CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) - 4 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 PHẦN ĐS-GT

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ TOÁN LỚP 12 (LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP) 4 CHUYÊN ĐỀ ĐS-GT - 67 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I CHUYÊN SƯ PHẠM HN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

dấu như sau:

−∞

1 3

Mục tiêu

y′

Kiến thức

+∞

−

+ Biết, hiểu công thức, quy tắc tính đạo hàm + Nắm vững tính đơn điệu của hàm số.

Ta thấy

+ Thấy được mối liên hệ về sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm của nó

Hàm

+ Biết quy tắc xét dấu đã học ở lớp 10.

1   −∞;  ; (1; +∞ ) 3 

+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số khi biết bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ,

Định lí thuận

y = f ( u ( x ) ) khi biết bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ( x ) hoặc đồ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

thị hàm số y = f ' ( x ) .

Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên

đồng

biến

trên

các

khoảng

1  Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 3 

Ví dụ 3: Cho hàm số g ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 6 .

khoảng K .

Kĩ năng

+ Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản + Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể. + Vẽ được bảng biến thiên, đồ thị các hàm số cơ bản, các hàm chứa trị tuyệt đối. + Vận dụng được tính chất của các hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, các hàm hữu tỷ vào giải nhanh toán trắc nghiệm. + Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ± h ( x ) ) khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f ( x ) ( y = f ′ ( x ) ).

a = 2 > 0 Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên Hàm số có  2 ∆ = ( −5 ) − 4.2.6 = −23 < 0 khoảng K . ⇒ g ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ . Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: khoảng K . f ′ ( x ) ≤ 0 ∀x ∈ K và dấu “=” tại hữu hạn điểm Định lí đảo trên K thì hàm số nghịch biến trên K . Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa

số

f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K .

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình

Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc vẽ dưới đây. nửa khoảng) K .

Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K .

Lưu ý:

Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

- Hàm số f ( x ) đồng biến trên K thì đồ thị hàm số

∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải. - Hàm số f ( x ) nghịch biến trên K thì đồ thị hàm Dựa vào đồ thị ta thấy

Hàm số f gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn

Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .

trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

từ trái sang phải.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) . Ta có bảng xét

Xét dấu tam thức bậc hai g ( x ) = ax 2 + bx + c

Trang 1

Trang 2

( a ≠ 0)

∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .

g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔

{ { { {

a>0 ; ∆≤0

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số

a>0 ; g ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆<0 g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔

∀x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

Bài toán 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức y = f ( x )

a<0 ; ∆≤0

Phương pháp giải

Thực hiện các bước như sau:

a<0 . g ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆<0

Ví dụ: Hàm số y = −

Bước 1. Tìm tập xác định D .

trên khoảng nào dưới đây?

Bước 2. Tính đạo hàm y′ = f ′ ( x ) . Bước 3. Tìm các giá trị x mà f ′ ( x ) = 0 hoặc SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

những giá trị làm cho f ′ ( x ) không xác định.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Hàm số đồng biến

Định lí thuận

- Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến

- Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến

trên khoảng K .

trên khoảng K . Định lí đảo

y = f ( x ) (chọn đáp án).

trên K thì hàm số đồng biến trên K . Đồ thị

D. (1;5 ) . Hướng dẫn giải

x = 1 Ta có y′ = 0 ⇔ − x 2 + 6 x − 5 = 0 ⇔  x = 5

x −∞ Định lí đảo

y′

Định lí thuận “mở rộng”

−

trên khoảng (1;5 ) .

f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K và dấu bằng tại hữu hạn điểm

trên K thì hàm số nghịch biến trên K .

−

+∞

−13 19 y +∞ 3 3 −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến

f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K .

f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K và dấu bằng tại hữu hạn điểm

C. ( −2;3) .

2 Bước 5. Kết luận tính đơn điệu của hàm số Ta có y′ = − x + 6 x − 5

- Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì - Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì

Định lí thuận “mở rộng”

B. ( −∞;1) .

Tập xác định D = ℝ .

đạo hàm.

Hàm số nghịch biến

f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K .

A. ( 5; +∞ ) .

Bước 4. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp

Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K .

x3 + 3x 2 − 5 x − 2 đồng biến 3

Chọn D. Ví dụ mẫu

Đồ thị

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − 9 x + 15 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) .

B. Hàm số đồng biến trên ( −9; −5 ) .

C. Hàm số đồng biến trên ℝ .

D. Hàm số đồng biến trên ( 5; +∞ ) . Hướng dẫn giải

Tập xác định D = ℝ - Đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải Định nghĩa

- Đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải Định nghĩa

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu

Trang 3

Ta có y′ = 3 x 2 + 6 x − 9 x = 1 Cho y′ = 0 ⇔  .  x = −3

Trang 4

−3

−∞

y′

−

A. y = − x 3 − 2 x .

B. y =

+∞

Ví dụ 4. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ℝ ?

+∞

x−2 . x −1

C. y = x 4 + 3 x 2 . Hướng dẫn giải

−∞

D. y = x 3 + 3x 2 .

Tập xác định D = ℝ .

Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai.

Ta có y = − x 3 − 2 x ⇒ y′ = −3x 2 − 2 < 0, ∀x ∈ ℝ

Chọn C.

Vậy hàm số y = − x 3 − 2 x nghịch biến trên ℝ .

Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 4 là

Chọn A.

A. ( −1;0 ) và (1; +∞ ) .

B. ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

C. ( −1;0 ) và ( 0;1) .

D. ( −∞; −1) và ( 0;1) .

Ví dụ 5. Cho hàm y = x 2 − 6 x + 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 5; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; +∞ ) .

Tập xác định D = ℝ .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

Ta có y′ = −4 x 3 + 4 x

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;3) .

x = 0 y′ = 0 ⇔   x = ±1

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = ( −∞;1] ∪ [5; +∞ )

Bảng biến thiên của hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 4 như sau x y′

−∞ +

−1 0 −3

−

0 0

1 0 −3

+∞

Ta có y′ =

−

−4

> 0, ∀x ∈ ( 5; +∞ )

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 5; +∞ ) .

y −∞

x−3 x2 − 6x + 5

Chọn A.

−∞

Ví dụ 6. Hàm số y = x +

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên ( −1; 0 ) và (1; +∞ ) . Chọn A.

4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? x

A. ( 0; +∞ ) .

B. ( −2; 2 ) .

C. ( −2;0 ) .

x −1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Ví dụ 3. Cho hàm số y = x+2

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = ℝ \ {0} .

A. Hàm số đồng biến trên ℝ . B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Ta có y′ =

C. Hàm số đồng biến trên ℝ \ {−2} .

x −∞ y′

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = ℝ \ {−2} . 3

( x + 2)

> 0, ∀x ∈ D nên hàm số y =

x2 − 4 x2 − 4 ⇒ y′ = 0 ⇔ = 0 ⇔ x = ±2 2 x x2

Bảng biến thiên

D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.

Ta có y′ =

D. ( 2; +∞ ) .

−2 0

0 −

−

−4 x −1 đồng biến trên từng khoảng của miền xác định. x+2

2 0

+∞ + +∞

+∞

y −∞

−∞

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên ( −∞; −2 ) và ( 2; +∞ ) .

Chọn D.

Trang 5

Trang 6

Chọn D.

Chọn C.

Ví dụ 7. Cho hàm số f ( x ) = (1 − x

2 2019

)

Ví dụ 9. Hàm số y = x 2 − 2 x − 3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên ℝ .

A. ( −∞; −1) .

B. ( −1;3) .

C. (1; +∞ ) .

B. Hàm số đồng biến trên ( −∞; 0 ) .

Hướng dẫn giải

C. Hàm số nghịch biến trên ( −∞; 0 ) .

Tập xác định D = ℝ .

D. Hàm số nghịch biến trên ℝ .

Ta có y = x 2 − 2 x − 3 =

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ .

Vì 2019. (1 − x

)

2018

2018 . (1 − x 2 )′ = 2019. (1 − x 2 ) . ( −2 x )

≥ 0 , ∀x ∈ ℝ nên dấu của đạo hàm cùng dấu với ( − x ) .

−1

−∞

y′

−

− 2 x − 3)

1 +

+∞

−∞

−1 +

f ( x)

+∞

−

+ +∞

Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) và ( 3; +∞ ) .

Chú ý: - Vì f ( x ) =

- Đạo hàm y′ =

−∞

Chọn D.

−

1 0

+∞

−

Ta có bảng biến thiên

f ′( x)

( 2 x − 2 ) ( x 2 − 2 x − 3)

Ta có bảng biến thiên

x=0 Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔   x = ±1

− 2 x − 3) ⇒ y′ =

y′ = 0 ⇔ 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ; y′ không xác định nếu x = −1; x = 3 .

Đạo hàm f ′ ( x ) = 2019. (1 − x 2 ) 2 2018

D. ( 3; +∞ ) .

−∞

f 2 ( x ) nên có thể xét tính đơn điệu của hàm số y =

f ′ ( x ). f ( x ) f 2 ( x)

f 2 ( x ) để suy ra kết quả.

Bài toán 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x ) khi cho hàm số y = f ′ ( x )

Phương pháp giải

Vậy hàm số đồng biến trên ( −∞; 0 ) .

Thực hiện theo ba bước như sau:

Chọn B.

Bước 1. Tìm các giá trị x mà f ′ ( x ) = 0 hoặc

Chú ý: Dấu hiệu mở rộng khi kết luận khoảng đồng biến ( −∞; 0 ) . Ví dụ 8. Cho hàm số f ( x ) = x3 + x 2 + 8 x + cos x . Với hai số thực a, b sao cho a < b . Khẳng định nào sau đây là đúng?

những giá trị làm cho f ′ ( x ) không xác định.

Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ

là f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1) . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

Bước 2. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp

A. (1; +∞ ) .

B. ( −∞; 0 ) ; (1; +∞ ) .

đạo hàm.

C. ( 0;1) .

D. ( −∞;1) .

A. f ( a ) = f ( b ) .

B. f ( a ) > f ( b ) .

Bước 3. Kết luận tính đơn điệu của hàm số

C. f ( a ) < f ( b ) .

D. f ( a ) ≥ f ( b ) .

y = f ( x ) (chọn đáp án).

Hướng dẫn giải

x=0 Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ x 2 ( x − 1) = 0 ⇔  x =1

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ . Ta có f ′ ( x ) = 3x 2 + 2 x + 8 − sin x = ( 3 x 2 + 2 x + 1) + ( 7 − sin x ) > 0, ∀x ∈ ℝ Suy ra f ( x ) đồng biến trên ℝ . Do đó a < b ⇒ f ( a ) < f ( b ) .

Ta có bảng xét dấu

x f ′( x)

Trang 7

−∞ −

+∞

1 −

+ Trang 8

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) .

- Trên khoảng ( c; d ) nếu f ′ ( x ) mang dấu − (âm):

Chọn A.

thì ta kết luận f ( x ) nghịch biến trên ( c; d ) .

y′

Ví dụ mẫu 3

Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( 2 − x )

- Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) thì hàm số có

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

đồ thị là đường đi lên từ trái sang phải trên ( a; b ) .

B. (1; 2 ) .

A. ( −1;1) .

C. ( −∞; −1) .

D. ( 2; +∞ ) .

x=2 Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔   x = ±1

f ′( x)

−

−∞

1 −

+∞

2 +

−

3 −1

−∞

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới

có đồ thị là đường đi xuống từ trái sang phải trên A. ( −∞; 0 ) .

B. ( 0; 2 ) .

( a; b ) .

D. ( 2; +∞ ) .

C. ( −2;0 ) .

- Trong trường hợp: Hàm số f ( x ) là hàm hằng

Bảng xét dấu

−1

−

- Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( a; b ) thì hàm số đây?

Hướng dẫn giải

−∞

+∞

Khi cho đồ thị: 2

−2

−∞

( a; b )

(không đổi) trên

thì hàm số có đồ thị là Dựa vào bảng biến thiên, ta có y′ > 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ⇒

đường song song hoặc trùng với trục Ox trên ( a; b )

−

Hướng dẫn giải

hàm số đồng biến trên ( 0; 2 ) . Chọn B.

Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) . Ví dụ mẫu

Chọn B.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( 0;3) có tính chất

f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;3) và f ′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ (1; 2 ) .

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

y′ y

A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

−∞

+∞

2 0

−

+∞ f ( 2)

B. Hàm số f ( x ) không đổi trên khoảng (1; 2 ) .

−∞

C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1;3) .

Hỏi bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;3) .

B. y = x3 − 6 x 2 + 12 x .

A. y = − x 3 + 6 x 2 − 12 x .

Hướng dẫn giải

C. y = − x 3 + 4 x 2 − 4 x .

Vì f ′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ (1; 2 ) nên f ( x ) là hàm hằng trên khoảng (1; 2 ) .

D. y = − x 2 + 4 x − 4 . Hướng dẫn giải

Trên các khoảng ( 0; 2 ) , (1;3) , ( 0;3) hàm số y = f ( x ) thỏa f ( x ) ≥ 0 nhưng f ′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ (1; 2 ) nên

f ( x ) không đồng biến trên các khoảng này.

Xét hàm số y = − x + 6 x − 12 x 2

y′ = −3 x 2 + 12 x − 12 = −3 ( x − 2 ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ , thỏa mãn.

Chọn B.

Xét hàm số y = x3 − 6 x 2 + 12 x

Bài toán 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x ) khi cho bảng biến thiên hoặc đồ thị

y′ = 3x 2 − 12 x + 12 = 3 ( x − 2 ) ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ , không thoả mãn.

Phương pháp giải

Khi cho bảng biến thiên: - Trên khoảng

( a; b )

nếu f ′ ( x ) mang dấu +

Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

Xét hàm số y = − x 3 + 4 x 2 − 4 x

như sau:

(dương) thì ta kết luận f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) . Trang 9

Trang 10

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; +∞ ) .

2  x= y′ = −3 x 2 + 8 x − 4, y ′ = 0 ⇔  3 không thoả mãn.  x = 2

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; +∞ ) . Hướng dẫn giải

Xét hàm số y = − x 2 + 4 x − 4 y′ = −2 x + 4, y′ = 0 ⇔ x = 2 là nghiệm duy nhất.

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng ( −1; +∞ ) đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái qua phải) nên

Hàm số đồng biến trên ( −∞; 2 ) , nghịch biến trên ( 2; +∞ ) không thoả

hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; +∞ ) .

mãn.

Chọn D.

Chọn A.

Chú ý: Kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng không viết ở dạng ℝ \ {−1} .

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ( a; b ) . Phát biểu nào dưới đây là đúng?

đồng biến trên khoảng dưới đây nào? A. ( −2; 2 ) .

B. ( 0; 2 ) .

A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) khi f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ ( a; b ) .

C. ( −1;1) .

D. (1; 2 ) .

B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) khi f ′ ( x ) < 0 , ∀x ∈ ( a; b ) .

Hướng dẫn giải

C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) khi f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ ( a; b ) .

- Xét đáp án A, trên khoảng ( −1;1) ⊂ ( −2; 2 ) đồ thị hướng đi xuống hay hàm nghịch biến trên khoảng đó.

D. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) khi f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ ( a; b ) , trong đó f ′ ( x ) = 0 tại hữu hạn

- Xét đáp án B, trên khoảng ( 0;1) ⊂ ( 0; 2 ) đồ thị có đoạn hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên đó.

giá trị x ∈ ( a; b ) .

- Xét đáp án C, trên khoảng ( −1;1) đồ thị có hướng đi xuống hay hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

- Xét đáp án D, trên khoảng (1; 2 ) đồ thị có hướng đi lên hay hàm số đồng biến trên khoảng đó nên chọn.

A. Nếu f ′ ( x ) < 0 với mọi x thuộc ( a; b ) thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( a; b ) .

Chọn D.

B. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) thì f ′ ( x ) > 0 với mọi x thuộc ( a; b ) .

Ví dụ 3. Cho hàm số y =

C. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) thì f ′ ( x ) ≥ 0 với mọi x thuộc ( a; b ) .

ax + b có đồ thị như hình vẽ dưới đây. cx + d

D. Nếu f ′ ( x ) > 0 với mọi x thuộc ( a; b ) thì hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) . Câu 3: Cho hàm số f ( x ) đồng biến trên tập số thực ℝ , mệnh đề nào sau đây đúng? A. Với mọi x1 > x2 ∈ ℝ ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

B. Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .

C. Với mọi x1 , x2 ∈ ℝ ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

D. Với mọi x1 < x2 ∈ ℝ ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .

Câu 4: Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) . B. Nếu f ′ ( x ) > 0 , ∀x ∈ ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) . C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) khi và chỉ khi f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ ( a; b ) . D. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) khi và chỉ khi f ′ ( x ) > 0 , ∀x ∈ ( a; b ) .

Khẳng định đúng là

Câu 5: Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + x + 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên ℝ \ {1} .

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .

Trang 11

1  B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 . 3 

Trang 12

1  C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 . 3 

1  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞;  . 3 

1 Câu 6: Cho hàm số y = − x3 + x 2 − x + 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập ℝ và có f ′ ( x ) = x 2 − 5 x + 4 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 4 ) . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 3; +∞ ) .

A. Hàm số đồng biến trên ( −∞;1) và nghịch biến trên (1; +∞ ) . B. Hàm số nghịch biến trên ℝ .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;3) .

C. Hàm số đồng biến trên ℝ .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; 4 ) .

D. Hàm số đồng biến trên (1; +∞ ) và nghịch biến trên ( −∞;1) .

Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 2 + 2 , x ∈ ℝ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 7: Hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; +∞ ) .

B. ( −∞; −1) .

C. ( −∞; 0 ) .

A. f ( −1) ≥ f (1) . D. ( 0; +∞ )

B. y = x 3 − x .

C. y = x 4 − 1 .

D. f ( −1) < f (1) .

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( 2 − x )( x + 3) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −3; −1) và ( 2; +∞ ) .

D. y = x 3 + x .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3; 2 ) .

x−2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x+3

Câu 9: Cho hàm số y =

C. f ( −1) > f (1) . 2

Câu 8: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ? A. y = x 2 + 1 .

B. f ( −1) = f (1) .

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −3) và ( 2; +∞ ) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −3; 2 ) .

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) . B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 2 )( x − 1)

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Khẳng định nào sau đây đúng?

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Câu 10: Hàm số y = 2 x − x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? B. (1; 2 ) .

C. (1; +∞ ) .

A. y = x3 − x 2 + x − 3 .

B. y = x + 1 .

C. y = x + x − 5 x + 3 .

x −1 D. y = . 2x + 1

D. ( 0;1) .

Câu 13: Hàm số y =

B. ( 0;3) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; 2 ) . Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {2} và có bảng biến thiên như hình vẽ. x

3  C.  ;3  . 2 

f ( x)

3  D.  −∞;  . 2 

C. ( −∞; +∞ ) .

B. ( −5; −2 ) .

C. ( −∞; −2 ) và ( −2; +∞ ) .

D. ( −2;1) .

+∞

A. f ( x ) nghịch biến trên từng khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) . D. ( 0; +∞ ) .

B. f ( x ) đồng biến trên từng khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) .

− x + 2x −1 nghịch biến trên các khoảng x+2

A. ( −∞; −5 ) và (1; +∞ ) .

–

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Câu 14: Hàm sổ y =

+∞

2 –

−∞

x đồng biến trên khoảng nào sau đây? x +1

B. ( −1;1) .

−∞

f ′( x)

A. ( −∞; −1) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) .

Câu 12: Cho hàm số y = 3 x − x 2 . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?  3 A.  0;  .  2

2019

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (1; 2 ) và ( 2; +∞ ) .

Câu 11: Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên ℝ ?

( x − 2)

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −3) .

A. ( −∞;1) .

2018

C. f ( x ) nghịch biến trên ℝ . D. f ( x ) đồng biến trên ℝ . Câu 20: Cho hàm số có bảng biến thiên sao. Mệnh đề nào đúng?

Trang 13

Trang 14

x y′

−∞ +

−1 0

1 0

−

Câu 24: Hàm số y = x 3 − 3 x + 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

+∞ +

A. ( −∞; −2 ) .

+∞

B. ( −∞; −2 ) ; ( −1;1) .

C. ( −1; +∞ ) .

D. ( −2; −1) và (1; +∞ ) .

Dạng 2: Các bài toán chứa tham số −1

−∞

Bài toán 1. Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó

A. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) và nghịch biến trên ( −1;0 ) ∪ ( 0;1) .

Bài toán 1.1. Tìm tham số để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên ℝ .

B. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) ∪ (11; +∞ ) và nghịch biến trên ( −1;11) .

Phương pháp giải

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) và nghịch biến trên ( −1;1) .

Thực hiện theo các bước sau

Ví dụ: Tìm giá trị của m để hàm số

D. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) và nghịch biến trên ( −1;0 ) và ( 0;1) .

Bước 1. Tính y′ = 3ax 2 + 2bx + c (1).

y = x3 + 2 ( m − 2 ) x 2 + ( m2 − 2m + 1) x − m

Bước 2. Xét hai trường hợp

đồng biến trên ℝ .

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Trường hợp 1: a = 0 , thay trực tiếp vào (1) để xét.

Hướng dẫn giải

Trường hợp 2: a ≠ 0 , tính ∆′ = b 2 − 3ac .

Tập xác định D = ℝ .

a < 0 Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔  2  ∆′ = b − 3ac ≤ 0

Ta có y′ = 3x 2 + 4 ( m − 2 ) x + m 2 − 2m + 1

a > 0 Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔  2  ∆′ = b − 3ac ≤ 0

Bước 3. Kết luận (chọn đáp án).

Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi 3 > 0 a>0 ⇔ 2 2 ∆′ ≤ 0  4 ( m − 2 ) − 3 ( m − 2m + 1) ≤ 0

{

⇔ m 2 − 10m + 13 ≤ 0 ⇔ 5−2 3 ≤ m ≤ 5+ 2 3 Vậy với m ∈ 5 − 2 3;5 + 2 3  thì hàm số đồng

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( −1;1) .

B. ( −1;0 ) .

C. ( −∞; 0 ) .

biến trên ℝ

D. ( 0;1) .

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −20; 2] để hàm số y = x3 − x 2 + 3mx − 1 đồng biến trên ℝ ? A. 20 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 23 .

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ . Ta có y′ = 3 x 2 − 2 x + 3m Hàm số trên đồng biến trên ℝ ⇔ 3 x 2 − 2 x + 3m ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ .

⇔

A. ( 0;1) .

B. ( −∞; −1) .

C. ( −1;1) .

B. ( −∞; 0 ) ; ( 2; 4 ) .

C. ( 2; +∞ ) .

1 ∆′ ≤ 0 ⇔ 1 − 9m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3>0 9

Do m là số nguyên thuộc đoạn [ −20; 2] nên có m = 1; m = 2 .

D. ( −1; 0 ) .

Chọn B.

Câu 23: Hàm số y = x 2 − 4 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −∞; 2 ) .

{

D. ( 0; +∞ ) . Trang 15

Trang 16

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y = ( m 2 − 1) x3 + ( m − 1) x 2 − x + 4 nghịch biến trên

Mặt khác m là số nguyên dương nên không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

khoảng ( −∞; +∞ ) .

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

A. 3 .

B. 0 .

C. 1.

D. 2 .

Ví dụ mẫu

Hướng dẫn giải Ví dụ 1. Các giá trị của tham số m để hàm số y =

Tập xác định D = ℝ . Ta có y′ = 3 ( m 2 − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x − 1

A. m ≥ −1 .

B. m > −1 .

C. m > 1 .

Với m = 1 ta có y′ = −1 < 0 với ∀x ∈ ℝ nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Vậy m = 1 là giá

Tập xác định D = ℝ \ {−1} mx + 1 m −1 ⇒ y′ = 2 x +1 ( x − 1)

trị cần tìm.

Ta có y =

1 Với m = −1 ta có y′ = −4 x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≥ − ⇒ m = −1 không thỏa mãn. 4

Xét m = 1 , hàm số trở thành y = 1 . (hàm hằng) Xét m ≠ 1 , hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi

m2 − 1 < 0 • Với m ≠ ±1 ta có y ′ ≤ 0 với ∀x ∈ ℝ ⇔  2  ∆′ = 4 m − 2 m − 2 ≤ 0

y′ > 0, ∀x ≠ −1 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1 .

Chọn C.

 −1 < m < 1  ⇔ 1 − 2 ≤ m ≤ 1

Lưu ý: Với m = 1 thì y′ < 0, ∀x ∈ ℝ \ {1} . Ví dụ 2. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

1 ≤ m <1 2

A. ( −∞; −1) .

B. ( −1;1) .

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn.

C. (1; +∞ ) .

D. ( −∞;1) .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Tập xác định D = ℝ \ {− m}

ax + b Dạng 1.2: Tìm tham số để hàm số để hàm số y = đơn điệu trên từng khoảng xác định cx + d

Ta có y′ =

Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau

Ví dụ: Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương

 d Bước 1. Tập xác định D = ℝ \ −   c

x−m nghịch biến trên từng m để hàm số y = x+2

ad − bc

( cx + d )

khoảng xác định.

⇔ ad − bc > 0 Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định

Ta có y′ =

m2 − 1

( x + m)

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ y′ =

m2 − 1

( x + m)

⇔ m 2 − 1 < 0 ⇔ −1 < m < 1 .

Chọn B. Hướng dẫn giải

Bài toán 1.3: Hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên khoảng xác định

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tập xác định D = ℝ \ {−2} .

⇔ ad − bc < 0

mx + 1 nghịch biến trên từng khoảng xác x+m

định là

1 Từ các trường hợp ta được − ≤ m ≤ 1 . Do m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {0;1} 2

Bước 2. Tính y′ =

D. m ≥ 1 .

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ⇔ y′ ≤ 0 với ∀x ∈ ℝ .

⇔−

mx + 1 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó là x +1

2+m

( x + 2)

Phương pháp giải

. Để hàm số nghịch biến trên

từng khoảng xác định thì 2 + m < 0 ⇔ m < −2

Ví dụ: Tìm các giá trị của m m để hàm số

Sử dụng các kiến thức

Điều kiện cần để y = ( x − a )

2 m +1

.g ( x )

không đổi dấu khi x đi qua a là g ( a ) = 0 .

Bước 3. Kết luận. Trang 17

( m ∈ ℕ)

y = x3 ( x 3 − 2mx + m2 − m − 6 ) không đổi dấu khi đi qua x = 0 .

Trang 18

Cho hàm số

y = f ( x ) liên tục trên K

Tập xác định D = ℝ .

min f ( x ) = A . K

Đặt g ( x ) = x 3 − 2mx + m2 − m − 6

Khi đó bất phương trình f ( x ) ≥ m nghiệm đúng

Để hàm số không đổi dấu khi đi qua x = 0 thì

với mọi x ∈ K khi và chỉ khi m ≤ A . Cho hàm số

+ Với m = 2 có y′ = x 4 ( 9 x 4 + 50 ) ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ .

Hướng dẫn giải

và

y = f ( x ) liên tục trên K

Chọn A.

 m = −2 g ( 0) = 0 ⇔ m2 − m − 6 = 0 ⇔  m = 3

và

Lưu ý: Nếu g ( 0 ) ≠ 0 thì y′ luôn đổi dấu khi x qua 0, do đó nếu g ( x ) = 0 vô nghiệm thi sẽ luôn có một

max f ( x ) = B .

Với m = −2 thì y = x 4 ( x 2 + 4 ) > 0 , ∀x ∈ ℝ

Khi đó bất phương trình f ( x ) ≤ m nghiệm đúng

⇒ m = −2 là một giá trị cần tìm.

với mọi x ∈ K khi và chỉ khi m ≥ B .

Với m = 3 thì y = x 4 ( x 2 − 6 ) .

Khi đó hàm số chỉ đổi dấu khi x qua

khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Ví dụ 2. Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

f ( x ) = −m x − mx − ( m − m − 20 ) x + 2019 nghịch biến trên ℝ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử 2 5

6 và − 6 .

Vậy m = −2 là giá trị cần tìm.

thuộc S bằng A. −4 .

B. 1.

C. −1 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = ℝ .

Ví dụ mẫu

Ta có

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số

f ′ ( x ) = −5m2 x 4 − 3mx 2 − 2 ( m 2 − m − 20 ) x

y = x9 + ( 3m 2 − m ) x 6 + ( m3 − 3m 2 + 2m ) x 4 + 2019 đồng biến trên ℝ A. 3 .

m = 0 Vậy với  m = 1 thì hàm số đã cho đồng biến trên ℝ . m = 2 

B. 2 .

C. 4 .

= x  −5m 2 x 3 − 3mx − 2 ( m 2 − m − 20 )  = x.g ( x ) .

D. 1 .

Hướng dẫn giải

Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ ℝ

Tập xác định D = ℝ .

(*)

Nếu x = 0 không phải là nghiệm của g ( x ) thì f ′ ( x ) sẽ đổi dấu khi x đi qua x = 0 , lúc đó điều kiện (*)

Ta có y′ = 9 x8 + 5 ( 3m 2 − m ) x 4 + 4 ( m3 − 3m 2 + 2m ) x 3

không được thỏa mãn.

⇒ y′ = x3 9 x 5 + 5 ( 3m 2 − m ) x + 4 ( m3 − 3m 2 + 2m )  = x3 .g ( x )

Do đó điều kiện cần để hàm số đồng biến trên ℝ là x = 0 là nghiệm của

với g ( x ) = 9 x 5 + 5 ( 3m 2 − m ) x + 4 ( m3 − 3m 2 + 2m ) .

 m = −4 g ( x ) = 0 ⇔ m 2 − m − 20 = 0 ⇔  m = 5

m ≠ 0 Nếu g ( 0 ) ≠ 0 ⇔  m ≠ 2 m ≠ 1 

Thử lại: + Với m = −4 thì f ′ ( x ) = −80 x 4 + 12 x 2 = x 2 (12 − 80 x 2 ) , do đó m = −4 không thỏa mãn.

thì y′ sẽ đổi dấu khi đi qua điểm x = 0 ⇒ hàm số sẽ có khoảng đồng biến và nghịch biến. Do đó để hàm

+ Với m = 5 thì f ′ ( x ) = −125 x 4 − 15 x 2 = − x 2 (125 x 2 + 15) ≤ 0 , ∀x ∈ ℝ do đó m = 5 thỏa mãn.

số đồng biến trên ℝ thì điều kiện cần là g ( 0 ) = 0

Vậy S = {5} nên tổng các phần tử của S bằng 5.

m = 0 ⇔ m ( m 2 − 3m + 2 ) = 0 ⇔  m = 1 m = 2 

Chọn D.

Thử lại:

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −2018; 2018] để hàm số y = x 2 + 1 − mx − 1 đồng

Lưu ý: f ′ ( x ) đổi dấu qua các nghiệm của phương trình 12 − 80 x 2 = 0 .

+ Với m = 0 có y′ = 9 x8 ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ .

biến trên ( −∞; +∞ ) .

+ Với m = 1 có y′ = x 4 ( 9 x 4 + 10 ) ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ .

A. 2018 . Trang 19

B. 2019 .

C. 2020 .

D. 2017 .

Trang 20

Phương pháp giải

Hướng dẫn giải

Sử dụng kiến thức.

Tập xác định D = ℝ . x

Ta có y′ =

x2 + 1

Giả sử phương trình y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có hai

−m

⇔m≤

x2 + 1

x x2 + 1

− m ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ .

, ∀x ∈ ℝ .

Xét hàm số g ( x ) =

Tìm

x 2

x +1

; g′( x) =

x x + 1 ( x + 1) 2

−∞

g′( x)

Khi đó

Tập xác định D = ℝ .

x1 < α < x2 ⇔ af (α ) < 0 .

Ta có y′ = 3x 2 + 2 x − m

g ( x)

hàm

số

⇒ y′ = 0 ⇔ 3x 2 + 2 x − m = 0 (1)

Để hàm số nghịch biến trên đoạn [ 2;3] thì phương trình (1) có

hai

nghiệm

x1 , x2

thỏa mãn

x1 ≤ 2 < 3 ≤ x2 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi

 af (α ) < 0 . x1 < α < β < x2 ⇔   af ( β ) < 0

để

Hướng dẫn giải

 x + x < 2β . x1 < x2 ≤ β ⇔  1 2 ( x1 − β )( x2 − β ) ≥ 0 +∞

trị

giá

y = x + x − mx + 1 nghịch biến trên đoạn [ 2;3] .

 x + x > 2α . α ≤ x1 < x2 ⇔  1 2 ( x1 − α )( x2 − α ) ≥ 0

Bảng biến thiên

dụ: 3

nghiệm x1 , x2 .

Theo yêu cầu bài toán y′ = x

Ví 2

 ∆′ > 0 1 + 3m > 0   3 f ( 2 ) ≤ 0 ⇔ 3 (16 − m ) ≤ 0 ⇔ m ≥ 33 3 f ( 3) ≤ 0 3 ( 33 − m ) ≤ 0  

Vậy với m ≥ 33 thì hàm số đã cho nghịch biến trên

−1

đoạn [ 2;3] . Vậy m ≤ −1 mà m ∈ [ −2018; 2018] nên có 2018 giá trị nguyên.

Ví dụ mẫu

Chọn A.

Vi dụ 1. Các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x + 1 đồng

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m ∈ ℝ để hàm số y = sin x + cos x + mx đồng biến trên ℝ . A. − 2 ≤ m ≤ 2 .

biến trên khoảng ( 2; +∞ ) là

B. − 2 < m < 2 .

C. m ≥ 2 .

D. m > 2 .

A. m < 1 .

B. m ≤ 1 .

Hướng dẫn giải

C. m < 2 .

D. m > 1 .

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = ℝ .

Ta có y′ = cos x − sin x + m

Ta có y′ = 6 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1)

Hàm đồng biến trên ℝ ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ cos x − sin x + m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) thì ta xét hai trường hợp

⇔ sin x − cos x ≤ m, ∀x ∈ ℝ

- Trường hợp 1: Hàm số đồng biến trên ℝ ⇒ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

Xét hàm f ( x ) = sin x − cos x trên ℝ

⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ ( 2m + 1) − 4m ( m + 1) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 0 (vô lí).

π  Ta có sin x − cos x = 2 sin  x −  ⇒ − 2 ≤ f ( x ) ≤ 2, ∀x ∈ ℝ ⇒ max f ( x ) = 2 ℝ 4 

- Trường hợp 2: Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

∆ > 0  x1 < x2 ≤ 2 ⇔ x1 − 2 < x2 − 2 ≤ 0 ⇔  x1 + x2 − 4 < 0   x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4 ≥ 0

Do đó f ( x ) ≤ m, ∀x ∈ ℝ ⇔ max f ( x ) ≤ m ⇔ m ≥ 2 ℝ

Chọn C. Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (α ; β ) cho trước Bài toán 2.1. Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng cho trước

Trang 21

Trang 22

Tập xác định D = ℝ .

m ∈ ℝ 1 > 0 3   m ∈ ( −∞;1] ⇔  2m − 3 < 0 ⇔ m < 2 m ( m + 1) − 2 ( 2m + 1) + 4 ≥ 0  m ∈ ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ )

−b   x1 + x2 = a Theo định lý Vi-ét  c  x1 x2 = a 

Chọn B.

Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài một đoạn khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai

Lưu ý: - Hàm số đồng biến trên ℝ thì sẽ đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .

bằng k ⇔ x1 − x2 = k ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = k 2

nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0

- Bảng biến thiên của hàm số f ( x ) = y′ khi phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm x1 , x2 .

Bước 4. Giải các điều kiện để suy ra giá trị m cần

⇔ 4 + 6m > 0 ⇔ m > −

−∞

y′

−

Ta có y ′ = −3x 2 + 4 x + 2m Vì a = −3 < 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên

tìm.

+∞

2 3

4   x1 + x2 = 3 Theo định lý Vi-ét, ta có  2m  x1 x2 = − 3 

Để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì

1 Ví dụ 2. Các giá trị thực của tham số m để hàm số y = − x3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 10 đồng biến trên 3

x1 − x2 = 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 4

khoảng ( 0;3) là

A. m ≥

⇔

12 . 7

B. m <

12 . 7

C. m ∈ ℝ .

D. m >

7 . 12

16 8m 5 + =4⇔m= 9 3 6

Từ (1) và (2) suy ra m =

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ .

Ví dụ mẫu

Ta có y′ = − x 2 + 2 ( m − 1) x + m + 3 = g ( x ) .

Ví dụ 1. Các giá trị thực của tham số m để f ( x ) = − x3 + 3x 2 + ( m − 1) x + 2m − 3 trên một khoảng có độ

Do y là hàm số bậc ba với hệ số a < 0 nên hàm số đồng biến trên ( 0;3) ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm x1 , x2  −1.g ( 0 ) ≤ 0 thỏa mãn x1 ≤ 0 < 3 ≤ x2 ⇔   −1.g ( 3) ≤ 0

⇔

dài lớn hơn 1 là

A. m ≥ 0 .

B. m ≤ 0 .

5 C. − < m < 0 . 4

5 D. m > − . 4

Hướng dẫn giải

{

12 m+3≥ 0 ⇔m≥ . 7 m − 12 ≥ 0 7

Tập xác định D = ℝ .

Chọn A.

Ta có f ′ ( x ) = −3 x 2 + 6 x + m − 1

Bài toán 2.2: Tìm tham số m đề hàm số y = f ( x; m ) = ax3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên đoạn có độ dài bằng k

Để f ′ ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆′ > 0

Thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Tính y′ = f ′ ( x; m ) = 3ax 2 + 2bx + c Bước 2. Hàm số đơn điệu trên ( x1 ; x2 ) ⇔ y′ = 0 có

{

∆>0 a≠0

Hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f ′ ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt

x1 , x2 thỏa mãn x2 − x1 > 1 .

Phương pháp giải

hai nghiệm phân biệt ⇔

5 là giá trị cần tìm. 6

Ví dụ: Tìm các giá trị 3

để hàm số

y = − x + 2 x + 2mx − 1 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

⇔ 3m + 6 > 0 ⇔ m > −2

 x1 + x2 = 2  Theo định lý Vi-ét, ta có  1− m  x1 x2 = 3

Hướng dẫn giải 2

Với x2 − x1 > 1 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 − 1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > − Trang 23

5 4 Trang 24

Kết hợp, ta được m > −

5 4

Ví dụ mẫu

Chọn D. Ví dụ 2. Các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x + 3 nghịch biến trên 3

B. m ∈ ( 0;6 ) .

C. m < 0 .

A. 1.

D. m < 0; m > 6 .

B. 3 .

C. vô số.

Tập xác định D = ℝ \ {−4m}

Tập xác định D = ℝ . Ta có y′ = 6 x 2 + 6 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 )

Để hàm số xác định trên ( 2; +∞ ) thì −4m ≤ 2 ⇔ m ≥ −

 x = −1 y′ = 0 ⇔  x = 2 − m

Ta có y′ =

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3

4m − 3

( x + 4m )

4m − 3

< 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ⇔ 4m − 3 < 0 ⇔ m <

 −1 ≠ 2 − m m ≠ 3 m < 0 . ⇔ ⇔ ⇔ − 1 − 2 − m > 3 m − 3 > 3 ( ) m > 6  

⇔

Chọn D.

Vậy có một số nguyên m = 0 thỏa mãn.

( x + 4m )

3 4

Chọn A

ax + b đơn điệu trên khoảng (α ; β ) cho trước cx + d

Bài toán 2.3: Hàm số y =

1 2

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ ) ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ )

⇔ y′ = 0 có haỉ nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho x1 − x2 > 3 (1)

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =

Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Hàm số xác định trên  d − ≤ α d (α ; β ) ⇔ − ≠ (α ; β ) ⇔  dc c − ≥ β  c

ad − bc

( cx + d )

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

⇔ ad − bc > 0 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải

Bước 2. Tính y′ =

x+3 nghịch biến trên khoảng x + 4m

( 2; +∞ ) ?

một khoảng có độ dài lớn hơn 3 là

A. m > 6 .

Ví dụ 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y =

Ví dụ: Tìm các giá trị m nguyên để hàm số y=

3x + m nghịch biến trên khoảng ( 3; +∞ ) . x−m

A. 2 .

chỉ khi m ≤ 3 .(*) Ta có y ′ =

−4 m

( x − m)

Mà m nguyên nên m ∈ {1; 2} .

5m − 2

( x + 5m )

 y′ > 0, ∀x ∈ ( −∞; −10 ) Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −10 ) ⇔  −5m ∉ ( −∞; −10 )

⇔

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +∞ ) khi và chỉ ⇔ ad − bc < 0 khi −4m < 0 ⇔ m > 0 . (* *) Bước 3. Kết luận Từ (*) và (* *) suy ra m ∈ ( 0;3] .

D. 3 .

Tập xác định D = ℝ \ {−5m} Ta có y′ =

Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( 3; +∞ ) khi và

C. 1. Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ \ {m} .

B. Vô số.

x+2 trên khoảng ( −∞; −10 ) ? x + 5m

2  2 5m − 2 > 0 m > ⇔ 5 ⇔ <m≤2 −5m ≥ −10 5 m ≤ 2

{

Do m ∈ ℤ nên m ∈ {1; 2} .

Chọn A. Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =

mx − 4 nghịch biến trên khoảng m−x

( −3;1) ?

Vậy m ∈ {1; 2;3} là các giá trị cần tìm. Trang 25

Trang 26

B. 3 .

A. 2 .

C. 1.

D. 4 .

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m sao cho hàm số y = − x 4 + ( 2m − 3) x 2 + m

Hướng dẫn giải

nghịch biến trên đoạn [1; 2] ?

Tập xác định D = ℝ \ {m} Ta có y′ =

A. 2 .

B. Vô số.

C. 3 .

m2 − 4

(m − x)

D. 4 .

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = ℝ

m − 4 < 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) ⇔  m ∉ ( −3;1) 2

Ta có y′ = −4 x3 + 2 ( 2m − 3) x = x ( −4 x 2 + 4m − 6 ) Hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2] khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ [1; 2]

 −2 < m < 2  ⇔   m ≤ −3 ⇔ 1 ≤ m < 2   m ≥ 1

3 ⇔ −4 x 2 + 4m − 6 ≤ 0 ; ∀x ∈ [1; 2] ⇔ m ≤ x 2 + , ∀x ∈ [1; 2] 2

Vậy có một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3 5  ⇔ m ≤ min  x 2 +  = [1;2]  2 2

Chọn C.

Kết hợp với m nguyên không âm suy ra m ∈ {0;1; 2}

Do m ∈ ℤ , nên m = 1 .

Bài toán 2.4: Tìm tham số để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên khoảng (đoạn) D .

Vậy có ba giá trị nguyên không âm của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau

Ví dụ: Tìm các giá trị nguyên âm của tham số m

Bước 1. Tính y ′ = f ′ ( x )

để hàm số y = x 4 + 2mx 2 + x nghịch biến trên đoạn

Bước 2. Chuyển về bài toán tìm tham số về một bất

[1; 2] .

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = khoảng ( 0; +∞ ) ?

phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ D .

A. 2 .

Hướng dẫn giải

B. 1.

C. 3 .

Hàm số luôn xác định trên khoảng ( 0; +∞ ) .

Ta có y′ = 4 x 3 + 4mx + 1 .

Hàm số nghịch biến trên D ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D , Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn [1; 2] khi và dấu bằng tại hữu hạn điểm trên đó.

Bước 3. Kết luận (chọn đáp án).

chỉ khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ [1; 2]

Hàm số y =

1 4 3 đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) và x + mx − 4 2x

⇔ x3 + m +

3 3 ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ x3 + 2 ≥ − m, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) (1) 2x2 2x

⇔ 4 x + 4mx + 1 ≥ 0 , ∀x ∈ [1; 2] 3

⇔m≤−

D. 0 .

Hướng dẫn giải

Hàm số đồng biến trên D ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D , Tập xác định D = ℝ . dấu bằng tại hữu hạn điểm trên đó.

