CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 10 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) - 6 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 10 PHẦN ĐS-GT

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 10 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) 6 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - CHUYÊN SƯ PHẠM HN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHUYÊN ĐỀ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP

Mệnh đề

Hôm nay trời đẹp quá!

72 là một số vô tỉ

BÀI 1. MỆNH ĐỀ

Mệnh đề là một khẳng định chỉ có tính đúng hoặc

(không là một mệnh đề)

(là một mệnh đề)

Mục tiêu

sai.

Kiến thức

Tính đúng sai của một mệnh đề.

+ Nắm vững các khái niệm mệnh đề, mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương +

Chú ý: Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề

đương, các điều kiện cần và đủ

đúng.

Biết khái niệm mệnh đề chứa biến

Một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai.

Kĩ năng

Mệnh đề chứa biến

Xác định được mệnh đề đúng, mệnh đề sai

Mệnh đề chứa biến là những câu chưa khẳng định

Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến, mệnh đề tương đương, mệnh đề kéo theo

được tính đúng sai. Nhưng với mỗi giá trị của biến

Lập mệnh đề phủ định, sử dụng các kí hiệu trong suy luận toán học

sẽ cho ta một mệnh đề. Kí hiệu ∀ - Đọc là “với mọi”.

Chú ý: Mệnh đề chứa biến không phải mệnh đề.

Ví dụ: “Mọi học sinh lớp 8A đều nặng hơn 45 kg ”. “ ∀x ∈ ℝ, 2 x 2 + 1 > 0 ”

- “Với mọi x thuộc X, P ( x ) đúng” được kí hiệu là Đây là dạng viết kí hiệu của mệnh đề “Mọi số thực X thì 2x2 +1 > 0 ”.

“ ∀x ∈ X , P ( x ) ”. Kí hiệu ∃ Đọc là “tồn tại” hoặc “có ít nhất một”.

“Tồn tại x thuộc X để P ( x ) đúng” được viết dưới dạng kí hiệu là “ ∃x ∈ X , P ( x ) ”. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P.

Ví dụ: “Tồn tại một học sinh lớp 8A nhẹ hơn 45 kg”.

" ∃x ∈ ℝ, 2 x 2 + 1 < 0 ". Đây là dạng viết kí hiệu của mệnh đề “Tồn tại số thực x để 2 x 2 + 1 < 0

Ví dụ: “Tứ giác ABCD là hình vuông” là mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tứ giác ABCD không phải là hình vuông”.

Kí hiệu P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu: P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Mệnh đề đảo

Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q . Mệnh đề tương đương Trang 1

Trang 2

Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng ta

mệnh đề chứa biến).

nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Ví dụ 2. Câu nào sau đây là mệnh đề? Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. 1) Hồ Gươm thật đẹp!

Kí hiệu: P ⇔ Q .

2) Phương trình x 2 − 3x + 6 = 0 vô nghiệm.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

3) 16 không là số chính phương.

Dạng 1:Xác định mệnh đề. Xét tính đúng sai của mệnh đề

4) Hai phương trình x 2 − x + 3 = 0 và x 2 − 1 = 0 có nghiệm chung.

Bài toán 1. Xác định mệnh đề và xét tính đúng sai

5) Số π có lớn hơn 3 hay không?

Phương pháp giải

Ví dụ 1:

Bước 1. Kiểm tra câu đã cho có là một câu khẳng

•

6) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chu vi bằng nhau. 7) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm

“Thành phố Buôn Ma Thuột ở Đắk Lắk” là

định.

mệnh đề đúng.

Bước 2. Xét khẳng định đó có chắc chắn đúng hoặc

•

“2012 là số lẻ” là mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải

chắc chắn sai (khách quan) hay không?

•

“Hôm qua có mưa không?” không phải là

Câu (1) là câu cảm thán và câu ( 5) là câu hỏi nên câu (1) và câu ( 5) không phải là một mệnh đề.

mệnh đề.

Câu ( 2 ) và câu ( 7 ) là mệnh đề đúng vì

Bước 3. Kết luận là mệnh đề hay không? Và là

mỗi đường.

mệnh đề đúng hay mệnh đề sai.

Một khẳng định đúng là mệnh đề đúng. Một khẳng

x 2 − 3x + 6 = 0 có ∆ = −15 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

+ Dấu hiệu nhận biết hình thoi.

định sai là mệnh đề sai.

Câu ( 3) , câu ( 4 ) và câu ( 6 ) là mệnh đề sai.

Ví dụ mẫu

Bài toán 2. Mệnh đề chứa biến

Ví dụ 1. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?

Phương pháp giải

Ví dụ 1: Mệnh đề “x là số tự nhiên chẵn” là mệnh

a) Buôn Ma Thuột là một thành phố của Việt Nam.

Mệnh đề chứa biến là những câu chưa khẳng định đề chứa biến.

b) Sông Sêrêpôk chảy ngang qua thành phố Buôn Ma Thuột.

được tính đúng sai. Nhưng với mỗi giá trị của biến Với x = 2 , đây là mệnh đề đúng.

c) Hãy trả lời câu hỏi này!

sẽ cho ta một mệnh đề.

d) −24 + 5 + 19

Ví dụ 2: Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) :" x > x3 " .

e) 6 + 16 = 25

Mệnh đề P ( 2 ) : "2 > 23 " là một mệnh đề sai.

f) Bạn có rảnh tối nay không?

Mệnh đề P ( −2 ) :"− 2 > ( −2 ) " là một mệnh đề

g) x + 22 = 111

A. 1

Với x = 2019 , đây là mệnh đề sai.

B. 2

C. 3

D. 4

đúng

Hướng dẫn giải Ví dụ mẫu

Chọn C. Câu a là một câu khẳng định đúng nên là mệnh đề.

Ví dụ 1. Câu nào sau đây là mệnh đề chứa biến?

Câu b là một câu khẳng định sai nên là mệnh đề (mặc dù mệnh đề này sai).

(1)

Phương trình 3 x + 4 = 0 vô nghiệm.

( 2)

Chu vi của hình vuông có độ dài cạnh là a là 4a.

Câu e là câu khẳng định nên là mệnh đề (mặc dù mệnh đề này sai).

( 3)

"2 y+ 3 > x "

Câu f là câu hỏi, không phải là mệnh đề.

( 4)

“n chia hết cho 5”.

Câu c không phải là câu khẳng định (câu mệnh lệnh) nên không là mệnh đề. Câu d là một phép tính, không là khẳng định nên không là mệnh đề.

Câu g là một khẳng định những chưa xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề (đây chỉ là

Trang 3

Trang 4

Hướng dẫn giải

(1)

là một mệnh đề (mệnh đề sai).

( 2)

là một mệnh đề (mệnh đề đúng).

Mặc dù chứa biến nhưng câu đã

c) ∃n ∈ ℕ : n 2 + 3 chia hết cho 4.

khẳng định rõ tính chất đúng sai

d) ∃q ∈ ℚ, 2q 2 − 1 = 0

thì nó không là mệnh đề chứa

e) ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1) là một số chính phương.

biến mà là một mệnh đề.

( 3)

và ( 4 ) là một mệnh đề chứa biến vì chưa rõ tính đúng sai tuy

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Cho các mệnh đề chứa biến sau, tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai. a)

P ( x ) :" x ∈ ℝ, x 2 + 3x ≥ 0"

Q ( n ) : “ n chia hết cho 5 , với n ∈ ℕ ”.

Để chứng minh mệnh đề chứa

a) Mệnh đề ∀x ∈ ℝ, x3 + x 2 + 1 > 0 sai vì khi x = −2 ta có

nhiên khi thay các giá trị cụ thể của biến thì được một mệnh đề

( −2 ) + ( −2 )

+ 1 = −3 < 0 4

với mọi " ∀x ∈ X , P ( x ) " là sai ta chỉ ra một giá trị x0 ∈ X

( = (x

)( 3 x + 1)( x

) 3 x + 1)

b) Mệnh đề ∀x ∈ ℝ, x − x + 1 = x + 3x + 1 x − 3x + 1 đúng mà P ( x ) sai. 2

vì x 4 − x 2 + 1 = ( x 2 + 1) − 3x 2

R ( x ) :"− 4 x + 4 x − 1 ≤ 0 với x ∈ ℝ ”

−

c) Mệnh đề “ ∃n ∈ ℕ : n 2 + 3 chia hết cho 4” đúng vì với n = 1 thì

Hướng dẫn giải

n 2 + 3 = 4⋮ 4 .

a) Với x = 2 thì ta có mệnh đề "22 + 3.2 ≥ 0" là mệnh đề đúng. Với x = −2 thì ta có mệnh đề " ( −2 ) + 3. ( −2 ) ≥ 0" là mệnh đề sai.

2q 2 − 1 = 0 ⇔ q 2 =

b) Với n = 10 thì “n chia hết cho 5, với n ∈ ℕ ” là mệnh đề đúng. Với n = 12 thì “n chia hết cho 5, với n ∈ ℕ ” là mệnh đề sai.

tồn tại đúng ta chỉ cần nêu ra một giá trị x0 ∈ X mà P ( x )

đúng.

d) Mệnh đề ∃q ∈ ℚ, 2q 2 − 1 = 0 sai vì

Để chứng minh mệnh đề chứa

1 1 ⇔q=± ∉ℚ 2 2

e) Mệnh đề ∃n ∈ ℕ, n ( n + 1) là một số chính phương” đúng vì với

c) Ta có −4 x 2 + 4 x − 1 = − ( 2 x − 1) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ nên mọi giá trị x ∈ ℝ thì mệnh đề là mệnh đề

R ( x ) đúng.

n = 0 thì n ( n + 1) = 0 là một số chính phương.

Ví dụ 3. Xét tính đúng (sai) của hai mệnh đề sau và đưa ra nhận xét.

Bài toán 3. Viết lại mệnh đề toán học chứa kí hiệu ∀ , ∃

1) " ∃x ∈ ℚ : x 2 + 2 x + 1 = 0"

Ví dụ mẫu

2) " ∃x ∈ ℚ : x 2 + 2 x + 1 ≠ 0"

Ví dụ 1. Dùng kí hiệu ∀ và ∃ để viết các mệnh đề sau.

Hướng dẫn giải

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.

Mệnh đề (1) đúng vì với x = −1 ta có ( −1) + 2. ( −1) + 1 = 0

c) Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó.

Mệnh đề ( 2 ) sai vì với x = −1 ta có ( −1) + 2. ( −1) + 1 = 0

d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.

Nhận xét: hai mệnh đề trên khẳng định hai điều trái ngược nhau.

Hướng dẫn giải

Bài tập tự luyện dạng 1

" ∃n ∈ ℤ : n ⋮ n "

Bài tập cơ bản

" ∀x ∈ ℝ : x + 0 = x "

Câu 1: Có bao nhiêu câu là mệnh đề?

1 ∃∈ ℚ : x < x

∀x ∈ ℕ : n > − n

a) 7 + 1 + 4 = 15 b) Hôm nay trời đẹp quá! c) Năm 2019 là nám nhuận.

Ví dụ 2. Xét tính đúng (sai) của mỗi mệnh đề sau.

d) Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền.

a) ∀x ∈ ℝ, x 3 + x 2 + 1 > 0 4

(

A. 4 2

)(

)

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 2: Cho các câu sau đây:

b) ∀x ∈ ℝ, x − x + 1 = x + 3 x + 1 x − 3 x + 1

a) Ở đây đẹp quá! Trang 5

Trang 6

Câu 9: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?

b) Phương trình x 2 − 9 x + 2 = 0 vô nghiệm

A. π là một số hữu tỉ.

c) 16 không là số nguyên tố.

B. Tổng của độ dài hai cạnh một tam giác lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.

d) Hai phương trình x − 3x + 2 = 0 và x − 9 x + 2 = 0 có nghiệm chung.

C. Bạn có chăm học không?

e) Số π có lớn hơn 3 hay không?

D. Con thì thấp hơn cha.

f) 2 x 2 − 1 ≤ 0

Câu 10: Cho mệnh đề chứa biến P ( n ) : “ n 2 − 1 chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét xem các mệnh đề

Có bao nhiêu câu là mệnh đề, bao nhiêu câu là mệnh đề chứa biến?

A. 4; 1

B. 3; 0

C. 4; 0

D. 3; 1

P ( 5 ) và P ( 2 ) đúng hay sai?

Câu 3: Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. 11 là số hữu tỉ. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

D. P ( 5 ) sai và P ( 2 ) đúng.

B. x = 10 , y = 0

C. x = 8 , y = 1

Câu 4: Trong các câu sau

D. x = 4 , y = 6 2

Câu 12: Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) : " x + 15 ≤ x " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

II. 4 + x = 3

III. x + y > 1

IV. 2 − 5 < 0

C. III, IV

D. I, III

A. P ( 0 )

Câu nào là mệnh đề chứa biến? A. II, III

C. P ( 5 ) đúng và P ( 2 ) sai.

A. x = 0 , y = 10

3 ∈ℕ 5

I. 3 + 2 = 7

B. P ( 5 ) sai và P ( 2 ) sai.

Câu 11: Cặp giá trị x, y nào dưới đây để mệnh đề P : " x + y = 10" là mệnh đề sai?

C. Các bạn hãy học bài đi! D.

A. P ( 5 ) đúng và P ( 2 ) đúng.

B. I, II

nó”. B. ∀x ∈ ℝ, x.1 = x

C. ∃x ∈ ℝ, x.1 = x

D. ∃x ∈ ℚ, x.1 = x

C. P ( 4 )

D. P ( 5 )

Bài tập nâng cao

Câu 5: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Mọi số thực nhân với 1 đều bằng chính A. ∀x ∈ ℤ, x.1 = x

B. P ( 3)

Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saỉ? A. ∃n ∈ ℕ, n 2 + 11n + 2 chia hết cho 11.

B. ∃n ∈ ℕ, n 2 + 1 chia hết cho 4.

C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5.

D. ∃x ∈ ℤ, 2 x 2 − 8 = 0

Câu 14: Chọn mệnh đề đúng.

Câu 6: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Với mọi số thực thì bình phương của nó

A. ∀n ∈ ℕ∗ , n 2 − 1 là bội số của 3

B. ∃x ∈ ℚ, x 2 = 3

luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.

C. ∀n ∈ ℕ, 2n + 1 là số nguyên tố.

D. ∃n ∈ ℕ, 2n ≥ n + 2

A. ∀x ∈ ℝ, x 2 ≥ 0

B. ∀x ∈ ℤ, x 2 ≥ 0

Câu 15: Cho mệnh đề: ∀x ∈ ℝ ; x 2 − 2 + a > 0 , với a là số thực cho trước. Tìm giá trị của a để mệnh đề

C. ∃x ∈ ℝ, x 2 ≥ 0

D. ∃x ∈ ℝ, x 2 ≤ 0

đúng.

Câu 7: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu ∀ hoặc ∃ : “Có một số nguyên bằng bình phương

A. a ≤ 2

B. a > 2

C. a ≥ 2

D. a = 2

Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề

của chính nó”. A. ∀x ∈ ℝ, x = x 2

B. ∀x ∈ ℤ, x = x 2

C. ∃x ∈ ℤ, x = x 2

D. ∃x ∈ ℝ, x 2 − x = 0

Bài toán 1. Phủ định một mệnh đề, tính đúng (sai) của mệnh đề phủ định Phương pháp giải

Ví dụ: Cho mệnh đề P: “3 là số nguyên tố”: có

Để xác định mệnh đề phủ định của một mệnh đề, ta mệnh đề phủ định là P : “3 không phải là số

Câu 8: Mệnh đề ∃x ∈ ℝ, x 2 = 2 khẳng định rằng

thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) nguyên tố”

A. Bình phương của mỗi số thực bằng 2.

vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2.

P là mệnh đề phủ định của P. Khi đó:

C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 2.

•

Nếu P đúng thì P sai

D. Nếu x là một số thực thì x 2 = 2 Trang 7

Trang 8

•

A. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 vô nghiệm.

Nếu P sai thì P đúng

B. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 có nghiệm kép. Ví dụ mẫu

C. Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 không có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 1. Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

D. Có hai giá trị phân biệt của x để x 2 + 2 x + 1 ≠ 0 .

a) “Hà Nội là thành phố lớn của Việt Nam.

Hướng dẫn giải

b) “Số 6 chia hết cho 2 và 3”.

Chọn C.

c) “2 là số lẻ”.

Chú ý: Mệnh đề phủ

Hai đáp án A và B đều thiếu trường hợp.

d) “3 là số vô tỉ”.

định của p có thể diễn

Ví dụ 5: Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét xem mệnh đề đó

đạt theo nhiều cách khác

đúng hay sai.

Hướng dẫn giải

a) “Hà Nội không phải là thủ đô của Singapore”.

nhau

b) “Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3”.

Cách 1. Xét trực tiếp.

c) 3 là số nguyên tố nhỏ nhất.

d) “3 là số hữu tỉ” hoặc “3 không phải là số vô tỉ”.

Cách 2. Xét tính đúng

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

sai của mệnh đề ban

a) Có hữu hạn số nguyên tố. Mệnh đề này sai.

a) Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm.

Một số chú ý khi chuyển

b) "15 > 3"

sang mệnh đề phủ định:

c) "5 + 4 = 10"

≤→>

d) " 2 ≤ 2"

<→≥

b) Phương trình x 2 + 0.x + 5 = 0 không phải ìà phương trình bậc hai một

đầu.

ẩn. Mệnh đề này sai.

c) 3 không phải là số nguyên tố nhỏ nhất. Mệnh đề này đúng. Bài toán 2. Phủ định của mệnh đề với mọi và tồn tại

=→≠

a) Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm.

đề phủ định có hai cách:

b) Phương trình x 2 + 0.x + 5 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn.

c) “2 không phải là số lẻ” hoặc “2 là số chẵn”.

Hướng dẫn giải

Xét tính đúng sai mệnh

a) Có vô số số nguyên tố.

Phương pháp giải

(và ngược lại)

Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu ∀ , ∃

b) "15 ≤ 3"

Ví dụ 1: Mệnh đề “Mọi học sinh đều giỏi” có mệnh đề phủ định là “Có ít nhất một học sinh không học

Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∀x ∈ X , P ( x ) " là giỏi”

c) "5 + 4 ≠ 10"

" ∃x ∈ X , P ( x ) "

d) " 2 > 2"

Mệnh đề phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ X , P ( x ) " là

Ví dụ 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 vô

nghiệm” là mệnh đề nào sau đây?

Ví dụ 2: Mệnh đề “ ∃n ∈ ℕ* , n ( n + 1)( n + 2 ) chia

hết cho 6” có mệnh đề phủ định là “ ∀n ∈ ℕ* , n ( n + 1)( n + 2 ) không chia hết cho 6”

" ∀x ∈ X , P ( x ) "

A. Phương trình 2 x + 3 x + 4 = 0 có nghiệm

Lưu ý: Phủ định của “với mọi” là “có ít nhất một”

B. Phương trình 2 x + 3x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt Ví dụ mẫu

C. Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 có nghiệm kép

Ví dụ 1: Cho mệnh đề " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 ≥ 0" . Hỏi mệnh đề nào là mệnh mệnh đề chứa ∀ , ∃ :

D. Phương trình 2 x 2 + 3 x + 4 = 0 không có nghiệm

đề phủ định của mệnh đề trên?

Hướng dẫn giải

Chọn A

A. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 ≥ 0"

Vì phủ định vô nghiệm là có nghiệm.

B. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 > 0"

Ví dụ 4. Phủ định của mệnh đề “Phương trình x 2 + 2 x + 1 = 0 có hai nghiệm

phân biệt” là mệnh đề nào?

Tìm mệnh đề phủ đinh của

+) Chuyển ∀ → ∃ và ngược lạ i +) Lấy phủ định của mệnh đề còn lại

C. " ∀x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 < 0"

Dễ mắc sai lầm: Chọn phương án A.

Trang 9

D. " ∃x ∈ ℝ, x 2 − 2 x + 9 < 0"

Trang 10

1 C. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x < − " . Đây là mệnh đề đúng 4

Hướng dẫn giải Chọn A

1 D. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x > − " . Đây là mệnh đề sai 4

Đáp án A đúng Ví dụ 2: Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

Câu 5: Cho X là số tự nhiên. Phủ định của mệnh đề “ ∀x chẵn, x 2 + x là số chẵn” là mệnh đề

a) “Mọi động vật đều di chuyển”. b) “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn”. Hướng dẫn giải

a) Có ít nhất một động vật không di chuyển.

A. ∃x lẻ, x 2 + x là số lẻ

B. ∃x lẻ, x 2 + x là số chẵn

C. ∀x lẻ, x 2 + x là số lẻ

D. ∃x chẵn, x 2 + x là số lẻ

Câu 6: Cho mệnh đề “Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là

b) Mọi số vô tỷ đều không là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

A. Phương trình x 2 − 4 x + 4 ≠ 0 có nghiệm.

Ví dụ 3: Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

B. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có vô số nghiệm.

a) “ ∃x : x + 2 x + 5 là số nguyên tố”.

C. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

b) " ∀x ∈ ℝ, x + x + 1 > 0"

D. Phương trình x 2 − 4 x + 4 = 0 vô nghiệm.

c) " ∀x ∈ ℝ : x ≥ 4"

Câu 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: P : " 2 ≤ 2" là

Hướng dẫn giải

A. P : " 2 < 2"

a) “ ∀x : x 2 + 2 x + 5 không là số nguyên tố”.

B. P : " 2 > 2"

C. P : " 2 ≥ 2"

D. P :" 2 ≠ 2"

Câu 8. Phủ định của mệnh đề " ∃x ∈ ℝ,5 x − 3x 2 = 1" là

b) " ∃x ∈ ℝ, x 2 + x + 1 ≤ 0" c) " ∃x ∈ ℝ : x 2 < 4" Bài tập tự luyện dạng 2 B. “14 chia hết cho 2”.

C. “14 không phải là số nguyên tố”.

D. “14 chia hết cho 7”.

Câu 2: Cho mệnh đề A: " ∀x ∈ ℝ : x 2 < x " .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

B. " ∀x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 = 1"

C. " ∀x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 ≠ 1"

D. " ∃x ∈ ℝ, 5 x − 3x 2 ≥ 1"

Câu 9. Cho mệnh đề A: “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số lẻ”, mệnh đề phủ định của mệnh đề A và tính đúng, sai của

Câu 1. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là số nguyên tố” là mệnh đề A. “14 là số nguyên tố”.

A. " ∃x ∈ ℝ, 5 x − 3 x 2 "

mệnh đề phủ định là

A. A : “ ∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng.

là phủ định của mệnh

B. A : “ ∀n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai. C. A : “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề sai.

đề A? A. " ∃x ∈ ℝ : x 2 < x "

B. " ∃x ∈ ℝ : x 2 ≥ x "

C. " ∃x ∈ ℝ : x 2 < x "

D. " ∃x ∈ ℝ : x 2 ≤ x "

D. A : “ ∃n ∈ ℕ : 3n + 1 là số chẵn”. Đây là mệnh đề đúng. Dạng 3. Mệnh đề kéo theo. Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương Bài toán 1. Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo

Câu 3: Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: " ∀x ∈ ℕ : x ⋮ 3" là A. " ∃x ∈ ℕ : x ⋮/ 3"

B. " ∀x ∈ ℕ : x ⋮/ 3"

C. " ∃x ∈ ℕ : x ⋮ 3"

D. " ∀x ∈ ℕ : x ⋮/ 3"

Phương pháp giải

1 Câu 4: Cho mệnh đê A : " ∀x ∈ ℝ : x + x ≥ − " . Gọi A là mệnh đê phủ định của A. Khẳng định nào sau 4 2

Ví dụ.

Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và

a) Nếu a = b thì a 2 = b 2 . Đây là mệnh đề đúng.

đúng trong các trường hợp còn lại.

b) Nếu a 2 = b 2 thì a = b . Đây là mệnh đề sai.

Chú ý: Định lí là các mệnh đề đúng. Ví dụ mẫu

đây là đúng?

Ví dụ: Xét tính đúng (sai) của các mệnh đề sau:

1 A. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≥ − " . Đây là mệnh đề đúng 4

a) Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân.

1 B. A = " ∃x ∈ ℝ : x 2 + x ≤ − " . Đây là mệnh đề đúng 4

b) Nếu 1 = 2 thì 12 = 22 . c) Nếu 3 ≥ 2 thì 3 x ≥ 2 x , ∀x ∈ ℝ .

Trang 11

Trang 12

đề này đúng.

Hướng dẫn giải Các mệnh đề đúng là: a), b).

d) Mệnh đề đảo: “Nếu ABC là tam giác đều thì AB = BC = CA . Mệnh

Bài toán 2. Xác định mệnh đề đảo của một mệnh đề Phương pháp giải Cho mệnh đề P ⇒ Q Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là Q ⇒ P

đề này đúng.

Ví dụ: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau.

Bài toán 3. Phát biểu định lí toán học, định lí đảo dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Phương pháp giải

a) “Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc

đó bằng nhau”.

thường có dạng P ⇒ Q .

b) “Nếu hai số nguyên chia hết cho 7 thì tổng bình phương của chúng chia hết cho 7”. c) “Nếu một tứ giác nội tiếp đường tròn thì

lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều Hướng dẫn giải Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để

kiện cần để có P.

Định lý đảo

số đó chia hết cho 5.

Cho định lý có dạng " ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) " (1) .

Hướng dẫn giải a) Nếu hai góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị trí so le trong. b) “Nếu tổng bình phương của hai số nguyên chia hết cho 7 thì hai số nguyên đó chia hết cho 7.” c) “Nếu tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.”

Mệnh đề (1) có mệnh đề đảo là

" ∀x ∈ X , Q ( x ) ⇒ P ( x ) " ( 2 ) Nếu mệnh đề ( 2 ) đúng thì ( 2 ) được gọi là định lý

đảo của định lý (1) và khi đó định lý (1) được gọi là định lý thuận.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”. a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba thì hai

Ví dụ mẫu

đường thẳng ấ y song song nhau.

Ví dụ. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của

b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

mệnh đề đảo.

c) Nếu a + b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương.

a) Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3 .

Hướng dẫn giảỉ

b) Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông

a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba là điều ksện

góc với nhau.

đủ để hai đường thẳng ấ y song song nhau.

c) Nếu một số chia hết cho 2 thì số đó là số chẵn.

b) Hai tam giác bằng nhau Bà đsều Sôộn đủ để chúng có diện tích bằng nhau.

d) Nếu AB = BC = CA thì ABC là tam giác đều.

c) a + b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương.

Nhận xét: Tính đúng sai

a) Mệnh đề đảo: “Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 6”. của mệnh đề đảo không phụ Mệnh đề này sai.

Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia

Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định hết cho 5.

tổng của hai góc đối diện của nó bằng 180°

Hướng dẫn giải

Ví dụ: Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và “điều kiện đủ”:

thuộc vào tính đúng sai của

b) Mệnh đề đảo: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc mệnh đề ban đầu.

Ví dụ 2. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện cần”: a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau. b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau. c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

với nhau thì tứ giác đó là hình thoi”. Mệnh đề này sai.

Hướng dẫn giải

c) Mệnh đề đảo: “Nếu một số là chẵn thì số đó chia hết cho 2”. Mệnh

a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tương ứng bằng nhau. Trang 13

Trang 14

b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau.

A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.

c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 6 là nó chia hết cho 3.

B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có ba góc vuông.

Ví dụ 3. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”.

C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

a) “Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng 60° ”.

D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60° .

Câu 2. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là đúng?

b) “Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại”.

A. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.

c) “Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại”.

B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau.

Hướng dẫn giải a) “Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° ”.

C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9.

b) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5

c) Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là hình thoi là hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.

A. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔

Bài toán 4. Tính đúng sai của mệnh đề tương đương Phương pháp giải

Câu 3. Cho tam giác ABC với H là chân đường cao từ A. Mệnh đề nào sau đây sai?

Ví dụ 1. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi

1 1 1 = + AH 2 AB 2 AC 2

B. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA2 = BH .BC

Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.

C. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ HA2 = HB.HC

P ⇔ Q và Q ⇔ P đều đúng và sai trong các Đây là mệnh đề tương đương đúng.

D. “ABC là tam giác vuông ở A ⇔ BA2 = BC 2 + AC 2

trường hợp còn lại.

Ví dụ 2. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi

Câu 4: Cho mệnh đề: “Nếu một tam giác là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau”. Chọn phát biểu

chúng có các góc tương ứng bằng nhau.

sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, hoặc “điều kiện đủ” đúng.

Đây là mệnh đề tương đương sai vì:

A. Điều kiện đủ để một tam giác là tam giác đều là tam giác đó có ba cạnh bằng nhau.

Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau chưa

B. Điều kiện cần để một tam giác là tam giác đều là tam giác đó có ba cạnh bằng nhau.

chắc đã bằng nhau (chúng có thể là các tam giác

C. Điều kiện cần để một tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đó là tam giác đều.

đồng dạng và không bằng nhau).

D. Các phát biểu kia đều sai.

Ví dụ mẫu

Câu 5. Cho mệnh đề: “Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó bằng nhau”. Trong các mệnh đề sau

Ví dụ. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

đây, đâu là mệnh đề đảo của mệnh đề trên?

A. Một tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

A. Nếu hai góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị trí so le trong.

B. Một tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và một góc bằng 60°

B. Nếu hai góc không ở vị trí so le trong thì hai góc đó không bằng nhau.

C. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cặp cạnh bằng nhau.

C. Nếu hai góc không bằng nhau thì hai góc đó không ở vị trí so ỉe trong.

D. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.

D. Nếu hai góc ở vị trí so le trong thì hai góc đó không bằng nhau. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây có mệnh đề đảo đúng?

Hướng dẫn giải

A. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. B. Nếu một số chia hết cho 6 thì cũng chia hết cho 3. C. Nếu một phương trình bậc hai có biệt thức âm thì phương trình đó vô nghiệm. D. Nếu a = b thì a 2 = b 2 . Ý C sai vì trong trường hợp sau chúng đồng dạng có một cặp cạnh bằng nhau nhưng không bằng nhau.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. ∀x ∈ ℝ, x > −2 ⇒ x 2 > 4

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? Trang 15

Trang 16

B. ∀x ∈ ℝ, x > 2 ⇒ x 2 > 4

Giả sử

3 là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại a; b ∈ ℤ, b ≠ 0 và ( a; b ) = 1 sao cho

C. ∀x ∈ ℝ, x 2 > 4 ⇒ x > 2 Ta có

D. Nếu a + b chia hết cho 3 thì a, b đều chia hết cho 3 . Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí?

a b

a ⇔ 3b = a ⇒ 3b 2 = a 2 b

Nhận thấy VT = 3b 2 ⋮ 3 nên VP ⋮ 3 hay a 2 ⋮ 3 ⇒ a ⋮ 3 (1) ⇒ a 2 ⋮ 9 .

A. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3

Do đó VP⋮ 9 ⇒ VT ⋮ 9 ⇒ 3b 2 ⋮ 9 ⇒ b 2 ⋮ 3 ⇒ b⋮ 3

B. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3

( 2) .

Từ (1) ; ( 2 ) ta có ( a; b ) ≥ 3 ≠ 1 (mâu thuẫn).

C. ∀x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 9 ⇒ x chia hết cho 9

Vậ y điều giả sử là sai hay

D. ∃x ∈ ℕ , x 2 chia hết cho 4 và 6 ⇒ x chia hết cho 12

3 là số vô tỉ.

Bài tập tự luyện

Dạng 4. Phương pháp phản chứng Phương pháp giải

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu n ( n ∈ ℤ ) là số lẻ thì

Chứng minh định lí " ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) " (1)

n là số lẻ.

bằng phương pháp phản chứng.

Hướng dẫn giải

a) Nếu tổng của hai số nguyên là một số chẵn thì hai số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ. b) Nếu tích hai số nguyên là một số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ. c) Nếu tích hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của hai số đó là số chẵn.

Bước 1. Giả sử x0 ∈ X sao cho P ( x0 ) đúng và Giả sử n 2 là số lẻ nhưng n là số chẵn. Q ( x0 ) sai, tức là mệnh đề (1) là mệnh đề sai.

Chứng minh rằng

ĐÁP ÁN

Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra n 2 = ( 2k ) = 4k 2 là 2

Dạng 1. Xác định mệnh đề. Xét tính đúng sai của mệnh đề

Bước 2. Dùng suy luận và những kiến thức toán một số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết n là

1-B

2-D

3-C

4-A

5-B

học đã biết để chỉ ra mâu thuẫn.

số lẻ.

11-C

12-D

13-B

14-D

15-B

Bước 3. Kết luận điều cần chứng minh.

Vậy nếu n 2 ( n ∈ ℤ ) là số lẻ thì n là số lẻ.

6-A

7-C

8-B

9-B

10-C

Hướng dẫn giải trắc nghiệm Câu 13. Chọn B

Ví dụ mẫu

Trường hợp 1: n = 4k ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k ) + 1⋮/ 4

Ví dụ 1. Cho n ∈ ℤ , chứng minh rằng a) Nếu 7n + 1 là số chẵn thì n là số lẻ.

Trường hợp 2: n = 4k + 1( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 1) + 1 = ( 4k ) + 8k + 2 ⋮/ 4

b) Nếu n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ.

Trường hợp 4: n = 4k + 3 ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 3) + 1 = ( 4k ) + 24k + 10 ⋮/ 4

a) Giả sử 7n + 1 là số chẵn nhưng n là số chẵn. Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra 7n + 1 = 7.2k + 1 = 14n + 1 là số lẻ.

Câu 14. Chọn D

Điều này mâu thuẫn với giả thiết 7n + 1 là số chẵn.

Xét n = 2 ta có: 22 = 4 = 2 + 2

Khi đó ta có điều phải chứng minh.

Câu 15. Chọn B Để mệnh đề đúng thì a − 2 > 0 ⇔ a > 2

b) Giả sử n + 2 là số lẻ nhưng n là số chẵn.

Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề

Khi đó n = 2k ( k ∈ ℤ ) . Suy ra n3 + 2 = ( 2k ) + 2 = 8k 3 + 2 là số chẵn.

1-C

Điều này mâu thuẫn với giả thiết n3 + 2 là số lẻ. Khi đó ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh

Trường hợp 3: n = 4k + 2 ( k ∈ ℕ ) thì n 2 + 1 = ( 4k + 2 ) + 1 = ( 4k ) + 16k + 5 ⋮/ 4

Hướng dẫn giải

2-B

3-A

4-C

5-D

6-D

7-B

8-C

9-B

Dạng 3. Mệnh đề kéo theo. Mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương

3 là số vô tỉ.

1-A

Hướng dẫn giải

2-C

3-D

4-B

5-A

6-C

7-B

8-C

Dạng 4. Phương pháp phản chứng Trang 17

Trang 18

a) Giả sử a là số nguyên chẵn, b là số nguyên lẻ. Khi đó a = 2m , b = 2n + 1 ( m, n ∈ ℤ ) Khi đó ta có a + b = 2m + 2n + 1 là số tự nhiên lẻ. Khi đó nếu a, b không cùng tính chẵn lẻ thì tổng của chúng là một số lẻ Do đó tổng của hai số nguyên là một số chẵn thì hai số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ b) Giả sử tích hai số nguyên là một số lẻ nhưng trong hai số có ít nhất một số chẵn Khi đó tích của một số lẻ với một số chẵn là một số chẵn (mâu thuẫn với giả thiết tích của hai số là một số lẻ). Do đó ta có điều phải chứng minh c) Từ câu b) ta thấ y tích hai số nguyên là một số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ. Do đó tổng của chúng là số chẵn

Trang 19

CHUYÊN ĐỀ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

Tập hợp và các cách biểu diễn

Mục tiêu

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học,

Kiến thức

không định nghĩa.

+ Hiểu được khái niệm tập hợp, tập con.

Các cách xác định tập hợp

Ví dụ: tập các ước nguyên dương của 6

+ Nắm được khái niệm hai tập hợp bằng nhau.

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp

A = {1; 2;3; 6} .

+ Hiểu được các phép toán giao các tập hợp, hợp các tập hợp, phần bù trên tập hợp.

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của

Kĩ năng

tập hợp.

+ Cho tập hợp bằng hai cách.

Tập rỗng

+ Thực hiện các phép toán giao hai tập hợp; hợp hai tập hợp; hiệu hai tập hợp, phần bù của một tập con

Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu ∅ .

A = {n ∈ ℕ 6⋮ n} .

{

}

Ví dụ: A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 . Tập A các nghiệm của phương trình x 2 + x + 1 = 0 là tập rỗng.

+ Dùng biểu đồ Ven để biểu diễn các phép toán trên tập hợp. Mối quan hệ giữa các tập hợp 1. Tập hợp con Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì A được gọi là tập hợp con của tập hợp B. Kí hiệu: A ⊂ B hoặc B ⊃ A. 2. Hai tập hợp bằng nhau

Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì A và B là hai tập hợp bằng nhau. Kí hiệu: A = B.

Ví

dụ:

{

}

A = x ∈ ℝ x 2 + 3x + 2 = 0 và

x 2 + 3x + 2 = 0   B = x ∈ ℝ  = 0 là hai tập x−4  

hợp bằng nhau Câu hỏi: “Hai tập hợp có cùng số phần tử

Các tập con thường gặp của ℝ

có bằng nhau không?”

Khoảng ( a; b ) = {x ∈ ℝ a < x < b}

Đoạn

[a; b] = {x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b} Nửa khoảng [a; b ) = {x ∈ ℝ a ≤ x < b}

( a; b ] = {x ∈ ℝ a < x ≤ b} [a; +∞ ) = {x ∈ ℝ a ≤ x} ( −∞; b ] = {x ∈ ℝ x ≤ b}

( a; +∞ ) = {x ∈ ℝ a < x} ( −∞; b ) = {x ∈ ℝ x < b}

Trang 1

Trang 2

Các phép toán trên tập hợp

• Mỗi phần tử chỉ được viết một lần.

1. Giao của hai tập hợp

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

tử của tập hợp.

A ∩ B = {x x ∈ A và x ∈ B} .

• Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.

x ∈ A x∈A∩B ⇔  . x ∈ B

A = {x ∈ ℕ x < 5} .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho các tập hợp

2. Hợp của hai tập hợp

{

}

A ∪ B = x x ∈ A hoaëc x ∈ B .

a) A = x ∈ ℝ ( x 2 + 7x + 6 )( x 2 − 4 ) = 0 ;

x ∈ A x∈A∪B ⇔  . x ∈ B

b) B = {x ∈ ℕ 2x ≤ 8} ;

{

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần

}

c) C = {2x + 1 x ∈ ℤ và − 2 ≤ x ≤ 4} ;

{

}

d) D = x ∈ ℕ ( x 2 − 10x + 21) ( x 3 − x ) = 0 .

3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp

A \ B = {x x ∈ A; x ∉ B}.

Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử.

Hướng dẫn giải

x ∈ A x∈A \ B ⇔  . x ∉ B

 x 2 + 7x + 6 = 0  x = −1 a) Ta có ( x 2 + 7x + 6 )( x 2 − 4 ) = 0 ⇔  2 hoặc ⇔  x = −6 x − 4 = 0

x = 2  x = −2 . 

Vậy A = {−6; −2; −1; 2} . Khi B ⊂ A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí

x ∈ ℕ x ∈ ℕ ⇔ ⇔ x ∈ {0;1; 2;3; 4} . b) Ta có  2x ≤ 8  x ≤ 4

hiệu CA B.

Vậy B = {0;1; 2;3; 4} .

x ∈ ℤ c) Ta có  ⇔ x ∈ {−2; −1; 0;1; 2;3; 4} . −2 ≤ x ≤ 4 Suy ra C = {−3; −1;1;3;5; 7;9} . x = 3  2  x − 10x + 21 = 0 x = 7 d) Ta có ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 ⇔  3 ⇔ . x = 0 x − x = 0     x = ±1

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tập hợp và xác định tập hợp Bài toán 1. Xác định tập hợp Phương pháp giải

• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không Ví dụ: Tập hợp A các số tự nhiên bé hơn 5 định nghĩa.

có thể được viết bằng 2 cách dưới đây

• Các cách xác định tập hợp +) Liệt kê các phần tử: Liệt kê các phần tử theo quy tắc

mà x là các số tự nhiên nên D = {0;1;3; 7} .

Ví dụ 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng. a) A = {0;1; 2;3; 4;5;6}.

+) Liệt kê các phần tử:

b) B = {0;5;10;15; 20}.

A = {0;1; 2;3; 4} .

c) C = {1;3;9; 27; 81}.

• Viết các phần tử của tập hợp giữa hai dấu { };

d) D = {−4; −3; −2; −1; 0;1; 2;3; 4} .

• Các phần tử cách nhau bởi dấu , hoặc ; Trang 3

Trang 4

c) C = x ∈ ℝ x > −3 .

f) F = {0;1; 4;9;16; 25}.

Hướng dẫn giải

b) B = {x ∈ ℕ x ⋮ 5, x ≤ 20} . c) C = {3n n ≤ 4, n ∈ ℕ} .

}

e) E = x ∈ ℕ x laø soá leû nhoû hôn 10 . f)

}

n laø soá töï nhieân nhoû hôn 6 .

}

d) 1; +∞ )

e) (1;8 .

f)  −2;3) .

{

}

a) A = {0;1; 2;3; 4;5}.

b) B = x ∈ ℝ x ≤ 3 .

c) C = {−3; −2; −1;1}

d) D = {−3; −2; −1; 0;1} .

b) Ta có x ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 ⇒ B = [ −3;3].

Mội số tập con của tập hợp số thực

Chú ý: A; C; D là các tập số tự nhiên liên tiếp (khác với định nghĩa khoảng, nửa khoảng, đoạn)

Tên gọi, ký hiệu

Tập hợp

Tập số thực ( −∞; +∞ )

Hình biểu diễn

Bài tập tự luyện dạng 1

ℝ

Đoạn a; b 

Câu 1: Cho tập hợp X = {−2; −1;0;1; 2;3} . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng

{x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b}

Khoảng ( a; b )

{

Khoảng ( −∞;a )

{x ∈ ℝ x < a}

Khoảng ( a; +∞ )

{x ∈ ℝ a < x}

Nửa khoảng a; b ) Nửa khoảng ( a; b 

{x ∈ ℝ a ≤ x < b} {x ∈ ℝ a < x ≤ b}

Nửa khoảng ( −∞;a 

{x ∈ ℝ x ≤ a}

Nửa khoảng a; +∞ )

các phần tử của nó là

x∈ℝ a < x < b

}

B. {x ∈ ℕ −2 ≤ x ≤ 3}.

C. {x ∈ ℝ −2 ≤ x ≤ 3}.

D. {x ∈ ℤ −2 ≤ x + 1 ≤ 6} .

  1 A.  x ∈ ℕ x = ; n ∈ ℕ*  . n ( n + 1)  

  1 B.  x ∈ ℚ x = ; n ∈ ℕ*  . n ( n + 1)  

  1 C.  x ∈ ℤ x = ; n ∈ ℕ*  . n ( n + 1)  

  1 D.  x ∈ ℚ x = 2 ; n ∈ ℕ*  . n ( n + 1)  

1 1   Câu 3: Cho tập hợp X = 9; −3;1; − ; ;... . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng 3 9   các phần tử của nó là

{x ∈ ℝ x ≥ a}

Ví dụ 1. Cho các tập hợp sau. Hãy viết lại tập hợp dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

b) B = x ∈ ℝ x ≤ −8 .

{

A. {x ∈ ℤ −2 ≤ x ≤ 3}.

1 1 1 1  Câu 2: Cho tập hợp X =  ; ; ; ;.... . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng  2 6 12 20  các phần tử của nó là

Ví dụ mẫu

}

c) ( −3; +∞ ) .

Các ý a, c, d không viết được dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn.

Phương pháp gỉải

{

b) ( −∞; −8 .

Hướng dẫn giải

Bài toán 2. Xác định các tập hợp con thường gặp của tập số thực

a) A = x ∈ ℝ x < 4 .

a) ( −∞; 4 ) .

Ví dụ 2. Viết lại các tập hợp sau dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn (nếu có thể):

d) D = x ∈ ℤ x ≤ 4 .

{ F = {n

{ } f) F = {x ∈ ℝ −2 ≤ x < 3} .

Hướng dẫn giải

a) A = {x ∈ ℕ x ≤ 6}.

{

d) D = x ∈ ℝ x ≥ 1 .

{ } e) E = {x ∈ ℝ 1 < x ≤ 8} .

e) E = {1;3;5; 7;9} .

}

Trang 5

n    1 A.  x ∈ ℤ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ*  .  3  

n    1 B.  x ∈ ℤ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  .  3  

n    1 C.  x ∈ ℝ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  . 3    

n    1 D.  x ∈ ℕ x = 9.  −  ; n ∈ ℕ  . 3    

Trang 6

Câu 4: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp A = {x ∈ ℝ x ≤ 9}. ta được A. A = ( −∞;9 ) .

B. A = ( −∞;9].

C. A = [9; −∞ ) .

{1} , {3} , {5} , {1;3} , {1;5} , {3;5} , {1;3;5} , ∅

D. A = ( 9; +∞ ) .

Ví dụ

Câu 5: Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ 2x + 1 ≤ 0} . A. A = ( −∞;0 ) .

A = {2n + 1, n ∈ ℕ} ;

B = {4k + 3, k ∈ ℕ} . Chứng tỏ B ⊂ A.

B. A = ( −∞;0].

{

2: Cho hai tập hợp

1  D. A =  −∞; −  . 2 

C. A = ( −∞; −1].

Hướng dẫn giải

Giả sử x ∈ B, x = 4k + 3, k ∈ ℕ. Khi đó ta có thể viết

}

Câu 6: Cho các tập hợp B = x ∈ ℝ x ≤ 10 . Hãy viết lại các tập hợp B dưới kí hiệu khoảng, nửa

x = 2 ( 2k + 1) + 1.

khoảng, đoạn.

Đặt n = 2k + 1 thì n ∈ ℕ và ta có x = 2n + 1, suy ra x ∈ A.

A. B = ( −10;10].

B. B = [ −10;10 ) .

C. B = [ −10;10] .

D. B = [ −∞;10].

Như vậy x ∈ B ⇒ x ∈ A hay B ⊂ A.

Câu 7: Cho tập hợp A = x ∈ ℕ x laø öôùc chung cuûa 36 vaø 120 . là ước chung của 36 và 120}. Các phần

{

}

A. A = {1; 2;3; 4; 6;12} .

B. A = {1; 2;3; 4; 6;8;12} .

C. A = {2;3; 4;6;8;10;12} .

D. A = {1; 2;3; 4; 6;9;12;18;36} .

{

A. {1;5} .

A. A = {0} .

3 C. A =   . 2

B. A = {1} .

{1;5}

 3 D. A = 1;  .  2

} − 5 = 0} .

{ D. D = {x ∈ ℚ x

} + x − 12 = 0} .

{0;1;5} có ba phần tử nên có

}

{ D. D = {x ∈ ℚ x ( x

}

23 = 8 (tập con).

Phương pháp giải

} + 3)} = 0.

B. B = x ∈ ℕ x 2 − 2 = 0 .

− 3)( x + l) = 0 .

22 = 4 (tập con).

Bài toán 2. Tập hợp bằng nhau

Câu 10: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

{ C. C = {x ∈ ℤ ( x

21 = 2 (tập con) là {9} và ∅.

{0;9} có hai phần tử nên có

B. B = x ∈ ℝ x 2 + 2x + 3 = 0

A. A = x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = 0 .

D. {0;1;5} .

có hai phần tử nên có 22 = 4 (tập con).

{9} có một phần tử nên có

Câu 9: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng? A. A = x ∈ ℕ x 2 − 4 = 0 .

C. {0;9} .

Hướng dẫn giải

}

B. {9} .

Chọn B.

Câu 8: Các phần tử của tập hợp A = x ∈ ℝ 2x − 5x + 3 = 0 là

{ C. C = {x ∈ ℝ x

Ví dụ mẫu Ví dụ: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?

tử của tập A là

Để chứng minh A = B ta đi chứng minh A ⊂ B và B ⊂ A hoặc ∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B.

π  Ví dụ 3. Cho các tập hợp A =  + kπ , k ∈ ℤ  , 3   2π  + kπ , k ∈ ℤ  . Chứng minh rằng A = B. A = −  3 

Dạng 2: Quan hệ giữa các tập hợp Bài toán 1. Tập hợp con

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải

+) Chứng minh A ⊂ B.

1. Để chứng minh A ⊂ B. Lấy x ∈ A bất kì, sau đó chứng minh

Ví dụ 1: Cho A = {1;3;5} . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu

x∈B

tập con? Liệt kê các tập con của tập A.

2. Xác định số tập con của một tập hợp A có n phần tử Tập hợp có n phần tử có 2n tập hợp con

Ta có ∀x ∈ A ⇒ ∃k 0 ∈ ℤ sao cho x =

Hướng dẫn giải

π 3

− π + ( k 0 + 1) π = −

+ k 0π , suy ra

2π + ( k 0 + 1) π . 3

Tập hợp A có 3 phần tử, do đó có tất cả 23 = 8 tập hợp

Vì k 0 ∈ ℤ nên k 0 + 1 ∈ ℤ.

con.

Suy ra x ∈ B. Do đó A ⊂ B.

Các tập con của A bao gồm

+) Chứng minh B ⊂ A.

Trang 7

(1)

Trang 8

∀x ∈ B ⇒ ∃k 0 ∈ ℤ sao cho x = − x=−

2π + k 0π , suy ra 3

A \ B = {x x ∈ A; x ∉ B} .

A \ B = {1} . B \ A = {7;9} .

2π π + π + ( k 0 − 1) π = + ( k 0 − 1) π . 3 3

Không tồn tại tập hợp CAB vì B không là tập hợp con của A.

Vì k 0 ∈ ℤ ⇒ k 0 − 1 ∈ ℤ. Suy ra x ∈ A. Vậy B ⊂ A.

Không tồn tại tập hợp CBA vì A không là tập hợp con của B.

Ví dụ mẫu

(2)

{

Bài tập tự luyện dạng 2

Xác định tập hợp X = A ∪ B; A ∩ B; A \ B.

Câu 1: Cho A = {1; 2;3} . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. ∅ ⊂ A.

B. 1∈ A.

C. {1; 2} ⊂ A.

Hướng dẫn giải D. 2 = A.

x = 3   x − 10x + 21 = 0 x = 7 Giải phương trình ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 ⇔  3 ⇔ x = 0 x − x = 0     x = ±1 2

Câu 2: Cho tập hợp A = {1; 2;3; 4;5} . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập con có đúng 3 phần tử? A. 32.

B. 15.

C. 25.

D. 10.

Câu 3: Cho tập hợp A = a, b, c, d}. Tập A có mấy tập con? A. 16.

B. 15.

C. 12.

Mà x ∈ ℤ nên A = {−1; 0;1;3;7} .

D. 10.

Câu 4: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con? A. {x; y} .

B. {x} .

Giải bất phương trình −3 < 2x + 1 < 5 ⇔ −2 < x < 2. Mà x ∈ ℤ nên B = {−1; 0;1} .

C. {0; x} .

D. {0; x; y} .

C. {a} ∈ [ a; b ] .

D. a ∈ ( a; b ] .

Khi đó x = A ∪ B = {−1;0;1;3; 7} ; A ∩ B = {−1; 0;1} và A \ B = {3;7} .

Câu 5: Cách viết nào sau đây là đúng? A. a ⊂ [ a; b ].

B. {a} ⊂ [ a; b ].

Ví dụ 2. Cho tập A = {−1;1;5;8} , B: “Gồm các ước số nguyên dương của 16”. a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

Câu 6: Cho tập hợp A = [ m; m + 2] và B = [ −1; 2]. Điều kiện của m để A ⊂ B là A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0.

B. −1 ≤ m ≤ 0.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

D. m < −1 hoặc m > 2.

Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử. b) Xác định các tập hợp A ∪ B; A ∩ B; A \ B.

Hướng dẫn giải

Câu 7: Cho A = ( 2; +∞ ) , B = ( m; +∞ ) . Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là A. m ≤ 2.

B. m = 2.

C. m > 2.

{

B. 1 < m < 2.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

b) Ta có A ∩ B = {1;8} , A ∪ B = {−1;1; 2; 4;5;8;16} , A \ B = {−1;5} .

D. m = 2.

Ví dụ 3. Cho A = x x ∈ ℕ; x laø öôùc cuûa 12 , B = x x ∈ ℕ; x laø öôùc cuûa16 .

{

Dạng 3. Xác định tập hợp và phép toán trên tập số thực Phương pháp giải

a) A ∩ B;

b) A ∪ B;

Ví dụ 1: Cho tập hợp A = {1; 2;3;5} và B = {2;3;5; 7; 9} .

Hướng dẫn giải

Xác định các tập hợp A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B / A.

Ta có A = {1; 2;3; 4; 6;12} và B = {1; 2; 4;8;16} .

Có tồn tại các tập hợp CAB, CBA hay không?

a) A ∩ B = {1; 2; 4} .

Hướng dẫn giải

b) A ∪ B = {1; 2;3; 4;6;8;12;16} .

A ∪ B = x x ∈ A hoaëc x ∈ B .

A ∪ B = {1; 2;3;5;7;9} .

A ∩ B = {x x ∈ A; x ∈ B} .

A ∩ B = {2;3;5} .

}

{

}

Hãy tìm

Bài toán 1. Phép toán với tập hợp ở dạng liệt kê, tính chất đặc trưng.

{

}

a) Ta có A = x ∈ ℝ ( x + 1)( x − 1)( x − 5 )( x − 8 ) = 0 ; B = {1; 2; 4;8;16} .

D. m ≥ 2.

Câu 8: Cho hai tập hợp A = [1;3] và B = [ m; m + 1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A. A. m = 1.

}

Vi dụ 1. Cho hai tập hợp A = x ∈ ℤ ( x 2 − 10x + 21)( x 3 − x ) = 0 , B = {x ∈ ℤ −3 < 2x + 1 < 5}.

Từ (1) và (2) suy ra A = B.

c) A \ B.

c) A \ B = {3; 6;12} .

Trang 9

Trang 10

Bài toán 2. Phép toán với các tập hợp dạng nửa khoảng, khoảng, đoạn Phương pháp giải Cách tìm A ∪ B; A ∩ B; A \ B.

Ví dụ: Cho các tập hợp

A = {x ∈ ℝ −3 ≤ x ≤ 2} ,

b) ( −1;5] ∪ ( 3;7 ) = ( −1;7 ) .

B = {x ∈ ℝ 0 < x ≤ 7}. Xác định a) A ∪ B;

c) ( −2;3) \ [ 0;5 ) = ( −2;0 ) .

b) A ∩ B; c) A \ B.

Hướng dẫn giải

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm

d) ( −2; 2] ∩ [1;3) = [1; 2 ) .

A = [ −3; 2] , B = ( 0;7 ]

Để tìm A ∪ B ta làm như sau a) Ta có

đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số. • Tô đậm các tập A, B trên trục số. • Phần tô đậm chính là hợp của hai tập

Ví dụ 2. Cho các tập hợp:

Vậy A ∪ B = [ −3;7 ] .

A = {x ∈ ℝ x < 3} , B = {x ∈ ℝ 1 < x ≤ 5} , C = {x ∈ ℝ −2 ≤ x ≤ 4}.

hợp A ∪ B .

Để tìm A ∩ B ta làm như sau

b) Ta có

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm

b) Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B.

đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số. • Biểu diễn các tập A, B trên trục số (phần

c) Tìm ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C )

Vậy A ∩ B = ( 0; 2] .

nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ).

Hướng dẫn giải

• Phần không bị gạch bỏ chính là giao

a) Ta có A = ( −∞;3) ;

của hai tập hợp A, B.

Để tìm A \ B ta làm như sau

B = (1;5] ;

C = [ −2; 4].

b) Tìm A ∪ B. c) Ta có

Biểu diễn trên trục số:

Vậy A \ B = [3;0].

Suy ra A ∪ B = ( −∞;5] .

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm

đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số. • Biểu diễn tập A trên trục số (gạch bỏ phần không thuộc tập A), gạch bỏ phần

Tìm A ∩ B.

thuộc tập B trên trục số.

Biểu diễn trên trục số:

• Phần không bị gạch bỏ chính là A\ B.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xác định mỗi tập hợp số sau.

Suy ra A ∩ B = (1;3) .

a) ( −∞;3) ∩ ( −2; +∞ ) ;

b) ( −1;5] ∪ ( 3; 7 ) ;

Tìm A \ B.

c) ( −2;3) \ [ 0;5 ) ;

d) ( −2; 2] ∩ [1;3) .

Biểu diễn trên trục số:

Hướng dẫn giải a) ( −∞;3) ∩ ( −2; +∞ ) = ( −2;3) . Trang 11

Trang 12

Suy ra A \ B = ( −∞;1]. c) Bằng cách biểu diễn trên trục số, ta có

A ∩ C = [ −2;3) và B ∪ C = [ −2;5] .

Để A ∩ B = ∅ thì tập B sẽ nằm trong phần bị gạch chéo Suy ra ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C ) = [3;5].

Chú ý: điều kiện a ≤ b để E là một đoạn

Ví dụ 3. Tìm phần bù của các tập hợp sau trong ℝ.

Ví dụ 2: Tìm m sao cho

a) A = [ −12;10 ) .

a) A ∪ B = ℝ biết A = ( −∞;3] và B = [ m; +∞ ) .

b) B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

b) C ∪ D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó), biết C = ( m; m + 2 ) và D = ( −3;1) .

c) C = [3; +∞ ) \ {5} .

Hướng dẫn giải

d) D = {x ∈ ℝ −4 < x + 2 ≤ 5}.

a) Ta có A ∪ B = ℝ ⇔ m ≤ 3.

b) C ∪ D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó) khi và chỉ khi Hướng dẫn giải

m < 1 ⇔ −5 < m < 1.   m + 2 > −3

a) Ta có A = [ −12;10 ) . Vậy Cℝ A = ( −∞; −12 ) ∪ [10; +∞ ) . b) Ta có B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . Vậy Cℝ B = [ −2; 2].

Ví dụ 3. Cho A = ( −4;5] và B = ( 2m − 1; m + 3) , tìm m sao cho

c) Ta có C = [3; +∞ ) \ {5} . Vậy Cℝ C = ( −∞;3) ∪ {5} .

a) A ⊂ B.

d) −4 < x + 2 ≤ 5 ⇔ −6 < x ≤ 3.

b) B ⊂ A.

Suy ra D = ( −6;3] . Vậy Cℝ D = ( −∞;6] ∪ ( 3; +∞ ) .

c) A ∩ B = ∅. d) A ∪ B là một khoảng.

Bài toán 3. Tập hợp xác định bởi tham số

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

3  2m − 1 ≤ −4 m ≤ − a) A ⊂ B ⇔  ⇔ 2 ⇔ m ∈∅. m + 3 > 5 m > 2

Ví dụ 1. Xác định điều kiện của a, b để a) A ∩ B = ∅ với A = ( a − 1; a + 2 ) và B = ( b; b + 4]. b) E ⊂ ( C ∪ D ) với C = [ −1; 4] ; D = ℝ \ ( −3;3) và E = [ a; b ].

3   2m − 1 ≥ −4 3 m ≥ − b) B ⊂ A ⇔  ⇔ 2 ⇔ − ≤ m ≤ 2. m + 3 ≤ 5 2  m ≤ 2

Hướng dẫn giải a) A ∩ B = ∅ với A = ( a − 1; a + 2 ) và B = ( b; b + 4].

 2m − 1 ≥ 5 m > 3 c) A ∩ B = ∅ ⇔  ⇔ ⇔ m ∈ ∅.  m + 3 ≤ −4  m ≤ −7

b ≥ a + 2  a − b ≤ −2 ⇔ A∩B = ∅ ⇔  .  b + 4 ≤ a − 1 a − b ≥ 5

m + 3 > 5 m > 2   d) A ∪ B là một khoảng ⇔  2m − 1 < m + 3 ⇔  m < 4 ⇔ 2 < m ≤ 3.  2m − 1 ≤ 5   m ≤ 3

b) E ⊂ ( C ∪ D ) với C = [ −1; 4] ; D = ℝ \ ( −3;3) và E = [ a; b ]. Ta có C ∪ D = ( −∞; −3] ∪ [ −1; +∞ ) .

Ví dụ 4. Cho hai tập khác rỗng A = ( m − 1; 4] , B = ( −2; 2m + 2 ) , với m ∈ ℝ.

  b ≤ −3  E ⊂ ( C ∪ D ) ⇔  a ≥ −1 a ≤ b 

a) A ∩ B ≠ ∅;

b) A ⊂ B;

Chú ý: để hình dung cách làm có thể vẽ trên trục số như sau:

c) B ⊂ A;

d) A ∩ B ⊂ ( −1;3) .

Xác định m để

Hướng dẫn giải Trang 13

Trang 14

Câu 8: Cho A = [ −4;7 ] , B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . Khi đó A ∩ B. là

Với A = ( m − 1; 4] , B = ( −2; 2m + 2 ) , khác tập rỗng, ta có điều kiện m − 1 m < 5 ⇔ ⇔ −2 < m < 5 (*) .  2m + 2 > − 2   m > −2 Với điều kiện (*), ta có

A. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ] .

B. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ) .

C. ( −∞; 2] ∪ ( 3; +∞ ) .

D. ( −∞; −2 ) ∪ [3; +∞ ) .

Câu 9: Cho hai tập hợp A = [1;3] và B = [ m; m + 1]. Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A.

a) A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3. So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu

A ∩ B ≠ ∅ là − 2 < m < 5.  m − 1 ≥ −2  m ≥ −1 b) A ⊂ B ⇔  ⇔ ⇔ m > 1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu 2m + 2 > 4  m > 1

A ⊂ B là 1 < m < 5.

A. m = 1.

B. 1 < m < 2.

{

}

{

 13  B. ( −2; −1) ∪  ;5  . 3 

C. ( −3;7 ) .

 5 2; +∞ và B =  −∞;  . Khi đó ( A ∩ B ) ∪ ( B\ A ) là 2  

(

2; +∞

)

 5 C.  −∞;  2  

)

 12  Câu 12: Cho tập hợp Cℝ A = [ 0; 6 ) , Cℝ B =  − ;5  ∪  3 

Câu 1: Cho tập hợp A = {x ∈ ℕ 3x − 2 > 10} khi đó

D. [ −2;5] .

(

Câu 11: Cho hai tập hợp A =  5  A.  ; 2  2  

Bài tập tự luyện dạng 3

}

Tập hợp ( C ∩ D ) ∪ E là

B ⊂ A là − 2 < m ≤ −1.  m − 1 ≥ −1 1 d) A ∩ B ⊂ ( −1;3) ⇔  ⇔ 0 ≤ m ≤ (thỏa mãn (*)). 2m 2 3 + ≤ 2 

D. m = 2.

Câu 10: Cho các tập hợp C = x ∈ ℝ 2x − 4 < 10 , D = x ∈ ℝ 8 < −3x + 5 , E = [ −2;5] .

A. [ −3;7 ].

 m − 1 ≤ −2  m ≤ −1 c) B ⊂ A ⇔  ⇔ ⇔ m ≤ −1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu  2m + 2 ≤ 4 m ≤ 1

C. 1 ≤ m ≤ 2.

(

 5 D.  −∞;  2  

)

17; 55 . Tập Cℝ ( A ∩ B ) là

A. Cℕ A = {1; 2;3; 4} .

B. Cℕ A = {0;1; 2;3; 4} .

C. Cℕ A = {1; 2;3} .

D. Cℕ A = {1; 2; 4} .

{

}

Câu 2: Cho tập hợp A = x ∈ ℤ 2x − 3x + 1 = 0 , B = {x ∈ ℕ 3x + 2 < 9}. Tập hợp A ∩ B là A. {1} .

 1 B. 1;  .  2

C. {0;1; 2} .

B. ( −∞;5].

C. ( 0;5] .

D. {0; 2} .

B. [ −2;6].

C. ( 5; +∞ ) .

B. ( 3; +∞ ) .

C. [ 2; +∞ )

D. ( −∞; −3) ∪ [ 2; +∞ )

2 B. m < − . 3

{

D. ( −4;0 ) .

)

17; 55 .

5 C. m ≤ . 6

{

}

2 5 D. − ≤ m < . 3 6

}

Câu 14: Cho A = x ∈ ℝ mx − 3 = mx − 3 , B = x ∈ ℝ x 2 − 4 = 0 . Tìm m để B \ A = B. 3 3 A. − ≤ m ≤ . 2 2

D. ( 2; +∞ )

3 B. m < . 2

3 3 C. − < m < . 2 2

3 D. m ≥ − . 2

Bài tập tự luận

{

C. ( −∞;5].

b) A = [1;5] ; B = ( −3; 2 ) ∪ ( 3; 7 ) .   1 c) A =  x ∈ ℝ ≥ 2 ; B = x ∈ ℝ x − 2 ≤ 1 . x −1  

{

D. ( −∞;1) .

Câu 7: Cho hai tập hợp A = [ −2;3] và B = (1; +∞ ) . Tìm A ∩ B. C. A ∩ B = [1;3] .

}

a) A = {x ∈ ℝ −3 ≤ x ≤ 5} ; B = x ∈ ℝ x < 4 .

Câu 6: Cho tập hợp A = ( −∞;3] ; B = (1;5] . Khi đó, tập A ∪ B là

A. A ∩ B = [ −2; +∞ ) . B. A ∩ B = (1;3].

(

Câu 15: Xác định các tập A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A biết

A. ( −∞; −3)

B. ( 3;5].

 12  D.  − ; 0  ∪  3 

5 A. m ≥ . 6

Câu 5: Cho A = [ −3; 2 ) . Tập hợp Cℝ A là

A. (1;3].

 12  C.  − ; 55  .  3 

các giá trị m để A ∩ B = ∅ là

Câu 4: Cho A = {x ∈ ℝ : x + 2 ≥ 0} , B = {x ∈ ℝ : 5 − x ≥ 0} . Khi đó A \ B là A. [ −2;5].

B. ∅.

Câu 13: Cho m là một tham số thực và hai tập hợp A = [1 − 2m; m + 3] , B = {x ∈ ℝ x ≥ 8 − 5m}. Tất cả

Câu 3: Cho tập hợp E = [ −4;5] ; F = ( −∞;0]. Khi đó, tập E \ F là A. ( −∞; −4]

 12  A.  − ; 55  .  3 

}

d) A = [ 0; 2] ∪ ( 4;6 ) ; B = ( −5; 0] ∪ ( 3;5 ) .

D. A ∩ B = (1;3) . Trang 15

Trang 16

Câu 16: Cho các tập hợp A = ( −∞; m ) và B = [3m − 1;3m + 3] . Tìm m để a) A ∩ B = ∅

b) B ⊂ A.

c) A ⊂ Cℝ B.

d) Cℝ A ∩ B ≠ ∅.

 x = −4 Đáp án D. Ta có x 2 + x − 12 = 0 ⇔  . Do đó D = {−4;3} . x = 3

Câu 10. Chọn D. Đáp án A. Ta có x 2 + x + 1 = 0 là phương trình vô nghiệm vì

ĐÁP ÁN PHẦN KIẾN THỨC CHUNG

BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1 3  x 2 + x + 1 =  x +  + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ A = ∅. 2 4 

Dạng 1. Tập hợp và xác định tập hợp

Đáp án B. Ta có x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ∉ ℕ ⇒ B = ∅.

1-A

2-B

3-C

4-B

5-D

6-C

7-A

8-D

9-B

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

x3 − 3 = 0 Đáp án C. Ta có ( x 3 − 3)( x 2 + 1) = 0 ⇔  2 ⇔ x 3 − 3 = 0 ( do x 2 + 1 ≥ 1, ∀x ) x + 1 = 0 

Câu 1. Chọn A.

⇔ x = 3 3 ∉ ℤ ⇒ C = ∅.

Nhận thấy X là tập các số nguyên liên tiếp bắt đầu bằng số −2 và kết thúc bằng số 3 nên ta có

X = {x ∈ ℤ −2 ≤ x ≤ 3} .

Câu 2. Chọn B.

x = 0 ⇔ x = 0 ( do x 2 + 3 ≥ 3, ∀x ) ⇒ D = {0} . Đáp án D. Ta có x ( x 2 + 3) = 0 ⇒  2 x + 3 = 0 Dạng 2. Quan hệ giữa các tập hợp

Ta có: 2 = 1.2; 6 = 2.3; 12 = 3.4; 20 = 4.5...

1-D

1   Do đó X =  x ∈ ℚ x = ; n ∈ ℕ*  . n n + 1 ( )  

2-D

3-A

4-B

5-B

6-B

7-D

8-C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Chọn D.

Câu 3. Chọn C. 0

Vì 2 không phải là một tập hợp nên đáp án D là sai. Sửa lại: 2 ∈ A.

 −1   −1   −1  −1  −1  1  −1  Ta có: 9 = 9.   ; − 3 = 9.   ;1 = 9.   ; = 9.   ; =   ;...  3   3   3  3  3  9  3 

Câu 2. Chọn D.

Các tập con có 3 phần tử của A là

n n      −1   −1  Do đó X =  x ∈ ℝ x = 9.   ; n ∈ ℕ  hoặc X =  x ∈ ℚ x = 9.   ; n ∈ ℕ  . 3 3        

{1; 2;3} ; {1; 2; 4} ; {1; 2;5} ; {1;3; 4} ;{1; 4;5} ; {1;3;5} ; {2;3; 4} ;{2;3;5} ; {2; 4;5} ; {3; 4;5}. Câu 5. Chọn B.

Câu 4. Chọn B.

Câu 6. Chọn B.

A = ( −∞;9].

m ≥ −1 m ≥ −1 Để A ⊂ B thì  ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0. m + 2 ≤ 2  m ≤ 0

Câu 7. Chọn A. Ta có Ö ( 36 ) = {1;2;3; 4; 6;9;12;18} và Ö (120 ) = {1;2;3; 4; 5;6;8;10;12;15; 20; 24;30; 40; 60} .

Câu 7. Chọn D. Để B ⊂ A thì m ≥ 2.

Vậy tập hợp các ước chung của 36 và 120 là A = {1; 2;3; 4; 6;12} .

Câu 8. Chọn C.

Câu 9. Chọn B.

m ≥ 1 m ≥ 1 Để B ⊂ A thì  ⇔ ⇔ 1 ≤ m ≤ 2. m + 1 ≤ 3  m ≤ 2

x = 2 Đáp án A. Ta có x 2 − 4 = 0 ⇔  nên A = {−2;2} .  x = −2

Đáp án B. Ta có x 2 + 2x + 3 = 0 là vô nghiệm vì x 2 + 2x + 3 = ( x + 1) + 2 > 0; ∀x ∈ ℝ. Do đó B = ∅. 2

x = 5 Đáp án C. Ta có x − 5 = 0 ⇔  . Do đó C = − 5; 5 .  x = − 5 2

{

}

Trang 17

Dạng 3. Xác định tập hợp và các phép toán trên tập số thực 1-B

2-A

3-C

4-C

11 - C

12 - C

13 - D

14 - C

5-D

6-C

7-B

8-A

9-C

10 – C

Trang 18

BÀI TẬP TỰ LUẬN

c) Ta có Cℝ B = ( −∞;3m − 1) ∪ ( 3m + 3; +∞ ) .

Câu 15.

1 Suy ra A ⊂ Cℝ B ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ . 2

a) Ta có A =  −3;5 .

x < 4 ⇔ −4 < x < 4. Do đó B = ( −4;4 ) .

Vậy m ≥

1 là giá trị cần tìm. 2

Vậy A ∪ B = ( −4;5] ; A ∩ B = [ −3; 4 ) ; A \ B = [ 4;5] ; B \ A = ( −4; −3) .

d) Ta có Cℝ A = [ m; +∞ )

b) Ta có A = [1;5] ; B = ( −3; 2 ) ∪ ( 3; 7 ) .

3 Suy ra Cℝ A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m ≤ 3m + 3 ⇔ m ≥ − . 2

Vậy A ∪ B = ( −3; 7 ] ; A ∩ B = [1; 2 ) ∪ ( 3;5] ; A \ B = [ 2;3] ; B \ A = ( −3;1) ∪ ( 5;7 ) .

Vậy m ≥ −

  1 c) A =  x ∈ ℝ ≥ 2 ; B = x ∈ ℝ x − 2 ≤ 1 . x −1  

{

3 là giá trị cần tìm. 2

}

x ≠ 1 x ≠ 1  1 3 1   ≥2⇔ 1 ⇔ 1 3 . Do đó A =  − ;  \ {1} . x −1 x 1 x − ≤ ≤ ≤  2 2   2 2 2 x − 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3. Do đó B = 1;3 .

 1   3  1  3  Vậy A ∪ B =  − ;3 ; A ∩ B = 1;  ; A \ B =  − ;1 ; B \ A =  ;3 .  2   2  2  2  d) Ta có A = [ 0; 2] ∪ ( 4;6 ) ; B = ( −5; 0] ∪ ( 3;5 ) . Vậy A ∪ B ( −5; 2] ∪ ( 3; 6 ) ; A ∩ B = {0} ∪ ( 4;5 ) ; A \ B = ( 0; 2] ∪ [5;6 ) ; B \ A = ( −5;0 ) ∪ ( 3; 4]. Câu 16.

Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ

1 a) Ta có A ∩ B = ∅ ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ . 2 Vậy m ≥

1 là giá trị cần tìm. 2

3 b) Ta có B ⊂ A ⇔ 3m + 3 < m ⇔ m < − . 2 Vậy m < −

3 là giá trị cần tìm. 2 Trang 19

Trang 20

CHUYÊN ĐỀ 1. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 3: SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ

Số gần đúng

Mục tiêu Kiến thức

lượng ta đang quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó. Vì vậy, nhật là 23,5 m.

+ Nắm được định nghĩa về sai số tương đối, sai số tuyệt đối, độ chính xác của số gần đúng. +

Ví dụ:

- Trong nhiều trường hợp, ta không biết được giá trị đúng của đại - Chiều dài của mảnh đất hình chữ

Nhận thức được tầm quan trọng của số gần đúng, ý nghĩa của sai số.

ta sử dụng giá trị số gần đúng để biểu thị giá trị cho đại lượng ta - Chiều cao của cây bạch đàn là đang quan tâm.

Kĩ năng +

Tính các sai số, quy tròn số gần đúng.

Tìm chữ số đáng tin.

4,578 m. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Chú ý:

- Giả sử a là giá trị đúng của một đại lượng và a là giá trị gần Trên thực tế, nhiều khi ta không

đúng của a .

biết a nên không thể tính chính

Giá trị a − a biểu thị mức độ sai lệch giữa a và . Kí hiệu

xác được ∆ a . Vì vậy, ta đánh giá

∆ a = a − a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a . Sai số tương đối của số gần đúng là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và

∆ a không vượt quá một số dương d nào đó.

- Nếu ∆ a ≤ d thì a − d ≤ a ≤ a + d .

a , Kí hiệu δ a . Khi đó ta quy ước viết a = a ± d .

∆ δa = a . a

Như vậy, ta hiểu số đúng a nằm trong đoạn

[a − d ; a + d ] .

Số d

được gọi là độ chính xác của số gần đúng. - Nếu a = a ± d thì ∆ a ≤ d . Do đó

δa ≤

d . a

- Nếu

d càng nhỏ thì chất lượng a

của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

Quy tròn số gần đúng

Ví dụ:

- Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ

- Số quy tròn đến hàng phần trăm

số bên phải nó bởi số 0.

của x = 21,34568 là x ≈ 21,35 ;

- Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng chữ số 5 thì ta

của y = 0, 2137 là y ≈ 0, 21 .

cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn. Chữ số đáng tin (chữ số chắc)

Ví dụ: a = 18,3651; ∆ a = 0, 02 .

- Cho a là số gần đúng của số a . Trong cách ghi thập phân của a , Trang 1

Trang 2

ta bảo chữ số k của a là đáng tin (hay chữ số chắc) nếu sai số

Các chữ số đáng tin là 1,8,3 ; các

tuyệt đối ∆ a không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số k .

chữ số 6,5,1 không đáng tin.

3. Quy tròn số gần đúng Nguyên tắc quy tròn các số như sau:

Ví dụ 3: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho

Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay sau đây a = 17638 ± 16 . chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0. Hướng dẫn giải

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay Ta có 10 < 16 < 100 nên hàng cao chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của

Dạng 1: Quy tròn số gần đúng. Tìm sai số của số gần đúng Phương pháp giải 1. Số gần đúng

Ví dụ 1: Cho số gần đúng

Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại

a = 23748023 với độ chính xác

lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của nó.

d = 101 . Hãy viết số quy tròn của

vào số hàng làm tròn.

hàng đó là hàng trăm. Do đó ta Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng số nào phải quy tròn số 17638 đến hàng đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị trăm. Vậy số quy tròn là 17600 .

Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và số a .

của hàng quy tròn.

giá trị gần đúng của nó. Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ra Hướng dẫn giải

Như vậy, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng

đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.

quy tròn.

Độ chính xác d = 101 (hàng trăm), nên ta quy tròn a = 23748023 đến hàng nghìn, được kết quả là

a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng Nếu a là số gần đúng của số a thì ∆ a = a − a được gọi là sai số

tuyệt đối của số gần đúng a .

xác cho trước.

Cho số gần đúng a với độ chính xác d . Khi được yêu cầu quy tròn

a = 23748000 .

2. Sai số tuyệt đối

Chú ý: Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính

Ví dụ 2: Cho giá trị gần đúng của

a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì

8 là 0, 47 . Sai số tuyệt đối của 17

hơn một đơn vị của hàng đó.

0, 47 là bao nhiêu?

+) Với a không nguyên, ta quy tròn a đến hàng thấp nhất mà

Hướng dẫn giải

d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.

+) Với a là số nguyên, ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ

Độ chính xác của một số gần đúng

8 Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên không thể tính được Ta có 0, 47 − 17 < 0, 00059 .

Ví dụ mẫu

∆ a . Tuy nhiên ta có thể đánh giá ∆ a không vượt quá một số dương Suy ra sai số tuyệt đối của 0, 47 là

Ví dụ 1. Tìm số quy tròn của a = 98,1456 ± 0, 004 .

d nào đó.

Hướng dẫn giải

0, 001 .

Nếu ∆ a ≤ d thì a − d ≤ a ≤ a + d , khi đó ta viết a = a ± d .

Ta thấy 0, 001 < 0, 004 < 0, 01 nên hàng thấp nhất mà độ chính xác nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là

d được gọi là độ chính xác của số gần đúng.

hàng phần trăm. Khi đó số quy tròn là 98,15.

b) Sai số tương đối

Ví dụ 2. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 15,318 biết a = 15,318 ± 0, 056 .

Sai số tương đối của số gần đúng a , kí hiệu là δ a là tỉ số giữa sai

Hướng dẫn giải

số tuyệt đối và a , tức là δ a =

Ta thấy 0, 01 < 0, 056 < 0,1 nên hàng thấp nhất mà độ chính xác nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng

∆a . a

Nhận xét: Nếu a = a ± d thì ∆ a ≤ d suy ra δ a ≤

phần chục. Khi đó số quy tròn là 15,3. Ví dụ 3. Cho giá trị gần đúng của π là a = 3,141592653589 với độ chính xác 10−10 . Hãy viết số quy tròn

d . a

của s ố a .

d càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán Do đó a

Hướng dẫn giải

càng cao.

3,141592654.

Vì độ chính xác d = 10−10 nên ta quy tròn số đến hàng của d .10 = 10−9 ( 9 chữ số thập phân), kết quả là

Trang 3

Trang 4

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo được như sau

Câu 7: Theo thống kê, dân số Việt Nam năm 2016 được ghi lại như sau S = 94 444 200 ± 3000 (người). Số quy tròn của số gần đúng 94 444 200 là

a = 12 cm ± 0,2 cm; b = 10, 2 cm ± 0,2 cm; c = 8 cm ± 0,1 cm . Tìm chu vi P của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi phép

A. 94 440 000.

B. 94 450 000.

C. 94 444 000.

D. 94 400 000.

8 Câu 8: Cho giá trị gần đúng của là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là 17

đo. Hướng dẫn giải

A. 0,001.

B. 0,003.

C. 0,002.

D. 0,004.

Giả sử a = 12 + d1 , b = 10, 2 + d 2 ; c = 8 + d3 .

Câu 9: Một hình chữ nhật có các cạnh: x = 4, 2 m ± 1 cm , y = 7 m ± 2 cm . Chu vi của hình chữ nhật và

Ta có P = a + b + c + d1 + d 2 + d 3 = 30, 2 + d1 + d 2 + d3 .

sai số tuyệt đối của giá trị đó lần lượt là

A. 22,4 m và 3 cm.

Theo giả thiết, ta có −0, 2 ≤ d1 ≤ 0, 2; − 0, 2 ≤ d 2 ≤ 0, 2; − 0,1 ≤ d3 ≤ 0,1 .

B. 22,4 m và 1 cm.

C. 22,4 m và 2 cm.

D. 22,4 m và 6 cm.

Câu 10: Hình chữ nhật có các cạnh: x = 2 m ± 1 cm , y = 5 m ± 2 cm . Diện tích hình chữ nhật và sai số

Suy ra −0,5 ≤ d1 + d 2 + d3 ≤ 0,5 .

tuyệt đối của giá trị đó lần lượt là

Do đó P = 30, 2 cm ± 0, 5 cm .

A. 10 m 2 và 900 cm 2 . B. 10 m 2 và 500 cm 2 .

Vậy sai số tuyệt đối ∆ P ≤ 0, 5 . Sai số tương đối δ P =

C. 10 m 2 và 400 cm 2 .

D. 10 m 2 và 1404 cm 2 .

Câu 11: Một vật thể có thể tích V = 180 cm 3 ± 0, 05 cm 3 . Sai số tương đối của giá trị gần đúng ấy là

d ≈ 1, 66% . P

A. 0,01%.

B. 0,03%.

C. 0,04%.

D. 0,05%.

Ví dụ 5. Một vật có thể tích V = 180,37 cm3 ± 0, 05 cm 3 . Sai số tương đối của giá trị gần đúng ấy là bao

Câu 12: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23 m ± 0, 01 m và chiều rộng là

nhiêu?

x = 15 m ± 0, 01 m . Diện tích của ruộng là

Hướng dẫn giải Sai số tương đối của giá trị gần đúng là δ =

∆ V

0, 05 ≈ 0, 03% . 180, 37

A. S = 345 m 2 ± 0,3801 m .

B. S = 345 m 2 ± 0, 38 m .

C. S = 345 m 2 ± 0, 03801 m .

D. S = 345 m 2 ± 3,801 m .

Câu 13: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23 m ± 0, 01 m và chiều rộng là x = 15 m ± 0, 01 m . Chu vi của ruộng là

Bài tập tự luyện dạng 1

A. 76 m ± 0,4 m .

B. 17800.

C. 17600.

D. 17700.

B. 15,5.

C. 15,3.

đo của bạn đó là bao nhiêu? A. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,08%.

D. 16.

Câu 3: Trong năm lần đo độ cao của một đập nước, người ta thu được các kết quả sau với độ chính xác 1 dm: 15,6 m; 15,8 m; 15,4 m; 15,7 m; 15,9 m. Độ cao của đập nước là A. 15, 7 m ± 3 dm .

B. 16 m ± 3 dm .

C. 15, 5 m ± 1 dm .

D. 15, 6 m ± 0, 6 dm .

Câu 4: Số a được cho bởi số gần đúng a = 5, 7824 với sai số tương đối không vượt quá 0,5% . Sai số tuyệt đối của a là

A. 2,9%.

B. 2,89%.

C. 2,5%.

B. 0,29.

C. 0,286.

B. 0,5%.

C. 0,25%.

C. Hai bạn đo chính xác như nhau với sai số tương đối bằng nhau là 0,08%. D. Bạn A đo chính xác hơn bạn B với sai số tương đối là 0,06%. Câu 15: Sai số tuyệt đối của số a = 123456 biết sai số tương đối δ a = 0, 2% là A. 246,912.

B. 617280.

D. 0,5%.

D. 0,3.

C. 24691,2.

D. 61728000.

1-C

2-C

3-A

4-B

5-C

11-B

12-A

13-B

14-A

15-A

6-A

7-A

8-A

9-D

10-A

Câu 12. Chọn A.

Câu 6: Độ dài của một cây cầu người ta đo được là 996 m ± 0,5m. Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu? A. 0,05%.

B. Bạn B đo chính xác hơn bạn A với sai số tương đối là 0,08%.

ĐÁP ÁN – Dạng 1

2 Câu 5: Cho số x = và các giá trị gần đúng của x là 0,28; 0,29; 0,286; 0,3. Giá trị gần đúng nào là tốt 7 nhất?

A. 0,28.

D. 76 m ± 0,08 m .

được 15 ± 0,1 m . Trong hai bạn A và B, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong phép

Câu 2: Số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a = 15, 318 ± 0, 056 là A. 15.

C. 76 m ± 0,02 m .

Câu 14: Bạn A đo chiều dài của một sân bóng ghi được 250 ± 0, 2 m . Bạn B đo chiều cao của một cột cờ

Câu 1: Cho số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây a = 17658 ± 16 là A. 18000.

B. 76 m ± 0,04 m .

D. 0,025%.

Diện tích ruộng là S = x. y = ( 23 + a )(15 + b ) = 345 + 23b + 15a + ab . Vì −0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01 nên 23b + 15a + ab ≤ 23.0, 01 + 15.0, 01 + 0, 01.0, 01 hay 23b + 15a + ab ≤ 0, 3801 .

Trang 5

Trang 6

đó mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn và độ chính xác

Suy ra S − 345 ≤ 0,3801 .

0, 0005 < 0, 004 < 0, 005 =

d = 0, 5.10 .

Vậy S = 345 m 2 ± 0,3801 m 2 .

0, 01 2

nên chữ số chắc là hàng phần

Câu 13. Chọn B.

trăm.

Giả sử x = 23 + a, y = 15 + b với −0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01 .

Cách viết chuẩn là 98,14.

Ta có chu vi ruộng là P = 2 ( x + y ) = 2 ( 38 + a + b ) = 76 + 2 ( a + b ) .

3. Kí hiệu khoa học của một số

số

thập

Ví dụ 3: Kí hiệu khoa học của số

Vì −0, 01 ≤ a, b ≤ 0, 01 nên −0, 04 ≤ 2 ( a + b ) ≤ 0, 04 .

Mọi

đều

viết

Do đó P − 76 = 2 ( a + b ) ≤ 0, 04 .

α .10n ,1 ≤ α < 10, n ∈ ℕ (quy ước 10− n =

1 ). 10n

Vậy P = 76 m ± 0,04 m .

Dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.

phân

khác

được

dưới

dạng 1234000 là 1, 234.106 .

Câu 14. Chọn A.

Phép đo của bạn A có sai số tương đối δ1 ≤

Ví dụ mẫu

0, 2 = 0, 0008 = 0, 08% . 250

Ví dụ 1. Số a = 91548624 ± 3000 có bao nhiêu chữ số chắc?

0,1 Phép đo của bạn B có sai số tương đối δ 2 ≤ = 0, 0066 = 0, 66% . 15

Hướng dẫn giải

Vì 500 < 3000 < 5000 =

Vậy phép đo của bạn A có độ chính xác cao hơn.

10000 nên hàng quy tròn là hàng chục nghìn. Các chữ số chắc là 9, 1, 5, 4. 2

Câu 15. Chọn A.

Ví dụ 2. Nếu lấy 3,1416 làm giá trị gần đúng của π thì có bao nhiêu chữ số chắc?

∆ Ta có δ a = a ⇒ ∆ a = δ a a = 246, 912 . a

Hướng dẫn giải

Ta có π = 3,141592654 nên sai số tuyệt đối của 3,1416 là ∆ = 3,1416 − π < 3,1416 − 3,1415 = 0, 0001 .

Dạng 2: Phương pháp giải 1. Chữ số chắc (đáng tin)

Mà d = 0, 0001 < 0, 0005 = Ví dụ 1:

0, 001 nên có 4 chữ số chắc. 2

Ví dụ 3. Cách viết chuẩn của số a = 321567000 ± 56000 là

Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d . Trong số a có một Số a = 98,1456 ± 0, 007 có bao

Hướng dẫn giải

chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nhiêu chữ số chắc? nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số

Vì 50000 < 56000 < 500000 =

Hướng dẫn giải

Vì 0, 005 < 0, 007 < 0, 05 =

chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số chắc đều là chữ số

0,1 2

Ví dụ 4. Cách viết chuẩn của số a = 321567900 ± 45617 là Hướng dẫn giải

nên hàng quy tròn là hàng phần

không chắc.

Vì 5000 < 45617 < 50000 =

chục. 2. Dạng chuẩn của số gần đúng

1000000 nên chữ số chắc là hàng triệu. Cách viết chuẩn là 321.106 . 2

100000 nên chữ số chắc là hàng trăm nghìn. 2

Các chữ số chắc là 9, 8, 1.

