Chuyên đề SỐ PHỨC đầy đủ - Bùi Trần Duy Tuấn by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

MỤC LỤC Page

A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC ................... 3 I. LÝ THUYẾT ..................................................................................................... 3 II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN .............................. 5 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI ......................... 10 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ............................................................................... 14

B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI .................................................................................................................... 17 I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC ................................................................... 17 II. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ............................................................. 19 1. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC ............... 19 2. ĐƢA PHƢƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ............................................... 21 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI ......................... 27 1. BÀI TOÁN TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ PHỨC .................... 28 2. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ........................................................ 30 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ............................................................................... 32

C. TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC..................................................... 35 I. LÝ THUYẾT ................................................................................................... 35 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ............................................................. 36 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ GIẢI ................................................. 40 IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ............................................................................... 41

D. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC ........................................... 45 I. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN ............................................................... 45 II. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC ..................................................................... 49 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI ......................... 56

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ............................................................................... 57

E. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC .......................................... 59 I. LÝ THUYẾT ................................................................................................... 59 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH. ............................................................. 60 III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI. ........................ 62 IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƢỢNG GIÁC .....63 V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ................................................................................. 66

F. LUYỆN TẬP.............................................................................................. 68

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

A.CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA  + Một số phức là một biểu thức dạng z  a  bi với a, b  và i2  1 ,  i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức . z  a  bi .. + Tập hợp các số phức được kí hiệu là .





 a  bi / a, b  ; i 2  1 .  + Chú ý: - Khi phần ảo ..là số thực. - Khi phần thực a  0  z  bi  z là số thuần ảo. - Số 0  0  0i vừa là số thực, vừa là số ảo. a  c  + Hai số phức bằng nhau: a  bi  c  di   vôù i a, b, c, d  . b  d  + Hai số phức z1  a  bi; z2  a  bi được gọi là hai số phức đối nhau. 2. SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp của z  a  bi với a, b  là a  bi và được kí hiệu bởi z . Rõ ràng z  z Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức z  1  2i là số phức z  1  2i . Số phức liên hợp của số phức z  5  3i là số phức z  5  3i . 3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z  a  bi với a, b được biểu diễn bằng điểm M  a; b  . Ví dụ:  A 1; 2  biểu diễn số phức z1  1  2i .

 B 0;3 biểu diễn số phức z2  3i .

 C  3;1 biểu diễn số phức z3  3  i .

 D 1;2  biểu diễn số phức z4  1  2i .

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

4. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC  Môđun của số phức z  a  bi  a, b 

 là

z  a2  b2 .

 Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức z  a  bi  a, b 

 đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:

OM  a2  b2  zz .

5. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho hai số phức ; z '  a ' b ' i với a,b,a',b'  và số k  .  + Tổng hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i  + Hiệu hai số phức: z  z '  a  a ' (b  b ')i .  + Số đối của số phức z  a  bi là z  a  bi .  + Nếu u, u ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z ' thì u  u ' biểu diễn số phức z  z ' . u  u ' biểu diễn số phức z  z ' .  + Nhân hai số phức:

z.z '   a  bi  a ' b ' i    a.a ' b.b '    a.b ' a '.b  i .

 + Chia 2 số phức: - + Số phức nghịch đảo: z1  - Nếu z  0 thì

1 z

z ' z '.z  2 , nghĩa là nếu muốn chia số phức z ' cho số phức z  0 z z

thì ta nhân cả tử và mẫu của thương

z' cho z . z

 + Chú ý: i 4 k  1; i 4 k 1  i; i 4 k 2  1; i 4 k 3  i (k  )

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN 1. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT + Bước 1: Gọi số phức z cần tìm là z  a  bi  a, b 

.

+ Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước của đề bài (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z, z ,... ) để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình 2 ẩn theo a và b nhờ tính chất 2 số phức bằng nhau ( phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau ), rồi từ đó suy ra a và b và suy ra được số phức z cần tìm. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và tính môđun của số phức z: a) z   2  4i   2i 1  3i  .

b) z   2  4i  5  2i  

4  5i . 2i

a) z   2  4i   2i 1  3i 

Giải:

 Phần thực:

 2  4i  2i  6i 2  2  6i  6  8  6i  Phần thực: 8 ; Phần ảo: 6 ;

Số phức liên hợp: z  8  6i Môđun z  82  62  10 .

 18  16i  

93 94  i 5 5

94 ; 5

93 94  i 5 5

Môđun 2

 93   94  17485 z       . 5  5  5 

4  5i . 2i  4  5i  2  i 

8  14i  5 5

Phần ảo:

Số phức liên hợp: z 

b) z   2  4i  5  2i    10  4 i  20 i  8i 2 

93 ; 5

22  12

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài toán 2: Cho số phức z  3  2i . Tìm môđun số phức w  zi  z 1  2i  Giải:

w  zi  z 1  2i   (3  2i)i  (3  2i)(1  2i)  3i  2  3  6i  2i  4  5  7i

Vậy w  52  72  74 . Bài toán 3: Tìm x, y 

để số phức z1  9 y 2  4  10 xi5 và z2  8y 2  20i11 là

liên hợp của nhau? Giải: Ta có: z1  9 y 2  4  10 xi 5  9 y 2  4  10 xi

và

z2  8y 2  20i11  8y 2  20i

Vì z1 , z2 là liên hợp của nhau nên:  9 y 2  4  8y 2  10 x  (20)  x  2  x  2  hoaë c   y2  y  2

Vậy số phức z cần tìm là: z  2  2i hoặc z  2  2i . Bài toán 4: Gọi M, N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng phức. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. z1  z2  OM  ON

B. z1  z2  MN

C. z1  z2  OM  MN

D. z1  z2  OM  MN

Giải: M, N lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng phức nên OM biểu diễn số phức z1 , ON biểu diễn số phức z2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 OM  ON  NM biểu diễn số phức z1  z2

 z1  z2  NM  MN . Chọn B.

Bài toán 5: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau: 1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i  2

Giải: P  1  1  i   1  i   ...  1  i  2

1  i 

2 20

1  i  

1

 1  i   1  i    2i  1  i   210 1  i    210 1  i   1 P  210  210  1 i i Vậy phần thực là 210 và phần ảo là 210  1 . 21





Bài toán 6: Tính S  1009  i  2i 2  3i3  ...  2017i 2017 . A. S  2017  1009i. B. 1009  2017i. C. 2017  1009i. D. 1008  1009i. Giải: Cách 1: Ta có S  1009  i  2i 2  3i 3  4i 4  ...  2017i 2017



 



 1009  4i 4  8i 8  ...  2016i 2016  i  5i 5  9i 9  ...  2017i 2017 



 

 2i 2  6i 6  10i10  ...  2014i 2014  3i 3  7i 7  11i11  ...  2015i 2015 504

505

504

n 1

 1009    4n   i   4n  3    4n  2   i   4n  1  1009  509040  509545i  508032  508536i  2017  1009i.

Cách 2: Đặt f  x   1  x  x 2  x 3  ....  x 2017

f   x   1  2 x  3x 2  ...  2017 x 2016

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word



xf   x   x  2 x 2  3x 3  ...  2017 x 2017 1 Mặt khác: x 2018  1 f  x   1  x  x  x  ....  x  x 1 2018 x 2017  x  1  x 2018  1 f  x   2  x  1 2

2017



 xf   x   x.





 x  1 Thay x  i vào 1 và  2  ta được: 2018i 2017  i  1   i 2018  1 S  1009  i. 2  i  1  1009  i

 2

2018 x 2017  x  1  x 2018  1 2

2018  2018i  2  2017  1009i. 2i

Bài toán 6: Tìm số z sao cho: z  (2  i)z  3  5i Giải:

Gọi số phức z cần tìm là z  a  bi  a, b 

(A,A1  2014) .

.

Ta có: z  (2  i)z  3  5i  a  bi  (2  i)(a  bi)  3  5i  a  bi  2a  2bi  ai  bi 2  3  5i  3a  b  (a b)i  3  5i 3a  b  3  a  2    ab5 b  3

Vậy z  2  3i . Bài toán 7: Tìm số phức z khi nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

z  (2  i)  10 và z.z  25 . Giải:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Gọi số phức cần tìm là z  a  bi  a, b  2

Ta có: z.z  z  a2  b2  25

.

(1) .

L¹i cã: z  (2  i)  10  a  2  (b  1)i  10  (a  2)2  (b  1)2  10  (a  2)2  (b  1)2  10  a2  b2  4a  2b  5  10 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b  5  10  b  2a  10 .

Nªn a2  b2  25  a2  (2a  10)2  25 a  5  b  0  5a2  40a  75  0    a  3  b  4 Vậy z  5 hoặc z  3  4i .

Bài toán 8: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z  1  2i  z  3  4i và

z  2i zi

là một số thuần ảo.

Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R ) Theo bài ra ta có

x  1   y  2i  x  3   4  y i

  x  1   y  2    x  3   y  4   y  x  5 2

Số phức w 

z  2i zi



x   y  2i x  1  y  i



x 2   y  2  y  1  x  2 y  3 i x 2   y  1

 x 2   y  2  y  1  0  12 x   2   7  w là một số ảo khi và chỉ khi  x 2   y  1  0   y  23 y  x  5  7  12 23 Vậy z    i . 7 7

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Nhận xét: Trong bài toán tìm thuộc tính của số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, nếu K là thuần z (tất cả đều z) hoặc thuần z thì đó là bài toán giải phương trình bậc nhất (phép cộng, trừ, nhân, chia số phức) với ẩn z hoặc z . Còn nếu chứa hai loại trở lên (z, z , z ) thì ta sẽ gọi z  a  bi  a, b 

 . Từ đó sử dụng các

phép toán trên số phức để đưa về hai số phức bằng nhau để giải.

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm w2.  Bấm đơn vị ảo i bằng cách bấm phím b.  Tính môđun của số phức bấm qc.  Để bấm số phức liên hợp của z bấm q22để hiện Conjg (liên hợp). Sau đây là các bài toán điển hình cho các dạng tính toán cơ bản của số phức. 1. PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA: Bài toán 1: Tính z  1  i  (3  2i). Hƣớng dẫn: Ta lần lượt bấm các phím như sau: 1+bp(3+2b) Và ta được kết quả là:

Bài toán 2: Tính z  (1  3i)(3  4i). Hƣớng dẫn: Ta lần lượt bấm các phím tương tự như trên và ta thu được kết quả như sau:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài toán 3: Tính z  (2  i)

1  3i . 2  7i

Hƣớng dẫn: 1  3i Ta lần lượt nhập biểu thức z  (2  i) vào máy ta thu được kết quả: 2  7i

2. TÍNH MODULE: Bài toán 1: Tìm môđun của số phức (1  2i)z  2i  6 . A. 2

B.3 2

2 2

D.2 2

Hƣớng dẫn: (1  2i)z  2i  6  z  z 

6  2i .Nên ta thực hiện bấm như sau: 1  2i

qcap6p2bR1p2b= Ta thu được kết quả:

>>> Chọn D. Bài toán 2: Tìm số phức   2.z1.z2 . 3 2  4i  2(1  i ) 3  Biết z1  4  3i  (1  i ) , z2  1 i A. 18  74i . B. 18  74i C. 18  75i .

Hƣớng dẫn: - Tính z1  4  3i  (1  i)3 và lưu vào biến A:

4p3b+(1pb)^3qJz

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

D. 18  75i .

- Tính z2 

3 2  4i  2(1  i ) 1 i

và lưu vào biến B

a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJx

- Tính   2.z1.z2 :

2q22q22Qz)OQx)=

>>> Chọn A.

3. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Bài toán 1: Tìm môđun của số phức z thỏa mãn: 1  3i  z  3i  7i  2 .

A. z  1

B. z  4

C. z  2

D. z 

5 3

Giải: Ta chuyển z về dạng: z 

7i  2  3i và tìm môđun. 1  3i

Quy trình bấm máy:

Qca7bp2p3bR1p3b= Màn hình hiển thị:

>>> Chọn C.

Bài toán 2: Cho số phức z thỏa mãn (3  i)(z  1)  (2  i)(z  3i)  1  i. Tìm môđun của số phức w 

iz . 1 z

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

82 4

82 8

2 82 9

3 82 5

Hƣớng dẫn: Ở đây là sẽ cho phím X sẽ là đại diện cho số phức z. Đây là phương trình bậc nhất của số phức. Bƣớc 1: Các em nhập lại phương trình này với máy tính lần lượt như sau: (3  i)(X 1)  (2  i)(Conjg( X )  3i)  (1  i)

(3pb)(Q)+1)+(2pb)(q22Q))+3b)p(1pb) Màn hình hiển thị:

Bƣớc 2: Tìm số phức z  a  bi nghĩa là đi tìm a và b. Ta sẽ cho trước a=10000 và b=100 rồi từ đó suy ngược lại mối quan hệ của a và b bằng 1 hệ phương trình 2 ẩn theo a và b, lúc đó tìm được a và b. Cho z  10000  100i bằng cách nhập r10000+100b= Màn hình sẽ cho kết quả:

Nghĩa là: (3  i)(z  1)  (2  i)(z  3i)  (1  i)  50005  19894i  5a  5  (2a  b  6)i . Cho nên:

(3  i)(z  1)  (2  i)(z  3i)  (1  i)  0  5a  5  0 5a  5  0    a  1, b  8  z  1  8i 2 a  b  6  0 2 a  b  6   Từ đó tính môđun của w:

>>> Chọn B.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  i  3  4i  . A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4. C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i. D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i. Câu 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  1  3i  2i 1  i . A. Phần thực là 5 và phần ảo là 3i. C. Phần thực là 3 và phần ảo là 5i.

B. Phần thực là 3 và phần ảo là 5. D. Phần thực là 3 và phần ảo là 5. 2 Câu 3. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  2  3i  . 1 i A. Phần thực là 3 và phần ảo là 2. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i. C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i. D. Phần thực là 2 và phần ảo là 3. Câu 4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn 2z  iz  3  3i. A. Phần thực là 1 và phần ảo là 1. B. Phần thực là 1 và phần ảo là 1. C. Phần thực là 1 và phần ảo là i. D. Phần thực là 1 và phần ảo là i. Câu 5. Tìm số phức liên hợp của số phức z  1  3i  1  i  . 2

A. z  5  i.

B. z  1  5i.

C. z  1  5i.

D. z  1  5i.

C. z  a2  b2 .

D. z  a2  b2 .

Câu 6. Tính môđun của số phức z  a  bi , a ,b  A. z  a2  b2 . B. z  a  b .

.

Câu 7. Tính môđun của số phức z thỏa mãn z  2  i   13i  1. A. z  34.

B. z  34.

C. z 

34 . 2

D. z  29.

Câu 8. Tính môđun của số phức z thỏa mãn z  2z.z  3  0.

3 A. z  . 2

3 B. z  . 2

A. z  3  2i

B. z  3  2i

C. z  2  3i

D. z  2  3i

A. 14  10i

B. 4 6

C. 2 74

D. 2

C. z  1.

D. z  3.

Câu 9. Tìm số phức z thỏa mãn z  1  i  z  7  2i . Câu 10. Cho số phức z  3 5  4i   2i  1 . Modun của số phức z là :

Câu 11. Rút gọn số phức z 

1  2i : 2  3i

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

A. 3  i .

B. 

4 7  i. 13 13

C. 

4 7  i 13 13

D. 

4 . 13

Câu 12.. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  iz  2  5i . Môđun số phức z  z là:

A. z  z  3.

B. z  z  8.

C. z  z  4. .

D. z  z  6.

Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  3  2i  z   2  i   4  i. Tìm môđun 2

của số phức   1  z  z. A.   10.

C.   5.

B.   10.

D.   13.

z  1  4  2i. 1  2i A. z  1  12i. B. z  1  8i. C. z  5  4i. 2 5 Câu 15. Tìm nghiệm của phương trình z   1  i  . 1  2i A. z  1  4i. B. z  4  i. C. z  1

Câu 14. Tìm nghiệm của phương trình

D. z  3  4i.

Câu 16. Tìm nghiệm của phương trình  3  2i  z  5  2i  iz  1  8i. A. z  2i.

B. z  1  i.

Câu 17. Số phức z  a  bi a ,b 

C. z  1  i.

D. z  1  i.

 là nghiệm của phương trình z  2  3i   13i.

Tính S  a  b. A. S  7. B. S  1. C. S  1. D. S  5. Câu 18. Hỏi số phức nào trong các số phức dưới đây có môđun lớn nhất ? A. z  2  2i. B. z  2  5i. C. z  1  3i. Câu 19. Số phức z  2  i có số phức nghịch đảo là. 1 1 3 1 1 2 i A.   i. B.  2  i. C.   . z 2 2 z z 5 5

D. z  2  3i.

1  1  2i. z

Câu 20. Cho hai số phức z1  x  2 y   x  y  2  i, z2  x  y  1  y 2i. Tìm hai số thực x, y để hai số phức z1 và z2 liên hợp với nhau. A. x  0; y  1. B. x  2; y  1. C. x  2; y  1. Câu 21 : Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?

 7  i   7  i C.  5  i 7    5  i 7  A.

B. 10  i   10  i  D.  3  i    3  i 

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

D. x  2; y  0.

Câu 22 : Tìm số phức z biết: z  2z  2  4i 2 2 2 2 A. z    4i B. z   4i C. z   4i D. z    4i 3 3 3 3  2  i 1  2i    2  i 1  2i  . Trong các két luận sau, kết Câu 23 : Cho z  2i 2i luận nào đúng? 22 A. z.z  B. z là số thuần ảo C. z  D. z  z  22 5 Câu 24 :Cho số phức z thỏa : z 



1  3i 1 i

 . Khi đó môđun của số phức z  iz 3

bằng: A. 8

B. 8 2

Câu 25 : Tính

D.16

C. 8

z1 , với z1  1  2i và z2  2  i z2

A.1 – i B.-i C.1+i Câu 26 : Nghịch đảo của số phức 5  2i là: 5 2 5 2 5 2  i A.  B.  i C.   i 29 29 29 29 29 29

D.i

i 29 29 Câu 27 : Cho hai số phức z1  2  5i; z2  3  4i . Phần thực của số phức z1.z2 là : A.26

B.27

C.25

Câu 28 : Phần ảo của số phức z  (1  2i).(2  i)2 là: A.2 B.-2 C.1

 



D.28 D.-1

Câu 29: Số phức z thỏa mãn: z  2 z  z  2  6i có phần thực là:

3 2 B. 1 C. D. 6 4 5 Câu 30: Phần thực của số phức z thỏa mãn phương trình z  (3  2i)2  (2  i)3 là: A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 A.

Đáp án: 1. A 7. B 13.A

2. D 8. C 14.A

3. A 9. D 15.C

4. A 10.C 16.A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

5. C 11.C 17.D

6. A 12.D 18.D

19.C 25.D

20.B 26.A

21.C 27.A

22.C 28.B

23.C 29.C

24.B 30.C

B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC: 1. LÝ THUYẾT Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2  w đƣợc gọi là một căn thức bậc 2 của w. Mỗi số phức w  0 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau (z và –z).  *Trường hợp w là số thực ( w  a  ) + Khi a>0 thì w có hai căn bậc hai là

a và  a .

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Khi a<0 nên a  (a)i 2 , do đó w có hai căn bậc hai là

a .i và  a .i .

Ví dụ 1: Hai căn bậc 2 của -1 là i và –i. Hai căn bậc 2 của a2 (a  0) là ai ,  ai.  *Trường hợp w  a  bi (a, b  ; b  0) + Cách 1: Gọi z  x  yi (x,y  ) là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z2  w , tức là: ( x  yi)2  a  bi  x 2  y2  a   x  ...; y  ... 2 xy  b  Mỗi cặp số thực (x;y) nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai z  x  yi của số phức w  a  bi . + Cách 2:

Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là w  z2 . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là z và - z . 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: Tìm các căn bậc 2 của 5  12i . Giải: + Cách 1: Tìm các căn bậc 2 của 5  12i , tức là đi tìm các số phức x  yi ( x, y  ) sao cho ( x  yi)2 =  5  12i nên ta cần giải hệ phương trình  x 2  y 2  5 .  2 xy  12  Rút y từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhất, ta có:

 2 36 4 2  x2  4  x  2  5  x  5 x  36  0  x   6  6 6 y y    y x x    x Hệ này có 2 nghiệm: (2;3) và (2; 3) . Vậy có 2 căn bậc hai của 5  12i là 2  3i và 2  3i . + Cách 2: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ta có: 5  12i  4  2.2.3i  9  4  2.2.3i   3i   (2  3i)2 . 2

Từ đó dễ dàng suy ra hai căn bậc hai của 5  12i là 2  3i và 2  3i . Bài toán2: Tìm căn bậc hai của số phức sau: w  4  6i 5 . Giải: + Cách 1: ọi z  x  yi  x, y 

 là một căn bậc hai của

Khi đó ta có:  x  yi 

 x 2  y 2  4  4  6i 5   2 xy  6 5

  x  3   y  5 iải hệ phương trình tìm được nghiệm:     x  3   y   5 

Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1  3  i 5; z2  3  i 5 . + Cách 2: Ta có: w  4  6i 5  9  2.3. 5i 

 

5i  (3  5i)2 .

Suy ra 3  i 5 là căn bậc của w  4  6i 5 . Nên 3  i 5 là căn bậc của w  4  6i 5 .

Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: z1  3  i 5; z2  3  i 5 .

II. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC a) Phƣơng pháp giải: Cho phương trình bậc 2: Az2  Bz  C  0 (1) Trong đó A,B,C là những số phức A≠0. Xét biệt thức   B2  4 AC + Nếu   0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: B   B   ; z2  2A 2A Trong đó  là một căn bậc 2 của  . z1 

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+ Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1  z2 

B 2A

CHÚ Ý: + Mọi phương trình bậc n: A0 zn  A1zn1  ...  An1z  An  0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). + Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 : Az2  Bz  C  0 ( A, B,C  ; A  0) có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có:

 B  S  z1  z2  A  P  z z  C . 1 2  A b) Một số bài toán điển hình. Bài toán1: Giải phương trình bậc hai sau: z2  2z  3  0 . Giải: Biệt thức   22  4.1.3  8  8i2 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: 2  4i 2  4i z1   1  2i; z2   1  2i . 2 2 Bài toán2: Giải phương trình bậc hai sau: z2  2z  4i  2  0 . Giải: Biệt thức:

  22  4.1.(4i 2)  4  16i  8  12  16i  16  2.4.2i  4i 2 .  (4  2i)2 Chọn   4  2i. Phương trình trên có hai nghiệm là :

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 B   2  4  2i   1  i; 2A 2  B   2  4  2i z2    3  i. 2A 2 z1 

2. ĐƢA PHƢƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI. a) Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. * Bƣớc 1: Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phải nhẩm nghiệm của phương trình. Có các cách nhẩm nghiệm như sau: + Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là x 1 . + Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình x  1 . + Định lý Bézout: Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x  a bằng giá trị của đa thức f ( x ) tại x  a . Tức là f  x    x  a  g  x   f  a  Hệ quả: Nếu f  a   0 thì f  x   x  a  . Nếu f  x   x  a  thì f  a   0 . + Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm: - Nhập phương trình vào máy tính. - Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình. Sau đó dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử. + Sơ đồ Hoocne: Với đa thức f(x) = an x n  an-1 x n-1  an-2 x n-2  ...  a1x  a0 chia cho x - a thương là g(x) = bn-1 x n-1  bn-2 x n-2  bn-3 x n-3  ...  b1x  b0 dư r. Nếu r  0 thì f  x  g  x  , nghĩa là: f  x    x  a  g  x  . Ta đi tìm các hệ số bn-1, bn-2 , bn-3 ... b1, b0 bằng bảng sau đây. an

an-1

an-2

. a2

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

bn1  an

bn2

bn3

 abn1  an-1  abn2  an-2

 ab2  a2

b0  ab1  a1

r  ab0  a0

* Bƣớc 2: iải phương trình bậc nhất hoặc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm.  Một số bài toán điển hình Bài toán1: Giải các phương trình: z3 – 27 = 0 Giải: z  1 z  1  z – 27 = 0  (z – 1) (z + 3z + 9) = 0   2  z  3  3 3i  z  3z  9  0  2,3 2 3

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Bài toán 2: iải phương trình sau: z3  31  2i  z2   3  8i  z  5  2i  0. Hƣớng dẫn: Nhẩm nghiệm: Ta thấy tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm z=1. Khi đó: z3  3 1  2i  z2   3  8i  z  5  2i  0.

  z  1  z2  2 1  3i  z  2i  5  0

 z  1 v z  i v z  2  5i. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : z  1 ; z  i ; z  2  5i. Bài toán 3: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1) biết rằng phương trình có nghiệm thuần ảo.

Giải: Đặt z = yi với y  R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0  -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i 2  2 y  4 y  0 Đồng nhất hoá hai vế ta được:  3 2   y  2 y  5 y  10  0

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2. Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i. * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i.  vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  R) đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5.  z  2i  z  2i    z  1  2i  (1)  (z – 2i)(z2 +2z + 5) = 0   2 z  2z  5  0  z  1  2i  Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm. Bài toán 4: Giải phương trình z3   3  i  z2   2  i  z  16  2i  0 biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực. Giải : Gọi nghiệm thực là z0 ta có:

z03   3  i  z02   2  i  z0  16  2i  0

 z03  3z02  2 z0  16  0  2  z0  2 z  z  2  0  o 0





Khi đó ta có phương trình  z  2  z2   5  i  z  8  i  0 Tìm được các nghiệm của phương trình là z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i. Bài toán 5: Giải phương trình z3   2  3i  z2  31  2i  z  9i  0 biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. Giải: Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b R Thay vào phương trình ta được:

 bi    2  3i  bi  3

 3 1  2i  bi   9i  0

2  2 b  6 b  0  2b  6b  b  3b  3b  9 i  0   3  b  3 2  b  3 b  3 b  9  0    z  3i 2









Phương trình có thể phân tích thành  z  3i  z2  2z  3  0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Các nghiệm của phương trình là z= -3i; z  1  2i . b) Phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc 4 hệ số thực: Cho pt bậc 4: Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E  0 víi A, B, C, D, E  ; A  0 . Tìm các nghiệm của phương trình. Biết phương trình có 1 nghiệm phức là z1  a  bi . * Lƣu ý: Nếu phương trình trên có 1 nghiệm là z2  a  bi thì nó cũng có nghiệm z  a  bi. Khi đó z1z2  x 2  2ax  a2  b2 nên Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E  ( x 2  2ax  a2  b2 )g( x ) . Dùng phép chia đa thức cho đa thức đã học ở lớp 8 để tìm g( x ) . Tiếp tục giải phương trình bậc hai : g( x )  0 để tìm 2 nghiệm còn lại của phương trình.

Bài toán điển hình : Tìm phương trình bậc 4: z4  2z3  z2  2z  10  0 .Tìm các nghiệm của phương trình. Biết phương trình có 1 nghiệm phức là z  2  i. Hƣớng dẫn : Phương trình trên có 1 nghiệm là z1  2  i thì nó cũng có nghiệm z2  2  i. Khi đó z1 , z2 là nghiệm của phương trình:  z  z1  z  z2   z2  4z  5 .





Nên (z4  2z3  z2  2z  10)  z2  4z  5 g  z  . Dùng phép chia đa thức cho đa thức đã học ở lớp 8 tìm được g  z   z2  2z  2 . Phương trình z2  2z  2  0 có 2 nghiệm là 1  i; 1  i . Vậy phương trình trên có 4 nghiệm là : 2  i ; 2  i; 1  i; 1  i . c) Phương pháp đặt ẩn phụ. + Bƣớc 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng giống nhau. + Bƣớc 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện (nếu có). + Bƣớc 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 theo ẩn mới. + Bƣớc 4: iải và kết luận nghiệm.  Một số bài toán điển hình .

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài toán 1: Giải phương trình sau: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0 Giải: Đặt t = z + z, khi đó phương trình đã cho có dạng: t2 + 4t – 12 = 0. 2

 z2  z  6  0 t  6   2 t  2  z  z  2  0

 1  23i z  2     z  1  23i 2   z 1  z  2 

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Bài toán 2: Giải phương trình sau trên tập số phức:

z







 3z  6  2z z2  3z  6 – 3z2  0

Giải: Đặt t = z + 3z +6 phương trình đã cho có dang: 2

t  z

t2 +2zt – 3z2 = 0  (t – z)(t+3z) = 0   t  3z  z  1  5i + Với t = z  z + 3z +6 –z = 0  z + 2z + 6 = 0    z  1  5i 2

 z  3  3 + Với t = -3z  z + 3z +6 +3z = 0  z + 6z + 6 = 0    z  3  3 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. 2

Bài toán 3: Giải phương trình: (z2  z)(z  3)(z  2)  10 . Giải: PT  z(z  2)(z  1)(z  3)  10

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 (z2  2z)(z2  2z  3)  0

Đặt t  z2  2z . Khi đó phương trình (8) trở thành: t 2  3t  10  0

t  2  z  1  i   t  5  z  1  6  Vậy phương trình có các nghiệm: z  1  6 ; z  1  i . Bài toán 4: Giải phương trình sau trên tập số phức z4  z3 

z2  z 1 0 2

Giải: Nhận xét: z = 0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z  0 . 1 1 1 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( z2  2 )  (z  )   0 (2) z 2 z 1 1 1 Đặt t = z - . Khi đó t 2  z2  2  2  z2  2  t 2  2 z z z 5 Phương trình (2) có dạng: t2 – t +  0 (3) 2 5   1  4.  9  9i 2 2 1  3i 1  3i PT (3) có 2 nghiệm t= , t= . 2 2 1  3i 1 1  3i  2z2  (1  3i)z  2  0 (4) + Với t= ta có z   2 z 2 Có   (1  3i)2  16  8  6i  9  6i  i2  (3  i)2

(1  3i)  (3  i) (1  3i)  (3  i) i  1  1  i ,z=  . 4 4 2 1  3i 1 1  3i  2z2  (1  3i)z  2  0 (5) + Với t= ta có z   2 z 2 PT (4) có 2 nghiệm: z=

Có   (1  3i)2  16  8  6i  9  6i  i2  (3  i)2

(1  3i)  (3  i) (1  3i)  (3  i) i  1  1  i ,z=  . 4 4 2 i 1 i  1 Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z= ; z= . 2 2 PT(5) có 2 nghiệm: z=

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0, biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. Bài 2: Cho phương trình: z3 – (4 + i)z2 + (3 + 8i)z – 15i = 0. Biết phương trình có một nghiệm thực. Gọi z1, z2, z3 là các nghiệm của phương trình. Hãy tính 2

z1  z2  z3 .

Bài 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z4  z3  2z2  6z  4  0 trên tập số phức tính tổng S 

1 1 1 1    . z12 z22 z32 z42

Bài 4: Giải các phương trình trên tập số phức:





a) z 2  1   z  3  0 . 2

b) z 4  4z3  7z2  16z  12  0 .

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm w2.  Bấm đơn vị ảo i bằng cách bấm phím b  Bấm q2và lựa chọn các chức năng:    + Chọn 1 để bấm acgumen của z (arg(z)) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

   

+ Chọn 2 để bấm số phức liên hợp của z (Conjg) + Chọn 3 để chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác. + Chọn 4 để chuyển từ dạng lượng giác sang dạng đại số. Bấm dấu  bằng cách bấm: qz Sau đây là cách giải các bài toán điển hình cho các dạng toán tìm căn bậc hai của một số phức; giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan bằng máy tính casio. 1. BÀI TOÁN TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ PHỨC * Cách 1: Xây dựng công thức bấm: Cho số phức z  a  bi , có dạng lượng giác là z = r(cos +isin) (r>0). Với

 a cos    r. r  a2  b2  z .  là góc thoả mãn :  sin   b  r  được gọi là acgument của z, kí hiệu là arg(z).       r  cos  isin  và - r  cos  isin  . 2 2 2 2  

Khi đó z có hai căn bậc hai là: Hay được viết gọn là:  r 



arg  z 

. 2 2 Như vậy để tìm các căn bậc hai của số phức z  a  bi , ta làm như sau: - Nhập số phức z và lưu vào biến A (cái này đơn giản). - Bấm theo công thức sau:

hay  z 

sqcQz$$qzaq21Qz)R2= - Ta thu được kết quả của một căn thức của z, suy ra căn bậc hai còn lại. Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của số phức z  3  4i . Hƣớng dẫn: Quy trình bấm : - Nhập số phức z  3  4i và lưu vào biến A:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

p3+4bqJz - Bấm theo công thức ở trên :

sqcQz$$qzaq21Qz)R2= - Màn hình cho kết quả:

Nên 1  2i và 1  2i là 2 căn bậc hai của số phức z  3  4i . * Cách 2: - Nhập hàm X2 : Q)d - Sử dụng phímr,nhập các giá trị vào, giá trị nào cho ra số phức z thì ta chọn đáp án đó. Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của số phức z  3  4i . A.1  2i;  1  2i B.2  2i;  1  2i C.1  2i;  1  2i D.  2  i;  2  i Hƣớng dẫn: - Q)d - rNhập lần lượt các số phức ở các đáp án vào nhé. r1+2b= màn hình sẽ cho kết quả:

Nên 1  2i là căn bậc hai của số phức z  3  4i . Vì một số phức có hai căn bậc 2 đối nhau nên 1  2i cũng là căn bậc hai của số phức z  3  4i . >>> Chọn C. Cách 3: Tìm các căn bậc hai của số phức z  a  bi . -w1 - Nhấp Shift + (Pol), ta nhập Pol(a,b). -Dấu phẩy trong (a,b) bấm bằng cách q) - Nhấp Shift - (Rec), ta nhập Rec(X,Y), ta thu được kết quả X=...;Y=... - Kết luận các căn bậc 2 cần tìm. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của số phức z  12  16i . Hƣớng dẫn: - w1 - q+p12q)16)= màn hình hiện kết quả

- qpsQ)$q)QnP2)=thu được kết quả:

Suy ra các căn bậc hai của số phức z  12  16i là 2  4i ; 2  4i .

2. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI. a) Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực: Bài toán1: Giải phương trình bậc hai sau: z2  4z  10  0 . Hƣớng dẫn: Quy trình bấm: w531=p4=10== Thu được kết quả:

Bài toán2: Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình : z2  z  1  0 . Tính

P  z12018  z22018 . Hƣớng dẫn : http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Quy trình bấm như sau: - Tìm nghiệm z1 , z2

w531=1=1== Thu được kết quả:

- Lưu 2 nghiệm vào X và Y:

qJ)RqJn - Màn hình hiển thị là đã lưu biến X thành công, tương tự biến Y.

