( 8; − 3) . Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B ( −1;3) và C ( 3;1) . Độ dài vectơ BC bằng 3

B. V2

C. V3

D. V4

Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau D. u = (1; −10 ) .

Câu 20. Trong hệ trục t ọa độ Oxy , cho hai điểm M (1;1) , N ( 4; −1) . Tính độ dài véctơ MN . A. MN = 13 . B. MN = 5 . C. MN = 29 . D. MN = 3 . Câu 21.

A. V1

Câu 31. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ O; i, j , cho hai vectơ a = 2i − j và b = ( −4; 2 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a và b cùng hướng. B. a và b ngược hướng. C. a = ( −1; 2 ) . D. a = ( 2;1) .

(

 1  Câu 32. Cho A = ( 3; −2 ) , B = ( −5; 4 ) , C =  ;0  . Tìm x thỏa mãn AB = x AC . 3   A. x = 3 B. x = −3 C. x = 2 D. x = −4

Câu 33. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương? A. a = ( 2;3) ; b = ( −10; −15 ) B. u = ( 0;5 ) ; v = ( 0;8 ) 4

)

C. m = ( −2;1) ; n = ( −6;3)

D. c = ( 3; 4 ) ; d = ( 6;9 ) Câu 34. Cho A ( −1;1) , B (1;3 ) , C ( −2; 0 ) . Tìm x sao cho AB = xBC

2 A. x = 3 Câu 35.

2 B. x = − 3

3 C. x = 2

Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương

3 D. x = − 2

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , a = (5; 2) , b = (10; 6 − 2 x) . Tìm x để a; b cùng phương? A. 1. B. −1. C. 2. D. −2.

Câu 36. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương? A. a = ( 2;3) , b = ( 6;9 ) B. u = ( 0;5 ) , v = ( 0; −1) C. m = ( −2;1) , b = (1;2 ) D. c = ( 3; 4 ) , d = ( −6; −8) Câu 37. Cho u = m2 + 3;2m , v = 5m − 3; m2 . Vectơ u = v khi và chỉ khi m thuộc tập hợp:

(

)

(

B. {0; 2} C. {0; 2;3} D. {3} Câu 38. Cho 2 vectơ u = ( 2m − 1) i + ( 3 − m ) j và v = 2i + 3 j . Tìm m để hai vectơ cùng phương.

5 11

B. m =

11 5

C. m =

9 8

D. m =

8 9

Câu 39. Trong mặt phẳng Oxy, cho A ( m − 1; 2 ) ; B ( 2;5 − 2m ) ; C ( m − 3; 4 ) . Tìm m để A, B, C thẳng hàng. A. m = 3 B. m = 2 C. m = −2 D. m = 1 Câu 40. Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm A ( 3; −2 ) , B ( 7;1) , C ( 0;1) , D ( −8; −5 ) . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AB, CD đối nhau B. AB, CD ngược hướng C. AB, CD cùng hướng D. A, B, C, D thẳng hàng Câu 41. Cho a = ( 4; −m ) , v = ( 2m + 6;1) . Tập giá trị của m để hai vectơ a và b cùng phương là: A. {−1;1}

B. {−1; 2}

C. {−2; −1}

D. {−2;1}

Câu 42. Cho 4 điểm A (1; −2 ) , B ( 0;3) , C ( −3; 4 ) , D ( −1;8 ) . Ba điểm nào trong bốn điểm dã cho thẳng hàng? A. A, B, C B. B, C, D C. A, B, D D. A, C, D Câu 43. Cho 2 vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương? 1 2 A. u = 2a + b và v = a − 3b B. u = a + 3b và v = 2a − 9b 2 3 3 3 3 1 1 C. u = a + 3b và v = 2a − b D. u = 2a − b và v = − a − b 5 5 2 3 4 Câu 44.

Câu 47.

m = −2 .

B. 5 .

C. −

12 . 5

D. −5 .

Trong mặt phẳng Oxy ;cho các véc tơ a = ( 2; −1) ; b = ( 0; 4 ) và c = ( 3;3) . Gọi m và n là hai số thực sao cho c = ma − nb . Tính giá trị biểu thức P = m 2 + n 2 . 225 100 97 193 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 64 81 64 64 Câu 49. Cho a = ( 2; 1) , b = ( −3; 4 ) , c = ( −4; 9 ) . Hai số thực m , n thỏa mãn ma + nb = c . Tính m2 + n2 ? A. 5 .

B. 3 . C. 4 . D. 1. Câu 50. Trong mặt phẳng Oxy, cho a = ( 2;1) ; b = ( 3; 4 ) ; c ( 7; 2 ) . Tìm m, n để c = ma + nb .

22 3 1 3 22 3 22 3 ,n = − B. m = , n = − C. m = , n = − D. m = , n = 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 51. Cho các vectơ a = ( 4; −2 ) , b = ( −1; −1) , c = ( 2;5 ) Phân tích vectơ a và c ta được: 1 1 1 1 1 1 1 A. b = − a − c B. b = a − c C. b = − a − 4c D. b = − a + c 8 4 8 4 8 8 4 Câu 52. Cho vectơ a = ( 2;1) , b = ( 3; 4 ) , c = ( 7; 2 ) . Khi đó c = ma + nc . Tính tổng m + n bằng: A. m = −

A. 5

B. 3,8

C. − 5

D. −3,8

Câu 53. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm A (1; −2 ) , B ( 0;3) , C ( −3; 4 ) , D ( −1;8 ) . Phân tích CD qua AB và AC . Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 A. CD = 2 AB − 2 AC B. CD = 2 AB − AC C. CD = 2 AB − AC D. CD = 2 AB − AC 2

Dạng 3. Tọa độ điểm Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng Câu 54.

m= 2. m = 1. m = 3.

12 . 5

Câu 48.

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A ( m − 1; 2 ) , B ( 2;5 − 2m ) và C ( m − 3;4 ) . Tìm giá trị m để A, B, C thẳng hàng. A. B. C. D.

Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( 4; 2 ) , B ( −2;1) , C ( 0;3) , M ( −3;7 ) . Giả sử AM = x. AB + y. AC ( x, y ∈ ℝ ) . Khi đó x + y bằng A.

)

A. {2}

A. m =

Câu 45. Vectơ a = ( 2; −1) biểu diễn dưới dạng a = xi + y j được kết quả nào sau đây? A. a = 2i + j B. a = i − 2 j C. a = −2i + j D. a = −i + 2 j Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a = (2;1), b = (3; 4), c = (7; 2) . Cho biết c = ma + nb khi đó. 22 3 22 3 1 −3 22 −3 A. m = ; n = . B. m = − ; n = − . C. m = ; n = . D. m = ; n = . 5 5 5 5 5 5 5 5

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M ( x; y ) . Tìm tọa độ của điểm M 1 đối xứng với M qua trục hoành? A. M1 ( x; y ) .

B. M 1 ( x; − y ) .

C. M 1 ( − x; y ) .

D. M1 ( − x; − y ) .

Câu 55.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho

Câu 66.

∆ABC biết A ( 2; − 3) , B ( 4;7 ) , C (1;5) . Tọa độ trọng tâm G của ∆ABC là A. ( 7;15 ) . Câu 56.

C. ( 7;9 ) .

7 D.  ;3  . 3 

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A ( 2; −3) , B ( 4;7 ) . Tìm tọa độ trung điểm I của AB . A. ( 3; 2 ) .

Câu 57.

7 B.  ;5  . 3 

B. ( 2;10 ) .

C. ( 6;4 ) .

D. ( 8; −21) .

Cho ∆ ABC có A ( 4;9 ) , B ( 3; 7 ) , C ( x − 1; y ) . Để G ( x; y + 6 ) là trọng tâm ∆ABC thì giá trị x và y là A. x = 3, y = 1. B. x = −3, y = −1. C. x = −3, y = 1. D. x = 3, y = −1.

Câu 58. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 2; −3 ) ; B ( 4; 7 ) . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. A. I ( 6; 4 ) Câu 59.

B. I ( 2;10 )

C. I ( 3; 2 )

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2;1) , B ( −1; −2 ) , C ( −3; 2 ) . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là  2 1  2 2 A. G  − ;  . B. G  − ;  .  3 3  3 3

Câu 60.

D. I ( 8; −21)

 1 1 C. G  − ;  .  3 3

 2 1 D. G  ;  .  3 3

Cho tam giác ABC . Biết trung điểm của các cạnh BC , CA , AB có tọa độ lần lượt là M (1; −1) , N ( 3; 2 ) , P ( 0; −5 ) . Khi đó tọa độ của điểm A là:

A. ( 2; −2 ) .

 4  C. G  − ;1 .  3 

4  D. G  ; −1 . 3 

B. D (12;11)

C. D ( 8; −11)

D. D ( −8; −11)

Câu 62. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ∆ ABC có A ( 3;5 ) , B (1; 2 ) , C ( 5; 2 ) . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. A. G ( −3; 4 ) B. G ( 4; 0 ) C. G ( 2;3) D. G ( 3;3) Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A ( 3;-5 ) ,B ( -3;3 ) ,C ( -1;-2 ) ,D ( 5;-10 ) . Hỏi

1  G  ;-3  là trọng tâm của tam giác nào dưới đây? 3  A. ABC . B. BCD . C. ACD .

D. ABD .

Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D ( 3; 4 ) , E ( 6;1) , F ( 7;3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA .Tính tổng tung độ ba đỉnh của tam giác ABC . 16 8 A. . B. . C. 8 . D. 16 . 3 3 Câu 65. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ∆ABC có M ( 2;3) , N ( 0; 4 ) , P ( −1; 6 ) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ đỉnh A. A. A (1;5 ) B. A ( −3; 7 ) C. A ( −2; −7 ) D. A (1; −10 )

)

5;0 .

(

)

D. 2; 2 .

Câu 69. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M ( 2; 0 ) ; N ( 2; 2 ) ; P ( −1;3 ) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ∆ ABC .Tọa độ điểm B là: A. B (1;1) B. B ( −1; −1) C. B ( −1;1) D. B (1; −1) Câu 70.

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác MNP có M (1; − 1) , N ( 5; − 3) và P là điểm thuộc trục Oy , trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox . Tọa độ điểm P là

A. ( 2; 4 ) .

B. ( 0; 4 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 2; 0 ) .

Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 71.

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A ( −1;1) ,B (1; 3) ,C ( 5; 2 ) . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. A. ( 3; 0 ) . B. ( 5; 0 ) . C. ( 7; 0 ) . D. ( 5; −2 ) .

Câu 72.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A ( −2;3) , B ( 0;4) , C ( 5; −4 ) . Tọa độ đỉnh D là A. 3; 2 . B. ( 3;7) . C. 7; 2 . D. ( 3; −5) .

Câu 61. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( −4;1) ; B ( 2; 4 ) ; C ( 2; −2 ) . Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng

tâm ∆ABD A. D ( 8;11)

(

Câu 68. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M ( 3; −4 ) . Gọi M 1 , M 2 làn lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy. Khẳng định nào đúng? A. OM 1 = −3 B. OM 2 = 4 C. OM 1 − OM 2 = ( −3; 4 ) D. OM 1 + OM 2 = ( 3; −4 )

C ( −3;1) . Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là 2  B. G  ; −1 . 3 

Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆MNP có M (1; −1) ; N ( 5; −3 ) và P thuộc trục Oy. Trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là: A. P ( 0; 4 ) B. P ( 2; 0 ) C. P ( 2; 4 ) D. P ( 0; 2 )

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh A ( −1; 2 ) , B ( 2;0 ) ,  2  A. G  − ;1 .  3 

B. ( 5;1) .

(

)

(

)

Câu 73.

Trong mặt phẳng Oxy ;cho hai điểm A (1; 4 ) , B ( −4; 2 ) . Tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm A, B với trục hoành là A. ( −9; 0 ) . B. ( 0;9 ) . C. ( 9;0 ) . D. ( 0; − 9 ) .

Câu 74.

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (1;1) , B ( 2; 4 ) . Tìm tọa độ điểm M để tứ giác OBMA là một hình bình hành. A. M ( −3; −3) . B. M (3; −3) . C. M (3;3) . D. M ( −3;3) .

Câu 75. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A ( 2;1) ; B ( 0; −3 ) ; C ( 3;1) . Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A. D ( 5;5 ) B. D ( 5; −2 ) C. D ( 5; −4 ) D. D ( −1; −4 ) Câu 76. (THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN NĂM 2018 – 2019) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác

ABC có A ( 2;1) , B ( −1;2 ) , C ( 3;0 ) . Tứ giác ABCE là hình bình hành khi tọa độ E là cặp số nào sau đây? 8

A. ( 6; −1)

B. ( 0;1)

C. (1; 6 )

A. M ( 2; 0 )

D. ( 6;1)

B. M ( 8; 0 )

C. M ( −4; 0 )

D. M ( 4; 0 )

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 2;5) , B (1;1) , C ( 3;3) , một điểm E thỏa mãn AE = 3 AB − 2 AC . Tọa độ của E là A. ( −3;3) . B. ( −3; −3) . C. ( 3; −3) . D. ( −2; −3) .

Câu 88. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ∆ ABC có A ( 3; 4 ) , B ( 2;1) , C ( −1; −2 ) . Tìm điểm M có tung độ

Câu 78. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( −3;1) , B (1; 4 ) , C ( 5;3) . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. A. D ( −1; 0 ) B. D (1; 0 ) C. D ( 0; −1) D. D ( 0;1)

Câu 89. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A ( −1; −1) , B ( 0;1) , C ( 3; 0 ) . Xác định tọa độ giao điểm I của

Câu 77.

Câu 79.

Câu 80.

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong mặt phẳng với hệ 2  tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G  ; 0  , biết M (1; −1) là trung điểm của cạnh 3  BC . Tọa độ đỉnh A là A. ( 2; 0 ) . B. ( −2; 0 ) . C. ( 0; −2 ) . D. ( 0; 2 ) . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A ( 2;3) , B ( −2;1) . Điểm C thuộc tia Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C có tọa độ là:

A. C ( 3;0 ) . Câu 81.

B. C ( −3;0 ) .

C. C ( −1;0 ) .

dương trên đường thẳng BC sao cho S ABC = 3S ABM .

A. M ( 2; 2 )

A (3; 3 ) , B (−1; − 9) , C (5; − 1) . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm tọa độ M sao cho 1 AM = − CI . 2 A. (5; 4 ) . B. (1; 2 ) . C. (− 6; − 1) . D. (2;1) .

Câu 90.

1 5 C. M  ; −  6 6

5 1 D. M  ; −  6 6

Câu 83. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 2; −3) , B ( 3; 4 ) . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng.  5   17  A. M (1; 0 ) B. M ( 4; 0 ) C. M  − ;0  D. M  ;0   3  7  Câu 84. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 2;1) , B (1; −3) . Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường chéo hình bình hành OABC.  1 2 5 1 1 3 A. I  − ;  B. I  ;  C. I ( 2; 6 ) D. I  ; −   3 3 2 2  2 2 Câu 85. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A (1;3 ) , B ( 4; 0 ) . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn MA + MB − 3MC = 0 A. M (1;18 )

B. M ( −1;18 )

C. M ( −18;1)

D. M (1; −18 )

Câu 86. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A ( 2;5 ) ; B (1;1) ; C ( 3;3) . Tìm điểm E thuộc mặt phẳng tọa độ thỏa mãn AE = 3 AB − 2 AC ? A. E ( 3; −3) B. E ( −3;3) C. E ( −3; −3 ) D. E ( −2; −3 )

Câu 91.

 11 13  B. I  ; −  .  14 14 

 11 13  C. I  − ;  .  14 14 

 11 13  D. I  − ; −  .  14 14 

Tam giác ABC có đỉnh A ( −1; 2 ) , trực tâm H ( 3;0 ) , trung điểm của BC là M ( 6;1) . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là A. 5 . B. 5 C. 3 . D. 4 .

Câu 92. Gọi điểm M là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành biết A (1; 2 ) và B ( 2;5 ) . Biết

m m trong đó tối giản và m, n ∈ ℕ . Tính m2 + n2 . n n B. 41 C. 25 D. 10

hoành độ điểm M có dạng

A. 34

Câu 93. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ∆ ABC biết A ( 2; 0 ) , B (1;1) , C ( −1; −2 ) . Các điểm C ', A ', B ' lần lượt

1 chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số là −1; ; −2 . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng? 2 A. A ' C ' = 2 B ' C ' B. A ' C ' = −3 B ' C ' C. A ' C = 3 B ' C ' D. A ' C = −4 B ' C ' Câu 94. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 4 điểm A ( 0;1) ; B (1;3) ; C ( 2; 7 ) ; D ( 0;3 ) . Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.  2  1  4  2  A.  − ;3  B.  ; −3  C.  ;13  D.  ;3   3  3  3  3  Câu 95. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 6;3) ; B ( −3; 6 ) ; C (1; −2 ) . Biết điểm E trên cạnh BC sao cho BE = 2 EC . D nằm trên đường thẳng AB và thuộc trục Ox. Tìm giao điểm của DE và AC.  7 1  3 −1  7 1 7 1 A. I  − ;  B. I  ;  C. I  ;  D. I  ;   2 2 2 2  4 2 2 2 Câu 96.

Hình vuông ABCD có A ( 2;1) , C ( 4;3) . Tọa độ của đỉnh B có thể là:

A. ( 2;3) .

B. (1; 4 ) .

C. ( −4; −1) . D. ( 3; 2 ) . Câu 97. Các điểm A′, B, N thẳng hàng ⇔ BA′, BN cùng phương ⇔ x = 0. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy cho tam giác ABC . Biết A ( 3; −1) , B ( −1; 2 ) và I (1; −1) là trọng tâm tam giác ABC . Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ ( a; b ) . Tính a + 3b .

A. a + 3b =

2 . 3

4 B. a + 3b = − . 3

C. a + 3b = 1 .

Câu 87. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 2;1) ; B ( 6; −1) . Tìm điểm M trên Ox sao cho A, B, M thẳng hàng. 9

 35  D. I  ;1  9 

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba đỉnh A ( −1; 2 ) , B ( 2;0 ) ,  11 13  A. I  ;  .  14 14 

A ( −3;3) , B (1; 4 ) , C ( 2; −5 ) . Tọa độ điểm M thỏa mãn 2 MA − BC = 4CM là:

 1 5 B. M  − ; −   6 6

D. M ( 3;3)

C ( −3;1) . Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC là

Câu 82. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ∆ ABC có

1 5 A. M  ;  6 6

C. M ( −3; 2 )

AD và BG với D thuộc BC và 2 BD = 5 DC , G là trọng tâm ∆ ABC 5  1   35  A. I  ;1 B. I  ;1 C. I  ; 2  9  9   9 

D. C ( 2;0 ) .

(THPT Nhữ Văn Lan - Hải Phòng - Học kỳ I - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho

B. M ( 3; 2 )

D. a + 3b = −2 .

Câu 98.

(Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC biết điểm A(2;4) , B(−3; − 6) , C (5; − 2) . Gọi D ( a; b ) là chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC . Khi đó tổng a + b bằng: 3 11 A. 21 . B. − . C. 11. D. − . 2 2

Câu 99.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( −1; −1) , B ( 3;1) và C ( 6; 2 ) . Xác định tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho M cách đều hai điểm A và B. B. M ( 0; −2 ) . C. M ( −1;1) . D. M ( 0; 2 ) . A. M ( 0;1) .

Câu 100. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A ( 3; 4 ) , B ( 2;1) , C ( −1; −2 ) . Cho

M ( x; y ) trên đoạn thẳng BC sao cho S ABC = 4S ABM . Khi đó x 2 − y 2 bằng 13 . A. 8

3 B. . 2

3 C. − . 2

5 D. . 2

 11 7  Câu 101. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho các điểm A ( 2; 3) , I  ;  và B là điểm đối  2 2 xứng với A qua I. Giả sử C là điểm có tọa độ ( 5; y ) . Giá trị của y để tam giác ABC là tam giác vuông tại C là A. y = 0 ; y = 7 . B. y = 0 ; y = −5 . C. y = −5 . D. y = 5 ; y = 7 . Câu 102. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho 3 điểm A ( 3; 2 ) , B ( 4;3) , C ( −1;3) . Điểm N nằm trên tia BC . Biết M ( x0 ; y0 ) là đỉnh thứ 4 của hình thoi ABNM . Khẳng định nào sau đây đúng? B. x0 ∈ (1, 56;1,57 ) . C. x0 ∈ (1,58;1,59 ) . A. x0 ∈ (1,55;1,56 ) .

D. x0 ∈ (1, 57;1,58 ) .

Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ

 6  A. M  − ;0   5 

A. M ( 2; 0 )

B. M ( 4; 0 )

C. M ( −4; 0 )

D. M ( −2; 0 )

Câu 104. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (1;3) và B ( 4, 7 ) . Tìm điểm M trên trục Oy sao cho

MA + MB là nhỏ nhất.  19   1 A. M  0;  B. M  0;   5  5

 3 C. M  0;   5

 11  D. M  0;   5

Câu 105. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M ( −1; 2 ) , N ( 3; 2 ) , P ( 4; −1) . Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Ox sao cho T = EM + EN + EP nhỏ nhất. A. E ( −4; 0 )

B. E ( −2; 0 )

C. E ( 4; 0 )

D. E ( 2; 0 )

Câu 106. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A ( −3;1) , B ( −5;5 ) . Tìm điểm M trên trục yOy ' sao cho MA − MB lớn nhất.

A. M ( 0; −5 )

B. M ( 0;5 )

C. M ( 0;3)

D. M ( 0; 6 )

Câu 107. Trong hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M tới các điểm A (1;1) và B ( 2; −4 ) là nhỏ nhất. 11

 5  C. M  − ;0   6 

6  D. M  ;0  5 

Câu 108. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho ba điểm A (1; −3 ) , B ( −2; 6 ) và C ( 4; −9 ) . Tìm điểm M trên trục Ox sao cho vectơ u = MA + MB + MC có độ dài nhỏ nhất. A. M ( 2; 0 ) . B. M ( 4; 0 ) . C. M ( 3;0 ) . D. M (1; 0 ) . a a  Câu 109. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1; 2 ) và B ( 3; 4 ) . Điểm P  ;0  (với là b b  phân số tối giản) trên trục hoành thỏa mãn tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A và B là nhỏ nhất. Tính S = a + b . A. S = −2 B. S = 8 . C. S = 7 . D. S = 4 .

Câu 110. Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A ( 4; 2 ) , B ( −2;1) . N ( x;0) thuộc trục hoành để

NA + NB nhỏ nhất. Giá trị x thuộc khoảng nào sau đây? A. ( −0, 2; 0, 2 ) . B. ( −0, 5; 0 ) . C. ( 0; 0,5 ) .

D. ( 0, 5;1) .

Câu 111. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A ( −3;5 ) , B ( −4; −3 ) , C (1;1) . Tìm tọa độ điểm K thuộc trục hoành sao cho KA + KB nhỏ nhất  29   29  A. K  ;0  . B. K  − ; 0  .  8   8 

 29  C. K  ;1 .  8 

 29  D. K  − ;1 .  8 

Câu 112. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các điểm A (1;3) , B ( −2;3) , C ( −2;1) . Điểm M (a ;b) thuộc trục Oy sao cho: MA + 2MB + 3MC nhỏ nhất, khi đó a + b bằng? A. 3 .

B. 2 .

C. 1.

D. 12 .

Câu 113. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; − 1) và B ( 3; 2 ) . Tìm M thuộc trục tung sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. A. M ( 0; −1) .

Câu 103. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A (1; 0 ) , B ( 0, 3 ) , C ( −3; −5 ) . Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho T = 2MA − 3MB + 2MC bé nhất.

5  B. M  ;0  6 

1  B. M  0; −  . 2 

 1 D. M  0;  .  2

C. M ( 0;1) .

Câu 114. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A ( −1; −2 ) , B ( 3; 2 ) , C ( 4; −1) . Biết điểm E ( a; b ) di động trên đường thẳng AB sao cho 2 EA + 3EB − EC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a 2 − b 2 . A. a 2 − b 2 = 2 .

C. a 2 − b 2 =

B. a 2 − b 2 = 1 .

2 . 3

D. a 2 − b 2 =

3 . 2

Câu 115. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M ( 3;1) . Giả sử A ( a;0 ) và B ( 0; b ) (với a , b là các số thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức T = a 2 + b 2 . A. T = 10 . B. T = 9 . C. T = 5 . D. T = 17 . Câu 116. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A ( −1; −2 ) , B ( 3; 2 ) , C ( 4; −1) . Biết điểm E ( a; b ) di động trên đường thẳng AB sao cho 2 EA + 3EB − EC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a 2 − b 2 . A. a 2 − b 2 = 2 .

C. a 2 − b 2 =

B. a 2 − b 2 = 1 .

2 . 3

D. a 2 − b 2 =

3 . 2

Câu 117. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho 3 điểm A ( 2;3) , B ( 3;4 ) và C ( 3; −1) . Tọa độ điểm M trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho biểu thức P = MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất 12

7 7 A.  ;  . 4 4

 7 7 C.  − ; −  .  4 4

B. (1;1) .

10 2 MA + 3MC + 4 MB = 0 ⇔ 2 ( −5 − xM ) + 3 ( 4 − xM ) + 4 ( 2 − xM ) = 0 ⇔ xM = 9

D. ( −1; −1) . Câu 13.

Đáp án C 2 BC = BC = m2 + 2m + 4 = ( m + 1) + 3 ≥ 3 ∀m ∈ ℝ . BC nhỏ nhất khi m + 1 = 0 ⇔ m = −1

Câu 14.

Đáp án D Ta có:

Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1.

Câu 2. Câu 3. Câu 4.

Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số bài toán Gọi x là độ của điểm M. kb − a Ta có: MA = k MB ⇔ a − x = k ( b − x ) ⇔ ( k − 1) x = kb − a ⇔ x = ,k ≠1 k −1 Đáp án B. Ta có: CB = AB − AC = 5 − 7 = −2 Đáp án A. Đáp án D 2MA − 3MB = 0 ⇔ 2MA = 3MB ⇔ 2 ( xA − xM ) = 3 ( xB − xM ) ⇔ xM = 13

xD − x A + xB − xC = xB + xD − ( x A + xC ) = 2 xJ − 2 xI = 2 ( xJ − xI ) Là tọa độ của 2IJ nên A đúng.

Tương tự:

( xC − x A ) + ( xB − xD ) = 2 ( xL − xK )

Gọi E, F là trung điểm của IJ và KL 1 1 1 ( xI + xJ ) = ( xA + xC ) + ( xD + xB ) 2 4 4 ⇒ xE = xF ⇒ C đúng. 1 1 1 xF = ( xK + xL ) = ( xA + xD ) + ( xC + xB ) 2 4 4 Vậy đáp án D sai.

xE =

Đáp án C Ta có: CD = xD − xC = 9 − ( −7 ) = 16

Câu 5.

Đáp án B Câu 15.

Ta có BC = xB − xC

Câu 6. Câu 7.

Đáp án D

Câu 8.

A ' đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AA ' ⇒ x A ' + x A = 2 xB ⇔ x A ' = 2b − a Từ MA + 2 MC = 0 ⇔ OA − OM + 2 OC − OM = 0 .

(

)

2 1 1 2 1 1 + = + ⇔ = + ⇔ ( a + b )( c + d ) = 2 ( ab + cd ) b−c c−a d −a AB AC AD Đáp án C Câu 11. Chọn gốc tọa độ O ≡ A ⇒ x A = 0, xB = AB, xC = AC , xD = AD

Từ đáp án A: VT = xB ( xD − xC ) + xC ( xB − xD ) + xD ( xC − xB ) = 0 Đáp án A

Đáp án B 13

1 1 1 = + ⇒ −x2 − 4x = 0 ⇒ x = 4 2 − x 1 − x −2 − x

Đáp án A Chọn D là gốc tọa độ và a, b, c lần lượt là tọa độ của A, B, Ta có: 2

DA .CB + DB .CA + DC 2 . AB + AB.CA. AB = 0

5 3

Đáp án A. Câu 9. + Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ⇒ I đúng. + Lấy E làm gốc trục thì xE = e = 0 ⇒ g = f + h ⇒ II đúng. 1 + AE + CE = AB + CB chỉ bằng 0 khi B là trung điểm của AB nên III sai. 2 Đáp án B Câu 10. Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa độ của A, B, C, D. Ta có: CA DA AC DA + =− ⇔ = ⇔ ( c − b )( b − d ) = ( b − c )( a − d ) CB DB CB DB ⇔ ac + bd + bc + ad = 2 ab + 2cd = ( a + b )( c + d ) = 2 ( ad + cb )

(

Câu 16.

)

Hay −1 − x + 2 ( 3 − x ) = 0 ⇔ 3x = 5 ⇔ x =

Câu 12.

Đáp án B Gọi tọa độ điểm M là x ⇒

Đáp án C Gọi M có tọa độ là x ⇒ x 2 = ( −2 − x )( 3 − x ) ⇒ x = −6

là tọa độ của 2 KL ⇒ B đúng.

= a ( c − b ) + b 2 ( c − a ) + c 2 ( b − a ) + ( c − b )( a − c )( b − a )

= a 2 c − a 2b + b 2 a − b 2 c + c 2b − c 2 a + c 2b − c 2 a + abc − c 2b − b 2 a + b2 c − a 2 c + c 2 a + a 2b − abc = 0

Dạng 2. Tọa độ vectơ Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán Câu 17. Chọn A Tọa độ của véc tơ 2i + 3 j là: ( 2;3) . Câu 18.

Chọn A u = 3i − 4 j ⇒ u = ( 3; −4) . Câu 19. Chọn B 1 1  Có u = i − 5 j ⇒ u =  ; −5  . 2 2  Câu 20. Chọn A 2 MN = ( 3; −2) ⇒ MN = 32 + ( −2) = 13 .

Câu 21.

Chọn C AB = ( xB − x A ; y B − y A ) ⇒ AB = ( 2; 4 ) .

Câu 22.

Chọn A Ta có a = 8 j − 3i = −3i + 8 j ⇒ a = ( −3;8 ) . 14

Câu 23.

Chọn B Tính độ dài vectơ BC . 2 BC = ( 4; − 2) ⇒ BC = BC = 42 + ( −2) = 20 = 2 5 . Vậy BC = 2 5 .

Đáp án C Câu 39.

Chọn D Ta có: AB = ( xB − xA ; yB − y A ) = ( −1;3) . Câu 25. c = a + 3b = ( 2; −1) + ( 9;12 ) = (11;11) Đáp án A x − 2a = b − 3c ⇔ x = 2a + b − 3c = ( 28;0 )

4 = k ( 2m + 6 )  m = −1 ⇒ a cùng phương b ⇔ a = kb ⇒  −m = k  m = −2

Đáp án D Câu 27. Đáp án B Câu 28. Đáp án D c = 3 ( 3; −2 ) + 2 (1; 4 ) = (11; 2 )

Câu 42.

Câu 29.

Đáp án A x − a + 2b − 3c = 0 ⇔ x = a − 2b + 3c = (18;0 )

Câu 30.

Đáp án D Ta có: V4 = 3i − 2 j

Câu 32.

Câu 33. Câu 34.

Câu 35.

Câu 36. Câu 37.

Đáp án D 2u = 4a − 3b, −12v = 4a − 3b ⇒ u = −6v Câu 44. Chọn B Ta có AB = ( 3 − m;3 − 2m ) , AC = ( −2; 2 )

3 − m = −2k Do A, B, C thẳng hàng nên tồn tại số thực k sao cho AB = k AC ⇔  ⇒ m = 2. 3 − 2m = 2k

Chọn B. Ta có a = 2i − j ⇒ a = ( 2; −1) ⇒ b = −2a ⇒ a và b ngược hướng.

Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương

 −8  AB = ( −8;6 ) ; AC =  ; 2  ⇒ AB = 3 AC .  3  Đáp án A 3 4 Ta có: ≠ ⇒ c và d không cùng phương. 6 9 Đáp án D Đáp án D Ta có: 2 2 AB = ( 2; 2 ) , BC = ( −3; −3) ⇒ AB = − BC ⇒ x = − 3 3 Chọn C 10 6 − 2 x Ta có: a; b cùng phương khi và chỉ khi: = ⇔ x = 1 . Chọn đáp án 5 2 Đáp án C Đáp án A

Để 2 vectơ cùng phương thì

Ta có: a = ( 2; −1) ⇔ a = 2i − j Đáp án A Câu 46. Chọn D Ta có ma + nb = (2m + 3n; m + 4n) . Câu 45.

2 m + 3 = 5m − 3 Theo bài ra u = v ⇔  ⇔m=2 2 2m = m

Câu 38.

Đáp án C Ta có: AB = ( −1;5 ) , DA = ( 2; −10 ) ⇒ DA = −2 AB ⇒ A, B, D thẳng hàng.

Câu 43.

Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau Câu 31.

3 − m 3 − 2m = ⇔ ( 3 − m )( 2m − 1) = ( 3 − 2m )( m − 5 ) ⇔ m = 2 m − 5 2m − 1

Đáp án B 1 Câu 40. AB = ( 4;3) , CD = ( −8; −6 ) ⇒ AB = − CD nên AB, CD ngược hướng 2 Đáp án B Câu 41. Đáp án C

Câu 24.

Câu 26.

A, B, C thẳng hàng ⇔

2m − 1 3 − m 9 = ⇔m= . 2 3 8 15

22  m = 5  2m + 3n = 7 Có c = ma + nb ⇔  . ⇔  m + 4n = 2  n = −3  5 Câu 47. Chọn A AM ( −7;5) , AB ( −6; −1) , AC ( −4;1) . Giả sử AM = x. AB + y. AC ( x, y ∈ ℝ ) .

13  x=− 6 x + 4 y = 7  10 Hệ phương trình  ⇔ .  x − y = −5  y = 37  10 Câu 48. Chọn A Ta có ma − nb = ( 2m; −m − 4n ) . 3   m = 2  2m = 3 Khi đó c = ma − nb ⇔  . ⇔  − m − 4n = 3  n = −9  8 16

Vậy P = m 2 + n 2 =

Câu 49.

Chọn A

225 . 64

Câu 58.

2m − 3n = −4 m = 1 ⇔  . Ta có: ma + nb = c ⇔  m n + 4 = 9  n = 2 22  m = 5  2m + 3n = 7 Câu 50. Ta có c = ma + nb ⇔  ⇔  m + 4n = 2 n = − 3  5 Đáp án C Câu 51. Đáp án A 1  m = − 8  −1 = 4m + 2n Giả sử b = ma + nc ⇔  ⇔  −1 = −2m + 5n m = − 1  4

Câu 52.

Đáp án B 7 = 2m + 3n  m = 4, 4 c = ma + nb ⇔  ⇔ ⇒ m + n = 3,8  2 = m + 4n  n = −0

Câu 53.

Đáp án B CD = ( 2; 4 ) , AB = ( −1;5 ) , AC = ( −4;6 ) , CD = x AB + y AC − x − 4 y = 2 x = 2 ⇔ ⇔ ⇒ CD = 2 AB − AC 5 x + 6 y = 4  y = −1

Câu 59.

 2 + 4 −3 + 7  ; Ta có I   = ( 3; 2 ) . 2   2 Đáp án C Chọn A  2 −1 − 3 1 − 2 + 2   2 1 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G  ;  ⇒ G− ; . 3   3  3 3

Câu 60.

Chọn A −1 + 2 − 3  2   x = x = − 3 Giả sử G ( x; y ) khi đó:  ⇔ 3.  y = 2 + 0 +1  y = 1  3  2  Suy ra: G  − ;1 .  3 

−4 + 2 + x  2= x = 8  3 Gọi D ( x; y ) . C là trọng tâm ∆ABD khi đó:  ⇒ ⇒ D ( 8; −11) 1 + 4 + y  y = −11  −2 =  3 Đáp án C Câu 62. Đáp án D

Câu 61.

 3 +1+ 5 5 + 2 + 2  Ta có G =  ;  = ( 3;3) 3  3  Câu 63. Lờigiải Chọn B

Dạng 3. Tọa độ điểm Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng Chọn B Điểm M 1 đối xứng với điểm M qua trục hoành có tọa độ là: M 1 ( x; − y ) . Câu 55. Chọn D x + xB + xC  7 x = A   G x = 7  3 Do G là trọng tâm ∆ABC nên  ⇔  G 3 ⇒ G  ;3  . + + y y y 3  B C y = A  yG = 3  G 3 Câu 56. Chọn A x A + xB   xI = 2 Áp dụng công thức: I là trung điểm của đoạn thẳng AB :   y = y A + yB  I 2 2+4   xI = 2 = 3 Do đó:  ⇒ I ( 3; 2 ) .  y = −3 + 7 = 2 I  2 Câu 57. Chọn D 3x = 4 + 3 + x − 1 x = 3 ⇔ Ta có :  . 3 y + 6 = 9 + 7 + y )  y = −1  ( Câu 54.

Ta thấy BC = ( 2; −5 ) , BD = ( 8; −13 ) nên chúng không cùng phương ⇒ B , C , D là 3 đỉnh của một tam giác.

 xB + xC + xD −3 − 1 + 5 1 = =  3 3 3 Mặt khác, ta lại có  y + y + y − − 3 2 10 B C D  = = −3  3 3 1  Vậy G  ; −3  là trọng tâm của tam giác BCD 3  Câu 64. Chọn C  y A + yB = 2 yD = 2.4 = 8  Ta có  y A + yC = 2 yF = 2.3 = 6 ⇒ 2 ( y A + yB + yC ) = 8 + 6 + 2 = 16  y + y = 2 y = 2.1 = 2 C E  B ⇒ y A + yB + yC = 8 . Chọn C. Câu 65.

Đáp án B  x + 1 = −2  x = −3 Gọi A ( x; y ) , ta có: PA = MN ⇔  ⇔ ⇒ A ( −3;7 ) y − 6 =1 y = 7

Câu 71. N

P G

Câu 66.

Chọn A Có tam giác ∆ABC và ∆MNP có cùng trọng tâm G .  4 4   1 1  Có G  ; −  , GM =  − ,  , gọi A ( x; y ) . 3 3  3 3 2 4 −x=− x = 2  3 3 Có AG = 2GM ⇔  . Vậy A ( 2; −2 ) . ⇔  y = −2 − 4 − y = 2  3 3 Câu 67.

Đáp án C

Câu 72.

Chọn D Gọi D ( x; y ) . Ta có: AB = ( 2;1) , DC = ( 5 − x; −4 − y ) 5 − x = 2 x = 3 ⇔ . Vậy D ( 3; −5) . ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔  −4 − y = 1  y = −5 Câu 73. Chọn A Gọi M ( m;0 ) là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành. Khi đó; A, B, M thẳng hàng. Ta có: AB = ( −5; − 2 ) , AM = ( m − 1; − 4 ) .

Ta có P thuộc Oy ⇒ ( 0; y ) , G thuộc trục Ox ⇒ G ( x; 0 )

 1+ 5 + 0 x= x = 2  3 Vì G là trọng tâm ∆MNP ⇒  ⇔ y − 1 − 3 + y = 4 0 =  3 Câu 68.

A, B, M thẳng hang ⇔

Câu 74.

m − 1 −4 = ⇔ m = −9 . −5 −2

Vậy M ( −9; 0 ) . Chọn C Gọi M ( x; y ) . Khi đó OB(2; 4), AM ( x − 1; y + 1)

 x −1 = 2 x = 3 ⇔ Tứ giác OBMA là hình bình hành khi và chỉ khi OB = AM ⇔  y + 1 = 4  y = 3 Vậy M (3;3)

Đáp án D

Ta có M 1 ( 3; 0 ) , M 2 ( 0; −4 ) ⇒ OM 1 = 3, OM 2 = −4, OM 1 + OM 2 = 2OI = ( 3; −4 ) , với I là trung điểm của M 1M 2 Câu 69. Ta có BPMN là hình bình hành nên

Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Chọn A Gọi D ( x, y ) . Ta có: AB = ( 2; 2 ) , DC = ( 5 − x; 2 − y ) . 5 − x = 2 x = 3 ⇔ . ABCD là hình bình hành nên AB = DC ⇔  y 2 − = 2  y = 0 Vậy D ( 3; 0 ) .

x − 2 = 3 x = 5 Gọi D ( x; y ) . Ta có: AD = BC ⇔  ⇔ ⇒ D ( 5;5)  y −1 = 4 y = 5 Đáp án A Câu 76. Chọn A

Câu 75.

 xB + xN = xP + xM  xB + 2 = ( −1) + 2  xB = −1 ⇔ ⇒  y y y y + = + N P M  yB = 1  B  yB + 2 = 3 + 0 Đáp án C Câu 70. Chọn B P ∈ Oy ⇒ P ( 0; y ) .

x − 2 = 4 x = 6 ⇔ y − 1 = − 2   y = −1

Tứ giác ABCE là hình bình hành ⇔ AE = BC ⇔ 

Câu 77.

Vậy E ( 6; −1) . Chọn B Ta có AB ( −1; −4 ) ; AC (1; −2 ) . Gọi E ( x; y ) .

 x − 2 = 3 ( −1) − 2.1  x = −3 AE = 3 AB − 2 AC ⇔  ⇒ E ( −3; −3) ⇔ y − 5 = 3 − 4 − 2 − 2 ( ) ( )  y = −3  Câu 78.

Gọi E ( x; y ) .

G ∈ Ox ⇒ G ( x; 0 ) .  1+ 5 + 0  x = x = 2 3 ⇔ Điểm G là trọng tâm của tam giác MNP ⇔  . 1 3 − + − + y y = 4 0 = ( ) ( )  3

Đáp án B 20

Câu 79.

5 − x = 4 x = 1 ⇔ AB = ( 4;3) , DC = ( 5 − x;3 − y ) với D ( x; y ) , AB = DC ⇔  ⇒ D (1; 0 ) 3 − y = 3  y = 0 Chọn B

Gọi E ( x; y ) ⇒ AE = ( x − 2; y − 5 ) , AB = ( −1; −4 ) , AC = (1; −2 )  x − 2 = −5  x = −3 AE = 3 AB − 2 AC ⇔  ⇔ ⇒ E ( −3; −3) y − 5 = − 8   y = −3 Đáp án C Câu 87. M ∈ Ox ⇒ M ( x;0 ) , AB = ( 4; −2 ) , AM = ( x − 2; −1) Câu 86.

Để A, B, M thẳng hàng ⇒

x−2 1 = ⇒x=4 4 2

Đáp án D Câu 88.  1  Gọi A ( xA ; y A ) . Ta tính được AM = (1 − x A ; −1 − y A ) , GM =  ; −1  . 3  1 − x A = 1  xA = 0 Ta có: AM = 3GM ⇔  . Vậy A ( 0; 2 ) . ⇔ −1 − y A = −3  y A = 2

 x = 1 (loại) - TH1: BC = 3BM ⇒  y = 0  x = 3 - TH2: BC = −3BM ⇒  (nhận) ⇒ M ( 3; 2 ) y = 2

Câu 80. Lời giải Chọn C Ta có : C ∈ Ox ⇒ C ( x;0 ) . Khi đó : AC = ( x − 2; − 3) ; BC = ( x + 2; − 1) . Tam giác ABC vuông tại C ⇒ AC ⊥ BC ⇔ AC.BC = 0 ⇔ x 2 − 4 + 3 = 0 ⇔ x = ±1 . Vậy C ( −1;0 ) hoặc C (1;0 ) . Câu 81.

Câu 82.

Đáp án B

Chọn A Giả sử M (x ; y ) . Ta có I (1; − 3),CI (− 4; − 2), AM = (x − 3; y − 3). x − 3 = 2 x = 5   1  ⇔ . Vậy M (5; 4). AM = − CI ⇔     − = y 3 1 2  y = 4  

Câu 89. Ta có AB = (1; 2 ) , AC = ( 4;1) ⇒ AB, AC không cùng phương.

15  x =  2 xD = 5 ( 3 − xD )  D 7  15 2  Ta có 2 BD = 5DC ⇔  ⇒ ⇒ D ;   7 7  2 ( yD − 1) = 5 ( − yD )  yD = 2  7

Đáp án C

1  x =  2 ( −3 − xM ) − ( 2 − 1) = 4 ( xM − 2 )  M 6 1 5 Ta có 2 MA − BC = 4CM ⇔  ⇔ ⇒ M  ;−  5 6 6  2 ( 3 − yM ) − ( 5 − 4 ) = 4 ( yM + 5 ) y = −  M 6 Câu 83.

Câu 84.

2  Trọng tâm G  ;0  . Gọi I ( x; y ) là giao điểm của AD và BG 3   22 9  AI = ( x + 1; y + 1) , AD =  ;  Ta có cùng  7 7 7 ( x + 1) 7 ( y + 1) ⇒ = ⇔ 9 x − 22 y − 13 = 0 22 9  1  Ta lại có BI = ( x; y − 1) , BG =  − ;0  cùng phương ⇒ tồn tại số k ∈ ℝ  3   35  BI = k BG ⇒ y = 1 ⇒ I  ;1  9 

Đáp án D M ∈ Ox ⇒ M ( x;0 ) , AB = (1;7 ) , AM = ( m − 2;3) Để A, B, M thẳng hàng ⇔

m−2 3 17 = ⇔m= 1 7 7

Đáp án D

1 3 I là trung điểm của OB = I  ; −  2 2 Câu 85.

Đáp án D Ta có

Gọi M ( x; y ) . Ta có: S ABC = 3S ABM ⇔ BC = 3BM ⇒ BC = ±3BM BM = ( x − 2; y − 1) ; BC = ( −3;3)

Đáp án D

(1 − xM ) + ( 4 − xM ) − 3 ( 2 − xM ) = 0 x = 1 MA + MB − 3MC = 0 ⇔  ⇔ M  yM = −18 3 − yM + ( 0 − yM ) − 3 ( −5 − yM ) = 0 21

Câu 90.

Chọn D

phương

Câu 92.

A N G

Đáp án D Vì M thuộc Ox nên M ( x; 0 ) ,A, B, M thẳng hàng nên AB cùng phương AM

x − 1 −2 1 Ta có AB = (1;3) , AM = ( x − 1; −2 ) , AB cùng phương AM ⇒ = ⇔x= 1 3 3

⇒ m = 1; n = 3 nên m2 + n 2 = 10 Câu 93.

Đáp án B Áp dụng công thức, điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k:

xA − kxB y − kyB 2  3 1 ; yM = A ⇒ Tọa độ các điểm: A ' ( 3; 4 ) , B ' 1; −  , C '  ;  1− k 1− k 3  2 2  3 7   1 7  Ta có: A ' C ' =  − ; −  ; B ' C ' =  ;  ⇒ A ' C ' = −3B ' C '  2 2 2 6 xM =

 IM . AB = 0 Giả sử I ( a; b ) khi đó:  ( *)  IN . AC = 0

Câu 94.

Đáp án D Gọi I ( x; y ) là giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.

3 1   M  ;1 , N  −2;  lần lượt là trung điểm AB , AC . 2 2  

x y −1 AI = ( x; y − 1) , AC = ( 2; 6 ) ⇒ = ⇔ 6 x − 2 y = −2 (1) 2 6 2 2  BI = ( x − 1; y − 3) , BD = ( −1;0 ) ⇒ y = 3 thế vào (1) ⇒ x = ⇒ I  ;3  3 3 

 1 3    Ta có: AB = ( 3; − 2 ) , AC = ( −2; − 1) , IM =  − a;1 − b  , IN =  −2 − a; − b  . 2 2     1  11  3  − a  − 2 (1 − b ) = 0  a = − 14  2  Do đó:  ⇔ .  −2 ( −2 − a ) − 1  3 − b  = 0 b = − 13     14 2 

Câu 95.

Đáp án D Ta có AB = ( −9;3) , AC = ( −5; −5 ) ⇒ AB, AC không cùng phương. D ∈ Ox ⇒ D ( x; 0 ) và D thuộc đường thẳng AB ⇒ A, B, D thẳng hàng

 11 13  Suy ra: I  − ; −  .  14 14  Câu 91. Chọn A

x − 6 −3 AD = ( x − 6; −3) ⇒ = ⇒ x = 15 ⇒ D (15;0 ) −9 3 Ta có: BE = 2 EC . Với BE = ( xE + 3; yE − 6 ) , 1  x=−  x + 3 = 2 (1 − x )   1 2 3 EC = (1 − xE ; −2 − yE )  ⇔ ⇒ E− ;   3 3  y − 6 = 2 ( −2 − y ) y = 2  3 Gọi I ( x; y )

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Kẻ đường kính AA ' của đường tròn khi đó ta có ABA ' = ACA ' = 90° hay A ' B ⊥ AB và A ' C ⊥ AC . Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ AC và CH ⊥ AB ⇒ BH A ' C và CH A ' B , do đó A ' BHC là hình bình hành. Mà điểm M là trung điểm của đường chéo BC nên nó cũng là trung điểm của A ' H . Từ đó suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHA ' nên:  xO = 4 4 = 2 ( 6 − xO ) ⇔ ⇔ O ( 4;2 ) . AH = 2OM ⇔   yO = 2 −2 = 2 (1 − yO )

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có độ dài bằng OA =

( −1 − 4 )2 + ( 2 − 2 )2

 46 2  3 ( x − 15) 3 y ⇒ DI = ( x − 15; y ) , DE =  − ;  cùng phương ⇒ = ⇔ x + 23 y − 15 = 0 (1) −46 2  3 3 x −6 y −3 = AI = ( x − 6; y − 3) , AC = ( −5; −5 ) cùng phương ⇒ ⇔ x − y − 3 = 0 ( 2) −5 −5 7 1 7 1 Từ (1) và (2) ta được: x = ; y = ⇒ I  ;  2 2 2 2 Câu 96. Chọn A

= 5. 24

Gọi B ( x; y ) . Khi đó AB ( x − 2; y − 1) , BC ( 4 − x;3 − y ) . 2 2 2 2  AB = BC  ( x − 2 ) + ( y − 1) = ( 4 − x ) + ( 3 − y ) (1) Để ABCD là hình vuông ⇔  ⇔  ( x − 2 )( 4 − x ) + ( y − 1)( 3 − y ) = 0 ( 2)  AB ⊥ BC

(1) ⇔ x2 − 4 x + 4 + y 2 − 2 y + 1 = x2 − 8x + 16 + y 2 − 6 y + 9 ⇔ 4x = −4 y + 20 ⇔ x = − y + 5 . Thế x = − y + 5 vào ( 2 ) ta có: ( − y + 5 − 2 )( 4 + y − 5) + ( y − 1)( 3 − y ) = 0  y =1⇒ x = 4 ⇔ ( − y + 3)( y − 1) + ( y − 1)( 3 − y ) = 0 ⇔ ( y − 1)( 6 − 2 y ) = 0 ⇔  y = 3 ⇒ x = 2 Vậy B ( 4;1) hoặc B ( 2;3) . Câu 97. Chọn A  3 −1+ x 1= x = 1  3 Gọi tọa độ điểm C ( x; y ) , ta có:  ⇔ ⇒ C (1; −4 ) . − 1 + 2 + y y = −4   −1 =  3 Ta có: BC = ( 2; −6 ) , AH = ( a − 3;b+ 1) , AB = ( −4;3) , CH = ( a − 1;b+ 4) . Do H là trực tâm tam giác ABC nên:

10  a=  AH ⊥ BC  AH .BC = 0  2a − 6b = 12  2 ( a − 3) − 6 ( b + 1) = 0  3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      .  −4a + 3b = −16  −4 ( a − 1) + 3 ( b + 4 ) = 0 CH . AB = 0 CH ⊥ AB b = − 8  9 Ta có: a + 3b =

Câu 98.

10  −8  2 + 3  = . 3  9  3

Câu 99.

