Chuyên đề Lượng giác (Lý thuyết + Bài tập vận dụng có giải) - Thầy Bảo Vương - FULLTEXT (188 trang) by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

DETHITHPT.COM TOÁN 11

350 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số y 

1  sin 2 x cos 3x  1

A. D 

 2  \k , k   3 

B. D 

   \k , k    6 

C. D 

   \k , k   3  

D. D 

   \k , k   2  

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số y 

1  cos 3 x 1  sin 4 x

A. D 

    \   k , k   2  4 

B. D 

 3   \  k , k  2  8 

C. D 

    \   k , k   8 2  

D. D 

    \   k , k   6 2  



Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số y  tan(2 x  ) 4 A. D 

 3 k  \  ,k   7 2  

B. D 

 3 k  \  ,k   8 2  

C. D 

 3 k  \  ,k   2  5 

D. D 

 3 k  \  ,k   2  4 

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

1  cot 2 x 1  sin 3x

A. D 

   n2  \k ,  ; k, n   3  3 6 

B. D 

  n2  \  k ,  ; k, n   6 3  

C. D 

  n2  \  k ,  ; k, n   6 5  

D. D 

  n2  \  k ,  ; k, n   5 3  

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

tan 2 x 3 sin 2 x  cos 2 x

A. D 

     \  k ,  k ; k   4 2 12 2  

B. D 

     \  k ,  k ; k   3 2 5 2  

C. D 

     \  k ,  k ; k   2 3 2 4 

D. D 

     \  k ,  k ; k   2 12 2 3 



Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan( x  ).cot( x  ) 4 3 A. D 

   \   k ,  k ; k   3 4 

B. D 

 3   \   k ,  k ; k   5  4 

C. D 

 3   \   k ,  k ; k   4 3  

D. D 

 3   \   k ,  k ; k   5 6  



Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan(2 x  ) 3 A. D 

   \  k , k   2 3 

B. D 

   \  k , k   2 4 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   \  k , k   12 2  

C. D 

   \  k , k   8 2  

D. D 

Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan 3x.cot 5x A. D 

  n  \  k , ; k, n   4 3 5  

B. D 

  n  \  k , ; k, n   5 3 5  

C. D 

  n  \  k , ; k, n   4 5 6 

D. D 

  n  \  k , ; k, n   3 5 6 

Bài 9. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f ( x)  sin x A. T0  2

B. T0  

C. T0 

 2

D. T0 

 4

Bài 10. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f ( x)  tan 2x, A. T0  2

B. T0 

 2

C. T0  

D. T0 

 4

Bài 11. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin 2x  sin x A. T  2

B. T0 

 2

C. T0  

D. T0 

 4

Bài 12. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  tan x.tan 3x A. T0 

 2

B. T  2

C. T0 

 4

D. T  

Bài 13. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin 3x  2 cos 2x A. T  2

B. T0 

 2

C. T0  

D. T0 

Bài 14. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin x A. Hàm số không tuần hoàn

B. T0 

C. T0  

D. T0 

 2

 4

Bài 15 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin x  3 A. max y  5 , min y  1

B. max y  5 , min y  2 5

C. max y  5 , min y  2

D. max y  5 , min y  3

Bài 16. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  2 cos2 x  1 A. max y  1 , min y  1  3

B. max y  3 , min y  1  3

C. max y  2 , min y  1  3

D. max y  0 , min y  1  3

  Bài 17. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  1  3 sin  2 x   4  A. min y  2 , max y  4

B. min y  2 , max y  4

C. min y  2 , max y  3

D. min y  1 , max y  4

Bài 18. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  3  2 cos 2 3x A. min y  1 , max y  2

B. min y  1 , max y  3

C. min y  2 , max y  3

D. min y  1 , max y  3

 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 19. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 

4 1  2 sin 2 x

A. min y 

4 , max y  4 3

B. min y 

4 , max y  3 3

C. min y 

4 , max y  2 3

D. min y 

1 , max y  4 2

Bài 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin 2 x  cos 2 2 x A. max y  4 , min y 

3 4

B. max y  3 , min y  2 D. max y  3 , min y 

C. max y  4 , min y  2

3 4

Bài 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3sin x  4 cos x  1 A. max y  6 , min y  2

B. max y  4 , min y  4

C. max y  6 , min y  4

D. max y  6 , min y  1

Bài 22. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  3sin x  4 cos x  1 A. min y  6; max y  4

B. min y  6; max y  5

C. min y  3; max y  4

D. min y  6; max y  6

Bài 23. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  2 sin 2 x  3 sin 2 x  4 cos 2 x A. min y  3 2  1; max y  3 2  1

B. min y  3 2  1; max y  3 2  1

C. min y  3 2; max y  3 2  1

D. min y  3 2  2; max y  3 2  1

Bài 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  sin 2 x  3sin 2 x  3cos 2 x A. max y  2  10; min y  2  10

B. max y  2  5; min y  2  5

C. max y  2  2; min y  2  2

D. max y  2  7 ; min y  2  7

Bài 25. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  2 sin 3x  1 A. min y  2,max y  3

B. min y  1,max y  2

C. min y  1,max y  3

D. min y  3,max y  3

Bài 26. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  3  4 cos 2 2 x A. min y  1,max y  4

B. min y  1,max y  7

C. min y  1,max y  3

D. min y  2,max y  7

Bài 27. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  1  2 4  cos 3x A. min y  1  2 3, max y  1  2 5

B. min y  2 3,max y  2 5

C. min y  1  2 3, max y  1  2 5

D. min y  1  2 3, max y  1  2 5

Bài 28. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  4sin 6x  3cos6x A. min y  5,max y  5

B. min y  4,max y  4

C. min y  3,max y  5

D. min y  6,max y  6

Bài 29. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  A. min y 

3 1 3

, max y 

3 1 2

B. min y 

3 1  2  sin 2 x 3

1 3

, max y 

4 1 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. min y 

2 1 3

, max y 

D. min y 

1 2

3 1 3

, max y 

3 1 2



Bài 30. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  2 cos(3x  )  3 3 A. min y  2 , max y  5

B. min y  1 , max y  4

C. min y  1 , max y  5

D. min y  1 , max y  3

Bài 31. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  3  2 sin 2 2 x  4 A. min y  6 , max y  4  3

B. min y  5 , max y  4  2 3

C. min y  5 , max y  4  3 3

D. min y  5 , max y  4  3

Bài 32. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  sin x  2  sin 2 x A. min y  0 , max y  3

B. min y  0 , max y  4

C. min y  0 , max y  6

D. min y  0 , max y  2

Bài 33. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan 2 x  4 tan x  1 A. min y  2

B. min y  3

C. min y  4

D. min y  1

Bài 34. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan 2 x  cot 2 x  3(tan x  cot x)  1 A. min y  5

B. min y  3

C. min y  2

D. min y  4

Bài 35. Tìm m để hàm số y  5sin 4 x  6 cos 4 x  2m  1 xác định với mọi x . A. m  1

B. m 

61  1 2

C. m 

61  1 2

D. m 

61  1 2

Bài 36. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  2  3sin 3x A. min y  2; max y  5

B. min y  1; max y  4

C. min y  1; max y  5

D. min y  5; max y  5

Bài 37. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  1  4 sin 2 2 x A. min y  2; max y  1

B. min y  3; max y  5

C. min y  5; max y  1

D. min y  3; max y  1

Bài 38 . Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  1  3  2 sin x A. min y  2; max y  1  5

B. min y  2; max y  5

C. min y  2; max y  1  5

D. min y  2; max y  4

Bài 39. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3  2 2  sin 2 4 x A. min y  3  2 2; max y  3  2 3

B. min y  2  2 2; max y  3  2 3

C. min y  3  2 2; max y  3  2 3

D. min y  3  2 2; max y  3  3 3

Bài 40. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  4sin 3x  3cos 3x  1 A. min y  3; max y  6

B. min y  4; max y  6

C. min y  4; max y  4

D. min y  2; max y  6

Bài 41. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  3 cos x  sin x  4 A. min y  2; max y  4

B. min y  2; max y  6

C. min y  4; max y  6

D. min y  2; max y  8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 42. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  A. min y   C. min y 

2 ; max y  2 11

2 ; max y  4 11

sin 2 x  2 cos 2 x  3 2 sin 2 x  cos 2 x  4

B. min y 

2 ; max y  3 11

D. min y 

2 ; max y  2 11

Bài 43. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 

2 sin 2 3 x  4 sin 3 x cos 3 x  1 sin 6 x  4 cos 6 x  10

A. min y 

11  9 7 11  9 7 ; max y  83 83

B. min y 

22  9 7 22  9 7 ; max y  11 11

C. min y 

33  9 7 33  9 7 ; max y  83 83

D. min y 

22  9 7 22  9 7 ; max y  83 83

Bài 44. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  3cos x  sin x  2 A. min y  2  5; max y  2  5

B. min y  2  7 ; max y  2  7

C. min y  2  3; max y  2  3

D. min y  2  10; max y  2  10

Bài 45. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 

sin 2 2 x  3 sin 4 x 2 cos 2 2 x  sin 4 x  2

A. min y 

5  2 22 5  2 22 , max y  4 4

B. min y 

5  2 22 5  2 22 , max y  14 14

C. min y 

5  2 22 5  2 22 , max y  8 8

D. min y 

7  2 22 7  2 22 , max y  7 7

Bài 46. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y  3(3sin x  4 cos x)2  4(3sin x  4 cos x)  1 A. min y 

1 ; max y  96 3

1 B. min y  ; max y  6 3

1 C. min y   ; max y  96 3

D. min y  2; max y  6

Bài 47. Tìm m để các bất phương trình (3sin x  4 cos x)2  6 sin x  8 cos x  2 m  1 đúng với mọi x  A. m  0

B. m  0

C. m  0

Bài 48. Tìm m để các bất phương trình A. m 

65 4

B. m 

3sin 2 x  cos 2 x  m  1 đúng với mọi x  sin 2 x  4 cos2 x  1

65  9 4

Bài 49. Tìm m để các bất phương trình

D. m  1

C. m 

65  9 2

D. m 

65  9 4

4 sin 2 x  cos 2 x  17  2 đúng với mọi x  3cos 2 x  sin 2 x  m  1

10  3  m 

15  29 2

10  1  m 

15  29 2

10  1  m 

15  29 2

10  1  m  10  1

  sin 4 x cos4 y Bài 50. Cho x , y   0;  thỏa cos 2 x  cos 2 y  2sin( x  y)  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  .  y x  2 A. min P 



B. min P 



C. min P 

2 3

D. min P 



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 51.. Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  A. k  2 C.

k sin x  1 lớn hơn 1 . cos x  2

B. k  2 3

C. k  3

D. k  2 2

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1. Theo định nghĩa trong sách giáo khoa, A. hàm số lượng giác có tập xác định là

B. hàm số y  tan x có tập xác định là

C. hàm số y  cot x có tập xác định là

D. hàm số y  sin x có tập xác định là

Câu 2. Xét trên tập xác định thì A. hàm số lượng giác có tập giá trị là   1;1 . B. hàm số y  cos x có tập giá trị là   1;1 . C. hàm số y  tan x có tập giá trị là   1;1 . D. hàm số y  cot x có tập giá trị là   1;1 . Câu 3. Xét trên tập xác định thì A. hàm số y  sin x là hàm số chẵn. B. hàm số y  cos x là hàm số chẵn. C. hàm số y  tan x là hàm số chẵn. D. hàm số y  cot x là hàm số chẵn. Câu 4. Cho biết khẳng định nào sau đây là sai? A. hàm số y  cos x là hàm số lẻ. B. hàm số y  sin x là hàm số lẻ. C. hàm số y  tan x là hàm số lẻ. D. hàm số y  cot x là hàm số lẻ. Câu 5. Cho hàm số lượng giác nào sau đây có đồ thị đối xứng nhau qua Oy ? A. y  sin x .

B. y  cos x .

C. y  tan x .

D. y  cot x .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. hàm số y  cos x tại duy nhất một điểm. D. hàm số y  cot x tại duy nhất một điểm. Câu 8. Xét trên tập xác định thì A. hàm số lượng giác luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. B. hàm số y  sin x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. C. hàm số y  tan x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. D. hàm số y  cot x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Câu 9. Trên khoảng (4 ; 3 ) , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dương? A. y  sin x .

B. y  cos x .

 7 5 ; Câu 10 .Trên khoảng   2  2 A. y  sin x .

C. y  tan x .

D. y  cot x .

  , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị âm? 

B. y  cos x .

C. y  tan x .

D. y  cot x .

Câu 11. Các hàm số y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  cot x nhận giá trị cùng dấu trên khoảng nào sau đây?

 3  A.  2 ;  . 2  

 3  ;   . B.    2 

  C.   ;   . 2 

   D.   ; 0  .  2 

Câu 12. Hàm số y  5  3sin x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? A.   1;1 .

B.   3; 3 .

C.  5; 8  .

D.  2; 8  .

Câu 13. Hàm số y  5  4cos x  3sin x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? A. 1;1 .

B. 5; 5 .

C. 0;10  .

D.  2; 9  .

Câu 14. Trên tập xác định, hàm số y  tan x  cot x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? A.  ;   .

B.  ; 2  .

C. 2;   .

D.  ; 2   2;   .

Câu 15. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = sinx

B. y = x+1

C. y = x2

y

x 1 x2

Câu 16. Hàm số y = sinx:

   k 2 ;   k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng   k 2 ; k 2  với 2 

A. Đồng biến trên mỗi khoảng  kZ

5  3   k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng 2  2 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng  

       k 2 ;  k 2  với k  Z 2  2  3    k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 2 

C. Đồng biến trên mỗi khoảng 

       k 2 ;  k 2  với k  Z 2  2 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

     k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng 2  2 

D. Đồng biến trên mỗi khoảng  

3    k 2  với k  Z   k 2 ; 2 2  Câu 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = sinx –x

B. y = cosx

x2  1 x

D. y 

C. y = x.sinx

Câu 18. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = x.cosx

B. y = x.tanx

C. y = tanx

1 x

y

Câu 19. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y =

sin x x

B. y = tanx + x

C. y = x2+1

D. y = cotx

Câu 20. Hàm số y = cosx:

   k 2 ;   k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng   k 2 ; k 2  với 2 

A. Đồng biến trên mỗi khoảng  kZ

B. Đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2  với k  Z C.

Đồng

biến

trên

mỗi

khoảng

3    k 2    k 2 ; 2 2 

và

nghịch

biến

trên

mỗi

khoảng

       k 2 ;  k 2  với k  Z 2  2  D. Đồng biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;3  k 2  với k  Z Câu 21. Chu kỳ của hàm số y = sinx là: A.

k 2 k  Z

 2



x



x

k , k  Z

2

x

2

x  k



Câu 22. Tập xác định của hàm số y = tan2x là: A.

x

 2

 k

x

 4

 k

 8

k

 2

 4

k

Câu 23. Chu kỳ của hàm số y = cosx là: A.

k 2 k  Z

2 3

Câu 24. Tập xác định của hàm số y = cotx là: A.

x

 2

 k

x

 4

 k

 8

k

 2

Câu 25. Chu kỳ của hàm số y = tanx là: A.

2

 4

 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 26. Chu kỳ của hàm số y = cotx là: A.

2

 2



k k  Z

Câu 27. Tập xác định của hàm số y  sinx 1 là: A. D  

  C. D    k 2 , k   2  

B. D 

Câu 28. Tập xác định của hàm số y 

  D. D    2

1 là: sinx cosx

A. D 

  \  4

   B. D   x  | x  k , k   2  

C. D 

   D. D   x  | x   k  , k   4  

Câu 29. Tập xác định của hàm số y 

2 là: 1  cos x

A. D  C. D 

\ 

B. D  x  | x    k 2 , k 



D. D  x  | x    k , k 



  Câu 30. Tập xác định của hàm số y  tan  x   là: 4  A. D 

  \    4

   B. D   x  | x    k , k   4  

C. D 

  \  4

   D. D   x  | x   k , k   4  

    Câu 31. Tập xác định của hàm số y  cos  cot  x    là: 6     2   k , k   A. D   x  | x  3  

 2   k 2 , k   B. D   x  | x  3  

   C. D   x  | x   k 2 , k   6  

   D. D   x  | x   k , k   6  

Câu 32. Tập xác định của hàm số y 

1 là: sin 4 x  cos 4 x

   A. D   x  | x   k 2 , k   4  

  1  B. D   x  | x   k  , k   4 2  

   C. D   x  | x   k , k   4  

 1  D. D   x  | x  k  , k   4  

Câu 33. Tập xác định của hàm số y  3 sin 2 x  tanx là:

   A. D   x  | x   k , k   2  

   B. D   x  | x  k , k   2  

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   C. D   x  | x   k 2 , k   2  

D. D  x  | x  k , k 

Câu 34. Tập xác định của hàm số y 

1  cos 4 x



là:

 1  A. D   x  | x  k  , k   4  

   B. D   x  | x   k  , k   4  

   C. D   x  | x  k , k   2  

    D. D   x  | x   k , k   4 2  

Câu 35. Tập xác định của hàm số y  tanx  3 là:

    A. D   x  |  k   x   k  , k   3 2  

   B. D   x  |  k   x, k   3  

   C. D   x  |k   x   k  , k   3  

    D. D   x  |  k   x   k  , k   3 2  

Bài 36. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào chẵn? A. y  sin 3 tanx

B. y  sinx tanx

C. y  cos x  x sinx

D. y 

tanx 2  cos x

  Bài 37. y  3 cos  2x   là hàm số tuần hoàn với chu kì: 6  A. T  2

B. T 

 2

C. T 

3 2

D. T  

Bài 38. y  tan 5x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T  

B. T 

2 5

C. T 

 5

D. T  2

Bài 39. y  tan 2 x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T   2

B. T  



C. T  

D. T 

C. T  

D. T   2

C. T  3

D. T 

2 3

C. T  2

D. T 

2 3

C. T  3

D. T  2

  Bài 40. y  sin 2  2 x   là hàm số tuần hoàn với chu kì: 4  A. T 



B. T  2

Bài 41. y  cos 3x  sin 3x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T  2

B. T 

 3

Bài 42. y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì: 3

A. T  

B. T   3

Bài 43. y  sin 3 x  cos 3 x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T 

 3

B. T   3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 44. y  cos4 x  sin 4 x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T 



B. T  4 

C. T 



D. T  2

Bài 45. y  cos 2x  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì: B. T  2

A. T   Bài 46. y 

C. T  

D. T  2

C. T  2

D. T 

sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì: 1  cos x

A. T  

B. T 



 2

   Bài 47. GTLN và GTNN của hàm số y  cos x trên   ;  là:  4 3 A. 1 và

1 2

3 1 và 2 2

2 1 và 2 2

D. 0 và

1 2

   Bài 48. GTLN và GTNN của hàm số y  sin 2x trên   ;  là:  6 3 A.

3 1 và 2 2

3 3 và  2 2

3 1 và  2 2

1 1 và  2 2

3 và 1

   Bài 49. GTLN và GTNN của hàm số y  3 tanx trên   ;  là:  3 4 A.

3 3

3 và 

3 và

3 3

3 và 3

Bài 50. GTLN và GTNN của hàm số y  sinx cos 2 x trên 2 2

A. 0 và

B. 4  2 và

là:

Bài 51. GTLN và GTNN của hàm số y  cos2 x  sin x  1 trên B. 1 và 1

A. 3 và 1

là:

9 và 0 4

Bài 52. GTLN và GTNN của hàm số y  cos4 x  sin 4 x trên A. 2 và 0

B. 1 và

1 2

Bài 53. GTLN và GTNN của hàm số y 

1 3

và

1 3 1

3 và

Bài 54. GTLN và GTNN của hàm số y 

1 2 1

và

1 2 1

1 2

và

D. 4 và 2

C. 2 và 0

1 3  sin 2 x 1

trên

9 và 2 4

là: 2 và 0

2 và 1

là:

3 1

1 3

và

1 1 3 2

1 3

và

1 3

3 4

  2  trên  ;  là: 2  cos x 4 3  1

1 2

C. 2 2

1 2

và

1 2

D. 3 2

2 và

2 2 2 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

10B

11A

12D

13C

14D

15A

16D

17B

18C

19D

20B

21A

22D

23A

24D

25D

26C

27C

28d

29B

30D

31D

32B

33A

34D

35D

36C

37d

38c

39c

40a

41d

42C

43D

44C

45D

46C

47C

48B

49C

50C

51D

52B

53A

54D

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC   1 Bài 1. Giải phương trình sin  2 x     3 2 

   x   4  k A.  , k  x  5  k  12

   x  4  k B.  ,k  x  5  k  12





Bài 2. Giải phương trình cos 3 x  150 

   x  4  k C.  ,k  x    k  12

   x   4  k 2 D.  ,k x    k   12 2

3 2

 x  250  k.1200 A.  , k 0 0  x  15  k.120

 x  50  k.1200 B.  ,k 0 0  x  15  k.120

 x  250  k.1200 C.  . k 0 0  x  15  k.120

 x  50  k.1200 D.  , k 0 0  x  15  k.120

1 1 Bài 3. Giải phương trình sin(4 x  )  2 3  1  x   8  k 2 A.  , k x    k   4 2

 1 1 1   x   8  4 arcsin 3  k 2 B.  , k  x    1  1 arcsin 1  k   4 8 4 3 2

 1 1 1   x  8  4 arcsin 3  k 2 C.  , k  x    1  1 arcsin 1  k   4 8 4 3 2

 1 1 1   x   8  4 arcsin 3  k 2 D.  , k  x    1 arcsin 1  k   4 4 3 2

Bài 4. Giải phương trình sin(2x  1)  cos(2  x)    x  2  2  k 2 A.  , k  x    1  k 2  6 3 3

   x  2  3  k 2 B.  ,k  x    1  k 2  6 3 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   x  2  3  k 2 C.  , k  x    1  k 2  6 3 3

   x  2  k 2 D.  , k  x    1  k 2  6 3 3

Bài 5. Giải phương trình 2 cos x  2  0 A. x   C. x  

 6

 3

 k 2 , ( k  ) B. x  

 5

 k 2 , ( k  ) D. x  

Bài 6. Giải phương trình

2 cot

 4

 k 2 , ( k  )  k 2 , ( k  )

2x  3 3

A. x 

5 3 3 arc cot  k ( k  ) 2 2 2

B. x 

3 5 3 arc cot  k ( k  ) 2 2 2

C. x 

3 3 3 arc cot  k ( k  ) 2 7 2

D. x 

3 3 3 arc cot  k ( k  ) 2 2 2



Bài 7. Giải phương trình tan(4 x  )   3 3 A. x 

C. x 

 2

 3



 k , k 

B. x 

 k , k 

D. x  k

Bài 8. Giải phương trình cot(4 x  20 0 ) 

k

 3

,k 

1 3

A. x  300  k.450 , k 

B. x  200  k.900 , k 

C. x  350  k.900 , k 

D. x  200  k.450 , k 

Bài 9. Giải phương trình sin 2 x  2 cos 2 x  0

1 k A. x  arctan 2  , k 3 2 C. x 

1 k B. x  arctan 2  , k 3 3

1 k arctan 2  , k 2 3

1 k arctan 2  , k 2 2

D. x 

Bài 10. Giải phương trình tan 2 x  tan x A. x 

1  k , k  2

Bài 11. Giải phương trình A. x 

 6

k

 2

(k  )

B. x  k

 2

, k

C. x 

 3

 k , k 

3 tan 2 x  3  0 B. x 

 3

 k

(k  )

D. x  k , k 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. x 

 6

 k

D. x 

(k  )

 2

k

 2

(k  )

Bài 12. Giải phương trình cos2 x  sin 2x  0

   x  2  k A.   x  arctan 1  k  3    x  2  k C.   x  arctan 1  k  5

k  

   x  2  k B.   x  arctan 1  k  4

k  

   x  2  k D.   x  arctan 1  k  2

k  

Bài 13. Giải phương trình sin(2x  1)  cos(3x  1)  0

   x  2  2  k 2 A.  k   x    k 2  10 5    x  2  3  k 2 C.  k   x     k 2  10 5



   x  2  2  k 2 B.  k   x     k 2  10 5



   x  2  6  k 2 D.  k   x    k 2  10 5





Bài 14. Giải phương trình sin(4 x  )  sin(2 x  )  0 4 3

 7 k  x  72  3 A.  k   x    k  24  7 k  x  72  3 C.  k   x  11  k  4



 7 k  x  72  3 B.  k   x  11  2 k  24



 7 k  x  72  3 D.  k   x  11  k  24



Bài 15. Giải phương trình cos7 x  sin(2 x  )  0 5

  k 2  x  50  5 A.  k   x     k  30 7  x  C.  x  



k 2 5 k   k  30 7 50



 3 k 2  x   50  5  B.  k   x     k 2  30 7



 3 k 2  x  50  5 D.  k   x     k 2  30 7





Bài 16. Giải phương trình sin 2 2 x  cos 2 ( x  ) 4



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   x  4  k A.  k   x    k  2 3



   x  4  2 k B.  k   x     k  12 3



   x   4  k C.  k   x     k  12 3



   x  4  k D.  k   x     k  12 3

Bài 17. Giải phương trình sin2 x  cos2 4x  1

 x  A.  x  

k 13 k   k 5

 x  B.  x  



k 23 k   k 25

 x  C.  x  



k 3 k  k 5

 x  D.  x  



k 3 k  k 35



Bài 18. Giải phương trình sin 2 x  3 sin 4 x  0

 k x  2 A.  k   x   1 arccos   1   k    3  6   k x  2 C.  k   x   7 arccos   1   k    2  6 



 k x  2 B.  k   x   5 arccos   1   k    2  6 



 k x  2 D.  k   x   1 arccos   1   k    2  6 



 k x  4 B.  k   x   1 arccos   3   k    3  5 2 



 k x  4 D.  k   x   1 arccos   3   k    4  5 2 



Bài 19. Giải phương trình 6 sin 4 x  5 sin 8 x  0

 x  A.  x   

k 4 k  1  3  k arccos     4  5 2



 k x  1  4 C.  k   x   1 arccos   3   k    4  5 2  Bài 20. Giải phương trình A. x 

 4

 k ,  k 



cos 2 x 0 1  sin 2 x B. x 

3  k ,  k  14

3  2 k ,  k  4



C. x 



   x  4  k C.   k  3m , k   x  k  3

D. x 

3  k ,  k  4

Bài 21. Giải phương trình cot 2 x.sin 3x  0    x  4  k 2 A.  k   x  2 k  3



   x  4  k 2   k  3m , k   x  k  3



   x  3  k 2 B.  k   x  2 k  3



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 22. Giải phương trình tan 3x  tan 4 x A. x 

 2

 m  m 



B. x  2  m  m 

C. x  2m  m 



D. x  m  m 



Bài 23. Giải phương trình cot 5x.cot 8 x  1 A. x  C. x 

 26



m , m  13n  5,  m, n  13



B. x 



m , m  13n  7,  m, n  13



D. x 

Bài 24. Số nghiệm của phương trình A. 4



A. Có 1 nghiệm

 26



m , m  13n  6,  m, n  15





m , m  13n  6,  m, n  13



4  x 2 sin 2 x  0

B. 3

Bài 25. Cho phương trình



C. 2

D. 5



1  x  1  x cos x  0 kết luận nào sau đây về phương trình là đúng? B. Có 2 nghiệm

C. Có vô số nghiệm

D. Vô nghiệm



Bài 26. Giải phương trình tan 2 x  cot 2 x  1  cos2 (3x  ) 4 A. x 

 4

 2 k

B. x 

Bài 27. Giải phương trình cos( A. x 

 2

 k ,  k 



 4

k



C. x 

 4

k



D. x 

 4

 k

2 2 sin x  )  1 3 3

B. x 

 2

k

2 ,k  3



C. x 

 2

 k 2 ,  k 

 D.

x

 3

 k 2 ,  k 



  Bài 28. Giải phương trình cot   cos x  1   1 4  A. x 

 2

 2 k ,  k 



B. x 

 2

k

 2

,k 



Bài 29. Giải phương trình

3 sin 2 x  cos 2 x  1  0

 x  k A.  k  x    k   3

 x  k B.  k  x  2  2 k   3



C. x 



 2

k

 3

,k 



 x  2 k C.  k  x  2  2 k   3

D. x 



 5 k  x  48  4 B.  k   x   5  2 k  12

 k ,  k 

 x  k D.  k  x  2  k   3



Bài 30. Giải phương trình sin 3 x  3 cos 3 x  2 cos 5 x

 5 k  x  48  5 A.  k   x   5  k  12





http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 5 k  x  48  4 C.  k   x   5  k   12 2

 5 k  x  48  4 D.  k   x   5  k  12



Bài 31. Cho phương trình sin x(sin x  2cos x)  2 khẳng định nào sao đây là đúng? A. Có 1 nghiệm

B. Vô nghiệm

D. Có 2 họ nghiệm

3(sin 2 x  cos7 x)  sin 7 x  cos 2 x

Bài 32. Giải phương trình

  2  x   10  k 5 A.  k   x  7  k 2  54 9     x  10  k 5 C.  k   x  7  k   54 9

C. Có 4 nghiệm

  3  x  10  k 5 B.  k   x  7  k   54 3



  2  x  10  k 5 D.  k   x  7  k 2  54 9







Bài 33. Giải phương trình 4 sin 4 x  cos 4 x  3 sin 4 x  2

  k x  4  7 A.  k   x     k  12 7   k x  4  3 C.  k   x     k  12 3 Bài 34. Giải phương trình

A. x  C. x 

 3

C. x  



  k x  4  2 D.  k   x     k  12 2



1  cos x  cos 2 x  cos 3x 2  (3  3 sin x) 3 2 cos2 x  cos x  1

 k , x  k 2 ,  k   k 3 , x  k 3 ,  k 

Bài 35. Giải phương trình

A. x  



  k x  4  5 B.  k   x     k  12 5



B. x 





 k 2 , x  k 2 ,  k 

 3

 k , x  k 3 ,  k 

 

cos x  2 sin x.cos x  3 2 cos2 x  sin x  1

5 k  ,k 18 3



D. x 



B. x  

k 4 ,k  3

 18

D. x  



k 2 ,k 3

5 k 5  ,k 18 3

Bài 36. Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2  sin x  cos x  cos x  3  cos 2 x A. Có 1 họ nghiệm

B. Có 2 họ nghiệm

C. Vô nghiệm

D. Có 1 nghiệm duy nhất

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 37. Giải phương trình 3cos 4x  sin2 2x  cos 2x  2  0 A. x  B. x  C. x  D. x 



6  k 2 ( k  ) hoặc x   arccos  k 2  k  7



k



 2

6 ( k  ) hoặc x   arccos  k 2  k  7

6  k ( k  ) hoặc x   arccos  k  k  7

.

6  k ( k  ) hoặc x   arccos  k 2  k  2 7



B. x  



C. x  



 4

k

 2

 3

 k   hoặc

x  arc cot(2)  k

 k   hoặc

x  arc cot(2)  k

 k  k 

 hoặc 

 2

 3

k  

x  arc cot(2)  k  k 

hoặc x  arc cot(2)  k  k 

   x  4  k 2 B.  k   x    k 2  6



Bài 40. Giải phương trình cos 2 x  3cos x  4 cos 2

x 2



A. x  

2  k  k  3

C. x  

2  k 4  k  3



3 tan x  cot x  3  1  0

Bài 39. Giải phương trình    x  4  k A.  k  x    k   6 2

.

1  3cot x  1  0 sin 2 x

Bài 38. Giải phương trình

D. x 

.