1 4 3 đồng biến trên x + mx − 4 2x

Xét hàm số f ( x ) = x 3 +

4 x3 + 1 , ∀x ∈ [1; 2] 4x

3 trên ( 0; +∞ ) 2 x2

3 3 ( x − 1) = ; f ′( x) = 0 ⇔ x = 1. x3 x3 5

f ′ ( x ) = 3x 2 −

1  33  ⇔ m ≤ min  − x 2 −  = − [1;2]  4x  8

Bảng biến thiên

Mà m nguyên âm nên m ∈ {−1; −2; −3; −4}

Vậy các giá trị m cần tìm là m ∈ {−1; −2; −3; −4} .

f ′( x) f ( x)

Ví dụ mẫu

Trang 27

0 – −∞

1 0 5 2

5 + +∞

Trang 28

(1) ⇔ −m ≤

5 5 ⇔m≥− 2 2

Khi đó y = f ( t ) =

m D = ℝ \  . 2

Mà m là số nguyên âm nên m ∈ {−2; −1} . Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Chọn A. Ví dụ 3. Cho hàm số y =

1 (8m3 − 1) x4 − 2 x3 + ( 2m − 7 ) x 2 − 12 x + 2018 với m là tham số. Số các giá trị 4

 −1 −1  nguyên m thuộc đoạn [ −2018; 2018] để hàm số đã cho đồng biến trên  ;  là 2 4

A. 2016 .

2t + 3 2t − m

B. 2019 .

C. 2010 .

 π Vì hàm số t = cos x nghịch biến trên x ∈  0;  nên hàm số đã cho nghịch biến trên  3

 π  0;  . Khi và chỉ  3

1  khi hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 . 2  Hàm số y = f ( t ) =

D. 2015 .

2t + 3 1  đồng biến trên khoảng  ;1 khi và khi và chỉ khi 2t − m 2 

 −2 m − 6 1  > 0, ∀t ∈  ;1  f ′ (t ) = 2  −2m − 6 > 0  m < −3  2  2t − m ) ( ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ ( −∞; −3)  m ∉ (1; 2 ) m 1    m ∉ (1; 2 )  ∉ ;1    2  2 

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ Ta có y′ = ( 8m3 − 1) x3 − 6 x 2 + 2 ( 2m − 7 ) x − 12

Chọn C.

 −1 −1   −1 −1  Hàm số đã cho đồng biến trên  ;  khi và chỉ khi y′ ≥ 0, ∀x ∈  ;  2 4 2 4

Ví dụ 5. Cho hàm số y = x 3 − mx + 1 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên

 −1 −1  ⇔ ( 8m3 − 1) x3 − 6 x 2 + 2 ( 2m − 7 ) x − 12 ≥ 0, ∀x ∈  ;  2 4

[1; +∞ ) . Tổng các phần tử của S bằng A. 1.

3 3  −1 −1  ⇔ ( 2mx ) + 2 ( 2mx ) ≥ ( x + 2 ) + 2 ( x + 2 ) (*), ∀x ∈  ;  2 4

B. 3.

C. 9 .

D. 10 .

Hướng dẫn giải

Xét f ( t ) = t + 2t ; f ′ ( t ) = 3t + 2 > 0, ∀t ∈ ℝ

Đặt g ( x ) = x − mx + 1

Suy ra f ( t ) là hàm đồng biến trên ℝ .

Ta có lim g ( x ) = +∞ . Do đó hàm số y = g ( x ) đồng biến trên [1; +∞ ) khi và chỉ khi

x →+∞

x+2  −1 −1   −1 −1  Từ (*) ta có 2mx ≥ x + 2, ∀x ∈  ;  ⇔ m ≤ , ∀x ∈  ;  2x 2 4 2 4

⇔ m ≤ min

 −1 −1   ;  2 4

3 x 2 − m ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ )  g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔ 3   g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ )  x − mx + 1 ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ )

x+2 7 ⇔m≤− . 2x 2

m ≤ min ( 3 x 2 ) , ∀x ∈ [1; +∞ ) m ≤ 3 x 2 , ∀x ∈ [1; +∞ ) [1; +∞ )   ⇔ ⇔ 1 2  2 1 m x , x 1; ≤ + ∀ ∈ +∞ ) [  m ≤ min  x +  , ∀x ∈ [1; +∞ ) x 1; +∞ ) [ x  

Do m nguyên và m ∈ [ −2018; 2018] nên có 2015 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D. 2 cos x + 3 Ví dụ 4. Các giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng 2 cos x − m

A. m ∈ ( −3;1] ∪ [ 2; +∞ ) .

B. m ∈ ( −3; +∞ ) .

C. m ∈ ( −∞; −3) .

D. m ∈ ( −∞; −3] ∪ [ 2; +∞ ) .

 π  0;  là  3

⇔

{

m≤3 ⇔ m ≤ 2 ⇒ m ∈ {0;1; 2} . m≤2

Chọn B. Lưu ý: Vì y = g ( x ) = g 2 ( x ) nên ta có thể chuyển bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số y = g 2 ( x) .

Hướng dẫn giải  π 1  Đặt t = cos x , với x ∈  0;  ⇒ t ∈  ;1  3 2 

- Tính đạo hàm y′ =

Trang 29

g ′ ( x ) .g ( x ) g 2 ( x)

Trang 30

- Hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d đồng biến trên [α ; +∞ ) khi và chỉ khi y ′ > 0 với ∀x ∈ [α ; +∞ ) .

 g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [α ; +∞ ) Trường hợp 1:   g (α ) ≥ 0

A. Vô số.

B. 4.

C. 7.

 25  B.  − ; +∞  .  12 

25   C.  −∞; −  . 12  

B. 7.

C. Vô số.

Câu 4: Số giá trị m nguyên và m ∈ [ −2018; 2018] để hàm số y = B. 4037.

Câu 5: Các giá trị của tham số m để hàm số y = B. m > 2 .

B. 3.

( −2018; 2018)

để hàm số

C. 4014.

D. 218.

C. 4036.

1 2 ( m − 1) x3 + ( m + 1) x2 + 3x − 1 đồng 3

C. 2.

C. 7.

C. 2.

D. 1.

(1; +∞ ) là A. m > 2 .

B. m ≤ 2 .

C. m < 1 .

D. m ≥ 1 .

 −1  A.  ; +∞  . 3 

 −1  B.  ; +∞  .  3 

−1   C.  −∞;  . 3  

 1  D.  − ; 0   3 

khoảng (1; 2 ) là

11   A.  −∞; −  . 4 

D. m < 2 .

D. 1.

D. 3.

B. ( −∞; −1) .

C. [ −1; +∞ ) .

11   D.  −∞; −  . 4 

Câu 16: Cho hàm số y = x3 − 3 ( m 2 + 3m + 3) x 2 + 3 ( m2 + 1) x + m + 2 . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên [1; +∞ ) . S là tập hợp con của tập hợp nào dưới đây?

A. ( −∞; 0 ) .

B. ( −∞; 2 ) .

C. ( −1; +∞ ) .

D. ( −3; 2 ) .

1 1 Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − x 2 + 2mx − 3m + 4 nghịch 3 2 biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 8.

tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên ℝ . Số phần tử của tập S là

C. 0.

B. 0.

Câu 15: Tập hợp tất cả các giác trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + mx 2 − x + m nghịch biến trên

D. 4034.

x+2 trên các khoảng xác định là x+m

C. m ≥ 2 .

x 1 − − mx + 2018 đồng biến 2019 2017 x 2017

Câu 14: Tập hợp các giá trị m để hàm số y = mx − x + 3 x + m − 2 đồng biến trên ( −3;0 ) là

D. 8.

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = m 2 x 4 − ( m + 2 ) x 3 + x 2 + ( m 2 − 1) x . Gọi S là tập hợp B. 2.

B. 4.

xác định?

A. 3.

D. 9.

1 2 Câu 13: Các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 + ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x − đồng biến trên 3 3

9x + m Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = đồng biến trên từng khoảng mx + 1

B. Vô số.

A. 3.

A. 2018.

25   D.  −∞; −  . 12  

x + m2 Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = đồng biến trên từng khoảng x+4 xác định?

A. 5.

C. 8.

trên mỗi khoảng xác định là

biến trên ℝ là

A. 5.

B. 10.

Câu 12: Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số y =

D. 5.

1 Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = − x3 − ( m + 1) x 2 + ( 4m − 8 ) x + 2 3 nghịch biến trên ℝ ?

A. m ≤ 2 .

3 . 2

2019

Câu 2: Tập hợp tất cả các số thực m để hàm số y = x3 + 5 x 2 − 4mx − 3 đồng biến trên ℝ là

A. 4035.

y = ( 2m − 1) x − ( 3m + 2 ) cos x nghịch biến trên ℝ ? 2

tham số m để hàm số nghịch biến trên ℝ ?

A. 9.

1 . 2

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng

Câu 1: Cho hàm số y = − x − mx + ( 4m + 9 ) x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

 25  A.  − ; +∞  .  12 

trên ℝ ?

Bài tập tự luyện dạng 2

A. 6.

B. −2 .

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ( m + 1) sin x − 3cos x − 5 x nghịch biến

 g ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [α ; +∞ ) Trường hợp 2:   g (α ) ≤ 0

5 . 2

B. 13.

C. 17.

D. 9.

mx + 9 Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng x+m

(1; +∞ ) .

D. 1.

A. 5.

Câu 9: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số

B. 3.

C. 2.

x + 2m − 3 Câu 19: Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số y = đồng biến trên khoảng ( −∞; −14 ) . x − 3m + 2 Tổng T của các phần tử trong S là

1 1 f ( x ) = m 2 x 5 − mx3 + 10 x 2 − ( m2 − m − 20 ) x đồng biến trên ℝ . 5 3 Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng Trang 31

Trang 32

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = f ( u ( x ) ) , Ví dụ: Cho hàm số m xác định và liên tục trên ℝ , A. T = −6 .

B. T = −5 .

C. T = −9 .

D. T = −10 .

2 x − m2 Câu 20: Gọi S là tổng các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = đồng biến x−m−4 trên khoảng ( 2021; +∞ ) . Giá trị của S bằng

A. 2935144.

B. 2035145.

có đạo hàm f ′ ( x ) thỏa mãn

y = f (u ( x ) ) ± h ( x ) … y ′ = u ′ ( x ) . f ′ ( u ( x ) ) , y ′ = u ′ ( x ) . f ′ ( u ( x ) ) ± h′ ( x )

Bước 2: Từ bảng biến thiên xác định nghiệm C. 2035146.

D. 2035143.

( 0; 2 ) ?

trình f ′ ( x ) ≥ 0 và nghiệm của bất phương trình

C. 6.

D. 9.

B. 1 < m < 2 .

Câu 23: Các giá trị của tham số m để hàm số y =

C. m ≤ 2 . tan x − 2 đồng biến trên tan x − m

D. 1 ≤ m ≤ 2 .

B. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 .

C. 1 ≤ m < 2 .

D. m ≤ 0 .

y′ ≥ 0, y′ ≤ 0

của

hàm

y = f ( x) ,

số

y = f (u ( x )) ,

1 − 2sin x đồng biến trên 2sin x + m

C. ( −1;3) .

D. (1; +∞ ) .

Hướng dẫn giải y = f (1 − x ) ⇔ y′ = − f ′ (1 − x ) số

y = f (1 − x )

nghịch

biến

Vậy hàm số y = f (1 − x ) có nghịch biến trên

B. 9.

C. 10.

khoảng ( −∞; 0 ) và ( 0;1) , nên hàm số nghịch biến

D. 18.

Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ( m − 3) sin x − tan x nghịch biến

trên ( −2;0 ) .

 π π − ; ?  2 2

Chọn B. B. 1.

C. 3.

D. 4.

Ví dụ mẫu

m − sin x Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng cos 2 x

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

 π  0;  ?  6

B. 0.

C. 3.

cho hàm số đồng biến trên ( 3; +∞ ) . Số các phần tử của S bằng

B. 2022.

C. 2023.

−

B. ( −3; −2 ) .

+∞

−

C. ( 0;1) .

D. ( −2;0 ) .

Hướng dẫn giải

Dạng 3: Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số Bài toán 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

3 +

Hàm số y = f ( x 2 + 2 x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; +∞ ) .

D. 4040.

−2

−∞

f ′( x)

D. Vô số.

Câu 27: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 + m . Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m ∈ [ −2019; 2020] sao

A. 2021.

1 − x ≥ 1 x ≤ 0 . ⇔ ⇔  −1 ≤ 1 − x ≤ 0 1 ≤ x ≤ 2

A. 1.

+∞

1 −

B. ( −2;0 ) .

Hàm

y = f (u ( x ) ) ± h ( x ) …

π  khoảng  ; π  ? 2 

A. 5.

⇔ − f ′ (1 − x ) ≤ 0 ⇔ f ′ (1 − x ) ≥ 0

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −10;10 ) để hàm số y =

A. 1.

A. ( −3;1) .

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

 π  0;  là  4

A. m < 2 .

Hàm số y = f (1 − x ) nghịch biến trên khoảng nào

Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

Câu 22: Các giá trị của tham số m để hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m − 2 đồng biến trên khoảng (1;5 ) là A. m < 2 .

−

dưới đây?

f ′( x) ≤ 0 .

B. 5.

−1

−∞

f ′( x)

phương trình f ′ ( x ) = 0 , nghiệm của bất phương

mx + 10 Câu 21: Có bao nhiêu giá tri nguyên của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên khoảng 2x + m

A. 4.

y = f ( x) ,

y = f (u ( x )) ,

Đặt g ( x ) = f ( x + 2 x ) 2

Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x 2 + 2 x ) . ( 2 x + 2 )

y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … khi biết bảng biến thiên của hàm số m Phương pháp giải Trang 33

Trang 34

 x = −1  x = −1  x 2 + 2 x = −2  x = 0  x = −2 g′( x) = 0 ⇔  2 x + 2x = 0 x = 1  x 2 + 2 x = 3  x = 3 

• Xét ( 0; 2 ) Với x =

• Xét ( −∞; −2 )

Bảng xét dấu g ′ ( x )

3 9  1 ⇒ (1) ⇔ ≤ f ′  −  < 0 ⇒ loại. 2 4  2

Với x = −4 ⇒ (1) ⇔ 5 ≤ f ′ ( 6 ) < 0 ⇒ loại.

−3

−∞

−2

2x + 2

−

f ′ ( x2 + 2x )

−

g′( x)

−

−1 0

−

+∞

1 +

−

Xét ( −2;1) thỏa mãn (1) vì  x2 + 2 x − 3 ≤ 0  −3 ≤ x ≤ 1  x2 + 2x − 3 ≤ 0   ⇔ ⇔  x ≥ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 1  f ′ 2− x ≥ 0   2 − x ≤ −1 )  ( 1 ≤ 2 − x ≤ 5   −3 ≤ x ≤ 1

Dựa vào bảng xét dấu của g ′ ( x ) suy ra hàm số g ( x ) = f ( x 2 + 2 x ) đồng biến trên ( −∞; −3) , ( −2; −1) và

( 0;1) , nên hàm số đồng biến trên ( 0;1) .

Chọn A. Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f ′ ( x ) → xác định được nghiệm của bất phương trình f ′ ( x ) ≥ 0 và nghiệm của bất phương trình f ′ ( x ) ≤ 0 .

Chọn C. Lưu ý: - Thông qua bảng xét dấu f ′ ( x ) → xác định được nghiệm của phương trình f ′ ( x ) = 0 .

- Hàm số y = g ( x ) nghịch biến → đánh giá y′ ≤ 0 .

- Hàm số y = f ( x 2 + 2 x ) đồng biến → đánh giá y′ ≥ 0 với y′ = ( 2 x + 2 ) f ′ ( x 2 + 2 x ) (giải bất phương

 f ′(2 − x) ≥ 0 Với dạng toán này cần tìm những giá trị của x sao cho  2 . − x − 2 x + 3 ≥ 0

trình tích)

Dạng 2: Tìm khoảng đồng, biến nghịch biến của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) khi biết đồ thị của

Chú ý:

hàm số y = f ( x )

Nếu f ( x ) = 0 ⇔ x = a thì f ( u ( x ) ) = 0 ⇔ u ( x ) = a .

Phương pháp giải

- Bảng xét dấu g ′ ( x ) chính là bảng xét dấu của tích ( 2 x + 2 ) f ′ ( x 2 + 2 x ) .

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = f ( u ( x ) ) , Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm f ′ ( x ) như sau x

−1

−∞

f ′( x)

1 0

−

2 +

+∞

B. ( 2; +∞ ) .

C. ( 0; 2 ) .

bên. Hàm số y = − f ( x ) đồng biến trên khoảng

Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định được

−

hàm số y = f ( x ) hoặc (nghiệm phương trình

Hàm số y = g ( x ) = 3 f ( − x + 2 ) + x3 + 3 x 2 − 9 x − 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( −2;1) .

y′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) .

f ′ ( x ) = 0 , nghiệm của bất phương trình f ′ ( x ) ≥ 0

D. ( −∞; −2 ) .

và nghiệm của bất phương trình f ′ ( x ) ≤ 0 ).

Hướng dẫn giải

Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

Ta có y′ = g ′ ( x ) = 3 x 2 + 6 x − 9 − 3 f ′ ( 2 − x ) .

y′ ≥ 0, y′ ≤ 0 .

Hàm số y = g ( x ) nghịch biến khi và chỉ khi

y′ = g ′ ( x ) ≤ 0 ⇔ x + 2 x − 3 ≤ f ′ ( 2 − x ) (1). 2

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

A. (1; 2 ) .

B. ( 2;3) .

của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) )

C. ( −1; 0 ) .

D. ( −1;1) . Hướng dẫn giải

Nhận xét: • Xét ( 2; +∞ )

Hàm số y = − f ( x ) có y ′ = − f ′ ( x ) .

Với x = 3 ⇒ (1) ⇔ 12 ≤ f ′ ( −1) = 0 ⇒ loại.

Hàm số y = − f ( x ) đồng biến khi và chỉ khi

Trang 35

Trang 36

y′ ≥ 0 ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0 . Dựa vào đồ thị ta có f ′ ( x ) ≤ 0 với mọi x ∈ [ 0; 2] .

 2 x − 1 = −1  x = 0 ⇔ g′( x) = 0 ⇔  2 x − 1 = 1 x = 1 Bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Chọn A.

g′( x)

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

( a, b, c, d ∈ ℝ )

có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị như

−∞

+∞

1 0

−

Vậy hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên ( 0;1) .

Chọn D. hình vẽ. Đặt hàm số y = g ( x ) = f ( 2 x − 1) . Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng

Lưu ý: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) → xác định hàm y = f ( x ) . và hàm y = f ( 2 x − 1) → khảo sát và tìm khoảng nghịch biến của hàm số.

Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) thì hàm số f ( mx + n ) :

a−n b−n Đồng biến trên  ;  nếu m > 0 . m   m b−n a−n Nghịch biến trên  ;  nếu m < 0 . m   m

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

( a, b, c, d ∈ ℝ )

có đồ thị như hình bên. Đặt y = g ( x ) = f ( x + x + 2 ) . 2

A. ( −1;0 ) .

B. ( −8; −1) .

C. (1; 2 ) .

D. ( 0;1) .

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Hướng dẫn giải Cách 1: Hàm số y = g ( x ) = f ( 2 x − 1) có y′ = g ′ ( x ) = 2 f ′ ( 2 x − 1)

A. g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi

B. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .

y′ = 2 f ′ ( 2 x − 1) ⇔ −1 < 2 x − 1 < 1 ⇔ 0 < x < 1

 1  C. g ( x ) nghịch biến trên khoảng  − ;0  .  2 

Cách 2: Hàm số y = f ( x ) có dạng y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

( a, b, c, d ∈ ℝ ) .

D. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .

Ta có f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .

Hướng dẫn giải

Theo đồ thị, hai điểm A ( −1;3) và B (1; −1) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d , có đồ thị như hình vẽ.

Ta có

Nhận xét A ( 0; 4 ) và M ( 2; 0 ) là hai điểm cực trị của hàm số.

 f ( −1) = 3 −a + b − c + d = 3 a = 1  f (1) = −1 a + b + c + d = −1 b = 0  ⇔ ⇔  ′ c = −3 3a − 2b + c = 0 − 1 = 0 f ( )    3a + 2b + c = 0 d = 1  f ′ (1) = 0

 f ( 0) = 4 d = 4 a = 1  8a + 4b + 2c + d = 0 b = − 3  f ( 2) = 0 Ta có  ⇔ ⇔ c=0 3a − 2b + c = 0 ′ ( 0) = 0 f    12a + 4b + c = 0 d = 4  f ′ ( 2 ) = 0

Vậy f ( x ) = x3 − 3x + 1

Tìm được hàm số y = x3 − 3 x 2 + 4 3

y = g ( x ) = f ( 2 x − 1) = ( 2 x − 1) − 3 ( 2 x − 1) + 1 ;

Ta có y = g ( x ) = ( x 2 + x + 2 ) − 3 ( x 2 + x + 2 ) + 4

y′ = g ′ ( x ) = 6 ( 2 x − 1) − 6 Trang 37

Trang 38

2 y′ = g ′ ( x ) = ( 2 x + 1) 3 ( x 2 + x + 2 ) − 6 ( x 2 + x + 2 )   

1  x = − 2 g′( x) = 0 ⇔ x = 0   x = −1  Bảng xét dấu

−1

−∞

g′( x)

−

1 2

−

+∞ +

 −1  Vậy y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng  ;0  .  2 

Hàm

y = g ( x ) = − f ( mx + 1)

Lưu ý: - Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định được hàm y = f ( x ) và hàm y = f ( x 2 + x + 2 ) → khảo sát và tìm khoảng nghịch biến của hàm số. - Có thể sử dụng y′ = ( 2 x + 1) . f ′ ( x 2 + x + 2 )

 x = mx + 1 = 0  Ta có f ′ ( mx + 1) = 0 ⇔  ⇔  mx + 1 = 2 x = 

2x + 1 = 0 ⇔ ′ 2  f ( x + x + 2) = 0 2x + 1 = 0 ⇔  x2 + x + 2 = 0  2 x + x + 2 = 2

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d và y = g ( x ) = − f ( mx + 1) , m > 0 có đồ thị

như hình vẽ. Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên đúng một khoảngcó độ dài bằng 3. Giá trị m là

1 . 2

khoảng

trên

có

độ

dài

bằng

nên

−1 m 1 m

2 . 3

−1 m

−∞

f ′ ( mx + 1)

biến

Bảng xét dấu f ′ ( mx + 1)

y′ = 0

Ví dụ 3. Cho hàm số bậc ba

nghịch

g ′ ( x ) = − mf ′ ( mx + 1) ≤ 0 ⇔ f ′ ( mx + 1) ≥ 0 trên một khoảng có độ dài bằng 3.

Chọn C.

A. 3 .

số

−

+∞

1 m +

−

 1 1 f ′ ( mx + 1) ≥ 0 ⇔ x ∈  − ;   m m 2 1 1 Yêu cầu của bài toán ⇔ 3 =  +  ⇔ m = m m 3  

Chọn C.

2 . 5

Lưu ý: Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) → xác định hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) = f ( mx + 1) kết hợp với

Hướng dẫn giải

phần nhận xét ở ví dụ 1 cho kết quả.

 0 −1 2 −1  - Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 0; 2 ) → Hàm số y = − f ( mx + 1) nghịch biến trên  ;  có độ m   m dài bằng

2 2 =3⇔m= . m 3

Bài toán 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

y = f ( x) ,

y = f (u ( x )) ,

y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … khi biết đồ thị của hàm số y = f ′ ( x )

Phương pháp giải Trang 39

Trang 40

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = f ( u ( x ) ) , Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) y = f (u ( x ) ) ± h ( x ) …

có đồ thị như hình vẽ.

y ′ = u ′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) , y ′ = u ′ ( x ) . f ′ ( u ( x ) ) ± h′ ( x )

Bước 2: Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) xác định nghiệm phương trình f ′ ( x ) = 0 , nghiệm của bất phương trình f ′ ( x ) ≥ 0 và nghiệm của bất phương trình f ′ ( x ) ≤ 0 .

A. ( −∞; −1) .

B. ( 2; +∞ ) .

Bước 3: Đánh giá các khoảng thỏa mãn

của

hàm

số

y = f ( x) ,

y = f (u ( x ) ) ± h ( x ) …

y = f (u ( x )) ,

D. (1;3) .

Hướng dẫn giải

y′ ≥ 0, y′ ≤ 0

Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

C. ( 0; 2 ) .

Hàm số y = g ( x ) = f ( x

) nghịch biến trên khoảng

A. ( −∞; −1) .

B. ( −1; 0 ) .

C. ( 0;1) .

D. (1;3) .

−2 < x < 2 Từ đồ thị ( C ) : y = f ′ ( x ) ; f ′ ( x ) > 0 ⇔  (1) x > 5 Mà g ′ ( x ) = −2. f ′ ( 3 − 2 x ) (2)

5 1 <x<  −2 < 3 − 2 x < 2 Từ (1) và (2) ta có g ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ ( 3 − 2 x ) > 0 ⇔  ⇔ 2 2  x < −1 3 − 2 x > 5 

Hướng dẫn giải Ta có g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( x 2 )

1 5 Vậy hàm số g ( x ) nghịch biến trên các khoảng  ;  và ( −∞; −1) .  2 2

 x < 0  f ′ x 2 > 0 ( ) Để g nghịch biến thì g ′ ( x ) < 0 ⇔    x > 0  ′ 2 f x <0   ( )

Chọn A. Lưu ý: Thông qua đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) →  −2 ≤ x ≤ 2 . f ′( x) ≥ 0 ⇔  5 ≤ x

 x < 0  x < −2   −1 < x 2 < 1 ∨ 4 < x 2 ⇔  ⇔  −1 < x < 0 1 < x < 2  x > 0    x 2 < −1 ∨ 1 < x 2 < 4

Hàm số y = f ( 3 − 2 x ) nghịch biến → đánh giá y′ = −2 f ′ ( 3 − 2 x ) ≤ 0 .

Vậy hàm số y = f ( x

Chú ý:

)

 x ≤ −2 . f ′( x) ≤ 0 ⇔  2 ≤ 5 ≤ x

nghịch biến trên các

khoảng ( −∞; −2 ) ; ( −1; 0 ) và (1; 2 ) .

Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) với trục hoành → chọn hàm cụ thể thỏa mãn

Chọn B.

y = f ′ ( x ) = ( x + 2 )( x − 2 )( x − 5 ) → y′ = −2 f ′ ( 3 − 2 x ) .

Ví dụ mẫu

Lập bảng xét dấu.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số y = g ( x ) = f ( 3 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng

→ Kết luận.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x − 1) +

Trang 41

2019 − 2018 x trên khoảng nào dưới đây? 2018 Trang 42

Hàm số y = f ( 2 x − 1) có y′ = 2 f ′ ( 2 x − 1) Với y′ < 0 ⇔ 2. f ′ ( 2 x − 1) < 0 ⇔ f ′ ( 2 x − 1) < 0 ⇔ 1 < 2 x − 1 < 3 ⇔ 1 < x < 2 Vậy hàm số y = f ( 2 x − 1) nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) Hàm số y = g ( ax + b ) có đạo hàm y′ = a.g ′ ( ax + b )

b  x = − a ax + b = 0  y′ = a.g ′ ( ax + b ) = 0 ⇔  ⇔ 2−b  ax + b = 2 x = a 

A. ( 2;3) .

B. ( 0;1) .

C. ( −1;0 ) .

Nếu a > 0 ⇒ −

D. (1; 2 ) .

Hướng dẫn giải

b 2−b < a a

b   2−b   Hàm số nghịch biến trên các khoảng  −∞; −  ;  ; +∞  (không thỏa mãn). a  a  

Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) − 1

Nếu a < 0 ⇒ −

x − 1 < −1  x < 0 Do đó y′ > 0 ⇔ f ′ ( x − 1) > 1 ⇔  ⇔  x −1 > 2 x > 3

b 2−b > a a

 2−b b  Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;−  a  a

Vậy hàm số đồng biến trên ( −1;0 ) .

Chọn C.

2 − b 2  a = 1  a = −1 a = −2 Do hàm số có cùng khoảng nghịch biến là (1; 2 ) nên  ⇔ ⇔ . b b b=4 − = 2  = −2  a a

{

Nhận xét: Hàm số g ( x ) có g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) − 1 . x < −1 Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) , ta có f ′ ( x ) > 1 ⇔  x > 2

Vậy 4a + b = −4 .

f ′ ( x ) ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 .

Chọn C. Bài tập tự luyện dạng 3

Ví dụ 3. Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng hai hàm số f ( 2 x − 1) và g ( ax + b ) có cùng khoảng nghịch biến ( m; n ) , m, n ∈ ℕ . Khi đó giá trị của biểu thức ( 4a + b ) bằng

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ , dấu của đạo hàm được cho bởi bảng dưới đây. Hàm số y = f ( 2 x − 2 ) nghịch biến trên khoảng nào?

−∞

f ′( x)

A. ( −1;1) .

+∞

−

B. ( 2; +∞ ) .

C. (1; 2 ) .

D. ( −∞; −1) .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x f ′( x)

A. 0 .

B. −2 .

C. −4 .

D. 3 .

−2

−∞

−1 −

2 +

+∞

4 −

Hàm số y = −2 f ( x ) + 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Hướng dẫn giải

A. ( −4; 2 ) .

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (1;3)

B. ( −1; 2 ) .

C. ( −2; −1) .

D. ( 2; 4 ) .

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau Trang 43

Trang 44

−∞

y′

−

khoảng ( −1; 0 ) ?

+∞

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc ( 0; 2020 ) để hàm số g ( x ) = f ( x 2 − x + m ) nghịch biến trên

+∞

A. 2017.

−3

−∞

Hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −∞; 0 ) .

B. ( 0;1) .

B. 2018.

C. 2016.

D. 2015.

Câu 8: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số f ( 3x − 2 ) nghịch biến trên khoảng

(α ; β )

C. ( 2; +∞ ) .

. Khi đó giá trị lớn nhất của β − α là

D. (1; 2 ) .

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và bảng biến thiên của y = f ′ ( x ) như sau x

−1

−∞

y′

−

+∞

+∞ 3

3 −3

−∞

A. 9.

Hàm số g ( x ) = f ( x ) − 3 x đồng biến trên khoảng nào?

A. ( 2; 2018 ) .

B. ( −2019; −2 ) .

C. (1; 2 ) .

D. ( −1;1) .

đây. Đặt g ( x ) = f

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x

−∞

f ′( x)

−

+∞

−

A. (1; 2 ) .

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

−1

B. ( 2;3) .

1 +

+∞

−

B. 4.

C. 2.

D. 1.

f ′( x)

−2

−∞

1 +

2 −

A. 0. +∞

4 −

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị dưới đây. Số giá trị nguyên

của tham số m để hàm số y = f ( x 2 + x + m ) nghịch biến trên ( 0;1) là

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu như sau x

C. ( −1;0 ) . D. ( −1;1) .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) ?

A. 3.

A. g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

y = −2019 f ( x ) đồng biến trên khoảng

D. Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −2;1) .

)

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình dưới đây. Hàm số

C. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;1) .

−

x2 + x + 2

D. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) .

B. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .

−∞

(

 1  C. g ( x ) nghịch biến trên khoảng  − ;0  .  2 

A. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

f ′( x)

D. 1.

B. g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .

1 1 Đặt y = g ( x ) = f ( x ) + x3 − x 2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 3 2

C. 6.

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

−2

B. 3.

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị dưới

B. 1. C. 2.

D. 3. Trang 45

Trang 46

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị hàm f ′ ( x ) như hình vẽ dưới đây. Hàm

số m thoả mãn m ∈ ( −2019; 2019 ) sao cho hàm số g ( x ) = f ( x − m ) đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) . Số

số g ( x ) = f ( x 2 − x ) đồng biến trên khoảng nào?

phần tử của tập S là A. 2017. B. 2019. C. 2015. D. 2021. Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và hình bên dưới

là đồ thị của đạo hàm y = f ′ ( x ) . Hàm số g ( x ) = −2 f ( 2 − x ) + x 2 nghịch biến trên khoảng 1  A.  ;1 . 2 

1  C.  −1;  . 2 

B. (1; 2 ) .

A. ( −3; −2 ) . D. ( −∞; −1) .

B. ( −2; −1) .

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như

C. ( −1;0 ) .

hình vẽ bên. Hàm số y = f (1 + x

D. ( 0; 2 ) .

)

nghịch biến trên khoảng nào

dưới đây?

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm số y = f (1 − x ) +

( 3; +∞ ) . B. ( − 3; −1) . C. (1; 3 ) . A.

x2 −x 2

nghịch biến trên khoảng

D. ( 0;1) . Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số y = f ( x 2 − 5 ) nghịch biến trên khoảng trong các khoảng sau đây?

3  A.  −1;  . 2 

B. ( −2;0 ) .

C. ( −3;1) .

D. (1;3) .

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ thoả A. ( −∞; −3) .

B. ( −5; −2 ) .

1 3 C.  ;  .  2 2

D. ( 2; +∞ ) .

f ( −2 ) = f ( 2 ) = 0 và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) có dạng như hình 2

bên. Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ . Biết đồ thị hàm

3  A.  −1;  . 2 

B. ( −1;1) .

số y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham

C. ( −2; −1) .

D. (1; 2 ) .

Trang 47

Trang 48

Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình 2

bên và f ( 2 ) = f ( −2 ) = 0 . Hàm số g ( x ) =  f ( 3 − x )  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ( −2; 2 ) .

B. (1; 2 ) .

C. ( 2;5 ) .

D. ( 5; +∞ ) .

Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( 2 − x ) như hình vẽ

bên. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( −2; 4 ) .

B. ( −1;3) .

C. ( −2;1) .

D. ( 0;1) .

Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x + 1) + f ( 2 − x ) − x 2 + 6 x − 3 đồng biến trên khoảng nào cho dưới đây?

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Đồ thị hàm số

A. ( −∞; 0 ) .

y = f ′ ( 3 x + 5 ) như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào?

B. ( 0;3) .

C. (1; 2 ) .

D. ( 3; +∞ ) .

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Các giá trị của m để

hàm số y = f ( x ) + ( m − 1) x đồng biến trên khoảng ( 0;3) là

A. ( −∞;8) .

 4  B.  − ; +∞  .  3 

 −4 4  C.  ;  .  3 3

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

D. ( −8;10 ) .

( a, b, c, d ∈ ℝ )

có đồ thị như hình

vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( f ′ ( x ) ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. m > 4 .

B. m ≤ 4 .

C. m ≥ 4 .

D. 0 < m < 4 .

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

A. (1; +∞ ) .

B. ( −∞; −2 ) .

C. ( −1;0 ) .

 3 3 D.  − ;  .  3 3 

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ

Trang 49

Trang 50

Đặt g ( x ) = f ( x − m ) −

1 2 ( x − m − 1) + 2019 với m là tham số thực. Gọi S là tập các giá trị nguyên 2

dương của m để hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 5;6 ) . Tổng các phần tử của S bằng A. 4.

B. 11.

C. 14.

Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Biết phương trình 8 x 3 − 12 x 2 + 10 x − 3 = (10 x + 1) 10 x − 1 có một nghiệm thực dương

2 3

Ta có x 3 + x = ( 3 x − 1) 3x − 2

⇔ x3 + x =

(

)

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t , t ≥ 0 Ta có f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 , ∀t ≥ 0

A. 2 ( a + c ) = b + 3 .

B. 4 ( a + c ) = b − 3 .

C. 2 ( a + c ) = b − 3 .

D. 4 ( a + c ) = b + 3 . Hướng dẫn giải

⇒ hàm số f ( t ) đồng biến trên [ 0; +∞ )

(

a+ b với a, b, c ∈ ℕ và a, c là các số nguyên tố cùng nhau. c

Khẳng định đúng là

3x − 1 + 3x − 2

Do đó f ( x ) = f

)

26 x − 1 ⇔ 3 x = 3 26 x − 1 ⇔ 27 x3 − 26 x + 1 = 0

⇒ 6 ( a + d ) = b + c −1 .

x 3 + x = ( 3 x − 1) 3x − 2

trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm

⇒ a = 1, b = 2, c = 23, d = 3

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và đồng biến (hoặc Ví dụ: Giải phương trình

Nhận xét: f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ x = x0 . Do đó phương Điều kiện x ≥

(

 x = −1 < 0 1 1 23 là nghiệm có dạng đã cho ⇔ 1 1 23 ⇒ x = + x = ± 2 6 3 2 6 3 

Phương pháp giải

Với mọi u , v ∈ D mà f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v

⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ .

Phương trình (1): f ( 3 x ) = f

D. 20.

Bài toán 1. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình

nghịch biến) trên tập D, ta có

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t ⇒ f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 , ∀t ∈ ℝ

Nhận xét:

)

3 x − 2 ⇔ x = 3x − 2

- Vế trái là đa thức bậc ba, vế phải chứa căn bậc hai nên ta biến đổi để xuất hiện

2  x ≥ x=2 ⇔ ⇔ 3 x =1 2  x − 3 x + 2 = 0

{

(10 x + 1)

10 x − 1 = (10 x − 1) + 2  10 x − 1 =

x =1.

)

Phương trình đã cho ⇔ ( 2 x − 1) + 2 ( 2 x − 1) =

Ví dụ 1. Biết phương trình 27 x3 − 23x + 1 = 3 26 x − 1 có một nghiệm thực dương x =

a 1 c + với b 6 d

b, c, d là các số nguyên tố. Khẳng định đúng là

(

)

10 x − 1 + 2 10 x − 1

1 10 3

Ví dụ mẫu

10 x − 1 + 2 10 x − 1

Khi đó phương trình có dạng ( ax + b ) + 2 ( ax + b ) = Điều kiện x ≥

)

10 x − 1 . Ta có

(

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và

(

)

10 x − 1 + 2 10 x − 1 (1).

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + 2t ⇒ f ′ ( t ) = 3t 2 + 2 > 0 , ∀t ∈ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ .

Phương trình A. 6 ( a + d ) = b + c + 1 .

B. 6 ( a + d ) = b + c − 1 .

C. 5 ( a + d ) = b + c − 1 .

D. 5 ( a + d ) = b + c + 1 .

(1) ⇔ f ( 2 x − 1) =

Hướng dẫn giải

(

2 x − 1 ≥ 0 10 x − 1 ⇔ 2 x − 1 = 10 x − 1 ⇔  2 ( 2 x − 1) = 10 x − 1

)

1  7 + 41 x ≥ ⇔ ⇔x= 2 4 2  2 x − 7 x + 1 = 0

Phương trình 3

27 x3 − 23x + 1 = 3 26 x − 1 ⇔ ( 3 x ) + 3 x = ( 26 x − 1) + 3 26 x − 1 . (1) Trang 51

Trang 52

⇒ a = 7, b = 41, c = 4 ⇒ 4 ( a + c ) = b + 3 .

cầu đề bài.

Chọn D. Ví dụ 3. Biết phương trình

x +1 − 2 1 a+ b , có một nghiệm thực x = , với a, b, c ∈ ℕ và c là số = 2 2x +1 − 3 x + 2

nguyên tố. Khẳng định đúng là A. 2ac = b + 1 .

B. ac = b − 2 .

C. 2ac = b − 1 .

D. ac = b + 2 .

Ví dụ mẫu 1 Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) < 0 , ∀x ∈ ℝ . Tất cả các giá trị thực của x để f   > f ( 2 ) là  x

Hướng dẫn giải Điều kiện

{

(

1  B. x ∈ ( −∞;0 ) ∪  ; +∞  . 2 

1  C. x ∈  −∞;  . 2 

 1 D. x ∈ ( −∞;0 ) ∪  0;  .  2

x ≠ 13 x ≥ −1

Hướng dẫn giải

Ta có f ′ ( x ) < 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ℝ

Phương trình đã cho ⇔ ( x + 2 ) x + 1 − 2 ( x + 2 ) = 3 2 x + 1 − 3

⇔

 1 A. x ∈  0;  .  2

)

x +1 + x +1 =

(

)

2x + 1 + 3 2x + 1 ⇔ f

(

)

x +1 = f

(

1 1− 2x 1 1  Do đó f   > f ( 2 ) ⇔ < 2 ⇔ < 0 ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪  ; +∞  x x  x 2 

)

2 x + 1 (1)

Chọn B.

với f ( t ) = t 3 + t

Ví dụ 2. Bất phương trình

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t , có f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 , ∀t ∈ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ .  2 x + 1 ≥ 0 6 Do đó (1) ⇔ x + 1 = 3 2 x + 1 ⇔  x +1 = 

(

) (

2x +1

)

giá trị bằng

−1  x ≥ ⇔ 2  x 3 − x 2 − x = 0

A. −2 .

B. 4.

C. 5 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải

x = 0 1+ 5 ⇔ ⇒ a = 1, b = 5, c = 2 ⇒ 2ac = b − 1 . 1+ 5 ⇔ x = x = 2  2

Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 4

Xét f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x trên đoạn [ −2; 4] .

Chọn C.

Có f ′ ( x ) =

Bài toán 2: Ứng dụng tính đơn điệy vào giải bất phương trình Phương pháp giải

3 ( x 2 + x + 1) 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16

1 , ∀x ∈ ( −2; 4 ) , do đó hàm số đồng biến trên [ −2; 4] . 2 4− x

Bất phương trình đã cho ⇔ f ( x ) ≥ f (1) = 2 3 ⇔ x ≥ 1

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và đồng biến (hoặc Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có

f ′( x) > 0 ,

nghịch biến) trên tập D , ta có

∀x ∈ ℝ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

Với mọi u , v ∈ D : f ( u ) ≥ f ( v ) ⇔ u ≥ v .

f ( m 2 + 2m ) < f ( 3 ) .

So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là S = [1; 4] ⇒ a + b = 5 . Chọn C. Dạng 2: Bài toán ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán tìm điều kiện đề phương trình có nghỉệm

Với mọi u , v ∈ D : f ( u ) ≤ f ( v ) ⇔ u ≤ v .

Hướng dẫn giải

Với mọi u,

Vì f ′ ( x ) > 0 , ∀x ∈ ℝ nên hàm số đã cho đồng

Nếu

biến trên ℝ ⇒ f ( m 2 + 2m ) < f ( 3) khi và chỉ khi

min f ( x ) = A ,

m 2 + 2m < 3 ⇔ m 2 + 2 m − 3 < 0

f ( x) = g (m)

•

2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 − 4 − x ≥ 2 3 có tập nghiệm là [ a; b ] . Tổng a + b có

Phương pháp giải

⇔ −3 < m < 1 . Vậy m ∈ ( −3;1) là các giá trị cần tìm thỏa mãn yêu

hàm

y = f ( x)

số

max = B D

có

D ⇔ A ≤ g (m) ≤ B .

nghiệm

liên thì

tục

và

phương thuộc

tập

có Ví dụ: Cho hàm số f ( x ) = x 3 + x . Có bao nhiêu trình giá trị nguyên của tham số m để phương trình hợp

f ( f ( x ) ) = x + 2m có nghiệm trên đoạn [1; 2] ? A. 3 . C. 9 .

B. 6. D. 10 . Hướng dẫn giải

Trang 53

Trang 54

Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) = x5 + 3 x3 − 4m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Hàm số f ( x ) = x3 + x ⇒ f ′ ( x ) = 3x 2 + 1 > 0 , ∀x ∈ ℝ

⇒ Hàm số f ( x ) = x + x đồng biến trên ℝ . 3

(

)

f ( x ) + m = x 3 − m có nghiệm trên đoạn [1; 2] ?

A. 15 .

B. 16.

C. 17 .

Ta có

D. 18 .

Hướng dẫn giải

∀x ∈ [1; 2] ⇒ f (1) ≤ f ( x ) ≤ f ( 2 ) ⇔ 2 ≤ f ( x ) ≤ 10

Đặt t =

f ( x ) + m ⇒ f ( x ) = t 3 − m , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình

Xét phương trình

 f ( t ) = x3 − m ⇒ f ( t ) + t 3 = f ( x ) + x 3 .(1)  3  f ( x) = t − m

f ( f ( x ) ) = x + 2m ⇔  f ( x )  + f ( x ) = x + 2m 3

⇔  f ( x )  + x3 = 2m (1)

Xét hàm số g ( u ) = f ( u ) + u 3 = u 5 + 4u 3 − 4m 3

⇒ g ′ ( u ) = 5u 4 + 12u 2 > 0, ∀u ∈ [1; 2] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn [1; 2] .