- Tính P . - Sau đó vào w2 và nhập P và thu được kết quả:

b) Phƣơng trình bậc hai với hệ số phức: Bài toán: Giải phương trình : z2  8(1  i)z  63  16i  0 . Hƣớng dẫn: - Tính   B2  4 AC bằng máy tính , ta được:

- Sau đó gán kết quả của  vào A. - Dùng công thức tìm căn bậc 2 đã học ở trên, thu được 1 căn bậc 2 của  là 2  16i .

Và gán kết quả này cho X. - Nên 2 nghiệm của phương trình là :

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Nghiệm của phương trình z2  2z  5  0 là. A. z  1  2i. B. z  2  i. C. z  1  4i. 10 Câu 2. Nghiệm của phương trình z   2 là. z A. z  1  3i. B. z  3  i. C. z  1  3i. 10  3 là. Câu 3. Nghiệm của phương trình z  z 1 A. z  2  3i. B. z  3  2i. C. z  4  3i.

D. z  4  i.

D. z  3  i.

D. z  3  2i.

Câu 4. Nghiệm thuần ảo của phương trình z4  z2  6  0 là. A. z   2i.

C. z  2i.

B. z   3i.

Câu 5. Số nghiệm thuần ảo của phương trình z2  A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. z  3i.

8  6  0 là. z2 D. 4.

Câu 6. Số phức z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 4z2  4z  5  0. Tính S  z1  z2 .

A. S  5.

B. S  2 5.

C. S  5.

D. S  10.

Câu 7. Tìm số thực m để phương trình z2  2z  m  0 nhận số phức z  1  2i làm nghiệm. A. m  2. B. m  5. C. m  5. D. m  3. Câu 8. Tìm số thực m để phương trình z2  mz  5  0 nhận số phức z  1  2i làm nghiệm. A. m  2. B. m  1. C. m  2. D. m  4. 2

Câu 9. Xét số phức z thỏa mãn z  2 z  3  0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. z  3.

B. z  3.

Câu 10. Xét số phức z  a  bi a ,b 

C. 0  z  3.

 thỏa mãn

dưới đây đúng ? http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

D. 1  z  3. 2

z  z  2  0. Mệnh đề nào

A. ab  2.

B. ab  2.

D. ab  2.

C. 0  ab  2.

Câu 11. Xét số phức z  a  bi a ,b 



thỏa mãn z2  4z  20  0. Tính

P  ab .

A. ab  7.

B. ab  8.

C. ab  9.

D. ab  10.

Câu 12. Xét số phức z  1  2i là nghiệm của phương trình z2  az  b  0. Tìm a, b  a, b 

.

A. a  2, b  5.

B. a  2, b  5.

C. a  1, b  2.

D. a  1, b  4.

Câu 13. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2  3z  3  0 . Khi đó, giá trị của z12  z22 là:

9 9 B. C.9 D.4 4 4 Câu 14. Tìm nghiệm phương trình: z2  2(1  3i)z  2i  5  0 . A.  i; 2  5i B.i;2  5i C.2i;1  5i D.i;2  5i A.

Câu 15. Tìm nghiệm phương trình: z2  2(3  i)z  7  6i  0 . A.3  i;1  2i B.3  i;1  2i C.4  i;2  i D.4  i;2  i Câu 16. Ký hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình 2

(z2  2z)2  (z2  2z)  6  0 . Tính tổng T  z1  z2  z3 2  z4

A. T =4

B. T = - 4

C. T=14

D. T = 12

Câu 17. Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình: z2 -2 2 .z + 8 = 0. Khi đó giá trị biểu thức T = z12015  z22015 là: A. 2 2 .(16 2 )671 B. 8.(16 2 )672 C. 2.(16 2 )1007 Hướng dẫn: Dùng dạng lượng giác của số phức để giải. 2

D. 8.(16 2 )671

Câu 18 : Tính z1  2 z2 biết z1 , z2 là nghiệm của phương trình

z2  2z  17  0 A. 68

B. 51

C. 17

D. 34

Câu 19 : Cho phương trình z2  mz  2m  1  0 trong đó m là tham số phức; giá trị m để phương trình có hai nghiệm z1; z2 thỏa mãn z12  z22  10 . A. m  2  3i; m  2  3i.

B. m  2  2 2 i; m  2  2 2i

C. m  1  3i; m  2  3i.

D. m  1  3i; m  1  3i.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Hướng dẫn : Dùng định lý Vi-et. Câu 20: Phương trình  z  3  i   6  z  3  i   13  0 có nghiệm là: 2

A. z  i và z  3i . C. z  i và z  3i .

B. z  i và z  3i . D. z  i và z  3i .

Câu 21 : Gọi z1; z2 là hai nghiệm phương trình z2  2z  8  0; trong đó z1 có phần ảo dương. số phức w   2z1  z2  z1 là: A. z  12  6i

B. z  11  6i

C. z  9  6i

D. z  10  2 7i

Câu 22 : Cho phương trình z2  3z  10i  0 có nghiệm z1 , z2 trên tập số phức C .Tính A  z1  z2 A. 5

B. 2 5

C. 3 5

D. 4 5

Câu 23 : Cho số phức z  2  3i , z là số phức liên hợp của z .Phương trình bậc hai nhận z, z làm các nghiệm là A. z2  4z  13  0

B. z2  4z  13  0

C. z2  4z  13  0

D. z2  4z  13  0

Câu 24 : Gọi z1; z2 là hai nghiệm của phương trình z2  2z  6  0. Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị biểu thức M  z1  3z1  z2 là. A. M  6  2 21 .

B. M  6  21 .

C. M  2 6  21 .

D. M  2 21  6 .

Câu 25. Phương trình z3  (1  i)z2  (3  i)z  3i  0 có tập nghiệm là:  1  i 11   A.  ; 2    

Đáp án: 1. A 6. C 11.B 16.C 21.D

  1  i 11   B. i; ; 2    

2. C 7. B 12.A 17.D 22.C

3. A 8. C 13.B 18.B 23.C

 1  i 11   C.  ; i   2   

4. B 9. C 14.B 19.B 24.A

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

D.i; i .

5. D 10.C 15.C 20.A 25.B

C.TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT: Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến z, z, z2 ,... ). Khi đó ta giải bài toán này như sau: Đặt z = x+yi (x, y  R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Biến đổi điều kiện của bài toán thành :

f  a; b   g  a; b  i  0

f  a; b   g  a; b  i  k

 f  a; b   0 or 2 2   f  a; b   g  a; b   k  g  a; b   0 Giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.



 

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word



II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH : Bài toán1: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: a) z  1  i =2 b) z  1  3i  4 c) 2  z  1  i

d) z  4i  z  4i  10

Giải: Đặt z = x +yi (x, y  R) được biểu diễn bởi điểm M(x y) a) Xét hệ thức: z  1  i =2   x – 1 

y

 1 i  2

 x  1   y  1  2.   x  1   y  1  4. 2



 Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2. b) Xét hệ thức : z  1  3i  4   x  1   y  3 i  4

 x  12   y  12  4   x  1   y  1  16.



Vậy tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là hình tròn có tâm là (-1;1); bán kính r=4. *Nhận xét: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  3i  4 là tập hình các điểm nằm trên và nằm ngoài đường tròn có tâm là

(-1;1); bán kính r=4. c) Xét hệ thức 2 z  z i

 |(x+2) +yi| = |x+(y-1)i|  (x+2)2 + y2 = x2 + (y-1)2  4x + 2y + 3 = 0. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

4x + 2y + 3 = 0. * Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là đường trung trực của đoạn AB. d) Xét hệ thức: z  4i  z  4i  10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F1 (0;4) và F2 =(0;-4). F1F2 = 8 =2c , c=4. Do đó: z  4i  z  4i  10  MF1 + MF2 = 10 =2a  a=5. Ta có: b2  a2  c2  25  16  9 .  Tập hợp tất cả các điểm M nằm trên (E) có hai tiêu điểm là F1 và F2 và có độ dài trục lớn bằng 10. Phương trình của (E) là:

x 2 y2  1 . 25 9

Bài toán 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

z  i  1  i  z .

thỏa mãn

Giải: Đặt z= x+ yi (x,y  R ). Ta có:

z  i  1  i  z  x   y  1 i   x  y    x  y  i

 x 2   y  1   x  y    x  y  2

 x 2  y 2  2 xy  1  0  x 2   y  1  2 2

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình x 2   y  1  2 . 2

Bài toán 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho u  là một số thuần ảo. Giải : Đặt z= x+ yi (x, y  R ), khi đó: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

z  2  3i zi

 x  2    y  3 i   x  2    y  3 i   x   y  1 i  x   y  1 i x   y  1  x  y  2 x  2y  3  2  2 x  y  1 i  x   y  1  x  y  2 x  2 y  3  0  x  1   y  1  u là số thuần ảo   x  y  1  0    x; y    0;1  u

2 2

5

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1).

Bài toán4: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) 2 z  i  z  z  2i b) z  i  z  i  4 Giải: Đặt: z  x  yi ( x, y  R)

 z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M  x; y  .

x2 a) 2 z  i  z  z  2i  2 x  ( y  1)i  (1  y)i  y  4 Vậy tập hợp điểm M là đường parabol (P) có phương trình y  b) z  i  z  i  4  x 2  ( y  1)2  x 2  (y  1)2  4 (*) . Đặt F1 (0; 1) ; F2 (0;1) (*)  MF1  MF2  4 và F1F2  2 .

Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là F1 , F2 .

x 2 y2 Gọi (E) có phương trình 2  2  1 (0  b  a; b2  a2  c2 ) a b  MF  MF2  2a a  2   b2  a2  c 2  3 Ta có  1 c  1  F1F2  2c x 2 y2   1. Vậy (E) có phương trình 4 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

x2 . 4

Bài toán 5: Trong tập số phức

, gọi z1 và z2 các nghiệm của phương trình

z2  2z  10  0 . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 và số phức k  x  iy trên mặt phẳng phức. Để tam giác MNP đều thì số phức k là? Giải: Ta có z2  2z  10  0  z1,2  1  3i . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 và số phức k  x  iy trên mặt phẳng phức. Khi đó M 1;3 , N 1; 3 , P  x; y  2 2   MN  MP  MN  MP Để MNP đều   (1)   2 2 MN  NP MN  NP   

Ta có MN   0; 6  , MP   x  1; y  3 , NP   x  1; y  3 (2)  x  1 2  y  3 2  36  x  1  27       k  1  27 . Từ (1) và (2)    2 2 y  0   x  1   y  3  36 >>> Chọn D. Bài toán 6: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Cho số phức z  thỏa mãn z  4 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số

phức w   3  4i  z  i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó. A. I  0;1 , R  2 5.

B. I 1;0  , R  20

C. I  0;1 , R  20.

D. I 1; 2  , R  22. Giải:

Đặt w  a  bi với a; b;c  . w   3  4i  z  i  z  z

a   b  1 i  a   b  1 i   3  4i   3  4i 25

3a  4b  4  3b  4a  3  i z  25 25

 3a  4b  4    3b  4a  3

Mà

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 3a  4b  4    3b  4a  3 2

z 4

4

  3a  4b  4    3b  4a  3  1002 2

 a2  b2  2b  399  a2   b  1  202 2

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I  0;1 , R  20 .