A. x  

.



   x  4  k 3 C.  k   x    k 3  6

B. x  



2 2  k  k  3 3

Bài 41. Giải phương trình 1  sin x 1  cos x   2

  x   k 2 A.  , k 2  x  k  

  x   k B.  , k 4  x  k  

  x   k 2 C.   , k 2  x  k 2  

  x   k 2 D.  , k 3  x  k 2  

   x  4  k D.  k   x    k  6



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 42. Giải phương trình sin 2x  4  sin x  cos x   4

  x   k A.  k  2   x    k

  2 x  2  k 3  B.  k  x    k 2   3



 4

 k ,  k 



  x   k 2 D.  k  2   x    k 2

2  k  ,k  4 3



D. x 



B. x 



1  k  ,k  4 2



  x   k 3 B.  k  2   x    k 3



  x   k 2 D.  k  2  x     k 2  



C. x 



 4

 k 2 ,  k 

Bài 44. Giải phương trình cos3 x  sin3 x  1 .

  x   k A.  k  2   x    k



  x   k7 C.  k  2  x     k 7  



Bài 45. Giải phương trình 2sin2 x  5sin x  3  0 A. x   C. x  

 2

 k  k 



 k 3  k 

B. x  





D. x  

Bài làm. Phương trình sin x  1  x   Bài 46. Giải phương trình 2 cos2 2 x  2 1 3 1   k k  A. x   arccos 2 2 2

1 3 1  k  k  C. x   arccos 2 2

Bài 47. Giải phương trình



 2

1  k  k  2 2







 k 2  k 

 k 2



3  1 cos 2 x  3  0



1 3 1  3 k  k  B. x   arccos 2 2



1 3 1  2 k  k  D. x   arccos 2 2



2 tan x  5. 1  tan 2 x

A. x  arctan

1  26  2 k ,  k  5



B. x  arctan

1  26 1  k ,  k  5 2

C. x  arctan

1  26  3 k ,  k  5



D. x  arctan

1  26  k ,  k  5



Bài 48. Giải phương trình cos 2 x  5 sin x  3  0 . A. x  

 6

 k , x 



2  sin x  cos x   tan x  cot x

Bài 43. Giải phương trình A. x 



  1 x  2  k 2  C.  k  x    k 1   2

7  k  k  6



B. x  

 6

 k 3 , x 

7  k 3  k  6



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. x  

 6

 k 4 , x 

7  k 4  k  6



D. x  

 6

 k 2 , x 

7  k 2  k  6



Bài 49. Giải phương trình 5 1  cos x   2  sin4 x  cos4 x . A. x  

2  k ,  k  3

C. x  

2  k 2 ,  k  3



B. x  

2 1  k  ,k  3 2



D. x  

 3

 k 2 ,  k 



 5   7  Bài 50. Giải phương trình sin  2 x    3cos  x    1  2 sin x . 2  2    A. x  k , x 

 6

C. x  k 2 , x 

 k , x 

 6

5  k 6

 k , x 

5  k 6

B. x  k 2 , x  D. x  k , x 

 6

 k 2 , x 

5  k 2 6

Bài 51. Giải phương trình 7 cos x  4cos3 x  4sin 2x

   x  2  k 2 A.   x    k 2 , x  5  k 2  6 6

   x  2  k 2 B.   x    k , x  5  k  6 6

   x  2  k C.   x    k , x  5  k  6 6

   x  2  k D.   x    k 2 , x  5  k 2  6 6

Bài 52. Giải phương trình cos 4x  cos2 3x

 x  k 2 A.   x     k 3  12 2

 x  k B.   x     k 3  12 2

 x  k 2 C.   x     k  12 2

Bài 53. Giải phương trình 2cos2 x  6sin x cos x  6sin2 x  1

   x   4  k 2 A.   x  arctan   1   k 2     5 

   x   4  k 2 B.   x  arctan   1   k     5 

   x   4  k C.   x  arctan   1   k 1     2  5 

   x   4  k D.   x  arctan   1   k     5 

Bài 54. Giải phương trình cos 2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x

 x  k D.   x     k  12 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  x   k 2 B.  3   x  k 2

  x   k A.  3   x  k

   x  3  k C.  x  k 1   2

  x   k 2 D.  3   x  k

Bài 55. Giải phương trình cos2 x  sin x cos x  2sin2 x  1  0 là:

 1 A. x  k 2 , x  arctan     k 2  3

1  1 1 B. x  k  , x  arctan     k  3 3 3  

1  1 1 C. x  k  , x  arctan     k  2 2  3

 1 D. x  k , x  arctan     k  3

Bài 57. Giải phương trình cos 2 x  3 sin x cos x  1  0 là: A. x  k 2 , x 

 3

1  1 B. x  k  , x   k  2 3 2

 k 2

1  1 C. x  k  , x   k  3 3 3

D. x  k , x 

 3

 k

Bài 58. Cho phương trình 2 2  sin x  cos x  cos x  3  2 cos 2 x , Khẳng định nào sau đây đúng? A. Có 1 nghiệm

B. Có 2 họ nghiệm

C. Vô nghiệm

D. Vô số nghiệm

Bài 59. Giải phương trình tan x  cot x  2  sin 2x  cos 2x  là:

   x  4  k A.   x    k  8

   x  4  k 2 B.   x    k 2  8

  3 x  4  k 2 C.   x    k 3  8 2

   x  4  k 2 D.  x    k   8 2

Bài 60. Giải phương trình 2cos3 x  sin 3x

 1  x  arctan( 2)  k 2  x  arctan( 2)  k 2  A.  B.   x    k 2 x    k 1   4  4 2  1  x  arctan( 2)  k 3  C.  x    k 1   4 3

 x  arctan( 2)  k D.   x    k  4

Bài 61. Giải phương trình 4sin3 x  3cos3 x  3sin x  sin2 x cos x  0

   x   3  k 2 A.   x    k 2  4 Bài 62 . Giải phương trình

  1 x   3  k 2  B.  x    k 1   4 2 3 sin 2 x  cos 2 x  2 là:

  1 x   3  k 3  C.  x    k 1   4 3

   x   3  k D.   x    k  4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 7  x  24  k 2 B.   x    k 2  24

 7  x  24  k A.   x    k  24

Bài 63. Giải phương trình 4 sin x  3cos x 

 7 1  x  24  k 2  C.  x    k 1   24 2

 7  x  24  k D.   x    k  24

6  6 là: 4 sin x  3cos x  1

  3  x  arctan     k  4 A.     x     k 2  2

  3  x  arctan     k 2  4 B.     x     k 2  2

  3 1  x  arctan     k  4 2   C.    1 x     k   2 2

  3  x  arctan     k 2  4 D.     x     k  2

Bài 64. Giải phương trình

A. x  

 18

k



cos x  2 sin x.cos x  3 2 cos2 x  sin x  1 B. x  

 18



k

4 3

C. x  

 18

k

5 3

D. x  

 18

k

2 3



Bài 65. Giải phương trình 4 sin 4 x  cos 4 x  3 sin 4 x  2

  k 3 x  4  2 A.   x     k 3  12 2

  k 5 x  4  2 B.   x     k 5  12 2

  k7 x  4  2 C.   x     k7  12 2

  k x  4  2 D.   x     k  12 2

Bài 66. Giải phương trình 2 sin 2x   sin x  cos x   1  0 A. x  k , x 

 2

 k hoặc x 

 4

 1   arccos     k  2 2

  1  1 1  1 B. x  k  , x   k  hoặc x   arccos   k  3 2 3 4 3  2 2  2  2  1  2 C. x  k  , x   k  hoặc x   arccos   k  3 2 3 4 3  2 2 D. x  k 2 , x 

 2

 k 2 hoặc x 

 4

 1   arccos     k 2  2 2

Bài 67. Giải phương trình sin 2x  12  sin x  cos x   12  0 A. x 

C. x 

 2

 k , x    k 2

B. x 

1 2  k  , x    k  3 3

D. x 



2  k 2 , x    k  2 3

 2

 k 2 , x    k 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  Bài 68. Giải phương trình sin 2 x  2 sin  x    1 4  A. x  C. x 

 4

 k , x 

 2

 k , x    k 2

B. x 

2  2  k  , x   k  , x    k 2 3 2 3

D. x 



1  1 1  k  ,x   k  ,x    k  4 2 2 2 2



 k , x 

 k 2 , x    k 2

Bài 69. Giải phương trình 1  tan x  2 2 sin x A. x 

C. x 

 4

 k , x 

11 5  k , x    k 12 12

 k 2 , x 

B. x 

11 1 5  k  ,x    k 2 12 4 12

D. x 



2 11 2 5 2  k  ,x   k  ,x   k  3 12 3 12 3



 k 2 , x 

11 5  k 2 x  , x    k 2 12 12

Bài 70. Giải phương trình cos x  sin x  2 sin 2x  1 A. x 

k 3 2

B. x 

k 5 2

C. x 

k7 2

D. x 

k 2

Bài 71. Giải phương trình cos3 x  sin3 x  cos 2x A. x  

C. x  

 4

 k 2 , x  

 2

 k , x  k

B. x  



1  2  k  , x    k  , x  k 2 4 3 2 3



D. x  

 4

2   k  , x    k , x  k 3 2  k , x  

 2

 k 2 , x  k 2

Bài 72. Giải phương trình cos3 x  sin3 x  2sin 2x  sin x  cos x A. x 

k 3 2

B. x 

Bài 73. Giải phương trình cosx 

A. x 

C. x 

 4

 arccos

2  19 3 2 2  19 2

k 5 2

C. x  k

D. x 

k 2

1 1 10  sinx   cos x sin x 3

 k 2

B. x 

 k

D. x 

 4

 arccos

2  19 2 2  19 3 2

 k 2

Bài 74. Giải phương trình sin2 x  tan x  1  3sin x  cos x  sin x   3

   x   4  k 2 A.   x     k 2  3

  1 x   4  k 2  B.  x     k 1   3 2



  2 x   4  k 3  C.  x     k 2   3 3

Bài 75. Giải phương trình cos 3 x  sin 3 x  2 cos 5 x  sin 5 x



   x   4  k D.   x     k  3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x  

 4

 k 2

B. x  



1 k  4 2

C. x  



1 k  4 3

D. x  

 4

 k

Bài 76. Giải phương trình sin2 x  3 tan x  cos x  4 sin x  cos x  A. x  C. x 

 4









 k 2 , x  arctan 1  2  k 2



2 2  k  , x  arctan 1  2  k  4 3 3

B.  x  D.  x 







1 1  k  , x  arctan 1  2  k  4 2 2

 4





 k , x  arctan 1  2  k



Bài 77 . Giải phương trình 2 2 cos 3 ( x  )  3cos x  sin x  0 4

   x  2  k 2 A.   x    k 2  4

  1 x  2  k 2  B.  x    k 1   4 2

  2 x  2  k 3  C.  x    k 2   4 3

   x  2  k D.   x    k  4

Bài 78. Giải phương trình 2sin2 x  3sin x  1  0    x  6  k A. x   k ;  2  x  5  k  6

  2 x  6  k 3  B. x   k 2 ;  2  x  5  k 2   6 3

  1 x k    5 6 2 C. x   k  ;  5 1 2 2  x k   6 2

  x   k 2   6 D. x   k 2 ;  5 2  x    k 2  6



Bài 79. Giải phương trình 2 cos 2 x  3 sin x  1  0

   x  2  k  1 A.  x  arcsin(  )  k  4   x    arcsin(  1 )  k  4

  1 x  2  k 2   1 1 B.  x  arcsin(  )  k   4 2  1  x    arcsin(  )  k 1   4 2

  2 x  2  k 3   1 2 C.  x  arcsin(  )  k   4 3  1  x    arcsin(  )  k 2   4 3

   x  2  k 2  1 D.  x  arcsin(  )  k 2  4   x    arcsin(  1 )  k 2  4

Bài 80. Giải phương trình 3cos 4x  sin2 2x  cos 2x  2  0

   x  2  k A.   x   arccos 6  k  7

   x  2  k 2 B.   x   arccos 6  k 2  7

Bài 81. Giải phương trình 4 cos x.cos 2 x  1  0

   x  3  k C.   x   arccos 6  k 2  7

   x  2  k D.   x   arccos 6  k 2  7

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   x   3  k 2 A.    1  3  k 2  x   arccos 4

   x   3  k 2 B.    1  5  k 2  x   arccos 4

   x   3  k 2 C.    1  7  k 2  x   arccos 4

   x   3  k 2 D.    1  6  k 2  x   arccos 4

Bài 82. Giải phương trình 16(sin 8 x  cos8 x)  17 cos 2 2 x A. x 

 8

k

5 4

B. x 

 8

7 4

k

C. x 



k

9 4

D. x 

 8

k

 4

Bài 83. Giải phương trình cos4 x  cos 2x  2sin6 x  0 A. x  k 2

1 B. x  k  2

2 C. x  k  3

D. x  k

Bài 84. Giải phương trình cos2 x  cos x  1  0 A. x  C. x 

 2

 k 2 , x  

2  k 3

B. x 

 k 3 , x  

2 7 k  3 2

D. x 

Bài 85. Giải phương trình cos 2 x  3cos x  4 cos 2 A. x  

2  k 3

B. x  

2 2 k  3 3



 k , x 

 2

2  k 2 3

 k , x  

2  k 2 3

x 2 C. x  

 3

 k 2

D. x  

2  k 2 3

Bài 86. Giải phương trình 6sin2 x  2sin2 2x  5 A. x 



2 k  4 3

B. x 

 4

k



C. x 

 4

k

 4

D. x 

 4

k

 2

Bài 87. Giải phương trình 2sin4 x  2cos4 x  2sin 2x  1 A. x 

 4

 k 2

B. x 

 4

2 k  3

Bài 88. Giải phương trình 2cos2 2 x  2



C. x 

 4

1 k  2

D. x 



3  1 cos2 x  3  0

1 3 1  k A. x   arccos 2 2

1 3 1  k 2 B. x   arccos 2 2

1 3 2  k C. x   arccos 2 2

1 3 1  k D. x   arccos 2 2

Bài 89. Giải phương trình 2 tan 2 x  3 

3 cos x

 4

 k

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x  k 2

B. x  k

Bài 90. Giải phương trình 9  13cos x  A. x  k 2

2 C. x  k  3

1 D. x  k  3

1 C. x  k  2

2 D. x  k  3

4 0 1  tan 2 x

B. x  k

Bài 91. Giải phương trình 5 1  cos x   2  sin4 x  cos4 x

2  k 3

A. x  

B. x  

2 2 k  3 3

 5 Bài 92. Giải phương trình sin  2 x  2 

  x  k 2   A.  x   k 2 ;  k   6  5 x   k 6    x  k   C.  x   k 2 ;  k   6  5 x   k 2 6 

  7   3cos  x  2  

 1 x  k 2    B.  x   k ;  k   6  5  x    k 2  6



C. x  

2 3 k  3 4

D. x  

2  k 2 3

   1  2sinx 



  x  k 2   D.  x   k 2 ;  k   6  5 x   k 2 6 



TỔNG HỢP LẦN 2 1

Câu 1. Phương trình sin x  



A. x  

C. x  

 4

 k 2 và x 

C. x 

 3

 k 2 và x  

 k 2 và x 

chỉ có các nghiệm là

5  k 2 ( k  ). 4

Câu 2.Phương trình cos x  

A. x 

3  k 2 ( k  ). 4 6 2 2

5 5  k 2 và x    k 2 ( k  ). 6 6 6 3 2

D. x 

 4

 k 2 và x  

5  k 2 ( k  ). 4

chỉ có các nghiệm là

2  k 2 ( k  ). 3

Câu 3. Phương trình tan x  

B. x  

B. x 

D. x 

chỉ có các nghiệm là

 6

 3

 k 2 và x 

5  k 2 ( k  ). 6

 k 2 và x  

 3

 k 2 ( k  ).

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x 

C. x 

 6

 3

B. x  

 k ( k  ).

D. x  

Câu 4. Phương trình cot x  

A. x 

C. x 

 6

 3



 k ( k  ).

 3

 k ( k  ).

12 chỉ có các nghiệm là 2



 k ( k  ).

B. x  

 k ( k  ).

D. x  

 3

 k ( k  ).

Câu 5. Phương trình sin x  cos x chỉ có các nghiệm là A. x 

C. x 

 4

 k ( k  ).

 k và x  

B. x 

 4

 k ( k  ).

D. x 

 4

 k 2 ( k  ).

 k 2 và x  

 4

 k 2 ( k  ).

Câu 6. Phương trình tan x  cot x chỉ có các nghiệm là A. x 

C. x 

 4

 k 2 ( k  ).

k

 2

B. x 

D. x 

( k  ).

 4

 k ( k  ).

k

 4

( k  ).

Câu 7. Phương trình 4sin2 x  3 chỉ có các nghiệm là A. x 

C. x 

 3

 6

 k 2 và x  

 k và x  

 3

 6

 k 2 ( k  ).

 k ( k  ).

B. x 

D. x 

 3

 6

 k và x  

 3

 k 2 và x  

 k ( k  ).

 6

 k 2 ( k  ).

Câu 8. Phương trình tan2 x  3 chỉ có các nghiệm là A. x 

C. x 

 3

 6

 k 2 và x  

 k và x  



 6

 k 2 ( k  ).

 k ( k  ).

B. x 

D. x 

 3

 6

 k và x  

 3

 k 2 và x  

 k ( k  ).

 6

 k 2 ( k  ).

Câu 9. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x  0 ? A. cos x  1 .

B. cos x  1 .

C. tan x  0 .

D. cot x  1 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 10. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2cos2 x  1 ? A. 2 sin x  2  0 .

B. sin x 

2 . 2

D. tan2 x  1 .

C. tan x  1 .

Câu 11 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan2 x  3 ? A. cos x  

1 . 2

C. cot x 

B. 4cos2 x  1 .

D. cot x  

1 3

Câu 12. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 3sin2 x  cos2 x ? A. sin x 

1 . 2

B. cos x 

3 . 2

C. sin 2 x 

3 . 4

D. cot 2 x  3 .

Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x  1 ? A. sin x 

2 . 2

B. cos x 

2 . 2

D. cot 2 x  1 .

C. cot x  1 .

Câu 14 Phương trình sin x  cos 5x chỉ có các nghiệm là A. x 

C. x 

 4

 k 2 và x  

 12

k

 3

và x  

 4

 8

 k 2 ( k  ).

k

 2

B. x 

( k  ).

 4

 k và x  

D. . x  

 12

k

 3

 4

 k ( k  ).

và x 

 8

k

 2

( k  ).

Câu 15. Trên khoảng  0;   , phương trình tan x.tan 3x  1

A. chỉ có các nghiệm là

  5 ;

6 2

C. chỉ có các nghiệm là x 

;

 6

6 k

 3

B. chỉ có các nghiệm là

( k  ).

A. vô nghiệm.

C. chỉ có các nghiệm là x 

D. chỉ có các nghiệm là x 

 6

 k 2 ( k  ).

5  k 2 ( k  ). 6

 6

 k 2 và x 

. ; ; 6 4 4

D. có các nghiệm khác với các nghiệm ở trên.

Câu 16. Phương trình 2sin2 x  7 sin x  3  0

B. chỉ có các nghiệm là x 

  3

5  k 2 ( k  ). 6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 17. Phương trình 2 cos 2 x  3 3 cos x  3  0 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x 

C. chỉ có các nghiệm là x 

D. chỉ có các nghiệm là x 

 3

 6

 k 2 ( k  ).

 k 2 và x  

 6

 k 2 ( k  ).

Câu 18. Phương trình 2sin2 x  7 cos x  5  0 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x 

C. chỉ có các nghiệm là x 

D. chỉ có các nghiệm là x 

 3

 k 2 ( k  ).

5  k 2 ( k  ). 3

 3

 k 2 và x  

 3

 k 2 ( k  ).

Câu 19. Phương trình sin2 x  4sin x cos x  3cos2 x  0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x  0 .

B. cot x  1 .

C. tan x  3 .

 tan x  1 D.  . cot x  1 3 

Câu 20. Phương trình sin2 x  4sin x cos x  4cos2 x  5 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x  0 .

1 B. tan x   . 2

C. cot x  2 .

 1 tan x    D. 2.  cos x  0

Câu 21. Phương trình tan x  5 cot x  6 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. cot x  1 .

B. tan x  5 .

 tan x  1 C.  .  tan x  5

 tan x  2 D.  .  tan x  3

Câu 22. Phương trình cos 2 x  3 cos x  4 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x  1 .

5 B. cos x  . 2

 cos x  1 C.  .  cos x  5  2

cos x  1 D.  . cos x  5  2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 23. Phương trình cos 2 x  5 sin x  6  0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x 

5 . 2

B. sin x  1 .

sin x  1 C.  . sin x  7  2

sin x  1 D.  . sin x   7  2

Câu 24. Phương trình sin x  cos x  1 chỉ có các nghiệm là

   x  4  k 2 A.  ( k  ) . B.  x     k 2  4

   x  k 2  x  k 2  x  4  k  . D. ( k  ) . C.  ( k  ) (k  ) .     x     k 2  x   k 2   x    k   2 4  4

Câu 25. Phương trình sin x  cos x  1 chỉ có các nghiệm là

   x  4  k 2 A.  ( k  ) . B.  x     k 2  4

   x   2 k  1   x  k 2  x  4  k  (k  ) . ( k  ) . C. ( k  ) . D.      x   k 2 x    k 2  x     k    4  2  4

Câu 26. Phương trình sin x  3 cos x  1 chỉ có các nghiệm là

   x  2  k 2 A.  ( k  ) . B.  x  7  k 2  6

   x   2  k 2 ( k  ) .C.   x   7  k 2  6

     x   2  k 2  x  2  k 2 ( k  ) . D.  (k  ) .   x  7  k 2  x   7  k 2   6 6

Câu 27. Phương trình 3sin x  (m  1)cos x  m  2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Câu 28. Phương trình tan x  m cot x  8 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi A. m  16 .

B. m  16 .

C. m  16 .

D. m  16 .

Câu 29. Phương trình 16 cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos 8 x  1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  0 .

B. sin x  sin 8 x .

C. sin x  sin 16 x .

D. sin x  sin 32 x .

Câu 30. Phương trình 2n1 cos x.cos 2x.cos 4x.cos8x...cos 2n x  1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  0 .

B. sin x  sin 2n x .

C. sin x  sin 2n1 x .

D. sin x  sin 2n 2 x .

Câu 31. Phương trình sin 3x  sin 2 x  sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. sin x  0 .

B. cos x  1 .

C. cos x  

1 . 2

 sin x  0 D.  .  cos x  1  2

Câu 32. Phương trình cos 5x.cos 3x  cos 4 x.cos 2 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  cos x .

B. cos x  0 .

C. cos 8 x  cos 6 x .

D. sin 8 x  cos 6 x .

Câu 33. Phương trình sin4 x  cos4 x  1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  1 .

B. sin x  1 .

C. cos x  1 .

sin x  0 D.  . cos x  0

Câu 34. Phương trình sin2 m x  cos2 m x  1 ( m  1, m  ) có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  1 .

B. sin x  1 .

C. cos x  1 .

sin x  0 D.  . cos x  0

Câu 35. Phương trình sin x  sin 2 x  sin 3x  cos x  cos 2 x  cos 3 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x  

3 . 2

B. cos 2 x  sin 2 x .

C. cos x 

1 . 2

 1 cos x   D.  . 2  cos 2 x  sin 2 x

Câu 36. Phương trình sin 3x  cos4 x  sin4 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. cos 2 x  sin 3x .

B. cos 2 x   sin 3x .

C. cos 2 x  sin 2 x .

D. cos 2 x   sin 2 x .

Câu 37. Phương trình sin2 x  sin2 2x  sin2 3x  sin2 4x  2 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin 5x  1 .

B. cos 3 x   cos x .

C. cos 3x  cos x .

D. cos 3 x   cos x .

Câu 38. Phương trình tan x  tan 2 x  sin 3x.cos x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin 3x  0 .

B. cos 2 x  0 .

C. cos 2 x  2 .

 sin 3 x  0 D.  .  cos 2 x  0

Câu 39. Phương trình 2sin2 x  5cos x  5 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau A. t  sin x .

B. t  cos x .

C. t  tan x .

D. t  cot x .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 40. Phương trình 3cos2 x  4sin x  10 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau A. t  sin x .

B. t  cos x .



C. t  tan x .

D. t  cot x .



Câu 41 Phương trình 2 cos 4 x  sin 4 x  1

A. vô nghiệm.

  x  6 B. chỉ có các nghiệm  . x     6

   x  6  k 2 C. chỉ có các nghiệm  (k  )  x     k 2  6

   x  6  k D. . chỉ có các nghiệm  (k  )  x     k  6

Câu 42. Phương trình  cos x  sin x   3 sin 2 x 2

A. vô nghiệm.

   x  12 B. chỉ có các nghiệm  .  x  5  12

   x  12  k C. chỉ có các nghiệm  (k  ) .  x  5  k  12

   x  12  k 2 D. . chỉ có các nghiệm  (k  ) .  x  5  k 2  12

Câu 43. Phương trình  cos x  sin x   1  cos 3x 2

A. vô nghiệm.

   x  10 B. chỉ có các nghiệm  . x     2

   x  10  k C. chỉ có các nghiệm  (k  ) .  x     k  2

  2  x  10  k 5 D. . chỉ có các nghiệm  (k  ) .  x     k 2  2

Câu 44. Phương trình sin 4 x  cos 4 x 

3 4



B. chỉ có các nghiệm x 

   x  8  k 2 C. chỉ có các nghiệm  (k  ) .  x     k 2  8

   x  8  k D. chỉ có các nghiệm  (k  ) .  x     k  8

k



A. vô nghiệm.

,k  .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 45. Phương trình sin6 x  cos6 x  A. chỉ có các nghiệm x 

 6

k

 2

7 16

, k  ..

   x  6  k 2 C. chỉ có các nghiệm  (k  ) . x     k   6 2 Câu 46. Phương trình

B. chỉ có các nghiệm x  

 6

k



,k  .

D. vô nghiệm.

tan 2 3 x  tan 2 x 1 1  tan 2 3 x.tan 2 x

    x  12  k 6    A. chỉ có các nghiệm  x   k , k  2     x  6  k 3  C. chỉ có các nghiệm x 



k

 3

,k  .

Câu 47. Phương trình sin 4 x  cos 4 x 

2 ,k  5

B. chỉ có các nghiệm x 

 3

 k 2 , k 

D. vô nghiệm.

3  cos x 4

A. vô nghiệm. C. chỉ có các nghiệm x  k

B. chỉ có các nghiệm x  k

2 ,k  3

D. chỉ có các nghiệm x  k

2 2 và x  k (k  ) . 5 5

   Câu 48. Tổng các nghiệm thuộc khoảng   ;  của phương trình 4sin2 2x  1  0 bằng:  2 2 A. 0

 6

 3

D. 

Câu 49. Số nghiệm thuộc 0;   của phương trình sin2 x  cos2 3x  0 là: A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Câu 50. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên

0; 2 

    cos  2 x    cos  x    0 là: 3 6    A. 0

2 3

4 9

    Câu 51. Tất cả các nghiệm của phương trình cos  2 x    sin   x   0 là: 4  3 

D. 2

của phương trình

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 13  x  36  k 2 A.   x   7  k 2  12

 13 2  x  36  k 3  B.   x   7  k 2  12

 13 2  x  36  k 3  C.   x  7  k 2  12

 13 2  x  36  k 3  D.   x   7  k 2  12

 3  Câu 52. Tích các nghiệm thuộc 0;   của phương trình sin  2 x    cos x  0 bằng: 4   A.

2 48

2 16

3 2 16

2 64

Câu 53. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx  3 cos x  2 là:

17 12

B. 

13 12

C. 

11 12

D. 

19 12

Câu 54. Hiệu giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình

3 cos 2 x  sin 2 x  2

bằng A. 0



C. 

Câu 55. Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ sin 2 x tanx  cos 2 x cot x  2 sinxcosx 

A. 

 2

3 2

nhất của phương trình

4 3 bằng: 3



 3

D. 

Câu 56. Số nghiệm của phương trình sinx  cos 2 x thuộc 0; 2  là: A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

    Câu 57. Tổng các nghiệm của phương trình cos  2 x    sin   2 x   2 thuộc  0;   là: 6  3  A.

 2

5 12

Câu 58. Số nghiệm của phương trình A. 2

 24

 4

sin 2 x     1 thuộc   ; 0  là: 1  cos x  2 

B. 0

C. 1

D. 3

Câu 59. Tổng các nghiệm thuộc  0; 2  của phương trình sinxcos 3 x sinx 2 cos 3 x  2  0 là: A.

2 3

B. 2

C. 4

D. 0

  Câu 60. Số nghiệm thuộc 0;   của phương trình sin  2 x    0 là: 4  A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 61. Phương trình m sinx 3 cosx  2 m có nghiệm khi và chỉ khi: A. m  3

B. m   3

C. m  3

D. m  3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 62. Số nghiệm của phương trình 5 sin 2 x  sinx cosx 6  0 trong khoảng  0;   là: A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

    Câu 63. Cho phương trình cos  x    sin  2 x    0 . Có hai bạn giải được hai đáp án sau: 3 2  

   x  9  l 2 I.   x     k 2  3

  2 x  9  l 3 II .   x     k 2  3

A. I, II cùng sai

B. Chỉ I đúng

C. Chỉ II đúng

D. I, II cùng đúng

Câu 64. Cho phương trình 2cos2 2x  cos 4x  0 . Trong các số sau, số nào là họ nghiệm của phương trình trên: I. x 

 6

k

 4

II. x  

 6

k



III. x 

 6

k

 2

IV. x  

 6

k

 4

Chọn câu trả lời đúng nhất. A. Chỉ I, IV đúng

B. Chỉ I đúng

C. Chỉ IV đúng

D. I, II, III, IV cùng đúng

Câu 65. Cho phương trình sin6 x  cos6 x  1 . Có ba bạn giải được 3 kết quả sau:

I .x  k

 2

A. Chỉ I đúng

 x  k II .   x    k  2

 x  k 2  x  k 2 III .  hay   x    k 2  x    k 2  2

B. Chỉ II đúng

C. Chỉ III đúng

Câu 66. Phương trình cos x   A. 2

D. Cả ba đều đúng

1 có mấy nghiệm thuộc khoảng   ; 4  ? 2

B. 3

C. 4

D. 5

  Câu 67. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan  x    1 là: 3  A. 

7 12

B. 

5 12

C. 

 2 Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin  x  3  A. 

 15

B. 

7 12

11 12

D. Một đáp án khác

 2 là:  2 

C. 

 12

D. Đáp án khac

  1 Câu 69. Tổng các nghiệm của phương trình cos  x    trong khoảng   ;   là: 4 2  A.

 2

B. 

 2

Câu 70. Tổng các nghiệm của phương trình sinxcos A.

 2

B. 

 2

C. 

 8

 sin C.

3 2

 8 3 2

cos x 

D. Đáp án khác

1 trên    ;   là: 2 D.