Chọn D Gọi M ( 0; y ) . M cách đều A , B khi và chỉ khi AM = BM 2

Vậy tọa độ điểm M ( 0; 2 ) . Câu 100. Chọn B

3 5  1  3 3   x = 2 − 4 = 4 S ABC BC Có . =4⇔ = 4 ⇔ BM = BC =  − ; −  ⇒  3 1 4 S ABM BM  4 4  y = 1− =  4 4 3 ⇒ x2 − y 2 = . 2 Câu 101. Chọn A Tọa độ điểm B ( 9; 4 ) . Ta có: AB = ( 7;1) ⇒ AB 2 = 50; AC = ( 3; y − 3) ⇒ AC 2 = y 2 − 6 y + 18; BC = ( −4; y − 4 ) ⇒ BC 2 = y 2 − 8 y + 32 .

y = 0 tam giác ABC vuông tại C nên AC 2 + BC 2 = AB 2 ⇔ y 2 − 7 y = 0 ⇔  . y = 7 Câu 102. Chọn C

Theo giả thiết ta có: AM = ( x0 − 3; y0 − 2 ) , BC = ( −5;0 ) , AB = (1;1)

Chọn B

 x0 − 3 = −5k  x0 = −5k + 3 ⇔ AM cùng hướng với BC nên AM = k .BC ( k > 0 ) ⇔  (1)  y0 − 2 = 0  y0 = 2 AM = AB ⇔

( x0 − 3)

+ ( y0 − 2 ) = 2 ( 2 )

Từ (1) và ( 2 ) ta có: 25k 2 = 2 ⇔ k = ±

AB = ( −5; − 10 ) ⇒ AB = 5 5 , AC = ( 3; − 6 ) ⇒ AC = 3 5 DB AB 5 5 = = ⇔ DB = DC và DB ngược hướng với DC nên: DC AC 3 3 5 DB = − DC ⇔ 3DB + 5 DC = 0 3 Ta có: DB = ( −3 − a; − 6 − b ) , DC = ( 5 − a; − 2 − b ) 3 −3 − a ) + 5 ( 5 − a ) = 0 Suy ra:  ( ⇔ 3 ( −6 − b ) + 5 ( −2 − b ) = 0

⇔ AM 2 = BM 2 ⇔ ( 0 + 1) + ( y + 1) = ( 0 − 3 ) + ( y − 1) ⇔ 4 y = 8 ⇔ y = 2.

a = 2 b = − 7  2

3 Vậy a + b = − . 2 25

Do k > 0 nên nhận k =

2 . 5

2 suy ra: x0 = − 2 + 3 ≈ 1,5858 nên x0 ∈ (1,58;1,59 ) . 5

Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ Câu 103. Gọi I ( x; y ) thỏa mãn: 2 IA − 3 IB + 2 IC = 0  2 (1 − x ) − 3 ( − x ) + 2 ( −3 − x ) = 0   x = 4 ⇒   2 ( − y ) − 3 ( 3 − y ) + 2 ( −5 − y ) = 0 ⇔  y = 19  3  26

Ta có T = 2 MI + IA − 3 MI − IB + 2 MI + IC = MI = MI

(

) (

)

Vì I cố định và M ∈ Ox ⇒ T nhỏ nhất khi M là hình chiếu cảu I trên trục Ox ⇒ M ( 4; 0 )

Đáp án B Câu 104. Ta có A, B nằm cùng phía với trục Oy

Ta có MA + MB ≥ AB . Dấu " = " xảy ra khi A, M, B thẳng hàng và MA, AB cùng phương x −1 0 −1 6 6  ⇒ M = ⇒ xM = ⇒ M  ;0  2 − 1 −4 − 1 5 5  Câu 108. * Cách 1: Ta có ba điểm A , B , C không thẳng hàng (do hai vectơ AB và BC không cùng phương). Gọi M ( m; 0 ) ∈ Ox và G là trọng tâm ∆ABC suy ra G (1; −2 ) . Khi đó u = MA + MB + MC = 3MG = 3 (1 − m; −2 ) 2 Do đó u = 3 MG = 3 (1 − m ) + 4 ≥ 3.2 = 6 . Suy ra u đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi và chỉ khi m = 1. Vậy M (1; 0 ) .

* Cách 2: Gọi M ( m; 0 ) ∈ Ox , ta có MA = (1 − m; −3) , MB = ( −2 − m; 6 ) , 2 u = MA + MB + MC = ( 3 − 3m; −6 ) ⇒ u = ( 3 − 3m ) + 36 ≥ 6 . Suy ra

Gọi A ' đối xứng với A qua Oy ⇒ A ' ( −1; 3) Giả sử: M ( 0; y ) . Ta có MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B ⇒ MA + MB nhỏ nhất khi A ' , M, B thẳn 1 y −3 19  19  ⇔ y = ⇒ M  0;  hàng A ' B = ( 5; 4 ) , A ' M = (1; y − 3) ⇒ = 5 4 5  5

Đáp án A Câu 105. Đáp án D

Gọi I ( x; y ) : IM + IN + IP = 0 ⇒ I là trọng tâm ∆MNP (vì M, N, P không thẳng hàng) ⇒ I ( 2;1) , T = EI + IM + EI + IN + EI + IP = 3EI = 3EI

⇒ T nhỏ nhất khi E là hình chiếu của I trên trục Ox ⇒ E ( 2; 0 )

MC = ( 4 − m; −9 ) . u đạt giá trị nhỏ nhất

bằng 6 khi và chỉ khi m = 1 . Câu 109. Chọn B Ta có A , B nằm cùng phía so với Ox . Điểm A′ (1; − 2 ) đối xứng với điểm A qua Ox .  b − a   3b − a  ; − 2  , PB =  ; 4 . Ta có: PA + PB = PA′ + PB, PA′ =   b   b  Do đó, để PA + PB nhỏ nhất thì ba điểm P, A, B thẳng hàng. ⇒ PA′ , PB cùng phương. b−a 1 a 5 ⇒ = − ⇒ 2b − 2a = −3b + a ⇒ = ⇒ a = 5, b = 3 . 3b − a 2 b 3 Câu 110. Chọn A A ( 4; 2 ) , B ( −2;1)

Điểm A, B nằm phía trên trục hoành vì có tung độ dương.

Câu 106. Đáp án A

Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua trục hoành ⇒ A′ ( 4; −2 ) . Tổng NA + NB = NA′ + NB ≥ A′B. Đẳng thức xảy ra khi 3 điểm A′, B, N thẳng hàng Giả sử N ( x;0 ) ta có: BA′ = ( 6; −3) , BN = ( x + 2; −1)

Câu 111. Chọn B Gọi K ( k ;0 ) ∈ Ox . Gọi M ( 0; y ) ∈ yOy '

Ta có A, B nằm về hai phía đối với Ox nên KA + KB nhỏ nhất khi 3 điểm A, K , B thẳng hàng. AB = ( −1; −8 ) , AK = ( x + 3; −5 )

Ta có xA .xB = 15 > 0 ⇒ A, B nằm cùng phía trên trục yOy '

A, B, C thẳng hàng ⇔

MA − MB ≤ AB , dấu " = " xảy ra khi A, M, B thẳng hàng

3 1− y MA = ( −3;1 − y ) , MB = ( −5;5 − y ) ⇒ = ⇒ y = −5 ⇒ M ( 0; −5 ) 5 5− y

Câu 107. Đáp án D Dễ thấy A, B nằm ở hai phía với trục hoành. 27

x + 3 −5 29 = ⇔ x=− −1 −8 8

 29  Vậy K  − ;0  .  8  Câu 112. Chọn B Gọi I ( x; y ) sao cho IA + 2 IB + 3IC = 0 , ta có

3  −9 − 6 x = 0  x = − IA + 2 IB + 3IC = ( −9 − 6 x;12 − 6 y ) ⇔  ⇔ 2 12 − 6 y = 0  y = 2  3  Vậy I  − ; 2  .  2  Ta có MA + 2 MB + 3MC = MI + IA + 2 MI + IB + 3 MI + IC = 6 MI

(

) (

B M

)

Với M (a ;b) thuộc trục tung nên M (0;b) MA + 2 MB + 3MC nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu của I lên trục Oy . Hay M ( 0; 2 ) . Vậy a + b = 2 . Cách 2. Ta có MA = (1 − a;3 − b ) , MB = ( −2 − a;3 − b ) , MC = ( −2 − a;1 − b ) . Suy ra MA + 2MB + 3MC = ( −9 − 6a;12 − 6 b ) nên ta có 2 2 MA + 2 MB + 3MC = ( 9 ) + (12 − 6b ) ≥ 9 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = 2 . Vậy a + b = 2 .

Câu 113. Lời giải Chọn D Giả sử điểm M ( 0; y ) ( y ∈ ℝ ) ( vì M thuộc trục tung) Ta có:

A3 x

Ta có: MA = ( a − 3; −1) , MB = ( −3; b − 1) Theo giả thiết tam giác vuông MAB MA.MB = 0 ⇔ −3 ( a − 3) − 1( b − 1) = 0 ⇔ b = 10 − 3a . Diện tích tam giác MAB là 1 1 2 2 2 2 S = MA.MB = ( a − 3) + ( −1) . ( −3) + ( b − 1) 2 2 1 3 3 2 2 2 = ( a − 3) + 1. 32 + ( 9 − 3a ) = ( a − 3) + 1 ≥ 2 2 2 3 min S = khi a = 3 , ta được b = 1 . Do vậy T = 32 + 12 = 10 . 2 Câu 116. Chọn D Gọi I ( x0 ; y0 ) là điểm thỏa mãn 2 IA + 3IB − IC = 0 . 2 IA + 3IB − IC = ( −2 − 2 x0 + 9 − 3x0 − 4 + x0 ; −4 − 2 y0 + 6 − 3 y0 + 1 + y0 )

tại

= ( 3 − 4 x0 ;3 − 4 y0 ) . 2

1  29 29 2 2  MA2 + MB 2 = 12 + ( y + 1) + 32 + ( y − 2 ) = 2 y 2 − 2 y + 15 = 2  y −  + , ∀y ∈ ℝ ≥ 2 2 2  29 1  1 Vậy MA2 + MB 2 nhỏ nhất bằng khi y = . Từ đó ta có toạ độ điểm M  0;  . 2 2  2 Câu 114. Chọn D AB = ( 4; 4 ) , AE = ( a + 1; b + 2 ) mà E di động trên đường thẳng AB nên A, B, E thẳng hàng

a +1 b + 2 tương đương với = ⇔ a = b + 1 . Vậy E ( b + 1; b ) 4 4 EA = ( −2 − b; −2 − b ) , EB = ( 2 − b; 2 − b ) , EC = ( 3 − b; −1 − b ) Đặt u = 2 EA + 3EB − EC ⇒ u = ( −1 − 4b;3 − 4b ) . 2 2 Có 2 EA + 3EB − EC = u = ( −1 − 4b ) + ( 3 − 4b )

 −1 − 4b = t − 2 2 2 Đặt 1 − 4b = t ⇒  khi đó u = ( t − 2 ) + ( t + 2 ) = 2t 2 + 8 ≥ 2 2 b t 3 − 4 = + 2  1 5 2 EA + 3EB − EC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi t = 0 ⇔ b = , tính được a = 4 4 2 2 3 5 1 2 2 Vậ y a − b =   −   = . 2 4 4 Câu 115. Chọn A 29

3  x = 3 − 4 x0 = 0  0 4 3 3 2 IA + 3IB − IC = 0 ⇔  ⇔ ⇒ I  ; . 4 4 3 − 4 y 0 = 0 y = 3  0 4 Ta có: 2 EA + 3EB − EC = 2 EI + IA + 3 EI + IB − EI − IC = 4 EI = 4EI . Do đó 2 EA + 3EB − EC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi E là hình chiếu của I trên đường

(

) (

)

thẳng AB . AB = ( 4; 4 ) nên phương trình của đường thẳng AB : x − y − 1 = 0 . Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng AB . 3 Phương trình của đường thẳng d : x + y − = 0 . 2 5 1 Dễ thấy E = d ∩ AB ⇒ E  ;  . 4 4 2

5 1 3 Vậy a 2 − b 2 =   −   = .  4 4 2 Câu 117. Chọn A M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất M ( x; x ) . 2 2 2 2 2 2 P = MA2 + MB 2 + MC 2 = ( 2 − x ) + ( 3 − x )  + ( 3 − x ) + ( 4 − x )  + ( 3 − x ) + ( −1 − x )       

nên

14  7 49  23    = 6 x 2 − 28 x + 48 = 6  x 2 − x + 8  = 6  x 2 − 2 x +  +  3 3 9  9     2   7  79 46 = 6  x −  +  ≥ 3  16  3  7 7  7 7 Dấu " = " khi  x −  = 0 ⇔ x = ⇒ M  ;  . 4 4  4 4

TOÁN 10

A. sin α < 0 .

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800

0H2-1

Câu 8.

PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1

Câu 9.

DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC .......................................................... 1 DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI ..................... 3 DẠNG 3. CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ........................................................................... 4 DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ................................................................................................ 5 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 6 DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC .......................................................... 6 DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI ..................... 7 DẠNG 3. CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ........................................................................... 9 DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC .............................................................................................. 10

C. tan α > 0 .

B. tan α = cot β .

C. cot β =

DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1.

Cho góc α ∈ ( 90°;180° ) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin α và cot α cùng dấu. C. Tích sin α .cos α mang dấu dương.

Câu 2. Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

B. Tích sin α .cot α mang dấu âm. D. sin α và tan α cùng dấu.

Cho α là góc tù. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau? A. tan α < 0. B. cot α > 0. C. sin α < 0.

Câu 11. Giá trị của tan 45° + cot135° bằng bao nhiêu? B. 0 . A. 2 . Câu 12. Giá trị của cos 30° + sin 60° bằng bao nhiêu? 3 3 . B. . A. 3 2

Câu 7.

D. 1.

3 . 3

D. 1

2 3

Tính giá trị của biểu thức P = sin 30° cos 60° + sin 60° cos 30° . A. P = 1 . B. P = 0 . C. P = 3 .

Câu 18. Đẳng thức nào sau đây sai? A. sin 45° + sin 45° = 2 . C. sin 60° + cos150° = 0 .

B. cos (180o + a ) = − cos a .

C. sin (180o + a ) = sin a .

D. cot (180o + a ) = − cot a .

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. sin (180° − α ) = − sin α . B. cos (180° − α ) = cos α D. cot (180° − α ) = − cot α

Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai? A. sin α = sin β . B. cos α = − cos β . C. tan α = − tan β . D. cot α = cot β .

D. P = − 3 . D. sin 60° = − cos120° .

B. sin 30° + cos 60° = 1 . D. sin120° + cos 30° = 0 .

Câu 19. Cho hai góc nhọn α và β ( α < β ) . Khẳng định nào sau đây là sai? A. cos α < cos β . B. sin α < sin β . C. tan α + tan β > 0 .

D. cot α > cot β .

Câu 20. Cho ∆ABC vuông tại A , góc B bằng 30 . Khẳng định nào sau đây là sai? 3 1 1 1 A. cos B = . B. sin C = . C. cos C = . D. sin B = 2 2 2 3 °

Câu 21. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. cos 75° > cos50° . B. sin 80° > sin 50° .

Cho góc α tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? 1

D. 2 .

Câu 15. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin 0° + cos 0° = 1. B. sin 90° + cos90° = 1 . C. sin180° + cos180° = −1 . D. sin 60° + cos 60° = 1.

C. sin ( 90º −α ) = − cosα .

C. tan (180° − α ) = tan α . Câu 6.

Câu 14. Giá trị của tan 30° + cot 30° bằng bao nhiêu? 1+ 3 4 A. . B. . 3 3

Câu 17. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. cos 60° = sin 30° . B. cos 60° = sin120° . C. cos30° = sin120° .

Đẳng thức nào sau đây đúng? A. tan (180o + a ) = − tan a .

D. cot150° = 3

D. cos145° > cos125° .

Cho 0º < α < 90º . Khẳng định nào sau đây đúng? A. cot ( 90º −α ) = − tan α . B. cos ( 90º −α ) = sin α . D. tan ( 90º −α ) = − cot α .

D. cos α = − sin β .

Câu 10. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. sin 90° < sin100° . B. cos 95° > cos100° . C. tan 85° < tan125° .

Câu 16. D. cos α > 0.

1 . cot α

Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? 3 3 1 A. sin150° = − . B. cos150° = . C. tan150° = − . 2 2 3

Câu 13. Giá trị của cos 60° + sin 30° bằng bao nhiêu? 3 A. . B. 3 . 2 PHẦN A. CÂU HỎI

D. cot α < 0 .

Hai góc nhọn α và β phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

A. sin α = cos β .

MỤC LỤC

B. cos α > 0 .

C. tan 45° < tan 60° .

D. cos30° = sin 60° .

DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI

Câu 22.

1 , với 90° < α < 180° . Tính cos α . 3 2 2 2 2 A. cos α = . . B. cos α = − . C. cos α = 3 3 3

2 cot α + 3 tan α Câu 32. Cho biết cos α = − . Tính giá trị của biểu thức E = ? 3 2cot α + tan α 19 19 25 A. − . B. . C. . 13 13 13

Cho sin α =

2 Câu 23. Cho biết cos α = − . Tính tan α ? 3 5 5 A. . B. − . 4 2 Câu 24. Cho biết tan α = A. cot α = 2 .

Câu 33. Cho biết cot α = 5 . Tính giá trị của E = 2cos2 α + 5sin α cos α + 1 ? 10 100 50 A. . B. . C. . 26 26 26

2 2 . D. cos α = − 3

Câu 34. Cho cotα = C.

5 . 2

D. −

5 . 2

A. −

1 . Tính cot α . 2 B. cot α = 2 .

C. cot α =

1 Câu 25. cos α bằng bao nhiêu nếu cot α = − ? 2 5 5 A. ± . B. . 5 2

C. −

Câu 26. Nếu tan α = 3 thì cos α bằng bao nhiêu? 1 10 A. − . B. . 3 10

1 . 4

D. cot α =

25 13

101 . 26

D. 13 .

2 cot α − 3 tan α Câu 35. Cho biết cos α = − . Giá trị của biểu thức E = bằng bao nhiêu? 3 2cot α − tan α 25 11 11 25 A. − . B. − . C. − . D. − . 3 13 3 13

1 . 2

1 Câu 36. Biết cos α = . Giá trị đúng của biểu thức P = sin 2 α + 3 cos 2 α là: 3 11 4 1 A. . B. . C. . 9 3 3

1 D. − . 3

5 . 5

15 . 13

1 3sin α + 4cos α . Giá trị của biểu thức A = là: 3 2sin α − 5cos α 15 B. −13 . C. . 13

D. −

10 . 9

DẠNG 3. CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

10 C. ± . 10

10 D. . 10

Câu 37. Đẳng thức nào sau đây là sai? 2 2 A. ( cos x + sin x ) + ( cos x − sin x ) = 2, ∀x .

5 Câu 27. Cho α là góc tù và sin α = . Giá trị của biểu thức 3sin α + 2cos α là 13 9 9 A. . B. 3 . C. − . D. −3 . 13 13

Câu 28. Biết cot α = −a , a > 0 . Tính cos α a 1 A. cos α = . B. cos α = . 1+ a2 1+ a2

C. cos α = −

1 1 + a2

. D. cos α = −

B. tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x, ∀x ≠ 90°

D. sin 6 x − cos6 x = 1 − 3sin 2 x cos2 x, ∀x

C. sin x + cos x = 1 − 2sin x cos x, ∀x .

Câu 38. Đẳng thức nào sau đây là sai? 1 − cos x sin x A. = x ≠ 0° , x ≠ 180° . sin x 1 + cos x 1 B. tan x + cot x = x ≠ 0° ,90° ,180° sin x cos x 1 − 2 x ≠ 0° ,90° ,180° C. tan 2 x + cot 2 x = sin 2 x cos2 x D. sin 2 2 x + cos2 2 x = 2 .

(

1 Câu 29. Cho cos x = . Tính biểu thức P = 3sin 2 x + 4cos 2 x 2 13 7 11 B. . C. . A. . 4 4 4

1 + a2

)

(

)

(

15 D. . 4

4 Câu 30. Cho α là góc tù và sin α = . Giá trị của biểu thức A = 2sin α − cos α bằng 5 −7 7 11 A. . B. . C. 1 . D. . 5 5 5 4 sin α + cos α Câu 31. Cho sin α = , với 90° ≤ α ≤ 180° . Tính giá trị của M = 5 cos 3 α 25 175 35 25 B. M = A. M = . C. M = . D. M = − . 27 27 27 27 3

)

Câu 39. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. sin 2 α + cos α 2 = 1 .

B. sin 2 α + cos 2

=1. 2 2 2 D. sin 2α + cos 2α = 1 .

C. sin α 2 + cos α 2 = 1 . Câu 40. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. sin 2 α + cos α 2 = 1 . Câu 41.

B. sin 2 α + cos 2

Rút gọn biểu thức sau A =

α 2

= 1 . C. sin α 2 + cos α 2 = 1 . D. sin 2 α + cos 2 α = 1 .

cot 2 x − cos 2 x sin x.cos x + cot 2 x cot x 4

A. A = 4 .

B. A = 2 .

C. A = 1 .

D. A = 3 .

Câu 42. Biểu thức ( cot a + tan a ) bằng A.

1 1 − . sin 2 α cos 2 α

B. cot 2 a + tan 2 a 2 .

1 1 + . sin 2 α cos 2 α

Câu 43. Rút gọn biểu thức sau A = ( tan x + cot x ) − ( tan x − cot x ) A. A = 4 .

B. A = 1 .

D. cot 2 a tan 2 a + 2 .

A. sin x .

D. A = 3

1 C. . cos x

B. cos x .

D. cos x .

sin x ta được 1 + cos x 1 1 B. . C. . cos x sin x

Câu 45. Đơn giản biểu thức E = cot x + A. sin x .

D. cos x .

B. 1 + cot 2 α =

1 ( sin α ≠ 0) . sin 2 α D. 1 + tan 2 α =

C. tan α .cot α = −1 ( sin α .cos α ≠ 0) . Câu 47. Rút gọn biểu thức P = A. P =

1 tan x . 2

1 − sin 2 x ta được 2 sin x.cos x 1 B. P = cot x . 2

D. −1 .

C. P = 2cot x .

Câu 50. Giá trị của biểu thức A = tan1° tan 2° tan 3°...tan 88° tan 89° là A. 0 . B. 2 . C. 3 . 2

Câu 51. Tổng sin 2 + sin 4 + sin 6 + ... + sin 84 + sin 86 + sin 88 bằng A. 21 . B. 23 . C. 22 . °

C. −3 .

D. 24 .

Câu 7. Câu 8.

D. 0 .

Câu 54. Biểu thức: f ( x ) = cos 4 x + cos 2 x sin 2 x + sin 2 x có giá trị bằng A. 1.

B. 2 .

C. −2 . 5

Câu 5. Câu 6.

Câu 53. Biểu thức f ( x ) = 3 ( sin 4 x + cos 4 x ) − 2 ( sin 6 x + cos 6 x ) có giá trị bằng: B. 2 .

Câu 4.

D. 1. °

Câu 52. Biết sin a + cos a = 2 . Hỏi giá trị của sin 4 a + cos 4 a bằng bao nhiêu? 3 1 A. . B. . C. −1 . D. 0 . 2 2 A. 1.

D. 1.

D. m = ±3 .

C. 1.

D. −1 .

D. 2 .

D. m 2 + 1 .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 2.

Cho tan α − cot α = 3. Tính giá trị của biểu thức sau: A = tan 2 α + cot 2 α . A. A = 12 . B. A = 11 . C. A = 13 . D. A = 5 .

Câu 60. Giá trị của biểu thức A = sin 2 51° + sin 2 55° + sin 2 39° + sin 2 35° là A. 3 . B. 4 . C. 1.

D. P = 2 tan x .

Câu 49.

Câu 59. Giá trị của E = sin 36 cos 6 sin126 cos84 là 1 3 A. . B. . 2 2 °

Câu 3.

Câu 58. Cho tan α + cot α = m . Tìm m để tan α + cot α = 7 . A. m = 9 . B. m = 3 . C. m = −3 .

Câu 1.

Biểu thức A = cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos160° + cos180° có giá trị bằng A. 1. B. −1. C. 2 . D. −2 .

1 ( cos α ≠ 0) . cos 2 α

Câu 48.

Câu 57. Giá trị của B = cos 73 + cos 87 + cos 3 + cos 17 là A. 2 . B. 2 . C. −2 .

DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 61. Cho sin x + cos x = m . Tính theo m giá trị của M = sin x.cos x . m2 − 1 m2 + 1 A. m 2 − 1 . B. . C. . 2 2

Câu 46. Khẳng định nào sau đây là sai? A. sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Câu 56. Giá trị của A = tan 5 .tan10 .tan15 ...tan 80 .tan 85 là A. 2 . B. 1. C. 0 . °

C. A = 2 .

D. 1.

Câu 44. Đơn giản biểu thức G = (1 − sin 2 x ) cot 2 x + 1 − cot 2 x . 2

Câu 55. Biểu thức tan 2 x sin 2 x − tan 2 x + sin 2 x có giá trị bằng A. −1. B. 0 . C. 2 .

DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Chọn B Với α ∈ ( 90°;180°) , ta có sin α > 0, cos α < 0 suy ra: tan α < 0, cot α < 0 Vậy sin α .cot α < 0 Chọn C tan α < 0. Chọn B Vì α và ( 90º −α ) là hai cung phụ nhau nên theo tính chất giá trị lượng giác của hai cung phụ nhau ta có đáp án B đúng. Chọn B. Lý thuyết “cung hơn kém 180° ” Chọn D. Mối liên hệ hai cung bù nhau. Chọn D. Mối liên hệ hai cung bù nhau. Chọn D. Chọn D. cos α = cos ( 90° − β ) = sin β .

Câu 9.

Chọn C. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 10. Chọn B. Câu 11. Chọn B. tan 45° + cot135° = 1 − 1 = 0 Câu 12. Chọn C.

D. −1 . 6

cos 30° + sin 60° = Câu 13.

Chọn

3 3 + = 3. 2 2

Suy ra cos α = ±

Câu 26.

Ta có 1 + tan 2 α =

Câu 27.

Câu 18. Câu 19. Câu 20.

Câu 21.

Chọn C Ta có cos 2 α = 1 − sin 2 α =

1 1 3 3 Ta có: P = sin 30° cos 60° + sin 60° cos 30° = . + . = 1. 2 2 2 2

Câu 17.

Chọn C

1 1 1 1 ⇔ cos 2 α = = = . cos 2 α 1 + tan 2 α 1 + 32 10 10 Suy ra cos α = ± . 10

1 1 Ta có cos 60 + sin 30 = + = 1 . 2 2 Câu 14. Chọn A. 3 4 3 tan 30° + cot 30° = + 3= . 3 3 Câu 15. Chọn D. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 16. Chọn A °

5 . 5

Chọn B. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Chọn D. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Chọn B. Biểu diễn lên đường tròn. Chọn A. 3 cos B = cos 30° = . 2 Chọn A. Lý thuyết.

12 13 5 9  12  Như vậy 3sin α + 2cos α = 3 ⋅ + 2  −  = − . 13 13  13  Câu 28. Chọn D Do cot α = − a , a > 0 nên 90 0 < α < 180 0 suy ra cos α < 0 . 1 −1 ⇔ tan α = Mặt khác, tan α = . cot α a Do α là góc tù nên cos α < 0 , từ đó cos α = −

Mà ta lại có 1 + tan 2 α = Khi đó cos α = −

DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI Câu 22. Chọn D 2

1 8 Ta có cos2 α = 1 − sin 2 α = 1 −   = .  3 9 2 2 . Mặt khác 90° < α < 180° nên cos α = − 3 Câu 23. Chọn D. Do cos α < 0 ⇒ tan α < 0 . 1 5 5 . Ta có: 1 + tan 2 α = ⇔ tan 2 α = ⇒ tan α = − cos 2 α 4 2 Câu 24. Chọn A. 1 tan α .cot α = 1 ⇒ cot x = = 2. tan x Câu 25. Chọn A 1 Ta có cot α = − ⇒ tan α = −2 . 2 1 1 1 1 1 + tan 2 α = ⇔ cos 2 α = = = . cos 2 α 1 + tan 2 α 1 + ( −2 )2 5

144 12 ⇒ cos α = ± 169 13

Câu 29.

a 1 + a2

1 1 a2 . ⇔ cos 2 α = ⇔ cos 2 α = 2 2 cos α 1 + tan α 1 + a2

và do a > 0 nên cos α = −

a 1 + a2

Chọn A 2

 1  13 Ta có P = 3sin 2 x + 4 cos 2 x = 3 sin 2 x + cos 2 x + cos 2 x = 3 +   = . 4 2 Câu 30. Chọn D

(

)

4 9 4 . ⇒ cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 −   = 5 25 5 −3 . Do α là góc tù nên cos α < 0 ⇒ cos α = 5 2.4 −3 11 A = 2sin α − cos α = − = . 5 5 5 Ta có: sin α =

Câu 31.

Chọn D 2

9 4 Ta có cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 −   = . 25 5

Mà 90° ≤ α ≤ 180° ⇒ cos α ≤ 0 ⇒ cos α = Từ đó M =

Câu 32.

Chọn

−3 . 5

sin α + cos α −25 . = cos 3 α 27 B.

3 2 −2 cot α + 3tan α 1 + 3tan 2 α 3 tan α + 1 − 2 cos2 α 3 − 2 cos 2 α 19 E= = = = = = . 2 2 2 1 2 cot α + tan α 2 + tan α 13 1 + 1 + tan α + 1 1 + cos α 2 cos α Chọn D. 1  1 101  2 E = sin α  2cot 2 α + 5cot α + 2  = 3cot 2 α + 5cot α + 1 = . sin α  1 + cot 2 α 26  Chọn D. 3sin α + 4sin α .cot α 3 + 4cot α A= = = 13 . 2sin α − 5sin α .cot α 2 − 5cot α Chọn C. 3 2 4− 2 cot α − 3tan α 1 − 3tan 2 α 4 − 3 tan α + 1 cos 2 α = 4cos α − 3 = − 11 . E= = = = 2 2 1 2 cot α − tan α 2 − tan α 3cos 2 α − 1 3 3 − 1 + tan α 3− cos 2 α Chọn A 1 11 cosα = ⇒ P = sin 2 α + 3cos 2α = ( sin 2 α + cos 2α ) + 2cos 2α = 1 + 2cos 2α = . 3 9

(

)

(

Câu 33.

)

(

Câu 34.

Câu 35.

( (

Câu 36.

)

) )

Câu 46.

Câu 47.

Câu 48.

+ ( cos80° + cos100° ) + cos180° = cos180° = −1 . Câu 49.

(

Câu 51.

)(

) (

)

Chọn C. S = sin 2 2° + sin 2 4° + sin 2 6° + ... + sin 2 84° + sin 2 86° + sin 2 88° = ( sin 2 2° + sin 2 88° ) + ( sin 2 4° + sin 2 86° ) + ... + ( sin 2 44° + sin 2 46° )

(

) (

)

(

)

= sin 2 2° + cos 2 2° + sin 2 4° + cos 2 4° + ... + sin 2 44° + cos 2 44° = 22 .

Câu 52.

(

) (

Chọn A. G =  1 − sin 2 x − 1 cot 2 x + 1 = − sin 2 x.cot 2 x + 1 = 1 − cos 2 x = sin 2 x . Câu 45. Chọn C. cos x (1 + cos x ) + sin x.sin x sin x cos x sin x E = cot x + = + = 1 + cos x sin x 1 + cos x sin x (1 + cos x )

1 . 2 2 1 1 sin 4 a + cos 4 a = ( sin 2 a + cos 2 a ) − 2sin 2 a cos 2 a = 1 − 2   = . 2 2 Câu 53. Chọn A. 4 4 2 2  sin x + cos x = 1 − 2sin x cos x . 6 6 2 2  sin x + cos x = 1 − 3sin x cos x .

)

1 1 + . sin 2 a cos 2 a

(

) (

)

f ( x ) = 3 1 − 2sin 2 x cos 2 x − 2 1 − 3sin 2 x cos 2 x = 1 .

Câu 54.

Chọn A. f ( x ) = cos 2 x ( cos 2 x + sin 2 x ) + sin 2 x = cos 2 x + sin 2 x = 1 .

Câu 55.

Chọn

)

B. 2

= cot 2 a + 2cot a. tan a + tan 2 a = cot 2 a + 1 + tan 2 a + 1 =

Câu 44.

Chọn

Ta có: sin a + cos a = 2 ⇒ 2 = ( sin a + cos a ) ⇒ sin a.cos a =

)

Chọn A. A = ( tan 2 x + 2 tan x.cot x + cot 2 x ) − ( tan 2 x − 2 tan x.cot x + cot 2 x ) = 4 .

(

⇔ tan 2 α + cot 2 α − 2 = 9 ⇔ tan 2 α + cot 2 α = 11 . Chọn D. A = tan1°.tan 89° . tan 2°.tan 88° ... tan 44°.tan 46° .tan 45° = 1 .

cos 2 x − cos2 x cot 2 x − cos 2 x sin x.cos x sin 2 x sin x.cos x A= + = + cos x cos 2 x cot 2 x cot x sin x sin 2 x cos 2 x 1 − sin 2 x = + sin 2 x = 1 − sin 2 x + sin 2 x = 1 . cos 2 x Câu 42. Chọn C.

Câu 43.

Chọn B 2

Câu 50.

Chọn D. sin 2 2 x + cos 2 2 x = 1. Câu 39. Chọn D. Công thức lượng giác cơ bản. Câu 40. Chọn D. Công thức lượng giác cơ bản. Câu 41. Chọn C

DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Chọn B Ta có cos α = − cos (180° − α ) ( 0° ≤ α ≤ 180°) nên suy ra cos α + cos (180° − α ) = 0 . Do đó: A = ( cos 20° + cos160 ° ) + ( cos 40° + cos140 ° ) + ( cos 60° + cos120 ° )

Câu 38.

( cot a + tan a )

)

tan α − cot α = 3 ⇔ ( tan α − cot α ) = 9 ⇔ tan 2 α + cot 2 α − 2 tan α .cot α = 9

DẠNG 3. CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 37. Chọn D. sin 6 x − cos 6 x = ( sin 2 x − cos 2 x )(1 − sin 2 x cos 2 x ) .

(

cos x (1 + cos x ) + 1 − cos 2 x

cos x (1 + cos x ) + (1 + cos x )(1 − cos x ) 1 . = = sin x (1 + cos x ) sin x (1 + cos x ) sin x Chọn C. sin x cos x tan α .cot α = . = 1. cos x sin x Chọn B. 1 − sin 2 x cos 2 x cos x 1 = = = cot x . P= 2 sin x.cos x 2 sin x.cos x 2 sin x 2

tan x sin x − tan 2 x + sin 2 x = tan 2 x ( sin 2 x − 1) + sin 2 x = 2

sin 2 x ( − cos 2 x ) + sin 2 x = 0 . cos 2 x

Câu 56.

Chọn B. A = tan 5°. tan 85° . tan10°.tan 80° ... tan 40° tan 50° .tan 45° = 1 .

Câu 57.

Chọn

(

)(

) (

)

B. 10

(

) (

)

B = cos 2 73° + cos 2 17° + cos 2 87° + cos 2 3° = cos 2 73° + sin 2 73° + cos 2 87 ° + sin 2 87° = 2 .

Câu 58.

Chọn D. 2 7 = tan 2 α + cot 2 α = ( tan α + cot α ) − 2 ⇒ m2 = 9 ⇔ m = ±3 . Câu 59. Chọn A.

(

) (

)

E = sin 36° cos 6° sin 90° + 36° cos 90° − 6° = sin 36° cos 6° − cos 36° sin 6° = sin 30° =

1 2

Câu 60.

Chọn D. A = sin 2 51° + sin 2 39° + sin 2 55° + sin 2 35° = sin 2 51° + cos 2 51° + sin 2 55° + cos 2 55° = 2 .

Câu 61.

Chọn B 2 sin x + cos x = m ⇒ ( sin x + cos x ) = m 2 ⇔ ( sin 2 x + cos 2 x ) + 2sin x.cos x = m 2

(

) (

⇔1 + 2sin x.cos x = m2 ⇔ sin x.cos x = Vậy M =

) (

m2 − 1 . 2

) (

)

DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC ........................................................ 13

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Tính AB. AD . a 2 A. AB. AD = 0 . B. AB. AD = a . C. AB. AD = . D. AB. AD = a 2 . 2 Câu 9. Cho hai véc tơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? 1 2 2 2 a + b − a−b . A. a.b = a . b .cos a, b . B. a.b = 2 1 2 2 2 2 2 2 a+b − a − b . C. a . b = a.b . D. a.b = 2 0 0 ˆ ˆ Câu 10. Cho tam giác ABC có A = 90 , B = 60 và AB = a . Khi đó AC.CB bằng 2 2 2 A. −2a . B. 2a . C. 3a . D. −3a 2 . Câu 11. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tính tích vô hướng AB.BC . a 2 − a 2 a 2 3 − a 2 3 A. AB.BC = . B. AB.BC = . C. AB.BC = . D. AB.BC = . 2 2 2 2

DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ ................................................................... 18

Câu 12.

TOÁN 10

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TO VÀ ỨNG DỤNG

0H2-2

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. TÍCH VÔ HƯỚNG........................................................................................................................................ 1 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ.......................................................................................................... 3 DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC .......................................................... 4 DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ ..................................................................... 6 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ............................................................................................................................. 7 DẠNG 1. TÍCH VÔ HƯỚNG........................................................................................................................................ 7 DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ........................................................................................................ 12

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. TÍCH VÔ HƯỚNG Câu 1. Câu 2.

Cho hai vectơ u = ( 2; −1) , v = ( −3; 4 ) . Tích u.v là A. 11. B. −10. C. 5. D. −2. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho a = ( 2;5 ) và b = ( −3;1) . Khi đó, giá trị của a.b bằng B. 1.

A. −5 .

Câu 3. Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

C. 13 . A ( 0;3) B ( 4; 0 ) C ( −2; −5) Cho ; ; . Tính AB.BC . A. 16 . B. 9 . C. −10 .

D. −9 .

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u = i + 3 j và v = 2 j − 2i . Tính u.v . A. u.v = −4 . B. u.v = 4 . C. u.v = 2 . D. u.v = −2 . Trong hệ tọa độ Oxy , cho u = i + 3 j ; v = ( 2; − 1) . Tính biểu thức tọa độ của u.v . A. u.v = −1 . B. u.v = 1 . C. u.v = ( 2; − 3) . D. u.v = 5 2 . Cho hai véctơ a và b đều khác véctơ 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a.b = a . b . B. a.b = a . b .cos a , b . C. a.b = a.b .cos a , b . D. a.b = a . b .sin a, b .

( )

Câu 7.

D. −1.

( ) ( )

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4a .Tích vô hướng của hai vectơ AB và AC là A. 8a 2 . B. 8a . C. 8 3a 2 . D. 8 3a .

Câu 8.

( (

( )

) )

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a; AC = a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vô hướng BA. AM 2 a a2 . A. B. a 2 . C. −a 2 . D. − . 2 2 Câu 13. Cho hình bình hành ABCD , với AB = 2 , AD = 1 , BAD = 60° . Tích vô hướng AB. AD bằng 1 1 A. −1 . B. 1. C. − . D. . 2 2 Câu 14. Cho hình bình hành ABCD , với AB = 2 , AD = 1 , BAD = 60° . Tích vô hướng BA.BC bằng 1 1 A. −1 . B. C. −1 . D. − . 2 2

Câu 15.

= 60° . Độ dài đường chéo AC bằng Cho hình bình hành ABCD , với AB = 2 , AD = 1 , BAD 7 A. 5 . B. 7 . C. 5 . D. . 2

= 60° . Độ dài đường chéo BD bằng Cho hình bình hành ABCD , với AB = 2 , AD = 1 , BAD A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 3 . Câu 17. Cho các véc tơ a , b và c thỏa mãn các điều kiện a = x, b = y và z = c và a + b + 3c = 0 . Tính A = a.b + b.c + c.a . 3x 2 − z 2 + y 2 3z 2 − x 2 − y 2 3 y 2 − x2 − z 2 3z 2 + x 2 + y 2 A. A = . B. A = . C. A = . D. A = . 2 2 2 2 Câu 18. Cho ∆ABC đều; AB = 6 và M là trung điểm của BC . Tích vô hướng AB.MA bằng A. −18 . B. 27 . C. 18 . D. −27 . Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại B , BC = a 3 . Tính AC.CB . Câu 16.

2 A. 3a .

−a2 3 . 2

C. 2

a2 3 . 2

2 D. −3a .

Câu 20.

A. Câu 21.

( )

Cho hai vectơ a và b . Biết a = 2, b = 3 và a, b = 300 . Tính a + b .

11 .

13 .

12 .

Câu 32.

0 A. 45 .

14 .

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; AB = AD = a, CD = 2a. Khi đó tích vô hướng AC .BD bằng 3a 2 −a 2 A. − a 2 . B. 0 . C. . D. . 2 2

Câu 22.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a; BC = 2a . Tính tích vô hướng BA.BC . a 2 a 2 3 A. BA.BC = a 2 . B. BA.BC = . C. BA.BC = 2a 2 . D. BA.BC = . 2 2 Câu 23. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 4 . Kết quả BA.BC bằng A. 16 . B. 0 . C. 4 2 . D. 4 .

= 30°, AC = 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính giá Câu 24. Cho tam giác ABC vuông tại A có B trị của biểu thức P = AM . BM . A. P = − 2 .

B. P = 2 3 .

C. P = 2 .

D. P = −2 3 .

= 60° . Điểm K thuộc AD thỏa mãn Câu 25. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2a, AD = 3a, BAD AK = − 2 DK . Tính tích vô hướng BK . AC A. 3a 2 . B. 6a 2 . C. 0 . D. a 2 . Câu 26. Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7 thì AB. AC bằng: A. -20. B. 40. C. 10. D. 20. Câu 27. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5 . Tích AB.BD B. AB.BD = −64 . C. AB.BD = −62 . D. AB.BD = 64 . A. AB.BD = 62 . DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ Câu 28.

0 B. α = 0 .

0 C. α = 45 .

Câu 31.

B. a; b = 00 .

C. a; b = 1800 .

( )

A. α = 600 .

1 C. cos α = . 3

B. α = 300 . 3

B. 90° . C. 180° . D. 60° . 1 Câu 35. Cho hai vectơ a ; b khác vectơ 0 thỏa mãn a.b = −a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a ; b là 2 A. 60° . B. 120° . C. 150° . D. 30° . Câu 36. Cho véc tơ a (1; −2 ) . Với giá trị nào của y thì véc tơ b = ( 3; y ) tạo với véctơ a một góc 45  y = −1 y =1 B.  . C.  . D. y = −1 . y = 9  y = −9 Câu 37. Cho hai vecto a , b sao cho a = 2 , b = 2 và hai véc tơ x = a + b , y = 2a − b vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b . B. 60° . C. 90° . D. 30° . A. 120° . DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC A. y = −9 .

Tìm x để hai vectơ a = ( x; 2) và b = (2; −3) có giá vuông góc với nhau. A. 3. B. 0. C. −3 . D. 2. Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ u = ( 3; 4 ) và v = ( −8;6 ) . Khẳng định nào đúng? A. u = −v . B. u vuông góc với v . C. u = v . D. u và v cùng phương.

Câu 38.

Câu 41.

Câu 42.

( )

3 D. cos α = . 8

thỏa

Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A (1;2 ) , B ( −3;1) . Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho

mãn:

Câu 43.

D. C ( 0; −6 ) .

B. ( 0; − 3) .

C. ( 3; 0 ) .

D. ( −3;0 ) .

Cho tam giác ABC có A ( −1;0 ) , B ( 4;0 ) , C ( 0; m ) , m ≠ 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G . A. m = − 6 . B. m = ±3 6 . C. m = 3 6 . D. m = ± 6 . Cho tam giác ABC có A (1; −1) , B ( 3; −3) , C ( 6;0) . Diện tích DABC là

A. 6. Câu 44.

C. C ( −6;0 ) .

Cho tam giác ABC có A ( −1; 2 ) , B ( 0;3) , C ( 5; − 2 ) . Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC . A. ( 0;3) .

D. a; b = 900 .

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hai véctơ a , b a = 4; b = 3; a − b = 4 . Gọi α là góc giữa hai véctơ a , b . Chọn phát biểu đúng.

A. 0° .

0 D. α = 180 .

của tam giác ABC gần với giá trị nào Tam giác ABC có A (1; 2 ) , B ( 0; 4 ) , C ( 3;1) . Góc BAC dưới đây? B. 36°52′ . C. 143°7′ . D. 53°7′ . A. 90° . Câu 30. Cho hai véctơ a , b khác véctơ-không thỏa mãn a.b = − a . b . Khi đó góc giữa hai vectơ a , b

( )

B. 900 .

tam giác ABC vuông tại A . A. C ( 6; 0 ) . B. C ( 0; 6 ) .

Câu 29.

bằng: A. a; b = 450 .

C. 60 . D. 30 . Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho a = ( 2;5) , b = ( 3; −7 ) . Tính góc α giữa hai véctơ a và b. A. α = 60° . B. α = 120° . C. α = 45° . D. α = 135° . Câu 34. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a = ( 2;1) và b = ( 3; −6 ) . Góc giữa hai vectơ a và b bằng

Câu 40.

Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc α giữa hai vectơ a và b biết a.b = − a . b . 0 A. α = 90 .

Cho hai vectơ a = ( 4;3 ) và b = (1; 7 ) . Số đo góc α giữa hai vectơ a và b bằng

B. 6 2 .

C. 12.

D. 9.

Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B ( −1;3) và C ( 3;1) . Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . 4

Câu 45.

A. A ( 0;0 ) hoặc A ( 2; − 4 ) .

B. A ( 0;0 ) hoặc A ( 2; 4 ) .

C. A ( 0;0 ) hoặc A ( −2; − 4 ) .

D. A ( 0;0 ) hoặc A ( −2;4) .

5 . 2

10 . 2

C. 5 .

Câu 47.

Câu 48.

C. H ( −2;5 ) .

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có A( −1;1), B(1;3) và trọng tâm là 2  G  −2;  . Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M . 3  A. M ( 0; −3) . B. M ( 0;3 ) . C. M ( 0; 4 ) . D. M ( 0; −4 ) . Trên hệ trục tọa độ xOy , cho tam giác ABC có A ( 4;3 ) , B ( 2;7 ) , C ( −3; − 8) .Tọa độ chân

đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là A. (1; −4 ) . B. ( −1; 4 ) . Câu 49.

C. (1; 4 ) .

D. ( 4;1) .

Cho tam giác ABC đều cạnh a . Lấy M , N , P lần lượt nằm trên ba cạnh BC , CA, AB sao cho BM = 2 MC , AC = 3 AN , AP = x , x > 0 . Tìm x để AM vuông góc với NP .

5a A. x = . 12

Câu 50.

D. 3 .

D. H ( 3;14 ) .

4a C. x = . 5

a B. x = . 2

tâm tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ ( a; b ) . Tính a + 3b. 2 A. a + 3b = . 3

4 B. a + 3b = − . 3

C. a + 3b = 1.

Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a , các cạnh đáy AD = a và BC = 3a . Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho AM = k AC . Tìm k để BM ⊥ CD 4 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 9 7 3 5

Câu 52.

(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( −3;0 ) , B ( 3; 0 ) và C ( 2; 6 ) . Gọi H ( a; b ) là tọa độ trực tâm tam giác đã cho. Tính a + 6b . B. a + 6b = 6 .

C. a + 6b = 7 .

D. a + 6b = 8 . 2 Câu 53. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB = CM là : A. Đường tròn đường kính BC . B. Đường tròn ( B; BC ) . C. Đường tròn ( C ; CB ) .

D. Một đường khác. Câu 54. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB = CA.CB là : A. Đường tròn đường kính AB . B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC . C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC . D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB . 5

Câu 57.

Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , cho AB = ( 6; 2 ) . Tính AB ? A. AB = 2 10 . B. AB = 20 . C. AB = 4 10 .

)

D. AB = 2 10 .

Cho hai điểm A (1; 0 ) và B ( −3;3) . Tính độ dài đoạn thẳng AB .

A. AB = 13 .

B. AB = 3 2 .

C. AB = 4 .

D. AB = 5 .

Câu 58. Cho tam giác OAB vuông cân tại O , cạnh OA = 4 . Tính 2OA − OB . A. 2OA − OB = 4 . B. 2OA − OB = 2 . C. 2OA − OB = 12 . D. 2OA − OB = 4 5 . Câu 59.

Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A , D ; AB CD ; AB = 2a ; AD = DC = a . O là trung điểm của AD . Độ dài vectơ tổng OB + OC bằng

A. Câu 60.

a . 2

3a . 2

C. a .

D. 3a .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (1; 2 ) ; B ( −1;1) . Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn tam giác MAB cân tại M . Khi đó độ dài đoạn OM bằng 5 3 1 A. . B. . C. . 2 2 2

D. a + 3b = −2.

Câu 51.

A. a + 6b = 5 .

Câu 56.

7a D. x = . 12

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A ( 3; −1) , B ( −1; 2 ) và I (1; −1) là trọng

)(

Tập hợp điểm M là đường nào trong các đường sau. A. Đường tròn đường kính IJ . B. Đường tròn đường kính IK . C. Đường tròn đường kính JK . D. Đường trung trực đoạn JK . DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ

Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) cho tam giác ABC có A (1; 0 ) ; B ( −1;1) ; C ( 5; − 1) . Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC là A. H ( −1; − 9 ) . B. H ( −8; − 27 ) .

Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK = 3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa mãn KA + KB + 2 KC = 0 . Một điểm M thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 3MK + AK . MA + MB + 2MC = 0 .

(

Tìm bán kính đường tròn đi qua ba điểm A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3; 0 ) .

A. Câu 46.

Câu 55.

7 . 2

Câu 61.

Cho ABC đều cạnh 2 a với M là trung điểm BC . Khẳng định nào đúng? a 3 a 3 A. MB = MC . B. AM = . C. AM = . D. AM = a 3 . 2 2 Câu 62. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 2a ; CD = 6a thì AB + CD = ?

A. −4a . Câu 63.

B. 8a . C. 2 a . D. 4 a . Cho tam giác vuông cân ABC với AB = AC = a . Khi đó 2 AB + AC bằng

A. a 3 . Câu 64.

B. a 5 .

Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm

C. 5a .

D. 2a .

A ( 2;1) B ( 2; −1) C ( −2; −3) D ( −2; −1) , , , . Xét ba mệnh đề:

( I ) ABCD là hình thoi. ( II ) ABCD là hình bình hành. ( III ) AC cắt BD tại M ( 0; −1) . Chọn khẳng định đúng B. Chỉ ( II ) đúng. A. Chỉ ( I ) đúng. 6

C. Chỉ ( II ) và ( III ) đúng. Câu 65.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ∆ABC có A ( −1; 4 ) , B ( 2;5) , C ( −2; 7 ) . Hỏi tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là cặp số nào? A. ( −2;6 ) . B. ( 0;6 ) . C. ( 0;12 ) .

Câu 66.

Câu 8.

D. Cả ba đều đúng.

D. ( 2;6 ) .

Chọn A Vì ABCD là hình vuông nên AB ⊥ CD do đó AB. AD = 0 . Câu 9. Chọn C 2 2 2 2 a.b =  a . b .cos a, b  = a . b .cos 2 a, b nên C sai.   Câu 10. Chọn D

( )

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A (1; −17 ) ; B ( −11; −25) . Tìm tọa độ điểm C thuộc tia BA sao cho BC = 13. A. C ( −14; −27 ) . B. C ( −8; −23) .

D. C (14; 27 ) và C ( 8; 23) .

C. C ( −14; −27 ) và C ( −8; −23) . Câu 67.

(THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A , a 2 BC = a 3 , M là trung điểm của BC và có AM .BC = . Tính cạnh AB , AC. 2 A. AB = a , AC = a 2 . B. AB = a , AC = a .

Gọi D là điểm đối xứng với A qua C .  3 2 Khi đó: AC.CB = CD.CB = CD.CB.cos150° = a 3.2a.  −  = −3a .  2 

C. AB = a 2, AC = a . D. AB = a 2, AC = a 2 . Câu 68.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M ( 3;1) . Giả sử A ( a ; 0 ) và B ( 0; b ) (với a, b là các số thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T = a 2 + b2 . A. T = 10 . B. T = 9 . C. T = 5 . D. T = 17 .

Câu 1.

Câu 2. Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG 1. TÍCH VÔ HƯỚNG Chọn B u = ( 2; −1) Với  ⇒ u.v = 2. ( −3) + ( −1) 4 = −10 v = ( −3; 4 ) Chọn D Ta có a.b = 2. ( −3) + 5.1 = −1 . Chọn D Ta có AB = ( 4; − 3 ) ; BC = ( −6; − 5 ) Vậy AB.BC = 4. ( −6 ) + ( −3) . ( −5 ) = −9 . Chọn B Theo giả thiết ta có u = (1;3) và v = ( −2; 2 ) . Khi đó u.v = 1. ( −2 ) + 3.2 = 4 . Chọn A Ta có u = i + 3 j ⇒ u = (1;3) . Vậy u.v = 1.2 + 3. ( −1) = −1 .

Câu 11.

Chọn D

a2 Ta có AB.BC = AB BC cos AB, BC = a.a.cos120° = − . 2 Câu 12. Chọn D

(

)

Ta có tam giác ABC vuông tại A và có AM là trung tuyến nên AM =

AM =

BC = 2

AB 2 + AC 2 = 2

a 2 + 3a 2 =a. 2

= 60° . Tam giác AMB có AB = BM = AM = a nên là tam giác đều. Suy ra góc MAB a2 Ta có BA. AM = − AB. AM = − AB . AM .cos ( AB , AM ) = −a.a.cos 60° = − . 2 Câu 13.

Chọn B D

Câu 6. Câu 7.

Chọn B Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ. Chọn A 1 Ta có AB. AC = AB . AC cos AB, AC = 4a.4a.cos 60° = 4a.4a. = 8a 2 . 2

(

)

BC . 2

= 2.1.cos 60° = 1 . AB. AD = AB . AD .cos AB; AD = AB. AD.cos BAD

(

Câu 14.

)

Chọn C D

= 60° ⇒ Theo giả thiết: BAD ABC = 120° . BA.BC = BA . BC .cos BA; BC = AB.BC .cos ABC = 2.1.cos120° = −1 .

= 30° . Ta có AB, AM = BAM

Chọn B

6 3 AB.MA = − AB. AM = − AB . AM .cos AB, AM = −6. .cos 30° = −27 . 2 Chọn D

(

Câu 15.

(

)

(

Câu 19.

)

Ta có: 2 2 2 AC = AB + AD ⇒ AC = AB + AD + 2 AB. AD ⇔ AC 2 = 22 + 12 + 2.1 ⇒ AC = 7 .

Câu 16.