Cách viết chuẩn là 3215.105 .

Ví dụ 2:

Ví dụ 5. Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh

Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là Cách viết chuẩn của số

sáng. Với máy bay đó trong một năm (giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc

dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ số chắc chắn.

ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học.

a = 98,1456 ± 0, 004 là bao nhiêu ?

Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k trong Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

đó A là số nguyên, k là hàng thấp nhất có chữ số chắc ( k ∈ ℕ ) . Khi Vì Trang 7

Trang 8

Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây. Do đó một năm có 24.365.60.60 = 31536000 giây.

Câu 14: Dạng chuẩn của số gần đúng a biết số người dân tỉnh Lâm Đồng là a = 3214056 với độ chính xác d = 100 người là A. 3214.103 .

Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được

B. 3214000.

C. 3.106 .

D. 32.105 .

31536000.300 = 9,4608. 109 (km). ĐÁP ÁN – Dạng 2.

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Độ dài các cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật là x = 7,8 m ± 2 cm và y = 25, 6 m ± 4 cm .

Cách viết chuẩn của diện tích (sau khi quy tròn) là A. 199 m 2 ± 0,8 m 2 .

B. 199 m 2 ± 1 m 2 .

C. 200 m2 ± 1 m 2 .

3-A

4-C

12-B

13-D

14-A

B. 34 m 2 ± 0,3 m 2 .

C. 34,5 m 2 ± 0,3 m 2 .

D. 34,5 m 2 ± 0,1 m 2 .

B. 4.

C. 3.

D. 2.

B. 2.

C. 3.

9-B

Trong cách ghi thập phân của a , ta bảo chữ số k của a là chữ số đáng tin (hay chữ số chắc) nếu sai số

+ Chữ số k là số chắc thì tất cả các chữ số đứng bên trái k đều là các chữ số chắc ⇒ Các chữ số 1, 0, 8

B. 4.

C. 3.

là các chữ số chắc.Như vậy ta có các chữ số chắc của S là 1, 0,8.

D. 2.

Câu 6. Chọn C.

B. 1, 0, 4.

C. 1, 0, 3, 4.

D. 1, 0, 3.

Ta có

Câu 7: Qua điều tra dân số kết quả thu được số dân tỉnh B là 2 731 425 với sai số ước lượng không quá 200 người. Các chữ số không đáng tin ở các hàng nào? B. Hàng chục .

C. Hàng trăm.

100 1000 nên các chữ số 8 (hàng đơn vị), 5 (hàng chục) và 2 (hàng trăm) đều là = 50 < 300 < 500 = 2 2

các chữ số không chắc. Các chữ số còn lại 1, 0, 3, 4 là chữ số chắc. Do đó cách viết chuẩn của số A là A ≈ 1034.103 (người).

D. Cả A, B, C.

Câu 8: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo a = 192, 55 m với sai số tuyệt đối không vượt quá

Câu 8. Chọn A.

0,3%. Cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a là

Ta có sai số tuyệt đối của số đo chiều dài con dốc là ∆ a = a.δ a ≤ 192, 55.0, 2% = 0, 3851 .

A. 193 m.

B. 192 m.

C. 192,6 m.

D. 190 m.

Vì 0, 05 < ∆ a < 0,5 . Do đó chữ số chắc của d là 1, 9, 2.

Câu 9: Cách viết chuẩn của số a = 98,1456 ± 0, 006 là A. 98,14.

B. 98,1.

C. 98,2.

Câu 10. Chọn A.

D. 98,15.

Câu 10: Dạng chuẩn của số gần đúng a biết a = 1,3462 và sai số tương đối của a bằng 1% là A. 1,3.

B. 1,34.

C. 1,35.

Ta có δ a =

D. 1,346.

B. −567.10−5 .

C. −5, 67.10−4 .

d = 0, 013462 .

D. −0,567.10−3 .

Câu 12: Đường kính của một đồng hồ cát là 8,52 m với độ chính xác đến 1 cm. Dùng giá trị gần đúng của π là 3,14 cách viết chuẩn của chu vi đồng hồ (sau khi quy tròn) là A. 26,6 m.

B. 26,7 m.

C. 26,8 m.

B. 2.

C. 3.

Ta có

0, 01 0,1 = 0, 005 < 0, 013462 < = 0, 05 nên chữ số hàng phần trăm (số 4) không là số chắc, còn chữ 2 2

số hàng phần chục (số 3) là chữ số chắc.

D. Đáp án khác.

Vậy chữ số chắc là 1 và 3.

Câu 13: Số a = 98,1456 ± 0, 004 có bao nhiêu chữ số chắc? A. 1.

∆a suy ra ∆ a = δ a . a = 1%.1,3462 = 0, 013462 . a

Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0,013462 nên ta có thể xem độ chính xác là

Câu 11: Kí hiệu khoa học của số −0, 000567 là A. −567.10−6 .

10-A

0, 06 < 0, 5 ⇒ Chữ số 8 là số chắc. D. 4.

Câu 6: Số dân của một tỉnh là A = 1034258 ± 300 (người). Các chữ số chắc là

A. Hàng đơn vị.

8-A

+ Ta có sai số tuyệt đối bằng 0, 06 > 0, 05 ⇒ Chữ số 5 là số không chắc;

Câu 5: Một hình chữ nhật có diện tích là S = 108, 57 cm 2 ± 0, 06 cm2 .Số các chữ số chắc của S là

A. 1, 0, 3, 4, 5.

7-D

Câu 5. Chọn B.

Câu 4: Số a = 91548624 ± 6000 có bao nhiêu chữ số chắc?

A. 5.

6-C

tuyệt đối ∆ a không vượt quá một nửa đơn vị của hàng có chữ số k .

Câu 3: Cho số gần đúng a = 315496732 ± 2000 . Các chữ số chắc của a là

A. 1.

5-B

Nhắc lại định nghĩa số chắc:

quy tròn) là

A. 5.

2-B

11-C D. 199 m 2 ± 0, 9 m 2 .

Câu 2: Một hình lập phương có cạnh x = 2, 4 m ± 1 cm . Cách viết chuẩn của diện tích toàn phần (sau khi A. 35 m 2 ± 0,3 m 2 .

1-A

Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3.

D. 4.

Câu 11. Chọn C.

Trang 9

Trang 10

Chú ý: Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng α .10n ,1 ≤ α < 10, n ∈ ℤ (quy ước 10− n =

1 ). 10n

Dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó. Câu 12. Chọn B.

Gọi d là đường kính thì d = 8, 52 m ± 1 cm ⇒ 8,51 m ≤ d ≤ 8,53 m . Khi đó chu vi là C = π d và 26, 7214 ≤ C ≤ 26, 7842 ⇒ C = 26, 7528 ± 0, 0314 . Ta có 0, 0314 < 0, 05 =

0,1 nên cách viết chuẩn của chu vi là 26,7. 2

Câu 14. Chọn A.

Ta có

100 1000 = 50 < 100 < = 500 nên chữ số hàng trăm (số 0) không là số chắc, còn chữ số hàng nghìn 2 2

(số 4) là chữ số chắc. Vậy chữ số chắc là 1,2, 3, 4. Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103 .

Trang 11

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 1: HÀM SỐ

Khái niệm về hàm số

Mục tiêu Kiến thức + Trình bày được khái niệm hàm số, hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến, tập xác định của

Ví dụ: y = x 2 .

- Cho hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x

nhận giá trị thuộc tập số D ⊂ ℝ . Khi đó, đại lượng y

được gọi là hàm số của đại lượng x nếu Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi.

hàm số, hàm số chẵn và hàm số lẻ, đồ thị hàm số. + Phát hiện được các vấn đề trong toán học cũng như vấn đề về hàm số được nghiên cứu từ

Với mỗi giá trị của x ∈ D ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y ∈ ℝ.

những bài toán thực tế. + Phát biểu và vận dụng được đièu kiện để điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) ; điều

- Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc công thức.

kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X; điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ) - Khi hàm số được cho bởi công thức y = f ( x ) thì Ví dụ: Hàm hằng y = 2.

trên tập D. Kĩ năng +

biến số x chỉ lấy những giá trị làm cho f ( x ) xác

Biểu diễn được các điểm trên mặt phẳng tọa độ.

+ Tính toán được giá trị của hàm số tại một điểm cho trước, tìm tập xác định. Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn giản, khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng

- Khi x thay đổi mà y luôn nhận giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng.

tọa độ. +

định.

Xét được sự đồng biến, nghịch biến, tính chẵn – lẻ của một số hàm số đơn giản.

Đồ thị của hàm số

Ví dụ: Hàm số y = 2 x − 1 có đồ thị như hình vẽ.

Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D. Đồ thị của hàm số y = f ( x ) là tập hợp tất cả các điểm M ( x0 ; y0 ) trên hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn

x0 ∈ D và y0 ∈ f ( x0 ) .

Sự biến thiên của hàm số

Hàm số đồng biến

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K. - Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . - Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến (hay giảm) Hàm số nghịch biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .

Trang 1

Trang 2

x = x0 vào y = f ( x ) ta được y0 = f ( x0 ) .

Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số y = f ( x ) với tập xác định D.

f (1) .

Ví dụ: Hàm số f ( x ) = 2 + x − 2 − x là hàm

Hướng dẫn giải

số lẻ vì:

Thay x = 1 vào biểu thức của hàm số

Hàm số y = f ( x ) được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi Tập xác định của hàm số là D =  −2; 2  nên   x ∈ D, ta có −x cũng thuộc D và f ( − x ) = f ( x ) .

dễ

Hàm số y = f ( x ) được gọi là hàm lẻ nếu mọi x ∈ D, ta

thấy

∀x ∈  −2;2  ⇒ − x ∈  −2;2 

f (1) = 3 1 − 2 = 1.

và Ví dụ mẫu

f (−x ) = 2 − x − 2 + x = − f ( x )

Ví dụ 1: Cho y = f ( x ) =

có −x cũng thuộc D và f ( − x ) = − f ( x ) .

1 x. Tính các giá trị của biểu thức f ( 0 ) + f ( −6 ) − f ( 2 ) . 2

Hướng dẫn giải Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ

Ví dụ:

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục Đồ thị hàm số chẵn y = x 2 nhận trục Oy làm trục đối xứng. đối xứng.

1 1 1 Ta có f ( 0 ) = .0 = 0, f ( 2 ) = .2 = 1, f ( −6 ) = . ( −6 ) = −3. 2 2 2

Vậy f ( 0 ) + f ( −6 ) − f ( 2 ) = 0 − 3 − 1 = −4. Ví dụ 2: Cho y = f ( x ) = 2 x + 1. Tính các giá trị của biểu thức f f ( 0 ) .

(

)

Hướng dẫn giải Ta có f ( 0 ) = 2.0 + 1 = 1 và f f ( 0 ) = f (1) = 2.1 + 1 = 3.

(

)

Ví dụ 3: Một chất điểm chuyển động biến đổi đều với vận tốc v = 5t + 3 ( cm / s ) , thời gian t ≥ 0 đo bằng giây. Khi đó vận tốc v là hàm số theo biến t. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối

Đồ thị hàm số lẻ y = x + 1 − x − 1 nhận gốc tọa độ

a) Hãy tính các giá trị của v theo các giá trị của t rồi hoàn thành bảng sau t ( s)

xứng. làm tâm đối xứng.

v ( cm / s )

b) Tại thời điểm nào chất điểm đạt vận tốc v = 38 ( cm / s ) . Hướng dẫn giải a) Với mỗi giá trị t ta sẽ xác định được duy nhất một giá trị của v là v = 5t + 3. t ( s)

v ( cm / s )

b) Với v = 38 thì 5t + 3 = 38 ⇔ t = 7. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Vậy chất điểm đạt vận tốc v = 38 ( cm / s ) tại thời diểm t = 7 ( s ) .

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Ví dụ 4:

Phương pháp giải Để tính giá trị của hàm số y = f ( x ) tại x0 , ta thay Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) = 3 x − 2. Tính

Trang 3

a) Cho hàm số f ( x ) = 4 x. Giá trị nào lớn nhất trong các giá trị sau?

Trang 4

A. f ( −1) .

B. f ( 0 ) .

1 C. f   . 2

 3 D. f  −  .  4

Cộng hai đẳng thức (1) và (2) vế với vế, ta thu được −8 f ( 2 ) = 3.

3 Vậy f ( 2 ) = − . 8

b) Cho hàm số g ( x ) = 4 x − 5. Giá trị nào nhỏ nhất trong các giá trị sau? A. g ( −1) .

B. g ( 0 ) .

1 C. g   . 2

Cách 2.

 3 D. g  −  .  4

Thay x bởi

Hướng dẫn giải

1 2 1 thì đẳng thức đề bài trở thành ta có f   + 3 f ( x ) = − 1, ∀x ≠ 0. x x x  

  1 1  f ( x ) + 3 f   = 2 x − 1, ∀x ≠ 0  f ( x ) + 3 f   = 2 x − 1, ∀x ≠ 0 x     x Ta có  ⇒      f 1 + 3 f x = 2 − 1, ∀x ≠ 0 −3 f 1 − 9 f x = 3 − 6 , ∀x ≠ 0 ( ) x ( )       x x  x 

a) Ta có 1  3  3 1 f ( −1) = 4. ( −1) = −4, f ( 0 ) = 4.0 =, f   = 4. = 2, f  −  = 4.  −  = −3. 2 2  4  4 Chọn C.

6 ⇒ −8 f ( x ) = 2 x + 2 − , ∀x ≠ 0. x

1  3  3 1 b) Ta có g ( −1) = 4. ( −1) − 5 = −9, g ( 0 ) = 4.0 − 5 = −5, g   = 4. − 5 = −3, g  −  = 4.  −  − 5 = −8. 2 2  4  4

1 1 3 Từ đó tính được f ( x ) = − x − + , ∀x ≠ 0 4 4 4x

Chọn A. Nhận xét: Từ những tính toán trên ta thấy

1 1 3 3 Vậy f ( 2 ) = − .2 − + =− . 4 4 4.2 8

1 1  3  3 f ( −1) > g ( −1) , f ( 0 ) > g ( 0 ) , f   > g   và f  −  > g  −  . 2 2  4  4

Nhận xét: Về bản chất, cả hai cách làm tương tự nhau. Tuy nhiên cách 1 chỉ tính được giá trị của hàm số

Ta có thể chứng minh được rằng với mọi giá trị x ∈ ℝ thì f ( x ) > g ( x ) .

tại điểm x = 2 , trong khi cách 2 tìm được biểu thức của f ( x ) với mọi x ≠ 0.

 x − 3 khi x ≥ 2 Ví dụ 5. Cho hàm số f ( x ) =  . Giá trị của f ( x ) tại điểm x = 1 bằng 2 x + 1 khi x < 2 A. 3.

B. −2.

C. 5.

Bài tập tự luyện dạng 1

D. 1.

Bài tập cơ bản

Hướng dẫn giải

Câu 1: Biểu đồ dưới đây (trích từ báo Khoa học và Đời sống số 47 ngày 8-11-2002) mô tả số công trình khoa học kĩ thuật đăng kí dự giải thưởng Sáng tạo Khoa học Công nghệ Việt Nam và số công trình đoạt

Vì x = 1 < 2 nên giá trị của f ( x ) tại x = 1 là giá trị của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 tại x = 1.

giải hằng năm từ 1995 đến 2001. Gọi f ( x ) là tỉ số giữa số công trình đoạt giải thưởng trên tổng số công

Khi đó f (1) = 2.1 + 1 = 3.

trình tham dự giải thưởng của năm x. Ta có hàm số

Chọn A.

y = f (x)

với tập xác định là

D = {1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001} . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1 Ví dụ 6. Cho y = f ( x ) xác định trên ℝ và thỏa mãn f ( x ) + 3 f   = 2 x − 1, ∀x ≠ 0. Tính f ( 2 ) . x Hướng dẫn giải Cách 1. Thay x = 2 vào đẳng thức đề bài, ta có

1 f ( 2 ) + 3 f   = 3. 2 Thay x =

(1)

1 vào đẳng thứ đề bài, ta có 2

1 1 f   + 3 f ( 2 ) = 0 ⇔ −9 f ( 2 ) − 3 f   = 0. 2 2

(2) Trang 5

Trang 6

Phương pháp giải Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) khi Ví dụ: Xét hàm số y = f ( x ) = 3 x 2 − 1. và chỉ khi f ( x0 ) = y0 .

- Với điểm M ( 0;1) , ta có f ( 0 ) = 3.02 − 1 = −1 ≠ 1 nên điểm M không thuộc đồ thị hàm số y = 3 x 2 − 1. - Với điểm N (1;2 ) , ta có f (1) = 3.12 − 1 = 2 nên điểm N thuộc đồ thị hàm số y = 3x 2 − 1.

Ví dụ mẫu A. f (1995) =

10 . 39

B. f (1996 ) =

17 . 43

C. f (1999 ) =

23 . 56

D. f ( 2001) =

43 . 141

Câu 2: Cho hàm số f ( x ) = x 2 + x − 3. Giá trị nào lớn nhất trong các giá trị sau? A. f (1) .

B. f ( −1) .

C. f ( 3) .

a) Biểu diễn các điểm M, N, P trên mặt phẳng tọa độ.

D. f ( 0 ) .

b) Trong các điểm M, N, P điểm nào thuộc đồ thị hàm số y =

Câu 3: Cho hàm số f ( x ) = x + x − 3. Giá trị của f f ( 4 ) bằng

(

A. 4.

B. 5.

)

C. 5 + 2.

1  Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho các điểm M (1; −1) , N ( −2;5) , P  ;1 . 2 

x . 1− x

Hướng dẫn giải D. 5 − 2.

a) Biểu diễn lần lượt các điểm đã cho trên mặt phẳng tọa độ ta được hình vẽ dưới đây.

Câu 4: Cho hàm số f ( x ) = 2 x 2 + ax + b (với a,b là tham số) thỏa mãn f ( 2 ) = 11, f ( 3) = −7. Giá trị của 5a + 2b bằng

A. −22.

B. 22.

C. 4.

D. −26.

Câu 5: Cho hàm số y = 4 x − 5 với x ∈ ℤ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để −3 < y ≤ 10 ? A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 2.

Câu 6: Một chất điểm chuyển động chậm dần đều với vận tốc v = 16 − 2t ( cm / s ) , thời gian t đo bằng giây. Tại thời điểm nào chất điểm đạt vận tốc 6 ( cm / s ) ? A. t = 10 ( s ) .

B. t = 4 ( s ) .

C. t = 5 ( s ) .

D. t = 2 ( s ) .

Bài tập nâng cao   5   x − 3 khi x ≥ 2 Câu 7: Cho hàm số f ( x ) =  . Giá trị của f  f    bằng x khi x 2 + 1 < 2    2 

A. 0.

B. 2,5.

C. 0,5.

b) Vì x = 1 không thuộc tập xác định của hàm số y = D. 3.

1 Câu 8: Cho hàm số f ( x ) có tập xác định là ℝ \ {0} và thỏa mãn f ( x ) + 2 f   = x , ∀x ≠ 0. Giá trị của x

x . 1− x

Vì y ( −2 ) =

f ( −4 ) bằng

3 A. − . 2

1 B. − . 3

2 . 3

7 . 6

x nên điểm M (1; −1) không thuộc đồ thị hàm số 1− x

−2 2 x = − ≠ 5 nên N ( −2;5) không thuộc đồ thị hàm số y = . 3 1− x 1 − ( −2 )

1 1 1  x Vì y   = 2 = 1 nên P  ;1 thuộc đồ thị hàm số y = . 1− x  2  1− 1 2  2

Dạng 2: Đồ thị của hàm số Trang 7

Trang 8

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y = 1 − x + 3 cắt trục hoành tại điểm A và cắt trục tung tại điểm B. Tính diện tích

Xét phương trình mx − 3 = 2 x + 1 ⇔ ( m − 2 ) x − 4 = 0.

tam giác OAB.

Đồ thị ( d1 ) và ( d2 ) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm, điều này xảy ra khi

Hướng dẫn giải

m ≠ 2.

(1)

Xét phương trình 1 − x + 3 = 0 ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x = −2.

Chọn B.

Đồ thị hàm số y = 1 − x + 3 cắt trục hoành tại điểm A ( −2; 0 ) .

Ví dụ 5. Cho hàm số y = ( m − 1) x + 2m + 1 biến x và tham số m. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn

(

)

đi qua với mọi giá trị của m.

Với x = 0 thì y = 1 − 3 nên đồ thị hàm số y = 1 − x + 3 cắt trục tung tại điểm B 0;1 − 3 .

Hướng dẫn giải Ta có OA = 2, OB = 3 − 1 , tam giác OAB vuông tại đỉnh O nên có diện tích là

1 1 S = .OA.OB = .2 2 2

(

Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( m − 1) x + 2m + 1 luôn đi qua với mọi m. Khi

)

3 − 1 = 3 − 1 (đvdt).

đó y0 = ( m − 1) x0 + 2m + 1, ∀m ∈ ℝ

Nhận xét: Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) . - Nếu phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm x = x0 thì M ( x 0 ; 0 ) là điểm chung của đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hoành. - Nếu số 0 thuộc tập xác định của hàm số y = f ( x ) thì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm N 0; f ( 0 ) .

(

)

- Hai đồ thị của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có k điểm chung phân biệt khi và chỉ khi phương trình

f ( x ) = g ( x ) có k nghiệm phân biệt.

⇔ mx0 − x0 + 2m + 1 − y0 = 0, ∀m ∈ ℝ ⇔ ( x 0 + 2 ) m + (1 − x0 − y0 ) = 0, ∀m ∈ ℝ

 x + 2 = 0  x = −2 ⇔ 0 ⇔ 0 . − x − y = 1 0   y0 = 3 0 0

Vậy M ( −2;3) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( m − 1) x + 2m + 1 luôn đi qua với mọi m. Nhận xét:

Độ dài đoạn thẳng AB được tính theo công thức AB =

- Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) khi và chỉ khi y0 = f ( x0 ) .

− x A ) + ( yB − y A ) .

Ví dụ 3. Cho hàm số y = ( m − 1) x + 2m + 1 ẩn x và m là tham số. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

- Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x , m ) với mọi m khi và chỉ khi y0 = f ( x 0 , m ) , ∀m ∈ ℝ. - Ta có A.m + B = 0, ∀m ∈ ℝ khi và chỉ khi A = B = 0 .

đi qua điểm M ( 2; −1) ?

Tương tự A. m = 1.

B. m = −1.

C. m = 0.

1 D. m = − . 2

A.m 2 + B.m + C = 0, ∀m ∈ ℝ khi và chỉ khi A = B = C = 0.

Hướng dẫn giải Bài tập tự luyện dạng 2

Đồ thị hàm số y = ( m − 1) x + 2m + 1 đi qua điểm M ( 2; −1) khi và chỉ khi

Bài tập cơ bản

−1 = ( m − 1) .2 + 2m + 1 ⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0.

Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị không đi qua điểm A ( −2;3) ?

Chọn C. Ví dụ 4. Cho hai hàm số y = mx − 3, y = 2 x + 1 , biến x và m là tham số, có đồ thị lần lượt là ( d1 ) , ( d2 ) .

B. m ≠ 2.

C. m ≠ 0.

B. y = x + 11.

C. y =

x −1 . x +1

D. y = x 3 + x 2 + 7.

Câu 2: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = f ( x ) = ( m + 1) x − 3 đi qua điểm M ( 5; −1) ?

Với điều kiện nào của m thì hai đồ thị ( d1 ) , ( d2 ) có điểm chung? A. m ≠ 2, m ≠ −3.

A. y = − x 2 + x − 1.

2 A. m = − . 5

D. m = 2.

Hướng dẫn giải

1 B. m = − . 5

2 C. m = . 5

3 D. m = − . 5

Câu 3: Hàm số nào sau đây có đồ thị không cắt đồ thị hàm số y = 2 x 2 − x − 1? Trang 9

Trang 10

A. y = x + 3. Câu 4: Cho hàm số y =

B. y = −2 x + 2.

C. y = − x − 5.

D. y = 2 x.

Câu 12: Cho hàm số y = ( 2m − 1) x + m + 4 với x là biến số, m là tham số. Biết rằng với mọi m đồ thị hàm

x + 9 . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = 5 tại hai điểm phân biệt A, B.

số luôn đi qua một điểm cố định A ( x 0 ; y0 ) . Giá trị x02 + y02 bằng

Độ dài đoạn AB là A. AB = 23.

B. AB = 16.

C. AB = 35.

D. AB = 32.

41 . 2

B. 4.

C. 20.

D. 5.

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) = x 2 − 4 . Đường thẳng nào sau đây cắt đồ thị hàm số đã cho tại nhiều điểm Dạng 3: Tìm tập xác định của một hàm số

nhất? A. y = 12.

B. y = 5.

C. y = −3.

Phương pháp giải

D. y = 2.

Sử dụng giả thiết này cho các câu 6, 7 và 8: Trong hệ tọa độ Oxy, cho đồ thị của hai hàm số y =

1 x và 3

1 y = −3 x. Đường thẳng y = 2 lần lượt cắt các đường thẳng y = x và y = −3 x tại các điểm A, B. 3

Xét hàm số cho bởi công thức y = f ( x ) . Tập xác Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số y = 1 − x là tập định của hàm số là tập các giá trị của biến x để biểu hợp tất cả các giá trị của x để biểu thức thức f ( x ) xác định.

Câu 6: Tọa độ các giao điểm A, B là 2   2  A. A  ; 2  , B ( −6; 2 ) . B. A  − ;2  , B ( 6; 2 ) . 3    3 

2  C. A ( −6;2 ) , B  ;2  . 3 

 2  D. A ( 6; 2 ) , B  − ; 2  .  3 

B. 15,09.

C. 15,43.

D. 15,51.

Câu 8: Diện tích tam giác OAB bằng A. 15 (đvdt).

B. 6 2 (đvdt).

20 (đvdt). 3

17 3 (đvdt). 5

Câu 9: Đồ thị hàm số y = x 2 − x − 6 cắt trục hoành tại hai điểm A và B, cắt trục tung tại điểm C. Diện tích tam giác ABC bằng A. 30 (đvdt).

B. 15 (đvdt).

C. 9 (đvdt).

D. 24 (đvdt).

M (1; −2 ) , N ( 0;3) . Khẳng định nào sau đây sai?

D = ( A1 ∩ B1 ) ∪ ( A2 ∩ B2 ) .

10 3 + = 1. a b

Bài tập nâng cao

Câu 11: Đồ thị hàm số y = ( 3 − m ) x + m − 1 (với x là biến, m là tham số) luôn đi qua một điểm cố định A ( x 0 ; y0 ) với mọi m. Hỏi điểm A ( x0 ; y0 ) thuộc góc phần tư thứ mấy?

B. Góc phần tư thứ hai. D. Góc phần tư thứ tư.

là B2 = ℝ \ {2; −2} . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ( A1 ∩ B1 ) ∪ ( A2 ∩ B2 )

Lưu ý:

C. a2 + b2 = 34.

A. Góc phần tư thứ nhất.

là D = ( −∞;1].

 1 − x khi x ≥ 0  Ví dụ 2: Xét hàm số y =  1 , ở đó khi x < 0  f ( x ) khi x ∈ A1  2 x −4 y= , ở đó A1 , A2 là các tập con  g ( x ) khi x ∈ A2 A1 = [ 0; +∞ ) và A2 = ( −∞; 0 ) . Tạp xác giá trị của x khác rỗng của ℝ và A1 ∩ A2 = ∅ . để biểu thức 1 − x xác định là B1 = ( −∞;1]. Gọi B1 , B2 lần lượt là tập các giá trị của x để 1 Tập các giá trị của x để biểu thức 2 xác định f ( x ) , g ( x ) xác định. x −4

C. Góc phần tư thứ ba.

⇔ x ≤ 1 . Vậy tập xác định của hàm số y = 1 − x

= [ 0;1] ∪ ( −∞; 0 ) \ {−2} = ( −∞;1] \ {−2} .

3 đơn vị. 5

B. Điểm B ( −1;8) thuộc đồ thị hàm số.

}

D = x ∈ ℝ f ( x ) xaù c ñònh

Tập xác định của hàm số đã cho là

Câu 10: Cho hàm số y = ax + b (với a, b là các hằng số) có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm

A. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm cách gốc tọa độ

định. Đó là tập các giá trị của x để 1 − x ≥ 0

Xét hàm số cho bởi nhiều công thức, chẳng hạn

Câu 7: Chu vi tam giác OAB (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) bằng A. 15,10.

{

1 − x xác

1 xác định khi f ( x ) xác định và nhận giá trị khác 0. f ( x)

f ( x ) xác định khi f ( x ) xác định và nhận giá trị không âm. 1

f ( x)

xác định khi f ( x ) xác định và nhận giá trị dương.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây. a) y =

2x +1 . x−3

b) y =

2011 . x2 − 5x + 6

Hướng dẫn giải Trang 11

Trang 12

a) Biểu thức

Vậy hàm số y = b) Biểu thức

x + 4 > 0  x > −4 Trường hợp 1:  ⇔ ⇔ −4 < x < 1. 1 − x > 0  x < 1

2x +1 xác định khi x − 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3. x −3 2x +1 có tập xác định là D = ℝ \ {3} hay có thể viết ở dạng D = ( −∞;3) ∪ ( 3; +∞ ) . x−3

2011 xác định khi x 2 − 5 x + 6 ≠ 0 ⇔ ( x − 2 )( x − 3) ≠ 0 x2 − 5 x + 6

Vậy 4 − 3x − x 2 > 0 ⇔ −4 < x < 1.

x ≠ 3 ⇔ . x ≠ 2

Vậy hàm số y =

x + 4 < 0  x < −4 Trường hợp 2:  (hệ này vô nghiệm). ⇔ 1 − x < 0 x > 1

Ví dụ 3. Tùy theo giá trị của tham số m hãy tìm tập xác định của hàm số y = Hướng dẫn giải

2011 có tập xác định là D = ℝ \ {3; 2} hay D = ( −∞; 2 ) ∪ ( 2;3) ∪ ( 3; +∞ ) . x2 − 5x + 6

Điều kiện để biểu thức

Chú ý: Với các số thực a, b ta có

a ≠ 0 2) a.b ≠ 0 ⇔  . b ≠ 0

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây.

a) y = 2 x − 3. 1 4 − 3x − x 2

- Nếu m > 0 thì (1) ⇔ mx > −5 ⇔ x > −

5  5  . Khi đó tập xác định của hàm số là D =  − ; +∞  . m  m 

- Nếu m < 0 thì (1) ⇔ mx > −5 ⇔ x < −

5 5  . Khi đó tập xác định của hàm số là D =  −∞; −  . m m 

Kết luận

b) y =

x +1 + 2 . 2− x

Giá trị của m

Hướng dẫn giải a) Biểu thức

3 xác định là mx + 5 > 0 (1). Bây giờ ta sẽ xét các khả năng của m. mx + 5

- Nếu m = 0 thì (1) trở thành 5 > 0 (luôn đúng). Khi đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

a = 0 1) a.b = 0 ⇔  . b = 0

c) y =

3 2 x − 3 xác định khi 2 x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ . 2

x +1 + 2 xác định khi 2− x

Vậy hàm số y = c) Biểu thức

D=ℝ

m>0

 5  D =  − ; +∞   m 

m<0

5  D =  −∞; −  m  

4 − 3x − x 2

Vậy hàm số y =

Nếu a > 0 thì ax + b > 0 ⇔ ax > −b b ⇔x>− . a

Nếu a < 0 thì ax + b > 0 ⇔ ax > −b

xác định khi 4 − 3x − x 2 > 0 ⇔ −4 < x < 1.

1 4 − 3x − x 2

3 mx + 5

Chú ý:

x +1 ≥ 0  x ≥ −1 ⇔ .  2 − x ≠ 0 x ≠ 2

x +1 + 2 có tập xác định là D = [ −1; +∞ ) \ {2} , hay D = [ −1; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . 2− x 1

Tập xác định của hàm số y =

m=0

3  Vậy hàm số y = 2 x − 3 có tập xác định là D =  ; +∞  . 2  b) Biểu thức

3 . mx + 5

b ⇔ x<− . a

có tập xác định là D = ( −4;1) .

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y =

Chú ý: Học sinh chưa học về bất phương trình bậc hai thì có thể giải bất phương trình 4 − 3x − x 2 > 0

Hướng dẫn giải

bằng cách đưa về bất phương trình tích

Hàm số y =

4 − 3x − x > 0 ⇔ ( x + 4 )(1 − x ) > 0.

Trang 13

m2 + 1 có tập xác định là ℝ. mx + 2mx + m + 3 2

m2 + 1 có tập xác định là ℝ khi và chỉ khi mx + 2mx + m + 3 2

Trang 14

mx 2 + 2mx + m + 3 ≠ 0 với mọi x ∈ ℝ , 2

Tức là phương trình mx + 2mx + m + 3 = 0 (1) vô nghiệm. - Nếu m = 0 thì (1) trở thành 3 = 0 (vô nghiệm). Do đó m = 0 là một giá trị cần tìm. - Nếu m ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai ẩn x có biệt thức thu gọn ∆′ = m 2 − m ( m + 3) = −3m , nên (1)

 1 A. ℝ \ −  .  3

1  1   B.  −∞; −  ∪  − ; +∞  . 3  3  

1  C. ℝ \   . 3

1   1 1  1   D.  −∞; −  ∪  − ;  ∪  ; +∞  . 3   3 3  3  

Bài tập nâng cao Câu 5: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

vô nghiệm khi và chỉ khi −3m < 0 ⇔ m > 0 (thỏa mãn m ≠ 0 ).

A. m < 3.

Từ hai trường hợp trên suy ra m ≥ 0 thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

B. m > 3.

1 có tập xác định D = ℝ là x 2 − 2mx + m 2 − 2m + 6

C. m < −3.

D. m > −3.

x −1  khi x ≥ 3  2  − x + 7 x − 12 là Câu 6: Tập xác định của hàm số y =   x −1 + 1 khi x < 3  5− x

Chú ý: Ở ví dụ này, học sinh thường bị thiếu trường hợp m = 0.

 3− x khi x ≥ −4  Ví dụ 5. Tìm tập xác định của hàm số y =  x + 1 − 2 .  −5 − x khi x < −4 

A. [1; 4 ) .

B. [1;3) ∪ ( 3; 4 ) .

C. (1;3) ∪ ( 3; 4].

D. [1; 4].

Hướng dẫn giải

Với x < −4 hàm số trở thành y = −5 − x xác định khi

Dạng 4: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

 x < −4  x < −4 ⇔ ⇔ x ≤ −5.  − 5 − x ≥ 0   x ≤ −5 Với x ≥ −4 hàm số trở thành y =

Phương pháp giải Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ta Ví dụ: Xét hàm số f ( x ) = x + 1 trên [ −1; +∞ ) . Với thực hiện theo một trong các cách sau đây: mọi x1 > x2 ≥ −1 , ta có hiệu Cách 1. Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định H = f ( x1 ) − f ( x2 ) = x1 + 1 − x2 + 1 là D. Gọi X là tập con có ít nhất hai phần tử của x1 − x2 = > 0, D. x1 + 1 + x2 + 1 Bước 1. Xét hiệu H = f ( x1 ) − f ( x2 ) , Nên hàm số f ( x ) = x + 1 đồng biến trên [ −1; +∞ ) . Với mọi x1 , x2 ∈ X , x1 > x2 .

3− x xác định khi x +1 − 2

 x ≥ −4  x ≥ −4  x ≥ −1   + ≥ ⇔ x 1 0 .   x ≥ −1 ⇔  x ≠ 3  x +1 ≠ 4   x +1 ≠ 2 Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D = ( −∞; −5] ∪ [ −1; +∞ ) \ {3} . Bài tập tự luyện dạng 3

Bước 2: So sánh

Bài tập cơ bản Câu 1: Tập xác định của hàm số y = 2 − x + A. (1; 2 ) .

B. (1; 2] .

Câu 2: Tập xác định của hàm số y = A. ℝ.

- Nếu H > 0, ∀x1 , x2 ∈ X , x1 > x2 , thì hàm số

1 là x −1 C. [1; 2 ) .

f ( x ) đồng biến trên X. D. [1; 2].

- Nếu H < 0, ∀x1 , x2 ∈ X , x1 > x2 , thì hàm số Ví dụ: Xét hàm số f ( x ) = − x 3 trên ℝ.

x+2 x−2 là − x−2 x+2

B. ( 2; +∞ ) .

f ( x ) nghịch biến trên X. C. ( −2; 2 ) .

Cách 2. Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định

D. ℝ \ {±2} .

là D. Gọi X là tập con có ít nhất hai phần tử của

Câu 3: Tập xác định của hàm số y = 2 − x là A. [ 2; +∞ ) .

B. ℝ \ {2} .

∀x1 , x2 ∈ ℝ, x1 ≠ x2 , ta có

C. ( −∞; 2 ) .

D. ( −∞; 2].

Bước 1. Xét thương T =

2019 Câu 4: Tập nào sau đây không phải là tập xác định của hàm số y = ? 3x + 1

f ( x1 ) − f ( x2 ) , với x1 − x2

f ( x1 ) − f ( x2 ) x1 − x2

(−x ) − (−x ) = − 3 1

x1 − x2

3 2

2 1

+ x1 x2 + x22 )

2  1  3  = −  x1 + x2  + x22  < 0∀x1 , x2 ∈ ℝ, x1 ≠ x2 . 2  4  

Vậy hàm số f ( x ) = − x 3 nghịch biến trên ℝ.

mọi x1 , x2 thuộc X , x1 ≠ x2 .

Trang 15

Trang 16

Bước 2. So sánh

Ví dụ 2: Cho hàm số y =

- Nếu T > 0, ∀x1 , x2 ∈ X , x ≠ x2 , thì hàm số

x −1  3 với x ∈ ℝ \ −  . Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2x + 3  2

xác định.

f ( x ) đồng biến trên X.

Hướng dẫn giải

- Nếu T < 0, ∀x1 , x2 ∈ X , x1 ≠ x2 , thì hàm số

3 ∀x1 , x2 ≠ − ; x1 ≠ x2 , ta xét thương 2

f ( x ) nghịch biến trên X.

 x −1 x −1  5 T = 1 − 2 .  : ( x1 − x2 ) = ( 2 x1 + 3)( 2 x2 + 3)  2 x1 + 3 2 x2 + 3 

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y = −2 x + 3.

Với mọi x1 , x2 > −

x −1 3  3  và x1 ≠ x2 thì T > 0 nên hàm số y = đồng biến trên khoảng  − ; +∞  . 2 2x + 3  2 

Với mọi x1 , x2 < −

x −1 3 và x1 ≠ x2 thì T > 0 nên hàm số y = đồng biến trên khoảng 2 2x + 3

a) Tính các giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào bảng sau x

−2,5

−2

−1,5

−1

−0, 5

0,5

1,5

y = −2 x + 3

3  3   Vậy hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  −∞; −  ,  − ; +∞  . 2  2  

b) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho trên ℝ. Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) xác định và nghịch biến trên ℝ.

a) Để tính các giá trị của y ta lần lượt thay những giá trị đã cho của x vào hàm số y = −2 x + 3.

( (

))

Giả sử f − f − f ( − f ( 4 ) ) = −4 . Tính f ( 4 ) .

Cũng có thể sử dụng chức năng TABLE trong máy tính Casio fx-570ES để tính. Ta có bảng kết quả sau:

Hướng dẫn giải

−2,5

−2

−1,5

−1

−0,5

0,5

1,5

y = −2 x + 3

−1

b) Ta chứng minh hàm số y = f ( x ) = −2 x + 3 nghịch biến trên ℝ.

Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ , ta luôn có f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇔ x1 > x2 . Khi đó - Nếu f ( 4 ) > −4 thì − f ( 4 ) < 4 ⇒ f ( − f ( 4 ) ) > −4 hay − f ( − f ( 4 ) ) < 4

(

)

(

)

⇒ f − f ( − f ( 4 ) ) > f ( 4 ) > −4 ⇒ − f − f ( − f ( 4 ) ) < 4.

Cách 1. Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ, x1 > x2 , ta có

( (

))

( (

))

⇒ f − f − f ( − f ( 4 ) ) > f ( 4 ) > −4 (mâu thuẫn với f − f − f ( − f ( 4 ) ) = −4 ).

H = f ( x1 ) − f ( x2 ) = ( −2 x1 + 3) − ( −2 x2 + 3) = −2 ( x1 − x2 ) < 0. Vậy hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên ℝ.

Tương tự, nếu f ( 4 ) < −4 thì

Cách 2. Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ, x1 ≠ x2 , ta có

− f ( 4 ) > 4 ⇒ − f ( − f ( 4 ) ) > −4 ⇒ − f ( − f ( 4 ) ) > 4 ⇒ − f − f ( − f ( 4 ) ) > 4

f ( x1 ) − f ( x2 ) x1 − x2

3   −∞; −  . 2 

(

( −2 x1 + 3) − ( −2 x2 + 3) = −2 < 0, ∀x , x = x1 − x2

( (

∈ ℝ, x1 ≠ x2 .

))

( (

)

))

⇒ f − f − f ( − f ( 4 ) ) < f ( 4 ) < −4 (mâu thuẫn với f − f − f ( − f ( 4 ) ) = −4 )

( (

Vậy hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên ℝ.

))

- Nếu f ( 4 ) = −4 thì đẳng thức f − f − f ( − f ( 4 ) ) = −4 được thỏa mãn.

Chú ý: Bảng biến thiên của hàm số y = −2 x + 3 như sau

Vậy f ( 4 ) = −4.

Ví dụ 4. Xét hàm số y = f ( x ) = x 2 − 4 x + 1 xác định trên ℝ . a) Chứng minh hàm số f ( x ) đồng biến trên [ 2; +∞ ) và nghịch biến trên ( −∞; 2]. b) Chứng minh rằng trên ℝ hàm số f ( x ) không phải hàm đồng biến, cũng không phải hàm nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Trang 17

Trang 18

a) Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ, x1 ≠ x2 , ta xét thương T=

f ( x1 ) − f ( x2 ) x1 + x2

2 1

B. m < 2.

A. m = 0.

− 4 x1 + 1) − ( x22 − 4 x2 + 1)

x1 − x2

2 C. m < . 3

2 D. m > . 3

Câu 4: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ. Xét các khẳng định sau:

= x1 + x2 − 4.

(1) Nếu hàm f ( x ) đồng biến trên ℝ thì ( f ( a ) − f ( b ) ) ( a − b ) ≥ 0, ∀a, b ∈ ℝ.

- Nếu x1 , x2 ≥ 2, x1 ≠ x2 thì trong hai số x1 , x2 có ít nhất một số lớn hơn 2 và x1 + x2 > 4

f ( a ) − f (b)

≥ 0, ∀a, b ∈ ℝ, a ≠ b thì hàm f ( x ) đồng biến trên ℝ.

⇒ T > 0, ∀x1 , x2 ∈ [ 2; +∞ ) , x1 ≠ x2 .

(2) Nếu

Vậy f ( x ) đồng biến trên [ 2; +∞ ) .

(3) Nếu ( f ( a ) − f ( b ) ) ( a − b ) < 0, ∀a, b ∈ ℝ, a ≠ b thì hàm f ( x ) nghịch biến trên ℝ.

- Nếu x1 , x2 ≤ 2, x1 ≠ x2 thì trong hai số x1 , x2 có ít nhất một số nhỏ hơn 2 và

(4) Nếu hàm f ( x ) nghịch biến trên ℝ thì f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) , ∀a, b, c ∈ ℝ, a < b < c.

x1 + x2 < 4 ⇒ T < 0, ∀x1 , x2 ∈ ( −∞; 2] , x1 ≠ x2 .

Số khẳng định đúng là

a−b

A. 1.

Vậy f ( x ) nghịch biến trên ( −∞; 2].

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 5: Cho hàm số f ( x ) xác định trên đoạn [ a; b ] , a < b . Xét các khẳng định sau:

b) Giả sử f ( x ) đồng biến trên ℝ . Khi đó, với mọi x1 , x2 ∈ ℝ, x1 > x2 , thì f ( x1 ) > f ( x2 ) .

(1) Nếu hàm f ( x ) nghịch biến trên [ a; b ] thì ( f ( x1 ) − f ( x2 ) ) ( x1 − x2 ) ≤ 0, ∀x1 , x2 ∈ [ a; b ] , x1 ≠ x2 .

Suy ra f (1) > f ( 0 ) . Tuy nhiên, điều này không xảy ra vì f (1) = −2, f ( 0 ) = 1.

(2) Nếu ( f ( x1 ) − f ( x2 ) ) ( x1 − x2 ) ≤ 0, ∀x1 , x2 ∈ [ a, b ] , x1 ≠ x2 , thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên [ a; b] .

Vậy hàm số f ( x ) không phải hàm đồng biến trên ℝ.

(3) Nếu f ( a ) < f ( c ) < f ( b ) , ∀c ∈ ( a; b ) , thì hàm f ( x ) đồng biến trên [ a; b ] .

Giả sử f ( x ) nghịch biến trên ℝ. Khi đó, với mọi x1 , x2 ∈ ℝ, x1 > x2 , thì f ( x1 ) < f ( x2 ) .

(4) Nếu hàm f ( x ) đồng biến trên ℝ thì f ( a ) < f ( c ) < f ( b ) , ∀c ∈ ( a; b ) . Những khẳng định sai là

Suy ra f ( 3) < f ( 2 ) . Tuy nhiên, điều này không xảy ra vì f ( 3) = −2, f ( 2 ) = −3.

A. (2), (3).

Vậy hàm số f ( x ) không phải hàm nghịch biến trên ℝ.

B. (1), (2).

C. (1), (3).

D. (2), (4).

Câu 6: Cho hàm số y = x m + 2019 + m với x là biến số, m là tham số. Khẳng định nào sau đây đúng? 2

Chú ý: Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) = x 2 − 4 x + 1 như sau

A. Nếu m > 0 thì hàm số đồng biến trên ℝ , nếu m < 0 thì hàm số nghịch biến trên ℝ. B. Nếu m > 0 thì hàm số nghịch biến trên ℝ , nếu m < 0 thì hàm số đồng biến trên ℝ. C. Với mọi m hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. D. Với mọi m hàm số luôn đồng biến trên ℝ.

(

)

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) xác định và đồng biến trên ℝ, thỏa mãn f f ( f ( 3) ) = 3. Giá trị của f ( 3) Bài tập tự luyện dạng 4

bằng

A. 3.

Bài tập cơ bản

A. 4.

A. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên ℝ thì ∀x1 , x2 ∈ ℝ, x1 ≤ x2 ta có f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) .

B. 3.

C. 5.

D. 6.

Câu 9: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định trên ℝ. Những khẳng định nào sau đây đúng?

C. Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến trên ℝ thì ∀x1 , x2 ∈ ℝ , x1 ≤ x2 ta có f ( x1 ) > f ( x2 ) .

(1) Nếu f ( x ) và g ( x ) đồng biến trên ℝ thì hàm f ( g ( x ) ) cũng đồng biến trên ℝ.

D. Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến trên ℝ thì ∀x1 , x2 ∈ ℝ, x1 < x2 ta có f ( x1 ) > f ( x2 ) .

(2) Nếu f ( x ) và g ( x ) nghịch biến trên ℝ thì hàm f ( g ( x ) ) cũng nghịch biến trên ℝ.

Câu 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ? C. y = 4 + x.

D. 4.

Bài tập nâng cao

B. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên ℝ thì ∀x1 , x2 ∈ ℝ, x1 < x2 ta có f ( x1 ) < f ( x2 ) .

B. y = −2 x − 2.

C. 7.

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y = ( 2m − 7 ) x − 1 nghịch biến trên ℝ ?

Câu 1: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ. Khẳng định nào sau đây sai?

A. y = −2 x + 3.

B. 8.

(3) Nếu f ( x ) đồng biến và g ( x ) nghịch biến trên ℝ thì hàm f ( g ( x ) ) nghịch biến trên ℝ.

D. y = −6 x + 1.

A. (1), (3).

Câu 3: Giá trị của m để hàm số y = ( 3m − 2 ) x + 2020 nghịch biến trên ℝ là

B. (2), (3).

C. (1), (2).

D. (1), (2), (3).

Câu 10: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định trên ℝ. Khẳng định nào sau đây sai? Trang 19

Trang 20

A. Nếu các hàm f ( x ) , g ( x ) đồng biến trên ℝ thì hàm f ( x ) + g ( x ) cũng đồng biến trên ℝ.

Hướng dẫn giải

B. Nếu các hàm f ( x ) , g ( x ) nghịch biến trên ℝ thì hàm f ( x ) + g ( x ) cũng nghịch biến trên ℝ.

a) Hàm số y =

C. Nếu hàm f ( x ) đồng biến trên ℝ , hàm g ( x ) nghịch biến trên ℝ thì hàm f ( x ) − g ( x ) đồng biến

x−4 x−4 có tập xác định là D = ℝ \ {−1} . Ta thấy 1 ∈ D nhưng −1 ∉ D nên hàm số y = x +1 x +1

không phải là hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên D = ℝ \ {−1} .

trên ℝ.

D. Nếu hàm f ( x ) nghịch biến trên ℝ , hàm g ( x ) đồng biến trên ℝ thì hàm số f ( x ) − g ( x ) đồng

b) Hàm số y = f ( x ) = 4 x − 1 có tập xác định là D = ℝ và ∀x ∈ ℝ đều có − x ∈ ℝ . Vì f ( x ) = 4 x − 1 và f ( − x ) = −4 x − 1 nên f ( − x ) ≠ f ( x ) , ∀x ≠ 0 , đồng thời f ( − x ) ≠ − f ( x ) , ∀x ∈ ℝ.

biến trên ℝ.

Vậy hàm số y = f ( x ) = 4 x − 1 không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên D = ℝ.

Dạng 5: Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

c) Hàm số y = f ( x ) = x + 1 + x − 1 có tập xác định là D = ℝ và ∀x ∈ ℝ thì − x ∈ ℝ.

Phương pháp giải Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y = f ( x ) xác định Ví dụ 1: Hàm số f ( x ) = x có tập xác định

Ta có f ( − x ) = − x + 1 + − x − 1 = x − 1 + x + 1 = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ.

trên tập D.

D = [ 0; +∞ ) không phải tập đối xứng nên đây

Vậy hàm số y = f ( x ) = x + 1 + x − 1 là hàm chẵn trên D = ℝ.

- Nếu tồn tại x0 ∈ D để − x0 ∉ D thì kết luận hàm

không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ.

d) Hàm số y = f ( x ) =

f ( x ) không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm Ví dụ 2: Hàm số f ( x ) = 2 x lẻ trên D.

có tập xác định Ta có f ( − x ) =

D = ℝ là tập đối xứng và có

- Trường hợp ∀x ∈ D ta đều có − x ∈ D (ta gọi tập

D trong trường hợp này là tập đối xứng) + Tính f ( − x ) và so sánh với f ( x ) . + Nếu f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D, thì f ( x ) là hàm

+ Nếu tồn tại x0 ∈ D để f ( − x0 ) ≠ ± f ( x0 ) thì

f ( x ) không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm

Ví dụ 3: Hàm số f ( x ) = 2 x có tập xác định

Nên đây là hàm số lẻ.

Nếu hàm số y = f ( x ) vừa là hàm chẵn vừa là hàm lẻ trên D thì f ( x ) = 0, ∀x ∈ D.

Ví dụ 4: Hàm số f ( x ) = x + 2 tuy có tập xác định

Ví dụ 2: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = f ( x ) = ( 2m − 1) x + m + 3 (ẩn x) là hàm chẵn, hàm

D = ℝ là tập đối xứng, nhưng do

lẻ trên ℝ.

f ( − x ) = − x + 2 ≠ x + 2 = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ, x ≠ 0,

Hướng dẫn giải Hàm số y = f ( x ) = ( 2m − 1) x + m + 3 là hàm chẵn trên ℝ khi và chỉ khi f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ.

Nên dây không phải hàm chẵn và không phải hàm

⇔ − ( 2m − 1) x + m + 3 = ( 2m − 1) x + m + 3, ∀x ∈ ℝ

số lẻ.

⇔ 2 ( 2m − 1) x = 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 2 ( 2m − 1) = 0

Ví dụ mẫu

1 ⇔m= . 2

Ví dụ 1. Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó.

c) y = f ( x ) = x + 1 + x − 1 .

Chú ý:

Nếu hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ trên D thì đồ thị của hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

f ( − x ) = − x + 2 ≠ − x − 2 = − f ( x ) , ∀x ∈ ℝ

x−4 . x +1

1 1 là hàm lẻ trên D = ( −3;3) . − 3− x 3+ x

Nếu hàm số y = f ( x ) là hàm chẵn trên D thì đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

D = ℝ là tập đối xứng và có

lẻ trên D.

a) y =

Vậy hàm số y = f ( x ) =

Nên đây là hàm số chẵn.

f ( − x ) = −2 x = − f ( x ) , ∀x ∈ ℝ

lẻ trên D.

1 1 − = − f ( x ) , ∀x ∈ ( −3;3) . 3+ x 3− x

f ( − x ) = 2 ( − x ) = 2 x 4 = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ

chẵn trên D. + Nếu f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ D , thì f ( x ) là hàm

1 1 có tập xác định là D = ( −3;3) và ∀x ∈ ℝ thì − x ∈ ℝ. − 3− x 3+ x

b) y = f ( x ) = 4 x − 1. Vậy với m = d) y = f ( x ) =

1 1 − . 3− x 3+ x

1 thì hàm số y = f ( x ) = ( 2m − 1) x + m + 3 là hàm chẵn trên ℝ. 2

Hàm số y = f ( x ) = ( 2m − 1) x + m + 3 là hàm lẻ trên ℝ khi và chỉ khi f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ℝ

Trang 21

Trang 22

⇔ − ( 2m − 1) x + m + 3 = − ( 2m − 1) x − m − 3, ∀x ∈ ℝ

- Để tìm tập giá trị của hàm số y = f ( x ) với tập Ví dụ 1: Xét hàm số y = 2 x + 1 với tập xác định

⇔ 0.x + 2 ( m + 3) = 0, ∀x ∈ ℝ

xác định D, ta tìm tập hợp các giá trị của y để là đoạn [ 0; 4] . Khi đó phương trình y = f ( x ) có nghiệm x ∈ D.

⇔ 2 ( m + 3) = 0

Kí

⇔ m = −3.

hiệu

là

tập

giá

trị

của

0≤ x≤4

hàm

số

G = { f ( x ) x ∈ D} .

Vậy với m = −3 thì hàm số y = f ( 2m − 1) = ( 2m − 1) x + m + 3 là hàm lẻ trên ℝ.

⇔ 1 ≤ 2x +1 ≤ 9

⇔ 1 ≤ 2 x + 1 ≤ 3. Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn [1;3] .

Chú ý: Hàm đa thức y = an x n + ... + a1 x + a0 là hàm chẵn trên ℝ khi mọi hệ số bậc lẻ bằng 0.

- Xét hàm số y = f ( x ) với tập xác định D, gọi X là Ví dụ 2: Xét hàm số f ( x ) = 2 x + 1 trên [1; 40] .

Tương tự, hàm này là hàm lẻ trên ℝ khi mọi hệ số bậc chẵn bằng 0.

tập con khác rỗng của D. Số m1 được gọi là giá trị Ta có

Bài tập tự luyện dạng 5

lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên X, kí hiệu là Đẳng thức xảy ra khi x = 40.

Bài tập cơ bản

∀x ∈ X : f ( x ) ≤ m1 max f ( x ) = m1 , nếu  . x∈X ∃x0 ∈ X : f ( x0 ) = m1

Câu 1: Trong các hàm số cho sau đây, hàm số nào là hàm chẵn trên tập xác định của nó? A. y = 2 x − 1.

B. y = 2 x − 1.

C. y = 2 x − 1.

D. y = 2 x 3 − 1.

x −1 . x +1

tập con khác rỗng của D. Số m2 được gọi là giá trị

B. y = 1 − x − 1 + x .

C. y = 2 x3 − 1.

1 B. m = . 2

1 C. m = − . 2

∀x ∈ X : f ( x ) ≥ m2 min f ( x ) = m2 nếu  . x∈X ∃x0 ∈ X : f ( x0 ) = m2

B. y = 2 x + 1.

C. y =

2 3 −x . x

Ta có f ( x ) = ( x − 2 ) − 4 ≥ −4, ∀x ∈ ℝ.

Vậy min f ( x ) = −4 đạt được khi x = 2.

D. m = 0. Ví dụ mẫu

Câu 4: Trong các hàm số cho sau đây, hàm số nào là hàm lẻ trên tập xác định của nó? A. y = 2 x − x 4 .

x∈[1;40]

nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên X, kí hiệu là Đẳng thức đã xảy ra khi x = 2.

D. y = 2 x + 3.

Câu 3: Giá trị m để hàm số y = ( 2m − 1) x + m + 4 là hàm số lẻ trên ℝ là A. m = −4.

Vậy max f ( x ) = 9 , đạt được khi x = 40.

- Xét hàm số y = f ( x ) với tập xác định D, gọi X là Ví dụ 3: Xét hàm số f ( x ) = x 2 − 4 x trên ℝ.

Câu 2: Trong các hàm số cho sau đây, hàm số nào có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng? A. y =

2 x + 1 ≤ 2.40 + 1 = 9, ∀x ∈ [1; 40] .

Ví dụ 1: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số y = −2 x 2 + x + 1.

D. y = 2 x − 1.

Hướng dẫn giải

Bài tập nâng cao

Hàm số y = −2 x 2 + x + 1 có tập xác định là D = ℝ.

Câu 5: Cho hàm số trên ℝ

Xét phương trình (ẩn x, coi y là tham số)

 x 3 + 1 khi x ≤ −1  y = 0 khi − 1 < x < 1.  x 3 − 1 khi x ≥ 1 

y = −2 x 2 + x + 1 ⇔ 2 x 2 − x + ( y − 1) = 0 (1). Phương trình bậc hai (1) có biệt thức ∆ = 1 − 8 ( y − 1) = 9 − 8 y.

Khẳng định nào sau đây đúng và đẩy đủ nhất?

9 Điều kiện để (1) có nghiệm là ∆ ≥ 0 ⇔ 9 − 8 y ≥ 0 ⇔ y ≤ . 8

A. Hàm số là hàm số chẵn trên ℝ. B. Hàm số là hàm lẻ trên ℝ.

9  Vậy tập giá trị của hàm số y = −2 x 2 + x + 1 là G =  −∞;  . 8 

C. Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên ℝ. D. Hàm số vừa là hàm chẵn, vừa là hàm lẻ trên ℝ.

Chú ý: Bảng biến thiên của hàm số y = −2 x 2 + x + 1 như sau

Dạng 6: Tìm tập giá trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Phương pháp giải Trang 23

Trang 24

4x + 3 xác định trên ℝ. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất x2 + 1 của hàm số. Giá trị của M − m bằng

Câu 4: Cho hàm số y =

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. −1.

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x + 4 − x bằng A. 4.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = −2 x + 1 trên đoạn [ −3; 4] .

B. 2.

C. 2 2.

Câu 6: Nhà ông Minh có 50 phòng trọ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi phòng với giá 2 000 000 đồng/tháng thì cả 50 phòng đều có người thuê. Cứ mỗi lần tăng giá mỗi phòng thêm 50 000 đồng một tháng thì có thêm một phòng bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì ông Minh phải cho thuê mỗi phòng giá bao nhiêu đồng một tháng?

Hướng dẫn giải Với x ∈ [ −3; 4] thì 6 ≥ −2 x ≥ −8 suy ra −7 ≤ −2 x + 1 ≤ 7.

Đẳng thức thứ nhất xảy ra khi x = 4, đẳng thức thứ hai xảy ra khi x = −3.

A. 2250000.

B. 2800000.

C. 2500000.

D. 2000000.

Do đó

Đáp án và lời giải

min f ( x ) = −7 , đạt được khi x = 4,

x∈[ −3;4]

Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm

max f ( x ) = 7 , đạt được khi x = −3.

1–C

x∈[ −3;4]

2–C

3–C

4–A

5–A

6–C

7–A

8–D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Nhận xét: Bảng biến thiên của hàm số f ( x ) = −2 x + 1 trên đoạn [ −3; 4] như sau

Câu 7. Chọn A. Vì

5 5 5 > 2 nên giá trị của hàm số f ( x ) tại x = chính là giá trị của hàm số f ( x ) = x − 3 tại x = . 2 2 2

1  5 5 Khi đó f   = − 3 = − ⇒  2  2 2

Bài tập tự luyện dạng 6

1  1 1 Mà − < 2 nên f  −  = 2.   + 1 = 0. 2 2   2

Bài tập cơ bản

 Vậy f  

Câu 1: Cho hàm số y = 4 − x 2 . Xét các khẳng định sau: (1) Tìm tập xác định của hàm số là đoạn [ 0; 4] .

1 f ( x ) + 2 f   = x, ∀x ≠ 0 ⇒ 2 f ( x ) + x

(3) Tập giá trị của hàm số là đoạn [ 0; 2] . (4) Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên tập xác định.

C. 2.

D. 1.

C. ( −∞; 4].

D. [ 0; +∞ ) .

Câu 2: Tập giá trị của hàm số y = − x 2 + 4 x là A. ℝ.

B. ( −∞; 2].

7 Vậy f ( −4 ) = . 6

Bài tập nâng cao Câu 3: Cho hàm số y =

3x 2 − x + 1 có tập xác định là ℝ và tập giá trị G. Trong G có bao nhiêu phần tử là x2 + x + 1

số nguyên?

A. 4.

B. 7.

C. 5.

1 1 f   = , ∀x ≠ 0. x x

 1  f ( x) + 2 f  x  = x 2 2 − x2    Ta có  ⇒ 3 f ( x) = − x ⇒ f ( x) = , ∀x ≠ 0. x 3x 4 f ( x ) + 2 f  1  = 2    x x

Số khẳng định sai là

B. 3.

 5  f    = 0.  2 

Câu 8. Chọn D.

(2) Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

A. 0.

 5   1 f    = f  − .  2   2

Dạng 2. Đồ thị của hàm số 1–A

2–D

11 – A

12 – A

3–C

4–D

5–D

6–D

7–A

8–C

9–B

10 – D

D. 6. Trang 25

Trang 26

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 11. Chọn A.

x < 3 x < 3 1   xác định khi  x − 1 ≥ 0 ↔  x ≥ 1 ⇔ 1 ≤ x < 3. 5− x 5 − x > 0  x < 5  

Khi x < 3 hàm số trở thành y = x − 1 +

Vì A ( x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( 3 − m ) x + m − 1 luôn đi qua với mọi m nên

x −1  khi x ≥ 3  2  − x + 7 x − 12 Vậy tập xác định của hàm số y =  là D = [1;3) ∪ ( 3; 4 ) .  x − 1 + 1 khi x < 3  5− x

y0 = ( 3 − m ) x0 + m − 1, ∀m ∈ ℝ ⇔ 3 x0 − mx0 + m − 1 − y0 = 0, ∀m ∈ ℝ ⇔ m (1 − x0 ) + ( 3x0 − y0 − 1) = 0, ∀m ∈ ℝ

Dạng 4. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

1 − x0 = 0  x0 = 1 ⇔ ⇔ . 3x0 − y0 − 1 = 0  y0 = 2

1–C

2–C

3–C

4–C

5–A

Khẳng định (2) sai.

Vì A ( x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( 2m − 1) x + m + 4 đi qua với mọi m nên

Thật vậy, với mọi

y0 = ( 2m − 1) x0 + m + 4, ∀m ∈ ℝ

a, b ∈ ℝ, a < b , thì

g ( a ) > g ( b ) (do hàm

Lập luận tương tự ta thấy khẳng định (1) và (3) đúng.

⇔ ( 2 x0 + 1) m + ( − x0 − y0 + 4 ) = 0, ∀m ∈ ℝ

Câu 10. Chọn D.

g ( x)

nghịch biến), suy ra

f ( a ) < f (b) ; g ( a ) < g (b) ⇒ f ( a ) + g ( a ) < f (b) + g (b). Khẳng định B. đúng vì nếu f ( x ) và g ( x ) là hàm số nghịch biến thì với mọi a, b ∈ ℝ, a < b thì

Dạng 3. Tìm tập xác định của một hàm số 4–C

f ( a ) > f (b) ; g ( a ) > g (b) ⇒ f ( a ) + g ( a ) > f (b) + g (b) . 5–A

6–B

Khẳng định C. đúng và D. sai vì nếu f ( x ) là hàm số đồng biến và g ( x ) là hàm số nghịch biến trên ℝ

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

thì với mọi a, b ∈ ℝ , a < b thì

Câu 5. Chọn A.

f ( a ) < f (b) , g ( a ) > g (b) ⇒ f ( a ) − g ( a ) < f (b) − g (b ) .

1 có tập xác định là ℝ khi và chỉ khi phương trình x − 2mx + m 2 − 2m + 6 2

Dạng 5. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

x 2 − 2mx + m 2 − 2m + 6 = 0 vô nghiệm. 2

1–B

2–B

3–A

4–C

5–B

Phương trình x − 2mx + m − 2m + 6 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

∆′ = m − ( m − 2m + 6 ) < 0 ⇔ 2m − 6 < 0 ⇔ m < 3.

Câu 5. Chọn B.

Câu 6. Chọn B.

Tập xác định D = ℝ là tập đối xứng, nghĩa là với mọi x ∈ ℝ thì − x ∈ ℝ . Lấy bất kì x ∈ ℝ.

Khi x ≥ 3 hàm số trở thành y =

x −1

− x 2 + 7 x − 12

Nếu x ≥ 1 thì − x ≤ −1 nên y ( − x ) = ( − x ) + 1 = − ( x 3 − 1) = − y ( x ) .

. Hàm số xác định khi

Nếu x ≤ −1 thì − x ≥ 1 nên y ( − x ) = ( − x ) − 1 = − ( x 3 + 1) = − y ( x ) .

− x + 7 x − 12 > 0  x − 7 x + 12 < 0 3 < x < 4 ( x − 3)( x − 4 ) < 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3< x < 4.  x ≥ 3 x ≥ 3 x ≥ 3  x ≥ 3    2

10 – D

Khẳng định A. đúng vì nếu f ( x ) và g ( x ) là hàm số đồng biến thì với mọi a, b ∈ ℝ, a < b thì

1   x0 = − 2 2 x0 + 1 = 0 41 ⇔ ⇔ ⇒ x02 + y02 = . 4 0 9 − x − y + = 2 0  0 y =  0 2

Hàm số y =

9–A

f ( g ( a ) ) < f ( g ( b ) ) (do hàm g ( x ) nghịch biến), chứng tỏ f ( g ( x ) ) là hàm đồng biến trên ℝ .

⇔ 2mx0 − x0 + m + 4 − y0 = 0, ∀m ∈ ℝ

3–D

8–B

Câu 9. Chọn A.

Câu 12. Chọn A.

2–D

7–A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Vậy A (1; 2 ) thuộc góc phần tư thứ nhất.

1–B

6–D

Nếu −1 < x < 1 thì −1 < − x < 1 và y ( − x ) = − y ( x ) = 0. Do đó ta luôn có y ( − x ) = − y ( x ) , ∀x ∈ ℝ. Trang 27

Trang 28

Tổng thu nhập mỗi tháng của ông Minh từ việc cho thuê phòng trọ là

Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ trên ℝ. Dạng 6. Tìm tập giá trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 1–C

2–C

3–C

4–A

5–C

f ( k ) = ( 2000000 + 50000k )( 50 − k ) (đồng)

6–A

Ta có

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

 40 + k + 50 − k  f ( k ) = ( 2000000 + 50000k )( 50 − k ) = 50000 ( 40 + k )( 50 − k ) ≤ 50000   = 101250000. 2  

Câu 3. Chọn C.

Hàm số y =

3x 2 − x + 1 có tập xác định là ℝ. x2 + x + 1

Đẳng thức xảy ra khi 40 + k = 50 − k ⇔ k = 5. Với k = 5 thì giá mỗi phòng là 2 250 000 đồng/ tháng.

Xét phương trình ẩn x (với y là tham số)

 a +b  Chú ý: Ta đã áp dụng bất đẳng thức ab ≤   , ∀a, b ∈ ℝ. Đẳng thức xảy ra khi a = b.  2 

3x2 − x + 1 = y ⇒ ( 3 − y ) x 2 − ( y + 1) x + 1 − y = 0. (1) x2 + x + 1

1 - Nếu y = 3 thì phương trình (1) trở thành −4 x − 2 = 0 ⇒ x = − . Suy ra 3 ∈G. 2 - Nếu y ≠ 3 thì (1) là phương trình bậc hai với biệt thức ∆ = −3 y 2 + 18 y − 11. Lúc này (1) có nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ −3 y 2 + 18 y − 11 ≥ 0 ⇔

9−4 3 9+4 3 ≤ y≤ . 3 3

9 − 4 3 9 + 4 3  Vậy G =  ;  . Trong tập G có 5 số nguyên là 1, 2, 3, 4, 5. 3   3

Câu 4. Chọn A. 2

Do ( 2 x − 1) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , nên 4 x 2 + 4 ≥ 4 x + 3, ∀x ∈ ℝ , hay y =

4x + 3 ≤ 4, ∀x ∈ ℝ. x2 + 1

1 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = . Suy ra M = 4. 2 2

Tương tự ( x + 2 ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ, nên 4 x + 3 ≥ − x 2 − 1, ∀x ∈ ℝ , hay y =

4x + 3 ≥ −1, ∀x ∈ ℝ. x2 + 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = −2. Do đó m = −1. Vậy M − m = 5. Câu 5. Chọn C.

Hàm số f ( x ) = x + 4 − x có tập xác định là đoạn [ 0; 4] . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có f ( x ) = x + 4 − x ≤

+ 12 ) ( x + 4 − x ) = 2 2.

Đẳng thức xảy ra khi x = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2. Câu 6. Chọn A.

Giả sử ông Minh cho thuê với giá 2000000 + 50000k đồng mỗi phòng trong một tháng, k = 0;1; 2;....;50, và số phòng có người thuê là 50 − k . Trang 29

Trang 30

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

CHUYÊN ĐỀ

Nhắc lại về hàm số bậc nhất

BÀI 2. HÀM SỐ y = ax + b Mục tiêu Kiến thức + Nhận dạng được hàm số y = ax + b nắm được các nội dung về tập xác định, sự đồng biến, nghịch biến và đồ thị của hàm số. + Phát hiện được vấn đề toán học và về hàm số được nghiên cứu từ những bài toán thực tế. + Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm M ( x 0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b , điều

Ví dụ: Hàm số y = 2x + 1 có tập xác định

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

D=R.

y = ax + b ( a ≠ 0 ) .

Vì a = 2 > 0 nên hàm số y = 2x + 1 đồng biến

- Tập xác định của hàm số bậc nhất D = R .

trên R.

- Khi a > 0 , hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) đồng biến trên R.

Bảng biến thiên của hàm số y = 2x + 1 :

Bảng biến thiên của hàm số y = ax + b ( a > 0 ) : x

−∞

kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ)

trên D.

y = ax + b ( a > 0 )

+∞ y = 2x + 1

−∞

+ Biểu diễn được các điểm trên mặt phẳng tọa độ, biết vẽ đồ thị hàm số y = ax + b , y = a x + b ,

y = ax + b , kiểm tra được các điểm cho trước có thuộc đồ thị hàm số hay không, tìm giao điểm

Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 là một đường - Khi a < 0 , hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) nghịch biến trên thẳng cắt trục tung tại ( 0; 1) và cắt trục hoành

của đồ thị hàm số với các trục tọa độ, xét sự tương giao của hai đồ thị. +

+∞

+∞ +∞

Kĩ năng

−∞

 1  tại  − ;0  . Đồ thị hàm số như hình vẽ.  2 

Xét được sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax + b .

Bảng biến thiên của hàm số y = ax + b ( a < 0 ) : x

−∞

+∞

+∞ y = ax + b ( a < 0 ) −∞

Hàm số hằng y = b Đồ thị của hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm

( 0; b ) . Đường thẳng này được gọi là đường thẳng

y = b.

Hàm số y = ax + b

Ví dụ: Đồ thị hàm số y = x + 1 như hình vẽ

- Hàm số y = ax + b có tập xác định D = R .

ax + b khi ax + b > 0 - Hàm số y = ax + b =  −ax − b khi ax + b < 0 - Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b với a ≠ 0 bằng cách: Vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = −ax − b rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm ở dưới trực hoành.

Trang 1

Trang 2

HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA

trục tọa độ.

 b  Đồng biến trên  − ; + ∞   a 

Đồng biến khi a > 0

b  Nghịch biến trên  −∞; −  a 

Nghịch biến khi a < 0

Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax+b ( a ≠ 0 ) là một đường thẳng không song song và không trùng  b với các trục tọa độ Ox, Oy. Đường thẳng đó cắt Ox, Oy lần lượt tại các điểm A  − ,  a

 0  ; B ( 0, b ) , có 

hướng đi lên (đi xuống) từ trái sang phải nếu a > 0 (tương ứng a < 0 ). Nếu b = 0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O ( 0;0 ) và điểm C (1;a ) . Vì đồ thị hàm số y = ax+b ( a ≠ 0 ) là đường thẳng d luôn cắt Oy tại

Tập xác định

điểm B ( 0; b ) nên hệ số b được gọi là tung độ gốc của d. Hơn nữa nếu gọi α là góc tạo bởi phần đường

D=R

thẳng d nằm ở phía bên trên Ox và tia Ox thì ta có tan α = a . Do vậy α được gọi là hệ số góc của đường Hàm số

Hàm số

y = ax + b

( a ≠ 0)

thẳng d .

Đồ thị hàm số luôn đi qua  b  điểm  − ;0   a 

Khi a = 0 thì hàm số y = ax+b trở thành hàm hằng y = b và có đồ thị là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tung độ bằng b (ta coi hệ số góc của đường thẳng này bằng 0).

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây a) y =

1 x 2

c) y = 3 − x II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

b) y = 2x − 1 d) y = 1

Hưỡng dẫn giải

Dạng 1: Đồ thị hàm số y = ax + b

Ví dụ: Đồ thị hàm số y = 3x − 2 là đường thẳng

Phương pháp giải

qua hai điểm M ( 0; − 2 ) , N (1; 1)

a) Cho x = 0 thì y = 0 . Cho x = 2 thì y = 1 . Do đó đồ thị hàm số y =

1 x là đường thẳng đi qua hai điểm O ( 0; 0 ) , N ( 2;1) 2

Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng. Do đó để vẽ đồ thị này ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị, chẳng hạn M ( x1 ;ax1 + b ) ,

N ( x 2 ; ax 2 + b ) và vẽ đường thẳng đi qua hai điểm này. Ta lưu ý tới các điểm là giao điểm của đồ thị với Trang 3

Trang 4

b) Cho x = 0 thì y = −1 . Cho x = 1 thì y = 1 . Do đó đồ thị hàm số y = 2x − 1 là đường thẳng đi qua hai

a) Đồ thị hai hàm số y = 3 − 2x , y = x − 1 như hình vẽ

điểm M ( 0; − 1) , N (1;1)

Chú ý: Ta có thể biến đổi 3 − 2x < x − 1 ⇔ 4 < 3x ⇔x>

c) Cho x = 0 thì y = 3 . Cho x = 3 thì y = 0 . Do đó đồ thị hàm số y = 3 − x là đường thẳng đi qua hai điểm M ( 0; 3) , N ( 3;0 )

4 3

b) Đồ thị hàm số y = 3 − 2x nằm phía dưới đồ thị hàm số y = x − 1 khi và Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 4 chỉ khi x > 4  3  ; + ∞ 3   4  Vậy tập nghiệm của bất phương trình 3 − 2x < x − 1 là  ; + ∞  3  Chọn D.

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hai hàm số a) y = x − 2

b) y = x − 2

Hướng dẫn giải

d) Đồ thị hàm hằng y = 1 là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

 x − 2 khi x ≥ 2 a) Ta viết lại hàm số y = x − 2 ở dạng y =  . − x + 2 khi x < 2

Nhận xét:

Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau đây

y = x − 2 ta có thể vẽ đồ

- Bước 1. Ta vẽ đồ thị hàm số y = x − 2 (hình 1)

thị

- Bước 2. Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y = x − 2 nằm phía dưới

y = x − 2 , y = − x + 2 trên

trục hoành (hình 2).

cùng một hệ trục tọa độ rồi

- Để vẽ đồ thị hàm số

của

hai

hàm

số

- Bước 3. Xóa đi toàn bộ phần đồ thị y = x − 2 nằm phía dưới trục hoành ta xóa đi toàn bộ những phần

được đồ thị hàm số y = x − 2 như hình 3 dưới đây.

Ví dụ 2.

đồ thị nằm ở phía dưới trục hoành.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 3 − 2x , y = x − 1 trên cùng một hệ trục tọa độ.

- Đồ thị hàm số y = x − 2

b) Tập nghiệm của bất phương trình 3 − 2x < x − 1 là

2  A. S =  −∞;  3 

4  B. S =  −∞;  3 

2  C. S =  ; + ∞  3 

4  D. S =  ; + ∞  3 

nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng. - Hàm số y = x − 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại

x = 2.

Hướng dẫn giải

Trang 5

Trang 6

Nhận xét:

 x − 2 khi x ≥ 0 . b) Ta viết lại hàm số y = x − 2 ở dạng  − x − 2 khi x < 0

- Hàm số y = x − 2 là

 x − 2 khi x ≥ 1 Ví dụ 5. Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) =   2 x − 1 khi x < 1

Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau đây

hàm chẵn và đồ thị của nó

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x ) .

- Bước 1. Ta vẽ phần đồ thị hàm số y = x − 2 ứng với x ≥ 0 (hình 1)

nhận trục tung làm trục

Hướng dẫn giải

- Bước 2. Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị vừa vẽ ta được đồ thị hàm đối xứng. số y = x − 2 như hình 2 dưới đây.

x = 0.

 x − 2 khi x ≥ 2 − x + 2 khi 1 ≤ x < 2  Ta viết lại hàm số y = f ( x ) =  2x − 1 khi 0 ≤ x < 1 −2x − 1 khi x < 0

- Đồ thị của hai hàm số

Đồ thị hàm y = f ( x ) như hình vẽ dưới đây

- Hàm số y = x − 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng -2 tại

y = f (x)

và

y = −f ( x )

đối xứng với nhau qua trục hoành. - Đồ thị của hai hàm số

y = f (x)

và

y = f ( −x )

đối xứng với nhau qua trục tung.

Do f ( x ) ≥ −1, ∀x ∈ R và f ( x ) = −1 ⇔ x = 0 , nên min f ( x ) = −1 đạt được khi x = 0 . x∈R

Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1 + x − 3

Ví dụ 6. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = mx + 2m − 1 luôn đi qua với mọi m.

Hướng dẫn giải

3x − 2 khi x ≥ 3 Ta viết lại hàm số y =   x + 4 khi x < 3

Đồ thị của hàm số y = mx + 2m − 1 là đường thẳng d . Gọi M ( x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi m.

Đồ thị hàm số gồm phần đồ thị y = 3x − 2 ứng với x ≥ 3 và phần đồ thị y = x + 4 ứng với x < 3

Cách 1: M ( x 0 ; y0 ) ∈ ( d ) :y = mx + 2m − 1, ∀m ∈ R ⇔ y0 = mx 0 + 2m − 1, ∀m ∈ R

x 0 + 2 = 0  x 0 = −2 ⇔ ( x 0 + 2 ) m + ( − y 0 − 1) = 0, ∀m ∈ R ⇔  ⇔ − y0 − 1 = 0  y 0 = −1 Vậy điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m là điểm M ( −2; − 1) Cách 2: M ( x 0 ; y0 ) ∈ ( d ) :y = mx + 2m − 1, ∀m ∈ R

⇔ y0 = mx 0 + 2m − 1 (1) , ∀m ∈ R Vì (1) đúng với mọi m nên nó phải đúng với m = 0 và m = 1 .  y 0 = −1  x 0 = −2 Thay lần lượt m = 0 và m = 1 vào (1) ta thu được  ⇔  y0 = x 0 + 1  y 0 = −1 Thử lại thấy x 0 = −2, y0 = −1 thì (1) luôn đúng với mọi m. Vậy M ( −2; − 1) là điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi giá trị của m. Trang 7

Trang 8

Câu 4: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

Nhận xét: n

- Phương trình a n t + a n −1t

n −1

A. y = 2x − 3

+ ... + a 2 t + a1t + a 0 = 0 thỏa mãn với mọi giá trị của t khi và chỉ khi

B. y = 1 − x

a 0 = a1 = ... = a n = 0 .

C. y = 5x + 2

- Nếu khẳng định P ( m ) đúng với mọi m ∈ A thì với một giá trị nào đấy a ∈ A khẳng định P ( a ) đúng.

D. y = 3 − 2x

Ví dụ 7. Tìm m để bất phương trình ( m − 1) x + 2m + 5 ≥ 0 có nghiệm x ∈ ( −1; 2] . Hướng dẫn giải Câu 5: Trong các hàm số cho ở bốn đáp án sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số y = 2x + 3 qua trục Oy? A. y = −2x + 3

B. y = −2x − 3

C. y = 4 + x

D. y = −6x + 1

Câu 6: Đường thẳng nào sau đây có hệ số góc lớn nhất? A. y = 2x − 4

B. y = −2x + 8

C. y = 11 − x

D. y = −6 + 7x

Câu 7: Đường thẳng nào sau đây có tung độ gốc nhỏ nhất? A. y = 2x − 2

Gọi d là đồ thị của hàm số y = ( m − 1) x + 2m + 5 . Trên đường thẳng d ta lấy hai điểm A ( −1; m + 6 ) ,

B ( 2; 4m + 3) . Xét đoạn thẳng AB trong đó lấy điểm đầu mút B nhưng không lấy điểm đầu mút A. Ta phải tìm m để đoạn thẳng này có ít nhất một điểm nằm ở phía trên hoặc thuộc trục Ox. Điều này xảy ra

D. y = x + 11

Câu 8: Giá trị của m để đồ thị hai hàm số y = ( m − 1) x + m, y = 1 − 5x đối xứng với nhau qua trục hoành

là A. m = 6

A. m = 6

Vậy với m > −6 thì bất phương trình ( m − 1) x + 2m + 5 ≥ 0 có nghiệm x ∈ ( −1; 2] .

B. m = −1

C. m = −4

D. Không có m.

B. m = −1

C. m = −4

D. Không có m.

Câu 10: Giá trị của m để đồ thị hai hàm số y = ( m − 1) x + m + 3, y = 1 − 5x đối xứng với nhau qua gốc tọa

Bài tập tự luyện dạng 1

độ là

Bài tập cơ bản

A. m = 6

Câu 1: Điểm M (1; 3) không thuộc đồ thị hàm số nào sau đây? B. y = 4x − 1

C. y = 3x + 1

B. ( −2; 13)

C. ( 0; 9 )

B. m = −1

C. m = −4

D. Không có m.

Câu 11: Điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( m − 1) x + 2m luôn đi qua mới mọi m là D. y = 3x

A. ( −2; 2 )

Câu 2: Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y = −2x + 9 ? A. ( 4; 1)

C. y = 3 − 2x

Câu 9: Giá trị của m để đồ thị hai hàm số y = ( m − 1) x + m, y = 1 − 5x đối xứng với nhau qua trục tung là

khi y A > 0 hoặc y B ≥ 0 ⇔ m + 6 > 0 hoặc 4m + 3 ≥ 0 . Từ đó ta được m > −6 .

A. y = x + 2

B. y = 2019x+2020

B. ( −2; − 1)

C. ( −2; 0 )

D. ( 2; − 2 )

Bài tập nâng cao

D. (1; 11)

Sử dụng giả thiết sau để trả lời các câu hỏi từ 12 đến 14.

Câu 3: Hàm số y = 2 − 3x có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?

Cho bất phương trình ( a − 4 ) x − 1 + 2a ≤ 0 (1) , ở đó x là ẩn và a là tham số. Câu 12: Tất cả các giá trị của a để (1) có nghiệm trên [ 0; 1) là A. a <

5 3

B. a ≤

5 3

C. a ≤

1 2

1 5 ≤a< 2 3

Câu 13: Tất cả các giá trị của a để (1) có nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −1; 2] là A. a ≤ −3

B. a ≤

9 4

C. a ≥ −3

D. a ≥

9 4

Câu 14: Tất cả các giá trị của a để (1) vô nghiệm trên khoảng ( 0; 8 ) là A.

Trang 9

Trang 10

A. a >

1 2

B. a <

1 2

C. a >

33 10

D. a <

y = ( 2m − 11) x + 2019m 2 nghịch biến trên R?

33 10

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình mx + 2m − 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi

x ∈ [ −1; 2] là A. m ≥

1 4

A. 11.

B. 2.

C. 5.

D. 7

Hướng dẫn giải B. m ≥ 1

C. m > 2

D. m > 0

Hàm số y = ( 2m − 11) x + 2019m 2 nghịch biến trên R khi và chỉ khi 2m − 11 < 0 ⇔ m <

11 2

Có 5 giá trị nguyên dương của m là m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Dạng 2: Sự biến thiên của hàm số y = ax + b

Chọn C.

Phương pháp giải

Xét hàm số y = ax + b với a, b là các hằng số.

Ví dụ: Hàm số y = 3x − 1 (có hệ số

Ví dụ 5. Lập bảng biến thiên của hàm số sau đây.

- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b đồng biến trên R.

a = 3 > 0 ) đồng biến trên R.

a) y = −2x + 3 .

- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b nghịch biến trên R.

Hàm số y = − x + 1 (có hệ số a = −1 < 0 )

Hướng dẫn giải

- Nếu a = 0 thì hàm số y = ax + b trở thành hàm hằng y = b

nghịch biến trên R.

a) Hàm số y = −2x + 3 nghịch biến trên R và có bảng biến thiên như sau x

trên R (không đồng biến, cũng không nghịch biến).

b) y = 3x + 1

+∞

−∞

+∞ y

Ví dụ mẫu

−∞

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên R? A. y = −3x + 2 .

B. y = 1 − x

C. y = −2x − 1

D. y = 5x + 3

b) Hàm số y = 3x + 1 đồng biến trên R và có bảng biến thiên như sau. x

+∞

−∞

+∞

Hướng dẫn giải

Các hàm số y = −3x + 2 , y = 1 − x , y = −2x − 1 nghịch biến trên R do có hệ số a < 0 . Hàm số y = 5x + 3

−∞ đồng biến trên R do có hệ số a > 0 .

Bài tập tự luyện dạng 2

Chọn D.

Bai tập cơ bản

Ví dụ 2. Trong các hàm số y = −2x + 2 , y = −4 , y = 5x + 1 , y = −3 + x , y =

1 x có bao nhiêu hàm số 2

nghịch biến trên R?.

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = ( 3m − 2 ) x + 2020 đồng biến trên R. A. m = 0

A. 1

B. 2.

C. 3

D. 5.

B. m < 2

C. m <

2 3

D. m >

2 3

Câu 2: Cho hàm số y = 3x − 2 xác định trên tập R. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

A. Đồ thị của hàm số là một đường thẳng.

Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y = −2x + 2 nghịch biến trên R.

B. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 5 tại duy nhất một điểm M ( −1; 5 ) .

Chọn A.

C. Hàm số đồng biến trên R.

Ví dụ 3. Cho hàm số y = ( m − 1) x + 2m + 1 ẩn x và m là tham số. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Hướng dẫn giải

D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất Câu 3: Cho hàm số y = 4x − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên R.

Hàm số y = ( m − 1) x + 2m + 1 đồng biến trên R khi và chỉ khi m − 1 > 0 ⇔ m > 1 .

B. Hàm số đồng biến trên R.

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

Trang 11

Trang 12

1  1  C. Hàm số nghịch biến trên  −∞;  và đồng biến trên  ; + ∞  . 4  4 

1 = ( m + 1) .2 + 2m − 1 ⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0 . Chọn C.

1  1  D. Hàm số đồng biến trên  −∞;  và nghịch biến trên  ; + ∞  . 4  4 

Ví dụ 2. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y = ( −28 − 3m ) x + 111 nghịch biến trên R? A. 12

B. 8

C. 10

A ( 2; − 3) , B (1; 1) . Hướng dẫn giải

D. 9

Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A ( 2; − 3) ⇔ −3 = 2a + b .

Bài tập nâng cao Câu 5: Cho hàm số sau xác định trên R

Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm B (1; 1) ⇔ 1 = a + b .

−2x + 1 khi x ≥ 1 y= 3 − x khi x < 1

2a + b = −3 a = −4 Ta có hệ phương trình  ⇔ a + b = 1 b = 5

Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số nghịch biến trên R.

Vậy với a = −4 , b = 5 thì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A ( 2; − 3) , B (1; 1) .

B. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M ( 0; 3) .

Ví dụ 3. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) là đường thẳng ∆ đi qua điểm

C. Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên R.