Xét ∀x ∈ [1; 2] ; 23 + 13 ≤  f ( x )  + x3 ≤ 103 + 23 ⇔ 9 ≤  f ( x )  + x 3 ≤ 1008

Do đó (1) ⇔ t = x ⇔ f ( x ) = x 3 − m ⇔ x 5 + 2 x 3 = 3m (2)

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm

Với x ∈ [1; 2] ,3 ≤ x 5 + 2 x 3 ≤ 48

⇔ 9 ≤ 2m ≤ 1008 ⇒ 24 2m ≤ 210

⇒ Phương trình (2) có nghiệm trên đoạn [1; 2] ⇔ 3 ≤ 3m ≤ 48 ⇔ 1 ≤ m ≤ 16

⇒ m ∈ {4;5; 6;7;8;9} .

Chọn B.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

m + 2 m + 2sin x = sin x có

nghiệm thực? Ví dụ mẫu

A. 0 .

B. 1.

C. 3 .

Ví dụ 1. Cho f ( x ) = x + x − 2 .Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( f ( x ) ) = x 3

B. 9.

C. 21 .

⇔ m + 2sin x + 2 m + 2sin x = sin 2 x + 2sin x (1) Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 2t

t = f ( x ) Đặt t = f ( x ) ⇒  ⇒ f ( t ) + t = f ( x ) + x . (1)  f (t ) = x

f ′ ( t ) = 2t + 2 > 0, ∀t ≥ 0 ⇒ Hàm số f ( t ) đồng biến trên [ 0; +∞ ) .

Xét hàm số g ( u ) = f ( u ) + u = u 3 + 2u − 2m có g ′ ( u ) = 3u 2 + 2 > 0 , ∀u ∈ ℝ .

Phương trình (1) ⇔ f

Do đó (1) ⇔ t = x ⇔ f ( x ) = x ⇔ x3 = 2m . (2) trình

[1; 4] ⇔ 1

f ( f ( x ) ) = x có

nghiệm

(

)

m + 2sin x = f ( sin x ) ⇔ m + 2sin x = sin x

⇔ sin x − 2sin x = m trên

đoạn

[1; 4] ⇔ ( 2 )

có

nghiệm

trên

đoạn

≤ 2 ≤ 4 ⇒ m ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6} m

m + 2 m + 2sin x = sin x ⇔ m + 2 m + 2sin x = sin 2 x .

Ta có

D. 22 .

Hướng dẫn giải

Phương

Hướng dẫn giải Điều kiện sin x ≥ 0 .

có nghiệm trên đoạn [1; 4] là A. 6 .

D. 2 .

Đặt sin x = t ⇒ t ∈ [ 0;1]

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình t 2 − 2t = m có nghiệm trên [ 0;1] .

Tổng các giá trị là (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 21 .

Xét hàm số g ( t ) = t 2 − 2t , t ∈ [ 0;1]

Chọn C.

Ta có g ′ ( t ) = 2t − 2; g ′ ( t ) = 0 ⇔ t = 1 Suy ra max g ( t ) = 0; min g ( t ) = −1 [0;1]

Trang 55

[0;1]

Trang 56

Bài tập tự luyện dạng 4

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m ≤ 0 Mà m ∈ ℤ nên m = 0; m = −1 .

Câu 1: Biết nghiệm nhỏ nhất của phương trình 3 x 3 − 7 x 2 + 6 x + 4 = 3 3

Chọn D. Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ.

( a, b, c ∈ ℕ *) ,

16 x 2 + 6 x + 2 a− c có dạng x0 = 3 b

a tối giản. Giá trị của biểu thức S = a 2 + b3 + c 4 là b

A. S = 2428 .

B. S = 2432 .

C. S = 2418 .

D. S = 2453 .

Câu 2: Số nghiệm thực của phương trình 3 ( 2 x − 3) 3x − 5 = 2 x − 6 x + 7 x − 3 . 3

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

x+2 −2 a+ b 1 có một nghiệm dạng x = > 0 với a, c ∈ ℤ và b là số = c 2x + 3 − 3 x + 3 nguyên tố. Tổng P = a + b + c bằng

Câu 3: Biết phương trình

A. 8.

B. 7.

C. 6.

(

D. 2.

) (

)

Câu 4: Biết phương trình ( 2 x + 1) 2 + 4 x + 4 x + 4 + 3x 2 + 9 x + 3 = 0 có nghiệm duy nhất là a. 3

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình

9m + m 3 f 2 ( x) + 8

= f 2 ( x ) + 3 có 3 nghiệm thực phân

A. 1.

B. 2.

C. 3 .

A. 1 < a < 2 .

B. 0 < a < 1 .

A. 1.

⇔ g ( 3m ) = g

(

x − 2 x + 3 − x − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1 có tập nghiệm ( a; b ] . Hiệu b − a B. 2.

C. 3.

D. −1 .

(

)

bằng

)

A. 1.

3 f 2 ( x) + 8 + 3 f 2 ( x) + 8

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn [ −2020; 2020] thỏa mãn bất phương trình

)

3 f 2 ( x ) + 8 (1)

( x + 9 )  ( x + 9 ) 

Xét hàm số g ( t ) = t + t ⇒ g ′ ( t ) = 3t + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ 3

D. −1 < a < 0 .

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình ( x − 1) 2 x − 1 + 3 3 x + 6 ≤ x + 6 có dạng [ a; b ] . Tổng a + b

Phương trình ⇔ 27m3 + 3m = ( 3 f 2 ( x ) + 9 ) 3 f 2 ( x ) + 8 3

C. −2 < a < −1 .

có giá trị bằng

D. 4 .

Hướng dẫn giải

⇔ ( 3m ) + 3m =

Khi đó Câu 5: Bất phương trình

biệt?

A. 4041.

 9m2 − 8 3m ≥ 8 ( 2)  f ( x) =  3 Do đó (1) ⇔ 3 f 2 ( x ) + 8 = 3m ⇔  2 9m 2 − 8 ⇔  2  9m − 8  f ( x ) = 3 ( 3)  f ( x) = − 3 

+ 3 + 1 + x 

(

)

x2 + 3 + 1 > 0 ?

B. 2024.

C. 2026.

D. 2025. 3

Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình ( x + 1) + 3 − m = 3 3 3 x + m có đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập S là A. 4.

B. 2.

C. 6.

D. 5.

Dựa vào hình vẽ thì phương trình (3) vô nghiệm (vì f ( x ) > 0, ∀x )

Câu 9: Tập các giá trị của m để phương trình x + 6 x − m x + 3 ( 5 − m ) x − 6mx + 10 = 0 có đúng hai

Do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ⇔ ( 2 ) có ba nghiệm phân biệt hay

1  nghiệm phân biệt thuộc  ; 2  là S = ( a; b ] . Giá trị của biểu thức T = 5a + 8b là 2 

 9m 2 − 8  =3  m = 3  ⇔  9m 2 − 8  =1   m = 3 

35 5 . 11 3

A. T = 18 .

B. T = 43 .

3 3

C. T = 30 .

D. T = 31 .

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

sin 6 x + 6sin 4 x − m3 sin 3 x + (15 − 3m2 ) sin 2 x − 6m sin x + 10 = 0 vô nghiệm?

Chọn B.

A. 3.

Trang 57

B. 5.

C. 7.

D. Vô số.

Trang 58

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2019m + 2019m + x 2 = x 2 có

nghiệm?

A. 1.

B. 0.

C. Vô số.

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình A. 5.

B. 2.

D. 2. 3

2-D

3-A

4-A

5-D

6-C

7-A

8-D

9-C

10-D

11-A

12-C

13-D

14-A

15-D

16-A

17-A

18-D

19-D

20-D

21-C

22-C

23-B

24-C

25-A

26-A

27-C

DẠNG 3. Hàm ẩn liên quan đến sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

m + 3 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm?

C. 4.

1-C

D. 3.

1-C

2-B

3-B

4-A

5-B

6-A

7-C

8-D

9-C

10-A

16-C

17-B

18-D

19-C

20-D

9-C

10-A

11-B

12-C

13-C

14-C

15-C

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị như hình

21-A

22-B

23-C

24-C

25-C

vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

DẠNG 4. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình

f ( 6sin x + 8cos x ) = f ( m ( m + 1) ) có nghiệm x ∈ ℝ ?

A. 5.

1-B

2-C

3-C

4-D

5-A

11-A

12-A

13-D

14-C

15-C

6-D

7-D

8-C

B. 2. C. 4. D. 6. Câu 14: Cho phương trình sin x ( 2 − cos 2 x ) − 2 ( 2cos 3 x + m + 1) 2cos 3 x + m + 2 = 3 2cos 3 x + m + 2 . Có

 2π  bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng một nghiệm x ∈ 0; ?  3  A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ

Các giá trị của tham số m để phương trình

A. m =

± 37 . 2

B. m =

4m 3 + m 2 f 2 ( x) + 5

5 . 2

= f 2 ( x ) + 3 có 3 nghiệm phân biệt là

C. m =

37 . 2

D. m =

± 5 . 2

ĐÁP ÁN DẠNG 1. Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số 1-D

2-C

3-D

4-B

5-C

6-B

7-B

8-D

9-C

10-B

11-A

12-A

13-B

14-A

15-A

16-D

17-D

18-D

19-A

20-D

21-B

22-D

23-B

24-D

DẠNG 2. Các bài toán chứa tham số

Trang 59

Trang 60

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Mục tiêu

1. Khái niệm cực trị của hàm số

Kiến thức

Định nghĩa

+ Nắm vững định nghĩa cực trị của hàm số, khái niệm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số; điểm cực trị của đồ thị hàm số. +

+ Nhận biết được các điểm cực trị trên đồ thị hàm số. Kĩ năng +

Thành thạo tìm điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số đã biết.

Biết cách khai thác bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị để tìm cực trị.

1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là

Giả sử hàm số f xác định trên K ( K ⊂ ℝ ) và

điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) của

x0 ∈ K

hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt

Hiểu và vận dụng được các định lí về điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

+ Trình bày và vận dụng được các cách tìm cực trị của một hàm số.

Chú ý:

a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu

cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

tồn tại một khoảng ( a; b ) ⊂ K chứa điểm x0 sao

2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 )

cho f ( x ) < f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } .

không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm

f trên tập K; f ( x0 ) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng ( a; b ) chứa x0 .

số f. b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu

3) Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì

tồn tại một khoảng ( a; b ) ⊂ K chứa điểm x0 sao

điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) được gọi là điểm cực trị của đồ thị

cho f ( x ) > f ( x0 ) , ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } .

hàm số f.

Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f ′ ( x0 ) = 0.

Ví dụ 1: Hàm số y = f ( x ) = x xác định trên ℝ . Vì f ( 0 ) = 0 và f ( x ) > 0, ∀x ≠ 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 dù hàm số không có đạo hàm tại

điểm x = 0, vì:  x, x ≥ 0 1, x > 0 y= x = ⇒ y′ =  . x x , < 0  −1, x < 0

Chú ý:

1) Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f ′ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .

Trang 1

Ví dụ 2: Ta xét hàm số f ( x ) = x 3 , ta có: f ′ ( x ) = 3x 2 > 0, ∀x ≠ 0 . Hàm số đồng biến trên ℝ nên không có cực trị dù f ′ ( 0 ) = 0.

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các bài tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị Bài toán 1: Tìm điểm cực trị của hàm số cụ thể Phương pháp giải Cách 1: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu

Ví dụ 1: Hàm số f ( x ) = x3 − 3x 2 − 9 x + 1 đạt cực tiểu tại điểm

Bước 1. Tìm f ′ ( x ) 2)

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà

A. x = −1.

B. x = 3.

C. x = 1.

D. x = −3.

Bước 2. Tìm các điểm xi ( i = 1, 2,...) tại đó đạo Hướng dẫn giải

tại đó hàm số không có đạo hàm.

hàm bằng không hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

Bước 3. Xét dấu f ′ ( x ) . Nếu f ′ ( x ) đổi dấu khi x Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại điểm xi .

Định lí 2

Cách 1: Hàm số đã cho xác định trên ℝ . Ta có f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x − 9.

 x = −1 Từ đó f ′ ( x ) = 0 ⇔  . x = 3 Bảng xét dấu f ′ ( x )

a) Nếu f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .

b) Nếu f ′ ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi Vậy hàm số đạt cực điểm tại điểm x = 3.

qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực

Chọn B.

đại tại điểm x0 . Định lí 3 Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên

Cách 2: Dùng định lý 3

Cách 2:

Bước 1: Tìm f ′ ( x )

Hàm số đã cho xác định trên ℝ .

khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 , f ′ ( x0 ) = 0 và f có đạo

Bước 2: Tìm các nghiệm xi ( i = 1, 2,...) của phương

hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .

trình f ′ ( x ) = 0.

a) Nếu f ′′ ( x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại

Bước 3: Tính f ′′ ( xi )

điểm x0 .

•

b) Nếu f ′′ ( x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại

Nếu f ′′ ( xi ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại

điểm xi .

điểm x0 .

•

Nếu f ′′ ( x0 ) = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần

Ta có: f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x − 9.

 x = −1 Từ đó: f ′ ( x ) = 0 ⇔  . x = 3 Ta có: f ′′ ( x ) = 6 x − 6 . Khi đó: f ′′ ( −1) = −12 < 0; f ′′ ( 3) = 12 > 0. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3.

Nếu f ′′ ( xi ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại

điểm xi .

lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

•

Trang 3

Nếu f ′′ ( xi ) = 0 thì ta lập bảng biến thiên Trang 4

để xác định điểm cực trị.

1  x=− Từ đó: f ′ ( x ) = 0 ⇔  3.  x = − 5 

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Số điểm cực đại của hàm số f ( x ) = − x 4 + 8 x 2 − 7 là A. 1.

B. 3.

C. 2.

Bảng xét dấu đạo hàm:

D. 0.

Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ℝ. Ta có: f ′ ( x ) = −4 x 3 + 16 x.

4 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = −5, yCT = f ( −5 ) = − . 3

 x = 0 ⇒ f ( 0 ) = −7  Từ đó: f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −2 ⇒ f ( −2 ) = 9 x = 2 ⇒ f 2 = 9 ( ) 

Chọn B. Ví dụ 4: Số cực trị của hàm số f ( x ) = 3 x3 − 3x + 2 là A. 2.

Bảng biến thiên:

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ℝ. x2 −1

Ta có: f ′ ( x ) = 3

Chọn C.

A. 1.

x +1 là x −1

B. 3.

− 3x + 2 )

 x = 1   x2 −1 = 0  x = −1 Từ đó: f ′ ( x ) = 0 ⇔  3 ⇔ ⇔ x = −1 x − 3 x + 2 ≠ 0   x ≠ 1   x ≠ −2 

Vậy hàm số có hai điểm cực đại.

Ví dụ 2: Số cực trị của hàm số f ( x ) =

C. 2.

( f ′ ( x ) không xác định tại điểm x = 1 và x = −2 ).

D. 0.

Bảng biến thiên:

Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ℝ \ {1} Ta có: f ′ ( x ) =

−2

( x − 1)

< 0, ∀x ∈ ℝ \ {1} . Vậy hàm số không có cực trị.

Chọn D. Ví dụ 3: Giá trị cực tiểu của hàm số f ( x ) =

4 B. y = − . 3

A. x = −5.

− x2 + 2x + 7 là x2 + x + 1 1 C. x = − . 3

Vậy hàm số có hai cực trị là f ( −1) = 3 4 và f (1) = 0. Chọn A.

D. y = 8.

Ví dụ 5: Giá trị cực đại của hàm số f ( x ) = x − 2 x 2 + 1 là số nào dưới đây?

Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ℝ. Ta có: f ′ ( x ) =

−3 x 2 − 16 x − 5

+ x + 1)

3 . 3

C. − 3.

D. −

3 . 3

Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên ℝ. Trang 5

Trang 6

Ta có: f ′ ( x ) = 1 −

2x x2 + 1

Ví dụ 1: Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a, b, c ∈ ℝ) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của hàm số f là

2 x ≥ 0 3 Từ đó: f ′ ( x ) = 0 ⇔ x 2 + 1 = 2 x ⇔  2 ⇔x= . 2 3  x + 1 = 4x Bảng biến thiên:

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn giải Hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu. Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x =

3 , giá trị cực đại của hàm số là 3

 3 f   = − 3.  3 

Chọn C. Ví dụ 2: Hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số f trên khoảng (−3; 4) là

Chọn C. Ví dụ 6: Các điểm cực đại của hàm số f ( x ) = x − 2sin x có dạng (với k ∈ ℤ ) A. x = −

C. x = −

3 6

+ k 2π .

B. x =

+ k 2π .

D. x =

3 6

+ k 2π . + k 2π .

Hướng dẫn giải

A. 1.

B. 3.

Hàm số đã cho xác định trên ℝ.

Hướng dẫn giải

1 π Ta có: f ′ ( x ) = 1 − 2 cosx . Khi đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ cosx = ⇔ x = ± + k 2π , ( k ∈ ℤ ) 2 3

Hàm số đã cho có bốn điểm cực trị.

D. 4.

Chọn D.

f ′′ ( x ) = 2sin x π

C. 2.

Ví dụ 3: Hàm số y = f (x) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số π

  Vì f ′′  + k 2π  = 2sin  + k 2π  = 2sin > 0 nên x = + k 2π là điểm cực tiểu. 3 3 3  3 

y = f '(x) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số f trên khoảng (a; b) là

π π  π   π   π Vì f ′′  − + k 2π  = 2sin  − + k 2π  = 2sin  −  = −2sin < 0 nên x = − + k 2π là điểm cực đại 3 3  3   3   3

A. 5.

B. 3.

C. 6.

D. 4.

Chọn A. Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết đồ thị

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải

Cách 1: Trong khoảng (a; b) , đồ thị f '(x) cắt (không tiếp xúc) trục hoành tại 5 điểm nên có 5 điểm cực

+) Nếu đề cho đồ thị của hàm f ( x) , xem lại lý thuyết.

trị trên (a; b) .

+) Nếu đề cho đồ thị của đạo hàm, để ý các điều sau để có thể lập được bảng xét dấu đạo hàm:

Chọn A.

Đồ thị f '( x) nằm phía trên trục hoành: f '( x) > 0 .

Cách 2: Nhìn vào hình vẽ dưới đây, f '(x) đổi dấu tổng cộng 5 lần trong khoảng (a; b) nên có 5 điểm cực

Đồ thị f '( x) nằm phía dưới trục hoành: f '( x) < 0 .

trị trên (a; b) .

Ví dụ mẫu Trang 7

Trang 8

Mệnh đề nào sau đây sai?

Chọn A.

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có hai cực trị.

C. Cực đại bằng – 1.

D. Cực tiểu bằng – 2.

Hướng dẫn giải Chọn C. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ′′ ( x ) như hình vẽ dưới đây (đồ thị y = f ′′(x) chỉ có 3 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa của hàm số là Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có ba cực trị.

B. Hàm số có một cực tiểu.

C. f (−2) = f (2) .

D. f ( −1) < f (2) .

Hướng dẫn giải Chọn A. Bài toán 4. Tìm (điểm) cực trị thông qua đạo hàm A. 1.

B. 4.

C. 3.

Phương pháp giải

D. 2.

Đếm số nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm.

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ′(x) như sau

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x 2 − 1)(x 3 − 3x + 2)(x 2 − 2x) . Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là

A. 6.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Hướng dẫn giải Ta có: f ′(x) = (x − 2)(x − 1)3 x(x + 1)(x + 2) và f ′(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ nên có 5 điểm cực trị. Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số y = f ′(x) tại tối đa 2 điểm nên f ′(x) = 0 có tối đa 2 nghiệm phân

Chọn D.

biệt. Vậy hàm số y = f (x) có tối đa 2 điểm cực trị.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x 2 (x − 1)(x − 4) 2 . Tìm số điểm cực trị của hàm số

Chọn D.

y = f (x 2 ) .

Bài toán 3. Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng biến thiên

A. 1.

Ví dụ mẫu

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Ta có:  f (x 2 ) ′ = 2x.f ′(x 2 ) = 2x 5 (x 2 − 1)(x 2 − 4) 2 Phương trình  f (x 2 ) ′ = 0 có 3 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = ±1 nên số điểm cực trị của hàm số y = f (x 2 ) là 3.

Chọn C. Trang 9

Trang 10

Chọn A.

Chú ý: Nhắc lại:

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

′ Đạo hàm của hàm số hợp f ( u ( x ) ) = f ′ ( u ( x ) ) .u ′ ( x ) hay f x′ = f u′ .u x′ .

(

)

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ , có f ′(x) ≥ 3x +

1 7 − , ∀x > 0 . x2 2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là

A. Hàm số có đúng một điểm cực trị trên ℝ .

A. 1.

B. Hàm số có ít nhất một điểm cực trị trên (0; +∞) .

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Hướng dẫn giải

C. Hàm số không có điểm cực trị nào trên (0; +∞) .

Đạo hàm đổi dấu hai lần nên có hai điểm cực trị.

D. Hàm số có đúng hai điểm cực trị trên ℝ .

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây 2

Với ∀x > 0 ta có: f ′(x) ≥ 3x +

1 7 3 3 1 7 3 7 − = x + x + 2 − ≥ 33   − > 0 . x2 2 2 2 x 2 2 2

Vậy hàm số không có cực trị trên (0; +∞) . Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là

Chọn C.

A. 1.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ , có đạo hàm 2

f ′(x) = (x − x − 2)(x − 6x + 11x − 6) g (x) với g (x) là hàm đa thức

C. 3.

D. 4.

Xét tại điểm x = 0 , đạo hàm đổi dấu, hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 , nhưng theo đề bài, hàm

trên (2; +∞) . Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là

B. 2.

C. 2.

Chắc chắn hàm số có 3 điểm cực trị là x = −1, x = 2, x = 3 .

có đồ thị như hình vẽ dưới đây ( g (x) đồng biến trên (−∞; −1) và

A. 5.

B. 3.

Hướng dẫn giải

số liên tục trên ℝ nên f (0) xác định. Vậy hàm số có tổng cộng 4 điểm cực trị.

Chọn D. Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây

Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị, phương trình g (x) = 0 có 3 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 1, x = 2 và một nghiệm bội chẵn là x = −1 . Tóm lại, phương trình y ' = 0 chỉ có x = −1, x = 0, x = 2 và x = 3 là nghiệm bội lẻ, nên hàm số có 4

Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là

điểm cực trị. Chọn D.

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Bài toán 5. Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng xét dấu, bảng biến thiên của đạo hàm

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ dưới đây. Số

Hàm số có 3 điểm cực trị là x = −2, x = 2, x = 3 (hàm số không đạt cực trị tại điểm x = 1 vì hàm số không

điểm cực tiểu của hàm số y = f (x) là

xác định tại điểm x = 1 ).

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Chọn B. Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên của f ′(x) như hình vẽ dưới đây

Hướng dẫn giải Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương 1 lần nên có 1 điểm cực tiểu. Trang 11

Trang 12

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên ℝ . Trên hình vẽ là đồ thị hàm số Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) là

A. 4

B. 2

C. 3

y = f (x) trên đoạn [ −2;3] , đồ thị của hàm số y = f ′(x) trên ( −∞; −2] , đồ thị của hàm số y = f ′′(x)

D. 5

trên [3; +∞ ) . Hỏi hàm số y = f (x) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Dễ thấy phương trình f ′(x) = 0 có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn C. A. 7.

Bài toán 6. Tìm (điểm) cực trị thông qua đồ thị f , f ′, f ′′

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) là hàm đa thức. Trên hình vẽ là đồ thị hàm

Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau:

số y = f (x) trên (−∞; a ] (và hàm số y = f (x) nghịch biến trên ( −∞; −1] ),

+ Đồ thị của hàm số y = f ′′(x) trên [3; +∞ ) cắt trục hoành tại điểm x = 5, f ′′(x) < 0 khi x ∈ ( 3;5 ) và

đồ thị của hàm số y = f ′(x) trên [ a; b ] (và f ′(x 0 ) = 0 ), đồ thị của hàm số

f ′′(x) > 0 khi x ∈ ( 5; +∞ ) .

y = f ′′(x) trên [b; +∞ ) (và hàm số y = f ′′(x) luôn đồng biến trên [b; +∞ ) ,

+ Đồ thị của hàm số y = f ′( x ) trên ( −∞; −2] cắt trục hoành tại điểm x = −5, f ′(x) < 0 khi x ∈ ( −∞; −5 ) và

f ′′(x1 ) = 0 ). Hỏi hàm số y = f (x) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

f ′( x) > 0 khi x ∈ ( −5; −2 ) .

Hướng dẫn giải Bảng xét dấu bên dưới được lập từ các suy luận sau:

+ Đồ thị hàm số y = f (x) trên đoạn [ −2;3] : hàm số đồng biến trên ( −2; −1) và ( 2;3) ; hàm số nghịch biến

* Hàm số y = f (x) nghịch biến trên ( −∞; −1) nên f ′(x) < 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) và đồng biến trên ( −1; a ) nên

trên ( −1; 2 )

f ′(x) > 0, ∀x ∈ ( −1; a ) . * Hàm số y = f ′(x) có f ′(x) > 0, ∀x ∈ ( a; x 0 ) và f ′(x) < 0, ∀x ∈ ( x 0 ; b )

f ′(x) < 0, ∀x ∈ ( x 0 ; b ]. * Hàm số y = f ′′(x) có f ′′(x) < 0, ∀x ∈ ( b; x1 ) mà f ′(b) < 0 ⇒ f ′(x)<0,∀x ∈ ( b; x1 )

Từ bảng xét dấu trên, đồ thị f ′(x) cắt trục hoành tối đa tại 2 điểm trên ( 3; +∞ ) , khi đó trên ( 2; +∞ ) thì

Lại có f ′′(x) > 0, ∀x ∈ ( x1 ; +∞ ) . Vậy trong khoảng ( x1 ; +∞ ) , phương trình f ′(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm, và nếu có đúng 1 nghiệm thì f ′(x) đổi dấu khi qua nghiệm ấy.

f ′(x) đổi dấu 2 lần, trên ( −∞; 2 ) thì f ′(x) đổi dấu 3 lần nên hàm số y = f (x) có tối đa 5 điểm cực trị.

Chọn C.

Vậy f ′(x) có tối đa 3 nghiệm (bội lẻ) nên hàm số y = f (x) có tối đa 3 điểm cực trị.

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản Trang 13

Trang 14

Câu 1: Hàm số y = 2x 3 − x 2 + 5 có điểm cực đại là A. x =

1 . 3

B. x = 5.

C. x = 3.

D. x = 0.

Câu 2: Hàm số y = x 4 − 4x 3 − 5 A. nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.

B. nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu.

C. nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại.

D. nhận điểm làm điểm cực đại.

Câu 3: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ −4;3] và có đồ thị trên đoạn [ −4;3] như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số có bao nhiêu

A. 5.

điểm cực đại?

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 8: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ , có đạo hàm f ′(x)=(x+1) (x − 3x + 2)(x − sin x) g (x) với 2

A. 0.

B. 2.

g (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây ( g (x) đồng biến trên (−∞; −1) và trên (2; +∞) ). Hàm số y = f (x) có

C. 1.

D. 3.

bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 4: Cho hàm số f (x) = x 4 . Hàm số g (x) = f ′(x) − 3x 2 − 6x + 1 đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại x1 , x 2 . Tìm m = g (x1 ).g (x 2 ) .

A. m = 0 .

B. m = −

371 . 16

C. m =

1 . 16

D. m = −11 .

Câu 5: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp 2 trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ′′(x) như hình vẽ dưới đây (đồ thị y = f ′′(x) chỉ có 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ). Số điểm cực trị tối đa của hàm số là

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. B. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và có một điểm cực tiểu. C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. D. Hàm số đã cho không có cực trị. Câu 6: Hàm số dạng y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Bài tập nâng cao Câu 7: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên ℝ . Trên hình vẽ là đồ thị hàm số y = f (x)

A. 5.

B. 3.

C. 4.

trên đoạn ( −∞; a ] (và hàm số y = f (x) nghịch biến trên ( −∞; −2] ), đồ thị của hàm số y = f ′(x) trên [ a;1]

Dạng 2: Cực trị hàm bậc ba

đồ thị của hàm số y = f ′′(x) trên [1; +∞ ) (và hàm số y = f ′′(x) luôn đồng biến trên [b; +∞ ) ). Hàm số

Bài toán 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm cho trước

y = f (x) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

D. 6.

Phương pháp giải Ví dụ 1:

Trang 15

Trang 16

Tìm m để hàm số y =

1 3 x − mx 2 + ( m 2 − 4 ) x + 3 đạt 3

cực đại tại điểm x = 3.

A. m = −1.

B. m = −5.

C. m = 5.

D. m = 1.

Ta có y′ = x 2 − 2mx + m 2 − 4 ⇒ y′′ = 2 x − 2m.

Chọn C.

Bước 2. Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào Hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì

Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị

m = 1 y ′ ( 3 ) = 0 ⇔ m 2 − 6m + 5 = 0 ⇔  . m = 5

hàm số ban đầu để thử lại.

Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc

Ví dụ mẫu

nghiệm như sau:

• Với m = 1, y ′′ ( 3) = 2.3 − 2.1 = 4 > 0 suy ra x = 3 là

 f ′ ( x0 ) = 0 +) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔  .  f ′′ ( x0 ) > 0

điểm cực tiểu.

 f ′ ( x0 ) = 0 +) Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔  .  f ′′ ( x0 ) < 0

x = 3 là điểm cực đại.

• Với m = 5, y ′′ ( 3) = 2.3 − 2.5 = −4 < 0

suy

A. m ≥ 0.

B. m ≤ 0.

C. m > 0.

Hàm số y = x3 + mx − 1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay

Do đó m < 0. Chọn D.

y = ax + x − 5 x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của

Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có

cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. B. H = −1.

C. H = −2.

D. H = 3.

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số y =

Hướng dẫn giải

m 3 x + x 2 + x + 7 có cực trị? 3

Ta có: y′ = 3ax 2 + 2 x − 5 ⇒ y′′ = 6ax + 2.

A. m ∈ (1; +∞ ) ∪ {0} .

B. m < 1.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y′ (1) = 0 ⇔ a = 1.

C. m ∈ ( −∞;1) \ {0} .

D. m ≤ 1.

Hướng dẫn giải

+) Thay a = 1 ta thấy y′′ (1) = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu.

Ta có: y′ = mx 2 + 2 x + 1.

+) Mặt khác ta có: y (1) = 2 ⇔ 1 + 1 − 5 + b = 2 ⇔ b = 5.

+) Với m = 0 , hàm số trở thành y = x 2 + x + 7 , đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.

Vậy H = 4.1 − 5 = −1.

Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu.

Chọn B. Ví dụ 2: Hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f ( 0 ) = 0 và đạt cực đại tại

B. T = 3.

C. T = 4.

+) Xét m ≠ 0 , để hàm số có cực trị thì y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0

⇔ 1− m > 0 ⇔ m < 1 .

điểm x = 1, f (1) = 1 . Giá trị của biểu thức T = a + 2b − 3c + d là A. T = 2.

D. m < 0.

3 x 2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Chọn C.

H = 4a − b là

A. H = 1.

Ví dụ 1: Giá trị của m để hàm số y = x 3 + mx − 1 có cực đại và cực tiểu là

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Hàm số

trình

 f ′ ( 0) = 0 c = 0  d = 0 f = 0 0 a = −2  ( )  ⇔ ⇒ ⇒ T = 4.  3 a 2 b 0 b=3 + = ′ f 1 0 = ( )     f 1 =1 a + b = 1  ( )

Bước 1. Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm Hướng dẫn giải x0 thì f ′ ( x0 ) = 0 , tìm được tham số.

Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f ( 0 ) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f (1) = 1 nên ta có hệ phương

Hợp cả hai trưởng hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị. D. T = 0.

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba (bậc cao nhất) có chứa tham số thì nên chia hai

Ta có f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c.

trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0.

Trang 17

Trang 18

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx 3 − 3mx 2 − ( m − 1) x + 2 không có cực trị.

1 A. 0 < m < . 4

 m −1  3 2 2 2 y =  x + ( m − 4 ) x + ( m − 9 ) x + 1 có hai điểm cực trị trái dấu là  3 

1 B. 0 ≤ m < . 4

1 C. 0 ≤ m ≤ . 4

A. 18.

1 D. 0 < m ≤ . 4

C. 19.

D. 16.

y′ = ( m − 1) x 2 + 2 ( m2 − 4 ) x + ( m2 − 9 ) .

Hướng dẫn giải

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu

Ta có: y′ = 3mx 2 − 6mx − m + 1. +) Với m = 0 , hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên ℝ nên không có cực trị, nhận m = 0 . +) Xét m ≠ 0 , hàm số không có cực trị khi y′ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

 m < −3 ⇔ ( m − 1) ( m2 − 9 ) < 0 ⇔  . 1 < m < 3 Vậy m ∈ {−20; −19;...; −4; 2} , có 18 giá trị của m.

1 ⇔ ∆′ = 9m 2 − 3m (1 − m ) ≤ 0 ⇔ 12m 2 − 3m ≤ 0 ⇔ 0 < m ≤ . 4 Hợp cả hai trường hợp, khi 0 ≤ m ≤

B. 17.

Hướng dẫn giải

Chọn A. Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx3 + m ( m − 1) x 2 − ( m + 1) x − 1 có hai điểm

1 thì hàm số không có cực trị. 4

cực trị đối nhau?

Chọn C.

A. 0.

Bài toán 3. So sánh hai điểm cực trị với một số hoặc hai số cho trước

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải

Ta có: y′ = 3mx 2 + 2m ( m − 1) x − ( m + 1) .

Nhắc lại các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn:

Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm đối nhau

Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c . Xét phương trình f ( x ) = 0 (*) .

m ≠ 0 3m ≠ 0  2  ′ ⇔ ∆ > 0 ⇔ m2 ( m − 1) + 3m ( m + 1) > 0 ⇔ m = 1. S = 0 m − 1 = 0  

(*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 hay P < 0 . ∆ > 0 (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔  . P > 0

Chọn C.

∆ > 0  (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương ⇔  S > 0 . P > 0 

Ví dụ 3: Giá trị của m để đồ thị hàm số y =

m 3 x + ( m − 1) x 2 + ( m + 2 ) x − 6 có hai điểm cực trị có hoành 3

độ dương là

∆ > 0  (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm ⇔  S < 0 . P > 0 

1 A. m < . 4

1 B. 0 < m < . 4

C. m < 0.

1 D. − < m < 0. 4

Hướng dẫn giải

(*) có hai nghiệm phân biệt x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < 0.

Ta có: y′ = mx 2 + 2 ( m − 1) x + m + 2.

( x − α )( x2 − α ) > 0 (*) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 < α ⇔  1 .  x1 + x2 < 2α

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt dương  1  2 m < ( m − 1) − m ( m + 2 ) > 0 4   ∆′ > 0   1   − ( m − 1) ⇔ S > 0 ⇔  >0 ⇔ 0 < m < 1 ⇔ 0 < m < . 4 P > 0  m   m + 2 m > 0 >0   m   m < −2

( x − α )( x2 − α ) > 0 (*) có hai nghiệm phân biệt α < x1 < x2 ⇔  1 .  x1 + x2 > 2α Ví dụ 1: Số giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −20; 20] để hàm số

Trang 19

Trang 20

Chọn B. Ví dụ 4: Cho hàm số y = x + (1 − 2m ) x + ( 2 − m ) x + m + 2 . các giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm 3

cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là  m < −1 A.  5 .  <m< 7 5 4

 m < −1 B.  5 .  <m<8 5 4

 m < −1 C.  5 .  <m< 7 5 4

 m < −2 D.  3 .  <m< 5 2 2

m < 2 7  ⇔ 7 ⇔m< 5 < m  5

Ví dụ 5: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x 2 + mx − 1

nằm bên phải trục tung.

Hướng dẫn giải

1 B. 0 < m < . 3

A. m < 0 .

Ta có: y′ = 3x 2 + 2(1 − 2m) x + 2 − m .

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

1 C. m < . 3

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải

Ta có: y′ = 3x 2 + 2 x + m .

 m < −1 ⇔ ∆′ = (1 − 2m) 2 − 3(2 − m) > 0 ⇔ 4m 2 − m − 5 > 0 ⇔  . m > 5  4

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình

y′ = 0

có hai nghiệm phân biệt

1 ⇔ ∆′ = 1 − 3m > 0 ⇔ m < (1). 3

Khi đó, giả sử x1 , x2 (với x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình y′ = 0 .

Khi đó, giả sử x1 , x2 (với x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình y′ = 0 thì

2   x1 + x2 = − 3 .   x .x = m 1 2  3

Bảng biến thiên

Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành:

x2 < 1 ⇔

2m − 1 + 4m 2 − m − 5 < 1 ⇔ 4m 2 − m − 5 < 4 − 2m 3

m ≤ 2 4 − 2m ≥ 0 7  ⇔ 2 ⇔  7 ⇔m< . 2 5 m < 4 m − m − 5 < 4 m − 16 m + 16   5

Kết hợp điều kiện có cực trị thì m < −1 và

5 7 < m < thỏa mãn yêu cầu. 4 5

Do x1 + x2 = −

2 < 0 nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x 2 + mx − 1 nằm bên phải trục tung 3

⇔ x1.x2 < 0 ⇔

m < 0 ⇔ m < 0 (2). 3

Từ (1), (2) ta có m < 0

Chọn A.

Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau:

Ví dụ 6: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = 2 x 3 + 3( m − 1) x 2 + 6(m − 2) x có các điểm cực trị thuộc

Xét x1 < x2 < 1

khoảng (−2;3) ?

x + x < 2 ⇔ 1 2 ( x1 − 1)( x2 − 1) > 0

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Hướng dẫn giải

 2m − 1 < 3 ⇔  2 − m + 2(1 − 2m) + 3 > 0

Chọn B.

Trang 21

Trang 22

1 Ví dụ 7: Giá trị của m để hàm số = x3 − ( m − 2) x 2 + (4m − 8) x + m + 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa 3 mãn x1 < −2 < x2 là A. m < 2. C. m <

cực trị x1 , x2 thỏa x1.x2 = 1 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 2.

B. m < 2 hoặc m > 6.

3 hoặc m > 6. 2

Ví dụ 1: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( x − m)( x 2 − 2 x − m − 1) có hai điểm

B. – 2.

Ta có: y′ = 3 x 2 − 2( m + 2) x + m − 1 . Hàm số có hai điểm cực trị khi y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

Ta có: y ′ = x − 2(m − 2) x + (4m − 8) .

⇔ ∆′ = m 2 + m + 7 > 0 (luôn đúng).

Yêu cầu bài toán trở thành

Theo định lí Vi-ét ta có:

( x1 + 2)( x2 + 2) < 0 ⇔ (4m − 8) + 4(m − 2) + 4 < 0 ⇔ m <

3 2

x1.x2 =

Chọn D.

m = 4 m −1 . ⇒ x1.x2 = 1 ⇔ m − 1 = 3 ⇔  3  m = −2

Vậy tổng cần tìm bằng 4 + (−2) = 2 .

Bài toán 4. Hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Chọn A.

Phương pháp giải Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm

số y =

2 3 2 x − mx 2 − 2(3m 2 − 1) x + có hai điểm cực 3 3

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

1 Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [ −20; 20] để hàm số y = x 3 − mx 2 + mx − 1 có hai điểm 3 cực trị x1 , x2 sao cho x1 − x2 ≥ 2 6 ?

A. 38.

trị x1 , x2 sao cho x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 ?

B. 35.

C. 34.

D. 37.

Hướng dẫn giải Ta có y′ = x 2 − 2mx + m . Hàm số có hai điểm cực trị khi y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Ta có: y′ = 2 x 2 − 2mx − 2(3m2 − 1)

⇔ ∆′ = m 2 − m > 0 (*).

Hàm số có hai điểm cực trị khi y ′ = 0 có hai

 x1 + x2 = 2m . Theo định lí Vi-ét ta có   x1.x2 = m

nghiệm phân biệt hay

Khi đó

∆′ = m 2 + 4(3m 2 − 1) > 0 ⇔ 13m 2 − 4 > 0 (*). Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét.

D. 0.

Hướng dẫn giải

3 D. m < . 2

Hướng dẫn giải

Bước 1. Tìm điểm cực trị (trực tiếp hoặc gián tiếp).

C. 4.

m ≥ 3 (thỏa mãn(*)). x1 − x2 ≥ 2 6 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1.x2 ≥ 24 ⇔ 4m 2 − 4m ≥ 24 ⇔   m ≤ −2

 x1 + x2 = m Theo định lí Vi-ét ta có:  2  x1.x2 = 1 − 3m Suy ra x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 ⇒ 1 − 3m 2 + 2m = 1.

Do m nguyên và m ∈ [ −20; 20] nên m ∈ {−20; −19;...; −2;3; 4;...; 20} . Vậy có 37 giá trị của m.

m = 0 ⇔ m = 2 3 

Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − 3( m + 1) x 2 + 9 x − m . Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn hàm số

Thử lại với điều kiện (*), ta nhận được m =

2 . 3

Chọn A.

đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 sao cho 3x1 − 2 x2 = m + 6 là A. 0.

B. 1.

C. – 2.

D. – 3.

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

Ta có: y′ = 3x 2 − 6( m + 1) x + 9

Trang 23

Trang 24

Hàm số có hai điểm cực trị khi y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2

Xét phương trình y′ = 0 ta có

cực trị.

x = 0 . 3 x 2 − 2( m + 1) x = 0 ⇔   x = 2( m + 1) 3 

⇔ ∆′ = 9(m + 1) − 27 > 0 ⇔ (m + 1) > 3 (*).  x1 + x2 = 2(m + 1) Theo định lí Vi-ét ta có  .  x1.x2 = 3

Bước 2. Tìm điều kiện để yCD . yCT < 0 .

 x + x = 2(m + 1)  x1 = m + 2 Từ  1 2 thế vào x1.x2 = 3 ta được ⇔ − = + 3 x 2 x m 6  1 2  x2 = m

Để đồ thị có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành ⇔ yCT . yCD < 0 Khi đó

m = 1 thỏa mãn (*). m(m + 2) = 3 ⇔   m = −3

 2m + 2  y (0). y  <0  3 

Chọn C.

2 điểm cực tiểu xCT thỏa mãn xCD = xCT ?

A. 1.

B. 0.

C. 3.

 2m + 2   2m + 2  ⇔  − ( m + 1)   +1 < 0  3   3 

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = 2 x3 + 9mx 2 + 12m 2 x có điểm cực đại xCD ,

⇔m>

D. 2.

27 − 1. 16

Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải Ta có: y′ = 6 x 2 + 18mx + 12m 2 = 6( x + m)( x + 2m) .

Cách 2: Định tham số để phương trình f ( x ) = 0

Hàm số có hai điểm cực trị khi y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 (*)

có ba nghiệm phân biệt.

Trường hợp 1: m < 0 khi đó, lập bảng xét dấu đạo hàm dễ thấy

y = f ( x ) = x 3 − ( m + 1) x 2 + ( m + 1) x − 1 có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành. Xét phương trình x 3 − ( m + 1) x 2 + (m + 1) x − 1 = 0

xCD = − m, xCT = −2m

⇔ ( x − 1)( x 2 − mx + 1) = 0

Khi đó:

x = 1 ⇔ 2  x − mx + 1 = 0 (1) .

2 xCD = xCT ⇔ m 2 = −2m ⇔ m = −2 (thỏa mãn).

Trường hợp 2: m > 0 lập bảng xét dấu đạo hàm ta có xCD = −2m, xCT = − m . 2 xCD = xCT

Để đồ thị có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành thì phương trình f ( x ) = 0 có ba nghiệm

1 ⇔ 4m 2 = − m ⇔ m = − , loại. 4

phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm

Vậy m = −2 thỏa mãn đề bài.

phân biệt khác 1.