Chọn A D

CB ACB = − AC.CB. = − BC 2 = −3a 2 . Ta có AC.CB = AC . CB .cos AC , CB = − AC.CB.cos AC Câu 20. Chọn B

(

2 2 2 BD = BA + BC ⇒ BD = BA + BC + 2 BA.BC ⇔ BD 2 = 22 + 12 + 2. ( −1) Câu 17.

⇒ BD = 3 . Chọn B a + b + 3c = 0 ⇒ a + b + c = −2c . 2 2 2 2 ⇒ a + b + c + 2 A = 4c . 2 2 ⇒ a + b + c = −2c .

(

Ta có: a + b

⇒ a+b

(

Câu 21.

)

= a 2 + b 2 + 2ab = a 2 + b 2 + 2 a . b .cos a, b ,

( )

= 4 + 3 + 2.2. 3.cos300 = 13 ⇒ a + b = 13 .

Chọn A Ta có: AC.BD = AD + DC AD − AB

(

)(

)

= AD + 2 AB AD − AB

(

)(

)

= AD 2 − 2 AB 2 − AD. AB

= AD 2 − 2 AB 2 = − a 2 .

) ( )

Sử dụng tính chất bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài ta có: 3z 2 − x 2 − y 2 x2 + y2 + z2 + 2 A = 4z 2 ⇒ A = . Vậy chọn đáp án B. 2 Câu 18. Chọn D B

Câu 22.

C H

Chọn A Vẽ AH ⊥ BC , H ∈ BC . Có BA.BC = BH .BC = BH .BC = BA2 = a 2 (theo tính chất tích vô hướng và phép chiếu). Câu 23. Chọn A 9

AB 4 ABC = = Vì BA.BC = . ABC nên cos BA.BC = cos BC BC 4 = 4.4 = 16 Do đó BA.BC = BA . BC .cos BA.BC = AB.BC. BC

(

)

(

)

M 30°

(

Câu 24.

Chọn A

AB 8 8 = −cos suy ra cos AB; BD = cosDBE = ABD = − BD 89 89  −8  Ta có AB.BD = AB . BD .cos AB; BD = 8. 89.   = −64  89  DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI VÉCTƠ Câu 28. Chọn D Ta có: a.b = a . b .cosα . Mà a.b = − a . b nên cosα = −1 . Suy ra, α = 1800 . Xét ∆ABD có cos ABD =

AC BC = = 4; AB = AC.cot 30° = 2 3; BM = 2 sin 30° 2 ⇒ BM = 4; AB. BM = 2 3.2.cos150° = −6 ⇒ P = −2 ⇒ Chọn A Câu 25. Chọn D

)

Câu 29.

Chọn C Ta có AB = ( −1; 2 ) ; AC = ( 2; −1) . AB. AC −2 − 2 −4 = = 143°7′ . cos BAC = ⇒ BAC = 5 5. 5 AB . AC

Câu 30.

Chọn C a.b = −  Ta có:  a.b = −

2 Ta có: P = AM . BM = ( AB + BM ). BM = AB. BM + BM

Câu 31.

C O

a .b 0 ⇒ cos a; b = −1 ⇔ a; b = 180 . a . b cos a, b

( )

Câu 32.

2 Ta có BK = − AB + AD ; AC = AB + AD 3 2 2 1 Khi đó BK . AC = (− AB + AD)( AB + AD) = − AB 2 + AD 2 − AB AD 3 3 3 2 1 BK . AC = −4a 2 + .9a 2 − 2a.3a.cos 60° = a 2 3 3 Câu 26. Chọn D 82 + 52 − 7 2 1 cos AB, AC = = 2.5.8 2 1 AB. AC = AB. AC.cos AB, AC = 5.8. = 20 2 Câu 27. Chọn B

(

Câu 33.

Câu 34.

Giả sử E là điểm đối xứng với A qua B ta có AB = BE

a.b 25 1 4.1 + 3.7 nên α = 450 . Ta có cos α = = = = 25 2 2 a.b 42 + 32 . 12 + 7 2

Chọn D

2.3 + 5. ( −7 ) −1 a.b Ta có cos α = = = ⇒ α = 135°. 4 + 25. 9 + 49 2 a.b Chọn B

( )

)

Chọn A

3 8

2.3 + 1. ( −6 ) a.b cos a, b = = = 0 ⇒ a, b = 90° . 2 2 2 2 a.b 2 + 1 . 3 + ( −6 )

)

(

( )

Chọn D Ta có 2 a − b = 4 ⇔ ( a − b ) = 16 ⇔ a 2 − 2a.b + b 2 = 16

⇔ 42 − 2.4.3.cos α + 32 = 16 ⇔ cos α =

)

( )

Câu 35.

Chọn A Ta có a = −a . 1 1 Vậy a.b = a . b cos a, b = −a . b ⇒ cos a, b = ⇒ a, b = 60° . 2 2 Câu 36. Chọn D 3− 2y a.b Ta có: cos a, b = = . a.b 5. 9 + y 2

( )

Góc giữa hai véc tơ a và b bằng 45 suy ra cos a, b =

( )

Xét ∆ABD có BD = AB 2 + AD 2 = 89

( )

3− 2y 5. 9 + y 2

2 (1) . 2

6 − 4 y ≥ 0 90 + 10 y 2 = 6 − 4 y ⇔  2 2 90 + 10 y = ( 6 − 4 y ) 3  y ≤ ⇔ ⇔ y = −1 . 2  y2 − 8 y − 9 = 0  Câu 37. Chọn C Vì hai véc tơ x = a + b , y = 2a − b vuông góc với nhau nên 2 2 2 2 a + b . 2a − b = 0 ⇔ 2a − b + a.b = 0 ⇔ 2. a − b + a . b .cos a, b = 0 2 ⇔ 2. 2 − 22 + 2.2.cos a, b = 0 ⇔ cos a, b = 0 ⇔ a, b = 90° .

(1) ⇔

(

)( ( )

( )

)

( )

DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CHỨNG MINH VUÔNG GÓC Chọn A Vectơ a = ( x; 2) và b = (2; −3) có giá vuông góc với nhau ⇔ a.b = 0 ⇔ 2 x − 6 = 0 ⇔ x = 3 Vậy x = 3 . Câu 39. Chọn B Ta có: u.v = 3. ( −8) + 4.6 = 0 . Do đó, u ⊥ v .

Vậy S ABC =

Câu 44.

Chọn A A

1 1 AB . BC = .2 2.3 2 = 6 2 2

Chọn B Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A .  AB 2 = AC 2  AB = AC Gọi A ( x ; y ) . Tam giác ABC vuông cân tại A ⇔  ⇔   AB ⊥ AC  AB. AC = 0 ( −1 − x )2 + ( 3 − y )2 = ( 3 − x )2 + (1 − y )2 2 x = y 2 x = y ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 2 x + y − 2x − 4 y = 0  x − 2x = 0 ( −1 − x )( 3 − x ) + ( 3 − y )(1 − y ) = 0 2 x = y  x = 0, y = 0  . ⇔  x = 0 ⇔   x = 2, y = 4  x = 2  Vậy A ( 0;0 ) hoặc A ( 2; 4 ) .

Chọn B C ∈ Oy ⇔ C ( 0; y ) AB = ( −4; −1) , AC = ( −1; y − 2 ) .

 AB ≠ 0  Ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác vuông tại A ⇔  AC ≠ 0 ⇔ AB. AC = 0 ⇔ y = 6.   AB ⊥ AC Vậy C ( 0;6 ) .

Câu 41.

Ta thấy AB.BC = 0 nên tam giác ABC vuông tại B .

( )

Câu 38.

Câu 40.

 m Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , suy ra G  1;  .  3  m   m Ta có GA =  −2; −  ; GB =  3; −  . 3 3   m2 Để tam giác GAB vuông tại G thì GA.GB = 0 ⇔ −6 + = 0 ⇔ m = ±3 6 . 9 Câu 43. Chọn A Ta có AB = (2; −2) , BC = ( 3;3)

Câu 45.

Chọn A Tính được AB = 3, BC = 4 và AC = 5 . Suy ra AB 2 + BC 2 = AC 2 nên tam giác ABC vuông tại B 1 5 . Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AC = . 2 2 Câu 46. Chọn B AH ⊥ BC ⇔  AH . BC = 0 1 Gọi H ( x; y ) là trực tâm của tam giác ABC ⇔ ( ).  BH ⊥ AC  BH . AC = 0 Ta có: AH = ( x − 1; y ) ; BC = ( 6; − 2 ) ; BH = ( x + 1; y − 1) , AC = ( 4; − 1) .

{

B Ta có AB = (1;1) ; AC = ( 6; − 4 ) ; BC = ( 5; − 5 ) .

Nhận thấy rằng AB. BC = 1.5 + 1.(−5) = 0 nên tam giác ABC vuông tại B. Vậy chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC trùng với đỉnh B ( 0;3) . Câu13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai vectơ u = (1; 2 ) và v = ( 4m ; 2m − 2 ) . Tìm m để vectơ u vuông góc với v . 1 1 A. m = . B. m = − . C. m = 1 . D. m = −1 . Chọn A 2 2 1 Hai vectơ u ⊥ v ⇔ u.v = 0 ⇔ 4m + 2. ( 2m − 2 ) = 0 ⇔ 8m − 4 = 0 ⇔ m = . 2 Câu 42. Chọn B 13

6 ( x − 1) − 2. y = 0 ⇔ 6 x − 2 y = 6 ⇔ x = −8 . Suy ra: (1) ⇔  y = −27 4 x − y = −5 4 ( x + 1) − 1. ( y − 1) = 0 Vậy H ( −8; − 27 ) .

{

Câu 47.

{

Chọn A A

G C B

Ta có G là trọng tâm ∆ABC 14

1 x x 1 1 −3 xb + ac PN = AN − AP = AC − AB = − b + c = 3 a a 3 3a Theo yêu cầu bài toán ta có AM ⊥ PN ⇔ AM .PN = 0 ⇔ b + 2c −3xb + ac = 0

x A + xB + xC   xC = 3 ( −2 ) − ( −1) − 1 = −6  xG =  xC = 3xG − x A − xB  3 ⇒ ⇒ ⇒ 2 3 y + y + y y = y − y − y A B C C G A B  y =  yC = 3. − 1 − 3 = −2 3   G 3 ⇒ C ( −6; −2 )

(

Câu 50.

)

( )

Giả sử C ( xC ; yC ) và H ( xH ; y H ) . Có I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có

m − m − 12 = 0 ⇔ ⇔ m = −3 ⇒ M ( 0; −3 ) . m = −3 Câu 48. Chọn C Gọi D ( x ; y ) là chân đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC ta có AD.BC = 0 và D , B , C thẳng hàng Mà AD = ( x − 4; y − 3) ; BC = ( −5; −15) ; BD = ( x − 2; y − 7 ) nên ta có hệ

 x A + xB + xC = xI   x =1 3 ⇒ C ⇒ C (1; −4 )   yC = −4  y A + yB + yC = y I  3 Ta có AH = ( xH − 3; yH + 1) ; BC = ( 2; −6 ) BH = ( xH + 1; y H − 2 ) ; AC = ( −2; −3)

 x − 4 + 3 ( y − 3) = 0  x =1 ⇔  .  3 ( x − 2 ) − y + 7 = 0 y = 4 Câu 49. Chọn A

H là trực tâm tam giác ABC nên

)(

2 2 a3 ⇔ −3xb + a b.c − 6 x b.c + 2ac = 0 ⇔ −3xa 2 + − 3xa 2 + 2a 3 = 0 2 5a . ⇔x= 12 Chọn A

( )

Ta có M ∈ Oy ⇒ M ( 0; m ) Gọi I là trung điểm của đoạạn BC ta có: xB + xC 5    xI =  xI = − 2  5 1 2 ⇒ ⇒ I − ;    2 2  y = yB + yC y = 1 I I  2  2 Ta có  5 1 BM = ( −1; m − 3) ; CM = ( 6; m + 2 ) ; CB = ( 7;5 ) ; IM =  ; m −  2 2 ( m − 3)( m + 2 ) − 6 = 0  BM .CM = 0  ∆MBC vuông cân tại M khi:  ⇔  1 5  IM .CB = 0 5  m −  + 7. = 0 2 2  

)

10  x =  AH .BC = 0  2 ( xH − 3) − 6 ( yH + 1) = 0  H 3 ⇔ ⇔   −2 ( xH + 1) − 3 ( yH − 2 ) = 0 y = − 8  BH . AC = 0  H 9 10 8 2 ⇒ a = ;b = − ⇒ S = . 3 9 3 Câu 51. Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B , điểm A thuộc trục Oy và điểm C thuộc trục Ox .

a2  AB = b Đặt  , ta có b = c = a và b.c = a.a.cos 60 0 = 2  AC = c 2 2 1 Ta có AM = AB + BM = b + BC = b + c − b = b + 2c 3 3 3

(

) (

) 16

1 AB AC Lấy điểm J thỏa mãn AK = 3KJ . Ta có AK = AI + AC = , mà AK = 3KJ nên + 2 4 2 1 4 1 2 AJ = AK + KJ = AK + AK = AK = AB + AC . 3 3 3 3 1 2 2 2 2 Lại có BJ = AJ − AB = AB + AC − AB = − AB + AC = BC . 3 3 3 3 3 2 Suy ra J là điểm cố định nằm trên đoạn thẳng BC xác định bởi hệ thức BJ = BC . 3 Ta có 3MK + AK = 3MK + 3KJ = 3MJ . Như vậy 3MK + AK . MA + MB + 2MC = 0 ⇔ 3MJ . 4MK = 0 ⇔ MJ .MK = 0 .

(

Theo bài ra ta có B (0; 0), A(0; 2), C (3; 0), D (1; 2)  x = 3t Khi đó AC = (3; −2) . Phương trình tham số của đthẳng AC là   y = 2 − 2t Gọi M ∈ AC ⇒ M (3t ; 2 − 2t ) . Ta có BM = (3t ; 2 − 2t ) và DC = (2; −2) . 2 6 6 Để BM ⊥ DC thì BM .DC = 0 ⇔ 6t − 4 + 4t = 0 ⇔ t = ⇒ M  ;  . 5 5 5  6 −4  52 Khi đó AM =  ;  ⇒ AM = và AC = ( 3; −2 ) ⇒ AC = 13 . 5 5 5  AM 52 2 Vì AM = k AC và AM , AC cùng chiều ⇒ k = = = . AC 5 13 5 Câu 52. Chọn C Ta có AH = ( a + 3; b ) , BC = ( −1; 6 ) , BH = ( a − 3; b ) , AC = ( 5; 6 ) . a = 2  −a + 6b = 3  AH ⊥ BC   AH .BC = 0 ⇔ Vì H là trực tâm ∆ABC nên  ⇔ ⇔  5.  BH ⊥ AC 5a + 6b = 15  BH . AC = 0 b = 6 ⇒ a + 6b = 7 . Câu 53. Chọn A 2 2 CM .CB = CM ⇔ CM .CB − CM = 0 ⇔ CM .MB = 0 . Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC . Câu 54. Chọn B CM .CB = CA.CB ⇔ CM .CB − CA.CB = 0 ⇔ CM − CA .CB = 0 ⇔ AM .CB = 0 .

(

)

)(

)

(

)

)(

)

Từ đó suy ra điểm M thuộc đường tròn đường kính JK . Vì J , K là các điểm cố định nên điểm M luôn thuộc một đường tròn đường kính JK là đường tròn cố định (đpcm). DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ Câu 56. Chọn A AB = 6 2 + 22 = 40 = 2 10

Câu 57.

Chọn D AB =

Câu 58.

( −3 − 1)

+ (3 − 0) = 5 .

Chọn D

A B

D Gọi D là điểm đối xứng của O qua A . 2OA − OB = OD − OB = BD = BD = OB 2 + OD 2 = 82 + 42 = 4 5

Câu 59.

Chọn D

Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC . A

Câu 55.

B A Gọi I là trung điểm của BC ⇒ OB + OC = 2OI ⇒ OB + OC = 2OI .

Xét hình thang ABCD có OI là đường trung bình ⇒ OI = Vậy OB + OC = 3a .

Chọn C Ta có: MA + MB + 2MC = 4MK + KA + KB + 2 KC = 4MK . Câu 60. 17

Chọn B 18

AB + CD 3a = . 2 2

Điểm M thuộc trục Oy ⇒ M ( 0; y ) . Ta

có

tam

giác

⇔ 4 − 4 y = 1− 2 y ⇔ y =

Câu 61.

cân

MAB

M ⇔ MA = MB ⇔ 12 + ( 2 − y ) =

tại

( −1)

+ (1 − y )

3 3 . Vậy OM = . 2 2

Chọn D Độ dài đường cao AM trong tam giác đều cạnh 2a là: Vậy khẳng định đúng là AM = a 3 .

2a 3 =a 3. 2

Câu 62.

Chọn D Hai vectơ AB và CD ngược hướng nhau nên AB + CD = CD − AB = 4a .

Câu 63.

Chọn B

Ta có: 2 AB + AC

(

) = ( 2 AB )

2 + 4 AB. AC + AC = 4 AB 2 + AC 2 ( vì AB ⊥ AC ⇒ AB. AC = 0 )

= 4a 2 + a 2 = 5a 2 ⇒ 2 AB + AC = a 5 . Câu 64.

Câu 65.

Chọn C Ta có AB = ( 0; −2 ) ; DC = ( 0; −2 ) ; AC = ( −4; −4 ) . Suy ra AB , AC không cùng phương và AB = DC . Nên ABCD là hình bình hành. Vậy mệnh đề (II) đúng. Suy ra AC cắt BD tại trung điểm mỗi đường và điểm đó có tọa độ M = (0; −1) , suy ra (III) đúng. Ta có AB = ( 0; −2 ) , suy ra AB = −2 = 2 ; AD = ( −4; −2 ) , suy ra AD = 20 , nên AB ≠ AD , suy ra ABCD không là hình thoi. Mệnh đề (I) sai. Chọn B Ta có: AB = ( 3;1) ⇒ AB = 10 . AC = ( −1;3) ⇒ AC = 10 . BC = ( −4;2 ) ⇒ BC = 20 .

Chọn B Giả sử C ( xC ; yC ) . Theo bài ra ta có C thuộc tia BA nên BC ; BA cùng hướng. x + 11 yC + 25 = =k Với BC = ( xC + 11; yC + 25) ; BA = (12;8 ) ta có: BC = k BA ( k > 0) ⇔ C 12 8 8 x − 212 2 x − 53 ⇔ yC = C (1) ⇔ 8 xC − 12 yC − 212 = 0 ⇔ yC = C 12 3 +) BC = 13 ⇔

( xC + 11) + ( yC + 25)

Nhận thấy AB 2 + AC 2 = BC 2 và AB = AC nên ∆ABC là tam giác vuông cân tại A , suy ra tâm I là trung điểm cạnh huyền BC . Vậy I ( 0;6 ) .

Câu 66.

13 2 2  2 x − 53   2 x + 22  + C + 25  = 13 ⇔ ( xC + 11) +  C  = 13 ⇔ ( xC + 11) = 13 3 3 9      xC = −14 2 ⇔ ( xC + 11) = 9 ⇔   xC = −8 2.( −14) − 53 = −27 . Với xC = −14 thế vào (1) ta được: yC = 3 −14 + 11 −3 −1 = = < 0 (loại). Khi đó k = 12 12 4 2.(−8) − 53 = −23 . Với xC = −8 thế vào (1) ta được: yC = 3 −8 + 11 3 1 = = > 0 (thỏa mãn). Khi đó k = 12 12 4 Vậy C ( −8; −23) .

( xC + 11)

= 13 ⇔ ( xC + 11) + ( yC + 25 ) = 13 (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

Câu 67.

H M

Chọn A Vẽ AH ⊥ BC , H ∈ BC . Có HM là hình chiếu của AM lên BC . a 2 , BC = a 3 . Suy ra AM BC = HM .BC , mà AM BC = 2 a 3 a2 Suy ra HM cùng chiều BC và HM .BC = , HM = . 2 6 a 3 a 3 a 3 Có BH = BM − HM = . − = 2 6 3 Có AB 2 = BH .BC = a 2 ⇒ AB = a và AC = a 2 . Vậy AB = a và AC = a 2 . Câu 68. Chọn A Ta có MA = ( a − 3; − 1) , MB = ( −3; b − 1) . MAB là tam giác vuông tại M khi và chỉ khi MA.MB = 0 ⇔ −3 ( a − 3) − ( b − 1) = 0 ⇔ b = 10 − 3a (*) Với a ≥ 0, b ≥ 0 suy ra 0 ≤ a ≤

10 ( * *) 3

1 1 3 3 3 3 2 2 2 MA.MB = ( a − 3) + 1. 9 + ( b − 1) = ( a 2 − 6a + 10) = ( a − 3) + ≥ . 2 2 2 2 2 2 3 Do đó min S MAB = đạt được khi a = 3 (thỏa mãn điều kiện (**) ), khi đó b = 1 . 2 Vậy T = a 2 + b2 = 10 . S MAB =

TOÁN 10

CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

0H2-3

Câu 8.

A. 49.

B. 97 C. 7. D. 61. = 150 0 , BC = 3, AC = 2. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Tam giác ABC có C Tính cạnh AB ? A. 13 . B. 3. C. 10 . D. 1 . 4 Câu 10. Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC . Biết b = 7 ; c = 5 ; cos A = . Tính độ dài của a . 5 7 2 23 A. 3 2 . B. . C. . D. 6 . 2 8 Câu 11. Cho xOy = 30° .Gọi A, B là 2 điểm di động lần lượt trên Ox, Oy sao cho AB = 2 . Độ dài lớn nhất của OB bằng bao nhiêu? A. 4. B. 3. C. 6. D. 2. Câu 12. Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng? Câu 9.

MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC ...................................................... 1 DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC ................................................................. 3 DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN ................................................................................ 4 DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ .................................................................................................................................. 6 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 6 DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC ...................................................... 6 DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC ............................................................... 10

A. a2 < ab + ac .

DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN .............................................................................. 11 DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ ................................................................................................................................ 16

PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC Câu 1.

Câu 3.

Cho tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 2 = b2 + c 2 + 2bc cos A . B. a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A . 2 2 2 D. a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos B . C. a = b + c − 2bc cos C . Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BC = a, AC = b, AB = c . Gọi ma là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai? b2 + c2 a 2 A. ma2 = − . B. a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cos A . 2 4 a b c abc = = = 2R . C. S = . D. 4R sin A sin B sin C Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là? A. c = 3 21 . B. c = 7 2 . C. c = 2 11 . Cho ∆ABC có b = 6, c = 8, A = 60 0 . Độ dài cạnh a là:

D. c = 2 21 .

Câu 4.

A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. Cho ∆ABC có B = 600 , a = 8, c = 5. Độ dài cạnh b bằng:

Câu 5.

Câu 2.

20.

A. 7. Câu 6. Câu 7.

= 600. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? Tam giác ABC có a = 8, c = 3, B

B. 129. C. 49. D. 129 . = 600 . Tính độ dài AC . Cho ∆ABC có AB = 9 ; BC = 8 ; B A. 73 . B. 217 . C. 8 . D. 113 . Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và A = 600. Tính độ dài cạnh BC . A. BC = 2.

B. BC = 1.

C. BC = 3. 1

D. BC = 2.

B. a 2 + c 2 < b 2 + 2ac . C. b2 + c 2 > a 2 + 2bc . D. ab + bc > b2 .

Câu 13.

Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 7 cm, AC = 9 cm. Tính cos A . 2 1 1 2 A. cos A = − . B. cos A = . C. cos A = . D. cos A = . 3 2 3 3 Câu 14. Cho tam giác ABC có a 2 + b 2 − c 2 > 0 . Khi đó: A. Góc C > 900 B. Góc C < 900 0 C. Góc C = 90 D. Không thể kết luận được gì về góc C. Câu 15. Cho tam giác ABC thoả mãn: b2 + c 2 − a 2 = 3bc . Khi đó: A. A = 300. B. A = 450. C. A = 600. D. A = 750 . Câu 16. Cho các điểm A(1;1), B(2; 4), C (10; −2). Góc BAC bằng bao nhiêu? A. 900 . B. 600. C. 450. Câu 17. Cho tam giác ABC , biết a = 24, b = 13, c = 15. Tính góc A ?

D. 300.

A. 330 34 '. B. 117 0 49 '. C. 28037 '. Câu 18. Cho tam giác ABC , biết a = 13, b = 14, c = 15. Tính góc B ?

D. 580 24 '.

A. 590 49'. B. 5307 '. C. 590 29 '. D. 620 22'. Câu 19. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC, CA, AB lần lượt bằng là a, b, c và thỏa mãn hệ thức b b2 − a 2 = c c 2 − a 2 với b ≠ c . Khi đó, góc BAC

(

) (

)

A. 45° . B. 60° . C. 90° . D. 120° . Câu 20. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . bằng Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức b b2 − a 2 = c a2 − c 2 . Khi đó góc BAC

(

) (

)

bao nhiêu độ. A. 30° . B. 60° . C. 90° . D. 45° . Câu 21. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MA : MB : MC = 1: 2 : 3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu? A. 135° . B. 90° . C. 150° . D. 120° . Câu 22. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: b2 + c2 a 2 a 2 + c2 b2 A. ma2 = + . B. ma2 = − . 2 4 2 4 2 2 2 2 2c + 2b 2 − a 2 a +b c C. ma2 = − . D. ma2 = . 2 4 4 2

Câu 23.

Tam giác ABC có AB = 9 cm, BC = 15 cm, AC = 12 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là B. 9 cm . C. 7,5 cm . D. 8 cm . A. 10 cm .

Câu 24.

Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến BM = 13 . Tính độ dài AC . 9 A. 11 . B. 4 . C. . D. 10 . 2 = 30°, AB = 3. Tính độ dài trung tuyến AM ? Cho ∆ABC vuông ở A, biết C 5 7 A. 3 B. 4 C. D. 2 2 Tam giác ABC có a = 6, b = 4 2, c = 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3 . Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu? 1 108 . A. 9 . B. 9. C. 3. D. 2 2 2 2 Gọi S = ma + mb + mc là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 3 A. S = ( a 2 + b 2 + c 2 ) . B. S = a 2 + b2 + c 2 . 4 3 2 2 2 C. S = ( a + b + c ) . D. S = 3(a 2 + b 2 + c 2 ) . 2 = 600 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác Cho ∆ABC có AB = 2 ; AC = 3 ; A

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

ABC .

12 . 5

6 2 . 5

6 3 . 5

6 . 5

DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC Câu 29. Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a c sin A A. = 2R . B. sin A = C. b sin B = 2 R . D. sin C = . . sin A 2R a Câu 30. Cho ∆ABC với các cạnh AB = c, AC = b, BC = a . Gọi R, r , S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a A. S = . B. R = . 4R sin A 1 C. S = ab sin C . D. a2 + b2 − c 2 = 2ab cos C . 2 = 60° và cạnh BC = 3 . Tính bán kính của đường tròn ngoại Câu 31. Cho tam giác ABC có góc BAC tiếp tam giác ABC . A. R = 4 . B. R = 1 . C. R = 2 . D. R = 3 .

= 45° . Độ dài cạnh BC Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC = 4 cm , góc A = 60° , B là A. 2 6 . B. 2 + 2 3 . C. 2 3 − 2 . D. 6 . Câu 33. Cho ∆ABC có AB = 5 ; A = 40° ; B = 60° . Độ dài BC gần nhất với kết quả nào? B. 3,3 . C. 3,5 . D. 3,1 . A. 3, 7 . Câu 34. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b + c = 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Câu 32.

A. cos B + cos C = 2 cos A. B. sin B + sin C = 2 sin A. 1 C. sin B + sin C = sin A . D. sin B + cos C = 2 sin A. 2 = 56013' ; C = 710 . Cạnh c bằng bao nhiêu? Câu 35. Tam giác ABC có a = 16,8 ; B A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. = 340 44 ' , AB = 117. Tính AC ? Câu 36. Tam giác ABC có A = 68012 ' , B A. 68. B. 168. C. 118. D. 200.

DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Câu 37. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 A. S = bc sin A. B. S = ac sin A . 2 2

1 C. S = bc sin B . 2

1 D. S = bc sin B . 2

= 30° . Diện tích hình thoi ABCD là Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a . Góc BAD a2 3 a2 a2 A. . B. . C. . D. a2 . 4 2 2 Câu 39. Tính diện tích tam giác ABC biết AB = 3, BC = 5, CA = 6 . Câu 38.

A. 56 . B. 48 . C. 6 . Câu 40. Cho ∆ABC có a = 6, b = 8, c = 10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48. B. 24. C. 12. Câu 41. Cho ∆ABC có a = 4, c = 5, B = 1500. Diện tích của tam giác là:

D. 8 . D. 30.

A. 5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3. Câu 42. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu? A. 84. B. 84 . C. 42. D. 168. Câu 43. Cho các điểm A(1; −2), B(−2;3), C (0; 4). Diện tích ∆ABC bằng bao nhiêu? 13 13 . . A. B. 13. C. 26. D. 2 4 Câu 44. Cho tam giác ABC có A(1; −1), B(3; −3), C (6;0). Diện tích ∆ABC là A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9. Câu 45. Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8 . Khi đó diện tích của tam giác là: 2 15. A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 3 Câu 46. Cho tam giác ABC . Biết AB = 2 ; BC = 3 và ABC = 60° . Tính chu vi và diện tích tam giác ABC . 3 3 3 A. 5 + 7 và . B. 5 + 7 và . 2 2 3 3 3 C. 5 7 và . D. 5 + 19 và . 2 2 Câu 47. Tam giác ABC có các trung tuyến ma = 15 , mb = 12 , mc = 9 .Diện tích S của tam giác ABC bằng A. 72 . B. 144 . C. 54 . D. 108 . 3 Câu 48. Cho tam giác ∆ ABC có b = 7; c = 5;cos A = . Độ dài đường cao ha của tam giác ∆ ABC là. 5

7 2 . B. 8 . C. 8 3 D. 80 3 2 = 120° . Tính diện tích tam giác ABC ? Cho tam giác ABC có AB = 2a; AC = 4a và BAC

A. Câu 49. Câu 50.

Câu 51. Câu 52.

Câu 53.

Câu 54.

Câu 55.

A. S = 8a 2 . B. S = 2a 2 3 . C. S = a 2 3 . D. S = 4a 2 . Cho tam giác ABC đều cạnh a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a 2 a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 2 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác ABC bằng A. 12 . B. 3 . C. 6 . D. 24 . (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác ABC đều cạnh 2 a . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2a 4a 8a 6a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Cho tam giác ABC có BC = 6 , AC = 2 và AB = 3 + 1. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . Cho tam giác ABC có AB = 3 , AC = 4 , BC = 5 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 8 4 3 A. 1 . B. . C. . D. . 9 5 4 Cho ∆ABC có S = 84, a = 13, b = 14, c = 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5.

Câu 56. Cho ∆ABC có S = 10 3 , nửa chu vi p = 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3 . Câu 57. Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là:

Câu 63.

DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Câu 64. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o 24' . Biết CA = 250 m, CB = 120 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 266 m. B. 255 m. C. 166 m. D. 298 m. Câu 65. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 20 13. C. 10 13. D. 15. Câu 66. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80 m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72012 ' và 340 26' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71m. B. 91m. C. 79 m. D. 40 m. Câu 67. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016' . Biết CA = 200 m , CB = 180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 180 m. B. 224 m. C. 112 m. D. 168 m. Câu 68. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( AB = 4,3 cm; BC = 3,7 cm; CA = 7,5 cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

A. 16. B. 8. C. 4. D. 4 2. Câu 58. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 65 65 A. B. 40. C. 32,5. D. . . 8 4 Câu 59. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là? 13 11 A. 6. B. 8. C. . D. . 2 2 Câu 60. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu? A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3. Câu 61. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu? Câu 62.

Câu 69.

A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6 . Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4, BC = 6 , M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho ND = 3 NC . Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng 3 5 5 2 A. 3 5 . B. . C. 5 2 . D. . 2 2

A. 5,73 cm. B. 6,01cm. C. 5,85cm. D. 4,57cm. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo = 630 ; CBD = 480 . Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây? được AB = 24m, CAD A. 61,4 m. B. 18,5 m. C. 60 m. D. 18 m. PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1. 5

Cho tam giác đều ABC ;gọi D là điểm thỏa mãn DC = 2 BD . Gọi R và r lần lượt là bán kính R đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC . Tính tỉ số . r 5 5+7 7 7+5 5 7+5 7 A. . B. . C. . D. . 2 9 9 9

DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN Chọn B Theo định lý cosin trong tam giác ABC , ta có a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A . 6

Câu 2.

Chọn B Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A Câu 3. Chọn D. Ta có: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a.b.cos C = 82 + 10 2 − 2.8.10.cos 60 0 = 84 ⇒ c = 2 21 . Câu 4. Ta có: Câu 5. Ta có:

Chọn A. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 36 + 64 − 2.6.8.cos 600 = 52 ⇒ a = 2 13 . Chọn A. b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = 82 + 52 − 2.8.5.cos 600 = 49 ⇒ b = 7 .

Câu 6.

Chọn A Theo định lý cosin có:

Câu 7.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c ⇒ a 2 < ab + ac ;đáp án A đúng. Tương tự a + c > b ⇒ ab + bc > b2 ;mệnh đề D đúng. Ta có: a 2 + c2 − b2 = 2ac.cos B < 2ac ⇒ a 2 + c 2 < b2 + 2ac ;mệnh đề B đúng.

Câu 13.

Theo định lý cosin ta có: BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos 600 1 = 3. 2

Câu 8. Chọn C. Ta có: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = 82 + 32 − 2.8.3.cos 600 = 49 ⇒ b = 7 . Chọn A Theo định lí cosin trong ∆ABC ta có: = 13 ⇒ AB = 13 . Chọn AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA.CB.cos C Câu 10. Chọn A Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có: 4 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A = 7 2 + 52 − 2.7.5. = 18 . 5 Suy ra: a = 18 = 3 2 .

Câu 14.

Chọn

Câu 17.

Chọn

Ta có: cos A =

Câu 9.

Câu 11.

AB 2 + AC 2 − BC 2 42 + 92 − 72 2 = = . 2. AB. AC 2.4.9 3

B. a 2 + b2 − c2 Ta có: cos C = . 2ab 2 2 2 Mà: a + b − c > 0 suy ra: cos C > 0 ⇒ C < 900 . Câu 15. Chọn A. b2 + c 2 − a2 3bc 3 = = ⇒ A = 300. Ta có: cos A = 2bc 2bc 2 Câu 16. Chọn A. Ta có: AB = (1;3) , AC = (9; −3) . AB. AC = = 0 ⇒ BAC = 900. Suy ra: cos BAC AB . AC

AC 2 = BA2 + BC 2 − 2 BA.BC.cos ABC = 73 ⇒ AC = 73 . Vậy AC = 73 . Chọn C

= 2 2 + 12 − 2.2.1.

Chọn D Ta có cos A =

b 2 + c 2 − a 2 132 + 152 − 242 7 = = − ⇒ A ≃ 1170 49 '. 2bc 2.13.15 15

C. a 2 + c 2 − b2 132 + 152 − 142 33 Ta có: cos B = = = ⇒ B ≃ 590 29 '. 2ac 2.13.15 65

Câu 18.

Chọn

Câu 19.

Chọn D Ta có b b2 − a 2 = c c 2 − a 2 ⇔ b3 − ba2 = c3 − ca 2 ⇔ b3 − c3 − a 2 ( b − c ) = 0

(

) (

⇔ ( b − c ) ( b + bc + c − a 2

= Mặt khác cos BAC

Chọn A Câu 20.

)

)=0⇔b

+ c2 − a2 = −bc .

b 2 + c 2 − a 2 −bc 1 = 120° . = = − ⇒ BAC 2bc 2bc 2

Lời giải Chọn B Theo bài ra, ta có: b b 2 − a 2 = c a 2 − c2 ⇔ b3 − a 2b = a 2 c − c3 = 0 ⇔ b3 + c3 − a 2b − a2 c = 0

(

3 . .cos 30° ⇔ 4 = OA + OB − 2OA.OB. Áp dụng định lí cosin: AB = OA + OB − 2OAOB 2 ⇔ OA2 − 3.OB.OA + OB 2 − 4 = 0 (*). Coi phương trình (*) là một phương trình bậc hai ẩn OA . Để tồn tại giá trị lớn nhất của OB thì ∆ ≥ 0 ⇔ ( 3OB) 2 − 4(OB2 − 4) ≥ 0 ⇔ OB 2 ≤ 16 ⇔ OB ≤ 4 . (*) Vậy max OB = 4 . Câu 12. Chọn C Do b 2 + c 2 − a 2 = 2bc.cos A ≤ 2bc ⇒ b2 + c 2 ≤ a 2 + 2bc nên mệnh đề C sai. 2

) (

)

⇔ ( b + c ) ( b − bc + c ) − a ( b + c ) = 0 ⇔ ( b + c ) ( b2 − bc + c 2 − a 2 ) = 0 ⇔ b2 − bc + c 2 − a 2 = 0 2

(do b + c ≠ 0 ) b2 + c2 − a 2 1 = 1 ⇒ BAC = 60° . = ⇔ cos BAC 2bc 2 2 Câu 21. MB = x ⇔ MA = 2 x ; MC = 3 x với 0 < x < BC = 2 . 2 2 2 = 1 + 4 x − x = 3x + 1 Ta có cos BAM 2.1.2 x 4x

⇔ b 2 + c 2 − a 2 = bc ⇔

= cos MAC

1 + 4x2 − 9x2 1 − 5x2 . = 4x 4x 2

b2 + c2 a 2 − = 9 ⇒ AM = 3 . 2 4 Câu 27. Chọn A. 2 b + c2 a 2 a2 + c2 b2 a 2 + b2 c2 3 2 − + − + − = (a + b 2 + c 2 ). Ta có: S = ma2 + mb2 + mc2 = 2 4 2 4 2 4 4 Câu 28. Chọn C Suy ra: AM 2 = ma2 =

 3x2 + 1   1 − 5 x 2  4 2 2 4 ⇒  +  = 1 ⇒ 9 x + 6 x + 1 + 1 − 10 x + 25x = 16 .  4x   4 x   2 5+ 2 2 1 > (l ) x = 17 5 4 2  . ⇒ 34 x − 20 x + 2 = 0 ⇔  2 5−2 2 x = 17  2 2 2 + − AM BM AB 4 x2 + x2 − 1 ⇒ cos AMB = = 2 AM .BM 2.2 x.x 5 x 2 − 1  25 − 10 2  20 − 8 2 − 2 − 1 : = =  = . 17 17 4x2 2   Vậy AMB = 135° .

A. Gọi M là chân đường phân giác góc Ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A = 7 ⇒ BC = 7. BM AB 2 = = . Lại có CM AC 3 2 7 . Suy ra BM = 5 Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM ta được:

Câu 22.

Chọn D. b 2 + c 2 a 2 2b 2 + 2c 2 − a 2 2 Ta có: ma = − = . 2 4 4 Câu 23. Chọn C 15 AB 2 + AC 2 BC 2 92 + 122 152 225 ⇒ AM = . Ta có AM 2 = − = − = 2 4 2 4 4 2 Câu 24. Chọn B

AB 2 + BC 2 − AC 2 108 AM 2 = AB 2 + BM 2 − 2 AB.BM .cos ABC = AB 2 + BM 2 − 2 AB.BM . = . 2.AB.BC 25 6 3 ⇒ AM = . 5

CÁ CH 2 Gọi M là chân đường phân giác trong của góc A . Vì đoạn thẳng AM chia tam giác ABC thành hai phần nên ta có: 1 = 1 AB. AM .sin BAM + 1 AC. AM .sin MAC S ABC = S ABM + S ACM ⇔ AB. AC.sin BAC 2 2 2 AB. AC.sin 60° ⇔ AM = . ( AB + AC ) .sin 30°

B 5

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có: 2 BA2 + BC 2 AC 2 32 + 52 AC 2 BM 2 = − ⇔ 13 = − ⇔ AC = 4 . 2 4 2 4 Câu 25. Chọn A 1 AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM = BC = BM = MC . 2 = 90° − 30° = 60° . Xét ∆BAC có B = 60° suy ra ∆ABM là tam giác đều. Xét tam giác ABM có BM = AM và B

6 3 . 5 6 3 . Vậy AM = 5

( )

⇒ AM = AB = 3 .

Câu 26. Chọn C. Ta có: Trong tam giác ABC có a = 6 ⇒ BC = 6 mà BM = 3 suy ra M là trung điểm BC . 9

⇔ AM =

DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN Chọn C. a b c = = = 2 R. Ta có: sin A sin B sin C Câu 30. Chọn B. Câu 29.

Theo định lí Sin trong tam giác, ta có Câu 31.

Câu 32.

Chọn B BC BC Ta có: = 2R ⇔ R = = sin A 2sin A Chọn A Ta có

BC AC = ⇔ BC = sin A sin B

Câu 33.

a = 2R . sin A

3 = 1. 3 2. 2

3 2 =2 6. 2 2

Chọn B = 180° − A −B = 180° − 40° − 60° = 80° C BC AB AB 5 Áp dụng định lý sin: = ⇒ BC = .sin A = sin 40° ≈ 3,3 . sin A sin C sin C sin 80° Câu 34. Chọn B. Ta có: b+c a b c b c b+c b+c = = = 2R ⇒ 2 = = ⇔ = ⇔ sin B + sin C = 2sin A. sin A sin B sin C sin A sin B sin C 2sin A sin B + sin C Câu 35. Chọn D. +C = 1800 ⇒ Ta có: Trong tam giác ABC : A+ B A = 1800 − 710 − 56013' = 520 47 ' . a b c a c a.sin C 16,8.sin 710 = = ⇒ = ⇒c= = ≃ 19,9. Mặt khác sin A sin B sin C sin A sin C sin A sin 520 47 ' Câu 36. Chọn A. +C = 1800 ⇒ C = 1800 − 68012 '− 340 44 ' = 770 4 ' . Ta có: Trong tam giác ABC : A+ B a b c AC AB AB.sin B 117.sin 340 44 ' Mặt khác = = ⇒ = ⇒ AC = = ≃ 68. sin A sin B sin C sin B sin C sin C sin 770 4 '

a+b+c . 2 Áp dụng công thức Hê-rông: S = p ( p − a )( p − b )( p − c) = 12(12 − 6)(12 − 8)(12 − 10) = 24 . Câu 41. Chọn B. 1 1 Ta có: S∆ABC = a.c.sin B = .4.5.sin1500 = 5. 2 2 Câu 42. Chọn A. a + b + c 13 + 14 + 15 = = 21 . Ta có: p = 2 2 Suy ra: S = p ( p − a )( p − b)( p − c ) = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 . Ta có: Nửa chu vi ∆ABC : p =

Câu 43. Chọn A. Ta có: AB = (−3;5) ⇒ AB = 34 , AC = (−1;6) ⇒ AC = 37 , BC = (2;1) ⇒ BC = 5 .

AB + AC + BC 37 + 34 + 5 = . 2 2 13 Suy ra: S = p ( p − AB)( p − AC )( p − BC ) = . 2 Câu 44. Chọn B. Ta có: AB = (2; −2) ⇒ AB = 2 2 , AC = (5;1) ⇒ AC = 26 , BC = (3;3) ⇒ BC = 3 2 . Mặt khác AB.BC = 0 ⇒ AB ⊥ BC . 1 Suy ra: S∆ABC = AB.BC = 6. 2 Câu 45. Chọn B. a +b+c 4+ 6+8 = = 9. Ta có: p = 2 2 Suy ra: S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 3 15. Mặt khác p =

Câu 37.

Ta có: Câu 38.

Câu 39.

Câu 40.

DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Chọn A. 1 1 1 S = bc sin A = ac sin B = ab sin C . 2 2 2 Chọn B = a.a.sin 30° = 1 a 2 . Ta có S ABCD = AB. AD.sin BAD 2 Chọn A AB + AC + BC 3 + 5 + 6 = = 7. Ta có: p = 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC là: S = p ( p − AB )( p − AC )( p − BC ) = 7 ( 7 − 3)( 7 − 6 )( 7 − 5 ) = 56 . Chọn

Câu 46.

Chọn B = 4 + 9 − 2.2.3.c os60° = 13 − 6 = 7 . Ta có: AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC.c os ABC Suy ra AC = 7 . Chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 2 + 3 + 7 . Diện tích tam giác ABC là S∆ABC =

Câu 47.

Chọn A Theo bài toán ta có

1 1 3 3 AB.BC.sin ABC = .2.3.sin 60° = (đvdt). 2 2 2

 2 b2 + c 2 a 2 2 ma = 2 − 4 = 15 2b2 + 2c 2 − a 2 = 900 a = 10     2 a2 + c2 b2 2 2 2 2 m = − = ⇔ a + c − b = ⇔ 12 2 2 576  b  b = 4 13 2 4  2a 2 + 2b 2 − c 2 = 324  c = 2 73   2 a2 + b2 c2 − = 92 mc = 2 4  a+b+c Ta có p = = 5 + 2 13 + 73 , áp dụng công thức He-rong ta có 2 S ABC = p ( p − a )( p − b)( p − c) = 72 . Cách 2: Đặt BC = a, CA = b, AB = c , Theo định lý trung tuyến có: 4ma2 + a 2 = 2 ( b2 + c 2 ) a 2 = 100  a = 10 −a 2 + 2b 2 + 2c 2 = 900 a 2 = 100   2  2  2   2 2 2 2 2 2 4mb + b = 2 ( a + c ) ⇒  2a − b + 2c = 576 ⇒ b = 208 ⇒ b = 208 ⇒ b = 4 13  2 2     2 2 2 2 2 2 2  2a + 2b − c = 324 c = 291 c = 292 c = 2 73 4mc + c = 2 ( b + a ) 1 Có S ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) , p = ( a + b + c ) Suy ra S ABC = 72 2

Câu 48.

Chọn A 3 a = b 2 + c 2 − 2bc cos A = 72 + 52 − 2.7.5. = 32 = 4 2 5 4  2 sin A = 5 4  3  16 2 2 sin A =1 − cos A =1 −   = . Suy ra  vì 0 ≤ A ≤ 180 0 nên sin A = 5  5  25 sin A = − 4  5

1 1 4 1 1 7 2 S = bc sin A = .7.5. = 14 mà S = a.ha ⇔ 14 = .4 2.ha ⇔ ha = 2 2 5 2 2 2 Câu 49. Chọn B 1 = 1 .2a.4a.sin120° = 2a 2 3 (đvdt). Diện tích của tam giác ABC là S ABC = AB. AC.sin BAC 2 2 Câu 50.

Chọn B Gọi G là trọng tâm ABC . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AG =

Câu 51.

Chọn C Theo đề bài tam giác ABC có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là p = tiếp bằng 1, tức là ta có: r = 1 . Diện tích tam giác ABC là: S = p.r = 6.1 = 6 .

Câu 52.

2a 3 a 3 = . 3 2 3

Chọn A

12 ; bán kính đường tròn nội 2

K I B

Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC; I là giao điểm của AH và CK . Lúc đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2a 3 =a 3. Ta có: AH = 2 2 2 2a Do đó: R = AI = AH = a 3 = . 3 3 3 Câu 53. Chọn C b2 + c2 − a 2 1 Áp dụng định lý cosin ta có cos A = = suy ra A = 60° . 2bc 2 a = 2. Áp dụng định lý sin ta có R = 2sin A Câu 54. Chọn A Vì AB 2 + AC 2 = BC 2 nên tam giác ABC vuông tại A . 1 AB. AC S 3.4 2 Do đó bán kính đường tròn nội tiếp r = = = = 1. 1 p 3 + 4+5 ( AB + AC + BC ) 2 Câu 55. Chọn A. a.b.c a.b.c 13.14.15 65 Ta có: S∆ABC = ⇔R= = = . 4R 4S 4.84 8 Câu 56. Chọn D. S 10 3 Ta có: S = pr ⇒ r = = = 3. p 10 Câu 57. Chọn B. a + b + c 26 + 28 + 30 = = 42. Ta có: p = 2 2 p ( p − a)( p − b)( p − c) 42(42 − 26)(42 − 28)(42 − 30) S S = pr ⇒ r = = = = 8. p p 42 Câu 58. Chọn C. a + b + c 52 + 56 + 60 = = 84. Ta có: p = 2 2 Suy ra: S = p ( p − a )( p − b)( p − c ) = 84(84 − 52)(84 − 56)(84 − 60) = 1344 . abc abc 52.56.60 65 ⇒R= = = . Mà S = 4R 4S 4.1344 2 14

Câu 59.

Chọn

 2 2 a2 3 a 2 3 = S = S ABC = . 3 3 4 6  Đặt AB = a . Suy ra  . 2 2   AD = AE 2 + ED 2 = a 3  +  a  = 2a 7       2  6 6     AD + DC + AC 5+ 7 a.r .r = S = 5 + 7 ar.2a 3 7 7 5 + 7 a4r  2 6 Hơn nữa  ⇒ S2 = = . 3 6.36 R 108 R  S = AD.DC.BC = 2a 7  4R 36 R

13 1 Ta có: 5 + 12 = 13 ⇒ R = . (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh huyền ). 2 2 Câu 60. Chọn A. 5 + 12 + 13 1 = 15 . Mà 52 + 122 = 132 ⇒ S = .5.12 = 30. Ta có: p = 2 2 S Mặt khác S = p.r ⇒ r = = 2. p Câu 61. Chọn A. 10 1 Ta có: 62 + 82 = 102 ⇒ R = = 5. (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh huyền 2 2 ). Câu 62. Chọn D 2

(

Hay

(

)

(

)

(

)

7 5 + 7 a4r 7 5 + 7 .12 7 5+ 7 a4 R R = ⇔ = ⇔ = . 12 108R r 108 r 9

DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 64. Chọn B. Ta có: AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CB.CA.cos C = 2502 + 1202 − 2.250.120.cos 78o 24' ≃ 64835 ⇒ AB ≃ 255. Câu 65. Chọn B. Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 = 30.2 = 60 km. Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 = 40.2 = 80 km. Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S = S12 + S 2 2 − 2 S1.S 2 .cos 600 = 20 13. Câu 66. Chọn B. CD CD 80 ⇒ AD = = ≃ 25, 7. Ta có: Trong tam giác vuông CDA : tan 72012' = AD tan 72012' tan 72012 ' CD CD 80 ⇒ BD = = ≃ 116, 7. Trong tam giác vuông CDB : tan 340 26' = BD tan 340 26 ' tan 340 26' Suy ra: khoảng cách AB = 116, 7 − 25,7 = 91 m. Câu 67. Chọn A. Ta có: AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CB.CA.cos C = 2002 + 1802 − 2.200.180.cos 56016' ≃ 32416 ⇒ AB ≃ 180.

Ta có MC = 3, NC = 1 ⇒ MN = 10 BM = 3, AB = 4 ⇒ AM = 5

AD = 6, ND = 3 ⇒ AN = 45 p=

AM + AN + MN 10 + 5 + 45 = 2 2

S AMN =

p ( p − AM ) ( p − AN )( p − MN ) =

15 2

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMN là: R = Câu 63.

Câu 68.

AM . AN .MN 5 2 = 4S AMN 2

Chọn D Ta có DC = 2 BD ⇔ DC = −2 DB . Do đó DC = 2 DB .

Chọn A Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . AB + BC + CA 4,3 + 3, 7 + 7,5 31 Nửa chu vi của tam giác ABC là: p = = = cm. 2 2 4 Diện tích tam giác ABC là: S = p ( p − AB )( p − BC )( p − CA ) ≈ 5, 2 cm2.

AB.BC.CA AB.BC.CA ⇒R= ≈ 5, 73 cm. 4R 4S Chọn A

Mà S =

Câu 69.

Gọi S là diện tích của tam giác ACD và E là trung điểm của BC . 15

= 630 ⇒ BAD = 117 0 ⇒ Ta có CAD ADB = 180 0 − (117 0 + 480 ) = 150

AB BD AB.sin BAD = ⇒ BD = sin ADB sin BAD sin ADB CD CBD = ⇒ CD = BD CBD sin .sin Tam giác BCD vuông tại C nên có: BD .sin CBD 24.sin117 0.sin 480 AB.sin BAD Vậy CD = = = 61, 4m sin150 sin ADB Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:

TOÁN 10

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

0H3-1

Dạng 2.3.4 Phương trình đường phân giác của tam giác........................................................................................ 37 DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .................................................................................... 39 DẠNG 4. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ............................................................................................................... 44

Contents

Dạng 4.1 Tính góc của hai đường thẳng cho trước .................................................................................................... 44

A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 2 DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG, VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG, HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................................................................... 2 DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ........................................ 5 Dạng 2.1 Viết phương trình đường thẳng khi biết VTPT hoặc VTCP, HỆ SỐ GÓC và 1 điểm đi qua ...................... 5 Dạng 2.2 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc hoặc với đường thẳng cho trước .................... 6 Dạng 2.3 Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác.................................................... 8 Dạng 2.3.1 Phương trình đường cao của tam giác ................................................................................................... 8 Dạng 2.3.2 Phương trình đường trung tuyến của tam giác ..................................................................................... 10 Dạng 2.3.3 Phương trình cạnh của tam giác........................................................................................................... 10 Dạng 2.3.4 Phương trình đường phân giác của tam giác........................................................................................ 10

Dạng 4.2 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc ..................................................................................... 46 DẠNG 5. KHOẢNG CÁCH .......................................................................................................................................... 48 Dạng 5.1 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng cho trước ........................................................................... 48 Dạng 5.2 Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách............................................................................... 51 DẠNG 6. XÁC ĐỊNH ĐIỂM ......................................................................................................................................... 53 Dạng 6.1 Xác định tọa hình chiếu, điểm đối xứng ..................................................................................................... 53 Dạng 6.2 Xác định điểm liên quan đến yếu tố khoảng cách, góc ............................................................................... 54 Dạng 6.3 Xác định điểm liên quan đến yếu tố cực trị ................................................................................................ 56 Dạng 6.4 Một số bài toán tổng hợp ............................................................................................................................ 58 DẠNG 7. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH ................................................................................ 69

DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .................................................................................... 12 DẠNG 4. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ............................................................................................................... 15 Dạng 4.1 Tính góc của hai đường thẳng cho trước .................................................................................................... 15

A. CÂU HỎI

Dạng 4.2 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc ..................................................................................... 17

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG, VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG, HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

DẠNG 5. KHOẢNG CÁCH .......................................................................................................................................... 18 Dạng 5.1 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng cho trước ........................................................................... 18 Dạng 5.2 Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách............................................................................... 20 DẠNG 6. XÁC ĐỊNH ĐIỂM ......................................................................................................................................... 22

Câu 1.

vectơ pháp tuyến của đường thẳng ( d ) ? A. n = ( a; −b ) . B. n = ( b; a ) .