M (1; 3) , đồng thời ∆ cắt các tia Ox, Oy tại A, B (khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích đạt giá trị

1  D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm N  ; 0  . 2 

nhỏ nhất. Hướng dẫn giải

Dạng 3: Sự xác định hàm số y = ax + b

Đường thẳng ∆ : y = ax + b đi qua điểm M (1; 3) ⇔ a + b = 3 .

Phương pháp giải

Hàm số y = ax + b xác định khi biết các hệ số a, b. Ví dụ. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị Ta gọi a là hệ số góc và b là tung độ gốc của đồ thị của nó là đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hàm số y = ax + b .

hoành độ bằng -1 và cắt trục tung tại điểm có tung

Điểm M ( x 0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b

độ bằng 2 Hướng dẫn giải

khi và chỉ khi y0 = ax 0 + b

 b  Đường thẳng y = ax + b cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A  − ; 0  , B ( 0; b ) với b > 0 và a < 0 .  a  b 1 b2 Ta có OA = − , OB = b, S∆OAB = .OA.OB = − . Vì a + b = 3 nên b = 3 − a . a 2 2a Do đó S∆OAB = −

Thay x = −1, y = 0 vào hàm số ta được −a + b = 0 .

(3 − a ) 2a

Thay x = 0, y = 2 vào hàm số ta được b = 2 . Suy ra a = b = 2 . Vậy y = 2x + 2 .

Dấu “=” xảy ra S∆OAB

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y = ( m + 1) x + 2m − 1 ẩn x và m là tham số. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

a 2 − 6a + 9 a 9 a 9 = 3+ + ≥ 3+ 2 . =6 −2a −2 −2a −2 −2a

Chú ý: Ở bên ta đã sử

dụng bất đẳng thức Côsi:

 a < 0 < b  a = −3 = 6 ⇔ a + b = 3 ⇔  b = 6 a 9  =  −2 −2a

a + b ≥ 2 ab, ∀a, b ≥ 0 , dấu bằng xảy ra khi

a=b

Vậy a = −3 , b = 6 là các giá trị cần tìm. Bài tập tự luyện dạng 3

đi qua điểm M ( 2; 1) ?

Bài tập cơ bản

A. m = 1 .

B. m = −1

C. m = 0

1 D. m = − 2

Câu 1: Cho hàm số f ( x ) = ax + b (biến x, với a, b là hằng số) xác định trên R, thỏa mãn

f ( 2 ) = 3, f ( 3) = 2 . Khi đó f ( 5 ) bằng A. -1

Hướng dẫn giải

B. 2

C. 0

D. 5

Câu 2: Cho hàm số y = ( m + 2 ) x + 3m − 2 (biến x, với m là tham số) có đồ thị là đường thẳng d. Tập

Đồ thị hàm số y = ( m + 1) x + 2m − 1 đi qua điểm M ( 2; 1) khi và chỉ khi

hợp các giá trị của m để đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại A, B tạo thành tam giác cân OAB là

Trang 13

Trang 14

A. {−1; − 3}

B. {−1}

2  D. −1; − 3;  3 

C. {−3}

Câu 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = ( 2m − 1) x + m + 3 đi qua điểm M (1; − 2 ) . A. m = −3

4 C. m = − 3

B. m = 1

D. m = 0

phần đường thẳng ∆ nằm phía trên Ox là 60° . 1

B. a =

C. a = − 3, b = −3 + 3

D. a = 3, b = 3

được y = 3 .

k điểm chung phân biệt, các điểm chung có tọa độ

Vậy hai đồ thị d1 , d 2 cắt nhau tại điểm duy nhất

dạng M ( x 0 ; y0 ) , với x 0 là nghiệm của (1) và

M ( 2; 3) .

y0 = f ( x 0 ) = g ( x 0 )

Câu 4: Tìm a, b để đường thẳng ∆ : y = ax + b đi qua điểm M (1;3) và góc giữa chiều dương Ox với

A. a = 3, b = 3 − 3

- Nếu (1) có k nghiệm phân biệt thì hai đồ thị đó có

Nói cách khác, tọa độ điểm chung của đồ thị hai

 y = 2x − 1 . Ta cũng có thể xét hệ phương trình  y = 5 − x

hàm số đã cho là nghiệm của hệ phương trình

Hệ này có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2; 3) nên

 y = f ( x )   y = g ( x )

,b = 3 + 3

hai đồ thị d1 , d 2 cắt nhau tại điểm duy nhất

M ( 2; 3) .

Câu 5: Hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2 ) , B ( −1; 1) . Khẳng định nào

Chú ý: Xét hai hàm số y = a1x + b1 , y = a 2 x + b 2 có đồ thị lần lượt là các đường thẳng d1 , d 2 . Ta có

sau đây đúng?

1) d1 , d 2 trùng nhau ⇔ a1 = a 2 , b1 = b 2 .

A. a + b = 2 2

5 B. a + b = 2 2

7 C. a + b = 4 2

4 D. a + b = 3 2

2) d1 / /d 2 ⇔ a1 = a 2 , b1 ≠ b 2

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) = ax + b (biến x, với a, b là hằng số) xác định trên R, thỏa mãn

3) d1 , d 2 cắt nhau ⇔ a1 ≠ a 2

f ( 2 ) + f ( 3) = 7 , 2f (1) − f ( 4 ) = −1 . Giá trị f ( 5 ) bằng

4) d1 ⊥ d 2 ⇔ a1.a 2 = −1

A. 6

B. 2

C. 0

D. 5

Ví dụ mẫu

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = ax + b (biến x, với a, b là hằng số) thỏa mãn f ( f ( x ) ) = 9x − 4, ∀x ∈ R . Giải phương trình f ( x ) =

A. {3}

1 được tập nghiệm là 2

B. {2}

a) d1 : y = x + 1, d 2 : y = x + 1 .

4 C.   9 

b) d1 : y = 2x + 1, d 2 : y = 2x − 3

1  D.   2

c) d1 : y = x + 5, d 2 : y = 3x + 1

Câu 8: Một chất điểm chuyển động biến đổi đều với vận tốc ban đầu v0 = 1 ( cm / s ) , gia tốc a = 2 ( cm / s ) . Gọi v ( t ) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t ≥ 0 ( v ( t ) có đơn vị cm/s, thời gian t đo 2

bằng giây). Khi đó v ( t ) là hàm số bậc nhất theo biến t. Hỏi tại thời điểm nào chất điểm chuyển động với vận tốc lớn gấp 15 lần vận tốc ban đầu?

A. t = 7 ( s )

B. t = 8 ( s )

Ví dụ 1. Xét sự tương giao giữa các đường thẳng d1 , d 2 trong mỗi trường hợp sau đây.

C. t = 2 ( s )

1 1 d) d1 : y = − x + 1, d 2 : y = 4x − 4 3

Hướng dẫn giải a) Hai đường thẳng d1 , d 2 trùng nhau. b) Hai đường thẳng d1 , d 2 là hai đường thẳng song song.

D. t = 5 ( s )

c) Hai đường thẳng d1 , d 2 là hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Dạng 4: Bài toán tương giao của hai đồ thị

d) Hai đường thẳng d1 , d 2 là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau.

Phương pháp giải

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng d1 : y = ( m 2 − 3m ) x − m song song với đường thẳng

Để xét sự tương giao của đồ thị các hàm số

Ví dụ. Xét các hàm số y = 2x − 1, y = 5 − x có đồ

y = f ( x ) , y = g ( x ) ta thường xét phương trình

thị lần lượt là các đường thẳng d1 , d 2 . Phương

hoành độ điểm chung f ( x ) = g ( x ) (1)

trình hoành độ giao điểm của d1 , d 2 là

- Nếu (1) vô nghiệm thì đồ thị của hai hàm số đã

2x − 1 = 5 − x ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2 .

Hướng dẫn giải

cho không có điểm chung.

Thay x = 2 vào phương trình của d1 hoặc d 2 ta

Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc của chúng bằng nhau.

Trang 15

d 2 : y = 4x + 1 ? A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Trang 16

 m = −1 Suy ra m 2 − 3m = 4 ⇔ m 2 − 3m − 4 = 0 ⇔  m = 4

Vậy với a = −4 , b = 5 thì đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng đi qua điểm A ( 2; − 3) và cách điểm

Với m = −1 thì d1 ≡ d 2 .

Lúc này đường thẳng AB có phương trình y = −4x + 5 .

B (1; 1) một khoảng nhỏ nhất.

Với m = 4 thì d1 / /d 2 Vậy có một giá trị của m để đường thẳng d1 : y = ( m − 3m ) x − m song song với đường thẳng 2

d 2 : y = 4x + 1 . Chọn B. Ví dụ 3. Tìm m để ba đường thẳng phân biệt d1 : y = 2x − 1, d 2 : y = mx − m, d 3 : y = 3x − m đồng quy. Hướng dẫn giải

3  b) Điểm M  ; − 1 là trung điểm của AB. Đường thẳng d : y = kx + m là đường trung trực của AB khi 2  và chỉ khi d qua điểm M và d ⊥ AB .

3 3  - Điểm M  ; − 1 ∈ d ⇔ k + m = −1 . 2 2   - Hai đường thẳng d và AB vuông góc với nhau ⇔ a.k = −1

1 3 11 ⇒ m = −1 − k = − . 4 2 8

Dễ thấy d1 ∩ d3 = M ( m − 1; 2m − 3)

⇔ −4.k = −1 ⇔ k =

Do đó d1 , d 2 , d 3 đồng quy khi

1 11 Vậy k = , m = − thì đồ thị hàm số y = kx + m là đường thẳng trung trực của đoạn AB. 4 8

m = 1 M ∈ d 2 ⇔ 2m − 3 = m ( m − 1) − m ⇔ m 2 − 4m + 3 = 0 ⇔  m = 3

Cách khác: Ta thấy rằng, điểm N ( x; y ) thuộc đường trung trực d của đoạn AB khi và chỉ khi AN = BN

Do đó m = 1 hoặc m = 3 .

⇔

Với m = 1 thì d1 : y = 2x − 1, d 2 : y = x − 1, d 3 : y = 3x − 1 (thỏa mãn)

( x − 2 ) + ( y + 3) 2

( x − 1) + ( y − 1) 2

⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3) = ( x − 1) + ( y − 1)

Với m = 3 thì d1 : y = 2x − 1, d 2 : y = 3x − 3, d 3 : y = 3x − 3 (loại)

⇔ x 2 − 4x + 4 + y 2 + 6y + 9 = x 2 − 2x + 1 + y 2 − 2y + 1

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 4. Cho hai hàm số y = mx − 3, y = 2x + 1 , biến x và m là tham số, có đồ thị lần lượt là d1 , d 2 . Tìm

⇔y=

1 11 x− 4 8

tất cả các giá trị của m để d1 , d 2 có điểm chung.

1 11 x− 4 8

A. m ≠ 2, m ≠ 3

B. m ≠ 2

Từ đó suy ra đường trung trực của AB là đường thẳng d có phương trình y =

C. m ≠ 0

D. m = 2

Hướng dẫn giải

1 11 Vậy k = , m = − . 4 8

Xét phương trình hoành độ giao điểm mx − 3 = 2x + 1 ⇔ ( m − 2 ) x − 4 = 0 (1)

Ví dụ 6. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2; − 3) ,

Đồ thị ( d1 ) và ( d 2 ) có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm, điều này xảy ra khi m ≠ 2

đồng thời khoảng cách từ B (1; 1) đến ∆ đạt giá trị lớn nhất.

Chọn B.

Hướng dẫn giải Ở ví dụ 5 câu a, ta đã tìm được phương trình của đường thẳng AB là y = −4x + 5 .

Ví dụ 5. Cho hai điểm A ( 2; − 3) , B (1; 1) .

a) Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng đi qua điểm A và cách điểm B một

Gọi H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng ∆ thì khoảng cách từ B đến ∆ là d ( B, ∆ ) = HB

khoảng nhỏ nhất. b) Xác định các hệ số k, m để đồ thị hàm số y = kx + m là đường thẳng trung trực của đoạn AB. Hướng dẫn giải

a) Gọi ∆ : y = ax + b là đường thẳng đi qua A và H là hình chiếu của B trên ∆ . Ta có d ( B, ∆ ) = HB ≥ 0 Khoảng cách từ B đến ∆ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi B trùng với H, hay B thuộc ∆ .

Ta có d ( B, ∆ ) = HB ≤ AB = 17

2a + b = −3 a = −4 Lúc này ∆ đi qua hai điểm A ( 2; − 3) , B (1; 1) nên  . ⇔ a + b = 1 b = 5

Khi đó d ( B, ∆ ) đạt giá trị lớn nhất bằng 17 khi A ≡ H , hay AB ⊥ ∆ .

Trang 17

Trang 18

Hai đường thẳng AB, ∆ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hai hệ số góc bằng -1, tức là

A. m =

1 7 Mà a = nên b = − . 4 2

khoảng cách từ B (1; 1) đến ∆ đạt giá trị lớn nhất.

2 15

B. m =

A. m =

1 5

B. m = −

A. 5

Bài tập cơ bản Câu 1: Cho các hàm số y = 2mx + 1, y = x + 3, y = 5 − 3x (biến x, m là tham số) có đồ thị là ba đường B. m ∈ ( −3; 2 )

C. m ∈ ( 3; + ∞ )

D. m ∈ ( −∞; − 3)

Câu 2: Giá trị của m để hai đường thẳng y = 3x − 2, y = ( m − 6 ) x + m + 1 song song là

C. m =

3 2

5 12

D. m = −

C. 3

3 2

B. m = 3

C. m = ±3

B. m = −1

C. m = −

B. x 2 + y 2 − 5x − 5y + 10 = 0

A. x 2 + y 2 − 3x − 15 = 0

D. Không có m

1 2

Câu 12 (Đề 2 thử sức trước kì thi, Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ, số 500, tháng 2-2019). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x − my + 4m − 2 = 0, d 2 : mx + y − 3m − 1 = 0 , với m là tham số.

C. ( x − 1) + y 2 = 2

D. m =

1 2

D. x 2 + ( y + 3) = 16

ĐÁP ÁN BÀI 2. HÀM SỐ y = ax + b

có hoành độ bằng 3.

Dạng 1. Đồ thị hàm số y = ax + b B. a = b = 2

C. a = 2, b = 3

D. a = 2, b = −6

1 Câu 5: Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = 1 − x và cắt đường thẳng 3 y = x − 1 tại điểm có tung độ bằng 1.

B. a = 3, b = −5 .

C. a = 3, b = −1

Câu 6: Tìm a để ba đường thẳng d1 : 3x − y = 1, d 2 : −2x + ay = a, d 3 : y = B. a =

2 13

C. a = −

D. a =

C. 4 ≤ a < 10

3-A

4-C

5-A

12-A

13-A

14-C

15-B

6-D

7-A

8-D

9-B

10-C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

B (1; 3a − 5 ) , kể cả điểm A nhưng không kể điểm B.

3 2

Bất phương trình (1) có nghiệm trên [ 0; 1) khi đoạn AB có phần nằm phía dưới trục hoành, hoặc có phần

x đồng quy. Khẳng định 2

nào sau đây đúng?

B. 1 ≤ a < 4

2-D

11-A

Đồ thị của hàm số y = ( a − 4 ) x − 1 + 2a ứng với x ∈ [ 0; 1) là đoạn thẳng AB, với A ( 0; 2a − 1) và

1 3 x − đồng quy. 2 2

8 5

1-C

Câu 12. Chọn A.

D. a = −3, b = 7 .

Câu 7: Với a là giá trị để ba đường thẳng d1 : a x − y = 2, d 2 : x + ay = 3, d 3 : y =

A. a < 1

1 5

B. 4

Câu 4: Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x và cắt trục hoành tại điểm

1 5

D. m =

nào trong số các đường có phương trình cho ở bốn đáp án sau đây?

Câu 3: Giá trị của m để hai đường thẳng y = 2x − 3, y = ( m − 1) x + m + 1 vuông góc là

A. a = −

5 3

Biết rằng với mỗi giá trị của m thì d1 , d 2 luôn cắt nhau tại M. Khi m thay đổi thì điểm M chạy trên đường

1 5 A. a = − , b = . 3 3

C. m =

Bài tập nâng cao

thẳng đồng quy. Khẳng định nào sau đây đúng?

1 3 A. a = − , b = 2 2

1 3

Câu 11: Đồ thị hai hàm số y = x − 1, y = 3x + 5 cắt nhau tại A. Khoảng cách từ A đến gốc tọa độ là

Bài tập tự luyện dạng 4

A. m = 3

D. a ≠ 0 và a ≠ 1

Câu 10: Tìm m để hai đường thẳng y = 2mx + 1, y = 3x − 5m cắt nhau tại điểm nằm trên trục tung.

1 7 Vậy với a = , b = − thì đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2; − 3) , đồng thời 4 2

A. m = −3

C. a ≠ 1

khoảng cách từ M (1; − 2 ) đến ∆ đạt giá trị lớn nhất.

Đường thẳng ∆ : y = ax + b đi qua điểm A ( 2; − 3) khi và chỉ khi −3 = 2a + b

A. m ∈ ( 2;3)

B. a ≠ 0

A. Mọi a ∈ R

Câu 9: Cho hàm số y = ( 3m − 1) x − 15m + 2 (biến x, m là tham số) có đồ thị là đường thẳng ∆ . Tìm m để

1 −4.a = −1 ⇔ a = 4

D. a ≥ 10

Câu 8: Tìm a để hai đường thẳng d : x + ay = 0, ∆ : y = ax + 2a − 1 cắt nhau tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) thỏa mãn

thuộc trục hoành.

1  a ≤ 2  yA ≤ 0  2a − 1 ≤ 0 5 Điều này xảy ra khi  ⇔ ⇔ ⇔a< y < 0 3a − 5 < 0 5 3   B a <  3 Câu 13. Chọn A.

x 0 < 0, y 0 < 0 Trang 19

Trang 20

Đồ thị của hàm số y = ( a − 4 ) x − 1 + 2a ứng với x ∈ [ −1; 2] là đoạn thẳng CD với C ( −1; a + 3) và

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 7. Chọn D.

D ( 2; 4a − 9 ) kể cả hai điểm C, D. Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −1; 2] khi đoạn CD không có phần nào nằm phía bên trên

Ta có f ( x ) = ax + b ⇒ f ( f ( x ) ) = a ( ax + b ) + b = a 2 x + ab + b nên a 2 = 9, ab + b = −4 Suy ra a = 3, b = −1 hoặc a = −3, b = 2

trục hoành. 1 1 1 Cả hai phương trình 3x − 1 = , − 3x + 2 = đều có nghiệm x = . 2 2 2

a ≤ −3 y ≤ 0 a + 3 ≤ 0 Điều này xảy ra khi  C ⇔ ⇔ ⇔ a ≤ −3 . a ≤ 9  4a − 9 ≤ 0  yD ≤ 0  4

Câu 8. Chọn A.

Câu 14. Chọn C.

Ta có v ( t ) = 2t + 1 ( cm / s ) , và v ( t ) = 15 khi và chỉ khi 2t + 1 = 15 ⇔ t = 7 ( s )

Đồ thị của hàm số y = ( a − 4 ) x − 1 + 2a ứng với x ∈ ( 0; 8 ) là đoạn thẳng AM với A ( 0; 2a − 1) và

Dạng 4. Bài toán tương giao của hai đồ thị

M ( 8; 10a − 33) không kể cả hai điểm A, M.

1-A

2-B

11-A

12-B

3-D

4-D

5-B

6-B

7-B

8-D

9-C

10-B

Bất phương trình (1) vô nghiệm trên khoảng ( 0; 8 ) khi toàn bộ đoạn AM nằm phía bên trên trục hoành.

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1  a > 2  yA > 0  2a − 1 > 0 33 Điều này xảy ra khi  . ⇔ ⇔ ⇔a> 10 10a − 33 > 0  yM > 0 a > 33  10

Câu 12. Chọn B.

 x − my + 4m − 2 = 0 ( 4 − y ) m = 2 − x ⇔ ⇒ ( 4 − y )(1 − y ) = ( 2 − x )( x − 3) ⇒ x 2 + y 2 − 5x − 5y + 10 = 0  mx + y − 3m − 1 = 0  ( x − 3) m = 1 − y

Câu 15. Chọn B. Đồ thị hàm số y = mx + 2m − 1 ứng với x ∈ [ −1; 2] là đoạn thẳng PQ với P ( −1; m − 1) và Q ( 2; 4m − 1) , kể cả hai điểm P, Q. Bất phương trình mx + 2m − 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −1; 2] khi toàn bộ đoạn PQ không nằm phía dưới trục hoành. m ≥ 1  yP ≥ 0 m − 1 ≥ 0 Điều này xảy ra khi  ⇔ ⇔ ⇔ m ≥ 1. m ≥ 1  4m − 1 ≥ 0  yQ ≥ 0  4

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm số y = ax + b 1-D

2-D

3-B

4-D

5-D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 5. Chọn D. Nếu x ≥ 1 thì y = −2x + 1 ≤ −1 , nếu x < 1 thì y = 3 − x > 2 . Vậy đồ thị hàm số đã cho nghịch biến trên R, cắt trục tung tại điểm M ( 0;3) , không phải hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ trên R và đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Dạng 3. Sự xác định của hàm số y = ax + b 1-C

2-A

3-C

4-A

5-B

6-A

7-D

8-A

Trang 21

Trang 22

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

CHƯƠNG 2

Định nghĩa

BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI Mục tiêu

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức

Kiến thức

Hàm số y = ax 2 ( a ≠ 0 ) là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai khi b = c = 0 .

y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) .

+ Nhận dạng được hàm số y = ax 2 + bx + c . Nắm được các nội dung về tập xác định, sự đồng

Tập xác định của hàm số là D = ℝ . Đồ thị của hàm số bậc hai

biến, nghịch biến và đồ thị của hàm số. + Phát hiện được vấn đề toán học và về hàm số được nghiên cứu từ những bài toán thực tế. + Phát biểu và vận dụng được điều kiện về điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c , điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm

Đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) là một

 b b 2 − 4ac  parabol có đỉnh I  − ; −  , nhận đường 4a   2a

lẻ) trên D. thẳng x = −

Kĩ năng

+ Xét được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = ax 2 + bx + c và lập được bảng biến thiên

b làm trục đối xứng và hướng bề lõm 2a

lên trên khi a > 0 , hướng bề lõm xuống dưới khi Ví dụ: Đồ thị hàm số y = x 2 + 2 x + 4 là một

a < 0.

của hàm số khi a > 0, a < 0 .

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai

+ Xác định được tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của parabol y = ax 2 + bx + c , tìm giao

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh

điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ và xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số. 2

+ Xác định được hàm số y = ax + bx + c , khi biết đồ thị của nó thỏa mãn một số điều kiện cho

 b b 2 − 4ac  I − ;− . 4a   2a

trước. b Bước 2: Vẽ trục đối xứng x = − . 2a

+ Vẽ được đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c, y = ax 2 + bx + c , y = a x + b x + c .

parabol có đỉnh I ( −1;3) , nhận đường thẳng x = −1 làm trục đối xứng và có bề lõm hướng lên trên do a > 0.

Đồ thị hàm số y = x 2 + 2 x + 4 cắt trục tung tại A ( 0; 4 ) , không cắt trục hoành.

Bước 3: Xác định một số điểm cụ thể của parabol Điểm đối xứng với điểm A ( 0; 4 ) qua đường thẳng (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục tọa

độ và các điểm đối xứng của chúng qua trục đối xứng).

x = −1 là điểm A′ ( −2; 4 ) .

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm B (1; 7 ) và B′ ( −3; 7 )

Bước 4: Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hfinh đối xứng với nhau qua đường thẳng x = −1 . Đồ thị hàm số như hình vẽ. dáng parabol để vẽ parabol.

Trang 1

Trang 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Sự biến thiên b   Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞; −  . 2 a  b   Hàm số đồng biến trên khoảng  − ; +∞  .  2a  4ac − b 2 b Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại x = − . 4a 2a

Đồ thị hàm số Bảng biến thiên Ví dụ: Sự biến thiên của hàm số bậc hai - Khi a > 0 , hàm số nghịch biến trên khoảng

b    b   −∞; −  , đồng biến trên khoảng  − ; +∞  2 a    2a  và có giá trị nhỏ nhất là

4ac − b 2 b khi x = − . 4a 2a

Bảng biến thiên của hàm số khi a > 0 như sau:

- Hàm số y = x 2 − 4 x − 1 có a = 1 > 0 và −

Với a > 0

b =2 2a

nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 2 ) , đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) và có giá trị nhỏ nhất là

Hàm số bậc hai

−5 khi x = 2 .

y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) Tập xác định

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

D=ℝ

Đồ thị hàm số - Hàm số

y = − x 2 − 2 x − 2 có

a = −1 < 0 và

b = −1 nên hàm số đồng biến trên khoảng 2a

- Khi a < 0 , hàm số đồng biến trên khoảng

−

b    −∞; −  , nghịch biến trên khoảng 2a  

( −∞; −1) , nghịch biến trên khoảng ( −1; +∞ )

 b   − ; +∞   2a 

4ac − b 2 b và có giá trị lớn nhất là khi x = − . 4a 2a

Bảng biến thiên Với a < 0

và có

giá trị lớn nhất là −1 khi x = −1 . Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Sự biến thiên b   Hàm số đồng biến trên khoảng  −∞; −  . 2a    b  Hàm số nghịch biến trên khoảng  − ; +∞  .  2a  4ac − b 2 b Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại x = − . 4a 2a

Bảng biến thiên của hàm số khi a < 0 như sau:

Trang 3

Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Để vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c , với a, b, c là

Dạng 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

hằng số, a ≠ 0 , ta thực hiện như sau:

Phương pháp giải

- Xác định các hệ số a, b, c.

Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến - Xác định trục đối xứng x = −

của hàm số bậc hai Xét hàm số y = ax 2 + bx + c , với a, b, c là hằng số, Ví dụ 1: Hàm số y = x 2 − 3x − 2 có a = 1 > 0 ,

a ≠ 0 . Để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta thường thực hiện như sau:

b 3 b = −3, c = −2, − = . 2a 2

- Xác định các hệ số a, b, c.

Hàm số có bảng biến thiên như sau:

- Tính −

b = −4, c = 0, −

b = −1 có đồ thị là parabol ( P ) . 2a

b và tọa độ đỉnh 2a - Trục đối xứng của ( P ) là x = −1 .

 b 4ac − b 2  − ; . 4a   2a - Xác định thêm một số điểm.

- Vẽ đường cong đi qua các điểm vừa xác định.

b . 2a

Ví dụ 3: Cho hàm số y = −2 x 2 − 4 x có a = −2 < 0 ,

Lưu ý đến sự biến thiên của hàm số.

- Đỉnh của ( P ) là I ( −1; 2 ) . - Bảng giá trị của một số điểm:

−3

−2

−1

−6

- Đồ thị ( P ) như hình vẽ sau:

- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng

b    −∞; −  và đồng biến trên khoảng 2 a 

 b   − ; +∞  .  2a  Bảng biến thiên của hàm số như sau:

3  Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞;  và đồng 2 

3  biến trên khoảng  ; +∞  . 2  

2 - Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng Ví dụ 2: Hàm số y = −2 x − 4 x có a = −2 < 0 ,

b    −∞; −  và nghịch biến trên khoảng 2a  

 b   − ; +∞  .  2a 

b = −4, c = 0, −

b = −1 . Hàm số có bảng biến thiên 2a

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên, xác định các khoảng đồng biến, nghịch

như sau:

biến và vẽ đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây. a) y = x 2 .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

b) y = x 2 − 2 x − 1 . Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) và nghịch

c) y = − x 2 + 3 x − 3 .

Hướng dẫn giải

biến trên khoảng ( −1; +∞ ) .

Chú ý: Đường thẳng x = x0

b a) Hàm số y = x có a = 1, b = c = 0, − = 0. 2a

vuông góc với trục Ox tại điểm

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

có hoành độ bằng x0 .

Đường thẳng y = y0 vuông góc

Vẽ đồ thị hàm số bậc hai Trang 5

Trang 6

với trục Oy tại điểm có tung độ bằng y0 .

−1

Điểm M ( x0 ; y0 ) là giao điểm

−1

−2

−1

của hai đường thẳng vuông góc Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 ) và đồng biến trên khoảng

Để vẽ đồ thị ( P ) ta lấy một số điểm theo bảng giá trị sau:

Ta có đồ thị ( P ) như hình vẽ.

x = x0 và y = y0 .

( 0; +∞ ) . Đồ thị của hàm số y = x 2 là parabol ( P ) có trục đối xứng là đường thẳng x = 0 (trục tung) và đỉnh là điểm O ( 0;0 ) (gốc tọa độ).

Để vẽ đồ thị ( P ) ta lấy một số điểm theo bảng giá trị sau: x

−2

−1

Đồ thị ( P ) như hình vẽ. c) Hàm số y = − x 2 + 3 x − 3 có a = −1, b = 3, c = −3, −

b 3 = . 2a 2

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

3  Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; +∞  và đồng biến trên khoảng 2  3   −∞;  . 2 

b b) Hàm số y = x 2 − 2 x − 1 có a = 1, b = −2, c = −1, − =1. 2a

Đồ thị của hàm số y = − x 2 + 3 x − 3 là parabol ( P ) có trục đối xứng là

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

đường thẳng x =

3 3 3 và đỉnh là điểm I  ; −  . 2 2 4

Để vẽ đồ thị ( P ) ta lấy một số điểm theo bảng giá trị sau: x

−3

−1

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) và đồng biến trên khoảng

(1; +∞ ) .

3 2

−

3 4

−1

−3

Đồ thị ( P ) như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số y = x 2 − 2 x − 1 là parabol ( P ) có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 và đỉnh là điểm I (1; −2 ) .

Trang 7

Trang 8

Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước như sau:

- Bước 1: Ta vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x (hình 1), cách vẽ tương tự như ví dụ 1. - Bước 2: Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y = x 2 − 2 x nằm phía dưới trục hoành (hình 2). - Bước 3: Xóa đi toàn bộ phần đồ thị y = x 2 − 2 x nằm phía dưới trục hoành thu được đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x như hình 3 dưới đây.

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c như hình vẽ.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = − x 2 + ( 3m − 1) x − m (với m là tham số) có đồ

thị ( P ) . A. a > 0, b < 0, c < 0

B. a < 0, b < 0, c > 0

C. a < 0, b > 0, c < 0

D. a < 0, b < 0, c < 0

a) Tìm m để ( P ) đi qua điểm A (1;0 ) . b) Tìm điểm cố định mà ( P ) luôn đi qua với mọi m.

Hướng dẫn giải

c) Tìm quỹ tích đỉnh của ( P ) khi m thay đổi.

Do đồ thị quay bề lõm xuống dưới nên a < 0 .

d) Tìm m để hàm số là hàm chẵn trên ℝ .

Đồ thị cắt trục tung tại điểm ( 0; c ) nằm phía dưới gốc tọa độ nên

Hướng dẫn giải

c <0.

a) Thay x = 1, y = 0 vào y = − x 2 + ( 3m − 1) x − m ta được

Hoành độ đỉnh của đồ thị nhận giá trị âm nên −

b < 0 , dẫn tới b < 0 . 2a

0 = −12 + ( 3m − 1) .1 − m ⇔ 2m − 2 = 0 ⇔ m = 1 . Vậy với m = 1 thì parabol ( P ) : y = − x 2 + ( 3m − 1) x − m đi qua điểm

Vậy a, b, c đều âm.

Chú ý: Ta có thể vẽ đồ thị các

Chọn D. Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x .

y = x2 − 2 x

và

y = − x 2 + 2 x trên cùng một hệ

Hướng dẫn giải x ≥ 2 Ta thấy x 2 − 2 x ≥ 0 ⇔  hoặc x ≤ 0 và x 2 − 2 x < 0 ⇔ 0 < x < 2 . x ≤ 0 2

Viết lại hàm số y = x − 2 x ở dạng

 x − 2 x khi x ∈ ( −∞; 0] ∪ [ 2; +∞ ) . y= 2 − x + 2 x khi x ∈ ( 0; 2 ) 2

số

hàm

trục tọa độ rồi xóa đi toàn bộ những phần đồ thị nằm phía bên dưới trục hoành, khi đó sẽ thu được đồ thị hàm số 2

y = x − 2x .

Trang 9

A (1;0 ) . b) Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định mà

( P ) : y = − x2 + ( 3m − 1) x − m

luôn đi qua với mọi m. Khi đó: y0 = − x02 + ( 3m − 1) x0 − m, ∀m ∈ ℝ

⇔ ( 3 x0 − 1) m + ( − x02 − x0 − y0 ) = 0, ∀m ∈ ℝ 3x0 − 1 = 0 ⇔ 2 − x0 − x0 − y0 = 0

Trang 10

1   x0 = 3 . ⇔ y = − 4  0 9

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( −∞; 2 )

và đồng biến trên

( −∞;3)

và đồng biến trên

khoảng ( 2; +∞ ) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2

Vậy với mọi m thì parabol ( P ) : y = − x + ( 3m − 1) x − m luôn đi qua 1 4 điểm M  ; −  . 3 9

Chú ý: Để tìm phương trình của (P1) ta có thể thực hiện như - Hoành độ đỉnh của parabol (P) là

2 xI + 1  3m − 1  xI = m = 3   2 Ta thấy  ⇔ 2 2  y = 9m − 10m + 1  y = 9  2 xI + 1  − 10  2 xI + 1  + 1 I I      4 3  4 3  4  4 2 xI + 1  m = 3 ⇔ .  y = x2 − 2 x − 1 I I  I 3 3

2 1 Vì yI = xI2 − xI − với mọi m và khi m chạy khắp tập ℝ thì xI cũng 3 3

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng

(1; +∞ ) .

 3m − 1 9m 2 − 10m + 1  c) Đỉnh của ( P ) là điểm I  ; . 4  2 

khoảng ( 3; +∞ ) .

3m − 1 , ta rút ra x= 2

trên các khoảng ( 0;1) , ( 4; +∞ ) . Hướng dẫn giải

2x + 1 3

- Thay m =

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0 ) , (1; 4 ) và đồng biến

Ta viết lại hàm số y = x 2 − 4 x − 2 x + 1 như sau:

2x + 1 vào phương 3

trình của (P) ta được

 x 2 − 6 x + 1 khi x ∈ ( −∞; 0] ∪ [ 4; +∞ ) y= 2 .  − x + 2 x + 1 khi x ∈ ( 0; 4 )

Chú ý: Nếu một hàm số đồng

y = − x 2 + [ (2 x + 1) − 1] x −

2x + 1 3

Hàm bậc hai f ( x ) = x − 6 x + 1 nghịch biến trên ( −∞;3) , đồng biến biến (hoặc nghịch biến) trên tập trên ( 3; +∞ ) , do đó nó nghịch biến trên ( −∞; 0 ) và đồng biến trên D và X là tập con khác rỗng bất kì của D thì hàm số đó đồng

( 4; +∞ ) .

2 1 ⇔ y = x2 − x − 3 3

Hàm bậc hai g ( x ) = − x 2 + 2 x + 1 đồng biến trên ( −∞;1) , nghịch biến

trên X.

Vậy phương trình của (P1) là  3m − 1 9m 2 − 10m + 1  ; chạy khắp tập ℝ nên quỹ tích điểm I   là 4 2 1  2  y = x2 − x − 3 3 2 1 parabol ( P1 ) : y = x 2 − x − . 3 3

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) , (1; 4 ) và đồng

d) Đặt f ( x ) = − x 2 + ( 3m − 1) x − m thì f ( − x ) = − x 2 − ( 3m − 1) x − m .

Chọn D.

Hàm số đã cho là hàm chẵn trên ℝ khi và chỉ khi

biến trên các khoảng ( 0;1) , ( 4; +∞ ) .

Bài tập cơ bản

⇔ − x 2 − ( 3m − 1) x − m = − x 2 + ( 3m − 1) x − m, ∀x ∈ ℝ

Câu 1: Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số y =

⇔ 2 ( 3m − 1) x = 0, ∀x ∈ ℝ

Vậy với m =

trên (1; +∞ ) , do đó nó đồng biến trên ( 0;1) và nghịch biến trên (1; 4 ) .

Bài tập tự luyện dạng 1

f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ℝ

⇔ 3m − 1 = 0 ⇔ m =

biến (tương ứng nghịch biến)

 7 A. M 1;   2

1 . 3

9  B. N  −1; −  2 

1 2 x + 4x −1 ? 2

C. P ( 2;9 )

D. Q ( −2; 7 )

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đi qua điểm A ( −2;6 ) ?

1 thì hàm số y = − x 2 + ( 3m − 1) x − m là hàm chẵn trên 3

A. y = x 2 − 3 x − 1

B. y = 7 − 3 x − x 2

C. y = −4 x 2 + 9

D. y = 2 x 2 + x

Câu 3: Trục đối xứng của parabol y = −2 x 2 + 12 x − 11 là

ℝ.

A. x = 3

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 2 − 4 x − 2 x + 1 . Khẳng định nào sau đây

B. x = −3

C. x = −6

D. x = 6

Câu 4: Đồ thị hàm số y = x − 4 x + 3 cắt trục tung tại điểm A và cắt trục hoành tại hai điểm B, C phân 2

đúng?

biệt. Diện tích tam giác ABC là

Trang 11

Trang 12

A. 3 (đvdt)

B. 6 (đvdt)

C. 2 (đvdt)

9 (đvdt) 2

Câu 5: Hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các đáp án A, B, C, D sau đây. Hỏi đó là hàm số nào? A. y = − x 2 + 2 x + 3 B. y = − x 2 − 2 x + 3

C. y = x 2 − 2 x − 3

Bài tập nâng cao

D. y = − x 2 − 2 x − 3

Câu 11: Đồ thị hàm số y = mx 2 + ( 2 − 3m ) x + 2m − 1 luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi m. Độ dài đoạn thẳng AB là A. 13

Câu 6: Bảng ở hình bên là bảng biến thiên của hàm số nào sau đây? A. y = − x 2 + 2 x + 1

B. y = −2 x 2 + 4 x

C. y = −2 x 2 + 4 x + 1

D. y = x 2 − 2 x

( P)

A. ( P ) : y = −

1 2 8 1 x − x+ 10 5 5

B. ( P ) : y = − x 2 +

2 8 x− 5 5

C. ( P ) : y = −

1 2 1 8 x + x− 10 5 5

1 1 2 D. ( P ) : y = − x 2 − x + 2 5 5

đạt nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? A. m0 ∈ ( −1; 4 )

D. m = 6

Câu 9: Để hàm số y = −4 x 2 − ( 2m − 1) x + 19m2 là hàm chẵn trên ℝ thì 1 2

D. y = − x 2

Câu 14: Gọi m0 là giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 − 2mx + 1 trên đoạn [ −1;3]

Câu 8: Để trục đối xứng của đồ thị hàm số y = x 2 − ( m + 2 ) x + 3m − 2 đi qua điểm M ( 4;3) thì

C. m =

C. y = x 2 − 2 x − 1

cho M cách đều điểm F và đường thẳng ∆ là

D. Hàm số đồng biến trên ( −∞;3) và nghịch biến trên ( 3; +∞ ) .

C. m = 4

B. y = 2 x 2 + 1

Câu 13: Cho điểm F (1; −4 ) và đường thẳng ∆ : y = 1 . Tập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞; 0 ) và nghịch biến trên [ 4; +∞ ) .

B. m = 1

là đường có phương trình nào sau đây?

A. y = − x 2 − 1

B. Hàm số đồng biến trên ( −∞; 2 ) và nghịch biến trên ( 2; +∞ ) .

A. m = 0

Câu 12: Cho họ parabol ( P ) : y = x − ( 2m + 1) x − 1 với m là tham số. Khi m thay đổi, quỹ tích đỉnh của

A. Hàm số đồng biến trên ( −∞;1] và nghịch biến trên [3; +∞ ) .

B. m = 3

5 2

Câu 7: Cho hàm số y = − x 2 + 4 x − 1 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. m = 2

B. m0 ∈ (1;5 )

C. m0 ∈ ( −3;1)

D. m0 ∈ ( −∞;0 )

Câu 15: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và −12 x + 20 y + 28 z ≤ 39 . Giá trị lớn nhất của D. m = −

biểu thức S = −2 x 2 + 5 y 2 + 7 z 2 là

1 2

A. 12

 −2 x + 1 khi x ≥ 1 Câu 10: Hình vẽ nào trong bốn hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số y =  2 ?  x − 2 khi x < 1

87 8

23 2

76 7

Dạng 2: Bài toán tương giao giữa các đồ thị hàm số Phương pháp giải +)

Xét

các

hàm

số

y = a1 x 2 + b1 x + c1 , y = a2 x + b2

( a1 , a2 , b1 , b2 , c1 là các hằng số, a1 ≠ 0 ) có đồ thị lần lượt là

(d )

( P ) , ( d ) . Phương trình hoành độ điểm chung của ( P )

( P) .

( d ) là

a1 x 2 + b1 x + c1 = a2 x + b2

⇔ a1 x 2 + ( b1 − a2 ) x + ( c1 − b2 ) = 0 (1).

Trang 13

Ví dụ 1: Xét hàm số y = 3x − 1 có đồ thị là

và

và hàm số y = x 2 − x + 2 có đồ thị là

Phương trình hoành độ điểm chung là x 2 − x + 2 = 3x − 1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 .

Trang 14

- Nếu (1) vô nghiệm thì ( P ) , ( d ) không có điểm chung.

( P),(d )

- Nếu (1) có nghiệm kép x = x0 thì

có điểm

chung duy nhất M 0 ( x0 ; a2 x0 + b2 ) . Lúc này ( P ) và ( d ) tiếp xúc với nhau tại M 0 . Ta gọi đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến của parabol ( P ) , điểm M 0 được gọi là tiếp điểm. - Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x = x1 , x = x2 thì

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

x = 1 , x = 3 . Thay các giá trị của x vào

Phương trình x 2 = −3 x + 2 ⇔ x 2 + 3 x − 2 = 0 (có hai nghiệm phân biệt).

phương trình của ( d ) (cũng có thể thay vào

Vậy đường thẳng y = −3 x + 2 cắt parabol y = x 2 tại hai điểm phân biệt.

phương trình của ( P ) ), ta được các giá trị

Phương trình x 2 = − x − 1 ⇔ x 2 + x + 1 = 0 (vô nghiệm).

tương ứng y = 2, y = 8 . Vậy ( d ) cắt ( P ) tại

Vậy đường thẳng y = −1 − x và parabol y = x 2 không có điểm chung.

hai điểm phân biệt M 1 (1; 2 ) , M 2 ( 3;8) .

Phương trình x 2 = −2 x − 1 ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 (có nghiệm kép). Vậy đường thẳng y = −2 x − 1 tiếp xúc với parabol.

( P ) , ( d ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Phương trình x 2 = 5 x − 8 ⇔ x 2 − 5 x + 8 = 0 (vô nghiệm).

M 1 ( x1 ; a2 x1 + b2 ) , M 2 ( x2 ; a2 x2 + b2 ) .

Vậy đường thẳng y = 5 x − 8 và parabol y = x 2 không có điểm chung.

Ví dụ 2: Xét hàm số y = 2 x 2 + 3x + 6 có đồ

+) Xét các hàm số y = a1 x 2 + b1 x + c ,

2 y = a2 x 2 + b2 x + c2 ( a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 là các hằng số, thị là ( P1 ) và hàm số y = x − x + 2 có đồ thị

a1 ≠ 0, a2 ≠ 0 ) có đồ thị lần lượt là

( P1 ) , ( P2 ) .

Phương là ( P2 ) . Phương trình hoành độ giao điểm

trình hoành độ điểm chung của

( P1 )

( P2 )

và

là

a1 x + b1 x + c1 = a2 x + b2 x + c2 ⇔ ( a1 − a2 ) x 2 + ( b1 − b2 ) x + ( c1 − c2 ) = 0 (2).

- Nếu (2) là phương trình bậc nhất và có nghiệm duy nhất

x = x0 thì

( P1 ) , ( P2 )

cắt nhau tại điểm duy nhất

M 0 ( x0 ; a1 x02 + b1 x0 + c1 ) (cắt nhau nhưng không tiếp xúc).

A. Hai parabol không có điểm chung. B. Hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc). C. Hai parabol tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất.

Thay giá trị này của x vào phương trình của

D. Hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

(cũng có thể thay vào phương trình của

( P2 ) ), ta được

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là

y =8.

x 2 − 2 x + 2 = −4 x 2 ⇔ 5 x 2 − 2 x + 2 = 0 (vô nghiệm).

Vậy ( P1 ) và ( P2 ) tiếp xúc với nhau tại điểm

Vậy hai parabol không có điểm chung.

M 0 ( −2;8 ) .

Chọn A. Ví dụ 3: Cho hai parabol có phương trình y = 3x 2 − 2 x, y = 3x 2 + x − 7 . Khẳng định nào sau đây đúng?

tiếp xúc với nhau tại M 0 ( x0 ; a1 x02 + b1 x0 + c1 ) .

A. Hai parabol không có điểm chung. B. Hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc).

Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm.

C. Hai parabol tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất.

- Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt x = x1 , x = x2 thì

( P1 ) , ( P2 )

Khẳng định nào sau đây đúng?

Phương trình này có nghiệm kép x = −2 .

- Nếu (2) là phương trình bậc hai có nghiệm kép x = x0 thì

( P1 ) , ( P2 )

Ví dụ 2: Cho hai parabol có phương trình y = x 2 − 2 x + 2, y = −4 x 2 .

2 x 2 + 3x + 6 = x 2 − x + 2 ⇔ x 2 + 4 x + 4 = 0 .

( P1 )

- Nếu (2) vô nghiệm thì ( P1 ) , ( P2 ) không có điểm chung.

Chọn A.

D. Hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là

M 1 ( x1 ; a1 x12 + b1 x1 + c1 ) , M 2 ( x2 ; a1 x22 + b1 x2 + c1 ) .

3 x 2 − 2 x = 3 x 2 + x − 7 ⇔ −3 x + 7 = 0 (là phương trình bậc nhất và có

đúng một nghiệm).

Ví dụ mẫu

Vậy hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc).

Ví dụ 1: Đường thẳng nào sau đây cắt parabol y = x 2 tại hai điểm phân

Chọn B.

biệt?

A. y = −3x + 2

B. y = −1 − x

C. y = −2 x − 1

Ví dụ 4: Cho parabol ( P ) : y = x 2 + ( m − 2 ) x − 1 và đường thẳng

D. y = 5 x − 8 Trang 15

Trang 16

( d ) : y = ( m − 1) x + 2m + 1 . Để ( d ) là tiếp tuyến của ( P ) A. m = 1

B. m = −4

9 C. m = − 8

trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

thì

b) Từ đồ thị hàm số y = x 2 + 6 x + 7 ta suy ra đồ thị của hàm số

8 D. m = 9

y = x 2 + 6 x + 7 là đường cong ( P1 ) như hình vẽ. Hàm số y = 1 − m có

Hướng dẫn giải

đồ thị là đường thẳng d1 vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và ( d )

1 − m ( d1 cùng phương với Ox). Số nghiệm phân biệt của phương trình

x 2 + ( m − 2 ) x − 1 = ( m − 1) x + 2m + 1 ⇔ x 2 − x − 2m − 2 = 0 (1).

x 2 + 6 x + 7 = 1 − m là số điểm chung phân biệt của ( P1 ) và d1 .

Đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến của ( P ) khi và chỉ khi phương trình (1) 9 có nghiệm kép ⇔ ∆ = 8m + 9 = 0 ⇔ m = − . 8

Chọn C. Ví dụ 5: Biện luận theo m số nghiệm phân biệt của các phương trình sau: a) x 2 + 6 x + 7 = m b) x 2 + 6 x + 7 = 1 − m c) x 2 + 6 x = 2m

Từ đồ thị ta nhận thấy:

Hướng dẫn giải

- Nếu 1 − m < 0 ⇔ m > 1 thì 2

( P1 )

và d1 không có điểm chung, nên

a) Hàm số y = x + 6 x + 7 có đồ thị là đường parabol ( P ) như hình vẽ.

phương trình đã cho vô nghiệm.

Hàm hằng y = m có đồ thị là đường thẳng d vuông góc với trục Oy tại

- Nếu 1 − m = 0 ⇔ m = 1 thì ( P1 ) và d1 có hai điểm chung phân biệt, nên

điểm có tung độ bằng m (d cùng phương với Ox). Số nghiệm phân biệt

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

của phương trình x + 6 x + 7 = m là số điểm chung phân biệt của ( P ) và

- Nếu 0 < 1 − m < 2 ⇔ −1 < m < 1 thì ( P1 ) và d1 có bốn điểm chung phân

biệt, nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

- Nếu 1 − m = 2 ⇔ m = −1 thì ( P1 ) và d1 có ba điểm chung phân biệt, nên phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt. - Nếu 1 − m > 2 ⇔ m < −1 thì ( P1 ) và d1 có hai điểm chung phân biệt, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. c) Biến đổi x 2 + 6 x = 2m ⇔ x 2 + 6 x + 7 = 2m + 7 . Từ đồ thị ta nhận thấy:

Đồ thị hàm số y = x 2 + 6 x + 7 là đường cong ( P2 ) như hình vẽ. Hàm số

- Nếu m < −2 thì ( P ) và d không có điểm chung, nên phương trình đã

y = 2m + 7 có đồ thị là đường thẳng d 2 vuông góc với trục Oy tại điểm

cho vô nghiệm.

có tung độ bằng 1 − m ( d 2 cùng phương với Ox). Số nghiệm phân biệt

- Nếu m = −2 thì ( P ) và d có một điểm chung, nên phương trình đã cho

của phương trình x 2 + 6 x = 2m là số điểm chung phân biệt của ( P2 ) và

có một nghiệm.

d2 .

- Nếu m > −2 thì ( P ) và d có hai điểm chung phân biệt, nên phương

Để vẽ đồ thị ( P2 ) ta thực hiện như sau: Trang 17

Trang 18

đồ thị vừa vẽ qua trục tung. Toàn bộ phần thu được chính là đồ thị hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ( x ) là hàm chẵn và đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 3) Gọi ( C1 ) , ( C2 ) lần lượt là đồ thị của hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) . Ta gọi phương trình f ( x ) = g ( x ) là phương trình hoành độ điểm chung - Vẽ phần parabol y = x 2 + 6 x + 7 ứng với x ≥ 0 .

của ( C1 ) , ( C2 ) . Phương trình đó có k nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

- Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục Oy.

( C1 ) , ( C2 ) có k điểm chung phân biệt.

- Hợp của hai phần đó là đồ thị ( P2 ) của hàm số y = x 2 + 6 x + 7 . Dễ thấy y = x 2 + 6 x + 7 là hàm chẵn trên ℝ và ( P2 ) nhận Oy làm trục

Bài tập tự luyện dạng 2

đối xứng.

Bài tập cơ bản

Từ đồ thị ta nhận thấy:

Câu 1: Đường thẳng y = 3 − 2 x cắt parabol y = x 2 tại hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , biết

- Nếu 2m + 7 < 7 ⇔ m < 0 thì ( P2 ) và d 2 không có điểm chung, do đó

y1 > y2 . Giá trị của 2 x1 − x2 là

phương trình đã cho vô nghiệm. - Nếu 2m + 7 = 7 ⇔ m = 0 thì

A. −6

( P2 ) ( P2 )

C. 5

D. −7

Câu 2: Parabol y = 3 x và đường thẳng nào sau đây không có điểm chung?

và d 2 có một điểm chung, do đó

1 A. y = − x + 3 3

phương trình đã cho có đúng một nghiệm. - Nếu 2m + 7 > 7 ⇔ m > 0 thì

B. 17 2

và d 2 có hai điểm chung, do đó

1 B. y = x + 2 3

C. y = −3x − 5

D. y = 3 x −

1 2

Câu 3: Parabol y = − x 2 + 4mx − 4 tiếp xúc với trục hoành khi

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

A. m = ± 3

Chú ý:

B. m = ±1

C. m = ±2

D. m = ±

1 4

1) Cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Câu 4: Gọi d là tiếp tuyến chung của hai parabol ( P ) : y = x 2 + 2 x, ( P′ ) : y = x 2 − 3 x . Điểm nào sau đây

Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) . Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị

thuộc đường thẳng d?

 41  A. M  2;   16 

y = f ( x ) nằm phía dưới trục. Sau đó xóa đi phần đồ thị nằm phía dưới

 17  B. M  −1;   16 

33   C. M 1; −   16 

7  D. M  −4; −  16  

Câu 5: Đường thẳng y = 3x + 5 và parabol nào sau đây không có điểm chung?

Ox. Toàn bộ phần còn lại chính là đồ thị hàm số y = f ( x ) .

A. y = 2 x 2 + 6 x − 1

Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) và đồ thị hàm số y = − f ( x ) trên

B. y = − x 2 + 7 x + 1

C. y = x 2 + 4 x + 8

D. y = − x 2 + 3x + 6

Câu 6: Hai parabol nào sau đây cắt nhau tại hai điểm phân biệt?

cùng một hệ trục tọa độ. Xóa toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành của hai hàm số nói trên. Phần còn lại thu được chính là đồ thị hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ( x ) không có điểm nào nằm phía

A. y = 2 x 2 , y = x 2 − x − 1

B. y = 9 − 2 x 2 , y = −3x 2 + 6 x

C. y = 2 x 2 − 2 x + 3, y = x 2 − x − 2

D. y = 2 x 2 + 7 x − 2, y = x 2 − x − 1

Câu 7: Để phương trình x 2 − 6 x + 8 = m có bốn nghiệm phân biệt thì điều kiện của m là

dưới trục hoành.

A. 0 < m < 3

2) Cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) .

B. 1 < m < 3

C. 0 < m < 1

D. 2 < m < 4

Câu 8: Cho ( P ) : y = − x + mx, ( d ) : y = 2 x + m . Trong trường hợp ( P ) cắt ( d ) tại hai điểm phân biệt A, 2

Vẽ phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) ứng với x ≥ 0 . Lấy đối xứng phần

B thì trung điểm của đoạn thẳng AB chạy trên đường thẳng nào sau đây? Trang 19

Trang 20

A. y = −4 x − 1

B. y = 2 x + 1

C. y = −2 x + 4

D. y = 4 x + 2

( P3 ) : y = ax2 − x + 2 đi qua điểm

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c (với a, b, c là các hằng số, a ≠ 0 ) có đồ thị ( P ) tiếp xúc với 2

đường thẳng d : y = x − 2 tại điểm có hoành độ bằng 2. Giá trị của f (1) − f ( 3) là A. 2

B. −2

C. 0

A. abc = 10

B. abc = −5

M 3 ( 2; −8 ) . Giá trị của abc là

C. abc = −36

D. abc = 2

Hướng dẫn giải

D. −1

Ta có M 1 (1;1) ∈ ( P1 ) ⇔ 1 = −12 + 1 + c ⇔ c = 1 ,

Bài tập nâng cao

Câu 10: Cho hai phương trình x 2 − 3x + 2m + 1 = 0 (1), − x 2 + x − m = 0 (2). Để mỗi phương trình trên đều có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm của (1) nằm xen kẽ với các nghiệm của (2) thì điều kiện của m là

M 2 ( −1; 4 ) ∈ ( P2 ) ⇔ 4 = −2 ( −1) + b ( −1) + 1 ⇔ b = −5 , M 3 ( 2; −8 ) ∈ ( P3 ) ⇔ −8 = a.22 − 2 + 2 ⇔ a = −2 .

A. −2 − 5 < m < −2 + 5

B. −2 − 3 < m < −2 + 3

Vậy abc = 10 .

C. 3 − 5 < m < 3 + 5

D. 3 − 2 < m < 3 + 2

Chọn A.

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 2 + bx + c (với a, b, c là các hằng số, a ≠ 0 ). Khẳng định nào sau đây sai?

Ví dụ 2: Xác định các hệ số b, c để đồ thị hàm số y = x 2 + bx + c đi qua điểm A ( 2; −3) , B (1;1) .

u = v A. Với mọi u, v ∈ ℝ ta có f ( u ) = f ( v ) ⇔  . u = − b − v a 

A. b = 7; c = −7 B. b = −7; c = 7 C. b = −7; c = −7 D. b = 7; c = 7 Hướng dẫn giải

b  b   B. Với mọi u , v ∈ ℝ thỏa mãn  u +  v +  > 0 thì f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v . 2 a 2 a  

C. Nếu a > 0 và u , v ∈ ℝ thì

f (u ) + f ( v)

Parabol y = x 2 + bx + c đi qua điểm A ( 2; −3) nên 2b + c = −7 . Parabol y = x 2 + bx + c đi qua điểm B (1;1) nên b + c = 0 .

u+v ≥ f .  2 

2b + c = −7 b = − 7 Ta có hệ phương trình  . ⇔ b c + = 0  c = 7

D. Nếu d : y = kx + m là một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho thì f ( x ) ≥ kx + m, ∀x ∈ ℝ . Câu 12: Cho hàm số y = ax 2 + bx + c (với a, b, c là các hằng số, a ≠ 0 ) có đồ thị ( P ) tiếp xúc với

( P1 ) : y = 2 x 2 + 5

tại điểm có hoành độ bằng −2 , tiếp xúc với ( P2 ) : y = − x 2 + 8 x − 17 tại điểm có hoành

B. −4

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc hai y = − x 2 + ( m + 1) x + 2m − 1 với m là tham số, có đồ thị

( P ) . Hãy xác định hàm số bậc hai đã cho, biết rằng ( P )

độ bằng 3. Giá trị của a + b + c là A. 1

Chọn B.

C. −2

D. 1

Hướng dẫn giải  m + 1 m2 + 10m − 3  Parabol ( P ) : y = − x 2 + ( m + 1) x + 2m − 1 có đỉnh là I  ; . 4  2 

Dạng 3: Sự xác định hàm số bậc hai Phương pháp giải Hàm số bậc hai có dạng y = ax 2 + bx + c với a, b, c Ví dụ: Xác định hàm số y = x 2 − 3 x + c biết rằng

 m + 1 m2 + 10m − 3  Ta thấy ( P ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi điểm I  ;  thuộc 4  2 

là các hằng số, a ≠ 0 . Hàm số bậc hai xác định khi đồ thị của nó là parabol cắt trục tung tại điểm có trục hoành, tức là

tung độ bằng 2.

biết các hệ số a, b, c.

tiếp xúc với trục hoành.

Thay x = 0, y = 2 vào hàm số, ta được c = 2 .

m 2 + 10m − 3 = 0 ⇔ m = −5 ± 2 7 . 4

Ví dụ 4: Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c là parabol ( P ) có

Vậy hàm số đã cho là y = x − 3 x + 2 .

đỉnh I ( 3; −8 ) và cắt đường thẳng ( d ) : y = −3x − 1 tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 10 .

Ví dụ mẫu

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Cho các số a, b, c (với a ≠ 0 ) thỏa mãn parabol ( P1 ) : y = − x 2 + x + c đi qua điểm M 1 (1;1) , parabol

( P2 ) : y = −2 x 2 + bx + 1

Vì parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c có đỉnh I ( 3; −8 ) nên

đi qua điểm M 2 ( −1; 4 ) , parabol Trang 21

Trang 22

 b =3 b = −6a, a ≠ 0 − . ⇔  2a c = 9 a − 8 −8 = 9a + 3b + c

Câu 5: Cho hàm số y = ax 2 + bx + c (với a, b, c là các hằng số, a ≠ 0 ). Biết rằng hàm số nhận giá trị −1

Ta viết lại phương trình của ( P ) như sau y = ax 2 − 6ax + 9a − 8 .

khi x = 0, x = 1 và nhận giá trị 1 khi x = −1 . Giá trị của abc là

A. 1

Lúc này, phương trình hoành độ điểm chung của ( P ) và ( d ) là

1 4

C. 0

D. a 2 + b 2 =

1 2

D. −2

Câu 6: Cho ( P ) : y = ax + bx + c với a, b, c là các hằng số, a ≠ 0 . Biết rằng ( P ) có đỉnh là điểm I (1;8 ) A. 8

9 . 8

B. 56

C. 512

D. 272

Câu 7: Cho ( P ) : y = ax + bx + c với a, b, c là các hằng số, a ≠ 0 . Biết rằng ( P ) có trục đối xứng là 2

9 Với điều kiện a ≠ 0 , a < thì ( P ) cắt ( d ) tại hai điểm phân biệt A ( x1 ; −3x1 − 1) , 8

đường thẳng x = 1 và đồng thời tiếp xúc với cả hai đồ thị ( P1 ) : y = x 2 , ( P2 ) : y = x 2 − 2 x . Giá trị của 1 1 1 + + là a b c

9 − 8x B ( x2 ; −3x2 − 1) , trong đó x1 − x2 = . a

A. −1

Do đó AB = 10 ⇔ ( x1 − x2 ) + ( −3x1 + 3 x2 ) = 10 2

C. a 2 + b 2 =

và cắt trục hoành tại hai điểm M, N thỏa mãn MN = 4 . Giá trị của a 3 + b3 + c 3 là

Với a ≠ 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khi ∆ = 9 − 8a > 0 ⇔ a <

⇔ ( x1 − x2 ) = 1 ⇔

B. −1

5 2

ax 2 − 6ax + 9a − 8 = −3x − 1 ⇔ ax 2 + ( 3 − 6a ) x + 9a − 7 = 0 .

B. a 2 + b 2 =

A. a 2 + b 2 = 1

B. −

1 2

1 4

D. 5

Bài tập nâng cao

9 − 8a = 1 ⇔ a = 1 hoặc a = −9 . a2

Câu 8: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ bay theo quỹ đạo của một cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth, trong đó t là thời gian kể từ khi quả bóng được đá lên (tính bằng giây), h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả sử quả bóng được đá lên từ độ cao 1,1m. Sau 1 giây nó đạt độ cao 8,6m. Sau 2 giây, nó đạt độ cao 6m. Hỏi độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt dược gần với giá trị nào sau đây nhất?

9 Cả hai giá trị trên của a đều thỏa mãn điều kiện a ≠ 0 , a < . 8 Với a = 1 thì b = −6, c = 1 . Với a = −9 thì b = 54, c = −89 . Vậy a = 1, b = −6, c = 1 hoặc a = −9, b = 54, c = −89 .

A. 8,888m

B. 8,897m

C. 9,1m

D. 9,291m

Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập nâng cao Câu 1: Để đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c là một parabol có đỉnh I ( 3;8 ) và đi qua điểm M (1; 4 ) thì 1 6 13 A. a = , b = , c = 5 5 5

1 6 13 B. a = − , b = − , c = − 5 5 5

D. a = 1, b = −6, c = 1

C. a = −1, b = 6, c = −1

Câu 2: Biết parabol ( P ) : y = ax + bx + c đi qua ba điểm A (1;1) , B ( −2;16 ) , C ( 3;11) . Khẳng định nào sau 2

đây đúng? A. a = 1, b = 16, c = 11 B. a = 2, b = 2, c = −3

C. a = 2, b = −3, c = 2

D. a = 1, b = −2, c = 3

Câu 3: Tìm b,c để parabol y = − x + bx + c đi qua hai điểm A (1; 2 ) , B ( 2;1) . 2

B. b = 1, c = 2

A. b = c = 1

C. b = 2, c = 1

D. b = c = 2

Câu 4: Hàm số y = x + ax + b có đồ thị đi qua hai điểm A (1; 2 ) , B ( −1;1) . Khẳng định nào sau đây 2

đúng?

Trang 23

Trang 24

ĐÁP ÁN Dạng 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1-D

2-D

3-A

4-A

5-A

11 - B

12 - A

13 - C

14 - A

15 - B

6-C

7-D

8-D

9-C

10 - D

 b 4ac − b 2   b 4ac − b 2 − 1  đỉnh I  − ;  , vuông góc và cắt đường thẳng chuẩn ∆ tại H  − ;  . Khi đó I là 4a  4a  2a  2a  trung điểm của đoạn thẳng HF.

Câu 14. Chọn A. Từ tính chất đồ thị hàm số bậc hai ta suy ra

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

 2m + 2 khi m ≥ 1 . max y = max { y ( −1) ; y ( 3)} = max {2m + 2;10 − 6m} =  10 − 6m khi m < 1

Câu 11. Chọn B.

x∈[ −1;3]

Gọi ( x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua.

Dễ thấy 2m + 2 ≥ 4, ∀m ≥ 1 và 10 − 6m > 4, ∀m < 1.

Khi đó phương trình y0 = mx02 + ( 2 − 3m ) x0 + 2m − 1 nghiệm đúng với mọi m

Do đó max y đạt nhỏ nhất bằng 4 khi m = m0 = 1 . x∈[ −1;3]

⇔ ( x02 − 3 x0 + 2 ) m + 2 x0 − 1 − y0 = 0 nghiệm đúng với mọi m

Câu 15. Chọn B.

2  x0 = 1, y0 = 1  x − 3 x0 + 2 = 0 . ⇔ 0 ⇔  2 x0 − 1 − y0 = 0  x0 = 2, y0 = 3

Vì 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và −12 x + 20 y + 28 z ≤ 39 nên

S = −2 x 2 + 5 y 2 + 7 z 2 ≤ −2 x 2 + 5 y + 7 z ≤ −2 x 2 + 3x +

Suy ra A (1;1) , B ( 2;3) . Suy ra AB = 5 .

39 = f ( x) . 4

Ta có

Câu 12. Chọn A.  2m + 1  2 m + 1  2  Đỉnh của ( P ) là điểm I  ;−  − 1 .  2  2   

Từ đó suy ra y1 = − x12 − 1 . Khi m thay đổi, quỹ tích các điểm I là parabol ( P′ ) : y = − x 2 − 1 .

Câu 13. Chọn C.

Như vậy S ≤ f ( x ) ≤

Gọi M ( x; y ) . Khi đó:

MF = d ( M , ∆ ) ⇔

( x − 1) + ( y + 4 )

⇔ x 2 − 2 x + 10 y + 16 = 0 ⇔ y = −

Vậy max S =

= y − 1 ⇔ x − 2 x + 1 + y + 8 y + 16 = y − 2 y + 1

87 . 8

Dạng 2: Bài toán tương giao giữa các đồ thị hàm số

1 2 1 8 x + x− . 10 5 5

Vậy tập hợp (quỹ tích) tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao cho M cách đều điểm F (1; −4 ) và đường thẳng ∆ : y = 1 là parabol ( P ) : y = −

3 87 87 . Đẳng thức S = xảy ra khi x = , y = z = 1 . 8 8 4

1-D

2-C

11 - D

12 - C

3-B

4-C

5-C

6-D

7-C

8-D

9-B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1 2 1 8 x + x− . 10 5 5

Câu 10. Chọn A.

Nhận xét: Parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c (với a, b, c là các hằng số, a ≠ 0 ) là tập hợp tất cả các điểm

Ta có (2) ⇔ x 2 − x + m = 0 và xét hai parabol ( P1 ) : y = x 2 − 3 x + 2m + 1, ( P2 ) : y = x 2 − x + m .

 b 4ac − b 2 + 1  4ac − b 2 − 1 trong mặt phẳng cách đều điểm F  − ; .  và đường thẳng ∆ : y = 4a 4a  2a 

Phương trình hoành độ điểm chung của ( P1 ) , ( P2 ) là

 b 4ac − b 2 + 1  4ac − b 2 − 1 được gọi là đường thẳng Điểm F  − ;  được gọi là tiêu điểm và ∆ : y = 4a 4a  2a 

chuẩn của parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c . Trục đối xứng d : x = −

10 - A

b của ( P ) đi qua tiêu điểm F, đi qua 2a

Trang 25

x 2 − 3x + 2m + 1 = x 2 − x + m ⇔ m + 1 = 2 x ⇔ x =

m +1 . 2

 m + 1 m 2 + 4m − 1  Hai đồ thị ( P1 ) , ( P2 ) cắt nhau tại điểm M  ; . 4  2 

Trang 26

 a − 2 ≠ 0 a ≠ 0    2 (1). b − 4 ( a − 2 )( c − 5 ) = 0 ⇔ b = 4 ( a − 2 )   b c a = 4 − 2 + 5 ( )  − = −2  2 ( a − 2 ) Phương trình ax 2 + bx + c = − x 2 + 8 x − 17 ⇔ ( a + 1) x 2 + ( b − 8 ) x + ( c + 17 ) = 0 có nghiệm kép bằng 3 nên

Hai phương trình (1) và (2) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt, các nghiệm của phương trình này nằm xen kẽ với các nghiệm của phương trình kia khi và chỉ khi điểm M nằm phía dưới trục hoành, tức là

m 2 + 4m − 1 < 0 ⇔ −2 − 5 < m < −2 + 5 . 4

Câu 11. Chọn D.

 a + 1 ≠ 0  a ≠ −1   2  ( b − 8 ) − 4 ( a + 1)( c + 17 ) = 0 ⇔ b = −6 ( a + 1) + 8 (2).   c = 9 ( a + 1) − 17 − b − 8 = 3  2 ( a + 1) 4 ( a − 2 ) = −6 ( a + 1) + 8 Từ (1) và (2) suy ra  ⇔ a = 1 ⇒ b = −4; c = 1 . 4 ( a − 2 ) + 5 = 9 ( a + 1) − 17

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có f ( u ) = au 2 + bu + c; f ( v ) = av 2 + bv + c .

Vậy a + b + c = −2 .

u = v Khi đó au 2 + bu + c = av 2 + bv + c ⇔ au 2 − av 2 + bu − bv = 0 ⇔ ( u − v )  a ( u + v ) + b  = 0 ⇔  . u = − b − v a 

Dạng 3: Sự xác định hàm số bậc hai

u = v . Đáp án B. Theo chứng minh trên thì f ( u ) = f ( v ) ⇔  u = − b − v a 

Câu 8. Chọn B.

5-A

6-D

7-A

8-B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

- Khi t = 2 thì h = 6 nên 4a + 2b + c = 6 .

c = 1,1 a = −5, 05   - Xét hệ a + b + c = 8, 6 ⇔ b = 12, 55 . Do đó h = −5, 05t 2 + 12, 55t + 1,1 . 4a + 2b + c = 6 c = 1,1  

1 1 u+v u+v u+v 2 2 Đáp án C. Ta có f   = a  + b  + c = a ( u + v + 2uv ) + b ( u + v ) + c . 4 2  2   2   2 

4-D

- Khi t = 1 thì h = 8, 6 nên a + b + c = 8, 6 .

b  b   Vậy với mọi u , v ∈ ℝ thỏa mãn  u +  v +  > 0 thì f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v . 2a  2a  

3-C

- Nếu t = 0 thì h = 1,1 nên c = 1,1 .

f (u ) + f (v )

2-C

Ta có h = at 2 + bt + c trong đó a, b, c là các hằng số , a < 0 .

b b b   b  b  b    Khi u = − − v thì u + = −  v +  ⇒  u +  v +  = −  v +  ≤ 0 (mâu thuẫn). 2a 2a   2a  2a  2a  a  

Xét

1-C

Theo tính chất của hàm số bậc hai, h đạt giá trị lớn nhất tại t = −

2 2 1  u + v  au + bu + c + av + bv + c  1  −f −  a ( u 2 + v 2 + 2uv ) + b ( u + v ) + c  = 2 2  2  4 

b 251 = ≈ 1, 2 . Suy ra max ( h ) ≈ 8,897 . 2a 202

f (u ) + f (v ) 1 2 1 1 1 2 u+v au − auv + av 2 = a ( u − v ) ≥ 0, ∀a > 0 ⇒ ≥ f . 4 2 4 4 2  2 

Đáp án D. Khẳng định D. sai. Nếu có thêm giả thiết a > 0 thì khẳng định này đúng. Câu 12. Chọn C.

Phương trình ax 2 + bx + c = 2 x 2 + 5 ⇔ ( a − 2 ) x 2 + bx + ( c − 5 ) = 0 có nghiệm kép bằng −2 nên

Trang 27

Trang 28

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH. HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Định lí

Chú ý: Nếu h ( x ) không xác định hoặc

BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

a ) Nếu hai phương trình h ( x ) là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của

h ( x ) = 0 tại các giá trị không là nghiệm

Mục tiêu

cho phương trình tương đương.

f ( x) + h ( x) = g ( x) + h ( x) ⇔ f ( x) = g ( x).

+ Nắm vững khái niệm phương trình và nghiệm của phương trình. +

của phương trình thì các biến đổi bên vẫn

phương trình f ( x ) = g ( x ) thì

Kiến thức Hiểu được định nghĩa hai phương trình tương đương và các phép biến đổi tương đương

b ) Nếu h ( x ) thỏa mãn ĐKXĐ và khác 0 với mọi x thì

phương trình.

f ( x ) .h ( x ) = g ( x ) .h ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) .

+ Nắm vững khái niệm phương trình hệ quả.

f ( x) g ( x) = ⇔ f ( x) = g ( x). h ( x) h ( x)

Kĩ năng +

Biết cách tìm điều kiện xác định (tập xác định) của phương trình.

Nhận biết một số cho trước có là nghiệm của phương trình hay không.

Nhận biết hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ quả.

Phương trình hệ quả

Phương trình f 2 ( x ) = g 2 ( x ) là phương trình hệ quả của phương Hai phương trình tương đương là hai

phương trình hệ quả của nhau nhưng

+ Vận dụng các phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả để giải một số phương trình đơn giản.

trình f1 ( x ) = g1 ( x ) , kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) ⇒ f 2 ( x ) = g 2 ( x )

ngược lại không đúng.

Nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm phương trình thứ hai.

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình một ẩn

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Phương trình một ẩn số x là một mệnh đề chứa biến dạng Một phương trình có thể có nghiệm hoặc

f ( x) = g ( x)

vô nghiệm.

(1)

Dạng 1. Tìm tập xác định của phương trình Phương pháp giải Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều Ví dụ:

trong đó f ( x ) ; g ( x ) là các biểu thức cùng biến số x.

kiện để giá trị của f ( x ) ; g ( x ) cùng được xác định và Tìm tập xác định D của phương trình:

Ta gọi f ( x ) là vế trái, g ( x ) là vế phải của phương trình.

Điều kiện để biểu thức

biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

Hướng dẫn giải +)

Nếu số x0 thỏa mãn ĐKXĐ và f ( x0 ) = g ( x0 ) là mệnh đề đúng thì ta nói x0 là nghiệm của phương trình (1) .

Phương trình tương đương

Hai phương trình

f1 ( x ) = g1 ( x )

(1)

f2 ( x ) = g2 ( x )

( 2)

x = x + 2019 2− x

các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài).

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của

f ( x ) xác định là f ( x ) ≥ 0.

1 xác định là f ( x ) ≠ 0. f ( x)

1 f ( x)

Điều kiện xác định của phương trình là 2− x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 Vậy D = ℝ \ {2} .

xác định là f ( x ) > 0.

Ví dụ mẫu

được gọi là tương đương, kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) ⇔ f 2 ( x ) = g 2 ( x )

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của phương trình x +

nếu (1) và ( 2 ) có cùng tập nghiệm.

5 = 1. x2 − 4

Hướng dẫn giải x ≠ 2 Điều kiện xác định của phương trình x 2 − 4 ≠ 0 ⇔ x 2 ≠ 4 ⇔  .  x ≠ −2 Trang 1

Trang 2

B. ℝ \ {2;3; 4} .

A. ( 4; +∞ ) .

Vậy tập xác định của phương trình là D = ℝ \ {±2} .

Câu 7: Tập xác định của phương trình

Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 + 3 − x = x − 2. Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của phương trình

4 − 2x =

Câu 8: Tập xác định của phương trình

3 x − 2 + 4 − 3 x = 1 là

2 4 B.  ;  . 3 3

Câu 9: Tập xác định của phương trình

Hướng dẫn giải

A. ( 3; +∞ ) .

Điều kiện xác định của phương trình là  x ≤ 2 4 − 2 x ≥ 0  x ≤ 2 ⇔ ⇔  3 2 2 x − 1 x + x − 2 ≠ 0 ( ) x − 3 x 2 0 + ≠ ( )  ( x − 1) ( x + 2 ) ≠ 0 

A. [ −3; +∞ ) .

x − 1 + x − 2 = x − 3 là C. [1; +∞ ) .

C. [1; +∞ ) .

A. ( 2; +∞ ) .

x−2 +

C. [ 2;7 ) .

Câu 1: Tập xác định của phương trình là A. x ≥ 1 và x ≠ 2.

A. Tập tất cả các giá trị của ẩn để phương trình có nghĩa.

5 C. 1 ≤ x ≤ . 2

B. x > 1 và x ≠ 2.

Câu 13: Tập xác định của phương trình

C. Điều kiện của ẩn để phương trình có nghĩa. D. Điều kiện của ẩn để phương trình có nghiệm.

Câu 3: Tập xác định của phương trình A. D = ℝ \ {1} .

A. ( 2; +∞ ) .

D. ℝ.

C. D = ℝ \ {±1} .

D. D = ℝ.

C. [ 2; +∞ ) .

A. ( 3; +∞ ) .

B. [3; +∞ ) .

− 1) x − 6

= 2 là  −15  D.  ; +∞  \ {6} .   2

C. ( 6; +∞ ) .

Tìm tất cả giá trị của tham số m để tập xác định phương trình trên có dạng [ a; b ].

D. ℝ.

A. m < −1.

B. m ≤ −1.

2x 1 6 − 5x Câu 5: Tập xác định của phương trình là + = 3 − x 2 x − 1 3x − 2 1 2 C. ℝ \  ;3;  . 2 3

Câu 15: Cho phương trình 1 − x + x − m − 2 = 2 x − 3 .

1 3 4 là − = x + 2 x − 2 x2 − 4

B. ℝ \ {−2; 2} .

5 và x ≠ 2. 2

 7 D. D =  2;  \ {3} .  2

 7 C. D =  2;  .  2

15 + 2 x

 −15  B.  ; +∞  \ {±1} .  2 

A. [ 6; +∞ ) .

D. 1 < x ≤

x−2 7x − = 5 x là x2 − 4 x + 3 7 − 2x

7  B. D = ℝ \ 1;3;  . 2 

Câu 14: Tập xác định của phương trình

2x 3 là −5 = 2 x2 + 1 x +1

B. D = ℝ \ {−1} .

Câu 4: Tập xác định của phương trình

 7 A. D =  2;  \ {3} .  2

5 5 = 12 + là x−4 x−4

D. [ 2;7 ] .

1 5 − 2x là = x−2 x −1

B. Tập tất cả các giá trị của ẩn để phương trình có nghiệm.

C. ( 4; +∞ ) .

D. [ −3; +∞ ) \ {±1} .

x +5 =0 7−x

B. [ 7; +∞ ) .

Câu 12: Điều kiện xác định của phương trình

B. [ 4; +∞ ) .

D. [3; +∞ ) .

1 = x + 3 là x2 − 1

B. ( −3; +∞ ) \ {±1} .

Câu 11: Tập xác định của phương trình

Bài tập tự luyện dạng 1

A. ℝ \ {4} .

2 4 D.  ;  . 3 3

Vậy tập xác định của phương trình là D = ( −∞; 2] \ {−2;1} .

Câu 2: Tập xác định của phương trình 3 x +

D. [3; +∞ ) .

2 4 C. ℝ \  ;  . 3 3

B. [ 2; +∞ ) .

Câu 10: Tập xác định của phương trình

x ≤ 2 x < 2  ⇔ x ≠ 1 ⇔  . x ≠ 1  x ≠ −2 

2 x − 1 = 4 x + 1 là

C. [1; +∞ ) .

4  A.  ; +∞  . 3 

x +1 . x3 − 3x + 2

D. ℝ \ {4} .

1  B.  ; +∞  . 2 

A. ( 3; +∞ ) .

3 − x ≥ 0 x ≤ 3 Điều kiện xác định của phương trình là  ⇔ ⇔ 2 ≤ x ≤ 3. x 2 0 − ≥  x ≥ 2

C. ℝ.

C. m ≥ −1.

D. m > −1.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 3  D. ℝ \  ;3;  . 2 2

1-A

2-A

3-D

4-B

5-C

11-C

12-D

13-D

14-C

15-A

6-B

7-B

8-D

9-D

10-D

4x 3 − 5x 9x +1 Câu 6: Tập xác định của phương trình 2 là − = x − 5 x + 6 x 2 − 6 x + 8 x 2 − 7 x + 12

Trang 3

Trang 4

Câu 6: Chọn B.

Bước 1. Tìm tập nghiệm của từng phương trình.

 x − 5x + 6 ≠ 0 x ≠ 2  2  Điều kiện:  x − 6 x + 8 ≠ 0 ⇔  x ≠ 3. Vậy D = ℝ \ {2;3; 4} .  2 x ≠ 4   x − 7 x + 12 ≠ 0 2

Điều kiện: x + 1 > 0 ⇔ x > −1.

(1) ⇔ x = 2 (thỏa mãn). Vậy tập nghiệm của (1) là S1 = {2} .

Câu 9: Chọn D.

x −1 ≥ 0 x ≥ 1   Điều kiện của phương trình là  x − 2 ≥ 0 ⇔  x ≥ 2 ⇔ x ≥ 3. x − 3 ≥ 0 x ≥ 3  

nghiệm phương trình còn lại thì đó là phương trình hệ quả. Các phương trình có cùng tập nghiệm thì tương

x −1 ≠ 0  x ≠ ±1 Điều kiện của phương trình là  ⇔ .  x ≥ −3 x + 3 ≥ 0 2

Giải phương trình ( 2 ) :

 x = −1 . x = 2

( 2) ⇔ 

Bước 2. Tập nghiệm của phương trình nào chứa

Câu 10: Chọn D.

Vậy tập nghiệm của ( 2 ) là S2 = {−1; 2} . Do đó S2 ⊃ S1.

đương.

Vậy phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả

Câu 12: Chọn D.

của phương trình (1) .

x −1 > 1 5   1 < x ≤ Điều kiện 5 − 2 x ≥ 0 ⇔  2. x − 2 ≠ 0  x ≠ 2 

Ví dụ mẫu

Câu 13: Chọn D.

Ví dụ 1. Khi giải phương trình

 x ≥ 2 x − 2 ≥ 0 7    2 ≤ x < Điều kiện  x 2 − 4 x + 3 ≠ 0 ⇔  x ≠ 3, x ≠ 1 ⇔  2. 7 − 2 x > 0   ≠ x 3 7   x <  2

Bước 1. (1) ⇔

( x − 3) x −2

( x − 3)( x − 4 ) = 0 x −2

(1) , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

( x − 4) = 0 ( 2)

 ( x − 3) =0 Bước 2. ⇔  x − 2   x − 4 = 0

Câu 14: Chọn C.

−15  x ≥ 2 15 + 2 x ≥ 0   Điều kiện  x 2 − 1 ≠ 0 ⇔  x ≠ ±1 ⇔ x > 6. x − 6 > 0 x > 6   

x = 3 Bước 3. ⇔  . x = 4 Bước 4. Vậy phương tình có tập nghiệm là T = {3; 4} . Cách giải trên sai từ bước nào?

Câu 15: Chọn A.

1 − x ≥ 0 x ≤ 1 Điều kiện  ⇔ . x m − − 2 ≥ 0  x ≥ m + 2

A. Sai ở bước 2.

B. Sai ở bước 1.

C. Sai ở bước 4.

D. Sai ở bước 3.

Hướng dẫn giải

Để tập xác định là một đoạn thì m + 2 < 1 ⇔ m < −1.

Sai ở bước 2.

Dạng 2. Xác định hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ quả

Ta có phương trình (1) chỉ có nghiệm x = 3 , tuy nhiên phương trình ở bước 2, có hai nghiệm x = 3

Phương pháp giải

hoặc x = 4 nên phép biến đổi tương đương này sai.

Để xác định được hai phương trình tương đương hay Ví dụ: Cho hai phương trình:

hai phương trình hệ quả ta làm như sau:

Giải phương trình (1) :

x = x +1

Chọn A.

2 (1) và x 2 − x − 2 = 0 ( 2 ) . x +1

Trang 5

Ví dụ 2. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x +

1 = 1? x Trang 6

A. 7 + 6 x − 1 = −18.

B. 2 x − 1 + 2 x + 1 = 0.

C. x x − 5 = 0.

D. x 2 + x = −1.

x = 1 Bước 3. ( 3) ⇔  . x = 5 3 

Hướng dẫn giải

Giải phương trình x +

Bước 4. Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x =

1 =1 x

Cách giải trên sai từ bước nào?

Điều kiện: x ≠ 0.

A. Sai ở bước 1.

1 = 1 ⇒ x 2 + 1 = x ⇔ x 2 − x + 1 = 0. x

B. Sai ở bước 2.

Câu 6: Khi giải phương trình

( x − 5)( x − 4 ) x −3

Vì x − x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ nên phương trình vô nghiệm. Bước 1. (1) ⇔

Dễ thấy đáp án C có hai nghiệm x = 0; x = 5. Suy ra phương trình x x − 5 = 0 không tương đương với phương trình x +

1 = 1. x

( x − 5) x −3

C. Sai ở bước 3.

Câu 1: Cách viết nào sau đây sai?

= 0 (1) , một học sinh tiến hành theo các bước sau

( x − 4) = 0 ( 2)

A. x ( x − 1) = 0 ⇔ x = 0; x = 1.

B. x ( x − 1) = 0 có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.

x = 5 Bước 3. ⇔  . x = 4

x = 0 C. x ( x − 1) = 0 ⇔  . x = 1

x = 0 D. x ( x − 1) = 0 ⇔  . x = 1

Bước 4. Vậy phương trình có tập nghiệm T = {5; 4} . Cách giải trên sai ở bước nào?

Câu 2: Cho phương trình ( x 2 + 1) ( x − 1)( x + 1) = 0

A. Sai ở bước 3. D. ( x − 1)( x + 1) = 0.

A. x

x − 3 = 3x x − 3.

C. x 2 + x − 2 = 3 x + x − 2. Câu 4: Cho hai phương trình x ( x − 2 ) = 3 ( x − 2 )

A. 2 x −

B. x + x + 1 = 3x + x + 1. 2

(1)

và

x ( x − 2) =3 x−2

x = 0. 1− x

C. ( 2 x 2 − x ) = 0.

B. 4 x 3 − x = 0.

D. x 2 − 2 x + 1 = 0.

Câu 8: Phép biến đổi nào sau đây đúng?

1 1 = 3x + . x −3 x −3

D. x 2 +

D. Sai ở bước 4.

phải là hệ quả của phương trình (1) ?

Câu 3: Phương trình x = 3 x tương đương với phương trình 2

C. Sai ở bước 1.

Câu 7: Cho phương trình 2 x − x = 0 (1) . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không

C. x 2 + 1 = 0.

B. Sai ở bước 2. 2

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho? B. x + 1 = 0.

D. Sai ở bước 4.

 ( x − 5) =0 Bước 2. ⇔  x − 3   x − 4 = 0

Bài tập tự luyện dạng 2

A. x − 1 = 0.

5 3

( 2) .

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 5 x + x − 3 = x 2 ⇔ x 2 − 5 x = x − 3.

C. 3 x + x − 1 = x 2 + x − 1 ⇔ 3 x = x 2 .

x + 2 = x ⇔ x + 2 = x2 . x+3 3 2− x + = ⇔ x 2 + 2 x = 0. x ( x − 1) x x − 1

Câu 9: Giá trị của tham số m để cặp phương trình x + 2 = 0 và m ( x 2 + 3x + 2 ) + m 2 x + 2 = 0 tương đương

A. Phương trình (1) và ( 2 ) là hai phương trình tương đương.

là

A. m = 2.

B. Phương trình ( 2 ) là hệ quả của phương trình (1) .

B. m = −1.

C. m = 1; m = −1.

D. m = 1.

C. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình ( 2 ) .

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình mx − 2 ( m − 1) x + m − 2 = 0 và

D. Cả A, B, C đều sai.

( m − 2 ) x 2 − 3x + m2 − 15 = 0

Bước 1. Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được x − 4 x + 4 = 4 x − 12 x + 9 Bước 2. Khai triển và rút gọn ( 2 ) ta được 3x 2 − 8 x + 5 = 0.

B. m = −5; m = 4.

A. m = −5.

Câu 5: Khi giải phương trình x − 2 = 2 x − 3 (1) , một học sinh tiến hành theo các bước sau

tương đương

( 2) .

C. m = 4.

D. m = 5.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

( 3)

1-C Trang 7

2-D

3-B

4-C

5-D

6-B

7-D

8-A

9-D

10-C

Trang 8

Câu 4: Chọn C.

Dạng 3: Giải phương trình đơn giản Phương pháp giải

x = 2 + ) (1) ⇔ ( x − 2 )( x − 3) = 0 ⇔  . x = 3

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến Ví dụ: Giải phương trình x ( x − 2 ) = x 2 − 4. đổi để đưa về phương trình tương đương với

x = 2 + ) ( 2 ) có điều kiện: x ≠ 2 , khi đó ( 2 ) ⇔ x ( x − 2 ) = 3 ( x − 2 ) ⇔ ( x − 2 )( x − 3) = 0 ⇔  . x = 3

x ( x − 2) = x2 − 4

thường sử dụng:

Kết hợp với điều kiện: phương trình ( 2 ) có nghiệm là x = 3.