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ GIẢI. Đây là một trong những bài toán điển hình nhất dùng máy tính CASIO để giải bài toán tìm tập hợp điểm của số phức. Các bài toán khác ta làm tương tự. Bài toán: Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện |zi – (2 + i)| = 2. A: x + 2y -1=0 B: (x +1)2 + (y – 2)2 =9 C: (x -1)2 + (y + 2)2=4 D: 3x + 4y -2 =0 Giải: Ta giả sử: z  A  Bi . Nên điều kiện của bài toán được viết lại là:

 A  Bi  i –  2  i   2  0.

-w2 và nhập điều kiện vào: + Thử đáp án A: x + 2y -1=0  x=1-2y. Cho y = 1 ta được x = -1. Nhập rp1=1=thu được kết quả khác 0.

>>> Loại đáp án A. + Thử đáp án B: (x +1)2 + (y – 2)2 =9 Cho x = -1 ta được y = 5 hoặc y=-1. rp1=5= ra kết quả khác 0. >>> Loại đáp án B + Thử đáp án C: (x -1)2 + (y + 2)2=4 . Cho x = 1 ta được y = 0 và y = -4. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

r1=0= và r1=p4= đều được kết quả bằng 0.

Vậy đáp án đúng là C.

IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1:Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = -2 + 5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x Câu 2: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = 2 + 3i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x Câu 3: Điểm biểu diễn của các số phức z = 3 + bi với b  R, nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. x = 3 B. y = 3 C. y = x D. y = x + 3 Câu 4: Điểm biểu diễn của các số phức z = a + ai với a  R, nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y = x B. y = 2x C. y = 3x D. y = 4x Câu 5: Cho số phức z = a - ai với a  R, điểm biểu diễn của số phức đối của z nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y = 2x B. y = -2x C. y = x D. y = -x Câu 6: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  z  3  4i là: A. 6 x  8y  25  0 . C. 6 x  8y  25  0 .

B. 3x  4y  12  0 . D. 3x  4y  12  0 .

Câu 7: Các nghiệm của phương trình z3  3z2  4z  2  0 biểu diễn các điểm:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

A. M0 1;0  , M1 1;1 và M2 1; 1

C. M0 1;0  , M1  1;1 và M2 1; 1

B. M0 1;0  , M1 1;1 và M2  1; 1

D. M0  1;0  , M1 1;1 và M2 1; 1

Câu 8: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  i  1 là: A. Đường tròn tâm I  0;1 bán kính R = 1. B. Đường tròn tâm I  0;1 bán kính R = 2. C. Đường tròn tâm I 1;0  bán kính R = 2. D. Đường tròn tâm I 1;0  bán kính R = 1 Câu 9: Cho số phức z thoả mãn điều kiện 2 z  i  z  z  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng toạ độ là A.Một đường tròn. B. Một đường thẳng. C. Một đường Elip. D. Một đường Parabol. Câu 10: Cho số phức z thỏa 2  z  1  i . Chọn phát biểu đúng. A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol. C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn. D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Elip. Câu 11 : Cho số phức z thỏa mãn: z  1  z  2  3i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là: A. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R  1. B. Đường thẳng có phương trình x  5y  6  0 . C. Đường thẳng có phương trình 2 x  6y  12  0 . D. Đường thẳng có phương trình x  3y  6  0 . Câu 12: Cho số phức z  a  bi  a, b 

 . Để điểm biểu

diễn của z nằm trong hình tròn tâm O bán kính R  2 điều kiện của a và b là gì? A. a  b  4 .

x -2

B. a2  b2  4 .

C. a2  b2  4 . D. a2  b2  4 . Câu 13: Trên mặt phẳng phức, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1  2 i  zi là đường thẳng có phương trình A. 2 x  4y  5  0 .

B. 2 x  4y  3  0 .

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

C. 2 x  2y  5  0 . D. 2 x  4y  5  0 . Câu 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  i   z  11  i  là đường tròn có tâm và bán kính: A. I(2 ;1), R = 2. B. I(2;-1), R = 4. C. I(-1;2), R = 2. D. I(2 ;-1), R = 2. 2 Câu 15: Cho số phức z = a + a i với a  R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên: A. Đường thẳng y = 2x B. Đường thẳng y = -x + 1 2 C. Parabol y = x D. Parabol y = -x2 Câu 16: Cho hai số phức z = a + bi; a,b  R. Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải (-2 2) (hình 1) điều kiện của a và b là: a  2 a  2 A.  B.  C. 2  a  2 và b  R D. a, b  (-2; 2) b  2 b  -2   Câu 17: Cho số phức z = a + bi ; a,  R. Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải (-3i 3i) (hình 2) điều kiện của a và b là: a  3 a  3 A.  B.  C. a, b  (-3; 3) D. a  R và -3 < b < 3 b  3 b  -3   Câu 18: Cho số phức z = a + bi ; a,  R. Để điểm biểu diễn của z nằm trong hình tròn tâm O bán kính R = 2 (hình 3) điều kiện của a và b là: A. a + b = 4 B. a2 + b2 > 4 C. a2 + b2 = 4 D. a2 + b2 < 4 1 Câu 19: Điểm biểu diễn của số phức z = là: 2  3i  2 3 B.  ;  C.  3;  2  D.  4;  1 13 13   Câu 20: Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2. Khi đó

A.  2;  3

đọ dài của véctơ AB bằng: A. z1  z2 B. z1  z2

C. z2  z1

D. z2  z1

Câu 21: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z  i  1 là: A. Một đường thẳng C. Một đoạn thẳng

B. Một đường tròn D. Một hình vuông

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Câu 22: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z  1  2i  4 là: A. Một đường thẳng C. Một đoạn thẳng Câu 23: Tập hợp các điểm trong điều kiện z2 là một số thực âm là: A. Trục hoành (trừ gốc O) B. Trục tung (trừ gốc O) Câu 24: Tập hợp các điểm trong điều kiện z2 là một số ảo là: A. Trục hoành (trừ gốc O) B. Trục tung (trừ gốc O) Câu 25: Tập hợp các điểm trong

B. Một đường tròn D. Một hình vuông mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn C. Đường thẳng y = x (trừ gốc O) D. Đường thẳng y = -x (trừ gốc O) mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn C. Hai đường thẳng y = ±x (trừ O) D. Đường tròn x2 + y2 = 1 mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn

điều kiện z2 = ( z )2 là: A. Trục hoành C. Gồm cả trục hoành và trục tung B. Trục tung D. Đường thẳng y = x. Câu 26: Cho số phức z = x + yi . (x, y  R). Tập hợp các điểm biểu diễn của z zi sao cho là một số thực âm là: zi A. Các điểm trên trục hoành với -1 < x < 1 B. Các điểm trên trục tung với -1 < y < 1  x  1 C. Các điểm trên trục hoành với  x  1  y  1 D. Các điểm trên trục tung với  y  1 Câu 27: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 3i, z2 = 1 + 5i, z3 = 4 + i. Số phức với các điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành là: A. 2 + 3i B. 2 - i C. 2 + 3i D. 3 + 5i Câu 28: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = (1 - i)(2 + i,) z2 = 1 + 3i, z3 = -1 - 3i. Tam giác ABC là: A. Một tam giác cân (không đều) C. Một tam giác vuông (không cân) B. Một tam giác đều D. Một tam giác vuông cân Câu 29. Biểu diễn hình học của số phức z  a  bi a ,b   thỏa mãn biểu thức

z  5 là một đường tròn. Tìm tọa độ của tâm và bán kính của đường tròn đó. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

A.  0;0  , r  5.

B.  0;0  , r  5.

5 . 2 Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi điểm A và B lần lượt là điểm D.  0;0  , r 

C.  0;0  , r  25.

biểu diển các số phức 2-6i và 3+i. Diện tích của tam giác OAB(O là gốc tọa độ) bằng: A. 3

B. 8

C. 10

D.12

Đáp án: 1. B 7. A 13. D 19. B 25. C

2. D 8. A 14. D 20. C 26. B

3. A 9. D 15. C 21. B 27. B

4. A 10. C 16. C 22. B 28. D

5. D 11. D 17. D 23. B 29. A

6. A 12. D 18. D 24. C 30. C

D. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN 1. PHƢƠNG PHÁP Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất  Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến.  Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  1  5i  z  3  i , tìm số phức có môđun nhỏ nhất. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Giải:

 x; y   .

Gọi z  x  yi

z  1  5i  z  3  i  ( x  1)2  ( y  5)2  ( x  3)2  ( y  1)2  x  3y  4  0  x  4  3y . 2

 6  8 2 10 z  x  y  (4  3y)  y  10 y  24 y  16  10  y     . 5 5 5  2

Đẳng thức xảy ra khi y 

6 2 x . 5 5

Vậy z đạt giá trị nhỏ nhất bằng

2 10 2 6 khi z   i . 5 5 5

2 6  i là số phức cần tìm. 5 5 Bài toán 2: Trong các số phức z có phần thực, phần ảo không âm và thoả

Vậy z 

mãn:

z3  1. Tìm số phức z sao cho biểu thức z  1  2i





P  z2  z 2  z2  z 2 .i.  z(1  i)  z (1  i) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Điều kiện: z  1  2i . Gọi z  x  yi

 x; y   . * 

z3 z3 1  1  z  3  z  1  2i . z  1  2i z  1  2i ( x  3)2  y 2  ( x  1)2  ( y  2)2  x  y  1 .

(luôn thoả mãn điều kiện vì x  1; y  2 không thoả mãn phương trình)

z  x  yi  z2  z 2  4 xy.i  z2  z 2  4 xy (vì x; y không âm)

z



 z 2 .i   4 xy  z2  z 2  4 xy

z(1  i)  z (1  i)  2 x  2y

Do đó P  16 x 2 y2  4 xy.(2 x  2y)  16 x 2 y 2  8xy . 2

 1 xy 1 2 Đặt t  xy  0  t     , ta có P  16t  8t; t   0;  .  4  2  4 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 1 + Xét hàm số f (t)  16t 2  8t liên tục trên  0;  .  4 1 f '(t )  32t  8t; f '(t)  0  t  0  t   (loại) 4  1  33 33 1 f (0)  0; f     max f (t )   t  ;min f (t)  0  t  0  1 16 4 0; 1   4  16  0;   4

Khi t 

 4

 x  0; y  1 1 1  x  y  ; Khi t  0   2 2  x  1; y  0

33 1 1 khi z   i . 16 2 2 P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi z  1  z  0 .

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng

Nhận xét: Bài tập này cũng có thể giải được bằng cách rút y  1  x và thế vào biểu thức P ta được hàm số g( x)  16 x 2 (1  x)2  8x(1  x) rồi đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g( x ) trên  0;1 . Bài toán 3: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Giải: Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y). Ta có x  2  ( y  4)i  x  ( y  2)i (1)  ( x  2)2  ( y  4)2  x 2  ( y  2)2

 y  x  4 . Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4.

Mặt khác z  x 2  y 2  x 2  x 2  8x  16  2 x 2  8x  16 Hay z  2  x  2   8  2 2 2

Do đó z min  x  2  y  2 . Vậy z  2  2i .

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word





Bài toán4: Biết rằng số phức z thỏa mãn u   z  3  i  z  1  3i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . Giải Đặt z= x+ yi (x, y  R ) ta có

u   x  3   y  1 i   x  1   y  3 i   x 2  y 2  4 x  4y  6  2  x   y  4  i Ta có: u  R  x  y  4  0 Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0. M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất  OM  d . Tìm được M(-2;2) suy ra z= -2+2i. Bài toán5: Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện

Z 1  i   3  2i 

13 . 2

Giải: Gọi z  x  yi ( x, y  R)  z  x  yi .