Dạng 6.1 Xác định tọa hình chiếu, điểm đối xứng ..................................................................................................... 22 Dạng 6.2 Xác định điểm liên quan đến yếu tố khoảng cách, góc ............................................................................... 22 Dạng 6.3 Xác định điểm liên quan đến yếu tố cực trị ................................................................................................ 24

Câu 2.

Dạng 6.4 Một số bài toán tổng hợp ............................................................................................................................ 25

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG, VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG, HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................................................................. 28 DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ...................................... 30 Dạng 2.1 Viết phương trình đường thẳng khi biết VTPT hoặc VTCP, HỆ SỐ GÓC và 1 điểm đi qua .................... 30

(Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = ( a; b ) , a, b ∈ ℝ . Xét các khẳng định sau:

D. 4 .

(THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 2 y + 3 = 0 . Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là A. n = (1; −2 ) B. n = ( 2;1) C. n = ( −2;3) D. n = (1;3)

Câu 4.

Cho đường thẳng ( d ) : 3 x + 2 y − 10 = 0 . Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của ( d ) ?

Dạng 2.3.1 Phương trình đường cao của tam giác ................................................................................................. 34 Dạng 2.3.3 Phương trình cạnh của tam giác........................................................................................................... 36 1

D. n = ( a; b ) .

Câu 3.

Dạng 2.3 Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác.................................................. 34 Dạng 2.3.2 Phương trình đường trung tuyến của tam giác ..................................................................................... 36

C. n = ( b; − a ) .

1. Nếu b = 0 thì đường thẳng d không có hệ số góc. a 2. Nếu b ≠ 0 thì hệ số góc của đường thẳng d là . b 3. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = ( b; −a ) . 4. Vectơ kn , k ∈ ℝ là vectơ pháp tuyến của d . Có bao nhiêu khẳng định sai? A. 3 . B. 2 . C. 1 .

DẠNG 7. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH ................................................................................ 28 B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 28

Dạng 2.2 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc hoặc với đường thẳng cho trước .................. 32

Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng ( d ) : ax + by + c = 0, ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) . Vectơ nào sau đây là một

A. u = ( 3; 2 ) . Câu 5.

Câu 7.

Câu 8. Câu 9.

C. u = ( 2 ; − 3 ) .

D. u = ( −2 ; − 3 ) .

1  x = 5 − t (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho đường thẳng ∆ :  2 một vectơ pháp tuyến  y = −3 + 3t

Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2 x − 3 y + 4 = 0 . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của d. A. u4 = ( 3; −2 ) . B. u2 = ( 2;3) . C. u1 = ( 2; −3) . D. u3 = ( 3;2)

của đường thẳng ∆ có tọa độ

Câu 19.

A. ( 5; −3) . Câu 6.

B. u = ( 3; − 2 ) .

1  C.  ;3  . 2 

B. ( 6;1) .

D. ( −5;3) .

 x = −2 − t Trong hệ trục t ọa độ Oxy , Véctơ nào là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d :  ?  y = −1 + 2t A. n ( −2; −1) . B. n ( 2; −1) . C. n ( −1; 2 ) . D. n (1; 2 ) .

Câu 20.

 x = 1 − 4t Vectơ chỉ phương của đường thẳng d :  là:  y = −2 + 3t A. u = ( −4;3 ) . B. u = ( 4; 3 ) . C. u = ( 3;4 ) .

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − 2 y + 1 = 0. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là A. u = (1; − 2 ) . B. u = ( 2; 1) . C. u = ( 2; − 1) . D. u = (1; 2 ) . Câu 22. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = ( 2; −1) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một

D. u = (1; −2 ) .

Vector nào dưới đây là 1 vector chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox : A. u = (1; 0 ) . B. u = (1; −1) . C. u = (1;1) . D. u = (0;1) . Cho đường thẳng d : 7 x + 3 y − 1 = 0 . Vectơ nào sau đây là Vectơ chỉ phương của d? B. u = ( 3;7 ) . C. u = ( −3;7 ) . D. u = ( 2;3) . A. u = ( 7;3) .

Câu 10. Cho đường thẳng d : 2 x + 3 y − 4 = 0 . Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của đường thẳng d ? A. n1 = ( 3; 2 ) . B. n1 = ( −4; − 6 ) . C. n1 = ( 2; − 3) . D. n1 = ( −2;3) . Câu 11. Cho đường thẳng d : 5 x + 3 y − 7 = 0. Vectơ nào sau đây là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng d ? A. n1 = ( 3;5 ) . B. n2 = ( 3; −5 ) . C. n3 = ( 5;3) . D. n4 = ( −5; −3) . Câu 12. Cho đường thẳng ∆ : x − 2 y + 3 = 0 . Véc tơ nào sau đây không là véc tơ chỉ phương của ∆ ? A. u = ( 4; − 2 ) . B. v = ( −2; − 1) . C. m = ( 2;1) . D. q = ( 4;2 ) . Câu 13. Cho hai điểm A = (1; 2 ) và B = ( 5; 4 ) . Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là A. ( −1; −2 ) .

B. (1; 2 ) .

C. ( −2;1) .

D. ( −1; 2 ) .

Câu 14. Cho đường thẳng d : 7 x + 3 y − 1 = 0 . Vectơ nào sau đây là Vectơ chỉ phương của đường thẳng d? A. u = ( 7;3) . B. u = ( 3;7 ) . C. u = ( −3;7 ) . D. u = ( 2;3) . Câu 15.

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Vectơ nào sau đây là một Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ : 6 x − 2 y + 3 = 0 ? A. u (1;3) . B. u ( 6; 2 ) . C. u ( −1;3) . D. u ( 3; −1) .

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d : x − 2 y + 2018 = 0 ? A. n1 ( 0; −2 ) . B. n3 ( −2;0 ) . C. n4 ( 2;1) . D. n2 (1; −2 ) .

Câu 16. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây là vectơ pháp tuyến của đường thẳng y + 2 x − 1 = 0 ? A. ( 2; −1) .

B. (1;2 ) .

C. ( −2;1) .

D. ( −2; −1) .

Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2 x − y + 1 = 0 , một véctơ pháp tuyến của d là A. ( −2; −1) .

B. ( 2; −1) .

C. ( −1; −2 ) . 3

D. (1; −2 ) .

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hai điểm M ( 2;3) và N ( −2;5 ) . Đường thẳng M N có một vectơ chỉ phương là:

A. u = ( 4;2 ) .

B. u = ( 4; −2 ) .

C. u = ( −4; −2 ) .

vectơ pháp tuyến của d ? A. n1 = ( −1; 2 ) . B. n2 = (1; −2 ) .

C. n3 = ( −3; 6 ) .

D. u = ( −2; 4 ) .

D. n4 = ( 3;6 ) .

Câu 23. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = ( 4; −2 ) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d ? A. u1 = ( 2; −4 ) . B. u2 = ( −2; 4 ) .

C. u3 = (1; 2 ) .

D. u4 = ( 2;1) .

Câu 24. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = ( 3; −4) . Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là: A. n1 = ( 4;3) . B. n2 = ( −4; −3) . C. n3 = ( 3; 4 ) . D. n4 = ( 3; −4 ) . Câu 25. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = ( −2; −5) . Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là: A. u1 = ( 5; −2 ) . B. u2 = ( −5; 2 ) . C. u3 = ( 2;5) . D. u4 = ( 2; −5) . Câu 26. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = ( 3; −4 ) . Đường thẳng ∆ song song với d có một vectơ pháp tuyến là: A. n1 = ( 4;3) . B. n2 = ( −4;3) . C. n3 = ( 3; 4 ) . D. n4 = ( 3; −4 ) . Câu 27. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = ( −2; −5 ) . Đường thẳng ∆ song song với d có một vectơ chỉ phương là: A. u1 = ( 5; −2 ) . B. u2 = ( −5; −2 ) . C. u3 = ( 2;5) . D. u4 = ( 2; −5) . Câu 28. Cho đường thẳng d : 3x + 5 y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. d có vectơ pháp tuyến n = ( 3;5 ) . B. d có vectơ chỉ phương u = ( 5; −3) .

5 C. d có hệ số góc k = . 3

D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5 y = 0.

Câu 29. Cho đường thẳng ( d ) : x − 7 y + 15 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 4

 1  3

1 7 C. u = ( −7;1) là vecto chỉ phương của ( d )

A. ( d ) có hệ số góc k =

 

B. ( d ) đi qua hai điểm M  − ; 2  và M ( 5;0 ) D. ( d ) đi qua gốc tọa độ

Câu 30. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( −2;3) và B ( 4; −1) . Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng AB ?  x = 1 + 3t x − 4 y −1 A. x + y − 3 = 0 . B. y = 2 x + 1 . C. . D.  . = 6 −4  y = 1 − 2t DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Dạng 2.1 Viết phương trình đường thẳng khi biết VTPT hoặc VTCP, HỆ SỐ GÓC và 1 điểm đi qua

Câu 31.

 x = 3 − 5t Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d :  (t ∈ ℝ ) . Phương trình tổng quát của  y = 1 + 4t đường thẳng d là A. 4 x − 5 y − 7 = 0. . B. 4 x + 5 y − 17 = 0. . C. 4 x − 5 y − 17 = 0. . D. 4 x + 5 y + 17 = 0. Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A ( a;0 ) và B ( 0; b ) ( a ≠ 0; b ≠ 0 ) . Viết phương trình đường thẳng d.

A. d :

x = 2 + t B.  .  y = 5 + 6t

x = 1 C.  .  y = 2 + 6t

x = 2 D.  .  y = −1 + 6t

Câu 32. Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 3; − 1) và

B ( −6; 2 ) . Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng AB ?  x = 3 + 3t A.  .  y = −1 − t

 x = 3 + 3t B.  .  y = −1 + t

 x = −3t C.  . y = t

 x = −6 − 3t D.  . y = 2+ t

Câu 33. Phương trình tham số của đường thẳng qua M (1; −2 ) , N ( 4;3) là x = 4 + t A.  .  y = 3 − 2t

 x = 1 + 5t B.  .  y = −2 − 3t

 x = 3 + 3t C.  .  y = 4 + 5t

 x = 3 + 3t B.  .  y = −1 − t

 x = 3 + 3t C.  .  y = −6 − t

 x = 3 + 3t D.  .  y = −1 + t

 x = −t D.  . y = 3+ t

x = 5 + t Câu 36. Cho đường thẳng d có phương trình tham số  . Phương trình tổng quát của đường  y = −9 − 2t thẳng d là A. 2 x + y − 1 = 0 . B. −2 x + y − 1 = 0 . C. x + 2 y + 1 = 0 . D. 2 x + 3 y − 1 = 0 . Câu 37. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (1; 2) . Gọi A, B là hình chiếu của M lên Ox, Oy . Viết phương trình đường thẳng AB . A. x + 2 y − 1 = 0 . B. 2 x + y + 2 = 0 . C. 2 x + y − 2 = 0 . D. x + y − 3 = 0 .

C. d :

x y + = 1. a b

D. d :

x y + = 1. . b a

x y x y −x y −x y + = 1. =1. + =1. + = 1. B. + C. D. 6 4 4 −6 4 −6 6 4 Dạng 2.2 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc hoặc với đường thẳng cho trước Câu 41. Phương trình đường thẳng d đi qua A (1; −2 ) và vuông góc với đường thẳng ∆ : 3 x − 2 y + 1 = 0 là: A. 3 x − 2 y − 7 = 0 . B. 2 x + 3 y + 4 = 0 . C. x + 3 y + 5 = 0 . D. 2 x + 3 y − 3 = 0 . Câu 42. Cho đường thẳng d : 8 x − 6 y + 7 = 0 . Nếu đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng d thì ∆ có phương trình là A. 4 x − 3 y = 0 . B. 4 x + 3 y = 0 . C. 3x + 4 y = 0 . D. 3 x − 4 y = 0 . Câu 43. Đường thẳng đi qua điểm A (1;11) và song song với đường thẳng y = 3x + 5 có phương trình là

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A ( 3;0 ) , B ( 0; 2 ) và đường thẳng d : x + y = 0 . Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ qua A và song song với d . x = t x = t  x = −t A.  . B.  . C.  . y = 3−t y = 3+ t y = 3−t

x y − = 1. a b

 x = 1 + 3t D.  .  y = −2 + 5t

Câu 34. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A ( 3; −1) , B ( −6; 2 ) là

 x = −1 + 3t A.  .  y = 2t

B. d :

Câu 40. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A ( 0; 4 ) , B ( −6;0 ) là:

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A ( 2; −1) và B ( 2;5 ) là  x = 2t A.  .  y = −6t

x y + =0. a b

A. y = 3x + 11 . Câu 44.

B. y = ( −3 x + 14 ) .

C. y = 3x + 8 .

D. y = x + 10 .

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Lập phương trình đường đi qua A ( 2;5 ) và song song với đường thẳng ( d ) : y = 3x + 4?

A. ( ∆ ) : y = 3x − 2 .

B. ( ∆ ) : y = 3x − 1.

1 C. ( ∆ ) : y = − x − 1 . D. ( ∆ ) : y = −3x − 1 . 3

Câu 45. Trong hệ trục Oxy , đường thẳng d qua M (1;1) và song song với đường thẳng d ' : x + y − 1 = 0 có phương trình là A. x + y − 1 = 0 . B. x − y = 0 . C. − x + y − 1 = 0 . D. x + y − 2 = 0 . Câu 46. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I ( −1; 2 ) và vuông góc với đường thẳng có phương trình 2 x − y + 4 = 0 . A. x + 2 y = 0 . B. x + 2 y − 3 = 0 .

C. x + 2 y + 3 = 0 .

D. x − 2 y + 5 = 0 .

Câu 47. Trong hệ trục tọa độ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm M (1;0) và N ( 0;2) . Đường thẳng đi

1  qua A  ;1 và song song với đường thẳng MN có phương trình là 2  A. Không tồn tại đường thẳng như đề bài yêu cầu. B. 2 x + y − 2 = 0 . C. 4 x + y − 3 = 0 . D. 2 x − 4 y + 3 = 0 . 6

Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A ( 2; 0 ) ¸ B ( 0;3) và C ( −3; −1) . Đường thẳng đi qua điểm B và song song với AC có phương trình tham số là:  x = 5t x = 5 x = t A.  B.  C.  . . . 3 y = + t y = 1 + 3 t    y = 3 − 5t

 x = 3 + 5t D.  . y = t

Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A ( 3; 2 ) ¸ P ( 4; 0 ) và Q ( 0; −2 ) . Đường thẳng đi qua điểm A và song song với PQ có phương trình tham số là:  x = 3 + 4t  x = 3 − 2t  x = −1 + 2t  x = −1 + 2t A.  B.  C.  D.  . . . .  y = 2 − 2t y = 2 +t y = t  y = −2 + t Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A ( –2;1) và phương  x = 1 + 4t . Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa trình đường thẳng chứa cạnh CD là   y = 3t cạnh AB .  x = −2 + 3t  x = −2 − 4t  x = −2 − 3t  x = −2 − 3t A.  . B.  . C.  . D.  .  y = −2 − 2t  y = 1 − 3t  y = 1 − 4t  y = 1 + 4t Câu 51. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M ( −3;5 ) và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.  x = −3 + t  x = −3 + t x = 3 + t x = 5 − t A.  . B.  . C.  . D.  . 5 5 y = − t y = + t y = − 5 + t     y = −3 + t Câu 52. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M ( 4; −7 ) và song song với trục Ox .  x = 1 + 4t A.  .  y = −7t

x = 4 B.  .  y = −7 + t

 x = −7 + t C.  . y = 4

x = t D.  .  y = −7

Câu 53. Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2 ) và song song với đường thẳng ∆ : 2 x + 3 y − 12 = 0 có phương trình tổng quát là: A. 2 x + 3 y − 8 = 0 . B. 2 x + 3 y + 8 = 0 . C. 4 x + 6 y + 1 = 0 . D. 4 x − 3 y − 8 = 0 . Câu 54. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng ∆ : 6 x − 4 x + 1 = 0 là: A. 3 x − 2 y = 0. B. 4 x + 6 y = 0. C. 3 x + 12 y − 1 = 0. D. 6 x − 4 y − 1 = 0. Câu 55. Đường thẳng d đi qua điểm M ( −1; 2 ) và vuông góc với đường thẳng ∆ : 2 x + y − 3 = 0 có phương trình tổng quát là: A. 2 x + y = 0 . B. x − 2 y − 3 = 0 .

C. x + y − 1 = 0 .

D. x − 2 y + 5 = 0 .

Câu 56. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 4; −3) và song song với đường thẳng  x = 3 − 2t d : .  y = 1 + 3t A. 3 x + 2 y + 6 = 0 . C. 3 x + 2 y − 6 = 0 .

B. −2 x + 3 y + 17 = 0 . D. 3 x − 2 y + 6 = 0 .

Câu 57. Cho tam giác ABC có A ( 2;0 ) , B ( 0;3) , C ( –3;1) . Đường thẳng d đi qua B và song song với

AC có phương trình tổng quát là: A. 5 x – y + 3 = 0 . B. 5 x + y – 3 = 0 .

C. x + 5 y –15 = 0 . 7

Câu 58. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M ( −1; 0 ) và vuông góc với đường x = t thẳng ∆ :  .  y = −2t A. 2 x + y + 2 = 0 .

B. 2 x − y + 2 = 0 .

C. x − 2 y + 1 = 0 .

D. x + 2 y + 1 = 0 .

 x = 1 − 3t Câu 59. Đường thẳng d đi qua điểm M ( −2;1) và vuông góc với đường thẳng ∆ :  có phương  y = −2 + 5t trình tham số là:  x = −2 − 3t  x = −2 + 5t  x = 1 − 3t  x = 1 + 5t A.  B.  C.  D.  . . . . = + = + y 1 5 t y 1 3 t y = 2 + 5 t     y = 2 + 3t Câu 60. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A ( −1; 2 ) và song song với đường thẳng ∆ : 3 x − 13 y + 1 = 0 .  x = −1 + 13t  x = 1 + 13t A.  . B.  .  y = 2 + 3t  y = −2 + 3t

 x = −1 − 13t C.  .  y = 2 + 3t

 x = 1 + 3t D.  .  y = 2 − 13t

Câu 61. Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm A ( −1; 2 ) và vuông góc với đường thẳng ∆ : 2x − y + 4 = 0 .  x = −1 + 2t x = t  x = −1 + 2t  x = 1 + 2t A.  . B.  . C.  . D.  . y = 2 −t  y = 4 + 2t y = 2 + t y = 2 −t Câu 62. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M ( −2; −5) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. A. x + y − 3 = 0 . B. x − y − 3 = 0 . C. x + y + 3 = 0 . D. 2 x − y − 1 = 0 . Câu 63. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M ( 3; −1) và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai. A. x + y − 4 = 0 . B. x − y − 4 = 0 . C. x + y + 4 = 0 . D. x − y + 4 = 0 . Câu 64. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M ( −4;0 ) và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai. x = t  x = −4 + t x = t x = t A.  . B.  . C.  . D.  . = − y = − 4 + t y t y = 4 + t    y = 4 −t Câu 65. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M ( −1; 2 ) và song song với trục Ox . A. y + 2 = 0 . B. x + 1 = 0 . C. x − 1 = 0 . D. y − 2 = 0 . Câu 66. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M ( 6; −10) và vuông góc với trục Oy .  x = 10 + t x = 2 + t x = 6 x = 6 A.  . B. d :  . C. d :  . D. d :  . y = 6  y = −10  y = −10 − t  y = −10 + t Dạng 2.3 Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác Dạng 2.3.1 Phương trình đường cao của tam giác

D. x –15 y + 15 = 0 . 8

Câu 67.

(ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1; 2 ) , B ( 3;1) , C ( 5; 4 ) . Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ? A. 2 x + 3 y − 8 = 0 .

B. 2 x + 3 y + 8 = 0 .

C. 3 x − 2 y + 1 = 0 .

D. 2 x + 3 y − 2 = 0 .

Câu 68. Cho ∆ABC có A ( 2; −1) , B ( 4;5) , C ( −3; 2 ) . Đường cao AH của ∆ABC có phương trình là A. 7 x + 3 y −11 = 0 . B. −3x + 7 y + 13 = 0 . C. 3x + 7 y +17 = 0 . D. 7 x + 3 y + 10 = 0 . Câu 69.

Câu 80. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2; −1) , B ( 4;5 ) và C ( −3; 2 ) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ C. A. x + y − 1 = 0. B. x + 3 y − 3 = 0. C. 3x + y + 11 = 0. D. 3x − y + 11 = 0. Dạng 2.3.2 Phương trình đường trung tuyến của tam giác Câu 81. Cho tam giác ABC với A (1;1) , B ( 0; − 2 ) , C ( 4; 2 ) . Phương trình tổng quát của đường trung tuyến đi qua điểm B của tam giác ABC là A. 7 x + 7 y + 14 = 0 . B. 5 x − 3 y + 1 = 0 .

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có

A (1; 2 ) , B ( 3;1) , C ( 5;4 ) . Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ? A. 2 x + 3 y − 8 = 0 . C. 3x − 2 y + 1 = 0 .

B. 2 x + 3 y + 8 = 0 . D. 2 x + 3 y − 2 = 0 .

Câu 70. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC cân tại C có B ( 2; − 1) , A ( 4;3) . Phương trình đường cao

CH là A. x − 2 y − 1 = 0 .

Câu 82.

B. x − 2 y + 1 = 0 .

C. 2 x + y − 2 = 0 .

D. x + 2 y − 5 = 0 .

Câu 71. Cho ∆ABC có A ( 2; − 1) , B ( 4;5 ) , C ( −3; 2 ) . Phương trình tổng quát của đường cao BH là A. 3 x + 5 y − 37 = 0 . B. 5 x − 3 y − 5 = 0 . C. 3 x − 5 y − 13 = 0 . D. 3 x + 5 y − 20 = 0 .

C. x + 2 y − 3 = 0.

D. x − y = 0.

tuyến BM của tam giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng: 25 27 A. −12. B. − . C. −13. D. − . 2 2 Dạng 2.3.3 Phương trình cạnh của tam giác

Câu 85.

Câu 74. Đường trung trực của đoạn AB với A (1; −4 ) và B ( 5; 2 ) có phương trình là: A. 2 x + 3 y − 3 = 0. B. 3 x + 2 y + 1 = 0. C. 3 x − y + 4 = 0. D. x + y − 1 = 0. Câu 75. Đường trung trực của đoạn AB với A ( 4; −1) và B (1; −4) có phương trình là: A. x + y = 1. B. x + y = 0. C. y − x = 0. D. x − y = 1. Câu 76. Đường trung trực của đoạn AB với A (1; −4 ) và B (1; 2 ) có phương trình là: A. y + 1 = 0.

B. x + 1 = 0.

C. y − 1 = 0.

D. x − 4 y = 0.

Câu 77. Đường trung trực của đoạn AB với A (1; −4 ) và B ( 3; −4 ) có phương trình là : A. y + 4 = 0.

B. x + y − 2 = 0.

C. x − 2 = 0.

D. y − 4 = 0.

Câu 78. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2; −1) , B ( 4;5 ) và C ( −3; 2 ) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A. A. 7 x + 3 y − 11 = 0. B. −3x + 7 y + 13 = 0. C. 3x + 7 y + 1 = 0. D. 7 x + 3 y + 13 = 0. Câu 79. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2; −1) , B ( 4;5 ) và C ( −3; 2 ) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B. A. 3x − 5 y − 13 = 0. B. 3x + 5 y − 20 = 0. D. 5x − 3 y − 5 = 0. C. 3x + 5 y − 37 = 0. 9

(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2;3) , B (1;0) , C ( −1; −2) . Phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là: A. 2 x − y − 1 = 0 . B. x − 2 y + 4 = 0 . C. x + 2 y − 8 = 0 . D. 2 x + y − 7 = 0 .

Câu 84. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2; 4 ) , B ( 5; 0 ) và C ( 2;1) . Trung

Câu 73. Cho tam giác ABC có A (1;1) , B(0; −2), C ( 4; 2 ) . Lập phương trình đường trung tuyến của tam B. 2 x + y − 3 = 0.

D. −7x + 5 y +10 = 0 .

Câu 83. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1; 4 ) , B ( 3; 2 ) và C ( 7;3 ) . Viết phương trình tham số của đường trung tuyến CM của tam giác. x = 7  x = 3 − 5t x = 7 + t x = 2 A.  B.  C.  D.  . . . .  y = 3 + 5t  y = −7 y = 3 y = 3−t

Câu 72. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A = ( −3; 2) , B = ( −3;3) có một vectơ pháp tuyến là: A. n1 = ( 6;5 ) . B. n2 = ( 0;1) . C. n3 = ( −3;5) . D. n4 = ( −1;0 ) . giác ABC kẻ từ A. A. x + y − 2 = 0.

C. 3x + y − 2 = 0 .

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ( 2;0 ) là trung điểm của cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7 x − 2 y − 3 = 0 và 6 x − y − 4 = 0 . Phương trình đường thẳng AC là A. 3 x − 4 y − 5 = 0 . B. 3 x + 4 y + 5 = 0 . C. 3 x − 4 y + 5 = 0 . D. 3 x + 4 y − 5 = 0 .

Câu 86.

(Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là x − y − 2 = 0, phương trình cạnh AC là x + 2 y − 5 = 0 . Biết trọng tâm của tam giác là điểm G ( 3; 2 ) và phương trình đường thẳng BC có dạng x + my + n = 0. Tìm m + n. A. 3 . B. 2 . C. 5 . D. 4 . Dạng 2.3.4 Phương trình đường phân giác của tam giác

Câu 87. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và hai điểm M ( xm ; ym ) ,

N ( xn ; yn ) không thuộc ∆ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. M , N khác phía so với ∆ khi ( axm + bym + c ) . ( axn + byn + c ) > 0. B. M , N cùng phía so với ∆ khi ( axm + bym + c ) . ( axn + byn + c ) ≥ 0. 10

DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

C. M , N khác phía so với ∆ khi ( axm + bym + c ) . ( axn + byn + c ) ≤ 0. D. M , N cùng phía so với ∆ khi ( axm + bym + c ) . ( axn + byn + c ) > 0. Câu 88. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3x + 4 y − 5 = 0 và hai điểm A (1;3) , B ( 2; m ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d .

A. m < 0 .

1 B. m > − . 4

1 D. m = − . 4

C. m > −1 .

x = 2 + t Câu 89. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d :  và hai điểm A (1; 2 ) ,  y = 1 − 3t B ( −2; m ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d . A. m > 13. B. m ≥ 13 . C. m < 13. D. m = 13 . Câu 90. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng ∆1 : x + 2 y − 3 = 0 và ∆ 2 : 2 x − y + 3 = 0 . A. 3x + y = 0 và x − 3 y = 0 . B. 3x + y = 0 và x + 3 y − 6 = 0 . C. 3x + y = 0 và − x + 3 y − 6 = 0 . D. 3x + y + 6 = 0 và x − 3 y − 6 = 0 . Câu 91. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng ∆ : x + y = 0 và trục hoành.

( ) ( ) C. (1 + 2 ) x − y = 0 ; x + (1 − 2 ) y = 0 .

(

A. 1 + 2 x + y = 0 ; x − 1 − 2 y = 0 .

)

( (

) )

B. 1 + 2 x + y = 0 ; x + 1 − 2 y = 0 .

(

)

D. x + 1 + 2 y = 0 ; x + 1 − 2 y = 0 .

7  Câu 92. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  ;3  , B (1; 2 ) và C ( −4;3 ) . 4  Phương trình đường phân giác trong của góc A là: B. 4 x − 8 y + 17 = 0. A. 4 x + 2 y − 13 = 0. C. 4 x − 2 y − 1 = 0. D. 4 x + 8 y − 31 = 0. Câu 93. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1; 5 ) , B ( −4; −5 ) và C ( 4; −1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là: A. y + 5 = 0. B. y − 5 = 0. C. x + 1 = 0.

D. x − 1 = 0.

Câu 94. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3 x − 4 y − 3 = 0 và d 2 :12 x + 5 y − 12 = 0 . Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d 2 là: A. 3x + 11y − 3 = 0. B. 11x − 3 y − 11 = 0. C. 3x − 11y − 3 = 0. D. 11x + 3 y − 11 = 0.

Câu 97.

(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Có bao nhiêu cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng sau? 1 1 2 1 ( d1 ) : y = − x − 2; ( d 2 ) : y = − x + 3; ( d3 ) : y = x + 3; ( d 4 ) : y = − x − 2 2 2 2 2 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .

Câu 98. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng không song song với đường thẳng d : y = 3x − 2 B. 3x − y − 6 = 0 . A. −3x + y = 0 . C. 3x − y + 6 = 0 . D. 3x + y − 6 = 0 . Câu 99. Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng d : x − 2 y − 1 = 0 song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây? A. x + 2 y + 1 = 0 . B. 2 x − y = 0 . C. − x + 2 y + 1 = 0 . D. −2 x + 4 y − 1 = 0 . Câu 100. Cho các đường thẳng sau.  3 1 3 3 x − 2 d2 : y = x + 1 d3 : y = −  1 − x −1  x + 2 d4 : y = 3  3 3 3  Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? A. d2 , d3 , d4 song song với nhau. B. d2 và d4 song song với nhau.

d1 : y =

D. d2 và d3 song song với nhau.

C. d1 và d4 vuông góc với nhau.

Câu 101. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = ( m 2 − 3 ) x + 3m + 1 song song với đường thẳng y = x − 5 .

A. m = ±2 .

B. m = ± 2 .

C. m = −2 .

D. m = 2 .

Câu 102. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x − 3 y − 6 = 0 và 3x + 4 y − 1 = 0 là  27 17   27 17  A.  ; −  . B. ( −27;17 ) . C.  − ;  . D. ( 27; −17 ) .  13 13   13 13  Câu 103. Cho đường thẳng d1 : 2 x + 3 y + 15 = 0 và d 2 : x − 2 y − 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. d1 và d 2 cắt nhau và không vuông góc với nhau. B. d1 và d 2 song song với nhau. C. d1 và d 2 trùng nhau. D. d1 và d 2 vuông góc với nhau. Câu 104. Hai đường thẳng d1 : mx + y = m − 5, d 2 : x + my = 9 cắt nhau khi và chỉ khi A. m ≠ −1. B. m ≠ 1. C. m ≠ ±1 . D. m ≠ 2 .

Câu 95. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 3 x − 4 y − 9 = 0 , cạnh AC : 8 x − 6 y + 1 = 0 , cạnh BC : x + y − 5 = 0 . Phương trình đường phân giác trong của góc A là: A. 14 x + 14 y − 17 = 0 . B. 2 x − 2 y − 19 = 0 . C. 2 x + 2 y + 19 = 0 . D. 14 x − 14 y − 17 = 0 .

Câu 105. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 3x + 4 y + 10 = 0 và d 2 : ( 2m − 1) x + m 2 y + 10 = 0 trùng nhau? A. m ± 2 . B. m = ±1 . C. m = 2 . D. m = −2 .

Câu 96.

Câu 106. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng có phương trình d1 : mx + ( m − 1) y + 2 m = 0 và d 2 : 2 x + y − 1 = 0 . Nếu d1 song song d 2 thì: A. m = 2. B. m = −1. C. m = −2. D. m = 1.

(THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng, lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác

ABC với A (1; −2 ) , B ( 2; −3) , C ( 3;0 ) . Phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC là A. x = 1 . B. y = −2 . C. 2 x + y = 0 . D. 4 x + y − 2 = 0 . 11

 x = 2 − 3t cắt nhau. Câu 107. Tìm m để hai đường thẳng d1 : 2 x − 3 y + 4 = 0 và d 2 :   y = 1 − 4mt 1 1 1 A. m ≠ − . B. m ≠ 2. C. m ≠ . D. m = . 2 2 2

Câu 108. Với giá trị nào của a thì hai đường thẳng

A. a = −2.

 x = −1 + at d1 : 2 x – 4 y + 1 = 0 và d 2 :  vuông góc với nhau?  y = 3 − ( a + 1) t B. a = 2. C. a = −1. D. a = 1 .  x = −2 + 2t  x = 2 + mt và d 2 :  d1 :  trùng nhau?  y = −6 + (1 − 2m ) t  y = −3t

B. m = −2 .

C. m = 2 .

D. m ≠ ±2 .

Câu 110. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng  x = 2 + 2t d1 :  và d 2 : 4 x − 3 y + m = 0 trùng nhau.  y = 1 + mt 4 A. m = −3 . B. m = 1 . C. m = . D. m ∈ ∅ . 3 Câu 111. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 2 x + y + 4 − m = 0 và d 2 : ( m + 3 ) x + y + 2 m − 1 = 0 song song? A. m = 1.

B. m = −1.

C. m = 2.

D. m = 3.

Câu 112. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng ∆1 : 2 x − 3my + 10 = 0 và ∆ 2 : mx + 4 y + 1 = 0 cắt nhau. A. 1 < m < 10 . B. m = 1 . C. Không có m . D. Với mọi m . Câu 113. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ∆1 : mx + y − 19 = 0 và ∆ 2 : ( m − 1) x + ( m + 1) y − 20 = 0 vuông góc? A. Với mọi m . B. m = 2 . C. Không có m . D. m = ±1 . Câu 114. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

(

)

d1 : 3mx + 2 y + 6 = 0 và d2 : m + 2 x + 2my + 6 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ −1 .

B. m ≠ 1 .

C. m ∈ ℝ .

D. m ≠ 1 và m ≠ −1 .

Câu 115. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

1 A. m = . 2

8 B. m = . 3

 x = 2 − 3t d1 : 2 x − 3 y − 10 = 0 và d 2 :  vuông góc?  y = 1 − 4mt 9 9 5 B. m = . C. m = − . D. m = − . 8 8 4

Câu 116. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng  x = 1 + 2t trùng nhau? d1 : 4 x − 3 y + 3m = 0 và d 2 :   y = 4 + mt

4 C. m = − . 3

4 D. m = . 3

Câu 117. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

(

)

d1 : 3mx + 2 y − 6 = 0 và d2 : m2 + 2 x + 2my − 3 = 0 song song?

A. m = 1; m = −1.

Câu 109. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

1 A. m = . 2

8 A. m = − . 3

B. m ∈ ∅ .

C. m = 2 .

D. m = −1 .

Câu 118. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

 x = 8 − ( m + 1) t d1 :  và d 2 : mx + 2 y − 14 = 0 song song?  y = 10 + t m = 1 . A.   m = −2

B. m = 1 .

C. m = −2 .

D. m ∈ ∅ .

Câu 119. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : ( m − 3) x + 2 y + m 2 − 1 = 0 và d 2 : − x + my + m2 − 2m + 1 = 0 cắt nhau? A. m ≠ 1 .

m ≠ 1 B.  . m ≠ 2

C. m ≠ 2 .

m ≠ 1 D.  . m ≠ 2

Câu 120. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng  x = m + 2t  x = 1 + mt ∆1 :  và ∆ 2 :  trùng nhau? 2 = + + y 1 m 1 t ( ) y = m + t  4 A. Không có m . B. m = . C. m = 1 . D. m = −3 . 3 Câu 121. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 7 x − 3 y + 16 = 0 và x + 10 = 0 . A. ( −10; −18 ) . B. (10;18 ) . C. ( −10;18 ) . D. (10; −18 ) . Câu 122. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng  x = −3 + 4t  x = 1 + 4t ′ d1 :  và d 2 :  .  y = 2 + 5t  y = 7 − 5t ′ A. (1; 7 ) .

B. ( −3; 2 ) .

C. ( 2; −3 ) .

D. ( 5;1) .

 x = 22 + 2t Câu 123. Cho hai đường thẳng d1 : 2 x + 3 y − 19 = 0 và d 2 :  . Tìm toạ độ giao điểm của hai  y = 55 + 5t đường thẳng đã cho. A. ( 2;5 ) . B. (10; 25 ) . C. ( −1;7 ) . D. ( 5; 2 ) .

Câu 124. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( –2;0 ) , B (1; 4 ) và đường thẳng  x = −t d : . Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và d . y = 2−t A. ( 2; 0 ) . B. ( –2 ; 0 ) . C. ( 0; 2 ) .

D. ( 0; – 2 ) .

 x = −1 + t Câu 125. Xác định a để hai đường thẳng d1 : ax + 3 y – 4 = 0 và d 2 :  cắt nhau tại một điểm nằm  y = 3 + 3t trên trục hoành. A. a = 1. B. a = −1. C. a = 2. D. a = −2. 14

x = 2 + t Câu 126. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng d1 : 4 x + 3my – m 2 = 0 và d 2 :  cắt  y = 6 + 2t nhau tại một điểm thuộc trục tung. A. m = 0 hoặc m = −6 . B. m = 0 hoặc m = 2 . C. m = 0 hoặc m = −2 . D. m = 0 hoặc m = 6 .

Câu 127. Cho ba đường thẳng d1 : 3 x – 2 y + 5 = 0 , d 2 : 2 x + 4 y – 7 = 0 , d3 : 3x + 4 y –1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 và d 2 , và song song với d3 là: A. 24 x + 32 y – 53 = 0 . B. 24 x + 32 y + 53 = 0 . C. 24 x – 32 y + 53 = 0 . D. 24 x – 32 y – 53 = 0 . Câu 128. Lập phương trình của đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : x + 3 y − 1 = 0 , d 2 : x − 3 y − 5 = 0 và vuông góc với đường thẳng d3 : 2 x − y + 7 = 0 . A. 3x + 6 y − 5 = 0 . B. 6 x + 12 y − 5 = 0 . C. 6 x + 12 y + 10 = 0 . D. x + 2 y + 10 = 0 . Câu 129. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình d1 : 3x − 4 y + 15 = 0 , d 2 : 5 x + 2 y − 1 = 0 và d 3 : mx − ( 2m − 1) y + 9m − 13 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm. 1 1 A. m = . B. m = −5. C. m = − . D. m = 5. 5 5

Câu 130. Nếu ba đường thẳng d1 : 2 x + y – 4 = 0 , d 2 : 5 x – 2 y + 3 = 0 và d3 : mx + 3 y – 2 = 0 đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây? 12 12 . A. B. − . 5 5

C. 12.

và

Câu 132. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1 : 2 x + y –1 = 0 , d 2 : x + 2 y + 1 = 0 và d3 : mx – y – 7 = 0 đồng quy? A. m = −6 . B. m = 6 . C. m = −5 . D. m = 5 . Câu 133. Đường thẳng d : 51x − 30 y + 11 = 0 đi qua điểm nào sau đây? 4 4    3 A. M  −1; −  . B. N  −1;  . C. P 1;  . 3 3    4

C. 60 .

Câu 135. Góc giữa hai đường thẳng a : 3x − y + 7 = 0 và b : x − 3 y − 1 = 0 là: A. 30° . B. 90° . C. 60° . 15

C. 450 .

D. 600 .

x = 2 − t Câu 138. Tìm góc giữa hai đường thẳng ∆1 : x − 2 y + 15 = 0 và ∆ 2 :  ( t ∈ ℝ ).  y = 4 + 2t A. 5° . B. 60° . C. 0° . D. 90° . Câu 139. Tìm cosin góc giữa 2 đường thẳng d1 : x + 2 y − 7 = 0, d 2 : 2 x − 4 y + 9 = 0 . 3 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 140. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính góc giữa hai đường thẳng ∆ : x − 3 y + 2 = 0 và ∆ ' : x + 3 y − 1 = 0 ? A. 90o. B. 120o. C. 60o. D. 30o. Câu 141. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 2 x − y − 10 = 0 và d 2 : x − 3 y + 9 = 0. B. 45o.

C. 60o.

Câu 142. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 7 x − 3 y + 6 = 0 và d 2 : 2 x − 5 y − 4 = 0. π π 2π A. . B. . C. . 4 3 3

D. 135o.

3π . 4

Câu 143. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 2 x + 2 3 y + 5 = 0 và d 2 : y − 6 = 0. A. 30o.

B. 45o.

C. 60o.

D. 90o.

Câu 144. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : x + 3 y = 0 và d 2 : x + 10 = 0. A. 30o.

B. 45o.

C. 60o.

D. 90o.

Câu 145. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng

A. 30o.

Câu 134. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Tính góc giữa hai đường thẳng ∆ : x − 3 y + 2 = 0 và B. 120 .

B. 1350 .

x = 2 + t Câu 137. Tìm côsin góc giữa hai đường thẳng ∆1 : 2 x + y − 1 = 0 và ∆ 2 :   y = 1− t 10 3 3 3 10 A. . B. . C. . D. . 10 10 5 10

3  D. Q  −1; −  . 4 

DẠNG 4. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Dạng 4.1 Tính góc của hai đường thẳng cho trước

∆′ : x + 3 y − 1 = 0 . A. 90 .

A. 300 .

A. 30o.

D. −12.

Câu 131. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1 : 3x – 4 y + 15 = 0 , d 2 : 5 x + 2 y – 1 = 0 d3 : mx – 4 y + 15 = 0 đồng quy? A. m = −5 . B. m = 5 . C. m = 3 . D. m = −3 .

Câu 136. Cho hai đường thẳng d1 : 2 x + 5 y − 2 = 0 và d 2 : 3x − 7 y + 3 = 0 . Góc tạo bởi đường thẳng d1 và d 2 bằng

D. 30 .

 x = 10 − 6t d1 : 6 x − 5 y + 15 = 0 và d 2 :  .  y = 1 + 5t C. 60o. B. 45o.

D. 90o.

Câu 146. Cho đường thẳng d1 : x + 2 y − 7 = 0 và d 2 : 2 x − 4 y + 9 = 0 . Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho. 3 3 2 3 A. − . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 147. Cho đường thẳng d1 : x + 2 y − 2 = 0 và d 2 : x − y = 0 . Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.

D. 45° . 16

10 . 10

2 . 3

3 . 3

x = 2 + t Câu 148. Cho đường thẳng d1 :10 x + 5 y − 1 = 0 và d 2 :  . Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai  y = 1− t đường thẳng đã cho. 3 10 3 10 3 A. . B. . C. . D. . 10 5 10 10  x = 15 + 12t Câu 149. Cho đường thẳng d1 : 3 x + 4 y + 1 = 0 và d 2 :  .  y = 1 + 5t Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.

hai đường thẳng ( d ) đi qua M cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại hai điểm B, C sao cho ABC là tam giác có BC = 3 AB có dạng: ax + y + b = 0 và cx + y + d = 0 , giá trị của T = a + b + c + d là A. T = 5 . B. T = 6 . C. T = 2 . D. T = 0 .

Câu 156. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác cân ABC có cạnh đáy BC : x − 3 y − 1 = 0 , cạnh bên AB : x − y − 5 = 0 . Đường thẳng AC đi qua M ( −4;1) . Giả sử toạ độ đỉnh C (m, n ) .Tính

T = m +n . 5 . 9

A. T =

B. T = −3 .

C. T =

9 . 5

9 D. T = − . 5

Câu 157. (Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng (d1 ) :2 x − y + 5 = 0 và (d2 ) : x + y − 3 = 0 cắt nhau tại I . Phương trình đường thẳng đi qua

M (−2;0) cắt (d1 ) , ( d2 ) tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại A có phương trình dạng 56 33 6 A. . B. − . C. . 65 65 65 Dạng 4.2 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

33 D. . 65

 x = 9 + at Câu 150. Xác định tất cả các giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng  ( t ∈ ℝ ) và đường thẳng  y = 7 − 2t 3 x + 4 y − 2 = 0 bằng 45° . 2 2 A. a = 1 , a = −14 . B. a = , a = −14 . C. a = −2 , a = −14 . D. a = , a = 14 . 7 7 Câu 151. Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : 2 x + y − 3 = 0 và d 2 : x − 2 y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng d3 : y − 1 = 0 một góc 450 có phương trình: A. x + (1 − 2) y = 0 hoặc ∆ : x − y − 1 = 0 . C. ∆ : x − y = 0 hoặc ∆ : x + y − 2 = 0 .

B. ∆ : x + 2 y = 0 hoặc ∆ : x − 4 y = 0 . D. ∆ : 2 x + 1 = 0 hoặc y + 5 = 0. .

Câu 152. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A ( 2 ; 0 ) và tạo với trục hoành một góc 45° ? A. Có duy nhất. B. 2 . C. Vô số. D. Không tồn tại.

Câu 153. Đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d : x + 2 y − 6 = 0 một góc 450 . Tìm hệ số góc k của đường thẳng ∆ . 1 1 A. k = hoặc k = −3. B. k = hoặc k = 3. 3 3 1 1 C. k = − hoặc k = −3. D. k = − hoặc k = 3. 3 3 Câu 154. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d : y = kx tạo với đường thẳng

∆ : y = x một góc 600 . Tổng hai giá trị của k bằng: A. −8. B. −4. C. −1.

D. −1.

Câu 155. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M (1; −1) và hai đường thẳng có phương trình

( d1 ) : x − y − 1 = 0, ( d2 ) : 2 x + y − 5 = 0 . Gọi

A là giao điểm của hai đường thẳng trên. Biết rằng có

ax + by + 2 = 0 . Tính T = a − 5b . B. T = 9 . A. T = − 1 .

C. T =−9 .

D. T = 11 .

DẠNG 5. KHOẢNG CÁCH Dạng 5.1 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng cho trước

Câu 158. Khoảng cách từ điểm A (1;1) đến đường thẳng 5 x − 12 y − 6 = 0 là A. 13 .

B. −13 .

C. −1 .

D. 1 .

Câu 159. Khoảng cách từ điểm M (5; −1) đến đường thẳng 3 x + 2 y + 13 = 0 là: A. 2 13 .

28 . 13

C. 26 .

13 . 2

Câu 160. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Khoảng cách từ điểm M (1; −1) đến đường thẳng ∆ : 3 x + y + 4 = 0 là A. 1.

3 10 . 5

5 . 2

D. 2 10 .

Câu 161. Trong mặt phẳng Oxy , khoảng cách từ điểm M ( 3; − 4 ) đến đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y − 1 = 0 . 8 24 12 24 A. . B. . C. . D. − . 5 5 5 5 Câu 162. Khoảng cách từ điểm A( −3; 2) đến đường thẳng ∆ : 3 x − y + 1 = 0 bằng: A.

10.

11 5 . 5

10 5 . 5

Câu 163. Trong mặt phẳng Oxy , khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d : 4 x − 3 y + 1 = 0 bằng 1 A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. . 5 Câu 164. Một đường tròn có tâm I ( 3; − 2 ) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 5 y + 1 = 0. Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu? 7 14 A. B. . C. 26. D. 6. . 13 26 18

Câu 165. Trong

m ặt

phẳng Oxy ,

khoảng

cách

từđiểm M ( 0; 4 )

đến

đường

thẳng

∆ : x cosα + y sinα + 4 ( 2 − sinα ) = 0 bằng

B. 4sinα .

4 . cosα + sinα

D. 8 .

B. 12 .

C. 5 .

5 . 3

Câu 167. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng x − 3 y + 4 = 0 và 2 x + 3 y − 1 = 0 đến đường thẳng ∆ : 3x + y + 4 = 0 bằng: A. 2 10 .

3 10 . 5

10 . 5

D. 2 .

Câu 168. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1; 2 ) , B ( 0;3) và C ( 4; 0 ) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng: 1 1 3 A. . B. 3 . C. . D. . 5 25 5 Câu 169. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 3; −4 ) , B (1;5 ) và C ( 3;1) . Tính diện tích tam giác ABC . A. 10. B. 5.

26.

D. 2 5.

Câu 170. Khoảng cách từ điểm M ( 0;3 ) đến đường thẳng ∆ : x cos α + y sin α + 3 ( 2 − sin α ) = 0 bằng:

B. 6.

C. 3sin α .

3 . cos α + sin α

 x = 1 + 3t Câu 171. Khoảng cách từ điểm M ( 2; 0 ) đến đường thẳng ∆ :  bằng:  y = 2 + 4t 2 5 10 . A. 2. B. . C. D. . 5 2 5  x = 2 + 3t Câu 172. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M (15;1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ :  y = t bằng: 1 16 A. 10. B. C. D. 5. . . 10 5

Câu 173. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A ( −1; 2 ) đến đường thẳng

∆ : mx + y − m + 4 = 0 bằng 2 5 .  m = −2 A. m = 2. B.  . m = 1  2

1 C. m = − . 2

 m = −4 B.  .  m = −2

m = 4 C.  . m = 2

m = 4 D.  .  m = −2

Câu 175. Đường tròn ( C ) có tâm là gốc tọa độ O ( 0; 0 ) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 8x + 6 y + 100 = 0 . Bán kính R của đường tròn ( C ) bằng:

Câu 166. Khoảng cách từ I (1; −2) đến đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y − 26 = 0 bằng A. 3 .

 m = −4 A.  . m = 2

D. Không tồn tại m .

A. R = 4 .

B. R = 6 .

C. R = 8 .

D. R = 10 .

Câu 176. Đường tròn ( C ) có tâm I ( −2; −2 ) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 5x + 12 y − 10 = 0 . Bán kính R của đường tròn ( C ) bằng:

A. R =

44 . 13

B. R =

24 . 13

C. R = 44 .

D. R =

7 . 13

Câu 177. Cho đường thẳng d : 21x − 11y − 10 = 0. Trong các điểm M ( 21; −3) , N ( 0; 4 ) , P ( −19;5 ) và Q (1;5 ) điểm nào gần đường thẳng d nhất?

A. M .

B. N .

C. P .

D. Q .

Câu 178. Cho đường thẳng d : 7 x + 10 y − 15 = 0. Trong các điểm M (1; −3) , N ( 0; 4 ) , P ( −19;5 ) và Q (1;5 ) điểm nào cách xa đường thẳng d nhất?

A. M .

B. N .

C. P .

D. Q .

Câu 179. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ∆1 : 6 x – 8 y + 3 = 0 và ∆ 2 : 3x – 4 y – 6 = 0 bằng: 1 3 5 A. . B. . C. 2 . D. . 2 2 2  x = −2 + t Câu 180. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d : 7 x + y − 3 = 0 và ∆ :  .  y = 2 − 7t 3 2 9 A. . B. 15 . C. 9 . D. . 2 50

Câu 181. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1 : 6 x – 8 y − 101 = 0 và d 2 : 3x – 4 y = 0 bằng: A. 10,1. B. 1,01 . C. 101 . Dạng 5.2 Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

D. 101 .

Câu 182. Cho hai điểm A ( 3;1) , B ( 4; 0 ) . Đường thẳng nào sau đây cách đều A và B ? A. −2 x + 2 y − 3 = 0. B. 2 x − 2 y − 3 = 0. C. x + 2 y − 3 = 0. D. 2 x + 2 y − 3 = 0. Câu 183. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 2;3 ) và B (1; 4 ) . Đường thẳng nào sau đây cách đều hai điểm A và B ? A. x − y + 2 = 0. B. x + 2 y = 0. C. 2 x − 2 y + 10 = 0. D. x − y + 100 = 0. Câu 184. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A ( 0;1) , B (12; 5 ) và C ( −3; 0 ) . Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A, B và C . A. x − 3 y + 4 = 0 . B. − x + y + 10 = 0 .