(+)

Vậy (1) là phương trình hệ quả của ( 2 ) .

⇔ x2 − 2x = x2 − 4

Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà

⇔ −2 x = −4 không làm thay đổi điều kiện xác định của

Câu 5: Chọn D. Vì phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả của phương trình (1) nên sau bước 3, ta cần kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn phương trình (1) hay không. Do đó lời giải sai ở bước 4.

phương trình ta thu được phương trình tương

đương phương trình đã cho.

(+)

S = {2} .

không và không làm thay đổi điều kiện xác định

Sai ở bước 2 vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiện.

của phương trình ta thu được phương trình tương

Câu 7: Chọn D.

đương với phương trình đã cho.

x = 0 Ta có (1) ⇔  . x = 1  2

(+)

⇔ x = 2. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

Nhân (chia) hai vế với một biểu thức khác

Câu 6: Chọn B

Bình phương hai vế của phương trình ta thu

được phương trình hệ quả của phương trình đã

Lại có x = 0 không là nghiệm của phương trình x 2 − 2 x + 1 = 0 nên x 2 − 2 x + 1 = 0 không là phương trình

cho.

(+)

hệ quả của phương trình (1) .

Bình phương hai vế của phương trình (hai vế

luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương

Câu 9: Chọn D.

đương với phương trình đã cho.

Phương trình x + 2 = 0 và m ( x 2 + 3x + 2 ) + m 2 x + 2 = 0 tương đương khi phương trình m ( x 2 + 3 x + 2 ) + m 2 x + 2 = 0 (*) có nghiệm x = −2.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình x − x − 3 = 3 − x + 3?

Thay x = −2 vào (*) ta tìm được m = 1; m = −1. Thay m = −1 ta có − ( x 2 + 3x + 2 ) + x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 0; x = 2.

Câu 10: Chọn C.

A. x = 1.

B. x = 2.

C. x = 3.

D. x = 4.

Hướng dẫn giải

Với m = 0, hai phương trình không tương đương.

x − 3 ≥ 0 x ≥ 3 Điều kiện:  ⇔ ⇔ x=3 3 − x ≥ 0 x ≤ 3

x = 1 Với m ≠ 0, ta có phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  . x = m − 2 m 

Thử x = 3 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm x = 3 .

Để hai phương trình tương đương thì ( 2 ) phải có hai nghiệm trên.

( 2)

Hướng dẫn giải

phương trình đã cho. Một số phép biến đổi

Chọn C. Ví dụ 2. Giải phương trình x + x = x − 1

m = 4 có nghiệm là x = 1 nên m − 2 − 3 + m 2 − 15 = 0 ⇔  .  m = −5

Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ 0.

Thay giá trị m = 4 và m = −5 vào ( 2 ) thì chỉ có m = 4 , hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Trang 9

Trang 10

Ta có x + x = x − 1 ⇒ x = −1 (không thỏa mãn).

Câu 7: Tập nghiệm của phương trình

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải phương trình

A. T = {0} .

x − 2 ( x 2 − 3 x + 2 ) = 0.

B. T = ∅.

C. T = {1} .

Điều kiện: x ≥ 2.

A. S = ∅.

B. S = {1} .

x = 2 x − 2 = 0 x = 1  2 x − 2 ( x − 3x + 2 ) = 0 ⇒  2 ⇔  x = 1 ⇔  . x − 3 x + 2 = 0 x = 2    x = 2

C. S = {2} .

D. S = {1; 2} .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Kết hợp với điều kiện x ≥ 2 , ta được x = 2 là nghiệm của phương trình.

1-B

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.

Ví dụ 4. Giải phương trình

D. T = {−1} .

x − 2 ( x 2 − 3x + 2 ) = 0 là

Câu 8: Tập nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải

Ta có

x = − x là x

x − 1 ( x2 − x − 2 ) = 0

2-D

3-D

4-A

5-C

6-D

7-B

8-C

Câu 4: Chọn A.

Hướng dẫn giải

  x ≥ 2 x + 5 ≥ 0 Điều kiện  ⇔  −2 x − 5 ≥ 0 x ≤ 

x ≥ 0  x ≥ 0 Điều kiện xác định:  ⇔ ⇔ x ≥ 1.  x − 1 ≥ 0 x ≥ 1

−5 −5 2 ⇔x= . −5 2 2

x = 1  x −1 = 0 Với điều kiện đó phương trình tương đương với  ⇔  x = −1. 2  x − x − 2 = 0  x = 2

Ta có

Đối chiếu với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S = {1; 2} .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

2 x + 5 = −2 x − 5 ⇔ 2 x + 5 = 0 ⇔ x = −

5 (thỏa mãn). 2

−5 . 2

Câu 5: Chọn C. 2 x = 0  x − 2 x ≥ 0 Điều kiện xác định của phương trình là  ⇔ x2 − 2 x = 0 ⇔  . 2 x = 2 2 x − x ≥ 0

Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Phương trình

x = − x có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.

B. 1.

Thay x = 0 và x = 2 vào phương trình thỏa mãn.

C. 2.

D. Vô số.

C. 2.

D. Vô số.

Vậy tập nghiệm của phương trình là T = {0; 2} .

Câu 2: Phương trình x = − x có bao nhiêu nghiệm? A. 0.

B. 1.

Câu 6: Chọn D. Ta có

Câu 3: Phương trình x − 2 = 2 − x có bao nhiêu nghiệm? A. 0.

B. 1.

C. 2.

Câu 4: Giá trị nào sau đây của x là nghiệm của phương trình A. x =

−5 . 2

B. x = 1.

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình A. T = {0} .

B. T = ∅.

Câu 6: Cho phương trình

D. Vô số.

Phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 7: Chọn B.

2 x + 5 = −2 x − 5 ?

C. x = 3.

x ≥ 0  Điều kiện − x ≥ 0. Vậy hệ phương trình vô nghiệm. x ≠ 0 

D. x = 2.

x 2 − 2 x = 2 x − x 2 là C. T = {0; 2} .

D. T = {2} .

Vậy tập nghiệm là T = ∅.

Câu 8: Chọn C.

− x 2 + 10 x − 25 = 0. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có vô số nghiệm.

C. Mọi x đều là nghiệm.

D. Phương trình có nghiệm duy nhất.

− x 2 + 10 x − 25 = 0 ⇔ − ( x − 5 ) = 0 ⇔ x = 5.

Điều kiện: x ≥ 2.

Trang 11

Trang 12

x − 2 = 0 x = 2 x − 2 ( x2 − 3x + 2 ) = 0 ⇔  2 ⇔ . x = 1  x − 3x + 2 = 0 Kết hợp với điều kiện thì ta được S = {2} .

Trang 13

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BẬC NHẤT – BẬC HAI

Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 (1)

Mục tiêu

a ≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất x =

Kiến thức

−b a

+ Củng cố cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai

Khi đó, phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x

+ Nắm vững cách giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai

a = 0; b ≠ 0 (1) vô nghiệm

+ Nắm vững cách giải một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hàm số bậc hai

a = 0; b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ

Kĩ năng

Phương trình bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (2)

+ Giải và biện luận các phương trình bậc nhất, bậc hai + Giải các phương trình đưa phương trình về bậc nhất, bậc hai: Phương trình phân thức, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vô tỉ,…

∆ = b 2 − 4ac được gọi là biệt thức của phương trình (2)

∆ > 0 thì (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2 =

+ Giải các bài toán thực tế bằng cách lập phương trình bậc nhất, bậc hai ∆ = 0 thì (2) có nghiệm kép x =

−b ± ∆ 2a

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có nghiệm khi ∆ ≥ 0 hoặc ∆′ ≥ 0

−b 2a

∆ < 0 thì (2) vô nghiệm

Định lí Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai Chú ý: Định lí Vi-ét áp dụng khi phương trình nghiệm

bậc hai có nghiệm

−b   x1 + x2 = a x1 , x2 thì   xx =c  1 2 a Đảo lại: Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u, v là các nghiệm của phương trình x 2 − Sx + P = 0

Trang 1

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

m = −2 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ ;

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc nhất

m ≠ 3, m ≠ −2 thì phương trình có nghiệm x =

Phương pháp giải

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình

Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất khi Ví dụ: Giải và biện luận phương trình

a ≠ 0 ; vô nghiệm khi a = 0, b ≠ 0 và có vô số

( m − 1) x + 2 − m = 0 với m là tham số

nghiệm khi a = b = 0

Hướng dẫn giải

 m ≠ −1 A.  m≠2

1 m −3

− m ) x = 2 x + m2 − 1 có nghiệm duy nhất

m ≠1 B.  m ≠ 2

 m ≠ −1 C.   m ≠ −2

 m ≠1 D.   m ≠ −2

Phương trình tương đương với ( m − 1) x = m − 2

Hướng dẫn giải

+ Với m − 1 = 0 ⇔ m = 1 , phương trình trở thành

Ta có ( m 2 − m ) x = 2 x + m2 − 1 ⇔ ( m2 − m − 2 ) x = m 2 − 1

0 x = −1

 m ≠ −1 Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a ≠ 0 hay m 2 − m − 2 ≠ 0 ⇔  m≠2

Suy ra phương trình vô nghiệm +) Với m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 , phương trình tương

Vậy với m ≠ −1 và m ≠ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất

m−2 đương với x = m −1

Chọn A. Ví dụ 3. Tìm m để đồ thị hai hàm số y = ( m + 1) x 2 + 3m 2 x + m và y = ( m + 1) x 2 + 12 x + 2 không cắt nhau

Kết luận: Vậy:

A. m = 2

m = 1 thì phương trình vô nghiệm; m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=

B. m = −2

C. m = −1

D. m = 1

Hướng dẫn giải Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

m−2 m −1

( m + 1) x 2 + 3m2 x + m = ( m + 1) x 2 + 12 x + 2

vô nghiệm hay 3 ( m 2 − 4 ) x = 2 − m vô nghiệm

m 2 − 4 = 0 m = ±2 ⇔ ⇔ ⇔ m = −2 − ≠ 2 m 0  m≠2 

Ví dụ mẫu

Vậy m = −2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình ( m + 1) x = ( 3m + 7 ) x + 2 + m với m là tham số

Chọn B

Hướng dẫn giải

Bài tập tự luyện dạng 1

Phương trình tương đương với

Câu 1: Cho phương trình ax + b = 0. Chọn mệnh đề đúng.

( m + 1)2 − 3m − 7  x = 2 + m ⇔ ( m 2 − m − 6 ) x = 2 + m    m=3 +) Xét m 2 − m − 6 = 0 ⇔   m = −2

A. Nếu phương trình có nghiệm thì a khác 0.

B. Nếu phương trình vô nghiệm thì a = 0.

C. Nếu phương trình vô nghiệm thì b = 0.

D. Nếu phương trình có nghiệm thì b khác 0.

Câu 2: Phương trình (m 2 − m) x + m − 3 = 0 là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi A. m ≠ 0 .

Khi m = 3 phương trình trở thành 0 x = 5 . Phương trình vô nghiệm

B. m ≠ 1 .

C. m ≠ 0 hoặc m ≠ 1.

D. m ≠ 0 và m ≠ 1 .

Câu 3: Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là

Khi m = −2 phương trình trở thành 0 x = 0 Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ

5 A. Phương trình 3x + 5 = 0 có nghiệm là x = − . 3

 m≠3 +) Xét m 2 − m − 6 ≠ 0 ⇔   m ≠ −2

B. Phương trình 0x – 7 = 0 vô nghiệm. C. Phương trình 0x + 0 = 0 có tập nghiệm ℝ . D. Cả A, B, C đều đúng.

m+2 1 = Khi đó phương trình tương đương với x = 2 m −m−6 m−3

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx – m = 0 vô nghiệm. A. m ∈ ∅ .

Kết luận:

B. m = {0} .

C. m ∈ ℝ + .

D. m ∈ ℝ .

Vậy với m = 3 thì phương trình vô nghiệm;

Trang 3

Trang 4

Câu 5: Khẳng định nào sau đây là sai ?

Câu 10. Chọn C

A. Khi m = 2 thì phương trình (m − 2) x + m − 3m + 2 = 0 vô nghiệm. 2

Phương trình viết lại ( 3m2 − m − 2 ) x = 1 − m

B. Khi m ≠ 1 thì phương trình (m − 1) x + 3m + 2 = 0 có nghiệm duy nhất.

 m ≠1  Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 3m2 − m − 2 ≠ 0 ⇔  2 m ≠ − 3

x−m x−3 C. Khi m = 2 thì phương trình + = 3 có nghiệm. x−2 x D. Khi m ≠ 2 và m ≠ 0 thì phương trình (m 2 − 2m) x + m + 3 = 0 có nghiệm.

[ ]  → m ∈ {−5; −4; −3; −2; −1;0; 2;3; 4;5; 6;7;8;9;10} m∈ℤ m∈ −5;10

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( m2 − 4 ) x = 3m + 6 vô nghiệm. A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = ±2 .

Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39

D. m = −2 .

Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn

Câu 7: Phương trình ( a − 3) x + b = 2 vô nghiệm với giá trị a, b là A. a = 3, b tùy ý.

B. a tùy ý, b = 2.

Phương pháp giải

C. a = 3, b = 2.

D. a = 3, b ≠ 2 .

Câu 8: Phương trình ( m − 4m + 3) x = m − 3m + 2 có nghiệm duy nhất khi 2

A. m ≠ 1 .

B. m ≠ 3 .

C. m ≠ 1 và m ≠ 3 .

D. m = 1 và m = 3.

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

Bước 1. Tìm biệt thức ∆ = b 2 − 4ac

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình

Bước 2. ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm

x 2 − x + m = 0 với m là tham số

[ −10;10]

để phương trình

phân biệt, ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép, Hướng dẫn giải ∆ < 0 phương trình vô nghiệm

− 9 ) x = 3m ( m − 3) có nghiệm duy nhất?

A. 2.

Ta có ∆ = 1 − 4m Với ∆ > 0 ⇔ 1 − 4m > 0 ⇔ m <

B. 19.

C. 20.

D. 21.

Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −5;10] để phương trình

có hai nghiệm phân biệt là x =

1 ± 1 − 4m 2

( m + 1) x = ( 3m 2 − 1) x + m − 1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng A. 15.

B. 16.

C. 39.

Với ∆ = 0 ⇔ 1 − 4m = 0 ⇔ m =

D. 40.

có nghiệm kép x =

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1-B

2-D

3-D

4-A

5-A

6-B

7-D

8-C

9-B

10-C

vô nghiệm

m2 − 4 = 0 m = ±2 Phương trình đã cho vô nghiệm khi  ⇔ ⇔m=2  m ≠ −2 3m + 6 ≠ 0

Kết luận Vậy với m <

Câu 7. Chọn D

1 thì phương trình 4

1 2

Với ∆ < 0 ⇔ 1 − 4m < 0 ⇔ m >

Câu 6. Chọn B

1 thì phương trình 4

1 thì phương trình có hai nghiệm 4 1 ± 1 − 4m 1 ; m = thì phương 2 4

a − 3 = 0 a = 3 Phương trình đã cho vô nghiệm khi  ⇔ 2 − b ≠ 0 b ≠ 2

phân biệt là x =

Câu 8. Chọn C

trình có nghiệm kép là x =

m ≠ 1 Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2 − 4m + 3 ≠ 0 ⇔  m ≠ 3

trình vô nghiệm

1 1 ; m > thì phương 2 4

Ví dụ mẫu

Câu 9. Chọn B

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình ( 2m 2 + 5m + 2 ) x 2 − 4mx + 2 = 0 với m là tham số 2

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m − 9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3

Hướng dẫn giải

m∈[ −10;10] m∈ℤ

→ có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình ( 2m 2 + 5m + 2 ) x 2 − 4mx + 2 = 0 Trang 5

Trang 6

 m = −2 +) Trường hợp 1: 2m 2 + 5m + 2 = 0 ⇔  m = − 1  2

∆ = 0 ⇔ 1 − 4m ( − m + 1) = 0 ⇔ 4m2 − 4m + 1 = 0 ⇔ m = Vậy m =

Khi m = −2 , phương trình trở thành 8 x + 2 = 0 ⇔ x = −

1 4

Bài tập tự luyện dạng 2

(

)

Câu 1: Chọn khẳng định đúng. Phương trình x 2 − 2 + 3 x + 2 3 = 0

 m ≠ −2  +) Trường hợp 2: 2m 2 + 5m + 2 ≠ 0 ⇔  1  m ≠ − 2

A. Có hai nghiệm trái dấu.

B. Có hai nghiệm âm phân biệt.

C. Có hai nghiệm dương phân biệt.

D. Vô nghiệm.

Câu 2: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai Ta có ∆′ = 4m 2 − 2 ( 2m 2 +5m + 2 ) = −2 ( 5m + 2 )

2 5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x =

1 thì phương trình có nghiệm kép 2

Chọn B

1 Khi m = − , phương trình trở thành 2 x + 2 = 0 ⇔ x = −1 2

Khi ∆′ > 0 ⇔ −2 ( 5m + 2 ) > 0 ⇔ m < −

1 2

2m ± −2 ( 5m + 2 )

A. a = 0 .

a ≠ 0 B.  hoặc 2 ∆ = b − 4ac = 0

C. a = b = 0 .

a ≠ 0 D.  . 2  ∆ = b − 4ac = 0

Câu 3:

2m 2 + 5m + 2

2 và

2 Khi ∆′ = 0 ⇔ m = − , phương trình có nghiệm kép x = −5 5 2 Khi ∆′ < 0 ⇔ m > − , phương trình vô nghiệm 5

( +(

3 là hai nghiệm của phương trình

) 3) x +

A. x +

2 − 3 x− 6 =0.

C. x 2

a = 0 .  b ≠ 0

6 = 0.

( −(

) 3) x −

B. x 2 −

2 + 3 x+ 6 =0.

D. x 2

2−

6 = 0.

Câu 4: Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 + 3 x − 10 = 0 . Giá trị của tổng

Kết luận:

1 +) m = −2 thì phương trình có nghiệm x = − ; 4

10 . 3

B. −

3 . 10

Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. Nếu P < 0 thì (1) có hai nghiệm trái dấu.

2 +) m = − thì phương trình có nghiệm kép x = −5 ; 5

B. Nếu P > 0; S < 0 thì (1) có hai nghiệm.

2m ± −2 ( 5m + 2 ) 2 1 +) m < − , m ≠ −2 và m ≠ − thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 5 2 2m 2 + 5m + 2

C. Nếu P > 0; S < 0 và ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm âm. D. Nếu P > 0; S > 0 và ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm dương. Câu 6: Cho phương trình mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây là sai?

2 +) m > − thì phương trình vô nghiệm 5

A. Nếu m > 4 thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình mx 2 + x − m + 1 = 0 có nghiệm kép? A. m = 0

10 . 3

Câu 5: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (1).

1 +) m = − thì phương trình có nghiệm x = −1 ; 2

1 B. m = 2

D. −

1 1 là + x1 x2

1 C. m = − 2

B. Nếu 0 ≠ m ≤ 4 thì phương trình có hai nghiệm x = D. m = −1 C. Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm x =

Hướng dẫn giải

Với m = 0 , phương trình trở thành phương trình bậc nhất: x + 1 = 0 ⇒ m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m ≠ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi

Trang 7

m−2− 4−m m−2+ 4−m ;x = . m m

3 . 4

D. Nếu m = 4 thì phương trình có nghiệm kép x =

3 . 4

Câu 7: Với giá trị nào của m thì phương trình mx 2 + 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt?

Trang 8

A. m ≤ 4 .

B. m < 4 .

C. m < 4 và m ≠ 0 .

D. m ≠ 0 .

Câu 8: Cho phương trình ( m + 1) x − 6 ( m + 1) x + 2m + 3 = 0 (1). Với giá trị nào sau đây của m thì

 4m2 + 4 > 0 3 ⇔ ⇔m≠− 4  −4 m − 3 ≠ 0

phương trình (1) có nghiệm kép?

Câu 10. Chọn C

7 A. m = . 6

6 B. m = . 7

6 C. m = − . 7

Gọi x1 , x2 là nghiệm của x 2 + px + q = 0

D. m = −1 .

Gọi x3 , x4 là nghiệm của x 2 + mx + n = 0

Câu 9: Cho phương trình ( x − 1) ( x 2 − 4mx − 4 ) = 0 . Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi A. m ∈ ℝ .

B. m ≠ 0 .

C. m ≠

3 . 4

Khi đó x1 + x2 = − p, x3 + x4 = −m, x3 .x4 = n

3 D. m ≠ − . 4

Câu 10: Nếu biết các nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của phương

 x = x33 3 Theo yêu cầu ta có  1 ⇒ x1 + x2 = x33 + x43 ⇔ x1 + x2 = ( x3 + x4 ) − 3 x3 x4 ( x3 + x4 ) 3 x = x  2 4 ⇒ − p = − m3 + 3mn ⇒ p = m3 − 3mn

trình x 2 + mx + n = 0 thì A. p + q = m3 .

B. p = m3 + 3mn .

C. p = m3 − 3mn .

D. Một đáp số khác.

Câu 11. Chọn A 2

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x 2 − ( m + 2 ) x + m − 1 = 0 có hai

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m2 − 8m + 16 > 0 ⇔ ( m − 4 ) > 0 ⇔ m ≠ 4

nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.

Theo định lí Vi-ét, ta có

5  A. m ∈  ;7  . 2 

1  B. m ∈ −2; −  . 2 

 2 C. m ∈ 0;  .  5

m −1 2    x1.x2 = 3  x1 = 9 ( m + 2 )   1 m+2   ⇔  x2 = ( m + 2 )  x1 + x2 = 3 9   m −1  x1 = 2 x2    x1.x2 = 3  

 3  D. m ∈ − ;1 .  4 

Câu 12: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = 2 x + m tiếp xúc với parabol

( P ) : y = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 1 với A. m = 0.

m ≠ 1.

B. m = –1.

C. m = 1.

D. m = 2.

Câu 13: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x − 2 ( m + 1) x + m + 2 = 0 ( m là tham số). 2

⇒

Tìm m để biểu thức P = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) − 6 đạt giá trị nhỏ nhất. A. m =

1 . 2

B. m = 1 .

C. m = 2 .

5  m= 2 m −1 2 ⇔ 2m 2 − 19m + 35 = 0 ⇔  ( m + 2) = 2 (thỏa mãn)  81 3 m = 7

Câu 12. Chọn A

D. m = −12 .

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng ( d ) và parabol ( P ) là:

Câu 14: Phương trình x + 4

A. 2.

(

)

(

)

65 − 3 x + 2 8 + 63 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

B. 3.

C. 4.

( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 1 = 2 x + m ⇔ ( m − 1) x2 + 2 ( m − 1) x + 2m − 1 = 0

D. 0.

Để d tiếp xúc với ( P ) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

Câu 15: Cho phương trình ( x 2 − 2 x + 3) + 2 ( 3 − m ) ( x 2 − 2 x + 3) + m 2 − 6m = 0 .

 m ≠1 m −1 ≠ 0   ⇔ ⇔ m = 0 ⇔ m = 0 2  m = 1 ∆′ = ( m − 1) − ( m − 1)( 2m − 1) = − m ( m − 1) = 0 

Tìm m để phương trình có nghiệm. A. ∀m .

B. m ≤ 4 .

C. m ≤ −2 .

(*)

D. m ≥ 2 .

Câu 13. Chọn C ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1-C

2-B

3-B

4-C

5-B

11-A

12-A

13-C

14-D

15-D

6-D

7-C

8-C

9-D

Ta có ∆′ = ( m + 1) − ( m2 + 2 ) = 2m − 1

10-C

Để phương trình có hai nghiệm thì ∆′ ≥ 0 ⇔ m ≥

1 (*) 2

 x + x = 2m + 2 Theo định lý Vi-ét, ta có  1 2 2  x1.x2 = m + 2

Câu 9. Chọn D

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi x 2 − 4mx − 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Khi đó P = m2 + 2 − 2 ( 2m + 2 ) − 6 = m2 − 4m − 8 = ( m − 2 ) − 12 ≥ −12 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 2 (thỏa mãn (*))

Trang 9

Trang 10

Câu 15. Chọn D

Đối chiếu với điều kiện x ≥

Đặt t = x − 2 x + 3 ( t ≥ 2 ) . Ta được phương trình t + 2 ( 3 − m ) t + m − 6m = 0 (1)

17 thấy chỉ có x = 6 và x = 22 thỏa mãn 4

∆′ = m 2 − 6m + 9 − m 2 + 6 m = 9

Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 và x = 22

Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm là t1 = m − 6 và t2 = m

Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x − 5 + 2 x 2 − 7 x + 5 = 0

m − 6 ≥ 2 Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình (1) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 ⇔   m≥2

Hướng dẫn giải

m ≥ 8 ⇔ ⇔m≥2 m ≥ 2

5  x=2   2x − 5 = 0 5 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi  2 ⇔  x = 1 ⇔ x = − + = 2 x 7 x 5 0 2   5  x = 2 

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách khử dấu GTTĐ, Ví dụ: Giải phương trình 2 x + 1 = x 2 − 3x − 4 bằng cách dùng định nghĩa hoặc tính chất của Hướng dẫn giải GTTĐ, bình phương hai vế hoặc đặt ẩn phụ.  2 x + 1 = x 2 − 3x − 4 2 Phương trình dạng f ( x ) = g ( x ) ta có thể giải 2 x + 1 = x − 3 x − 4 ⇔  2  2 x + 1 = − ( x − 3x − 4 ) bằng cách biến đổi tương đương như sau  5 ± 45 2 x =  f ( x) = g ( x)  5 5 0 x − x − = 2 f ( x) = g ( x) ⇔   ⇔ 2 ⇔  f ( x) = −g ( x)  1 ± 13  x − x −3 = 0 x=  2 hoặc f x = g x ⇔ f 2 x = g 2 x

( )

Ta có 2 x − 5 ≥ 0; 2 x 2 − 7 x + 5 ≥ 0 ⇒ 2 x − 5 + 2 x 2 − 7 x + 5 ≥ 0

Vậy phương trình có nghiệm là x =

5 . 2

Ví dụ 3*. Giải và biện luận phương trình mx + 2m = mx + x + 1 Hướng dẫn giải  mx + 2m = mx + x + 1 Ta có mx + 2m = mx + x + 1 ⇔   mx + 2m = − ( mx + x + 1) x = 2m − 1  ⇔ m + 2 1 ( ) x = −2m − 1 (1) 

( )

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Giải (1).

 5 ± 45 1 ± 13  S = ;  2   2

1 Với 2m + 1 = 0 ⇔ m = − , phương trình trở thành 0 x = 0 nên phương trình nghiệm đúng với mọi 2 x∈ℝ

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải phương trình x 2 − 4 x − 5 = 4 x − 17

1 Với 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ − , phương trình tương đương với x = −1 2

Hướng dẫn giải

Kết luận:

Với 4 x − 17 < 0 ⇔ x <

17 ta có VT ≥ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm 4

+) m = −

1 thì phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ 2

Với 4 x − 17 ≥ 0 ⇔ x ≥

17 , khi đó hai vế của phương trình không âm nên phương trình đã cho tương 4

+) m ≠ −

1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm là x = −1 và x = 2m − 1 2

Ví dụ 4*. Tìm m để phương trình x 2 + x = mx 2 − ( m + 1) x − 2m − 1 có ba nghiệm phân biệt

đương với phương trình 2

x 2 − 4 x − 5 = ( 4 x − 17 ) ⇔ ( x 2 − 4 x − 5 ) = ( 4 x − 17 )

Hướng dẫn giải Phương trình đã cho tương đương với x ( x + 1) = ( x + 1)( mx − 2m − 1)

 x = 2  x 2 − 8 x + 12 = 0   ⇔ ( x − 8 x + 12 )( x − 22 ) = 0 ⇔  2 ⇔  x = 6  x − 22 = 0  x = ± 22  2

x = −1  ⇔ x + 1 ( x − mx − 2m − 1 ) = 0 ⇔  x = mx − 2 m − 1 ( *)  Trang 11

Trang 12

 ( m − 1) x = 1 + 2m (1)  mx − 2m − 1 = x Ta có (*) ⇔  ⇔  mx − 2m − 1 = − x ( m + 1) x = 1 + 2m ( 2 )

Câu 7: Tập nghiệm S của phương trình 3x − 2 = 3 − 2 x là

Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô nghiệm khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân

Câu 8: Phương trình 3 − x + 2 x + 4 = 3 có nghiệm là

A. S = {−1;1} .

biệt Nếu m = −1 thì phương trình (2) vô nghiệm khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt

C. Vô nghiệm.

D. x =

2 . 3

B. – 6.

C. 6.

D. 12.

Câu 10: Gọi x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình x − 4 x − 5 = 4 x − 17 .

Giá trị biểu thức P = x12 + x2 là A. P = 16.

B. P = 58.

C. P = 28.

D. P = 22.

Câu 11: Phương trình ( x + 1) − 3 x + 1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

 1 + 2m   m − 1 ≠ −1  m≠0   2  1 + 2m  Do đó:  ≠ −1 ⇔  m ≠ − m + 1 3   1 1 + 2m 1 + 2m  ≠  m −1  m ≠ − 2 m +1 

A. 0.

A. a >

 7 3 C. S =  − ; −  .  4 2

C. 2.

D. – 2.

C. 6 .

C. 2.

3 . 2

3 B. a < − . 2

C. a ≠

3 3 và a ≠ − . 2 2

B. m = 1.

C. m = –1.

3 3 hoặc a > . 2 2

[ −5;5]

để phương trình

mx + 2 x − 1 = x − 1 có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 8. D.

D. a < −

D. Không có m.

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  7 3 D. S = − ;  .  4 2

20 . 3

B. 9.

C. 10.

D. 11.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 3: Phương trình 2 x − 4 + x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? B. 1.

B. 1.

A. m = 0.

Câu 2: Tổng các nghiệm của phương trình x + 2 = 2 x − 2 bằng

2 . 3

D. 2.

Câu 14: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x + 1 = x 2 + m có nghiệm duy nhất.

Câu 1: Tập nghiệm S của phương trình x − 2 = 3 x − 5 là

C. 4.

Câu 13: Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x + 2ax = −1 có nghiệm duy nhất?

Bài tập tự luyện dạng 3

 3 7 B. S = − ;  .  2 4

B. 1.

Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình 4 x ( x − 1) = 2 x − 1 + 1 bằng

2 1   Vậy với m ∉  −1; − ; − ; 0;1 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt 3 2  

A. 0.

D. S = {0} .

khác −1

1 . 2

B. x = −4 .

A. – 12.

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

C. S = {1} .

Câu 9: Tổng các nghiệm của phương trình x 2 + 5 x + 4 = x + 4 bằng

1 + 2m   x = m −1 Nếu m ≠ ±1 thì (*) ⇔   x = 1 + 2m m +1 

3 7 A. S =  ;  . 2 4

4 A. x = − . 3

B. S = {−1} .

D. Vô số.

Câu 4: Phương trình 2 x + 1 = x − 3x − 4 có bao nhiêu nghiệm?

1-A

2-D

3-A

4-D

5-B

11-C

12-B

13-D

14-D

15-B

6-D

7-A

8-C

9-B

10-C

A. 0.

B. 1.

C. 2.

Câu 5. Chọn B D. 4.

 2 x − 5 ≥ 0 Ta có  2 ⇒ 2x − 5 + 2x2 − 7 x + 5 ≥ 0  2 x − 7 x + 5 ≥ 0

Câu 5: Tổng các nghiệm của phương trình 2 x − 5 + 2 x 2 − 7 x + 5 = 0 bằng A. 6 .

5 . 2

7 . 2

3 . 2

5  x=2   2x − 5 = 0 5 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi  2 ⇔  x = 1 ⇔ x = 2 2 x − 7 x + 5 = 0   5  x = 2 

Câu 6: Phương trình 2 x − 4 − 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số. Trang 13

Trang 14

Câu 8. Chọn C

Vậy phương trình có bốn nghiệm là x = −3; x = −2; x = 0; x = 1

Trường hợp 1: x < −2

Câu 12. Chọn B

−4 Phương trình trở thành: 3 − x − 2 x − 4 = 3 ⇔ 3 x = −4 ⇔ x = (loại) 3

Phương trình tương đương với 4 x 2 − 4 x − 2 x − 1 − 1 = 0

Đặt t = 2 x − 1 , ( t ≥ 0 ) . Suy ra t 2 = 4 x 2 − 4 x + 1 ⇒ 4 x 2 − 4 x = t 2 − 1

Trường hợp 2: −2 ≤ x ≤ 3

 t = −1 Phương trình trở thành t 2 − 1 − t − 1 = 0 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔  t=2

Phương trình trở thành: 3 − x + 2 x + 4 = 3 ⇔ x = −4 (loại) Trường hợp 3: x > 3 Phương trình trở thành x − 3 + 2 x + 4 = 3 ⇔ 3 x = 2 ⇔ x =

Kết hợp với điều kiện t ≥ 0 chỉ có t = 2 thỏa mãn

2 (loại) 3

3   x= 2  2x −1 = 2 Với t = 2 , ta có 2 x − 1 = 2 ⇔  ⇔  2 x − 1 = −2 x = − 1  2

Vậy S = ∅ Câu 9. Chọn B

 x+4≥0 x ≥ −4  Phương trình ⇔  2 2 2 2 ⇔  2 2 ( x + 5 x + 4 ) = ( x + 4 ) ( x + 5 x + 4 ) − ( x + 4 ) = 0

Vậy tổng các nghiệm là

Câu 13. Chọn D

 x ≥ −4  x ≥ −4   x=0   x = −2 x ≥ −4  2   x = − 4 ⇔  x = −2 ⇔ 2 ⇔ ⇔   x + 6x + 8 = 0  2   2  x = 0 ( x + 6 x + 8 )( x + 4 x ) = 0  x = −4   x + 4x = 0    x = −4

 −1 − 2ax ≥ 0 2ax ≤ −1    Ta có 3 x + 2ax = −1 ⇔ 3 x = −1 − 2ax ⇔  3 x = −1 − 2ax ⇔  ( 3 + 2a ) x = −1 ( 2 )   3x = 1 + 2ax   ( 3 − 2a ) x = 1 ( 3 )  

−3  a < 2 Giải hệ này ta được  a>3  2

Vậy tổng các nghiệm là 0 + ( −2 ) + ( −4 ) = −6 Câu 10. Chọn C 17  4 x − 17 ≥ 0 x≥   4 Phương trình ⇔  2 ⇔ 2  2 ( x 2 − 4 x − 5 )2 = ( 4 x − 17 )2  x − 4 x − 5 = ( 4 x − 17 ) 

−3  a < 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi  a>3  2

17  x≥ 17   4 x≥ 17    x≥ 4  x=6     4 ⇔ ⇔ 2 ⇔ x=2 ⇔  x − x + = 8 12 0   x = 22 ( x 2 − 8 x + 12 )( x 2 − 22 ) = 0   x=6    x 2 − 22 = 0     x = ± 22 Vậy P =

(

)

Câu 14. Chọn D 2

Phương trình x − x + ( m − 1) = 0

Đặt t = x ( t ≥ 0 ) , phương trình trở thành t 2 − t + m − 1 = 0 (*) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ (*) có nghiệm duy nhất t = 0 hoặc (*) có hai nghiệm

+ 6 = 28

t1 = 0; t2 < 0

Câu 11. Chọn C

Với t = 0 là nghiệm của phương trình (*) ⇒ 02 − 0 + m − 1 = 0 ⇔ m = 1

Đặt t = x + 1 ( t ≥ 0 )

Thử lại, thay m = 1 vào phương trình (*), thấy phương trình có 2 nghiệm t = 0 và t = 1 (không thỏa mãn)

Phương trình trở thành t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 •

Với t = 1 ta có x + 1 = 1 ⇔ x + 1 = ±1 ⇔ x = −2 hoặc x = 0

•

Với t = 2 ta có x + 1 = 2 ⇔ x + 1 = ±2 ⇔ x = −3 hoặc x = 1

3  1 + −  =1 2  2

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 15. Chọn B

Trang 15

Trang 16

 x = 10  x = −3

 ( m + 1) x = 0 (1)  mx + 2 x − 1 = x − 1 Ta có mx + 2 x − 1 = x − 1 ⇔  ⇔  mx + 2 x − 1 = − ( x − 1) ( m + 3) x = 2 ( 2 )

( 2 − x )( x + 3) − 2 ( x + 3) = 10 ( 2 − x ) − 50 ⇔ x 2 − 7 x − 30 = 0 ⇔ 

Xét (1), ta có

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = 10

•

m = −1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ

•

m ≠ −1 thì phương trình có nghiệm x = 0

Ví dụ 2. Giải phương trình Hướng dẫn giải

Xét (2), ta có

 x ≠ ±2 Điều kiện xác định:   x ≠ −1

•

m = −3 thì phương trình vô nghiệm

•

m ≠ −3 thì phương trình có nghiệm x =

Vì

2 2 khi m ≠ −1 và ≠ 0∀m ≠ −3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0; x = m+3 m+3

2 m+3

Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được

m ≠ −3

( x + 1) ( x − 2 ) + ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = ( 2 x + 1)( x − 2 )( x + 2 ) ⇔ ( x 2 + 2 x + 1) ( x − 2 ) + ( x 2 − 1) ( x + 2 ) = ( 2 x + 1) ( x 2 − 4 ) ⇔ x3 − 2 x 2 + 2 x 2 − 4 x + x − 2 + x 3 + 2 x 2 − x − 2 = 2 x 3 − 8 x + x 2 − 4

Mà m ∈ [ −5;5] và m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {−5; −4; −2;0;1; 2;3; 4;5} ⇒ có 9 giá trị m

 x=0 (thỏa mãn điều kiện) ⇔ x2 + 4 x = 0 ⇔   x = −4

Dạng 4: Phương trình phân thức Phương pháp giải

Vậy phương trình có nghiệm x = −4 và x = 0

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu

Ví dụ: Giải phương trình

số khác không).

Ví dụ 3. Giải phương trình

2x + 1 x + 1 = 3x + 2 x − 2

4 3 2 1 + = + 2x + 1 2x + 2 2x + 3 2x + 4

Hướng dẫn giải

- Đặt ẩn phụ.

3 1  Điều kiện xác định: x ∉  −2; − ; −1; −  2 2 

2  x ≠ − Điều kiện xác định:  3  x ≠ 2

Phương trình tương đương với

Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được

( 2 x + 1)( x − 2) = ( x + 1)( 3x + 2 )

4 2 1 3 4 x + 10 −4 x − 10 − = − ⇔ 2 = 2x + 1 2x + 3 2x + 4 2x + 2 4 x + 8 x + 3 4 x 2 + 12 x + 8 1 1   ⇔ ( 4 x + 10 )  2 + 2 =0  4 x + 8 x + 3 4 x + 12 x + 8 

⇔ 2 x 2 − 4 x + x − 2 = 3x 2 + 2 x + 3x + 2 (thỏa mãn điều kiện).

⇒ ( 4 x + 10 ) ( 4 x 2 + 8 x + 3 + 4 x 2 + 12 x + 8 ) = 0

Vậy phương trình có nghiệm là x = −4 ± 2 3 .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Giải phương trình 1 +

x +1 x −1 2x +1 + = x + 2 x − 2 x +1

2 10 50 = − x − 2 x + 3 ( 2 − x )( x + 3)

 4 x + 10 = 0 ⇔ ( 4 x + 10 ) ( 8 x 2 + 20 x + 11) = 0 ⇔  2 8 x + 20 x + 11 = 0

5   x=−2 (thỏa mãn điều kiện ban đầu) ⇔ −5 ± 3  x =  4

Hướng dẫn giải  x ≠ −3 Điều kiện xác định:   x≠2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được

Trang 17

−5 ± 3 5 và x = − 4 2

Trang 18

Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình

x 2 + mx + 2 = 2m + 6 3− x

A. m ≠ −

Hướng dẫn giải

1 3 và m ≠ B. m ≠ 0 2 2

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình

Điều kiện xác định: x ≠ 3

A. 0

Quy đồng và khử mẫu phương trình ta được

B. 1

Câu 7: Biết phương trình x − 2 +

⇔ x 2 + ( 3m + 6 ) x − 6m − 16 = 0 (1)

Vậy nghiệm đó là

A. – 2

 x=2 ⇔ ( x − 2 )( x + 3m + 8 ) = 0 ⇔   x = −3m − 8 Nếu −3m − 8 = 2 ⇔ m = −

10 11 và m = − , phương trình có một nghiệm là x = 2 3 3

+) m ≠ −

11 10 và m ≠ − , phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = −3m − 8 3 3

A. m < −8

D. 10

[1; 20]

để phương trình

C. 2

(m Câu 4: Tập hợp nghiệm của phương trình

+ 2 ) x + 2m

B. −8 < m < 1

C. 0 < m < 1

D. m ≤ −8

2-A

3-D

4-A

5-A

6-D

7-D

8-D

9-D

10-B

Câu 7. Chọn D Điều kiện: x ≠ 1 . D. 3

C. x0 ∈ ( −1; 4 ) 2

D. 20

D. S = ∅

Phương trình trở thành x − 2 +

2 10 50 = − . Mệnh đề nào sau đây đúng? x − 2 x + 3 ( 2 − x )( x + 3)

B. x0 ∈ [ −3; −1]

C. 19

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2 x 2 − 10 x = x − 3 có bao nhiêu nghiệm? x 2 − 5x

B. 1

B. 18

1-C

3 C. S =   2

Câu 3: Gọi x0 là nghiệm của phương trình 1 −

Câu 5: Phương trình

C. 9

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

3 3x là = x −1 x −1

B. S = {1}

B. T = ∅

D. 0

4 2  Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 + 2 − 4  x −  + m − 1 = 0 có đúng x x  hai nghiệm lớn hơn 1

Bài tập tự luyện dạng 4

 2 A. T =  −   m

C. 2

B. 8

A. 4

+) m = −

A. x0 ∈ ( −5; −3)

D. 3

x +1 m x +3 có nghiệm? + = x − 2 4 − x2 x + 2

Kết luận:

A. 0

x 2 + mx + 2 = 1 vô nghiệm? x2 −1

x+a = a có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên. x −1

B. – 1

A. – 1

phân biệt x = 2 và x = −3m − 8

Câu 2: Phương trình

3 2

x−m x−2 có nghiệm. Tổng giá trị các phần tử của tập S bằng = x +1 x −1

10 −11 , ta xét điều kiện x ≠ 3 : −3m − 8 ≠ 3 ⇔ m ≠ thì phương trình đã cho có hai nghiệm 3 3

 3 A. S = 1;   2

D. m ≠

Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −3;5] để phương trình

10 thì phương trình có nghiệm kép x = 2 (thỏa mãn) 3

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình 2 x +

3 2

C. 2

x 2 + mx + 2 = ( 3 − x )( 2m + 6 )

Nếu m ≠ −

C. m ≠ 0 và m ≠

x+a = a ⇒ x 2 − 3x + 2 + x + a = ax − a x −1

⇔ x 2 − ( 2 + a ) x + 2a + 2 = 0 (1) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc

D. x0 ∈ [ 4; +∞ )

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1

= 2 ( m ≠ 0 ) là

C. T = ℝ

 a 2 − 4a − 4 = 0 a = 2 + 2 2    a + 1 ≠ 0 Do đó  ⇔ a = 2 − 2 2 2  a = −1  a − 4a − 4 > 0    a + 1 = 0

D. T = ℝ \ {0}

2mx − 1 = 3 có nghiệm duy nhất khi x +1

• Trang 19

Với a = 2 + 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2 + 2 Trang 20

•

Với a = 2 − 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2 − 2

Với điều kiện đó, phương trình tương đương với

•

Với a = −1 phương trình có nghiệm là x = 0; x = 1

 x = −1 x 2 + 2 x + 4 = 2 − x ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔   x = −2

Kết hợp điều kiện x ≠ 1 và x ∈ ℤ thì x = 0 là nghiệm duy nhất cần tìm của phương trình.

Câu 8. Chọn D

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của

m≠0   x ≠ ±1 m≠0 x−m x−2  . Phương trình đã cho có nghiệm ⇔  ⇔ = ⇔ 2 x +1 x −1 mx = m + 2  x = 1 + m ≠ ±1  m ≠ −1

phương trình là x = −1 và x = −2

Ví dụ 1. Giải phương trình x − 2 x − 5 = 4

Vì m ∈ ℤ, m ∈ [ −3;5] nên m ∈ S = {−3; −2;1; 2;3; 4;5}

Hướng dẫn giải

Vậy tổng các giá trị của m là 10.

Điều kiện xác định: 2 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥

Ví dụ mẫu Ghi nhớ:

Câu 9. Chọn D

f ( x) = g ( x)

Trường hợp 1: Với x − 4 < 0 ⇔ x < 4 , ta có phương trình (*) vô nghiệm vì VT không âm và VP âm

 m ≠ −12 m Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ x = − − 4 ≠ ±2 ⇔  2  m ≠ −4

Trường hợp 2: Với x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 , ta có hai vế không âm

Suy ra có tất cả 20 số nguyên m thuộc đoạn [1; 20] thỏa mãn yêu cầu.

nên phương trình (*) tương đương với

Câu 10. Chọn B

x = 3 2 2 x − 5 = ( x − 4 ) ⇔ x 2 − 10 x + 21 = 0 ⇔  x = 7

( *)

 g ( x) ≥ 0 ⇔ 2  f ( x ) =  g ( x ) 

Đối chiếu với điều kiện x ≥ 4 và điều kiện xác định, suy ra chỉ có x = 7 thỏa mãn.

Phương trình (*) có ac < 0 nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi t ∈ ℝ . Do đó (*) nếu có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 .

lớn hơn 1 thì có duy nhất một nghiệm như thế.

Ví dụ 2. Giải phương trình

Ta có x1 < 1 < x2 ⇔ g (1) < 0 ⇔ −t − 1 < 0 ⇔ t > −1

Hướng dẫn giải

Mặt khác phương trình đã cho trở thành f ( t ) = t 2 − 4t + m + 3 = 0 (**). Phương trình đã cho có đúng hai

Điều kiện xác định của phương trình là 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

nghiệm x1 , x2 lớn hơn 1 khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 lớn hơn – 1 , hay

Ta có

∆′ = 4 − m − 3 > 0   m <1  ( t1 + 1)( t2 + 1) = t1t2 + ( t1 + t2 ) + 1 > 0 ⇔   m > −8  t1 + t2 = 4 > −2 

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0

1 2

2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2 x − 1 = − x 2 + 3x − 1

 − x2 + 3x − 1 ≥ 0  − x 2 + 3x − 1 ≥ 0 ⇔ ⇔  2 2 2 2  2 x − 1 = ( − x + 3x − 1) ( x − 1) ( x − 4 x + 2 ) = 0 − x 2 + 3x − 1 ≥ 0  − x 2 + 3x − 1 ≥ 0  x =1   ⇔  ⇔   x =1 ⇔ x =1 x = 2 − 2  x2 − 4x + 2 = 0     x = 2 ± 2

Dạng 5: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng các cách sau:

Ví dụ: Giải phương trình

- Nâng lũy thừa hai vế

Hướng dẫn giải

- Phân tích thành tích

 x2 + 2x + 4 ≥ 0 Điều kiện xác định:  ⇔ x≤2  2− x ≥ 0

- Đặt ẩn phụ

f ( x) = g ( x) :

x − 2 x − 5 = 4 ⇔ 2 x − 5 = x − 4 (*)

 x ≠ ±2 x +1 m x +3 + = ⇔ x − 2 4 − x2 x + 2  2 x = −m − 8

 g ( x ) = x 2 − tx − 2 = 0 2  Đặt x − = t ⇒  4 x x2 + 2 = t 2 + 4  x 

Cách giải phương trình dạng

5 2

x2 + 2x + 4 = 2 − x

Trang 21

Đối chiếu với điều kiện x ≥

1 , ta được x = 1 và x = 2 − 2 là nghiệm của phương trình 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 2 − 2 .

Ví dụ 3. Giải phương trình x =

3x2 + 1 − 1 Trang 22

Hướng dẫn giải

Câu 10: Cho phương trình

 3x + 1 ≥ 0 Điều kiện xác định:  ⇔ ∀x ∈ ℝ 2  3 x + 1 − 1 ≥ 0 2

3mx + 1 2 x + 5m + 3 + x +1 = (1) x +1 x +1

Để phương trình (1) có nghiệm, điều kiện của tham số m là

x≥0 x≥0   Phương trình tương đương với  2 ⇔ 2 2 2  x = 3 x + 1 − 1  3 x + 1 = x + 1

A. 0 < m <

m < 0 B.  m > 1 3 

1 3

 m>0 D.  m < − 1 3 

1 C. − < m < 0 3

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN

 x≥0 x≥0 x≥0   x≥0 x = 0   ⇔ 2 ⇔ ⇔ ⇔ 2  4  2 2  x = 0 ⇔  2 2 x x − = 1 0 x x − = 0 3 x + 1 = x + 1 ( ) ( )    x = ±1  x = 1   

1-B

2-C

3-C

4-D

5-D

6-A

7-B

8-D

9-A

10-B

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và x = 1 Câu 7. Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 5

A. 0

B. 1

C. 2

Câu 2: Tập nghiệm S của phương trình A. S = {3}

x + 3x + 7 = 5 là

D. S = ∅

(1) ⇔ x 2 − ( 2m + 3) x + 6m = 0 (2). Phương trình luôn có nghiệm là

x2 − 5 x 4 là =− x−2 x−2

C. S = {0;1}

Điều kiện x > −1

Phương trình trở thành 3mx + 1 + x + 1 = 2 x + 5m + 3 ⇔ ( 3m − 1) x = 5m + 1 (2) D. S = {5}

Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất nhỏ hơn hoặc bằng –1.

x 2 + 4 x − 12 = x − 2 là x −1

B. 0

C. 2

D. 3

Câu 7: Với giá trị nào của tham số a thì phương trình ( x 2 − 5 x + 4 ) x − a = 0 có hai nghiệm phân biệt? A. a < 1

B. 1 ≤ a < 4

C. a ≥ 4

D. Không có a

Câu 8: Cho

x − 2 ( m + 1) x + 6m − 2

A. m > 1

x−2

= x − 2(1) . Giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là

B. m ≥ 1

C. m < 1

Câu 9: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình m 2 − x = A. 1 < m < 3

B. 0 < m ≤ 2 6 − 4

3 2

Câu 10. Chọn B

D. S = {4}

x2 − 4 x − 2 = x − 2 là x−2

B. S = {1}

x = 3 và x = 2m

Để phương trình (1) có duy nhất một nghiệm thì 2m ≤ 2 hoặc 2m = 3 ⇔ m ≤ 1 hoặc m =

C. S = ∅

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình

A. 1

Câu 8. Chọn D Điều kiện x − 2 > 0 ⇔ x > 2

C. S = {6}

B. S = {1}

Câu 6: Số nghiệm của phương trình

D. S = ∅

2 x − 3 = x − 3 là

B. S = {2}

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình

A. S = {2}

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 ≤ a < 4

C. S = {3; −6}

Câu 3: Tập nghiệm S của phương trình

A. S = {1; 4}

D. 3

B. S = {−6}

A. S = {6; 2}

x = 4  x2 − 5x + 4 = 0 Phương trình tương đương với  ⇔  x = 1  x−a =0  x = a

x − 4 ( x 2 − 3 x + 2 ) = 0 là

Câu 1: Số nghiệm của phương trình

3 D. m ≤ 1 hoặc m = 2

1 1    3m − 1 = 0  m=3  m=3     5m + 1 ≠ 0 1 1 1   3m − 1 ≠ 0 ⇔   m ≠ ⇔   m ≠ ⇔0≤m≤   3 3 3     5m + 1 ≤ −1  8m 1   ≤0 0≤m≤   3m − 1 3   3m − 1   m < 0 Vậy phương trình có nghiệm khi  . m > 1 3 

x 2 − mx + 2 có nghiệm dương 2− x

C. 4 − 2 6 ≤ m < 1

D. 2 6 − 4 ≤ m < 1

Trang 23

Trang 24

CHƯƠNG 3

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu Kiến thức + Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và ý +

( x0 ; y0 )

Biết cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn và áp dụng một cách linh hoạt các phương pháp thế

Biết cách giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số.

sao cho ax0 + bx0 = c thì

được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

thẳng ax + by = c . Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

để giải hệ phương trình. +

( x0 ; y0 )

a c y = − x + (2). b b

Cặp số ( x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình

phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường (1) khi và chỉ khi điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đường

Kĩ năng

Tính thành thạo định thức cấp hai để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Khi b ≠ 0 phương trình ax + by = c trở thành

Phương trình (1) luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của

+ Nắm được công thức tính định thức cấp hai để giải hệ phương trình.

c = 0 thì phương trình vô số nghiệm.

Nếu có cặp số

Nắm được phương pháp cộng đại số, phương pháp thế và phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình.

Nếu c ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm; nếu

ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các số đã cho, với

ab ≠ 0 .

nghĩa hình học của chúng.

Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c .

Phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng:

thẳng (2). Ta có thể sử dụng định thức cấp hai để giải hệ

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát phương trình bậc nhất hai ẩn: là:

a1 x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2 Phương pháp giải:

Dx =

Phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số Dy =

= a1 .b2 − a2 .b1 ;

= c1 .b2 − c2 .b1 ;

= a1 .c2 − a2 .c1 .

Nếu D ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là   x =  y = 

Dx D Dy D

Nếu D = 0; Dx = 0; Dy = 0 , hệ có vô số nghiệm. Nếu D = 0; Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 hệ vô nghiệm. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

a1 x + b1 y + c1 z = d1  a2 x + b2 y + c2 z = d2 . a x + b y + c z = d 3 3 3  3

2 x + 3 y + 4 z = 1  Ví dụ:  y + 3z = 2  2z = 4  là hệ phương trình dạng tam giác.

Phương pháp giải: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để khử dần ẩn đưa về giải hệ phương trình dạng tam giác.

Trang 1

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp giải D=

Hệ hai phương trình

Dy =

bậc nhất hai ẩn

a1 a2

c1 = a1 .b2 − a2 .b1 ; Dx = c2

b1 b2

= c1 .b2 + c2 .b1 ;

c1 = a1 .c2 − a2 .c1 ; c2

Nếu D≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất

a1 x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2

Dx   x = D   y = Dy  D

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số

Ví dụ: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình

nghiệm.

3 x − 2 y = 6 trên trục số.

Bước 1. Xác định hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải Tập nghiệm của phương trình 3x − 2 y = 6 là đường

thẳng. Vì hai cặp số

Nếu D = 0; Dx = 0; Dy = 0 , hệ có vô số nghiệm. Nếu D = 0; Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 hệ vô nghiệm.

( x; y ) = ( 0; −3)

và

( x; y ) = ( 2;0 )

là

nghiệm của phương trình nên tập nghiệm là đường thẳng đi qua hai điểm ( 0; −3) và ( 2;0 ) .

Bước 2. Biểu diễn hai nghiệm trên hệ trục tọa độ

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c

để vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của Phương pháp giải: - Phương pháp thế - Phương pháp cộng đại số

+ b2 ≠ 0 )

Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng ax + by = c

phương trình.

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

a1 x + b1 y + c1 z = d1  a2 x + b2 y + c2 z = d2 a x + b y + c z = d 3 3 3  3

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cặp số nào sau đây không là nghiệm của phương trình x + 2 y + 3 = 0 ? A. ( 2t − 3; −t ) .

3  B.  4t ; −2t −  . 2 

C. ( t ; t + 3) .

D. ( −4t − 3;2t ) .

Hướng dẫn giải Thay lần lượt từng cặp số vào phương trình ban đầu, ta có

Đáp án A. 2t − 3 + 2 ( −t ) + 3 = 0 ⇔ 0t = 0 đúng với mọi t. 3  Đáp án B. 4t + 2  −2t −  + 3 = 0 ⇔ 0t = 0 đúng với mọi t. 2 

Đáp án C. t + 2 ( t + 3) + 3 = 0 ⇔ 3t + 9 = 0 ⇔ t = −3 (không đúng với mọi t). Đáp án D. −4t − 3 + 2 ( 2t ) + 3 = 0 ⇔ 0t = 0 đúng với mọi t.

Trang 3

Trang 4

Do đó các cặp số ở đáp án A, B, D là nghiệm của phương trình và cặp số ở đáp án C không là nghiệm của phương trình.

Chọn C. x − y = 5 Ví dụ 2. Tập hợp các nghiệm của hệ phương trình  là tập hợp nào sau đây? 3 x − 3 y = 15 A. Một điểm.

B. Một đường thẳng.

C. Một mặt phẳng.

C. ∅ .

Hướng dẫn giải

A. x + 2 y = 4 .

x − y = 5 Ta có  ⇔ x− y =5 3 x − 3 y = 15

B. x + 2 y = −4 .

C. − x + 2 y = 4 .

D. x − 2 y = 4 .

Câu 3: Cặp số ( x; y ) nào sau đây không là nghiệm của phương trình x − y = 3 ? A. ( t ; t − 3) .

Tập hợp các nghiệm của hệ là một đường thẳng.

B. ( t + 3; t ) .

C. ( 2t + 1;2t − 2 ) .

D. ( t + 5; −t + 2 ) .

Câu 4: Cặp số ( x, y ) nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình x − 3 y = −4 ?

Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 1

A. ( −3 x0 − 4; − x 0 ) .

Câu 1: Cho các hình sau

B. ( 3x0 + 2; x0 + 2 ) .

C. ( 6 x0 − 4;2 x0 ) .

D. ( 2 − 3 x0 ;1 − x0 ) .

2 x − 3 y = 4 là tập hợp nào sau đây? Câu 5: Tập hợp các nghiệm ( x; y ) của hệ phương trình  −6 x + 9 y = −12 A. Một đường thẳng.

B. Toàn bộ mặt phẳng Oxy.

C. Nửa mặt phẳng.

D. ∅ .

x − 3y = 4 Câu 6: Tập hợp các nghiệm ( x; y ) của hệ phương trình  là tập hợp nào sau đây? − x + 2 y = −6

Hình 1

A. Một điểm.

B. Một đường thẳng.

C. Nửa mặt phẳng.

D. ∅ .

Hình 2

Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình Bài toán 1. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp giải - Phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số - Sử dụng định thức cấp hai:

Hình 4

Hình 3

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình x + y − 3 = 0 ?

A. Hình 3.

B. Hình 1.

C. Hình 2.

b1 = a1 .b2 − a2 .b1 ; b2

c Dx = 1 c2

b1 = c1 .b2 − c2 .b1 ; b2

a1 a2

c1 = a1 .c2 − a2 .c1 . c2

Dy =

D. Hình 4.

a1 a2

Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất là

Câu 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào? Trang 5

 2 x + y = 1 (1) . Ví dụ: Giải hệ phương trình  3 x + 2 y = 2 (2)

Hướng dẫn giải Từ (1) ta có y = 1 − 2 x

(

)

Thay vào (2) ta có 3 x + 2 1 − 2 x = 2 ⇒ x = 2− 2 ⇒ y = 3−2 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

( x; y ) = ( 2 −

)

2;3 − 2 2 .

Trang 6

  x =  y = 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y ) = ( 2; −1) .

Dx D Dy

Bài toán 2. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương pháp giải

Nếu D = 0; Dx = 0; Dy = 0 hệ có vô số nghiệm.

Bằng phương pháp cộng đại số và phương

Nếu D = 0; Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 hệ vô nghiệm.

x + y + z = 3  Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 x − y + 2 z = −3 .  x − 3 y − 3z = −5 

pháp thế, khử bớt ẩn số để đưa về hệ phương

Ví dụ mẫu

trình tam giác.

x + 2 y = 1 Ví dụ 1. Hệ phương trình  có bao nhiêu nghiệm? 3 x + 6 y = 3

A. 1.

B. 2.

C. Vô số nghiệm.

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Cộng hai vế phương trình thứ nhất và thứ hai ta

x + y + z = 3 x + y + z = 3   được: 3 x + 3 z = 0 ⇔ x + z = 0  x − 3 y − 3 z = −5  x − 3 y − 3 z = −5  

Hướng dẫn giải Ta có

1 2 1 = = nên hệ phương trình có vô số nghiệm. 3 6 3

3 x + 3 y + 3 z = 9  ⇔ x + z = 0 .  x − 3 y − 3 z = −5 

Chọn C. 6 5 x + y = 3  Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:  .  9 − 10 = 1  x y

Cộng hai vế phương trình thứ nhất và thứ ba ta được:

x + y + z = 3 x + y + z = 3   ⇔ x + z = 0 x + z = 0 4 x = 4 x = 1  

Hướng dẫn giải

x + y + z = 3  y = 3   ⇔  z = −1 ⇔  z = −1 x = 1 x = 1  

Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0 1 1 Đặt ẩn phụ: u = , v = . x y

Vậy nghiệm của hệ là (1;3; −1) .

1  u = 3  x = 3 6u + 5v = 3 12u + 10v = 6 Hệ phương trình trở thành  ⇔ ⇔ ⇒ . 9u − 10v = 1 9u − 10v = 1 y = 5 v = 1  5

Ví dụ mẫu

mx + y = 1 (1)  Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ my + z = 1 (2) có nghiệm duy nhất?  x + mz = 1 (3) 

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = ( 3;5 )

 x − 1 + y = 0 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  . 2 x − y = 5

A. m ≠ 1 .

B. m = 1 .

C. m = −1 .

D. m ≠ −1 .

Hướng dẫn giải

Từ phương trình thứ hai, ta có y = 2 x − 5 .

mx + y = 1 Từ (2) suy ra z = 1 − my . Thay vào (3) ta có:  . 2 x − m y = 1 − m

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

5 − 2 x ≥ 0  x − 1 + 2 x − 5 = 0 ⇔   x − 1 = 5 − 2 x ⇔ x = 2 ⇒ y = −1 .   x − 1 = −5 + 2 x 

Hệ có nghiệm duy nhất khi

m 1 ≠ ⇔ m ≠ −1 1 −m 2

Chọn đáp án D. Trang 7

Trang 8

Bài tập tự luyện dạng 2

2 x + 3 y = 5 Câu 1: Hệ phương trình  có bao nhiêu nghiệm? 4 x + 6 y = 10 A. 0.

B. 1.

C. m = −1 hay m =

C. 2.

( 2 − 2; 2 2 − 3) . C. ( 2 − 2;3 − 2 2 ) .

( 2 + 2;2 D. ( 2 − 2; 2

A. m = −1 .

) 2 − 3) .

2 −3 .

A. T = 7 .

)

1  B.  −1;  . 2 

C. (1;2 ) .

B. (13; −7 ) .

C. ( −13;7 ) .

D. (1; −2 ) .

D. ( −13; −7 ) .

B. 0.

C. 2.

B. m = 2 .

C. m = 1 .

 1   1  D. ( x; y ) ∈  2; ;  ;2   2   2 

B. m ≠ 3 và

C. m ≠ 3 .

D. m ≠ 3 và m ≠ −3 .

C. T = −10 .

D. T = −7 .

A. m = 0, m = −2 .

B. m = 1, m = 2, m = 3 .

C. m = 0, m = 2 .

D. m = 1, m = −3, m = 4 .

C. m < −

D. m = −1 .

B. 2 < m <

5 hay m > −2 . 2

5 . 2

D. m < 2 hay m >

5 . 2

3 x − 2 y − z = 7  Câu 14: Nghiệm của hệ phương trình  −4 x + 3 y − 2 z = 15 là  − x − 2 y + 3 z = −5 

A. ( −10;7;9 ) .

D. 3.

3 x − my = 1 Câu 8: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình  có đúng một nghiệm. − mx + 3 y = m − 4

A. m ≠ 3 hoặc m ≠ −3 .

B. T = 10 .

5 A. − < m < −1 . 2

 mx − y = 1 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình  vô số nghiệm.  x + ( m + 2 ) y = m

A. m = −2 .

D. m ≠ 1 .

Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số m là

 2 x + y − 1 = 1 Câu 6: Hệ phương trình  có bao nhiêu cặp nghiệm ( x; y ) ?  2 y + x − 1 = 1

A. 1.

C. m ≠ −1 .

mx + ( m + 2 ) y = 5 Câu 13: Cho hệ phương trình  .  x + my = 2m + 3

7  x + y + xy =  2 có nghiệm là Câu 5: Hệ phương trình   x 2 y + xy 2 = 5  2

A. ( x; y) ∈{( 3;2) ;( −2;1)} . B. ( x; y ) ∈ {( 0;1) ; (1;0 )} . C. ( x; y ) ∈ {( 0;2 ) ; ( 2;0 )}

B. m ≠ 0 .

Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương trình có nghiệm nguyên là

Câu 4: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ( d1 ) : x + 2 y = 1 và ( d 2 ) : 2 x + 3 y = −5 là A. (13;7 ) .

1 hay m = 3 . 2

mx + y = 3 Câu 12: Cho hệ phương trình  .  x + my = 2m + 1

)

(

D. m = −

3 x + ay = 2 Câu 11: Biết rằng hệ phương trình  có vô số nghiệm. Tính giá trị của biểu thức 2 x + y = b − 2 T = 2a − 3b .

 2 +1 x + y = 2 −1  là Câu 3: Nghiệm của hệ phương trình  2 x − 2 − 1 y = 2 2 

(

1 . 2

Câu 10: Cho hai đường thẳng d1 : x + ( m + 2 ) y = 3 ; d 2 : mx − y = m . d1 cắt d2 khi nào?

D. Vô số.

 2 x + y = 1 Câu 2: Nghiệm của hệ phương trình  là 3 x + 2 y = 2

1  A. 1; −  . 2 

B. m = 1 hay m = 2 .

A. m = 0 .

B. ( 5; −7;8 ) .

C. ( −10; −7;9 ) .

D. ( −5; −7; −8 ) .

Câu 15: Bộ số ( x; y; z ) = (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây? 2 x + 3 y + 6 z − 10 = 0  A.  x + y + z = −5 .  y + 4 z = −17 

 x + 7 y − z = −2  B.  −5 x + y + z = 1 .  x − y + 2z = 0 

2 x − y − z = 1  C.  x + y + z = 2 .  − x + y − z = −2 

 x + 2 y + z = −2  D.  x − y + z = 4 . − x − 4 y − z = 5 

mx + ( m + 4 ) y = 2 Câu 9: Cho hệ phương trình   m ( x + y ) = 1 − y Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình vô nghiệm? Trang 9

Trang 10

x + 2 y = 1  Câu 16: Hệ phương trình  y + 2 z = 2 có nghiệm là z + 2x = 3 

4 x + 4 y = 20π .

( x0 ; y0 ; z0 ) thì giá trị của biểu thức

Từ hai phương trình trên ta có hệ phương trình: 20 x − 20 y = 20π .  4 x + 4 y = 20π

F = 2 x0 + y0 + 3 z0 là

A. 4

B. 5

C. 2

D. 6

x + 3y − 1 = 0  Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ  2 x + 3 y − z = 1 có đúng một nghiệm.  m + 1 x + 2 z = 2m + 1 ) (

A. m ≠ 1 .

B. m ≠ −1 .

C. m ≠ −3 .

D. m ≠ 3 .

B. (1;2;1) .

C. ( 2;2;1) .

tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển. Số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là bao nhiêu? Hướng dẫn giải D. ( 3;3;3) .

Gọi số thí sinh tham dự của trường A và trường B lần lượt là x, y ( x, y ∈ ℕ*; x, y < 350 ) .

Phương pháp giải

Ví dụ 1. Hai vật chuyển động trên một đường tròn

có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì gặp cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính

vận tốc của mỗi mật.

Bước 2. Thiết lập hệ phương trình thể hiện

mối quan hệ giữa các ẩn.

 x + y = 350  x = 200  Theo đề ra, ta có hệ phương trình  97 ⇔ 96 x + y = 338  y = 150 100 100 (thỏa mãn điều kiện). Vậy số học sinh dự thi của trường A là 200, trường B là 150 học sinh. Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1. Nhà trường phát thưởng cho học sinh khá, học sinh giỏi của hai lớp 10A và 10B. Lớp 10A có 3

học sinh giỏi và 8 học sinh khá, lớp 10B có 4 học sinh giỏi và 5 học sinh khá. Số vở phát thưởng cho hai

Hướng dẫn giải

lớp 10A, 10B lần lượt là 125 quyển và 110 quyển. Hỏi mỗi học sinh khá và giỏi được thưởng bao nhiêu

Gọi vận tốc của vật I là x ( m/s ) và vận tốc của vật II là y ( m/s )

Vậy vận tốc của hai vật là 3π ( m/s ) và 2π ( m/s ) .

và kết luận bài toán.

Ví dụ. Trong một kỳ thi, hai trường A và B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả là hai trường có

Dạng 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1. Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 4. So sánh nghiệm với điều kiện của ẩn Ví dụ mẫu

x + y + z = 9  1 1 1 Câu 18: Nghiệm ( x; y; z ) của hệ phương trình  + + = 1 là x y z  xy + yz + zx = 27 A. (1;1;1) .

 x = 3π Giải hệ phương trình ta được  thỏa mãn.  y = 2π

Bước 3. Giải hệ phương trình.

( x, y > 0; y < x ) .

quyển vở? (Biết rằng phần thưởng cho mỗi học sinh khá ở hai lớp là như nhau và học sinh giỏi cũng thế). A. Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh khá 10 quyển.

Sau 20s hai vật chuyển động được quãng đường là

B. Học sinh giỏi 18 quyển, học sinh khá 12 quyển.

20 x, 20 y ( m ) .

C. Học sinh giỏi 17 quyển, học sinh khá 11 quyển.

Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình

20 x − 20 y = 20π . Sau 4 s hai vật chuyển động được quãng đường là

4 x, 4 y ( m ) . Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình Trang 11

D. Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh khá 8 quyển. Câu 2. Hiện tại tuổi mẹ của Nam gấp 3 lần tuổi của Nam, 5 năm trước tuổi mẹ Nam gấp 4 lần tuổi Nam.

Hỏi mẹ Nam sinh Nam lúc bao nhiêu tuổi? A. 30 tuổi.

B. 25 tuổi.

C. 35 tuổi.

D. 28 tuổi.

Câu 3. Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hỏa biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây. A. Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m.

Trang 12

B. Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145m.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

C. Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145m.

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

D. Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m.

Dạng 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 4. Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa 55% axit

1-C

2-B

3-D

4-D

5-A

6-A

nitơric. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100 lít dung dịch 50% axit HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

nitơric? A. 80 lít dung dịch loại 1 và 20 lít dung dịch loại 2.

Câu 5. Chọn A

B. 20 lít dung dịch loại 1 và 80 lít dung dịch loại 2. C. 30 lít dung dịch loại 1 và 70 lít dung dịch loại 2.

2 x − 3 y = 4 Ta có  ⇔ 2 x − 3 y = 4 . Suy ra tập nghiệm của hệ là một đường thẳng. −6 x + 9 y = −12

D. 70 lít dung dịch loại 1 và 30 lít dung dịch loại 2.

Câu 6. Chọn A.

Câu 5. Có hai loại quặng sắt: quặng sắt A chứa 60% sắt, quặng sắt B chứa 50% sắt. Người ta trộn một 8 lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa sắt. Nếu lấy tăng hơn lúc đầu 15 17 là 10 tấn quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp quặng chứa 30 sắt. A. 10; 15.

B. 10; 20.

C. 10; 14.

D. 10; 12.

x − 3y = 4 Ta có  . − x + 2 y = 6

Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của hai đường thẳng. Dễ thấy hai đường thẳng cắt nhau nên tập nghiệm của hệ là một điểm. Dạng 2. Giải và biện luận hệ phương trình

Câu 6. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể lần lượt là

1-D

2-C

3-D

4-C

5-D

6-B

7-D

8-D

11 - D

12 - A

13 - A

14 - D

15 - C

16 - B

17 - C

18 - D

9-A

10 - C

A. 4 giờ 30 phút và 6 giờ 30 phút. HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

B. 4 giờ và 6 giờ.

Câu 5. Chọn D.

C. 5 giờ 30 phút và 7 giờ 30 phút.

Đặt S = x + y, P = xy ( S 2 − 4 P ≥ 0 ) .

D. 5 giờ và 7 giờ. Câu 7. Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em học sinh lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? A. 10A có 40 em, 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.

7   S + P = 2 7 5 5 Ta có  ⇒ S , P là nghiệm của phương trình X 2 − X + = 0 ⇔ X = 1; X = . 5 2 2 2  SP =  2 Khi S = 1; P =

B. 10A có 45 em, 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em. C. 10A có 45 em, 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.

5 (loại). 2

5 5 1 Khi S = ; P = 1 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2 − X + 1 = 0 ⇔ X = 2; X = . 2 2 2

D. 10A có 43 em, 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.

 1   1   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈  2;  ;  ;2   .  2   2   Câu 6. Chọn B. Điều kiện: x, y ≥ 1 .

2 x + y − 1 = 1 Ta có  ⇒ 2x − 2 y + y − 1 − x − 1 = 0 ⇒ 2( x − y ) + 2 y + x − 1 = 1 Trang 13

y−x y −1 + x −1 Trang 14

 ⇒ ( x − y) 2 −  

 1 =0. y − 1 + x − 1 

Với m ≠ 1 , hệ phương trình có nghiệm x =

1  1  x ≤ 2 x ≤ Khi x = y thì 2 x + x − 1 = 1 ⇒ x − 1 = 1 − 2 x ⇔  ⇔ (vô nghiệm) 2 4 x 2 − 5 x + 2 = 0  x − 1 = (1 − 2 x )2   Khi

y −1 + x −1 =

1 1 3 thì 2 x + 2 y + = 2 ⇒ x + y = (vô nghiệm vì x, y ≥ 1 ). 2 2 4

D Dx 1 2m − 1 , y= y = . = D m +1 D m +1

Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi m = 0; m = −2 . Câu 13. Chọn A.

Ta có D = m 2 − m − 2, Dx = −2m2 − 2m − 6, Dy = 2m2 + 3m − 5 . Hệ phương trình có nghiệm khi D ≠ 0 ⇔ m ≠ −1; m ≠ 2 . Hệ có nghiệm x =

Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Câu 7. Chọn D.

−2m2 − 2m − 6 2m2 + 3m − 5 , y= . 2 m −m−2 m2 − m − 2

  m < −1 2  5 m − m − 2 > 0   m > 2 Hệ phương trình có nghiệm âm khi  2 ⇔ ⇔ − < m < −1 . 2 2 m + 3 m − 5 < 0  − 5 < m < 1  2

mx − y = 1  y = mx − 1  y = mx − 1 Ta có  . ⇔ ⇔ 2 x m y m x m mx m + + 2 = + + 2 − 1 = ( ) ( )( )    x ( m + 2m + 1) = 2m + 2  m 2 + 2m + 1 = 0 Hệ có vô số nghiệm khi  ⇔ m = −1 .  2m + 2 = 0

Câu 18. Chọn D.

Ta có

Câu 9. Chọn A.

1  y= mx + ( m + 4 ) y = 2 4 y = 1 + y  3 ⇔ ⇔ .  m ( x + y ) = 1 − y m ( x + y ) = 1 − y mx + 1 m = 2  3 3

1 1 1 + + = 1 ⇔ xy + yz + zx = xyz ⇒ xyz = 27 x y z

⇒ x, y, z là nghiệm của phương trình X 3 − 9 X 2 + 27 X − 27 = 0 ⇔ X = 3 .

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y; z ) = ( 3;3;3) .

m = 0  Hệ vô nghiệm khi  2 1 ⇔ m = 0.  3 − 3 m ≠ 0

Dạng 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 1-A

2-A

3-A

4-B

5-B

6-D

7-A

Câu 10. Chọn C.

Hai đường thẳng d1 : x + ( m + 2 ) y = 3 ; d 2 : mx − y = m .  x + ( m + 2 ) y = 3 1 m+2 hay m ≠ −1 . có nghiệm duy nhất, nghĩa là ≠ d1 cắt d 2 khi hệ  m −1 mx − y = m Câu 11. Chọn D.

( 2a − 3) y = 10 − 3b 3 x + ay = 2 6 x + 2ay = 4 Hệ phương trình  . ⇔ ⇔ 3x + 2ay = 4 2 x + y = b − 2 6 x + 3 y = 3b − 6

3  a = 2  2a − 3 = 0 Để hệ vô số nghiệm thì  ⇔ . Vậy T = 3 − 10 = −7 . 10 − 3b = 0 b = 10  3 Câu 12. Chọn A.

Ta có D = m 2 − 1 , Dx = m − 1 , Dy = 2m2 + m − 3 .

Trang 15

Trang 16

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

a > 0,

BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC

c>0

Mục tiêu

n∈ℕ

Kiến thức

a<b⇔ a

n∈ℕ ,

+ Hiểu được khái niệm bất đẳng thức.

Nhân hai bất đẳng

a < b  ⇒ ac < bd c < d 2 n +1

a<b⇔a

thức cùng chiều

2 n +1

Nhân hai vế của bất

đẳng thức lên một

lũy thừa

a>0

+ Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức

a>0

Cô-si và bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

a<b⇔ a < b

Khai căn hai vế của

a<b⇔ 3 a < 3 b

Kĩ năng

một bất đẳng thức

+ Biết cách giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất và định nghĩa. +

Bất đẳng thức Cô-si

Biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

+ Vận dụng được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong các bài toán về cực trị.

Ví dụ:

a+b Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ≥ ab . 2

mãn xy = 9 . Khi đó, ta có

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b . -

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm bất đẳng thức -

x 2 + y 2 ≥ 2 x 2 y 2 = 2 xy = 18

Hệ quả:

Tổng của một số dương và nghịch đảo của nó luôn lớn hơn Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

Ví dụ:

Các mệnh đề dạng " a ≤ b " hoặc " a ≥ b " được gọi là bất đẳng

hoặc bằng 2.

3 < 5 ; ( a + 1) ≥ 0 ; a 2 + 2 > 0 .

thức.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương. -

Nếu mệnh đề " a < b ⇒ c < d " đúng thì ta nói bất đẳng thức

c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b ⇒ c < d . -

ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇔ c < d .

Tính chất của bất đẳng thức Tính chất

Điều

Ví dụ:

•

Từ 3 < 6 ⇒ 2.3 < 2.6 ⇒ 6 < 12 . Bất đẳng thức 6 < 12 là bất đẳng thức

•

tương đương với nhau.

Nếu x , y cùng dương và có tổng không đổi thì tích

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất sau

kiện

đẳng thức với một số c<0

a < b ⇔ ac > bc

đẳng thức với một số

a < b ⇒ a+c <b+d c < d

Cộng hai bất đẳng

x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a . x ≥ a . x ≥a⇔  x ≤ −a

Cộng hai vế của bất Nhân hai vế của bất

Nội dung

x ≥ 0 , x ≥ x , x ≥ −x . a>0

a < b ⇔ ac < bc

Nếu a < b thì (1) đúng.

Nếu a > b , bình phương hai vế, ta được

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tên gọi

c>0

Chứng minh: a − b ≤ a + b . (1)

Nếu x , y cùng dương và có tích không đổi thì tổng

Điều kiện

Nội dung

a <b ⇔ a+c<b+c

1 ≥ 2 , ∀a > 0 . a

x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y .

Chứng minh tương tự, ta thu được kết quả hai bất đẳng thức 3 < 6 và 6 < 12

 x2 = y2 x = y = 3 . ⇔  xy = 9  x = y = −3 

xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = y .

hệ quả của bất đẳng thức 3 < 6 .

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và

Cho hai số thực x , y thỏa

a 2 − 2 ab + b 2 ≤ a 2 + b 2 + 2ab ⇔ ab ≥ − ab (bất đẳng thức này luôn đúng).

Suy ra điều phải chứng minh. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab ≤ 0 . Chứng minh tương tự với bất đẳng thức a + b ≤ a + b .

a − b ≤ a+b ≤ a + b .

thức cùng chiều

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất Trang 1

Trang 2

Phương pháp giải

⇔

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức 3

ab − a 2 ab − b 2 + ≥0 (1 + a 2 ) (1 + ab ) (1 + b2 ) (1 + ab )

a + b ≥ a b + ab với mọi a ≥ 0 , b ≥ 0 .

A > B ( A ≥ B) .

hoặc Hướng dẫn giải Cách 1. Xét hiệu dùng các phép biến đổi tương đương để a 3 + b3 − ( a 2b + ab 2 ) = ( a 3 − a 2b ) − ( ab 2 − b3 ) chứng minh A > B ( A ≥ B ) tương đương

1. Chứng minh

⇔

A − B > 0 ( A − B ≥ 0)

với một bất đẳng thức đúng. 2. Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng. 3. Biến đổi một vế của bất đẳng thức. A > C 4. Sử dụng tính chất bắc cầu  ⇒ A > B. C > B

a (b − a )

b ( a − b)

(1 + a ) (1 + ab ) (1 + b ) (1 + ab ) 2

bất đẳng thức dạng A ≥ B ta nên chỉ ra trường hợp dấu đẳng thức (dấu " = " )

≥0

xảy ra.

⇔

b−a  a b  b − a a + ab 2 − b − a 2b − ≥0⇔ . ≥0  2 2  1 + ab  1 + a 1 + b  1 + ab (1 + a 2 )(1 + b 2 )

⇔

( b − a ) ( ab − 1) ≥ 0 . b − a ( a − b ) + ab ( b − a ) . ≥0⇔ 1 + ab (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 1 + ( ab ) (1 + a 2 )(1 + b2 )

= a 2 ( a − b ) − b2 ( a − b )

= ( a − b) ( a2 − b2 ) = ( a − b) ( a + b) . 2

Mà ( a − b ) ≥ 0 với mọi a , b và a ≥ 0 , b ≥ 0 nên 2

(a − b) (a + b) ≥ 0 .

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ab ≥ 1 . Dấu " = " xảy ra khi a = b hoặc ab = 1 . Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.

Dấu " = " xảy ra khi a = b . Vậy a 3 + b3 ≥ a 2b + ab 2 với mọi a ≥ 0 , b ≥ 0 . Cách 2. Biến đổi tương đương

Ví dụ 2. Cho a , b thỏa mãn a + b ≥ 0 . Chứng minh rằng

+ b3 ) ≥ ( a 2b + ab 2 ) Hướng dẫn giải

⇔ ( a 3 − a 2b ) − ( ab 2 − b3 ) ≥ 0

Ta có

⇔ a 2 ( a − b ) − b2 ( a − b ) ≥ 0

2 2 a 3 + b3  a + b   a 2 + b 2  ( a + b ) ( a − ab + b )  a + b   a 2 + b 2  − = −      2 2  2  2   2  2 

⇔ ( a − b ) ( a 2 − b2 ) ≥ 0 2

⇔ ( a − b ) ( a + b ) ≥ 0 . ( *) Lập luận tương tự như Cách 1, ta suy ra bất đẳng thức (*) là một bất đẳng thức đúng với a ≥ 0 , b ≥ 0 . Vì vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

a 2 + b 2   a + b   a 2 − 2ab + b 2   a +b  2 2 = =    a − ab + b −  2   2  2  2   =

( a + b )( a − b ) 4

≥ 0 (luôn đúng vì a + b ≥ 0 và ( a − b ) ≥ 0 ).

a 3 + b3  a + b   a 2 + b 2  ≥  với a + b ≥ 0 .  2  2  2 

Ví dụ 3. Cho a , b , c > 0 thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 =

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho a , b là hai số thực thỏa mãn ab ≥ 1 .

Chứng minh

1 1 2 . + ≥ 1 + a 2 1 + b 2 1 + ab

35 . 33

1 1 1 1 + − < . a b c abc

Hướng dẫn giải

Ta có 0 ≤ ( a + b − c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab − ac − bc )

Bất đẳng thức đã cho tương đương với 1 1 2 1 1 1 1 + − ≥0⇔ − + − ≥0 1 + a 2 1 + b 2 1 + ab 1 + a 2 1 + ab 1 + b 2 1 + ab

Dấu " = " xảy ra khi a = b hoặc a = −b . Vậy

Chứng minh rằng

a 3 + b3  a + b   a 2 + b 2  ≥ .  2  2  2 

Nhận xét: Khi chứng minh

Trang 3

⇔ 2 ( ac + bc − ab ) ≤ a 2 + b 2 + c 2

Trang 4

⇔ ac + bc − ab ≤

1 2 ( a + b2 + c2 ) 2

⇔ ac + bc − ab ≤

35 < 1 hay ac + bc − ab < 1 . 66

Vì abc > 0 nên chia cả hai vế cho abc , ta được

⇔

a b c a b c 3 bc ca ab ≥ 3 . 1 + 1 + 1 + + + ≥ ⇔ + + a b c 1 + a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 4 4 1+ 1+ 1+ 1 + bc 1 + ca 1 + ab

Đặt x =

ac + bc − ab 1 < abc abc

Suy ra x , y , z ≥ 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 .

1 1 1 1 (điều phải chứng minh). + − < a b c abc

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi a , b , c > 0 ta có 1 <

a b c ; y= ; z= . 1 + bc 1 + ca 1 + ab

Ta cần phải chứng minh a b c + + < 2. a+b b+c c+a

Dễ thấy

Hướng dẫn giải Ta có a + b < a + b + c ⇒ Tương tự ta có

( 2) ;

x y z x+ y+z 3 + + ≥ = (vì x + y + z = 3 ). 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x + y + z 4

c c . ( 3) > c+a a+b+c

Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1) , ( 2 ) , ( 3) ta được

Dấu " = " xảy ra khi trong 3 số a , b , c có một số bằng 3 và hai số còn lại cùng bằng 0.

Ví dụ 6. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x ≤ y ≤ z .

a b c + + > 1 . ( *) a +b b+c c+a

1 1 1 1 1 Chứng minh rằng y  +  + ( x + z ) ≤  +  ( x + z ) . x z y x z

Ta có a ( a + b + c ) = a 2 + ab + ac < a 2 + ab + ac + bc = ( a + b )( a + c )

⇒

a a+c . < a+b a+b+c

Hướng dẫn giải

( 4)

Bắt đẳng thức đã cho tương đương với

Tương tự ta có

b b+a . < b+c a +b+c c c +b < . c+a a+b+c

( x + z) ⇔

( 6)

y ( x + z)

x+z y

x+z y 1 − − ≥ 0 (vì x + z > 0 ) xz xz y

⇔ x( y − z) − y ( y − z) ≥ 0

(**)

⇔ ( x − y )( y − z ) ≥ 0 Bất đẳng thức này luôn đúng vì 0 < x ≤ y ≤ z .

a b c + + < 2 (điều phải chứng minh). a+b b+c c+a

Vây bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.

a b c Ví dụ 5. Cho a , b , c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện + + = 3. 1 + bc 1 + ca 1 + ab Chứng minh rằng

≥

⇔ xy + yz − y 2 − xz ≥ 0

Cộng theo vế các bất đẳng thức ( 4 ) , ( 5) , ( 6 ) ta được

Từ (*) và (**) ta được 1 <

( 5)

a b c + + < 2. a +b b+c c+a

x x y y z z ; ; . ≥ ≥ ≥ 1+ x 1+ x + y + z 1+ y 1+ y + x + z 1+ z 1+ z + x + y

Cộng vế với vế các bất đẳng thức, ta được

1 1 a a . (1) > ⇒ > a+b a+b+c a+b a +b+c

b b > b+c a +b+c

x y z 3 + + ≥ . 1+ x 1+ y 1+ z 4

Dấu " = " xảy ra khi x = y hoặc y = z .

a b c 3 + + ≥ . 1 + a + bc 1 + b + ca 1 + c + ab 4

Ví dụ 7. Cho abc = 1 và a 3 > 36 . Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải

Ta có

Xét hiệu

Trang 5

a2 + b 2 + c 2 > ab + bc + ca . 3

Trang 6

 a2  a2 a2 + b 2 + c 2 − ( ab + bc + ca ) =  + b 2 + c 2 − ab − ca + 2bc  + − 3bc 3  4  12 2

(

2 3 a  a − 36bc  a  a − 36abc =  −b −c + =  −b −c + 12 12a 2  2 

a−

(

)

a − 1 < 0 ⇔ a < a , ∀a ∈ ( 0;1) . Do đó C sai.

a 3 − a 2 = a 2 ( a − 1) < 0 ⇔ a 3 < a 2 , ∀a ∈ ( 0;1) . Do đó D sai.