13 39  x 2  y 2  x  5y   0. 2 8 Gọi M (x y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy. z (1  i)  3  2i 

1 5 26 .  M (C) là đường tròn có tâm I ( ; ) và bán kính R  2 2 4 Gọi d là đường thẳng đi qua O và I  d : y  5x . 3 15 1 5 Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C)  M1 ( ; ) và M2 ( ; ) . 4 4 4 4 OM1  OM2 Ta thấy  OM1  OI  R  OM ( M  (C )) 3 15  Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z   i . 4 4

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài 1: Cho số phức z thoả mãn (2  z)(i  z ) là một số ảo, tìm số phức có môđun nhỏ nhất. Bài 2: Trong các số phức z thoả mãn (1  i)z  (1  i)z . Tìm số phức sao cho 2

biểu thức P 

z 3 2

z  2  i 1

đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Bài 3: Trong các số phức z thoả mãn z  2  4i  z  2i . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất. Bài 4: Trong các số phức z thoả mãn 2 z  i  z  z  2i . Tìm số phức z sao cho biểu thức P 

z  z 

 z  z đạt giá trị nhỏ nhất.

II. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC. 1. PHƢƠNG PHÁP: Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học và một số bài toán công cụ sau: BÀI TOÁN CÔNG CỤ 1: Cho đường tròn (T ) cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn (T ) . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB < AC. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: AM  AI  IM  AI  IB  AB . Đẳng thức xảy ra khi M  B AM  AI  IM  AI  IC  AC . Đẳng thức xảy ra khi M  C +) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: AM  IM  IA  IB  IA  AB . Đẳng thức xảy ra khi M  B AM  AI  IM  AI  IC  AC . Đẳng thức xảy ra khi M  C Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất. Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất. BÀI TOÁN CÔNG CỤ 2: Cho hai đường tròn (T1 ) có tâm I, bán kính R1 đường tròn (T2 ) có tâm J, bán kính R2. Tìm vị trí của điểm M trên (T1 ) , điểm N trên (T2 ) sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Gọi d là đường thẳng đi qua I, J d cắt đường tròn (T1 ) tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2 ) tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên (T1 ) và điểm N bất kì trên (T2 ) . Ta có:

MN  IM  IN  IM  IJ  JN  R1  R2  IJ  AD .

Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D MN  IM  IN  IJ  IM  JN  IJ  R1  R2  BC . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C.

Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. BÀI TOÁN CÔNG CỤ 3: Cho hai đường tròn (T ) có tâm I, bán kính R đường thẳng  không có điểm chung với (T ) . Tìm vị trí của điểm M trên (T ) , điểm N trên  sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) tại J Với M thuộc đường thẳng  , N thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN  IN  IM  IH  IJ  JH  const . Đẳng thức xảy ra khi M  H; N  I Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: Trong các số phức z thoả mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Giải:  Cách 1 Gọi z  x  yi

 x; y    M( x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy

z  3  4i  4  ( x  3)2  ( y  4)2  4  ( x  3)2  ( y  4)2  16

Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I (3; 4) , bán kính R = 4.

z  x 2  y 2  OM ; OI  5  R nên O nằm ngoài đường tròn (T) z lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.

(Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt  3 4   27 36  A  ;   ; B  ;    OA  1;OB  9 5  5 5  5

Với M di động trên (T), ta có: OA  OM  OB  1  OM  9  1  z  9 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B 3 4 27 36 Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z   i ; z lớn nhất bằng 9 khi z   i 5 5 5 5  Cách 2 Gọi z  x  yi  x; y    M ( x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy   3  4i  A(3; 4) biểu diễn cho số phức  z  OM;   OA  5  z    AM ;

Theo giả thiết z  3  4i  4  z    4  AM  4 . Ta có: OM  OA  AM  4  OM  OA  4  4  OA  OM  4  OA  1  OM  9

3 4 27 36  i ; z  9 khi z   i 5 5 5 5 3 4 27 36 Vậy z nhỏ nhất bằng 1 khi z   i ; z lớn nhất bằng 9 khi z   i 5 5 5 5  Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.  1  z  9 ; z  1 khi z 

Bài toán 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z (z  2  4i) là một số ảo, tìm số phức z sao cho   z  1  i có môđun lớn nhất.

Gọi z  x  yi

 x; y  

Giải:

 M ( x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z (z  2  4i)  ( x  yi) ( x  2)  ( y  4)i   x( x  2)  y(y  4)   x(y  4)  y( x  2) i

z (z  2  4i) là một số ảo

 x( x  2)  y( y  4)  0  x 2  y 2  2 x  4y  0  ( x  1)2  (y  2)2  5

 M biểu diễn cho z thuộc đường tròn (T) có tâm I (1;2) , bán kính R  5

  z  1  i  ( x  1)  ( y  1)i  ( x  1)2  ( y  1)2  AM với A(1;1) IA  5  A  (T ) (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 1 - trường hợp 1) Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 AM là đường kính của (T)  M đối xứng với A qua I  I là trung diểm của AM  M(3;3)  z  3  3i    4  2i Vậy  lớn nhất bằng 2 5 khi z  3  3i . Bài toán 3: Trong các số phức z có môđun bằng 2 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức P  z  1  z  i đạt giá trị lớn nhất.

Gọi z  x  yi

 x; y  

Giải:

z  2 2  x 2  y2  2 2  x 2  y2  8 P  z  1  z  i  ( x  1)2  y 2  x 2  ( y  1)2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số 1;1 và

( x  1)2  y 2 ; x 2  ( y  1)2 , ta có:

P 2  2 ( x  1)2  y 2  x 2  ( y  1)2   4(9  x  y) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số 1;1 và x; y , ta có:





x  y  2 x 2  y2  4  P 2  52  P  2 13 . Đẳng thức xảy ra khi x  y  2

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 13 khi z  2  2i . Bài toán 4: Trong các số phức z có môđun bằng 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức P  z  1  z  1  7i đạt giá trị lớn nhất.

Gọi z  x  yi

 x; y  

Giải:

z  2  x 2  y2  2  x 2  y2  4 P  z  1  z  1  7i  ( x  1)2  y 2  ( x  1)2  ( y  7)2

Xét u  x  1; y  , v 1  x; 7  y   u  v   0; 7 . Khi đó: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

P  u  v  u  v  7 . Đẳng thức xảy ra khi u , v cùng hướng  ( x  1)(7  y)  y(1  x)  x  1

x 1 y   3 Với x  1; y  3 thì u , v ngược hướng (không thoả mãn) Với x  1; y   3 thì u , v cùng hướng (thoả mãn) Vậy z  1  i 3 thì P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7. Bài 5: Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: z1  1  i 1 ; z2  6  6i  6 , tìm số phức z1, z2 sao cho z1  z2 đạt giá trị lớn nhất. Giải: Gọi z1  a  b.i ; z2  c  d.i ; (a, b, c, d là những số thực); z1 được biểu diễn bởi điểm M(a; b); z2 được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy 2

z1  1  i  1  z1  1  i  1  (a  1)2  (b  1)2  1 suy ra M thuộc đường

tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1. 2

z2  6  6i  6  z2  6  6i  36  (c  6)2  (d  6)2  36 suy ra M thuộc

đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6. z1  z2  (c  a)2  (d  b)2  MN .

(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 2) Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại 2 2 2 2  2 2 2 2  hai điểm M1  ; ; M ;  2   2   2  2 2     Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm



 



N1 6  3 2;6  3 2 ; N2 6  3 2;6  3 2 . M2 N1  MN  M1N2  5 2  7  z1  z2  5 2  7

max z1  z2  5 2  7 khi M  M1, N  N2 . Vậy z1 





2 2 2 2  i ; z2  6  3 2  6  3 2 i thì z1  z2 đạt giá trị lớn 2 2

nhất. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài 6: Cho các số phức z1; z2 thoả mãn: z1 1 ; z2  z2  (1  i)  6  2i là một số thực. Tìm số phức z1; z2 sao cho P  z2   z1z2  z1z2  đạt giá trị nhỏ nhất. 2

Giải: Gọi z1  a  bi ; z2  c  di ;  a, b, c, d 



 M(a; b), N (c; d ) lần lượt biểu diễn cho z1; z2 trong hệ toạ độ Oxy

z1  1  a2  b2  1  a2  b2  1

 M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = 1 z2  c  di;

  z  z  1  i    6  2i   c  di  (c  1)  (d  1)i   2  6i  c(c  1)  d (d  1)  2  c(d  1)  d (c  1)  6  i

 là số thực  c(d  1)  d (c  1)  6  0  c  d  6  0  N thuộc đường thẳng  : x  y  6  0 Ta có d (O; )  1 nên  và (T ) không có điểm chung z1z2  ac  bd  (bc  ad )i; z1z2  ac  bd  (bc  ad )i  z1z2  z1z2  2(ac  bd ) P  c2  d 2  2(ac  bd )  (c  a)2  (b  d )2  1  MN 2  1 (vì a2  b2  1 ) (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  : x  y  6  0  H (3;3)

 2 2 Đoạn OH cắt đường tròn (T ) tại I  ;   2 2    Với N thuộc đường thẳng  , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN  ON  OM  OH  OI  IH  3 2  1. Đẳng thức xảy ra khi M  I ; N  H





 P  3 2  1  1  18  6 2 . Đẳng thức xảy ra khi z1 

2 2  i; z2  3  3i 2 2

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18  3 2 khi z1 

2 2  i; z2  3  3i . 2 2

Bài 7: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  3  z  3  10 . Tìm số phức z có môđun lớn nhất.

Gọi z  x  yi

Giải:

 x; y  

 M ( x; y) biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy z  3  z  3  10  ( x  3)2  y 2  ( x  3)2  y 2  10  MF1  MF2  10

;

(với F1 (3;0); F2 (3;0) ).

x 2 y2 1  M (E) có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6  M  (E ) :  25 9 z  OM;OM lớn nhất  OM  a  5  M(5;0)  M(5;0) Vậy z lớn nhất bằng 5 khi z  5  z  5 .

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Bài toán 1: Trong các số phức z có môđun bằng 2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức P  z  1  z  1  7i đạt giá trị lớn nhất. A.1  i 3

B.1  i

C. 3  i

Hƣớng dẫn: - Chuyển qua chế độ số phức: w2 - Nhập biểu thức P :

qcQ)p1$+ qcQ)p1+7b Màn hình hiển thị:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

D.  3  i

- Gán X cho từng đáp án, dùng phím: r

- So sánh kết quả và ta tìm được giá trị lớn nhất là 7

Bài toán 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  3  z  3  10 . Tìm số phức z có môđun lớn nhất. 9 12 A.4  i B.5 C.3  i 5 5

D.3  5i

Hƣớng dẫn: - Chuyển qua chế độ số phức: w2 - Nhập biểu thức: z  3  z  3  10 vào máy tính:

qcQ)p3$ qcQ)+3$p10. Màn hình hiển thị:

- Dùng phím rđể nhập các đáp án, nếu đáp án nào cho kết quả bằng 0 thì thỏa mãn điều kiện z  3  z  3  10 .

- Ta thấy 3 đáp án A,B,C thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng đáp án B có môđun lớn nhất. Chọn B.

IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài 1: Trong các số phức z có môđun bằng 13 . Tìm số phức   z  2  3i có môđun lớn nhất. 2

Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z  z(1  2i)  (1  2i)z  20  0 . Tìm số phức

z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 3: Trong các số phức z1; z2 thoả mãn:  z1  10  z1  6i  có phần thực bằng 2

26 ; z2  1  3i  z2  4  2i  58 . Tìm số phức z1; z2 sao cho z1  z2 đạt giá

trị nhỏ nhất, lớn nhất. Bài 4: Trong các số phức z1; z2 thoả mãn z1  i  (1  i)z1 ; z  1  2i  z  3  4i . Tìm số phức z1; z2 sao cho biểu thức P   z1  z1  i  z2   z1z2  z1z2  2

Bài 5: Cho số phức z  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p

z2  z 2 z



4 z2 z2  z 2

Bài 6: Tìm số phức z có module nhỏ nhất, lớn nhất trong các số phức z thoả mãn điều kiện sau: a)

z  1  5i  2 z 3i

b) 2z  2  2i  1 .