Câu 174. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng x = t d1 :  và d 2 : x − 2 y + m = 0 đến gốc toạ độ bằng 2 . y = 2 −t

Câu 185. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;1) , B ( −2; 4 ) và đường thẳng

C. x + y = 0 .

D. 5x − y + 1 = 0 .

∆ : mx − y + 3 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ∆ cách đều hai điểm A, B . m = 1  m = −1  m = −1 m = 2 A.  B.  C.  D.  . . . . m m = m = = − 2 2 1   m = −2   Câu 186. Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x − 4 y + 1 = 0 và cách d một khoảng bằng 1 có phương trình: A. 3x − 4 y + 6 = 0 hoặc 3x − 4 y − 4 = 0 . B. 3x − 4 y − 6 = 0 hoặc 3x − 4 y + 4 = 0 . C. 3x − 4 y + 6 = 0 hoặc 3x − 4 y + 4 = 0 . D. 3x − 4 y − 6 = 0 hoặc 3x − 4 y − 4 = 0 . Câu 187. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆ : 3x − 4 y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây? A. 3x − 4 y + 8 = 0 hoặc 3x − 4 y + 12 = 0 . B. 3x − 4 y − 8 = 0 hoặc 3x − 4 y + 12 = 0 . C. 3x − 4 y − 8 = 0 hoặc 3x − 4 y − 12 = 0 . D. 3x − 4 y + 8 = 0 hoặc 3x − 4 y − 12 = 0 . Câu 188. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 5 x + 3 y − 3 = 0 và d 2 : 5 x + 3 y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng vừa song song và cách đều với d1 , d 2 là: A. 5x + 3 y − 2 = 0. B. 5x + 3 y + 4 = 0. C. 5x + 3 y + 2 = 0. D. 5x + 3 y − 4 = 0. Câu 189. Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Điểm M thuộc cạnh CD sao cho MC = 2DM , N ( 0; 2019 ) là trung điểm của cạnh BC , K là giao điểm của hai đường thẳng AM và BD . Biết đường thẳng AM có phương trình x − 10y + 2018 = 0 . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng NK bằng A. 2019 .

B. 2019 101 .

2018 . 11

2019 101 . 101

Câu 190. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi d là đường thảng đi qua M (4; 2) và cách điểm A(1;0) khoảng 3 10 cách . Biết rằng phương trình đường thẳng d có dạng x + by + c = 0 với b, c là hai số 10 nguyên. Tính b + c. A. 4 . B. 5 . C. −1. D. −5 . Câu 191. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng

∆ : x + ( m − 1) y + m = 0 ( m là tham số bất kì) và điểm A ( 5;1) . Khoảng cách lớn nhất từ điểm A đến ∆ bằng A. 2 10 . B. 10 . C. 4 10 . D. 3 10 . Câu 192. Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Đường thẳng 12 x + 5 y = 60 tạo với hai trục toạ độ một tam giác. Tổng độ dài các đường cao của tam giác đó là 60 281 360 A. . B. . C. . D. 20 . 13 13 17

Câu 193. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A (1; −1) và B ( 3; 4 ) . Gọi ( d ) là một đường thẳng bất kì luôn đi qua B. Khi khoảng cách từ A đến đường thẳng ( d ) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng ( d ) có phương trình nào dưới đây? A. x − y + 1 = 0 . B. 3x + 4 y = 25 . C. 5 x − 2 y − 7 = 0 . D. 2 x + 5 y − 26 = 0 . DẠNG 6. XÁC ĐỊNH ĐIỂM Dạng 6.1 Xác định tọa hình chiếu, điểm đối xứng

Câu 194. Cho đường thẳng d : 3 x + 5 y − 15 = 0 . Trong các điểm sau đây, điểm nào không thuộc đường thẳng d A. M 1 ( 5; 0 ) . B. M 4 ( − 5; 6 ) . C. M 2 ( 0; 3 ) . D. M 3 ( 5;3) . Câu 195. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( 4;3) , B ( 2;7 ) , C ( −3; −8) . Tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là: A. ( −1; 4 ) . B. (1; −4 ) . C. (1; 4 ) .

D. ( 4;1) .

Câu 196. Cho đường thẳng d : − 3x + y − 5 = 0 và điểm M ( −2;1) . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên

d là 7 4 A.  ; −  . 5 5

 7 4 B.  − ;  .  5 5

 7 4 C.  − ; −  .  5 5

 5 4 D.  − ;  .  7 5

Câu 197. Tọa độ hình chiếu vuông góc của đi ểm M (1; 2 ) lên đường thẳng ∆ : x − y = 0 là 3 3 A.  ;  . 2 2

B. (1;1) .

 3 3 D.  − ; −  .  2 2

C. ( 2; 2 ) .

 2 Câu 198. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đỉnh A( 2; 4) , trọng tâm G  2;  . Biết  3  rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng (d ) có phương trình x + y + 2 = 0 và đỉnh C có hình chiếu vuông góc trên (d ) là điểm H (2; −4) . Giả sử B (a ; b) , khi đó T = a − 3b bằng

A. T = 4 .

B. T = − 2 .

C. T = 2 .

D. T = 0 .

Câu 199. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2 x + y + 5 = 0 và điểm A(−4;8) . Gọi M đối xứng với B qua C , điểm N (5; − 4) là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng MD . Biết tọa độ C ( m; n) , giá trị của m − n là A. 6 . B. − 6 . C. 8 . D. 7 Dạng 6.2 Xác định điểm liên quan đến yếu tố khoảng cách, góc Câu 200. Cho hai điểm A ( 3; −1) , B ( 0;3) . Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1. 7  A. M  ;0  và M (1;0 ) . B. M 13; 0 . 2  C. M ( 4;0) . D. M ( 2;0 ) .

(

)

Câu 201. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;1) , B ( 4; −3) và đường thẳng

d : x − 2 y − 1 = 0 . Tìm điểm M thuộc d có tọa độ nguyên và thỏa mãn khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6 . 21

A. M ( 3; 7 ) .

B. M ( 7; 3) .

C. M ( −43; −27 ) .

27   D. M  3; −  . 11  

 x = 2 + 2t Câu 202. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A ( 0;1) và đường thẳng d :  . Tìm điểm y = 3+ t M thuộc d và cách A một khoảng bằng 5 , biết M có hoành độ âm.  M ( −4; 4 )  24 2  A. M ( 4; 4 ) . B.   24 2  . C. M  − ; −  . D. M ( −4; 4 ) . 5 M − ;−   5   5 5

Câu 203. Biết rằng có đúng hai điểm thuộc trục hoành và cách đường thẳng ∆ : 2 x − y + 5 = 0 một khoảng bằng 2 5 . Tích hoành độ của hai điểm đó bằng: 75 25 225 . A. − . B. − . C. − 4 4 4

D. Đáp số khác.

Câu 204. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 3; −1) và B ( 0;3) . Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1 .   14    14   7    7   M  3 ;0   M  − 3 ;0  M  ;0  M  − ;0          A.   2  . B. C.   2  . D. . .  4    4   M ( −1;0 )  M  ;0   M  − ;0   M (1;0 )   3    3  Câu 205. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 3; 0 ) và B ( 0; −4 ) . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6.  M ( 0;0 ) A.  B. M ( 0; −8 ) . .  M ( 0; −8 )

C. M ( 6; 0 ) .

 M ( 0; 0 ) D.  .  M ( 0; 6 )

Câu 206. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng ∆1 : 3x − 2 y − 6 = 0 và ∆ 2 : 3 x − 2 y + 3 = 0 . Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho M cách đều hai đường thẳng đã cho.

 1 A. M  0;  .  2

1  B. M  ; 0  . 2 

 1  C. M  − ;0  .  2 

D. M

(

)

2;0 .

x = t Câu 207. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( −2; 2 ) , B ( 4; −6 ) và đường thẳng d :   y = 1 + 2t . Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B. A. M ( 3; 7 ) . B. M ( −3; −5 ) . C. M ( 2;5 ) . D. M ( −2; −3 ) Câu 208. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( −1; 2 ) , B ( −3; 2 ) và đường thẳng

d : 2 x − y + 3 = 0 . Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại C.  3  A. C ( −2; −1) . B. C  − ;0  . C. C ( −1;1) . D. C ( 0;3 )  2  Câu 209. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1; 2 ) , B ( 0;3 ) và đường thẳng d : y = 2 . Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại B.

A. C (1; 2 ) .

C (1; 2 ) C.  . C ( −1; 2 )

B. C ( 4; 2 ) .

D. C ( −1; 2 ) .

Câu 210. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, giả sử điểm A( a; b) thuộc đường thẳng d : x − y − 3 = 0 và

cách ∆ : 2 x − y + 1 = 0 một khoảng bằng A. 4. B. −2

5. Tính P = ab biết a > 0. C. 2.

D. −4.

x = 3 + t thuộc đường thẳng d :  và cách y = 2+ t đường thẳng ∆ : 2 x − y − 3 = 0 một khoảng 2 5 . Khi đó a + b là. A. 21 . B. 23 . C. 22 D. 20 .

Câu 211. Trong mặt phẳng Oxy , cho biết điểm M ( a; b )

( a > 0)

x = 3 − t Câu 212. Điểm A ( a; b ) thuộc đường thẳng d :  và cách đường thẳng ∆ : 2 x − y − 3 = 0 một y = 2 −t khoảng bằng 2 5 và a < 0 . Tính P = a.b . A. P = −72 . B. P = 72 . C. P = 132 . D. P = −132 . Câu 213. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ O xy , cho điểm I (1;2) và đường thẳng ( d ) : 2 x + y − 5 = 0 . Biết rằng có hai điểm

IM1 = IM 2 = 10 . Tổng các hoành độ của M 1 và M 2 là 7 14 A. . B. . C. 2. 5 5

M1, M 2

thuộc (d) sao cho

D. 5.

Câu 214. Trong hệ tọa độ Oxy cho A (1;1) , B ( 4; −3) . Gọi C ( a; b ) thuộc đường thẳng d : x − 2 y − 1 = 0 sao

cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. Biết rằng C có hoành độ nguyên, tính a + b ? B. a + b = 7 . C. a + b = 4 . D. a + b = −4 A. a + b = 10 . Dạng 6.3 Xác định điểm liên quan đến yếu tố cực trị Câu 215. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ : x − y + 1 = 0 và hai điểm A ( 2; 1) , B ( 9; 6 ) . Điểm M ( a; b )

nằm trên đường ∆ sao cho MA + MB nhỏ nhất. Tính a + b. B. −9. C. 7. A. −7.

D. 9.

Câu 216. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − 4 y + 15 = 0 và điểm A ( 2; 0 ) . Tìm

tọa độ điểm M thuộc d để đoạn AM có độ dài nhỏ nhất. A. M ( −15; 0 ) . B. M ( 5; 5 ) . C. M ( 0; 3 ) .

D. M ( 1; 4 ) .

Câu 217. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho 3 điểm A( −6;3); B (0; −1); C (3; 2) . Tìm M trên đường thẳng d : 2 x − y − 3 = 0 mà MA + MB + MC nhỏ nhất là

 13 71  A. M  ;   15 15 

 13 19  B. M  ;   15 15 

 26 97  C. M  ;   15 15 

 −13 19  D. M  ;   15 15 

Câu 218. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( 2; 2 ) , B (1; −3) , C ( −2; 2 ) . Điểm M thuộc trục tung sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất có tung độ là?

A. 1.

1 . 3

1 C. − . 3

1 . 2

Câu 219. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ : x − y + 1 = 0 và hai điểm A(2;1) , B(9;6) . Điểm M (a; b) nằm trên đường ∆ sao cho MA + MB nhỏ nhất. Tính a + b ta được kết quả là: A. -9. B. 9. C. -7. D. 7 Dạng 6.4 Một số bài toán tổng hợp Câu 220. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh  11 1  BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2 ND . Giả sử M  ;  và đường thẳng AN có  2 2 phương trình 2 x − y − 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm A . A. A (1; −1) hoặc A ( 4; −5) .

B. A (1; −1) hoặc A( −4; −5) .

C. A (1; −1) hoặc A ( 4;5) .

D. A (1;1) hoặc A ( 4;5) .

Câu 221. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy , cho điểm

I (1; −1)

và hai đường thẳng

Câu 222. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm hai điểm A ( −4; 2 ) , x − 5 y +1 sao cho CA = CB . Khi đó tọa độ điểm B ( 2; 6 ) và điểm C nằm trên đường thẳng d : = 3 −2 C là  −1 12   1 11  2 9  2 8 A.  ;  . B.  ;  . C.  ;  . D.  ;  . 5 5  5 5 5 5  5 5

Câu 223. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho A ( −3;5 ) , B (1;3) và đường thẳng d :2 x − y − 1 = 0 ,

A. 6.

B. 2.

IA . IB

C. 4.

D. 1.

Câu 224. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( 2;1) , B ( 2; −3) , C ( −2; −1) .

Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ ( a; b ) . Biểu thức S = 3a + 2b bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 1 . C. 5 . D. −1 . Câu 225. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm B ( −2;3) và C ( 3; −2 ) . Điểm I ( a; b ) thuộc 2 3 BC sao cho với mọi điểm M không nằm trên đường thẳng BC thì MI = MB + MC . Tính 5 5 S = a2 + b2 . A. 1. B. 0 . C. 5 . D. 4 . Câu 226. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC có đỉnh A ( 2; 2 ) và trung điểm của BC là I ( −1; −2 ) . Điểm M ( a; b ) thỏa mãn 2MA + MB + MC = 0 . Tính S = a + b . A.

1 . 2

3 . 2

1 C. − . 2 25

Câu 228. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD ; các điểm M , N , P lần lượt là trung  11 11  điểm của AB , BC , CD ; CM cắt DN tại điểm I ( 5; 2 ) . Biết P  ;  và điểm A có hoành độ 2 2 âm. Tọa độ điểm A và D là: A. A ( −2;3) và D ( 3;8 ) . B. A ( −2;3) và D ( −3;8 ) . C. A ( −2; 3) và D ( 3; − 8 ) .

D. A ( −2; −3 ) và D ( 3;8 ) .

Câu 229. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B ( −4;1) , trọng tâm G (1;1) và đường thẳng phân

giác trong góc A có phương trình d : x − y − 1 = 0 . Biết điểm A ( m; n ) . Tính tích m.n .

d1 : x + y − 3 = 0, d 2 : x − 2 y − 6 = 0 . Hai điểm A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng d1 , d 2 sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Đường thẳng AB có một véctơ chỉ phương là A. u1 = (1; 2 ) . B. u2 = ( 2;1) . C. u3 = (1; −2 ) . D. u4 = ( 2; −1) .

đường thẳng AB cắt d tại I . Tính tỉ số

Câu 227. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 2;1) , đường cao BH có phương trình x − 3 y − 7 = 0 và trung tuyến CM có phương trình x + y + 1 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C ? A. ( −1; 0 ) . B. ( 4; −5 ) . C. (1; − 2 ) . D. (1; 4 ) .

D. 1.

A. m.n = 20 .

B. m.n = 12 .

C. m.n = −12 .

D. m.n = 6 .

Câu 230. Trên mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm  11 1  trên cạnh CD sao cho CN = 2 ND . Giả sử M  ;  và đường thẳng AN có phương trình  2 2 2 x − y − 3 = 0 . Gọi P ( a; b ) là giao điểm của AN và BD . Giá trị 2a + b bằng A. B. C. D.

6 5. 8. 7.

Câu 231. Cho ∆ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh AC, sao cho AB = 3 AM , đường tròn tâm I đường kính CM cắtBM tại D, đường thẳng CD có phương trình x − 3 y − 6 = 0 . Biết điểm I(1;-1), điểm 4  E  ; 0  thuộc đường thẳng BC, xC ∈ ℤ . Gọi B là điểm có tọa độ (a, b). Khi đó: 3  A. a + b = 1 . B. a + b = 0 . C. a + b = −1 . D. a + b = 2 . Câu 232. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Trên mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2 ND . Giả sử  11 1  M  ;  và đường thẳng AN có phương trình 2 x − y − 3 = 0 . Gọi P ( a; b ) là giao điểm của  2 2 AN và BD . Giá trị 2a + b bằng: A. 6 . B. 5 . C. 8 . D. 7 . Câu 233. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B (−12;1) , đường phân giác 1 2 trong của góc A có phương trình d : x + 2 y − 5 = 0 . G  ;  là trọng tâm tam giác ABC .  3 3  Đường thẳng BC qua điểm nào sau đây? A. (1;0) . B. (2; −3) . C. (4; −4) . D. (4;3) . Câu 234. Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng BC : x + 7 y − 13 = 0. Các

chân đường cao kẻ từ B, C lần lượt là E ( 2;5) , F ( 0; 4) . Biết tọa độ đỉnh A là A ( a; b ) . Khi đó: A. a − b = 5 . B. 2a + b = 6 . C. a + 2b = 6 . D. b − a = 5 26

Câu 235. (THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm học 2018 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm H (1; 2) là hình chiếu vuông góc của A lên

9  BD . Điểm M  ;3  là trung điểm cạnh BC . Phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của 2  tam giác ADH là 4 x + y − 4 = 0 . Biết điểm D có tọa độ là ( xD ; yD ) tính giá trị biểu thức

S = 4 xD2 + yD2 . A. S = 3 .

B. S = 4 .

C. S = 6 .

Câu 241. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là  17 1  H  ; −  , chân đường phân giác trong góc A là D ( 5;3) và trung điểm của cạnh AB là  5 5 M ( 0;1) . Tìm tọa độ đỉnh C . A. C ( −2;9 ) .

B. C ( 9;11) .

C. C ( −9; −11) .

D. C ( 2; −10 ) .

DẠNG 7. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH

D. S = 5 .

Câu 236. Cho tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết phương trình cạnh BC : x + y − 2 = 0 ; hai đường cao BB ' : x − 3 = 0 và CC ' : 2 x − 3 y + 6 = 0 ? A. A(1; 2); B (0; 2); C (3; −1) . B. A(1; 2); B (3; −1); C (0; 2) . C. A(1; −2); B (3; −1); C (0; 2) . D. A(2;1); B (3; −1); C (0; 2) .

Câu 242. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Đường thẳng ∆ :5 x + 3 y = 15 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu? A. 7,5 . B. 5 . C. 15 . D. 3 .

Câu 237. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( −3; 0 ) ,B ( 3; 0 ) ,C ( 2; 6 ) . Gọi H ( a;b ) là

m để tam giác tạo thành bởi d1 , d 2 và trục hoành có diện tích lớn hơn 8 . Số phần tử của tập S là A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .

trực tâm của tam giác ABC . Tính 6 ab 5 A. 10. B. . 3

C. 60.

D. 6.

Câu 238. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2 x + y + 5 = 0 và điểm A ( −4;8 ) . Gọi M là điểm đối xứng với B qua C, điểm N ( 5; −4 ) là hình

Câu 243. Cho hai đường thẳng d1 : y = mx − 4; d 2 : −mx − 4 . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của

Câu 244. Tìm phương trình đường thẳng d : y = ax + b. Biết đường thẳng d đi qua điểm I (1;3) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 6?

(

chiếu vuông góc của B lên đường thẳng MD. Biết tọa độ C ( m; n ) , giá trị của m − n là: A. 6 .

B. −6 .

C. 8 .

D. 7 .

)

(

)

B. y = 9 − 72 x + 72 − 6 .

A. y = 9 + 72 x − 72 − 6 . C. y = 3 x + 6 .

D. y = −3 x + 6.

Câu 245. Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định Cho tam giác ABC có A (1; −3 ) , B ( 0; 2 ) , C ( −2; 4 ) . Đường thẳng ∆ đi qua A và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Phương trình của ∆ là A. 2 x − y − 7 = 0 . B. x + y + 2 = 0 . C. x − 3 y − 10 = 0 . D. 3x + y = 0 .

Câu 239. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BC và BD ; gọi P là giao điểm của MN và AC . Biết đường thẳng AC có phương trình x − y − 1 = 0 , M ( 0; 4 ) , N ( 2; 2 ) và hoành độ điểm A nhỏ

Câu 246. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M ( 2;1) . Đường thẳng d đi qua M , cắt các tia Ox , Oy lần lượt

hơn 2 . Tìm tọa độ các điểm P , A , B . 5 3 A. P  ;  , A ( 0; −1) , B ( 4;1) . 2 2 5 3 B. P  ;  , A ( 0; −1) , B ( −1; 4 ) . 2 2 5 3 C. P  ;  , A ( 0; −1) , B ( −1; 4 ) . 3 2 5 3 D. P  ;  , A ( −1;0 ) , B ( 4;1) . 2 2

tại A và B ( A, B khác O ) sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là. A. 2 x − y − 3 = 0 . B. x − 2 y = 0 . C. x + 2 y − 4 = 0 . D. x − y − 1 = 0 . x y + = 1 , ( a ≠ 0; b ≠ 0 ) a b đi qua M ( −1;6 ) tạo với tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. Tính S = a + 2b.

Câu 247. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Đường thẳng d :

A. S =

Câu 240. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , phương trình đường thẳng AB, AC lần lượt là 9 8 5 x − y − 2 = 0 ,x − 5 y + 14 = 0 . Gọi D là trung điểm của BC , E là trung điểm của AD , M  ;  5 5 là hình chiếu vuông góc của D trên BE . Tính OC . A. OC = 26 . B. OC = 10 . C. OC = 5 . D. OC = 52 .

B. S = −

38 . 3

C. S = 10 .

D. S = 6 .

B. LỜI GIẢI

Câu 1.

Câu 2.

−5 + 7 5 . 3

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG, VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG, HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Chọn D Ta có một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ( d ) là n = ( a; b ) . Do đó chọn đáp án D. n1 = ( − a; b ) . Chọn B. d có một vectơ pháp tuyến là n = ( a; b ) ⇒ phương trình d : ax + by + c = 0 . 28

Nếu b = 0 thì đường thẳng d : ax + c = 0 không có hệ số góc ⇒ khẳng định 1 đúng. a c a Nếu b ≠ 0 thì đường thẳng d : y = − x − có hệ số góc là − ⇒ khẳng định 2 sai. b b b Với u = ( b; − a ) ⇒ u.n = 0 ⇒ u ⊥ n ⇒ u là một vectơ chỉ phương của d ⇒ khẳng định 3 đúng. Chọn k = 0 ∈ ℝ ⇒ k n = ( 0;0 ) không phải là vectơ pháp tuyến của d ⇒ khẳng định 4 sai. Vậy có 2 mệnh đề sai. Câu 3. Chọn A. Câu 4. Chọn C Đường thẳng ( d ) có một véctơ pháp tuyến là n = ( 3; 2 ) nên ( d ) có một véctơ chỉ phương là u = ( 2 ; − 3) . Câu 5. Chọn B 1   1  x = 5 − t ∆ : 2 có một vectơ chỉ phương là u =  − ;3  suy ra có một vectơ pháp tuyến là  2   y = −3 + 3t  1 n =  3;  . Do đó đường thẳng ∆ cũng có một vectơ pháp tuyến có tọa độ ( 6;1) .  2 Câu 6. Chọn A Một VTCP của đường thẳng d là u ( −1; 2 ) ⇒ một VTPT của d là n ( −2; −1) . Câu 7. Chọn A.  x = 1 − 4t Đường thẳng d :  có vectơ chỉ phương là u = ( −4;3 ) .  y = −2 + 3t Câu 8. Chọn A Vector i = (1;0) là một vector chỉ phương của trục Ox Các đường thẳng song song với trục Ox có 1 vector chỉ phương là u = i = (1;0) Câu 9. Chọn C Đường thẳng d có 1 VTPT là n = ( 7;3) nên d có 1 VTCP là u = ( −3;7 ) . Câu 10. Chọn B Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d : n1 = ( −4; − 6 ) . Câu 11. Chọn D Đường thẳng d : 5 x + 3 y − 7 = 0 có vec tơ pháp tuyến là: n = ( 5;3) . Ta có: n.n2 = 0.

Câu 12.

Câu 13. Câu 14. Câu 15.

⇒ d có một vec tơ chỉ phương là n2 = ( 3; −5) . Chọn A Nếu u là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k .u , ∀k ≠ 0 cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ . Từ phương trình đường thẳng ∆ ta thấy đường thẳng ∆ có một véc tơ chỉ phương có toạ độ là ( 2;1) . Do đó véc tơ u = ( 4; − 2 ) không phải là véc tơ chỉ phương của ∆ . Chọn D Ta có AB = ( 4; 2 ) = 2 ( 2;1) suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là nAB = ( −1; 2 ) . Chọn C Đường thẳng d có 1 VTPT là n = ( 7;3) nên d có 1 VTCP là u = ( −3;7 ) Chọn D 29

Đường thẳng d : x − 2 y + 2018 = 0 có vectơ pháp tuyến là n2 (1; −2 ) . Câu 16. Chọn D. ( d ) : y + 2 x − 1 = 0 ⇔ 2 x + y − 1 = 0 ; ( d ) có VTPT là n = ( 2;1) hay n / = ( −2; −1) Câu 17.

Chọn B Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là n = ( 2; −1) . Câu 18. Chọn D Ta thấy đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là ( 2; −3) . Do đó u3 = ( 3;2) là một vectơ chỉ phương của d. Câu 19. Chọn A +) Một véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là n ( 6; −2 ) nên véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u (1;3) . Câu 20.

Chọn B MN = ( −4;2 ) . Do đó vectơ chỉ phương của M N là u = ( 4; −2 ) .

Câu 21.

Chọn B Đường thẳng d : x − 2 y + 1 = 0. có vectơ pháp tuyến là n = (1; −2) ⇒ Vectơ chỉ phương của d là u = (2;1) . Câu 22. Đường thẳng d có VTCP: u ( 2; −1)  → VTPT n (1; 2 ) hoặc 3n = ( 3;6 ) . Chọn D. Câu 23. Câu 24. Câu 25. Câu 26. Câu 27. Câu 28.

Câu 29.

1 Đường thẳng d có VTPT: n ( 4; −2 )  → VTCP u ( 2; 4 ) hoặc u = (1; 2 ) . Chọn 2 ud = ( 3; −4 )  → n∆ = ud = ( 3; −4 ) . Chọn D.  ∆ ⊥ d nd = ( −2; −5 )  → u∆ = nd = ( −2; −5 ) hay chọn − n∆ = ( 2;5 ) . Chọn C.  ∆ ⊥ d ud = ( 3; −4 )  → u∆ = ud = ( 3; −4 )  → n∆ = ( 4;3) . Chọn A.  ∆ || d nd = ( −2; −5 ) → n∆ = ud = ( −2; −5)   → u∆ = ( 5; −2 ) . Chọn A.  ∆ || d  Chọn C 3 2018 3 Ta có d : 3x + 5 y + 2018 = 0 ⇔ d : y = − x − , nên d có hệ số góc k = − . 5 5 5 Chọn A

1 7

15 7 1 Suy ra hệ số góc của đường thẳng là k = (đúng) 7

Ta có ( d ) : x − 7 y + 15 = 0 hay y = x +

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Dạng 2.1 Viết phương trình đường thẳng khi biết VTPT hoặc VTCP, HỆ SỐ GÓC và 1 điểm đi qua Câu 30. Chọn D Bốn phương trình đã cho trong bốn phương án đều là phương trình của đường thẳng. 30

Thay lần lượt tọa độ của A , B vào từng phương án ta thấy tọa độ của cà A và B đều thỏa phương án D . Câu 31. Chọn D Vectơ chỉ phương AB = ( 0;6 ) . Phương trình đường thẳng AB đi qua A và có vecto chỉ phương AB = ( 0; 6 ) là

Áp dụng phương trình trên ta chọn phương án D . Dạng 2.2 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm vuông góc hoặc với đường thẳng cho trước Câu 41. Chọn B Do d ⊥ ∆ ⇒ nd ( 2;3)

x = 2   y = −1 + 6t Câu 32. Chọn B. • Cách 1: Thay tọa độ các điểm A , B lần lượt vào các phương trình trong các phương án trên thì thấy phương án B không thỏa mãn. • Cách 2: Nhận thấy rằng các phương trình ở các phương án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chỉ có phương án B thì không. Do đó lựa chọn B. Câu 33. Chọn D Đường thẳng có véctơ chỉ phương là MN = ( 3;5 ) và đi qua M (1; −2 ) nên có phương trình tham

Vậy phương trình đường thẳng d : 2 x + 3 y + 4 = 0 . Câu 42. Chọn C Vì ∆ vuông góc với đường thẳng d : 8 x − 6 y + 7 = 0 nên phương trình ∆ : 6 x + 8 y + C = 0 Mà ∆ đi qua gốc tọa độ nên ta có: 6.0 + 8.0 + C = 0 ⇔ C = 0 . Vậy phương trình ∆ : 6 x + 8 y = 0 hay ∆ : 3 x + 4 y = 0 Câu 43. Chọn C Gọi ( d ) là đường thẳng cần tìm. Vì ( d ) song song với đường thẳng y = 3 x + 5 nên ( d ) có

 x = 1 + 3t . số là   y = −2 + 5t Câu 34. Chọn B Ta có AB = ( −9;3) ⇒ u AB = ( 3; −1) .

Câu 37.

Câu 38.

Câu 39. Câu 40.

2 ( x − 1) + 3 ( y + 2 ) = 0 ⇔ 2 x + 3 y + 4 = 0 .

phương trình y = 3x + a , a ≠ 5 . Vì ( d ) đi qua điểm A (1;11) nên ta có 11 = 3 ⋅1 + a ⇒ a = 8 .

 x = 3 + 3t Suy ra phương trình tham số của đường thẳng AB là  .  y = −1 − t Câu 35. Chọn A Ta có ∆ song song với d nên ∆ : x + y + C = 0 ( C ≠ 0 ) .

Câu 36.

Mà đường thẳng d đi qua A (1; −2 ) nên ta có phương trình:

∆ qua A ( 3;0 ) , suy ra 3 + 0 + C = 0 ⇔ C = −3 ( nhận) Như vậy ∆ : x + y − 3 = 0 x = t . Vậy ∆ có phương trình tham số:  y = 3−t Chọn A x = 5 + t t = x − 5 Đường thẳng ( d ) :  ⇔ ⇒ y = −9 − 2 ( x − 5 ) ⇔ 2 x + y − 1 = 0 .  y = −9 − 2t  y = −9 − 2t Chọn C. Ta có hình chiếu của điểm M (1; 2) lên Ox, Oy lần lượt là A(1;0) và B(0;2). Do đó phương x y trình đường thẳng AB là + = 1 ⇔ 2 x + y − 2 = 0 . 1 2 Chọn.B.  3− x t=  x = 3 − 5t 3 − x y −1  5 d: (t ∈ ℝ ) ⇔  ⇒ = ⇔ 4 x + 5 y − 17 = 0 y − 1 5 4  y = 1 + 4t t =  4 Đáp án B. x y Phương trình đoạn chắn của đường thẳng d : + = 1. a b Chọn D x y Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M ( a;0 ) , N ( 0; b ) với a, b ≠ 0 là + = 1 . a b 31

Câu 44.

Vậy phương trình đường thẳng ( d ) cần tìm là y = 3 x + 8 . Chọn B Gọi ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. +)

( ∆ ) // ( d ) : y = 3x + 4 . Suy ra phương trình ( ∆ )

có dạng y = 3 x + b , b ≠ 4 .

Có A ( 2;5 ) ∈ ∆ ⇔ 5 = 6 + b ⇔ b = −1 (thoả b ≠ 4 ) Vậy ( ∆ ) : y = 3x − 1 .

Câu 45.

Câu 46.

Chọn D Do đường thẳng d song song với đường thẳng d ' : x + y − 1 = 0 nên đường thẳng d nhận véc tơ n = (1;1) làm véc tơ pháp tuyến. Khi đó đường thẳng d qua M (1;1) và nhận véc tơ n = (1;1) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là x + y − 2 = 0 . Chọn B Ta có đường thẳng vuông góc với 2 x − y + 4 = 0 có phương trình x + 2 y + m = 0 , mà đường thẳng này đi qua điểm I ( −1; 2 ) , suy ra −1 + 2.2 + m = 0 ⇔ m = −3 .

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình x + 2 y − 3 = 0 . Chọn A Có MN = ( −1; 2 ) . 1  Đường thẳng ( d ) đi qua A  ;1  nhận MN = ( −1; 2 ) làm vec tơ chỉ phương: 2  1 ( d ) : 2  x −  + y − 1 = 0 ⇔ 2x + y − 2 = 0 (1) . 2  Thử lại: thay tọa độ của M vào (1) thì nghiệm đúng (1) . Suy ra loại (1) . Vậy không tồn tại đường thẳng như đề bài yêu cầu. Câu 48. Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có

Câu 47.

 x = 5t  B ( 0;3) ∈ d  →d : → Chọn ( t ∈ ℝ )   u A C = = − 5; − 1 = − 1. 5;1 ( ) ( ) y = 3+ t  d Câu 49. Gọi d là đường thẳng qua A và song song với PQ.  x = 3 + 2t  A ( 3; 2 ) ∈ d Ta có:  → d : y = 2 +t ud = PQ = ( −4; −2 ) = −2 ( 2;1)

Câu 50.

 x = −1 + 2t =−2 C. t → M ( −1; 0 ) ∈ d → d :  ( t ∈ ℝ ) . Chọn y = t  A ( −2;1) ∈ AB, uCD = ( 4;3)  x = −2 − 4t  → AB :  ( t ∈ ℝ ) . Chọn   y = 1 − 3t  AB || CD → u AB = −uCD = ( −4; −3)

 x = −3 + t Góc phần tư (I) : x − y = 0  → VTCP : u (1;1) = ud  →d :  (t ∈ ℝ ). y = 5+ t Chọn B.  x = 4 + t t =−4 x = t Câu 52. uOx = (1;0 )  → ud = (1;0 )  →d :   → A ( 0; −7 ) ∈ d → d :  .  y = −7  y = −7

Câu 59.

 M ( −2;1) ∈ d  M ( −2;1) ∈ d   x = −2 + 5t → d : ( t ∈ ℝ ) . Chọn B. u∆ = ( −3;5 ) →   y = 1 + 3t  nd = ( −3; 5) → ud = ( 5; 3) d ⊥ ∆ 

Câu 60.

 A ( −1; 2 ) ∈ d  A ( −1; 2 ) ∈ d   x = −1 + 13t →d : ( t ∈ ℝ ) . Chọn n∆ = ( 3; −13) →   y = 2 + 3t  nd = ( 3; −13) → ud = (13;3)  d || ∆ 

Câu 61.

 A ( −1; 2 ) ∈ d  A ( −1; 2 ) ∈ d   x = −1 + 2t → d : ( t ∈ ℝ ) . Chọn n∆ = ( 2; −1) →  y = 2−t ud = ( 2; −1) d ⊥ ∆ 

Câu 62.

 M ( −2; −5 ) ∈ d   M ( −2; −5) = 0 → −2 − ( −5 ) + c = 0 ⇔ c = −3. (I) : x − y = 0 ( ∆ ) →  d || ∆  d : x − y + c = 0 ( c =/ 0 ) 

Câu 51.

Vậy d : x − y − 3 = 0. Chọn

Chọn D. Câu 53.

 M (1; 2 ) ∈ d  M (1; 2 ) ∈ d →  d || ∆ : 2 x + 3 y − 12 = 0  d : 2 x + 3 y + c = 0 ( c =/ −12 )

Câu 63.

→ 2.1 + 3.2 + c = 0 ⇔ c = −8. Vậy d : 2 x + 3 y − 8 = 0. Chọn A.

Câu 54.

Câu 55.

O ( 0; 0 ) ∈ d O ( 0;0 ) ∈ d →  → 6.0 − 4.0 + c = 0 ⇔ c = 0.   d || ∆ : 6 x − 4 x + 1 = 0 d : 6 x − 4 x + c = 0 ( c =/ 1) Vậy d : 6 x − 4 y = 0 ⇔ d : 3x − 2 y = 0. Chọn A.

Vậy d : x − 2 y + 5 = 0. Chọn

Câu 56.

Câu 57.

 B ( 0;3) ∈ d   B ( 0;3) ∈ d u AC = AC = ( −5;1) →  d || AC nd = (1;5 )  → d :1( x − 0 ) + 5 ( y − 3) = 0 ⇔ d : x + 5 y − 15 = 0.

 M ( −1;0 ) ∈ d  M ( −1; 0 ) ∈ d  → d :1( x + 1) − 2 ( y − 0 ) = 0 ⇔ d : x − 2 y + 1 = 0. u∆ = (1; −2 ) →  d ⊥ ∆  nd = (1; −2 )  Chọn C.

Câu 58.

M ( 3; −1) ∈ d  M ( 3; −1)  ( II ) : x + y = 0 ( ∆ ) →  d : x − y + c = 0 d ⊥ ∆  → 3 − ( −1) + c = 0 ⇔ c = −4 → d : x − y − 4 = 0.

Câu 64.

Câu 65.

M ( −1; 2 ) ∈ d  → d : y = 2. Chọn  d || Ox : y = 0

Câu 66.

 x = 6 + t t =−4 M ( 6; −10 ) ∈ d → A ( 2; −10 ) ∈ d  →d :    d ⊥ Oy : x = 0 → u = 1;0 ( )  y = −10 d 

 A ( 4; −3) ∈ d   A ( 4; −3) ∈ d Ta có: ud = ( −2;3) →  ∆ || d u∆ = ( −2;3) → n∆ = ( 3; 2 )  → ∆ : 3 ( x − 4 ) + 2 ( y + 3) = 0 ⇔ ∆ : 3x + 2 y − 6 = 0.

 x = −4 + t t =4  M ( −4;0 ) ∈ d → → A ( 0; 4 ) ∈ d  y = t ( II ) : x + y = 0 ( ∆ ) → n∆ = (1;1)  d ⊥ ∆ → ud = (1;1) x = t → d : (t ∈ ℝ ) . y = 4+t

 M ( −1; 2 ) ∈ d  M ( −1; 2 ) ∈ d  →  → −1 − 2.2 + c = 0 ⇔ c = 5.  d : x − 2 y + c = 0 d ⊥ ∆ : 2 x + y − 3 = 0

x = 2 + t → d : .  y = −10 Dạng 2.3 Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác Dạng 2.3.1 Phương trình đường cao của tam giác Câu 67. Chọn A Gọi AH là đường cao kẻ từ A của ∆ABC . Ta có: AH ⊥ BC ⇒ vtpt AH là BC = ( 2;3) . Phương trình AH :2 ( x − 1) + 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 2 x + 3 y − 8 = 0. . Câu 68. Đường cao AH đi qua điểm A ( 2; −1) và có VTPT là BC = ( −7; −3) . Vậy phương trình AH là −7 ( x − 2) − 3 ( y + 1) = 0 ⇔ 7 x + 3 y − 11 = 0 . 34

Câu 69.

Chọn A. Ta có: BC = ( 2;3)

Câu 80.

C ( −3; 2 ) ∈ hC → hC : x + 3 y − 3 = 0. Chọn B.  hC ⊥ AB → nhC = AB = ( 2; 6 ) = 2 (1;3)

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nhận BC = ( 2;3 ) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm

A nên có phương trình: 2 ( x − 1) + 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 2 x + 3 y − 8 = 0 . Câu 70.

Chọn D Tam giác ABC cân tại C nên H là trung điểm của AB và CH ⊥ AB . Có H ( 3;1) và AB = ( −2; − 4 ) = −2 (1; 2 ) .

Câu 81.

Vậy phương trình đường cao CH là 1( x − 3 ) + 2 ( y − 1) = 0 ⇔ x + 2 y − 5 = 0 . Câu 71. Chọn B Do BH ⊥ AC ⇒ Chọn VTPT của BH là nBH = CA = ( 5; − 3 ) .

Phương trình đường thẳng AI là: 2 ( x − 2) − ( y − 3) = 0 ⇔ 2 x − y −1 = 0

Câu 73. Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần viết phương trình đường thẳng AM. Ta có :

Câu 74.

Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có  A (1; −4 ) , B ( 5; 2 ) → I ( 3; −1) ∈ d  → d : 2 x + 3 y − 3 = 0. Chọn A.  d ⊥ AB → nd = AB = ( 4;6 ) = 2 ( 2;3)

Câu 75.

Câu 76.

 A ( 2; 4 )  x = 5 + 6t 5 1  5   → MB :   → M  2;  → MB =  3; −  = ( 6; −5 )  .  2 2   2  y = −5t C ( 2;1)

B. Câu 85.

Dạng 2.3.3 Phương trình cạnh của tam giác Chọn C A

A. M

Gọi hA là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Ta có  A ( 2; −1) ∈ hA → hA : 7 x + 3 y − 11 = 0. Chọn  hA ⊥ BC → nhA = BC = ( −7; −3 ) = − ( 7; 3 )

Câu 79.

Câu 84.

Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có  A (1; −4 ) , B ( 3; −4 ) → I ( 2; −4 ) ∈ d  → d : x − 2 = 0. Chọn  d ⊥ AB → nd = AB = ( 2;0 ) = 2 (1;0 )

Câu 78.

 A (1; 4 ) x = 7 + t → M ( 2;3) → MC = ( 5; 0 ) = 5 (1;0 ) → CM :  ( t ∈ ℝ ) . Chọn C.  y = 3  B ( 3; 2 )

Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có  A (1; −4 ) , B (1; 2 ) → I (1; −1) ∈ d  → d : y + 1 = 0. Chọn   d ⊥ AB → nd = AB = ( 0;6 ) = 6 ( 0;1)

Câu 77.

Câu 83.

 5 t =  20 = 5 + 6t Ta có: N ( 20; y N ) ∈ BM  → ⇔ 2  → Chọn  y N = −5t  y = − 25 N  2

Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có

 5 5  A ( 4; −1) , B (1; −4 ) → I  2 ; − 2  ∈ d    → d : x + y = 0. Chọn  d ⊥ AB → n = AB = ( −3; −3) = −3 (1;1) d 

Dạng 2.3.2 Phương trình đường trung tuyến của tam giác Chọn D  5 7  5 3 Gọi M là trung điểm của cạnh AC ⇒ M  ;  ⇒ BM =  ;  . 2 2   2 2 Đường trung tuyến BM nhận n = ( −7; 5 ) làm một véctơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát

của đường trung tuyến qua điểm B của tam giác ABC là: −7 x + 5( y + 2) = 0 ⇔ −7 x + 5 y + 10 = 0 . Câu 82. Chọn A Gọi I là trung điểm của BC ⇒ I ( 0; −1) Ta có AI = ( −2; −4 ) ⇒ n = ( 2; −1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AI .

Phương trình tổng quát của BH : 5 ( x − 4 ) − 3 ( y − 5) = 0 ⇔ 5 x − 3 y − 5 = 0.  AB = ( 0;1) Câu 72. Gọi d là trung trực đoạn AB, ta có:   → nd = AB = ( 0;1) . Chọn B. d ⊥ AB

 B ( 0; −2 ) → M ( 2;0 ) → u AM = AM = (1; −1) → nAM = (1;1) → AM : x + y − 2 = 0. Chọn  C 4; 2  ( )

Gọi hC là đường cao kẻ từ C của tam giác ABC. Ta có

Gọi hB là đường cao kẻ từ B của tam giác ABC. Ta có  B ( 4;5 ) ∈ hB → hB : 5 x − 3 y − 5 = 0. Chọn   hB ⊥ AC → nhB = AC = ( −5;3) = − ( 5; −3 ) 35

+) Gọi AH và AD lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC . 7 x − 2 y − 3 = 0  x = 1 +) Tọa độ A là nghiệm của hệ  ⇒ ⇒ A (1; 2 ) . 6 x − y − 4 = 0 y = 2  xB = 2 x M − x A = 3 ⇒ B ( 3; −2 ) . +) M là trung điểm của AB nên   yB = 2 yM − y A = −2 +) Đường thẳng BC đi qua B ( 3; −2 ) và vuông góc với đường thẳng AH : 6 x − y − 4 = 0 nên có phương trình x – 3 + 6 ( y + 2 ) = 0 ⇔ x + 6 y + 9 = 0 . +) D là giao điểm của BC và AN nên tọa độ D là nghiệm của hệ 36

x = 0 7 x − 2 y − 3 = 0  3  ⇒  3 ⇒ D  0; −  mà D là trung điểm của BC suy ra C ( −3; −1) 2  x + 6 y + 9 = 0  y = − 2 +) Đường thẳng AC đi qua A (1; 2 ) và C ( −3; −1) có phương trình là 3 x − 4 y + 5 = 0 . Câu 86. Chọn A  x− y−2=0 x = 3 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  ⇔ nên A ( 3;1) x y + 2 − 5 = 0  y =1 Gọi B ( b; b − 2 ) và C ( 5 − 2c; c ) , G là trọng tâm tam giác ABC nên b, c là nghiệm của hệ

5 − 2c + b + 3 = 9 b = 5 ⇔ .  c b + − 2 + 1 = 6  c = 2 Vậy B (5;3); C (1; 2) ⇒ BC = ( −4; −1) chọn một véctơ pháp tuyến của đường thẳng BC là nBC = (1; −4 ) suy ra phương trình đường thẳng BC :1( x − 1) − 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ BC : x − 4 y + 7 = 0. Câu 87. Câu 88.

Câu 89.

 A (1;5) , B ( −4; −5 ) → AB : 2 x − y + 3 = 0 .   A (1;5) , C ( 4; −1) → AC : 2 x + y − 7 = 0 Suy ra các đường phân giác góc A là:

Câu 93.

2x − y + 3 5

Điểm M ( x; y ) thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi ∆1 ; ∆ 2 khi và chỉ khi

Câu 91.

3 x + y = 0 ⇔ . Chọn C. x − 3y + 6 = 0 Điểm M ( x; y ) thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi ∆; Ox : y = 0 khi và chỉ khi

d ( M ; ∆ ) = d ( M ; Ox ) ⇔

x+ y 2

2x − y + 3 5

 x + 1+ 2 y = 0 ⇔ . Chọn D.  x + 1− 2 y = 0 1 

( (

) )

 7   A  4 ;3  , B (1; 2 ) → AB : 4 x − 3 y + 2 = 0    Câu 92.  .  A  7 ;3  , C ( −4;3) → AC : y − 3 = 0   4  Suy ra các đường phân giác góc A là:  4 x + 2 y − 13 = 0 → f ( x; y ) = 4 x + 2 y − 13 4x − 3y + 2 y−3 = ⇔ 5 1  4 x − 8 y + 17 = 0  f ( B (1; 2 ) ) = −5 < 0 →  f ( C ( −4;3) ) = −23 < 0 suy ra đường phân giác trong góc A là 4 x − 8 y + 17 = 0. Chọn

3x + 11 y − 3 = 0 ⇔ . 11x − 3 y − 11 = 0 Gọi I = d1 ∩ d 2 → I (1; 0 ) ; d : 3 x + 11 y − 3 = 0 → M ( −10;3 ) ∈ d , 3x − 4 y − 3 5

12 x + 5 y − 12 13

Ta có: IM = 130, MH =

Câu 90.

x + 2y − 3

 x − 1 = 0 → f ( x; y ) = x − 1  f ( B ( −4; −5 ) ) = −5 < 0 ⇔ → y −5 = 0  f ( C ( 4; −1) ) = 3 > 0

Gọi H là hình chiếu của M lên d1.

1 ( 3xA + 4 y A − 5)( 3xB + 4 yB − 5) > 0 ⇔ 10 (1 + 4m ) > 0 ⇔ m > − . Chọn 4 x = 2 + t d :  → d : 3 x + y − 7 = 0. Khi đó điều kiện bài toán trở thành  y = 1 − 3t

d ( M ; ∆1 ) = d ( M ; ∆ 2 ) ⇔

2x + y − 7

suy ra đường phân giác trong góc A là y − 5 = 0. Chọn Câu 94. Các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 : 3 x − 4 y − 3 = 0 và d 2 :12 x + 5 y − 12 = 0 là:

Dạng 2.3.4 Phương trình đường phân giác của tam giác Chọn D. A (1; 3) , B ( 2; m ) nằm cùng phía với d : 3x + 4 y − 5 = 0 khi và chỉ khi

( 3 x A + y A − 7 )( 3xB + yB − 7 ) > 0 ⇔ −2 ( m − 13) > 0 ⇔ m < 13. Chọn

= 9, suy ra

MH 9 > 52 → 2MIH > 90 . = → MIH IM 130 Suy ra d : 3x + 11y − 3 = 0 là đường phân giác góc tù, suy ra đường phân giác góc nhọn là 11x − 3 y − 11 = 0 . Chọn B. Câu 95. Chọn D. AB : 3 x − 4 y − 9 = 0 AC : 8 x − 6 y + 1 = 0 Phương trình các đường phân giác của góc A của ∆ABC là:  2 x + 2 y + 19 = 0 ( ∆1 ) 3x − 4 y − 9 8x − 6 y + 1 =± ⇔ 2 ( 3 x − 4 y − 9 ) = ± (8 x − 6 y + 1) ⇔  5 10 14 x − 14 y − 17 = 0 ( ∆ 2 ) 29 6   Có {B} = AB ∩ BC . Suy ra B  ;  .  7 7  29 41  Có {C} = AC ∩ BC . Suy ra C  ;  .  14 14  6 41  29   29  Xét ( ∆1 ) : 2 x + 2 y + 19 = 0 có t B .tc =  2. + 2 + 19  2. + 2 + 19  > 0 . 7 14  7   14  Suy ra B, C nằm về cùng một phía đối với ( ∆1 ) , nên ( ∆1 ) là đường phân giác ngoài của góc A . = sin MIH

Câu 96.

−30 − 12 − 3

Vậy đường phân giác trong của góc A là ( ∆ 2 ) :14 x − 14 y − 17 = 0 . Chọn A Bài toán tổng quát: Gọi d là phân giác ngoài góc A của tam giác ABC . 1 1 . AB , AF = . AC và AD = AE + AF . Đặt AE = AB AC Khi đó tứ giác AEDF là hình thoi (vì AE = AF = 1 ). (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau). Suy ra tia AD là tia phân giác trong góc EAF . 38

Do đó: AD ⊥ d . Nên AD là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d .  AB = (1; −1) , AB = 2 ⇒ AD = 2;0 = 2 (1;0) . Áp dụng:   AC = ( 2;2 ) , AC = 2 2

(

)

Xem đáp án chỉ có đáp án A có vectơ pháp tuyến là (1;0 ) .

Câu 97.

DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Chọn D

a1 = a2 . Hai đường thẳng y = a1 x + b1 và y = a2 x + b2 song song với nhau khi và chỉ khi  b1 ≠ b2 Trong các đường thẳng trên không có đường nào thỏa mãn. Vậy không có cặp đường thẳng nào song song. Câu 98. Chọn D d : y = 3x − 2 ⇔ 3x − y − 2 = 0 . ( d ) có VTPT n = ( 3; −1) . Đường thẳng 3x + y − 6 = 0 có VTPT n1 = ( 3;1) ≠ kn nên n và n1 không cùng phương. Do đó đường thẳng 3x + y − 6 = 0 không song song với đường thẳng ( d ) . Chọn D Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng 1 2 ⇒ d c ắt d 1 . .+) Với d 1: x + 2 y + 1 = 0 có ≠ 1 −2 2 −1 ⇒ d c ắt d 2 . .+) Với d 2 : 2 x − y = 0 có ≠ 1 −2 1 −1 2 = ≠ ⇒ d trùng d 3 . .+) Với d 3: − x + 2 y + 1 = 0 có 1 −2 −1 1 −2 −1 = ≠ ⇒ d song song d 4 . .+) Với d 4 : −2 x + 4 y − 1 = 0 có −2 4 −1 Câu 100. Chọn B  3 1 Vì d3 : y = −  1 − x + 1 ⇒ d3 ≡ d 2 . Đường thẳng d2 và d4 có hệ số góc bằng  x + 2 = 3 3   nhau;hệ số tự do khác nhau nên chúng song song. Câu 101. Chọn D Để đường thẳng y = ( m 2 − 3 ) x + 3m + 1 song song với đường thẳng y = x − 5 thì điều kiện là Câu 99.

m 2 − 3 = 1 m = ±2 ⇔ ⇔ m = 2.  3m + 1 ≠ −5 m ≠ −2 Câu 102. Chọn A Ta có tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x − 3 y − 6 = 0 và 3x + 4 y − 1 = 0 là nghiệm của hệ 27   x = 13 x − 3y − 6 = 0 phương trình  ⇔ . 3x + 4 y − 1 = 0  y = − 17  3 Câu 103. Chọn A Đường thẳng d1 : 2 x + 3 y + 15 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n1 = ( 2;3) và đường thẳng d 2 : x − 2 y − 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n2 = (1; −2 ) . 39

2 3 và n1.n2 = 2.1 + 3.( −2) = −4 ≠ 0 . ≠ 1 −2 Vậy d1 và d 2 cắt nhau và không vuông góc với nhau. Câu 104. Chọn C CÁCH 1 -Xét m = 0 thì d1 : y = −5, d 2 : x = 9 . Rõ ràng hai đường thẳng này cắt nhau nên m = 0 thỏa mãn (1). x -Xét m ≠ 0 thì d1 : y = − mx + m − 5 và d 2 : y = − + 9 m m ≠ 0 1 Hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhaut ⇔ − m ≠ − ⇔  (2) . m  m ≠ ±1 Từ (1) và (2) ta có m ≠ ±1 . CÁCH 2 d1 và d2 theo thứ tự nhận các vectơ n1 = ( m;1 ), n2 = ( 1;m ) làm vec tơ pháp tuyến. Ta thấy

d1 và d2 cắt nhau ⇔ n1 và n2 không cùng phương ⇔ m.m ≠ 1.1 ⇔ m ≠ ±1. (Áp dụng tính chất: n1 = ( a;b ) và n2 = ( c;d ) cùng phương ⇔ a.d = b.c )

d 2 : ( 2m − 1) x + m 2 y + 10 = 0 d1 ≡d 2 2m − 1 m 2 10  → = = Câu 105.  3 4 10 d1 : 3x + 4 y + 10 = 0 2 m − 1 = 3 ⇔ 2 ⇔ m = 2. m = 4  d1 : mx + ( m − 1) y + 2m = 0 d1||d2 m m − 1 2m Câu 106.   → = =/ 2 1 −1  d 2 : 2 x + y − 1 = 0  −1 =/ 2 ⇔ ⇔ m = 2. m = 2m − 2

d1 : 2 x − 3 y + 4 = 0 4m −3 1  n1 = ( 2; −3) d1 ∩d 2 = M  →  → =/ ⇔ m =/ . Chọn C. Câu 107.   x = 2 − 3t d : 2 − 3 2 n 4 m ; 3 = − ( )   2 y = 1 − 4mt  2   d1 : 2 x – 4 y + 1 = 0   n1 = (1; −2 ) d1 ⊥ d 2 Câu 108.   →  → n1 ⋅ n2 = 0 ⇔ a + 1 − 2a = 0 ⇔ a = 1.  x = −1 + at d : n a 1; a = + ( )   2 y = 3 − ( a + 1) t  2   Chọn D.   x = −2 + 2t d1 :  → u1 = ( 2; −3)   A ∈ d1  y = −3t  d1 ≡ d2  Câu 109. →  m 1 − 2m ⇔ m = 2.   =  x = 2 + mt d2 :  → A ( 2; −6 ) ∈ d 2 , u2 = ( m;1 − 2m )  −3  2   y = −6 + (1 − 2m ) t  Chọn C.   x = 2 + 2t A ∈ d2 5 + m = 0 d1 :  → A ( 2;1) ∈ d1 , u1 = ( 2; m )  d ≡ d   1 2 y = 1 + mt →2 m ⇔  Câu 110.    8 ⇔ m ∈ ∅. m= =  d 2 : 4 x − 3 y + m = 0 → u2 = ( 3; 4 ) 3   3 4  40

Chọn

d1 : 3mx + 2 y − 6 = 0 → n1 = ( 3m; 2 ) Câu 117. Ta có  2 2 d 2 : ( m + 2 ) x + 2my − 3 = 0 → n2 = ( m + 2; 2m )

 d1 : 2 x + y = 0 Câu 111. Với m = 4  →  → d1 ∩ d 2 =/ ∅  → loại m = 4. d 2 : 7 x + y + 7 = 0 Với m =/ 4 thì

 d1 : y − 3 = 0 → m = 0 ( khoâng thoaû maõn ) m = 0 →  d 2 : 2 x + 2 y − 3 = 0 → . Choï n A.  m 2 + 2 2m −3 d1 ||d 2  m =/ 0  → = =/ ⇔ m = ±1 3m 2 −6 

m = −1 m + 3 1 −2 m − 1 d1 : 2 x + y + 4 − m = 0 1 ||d 2 d → = =/ ⇔ ⇔ m = −1.  2 1 4−m d 2 : ( m + 3) x + y − 2m − 1 = 0 m =/ −5 Chọn

 ∆ : x + 5 = 0 m=0→ 1 → m = 0 (thoaû maõn ) ∆1 : 2 x − 3my + 10 = 0  ∆ 2 : 4 y + 1 = 0 Câu 112.  → . Chọn  ∆ 2 : mx + 4 y + 1 = 0 2 −3m ∆1 ∩∆2 = M → =/ ⇔ ∀m =/ 0  m =/ 0  m 4  ∆1 : mx + y − 19 = 0 → n1 = ( m;1) Câu 113. Ta có :  ∆ 2 : ( m − 1) x + ( m + 1) y − 20 = 0 → n2 = ( m − 1; m + 1)

→ m ( m − 1) + 1( m + 1) = 0 ⇔ m ∈∅. ∆1 ⊥∆1

Câu 114.

d1 : 3mx + 2 y + 6 = 0 → n1 = ( 3m; 2 ) Ta có:  2 2 d 2 : ( m + 2 ) x + 2my + 6 = 0 → n2 = ( m + 2; 2 m )

 d1 : y + 3 = 0 → m = 0 ( thoaû maõn ) m = 0 →  d2 : x + y + 3 = 0  → . Chọn  m 2 + 2 2m d1 ∩ d 2 = M  m =/ 0  → =/ ⇔ m =/ ±1 3m 2  d1 : 2 x − 3 y − 10 = 0 → n1 = ( 2; −3)  Câu 115.   x = 2 − 3t d 2 :  y = 1 − 4mt → n2 = ( 4m; −3)   9 d1 ⊥d 2  → 2.4m + ( −3) . ( −3) = 0 ⇔ m = − . Chọn C. 8 d1 : 4 x − 3 y + 3m = 0 → n1 = ( 4; −3)  Câu 116.   x = 1 + 2t d 2 :  y = 4 + mt → A (1; 4 ) ∈ d 2 , n2 = ( m; −2 )  

 A ∈ d1 3m − 8 = 0 8   d1 ≡ d2  →  m −2 ⇔  ⇔ m = . Chọn B. 8 3 = m =  4 −3 3 

  x = 8 − ( m + 1) t → A ( 8;10 ) ∈ d1 , n1 = (1; m + 1) d1 :  Câu 118. Ta có:   y = 10 + t  d 2 : mx + 2 y − 14 = 0 → n2 = ( m; 2 )

 A ∈/ d 2  8m + 6 =/ 0   n1 = (1;1) m = 1 m = 0 →  → khoâng thoaû maõn  d1 ||d 2  →  ⇔  m =/ 0 ⇔ . Chọn  n2 = ( 0; 2 )  m = −2  m = 1  m + 1 1 m = 0 → =   / m 2 d1 : ( m − 3) x + 2 y + m 2 − 1 = 0 Câu 119.  2 d 2 : − x + my + m − 2m + 1 = 0

 d1 : −3x + 2 y − 1 = 0 → thoaû maõn m = 0 →  d 2 : − x + 1 = 0   → . Chọn B.  m =/ 1 m−3 2  m =/ 0 → =/ ⇔  −1 m  m =/ 2 d1 ∩d 2 = M

  x = m + 2t → A ( m;1) ∈ d1 , u1 = ( 2; m2 + 1) ∆1 :  2  A ∈ d2    y = 1 + ( m + 1) t d1 ≡ d 2  →m  1 =   x = 1 + mt  2 m 2 + 1 ∆2 :  → u2 = ( m;1)  Câu 120.  . Chọn y = m + t m = 1 + mt m2 − 1 = 0  m = 1 + m (1 − m ) ⇔ 1 = m + t ⇔ ⇔ ⇔ m = 1. 2 m m m − 1 + + 2 = 0 ( ) ( ) m − 1 = 0 m3 + m − 2 = 0    d : 7 x − 3 y + 16 = 0  x = −10 Câu 121.  1 ⇔ . Chọn A. d x : + 10 = 0  y = −18  2

  x = −3 + 4t  x = 1 d1 :  → d1 → −3 + 4t = 1 + 4t ′ t − t ′ = 1 t = 1    y = 2 + 5t ⇔ ⇔ ⇔ Câu 122.   y = 7 . Chọn A. t + t ′ = 1  d :  x = 1 + 4t ′ 2 + 5t = 7 − 5t ′ ′ 0 t =   2  y = 7 − 5t ′   d1 : 2 x + 3 y − 19 = 0 x = 2  d1 ∩d2  → 2 ( 22 + 2t ) + 3 ( 55 + 5t ) − 19 = 0 ⇔ t = −10 →  . Câu 123.   x = 22 + 2t d : y=5   2  = + y 55 5 t  

Chọn A.  A ( –2; 0 ) , B (1; 4 ) → AB : 4 x − 3 y + 8 = 0 4 x − 3 y + 8 = 0  x = 2  AB ∩d Câu 124.   x = −t  → ⇒ . x− y+2 =0 : → : − + 2 = 0 d d x y  y = 0    y = 2−t Chọn B.  x = −1 + t  x = −2 Câu 125. Ox ∩ d 2 ↔  ⇔ → Ox ∩ d 2 = A ( −2;0 ) ∈ d1 3 y = + 3 t = 0  y = 0 D. → −2a − 4 = 0 ⇔ a = −2. Chọn x = 2 + t = 0 x = 0 Câu 126. Oy ∩ d 2 ↔  ⇔ → Oy ∩ d 2 = A ( 0; 2 ) ∈ d1  y = 6 + 2t y = 2 m = 0 ⇔ 6m − m 2 = 0 ⇔  . Chọn m = 6

d : 2 x + y – 1 = 0 x = 1 Câu 132.  1 ⇔ → d1 ∩ d 2 = A (1; −1) ∈ d 3 ⇔ m + 1 − 7 = 0 ⇔ m = 6.  y = −1 d2 : x + 2 y + 1 = 0 Chọn B.

 f   → f Câu 133. Đặt f ( x; y ) = 51x − 30 y + 11   f   f Chọn A.

4  f  −1; −  = 0 → M ∈ d 3  4 ( N ) = f  −1;  = −80 =/ 0 → N ∈/ d . 3 

(M ) =

( P ) =/ 0 ( Q ) =/ 0

3  x=− d : 3 x – 2 y + 5 = 0   3 31  8 Câu 127.  1 ⇔ → d1 ∩ d 2 = A  − ;  . Ta có 31  8 16  d 2 : 2 x + 4 y – 7 = 0 y =  16

 A∈ d 9 31 53  A ∈ d → →− + +c =0⇔ c = − .  8 4 8 d || d3 : 3x + 4 y –1 = 0 d : 3x + 4 y + c = 0 ( c =/ −1) 53 = 0 ⇔ d3 : 24 x + 32 y − 53 = 0. Chọn 8 x = 3 d1 : x + 3 y − 1 = 0 2   ⇔ Câu 128.  2 → d1 ∩ d 2 = A  3; −  . Ta có d : x − 3 y − 5 = 0 3 y = −   2 3  Vậy d : 3 x + 4 y –

A∈ d A∈ d 5  2 → → 3 + 2.  −  + c = 0 ⇔ c = − .  3  3 d ⊥ d3 : 2 x − y + 7 = 0 d : x + 2 y + c = 0 5 Vậy d : x + 2 y − = 0 ⇔ d : 3x + 6 y − 5 = 0. Chọn A. 3  d : 3 x − 4 y + 15 = 0  x = −1 Câu 129. Ta có:  1 ⇔ → d1 ∩ d 2 = A ( −1; 3 ) ∈ d 3 y = 3 d2 : 5 x + 2 y − 1 = 0 → − m − 6m + 3 + 9m − 13 = 0 ⇔ m = 5. Chọn D. 5  x=  d : 2x + y – 4 = 0   5 26  9 Câu 130.  1 ⇔ → d1 ∩ d 2 = A  ;  ∈ d3 9 9  d 2 : 5 x – 2 y + 3 = 0  y = 26  9 5m 26 → + − 2 = 0 ⇔ m = −12. Chọn D. 9 3  d : 3 x – 4 y + 15 = 0  x = −1 Câu 131.  1 ⇔ → d1 ∩ d 2 = A ( −1;3 ) ∈ d y = 3  d 2 : 5 x + 2 y –1 = 0

DẠNG 4. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Dạng 4.1 Tính góc của hai đường thẳng cho trước Câu 134. Chọn C Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n = 1; − 3 , đường thẳng ∆ ′ có vectơ pháp tuyến n′ = 1; 3 .

(

)

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng ∆, ∆′. cos α = cos n, n′ =

( )

1 ⇒ α = 60 . 2

Câu 135. Chọn

A. Đường thẳng a có vectơ pháp tuyến là: n1 = 3; − 1 ; Đường thẳng b có vectơ pháp tuyến là: n2 = 1; − 3 .

( (

) )

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có: 1. 3 + ( −1) − 3 n .n2 3 . Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 30° . cos ( a, b ) = 1 = = 2.2 2 n1 . n2

(

)

Câu 136. Chọn C

Đường thẳng d1 : 2 x + 5 y − 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n1 = ( 2;5 ) . Đường thẳng d 2 : 3x − 7 y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến n 2 = ( 3; −7 ) .

Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức n 1 .n 2 2.3 + 5.(−7) 29 1 cos ( d1 , d 2 ) = cos n 1 , n 2 = = = = 2 29 2 2 n1 . n 2 22 + 52 . 32 + ( −7 )

(

)

⇒ ( d1; d2 ) = 450 Vậy góc tạo bởi đường thẳng d1 và d 2 bằng 450 . Câu 137. Chọn D Véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1 là n = ( 2;1) nên véctơ chỉ phương u = (1; − 2 )

Véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆ 2 là u′ = (1; − 1)

→ − m − 12 + 15 = 0 ⇔ m = 3. Chọn C. 43

1− 3 1 + 3. 1 + 3

u.u ′ 3 3 10 Khi đó cos ( ∆1; ∆ 2 ) = cos u; u ′ = = = 10 5. 2 u . u′

d1 : x + 2 y − 7 = 0 → n1 = (1; 2 ) 1− 4 3 ϕ = ( d1 ; d2 ) Câu 146.   → cos ϕ = = . Chọn C. 1 + 4. 1 + 4 5 d 2 : 2 x − 4 y + 9 = 0 → n2 = (1; −2 ) 1− 2 1 d1 : x + 2 y − 2 = 0 → n1 = (1; 2 ) ϕ =( d1 ;d 2 ) Câu 147.   → cos ϕ = = . Chọn A. d x − y = → n = − 1 : 0 1; + + 1 4. 1 1 10 ( )  2 2 d1 : 10 x + 5 y − 1 = 0 → n1 = ( 2;1) 2 +1 3  ϕ = ( d1 ; d2 )  → cos ϕ = = . Chọn Câu 148.  x = 2 + t 4 + 1. 1 + 1 10 d 2 :  y = 1 − t → n2 = (1;1)   d1 : 3 x + 4 y + 1 = 0 → n1 = ( 3; 4 ) 15 − 48 33  ϕ = ( d1 ; d2 )  → cos ϕ = = . Câu 149.   x = 15 + 12t d → n = 5; − 1 2 : 9 + 16. 25 + 144 65 ( ) 2  2  y = 1 + 5t   Chọn D.

( )

Câu 138. Chọn D Đường thẳng ∆1 có VTPT là n1 ( 1; −2 ) ⇒ 1VTCP ( 2;1 ) Đường thẳng ∆ 2 có 1VTCP ( − 1; 2 ) . Nhận xét: u1 .u2 = 0 ⇒ u1 ⊥ u2 ⇒ ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇒ ( ∆1 , ∆ 2 ) = 90° . Câu 139. Chọn D Ta có vtptnd1 = (1;2 ) ; vtptn d2 = ( 2; −4 ) nd1 .nd 2 1.2 − 2.4 3 cos ( d ; d ′ ) = = . = 5.2 5 5 n d1 . n d2

Câu 140. Chọn C ∆ có vectơ pháp tuyến là n1 = 1; − 3 . ∆ ' có vectơ pháp tuyến là n2 = 1; 3 .

(

)

(

)

Khi đó:

1.1 + − 3 3 n1 .n2 cos ∆; ∆ = cos(n1 ; n2 ) = = 2 | n1 | . n2 12 + − 3 . 12 + 3

(

)

(

)

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆, ∆ ' là 600 . Câu 141. Ta có  d1 : 2 x − y − 10 = 0 → n1 = ( 2; −1) ϕ =( d1 ;d2 )  → cos ϕ =   d 2 : x − 3 y + 9 = 0 → n2 = (1; −3)

→ ϕ = 45 . Chọn Câu 142. Ta có

( )

−2

1 = . 4. 4 2

2.1 + ( −1) . ( −3) 2

22 + ( −1) . 12 + ( −3)

1 2

d1 : 7 x − 3 y + 6 = 0 → n1 = ( 7; −3) ϕ =( d1 ;d2 ) 14 + 15 1 π  → cos ϕ = = →ϕ = .  4 49 + 9. 4 + 25 2 d 2 : 2 x − 5 y − 4 = 0 → n2 = ( 2; −5 )

Chọn A. Câu 143. Ta có d1 : 2 x + 2 3 y + 5 = 0 → n 1 = 1; 3 3 3 ϕ = d1 ; d2 ) (  → cos ϕ = = → ϕ = 30 .  1 + 3. 0 + 1 2 d 2 : y − 6 = 0. → n2 = ( 0;1) Chọn A. d1 : x + 3 y = 0 → n 1 = 1; 3 1+ 0 1 ϕ =( d1 ;d 2 )  → cos ϕ = = Câu 144.  1 + 3. 1 + 0 2 d 2 : x + 10 = 0 → n2 = (1; 0 ) → ϕ = 60 . Chọn C. d1 : 6 x − 5 y + 15 = 0 → n1 = ( 6; −5)  ϕ = ( d1 ; d2 ) → n1 ⋅ n2 = 0  → ϕ = 90 . Chọn Câu 145.  D.  x = 10 − 6t d 2 :  y = 1 + 5t → n2 = ( 5;6 )  

(

)

Dạng 4.2 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc Câu 150. Chọn B Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.  x = 9 + at Đường thẳng  ( t ∈ ℝ ) có vectơ chỉ phương là u = ( a ; −2 ) . y = 7 − 2 t  Đường thẳng 3 x + 4 y − 2 = 0 có vectơ chỉ phương là v = ( 4; −3) . 4a + 6 u .v 1 = Ta có cos ϕ = cos ( u , v ) ⇔ cos 45° = ⇔ u .v 2 5 a2 + 4

⇔ 5 a 2 + 4 = 2 4a + 6 ⇔ 25a 2 + 100 = 32 a 2 + 96a + 72 2  a= ⇔ 7 a 2 + 96a − 28 = 0 ⇔  7 .   a = −14 d : 2 x + y − 3 = 0 x = 1 Câu 151.  1 ⇔ → d1 ∩ d 2 = A (1;1) ∈ ∆. y =1 d 2 : x − 2 y + 1 = 0 Ta có d 3 : y − 1 = 0 → n3 = ( 0;1) , gọi n∆ = ( a; b ) , ϕ = ( ∆; d 3 ) . Khi đó

= cos ϕ =

a = b → a = b = 1 → ∆ : x + y − 2 = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 2b 2 ⇔  . a + b . 0 +1  a = −b → a = 1, b = −1 → ∆ : x − y = 0 b

2 Chọn C. Câu 152. Chọn B. Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó. (i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d . (ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc 0 < α < 90 . a Câu 153. d : x + 2 y − 6 = 0 → nd = (1; 2 ) , gọi n∆ = ( a; b ) → k∆ = − . Ta có b a + 2b 1 = cos 45 = ⇔ 5 ( a 2 + b 2 ) = 2a 2 + 8ab + 8b 2 2 2 a + b2 . 5 2

1 1  a = − b → k∆ = ⇔ 3a − 8ab − 3b = 0 ⇔  3 3 . Chọn A.  a = 3b → k∆ = −3 d : y = kx → nd = ( k ; −1) k +1 1 Câu 154.   → = cos 60 = ⇔ k 2 + 1 = 2k 2 + 4 k + 2 2 k 2 + 1. 2 ∆ : y = x → n∆ = (1; −1) 2

+ Với a = −b chọn a = 1, b = −1 ⇒ n(1; −1) loại vì AC / / AB

+ Với a =

8 1 b chọn a = 1; b = 7 ⇒ AC : x + 7 y − 3 = 0 . Điểm C = AC ∩ BC ⇒ C  ;  7 5 5

Câu 157. Chọn D

sol: k = k1 , k = k2 ⇔ k 2 + 4k + 1 = 0  → k1 + k 2 = −4.

Chọn

Câu 155. Chọn C

Đường thẳng (d1 ) , ( d2 ) có véc ttơ pháp tuyến lần lượt là n1 = ( 2;−1) , n2 = (1;1) . Gọi (∆) là đường thẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến là n = (a; b) . Góc giữa 2 đường thẳng (d1 ) , (d 2 ) và (∆) , (d 2 ) xác định bởi: n1 .n2 2.1−1.1 1 . cos (d1 , d 2 ) = = = 2 10 n1 . n2 2 2 + (−1) . 12 + 12 n.n2 a +b a +b cos (∆, d 2 ) = = = . 2 2 2 2 n . n2 2. a 2 + b2 a + b . 1 +1 Vì (∆) cắt (d1 ) , (d 2 ) tại A và B tạo thành tam giác IAB cân tại A nên

Tọa độ A ( 2;1) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) , cos α = Xét tam giác ABC ta có:

1 ⇔ 5 a + b = a 2 + b2 10  a = −2b  2 ⇔ 5( a + b) = a 2 + b 2 ⇔ 2a 2 + 5ab + b 2 = 0 ⇔  1 . a = − b  2 + a = −2b : chọn a = 2 ⇒ b = −1 : phương trình đường thẳng là: 2 ( x + 2) − y = 0 ⇔ 2 x − y + 4 = 0 ( L ) .

cos ( d1 , d 2 ) = cos (∆, d 2 ) ⇔

1 3 ⇒ sin α = 10 10

AB BC 1 = ⇒ sin C = sin C sin A 10

1 3 Gọi β là góc giữa hai đường thẳng ( d ) và ( d1 ) , suy ra: sin β = ⇒ cos β = 10 10 Giả sử ( d ) có vec tơ pháp tuyến là n ( a; b )

2a + b a = b 3 3 ⇔ = ⇔ a 2 − 8ab + b2 = 0 ⇔  10 10 a 2 + b2 5  a = 7b Với a = b một vec tơ pháp tuyến n = (1;1) ⇒ d : x + y = 0 Với a = 7b một vec tơ pháp tuyến n ( 7;1) ⇒ d : 7 x + y − 6 = 0 Vậy: T = 1 + 0 + 7 − 6 = 2 Câu 156. Chọn C Gọi n( a; b) với ( a2 + b2 ≠ 0) là véc tơ pháp tuyến của AC , n1 (1; −3) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng BC , n2 (1; −1) véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB . Ta có: cos B = cos C ⇔|cos( n, n1 )|=|cos( n2 , n1 )|

(1)

 a = −b 2 2 a2 + b2 = a − 3b ⇔ 7 a2 + 6 ab − b2 = 0 ⇔  7a = b

(

)

2. a 2 + b 2

1 + a = − b : chọn a = 1 ⇒ b = −2 : phương trình đường thẳng là: 2 ( x + 2)− 2 y = 0 ⇔ x − 2 y + 2 = 0 (T / m) . Do đó T = a − 5b = 1− 5(−2) = 11 .

Từ (1) ta có: cos β =

|n, n | |n , n | | a − 3b| |1 + 3| ⇔ 1 = 2 1 ⇔ = 10. 2 n . n1 n2 . n1 10. a2 + b2

a +b

véctơ là

DẠNG 5. KHOẢNG CÁCH Dạng 5.1 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng cho trước Câu 158. Chọn D Khoảng cách từ điểm A (1;1) đến đường thẳng ∆ : 5 x − 12 y − 6 = 0 là

d ( A, ∆ ) =

5.1 − 12.1 − 6 52 + ( −12 )

=1.

Câu 159. Chọn A Khoảng cách d =

3.5 + 2.(−1) +13 32 + 22

26 = 2 13 . 13

Câu 160. Chọn B Khoảng cách từ điểm M (1; 1; − 1) đến đường thẳng ∆ : 3 x + y + 4 = 0 là 48

d (M ;∆) =

3.1 − 1 + 4 32 + 12

8+ 0+ 2  x = 1 + 3t Câu 171. ∆ :  → ∆ : 4x − 3y + 2 = 0 → d (M ; ∆) = = 2. Chọn A. 16 + 9  y = 2 + 4t 15 − 3 − 2  x = 2 + 3t ∀N ∈∆ Câu 172. ∆ :  → ∆ : x − 3 y − 2 = 0  → MN min = d ( M ; ∆ ) = = 10. 1+ 9 y = t

6 3 10 = . 5 10

Câu 161. Chọn B Ta có: d ( M , ∆ ) =

3.3 − 4.( −4) −1 32 + ( −4)

24 . 5

Chọn

Câu 162. Chọn A Ta có d ( A; ∆ ) =

3.( −3) − 2 + 1 32 + ( −1)

Câu 173. d ( A; ∆ ) =

10 10

= 10.

 m = −2 ⇔ . Chọn m = 1  2

Câu 163. Chọn D Ta có d ( O, d ) =

4.0 − 3.0 + 1 2

4 +3

1 . 5

Gọi bán kính của đường tròn là R. Khi đó: R = d ( I , ∆ ) =

3 − 5. ( −2 ) + 1 12 + ( −5 )

14 . 26

=8.

cos α + sin α

Câu 166. Chọn A Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là: d ( M , ∆) = Vậy khoảng cách từ I (1; −2) đến đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y − 26 = 0 bằng 3.1− 4.(−2) − 26 d ( I , ∆) = =3 32 + (−4) 2 −3 + 1 + 4 x − 3y + 4 = 0  x = −1 2 ⇔ → A ( −1;1) → d ( A; ∆ ) = = Câu 167.  . Chọn C. 9 +1 10 2 x + 3 y − 1 = 0 y =1  A (1; 2 ) 3 + 8 − 12 1 Câu 168.  → hA = d ( A; BC ) = = . 5 9 + 16  B ( 0; 3) , C ( 4;0 ) → BC : 3x + 4 y − 12 = 0 Chọn A.  A ( 3; −4 )  A ( 3; −4 )   BC = 2 5 →  BC = 2 5 → Câu 169. Cách 1:  B 1;5 , C 3;1 ( ) ( )  BC : 2 x + y − 7 = 0 hA = d ( A; BC ) = 5   1 → S ABC = .2 5. 5 = 5. Chọn B. 2 2 1 Cách 2: S ∆ABC = AB 2 . AC 2 − AB ⋅ AC . 2 3sin α + 3 ( 2 − sin α ) Câu 170. d ( M ; ∆ ) = B. = 6. Chọn cos 2 α + sin 2 α

(

)

= 2 5 ⇔ m − 3 = 5. m 2 + 1 ⇔ 4m 2 + 6m − 4 = 0

→ M ( 4 − m; m − 2 ) = d1 ∩ d 2 .

Câu 165. Chọn D Ta có: d ( M , ∆ ) =

m2 + 1

 x = t d1 : x + y − 2 = 0 x = 4 − m d1 :  → ⇔ Câu 174.   y = 2 − t d : x − 2 y + m = 0 d 2 : x − 2 y + m = 0  y = m − 2  2

Câu 164. Chọn A

0. cosα + 4. sinα + 4 ( 2 − sinα )

A. −m + 2 − m + 4

ax0 + by0 + c a 2 + b2

m = 2 2 2 Khi đó: OM = 2 ⇔ ( 4 − m ) + ( m − 2 ) = 4 ⇔ m 2 − 6m + 8 = 0 ⇔  . Chọn m = 4 100 Câu 175. R = d ( O; ∆ ) = D. = 10. Chọn 64 + 36 −10 − 24 − 10 44 A. Câu 176. R = d ( I ; ∆ ) = = . Chọn 13 25 + 144

 f ( M ( 21; −3) ) = 464   f ( N ( 0; 4 ) ) = 54 . Chọn Câu 177. f ( x; y ) = 21x − 11y − 10 →   f ( P ( −19;5 ) ) = 464   f ( Q (1;5) ) = 44  f ( M (1; −3) ) = 38   f ( N ( 0; 4 ) ) = 25 . Chọn C. Câu 178. f ( x; y ) = 7 x + 10 y − 15 →   f ( P ( −19;5 ) ) = 98   f ( Q (1;5 ) ) = 42

 A ( 2; 0 ) ∈ ∆ 2 12 + 3 3 → d ( ∆1 ; ∆ 2 ) = d ( A; ∆1 ) = = . Chọn B. Câu 179.  100 2 ∆ 2 || ∆1 : 6 x − 8 y + 3 = 0  A ( −2; 2 ) ∈ ∆, n∆ = ( 7;1) Câu 180.   d : 7 x + y − 3 = 0 → nd = ( 7;1) −14 + 2 − 3 3 → ∆ ↑↑ d → d ( d ; ∆ ) = d ( A; d ) = = . Chọn A. 50 2  A ( 4;3) ∈ d 2 24 − 24 − 101 101 → d ( d1 ; d 2 ) = = = 10,1. Chọn Câu 181.  10 d || d : 6 x – 8 y − 101 = 0 100  2 1 50

Dạng 5.2 Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách Câu 182. Chọn D Gọi d là đường thẳng được cho trong các phương án. Khi đó: +) Phương án A. −2.3 + 2.1 − 3 −2.4 + 2.0 − 3 7 11 = = ⇒ d ( A, d ) ≠ d ( B, d ) . d ( A, d ) = ; d ( B, d ) = 2 2 ( −2 ) + 2 2 2 2 ( −2 ) + 22 2 2

Câu 188. d ( M ( x; y ) ; d1 ) = d ( M ( x; y ) ; d 2 ) ⇔ Chọn Câu 189. Chọn D

Chọn phương án D. Câu 183. Đường thẳng cách đều hai điểm A, B thì đường thẳng đó hoặc song song (hoặc trùng) với AB , hoặc đi qua trung điểm I của đoạn AB .

 3 7  A ( 2;3)  I  2 ; 2   →  → AB || d : x − y − 2 = 0. Chọn Ta có:  A.  B (1; 4 )  = − 1 ;1 → = 1; 1 AB n ( ) ( ) AB  Câu 184. Dễ thấy ba điểm A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng cách điều A, B, C khi và chỉ khi chúng song song hoặc trùng với AB . Ta có: AB = (12; 4 ) → nAB = (1; −3) → AB || d : x − 3 y + 4 = 0. Chọn A.

Chọn A. 3x − 4 y + 2 5

3x − 4 y + 12 = 0 =2⇔ . Chọn 3 x − 4 y − 8 = 0

⇔ 5 x + 3 y + 2 = 0.

C. MD DK 1 DK 1 = = ⇒ = . AB KB 3 DB 4

1 Ta có AM = AD + DM = AD + DC (1) A 3 3 1 3 1 3 1 NK = BK − BN = BD − BC = BA + BC − BC = BA + BC (2) 4 2 4 2 4 4 1 1 K Từ (1) và (2) suy ra AM.NK = AD.BC + BA.DC = 0 ⇒ AM ⊥ NK . 4 4 D Vì AM ⊥ NK nên NK có phương trình tổng quát: 10 x + y − 2019 = 0 .

(

Khoảng cách từ O đến NK là d ( O , NK ) = Câu 190. Chọn

)

−2019 102 + 12

2019 101 . 101

C. Ta có: M (4; 2) ∈ d ⇔ 4 + 2b + c = 0 ⇒ c = −4 − 2b. (1)

d ( A, d ) =

1+ c 1 + b2

3 10 ⇔ 10(1 + c) 2 = 9(1 + b2 ). (2) 10

b = −3(tmdk ) Thay c = −4 − 2b vào PT (2) ta được PT: 31b 2 + 120b + 81 = 0 ⇔  b = − 27 (ktmdk ) 31  ⇒ b = −3, c = 2 ⇒ b + c = −1. . Câu 191. Chọn A  x = −1 ∆ : x + ( m − 1) y + m = 0 ⇔ ( y + 1) m + x − y = 0 ∀m ⇔  .  y = −1 Suy ra ∆ luôn đi qua điểm cố định H ( −1; −1) .

Câu 192. Chọn B. Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đường thẳng đã cho với Ox , Oy . x y Ta có 12 x + 5 y = 60 ⇔ + = 0 . Do đó A ( 5; 0 ) , B ( 0;12 ) . 5 12 12.0 + 5.0 − 60 60 Gọi H là hình chiếu của O lên AB . Khi đó: OH = d ( O ; AB ) = = . 13 122 + 52 Tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên tổng độ dài các đường cao là 60 281 = OA + OB + OH = 5 + 12 + . 13 13 Câu 193. Chọn D Gọi H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng ( d ) . Khi đó ta có: d ( A, ( d ) ) = AH ≤ AB =

đạt giá trị lớn nhất bằng 51

5x + 3 y + 7

Giá trị lớn nhất của d ( A; ∆ ) = AH khi M ≡ H ⇒ max d ( A, ∆ ) = AH = 2 10 .

d : 3x − 4 y + 1 = 0 → M (1;1) ∈ d c −1 c = −4 → 1 = d ( d; ∆) = d ( M ; ∆) = ⇔ . Câu 186.  5 c = 6 ∆ || d → ∆ : 3 x − 4 y + c = 0 Câu 187. d ( M ( x; y ) ; ∆ ) = 2 ⇔

Khi đó, với mọi M ∈ ∆ , ta có d ( A; ∆ ) = AM ≤ AH .

  1 5 I  − ;  . Câu 185. Gọi I là trung điểm đoạn AB →   2 2   AB = − → n = 3;3 1;1 ( ) ( ) AB  Khi đó: ∆ : mx − y + 3 = 0 ( n∆ = ( m; −1) ) cách đều A, B I ∈ ∆  m 5 − − +3 = 0 m = 1 ⇔  m −1 ⇔  2 2 ⇔ . Chọn  =   m = −1 1 1  m = −1

Gọi cạnh hình vuông bằng a . Do ∆ABK ∼ ∆MDK ⇒

Loại phương án A. +) Phương án B. 2.3 − 2.1 − 3 2.4 − 2.0 − 3 1 5 = = ⇒ d ( A, d ) ≠ d ( B, d ) . d ( A, d ) = ; d ( B, d ) = 2 2 2 2 2 2 22 + ( −2 ) 2 2 + ( −2 ) Loại phương án B. +) Phương án C. 3 + 2.1 − 3 4 + 2.0 − 3 2 1 = = ⇒ d ( A, d ) ≠ d ( B, d ) . d ( A, d ) = ; d ( B, d ) = 2 2 2 2 5 5 1 +2 1 +2 C. Loại phương án +) Phương án D. 2.3 + 2.1 − 3 2.4 + 2.0 − 3 5 5 ⇒ d ( A, d ) = d ( B, d ) = = d ( A, d ) = ; d ( B, d ) = 2 2 2 2 2 22 + 22 22 + ( −2 )

5x + 3 y − 3

( 3 − 1)2 + ( 4 + 1)2

= 29 . Do đó khoảng cách từ A đến đường thẳng ( d )

29 khi H ≡ B hay ( d ) ⊥ AB tại B .

HM = (0;3) suy ra HM không vuông góc với (d ) nên B không trùng với H .

Vì vậy ( d ) đi qua B và nhận AB = ( 2;5) làm VTPT. Do đó phương trình của đường thẳng ( d ) là 2 ( x − 3) + 5 ( y − 4 ) = 0 ⇔ 2 x + 5 y − 26 = 0 . DẠNG 6. XÁC ĐỊNH ĐIỂM Dạng 6.1 Xác định tọa hình chiếu, điểm đối xứng

Câu 194. Chọn D Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng d , ta có M 1 , M 4 , M 2 ∈ d và M 3 ∉ d . Câu 195. Chọn C x+3 y +8 ⇔ 3x − y + 1 = 0 . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B và C có dạng: = 2+3 7+8 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC có phương trình: 1( x − 4) + 3 ( y − 3) = 0 ⇔ x + 3 y − 13 = 0 Tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là nghiệm của hệ phương trình: 3 x − y + 1 = 0 x = 1 . ⇔  x y + 3 − 13 = 0  y = 4 Câu 196. Chọn B Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d . Ta có phương trình của ∆ là: x + 3 y − 1 = 0 Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên d là nghiệm của hệ phương trình: 7   x = − 5  −3 x + y − 5 = 0 ⇔ .  x + 3y −1 = 0 y = 4  5 Câu 197. Chọn A Đường thẳng ∆ có 1 VTPT là n = (1; −1) nên ∆ có 1 VTCP là u = (1;1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M (1; 2 ) lên đường thẳng ∆ , tọa độ H ( t ; t ) 3 3 3 Vì MH ⊥ ∆ ⇒ MH ⊥ u ⇒ MH .u = 0 ⇔ t − 1 + t − 2 = 0 ⇔ t = ⇒ H  ;  2 2 2 Câu 198. Chọn C

B ( a ; b) ∈ ( d ) ⇒ b = −a − 2 . Tam giác BHC vuông tại H và CM là trung tuyến nên ta có  a = −1 2 2 MB = MH ⇔ ( a − 2) + (a + 1) = 9 ⇔ a 2 − a − 2 = 0 ⇔   a = 2 (l ) Suy ra B (−1; −1) và T = a − 3b = 2 . Câu 199. Chọn C

M Gọi C (t; −2t − 5) ∈ (d ) . Dễ thấy hai tứ giác BCND và ADNB nội tiếp.  BNC = BDC Suy ra  ⇒ ANC = 90o ⇔ CN ⊥ AN .  BNA = BDA Do đó CN . AN = 0 ⇔ 9(5 − t ) − 12(2t + 1) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ C (1; −7 ) . Vậy m − n = 1 + 7 = 8 Dạng 6.2 Xác định điểm liên quan đến yếu tố khoảng cách, góc Câu 200. Chọn A Gọi M ( x;0) . Ta có AB = ( −3; 4 ) Phương trình đường thẳng AB : 4 x + 3 ( y − 3) = 0 ⇔ 4 x + 3 y − 9 = 0 .

d ( M ; AB ) =

4x − 9

C M

Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Ta có  3   xM − 2 = ( 2 − 2 ) 3   2  AM = AG ⇔  , suy ra M (2; −1) .   3  2 2  y − 4 = − 4   M    2 3   53

7  x= ⇔ 5 = 4x − 9 ⇔  2   x =1

7  Vậy M  ;0  ; M (1;0 ) . 2 

M ∈ d : x − 2 y − 1 = 0 → M ( 2m + 1; m ) , m ∈ ℤ . Khi đó Câu 201.   AB : 4 x + 3 y − 7 = 0 6 = d ( M ; AB ) =

m = 3 8m + 4 + 3m − 7 ⇔ 11m − 3 = 30 ⇔  → M ( 7;3) . Chọn  m = 27 ( l ) 5  11

Câu 202. 54

 x = 2 + 2t M ∈d : → M ( 2 + 2t ; 3 + t ) với 2 + 2t < 0 ⇔ t < −1. Khi đó y = 3+t t = 1 ( l ) 2 2 2  24 → M  − ;; −  . 5 = AM ⇔ ( 2t + 2 ) + ( t + 2 ) = 25 ⇔ 5t 2 + 12t − 17 = 0 ⇔  t = − 17 5  5  5 Chọn C. Câu 203. Gọi M ( x; 0 ) ∈ Ox thì hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của phương trình:

d (M ;∆) = 2 5 ⇔

2x + 5 5

5   x = 2 = x1 75 =2 5⇔  → x1 ⋅ x2 = − . Chọn 15 4 x = − = x 2  2

 7 7   M ( x; 0 ) 4x − 9  x = 2 → M  2 ;0  Chọn A. Câu 204.  → 1 = d ( M ; AB ) = ⇔  . 5  AB : 4 x + 3 y − 9 = 0  x = 1 → M (1; 0 ) Câu 205. Ta có  AB : 4 x − 3 y − 12 = 0  y = 0 → M ( 0; 0 ) 1 3 y + 12  AB = 5 → 6 = S∆MAB = .5. ⇔ .  2 5   y = −8 → M ( 0; −8 ) 3 y + 12   M ( 0; y ) → hM = d ( M ; AB ) = 5 Chọn A.

 M ( x; 0 ) 3x − 6 3 x + 3 1 1  Câu 206.  → = ⇔ x = → M  ;0  . Chọn 2 13 13 2   d ( M ; ∆1 ) = d ( M ; ∆ 2 )

 x = t → M ( t ;1 + 2t ) 2 2 2 2 M ∈ d :  Câu 207.  → ( t + 2 ) + ( 2t − 1) = ( t − 4 ) + ( 2t + 7 )  y = 1 + 2t  MA = MB  B. ⇔ 20t + 60 = 0 ⇔ t = −3 → M ( −3; −5 ) . Chọn

M ∈ d : 2 x − y + 3 = 0 → M ( m; 2m + 3) 2 2 2 2 → ( m + 1) + ( 2m + 1) = ( m + 3) + ( 2m + 1) Câu 208.  MA = MB ⇔ m = −2 → M ( −2; −1) . Chọn

C (1; 2 ) C ∈ d : y = 2 → C ( c; 2 ) → 2 = c 2 + 1 ⇔ c = ±1 →  Câu 209.  . Chọn  BA = BC C ( −1; 2 )

Khoảng cách từ điểm A ( a; a − 3) đến đường thẳng ∆ : 2 x − y + 1 = 0 là

2 a − ( a − 3) + 1 2

2 +1

a+4

Theo đề bài d ( a, ∆ ) = 5 ⇔

. 5 a+4

a + 4 = 5 a = 1 = 5 ⇔ a+4 =5 ⇔  . ⇔ a + 4 = − 5   a = −9 55

Lại có M cách đường thẳng ∆ : 2 x − y − 3 = 0 một khoảng 2 5 suy ra 2(3 + t ) − (2 + t ) − 3 t = 9  M (12;11) . = 2 5 ⇔ t + 1 = 10 ⇔  ⇒ t = − 11 5   M (−8; −9) Vì a > 0 nên điểm M (−8; −9) không thỏa mãn. Vậy: M (12;11) ⇒ a + b = 23 . Câu 212. Chọn B a = 3 − t A ( a; b ) ∈ d ⇒  . b = 2 − t Giả thiết: a < 0 ⇔ 3 − t < 0 ⇔ t > 3 . 2 (3 − t ) − ( 2 − t ) − 3 t = 11 Ta có d ( A; d ) = 2 5 ⇔ . = 2 5 ⇔ 1 − t = 10 ⇔  2 2 t = − 9 2 + ( −1)  a = −8 Vì t > 3 nên chọn t = 11 . Khi đó  ⇒ P = 72 . Do đó chọn đáp án b = − 9 Câu 213. Chọn B M 1 ∈ ( d ) : 2 x + y − 5 = 0 ⇒ M 1 ( m;5 − 2m ) ⇒ IM 1 ( m − 1;3 − 2m ) . m = 0 = 10 ⇔ 5m 2 − 14m + 10 = 10 ⇔  .  m = 14 5  14 3 ⇒ có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M 1 ( 0;5) ; M 2  ; −  .  5 5 14 14 Tổng các hoành độ của M 1 và M 2 là: 0 + = . 5 5 Câu 214. Chọn A Ta có AB = ( 3; −4 ) . IM 1 = 10 ⇒

( m − 1) + ( 3 − 2m )

⇒ phương trình tổng quát của đường thẳng AB có dạng 4 x + 3 y + m = 0 . Vì A (1;1) ∈ AB nên 4.1 + 3.1 + m = 0 ⇔ m = −7 ⇒ AB : 4 x + 3 y − 7 = 0 . Vì C ( a; b ) ∈ d : x − 2 y − 1 = 0 ⇒ a − 2b − 1 = 0 ⇒ a = 2b + 1. Theo đề ra d ( C ; AB ) = 6 ⇔

Câu 210. Chọn B Do A( a; b) thuộc đường thẳng d : x − y − 3 = 0 nên a − b − 3 = 0 ⇔ b = a − 3 ⇒ A ( a; a − 3) .

d ( a, ∆ ) =

Theo đề bài điểm A(a; b) có hoành độ dương nên a = 1 ⇒ A (1; −2 ) . Vậy P = ab = 1( −2 ) = −2 . Câu 211. Chọn B Vì M ( a; b )∈ d ⇒ M (3 + t ; 2 + t ) .

4a + 3b − 7 42 + 32

= 6 ⇔ 4a + 3b − 7 = 30 .

Thay a = 2b + 1 vào ta được:

b = 3 11b − 3 = 30 4 ( 2b + 1) + 3b − 7 = 30 ⇔ 11b − 3 = 30 ⇔  ⇔ . b = − 27 11b − 3 = −30  11 Do C có tọa độ nguyên nên b = 3; a = 7 ⇒ a + b = 10 . Dạng 6.3 Xác định điểm liên quan đến yếu tố cực trị Câu 215. Chọn C Gọi A′ đối xứng A qua d ta có A '(0;3) khi đó điểm M = A′B ∩ d Tìm được M (3; 4) . 56

Câu 216. Chọn D Điểm M ∈ d ⇔ M ( 4t − 15; t ) Ta có: AM =

( 4t − 17 )

B A

2 + t 2 = 17 t 2 − 8t + 17 = 17 ( t − 4 ) + 1 ≥ 17 , ∀t ∈ ℝ .  

(

)

⇒ min AM = 17 , đạt được tại t = 4 . Khi đó M ( 1; 4 ) .

4  Tìm tọa độ điểm I ( x; y ) sao cho IA + IB + IC = 0 . Suy ra I  −1;  3  Ta có: MA + MB + MC = 3MI + IA + IB + IC MA + MB + MC = 3 MI . Vậy MA + MB + MC nhỏ nhất khí MI nhỏ nhất. MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d . 5 3

2 x − y = 3   −13 19  M là giao điểm của d và d′ nên M là nghiệm của hệ:  ;  5⇒M x + 2 y =  15 15  3  Cách 2: M thuộc d suy ra M ( t; 2t + 3) MA + MB + MC = ( −3 − 3t ; −6t − 5) 2+ 2 MA + MB + MC = ( −3 − 3t ) + ( −6 − 5t ) 2  13  1 MA + MB + MC = 45t 2 + 78t + 34 = 45  t +  +  15  5 13  −13 19  ; . MA + MB + MC nhỏ nhất khi t = − . Suy ra M  15  15 15  Câu 218. Chọn B Gọi G ( a; b ) là trọng tâm tam giác ABC . Suy ra

x A + xB + xC 2 +1− 2 1    a= a= a =   1 1 3 3 3 ⇔ ⇔ ⇒ G ; .  3 3 b = y A + yB + yC b = 2 − 3 + 2 b = 1 3 3   3  Ta có: MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3MG = 3MG . Suy ra MA + MB + MC nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Mặt khác M thuộc trục tung nên MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên trục tung.  1 Vậy M  0;  .  3 Câu 219. Chọn D

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng ∆ Ta có: MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B Đẳng thức xảy ra ⇔ M trùng với M0 (M0 là giao điểm của ∆ và A’B) Ta có: AA ' ⊥ ∆ nên n AA ' = a ∆ = (1;1) A'

Câu 217. Chọn D Cách 1:

Đường thẳng d′ đi qua I và vuông góc với d có phương trình: x + 2 y =

( AA ') : x + y − 3 = 0 Gọi H=AA '∩ ∆ ⇒ H (1; 2 ) Vì A’ đối xứng với A qua ∆ nên H là trung điểm AA’ ⇒ A ' ( 0; 3 ) Đường thẳng A’B qua B có VTCP A ' B = ( 9; 3 ) = 3 ( 3;1) ⇒ n A 'B = (1; − 3 ) ⇒ A ' B : x − 3y + 9 = 0 x − y + 1 = 0 Tọa độ M0 thỏa hệ:  ⇔ M 0 ( 3; 4 )  x − 3y + 9 = 0 ⇒ M ( 3; 4 ) . Vậy a + b = 7

Dạng 6.4 Một số bài toán tổng hợp Câu 220. Chọn C M

N H D

Gọi a > 0 là độ dài cạnh của hình ABCD . Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP = Tam giác MCN có MN = MC 2 + CN 2 = Tam giác ANP có NP = ND + DP =

1 a. 2

5 a. 6

= 45° . Vậy ∆AMN = ∆APN (c.c.c) suy ra MAN Suy ra với H lầ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng tại H .

thì tam giác AHM vuông cân

3 5 5  Tính được H  ; 2  , HM = suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình 2 2   x = 4 2   5 45 2  x −  + ( y − 2 ) =  y = 5 . 2 4 ⇔  x = 1 2 x − y − 3 = 0    y = −1 Câu 221. Chọn A Vì A ∈ d1 , giả sử A ( a;3 − a ) ; Vì B ∈ d 2 , giả sử B ( 2b + 6; b )  a + 2b + 6 =1  2 I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi   3 − a + b = −1  2 a + 2b = −4 a = 2 ⇔ ⇔ ⇒ A ( 2;1) ; B ( 0; −3) ⇒ BA = ( 2; 4 ) ⇒ BA = 2.u1 . a − b = 5 b = −3 Vậy đường thẳng AB có một véctơ chỉ phương là u1 = (1; 2 ) .

Câu 222. Chọn C

x = 5 + 3t d có phương trình tham số là  y = −1 − 2t Gọi C ( 5 + 3t; −1 − 2t ) ∈ d , ta có: CA = ( −9 − 3t ;3 + 2t ) , CB = ( −3 − 3t ;7 + 2t ) 2

CA = CB ⇔ CA2 = CB 2 ⇔ ( 9 + 3t ) + ( 3 + 2t ) = ( 3 + 3t ) + ( 7 + 2t ) ⇔ 20t = −32 ⇔ t =

−8 5

 AH ⊥ BC 2 a − b = 3  a = 1 −4 ( a − 2 ) + 2 ( b − 1) = 0 . ⇔ ⇔  ⇔  − 4 a − 2 − 2 b + 3 = 0 ( ) ( ) ⊥ BH AC 2 a + b = 1 b = −1   Vậy S = 3a + 2b = 3 ×1 + 2 × ( −1) = 1 . Câu 225. Chọn A 2 3   a − x = 5 ( −2 − x ) + 5 ( 3 − x ) 2 3 a = 1 ⇔ Gọi M ( x; y ) . Khi đó: MI = MB + MC ⇔  . 2 3 5 5 b = 0 b − y = ( 3 − y ) + ( − 2 − y )  5 5 Nên I (1;0 ) . Vậy S = a 2 + b 2 = 1 . Câu 226. Chọn A 1  Gọi K trung điểm AI ⇒ K  ;0  . 2  Ta có 2MA + MB + MC = 0 ⇔ 2 MA + 2MI = 0 ⇔ 4 MK = 0 ⇔ M ≡ K 1 1 ⇒ a + b = + 0 = . Chọn A 2 2 Câu 227. Chọn B Điểm C thuộc đường trung tuyến CM nên gọi tọa độ điểm C ( x; − x − 1) . Tọa độ AC = ( x − 2; − x − 2 ) , tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng BH là u = ( 3;1) . Vì AC ⊥ BH nên AC .BH = 0 ⇔ ( x − 2 ) .3 − x − 2 = 0 ⇔ x = 4 . Vậy C ( 4; −5 ) . Câu 228. Chọn A

 1 11  Suy ra: C  ;  5 5  Câu 223. Chọn A Véc tơ chỉ phương của AB là: AB = ( 4; −2) ⇒ véc tơ pháp tuyến của AB là: n = (1; 2 )

Phương trình đường thẳng AB là: ( x + 3) + 2 ( y − 5) = 0 ⇒ x + 2 y − 7 = 0 9   x = 5 2 x − y − 1 = 0 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:  ⇔ x + 2 y − 7 = 0  y = 13  5  9 13  ⇒ I  ; . 5 5 

IA = Vậy tỉ số IB

( xI − xA ) + ( yI − yA ) 2 2 ( xI − xB ) + ( yI − yB )

 9   13   + 3 +  − 5 5   5   9   13   − 1 +  − 3  5   5 

= NDC . Ta có: ∆MBC = ∆NCD ( c − g − c ) nên MCB + MCD = 90° ⇒ NDC = 90° ⇒ DIC = 90° ⇒ ND ⊥ MC ⇒ ID ⊥ AP (1) + MCD Mà MCB Do AMCP là hình bình hành nên AP / / MC ⇒ HP / / IC suy ra H là trung điểm của ID Từ

(1) , ( 2 ) ⇒ AP

AI = 2 IP = 2.

= 6.

Câu 224. Chọn B Ta có BC = ( −4; 2 ) , AC = ( −4; −2 ) , AH = ( a − 2; b − 1) , BH = ( a − 2; b + 3) . Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có

Gọi H là giao điểm của ND, AP

là

đoạn

trung

trực

5 2 =5 2. 2

 x = 5 + 7t Phương trình đường thẳng AI :  .  y = 2−t A ∈ AI , A ≡ I , x A < 0 ⇔ A ( 5 + 7t ; 2 − t ) , 5 + 7 t < 0.

t = −1 (nhaän) AI = 5 2 ⇔ 50t 2 = 50 ⇔  t = 1 (loaïi) 60

của

( 2)

ID ⇒ ∆ADP = ∆AIP ⇒ AI ⊥ IP ,

t = −1 ⇒ A ( −2;3 ) .

5 2 x − y = 3  x = 2. 13 ⇔   x + 2 y = 2  y = 2

P là giao điểm MP và AN nên toạ độ P là nghiệm hệ 

AP : x − 3 y + 11 = 0 , DN : 3x + y − 17 = 0 .  x − 3 y + 11 = 0 x = 4 H = AP ∩ DN ⇒ Tọa độ của H là nghiệm của hệ  ⇔ . 3 x + y − 17 = 0  y = 5 H ( 4;5 ) , I ( 5; 2 ) ⇒ D ( 3;8 ) .