3 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 3  Câu 71. Phương trình sin x  m có đúng 1 nghiệm x  0;  khi và chỉ khi:  2  A. 1  m  1

B. 1  m  1

C. 1  m  0

D. Đáp số khác

  3  Câu 72. Phương trình 1  cos x  m có đúng 2 nghiệm x   ;  khi và chỉ khi: 2 2  A. 0  m  1

B. 0  m  1

C. 1  m  1

Câu 73. Số nghiệm của phương trình sin x cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x  A. 15

B. 16

D. 1  m  0

   1 sin12 x trên   ;  là: 16  2 2

C. 17

D. 18

ĐÁP ÁN Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Câu 8

Câu 9

Câu 10

Câu 11

Câu 12

Câu 13

Câu 14

Câu 15

Câu 16

Câu 17

Câu 18

Câu 19

Câu 20

Câu 21

Câu 22

Câu 23

Câu 24

Câu 25

Câu 26

Câu 27

Câu 28

Câu 29

Câu 30

Câu 31

Câu 32

Câu 33

Câu 34

Câu 35

Câu 36

Câu 37

Câu 38

Câu 39

Câu 40

Câu 41

Câu 42

Câu 43

Câu 44

Câu 45

Câu 46

Câu 47

TỔNG HỢP LẦN 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 1. Nghiệm của phương trình A.

x

 2

 k 2

x

 2

x

 3

x

x  k

x

x  k

x

x  k 2

x

x    k 2

x

 k 2

x

 k

x

 k 2

x

 k 2

x

 k

 k 2

x  k

Câu 5. Nghiệm của phương trình A.

x    k

x

x

 3

 4

x

sinx =

x

 2

x

 3

 k 2



x

 2

 3

Câu 9. Nghiệm của phương trình

 k 2

 k

3  k 2

 6

 k 2

cosx = 1 là:

x



 k 2

 2

 k

cosx = –1 là:

x

x

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos2x =

 k 2

1 là: 2

 2

 k 2

3  k 2

1 là: 2

 6

 2

 k 2  k 2

1 là: 2

Câu 7. Nghiệm của phương trình cosx = –

sinx = –1 là:

Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx =



Câu 4. Nghiệm của phương trình A.

 k

x  k

Câu 3. Nghiệm của phương trình



Câu 2. Nghiệm của phương trình A.

sinx = 1 là:

 6

 k 2

2  k 2 3

1 là: 2

3 + 3tanx = 0 là:

 4

k

 4

 2

 k 2

 6

 k

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

x

 3

 k

Câu 10. Nghiệm của phương trình A.

x

 2

x

 2

 k 2

 k

x

 2

 k 2

Câu 12. Nghiệm của phương trình

 k

x  k ; x 

D. x 

Câu 11. Nghiệm của phương trình



xk

 2

x  k 2 ; x 

D. x  k ; x 



x  k ; x 

;x 

 4

x

 2

 k

x0

 k

`D.

x



B. x  

x

 4

x

 3

 2

x

x

 6

 k 2



C. x =

 2

C. x =

<x<

C. x =

 2



 6 <x<

3 2



 2

 3

 2

 k 2



C. x = 0

Câu 17. Nghiệm của phương trình cos2x + cosx = 0 thỏa điều kiện:

A. x  



x  k ; x  k

Câu 16. Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < A.

x

  k 2 2

x  k 2 ; x 

Câu 15. Nghiệm của phương trình sin2x + sinx = 0 thỏa điều kiện:



sin3x = cosx là:

Câu 14. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < A.

x

 k

cos3x = cosx là:

x  k 2

k

x  k 2



x

sinx.cosx = 0 là:

x  k 2

x

  k ; x  k 2 2

Câu 13. Nghiệm của phương trình



sin3x = sinx là:

C. x  k 2

C. x  

 2

3 2 3 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 0 là: A.

x

 4

 k

x

 6

 k

Câu 19. Nghiệm của phương trình 2sin(4x –

x

 8

k

 2

;x 

 )–1=0 3

x  k

x  k 2 ; x 

x    k 2 ; x  k

7  k 24 2

Câu 20. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện:

x



x

x



C. x =

 2

x

x

 2

 6

7  k 2 6

 k 2 ; x 

 k ; x    k 2

0  x<

 2



 k 2 ; x 

5  k 2 6

 k 2 ; x 

5  k 2 4

x

x  k ; x  

x

x    k 2 ; x  

x

x

 4

Câu 22. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 1 là: A.

x  k 2 ; x 

x

 6

 2

 k 2

 k ; x  k 2

 4

 2

 k 2

 k ; x  k 

Câu 23. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = –1 là: A.

x    k 2 ; x  

x

 3

 2

 k 2

 k 2 ; x  k 2

Câu 24. Nghiệm của phương trình sinx + A.

x

x

 3

 12

 k 2 ; x 

5  k 2 12

2  k 2 3

3 cosx =

 k

 k 2

Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 là: A.

là:

C. x  k ; x    k 2



 6

 2

 k 2

 k ; x  k 

2 là:

 4

 k 2 ; x 

3  k 2 4

 k 2 ; x  

5  k 2 4

 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 25. Nghiêm của pt sinx.cosx.cos2x = 0 là: A.

x  k

x  k.

 2

x  k.



x  k.

x

x

 k

x

 k

x

x  k.

 4

Câu 26. Nghiêm của pt 3.cos2x = – 8.cosx – 5 là: A.

x  k

x    k 2

x  k 2

x

x

x

x  k

x  k.

x    k 2

x

x

Câu 27. Nghiêm của pt cotgx + A.

x

 3

 k 2

Câu 28. Nghiêm của pt sinx + A.

x

 3

 k 2

 2

 k 2

3 = 0 là: B.

x

 6

 k

 6

 k

 3

 k

3 .cosx = 0 la: B.

x

 3

 k



 k

 6

 k

Câu 29. Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là: A.

x  k 2

 2

 4

 k

Câu 30. Nghiêm của pt sin2x = 1 là A.

x  k 2

 2

 k

Câu 31. Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là: A.

x  k 2

Câu 32. Nghiệm của pt sinx +

x

 6

x    k 2

 2

 k 2

3  0 là: 2

 k 2

5  k 6

D. x  

 3

 k 2

2  k 2 3

Câu 33. Nghiệm của pt cos2x – cosx = 0 là : A.

x  k 2

x  k 4

Câu 34. Nghiêm của pt sin2x = – sinx + 2 là:

x  k

 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

x



 k 2

x



 k

x

 2

 k 2

x  k

 k

x

Câu 35. Nghiêm của pt sin4x – cos4x = 0 là: A.

x

 4

 k 2

x

3  k 2 4

 4

 k.

 2

Câu 36. Xét các phương trình lượng giác: (I )

sinx + cosx = 3

, (II )

2.sinx + 3.cosx =

, (III ) cos2x + cos22x = 2

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm? A. Chỉ (III )

B. Chỉ (I )

Câu 37. Nghiệm của pt sinx = –

x



 k 2

C. (I ) và (III )

D. Chỉ (II )

1 là: 2 B.

x

 6

 k 2



x

x

x

 k

x

5  k 2 6

Câu 38. Nghiêm của pt tg2x – 1 = 0 là: A.

x

 4

 k

x

3  k 2 4



k

 2

 4

 k

Câu 39. Nghiêm của pt cos2x = 0 là: A.

x

 2

 4

 k

 k.

 2

 k 2

Câu 40. Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) . Pt nào sau đây tương đương với pt (1) A. sin4x = 0

B. cos3x = 0

C. cos4x = 0

D. sin5x = 0

Câu 41. Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là: A.

x

 4

 k

x

 k 2

x

 4

 k 2

Câu 43. Nghiệm của pt sinx –

B. x  

 4

 k  k 2

2 =0

Câu 42. Nghiệm của pt 2cos2x + 2cosx – A. x  



 4

 k

3 cosx = 0 là:

C. x  

 3

 k 2

D. x  

 3

 k

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x 

 6

 k

B. x 

 6

 k

C. x 

 3

 k 2

D. x 

 k

D. x 

 6

 k 2

3 sinx + cosx = 0 là:

Câu 44. Nghiệm của pt A. x  



 k

B. x  

 3

 k

C. x 

 3

 6

 k

Câu 45. Điều kiện có nghiệm của pt A. sin5x + B. cos5x = c là: A. a2 + b2  c2

B. a2 + b2  c2

C. a2 + b2 > c2

D. a2 + b2 < c2

Câu 46. Nghiệm của pt tanx + cotx = –2 là: A. x 

 4

 k

B. x  

 4

 k

C. x 



 k 2

D. x  

5  k 2 4

D. x  

 4

 k 2

Câu 47. Nghiệm của pt tanx + cotx = 2 là: A. x  

 4

 k

B. x 

 4

 k

C. x 

3  k 2 4

Câu 48. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là: A. x  

 2

 k 2

B. x  

Câu 49. Tìm m để pt sin2x + cos2x = A. 1  5  m  1  5

 2

 k 2

C. x 

 2

 k 2

D. x 

 2

 k

m có nghiệm là: 2

B. 1  3  m  1  3

C. 1  2  m  1  2

D. 0  m  2

Câu 50. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: A. x 



B. x 

5 6

C. x  

 12

Câu 51. Nghiệm của pt cos2x – sinx cosx = 0 là: A. x  C. x 

 4

 2

 k ; x 

 2

 k

B. x 

 k

D. x 

 2

 k

5 7  k ; x   k 6 6

Câu 52. Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: A. 0 < m <

4 3

B. 0  m 

4 3

Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sinx + A. x 

3 4

B. x 

C. m  0; m 

4 3

D. m < 0 ; m 

2 sin2x = 0 là:

 4

Câu 54. Nghiệm âm nhỏ nhất của pt tan5x.tanx = 1 là:

C. x 

 3

D. x  

4 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



A. x  

B. x  



C. x  

D. x  

Câu 55. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:



A. x  



C. x  



;x  ;x 



B. x  



D. x  

;x 

2 9

 3

Câu 56. Nghiệm của pt 2.cos2x – 3.cosx + 1 = 0 A. x  k 2 ; x  C. x 



 6

 k 2

 k 2 ; x 

 6

B. x 

 k 2 D. x    k 2 ; x 



 k 2 ; x 

2  k 2 3

Câu 57. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là: A. x  

 2



C. x  



 k 2

B. x 

 k

D. x  

 k 2

 2

 k 2

Câu 58. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4.sin2x + 3. 3 sin2x – 2.cos2x = 4 là: A. x  C. x 



B. x 



D. x 

 4

 2

Câu 59. Nghiệm của pt cos4x – sin4x = 0 là: A. x 

 4

k



B. x 

C. x    k 2

 4

C. x  

B. x  

 k 2

D. x 

Câu 61. Nghiệm của pt sin2x + A. x 

 2

2 là:

 k 2



 k ; x 

 k

D. x  k

Câu 60. Nghiệm của pt sinx + cosx = A. x 



 6

 k

3 sinx.cosx = 1 là:

B. x 

 2

 k 2 ; x 

 6

 k 2



 6

 k 2

5  k 2 6

 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. x  

 6

 k 2 ; x  

5  k 2 6

C. x 

5 13  k 2 ; x   k 2 12 12

 6

 k 2 ; x 

 6

5  k 2 6

 k 2 ; x 

3 cosx = 1 là

Câu 62. Nghiệm của pt sinx – A. x 

D. x 

B. x 

5  k 2 6

D. x 

 2

 4

 k 2 ; x 

 6

 k 2

5  k 2 4

 k 2 ; x 

Câu 63. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: (I) cosx =

5 3

(II) sinx = 1– 2

(III) sinx + cosx = 2

A. (I)

B. (II)

C. (III)

D. (I) và (II)

TỔNG HỢP LẦN 4.



Bài 1. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 cos( x  )  1 trên (  ;  ) 3

2 3

 3

4 3



7 3



Bài 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5x  )  cos(2 x  ) trên [0;  ] 3 3 A.

7 18

4 18

47 8

47 18





  Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau sin  3x  9 x 2  16 x  80   0 . 4  A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos  (3  3  2x  x2 )  1 . A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 5. Tìm số nghiệm x  0;14  nghiệm đúng phương trình : cos 3x  4 cos 2 x  3 cos x  4  0 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 6. Tìm số nghiệm trên khoảng (  ;  ) của phương trình : 2( sinx  1)( sin2 2 x  3sinx  1)  sin4 x.cosx A. 1

B. 2

Bài 7 Tìm số nghiệm x   0; 2  của phương trình : A. 1

B. 2

Bài 8: Giải phương trình : sin x  cos 2 x

C. 3 sin 3 x  sin x 1  cos 2 x

C. 3

D. 4  sin 2 x  cos 2 x

D. 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x  

 6

 k 2

B. x  



1 k  6 2

C. x  



1 k  6 3

D. x  

Bài 9: Giải phương trình : cos 3x tan 4 x  sin 5 x A. x  k 2 , x 

 16



1  k 3 B. x  k  , x   2 16 8

k 3 8

2  k C. x  k  , x   3 16 8 Bài 10: Giải phương trình A. x  C. x 

 12

 n và x 

D. x  k , x 

 16



k 8

2  sin 3 x  cos 3 x   1  2 sin 6 x  2 sin 2 x

17  2n 12

17 2  2n  n và x  12 3

B. x  D. x 

 12

 2n và x 

17  n 12

 2n và x 

17  2n 12

Bài 11: Giải phương trình : tan 2 x tan 3x tan 7 x  tan 2 x  tan 3x  tan 7 x .

 k  2(2t  1) k  A. x  với  k  3(2t  1) ,t  2  k  6(2t  1) 

 k  2(2t  1) k  B. x  với  k  5(2t  1) ,t  12  k  6(2t  1) 

 k  2(2t  1) k  C. x  với  k  5(2t  1) ,t  3  k  6(2t  1) 

 k  2(2t  1) k  D. x  với  k  3(2t  1) ,t  12  k  6(2t  1) 

 6

 k

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. Các công thức lƣợng giác 1. Các hằng đẳng thức: * sin 2   cos2   1

với mọi 

* tan .cot   1

với mọi  

k 2

1 với mọi   k 2 cos2  1 * 1  cot 2   với mọi   k sin 2  2. Hệ thức các cung đặc biệt * 1  tan 2  

A.Hai cung đối nhau:  và  cos()  cos 

sin( )   sin 

tan( )   tan 

cot( )   cot 

B. Hai cung phụ nhau:  và cos(

 2

 )  sin 

  2

 sin(  )  cos  2

 tan(  )  cot  2

 cot(  )  tan  2

C. Hai cung bù nhau:  và    sin(   )  sin  cos(   )   cos  tan(   )   tan  cot(   )   cot 

d) Hai cung hơn kém nhau  :  và    sin(   )   sin 

cos(   )   cos 

tan(   )  tan 

cot(   )  cot 

3. Các công thức lượng giác A. Công thức cộng cos( a  b)  cos a.cos b sin a.sin b tan( a  b) 

sin( a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b

tan a  tan b 1 tan a. tan b

b) Công thức nhân

sin 2a  2sin a cos a cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  1  2 sin 2 a  2 cos 2 a  1

sin 3a  3 sin a  4 sin 3 a

cos3a  4 cos 3 a  3cos a

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. Công thức hạ bậc

sin 2 a 

1  cos 2a 2

tan 2 a 

1  cos 2a 1  cos 2a

cos2 a 

1  cos 2a 2

D. Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b 

sin a.sin b  sin a.cos b 

1 2

1 2 1 2

[cos( a  b)  cos( a  b)]

[cos( a  b)  cos( a  b)] [sin( a  b)  sin( a  b)] .

e. Công thức biến đổi tổng thành tích cos a  cos b  2 cos sin a  sin b  2 sin

tan a  tan b  tan a  tan b 

ab 2

.cos

ab

cos a  cos b  2 sin

ab

s in a - sin b  2 cos

ab 2

.sin

ab 2

sin( a  b) cos a cos b sin( a  b) cos a cos b

II. Tính tuần hoàn của hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f ( x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số

T  0 sao cho với mọi x  D ta có

x  T  D và f ( x  T )  f ( x) . Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T . III. Các hàm số lƣợng giác 1. Hàm số y  sin x

 Tập xác định: D  R

 Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1  sin x  1 x  R    Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (   k 2;  k 2) , nghịch biến trên mỗi khoảng 2 2  3 (  k 2;  k 2) . 2 2  Hàm số y  sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

 Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .  Đồ thị hàm số y  sin x .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

y -

-5 2

-

-2

3

-3



1 

5

3

2

2. Hàm số y  cos x

 Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1  cos x  1 x  R  Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2 ;   k 2) , đồng biến trên mỗi khoảng (   k 2; k 2) .

 Hàm số y  cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.  Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .  Đồ thị hàm số y  cos x . Đồ thị hàm số y  cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x

 theo véc tơ v  (  ; 0) . 2 y -

-5 2

-

-2

-3

-3 2

3 

2 O



3

2 5

3. Hàm số y  tan x

 Tập xác định : D 

  \   k , k   2 

 Tập giá trị:  Là hàm số lẻ  Là hàm số tuần hoàn với chu kì T        Hàm đồng biến trên mỗi khoảng    k;  k  2  2 

 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x   Đồ thị

  k, k  2

làm một đường tiệm cận.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

-

-2 -5

-3

-



5

3 

2 x

2

4. Hàm số y  cot x \k, k 

 Tập xác định : D 



 Tập giá trị:  Là hàm số lẻ  Là hàm số tuần hoàn với chu kì T  

 Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng  k;   k   Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k, k 

làm một đường tiệm cận.

 Đồ thị y

-

-2 -5

-3

-



5

3 

2

2 x

B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số Phƣơng pháp .

 Hàm số y   Hàm số y 

f ( x) có nghĩa  f ( x)  0 và f ( x) tồn tại

1 có nghĩa  f ( x)  0 và f ( x) tồn tại. f ( x)

 sin u( x)  0  u( x)  k, k   cos u( x)  0  u( x) 

  k, k  . 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 1  sin x, cos x  1 . Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:

 1. y  tan( x  ) 6

2. y  cot 2 (

2  3 x) 3

Lời giải.

   2 1. Điều kiện: cos( x  )  0  x    k  x   k 6 6 2 3 TXĐ: D 

 2  \   k , k   . 3 

2. Điều kiện: sin( TXĐ: D 

2 2 2   3 x)  0   3 x  k  x  k 3 3 9 3

 2   \  k , k   . 3 9 

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau: 1. y 

tan 2 x   cot(3x  ) sin x  1 6

2. y 

Lời giải.   sin x  1 x    k 2    2 1. Điều kiện:    sin(3 x  6 )  0  x     k  18 3 

Vậy TXĐ: D 

   n  \   k 2 ,   ; k, n   18 3  2 

  2. Ta có: sin 4 x  cos 3x  sin 4 x  sin   3x  2   x   7x    2 cos    sin    2 4  2 4       x  10  k 5 cos 5 x  0     x    Điều kiện: cos     0   x   k 2 2 2 4    k 2   7x    x    sin   0     14 7    2 4 

Vậy TXĐ: D 

  k   2m  \  ,  n2,   . 14 7   10 5 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

tan 5x sin 4 x  cos 3x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số y  A. D 

 2  \k , k   3 

C. D 

   \k , k    3 

1  sin 2 x cos 3x  1 B. D 

   \k , k    6 

D. D  Lời giải:

Điều kiện: cos 3x  1  0  cos 3x  1  x  k TXĐ: D 

2 , k 3

 2  \k , k .  3 

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số y 

1  cos 3x 1  sin 4 x

A. D 

    \   k , k   2  8 

B. D 

 3   \   k , k  2  8 

C. D 

    \   k , k   2  4 

D. D 

    \   k , k   2  6 

Lời giải: Do 1  cos 3x  0 x 

nên hàm số có nghĩa  1  sin 4x  0

   sin 4 x  1  x    k , k  . 8 2 TXĐ: D 

    \   k , k   . 2  8 

 Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số y  tan(2 x  ) 4 A. D 

 3 k   \  ,k  2 8 

B. D 

 3 k   \  ,k  2 7 

C. D 

 3 k   \  ,k  2 5 

D. D 

 3 k   \  ,k  2 4 

Lời giải: Điều kiện: 2 x  Vậy TXĐ: D 

  3    k  x   k ,k 4 2 8 2  3 k   \  ,k  2 8 

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

1  cot 2 x 1  sin 3x

   \k , k    2 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. D 

  n2  \  k,  ; k, n   6 3  

B. D 

   n2  \ k ,  ; k, n   3  3 6 

C. D 

  n2  \  k,  ; k, n   6 5  

D. D 

  n2  \  k,  ; k, n   5 3  

Lời giải:  x  k  x  k  Điều kiện:    2 sin 3x  1  x   k 6 3 

Vật TXĐ: D 

  n2  \  k,  ; k, n   6 3  

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

1 sin 2 x  cos 3x

A. D 

 2  \  k , k 2; k   5 3 

B. D 

 4  \  k , k 2; k   7 5 

C. D 

 2  \  k , k 2; k   5 5 

D. D 

 4  \  k , k 2; k   5 7 

Lời giải: : Điều kiện: sin 2 x  cos 3x  0  cos

5x x .sin  0 2 2

 5x  5x    2 cos 0   k   2 2 x   k 2    5 5 . x x sin  0   k  x  k 2    2 2

TXĐ: D 

 2  \  k , k 2; k   . 5 5 

Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

tan 2 x 3 sin 2 x  cos 2 x

A. D 

     \  k ,  k ; k   2 12 2 4 

B. D 

     \  k ,  k ; k   2 5 2 3 

C. D 

     \  k ,  k ; k   2 3 2 4 

D. D 

     \  k ,  k ; k   2 12 2 3 

Lời giải:      x   k  2 x   k  4 2  Điều kiện:  2  3 sin 2 x  cos 2 x  0 2 sin(2 x   )  0   6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

       x  4  k 2  x  4  k 2 .   2 x    k x    k  6  12 2 

TXĐ: D 

     \  k ,  k ; k   . 2 12 2 4 

Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

cot x 2 sin x  1

A. D 

  5  \  k,  k 2,  k 2; k   6 6  

B. D 

   5  \  k ,  k 2,  k 2; k   6  2 4 

C. D 

  5  \  k,  k 2,  k 2; k   4 6  

D. D 

  5  \  k,  k 2,  k 2; k   3 4  

Lời giải:  x  k  x  k   Điều kiện:    1 sin x  2  0 sin x  sin 6  0 

  x  k  x  k        x   k 2 . x  x  6 2 cos( 2  12 ) sin( 2  12 )  0  5   x  6  k 2

TXĐ: D 

  5  \  k,  k 2,  k 2; k   . 6 6  

  Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan( x  ).cot( x  ) 4 3 A. D 

 3   \   k,  k; k   3 4 

B. D 

 3   \   k,  k; k   5 4 

C. D 

   \   k,  k; k   3 4 

D. D 

 3   \   k,  k; k   6 5 

Lời giải:      x  4  2  k  x   Điều kiện:   x    k x    3

TXĐ: D 

3  k 4 .   k 3

 3   \   k,  k; k   . 3 4 

 Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan(2 x  ) 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. D 

   \  k , k   2 3 

B. D 

   \  k , k   2 4 

C. D 

   \  k , k   2  12 

D. D 

   \  k , k   2 8 

Lời giải: Điều kiện: 2 x  TXĐ: D 

      k  x  k 3 2 12 2

   \  k , k   . 2  12 

Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số sau y  tan 3x.cot 5x A. D 

  n  \  k , ; k , n   3 5 6 

B. D 

  n  \  k , ; k , n   3 5 5 

C. D 

  n  \  k , ; k , n   4 5 6 

D. D 

  n  \  k , ; k , n   3 5 4 

Lời giải:   x  cos 3 x  0 Điều kiện:   sin 5 x  0 x  

TXĐ: D 

  k 6 3 n 5

  n  \  k , ; k , n   3 5 6 

Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số Phƣơng pháp . Cho hàm số y  f ( x) tuần hoàn với chu kì T * Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ k.v (với v  (T ; 0), k  ) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

* Số nghiệm của phương trình f ( x)  k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị y  f ( x) và y  k . * Nghiệm của bất phương trình f ( x)  0 là miền x mà đồ thị hàm số y  f ( x) nằm trên trục Ox . Chú ý:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 Hàm số f ( x)  a sin ux  b cos vx  c ( với u, v ) là hàm số tuần hoàn với chu kì T

2 (u , v )

( (u, v) là ước chung lớn nhất).

 Hàm số f ( x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u, v ) là hàm tuần hoàn với chu kì T

 . (u , v )

Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số : f ( x)  cos

3x x .cos 2 2

Lời giải: Ta có f ( x) 

1  cos x  cos 2x   hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0  2 . 2

Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau. 1. f ( x)  cos x  cos



3.x



2. f ( x)  sin x 2 Lời giải:

1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn  có số thực dương T thỏa f ( x  T )  f ( x)  cos( x  T )  cos 3( x  T )  cos x  cos 3 x cos T  1 Cho x  0  cos T  cos 3T  2   cos 3T  1 m m T  2n   3 vô lí, do m, n   là số hữu tỉ. n n  3T  2 m

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. 2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn  T  0 : f ( x  T )  f ( x)  sin( x  T )2  sin x 2 x 

Cho x  0  sin T 2  0  T 2  k  T  k  f ( x  k )  f ( x) x 

Cho x  2 k ta có: f ( 2 k )  sin f ( x  k )  sin



k 2  k





k 2





 sin( k 2 )  0 .



 sin 3k  2 k 2   sin(2 k 2)

 f ( x  k )  0 .

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ví dụ 3. Cho a, b, c , d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số c là số hữu tỉ. f ( x)  a sin cx  b cos dx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi d Lời giải: * Giả sử f ( x) là hàm số tuần hoàn  T  0 : f ( x  T )  f ( x) x a sin cT  b cos dT  b cos dT  1  Cho x  0, x  T   a sin cT  b cos dT  b sin cT  0 dT  2n c m     d 2n cT  m

* Giả sử

c  d

 k , l  :

c k 2k 2l  . Đặt T   d l c d

Ta có: f ( x  T )  f ( x) x 

 f ( x) là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

2k 2l .  c d

Ví dụ 4. Cho hàm số y  f ( x) và y  g( x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là

T1 , T2 . Chứng minh rằng nếu

T1 là số hữu tỉ thì các hàm số f ( x)  g( x); f ( x).g( x) là những T2

hàm số tuần hoàn. Lời giải: Vì

T1 là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m, n; n  0 sao cho T2

T1 m   nT1  mT2  T T2 n Khi đó f ( x  T )  f ( x  nT1 )  f ( x) và g( x  T )  g( x  mT2 )  g( x) Suy ra f ( x  T )  g( x  T )  f ( x)  g( x) và f ( x  T ).g( x  T )  f ( x).g( x) ,

f ( x  T ) f ( x)  . Từ g( x  T ) g( x)

đó ta có điều phải chứng minh. Nhận xét: 1. Hàm số f ( x)  a sin ux  b cos vx  c ( với u, v ) là hàm số tuần hoàn với chu kì T

2 ( (u, v) là ước chung lớn nhất). (u , v )

2. Hàm số f ( x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u, v ) là hàm tuần hoàn với chu kì T  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f ( x)  sin x A. T0  2

B. T0  

C. T0  Lời giải:

 2

D. T0 

 4

 . (u , v )

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ta có f ( x  2)  sin( x  2)  sin x  f ( x) x  Giả sử có số thực dương T  2 thỏa f ( x  T )  f ( x)  sin( x  T )  sin x x 

Cho x 

(1).

    VT (1)  sin   T   cos T  1 2 2 

VP(1)  sin

  1  (1) không xảy ra với mọi x  2

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0  2 . Bài 2. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f ( x)  tan 2 x , A. T0 

 2

B. T0  2

C. T0  

D. T0 

 4

Lời giải:    Ta có f ( x  )  tan 2  x    tan(2 x  )  tan 2 x  f ( x) 2 2 

 thỏa mãn f ( x  T )  f ( x) 2  tan(2 x  2T )  tan 2 x x  (2)

Giả sử có số thực dương T 

Cho x  0  VT (2)  tan 2T  0 , còn VP(2)  0  (2) không xảy ra với mọi x 

 . 2 Bài 3. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin 2 x  sin x Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 

 C. T0   2 Bài 4.. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  tan x.tan 3x A. T  2

B. T0 

D. T0 

 4

  D. T0  4 2 Bài 5. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin 3x  2 cos 2 x A. T  

B. T  2

C. T0 

 C. T0   2 Bài 6. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin 2 x  sin x A. T  2

B. T0 

A. T  2

B. T0 

 2

C. T0  

D. T0 

 4

D. T0 

 4

Bài 7. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  tan x.tan 3x

  D. T0  4 2 Bài 8. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin 3x  2 cos 2 x A. T  

B. T  2

C. T0 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. T  2

B. T0 

 2

C. T0  

 4

D. T0 

Bài 9. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y  sin x

 2  D. T0  4 ĐÁP ÁN B. T0 

A. Hàm số không tuần hoàn C. T0  

Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Các ví dụ Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  2 sin x Lời giải: Hàm số y  2 sin x

 TXĐ: D   Hàm số y  2 sin x là hàm số lẻ  Hàm số y  2 sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T  2 .     Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  k 2;  k 2  . Nghịch biến trên mỗi khoảng 2      2  k 2;   k 2  .      Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( k; 0),   k2 ; 2  . 2  y -5

3

-

2 -3

O 

2 5 2

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  tan 2 x Lời giải: Hàm số y  tan 2 x

 TXĐ: D 

   \  k , k   2 4 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 Hàm số y  tan 2 x là hàm số lẻ  Hàm số y  tan 2 x là hàm tuần hoàn với chu kì T 

 . 2

    Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  k;  k  . 4  

 Các đường tiệm cận: x 

  k . 4 2

 Đồ thị hàm số đi quan các điểm (

k ; 0) . 2

-7

-5

-3

-



3

5

7

4 x

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  1  2 cos 2 x Lời giải: Hàm số y  1  2 cos x 2

Ta có: y  2  cos 2 x

 TXĐ: D   Hàm số y  2  cos 2 x là hàm số chẵn  Hàm số y  2  cos 2 x là hàm tuần hoàn với chu kì T   .    Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k;   k  , nghịch biến trên mỗi khoảng 2      k; 2  k  .  