Ta có a 3 > 36 ⇒ a > 3 36 > 0 và a3 − 36 > 0 nên

a − 36 >0; 12a

Chọn A. Ví dụ 10. Cho a > b > 0 và x =

a  Lại có  − b − c  ≥ 0 . 2  2

3 a  a − 36 Do đó  − b − c  + >0. 12a 2 

A. x > y .

B. x < y .

C. x = y .

D. Không so sánh được.

Giả sử x < y ⇔

Ví dụ 8. Cho hai số thực dương a , b . Bất đẳng thức nào sau đây đúng? a2 1 A. 4 ≥ . a +1 2

1+ a 1+ b < ⇔ (1 + a ) (1 + b + b 2 ) < (1 + b ) (1 + a + a 2 ) 1 + a + a 2 1 + b + b2

⇔ 1 + b + b 2 + a + ab + ab 2 < 1 + a + a 2 + b + ab + a 2b

ab 1 B. ≥ . ab + 1 2

⇔ b 2 + ab 2 < a 2 + a 2b ⇔ a 2 − b 2 + ab ( a − b ) > 0 ⇔ ( a − b )( a + b + ab ) > 0 luôn đúng với mọi a > b > 0 .

a2 + 1 1 ≤ . a2 + 2 2

D. Tất cả đều đúng.

Do đó x < y .

Chọn B.

Hướng dẫn giải 2

( a − 1) ≤ 0 , ∀a ∈ ℝ . Do đó A sai, D sai. a2 1 2a 2 − a 4 − 1 − = =− 4 a +1 2 2 ( a + 1) 2 ( a 4 + 1) 2

Bài tập tự luyện dạng 1

(

)

Bài tập cơ bản

ab − 1 ab 1 2 ab − ab − 1 ab 1 − = =− ≤0⇔ ≤ , ∀a, b > 0 . Do đó B sai. ab + 1 2 ab + 1 2 2 ( ab + 1) 2 ( ab + 1)

(

)

a2 + 1 −1 a2 + 1 1 2 a2 + 1 − a2 − 2 − = = − a2 + 2 2 2 ( a2 + 2) 2 ( a2 + 2)

Câu 1: Hai số a , b thỏa mãn bất đẳng thức

≤0⇔

B. a > b .

A. a < b .

a2 +1 1 ≤ , ∀a . Do đó C đúng. a2 + 2 2

Ví dụ 9. Nếu 0 < a < 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

C. ( m + n )( m − n ) > 0 .

C. a > a .

C. a = b .

D. a ≠ b .

Câu 2: Với m , n > 0 , bất đẳng thức mn ( m + n ) < m + n tương đương với bất đẳng thức A. ( m + n ) ( m2 + n 2 ) ≥ 0 .

B. a >

a 2 + b2  a + b  ≤  thì 2  2  3

Chọn C. 1 > a. a

1+ a 1+ b ; y= . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 + a + a2 1 + b + b2

Hướng dẫn giải

a2 a2 Vậ y + b 2 + c 2 − ( ab + bc + ca ) > 0 ⇔ + b 2 + c 2 > ab + bc + ca (điều phải chứng minh). 3 3

)

1 a 2 − 1 ( a − 1)( a + 1) 1 = = < 0 ⇔ a < , ∀a ∈ ( 0;1) . Do đó B sai. a a a a

a− a = a

3 a  a − 36 . =  −b −c + 12a 2 

)(

1− a 1+ a + a 1 1− a a 1 − a= = > 0 ⇔ > a , ∀a ∈ ( 0;1) . Do đó A đúng. a a a a

1 . a

B. ( m + n ) ( m2 + n 2 + mn ) ≥ 0 . D. ( m − n ) ( m 2 + 2n 2 ) ≥ 0 .

Câu 3: Cho x , y > 0 . Bất đẳng thức nào sau đây sai? 2

A. ( x + y ) ≥ 4 xy .

D. a 3 > a 2 .

Hướng dẫn giải

Trang 7

1 4 ≥ . xy ( x + y )2

1 1 4 . + < x y x+ y 2

D. ( x + y ) ≤ 2 ( x 2 + y 2 ) .

Trang 8

Câu 4: Với mỗi x > 2 , trong các biểu thức 2 . x

2 . x +1

2 2 2 x +1 x , , , , giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất? x x + 1 x −1 2 2

2 . x −1

D. ab + bc + ca ≥ 1 . 2

thức nào sau đây?

B. Chỉ (II).

C. (I) và (III).

ab 1 ≤ . ab + 1 2

(III):

D. (I), (II) và (III).

a2 + 1 1 ≤ . a2 + 2 2

(IV):

2 ab ≤1. a+b

Số mệnh đề đúng là

B. 3.

C. 4.

b  c  d  e  A.  a −  +  a −  +  a −  +  a −  ≥ 0 . 2  2  2  2 

Câu 6: Cho các mệnh đề

A. 1.

D. a = 1 .

Câu 13: Bất đẳng thức a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) , ∀a, b, c, d , e tương đương với bất đẳng

Mệnh đề nào đúng?

(II):

1 C. a = − . 2 1 B. ab + bc + ca ≥ − . 2

(III): ab + 4 ≥ 4 ab , ∀a, b .

a2 1 ≤ . a +1 2

1 . 2

C. ab + bc + ca < 1 .

(II): ab ( a + b ) ≤ a 3 + b3 , ∀a, b .

B. a =

A. ab + bc + ca ≥ 0 .

(I): a 2 + b 2 ≥ 2ab , ∀a, b .

(I):

1 . 4

Câu 12: Cho a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Hãy chọn mệnh đề đúng.

x . 2

Câu 5: Cho các mệnh đề sau

A. Chỉ (I).

A. a =

D. 2.

a  a  a  a  B.  b −  +  c −  +  d −  +  e −  ≥ 0 . 2  2  2  2  a  a  a  a  C.  b +  +  c +  +  d +  +  e +  ≥ 0 . 2  2  2  2  2

D. ( a − b ) + ( a − c ) + ( a − d ) + ( a − e ) ≥ 0 .

Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y = − x + 5 x − 6 trên đoạn [ 2;3] là 5 A. . 2

1 B. . 4

Câu 8: Cho hàm số f ( x ) =

1 2

x +1

Câu 14: Cho 3 số a, b, c bất đẳng thức nào sau đây đúng?

C. 1.

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a + b ≥ 2 ab .

B. ( a − 2b + 3c ) ≤ 14 ( a 2 − b 2 + c 2 ) .

C. ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 .

1 1 4 . + ≥ a b a +b

Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 + 3 x với x ∈ ℝ là

A. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất là 0, giá trị lớn nhất bằng 1.

9 A. − . 4

B. f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1.

3 B. − . 2

C. 0.

C. f ( x ) có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2.

ĐÁP ÁN

D. f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

Dạng 1. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất

Câu 9: Cho a , b , c , d là các số dương. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu

a c a+b c+d < . > thì b d a c

C. a + b + c ≤ ab + bc + ca .

B. Nếu

a c a +b c+d ≥ . > thì b d b d

D. 2 ab

(

)

b c < . a d

b c > . a d

b a > . d c

2-C

3-B

4-B

5-A

12 - B

13 - B

14 - C

15 - C

6-D

7-B

8-B

9-A

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

a + b ≥ 2ab + a + b .

Câu 10: Cho a , b , c , d là các số thực trong đó a , c ≠ 0 . Nghiệm của phương trình ax + b = 0 nhỏ hơn nghiệm của phương trình cx + d = 0 khi và chỉ khi A.

1-C 11 - A

3 . 2

b d > . a c

Câu 11. Chọn B. x = a Hệ phương trình có nghiệm là  .  y = 1− a 2

Bài tập nâng cao

1 1 1 1 1 1   Ta có xy = a (1 − a ) = a − a 2 = −  a 2 − 2a. + −  = −  a −  + ≤ , ∀a ∈ ℝ . 2 4 4 2 4 4   

x + y = 1 Câu 11: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình  có nghiệm ( x; y ) với x. y lớn nhất?  x − y = 2a − 1

Đẳng thức xảy ra khi a =

1 . 2

Vậy xy lớn nhất khi a =

1 . 2

Trang 9

Trang 10

Câu 12. Chọn B. 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .

Ta có a + b ≥ 2ab ; b + c ≥ 2bc ; c + a ≥ 2ac .

Dạng tương đương của bất đẳng thức trên

Cộng vế theo vế ta có 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2 ( ab + bc + ca ) ⇒ ab + bc + ca ≤ 1 .

abc ≤

1 2 Ta có ( a + b + c ) ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 0 ⇔ ab + bc + ca ≥ − . 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .

3. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho n số

Câu 13. Chọn B.

không âm.

a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e )

Với a1 , a2 ,..., an ≥ 0 , ta luôn có

 a2   a2   a2   a2  ⇔  − ab + b 2  +  − ac + c 2  +  − ad + d 2  +  − ae + e 2  ≥ 0  4   4   4   4  2

(a + b + c)

a b c a b c + + ≥ 33 . . = 3. b c a b c a

a1 + a2 + ... + an n ≥ a1.a2 ...an . n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an .

a  a  a  a  ⇔ b −  + c −  + d −  + e −  ≥ 0. 2 2 2 2        Câu 14. Chọn C.

Ví dụ mẫu 2

Đáp án C. đúng vì ab + bc + ca ≤ a + b + c ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0 .

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta có

Câu 15. Chọn C.

1 1 4 . + ≥ a b a+b

Ta có x 2 ≥ 0 ; x ≥ 0 ⇒ x 2 + 3 x ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ .

Hướng dẫn giải

Vây giá trị nhỏ nhất là 0 đạt được khi x = 0 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có a + b ≥ 2 ab ,

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô-si

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

Phương pháp giải

1 1 1 1 4 . + ≥4⇔ + ≥ a b a b a + b  

( a + b ) 

1. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số Ví dụ 1. Cho a, b, c ≥ 0 . Chứng minh

không âm: Với a, b ≥ 0 , ta luôn có

a +b ≥ ab . 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .

Các dạng tương đương của bất đẳng thức trên ab ≤

(a + b)

và a 2 + b 2 ≥

(a + b) 2

Đẳng thức xảy ra khi a = b .

( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc . Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c =

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

Hướng dẫn giải

b + c ≥ 2 bc ;

Cách 1.

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8

a 2b 2 c 2 = 8abc .

1 3

Với a, b, c ≥ 0 , ta luôn có

a+b+c 3 ≥ abc . 3

1 3

( a + 3b ) .1.1 ≤ ( a + 3b + 1 + 1) = ( a + 3b + 2 )

⇔ 3 a + 3b ≤

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .

không âm:

3 . Chứng minh rằng 4

a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 .

a + b ≥ 2 ab ;

c + a ≥ 2 ca .

2. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số

1 1 2 . + ≥ a b ab

1 ( a + 3b + 2 ) . 3

(1)

Chứng minh tương tự ta cũng có

Ví dụ 2. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh

a b c + + ≥ 3. b c a

b + 3c ≤

1 ( b + 3c + 2 ) , 3

( 2)

Hướng dẫn giải

c + 3a ≤

1 ( c + 3a + 2 ) . 3

( 3)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có Trang 11

Trang 12

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1) , ( 2 ) , ( 3) , ta được 3

1 + x3 + y3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥ xy yz zx

1 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤  4 ( a + b + c ) + 6  3 3

3 3 + yz zx

3 3 3 = 3 3. . . xy yz zx

≥ 33

1 3  ⇔ a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤  4. + 6  = 3 . 3 4  3

3 + xy

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 .

3  1 a + b + c = Đẳng thức xảy ra khi  ⇔a=b=c= . 4 4  a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1

Ví dụ 4. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh

a3 b3 c3 a +b+c + + ≥ . b (c + a ) c ( a + b) a (b + c ) 2

Hướng dẫn giải

Cách 2. Đặt x = a + 3b , y = b + 3c , z = c + 3a ta có x + y + z = 4 ( a + b + c ) = 3 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x + y + z ≤ 3 .

5a b c a3 b c+a a3 b c + a 3a a3 . . + + ≥ 33 = ⇔ ≥ − − . b (c + a ) 2 b (c + a ) 2 4 b (c + a) 4 2 4 4 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có x3 + 1 + 1 ≥ 3 3 x3 .1.1 = 3x .

Tương tự, ta chứng minh được

Chứng minh tương tự, ta được y 3 + 1 + 1 ≥ 3 y , z 3 + 1 + 1 ≥ 3 z .

5b c a 5c a b b3 c3 ≥ − − ; ≥ − − . c ( a + b) 4 2 4 a (b + c) 4 2 4

Cộng từng vế các bất đẳng thức tương tự, ta được

9 ≥ 3( x + y + z ) ⇔ x + y + z ≤ 3 .

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được

1 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 ⇔ a = b = c = . 4

a3 b3 c3 a +b+c + + ≥ . b (c + a ) c ( a + b) a (b + c ) 2

Ví dụ 3. (Đề thi đại học khối D – 2005).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng 3

Ví dụ 5. Cho x, y , z là các số dương và xyz = 1 . Chứng minh rằng

1+ x + y 1+ y + z 1+ z + x + + ≥3 3. xy yz zx

Hướng dẫn giải

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có

1 + x 3 + y 3 ≥ 3 3 1.x3 . y 3 = 3xy ⇔

1 + x3 + y 3 ≥ xy

3 . xy

1+ z + x ≥ zx

x 2 1+ y x 2 1+ y x2 y 1 . + ≥2 =x⇔ ≥ x − − . (1) 1+ y 4 1+ y 4 1+ y 4 4

Tương tự

(1)

y2 z 1 ≥ y− − 1+ z 4 4

( 2)

và

z2 x 1 ≥ z− − . 1+ x 4 4

Mẹo ta cần quan tâm dấu

" = " xảy ra khi nào để

( 3)

thêm bớt cho phù hợp.

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1) , ( 2 ) , ( 3) ta được x2 y2 z2 3 x+ y+z + + ≥− − + ( x + y + z) 1+ y 1+ z 1+ x 4 4

Chứng minh tương tự ta được 1 + y3 + z 3 ≥ yz

x2 y2 z2 3 + + ≥ . 1+ y 1+ z 1+ x 2

3 ; yz

( 2)

3 . zx

( 3)

3 3 ( x + y + z ) ≥ 3 3 xyz − 1 4 4

(

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1) , ( 2 ) và ( 3) , ta được

)

3 3 ( 3 − 1) = 4 2

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 .

Trang 13

Trang 14

Ví dụ 6. (Đề thi đại học khối A – 2005)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

1 1 1 + + = 4 . Chứng minh rằng x y z

B. M =

C. M = 1 .

D. M = 2 .

Hướng dẫn giải

1 1 1 + + ≤ 1. 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

Ta có f ( x ) =

Hướng dẫn giải 2

Trước hết với a, b > 0 , ta có 4ab ≤ ( a + b ) ⇔

a+b 1 1 11 1 ≤ ⇔ ≤  + . a + b 4ab a+b 4 a b

x −1

(

)

x −1 + 1

(

)

(

x −1 +1 ≥ 2

)

x − 1 .1 = 2 x − 1 .

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = 2 .

Sử dụng kết quả trên, ta có

Do đó f ( x ) ≤

1 1 1 1  1  1 1  1 1  1  1 1 1  ≤  + + .  ≤  +  +  =  + 2 x + y + z 4  2 x y + z  4  2 x 4  y z  8  x 2 y 2 z 

Vậy M =

Tương tự

x −1 1 = . 2. x − 1 2

1 . 2

Chọn B.

1 1 1 1 1  1 11 1 1  ≤  + + ; ≤  + + . x + 2 y + z 8  y 2z 2x  x + y + 2z 8  z 2x 2 y 

Ví dụ 9. Giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x ) =

1 1 1 11 1 1 + + ≤  + +  = 1. 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4  x y z 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z =

A. M = 0 .

3 . 4

C. M =

A. M = 0 .

B. M = 24 .

C. M = 27 .

D. M = 30 .

(2x + 1+ 5 − 2x) 4

(a + b) 4

, với x > 0 là

B. M =

1 . 2

Ta có f ( x ) =

1 . 4

D. M = 1 .

( x + 1)

x . x2 + 2x + 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có x 2 + 1 ≥ 2 x 2 .1 = 2 x .

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si: ab ≤

( x + 1)

Hướng dẫn giải

 1 5 Ví dụ 7. Giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x ) = ( 6 x + 3)( 5 − 2 x ) , với x ∈  − ;  là  2 2

f ( x ) = 3 ( 2 x + 1)( 5 − 2 x ) ≤ 3.

x −1 x −1 = = x x −1+ 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

Đẳng thức xảy ra khi a = b .

Vậy

1 . 2

A. M = 0 .

Do đó x 2 + 2 x + 1 ≥ 4 x ⇒ f ( x ) ≤

, ta được

x 1 = . 4x 4

Dấu " = " xảy ra khi x = 1 . Vậy M =

= 27 ⇒ f ( x ) ≤ 27 .

1 . 4

Chọn B.

5  1 − ≤ x ≤ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi  2 2 ⇔ x = 1.  2 x + 1 = 5 − 2 x

Ví dụ 10. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x ) = x + 3 + 6 − x lần lượt là A. m = 2 ; M = 3 .

B. m = 3 ; M = 3 2 .

Vậy M = 27 .

C. m = 2 ; M = 3 2 .

D. m = 3 ; M = 3 .

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 8. Giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x ) =

Hàm số xác định khi −3 ≤ x ≤ 6 . Tập xác định D = [ −3;6] .

x −1 với x > 1 là x

Ta có f 2 ( x ) = 9 + 2

Trang 15

( x + 3)( 6 − x ) . Trang 16

( x + 3)( 6 − x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [ −3;6] nên

Vì

Câu 9: Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

f 2 ( x) ≥ 9 ⇒ f ( x) ≥ 3 .

Dấu " = " xảy ra khi x = −3 hoặc x = 6 . Vậy m = 3 . Lại có 2

( x + 3)( 6 − x ) ≤ 3 + x + 6 − x = 9 ⇒

P = xy +

f 2 ( x ) ≤ 18 ⇒ f ( x ) ≤ 3 2 . A.

3 Dấu " = " xảy ra khi x + 3 = 6 − x ⇔ x = . Vậy M = 3 2 . 2 Bài tập tự luyện dạng 2

B. 1.

C. 0.

a b a b c 1 1 1 9 (III) (với + + ≥ + ≥ 2 (I); + + ≥ 3 (II); b a b c a a b c a+b+c a, b, c > 0 ). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng? C. Chỉ (III) đúng.

D. (I), (II), (III) đều đúng.

C. − 2 ≤ S ≤ 2 . 2

D. −1 ≤ S ≤ 1 .

Câu 4: Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x + y = 2 . Gọi m = x + y , khi đó ta có B. Giá trị nhỏ nhất của m là 4.

C. Giá trị lớn nhất của m là 2.

D. Giá trị nhỏ lớn của m là 4.

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = A. 2.

Câu 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 x + A. 2.

1 . 2

C. 2 2 .

1-D

2-D

11 - C

12 - D

2 3

D. m = 8 .

4-A

5-B

6-D

7-A

8-A

9-A

10 - D

Câu 9. Chọn A.

1 . 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t =

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

x−3 bằng x

3 . 2

C. m = 6 .

1  1  15 1 15 1 15 17 Khi đó P = t + =  t + ≥ 2 t. + .4 = + = . + t  16t  16t 16t 16 2 4 4

D. ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 6abc .

2 . 3

3-C

D. 2 2 .

 b   c  a  C.  1 +  1 + 1 +  ≥ 3 .  c   a  b 

B. m = 2 .

 a  b  c  B.  1 + 1 + 1 +  ≥ 3 .  c  a  b 

4 x với 0 < x < 1 là + x 1− x

1  x+ y Ta có xy ≤   ⇔ xy ≤ . 4  2 

 a  b  c  A.  1 + 1 + 1 +  ≥ 8 .  b  c  a 

3 ≤ P. 2

 a  b  c  D.  + 1 + 1 + 1 ≥ 8 .  b  c  a 

Câu 12: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x ) =

Câu 7: Cho a, b, c > 0 . Bất đẳng thức nào đúng?

B. (1 + 2b )( 2b + 3a )( 3a + 1) ≥ 48ab .

1 1 1 1 1 1 1 + + ≥  + + . 1 + a 2 1 + b 2 1 + c2 2  a b c 

Đặt xy = t , điều kiện 0 < t ≤

Câu 8: Cho x ≥ 3 . Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =

4 ≤ P. 3

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

D. 3.

1 với x > 0 là x C.

Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức sử dụng đẳng thức Cô-si

x 2 với x > 1 là + 2 x −1

5 . 2

1 . 2

ĐÁP ÁN

A. Giá trị nhỏ nhất của m là 2.

3 < P. 2

A. m = 4 .

Câu 3: Cho x 2 + y 2 = 1. Gọi S = x + y , khi đó ta có B. S ≥ 2 .

3 . 2

a b c . Mệnh đề nào sau đây đúng? + + b+c c +a a +b

A. (1 + 2a )( 2a + 3b )( 3b + 1) ≥ 48ab .

D. 4.

Câu 2: Cho các bất đẳng thức

B. Chỉ (II) đúng.

C. 4.

Câu 11: Cho a, b, c > 0 . Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 1: Cho x, y là hai số thực bất kì thỏa mãn xy = 2 . Giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + y 2 là

A. S ≤ 2 .

B. 2.

A. 0 < P ≤

Bài tập cơ bản

A. Chỉ (I) đúng.

17 . 4

Câu 10: Với a, b, c > 0 . Biểu thức P =

Chọn B.

A. 2.

1 là xy

1 1 hay x = y = . 4 2

17 . 4

Câu 10. Chọn D.

1 . 3

1 1   1 Ta có P + 3 = ( a + b + c )  + + . b + c c + a a + b 

Bài tập nâng cao

Trang 17

Trang 18

Áp dụng bất đẳng thức Do đó P + 3 ≥

1 1 1 9 1 1 1 9 + + ≥ , suy ra + + ≥ . b + c c + a a + b 2(a + b + c) x y z x+ y+z

9 3 ⇔P≥ . 2 2

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Câu 11. Chọn C. Đáp án A. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 1 + 2a ≥ 2 2a ; 2a + 3b ≥ 2 6ab ; 3b + 1 ≥ 2 3b . Đáp án B. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 1 + 2b ≥ 2 2b ; 2b + 3a ≥ 2 6ab ; 3a + 1 ≥ 2 3a . Đáp án C. sai với a = 1 ; b = 2 ; c = 3 . Đáp án D. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si

a a b b c c +1 ≥ 2 ; +1 ≥ 2 ; +1 ≥ 2 . b b c c a a

Câu 12. Chọn D.

Ta có f ( x ) − 4 = Vì x ∈ ( 0;1) ⇒ f ( x) − 4 =

4 (1 − x ) 4 4 4x x x x + −4= − + = + . x 1− x x x 1− x x 1− x

x > 0 nên theo bất đẳng thức Cô-si, ta có 1− x

4 (1 − x ) 4 (1 − x ) x x + ≥2 . = 4 ⇔ f ( x) ≥ 8 . x 1− x x 1− x

1 > x > 0 2  Dấu " = " xảy ra khi ⇔  4 (1 − x ) x ⇔ x = . Vậy m = 8 . 3 =  1− x  x

Trang 19

BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Mục tiêu

Bất phương trình một ẩn

Kiến thức + Nắm được khái niệm bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn.

 A( x) > B ( x)   A( x) < B ( x) chứa biến  .  A( x) ≤ B ( x)  A( x) ≥ B ( x) 

+ Nắm được khái niệm tập nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn. + Nắm được khái niệm bất phương trình tương đương Kĩ năng +

Ví dụ:

Bất phương trình ẩn x là một trong các mệnh đề Một số bất phương trình một ẩn

Xác định tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Tập nghiệm của bất phương trình

+ Kiểm tra bất phương trình tương đương.

Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn thay

3 x < 1; x 2 − 3 x3 + 5 ≤ x;

x + x −1 ≥ 0. x2 − 4

Ví dụ: x = 3 là nghiệm của bất phương trình x 2 − 2 x − 1 > 0 , vì 32 − 2.3 − 1 = 2 > 0.

vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình

được gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.

2. Hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung

 A1 ( x ) < B1 ( x )   A2 ( x ) < B2 ( x )  ....... A ( x) < B ( x) n  n

  x2 −1 < 0  Ví dụ: Hệ bất phương trình một ẩn  x + 4 < 0 .  3x + 1 Giá trị x là nghiệm của tất cả các bất phương trình  ≥3  x−2 của hệ được gọi là nghiệm của hệ bất phương trình.

Giải hệ bất phương trình bằng cách tìm giao các tập hợp nghiệm của bất phương trình của hệ.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Điều kiện xác định của bất phương trình Phương pháp giải Biểu thức Biểu thức

f ( x) xác định nếu g ( x ) ≠ 0. g ( x)

f ( x ) xác định nếu f ( x ) ≥ 0.

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình

sau: a) 2 x − 3 +

Tập xác định (TXĐ) của bất phương trình là tập hợp tất cả các giá trị của biến số x để các biểu thức

1 < 2 x + 1. x −8

2x 2x +1 1 + ≥8+ . x2 − 4 2 x − 5 2x − 5

Hướng dẫn giải Trang 1

Trang 2

a) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

f ( x ) , g ( x ) có nghĩa.

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x ∈ ( 3; 4 ) ∪ ( 4; +∞ ) .

x − 3 ≥ 0 x ≥ 3 ⇔ .  x − 8 ≠ 0  x ≠ 8 Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là

x ≥ 3 .  x ≠ 8

2 Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x ≥ . 3

b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các bất phương trình sau

 x ≠ 2  x2 − 4 ≠ 0  ⇔  x ≠ −2.  2 x − 5 ≠ 0  5 x ≠  2

x +1 1 − 3x > . x+2 x+2

x−3 +

4 x + 1 − 3x − 2 ≥

2x − 3 x+3

1 ≥ 8. 1− 2x 2 . x 2 − 25

2x +1 1 > + 2. x −1 x

3x − 1 2 − x > − 2x + 3 . x2 − 3 x −1

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là

Hướng dẫn giải

5  x ∈ ℝ \ −2; 2;  . 2 

2   x ≤ 3 2 − 3x ≥ 0 1 a) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi  ⇔ ⇔ x< . 1 2 1 − 2 x > 0 x <  2

1  Vậy tập xác định là D =  −∞;  . 2 

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các bất phương trình sau:

2020 − x ≥ x − 2020.

2 − 3x +

c) 2 x + 6 − x ≥ 1 −

Ví dụ mẫu

1   x ≥ − 4 4 x + 1 ≥ 0 2 d) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi  ⇔ ⇔ x≥ 2 3 3 x − 2 ≥ 0 x ≥  3

x −1 ≠ 0 x ≠ 1 b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi  ⇔ . x > 0  x > 0 Vậy tập xác định là D = ( 0;1) ∪ (1; +∞ ) .

1 − 3x . ( x − 3)( x − 4 )

x ≤ 6 6 − x ≥ 0  c) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi  2 ⇔  x ≠ −5. x − 25 ≠ 0  x ≠ 5 

2x +1 . 5

Hướng dẫn giải

Vậy tập xác định là D = ( −∞; −5 ) ∪ ( −5;5 ) ∪ ( 5;6].

a) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

b) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi x + 2 > 0 ⇔ x > −2.

x ≠ − 3   x2 − 3 ≠ 0 x≠ 3    x > 1 d) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi  x − 1 > 0 ⇔  x > 1 ⇔ .  x ≠ 3 2 x + 3 ≥ 0    x ≥ −3  2

vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x > −2.

Vậy tập xác định là D = 1; 3 ∪

 2020 − x ≥ 0  x ≤ 2020 ⇔ ⇔ x = 2020.   x − 2020 ≥ 0  x ≥ 2020

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x = 2020.

(

c) Bất phương trình xác định khi và chỉ khi

) (

)

3; +∞ .

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

x ≥ 3 x − 3 ≥ 0    x > −3  x > 3 ⇔ ⇔ . x + 3 > 0 x ≠ 4  x−3 x−4 ≠ 0 x ≠ 3 ( )( )   x ≠ 4

x + 2m + − x − 2 ≥ 5 xác định với mọi

x ∈ [ −4; −2]. Hướng dã giải Trang 3

Trang 4

A. x ∈ [ −9;8].

Bất phương trình xác định ∀x ∈ [ −4; −2] khi và chỉ khi

B. x ∈ ( −9;8].

C. x ∈ [8; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

 x + 2m ≥ 0 ∀x ∈ [ −4; −2]  x ≥ −2m ∀x ∈ [ −4; −2] ⇔ .  − x − 2 ≥ 0 ∀x ∈ [ −4; −2]  x ≤ −2 ∀x ∈ [ −4; −2]

x + 9 > 0  x > −9 Bất phương trình xác định khi  ⇔ . x − ≥ 8 0  x ≤ 8

Nhận xét x ≤ −2 ∀x ∈ [ −4; −2] là luôn đúng.

Vậy điều kiện xác định là x ∈ ( −9;8] .

x  x Vì vậy ta chỉ cần có m ≥ − ∀x ∈ [ −4; −2] ⇔ m ≥ max  −  ⇔ m ≥ 2. [−4;−2]  2  2

Chọn B.

Vậy m ≥ 2.

Ví dụ 7. Tìm giá trị của x để bất phương trình

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 2 x − m + 4 − 2 x ≥ 2 + 3 x có tập xác định là A. x ∈ [ −5; +∞ ) .

một đoạn trên trục số.

x+5

( x − 6)

B. x ∈ ( −5; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

x − m ≥ 0 x ≥ m Bất phương trình xác định khi và chỉ khi  ⇔ . x 4 − 2 ≥ 0  x ≤ 2

x + 5 ≥ 0  x ≥ −5 Bất phương trình xác định khi  ⇔ . x − ≠ 6 0  x ≠ 6

- Nếu m = 2 thì tập xác định của hàm số là D = {2} .

Vậy điều kiện xác định là x ∈ [ −5; +∞ ) \ {6} .

- Nếu m > 2 thì tập xác định của hàm số là D = ∅.

Chọn C.

Vậy m < 2 thỏa mãn.

Câu 1: Tập xác định của bất phương trình

k − 2 x − x + 4 > 2 + 3x có tập xác định là

tập hợp rỗng. k  k − 2 x ≥ 0 x ≤ Bất phương trình xác định khi và chỉ khi  ⇔ 2 . x + 4 ≥ 0  x ≥ −4

- Nếu

k k  > −4 ⇔ k > −8 khi đó tập xác định là D =  −4;  . 2 2 

A. D = ℝ \ {±2} .

D. x ≠ 6.

1 + 2019 − 2020 x < 0 là x+2

B. D = ℝ.

C. D = ( −2; +∞ ) .

A. x ∈ ℝ.

B. D = ℝ \ {±2;3} .

C. D = ℝ.

1  C. x ∈  −∞;  . 2 

A. x ∈ [ −5; 4] .

Chú ý: Có thể lập luận như sau. k Để bất phương trình có tập xác định là tập rỗng thì < −4 ⇔ k < −8. 2

B. x ∈ ( −∞; 2].

B. x ∈ ( −5; 4].

1  C. x ∈  −∞;  . 2 

A. x < 2.

Trang 5

B. x ≥ 1.

1  D. x ∈  ; 2  . 2 

1 < 5 − 4 − x là x+5

C. x ∈ [ 4; +∞ ) .

Câu 6: Các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình

2x + 7 > 2 − 8 − x xác định x+9

1  D. x ∈  ; 4  . 2 

2 − x + 2 x > 3 + 2 x − 1 là

Câu 5: Điều kiện xác định của bất phương trình x +

Vậy các giá trị cần tìm là k < −8.

D. D = ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

4 − x + 2 x < 5 + 1 − 2 x là

B. x ∈ ( −∞; 4].

Câu 4: Điều kiện xác định của bất phương trình A. x ∈ ℝ.

D. D = ( −∞; −2 ) .

x 1 + 3x − ≥ 0 là x2 − 4 x −3

Câu 3: Điều kiện xác định của bất phương trình

k - Nếu < −4 ⇔ k < −8 khi đó tập xác định là D = ∅ . 2

Ví dụ 6. Tìm giá trị của x để bất phương trình x +

A. D = ℝ \ {−2} .

Câu 2: Tập xác định của bất phương trình

Hướng dẫn giải

k = −4 ⇔ k = −8 khi đó tập xác định là D = {−4} . 2

< x + 1 xác định.

Bài tập tự luyện dạng 1

- Nếu m < 2 thì tập xác định của hàm số là D = [ m; 2] .

- Nếu

C. x ∈ [ −5; +∞ ) \ {6} .

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của k sao cho bất phương trình

D. x ∈ ( −∞; −9 ) .

C. 1 ≤ x < 2.

D. x ∈ ( −∞; −5 ) .

1 + x − 1 < 2 là 2− x x ≥ 1 D.  . x ≠ 2 Trang 6

Câu 7: Các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình A. x ≥ −2.

A. x ∈ [ −1; +∞ ) .

x +1

( x − 2)

B. x ∈ ( −1; +∞ ) .

Câu 9: Để bất phương trình A. m = 3.

x+2 + x+3+

 x ≥ −3 C.  . x ≠ 0

B. x ≥ −3.

Câu 8: Điều kiện xác định của bất phương trình

Ví dụ mẫu

 x ≥ −2 D.  . x ≠ 0

Ví dụ 1. Các cặp bất phương trình sau có tương đương không? Vì sao? a) x + 1 < 2 x và 3 x < 4 x − 1. b) x > 3 và x 2 − 4 x + 3 > 0.

< x + 1 là

Hướng dẫn giải

C. x ∈ [ −1; +∞ ) \ {2} .

D. x ∈ ( −1; +∞ ) \ {2} .

x − m − 6 − 2 x < 2019 − 2020 x có tập xác định là một đoạn trên trục số thì

B. m < 3.

x + 1 + 2 x − 1 < 2 x + 2 x − 1 ⇔ 3x < 4 x − 1.

b) Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương

m − 2 x + 3 x + 1 < 2020 có tập

trình thứ nhất. Vậy hai bất phương trình đã cho không tương đương.

1 C. m > − . 2

B. m > 2.

a) Với bất phương trình x + 1 < 2 x, cộng 2 x − 1 vào hai vế của bất phương trình, ta được

Vậy hai bất phương trình đã cho tương đương.

1 D. m < . 3

C. m > 3.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình xác định là một đoạn trên trục số A. m < −2.

1 > 2 x − 3 là x

Ví dụ 2. Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình

D. m > −2.

5 x + 1 > 0 (*)?

Dạng 2: Hai bất phương trình tương đương

a) 5 x + 1 −

Phương pháp giải Hai

bất

phương

trình

f1 ( x ) < g1 ( x )

và Ví dụ: Chứng minh rằng hai bất phương trình 3

f 2 ( x ) < g 2 ( x ) được gọi là tương đương, kí hiệu:

b) 5 x + 1 +

1 1 >− . x −5 x−5 2x 2x > . 5x + 1 5x + 1

3 x > 2 x + 1 và ( 3x ) > ( 2 x + 1) là tương đương.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải f1 ( x ) < g1 ( x ) ⇔ f 2 ( x ) < g 2 ( x ) nếu chúng có cùng Tập xác định của hai bất phương trình là D = ℝ. một tập hợp nghiệm. Vì a > b ⇔ a 3 > b3 nên hai bất phương trình Ta gọi D là tập xác định của bất phương trình 3 3 f x < g x và h x là biểu thức xác định 3 x > 2 x + 1 và ( 3x ) > ( 2 x + 1) là tương đương.

(*) nhưng không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

∀x ∈ D thì:

b) Với x > −

( )

f ( x) + h ( x) < g ( x) + h ( x) ⇔ f ( x) < g ( x).

1 Ta có 5 x + 1 > 0 ⇔ x > − . 5 a) 5 x + 1 −

1 1 (1) không tương đương với 5 x + 1 > 0 vì x = 5 là nghiệm của bất phương trình >− x −5 x −5

1 2x 2x 1 ta có 5 x + 1 + > ⇔ 5x + 1 > 0 ⇔ x > − . 5 5 5x + 1 5x + 1 2x 2x tương đương với bất phương trình 5 x + 1 > 0. > 5x + 1 5x + 1

f ( x ) h ( x ) < g ( x ) h ( x ) nếu h ( x ) > 0 ∀x ∈ D.

Do đó bất phương trình 5 x + 1 +

f ( x ) h ( x ) > g ( x ) h ( x ) nếu h ( x ) < 0 ∀x ∈ D.

Ví dụ 3. Không giải bất phương trình, hãy giải thích vì sao các bất phương trình sau vô nghiệm.

Bình phương hai vế của bất phương trình (hai vế

a) 2 x 2 + 5 x + 2 + 3 ≤ 0.

không âm) mà không làm thay đổi điều kiện của nó

x 8 x + 4 2019 + < . 2x +1 2020 x

ta thu được bất phương trình tương đương với bất

Hướng dẫn giải

phương trình đã cho.

a) Ta có 2 x 2 + 5 x + 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 2 x 2 + 5 x + 2 + 3 ≥ 3 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Lập phương hai vế của bất phương trình ta thu

Do đó bất phương trình vô nghiệm.

được bất phương trình tương đương với bất phương

b) Điều kiện x > 0.

trình đã cho.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Trang 7

Trang 8

x x 8x + 4 8x + 4 + ≥2 . = 4 > 1. 2x +1 2x +1 x x 2019 x 8 x + 4 2019 Mà vô nghiệm. + < < 1 do đó bất phương trình 2020 2x +1 2020 x

Bất phương trình tương đương với

(3 + x)

B. x <

3 C. x < . 2

D. Tất cả các bất phương trình trên.

Câu 2: Bất phương trình x +

Ví dụ 4. Bạn Hồng giải bất phương trình 3 + x ≤ x − 3 như sau

≤ ( x − 3) ⇔ 9 + 6 x + x 2 ≤ x 2 − 6 x + 9 ⇔ 12 x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0.

3 và x ≠ 2. 2

A. 2 x < 3.

3 3 tương đương có bất phương trình. < 2020 + x − 2019 x − 2019

A. 2 x < 2020.

B. x < 2020 và x ≠ 2019.

C. x < 1010.

D. Tất cả các bất phương trình trên.

Câu 3: Bất phương trình 2 x − 1 ≥ 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; 0].

A. 2 x − 1 +

Theo em bạn Hồng giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.

3 3 ≥ . x −3 x −3

B. 2 x − 1 −

C. ( 2 x − 1) x − 2020 ≥ x − 2020.

Hướng dẫn giải Bạn Hồng mắc sai lầm ở phép biến đổi bình phương hai vế.

3 3 ≥− . x+3 x+3

2x −1 ≥ x − 2020

Câu 4: Cặp bất phương trình nào sau đây là không tương đương?

Hướng dẫn giải đúng là

Cách 1. Với x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 , bình phương hai vế của bất phương trình ta được

(3 + x)

1 . x − 2020

x −1 x ≥ . x2 + 1 x2 + 1

x − 1 ≥ x và x 2 − x − 1 ≥ x 2 − x.

x − 1 ≥ x và

x − 1 − x ≥ 0 và x − 1 ≥ x 2 .

x − 1 ≥ x và − x − 1 + x < 0.

Câu 5: Cặp bất phương trình nào sau đây tương đương?

≤ ( x − 3) ⇔ 9 + 6 x + x ≤ x − 6 x + 9 ⇔ 12 x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.

A. x − 2 ≤ 0 và x 2 ( x − 2 ) ≤ 0.

B. x − 2 < 0 và x 2 ( x − 2 ) > 0.

Cách 2.

C. x − 2 < 0 và x 2 ( x − 2 ) < 0.

D. x − 2 ≥ 0 và x 2 ( x − 2 ) ≥ 0.

Với x ≤ −3 , bất phương trình trở thành −3 − x ≤ x − 3 ⇔ 2 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

Câu 6: Bất phương trình

(mâu thuẫn với x ≤ −3 ). Với x > −3 , bất phương trình trở thành 3 + x ≤ x − 3 ⇔ 3 ≤ −3 (vô lí). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.

x − 1 ≥ x tương đương với

A. (1 − 2 x ) x − 1 ≥ x (1 − 2 x ) .

B. ( 2 x + 1) x − 1 ≥ x ( 2 x + 1) .

C. (1 − x

D. x x − 1 ≤ x 2 .

)

x − 1 ≥ x (1 − x ) . 2

Ví dụ 5.

Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình ( m + 3) x ≥ 3m − 6 và ( 2m − 1) x ≤ m + 2 tương

Tìm tất cả các giá trị của m sao cho các bất phương trình sau đây tương đương

đương?

( m − 2 ) x − m + 5 > 0 (1) và ( m + 2 ) x − m + 4 > 0,

(2).

Hướng dẫn giải Ta dễ kiểm tra được m = 2; m = −2 không thỏa mãn, do đó (1) và (2) tương đương với nhau khi và chỉ khi

( m − 2 )( m + 2 ) > 0   m > 2  m > 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔ m = 6. m −5 m − 4 2 = m − 3 m − 10 = m − 6 m + 8 m = 6   m − 2 m + 2

A. m = 0 hoặc m = 4.

B. m = 0.

C. m = 4.

D. m = 1.

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình ( m + 2 ) x ≤ m + 1 và 3m ( x − 1) ≤ − x − 1 tương đương? A. m = −3.

B. m = −2.

C. m = −1.

D. m = 3.

Câu 9: Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình ( a + 1) x − a + 2 > 0 và ( a − 1) x − a + 3 > 0 tương đương?

Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

A. a = 1.

B. a = 5.

C. a = −1.

D. a = 2.

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Bất phương trình 3 + x +

Dạng 3: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1 1 tương đương với bất phương trình > 3x + 2x − 4 2x − 4

Phương pháp giải

Trang 9

Trang 10

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có một trong Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau các dạng

ax + b < 0; ax + b ≤ 0; ax + b > 0; ax + b ≥ 0 với a ≠ 0. b)

b  S =  −∞; −  . a 

x+3 − 2 x + 1 > x + 5. 2

0 x > 0 (vô nghiệm). Kết luận:

b * Nếu m > 2 thì tập nghiệm của (1) là Nếu a < 0 thì (1) ⇔ x > − suy ra tập nghiệm là a S = ( m + 2; +∞ ) .  b  S =  − ; +∞  . * Nếu m < 2 thì tập nghiệm của (1) là  a  S = ( −∞; m + 2 ) .

2x +1 x+2 −2 ≤ − x. 3 2

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định D = ℝ Bất phương trình đã cho tương đương

* Nếu m = 2 thì tập nghiệm của (1) là S = ∅.

x + 3 − 2 ( 2 x − 1) > 2 ( x + 5)

⇔ x + 3 − 4 x + 2 > 2 x + 10

Ví dụ mẫu

⇔ 5 − 3x > 2 x + 10

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình:

⇔ 5 x < −5 ⇔ x < −1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −1) .

b) 3 (1 − x ) >

b) Tập xác định D = ℝ.

a) Tập xác định là D = ℝ.

2 ( 2 x + 1) − 12 ≤ 3 ( x + 2 ) − 6 x

Bất phương trình đã cho tương đương với

⇔ 4 x + 2 − 12 ≤ 3 x + 6 − 6 x

3 ( 3x + 5) − 6 ≤ 2 ( x + 2 ) + 6 x

⇔ 7 x ≤ 16

⇔ 9 x + 15 − 6 ≤ 2 x + 4 + 6 x

16 ⇔ x≤ . 7

⇔ x ≤ −5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −5] .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

b) Tập xác định là D = ℝ \ {−1} .

16   S =  −∞;  . 7 

ax + b < 0 (1)

Bất phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình 2

mx + 4 > 2 x + m (1) theo m.

0.x + b < 0.

Bất phương trình tương đương với

- Với b ≥ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là

( m − 2 ) x > m2 − 4

Nếu a > 0 thì (1) ⇔ x < −

7 − 3x 2 3 7 4 ⇔ > ⇔− > 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1. x +1 x +1 x +1 x +1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −1) . Ví dụ 2. Giải và biện luận bất phương trình ( m 2 − 4 ) x + 3 > ( 2m − 1) x + m. Hướng dẫn giải

⇔ ( m − 2 ) x > ( m − 2 )( m + 2 ) . (2)

Tập xác định là D = ℝ .

- Với b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ.

3 (1 − x 2 ) x +1

Nếu a = 0 thì bất phương trình có dạng Hướng dẫn giải

S = ∅.

7 − 3x2 . x +1

Hướng dẫn giải

Bất phương trình đã cho tương đương

Giải và biện luận bất phương trình dạng

3x + 5 x+2 −1 ≤ + x. 2 3

* Nếu m > 2 , bất phương trình ( 2 ) ⇔ x > m + 2. * Nếu m < 2 , bất phương trình ( 2 ) ⇔ x < m + 2. b suy ra tập nghiệm là a * Nếu m = 2 , bất phương trình ( 2 ) trở thành Trang 11

Bất phương trình tương đương ( m 2 − 2m − 3) x > m − 3. (1)  m = −1 Ta có m 2 − 2m − 3 = 0 ⇔  . m = 3

Trang 12

 3m − 2  Với m > 1 hoặc m < −1 , tập nghiệm của bất phương trình là S =  ; +∞  .  m +1 

- Nếu m = −1 thì (1) ⇔ 0 x > −4 , nghiệm đúng với ∀x ∈ ℝ. - Nếu m = 3 thì (1) ⇔ 0 x > 0 , bất phương trình vô nghiệm.

3m − 2   Với −1 < m < 1 , tập nghiệm của bất phương trình là S =  −∞; . m +1  

1 - Nếu m < −1 hoặc m > 3 thì (1) ⇔ x > . m +1

Với m = −1 , tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.

1 - Nếu −1 < m < 3 thì (1) ⇔ x < . m +1

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho bất phương trình

Kết luận:  3 đoạn 1;  .  2

Với m = −1 tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ. Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.

Hướng dẫn giải

 1  Với m < −1 hoặc m > 3 , tập nghiệm của bất phương trình là S =  ; +∞  .  m +1 

Cách 1. Ta có

1   Với −1 < m < 3, tập nghiệm của bất phương trình là S =  −∞; . m +1  Ví dụ 3. Giải và biện luận bất phương trình

Ta có

2x − m > 2 − x, (1) với m ≠ 1. m −1

+) Nếu m − 1 > 0 ⇔ m > 1 thì bất phương trình (1) đã cho tương đương với

2 x − m > ( m − 1)( 2 − x ) ⇔ ( m + 1) x > 3m − 2. (2)

x − 2a − 3 x+7 x+7 < 0 ⇔ 2− <0⇔ > 2. x−a+2 x−a+2 x−a+2

x − 2a + 3  3 < 0 thỏa mãn ∀x ∈ 1;  x−a+2  2

⇔

x+7  3 > 2 thỏa mãn ∀x ∈ 1;  x−a+2  2

⇒

x+7  3 > 0 ∀x ∈ 1;  x−a+2  2

Hướng dẫn giải

 3 ⇒ x − a + 2 > 0 ∀x ∈ 1;  (do x + 7 > 0 với x ≥ 1 )  2

3m − 2 Do m > 1 nên m + 1 > 0 nên ta có ( 2 ) ⇔ x > . m +1 Vậy khi m > 1 thì nghiệm của (1) là x >

 3 ⇔ a < x + 2 ∀x ∈ 1;   2

3m − 2 . m +1

⇔ a < min ( x + 2 ) = 3.  3 1; 2 

+) Nếu m − 1 < 0 ⇔ m < 1 thì bất phương trình (1) tương đương với

2 x − m < ( m − 1)( 2 − x ) ⇔ ( m + 1) x < 3m − 2. (3)

Do đó a < 3 là điều kiện cần của bài toán.

3m − 2 Khi m + 1 > 0 ⇔ m > −1, ta có ( 3) ⇔ x < . m +1

 3 Vì x − a + 2 > 0 với ∀x ∈ 1;  .  2

Khi m + 1 = 0 ⇔ m = −1, ta có ( 3) ⇔ 0 x < −5 (vô nghiệm).

Khi đó bất phương trình tương đương với x − 2a − 3 < 0

Khi m < −1 ta có ( 3) ⇔ x >

3m − 2 . m +1

⇔a>

Vậy khi −1 < m < 1 thì bất phương trình có nghiệm x <

3m − 2 . m +1

x −3  3 ∀x ∈ 1;  2  2

3  x −3 ⇔ a > max  =− .  3 2 4   1;  2 

Khi m = −1 , bất phương trình vô nghiệm. Khi m < −1 , bất phương trình có nghiệm x >

x − 2a − 3 < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc x−a+2



3 Vậy các giá trị cần tìm của bài toán là − < a < 3. 4

3m − 2 . m +1

Cách 2.

Kết luận:

Với 2a + 3 > a − 2 ⇔ a > −5 thì bất phương trình đã cho tương đương a − 2 < x < 2a + 3 Trang 13

Trang 14

Do đó

x − 2a − 3  3 < 0 với ∀x ∈ 1;  x−a+2  2

Vậy không có giá trị nào của a và b thỏa mãn bài toán. Chú ý: Trong cách giải trên ta đã tìm hai tập nghiệm của hai bất phương trình theo a, b và cho T1 ⊂ T2 .

a − 2 < 1 a < 3 3   ⇔ ⇔ 3  3 ⇔ − < a < 3. 4 + > > − 2 a 3 a   2 4

Ở đây chúng ta chú ý phân biệt điều kiện để hai bất phương trình có nghiệm chung, hay mọi nghiệm của bất phương trình này là nghiệm của bất phương trình kia.

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm m 2 x + 4m − 3 < x + m 2 .

Với a − 2 > 2a + 3 ⇔ a < −5. Ta có

A. m = 1.

x − 2a + 3  3 < 0 với ∀x ∈ 1;  x−a+2  2

C. m = −1.

D. m < −1.

Viết lại bất phương trình dưới dạng ( m 2 − 1) x − ( m 2 − 4m + 3) < 0.

 2 a + 3 < 1  a < −1   ⇔ 3 ⇔ 7 (vô nghiệm). a 2 a> − >    2 4

Khi đó, bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m2 − 1 = 0 m = ±1 ⇔ ⇔ m = 1.  2 2 − ( m − 4m + 3) ≥ 0 − ( m − 4m + 3) ≥ 0

x+7 Với 2a + 3 = a − 2 ⇔ a = −5 thì bất phương trình đã cho trở thành < 0 (vô nghiệm). x+7

Vậy m = 1 , bất phương trình vô nghiệm.

3 Vậy các giá trị cần tìm của bài toán là − < a < 3. 4

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình m2 ( x − 2 ) + x + m ≥ 0 có nghiệm

Chú ý: Đây là bài toán tìm điều kiện của tham số để một bất phương trình chứa ẩn ở mẫu nghiệm đúng  3 với mọi x ∈ 1;  nhưng trong bài toán này có liên quan đến bất phương trình bậc nhất. Trong cách 1,  2 chúng ta rất dễ nhầm lẫn điều kiện cần là điều kiện đủ. Ta để ý rằng

B. m ≠ 1.

Hướng dẫn giải

x − 2a + 3  3 < 0 với ∀x ∈ 1;  không x−a+2  2

x ∈ [ −1; 2].

A. m ≥ −2.

B. m ≠ −2.

C. m ≤ −2.

D. m < −2.

Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương với 2m 2 − m (vì m2 + 1 > 0 ). m2 + 1

 3 tương đương với x − a + 2 > 0 với ∀x ∈ 1;  .  2

Ví dụ 5. Tìm a, b nguyên dương sao cho mọi nghiệm của bất phương trình x − a + 1 ≤ 2b + 4 (1) cũng là

 2m 2 − m  Tập nghiệm của bất phương trình là S =  2 ; +∞  .  m +1 

+ 1) x ≥ 2m2 − m ⇔ x ≥

nghiệm của bất phương trình 2 x − b − 5 ≤ 2b + 2 (2).  2m2 − m  Yêu cầu bài toán trở thành [ −1; 2] ∩  2 ; +∞  ≠ ∅  m +1 

Hướng dẫn giải Điều kiện để (1) và (2) có nghiệm là b ≥ −1.

2m 2 − m ≤ 2 ⇔ 2m2 − m ≤ 2m 2 + 2 ⇔ m ≥ −2. m2 + 1

Gọi T1 , T2 lần lượt là tập nghiệm của (1), (2). Ta có

⇔

 −b + 3 3b + 7  T1 = [ a − 2b − 5; 2b + a + 3] ; T2 =  ; 2   2

Vậy m ≥ −2 . Chọn A.

Để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2) thì

Bài tập tự luyện dạng 3

 −b + 3 3b + 7  T1 ⊂ T2 ⇔ [ a − 2b − 5; 2b + a + 3] ⊂  ; 2   2

Câu 1: Tập nghiệm S của bất phương trình 5 x − 1 ≥

−b + 3  a − 2b − 5 ≥  2 ⇔ 2a − 4b − 10 ≥ −b + 3 ⇔ 2a − 3b ≥ 13 ( 3) . ⇔   4b + 2a + 6 ≤ 3b + 7  2b + a + 3 ≤ 3b + 7  2a + b ≤ 1 ( 4 )  2

2x + 3 là 5

A. S = ℝ.

B. S = ( −∞; 2 ) .

 5  C. S =  − ; +∞  .  2 

 20  D. S =  ; +∞  .  23 

Ta thấy (4) vô nghiệm (vì a, b ∈ ℤ, a, b > 0 ) ⇒ Hệ (3), (4) vô nghiệm. Trang 15

Trang 16

Câu 2: Bất phương trình A. 4.

Câu 14: Bất phương trình ( m2 + 9 ) x + 3 ≥ m (1 − 6 x ) nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ khi

3x + 5 x+2 −1 ≤ + x có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn −10 ? 2 3 B. 5.

C. 9.

A. m ≠ 3.

D. 10.

B. S = ( −∞; 2020].

C. S = {2020} .

D. S = ∅.

Câu 4: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình A. 15.

B. 11.

x−2 ≤ x−4

A. m = 2.

B. m ≠ 2.

C. m > 2.

Phương pháp giải

D. 0.

2 x − 4 < 0 Ví dụ 1. Giải hệ bất phương trình  . từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi 3 − 2 x > −3

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải

A. S = {2} ∪ ( 3; +∞ ) .

B. S = ( 3; +∞ ) .

đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của Hướng dẫn giải

C. S = {2} ∪ [3; +∞ ) .

D. S = [3; +∞ ) .

các tập nghiệm của từng bất phương trình.

(

Câu 7: Tập nghiệm S của bất phương trình x + 3

 3  A. S =  ; +∞  . 6  

 3 B. S =  −∞;  . 6  

C. S = ℝ. 2

) ≥ (x − 3)

D. S = ∅.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; 2 ) .

+ 2 là

C. S = ℝ.

3 x − 5 ≤ 0  Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình 2 x + 3 ≥ 0. x +1 > 0 

D. S = ∅.

Câu 8: Tập nghiệm S của bất phương trình 5 ( x + 1) − x ( 7 − x ) > −2 x là A. S = ℝ.

 5  B. S =  − ; +∞  .  2 

5  C. S =  −∞;  . 2 

Hướng dẫn giải

5 +) 3x − 5 ≤ 0 ⇔ x ≤ . Tập nghiệm của bất phương 3

D. S = ∅.

Câu 9: Bất phương trình ( m − 1) x > 3 vô nghiệm khi A. m ≠ 1.

B. m < 1.

C. m = 1.

5  trình thứ nhất là S1 =  −∞;  . 3 

D. m > 1.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m ( x − 1) < 2020 x − 3 có nghiệm. A. m ≠ 2020.

B. m > 2020.

C. m = 2020.

3 +) 2 x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . Tập nghiệm của bất 2

D. m < 2020.

 3  phương trình thứ hai là S2 =  − ; +∞  .  2 

Câu 11: Bất phương trình ( m − 3m + 2 ) x < 2 − m vô nghiệm khi 2

A. m ≠ 1.

B. m ≠ 2.

C. m = 1; m = 2.

D. m ∈ ℝ.

+ x + 1 > 0 ⇔ x > −1 . Tập nghiệm của bất phương

Câu 12: Bất phương trình 4m 2 ( 2 x − 1) ≥ ( 4m 2 + 5m + 9 ) x − 12m nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ khi A. m = −1.

9 B. m = . 4

C. m = 1.

thứ ba là S3 = ( −1; +∞ ) .

9 D. m = − . 4

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là

 5 S = S1 ∩ S2 ∩ S3 =  −1;  . 3 

Câu 13: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

− m ) x + m < 6 x − 2 vô nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng

A. 0.

B. 1.

C. 2.

Ta có 2 x − 4 < 0 2 x < 4 x < 2 ⇔ ⇔ ⇔ x < 2.  − > − − > − 3 2 x 3 2 x 6   x < 3

Câu 6: Bất phương trình ( 2 x − 1)( x + 3) − 3x + 1 ≤ ( x − 1)( x + 3) + x 2 − 5 có tập nghiệm là

 2  B. S =  − ; +∞  .  3 

D. m < 2.

Dạng 4: Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Câu 5: Tập nghiệm S của bất phương trình ( x − 3) x − 2 ≥ 0 là

2  A. S =  −∞; −  . 3 

D. m = −3.

( −m − 2; +∞ ) .

4 bằng x−4

C. 26.

C. m ≠ −3.

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ( x + m ) m + x > 3 x + 4 có tập nghiệm là

Câu 3: Tập nghiệm S của bất phương trình x + x − 2020 ≤ 2020 + x − 2020 là A. S = [ 2020; +∞ ) .

B. m = 3.

D. 3.

Ví dụ mẫu

Trang 17

Trang 18

Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau

11 5  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  ;  .  5 2

( 2 − x ) > 4 + 3 x + x 2 b)  . 3 3 2 ( x + 2 ) < x + 6 x − 9 x − 1 2

2 x − 4 > 5 x + 4 a)  ; 3 x + 1 ≥ 6 x − 5

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất

3 x + 2 − 2m ≤ 0 .  mx + m − 1 ≤ 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có

Hướng dẫn giải

8  2 x − 4 > 5 x + 4 3 x < − 8  x < − 8 ⇔ ⇔ 3⇔ x<− .  3 x + 1 ≥ 6 x − 5 3 x ≤ 6 3    x ≤ 2

+) 3x + 2 − 2m ≤ 0 ⇔ x ≤

2m − 2   Tập nghiệm của bất phương trình thứ nhất là T1 =  −∞; . 3  

8  Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S =  −∞; −  . 3 

+) mx + m − 1 ≤ 0 ⇔ mx ≤ 1 − m . (*)

b) Ta có

Trường hợp 1: Với m = 0 thì 0 x ≤ 1 luôn đúng. Tập nghiệm của (*) là T2 = ℝ.

2 2 2 2 ( 2 − x ) > 4 + 3x + x  4 − 4 x + x > 4 + 3x + x ⇔ 3  3 2 3 2 3 2 ( x + 2 ) < x + 6 x − 9 x − 1  x + 6 x + 12 x + 8 < x + 6 x − 9 x − 1

Khi đó, tập nghiệm của hệ là T = T1 ∩ T2 = T1 , do đó nghiệm của hệ không phải là duy nhất. Do đó m = 0 không thỏa mãn.

x < 0 7 x < 0 −3  ⇔ ⇔ 3 ⇔ x< . 7  21x < −9  x < − 7

Trường hợp 2: Với m > 0 , khi đó x ≤

1− m . m

1− m   Tập nghiệm của (*) là T2 =  −∞; . m  

−3   Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S =  −∞;  . 7  

  2m − 2 1 − m   Khi đó tập nghiệm của hệ là T = T1 ∩ T2 =  −∞; min  ;  , do đó nghiệm của hệ không phải là m    3 

Ví dụ 2. Giải các hệ bất phương trình sau x +1 ≥ 0  a) 2 x + 2 < 6 ; 3 x − 2 ≤ 2 x + 3 

2m − 2 . 3

x −1 ≤ 2x − 3  b) 3 x < x + 5 . 5 − 3 x ≤ 2 x − 3 ( ) 

duy nhất. Do đó m > 0 không thỏa mãn. Trường hợp 3: Với m < 0 , khi đó x ≥

Hướng dẫn giải

1− m . m

1 − m  Tập nghiệm của (*) là T2 =  ; +∞  .  m 

a) Ta có x +1 ≥ 0  x ≥ −1  x ≥ −1    ⇔ 2 x < 4 ⇔  x < 2 ⇔ −1 ≤ x < 2. 2 x + 2 < 6 3 x − 2 ≤ 2 x + 3  x ≤ 5 x ≤ 5   

Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 1 2m − 2 1 − m  = ⇔ 2m 2 + m − 3 = 0 ⇔  3. 3 m m = − 2

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = [ −1; 2 ) .

3 Do m < 0 nên m = − . 2

b) Ta có

 x ≥ 2 x −1 ≤ 2x − 3 x ≥ 2   5 11 5    ⇔ 2 x < 5 ⇔  x < ⇔ ≤ x < . 3 x < x + 5 2 5 2    5 x ≥ 11  11 5 − 3 x ≤ 2 ( x − 3)  x ≥ 5

3 Vậy giá trị m thỏa mãn là m = − . 2 Ví dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình −1 ≤

x+m ≤ 1. (1) mx + 1

Hướng dẫn giải

Với m = 0 , khi đó (1) ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Trang 19

Trang 20

Với m ≠ 0 , điều kiện xác định: x ≠

+) Trường hợp 2: a − 1 < 0 ⇔ a < 1.

−1 m

2a − 3  x≤ 9 2a − 3  a −1 Ta có (1) ⇔  ⇔ <x≤ . 9 a −1 8 a >  8

Ta viết lại bất phương trình (1) dưới dạng 2

x+m  x+m   x + m  x + m  ≤1 ⇔  − 1  + 1 ≤ 0  ≤1⇔  mx + 1  mx + 1   mx + 1   mx + 1 

Hệ có nghiệm ⇔

⇔ (1 − m 2 )( x 2 − 1) ≤ 0. (2) Xét 3 trường hợp:

9 2a − 3 15 < ⇒ a < ⇒ a < 1 (thỏa mãn). 8 a −1 7

+) Trường hợp 1: 1 − m = 0 ⇔ m = ±1.

9 +) Trường hợp 3: a − 1 = 0 ⇔ a = 1 ta có (1) ⇔ x > . 8

Với m = 1 thì 0 x ≤ 0 (luôn đúng).

Vậy hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

Vậy (2) nghiệm đúng với mọi x ≠ −1.

Chú ý: Bài toán giải và biện luận hệ bất phương luôn là một bài toán khó bởi vì nó có rất nhiều trường

Với m = −1 thì 0 x ≤ 0 (luôn đúng).

hợp, ngoài việc ta phải tính toán, nắm được cách giải của dạng bài, ta còn phải trình bày một cách có hệ

thống để người đọc có cảm giác không rườm rà. Bài toán tìm điều kiện của tham số để một hệ có nghiệm

Vậy (2) nghiệm đúng với mọi x ≠ 1.

thực tế cũng là giải và biện luận theo tham số a. Bạn đọc thông qua hướng dẫn giải này hãy tóm tắt lại

+) Trường hợp 2: 1 − m2 > 0 ⇔ m < 1.

việc giải và biện luận của hệ đã cho. 1 Khi đó ( 2 ) ⇔ x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 (luôn thỏa mãn với x ≠ − ) m 2

m ( mx − 1) < 2 Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm  . m ( mx − 2 ) ≥ 2m + 1

+) Trường hợp 3: 1 − m2 < 0 ⇔ m > 1. Khi đó ( 2 ) ⇔ x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 (luôn thỏa mãn với x ≠ −

Hướng dẫn giải

1 ) m

2 m 2 x < m + 2 m x < m + 2 Hệ bất phương trình tương đương có  ⇔ 2 . m ( mx − 2 ) ≥ 2m + 1 m x ≥ 4m + 1

Kết luận: Với m = 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ −1.

0 x < 2 +) Với m = 0 , ta có hệ bất phương trình trở thành  , hệ bất phương trình vô nghiệm. 0 x ≥ 1

Với m = −1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ 1. Với m < 1 , bất phương trình có nghiệm là x ≤ 1. Với m > 1 , bất phương trình có nghiệm là x ≥ 1. a ( x − 2 ) ≥ x − 3 Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ bất phương trình  có nghiệm. 8 ( a + 1) x > 8ax + 9

  x < +) Với m ≠ 0 , ta có hệ bất phương trình tương đương với  x ≥  Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Hướng dẫn giải

( a − 1) x ≥ 2a − 3 a ( x − 2 ) ≥ x − 3  ⇔ Ta có  9 x > 8 ( a + 1) x > 8ax + 9 8 

Vậy 0 ≠ m < (1)

m + 2 4m + 1 1 > ⇔m< . m2 m2 3

1 là giá trị cần tìm. 3

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 ( x − 3) ≥ x + 7 x + 1 .  2m ≤ 8 + 5 x

+) Trường hợp 1: a − 1 > 0 ⇔ a > 1.

2a − 3   x ≥ a − 1 Khi đó (1) ⇔  . x > 9  8

m+2 m2 . 4m + 1 2 m

A. m =

(2)

13 . 72

B. m = 13.

C. m = 72.

D. m =

72 . 13

Hướng dẫn giải

Hệ (2) luôn có nghiệm với ∀a > 1.

Trang 21

Trang 22

Bất phương trình ( x − 3) ≥ x 2 + 7 x + 1 ⇔ x 2 − 6 x + 9 ≥ x 2 + 7 x + 1 ⇔ x ≤

3 ( x − 6 ) < −3  có nghiệm khi và chỉ khi Câu 6: Hệ bất phương trình  5 x − m >7   2

8 . 13

8  Tập nghiệm S1 =  −∞;  . 13   Bất phương trình 2m ≤ 8 + 5 x ⇔ x ≥

A. m > −11.

A. m > 1.

5 A. m > . 2

Bài tập tự luyện dạng 4

5 A. m = . 2

 3 Câu 1: Tập S =  −1;  là tập nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?  2 2 ( x − 1) < 1 C.  .  x ≤ −1

B. 4.

B. 27.

1–A

C. 8.

C. 28.

A. S = ∅.

 2014 2020  B. S =  ; . 3   8

2014   C. S =  −∞; . 8  

 2018  D. S =  ; +∞  .  3 

D. m ≤

5 2

3 C. m > − . 2

3 B. m = . 4

3 5 C. m = ; m = . 4 2

D. m = −1.

2–B

3–C

4–D

5–B

6–D

7–C

8–C

9–B

10 – D

Câu 9. Chọn B.

x − m ≥ 0 x ≥ m Bất phương trình xác định khi  ⇔ . x 6 − 2 ≥ 0  x ≤ 3

D. 0.

Nếu m = 3 thì tập xác định của hàm số là D = {3} . Nếu m > 3 thì tập xác định của hàm số là D = ∅.

D. 29.

Nếu m < 3 thì tập xác định của hàm số là D = [ m;3]. Để tập xác định là một đoạn thì m < 3. Câu 10. Chọn D.

m  m − 2 x ≥ 0 x ≤ Bất phương trình xác định khi  ⇔ 2. x +1 ≥ 0  x ≥ −1

2 x − 1 > 0 Câu 5: Hệ bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi x − m < 2 3 B. m ≤ − . 2

5 C. m < . 2

HƯỚNG DẪ GIẢI TRẮC NGHIỆM

2 x − 1 < − x + 2019  Câu 4: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình  2020 − 6 x là 3 + x > 2

3 A. m < − . 2

5 B. m ≥ . 2

Dạng 1. Điều kiện xác định của bất phương trình

5 x − 2 < 4 x + 5 bằng Câu 3: Tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình  2 2  x < ( x + 2 ) A. 21.

D. m ≠ 1.

Đáp án và lời giải

2 ( x − 1) < 1 D.  .  x ≤ −1

5  6 x + 7 > 4 x + 7 Câu 2: Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình  . là  8 x + 3 < 2 x + 25  2 A. vô số.

C. m < 1.

2m ( x + 1) ≥ x + 3 Câu 9: Để hệ bất phương trình  có nghiệm duy nhất thì 4mx + 3 ≥ 4 x

72 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. 13

2 ( x − 1) > 1 B.  .  x ≥ −1

B. m = 1.

3 x + 4 > x + 9 vô nghiệm khi và chỉ khi Câu 8: Hệ bất phương trình  1 − 2 x ≤ m − 3 x + 1

8 2m − 8 72 = ⇔m= . 13 5 13

2 ( x − 1) < 1 A.  .  x ≥ −1

D. m ≤ −11.

x −1 ≤ 0 có nghiệm khi và chỉ khi Câu 7: Hệ bất phương trình  x − m > 0

2m − 8 . 5

Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi S1 ∩ S2 là tập hợp có đúng một phần tử.

Vậy m =

C. m < −11.

 2m − 8  Tập nghiệm S2 =  ; +∞  .  5 

Do đó

B. m ≥ −11.

3 D. m ≥ − . 2 Trang 23

m = −1 ⇔ m = −2 thì tập xác định của hàm số là D = {−1} . 2

m < −1 ⇔ m < −2 thì tập xác định của hàm số là D = ∅. 2

Trang 24

m  m > −1 ⇔ m > −2 thì tập xác định của hàm số là D =  −1;  . 2 2 

( 2 ) :10 x ≤ 8 ⇔ x ≤

Vậy với m = 3 , hai bất phương trình đã cho tương đương.

Dạng 2. Hai bất phương trình tương đương 1-D

2–B

3–B

4–A

5–A

4 . 5

6–B

7–B

8–D

Câu 10. Chọn B.

9–B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Thay lần lượt các giá trị a = 1, 5; −1, 2 vào hai bất phương trình thì thấy với a = 5 hai bất phương trình

Câu 7. Chọn B.

1 cùng tập nghiệm x > . 2

Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

Dạng 3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Vì x ≥ 1 nên 2 x + 1 > 0 hay ( 2 x + 1) x − 1 ≥ x ( 2 x + 1) ⇔ x − 1 ≥ x. Câu 8. Chọn B.

Xét ( m + 3) x ≥ 3m − 6 (1); ( 2m − 1) x ≤ m + 2 (2).

1–D

2–B

3–C

4–B

5–C

11 – C

12 – B

13 – B

14 – D

15 – C

6–D

7–A

10 – A

Câu 1. Chọn D.

ngược chiều. Vậy m = 1 không thỏa mãn. Ta có 5 x − 1 ≥

+) m = 0 , ta được

2x 20 + 3 ⇔ 25 x − 5 ≥ 2 x + 15 ⇔ 23x ≥ 20 ⇔ x ≥ . 5 23

 20  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  ; +∞  . 23  

(1) : 3x ≥ −6 ⇔ x ≥ −2; (2): − x ≤ 2 ⇔ x ≥ −2. Ta thấy thỏa mãn nhưng chưa đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án A cũng có m = 0 . Ta thử tiếp

Câu 2. Chọn B.

Ta có

m = 4. +) Với m = 4 , thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều nên m = 4 không thỏa mãn.

3x + 5 x+2 −1 ≤ + x ⇔ 9 x + 15 − 6 ≤ 2 x + 4 + 6 x ⇔ x ≤ −5. 2 3

Vì x ∈ ℤ, −10 < x ≤ −5 nên có 5 nghiệm nguyên. Câu 3. Chọn C.

Vậy m = 0 thỏa mãn.

Điều kiện: x ≥ 2020.

Câu 9. Chọn D.

Bất phương trình tương đương với x ≤ 2020.

Viết lại ( m + 2 ) x ≤ m + 1 (1) và ( 3m + 1) x ≤ 3m − 1 (2).

Do đó x = 2020 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Thay m = −3 vào (1) và (2), ta được

Câu 4. Chọn B.

(1) : − x ≤ −2 ⇔ x ≥ 2;

Điều kiện: x > 4. Bất phương trình tương đương với x − 2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 6 .

Kết hợp với điều kiện, ta có S = ( 4; 6] . Do x ∈ ℤ nên x = 5; x = 6.

5 . 4

Vậy S = 5 + 6 = 11.

Vậy với m = −3 thì hai bất phương trình đã cho không tương đương.

Câu 5. Chọn C.

+) Với m = −2 thì hệ số của x ở (1) bằng 0, hệ số của x ở (2) khác 0 nên hai bất phương trình không tương đương. +) Với m = −1 thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) âm. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều nên m = −1 không thỏa mãn.

Điều kiện: x ≥ 2.

 x−2 =0 x = 2 Ta có ( x − 3) x − 2 ≥ 0 ⇔  ⇔ . x ≥ 3 x − 3 ≥ 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {2} ∪ [3; +∞ ) .

+) Với m = 3 , ta có

(1) : 5x ≤ 4 ⇔ x ≤

9–C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

+) m = 1 , thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình

( 2 ) : −8x ≤ −10 ⇔ x ≥

8–A

Câu 6. Chọn D.

4 5

Ta có ( 2 x − 1)( x + 3) − 3 x + 1 ≤ ( x − 1)( x + 3) + x 2 − 5 Trang 25

Trang 26

⇔ 2 x 2 + 5 x − 3 − 3x + 1 ≤ x 2 + 2 x − 3 + x 2 − 5

9 Vậy giá trị cần tìm là m = . 4

⇔ 0.x ≤ −6 ⇔ x ∈ ∅.

Câu 13. Chọn B.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.

Bất phương trình tương đương với ( m2 − m − 6 ) x < −2 − m.

Câu 7. Chọn A.

(

Ta có x + 3

) ≥ (x − 3)

+ 2 ⇔ x 2 + 2 3 x + 3 ≥ x 2 − 2 3x + 3 + 2 ⇔ 4 3 x ≥ 2 ⇔ x ≥

 m ≠ −2 Rõ ràng nếu m2 − m − 6 ≠ 0 ⇔  thì bất phương trình luôn có nghiệm. m ≠ 3

3 . 6

 3  Do đó tập nghiệm của bất phương trình là S =  ; +∞  . 6  

Với m = −2 , bất phương trình trở thành 0 x < 0 (vô nghiệm). Với m = 3, bất phương trình trở thành 0 x < −5 (vô nghiệm).

Câu 8. Chọn A.

Suy ra S = {−2;3} . 2

Ta có 5 ( x + 1) − x ( 7 − x ) > −2 x ⇔ 5 x + 5 − 7 x + x > −2 x ⇔ x + 5 > 0 (đúng ∀x ∈ ℝ )

Vậy tổng các phần tử của S là −2 + 3 = 1.

Do đó S = ℝ.

Câu 14. Chọn D.

Câu 9. Chọn C.

Bất phương trình tương đương với ( m + 3) x ≥ m − 3.

Rõ ràng nếu m ≠ 1, bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m ≠ −3 , bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m = 1 bất phương trình trở thành 0 x > 3 (vô nghiệm).

Với m = −3 , bất phương trình trở thành 0 x ≥ −6 (nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ ).

Câu 10. Chọn A.

Câu 15. Chọn C.

Rõ ràng m − 2020 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2020 thì bất phương trình có nghiệm.

Để ý rằng, bất phương trình ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 ).

Xét m − 2020 = 0 ⇔ m = 2020 , ta có (1) ⇔ 0 x < −1 (vô lí).

Vô nghiệm ( S = ∅ ) hoặc có tập nghiệm là S = ℝ thì chỉ xét riêng a = 0.

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≠ 2020.

Có tập nghiệm là một tập con của ℝ thì chỉ xét a > 0 hoặc a < 0.

Câu 11. Chọn C.

Bất phương trình viết lại ( m − 2 ) x > 4 − m2 (1).

Bất phương trình tương đương với ( m2 − 3m + 2 ) x < 2 − m .

Xét m − 2 > 0 ⇔ m > 2, ta có (1) ⇔ x >

m ≠ 1 Rõ ràng nếu m2 − 3m + 2 ≠ 0 ⇔  . Khi đó bất phương trình luôn có nghiệm. m ≠ 2

4 − m2 = −m − 2. m−2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −m − 2; +∞ ) khi m > 2.

Với m = 1, bất phương trình trở thành 0 x < 1 (vô nghiệm).

Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Với m = 2, bất phương trình trở thành 0 x < 0 (vô nghiệm).

1–A

Câu 12. Chọn B.

2–C

3–A

4–B

5–C

6–A

7–C

8–D

9–B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Bất phương trình tương đương với ( 4m 2 − 5m − 9 ) x ≥ 4m2 − 12m .

Câu 1. Chọn A.

 m ≠ −1  Dễ dàng thấy nếu 4m 2 − 5m − 9 ≠ 0 ⇔  9 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng với mọi m ≠ 4

3 Nghiệm của bất phương trình là −1 ≤ x < . 2

x ∈ ℝ.

3  2 ( x − 1) < 1  x < Đáp án A.  ⇔ 2 .  x ≥ −1  x ≥ −1

Với m = −1 , bất phương trình trở thành 0 x ≥ 16 (vô nghiệm).

9 27 (nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ ). Với m = , bất phương trình trở thành 0 x ≥ − 4 4

Loại đáp án C. và D.

Câu 2. Chọn C.

Trang 27

Trang 28

44  x> 42 x + 5 > 28 x + 49 14 x > 44 22 47  14 Bất phương trình ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ <x< . 47 7 4 8 x + 3 < 4 x + 50 4 x < 47 x <  4

5 Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S 2 = ∅ ⇔ m ≤ . 2 Câu 9. Chọn B.

( 2m − 1) x ≥ 3 − 2m Hệ bất phương trình tương đương với  . ( 4m − 4 ) x ≥ −3

Mà x ∈ ℤ nên x ∈ {4;5;6; 7;8;9;10;11} . Câu 3. Chọn A.

Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì

5 x − 2 < 4 x + 5 x < 7 x < 7 x < 7 Bất phương trình ⇔  2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −1 < x < 7. 2  −4 x < 4  − x < 1  x > −1 x < x + 4x + 4

3 − 2m −3 3 5 = ⇔ 8m 2 − 26m + 15 = 0 ⇔ m = hoặc m = . 2m − 1 4 m − 4 4 2

Mà x ∈ ℤ nên x ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6} . Suy ra tổng bằng 21.

Thử lại

Câu 4. Chọn B.

 3  3 x ≥ 3 3  −1 x ≥ 3 − Với m = , hệ trở thành  2  ⇔ x = 3 (thỏa mãn). 2⇔ 4 x ≤ 3  − x ≥ −3 

2020  2 x − 1 < − x + 2019 x<    2014 2020  3 Ta có  . Suy ra S =  ; 3 x < 2020 ⇔  2020 − 6 x . ⇔ 2014 3   8 3 + x >  x > x > 8 2014 2    8

5 Với m = , hệ trở thành 2

Câu 5. Chọn C.

Vậy m =

1  Bất phương trình 2 x − 1 > 0 có tập nghiệm S1 =  ; +∞  . 2 

 4 x ≥ −2 1 ⇔ x ≥ − (không thỏa mãn).  6 x ≥ − 3 2 

3 là giá trị cần tìm. 4

Bất phương trình x − m < 2 có tập nghiệm S2 = ( −∞; m + 2 ) . Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S 2 ≠ ∅ ⇔ m + 2 >

1 3 ⇔m>− . 2 2

Câu 6. Chọn A.

Bất phương trình 3 ( x − 6 ) < −3 có tập nghiệm S1 = ( −∞;5 ) . Bất phương trình

5x + m  14 − m  > 7 có tập nghiệm S2 =  ; +∞  . 2  5 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1 ∩ S 2 ≠ ∅ ⇔

14 − m < 5 ⇔ m > −11. 5

Câu 7. Chọn C.

Bất phương trình x 2 − 1 ≤ 0 có tập nghiệm S1 = [ −1;1]. Bất phương trình x − m > 0 có tập nghiệm S2 = ( m; +∞ ) . Hệ có nghiệm ⇔ S1 ∩ S 2 ≠ 0 ⇔ m < 1. Câu 8. Chọn D.

5 5  Ta có 3 x + 4 > x + 9 ⇔ 2 x > 5 ⇔ x > . Do đó S1 =  ; +∞  . 2 2  +) 1 − 2 x ≤ m − 3 x + 1 ⇔ x ≤ m. Do đó S2 = ( −∞; m] .

Trang 29

Trang 30

BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Mục tiêu Kiến thức + Hiểu được khái niệm nhị thức bậc nhất, định lí về dấu của nhị thức bậc nhất. + Nắm được các bất phương trình dạng tích, thương của các nhị thức bậc nhất. + Nắm được các bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối của các nhị thức bậc nhất. Kĩ năng +

Biết cách lập bảng xét dấu, thành thạo các bước xét dấu nhị thức bậc nhất.

Biết cách giải bất phương trình dạng tích, thương hoặc chứa dấu giá trị tuyệt đối của các nhị thức bậc nhất.

Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất Chứng minh. - Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng Ta có f ( x) = ax + b = a  x + b  . a  f ( x) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho a ≠ 0 , b b - Nhị thức f ( x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a • Với x > − ⇒ x + > 0 nên f(x) cùng dấu a a  b  khi x lấy các giá trị trong khoảng  − ; +∞  , trái dấu với hệ số a.  a  b b • Với x < − ⇒ x + < 0 nên f(x) trái dấu với b a a  với hệ số a khi x lấy các giá trị khoảng  −∞; −  a  hệ số a. - Minh họa bằng đồ thị

Biểu diễn trên trục số:

Thành thạo việc biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình dạng tích, thương hoặc chứa dấu giá trị tuyệt đối của các nhị thức bậc nhất một ẩn trên trục số.

Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất - Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng xét tương tự (chú ý điều kiện mẫu số khác 0).

Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức - Để giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta lập bảng xét dấu xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương, giá trị âm khi nào. Từ đó, rút ra nghiệm của bất phương trình.

Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối - Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối trong các bài đã học, ta dễ dàng giải các bất phương trình

f ( x) < g ( x) và f ( x) > g ( x) như sau:  g ( x) ≥ 0 f ( x ) < g ( x) ⇔  .  − g ( x) < f ( x) < g ( x)

Trang 1

Trang 2

Ví dụ 1. Xét dấu các nhị thức sau

 g ( x) < 0   g ( x) ≥ 0 f ( x ) > g ( x) ⇔   .    f ( x) < − g ( x )     f ( x) > g ( x)

b) f ( x) = ( m2 + 1) x + 3m.

f ( x) = 3 − 4 x.

Hướng dẫn giải

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

a) Ta có 3 − 4 x = 0 ⇔ x =

Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất, tích thương của các nhị thức bậc nhất

Bảng xét dấu:

3 . 4

Phương pháp giải Xét dấu nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b

Ví dụ 1. Xét dấu nhị thức f ( x) = 3x − 1.

- Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0.

Hướng dẫn giải

- Xác định dấu của hệ số a, sau đó sử dụng định lí

1 Ta có 3 x − 1 = 0 ⇔ x = . 3

về dấu của nhị thức bậc nhất để xét dấu.

3 3   Vậy f ( x) < 0 khi x ∈  ; +∞  ; f ( x) > 0 khi x ∈  −∞;  . 4 4  

Hệ số a = 3 > 0.

b) Ta có (m 2 + 1) x + 3m = 0 ⇔ x = −

Bảng xét dấu

3m (vì m2 + 1 > 0 với ∀m ∈ ℝ ). m2 + 1

Bảng xét dấu:

1  Vậy f ( x) > 0 khi x ∈  ; +∞  ; 3 

3m   3m   Vậy f ( x) > 0 khi x ∈  − 2 ; +∞  ; f ( x ) < 0 khi x ∈  −∞; − 2  . m +1   m +1  

1  f ( x) < 0 khi x ∈  −∞;  . 3  Xét dấu một tích, thương các nhị thức bậc nhất. - Ta lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất trong tích (thương) đó, từ đó suy ra dấu của tích (thương).

Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức f ( x) = (2 x + 1)(2 − x). Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Cho biểu thức f ( x) = 2 x − 6 . Tất cả các giá tị của x để f ( x) ≤ 0 là A. x ∈ [3; +∞ ) .

B. x ∈ ( 3; +∞ ) .

C. x ∈ ( −∞;3) .

D. x ∈ ( −∞;3] .

1 2x + 1 = 0 ⇔ x = − . 2

Hướng dẫn giải

2− x = 0 ⇔ x = 2.

Ta có 2 x − 6 = 0 ⇔ x = 3 . Ta có:

Bảng xét dấu:

Vậy f ( x) ≤ 0 khi x ∈ ( −∞;3] .

Chọn D. Ví dụ 3. Cho biểu thức f ( x) = ( x + 2)(5 − x) . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x) ≤ 0 là  1  Vậy f ( x) > 0 khi x ∈  − ; 2  ;  2  1  f ( x) < 0 khi x ∈  −∞; −  hoặc x ∈ ( 2; +∞ ) . 2 

A. x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 5; +∞ ) .

B. x ∈ ( 5; +∞ ) .

C. x ∈ ( −2;5 ) .

D. x ∈ ( −∞; −2] ∪ [5; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu Trang 3

Trang 4

 x = −2 . Ta có f ( x) = 0 ⇔ ( x + 2)(5 − x) = 0 ⇔  x = 5 Bảng xét dấu:

Vậy f ( x) ≥ 0 khi x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ ) .

Chọn A. Vậy f ( x) ≤ 0 khi x ∈ ( −∞; −2] ∪ [5; +∞ )

Ví dụ 6. Cho biểu thức f ( x) =

Chọn D. Ví dụ 4. Cho biểu thức f ( x) = x ( x − 3)(4 − x) . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x ) < 0 là A. x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 3; 4 ) .

B. x ∈ ( 0; 4 ) .

C. x ∈ ( 0;3) ∪ ( 4; +∞ ) .

D. x ∈ ( 3; 4 ) .

( x + 1)( 3 − x ) x−2

. Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x) > 0 là

A. x ∈ ( −1; 2 ) .

B. x ∈ ( 3; +∞ ) .

C. x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2;3) .

D. x ∈ ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

 x = −1 Điều kiện: x ≠ 2 . Ta có f ( x) = 0 ⇔ ( x + 1)( 3 − x ) = 0 ⇔  . x = 3

Hướng dẫn giải

x = 0 Ta có f ( x) = 0 ⇔ x( x − 3)(4 − x ) = 0 ⇔  x = 3 .  x = 4

Bảng xét dấu:

Bảng xét dấu f ( x) :

Vậy f ( x) > 0 khi x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2;3) .

Chọn C. Ví dụ 7. Cho biểu thức f ( x) =

Vậy f ( x) < 0 ⇔ x ∈ ( 0;3) ∪ ( 4; +∞ ) . Chọn C. Ví dụ 5. Cho biểu thức f ( x) = ( x − 1)( x3 − 8) . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x) ≥ 0 là A. x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 2; +∞ ) .

B. x ∈ [1; 2] .

C. x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

D. x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ ) .

3x − 6 . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x) ≤ 0 là x2 − x

A. x ∈ [ 0;1] ∪ [ 2; +∞ ) .

B. x ∈ ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

C. x ∈ ( −∞;0] ∪ [1; 2] .

D. x ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; 2] .

Hướng dẫn giải

x ≠ 0 Điều kiện:  . x ≠ 1

Ta có f ( x) = ( x − 1)( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) .

Ta có f ( x) = 0 ⇔ 3 x − 6 = 0 ⇔ x = 2 . Bảng xét dấu:

Vì x 2 + 2 x + 4 = ( x + 1) + 3 > 0, ∀x ∈ ℝ nên f ( x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2 Bảng xét dấu

Trang 5

Trang 6

C. x ∈ ( −1;3) .

D. x ∈ ( −∞; −1] ∪ [3; +∞ ) .

Câu 3. Cho biểu thức f ( x) = A. x ∈ ( −∞; 4] .

B. x ∈ ( −∞; 4 ) .

Câu 4. Cho biểu thức f ( x) = Vậy f ( x) ≤ 0 khi x ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; 2]

Chọn D. Ví dụ 8. Cho biểu thức f ( x) = − A. x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 0; 2 ) .

B. x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

C. x ∈ ( −∞; 2 ) .

D. x ∈ ( −1; +∞ ) .

 x ≠ −1 Điều kiện  . x ≠ 2 Ta có f ( x) =

C. x ∈ [ 0;1) ∪ [3;9 ) .

D. x ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1;9 ) .

3x − 9 . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x) ≤ 0 là x2 − 8x

A. x ∈ ( 0;3] ∪ ( 8; +∞ ) .

B. x ∈ ( −∞;0] ∪ [3;8 ) .

C. x ∈ ( −∞;0 ) ∪ [3;8 ) .

D. x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 3;8 ) .

3− x ≥ 0. 2x + 3

 3  A. x ∈  − ;3  .  2 

3x −2 + x + 2 x + 2 ⇔ f ( x) = ( x + 1)(2 − x) ( x + 1)(2 − x)

D. x ∈ [ 4; +∞ ) .

x( x − 3) . Các giá trị của x thỏa mãn f ( x) ≥ 0 là ( x − 9)(1 − x) B. x ∈ ( −∞;0] ∪ (1;9 ) .