Vậy A ( −2;3 ) , D ( 3;8 ) . Câu 229. Chọn B

Từ đó: a =

Câu 231. Chọn B

5 , b = 2 ⇒ 2a + b = 7 . 2 A D

M H M B'

I C

B d

7  Gọi M là trung điểm cạnh AC , suy ra BG = 2GM ⇒ M  ;1 . 2  Gọi điểm B ' là điểm đối xứng với B qua đường phân giác trong của góc A . Suy ra điểm B ' nằm trên AC . Đường thẳng BB ' qua B và vuông góc với đường thẳng d : x − y − 1 = 0 nên có phương trình BB ' : x + y + 3 = 0

Gọi I = BB '∩ d , suy ra tọa độ điểm I ( −1; −2 ) là trung điểm của BB ' nên tọa độ B ' ( 2; −5 )  3  Đường thẳng AC đi qua B ' ( 2; −5 ) và có véc tơ chỉ phương B ' M =  ;6  , suy ra véc tơ pháp 2  tuyến của AC có tọa độ ( 4; −1) . Đường thẳng AC có phương trình là: 4 x − y − 13 = 0 Điểm A = d ∩ AC ⇒ A(4;3) . Vậy tích m.n = 12 . Câu 230. Chọn D

Gọi H là hình chiếu của I lên cạnh CD. Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên = ICH ⇒ tan = tan ICH = AM = 1 . ABM = MCD ABM = tan MCD AB 3 IH 1 . ⇒ sin ICH = = IC 10 2 Có IH = d ( I , CD ) = ⇒ IC = 2 ⇒ IC 2 = 4. 10 C ∈ CD : x − 3 y − 6 = 0 ⇒ C ( 3t + 6; t ) Mà IC 2 = 4 và xC ∈ Z ⇒ C ( 3; −1) 4  Đường thẳng BC qua C ( 3; −1) và E  ; 0  có phương trình là BC : 3 x + 5 y − 4 = 0 . 3  I là trung điểm của MC nên M ( −1; −1) .

Đường thẳng BD qua M ( −1; −1) và vuông góc với CD có phương trình là BD : 3 x + y + 4 = 0 . Có B = BC ∩ BD ⇒ B ( −2; 2 )

Câu 232. Chọn D

Ta chứng minh được MP ⊥ AN , nên P là hình chiếu của M trên AN .  1 1  (Thật vậy gắn hệ trục toạ độ Dxy , D ( 0; 0 ) , C (1; 0 ) , B (1;1) , A ( 0;1) . Khi đó M 1;  ; N  ; 0  .  2 3  Phương trình đường thẳng BD : y = x . Phương trình đường thẳng AN : 3 x + y = 1 .  −3 −1   1 1 1  Điểm P  ;  . Khi đó MP =  ;  ; AN =  ; −1 ⇒ MP. AN = 0 ⇒ MP ⊥ AN (đpcm). 4 4  4 4  3  13 Phương trình đường thẳng MP qua M và vuông góc với AN là x + 2 y − = 0 . 2

Ta chứng minh được MP ⊥ AN , nên P là hình chiếu của M trên AN .  1 1  (Thật vậy gắn hệ trục toạ độ Dxy , D ( 0;0 ) , C (1;0 ) , B (1;1) , A ( 0;1) . Khi đó M  1;  ; N  ; 0  .  2 3 

Phương trình đường thẳng BD : y = x . Phương trình đường thẳng AN : 3 x + y = 1 . 61

 −3 −1   1  1 1 Điểm P  ;  . Khi đó MP =  ;  ; AN =  ; −1  ⇒ MP. AN = 0 ⇒ MP ⊥ AN (đpcm). 4 4 3 4 4      

Phương trình đường thẳng MP qua M và vuông góc với AN là x + 2 y −

13 = 0. 2

5 2 x − y = 3   x = P là giao điểm MP và AN nên toạ độ P là nghiệm hệ  2. 13 ⇔   x + 2 y = 2  y = 2 Từ đó: a =

⇒ BE = ( 7m − 11;5 − m ) ; CE = (10 − 7m; 2 + m ) .Vì BE ⊥ AC nên BE.CE = 0 ⇔ m2 − 3m + 2 = 0 m =1 ⇔ m = 2  2 11  + Với m = 1 ⇒ B ( 6;1) , C ( −1; 2 ) ⇒ A  ;  .Trường hợp này không thỏa mãn các đáp án. 3 3  + Với m = 2 ⇒ B ( −1;2) ; C ( 6;1) ⇒ A (1;6) Suy ra Chọn D

Câu 235. Chọn B

5 , b = 2 ⇒ 2a + b = 7 . 2

Câu 233. Chọn D Gọi D là điểm đối xứng với B qua đường thẳng d : x + 2 y − 5 = 0 suy ra D ∈ AC . Phương trình của đường thẳng BD : − 2 x + y − 25 = 0 . Gọi H là giao điểm của d và BD suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình x + 2 y −5 = 0  x = −9    ⇔ ⇒ H (−9;7) .    −2 x + y − 25 = 0  y = 7   Mà H là trung điểm của BD suy ra D (−6;13) . Gọi A(5 − 2 a; a ) ∈ d . 1 2  Ta có G  ;  là trọng tâm tam giác ABC nên  3 3      xA + xB + xC = 3xG 5 − 2a −12 + xC = 1   xC = 2a + 8  ⇔ ⇔ ⇒ C (2a + 8;1− a )       y A + yB + yC = 3 yG a + 1 + yC = 2  yC = 1− a    Ta có DA = (11− 2a; a −13); DC = ( 2a + 14; −12 − a ) 11− 2a a −13 = ⇔ a = −2 Mà 3 điểm D , A, C thẳng hàng nên DA, DC cùng phương ⇔ 2a + 14 −12 − a Suy ra điểm C (4;3) nên đường thẳng BC đi qua điểm C (4;3) . Câu 234. Chọn D

I M H K C

Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AH và DH ⇒ IK =

1 AD ⇒ IK = BM ⇒ tứ giác IBMK 2

là hình bình hành ⇒ BI MK . (1) Do IK AD và AD ⊥ AB ⇒ IK ⊥ AB ⇒ I là trực tâm tam giác ABK ⇒ BI ⊥ AK . (2) Từ (1), (2) suy ra MK ⊥ AK . Phương trình AK : 4 x + y − 4 = 0 , suy ra phương trình MK :2 x − 8 y + 15 = 0 . 1  4 x + y − 4 = 0 x = 1  Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình  ⇔ 2 ⇒ K  ;2 . 2  2 x − 8 y + 15 = 0  y = 2 

 xD = 2 xK − xH = 0 ⇒ D ( 0; 2 ) ⇒ P = 4. . Do đó   y D = 2 yK − yH = 2 Câu 236. Chọn B

A B' C' E

Gọi I (13 − 7n; n) là trung điểm của BC,khi đó ta có: IE = IF mà IE = 50n2 − 164n + 146; IF = 50n2 − 190n + 185 3 ⇒ 50n 2 − 164n + 146 = 50n 2 − 190n + 185 ⇔ n = 2 5 3 ⇒I ;  2 2 Gọi B (13 − 7m; m ) .Vì I là trung điểm của BC nên C ( 7m − 8;3 − m ) . 63

x − 3 = 0 x = 3 ⇔ ⇒ B(3; −1) . B = BC ∩ BB ' nên có tọa độ là nghiệm của hệ   x + y − 2 = 0  y = −1 x + y − 2 = 0 x = 0 ⇔ ⇒ C (0; 2) . C = BC ∩ CC ' nên có tọa độ là nghiệm của hệ  2 x − 3 y + 6 = 0  y = 2 AB qua B và vuông với CC ' có phương trình: 3 x + 2 y − 7 = 0 .

AC qua C và vuông với BB ' có phương trình: y = 2 . 64

3 x + 2 y − 7 = 0  x = 1 ⇔ ⇒ A(1; 2) . A = AB ∩ AC nên có tọa độ là nghiệm của hệ  y = 2 y = 2 Câu 237. Chọn A

B N

Đường thẳng AH đi qua A ( −3; 0 ) và nhận BC = ( −1; 6 ) làm véctơ pháp tuyến. Suy ra phương trình đường thẳng AH là: x − 6 y + 3 = 0 . Đường thẳng BH đi qua B ( 3; 0 ) và nhận AC = ( 5; 6 ) làm véctơ pháp tuyến. Suy ra phương trình đường thẳng BH là: 5x + 6 y −15 = 0 . x − 6 y + 3 = 0  5 Ta có H = AH ∩ BH ⇔ Tọa độ H là nghiệm của hệ  ⇔ H  2;  .  6 5 x + 6 y − 15 = 0 5 Do đó a = 2;b = ⇒ 6 ab = 10 . 6 N(5;-4)

* Ta chứng minh P là trung điểm của AC . Thật vậy: do các tứ giác ABMN , ABCD là các tứ giác nội tiếp nên AMP = ABN = ACD Lại do : AM // CD (cùng vuông góc với BC ) nên ACD = CAM ⇒ PAM = PMA ⇒ ∆PAM cân tại P ⇒ PA = PM . Đồng thời ∆PCM cân tại P nên PC = PM ⇒ PA = PC hay P là trung điểm của AC . - Ta có : MN = ( 2; − 2 ) ⇒ đường thẳng MN có phương trình: x + y − 4 = 0 5   x = 2 x − y −1 = 0 5 3 Điểm P có tọa độ là nghiệm của hệ  ⇔ ⇒P= ;  x + y − 4 = 0 3 2 2  y =  2 - Do A ∈ AC : x − y − 1 = 0 ⇒ A = ( a ; a − 1) (với a < 2 ) 2

A(-4;8)

C(c;-2c-5)

Câu 238.

Chọn C Gọi I ( a; b ) là trung điểm BD

= BND = 90° . Suy ra BAND nội tiếp đường tròn đường kính BD , tâm I Có BAD 2

Có IA = IN ⇔ a + 4 + b − 8 = a − 5 + b + 4

(

) (

)

⇔ 6a − 8b + 13 = 0

Có I là trung điểm AC . Nên C ( 2a + 4; 2b − 8 )

5  5  25 5  25   - Do PA = PM ⇔  a −  +  a −  = ⇔ a −  = 2  2 2 2 4   5 5  a − 2 = 2 a = 5 ⇔ ⇔ ⇒ a = 0 ⇒ A = ( 0; − 1) ⇒ C = ( 5; 4 ) 5 5 a = 0 a − = −  2 2 - Do BC đi qua M ( 0; 4 ) và C ( 5; 4 ) nên BC có phương trình: y − 4 = 0 . - Lại có: AN = ( 2;3) là vectơ pháp tuyến của BD nên phương trình BD là: 2 x + 3 y − 10 = 0 . y − 4 = 0  x = −1 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:  ⇔ ⇒ B = ( −1; 4 ) . 2 x + 3 y − 10 = 0  y = 4 5 3 Vậy P  ;  , A ( 0; − 1) , B ( −1; 4 ) . 2 2 Câu 240. Chọn D Cách 1:

Có C ∈ d . Suy ra 2 ( 2a + 4 ) + ( 2b − 8) + 5 = 0 ⇔ 4a + 2b + 5 = 0  3 a=− 6a − 8b + 13 = 0  2. ⇔ Giải hệ:   4a + 2 b + 5 = 0 b = 1  2 Có m − n = ( 2a + 4 ) − ( 2b − 8 ) = 8 .

Câu 239. Chọn B 65

5 x − y − 2 = 0 x = 1 Ta có A = AB ∩ AC ⇒  ⇔ ⇒ A (1; 3)  x − 5 y + 14 = 0 y = 3 Dễ chứng minh được AM ⊥ MC ⇒ Phương trình MC: 4 x − 7 y + 4 = 0 4 x − 7 y + 4 = 0 x = 6 ⇔ ⇒ C ( 6; 4 ) C = MC ∩ AC ⇒  x − 5 y + 14 = 0  y = 4 Vậy OC = 52 Chứng minh AM ⊥ MC PP1: Dùng phương pháp véc tơ. * MA.MC = MD + DA MB + BC = MD.BC + DA.MB = 2 MD.DC + DE.MB

(

)(

Ta có: A = AB ∩ AC ⇒ A (1;3) .

)

(

* MD. DC + DE .MB = MD.BD + DE .MB

⇒ DM =

)

(

)

1 k2 DB + 2 k +1 k +1 2

1 k 2 + 2 DB + 2 DE . k 2 +1 k +1 2 2 k + 2 k DB − 2 DE . MC = DC − DM = − DB − DM = − 2 k +1 k +1 2 2 k k +2 k 2 + 2 DB 2 − ED 2 = 0 ⇒ MA ⊥ MC . ⇒ MA.MC = 2 k +1 k 2 +1  4 7  Lại có: AM =  ; −  ⇒ MC : 4 x − 7 y + 4 = 0 . 5 5 Vậy C = MC ∩ AC ⇒ C ( 6; 4 ) ⇒ OC = 52 . Ta có: MA = DA − DM = 2DE − DM = −

)

⇔ MD.BD = DM ⇔ * cos MD, BD =cos MDB MD .BD = MD 2 DM .DB DB ⇔ DE.MB = − ME ⇔ * cos DE , MB = −cos MED DE .MB = − ME .MB = − MD 2 DE . MB DE Do đó MA.MC = 0 nên MA ⊥ MC . PP2: A H

(

I D

Vẽ hình chữ nhật ADCF (1) Dễ thấy tứ giác AHDB là hình bình hành ( vì AH / / BD; AH = BD ) Nên BH qua trung điểm E của AD = 90o (2) ⇒ HMD Từ (1) và (2) ta có 5 điểm A, M , D, C , F cùng thuộc đường tròn đường kính AC .

AMC = 90o ⇒ AM ⊥ MC . Nên Cách 2:

)

Câu 241. Chọn B

MB DB 2 = = k 2 ⇒ MB + k 2 MC = 0 ME DE 2 DE

Giả sử DB = kDE ( k > 0 ) ⇒

Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x −5 y −3 = ⇔ 2x − y − 7 = 0 17 1 −5 − −3 5 5  17 1  Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác đi qua H  ; −  có véc tơ pháp tuyên 5  5  8 16  8 17  16  1 HD  ;  có phương trình:  x −  +  y +  = 0 ⇔ x + 2 y − 3 = 0 . 5 5 5 5 5 5  Gọi B ( x0 ; y0 ) , vì M là trung điểm của AB nên A ( − x0 ; 2 − y0 ) .

Ta có: B ∈ BC ⇔ 2 x0 − y0 − 7 = 0

1 8 16 ⇒ S ABC = .4. = . 2 m m 16 > 8 ⇔ m < 2 , m∈ ℕ* ⇔ m = 1 . Vậy S = {1} . Có S ABC > 8 ⇔ m

(1)

A ∈ AH ⇔ − x0 + 2 ( 2 − y0 ) − 3 = 0 ⇔ x0 + 2 y0 − 1 = 0

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ:

2 x0 − y0 − 7 = 0  x0 = 3 ⇔ ⇒ A ( −3;3)   x0 + 2 y0 − 1 = 0  y0 = −1 Gọi u ( a; b ) ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC +) AM ( 3; −2 ) , AD ( 8;0 ) Đường thẳng AD là phân giác trong góc A nên: = CAD ⇔ cos BAD = cos CAD ⇔ cos AM ; AD = cos AD; u BAD

(

⇔

24 13.8

8a 8 a 2 + b2

)

(

Câu 244.

)

⇔ 3 a 2 + b 2 = a 13

3  a = 2 b 2 2 ⇔ 4a = 9b ⇔  a = − 3 b  2 3 Với a = − b . Chọn b = 2 ⇒ a = −3 ⇒ u ( −3; 2 ) (loại vì cùng phương với AM ) 2  x = −3 + 3t 3 Với a = b . Chọn b = 2 ⇒ a = 3 ⇒ u ( 3; 2 ) . Đường thẳng AC có phương trình:  2  y = 3 + 2t Điểm C là giao điểm của AC và BC nên có tọa độ là nghiệm của hệ:

2 x − y − 7 = 0 −6 + 6t − 3 − 2t − 7 = 0 t = 4    ⇔  x = 9 ⇒ C ( 9;11) .  x = −3 + 3t ⇔  x = −3 + 3t  y = 3 + 2t  y = 3 + 2t  y = 11   

Hướng dẫn giải. Chọn D Vì đường thẳng d đi qua điểm I (1;3) nên ta có: 3 = a + b

(1) .

 b  Đường thẳng d : y = ax + b cắt trục Ox, Oy lần lượt là A  − ; 0  , B ( 0; b ) , ( a ≠ 0 ) .  a  1 1 b 1 b2 Theo giả thiết S ∆OAB = OA.OB = =6 .b = ( 2). 2 2 a 2 a Từ phương trình (1) ⇔ a = 3 − b thay vào phương trình ( 2 ) : b 2 = 12 ( 3 − b ) , ( b < 3) b2 = 12 ⇔ b 2 = 12 3 − b ⇔  2 3−b b = −12 ( 3 − b ) , ( b > 3)  b = −6 + 6 2 b 2 + 12b − 36 = 0, ( b < 3)  ( b < 3) ⇔ 2 ⇔  b = −6 − 6 2  b − 12b + 36 = 0, ( b > 3) ( b > 3) b = 6

Với b = 6 ta được a = −3. Vậy phương trình d : y = −3 x + 6.  b = −6 + 6 2 Ghi chú: Với  thì nhìn vào 4 đáp án không có nên ta không cần tìm nữa. b = −6 − 6 2 Câu 245. Chọn D.

DẠNG 7. M ỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH Câu 242. Chọn A Đường thẳng ∆ :5 x + 3 y = 15 cắt các trục tọa độ tại các điểm A ( 3;0 ) , B ( 0;5 ) . 1 15 Ta có OA = 3 , OB = 5 . Khi đó SOAB = OA.OB = = 7,5 . 2 2 Câu 243. Chọn A d1 : y = mx − 4 , d2 : y = −mx − 4 .

d1 , d2 cắt nhau cùng cắt trục hoành khi m ≠ 0 . 4   4  Gọi A  ;0  , B  − ;0  lần lượt là giao điểm của d1 , d2 và trục hoành. m   m  Phương trình hoành độ giao điểm của d1 , d2 : mx − 4 = − mx − 4 ⇔ x = 0 . Gọi C là giao điểm của d1 và d2 thì C ( 0; −4 ) .

S ABC =

8 1 . d ( C , Ox ) . AB , có d ( C , Ox ) = yC = 4 , AB = xA − xB = m 2

Gọi I là giao điểm của ∆ và BC . Gọi H là hình chiếu của A trên BC . 1 1 Theo đề bài ta có: S AIB = S AIC ⇔ . AH .IB = . AH .IC ⇔ IB = IC . 2 2 ⇒ I là trung điểm của BC ⇒ I ( −1;3 ) . ⇒ AI = ( −2; 6 ) . Đường thẳng ∆ đi qua A và nhận vectơ n = ( 3;1) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng ∆ là 3 ( x − 1) + ( y + 3) = 0 ⇔ 3x + y = 0 .

Câu 246. Chọn C Gọi đường thẳng d cắt tia Ox , Oy lần lượt tại A ( a;0 ) và B ( 0; b ) ; a , b > 0

x y ⇒ (d ) : + = 1 a b Vì ( d ) qua M ( 2;1) ⇒

⇒1≥ 2

2 1 + =1 a b

2 ⇒ ab ≥ 8 ab

1 1 Ta có diện tích tam giác vuông OAB tại O là S = .OA.OB = .a.b ≥ 4 2 2 2 1 Diện tích tam giác vuông OAB đạt giá trị nhỏ nhất S = 4 ⇔ = ⇔ a = 2b a b 2 1 ⇒ + = 1 ⇒ b = 2, a = 4 2b b x y ⇒ (d ) : + = 1 ⇔ x + 2y − 4 = 0 . 4 2 Câu 247. Chọn C −1 6 d đi qua M ( −1;6 ) ⇔ + = 1 (1). a b Đường thẳng cắt tia Ox tại A( a; 0), a > 0 ⇒ OA = a. Đường thẳng cắt tia Oy tại B (0; b), b > 0 ⇒ OB = b. 1 1 ∆OAB vuông tại O nên có diện tích là OA.OB = ab. 2 2 1 Theo đề ab = 4 ⇔ ab = 8 (2). 2 Từ (1) , ( 2 ) suy ra: a = 2; b = 4 ⇒ S = a + 2b = 10 .

TOÁN 10

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

0H3-2

C. x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0 .

D. 4 x 2 + y 2 − 10 x − 6 y − 2 = 0 .

Câu 3.

Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn? A. 2 x 2 + y 2 − 6 x − 6 y − 8 = 0 . B. x 2 + 2 y 2 − 4 x − 8 y − 12 = 0 . 2 2 C. x + y − 2 x − 8 y + 18 = 0 . D. 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 .

Câu 4.

DẠNG 2. TÌM TỌA ĐỘ TÂM, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN ....................................................................................... 2

(Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn? B. x 2 + 2 y 2 − 4 x + 5 y −1 = 0 . A. x2 + y 2 − 4 xy + 2 x + 8 y − 3 = 0 .

DẠNG 3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ...................................................................................................... 2

C. x 2 + y 2 −14 x + 2 y + 2018 = 0 .

Contents PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ....................................................................................... 1

Dạng 3.1 Khi biết tâm và bán kính ............................................................................................................................... 2

Câu 5.

Dạng 3.2 Khi biết các điểm đi qua ............................................................................................................................... 3 Dạng 3.3 Sử dụng điều kiện tiếp xúc ........................................................................................................................... 4 Dạng 4.1. Phương trình tiếp tuyến ............................................................................................................................... 5 DẠNG 5. CÂU HỎI MIN-MAX ..................................................................................................................................... 8

Câu 6.

Câu 7.

B. I ( 2;3) . 2

Câu 8.

C. I ( 4;6) .

D. I ( −4; −6 ) .

Đường tròn x + y − 10 y − 24 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu? A. 49 .

DẠNG 3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN .................................................................................................... 10 Dạng 3.1 Khi biết tâm và bán kính ............................................................................................................................. 10

m = 1 . D.   m = 2

C. 1 < m < 2 .

2 2 Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn ( C ) : x + y + 4 x + 6 y −12 = 0 có tâm là.

A. I ( −2; −3) .

DẠNG 1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ....................................................................................... 9 DẠNG 2. TÌM TỌA ĐỘ TÂM, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN ..................................................................................... 10

m < 1 . B.   m > 2

DẠNG 2. TÌM TỌA ĐỘ TÂM, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Dạng 4.2 Bài toán tương giao.......................................................................................................................................... 6 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 9

(THPT Quỳnh LưuNghệ An2019) Cho phương trình x 2 + y 2 − 2mx − 4 ( m − 2 ) y + 6 − m = 0 (1) . Điều kiện của m để (1) là phương trình của đường tròn. A. m = 2 .

DẠNG 4. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ...................................................................... 5

D. x2 + y 2 − 4 x + 5 y + 2 = 0 .

B. 7 .

C. 1.

D. 2

29 .

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 9.

Dạng 3.2 Khi biết các điểm đi qua ............................................................................................................................. 11

A. Tâm I ( −1; 2 ) , bán kính R = 3 .

B. Tâm I ( −1; 2 ) , bán kính R = 9 .

Dạng 3.3 Sử dụng điều kiện tiếp xúc ......................................................................................................................... 13

C. Tâm I (1; −2 ) , bán kính R = 3 .

D. Tâm I (1; −2 ) , bán kính R = 9 .

DẠNG 4. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN .................................................................... 15 Dạng 4.1. Phương trình tiếp tuyến ............................................................................................................................. 15 Dạng 4.2 Bài toán tương giao........................................................................................................................................ 18 DẠNG 5. CÂU HỎI MIN-MAX ................................................................................................................................... 24

Câu 9.

(ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0 . A. I ( −1; 2 ) ; R = 4 .

B. I ( 1; −2 ) ; R = 2 .

C. I ( −1; 2 ) ; R = 5 . D. I ( 1; −2 ) ; R = 4 . 2

Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 2) + ( y + 3) = 9 . Đường tròn có tâm và bán kính là A. I ( 2;3) , R = 9 . B. I ( 2; −3 ) , R = 3 . C. I ( −3; 2 ) , R = 3 . D. I ( −2;3 ) , R = 3 . PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

2 2 Câu 11. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của đường tròn (C ) : ( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 9 . A. I (−2;5), R = 81. . B. I (2; −5), R = 9. . C. I (2; −5), R = 3. . D. I (−2;5), R = 3.

Câu 12. Đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 3 = 0 có tâm I , bán kính R là Câu 1.

Câu 2.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + y 2 − 2 ( m + 2 ) x + 4my + 19m − 6 = 0 là phương trình đường tròn. A. 1 < m < 2. B. m < −2 hoặc m > −1 . C. m < −2 hoặc m > 1. D. m < 1 hoặc m > 2 .

A. I ( −1; 2 ) , R = 2 .

B. I ( −1; 2 ) , R = 2 2 . C. I (1; − 2 ) , R = 2 . D. I (1; − 2 ) , R = 2 2 .

DẠNG 3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Dạng 3.1 Khi biết tâm và bán kính

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn? A. x 2 + 2 y 2 − 4 x − 8 y + 1 = 0 .

B. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 . 1

Câu 13. Phương trình đường tròn có tâm I (1; 2 ) và bán kính R = 5 là 2

A. x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 . C. x 2 + y 2 + 2 x + 4 y − 20 = 0 .

B. x 2 + y 2 + 2 x + 4 y + 20 = 0 . D. x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 20 = 0 .

B. x + y − 2 x − 4 y − 4 = 0 .

Câu 22.

(Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác KMN là ( C ) : x2 + y 2 + 4 x − 4 y − 17 = 0 .

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm I ( −1; 2 ) , bán kính bằng 3 ? 2

B. ( x + 1) + ( y + 2 ) = 9 .

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) = 9 .

A. ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 . C. ( x − 1) + ( y − 2 ) = 9 .

A. ( x − 1) + ( y − 5 ) = 100 . B. ( x + 1) + ( y − 5 ) = 100 . C. ( x − 1) + ( y + 5 ) = 100 .

Dạng 3.2 Khi biết các điểm đi qua

D. ( x + 1) + ( y + 5 ) = 100 .

Câu 16. Đường tròn ( C ) đi qua hai điểm A (1;1) , B ( 5;3) và có tâm I thuộc trục hoành có phương trình là 2 2 A. ( x + 4 ) + y 2 = 10 . B. ( x − 4 ) + y 2 = 10 .

Câu 23.

C. ( x − 4 ) + y 2 = 10 . D. ( x + 4 ) + y 2 = 10 . (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , tìm tọa độ tâm I của đường tròn đi qua ba điểm A ( 0; 4 ) , B ( 2; 4 ) , C ( 2; 0 ) . B. I ( 0; 0) .

C. I (1; 2 ) .

(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm O . Gọi M là trung điểm của BC ; N , P lần lượt là chân đường cao kẻ từ B

1  25 2  và C . Đường tròn đi qua ba điểm M , N , P có phương trình là (T ) : ( x − 1) +  y +  = . 2 4  Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. I (1;1) .

trực tâm H , trọng tâm G ( −1;3) . Gọi K , M , N lần lượt là trung điểm của AH , AB, AC . Tìm

D. x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 .

Câu 17.

D. ( x − 1) + ( y − 3 ) = 25 .

C. x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 4 = 0 .

C. ( x − 1) + ( y + 3 ) = 1 .

A. x + y + 2 x + 4 y − 4 = 0 .

Câu 15.

B. ( x − 2 ) + ( y + 4 ) = 20 .

Câu 14. Đường tròn tâm I ( −1; 2 ) , bán kính R = 3 có phương trình là 2

A. ( x + 1) + ( y + 1) = 20 .

B. x 2 + ( y − 1) = 25 .

A. ( x − 1) + ( y + 2 ) = 25 . 2

C. x 2 + ( y − 1) = 50 .

D. I (1;0 ) .

D. ( x − 2 ) + ( y + 1) = 25 .

Dạng 3.3 Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Câu 18. Cho tam giác ABC có A (1; −1) , B ( 3; 2 ) , C ( 5; −5) . Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Câu 24.

ABC là  47 13  A.  ; −  .  10 10 

 47 13  B.  ;  .  10 10 

 47 13  C.  − ; −  .  10 10 

 47 13  D.  − ;  .  10 10 

A. x 2 + y 2 = 2 . 2

B. 2 x 2 + y 2 − 6 x + y − 3 = 0 . D. x 2 + y 2 − 6 x + xy − 1 = 0 .

Câu 20. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A ( 3;0 ) , B ( 0; 2 ) và có tâm thuộc đường thẳng d :x+ y =0. 2

1  1  13  A.  x −  +  y +  = . 2  2 2  2

1  1  13  B.  x +  +  y +  = . 2  2 2 

1  1  13  C.  x −  +  y −  = . 2  2 2 

1  1  13  D.  x +  +  y −  = . 2  2 2 

5 8 Câu 21. Cho tam giác ABC biết H ( 3; 2 ) , G  ;  lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường 3 3 thẳng BC có phương trình x + 2 y − 2 = 0 . Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ? 3

B. x 2 + y 2 = 2 . 2

C. ( x −1) + ( y −1) = 2 .

Câu 19. Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn đi qua ba điểm A (1; 2 ) , B ( 5; 2 ) , C (1; −3) có phương trình là. A. x 2 + y 2 + 25 x + 19 y − 49 = 0 . C. x 2 + y 2 − 6 x + y − 1 = 0 .

(THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình của đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + y − 2 = 0 là

Câu 25.

D. ( x −1) + ( y −1) = 2 .

(Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , cho đường tròn

(S )

có tâm I nằm trên đường thẳng y = − x , bán kính R = 3 và tiếp xúc với các trục tọa độ. Lập

phương trình của ( S ) , biết hoành độ tâm I là số dương. 2

A. ( x − 3) + ( y − 3) = 9 .

B. ( x − 3) + ( y + 3) = 9 .

C. ( x − 3) − ( y − 3) = 9 .

D. ( x + 3) + ( y + 3) = 9 .

Câu 26. Một đường tròn có tâm I ( 3; 4 ) tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x + 4 y − 10 = 0 . Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu? 5 3 A. . B. 5 . C. 3 . D. . 3 5

Câu 27. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm I (1;1) và đường thẳng ( d ) : 3x + 4 y − 2 = 0 . Đường tròn tâm

Câu 35. Cho đường tròn ( C ) : x2 + y 2 − 4 = 0 và điểm A ( −1; 2 ) . Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây đi qua A và là tiếp tuyến của đường tròn ( C ) ?

I và tiếp xúc với đường thẳng ( d ) có phương trình 2

A. 4 x − 3 y + 10 = 0 .

A. ( x − 1) + ( y − 1) = 5 . B. ( x − 1) + ( y − 1) = 25 . 2

C. ( x − 1) + ( y − 1) = 1 . D. ( x − 1) + ( y − 1) = Câu 28.

1 . 5

B. ( x − 3) + ( y + 2 ) = 2 .

C. ( x − 3) + ( y − 2 ) = 4

Câu 30.

đường tròn ( C ) song song với đường thẳng ∆ : 4 x − 3 y + 2 = 0 là A. 4 x − 3 y + 18 = 0 . B. 4 x − 3 y + 18 = 0 . C. 4 x − 3 y + 18 = 0; 4 x − 3 y − 2 = 0 . D. 4 x − 3 y − 18 = 0;4 x − 3 y + 2 = 0 . Câu 37. Số

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho hai điểm A ( 3;0 ) , B ( 0;4 ) . Đường tròn nội

C. x + y − 6 x − 8 y + 25 = 0 .

đường

tròn

( C ) : x2 + y2 − 2x + 4 y + 1 = 0

và

+ y + 6 x − 8 y + 20 = 0 là B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có phương trình x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 3 = 0 . Từ điểm A (1;1) kẻ được C. vô số. 2

D. 0. 2

Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 4 ) = 4 . Phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( C ) , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ∆ : 4 x − 3 y + 2 = 0 là A. 4 x − 3 y + 18 = 0 và −4 x − 3 y − 2 = 0 . C. −4 x − 3 y + 18 = 0 và 4 x − 3 y − 2 = 0 .

B. 4 x − 3 y + 18 = 0 và 4 x − 3 y − 2 = 0 . D. −4 x + 3 y − 18 = 0 và −4 x − 3 y − 2 = 0 . 2

D. x 2 + y 2 + 6 x + 5 y + 9 = 0 . 2

Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x + y − 2 x − 4 y + 3 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C ) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ∆ : 3x + 4 y + 1 = 0 . A. 3 x + 4 y + 5 2 − 11 = 0 ; 3 x + 4 y − 5 2 + 11 = 0 .

điểm P kẻ các tiếp tuyến PM và PN tới đường tròn ( C ) , với M , N là các tiếp điểm. Phương

Câu 42.

Trong

mặt

phẳng

với

hệ

tọa

C. x − y + 1 = 0 . Oxy ,

độ

( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 . Gọi T1 , T2

cho

điểm

D. x + y − 1 = 0 . M (−3;1)

và

đường

tròn

là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Tính

khoảng cách từ O đến đường thẳng T1T2 .

A. 5 .

3 . 5

D. 2 2 .

Dạng 4.2 Bài toán tương giao

B. 3 x + 4 y + 5 2 − 11 = 0 , 3 x + 4 y − 5 2 − 11 = 0 . C. 3 x + 4 y + 5 2 − 11 = 0 , 3 x + 4 y + 5 2 + 11 = 0 .

Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) có phương trình lần lượt

D. 3 x + 4 y − 5 2 + 11 = 0 , 3 x + 4 y − 5 2 − 11 = 0 . và điểm A (1;5 ) . Đường thẳng nào trong các

đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại điểm A . A. y − 5 = 0 . B. y + 5 = 0 . C. x + y − 5 = 0 .

Câu 41. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm P ( −3; −2 ) và đường tròn ( C ) : ( x − 3 ) + ( y − 4 ) = 36 . Từ trình đường thẳng MN là A. x + y + 1 = 0 . B. x − y − 1 = 0 .

bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn ( C ) A. 1. B. 2.

Câu 31. Đường tròn x 2 + y 2 −1 = 0 tiếp xúc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây? A. 3 x − 4 y + 5 = 0 B. x + y = 0 C. 3 x + 4 y − 1 = 0 D. x + y − 1 = 0

( C ) : x2 + y 2 − 2x − 4 y − 4 = 0

của

Câu 39.

DẠNG 4. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Dạng 4.1. Phương trình tiếp tuyến

Câu 34. Cho đường tròn

chung

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y + 4) 2 = 25 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3 x − 4 y + 5 = 0 . A. 4 x + 3 y + 29 = 0 . B. 4 x + 3 y + 29 = 0 hoặc 4 x + 3 y − 21 = 0 . C. 4 x − 3 y + 5 = 0 hoặc 4 x − 3 y − 45 = 0 D. 4 x + 3 y + 5 = 0 hoặc 4 x + 3 y + 3 = 0 .

D. x + y = 2 .

Câu 32. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox: A. x 2 + y 2 − 10 x = 0 . B. x 2 + y 2 − 5 = 0 . C. x 2 + y 2 − 10 x − 2 y + 1 = 0 .

tuyến 2

A. 1.

tiếp tam giác OAB có phương trình là A. x 2 + y 2 = 1 . B. x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 . 2

Câu 38.

D. ( x − 1) + ( y − 1) = 1 .

tiếp

( C ') : x

D. ( x + 3) + ( y − 2 ) = 4 .

Câu 29. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho các điểm A ( 3; 0 ) và B ( 0; 4 ) . Đường tròn nội tiếp tam giác OAB có phương trình A. x 2 + y 2 = 1 . B. x 2 + y 2 − 4 x + 4 = 0 . C. x 2 + y 2 = 2 .

D. 3 x − 4 y + 11 = 0 .

Câu 36. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 4 ) = 4 . Phương trình tiếp tuyến với

có tâm I ( −3;2) và một tiếp tuyến của nó có phương trình là 3 x + 4 y − 9 = 0 . Viết phương trình của đường tròn ( C ) . 2

C. 3 x + 4 y + 10 = 0 . 2

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn (C )

A. ( x + 3) + ( y − 2 ) = 2 .

B. 6 x + y + 4 = 0 .

D. x − y − 5 = 0 .

là ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9 và ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 4 . Khẳng định nào dưới đây là sai? A. Đường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( −1; −2 ) và bán kính R1 = 3 . B. Đường tròn ( C2 ) có tâm I 2 ( 2; 2 ) và bán kính R2 = 2 . 6

A. 8.

C. Hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) không có điểm chung. Câu 53.

D. Hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) tiếp xúc với nhau. 2

B. ( 0; 2 ) và ( 0; −2 ) .

Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ trục 2

( C ′ ) : ( x − 4 ) + ( y − 3) thẳng AB A. x + y − 2 = 0 .

C. ( 2;0 ) và ( −2;0 ) .

Oxy , cho hai đường tròn

+ y2 = 4

và

= 16 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Lập phương trình đường B. x − y + 2. = 0

C. x + y + 2 = 0 . 2

D. x − y − 2 = 0 . 2

Câu 46. Cho đường thẳng ∆ :3 x − 4 y − 19 = 0 và đường tròn ( C ) :( x − 1) + ( y − 1) = 25 . Biết đường thẳng ∆ cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B , khi đó độ dài đọan thẳng AB là A. 6. B. 3. C. 4. D. 8.

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) có tâm I (1; −1) bán kính R = 5 . Biết rằng đường thẳng (d ) : 3x − 4y + 8 = 0 cắt đường tròn (C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tính độ dài đoạn thẳng AB . A. AB = 8 . B. AB = 4 . C. AB = 3. . D. AB = 6 . Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn 2

( x − 2) + ( y + 2)

(C )

có phương trình

= 4 và đường thẳng d :3 x + 4 y + 7 = 0 . Gọi A, B là các giao điểm của đường

thẳng d với đường tròn ( C ) . Tính độ dài dây cung AB . A. AB = 3 .

B. AB = 2 5 .

C. AB = 2 3 .

D. AB = 4 .

Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A ( 3;1) , đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 3 = 0 .

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm B ,

C sao cho BC = 2 2 . A. d : x + 2 y − 5 = 0 . B. d : x − 2 y − 5 = 0 .

C. d : x + 2 y + 5 = 0 .

D. d : x − 2 y + 5 = 0 .

Câu 50. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) có phương trình lần lượt

là ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9 và ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 4 . Viết phương trình đường thẳng d ′ đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn một góc bằng 45° . A. d ′ : x − 7 y = 0 hoặc d ′ : 7 x + y = 0 . B. d ′ : x + 7 y = 0 hoặc d ′ : 7 x + y = 0 . C. d ′ : x + 7 y = 0 hoặc d ′ : 7 x − y = 0 . D. d ′ : x − 7 y = 0 hoặc d ′ : 7 x − y = 0 . Câu 51. (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I (1; 2 ) và đường thẳng ( d ) : 2 x + y − 5 = 0. Biết rằng có hai điểm M 1 , M 2 thuộc

(d ) A. Câu 52.

sao cho IM 1 = IM 2 = 10. Tổng các hoành độ của M 1 và M 2 là

7 . 5

14 . 5

C. 2.

trình: x + y − 4 x + 2 y − 15 = 0. I là tâm ( C ) , đường thẳng d đi qua M (1; −3) cắt ( C ) tại A, B. Biết tam giác IAB có diện tích là 8. Phương trình đường thẳng d là: x + by + c = 0. Tính b + c 7

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Trong mặt phẳng Oxy cho

Câu 54.

(Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong mặt phẳng Oxy , cho ∆ABC nội tiếp đường . Đường thẳng AD cắt tròn tâm I ( 2; 2 ) , điểm D là chân đường phân giác ngoài của góc BAC đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC tại điểm thứ hai là M (khác A). Biết điểm J ( −2; 2 ) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ACD và phương trình đường thẳng CM là: x + y − 2 = 0. Tìm tổng hoành độ của các đỉnh A, B , C của tam giác ABC . 9 12 3 6 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5

Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng (∆) : x + 3 y + 8 = 0 ; (∆ ′) : 3 x − 4 y + 10 = 0

và điểm A (−2;1) . Đường tròn có tâm I ( a; b ) thuộc đường thẳng (∆) ,đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng (∆ ′) . Tính a + b . A. −4 .

B. 4 .

C. 2 .

D. −2 .

Câu 56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3 x − 4 y − 1 = 0 và điểm I (1; − 2 ) . Gọi

(C )

là đường tròn có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có

diện tích bằng 4. Phương trình đường tròn ( C ) là 2

A. ( x − 1) + ( y + 2) = 8 .B. ( x − 1) + ( y + 2 ) = 20 . C. ( x − 1) + ( y + 2) = 5 .D. ( x − 1) + ( y + 2 ) = 16 .

DẠNG 5. CÂU HỎI MIN-MAX Câu 57. Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0 và điểm M ( 2;1) . Dây cung của ( C ) đi qua điểm M có độ dài ngắn nhất là A. 6 . B. 7 . C. 3 7 . D. 2 7 . Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; −3), B (4;1) và điểm M thay đổi thuộc đường tròn (C ) : x 2 + ( y − 1) 2 = 4 . Gọi Pmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA + 2 MB . Khi đó ta có Pmin thuộc khoảng nào dưới đây? A. ( 7, 7;8,1) . .

B. ( 7,3; 7,7 ) . .

C. ( 8,3;8,5) . . 2

D. (8,1;8,3) . 2

Câu 59. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x + y − 2 x − 4 y + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M ( x 0 ; y0 ) nằm trên đường tròn ( C ) sao cho T = x 0 + y0 đạt giá trị lớn nhất.

D. 5.

(NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có phương 2

D. 1.

trình x 2 + y 2 = 50 . Biết tọa độ đỉnh C ( a; b ) , với a < 0 . Tổng a + b bằng A. −8 . B. 8 . C. 6 . D. −6 .

D. ( 2;0 ) và ( 0; 2 ) .

( C ) : ( x −1)

C. 6.

tam giác ABC có đỉnh A ( 5;5) , trực tâm H ( −1;13) , đường tròn ngoài tiếp tam giác có phương

Câu 44. Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1 ) : x + y − 4 = 0 và (C2 ) : x + y − 4 x − 4 y + 4 = 0. A. ( 2; 2 ) và ( −2; −2 ) .

B. 2.

A. M ( 2;3) .

B. M ( 0;1) .

C. M ( 2;1) .

D. M ( 0;3) .

Câu 60. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M nằm trên đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 8 x − 6 y + 16 = 0 . Tính độ dài nhỏ nhất của OM ? A. 3 . B. 1 .

C. 5 . 8

D. 2 .

Câu 61. Gọi I là tâm của đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 4 . Số các giá trị nguyên của m để đường

thẳng x + y − m = 0 cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất là A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .

Câu 3.

Câu 62. Điểm nằm trên đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0 có khoảng cách ngắn nhất đến đường

thẳng d : x − y + 3 = 0 có toạ độ M ( a; b ) . Khẳng định nào sau đây đúng? A.

B. a = − b .

2 a = −b .

D. a = b .

2a = b .

Câu 63. Cho tam giác ABC có trung điểm của BC là M ( 3; 2 ) , trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp 2 2 tam giác lần lượt là G  ;  , I (1; −2 ) . Tìm tọa độ đỉnh C , biết C có hoành độ lớn hơn 2 . 3 3 A. C ( 9;1) . B. C ( 5;1) . C. C ( 4; 2) . D. C ( 3; −2) .

Câu 64.

nhất là: A. 2 7 . Câu 65.

Câu 4.

(THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn

( C ) : x2 + y2 − 2x − 4 y − 25 = 0

và điểm M ( 2;1) . Dây cung của ( C ) đi qua M có độ dài ngắn

B. 16 2 .

C. 8 2 .

Câu 5.

D. 4 7 .

(Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho các số thực a, b, c, d thay đổi, luôn thỏa 2

( a − 1) + ( b − 2 ) = 1 2 2 P = ( a − c ) + ( b − d ) là:

mãn

và

4c − 3d − 23 = 0 .

Giá

trị

nhỏ

nhất

củ a

biểu

I ( 2; −3) , bán kính R = 5 . Chọn D Biết rằng x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi a 2 + b2 − c > 0 . Ta thấy phương trình trong phương án A và B có hệ số của x 2 , y 2 không bằng nhau nên đây không phải là phương trình đường tròn. Với phương án C có a 2 + b2 − c = 1 + 16 − 18 < 0 nên đây không phải là phương trình đường tròn. Vậy ta chọn đáp án D . Chọn D Phương án A: có tích xy nên không phải là phương trình đường tròn. Phương án B: có hệ số bậc hai không bằng nhau nên không phải là phương trình đường tròn. 2 2 Phương án C: ta có x 2 + y 2 −14 x + 2 y + 2018 = 0 ⇔ ( x − 7 ) + ( y + 1) + 1968 = 0 không tồn tại x , y nên cũng không phải phương trình đường tròn. Còn lại, chọn D. Chọn B x 2 + y 2 − 2mx − 4 ( m − 2 ) y + 6 − m = 0 (1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi

( m)

thức

2 m < 1 + 2 ( m − 2)  − ( 6 − m ) > 0 ⇔ 5m2 − 15m + 10 > 0 ⇔  . m > 2

Câu 6.

DẠNG 2. TÌM TỌA ĐỘ TÂM, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Chọn A 2 2 Ta có phương trình đường tròn là: ( x + 2 ) + ( y + 3 ) = 25 .

d1 : mx + y − m − 1 = 0, d 2 : x − my + m − 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để mỗi đường thẳng

Câu 7.

d1 , d 2 cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt sao cho 4 điểm đó lập thành 1 tứ giác có diện tích lớn nhất. Khi đó tổng của tất cả các giá trị tham số m là: A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.

Vậy tâm đường tròn là: I ( −2; −3) . Chọn B Đường tròn x 2 + y 2 − 10 y − 24 = 0 có tâm I ( 0; 5 ) , bán kính R = 0 2 + 52 − ( −24 ) = 7 .

Câu 8. Câu 9.

Chọn A Chọn B

A. Pmin = 28 .

B. Pmin = 3 .

C. Pmin = 4 .

D. Pmin = 16 . 2

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4 và các đường thẳng

( C ) có tâm I ( 1; −2 ) , bán kính PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1.

R = 12 + ( −2 ) − 1 = 2 .

Câu 10.

DẠNG 1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Chọn D Ta có x 2 + y 2 − 2 ( m + 2 ) x + 4my + 19m − 6 = 0 (1) ⇒ a = m + 2; b = −2m; c = 19m − 6.

Chọn B Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2; −3 ) và bán kính R = 3 . Câu 11. Chọn D Theo bài ra ta có tọa độ tâm I (−2;5) và bán kính R = 3 . Câu 12. Chọn D 2

Tâm I (1; − 2 ) , bán kính R = 12 + ( −2 ) − ( −3) = 8 = 2 2 .

Phương trình (1) là phương trình đường tròn ⇔ a 2 + b 2 − c > 0 Câu 2.

Ta có: x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3 ) = 25 là phương trình đường tròn tâm

⇔ 5m 2 − 15m + 10 > 0 ⇔ m < 1 hoặc m > 2 . Chọn B Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của x 2 và y 2 phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D. 2

DẠNG 3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Dạng 3.1 Khi biết tâm và bán kính Câu 13. Chọn A 2

Câu 14. 9

Phương trình đường tròn có tâm I (1; 2 ) và bán kính R = 5 là ( x − 1) + ( y − 2 ) = 52

Ta có: x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y − 4 ) + 3 = 0 vô lý.

⇔ x 2 − 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4 = 25 ⇔ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 . Chọn C 10

Đường

tròn

I ( −1; 2 ) ,

tâm 2

bán

kính

R=3

có

phương

trình

Câu 15.

= 9 ⇔ x + y + 2x − 4 y − 4 = 0 . Chọn D 2 2 Phương trình đường tròn tâm I ( −1; 2) và bán kính R = 3 là: ( x + 1) + ( y − 2 ) = 9 .

Câu 16.

Dạng 3.2 Khi biết các điểm đi qua Chọn B 2 2 Gọi I ( x;0 ) ∈ Ox ; IA2 = IB 2 ⇔ (1 − x ) + 12 = ( 5 − x ) + 32 ⇔ x 2 − 2 x + 1 + 1 = x 2 − 10 x + 25 + 9

( x + 1) + ( y − 2 )

⇔ x = 4 . Vậy tâm đường tròn là I ( 4; 0 ) và bán kính R = IA =

(1 − 4 )

là

1  1  13  Phương trình đường tròn cần lập là:  x −  +  y +  = . 2  2 2  Câu 21. Chọn D

+ 12 = 10 .

Phương trình đường tròn ( C ) có dạng ( x − 4 ) + y 2 = 10 . Câu 17. Chọn C Giả sử phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C có dạng ( C ) : x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 Thay tọa độ 3 điểm A ( 0; 4 ) , B ( 2; 4 ) , C ( 2; 0 ) ta được:

8b + c = −16 a = −1   2 2 4a + 8b + c = −20 ⇔ b = −2 ⇒ ( C ) : x + y − 2 x − 4 y = 0 .  4 a + c = −4 c = 0   Câu 18.

Vậy ( C ) có tâm I (1; 2 ) và bán kính R = 5 . Chọn A Gọi I ( x; y ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

47  2 2 2 2 x= 2 2  4 x + 6 y = 11   AI = BI ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( y − 2 ) 10 Ta có:  2 ⇔ ⇔ ⇔ . 2 2 2 2 2  AI = CI 8 x − 8 y = 48  y = − 13 ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − 5 ) + ( y + 5 )  10  47 13  ⇒ I  ;−  .  10 10  Câu 19. Chọn C Phương trình đường tròn có dạng x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 . Đường tròn này qua A, B, C nên a = 3 1 + 4 − 2a − 4b + c = 0  1   25 + 4 − 10a − 4b + c = 0 ⇔ b = − . 2 1 + 9 − 2a + 6b + c = 0   c = −1

Câu 20.

*) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .  35   xI − 3 = 2  3 − 3  3 x = 1    ⇒ HI = HG ⇒  ⇒ I . 2 3 8    yI = 3 y − 2 = − 2    I 23  (Do đó ta có thể chọn đáp áp án D luôn mà không cần tính bán kính). *) Gọi M là trung điểm của BC ⇒ IM ⊥ BC ⇒ IM : 2 x − y + 1 = 0 . 2 x − y = −1  x = 0 ⇒ M ( 0;1) . M = IM ∩ BC ⇒  ⇒ x + 2 y = 2 y =1

5   x A = 3. 3 x = 5 ⇒ A Lại có: MA = 3MG ⇒  . 8    yA = 6  y A − 1 = 3.  − 1  3  Suy ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = IA = 5 . 2

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x 2 + y 2 − 6 x + y − 1 = 0 . Chọn A A ( 3;0 ) , B ( 0; 2) , d : x + y = 0 . Gọi I là tâm đường tròn vậy I ( x; − x ) vì I ∈ d . 2

IA2 = IB 2 ⇔ ( 3 − x ) + x 2 = x 2 + ( 2 + x ) ⇔ −6 x + 9 = 4 x + 4 ⇔ x = 2

1 1 26  là bán kính đường tròn. IA =  3 −  +   = 2 2 2 

1 1 1 . Vậy I  ; −  . 2 2 2

Gọi E là trung điểm BC , J là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .

MK BH  KN CH   Ta có ME AC ⇒ MK ⊥ ME (1) ,  NE AB ⇒ KN ⊥ NE ( 2 )  BH ⊥ AC CH ⊥ AB   Từ (1) , ( 2 ) ⇒ KMEN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính KE .

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( x − 1) + ( y − 3 ) = 25 . Câu 22. Chọn A

Đường tròn ( C ) : x2 + y 2 + 4 x − 4 y − 17 = 0 có tâm I ( −2; 2 ) bán kính r = 5 ⇒ I là trung điểm KE .

KHEJ là hình bình hành ⇒ I là trung điểm JH

d ( I ; Ox ) = d ( I ; Oy ) = 3 ⇔ a = 3 ⇔ a = 3 ( n ) ∨ a = −3 ( l ) ⇒ I ( 3; − 3) . 2

( S ) : ( x − 3) + ( y + 3) = 9 . Vậy phương trình Câu 26. Chọn C Đường tròn tâm I ( 3; 4 ) tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x + 4 y − 10 = 0 nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm I ( 3; 4 ) tới đường thẳng ∆ :3 x + 4 y − 10 = 0 . Ta có: R = d ( I , ∆ ) =

 xJ + 2 = 3 ( −1 + 2 )  xJ = 1 ⇒ Ta có: IJ = 3IG ⇒  ⇒ J (1;5 ) . y − 2 = 3 3 − 2 ( )  yJ = 5  J Bán kính đường tròn ngoại ti ếp ∆ABC là R = JA = 2 IK = 2r = 10 . 2 2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: ( x − 1) + ( y − 5 ) = 100 .

Câu 27.

3.3 + 4.4 − 10 33 + 42

15 = 3. 5

Chọn C Đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ( d ) có bán kính R = d ( I , d ) = 2

3.1 + 4.1 − 2 32 + 42

Vậy đường tròn có phương ng trình là: ( x − 1) + ( y − 1) = 1 . Câu 28. Chọn D Vì đường tròn (C ) có tâm I ( −3;2) và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng ∆ có phương trình là 3 x + 4 y − 9 = 0 nên bán kính của đường tròn là R = d ( I , ∆) = 2

3.(−3) + 4.2 − 9 32 + 42

Vậy phương trình đường tròn là: ( x + 3) + ( y − 2 ) = 4 Câu 29. Chọn D

Câu 23. Ta có M là trung điểm của BC ; N , P lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C . Đường tròn đi qua ba điểm M , N , P là đường tròn Euler. Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là ảnh của đường tròn Euler qua phép vị tự tâm là O , tỷ số k = 2 . Gọi I và I′ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP và tam giác ABC . Gọi R và R′ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP và tam giác ABC . 1  Ta có I 1; −  và do đó OI ′ = 2OI ⇒ I ′ ( 2; − 1) . 2   5 Mặt khác R = ⇒ R′ = 5 . 2 2 2 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: ( x − 2 ) + ( y + 1) = 25 . Nhận xét: Đề bài này rất khó đối với học sinh nếu không biết đến đường tròn Euler. Dạng 3.3 Sử dụng điều kiện ti ếp xúc Câu 24. Chọn A Đường tròn ( C ) có tâm O , bán kính R tiếp xúc với ∆ nên có:

R = d (O ; ∆) =

−2

= 2. 2 Phương trình đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 2 . Câu 25. Chọn B Do tâm I nằm trên đường ng thẳ thẳng y = − x ⇒ I ( a; − a ) , điều kiện a > 0 .