 Đồ thị hàm số đi quan các điểm (

k ;1),    k; 3  . 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

y 3

1 x -2

-

-3 2

-

O 

3



2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  sin 2 x Đồ thị hàm số: y  sin 2 x y

-5π

-π

3π

7π

O π

-3π 4

-1

5π 4

Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  2 cos x Đồ thị hàm số: y  2 cos x 2

-3π

-π

3π 2

Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 2. y  4  3 sin 2 2 x

1. y  4 sin x cos x  1 Lời giải: 1 Ta có y  2 sin 2 x  1 . Do 1  sin 2x  1  2  2sin 2x  2  1  2sin 2 x  1  3  1  y  3 .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  * y  1  sin 2x  1  2x    k 2  x    k . 2 4  * y  3  sin 2 x  1  x   k . 4 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . 2. Ta có: 0  sin 2 x  1  1  4  3sin 2 x  4 * y  1  sin 2 x  1  cos x  0  x 

  k . 2

* y  4  sin 2 x  0  x  k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 1. y  6 cos 2 x  cos 2 2 x

2. y  (4 sin x  3 cos x)2  4(4 sin x  3 cos x)  1 Lời giải:

1. Ta có: y  6 cos 2 x  (2 cos 2 x  1)2  4 cos 4 x  2 cos 2 x  1 Đặt t  cos2 x  t  0;1 . Khi đó y  4t 2  2t  1  f (t ) t

0 1

f (t )

Vậy min y  1 đạt được khi cos x  0  x 

  k 2

max y  1 đạt được khi cos 2 x  1  x  k

2. Đặt t  4 sin x  3cos x  5  t  5 x  Khi đó: y  t 2  4t  1  (t  2)2  3 2 Vì t    5; 5  7  t  2  3  0  (t  2)  49

Do đó 3  y  46 Vậy min y  3; max y  46 . Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : y  (3 sin x  4 cos x)2  6 sin x  8 cos x  2 m  1 Lời giải: Đặt t  3sin x  4 cos x  5  t  5 Ta có: y  t 2  2t  2m  1  (t  1)2  2m  2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Do 5  t  5  0  (t  1)2  36  y  2 m  2  min y  2 m  2 Hàm số chỉ nhận giá trị dương  y  0 x 

 min y  0

 2m  2  0  m  1 . Vậy m  1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y  2 sin 2 x  4 sin x cos x  (3  2m)cos 2 x  2 xác định với mọi x Lời giải: Hàm số xác định với mọi x

 2 sin2 x  4 sin x cos x  (3  2m)cos 2 x  2  0 x 

(1)

 cos x  0  (1) đúng  cos x  0 khi đó ta có: (1)  2 tan2 x  4 tan x  (3  2m)  2(1  tan 2 x)  0  4 tan 2 x  4 tan x  1  2m x 

 (2 tan x  1)2  2  2m x 

 2  2m  0  m  1

Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x , y thỏa mãn sin 2 x  sin 2 y  sin( x  y) () . Chứng minh rằng:

xy 

 2 Lời giải:

  Ta có hàm số y  sin x , y  cos x đồng biến trên khoảng  0;   2     Và x , y ,  x ,  y   0;  . 2 2  2      sin x  sin   y   cos y  x   y    2  2   Giả sử x  y    2  y    x sin y  sin    x   cos x 2    2  

Suy ra: sin 2 x  sin 2 y  sin x.sin x  sin y.sin y  sin x cos y  sin y cos x  sin( x  y)

Mâu thuẫn với ()      sin x  sin   y   cos y  x   y    2  2   Giả sử x  y    2  y    x sin y  sin    x   cos x 2    2  

Suy ra: sin 2 x  sin 2 y  sin x.sin x  sin y.sin y  sin x cos y  sin y cos x  sin( x  y)

Mâu thuẫn với ()

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  () đúng. 2  Vậy ()  x  y  . 2

 Nếu x  y 

Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau : 1. y  3 sin x  4 cos x  5

2. y 

sin x  2 cos x  1 sin x  cos x  2

Lời giải: 1. Xét phương trình : y  3 sin x  4 cos x  5  3sin x  4 cos x  5  y  0  phương trình có nghiệm

 32  4 2  (5  y)2  y 2  10 y  0  0  y  10

Vậy min y  0 ; max y  10 . 2. Do sin x  cos x  2  0 x  Xét phương trình : y 

 hàm số xác định với x 

sin x  2 cos x  1 sin x  cos x  2

 (1  y)sin x  (2  y)cos x  1  2 y  0

Phương trình có nghiệm  (1  y)2  (2  y) 2  (1  2 y) 2  y 2  y  2  0  2  y  1

Vậy min y  2; max y  1 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin x  3 A. max y  5 , min y  1

B. max y  5 , min y  2 5

C. max y  5 , min y  2

D. max y  5 , min y  3 Lời giải:

Ta có 1  2 sin x  3  5  1  y  5 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max y  5 , đạt được khi sin x  1  x 

  k 2 . 2

 Giá trị nhỏ nhất bằng min y  1 , đạt được khi x    k 2 . 2 Bài 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  2 cos 2 x  1 A. max y  1 , min y  1  3

B. max y  3 , min y  1  3

C. max y  2 , min y  1  3

D. max y  0 , min y  1  3 Lời giải:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ta có 1  2 cos 2 x  1  3  1  3  y  0 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max y  0 , đạt được khi x 

  k 2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y  1  3 , đạt được khi x  k .   Bài 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  3sin  2 x   4 

A. min y  2 , max y  4

B. min y  2 , max y  4

C. min y  2 , max y  3

D. min y  1 , max y  4 Lời giải:

  Ta có: 1  sin  2 x    1  2  y  4 4      y  2  sin  2 x    1  x    k  min y  2 4 8    3  k  max y  4  y  4  sin  2 x    1  x  4 8 

Bài 4. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3  2 cos 2 3 x A. min y  1 , max y  2

B. min y  1 , max y  3

C. min y  2 , max y  3

D. min y  1 , max y  3 Lời giải:

Ta có: 0  cos 2 3 x  1  1  y  3

k  min y  1 3  k  max y  3  y  3  cos 2 3x  0  x   6 3

 y  1  cos2 3x  1  x 

Bài 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  2  sin 2 x A. min y  2 , max y  1  3

B. min y  2 , max y  2  3

C. min y  1 , max y  1  3

D. min y  1 , max y  2 Lời giải:

Ta có: 1  sin 2 x  1  2  y  1  3

  y  2  sin 2 x  1  x    k  min y  2 4   y  1  3  sin 2 x  1  x   k  min y  2 4 Bài 6. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 

4 1  2 sin 2 x

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

4 , max y  4 3 4 C. min y  , max y  2 3

4 , max y  3 3 1 D. min y  , max y  4 2

A. min y 

B. min y 

Lời giải:

4 y4 3 4  4  y   sin 2 x  1  x   k  min y  3 2 3

Ta có: 0  sin 2 x  1 

 y  4  sin 2 x  0  x  k  max y  4 Bài 7. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin 2 x  cos 2 2 x A. max y  4 , min y 

3 4

B. max y  3 , min y  2

C. max y  4 , min y  2

D. max y  3 , min y  Lời giải:

Đặt t  sin x , 0  t  1  cos 2x  1  2t 2

1 3  y  2t  (1  2t )2  4t 2  2t  1  (2t  )2  . 2 4 1 1 3 1 9 3 Do 0  t  1    2t    0  (2t  )2    y  3 . 2 2 2 2 4 4  Vậy max y  3 đạt được khi x   k . 2 3 1 min y  đạt được khi sin 2 x  . 4 4 Bài 8. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3sin x  4 cos x  1 A. max y  6 , min y  2

B. max y  4 , min y  4

C. max y  6 , min y  4

D. max y  6 , min y  1 Lời giải:

Áp dụng BĐT (ac  bd)2  (c 2  d2 )(a2  b2 ) . Đẳng thức xảy ra khi

a b  . c d

Ta có: (3sin x  4 cos x)2  (32  42 )(sin 2 x  cos2 x)  25  5  3 sin x  4 cos x  5  4  y  6 .

Vậy max y  6 , đạt được khi tan x 

3 . 4

3 min y  4 , đạt được khi tan x   . 4

3 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau max( a sin x  b cos x)  a 2  b 2 , min( a sin x  b cos x)   a 2  b 2

Tức là:  a 2  b2  a sin x  b cos x  a 2  b 2 . Bài 9. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3sin x  4 cos x  1 A. min y  6; max y  4

B. min y  6; max y  5

C. min y  3; max y  4

D. min y  6; max y  6 Lời giải:

 4 sin   5   Ta có : y  5 sin( x  )  1 trong đó    0;  thỏa   2 cos   3  5

Suy ra min y  6; max y  4 . Bài 10. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin 2 x  3 sin 2 x  4 cos 2 x A. min y  3 2  1; max y  3 2  1

B. min y  3 2  1; max y  3 2  1

C. min y  3 2; max y  3 2  1

D. min y  3 2  2; max y  3 2  1 Lời giải:

Ta có: y  1  cos 2 x  3 sin 2 x  2(1  cos 2 x)    3sin 2 x  3cos 2 x  1  3 2 sin  2 x    1 4 

Suy ra min y  3 2  1; max y  3 2  1 . Bài 11. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  sin 2 x  3 sin 2 x  3 cos 2 x A. max y  2  10; min y  2  10

B. max y  2  5; min y  2  5

C. max y  2  2; min y  2  2

D. max y  2  7 ; min y  2  7 Lời giải:

Ta có: y 

1  cos 2 x 3(1  cos 2 x)  3sin 2x  cos 2x  2 .  3sin 2 x  2 2

Mà  10  3 sin 2 x  cos 2 x  10  2  10  y  2  10 Từ đó ta có được: max y  2  10; min y  2  10 . Bài 12. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin 3x  1 A. min y  2, max y  3 C. min y  1, max y  3 min y  3, max y  3

B. min y  1, max y  2 D.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải: :C Bài 13. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3  4 cos 2 2 x A. min y  1, max y  4

B. min y  1, max y  7

C. min y  1, max y  3 min y  2, max y  7

D. Lời giải:

Đáp án C Bài 14. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  2 4  cos 3x A. min y  1  2 3 , max y  1  2 5

B. min y  2 3 , max y  2 5

C. min y  1  2 3 , max y  1  2 5

D. min y  1  2 3 , max y  1  2 5 Lời giải:

Đáp án A. Bài 15. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  4 sin 6 x  3cos 6 x A. min y  5, max y  5

B. min y  4, max y  4

C. min y  3, max y  5

D. min y  6, max y  6 Lời giải:

Đáp án A. Bài 16. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  A. min y  C. min y 

3 1 3

2 1 3

, max y 

B. min y 

1 2

D. min y 

1 2

3 1 3

3 1  2  sin 2 x

, max y 

4 1 2

3 1 2

Lời giải: Đáp án D Bài 17. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 

3sin 2 x  cos 2 x sin 2 x  4 cos2 x  1

A. min y 

6  3 5 6  3 5 , max y  4 4

B. min y 

4  3 5 4  3 5 , max y  4 4

C. min y 

7  3 5 7  3 5 , max y  4 4

D. min y 

5  3 5 5  3 5 , max y  4 4

Lời giải: Đáp án D

 Bài 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 cos(3x  )  3 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. min y  2 , max y  5

B. min y  1 , max y  4

C. min y  1 , max y  5

D. min y  1 , max y  3 Lời giải:

Ta có: min y  1 đạt được khi x 

4 2 k 9 3

max y  5 đạt được khi x 

 2 k 9 3

Bài 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3  2 sin 2 2 x  4 A. min y  6 , max y  4  3

B. min y  5 , max y  4  2 3

C. min y  5 , max y  4  3 3

D. min y  5 , max y  4  3 Lời giải:

Ta có: min y  5 đạt được khi x 

  k 4 2

max y  4  3 đạt được khi x  k

 2

Bài 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  sin x  2  sin 2 x A. min y  0 , max y  3

B. min y  0 , max y  4

C. min y  0 , max y  6

D. min y  0 , max y  2 Lời giải:

Ta có y  0 x và y 2  2  2 sin x 2  sin 2 x Mà 2 sin x 2  sin 2 x  sin 2 x  2  sin 2 x  2 Suy ra 0  y 2  4  0  y  2

 min y  0 đạt được khi x    k 2 2  max y  2 đạt được khi x   k 2 2 Bài 21. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan 2 x  4 tan x  1 A. min y  2

B. min y  3

C. min y  4

D. min y  1

Lời giải: Ta có: t  (tan x  2)  3 2

min y  3 đạt được khi tan x  2

Không tông tại max . Bài 22. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan 2 x  cot 2 x  3(tan x  cot x)  1 A. min y  5

B. min y  3

C. min y  2

D. min y  4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải: Ta có:   tan x  cot x   3  tan x  cot x   3 2

Đặt t  tan x  cot x 

2  t 2 sin 2 x

Suy ra y  t 2  3t  3  f (t ) Bảng biến thiên



2



f (t )

5

 Vậy min y  5 đạt được khi x    k . 4 Không tồn tại max y . Bài 23. Tìm m để hàm số y  5 sin 4 x  6 cos 4 x  2m  1 xác định với mọi x . A. m  1

B. m 

61  1 2

C. m 

61  1 2

D. m 

61  1 2

Lời giải: Hàm số xác định với mọi x  5sin 4 x  6cos 4 x  1  2 m x Do min(5 sin 4 x  6 cos 4 x)   61   61  1  2 m  m 

61  1 . 2

Bài 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2  3 sin 3 x A. min y  2; max y  5

B. min y  1; max y  4

C. min y  1; max y  5

D. min y  5; max y  5 Lời giải:

Ta có: 1  sin 3x  1  1  y  5 . Suy ra: min y  1; max y  5 Bài 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  4 sin 2 2 x A. min y  2; max y  1

B. min y  3; max y  5

C. min y  5; max y  1

D. min y  3; max y  1 Lời giải:

. Ta có: 0  sin 2 2 x  1  3  y  1 . Suy ra: min y  3; max y  1 Bài 26. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  3  2 sin x A. min y  2; max y  1  5

B. min y  2; max y  5

C. min y  2; max y  1  5

D. min y  2; max y  4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải: Ta có: 1  3  2 sin x  5  2  y  1  5 . Suy ra: min y  2; max y  1  5 Bài 27. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3  2 2  sin 2 4 x A. min y  3  2 2; max y  3  2 3

B. min y  2  2 2; max y  3  2 3

C. min y  3  2 2; max y  3  2 3

D. min y  3  2 2; max y  3  3 3 Lời giải:

Ta có: 2  2  sin 2 4 x  3  3  2 2  y  3  2 3 Suy ra: min y  3  2 2; max y  3  2 3 Bài 28. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  4 sin 3x  3 cos 3x  1 A. min y  3; max y  6

B. min y  4; max y  6

C. min y  4; max y  4

D. min y  2; max y  6 Lời giải:

Ta có: 5  4 sin 3x  3cos 3x  5  4  y  6 . Suy ra: min y  4; max y  6 Bài 29. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 cos x  sin x  4 A. min y  2; max y  4

B. min y  2; max y  6

C. min y  4; max y  6 min y  2; max y  8

D. Lời giải:

  Ta có: y  2 sin  x    4 . Suy ra: min y  2; max y  6 3 

Bài 30. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  A. min y   C. min y 

2 ; max y  2 11

2 ; max y  3 11 2 D. min y  ; max y  2 11 B. min y 

2 ; max y  4 11

Lời giải: Ta có: 2 sin 2x  cos 2x  4  4  5  0 x 

sin 2 x  2 cos 2 x  3  (2 y  1)sin 2 x  ( y  2)cos 2 x  3  4 y 2 sin 2 x  cos 2 x  4 2  (2 y  1)2  ( y  2)2  (3  4 y)2  11y 2  24 y  4  0   y  2 11 y

Suy ra: min y 

2 ; max y  2 . 11

sin 2 x  2 cos 2 x  3 2 sin 2 x  cos 2 x  4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 31. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 sin 2 3x  4 sin 3x cos 3x  1 y sin 6 x  4 cos 6 x  10 A. min y 

11  9 7 11  9 7 ; max y  83 83

B. min y 

22  9 7 22  9 7 ; max y  11 11

C. min y 

33  9 7 33  9 7 ; max y  83 83

D. min y 

22  9 7 22  9 7 ; max y  83 83

Lời giải: Ta có: sin 6 x  4 cos 6 x  10  10  17  0 x 

y

2 sin 6 x  cos 6 x  2  ( y  2)sin 6 x  (4 y  1)cos 6 x  2  10 y sin 6 x  4 cos 6 x  10

 ( y  2)2  (4 y  1)2  (2  10 y)2  83 y 2  44 y  1  0



22  9 7 22  9 7 y 83 83

Suy ra: min y 

22  9 7 22  9 7 ; max y  . 83 83

Bài 31. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3 cos x  sin x  2 A. min y  2  5; max y  2  5

B. min y  2  7 ; max y  2  7

C. min y  2  3; max y  2  3

D. min y  2  10; max y  2  10 Lời giải:

Xét phương trình: 3 cos x  sin x  y  2 Phương trình có nghiệm  32  12  ( y  2)2  2  10  y  2  10 Vậy min y  2  10; max y   2  10 . Bài 31. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 

sin 2 2 x  3sin 4 x 2 cos2 2 x  sin 4 x  2

A. min y 

5  97 5  97 , max y  4 4

B. min y 

5  97 5  97 , max y  18 18

C. min y 

5  97 5  97 , max y  8 8

D. min y 

7  97 7  97 , max y  8 8

Lời giải: Ta có y 

6 sin 4 x  cos 4 x  1 2 cos 4 x  2 sin 4 x  6

( do cos 4x  sin 4x  3  0 x  )  (6  2 y)sin 4 x  (1  2 y)cos 4 x  6 y  1  (6  2 y)2  (1  2 y)2  (6 y  1)2  8 y 2  10 y  9  0 

5  97 5  97 y 8 8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Vậy min y 

5  97 5  97 . , max y  8 8

Bài 32. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3(3 sin x  4 cos x)2  4(3 sin x  4 cos x)  1

1 A. min y  ; max y  96 3 1 C. min y   ; max y  96 3

1 B. min y  ; max y  6 3 D. min y  2; max y  6 Lời giải:

Đặt t  3 sin x  4 cos x  t  5; 5 Khi đó: y  3t 2  4t  1  f (t ) với t    5; 5

2 1 Do min y  f (  )   ; max y  f (5)  96 . 3 3 Bài 33. Tìm m để các bất phương trình (3sin x  4 cos x)2  6 sin x  8 cos x  2m  1 đúng với mọi x  A. m  0

B. m  0

C. m  0

D. m  1

Lời giải: Đặt t  3sin x  4 cos x  5  t  5 Ta có: y  (3 sin x  4 cos x)2  6 sin x  8 cos x

 t 2  2t  (t  1)2  1 Do 5  t  5  0  (t  1)2  36  min y  1 Suy ra yêu cầu bài toán 1  2m  1  m  0 . Bài 34. Tìm m để các bất phương trình A. m 

3 5 4

B. m 

3 5 9 4

3sin 2 x  cos 2 x  m  1 đúng với mọi x  sin 2 x  4 cos2 x  1 C. m 

3 5 9 2

Lời giải: Đặt y 

3 sin 2 x  cos 2x sin 2 x  2 cos 2x  3

(Do sin 2x  2cos 2x  3  0 x  hàm số xác định trên  (3  y)sin 2 x  (1  2 y)cos 2 x  3 y Suy ra (3  y)2  (1  2 y)2  9 y 2  2 y 2  5 y  5  0 

5  3 5 5  3 5 5  3 5 y  max y  4 4 4

Yêu cầu bài toán 

5  3 5 3 5 9  m1 m  . 4 4

)

D. m 

3 5 9 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 35. Tìm m để các bất phương trình

4 sin 2 x  cos 2 x  17  2 đúng với mọi x  3cos 2 x  sin 2 x  m  1

10  3  m 

15  29 2

10  1  m 

15  29 2

10  1  m 

15  29 2

10  1  m  10  1

Lời giải: Trước hết ta có: 3cos 2x  sin 2x  m  1  0 x   m  1  10  32  12  ( m  1)2  m2  2m  9  0   (*)  m  1  10

 m  1  10  3cos 2x  sin 2x  m  1  0, x  Nên

4 sin 2 x  cos 2 x  17  2  2 sin 2 x  5cos 2 x  2m  15 3cos 2 x  sin 2 x  m  1

  29  2m  15  m 

Suy ra:

10  1  m 

15  29 2

 m  1  10  3cos 2x  sin 2x  m  1  0, x  Nên

4 sin 2 x  cos 2 x  17  2  2 sin 2 x  5cos 2 x  2m  15 3cos 2 x  sin 2 x  m  1

 29  2m  15  m 

Vậy

10  1  m 

15  29 (loại) 2

15  29 là những giá trị cần tìm. 2

  Bài 36. Cho x , y   0;  thỏa cos 2 x  cos 2 y  2 sin( x  y)  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của  2 4 4 sin x cos y . P  y x A. min P 

3 

B. min P 

2 

C. min P 

2 3

Lời giải: Ta có: cos 2 x  cos 2 y  2 sin( x  y)  2  sin 2 x  sin 2 y  sin( x  y) Suy ra: x  y 

 2

Áp dụng bđt:

a2 b2 (a  b)2   m n mn

D. min P 

5 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 sin Suy ra: P  Do đó: min P 

x  sin 2 y xy





2  . Đẳng thức xảy ra  x  y  .  4

2 . 

Bài 37.. Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  A. k  2

B. k  2 3

k sin x  1 lớn hơn 1 . cos x  2

C. k  3

D. k  2 2

Lời giải: Ta có y 

k sin x  1  y cos x  k sin x  2 y  1  0 cos x  2 2  3k 2  1 2  3k 2  1 y 3 3

 y 2  k 2  (2 y  1)2  3 y 2  4 y  1  k 2  0 

2  3k 2  1 Yêu cầu bài toán   1  5  3k 2  1  k  2 2 . 3

C.BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. Theo định nghĩa trong sách giáo khoa, A. hàm số lượng giác có tập xác định là

B. hàm số y  tan x có tập xác định là

C. hàm số y  cot x có tập xác định là

D. hàm số y  sin x có tập xác định là

Câu 2. Xét trên tập xác định thì A. hàm số lượng giác có tập giá trị là   1;1 . B. hàm số y  cos x có tập giá trị là   1;1 . C. hàm số y  tan x có tập giá trị là   1;1 . D. hàm số y  cot x có tập giá trị là   1;1 . Câu 3. Xét trên tập xác định thì A. hàm số y  sin x là hàm số chẵn. B. hàm số y  cos x là hàm số chẵn. C. hàm số y  tan x là hàm số chẵn. D. hàm số y  cot x là hàm số chẵn. Câu 4. Cho biết khẳng định nào sau đây là sai?

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. hàm số y  cos x là hàm số lẻ. B. hàm số y  sin x là hàm số lẻ. C. hàm số y  tan x là hàm số lẻ. D. hàm số y  cot x là hàm số lẻ. Câu 5. Cho hàm số lượng giác nào sau đây có đồ thị đối xứng nhau qua Oy ? A. y  sin x .

B. y  cos x .

C. y  tan x .

D. y  cot x .

Câu 6. Xét trên tập xác định thì A. hàm số lượng giác tuần hoàn với chu kì 2 . B. hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 . C. hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 . D. hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì 2 . Câu 7. Xét trên một chu kì thì đường thẳng y  m (với 1  m  1 ) luôn cắt đồ thị A. hàm số lượng giác tại duy nhất một điểm. B. hàm số y  sin x tại duy nhất một điểm. C. hàm số y  cos x tại duy nhất một điểm. D. hàm số y  cot x tại duy nhất một điểm. Câu 8. Xét trên tập xác định thì A. hàm số lượng giác luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. B. hàm số y  sin x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. C. hàm số y  tan x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. D. hàm số y  cot x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Câu 9. Trên khoảng ( 4 ; 3) , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dương? A. y  sin x .

B. y  cos x .

C. y  tan x .

D. y  cot x .

 7  5  Câu 10 .Trên khoảng   ;   , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị âm? 2   2

A. y  sin x .

B. y  cos x .

C. y  tan x .

D. y  cot x .

Câu 11. Các hàm số y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  cot x nhận giá trị cùng dấu trên khoảng nào sau đây?  3  A.  2;   . 2  

 3  B.   ;   .  2 

  C.  ;   . 2 

   D.   ; 0  .  2 

Câu 12. Hàm số y  5  3sin x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây?

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A.   1;1 .

B.   3; 3 .

C.  5; 8  .

D.  2; 8  .

Câu 13. Hàm số y  5  4 cos x  3 sin x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? A.   1;1 .

B.   5; 5 .

C. 0;10  .

D.  2; 9  .

Câu 14. Trên tập xác định, hàm số y  tan x  cot x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? A.  ;   .

B.  ; 2  .

C.  2;   .

D.  ; 2    2;   .

Câu 15. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = sinx

B. y = x+1

C. y = x2

D. y 

x 1 x2

Câu 16. Hàm số y = sinx:   A. Đồng biến trên mỗi khoảng   k 2 ;   k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 

  k 2 ; k 2  với k  Z 5  3   k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng B. Đồng biến trên mỗi khoảng   2  2 

       k 2 ;  k 2  với k  Z 2  2  3    k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng C. Đồng biến trên mỗi khoảng   k 2 ; 2 2 

       k 2 ;  k 2  với k  Z 2  2      D. Đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng 2  2  3    k 2  với k  Z   k 2 ; 2 2 

Câu 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = sinx –x

B. y = cosx

C. y = x.sinx

D. y 

x2  1 x

Câu 18. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y = x.cosx

B. y = x.tanx

C. y = tanx

D. y 

1 x

Câu 19. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. y =

sin x x

B. y = tanx + x

Câu 20. Hàm số y = cosx:

C. y = x2+1

D. y = cotx

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  A. Đồng biến trên mỗi khoảng   k 2 ;   k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 

  k 2 ; k 2  với k  Z    k 2 ; k 2 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng

và nghịch biến trên mỗi khoảng

 k 2 ;   k 2  với k  Z 3    k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng C. Đồng biến trên mỗi khoảng   k 2 ; 2 2 

       k 2 ;  k 2  với k  Z 2  2  D. Đồng biến trên mỗi khoảng

 k 2 ;3  k 2 

 k 2 ;   k 2 

và nghịch biến trên mỗi khoảng

với k  Z

Câu 21. Chu kỳ của hàm số y = sinx là: A. k 2 k  Z

 2

C. 

D. 2

Câu 22. Tập xác định của hàm số y = tan2x là: A. x 

 2

 k

B. x 

 4

 k

C. x 

 8

k

 2

D. x 

 4

k

 2

Câu 23. Chu kỳ của hàm số y = cosx là: A. k 2 k  Z

2 3

C. 

D. 2

Câu 24. Tập xác định của hàm số y = cotx là: A. x 

 2

 k

B. x 

 4

 k

C. x 

 8

k

 2

D. x  k

Câu 25. Chu kỳ của hàm số y = tanx là: A. 2

 4

C. k , k  Z

D. 

C. 

D. k k  Z

Câu 26. Chu kỳ của hàm số y = cotx là: A. 2

 2

Câu 27. Tập xác định của hàm số y  sinx 1 là: A. D  

B. D 

Câu 28. Tập xác định của hàm số y 

  C. D    k 2, k   2 

1 là: sinx cosx

  D. D    2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. D 

 \  4

   B. D   x  | x  k , k   2  

C. D 

   D. D   x  | x   k , k   4  

Câu 29. Tập xác định của hàm số y 

2 là: 1  cos x

A. D  C. D 

\

B. D  x  | x    k 2, k 



D. D  x  | x    k, k 



  Câu 30. Tập xác định của hàm số y  tan  x   là: 4 

A. D 

  \    4

   B. D   x  | x    k, k   4  

C. D 

 \  4

   D. D   x  | x   k, k   4  

    Câu 31. Tập xác định của hàm số y  cos  cot  x    là: 6   

 2  A. D   x  | x   k , k   3  

 2  B. D   x  | x   k 2, k   3  

   C. D   x  | x   k 2, k   6  

   D. D   x  | x   k, k   6  

Câu 32. Tập xác định của hàm số y 

1 là: sin x  cos4 x 4

   A. D   x  | x   k 2, k   4  

  1  B. D   x  | x   k , k   4 2  

   C. D   x  | x   k, k   4  

 1  D. D   x  | x  k , k   4  

Câu 33. Tập xác định của hàm số y  3 sin 2 x  tanx là:    A. D   x  | x   k, k   2  

   B. D   x  | x  k , k   2  

   C. D   x  | x   k 2, k   2  

D. D  x  | x  k, k 



http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 34. Tập xác định của hàm số y 

1 1  cos 4 x

là:

 1  A. D   x  | x  k , k   4  

   B. D   x  | x   k , k   4  

   C. D   x  | x  k , k   2  

    D. D   x  | x   k , k   4 2  

Câu 35. Tập xác định của hàm số y  tanx 3 là:        A. D   x  |  k   x   k , k   B. D   x  |  k   x, k   3 2 3        C. D   x  |k   x   k , k   3  

    D. D   x  |  k   x   k , k   3 2  

Bài 36. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số y  f  x  sau đây: A. y  sin 3 tanx

B. y  sinx tanx

C. y  cos x  x sinx

D. y 

tanx 2  cos x

  Bài 37. y  3cos  2 x   là hàm số tuần hoàn với chu kì: 6 

A. T  2

B. T 

 2

C. T 

3 2

D. T  

 5

D. T  2

Bài 38. y  tan 5x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T  

B. T 

2 5

C. T 

Bài 39. y  tan 2 x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T  2

B. T  

C. T  

D. T 

 2

  Bài 40. y  sin 2  2 x   là hàm số tuần hoàn với chu kì: 4 

A. T 

 2

B. T  2

C. T  

D. T  2

Bài 41. y  cos 3x  sin 3x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T  2

B. T 

 3

C. T  3

Bài 42. y  cos 3 x là hàm số tuần hoàn với chu kì:

D. T 

2 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

B. T  3

A. T  

C. T  2

D. T 

2 3

Bài 43. y  sin 3 x  cos 3 x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T 

 3

B. T  3

C. T  3

D. T  2

Bài 44. y  cos 4 x  sin 4 x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A. T 

 4

B. T  4 

C. T 

 2

D. T  2

Bài 45. y  cos 2 x  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì: B. T  2

A. T   Bài 46. y 

C. T  

D. T  2

sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì: 1  cos x

A. T  

B. T 

1 

C. T  2

D. T 

 2

   Bài 47. GTLN và GTNN của hàm số y  cos x trên   ;  là:  4 3 A. 1 và

1 2

3 1 và 2 2

2 1 và 2 2

D. 0 và

1 2

   Bài 48. GTLN và GTNN của hàm số y  sin 2 x trên   ;  là:  6 3 A.

3 1 và 2 2

3 3 và  2 2

3 1 và  2 2

1 1 và  2 2

3 và 1

   Bài 49. GTLN và GTNN của hàm số y  3 tanx trên   ;  là:  3 4 A.

3 và 

3 3

3 và

3 3

3 và 3

Bài 50. GTLN và GTNN của hàm số y  sinx cos 2 x trên A. 0 và

2 2

2 và

2 2

là:

2  2 và 0

D. 4 và 2

Bài 51. GTLN và GTNN của hàm số y  cos 2 x  sin 2 x  1 trên A. 3 và 1

B. 1 và 1

9 và 0 4

Bài 52. GTLN và GTNN của hàm số y  cos 4 x  sin 4 x trên A. 2 và 0

B. 1 và

1 2

là:

2 và 0

9 và 2 4

là: D.

2 và 1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 53. GTLN và GTNN của hàm số y  A.

và

3 1

3 và

1 3 1

Bài 54. GTLN và GTNN của hàm số y  A.

2 và

1 2 1

và

1 3  sin 2 x

1 3

là: 1

và

3

1 2

1 3

và

1 3

3 4

  2  trên  ;  là: 2  cos x 4 3  1

2 1

trên

1 2

và

1 2 2 2

1 2

và

1 3 2 2

2 2 2 1

10B

11A

12D

13C

14D

15A

16D

17B

18C

19C

20B

21A

22D

23A

24D

25D

26C

27C

28d

29B

30D

31D

32B

33A

34D

35D

37d

38c

39c

40a

47C

48C

49B

50C

Le-leChanle 41d

42C

43D

44C

45D

51D

52C

53B

54A

55D

46C

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾt Dạng toán 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản 1. Phƣơng trình: sin x  m (1) * Nếu: m  1  Phương trình vô nghiệm    * Nếu: m  1      ;  sin   m  2 2  x    k 2

 (1)  sin x  sin   

 x      k 2

( k  ).

       Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 2 thì ta viết   arcsin m . sin   m

*Các trường hợp đặc biệt: 1. sin x  1  x 

  k 2 2

 2 sin x  1  x    k 2 2 3. sin x  0  x  k

2. Phƣơng trình: cos x  m (2) * Nếu: m  1  phương trình vô nghiệm * Nếu: m  1    [0; ] : cos   m  x    k 2  (2)  cos x  cos    ( k  Z ).  x    k 2  0     Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  thì ta viết   arccos m . cos   m

* Các trường hợp đặc biệt: 1. cos x  1  x  k 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

2. cos x  1  x    k 2 3. cos x  0  x 

  k 2

3. Phƣơng trình : tan x  m (3)    Với m      ;  : tan   m  2 2  (3)  tan x  tan   x    k .

       Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 2 thì ta viết   arctan m . tan   m

* Các trường hợp đặc biệt: 1. tan x  1  x 

  k 4

 2. tan x  1  x    k 4 3. tan x  0  x  k 4. Phƣơng trình: cot x  m (4)

  Với m    ( ; ) : cot   m 2 2  (4)  cot x  cot   x    k .

       Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 2 thì ta viết   arc co t m . cot   m

* Các trường hợp đặc biệt: 1. cot x  1  x 

  k 4

 2. co t x  1  x    k 4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

3. cot x  0  x 

  k 2

Ghi chú: u  v  k 2  * sin u  sin v   u    v  k 2 

* cos u  cos v  u  v  k 2 ( k  )

(k  )

u  v  k  * tan u  tan v    u, v  2  n

(k, n  )

u  v  k (k, n  ) * cot u  cot v   u, v  n

Dạng 2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a sin x  b cos x  c (1) ; với a, b, c  a 2  b 2 và đặt

Cách giải: Chia hai vế cho cos  

a a b 2

; sin  

b a  b2 2

 (1)  sin x.cos   cos x.sin  

c a b 2

 sin( x  ) 

c a  b2 2

Chú ý:

 (1) có nghiệm  (2) có nghiệm  a2  b2  c 2 . 1  3  cos x   2 sin( x  )  sin x  3 cos x  2  sin x  2 3   2



và a2  b2  0 .