Câu 7. Giả sử M là điểm biểu diễn hình học của số phức z thuộc đường thẳng 2 x  y  1  0. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z . A. z 

5 . 5

1 B. z  . 5

C. z  5.

D. z 

3 . 3

Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn biểu thức z.z  5 z  6  0. Môđun nhỏ nhất của số phức z bằng. A. z  1.

1 B. z   . 2

Câu 9. Xét số phức z thỏa mãn

1 C. z   . 4

D. z  1.

8   z  0. Môđun lớn nhất của số phức z z z

bằng A. z  2.

1 B. z  . 2

1 C. z  . 4 2

D. z  1.

Câu 10. Xét số phức z thỏa mãn z  2 z  3  0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

A. z  3.

B. z  3.

Câu 11. Xét số phức z  a  bi a ,b 

C. 0  z  3.

 thỏa mãn

D. 1  z  3. 2

z  z  2  0. Mệnh đề nào

dưới đây đúng ? A. ab  2.

B. ab  2.

C. 0  ab  2.

D. ab  2.

E. DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT 1. Acgumen của số phức z  0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:  + 2k, k  Z. 2. Dạng lƣợng giác của số phức. Xét số phức z = a + bi  0 (a, b  R) Dạng lượng giác có dạng: z = r(cos  + i sin  ) trong đó r > 0. Để chuyển một số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r và ; + Ta có : r = |z|

 a cos  r +  là số thực thoả mãn :  . b sin    r

3. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác. Nếu z = r(cos +isin) z' = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.r[cos( +’) +isin( +’)] .. khi r > 0.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

4. Công thức Moivre. [z = r(cos +isin)]n = rn(cos n +isin n) 5. Căn bậc hai của số phức dƣới dạng lƣợng giác. Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0)    Khi đó z có hai căn bậc hai là: r  cos  isin  

   và - r  cos  isin  = 2 2 



2

     r  cos      isin      2  2  

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài toán 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1 4

b. z2 =  

a. z1 = 6+6i

3 i 4

5 3 5  i 2 2

Giải: a) Ta có: r1  62  62  6 2.  cos  Chọn  là số thực thoả mãn  sin   

1 2 2 2

 

    z1  6 2(cos  isin ) . 4 4 4

b) Ta có r2 =

2 1  1   3    .    2  4  4 

1  c os     2 2 2 2    z2  12(cos  isin ). Chọn  là số thực thoả mãn  3 3 3 sin   3  2 2

 5 3   5 2      5 . c)Ta có: r3   2   2  3 cos      2     z3  5  cos  i sin  . Chọn  là số thực thoả mãn  6 6  6 sin   1  2

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài toán 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) (1-i 3 )(1+i)

1 i 3 1 i

1 2  2i

Giải: 



 

a) Ta có: 1- i 3 =2 cos     isin      3  3 



   (1+i) = 2 cos  i sin  4 4 

Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc: (1-i 3 )(1+i) = 2

       cos   12   isin   12       

1 i 3 = 1 i

1 1    2   1       cos     isin     . = (1  i) = 2 cos     isin     =  4 2   4 2  2i 4  4   4    4

  7   7   cos   12   isin   12       

Bài toán 3: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 10  5  7 a) (1  i) 9 b)  cos  i sin  i (1  3i) 3 3   3  i Giải: a) Xét số phức: 10



(1  i)10 3 i



     5 5   25  cos i sin    2  cos- 4  i sin  4   12 12       9 3 3        29  cos  i sin  2 c os  i sin    2 2   6 6     1 1  4  2 (cos  i sin  ) 16

Vậy: phần thực bằng: 

1 và phần ảo bằng 0. 16

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

   b) Xét số phức:  cos  isin  i5 (1  3i)7 . 

3

          cos  i sin  i  2  cos  i sin   3 3   3 3  

 7 7         27  cos     i sin     i  cos  i sin 3 3  3  3      27  cos2  i sin 2  i  27 i

  . 

Vậy: phần thực bằng: 0 và phần ảo bằng 128. (1  i )10

Bài toán 4: Tính số phức sau: z =



3 i

 1  i 3 



Giải:

 2

        5   cos   4   i sin   4   2  cos 6  i sin 6         10 4 4   210  cos  isin  3 3  

  10 210  cos    4  

5 5    10      isin   4    cos 6  isin 6       40 40   210  cos  isin 3 3    5   5  cos     isin     3   3   cos(15 p)  isin(15 p)   1.  40 40 cos  isin 3 3

III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Đưa máy tính về dạng rađian qw4 Để chuyển một số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, trong chế độ CMPLX ta bấm q2 và chọn 3 Để chuyển một số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, trong chế độ CMPLX ta bấm q2 và chọn 4

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Bài toán 1: Viết số phức z  7  7i dưới dạng lượng giác. Hƣớng dẫn: - Đưa máy tính về dạng rađian qw4 - Vào chế độ CMPLX w2 - Nhập số phức z: 7+7b. - Nhấn q23 để chuyển sang dạng lượng giác. - Kết quả thu được là:

- Số phức z đã được chuyển sang dạng lượng giác          với r  7 2 và acgument là    z  7 2 cos    isin     . 4   4    4     Bài toán 2: Viết số phức z= 2 (cos    + isin    ) dưới dạng đại số.  4  4

Hƣớng dẫn: - Đưa máy tính về dạng rađian qw4 - Vào chế độ CMPLX w2 - Nhập số phức z ở dạng lượng giác và chuyển số phức qua dạng đại số như sau:

s2$qzpaqKR4$ q24= - Màn hình cho kết quả là:

IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG LƢỢNG GIÁC Bài toán 1: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 (1) Giải: Ta có: (1)  z4 (z + 1) + z2 (z + 1) + (z + 1) = 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 (z+ 1) (z4 + z 2 + 1) = 0  z  1   4 2 z  z 1  0 Xét phương trình: z4 + z 2 + 1 = 0  z2 =

1  3i 2

 2 1 3 2 2 i  cos  i sin z    2 2 3 3   1 3  2   2  2 i  cos     i sin    z    2 2  3   3  

   z  c os  i sin  3 3 2 2  i sin Từ z2 = cos  3 3  z  cos  -i sin   3 3      z  cos     i sin      2   2   3  3 Từ z2 = cos     isin            3   3   z  cos    -i sin     3  3 

Tóm lại phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm: z = -1; z =

1 3 1 3 1 3 1 3  i; z =   i; z =  i; z =   i . 2 2 2 2 2 2 2 2

Bài toán 2: Cho z1 và z2 là hai số phứ xác định bởi z1 = 1+i 3 và z2 = 1 – i a) Xác định dạng đại số và dạng lượng giác của

z1 . z2

b) Từ đó suy ra giá trị chính xác của: cos 7 và sin 7 . 12

Giải: Ta có

z1 1  i 3 1  3  1  3  = =  i   . z2 1 i 2  2 

Ta có: z1 = 2(cos  + isin  ); z2 = 3



z1 = z2

    (cos    + isin    ) 4 4 



(cos 7 + isin 7 ) 12

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word





 cos 7

1 3 1 3 và sin 7 = . 2 2 12

Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy được một ứng dụng quan trọng của số phức, ta có thể tính sin, cos của một góc bằng công cụ số phức thông qua sự liên hệ giữa dạng đại số và dạng lượng giác của số phức. Bài toán 3: Giải phương trình: z 6  64  0 . Giải: Ta có: : z +64=0  z = - 64. Giả sử z = x + yi = r(cos + isin) Ta có: -64 = 64(cos  + isin  ) z6 = -64  r6 (cos6  + isin6  )= 64(cos  + isin  )  r6 = 64  r = 2 Và cos6  + isin6  = cos  + isin   6  =  +2k  (k  Z) 6

  =   2k  6

   Với k = 0  z1 = 2  cos  isin  = 

6

3 +i

    Với k = -1  z1 = 2  cos  -   isin     = 

 6

 6 

3 -i

   Với k = 1  z1 = 2  cos  isin  = 2i 

2

    Với k = -2  z1 = 2  cos  -   isin     = -2i 

 2

 2 

5



5 

Với k = -3  z1 = 2  cos  -   isin  -   = - 3 - i.  6   6   Bài toán 4: Tìm n là số nguyên dương và n 1,10 sao cho số phức



z  1 i 3

n là số thực. Giải:

  n n    Ta có: 1 + i 3 = 2  cos  i sin   z = 2n  cos  isin  

3



3 

Để z  R  2n.sin n = 0  sin n = 0  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương 3

 [1;10]  n  [3;6;9]. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Số phức z = -1 + i viết dưới dạng lượng giác là: 

 



A. z = 2  cos  isin  6 6 

3



 









B. z = 2  cos  isin  4 4 3 





C. z = 2  cos  isin  D. z = 3  cos  isin  4 4  6   6 Câu 2: Số phức z = 8i viết dưới dạng lượng giác là: 3



3 

 





A. z = 8  cos  isin  2 2  

B. z = 8  cos  isin  2 2

C. z = 8  cos0  isin 0 

D. z = 8  cos   isin 









Câu 3: Dạng lượng giác của số phức z = 2  cos  isin  là: 6 6 



11



5

11 

 isin A. z = 2  cos 6 6  



7



7 

B. z = 2  cos  isin  6 6  

5 



13

13 

 isin C. z = 2  cos  isin  D. 2  cos 6 6  6 6    Câu 4: : Số phức z = 8i viết dưới dạng lượng giác là:  





A. 8 2  cos  i sin  6 6

     C. 6 2  cos  i sin  5 5  

 





B. 8 2  cos  i sin  4 4 



  D. 6 2  cos  i sin  7 7 



Câu 6: Cho số phức z = - 1 - i. Argumen của z (sai khác k2) bằng: 3 5 7  A. B. C. D. 4 4 4 4 0 Câu 7: Điểm biểu diễn của số phức z = 2  cos315  i sin3150  có toạ độ là: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

A. (1; -1) B. (-1; 1) C. (2; 2) D. (-2; 2) Câu 8: Cho z1  3 cos150  i sin150  , z2  4  cos300  i sin300  . Tích

z1.z2

bằng: A. 12(1 - i)

B. 6 2 1  i 

C. 3 2 1  2i 

2 2  i 

Câu 9: Cho z1  3 cos200  i sin200  , z2  2   cos1100  i sin1100  . Tích z1.z2 bằng: A. 6(1 - 2i)

B. 4i

C. 6i

D. 6(1 - i)

Câu 10: Cho z1  8  cos1000  i sin1000  , z2  4  cos400  i sin 400  .Thương bằng: A. 1 + i 3



B. 2 1  i 3



C. 1 - i 3

z1 z2

D. 2(1 + i)

Câu 11: Cho z1  4  cos100  i sin100  , z2  2  cos2800  i sin2800  . Thương

z1 bằng: z2 A. 2i B. -2i C. 2(1 + i) D. 2(1 - i) 20 Câu 12: Tính (1 - i) , ta đợc: A. -1024 B. 1024i C. 512(1 + i) D. 512(1 - i) Câu 13: Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau đây là đúng? A. (1+ i)8 = -16 B. (1 + i)8 = 16i C. (1 + i)8 = 16 D. (1 + i)8 = -16i Câu 14: Cho số phức z  0. Biết rằng số phức nghịch đảo của z bằng số phức liên hợp của nó. Trong các kết luận nào đúng: A. z  R B. z là một số thuần ảo C. z  1 D. z  2 Câu 15: Cho số phức z = cos + isin . kết luận nào sau đây là đúng: A. z n   z n   n cos 

B. z n   z n   2 cos n

C. z n   z n   2n cos 

n n D. z   z   2 cos  .