Câu 6. Tìm x để

Hướng dẫn giải

C. x ∈ ( 4; +∞ ) .

A. x ∈ ( −∞;0] ∪ ( 3; +∞ ) .

Câu 5. Cho biểu thức f ( x) =

1 2 . Tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x) > 0 là + x +1 2 − x

1 . Các giá trị của x để f ( x) ≤ 0 là 2x − 8

Câu 7. Cho f ( x ) =

 3  B. x ∈  − ;3 .  2 

 3  C. x ∈  − ;3 .  2 

 3  D. x ∈  − ;3  .  2 

3 − 1 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x ) ≥ 0 là: 2− x

Do đó f ( x) = 0 ⇔ x = 0 .

A. S = ( −1; 2 ) .

B. S = [ −1; 2 ) .

Bảng xét dấu của f ( x)

C. S = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) .

D. S = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) .

Câu 8. Cho biểu thức f ( x ) =

1  A. x ∈  −5; −  ∪ [ 2; +∞ ) . 3 

1  B. x ∈  −5; −  ∪ ( 2; +∞ ) . 3 

 1  C. x ∈ ( −∞; −5] ∪  − ; 2  .  3 

 1  D. x ∈ ( −∞; −5 ) ∪  − ; 2  .  3 

Câu 9. Cho f ( x ) =

Vậy f ( x) > 0 khi x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 0; 2 ) . Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 1

4 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x ) > 0 là − x −1 x + 1

A. S = ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) .

B. S = ( −∞; −3) ∪ ( −1;1) .

C. S = ( −3; −1) ∪ (1; +∞ ) .

D. S = ( −3;1) ∪ ( −1; +∞ ) .

Bài tập cơ bản Câu 10. Cho f ( x ) =

Câu 1. Cho biểu thức f ( x) = x − 5 . Tập hợp tất cả các giá trị của x để f ( x) ≥ 0 là A. [5; +∞ ) .

1  B.  ; +∞  . 5 

C. ( −∞;5] .

D. ( 5; +∞ ) .

Câu 2. Cho biểu thức f ( x) = ( x + 1)(3 − x ) . Các giá trị của x thỏa mãn f ( x ) ≤ 0 là A. x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .

B. x ∈ (3; +∞) . Trang 7

−2 1 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x ) > 0 là − 3x + 1 2 − x

3 5 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn f ( x ) ≥ 0 là − 1 − x 2x + 1

1  2   A. S =  −∞; −  ∪  ;1 . 2  11  

 1 2 B. S =  − ;  ∪ (1; +∞ ) .  2 11 

1  2   C. S =  −∞; −  ∪  ;1 . 2  11  

1  2   D. S =  −∞; −  ∪  ;1 . 2   11   Trang 8

Bài tập nâng cao

Ví dụ mẫu

2x 1 Câu 11. Tìm tập hợp tất cả các giá trị x thỏa mãn − > 2. x +1 x −1  1 A. S =  −1;  ∪ (1; +∞ ) . 3 

B. S = ( −∞; −1] ∪ (1; +∞ ) .

 1 C. S =  −1;  ∪ (1; +∞ ) . 3 

1  D. S = ( −∞; −1) ∪  ;1 . 3 

Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình ( 3x + 6 )( 2 − x ) > 0 có dạng ( a; b ) . Khi đó b − a bằng

B. S = [ −12; −4 ) ∪ ( −3; 0 ) .

C. S = ( −∞; −12 ) ∪ [ −4;3] ∪ ( 0; +∞ ) .

D. S = ( −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) .

Câu 13. Tìm tập hợp tất cả các giá trị x thỏa mãn

B. S = [ −1; 0 ) ∪ ( −3; +∞ ) .

C. S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ (1;3) .

D. S = ( −1;0] ∪ [3; +∞ ) .

 x = −2 Đặt f ( x ) = ( 3 x + 6 )( 2 − x ) . Ta có f ( x ) = 0 ⇔  . x = 2 Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có f ( x ) > 0 khi x ∈ ( −2; 2 ) . Khi đó b = 2; a = −2 và b − a = 4. Chọn B.

x2 + x − 3 − 1 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị x thỏa mãn f ( x ) < 0 x2 − 4

A. S = ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; 2 ) .

B. S = ( −2;1] ∪ ( 2; +∞ ) .

C. S = [ −2;1) ∪ ( 2 + ∞ ) .

D. S = ( −2;1] ∪ [ 2; +∞ ) .

Ví dụ 2. Tập nghiệm S = ( −4;5 ) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

Dạng 2. Bất phương trình tích

Hướng dẫn giải

đó P ( x ) , Q ( x ) là những nhị thức bậc nhất.

lập

bảng

xét

dấu

C. ( x + 4 )( 5 x − 25 ) > 0.

D. ( x − 4 )( x − 5) < 0.

x + 4 = 0 ⇔ x = −4; x + 5 = 0 ⇔ x = −5; x − 4 = 0 ⇔ x = 4;5 x − 25 = 0 ⇔ x = 5. Bảng xét dấu

của Đặt f ( x ) = ( x + 1)( 2 − x ) .

P ( x ) , Q ( x ) từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.

B. ( x + 4 )( 5 x − 25 ) < 0.

Ta có

Bất phương trình có dạng P ( x ) .Q ( x ) > 0 , trong Ví dụ. Giải bất phương trình ( x + 1)( 2 − x ) > 0.

giải:

A. ( x + 4 )( x + 5 ) < 0.

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải

Cách

D. 1.

1 1 ≥ . x + 1 ( x − 1)2

A. S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ [1;3].

Câu 14. Cho f ( x ) =

B. 4.

Hướng dẫn giải

1 2 3 Câu 12. Tất cả các giá trị của x thỏa mãn + ≥ là x x+4 x +3 A. S = ( −∞; −12] ∪ ( −4;3) ∪ ( 0; +∞ ) .

A. – 4. C. 0.

 x = −1 Ta có f ( x ) = 0 ⇔   x = 2. Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta có f ( x ) > 0 khi x ∈ ( −1; 2 ) . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −1; 2 ) .

Trang 9

Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S = ( −4;5 ) là tập nghiệm của bất phương trình ( x + 4 )( 5 x − 25 ) < 0. Chọn B.

Trang 10

Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình ( x + 3)( x − 1) ≤ 0 bằng A. 1.

B. – 4.

C. – 5.

D. 4.

A. ( x + 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) ≤ 0.

B. ( x − 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) > 0.

C. ( x − 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) < 0.

D. ( x + 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) < 0.

Hướng dẫn giải

Ta có x + 3 = 0 ⇔ x = −3; x − 3 = 0 ⇔ x = 3; x − 5 = 0 ⇔ x = 5; 14 − 2 x = 0 ⇔ x = 7.

 x = −3 Đặt f ( x ) = ( x + 3)( x − 1) . Ta có f ( x ) = 0 ⇔  . x = 1

Bảng xét dấu.

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có ( x + 3)( x − 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ [ −3;1] . Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là −3; −2; −1; 0;1. Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm

Suy ra tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng – 5. Chọn C.

trình ( x − 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) > 0.

Ví dụ 4. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x ( x − 2 )( x + 1) > 0 là

Chọn B.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

S = ( −∞;3) ∪ ( 5;7 ) là tập nghiệm của bất phương

Ví dụ 6. Bất phương trình ( 2 − x )( x + 1)( 3 − x ) ≤ 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

Hướng dẫn giải

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Hướng dẫn giải

x = 0 Đặt f ( x ) = x ( x − 2 )( x + 1) . Ta có f ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = −1

Đặt f ( x ) = ( 2 − x )( x + 1)( 3 − x ) .

 x = −1 Ta có f ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .   x = 3

Bảng xét dấu.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1; 0 ) ∪ ( 2; +∞ ) . Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3. Chọn B.

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ≤ 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 2;3].

Ví dụ 5. Tập nghiệm S = ( −∞;3) ∪ ( 5;7 ) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

Vậy bất phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là 2 và 3. Trang 11

Trang 12

Chọn D.

Câu 5. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x ( x − 5 )( x + 1) > 0 là

Ví dụ 7. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình

( 3x − 6 )( x − 2 )( x + 2 )( x − 1) > 0 là B. – 6.

C. – 4.

D. 8.

Hướng dẫn giải

C. 4.

D. 5.

A. ( x + 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) > 0.

B. ( x − 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) ≤ 0.

C. ( x − 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) ≤ 0.

D. ( x + 3)( x − 5 )(14 − 2 x ) ≥ 0.

Bài tập nâng cao

Ta có ( 3x − 6 )( x − 2 )( x + 2 )( x − 1) > 0 ⇔ 3 ( x − 2 ) ( x + 2 )( x − 1) > 0. (1) 2

B. 6.

Câu 6. Tập hợp S = [3;5] ∪ [ 7; +∞ ) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. – 9.

Vì ( x − 2 )

A. 2.

Câu 7. Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x ( x − 3)( x + 2 ) > 0 là

 x ≠ 2 > 0, ∀x ≠ 2 nên (1) ⇔  . ( x + 2 )( x − 1) > 0

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 8. Tập hợp S = ( −∞;1) ∪ ( 3; 4 ) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

 x = −2 Đặt f ( x ) = ( x + 2 )( x − 1) . Ta có f ( x ) = 0 ⇔  . x = 1

Bảng xét dấu

A. ( x + 1)( x − 3)( 4 − x ) ≤ 0.

B. ( x − 1)( x − 3)( 4 − x ) > 0.

C. ( x − 1)( x − 3)( 4 − x ) < 0.

D. ( x + 1)( x − 3)( 4 − x ) < 0.

Câu 9. Hỏi bất phương trình ( 3 − x )( x + 1)(8 − x ) ≤ 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A. 1 nghiệm.

B. 3 nghiệm.

C. 4 nghiệm.

D. 6 nghiệm.

Câu 10. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình

( 3x − 6 )( x − 2 )( x + 4 )( x − 5) > 0 là A. – 30.

B. – 20.

C. 20.

D. 30.

Dạng 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ (1; +∞ ) .

Phương pháp giải

Bất phương trình bậc nhất ẩn ở mẫu có dạng

Kết hợp với điều kiện x ≠ 2 , ta được x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ (1; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là – 3 và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình là 3. Vậy tích cần tính là – 9. Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 2

Ví dụ. Giải bất phương trình

P ( x) P ( x) P ( x) P ( x) > 0 (hoặc ≥ 0, < 0, ≤ 0 ), Q ( x) Q ( x) Q ( x) Q ( x)

Hướng dẫn giải

trong đó P ( x ) , Q ( x ) là những nhị thức bậc nhất.

Điều kiện x ≠ −

Cách giải: Lập bảng xét dấu, rồi suy ra tập Đặt f ( x ) =

2020 . 11

2019 − x . 11x + 2020

Bài tập cơ bản

nghiệm của bất phương trình.

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình ( x + 8 )(1 − x ) > 0 có dạng ( a; b ) . Khi đó b − a bằng

Lưu ý: Khi quy đồng, chúng ta không nên khử Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = 2019. mẫu, khi chưa biết mẫu thức là âm hay dương. Bảng xét dấu

A. 3.

B. 5.

C. 9.

D. 7.

2019 − x ≥ 0. 11x + 2020

Câu 2. Tập hợp S = ( −4;8) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. ( x + 4 )( x + 8 ) < 0.

B. ( x + 4 )( 4 x − 32 ) < 0.

C. ( x + 4 )( 4 x − 32 ) ≥ 0.

D. ( x − 4 )( x − 8 ) < 0.

Câu 3. Số các nghiệm nguyên của bất phương trình ( x + 3)( x − 10 ) ≤ 0 là A. 13.

B. – 4.

C. – 5.

D. 14.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 4. Tập hợp S = [ 0;5] là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. x ( x − 5 ) < 0.

B. x ( x − 5 ) ≤ 0.

C. x ( x − 5 ) ≥ 0.

D. x ( x − 5 ) > 0.

Trang 13

Trang 14

 2020  S = − ; 2019  .  11 

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Bất phương trình

2− x ≥ 0 có tập nghiệm là 2x +1

 1  A. S =  − ; 2  .  2 

 1  B. S =  − ; 2  .  2 

 1  C. S =  − ; 2  .  2 

1  D. S =  ; 2  . 2 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −1; 2] ∪ [3; +∞ ) .

Chọn A. Ví dụ 3. Bất phương trình

Hướng dẫn giải 1 Điều kiện x ≠ − . 2

Đặt f ( x ) =

2− x . Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = 2. 2x +1

3 < 1 có tập nghiệm là 2− x

A. S = ( −1; 2 ) .

B. S = [ −1; 2 ) .

C. S = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) .

D. S = ( −∞; −1] ∪ [ 2; +∞ ) .

Hướng dẫn giải Điều kiện x ≠ 2.

Bảng xét dấu

Bất phương trình

Đặt f ( x ) =

3 3 x +1 <1⇔ −1 < 0 ⇔ < 0. 2− x 2− x 2− x

x +1 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = −1. 2− x

Bảng xét dấu

 1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  − ; 2  .  2 

Chọn C. Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình

( 3 − x )( x − 2 ) ≤ 0 là x +1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) .

A. S = ( −1; 2] ∪ [3; +∞ ) .

B. S = ( −∞;1) ∪ [ 2;3].

C. S = [ −1; 2] ∪ [3; +∞ ) .

D. S = ( −1; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

Chọn C. Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình

Hướng dẫn giải Điều kiện x ≠ −1. Đặt f ( x ) =

( 3 − x )( x − 2 ) . Ta có f x +1

x = 2 . x = 3

( x) = 0 ⇔ 

x2 + x − 3 ≥ 1 là x2 − 4

A. S = ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; 2 ) .

B. S = ( −2; −1] ∪ ( 2; +∞ ) .

C. S = [ −2;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

D. S = ( −2;1] ∪ [ 2; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

Bảng xét dấu

 x ≠ −2 Điều kiện  . x ≠ 2

Trang 15

Trang 16

Ta có

x2 + x − 3 x2 + x − 3 x +1 ≥1⇔ −1 ≥ 0 ⇔ ≥ 0. 2 x −4 x2 − 4 x − 2 ( )( x + 2 )

Đặt f ( x ) =

Ví dụ 6. Bất phương trình

x +1 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = −1. ( x − 2 )( x + 2 )

Bảng xét dấu

3 5 có tập nghiệm là ≥ 1− x 2x +1

1  2   A. S =  −∞; −  ∪  ;1 . 2  11  

 1 2 B. S =  − ;  ∪ (1; +∞ ) .  2 11 

1  2   C. S =  −∞; −  ∪  ;1 . 2  11  

1  2   D. S =  −∞; −  ∪  ;1 . 2   11  

Hướng dẫn giải 1  x ≠ − Điều kiện  2  x ≠ 1. Ta có

3 5 11x − 2 ≥ ⇔ ≥ 0. 1− x 2x +1 (1 − x )( 2 x + 1)

Đặt f ( x ) =

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −2; −1] ∪ ( 2; +∞ ) .

Chọn B.

11x − 2

(1 − x )( 2 x + 1)

. Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x =

2 . 11

Bảng xét dấu

4 2 Ví dụ 5. Bất phương trình − < 0 có tập nghiệm là x −1 x +1

A. S = ( −∞;3) ∪ (1; +∞ ) .

B. S = ( −∞; −3) ∪ ( −1;1) .

C. S = ( −3; −1) ∪ (1; +∞ ) .

D. S = ( −3;1) ∪ ( −1; +∞ ) .

Hướng dẫn giải  x ≠ −1 Điều kiện  . x ≠ 1 Ta có

1  2   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  −∞; −  ∪  ;1 . 2  11  

4 2 2x + 6 − <0⇔ < 0. x −1 x +1 ( x − 1)( x + 1)

Đặt f ( x ) =

Chọn A.

2x + 6 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = −3. x − ( 1)( x + 1)

Ví dụ 7. Bất phương trình

Bảng xét dấu

1 2 3 có tập nghiệm là + < x x+4 x +3

A. S = ( −∞; −12 ) ∪ ( −4;3) ∪ ( 0; +∞ ) .

B. S = [ −12; −4 ) ∪ ( −3; 0 ) .

C. S = ( −∞; −12 ) ∪ [ −4;3] ∪ ( 0; +∞ ) .

D. S = ( −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) .

Hướng dẫn giải x ≠ 0  Điều kiện  x ≠ −4.  x ≠ −3  1 2 3 x + 12 Ta có + < ⇔ < 0. x x+4 x+3 x ( x + 3)( x + 4 )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −3) ∪ ( −1;1) .

Chọn B. Trang 17

Trang 18

Đặt f ( x ) =

Chọn C.

x + 12 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = −12. x ( x + 3)( x + 4 )

Ví dụ 9. Bất phương trình

Bảng xét dấu

2 4x x+4 có nghiệm nguyên lớn nhất là − < x2 − 9 x + 3 3x − x 2

A. x = 2.

B. x = 1.

C. x = −2.

D. x = −1.

Hướng dẫn giải x ≠ 0  Điều kiện  x ≠ −3. x ≠ 3  Bất phương trình tương đương với x ( x + 4) x ( x − 3)( x + 3)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) .

Chọn D.

Đặt f ( x ) =

Ví dụ 8. Bất phương trình

1 1 < có tập nghiệm S là x + 1 ( x − 1)2

−

2 x ( x − 3) x ( x − 3)( x + 3)

3x + 22

( x − 3)( x + 3)

<−

4 x ( x + 3) x ( x − 3)( x + 3)

. Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = −

⇔

3x + 22 < 0. x − ( 3)( x + 3)

22 . 3

Bảng xét dấu

A. S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ [1;3].

B. S = [ −1; 0 ) ∪ ( −3; +∞ ) .

C. S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ (1;3) .

D. S = ( −1;0] ∪ ( −3; +∞ ) .

Hướng dẫn giải  x ≠ −1 Điều kiện  . x ≠ 1

Ta có

x ≠ 1 2 ( x − 1) − ( x + 1) < 0 ⇔ x ( x − 3) < 0 ⇔  1 1 < ⇔  x ( x − 3) 2 2 x + 1 ( x − 1)2 <0 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1)   x +1

Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện, ta thấy rằng 22   f ( x ) < 0 ⇔ x ∈  −∞; −  ∪ ( −3; 0 ) ∪ ( 0;3) . 3  

(vì ( x − 1) > 0, ∀x ≠ 1 ).

Đặt f ( x ) =

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 2.

x = 0 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔  . x +1 x = 3

x ( x − 3)

Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 3

Bảng xét dấu

Câu 1. Bất phương trình

4 2 − < 0 có tập nghiệm là x −1 x +1

A. S = ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) .

B. S = ( −∞; −3) ∪ ( −1;1) .

C. S = ( −3; −1) ∪ (1; +∞ ) .

D. S = ( −3;1) ∪ ( −1; +∞ ) .

1  2   Câu 2. Tập nghiệm S =  −∞; −  ∪  ;1 là tập nghiệm của bất phương trình 2  11  

Kết hợp với điều kiện x ≠ 1 , ta được tập nghiệm S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ (1;3) . Trang 19

3 5 ≥ . 1− x 2x +1

3 5 > . 1− x 2x +1

Trang 20

3 5 ≤ . 1− x 2x +1

3 5 < . 1 − x 2x + 1

1  Câu 3. Tập nghiệm S =  −1;  ∪ (1; +∞ ) là tập nghiệm của bất phương trình 3 

2x 1 − ≥ 2. x +1 x −1

2x 1 − < 2. x +1 x −1

2x 1 − ≤ 2. x +1 x −1

2x 1 − > 2. x +1 x −1

Câu 4. Bất phương trình

B. S = ( −3; +∞ ) .

C. S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

D. S = ( −2; +∞ ) .

1  C.  −∞; −  . 3 

1  D.  −∞;  . 3 

1  x<− 1 − 3 x > 2  −1 > 3x Ta có 1 − 3x > 2 ⇔  ⇔ ⇔ 3.  1 − 3 x < −2 3 x > 3 x >1 1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) . 3 

Chọn A. Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 5 x − 4 ≥ 6 có dạng S = ( −∞; a ] ∪ [b; +∞ ) . Giá trị của tổng

Bài tập nâng cao Câu 5. Bất phương trình

B. (1; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

1 1 có tập nghiệm S là < x +2 x−3

A. S = ( −3; −2 ) .

1  A.  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) . 3 

P = 5a + b là

2 4x x+4 có nghiệm nguyên âm lớn nhất là − < x2 − 9 x + 3 3x − x 2

A. 1.

B. 2.

B. x = 1.

C. 0.

D. 3.

A. x = 2.

C. x = −2.

D. x = −1.

Dạng 4: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải  g ( x ) ≥ 0 Dạng 1: f ( x ) < g ( x ) ⇔  .  − g ( x ) < f ( x ) < g ( x )

Ví dụ 1: Giải bất phương tình 3x + 2 < 3.

g ( x) < 0   g ( x ) ≥ 0 Dạng 2: f ( x ) > g ( x ) ⇔  .  f ( x ) < − g ( x )   f ( x ) > g ( x )   

Ta có

x ≥ 2 5 x − 4 ≥ 6 5 x ≥ 10 Cách 1. 5 x − 4 ≥ 6 ⇔  ⇔ ⇔ . x ≤ − 2 5 x − 4 ≤ −6  5 x ≤ −2 5 

Hướng dẫn giải

3x + 2 < 3 ⇔ −3 < 3x + 2 < 3 5 1 ⇔ −5 < 3 x < 1 ⇔ − < x < . 3 3

5 1 Lưu ý: Nếu bất phương trình có chứa nhiều dấu giá Vậy nghiệm của bất phương trình là − < x < . 3 3 trị tuyệt đối thì ta chia các khoảng để khử dấu giá Ví dụ 2: Giải bất phương trình 6 − 4 x ≥ 2. trị tuyệt đối. Hướng dẫn giải Ta có 6 − 4 x ≥ 2  −4 x ≥ −4 x ≤ 1 6 − 4x ≥ 2 ⇔  ⇔ ⇔ x x 6 − 4 ≤ − 2 − 4 ≤ − 8    x ≥ 2.

4  5 x − 4 khi x ≥ 5 Cách 2. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có 5 x − 4 =  . 4 − 5 x khi x < 4  5 Do đó +) Với x ≥

4 , ta có 5 x − 4 ≥ 6 ⇔ 5 x − 4 ≥ 6 ⇔ x ≥ 2 (thỏa mãn). 5

+) Với x <

4 2 , ta có 5 x − 4 ≥ 6 ⇔ −5 x + 4 ≥ 6 ⇔ 5 x ≤ −2 ⇔ x ≤ − (thỏa mãn). 5 5

2  Khi đó tập nghiệm của bất phương trình là S =  −∞; −  ∪ [ 2; +∞ ) . 5 

Vậy nghiệm của bất phương trình là

2  a = − Suy ra  5 b = 2.

x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ ) .

Vậy 5a + b = 0. Chọn C.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 3. Bất phương trình x − 3 > 2 x + 4 có tập nghiệm là

Ví dụ 1. Bất phương trình 1 − 3x > 2 có tập nghiệm là

Trang 21

Trang 22

1  A.  −7;  . 3 

1  B.  7; −  . 3 

4  Do đó bất phương trình có nghiệm x ∈  ; +∞  . 3 

1  C.  −7; −  . 3 

 1  D. ( −∞; −7 ) ∪  − ; +∞  .  3 

+) Với x <

4  Dó đó, bất phương trình có nghiệm là x ∈  −∞;  . 3 

Hướng dẫn giải 2

4 7 . Bất phương trình trở thành 4 − 3x ≥ x − 3 ⇔ 4 x ≤ 7 ⇔ x ≤ . 3 4

Ta có x − 3 > 2 x + 4 ⇔ ( x − 3) − ( 2 x + 4 ) > 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ.

⇔ ( x − 3 − 2 x − 4 )( x − 3 + 2 x + 4 ) > 0

Chọn D.

1 ⇔ ( − x − 7 )( 3x + 1) > 0 ⇔ −7 < x < − . 3

Ví dụ 6. Tập nghiệm của bất phương trình

1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  −7; −  . 3 

x −1 < 1là x+2

 1  A. S =  − ; +∞  .  2 

 1  B. S = ( −∞; −2 ) ∪  − ; +∞  .  2 

Ví dụ 4. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + 12 ≥ 2 x − 4 là

1  C. S =  −∞; −  ∪ ( 2; +∞ ) . 2 

1  D. S =  −2; −  . 2 

A. 5.

B. 19.

Hướng dẫn giải

C. 11.

D. 16.

Điều kiện: x ≠ −2.

Chọn C.

Hướng dẫn giải

+) Với x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 , ta có

+) Với 2 x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 , ta có x + 12 ≥ 2 x − 4 ⇔ x + 12 ≥ 2 x − 4 ⇔ x ≤ 16.

x −1 x −1 3 <1⇔ <1 ⇔ > 0 ⇔ x > −2. x+2 x+2 x+2

Kết hợp với điều kiện x ≥ 2 , ta được tập nghiệm S1 = [ 2;16].

Kết hợp với điều kiện x ≥ 1 , ta được tập nghiệm S1 = [1; +∞ ) .

8 +) Với 2 x − 4 < 0 ⇔ x < 2 , ta có x + 12 ≥ −2 x + 4 ⇔ 3 x ≥ −8 ⇔ x ≥ − . 3

+) Với x − 1 < 0 ⇔ x < 1 , ta có

 8  Kết hợp với điều kiện x < 2 , ta được tập nghiệm S2 =  − ; 2  .  3 

1  x −1 x>− 2x + 1 <1⇔ >0⇔  2  x+2 x+2  x < −2.

 1  Kết hợp với điều kiện x < 1 , ta được tập nghiệm là S2 = ( −∞; −2 ) ∪  − ;1 .  2 

 8  Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 =  − ;16  .  3 

 1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞; −2 ) ∪  − ; +∞  .  2 

Vậy số nghiệm nguyên x thỏa mãn bất phương trình là 19.

Chọn B.

x+2 −x ≤ 2 là x

Ví dụ 5. Bất phương trình 3x − 4 ≥ x − 3 có tập nghiệm là

Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình

4  A.  −∞;  . 3 

1 4 B.  ;  . 2 3

A. ( 0;1] .

B. ( −∞; −2 ) ∪ (1; +∞ ) .

1  C.  ; +∞  . 2 

C. ( −∞;0 ) ∪ [1; +∞ ) .

D. [ 0;1].

D. ℝ.

Hướng dẫn giải Điều kiện x ≠ 0.

Hướng dẫn giải

+) Với x ≥

+) Với x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2 , ta có

4 1 . Bất phương trình trở thành 3x − 4 ≥ x − 3 ⇔ 2 x ≥ 1 ⇔ x ≥ . 3 2

x+2 −x x ≥ 1 x+2−x 2(1 − x) ≤2⇔ ≤2⇔ ≤0⇔ . x x x x < 0 Trang 23

Trang 24

Kết hợp với điều kiện x ≥ −2 , ta được tập nghiệm S1 = [ −2; 0 ) ∪ [1; +∞ ) .

A. ( −2; +∞ ) .

 1  B.  − ; +∞  .  2 

 3  C.  − ; +∞  .  2 

9  D.  ; +∞  . 2 

+) Với x + 2 < 0 ⇔ x < −2 , ta có x+2 −x

≤2⇔

−x − 2 − x 2x + 2 ≤2⇔− ≤2 x x

Hướng dẫn giải

x > 0 x +1 x +1 2x +1 ⇔− ≤ 1 ⇔ 1+ ≥0⇔ ≥0⇔ x ≤ − 1 . x x x  2

3 Xét bất phương trình x + 2 − x − 1 < x − . (*) 2 Lập bảng xét dấu

Kết hợp với điều kiện x < −2 , ta được tập nghiệm là S2 = ( −∞; −2 ) . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S 2 = ( −∞;0 ) ∪ [1; +∞ ) . Chọn C. Ví dụ 8. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + 2 + −2 x + 1 ≤ x + 1 là A. 3.

B. 5.

C. 2.

D. 0.

+) Với x < −2 , khi đó (*) ⇔ − x − 2 + x − 1 < x −

Hướng dẫn giải

Xét bất phương trình x + 2 + −2 x + 1 ≤ x + 1.

3 3 ⇔x>− . 2 2

Kết hợp với điều kiện x < −2 , ta được tập nghiệm S1 = ∅.

( *)

+) Với −2 ≤ x < 1 , khi đó (*) ⇔ x + 2 + x − 1 < x −

Bảng xét dấu

3 5 ⇔ x<− . 2 2

Kết hợp với điều kiện −2 ≤ x < 1 , ta được tập nghiệm S2 = ∅. +) Với x ≥ 1 , khi đó (*) ⇔ x + 2 − x + 1 < x −

9  Kết hợp với điều kiện x ≥ 1 , ta được tập nghiệm S3 =  ; +∞  . 2 

1 +) Với x < −2 , khi đó (*) ⇔ ( − x − 2 ) + ( −2 x + 1) ≤ x + 1 ⇔ −2 ≤ 4 x ⇔ x ≥ − . 2

9  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 ∪ S3 =  ; +∞  . 2 

Kết hợp với điều kiện x < −2 , ta được tập nghiệm S1 = ∅. +) Với −2 ≤ x <

Chọn D.

1 , khi đó (*) ⇔ x + 2 − 2 x + 1 ≤ x + 1 ⇔ 2 x ≥ 2 ⇔ x ≥ 1. 2

Kết hợp với điều kiện −2 ≤ x <

3 9 ⇔x> . 2 2

Ví dụ 10. Số nghiệm nguyên của bất phương trình

1 , ta được tập nghiệm S2 = ∅. 2

2−3 x ≤ 1 là 1+ x

A. 1.

B. 2.

1 +) Với x ≥ , khi đó (*) ⇔ x + 2 − ( −2 x + 1) ≤ x + 1 ⇔ 2 x ≤ 0. 2

C. 0.

D. 3.

1 Kết hợp với điều kiện x ≥ , ta được tập nghiệm S3 = ∅. 2

Điều kiện x ≠ −1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = ∅.

+) Với x ≥ 0 , ta có

Hướng dẫn giải

Chọn D. Ví dụ 9. Bất phương trình x + 2 − x − 1 < x −

2−3 x 2 − 3x 2 − 3x 1 3 ≤1⇔ ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ≤1 ⇔ ≤ x ≤ . x +1 x +1 1+ x 4 2

1 3 Kết hợp với điều kiện x ≥ 0 , ta được tập nghiệm S1 =  ;  . 4 2

3 có tập nghiệm là 2 Trang 25

Trang 26

+) Với x < 0 , ta có

Chọn 11. Chọn D.

2−3 x 2 + 3x 2 + 3x 3 1 ≤1⇔ ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ≤1 ⇔ − ≤ x ≤ − . x +1 x +1 1+ x 4 2

 x ≠ −1 Điều kiện  . x ≠ 1

 3 1 Kết hợp với điều kiện x < 0 , ta được tập nghiệm S2 =  − ; −  .  4 2

Ta có

1 3  3 1 Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 =  ;  ∪  − ; −  . 4 2  4 2

2x 1 1 − 3x − >2⇔ > 0. x +1 x −1 ( x − 1)( x + 1)

Đặt f ( x ) =

Vậy bất phương trình chỉ có một nghiệm nguyên x = 1. Chọn A.

1 − 3x

( x − 1)( x + 1)

1 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = . 3

Bảng xét dấu

Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản Câu 1. Tất cả các giá trị của x thỏa mãn x − 5 < 1 là A. −4 < x < 4.

B. 0 < x < 6.

C. x < 6.

D. 4 < x < 6.

C. 4 ≤ x ≤ 5.

D. −4 ≤ x ≤ 5.

Câu 2. Nghiệm của bất phương trình 2 x − 9 ≤ 1 là A. 1 ≤ x ≤ 5.

B. −4 ≤ x ≤ 4.

1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = ( −∞; −1) ∪  ;1 . 3 

Câu 3. Bất phương trình 3x − 4 ≤ 10 có nghiệm là

14  A. ( −∞; −2] ∪  ; +∞  . 3 

 14  B.  −2;  . 3 

C. ( −∞; −2].

14  D.  ; +∞  . 3 

x ≠ 0  Điều kiện  x ≠ −3.  x ≠ −4 

5  A. ( −∞; −1) ∪  ; +∞  . 3 

5  B.  ; +∞  . 3 

1 2 3 x + 12 Ta có + ≥ ⇔ ≥ 0. x x+4 x+3 x ( x + 3)( x + 4 )

C. ( −∞; −1) .

5  D.  −∞;  . 3 

Đặt f ( x ) =

Câu 12. Chọn A.

Câu 4. Bất phương trình 1 − 3x > 4 có tập nghiệm là

Bài tập nâng cao

x + 12 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = −12. x ( x + 3)( x + 4 )

Bảng xét dấu

−5 10 Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình là < x+2 x −1 A. một khoảng.

B. hai khoảng.

C. ba khoảng.

Câu 6. Số nghiệm nguyên của bất phương trình A. 1.

B. 2.

D. toàn trục số.

2018 − x ≤ −4 x 2 + 4 x − 2020 là 2019 + x C. 0.

D. 3.

PHẦN ĐÁP ÁN

Vậy x ∈ ( −12; −4 ) ∪ ( −3; 0 ) thỏa mãn đề bài.

Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất, tích thương của các nhị thức bậc nhất 1–A

2–D

3–B

4–C

11 – D

12 – A

13 – D

14 – A

5–C

6–C

7–A

8–B

9–C

10 – A

Câu 13. Chọn D.

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Trang 27

Trang 28

 x ≠ −1 Điều kiện  . x ≠ 1 2

Ta có

( x − 1) − ( x + 1) ≥ 0 ⇔ x ( x − 3) ≥ 0 ⇒ x ( x − 3) ≥ 0. 1 1 ≥ ⇔ 2 2 2 x + 1 ( x − 1) x +1 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1)

Đặt f ( x ) =

x = 0 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔  . x +1 x = 3

x ( x − 3)

Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −2;0 ) ∪ ( 3; +∞ ) . Vậy nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 4. Câu 8. Chọn B.

Ta có x + 1 = 0 ⇔ x = −1; x − 3 = 0 ⇔ x = 3; 4 − x = 0 ⇔ x = 4; x − 1 = 0 ⇔ x = 1. Ta có bảng xét dấu

Vậy x ∈ ( −1;0] ∪ [3; +∞ ) thỏa mãn đề bài. Câu 14. Chọn A.

 x ≠ −2 Điều kiện  . x ≠ 2

f ( x) =

x +1 . Ta có f ( x ) = 0 ⇔ x = −1. x − 2 ( )( x + 2 )

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu, ta thấy S = ( −∞;1) ∪ ( 3; 4 ) là tập nghiệm của bất phương trình ( x − 1)( x − 3)( 4 − x ) > 0. Câu 9. Chọn D. Đặt f ( x ) = ( 3 − x )( x + 1)( 8 − x ) .

Ta có 3 − x = 0 ⇔ x = 3; x + 1 = 0 ⇔ x = −1;8 − x = 0 ⇔ x = 8. Ta có bảng xét dấu

Vậy x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; 2 ) thì f ( x ) < 0. Dạng 2. Bất phương trình tích 1–C

2–B

3–D

4–B

5–B

6–B

7–C

8–B

9–D

10 – A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 7. Chọn C. Đặt f ( x ) = x ( x − 3)( x + 2 ) . Ta có x = 0; x − 3 = 0 ⇔ x = 3; x + 2 = 0 ⇔ x = −2.

Ta có bảng xét dấu Trang 29

Trang 30

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) ≤ 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1] ∪ [3;8]. Vậy bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên dương. Câu 10. Chọn A. 2

Ta có ( 3x − 6 )( x − 2 )( x + 4 )( x − 5 ) > 0 ⇔ 3 ( x − 2 ) ( x + 4 )( x − 5 ) > 0. (1)  x ≠ 2 2 Vì ( x − 2 ) > 0, ∀x ≠ 2 nên (1) ⇔  ( x + 4 )( x − 5) > 0. Đặt f ( x ) = ( x + 4 )( x − 5 ) .

22   Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S =  −∞; −  ∪ ( −3; 0 ) ∪ ( 0;3) . 3  

Ta có bảng xét dấu

Vậy nghiệm nguyên âm lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = −1. Dạng 4. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 1–D

2–C

3–B

4–A

5–C

6–C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 5. Chọn C.

 x ≠ −2 Điều kiện  . x ≠ 1

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −4 ) ∪ ( 5; +∞ ) .

Ta có

Kết hợp với điều kiện x ≠ 2 , ta được x ∈ ( −∞; −4 ) ∪ ( 5; +∞ ) .

−5 10 1 2 < ⇔ < ⇒ x − 1 − 2 x + 2 < 0. x+2 x −1 x+2 x −1

(*)

Bảng xét dấu

Do đó nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình – 5 và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình là 6. Vậy tích cần tính là ( −5 ) .6 = −30. Dạng 3. Bất phường trình chứa ẩn ở mẫu 1–B

2–A

3–A

4–C

- Với x < −2 , khi đó (*) ⇔ − x + 1 + 2 ( x + 2 ) < 0 ⇔ x < −5.

5–D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Kết hợp với điều kiện x < −2 , ta được tập nghiệm S1 ( −∞; −5 ) .

Câu 5. Chọn D.

- Với −2 < x < 1 , khi đó (*) ⇔ − x + 1 − 2 ( x + 2 ) < 0 ⇔ 3 x > −3 ⇔ x > −1.

Điều kiện x ≠ 0; x ≠ ±3.

Kết hợp với điều kiện −2 < x < 1 , ta được tập nghiệm S2 = ( −1;1) .

Bất phương trình tương đương với

- Với x > 1 , khi đó (*) ⇔ x − 1 − 2 ( x + 2 ) < 0 ⇔ x > −5.

2 x ( x − 3) 4 x ( x + 3) x ( x + 4) 3x + 22 − <− ⇔ < 0. x ( x − 3)( x + 3) x ( x − 3)( x + 3) x ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) Đặt f ( x ) =

3x + 22

( x − 3)( x + 3)

. Ta có 3 x + 22 = 0 ⇔ x = −

Kết hợp với điều kiện x > 1 , ta được tập nghiệm S3 = (1; +∞ ) .

22 . 3

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = S1 ∪ S 2 ∪ S3 = ( −∞; −5 ) ∪ ( −1;1) ∪ (1; +∞ ) . Câu 6. Chọn C.

Bảng xét dấu

Xét vế trái

2018 − x ≥ 0. 2019 + x 2

Xét vế phải −4 x 2 + 4 x − 2020 = − ( 2 x − 1) − 2019 < 0. Vậy bất phương trình vô nghiệm. Trang 31

Trang 32

BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

(hoặc ax + by < c; ax + by ≥ c; ax + by > c)

Mục tiêu

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho; a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Kiến thức

BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

+ Hiểu được khái niệm bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm

+ Nắm được phương pháp biểu diễn nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất

và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

hai ẩn.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là

Kĩ năng

miền nghiệm của nó.

+ Biết xác định miền nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất

+ Áp dụng giải các bài toán thực tế.

phương trình ax + by ≤ c như sau (tương tự cho bất phương trình ax + by ≥ c).

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Bước 1. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đường thẳng ∆ : ax + by = c.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn  ax + by > c  ax + by < c Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là mệnh đề chứa hai biến có một trong các dạng  , trong  ax + by ≥ c   ax + by ≤ c đó a, b, c là các số thực với a 2 + b 2 ≠ 0 .

Bước 2. Lấy một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) không thuộc ∆ (ta thường lấy gốc toạ độ O ). Bước 3. Tính ax0 + by0 và so sánh ax0 + by0 với c. Bước 4. Kết luận.

+) Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M 0 là miền nghiệm của ax0 + by0 ≤ c. +) Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ không chứa M 0 là miền nghiệm của ax0 + by0 ≤ c.

Nghiệm của bất phương trình Cặp số ( x0 ; y0 ) để ax0 + by0 > c là bất đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình

ax + by > c.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax0 + by0 ≤ c bỏ đi đường thẳng ax0 + by0 = c là miền nghiệm

của bất phương trình ax0 + by0 < c. Ví dụ: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2 x + y ≤ 3.

Biểu diễn miền nghiệm Đường thẳng ax + by = c (d ) chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng bờ là ( d ) . Một trong hai

Hướng dẫn giải

nửa mặt phẳng đó (không kể bờ) gồm các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình ax + by > c . Nửa mặt phẳng còn lại gồm các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình ax + by < c . Chú ý: Bất phương trình nếu là ax + by ≥ c thì miền nghiệm vẫn là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

( d ) và đường thẳng ( d ) . Hệ bất phương trình bậc nhất

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình của hệ đó. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Vẽ đường thẳng ∆ : 2 x + y = 3. Lấy gốc toạ độ O ( 0;0 ) ta thấy O ∉ ∆ và có 2.0 + 0 < 3 nên nửa mặt

Phương pháp giải

phẳng bờ ∆ chứa gốc toạ độ O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

hình).

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x; y có dạng tổng quát là

Ví dụ mẫu

ax + by ≤ c (1)

Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: Trang 1

Trang 2

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a) 2 x − y ≥ 0. b)

a) x − 3 y ≥ 0 .

x − 2 y 2x + y +1 > . 2 3

Hướng dẫn giải a) Trong mặt phẳng toạ độ, vẽ đường thẳng d : 2 x − y = 0. Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa

x− y < x + y + 1. −2

Hướng dẫn giải

mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M (1; 0 ) . Ta thấy

a) Trong mặt phẳng toạ độ, vẽ đường thẳng d : x − 3 y = 0. Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa

là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ chứa

mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm N (1; 0 ) . Ta thấy

(1;0 )

d và chứa điểm M (1;0 ) (miền không được tô màu trên hình vẽ).

là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ chứa

d và chứa điểm N (1; 0 ) (miền không được tô đậm trên hình vẽ).

b) Ta có

x− y < x + y + 1 ⇔ x − y > −2( x + y + 1) −2 ⇔ 3x + y + 2 > 0 .

b) Ta có

x − 2 y 2x − y +1 > 2 3

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆ : 3 x + y + 2 = 0 . Xét điểm O(0;0), ta thấy ( 0;0 ) là nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ ∆

⇔ 3 ( x − 2 y ) − 2 ( 2 x − y + 1) > 0

(không kể đường thẳng ∆) và chứa điểm O ( 0;0 ) (miền không được tô đậm trên hình vẽ).

⇔ −x − 4 y − 2 > 0 ⇔ x + 4y + 2 < 0

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆ : x + 4 y + 2 = 0. Xét điểm O ( 0; 0 ) , ta thấy ( 0;0 ) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ ∆ (không kể đường thẳng ∆) và không chứa điểm O ( 0;0 ) (miền không được tô đậm như hình vẽ).

Ví dụ 3: Miền nghiệm của bất phương trình 2 x − ( x + 3 y ) < 3x + 2 y + 2 ( y + 1) là nửa mặt phẳng chứa điểm

Trang 3

Trang 4

A. (1;1) .

B. ( −1; −2 ) .

C. ( 0; −1) .

D. ( −3; −1) .

Câu 1: Trong các cặp số ( x; y ) sau đây, cặp số nào không là nghiệm của bất phương trình 2 x + y < 1? A. ( −2;1) .

Hướng dẫn giải

B. ( 3; −7 ) .

C. ( 0;1) .

D. ( 0;0 ) .

Ta có 2 x − ( x + 3 y ) < 3 x + 2 y + 2 ( y + 1) ⇔ 2 x + 7 y + 2 > 0. (1)

Câu 2: Trong các cặp số ( x; y ) sau đây, cặp số nào không là nghiệm của bất phương trình

Thay lần lượt cặp số ( x; y ) ở các phương án vào bất phương trình (1) ta được

x − 4 y + 5 ≥ 0?

Phương án A. (1;1) , ta có 2 + 7 + 2 > 0 (đúng).

A. (−5;0) .

A. x + y − 3 > 0 .

Phương án C. ( 0; −1) , ta có −7 + 2 > 0 (sai).

A. 2 x − 3 y − 1 > 0 .

Chọn A. Ví dụ 4: Miền nghiệm của bất phương trình 4 x + 2 − 3 ( 3 x + y ) < 3 ( 3 − 4 x ) là nửa mặt phẳng chứa điểm C. (1; −1) .

D. ( 4; 2 ) .

C. x + 3 y + 1 < 0 .

D. − x − 3 y − 1 < 0 .

B. x − y < 0 .

C. 4 x > 3 y .

D. x − 3 y + 7 < 0 .

B. (2;1) .

C. (−1; −2) .

D. (4; 4) .

Câu 6: Bất phương trình 3x − 2 ( y − x + 1) > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây? A. 5 x + 2 y + 2 > 0 .

Hướng dẫn giải

Ta có 4 x + 2 − 3 ( 3 x + y ) < 3 ( 3 − 4 x ) ⇔ 7 x − 3 y − 7 < 0. (1)

B. 5 x − 2 y − 2 > 0 .

C. 5 x − 2 y − 1 > 0 .

D. 4 x − 2 y − 2 > 0 .

Câu 7: Cặp số ( x; y ) nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình 5 x − 2 ( y − 1) ≤ 0?

Thay lần lượt cặp số ( x; y ) ở các phương án vào bất phương trình (1) ta được

A. (1;3) .

Phương án A. (1; −1) , ta có 7 + 3 − 7 < 0 (sai).

B. (0;1) .

C. (−1;1) .

D. (−1; 0) .

Câu 8: Bất phương trình x + 3 ( 2 y − 3x + 2 ) > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây? A. 4 x − 3 y − 3 < 0 .

Phương án B. ( −2;1) , ta có −14 − 3 − 7 < 0 (đúng).

B. 4 x − 3 y − 3 > 0 .

C. 4 x + 3 y − 1 > 0 .

D. 4 x + 3 y + 3 < 0 .

Câu 9: Cho bất phương trình x + 2 y − 3 ≤ 0, (1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Phương án C. (1; −1) , ta có 7 + 3 − 7 < 0 (sai).

A. Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất.

Phương án D. ( 4; 2 ) , ta có 28 − 6 − 7 < 0 (sai).

B. Bất phương trình (1) vô nghiệm.

Chọn B.

C. Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ 5: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc miền nghiệm của bất phương trình

D. Bất phương trình (1) có tập nghiệm là ϒ.

3 x − 4 y + 8 < 0? B. ( −1; 4 ) .

B. − x − y < 0 .

Câu 5: Cặp số ( x; y ) nào sau đây là nghiệm của bất phương trình −2 ( x − y ) + y > 3? A. (4; −4) .

nào trong các điểm sau?

A. ( −4;1) .

D. (0; 0) .

Câu 4: Cặp số ( 2;3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

Phương án D. ( −3; −1) , ta có −6 − 7 + 2 > 0 (sai).

B. ( −2;1) .

C. (1; −3) .

Câu 3: Cặp số (1; −1) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

Phương án B. ( −1; −2 ) , ta có −2 − 14 + 2 > 0 (sai).

A. (1; −1) .

B. (−2;1) .

C. ( −2;3) .

Câu 10: Phần tô đậm trong hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

D. (1;1) .

Hướng dẫn giải

Thay lần lượt cặp số ( x; y ) ở các phương án vào bất phương trình 3 x − 4 y + 8 < 0 Ta có Phương án A. ( −4;1) , ta có −12 − 4 + 8 < 0 (đúng). Phương án B. ( −1; 4 ) , ta có −3 − 16 + 8 < 0 (đúng). Phương án C. ( −2;3) , ta có −6 − 12 + 8 < 0 (đúng). Phương án D. (1;1) , ta có 3 − 4 + 8 < 0 (sai). Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 1

A. 2 x − y < −3 .

Trang 5

B. 2 x + y > −3 .

C. x − 2 y > −3 .

D. 2 x + y < −3 .

Trang 6

2 + 1 − 4 ≥ 0 (sai). Phương án A. M (1;1) , ta có  1 + 1 − 10 < 0

Dạng 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp giải

 −4 − 1 − 4 ≥ 0 Phương án B. N ( −2; −1) , ta có  (sai). −2 − 1 − 10 < 0

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng toạ độ, ta gọi tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

 −8 + 3 − 4 ≥ 0 Phương án C. P ( −4;3) , ta có  (sai). −4 + 3 − 10 < 0 8 − 3 − 4 ≥ 0 Phương án D. Q ( 4; −3) ta có  (đúng). 4 − 3 − 10 < 0

Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn

Chọn D.

lại. -

Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng

x + y > 0  Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: 2 x − 3 y + 6 > 0. x − 2 y +1 ≥ 0 

toạ độ, miền còn lại không bị gạch (tô đậm) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

x + y − 2 ≥ 0 Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau   x − 3 y + 3 ≤ 0.

Vẽ các đường thẳng d : x + y = 0, d ′ : 2 x − 3 y + 6 = 0 và d ′′ : x − 2 y + 1 = 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Hướng dẫn giải

Vẽ các đường thẳng d : x + y − 2 = 0, d ′ : x − 3 y + 3 = 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Xét điểm O ( 0; 0 ) , ta thấy

( 0;0 )

không phải là nghiệm của bất phương trình x + y − 2 ≥ 0 và

x − 3 y + 3 ≤ 0 do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô đậm trên hình vẽ kể cả hai đường d và d ′.

Xét điểm O(0; 0), ta có ( 0;0 ) là nghiệm của bất phương trình 2 x − 3 y + 6 > 0 và x − 2 y + 1 ≥ 0. Do đó O(0; 0) thuộc miền nghiệm của các bất phương trình 2 x − 3 y + 6 > 0 và x − 2 y + 1 ≥ 0. Xét điểm

M (1;0) là nghiệm của bất phương trình x + y > 0 do đó điểm M (1;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + y > 0. Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô đậm trên hình vẽ kể cả đường thẳng d′′. Ví dụ mẫu

Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình ( x − y ) ( x 3 + y 3 ) ≥ 0 .

2 x + y − 4 ≥ 0 Ví dụ 1: Cho hệ bất phương trình  . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của  x + y − 10 < 0

Hướng dẫn giải

hệ bất phương trình?

( x − y ) x 3 + y 3 ≥ 0 ⇔ ( x − y )( x + y ) x 2 − xy + y 2 ≥ 0 ⇔ ( x − y )( x + y ) ≥ 0

A. M (1;1) .

Ta có

(

B. N ( −2; −1) .

C. P ( −4;3) .

D. Q ( 4; −3) .

)

(

x − y ≥ 0 ⇔ ( x − y )( x + y ) ≥ 0 ⇔  (1) hoặc x + y ≥ 0

Hướng dẫn giải

)

x − y ≤ 0 (2).  x + y ≤ 0

Thay lần lượt cặp số ( x; y ) trong các phương án vào hệ bất phương trình ta có Trang 7

Trang 8

Như vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) và (2). Vẽ các đường thẳng d : x + y = 0 và d ′ : x − y = 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Xét điểm M (1;0 ) , ta có (1;0 ) là nghiệm của các bất phương trình của hệ (1) do đó M (1;0 ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1). Xét điểm N ( −1; 0 ) , ta có ( −1;0 ) là nghiệm của các bất phương trình của hệ (2) do

đó N ( −1;0 ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2). Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô đậm trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng d và d′.

16 + 4 ≥ 6 8 ≥ 4 − 4  (đúng). Phương án D. P ( 8; 4 ) , ta có  8 ≥ 6 − 4 4 ≤ 4 Chọn D.

2 x + y − 9 ≤ 0  Ví dụ 5: Giá trị lớn nhất Fmax của biểu thức F ( x; y ) = 2 x + y trên miền xác định bởi hệ  x − y ≤ 0  y −1 ≤ 0  là A. Fmax = 8.

B. Fmax = 3.

C. Fmax = 9.

D. Fmax = 2.

Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng Oxy ta vẽ các đường thẳng có phương trình:

2 x + y − 9 = 0; x − y = 0; y − 1 = 0. Khi đó miền nghiệm của hệ là miền tam giác ABC kể cả biên, được tô đậm, với

2 x + y ≥ 6 x ≥ y − 4  Ví dụ 4: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  chứa điểm nào trong các điểm sau đây? 2 y ≥ 6 − x  y ≤ 4 A. O ( 0;0 ) .

B. M (1; 2 ) .

C. N ( 2;1) .

D. P ( 8; 4 ) .

A ( 3;3) , B ( 4;1) , C (1;1) . Ta có F ( 3;3) = 9; F ( 4;1) = 9; F (1;1) = 3. Vậy giá trị lớn nhất là Fmax = 9 khi x = 4; y = 1 hoặc x = 3; y = 3.

Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 2

Hướng dẫn giải Thay lần lượt cặp số ( x; y ) trong các phương án vào hệ bất phương trình ta có

x + 2 y +1 < 0 Câu 1: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  không chứa điểm nào sau đây?  − x + y > −3

0 ≥ 6 0 ≥ −4  Phương án A. O ( 0; 0 ) , ta có  (sai). 0 ≥ 6 0 ≤ 4

A. A ( −1;1) .

B. B ( −2; 0 ) .

C. C ( −1; −1) .

D. D ( 0; −2 ) .

3 x + y ≥ 9 x ≥ y − 3  Câu 2: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  chứa điểm nào trong các điểm sau đây? 2 y ≥ 8 − x  y ≤ 6

2 + 2 ≥ 6. 1 ≥ 2 − 4  Phương án B. M (1; 2 ) , ta có  (sai). 4 ≥ 6 − 1 2 ≤ 4

A. O ( 0; 0 ) .

B. M (1; 2 ) .

C. N ( 2;1) .

D. P ( 8; 4 ) .

Câu 3: Điểm M ( 0; −3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

4 + 1 ≥ 6 2 ≥ 1 − 4  (sai). Phương án C. N ( 2;1) , ta có  2 ≥ 6 − 2 1 ≤ 4

Trang 9

2 x − y ≤ 3 A.  . 2 x + 5 y ≤ 12 x + 8

2 x − y > 3 B.  . 2 x + 5 y ≤ 12 x + 8

 2 x − y > −3 C.  . 2 x + 5 y ≥ 12 x + 8

 2 x − y ≤ −3 D.  . 2 x + 5 y ≥ 12 x + 8

Trang 10

 x + y < 2 Câu 4: Cho hệ bất phương trình  2 x + 2 y < 7

(1) . ( 2)

Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S2 là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

A. S1 ⊂ S2 .

B. S2 ⊂ S1.

C. S2 ≡ S .

D. S1 ≠ S .

Câu 5: Phần tô đậm trong hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

D. Câu 7: Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên) biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

A. 2 x − y < 3.

B. 2 x − y > 3.

C. x − 2 y < 3.

D. x − 2 y > 3.

x + y −1 > 0  Câu 6: Miền nghiệm của hệ bất phương trình  y ≥ 2 là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong − x + 2 y > 3  các hình vẽ sau?

x − 2 y ≤ 0 A.  .  x + 3 y ≥ −2

x − 2 y > 0 B.  .  x + 3 y < −2

x − 2 y ≤ 0 C.  .  x + 3 y ≤ −2

x − 2 y < 0 D.  .  x + 3 y > −2

0 ≤ y ≤ 4 x ≥ 0  Câu 8: Giá trị lớn nhất của biểu thức F ( x; y ) = x + 2 y với điều kiện  là x − y −1 = 0  x + 2 y − 10 ≤ 0

A. 6.

B. 8.

C. 10.

D. 12.

0 ≤ y ≤ 5 x ≥ 0  Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ( x; y ) = x − 2 y với điều kiện  là x + y − 2 ≥ 0  x − y − 2 ≤ 0

A. −10 .

B. 12.

C. −8 .

D. −6 .

B. Trang 11

Trang 12

2 x + 3 y − 6 ≤ 0  , đạt giá trị lớn Câu 10: Biểu thức L = y − x , với x và y thoả mãn hệ bất phương trình  x ≥ 0 2 x − 3 y − 1 ≤ 0  25 ; b = −2. 8

B. a = 2; b = −

11 . 2

C. a = 3; b = 0.

Tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Ví dụ mẫu

nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau

A. a =

Ta có M ( 5;3) = 23; M ( 5; 0 ) = 5; M ( 20;0 ) = 20 suy ra giá trị lớn nhất của M ( x; y ) bằng 23 tại ( 5;3) .

9 D. a = 3; b = − . 8

Dạng 3: Bài toán thực tế Phương pháp giải

Ví dụ 1: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại một cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lợi nhuận 40 000 đồng. Mỗi sản phẩm loại hai cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ đem lại mức lợi nhuận là 30 000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Hỏi cần sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất? Hướng dẫn giải

Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế.

Phân tích bài toán: Gọi x ( x ≥ 0 ) là số kg loại một cần sản xuất, y ( y ≥ 0 ) là số kg loại hai cần sản

Lưu ý: Ta thừa nhận kết quả sau “Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P ( x; y ) = ax + by + c

xuất. Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2 x + 4 y , thời gian là 30 x + 15 y có mức lợi nhuận là

a + b ≠ 0 trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác”.

40 000 x + 30 000 y.

Ví dụ: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích cùng thời lượng một phút quảng cáo trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa là 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc, suy ra 2 x + 4 y ≤ 200 hay

đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) là miền tứ giác OABC với

Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x (phút), trên truyền hình là y (phút). Chi phí cho việc này là 800.000 x + 4.000.000 y (đồng).

x + 2 y − 100 ≤ 0; 30 x + 15 y ≤ 1200 hay 2 x + y − 80 ≤ 0.  x + 2 y − 100 ≤ 0  2 x + y − 80 ≤ 0  Bài toán trở thành: Tìm x; y thoả mãn hệ  (*) sao cho L ( x; y ) = 40 000 x + 30 000 y x ≥ 0  y ≥ 0

O ( 0; 0 ) , A ( 40; 0 ) , B ( 0;50 ) , C ( 20; 40 ) . Ta có L ( 0;0 ) = 0, L ( 40; 0 ) = 1600 000, L ( 0;50 ) = 1500 000, L ( 20; 40 ) = 2 000 000. Do đó giá trị lớn nhất của L ( x; y ) là 2 000 000 khi ( x; y ) = ( 20; 40 ) .

Mức chi phí này không được phép vượt quá mực chi tối đa, tức là

Vậy nên sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại hai để có mức lợi nhuận cao nhất.

800 000 x + 4 000 000 y ≤ 16 000 000 ⇔ x + 5 y − 20 ≤ 0. Theo giả thiết, ta có x ≥ 5; x ≤ 4.

Đồng thời do x, y là thời lượng nên x ≥ 0; y ≥ 0. Hiệu quả chung của quảng cáo là x + 6 y.

Bài toán trở thành: Tìm x, y sao cho M ( x; y ) = x + 6 y đạt giá trị lớn nhất, với x, y thoả mãn hệ bất

Ví dụ 2: Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio trên hai dây chuyền độc lập. Radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày. Để sản xuất một chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện, để sản xuất một chiếc radio kiểu hai cần 9 linh kiện. Tiền lãi khi bán một chiếc radio kiểu một là 250 000 đồng, lãi thu được khi bán một chiếc radio kiểu hai là 180 000 đồng. Hỏi cần sản xuất như thế nào để tiền lãi thu được là nhiều nhất, biết rằng số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900? A. Sản xuất 15 radio kiểu một và 80 radio kiểu hai.

 x + 5 y − 20 ≤ 0  phương trình  x ≥ 5 (*) . 0 ≤ y ≤ 4 

B. Sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai.

Trong mặt phẳng Oxy, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần tam giác ABC với

Hướng dẫn giải

A ( 5;3) , B ( 5;0 ) , C ( 20;0 ) .

Gọi x và y lần lượt là số radio kiểu một và số radio kiểu hai mà công ty này sản xuất trong một ngày

C. Sản xuất 45 radio kiểu một. D. Sản xuất 80 radio kiểu hai.

( x; y ∈ N * ). Số tiền lãi mà công ty này thu về hàng ngày là Trang 13

Trang 14

f ( x; y ) = 250000 x + 180000 y (đồng).

Suy ra f ( 3;6 ) là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x; y ) trên miền nghiệm của hệ (*).

12 x + 9 y ≤ 900  Ta có hệ bất phương trình 0 ≤ x ≤ 45 (*) . 0 ≤ y ≤ 80 

Như vậy để được số điểm thưởng lớn nhất cần pha chế 3 lít nước cam và 6 lít nước táo.

Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 3

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x; y ) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*). Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ miền ngũ giác OABCD trong đó O ( 0; 0 ) , A ( 45;0 ) , B ( 45; 40 ) , C (15;80 ) , D ( 0;80 ) . Ta có f ( x; y ) lớn nhất khi ( x; y ) = ( 45; 40 ) , tức là công ty này cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai.

Chọn B. Ví dụ 3: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường và 1 lít nước; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 20 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số tiền thưởng là lớn nhất? A. 7 lít nước đường. B. 6 lít nước táo. C. 3 lít nước đường, 6 lít nước táo.

Câu 1: Trong một cuộc thi làm sinh tố, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế sinh tố cam và sinh tố xoài. - Để pha chế 1 lít sinh tố cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; - Để pha chế 1 lít nước sinh tố xoài cần 10 g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít sinh tố cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít sinh tố xoài nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít sinh tố mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

A. 5 lít sinh tố cam và 4 lít sinh tố xoài.

B. 6 lít sinh tố cam và 5 lít sinh tố xoài.

C. 4 lít sinh tố cam và 5 lít sinh tố xoài.

D. 4 lít sinh tố cam và 6 lít sinh tố xoài.

Câu 2: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lợi nhuận 40 nghìn; Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lợi nhuận 30 nghìn. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc nên cần sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu ki-lôgam để có mức lợi nhuận cao nhất?

A. 30 kg loại I và 40 kg loại II.

B. 20 kg loại I và 40 kg loại II.

C. 30 kg loại I và 20 kg loại II.

D. 25 kg loại I và 45 kg loại II.

Câu 3: Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu được kết quả như sau: trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A. Hỏi số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên là bao nhiêu để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9000 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7500 đồng?

D. 6 lít nước đường, 3 lít nước táo. Hướng dẫn giải Gọi x; y lần lượt là số lít nước cam và táo của mỗi đội pha chế ( x; y ≥ 0 ) . Số điểm thưởng của đội chơi này là f ( x; y ) = 20 x + 80 y. Số gam đường cần dùng là 30 x + 10 y (g).

A. 600 đơn vị Vitamin A, 400 đơn vị Vitamin B.

Số lít nước cần dùng là x + y (l).

B. 600 đơn vị Vitamin A, 300 đơn vị Vitamin B.

Số gam hương liệu cần dùng là 4 y (g).

C. 500 đơn vị Vitamin A, 500 đơn vị Vitamin B.

Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường nên ta có hệ bất phương trình sau 30 x + 10 y ≤ 210 3 x + y ≤ 21 x + y ≤ 9 x + y ≤ 9   ⇔ (*) .  4 y ≤ 24  y ≤ 6  x; y ≥ 0  x; y ≥ 0

D. 100 đơn vị Vitamin A, 300 đơn vị Vitamin B. Câu 4: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất ba loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng “Quy sâm đại bổ hoàn”. Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau. Cách thứ nhất cắt được ba hộp B1, một hộp cao Sao vàng và sáu hộp Quy sâm.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x; y ) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).

Cách thứ hai cắt được hai hộp B1, ba hộp cao Sao vàng và một hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần cắt theo phương án nào để tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?

A. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD.

B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.

Trong đó O ( 0; 0 ) , A ( 7;0 ) , B ( 6;3) , C ( 3; 6 ) , D ( 0; 6 ) .

C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. Trang 15

Trang 16

D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm.

Từ đồ thị ta thấy, phương trình đường thẳng là 2 x + y = −3.

Câu 5: Một hộ nông dân trồng đậu và cà trên diện tích 8ha. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu được 3 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu được 4 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá 80 công?

A. 1ha đậu và 7ha cà.

B. 6ha đậu và 2ha cà.

C. 6ha cà và 2ha đậu.

D. 8ha cà.

Vẽ đường thẳng d : 2 x + y = −3. Chọn điểm O ( 0;0 ) và thay cặp ( 0;0 ) vào bất phương trình 2 x + y < −3, ta có 0 < −3 sai, do đó phần tô đậm là miền nghiệm của bất phương trình 2 x + y < −3.

Dạng 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 1-A

Câu 6: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại một cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ; để sản xuất mỗi kg sản phẩm loại hai cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ. Xưởng sản xuất này có 200kg nguyên liệu và có thể hoạt động trong 50 ngày liên tục. Biết rằng mỗi kg sản phẩm loại một thu lợi nhuận 40 nghìn đồng, mỗi kg sản phẩm loại hai thu lợi nhuận 30 nghìn đồng. Hỏi nên sản xuất mỗi loại bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? A. 20kg sản phẩm loại một và 40kg sản phẩm loại hai.

2-D

3-A

4-A

5-B

6-B

7-D

8-C

9-A

10-B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Chọn A. Trước hết ta vẽ đồ thị của hai hàm số y = −

x +1 và y = x − 3. 2

Ta thấy ( −2;0 ) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm ( −2;0 ) thuộc cả hai miền

B. 50kg sản phẩm loại hai.

nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi tô đậm phần không thích hợp, phần không tô màu là miền

C. 80kg sản phẩm loại hai.

nghiệm của hệ.

D. 40kg sản phẩm loại một.

Quan sát ta thấy trong các điểm đã cho, chỉ có điểm A ( −1;1) không nằm trong miền nghiệm của hệ.

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1-C

2-B

3-C

4-B

5-D

6-B

7-A

8-A

9-C

10-D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 9. Chọn C. Trên mặt phẳng toạ độ, đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 chia nửa mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn điểm O ( 0;0 ) không thuộc đường thẳng d . Ta thấy ( x; y ) = ( 0;0 ) là nghiệm của bất phương trình

đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm O ( 0;0 ) kể cả d . Vậy bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm.

Câu 2. Chọn D. Thay lần lượt toạ độ các điểm vào hệ bất phương trình.

0 ≥ 9 0 ≥ − 3  Với O ( 0; 0 ) , ta có  . Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên A sai. 0 ≥ 8 0 ≤ 6

3 + 2 ≥ 9 1 ≥ 2 − 3  Với M (1; 2 ) , ta có  . Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên B sai. 4 ≥ 8 − 1 2 ≤ 6

Câu 10. Chọn B. Trang 17

Trang 18

6 + 1 ≥ 9 2 ≥ 1 − 3  Với N ( 2;1) , ta có  . Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên C sai. 2 ≥ 8 − 2 1 ≤ 6

 24 + 4 ≥ 9 8 ≥ 4 − 3  Với P ( 8; 4 ) ,  . 8 ≥ 8 − 8  4 ≤ 6

Câu 5. Chọn B. 3  Đường thẳng đi qua hai điểm A  ; 0  và B ( 0; −3) nên có phương trình 2 x − y = 3. 2  Mặt khác, cặp số ( 0;0 ) không thoả mãn bất phương trình 2 x − y > 3 nên phần tô đậm ở hình trên biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2 x − y > 3.

Câu 6. Chọn B. Chọn điểm M ( 0; 4 ) thử vào các bất phương trình của hệ thấy thoả mãn. Nhận thấy rằng, điểm M ( 0; 4 )

Câu 3. Chọn A.

chỉ thuộc duy nhất miền nghiệm của phương án B.

Thay lần lượt toạ độ M ( 0; −3) vào từng hệ bất phương trình trong từng phương án lựa chọn, ta có

Câu 7. Chọn D. Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại phương án A và C.

3 ≤ 3 Phương án A.  (đúng).  −15 ≤ 8

Chọn điểm M ( 0;1) thử vào các hệ bất phương trình ở các phương án B và D.

3 > 3 (sai). Phương án B.   −15 ≤ 8

 −2 > 0 Phương án B.  (sai). 3 < −2

3 > −3 (sai). Phương án C.   −15 ≥ 8

 −2 < 0 (đúng). Phương án D.  3 > −2

3 ≤ −3 Phương án D.  (sai).  −15 ≥ 8

Câu 8. Chọn C.

Câu 4. Chọn A.

( 0; −1)

Vẽ đường thẳng d1 : x − y − 1 = 0, đường d1 đi qua hai điểm

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng

( d1 ) : x + y = 2,

và (1;0 ) .

Vẽ đường thẳng d 2 : x + 2 y − 10 = 0, đường d 2 đi qua hai

( d2 ) : 2x + 2 y = 7

Ta thấy O ( 0;0 ) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc toạ độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi tô đậm các miền không thích hợp, miền không tô đậm là miền nghiệm của hệ.

điểm ( 0;5 ) và ( 2; 4 ) . Vẽ đường thẳng d3 : y = 4. Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A ( 4;3) , B ( 2; 4 ) , C ( 0; 4 ) , E (1; 0 ) , O ( 0;0 ) .

Quan sát hình vẽ, ta có S = S1 ⊂ S 2 .

Ta có F ( 4;3) = 10; F ( 2; 4 ) = 10; F ( 0; 4 ) = 8; F ( 0;0 ) = 0. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F ( x; y ) = x + 2 y bằng 10.

Câu 9. Chọn A.

Trang 19

Trang 20

0 ≤ y ≤ 5 x ≥ 0  là miền tứ giác ABCD với A ( 7;5 ) , Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình  x + y − 2 ≥ 0  x − y − 2 ≤ 0 B ( 0;5 ) , C ( 0; 2 ) , D ( 2;0 ) như hình vẽ.

x > 0 x > 0 y > 0 y > 0   30 x + 10 y ≤ 210 ⇔ 3x + y ≤ 21 (*) . x + y ≤ 9 x + y ≤ 9    x + 4 y ≤ 24  x + 4 y ≤ 24 Số điểm thưởng nhận được sẽ là P = 60 x + 80 y . Miền

Ta có F ( A ) = −3; F ( B ) = −10; F ( C ) = −4; F ( D ) = 2

nghiệm của hệ (*) là ngũ giác ABCOD không tính cạnh OD

Vậy minF = −10 khi x = 0; y = 5.

và OC , với A(6;3), B(4;5) .

Câu 10. Chọn B.

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P với x; y thoả mãn (*). Ta có P( A) = 600; P( B ) = 640 . Suy ra giá trị lớn nhất của P là 640 khi x = 4; y = 5. Vậy cần pha chế 4 lít sinh tố cam và 5 lít sinh tố xoài để đạt được số điểm thưởng cao nhất. Câu 2. Chọn B.

Gọi x ( x ≥ 0 ) là số kg loại một cần sản xuất, y ( y ≥ 0 ) là số kg loại hai cần sản xuất. Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2 x + 4 y , thời gian là 30 x + 15 y (giờ) có mức lời là 40000 x + 30000 y. d1 : 2 x + 3 y − 6 = 0;  Trước hết ta vẽ ba đường thẳng d 2 : x = 0; d : 2 x − 3 y − 1 = 0.  3

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc, suy ra 2 x + 4 y ≤ 200 hay x + 2 y − 100 ≤ 0;30 x + 15 y ≤ 1200 hay 2 x + y − 80 ≤ 0  x + 2 y − 100 ≤ 0 2 x + y − 80 ≤ 0  Bài toán trở thành: Tìm x; y thỏa mãn hệ  (*) sao cho L ( x; y ) = 40000 x + 30000 y đạt x ≥ 0  y ≥ 0

1 7 5  Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(0; 2), B  ;  , C  0; −  . 4 6 3    Ta có L( A) = 2; L( B) = −

11 1 ; L(C ) = − . 2 3

Vậy giá trị lớn nhất a = 2. Giá trị nhỏ nhất b = −

giá trị lớn nhất

11 . 2

Biểu diễn miền nghiệm của hệ (*), ta được miền tứ giác OABC với O ( 0; 0 ) , A ( 40; 0 ) , B ( 0;50 ) ,

Dạng 3: Bài toán thực tế 1-C

2-B

3-D

C ( 20; 40 ) . 4-A

5-C

6-A

Ta có L ( 0;0 ) = 0, L ( 40; 0 ) = 1600000, L ( 0;50 ) = 1500000, L ( 20; 40 ) = 2000000.

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Do đó giá trị lớn nhất của L ( x; y ) là 2000000 khi ( x; y ) = ( 20; 40 ) .

Câu 1. Chọn C.

Câu 3. Chọn D.

Giả sử x; y lần lượt là số lít sinh tố cam và số lít sinh tố xoài mà mỗi đội cần pha chế.

Gọi x ≥ 0; y ≥ 0 lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày.

Suy ra 30 x + 10 y là số gam đường cần dùng; x + y là số lít nước cần dùng; x + 4 y là số gam hương liệu

Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có 400 ≤ x + y ≤ 1000.

cần dùng.

Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có

Theo giả thiết ta có

x ≤ 600; y ≤ 500. Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có 0,5 x ≤ y ≤ 3 x. Trang 21

Trang 22

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tứ giác OABC.

Số tiền cần dùng mỗi ngày là T ( x; y ) = 9000 x + 7500 y. 0 ≤ x ≤ 600 0 ≤ y ≤ 500  Bài toán trở thành: Tìm x ≥ 0; y ≥ 0 thoả mãn hệ  để T ( x; y ) = 9000 x + 7500 y đạt giá 400 ≤ x + y ≤ 1000 0,5 x ≤ y ≤ 3 x

Ta suy ra f ( x; y ) đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm khi ( x; y ) = (20; 40) . Vậy nên sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại hai để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

trị nhỏ nhất. Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta tìm được T ( x; y ) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 100; y = 300. Vậy cần 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để một người dùng mỗi ngày có chi phí rẻ nhất. Câu 4. Chọn A.

Gọi x ≥ 0, y ≥ 0 lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai. 3 x + 2 y ≥ 900  Bài toán đưa đến tìm x ≥ 0, y ≥ 0 thoả mãn hệ  x + 3 y ≥ 1000 sao cho L = x + y nhỏ nhất. 6 x + y = 900  Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta tìm được L đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 100; y = 300. Vậy cần cắt 100 tấm bìa theo cách một và 300 tấm theo cách hai thì tổng số tấm bìa là ít nhất. Câu 5. Chọn C.

Gọi số ha đậu và cà mà hộ nông dân này trồng lần lượt là x và y ( x; y ≥ 0 ) . Lợi nhuận thu được là f ( x; y ) = 3000000 x + 4000000 y (đồng). Tổng số công dùng để trồng x (ha) đậu và y (ha) cà là 20 x + 30 y. x + y ≤ 8 x + y ≤ 8   Ta có hệ bất phương trình 20 x + 30 y ≤ 180 ⇔ 2 x + 3 y ≤ 18 (*) .    x; y ≥ 0  x; y ≥ 0 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x; y ) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*). Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC. Trong đó O ( 0; 0 ) , A ( 8;0 ) , B ( 6; 2 ) , C ( 0;8 ) . Ta có f ( 0; 0 ) = 0, f ( 8; 0 ) = 24000000, f ( 6; 2 ) = 26000000, f ( 0; 6 ) = 24000000. Suy ra f ( x; y ) lớn nhất khi ( x; y ) = ( 6; 2 ) tức là hộ nông dân này cần phải trồng 6ha đậu và 2ha cà thì sẽ thu về lợi nhuận lớn nhất. Câu 6. Chọn A.

Gọi x và y lần lượt là số kg sản phẩm loại một và loại hai mà xưởng này sản xuất ( x; y ≥ 0 ). Lợi nhuận thu được là f ( x; y ) = 40 x + 30 y nghìn đồng. 2 x + 4 y ≤ 200  x + 2 y ≤ 100   Ta có hệ bất phương trình sau đây 30 x + 15 y ≤ 1200 ⇔ 2 x + y ≤ 80 . (*)  x, y ≥ 0  x, y ≥ 0  

Trang 23

Trang 24

CHUYÊN ĐỀ 4. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Dấu của tam thức bậc hai

Mục tiêu

Minh họa hình học dấu của tam

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng thức bậc hai:

Kiến thức

f ( x ) = ax 2 + bx + c , trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0 .

+ Nắm vững các định lý về dấu của tam thức bậc hai và ý nghĩa hình học của nó.

- Trường hợp a > 0 .

- Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ), ∆ = b 2 − 4ac .

+ Hiểu được khái niệm về bất phương trình bậc hai một ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai • Nếu ∆ < 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a với ∀x ∈ ℝ .

một ẩn. Kĩ năng + Có kĩ năng thành thạo trong việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiệm của bất phương trình có

• Nếu ∆ = 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với hệ số a trừ điểm

chứa tam thức bậc hai. + Biết cách giải và biện luận bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu có tam thức

x=−

bậc hai.

b . 2a

+ Biết cách giải và biện luận bất phương trình bậc hai một ẩn.

• Nếu ∆ > 0 thì f ( x ) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc

x > x2 , trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 , trong đó x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của f ( x ) .

Chú ý: Có thể thay biệt thức ∆ = b 2 − 4ac bằng biệt thức thu b 2  gọn ∆′ = ( b′ ) − ac  b′ =  . 2 

Bất phương trình bậc hai một ẩn - Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax 2 + bx + c < 0 (hoặc ax 2 + bx + c ≤ 0 , ax 2 + bx + c > 0 , ax 2 + bx + c ≥ 0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0. - Giải bất phương trình bậc hai ax 2 + bx + c < 0 , thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f ( x ) = ax 2 + bx + c cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0 ) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0 ).

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc hai Trang 1

Trang 2

Phương pháp giải Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng Ví dụ: Xét dấu các tam thức bậc hai sau

 x = −1 b) Ta có − x 2 + 4 x + 5 = 0 ⇔  x = 5

Bảng xét dấu

a) 3x 2 + 6 x − 9 . 2

f ( x ) = ax + bx + c , ( a ≠ 0 )

x − x2 + 4x + 5

b) 3x + 6 x + 3 .

∆<0

a. f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ

c) 3x 2 + 6 x + 9 .

∆=0

 b  a. f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ \ −   2a 

Hướng dẫn giải

a. f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ )

∆>0

a. f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x1 ; x2 )

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c a > 0 . • ax 2 + bx + c > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ < 0

−∞

−

−1 0

5 0

+∞

−

Suy ra − x 2 + 4 x + 5 > 0 ⇔ x ∈ ( −1;5 ) và

 x = −3 a) Ta có 3x 2 + 6 x − 9 = 0 ⇔  . x = 1

− x 2 + 4 x + 5 < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 5; +∞ ) .

Bảng xét dấu

Ví dụ 2: Xét dấu các tam thức sau

x 3x + 6 x − 9

−∞

−3 0

−

1 0 +

+∞

a) 25 x 2 + 10 x + 1 .

b) −4 x 2 + 12 x − 9 .

Hướng dẫn giải  1 a) Ta có ∆′ = 0, a > 0 suy ra 25 x 2 + 10 x + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ \  −  .  5

b) 3x 2 + 6 x + 3 .

a > 0 . • ax 2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ 0

Ta có ∆′ = 0, a > 0 . Suy ra 3 x 2 + 6 x + 3 > 0, ∀x ≠ −1 .

3 b) Ta có ∆′ = 0, a < 0 suy ra −4 x 2 + 12 x − 9 < 0 ∀x ∈ ℝ \   . 2

a < 0 . • ax 2 + bx + c < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ < 0

c) 3x 2 + 6 x + 9 .

Ví dụ 3: Xét dấu các tam thức sau

Ta có ∆ = −72 < 0, a = 3 > 0 .

a) 3 x 2 − 2 x + 1 .

Suy ra 3 x 2 + 6 x + 9 > 0, ∀x ∈ ℝ .

Hướng dẫn giải

a < 0 . • ax 2 + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ 0

a) Ta có ∆′ = −2 < 0, a = 3 > 0 suy ra 3 x 2 − 2 x + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ . b) Ta có ∆′ = −1 < 0, a < 0 suy ra −2 x 2 + 6 x − 5 < 0 ∀x ∈ ℝ .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau

Ví dụ 1: Xét dấu các tam thức sau

a) 3 x 2 − 2 x − 8 .

a) 3 x 2 + 5 x − 8 < 0 .

b) − x 2 + 4 x + 5 .

Hướng dẫn giải

x = 2 a) Ta có 3x − 2 x − 8 = 0 ⇔  . x = − 4 3 

8 a) Tam thức f ( x ) = 3 x 2 + 5 x − 8 có hai nghiệm x = 1; x = − . 3

Bảng xét dấu

3x 2 − 2 x − 8

b) −2 x 2 − 3x − 1 ≤ 0 .

c) 3 x 2 − 4 x > 0 .

Hướng dẫn giải

b) −2 x 2 + 6 x − 5 .

4 3 0

−

−∞

−

+∞

f ( x)

4  Suy ra 3x 2 − 2 x − 8 > 0 ⇔ x ∈  −∞; −  ∪ ( 2; +∞ ) và 3 

−

−∞

8 3

−

+∞ +

8  8  Nghiệm của bất phương trình là − < x < 1 hay S =  − ;1 . 3  3 

 4  3x 2 − 2 x − 8 < 0 ⇔ x ∈  − ; 2  .  3 

1 b) Tam thức f ( x ) = −2 x 2 − 3 x − 1 có hai nghiệm x = −1; x = − . 2 Trang 3

Trang 4

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để các biểu thức sau

Bảng xét dấu

x f ( x)

−

−1

−∞

−

1 2

a) f ( x ) = − x 2 − 2 x − m .

Nghiệm của bất phương trình là x ≤ −1 hoặc x ≥ −

luôn âm

+∞ −

b) g ( x ) = 4mx 2 − 4 ( m − 1) x + m − 3 với ∀x ∈ ℝ .

Hướng dẫn giải

1 hay 2

 a = −1 < 0 a) f ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m > 1.  ∆′ = 1 − m < 0

 1  S = ( −∞; −1] ∪  − ; +∞  .  2 

Vậy với m > 1 thì biểu thức f ( x ) luôn âm.

c) Tam thức f ( x ) = 3 x 2 − 4 x có hai nghiệm x = 0; x =

4 . 3

b) Với m = 0 thì g ( x ) = 4 x − 3 < 0 khi x <

Bảng xét dấu

Do đó m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 3

−∞

f ( x)

3 không thỏa mãn ∀x ∈ ℝ . 4

−

Nghiệm của bất phương trình là x < 0 hoặc x >

Với m ≠ 0 thì g ( x ) = 4mx 2 − 4 ( m − 1) x + m − 3 là tam thức bậc hai nên

+∞

a = 4m < 0  g ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  2 ∆′ = 4 ( m − 1) − 4m ( m − 3) < 0

m < 0 m < 0 ⇔ ⇔ ⇔ m < −1 . 4 m + 4 < 0   m < −1

4 3

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau 2

a) 4 x − 2 x + 7 > 0 .

Vậy với m < −1 thì biểu thức g ( x ) luôn âm.

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

a) 3 x 2 − 2 ( m + 1) x − 2m2 + 3m − 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .

b) x + 4 x + 6 < 0 .

c) 25 x − 20 x + 4 > 0 .

d) x + 6 x + 9 ≤ 0 .

Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ . b) Tam thức bậc hai x 2 + 4 x + 6 có ∆′ = −2 < 0, a = 1 > 0 . Suy ra x 2 + 4 x + 6 > 0, ∀x ∈ ℝ .

Ghi nhớ:

a) 3 x 2 − 2 ( m + 1) x − 2m2 + 3m − 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

b 2 • ( ax + b ) > 0 ⇔ x ≠ − . a

⇔ ∆′ = ( m + 1) + 3 ( 2m 2 − 3m + 2 ) ≤ 0 (do a = 3 > 0 )

• ( ax − b ) ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ .

Tập nghiệm của bất phương trình x 2 + 4 x + 6 < 0 là S = ∅ .

2 Tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ \   . 5

có nghĩa với mọi x .

Hướng dẫn giải

Suy ra 4 x 2 − 2 x + 7 > 0 với mọi x ∈ ℝ .

c) 25 x 2 − 20 x + 4 > 0 có ∆′ = 0, a = 25 > 0 ⇒ 25 x 2 − 20 x + 4 > 0 , ∀x ≠

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3

b) Hàm số y =

a) Tam thức bậc hai 4 x 2 − 2 x + 7 có ∆ = −108 < 0 và a = 4 > 0 .

2 . 5

• ( ax + b ) ≤ 0 ⇔ x = −

b . a

• ( ax − b ) < 0 ⇔ x ∈ ∅ .

⇔ 7 m2 − 7 m + 7 ≤ 0 ⇔ m 2 − m + 1 ≤ 0 (vô nghiệm do ∆ = −3 < 0 ). Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Hàm số có nghĩa với mọi x khi

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .

d) x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .

• Với m = −1 thì biểu thức trở thành 4 x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≥

Do đó x 2 + 6 x + 9 ≤ 0 ⇔ x = −3 .

mãn ∀x ∈ ℝ ).

3 (không thỏa 2

• Với m ≠ −1 thì ta có

Nghiệm của bất phương trình x + 6 x + 9 ≤ 0 là x = −3 .

Trang 5

Trang 6

m + 1 > 0  ∆′ = ( m − 1)( −2m − 4 ) ≤ 0

trong đó f ( x ) là tích

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 

hay thương của các nhị

⇔ m ≥1. Vậy m ≥ 1 thì hàm số y =

thức bậc nhất hoặc tam

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3

thức bậc hai.

có nghĩa với

Bước 2. Lập bảng xét

mọi x .

Ta có bảng xét dấu

dấu f ( x ) .

Bài tập tự luyện dạng 1

2x + 3

Bài tập cơ bản

A. ( −∞;1] ∪ [ 4; +∞ ) .

B. [1; 4] .

C. ( −∞;1) ∪ ( 4; +∞ ) .

D. (1; 4 ) .

Câu 2: Tập xác định của hàm số y = 5 − 4 x − x là 2

A. [ −5;1] .

 1  B.  − ;1 .  5 

C. ( −∞; −5] ∪ [1; +∞ ) .

1  D.  −∞; −  ∪ [1; +∞ ) . 5 

C. m > 9 .

C. m ∈ ( −∞;1) .

B. −22 ≤ m ≤ 2 .

C. −22 < m < 2 .

D. −22 ≤ m ≤ 2 hoặc m = 3 .

 3 1 ⇔ x ∈  − ; −  ∪ ( 2; +∞ ) .  2 2

trong các dạng f ( x) > 0 ; f ( x) < 0 ; f ( x) ≥ 0 ; f ( x) ≤ 0 ,

b) ( x 2 − 5 x + 4 )( 2 − 5 x + 2 x 2 ) .

1 1 a) Ta có − x 2 + x − 1 = 0 vô nghiệm; 6 x 2 − 5 x + 1 = 0 ⇔ x = ; x = . 2 3 Bảng xét dấu

3 < m < 2. 2

6 x − 5x + 1

( −x

( 2 x + 3 ) ( −2 x 2 + 3 x + 2 )

+ x − 1)( 6 x − 5 x + 1) 2

Hướng dẫn giải

Từ bảng xét dấu ta có

3 Ta có 2 x + 3 = 0 ⇔ x = − 2

( −x

1  x=− −2 x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔  2  x = 2

( −x

Trang 7

1 3

−∞

− x2 + x −1

Phương pháp giải

phương trình về một

−

( 2 x + 3) ( −2 x 2 + 3x + 2 ) < 0

trình.

Dạng 2: Ứng dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích

Bước 1. Biến đổi bất

c) x 3 − 5 x + 2 .

Câu 6: Định m để bất phương trình ( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 2 − m > 0 có miền nghiệm là ℝ .

Ví dụ: Xét dấu biểu thức

−

Hướng dẫn giải

A. m ≤ −22 hoặc m ≥ 2 .

3 hoặc m > 2 . 2

−

3  1   ⇔ x ∈  −∞; −  ∪  − ; 2  ; 2  2  

a) ( − x 2 + x − 1)( 6 x 2 − 5 x + 1) .

f ( x ) = ( m − 3) x 2 + ( m + 2 ) x − 4 > 0 .

C. m <

Ví dụ 1. Xét dấu biểu thức sau

D. m ∈ [ 2; +∞ ) .

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm

B. m < 1 hoặc m > 2 .

−

( 2 x + 3) ( −2 x 2 + 3x + 2 ) > 0

nghiệm của bất phương

Ví dụ mẫu

Bài tập nâng cao

A. 1 < m < 2 .

+∞

D. m ∈ ∅ .

Câu 4: Cho hàm số f ( x ) = x + 2mx + 3m − 2 . Tìm m để f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . B. m ∈ (1; 2 ) .

Từ bảng xét dấu, ta có

A. m ∈ [1; 2] .

− +

1 2

Bước 3. Dựa vào bảng

Câu 3: Các giá trị m làm cho biểu thức f ( x ) = x + 4 x + m − 5 luôn dương là B. m ≥ 9 .

−2 x + 3x + 2

( 2 x + 3 ) ( −2 x 2 + 3 x + 2 )

−

xét dấu để suy ra tập

A. m < 9 .

−

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình x ( x + 5 ) ≤ 2 ( x 2 + 2 ) là

3 2 0

−

−∞

−

1 2 −

+∞ −

−

1 1 + x − 1)( 6 x 2 − 5 x + 1) > 0 ⇔ x ∈  ;  . 3 2 1 1   + x − 1)( 6 x 2 − 5 x + 1) < 0 ⇔ x ∈  −∞;  ∪  ; +∞  . 3  2   Trang 8

b) Ta có x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔ x = 1; x = 4 ; 2 − 5 x + 2 x 2 = 0 ⇔ x = 2; x =

1 . 2

1 2

−∞

x 2 − 5x + 4

2 − 5x + 2 x

f ( x)

1 +

−

+∞

3x + 6 f ( x)

−1 +

−

+ 0

−

+∞ + +

+ Từ bảng xét dấu, ta có

+ 0

2x − 2

Bảng xét dấu

−2

−∞

f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ (1; +∞ ) ;

f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1;1) . Từ bảng xét dấu, ta có

b) f ( x ) = x 2 ( 9 − x 2 )( x 2 + 7 x − 8 ) .