 3  1  3 sin x  cos x  2  sin x  cos x   2 sin( x  ) 2 6  2 

 1  1  sin x  cos x   2 sin( x  ) .  sin x  cos x  2  4 2  2 

Dạng 3. Phƣơng trình bậc hai chứa một hàm số lƣợng giác

(2).

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

sin u( x)  sin u( x)      cos u( x)  cos u( x)  Là phương trình có dạng : a  b c  0  tan u( x)  tan u( x)     cot u( x)  cot u( x)  sin u( x)    cos u( x )   Cách giải: Đặt t  ta có phương trình : at 2  bt  c  0  tan u( x )   cot u( x) 

Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x sin u( x)  Khi đặt t    , ta co điều kiện: t    1;1 cos u( x)

Dạng 4. Phƣơng trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f (sin x ,cos x)  0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos k x  0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . Dạng 5. Phƣơng trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  0 (3) Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t2  1  sin x cos x    t  sin x  cos x  2 sin  x     2 4    t   2; 2    

Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t. Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  0 (3’)

t    2; 2       Để giải phương trình này ta cũng đặt t  sin x  cos x  2 sin  x     2 4  sin x cos x  1  t   2

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản Các ví dụ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 2. cos2 x  sin 2 x  0

1. sin x  cos 2x  0 3. 2 sin(2 x  350 )  3

4. sin(2 x  1)  cos(3 x  1)  0 Lời giải:

 1. Phương trình  cos 2 x  sin x  cos(  x) 2   2   x  6  k 3  2 x  2  x  k 2 , k .    x     k 2  2 x     x  k 2  2  2

2. Phương trình cos2 x  2 sin x cos x  0 cos x  0 cos x  0  cos x(cos x  2 sin x)  0     tan x  1 2 sin x  cos x   2

   x  2  k  ,k .  x  arctan 1  k  2

3. Phương trình  sin(2 x  350 ) 

3  sin 60 0 2

 950  k.1800 x   2 x  350  600  k 3600 2 .   0 0 0 0 1550   2 x  35  180  60  k 360 0  x  2  k.180   4. Phương trình  cos(3x  1)  sin( 2 x  1)  cos   2 x  1  2 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

     x  2  2  k 2  3x  1  2  2 x  1  k 2 .    x     k 2  3x  1     2 x  1  k 2  10 5 2 

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 1. cos x  2 sin 2x  0 3. sin 2 2 x  cos 2 2 x  cos 3x

2. sin 3 x sin 3x  cos3 x cos 3x   4. sin 2x.cos 3x  sin 5x.cos 6 x

5. sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x 6. sin 2 3x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x

7. cos2 3x cos 2 x  cos 2 x  0 Lời giải:

1. Phương trình  cos x  4 sin x cos x  0  cos x(1  4 sin x)  0   cos x  0  x  2  k   sin x  1  x  arcsin 1  k 2 , x    arcsin 1  k 2   4  4 4

2. Ta có sin 3 x 

3sin x  sin 3x cos 3x  3cos x ; cos3 x  4 4

Nên phương trình đã cho tương đương với

sin 3x  3sin x  sin 3x   cos 3x  cos 3x  3cos x     3  sin 3x sin x  cos 3x cos x   1  

 3cos 4 x  

5 2

3 1    cos 4 x   x    k , k  . 2 2 12 2

3. Phương trình  sin 2 2 x  cos 2 2 x  cos 3 x  cos 4 x   cos 3x  cos    3 x    2  4 x    3x  k 2 x k    7 7   4 x    3 x  k 2 x    k 2  

5 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

4. Phương trình 

1 1 sin 5x  sin x   sin11x  sin x  2 2

 sin 5x  sin11x  x  k

   hoặc x  k 6 16 8

5. Phương trình  (sin x  sin 3x)  sin 2 x  (cos x  cos 3 x)  cos 2 x

 2sin 2x cos x  sin 2x  2cos 2x cos x  cos 2 x  2  1  x   3  k 2 cos x    (2 cos x  1)(sin 2 x  cos 2 x)  0   .  2     x k sin 2 x  cos 2 x  8 2

6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: Phương trình 

1  cos 6 x 1  cos 8 x 1  cos10 x 1  cos12 x    2 2 2 2

 cos6x  cos8x  cos10x  cos12x   x   k  cos x  0 2  2 cos 7 x cos x  2 cos11x cos x   .  x  k  ; x  k  cos11x  cos 7 x  2 9

7. Phương trình  (1  cos 6 x) cos 2 x  1  cos 2 x  0

 cos6x.cos 2 x  1  0  cos8x  cos 4x  2  0  2 cos2 4 x  cos 4 x  3  0  cos 4 x  1  x  k

 . 2

Nhận xét: * Ở cos 6x.cos 2x  1  0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay cos 6 x  4 cos 3 2 x  3 cos 2 x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số

lượng giác cos 2x . * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t  cos2 x Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau: 2. sin 2 x  3 cos 2 x  1

1. 3 sin x  4 cos x  0 3. 2 sin 3x  5 cos 3x  5

4. 3 cos x  3 sin x  1

5. sin 7 x  cos 2 x  3(sin 2 x  cos 7 x)

6. sin 3x  3 cos 3x  2 sin 2 x

7. sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x  2(cos 4 x  sin 3 x) Lời giải: 1. Phương trình  3sin x  4 cos x  tan x  

 4 4  x  arctan     k . 3  3

  1  2. Phương trình  2 sin(2 x  )  1  sin(2 x  )   sin 3 3 2 6   2x  3   2x    3 

    k 2 x    k  6 12  , k . 5    k 2 x   k  6 4

3. Ta có 2 2 

 5

 9  52  phương trình vô nghiệm.

4. Phương trình  3 cos x  sin x 

x

 1  cos( x  )  6 3 2 3

 1  arccos  k 2 , k  . 6 2 3

5. Phương trình  sin7 x  3 cos7 x  3 sin 2x  cos 2x       7 x   x   k 2 x k     6 3 36 3 , k .  cos(7 x  )  cos( x  )    6 3 7 x     x    k 2  x    k    6 3 16 4   3x   2 x  k 2   3 6. Phương trình  sin(3 x  )  sin 2 x   3  3x      2 x  k 2  3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 x   x  

  k 2 3 , k . 4 2 k 15 5

7. Phương trình 

3 1 3 1 sin x  sin 3x  3 cos 3x  2 cos 4 x  sin x  sin 3x 2 2 2 2

  x    k 2   6 .  sin 3x  3 cos 3x  2 cos 4 x  cos(3 x  )  cos 4 x   3  x    k 2  42 7

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:   2. tan   sin x  1   1 4 

1. cos(  sin x)  cos(3 sin x) Lời giải:

sin x  k  3 sin x   sin x  k 2  1. Phương trình    sin x  n 3  sin x   sin x  n 2    2

và 1  sin x  1 nên ta có các giá trị của k : 1,0,1

 Xét phương trình sin x  k . Do k  Từ đó ta có các nghiệm: x  m, x 

 Xét phương trình sin x 

  m, m  2

n . Ta có các giá trị của n là: n  2, n  1, n  0 2

Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x 

   l, x  l, x    l, l  2 6

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x  m, x  2. Phương trình 

   m, x    m m  . 2 6

  sin x  1   k  4 4

 sin x  1  1  4k  sin x  4k  sin x  0  x  m , m . Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất





3  1 sin x 





3  1 cos x  2 2 sin 2 x

2. 3 sin 2 x  5 cos 2 x  2 cos 2 x  4 sin 2 x  x  x 4. sin 2    tan 2 x  cos 2  0 2 2 4

3. 5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x

Lời giải: 1. Phương trình  3 sin x  cos x  3 cos x  sin x  2 2 sin 2x

  7  sin( x  )  cos( x  )  2 sin 2 x  sin( x  )  sin 2 x 6 6 12  7  7  x  12  k 2   2 x  x  12  k 2 .    x  5  k 2   2 x    x  7   k 2   36 3 12

2. Phương trình đã cho tương đương với

3sin2 x  5cos2 x  2(cos2 x  sin 2 x)  8 sin x cos x  5sin 2 x  8 sin x cos x  3cos 2 x  0  5 tan 2 x  8 tan x  3  0  tan x  1 hoặc tan x 

x

3 5

 3  k hoặc x  arctan  k 4 5

3. Điều kiện : cos x  0  x 

  k 2

Phương trình  5sin x  2  3(1  sin x)

 5sin x  2  3(1  sin x)  5sin x  2  3

sin 2 x cos2 x

sin 2 x 1  sin 2 x

sin2 x  (5sin x  2)(1  sin x)  3sin 2 x 1  sin x

 x  1  2  2 sin x  3sin x  2  0  sin x   sin   2 6 x  

  k 2 6 . 5  k 2 6

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

4. Điều kiện : cos x  0  x 

  k . 2

   sin 2 x Phương trình  1  cos( x  )   (1  cos x)  0 2  cos 2 x 

 (1  sin x) 

sin 2 x  (1  cos x)  0 1  sin 2 x

sin2 x  (1  cos x)  0 1  sin x

 (1  cos2 x)  (1  cos x)(1  sin x)  0  x  k 2 cos x  1 .  (1  cos x)(cos x  sin x)  0     x    k tan x  1   4

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: 1. sin 3 x  cos 3 x  sin x  cos x

2. 2 cos3 x  sin 3x

3. sin 2 x  3 tan x  cos x  4 sin x  cos x  Lời giải: 1. Phương trình  sin3 x  cos3 x  (sin x  cos x)(sin2 x  cos2 x)  2 cos 3 x  sin x cos 2 x  cos x.sin 2 x  0





 cos x sin2 x  sin x cos x  2 cos2 x  0  cos x  0  x 

  k (Do sin 2 x  sin x cos x  2 cos 2 x  0 x  2

2. Phương trình  2 cos 3 x  3 sin x  4 sin 3 x

 4 sin3 x  2 cos3 x  3sin x(sin2 x  cos2 x)  0  sin 3 x  3 sin x cos2 x  2 cos 3 x  0  tan 3 x  3 tan x  2  0 (do cos x  0 không là nghiệm của hệ)

 (tan x  1)(tan2 x  tan x  2)  0

)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   tan x  1 x   k    4   tan x  2  x  arctan( 2)  k

3. Điều kiện: cos x  0 Phương trình  tan2 x  3 tan x(1  tan2 x)  4 tan x  1  3 tan 3 x  tan 2 x  tan x  1  0

 (tan x  1)(3tan2 x  2 tan x  1)  0   tan x  1  x    k . 4 Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 1. sin 2 x  5 sin x cos x  6 cos 2 x  0

2. sin 2 x  3 sin x.cos x  1

3. 3 sin 2 x  5 cos 2 x  2 cos 2 x  4 sin 2 x

4. sin 3 x  cos 3 x  sin x  cos x Lời giải:

1. Nhận thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:    tan x  1  x    k tan x  5 tan x  6  0    . 4   tan x  6  x  arctan 6  k 2

t  tan x

2. Phương trình  sin2 x  3sin x.cos x  (sin2 x  cos2 x)  2 sin 2 x  3 cos x sin x  cos 2 x  0

Do cos x  0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:    tan x  1 x   k  4 2 tan 2 x  3 tan x  1  0    .  tan x  1 1  x  arctan  k  2  2 t  tan x

3. Phương trình đã cho tương đương với

3sin2 x  5cos2 x  2(cos2 x  sin 2 x)  8 sin x cos x  5sin 2 x  8 sin x cos x  3cos 2 x  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   tan x  1 x   k  4 .   5 tan 2 x  8 tan x  3  0   3  tan x  3  x  arctan  k  5  5 t  tan x

4. Phương trình  sin3 x  cos3 x  (sin x  cos x)(sin2 x  cos2 x)  2 cos 3 x  sin x cos 2 x  cos x.sin 2 x  0





 cos x sin2 x  sin x cos x  2 cos2 x  0  cos x  0  x 

  k 2 2

 1  7 (Do sin x  sin x cos x  2 cos x   sin x  cos x   cos 2 x  0 ). 2   4 2

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 1. cos 3x  cos 2x  cos x  1  0 3.

1  sin x

1 3 sin( x  ) 2

 4 sin(

7  x) 4

2. 3 cos 4 x  8 cos6 x  2 cos 2 x  3  0 4. 2 sin x(1  cos 2 x)  sin 2 x  1  2 cos x

Lời giải: 1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2x,3x nên ta tìm cách đưa về cùng một cung x . Phương trình  4 cos3 x  3cos x  (2 cos2 x  1)  cos x  1  0  2 cos3 x  cos2 x  2 cos x  1  0 .

Đặt t  cos x , t  1 .

1 Ta có: 2t 3  t 2  2t  1  0  (t 2  1)(2t  1)  0  t  1, t   . 2 * t  1  cos x  1  sin x  0  x  k * t

1 1 2 2  cos x    cos x  k 2 . 2 2 3 3

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau phương trình  cos 3 x  cos x  (1  cos 2 x)  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 2sin 2x sin x  2sin2 x  0  sin2 x(2cos x  1)  0  x  k sin x  0  .    x   2  k 2 cos x   1 3  2 

2. Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa còn chứa hàm số côsin lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x . Phương trình  3(2 cos2 2x  1)  (1  cos 2 x)3  1  cos 2 x  3    cos 2 x  0 x k    cos 2x(cos 2x  3cos 2 x  2)  0   4 2.  cos 2 x  1  x  k 2

3. Trong phương trình có ba cung x; x 

3 7  ;  x nên ta tìm cách chuyển ba cung này về 2 4

cùng một cung x Ta có: sin( x 

sin(

3     )  sin ( x  )  2  sin( x  )  cos x 2 2 2  

7     1  x)  sin  2  ( x  )   sin( x  )    sin x  cos x  4 4  4 2 

Phương trình 

1 1   2 2(sin x  cos x) sin x cos x

 (sin x  cos x)( 2 sin 2 x  1)  0 .

  sin x  cos x  0 x    k  4   . sin 2 x   1  5  x    k ; x    k  2  8 8

4. Ta chuyển cung 2x về cung x. Phương trình  4 sin x cos2 x  2 sin x cos x  1  2 cos x  2 sin x cos x(2 cos x  1)  2 cos x  1

   x  4  k  (2 cos x  1)(sin 2 x  1)  0   .  x   2  k 2  3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:







1. 4 cos 3x cos3 x  sin 3x sin 3 x  3 sin 6 x  1  3 cos 4 x  sin 4 x





2. 4 sin4 x  cos 4 x  sin 4 x





3  1  tan 2 x tan x  3



Lời giải:



1. Ta có: 4 cos 3x cos3 x  sin 3x sin 3 x  3 cos 2 x  cos 6 x và cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x nên Phương trình  3cos 2x  cos 6x  3 sin 6x  1  3cos 2x

 3 sin 6x  1  cos 6x  2 3 sin 3x cos 3x  2 sin 2 3x  2 sin 3x





3 cos 3x  sin 3x  0 .

   Suy ra nghiệm cần tìm là x  k ; x   k . 3 9 3   x  cos 2 x  0 2. Điều kiện   cos x  0 x  



  k 4 2.   k 2



Ta có : 4 sin4 x  cos4 x  4  2 sin2 2 x  3  cos 4 x

1  tan 2 x tan x  1 



sin 2 x sin x cos 2 x cos x  sin 2 x sin x .  cos 2 x cos x cos 2 x cos x

cos  2 x  x  cos 2 x cos x



1 . cos 2 x

Phương trình đã cho  3  cos 4 x  3 sin 4 x 

sin 4 x 3 cos 2 x

  cos 4 x  3 sin 4 x  2 sin 2 x  sin(4 x  )  sin 2 x . 6 Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là:

x

 5 k  .  k; x   12 36 3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : y  sin 2 x  14 sin x.cos x  5 cos 2 x  3. 3 33

Lời giải:

 Nếu cos x  0  y  1  3. 3 33  0  Với cos x  0 ta có: y 

(1  3 3 33) tan 2 x  14 tan x  3 3 33  5 cos 2 x

Vì   7 2  (1  3. 3 33)(3. 3 33  5)  0 Suy ra (1  3 3 33) tan 2 x  14 tan x  3 3 33  5  0 x 

Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 11. 1. Cho tan  , tan  là hai nghiệm của phương trình x 2  6 x  2  0 . Tính giá trị của biểu thức sau P  sin2 (  )  5sin(2  2)  2.cos2 (  ) 2. Cho tan  , tan  là hai nghiệm của phương trình x 2  bx  c  0 ( c  1 ). Tính giá trị của biểu thức P  a.sin2 (  )  b sin(2  2)  c.cos2 (  ) theo a, b, c Lời giải: 1. Theo định lí Viét ta có: tan   tan   6, tan .tan   2 Suy ra tan(  ) 

tan   tan  2. 1  tan .tan 

Ta có: P(1  tan 2 (  )) 

P

P  tan2 (  )  10 tan(  )  2 cos (  ) 2

tan 2 (  )  10 tan(  )  2 4  20  2 18   2 1 4 5 1  tan (  )

2. Theo định lí Viét ta có: tan   tan   b , tan .tan   c Suy ra tan(  ) 

tan   tan  b  . 1  tan .tan  1  c

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ta có: P(1  tan 2 (  )) 

P cos (  ) 2

 a tan2 (  )  2b tan(  )  c

P



a tan 2 (  )  2b tan(  )  c  1  tan 2 (  )

b2 2b 2  c (1  c)2 1  c b2 1 (1  c)2

ab2  2b2 (1  c)  c(1  c)2 . (1  c)2  b2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết)   1 Bài 1. Giải phương trình sin  2 x     3 2     x   4  k A.  , k  x  5  k   12

 x  B.  x  

    k x   k  4 4 , k  C.  , k 5    k x  k  12 12

   x   4  k 2 D.  , k x    k   12 2

Lời giải:     Phương trình  sin  2 x    sin    3   6       2 x  3   6  k 2  x   4  k   , k  2 x        k 2  x  5  k   3 6 12





Bài 2. Giải phương trình cos 3 x  150   x  250  k.120 0 A.  , k 0 0  x  15  k.120

3 2  x  50  k.1200 B.  , k 0 0  x  15  k.120

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 x  250  k.1200 C.  . k 0 0  x  15  k.120

 x  50  k.120 0 D.  , k 0 0  x  15  k.120

Lời giải: Phương trình  cos(3x  15 )  cos 30 0

 3x  150  300  k.3600  x  50  k.1200 , k    0 0 0 0 0  3x  15  30  k.360  x  15  k.120

1 1 Bài 3. Giải phương trình sin(4 x  )  2 3  1  x   8  k 2 A.  , k x    k   4 2

 1 1 1   x   8  4 arcsin 3  k 2 , k   x    1  1 arcsin 1  k   4 8 4 3 2  1 1 1   x  8  4 arcsin 3  k 2 C.  , k  x    1  1 arcsin 1  k   4 8 4 3 2

 1 1 1   x   8  4 arcsin 3  k 2 D.  , k  x    1 arcsin 1  k   4 4 3 2

Lời giải:  1 1  4 x  2  arcsin 3  k 2  Phương trình    4 x  1    arcsin 1  k 2   2 3  1 1 1   x   8  4 arcsin 3  k 2  , k  x    1  1 arcsin 1  k   4 8 4 3 2

Bài 4. Giải phương trình sin(2 x  1)  cos(2  x)  x  A.  x  

  2  k 2 2 , k  1 k 2   6 3 3

 x  B.  x  

  3  k 2 2 , k  1 k 2   6 3 3

100

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 x  C.  x  

  3  k 2 2 , k  1 k 2   6 3 3

 x  D.  x  

  k 2 2 , k  1 k 2   6 3 3

Lời giải:

 Phương trình  sin(2 x  1)  sin(  2  x) 2  2x  1   2x  1  

   2  x  k 2 x  2   x   2  x  k 2  2

  3  k 2 2 , k .  1 k 2   6 3 3

Bài 5. Giải phương trình 2 cos x  2  0 A. x  

  k 2, ( k  ) 6

B. x  

  k 2, ( k  ) 5

C. x  

  k 2, ( k  ) 3

D. x  

  k 2, ( k  ) 4

Lời giải: Phương trình  cos x 

2    cos  x    k 2 , ( k  ) 2 4 4

Bài 6. Giải phương trình

2 cot

2x 3



A. x 

5 3 3 arc cot  k ( k  ) 2 2 2

B. x 

3 5 3 arc cot  k ( k  ) 2 2 2

C. x 

3 3 3 arc cot  k ( k  ) 2 7 2

D. x 

3 3 3 arc cot  k ( k  ) 2 2 2

Lời giải: Phương trình  cot

x

2x 3 2x 3    arc cot  k 3 2 3 2

3 3 3 arc cot  k ( k  ) . 2 2 2

 1 Bài 7. Giải phương trình sin(4 x  )  3 2

101

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x 

  k , k  2

B. x 

  k , k  3

C. x 

  k , k  5

D. x  k, k  Lời giải:

    Phương trình  tan  3x    tan    3   3

 3x 

     k  x  k , k  3 3

Bài 8. Giải phương trình cot(4 x  200 ) 

1 3

A. x  300  k.450 , k 

B. x  200  k.900 , k 

C. x  350  k.900 , k 

D. x  200  k.450 , k  Lời giải:

Phương trình  cot(4x  200 )  cot 600

 4x  200  600  k.1800  x  200  k.450 , k  Bài 9. Giải phương trình sin 2x  2cos 2x  0

1 k A. x  arctan 2  , k  3 2

1 k B. x  arctan 2  , k  3 3

1 k C. x  arctan 2  , k  2 3

1 k D. x  arctan 2  , k  2 2 Lời giải:

Phương trình sin 2x  2cos 2x  tan 2 x  2

1 k  2 x  arctan 2  k  x  arctan 2  , k 2 2 Bài 10. Giải phương trình tan 2x  tan x A. x 

1  k , k  2

B. x  k

 , k 2

C. x  Lời giải:

  k, k  3

D. x  k, k 

102

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  2 x  x  k  x  k       Phương trình   x   k   x   k  x  k, k  . 2 2          x  4  k 2  x  4  k 2

Bài 11. Giải phương trình A. x 

  2 k 6

C. x 

  k 6

3 tan 2 x  3  0

(k  )

B. x 

  2 k 3

(k  )

D. x 

  k 2

Lời giải: Phương trình  tan 2 x  3  tan

    2 x   k 2   x   k 3 3 6

(k  ) .

Bài 12. Giải phương trình cos2 x  sin 2 x  0    x  2  k A.  k   x  arctan 1  k  3    x  2  k C.  k   x  arctan 1  k  5



   x  2  k B.  k   x  arctan 1  k  4



   x  2  k D.  k   x  arctan 1  k  2



Lời giải: Phương trình cos2 x  2 sin x cos x  0   cos x  0 x   k  cos x  0 2    cos x(cos x  2 sin x)  0    .  tan x  1 1   2 sin x  cos x x  arctan  k  2  2

Bài 13. Giải phương trình sin(2 x  1)  cos(3 x  1)  0

(k  )

103

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   x  2  2  k 2 A.  k   x    k 2  10 5    x  2  3  k 2 C.  k   x     k 2  10 5



   x  2  2  k 2 B.  k   x     k 2  10 5



   x  2  6  k 2 D.  k   x    k 2  10 5



Lời giải:   Phương trình  cos(3x  1)  sin( 2 x  1)  cos   2 x  1  2       x  2  2  k 2  3x  1  2  2 x  1  k 2    x     k 2  3x  1     2 x  1  k 2  10 5 2 

  Bài 14. Giải phương trình sin(4 x  )  sin(2 x  )  0 4 3  7  k  x  72  3 A.  k   x    k  24  7  k  x  72  3  k   x  11  2 k  24



 7  k  x  72  3 D.  k   x  11  k  24



 7  k  x  72  3 C.  k   x  11  k  4

Lời giải:     Phương trình  sin  4 x    sin   2 x  4  3    4x  4   4x     4

  7  k  2 x  k 2 x   3 72 3  2  x  11  k  2 x  k 2  3 24



104

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 Bài 15. Giải phương trình cos7 x  sin(2 x  )  0 5   k 2  x  50  5 A.  k   x     k  20 5  x  C.  x  

 k 2  50 5 k   k  20 5



 3 k 2   x   50  5 B.  k   x     k  20 5



 3 k 2   x  50  5 D.  k   x     k  20 5



Lời giải:    3  Phương trình  cos7 x  sin   2 x   cos   2x  5   10   3  3 k 2  7 x  10  2 x  k 2  x  50  5   7 x   3   2 x  k 2   x     k   10 20 5

 Bài 16. Giải phương trình sin 2 2 x  cos 2 ( x  ) 4  x  A.  x  

  k 4 k   k  2 3

   x   4  k  k   x    k  12 3



   x  4  2 k B.  k   x    k  12 3

   x  4  k D.  k   x    k  12 3



Lời giải:

  1  cos  2 x   2 1  cos 4 x  Phương trình    cos 4 x  sin( 2 x) 2 2    x  4  k    cos 4 x  cos   2 x    2   x    k  12 3



105

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 17. Giải phương trình sin 2 x  cos 2 4 x  1  x  A.  x  

k 13 k   k 15



 x  B.  x  

k 23 k   k 25



 x  C.  x  

k 3 k  k 5



 x  D.  x  

k 33 k   k 35

Lời giải:  x  Phương trình  cos 8 x  cos 2 x   x  

k 3 k 5

Bài 18. Giải phương trình sin 2x  3sin 4 x  0  k x  2 A.  k   x   1 arccos   1   k  6  3     k x  2 C.  k   x   7 arccos   1   k  6  2   



 k x  2 B.  k   x   5 arccos   1   k  6  2   



 k x  2 D.  k   x   1 arccos   1   k  6  2   



Lời giải:  k x  2 Phương trình  sin 2 x 1  6 cos 2 x   0    x   1 arccos   1   k  6  2   

Bài 19. Giải phương trình 6sin 4x  5sin 8x  0  x  A.  x   

k 4 k  1  3  k arccos     4  5 2



 k x  4 B.  k   x   1 arccos   3   k  5 2  3   



106

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 k x  1  4 C.  k   x   1 arccos   3   k  5 2  4   

 k x  4 D.  k   x   1 arccos   3   k  5 2  4   



Lời giải:  k x  4 Phương trình  sin 4 x  3  5cos 4 x   0   .  x   1 arccos   3   k  5 2  4   

Bài 20. Giải phương trình A. x 

x

  k ,  k  4

3  2 k ,  k  4



cos 2 x 0 1  sin 2 x



B. x  D. x 

3  k ,  k  4

3  k ,  k  14

 C.



Lời giải: Điều kiện: sin 2 x  1  x 

  k 4

Phương trình  cos 2 x  0  x  Kết hợp điều kiện ta có: x 

  k 4 2

3  k là nghiệm của phương trình 4

Bài 21. Giải phương trình cot 2x.sin 3x  0  x  A.  x  

  k 4 2 k  2 k 3



 x  D.  x  

  k 4 2 k  k 3



 x  B.  x  

Lời giải: Điều kiện: sin 2 x  0  x 

k 2

  k 3 2 k  2 k 3



 x  C.  x  

  k 4 k  k 3



107

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 x  cot 2 x  0 Phương trình    x  sin 3x  0 

  k 4 2 k 3

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 

  m với m  3n  k ,x  4 2 3

Bài 22. Giải phương trình tan 3x  tan 4x A. x 

  m  m  2

x  m  m 

B. x  2  m  m 



 C.

x  2m  m 

 Lời giải:

  x  cos 3x  0  Điều kiện:  cos 4 x  0 x  

  k 6 3   k 8 4

Phương trình  4x  3x  m  x  m Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x  m . Bài 23. Giải phương trình cot 5x.cot 8x  1 A. x 

 m  , m  13n  5,  m, n  26 13



B. x 

 m  , m  13n  6,  m, n  26 15



C. x 

 m  , m  13n  7,  m, n  26 13



D. x 

 m  , m  13n  6,  m, n  26 13



Lời giải:   x  sin 5 x  0  Điều kiện:  sin 8 x  0 x  

k 5 k 8

    Phương trình  cot 8 x  tan 5x  cot   5x   x  m 26 13 2 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x  Bài 24. Số nghiệm của phương trình

4  x 2 sin 2 x  0

 m  , m  13n  6 . 26 13



108

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

Lời giải: Điều kiện: 2  x  2  x  2  x  2 Phương trình     x  k sin 2 x  0  2

 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x  2, x   , x  0 . 2 Bài 25. Cho phương trình





1  x  1  x cos x  0 kết luận nào sau đây về phương trình

là đúng? A. Có 1 nghiệm

B. Có 2 nghiệm

C. Có vô số nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải:

Điều kiện: 1  x  1 Phương trình  cos x  0  x 

  k 2

Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm.

 Bài 26. Giải phương trình tan 2 x  cot 2 x  1  cos 2 (3 x  ) 4 A. x 

  2 k 4

B. x 

  k 4 2

C. x 

  k 4 3

Lời giải: Điều kiện: sin 2 x  0  x 

k 2

  Ta có: tan 2 x  cot 2 x  2  1  cos 2  3x   4    tan 2 x  cot 2 x x    k    4  Nên phương trình     sin 3 x   0   x     m  4     12 3

x

  k là nghiệm của phương trình đã cho. 4

D. x 

  k 4

109

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 27. Giải phương trình cos( A. x 

x

  k ,  k  2

  k 2,  k  2

 D.