Chọn A.

m > 2 ∆ = m 2 − 4 > 0 m > 2  Vậ y  2 . ⇔   m < −2 ⇔   m < −2 1 − m.1 + 1 ≠ 0 m ≠ 2 

Bài toán 5. Hai điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía, khác phía so với trục hoành Bài toán 5.1. Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành Phương pháp giải Ví

dụ:

Tìm

để

đồ

thị

hàm

số

y = x3 − (m + 1) x 2 + 1 có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành.

hoành Phương pháp giải

Ví

Hướng dẫn giải Cách 1:

Bài toán 5.2. Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị nằm cùng phía so với trục

dụ:

Tìm

để

đồ

thị

hàm

số

y = ( x − 1)( x + 2mx + 1) có hai điểm cực trị nằm

Ta có y′ = 3 x 2 − 2( m + 1) x .

cùng phía với trục hoành.

Bước 1. Xác định tham số để hàm số có hai điểm Trang 25

Trang 26

Bảng biến thiên của hàm số bậc ba khi có hai cực trị và hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía trục

Hướng dẫn giải Bước 1. Định tham số để hàm số có hai điểm cực Ta có: y ′ = 3x + 2(2m − 1) x + 1 − 2m .

hoành là

trị.

Để đồ thị hàm số y = ( x − 1)( x + 2mx + 1) có hai điểm cực trị thì phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

1  m> Khi đó: ∆′ = (2m − 1) 2 − 3(1 − 2m) > 0 ⇔  2 .  m < − 1 

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì y = 0 có ba nghiệm phân Bước 2.

biệt ⇔ x 2 + 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Cách 1. Tìm m để yCT ≥ 0 hoặc yCD ≤ 0 .

m ≠ −1 2 1 + 2m.1 + 1 ≠ 0  ⇔ ⇔ m > 1 2 ∆′ = m − 1 > 0   m < −1. 

Để ý là đối với hàm bậc ba, có hai điểm cực trị thì yCT < yCD . .

Do m nguyên và m ∈ [ −18;18] nên m ∈ {−18; −17;....; −2; 2;3;....;18}

Cách 2. Tìm tham số m để hàm số có hai điểm cực Xét phương trình trị và đồ thị chỉ có tối đa hai điểm chung với trục hoành.

( x − 1) ( x 2 + 2mx + 1) = 0

Vậy có 34 giá trị của m thỏa mãn đề.

x = 1 ⇔ 2  x + 2mx + 1 = 0 (1) .

Chọn A. Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3mx 2 + x + m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m trong

Để phương trình có nhiều nhất hai nghiệm thì:

khoảng ( −10;10 ) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng y = x − 6 .

Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm

Số phần tử của tập S là

A. 9.

phân biệt và một nghiệm bằng 1. Ta có:

m > 1 m 2 − 1 > 0  ⇔   m < −1. 2 1 + 2m + 1 = 0  m = −1 

D. 11.

Đặt f ( x ) = 2 x 3 − 3mx 2 + m + 6.

x = 0 Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 2 x3 − 3mx 2 + m + 6 )′ = 0 ⇔  . x = m

Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm kép. Ta có: m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. Trường hợp 3: Phương trình (1) vô nghiệm. Ta có: m 2 − 1 < 0 ⇔ −1 < m < 1.

Xét g ( x ) = g ( x ) − x + 6 . Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị nằm về hai phía đường thẳng y = x = 6

m ≠ 0 m ≠ 0 ⇔ ⇔ . 3 g g m 0 . < 0 ( ) ( )  ( m + 12 ) ( − m + 12 ) < 0 Do m ∈ ℤ và thuộc ( −10;10 ) nên m ∈ {3; 4;.......9} .

1 < m ≤ 1. 2

Chọn C.

Ví dụ mẫu

Bài toán 6. Diện tích tam giác có hai đỉnh là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [ −18;18] để đồ thị hàm số y = ( x − 1) ( x + 2mx + 1) có hai 2

B. 30.

Phương pháp giải Nhắc lại công thức tính diện tích tam giác ABC:

điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành? A. 34.

C. 7.

Hướng dẫn giải

Không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Kết hợp với điều kiện ta có

B. 12.

C. 25.

D. 19.

S∆ABC =

Hướng dẫn giải Trang 27

1 hA .BC 2

Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 + 4 có hai

điểm cực trị là A, B. Diện tích tam giác OAB bằng Trang 28

A. 4.

B. 2.

C. 8.

D. 6.

2 m −3 1 1 S ABC = . AB.d ( C , AB ) = 4 ⇔ .2 m . 4m 4 + 1. =4 2 2 4m 4 + 1

Bước 1. Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị rồi Hướng dẫn giải tính diện tích

⇔ m ( m 2 − 3 ) = 2 ⇔ m 6 − 6m 4 + 9m 2 − 4 = 0

Ta có:

2  m = ±1 ⇔ ( m 2 − 1) ( m 2 − 4 ) = 0 ⇔  .  m = ±2

y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0

 x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ A ( 0; 4 ) ⇔ .  x = 2 ⇒ y = 0 ⇒ B ( 2; 0 )

Do m nguyên dương nên ta nhận được m = 1, m = 2 . Tổng là 3.

Chọn C.

Do A ∈ Ox, B ∈ Oy nên tam giác OAB vuông tại O. Suy ra S∆OAB

Chú ý: Để tính diện tích tam giác ABC ta có thể

1 = OA.OB = 4. 2

không thẳng hàng (dù trong bài toán này, nếu “quên” thì không ảnh hưởng đến kết quả). Ta có thể tính nhanh diện tích như sau: Ta có OA = ( 0; 4m2 − 2 ) và OB = ( 2m; −4m3 + 4m 2 − 2 )

Chọn A.

làm như sau:

Chú ý: Học sinh nên kiểm tra điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị và điều kiện để ba điểm A, B, C

Bước 1. Tính AB , AC .

Khi đó: S ABC = 1 x y , trong đó y 2 x AC AC AB

Bước 2. S∆ABC = a b c d

1 2 m ( 4m 2 − 2 ) = 4 2

Bài toán 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa điểm cực trị Phương pháp giải

= ad − bc .

Ví dụ: Biết hàm số 1 y = x 3 − ( m + 1) x 2 − ( 2m − 1) x có hai điểm cực 3

Ví dụ mẫu Ví dụ: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m 2 − 2 có đồ thị (C) và điểm C (1; 4 ) . Tổng các giá trị nguyên dương

trị x1 , x2 .

của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 là

A. 6.

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Hướng dẫn giải

x = 0 Ta có y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 6mx = 0 ⇔  .  x = 2m

Bước 1. Dùng định lí Vi-ét, đưa biểu thức cần tìm về một biến.

⇒ AB = 4m 2 + 16m 6 = 2 m 4m 4 + 1.

+) Bổ sung hằng đẳng thức.

Thế tọa độ C vào phương trình đường thẳng (AB), dễ thấy C ∉ ( AB ) .

2 m + 4 − 4m + 2 4

4m + 1

B. – 18.

C. – 22.

D. – 16.

2 m −3 4m 4 + 1

( m + 1)

m > 0 + 2m − 1 > 0 ⇔  .  m < −4

+) Dùng bất đẳng thức đã học (bất đẳng thức

Khi đó P = ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 − 10 ( x1 + x2 ) 2

= ( 2m + 2 ) − 10 ( 2m + 2 ) − 2 ( −2m + 1)

AM – GM).

A. – 12.

x + x = 2m + 2 Bước 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng các Theo định lí Vi-ét:  1 2 .  x1.x2 = −2m + 1 phương pháp sau:

y − ( 4m 2 − 2 ) x −0 = ⇔ 2m 2 x + y − 4m 2 + 2 = 0. 2m − 0 −4 m 3

d ( C , AB ) =

thức

Hàm số có hai điểm cực trị nếu

Khi đó A ( 0; 4m 2 − 2 ) , B ( 2m; −4m 3 + 4m 2 − 2 )

nhất của biểu

Hướng dẫn giải

y′ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt).

trị nhỏ

2 2

Ta có: y′ = x 2 − 2 ( m + 1) x − ( 2m − 1) .

Đồ thị (C) luôn có hai điểm cực trị với mọi m nguyên dương (vì m là số nguyên dương nên phương trình

( AB ) :

Giá

P = x + x − 10 ( x1 + x2 ) bằng 2 1

+) Dùng bảng biến thiên.

= 4m 2 − 8m − 18 2

= ( 2m − 2 ) − 22 ≥ −22 . Trang 29

Trang 30

Dấu “=” khi m = 1 (thỏa mãn y′ = 0 có hai nghiệm

các bước sau:

thị hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x đi qua điểm nào sau

phân biệt)

đây?

Chọn C. Ví dụ mẫu 1 Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − x 2 + ( m 2 − 3) x có hai điểm cực trị 3

x1 , x2 sao cho giá trị biểu thức P = x1 ( x2 − 2 ) − 2 ( x2 + 1) đạt giá trị lớn nhất?

A. 2.

B. 1.

C. 4.

1  A.  ;5  . 2 

 1  B.  − ;5  .  2 

C. ( 2;1) .

D. ( 2; −1) .

Hướng dẫn giải Bước 1. Tìm y′ . Định tham số để đồ thị hàm số có

Ta có: y′ = 3 x 2 − 12 x + 9.

hai điểm cực trị (trong bài toán chứa tham số).

D. 3.

Hướng dẫn giải

Bước 2. Viết y = y′.t + d , với t, d lần lượt là thương

Ta có y′ = x 2 − 2 x + m 2 − 3.

và dư trong phép chia đa thức y cho y′ .

Hàm số có hai điểm cực trị khi 1 − ( m2 − 3) > 0 ⇔ −2 < m < 2.

Khi đó d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Chú ý: Nếu tọa độ hai điểm cực trị dễ tìm được thì

 x1 + x2 = 2 Theo định lí Vi-ét  . 2  x1.x2 = m − 3

ta viết đường thẳng theo công thức:

( AB ) :

P = x1 ( x2 − 2 ) − 2 ( x2 + 1) = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) − 2

y − yA x − xA = . y B − y A xB − x A

x =1⇒ y = 4 Xét y ′ = 0 ⇔  . x = 3 ⇒ y = 0 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A (1; 4 ) và B ( 3;0 ) suy ra ( AB ) :

= m 2 − 3 − 2.2 − 2 = m 2 − 9 ≤ 9.

Cách khác: AB = ( 2; −4 ) nên

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 0 (thỏa mãn).

Chọn B.

y −0 x−3 = ⇔ y = −2 ( x − 3 ) . 4 − 0 1− 3

u = (1; −2 ) là

một vectơ phương của đường thẳng ( AB ) ⇒ nAB = ( 2;1) .

1 1 Ví dụ 2: Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của y = x 3 − mx 2 − 4 x − 10 . Giá trị lớn nhất của 3 2

chỉ

Suy ra phương trình đường thẳng ( AB ) :

S = ( x12 − 1)( x22 − 16 ) là

A. 16.

B. 32.

C. 4.

2 ( x − 3) + 1( y − 0 ) = 0 ⇔ y = −2 x + 6.

D. 0.

Chọn A.

Hướng dẫn giải 2

Ta có y ′ = x − mx − 4 . Do a = 1, c = −4 trái dấu nhau nên y′ = 0 luôn có hai nghiệm trái dấu hay hàm số

Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 + ( m + 3) x 2 − ( 2m + 9 ) x + m + 6 có hai điểm cực trị và

luôn có hai điểm cực trị.

khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đạt giá trị lớn nhất

x + x = m Theo định lí Vi-ét:  1 2 .  x1.x2 = −4

3 3   A. m ∈ −6 + ; −6 − . 2 2 

Khi đó S = ( x1 x2 ) − (16 x + x ) + 16 ≤ ( x1 x2 ) − 2 16 x .x + 16 = 0. 2

Ví dụ mẫu

2 1

2 2

2 1

2 2

{

}

C. m ∈ −3 − 6 2; −3 + 6 2 .

Dấu “=” xảy ra khi 16 x12 = x22 ⇔ x2 = −4 x1 ⇒ m = ±3.

3 3   B. m ∈ −3 − ; −3 + . 2 2 

{

}

D. m ∈ −6 − 6 2; −6 + 6 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có y′ = 3 x 2 + 2 ( m + 3) x − 2m − 9 = ( 3 x 2 + 6 x − 9 ) + ( 2mx − 2m )

Bài toán 8. Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba Phương pháp giải

= ( x − 1)( 3 x + 9 + 2m ) .

Để tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị, ta làm Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ

Trang 31

Hàm số có hai cực trị khi y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3 + 9 + 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ −6 Trang 32

Một trong hai điểm cực trị là A (1;1) và OA = (1;1) ⇒ OA = 2

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là ( AB ) : y = −2mx + 2.

và k( OA) = 1.

Đường thẳng ( AB ) luôn đi qua điểm cố định là M ( 0; 2 ) .

2 2 2 Đường thẳng d qua hai điểm cực trị có hệ số góc là kd = −  ( 2m + 9 ) + ( m + 3)  3 9  

Đường tròn ( C ) tâm I (1;1) , bán kính R = 3 và d  I ; ( AB )  ≤ IM = 1 < 3 = R nên đường thẳng luôn cắt

Ta có d [O; d ] ≤ OA = 2.

đường tròn tại hai điểm M, N.

Dấu “=” xảy ra khi d ⊥ OA ⇔ kd .k( OA)

⇔ m = −6 ±

2 2 2 = −1 ⇔ −  ( 2 m + 9 ) + ( m + 3 )  = −1 3 9  

1 Giả sử I (1;1) ∈ ( AB ) ⇒ 1 = −2m + 2 ⇔ m = . 2

3 . 2

1 Vậy khi m = (thỏa mãn hàm số có hai điểm cực trị) thì (AB) qua I (1;1) , cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm 2

Chọn A.

M, N với MN = 2 R là lớn nhất. Khi đó: d  E ( 3;1) ; ( AB ) : y + x − 2 = 0  = 2.

Ví dụ 2: Giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x + ax + bx + c và đường thẳng (AB) đi 3

qua gốc tọa độ. Giá trị lớn nhất Pmin của P = abc + ab + c bằng A. Pmin = −9. C. Pmin = −

Chọn B. Bài toán 9. Tính chất điểm uốn liên quan đến hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Phương pháp giải

B. Pmin = 1.

16 . 25

D. Pmin = −

Gọi xu là nghiệm của phương trình f ′′ ( x ) = 0 . Ví dụ: Đồ thị hàm số y = 2 x3 − x + 1 có điểm uốn

25 . 9

Khi ấy điểm U ( xu ; f ( xu ) ) được gọi là điểm uốn U ( 0;1) do x = 0 là nghiệm của y′′ = 12 x.

Hướng dẫn giải

của đồ thị hàm số.

2 2a 2  ab Đường thẳng qua hai cực trị là ( AB ) : y =  b − x+c− . 3 9 9  

Chú ý: Điểm uốn là trung điểm đoạn nối hai điểm

cực trị của đồ thị hàm số bậc ba, suy ra điểm uốn Do (AB) qua gốc O nên c −

ab = 0 ⇔ ab = 9c. 9

nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

đồ thị.

5  25 25  Khi đó P = abc + ab + c = 9c 2 + 10c =  3c +  − ≥ − , ∀c ∈ ℝ. 3 9 9  Vậy Pmin = −

 x + x = 2 xU Tức là:  CD CT  yCD + yCT = 2 yU

5  25 c = − khi  9 . 9 ab = −5

Đường thẳng đi qua điểm uốn luôn cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Ví dụ mẫu

Chọn D. Ví dụ 3: Biết rằng đồ thị hàm số y = x − 3mx + 2 có hai điểm cực trị A, B. Gọi M, N là hai giao điểm của 3

đường thẳng (AB) và đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 3 . Biết MN lớn nhất. Khoảng cách từ điểm E ( 3;1) đến ( AB ) bằng A.

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là x1 = 1 và x2 . Biết rằng đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại

điểm x =

2 . Giá trị của x2 bằng 3 1 B. x2 = . 3

A. x2 = 2. B.

C. 2 3.

D. 2 2.

4 C. x2 = . 3

1 D. x2 = − . 3

Hướng dẫn giải

Ta có: y′ = 3 x 2 − 3m.

x2 = 2 x − x1 =

Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > 0.

Chọn B.

4 1 −1 = . 3 3

x x Viết hàm số dưới dạng y = ( 3 x 2 − 3m ) − 2mx + 2 = y′ − 2mx + 2 3 3 Trang 33

Trang 34

Ví dụ 2: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

x3 − mx 2 + ( m 2 − 1) x có hai 3

điểm cực trị A và B sao cho A và B nằm khác phía và cách đều đường thẳng y = 5 x − 9 . Tổng các phần tử

A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

1 Câu 6: Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + ( m − 1) x + 2m 2 + 1 (m là tham số). Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa 3

độ O ( 0;0 ) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên là

của S bằng A. 0.

B. 6.

C. – 6.

D. 3.

Hướng dẫn giải

2 . 9

C. 2 3.

10 . 3

Câu 7: Biết đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm số f ( x ) = x 3 + cx + d là y = −6 x + 2020 . Khi đó

Đường thẳng d : y = 5 x − 9 cách đều hai điểm cực trị của đồ thị thì có hai khả năng sau: Khả năng 1: Đường thẳng d song song với đường thẳng AB, khi đó A, B nằm cùng phía so với đường

f ( 2 ) bằng

A. f ( 2 ) = 2010.

thẳng d, trái với giả thiết.

B. f ( 2 ) = 2030.

C. f ( 2 ) = 2022.

D. f ( 2 ) = 2020.

Khả năng 2: Đường d đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số (vì điểm uốn là trung điểm của A và B).

Câu 8: Biết đồ thị của hàm số y = x3 − 3abx 2 + bx + 3 có hai điểm cực trị và trung điểm của đoạn thẳng

Ta có: y′ = x 2 − 2mx + m 2 − 1 = ( x − m − 1)( x − m + 1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có hai

nối hai điểm cực trị đó thuộc đường thẳng x = −1 . Chọn khẳng định đúng. A. ab 2 > −3.

cực trị.

y′′ = 2 x − 2m; y′′ = 0 ⇔ x = m ⇒ y ( m ) = Khi đó: U ∈ d ⇒

m3 − m = 5m − 9 ⇔ m = 3. 3

Câu

điểm xu . Khi đó xu bằng B. 6.

C. 2.

10:

B. 17.

Biết

điểm M ( 2m3 ; −1)

A. m ∈ ( −1;0 ) .

tạo

với

3 17 . 4

hai

điểm

cực

trị

1 . 17

của

đồ

thị

hàm

số

11:

Có

B. 3.

C. 2.

D. 4.

điểm M ( −3; 7 ) . Khi đó m bằng C. m = 3. 2

D. m = 0.

cho. Biết rằng, khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị ( C ) luôn nằm trên một đường thẳng d cố định. Hệ số góc k của đường thẳng d là

1 B. k = . 3

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

m ∈ ( −2020; 2020]

để

đồ

thị

hàm

số

B. 4036.

C. 4037.

D. 4038.

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành? A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

1 Câu 13: Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của hàm số y = x 3 − ( m 2 + 3) x 2 + 8 x − m . Giá trị lớn nhất của biểu 3

Câu 4: Cho hàm số y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x − m với m là tham số. Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số đã 2

D. m ∈ ( −2; −1) .

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 8 x 2 + ( m 2 + 11) x − 2m 2 + 2

Câu 3: Đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − 2 x + m đi qua

B. m = −1.

C. m ∈ (1; 2 ) .

y = x3 − ( 2m + 1) x 2 + 3mx − m có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành?

A. 4035.

tiểu thỏa mãn xCD − xCT = 2?

B. m ∈ ( 0;1) .

Bài tập nâng cao Câu

D. – 2.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của m thì đồ thị hàm số y = 2 x 3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x − 1 có cực đại, cực

A. k = −3.

y = 2 x3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 1: Cho hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là x1 = 1 và x2 = 5 . Biết rằng đạo hàm cấp hai triệt tiêu tại

17 . 2

Bài tập cơ bản

A. m = 1.

D. a.b 2 = 0.

hàm số và điểm M thuộc đường tròn ( C ) : ( x − 9 ) + ( y + 4 ) = 17 . Giá trị nhỏ nhất của độ dài MA bằng

Bài tập tự luyện dạng 2

A. 1.

C. ab 2 = −1.

Câu 9: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m 3 − m (m là tham số). Gọi A là điểm cực đại của đồ thị

 m3  m3 − m . − m , suy ra tọa độ điểm uốn là U  m; 3 3  

Chọn D.

A. 3.

B. ab 2 < 3.

thức A = ( x13 − 1)( x23 − 8 ) là A. 8.

B. 1064.

C. 392.

D. 0.

Câu 14: Biết hàm số y = ( x + m )( x + n )( x + p ) không có cực trị. Giá trị nhỏ nhất của F = m 2 + 2n − 4 p là C. k = 3.

1 D. k = − . 3

A. Fmin = −2.

B. Fmin = −1.

C. Fmin = 0.

D. Fmin = 1.

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m3 có các điểm cực đại

Câu 15: Cho hàm số f ( x ) = ( x − a )( x − b )( x − c ) không có điểm cực đại. Giá trị nhỏ nhất của biểu

và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ?

thức S = a 2 + 2b 2 + 3c 2 + 4a + 5b + 6c là Trang 35

Trang 36

A. Smin = −

75 . 8

B. Smin = −

25 . 2

3 C. Smin = − . 2

7 D. Smin = . 3

Câu 16: Cho hàm số y = − x3 − 3x 2 + 4 . Biết rằng có hai giá trị m1 , m2 của tham số m để đường thẳng đi 2

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn ( C ) : ( x − m ) + ( y − m − 1) = 5. . Giá trị của m1 + m2 bằng

A. 0.

B. 10.

C. 6.

D. – 6.

Câu 17: Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3m 2 có điểm

cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường phân giác của góc phần tư thứ nhất? A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Câu 18: Cho hàm số y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x − m − m , (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của 3

+ Khi hàm số có một cực trị:

a > 0 thì điểm cực trị là điểm cực tiểu;

đồ thị hàm số. Tổng tất cả các số m để ba điểm I ( 2; −2 ) , A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng A.

a < 0 thì điểm cực trị là điểm cực đại.

5 là

4 . 17

B. −

2 . 17

20 . 17

14 . 17

PHẦN ĐÁP ÁN Dạng 1. Các bài tập nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị 1-D

2-A

3-C

4-D

5-A

6-D

7-D

8-C

9-C

9-B

Dạng 2. Cực trị của hàm số bậc ba 1-A

2-C

3-C

4-A

5-D

6-D

7-A

8-A

11 - D

12 - B

13 - C

14 - B

15 - A

16 - D

17 - A

18 - C

10 - A

+ Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có nhiều điểm cực trị nhất (bảy cực trị) khi đồ thị hàm số

Dạng 3. Cực trị hàm bậc bốn trùng phương

f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị và đồ thị của nó cắt trục hoành tại bốn điểm phân

Bài toán 1. Tìm tham số để hàm số có số điểm cực trị thỏa mãn đề bài Phương pháp giải

biệt.

Xét hàm số y = ax 4 + bx 2 + c , ( a ≠ 0 ) , có đạo hàm là y′ = 4ax 3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) .

+ Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ít điểm cực trị nhất (một cực trị) khi đồ thị hàm số

+ Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ ab < 0 .

f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c có một điểm cực trị và đồ thị của nó không có điểm chung hoặc chỉ

+ Đồ thị hàm số có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi y ′ = 0 có đúng một nghiệm

tiếp xúc với trục hoành.

⇔ ab ≥ 0 .

Ví dụ mẫu

+ Đồ thị hàm số hoặc có đúng một điểm cực trị hoặc có ba điểm cực trị, và luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung.

trị?

+ Đồ thị hàm số có ba cực trị: •

Nếu a > 0 hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại;

•

Nếu a < 0 hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Ví dụ 1. Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [ −20; 20] để đồ thị hàm số y = mx 4 + ( m 2 − 9 ) x 2 + 1 có ba điểm cực

A. 20.

B. 19.

C. 18.

D. 17.

Hướng dẫn giải

Ta có y′ = 4mx3 + 2 ( m 2 − 9 ) x = 2 x  2mx 2 + ( m 2 − 9 )  .

Chú ý rằng ba điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn tạo thành một tam giác cân. Trang 37

Trang 38

x = 0 y′ = 0 ⇔  2 2  2mx + m − 9 = 0

(1)

+ Với k ≠ 0 . Ta có y′ = 4kx 3 + 2 ( k − 1) x = 2 x ( 2kx 2 + k − 1) .

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y ′ = 0 có ba nghiệm phân biệt hay (1) có hai nghiệm phân biệt

k ≥ 1 . x = 0 ⇔ k ( k − 1) ≥ 0 ⇔  k < 0

 m < −3 khác 0 ⇔ 2m ( m 2 − 9 ) < 0 ⇔  . 0 < m < 3

Kết hợp hai trường hợp ta được các giá trị cần tìm là k ≥ 1 hoặc k ≤ 0 .

Vậy có 19 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Chọn D.

Chọn B.

x=0 là nghiệm của phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0

Ví dụ 2. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x + 3mx − 4 có ba điểm cực trị phân 4

Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x0 cho trước.

biệt và hoành độ của chúng trong khoảng ( −2; 2 ) là

 8  A.  − ; 0  .  3 

 8 B.  0;  .  3

Ví dụ mẫu

 3  C.  − ;0  .  2 

Ví dụ 1. Giá trị của m để hàm số y = ( m + 1) x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 đạt cực đại tại x = 2 là

 3 D.  0;  .  2

A. m =

Hướng dẫn giải

x = 0 Ta có y′ = 4 x3 + 6mx . Cho y ′ = 0 ⇔  2 .  2 x = −3m ( 2 )

Để thỏa mãn đề bài phương trình ⇔0<−

( 2)

( −2; 2 )

Chọn A. Ví dụ 3. Biết rằng hàm số y = x 4 − 2 ( m 2 + 1) x 2 + 2 có điểm cực tiểu. Giá trị lớn nhất của cực tiểu là D. 2.

x = 0 . y′ = 4 x 3 − 4 ( m 2 + 1) x ⇒ y′ = 0 ⇔  2 2 x = m +1

Chọn B. Chú ý: Nếu f '( x0 ) = f ''( x0 ) = 0 thì ta lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để kiểm tra.

C. −1 .

1 . 2

Hướng dẫn giải

Lập bảng biến thiên, dễ thấy x = ± m 2 + 1 là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

y′ = 2 x 3 − 3mx + 1 ⇒ y′′ = 6 x 2 − 3m .

Giá trị cực tiểu là yCT = 2 − ( m 2 + 1) = 1 − ( m 4 + 2m 2 ) ≤ 1 (dấu " = " xảy ra khi m = 0 ).

m = 1 Hàm số đạt cực trị tại điểm x = m ⇒ y′ ( m ) = 0 ⇔  . m = − 1  2

Chọn A. Ví dụ 4. Với giá trị nào của k thì hàm số y = kx 4 + ( k − 1) x 2 + 1 − 2k chỉ có một cực trị? B. 0 ≤ k ≤ 1 .

1 4 3 2 x − mx + x có x = m là một điểm cực trị. Tổng các giá trị của m là 2 2

1 B. − . 2

A. 1.

Rõ ràng phương trình y ′ = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt.

A. 0 < k ≤ 1 .

4  4   4 thì y′′ ( 2 ) = 12  − + 1 .22 − 4  −  < 0 , suy ra x = 2 là điểm cực đại. 3  3   3

Ví dụ 2. Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải

k ≥ 1 C.  . k < 0

D. ∅ .

4 Để hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y′ ( 2 ) = 0 ⇒ 32 ( m + 1) − 8m = 0 ⇒ m = − . 3 Với m = −

C. 0.

3 C. m = − . 4

Ta có: y′ = 4 ( m + 1) x 3 − 4mx ⇒ y′′ = 12 ( m + 1) x 2 − 4m .

có hai nghiệm phân biệt khác 0 và thuộc khoảng

B. -1.

4 B. m = − . 3

Hướng dẫn giải

3m 8 <4⇔0>m>− . 2 3

A. 1.

4 . 3

k ≥ 1 D.  . k ≤ 0

Hướng dẫn giải

+ Với k = 0 , hàm số trở thành y = − x 2 + 1 có đồ thị là một parabol nên có đúng một cực trị. Do đó k = 0 thỏa mãn đề bài.

Trang 39

•

Với m = 1 , ta có: y′′ (1) = 6 − 3 > 0 x = 1 là điểm cực tiểu (cực trị) nên m = 1 thỏa mãn.

•

1 1 1  1 3 3 Với m = − , ta có: y′′  −  = + > 0 x = − là điểm cực tiểu (cực trị) nên m = − thỏa 2 2 2 2 2 2   mãn.  1 1 Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên là 1 +  −  = .  2 2 Trang 40

Ví dụ 1. Biết rằng đồ thị hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + 3m có A là điểm cực đại và B , C là hai điểm cực

Chọn D. Ví dụ 3. Biết đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có hai điểm cực trị là A ( 0; 2 ) , B ( 2; −14 ) . Giá trị của y (1)

tiểu. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = OA +

là A. y (1) = −5 .

B. y (1) = −4 .

C. y (1) = −2 .

A. 9.

D. y (1) = 0 .

12 là BC

B. 8.

C. 12.

D. 15.

Hướng dẫn giải

Ta có y′ = 4ax 3 + 2bx .

x = 0 Ta có: y′ = 4 x 3 − 4 ( m − 1) x . Cho y′ = 0 ⇔  2 .  x = m −1

c = 2 Các điểm A ( 0; 2 ) , B ( 2; −14 ) thuộc đồ thị hàm số nên  (1) . 16a + 4b + c = −14

Hàm số có ba điểm cực trị nên m > 1 . Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A ( 0;3m ) , B

Mặt khác, hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2 , suy ra 32a + 4b = 0 ( 2 ) .

(

)

(

)

m − 1;5m − m 2 − 1 và C − m − 1;5m − m 2 − 1 . Suy ra

OA = 3m , BC = 2 m − 1 .

Từ (1) ; ( 2 ) ta có y = x 4 − 8 x 2 + 2 . Ta có P = OA +

Dễ thấy hàm số có các điểm cực trị là A ( 0; 2 ) , B ( 2; −14 ) nên y = x 4 − 8 x 2 + 2 là hàm số cần tìm.

12 6 3 3   = 3m + = 3 ( m − 1) + +  +3 BC m −1  m −1 m −1  2

Khi đó y (1) = −5 .

 3  ≥ 3 + 3 3 3 ( m − 1)   = 12 .  m −1 

Chọn A. Bài toán 3. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Dấu " = " xảy ra khi 3 ( m − 1) =

Phương pháp giải Ví dụ: Các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

số y = 2 x 4 − 4mx 2 − 1 có hai điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng 8 là A. m = −16 . C. m = Bước 1. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

25 . 4

D. m = −

Chọn C.

Ví

dụ

Cho

( C2 ) : y = g ( x ) = x

B. m = 16 .

3 ⇔ m =2. m −1

đồ

thị

hàm

số

( C1 ) : y = f ( x ) = x 4 + ax 2 + b

và

đồ

thị

hàm

số

+ mx + nx + p như hình vẽ dưới. Gọi B , D là hai điểm cực tiểu của ( C1 ) và A , C 2

lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của ( C2 ) ( A , C đối xứng nhau qua U ∈ Oy ). Biết hoành độ

25 . 4

của A , B bằng nhau và hoành độ của C , D bằng nhau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để AB ≤ 3 ?

Hướng dẫn giải

x = 0 . Ta có: y′ = 8 x 3 − 8mx ; y′ = 0 ⇔  2 x = m Hàm số có ba điểm cực trị nên m > 0 . Tọa độ hai điểm cực tiểu là Bước 2. Sử dụng các công thức tính khoảng cách 2 2 AB = AB = ( x A − xB ) + ( y A − yB ) d  M ( xM ; yM ) ; d : ax + by + c = 0  =

axM + byM + c a 2 + b2

(

) (

)

m ; −2m 2 − 1 , C − m ; −2m2 − 1 .

Khi đó BC = 2 m ⇔ 8 = 2 m ⇒ m = 16 . Chọn B.

Nếu ( AB ) / /Ox thì ( AB ) : y = y A .

A. 1.

Ví dụ mẫu

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Trang 41

Trang 42

x = 0 −n . f ′ ( x ) = 0 ⇔  2 − a và g ′ ( x ) = 0 ⇔ x 2 = x = 3  2 Theo đề bài ta có a, n < 0 và

 x = x1 . f ( x) − g ( x) = 0 ⇔   x = x2 Xét h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) + m .

−a −n 3 = ⇔n= a. 2 3 2

Ta có: h′ ( x ) =  f ′ ( x ) − g ′ ( x )  .

Khi đó:  −a   −n  a2 −a yB = f  − .  = b − ; y A = g  −  = b − a 2 4 3 2     a2 −a −a +2 . = t 4 + 2t 3 trong đó t = AB = 4 2 2

−a >0. 2

−a Xét AB ≤ 3 ⇔ t + 2t ≤ 3 ⇔ t ≤ 1 ⇒ ≤ 1 ⇔ a ≥ −2 . 2 4

f ( x) − g ( x) f ( x) − g ( x)

Cho h′ ( x ) = 0 ⇔ x = xA = xB . Ta có bảng biến thiên của h ( x ) như sau Phân tích: dựa vào đồ thị ta có b = p và m = 0 . Khi đó: ( C2 ) : y = x 3 + nx + b Ta cần tìm tung độ của điểm

A và B (theo a ).

Do a < 0 nên a ∈ {−2; −1} . Chọn B.

Ví dụ 4. Cho hai hàm đa thức y = f ( x ) , y = g ( x ) có đồ thị là hai đường cong như hình vẽ. Biết rằng đồ

thị hàm số y = f ( x ) có đúng một điểm cực trị là A , đồ thị hàm số y = g ( x ) có đúng một điểm cực trị là x A = xB ) và

B (với

AB =

7 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ ( −10;10 ) để hàm số 2

Dựa vào bảng biến thiên của h ( x ) , yêu cầu bài toán trở thành m < 0 < m +

7 7 ⇔ − < m < 0. 2 2

Do m nguyên và m ∈ ( −10;10 ) nên m ∈ {−3; −2; −1} . Chọn C. Bài toán 4. Tam giác tạo bởi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số Phương pháp giải

Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số rồi sử dụng các công thức tính khoảng cách, góc,... Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam

giác vuông cân. A. m = ±1 .

B. m = 0 .

C. m = ±2 .

D. m = 1 .

Hướng dẫn giải

y = f ( x ) − g ( x ) + m có đúng bảy điểm cực trị?

x = 0 Ta có y′ = 4 x 3 − 4m 2 x ; y′ = 0 ⇔  2 . 2 x = m Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m ≠ 0 .

A. 5.

B. 6.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Gọi x1 , x2 với x1 < x2 là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x ) (dựa vào đồ thị đã cho, hai đồ thị chỉ có hai giao điểm đã kể trên, tức là

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A ( 0;1) , B ( m; − m 4 + 1) , C ( − m; − m 4 + 1) ⇒ AB = ( m; − m 4 ) , AC = ( − m; − m 4 ) , dễ thấy AB = AC . Do đó tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi AB. AC = 0

⇔ − m 2 + m8 = 0 ⇔ m = ±1 (do m ≠ 0 ). Trang 43

Trang 44

Chọn A.

Chọn B.

Ví dụ 2. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2 ( m − 1) x + 3m có ba điểm cực trị tạo thành 4

một tam giác có góc bằng 60° thuộc khoảng nào sau đây?

 5 13  A.  ;  . 2 5 

 12 5  B.  ;  .  5 2

nhỏ nhất của biểu thức T =

 11  C.  2;  .  5

 11 12  D.  ;  . 5 5

Hướng dẫn giải

x = 0 Ta có y′ = 4 x 3 − 4 ( m − 1) x . Xét y′ = 0 ⇔  2  x = m −1

Ví dụ 4. Biết đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 4mx 2 + 1 có ba điểm cực trị A (thuộc trục tung) và B , C . Giá trị

1 . 4

1 . 8

3 . 8

3 . 16

Theo ví dụ 3 ta có: T=

(

Hướng dẫn giải

( 2)

Hàm số có ba điểm cực trị khi m > 1 . Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A ( 0;3m ) , B

AB. AC là BC 4

)

(

)

AB. AC m + 4m 4 1  1  1 1  3 = =  + 4m 2  =  2. + 4m 2  ≥ . BC 4 16m 2 16  m  16  2m  16

m − 1;5 m− m 2 − 1 và C − m − 1;5 m− m 2 − 1 .

Dấu " = " xảy ra khi

Suy ra AB 2 = AC 2 = ( m − 1) + ( m − 1) ; BC = 2 m − 1 .

1 1 = 4m 2 ⇒ m = > 0 . 2m 2

Chọn D.

Tam giác ABC là tam giác cân tại A , có một góc bằng 60° nên là tam giác đều 4

⇔ AB = BC ⇔ ( m − 1) + ( m − 1) = 4 ( m − 1) ⇔ m = 1 + 3 3 .

Ví dụ 5. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 4 − 2 ( m 2 + 1) x 2 + m 4 . Gọi A , B , C là ba điểm cực trị của ( C ) và S1 , S2 lần lượt là phần diện tích phía trên và phía dưới trục hoành của tam giác ABC . Có bao nhiêu giá

Chọn B. Ví dụ 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 4mx 2 + 1 có ba điểm cực trị

tạo thành một tam giác có một góc bằng 30° ? A. 1.

trị của tham số m sao cho A. 1.

B. 2.

C. 3.

S1 1 = ? S2 3

B. 2.

C. 4.

Hướng dẫn giải

x = 0 Ta có y′ = 8 x − 8mx ; y′ = 0 ⇔  2 . x = m

Ta có: y ′ = 4 x3 − 4 ( m 2 + 1) x .

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m > 0 .

 x = 0 ⇒ y = m4 Cho y′ = 0 ⇔  2 . 2 2  x = m + 1 ⇒ y = −2m − 1

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A ( 0;1) , B

D. 0.

D. 4.

(

) (

Do hai tam giác đồng dạng nên tỉ lệ diện tích bằng bình phương tỉ lệ Gọi A ( 0; m 4 ) , B m 2 + 1; −2m 2 − 1 , C − m 2 + 1; −2m 2 − 1 là ba điểm cực trị đồng dạng, với tỉ lệ đồng dạng là tỉ lệ của đồ thị hàm số. đường cao. Ta có OA = m 4 , h = d ( A; ( BC ) ) = m 4 + 2m 2 + 1

)

m ; −2m 2 + 1 , C − m ; −2m2 + 1

Hàm số luôn có ba điểm cực trị với mọi tham số m .

⇒ AB 2 = AC 2 = m + 4m 4 , BC = 2 m .

(

Do đó tam giác ABC cân tại A . 2 2 = 2 AB − BC ⇔ 2 − 3 AB 2 = BC 2 = 30° , ta có cos BAC + Trường hợp 1: BAC 2 2 AB

(

)

⇔ 2 − 3 ( m + 4m 4 ) = 2 m

(

)

) (

)

S − S1 S S1 1 m 4 + 2m 2 + 1  h  = ⇔ ABC = 3 ⇔ ABC = 4 ⇔  =2  =4⇔ S2 3 S1 S1 OA m4  

⇔ 4 2 − 3 m3 = 3

⇔ m 4 − 2m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ± 1 + 2 .

Phương trình này có đúng một nghiệm thực.

Vậy có hai giá trị của tham số thỏa mãn đề bài.

= 30° , khi đó + Trường hợp 2: ABC

Chọn B.

BC = 3. AB ⇔ 3 AB 2 = BC 2 ⇔ 3m + 12m 4 = 4m ⇔ 12m3 = 1 .

Phương trình này có đúng một nghiệm thực. Bài toán 5. Các đồ thị có chung điểm cực trị

Trang 45

Trang 46

Ví dụ mẫu

Câu 1: Đồ thị của hàm số y = x 4 + 2mx 2 + 3m2 có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận G ( 0; 2 ) làm

Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) =

1 3 m3 x − ( m + 1) x 2 + m ( m + 2 ) x − có đồ thị ( C ) với m là tham số. Gọi S 3 3

là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị ( C ) và parabol ( P ) : y = x 2 − 2mx + 8 có chung một điểm cực trị. Tổng bình phương tất cả các phần tử của S là A. 8.

B. 10.

C. 16.

f ′ ( x ) = x 2 − 2 ( m + 1) x + m ( m + 2 )

2 . 7

B. m = −

C. m = −1 .

D. m = −

6 . 15

tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm là

3 B. m = . 2

A. m = 1 .

có điểm cực trị là M ( m; − m 2 + 8 ) .

( P)

A. m = 1 .

Câu 2: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m có ba điểm cực trị tạo thành một

D. 18.

Hướng dẫn giải

trọng tâm khi và chỉ khi

C. m =

1 . 2

D. Không tồn tại m .

Câu 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2m2 x 2 + m4 + 3 có ba

điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp. Số phần tử của tập S bằng

 x = m ⇒ A ( m; m 2 ) ⇒ f ′( x) = 0 ⇔  .  x = m + 2 ⇒ B ( m + 2; yB ) ≠ M

A. 1. 2

B. 3.

C. 0.

D. 2.

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = x − mx − 3m + 2 có điểm cực trị nằm trên 4

Vì hai đồ thị hàm số có chung một điểm cực trị nên A ≡ M ⇔ m = −m + 8 ⇔ m = ±2 .

trục hoành?

Chọn A. Ví dụ 2. Biết hai hàm số f ( x ) = x3 + ax 2 + 2 x − 1 và g ( x ) = − x 3 + bx 2 − 3x + 1 có chung ít nhất một điểm

cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b là

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Câu 5: Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y = x − 2 (1 − m ) x + m + 1 có ba điểm cực trị 4

tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất? A.

B. 2 6 .

30 .

C. 3 + 6 .

D. 3 3 .

A. m =

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm cực trị chung của

1 2 1  Khi đó P = a + b =  3 x0 + + 3 x0 +  2  x0 x0  1 5  AM −GM 1 5 =  6 x0 + = 30 . .2 6 x0 .  ≥ 2 2 x0  x0 Dấu " = " xảy ra khi 6 x0 = Khi đó a =

5 30 . ⇔ x0 = x0 6

9 30 11 30 và b = . 20 20

1 C. m = ± . 2

B. m = 0 .

1 . 2

D. m =

Câu 6: Biết hai đồ thị của hai hàm số ( C1 ) : y = x 4 − 2 x 2 + 2 và ( C2 ) : y = mx 4 + nx 2 − 1 có chung ít nhất

f ( x ) và g ( x ) là x0 ≠ 0 , suy ra

 1 2 a =  −3 x0 −  2 ′  f ( x0 ) = 0 2 x0  3 x0 + 2ax0 + 2 = 0  . ⇔ ⇔  2 ′ g x = 0 x bx − 3 + 2 − 3 = 0 ( )  1 3   0 b = 3 x +  0 0   0   2 x0  

1 . 3

một điểm cực trị. Giá trị của 414m + 115n là Chú ý: Khi A và B cùng dấu thì

A+ B = A + B . nhiên x0 và

Hiển

1 cùng x0

dấu. Bất đẳng AM − GM :

thức

B. 368 .

xảy

C. −386 .

D. 386 .

Câu 7: Với giá trị thực nào của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2 ( m − 1) x 2 + m 4 − 3m 2 + 20 có ba 4

điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32? A. m = 4 .

B. m = 2 .

C. m = 5 .

D. m = 3 .

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số ( Cm ) : y = x + 2 ( m − 3m + 2 ) x 2 + 1 có ba điểm 4

cực trị nằm trên một parabol và điểm M ( 5; −3) thuộc parabol đó? A. 1.

x+ y ≥ 2 xy , ∀x, y ≥ 0 2 Dấu "=" ⇔ x = y.