0; 4 ) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tam giác OAB cũng nằm Vì các điểm A ( 3; 0 ) và B ( 0;4 trong góc phần tư thứ nhất. Do vậy gọi tâm đường tròn nội tiếp là I ( a, b ) thì a > 0, b > 0 . Theo đề ra ta có: d ( I ; Ox ) = d ( I ; Oy ) = d ( I ; AB ) . x y + = 1 hay 4 x + 3 y − 12 = 0 . 3 4 a = b a = b > 0    a = b Do vậy ta có:  ⇔  7 a − 12 = 5a ⇔   a = 6 ( l ) .  4a + 3b − 12 = 5 a  7 a − 12 = −5a  a = 1  

Phương trình theo đoạn chắn của AB là:

Đường tròn ( S ) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với các trục tọa độ nên: 13

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x − 1) + ( y − 1) = 1 . Câu 30. Chọn B Ta có OA = 3, OB = 4, AB = 5. Gọi I ( xI ; y I ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Từ hệ thức AB. IO + OB. IA + OA. IB = 0 (Chứng minh) ta được

AB. xO + OB. x A + OA. xB 4.3  = =1  xI = AB + OB + OA 5+ 4 + 3 ⇒ I (1;1)   y I = AB. yO + OB. y A + OA. y B = 3.4 = 1  AB + OB + OA 5+4 +3 Mặt khác tam giác OAB vuông tại O với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác thì 1 OA.OB S 3.4 2 r= = = = 1 ( S , p lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác). p OA + OB + AB 3 + 4 + 5 2 Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là ( x − 1)2 + ( y − 1) 2 = 1 hay x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0. DẠNG 4. TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Dạng 4.1. Phương trình tiếp tuyến Câu 31. Chọn A x2 + y 2 −1 = 0 có tâm O ( 0;0 ) , R = 1 . Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là khoảng cách từ tâm tới đường thẳng bằng bán kính. Xét đáp án A:

∆ : 3x − 4 y + 5 = 0 ⇒ d ( O, ∆ ) = Câu 32.

| 3.0 − 4.0 + 5 | 32 + 42

= 1 = R ⇒ ∆ tiếp xúc với đường tròn.

Chọn D Đường tròn ( C ) tiếp xúc với trục Ox khi d ( I , Ox ) = R với I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ( C ) .

Đường tròn: x 2 + y 2 − 10 x = 0 ⇔ ( x − 5)2 + y 2 = 25 có tâm I ( 5; 0 ) , bán kính R = 5 ,

d ( I,Ox ) = 0 . Suy ra: d ( I , Ox ) ≠ R . Vậy ( C ) không tiếp xúc với trục Ox. ⇒ không phải là phương trình đường tròn. .Xét phương trình đường tròn: x 2 + y 2 − 5 = 0 có I ( 0; 0 ) và R = 5 , d ( I,Ox ) = 0 . Suy ra: d ( I , Ox ) ≠ R . Vậy ( C ) không tiếp xúc với trục Ox.

Xét phương trình đường tròn: x 2 + y 2 − 10 x − 2 y + 1 = 0 có I ( 5;1) và R = 5 , d ( I,Ox ) = 1 . Suy ra: d ( I , Ox ) ≠ R . Vậy ( C ) không tiếp xúc với trục Ox.

5 5 5  Xét phương trình đường tròn: x 2 + y 2 + 6 x + 5 y + 9 = 0 có I  −3; −  và R = , d ( I,Ox ) = . 2 2 2  Suy ra: d ( I , Ox ) = R . Vậy ( C ) tiếp xúc với trục Ox

Câu 33.

Chọn B

( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 3 = 0 ⇔ ( x − 1)2 + ( y − 2 )2 = 2. Do đó đường tròn có tâm I = (1; 2 ) và bán kính R = 2 . Do d song song với đường thẳng ∆ nên d có phương trình là 3 x + 4 y + k = 0 , ( k ≠ 1) . Ta có d ( I ; d ) = R ⇔

Câu 34.

Câu 35.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là 3 x + 4 y + 5 2 − 11 = 0 , 3 x + 4 y − 5 2 − 11 = 0 . Chọn A Đường tròn ( C ) có tâm I (1; 2 ) ⇒ IA = ( 0;3) . Gọi d là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A , khi đó d đi qua A và nhận vectơ IA là một VTPT. Chọn một VTPT của d là nd = ( 0;1) . Vậy phương trình đường thẳng d là y − 5 = 0 . Chọn A Đường tròn ( C ) có tâm là gốc tọa độ O ( 0; 0 ) và có bán kính R = 2 . Họ đường thẳng ∆ qua A ( −1; 2 ) : a ( x + 1) + b ( y − 2 ) = 0 , với a 2 + b 2 ≠ 0 .

Điều kiện tiếp xúc d ( O; ∆ ) = R hay

a − 2b a 2 + b2

a = 0 ⇔ 3a 2 + 4ab = 0 ⇔  . 3a = −4b Với a = 0 , chọn b = 1 ta có ∆1 : y − 2 = 0 . Với 3a = −4b , chọn a = 4 và b = −3 ta có ∆ 2 : 4 ( x + 1) − 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 4 x − 3 y + 10 = 0 .

Nhận xét: Thực ra bài này khi thay tọa độ điểm A ( −1; 2 ) vào các đường thẳng ở các phương án thì ta loại C. và D. Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng thì chỉ có phương án A. thỏa. Câu 36. Chọn C 2 2 Đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 4 ) = 4 có tâm I (1; 4 ) và bán kính R = 2 . Gọi d là tiếp tuyến của ( C ) . Vì d / / ∆ nên đường thẳng d : 4 x − 3 y + m = 0 ( m ≠ 2 ) .

d là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ d ( I ; ( d ) ) = R ⇔

42 + ( −3)

Đường tròn ( C ' ) : x 2 + y 2 + 6 x − 8 y + 20 = 0 có tâm I ' ( −3; 4 ) bán kính R ' = 5 . II ' = 2 13 . Vậy II ' > R + R ' nên 2 đường tròn không có điểm chung suy ra 2 đường tròn có 4 tiếp tuyến chung. Câu 38. Chọn B Đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y + 4) 2 = 25 có tâm I (2; −4) , bán kính R = 5 . Đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d : 3 x − 4 y + 5 = 0 có phương trình dạng: 4x + 3y + c = 0

11 + k = 5 2  k = 5 2 − 11 = 2 ⇔ 11 + k = 5 2 ⇔  ⇔ . 3 +4 11 + k = −5 2  k = −5 2 − 11 2

4.1 − 3.4 + m

 m = 18 ⇔ m − 8 = 10 ⇔  (thỏa mãn điều kiện)  m = −2 Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm : 4 x − 3 y + 18 = 0;4 x − 3 y − 2 = 0 . Câu 37. Chọn C Đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0 có tâm I (1; −2 ) bán kính R = 2 .

11 + k 2

= 2 ⇔ ( a − 2b ) = 4 ( a 2 + b 2 )

∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) khi và chỉ khi: d ( I ; ∆ ) = R ⇔

Câu 39.

4.2 + 3.(−4) + c 2

Thế y = 1 vào ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 , ta được tiếp điểm là T1 (1;1) .

4 +3 c − 4 = 25  c = 29 . Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 4 x + 3 y + 29 = 0 và ⇔ c − 4 = 25 ⇔  ⇔ c − 4 = −25  c = −21 4 x + 3 y − 21 = 0 . Chọn D

( C ) có tâm I (1; −1) bán kính R=

+ Với 3 A = −4 B , chọn A = −4; B = 3 , phương trình ti ếp tuyến thứ hai là ( d 2 ) : −4 x + 3 y − 15 = 0 2

3 2  4x   4x   3 21  Tiếp điểm T2  x; + 5  ∈ ( C ) nên ( x − 1) +  + 5 − 3  = 4 ⇔ x = − ⇒ T2  − ;  . 5  3   3   5 5 + Phương trình đường thẳng TT x y x y . : 2 − 1 + 1 − 1 = 0 ⇔ 2 + − 3 = 0 ( ) ( ) 1 2

12 + (−1)2 − (−3) = 5

+ Khoảng cách từ O đến đường thẳng T1T2 là: d ( 0; T1T2 ) =

Vì IA = 2 < R nên A nằm bên trong ( C ) .Vì vậy không kẻ được tiếp tuyến nào tới đường tròn ( C ) . Câu 40. Chọn B 2 2 Đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 4 ) = 4 có tâm I (1; 4 ) và bán kính R = 2 .

Câu 43.

Gọi d là tiếp tuyến của ( C ) .

−3 22 + 12

3 5

Dạng 4.2 Bài toán tương giao Chọn D Ta thấy đường tròn ( C1 ) có tâm I ( −1; −2 ) và bán kính R1 = 3 . Đường tròn ( C2 ) có tâm I 2 ( 2; 2 ) và bán kính R2 = 2 .

Vì d / / ∆ nên đường thẳng d : 4 x − 3 y + m = 0 ( m ≠ 2 ) .

d là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ d ( I ; ( d ) ) = R ⇔

4.1 − 3.4 + m 42 + ( −3)

Khi đó: 5 = R1 + R2 = I1I 2 = (2 + 1)2 + (2 + 2)2 = 5 ⇒ ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc nhau.

Câu 44.

 m = 18 ⇔ m − 8 = 10 ⇔  (thỏa mãn điều kiện)  m = −2 Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm : 4 x − 3 y + 18 = 0;4 x − 3 y − 2 = 0 . Câu 41. Chọn D

Chọn D Giao điểm 2 đường tròn là nghiệm của hệ phương trình sau:   x2 + y 2 = 4  x2 + y2 = 4 x2 + y2 − 4 = 0 ⇔ ⇔  2 2  x + y − 4 x − 4 y + 4 = 0 4 x + 4 y = 8  x + y = 2  y = 0  2  x2 + y 2 = 4 2 y 2 − 4 y = 0 ( 2 − y ) + y 2 = 4 x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x = 2− y y = 2  x = 2− y  x = 2− y     x = 0

Vậy giao điểm 2 đường tròn là: ( 2;0 ) và ( 0; 2 ) . 4

-2

Câu 45.

Chọn A Cách 1: Xét hệ

K x

Gọi I là tâm của đường tròn, ta có tọa độ tâm I ( 3; 4 ) . Theo đề ra ta có tứ giác IMPN là hình vuông, nên đường thẳng MN nhận IP = ( −6; −6 ) làm VTPT, đồng thời đường thẳng MN đi qua trung điểm K ( 0;1) của IP . Vậy phương trình đường thẳng MN: 1. ( x − 0 ) + 1. ( y − 1) = 0 hay x + y − 1 = 0 .

Câu 42.

Chọn C 2 2 + ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y − 3) = 4 suy ra (C ) có tâm I( 1;3) và R = 2 + Phương trình đường thẳng d đi qua M (−3;1) có phương trình: A ( x + 3) + B ( y − 1) = 0 .

d là tiếp tuyến với đường tròn khi và chỉ khi d ( I ; d ) = R . A = 0 = 2 ⇔ 3 A2 + 4 AB = 0 ⇔  ⇒ ta có phương trình: 2 2 A +B 3 A = −4 B + Với A = 0 , chọn B = 1 , phương trình ti ếp tuyến thứ nhất là ( d1 ) : y = 1 . A + 3B + 3 A − B

( x − 1)2 + y 2 = 4  x2 + y 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ 2  2 2 2 ( x − 4 ) + ( y − 3) = 16  x + y − 8 x − 6 y + 9 = 0  3+ 7 1− 7 ,y= x = y = 2−x  y = 2− x   2 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔  2  2 3− 7 1+ 7  x + ( 2 − x ) − 2 x − 3 = 0 2 x − 6 x + 1 = 0   x = 2 , y = 2

 3 + 7 1− 7   3 − 7 1+ 7  Suy ra A  , .  2 , 2  B  2 , 2      ( C ) có tâm O (1; 0 ) , ( C′ ) có tâm O′ ( 4;3) ⇒ OO′ = ( 3;3) Nên đường thẳng AB qua A và nhận n (1;1) là vécto pháp tuyến.

Câu 48.

d (I,d ) =

 3+ 7   1− 7  Phương trình: 1 x −  + 1 y −  = 0 ⇔ x + y − 2 = 0 . Chọn A . 2 2     2

= 1 < R = 2 nên d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt.

Chọn A Đường tròn ( C ) có tâm I (1; 2 ) và bán kính R = 12 + 22 − 3 = 2 . Theo giả thiết đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm B , C sao cho

BC = 2 2 . Vì BC = 2 2 = 2 R nên BC là đường kính của đường tròn ( C ) suy ra đường thẳng d đi qua tâm I (1; 2 )

Ta chọn: ud = IA = ( 2; − 1) ⇒ nd = (1; 2 ) .

Vậy đường thẳng d đi qua A ( 3;1) và có VTPT nd = (1; 2 ) nên phương trình tổng quát của

đường thẳng d là: 1( x − 3) + 2 ( y − 1) = 0 ⇔ x + 2 y − 5 = 0 . Chọn A Tọa độ tâm I1 của đường tròn ( C1 ) là: I1 ( −1; −2 ) . Tọa độ tâm I2 của đường tròn ( C1 ) là: I 2 ( 2; 2 ) . Ta có: I1 I 2 ( 3; 4 ) . Gọi d , d′ lần lượt là đường thẳng nối tâm của hai đường tròn đã cho và đường thẳng cần lập. Chọn một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: nd ( 4; −3) . Gọi nd ′ ( a; b ) ,

⇔

+) xB =

Câu 49.

Câu 50.

x = 1 25 2 85 145 x − x+ =0⇔  .  x = 29 16 8 16 5  +) xA = 1 ⇒ y A = −4 ⇒ A (1; −4 ) .

32 + 4 2

AB = 2 R2 − d 2 ( I , d ) = 2 3 .

23  3 +  x −  = 25 4  4

3.2 + 4. ( − 2 ) + 7

Gọi A , B là các giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ( C ) .

Cách 2: Giả sử hai đường tròn ( C ) : ( x − 1) + y 2 = 4 và ( C ′ ) : ( x − 4 ) + ( y − 3) = 16 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi đó tọa độ của A và thỏa mãn hệ phương trình: ( x − 1)2 + y 2 = 4  x2 + y 2 − 2x − 3 = 0 (1) ⇔ 2  2 2 2 x + y − x − y + = 8 6 9 0 (2) x − 4 + y − 3 = 16  ) ( ) ( Lấy (1) trừ (2) ta được: 6 x + 6 y − 12 = 0 ⇔ x + y − 2 = 0 là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B Câu 46. Chọn A 3 19 Từ ∆ :3x − 4 y − 19 = 0 ⇒ y = x − (1) . 4 4 Thế (1) vào ( C ) ta được

( x − 1)

Xét tam giác vuông AHI ta có: HA 2 = IA2 − IH 2 = 52 − 32 = 16 ⇒ HA = 4 ⇒ AB = 2HA = 8 Chọn C Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2; −2 ) bán kính R = 2 .

a 2 + b 2 ≠ 0 là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d′ . 4a − 3b 2 2 2 Theo đề cos ( d , d ' ) = . ⇔ cos nd , nd ′ = ⇔ = 2 2 2 32 + 42 . a 2 + b 2

29 2  29 2  ⇒ yB = − ⇒ B  ; −  . 5 5 5  5 2

(

 29   2  Độ dài đoạn thẳng AB =  − 1 +  − + 4  = 6 .  5   5  Câu 47. Chọn A H

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB . Ta có IH ⊥ AB và 3.1 − 4. ( −1) + 8 IH = d ( I ; AB ) = =3. 2 32 + ( −4 ) 19

)

 a = 7b ≠ 0 . ⇔ 7 a 2 − 48ab − 7b 2 = 0 ⇔  1 a = − b ≠ 0 7  1 Với a = − b ≠ 0 , chọn b = −7 ⇒ a = 1 . Phương trình đường thẳng d ′ : x − 7 y = 0 . 7 Với a = 7b ≠ 0 , chọn b = 1 ⇒ a = 7 . Phương trình đường thẳng d ′ : 7 x + y = 0 . Câu 51. Chọn B 2 2  IM 1 = IM 2 = 10 ⇒ M 1 , M 2 ∈ ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 10.   I (1; 2 ) Mặt khác, M 1 , M 2 thuộc ( d ) : 2 x + y − 5 = 0 nên ta có tọa độ M 1 , M 2 là nghiệm của hệ 2 2 ( x − 1) + ( y − 2 ) = 10  2 x + y − 5 = 0

(1) . ( 2)

H và E đối xứng nhau qua K suy ra tọa độ E theo t là E (11 + 6t; −3 − 8t )

x = 0 thay vào (1) ta có 5 x 2 − 14 x = 0 ⇔  .  x = 14 5  14 14 Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ của M 1 và M 2 ⇒ x1 + x2 = 0 + = . 5 5 Câu 52. Chọn B

( 2) ⇔ y = −2 x + 5,

E ∈ (C ) ⇒

d R

5t + 9t + 4

⇔

 t = −1  −4 t = 5 

−4  31 17   13 41  , E ; , K  ;  5  5 5 5 5 Phương trình đường thẳng BC có uBC = nAH = ( 4;3) và qua điểm K có phương trình tham số

M A

13   x = 5 + 4t 41  13  ⇒ C ∈ BC ⇒ C  + 4t ; + 3t  .  5 5   y = 41 + 3t  5

R = 2 5.

Đặt h = d ( I , AB ) . Ta có: S IAB =

1 h. AB = 8 ⇒ h. AB = 16. 2

AB 2 = 20 4 h = 4 h = 2 ;   AB = 4  AB = 8

Mặt khác: R 2 = h 2 + Suy ra:

C ∈ (C ) ⇒

⇔

Với h = 2 =

Câu 53.

2−b +c 1 + b2 2−b+c 1 + b2

= =

2 − b + 3b − 1 1 + b2 2 − b + 3b − 1 1 + b2

= =

1 + 2b 1 + b2 1 + 2b 1 + b2

⇒ b∈Φ ⇒b=

3 5 ⇒ c = ⇒ b + c = 2. 4 4

Chọn D

 13   41   + 4t  +  + 3t  5   5  25t 2 + 70t + 24

= 50 =0

2  t = − 5 ⇒ C (1;7 ) ⇒ ( KTM ) ⇔  −12  t= ⇒ C ( −7;1)  5

Vì d đi qua M (1; −3) nên 1 − 3b + c = 0 ⇒ 3b − c = 1 ⇒ c = 3b − 1 Với h = 4 =

 Với t = H

( C ) có tâm I ( 2; −1) , bán kính

= 50

 Với t = −1 , E ( 5;5 ) (loại vì E ≡ A )

⇔

(C)

(11 + 6t ) + ( −3 − 8t )

Câu 54.

Vậy C ( a; b ) = C ( −7;1) ⇒ a + b = −6 . Chọn A 5

B 4

D 2

I A

Gọi K là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC , gọi E là điểm đối xứng với H qua K suy ra E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Tính chất này đã học ở cấp 2). Ta có AH = ( −6;8 ) , chọn u AH = ( 3; −4 ) .  x = 5 + 3t Phương trình đường thẳng AH qua A ở dạng tham số   y = 5 − 4t K ∈ AH suy ra tọa độ điểm K có dạng K ( 5 + 3t;5 − 4t ) 21

Ta có: = BAM (cùng chắn cung BM ) (1) BCM = MAT = DAC (do AD là đường phân giác ngoài A ) ( 2 ) BAM = CDA + = = BCM , mà BCM Từ (1) , ( 2 ) suy ra DAC AMC , DAC ACM + AMC từ đó suy ra CDA = ACM , do đó MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD có tâm J nên

JC ⊥ MC . Hay C là hình chiếu của J lên đường thẳng CM . Đường thẳng qua J và vuông góc với CM có phương trình: 22

( x + 2 ) − ( y − 2) = 0 ⇔ x − y + 4 = 0

x + y = 2  x = −1 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:  ⇔ ⇒ C ( −1; 3) .  x − y = −4 y = 3 AC là đường thẳng qua C và vuông góc với IJ ( −4; 0 ) nên có phương trình: x + 1 = 0 .

H d

a = 1 2 . Do đó tọa độ điểm A có dạng A ( −1; a ) . Ta có IA2 = IC 2 ⇔ 9 + ( a − 2 ) = 9 + 1 ⇔  a = 3 Vì A ≠ C nên A ( −1; 1) .

I(1;-2)

Tọa độ điểm M có dạng M ( m; 2 − m ) . Ta có  m = −1 2 . IM 2 = IC 2 ⇔ ( m − 2 ) + m 2 = 10 ⇔ m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔  m = 3 Vì M ≠ C nên M ( 3; − 1) . BC là đường thẳng qua C và vuông góc với MI ( −1; 3) nên có phương trình:

Ta có: IH = d ( I ; d ) = 2 . S∆IAB =

1 2S 2.4 IH . AB ⇒ AB = ∆IAB = = 4 ⇒ AH = 2 . 2 IH 2

⇒ R = IA = AH 2 + IH 2 = 2 2 + 22 = 2 2 .

− ( x + 1) + 3 ( y − 3) = 0 ⇔ x − 3 y + 10 = 0 .

Tọa độ điểm B có dạng B ( 3b − 10; b ) . Ta có IB 2 = IC 2 ⇔ ( 3b − 12 ) + ( b − 2 )

b = 3 . = 10 ⇔  b = 23 5 

⇒ ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 8 .

Câu 57.

DẠNG 5. CÂU HỎI MIN-MAX Chọn D

 19 23  Vì B ≠ C nên B  ; .  5 5  Vậy tổng hoành độ của các đỉnh A, B , C là −1 − 1 + Câu 55.

19 9 = . 5 5

Chọn D . Vì I ∈ (∆) nên a + 3b + 8 = 0 ⇔ a = − 8 − 3b .

Vì đường tròn đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng (∆ ′) nên: 3a − 4b +10 2 2 = (−2 − a ) + (1− b) 5 Thay a = −8 − 3b vào (1) ta có: d ( I ; ∆ ′) = IA ⇔

3(−8 − 3b ) − 4b + 10

(1) .

I R

A 2

Ta có ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0 ⇔ ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 9 nên có tâm I (1; 2 ) , R = 3

= (−2 + 8 + 3b ) + (1 − b )

Vì IM = 2 < 3 = R . Gọi d là đường thẳng đi qua M cắt đường tròn ( C ) tại các điểm A, của AB . Ta có:

⇔ −14 −13b = 5 10b 2 + 34b + 37 2

⇔ (−14 −13b) = 25 (10b 2 + 34b + 37)

⇔ 81b 2 + 486b + 729 = 0 ⇔ b = − 3 . Với b = − 3 ⇔ a = 1 . a + b = −2 . Câu 56. Chọn A

Ta có: AB = 2 AJ = 2 R 2 − IJ 2 ≥ 2 R 2 − IM 2 = 2 9 − 2 = 2 7 . Câu 58.

Chọn.

B. Gọi J là trung điểm

 ( x0 − 1) = ( y0 − 2 ) Dấu đẳng thức xảy ra khi  . 2 2 ( x0 − 1) + ( y0 − 2 ) = 2  x −1 = 1  x = 2, y0 = 3, T = 5 2 . ⇒ 0 ⇒ ( x0 − 1) = 1 ⇒  0  x0 − 1 = −1  x 0 = 0, y0 = 1, T = 1

I P M

Câu 60.

N A 2

Đường tròn (C ) : x + ( y − 1) = 4 có tâm I(0;1) bán kính R = 2 . IA = IB = 4 > R nên A, B nằm ngoài đường tròn. 1 1 IN ⇒ IP = IA ⇒ P trùng với gốc tọa độ. 2 4 MA IM IN Ta có ∆IAM ∼ ∆IMP ⇒ = = = 2 ⇒ MA = 2 MP . MP IP IP Do đó P = MA + 2 MB = 2 MP + 2 MB ≥ 2 PB ⇒ Pmin = 2 PB = 2 17 ⇒ Pmin ∈ (8,1;8,3) . Chọn. D. Chọn A Trên đoạn IN lấy điểm P sao cho IP =

8 6  32   24  Ta có OM 1 =   +   = 8 ; OM 2 =   +   = 2 . Vậy OM min = 2 . 5 5  5   5  Câu 61. Chọn C

+ y − 2 x − 4 y + 3 = 0 , (C ) có tâm I (1; 2 ) , R = 2 . 2

32  8  x=− x=− 3 x + 4 y = 0  5  5 ⇔ ∨  2   2 24 6  x + y + 8 x − 6 y + 16 = 0 y = y =   5 5 2

(C ) : x

Tọa độ M = OI ∩ ( C ) là nghiệm của hệ:

 32   24   8 6 Ta có OM 1 =  −  +   = 8, OM 2 =  −  +   = 2 ⇒ OM min = OM 2 = 2 .  5   5   5 5 Cách 2

3x + 4 y = 0 .

Đường tròn ( C ) có tâm I ( −4;3) , bán kính R = 42 + 32 − 16 = 3 . Phương trình đường thẳng OI đi qua O ( 0; 0 ) có vtpt n ( 3; 4) là:

 8  2 t = 5 t = 5  x + y + 8 x − 6 y + 16 = 0 25t − 50t + 16 = 0   −32  −8    ⇔  x = −4t ⇔ x = ∨ x =  x = −4t 5 5  y = 3t  y = 3t     24  6  y = 5 y = 5    32 24   8 6 Suy ra M 1  − ;  , M 2  − ;   5 5   5 5 2

Gọi N là giao điểm của IA và đường tròn ( C )

Câu 59.

Vậy max T = 5 khi x0 = 2, y0 = 3 . Chọn D Đường tròn ( C ) có tâm I ( −4;3) , bán kính R = 3 .  x = −4t Ta có OI = ( −4;3) suy ra phương trình đường thẳng OI là  .  y = 3t OI ∩ ( C ) = {M } Tọa độ ( x; y ) của M là nghiệm hệ

Suy ra (C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) − 2 = 0 . Có T = x 0 + y0 = ( x 0 − 1) + ( y0 − 2 ) + 3 .

(

)

Áp dụng bất đẳng thức B. C. S cho 2 bộ số (1;1) , ( x 0 − 1) ; ( y0 − 2 ) .

2 − 1) + ( y0 − 2 ) ≤ 2 ( x0 − 1) + ( y0 − 2 )  = 2 , do ( x 0 − 1) + ( y0 − 2 ) = 2 .  

⇒ − 2 ≤ ( x 0 − 1) + ( y 0 − 2 ) ≤ 2 ⇒ 1 ≤ x0 − 1 + y0 − 2 + 3 ≤ 5 ⇒ 1 ≤ T ≤ 5 .

(

) ( 25

)

Gọi: d : x + y − m = 0; tâm của ( C ) là I (1;1) , để d ∩ ( C ) tại 2 phân biệt khi đó:

0 ≤ d ( I; d ) < 2 ↔ 0 ≤

2−m

2 2  x = 1, y = 3 ( x − 3) + ( y − 2 ) = 25 ⇔  x + 2 y − 7 = 0  x = 5, y = 1  Đối chiếu điều kiện đề bài ta có tọa độ điểm C ( 5;1) .

< 2 ↔ 2 − 2 2 < m < 2 + 2 2 (*)

2 1 = 1 .R 2 .sin AIB ≤ 1 .R 2 Xét ∆IAB có: S∆AIB = .IA.IB.sin AIB 2 2 2 = 1 ⇔ AIB = 900 ⇒ AB = 2 2 Dấu “=” xảy ra khi: sin AIB ⇒ d (I;d ) = 2 ↔

Câu 62.

Câu 64.

Chọn D

 m = 0 (TM ) = 2↔ . 2  m = 4 (TM )

2−m

Chọn C Đường tròn ( C ) có tâm I (1; − 2 ) , bán kính R = 2 . Gọi ∆ là đường thẳng qua I và vuông góc với d . Khi đó, điểm M cần tìm là một trong hai giao điểm của ∆ và ( C ) .

R I R K A M

C +) ( C ) có tâm I (1;2 ) , bán kính R = 30 +) AB là dây cung của ( C ) đi qua M +) Ta có AB min ⇔ AB ⊥ IM . Thật vậy, giả sử CD là dây cung qua M và không vuông góc với IM . Gọi K là hình chiếu của I lên CD ta có:

Ta có phương trình ∆ : x + y + 1 = 0 . x + y +1 = 0  y = − x − 1 Xét hệ:  2 ⇔ 2 2 2 x + y − 2 x + 4 y + 1 = 0  ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4

AB = 2 AM = 2 IA2 − IM 2 = 2 R 2 − IM 2 CD = 2 KD = 2 ID2 − KD 2 = 2 R 2 − IK 2 Do tam giác IMK vuông tại K nên IM > IK . Vậy CD > AB .

  x = 1 + 2  y x  y = − x − 1 = − − 1   y = −2 − 2  ⇔ ⇔ ⇔   2   x = 1 − 2  x = 1 ± 2 2 ( x − 1) = 4    y = −2 + 2

( ) Với C (1 − 2; − 2 + 2 ) ⇒ d ( C , d ) = −2 + 3 2 < d ( B, d ) Suy ra M (1 − 2; − 2 + 2 ) ⇒ a = 1 − 2; b = −2 + 2 = 2 (1 − 2 ) =

+) Ta có: IM =

MA = R 2 − IM 2 = 30 − 2 = 28 = 2 7

2a .

Chọn B Vì GA = −2GM nên A là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm G , tỉ số −2 , suy ra A ( −4; −2 ) . Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I , bán kính 2 2 R = IA = 5 có phương trình ( x − 3 ) + ( y − 2 ) = 25 . Ta có IM = ( 2; 4 ) . Đường thẳng BC đi qua M và nhận vectơ IM làm vectơ pháp tuyến, phương trình là: BC 1( x − 3 ) + 2 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x + 2 y − 7 = 0 .

= 2

⇒ AB = 2MA = 4 7 . Câu 65. Chọn D

Với B 1 + 2; − 2 − 2 ⇒ d ( B, d ) = 2 + 3 2

Câu 63.

( 2 − 1)2 + (1 − 2)2

B M C

I A

Điểm C là giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn ( I ; R ) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

Xét tập hợp điểm M (a; b) thỏa mãn ( a − 1) + ( b − 2 ) = 1 thì M thuộc đường tròn tâm I (1; 2); R = 1 Xét điểm N (c; d ) thỏa mãn 4c − 3d − 23 = 0 thì N thuộc đường thẳng có phương trình 4 x − 3 y − 23 = 0 . 4 − 6 − 23 = 5 > R = 1. Do đó đường thẳng không cắt đường tròn. Ta thấy d ( I ; d ) = 5

Đường thẳng qua I vuông góc với d tại L và cắt đường tròn ở T , K ( K ở giữa T và L ) Vẽ tiếp tuyến tại K cắt MN tại P . Có KL ≤ PN ≤ MN , mà KL = d ( I , d ) − R Do đó MN ngắn nhất khi MN = KL 2

Từ đây ta suy ra P = ( a − c ) + ( b − d ) = MN 2 bé nhất khi và chỉ khi

Câu 66.

MN = d ( I ; d ) − R = 5 − 1 = 4 . Vậy giá trị nhỏ nhất Pmin = 16 Chọn A  I (1; 2) Ta có (C )  R = 2 Ta dễ thấy đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau tại điểm M (1;1) cố định nằm trong đường tròn ( C ) và d1 ⊥ d 2 . Gọi A, B là giao điểm của d1 và ( C ) , C , D là giao điểm của d 2 và ( C ) . H , K lần lượt là hình chiếu của I trên d1 và d 2 Khi đó 2 2 1 S ABCD = AB.CD = 2 AH .CK = 2 R 2 −  d ( I , d1 )  . R 2 −  d ( I , d 2 ) 2

( 4m2 + 3)( 3m2 + 4 ) 4m2 + 3 + 3m 2 + 4 1 m2 4 − 2 =2 ≤ =7 m +1 m +1 m2 + 1 m2 + 1 Do đó max S ABCD = 7 khi m = ±1 . Khi đó tổng các giá trị của m bằng 0. = 2 4−

TOÁN 10

PHƯƠNG TRÌNH ELIP

Câu 7.

0H3-3

Cho elip có phương trình chính tắc A.

Contents PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1

2 . 3

1 . 2

x2 y2 + = 1 . Tính tâm sai của elip. 4 1 1 3 C. . D. . 4 2

DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC .......................................................................................................... 3

x2 y2 + =1 a 2 b2 (với a > b > 0 ) có F1 , F2 là các tiêu điểm và M là một điểm di động trên ( E ) . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

PHẦN B. LỜI GIẢI ......................................................................................................................................................... 4

A. MF1 + MF2 = 2b .

DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP....................................................................................................................... 4

C. OM 2 − MF1.MF2 = a2 − b2 .

DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP....................................................................................................................... 1

Câu 8.

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP ........................................................................................................................ 2

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP ........................................................................................................................ 6

Câu 9.

DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC .......................................................................................................... 8

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip ( E ) :

Câu 10.

DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP

Câu 1.

Đường Elip A. 6 .

Câu 2.

C. 9 .

D. ( −2; + ∞ ) .

Cho elip ( E ) có phương trình 16 x 2 + 25 y 2 = 400 . Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? A. ( E ) có trục nhỏ bằng 8.

Câu 11.

Câu 5.

Câu 12.

Câu 13. x2 y 2 + = 1 . Tiêu cự của (E) bằng 25 9 C. 4. D. 8.

B. 16.

Một elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 80 , độ dài tiêu cự là 6 . Tâm sai của elip đó là 4 3 3 4 A. e = . B. e = . C. e = . D. e = . 5 4 5 3 Cho elip ( E ) : 4 x 2 + 5y 2 = 20 . Diện tích hình chữ nhật cơ sở của ( E ) là C. 8 5 .

B. 80 .

Câu 6.

4 C. e = − . 5

D. e =

4 . 9

5 . Tiêu cự của ( E ) là 6 10 C. 5 . D. . 3

5 . 3

Câu 14.

x2 y 2 + = 1. 2 3

x2 y 2 − = 1. 9 8

x y + = 1. 9 8

Phương trình chính tắc của đường elip với a = 4 , b = 3 là x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. B. C. − = 1. + = 1. + = 1. 16 9 9 16 16 9

x2 y 2 + = 1. 9 1

x2 y2 + = 1. 9 16

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elip biết một đỉnh là A1 ( −5;0 ) và

Câu 15.

x2 y 2 + =1 . 25 4

x2 y 2 + =1. 29 25

x2 y 2 + = 1. 40 12

x2 y2 + =1. 160 36

x2 y2 + =1. 160 32

Lập phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm B và có tâm sai e =

D. 40 . A. Câu 16.

x2 y 2 + =1 . 25 21

x2 y 2 + =1 . 25 29

Tìm phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 4 10 và đi qua điểm A ( 0;6 ) :

x y + = 1 có tiêu cự bằng 16 7 C. 6 . D. 18 .

B. 9 .

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Đường elip A. 3 .

4 . 18

một tiêu điểm là F2 ( 2; 0 ) .

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip ( E ) :

A. 2 5 .

B. e =

M nằm trên

Cho Elip ( E ) đi qua điểm A ( −3;0 ) và có tâm sai e =

D. ( E ) có các tiêu điểm F1 ( −3;0 ) và F2 ( 3;0 ) .

A. 10.

)

D. MF1 .MF2 + OM 2 = a 2 + b 2 .

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP

x2 y 2 + = 1 có tiêu cự bằng 16 7 B. 8 .

C. ( E ) có trục nhỏ bằng 10.

Câu 4.

4 . 5

A. 10 .

B. ( E ) có tiêu cự bằng 3.

Câu 3.

(

Trong hệ trục Oxy, cho Elip ( E ) có các tiêu điểm F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 ) và một điểm ( E ) . Biết rằng chu vi của tam giác MF1 F2 bằng 18. Xác định tâm sai e của ( E ) .

A. e = PHẦN A. CÂU HỎI

B. ( MF1 − MF2 ) = 4 b 2 − OM 2 .

x2 y 2 + = 1. 9 4

x2 y2 + = 1. 3 2

x2 y2 + = 1. 9 2

x2 y 2 + = 1. 40 36

5 . 3 D.

x2 y2 + =1 9 3

Phương trình chính tắc của Elip có đỉnh ( −3;0 ) và một tiêu điểm là (1;0 ) là 2

A. Câu 17.

Câu 18.

x2 y2 + =1. 8 9

x2 y2 + =1. 9 8

x2 y2 + =1. 1 9

so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích hình Elip được tính theo công thức S = π ab , với a, b lần lượt là nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục nhỏ. Biết độ rộng của đường Elip là không đáng kể.

x2 y2 + =1. 9 1

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10 . x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. B. C. D. + = 1. + = 1. + = 1. + = 1. 25 9 16 25 100 81 25 16 (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho elip ( E ) có độ dài trục lớn gấp hai lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 6 . Viết phương trình của ( E ) ? A.

Câu 19.

Câu 20.

x2 y2 − = 1. 12 3

x2 y2 + =1. 12 3

x2 y2 + =1. 3 12

x2 y2 + = 1. 48 12

Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 8 , độ dài trục nhỏ bằng 6 là: x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 + = 1. + =1. + = 1. + =1 A. B. C. D. 9 16 64 36 8 6 16 9

A. T = Câu 25.

Câu 21.

x2 y2 C. + = 1. 144 5

x 2 y2 D. + = 1. 36 20

x2 y 2 + = 1. 4 9

B. ( E ) :

x2 y2 + = 1. 9 4

C. ( E ) :

x2 y 2 + = 1. 2 3

D. ( E ) :

Câu 22.

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho Elip ( E ) :

A. 3,5 và 4,5 .

B. 4 ± 2 .

C. 3 và 5.

C. 3 .

D. 4 .

Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm C (3;0) và elip (E) :

x y + = 1 . A, B là 2 điểm thuộc ( E ) 9 1

PHẦN B. LỜI GIẢI

2 . 2

Ông Hoàng có một mảnh vườn hình Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 60m và 30m . Ông chia mảnh vườn ra làm hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với Elip để làm mục đích sử dụng khác nhau (xem hình vẽ). Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỉ số diện tích T giữa phần trồng cây lâu năm

B. 1.

a c 3 sao cho △ ABC đều, biết tọa độ của A  ;  và A có tung độ âm. Khi đó a + c bằng: 2 2  A. 2 . B. 0 . C. −2 . D. −4 .

Câu 2.

x2 y 2 = 1 . Điểm M ∈ ( E ) sao cho Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip ( E ) : + 25 9 0 F 1 MF2 = 90 . Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1 F2 . 1 A. 2 B. 4 . C. 1. D. . 2 Câu 24.

Câu 26.

x2 y2 + = 1 và điểm M nằm trên 16 12

D. 4 ±

D. T = 1 .

Câu 1.

( E ). Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm của (E) bằng:

1 . 2

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) có phương trình lần lượt

A. 2 .

x2 y 2 + = 1. 3 2

DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC

C. T =

hai đường tròn ( C1 ) , ( C 2 ) ?

 3 4  Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình chính tắc của elip ( E ) biết ( E ) đi qua M  ;   5 5 và M nhìn hai tiêu điểm F1 , F2 dưới một góc vuông. A. ( E ) :

3 . 2

bao nhiêu đường tròn ( C ) có bán kính gấp đôi độ dài trục lớn của elip ( E ) và ( C ) tiếp xúc với

chính tắc của elip là:

x 2 y2 B. + = 1. 45 16

B. T =

là ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9, ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 4 và Elip ( E ) có phương trình 16 x 2 + 49 y 2 = 1 . Có

Elip có một tiêu điểm F (−2;0 ) và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12 5 . Phương trình

x 2 y2 A. + = 1. 9 5

2 . 3

DẠNG 1. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA ELIP Chọn A x2 y2 Elip + = 1 có a 2 = 16 , b 2 = 7 suy ra c 2 = a 2 − b 2 = 16 − 7 = 9 ⇔ c = 3 . 16 7 Vậy tiêu cự 2c = 2.3 = 6 . Chọn B x2 y2 ( E ) : 16x2 + 25 y 2 = 400 ⇔ + = 1 . 25 16 Elip ( E ) có a = 5 , b = 4 , c = a 2 − b 2 = 52 − 42 = 3 . Tiêu cự của elip ( E ) là 2c = 6 nên khẳng định “ ( E ) có tiêu cự bằng 3” là khẳng định sai.

Câu 3.

Chọn D Phương trình chính tắc của elip có dạng:

Câu 4.

x2 y2 + = 1 ( a > 0, b > 0 ) . a 2 b2

a = 5 ⇒ c = a 2 − b2 = 4 . Do đó elip (E) có  b = 3 Tiêu cự của elip (E) bằng 2c = 8 . Chọn C 4

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 2a.2b = 80 , suy ra a.b = 20 (1) . 2

Lại có 2c = 6 ⇒ c = 3 ⇒ a − b = c = 9 Từ (1) ⇒ b =

a2 −

Câu 5.

400

Câu 7.

Vì ( E ) đi qua điểm A ( −3; 0 ) nên Lại có e =

= 9 ⇒ a 4 − 9a 2 − 400 = 0 ⇔ a 2 = 25 ⇒ a = 5 .

3 Do đó tâm sai e = . 5 Chọn C 2

Câu 11.

x y + =1 5 4 Độ dài trục lớn: 2a = 2 5 . Độ dài trục bé: 2 b = 2.2 = 4 . Diện tích hình chữ nhật cơ sở của ( E ) là: 2 5.4 = 8 5 . Chọn C □ Ta có: a 2 = 16 , b 2 = 7 nên c 2 = a 2 − b 2 = 9 ⇒ c = 3 . □ Tiêu cự của elip là 2c = 6 . Chọn D Ta có a 2 = 4 ⇒ a = 2; b 2 = 1 ⇒ b = 1; c 2 = a 2 − b 2 = 3 ⇒ c = 3 Tâm sai của elip là e =

Câu 8.

( 2) .

20 , thay vào ( 2 ) ta được: a

( E ) : 4 x 2 + 5y 2 = 20 ⇔

Câu 6.

Gọi phương trình chính tắc của ( E ) là

Câu 12.

Câu 14.

c 3 = a 2

cx cx c 2 x2 ; MF2 = a − ⇒ MF1.MF2 = a 2 − 2 . a a a x2 y2 M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇒ 2 + 2 = 1 a b  x2  x2  b2 x2 2 2 ⇒ y = b 1 − 2  ⇒ OM 2 = x 2 + y 2 = x 2 + b 2  1 − 2  = x 2 + b 2 − 2 a  a   a 

 c2 x2 b2 x2  c2 x2 b2 x2 + x 2 + b 2 − 2 = a 2 + b2 + x 2 −  2 + 2  2 a a a   a

+ c2 ) x2

Vì a 2 = b 2 + c 2 nên MF1.MF2 + OM 2 = a 2 + b 2 + x 2 −

Câu 9.

+ c2 ) x2

DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ELIP Chọn D x2 y 2 Phương trình chính tắc của elip có dạng 2 + 2 = 1, ( a > b > 0 ) nên chọn phương án D . a b

Chọn C x2 y2 + =1. 16 9

Chọn A Ta có a = 5; c = 2 ⇒ b 2 = 25 − 4 = 21

x2 y 2 + =1. 25 21 Chọn D

= a 2 + b2 + x 2 −

a2 x2 = a 2 + b2 a2

 5  a 2 = b 2 + c 2 ⇔ a 2 = 4 +  a  ⇔ a 2 = 9 .  3  Vậy phương trình chính tắc của Elip cần tìm là Câu 16.

⇔ 18 = 2a + 2c ⇔ 18 = 2a + 8 ⇔ a = 5. c 4 Tâm sai e = = . a 5 Câu 10. Chọn C

x2 y 2 + = 1. 9 4

Chọn B Elip có đỉnh ( −3; 0 ) ⇒ a = 3 và một tiêu điểm (1; 0 ) ⇒ c = 1 .

Ta có c 2 = a 2 − b2 ⇔ b2 = a 2 − c 2 = 9 − 1 = 8 . x2 y 2 Vậy phương trình ( E ) : + =1. 9 8 5

x 2) y 2 + = 1(a > b > 0) . a 2 b2

Theo giả thiết ta có 2a = 4 10 ⇒ a = 2 10 . 62 Mặt khác (E) đi qua A ( 0;6 ) nên ta có 2 = 1 ⇒ b = 6 . b x2 y 2 Vậy phương trình chính tắc của (E) là: + =1 40 36 Câu 15. Chọn A x2 y2 Phương trình chính tắc của Elip có dạng: 2 + 2 = 1, ( a > b > 0 ) . a b 0 2 22 2 Elip đi qua điểm B nên 2 + 2 = 1 ⇔ b = 4 . a b c 5 5 5 ⇔ = ⇔c= a. Tâm sai e = 3 a 3 3

Chọn A Ta có F1 ( −4;0 ) ⇒ c = 4 .

P∆MF1F2 = MF1 + MF2 + F1 F2

= 1 với a > b > 0 .

= 1 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3 .

Ta có phương trình chính tắc Elip (E) có dạng

MF1 = a +

= a2 + b2 + x2 −

Vậy

Chọn D Ta có:

MF1.MF2 + OM 2 = a 2 −

c 5 5a 5 = ⇒c= = ⇒ 2c = 5 . a 6 6 2

Phương trình chính tắc ( E ) :

Câu 13.

9 a2

Câu 17.

Lời giải Chọn D

x2 y 2 Phương trình chính tắc của elip: 2 + 2 = 1. a b Độ dài trục lớn 2a = 10 ⇔ a = 5 Tiêu cự 2c = 6 ⇔ c = 3 Ta có: a2 = b2 + c2 ⇔ b2 = a2 − c2 = 16 x2 y 2 Vậy phương trình chính tắc của elip là + = 1. 25 16 Câu 18. Chọn B Ta có: a = 2b, 2c = 6 ⇒ c = 3.

Câu 22.

Giả sử phương trình ( E ) :

Câu 19.

Chọn

x2 y2 + =1. 12 3

1 c   MF1 = a + a xM = 4 + 2 .1 = 4,5   MF = a − c x = 4 − 1 .1 = 3,5 M  2 a 2 A. Chọn Câu 23. Lờigiải 0 2 2 Gọi M ( x; y ) vì F1MF2 = 90 ⇒ MF1 + MF2 = F1F2 2 ⇔ x 2 + y 2 = c 2 = 16 (1)

x2 y 2 + = 1, a > b > 0. a 2 b2 + Do có độ dài trục lớn bằng 8 = 2 a ⇒ a = 4 + Do có độ dài trục nhỏ bằng 6 = 2b ⇒ a = 3 x2 y 2 + =1 + Suy ra phương trình là 16 9 Vậy chọn D Chọn A + Phương trình Elip dạng:

Câu 20.

x2 y2 + = 1 ( a > b >0 ) a 2 b2 ab = 3 5 a 2 = 9   Theo giả thiết ta có:  ⇔  2  2 2    b = 5 a − b = 4 

Do M ∈ ( E ) ⇒

Câu 21.

x 2 y2 + = 1. . 9 5

MF1 + MF2 + F1F2 2a + 2c = = a+c =9 2 2 9 Khoảng các từ M đến trục Ox: d ( M ;O x ) = yM = 4 1 S ∆MF1F2 = d ( M ; Ox ) .F1F2 = 9 2 S Bán kính đuờng tròn nội tiếp: r = = 1 p

Câu 24. Hướng dẫn giải Chọn D Theo đề ta có: Diện tích ( E ) là: S( E ) = π .a.b = 30.15.π = 450π , ( m 2 ) Vì đường tròn tiếp xúc trong, nên sẽ tiếp xúc tại đỉnh của trục nhỏ, suy ra bán kính đường tròn: R = 15m . Diện tích hình tròn ( C ) phần trồng cây lâu năm là: S(C ) = π .R 2 = 152.π = 225π , ( m 2 )

Gọi ( E ) :

(

)

(

Vậy: ( E ) :

Suy ra diện tích phần trồng hoa màu là: S = S( E ) − S(C ) = 225π , ( m 2 ) ⇒ T = 1 .

Câu 25.

Chọn A

)

x y + = 1. 9 4 7

175 2 81 5 7 9 ;y = ;y = ⇔x=± 16 16 4 4

Ta có: nửa chu vi p =

Chọn B

x2 y 2 + = 1. a 2 b2 9 16  3 4  2 2 2 2 Ta có: ( E ) đi qua M  ;  nên: 5a 2 + 5b 2 = 1 ⇔ 16a + 9b = 5a b . (1)  5 5 FF Vì M nhìn hai tiêu điểm F1 , F2 dưới một góc vuông nên: OM = 1 2 = c . 2 9 16 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ OM = c ⇔ + = c ⇔ a − b = c = 5 ⇔ a = 5 + b thế vào (1) ta được: 5 5 16 5 + b2 + 9b2 = 5 5 + b2 b2 ⇔ b 4 = 16 ⇒ b 2 = 4 nên a 2 = 9 .

x2 y 2 + = 1 (2) 25 9

Giải hệ gồm hai phuơng trình (1) và (2) ta đuợc x 2 =

Gọi (E) có dạng

Vậy (E) cần tìm là

2 a = 16 a = 4 x2 y 2 ⇒ 2 + 2 = 1 (a > b > 0) Ta có :  2 2 2 2 a b b = 12 c = a − b = 4

a = 4 ⇒ c = 2 Gọi F1 , F2 lần lượt là hai tiêu điểm của Elip ( E ) , M (1; yM ) ∈ ( E ) , ta có :

b 2 = 3 Mà a 2 − b 2 = c 2 ⇒ 4b 2 − b 2 = 9 ⇒  2 a = 12 Vậy phương trình ( E ) :

DẠNG 3. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC Chọn A

1 1 = 1 ⇒ ( E ) có độ dài trục lớn 2 a = 2. = . 2 4 2 1 1     4 7     Khi đó đường tròn ( C ) có bán kính là R = 1 . Gọi I ( a; b ) là tâm của đường tròn ( C ) .

Ta có 16 x 2 + 49 y 2 = 1 ⇔

 II1 = R + R1 = 1 + 3 = 4  Xét ∆II1 I 2 có  II 2 = R + R2 = 1 + 2 = 3 ⇒ ∆II1 I 2 vuông tại I . I I = R + R = 5 1 2 1 2 Ta có II1 = ( −1 − a; −2 − b ) , II 2 = ( 2 − a; 2 − b ) . Khi đó điểm I thỏa mãn: ( −1 − a )( 2 − a ) + ( −2 − b )( 2 − b ) = 0  II1.II 2 = 0 a 2 + b 2 − a − 6 = 0 ⇔ ⇔ 2  2 2 2 a + b − 4a − 4b − 1 = 0  II 2 = 3 ( 2 − a ) + ( 2 − b ) = 9

 5 − 4b  5 − 4b a 2 + b 2 = 6 + a + b2 − 6 − =0  a + b = 6 + a   3  3 ⇔ ⇔ ⇔ 5 − 4b 6 + a − 4a − 4b − 1 = 0 a = a = 5 − 4b 3   3   a = −1  b = 2    b = 2 25b 2 − 28b − 44 = 0 22  b = −   71 . ⇔ ⇔  5 − 4b 25 ⇔   a = a =  25    5 4 b − 3  a =   22 3   b = − 25  Vậy có hai phương trình đường tròn ( C ) thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2

( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) Câu 26.

1  2 y = − 3 9− x x2 y 2 +) Ta có elip (E) : + . =1 ⇒  9 1  y = 1 9 − x2  3

1   +) Theo giả thiết A có tung độ âm nên tọa độ của A  x0 ; − 9 − x02  (điều kiện x0 < 3 do 3   A≠C) 1 +) Ta có AC = (3 − x0 )2 + (9 − x02 ) và d ( C ; ∆ ) =| 3 − x0 | 9 3 3 1 (3 − x0 )2 + ( 9 − x02 ) AC ⇔| 3 − x0 |= 2 9 2 3 1 2 2 2  ⇔ (3 − x0 ) = (3 − x0 ) + (9 − x0 )  4 9  3  x = (t / m) 1 3 3 ⇔ x02 − x0 + = 0 ⇔  0 2  3 2 2  x0 = 3( L )

+) △ ABC đều ⇔ d (C ;∆ ) =

3 3  a = 3 ⇒ A  ; − ⇒ a+c = 2. ⇒ 2  c = −1 2

71   22   = 1 hoặc ( C ) :  x −  +  y +  = 1 . 25   25  

Chọn A

y B C

Nhận xét: Điểm C (3;0) là đỉnh của elip ( E ) ⇒ điều kiện cần để △ ABC đều đó là A, B đối xứng Nhau qua Ox .Suy ra A, B là giao điểm của đường thẳng ∆ : x = x0 và elip ( E ) .