2 2 sin x  )  1 3 3



B. x 

x

  k 2,  k  3

 2 k ,k  2 3



 Lời giải:

Phương trình 

2 2 sin x   k 2  sin x  1  3k 3 3

Do 1  sin x  1  k  0  x 

  k 2 2

  Bài 28. Giải phương trình cot   cos x  1   1 4 

A. x 

  2 k,  k  2

D. x 

  k ,  k  2



B. x 

   k ,k  2 2



C. x 

   k ,k  2 3



 Lời giải:

Phương trình 

  cos x  1    k  4 4

 cos x  4 k  k  0  cos x  0  x  Bài 29. Giải phương trình  x  k A.  k   x    k  3  x  2 k  k   x  2   2 k  3



  k . 2

3 sin 2x  cos 2 x  1  0



 x  k B.  k   x  2   2 k  3

 x  k D.  k   x  2  k  3



Lời giải:  x  k   1 Phương trình  sin  2 x        x  2   k 6 2   3



110

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 30. Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2 cos 5x  5 k   x  48  5 A.  k   x   5  k   12



 5 k   x  48  4 B.  k   x   5  2 k   12



 5 k   x  48  4 D.  k   x   5  k   12

 5 k   x  48  4 C.  k   x   5  k   12 2



Lời giải:     Phương trình  sin  3x    sin   5x  3  2     3x  3    3x     3

  5 k   5x  k 2 x   2 48 4   5  x    5x  k 2  k  2 12

Bài 31. Cho phương trình sin x(sin x  2 cos x)  2 khẳng định nào sao đây là đúng? A. Có 1 nghiệm

B. Vô nghiệm

C. Có 4 nghiệm

D. Có 2 họ nghiệm

Lời giải: Phương trình 

1  cos 2 x  sin 2 x  2  2 sin 2 x  cos 2 x  3 2

Phương trình vô nghiệm. 3(sin 2 x  cos 7 x)  sin 7 x  cos 2 x

Bài 32. Giải phương trình   2  x   10  k 5 A.  k   x  7   k 2  54 9



  3  x  10  k 5 B.  k  x  7  k   54 3



111

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

    x  10  k 5 C.  k  x  7  k   54 9   2  x  10  k 5  k   x  7   k 2  54 9



 Lời giải:

Phương trình  3 sin 2x  cos 2x  sin7 x  3 cos7 x   2 x k      10 5  sin  2 x    sin  7 x     6 3    x  7   k 2  54 9





Bài 33. Giải phương trình 4 sin4 x  cos4 x  3 sin 4x  2   k x  4  7 A.  k   x     k  12 7   k x  4  3 C.  k   x     k  12 3



  k x  4  5 B.  k   x     k  12 5



  k x  4  2 D.  k   x     k  12 2



Lời giải: Phương trình  4  2sin2 2x  3 sin 4x  2   k x     1 4 2 . cos 4 x  3 sin 4 x  1  cos  4 x       3 2   x     k  12 2

Bài 34. Giải phương trình A. x 

1  cos x  cos 2 x  cos 3x 2  (3  3 sin x) 3 2 cos2 x  cos x  1

   k  , x    k ,  k  2 6



B. x 

   k 2 , x    k 2 ,  k  2 6



112

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. x 

   k 3, x    k 3,  k  2 6

  D. x    k 2, x    k 2,  k  2 6



Lời giải: Điều kiện: 2 cos x  cos x  1  0 2



4 cos3 x  2 cos2 x  2 cos x 2 Phương trình   3  3 sin x 3 2 cos2 x  cos x  1



   x  2  k 2   3  3 cos x  3  3 sin x  cos  x     6 2   x     k 2  6

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x 

Bài 35. Giải phương trình

   k 2, x    k 2 . 2 6

cos x  2 sin x.cos x  3 2 cos2 x  sin x  1

A. x 

5 k   ,k 18 3

B. x 

5 k 2   ,k 18 3

C. x 

5 k 4   ,k 18 3

D. x 

5 k 5  ,k 18 3

Lời giải: Điều kiện: 2 cos2 x  sin x  1  0 Phương trình  cos x  sin 2x  3 cos 2 x  3 sin x    x   2  k 2    sin  2 x    sin( x  )   3 6   x  5  k 2   18 3

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình. x 

5 k 2   ,k 18 3

Bài 36. Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2  sin x  cos x  cos x  3  cos 2 x A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm

C. Vô nghiệm

nhất Lời giải: Phương trình  2 sin 2 x  2(1  cos 2 x)  3  cos 2 x

D. Có 1 nghiệm duy

113

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 2 sin 2 x 





2  1 cos 2 x  3  2 phương trình vô nghiệm.

Bài 37. Giải phương trình 3 cos 4 x  sin 2 2 x  cos 2 x  2  0 A. x 

 6  k 2 ( k  ) hoặc x   arccos  k2   k  2 7

B. x 

  6  k ( k  ) hoặc x   arccos  k2   k  2 2 7

C. x 

 6  k ( k  ) hoặc x   arccos  k  k  2 7

D. x 

 6  k ( k  ) hoặc x   arccos  k2   k  2 7

. .

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với

3(2 cos2 2x  1)  (1  cos2 2 x)  cos 2 x  1  0  7 cos2 2 x  cos 2 x  6  0  cos 2 x  1 hoặc cos 2 x 

x

6 7

 6  k hoặc x   arccos  k2  . 2 7

Bài 38. Giải phương trình

1  3cot x  1  0 sin 2 x

  A. x    k  k  4 2

 hoặc x  arc cot(2)  k 2  k  

  B. x    k  k  4 3

 hoặc x  arc cot(2)  k 3  k  

 C. x    k  k  4

 hoặc x  arc cot(2)  k  k  

D. x 

  k  k  4

 hoặc x  arc cot(2)  k  k   Lời giải:

Phương trình  1  cot 2 x  3 cot x  1  0  cot 2 x  3 cot x  2  0  cot x  1 hoặc cot x  2

114

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  x    k hoặc x  arc cot( 2)  k 4

3 tan x  cot x  3  1  0

Bài 39. Giải phương trình  x  A.  x  

  k 4 k    k 6 2



 x  D.  x  

  k 4 k    k 6



 x  B.  x  

  k 2 4 k    k 2 6

 x   C.  x  

  k 3 4 k    k 3 6

Lời giải: Phương trình  3 tan 2 x  ( 3  1) tan x  1  0   tan x  1 x      tan x  1 x   3 

  k 4   k 6

Bài 40. Giải phương trình cos 2 x  3cos x  4 cos 2 A. x  

x

2  k  k  3

2 2  k  k  3 3

C. x  

x 2



2  k 4  k  3



D. x  

2  k 2  k  3



Lời giải: Phương trình  2 cos2 x  1  3cos x  2(1  cos x)

 2 cos2 x  5cos x  3  0  cos x  

1 2 x  k 2 2 3

Bài 41. Giải phương trình  1  sin x  1  cos x   2   x   k 2 A.  , k 2   x  k

  x   k B.  , k 4   x  k



115

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  x   k 2  D. , k 3   x  k 2 

  x   k 2  C.  , k 2   x  k 2 

Lời giải: Phương trình  sin x  cos x  sin x cos x  1  0

t2  1  Đặt t  sin x  cos x  2 cos(x  ), t   2; 2   sin x cos x  .   4 2 Thay vào phương trình ta có: t 

t2  1  1  0  t 2  2t  3  0  t  1 2

      x  4  4  k 2 x   k 2     2 cos  x    1    , k . 2  4   x       k 2  x  k 2   4 4

Bài 42. Giải phương trình sin 2 x  4  sin x  cos x   4   x   k  A. k  2   x    k

  1 x  2  k 2   k  x    k 1   2



  2 x  2  k 3  B.  k  x    k 2   3

  x   k 2  D. k  2   x    k 2



Lời giải:   Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   , t    2; 2   2 sin x cos x  1  t 2 .   4 

Thay vào phương trình ta được: 1  t 2  4t  4  t 2  4t  3  0  t  1   x   k 2   1  sin  x     2  4 2  x    k 2 

Bài 43. Giải phương trình

2  sin x  cos x   tan x  cot x

116

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x 

x

  k ,  k  4

 2  k ,  k  4 3



B. x  D. x 

  k 2,  k  4

 1  k ,  k  4 2



117



Lời giải: Điều kiện: sin 2 x  0  x 

k 2

Phương trình  2  sin x  cos x  

2  sin 2 x  sin x  cos x   2 sin 2 x

Đặt t  sin x  cos x , t    2; 2   sin 2 x  t 2  1   Thay vào phương trình ta có được: (t 2  1)t  2  t 3  t  2  0  (t  2)(t 2  2t  1)  0

    t  2  sin  x    1  x   k 2 . 4 4 

Bài 44. Giải phương trình cos3 x  sin 3 x  1 .   x   k  A. k  2   x    k   x   k7   C. k  2   x    k7 

 

  x   k 3  B. k  2   x    k 3



  x   k 2  D. k  2   x    k 2



Lời giải: Phương trình  (cos x  sin x)(1  sin x cos x)  1  0   1  t2 Đặt t  cos x  sin x  2 cos  x   , t    2; 2   sin x cos x  .   4 2   1  t2  3 Thay vào phương trình ta được: t  1    1  0  t  3t  2  0  t  1 2  

  x   k 2   1  cos  x      . 2  4 2   x    k 2

Bài 45. Giải phương trình 2 sin 2 x  5 sin x  3  0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 A. x    k  k  2



 C. x    k 3  k  2



 1 B. x    k   k  2 2



 D. x    k 2  k  2



Lời giải:

 Phương trình sin x  1  x    k 2 2 Bài 46. Giải phương trình 2 cos 2 2 x  2 1 3 1   k k  A. x   arccos 2 2 2

1 3 1 C. x   arccos  k  k  2 2





3  1 cos 2 x  3  0



1 3 1  3 k  k  B. x   arccos 2 2



1 3 1 D. x   arccos  2 k  k  2 2



Lời giải: Phương trình  cos 2 x 

3 1 1 3 1  x   arccos  k 2 2 2

Bài 47. Giải phương trình

2 tan x  5. 1  tan 2 x

A. x  arctan

1  26  2 k,  k  5



B. x  arctan

1  26 1  k ,  k  5 2

C. x  arctan

1  26  3k,  k  5



D. x  arctan

1  26  k ,  k  5



Lời giải: Phương trình  5 tan 2 x  2 tan x  5  0  tan x 

1  26 1  26  x  arctan  k 5 5

Bài 48. Giải phương trình cos 2x  5sin x  3  0 .

 7 A. x    k, x   k  k  6 6



 7 C. x    k 4, x   k 4  k  6 6



 7 B. x    k 3, x   k 3  k  6 6



 7 D. x    k 2, x   k 2  k  6 6



Lời giải:

118

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Phương trình  2 sin 2 x  5 sin x  2  0  sin x  

1  7  x    k 2 , x   k 2 . 2 6 6

Bài 49. Giải phương trình 5 1  cos x   2  sin 4 x  cos 4 x . A. x  

2  k,  k  3

C. x  

2  k 2,  k  3



B. x  

2 1  k ,  k  3 2

D. x  

  k 2,  k  3



Lời giải: Phương trình  5  5 cos x  2  sin 2 x  cos 2 x

 2 cos2 x  5cos x  2  0  cos x  

1 2 x  k 2 2 3

 5   7  Bài 50. Giải phương trình sin  2 x    3 cos  x    1  2 sin x . 2  2   

A. x  k, x 

 5  k , x   k 6 6

C. x  k 2, x 

B. x  k 2, x 

 5  k , x   k 6 6

D. x  k, x 

 5  k 2 , x   k 2 6 6

 5  k 2, x   k 2 6 6

Lời giải: Phương trình  cos 2x  3sin x  1  2sin x

2 sin 2 x  sin x  0  x  k, x 

 5  k 2 , x   k 2 6 6

Bài 51. Giải phương trình 7 cos x  4 cos3 x  4 sin 2 x  x  A.  x  

  k 2 2  5  k 2, x   k 2 6 6

 x  B.  x  

  k 2 2  5  k, x   k 6 6

 x  C.  x  

  k 2  5  k, x   k 6 6

 x  D.  x  

  k 2  5  k 2, x   k 2 6 6



Lời giải:



Phương trình  cos x 4 cos2 x  8 sin x  7  0

119

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 x  cos x  0   2 x   4 sin  8 sin x  3  0 

  k 2  5  k 2, x   k 2 6 6

Bài 52. Giải phương trình cos 4 x  cos2 3x  x  k 2 A.   x     k 3  12 2

 x  k B.   x     k 3  12 2

 x  k 2 C.   x     k  12 2

 x  k D.   x     k  12 2

Lời giải: Phương trình  2 cos 4x  1  cos 6x  4 cos3 2 x  4 cos2 2 x  3cos x  3  0 cos 2 x  1  x  k  x  k      cos 2 2 x  3 cos 4 x  1  x     k    4  2 12 2

Bài 53. Giải phương trình 2 cos 2 x  6 sin x cos x  6 sin 2 x  1    x   4  k 2 A.   x  arctan   1   k 2  6    

   x   4  k 2 B.   x  arctan   1   k  6    

   x   4  k C.   x  arctan   1   k 1   6  2   

   x   4  k D.   x  arctan   1   k  6    

Lời giải: Phương trình cos2 x  5 sin x cos x  5 sin 2 x  0    tan x  1  x   4  k  5 tan 2 x  6 tan x  1  0     tan x   1  x  arctan   1   k   6 6    

Bài 54. Giải phương trình cos2 x  3 sin 2x  1  sin 2 x   x   k  A. 3   x  k

  x   k 2  B. 3   x  k 2 

   x  3  k C.  x  k 1   2

  x   k 2  D. 3   x  k

120

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải:   1 Phương trình  cos 2 x  3 sin 2 x  1  cos  2 x    3 2        2 x  3  3  k 2 x   k 2    3   2 x       k 2 x  k    3 3

Bài 55. Giải phương trình cos2 x  sin x cos x  2 sin 2 x  1  0 là:  1 A. x  k 2, x  arctan     k 2  3

1  1 1 B. x  k , x  arctan     k  3 3  3

1  1 1 C. x  k , x  arctan     k  2 2  3

 1 D. x  k, x  arctan     k  3

Lời giải: Phương trình  sin x(3 sin x  cos x)  0  sin x  0 hoặc tan x  

1 3

 1  x  k, x  arctan     k  3

Bài 57. Giải phương trình cos2 x  3 sin x cos x  1  0 là: A. x  k 2, x 

  k 2 3

1  1 x  k , x   k  2 3 2

1  1 C. x  k , x   k  3 3 3

Phương trình  sin x

 x  k, x 



D. x  k, x 



  k 3

Lời giải:

3 cos x  sin x  0  sin x  0 hoặc tan x  3

  k . 3

Bài 58. Cho phương trình 2 2  sin x  cos x  cos x  3  2 cos 2 x , Khẳng định nào sau đây đúng? A. Có 1 nghiệm

B. Có 2 họ nghiệm

C. Vô nghiệm

D. Vô số nghiệm

121

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



Lời giải:



Phương trình  2 2  tan x  1  3 1  tan 2 x  2

 3 tan 2 x  2 2 tan x  5  2 2  0 vô nghiệm Bài 59. Giải phương trình tan x  cot x  2  sin 2 x  cos 2 x  là:  x  A.  x  

  k 4   k 8

 x  B.  x  

  k 2 4   k 2 8

 x  C.  x  

 3 k 4 2  3 k 8 2

 x  D.  x  

Lời giải: Phương trình 

1  sin 2 x  cos 2 x  1  cot 2 2 x  1  cot 2 x sin 2 x

 x  cot 2 x  0   x  cot 2 x  1 

  k 4 2   k 8 2

Bài 60. Giải phương trình 2 cos3 x  sin 3x  x  arctan( 2)  k 2  A.   x    k 2  4

 1  x  arctan( 2)  k 2  B.  x    k 1   4 2

 1  x  arctan( 2)  k 3  C.  x    k 1   4 3

 x  arctan( 2)  k D.   x    k  4

Lời giải: Phương trình  2 cos3 x  3 sin x  4 sin 3 x  3 sin x cos 2 x  sin 3 x  x  arctan( 2)  k  tan x  2  2  3 tan x  tan x     x    k tan x  1   4 3

Bài 61. Giải phương trình 4 sin 3 x  3cos 3 x  3sin x  sin 2 x cos x  0

  k 4 2   k 8 2

122

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   x   3  k 2 A.   x    k 2  4

  1 x   3  k 2  B.  x    k 1   4 2

  1 x   3  k 3  C.  x    k 1   4 3

   x   3  k D.   x    k  4

Lời giải: Phương trình  4 tan3 x  3  3tan x(1  tan2 x)  tan2 x  0   x    k 2   tan x  3 3   tan 3 x  tan 2 x  3 tan x  3  0    x    k  tan x  1  4

Bài 62 . Giải phương trình  7  x  24  k A.   x    k  24

3 sin 2x  cos 2x  2 là:

 7  x  24  k 2  B.   x    k 2  24

 7 1  x  24  k 2  C.  x    k 1   24 2

 7  x  24  k D.   x    k  24

Lời giải:     7  2 x  3  4  k 2  x  24  k   2   Phương trình  cos  2 x    3 2   2 x       k 2  x    k   3 4 24

Bài 63. Giải phương trình 4 sin x  3cos x 

6  6 là: 4 sin x  3cos x  1

   3  2  x    arcsin     k  x    arcsin     k2   5  5 A.  hoặc     3  2  x      arcsin     k  x      arcsin     k2   5  5      3  2  x    arcsin     k 2  x    arcsin     k  5  5 B.  hoặc     3  2  x      arcsin     k 2  x      arcsin     k  5  5      3 1  2 1  x    arcsin     k   x    arcsin     k  2 3  5  5 C.  hoặc     3 1  2 1  x      arcsin     k   x      arcsin     k  2 3  5  5  

123

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   3  2  x    arcsin     k 2  x    arcsin     k2   5  5 D.  hoặc     3  2  x      arcsin     k 2  x      arcsin     k2   5  5  

Lời giải: Phương trình  (4 sin x  3cos x)2  5(4 sin x  3cos x)  6  0  3 sin( x  )   5  4 sin x  3 cos x  3   3 với    0;  : sin     5  2 sin( x  )   2  4 sin x  3 cos x  2  5    3  2  x    arcsin     k 2  x    arcsin     k 2  5  5  hoặc     3  2  x      arcsin     k 2  x      arcsin     k 2  5  5  

Bài 64. Giải phương trình A. x  

  k 18 3

cos x  2 sin x.cos x  3 2 cos2 x  sin x  1

B. x  

 4 k 18 3

C. x  

 5 k 18 3

Lời giải: Điều kiện: 2 cos 2 x  sin x  1  0  cos 2 x  sin x  0 Phương trình  cos x  sin 2x  3 cos 2 x  3 sin x    x  2  k 2      cos  2 x    cos  x     6 3    x     k 2  18 3

Kết hợp điều kiện ta có x  

 2 . k 18 3





Bài 65. Giải phương trình 4 sin4 x  cos4 x  3 sin 4x  2

D. x  

 2 k 18 3

124

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  k 3 x  4  2 A.   x     k 3  12 2

  k 5 x  4  2 B.   x     k 5  12 2

  k7  x  4  2 C.   x     k7   12 2

Lời giải:  1  Phương trình  4  1  sin 2 2 x   3 sin 4 x  2  2 

 1  2 sin2 2x  3 sin 4x  1  cos 4 x  3 sin 4 x  1   k x     1 4 2  cos  4 x       3 2    x     k  12 2

Bài 66. Giải phương trình 2 sin 2 x   sin x  cos x   1  0 A. x  k, x 

  1    k hoặc x   arccos     k 4 2  2 2

  1  1 1  1 B. x  k , x   k  hoặc x   arccos   k  4 3 3 2 3  2 2   1  2 2  2 C. x  k , x   k  hoặc x   arccos   k  4 3 3 2 3  2 2

D. x  k 2, x 

  1    k 2 hoặc x   arccos     k2  4 2  2 2

Lời giải:     t  2 Đặt t  sin x  cos x  2 cos  x     4  sin 2 x  t 2  1  

Ta có : 2(t 2  1)  t  1  0  2t 2  t  1  0  t  1, t  

1 2

  1   x  k 2, x   k 2  t  1  cos  x    4 2 2 

t

 1   1  1   cos  x      x   arccos     k 2 2 4 4 2 2   2 2

  k x  4  2 D.   x     k  12 2

125

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 67. Giải phương trình sin 2 x  12  sin x  cos x   12  0 A. x 

  k, x    k 2 2

B. x 

 2  k 2, x    k  2 3

C. x 

 1 2  k , x    k  2 3 3

D. x 

  k 2, x    k 2 2

Lời giải:     t  2 Đặt t  cos x  sin x  2 cos  x     4  sin 2 x  1  t 2  

  1 Ta có: 1  t 2  12t  12  0  t  1  cos  x     4 2 

x

  k 2, x    k 2 . 2

  Bài 68. Giải phương trình sin 2 x  2 sin  x    1 4 

A. x 

   k  , x   k , x    k 2  4 2

B. x 

 1  1 1  k , x   k , x    k  4 2 2 2 2

C. x 

 2  2  k  , x   k  , x    k 2 4 3 2 3

D. x 

   k , x   k 2, x    k 2 4 2

Lời giải:  t  2   Đặt t  2 sin  x    sin x  cos x   2 4  sin 2 x  1  t

Ta có: 1  t 2  t  1  t  0, t  1 Từ đó ta tìm được: x 

   k , x   k 2, x    k 2 4 2

Bài 69. Giải phương trình 1  tan x  2 2 sin x A. x 

 11 5  k , x   k , x    k 4 12 12

C. x 

 11 1 5  k 2, x   k  , x    k 2 4 12 4 12

x

 11 5  k 2, x   k 2x  , x    k 2 4 12 12

B. x 

 2 11 2 5 2  k , x   k , x    k  4 3 12 3 12 3 D.

126

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải: Điều kiên: cos x  0 Phương trình  sin x  cos x  2 sin 2 x     t  2 Đặt t  sin x  cos x  2 cos  x     4  sin 2 x  t 2  1  





Ta có: t  2 t 2  1  2t 2  t  2  0  t  2 , t  

Từ đó tìm được: x 

1 2

 11 5  k 2, x   k 2x  , x    k 2 4 12 12

Bài 70. Giải phương trình cos x  sin x  2 sin 2 x  1 A. x 

k 3 2

B. x 

k 5 2

C. x 

k7  2

D. x 

k 2

Lời giải: sin 2 x  1  t 2   Đặt t  sin x  cos x  2 cos  x     4  0  t  2

Ta có: t  2(1  t 2 )  1  2t 2  t  1  0  t  1  sin 2 x  0  x 

k 2

Bài 71. Giải phương trình cos3 x  sin 3 x  cos 2 x

  A. x    k 2, x    k, x  k 4 2

 2  B. x    k , x    k, x  k 4 3 2

 1  2 C. x    k , x    k , x  k 2 4 3 2 3

  D. x    k, x    k 2, x  k 2 4 2

Lời giải: Phương trình  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  (sin x  cos x)(cos x  sin x)   sin x  cos x 1  sin x cos x  cos x  sin x   0

  Từ đó ta tìm được: x    k, x    k 2, x  k 2 4 2 Bài 72. Giải phương trình cos3 x  sin 3 x  2 sin 2 x  sin x  cos x

127

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x 

k 3 2

B. x 

k 5 2

C. x  k

D. x 

k 2

Lời giải: Phương trình   cos x  sin x  1  sin x cos x   2 sin 2 x  sin x  cos x     t  2 Đặt t  sin x  cos x  2 cos  x     4  sin 2 x  t 2  1    t2  1  k 2 2 Ta có: t  1    2(t  1)  t  t  1  sin 2 x  0  x  2  2 

Lời giải: Giải phương trình cosx 

1 1 10  sinx   cos x sin x 3

A. x 

 2  19  arccos  k 2 4 3 2

B. x 

 2  19  arccos  k 2 4 2

C. x 

 2  19  arccos  k 4 2

D. x 

 2  19  arccos  k 2 4 3 2

Bài 73. Phương trình  sin x  cos x 

sin x  cos x 10  sin x cos x 3

    t  2 Đặt t  sin x  cos x  2 cos  x     4  sin 2 x  t 2  1  

Ta có: t 

2t 10   3t(t 2  1)  6t  10(t 2  1) (t  1) t 1 3 2

 3t 3  10t 2  3t  10  0  (t  2)(3t 2  4t  5)  0  t 

2  19 3

   2  19  2  19  cos  x     x   arccos  k 2 4 4 3 2 3 2 

Bài 74. Giải phương trình 2 cos 2 x  6 sin x cos x  6 sin 2 x  1   1 A. x    k 2; x  arctan     k 2 4  5

 2  1 2 B. x    k ; x  arctan     k  4 3 3  5

 1  1 1 C. x    k ; x  arctan     k  4 4 4  5

  1 D. x    k; x  arctan     k 4  5

128

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải: Phương trình  5 sin 2 x  6 sin x cos x  cos 2 x  0   1 Giải ra ta được x    k; x  arctan     k . 4  5

Bài 75. Giải phương trình cos2 x  3 sin 2x  1  sin 2 x  2 x  k 3  C.  x    k 2   3 3

 1 x  k 2  B.  x    k 1   3 2

 x  k 2 A.   x    k 2  3

 x  k D.   x    k  3

Lời giải:  x  k sin x  0 Phương trình  2 sin x  2 3 sin x cos x  0   .   x    k  tan x  3  3 2

Bài 77. Giải phương trình tan x  cot x  2  sin 2 x  cos 2 x  A. x 

   k , x   k 4 8

B. x 

     k ,x   k 4 4 8 4

C. x 

     k ,x   k 4 3 8 3

D. x 

     k ,x   k 4 2 8 2

Lời giải: Điều kiện: sin 2x  0 Phương trình 

2 1  2(sin 2 x  cos 2 x)   1  cot 2 x sin 2 x sin 2 2 x

 cot 2 2 x  cot 2 x  x 

     k ,x   k . 4 2 8 2

Bài 78. Giải phương trình 2 cos3 x  sin 3x  x  arctan( 2)  k 2  A.   x    k 2  4

 1  x  arctan( 2)  k 2  B.  x    k 1   4 2

 2  x  arctan( 2)  k 3  C.  x    k 2   4 3

 x  arctan( 2)  k D.   x    k  4

129

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải: Phương trình  2 cos 3 x  3 sin x  4 sin 3 x





 2  3 tan x 1  tan 2 x  4 tan 3 x  tan 3 x  3 tan x  2  0  x  arctan( 2)  k  tan x  2    x    k tan x  1   4

Bài 79. Giải phương trình 4 sin 3 x  3cos 3 x  3sin x  sin 2 x cos x  0 A. x 

   k 2 , x    k 2  4 3

B. x 

 1  1  k , x    k  4 2 3 2

C. x 

 1  1  k , x    k  4 3 3 3

D. x 

   k , x    k 4 3

Lời giải: Ta thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trình Nên phương trình  4 tan3 x  3  3tan x(1  tan2 x)  tan2 x  0  tan x  1    tan 3 x  tan 2 x  3 tan x  3  0    x   k  , x    k . 4 3  tan x   3

Bài 80. Giải phương trình sin 2 x  tan x  1  3sin x  cos x  sin x   3    x   4  k 2 A.   x     k 2  3

  2 x   4  k 3  C.  x     k 2   3 3

  1 x   4  k 2  B.  x     k 1   3 2

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với

tan2 x(tan x  1)  3 tan x(1  tan x)  3(1  tan 2 x)   x    k  4  tan 3 x  tan 2 x  3 tan x  3  0    x     k  3



Bài 81. Giải phương trình cos3 x  sin 3 x  2 cos5 x  sin 5 x



   x   4  k D.   x     k  3

130

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x  

  k 2 4

B. x  

 1 k  4 2

C. x  

 1 k  4 3

D. x  

  k 4

Lời giải: vì cos x  0 không là nghiệm của phương trình nên ta có



1  tan2 x  tan3 x(1  tan 2 x)  2 1  tan 5 x



 tan5 x  tan3 x  tan2 x  1  0  (tan 2 x  1)(tan3 x  1)  0  tan x  1  x  

  k . 4





cos 3 x  sin 3 x  2 cos 5 x  sin 5 x  2 cos 5 x  cos 3 x  2 sin 5 x  sin 3 x











Cách khác:  cos 3 x 2 cos 2 x  1  sin 3 x 2 sin 2 x  1  cos 2 x cos 3 x  sin 3 x       x  4  k 2 x   k  ;k  4 2    x    k  tan x  1  4



Bài 82. Giải phương trình sin 2 x  3 tan x  cos x  4 sin x  cos x 













A. x 

  k 2, x  arctan 1  2  k 2 4

C. x 

 2 2   k , x  arctan 1  2  k  D.  x   k, x  arctan 1  2  k 4 3 3 4

B.  x 

 1 1  k , x  arctan 1  2  k  4 2 2



Lời giải: Phương trình  tan2 x  tan x(1  tan2 x)  4 tan x  1  tan 3 x  tan 2 x  3 tan x  1  0

 (tan x  1)(tan2 x  2 tan x  1)  0 x





  k, x  arctan 1  2  k . 4

 Bài 83. Giải phương trình 2 2 cos 3 ( x  )  3cos x  sin x  0 4



131

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 x  A.  x  

  k 2 2   k 2 4

 x  B.  x  

 x  C.  x  

 1 k  2 2  1 k  4 2

 2 k  2 3  2 k  4 3

 x  D.  x  

Lời giải: Phương trình   sin x  cos x   3cos x  sin x  0 3

 (sin x  cos x)3  (3cos x  sin x)(sin2 x  cos2 x)  0  x  cos x  0 2 3  sin x cos x  cos x  0    x   tan x  1 

  k 2 .   k 4

Bài 84. Giải phương trình 2 sin 2 x  3 sin x  1  0  x   A. x   k ;  2 x  

  k 6 5  k 6

 x  5  C. x   k  ;  2 2  x 

 1 k  6 2 5 1 k  6 2

 x   B. x   k 2 ;  2 x  

 2 k  6 3 5 2 k  6 3

 x   D. x   k 2 ;  2 x  

  k 2 6 5  k 2 6

Lời giải: Đặt t  sin x , t  [1;1] , ta có phương trình : 2t 2  3t  1  0  t  1; t  * t  1  sin x  1  x 

  k 2 . 2

 x  1 1  * t   sin x   sin   2 2 6 x  

  k 2 6 . 5  k 2 6

Bài 85. Giải phương trình 2cos 2x  3sin x  1  0

1 . 2

  k 2   k 4

132

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

   x  2  k  1 A.  x  arcsin(  )  k  4  1  x    arcsin(  )  k 4 

  1 x  2  k 2   1 1 B.  x  arcsin(  )  k   4 2  1 1  x    arcsin(  )  k  4 2 

  2 x  2  k 3   1 2 C.  x  arcsin(  )  k   4 3   x    arcsin(  1 )  k 2  4 3 

   x  2  k 2  1 D.  x  arcsin(  )  k 2   4  1  x    arcsin(  )  k 2  4 

Lời giải: Phương trình  4 sin 2 x  3 sin x  1  0    x  2  k 2  sin x  1 1     x  arcsin(  )  k 2  . 1  sin x   4   4 1  x    arcsin(  )  k 2  4 

Bài 86. Giải phương trình 3 cos 4 x  sin 2 2 x  cos 2 x  2  0    x  2  k A.   x   arccos 6  k  7    x  3  k   x   arccos 6  k 2  7

   x  2  k 2 B.   x   arccos 6  k 2  7

   x  2  k D.   x   arccos 6  k 2  7

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với

3(2 cos2 2x  1)  (1  cos2 2 x)  cos 2 x  1  0   cos 2 x  1 x   k  2   7 cos 2 2 x  cos 2 x  6  0   cos 2 x  6  x   arccos 6  k 2  7  7

133

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 87. Giải phương trình 4cos x.cos 2x  1  0

   x   3  k 2 A.   1  3   k 2  x   arccos 8

   x   3  k 2 B.   1  5   k 2  x   arccos 8

   x   3  k 2 C.   1  7   k 2  x   arccos 8

   x   3  k 2 D.   1  6   k 2  x   arccos 8 Lời giải:

Phương trình  4 cos x(2 cos2 x  1)  1  0

 8 cos3 x  4 cos x  1  0  (2 cos x  1)(4 cos2 x  2 cos x  1)  0    1 x    k 2  1 cos x    cos x  3 2 .    2  1  5  1  5   2  k 2  4 cos x  2 cos x  1  0  x   arccos cos x  8 8 Bài 88. Giải phương trình 16(sin8 x  cos8 x)  17 cos2 2 x A. x 

 5 k 8 4

B. x 

 7 k 8 4

C. x 

 9 k 8 4

D. x 

  k 8 4

Lời giải: Ta có sin8 x  cos8 x  (sin4 x  cos4 x)2  2 sin4 x cos4 x 2

 1  1   1  sin 2 2 x   sin 4 2 x . 2   8

Nên đặt t  sin2 2x , 0  t  1 ta được phương trình: 2

 1  1 16  1  t   2t 2  17(1  t )  2t 2  t  1  0  t  2  2 

 sin 2 2 x 

1    1  2 sin 2 2 x  0  cos 4 x  0  x   k . 2 8 4

Bài 89. Giải phương trình cos4 x  cos 2 x  2 sin 6 x  0 A. x  k 2

1 B. x  k  2

2 C. x  k  3

D. x  k

134

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải:

1 1 Đặt t  cos 2x  1  t  1  cos4 x  (1  t )2 ; sin 6 x  (1  t )3 4 8 Nên phương trình đã cho trở thành:

1 1 (1  t )2  t  (1  t )3  0  t 3  4t 2  5t  2  0  t  1; t  2 4 4 t  1  cos 2x  1  x  k . Bài 90. Giải phương trình cos2x  cos x  1  0 A. x 

 2  k 2, x    k 2 3

B. x 

 2  k , x   k 2 2 3

C. x 

 2 7  k 3 , x   k  2 3 2

D. x 

 2  k , x    k 2 2 3

Lời giải: Phương trình  2 cos2 x  cos x  0  x 

 2  k , x    k 2 2 3

Bài 91. Giải phương trình cos 2 x  3cos x  4 cos 2 A. x  

2  k 3

B. x  

2 2 k  3 3

x 2

C. x  

  k 2 3

D. x  

2  k 2 3

Lời giải: . Phương trình  2 cos2 x  1  3cos x  2(1  cos x)

 2 cos2 x  5cos x  3  0  cos x  

1 2 x  k 2 2 3

Bài 92. Giải phương trình 6sin 2 x  2sin 2 2x  5 A. x 

 2 k  4 3

B. x 

  k 4 3

C. x 

  k 4 4

Lời giải: Phương trình  3(1  cos 2x)  2(1  cos2 2 x)  5

 2 cos2 2 x  3cos 2 x  0  x 

  k 4 2

Bài 93. Giải phương trình 2 sin 4 x  2 cos 4 x  2 sin 2 x  1

D. x 

  k 4 2

135

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x 

  k 2 4

B. x 

 2 k  4 3

C. x 

 1 k  4 2

D. x 

  k 4

Lời giải:

1 1 Phương trình  1  sin 2 2 x  sin 2 x  2 2  sin 2 2 x  2 sin 2 x  3  0  sin 2 x  1  x  Bài 94. Giải phương trình 2cos 2 2 x  2



  k 4



3  1 cos2 x  3  0

1 3 1  k A. x   arccos 2 2

1 3 1  k 2 B. x   arccos 2 2

1 3 2 C. x   arccos  k 2 2

1 3 1 D. x   arccos  k 2 2

Lời giải: Phương trình  cos 2 x 

3 1 1 3 1  x   arccos  k 2 2 2

Bài 95. Giải phương trình 2 tan 2 x  3  A. x  k 2

3 cos x 2 C. x  k  3

B. x  k

1 D. x  k  3

Lời giải:  1  3 Phương trình  2   1  3  2 cos x  cos x 

2

1 1 3  1  0  cos x  1  x  k 2 2 cos x cos x

Bài 96. Giải phương trình 9  13cos x  A. x  k 2

B. x  k

4 0 1  tan 2 x 1 C. x  k  2 Lời giải:

cos x  0 Phương trình    cos x  1  x  k 2 2 4 cos x  13 cos x  9  0

2 D. x  k  3

136

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 97. Giải phương trình 5 1  cos x   2  sin 4 x  cos 4 x A. x  

  k 3

B. x  

 2 k  3 3

C. x  

 3 k  3 4

D. x  

  k 2 3

Lời giải: Phương trình  3  5cos x  (sin2 x  cos2 x)(sin2 x  cos2 x)

 2 cos2 x  5cos x  2  0  cos x 

1   x    k 2 2 3

 5   7  Bài 98. Giải phương trình sin  2 x    3cos  x    1  2sinx 2  2      x  k 2   A.  x   k 2 ;  k   6  5  k x  6    x  k   C.  x   k 2  ;  k   6  5  k 2 x  6 



 1 x  k 2    B.  x   k ;  k   6  5 x   k 2 6 



  x  k 2   D.  x   k 2  ;  k   6  5  k 2 x  6 



Lời giải: Phương trình  cos 2 x  3sin x  1  2 sin x  1  2 sin 2 x  3sin x  1  2 sin x  0   x  k sin x  0   x    k 2 ;  k   2 sin 2 x  sin x  0    1 sin x   6  2  5  k 2 x  6 



Bài 99. Giải phương trình 7 cos x  4 cos 3 x  4 sin 2 x  x  A.  x  

  k 2 2  5  k, x   k 6 6

 x  B.  x  

 1 k  2 4  5  k 2, x   k 2 6 6

137

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 x  C.  x  

 1 k  2 2  5  k , x   k 2 6 6

 x  D.  x  

  k 2  5  k 2, x   k 2 6 6

Lời giải:





Phương trình  cos x 4 cos2 x  8 sin x  7  0  x   cos x 4 sin 2 x  8 sin x  3  0   x  





  k 2  5  k 2, x   k 2 6 6

Bài 100. Giải phương trình cos4 x  cos 2 3x  x  k 2 A.   x     k  , x   5  k  12 12

 x  k B.   x     k 1  , x   5  k 1   12 2 12 2

 x  k C.   x     k 3 , x   5   k 3  12 12

 x  k D.   x     k  , x   5  k  12 12

Lời giải: Phương trình  2 cos 4x  1  cos 6x





 2 2 cos2 2x  1  1  4 cos3 2 x  3cos 2 x cos 2 x  1  x  k   4 cos 2 x  4 cos 2 x  3 cos 2 x  3  0   cos 2 x   3  x     k  , x   5  k   12 12  2 3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ĐÁP ÁN KHÔNG CHI TIẾT) Câu 1. Phương trình sin x  

A. x 

1 2

chỉ có các nghiệm là

 5  k 2 và x   k 2 ( k  ). 4 4

 5 B. x    k 2 và x    k 2 ( k  ). 4 4

 3  5 C. x    k 2 và x    k 2 ( k  ). D. x   k 2 và x    k 2 ( k  ). 4 4 4 4

138

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 2.Phương trình cos x  

6 2 2

chỉ có các nghiệm là

A. x 

 2  k 2 và x   k 2 ( k  ). 3 3

C. x 

5 5    k 2 và x    k 2 ( k  ). D. x   k 2 và x    k 2 ( k  ). 6 6 3 3

Câu 3. Phương trình tan x  

6 3 2

B. x 

 5  k 2 và x   k 2 ( k  ). 6 6

chỉ có các nghiệm là

A. x 

  k ( k  ). 6

 B. x    k ( k  ). 6

C. x 

  k ( k  ). 3

 D. x    k ( k  ). 3

Câu 4. Phương trình cot x  

12 chỉ có các nghiệm là 2

A. x 

  k ( k  ). 6

 B. x    k ( k  ). 6

C. x 

  k ( k  ). 3

 D. x    k ( k  ). 3

Câu 5. Phương trình sin x  cos x chỉ có các nghiệm là A. x 

  k ( k  ). 4

C. x 

   k và x    k ( k  ). 4 4

B. x 

D. x 

  k 2 ( k  ). 4

   k 2 và x    k 2 ( k  ). 4 4

Câu 6. Phương trình tan x  cot x chỉ có các nghiệm là A. x 

  k 2 ( k  ). 4

B. x 

  k ( k  ). 4

C. x 

   k ( k  ). 4 2

D. x 

   k ( k  ). 4 4

Câu 7. Phương trình 4 sin 2 x  3 chỉ có các nghiệm là

139

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x 

   k 2 và x    k 2 ( k  ). 3 3

B. x 

   k và x    k ( k  ). 3 3

C. x 

   k và x    k ( k  ). 6 6

D. x 

   k 2 và x    k 2 ( k  ). 6 6

Câu 8. Phương trình tan 2 x  3 chỉ có các nghiệm là A. x 

   k 2 và x    k 2 ( k  ). 3 3

B. x 

   k và x    k ( k  ). 3 3

C. x 

   k và x    k ( k  ). 6 6

D. x 

   k 2 và x    k 2 ( k  ). 6 6

Câu 9. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

sin x  0 ? A. cos x  1 .

B. cos x  1 .

C. tan x  0 .

D. cot x  1 .

Câu 10. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2 cos 2 x  1 ?

A. 2 sin x  2  0 . B. sin x 

2 . 2

D. tan 2 x  1 .

C. tan x  1 .

Câu 11 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan 2 x  3 ?

1 A. cos x   . 2

B. 4 cos 2 x  1 .

C. cot x 

1 3

D. cot x  

1 3

Câu 12. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 3 sin 2 x  cos 2 x ?

A. sin x 

1 . 2

B. cos x 

3 . 2

C. sin 2 x 

3 . 4

D. cot 2 x  3 .

Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

tan x  1 ?

140

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. sin x 

2 . 2

B. cos x 

2 . 2

C. cot x  1 .

D. cot 2 x  1 .

Câu 14 Phương trình sin x  cos 5x chỉ có các nghiệm là A. x 

   k 2 và x    k 2 ( k  ). 4 4

B. x 

   k và x    k ( k  ). 4 4

C. x 

     k và x    k ( k  ). 12 3 8 2

D. . x  

     k và x   k ( k  ). 12 3 8 2

Câu 15. Trên khoảng  0;   , phương trình tan x.tan 3x  1 A. chỉ có các nghiệm là

  5 . ; ; 6 2 6

C. chỉ có các nghiệm là x 

B. chỉ có các nghiệm là

   k ( k  ). 6 3

với các nghiệm ở trên. Câu 16. Phương trình 2 sin 2 x  7 sin x  3  0 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x 

  k 2 ( k  ). 6

C. chỉ có các nghiệm là x 

5  k 2 ( k  ). 6

D. chỉ có các nghiệm là x 

 5  k 2 và x   k 2 ( k  ). 6 6

Câu 17. Phương trình 2 cos2 x  4 3 cos x  3  0 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x 

  k 2 ( k  ). 3

C. chỉ có các nghiệm là x 

  k 2 ( k  ). 6

  3 . ; ; 6 4 4

D. có các nghiệm khác

141

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

D. chỉ có các nghiệm là x 

   k 2 và x    k 2 ( k  ). 6 6

Câu 18. Phương trình 2 sin 2 x  7 cos x  5  0 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x 

  k 2 ( k  ). 3

C. chỉ có các nghiệm là x 

5  k 2 ( k  ). 3

D. chỉ có các nghiệm là x 

   k 2 và x    k 2 ( k  ). 3 3

Câu 19. Phương trình sin 2 x  4 sin x cos x  3 cos 2 x  0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x  0 .

B. cot x  1 .

C. tan x  3 .

 tan x  1 D.  . cot x  1 3 

Câu 20. Phương trình sin 2 x  4 sin x cos x  4 cos 2 x  5 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x  0 .

1 B. tan x   . 2

C. cot x  2 .

 1 tan x    D. 2.  cos x  0

Câu 21. Phương trình tan x  5cot x  6 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. cot x  1 .

B. tan x  5 .

 tan x  1 C.  . tan x  5 

 tan x  2 D.  . tan x  3 

Câu 22. Phương trình cos 2x  3cos x  4 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x  1 .

5 B. cos x  . 2

 cos x  1 C.  .  cos x  5  2

 cos x  1 D.  .  cos x  5  2

142

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 23. Phương trình cos 2x  5sin x  6  0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x 

5 . 2

B. sin x  1 .

sin x  1 C.  . sin x  7  2

sin x  1 D.  . sin x   7  2

Câu 24. Phương trình sin x  cos x  1 chỉ có các nghiệm là    x  4  k 2 (k  ) . A.   x     k 2  4  x  k 2  (k  ) .  x    k 2  2

   x  4  k (k  ) . B.   x     k  4

 x  k 2 (k  ) . D.   x     k 2  4

Câu 25. Phương trình sin x  cos x  1 chỉ có các nghiệm là    x  4  k 2 (k  ) . A.   x     k 2  4  x  k 2  (k  ) .  x    k 2  4

   x  4  k (k  ) . B.   x     k  4

 x   2 k  1  D.  (k  ) .  x     k 2  2

Câu 26. Phương trình sin x  3 cos x  1 chỉ có các nghiệm là    x  2  k 2 A.  (k  ) .  x  7   k 2  6    x   2  k 2 (k  ) .   x  7   k 2  6

   x  2  k 2 (k  ) . D.   x   7   k 2  6

   x   2  k 2 ( k  ) .C.   x   7   k 2  6

143

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 27. Phương trình 3 sin x  ( m  1) cos x  m  2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Câu 28. Phương trình tan x  m cot x  8 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi A. m  16 .

B. m  16 .

C. m  16 .

D. m  16 .

Câu 29. Phương trình 16cos x.cos 2x.cos 4x.cos8x  1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  0 .

B. sin x  sin 8 x .

C. sin x  sin16x .

D. sin x  sin 32x .

Câu 30. Phương trình 2n1 cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos 8 x...cos 2 n x  1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  0 .

B. sin x  sin 2n x .

C. sin x  sin 2 n1 x . D. sin x  sin 2n 2 x .

Câu 31. Phương trình sin 3x  sin 2x  sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x  0 .

B. cos x  1 .

1 C. cos x   . 2

 sin x  0 D.  .  cos x  1  2

Câu 32. Phương trình cos 5x.cos 3x  cos 4x.cos 2 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  cos x .

B. cos x  0 .

C. cos8x  cos6x .

D. sin 8x  cos 6 x .

Câu 33. Phương trình sin 4 x  cos 4 x  1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x  1 .

B. sin x  1 .

C. cos x  1 .

sin x  0 D.  . cos x  0 

Câu 34. Phương trình sin 2 m x  cos2 m x  1 ( m  1, m  ) có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

144

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. sin x  1 .

B. sin x  1 .

C. cos x  1 .

sin x  0 D.  . cos x  0

Câu 35. Phương trình sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 3 A. sin x   . 2

B. cos 2x  sin 2x .

1 C. cos x  . 2

 1 cos x    D. . 2  cos 2 x  sin 2 x

Câu 36. Phương trình sin 3x  cos 4 x  sin 4 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. cos 2x  sin 3x .

B. cos 2x   sin 3x . C. cos 2x  sin 2x .

D. cos 2x   sin 2x .

Câu 37. Phương trình sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x  2 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin 5x  1 .

B. cos 3x   cos x .

C. cos 3x  cos x .

D. cos 3x   cos x .

Câu 38. Phương trình tan x  tan 2x  sin 3x.cos x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin 3x  0 .

B. cos 2x  0 .

C. cos 2x  2 .

 sin 3 x  0 D.  .  cos 2 x  0

Câu 39. Phương trình 2 sin 2 x  5cos x  5 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau A. t  sin x .

B. t  cos x .

C. t  tan x .

D. t  cot x .

Câu 40. Phương trình 3 cos 2 x  4 sin x  10 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau A. t  sin x .

B. t  cos x .



C. t  tan x .



Câu 41 Phương trình 2 cos4 x  sin 4 x  1

D. t  cot x .

145

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  x  6 B. chỉ có các nghiệm  . x     6

A. vô nghiệm.

   x  6  k 2 C. chỉ có các nghiệm  ( k  ) D. . chỉ có các nghiệm  x     k 2  6

   x  6  k (k  )   x     k  6

Câu 42. Phương trình  cos x  sin x   3sin 2 x 2

   x  12 B. chỉ có các nghiệm  .  x  5  12

A. vô nghiệm.

     x  12  k  x  12  k 2 C. chỉ có các nghiệm  ( k  ) . D. . chỉ có các nghiệm  (k  ) .  x  5  k   x  5  k 2    12 12

Câu 43. Phương trình  cos x  sin x   1  cos 3x 2

   x  10 B. chỉ có các nghiệm  . x     2

A. vô nghiệm.

   x  10  k C. chỉ có các nghiệm  ( k  ) . D. . chỉ có các nghiệm   x    k  2

Câu 44. Phương trình sin 4 x  cos4 x  A. vô nghiệm.

  2  x  10  k 5 (k  ) .    x    k 2  2

3 4 B. chỉ có các nghiệm x 

   x  8  k 2 ( k  ) . D. chỉ có các nghiệm C. chỉ có các nghiệm   x     k 2  8

   k ,k . 8 4

   x  8  k (k  ) .   x     k  8

146

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 45. Phương trình sin 6 x  cos6 x  A. chỉ có các nghiệm x 

7 16

   k , k  .. 6 2

  B. chỉ có các nghiệm x    k , k  . 6 2

   x  6  k 2 C. chỉ có các nghiệm  ( k  ) . D. vô nghiệm. x     k   6 2

Câu 46. Phương trình

tan 2 3x  tan 2 x 1 1  tan 2 3x.tan 2 x

    x  12  k 6    A. chỉ có các nghiệm  x   k , k  . 2     x  6  k 3 

C. chỉ có các nghiệm x 

   k ,k . 6 3

Câu 47. Phương trình sin 4 x  cos4 x 

D. vô nghiệm.

3  cos x 4 B. chỉ có các nghiệm x  k

A. vô nghiệm. C. chỉ có các nghiệm x  k

xk

  k 2, k  . 3

B. chỉ có các nghiệm x 

2 ,k  . 5

chỉ có

các

2 ,k  . 3

nghiệm

xk

2 5

và

2 (k  ) . 5

Câu 48. Tổng các nghiệm thuộc khoảng  của phương trình 4 sin 2 2 x  1  0 bằng: A. 0

B. (1  m) tan 2 x 

2  1  3m  0 cos x

 3

D. 

Câu 49. Số nghiệm thuộc t1 , t2  1 của phương trình sin 2 x  cos2 3x  0 là: A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Câu 50. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên 0; 2 của phương trình



3 m3   1  0  m  1 là: 4 4

147

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. 0

2 3

4 9

D. 2

    Câu 51. Tất cả các nghiệm của phương trình cos  2 x    sin   x   0 là: 4  3   13  x  36  k 2  A.   x   7   k 2  12

 13 2  x  36  k 3  B.   x   7   k 2  12

 13 2  x  36  k 3  C.   x  7   k 2  12

 13 2  x  36  k 3  D.   x   7   k 2  12

 3  Câu 52. Tích các nghiệm thuộc 0;  của phương trình sin  2 x    cos x  0 bằng: 4  

2 48

2 16

32 16

2 64

Câu 53. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx 3 cos x  2 là: A.

17 12

B. 

13 12

C. 

11 12

D. 

19 12

Câu 54. Hiệu giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình

3 cos 2x  sin 2x  2 bằng A. 0

 2

C. 

3 2

Câu 55. Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 2 x tanx cos 2 x cot x  2 sinxcosx 

A. 

 2

4 3 bằng: 3

 6

 3

D. 

Câu 56. Số nghiệm của phương trình sinx  cos 2 x thuộc 0; 2 là: A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

    Câu 57. Tổng các nghiệm của phương trình cos  2 x    sin   2 x   2 thuộc  0;   là: 6  3 

 2

5 12

Câu 58. Số nghiệm của phương trình A. 2

B. 0

 24

 4

   sin 2 x  1 thuộc   ; 0  là: 1  cos x  2 

C. 1

D. 3

148

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 59. Tổng các nghiệm thuộc  0; 2  của phương trình sinxcos 3x sinx 2cos 3x 2  0 là: A.

2 3

B. 2

C. 4

D. 0

  Câu 60. Số nghiệm thuộc 0;  của phương trình sin  2 x    0 là: 4 

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 61. Phương trình m sinx 3cosx  2 m có nghiệm khi và chỉ khi: A. m  3

B. m   3

C. m  3

D. m  3

Câu 62. Số nghiệm của phương trình 5sin 2x  sinx cosx 6  0 trong khoảng  0;   là: A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

    Câu 63. Cho phương trình cos  x    sin  2 x    0 . Có hai bạn giải được hai đáp án 3 2  

sau:    x  9  l2 I.   x     k 2  3

  2 x  9  l 3 II .   x     k 2  3

A. I, II cùng sai

B. Chỉ I đúng

C. Chỉ II đúng

D. I, II cùng đúng

Câu 64. Cho phương trình 2 cos2 2 x  cos 4 x  0 . Trong các số sau, số nào là họ nghiệm của phương trình trên: I. x 

  k 6 4

  II. x    k 6 2

III. x 

  k 6 2

  IV. x    k 6 4

Chọn câu trả lời đúng nhất. A. Chỉ I, IV đúng

B. Chỉ I đúng

C. Chỉ IV đúng

I, II, III, IV cùng

đúng Câu 65. Cho phương trình sin 6 x  cos6 x  1 . Có ba bạn giải được 3 kết quả sau:

 I .x  k 2

 x  k II .   x    k  2

 x  k 2  x  k 2 III .  hay   x    k 2 x    k 2    2

A. Chỉ I đúng

B. Chỉ II đúng

C. Chỉ III đúng

D. Cả ba đều đúng

149

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 66. Phương trình cos x   A. 2

1 có mấy nghiệm thuộc khoảng  ; 4  ? 2

B. 3

C. 4

D. 5

  Câu 67. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan  x    1 là: 3 

A. 

7 12

B. 

5 12

C. 

11 12

D. Một đáp án khác

 2  2  Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin  x  là:  3  2 

A. 

 15

B. 

7 12

C. 

 12

D. Đáp án khac

  1 Câu 69. Tổng các nghiệm của phương trình cos  x    trong khoảng  ;   là: 4 2 

 2

B. 

 2

C. 

3 2

D. Đáp án khác

  1 Câu 70. Tổng các nghiệm của phương trình sinxcos  sin cos x  trên   ;  là: 8 8 2 A.

 2

B. 

 2

3 2

3 4

 3  Câu 71. Phương trình sin x  m có đúng 1 nghiệm x  0;  khi và chỉ khi:  2

A. 1  m  1

B. 1  m  1

C. 1  m  0

D. Đáp số khác

  3  Câu 72. Phương trình 1  cos x  m có đúng 2 nghiệm x   ;  khi và chỉ khi: 2 2 

A. 0  m  1

B. 0  m  1

C. 1  m  1

D. 1  m  0

Câu 73. Số nghiệm của phương trình sin x cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x 

     2 ; 2  là:   A. 15

B. 16

C. 17

ĐÁP ÁN

D. 18

1 sin12x trên 16

150

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu

Câu

Câu 44 Câu

Câu

BÀI TẬP TỰ LUYỆN KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN Câu 1. Nghiệm của phương trình sinx = 1 là:

151

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



A. x  

 k 2

B. x 

 2

 k

C. x  k

D. x 

C. x  k

D. x 

C. x  k

D. x 

C. x  k 2

D. x 

C. x    k 2

D. x 

 2

 k 2

Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx = –1 là:



A. x  

 k

B. x  

 2

 k 2

Câu 3. Nghiệm của phương trình sinx = A. x 

 3

 k 2

B. x 

 6

3  k 2

1 là: 2

 k

 6

 k 2

Câu 4. Nghiệm của phương trình cosx = 1 là: A. x  k

B. x 

 2

 k 2

 2

 k

Câu 5. Nghiệm của phương trình cosx = –1 là: A. x    k

B. x  

 2

 k 2

Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx = A. x   C. x  

 3

 4

1 là: 2

 k 2

B. x  

 k

D. x  

 3

 k 2

B. x  

 6

 k 2

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos2x = A. x   C. x  

 2

 3

C. x  

 2

 k 2  k 2

2  k 2 3

1 là: 2



 k 2

B. x 

 k 2

D. x  

Câu 9. Nghiệm của phương trình



1 là: 2

Câu 7. Nghiệm của phương trình cosx = – A. x  

3  k 2

3 + 3tanx = 0 là:

k

 4

 2

 k 2

D. x  

 6

 k

152

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x 

 3

 k

B. x 

 2

 k 2

C. x  

 6

 k

D. x 

 2

 k

Câu 10. Nghiệm của phương trình sin3x = sinx là: A. x  C.

 2

 k

B. x  k ; x  D. x 

x  k 2



k

 2

  k ; x  k 2 2

Câu 11. Nghiệm của phương trình sinx.cosx = 0 là: A. x 

 2

 k 2

B. x  k

 2

C. x  k 2

D. x 

 6

 k 2

Câu 12. Nghiệm của phương trình cos3x = cosx là: A. x  k 2

B. x  k 2 ; x 

C. x  k 2

D. x  k ; x 



 k 2

  k 2 2

Câu 13. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là: A. x 

 8

k

 2

;x 

C. x  k ; x 

 4



 k

B. x  k 2 ; x 

 k

`D. x  k ; x  k

 k 2

 2

Câu 14. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x <  A. x 

 2

B. x  

D. x  

C. x = 0

Câu 15. Nghiệm của phương trình sin2x + sinx = 0 thỏa điều kiện:  A. x  0

B. x  

C. x =

 3

 2

<x<

 2

D. x 

 2

Câu 16. Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x <  A. x 

 2

B. x 

 4

C. x =

 6

Câu 17. Nghiệm của phương trình cos2x + cosx = 0 thỏa điều kiện:

D. x  

 3 <x< 2 2

 2

153

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x  

B. x 



C. x =

3 2

D. x  

3 2

Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 0 là:



A. x  

 k

B. x 

 6

 k

Câu 19. Nghiệm của phương trình 2sin(4x – A. x 



k

 2

;x 

7  k 24 2

C. x  k

 2



D. x    k 2 ; x  k



B. x 

 4

C. x =

 2

C. x 

 2

 6

 k 2 ; x 

7  k 2 6

 k ; x    k 2

B. x  D. x 

 3

 4

 k 2 ; x 

5  k 2 6

 k 2 ; x 

5  k 2 4

Câu 22. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 1 là: A. x  k 2 ; x  C. x 

 6

 2

 k 2

 k ; x  k 2

B. x  k ; x   D. x 

 4

 2

 k 2

 k ; x  k 

Câu 23. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = –1 là: A. x    k 2 ; x   C. x  

 3

 2

 k 2

 k 2 ; x  k 2

Câu 24. Nghiệm của phương trình sinx +

B. x    k 2 ; x   D. x 

3 cosx =

 6

2 là:

 2

D. x  

Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 là: A. x  

 k 2

Câu 20. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0  x < A. x 



 ) – 1 = 0 là: 3 B. x  k 2 ; x 

C. x  k ; x    k 2

x



 k ; x  k 

 k 2

 2

 k

154

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. x   C. x 

 3

 12

 k 2 ; x 

5  k 2 12

B. x  

2  k 2 3

 4



D. x  

 k 2 ; x 

3  k 2 4

 k 2 ; x  

5  k 2 4

Câu 25. Nghiêm của pt sinx.cosx.cos2x = 0 là: A. x  k

B. x  k .



C. x  k .



D. x  k .

 4

Câu 26. Nghiêm của pt 3.cos2x = – 8.cosx – 5 là: A. x  k

B. x    k 2

C. x  k 2

D. x  

Câu 27. Nghiêm của pt cotgx + A. x 

 3

 k 2

A. x  

 3

 k 2

3 = 0 là:

B. x 

Câu 28. Nghiêm của pt sinx +



 6

 k



C. x  

 k

D. x  

 3

 k

3 .cosx = 0 la:

B. x  

 3

 k

C. x 

 3

 k

D. x  

 6

 k

Câu 29. Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là: A. x  k 2

B. x  k

C. x  k .



D. x 

 4

 k

Câu 30. Nghiêm của pt sin2x = 1 là A. x  k 2

B. x    k 2

C. x 

 2

 k

D. x  

 k

D. x 

 2

 k

Câu 31. Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là: A. x  k 2

B. x    k 2

Câu 32. Nghiệm của pt sinx + A. x 

 6

 k 2

C. x 

 2

3  0 là: 2

B. x  

 3

 k 2

 2

 k 2

155

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. x 

5  k 6

D. x  

2  k 2 3

Câu 33. Nghiệm của pt cos2x – cosx = 0 là : A. x  k 2

C. x  k

B. x  k 4

D. x  k .

 2

Câu 34. Nghiêm của pt sin2x = – sinx + 2 là: A. x 

 2

 k 2

B. x 

 2

 k

C. x  

 2

 k 2

D. x  k

 k

D. x 

Câu 35. Nghiêm của pt sin4x – cos4x = 0 là: A. x  

 4

 k 2

B. x 

3  k 2 4

C. x  

 4

 k.

 2

Câu 36. Xét các phương trình lượng giác: (I )

sinx + cosx = 3

, (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12

, (III ) cos2x + cos22x = 2

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm? A. Chỉ (III )

B. Chỉ (I )

Câu 37. Nghiệm của pt sinx = – A. x  x

 3

 k 2

C. (I ) và (III )

D. Chỉ (II )

1 là: 2

B. x  

 6

 k 2

C. x 

 6

 k

5  k 2 6

Câu 38. Nghiêm của pt tg2x – 1 = 0 là: A. x  

 4

 k

B. x 

3  k 2 4

C. x 

 8

k

 2

D. x 

 4

 k

Câu 39. Nghiêm của pt cos2x = 0 là: A. x  C. x 

 2

 4

 k

 k.