( x 2 − 5x + 4 )( 2 − 5x + 2 x 2 ) > 0 ⇔ x ∈  −∞; 12  ∪ (1; 2 ) ∪ ( 4; +∞ ) ;

x = 1 Ta có x 2 = 0 ⇔ x = 0 ; 9 − x 2 = 0 ⇔ x = ±3 ; x 2 + 7 x − 8 = 0 ⇔  .  x = −8

1  − 5 x + 4 )( 2 − 5 x + 2 x 2 ) < 0 ⇔ x ∈  ;1 ∪ ( 2; 4 ) . 2 

Bảng xét dấu

c) Ta có x 3 − 5 x + 2 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x − 1)

Ta có x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ; x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ x = −1 ± 2 .

9− x

Bảng xét dấu

−8

−∞

2 2

−∞

−1 − 2

−1 + 2

x−2

−

x2 + 2x −1

−

x − 5x + 2

−

+∞

−

f ( x)

−

+ 0

− +

−

Bài tập cơ bản

)

2; 2 .

Câu 1: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f ( x ) = x ( x 2 − 1) không âm? A. ( −∞; −1) ∪ [1; +∞ ) . B. [ −1; 0] ∪ [1; +∞ ) .

a) f ( x ) = ( 2 x 2 − 2 ) ( 3x + 6 ) .

)( x

x + 7x − 8

Bài tập tự luyện dạng 2

Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức sau

b) f ( x ) = x ( 9 − x

−

f ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −8) ∪ ( −3; 0 ) ∪ ( 0;1) ∪ ( 3; +∞ ) .

( ) − 5 x + 2 < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1 − 2 ) ∪ ( −1 +

−

+∞

f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −8; −3) ∪ (1;3) ;

x 3 − 5 x + 2 > 0 ⇔ x ∈ −1 − 2; −1 + 2 ∪ ( 2; +∞ ) ;

Từ bảng xét dấu, ta có

+ +

−3

C. ( −∞; −1] ∪ [ 0;1) .

D. [ −1;1] .

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình (1 − 2 x )( 2 x − 5 )( x + 1) < 0 là

+ 7 x − 8) .

1  A. S =  −1;  . 2 

Hướng dẫn giải

5  B. S =  −1;  . 2 

1 5   C. S =  −1;  ∪  ; +∞  . D. S = ( −1; +∞ ) . 2 2  

Câu 3: Hàm số có bảng xét dấu

a) f ( x ) = ( 2 x 2 − 2 ) ( 3x + 6 ) .

Ta có 2 x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ±1 ; 3 x + 6 = 0 ⇔ x = −2 .

f ( x)

Bảng xét dấu

−∞ −

2 +

−

+∞ +

là hàm số

A. f ( x ) = ( x − 3) ( x 2 − 3 x + 2 ) . Trang 9

B. f ( x ) = (1 − x ) ( x 2 − 5 x + 6 ) . Trang 10

C. f ( x ) = ( x − 2 ) ( − x 2 + 4 x − 3) .

Ví dụ 1. Xét dấu các biểu thức sau

D. f ( x ) = (1 − x )( 2 − x )( 3 − x ) .

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình x 2 − 5 x + 6 = x 2 − 5 x + 6 là A. {2;3} .

B. ( 2;3) .

C. ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

D. ( −∞; 2] ∪ [3; +∞ ) .

Bài tập nâng cao Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình

( x − 3) ( x 2 + x − 6 ) > ( x − 2 ) ( x 2 + 5 x + 4 )

có dạng ( a; b ) với

a, b ∈ ℝ . Giá trị của a + b là

3 . 5

2 B. − . 7

1 . 2

3 D. − . 5 2

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị m để mọi x > 0 đều thỏa bất phương trình ( x 2 + x + m ) ≥ ( x 2 − 3 x − m ) ? A. 0.

B. 1.

C. 2.

x2 − 1 . ( x − 3)( −3x 2 + 2 x + 8)

a) Đặt f ( x ) =

x = 2 Ta có x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 ; x 2 − 3 = 0 ⇔ x = ± 3 ; −3 x 2 + 2 x + 8 = 0 ⇔  . x = − 4 3  Bảng xét dấu

Dạng 3: Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

dạng

f ( x) > 0 ;

f ( x ) < 0 ; f ( x ) ≥ 0 ; f ( x ) ≤ 0 , trong

đó f ( x ) là tích hay thương của các

−

− 0

−

+ 0

−

(

b) Đặt g ( x ) =

2x + 5 −2 x + 3x + 2 f ( x)

−

− −

)

3; 2 ;

(

)

x2 − x − 2 . − x 2 + 3x + 4

 x = −1  x = −1 Ta có x 2 − x − 2 = 0 ⇔  ; − x 2 + 3x + 4 = 0 ⇔  . x = 2 x = 4

Bảng xét dấu

)

(

x2 − 1  4  < 0 ⇔ x ∈ −∞; − 3 ∪  − ; −1 ∪ 1; 3 ∪ ( 2; +∞ ) .  3  ( x − 3)( −3x 2 + 2 x + 8)

+∞

1  x=− −2 x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔  2  x = 2

ra tập nghiệm của bất phương trình.

−

−1

x2 − 1 4  > 0 ⇔ x ∈  − 3; −  ∪ ( −1;1) ∪ 3  ( x − 3)( −3x 2 + 2 x + 8)

ý các giá trị của x làm f ( x ) không

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu để suy

4 3

5 Ta có 2 x + 5 = 0 ⇔ x = − ; 2

hai.

xác định.

−

− Dựa vào bảng xét dấu ta có

nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc

Bước 2. Lập bảng xét dấu f ( x ) . Lưu

f ( x)

Hướng dẫn giải

các

x −3

−3 x + 2 x + 8

−2 x + 3 x + 2 . 2x + 5

−

− 3 +

Ví dụ: Xét dấu biểu thức

trong

−∞

x2 −1

Phương pháp giải

một

x2 − 1 . ( x − 3)( −3x 2 + 2 x + 8) 2

D. 3.

x2 − x − 2 . − x 2 + 3x + 4

Hướng dẫn giải

Bước 1. Biến đổi bất phương trình về

5 2 0

−

−∞ − −

+ Dựa vào bảng xét dấu ta có

−

1 2

2 +

+∞

Bảng xét dấu

x 2

−∞

−

x −x−2

−

− x 2 + 3x + 4

−

5 1 ( 2 x + 5) ( −2 x2 + 3x + 2 ) > 0 ⇔ x ∈  −∞; −  ∪  − ; 2  và 2    2 

( 2 x + 5) ( −2 x2 + 3x + 2 ) < 0 ⇔ x ∈  −

5 1 ; −  ∪ ( 2; +∞ ) .  2 2

Ví dụ mẫu Trang 11

−1

−

g ( x) − Dựa vào bảng xét dấu ta có

−

4 + +

+∞ +

−

x2 − x − 2 > 0 ⇔ x ∈ ( 2; 4 ) ; − x 2 + 3x + 4 x2 − x − 2 < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( −1; 2 ) ∪ ( 4; +∞ ) . − x 2 + 3x + 4

Trang 12

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau 1 1 . ≥ x2 − 3x − 4 1 − x

c) Ta có x −

b) x 2 + 10 ≤

2x +1 . x2 − 8

2 x2 − x + 6 − x 3 + 2 x 2 + 5 x − 6 ( x − 1) ( − x + x + 6 ) . = = 2 2 2 − x + 3x + 4 − x + 3x + 4 − x + 3x + 4

 x = −2  x = −1 Ta có − x 2 + x + 6 = 0 ⇔  ; − x 2 + 3x + 4 = 0 ⇔  . x = 3 x = 4

x2 − x + 6 c) x − 2 ≥ 0. − x + 3x + 4

Bảng xét dấu

Hướng dẫn giải

a) Ta có 1 1 1 1 ≥ ⇔ − ≤0 x2 − 3x − 4 1 − x 1 − x x 2 − 3x − 4 x 2 − 3 x − 4 − (1 − x )

⇔

− 3x − 4 ) (1 − x )

≤0⇔

x −1

−

− x2 + x + 6

−

− x + 3x + 4

x2 − 2x − 5 ≤0. ( x 2 − 3x − 4 ) (1 − x )

−2

−∞

−1

3 +

−

+∞

−

x−

x − x+6 − x2 + 3x + 4

−

Bảng xét dấu

−∞

x2 − 2x − 5

−1

1− 6 0

−

+∞

−

1− x

−

Dựa vào bảng xét dấu, ta có x −

−

x − 3x − 4

1+ 6

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản Câu 1: Tập xác định của hàm số y =

x2 − 2x − 5 ≤ 0 ⇔ x ∈ 1 − 6; −1 ∪ 1;1 + 6  ∪ ( 4; +∞ ) . ( x − 3x − 4 ) (1 − x )

A. ( −∞;1) .

2 x2 + 1 2x2 + 1 ⇔ 2 − ( x 2 + 10 ) ≥ 0 2 x −8 x −8

2 x 2 + 1 − ( x 2 − 8 )( x 2 + 10 )

x2 − 8

A. S = ( −∞;1) .

≥0

−3

9 − x2

−

x2 − 8

−

−2 2 + +

− −

+ 0

+ +

C. ( −∞; −3) ∪ ( −1;1] .

D. ( −3;1) .

x −1 không âm? x2 + 4x + 3

B. S = ( −3; −1) ∪ [1; +∞ ) . C. S = ( −∞; −3) ∪ ( −1;1] . D. S = ( −3;1) . x 2 + 4 x − 21 , ta có x2 − 1

A. f ( x ) > 0 khi −7 < x < −1 hoặc 1 < x < 3 .

2 2 +

B. ( −3; −1) ∪ [1; +∞ ) .

Câu 4: Khi xét dấu biểu thức f ( x ) =

Bảng xét dấu

−∞

D. ( −∞; −1) ∪ ( 6; +∞ ) .

x −1 ≤ 0 là x2 + 4 x + 3

Câu 3: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f ( x ) =

(9 − x 2 )( 9 + x 2 ) ≥ 0 ⇔ 9 − x 2 ≥ 0 (do 9 + x2 > 0 , ∀x ) 81 − x 4 ⇔ 2 ≥0⇔ x −8 x2 − 8 x2 − 8 x

C. ( −∞; −6 ) ∪ (1; +∞ ) .

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình

) (

⇔

2 là x2 + 5x − 6

A. ( −∞; −6] ∪ [1; +∞ ) . B. ( −6;1) .

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

b) Ta có x 2 + 10 ≤

x2 − x + 6 ≥ 0 x ∈ [ −2; −1) ∪ [1;3] ∪ ( 4; +∞ ) . − x2 + 3x + 4

B. f ( x ) > 0 khi x < −7 hoặc −1 < x < 1 hoặc x > 3 .

+∞ −

C. f ( x ) > 0 khi −1 < x < 0 hoặc x > 1 .

D. f ( x ) > 0 khi x > −1 . Bài tập nâng cao

−

Câu 5: Số nghiệm nguyên thuộc khoảng ( 0; 2017 ) của bất phương trình

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =  −3; −2 2 ∪ 2 2;3 .

) (

A. 2014. Trang 13

B. 2015.

C. 2016.

4x2 + 3 − 2 x ≤ 0 là 2x + 3

D. 2017. Trang 14

Câu 6: Số giá trị nguyên của m để hàm số y = A. 5.

x 2 − 3x + 4 2

x − ( 3m + 2 ) x + 4

B. 3.

xác định với mọi giá trị của x là

C. 2.

D. 0.

m ≥ 6 . ⇔ m 2 − 4 ( m + 3) ≥ 0 ⇔ m2 − 4m − 12 ≥ 0 ⇔   m ≤ −2 Vậy với m ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 6; +∞ ) thì phương trình x 2 − mx + m + 3 = 0 có nghiệm. b) Với m = −1 phương trình trở thành 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 1 . Suy ra m = −1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vô nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm Phương pháp giải 2

Phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có biệt thức ∆ = b 2 − 4ac (hoặc ∆′ = b′2 − ac )

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

− x2 + ( m + 2) x − 4 = 0 .

Ví dụ 3. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

Hướng dẫn giải

• Có nghiệm kép khi ∆ = 0 .

⇔ m 2 − 2m (1 + m ) ≥ 0 ⇔ m 2 + 2m ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 0 . Kết hợp cả hai trường hợp, ta thấy −2 ≤ m ≤ 0 thì phương trình có nghiệm.

phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

• Có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 .

Với m ≠ −1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆′ ≥ 0

b) ( m − 1) x 2 − ( 2m − 2 ) x + 2m = 0 .

a) x 2 − 2mx + m + 3 = 0 . 2

• Vô nghiệm khi ∆ < 0 .

Ta có ∆ = ( m + 2 ) − 16 = m + 4m − 12 .

• Có nghiệm khi ∆ ≥ 0 .

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

a) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ∆′ < 0

 m < −6 ∆ > 0 ⇔ m2 + 4m − 12 > 0 ⇔  . m > 2

⇔ m2 − m − 3 < 0 ⇔

Hướng dẫn giải

Vậy với m ∈ ( −∞; −6 ) ∪ ( 2; +∞ ) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ mẫu

1 − 13 1 + 13 <m< . 2 2

 1 − 13 1 + 13  Vậy với m ∈  ;  thì phương trình vô nghiệm. 2   2 b) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành 2 = 0 (phương trình này vô nghiệm)

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của tham số m

do đó m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) phương trình x − 2 ( m + 2 ) x − ( m + 3) = 0 có nghiệm. b) phương trình ( m2 + 1) x 2 +

(

Với m ≠ 1 phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ∆′ < 0

m > 1 2 . ⇔ ( m − 1) − 2m ( m − 1) < 0 ⇔ ( m − 1)( − m − 1) < 0 ⇔   m < −1

)

3m − 2 x + 2 = 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Vậy với m ≥ 1 hoặc m < −1 thì phương trình vô nghiệm. 2

a) Ta có ∆′ = ( m + 2 ) + m + 3 = m2 + 5m + 7 . Vì tam thức m2 + 5m + 7 có ∆ m = −3 nên ∆′ = m2 + 5m + 7 > 0 với mọi m .

Bài tập tự luyện dạng 4

Do đó phương trình đã cho có nghiệm với mọi m .

Bài tập cơ bản

b) Ta có ∆ =

(

)

Câu 1: Phương trình x 2 − 4mx + m + 3 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

3m − 2 − 4. ( m 2 + 1) .2 = −5m 2 − 4 3m − 4 .

A. m < 1 .

Vì tam thức −5m2 − 4 3m − 4 có am = −5 < 0 và ∆′m < 0 nên

C. m ≤ −

3 hoặc m ≥ 1 . 4

3 D. − ≤ m ≤ 1 . 4

Câu 2: Phương trình x 2 + x + m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

∆ = −5m2 − 4 3m − 4 < 0 với mọi m .

3 A. m > − . 4

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m .

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x 2 − mx + m + 3 = 0 .

3 B. − < m < 1 . 4

3 B. m < − . 4

C. m >

1 . 4

5 D. m > − . 4

Câu 3: Tập các giá trị của m để ( m + 4 ) x 2 − 2 ( m − 1) x − 1 − 2m = 0 vô nghiệm là

b) (1 + m ) x 2 − 2mx + 2m = 0 .

A. ℝ .

Hướng dẫn giải

B. ∅ .

C. ( −4; +∞ ) .

D. ( −∞; −4 ) .

Câu 4: Phương trình x 2 − mx − m = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 Trang 15

Trang 16

A. −1 < m < 0 .

B. −4 ≤ m ≤ 0 .

C. −4 < m < 0 .

D. m < −4 hoặc m > 0 .

Bài tập nâng cao

Dạng 3: Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

1-C

2-C

3-B

4-B

5-C

6-C

Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình ( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và Câu 5. Chọn C.

x1 + x2 + x1 x2 < 1 ?

A. 1 < m < 2 .

B. 1 < m < 3 .

C. m > 2 .

D. m > 3 .

1  x ≥ 2 4x2 + 3 3 − 6x Ta có . − 2x ≤ 0 ⇔ ≤0⇔ 2x + 3 2x + 3 x < − 3  2

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc hai 1-A

2-A

3-C

4-A

5-B

Khi đó số nghiệm nguyên thuộc ( 0; 2017 ) là 2016 nghiệm.

6-D

Câu 6. Chọn C. Câu 5. Chọn B.

Hàm số y =

4 Với m = 3 ⇒ f ( x ) = 5 x − 4 > 0 ⇔ x > (loại). 5

x − ( 3m + 2 ) x + 4

xác định với mọi giá trị của x ⇔ x 2 − ( 3m + 2 ) x + 4 > 0, ∀x ∈ ℝ

1 > 0 a > 0 2 ⇔ ⇔ ⇔ 9m 2 + 12m − 12 < 0 ⇔ −2 < m < . 2 0 ∆ < 3    − ( 3m + 2 )  − 4.4 < 0

Với m ≠ 3 , f ( x ) là tam thức bậc hai ẩn x . Khi đó

m − 3 < 0 f ( x ) = ( m − 3) x 2 + ( m + 2 ) x − 4 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ −22 ≤ m ≤ 2 . 2 ∆ = m + 20m − 44 ≤ 0

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 6. Chọn D.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vô nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm

1 Với m = 1 bất phương trình đã cho trở thành 2 x + 1 > 0 ⇔ x > − (loại). 2

1-B

Với m ≠ 1 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc hai một ẩn. Khi đó

3-A

4-D

5-D

3-B

4-C

5-B

m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 Phương trình có hai nghiệm khi  ⇔ ⇔ m ≠ 1. 2 ′ ∆ ≥ 0  ( m − 2 ) − ( m − 1)( m − 3) ≥ 0

Dạng 2: Ứng dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích

2-C

Câu 5. Chọn B.

m − 1 > 0 3 ⇔ < m < 2. ( m − 1) x − 2 ( m − 2 ) x + 2 − m > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ′ 2 ∆ = ( m − 2 )( 2m − 3) < 0 2

1-B

x 2 − 3x + 4 2

Khi đó x1 + x2 + x1 x2 < 1 ⇔

6-B

2 ( m − 2)

m −1

m−3 2m − 6 <1⇔ < 0 ⇔ 1 < m < 3. m −1 m −1

Câu 5. Chọn D.

Ta có

( x − 3) ( x 2 + x − 6 ) > ( x − 2 ) ( x 2 + 5x + 4 ) ⇔ 5 x 2 + 3x − 26 < 0 ⇔ −

Suy ra a + b = −

13 < x < 2. 5

13 3 +2=− . 5 5

Câu 6 Chọn B. 2

Ta có ( x 2 + x + m ) ≥ ( x 2 − 3x − m ) ⇔ ( 4 x + 2m ) ( 2 x 2 − 2 x ) ≥ 0 ⇔ ( 2 x + m ) x ( x − 1) ≥ 0 . Mặt khác x > 0 ⇒ ( 2 x + m )( x − 1) ≥ 0, ∀x > 0 ⇒ m = −2

Trang 17

Trang 18

CHUYÊN ĐỀ 5. THỐNG KÊ BÀI 1. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT. BIỂU ĐỒ

- Giá trị x0 thuộc lớp ( xi ; xi +1 ) là giá trị đại diện

Mục tiêu Kiến thức + Hiểu được khái niệm tần số, tần suất, bảng phân bố tần số, tần suất. + Hiểu được các biểu đồ tần số, tần suất hình cột, biểu đồ tần suất hình quạt và đường gấp khúc tần số, tần suất. Kĩ năng + Tìm được tần số, tần suất. + Đọc được và lập được bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp. + Đọc được các biểu đồ hình quạt, hình cột. + Vẽ được các biểu đồ hình quạt, đường gấp khúc, hình cột.

Biểu đồ tần suất hình cột Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp, người ta dựng các cột thẳng hàng (xếp liền nhau hoặc dời nhau) có chiều rộng cột bằng độ dài của lớp, chiều cao cột bằng tần suất của lớp tương ứng.

Đường gấp khúc tần suất Trên mặt phẳng tọa độ xác định các điểm ( Ci , f i )

Biểu đồ tần suất hình cột mô tả điểm của 32 học với i = 1, 2,3,...... trong đó Ci là giá trị đại diện của sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100)

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Dấu hiệu. Giá trị của dấu hiệu - Một vấn đề người ta nghiên cứu thống kê gọi là dấu hiệu. - Tập hợp các đơn vị điều tra gọi là mẫu. - Mỗi đơn vị điều tra tương ứng với một số liệu gọi là giá trị của dấu hiệu. Tần số, tần suất Một bảng số liệu (hay một mẫu) có N giá trị nhưng chỉ có k giá trị khác nhau x1 ; x2 ;...; x k .

lớp thứ i, f i là tần suất của lớp thứ i. Đường gấp khúc nối các điểm ( Ci , f i ) theo thứ tự i = 1, 2,3,...... là đường gấp khúc tần suất.

Biểu đồ hình quạt Vẽ đường tròn tâm O rồi vẽ các hình quạt đỉnh O, góc ở đỉnh tỉ lệ với tần suất của các lớp. Hình biểu diện được gọi là biểu đồ tần số hình Biểu đồ tần suất đường gấp khúc mô tả điểm của quạt. 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm Công thức tính góc ở đỉnh: D0 = f i .360°. 100)

Giá trị xi xuất hiện ni lần (1 ≤ i ≤ k ) , ta nói ni là

tần số của giá trị xi , tỉ số f i =

của lớp. 3. BIỂU ĐỒ

ni được gọi là tần N

suất của xi . Ta có

n1 + n2 + ...nk = N , f1 + f 2 + ... + f k = 1. Các giá trị tần suất f, đôi khi f i được ghi dưới dạng tỉ số phần trăm (%). 2. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT Bảng phân bố tần số và tần suất rời rạc Từ bảng số liệu thống kê ta liệt kê ra các giá trị Thông thường người ta lấy x = xi + xi +1 làm giá 0 2 khác nhau và các tần số, tần suất tương ứng ta được trị đại diện của lớp ( xi ; xi +1 ) . bảng phân bố tần số, tần suất rời rạc. Bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp - Chia nhỏ khoảng chứa tất cả các số liệu thành các khoảng hoặc nửa khoảng, mỗi khoảng hay nửa khoảng đó là một lớp. - Tần số của một lớp là số các số liệu nằm trong lớp đó. - Tần số của một lớp bằng tỉ số giữa tần số một lớp với tổng các số liệu.

Biểu đồ tần suất hình quạt mô tả điểm của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100)

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Xác định mẫu số liệu Phương pháp giải Dựa vào đặc điểm của mẫu số liệu ta xác định được Ví dụ: Số học sinh giỏi của 20 lớp ở một trường dấu hiệu, đơn vị điều tra, kích thước mẫu, các giá THPT A được thống kê lại như sau. trị khác nhau của mẫu. 2 1 0 0 3 0 0 1 1 0 1 5 2 4 5 1 0 1 2 4 a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?

Trang 1

Trang 2

b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên. Hướng dẫn giải a) Dấu hiệu là học sinh giỏi, đơn vị điều tra là mỗi lớp của trường THPT A. Kích thước mẫu là 20. b) Các giá trị khác nhau của mẫu số liệu trên là 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Để may đồng phục cho khối học sinh lớp 5 của trường tiểu học A. Người ta chọn ra một lớp 5A và thống kê chiều cao của 45 học sinh lớp 5A (tính bằng cm). Kết quả được ghi trong bảng sau: 102

102

113

138

111

109

114

101

103

127

118

111

130

124

115

122

126

107

134

108

118

122

109

106

109

104

122

133

124

108

102

130

107

114

147

104

141

103

108

118

113

138

112

100

120

160

100

B. 45.

C. 8.

D. 6.

c) Tổng các giá trị của dấu hiệu là

A. 45.

B. 148.

C. 142.

D. 143.

Hướng dẫn giải Dấu hiệu: Số từ dùng sai trong mỗi bài văn của các học sinh khối 10. Kích thước mẫu là 45. a) Chọn đáp án B.

0.6 + 1.12 + 2.3 + 3.6 + 4.5 + 5.4 + 6.2 + 7.2 + 8.5 = 142.

Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1. Để điều tra số con trong mỗi gia đình ở một chung cư gồm 100 gia đình. Người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng hai và thu được mẫu số liệu sau: 2

Dấu hiệu ở đây là gì?

A. Số gia đình ở tầng hai.

B. Số con ở mỗi gia đình.

C. Số tầng của chung cư.

D. Số người trong mỗi gia đình.

Câu 2. Để điều tra số con trong mỗi gia đình ở một chung cư gồm 100 gia đình. Người ta chọn ra 20 gia đình ở tầng bốn và thu được mẫu số liệu sau đây: 2

Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên?

A. 4.

B. 20.

C. 10.

D. 5.

Câu 3. Để điều tra về điện năng tiêu thụ trong 1 tháng (tính theo kWh) của 1 khu chung cư có 50 gia đình người ta đến 14 gia đình và thu được mẫu số liêu sau: 94

105 110

102

130 120

Có bao nhiêu gia đình tiêu thụ điện trên 100 kWh trong một tháng?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Câu 4. Tuổi thọ của 30 bóng đèn được thắp thử (đơn vị: giờ) được cho trong bảng sau: 1180

1150

1190

1170

1180

1170

1160

1170

1160

1150

1190

1180

1170

1190

1170

1180

1170

1160

1170

1160

1180

1150

1170

Cho biết dấu hiệu và đơn vị điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?

a) Tổng số bài văn của học sinh được thống kê là

A. 36.

A. 9.

c) Tổng các giá trị của dấu hiệu là

a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu? b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên. Hướng dẫn giải a) Dấu hiệu điều tra là điện năng tiêu thụ trong một tháng các hộ gia đình, đơn vị điều tra là một hộ gia đình ở khu phố X. Kích thước của mẫu là 30. b) Các giá trị khác nhau: 40, 45, 50, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 100, 120, 160. Ví dụ 3. Kết quả thống kê số từ dùng sai trong mỗi bài văn của các học sinh lớp 10 được ghi lại trong bảng sau: Số từ dùng sai trong 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mỗi bài (x) Số bài có từ sai (n)

D. 50.

b) Số các giá trị khác nhau của dấu hiệu là

b) Chọn đáp án A.

a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu? b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên. Hướng dẫn giải a) Dấu hiệu là chiều cao của mỗi học sinh, đơn vị điều tra là một học sinh của lớp 5A. Kích thước mẫu là N = 45. b) Các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên là: 98, 99, 101, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 118, 122, 124, 126, 127, 130, 133, 138, 141, 147. Ví dụ 2. Bảng điều tra về điện năng tiêu thụ trong một tháng (tính theo kWh) của các gia đình ở một khu phố X như sau: 80 85 65 65 70 50 45 100 45 100 100

C. 38.

Câu 5. Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vị: g) được cho trong bảng sau:

B. 45. Trang 3

Trang 4

100

102

101

106

103

116

109

108

112

Ví dụ 2. Điểm kiển tra Toán học kì I của các bạn học sinh lớp 10A được thống kê trong bảng sau: Điểm (x) 4 5 6 7 8 9 10 Tần số (n)

Cho biết dấu hiệu và đơn vị điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu.

Dạng 2: Tần số, tần suất. bảng phân bố tần số, tần suất Phương pháp giải Căn cứ vào mẫu số liệu, ta đếm số các phần tử Bảng năng suất cà phê năm 2000 của 10 tỉnh cùng loại từ đó lập được bảng phân bố tần số, tần Năng suất Tần số Tần suất (%) suất. (tạ/ha) 10 2 20 15 4 40 20 3 30 30 1 10 N = 10 100(%) Bảng trên là bảng phân bố tần số, tần suất phản ánh tình hình năng suất cà phê của 10 tỉnh.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân cho ở bảng sau (đơn vị: phút) 42 42 42 42 44 44 44 44 44 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 54 54 54 50 50 50 50 48 48 48 48 48 48 48 48 48 48 50 50 50 50

N = 50

a) Dấu hiệu điều tra là A. Điểm kiểm tra Toán học kì II của lớp 10A. B. Điểm kiểm tra Toán 1 tiết của lớp 10A. C. Điểm kiểm tra Toán học kì I của mỗi bạn học sinh lớp 10A. D. Các bạn học sinh lớp 10A. b) Tần số của điểm 5 ở bảng trên là

A. 4.

B. 14.

C. 10.

D. 1.

B. 30.

C. 40.

D. 50.

C. 8.

D. 9.

C. 10.

D. 6.

C. 3.

D. 4.

C. 9.

D. 10.

c) Kích thước mẫu là

A. 20.

d) Số các giá trị khác nhau là

A. 6.

B. 7.

e) Tần số 10 là của giá trị

A. 9.

B. 8.

f) Điểm kiểm tra thấp nhất là

A. 1.

B. 2.

g) Điểm kiểm tra cao nhất là

A. 7.

B. 8.

Hướng dẫn giải a) Chọn C. b) Chọn A. e) Chọn B. f) Chọn D.

c) Chọn D. g) Chọn D.

d) Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 2

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất. b) Trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm? Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số, tần suất: Thời gian hoàn thành một sản Tần số (n) Tần suất (%) phẩm (phút) 42 4 8 44 5 10 45 20 40 48 10 20 50 8 16 54 3 6 N = 50 100%

Câu 1. Tuổi thọ của 30 bóng đèn thắp thử được cho trong bảng

b) Những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 đến 50 chiếm số phần trăm là 20 + 10 + 8 = 76%. 50

Câu 2. Thống kê điểm môn Toán trong một kì thi của 500 em học sinh thấy số bài được điểm 9 chiếm tỉ lệ 4%. Hỏi tần số của giá trị xi = 9 là bao nhiêu?

Trang 5

Trang 6

Tuổi thọ (giờ)

Tần số

Tần suất (%)

1150

1160

1170

1180

1190

N = 30

100%

a) Số thích hợp điền vào * ở bảng trên là

A. 3.

B. 6.

C. 9.

D. 12.

C. 30.

D. 40.

b) Số thích hợp điền vào ** ở bảng trên là

A. 10.

A. 9.

B. 20.

C. 30.

D. 5.

Câu 3. Thống kê điểm môn Toán trong một kì thi của 400 em học sinh thấy có 72 bài được điểm 5. Hỏi tần số của giá trị xi = 5 là bao nhiêu? A. 72%.

B. 36%.

C. 18%.

D. 10%.

Câu 4. Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường được cho trong bảng sau: Lớp khối lượng (gam)

Tần số

[70;80 )

[80;90 )

[90;100 )

[100;110 )

[110;120 )

Cộng

Dạng 3. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Vẽ biểu đồ tần số, tần suất Phương pháp giải Căn cứ vào đặc điểm của lớp trong bảng Ví dụ: Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng số liệu ta lập được bảng phân số tần số và tần suất sau: Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ghép lớp. ở trường THPT C (đơn vị: giây) Các loại biểu đồ tần suất: Biểu đồ tần suất 6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 hình cột, biểu đồ hình quạt, đường gấp khúc tần 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 suất. 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp: [ 6, 0;6,5 ) ; [ 6,5; 7, 0 ) ; [ 7, 0;7, 5 ) ;

[7,5;8, 0 ) ; [8, 0;8,5) ; [8,5;9, 0 ) . b) Vẽ đường gấp khúc tần suất. Hướng dẫn giải a) Lớp thành tích Tần số (m)

Tần suất ghép lớp của lớp [100;110 ) là

A. 20%.

B. 40%.

C. 60%.

D. 80%.

[6, 0;6, 5) [6, 5; 7, 0) [7, 0;7, 5) [7, 5;8, 0 ) [8, 0;8, 5) [8,5;9, 0]

Câu 5. Chiều dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành được cho trong bảng sau: Lớp của chiều dài (cm)

Tần số

[10; 20)

[ 20;30 )

[30; 40 )

[ 40;50 )

Tần suất (%)

8,3

16,7

25,0

12,5

N = 24 b) Đường gấp khúc tần suất ghép lớp là

Số lá có chiều dài từ 30 cm đến 50 cm chiếm bao nhiêu phần trăm?

A. 50,0%.

B. 56,0%.

C. 56,7%.

D. 57,0%.

Câu 6. Một xạ thủ bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở bảng sau: 8

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất của các số liệu thống kê ở bảng trên. b) Nếu kết quả đạt từ 8 điểm trở lên thì xếp loại giỏi. Tính tần suất của kết quả loại giỏi.

Bảng 1. Bảng phân bố tần số và tần suất. Biểu đồ

Câu 7. Kết quả điểm thi môn Văn của lớp 10A, ở một trường THPT cho bởi bảng sau: Điểm thi

Tần số

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Thống kê điểm thi tốt nghiệp 2019-2020 cho ta kết quả sau đây: Điểm bài thi 0 1 2 (x) Tần số (n) … 36 90 Tần suất (%) 2 … …

N = 40

a) Cho biết dấu hiệu và đơn vị điều tra là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu? b) Lập bảng phân bố tần số, tần suất dạng cột.

Trang 7

môn Toán của 900 em học sinh Trường THPT A năm học 3

… 13

180 …

198 …

99 …

… 7

54 …

27 …

18 … Trang 8

a) Chuyển bảng trên thành dạng cột và điền tiếp vào các ô còn trống. b) Vẽ biểu đồ hình quạt tần suất. Hướng dẫn giải a) Điểm bài thi (x) Tần số (n) Tần suất (%) 0 18 2 1 36 4 2 90 10 3 117 13 4 180 20 5 198 22 6 99 11 7 63 7 8 54 6 9 27 3 10 18 2 N = 900

Chú ý: Để vẽ biểu đồ hình quạt ta xác định góc ở tâm hình quạt dựa vào công thức: D 0 = fi .360° . Ví dụ 2. Cho bảng số liệu thống kê về thời gian (phút) hoàn thành một bài tập Toán của mỗi học sinh lớp 10A. 20,8

20,7

23,1

20,7

20,9

23,9

21,6

25,3

21,5

23,8

20,7

23,3

19,8

20,9

20,1

21,3

24,2

22,0

23,8

24,1

21,1

22,8

19,5

19,7

21,9

21,2

24,2

24,3

22,2

23,5

23,9

22,8

22,5

19,9

23,8

25,0

22,9

22,8

22,7

a) Hãy lập bảng phân phối thực nghiệm tần số và tần suất ghép lớp với các lớp sau:

[19,5; 20,5 ) ; [ 20,5; 21, 5 ) ; [ 21,5; 22, 5 ) ; [ 22,5; 23, 5 ) ; [ 23,5; 24,5 ) ; [ 24, 5; 25,5]. b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột thể hiện bảng đã lập ở trên.

Hướng dẫn giải a) Lớp thời gian hoàn thành

b) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt. Điểm bài thi (x) Tần số (N) 0 18

bài tập (phút)

Tần số (n)

Tần suất (%)

Tần suất (%) 2

Góc ở tâm tương ứng 7, 2°

[19,5; 20, 5)

12,5

1 2 3 4 5

36 90 117 180 198

4 10 13 20 22

14, 4°

[ 20,5; 21,5 )

36° 46,8°

[ 21, 5; 22,5 )

12,5

72° 79, 2°

[ 22,5; 23,5 )

39, 6°

[ 23,5; 24,5 )

25, 2°

21, 6°

[ 24,5; 25,5]

8 9

10,8°

18 N = 900

7, 2°

N = 40 b) Vẽ biểu đồ hình cột của tần suất

Trang 9

Trang 10

Ví dụ 3. Điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100) như sau:

c) Biểu đồ hình quạt là

a) Hãy trình bày số liệu trên dưới dạng bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp:

[ 40;50 ) ; [50;60 ) ; [60; 70 ) ; [70;80 ) ; [80;90 ) ; [90;100]. b) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân số tần suất ghép lớp đã lập ở câu a. c) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a.

Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp Lớp điểm

Tần số (n)

Bài tập tự luyện dạng 3

Tần suất (%)

Câu 1. Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu được số liệu về chiều cao (đơn vị

[ 40;50 )

12,5

[50; 60 )

18,75

Nhóm

Chiều cao

Số cây đạt được

[60; 70 )

31,25

Từ 100 đến 199

Từ 200 đến 299

Từ 300 đến 399

Từ 400 đến 499

Từ 500 đến 599

[70;80 )

18,75

[80;90 )

12,5

[90;100]

6,25

N = 32

100%

milimet) của các cây hoa được trồng trong bảng sau:

a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp của mẫu số liệu trên. b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.

b) Biểu đồ tần suất hình cột là

Câu 2. Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau: Lớp chiều cao (cm)

Tần số

[168;172 )

[172;176 )

[176;180 )

[180;184 )

[184;188)

[188;192]

N = 40 a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp. Trang 11

Trang 12

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

b) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân số tần suất ghép lớp đã lập ở câu a.

BÀI 1. BẢNG PHÂN SỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT. BIỂU ĐỒ

c) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình quạt để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a.

Câu 3. Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vị: m) được cho trong bảng sau:

Dạng 1. Xác định mẫu số liệu

6,6

7,5

8,2

7,8

7,9

9,0

8,9

8,2

7,2

1-B

7,5

8,3

7,4

8,7

7,7

7,0

9,4

8,7

8,0

7,7

Câu 4.

7,8

8,3

8,6

8,1

9,5

6,9

8,0

7,6

7,9

7,3

8,5

8,4

8,0

8,8

2-D

3-C

+ Dấu hiệu là tuổi thọ của bóng đèn, đơn vị điều tra là mỗi bóng đèn được lắp thử. + Kích thước mẫu: N = 30.

Câu 5.

a) Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong bảng số liệu?

Giải tương tự.

b) Lập bảng phân phối tần số ghép lớp với các lớp:

Dạng 2. Tần số. Tần suất. Bảng phân bố tần số, tần suất

[6, 5;7, 0 ) , [7, 0;7,5 ) , [7, 5;8, 0 ) , [8, 0;8, 5 ) , [8,5;9, 0 ) , [9, 0;9, 5) . c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.

1a - D

1b - B

2-B

3-C

Câu 4. Cho các số liệu thống kê số người xem trong 60 buổi chiếu phim của một rạp chiếu phim nhỏ

HƯỚNG DẪN PHẦN TỰ LUẬN

ghi ở bảng sau:

Câu 6.

4-A

5-C

a) Bảng phân bố tần số, tần suất:

Điểm

Tần số (n)

Tần suất (%)

13,3%

10%

26,7%

30%

20%

N = 30

100%

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp sau:

[0;10 ) ; [10; 20 ) ; [ 20;30 ) ; [30; 40 ) ; [ 40;50 ) ; [50;60].

b) Tần suất của kết quả loại giỏi là: 26, 7% + 30% + 20% = 76, 7%.

b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.

Câu 7.

Câu 5. Kết quả bài kiểm tra môn toán của 36 học sinh được cho trong mẫu số liệu sau: 2

7,5

8,5

9,5

6,5

5,5

6,5

7,5

5,5

2,5

7,5

8,5

1,5

7,5

6,5

7,5

6,5

a) Dấu hiệu điều tra: điểm thi môn văn.

Đơn vị điều tra: mỗi học sinh của lớp 10A. Kích thước mẫu là 40. b) Bảng phân bố tần số, tần suất dạng cột:

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp (làm tròn đến một số sau dấu phẩy) sử dụng 5 lớp sau: [ 0; 2 ) ; [ 2; 4 ) ; [ 4; 6 ) ; [ 6;8 ) ; [8;10 ) . b) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt thể hiện bảng phân bố ở câu a.

Điểm thi

Tần số (n)

Tần suất (%)

2,5%

22,5%

30%

35%

2,5%

Trang 13

7,5%

N = 40

100%

Trang 14

Dạng 3. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Vẽ biểu đồ tần số tần suất

a) Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp:.

Câu 1. a) Bảng phân phối tần suất sau: Chiều cao

Tần số

Tần suất

[100;199]

10%

[ 200; 299]

37,5%

[300;399]

35%

[ 400; 499]

12,5%

[500;599]

b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.

Lớp chiều cao (cm)

Tần số (n)

Tần suất (%)

[168;172 )

[172;176 )

[176;180 )

[180;184 )

[184;188)

[188;192]

N = 40

100%

b) Tương tự câu 1.a. c) Bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu a như sau: Lớp chiều cao (cm)

Tần số (n)

Tần suất (%)

Góc ở tâm

[168;172 )

36°

[172;176 )

36°

[176;180 )

54°

[180;184 )

126°

[184;188)

72°

[188;192]

36°

N = 40

100%

Biểu đồ tần suất hình quạt:

Câu 2. Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau: Lớp chiều cao (cm)

Tần số

[168;172 )

[172;176 )

[176;180 )

[180;184 )

[184;188)

[188;192]

N = 40 Trang 15

Trang 16

Câu 3.

Câu 4.

a) Bảng đã cho có 24 giá trị khác nhau.

a) Bảng phân phối tần số và tần suất ghép lớp:

b) Bảng phân phối tần số ghép lớp:

Số người

Tần số (n)

Tần suất (%)

Lớp ghép

Tần số (n)

[0;10 )

8,3

[6, 5; 7, 0 )

[10; 20 )

[7, 0;7, 5 )

[ 20;30 )

18,3

[7, 5;8, 0 )

[30; 40 )

[8, 0;8, 5)

[ 40;50 )

[8,5;9, 0 )

[50;60]

13,4

[9, 0;9,5 )

N = 60

100%

N = 35

b) Vẽ biểu đồ dạng cột

c) Ta có bảng phân phối tần suất ghép lớp: Lớp ghép

Tần số (n)

Tần suất

Góc ở tâm

[6,5;7, 0 )

5,7%

20, 52°

[7, 0; 7,5 )

11,4%

41, 04°

[7,5;8, 0 )

25,7%

92,52°

[8, 0;8, 5)

31,4%

113, 04°

[8,5;9, 0 )

17,1%

61,56°

[9, 0;9,5 )

8,7%

31, 32°

N = 35

100%

Câu 5. a) Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp (làm tròn đến một chữ số sau dấu phẩy) sử dụng 5 lớp sau:

Ta có biểu đồ hình quạt:

[0; 2 ) ; [ 2; 4 ) ; [ 4; 6 ) ; [6;8 ) ; [8;10 ) . Lớp điểm

Tần số (n)

Tần suất (%)

[ 0; 2 )

5,6

[ 2; 4 )

8,3

[ 4;6 )

11,1

[ 6;8 )

55,6

[8;10 )

19,4

N = 36

100%

b) Tương tự câu 3.c. Trang 17

Trang 18

CHƯƠNG 5:

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 2: SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT

Số trung bình

Mục tiêu

Cho một bảng thống kê số liệu (các giá trị) của một

Kiến thức

dấu hiệu x.

+ Hiểu được ý nghĩa của số trung bình cộng, số trung vị, mốt.

Tỉ số của tổng tất cả các giá trị của bảng đối với các

+ Nắm vững cách tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt.

giá trị của bảng là số trung bình, kí hiệu là x .

Kĩ năng

Công thức tính số trung bình như sau:

Tính được số trung bình cộng, số trung vị.

a) Đối với bảng phân bố tần số rời rạc

Tìm được mốt của bảng phân bố tần số.

Nêu được ý nghĩa của số trung vị và mốt tìm được.

1 x = . ( n1 x1 + n2 x2 + ... + nk xk ) = f1 x1 + f 2 x2 + ... + f k xk n trong đó n1 ; f i ( i = 1; 2;....; k ) lần lượt là tần số, tần suất

của giá trị xi ; n là các số liệu thống kê với n1 + n2 + ... + nk = n .

b) Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp

1 ( n1C1 + n2C2 + ... + nk Ck ) = f1C1 + f 2C2 + ... + f k Ck n

Giá trị đại diện của lớp ghép thường sẽ lấy

trong đó Ci , ni , f i theo thứ tự là giá trị đại diện, tần số,

trung bình cộng của giá trị đầu và cuối lớp.

tần suất của lớp thứ i ( i = 1, 2,......., k ) . Số trung vị

Sắp thứ tự các giá trị thống kê theo thứ tự không giảm

Khi số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì

hoặc không tăng.

số trung bình cộng không đại diện được cho

- Nếu có n số liệu, n lẻ

( n = 2k + 1)

thì M e = xk +1

đại diện.

được gọi là trung vị.

- Nếu n chẵn Me =

các số liệu đó. Khi đó ta chọn số trung vị để

( n = 2k ) ,

thì số trung vị là

xk + xk +1 . 2 Mốt

Trong bảng phân bố tần số rời rạc, giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của bảng phân bố, kí hiệu M 0 . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính số trung bình của một bảng số liệu Phương pháp giải

Sử dụng bảng phân bố tần số và tần suất ghép Trang 1

Ví dụ: Trong các số liệu thống kê dưới đây, người Trang 2

lớp, ta tính gần đúng giá trị trung bình của các

ta cho biết thành tích chạy 50m của học sinh lớp

giá trị trong bảng số liệu.

10A ở một trường THPT (đơn vị: giây)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Điều tra về tuổi nghề của công nhân trong một phân xưởng người ta thu được mẫu số liệu sau: 20

Tính số trung bình của mẫu số liệu trên.

a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớn và bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp:

Hướng dẫn giải Số trung bình của mẫu số liệu là x =

[66;65) ; [65;70 ) ; [70; 75) ; [75;80 ) ; [80;85) ; [85;90 ) .

1 ( x1 + x2 + ... + xn ) = 7, 25. n

Ví dụ 2. Điểm trung bình thi học kì môn Toán và sĩ số học sinh khối 10, 11, 12 của một trường THPT

b) Tính số trung bình của mẫu số liệu trên.

được thống kê trong bảng sau

Hướng dẫn giải

Khối 10

a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp và bảng phân bố tần suất ghép lớp Lớp thành

Tần số (n)

Tần suất (%)

[60;65)

5,7

[65;70 )

14,3

[70;75)

28,6

[75;80 )

25,7

[80;85)

11,4

tích (giây)

Điểm TB môn Toán

6,4

6,8

7,2

Sĩ số

610

540

520

Tính điểm trung bình của học sinh toàn trường.

Hướng dẫn giải Ta có điểm trung bình của học sinh toàn trường là x=

x1.n1 + x2 .n2 + x3 .n3 6, 4.610 + 6,8.540 + 7, 2.520 = ≈ 6,8. n1 + n2 + n3 1670

Ví dụ 3. Cho mẫu số liệu thống kê {8,10,12,14,16} . Số trung bình của mẫu số liệu trên là A. 12.

B. 14.

C. 13.

14,3

N = 35

100%

Cách 1. Áp dụng công thức tính số trung bình b) Cách 1. x =

Ví dụ 4. Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:

≈ 75,1.

Cách 2. Tính thông qua bảng tần số ghép lớp x=

8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 12 . 5

Chọn A.

1 ( x1 + x2 + .... + xn ) n

1 = ( 63 + 66 + ... + 90 ) 35

lớn.

D. 12,5.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là x=

Cách 2. Sử dụng bảng phân bố tần số ghép

Khối 12

Hướng dẫn giải

[85;90 )

cộng.

Khối 11

n1.c1 + n2 .c 2 + ... + ni .ci n

2.62,5 + 5.67,5 + ... + 5.87, 5 = 35

Nhóm

Chiều cao (cm)

Số học sinh

[150;152 )

[152;154 )

[154;156 )

[156;158)

[158;160)

≈ 75, 79.

Trang 3

Trang 4

[160;162 )

Câu 2: Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng số liệu sau:

3 N = 100

Sản lượng

Tần số

Số trung bình là

A. 155,46.

B. 155,12.

C. 154,98.

D. 154,75.

Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là

Hướng dẫn giải

A. 22,1 tạ.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là x= =

B. 22,2 tạ.

C. 22,3 tạ.

n1.c1 + n2 .c2 + .... + n6 .c6 n

5.151 + 18.153 + 40.155 + 26.157 + 8.159 + 3.161 100

Nhóm

Chiều cao (cm)

Số học sinh

[150;152 )

[152;154 )

[154;156 )

[156;158)

[158;160)

[160;162 )

Chọn A. Ví dụ 5. Nghiên cứu cân nặng của trẻ sơ sinh thuộc nhóm có bố không hút thuốc lá và nhóm có bố nghiện thuốc lá của một tỉnh A, ta có kết quả sau (đơn vị: kg) Nhóm trẻ có bố không hút thuốc lá: 3,8

4,1

3,8

3,6

3,8

3,5

3,3

4,1

3,3

3,6

3,5

2,9

3,6

4,1

3,6

3,8

3,3

2,9

3,3

3,6

3,5

3,8

3,6

3,5

2,6

2,1

N = 100 Số trung bình là

Nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc lá: 3,3

2,9

2,6

3,6

A. 155,46.

B. 155,12.

C. 154,98.

Hướng dẫn giải Số trung bình cân nặng của nhóm trẻ có bố không hút thuốc là x + x + ... + nn x= 1 2 = 3, 65 . n Số trung bình cân nặng của nhóm trẻ có bố hút thuốc là y + y2 + ... + yn y= 1 ≈ 3,13. n

Lớp giá (nghìn đồng)

Tần số

[ 40; 49]

[50;59]

[60;69]

[70;79]

[80;89]

Ta thấy cân nặng trung bình của nhóm trẻ có bố không nghiện thuốc lá lớn hơn cân nặng trung bình của nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc là.

D. 154,75.

Câu 4: Giá bán của 60 mặt hàng ở một cửa hàng được thống kê trong bảng tần số ghép lớp sau đây (đơn vị nghìn đồng).

Nhóm trẻ nào có cân nặng trung bình lớn hơn?

N = 60 Tính số trung bình của bảng số liệu trên.

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20). Kết quả như sau: Điểm

Tần số

N = 100

Số trung bình là

Câu 5: Để được cấp chứng chỉ Anh văn của một trung tâm ngoại ngữ, học viên phải trải qua 6 lần kiểm tra trắc nghiệm, thang điểm mỗi lần kiểm tra là 100 và phải đạt điểm trung bình từ 70 điểm trở lên. Qua 5 lần thi Minh đạt điểm trung bình là 64,5 điểm. Hỏi trong lần kiểm tra cuối cùng Minh phải đạt ít nhất là bao nhiêu điểm để được cấp chứng chỉ? Câu 6: Tiền lãi (nghìn đồng) trong 30 ngày khảo sát ở một quầy bán báo được cho trong bảng sau. 81

B. 15,21.

D. 22,4 tạ.

Câu 3: Điều tra về chiều cao của 100 học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:

= 155, 46.

A. 15,20.

N = 40

C. 15,23.

D. 15,25. Trang 5

Trang 6

Vậy mẫu số liệu có hai mốt M 0(1) = 15; M 0( 2 ) = 18.

Ví dụ 2. Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình.

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất theo các lớp như sau:

[ 29,5; 40, 5) , [ 40,5;51,5) , [51,5; 62, 5) , [62,5; 73,5) , [73,5;84,5) , [84, 5;95,5) .

111

112

113

114

115

114

115

116

112

113

114

115

114

116

117

113

115

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.

b) Tính số trung bình cộng.

Dạng 2: Tính số trung vị và mốt của một bảng số liệu

b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt.

Phương pháp giải

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các phần tử trong bảng theo thứ tự không giảm sau đó chọn số trung vị M e theo định nghĩa.

a) Bảng phân bố tần số - tần suất: Giá trị x

Tần số

Tần suất (%)

111

112

113

114

Dựa vào bảng phân bố tần số ta chọn giá trị có tần số lớn nhất làm mốt. Kí hiệu M 0 . Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân. Kết quả thu được mẫu số liệu như sau: 21

115

116

117

N = 20

100

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất. b) Tính số trung bình. b) Số trung bình là

c) Tìm mốt.

Hướng dẫn giải

a) Bảng phân bố tần số - tần suất Tuổi của bệnh nhân

Tần số (n)

Tần suất (%)

6,67

3,33

16,67

13,33

16,67

b) Ta có số trung bình x =

6,67

13,33

6,67

N = 30

100%

1 (1.111 + 3.112 + 4.113 + 5.114 + 4.115 + 2.116 + 1.117 ) = 113,9 . 20

Sắp xếp bảng theo thứ tự không giảm. Do kích thước mẫu N = 20 là một số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng thứ N N = 10 và + 1 = 11 . Đó là giá trị 114 và 114. 2 2 Vậy M e = 114 . Do vậy giá trị 114 có tần số lớn nhất là 5 nên ta có M 0 = 114 .

Ví dụ 3. Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu được gọi là A. mốt.

B. số trung bình.

C. số trung vị.

D. độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải Chọn A. Ví dụ 4. Người ta xác định cân nặng của 10 học sinh và xếp thứ tự tăng dần. Số trung vị của 10 học sinh là

A. khối lượng của học sinh thứ năm.

x1n1 + x2 n2 + ... + xk nk = 16,8 . N

B. khối lượng của học sinh thứ sáu. C. không tìm được trung vị.

c) Trong bảng trên ta thấy giá trị có tần số lớn nhất là 15 và 18. Trang 7

Trang 8

D. khối lượng trung bình của em thứ năm và thứ sáu.

Từ bảng tần số ghép lớp, ta thêm cột tần suất ghép lớp:

Hướng dẫn giải

Lớp giá (nghìn đồng)

Tần số

Tần suất (%)

[ 40; 49]

[50;59]

10%

[ 60; 69]

32%

[ 70; 79]

38%

[80;89]

15%

100%

Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Bảng phân phối thực nghiệm đo chiều cao của 50 cây lim. X i (m)

a) Tính chiều cao trung bình của 50 cây lim. b) Tính trung vị và mốt của mẫu số liệu trên.

Câu 2: Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây: Điểm

Tần số

Ta có số trung bình là x = f1.c1 + f 2 .c2 + ... + f k .ck = 69,3 .

Câu 6. N = 100

a) Bảng phân bổ tần số - tần suất ghép lớp. Lớp tiền lãi (nghìn đồng)

Tần số (n)

Tần suất (%)

[ 29,5; 40,5)

[ 40,5;51,5)

16,7

[51,5; 62,5)

23,3

Trong mỗi tổ, tính tuổi nghề bình quân, số mốt và số trung vị?

[62,5; 73, 5)

Câu 4: Kết quả bài kiểm tra môn toán của 36 học sinh được cho trong mẫu số liệu sau:

[73,5;84,5)

16,7

[84,5;95, 5)

13,3

N = 30

100%

a) Tìm mốt, số trung vị. b) Tìm số trung bình.

Câu 3: Có tài liệu về tuổi nghề của công nhân hai tổ trong một xí nghiệp cơ khí như sau: Tổ I

Tổ II

7,5

8,5

9,5

6,5

5,5

6,5

7,5

5,5

2,5

7,5

8,5

1,5

7,5

6,5

7,5

6,5

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp (chính xác một chữ số thập phân sau dấu phẩy) sử dụng 5

b) Ta lập bảng giá trị đại diện tương ứng với bảng phân bố ở câu a.

lớp sau: [ 0; 2 ) ; [ 2; 4 ) ; [ 4;6 ) ; [ 6;8) ; [8;10 ) .

Lớp tiền lãi

Tần số

Giá trị đại diện ( ci )

b) Tính số trung bình, trung vị và mốt của bảng số liệu trên.

[ 29,5; 40,5)

[ 40,5;51,5)

[51,5; 62,5)

[62,5; 73, 5)

[73,5;84,5)

[84,5;95, 5)

Câu 5: Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 6 và số trung vị là 5. Tìm các giá trị của mẫu số liệu đó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp án Dạng 1. Tính số trung bình của một bảng số liệu 1-C

2-A

3-A

HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN Số trung bình cộng là x =

Câu 4. Trang 9

c1.n1 + c2 .n2 + .... + ck .nk ≈ 63, 2 . N Trang 10

Dạng 2. Tính số trung vị và mốt của một bảng số liệu.

100%

N = 36

Câu 1.

b) Ta có số trung bình là

x n + x n + ... + xk nk a) Chiều cao trung bình của 50 cây lim là: x = 1 1 2 2 = 11, 6 ( m ) . n

x = f1.c1 + f 2 .c2 + ... + f k .ck = 0, 056.1 + 0, 083.3 + ... + 0,167.9 = 6, 444 . +) Ta có bảng sắp xếp thứ tự không giảm của mẫu số liệu:

b) Kích thước mẫu là 50 là chẵn nên trung vị là trung bình cộng ở hai vị trí 25 và 26. Ta có

1,5

2,5

5,5

6,5

Câu 2.

7,5

a) Ta có giá trị có tần số lớn nhất: M o = 7

8,5

9,5

Me =

x25 + x26 1 2 = 12 . Giá trị có tần số lớn nhất là 11 và 12 . Mẫu số liệu có hai mốt là M 0( ) = 11, M 0( ) = 12 . 2

6+7 = 6, 5 . 2

Me =

b) Ta có số trung bình cộng là x =

x18 + x19 6,5 + 7 = = 6, 75. 2 2

Giá trị có tần số lớn nhất là 7. Vậy mốt của mẫu số liệu trên là 7.

x1n1 + x2 n2 + ... + xk nk 0.1 + 1.1 + ... + 10.2 = = 6, 23 N 100

Câu 5.

Câu 3.

Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a, b, c, d với 0 < a < b < c < d ; a, b, c, d ∈ N .

+) Tổ I

Ta có M e =

Tuổi nghề bình quân của các công nhân x =

Vì kích thước mẫu là số chẵn nên

Kích thước mẫu là số chẵn nên số trung vị là trung bình cộng hai số đứng giữa. Vậ y M e =

5,5

x1n1 + x2 n2 + ... + xk nk ≈ 7,8 . N

b+c = 5 ⇒ b + c = 10 . 2

Mà x = 6 nên a + b + c + d = 24 ⇒ a + d = 14 .

Mẫu số liệu có 11 phần tử nên số trung vị là M e = x6 = 9 .

a < b < c b > 1 Ta có  ⇒ ⇒ 1 < b < 5, b ∈ N ⇒ b ∈ {2;3; 4} . b + c = 10  10 > 2b

Giá trị có tần số lớn nhất là 9. Vậy mốt M o = 9 .

+) Nếu b = 2 thì c = 8 , mà 0 < a < b, a ∈ N ⇒ a = 1, d = 13 .

+) Tổ II Tuổi nghề bình quân là x =

Khi đó các giá trị của mẫu số liệu là 1; 2;8;13 .

x1n1 + x2 n2 + ... + xk nk ≈ 4,9 . N

 a = 1 ⇒ d = 13 +) Nếu b = 3 thì c = 7 , mà 0 < a < b, a ∈ ℕ thì   a = 2 ⇒ d = 12

1 4+5 Mẫu số liệu có 10 phần tử nên số trung vị là M e = ( x5 + x6 ) = = 4, 5 . 2 2

Khi đó có hai mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là 1; 3; 7; 13 và 2; 3; 7; 12.

Giá trị có tần số lớn nhất là 4. Vậy mốt M 0 = 4 .

a = 1 ⇒ d = 13  +) Nếu b = 4 thì c = 6 , mà 0 < a < b, a ∈ ℕ thì a = 2 ⇒ d = 12 a = 3 ⇒ d = 11 

Câu 4. a) Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp: Lớp điểm KT

Tần số

Tần suất

[0; 2 )

5,6%

[ 2; 4 )

8,3%

[ 4; 6 )

11,1%

[6;8)

58,3%

[8;10 )

16,7%

Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là (1;4;6;13), ( 2; 4;6;12 ) và ( 3; 4; 6;11) . Suy ra với mẫu số liệu có các giá trị là 3; 4; 6; 11 thì hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất.

Trang 11

Trang 12

CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 3. PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN

Phương sai

Mục tiêu

Giá trị trung bình x =

Kiến thức Hiểu được ý nghĩa của phương sai, độ lệch chuẩn.

+ Nắm được phương thức tính phương sai, độ lệch chuẩn. Kĩ năng +

Giải thành thạo các bài toán về phương sai, độ lệch chuẩn.

Vận dụng kiến thức để giải các bài toán thống kê trong thực tế.

vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau

Phương sai được tính theo các công thức sau:

+ Nắm được khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn. +

Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn

1 ( n1 x1 + n2 x2 + ... + nk xk ) . n

( x − x) + ( x = 1

)

(

− x + ... + xn − x

hoặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng

)

nhỏ thì mức độ phân tán ( so với trung

bình cộng ) của các số liệu càng bé.

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất 2

s =

(

n1 x1 − x

)

(

)

(

+ n2 x2 − x + ... + nk xk − x

)

(

)

(

)

(

= f1 x1 − x + f 2 x2 − x + ... + f k xk − x

)

trong đó ni , f i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi ; N là các số liệu thống kê: N = n1 + n2 + ... + nk . Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

s2 =

2 2 2 1  n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x   N 

(

)

(

)

(

= f1 c1 − x + f 2 c2 − x + ... + f k ck − x

)

Trong đó ci , ni , fi là các giá trị đại diện của lớp thứ

i; N là số các số liệu thống kê: N = n1 + n2 + ... + nk . Độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng).

2 Độ lệch chuẩn được tính bởi công thức s = s

Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s vì s có cùng đơn vị đo với dấu

hiệu được nghiên cứu.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Tính phương sai, độ lệch chuẩn của một bảng số liệu Phương pháp giải

Trang 1

Trang 2

Ví dụ: Kết quả bài kiểm tra môn toán của 24 học

+) Phương sai của bảng số liệu trên

sinh được cho trong mẫu số liệu sau:

7,5

8,5

6,5

7,5

5,5

2,5

4,5

8,5

5,5

9,5

5,5

( x − x) + ( x = 1

)

(

− x + ... + xn − x

( 9 − 5,55) + ( 8,5 − 5,55)

+ ... + ( 5,5 − 5,55 ) + ... + ( 5,5 − 5,55 )

≈ 5, 2 Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu. +) Độ lệch chuẩn s = s 2 ≈ 5, 2 ≈ 2,3

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Sản lượng lúa (tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng

Bước 1. Tính giá trị trung bình x của mẫu số + Ta có giá trị trung bình của mẫu số liệu là liệu

tần số sau:

x1 + x2 + ... + xn 149, 5 = ≈ 6, 2 . N 24

Bước 2. Tùy từng trường hợp ta áp dụng một + Phương sai của mẫu số liệu là 2

trong các công thức tính phương sai.

s2 =

( x − x) + ( x 1

)

(

− x + ... + xn − x

)

Tần số ( n )

+ ... + ( 7 − 6, 2 )

a) Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng. b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

≈ 3,8

a) Ta có sản lượng trung bình của mẫu số liệu là 2

+ Độ lệch chuẩn là s = s = 3,8 ≈ 1,95 .

s= s .

x1.n1 + x2 .n2 + ... + xk .nk N

Ví dụ mẫu

20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6 . 40

884 = 22,1 . 40

Ví dụ 1. Kết quả thống kê điểm môn Toán của 30 học sinh được cho trong bảng sau: 9

8,5

4,5

6,5

5,5

1,5

6,5

0,5

9,5

6,5

5,5

3,5

5,5

b) Phương sai của mẫu số liệu 2

s =

(

)

(

Hướng dẫn giải

)

+) Ta có giá trị trung bình của mẫu số liệu là

)

N 2

(

n1 x1 − x + n2 x2 − x + ... + nk xk − x

Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

x =

N = 40

( 2 − 6, 2 ) + ( 4 − 6, 2 ) =

+ Độ lệch chuẩn được tính bởi công thức:

Sản lượng ( x )

5. ( 20 − 22,1) + 8. ( 21 − 22,1) + 11. ( 22 − 22.1) + 10. ( 23 − 22,1) + 6. ( 24 − 22,1) 40

= 1,54 .

x 1 + x 2 + ... + x n 166, 5 = = 5, 55 . N 30

+) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: s =

Trang 3

s 2 = 1,54 ≈ 1, 24 .

Trang 4

Ví dụ 3. Có 100 học sinh dự thi học sinh giỏi Toán ( thang điểm 20). Kết quả như sau:

Câu 3: Giá bán ( đơn vị: nghìn đồng ) của 60 mặt hàng ở một cửa hàng được thống kê trong bảng sau:

Điểm

Tần số

a) Tính số trung bình. b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải a) Ta có số trung bình là

x1.n1 + x2 .n2 + ... + xk .nk 1523 = = 15, 23 . n 100

(

[ 40;50 )

[50; 60 )

[60; 70 )

[70;80 )

[80;90]

a) Số trung bình của bảng số liệu trên là

)

(

)

(

n1 x1 − x + n2 x2 − x + ... + nk xk − x

)

A. 70.

B. 80.

C. 90.

D. 85.

b) Độ lệch chuẩn của bảng số liệu trên gần với số nào nhất?

Tần số

N = 60

b) Phương sai là

s2 =

Lớp

1. ( 9 − 15, 23) + 1. (10 − 15, 23) + .... + 2. (19 − 15, 23 ) 100

A. 13.

B. 15.

C. 16.

D. 10.

Câu 4: Một cửa hàng ăn ghi lại số tiền (nghìn đồng) mà mỗi khách hàng trả cho cửa hàng. Các số liệu được trình bày trong bảng sau:

= 3,96 . +) Độ lệch chuẩn là s = s 2 = 3,96 ≈ 1,99 .

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Chọn câu đúng trong bốn phương án sau đây. Độ lệch chuẩn là:

Lớp

Tần số

[0;100 )

[100; 200 )

A. Bình phương của phương sai.

B. Một nửa của phương sai.

[ 200;300 )

C. Căn bậc hai của phương sai.

D. Hiệu của số trung bình và số trung vị.

[300; 400 )

[ 400;500]

Câu 2: Theo dõi thời gian làm một bài toán (tính bằng phút) của 40 học sinh, giáo viên lập được bảng sau:

N = 200 Thời gian ( x )

Tần số ( n )

a) Tính số trung bình. N = 40

A. 7.

B. 9;10.

C. 8;11.

D. 12.

b) Tần số 3 là của giá trị nào sau đây?

A. 9.

B. 5.

C. 10.

D. 3.

B. 9.

C. 8.

Tiền lương

300

500

700

800

900

1000

Cộng

Tần số

N = 30

a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

c) Số trung bình của mẫu số liệu trên gần với số nào nhất?

A. 6.

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Câu 5: Tiền lương hàng tháng của 30 công nhân ở một xưởng may được cho trong bảng sau.

a) Mốt của dấu hiệu là

b) Tính số trung bình. D. 7.

c) Tìm phương sai, độ lệch chuẩn.

d) Phương sai của mẫu số liệu trên gần với số nào nhất?

A. 6.

B. 12.

C. 40.

D. 9. Trang 5

Trang 6

Ví dụ 2. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:

Dạng 2. Dạng toán tổng hợp Ví dụ mẫu

Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày.

Ví dụ 1. Điểm số 30 lần bắn của xạ thủ A (mỗi lần bắn một viên đạn) được cho trong bảng:

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần suất của số liệu thống kê trên. b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị và mốt. c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Hướng dẫn giải

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp:

a) Ta có bảng phân bố tần số, tần suất của mẫu số liệu trên

[19, 21) ; [ 21; 23) ; [ 23; 25) ; [ 25; 27 ) ; [ 27; 29 ) .

Điểm

Tần số ( n )

Tần suất ( % )

c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

a) Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp:

N = 30

100 %

b) Số trung bình là x =

b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị và mốt.

x1.n1 + x2 .n2 + ... + xk .nk ≈ 8, 2 . N

+) Kích thước mẫu là 30 nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí 15 và 16:

Me = + Giá trị có tần số lớn nhất là 8. Vậy mốt

c) Phương sai là s = +) Độ lệch chuẩn là

(

)

x15 + x16 =8. 2

M0 = 8 .

(

)

(

n1 x1 − x + n2 x2 − x + ... + nk xk − x

)

Các lớp (phút)

Tần số ( n )

Tần suất ( % )

[19, 21)

14,3

[ 21; 23)

25,7

[ 23; 25)

28,6

[ 25; 27 )

[ 27; 29 )

11,4

N = 35

100 %

≈ 1,5 . b) Giá trị trung bình của bảng là

s = s 2 = 1, 2 .

c1.n1 + c2 .n2 + ... + ck .nk 20.5 + 22.9 + ... + 28.4 832 = = ≈ 23,8 . N 35 35

+) Bảng trên có kích thước 35 nên số trung vị là

M e = x18 = 23 .

+) Giá trị có tần số lớn nhất là 23. Vậy mốt M 0 = 23 . Trang 7

Trang 8

c) Phương sai là s =

(

n1 c1 − x

)

(

+ n2 c2 − x

)

(

+ ... + nk ck − x

+) Độ lệch chuẩn là s =

)

b) Giá trị trung bình là x =

≈ 5,9 .

c1.n1 + c2 .n2 + ... + ck .nk 894 = ≈ 22,35 . N 40

Vì kích thước mẫu là 40 nên số trung vị là M e =

s 2 = 5,9 ≈ 2, 4 .

Ví dụ 3. Cho bảng số liệu thống kê thời gian (phút) hoàn thành một bài tập toán của một học sinh lớp 10. 2

c) Phương sai là s = 20,8

20,7

23,1

20,7

20,9

23,9

21,6

25,3

21,5

23,8

20,7

23,3

19,8

20,9

20,1

21,3

24,2

22,0

23,8

24,1

21,1

22,8

19,5

19,7

21,9

21,2

24,3

22,2

23,5

23,9

(

)

(

)

x20 + x21 = 22, 35 . 2

(

n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x

19,9

23,8

25,0

22,9

22,8

≈ 2,3 .

s 2 = 2,3 ≈ 1, 5

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Cho bảng phân bố tần số ghép lớp

Cân nặng của các học sinh lớp 10A và 10B của một trường THPT C Tần số

Lớp cân nặng 22,5

Độ lệch chuẩn là s =

22,8

)

22,7

(kg)

10A

10B

[30,36 )

[36, 42 )

b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị.

[ 42, 48)

c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

[ 48,54 )

[54, 60 )

[60, 66]

N = 38

N = 46

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp với các lớp như sau:

[19,5;20,5) ;[ 20,5;21,5) ; [ 21,5;22,5) ;[ 22,5;23,5) ;[ 23,5; 24,5) , [ 24,5; 25,5] .

Hướng dẫn giải

a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp

Lớp (phút)

Tần số ( n )

Tần suất ( % )

[19, 5; 20,5)

12,5

[ 20,5; 21, 5)

[ 21,5; 22, 5)

12,5

a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ở bảng trên.

[ 22,5; 23,5)

[ 23,5; 24,5)

b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn ở bảng trên. c) Học sinh ở lớp 10A hay lớp 10B có cân nặng trung bình lớn hơn? Câu 2: Để điều tra chiều cao của học sinh nữ lớp 10 trong một trường THPT người ta đo chiều cao của

30 học sinh nữ và thu được mẫu số liệu sau (cm). 151

160

159

152

160

158

157

162

165

164

152

150

160

152

154

156

160

164

162

150

152

165

159

157

162

150

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp gồm 8 lớp sau:

[ 24,5; 25,5]

N = 40

100 %

[150,152 ) ; [152,154 ) ; [158,160 ) ; [160,162 ) ; [162,164 ) ; [164,166] . b) Tính giá trị trung bình. c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Trang 9

Trang 10

Câu 3: Số cuộn phim mà 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng trong một tháng được thống kê trong bảng sau.

ĐÁP ÁN BÀI 3. PHƯƠNG SAI ĐỘ LỆCH CHUẨN

Dạng 1. Tính phương sai, độ lệch chuẩn của một bảng số liệu

1–C

2a- C

2b- B

2c- C

2d- A

3a- A

3b- D

HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN

a) Với các lớp [ 0;3) , [ 4;7 ] , [8;11] , [12;15] , [16;17 ] , lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp.

Câu 4.

b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị.

Lập bảng giá trị đại diện của từng lớp

c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn. Câu 4: Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở các bảng

Lớp

Tần số

Giá trị đại diện

[0;100 )

[100; 200 )

150

[ 200;300 )

250

Điểm số của xạ thủ A

[300; 400 )

350

[ 400;500]

450

Điểm số của xạ thủ B

N = 200

a) Số trung bình của mẫu số liệu: x = =

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất của các số liệu thống kê ở hai bảng trên.

n1.c1 + n2 .c 2 + ... + nk .ck N

25.50 + 70.150 + 60.250 + 30.350 + 15.450 200

= 220 .

b) Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê ở hai b) Phương sai là

bảng trên. c) Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắn chụm hơn?

s =

Câu 5: Hai lớp 10C, 10D của một trường THPT đồng thời làm bài thi môn Văn theo cùng một đề thi. Kết

(

)

(

)

(

n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x

Cộng

Tần số

N = 45

Điểm thi Văn của lớp 10D

25. ( 50 − 220 ) + 70. (150 − 220 ) + ... + 15. ( 450 − 220 )

Điểm thi Văn của lớp 10C Điểm thi

N 2

quả thi được trình bày ở hai bảng phân bố sau đây:

)

200

= 20000. Suy ra độ lệch chuẩn là s = s 2 = 20000 ≈ 141, 4 .

Câu 5.

Điểm thi

Cộng

Tần số

N = 45

a) Mốt của mẫu số liệu trên là: 700;900 .

a) Tính các số trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của hai bảng trên.

b) Số trung bình là x =

300.3 + 500.5 + ... + 1000.5 ≈ 733 . 30

b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Văn ở lớp nào là đồng đều hơn? 2

c) Áp dụng công thức tính phương sai: s =

THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 6

Trang 11

(

)

(

)

(

n1 x1 − x + n2 x2 − x + ... + nk xk − x N

)

, Trang 12

Ta tính được phương sai là s 2 = 46222 .

Lớp

Tần số ( n )

Tần suất (%)

[150;152 )

16,7

[152;154 )

13,3

[154;156 )

3,3

[156;158)

13,3

[158;160)

[160;162 )

16,7

[162;164 )

13,3

[164;166]

13,3

N = 30

100%

(chiều cao học sinh)

Suy ra độ lệch chuẩn là s = 214 Dạng 2. Dạng toán tổng hợp Câu 1.

a) Bảng phân bố tần suất ghép lớp Tần suất (%)

Tần số ( n ) Lớp cân nặng (kg) 10A

10B

10A

10B

[30, 36 )

2,63

4,35

[36, 42 )

5,26

15,22

[ 42, 48)

13,16

26,08

[ 48,54 )

39,48

28,26

[54, 60 )

23,68

15,22

[60, 66]

15,79

10,87

a) Bảng các giá trị đại diện tương ứng

N = 38

N = 46

100%

Lớp

b) Số trung bình cộng:

(chiều cao học sinh)

n .c + n .c + n .c + n .c + n .c + n .c x= 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 N

Tần số ( n )

1.33 + 2.39 + 5.45 + 15.51 + 9.57 + 6.63 ≈ 52, 4 . 38

Tần suất

Giá trị đại diện

(100%)

[150;152 )

16,7

151

[152;154 )

13,3

153

n .c + n .c + n .c + n .c + n .c + n .c y= 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 N

[154;156 )

3,3

155

2.33 + 7.39 + 12.45 + 13.51 + 7.57 + 5.63 = ≈ 49 . 46

[156;158)

13,3

157

[158;160)

159

[160;162 )

16,7

161

[162;164 )

13,3

163

[164;166]

13,3

165

N = 30

100%

+) Phương sai: Áp dụng công thức tính phương sai: s2 =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk xk − x + n5 c5 − x + n6 c6 − x

)

Ta tính được phương sai của cân nặng học sinh lớp 10A và lớp 10B lần lượt là 2 x

2 y

s ≈ 50, 41 ; s ≈ 62, 41 . Suy ra độ lệch chuẩn: s = sx2 ≈ 50, 41 ≈ 7,1 ; s = s y2 ≈ 62, 41 ≈ 7,9 .

c) Ta thấy x > y , nên học sinh ở lớp 10A có cân nặng trung bình lớn hơn lớp 10B.

Câu 2. a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp

Trang 13

Trang 14

Khi đó số trung bình là x =

151.5 + 153.4 + ... + 165.4 4744 = ≈ 158 . 30 30

Do N = 30 nên số trung vị là M e =

x15 + x16 158 + 159 = = 158,5 . 2 2

+) Số trung bình cộng:

b) Phương sai là 2

s =

(

n1 c1 − x

)

(

+ n2 c2 − x

)

(

+ ... + n8 c8 − x

)

702 = 23, 4 . 30

xA =

n1.x1 + n2 .x2 + n3 .x3 + n 4 .x4 + n 5 .x5 4.6 + 3.7 + 8.8 + 9.9 + 6.10 = ≈ 8, 33. n 30

xB =

n1.x1 + n2 .x2 + n3 .x3 + n 4 .x4 + n 5 .x5 + n6 .x6 1.5 + 2.6 + 4.7 + 7.8 + 9.9 + 7.10 = ≈ 8, 4. n 30

Suy ra độ lệch chuẩn s ≈ 4,84 .

Câu 3. a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Lớp (số cuộn phim)

Tần số ( n )

Tần suất (%)

Giá trị đại diện

[0;3]

27,5

1,5

[ 4; 7]

5,5

[8;11]

22,5

9,5

[12;15]

10 10

13,5

[16;17]

N = 40

100%

+) Số trung vị: M e ( A ) =

8+9 = 8, 5; M e ( B ) = 9 2

+) Mốt: M 0 ( A ) = 9; M 0 ( B ) = 9 +)Phương sai:

sx2 ( A ) =

16,5

(

)

(

)

c) Áp dụng công thức tính phương sai: s 2 =

(

)

(

)

(

n1 c1 − x + n2 c2 − x + ... + nk ck − x N

)

(

)

(

)

(

)

n 2

1, 5.11 + 5,5.14 + ... + 16,5.2 b) Số trung bình là x = = 6, 65 . 40

n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x

4 ( 6 − 8, 3) + 3 ( 7 − 8,3) + 8 ( 8 − 8,3) + 9 ( 9 − 8, 3) + 6 (10 − 8, 3)

≈ 1, 61 .

, ta tính được

2 x

s ( B) =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x + n6 x6 − x

)

phương sai là s = 26 . 2

Suy ra độ lệch chuẩn là s ≈ 5 .

Câu 4. a) Bảng phân bố tần số, tần suất: Xạ thủ A

1( 5 − 8, 4 ) + 2 ( 6 − 8, 4 ) + 4 ( 7 − 8, 4 ) + 7 ( 8 − 8, 4 ) + 9 ( 9 − 8, 4 ) + 7 (10 − 8, 4 )

≈ 1, 77 .

+) Độ lệch chuẩn: sx ( A ) ≈ 1, 27; sx ( B ) ≈ 1, 33 .

Xạ thủ B

Điểm số

Tần số

Tần suất

Điểm số

Tần số

Tần suất

13,3

3,3

10,0

6,7

26,7

13,4

30,0

23,3

20,0

30,0

Cộng

N = 30

100%

23,3

Cộng

N = 30

100% Trang 15

c) Do x A ≈ xB ; sx2 ( A ) < sx2 ( B ) nên trong lần bắn này, xạ thủ A bắn chụm hơn xạ thủ B.

Câu 5. a) Số trung bình cộng:

n1.x1 + n2 .x2 + n3 .x3 + n 4 .x4 + n 5 .x5 + n6 .x6 5.5 + 7.6 + 12.7 + 14.8 + 3.9 + 4.10 = ≈ 7,3. n 45

Trang 16

n1.x1 + n2 .x2 + n3 .x3 + n 4 .x4 9.6 + 18.7 + 12.8 + 6.9 = ≈ 7,3. n 45

+) Số trung vị: M e (10C ) = 7; M e (10 D ) = 7 . +) Mốt: M 0 (10C ) = 8; M 0 (10 D ) = 7 . +) Phương sai:

2 x

s =

(

)

(

)

2 y

s =

(

)

(

)

(

)

5 ( 5 − 7, 3) + 7 ( 6 − 7, 3) + 12 ( 7 − 7,3) + 14 ( 8 − 7, 3) + 3 ( 9 − 7,3) + 4 (10 − 7, 3)

(

)

(

)

(

)

(

n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x

)

≈ 1,87 .

n 2

)

n 2

(

n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x + n6 x6 − x

9 ( 6 − 7,3) + 18 ( 7 − 7,3) + 12 ( 8 − 7, 3) + 6 ( 9 − 7,3)

≈ 0,89 .

+) Độ lệch chuẩn: sx ≈ 1,87 ≈ 1,37; s y ≈ 0,89 ≈ 0, 94 . b) Vì x = y ≈ 7,3; sx2 > s y2 nên điểm số của các bài thi ở lớp 10D là đồng đều hơn.

Trang 17

CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BÀI 1. CUNG LƯỢNG GIÁC Mục tiêu Kiến thức 1. Nắm vững được cung lượng giác; biểu diễn cung hay góc trên đường tròn lượng giác; số đo đơn vị độ, rađian; mối quan hệ giữa các đơn vị này. 2. Phát hiện được các vấn đề trong toán học từ những bài toán thực tế. Kĩ năng 1. Đổi được đơn vị từ độ sang rađian và ngược lại. 2. Biểu diễn được cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. 3. Tính được độ dài cung tròn, số đo cung theo dữ kiện cho trước. 4. Xác định được điểm cuối của một cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm cung và góc lượng giác - Đường tròn định hướng là đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương (Hình 1). - Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì có vô số cung lượng giác có điểm đầu là A , điểm cuối là B , ↷ kí hiệu AB . Lưu ý: kí hiệu AB chỉ cung hình học xác định bởi A, B. - Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác ↷ CD . Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo ↷ nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD . Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC , tia cuối là OD . Kí hiệu góc lượng giác đó là ( OC , OD ) (Hình 1).

Hình 1

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1 . Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A (1;0 ) , A′ ( −1; 0 ) , B ( 0;1) , B′ ( 0; −1) . Ta lấy A (1;0 ) làm điểm gốc của đường tròn. Đường tròn được xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác gốc A (Hình 2) Hình 2 Số đo cung và góc lượng giác - Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính 25π π Ví dụ: Vì nên điểm = 8π + được gọi là cung có số đo 1 rad . 3 3 - Quy tắc đổi từ độ sang rad và từ rad sang độ: 25π cuối của cung là điểm M ° 3 π  180  1° = rad và 1 rad =   180 thuộc cung nhỏ AB sao cho  π  π - Độ dài cung có số đo α rad của đường tròn bán kinh R AOM = = 60° 3 được tính theo công thức: I = α .R ↷ 25π Biểu diễn cung lượng giác trên - Số đo của một cung lượng giác AM ( A ≠ M ) là một số 3 ↷ ↷ đường tròn lượng giác như hình vẽ: thực âm hay dương. Kí hiệu số đo cung AM là sđ AM - Số đo của góc lượng giác ( OA, OC ) là số đo của cung ↷ lượng giác AC tương ứng. - Để biểu diễn một cung lượng giác trên đường tròn lượng giác ta chọn điểm gốc A (1;0 ) làm điểm đầu, điểm cuối là điểm ↷ M được xác định bằng hệ thức sđ AM = α

Trang 1

Trang 2

Ta được kết quả là 601°36′20.47′′

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Đơn vị đo độ và rađian Phương pháp giải Dùng mối quan hệ giữ độ và rađian: 180° = π rad •

Đổi cung a có số đo từ rađian sang độ a.

•

Đổi cung x ° có số đo từ độ ra rađian x °.

Vậy góc lượng giác có số đo 10,5 ( rad ) thì có số đo theo độ làm tròn đến giây là 601°36′20′′ Chọn B. Ví dụ 4. Đổi số đo cung 138°32′22′′ từ độ sang rađian là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

180°

A. 2,416

B. 2,417

C. 2,418

D. 2,419

Hướng dẫn giải

Do 138°32′22′′ = 138°32′22′′.

( rad ) nên để kết quả chính xác đến giây, chúng ta sẽ sử dụng máy tính 180° bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) và ấn như sau

180°

Ví dụ:

3π có số đo từ rađian sang độ 4 3π 3 π 180° rad = . = 135° π 4 4 b) Đổi các cung 50°;11°15′ có số đo từ độ sang rađian a) Đổi cung

Ta được kết quả là 2,417969449 Vậy góc lượng giác có số đo 138°32′22′′ thì có số đo theo rađian làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba là 2,418 . Chọn C. Ví dụ 5. Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ. Hỏi sau bao nhiêu lâu hai kim lại vuông góc với nhau? Lúc đó tổng số đo góc hai kim quay được theo rađian hoặc độ là bao nhiêu? (Độ: chính xác đến giây; rađian: chính xác đến chữ số thập phân thứ ba).

5π 50° = 50°. rad = rad 180° 18  15  π π 11°15′ =  11 +  . rad = rad 60 180 ° 16  

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Đổi số đo các cung sau đây: 25°;30°;24°15′;80°30′ từ độ ra rađian. Hướng dẫn giải 5π rad 180° 36  15  π 97π = 24°15′ =  24 +  . rad 60  180° 720 

Ta có 25° = 25°.

30° = 30°.

Ví dụ 2. Đổi số đo các cung sau đây:

π 180°

A. 212°83′37′′

1 vòng đồng hồ. Để kim phút 4 vuông góc với kim giờ một lần nữa thì kim phút phải đuổi kịp kim giờ và đi tiếp đến khi khoảng cách 1 vòng đồng hồ một lần nữa. 4 Ở đây chúng ta sẽ sử dụng công thức quen thuộc là

giữa hai kim là

; ; 0, 75π ;3, 75 từ rađian sang độ. 9 24

Hướng dẫn giải

0,75π rad = 0, 75 π .

180°

Thôø i gian = ( Quaõ ng ñöôø ng ) : ( Vaä n toá c )

π 180° rad = . = 7,5° = 7°30′ 24 24 π π

= 135°

3,75 rad = 3, 75.

180°

675°

Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là 1 −

≈ 214,9°

Vào lúc 3 giờ khoảng cách giữa hai kim là

B. 601°36′20′′

C. 601°36′21′′

D. 601°36′22′′

Hướng dẫn giải

Do 10,5rad=10,5.

180°

1890°

1 11 = (vòng đồng hồ/giờ) 12 12

1 vòng đồng hồ. Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút 4

 1 1  11 6 lại vuông góc với kim giờ là  +  : = (giờ).  4 4  12 11 Trong một giờ kim phút quay được một vòng 360° , còn kim giờ quay được 30° cho nên tổng số đo góc

Ví dụ 3. Số đo cung 10,5 ( rad ) từ rađian sang độ, phút, giây là A. 601°36′19′′

D. 213°83′37′′

Lúc 3 giờ hai kim vuông góc với nhau nên khoảng cách giữa hai kim là

π π

π 180° Ta có rad= . = 20° 9 9 π

C. 3,713 ( rad )

Hướng dẫn giải

rad

6  30  π 161π = 80°30′ =  80 +  . rad 60  180° 360 

B. 3,724 ( rad )

nên để kết quả chính xác đến giây, chúng ta sẽ sử dụng máy tính bỏ túi

hai kim quay được trong

 2340  6 6 giờ là . ( 360° + 30° ) =   11 11  11 

Tiếp theo ta dùng máy tính bỏ túi và thực hiện giống như Ví dụ 3 và Ví dụ 4 thì ta có được kết quả như

(CASIO-fx-570ES PLUS) và ấn như sau

sau 212°43′38′′ và 3,713 ( rad ) Chọn C.

Trang 3

Trang 4

Dạng 2: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Phương pháp giải Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các đường tròn lượng giác ta thực hiện như sau: 25π điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là - Chọn điểm A (1;0 ) làm điểm đầu của 4

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1: Góc lượng giác có số đo −2880° thì có số đo theo rađian là A. 16 ( rad )

B. 16π ( rad )

C. −16π ( rad )

π Câu 2: Góc lượng giác có số đo rad thì có số đo theo độ là 36 A. 4° B. 5° C. 6° Câu 3: Góc lượng giác có số đo A. 561°29′

D. −16 ( rad )

cung. - Xác định điểm cuối M của cung sao cho ↷ AM = α Lưu ý: + Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2π là: ↷ sñ AM = α + k 2π ; k ∈ ℤ Ngoài ra, ta cũng có thể viết số đo bằng độ: ↷ sñ AM = x ° + k 360°, k ∈ ℤ ↷ 2π + Nếu ta có AM = α + k ; k , n ∈ ℤ thì sẽ n có n điểm ngọn.

D. 7°

49 rad thì có số đo theo độ làm tròn đến phút là 5

B. 561°30′

C. 561°31′

D. 561°32′

Câu 4: Góc lượng giác có số đo 78° thì có số đo theo rađian là A.