A. −368 .

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Câu 9: Biết rằng đồ thị ( C ) : y = ax + bx + c luôn có ba điểm cực trị và P ( x ) là parabol đi qua ba điểm 4

cực trị đó. Giá trị nhỏ nhất của b.P ( c ) là A. −1 .

1 C. − . 4

B. −2 .

1 D. − . 2

Đáp án:

Chọn A.

1-D

2-B

3-D

4-A

5-B

6-A

7-C

8-B

9-D

Dạng 4: Cực trị của hàm số khác

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài toán 1. Cực trị hàm phân thức

Trang 47

Trang 48

Phương pháp giải

Xét y =

u ( x) v ( x)

. Ta có y′ =

u′ ( x ) .v ( x ) − v′ ( x ) .u ( x ) v2 ( x )

Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cực trị. Khi đó y′ ( x0 ) = 0 . Suy ra u ′ ( x0 ) .v ( x0 ) − v′ ( x0 ) .u ( x0 ) = 0 ⇒ y0 =

u ( x0 ) u ′ ( x0 ) = . v ( x0 ) v′ ( x0 )

+ Đường cong qua các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số y =

u ( x) u′ ( x ) là y = . v ( x) v′ ( x )

+ Nói riêng, đường thẳng qua các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số y = y=

ax 2 + bx + c là dx + e

2ax + b . d

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇔ − m − 1 = 1 ⇔ m = −2 . Chọn C. Ví dụ 3. Cho hàm số y = x + p +

trị cực đại bằng −2 . Tổng S = p + 2q bằng A. S = 2 .

Chú ý:

b adx 2 + 2aex + ′ d  ax + bx + c    = 2 ( dx + e )  dx + e  2

a1 ′ a e  a1 x + b1 x + c1  2 .  = 2  a2 x + b2 x + c2  c

b1 b2

x2 + 2

(a x 2

+ b2 x + c2 )

B. S = 0 .

Ví dụ 1. Giá trị của m để hàm số y =

1 . 3

1 C. m < . 3

Ta có: y′ = 1 −

( x + 1)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2 , giá trị cực đại bằng −2 nên 1 − q = 0 q = 1 . ⇔  −2 + p − q = −2 p =1

1 D. m ≤ . 3

Thử lại p = q = 1 thỏa mãn nên S = 1 + 2 = 3 . Chọn D.

Hướng dẫn giải 2

Điều kiện x ≠ 0 . Ta có y′ =

x − 3m + 1 . x2

Ví dụ 4. Giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = A. m = 10 .

Hàm số có cực trị khi x 2 − 3m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ 3m − 1 > 0 ⇔ m >

1 . 3

x 2 + mx + 1 Ví dụ 2. Giá trị của m để hàm số y = đạt cực đại tại x = 1 là x+m

D. m = 2 .

B. m = −1 .

C. m = −2 .

D. m = 1 .

(1 − x )

 −1 + 2 + m ≠ 0 ⇔ ⇔ m > −1 .  ∆′ = 1 + m > 0

Điều kiện: x ≠ −m .

x 2 + 2mx + m2 − 1

− x2 + 2x + m

Hàm số có hai cực trị khi − x 2 + 2 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác

Hướng dẫn giải

( x + m)

C. m = 4 .

Điều kiện: x ≠ 1 .

Ta có y′ =

A. m = 2 .

B. m = 8 .

x 2 + mx bằng 10 là 1− x

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có y′ =

D. S = 3 .

Điều kiện: x ≠ −1 .

x 2 + mx + 3m − 1 có cực trị là x

1 B. m ≥ . 3

C. S = 1 .

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

A. m >

q (với p , q là tham số thực). Biết hàm số đạt cực đại tại x = −2 , giá x +1

 x1 + x2 = 2 Khi đó theo định lý Vi-ét ta có  .  x1.x2 = − m

 x = −m − 1 . ; y′ = 0 ⇔   x = −m + 1

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là ( d ) : y = −2 x − m .

Bảng biến thiên Trang 49

Trang 50

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là A ( x1 ; −2 x1 − m ) , B ( x2 ; −2 x2 − m ) ⇒ AB = ( x2 − x1 ; 2 x1 − 2 x2 ) .

Do m + 2 ≠ m − 2 , ∀m nên y′ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị là

( AB ) : y = 2 x − m . C ( 4; 2 ) ∈ ( AB )

Theo yêu cầu của đề bài ta có

( x1 − x2 )

+ 4 ( x1 − x2 ) = 100 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1.x2 = 20

 m +2≠ 4  m −2≠ 4

⇔ 4 + 4m = 20 ⇔ m = 4.

điểm

C ( 4; 2 )

phân

biệt

thẳng

hàng

khi

và

chỉ

khi

m =6  ⇔  m ≠ 2.  m ≠6

Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.

Chọn C. Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y = mx +

1 có hai điểm cực trị và tất cả các x

Chọn A. Ví dụ 7. Cho hàm số ( C ) : y =

điểm cực trị đều thuộc hình tròn tâm O , bán kính 6? A. 10.

B. 8.

C. 9.

A. 4.

Điều kiện: x ≠ 0 . Ta có: y ′ = m −

1 . x2

Điều kiện: x ≠ −2 . Ta có y′ =

C. 3.

D. 1.

x 2 + 4 x + 4 − m2

( x + 2)

x = m − 2 Ta có x 2 + 4 x + 4 − m 2 = 0 ⇔  .  x = −m − 2

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m ≠ 0 .

 1   1  Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị là A  ;2 m , B − ; −2 m  . m  m   

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị là A ( − m − 2; −2 ) , B ( m − 2; 4m − 2 ) ⇒ AB = ( 2m; 4m ) Dễ thấy OA , OB , AB ≠ 0 .

1 + 4m ≤ 36 ⇔ 4m2 − 36m + 1 ≤ 0 . m

Trường hợp 1: Tam giác OAB vuông tại O ⇔ OA.OB = 0 ⇔ − m 2 − 8m + 8 = 0 ⇔ m = −4 ± 2 6 (thỏa mãn) Trường hợp 2: Tam giác OAB vuông tại A ⇔ OA. AB = 0

Do m ∈ ℤ , m > 0 nên m ∈ {1; 2;3...;8} . Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn B.

x2 − m x + 4 Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y = có hai điểm cực trị A , B và ba x− m

⇔ 2m ( −m − 2 ) − 2.4m = 0 ⇔ − m − 2 − 4 = 0 ⇔ m = −6 (thỏa mãn) Trường hợp 3: Tam giác OAB vuông tại B ⇔ OB. AB = 0 ⇔ 2 m ( m − 2 ) + ( 4m − 2 ) 4 m = 0 ⇔ m − 2 + 2 ( 4 m − 2 ) = 0 ⇔ m =

điểm A , B , C ( 4; 2 ) phân biệt thẳng hàng? A. 0.

B. 2.

Hướng dẫn giải

1   x = m . Hàm số có hai điểm cực trị khi m > 0 . Khi đó y′ = 0 ⇔  x = − 1  m

Theo đề bài ta có OA2 = OB 2 =

x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 4m . Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị x+2

hàm số ( C ) có điểm cực đại, cực tiểu A , B sao cho tam giác OAB vuông?

D. 7.

Hướng dẫn giải

B. 2.

C. 3.

2 (thỏa mãn) 3

Vậy có bốn giá trị thực của m thỏa mãn đề bài.

D. 1.

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≠ m .

Ta có y′ =

Ví dụ 8. Cho hàm số ( C ) : y =

x 2 − 2 m x + m2 − 4

(x − m )

(x− m ) −4 . = (x− m )

x 2 − mx − 1 với m là tham số. Giá trị thực của m để đồ thị hàm số ( C ) x2 + 1

có hai điểm cực trị A , B sao cho đường thẳng ( AB ) đi qua điểm M ( −1; 2 ) là

A. m = 8 .

x = m + 2 ⇒ y = m + 4 2 Cho y′ = 0 ⇔ ( x − m ) − 4 = 0 ⇔  .  x = m − 2 ⇒ y = m − 4

B. m = 6 .

C. m = 4 .

D. m = 2 .

Hướng dẫn giải

Trang 51

Trang 52

Tập xác định: D = ℝ . Ta có y′ =

mx 2 + 4 x − m

+ 1)

suy ra x2 là điểm cực đại, loại, do m < −2 .

Do m nguyên, m > 2 và m ∈ [ −10;10] nên m ∈ {3; 4;...;9;10} .

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi mx 2 + 4 x − m = 0 có hai nghiệm phân biệt

Chọn C.

m ≠ 0 ⇔ ⇔ m ≠ 0. 2  ∆′ = 4 + m > 0

m > 0, x > 2 ⇒ 2 ⇒m>2 m − 4 > 0

2x − m . 2x

Đường cong qua hai điểm cực trị có phương trình là y =

Ta viết phương trình đường cong dưới dạng y =

2 x − m + k ( mx 2 + 4 x − m )

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x + m. x 2 + 1 có điểm cực trị

và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O , bán kính

Ta chọn k sao cho nghiệm của mẫu là nghiệm của tử để có thể rút gọn thành hàm số bậc nhất. Vì

A. 4.

B. 2.

82 ? 3

C. 3.

Tập xác định: D = ℝ .

2 x − m − mx 2 − 4 x + m m m Với k = −1 : y = = − x − 1 ⇒ ( AB ) : y = − x − 1 . 2x 2 2

Ta có y′ = 1 + m.

m − 1 ⇔ m = 6 (thỏa mãn) . 2

x x2 + 1

Cho y′ = 0 ⇔ m = −

Chọn B. Bài toán 2. Cực trị của hàm chứa căn

Xét g ( x ) = −

Ví dụ mẫu

x2 + 1 , ( x ≠ 0 ). x

x2 + 1 1 ⇒ g′( x) = > 0 , ∀x ≠ 0 . x x2. x2 + 1

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [ −10;10] để hàm số y = −2 x + 2 + m x 2 − 4 x + 5 có cực

Ta có lim g ( x ) = −1 ; lim g ( x ) = 1 ; lim+ g ( x ) = −∞ ; lim− g ( x ) = +∞ .

tiểu?

Bảng biến thiên:

A. 7.

B. 16.

C. 8.

D. 1.

Hướng dẫn giải

x = 0 là nghiệm của mẫu, nên thế x = 0 vào tử ta được − m + k ( − m ) = 0 ⇒ k = −1 .

Điểm M ( −1; 2 ) ∈ ( AB ) ⇒ 2 =

m ( x − 2 ) > 0  2 ⇔ ( m 2 − 4 ) ( x − 2 ) = 4  m > 0

x →+∞

x →−∞

x→0

D. 14.

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên ℝ . Ta có y′ = −2 + m.

y′ = 0 ⇔ 2

( x − 2)

x−2 x2 − 4x + 5

và y′′ =

− 4 x + 5)

m ( x − 2 ) > 0 . + 1 = m ( x − 2) ⇔  2 2 ( m − 4 ) ( x − 2 ) = 4 (1)

m > 2 Hàm số có cực tiểu khi và chỉ khi (1) có nghiệm ⇒ m2 − 4 > 0 ⇔  .  m < −2 Khi đó, (1) có hai nghiệm phân biệt là x1;2 = 2 ± •

•

2 2

m −4

2 thỏa mãn y ′ ( x1 ) = 0 và y′′ ( x1 ) > 0 , m2 − 4 suy ra x1 là điểm cực tiểu, nhận m > 2 . Với m > 2 , thì x1 = 2 +

Với m < −2 , thì x2 = 2 −

2 2

m −4

Chú ý: Để làm trắc nghiệm ta có thể làm như sau: Hàm số đạt cực tiểu khi hệ sau có nghiệm:

 y′ = 0   y′′ > 0

Hàm số có cực trị khi m ∈ ℝ \ [ −1;1] . Gọi A ( a; b ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó m = −

a2 + 1 a2 +1 1 1  và b = a − = − ⇒ A  a; −  . a a a a 

Ta có: OA = a 2 +

thỏa mãn y′ ( x2 ) = 0 và y′′ ( x2 ) < 0 ,

Vậy m =

Trang 53

1 82 1 ≤ ⇒ ≤ a2 ≤ 9 . a2 3 9

 a2 + 1 1  10 = 1+ 2 ∈  ; 10  . a a 3   Trang 54

Kết hợp với các điều kiện m ∈ ℤ , m ∈ ℝ \ [ −1;1] , ta được m ∈ {−3; −2; 2;3} .

Ví dụ 2. Biết rằng tồn tại các số thực a , b , c sao cho hàm số f ( x ) = a.sin 2 x − b.cos 3 x + x + c đạt cực

Chọn A.

trị tại điểm x = −

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = 2 x +

và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O , bán kính A. 16.

B. 10.

mx x2 + 2

có điểm cực trị

. Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có hoành độ x =

A. 0.

B. −1 .

Hàm số đạt cực trị tại điểm x = −

Tập xác định: D = ℝ .

mx x2 + 2

⇒ y′ = 2 +

(

x +2

)

a2 + 2

D. −2 .

π π  π , suy ra f ′  −  = 0 ⇒ − a.sin − 3b.sin + 1 = 0 . 3 2  6

π 6

là

Chọn C.

Gọi A ( a; b ) ( a ≠ 0 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số, khi đó:

= 2a +

ma = a 2 − 3 m2 = a ( −a 2 ) = −a 3 . −3 m

(

)

Chú ý: Hàm số không thể đạt cực trị tại điểm x = 0 .

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 4 ) x5 − ( m2 − 16 ) x 4 + 1 đạt

cực tiểu tại điểm x = 0 ? A. 8.

B. Vô số.

C. 7.

Ta có: y′ = 8 x 7 + 5 ( m − 4 ) x 4 − 4 ( m 2 − 16 ) x 3 = x 3 8 x 4 + 5 ( m − 4 ) x − 4 ( m 2 − 16 )  = x 3 .g ( x )

Ta có:

•

0 < a 2 ≤ 4 ⇔ 2 < a 2 + 2 ≤ 6 ⇔ 2 < − 3 m ≤ 6 ⇔ −6 6 < m ≤ −2 2 .

Với g ( x ) = 8 x 4 + 5 ( m − 4 ) x − 4 ( m 2 − 16 ) . Ta xét các trường hợp sau: Nếu m2 − 16 = 0 ⇔ m = ±4 .

Vì m ∈ ℤ và −6 6 < m ≤ −2 2 nên m ∈ {−14; −13;...; −4; −3} .

Vậy có 12 giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài.

+ Khi m = 4 ta có y′ = 8 x 7 ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu.

Chọn C.

+ Khi m = −4 ta có y′ = x 4 ( 8 x 3 − 40 ) ⇒ x = 0 không là điểm cực tiểu. -

Bài toán 3. Cực trị của hàm bậc cao và hàm lượng giác

⇔ Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0

Ví dụ 1. Biết rằng tồn tại các số thực a , b , c sao cho hàm số f ( x ) = x 6 + ax 4 + bx 2 + 3x + c đạt cực trị

 lim− g ( x ) > 0  x →0 ⇔ ⇔ lim g ( x ) > 0 x →0 g ( x) > 0  xlim →0+

tại điểm x = 2 . Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có hoành độ x = −2 là C. 3.

Nếu m2 − 16 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±4 ⇒ g ( 0 ) ≠ 0 .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0

Ví dụ mẫu

B. −3 .

D. 9.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có OA ≤ 68 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 68 ⇔ a 2 + a 6 ≤ 68 ⇔ a 2 ≤ 4 .

A. 0.

là

π π π  f ′   = a.sin + 3b.sin + 1 = 2 . 3 2 6

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi − 3 m > 2 ⇔ m < −2 2 .

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có hoành độ x =

, ∀x ∈ ℝ .

y′ = 0 ⇔ x 2 + 2 = − 3 m .

a 2 + 2 = − 3 m và b = 2a +

Ta có: f ′ ( x ) = a.sin 2 x + 3b.sin 3 x + 1 .

D. 4.

Hướng dẫn giải

Ta có: y = 2 x +

C. 2.

Hướng dẫn giải

68 ?

C. 12.

D. 6.

Hướng dẫn giải

⇔ −4 ( m 2 − 16 ) > 0 ⇔ m2 − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4 ⇒ m ∈ {−3; −2; −1;0;1; 2;3} .

Ta có: f ′ ( x ) = 6 x5 + 4ax3 + 2bx + 3 .

Tổng hợp các trường hợp ta có: m ∈ {−3; −2; −1;0;1; 2;3; 4} .

Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2 nên f ′ ( 2 ) = 0 ⇒ 6.25 + 4.a.23 + 4b + 3 = 0 .

Vậy có tám giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có hoành độ x = −2 là

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 2 ) x 5 − ( m 2 − 4 ) x 4 + 1 đạt

f ′ ( −2 ) = 0 ⇒ −6.25 − 4.a.23 − 4b + 3 = 3 − ( 6.25 + 4.a.23 + 4b ) = 6 .

cực tiểu tại x = 0 ?

Chọn D.

A. 3.

Trang 55

B. 5.

C. 4.

D. Vô số.

Trang 56

A. 4.

Hướng dẫn giải

Ta có: y′ = 8 x + 5 ( m − 2 ) x − 4 ( m − 4 ) x = x .h ( x ) với h ( x ) = 8 x + 5 ( m − 2 ) x − 4 ( m − 4 ) . 7

Ta xét các trường hợp sau: •

Nếu m2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2 .

C. 2.

D. 5.

−x + 2x + a (với a là tham số thực) có giá trị cực tiểu là m , giá trị cực đại là x−3 M . Giả sử m − M = 4 khi a = a0 thì a0 thuộc tập nào sau đây?

Câu 6: Giả sử hàm số y =

A. [ −5; −2 ) .

- Khi m = 2 thì y′ = 8 x 7 ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu nên m = 2 thỏa mãn.

•

B. 3.

B. [ −2;1) .

C. [1;3) .

D. [3;5] .

x 2 − mx − 3 với m là tham số. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để x2 + 2

- Khi m = −2 thì y′ = x 4 ( 8 x 3 − 20 ) ⇒ x = 0 không là điểm cực tiểu.

Câu 7: Cho hàm số ( C ) : y =

Nếu m2 − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2 ⇒ h ( 0 ) ≠ 0 .

đồ thị hàm số ( C ) có 2 điểm cực trị A , B sao cho đường thẳng ( AB ) vuông góc với đường thẳng

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 khi và chỉ khi giá trị đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 .  lim− h ( x ) > 0  Do đó  x→0 ⇔ lim h ( x ) > 0 x →0 h ( x) > 0  xlim → 0+

x 2 + mx + 1 Câu 1: Biết hàm số y = đạt cực đại tại x = 2 khi m = m0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x+m C. m0 ∈ ( −2;0 ) .

D. m0 ∈ ( 2; 4 ) .

C. a = b = 1 .

D. a = ±1 ; b = 0 .

x + mx + 1 ( m là tham số). Giá trị của tham số m để hàm số có giá trị cực đại x+m

bằng 7 là C. m = −9 .

D. m = −5 .

x 3 − 5 x 2 + 2020 x + m Câu 4: Biết đồ thị hàm số y = ( m là tham số) có ba điểm cực trị. Parabol x y = ax 2 + bx + c đi qua ba điểm cực trị đó (trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0 ). Giá trị của biểu thức T = 5a + 2b3 + c là B. 35.

D. 16.

x 2x2 + 9 − m

C. 5.

C. 19.

có cực trị?

D. 3.

( −5;5)

C. Vô số.

D. 10.

(

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và f ′ ( x ) = ( x − sin x )( x − m − 3) x − 9 − m2

∀x ∈ ℝ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ?

B. 7.

C. 5.

D. 4.

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −19; 20] để hàm số y =

1 5 2 3 x − x + mx có đúng 5 3

hai điểm cực trị?

A. 19.

B. 21.

C. 20.

D. 22.

Đáp án: 1-B

2-A

11-A

12-B

3-C

4-B

5-A

6-C

7-C

8-A

9-A

10-D

Dạng 5. Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối (không có tham số) Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối Phương pháp giải

D. 20.

Ví dụ: Tìm số điểm cực trị của hàm số

Bài tập nâng cao Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng

B. 9.

A. 6.

b Câu 2: Các số thực a , b sao cho điểm A ( 0;1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = ax 2 + a 2 + là x +1

A. −29 .

B. 4.

A. 8.

Bài tập cơ bản

B. m = 5 .

C. 17.

cực đại tại điểm x = 0 ?

Bài tập tự luyện dạng 4

A. m = 7 .

D. 3.

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = − x12 + ( m − 5 ) x9 + ( m 2 − 25) x 6 + 1 đạt

Chọn C.

Câu 3: Cho hàm số y =

B. 18.

A. 2.

Vậy có bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

B. a = b = −1 .

C. −3 .

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [ −10;10] để hàm số y =

Tổng hợp các trường hợp ta có m ∈ {−1; 0;1; 2} .

A. a = −1 ; b = 0 .

B. −4 .

A. 19.

⇒ −4 ( m − 4 ) > 0 ⇔ −2 < m < 2 ⇒ m ∈ {−1;0;1} .

B. m0 ∈ ( −4; −2 ) .

A. −1 .

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −20; 20] để hàm số y = 2 x + m 2 x 2 + 1 có cực đại?

A. m0 ∈ ( 0; 2 ) .

∆ : y = ( m + 3) x − m . Tổng giá trị các phần tử của S là

sao cho hàm số

f ( x ) = x3 − 2 x 2 + x + 1

Hướng dẫn giải

f ( x ) = mx 3 − sin 2 x + 4sin x không có cực trị trên [ −π ; π ] ? Trang 57

Trang 58

Bước 1. Tập xác định và tính đạo hàm

Ta có f ′ ( x ) = 3x 2 − 4 x +

Đạo hàm hàm chứa trị tuyệt đối với công thức:

( u )′ = (

2 x 3x − 4 x + 1, x > 0 = 2 x 3x − 4 x − 1, x < 0.

)′ = uu′.u .

Vậy hàm số có hai điểm cực đại. Chọn C.

u khi u ≥ 0 Chú ý: u =  −u khi u < 0.

Ví dụ 2. Số điểm cực trị của hàm số y = ( x + 1) x − 2 là

Bước 2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 và tìm Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0. những điểm làm cho đạo hàm không xác định (nhưng hàm số xác định tại những điểm đó).

A. 1.

 x = 1  1 Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 3  2− 7   x = x0 = 3 .

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Ta có đồ thị của hàm số y = ( x + 1)( x − 2 ) như sau. ( x + 1)( x − 2 ) , x ≥ 2 Vì y = ( x + 1) x − 2 =  − ( x + 1)( x − 2 ) , x < 2

Bước 3. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo Bảng xét dấu f ′( x) :

nên để vẽ đồ thị hàm số đã cho, ta giữ nguyên đồ

hàm.

thị y = ( x + 1)( x − 2 ) khi x ≥ 2 và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y = ( x + 1)( x − 2 ) ứng với x <2.

Vậy hàm số có bốn điểm cực trị.

Dễ thấy hàm số y = ( x + 1) x − 2 có hai điểm cực trị (xem hình vẽ dưới đây): Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Số điểm cực đại của hàm số f ( x) = x − 2 x 2 − 2 x + 2 là A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn giải

x− Hàm số liên tục trên ℝ có f ′ ( x ) = 1 − 2

x x

x2 − 2 x + 2

Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 .

Chọn C.

• Khi x < 0 ta có  x ≥ −1 −3 + 3 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x2 + 2 x + 2 = 2 x + 2 ⇔  2 ⇔x= = x1. 3 + + = 3 x 6 x 2 0 

Bài toán 2. Tìm cực trị của hàm số nếu biết bảng biến thiên Phương pháp giải

• Khi x > 0 ta có

Khi cho trước bảng biến thiên của hàm số, tìm Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

x ≥ 1 3+ 3 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x2 − 2x + 2 = 2x − 2 ⇔  2 ⇔x= = x2 . 3 3 x − 6 x + 2 = 0

cực trị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối:

như hình vẽ dưới đây.

Ta dùng các phép biến đổi đồ thị chứa giá trị tuyệt đối để lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu.

Bảng xét dấu y′ :

Trang 59

Trang 60

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Khi x ≥ 0 thì f ( x ) = f ( x ) nên bảng biến thiên của y = f ( x ) trên

[0; + ∞ ) Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) . Hướng dẫn giải

cũng chính là bảng biến thiên của y = f ( x ) trên [ 0; + ∞ ) .

Do đồ thị y = f ( x ) nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có bảng biến thiên của y = f ( x ) trên ℝ như sau:

Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị y = f ( x ) tại ba điểm phân biệt. Bảng biến thiên của y = f ( x ) : Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn A. Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Chú ý: Cách nhẩm nhanh số điểm cực trị của

hàm số. Bước 1. Tìm số điểm cực trị của hàm số

Nhẩm nhanh số cực trị

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

y = f ( x ) có hai điểm cực trị.

y = f ( x) . Bước 2. Tìm số nghiệm bội lẻ của phương Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị y = f ( x ) tại ba điểm

trình f ( x ) = 0

phân biệt. Số nghiệm bội lẻ của phương trình

A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Hướng dẫn giải

f ( x ) = 0 là 3.

Hàm số đã cho đồng biến trên ( −1;1) nên f ( 0 ) < f ( 0, 5) .

Bước 3. Số điểm cực trị của hàm số Suy ra hàm số có năm điểm cực trị.

Kết

y = f ( x ) là tổng số điểm của cả hai bước trên.

hợp

với

giả

thiết

f ( 0 ) + f ( 0, 5 ) ≤ 0

suy

2 f ( 0 ) < f ( 0 ) + f ( 0,5 ) ⇔ f ( 0 ) < 0 .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Biết f ( 0 ) + f ( 0, 5 ) ≤ 0 . Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là

Chú ý: Có thể nhẩm nhanh

ra Chú ý: Nếu

f ( 0 ) ≥ 0 thì

hàm số có 9 điểm cực trị.

Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) (cách lập như ở ví dụ 1).

số điểm cực trị như sau: Số điểm cực trị của hàm

y = f ( x ) bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm

số y = f ( x ) rồi cộng thêm 1.

Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) là

Số cực trị của hàm số y = f ( x ) là Trang 61

Trang 62

Vậy hàm số có tổng cộng 11 điểm cực trị. Chọn D. Bài toán 3. Tìm cực trị khi cho trước đồ thị Ví dụ mẫu

Từ đồ thị hàm số g ( x ) , ta có số điểm cực trị là 3 hay m = 3 .

Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) = x ( x − 3) có đồ thị như hình vẽ 2

 2   x( x − 3), x ∈ −∞; 3  ∪ [ 0; +∞ ) +) Xét h ( x ) = x + 3 x 2 − x 3 =  − x( x 2 − 3), x ∈ 0; 3 . 

(

)

(

)

Suy ra đồ thị của h ( x ) gồm 2 phần được suy ra từ đồ thị ban đầu như sau: + Phần 1: đồ thị hàm f ( x ) ứng với x ≥ 3 và với x ≤ 0 . + Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị hàm f ( x ) khi

(

)

(

)

Gọi số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = x x + 3 x − 3 và h ( x ) = x + 3 x 2 − x 3 lần lượt là m , n . Giá trị của m + n là A. 7.

B. 5.

C. 4.

0< x< 3. Đồ thị hàm số h ( x ) là đường nét liền ở hình dưới đây.

Từ đồ thị hàm số h ( x ) , ta có số điểm cực trị là 4 hay

D. 6.

n = 4.

Hướng dẫn giải

 x( x 2 − 3), x ≥ 3 +) Xét g ( x ) = x x + 3 x − 3 =  , suy ra đồ thị của g ( x ) gồm hai phần được suy 2 − x( x − 3), x < 3

(

)

ra từ đồ thị ban đầu như sau:

Vậy m + n = 3 + 4 = 7 . Chọn A. Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

+ Phần 1: là đồ thị hàm f ( x ) tương ứng với x ≥ 3 .

Chú ý:

Đề bài hỏi số điểm cực trị

+ Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị hàm f ( x ) qua trục Ox khi x < 3 . Đồ thị hàm số g ( x ) là

trong khoảng ( −4; 4 ) nên các

đường nét liền ở hình dưới đây.

điểm x = ±4 không là điểm

cực trị.

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) trên ( −4; 4 ) là A. 5.

B. 7.

C. 9.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Ta có đồ thị y = f ( x ) như sau: Trang 63

Trang 64

Đồ thị hàm số y = f ( x − 1) có bao nhiêu điểm cực

Vậy số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) trên ( −4; 4 ) là 7.

trị?

Chọn B.

Bước 1. Tìm hàm số có cùng số điểm cực trị với Hướng dẫn giải

hàm ban đầu. Bài toán 4. Một số bài toán sử dụng phép dịch chuyển đồ thị Phương pháp giải

xét dấu đạo hàm của đề bài mà suy ra số điểm cực

Cho đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) •

trị của hàm tìm được ở bước 1.

Đồ thị hàm số (C1 ) : y = f ( x − a ) có được

bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số (C ) qua bên phải a đơn vị nếu a > 0 và dịch

Chú ý : Khi tịnh tiến đồ thị lên – xuống, trái – phải

điểm cực trị của hàm y = f ( x ) .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , ta suy ra số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là 3.

thì số điểm cực trị của hàm số (C ) , (C1 ) , (C2 ) là Do đó số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 1) là

bằng nhau.

qua trái a đơn vị nếu a < 0 . •

Số điểm cực trị của hàm y = f ( x − 1) bằng với số

Bước 2. Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên, bảng

Ví dụ mẫu

Đồ thị hàm số (C2 ) : y = f ( x ) + b có được

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số (C ) lên trên b đơn vị nếu b > 0 và dịch xuống dưới b đơn vị nếu b < 0 . Chú ý : Số điểm cực trị của các hàm số sau là

bằng nhau:

y = m f ( x + p + q) + t + n

(1);

Từ (1) qua (2): dịch chuyển lên xuống không làm thay đổi số điểm cực trị.

y = m f ( x + p + q) + t

(2);

y = f ( x + p + q) + t

(3);

y = f ( x + q) + t

(4);

Từ (2) qua (3): phóng to và thu nhỏ không làm thay

như sau:

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 5.

Hướng dẫn giải

đổi số điểm cực trị.

Từ (3) qua (4): dịch trái phải không làm thay đổi số

Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau: y = f ( x + 3) − 9 ; y = f ( x ) − 9 . Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) − 9 là

điểm cực trị. Để tìm số điểm cực trị của hàm số, ta có thể làm

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + 3) − 9 là

Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

ℝ \ {±1} và liên tục trên từng khoảng xác định, có

bảng biến thiên như hình vẽ.

Trang 65

Trang 66

Suy ra số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) − 9 là 4.

Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau:

Chọn A.

y = 2 f ( x + 2) −1 ; y = f ( x + 2) −

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {0} và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến

1 1 ; y = f ( x) − 2 2 1 là 2

thiên như hình vẽ.

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) −

Đồ thị hàm số y = 2 f ( x − 1) − 1 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

Từ đó suy ra số cực trị của hàm số y = f ( x ) −

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

1 là 9 nên số cực trị của hàm số y = 2 f ( x + 2 ) − 1 2

cũng là 9.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau:

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1} và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng

y = 2 f ( x − 1) − 1 + 1 ; y = 2 f ( x − 1) − 1 ; y = f ( x − 1) − 1 ; y = f ( x) − 1

biến thiên như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) − 1 có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hàm số y = 2 f ( x − 2 ) − 3 có bao nhiêu điểm cực trị? Suy ra số điểm cực trị của hàm y = f ( x) − 1 là 4.

A. 3.

B. 4.

C. 5.

Vậy hàm số y = 2 f ( x − 1) − 1 + 1 có 4 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau:

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {±1} và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng

biến thiên như hình vẽ.

D. 6.

y = 2 f ( x − 2 ) − 3; y = 2 f ( x − 2 ) ; y = f ( x − 2 ) ; y = f ( x ) (vì ba hàm đầu có số nghiệm của đạo hàm là như nhau; từ hàm thứ tư, ta dịch qua phải 2 đơn vị sẽ được đồ thị hàm thứ ba).

Từ bảng biến thiên đã cho, suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) :

Đồ thị hàm số y = 2 f ( x + 2 ) − 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5.

B. 9,

C. 7.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Trang 67

Trang 68

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị. Do đó hàm số y = 2 f ( x − 2 ) − 3 có 3 điểm cực trị. Chọn A. Ví dụ 5*. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1} và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng A. 3.

biến thiên như hình vẽ.

B. 4.

C. 5.

D. 2.

Hướng dẫn giải

Số điểm cực trị của các hàm số sau đây là như nhau: y = 3 f ( x − 2 ) + 1 ; y = 3 f ( x − 2 ) và y = f ( x − 2 ) . Để vẽ được bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f ( x − 2 ) , ta dịch bảng biến thiên (đồ thị) của

hàm số y = f ( x ) qua phải 2 đơn vị rồi lấy đối xứng phần bên phải trục Oy qua Oy (bỏ phần bên trái

Biết f ( 0 ) . f (1) < 0 . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2 f ( x − 2 ) − 3 là A. 5.

B. 9.

C. 7.

Oy).

D. 6.

Sau đây lần lượt là bảng biến thiên của y = f ( x − 2 ) và y = f ( x − 2 )

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên, rõ ràng hàm số đã cho đồng biến trên (−1;3) , suy ra f ( 0 ) < f (1) . Lại do f ( 0 ) . f (1) < 0 nên f ( 0 ) < 0 < f (1) . Tương tự như ở ví dụ 4, số điểm cực trị của hàm y = 2 f ( x − 2 ) − 3 bằng với số cực trị của hàm

y= f (x) . Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) là:

Vậy hàm số ban đầu có 3 điểm cực trị. Chọn A.

Đến đây, ta dễ dàng suy ra được số điểm cực trị của hàm y = f ( x ) là 7. Bài tập tự luyện dạng 5

Vậy hàm số y = 2 f ( x − 2 ) − 3 có 7 điểm cực trị.

Câu 1: Số điểm cực trị của hàm số y = x − 5

Chọn C.

A. 2.

Chú ý: Nếu f ( x ) ≥ 0 thì hàm số y = 2 f ( x − 2 ) − 3 chỉ có 5 điểm cực trị.

B. 1.

x 2 là C. 4.

D. 3.

Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số y = x + 2 x + 2 − 1 là 2

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1} và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng

biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = 3 f ( x − 2 ) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 3: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 4 − 5 x 2 + 4 là A. 5.

Trang 69

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Trang 70

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là A. 6.

B. 3.

C. 5.

Hàm số y = −5 f ( x ) − 21 + 20 có bao nhiêu điểm cực trị

D. 7.

A. 2.

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.

B. 3.

C. 5.

D. 4.

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên của f ′ ( x ) như hình

vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là A. 5.

B. 3.

C. 7.

D. 6.

Bài tập nâng cao Câu 6: Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) = x + 2 + x + 1 + x + x − 1 + x − 2 + x 2 là A. 1.

B. 0.

C. 3.

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là

D. 5.

A. 3.

Câu 7: Số điểm cực đại của hàm số f ( x ) = x + 2 + x + 1 + x + x − 1 + x − 2 − x là 2

A. 11.

B. 5.

C. 6.

B. 7.

C. 5.

D. 9.

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ

D. 4.

Câu 8: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là A. 3.

Hàm số y = 3 f ( x + 2010 − 1) − 5 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 11.

B. 9.

C. 7.

B. 5.

1–D

2–B

11 – B

12 – C

3–B

C. 4. 4–C

5–A

6–A

D. 2. 7–C

8–A

9–C

10 – B

D. 13.

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ có bảng xét dấu của hàm y = f ′ ( x ) như sau

Dạng 6: Cực trị hàm chứa trị tuyệt đối có tham số Bài toán 1. Định tham số để hàm số chứa dấu trị tuyệt đối có n điểm cực trị Phương pháp giải Xét bài toán: Định tham số để đồ thị hàm số Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

Hàm số y = 3 f ( x − 2021 ) + 2020 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6.

B. 5.

C. 7.

y = f ( x ) hoặc y = f ( x ) có n điểm cực trị.

D. 3.

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

m ∈ [ −20; 20] để hàm số y = x3 − 3 x + m có 3 điểm cực trị? Hướng dẫn giải

thiên như hình vẽ Trang 71

Trang 72

Bước 1. Lập bảng biến thiên của hàm số Xét f ( x ) = x3 − 3 x + m .

y = f ( x) .

Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn đề bài. Chọn B.

Ta có f ′ ( x ) = 3x 2 − 3 .

Ví

Bảng biến thiên:

Hướng dẫn giải

Xét f ( x ) = x − 6 x + ( 9 − m ) x + 2m − 2 2

của

để

hàm

số Lời bình: Ta có thể nhìn rõ những kết luận này từ việc biến đổi đồ thị.

 1 B. m ∈  0;  ∪ (1; +∞ ) .  4

Từ đồ thị y = f ( x ) suy

C. m ∈ (1; +∞ ) .

D. m ∈ ( −∞;0] .

ra đồ thị y = f ( x ) .

Suy ra f ′ ( x ) = 3x 2 − 2(2m + 1) x + 3m .

D. 7.

trị

 1 A. m ∈  0;  .  4

m + 2 ≤ 0  m ≤ −2 ⇔ ⇔ m − 2 ≥ 0   m ≥ 2.

y = x3 − 6 x 2 + ( 9 − m ) x + 2m − 2 có 5 điểm cực trị?

Hàm số y = x − ( 2m + 1) x 2 + 3m x − 5 có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị dương ⇔ f ′ ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt dương ∆′ = ( 2m + 1)2 − 9m > 0 m > 1  4m 2 − 5m + 1 > 0  ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ ⇔ 1 m > 0 m > 0 0 < m < 4 

rõ những kết luận này từ

Chọn B.

việc biến đổi đồ thị. Từ đồ thị y = f ( x ) suy ra đồ thị y = f ( x )

Ví

dụ

Có

bao

nhiêu

số

nguyên

của

tham

số

m ∈ ( −2021; 2020 )

để

hàm

số

f ( x ) = x 2 − 2m x − m + 2020 + 2021 có 3 điểm cực trị? A. 1009.

Cho f ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 6 x 2 + ( 9 − m ) x + 2m − 2 = 0

B. 2020.

C. 2019.

D. 1008

Hướng dẫn giải

⇔ x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 − mx + 2m = 0

f ′ ( x ) = 2 x − 2m

⇔ ( x − 2) ( x − 4x + 1− m ) = 0 2

x = 2 ⇔ 2  x − 4x + 1− m = 0

x − m + 2020 2 x − 2m, x − m + 2020 > 0 = x − m + 2020 2 x + 2m, x − m + 2020 < 0.

Dễ thấy hàm số không có đạo hàm tại điểm x = m − 2020 .   2 x − 2m = 0   x − m + 2020 > 0 Ta có: f ′ ( x ) = 0 ⇔    2 x + 2m = 0    x − m + 2020 < 0

Hàm số y = x − 6 x + ( 9 − m ) x + 2m − 2 có 5 điểm cực trị khi f ( x ) = 0 3

giá

Xét f ( x ) = x3 − (2m + 1) x 2 + 3mx − 5 .

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [ −5;5] để hàm số Lời bình: Ta có thể nhìn

nhiêu

Hàm số y = x − 3 x + m có 3 điểm cực trị

Ví dụ mẫu

C. 5.

bao

Hướng dẫn giải

m ∈ {−20; −19;...; −2; 2;3;...;19; 20}

B. 8

Có

Do m nguyên và m ∈ [ −20; 20] nên

A. 6.

y = x − ( 2m + 1) x 2 + 3m x − 5 có 5 điểm cực trị.

Bước 2. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra tham số Từ bảng biến thiên ta có:

thỏa mãn yêu cầu đề bài

dụ

có 3 nghiệm phân biệt và chỉ khi x 2 − 4 x + 1 − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ∆′ = 4 − (1 − m) > 0  m > −3 ⇔ 2 ⇔ ⇔ m > −3.  m ≠ −3 2 − 4.2 + 1 − m ≠ 0

x = m x = m  ⇔   x = −m ⇔   x = − m, m > 1010.  2m − 2020 < 0

Do m nguyên m ∈ [ −5;5] nên m ∈ {−2; −1; 0;1; 2;3; 4;5} .

Nếu m ≤ 1010 thì f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = m và không có đạo hàm tại điểm x = m − 2020 nên không có đủ 3 điểm cực trị. Do đó loại trường hợp này.

Trang 73

Trang 74

Khi m > 1010 , ta có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị với m > 1010 . Mà m ∈ ( −2021; 2020 ) nên m ∈ {1011;1012;...; 2019} .

Dựa vào bảng biến thiên ta có f ′ ( x ) = 0 có tối đa 2 nghiệm khác 0 khi m < 0 . Do hàm số f ( x ) liên

Vậy có 1009 số thỏa mãn đề bài.

tục trên ℝ nên f ( x ) = 0 có tối đa 3 nghiệm phân biệt. Nếu tồn tại giá trị của tham số m sao cho

Chọn A.

m + n < 1 Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x ) = x3 + mx 2 + nx − 2 với m, n là các số thực thỏa mãn  . Số điểm  2m − n > 5 cực trị của hàm số y = f ( x ) là A. 1.

B. 3.

C. 5.

D. 2.

phương trình f ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thì hàm số y = x = 0 Ta có f ( x ) = 0 ⇔  2 2  x = −3m x + 1.

Vậy phương trình f ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt nếu m < 0 .

Hàm số f ( x ) = x3 + mx 2 + nx − 2 liên tục trên ℝ .

Vậy số điểm cực trị tối đa của hàm số y =

 lim f ( x ) = −∞  lim f ( x ) . f ( −2 ) < 0  x→−∞ x →−∞  f ( −2 ) = −8 + 4m − 2n − 2 = 2(2m − n − 5) > 0  ⇒  f ( −2 ) . f (1) < 0   f (1) = 1 + m + n − 2 = m + n − 1 < 0  f ( x) < 0  lim f x = +∞  f (1). xlim →+∞ ( )  x→+∞

Ví dụ 6. Có bao nhiêu số nguyên của m ∈ [ 0; 2021] để hàm số y = x + ( m − 1) x có đúng một điểm cực

trị? A. 2021.

nghiệm. Vậy f ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

B. 2022.

1 3 x + mx x 2 + 1 với m là tham số thực. Đồ thị của hàm số đã cho có nhiều 3

Ta có: y′ =

2 3x 3 3 x + m − 1, x > 0 + m −1 =  2 x −3 x + m − 1, x < 0.

Đạo hàm không xác định tại điểm x = 0 .

nhất bao nhiêu điểm cực trị? B. 3.

C. 4.

3 x 2 , x > 0 +) Khi m = 1 thì y′ =  2 −3 x , x < 0

D. 2.

Hướng dẫn giải

Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 và đạo hàm đổi dấu khi đi qua điểm x = 0 (vì

1 Xét f ( x ) = x 3 + mx x 2 + 1 có tập xác định D = ℝ . 3 2

lim y′ > 0, lim− y′ < 0 ).

x → 0+ 2

x +1 Ta có f ′ ( x ) = x + m ; f ′( x) = 0 ⇔ m = − = g ( x) . 2x2 + 1 x2 + 1 Ta có g ′ ( x ) =

D. 20.

Hiển nhiên hàm số liên tục trên ℝ .

Chọn C.

2x + 1

x ( 2 x − 3x + 2 ) 4

C. 21.

Ta sẽ chứng minh hàm số trên luôn có đúng 1 điểm cực trị với mọi tham số m.

Vậy hàm số y = f ( x ) có đúng 5 điểm cực trị.

1 3 x + mx x 2 + 1 là 5. 3

Chọn A.

Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất 3 nghiệm. Mà f ( x ) = 0 là phương trình bậc 3 nên có tối đa 3

A. 5.

( 2)

Khi m < 0 thì (2) ⇔ x 4 − 9m2 x 2 − 9m 2 = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5. Cho hàm số y =

1 3 x + mx x 2 + 1 có 5 điểm cực trị. 3

Vậy hàm số chỉ đạt cực trị tại x = 0 . +) Khi m > 1 , ta có y′ > 0, ∀x > 0 và lim− y′ < 0 . x→0

(2 x 2 + 1) 2 x 2 + 1

x →0

. Bảng biến thiên g ( x ) :

Trang 75

Trang 76

Cho y′ = 0 ⇔ x = −

m −1 và đạo hàm đổi dấu khi đi qua điểm đó nên hàm số cũng chỉ có 1 điểm cực 3

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1} , có đạo hàm trên ℝ \ {1} và có bảng biến thiên của

hàm số y = f ′ ( x ) như sau

trị. +) Tương tự với m < 1 , hàm số cũng chỉ đạt cực trị tại điểm x =

1− m . 3

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực trị với mọi tham số m. Do m nguyên và m ∈ [ 0; 2021] nên có 2022 giá trị của m.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −20; 20] để hàm số g ( x ) = 2 f ( x − m ) + 22020 có nhiều

Chọn B.

điểm cực trị nhất?

Bài toán 2. Cho bảng biến thiên, định giá trị tham số để hàm số có n điểm cực trị

A. 21.

Phương pháp giải

C. 22.

D. 20.

Hướng dẫn giải

Bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

y = f ( x ) hoặc cho bảng biến thiên, bảng xét dấu như sau

Số điểm cực trị của g ( x ) = 2 f ( x − m ) + 22020 bằng với số điểm cực trị của hàm số h ( x ) = f ( x − m ) . Ta có h′ ( x ) =

của f ′ ( x ) . Yêu cầu tìm giá trị của tham số m để hàm số g ( x, m ) có n điểm cực trị.

x f ′ ( x − m) . x

Hiển nhiên hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 .

Tìm m để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có đúng 5

 x −m =0 x =m Cho h′ ( x ) = 0 ⇔  ⇔  x − m = x1 > 1  x = x1 + m.

điểm cực trị.

Hàm số h ( x ) = f ( x − m ) có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi h′ ( x ) = 0 có nhiều nghiệm dương

Hướng dẫn giải

nhất hay 0 < m .

Đưa hàm số g ( x, m ) về hàm số đơn giản hơn Để có được đồ thị của hàm số g ( x ) = f ( x + m ) ta

(nếu có thể). Sau đó sử dụng các phép biến đổi đồ lần lượt thực hiện các bước sau: thị hàm trị tuyệt đối.

B. 19.

Do m nguyên và m ∈ [ −20; 20] nên m ∈ {1; 2;3;...; 20} . Chọn D.

+ Dịch chuyển đồ thị qua phải nếu m < 0 , dịch

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên của hàm số y = f ′ ( x ) như sau:

chuyển qua trái nếu m > 0 . + Giữ phần bên phải trục tung của đồ thị ở bước 1, rồi lấy đối xứng phần đó qua trục tung. Suy ra để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) có đúng 5 cực trị, ta cần dịch chuyển đồ thị hàm số y = f ( x ) qua

(

phải sao cho đồ thị có đúng 2 điểm cực trị dương.

A. 2.

m < 0 Suy ra  ⇔ −1 ≤ m < 0. m ≥ −1

Hướng dẫn giải

B. 4.

Ta có g ′ ( x ) = ( 4 x3 − 8 x )

Ví dụ mẫu

)

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số g ( x ) = f x 4 − 4 x 2 + m có nhiều điểm cực trị nhất? C. 3.

D. 5.

x4 − 4x2 + m f ′ x4 − 4x2 + m . x4 − 4x2 + m

(

)

Ta có x 4 − 4 x 2 + m ≥ 0 .

(

)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f ′ x 4 − 4 x 2 + m = 0 vô nghiệm (*). Trang 77

Trang 78

Hàm số g ( x ) có nhiều điểm cực trị nhất khi g ′ ( x ) = 0 có nhiều nghiệm phân biệt nhất.

Suy ra số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x )

 x4 − 4x2 + m = 0 Kết hợp với (*), ta có hệ phương trình  3 có nhiều nghiệm phân biệt nhất 4 x − 8x = 0

bằng 9.

⇔ x 4 − 4 x 2 + m = 0 có nhiều nghiệm nhất và tất cả các nghiệm đều khác 0 và khác ± 2 (vì

y = f ( x + m ) là 9.

Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số

4 x 3 − 8 x = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt là 0; ± 2 ) ⇔ m = − x 4 + 4 x 2 có nhiều nghiệm nhất và tất cả Ví dụ mẫu

các nghiệm đều khác 0 và khác ± 2 (**).

Ví dụ 1. Cho đường cong như hình vẽ là đồ thị của hàm số y = f ( x ) . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực

Lập bảng biến thiên của y = − x 4 + 4 x 2 ta có:

của tham số m để hàm số y = f ( x + 3 + m ) có 5 điểm cực trị. A. m ∈ ( −∞; −1] .

B. m ∈ ( −1;1) .

C. m ∈ (1; +∞ ) .

D. m ∈ ( −∞; −1) .

Do đó (**) ⇔ 0 < m < 4 . Vậy có ba giá trị nguyên là m ∈ {1; 2;3} . Chọn C. Bài toán 3. Cho đồ thị, định tham số để có hàm số có n điểm cực trị Phương pháp giải Ví dụ: Hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hướng dẫn giải

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + 3 + m ) bằng với số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x + m ) . Ta có g ′ ( x ) =

Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = f ( x + m)

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x + m ) bằng với số điểm cực trị của đồ thị hàm số

Hàm số y = f ( x + 3 + m ) có 5 điểm cực trị ⇔ g ( x ) = f ( x + m ) có 5 điểm cực trị ⇔ (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ −1 − m > 0 ⇔ m < −1. Chọn D.

y = f ( x) . Bước 2. Dựa vào đồ thị, xác định số cực trị của Dựa vào đồ thị, ta có số điểm cực trị hàm số

hàm đơn giản ở bước 1.

 x + m =1  x = 1− m Dựa vào đồ thị, ta có g ′ ( x ) = 0 ⇔  ⇔ ( *)  x + m = −1  x = −1 − m

(chú ý rằng hàm số g ( x ) không có đạo hàm tại điểm x = 0 ).

Bước 1. Tìm hàm số đơn giản hơn có cùng số Hướng dẫn giải

điểm cực trị với hàm ban đầu.

x . f ′ ( x + m) . x

y = f ( x ) là 4 và số nghiệm bội lẻ của phương trình f ( x ) = 0 là 5.

Trang 79

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để hàm số y = f ( x ) + m có nhiều điểm cực trị nhất. A. m ∈ ( −2; 2 ) .

B. m ∈ [ −2; 2] .

C. m ∈ ( −1;1) .

D. m ∈ [ −1;1] .

Trang 80

1 Suy ra hàm số y = f ( x + 2020 ) + m 2 có 5 điểm cực trị thì số giao điểm của g ( x ) với trục Ox 3 (không kể các điểm tiếp xúc) là 2.  1 2 − 3 m ≥ 2 3 ≤ m < 3 2 ⇔ ⇔ 9 < m2 < 18 ⇔   −6 < − 1 m2 ≤ −3  −3 2 < m ≤ −3.  3

Do m nguyên dương nên m ∈ {3; 4} . Hướng dẫn giải

Vậy tổng các giá trị là 7.

Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi y = f ( x ) + m cắt trục hoành tại

Chọn D.

nhiều điểm nhất ⇔ −2 < m < 2 .

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị

Chọn A.

hàm số g ( x ) = f 3 ( x ) − 3 f ( x ) + m có đúng 9 điểm cực trị là

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

A. 16.

B. 17.

C. 15.

D. 18.

Hướng dẫn giải

Xét h ( x ) = f 3 ( x ) − 3 f ( x ) + m . 1 Gọi S là tập hợp các số nguyên dương của m để hàm số y = f ( x + 2020 ) + m 2 có 5 điểm cực trị. Tổng 3 tất cả các phần tử của S là A. 5.

B. 10.

C. 6.

D. 7.

Hướng dẫn giải

1 Ta có số điểm cực trị của hàm y = f ( x + 2020 ) + m 2 3

bằng số điểm cực trị của hàm

Suy ra h′ ( x ) = 0 ⇔ 3 f ′ ( x )  f 2 ( x ) − 1 = 0 . x = 0 Dựa vào đồ thị, ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔   x = −2  x = x1 < −2  f ( x ) = 1 ⇔  x = x2 ∈ ( −2; 0 ) (đạo hàm đều đổi dấu khi đi qua cả 3 nghiệm đều là nghiệm đơn và khác x = x > 0 3  2 nghiệm trên).

1 y = f ( x ) + m2 . 3

 x = x4 > x3 (trong đó x = x4 là nghiệm đơn x = −2 là nghiệm kép). f ( x ) = −1 ⇔   x = −2

1 Xét hàm g ( x ) = f ( x ) + m2 . 3

Ta tính các giá trị:

Dựa vào đồ thị ta có số điểm cực trị của hàm g ( x ) bằng số điểm cực trị của hàm f ( x ) và bằng 3.

h ( x1 ) = h ( x2 ) = h ( x3 ) = m − 2 h ( x4 ) = h ( −2 ) = m + 2 và h ( 0 ) = m + 18

Bảng biến thiên h ( x ) :

Trang 81

Trang 82

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng A. 5.

B. 7.

C. 9.

D. 11.

 ab < 0 Câu 8: Biết rằng a, b, c ∈ ℝ thỏa  . Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có bao nhiêu điểm cực 2  ac ( b − 4ac ) > 0 Suy ra hàm số h ( x ) luôn có 6 điểm cực trị.

Đồ thị hàm số g ( x ) = f

( x) − 3 f ( x) + m

trị? có đúng 9 điểm cực trị tương đương đồ thị y = h ( x ) cắt

A. 9.

B. 5.

C. 3.

D. 7.

trục hoành tại đúng 3 điểm (không kể những điểm tiếp xúc) ⇔ m + 2 ≤ 0 < 18 + m ⇔ −18 < m ≤ −2 .

Câu 9: Biết rằng hàm số bậc ba y = a ( x − b )( x − c )( x − d ) đồng biến trên ℝ với a, b, c, d ∈ ℝ . Đồ thị

Vậy m ∈ {−17; −16;...; −2} hay có 16 giá trị nguyên của m.

hàm số y = x 4 − ( b + c + d ) x 2 + a có ít nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Chọn A.

A. 1.

B. 0.

C. 3.

Bài tập tự luyện dạng 6 Câu 1: Cho hàm số y =

1 3 x − ( m − 1) x 2 + ( m − 3) x + m 2 − 4m + 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 3

m để hàm số có 5 điểm cực trị. A. m > 1 .

B. m > 3 .

B. Không có.

D. −3 < m < −1 .

C. 2.

D. Vô số.

cực trị bằng B. 63.

nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 2.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c với a, b, c là các số thực thỏa a > 0, c > 2020 và C. m > 4 .

Câu 3: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3 x 4 + 8 x 3 − 6 x 2 − 24 x − m có 7 điểm

A. 42.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 4 − 8 x 3 + 18 x 2 + m có 3 điểm cực trị? A. 1.

D. 2.

Câu 10: Cho hàm số y = x + mx x + 1 − 20 x với m là tham số thực. Đồ thị của hàm số đã cho có nhiều 5

C. 55. 4

D. 30. 5

a + b + c < 2020 . Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) − 2020 là A. 7.

B. 5.

C. 4.

D. 3.

 a + b + c < −1  Câu 12: Cho các số thực a, b, c thỏa 4a − 2b + c > 8 . Đặt f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c . Số điểm cực trị tối đa bc < 0  của hàm số y = f ( x ) là

Câu 4: Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − m ) ( x + 3) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

A. 5.

B. 11.

C. 9.

D. 7.

m ∈ [ −5;5] để số điểm cực trị của y = f ( x ) là 3? A. 5.

B. 3.

C. 6.

D. 7. 3

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 2 )  x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 + 7m − 8 , ∀x ∈ ℝ .

Co tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số g ( x ) = f ( x ) có 5 điểm cực trị? A. 6.

B. 7.

C. 8.

C. 3.

11 – A

12 – D

3–A

4–A

5–A

6–D

7–D

8–D

9–A

10 – B

Bài toán 1. Biết được đồ thị của hàm số f ( x ) tìm (số điểm) cực trị của hàm ẩn

D. 5.

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ 2

và có đồ thị như hình vẽ. Đặt g ( x ) =  f ( x )  .

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng B. 2.

2–D

Dạng 7. Cực trị hàm ẩn

 −8 + 4a − 2b + c > 0 Câu 6: Cho hàm số f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c với a, b, c ∈ ℝ thỏa mãn  8 + 4a + 2b + c < 0

A. 1.

1–B

Hàm số g ( x ) có mấy điểm cực trị?

D. 5.

a + b > 1 Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = x3 + ax 2 + bx − 2 thỏa mãn  với a,b là các số thực. 3 + 2a + b < 0 Trang 83

Trang 84

Hướng dẫn giải

 f ′ ( x ) = 0 (1) Ta có: g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) . f ( x ) . Cho g ′ ( x ) = 0 ⇔   f ( x ) = 0 (2). Dựa vào đồ thị trên, ta có: Bước 1. Tìm đạo hàm của hàm số y = f ( u ( x ) ) :

 x = x1 (1) ⇔  x = 0 (các nghiệm đều là nghiệm bội lẻ).  x = x2

y′ = u ′ ( x ) . f ′ ( u ( x ) ) . Bước 2. Từ đồ thị hàm số, xác định số nghiệm bội Hướng dẫn giải

lẻ của phương trình y ′ = 0 .

 x = −2 (2) ⇔  x = 3 (trong đó x = 0 nghiệm kép,hai nghiệm kia là nghiệm đơn).  x = 0

Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) . f ( x ) .

Vậy phương trình g ′ ( x ) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ. 2

Do vậy số điểm cực trị của hàm số g ( x ) =  f ( x )  là 5. Chọn A.

 f ′( x) = 0 Cho g ′ ( x ) = 0 ⇔   f ( x ) = 0.

 x = x1 ∈ ( −1; 0 )  ′ f ( x) = 0 ⇔ x = 1  x = x ∈ (1; 2 ) . 2 

dấu

khi

đi

qua

của

phương trình f ' ( x ) = 0

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  .  f ′( x) = 0 (1) Cho g ′ ( x ) = 0 ⇔   f ′  f ( x ) = 0 (2) Dựa vào đồ thị trên ta có:

Chọn D.

 x = x1 (1) ⇔  x = 0 (các nghiệm đều là nghiệm bội lẻ).  x = x2

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ

 f ( x ) = x1  (2) ⇔  f ( x ) = 0 f x =x .  ( ) 2

dưới (chỉ đạt cực trị tại 3 điểm và cũng chỉ có 3 điểm chung với trục hoành). 2

Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) =  f ( x )  là

D. 6.

nghiệm mà đạo hàm đổi

Hướng dẫn giải

y = g ( x ) có 5 điểm cực trị.

C. 3.

đến nghiệm bội lẻ hoặc

g ( x ) = f  f ( x )  là

(các nghiệm đều là nghiệm bội lẻ). Vậy hàm số

B. 4.

ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới (chỉ đạt cực

trục hoành). Số điểm cực trị của hàm số

 x = x3 ∈ ( −1; 0 ) ,x3 < x1 f ( x) = 0 ⇔   x = x4 ∈ ( 0;1)

A. 5.

Chú ý: Chỉ cần quan tâm

trị tại 3 điểm và cũng chỉ có 3 điểm chung với

Dựa vào đồ thị, ta có Bước 3. Kết luận cực trị của hàm số y = f ( u ( x ) ) .

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

Phương trình f ( x ) = x1 với x1 ∈ ( −2; −1) có 2 nghiệm đơn khác với 3

Trang 85

Trang 86

nghiệm x = x1 ; x = 0; x = x2 .

hàm số y = f  f ( x − 3) + 1 và cũng bằng với số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f  f ( x )  .

Phương trình f ( x ) = 0 có 2 nghiệm đơn là x = −2, x = 3 (khác với 5 nghiệm

Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  .

đơn trên) và nghiệm kép x = 0 .

 f ′( x) = 0 (1) g′( x) = 0 ⇔  ′ f f x = 0   ( 2)   ( )

Phương trình f ( x ) = x2 với x2 ∈ ( 2;3) có 2 nghiệm đơn khác với tất cả các nghiệm trên.

Dựa vào đồ thị, ta có

Vậy phương trình g ′ ( x ) = 0 có tổng cộng 9 nghiệm bội lẻ nên hàm số

x = 0 (trong đó x = 0 và x = 2 là nghiệm bội lẻ). x = 2

(1) ⇔ 

g ( x ) = f  f ( x )  có tổng cộng 9 điểm cực trị.

 f ( x ) = 0 ( 3)

Chọn D.

( 2) ⇔ 

 f ( x ) = 2 ( 4 )

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có đúng 2

điểm cực trị x = −1, x = 1 có đồ thị như hình vẽ sau:

( 3) ⇔ x = 3 (nghiệm đơn) hoặc

Hỏi hàm số y = 3 f ( x3 − 6 x 2 + 9 x + 1) + 2020 có bao nhiêu điểm cực trị?

( 4 ) ⇔ x = x0 > 3 (nghiệm đơn).

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

x = 0 (nghiệm kép).

Vậy phương trình g ′ ( x ) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ nên g ( x ) có 4 điểm cực trị Suy ra hàm số y = 5 f  f ( x − 3) + 1 − 20 cũng có 4 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Do hàm số y = f ( x ) có đúng hai điểm cực trị x = −1, x = 1 nên phương trình f ′ ( x ) = 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x = −1, x = 1 .

Chọn D. Bài toán 2. Tìm (số điểm) cực trị biết đồ thị của hàm số f ′ ( x ) Phương pháp giải

Ta có: y ' = 3(3 x 2 −12 x + 9) f '( x3 − 6 x 2 + 9 x + 1)

Bài toán: Cho trước đồ thị của hàm số f ′ ( x ) . Tìm (số điểm) cực trị của (đồ thị) hàm số f ( u ) .

x = 1  3 x 2 − 12 x + 9 = 0 x = 3  3 2 ′ y = 0 ⇔  x − 6 x + 9 x + 1 = −1 ⇔  x = x0 ∈ ( −1; 0 )   x3 − 6 x 2 + 9 x + 1 = 1  x ( x − 3)2 = 0.   

+ Nếu f ′ ( x ) = 0 có các nghiệm xi , thì f ′ ( u ) = 0 ⇔ u = xi . + Chúng ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm bội lẻ của phương trình. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) có

Vì y′ = 0 có các nghiệm lẻ là x = x0 , x = 1 và x = 3 nên hàm số y = 3 f ( x − 6 x + 9 x + 1) + 2020 có tất cả

đạo hàm liên tục trên ℝ . Hàm số

4 điểm cực trị.

y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Chọn C.

Hàm số g ( x ) = f ( 3 − x 2 ) đạt cực tiểu

Ví dụ 4. Biết rằng hàm số f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ có đồ thị được cho như

tại điểm

hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y = 5 f  f ( x − 3) + 1 − 20 là A. 6.

B. 5.

C. 3.

D. 4.

A. x = 0.

B. x = 2.

C. x = ±2.

D. x = −2.

Hướng dẫn giải

Lưu ý: Do các nghiệm đều là

Hướng dẫn giải

Phương trình f ' ( x ) = 0 có 2 nghiệm bội lẻ là x = −1, x = 3.

nghiệm bội lẻ, nên g '( x) đổi

Số điểm cực trị của hàm số y = 5 f  f ( x − 3) + 1 − 20 bằng với số điểm cực trị của

′ Ta có: g ′ ( x ) =  f ( 3 − x 2 )  = −2 x. f ′ ( 3 − x 2 ) .

dấu khi đi qua mỗi nghiệm ấy.

Trang 87

Chính vì vậy mà ta chỉ cần biết Trang 88

x = 0 x = 0   2 Cho g ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 − x = −1 ⇔  x 2 = 4 3 − x 2 = 3  x2 = 0   Suy ra g ′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = ±2 . Vì g ′ ( 3) = −6. f ′ ( 6 ) < 0 nên ta có bảng xét dấu g ( x ) như sau:

dấu của một khoảng nào đó sẽ suy ra dấu ở các khoảng còn lại. Do hàm số liên tục, nên chỉ cần biết dấu tại 1 điểm, ta sẽ biết dấu ở khoảng chứa điểm

đó. Ở bài này, ta xét tại điểm x = 3 ∈ (2; +∞) .

Biết f ( a ) > f ( c ) > 0; f ( b ) < 0 < f ( e ) . 2

Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) =  f ( x + m )  là

Chọn A.

A. 5.

B. 7.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Hàm số

Hướng dẫn giải

y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Từ đồ thị của đạo hàm, ta có bảng biến thiên sau:

Số cực trị của hàm số h ( x ) = f ( x 2 − 2 x ) là A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Hướng dẫn giải Ta có: h′ ( x ) = ( 2 x − 2 ) . f ′ ( x 2 − 2 x ) .

x =1  Dựa vào đồ thị, ta có h′ ( x ) = 0 ⇔  x 2 − 2 x = −1  x 2 − 2 x = 3. 

C. 6.

D. 8.

Chú ý: Ta chỉ cần quan tâm đến nghiệm bội lẻ, nên trong

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y = f ( x ) có 4 điểm cực trị, suy ra hàm số y = f ( x + m ) cũng có 4 điểm

bài này ta bỏ qua nghiệm x=0

cực trị và f ′ ( x + m ) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ phân biệt. Khi f ( a ) > f ( c ) > 0; f ( b ) < 0 < f ( e ) thì đồ thị

của phương trình f '( x) = 0

hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên đồ thị hàm số y = f ( x + m ) cũng cắt trục hoành

(là nghiệm bội chẵn nên đạo

tại 3 điểm phân biệt.

hàm không đổi dấu khi qua

Ta có g ( x ) =  f ( x + m )  ⇒ g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x + m ) . f ( x + m ) .

nghiệm này). Ta cũng không cần xét đến phương trình x 2 − 2 x = −1

Phương trình trên chỉ có 3 nghiệm bội lẻ là x = ±1, x = 3 nên hàm số

 f ′ ( x + m ) = 0 (1) Cho g ′ ( x ) = 0 ⇔   f ( x + m ) = 0 ( 2 ) . Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, phương trình ( 2 ) có 3 nghiệm phân biệt khác với 4 nghiệm của

h ( x ) chỉ có 3 điểm cực trị.

phương trình (1) . Vậy g ′ ( x ) có 7 nghiệm (bội lẻ) phân biệt hay g ( x ) có 7 điểm cực trị.

Chọn C.

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ:

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ , hàm số y = f ′ ( x − 2 ) có đồ thị như hình

dưới. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là

Trang 89

Trang 90

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Khi làm trắc nghiệm, ta có thể lập

Ta có g ′ ( x ) = 2 x ( 4 − x 2 )( x 6 − 1) + 2 x 2  − 4 x3 = 2 x ( 4 − x 2 )( x 6 − 1) . bảng xét dấu thu gọn như sau:

A. 1.

B. 2.

C. 0.

x = 0 g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = ±1  x = ±2.

D. 3.

Hướng dẫn giải Ta có số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng với số điểm cực trị của y = f ( x − 2 ) . Vì hàm số

Lập bảng xét dấu g ′ ( x ) :

y = f ( x − 2 ) có 2 điểm cực trị nên hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị.

Chọn B. Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị y = f ′ ( x − 2 ) như hình vẽ. Số điểm cực trị của

Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số g ( x ) có 2 điểm cực tiểu.

hàm số y = 2 f ( x − 3) − 4 là

Chọn A. Ví

dụ

Cho

hàm

số

y = f ( x)

có

đạo

hàm

f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1)( x − 2 ) , ∀x ∈ ℝ. Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x 2 + x − 1) là

A. 4.

B. 5.

C. 3.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Hướng dẫn giải

D. 2.

Ta có:

Hướng dẫn giải Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y = 2 f ( x − 3) − 4 bằng với số điểm cực trị của hàm số y = f ( x )

g ′ ( x ) = ( 2 x + 1) f ′ ( x 2 + x − 1)

và bằng với số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 2 ) . Ta có đồ thị hàm số y = f ′ ( x − 2 ) cắt trục hoành

= ( 2 x + 1) ( x 2 + x − 1) ( x 2 + x − 2 )( x 2 + x − 3)

tại 4 điểm phân biệt nên hàm số y = f ( x − 2 ) có 4 điểm cực trị. Vậy hàm số y = 2 f ( x − 3) − 4 có 4 điểm

1 Dễ thấy g ′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm đơn là x = −2, x = − , x = 1 nên 2

cực trị.

hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn A. Bài toán 3. Biết được f ′ ( x ) hoặc bảng xét dấu, bảng biến thiên của f ′ ( x ) , tìm số điểm cực trị của

Chọn B. Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

hàm ẩn Ví dụ mẫu Ví

dụ

Cho

Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm, có thể hàm

số

y = f ( x)

có

đạo

dựa vào bảng xét dấu để chọn đáp

hàm

án

f ′ ( x ) = ( 4 − x ) ( x3 − 1) + 2 x , ∀x ∈ ℝ. Số điểm cực trị của hàm số

3 Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x ) − x + x 2 + 6 x + 2020 là 2 3

g ( x ) = f ( x 2 ) − x 4 − m là Trang 91

y ' = −( x + 1)( x − 2)

Trang 92

A. 3.

B. 2.

Sau đó có thế vào g’(x) rồi giải và

C. 1.

D. 4.

xét dấu.

16 − m > 0 m < 16 m < 18 16 − m + 2 > 0  ⇔ ⇔ ⇔ m < 16. 16 − 32 + m ≠ 0 m ≠ 16  m ≠ 18 16 − 32 + m − 2 ≠ 0

Hướng dẫn giải Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 3 ( x 2 − x − 2 ) . Nhận xét: g ′ ( −1) = g ′ ( 2 ) = 0. •

•

nghiệm phân biệt khác 4

Do m nguyên dương và m < 16 nên có 15 giá trị m cần tìm.

 f ′ ( x ) < 0 x > 2 Khi  thì  ⇒ g′( x) < 0 . 2  x < −1 −3 ( x − x − 2 ) < 0

Chọn D. Ví

 f ′ ( x ) > 0 Khi −1 < x < 2 thì  ⇒ g′( x) > 0 . 2 −3 ( x − x − 2 ) > 0

dụ

Cho

hàm

B. 7.

Chọn B.

D. 5.

số

hàm

y = f ( x)

có

đạo

Hướng dẫn giải

hàm

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm số f ( x ) nên

f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x 2 − 2 x ) với ∀x ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên 2

hàm số g ( x ) = f ( x ) có đúng 5 điểm cực trị ⇔ f ( x ) có 2 điểm

dương của tham số m để hàm số f ( x 2 − 8 x + m ) có 5 điểm cực trị? A. 17.

B. 16.

C. 14.

D. 15.

cực trị dương ⇔ f ′ ( x ) = 0 có 2 nghiệm bội lẻ phân biệt và dương

( *) .

Hướng dẫn giải

x = 1 x = 2  Xét f ′ ( x ) = 0 ⇔  2 ( x − 3) = 0   x 2 + 2mx + 5 = 0 (1) .

Đặt g ( x ) = f ( x 2 − 8 x + m ) . 2

Ta có: f ′ ( x ) = ( x − 1) x ( x − 2 ) suy ra

g ′ ( x ) = ( 2 x − 8) f ′ ( x 2 − 8 x + m ) 2

Để thỏa mãn (*) ta có các trường hợp sau:

= ( 2 x − 8 ) ( x − 8 x + m − 1) ( x − 8 x + m )( x − 8 x + m − 2 ) . 2

hàm

cực trị? C. 9.

Cho

đạo

nhiêu số nguyên m > −20 để hàm số g ( x ) = f ( x ) có đúng 5 điểm

A. 6.

có

Vậy hàm số g ( x ) có hai điểm cực trị.

dụ

y = f ( x)

f ′ ( x ) = ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) ( x 2 + 2mx + 5 ) với mọi x ∈ ℝ . Có bao

Tức là g ′ ( x ) đổi dấu khi đi qua 2 điểm x = −1 và x = 2 .

Ví

số

+) (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm khi và chỉ khi

x = 4  2 2 ( x − 8 x + m − 1) = 0 (1) g′( x) = 0 ⇔  2 ( x − 8 x + m ) = 0 ( 2)  2 ( x − 8 x + m − 2 ) = 0 ( 3)

∆′ = m 2 − 5 ≤ 0 ⇔ − 5 ≤ m ≤ 5 . Do m nguyên âm nên m ∈ {−2; −1;0;1; 2} .

Chú ý: Khi phương trình f(x)=0 nhận x=x0 là nghiệm thì f(x0)=0. Sau khi tìm được m, ta cần thử lại.

+) (1) có 2 nghiệm dương phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1, nghiệm còn lại khác 2.

Các phương trình (1) , ( 2 ) , ( 3) không có nghiệm chung từng đôi

Ta có (1) nhận x = 1 là nghiệm khi 12 + 2.1.m + 5 = 0 ⇒ m = −3 .

một và (1) nếu có các nghiệm thì nghiệm ấy là nghiệm bội chẵn.

Khi m = −3 , thế vào (1) ta thấy phương trình có 2 nghiệm dương

Suy ra g ( x ) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi ( 2 ) và ( 3) đều có 2

phân biệt là x = 1 và x = 5 . Vậy m = −3 thỏa mãn. Trang 93

Trang 94

+) (1) có 2 nghiệm dương phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 2, nghiệm còn lại khác 1. 9 Nếu (1) nhận x = 2 là nghiệm thì 22 + 2.2.m + 5 = 0 ⇒ m = − ∉ ℤ . 4 Trường hợp này không có giá trị nguyên của m thỏa mãn. Vậy m ∈ {−3; −2; −1; 0;1; 2} .

Số cực đại của hàm số g ( x ) =  f ( 2 x 2 + x ) là

Chọn A. Ví dụ 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và bảng

xét dấu đạo hàm như sau:

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Bình luận: Thực ra không cần phải so sánh x1,

Ta có 1  x = − 4  g ′ ( x ) = 2. ( 4 x + 1) . f ′ ( 2 x 2 + x ) . f ( 2 x 2 + x ) = 0 ⇔  f ′ ( 2 x 2 + x ) = 0   f ( 2 x 2 + x ) = 0. 

Hàm số g ( x ) = 3 f ( − x 4 + 4 x 2 − 6 ) + 2 x 6 − 3 x 4 − 12 x 2 có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có  x = −1  2 x 2 + x = −2 f ′ ( 2x2 + x) = 0 ⇔  2 ⇔ x = 1 . 2 x + x = 1  2

Hướng dẫn giải

(

)

2 Ta có: g ′ ( x ) = −12 x ( x 2 − 2 )  f ′ −2 − ( x 2 − 2 ) − ( x 2 + 1)  .  

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f ( x ) = 0 ⇔ x = x0 > 1.

Dựa vào bảng xét dấu, ta có f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .

Khi đó f ( 2 x 2 + x ) = 0 ⇔ 2 x 2 + x − x0 = 0.

Ta có −2 − ( x 2 − 2 ) ≤ −2 nên ⇒ f ′  −2 − ( x 2 − 2 )  ≤ 0.   2

Vì ac = 2 ( − x0 ) < 0 nên phương trình này luôn có 2 nghiệm trái dấu

2 Suy ra f ′  −2 − ( x 2 − 2 )  − ( x 2 + 1) < 0, ∀x ∈ ℝ.  

là 1 + 8 x0 1 + 8 x0 1 1 x1 = − − ; x2 = − + . 4 4 4 4

x = 0 Do đó g ′ ( x ) = 0 ⇔  , cả 3 nghiệm đều là nghiệm bội lẻ. x = ± 2

(

)

Vì −12 f ′ −2 − ( x 2 − 2 ) − ( x 2 + 1) > 0 nên g ′ ( x ) cùng dấu với h ( x ) = x ( x 2 − 2 ) nên dễ thấy hàm số g ( x ) có 2 điểm cực tiểu.

x2 với -1,

1 , ta chỉ cần biết các 2

nghiệm ấy bội lẻ, phân biệt và kiểm tra xem đạo hàm có đổi dấu từ dương sang âm mấy lần. Để xét dấu, ta để ý rằng khi qua mỗi nghiệm bội lẻ thì đạo hàm đổi dấu. Công việc còn lại chỉ cần xét dấu ở 1 khoảng nào đó (do liên tục). Do lúc này chúng ta không cần so sánh các nghiệm, nên ta sẽ cho

x → +∞ thì (4 x + 1) → +∞ f ' (2 x 2 + x) → −∞ và f (2 x 2 + x) → −∞ nên g’(x)>0 trong khoảng nghiệm lớn nhất đến

+∞ và ta cũng có bảng xét dấu

1 1+ 8 1 1+ 8 1 Ta có x1 < − − < −1 và x2 > − + = , ∀x0 > 1 . 4 4 4 4 2

g’(x) như bên.

Ta có bảng xét dấu của g ′ ( x ) :

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm 2 lần nên có hai điểm cực đại.

Chọn D. Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Từ đó suy ra hàm số g ( x ) chỉ có 2 điểm cực đại.

Chọn B. Ví dụ 8. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ , có bảng biến thiên

Trang 95

Trang 96

f ′ ( x ) như hình vẽ dưới đây

trị? A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn giải Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − m. Cho Số

điểm

cực

trị

của

g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) − m = 0 ⇔ ( x 2 − 6 x + 5)( x 2 − 6 x + 8 ) − m = 0.

số

hàm

1 2 g ( x ) = f ( x3 − 3x ) − x 5 − x3 + 3 x + 20 trên đoạn [ −1; 2] là 5 3 A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Đặt t = ( x − 3) , t ≥ 0 , phương trình trở thành:

( t − 4 )( t − 1) − m = 0 ⇔ t 2 − 5t + 4 − m = 0 (1) . Hàm số g ( x ) = f ( x ) − mx có 4 điểm cực trị khi và chỉ khi (1) có 2

Hướng dẫn giải

 ∆ = 25 − 4 ( 4 − m ) > 0  9 nghiệm dương phân biệt ⇔  S = 5 > 0 ⇔ − < m < 4. 4 P = 4 − m > 0 

Ta có: g ′ ( x ) = ( x 2 − 1) 3 f ′ ( x3 − 3 x ) − x 2 − 3 . Dễ

thấy

khi

x ∈ [ −1; 2] thì

− 3x ) ∈ [ −2; 2]

và

khi

ấy

 9  Do m nguyên và m ∈  − ; 4  nên m ∈ {−2; −1; 0;1; 2;3} .  4 

f ′ ( x3 − 3 x ) ∈ [ −3;1] . Suy ra 3 f ′ ( x3 − 3 x ) − x 2 − 3 ≤ 0 .

Chọn B.

 f ′ ( x3 − 3 x ) = 1 Dấu " = " xảy ra khi  ⇒ f ( 0 ) = 1 (vô lí). 2  x = 0

Ví

Vậy 3 f ′ ( x3 − 3 x ) − x 2 − 3 < 0, ∀x ∈ [ −1; 2] .

nguyên của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) − m 2 x − 2m có 2

Khi đó g ′ ( x ) = 0 ⇔ x = ±1 (đều có 2 nghiệm đơn).

điểm cực trị?

dụ

10.

Cho

hàm

số

y = f ( x)

có

đạo

hàm

f ′ ( x ) = x 8 − x 2 , ∀x ∈  − 8; 8  . Có tất cả bao nhiêu giá trị

Bảng xét dấu g ′ ( x ) , x ∈ [ −1; 2] là

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 2.

Hướng dẫn giải Hàm số g ( x ) = f ( x ) − m 2 x − 2m xác định trên  − 8; 8  .

Đạo hàm g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − m 2 = x 8 − x 2 − m2 .

1 2 Vậy hàm số g ( x ) = f ( x3 − 3x ) − x 5 − x3 + 3 x + 20 trên đoạn 5 3

Hàm số g ( x ) = f ( x ) − m 2 x − 2m có 2 điểm cực trị khi g ′ ( x ) = 0

[ −1; 2] chỉ có 1 điểm cực trị.

có 2 nghiệm phân biệt và g ′ ( x ) đổi dấu qua các nghiệm đó

Chọn C. Ví

dụ

Cho

hàm

số

y = f ( x)

có

đạo

Ta có: x 8 − x 2 − m2 = 0 ⇔ x 8 − x 2 = m2

hàm

(1) .

(*) .

Xét hàm số h ( x ) = x 8 − x 2 , x ∈  − 8; 8  .

f ′ ( x ) = ( x − 1)( x − 2 )( x − 4 )( x − 5 ) với x ∈ ℝ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) − mx có 4 điểm cực Trang 97

Trang 98

Có h′ ( x ) =

8 − 2x2 8 − x2

. Cho h′ ( x ) = 0 ⇔ x = ±2.

Bảng biến thiên của hàm h ( x ) :

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

( *)

Hàm số g ( x ) =  f ( x )  là có tối đa 2 nghiệm hay

g ′ ( x ) = 0 có tối đa 2 nghiệm.

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 2 ( x 2 − 3 x + 2 )( x 2 − x ) với mọi x ∈ ℝ . Có bao nhiêu

 −2 < m < 2 Vậy (1) ⇔ 0 < m2 < 4 ⇔  m ≠ 0.

giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f ( x 2 − 16 x + 2m ) có 5 điểm cực trị?

Vì m nguyên nên m ∈ {−1;1} .

A. 30.

Chọn D.

B. 31.

C. 32.

D. 33.

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x − 2mx + 5 ) . Có bao nhiêu số nguyên 2

m ∈ [ −21; 20] sao cho hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) có 3 điểm cực trị?

Bài tập tự luyện dạng 7 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đạo hàm y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

A. 5.

B. 24.

C. 6.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( −12;12 ) sao

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x

cho hàm số y = f ( x ) + mx + 12 có đúng 1 điểm cực trị ?

của m để hàm số f ( x ) có đúng 1 điểm cực trị?

A. 16.

B. 20.

C. 18.

D. 19.

A. 4.

B. 6.

( x + 1) ( x

C. 5.

D. 25. 2

+ 2mx + 5 ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên

D. 7.

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) trên ℝ và có đồ thị hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ. Hàm

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) = ( x + 3)( x − 1)( x − 2 ) , ∀x ∈ ℝ và hàm số

g ( x ) = f ( x 2 − 3 x + 4 ) có bao nhiêu điểm cực trị?

y = g ( x ) = 6 f ( x ) + 2 x 3 + 3 ( m + 1) x 2 − 6 ( m + 2 ) x + 2019 . Gọi S = ( −∞; a ) ∪ ( b; c ) với a, b, c ∈ ℝ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = g ( x ) có 3 cực trị. Giá trị của a + 2b + 3c bằng A. 12.

B. 16.

C. 14.

D. 18.

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm f ′ ( x ) = ax + bx + c như hình vẽ 2

bên với a, b, c ∈ ℝ . Hàm số g ( x ) = f ( x 2 + 2 x + 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

A. 2.

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) trên ℝ . Đồ thị của hàm số

B. 3.

C. 5.

D. 4.

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị của đạo hàm f ′ ( x ) như hình vẽ.

y = f ( x ) như hình vẽ. Trang 99

Trang 100

Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( 2 x − x 2 ) có bao nhiêu điểm cực đại? A. 2.

B. 1.

C. 0.

Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f 3 ( x ) + 4 f 2 ( x ) + 5 f ( x ) + 6 là

D. 3.

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 2.

Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới.

Hàm số g ( x ) = 15 f ( − x 4 + 4 x 2 − 6 ) + 10 x 6 − 15 x 4 − 60 x 2 đạt cực tiểu tại điểm x0 < 0 . Chọn mệnh đề đúng  5  A. x0 ∈  − ; −2  .  2 

3  B. x0 ∈  −2; −  . 2 

 3  C. x0 ∈  − ; −1 .  2 

D. x0 ∈ ( −1;0 ) .

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới đây.

Xét hàm số g ( x ) = 3 f ( x 2 − 2 ) +

3 4 x − 3 x 2 . Hàm số g ( x ) đạt cực đại tại điểm 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số h ( x ) = f 2 ( x ) + 4 f ( x ) − 6 + m 2 có đúng 3

điểm cực trị? A. 4.

B. 5.

C. 7.

D. 6.

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

A. x = 0 .

B. x = 1 .

C. x = −1 .

D. x = 3 .

2 2 Câu 12 : Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 3 − x 2 − x + 3, ∀x ∈ ℝ. Số điểm cực trị của hàm 9 9 2

số y = g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) là A. 1.

B. 2.

Hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + x 2 đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? C. 4.

D. 3.

A. x = 1 .

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

B. x = 0 .

C. x = −1 .

D. x = 2 .

Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức bậc bốn có f (1) = 0 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình

vẽ

Trang 101

Trang 102

Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 x ) là A. 5.

Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) =  f ( x 2 − 2 x )  là A. 7.

B. 3.

B. 9.

C. 11.

D. 7.

Đáp án bài tập tự luyện dạng 7. C. 6.

D. 5.

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị hàm số

1- B

2- D

3- D

4- A

5- B

6- D

7- B

8- B

9- B

10- C

11- A

12- D

13- C

14-C

15- C

16- A

17- D

18- A

19- D

20- C

y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

3 g ( x ) =   f ( x + 1)  + m  có 2 điểm cực trị?  

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị như

hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − 5 f ( x ) là A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng hàm số đồng

biến trên ( −∞; −4 ) và nghịch biến trên ( 2; +∞ ) . Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = 2 f ( x) + 2 − 4

A. 5.

B. 6.

C. 8.

f ( x)

là

D. 7.

Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ , có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

Trang 103

Trang 104

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Mục tiêu

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D.

Kiến thức

+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≤ M với mọi

+ Biết và hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số. + Biết các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng, trên một đoạn

x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M .

+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , khi biết bảng biến thiên của

Kí hiệu: M = max f ( x )

hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ( x ) hoặc đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) .

+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≥ m với mọi

Kĩ năng

x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m

+ Biết lập, đọc bảng biến thiên của một hàm số để từ đó tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. + Tính được đạo hàm của các hàm số hợp, nhận biết được mối liên hệ của hàm số

Kí hiệu: m = min f ( x ) D

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , khi biết bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ( x ) hoặc đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) + Biết chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều về khảo sát hàm

Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu

f ( x ) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M .

một biến số + Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … khi biết bảng

Kí hiệu: M = max f ( x ) D

biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f ( x ) ( y = f ′ ( x ) )

Cho hàm số

y = f ( x ) xác định trên tập D

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu

f ( x ) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m . Kí hiệu: m = min f ( x ) D

Trang 1

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác

Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng

sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ

Phương pháp giải

Ta thực hiện các bước sau

Radian.

Ví dụ: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x + 1 Ví dụ mẫu

trên khoảng (0; 2) là A. 1

B. 3

C. 0

D. -1

1 2 1 Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) = − x 6 + x 5 − x 2 + x + 1 . 3 5 2 Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2).

A. max f ( x ) =

17 30

B. max f ( x ) =

C. max f ( x ) =

67 30

D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất

ℝ

Ta có y ′ = 3 x 2 − 3 Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho

khoảng). Bước 2. Tính y ′ = f ′ ( x ) ; tìm các điểm mà đạo

hàm bằng không hoặc không xác định.

ℝ

 x = −1 y ′ = 0 ⇔ 3x 2 = 3 ⇔  x = 1

Hướng dẫn giải

Vì ta đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại

Tập xác định D = ℝ

giá trị x = −1

Ta có f ′ ( x ) = −2 x5 + 2 x 4 − x + 1 = − ( x − 1) ( 2 x 4 + 1)

Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2)

Khi đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ − ( x − 1) ( 2 x 4 + 1) = 0 ⇔ x = 1

ℝ

47 30

Bảng biến thiên

Bước 3. Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số min y = −1 đạt tại x = 1 ( 0; 2)

Bước 4. Kết luận

Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f ( x ) = ℝ

Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải.

47 tại x = 1 30

Chọn B

Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số y = f ( x ) trên miền (a; b) ta sử dụng máy

Ví dụ 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =

tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng

Khi đó giá trị của biểu thức P =

giá trị) A.

Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá

trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất

22 5

6 − 8x trên khoảng ( −∞; 1) x2 + 1

6 − 8a bằng a2 + 1

6 13

C. −

58 65

D. −

74 101

Hướng dẫn giải

hiện là min.

Hàm số liên tục trên khoảng ( −∞; 1)

- Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b

Ta có f ′ ( x ) =

b−a Step (có thể làm tròn để Step đẹp). 19

Trang 3

8 x 2 − 12 x − 8

+ 1)

Trang 4

 x = 2 ∉ ( −∞; 1) Khi đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ 8 x − 12 x − 8 = 0 ⇔   x = − 1 ∈ ( −∞; 1)  2

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

A. min y = 8

x2 trên (2; 6) là x−2

B. min y = 4

( 2; 6 )

C. min y = 3

( 2; 6 )

Bảng biến thiên

( 2; 6 )

D. min y = 9 ( 2; 6 )

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. min y = 3

x − x +1 trên khoảng (1; + ∞ ) là x −1

B. min y = 1

(1; +∞ )

C. min y = 2

(1; +∞ )

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là đúng với hàm số y =

x +1 x2 + 5

D. min y = 0 (1; +∞ )

trên tập xác định của nó?

A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f ( x ) = 8 ⇒ P = ( −∞ ; 1)

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất

6 − 8a 58 =− a2 +1 65

C. Hàm số có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất

Chọn C

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + x2 − x + 1 Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) = 2 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x + x +1

B. min f ( x ) =

C. min f ( x ) = 3

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất

ℝ

B. -3

(

)

trên khoảng ( 0; + ∞ ) là

C. −1 + 2

1 3

A. min f ( x ) = 1 ℝ

A. không tồn tại

2 − 1+ 2 x

D. 0

ĐÁP ÁN 1-A

2-A

3-D

4-B

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ Ta có

y = f ( x) = 1 −

2 ( x 2 + x + 1) − 2 x ( 2 x + 1) 2x 2x2 − 2 ⇒ y′ = − = 2 2 x + x +1 ( x 2 + x + 1) ( x 2 + x + 1) 2

Do đó y ′ = 0 ⇔ 2 x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy min f ( x ) = ℝ

1 tạ i x = 1 3

Bài tập tự luyện dạng 1 Trang 5

Trang 6

A. 8

Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn Phương pháp giải

B. 10

C. 6

D. 4

Hướng dẫn giải Hàm số xác định và liên tục trên [0; 3]

 x = 0 ∈ [ 0; 3] Ta có y ′ = 0 ⇔ −3x 2 + 6 x = 0 ⇔   x = 2 ∈ [ 0; 3] Khi đó y ( 0 ) = 2, y ( 2 ) = 6, y ( 3) = 2 Vậy M = 6; m = 2 ⇒ M + m = 8

Chọn A. Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y = − x 4 + 3 x 2 + 1 trên [-1; 2] là Bước 1. Tính f ′ ( x )

A. 29

B. 1

C. 3

Bước 2. Tìm các điểm xi ∈ ( a; b ) mà tại đó f ′ ( xi ) = 0 hoặc f ′ ( xi ) không xác định

Hướng dẫn giải

Bước 3. Tính f ( a ) , f ( xi ) , f ( b )

Hàm số xác định và liên tục trên [-1; 2]

Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

  x = 0 ∈ [ −1; 2]  6 Ta có y ′ = −4 x3 + 6 x − 2 x ( 2 x 2 − 3) ⇒ y ′ = 0 ⇔  x = ∈ [ −1; 2]  2   x = − 6 ∉ −1; 2 [ ]  2

Khi đó M = max f ( x ) và m = min f ( x ) [a ; b]

[a ; b]

Chú ý:

13 4

89 4

 6  13 13 Vì y ( 0 ) = 1; y  y=  = 4 ; y ( 2 ) = −3; y ( −1) = 3 nên max [ −1; 2] 2 4   Chọn D 2

Ví dụ 3. Cho hàm số y = A. 16  max f ( x ) = f ( b ) +) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên đoạn [a; b] thì   min f ( x ) = f ( a )

2 x+2 . Giá trị của  min y  +  max y  bằng  [2; 3]   [2; 3]  x −1

45 4

25 4

Hướng dẫn giải

Ta có y ′ =

max f ( x ) = f ( a ) +) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên đoạn [a; b] thì  min f ( x ) = f ( b )

−3

( x − 1)

< 0, ∀x ≠ 1 , do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; 1) ; (1; + ∞ ) ⇒ Hàm số

nghịch biến trên [2; 3]. Do đó min y = y ( 3) = [2; 3]

Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên một đoạn [a; b] Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 + 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên

5 ; max y = y ( 2 ) = 4 2 [2; 3] 2

2 2 89 5 Vậy  min y  +  max y  =   + 42 =  [2; 3]   [2; 3]  4 2

Chọn D

[0; 3]. Giá trị của M + m bằng

Trang 7

Trang 8

Ví dụ 4. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = A.

−15 4

x = 0 ∈ D Ta có y ′ = 0 ⇔ 6 x 2 − 6 x = 0 ⇔   x = 1∈ D

x2 − 8x trên đoạn [1; 3] bằng x +1

−7 2

C. −3

f ( 0 ) = m; f (1) = m − 1; f ( 5 ) = 175 + m

D. −4

Dễ thấy f ( 5 ) > f ( 0 ) > f (1) , ∀m ∈ ℝ nên min f ( x ) = f (1) = m − 1

Hướng dẫn giải

[0; 5]

x − 8x liên tục trên [1; 3] x +1

Hàm số f ( x ) =

f ′( x) =

Theo đề bài min f ( x ) = 5 ⇔ m − 1 = 5 ⇔ m = 6 [0; 5]

Chọn A.

( 2 x − 8 )( x + 1) − x 2 + 8 x x2 + 2 x − 8 = 2 2 ( x + 1) ( x + 1)

Ví dụ 7. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y =

 x = 2 ∈ [1; 3] f ′ ( x ) = 0 ⇔ x2 + 2 x − 8 = 0 ⇔   x = −4 ∉ [1; 3]

các giá trị thực của tham số m để A + B =

−7 −15 ; y ( 3) = ; y ( 2 ) = −4 2 4

Ta thấy y (1) =

Vậy max f ( x ) = [1; 3]

−7 2

A. m = 1; m = −2

B. m = −2

C. m = ±2

D. m = −1; m = 2

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]

Ví dụ 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x

Ta có y ′ =

− ( m 2 + m + 1)

( x − 1)

Giá trị của biểu thức P = M + m bằng

(

)

B. 2

2 −1

(

)

2 +1

2 −1

Hướng dẫn giải

Ta có y ′ = 1 −

x 4 − x2

4 − x2 − x 4 − x2

(

m2 + m + 3 ; B = y ( 2) = m2 + m + 2 2

Do đó A + B =

m2 + m + 3 13 13 ⇔ + m2 + m + 2 = 2 2 2

, x ∈ ( −2; 2 ) Chọn A

Ví dụ 8. Biết hàm số y = x3 + 3mx 2 + 3 ( 2m − 1) x + 1 (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn

)

nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là

2; y − 2 = 0; y ( 2 ) = 2; y ( −2 ) = −2

Vậy M = 2 2, m = −2 ⇒ P = 2 2 − 2 = 2

(

A. m = 1

)

2 −1

B. m = 0

C. m = 3

D. m = −1

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có y ′ = 3 x 2 + 6mx + 3 ( 2m − 1) = 3  x 2 + 2mx + 2m − 1

 x = −1 y′ = 0 ⇔   x = 1 − 2m

Ví dụ 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x3 − 3x 2 + m trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng A. 6

< 0, ∀m

m = 1 ⇔ 3m2 + m − 6 = 0 ⇔   m = −2

 x ≥ 0 y ′ = 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔   x = ±2 ∈ ( −2; 2 )

( 2) = 2

⇒ A = y ( 3) =

Tập xác định D = [ −2; 2]

13 là 2

Hướng dẫn giải

Chọn B

A. 2

x + m2 + m trên đoạn [2; 3]. Tất cả x −1

B. 10

C. 7

D. 5

Vì y ( −2 ) = −1; y ( 0 ) = 1 và theo bài ra max y = 6 nên giá trị lớn nhất không đạt tại x = −2; x = 0 . Do đó [−2; 0]

Hướng dẫn giải

giá trị lớn nhất đạt tại y ( −1) hoặc y (1 − 2m ) .

Hàm số xác định và liên tục trên D = [ 0; 5]

Ta có y ( −1) = −3m + 3, y (1 − 2m ) = (1 − 2m ) ( m − 2 ) + 1 Trang 9

Trang 10

A. 48

- Trường hợp 1: Xét −3m + 3 = 6 ⇔ m = −1

 x = −1 ∈ [ −2; 0] Thử lại với m = −1 , ta có y ′ = 0 ⇔  nên m = −1 là một giá trị cần tìm.  x = 3 ∉ [ −2; 0] (1 − 2m )2 ( m − 2 ) = 5 (1 − 2m )2 ( m − 2 ) + 1 = 6  - Trường hợp 2: Xét  ⇔ 1 3 −2 < 1 − 2m < 0  <m< 2 2 Vì

B. 52

C. -102

D. 0

Hướng dẫn giải Bảng biến thiên của hàm số y = x3 − 9 x 2 + 24 x − 68 trên [ −1; 4]

(1)

1 3 2 < m < ⇒ m − 2 < 0 ⇒ (1 − 2m ) ( m − 2 ) < 0 nên (1) vô nghiệm 2 2

Chọn D Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 68 trên đoạn [ −1; 4] là

Bài toán 2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b] Phương pháp giải Ví dụ: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số

Thực hiện theo các bước sau

y = x 2 − 2 x − 2 trên đoạn [-1; 1] lần lượt là a, b thì giá trị của a + b bằng

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải Xét hàm f ( x ) = x 2 − 2 x − 2 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x − 2

Chọn A

f ′ ( x) = 2x − 2 = 0 ⇒ x = 1

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b ] , giả sử thứ tự là M, Suy ra max y = f ( −1) = 1; min y = f (1) = −3 [−1; 1]

Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M = −48 < 0 ⇒ min y = 48

[−1; 1]

Do đó giá trị lớn nhất y = −3 = 3 ⇒ a = 3 tại x = 1 và giá trị nhỏ nhất y = 0 ⇒ b = 0 tại x = 1 − 3

Bước 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 68 trên đoạn [ −1; 4] bằng 48.

Bài toán 3. Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau

+) Tìm max y = max { M ; m } [ a ; b]

+) Tìm min y

Ví dụ: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

[a ; b]

x 2 + mx + m trên đoạn [1; 2] bằng 2. x +1

- Trường hợp 1: M .m < 0 ⇒ min y = 0

Số phần tử của tập S là

- Trường hợp 2: m ≥ 0 ⇒ min y = m

A. 3

B. 1

Vậy giá trị a + b = 3 + 0 = 3

C. 4

D. 2

Chọn B

Hướng dẫn giải

[ a; b]

[ a ; b]

- Trường hợp 3: M ≤ 0 ⇒ min y = M = − M [a ; b]

Bước 1. Tìm max f ( x ) = max { A ; B }

Bước 3. Kết luận.

[α ; β ]

Xét hàm số y = f ( x ) =

[α ; β ]

Ta có y ′ = Ví dụ mẫu

x2 + 2x

( x + 1)

x 2 + mx + m x +1

 x = 0 ∉ [1; 2] =0⇔  x = −2 ∉ [1; 2]

Ví dụ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 68 trên đoạn [-1; 4] bằng Trang 11

Trang 12

Mặt khác f (1) =

Tổng các phần tử của S là 136.

2m + 1 3m + 4 ; f ( 2) = 2 3

Chọn D

 2m + 1 3m + 4  Do đó max y = max  ;  [1; 2] 3   2

Ví dụ 2. Biết giá trị lớn nhất của hàm số y =

4 − x2 + x −

- Trường hợp 1: Bước 2. Xét các trường hợp

+) A = k tìm m, thử lại các giá trị m đó +) B = k tìm m, thử lại các giá trị m đó

Mệnh đề nào sau đây đúng?

3  m = 2 2m + 1 max y = =2→ [1; 2] 2 m = − 5  2 +) Với m =

5 3m + 4 7 ⇒ = < 2 (thỏa mãn) 2 3 6

2 2m + 1 7 ⇒ = < 2 (thỏa mãn) 3 2 6 10 2m + 1 17 ⇒ = > 2 (loại) 3 2 6

Chọn D

Ta có g ′ ( x ) =

−x 4 − x2

1 liên tục trên tập xác định [-2; 2] 2

+1 ⇒ g′( x) = 0 ⇔

+ 1 = 0, x ∈ ( −2; 2 )

( 2 ) = −1 +24

Do đó max g ( x ) = [−2; 2]

Theo bài ra

; g ( 2) =

3 2

5 5 khi x = −2 , suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng + m 2 2

5 + m = 18 ⇔ m = 15, 5 . Vậy 15 < m < 20 2

Chọn D

Phương pháp giải

Ví dụ 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Ví dụ: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

Thực hiện các bước sau

1 4 x − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng 4

A. 108

B. 120

C. 210

y = x 2 + 2 x + m − 4 trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị

D. 136

nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng

Hướng dẫn giải Xét hàm số g ( x ) =

−x 4 − x2

Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN

Ví dụ mẫu

f ( x) =

D. 15 < m < 20

5 g ( −2 ) = − ; g 2

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Bước 3. Kết luận

C. 5 < m < 10

x ≥ 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔  ⇔ x = 2 ∈ ( −2; 2 ) 2 2 4 − x = x

2  m = 3 3m + 4 max y = =2⇔ [1; 2] 3  m = − 10  3

+) Với m = −

B. 10 < m < 15

Xét hàm số g ( x ) = 4 − x 2 + x −

- Trường hợp 2:

+) Với m =

A. 0 < m < 5 Hướng dẫn giải

3 3m + 4 17 ⇒ = > 2 (loại) 2 3 6

+) Với m = −

1 + m bằng 18. 2

1 4 x − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn [0; 2] 4

A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải

 x = −6 ∉ [ 0; 2]  3 Ta có g ′ ( x ) = x − 28 x + 48 ⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 ∈ [ 0; 2]   x = 4 ∉ [ 0; 2]

Đặt f ( x ) = x 2 + 2 x Bước 1. Tìm α = max f ( x ) ; β = min f ( x ) [a ; b]

 g ( 0 ) ≤ 30  m − 30 ≤ 30 Để max g ( x ) ≤ 30 ⇔  ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 16 0; 2 [ ]  m + 14 ≤ 30  g ( 2 ) ≤ 30

[ a ; b]

Ta có f ′ ( x ) = 2 x + 2; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∈ [ −2; 1] f ( −2 ) = 0; f (1) = 3; f ( −1) = −1 Do đó max f ( x ) = 3; min f ( x ) = −1

⇒ m ∈ {0;1; 2;...; 15; 16}

[ −2; 1]

Trang 13

[ −2; 1]

Trang 14

Suy ra max y = max { m − 5 ; m − 1 }

≥

[−2; 1]

Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của

≥

y = f ( x ) + g ( m ) thì

≥

5 − m + m −1

{

α + g ( m) + β + g ( m) 2

}

 m − 5 = m − 1 ⇒ m = 3 (thỏa mãn)  ( 5 − m )( m − 1) ≥ 0

α + g ( m) + −β − g ( m)

1 2

 3m − 4 = 3m − 5 3 Dấu bằng xảy ra ⇔  ⇒ m = (thỏa mãn) 2 ( 5 − 3m )( 3m − 4 ) ≥ 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

M = max α + g ( m ) ; β + g ( m ) ≥

m − 5 + m −1

5 − 3m + 3m − 4

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi m =

3 2

Chọn A

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Bài toán 5. Tìm tham số để GTNN của hàm số y = |ax2 + bx + c| + mx đạt GTLN

α + g (m) = β + g (m)

Ví dụ 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x, m ) = x 2 − 2 x + 5 + mx đạt giá trị lớn nhất bằng

Áp dụng bất đẳng thức

≥

α + g ( m) − β − g ( m) 2

A. 2

α + g ( m) + −β − g ( m )

Xét m = 2 ta có f ( x, 2 ) = x 2 − 2 x + 5 + 2 x ≥ x 2 − 2 x + 5 + 2 x ≥ 5, ∀x ∈ ℝ

Dấu bằng xảy ra tại x = 0 . Suy ra min f ( x, 2 ) = 5, ∀x ∈ ℝ

α + g ( m )   − β − g ( m )  ≥ 0

g ( m) =

 min f ( x, m ) ≤ 5, ∀m ∈ ℝ Do đó  ⇒ max ( min f ( x, m ) ) = 5 , đạt được khi m = 2  min f ( x, 2 ) = 5, ∀x ∈ ℝ

Chọn B

α −β 2

Chọn B.

khi

Tổng quát: y = ax 2 + bx + c + mx

−α − β 2

Trường hợp 1: a.c > 0 ⇒ max ( min y ) = c Đạt được khi m = −b

Ví dụ mẫu Ví dụ. Để giá trị lớn nhất của hàm số y = 3 A. m = 2

Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x, m ) = x 2 − 4 x − 7 + mx đạt giá trị lớn nhất bằng

2 x − x 2 − 3m + 4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

5 B. m = 3

4 C. m = 3

A. 7

1 D. m = 2

Ta có min f ( x, m ) ≤ f ( x, m ) = mx1 ≤ 0, ∀m ∈ ℝ Xét m = 0 ta có f ( x, 0 ) = x 2 − 4 x − 7 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Dấu bằng xảy ra tại x = x1, 2 .

⇒ f ′( x) = 0 ⇔ x = 1

Suy ra min f ( x, 0 ) = 0, ∀x ∈ ℝ  min f ( x, m ) ≤ 0, ∀m ∈ ℝ Do đó  ⇒ max ( min f ( x, m ) ) = 0 khi m = 0  min f ( x, 0 ) = 0, ∀x ∈ ℝ

f ( 0 ) = 0; f ( 2 ) = 0; f (1) = 1 Suy ra P = max y = max { 3m − 4 ; 3m − 5 } ≥ D

D. 4

Trường hợp 1: Nếu m ≥ 0

Đặt f ( x ) = 2 x − x 2 , x ∈ D .

2x − x2

C. 0

Phương trình x 2 − 4 x − 7 = 0 luôn có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2

Tập xác định D = [ 0; 2]

1− x

B. -7

Hướng dẫn giải

Ta có f ′ ( x ) =

D. 9

Ta có min f ( x, m ) ≤ f ( 0, m ) = 5, ∀m ∈ ℝ

α −β

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Bước 3. Kết luận min M =

C. 8

Hướng dẫn giải

B. 5

3m − 4 + 3m − 5

Trường hợp 2: Nếu m < 0

Ta có min f ( x, m ) ≤ f ( x2 , m ) = mx2 < 0, ∀m ∈ ℝ ⇒ max ( min f ( x, m ) ) < 0 Trang 15

Trang 16

So sánh cả hai trường hợp thì max ( min f ( x, m ) ) = 0 khi m = 0

Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 72 x + 90 + m trên đoạn [-5; 5] bằng 2018. Trong

Chọn C

các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng? A. 1600 < m < 1700

Trường hợp 2: a.c < 0 ⇒ max ( min y ) = 0 Đạt được khi m = 0

B. m = 1600

C. m < 1500

D. 1500 < m < 1600

Câu 10: Để giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = x − 3x + 2m − 1 trên đoạn [ 0; 2] là nhỏ nhất thì giá 3

Bài tập tự luyện dạng 2

trị của m thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 5 − 5 x 4 + 5 x3 + 2 trên

B. 12

C. -12

A. 1 < m0 < 5

x + 2x + 2  1 7 Câu 2: Trên đoạn  − ;  hàm số f ( x ) = đạt giá trị lớn nhất tại x +1  2 3

1 2

B. x0 = 0

C. x0 =

7 3

B. -6

C. 18

B. -1



4

1 C. max f ( x ) = + ; min f ( x ) = 1  π 4 2 0; π  0;   

4



4



Câu 6: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f ( x ) =

A. 5

B. m = −3

B. m = 12

C. m = 0

Câu 8: Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số f ( x ) =

D. -11

B. -4

bằng C. 2

D. -3

Câu 16: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

A. 0

4



B. 2

C. 4

D. 1

y = x3 − 3 x + m trên đoạn [0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là

4

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 3 x 2 + m

trên đoạn [ −2; 4] bằng 50. Tổng các phần tử của tập S là

D. m = 3

A. 4

B. 36

C. 140

D. 0

Câu 18: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

D. m = 8

x −1 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn x + m2

1 [ 2;3] bằng ? 2 A. m = −2

C. -14



1 Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = − x 3 − 3x 2 + m trên đoạn [ −1; 1] bằng 0 khi 2 A. m = 4

B. -13

y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m trên đoạn [ −2; 4] bằng 16. Số phần tử của S là

mx − 1 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1; 3] bằng x+m

C. m = −7

π π ; min f ( x ) = 4 0; π  6

2? A. m = 7

D. 27

Câu 13: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 38 x + 120 x + 4m trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ 4

Câu 15: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

1 1 D. max f ( x ) = + ; min f ( x ) =  π  π 2 4 2 0; 0;     4

C. 14

[ −1;3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất thì a + 2b

 Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + cos 2 x trên đoạn 0;  là  4



B. 13

Câu 14: Xét hàm số y = x + ax + b với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn D.

 π  0; 4   

D. m0 < −8

C. 1

B. max f ( x ) =

A. 26

A. -12

π

1 A. max f ( x ) = ; min f ( x ) = −1  π 2 0; π  0;  

C. −4 < m0 < 0

nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng

D. -4

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + 2 − x 2 trên tập xác định là A. − 2

B. −7 < m0 < −5

[0; 2] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng

D. x0 = 2

M + m có giá trị là

A. -12

D. ( −2; − 1)

Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 − 38 x 2 + 120 x + 4m trên đoạn

Câu 3: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 x − 4 6 − x trên

[ −3; 6] . Tổng

C. (1; 2 )

tham số m để M đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

D. 3

A. x0 = −

B. ( −1; 0 )

Câu 11: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 − 3 x 2 + x + m trên đoạn [ 2; 4] , m0 là giá trị của

đoạn [ −1; 2] . Khi đó M − m có giá trị bằng A. -6

A. ( 0; 1)

1 4 19 2 x − x + 30 x + m − 20 trên đoạn [ 0; 2] không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng 4 2

A. 210

B. -195

C. 105

D. 300

Câu 19: Cho hàm số f ( x ) = x − 4 x + 4 x + a . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4

B. m = 1

C. m = ±1

của hàm số đã cho trên đoạn [ 0; 2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ −3; 2] sao cho M ≤ 2m ?

D. m = ±2

A. 7

Trang 17

B. 5

C. 6

D. 4

Trang 18

Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x, m ) = x 2 − 2020 x + 2019 + mx đạt giá trị lớn nhất khi

Dạng 3: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị - bảng biến thiên Ví dụ mẫu

tham số m bằng A. 2020

B. 2019

C. 0

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ

D. 2018

Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x, m ) = x + 6 x − 10 + mx đạt giá trị lớn nhất bằng 2

A. 6

B. -6

C. 0

D. 10

ĐÁP ÁN 1-B

2-C

3-B

4-A

5-C

6-A

7-D

8-C

9-A

10-A

11-D

12-D

13-B

14-B

15-D

16-B

17-A

18-C

19-D

20-A

21-C

Giá trị lớn nhất của hàm số trên ℝ là A. max y = − ℝ

1 2

B. max y = −1 ℝ

C. max y = 1

D. max y = 3

ℝ

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biên thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = −

1 2

Chọn D Ví dụ 2. Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới

Biết f ( −4 ) > f ( 8 ) , khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ℝ bằng A. 9

B. f ( −4 )

C. f (8 )

D. -4

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) ≥ f ( −4 ) , ∀x ∈ ( −∞; 0] và f ( x ) ≥ f ( 8 ) , ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) . Mặt khác f ( −4 ) > f ( 8 ) suy ra ∀x ∈ ( −∞; + ∞ ) thì f ( x ) ≥ f ( 8 ) Vậy min f ( x ) = f ( 8 ) ℝ

Chọn C

Trang 19

Trang 20

 3 Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập hợp D = ( −∞; − 1] ∪ 1;  và có bảng biến thiên như  2 sau

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta thấy rằng hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục và f ( x ) < 4 , với mọi x ∈ ( −3; 3) , nên hàm số không có giá trị lớn nhất Chọn D Ví dụ 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [ 0; 2] như sau

Khẳng định đúng là A. max f ( x ) = 0 ; không tồn tại min f ( x ) D

B. max f ( x ) = 0 ; min f ( x ) = − 5 D

C. max f ( x ) = 0 ; min f ( x ) = −1 D

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 0; 2] là

D. min f ( x ) = 0 ; không tồn tại max f ( x ) D

Hướng dẫn giải

A. M = 4 và m = 1

B. M = 0 và m = 2

C. M = 2 và m = 0

D. M = 1 và m = 4

3 Dựa vào bảng biến thiên thì max f ( x ) = f ( ±1) = 0; min f ( x ) = f   = − 5 D D 2

Hướng dẫn giải

Chọn B

Chọn A

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên khoảng ( −3; 3) như hình bên dưới

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [ −2; 4] như sau

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy m = min y = 1 khi x = 2 và M = max y = 4 khi x = 0 [0; 2]

[0; 2]

Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −2; 4] bằng A. f ( −2 )

Khẳng định đúng là

B. f ( 0 )

C. f ( 2 )

D. f ( 4 )

Hướng dẫn giải

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max y = 17 khi x = 4 [ −2; 4]

B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4

Chọn D

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -3 D. Hàm số không có giá trị lớn nhất

Trang 21

Trang 22

Ví dụ 7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 3] tại x0 . Khi đó giá trị của x02 − 2 x0 + 2019 bằng bao nhiêu? A. 2018

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ −1; 3] . Giá trị của

M − m bằng A. 1

B. 3

C. 4

B. 2019

C. 2021

D. 2022

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên như sau

D. 5

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị suy ra M = f ( 3) = 3; m = f ( 2 ) = −2 Vậy M − m = 5 Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 3] tại x0 = 2 . Ví dụ 8. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1; 1] và có đồ thị như hình vẽ.

Vậy x02 − 2 x0 + 2019 = 2019 Chọn B Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ −1; 1] . Giá trị của

M − m bằng A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M, m. Giá trị biểu thức P = M 2 + m 2 là

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy M = 1; m = 0 nên M − m = 1

A. P =

Chọn B

1 4

B. P =

1 2

C. 2

D. 1

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng ( −3; 2 ) , Ví dụ 9. Cho đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ

Trang 23

Trang 24

lim + f ( x ) = −5, lim− f ( x ) = 3 và có bảng biến thiên như sau

x →( −3)

Mệnh đề nào sau đây đúng?

x →2

A. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3) B. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3) C. Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3) D. Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3) Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( −3; 2 ) B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -5 C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng ( −3; 2 ) bằng 0.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên khoảng ( −2; 2 ) như hình bên. Khẳng định đúng là

A. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất B. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất C. Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất D. Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn [ −6; 0] như sau

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1 C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1 D. Hàm số không có giá trị lớn nhất

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −6; 0] là

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −5;3) và có bảng biến thiên như sau

A. M = 7 và m = 0

B. M = 0 và m = 6

C. M = 6 và m = 7

D. M = 0 và m = 7

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1; 4] và có bảng biến thiên như sau

Trang 25

Trang 26

A. -4

B. -1

C. -3

D. -2

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn ℝ và có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây sai A. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị lớn nhất trên khoảng ( −1; 4 ) B. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng [ −1; 4 ) C. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng ( −1; 4]

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −1; 1] của hàm số là

D. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −1; 4]

A. min y = −1

 1 Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \  −  và có bảng biến thiên như sau  2

B. min y = 1

C. min y = 0

D. min y = −2

Câu 11: Cho đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

Hàm số y = f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] tại x bằng bao nhiêu?

B. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất

A. x =

C. Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất D. Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất

2 3

B. x = 0

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) =

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −1; 3] và có bảng biến thiên như sau

C. x = 1

ax + b xác định và liên tục trên khoảng cx + b

D. x = 2

1  1   −∞;  và  ; + ∞  . Đồ thị 2  2 

hàm số y = f ( x ) là đường cong trong hình vẽ dưới đây

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) + 2 bằng trên đoạn [ −1; 1] bằng Trang 27

Trang 28

y = 2t 2 + 2t − 1 Bước 2. Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số theo ẩn phụ

Khi đó y ′ = 4t + 2 = 0 ⇒ t =   y ( −1) = −1  Ta có  y (1) = 3  y− 1  = − 3   2  2

Bước 3. Kết luận (Chọn đáp án)

Do đó M = 3; m = − Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. max f ( x ) = f ( 0 )

B. max f ( x ) = f ( −3)

C. max f ( x ) = f ( 4 )

D. max f ( x ) = f ( 2 )

[−1; 0]

Chọn C Ví dụ mẫu

[1; 2]

Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 cos 2 x + 2sin x là

ĐÁP ÁN 2-A

11-C

12-B

3-A

3 2

[−3; 0]

[3; 4]

1-B

−1 ∈ ( −1; 1) 2

4-D

5-D

6-A

7-D

8-B

9-D

10-A

9 A. M = ; m = −4 4

B. M = 4; m = 0

9 4

D. M = 4; m = −

C. M = 0; m = −

9 4

Hướng dẫn giải Dạng 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách đặt ẩn phụ

Ta có y = 2 cos 2 x + 2sin x = 2 (1 − 2sin 2 x ) + 2sin x = −4sin 2 x + 2sin x + 2

Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Đặt t = sin x, t ∈ [ −1; 1] , ta được y = −4t 2 + 2t + 2

Phương pháp giải Ghi nhớ: Điều kiện của các ẩn phụ

Ví dụ: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của

t = sin x - Nếu  ⇒ −1 ≤ t ≤ 1 t = cos x

hàm số y = 2sin 2 x + 2sin x − 1 là

t = cos x - Nếu  ⇒ 0 ≤ t ≤1 2 t = cos x t = sin x - Nếu  ⇒ 0 ≤ t ≤1 2 t = sin x

π  - Nếu t = sin x ± cos x = 2.sni  x ±  4 

B. M = 3; m = −1

3 2

Chọn A

3 D. M = ; m = −3 2

Ví dụ 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

⇒− 2 ≤t ≤ 2

Đặt

t = sin x

3 2

5 2

cos 2 x + cos x + 1

7 2

cos x + 1

bằng

D. 3

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải Bước 1. Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ

1 ∈ ( −1; 1) 4

  y ( −1) = −4  9 Vì  y (1) = 0 nên M = ; m = −4 4   y  1  = 9   4  4

3 A. M = −1; m = − 2

C. M = 3; m = −

Ta có y ′ = 0 ⇔ −8t + 2 = 0 ⇔ t =

với

t ∈ [ −1; 1] ,

được

Trang 29

Đặt t = cos x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1 , ta được y = f ( t ) =

t2 + t +1 với 0 ≤ t ≤ 1 t +1 Trang 30

Vì f ′ ( t ) =

t 2 + 2t

( t + 1)

≥ 0, ∀t ∈ [ 0; 1] nên min f ( t ) = f ( 0 ) = 1; max f ( t ) = f (1) = [0; 1]

[0; 1]

Do đó max y = max f ( x ) − m = max { m + 2 , m + 1 } = max { m + 2 , − m − 1 }

3 2

⇒ max y ≥

Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng min f ( t ) + max f ( t ) = 1 + [0; 1]

[0; 1]

[−2; −1]

ℝ

3 5 = 2 2

m + 2 + −m − 1

≥

( m + 2 ) + ( −m − 1) 2

1 2

 m + 2 = − m − 1 3 Dấu bằng đạt được khi  ⇔m=− 2 ( m + 2 )( − m − 1) ≥ 0

Chọn B

Chọn A Ví dụ 3. Giá trị lớn nhất M của hàm số y = cos x + 3 sin x + 2 là 4

A. M = 2 + 3 C. M =

Ví dụ 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 + 2 cos x + 1 + 2sin x bằng

B. M = 3

5 + 3 4

D. M = 3 + 3

Hướng dẫn giải

C. 1

3 −1

D. 2 − 3

Ta có P 2 = 6 + 4 ( sin x + cos x ) + 2 1 + 2 ( sin x + cos x ) + 4sin x cos x

Đặt t = cos x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1 , ta được y = t + 3 (1 − t ) + 2 với t ∈ [ 0; 1] 2

t2 − 1 π  Đặt t = sin x + cos x = 2.sin  x +  với t ≤ 2 ⇒ sin x cos x = 4 2 

3 ∈ ( 0; 1) 2

Ta có y ′ = 2t − 3 = 0 ⇔ t =

 2  4t + 8t + 4  Xét y = P = 6 + 4t + 2 2t + 2t − 1 =   −4t 2 + 8 

 3 5 Vì y ( 0 ) = 2 + 3; y   = + 3; y (1) = 3 nên M = 2 + 3  2  4

Chọn A

Ví dụ 4. Cho hàm số y =

sin x − ( m + 1) sin x + 2m + 2 sin x − 2

(với m là tham số thực).

Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng

3 2

1 2

3 2

D. −

−1 − 3 −1 + 3 ;t≥ 2 2 −1 − 3 −1 + 3 khi <t < 2 2 khi t ≤

 −1 − 3 −1 + 3 ;t> 8t + 8 khi t <  2 2 ⇒ y′ =  −1 − 3 −1 + 3  −8t khi <t <  2 2

A. −

2 −1

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên

1 2

Hướng dẫn giải

Xét f ( x ) =

sin 2 x − sin x + 2 sin x − 2

Đặt t = sin x ⇒ −1 ≤ t ≤ 1 , ta được f ( t ) =

Ta có f ′ ( t ) = Vì f ( −1) = Hay −2 ≤

t 2 − 4t

(t − 2)

t2 − t + 2 với t ∈ [ −1; 1] t−2

t = 0 ∈ ( −1; 1) = 0 ⇒ t 2 − 4t = 0 ⇒  t = 4 ∉ ( −1; 1)

−4 ; f (1) = −2; f ( 0 ) = −1 nên max f ( t ) = −1 và min f ( t ) = −2 [−1; 1] [−1; 1] 3

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min f ( t ) = 4 − 2 3 =  − 2; 

sin 2 x − sin x + 2 ≤ −1, ∀x sin x − 2

(

)

3 −1

⇒ min P = 3 − 1

Chọn B

Mặt khác y =

2 

sin x − sin x + 2 − m = f ( x ) − m , ∀ − 2 ≤ f ( x ) ≤ −1 sin x − 2

Trang 31

Trang 32

Ví dụ 6. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = sin x + cos 2 x trên đoạn [ 0; π ] là

5 A. max y = [0; π ] 4

B. max y = 1

C. max y = 2

[0; π ]

[ 0; π ]

Ta có y ′ = 9 D. max y = [0; π ] 8

1 2 x −1

−

1 2 −x + 9

= 0 ⇒ x − 1 = − x + 9 ⇒ x = 5 ∈ (1; 9 )

Vì y (1) = y ( 9 ) = 2 2; y ( 5 ) = 4 nên max y = 4; min y = 2 2 .

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t = sin x ⇒ cos 2 x = 1 − 2sin 2 x = 1 − 2t 2 , với x ∈ [ 0; π ] ⇒ t ∈ [ 0; 1]

Nhận xét: với hàm số y = x + a + − x + b ( −a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0 ) thì

Ta được f ( t ) = −2t + t + 1 với t ∈ [ 0; 1]

 y ≥ 0  2  y = a + b + 2 x + a . − x + b

1 Ta có f ′ ( t ) = −4t + 1 = 0 ⇔ t = ∈ ( 0; 1) 4

2  y ≥ a + b ⇒ 2  y ≤ a + b + ( x + a ) + ( − x + b ) = 2 ( a + b )

9 1 9 Do f ( 0 ) = 1; f   = ; f (1) = 0 nên max f ( t ) = [0; 1] 8 4 8 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là max y = [0; π ]

a + b ≤ y ≤ 2 a + b dấu bằng luôn xảy ra.

Suy ra

9 8

Chọn D

Ví dụ 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 − 3 − x −

Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác

Ví dụ mẫu

B. – 2

bằng

C. – 4

D. 2

Hướng dẫn giải 3

6x  x  Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 4  2  + 2 − 1 bằng  x +1  x +1

5 A. 2

B. -5

9 C. − 2

Tập xác định của hàm số là D = [ −1; 3]

Đặt t = x + 1 − 3 − x ⇒ t 2 = 4 − 2

D. 3

Do t 2 = 4 − 2

Hướng dẫn giải

Do x 2 + 1 ≥ 2 x ⇒

−5 2

( x + 1)( 3 − x )

x 2

x +1

≤

1 2

( x + 1)( 3 − x ) ⇒ ( x + 1)( 3 − x ) =

( x + 1)( 3 − x ) ≤ 4, ∀x ∈ [ −1; 3] , từ đó suy ra

Ta có g ′ ( t ) = t + 1 = 0 ⇔ t = −1 ∈ ( −2; 2 )

 1 1 Khi đó y = 4t + 6t − 1 với t ∈  − ;   2 2

Lại có g ( −2 ) = −2; g ( 2 ) = 2; g ( −1) =

Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng

 1 1 Vì y ′ = 12t + 6 > 0, ∀t nên hàm số đồng biến trên  − ;   2 2 2

t2 + t − 2 trên đoạn [ −2; 2] . 2

−5 2

Chọn A

1 5 Do đó max y = y   =  1 1 2 2 − ; 

Nhận xét: Với hàm số y =

 2 2

x + a − − x + b ( − a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0 ) thì

y2 = a + b − 2 x + a. − x + b ≤ a + b

Chọn A

⇒ − a+b ≤ y ≤ a+b

Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 1 + − x + 9 lần lượt là A. 2; 2

−2 ≤ t ≤ 2

Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( t ) =

x 1 Đặt t = 2 ⇒t ≤ 2 x +1

4 − t2 2

B. 4; 2

C. 4; 2

Bài tập tự luyện dạng 4

D. 4; 2 2

Câu 1: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = sin 4 x − 4sin 2 x + 5 là

Hướng dẫn giải

A. M = 2; m = −5

Tập xác định D = [1; 9] Trang 33

B. M = 5; m = 2

C. M = 5; m = −2

D. M = −2;m = −5

Trang 34

Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = − cos3 x − sin 2 x + cos x − 3 là A. m = 3

B. m = −

113 27

C. m =

113 27

Ví dụ mẫu

D. m = −3

Ví dụ 1. Cho biểu thức P =

 π Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos 2 x + 4sin x trên đoạn 0;  là  2

A. M = 4

B. M = 2

C. M = − 2

Câu 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 8 4 A. ; 5 3

3 4 B. − ; 2 3

A. 2;

−4 5

B. 2;

4 5

x +1 + 2 3 − x + 2

4 ; −2 5

•

x   y  + x + xy + y Nếu y ≠ 0 thì P = 2 =   x − xy + y 2  x 2   y  −   

−4 ; −2 5

Đặt t =

3 Câu 6: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos 6 x − cos 2 x theo thứ tự là 4

A. 4 và

1 4

B. 4 và

1 2

C. 2 và

1 2

C. 1.

Nếu y = 0 thì P =1. (1)

theo thứ tự là

1 . 3

•

3 4 D. ; − 2 3

2 x +1 + 3 − x +1

D. 4.

Hướng dẫn giải

3cos 4 x + 4sin 2 x theo thứ tự là 3sin 4 x + 2 cos 2 x

1 1 C. ; 2 3

Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

A. 3.

D. M = 2 2

x 2 + xy + y 2 với x 2 + y 2 ≠ 0 . Giá trị nhỏ nhất của P bằng x 2 − xy + y 2

f ′(t ) =

5 1 và 4 4

x +1 y  x +1 y 

t2 + t +1 x , khi đó P = f (t ) = 2 . y t − t +1

−2t 2 + 2 = 0 ⇔ −2t 2 + 2 = 0 ⇔ t = ±1. (t 2 − t + 1) 2

Bảng biến thiên

Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = x + 1 + 3 − x là A. max y = 2 3

B. max y = 2 2

[−1; 3]

C. max y = 2

[−1; 3]

Câu 8: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 − x 2 + A. 1

D. max y = 3 2

[−1; 3]

B. 2

[−1; 3]

2 2

(1 − x )

C. 3

bằng

D. 5 3

Câu 9: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 6 + 4 (1 − x 2 ) trên đoạn [ −1; 1] . Khi đó tỉ số A.

9 4

M bằng m

9 16

C. 9

4 9

1 Dựa vào bảng biến thiên ta có P = f (t ) ≥ . (2) 3 Từ (1) và (2) suy ra P = f (t ) ≥

ĐÁP ÁN 1-B

2-B

3-D

4-A

5-B

6-D

7-C

8-B

9-C

1 1 ⇒ min P = . 3 3

Chọn B. Ví dụ 2. Cho hai số thực x,y thỏa mãn x ≥ 0; y ≥ 0 và x + y = 1 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P =

1 và 1. 2

x y + lần lượt là y +1 x +1

B. 0 và 1.

2 và 1. 3

D. 1 và 2.

Hướng dẫn giải Trang 35

Trang 36

Ta có P =

x y x( x + 1) + y ( y + 1) ( x + y ) 2 − 2 xy + 1 2 − 2 xy + = = = . ( x + 1)( y + 1) 2 + xy y +1 x +1 xy + x + y + 1

Đặt t = xy ta được P =

Xét f ′(t ) = 1 −

2 − 2t . 2+t

Vì f (0) = 4; f (10) =

Vì x ≥ 0; y ≥ 0 ⇒ t ≥ 0.

1 1 ⇒t≤ . 4 4

Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g (t ) =

Ta có g ′(t ) =

114 ; f (1) = 3 ⇒ min P = 3 khi t = 1 . Chọn A. 11

Ví dụ 4. Gọi x0 , y0 , z0 là ba số thực dương sao cho biểu thức

Mặt khác 1 = x + y ≥ 2 xy ⇔ xy ≤

Xét hàm số g (t ) =

t = 1∈ (0;10) 4 = 0 ⇒ (t + 1) 2 = 4 ⇒  (t + 1) 2 t = −3 ∉ (0;10)

2 − 2t xác định và liên tục trên 2+t

2 − 2t  1 trên 0;  . 2+t  4

3 2 x + y + 8 yz

−

2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 4 xz + 3

−

1 đạt giá trị nhỏ nhất. x+ y+z

Tổng x0 + y0 + z0 bằng

 1 0; 4  .

A. 3.

B. 1.

C. 3 3 .

3 . 2

Hướng dẫn giải

−6  1 < 0 với ∀t ∈  0;  (2 + t ) 2  4

Ta có P =

 1 ⇒ hàm số g (t ) nghịch biến trên đoạn 0;  .  4

≥

 1 2 g (t ) = g   =  min 2   1 4 3  0;    min P = Do đó   4  ⇒ 3.  max g (t ) = g (0) = 1  max P = 1  0; 14  

3 2 x + y + 2 2 yz

−

8 2 y 2 + 2( x + z ) 2 + 3

1 x+ y+z

3 8 1 . − − 2( x + y + z ) ( x + y + z ) + 3 x + y + z

Đặt x + y + z = t > 0 . Khi đó P = f (t ) = Ta có f ' (t ) =

Chọn C.

−

1 8 − , (t > 0) . 2t t + 3

3(t − 1)(5t + 3) = 0 ⇔ t =1. 2t 2 (t + 3) 2

Bảng biến thiên

Ví dụ 3. Cho x, y là các số thực thỏa mãn ( x − 3) + ( y − 1) = 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

3 y 2 + 4 xy + 7 x + 4 y − 1 bằng x + 2 y +1

A. 3.

114 . 11

D. 2 3 .

Hướng dẫn giải ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 5 ⇒ x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 5 = 0. P=

(3 y 2 + 4 xy + 7 x + 4 y − 1) + ( x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 5) x + 2 y +1 2

x + y + z = 1 x = z = 1 3   4. Suy ra P ≥ − . Dấu “=” xảy ra ⇔  y = 2 z ⇔ 1 2 y = x + z y =   2

4 y + 4 xy + x + x + 2 y + 4 (2 y + x) + ( x + 2 y ) + 4 = x + 2 y +1 x + 2y +1

Đặt t = x + 2 y.