 2

B. x   D. x  

 2

 k 2

Câu 40. Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) . Pt nào sau đây tương đương với pt (1)

156

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A. sin4x = 0

B. cos3x = 0

C. cos4x = 0

D. sin5x = 0

Câu 41. Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là: A. x  C. x 

 4

B. x  

 k 2

D. x  

Câu 42. Nghiệm của pt 2cos2x + 2cosx – A. x  

  k 2 4

B. x  

Câu 43. Nghiệm của pt sinx – A. x 



 k

  k 6

Câu 44. Nghiệm của pt

 A. x    k 6

 k

 4

 k 2

2 =0

  k 4

C. x  

  k 2 3

D. x  

  k 3

3 cosx = 0 là:

B. x 

  k 3

C. x 

  k 2 3

D. x 

  k 2 6

C. x 

  k 3

D. x 

  k 6

3 sinx + cosx = 0 là:  B. x    k 3

Câu 45. Điều kiện có nghiệm của pt A. sin5x + B. cos5x = c là: A. a2 + b2  c2

B. a2 + b2  c2

C. a2 + b2 > c2

D. a2 + b2 < c2

Câu 46. Nghiệm của pt tanx + cotx = –2 là: A. x 

  k 4

 B. x    k 4

C. x 

  k 2 4

C. x 

5  k 2 4

C. x 

  k 2 2

D. x 

 x    k 2 4 Câu 47. Nghiệm của pt tanx + cotx = 2 là:

 A. x    k 4

x

B. x 

  k 4

3  k 2 4

Câu 48. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là:

 A. x    k 2 2

B. x  

  k 2 2

  k 2

157

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Câu 49. Tìm m để pt sin2x + cos2x = A. 1  5  m  1  5

m có nghiệm là: 2

B. 1  3  m  1  3

C. 1  2  m  1  2

D. 0  m  2

Câu 50. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: A. x 

 6

B. x 

5 6

C. x  

 12

Câu 51. Nghiệm của pt cos2x – sinx cosx = 0 là: A. x 

   k; x   k 4 2

C. x 

  k 2

B. x  D. x 

  k 2

5 7  k; x   k 6 6

Câu 52. Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: A. 0 < m <

m

4 3

B. 0  m 

4 3

C. m  0; m 

4 3

m < 0 ;

4 3

Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sinx + A. x 

3 4

B. x 

 4

2 sin2x = 0 là: C. x 

 3

D. x  

Câu 54. Nghiệm âm nhỏ nhất của pt tan5x.tanx = 1 là: A. x  

 12

B. x  

 3

 6

C. x  

D. x  

 4

Câu 55. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: A. x  

  ;x  18 6

B. x  

 2 ;x  18 9

C. x  

  ;x  18 2

D. x  

  ;x  18 3

Câu 56. Nghiệm của pt 2.cos2x – 3.cosx + 1 = 0 A. x  k 2; x 

  k 2 6

B. x 

 5  k 2; x   k 2 6 6

158

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. x 

   k 2; x   k 2 2 6

D. x    k 2; x 

2  k 2 3

Câu 57. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là:

 A. x    k 2 2

B. x 

  k 2 2

 C. x    k 2

D. x  

  k 2 2

Câu 58. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4.sin2x + 3. 3 sin2x – 2.cos2x = 4 là: A. x 

 6

B. x 

 4

C. x 

 3

D. x 

 2

B. x 

  k 2

Câu 59. Nghiệm của pt cos4x – sin4x = 0 là: A. x 

  k 4 2

C. x    k 2

D. x  k

Câu 60. Nghiệm của pt sinx + cosx = A. x 

2 là:

  k 2 4

 B. x    k 2 4

 C. x    k 2 6

D. x 

  k 2 6

   k; x   k 2 6

B. x 

   k 2; x   k 2 2 6

 5 C. x    k 2; x    k 2 6 6

D. x 

 5  k 2; x   k 2 6 6

B. x 

   k 2; x   k 2 2 6

Câu 61. Nghiệm của pt sin2x + A. x 

Câu 62. Nghiệm của pt sinx – A. x 

3 sinx.cosx = 1 là:

3 cosx = 1 là

5 13  k 2; x   k 2 12 12

159

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

C. x 

 5  k 2; x   k 2 6 6

D. x 

 5  k 2; x   k 2 4 4

Câu 63. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: (I) cosx =

5 3

(II) sinx = 1– 2

(III) sinx + cosx = 2

A. (I)

B. (II)

C. (III)

D. (I) và (II)

Một số vấn đề nâng cao. Vấn đề 2. Tìm nghiệm phƣơng trình lƣợng giác cơ bản Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm tổng các nghiệm trong khoảng ( ; ) của phương trình:

  1. sin(3x  )  cos(2 x  ) 3 4

 2. sin 2 2 x  cos2 (3x  ) 8

Lời giải.    3  1. Phương trình  sin  3x    sin   2x  3   4     3x  3    3x     3

3   k 2  2 x  k 2 x   4 12 5     x    k 2  2 x  k 2  4 12

Do x   ;   nên ta có: x  

43 19  29 53  ,x   ,x  ,x  ,x  ,x   60 60 12 60 60 12

Vậy tổng các nghiệm trong  ;   bằng

 . 3

  2. Phương trình  cos  6 x     cos 4 x  cos    4 x  4   5    x  8  k 6 x  4  4 x    k 2    x   3  k  6 x    4 x    k 2   4 40 5

160

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Các nghiệm nằm trong ( ; ) của phương trình là:

x

5 7 27  19 11 3  ,x   ,x   ,x   ,x   ,x   ,x  , 8 8 40 40 40 40 8

x

13 21 29 37  ,x  ,x  ,x  40 40 40 40

Vậy tổng các nghiệm thuộc ( ; ) là:

7 . 8

Ví dụ 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương trình sau: 1. sin 2 2 x  cos 2 5x  1

2. (sin x  cos x)2  2 cos2 3x Lời giải:

1. Phương trình 

1  cos 4 x 1  cos10 x  1 2 2

 x  10 x  4 x  k 2  cos10 x  cos 4 x    x  10 x  4 x  k 2 

k 3 k 7

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: x 

  ,x   . 7 7

2. Phương trình  1  sin 2x  1  cos6x   k   x  6 x   2 x  k 2     16 4 2  cos 6 x  sin 2 x  cos   2 x       2    x    k 6 x    2 x  k 2   2 8 2

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là:

x

  ,x   . 16 8

Ví dụ 3 Tìm số dương nhỏ nhất của phương trình :   1  1. cos    x 2  2 x     sin x 2 2   

 

2 2. sin x2  sin   x  1   

Lời giải:

161

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 

1. Phương trình sin ( x2  2x)  sin x2

 ( x 2  2 x)  x 2  k 2 x  k   2  2 2  ( x  2 x)    x  k 2  2 x  2 x  2 k  1  0 (1)

1  3 . 2

Từ đó ta tìm được x 

 2k  1  x 2  ( x  1)2  k 2 x  2. Phương trình   2  2 2  2  x    ( x  1)  k 2  x  x  k  0 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x  

2k  1 ,k 2

là x 

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x 2  x  k  0 là: x  Vậy x 

1 2

1  5 1  2 2

1 là nghiệm cần tìm. 2

Ví dụ 4





  Tìm nghiệm nguyên của phương trình : cos  3x  9 x 2  160 x  800   1 8 

Lời giải:  16 k  16 k x x     3 3  Phương trình 3 x  9 x 2  160 x  800  16 k   2  x  8 k  25 9 x  24 k  40  25 3k  5  3k  5 

Theo bài toán suy ra:

25   k  0, 2, 10 3k  5

Thử lại ta có các nghiệm nguyên của phương trình : x  7( k  2), x  31 ( k  10) .

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 ) của phương trình sau:





3  1 sin x 





3  1 cos x  2 2 sin 2 x

Lời giải:

162

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ta có sin

7 6 2 7 6 2  ; cos  12 4 12 4

Nên phương trình đã cho tương đương với:

 sin x.cos

3 1 2 2

sin x 

3 1 2 2

cos x  sin 2 x

7 7  cos x.sin  sin 2 x 12 12

 7  7  x  12  k 2   2 x  x  12  k 2 7 .  sin( x  )  sin 2 x    12  x  5  k 2   2 x    x  7   k 2   36 3 12

Do x   0; 2  nên phương trình có các nghiệm là:

7  5 29 53 . ; ; ; 12 36 36 36 Vậy tổng các nghiệm cần tính là: 3 . Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau Phương trình  3 sin x  cos x  3 cos x  sin x  2 2 sin 2x

  7  sin( x  )  cos( x  )  2 sin 2 x  sin( x  )  sin 2 x 6 6 12 Tiếp tục giải ta được kết quả như trên.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

 Bài 1. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 cos( x  )  1 trên ( ; ) 3 A.

2 3

 3

4 3

Lời giải:  x  k 2  1  Phương trình  cos( x  )   cos    x  2  k 2 3 2 3  3

7 3

163

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Vì x   ;   nên: * Với x  k 2 ta chỉ chọn được k  0  x  0 . * Với x 

2 2 .  k 2 ta chỉ chọn được k  0  x  3 3

Vậy tổng các nghiệm bằng

2 . 3

  Bài 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5x  )  cos(2 x  ) trên [0; ] 3 3 A.

7 18

4 18

47  8

Lời giải:

 5 Phương trình  sin(5x  )  sin(  2 x) 3 6    5x  3    5x     3

 Với x  

5   2  2 x  k 2 x k  6 14 7 .     x    k 2  2 x  k 2  18 3 6

 2  2 k 0 k  14 7 14 7

 2 13 1 13 k     k  . Do k   k  0,1, 2, 3 14 7 14 4 4

Suy ra các nghiệm: x 

 Với x   

 5 9 13 ,x  ,x  ,x  14 14 14 14

 2  2 k 0 k  18 3 18 3

 2 19 1 19 . Do k   k  1 k   k 18 3 18 12 12

Suy ra các nghiêm: x 

11 . 18

Vậy tổng các nghiệm là:

47  . 18

47  18

164

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau





A. 1

B. 2

  sin  3x  9 x 2  16 x  80   0 . 4 

C. 3 Lời giải:

Điều kiện: 9 x2  16 x  80  0  x  4 . Phương trình 





 3x  9 x 2  16 x  80  k, k  4

 3 x  9 x 2  16 x  80  4 k  9 x 2  16 x  80  3 x  4 k

 4k  4k x   x  3 .   3 2  x  2 k  10 9 x 2  16 x  80  (3x  4 k )2   3k  2  2 k 2  10 4 k   3  3 k  22 2 k  10  4. Yêu cầu bài toán   x  3k  2   2 k 2  10  3k  2  

 2 k 2  10 4 k  6 k 2  8 k  30  0   2 3 k  2 3 3 k  2 Ta có:   2  k3 2 3  x  2 k  10  4  2 k  12 k  18  0   3k  2 3k  2 Vì k   k  1,2,3 . * k  1

2 k 2  10  12  3k  2

* k2

2 k 2  10 9   3k  2 2

* k 3

2 k 2  10  4 3k  2

Kết hợp điều kiện, ta có x  4, x  12 là những giá trị cần tìm.

D. 4

165

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3  3  2 x  x 2 )  1 . A. 1

B. 2

C. 3





D. 4

Lời giải:

Phương trình   3  3  2 x  x2    k 2, k 

 2  2k  3  2x  x2

Ta có: 0  4  (1  x)2  2 và 2  2k là số chẵn nên ta có các nghiệm là: x  1, x  3, x  1 . Bài 5. Tìm số nghiệm x  0;14  nghiệm đúng phương trình :

cos 3x  4cos 2x  3cos x  4  0 A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải: Phương trình  4 cos x  3cos x  4(2 cos x  1)  3cos x  4  0 3

 4 cos3 x  8 cos 2 x  0  cos x  0  x 

  k 2

 3 5 7 Vì x  0;14   x  , x  . ,x  ,x  2 2 2 2 Bài 6. Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình :

2(sinx  1)(sin2 2x  3sinx  1)  sin4x.cosx A. 1

B. 2

C. 3 Lời giải:

Ta có phương trình đã cho tương đương với  1  cos 4 x  2  sin x  1   3sin x  1   sin 4 x.cos x 2     sin x  1 3  6 sin x  cos 4 x   sin 4 x.cos x   sinx  1 3  6sinx   sinx.cos4x  cos4x  sin4x.cosx

 3(1  2sin2 x)  3sinx  sin5x  cos4x      3cos 2 x  3cos  x    cos  5x    cos 4 x 2 2  

D. 4

166

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 3.2.cos(

3x  x  9x  x   ).cos(  )  2.cos(  ).cos(  ) 2 4 2 4 2 4 2 4

 x  3x  9 x 3   cos     3cos(  )  cos(  )   0 2 4 2 4   2 4    x  cos(  )  0 x   x  3 x  2 4  cos(  ).cos 3 (  )  0    2 4 2 4 x  cos( 3x   )  0   2 4

3  k 2 2 .   k 2 6

  3 Vì x  ( ; ) nên suy ra x   , x  , x  . 2 6 2 Bài 7 Tìm số nghiệm x   0; 2   của phương trình : A. 1

B. 2

sin 3x  sin x 1  cos 2 x

C. 3

 sin 2 x  cos 2 x

D. 4

Lời giải: Điều kiện: cos 2x  1  2x  k 2  x  k Phương trình 

2 cos 2 x sin x 2 sin x

   2 cos  2 x   4 

Ta thấy x   không là nghiệm của phương trình .

 Nếu x   0;   thì phương trình 

2 cos 2 x sin x 2 sin x

   2 cos  2 x   4 

     cos 2 x  cos  2 x    x   k ,k 4 16 2 

Do x   0;    0 

   k  , k  16 2

1 15    k  ,k 8 8

  x   k  0 16 .   k  1 9 x     16

 Nếu x   ; 2  thì phương trình 

2 cos 2 x sin x  2 sin x

  5   cos 2 x   cos  2 x    x   k ,k 4 16 2 

   2 cos  2 x   4 

167

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Do x   ; 2    

5  11 27  k  2 , k    k  ,k 16 2 8 8

 21  x  16 k  2 .   k  3 29    x  16

Nghiệm phương trình thỏa mãn bài toán là :

x

 9 21 29 . ;x  ;x  ;x  16 16 16 16

Vấn đề 3 . Phƣơng pháp loại nghiệm khi giải phƣơng trình lƣợng giác có điều kiện Phƣơng pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giáC. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện. Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

 Điểm biểu diễn cung  và   k 2 , k 

 Để biểu diễn cung  

trùng nhau

2k lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường n

chọn k  0,1,2,..., n  1 ) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn. Phƣơng pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm  

k, l 

k l và   , trong đó m, n n m

là các chỉ số chạy.

Ta xét phương trình :  

k l     ak  bl  c (*) n m

Với a, b, c là các số nguyên. Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên ax  by  c

(1).

đã biết, còn

168

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

 Phương trình (1) có nghiệm  d  ( a , b) là ước của c

 Nếu phương trình (1) có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì (1) có vô số nghiệm  b  x  x0  d t ,t  .  a y  y  0  t

Phƣơng pháp 3: Thử trực tiếp Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm trA. Phƣơng pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng giác: Giả sử ta có điều kiện là u( x)  0 ( u( x)  0, u( x)  0 ), ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình chứa u( x ) và giải phương trình để tìm u( x ) . Các ví dụ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1. cot 3x  cot x

2. cot 4x.cot 7 x  1 Lời giải:

1. Điều kiện: x  k

 3

Phương trình  3x  x  n  x 

n ,n 2

Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung k

Biểu diễn các điểm cuối của cung

 ta có các điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 . 3

n ta có các điểm B1 , B2 , B3 , B4 . 2

169

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

B3 A4

Ta thấy A1  B1 , A4  B3 . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 

Cách 2: Ta có

  m, m  . 2

 k  3t n k 2k  n  2 3 3  n  2t

Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn. Vậy nghiệm của phương trình là: x    x  2. Điều kiện:  x  

  m, m  . 2

k 4 . n 7

 Phương trình  cot 7 x  tan 4 x  cot(  4 x) 2  7x 

    4 x  m  x  m . 2 22 11

 Ta có:

  k k2 m   2  4m  11k  m  3k  22 11 4 4

Vì m, k  

 Ta có:

k2  t  k  4t  2  m  11t  6 4

 m n    7  14m  22n  22n  14m  7 22 11 7

170

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Vì 22n  14m là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x

 m với m  11t  6 , t  .  22 11

Ví dụ 2. Giải phương trình sau:

sin x cot 5x 1 cos 9 x Lời giải:

 m x   sin 5 x  0  5  Điều kiện:  cos 9 x  0  m  x    18 9

Phương trình  sin x cos 5x  cos9x sin 5x

 sin 6x  sin 4x  sin14x  sin 4x  sin14 x  sin 6 x  x  14 x  6 x  k 2    x  14 x    6 x  k 2 

 Nghiệm x 

k 4  k  20 10

k bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có nghiệm nguyên 4

m, k  m  5t  k m  4  5  5k  4m  k  4t     k (chẵn)  9 k  4 m  2  k  2  4 t  k    m    4 18 9  m  4  9t

 Nghiệm x 

 k bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có nghiệm  20 10

nguyên m, k   k m  20  10  5  4m  2 k  1  ta thấy cả hai phương trình này vô nghiệm.     k    m 18 k  10m  1  20 10 18 9

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 

 k  k , x  .  20 10 4 2

171

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình : sin x  cos 2 x A. x  

  k 2 6

B. x  

 1 k  6 2

C. x  

 1 k  6 3

D. x  

  k 6

Lời giải: Cách 1:

 Với sin x  0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với   2 x   x  k 2    2 cos 2 x  sin x  cos   x    2    2 x     x  k 2  2   2 k (1) x  6  3   x     k 2 (2)  2

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*) Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A1 , A2 , A3 . Trong đó chỉ có hai điểm A1 , A2 nằm phía trên Ox y A2

1 x

Hai điểm này ứng với các cung x 

 5  k 2 và x   k 2 . 6 6

 Với sin x  0 (**) thì phương trình đã cho tương đương với

172

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

  2 x   x  k 2    2 cos 2 x   sin x  cos   x    2   2 x     x  k 2  2    x  2  k 2  (3)   x     k 2  (4)  6 3

Dễ thấy (3) không thỏa (**) Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B1 , B2 , B3 Trong đó chỉ có hai điểm B2 , B3 nằm dưới Ox ( sin x  0 ) y B1

O B2

1 x B3

 5 Hai điểm đó ứng với cung: x    k 2 và x    k 2 6 6 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x  

  k . 6

Bài 2: Giải phương trình : cos 3x tan 4x  sin 5x A. x  k 2, x 

 k 3  16 8

2  k C. x  k , x   3 16 8

1  k 3 B. x  k , x   2 16 8 D. x  k, x  Lời giải:

Điều kiện: cos 4x  0

 k  16 8

173

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Phương trình  sin 4x cos 3x  sin 5x cos 4 x

 sin7 x  sin x  sin 9x  sin x  sin 9 x  sin7 x

 x  k , x 

 k  16 8

 Với x  k thì cos 4x  cos 4k  1  0  Với x 

  k   k thì cos 4 x  cos     0 đúng với mọi k  16 8 4 2 

Vậy nghiệm của phương trình là: x  k, x  Bài 3: Giải phương trình

 k , k .  16 8

2  sin 3x  cos 3x   1  2 sin 6 x  2 sin 2 x

A. x 

 17   n và x   2n 12 12

B. x 

 17   2n và x   n 12 12

C. x 

 2 17   n và x   2n 12 3 12

D. x 

 17   2n và x   2n 12 12

Lời giải: sin 3x  cos 3 x  0 Phương trình   2 2  sin 3 x  cos 3 x   1  2 sin 6 x  2 sin 2 x sin 3x  cos 3 x  0 sin 3 x  cos 3 x  0 (*)     1  5 sin 2 x  2  x  12  k (1), x  12  k (2)

 Với nghiệm x 

  k thì 12

    sin 3x  cos 3x  sin   3k   cos   3k   0  k  2n 4  4 

 Với nghiệm x 

5  k thì 12

 5   5  sin 3x  cos 3x  sin   3k   cos   3k   0  k  2n  1 .  4   4 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 

 17   2n và x   2n 12 12

174

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 4: Giải phương trình : tan 2x tan 3x tan7 x  tan 2 x  tan 3x  tan7 x .  k  2(2t  1) k  A. x  với  k  3(2t  1) , t  2  k  6(2t  1) 

 k  2(2t  1) k  B. x  với  k  5(2t  1) , t  12  k  6(2t  1) 

 k  2(2t  1) k  C. x  với  k  5(2t  1) , t  3  k  6(2t  1) 

 k  2(2t  1) k  D. x  với  k  3(2t  1) , t  12  k  6(2t  1)  Lời giải:

   x  4  k 2 cos 2 x  0      Điều kiện: cos 3 x  0   x   k . 6 3 cos 7 x  0    k   x  14  7 

Phương trình   tan 2 x(1  tan 3x tan 7 x)  tan 3 x  tan 7 x Nếu tan 3x tan7 x  1  tan 3 x  tan7 x  0 vô lí Nên ta có phương trình :  tan 2 x 

 10 x  2 x  m  x 

tan 3x  tan 7 x  tan10 x 1  tan 3x tan 7 x

m . 12

Loại nghiệm: Với bài toán này nếu chúng ta sử dụng phương pháp loại nghiệm bằng cách biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp sẽ phải xét nghiều trường hợp. Do đó ta lựa chọn phương pháp đại số.



  m k   3  6k  m 4 2 12



  m k   2  4k  m 6 3 12



m  12t  6   m k   6  12 k  7 m   ,t  k  7 t  3 14 7 12 

 k  2(2t  1) k  KL: Nghiệm của phương trình là: x  với  k  3(2t  1) , t  12  k  6(2t  1) 

175

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Vấn đề 4 . Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số. Đây là chuyên đề giới thiệu, nên giáo viên có thể minh họa bằng toán tự luận cho học sinh, chứ nếu chuyển về bài toán trắc nghiệm thật sự không tốt. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm giá trị m để phương trình: 2 sin( x 

 )  2m  1 vô nghiệm. 10

Lời giải:    2m  1 Phương trình  sin  x    10  2 

 Nếu 1 

2m  1 3 1  1    m  thì phương trình có nghiệm 2 2 2

  2m  1  x   10  arcsin 2  k 2    x  9  arcsin 2 m  1  k 2   10 2  3 m   2  phương trình vô nghiệm.  Nếu  m  1  2

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình: m cos 2x  m  1 Lời giải:

 Nếu m 

1 m 1   1  phương trình có nghiệm 2 m

1 m1 x   arccos  k 2 2 m

 Nếu m 

1 thì phương trình vô nghiệm. 2

Ví dụ 3. Cho phương trình : ( m  1) cos x  2 sin x  m  3 1. Giải phương trình khi m  2

2. Tìm m để phương trình có nghiệm

176

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải: 1. Với m  2 ta có phương trình : 3cos x  2sin x  1 

3 13

cos x 

Với sin  

sin x  

,cos  

 x     arccos

1 13

1 13

 cos( x  )  

1 13

  ;    0;  . 13  2

 k 2  x    arccos

1 13

 k 2 .

1 2. Phương trình đã cho có nghiệm  (m  1)2  4  (m  3)2  m   . 2 Ví dụ 4. Tìm m để phương trình:  m  1 cosx   m  1 sinx  2m  3 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1  x2 

 3 Lời giải:

Ta có phương trình đã cho tương đương với m 1 2 m2  2

m 1

cosx 

2 m2  2

 cos  x     cos

(Trong đó cos  

sinx 

2m  3 2 m2  2 2m+3

(với đk 1  m 1 2m  2 2

2 m2  2 2m+3

; cos 

2 m2  2

 1 (*) )

)  x      k 2

Do đó x1 , x2 có dạng x1      k1 2; x2      k2 2 (Vì nếu x1,x2 cùng thuộc một họ nghiệm thì x1  x2  l2, l  Z ) Do đ ó: x1  x2 

 3

 2( k1 k2 )2 

 cos 2( k1 k2 )2  cos

 3

 1  cos 2  . 3 2

Mặt khác cos2  2cos 2   1 nên ta có:  m 1  1 3  m  1  2   1     2 2 4 2 m2  2  2m  2  2

177

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 m2  4m  1  0  m  2  3 (ko thoả mãn (*)) Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:

 2 ( m  1)cos2 (4 x  )  2m 3

1. 4 sin 2x  2m  1

 3. tan(2 x  )  m  1 6

 4. m cot 2 (2 x  )  2m  1 8 Lời giải:

. Phương trình  sin 2 x 

 Nếu

2m  1 4

 x  nghiệm  x  

2m  1 (1) 4

 1  2m  1  4  

5 3  m  thì phương trình (1) có 2 2

1 2m  1 arcsin  k 2 4 , k  1 2m  1  arcsin  k 2 2 4

 5 3   Nếu m   ;     ;   thì phương trình (1) vô nghiệm 2 2  

Lời giải: 2.

 Nếu m  1  phương trình (1) vô nghiệm    2m (2)  Nếu m  1  phương trình đa cho  cos 2  4 x    3  m1   2m  m  1  0 m  ( ; 0]  (1; )   1  m  0 thì +) Nếu  1  m  1  2m  1  m  1   2m Phương trình (2)  cos  2 x     3 m1 

178

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 2x 

   2m   1 2m    arccos    k 2   x    arccos    k , k    m 1   m  1  3 6 2    

 m  1 +) Nếu  thì phương trình (2) vô nghiệm. m  0 

Lời giải: 3. Với mọi giá trị của m ta có phương trình đã cho tương đương với

2x 

  1 k  arctan( m  1)  k  x   arctan( m  1)  6 12 2 2 Lời giải:

 Nếu m  0  phương trình vô nghiệm    2m  1  Nếu m  0 thì phương trình đã ch tương đương với cot 2  2 x    8 m 

+) Nếu

2m  1 1  0    m  0 thì phương trình (4) vô nghiệm m 2

 1 m  +) Nếu 2 thì phương trình (4) có nghiệm là   m  0 2x 

 2m  1   2 m  1  k   1  arc cot    k  x   arc cot   , k .       8 m 16 2 m 2    

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau: 1. m sin 2 2 x  m  1  0

2. (2m  1) tan2 3x  m  2 Lời giải:

 Nếu m  0  phương trình vô nghiệm  Nếu m  0  phương trình  sin 2 2 x 

1 m m

 1 1 m m   1  1 m  m   2  phương trình vô nghiệm m m  0

(4)

179

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 x   1 +) m   phương trình có nghiệm :  2 x   

 1 m  1 arcsin     k  2 m    1 m   1  arcsin     k  2 2 m  

Lời giải: 2.

 Nếu m 

1  phương trình vô nghiệm 2

 Nếu m 

1 m2 thì phương trình  tan 2 3x  2 2m  1

+) Nếu 2  m 

1  phương trình vô nghiệm 2

 m  2  1 m  2  k  +) Nếu  .  phương trình có nghiệm x  arc t an   1  2 m  1  3 m  3    2

Bài 3 Cho phương trình ( m  1) s inx  m cos x  2 m  1 (1) 1. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm x 

 , giải phương trình với giá trị m vừa 3

tìm đượC. 2. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. Lời giải: 1. Phương trình có nghiệm x 

( m  1) sin

 khi và chỉ khi 3

  3 3  m cos  2 m  1  m  3 3 6

Bạn đọc tự giải phương trình. Lời giải: 2. Phương trình có nghiệm  (m  1)2  m2  (2m  1)2  m2  m  0  0  m  1 .

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

180

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

1. cos 2 x  cos2 x  3 sin x  2m  0 có nghiệm Lời giải: . Phương trình  3sin 2 x  3sin x  2m  2 2 Đặt t  sin, t    1;1 . Ta có phương trình : 3t  3t  2m  2

Xét hàm số f (t )  3t 2  3t , t    1;1 Bảng biến thiên t

1 1

6 f (t )

0 Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình đã cho có nghiệm

 0  2m  2  6  1  m  2 .

  2. cos 2 x  (2 m  1) cos x  m  1  0 có nghiệm trên  ;   2 

Lời giải: . Phương trình  2cos2 x   2m  1 cosx  m  0  2 cos x  1  0   2 cos x  1 cos x  m   0    cos x  m  0

  Ta có : x   ;    1  cos x  0 2    Suy ra phương trình đã cho có nghiệm x   ;    1  m  0 . 2 

Bài 5: Giải và biện luận phƣơng trình :









1. 8m2  1 sin 3 x  4m2  1 sin x  2m cos3 x  0

181

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải: .

 Nếu m  0 , phương trình  sin 3 x  sin x  0 sin x cos2 x  0  sin 2 x  0  x 

k 2

 Nếu m  0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x  0 ta được





(8m2  1) tan3 x  (4m2  1) tan x 1  tan 2 x  2m  0  4m2 tan3 x  (4m2  1) tan x  2m  0  (2m tan x  1)(2m tan2 x  tan x  2m)  0  1  1  1  x  arctan 2 m  k tan x  tan x    2m 2m     2  x  1 arctan(4 m)  k  tan 2 x  4m  2m tan x  tan x  2m  0  2 2

KL:  Nếu m  0 thì phương trình có nghiệm x 

k 2

 Nếu m  0 thì phương trình có nghiệm x

k 1 1 k , x  arctan  k, x  arctan(4m)  . 2 2m 2 2

2. 2m sin x cos x   sin x  cos x   1  0 . Lời giải:   t2  1 . Đặt t  sin x  cos x  2 cos  x   , t    2; 2   sin x cos x  .   4 2 

Thay vào phương trình ta có: t  1 m(t 2  1)  t  1  0  (t  1)( mt  m  1)  0    mt  1  m

  x   k 2   1    t  1  cos  x    2  4 2  x  k 2 

 Xét phương trình : mt  1  m (*)

182

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

+) Nếu m  0  (*) vô nghiệm +) Nếu

 m  1  2 1 m m  0  2 2  m  m  1  2 m  2m  1  0

 (*)  t 

 1 m   1 m    1 m  x   arccos   cos  x      k 2 4 m 4 m 2  m 2

m  0 1 m  (*)  t  +)  vô nghiệm. m 1  2  m  1  2

KL:  Nếu 1  2  m  1  2  phương trình có nghiệm x 

  k 2 , x  k 2  . 2

 m  1  2  phương trình có nghiệm  Nếu   m  1  2 x

 1 m     k 2 , x  k 2 , x   arccos    k2  . 2 4 m 2

3. m cot 2 x 

cos2 x  sin 2 x cos6 x  sin6 x Lời giải:

. Phương trình  m

cos 2 x cos 2 x  sin 2 x 1  3sin 2 x cos 2 x

 Phương trình luôn có nghiệm: x   Phương trình:

  k . 4 2

m 4 hay 3mt 2  4t  4m  0 (*)  2 sin 2 x 4  3sin 2 x

Với t  sin 2 x    1;1 \ 0  . +) m  0 phương trình vô nghiệm +) m  0  phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t1t2   thì chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc   1;1 Nghiệm t 

2  2 1  3m2 2    1;1  2 1  3m  2  3 m 3m

4 nên trong đó nếu có 3

183

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 3m2  8  8 1  3m2  9m4  144m2  0  m  2 Nghiệm t 

2  2 1  3m2   1;1  2 1  3m2  2  3 m vô nghiệm  3m

m  0   Vậy : * Nếu  thì phương trình đã cho có nghiệm x   k 4 2  m  2  m  0   * Nếu  thì phương trình đã cho có nghiệm x   k 4 2  m  2

1 2  2 1  3m2  1 2  2 1  3m2 x  arcsin  k, x   arcsin  k . 2 3m 2 2 3m

Bài 6: Tìm m để phương trình m cos 2x  sin x  cos x cot x có đúng 4 nghiệm thuộc  0; 2  Lời giải:  sin x  0 (1) Phương trình   cos 2 x( m sin x  1)  0 (2)

 Nếu m  0  phương trình  cos 2x  0 x

 3 5 7  m  0 thỏa yêu cầu bài toán ,x  ,x  ,x  4 4 4 4

 m  0 . Vì phương trình luôn có 4 nghiệm trên  0; 2  nêu yêu cầu bài toán  phương trình m sin x  1  0 vô nghiệm hoặc có các nghiệm trên m  0  m  0  1  1     m  1 . Điều đó xảy ra khi   m   1 2   m   2     m 2

m 1 Vậy  là những giá trị cần tìm.  m   2 2. (1  m) tan 2 x 

  2  1  3m  0 có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng  0;  . cos x  2 Lời giải:

184

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Phương trình  Đặt t 

1 m 2   4m  0 2 cos x cos x

1  t  1 x   1;   cos x

Ta có phương trình : (1  m)t 2  2t  4m  0 (*) Yêu cầu bài toán  (*) có nhiều hơn một nghiệm t  1  (*) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2  1

 1 1  m  0 m  1, m    2   '  1  4m( m  1)  0   t1  t2  2  0 (t1  1)  (t2  1)  0 t t  (t  t )  1  0 1 2 (t1  1)(t2  1)  0 12 

 1  1  1 m  1, m  2 m  1, m  2 m  1, m   1    m 2   2  2m  2 .  2 0  0  0  m  1  1 1  m 1  m   1  m1 2  3  m1  4m  3m  1 3 1  m  1  m  1  0  1 m  0  

3. m tan 2 x  2 tan x  1 

1 có nghiệm. cos 2 x Lời giải:

Phương trình  m tan 2 x  2 tan x  1  1  tan 2 x

 (m  1) tan 2 x  2 tan x  2  0 (1)

 m  1  (*)  tan x  1  m  1 . Ta có (*) có nghiệm   '  2m  1  0  m  Vậy m 

1 là những giá trị cần tìm. 2

  4. cos 4 x  cos 2 3x  m sin 2 x có nghiệm x   0;   12  Lời giải:

1 2

185

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Phương trình  2 cos2 2 x  1 

1  cos 6 x m(1  cos 2 x)  2 2

 4 cos3 2x  4 cos2 2x  3cos 2x  3  m(1  cos 2 x)  0 cos 2 x  1  (cos 2 x  1)(4 cos 2 x  3  m)  0   2 cos 2 x  m  3  4 2

 3      ;1 Vì x   0;   2 x   0;   cos 2 x    2   12   6  

Do đó phương trình đã cho có nghiệm 

3 m3  1 0 m1 4 4

Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1 sin 4 x  cos4 x – cos2x  sin 2 2 x  m  0 4 Lời giải:

1 Phương trình  1  sin 2 2 x  cos 2 x  m  0 4  cos2 2 x  4 cos 2 x  3  4m

Đặt t  cos 2 x  t  1;1 Ta có phương trình f (t )  t 2  4t  4 m  3 Bảng biến thiên t

1 1

5 f (t )

3

Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm

186

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 3  4m  3  5  2  m  0 . Bài 9: Chứng minh phương trình cosx  mcos2x  0 luôn có nghiệm với mọi m. Lời giải: Phương trình  2m cos 2 x  cos x  m  0 Đặt t  cos x , t  1;1 ta có phương trình 2mt 2  t  m  0 .

 m  0  t  0 là nghiệm phương trình  m  0 ta thấy phương trình luôn có hai nghiệm t1 , t2 và t1t2  luôn có một nghiệm thuộc   1;1

1  trong hai nghiệm 2

187

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

188