13π ( rad ) 30

B. −

13π ( rad ) 30

13 ( rad ) 30

30 ( rad ) 13

Câu 5: Góc lượng giác có số đo 22°30′ đổi ra rađian là

( rad )

7π ( rad ) 12

A. 8

B. 9

( rad )

( rad ) 6 Câu 6: Cho ( OA, OM ) = 23°15′ + k 360°; k ∈ ℤ . Với k bằng bao nhiêu thì ( OA, OM ) = 3263°15′ ? A.

C. 16

D. 18

Câu 7: Đường tròn lượng giác cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A (1;0 ) , A′ ( −1; 0 ) , B ( 0;1) , B′ ( 0; −1) . Ta

thường chọn điểm gốc của đường tròn lượng giác tại điểm nào? A. A (1;0 )

B. O ( 0;0 )

C. B ( 0;1)

B. 90°

C. 100°

D. 110°

Bài tập nâng cao Câu 9: Người ta muốn xây dựng một cây cầu bằng sắt có chiều cao MN = 5m qua sông (như hình vẽ). theo rad gần bằng số nào trong các số sau? Biết rằng AB = 50m . Số đo cung AMB

A. 0,25π ( rad )

B. 0,35π ( rad )

C. 0,45π ( rad )

điểm ngọn của cung

4 . giữa của cung nhỏ AB

. Suy ra M là điểm chính

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là −1485° Hướng dẫn giải ↷ Ta có sñ AM = −1485° = −45° + ( −4 ) .360°

D. A′ ( −1;0 )

Câu 8: Một bánh xe có 108 bánh răng. Góc mà bánh xe quy được khi di chuyển 30 bánh răng là A. 80°

Ta có ↷ 25π π 24π π π = + = + 6π = + 2.3.π sñ AM = 4 4 4 4 4 ↷ Vậy điểm cuối M của cung AM sẽ trùng với

↷ Vậy điểm cuối M của cung AM sẽ trùng với điểm ngọn của cung −45° . . Suy ra M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB′

D. 0,55π ( rad )

Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là

π 6

π 2

;k ∈ℤ

Hướng dẫn giải

Trang 5

Trang 6

↷ π 2π nên có 4 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác. Ta có sñ AM = + k 6 4 ↷ π k = 0 ⇒ sñ AM = có điểm ngọn là M 6 ↷ π π k = 1 ⇒ sñ AN = + có điểm ngọn là N 6 2 ↷ π k = 2 ⇒ sñ AP = + π có điểm ngọn là P 6 ↷ π 3π có điểm ngọn là Q k = 3 ⇒ sñ AQ = + 6 2

kim phút và kim giờ là 2π −

π 6

. Hiệu vận tốc giữa

11π 6

Vào lúc 3 giờ hai kim vuông góc với nhau cho nên khoảng cách giữa hai kim là

π 2

. Sau đó kim phút phải

quay để bắt kịp kim giờ và tạo thành một góc vuông nữa nên kim phút cần phải quay thêm

π 2

nữa.

 π π  11π 6 Khoảng thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần nữa là  +  : = ( h) 11 2 2 6

Chọn A.

↷ π k = 4 ⇒ sñ AR = + 2π có điểm ngọn là R . Lúc này điểm ngọn R trùng với M 6 Vậy bốn điểm M , N , P, Q tạo thành một hình vuông nội tiếp đường tròn lượng giác. Ví dụ 3: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là k

Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2π ; kim giờ quét được một góc

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản

π 3

;k ∈ℤ

Câu 1: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng với cung

lượng giác có số đo là

Hướng dẫn giải ↷ 2π Ta có sñ AM = k nên có 6 điểm ngọn trên 6 đường tròn lượng giác. ↷ k = 0 ⇒ sñ AM = 0 có điểm ngọn là M ↷ π k = 1 ⇒ sñ AN = có điểm ngọn là N 3 ↷ 2π k = 2 ⇒ sñ AP = có điểm ngọn là P 3 ↷ k = 3 ⇒ sñ AQ = π có điểm ngọn là Q

π 5

−13π 7π 12π 31π D. B. C. 5 5 5 5 Câu 2: Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, khi nào xảy ra trường hợp các điểm đầu, cuối của chúng trùng nhau? A.

A. Khi các số đo hơn kém nhau một bội của 2π B. Khi các số đo hơn kém nhau một ước của 2π C. Khi các số đo hơn kém nhau một bội của π D. Khi các số đo hơn kém nhau một ước của π Câu 3: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối không trùng với

cung lượng giác có số đo là

↷ 4π k = 4 ⇒ sñ AR = có điểm ngọn là R 3 ↷ 5π k = 5 ⇒ sñ AS = có điểm ngọn là S 3 ↷ k = 6 ⇒ sñ AT = 2π có điểm ngọn là T

5π 7

−23π 7

19π 7

34π 7

47π 7

Câu 4: Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng với cung lượng giác có số đo là 1756° ? A. 452°

Lúc này điểm ngọn T trùng với M

B. 4636°

C. 726°

D. 244°

Câu 5: Cung nào sau đây có điểm cuối trùng với M ? Biết M là điểm chính giữa của cung AB

Vậy sáu điểm M ; N ; P; Q; R; S tạo thành một lục giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác. Ví dụ 4: Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ. Hỏi sau bao nhiêu lâu hai kim lại vuông góc với nhau? 6 7 8 9 A. giờ B. giờ C. giờ D. giờ 11 11 11 11 Câu này ta thấy giống Dạng 1. Ví dụ 5. Nhưng giờ ta sẽ giải theo một cách tư duy khác như sau.

A. α =

B. α =

C. α =

2 3 4

+ k 2π ; k ∈ ℤ

D. α =

π 5

+ k 2π ; k ∈ ℤ

+ k 2π ; k ∈ ℤ + k 2π ; k ∈ ℤ

Hướng dẫn giải

Trang 7

Trang 8

Bài tập nâng cao Câu 9: Kim giờ và kim phút chỉ thời gian lúc 12 giờ. Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vuông góc với nhau hai lần. Hỏi thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần đầu tiên gần với số nào sau đây? A. 15 phút

B. 16 phút

C. 17 phút

D. 18 phút

Câu 10: Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ thời gian lúc 12 giờ. Hỏi thời gian để hai kim trùng nhau lần thứ hai là bao lâu (không tính lúc 12 giờ)? 23 24 25 giờ B. giờ C. giờ D. 2 giờ 11 11 11 Câu 11: Kim giờ và kim phút chỉ thời gian lúc 12 giờ. Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vuông góc với nhau hai lần. Số lần hai kim vuông góc với nhau từ 12 giờ đến 15 giờ và 16 giờ là

Câu 6: Cung nào sau đây có điểm đầu là điểm B và điểm cuối trùng với M ? Biết M là điểm chính giữa của cung A′B′ . 3π A. α = + kπ ; k ∈ ℤ 4

B. α =

5π + kπ ; k ∈ ℤ 4

C. α =

3π + k 2π ; k ∈ ℤ 4

D. α =

5π + k 2π ; k ∈ ℤ 4

A. 6 và 7 lần

B. 6 và 8 lần

Dạng 3. Độ dài của một cung tròn Phương pháp giải Cung có số đo α rad của đường tròn bán kính R có độ dài là I = R.α

π 2

B. α = − C. α =

π 2

Độ dài cung có số đo

π rad là: 15

π = 2π ( cm ) 15 Độ dài cung có số đo 70° I = R.α = 30.

+ k 2π ; k ∈ ℤ

Ví dụ: Một đường tròn có bán kính 30 cm . Tìm độ dài của các cung trên đường tròn có số đo sau

π rad; 70° 15 Hướng dẫn giải Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn. Khi đó R = 30 cm

+ k 2π ; k ∈ ℤ

D. 5 và 8 lần

đây:

Câu 7: Biết tam giác OCB′ và ODB′ là hai tam giác đều. Cung nào sau đây có điểm đầu là điểm A và điểm cuối trùng với B, C , D A. α =

C. 5 và 7 lần

Chuyển từ độ sang rađian: 70° = 70°.

2π ;k ∈ℤ 3

Độ dài cung: I = R.α = 30.

2π ;k ∈ℤ D. α = + k 6 3

= π . Cho các góc lượng giác có số đo π ; 5π ; − 5π ; 13π ; −11π ; 7π ; − 7π . Trong các Câu 8: Cho AOB 6 6 6 6 6 6 6 6 góc lượng giác có số đo trên, có bao nhiêu góc lượng giác có tia đầu là OA , tia cuối là OB

A. 1 B. 2 C. 3

( cm )

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trên đường tròn định hướng có bán kính bằng 3 lấy một cung có độ dài là 2π . Số đo theo độ của cung đó là A. 120°

B. 150°

C. 180°

D. 210°

Hướng dẫn giải Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn Khi đó R = 3; I = 2π

Ta có I = R.α ⇒ α =

D. 4

7π 35π = 18 3

π 7π = 180° 18

I 2π 2 π 180° = = . = 120° π R 3 3

Chọn A. Ví dụ 2: Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo rađian của cung đó là

Trang 9

Trang 10

1 rad 2

B. 1 rad

3 rad 2

D. 2 rad

I = R.α =

Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1. Điền vào chỗ còn trống sau

Hướng dẫn giải Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn

Vì độ dài bằng nửa bán kính nên I =

1 R 2

Cung có độ dài bằng … độ dài đường tròn là cung có số đo 1°

1 .R 1 I 2 Ta có I = R.α ⇒ α = = = ( rad ) R R 2 Chọn A. Ví dụ 3: Biết độ dài của xích đạo là 40000 km . Bán kính của Trái Đất là A. 6166,2 km

B. 6266,2 km

C. 6366,2 km

1 90

A. 1

1 360

1 720

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 3. Trên đường tròn có diện tích là 16π cm . Độ dài cung 75° trên đường tròn gần bằng 2

A. 5 cm

40000 20000 Ta có I = R.α ⇒ R = = = ≈ 6366,2 ( km ) α 2π π Chọn C. Ví dụ 4: Kim giờ dài 5,5 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi sau bao nhiêu lâu 2 kim lại vuông góc với nhau? Lúc đó tổng quãng đường 2 đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu? I

C. 7,54 cm

1 180

Cung có độ dài bằng bán kính đường tròn là cung có số đo … rađian

D. 6466,2 km

Khi đó I = 40000 ( km )

B. 6,54 cm

Câu 2. Điền vào chỗ còn trống sau

Hướng dẫn giải Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn

A. 5,54 cm

1 π 1 25π ≈ 6,54 ( cm ) . .5,5 + .2π .11 = 11 6 11 12

D. 8,54 cm

C. 5,2 cm

D. 5,3 cm

rad trên đường tròn bằng

Câu 4. Trên đường tròn có bán kính R = 20 cm . Độ dài cung A. 9π cm

B. 10π cm

C. 9 cm

D. 10 cm

Câu 5. Cung lượng giác có số đo x ° của đường tròn bán kính R có độ dài là A. I = R.x °

Câu này ta thấy giống Ví dụ 5. Dạng 1 nhưng giờ ta sẽ giải theo 1 cách khác như sau.

B. 5,1 cm

B. I = R.x °.

π 180°

C. I =

R x°

D. I =

x° R

Câu 6. Bánh xe máy có đường kính 60 cm . Nếu chạy với vận tốc 30 km/h thì trong 1 giây bánh xe quay

Hướng dẫn giải

π - Một giờ, kim phút quét được 1 góc lượng giác 2π ; kim giờ quét được một góc . 6

được 1 góc là bao nhiêu (làm tròn đến độ, phút)?

1 2π - Vào lúc 4 giờ hai kim cách nhau đồng hồ cho nên khoảng cách giữa hai kim là . Sau đó kim 3 3

Câu 7. Máy kéo nông nghiệp có bánh xe sau to hơn bánh trước. Bánh xe sau có đường kính là 1,892 m ;

phút phải quay để tạo thành 1 góc vuông với kim giờ nên kim phút cần cách kim giờ 1 khoảng - Trong 1 giờ kim giờ vuông góc với kim phút 2 lần nên ta có 2 ngọn cung ⇒ k

A. 1591°33′

π nữa. 2

C. 1691°33′

D. 1791°33′

bánh xe trước có đường kính là 95 cm . Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được 10 vòng thì xe di chuyển được bao nhiêu mét và khi đó bánh trước lăn được một góc bao nhiêu độ? A. 7169°41′

2π = kπ 2

B. 1491°33′

B. 7069°41′

C. 7569°41′

D. 7969°41′

↷ Câu 8. Bánh xe của một ròng rọc có chu vi 0,54m . Dây cua roa bao bánh xe trên cung AB có độ dài là

- Lưu ý chiều dương lượng giác là chiều ngược kim đồng hồ. - Gọi x là thời gian để hai kim vuông góc với nhau.

bằng 0,2m . Số đo góc AOB

Ta có

A. 127°

−π 2π π 2π 11x 1 1 6k x = −2 π x + − +k ⇒ = + k ⇒ x = + ; k ∈ ℤ; k ≥ 0 6 3 2 2 6 6 11 11 1 - Chọn k = 0 ⇒ x = (giờ) 11 1 Vậy sau (giờ) hai kim sẽ lại vuông góc với nhau. 11 - Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là

B. 130° C. 133°20′ D. 136°

Trang 11

Trang 12

Câu 9. Kim giờ của đồng hồ dài 5,5 cm , kim phút dài 11 cm và chỉ thời gian lúc 12 giờ. Hỏi khi hai kim

trùng nhau lần thứ ba thì tổng quãng đường của hai kim đã quay là bao nhiêu? A. 25π cm

B. 50π cm

C. 75π cm

D. 100π cm

Câu 10. Kim giờ của đồng hồ dài 11 cm , kim phút dài 22 cm và chỉ thời gian lúc 12 giờ. Người ta để ý

rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vuông góc với nhau hai lần. Khi hai kim vuông góc với nhau lần thứ ba thì tổng quãng đường của hai kim đã quay là A. 60π cm

B. 62,5π cm

C. 65π cm

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1. Đơn vị đo độ và rađian 1- C 2- B 3- B 4- A 5- A 6- B 7- A

8- C

9- A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 9. Chọn A.

, MK là đường kính của đường tròn tâm O; OA Gọi O là tâm của đường tròn chứa cung AMB ( )

D. 67,5π cm

Bài tập nâng cao Câu 11. Người ta muốn xây dựng một cây cầu bằng sắt có chiều cao MN = 5m qua sông (như hình vẽ).

gần bằng Biết rằng AM = 25m . Độ dài cung AMB

A. 49m

B. 50m

C. 51m

D. 52m

Câu 12. Từ một miếng tôn hình tròn có bán kính R = 8 cm , người ta muốn cắt thành 1 hình chữ nhật có

diện tích lớn nhất. Khi đó diện tích của hình chữ nhật đó là bao nhiêu? Độ dài của cung AB là bao nhiêu? A. S = 128 cm 2 ; I AB = 4π B. S = 4 cm 2 ; I AB = 128π C. S = 128 cm 2 ; I AB = 128π D. S = 4 cm 2 ; I AB = 4π

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ∆AMK vuông tại A , đường cao AN AN 2 252 = = 125 ( m ) MN 5 = AN = 25 ⇒ AKN ≈ 11,3° ⇒ AKB = 2 AKN = 22,6° Xét ∆ANK có tan AKN NK 125 1 = 45,2° ≈ 0,251π rad Do tính chất góc nội tiếp bằng số đo cung bị chắn nên AMB ( ) 2 Dạng 2. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 1- D 2- A 3- C 4- B 5- C 6- C 7- C 8- C 9- B

Ta có AN 2 = MN .NK ⇒ NK =

10- B

11- A Đề bài sử dụng cho câu 13, 14, 15. Để vẽ hình quả trứng, bạn Bình vẽ bốn cung tròn chắp nối với nhau như hình vẽ dưới đây: nửa đường tròn ACB có đường kính AB , cung BE có tâm A bán kính AB , cung FA có tâm B bán kính BA và cung EF có tâm D bán kính DE . Biết rằng AB = 4 cm

Câu 13. Độ dài cung EF bằng bao nhiêu? A. 1,6 cm

B. 1,84 cm

C. 2,04 cm

D. 2,24 cm

và kim giờ quay được

A. 3,14 cm

B. 3 cm D. 3,41 cm B. 15,9cm 2

C. 16,9cm

D. 17,9cm

rad 2 - Nhận thấy rằng trong 1 giờ, hai kim vuông góc với nhau 2 lần nên chu kỳ của phương trình dưới sẽ là kπ Gọi x là thời gian để hai kim vuông góc với nhau. Ta có phương trình như sau

Câu 15. Diện tích của quả trứng là bao nhiêu? A. 14,9cm 2

π 1 vòng là − rad 12 6

- Hai kim vuông góc với nhau thì hai kim cách nhau một khoảng là

Câu 14. Độ dài cung BE bằng bao nhiêu? C. 3,24 cm

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 9. Chọn B. Xét chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Trong 1 giờ, kim phút quay được 1 vòng là −2π rad

−

π 6

.x = −2 π x +

π 2

Chọn k = 0 ⇒ x =

Trang 13

+ k π ; k ∈ ℤ; k ≥ 0 ⇒

−x 1 11x 1 3 6.k = −2 x + + k ⇒ = +k ⇒ x = + 6 2 6 2 11 11

3 ( giôø ) ≈ 16,3 ( phuùt ) 11

Trang 14

Vậy sau 16,3 phút thì hai kim vuông góc với nhau lần đầu tiên. Câu 10. Chọn B. Xét chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Trong 1 giờ, kim phút quay được 1 vòng là

là 51,1 m Vậy độ dài cung AMB

π 1 vòng là − ( rad ) 12 6 Nhận thấy rằng cứ cách hơn 1 giờ thì 2 kim sẽ gặp lại nhau nên chu kỳ của phương trình dưới sẽ là k 2π Gọi x là thời gian để 2 kim trùng nhau. Ta có phương trình như sau −2π ( rad ) và kim giờ quay được

−

π 6

.x = −2 π .x + k 2 π ; k ∈ ℤ; k > 0 ⇒

Chọn k = 2 ⇒ x =

−x 11x 12.k = −2 x + k .2 ⇒ = 2.k ⇒ x = 6 6 11

24 ( giôø ) 11

24 ( giôø ) thì 2 kim gặp nhau lần thứ 2. 11 Câu 11. Chọn A.

Vậy sau

Câu 12. Chọn A. Gọi α , I , R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính.

- Phương trình hai kim vuông góc với nhau là x =

3 6.k + ; k ∈ ℤ; k ≥ 0 (áp dụng kết quả câu 9). 11 11

3 6.k - Vào lúc 15 giờ cách 12 giờ 3 tiếng nên 3 = + ⇒k =5 11 11

x 2 + 162 − x 2 = 128 cm 2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 cạnh của hình chữ nhật bằng nhau nên ABCD trở thành hình vuông

Vậy vào lúc 15 giờ hai kim vuông góc với nhau 6 lần.

12- A

13- B

14- A

(

)

= 90 = π rad ⇒ AOB ( ) 2

3 6.k - Vào lúc 16 giờ cách 12 giờ 4 tiếng nên 4 = + ⇒ k = 6,8 ⇒ k = {0,1,2,3,4,5,6} 11 11 Vậy vào lúc 16 giờ 2 kim vuông góc với nhau 7 lần.

11- C

Diện tích của hình chữ nhật là S = AB. AC = x. 162 − x 2 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: x. 162 − x 2 ≤

Vì k là số nguyên nên k = {0,1,2,3, 4,5}

Dạng 3. Độ dài của một cung tròn 1- C 2- A 3- C 4- B

Đặt cạnh AB = x ( cm ) ( x > 0 ) . Suy ra AC = BC 2 − AB 2 = 162 − x 2

Độ dài cung AB là I = R.α = 8.

π 2

= 4π ( cm )

Vậy hình nhữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 128cm 2 và độ dài cung AB là 4π cm Câu 13. Chọn B. 5- B

6- A

7- A

8- C

9- C

10- B

15- B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 11. Chọn C.

Cung BE có tâm A bán kính AB ⇒ AE = AB = 4 ( cm ) . Suy ra DE = AE − AD = 4 − 2 2 ( cm )

, MK là đường kính của đường tròn tâm O; OM Gọi O là tâm của đường tròn chứa cung AMB ( )

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

π = 90 ⇒ EDF = ADB = 90 = ( rad ) D nằm trên đường tròn đường kính AB ⇒ ADB 2 4 ∆ODA vuông cân tại O ⇒ AD = OA. 2 = . 2 = 2 2 ( cm ) 2

∆AMK

vuông tại

A , đường cao

AN , ta có

AM 2 252 = = 125 ( m ) MN 5 = AM = 25 ⇒ AKN ≈ 11,54° ⇒ AKB = 2 AKM = 23,1° Xét ∆AMK có sin AKM MK 125 1 = 46,2° ≈ 0,26π rad Do tính chất góc nội tiếp bằng số đo cung bị chắn nên AMB ( ) 2 MK MK = 125 ( m ) ⇒ OM = = 62,5 ( m ) 2 là I = R.α = 62,5.0,26π ≈ 51,1 m Độ dài cung AMB AM 2 = MN .MK ⇒ MK =

= 4 − 2 2 π ≈ 1,84 cm Vậy độ dài của cung EF là I = DE .EDF ( ) 2 Câu 14. Chọn A.

(

)

= DBA = 45° = π rad Vì tính chất đối xứng nên dễ dàng thấy ∆ADB vuông cân tại D ⇒ DAB ( ) 4 Vậy độ dài của cung BE là I = AE.α = 4.

π 4

= π ≈ 3,14 ( cm )

Câu 15. Chọn B.

1 1 Diện tích hình quạt ACB là S = π R 2 = π .22 = 2π cm 2 2 2 2 1 1 Diện tích ∆ABD là S = DA.DB = 2 2 = 4 cm 2 2 2

(

( )

Trang 15

(

)

Trang 16

45° 45° = π .42. = 2π cm 2 360° 360° 2 90° 90° Diện tích hình quạt DEF là S = π .R 2 . =π. 4−2 2 . = 6 − 4 2 π cm 2 360° 360° Khi cộng các diện tích lại các em cần chú ý rằng tổng diện tích hình quạt ABE và hình quạt BAF dư ra diện tích ∆ABD Diện tích hình quạt ABE là S = π .R 2 .

(

)

(

Vậy diện tích cần tìm là S = 2π + ( 2π ) .2 − 4 + 6 − 4 2 π ≈ 15,9 cm 2

(

) ( )

)

Trang 17

CHUYÊN ĐỀ 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Giá trị lượng giác của cung α

Mục tiêu

↷ ↷ - Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM = α .

Kiến thức

Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sin α .

+ Củng cố số đo cung và góc trên đường tròn lượng giác.

sin α = OK .

+ Biểu diễn được một cung trên đường tròn lượng giác. + Nắm được các giá trị lượng giác của một cung.

Hoành độ x = OH của điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cos α .

Kĩ năng

cos α = OH .

+ Xác định được dấu của giá trị lượng giác các cung đặc biệt. Nếu cos α ≠ 0, tỉ số

+ Tính được giá trị lượng giác của các cung đặc biệt. + Tính được giá trị của các biểu thức lượng giác với điều kiện cho trước.

sin α được gọi là tang của α và kí hiệu là tan α cos α

(hoặc tgα ). tan α =

Nếu sin α ≠ 0, tỉ số

sin α cos α

cos α được gọi là côtang của α và kí hiệu là cot α sin α

(hoặc cotgα ). cot α =

cos α . sin α

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt - Với hai cung đối nhau: α và −α . cos ( −α ) = cos α ;

sin ( −α ) = − sin α ;

tan ( −α ) = − tan α ;

cot ( −α ) = − cot α .

- Với hai cung bù nhau: α và π − α . sin (π − α ) = sin α ;

cos (π − α ) = − cos α ;

tan (π − α ) = − tan α ;

cot (π − α ) = − cot α .

π  - Với hai cung phụ nhau: α và  − α  . 2   π  sin  − α  = cos α ; 2 

π  cos  − α  = sin α ; 2 

π  tan  − α  = cot α ; 2  

π  cot  − α  = tan α . 2  

- Với hai cung hơn kém π : α và (π + α ) . sin (π + α ) = − sin α ;

Trang 1

cos (π + α ) = − cosα ;

Trang 2

tan (π + α ) = tan α ;

cot (π + α ) = cot α .

11π 3π π 3π 11π = + 2π . Mà thuộc góc phần tư thứ II < < π nên điểm ngọn của cung 4 4 2 4 4

Ta có ⇒ cos

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác Phương pháp giải

Vậy sin100°.cos

Ví dụ:

Để xác định dấu của giá trị lượng giác của góc (cung), ta thực hiện các bước sau:

a) Xét dấu của sin

3π . 4

Hướng dẫn giải

- Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu của các giá trị lượng giác cần xét dấu. Góc

a) Ta có

III

của cung

cos α

sin α

sin

tan α

phần tư

cot α

π 2

3π < π nên điểm ngọn 4

3π thuộc góc phần tư II nên 4

3π > 0. 4

của cung 30° thuộc góc phần tư thứ I. Do đó sin 30° > 0.

II. Do đó cos100° < 0. Vậy sin 30°.cos100° < 0.

)

  < 0. 

 500π D. cot  − 3 

  > 0. 

Hướng dẫn giải Ta có −2450° = 70° − 7.360°. Vì 0° < 70° < 90° nên điểm ngọn cung −2450° thuộc góc phần tư thứ I

Ta có − Vì π <

500π 4π = − 84.2π . 3 3

4π 3π 500π < nên điểm ngọn cung − thuộc góc phần tư thứ III. 3 2 3

 500π ⇒ cot  − 3 

  > 0. 

Chọn D.

Ví dụ 1. Xét dấu của các biểu thức sau b) sin100°.cos

Ví dụ 3. Khẳng định nào sau đây đúng? 11π . 4

A. sin 400°.cos ( −3700° ) .cot ( −8800° ) > 0. B. sin 400° < 0.

Hướng dẫn giải

Vậy tan

(

 500π  Do đó sin ( −2450° ) .cot  −  > 0. 3  

Ví dụ mẫu

a) Vì π <

 500π C. sin −2450o .cot  − 3 

B. sin ( −2450° ) < 0.

⇒ sin ( −2450° ) > 0 .

của cung 100° thuộc góc phần tư thứ

4π . 3

 500π  A. cot  −  < 0. 3  

b) Vì 0° < 30° < 90° nên điểm ngọn

Vì 90° < 100° < 180° nên điểm ngọn

a) tan

11π < 0. 4

Ví dụ 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

- Xác định xem điểm ngọn cung thuộc góc phần tư nào của mặt b) Xét dấu của sin 30°.cos100°. phẳng tọa độ.

11π < 0. 4

C. cos ( −3700° ) .cot ( −8800° ) < 0.

4π 3π 4π < nên điểm ngọn của cung thuộc góc phần tư thứ III. 3 2 3

D. cot ( −8800° ) < 0.

4π > 0. 3

Hướng dẫn giải Cách 1.

b) Vì 90° < 100° < 180° nên điểm ngọn của cung 100° thuộc góc phần tư thứ II

Ta có 400° = 40° + 360°. Vì 0 < 40° < 90° nên điểm ngọn cung 400° thuộc góc phần tư thứ I

⇒ sin100° > 0.

⇒ sin 400° > 0 (B sai).

Trang 3

Trang 4

Ta có −3700° = 260° − 11.360°. Vì 180° < 260° < 270° nên điểm ngọn cung −3700° thuộc góc phần tư

Vậy sin (α + 360° ) > 0.

thứ III ⇒ cos ( −3700° ) < 0.

b) Ta có 0° < α < 90° ⇒ 0° + 90° < α + 90° < 90° + 90° ⇒ 90° < α + 90° < 180° nên điểm ngọn cung

Ta có −8800° = 200° − 25.360°. Vì 180° < 200° < 270° nên điểm ngọn cung −8800° thuộc góc phần tư

α + 90° thuộc góc phần tư thứ II.

thứ III ⇒ cot ( −8800° ) > 0 (D sai).

Vậy sin (α + 90° ) > 0.

Vậy sin 400°.cos ( −3700° ) .cot ( −8800° ) < 0 (A sai); cos ( −3700° ) .cot ( −8800° ) < 0 (C đúng).

Ví dụ 5. Cho tan x = −

Chọn C. Cách 2. Ngoài sử dụng phương pháp như trên, ta có thể nhờ sự hỗ trợ từ máy tính bỏ túi fx-570VN. Thao tác bấm như sau:

A. −

5 . 5

1 2013π 2015π và <x< . Giá trị của sin x là 2 2 2

5 . 5

C. −

2 5 . 5

Hướng dẫn giải Ta có

- Reset máy tính:

2013π 2015π π π π 3π <x< ⇔ 1006π + < x < 1006π + π + ⇔ < x < . 2 2 2 2 2 2

Do đó x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III ⇒ cos x < 0. - Chuyển về hệ độ:

Mà 1 + tan2 x =

- Ở đây để ý rằng trong máy tính bỏ túi không có hàm cot. Do đó khi gặp hàm cot ta sẽ chuyển thành hàm

1 tan (

)

1 1 2 5 nên cos x = − =− . 2 5 cos2 x 1 + tan x

Suy ra sin x = cos x.tan x =

Ta lần lượt kiểm tra các đáp án.

Vậy sin x =

Ví dụ đáp án A, ta bấm các phím trên máy tính lần lượt như sau:

−2 5 −1 5 . = . 5 2 5

5 . 5

Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Câu 1: Giá trị lượng giác nào sau đây mang dấu dương?  3π  A. sin   .  4 

π  C. cos   . 2

 33π  D. cot  − .  4 

Câu 2: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, tan trái dấu?

- Kết quả ra được là −0,366703992 < 0. Vậy sin 400°.cos ( −3700° ) .cot ( −8800° ) < 0. Do đó A sai.

A. 30°.

Các đáp án khác kiểm tra tương tự.

π 4

C. 359°.

D. 91°.

Câu 3: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị cos, cot cùng dấu?

Chọn C.

A. 361°.

Ví dụ 4. Cho 0° < α < 90°. Xét dấu của a) sin (α + 360° ) .

 11π  B. cos  .  4 

B. 181°.

4π . 3

6π . 5

15π . 4

Câu 4: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, cot của nó trái dấu?

b) sin (α + 90° ) .

A. 405°.

Hướng dẫn giải a) Ta có sin (α + 360° ) = sin α .

25π . 6

20π . 3

Câu 5: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, cos của nó trái dấu?

Vì 0° < α < 90° nên điểm ngọn cung α thuộc góc phần tư thứ I. Trang 5

Trang 6

A. −45°.

B. −315°.

2π . 3

Ví dụ mẫu

D. 91°.

Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác sau.

Bài tập nâng cao

a) sin

π 1 Câu 6: Cho sin x = với < x < π . Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là 4 2 A. cos x =

15 . 4

Câu 7: Cho tanx = A. sin x =

B. cot x = 15.

C. tan x =

D. tan x = −

3 B. sin x = . 5

C. sin x =

−4 . 5

1 15

a) sin

B. −2 − 3.

C. 2 − 3.

4 D. sin x = . 5

Câu 10: Cho sin x = −

B. −2 − 3.

- Chuyển về hệ rađian:

D. −2 + 3.

C. 2 − 3.

Do vậy ta bấm các phím trên máy tính lần lượt như sau:

D. −2 + 3. - Kết quả ra được là

3π 6+ 2 với < x < 2π . Khi đó giá trị cot x là 4 2

A. 2 + 3.

B. −2 − 3.

C. 2 − 3.

Vậy sin

D. −2 + 3.

Phương pháp giải

2 2

3π 2 = . 4 2

b) cot 60°.

Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Để tính các giá trị lượng giác của một góc (cung),

3π , ta có thể thực hiện bằng máy tính bỏ túi như dạng 1 Ví dụ 3. 4

- Reset máy tính:

6+ 2 3π với π < x < Câu 9: Cho sin x = − . Khi đó giá trị cot x là 4 2 A. 2 + 3.

3π . 4

Để tính giá trị của sin

π 6+ 2 Câu 8: Cho sin x = với < x < π . Khi đó giá trị tan x là 4 2 A. 2 + 3

b) cot 60°.

Hướng dẫn giải

−4 2017π 2019π và <x< . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? 3 2 2

−3 . 5

3π . 4

4 Ví dụ: Cho sin x = − ;180° < x < 270°. 5

- Reset máy tính:

ta sẽ dùng các hệ thức lượng giác cơ bản biểu diễn Tính cos x, tan x, cot x. - Chuyển về hệ độ:

giá trị lượng giác cần tính về giá trị lượng giác đã Hướng dẫn giải biết.

Ta có

- Ở đây để ý rằng trong máy tính bỏ túi không có hàm cot. Do đó khi gặp hàm cot ta chuyển thành hàm

3 sin 2 x + cos2 x = 1 ⇒ cos x = ± 1 − sin 2 x = ± . 5

1 tan (

Vì 180° < x < 270° nên cos x < 0

Do đó ta bấm các phím trên máy tính như sau:

)

3 sin x 4 ⇒ cos x = − ⇒ tan x = = 5 cos x 3

⇒ cot x =

1 3 = . tan x 4

- Kết quả ra được là

3 4 3 Vậy cos x = − ; tan x = ; cot x = . 5 3 4

Vậy cot 60° = Trang 7

3 . 3

Trang 8

Ví dụ 2. Cho cos x = − A. sin x =

5 , biết rằng 180° < x < 270°. Khẳng định nào sau đây đúng? 13

12 . 13

C. cot x = −

5 . 12

B. tan x =

12 . 5

D. sin x =

17 . 12

C. cos 75° =

Ta có tan 75° =

1 1 = = 2 + 3. cot 75° 2 − 3

Lại có 1 + tan 2 75° =

Vì 180° < x < 270° nên điểm ngọn góc x thuộc góc phần tư thứ III ⇒ sin x < 0

⇒ cos 75° > 0 ⇒ cos 75° =

12 12 5 ; tan x = ; cot x = − . 13 5 12

Ta có tan 75° =

3 13 . 13

B. cos x =

2 13 . 13

D. cos x =

13 . 13

6− 2 . 4

sin 75° 6+ 2 ⇒ sin 75° = tan 75°.cos 75° = . cos 75° 4

Chọn C.

3 Ví dụ 3. Cho tan x = − , biết rằng 90° < x < 180°. . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 A. cot x = . 3

1 1 2− 3 6− 2 ⇒ cos 75° = ± =± =± 4 4 cos2 75° 1 + tan2 75°

Vì 0° < 75° < 90° nên điểm ngọn cung 75° thuộc góc phần tư thứ I

12 sin x 12 1 5 ⇒ tan x = = ⇒ cot x = = . 13 cos x 5 tan x 12

Chọn B.

C. sin x =

− 6+ 2 . 4

Cách 1.

12 Ta có sin 2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin x = ± 1 − cos2 x = ± . 13

Vậy sin x = −

D. cos 75° =

Hướng dẫn giải

⇒ sin x = −

6− 2 . 4

Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi.

- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ độ:

Hướng dẫn giải

- Bấm các giá trị lượng giác ở các đáp án

1 2 Ta có cot x = =− . tan x 3

+ Bấm các phím

1 1 2 13 Ta có 1 + tan x = ⇒ cos x = ± =± . 13 cos2 x 1 + tan2 x 2

Ta được kết quả 2 + 3. Do đó loại đáp án A. và B.

Vì 90° < x < 180° nên ngọn cung x thuộc góc phần tư thứ II

⇒ cos x < 0 ⇒ cos x = Ta có tan x = Vậy sin x =

+ Bấm các phím

−2 13 . 13

Ta được kết quả

−2 13 −3 3 13 sin x ⇒ sin x = cos x.tan x = . = . cos x 13 2 13

Chọn C.

3 13 −2 13 −2 ; cos x = ; cot x = . 13 13 3

Ví dụ 5. Cho 4sin x − 2 cos x = 1 và 0 < x <

Chọn C.

A. sin x =

Ví dụ 4. Cho giá trị lượng giác cot 75° = 2 − 3. Khẳng định nào sau đây đúng? A. tan 75° = 2 − 3.

6− 2 . Do đó loại đáp án D. 4

−2 − 19 . 10

π 2

. Khẳng định nào sau đây đúng?

B. cos x =

−2 − 304 . 20

B. tan 75° = −2 − 3. Trang 9

Trang 10

C. tan x =

8 + 19 . 15

D. cot x =

−15

8 + 19

Câu 4: Cho sin x =

A. −2 2.

Hướng dẫn giải Vì 0 < x <

π 2

nên sin x > 0 ⇒ sin x = 1 − cos2 x (do sin 2 x + cos2 x = 1 ).

(

nên cos x > 0 ⇒ (1) ⇔ 4 1 − cos2 x

A. sin x =

) = ( 2 cos x + 1)

)

 −2 + 304  cos x = −2 + 304 20 2  ⇒ 20 cos x + 4 cos x − 15 = 0 ⇒ ⇒ cos x =  20 −2 − 304  cos x = 20 

⇒ tan x =

− 5 . 5

B. cos x =

a2 . a +1

( ) = cos A C. cos C ( + B ) .

2 + 19 10

A. sin

+C A B = cos . 2 2

(

B. cos

)

13π là 6 C.

3 . 2

D. −

3 . 2

−17π là 6

B. − 2.

)

a −1 . a +1

)

x a −1 x = thì tan bằng 2 2a 2

a +1 . a −1

1 a +1

1 a −1

3 . 3

D. −

3 . 3

C. −

2 . 2

x a −1 x = thì cot bằng 2 2a 2

a +1 . a −1

1 a +1

1 a −1

Câu 11: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c thỏa mãn hệ thức sau

1 + cos B 2a + c = . 1 − cos B 2a − c

Tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 3: Giá trị của sin 45° là A.

a2 + 1 . a2

+B = cos C . D. cos A

Câu 10: Nếu x là góc nhọn thì sin

B. − 3.

D. −

+C A B = sin . 2 2

(

+B = sin C . C. sin A

Bài tập cơ bản

a2 + 1 . a2

Câu 8: Cho tam giác ABC. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 2: Giá trị của cot

(

Câu 9: Nếu x là góc nhọn thì sin

2 . 2

3π . Khi đó giá trị lượng giác của cos x bằng 2

= − cot A +B . D. cot C

Chọn C.

B. −

5 . 5

D. sin x =

(

Bài tập nâng cao

2 . 2

C. cot x = 5.

= tan A +B . B. tan C

2 + 19 −2 + 304 8 + 19 15 Vậy sin x = ; cos x = ; tan x = ; cot x = . 10 20 15 8 + 19

−2 5 . 5

a2 . a +1

B. −

= − sin A +B . A. sin C

sin x 8 + 19 1 15 = ⇒ cot x = = . cos x 15 tan x 8 + 19

Câu 1: Giá trị của cos

D. 8.

, B ,C là các góc của tam giác ABC. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Câu 7: Biết A

(do cos x > 0 ). Vì sin x > 0 nên sin x = 1 − cos2 x =

C. −8.

Câu 6: Cho cot x = a, a > 0 với π < x <

⇒ 16 1 − cos2 x = 4 cos2 x + 4 cos x + 1

(

B. 2 2.

3π 1 Câu 5: Cho tan x = − với < x < 2π . Khi đó các giá trị lượng giác còn lại bằng 2 2

Mà 4sin x − 2 cos x = 1 nên 4 1 − cos2 x = 2 cos x + 1. (1) Vì 0 < x <

π 1 với < x < π . Khi đó giá trị lượng giác cot x bằng 3 2

A. ∆ABC cân tại A.

B. ∆ABC cân tại B.

C. ∆ABC cân tại C.

D. ∆ABC đều.

2 . 2

Trang 11

Trang 12

Dạng 3: Tính các giá trị của các biểu thức lượng giác Ví dụ: Cho tan x = 3, tính giá trị của biểu thức sau

Phương pháp giải Để tính các giá trị của các biểu thức lượng giác, ta

dùng các hệ thức lượng giác cơ bản biểu diễn giá trị

2sin 2 x − 3sin x.cos x 3cos2 x − 2sin2 x

9 Vậy A = − . 8

lượng giác trong biểu thức cần tính về giá trị lượng Hướng dẫn giải giác đã biết.

sin x sin x 2 +3 2sin x + 3cos x cos cos x x = 2 tan x + 3 = 2.3 + 3 = − 9 . A= = cos x sin x cos x − 3sin x 1 − 3tan x 1 − 3.3 8 −3 cos x cos x

Nhận thấy bậc tử số và mẫu số đều bằng nhau và

Chọn B.

bằng 2 nên ta chia cả tử và mẫu của A cho cos x ,

Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO fx-500ES PLUS)

ta được

2 tan2 x − 3tan x 2.32 − 3.3 3 = =− . 5 3 − 2 tan 2 x 3 − 2.32

Bước 1: Reset máy tính: Bước 2:

Ví dụ mẫu + Bấm các phím để có biểu thức A:

1 Ví dụ 1. Cho sin x + cos x = . Tính các giá trị của các biểu thức sau 2 b) B = sin3 x + cos3 x.

a) A = sin x.cos x;

+ Bấm phím:

Hướng dẫn giải

9 + Kết quả ra − . 8

a) Ta có

sin x + cos x =

2 1 1 1 ⇒ ( sin x + cos x ) = ⇒ sin 2 x + cos2 x + 2sin x .cos x = 2 4 4

Chọn B. Ví dụ 3. Cho tan x + cot x = m; m > 2. Khi đó giá trị của biểu thức tan x − cot x là bao nhiêu?

1 3 ⇒ 1 + 2sin x.cos x = ⇒ sin x.cos x = − . 4 8

A. − m 2 − 4.

3 Vậy A = sin x.cos x = − . 8

4 − m2 .

m 2 − 4.

D. − 4 − m 2 .

Ta có 2

tan x + cot x = m ⇒ ( tan x + cot x ) = m 2 ⇒ tan 2 x + 2 tan x .cot x + cot 2 x = m 2

1   3   11 sin3 x + cos3 x = ( sin x + cos x ) sin 2 x + cos2 x − sin x .cos x = . 1 −  −   = . 2   8   16

(

)

⇒ tan2 x + cot 2 x + 2 = m 2 ⇒ tan2 x − 2 + cot 2 x + 2 + 2 = m 2 2

⇒ ( tan x − cot x ) = m 2 − 4

11 . 16

⇒

2sin x + 3cos x Ví dụ 2. Cho tan x = 3. Giá trị của biểu thức A = là cos x − 3sin x A.

Hướng dẫn giải

b) Ta có

Vậy B =

2sin x + 3cos x cos x − 3sin x

−7 . 8

−9 . 8

7 . 8

( tan x − cot x )

= m 2 − 4 ⇒ tan x − cot x = m 2 − 4.

Vậy tan x − cot x = m 2 − 4.

9 . 8

Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 3

Hướng dẫn giải

Bài tập cơ bản

Cách 1. Nhận thấy bậc tử số và mẫu số đều bằng nhau và bằng 1, ta chia cả tử và mẫu của A cho cos x , ta được

Trang 13

Câu 1: Cho sin x + cos x = −

2 . Khi đó giá trị của sin x.cos x bằng 2

Trang 14

1 . 4

−1 . 4

1 . 2

Bài tập nâng cao

−1 . 2

Câu 11: Biết tan x =

Câu 2: Đơn giản biểu thức A = ( tan x + cot x ) − ( tan x − cot x ) ta được A. A = −4.

B. A = 4.

C. A = tan x.

Câu 3: Cho tan x = 5. Khi đó giá trị của biểu thức P = A. 2.

B. 3.

Câu 4: Cho sin x + cos x = A. sin x cos x =

A. a − c.

D. A = − tan x.

D. 5.

B. sin x − cos x =

7 C. sin 4 x + cos4 x = . 8

D. tan 2 x + cot 2 x = 12.

1 . 13

−1 . 3

Câu 6: Cho tan x = m. Khi đó A.

a.m − b . − d .m + c

−1 . 13

1 . 3

a.m + b . cm + d

D. Đáp số khác.

B. 1.

Câu 9: Nếu sin x + cos x = 7 6+ 2 A. . 4

−7 6 − 2 C. . 4

108 B. . 81

108 C. − . 81

C. ( a + b ) .

D. − ( a + b ) .

98 thì giá trị của biểu thức P = 2 tan 4 x − cot 4 x là 81 2

 16   29  B. 2.   −   .  29   16 

 29   16  C. 2.   −   .  16   29 

 1 + sin x 1 − sin x B.  −  1 − sin x 1 + sin x 

sin x sin x 1 − cot 2 x − = . cos x + sin x cos x − sin x 1 + cot 2 x

- Dùng công thức lượng giác để thu gọn biểu thức. D. −4.

400 . 113

  = 4 tan2 x .  

 sin x + tan x  1 D.  .  +1 = cos2 x  cos x + 1 

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau

( )

= tan 45° + cot ( −30° ) = 1 + − 3 = 1 − 3.

Vậy A = 1 − 3. b) sin 240° + tan 300°.cos ( −780° ) = sin ( 60° + 180° ) + tan ( −60° + 360° ) .cos ( −60° − 720° )

7 6+ 2 D. . 8

= − sin 60° + tan ( −60° ) .cos ( −60° ) =

98 thì giá trị của biểu thức P = 2 sin 4 x + 3 cos4 x là Câu 10: Nếu 3sin 4 x + 2 cos4 x = 81 607 A. . 407

−1

(a + b)

(cung) có liên quan đặc biệt, ta thực hiện b) B = sin 240° + tan 300°.cos ( −780° ) . theo các bước sau: Hướng dẫn giải - Dùng cung liên kết đưa về cung ở góc a) tan 225° + cot150° = tan ( 45° + 180° ) + cot ( −30° + 180° ) phần tư thứ nhất.

a.m 2 − 2b.m + c . d − 3em + 8 f .m 2

C. 4.

113 . 400

2 thì giá trị của biểu thức P = 4 sin x − 3 cos x là 2

7 6− 2 B. . 4

Phương pháp giải

Câu 8: Giá trị của biểu thức P = sin6 x + cos6 x + 3sin 2 x.cos2 x là A. −1.

Để tính các giá trị lượng giác của các góc a) A = tan 225° + cot150°.

a.m 2 + 2 b.m + c B. . d − 3em + 8 f .m 2

a.m 2 + 2 b.m + c . − d − 3em + 8 f .m 2

Dạng 4: Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

a.sin 2 x + 2b.sin x.cos x + c.cos2 x Câu 7: Cho tan x = m. Khi đó giá trị biểu thức bằng d .cos2 x − 3e sin x.cos x + 8 f .sin 2 x a.m 2 + 2 b.m + c A. . d .m 2 − 3em + 8 f

(a + b)

tan x + tan y A. = tan x.tan y. cot x + cot y

a.sin x − b.cos x bằng c.cos x − d .sin x

a.m − b . c.m − d

Câu 14: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?

1 sin x − 2 cos x Câu 5: Cho cot x = . Giá trị của biểu thức P = là 3 3sin x + 4 cos x

D. a. 8

Câu 13: Nếu 3sin 4 x + 2 cos4 x = ± 6 . 2

C. 2c.

sin x cos x 1 sin x cos x + = thì giá trị của biểu thức A = 3 + là a b a+b a b3

Câu 12: Nếu

2 . Kết quả nào sau đây sai? 2

−1 . 4

B. 2b. 4

sin x + cos x là sin x − 2 cos x

C. 4.

2b . Giá trị biểu thức A = a.cos2 x + 2b.sin x.cos x + c.sin 2 x là a−c

− 3 1 + − 3 . 2 2

( )

= − 3.

607 D. . 405

Vậy B = − 3. Ví dụ mẫu Trang 15

Trang 16

C. 3sin x + 2 cos x.

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau a) A = tan 240° + cot 225°.

b) B = sin 210° + tan 330°.cot 495°.

D. 3sin x − 4 cos x.

Hướng dẫn giải

Ta có

a) Ta có

cos ( 270° + x ) = cos ( 90° + 180° + x ) = − cos ( 90° + x ) = sin x .

tan 240° = tan ( 60° + 180° ) = tan 60° = 3;

sin ( x − 450° ) = sin ( x + 90° − 3.180° ) = − sin ( x + 90° ) = − cos x .

cot 225° = cot ( 45° + 180° ) = cot 45° = 1.

cos ( x − 900° ) = cos ( x − 5.180° ) = − cos x.

Vậy A = tan 240° + cot 225° = 1 + 3.

sin ( 720° + x ) = sin ( 4.180° + x ) = sin x.

b) Ta có sin 210° = sin ( 30° + 180° ) = − sin 30° =

Vậy A = sin x − 3 ( − cos x ) + ( − cos x ) + 4sin x = 5sin x + 2 cos x.

−1 . 2

Chọn A.

tan 330° = tan ( −30° + 360° ) = tan ( −30° ) = − tan 30° =

Ví dụ 4. Giá trị của biểu thức

− 3 . 3

A = sin 2

cot 495° = cot ( −45° + 3.180° ) = cot ( −45° ) = − cot 45° = −1.

A. A = 0.

−1 − 3 + Vậy B = ( −1) = − 12 + 33 . 2 3

 9π   13π   17π   21π  − x  + cot  − x  + tan  + x  + cot  + x . A = tan   2   2   2   2  B. 0.

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn giải Ta có:

 9π  π  π  − x  = tan  + 4π − x  = tan  − x  = cot x. tan  2 2 2        13π  π  π  − x  = cot  + 6π − x  = cot  − x  = tan x . cot   2  2  2 

C. A = 2.

D. A = 3.

 π 2π  2π 7π 2π 2π 2 2π + sin 2 = sin2 = sin 2  − + cos2 = 1.  = sin 18 18 18 18 18  2 18 

Ghi nhớ:

Ta có sin 2

π  sin  + x  = cos x 2 

Tương tự: sin 2

π  cos  + x  = − sin x 2   π  tan  + x  = − cot x 2  π  cot  + x  = − tan x 2  

3π 6π 4π 5π + sin 2 = 1; sin 2 + sin 2 = 1. 18 18 18 18

Do đó

 2π 7π   2 3π 6π   2 4π 5π  A =  sin2 + sin 2 + sin 2 + sin2  +  sin  +  sin  = 1 + 1 + 1 = 3. 18 18   18 18   18 18   Vậy A = 3. Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 4 Bài tập cơ bản

 17π  π  π  + x  = tan  + 8π + x  = tan  + x  = − cot x. tan  2 2 2      

 3π  Câu 1: Giá trị sin  − x  − cos ( x + 9π ) là  2 

 21π  π  π  + x  = cot  + 10π + x  = cot  + x  = − tan x. cot  2 2 x      

A. 0.

B. −2 cos x.

C. 2 cos x.

D. 1.

 13π   7π   9π   5π  Câu 2: Giá trị của biểu thức tan  − x  + cot  − x  − tan  − x  − cot  x −  là 2 2 2 2        

Vậy A = cot x + tan x − cot x − tan x = 0. Chọn B.

A. 2 tan x.

Ví dụ 3. Thu gọn biểu thức A = cos ( 270° + x ) − 3sin ( x − 450° ) + cos ( x − 900° ) + 4sin ( 720° + x ) ta được kết quả nào sau đây?

A. 5sin x + 2 cos x.

B. A = 1.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Giá trị của biểu thức sau là

A. −1.

2π 3π 4π 5π 6π 7π + sin2 + sin2 + sin 2 + sin2 + sin 2 là 18 18 18 18 18 18

B. 5sin x − 4 cos x. Trang 17

B. −2 tan x.

C. 2 cot x.

 11π Câu 3: Giá trị biểu thức sin ( x + π ) − cos ( 7π − x ) + sin  x − 2  Khi đó giá trị của P = a + 2b là

D. 0.

  15π  + x  là a.sin x + b.cos x .  + cos  2   

Trang 18

A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 4: Giá trị của biểu thức cos

+ cos

2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π là + cos + cos − cos − cos − cos − cos − cos 5 5 5 5 5 5 5 5

A. −1.

B. 1.

C. 0.

Câu 5: Giá trị của biểu thức P = tan A. −1.

π 9

+ tan

Bước 3:

D. 2.

- Tìm các giá trị còn lại bình thường, ví dụ tìm giá trị lượng giác như sau:

2π 3π 8π + tan + ... + tan là 9 9 9

B. 1.

C. 0.

D. 2.

- Nếu kết quả ra số lẻ, ta chỉ việc bình phương lên rồi căn xuống lại là sẽ ra số đẹp:

Bài tập nâng cao Câu 6: Cho biểu thức sau sin ( x − π ) + cos ( 3π − x ) + tan ( x + 4π ) − cot ( x − 5π ) có giá trị bằng a.sin x + b.cos x + c.tan x + d .cot x . Khi đó giá trị của P = a + b − c + 2d là

A. P = 0.

B. P = −1.

C. P = −3.

B. P = −1.

C. P = −3.

Câu 8: Biểu thức A = 2 sin 4 x + cos4 x + sin 2 x.cos2 x

(

B. −2.

A. 2.

D. P = −5.

)

D. −1.

C. 1.

3-A

4-C

5-B

6-D

7-D

- Thực hiện tương tự với các giá trị lượng giác còn lại.

2017π 2019π π 3π π 3π <x< ⇔ 1008π + < x < 1008π + ⇔ <x< nên suy ra cos x < 0. 2 2 2 2 2 2 1 1 + tan 2 x

−3 −3 −4 4 ⇒ sin x = cos x.tan x = . = . 5 5 3 5

4 Vậy sin x = . 5

Dạng 1. Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 2-D

− 15 . 4

Câu 7. Chọn D.

Do đó cos x = −

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-A

⇒ cos x < 0 ⇒ cos x =

Ta có

− sin8 x + cos8 x có giá trị bằng

) (

π 15 . Tuy nhiên chúng ta cần lưu ý rằng < x < π nên ngọn cung x thuộc cung phần tư thứ 4 2

II D. P = −5.

  9π    π 17π  5π  − x  + tan  x − Câu 7: Cho biểu thức sau sin  x −  + cos   − cot  x −  có giá trị bằng 2 2  2    2    a.sin x + b.cos x + c.tan x + d .cot x . Khi đó giá trị của P = a + b + c + 2d là A. P = 0.

Kết quả ra

8-B

9-C

10-D

Câu 8. Chọn B. 2

Vì

Câu 6. Chọn D.

 6+ 2 2− 6 < x < π nên cos x < 0 ⇒ cos x = − 1 − sin 2 x = − 1 −   =   4 4 2  

1 15 Cách 1. sin 2 x + cos2 x = 1 ⇒ cos x ± 1 − sin2 x = ± 1 −   = ± . 4 4

Vì

π 2

< x < π ⇒ cos x =

1 − 15 sin x 1 −1 = 4 = ⇒ cot x = = − 15. . Từ đó suy ra tan x = cos x − 15 tan x 4 15 4

sin x ⇒ tan x = = cos x Câu 9. Chọn C. Vì π < x <

− 15 −1 Vậy cos x = ; tan x = ; cot x = − 15. 4 15 Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx-570VN-PLUS.

6+ 2 4 = −2 − 3. Vậy tan x = −2 − 3. 2− 6 4

1 1 3π nên cot x > 0 ⇒ cot x = −1 = − 1 = 2 − 3. 2 2 sin2 x  6+ 2 −    4  

Câu 10. Chọn D.

Bước 1: Reset máy tính: Bước 2: Tìm x và gán x cho A: Trang 19

Trang 20

Vì

Câu 11. Chọn D.

3π 1 1 < x < 2π nên cot x < 0 ⇒ cot x = − −1 = − − 1 = 3 − 2. 2 2 sin2 x  6+ 2 −    4  

Ta có tan x =

Nhận thấy bậc của các số hạng trong biểu thức A bằng nhau và bằng 2 nên ta tiến hành chia cả hai vế cho

Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) 1-C

2-A

3-D

4-A

5-A

6-B

7-D

8-D

9-A

10-B

Câu 9. Chọn A. Vì x là góc nhọn nên 0° < x < 90° ⇒ 0° <

⇒ A 1 + tan 2 x =

(

x x x < 45° ⇒ sin   > 0; cos   > 0. 2 2 2

x Từ đó ta tính được tan = 2

x 2 = x cos 2 sin

)

(a − c)

(

a −1 2a = a − 1 . a +1 a +1 2a

  2b  ⇒ A. 1 +   a−c  

 a3 − 2a2 c + ac2 + 4ab 2 = 2 (a − c) 

)

(

)

⇒ A = a. Câu 12. Chọn A. Đặt sin 2 x = u ⇒ cos2 x = 1 − u. 2

x a −1 = . a +1 2

Ta có

Câu 10. Chọn B.

2 sin 4 x cos4 x 1 1 u 2 (1 − u ) ab + = ⇒ + = ⇒ u2 b + (1 − u ) a = a b a+b a b a+b a+b

⇒ u2 b + a − 2ua + u 2 a =

Theo câu a, ta có: tan

x a −1 x = . Suy ra cot = 2 a +1 2

1 x tan 2

a +1 . a −1

Do đó sin 2 x = u =

a +c −b . 2ac

Vậy A =

⇒ 2a.cos B = c. = c ⇒ a2 + c2 − b 2 = c 2 ⇒ a = b ⇒ CB = CA.

(a + b)

Ta có 3sin 4 x + 2 cos4 x =

Dạng 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác 3-A

4-D

11-D

12-A

13-B

14-C

5-A

6-A

7-B

Câu 13. Chọn B.

Vậy tam giác ABC cân tại C. 2-B

 a   b      a b sin x cos x  a + b   a + b  1 Từ đó thế vào A ta được: A = 3 + = + = + = . 3 3 3 4 4 3 a b a b (a + b) (a + b) ( a + b)

⇒ 2a − c + 2a.cos B − c.cos B = 2a + c − 2a.cos B − c.cos B

1-B

a . a+b

a b ;cos2 x = 1 − u = . a+b a+b 8

1 + cos B 2a + c = ⇒ (1 + cos B )( 2a − c ) = (1 − cos B )( 2a + c ) 1 − cos B 2a − c

2a c

Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có b2 = a2 + c 2 − 2ac.cos B ⇒ cos B =

a 2 + c 2 − b2

2 ab ab ⇒ u2 ( a + b ) − 2ua + a = ⇒ u 2 ( a + b ) − 2ua ( a + b ) + a ( a + b ) − ab = 0 a+b a+b

⇒ u2 ( a + b ) − 2ua ( a + b ) + a2 = 0 ⇒ u ( a + b ) − a  = 0 ⇒ u =

Câu 11. Chọn C.

Từ đó suy ra 2a .

a ( a − c ) + 4b 2 ( a − c ) + c.4b2

 ( a − c )2 + 4b2  a a 2 − 2ac + c2 + 4b 2  2 2 2 a2 − 2ac + c 2 + 4b2 =  a − 2ac + c + 4b  = a. ⇒ A.  ⇒ A . 2 2 2 2     ( a − c) (a − c) (a − c)  ( a − c)   

x x x x a −1 a + 1 a +1 Ta có sin + cos2 = 1 ⇒ cos2 = 1 − sin 2 = 1 − = ⇒ cos x = . 2 2 2 2 2a 2a 2a 2

Ta có

cos2 x. Ta có

 2b  A cos2 x sin x. cos x sin2 x 2b + c. = a + 2b.tan x + c.tan 2 x = a + 2b. + c =a + 2b  2 2 a−c cos x cos x cos2 x cos x. cos x  a−c

11-C

Vậy tan

2b . a−c

8-B

9-A

10-D

Trang 21

98 ⇒ 3 1 − cos2 x 81

(

)

+ 2 cos4 x =

98 98 ⇒ 5cos4 x − 6 cos2 x + 3 = . 81 81

 2 29  cos x = 45 145 ⇒ 5 cos x − 6 cos x + =0⇒ . 81  cos2 x = 5  9 4

Trang 22

Trường hợp 1: cos2 x =

29 1 1 16 29 ⇒ tan 2 x = −1 = −1 = ⇒ cot 2 x = . 29 45 29 16 cos2 x 45 2

= − sin x + ( − cos x ) + tan x − cot x = − sin x − cos x + tan x − cot x. Do đó a = b = d = −1, c = 1 ⇒ P = a + b − c + 2d = −5. Câu 7. Chọn B.

 16   29  Do đó P = 2 tan 4 x − cot 4 x = 2.   −   .  29   16 

Trường hợp 2: cos2 x =

  9π   π 17π Ta có sin  x −  + cos  − x  + tan  x − 2 2 2     

5 1 1 4 5 ⇒ tan 2 x = − 1 = − 1 = ⇒ cot 2 x = . 5 9 5 4 cos2 x 9 2

= ( − cos x ) + sin x + ( − cot x ) − ( − tan x ) = sin x − cos x + tan x − cot x . Do đó a = 1, b = −1, c = 1, d = −1 ⇒ P = a + b + c + 2d = −1.

4 5 −113 Do đó P = 2 tan 4 x − cot 4 x = 2.   −   = . 5 4 400     2

Câu 8. Chọn C. Ta có A = 2 sin 4 x + cos4 x + sin 2 x.cos2 x

(

  16   29   P = 2.   −    29   16  . Vậy    P = −113 400 

= 2 1 − sin 2 x cos2 x

) − ( sin

= 2 1 − sin 2 x cos2 x

) − (1 − 2 sin

(

sin x.cos y + sin y.cos x sin x sin y + tan x + tan y cos x cos y sin x.sin y cos x.cos y = = = = tan x.tan y. cot x + cot y cos x cos y cos x.cos y cos x .sin y + sin x .cos y + sin x sin y sin x.sin y

(

) 

) − ( sin 2

)

(

Câu 14. Chọn C.

= 2  sin 2 x + cos2 x 

(

2   1 + sin x 1 − sin x   1 + sin x − 1 − sin x −   =  1 − sin x 1 + sin x   1 − sin x . 1 + sin x  

  5π   − cot  x −  2   

x + cos8 x

)

− sin 2 x cos2 x  − sin 4 x + cos4 x  2

(

)

+ 2sin 4 x cos4 x 2

x + cos2 x − 2sin 2 x cos2 x  + 2sin 4 x cos4 x 

)

x cos2 x

)

+ 2sin 4 x cos4 x

= 2 − 4sin2 x cos2 x + 2sin 4 x cos4 x − 1 + 4sin 2 x cos2 x − 4 sin 4 x cos4 x + 2sin 4 x cos4 x = 1.

 2sin x  4sin 2 x = = = 4 tan2 x.  2   2  cos x 1 − sin x   

sin x ( cos x − sin x ) − sin x ( cos x + sin x ) sin x sin x −2sin 2 x − = = cos x + sin x cos x − sin x cos2 x − sin 2 x ( cos x + sin x )( cos x − sin x ) =

−2 2 = cot 2 x − 1 1 − cot 2 x

 sin x 2  sin x + cos x  sin x + tan x    +1 =   cos x + 1   cos x + 1 

2  sin x. cos x + 1     cos x  +1 =  cos x + 1     

(

) 

2 2

 sin x  1  2  + 1 =  cos x  + 1 = tan x + 1 = cos2 x .     

Dạng 4. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt 1-A

2-A

3-C

4-B

5-C

6-D

7-B

8-C

Câu 6. Chọn D. Ta có sin ( x − π ) + cos ( 3π − x ) + tan ( x + 4π ) − cot ( x − 5π ) Trang 23

Trang 24

CHƯƠNG 6

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức cộng

Mục tiêu

cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b

Kiến thức + Nắm vững các công thức lượng giác gồm: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b

Ví dụ: π π π  cos  x −  = cos x.cos + sin x.sin 4 4 4 

sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b

Kĩ năng + Vận dụng được các công thức lượng giác đã học vào các bài toán về tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt; tính giá trị của các biểu thức lượng giác. + Xác định được tính chất của một tam giác thỏa mãn các điều kiện về góc, cạnh, diện tích… cho trước bằng cách đưa về các biểu thức lượng giác.

tan ( a − b ) =

tan a − tan b 1 + tan a tan b

tan a + tan b tan ( a + b ) = 1 − tan a tan b

2 ( cos x + sin x ) ; 2

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b

đổi tổng thành tích, tích thành tổng.

π π π  sin  x −  = sin x cos − cos x sin 4 4 4  2 ( sin x − cos x ) ; 2

π tan x − tan π  4 tan  x −  = 4  1 + tan x tan π  4 =

tan x − 1 . tan x + 1

Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a tan 2a =

2 tan a 1 − tan 2 a

Ví dụ:

Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a cos b =  cos ( a − b ) + cos ( a + b )  2

cos x.cos 3 x = =

1 sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )  2

1 sin a cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )  2

sin x.sin 5 x = =

Công thức biến đổi tổng thành tích

Trang 1

1 cos ( −2 x ) + cos 4 x  2 1 ( cos 2 x + cos 4 x ) ; 2 1 cos ( −4 x ) − cos 6 x  2

1 ( cos 4 x − cos 6 x ) . 2

Ví dụ:

a +b a−b cos a + cos b = 2 cos cos 2 2

cos x + cos 3 x = 2 cos 2 x.cos x ;

a+b a−b cos a − cos b = −2sin sin 2 2

sin 2 x + sin 4 x = 2sin 3x.cos x ;

sin a + sin b = 2sin

a +b a −b cos 2 2

sin a − sin b = 2 cos

a+b a −b sin 2 2

cos 5 x − cos 3 x = −2sin 4 x.sin x ; sin 3 x − sin x = 2 cos 2 x.sin x .

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Ta có A = sin (14° + x ) cos (16° − x ) + sin ( 76° − x ) sin (16° − x )

Dạng 1: Công thức cộng

= sin (14° + x ) cos (16° − x ) + cos (14° + x ) sin (16° − x )

Phương pháp giải Các bài toán thường gặp:

1 π Ví dụ: Biết sin x = , 0 < x < . Hãy tính giá trị 2 2

- Tính các giá trị lượng giác.

π  lượng giác cos  x +  . 4 

- Tính giá trị của một biểu thức lượng giác. - Rút gọn hoặc đơn giản một đẳng thức.

2 2 cos x − sin x 2 2

2 3 2 1 6− 2 − . . . = 2 2 2 2 4

sin ( b − c )

cos b.cos c

sin ( c − a )

cos c.cos a

ta được kết

A. A = tan a

B. A = tan b

C. A = tan c

D. A = 0

Hướng dẫn giải Ta có A=

sin a.cos b − sin b.cos a sin b.cos c − sin c.cos b sin c.cos a − sin a.cos c + + cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos a

sin a. cos b sin b. cos a sin b. cos c sin c. cos b sin c. cos a sin a. cos c − + − + − cos a. cos b cos a .cos b cos b. cos c cos b .cos c cos c. cos a cos c .cos a

= tan a − tan b + tan b − tan c + tan c − tan a = 0 . Chọn D.

12 3π π  . Giá trị lượng giác sin  − x  là ,π < x < 13 2 3 

5 + 12 3 B. 26

−5 + 12 3 C. 26

−5 − 12 3 D. 26

Hướng dẫn giải

π  Ta có sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ sin 2 x + sin 2  − x  = 1 mà sin 2 x + sin 2 y < 1 , suy ra 2 

toán

Trang 3

π . 2

Từ đây ta thấy các giá trị lượng giác

Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi vế

⇔ 2sin 2 x.sin 2 y < 2sin x.sin y.cos x.cos y

phải của bất đẳng

⇔ cos ( x + y ) > 0 (hiển nhiên đúng do 0 < x + y <

Hướng dẫn giải

dương. 2

thức rồi dùng biến

đổi

⇔ sin x.sin y − cos x.cos y < 0

D. A = cos 2 x

0< x+ y <

chỉ

của góc x + y đều

⇔ sin x.sin y < cos x.cos y

A = sin ( x + 14° ) sin ( x + 74° ) + sin ( x − 76° ) sin ( x − 16° ) ta được kết quả là

để

⇔ sin x + sin y < sin x (1 − sin y ) + sin y (1 − sin x ) + 2sin x.sin y.cos x.cos y 2

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

1 2

Sử dụng dữ kiện bài

⇔ sin 2 x + sin 2 y < sin 2 x.cos 2 y + sin 2 y.cos 2 x + 2sin x.sin y.cos x.cos y

Chọn A.

C. A =

Hướng dẫn giải

Do đó sin 2 x + sin 2 y < sin 2 ( x + y )

π π 3 −12 1 −5 5 − 12 3 π  Ta có sin  − x  = sin cos x − cos sin x = . . − . = 3 3 2 13 2 13 26 3 

1 2

Phân tích bài toán

Mà sin 2 ( x + y ) = sin 2 x cos 2 y + sin 2 y cos 2 x + 2sin x.sin y.cos x.cos y .

5  −12  ⇒ sin x = − 1 − cos x = − 1 −   =− . 13  13  2

B. A = −

sin 2 x + sin 2 y < sin 2 ( x + y ) .

π π π  sin 2  − x  > sin 2 y ⇒ y < − x (vì x, y đều là góc nhọn) nên 0 < x + y < . 2 2 2  

3π nên điểm ngọn cung thuộc góc phần tư thứ III ⇒ sin x < 0 2

A. A = sin 2 x

Ví dụ 4*: Cho các góc nhọn thỏa mãn sin 2 x + sin 2 y < 1 . Chứng minh rằng

Ví dụ 1: Biết cos x = −

Vì π < x <

sin ( a − b )

cos a.cos b

quả là

Ví dụ mẫu

5 − 12 3 A. 26

1 . 2

Chọn C. Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A =

- Chứng minh một đẳng thức bằng cách biến đổi vế Hướng dẫn giải này thành vế kia, biến đổi hai vế cùng bằng một đại Vì 0 < x < π nên điểm ngọn cung thuộc góc phần 2 lượng hoặc biến đổi tương đương dẫn đến một đẳng 3 thức đúng. tư thứ I ⇒ cos x > 0 ⇒ cos x = . 2 - Chú ý giá trị lượng giác của các cung lượng giác π π π  đặc biệt đã biết: 30°, 45°, 60°,90° . Ta có cos  x +  = cos x.cos − sin x.sin 4 4 4  =

= sin (14° + 16° + x − x ) = sin 30° =

tương

đương,

dùng các công thức

π ). 2

lượng giác để dẫn tới điều luôn đúng.

Trang 4

Suy ra điều phải chứng minh.

Câu 10: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = sin 4 x + 2 cos 4 x lần lượt là M và m. Giá trị biểu M thức P = là m

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

A. 4

Câu 1: Rút gọn biểu thức A = cos 25°.cos 5° − cos 65°.cos85° thu được kết quả là A. A = cos 60°

B. A = cot 60°

C. A = tan 60°

1 2

B. A = −

1 2

C. A = cos 2 x

D. A = sin 60°

D. A = sin 2 x

12 − 3 119 B. 52

−12 − 3 119 C. 52

31 8

17π B. 12

7π C. 12

A. Tam giác cân.

−12 + 3 119 D. 52

C. cot A + cot B + cot C = cot A.cot B.cot C

D. tan

B. A = 2 cos x.sin y.sin ( x + y )

C. A = 2 cos x.cos y.cos ( x + y )

D. A = 2sin x.sin y.cos ( x + y )

B. −

2 3

3 2

1 2

Chọn C. Ví dụ 2: Giá trị của biểu thức A = sin 6 x + cos6 x bằng a + b.cos 4 x . Giá trị của Công thức hạ bậc:

a + 2b là

C. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 + 2 cos A.cos B.cos C A.

D. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2 cos A.cos B.cos C π  Câu 8: Cho tan  x +  = t , t ≠ ±1 . Khẳng định nào sau đây đúng? 4  1+ t C. tan x = −1 + t

C. A = − m − 1

9 8

11 8

13 8

15 8

Hướng dẫn giải

cos 2 x =

1 + cos 2 x 2

sin 2 x =

1 − cos 2 x 2

Ta có A = sin 6 x + cos6 x = ( sin 2 x + cos 2 x )( sin 4 x − sin 2 x.cos 2 x + cos 4 x )

2t D. tan x = t +1

2 3 3 1 − cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = 1 − . 4 4 2

Câu 9: Cho cos 2 x + cos 2 y = m . Khi đó giá trị của biể thức A = cos ( x + y ) cos ( x − y ) là B. A = m + 1

− 3 2

π π là − sin 4 12 12

π π  π π π π π 3  . A =  cos 2 − sin 2   cos 2 + sin 2  = cos 2 − sin 2 = cos = 12 12   12 12  12 12 6 2 

B. cos A + cos B + cos C = 1 + cos A.cos B.cos C

A. A = m − 1

D. Tam giác vuông cân.

Ta có

A. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 + cos A.cos B.cos C

t −1 B. tan x = 1+ t

C. Tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Câu 7: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?

1+ t A. tan x = 1− t

17 4

Ví dụ mẫu

A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2

A. A = 2sin x.cos y.cos ( x + y )

Áp dụng công thức nhân đôi để tính hoặc rút gọn các giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác.

Câu 6: Cho biểu thức A = sin 2 ( x + y ) − sin 2 x − sin 2 y . Khẳng định nào sau đây đúng?

B. Tam giác vuông.

Ví dụ 1: Giá trị của A = cos 4 B. tan A + tan B + tan C = tan A. tan B.tan C

33 8

Phương pháp giải

11π D. 12

B C B C A A. cos cos − sin sin = sin 2 2 2 2 2

Dạng 2: Công thức nhân đôi

, C là 4 góc của một tam giác. Khẳng định nào sau đây sai? Câu 5: Cho A, B

B. 4

∆ABC là tam giác gì?

Câu 4: Cho cot x = 3; cot y = 1 , biết rằng cả x, y đều là góc nhọn và dương. Giá trị của x + y là 5π A. 12

D. 1

Câu 12: Cho A, B, C là 3 góc của ∆ABC . Biết rằng 3 ( cos B + 2 cos C ) + 4 ( sin B + 2sin C ) = 15 . Khi đó

4 π 3 π Câu 3: Cho sin x = với < x < π; sin y = với 0 < y < . Giá trị của cos ( x − y ) là 13 2 4 2 12 + 3 119 A. 52

C. 2

2 Câu 11: Giá trị lớn nhất của biểu thức A = + 3sin x + 1 là 1 + tan 2 x

Câu 2: Rút gọn biểu thức A = sin ( x − 17° ) cos ( x + 13° ) − sin ( x + 13° ) cos ( x − 17° ) thu được kết quả là A. A =

B. 3

= 1−

D. A = − m + 1

Bài tập nâng cao

3 5 3 (1 − cos 4 x ) = + cos 4 x . 8 8 8

5 3 11 Vậy a + 2b = + 2. = . 8 8 8 Trang 5

Trang 6

Chọn B.

1 1 Câu 3: Cho x, y là 2 góc nhọn dương và sin x = , sin y = thì giá trị đúng của sin 2 ( x + y ) là 3 2

Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây đúng? x 1  A. tan  + 1 = tan x 2  cos x 

x 1  B. tan  + 1 = tan 2 x 2  cos x 

x 1 x  C. tan  + 1 = tan 2  cos x  2

x 1  D. tan  + 1 = tan 4 x 2  cos x 

Câu 4: Cho tan x =

x x x x sin 1 + 2 cos 2 − 1 sin 2 cos 2 x 1 x 1 + cos x  2 2 2 2 tan  + 1 = tan . = . = . x x cos x 2  cos x  2 cos x cos x cos cos 2 2

A. A = tan x

−7 3 − 4 2 18

C. A = 6

D. A = 8

2 thì giá trị của biểu thức P = 3sin 2 x + 2 cos 2 x là 2

3 B. − − 3 2

3 − 3 2

D. A hoặc C đúng

B. A = 4 cot 4 x

C. A = 6 cot 6 x

D. A = 8cot 8 x

B. A = sin x

C. A = cot x

D. A = tan 2 x

π ; 3sin 2 x + 2sin 2 y = 1 và 3sin 2 x − 2sin 2 y = 0 . Tính 2

Câu 8: Cho biểu thức A = A. A =

A. 6sin 2 x.cos x B. 6sin 2 y.cos y C. 0

D. 1

2sin 2 x + 3 sin 4 x − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 cos 2 2 x + 3 sin 4 x − 1

sin ( 4 x − 30° ) sin ( 4 x + 30° ) B. A = sin ( 4 x + 30° ) sin ( 4 x − 30° )

C. A =

cos ( 4 x − 30° ) cos ( 4 x + 30° )

D. A =

cos ( 4 x + 30° ) cos ( 4 x − 30° )

Bài tập nâng cao

Hướng dẫn giải

Câu 9: Giá trị lớn nhất của biểu thức A = cos 2 x + 4sin x + 3 là

Ta có 3sin 2 x + 2sin 2 y = 1 ⇒ 3sin 2 x = 1 − 2sin 2 y = cos 2 y .

A. 3

3sin 2 x − 2sin 2 y = 0 ⇒ 2sin 2 y = 3sin 2 x ⇒ sin 2 y = 3sin x.cos x

B. 4

C. 5 6

D. 6

Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = sin x + cos x là

Do đó:

A. 2

cos ( x + 2 y ) = cos x.cos 2 y − sin x.sin 2 y = cos x.3sin x − sin x.3sin x.cos x = 0

1 3

1 4

1 5

1 6

Câu 11: Cho P = ( 2 cos x − 3sin x )( 3cos x + 2sin x ) + 1 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

⇒ cos ( x + 2 y ) = 0 .

của biểu thức P. Giá trị của

Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

4 thì 5

cos 2 x có giá trị là B.

6 5

11 B. 113

−12 11

A là B

−13 11

−14 11

−15 11

Dạng 3: Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích C.

7 5

Phương pháp giải

2 2 5

Áp dụng công thức biến tổng thành tích và tích Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau

Câu 2: Cho cot x = 15 thì sin 2 x có giá trị là

13 A. 113

sin 2 x − sin x Câu 7: Cho biểu thức sau A = . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 − cos x + cos 2 x

cos ( x + 2 y ) .

2 5

3 + 3 2

A. A = 2 cot 2 x

Chọn A.

Câu 1: Cho cos x =

−7 3 + 4 2 18

Câu 6: Cho biểu thức sau A = cot x − tan x − 2 tan 2 x − 4 tan 4 x . Khẳng định nào sau đây đúng?

x 2 cos x sin x 2 = sin . = = tan x . 2 cos x cos x

Ví dụ 4: Cho 0 < x, y <

B. A = 4

Câu 5: Nếu sin x + cos x =

Ta có

7 3 −4 2 18

2sin 2 x 1 thì giá trị của biểu thức A = là 2 2 − 3cos 2 x

A. A = 2

Hưỡng dẫn giải

7 3+4 2 18

thành tổng để biến đổi, tính giá trị lượng giác, biểu

15 C. 113

17 D. 113

thức lượng giác, rút gọn hoặc chứng minh.

A = 2sin x ( cos x + cos 3 x + cos 5 x ) .

Hướng dẫn giải Ta có

Trang 7

Trang 8

A = 2sin x.cos x + 2sin x.cos 3 x + 2sin x.cos 5 x = sin 2 x + ( sin 4 x − sin 2 x ) + ( sin 6 x − sin 4 x )

= sin 6x .

VT =

4sin 2 2 x.cos 2 2 x 2sin 2 2 x.cos 2 x = 2 cos x.cos 2 x + 2 cos 2 x.cos 3x cos x + cos 3x

2sin 2 2 x.cos 2 x 4sin 2 x.cos 2 x = 2 cos x.cos 2 x cos x

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A = cos 75°.sin15° . A.

2− 3 4

2+ 3 4

−2 − 3 4

−2 + 3 4

= 4sin 2 x.cos x = 2sin x.sin 2 x = VP . Suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải Ta có A = cos 75°.sin15° =

Bài tập tự luyện dạng 3

1 sin ( 75° + 15° ) − sin ( 75° − 15° )  2

Bài tập cơ bản

1 2− 3 . ( sin 90° − sin 60° ) = 2 4

Câu 1: Cho x + 2 y =

Chọn A.

A. tan

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

B. 0

C. sin a.sin b.sin c

D. cos a.cos b.cos c

Hướng dẫn giải

+ sin c ( sin a.cos b − sin b.cos a )

= sin a.sin b.cos c − sin a.sin c.cos b + sin b.sin c.cos a − sin b.sin a.cos c

Chọn B.

1 sin 2 x 2

1 B. − sin 2 x 2

sin 2 x 3 + 2 4

A. A =

π  π  Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A = 4 cos x.cos  − x  cos  + x  được kết quả là 3  3  C. cos 3x

π  C. − cot  y +  4 

x 2

π  D. cot  y +  4 

1 cos 2 x 2

1 D. − cos 2 x 2

sin 2 x 3 − 2 4

C. −

sin 2 x 3 + 2 4

D. −

sin 2 x 3 − 2 4

π x π x Câu 4: Rút gọn biểu thức A = sin 2  +  − sin 2  −  ta được 8 2 8 2

+ sin c.sin a.cos b − sin c.sin b.cos a = 0 .

B. cos 2 x

B. cot

Câu 3: Giá trị biểu thức A = sin ( x + 30° ) cos ( x − 30° ) là

Ta có A = sin a ( sin b.cos x − sin c.cos b ) + sin b ( sin c.cos a − sin a.cos c )

A. cos x

x 2

cos ( x + y ) − cos y π . Rút gọn biểu thức A = ta được kết quả là cos ( x + y ) + cos y 2

Câu 2: Giá trị biểu thức A = cos ( x + 45° ) cos ( x − 45° ) là

A = sin a.sin ( b − c ) + sin b.sin ( c − a ) + sin c.sin ( a − b ) được kết quả là

A. 1

sin 2 4 x sin 2 4 x = 2 cos x + cos 3x + cos 5 x ( cos + cos 3 x ) + ( cos x + cos 5 x )

2 sin x 2

B. A =

2 cos x 2

1 C. A = sin x 2

1 D. A = sin x 2

Câu 5: Đẳng thức nào sau đây là sai?

D. cos 4 x

Hướng dẫn giải 2π π  π    + cos 2 x  A = 4 cos x.cos  − x  cos  + x  = 2 cos x  cos 3 3  3   

A. − cos x.cos y + sin x.sin y = cos ( x + y + 13π )

B. 4sin x.cos x.cos 2 x = sin 4 x

C. cos 2 2 x − sin 2 x = cos 3 x.cos x

D. 2sin ( x + y ) .sin ( x − y ) = cos 2 x − cos 2 y

Bài tập nâng cao Câu 6: Cho A, B, C lần lượt là 3 góc tam giác ABC; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Khẳng định nào trong số các khẳng định sau đúng?

= − cos x + 2 cos x.cos 2 x = − cos x + cos 3x + cos x = cos 3x .

Chọn C.

A. r = 4 R.sin

A B C .sin .sin 2 2 2

B. r = 3R.sin

C. r = 2 R.sin

A B C .sin .sin 2 2 2

D. r = R.sin

Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức: sin 2 4 x = 2sin x.sin 2 x 2 cos x + cos 3x + cos 5 x

A B C .sin .sin 2 2 2

Hướng dẫn giải

Trang 9

Trang 10

ĐÁP ÁN

3cos B + 4sin B = 5 . Mà theo giả thiết 3 ( cos B + 2sin C ) + 4 ( sin B + 2 cos C ) = 15 nên  6 cos C + 8sin C = 10

Dạng 1. Công thức cộng 1-D

2-B

11 - C

12 - A

3-B

4-A

5-C

6-D

7-C

8-B

9-A

10 - B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 10. Chọn B.

4  cos B sin B   3 = 4  tan B = 3 , C < 180° ). Do đó dấu “=” xảy ra khi  ⇒ ⇒ tan B = tan C ⇒ B = C (do B  sin C = cos C  tan C = 8 = 4  8  6 6 3 Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Ta có A = sin 4 x + 2 cos 4 x = 2 cos 4 x + (1 − cos 2 x ) = 3cos 4 x − 2 cos 2 x + 1

Dạng 2. Công thức nhân đôi

2 2 2  1  1   1  1 1 2 2  = 3 cos 4 x − 2 cos 2 x. +   −   +  = 3  cos 2 x −  + ≥ . 3  3   3  3  3 3 3  

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4

1-C

7-A

8-A

9-D

10 - B

= −2 ( sin 2 x − 2sin x − 2 ) = −2 ( sin 2 x − 2sin x + 1 − 3) = −2 ( sin x − 1) + 6 ≤ 6 . Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 6 khi sin x = 1 .

2 2 ⇒ P = = 3. 2 3 3

Câu 10. Chọn B. Sử dụng hằng đẳng thức: a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) .

Câu 11. Chọn C.

A = sin 6 x + cos6 x = ( sin 2 x + cos 2 x )( sin 4 x − sin 2 x.cos 2 x + cos 4 x )

2 + 3sin x + 1 = 2 cos 2 x + 3sin x + 1 1 cos 2 x

2 3 2 = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 3sin 2 x.cos 2 x = 1 − 3 ( sin x.cos x ) = 1 − sin 2 2 x . 4

= 2 (1 − sin 2 x ) + 3sin x + 1 = −2sin 2 x + 3sin x + 3

Vì sin 2 2 x ≤ 1 ⇒

3 3  = −2  sin 2 x − sin x −  2 2 

Vậ y A ≥

2 2 2  3  3   3  3 3  33 33  = −2 sin 2 x − 2sin x +   −   −  = −2  sin x −  + ≤ . 4  4   4  2  4 8 8  

Vậy giá trị lớn nhất của A là

6-D

Ta có A = cos 2 x + 4sin x + 3 = 1 − 2sin 2 x + 4sin x + 3 = −2sin 2 x + 4sin x + 4

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2.

2 + 3sin x + 1 = 1 + tan 2 x

5-D

Câu 9. Chọn D.

Vì 0 ≤ cos 2 x ≤ 1 nên ( cos 2 x − 1)( 3cos 2 x + 1) ≤ 0 ⇒ A = ( cos 2 x − 1)( 3cos 2 x + 1) + 2 ≤ 2 .

Ta có A =

4-D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 2

Ta lại có A = 3cos x − 2 cos x + 1 = ( 3cos x − 2 cos x − 1) + 2 = ( cos x − 1)( 3cos x + 1) + 2 .

Vậy M = 2; m =

3-A

11 - D

2 . 3 4

2-C

1 1 ⇒ Amin = . 4 4

Câu 11. Chọn D. Ta có P = 6 cos 2 x + 4sin x.cos x − 9sin x.cos x − 6sin 2 x + 1

33 . 8

5 = 6 ( cos 2 x − sin 2 x ) − 5sin x.cos x + 1 = 6 cos 2 x − sin 2 x + 1 . 2

Câu 12. Chọn A.

Ta có 3 ( cos B + 2 cos C ) + 4 ( sin B + 2sin C ) = ( 3cos B + 4sin B ) + ( 6 cos C + 8sin C ) . 3cos B + 4sin B ≤  Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski, ta có:  6 cos C + 8sin C ≤ 

−3 2 −3 −3 −3 1 sin 2 x ≥ ⇒ A = 1 + sin 2 2 x ≥ 1 + = . 4 4 4 4 4

(3 (6

Tới đây ta rút

+ 42 )( cos 2 B + sin 2 B ) = 5 +8

)( cos

C + sin C ) = 10 2

12 5 π  5  13 ra ngoài và đặt sin α = ; cos α = ; 0 < α < . 62 +   = 2 13 13 2 2

13  12 5 13 13   cos 2 x − sin 2 x  + 1 = ( sin α.cos 2 x − cos α.sin 2 x ) + 1 = sin ( α − 2 x ) + 1 . 2  13 13 2 2 

Vì −1 ≤ sin ( α − 2 x ) ≤ 1 nên min P = −

⇒ 3 ( cos B + 2 cos C ) + 4 ( sin B + 2sin C ) ≤ 15 . Trang 11

13 11 13 15 và max P = + 1 = . +1 = − 2 2 2 2 Trang 12

Do đó A =

A 15 −11 15 ;B = ⇒ =− . 2 2 B 11

Dạng 3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích 1-C

2-C

3-A

4-A

5-D

6-A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 6. Chọn A. Gọi p là nửa chu vi của tam giác. Ta có

⇒ p=

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

a + b + c 2 R sin A + 2 R sin B + 2 R sin C = = R ( sin A + sin B + sin C ) 2 2

= R sin A + sin B + sin ( A + B )  = R ( sin A + sin B + sin A.cos B + sin B.cos A )

A A B B B A  = R sin A (1 + cos B ) + sin B (1 + cos A )  = R  2sin cos .2 cos 2 + 2sin cos .2 cos 2  2 2 2 2 2 2  = 4 R cos

A B A B B A A B  A+ B  cos  sin cos + sin cos  = 4 R cos cos sin   2 2 2 2 2 2 2 2  2 

= 4 R cos

A B C cos cos . 2 2 2

Ta lại có S = p.r =

⇒r=

R.2sin

8R 3 .sin A.sin B.sin C abc abc sin A.2 R.sin B.2 R.sin C.2 R ⇒r= = = 4R p.4 R 4 R.cos A cos B cos C .4 R 16 R 2 .cos A cos B cos C 2 2 2 2 2 2

A B B C C .2sin .cos .2.sin .cos 2 2 2 2 2 = 4 R.sin A sin B sin C . A B C 2 2 2 2 cos cos cos 2 2 2

Vậy r = 4 R.sin

A B C sin sin . 2 2 2

Trang 13