Đáp án: 1. C 6. C 11.B

2. B 7. A 12.A

3. D 8. B 13.C

4. B 9. C 14.C

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

5. 10.A 15.B

F. LUYỆN TẬP Câu 1: Tìm số phức z –1 biết rằng z  (2  i)2 (3  2i ) 18 1 325 i  i A. z 1  325  B. z 1  325 325 18 1 18 325  i i C. z 1  D. z 1  325  325 325 18 Câu 2 : Tìm số phức z + 2 biết z  (1  i)2010 A. z  2  21005 i C. z  2  2  21005 i

B. z  2  21005 i D. z  2  21004 i

5 (1  i)2010 Câu 3:Cho số phức z  . Tìm số phức 2z 1  3z  1005 1  2i 2 1 A. 2z  3z  4  4i. B. 2z 1  3z  4  4i.

C. 2z 1  3z  3  4i.

D. 2z 1  3z  1  i. i Câu 4:Tìm phần thực a và phần ảo b của các số phức (1  i )10 A. a = 0 và b = 32 B. a = 32 và b = 0 C. a = 0 và b = - 32 D. a = - 32 và b = 0 (3  2i)(1  3i)  (2  i) Câu 5:Tìm phần thực a và phần ảo b của các số phức 1 i 3

17  7 3 11  9 3 17  7 3 11  9 3 ,b   ,b   B. a  4 4 4 4 17  7 3 11  9 3 17  7 3 11  9 3 ,b   ,b   C. a  . D. a  4 4 4 4 Câu 6: Tìm phần ảo a của số phức z, biết z  ( 2  i)2 (1  2i ) . A. a 

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

A. a  2

B. a  2

C. a   2 .

D. a  2 2

(1  3i )3 Câu 7:Cho số phức z thỏa mãn z  . Tìm môđun của số phức z  iz 1 i A. z  iz  2

B. z  iz  4 2

C. z  iz  8 2i

D. z  iz  8 2

Câu 8:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện: z  1  2i  2 là: A. đường tròn tâm I(–1; 2) bán kính R = 2. B. đường tròn tâm I(–1; -2) bán kính R = 2. C. đường tròn tâm I(1; - 2) bán kính R = 2. D. đường tròn tâm I(1; 2) bán kính R = 2. Câu 9:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện: z  2 z  6 là: x 2 y2 x 2 y2 A. ( E ) :   1 . B. ( E ) :   1 36 4 6 4 x 2 y2 x 2 y2 D. ( E ) :  1 C. ( E ) :   1 4 36 9 4 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= 2 là: A. đường tròn tâm I(- 3; - 4), bán kính R = 2 B. đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = 4 C. đường tròn tâm I(3; 4), bán kính R = 2 D.đường tròn tâm I(3; - 4), bán kính R = 2

Câu 11 : Tìm số phức z thỏa mãn phương trình: z2  2z | z |2  4  6i A. z = 2 + i B. z = 2 C. z = 2 - i D. z = i | z  z | 4 (1)  Câu 12:Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình  2 2 z  z  9 (2)   A. z = 3 + i B. z = 2i C. z = 2 + i hoặc z = 2 – i, hoặc z = – 2 + i hoặc z = – 2 – i. D. z = 2 - 3i



http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Câu 13:Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn hai điều kiện |z + i – 1 | = z.z  5 A. z = 2 - i và z = 1 – 2i. C. z = i và z = – 1 – 2i.

5 và

B. z = 3 + i và z = 1 – i. D. z = 2 + i và z = – 1 – 2i.

Câu 14:Tìm tất cả các số phức z thoả mãn : z  (2  i)  10 và z.z  25 . A. z = 3 - 4i B. z = 3 + 4i và z = 5 C. z = 2 + 4i và z = 4 D. z = 4i và z = 5 Câu 15: Tìm số phức z = x + yi, biết rằng hai số thực x, y thỏa mãn phương trình phức sau: x(2 – 3i) + y(1 + 2i)3 = (2 – i)2 50 1 37  i  37i A. z  B. z  37 37 50 5 1 50 1  i C. z  D. z    i 37 37 37 37 Câu 16:Trên tập số phức, tìm x biết : 5 – 2ix = (3 + 4i) (1 – 3i) 5 5 A. x   5i B. x  5  i 2 2 5 5 C. x   5i D. x  5  i 2 2 Câu 17:Trên tập số phức, tìm x biết: (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i) 19 42 19  i A. x  25  i B. x  25 25 25 25 25 25 19  i  i D. x  C. x  42 19 42 25 Câu 18:Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z2 – z + 5 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 + |z1+ z2|2. A. A = 99 B. A = 101 C. A = 102 D. A = 100 Câu 19:Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức (khác số thực) của phương trình z3 + 8 = 1 0. Tính giá trị biểu thức: A = | z1 |2 + | z 2 |2 + | z1z 2 |

33 3 B. A  4 4 4 35 C. A  D. A  33 4 Câu 20: Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức: M = z12 + z22. A. A 

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

A. M = 21 C. M = 20

B. M = 10 D. M = 2

Lời giải 1.C Ta có:

z  (2  i)2 (3  2i)  (4  4i  i 2 )(3  2i)  (3  4i)(3  2i)  9  18i  8i 2  1  18i  z  1  18i  z 1 

1 1  18i 1 18    i 1  18i (1  18i )(1  18i ) 325 325

2.C 2 1005





z  (1  i )2010  1  i    1  2i  i 2  (2i)1005  21005 i1004 .i  21005 i   1005  z  2 i  z  2  2  21005 i 3.A 1005 5 (1  i )2010 1  2 1005   1  2i  1 1  2i  i 2  z   1  2 i  1  i    1  2i 21005 21005  21005 1 1  1  2i  1005 (2i )1005  1  2i  1005 21005 i1004 .i  1  2i  i 4.201.i  1  i 2 2 1 1 i  z  1  i và z 1   1 i 2  2 z 1  3z  1  i  3(1  i )  4  4i. 4.B Ta có: (1  i)2  1  2i  i 2  2i Do đó: 5 i i 1 5 (1  i)10  (1  i)2   2i   25 i 5  32i    10 (1  i) 32i 32 Vậy phần thực của số phức là 32 và phần ảo của số phức là 0. 5.C Ta có:



1005



http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

(3  2i )(1  3i ) (9  7i)(1  i 3)  (2  i )   (2  i ) 4 1 i 3 (9  7 3)  (7  9 3)i  4(2  i) 17  7 3 11  9 3   i 4 4 4 17  7 3 11  9 3 Vậy phần thực của số phức là và phần ảo của số phức là  4 4 6.C 

z  ( 2  i)2 (1  2i)  (1  2 2i)(1  2i)  5  2i .

Do đó: z  5  2i  Phần ảo của số phức z là  2 . 7.D (1  3i)3 1  3 3i  9i 2  3 3i 8 8(1  i) z     4  4i  z  4  4i 1 i 1 i 1 i 2  z  iz  4  4i  i(4  4i )  8(1  i )  z  iz  8 2

8.A Gọi z  x  yi( x, y  ) , ta có: z  1  2i  ( x  yi)  1  2i  ( x  1)  ( y  2)i Do đó: z  1  2i  2  ( x  1)2  ( y  2)2  2  ( x  1)2  ( y  2)2  4 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(–1; 2) bán kính R = 2. 9.A Gọi z  x  yi( x, y  ) , ta có: z  2z  ( x  yi)  2( x  yi)   x  3yi x 2 y2  1 36 4 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là elip có phương trình chính tắc

Do đó: z  2 z  6  ( x )2  (3y)2  6  x 2  9 y2  36  x 2 y2 là:   1. 36 4 10.D Gọi z  x  yi( x, y  ) . Ta có z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i

Do đó: z – (3 – 4i) = 2 

( x  3)2  ( y  4)2  2

 (x – 3)2 + (y + 4)2 = 4 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính R = 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

11.A Gọi z = a + bi (a, b  R), ta có: z2  2z  | z |2  4  6i  a2  b2  2abi  2(a  bi)  (a2  b2 )  4  6i

2 a 2  2 a  4  2a2  2a  2b(a  1)i  4  6i   2b(a  1)  6 a  1 a  2 a  2    2b(a  1)  6 2b(a  1)  6 b  1

Vậy z = 2 + i 12.C Gọi z  a  bi( x, y  ) thì: | z  z | 4 | 2a | 4 a  2    2  2  z  z  8 | 4abi | 8 b  2  Do đó các số phức cần tìm là: 2 + i, 2 – i, – 2 + i và – 2 – i. 13.D Gọi z = a + bi (a, b  ). Ta có:



| z  i  1| 5 | (a  1)  (b  1)i | 5  2  2  z.z  5 a  b  5 (a  1)2  (b  1)2  5 a2  b2  2a  2b  3 a  b  1  2  2  2 2 2 2 a  b  5 a  b  5 a  b  5 a  b  1 a  b  1 a  2 a  1       2 2 2 b  1 ( b  1)  b  5 2 b  2 b  4  0  b  2   Vậy có hai số phức thỏa mãn đề toán là z = 2 + i và z = – 1 – 2i. 14.B Đặt z = a + bi với a, b  thì z – 2 – i = a – 2 + (b – 1)i Ta có:  z  (2  i)  10 (a  2)2  (b  1)2  10 4a  2b  20   2  2  2 2 a  b  25 a  b  25   z.z  25

b  10  2a a  3 a  5  2   a  8a  15  0 b  4 b  0 Vậy z = 3 + 4i và z = 5 15.A http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

(1)  x(2 – 3i) + y(1 + 6i – 12 – 8i) = 4 – 4i – 1  (2x – 11y) + ( – 3x – 2y)i = 3 – 4i 50  x  2 x  11y  3  37    3x  2 y  4 y   1  37 50 1  i. Vậy số phức z cần tìm là: z  37 37 16.C (1)  2ix  5  (3  4i)(1  3i)  2ix  5  (3  9i  4i  12)

 2ix  5  (15  5i)  2ix  10  5i  x 

5  5i 2

17.D

(2)  (3  4i) x  (4  i  8i  2)  (3  4i) x  2  9i  x 

2  9i 42 19   i 3  4i 25 25

18.B Phương trình đã cho có hai nghiệm là: z1 

1  19i 1  19i , z2  2 2

 1  19i  9  19i z    z12  50   2 2   2 1

 1  19i  9  19i z2    z2 2  50   2 2   z1  z2  1  z1  z2  1 2

 A = |z1|2 + |z2|2 + |z1+ z2|2 = 101 19.A Xét phương trình: z3 + 8 = 0 Ta có: z3 + 8 = 0  (z + 2)(z2 – 2z + 4) = 0  z  2  2  z  2z  4  0  Hai nghiệm phức (khác số thực) của (1) là nghiệm phương trình: z2 – 2z + 4 = 0

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

 z1  1  3i, z2  1  3i  z1.z2  (1  3i)(1  3i)  4  Do đó: | z1 |2  | z2 |2 



1 1  z1z2 4



2 2 1 1 33  12   3  12  3   . | z1z2 | 4 4

20.C z1  1  3i, z2  1  3i 2

 z1  z2  (1)2  (3)2  (1)2  (3)2  20

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word