Do đó x0 + y0 + z0 =

(12 + 22 )  ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2  ≥ [ ( x − 3) + (2 y − 2) ]

 x 2 − xy + 3 = 0 Ví dụ 5. Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện  . 2 x + 3 y − 14 ≤ 0

⇒ ( x + 2 y − 5) 2 ≤ 25 ⇔ 0 ≤ x + 2 y ≤ 10. Ta được P = f (t ) =

1 1 1 + + = 1. Chọn B. 4 4 2

t2 + t + 4 4 =t+ , 0 ≤ t ≤ 10. t +1 t +1

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 3x 2 y − xy 2 − 2 x3 + 2 x bằng Trang 37

Trang 38

A. 8.

B. 0.

C. 12.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Với điều kiện bài toán x, y > 0 và x 2 − xy + 3 = 0 ⇒ y =

x2 + 3 3 = x+ . x x

Lại có

3   9 2 x + 3 y − 14 ≤ 0 ⇔ 2 x + 3  x +  − 14 ≤ 0 ⇔ 5 x 2 − 14 x + 9 ≤ 0 ⇔ x ∈ 1;  . x   5 2

3  3 9  Từ đó P = 3x 2  x +  − x  x +  − 2 x3 + 2 x = 5 x − . x x x     9 9  9  9 Xét hàm số f ( x) = 5 x − ; ∀x ∈ 1;  ⇒ f ' ( x ) = 5 + 2 > 0; ∀x ∈ 1;  . x x 5    5

Suy ra Pmin

 9 Suy ra hàm số đồng biến trên 1;   5 9 ⇒ f (1) ≤ f ( x) ≤ f   ⇒ −4 ≤ f ( x) ≤ 4 ⇒ max P + min P = 4 + (−4) = 0 . Chọn B. 5

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;9] và x ≥ y , x ≥ z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=

1 y y z  +  +  bằng 10 y − x 2  y + z z + x 

11 A. . 18

Câu 1: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 3 x 2 − 2 xy − y 2 = 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu A. (4;7).

1 B. . 3

1 C. . 2

(

a− b

)(

B. (-2;1).

C. (1;4).

D. 1.

1 1 2 . + ≥ 1 + a 1 + b 1 + ab

x 2 y + xy 2 là x 2 + y 2 − xy

A. max P = 0 .

)

B. max P = 1 .

C. max P = −1 .

1 D. max P = . 3

Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3 + y 3 = 2 . Giá trị nhỏ nhất của P = x 2 + y 2 là

ab − 1 ≥ 0 đúng do ab ≥ 1 .

A. min P = 1.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.

B. min P = 3 2.

C. min P = 3 4.

D. min P = 2.

Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2( x + y ) − xy = 1 và biểu thức P = 7( x 4 + y 4 ) + 4 x 2 y 2 . Gọi M, m 2

  1 1 1 1  1 1  ≥ Áp dụng bất đẳng thức trên P = . + + + x 2 z x x x 10 − 1+ 1 +  10 − 1+  y y z y  y

Đặt

D. (7;10).

Câu 2: Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x + y = 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=

Với a, b dương thỏa mãn ab ≥ 1 ta có bất đẳng thức 1 1 2 + ≥ ⇔ 1 + a 1 + b 1 + ab

Bài tập tự luyện dạng 5

thức P = x 2 + xy + 2 y 2 thuộc khoảng nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Thật vậy

x = 4 y    z = x 1 = khi và chỉ khi   y z x = 4 y  ⇔ 2  x z = 2y   = 1   y

theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Tổng M + m là

A. M + m =

−260 . 33

B. M + m = 0 .

C. M + m =

2344 . 825

Câu 5: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 − xy + y 2 = 1 và biểu thức P =

x 1 1 = t ∈ [1;3] . Xét hàm số f (t ) = + trên đoạn [1;3] . y 10 − t 2 1 + t

D. M + m =

−232 . 25

x4 + y4 + 1 . Gọi M, m thứ tự là x2 + y2 + 1

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. Tổng M + 15m bằng

2t 1 f (t ) = − ; f ' (t ) = 0 ⇔ t 4 − 2t 3 − 24t 2 − 2t + 100 = 0 . (10 − t 2 ) 2 (1 + t )2

A. 17 − 2 6 .

B. 17 + 6 .

C. 17 + 2 6 .

D. 17 − 6 .

Câu 6: Cho các số thực x, y dương thỏa mãn x ≥ 1, y ≥ 1 và 3( x + y ) = 4 xy . Gọi M, m thứ tự là giá trị lớn

⇔ (t − 2)(t 3 − 24t − 50) = 0 ⇔ t = 2 do t 3 − 24t − 50 < 0, ∀t ∈ [1;3] .

 1 1  nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x 3 + y 3 + 3  2 + 2  . Tổng M + m là y  x

Bảng biến thiên

Trang 39

Trang 40

A. M + m =

163 . 4

B. M + m =

197 . 12

C. M + m =

673 . 12

Câu 7: Cho các số thực dương x, y, z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 16 A. . 25

8 B. . 9

9 C. . 25

D. M + m =

613 . 6

3 x 4 + 4 y 3 + 16 z 3 + 1 bằng ( x + y + z )3 7 D. . 25

10 + 5 5 . 2

2 . 2

1-C

2-B

3-C

4-C

11-A

12-A

13-D

14-A

5-A

1 . 2 2

6-A

D. 7-A

8-A

2. 9-C

10-D

Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… khi

 1 1 1  bằng P = (a 2 + b 2 + c 2 )  + + 2 2 2  (a − b) (b − c) (c − a )  11 + 5 5 . 2

1 . 2

Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên quan đến hàm ẩn

Câu 8: Cho a, b, c không âm phân biệt. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x) Phương pháp giải

C. 11.

D. 13 .

Thực hiện theo một trong hai cách

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập ℝ và có bảng biến thiên như sau

Câu 9: Xét ba số thực a; b; c thay đổi thuộc đoạn [ 0;3] . Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 4 (a − b)(b − c)(c − a) + (ab + bc + ca) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) bằng 3 A. − . 2

B. 0.

81 . 4

41 . 2

Câu 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x > y > z > 0 và x + y + z = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=

1 1 8 2 bằng + + + ( x − y ) 2 ( y − z ) 2 xz y 3

A. 217.

B. 218.

C. 219.

Câu 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x 2 + y 2 ≤

D. 216.

1 2 z . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 1 1 1  P = ( x + y + z )  4 + 4 + 4  bằng x y z   4

297 . 8

320 . 9

219 . 6

412 . 11

định sau.

P = a + b + c − 4abc bằng

5 . 3 3

1 . 2

Cách 1: Bước 1. Đặt t = u(x).

Câu 13: Cho x, y, z ∈ [1; 4] và x ≥ y; x ≥ z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=

Đánh giá giá trị của t trên khoảng K.

x y z là + + 2x + 3y y + z z + x

33 . 34

trên đoạn

 3 7  − 2 ; 2  . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng

Câu 12: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2

y = f ( x 2 − 2 x)

Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất 34 . 35

35 34

M >2. m

A. M .m > 10 .

C. M − m > 3 .

D. M + m > 7 .

Hướng dẫn giải Đặt t = x 2 − 2 x . 5 5  3 7 Ta có x ∈  − ;  ⇔ − ≤ x − 1 ≤ 2 2 2 2  

đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x).

34 . 33

⇔ 0 ≤ ( x − 1) 2 ≤

( y + 1) 2 y z + + Câu 14: Cho x, y, z ∈ [1; 4] và x ≥ y . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 40 y − 4 x 2( x + z) 8 yz + z bằng

Trang 41

25 4

⇔ −1 ≤ ( x − 1) 2 − 1 ≤

21  21 ⇒ t ∈  −1;  . 4 4 

Trang 42

Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của

 21  Xét hàm số y = f (t ), t ∈  −1;  . 4  hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số y = f(t).

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f (t ) có giá trị nhỏ nhất min f (t ) = f (0). [0;1]

Chọn D.

Từ bảng biến thiên suy ra

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Khi

m = min f (t ) = f (1) = 2;

đó hàm số y = f (2 − x 2 ) đạt giá trị nhỏ nhất trên 0; 2  bằng

 21  −1; 4   

 21  M = max f (t ) = f   = 5  21  4 − 1;  4 

⇒



Chọn B.

Cách 2:

Ta có y ' = (2 x − 2) f ' ( x 2 − 2 x) = 0

Bước 1. Tính đạo hàm y = u ( x) f (u ( x)). '

Bước 2. Tìm nghiệm y = u ( x) f (u ( x)) =0. '

Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x), y = f (u ( x)) ,

y = f (u ( x)) ± h( x)...

B. f (2) .

C. f (1) .

D. f (0) .

M > 2. m

Bước 3. Kết luận.

A. f ( −2) .

Hướng dẫn giải Đặt t = 2 − x 2 . Từ x ∈ 0; 2  ⇔ 0 ≤ x 2 ≤ 2 ⇔ 2 ≥ 2 − x 2 ≥ 0 ⇒ t ∈ [ 0; 2] .

x = 1 2 x − 2 = 0   2 x = 7 x 2 x = − 1 −  2  . y' = 0 ⇔  x2 − 2x = 1 ⇔  3  x=−   x 2 − 2 x = 21 2   4 x = 1± 2 

Dựa vào đồ thị, hàm số y = f (t ) có giá trị nhỏ nhất min f (t ) = f (2). [0;2]

Chọn B. Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x) = ax 4 + bx 2 + c xác định và liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên sau

Vẽ bảng biến thiên và kết luận được M = 5; m = 2 ⇒

M > 2. m

Chọn B.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x + 3) trên đoạn [ 0; 2] là

A. 64.

B. 65.

C. 66.

D. 67.

Hướng dẫn giải Hàm số có dạng f ( x) = ax 4 + bx 2 + c . Từ bảng biến thiên ta có  f (0) = 3 c = 3 c = 3    4 2 f a b c (1) = 2 ⇔ + + = 2 ⇔   b = − 2 ⇒ f ( x ) = x − 2 x + 3 .  f ' (1) = 0 4a + 2b = 0 a = 1   

Hàm số y = f ( x − 1) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0; 2] bằng

A. f ( −2) .

B. f (2) .

C. f (1) .

D. f (0) .

Đặt t = x + 3, x ∈ [ 0; 2] ⇔ t ∈ [3;5] . Dựa vào đồ thị, hàm số y = f (t ) đồng biến trên đoạn [3;5] .

Hướng dẫn giải

Do đó min f ( x + 3) = min f (t ) = f (3) = 66 .

Đặt t = x − 1 , ∀x ∈ [ 0; 2] ⇒ t ∈ [ 0;1].

Chọn C.

[0;2]

Trang 43

[3;5]

Trang 44

Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) …

Khi biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x) Ta chỉ cần so sánh trên đoạn

Ví dụ mẫu

[ −1; 2] . Đường thẳng y = 2 x + 1

Ví dụ. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm và liên tục trên ℝ .

là đường thẳng đi qua các điểm A( −1; −1) , B(1;3) , C (2;5) nên

Biết rằng đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như dưới đây. Lập hàm số g ( x) = f ( x) − x 2 − x .

đồ thị hàm số y = f ' ( x) và đường

Mệnh đề nào sau đây đúng?

thẳng y = 2 x + 1 cắt nhau tại 3

A. g (−1) > g (1) .

điểm.

Chọn D.

B. g (−1) = g (1) .

Bài tập tự luyện dạng 6

C. g (1) = g (2) .

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

D. g (1) > g (2) .

Hướng dẫn giải Ta có g ' ( x) = f ' ( x) − 2 x − 1 .

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = g ( x ) = f (3 − x) trên [ 0;3] . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. M = f (0) .

B. M = f (3) .

C. M = f (1) .

D. M = f (2) .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

3 x f  2 2

trên đoạn [ 0; 2] . Khi đó M + m bằng

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và đường thẳng y = 2 x + 1 ta có g ' ( x) = 0  x = −1 ⇔ f ' ( x) = 2 x + 1 ⇒  x = 1 .  x = 2

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

Bảng biến thiên

Trang 45

Trang 46

Hàm số y = f (2sin x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là M và m. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. m = −2M

B. M = 2m

C. M + m = 0

D. M + m = 2

 2x  Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x ) = f  2  trên ( −∞; +∞ ) . Tổng  x +1 M + m bằng

A. 4

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên [ −2; 4] và có bảng biến thiên như sau

B. 6

C. 8

D. 12

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x − 2 ) trên đoạn [ −1;5] . Tổng M + m bằng

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 1.

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x ) = f ( cos 2 x − 4sin 2 x + 3) . Giá trị của M − m bằng

A. 4

B. – 4

C. 2

D. 1

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số y = f

(

4 − x2

)

trên nửa khoảng  − 2; 3 là

A. 3

B. – 1

C. 0

D. Không tồn tại

(

)

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f − x 2 + 2 x + 5 trên đoạn [ −1;3] lần lượt là M, m. Tổng

M + m bằng

A. 13.

B. 7.

C. f (2) − 2 .

D. 2.

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên (−∞; +∞) và có đồ thị như hình vẽ

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Trang 47

Trang 48

(

)

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f x 3 − 3x + 1 trên đoạn [ −2;0] .

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g ( x) trên [ −3;3] .

C. max g ( x) = g (3) . [−3;3]

Tổng M + m bằng

A. M + m = −2 .

7 B. M + m = − . 2

C. M + m = −

11 . 2

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị y = f ' ( x) như hình vẽ.

D. M + m = 0 .

1 3 3 Xét hàm số g ( x) = f ( x) − x 3 − x 2 + x + 2018 . Mệnh đề nào dưới 3 4 2 đây đúng?

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x) , biết hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y = f ( x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

1 3  2 ; 2  tại điểm nào sau đây?

A. x =

3 . 2

C. x = 1 .

A. min g ( x) = g ( −1) . B. min g ( x) = g (1) . [ −3;1]

B. x =

[ −3;1]

C. min g ( x) = g (−3) .

1 . 2

D. min g ( x) =

[ −3;1]

g (−3) + g (1) . 2

D. x = 0 . Câu 14: Cho hàm số y = f ( x) ,hàm số f ' ( x) có đồ thị như hình vẽ

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ' ( x) . Hàm số y = f ' ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Biết f ( −1) =

13 , f (2) = 6 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4

của hàm số g ( x) = f 3 ( x) − 3 f ( x) trên [ −1; 2] bằng

1573 . 64

B. 198 .

37 . 4

14245 . 64

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ . Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ. Đặt g ( x) = 2 f ( x) − ( x + 1) 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x) =

1 11 f (1) + 2 19

1 11 f (2 x − 1) + (2 x − 1) 2 − 4 x trên khoảng 2 19

1 14 f (4) − . 2 19

1 f (0) − 2 . 2

 5 0; 2  bằng

1 70 f (2) − . 2 19

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x) . Biết hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn

[ −4;3] ,hàm

số

g ( x) = 2 f ( x) + (1 − x) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. min g ( x) = g (1) . [−3;3]

A. x0 = −3 .

B. x0 = −4 .

C. x0 = −1 .

D. x0 = 3 .

B. max g ( x) = g (1) . [ −3;3]

Trang 49

Trang 50

1-D

2-A

3-A

4-A

5-A

6-C

11-A

12-B

13-A

14-D

15-C

7-C

8-B

9-B

10-C

Dạng 7. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế

Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất. Chọn B

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 3t 2 − t 3 . Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v ( m / s ) của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. t = 2s

B. t = 5s

C. t = 1s

Ví dụ 4. Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500 3 m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 3 600.000 đồng / m 2 . Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là

D. t =3s

Hướng dẫn giải

A. 75 triệu đồng 2

B. 85 triệu đồng

C. 90 triệu đồng

D. 95 triệu đồng

Ta có v ( t ) = s′ ( t ) = 6t − 3t 2 ⇒ v ( t ) = −3 ( t − 1) + 3 ≤ 3, ∀t ∈ ℝ

Hướng dẫn giải

Giá trị lớn nhất của v ( t ) = 3 khi t = 1 . Chọn C

Gọi x ( m ) là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2 x ( m ) và h ( m ) là chiều cao bể

1 Ví dụ 2. Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi 3 vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 180 (m/s)

B. 36 (m/s)

C. 144 (m/s)

D. 24 (m/s)

Hướng dẫn giải

500 250 ⇔h= 2 3 3x

Ta có v ( t ) = s′ ( t ) = −t 2 + 12t

Bể có thể tích bằng 2 x 2 h =

v′ ( t ) = −2t + 12 = 0 ⇔ t = 6

Diện tích cần xây S = 2 ( xh + 2 xh ) + 2 x 2 = 6 x

Vì v ( 6 ) = 36; v ( 0 ) = 0; v ( 7 ) = 35 nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s). Chọn B

Ví dụ 3. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t t giờ được cho bởi công thức c ( t ) = 2 ( mg / L ) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong t +1 máu của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ

B. 1 giờ

C. 3 giờ

Xét hàm f ( x ) =

250 500 + 2x2 = + 2x2 3x 2 x

500 −500 + 2x2 , ( x > 0) ; f ′ ( x ) = 2 + 4x ⇒ f ′ ( x) = 0 ⇔ x = 5 x x

Bảng biến thiên

D. 2 giờ

Hướng dẫn giải Xét hàm số c ( t ) = c′ ( t ) = Bảng

1− t2

( t 2 + 1)

t (t > 0) t2 +1

 t = 1∈ ( 0; ∞ ) =0⇔  t = −1 ∉ ( 0; ∞ )

Do đó min f ( x ) = f ( 5 ) = 150 biến thiên

( 0;+∞ )

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin = 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150.600000 = 90.000.000 đồng. Chọn C

Ví dụ 5. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón Trang 51

Trang 52

tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)

2  Stp = 2π Rh + 2π R 2 = 2π  R 2 +  R  Xét hàm số f ( R ) = R 2 + Ta có f ′ ( R ) = 2 R −

2 với R ∈ ( 0; +∞ ) R

3 2 2 ( R − 1) = 2 R R2

f ′( R) = 0 ⇔ R = 1 Bảng biến thiên

128π 3 3 dm 27

128π 3 3 dm 81

16π 3 3 dm 27

64π 3 3 dm 27

Hướng dẫn giải Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn, tức là OA = 4dm 1 1 Thể tích của hình nón V = π .r 2 .h = π . (16 − h 2 ) .h với 0 < h < 4 3 3

Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R = 1 ⇒ h = 2

1 4 3 Ta có V ′ ( h ) = π . (16 − 3h 2 ) ⇒ V ′ ( h ) = 0 ⇔ h = 3 3

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì R = 1m; h = 2m . Chọn B

Ví dụ 7. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A. 120 triệu đồng

B. 164,92 triệu đồng

C. 114,64 triệu đồng

D. 106,25 triệu đồng

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là

128π 3 3 dm . Chọn A 27

Ví dụ 6. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2π m3 . Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất A. R =

1 m; h = 8m 2

B. R = 1m; h = 2m

C. R = 2m; h =

1 m 2

1 D. R = 4m; h = m 5

Hướng dẫn giải

Đặt AM = x ⇒ BM = 4 − x ⇒ CM = 1 + ( 4 − x ) = 17 − 8 x + x 2 , x ∈ [ 0; 4] Khi đó tổng chi phí lắp đặt là y = x.20 + 40 x 2 − 8 x + 17 (đơn vị: triệu đồng)

Từ giả thiết ta có V = π R 2 h = 2π ⇒ h =

Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C

2 R2

y′ = 20 + 40.

x−4 2

x − 8 x + 17

= 20.

x 2 − 8 x + 17 + 2 ( x − 4 ) x 2 − 8 x + 17

Diện tích toàn phần của thùng phi là Trang 53

Trang 54

y′ = 0 ⇔ x 2 − 8 x + 17 = 2 ( 4 − x ) ⇔ x =

12 − 3 3

 12 − 3  Ta có y   = 80 + 20 3 ≈ 114, 64; y ( 0 ) = 40 17 ≈ 164, 92; y ( 4 ) = 120  3  Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng. Chọn C

Bài tập tự luyện dạng 7 1 Câu 1: Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 9t 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt 2 đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 216 (m/s)

B. 30 (m/s)

C. 400 (m/s)

D. 54 (m/s)

Câu 2: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là s = −t 3 + 6t 2 . Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. t = 2s

B. t = 6s

C. t = 8s

B. 26 m/s

C. 17 m/s

D. 36 m/s

B. 15037000 đồng

C. 15039000 đồng

D. 15040000 đồng

rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đồng / m 2 , chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đồng / m2 . Số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể) là

A. 58135 thùng

D. t = 4s

Câu 3: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là s = −t 3 + 6t 2 + 17t , với t (s) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 6 giây đầu tiên, vận tốc v (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng A. 29 m/s

A. 15038000 đồng

Câu 8: Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết

B. 18209 thùng

C. 12525 thùng

D. 57582 thùng

Câu 9: Một cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 20cm. Trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm (hình vẽ). Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh mổ những viên đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên đá?

Câu 4: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G ( x ) = 0, 035 x 2 (15 − x ) , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

A. x = 8

B. x = 10

C. x = 15

D. x = 7

Câu 5: Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60cm, thể tích là 96.000cm3 , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là 70.000 đồng / m 2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100.000 đồng / m2 . Chi phí thấp nhất để làm bể cá là

A. 28.300 đồng

B. 38.200 đồng

C. 83.200 đồng

Câu 6: Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48 ( m

D. 83.200 đồng 3

A. 30

) và chiều dài gấp đôi chiều rộng.

Chất liệu làm đáy và bốn mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. m Gọi h là chiều cao của hộp để giá thành làm chiếc hộp là thấp nhất. biết h = với m, n là các số nguyên n dương nguyên tố cùng nhau. Tổng m + n bằng

A. 12

B. 13

C. 11

B. 27

C. 28

D. 29

Câu 10: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất?

D. 10

Câu 7: Một người thợ xây, muốn xây một bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể tích là 150m3 (như hình vẽ). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và nắp bể làm bằng nhôm. Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một m2 , tôn 90 nghìn một m2 và nhôm 120 nghìn đồng một m 2 . Chi phí thấp nhất để làm bồn chứa thóc (làm tròn đến hàng nghìn) là

Trang 55

Trang 56

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

Thực hiện theo các bước sau

trong 15 A. km 2

65 C. km 2

B. 10km

D. 40km

đoạn

[ −100;100] để

A. 100

B.101

một khoảng AB = 5 (km). Trên bờ biển có một cái kho ở

C. 102

D. 103

Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng

vị trí C cách B một khoảng là 7(km). Người canh hải

f ( x) = g (m)

đăng có thể chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với

Hướng dẫn giải Điều kiện x ≥ −1

(km/h). Vị trí của điểm M cách B một khoảng gần nhất

 t≥0 Đặt t = x + 1 ⇒  2 x = t −1

với giá trị nào sau đây để người đó đến kho nhanh nhất?

Ta được phương trình

vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ từ M đến C với vận tốc 6

B. 7, 0km

C. 4,5km

D. 2,1km

2t = t 2 − 1 + m ⇔ m = −t 2 + 2t + 1 Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f ( x ) trên D

Câu 12. Thầy Toản có thanh gỗ dài là 3,2 m. Thầy Toản dự định dùng thanh gỗ để thiết kế 5 hình tam giác giống nhau làm kệ trang trí phòng đọc sách, trong đó các tam giác có 1 cạnh có độ dài là 24 cm (coi các mẩu cắt bỏ đi không đáng kể). Tổng diện tích của 5 tam giác có giá trị lớn nhất là A. 40 119cm 2

B. 16 119cm 2

C. 480cm 2

D. 960cm2

B. h =

C. h = 2 3 V

D. h =

1-D

2-A

3-A

11-C

12-D

13-A

trị

tham

số

A ( m ) sao

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có

cho

đường

thẳng

nghiệm khi m ≤ 2 ⇒ −100 ≤ m ≤ 2

y = g ( m ) cắt đồ thị hàm số y = f ( x )

Bước 4. Kết luận

Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn

Chú ý:

Chọn D

+)Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục và có giá trị lớn

V 2 4-B

f ′ ( t ) = −2t + 2 = 0 ⇔ t = 1

Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá

π 3

Xét hàm số f ( t ) = −t 2 + 2t + 1, t ≥ 0

Bảng biến thiên

Câu 13. Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình vẽ bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất. Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra? A. h = 0

trình

2 x + 1 = x + m có nghiệm thực?

Câu 11. Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển

A. 1, 0km

phương

nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình 5-C

6-C

7-A

8-A

9-C

10-C

f ( x ) = g ( m ) có nghiệm khi và chỉ khi min f ( x ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x ) D

Dạng 8. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong việc giải phương trình

+)Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương

Bài toán 1. Tìm m để F ( x; m ) = 0 có nghiệm trên tập D

trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện sao cho

Phương pháp giải

đường thẳng y = g ( m ) nằm ngang cắt đồ thị hàm Trang 57

Trang 58

số y = f ( x ) tại k điểm phân biệt

Từ (1) suy ra y = 2 − x thay vào (2) ta được (2) ⇒ x 4 + ( 2 − x ) = m

Ví dụ mẫu

(3)

Xét hàm số f ( x ) = x 4 + ( 2 − x ) có tập xác định D = ℝ

Ví dụ 1. Cho phương trình m

(

)

x − 2 x + 2 + 1 − x + 2 x = 0 ( m là tham số). Biết rằng tập hợp các

giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;1 + 2 2  là đoạn [ a; b ] . Giá trị của

f ′ ( x ) = 4 x3 − 4 ( 2 − x ) ⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x 3 = ( 2 − x ) ⇔ x = 2 − x ⇔ x = 1

Bảng biến thiên

biểu thức T = −a + 2b là

A. T = 4

B. T =

7 2

C. T = 3

D. T =

1 2

Hướng dẫn giải Đặt t = x 2 − 2 x + 2 Xét hàm số t ( x ) = x 2 − 2 x + 2 trên đoạn 0;1 + 2 2 

t′( x) =

x −1

⇒ t′ = 0 ⇔ x = 1

x − 2x + 2

Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực

(

)

Vì t ( 0 ) = 2; t (1) = 1; t 1 + 2 2 = 3 nên t ∈ [1;3] Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình m ( t + 1) = t 2 − 2 có nghiệm thuộc đoạn t2 − 2 có nghiệm thuộc đoạn [1;3] (1) [1;3] ⇔ m = t +1

Xét hàm số f ( t ) = f ′ (t ) =

t 2 + 2t + 2

( t + 1)

1 9 Dựa vào bảng biến thiên ta được m ≥ 2 ⇒ m0 = 2 ∈  ;  . Chọn D 2 4

Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình F ( x; m ) > 0; F ( x; m ) ≥ 0; F ( x, m ) < 0; F ( x; m ) ≤ 0 có nghiệm trên tập D Phương pháp giải

t2 − 2 trên đoạn [1;3] t +1

Ví dụ: Các giá trị của tham số m để bất phương

Thực hiện theo các bước sau

trình x +

> 0, ∀t ∈ [1;3] khi hàm số đồng biến trên đoạn [1;3]

( −∞;1)

Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì min f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) [1;3]

[1;3]

1 7 ⇔ f (1) ≤ m ≤ f ( 3) ⇔ − ≤ m ≤ 2 4

g (m) > f ( x)

( x, y ∈ ℝ ) có nghiệm là

hoặc

g (m) ≥ f ( x)

A. m < 5

B. m ≤ −3

C. m ≤ 1

D. m ≥ 3

hoặc Bất phương trình đã cho tương đương với

g ( m ) ≤ f ( x ) hoặc g ( m ) < f ( x ) m0

4 ≥m x −1

Xét hàm số y = x +

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m0 ∈ ( −20; −15 )

là

Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng Hướng dẫn giải

1 7 Vậy a = − ; b = ⇒ T = 4 . Chọn A 2 4

 x+ y =2 Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình  4 4 x + y = m

4 − m ≥ 0 có nghiệm trên khoảng x −1

B. m0 ∈ ( −12; −8 )

 −3  C. m0 ∈  ;0   2 

1 9 D. m0 ∈  ;  2 4

Hướng dẫn giải

Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f ( x ) trên D

 x + y = 2 (1) Ta có  4 4  x + y = m ( 2)

Trang 59

y′ = 1 −

( x − 1)

4 trên khoảng ( −∞;1) x −1

( x − 1) − 4 2 ( x − 1)

 x = 3 ∉ ( −∞;1) ⇒ y′ = 0 ⇔   x = −1 ∈ ( −∞;1) Trang 60

Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [0;1]

Bảng biến thiên

Xét hàm số f ( t ) = t 3 − t 2 + 1 ⇒ f ′ ( t ) = 3t 2 − 2t

 t = 0 ∉ ( 0;1) f ′ (t ) = 0 ⇔  2 t = ∈ ( 0;1)  3  2  23 Vì f ( 0 ) = f (1) = 1; f   = nên max f ( t ) = 1 [ 0;1]  3  27 Từ bảng biến thiên, để bất phương trình

Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m

4 − m ≥ 0 có nghiệm trên khoảng ( −∞;1) x −1

thì m ≤ −3 . Chọn B

Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [0;1] khi và chỉ khi m ≥ 1 Mặt khác m là số nguyên thuộc [ 0; 2019] nên m ∈ {1; 2;3;...; 2019} Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán. Chọn C

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −1;3] và

Bước 4. Kết luận

có đồ thị như hình vẽ.

Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục và có giá

Bất

trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì

phương

trình

f ( x) + x +1 + 7 − x ≥ m

có

nghiệm thuộc [ −1;3] khi và chỉ khi

+) Bất phương trình g ( m ) ≤ f ( x ) có nghiệm

A. m ≤ 7

trên D ⇔ g ( m ) ≤ max f ( x )

B. m ≥ 7

+) Bất phương trình g ( m ) ≤ f ( x ) nghiệm

C. m ≤ 2 2 − 2

đúng ∀x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ min f ( x )

D. m ≥ 2 2 − 2

+) Bất phương trình g ( m ) ≥ f ( x ) có nghiệm

Hướng dẫn giải

trên D ⇔ g ( m ) ≥ min f ( x )

Xét hàm số P = x + 1 + 7 − x trên đoạn [ −1;3]

+) Bất phương trình g ( m ) ≥ f ( x ) nghiệm

Ta có P 2 = 8 + 2

đúng ∀x ∈ D ⇔ g ( m ) ≥ max f ( x )

Dấu bằng xảy ra khi x = 3

( x + 1) . ( 7 − x ) ≤ 8 + ( x + 1) + ( 7 − x ) = 16 ⇒ P ≤ 4

Suy ra max P = 4 tại x = 3

(1)

[ −1;3]

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0; 2019] để bất phương trình x2 − m +

2 3

(1 − x )

A. 1

C. 2019

[ −1;3]

(

(2)

)

Từ (1) và (2) suy ra max f ( x ) + x + 1 + 7 − x = 7 tại x = 3

≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −1;1] . Số các phần tử của tập S là

B. 2020

Mặt khác dựa vào đồ thị của f ( x ) ta có max f ( x ) = 3 tại x = 3

[ −1;3]

Vậy bất phương trình

D. 2

Hướng dẫn giải

f ( x ) + x + 1 + 7 − x ≥ m có nghiệm thuộc

(

[ −1;3]

khi và chỉ khi

)

m ≤ max f ( x ) + x + 1 + 7 − x ⇔ m ≤ 7 . Chọn A [ −1;3]

Đặt t = 1 − x , với x ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ [ 0;1] 2

Bài tập tự luyện dạng 8

Bất phương trình đã cho trở thành t 3 − t 2 + 1 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ t 3 − t 2 + 1 (1) Trang 61

Trang 62

Câu 1: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình x + 4 − x 2 =

m có 2

nghiệm. Tập S có số phần tử là

A. 10

B. 6

C. 4

D. 2

Câu 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình nghiệm thực phân biệt ? A. 3

B. 4

Câu 3: Cho phương trình

C. 5

4 x + m − 1 = x − 1 có hai

D. 6

2 x 2 − 2mx − 4 = x − 1 (m là tham số). Gọi p, q lần lượt là các giá trị m nguyên

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất thuộc [ −10;10] để phương trình có nghiệm. Khi đó giá trị T = p + 2 q là

A. 10

B. 19

C. 20

D. 8

Câu 4: Biết rằng tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình

x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m có

nghiệm thực là S = [ a; b] . Tổng a + b là

A. a + b =

31 4

B. a + b =

49 4

C. a + b = 10

Câu 5: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên m để bất phương trình A. 2

B. 3

D. a + b =

5 2

x + 5 + 4 − x ≥ m có nghiệm?

C. 4

D. 5

Câu 6: Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 6 x +

( 2 + x )( 8 − x ) ≤ x 2 + m − 1

nghiệm

đúng với mọi x ∈ [ −2;8] là

A. m ≥ 16

B. m ≥ 15

C. m ≥ 8

D. −2 ≤ m ≤ 16

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên m ∈ ( −2018; 2018 ) để bất phương trình x + x 2 + 2m − 2 ≤ 2 x x 2 + 1 4

nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 0;1]

A. 2017

B. 2018

C. 2019

D. 2020

Câu 8: Tổng các giá trị nguyên của m ∈ ( −20; 20 ) để bất phương trình x+2

( 2 − x )( 2 x + 2 ) > m + 4 (

A. −195

)

2 − x + 2 x + 2 có nghiệm là

B. −175

C. −165

D. −162

2 x 2 − 7 x + 3 ≤ 0 Câu 9: Có bao nhiêu giá trị của tham số m ∈ ( 0; 2018) để hệ phương trình  2 ( x, y ∈ ℝ ) có  x − 4x + m ≤ 0

nghiệm

A. 4

B. 5

C. 2014

D. 2015

 x − y + m = 0 (1) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0; 2019] Câu 10: Cho hệ phương trình   xy + y = 2 ( 2 )

để hệ phương trình có nghiệm?

A. 2018 1-C

B. 2019 2-B

3-B

C. 2017 4-A

5-D

6-B

D. 2016 7-A

8-D

9-A

10-A

Trang 63

BÀI 4. TIỆM CẬN

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Mục tiêu

Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

Kiến thức

y = f ( x ) nếu lim f ( x ) = y0 hoặc lim = y0 x →+∞

+ Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm

x →−∞

cận ngang của đồ thị hàm số. + Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận + Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số Kĩ năng + Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi công thức, cho bởi bảng biến thiên. + Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số. + Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn.

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

+ Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan.

y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = +∞ ;

x → x0−

x → x0

lim f ( x ) = −∞; lim+ f ( x ) = −∞ .

x → x0−

Trang 1

x → x0

Trang 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Tiệm cận đứng

Tiệm cận ngang

Đường thẳng x = x0 được gọi là

Đường thẳng y = y0 được gọi là

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = f ( x ) nếu ít nhất một trong

y = f ( x)

các điều kiện sau được thỏa mãn:

Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = 1 và

Dựa vào định nghĩa của đường tiệm cận

x →+∞

Tiệm cận ngang Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của

x →−∞

x → x0

lim f ( x ) = −∞; lim+ f ( x ) = −∞

x → x0−

lim f ( x ) = y0

Bài toán 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

x →+∞

hoặc lim = y0

lim− f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = +∞

x → x0

nếu

Dạng 1: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khi biết biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị

đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu lim f ( x ) = y0 hoặc

TIỆM CẬN

x →+∞

x → x0

lim f ( x ) = y0

lim = −1

x →−∞

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang, ta có phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) là y = 1 và y = −1 .

x →−∞

Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = +∞ x →−2

Tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số y = f ( x ) nếu một trong các điều kiện

và lim f ( x ) = −∞ . x→2

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, ta có phương trình các đường tiệm cận đứng của đồ thị

sau được thỏa mãn:

hàm số y = f ( x ) là x = −2 và x = 2

lim f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = +∞

x → x0−

x → x0

lim f ( x ) = −∞; lim+ f ( x ) = −∞

x → x0−

x → x0

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = −3 và lim f ( x ) = 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x →−∞

x →+∞

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y = 3 và y = −3 B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x = 3 và x = −3 C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang Hướng dẫn giải Vì lim f ( x ) = −3 nên y = −3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x →−∞

Vì lim f ( x ) = 3 nên y = 3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x →+∞

Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong ( C ) và các giới hạn: lim f ( x ) = 1; lim− f ( x ) = 1; lim f ( x ) = 2; lim f ( x ) = 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

x → 2+

x→2

x →−∞

x →+∞

A. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của ( C ) Trang 3

Trang 4

Ví dụ mẫu

B. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của ( C ) C. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của ( C )

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên ℝ \ {±1} . Hàm số có bảng biến thiên như

D. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của ( C )

hình vẽ dưới đây.

Hướng dẫn giải

 lim f ( x ) = 2 x →−∞ Ta có  ⇒ đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của ( C ) f ( x) = 2  xlim →+∞ Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( −2; − 1) và có lim+ f ( x ) = 2 , lim− f ( x ) = −∞ . x →−2

x →−1

Đồ thị hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu đường tiệm cận?

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có đúng hai tiệm cận đứng là x = −2 và x = −1

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải

B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có đúng một tiệm cận ngang là y = 2

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta có

C. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có đúng một tiệm cận đứng là x = −1

lim f ( x ) = −3 ⇒ y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x →−∞

D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) có đúng hai tiệm cận ngang là y = 2 và y = −1

lim f ( x ) = 3 ⇒ y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x →+∞

Hướng dẫn giải

lim f ( x ) = +∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Do lim− f ( x) = −∞ nên đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng là x = −1

x →−1+

x →−1

lim f ( x ) = +∞, lim+ f ( x ) = −∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Chọn C

x →1−

Bài toán 2. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số Phương pháp giải

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) xác Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

x →1

Vậy hàm số có hai tiệm cận đứng là x = ±1 , hai tiệm cận ngang là y = ±3 Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên ℝ \ {−2; 1} và có bảng biến thiên như sau:

định phương trình các đường tiệm cận đứng, tiệm như sau: cận ngang, số các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số y = f ( x ) Chú ý:

- Ứng với điểm x = x0 trong bảng biến thiên thì ở dòng y phải ghi các kí hiệu -∞ hoặc +∞ (không phải các giá trị cụ thể) thì đường thẳng x = x0 mới là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x = x0

- Ứng với điểm -∞ hoặc +∞ trong bảng biến thiên là tiệm cận đứng và đường thẳng y = y là đường 0 thì ở dòng y phải ghi các giá trị cụ thể y0 (không tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) phải là -∞ hoặc +∞) thì đường thẳng y = y0 mới là

A. x = −2 và x = 1

B. không có tiệm cận đứng

C. x = −2

D. x = 1

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên, ta có lim + y = +∞ nên x = −2 là đường tiệm cận đứng; x →( −2 )

đường tiệm cận ngang của đồ thị.

lim y = lim− y = 2 nên x = 1 không là đường tiệm cận đứng.

x →1+

Trang 5

x →1

Trang 6

Chọn C.

ngang là y =

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới.

a c

- lim ± y = ±∞ nên đồ thị hàm số có đường tiệm x →−

d c

cận đứng là x = −

d c Vậy đồ thị hàm số y =

Bước 3. Kết luận Đồ thị hàm số y =

ax + b có hai đường tiệm cận: cx + d

2x + 3 x −1

nhận đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang và nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.

a d Tiệm cận đứng x = và tiệm cận ngang y = − . c c

Chú ý: - Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm

ax + b  d a là điểm I  − ;  là tâm đối xứng cx + d  c c của đồ thị. số y =

Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) là A. x = 1 và y = −2

B. x = 1 và y = 2

C. x = −1 và y = −2

D. x = −1 và y = 2

Hướng dẫn giải

ax + b cx + d cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có

Dựa vào đồ thị, ta suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là các đường thẳng x = −1, y = 2 .

a d  ad chu vi là 2  +  và diện tích là 2 c c c  

- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

Chọn D

Tiệm cận của đồ thị hàm số hữu tỷ y =

Bài toán 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị khi biết hàm số

Điều kiện xác định g ( x ) ≠ 0 .

Phương pháp giải Tiệm cận của đồ thị hàm số

ax + b , c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 cx + d

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm 2x + 3 số y = x −1

Tính các giới hạn

lim y; lim± y nếu thỏa mãn định

x →±∞

x → x0

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm x +1 số y = 2 x + 2x − 3 Hướng dẫn giải

Tập xác định là D = ℝ \ {1; − 3} nghĩa của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Ta có lim y = 0; lim± y = ±∞; lim± = ±∞ thì kết luận. x →±∞ X—>±0O

X->Xg

x →1

Thực hiện theo các bước sau:  d Bước 1. Tập xác định D = ℝ \ −  .  c

f ( x) g ( x)

Chú ý: - Đối với hàm số phân thức hữu tỷ y =

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ \ {1} .

f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0

Bước 2. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm Khi đó lim y = lim y = 2 nên đồ thị có đường x →+∞ x →−∞ cận ngang của đồ thị. tiệm cận ngang là y = 2 a - lim y = nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận lim+ y = +∞; lim− y = −∞ nên đồ thị có đường tiệm x →±∞ c x →1

x →1

f ( x) g ( x)

( an

với

x →−3

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là x = 1; x = −3 và một tiệm cận ngang y = 0

≠ 0 ) và

g ( x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + ... + b1 x + b0 ( bm ≠ 0 ) Khi đó: + Nếu n > m thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. + Nếu n = m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

cận đứng là x = 1

Trang 7

Trang 8

Hướng dẫn giải

an bm

2x 2x 2x có tập xác định D = ℝ \ {2} và lim+ = +∞; lim− = −∞ nên đồ thị x→2 x − 2 x →2 x − 2 x−2 hàm số có tiệm cận đứng là x = 2

Ta thấy hàm số y =

+ Nếu n < m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=0

Chọn A

- Nếu đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = x0 là nghiệm của phương trình chắc đã là tiệm cận đứng của đồ thị). Hay nói cách khác x = x0 là các điểm gián đoạn của hàm số.

Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ.

3x + 1 là x −1

Ví dụ 3: Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =

g ( x ) = 0 (ngược lại nghiệm của g ( x ) = 0 chưa

A. ( −1; 3)

B. ( −1; 1)

C. ( 3; 1)

Hướng dẫn giải Ví dụ: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của

Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng nhất để xác 1 − x2 định đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận đồ thị hàm số y = x+2 ngang là tìm tập xác định của hàm số. Hướng dẫn giải Bước Tập xác định D = [ −1; 1]

Tập xác định D = ℝ \ {1} Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị là x = 1 và tiệm cận ngang của đồ thị là y = 3 , tọa độ tâm đối xứng của đồ thị là giao của hai đường tiệm cận I (1; 3) .

Chọn D

Không tồn tại các giới hạn lim y; lim nên đồ thị x →+∞

x →−∞

Ví dụ 4: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

hàm số không có tiệm cận ngang. Mặt khác do hàm số liên tục trên khoảng ( −1; 1) và

lim y = f ( −1) ; lim− y = f (1) nên hàm số liên tục

x →−1+

x →1

trên đoạn [ −1; 1] ⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

2x − 1 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có x −1

diện tích bằng

A. 2 (đvdt)

B. 3 (đvdt)

C. 1 (đvdt)

D. 4 (đvdt)

Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ \ {1}

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2 . Khi đó hình chữ nhật tạo bởi

Ví dụ mẫu

hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S = 1.2 = 2 (đvdt)

x +1 Ví dụ 1: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là x−2

A. x = −2 y = 1

B. x = 1; y = 2

C. x = 2; y = 1

D. x = 2; y = −1

Chọn A

Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

Hướng dẫn giải

A. 4

B. 3

Tập xác định D = ℝ \ {2}

Hướng dẫn giải

x +1 x +1 Ta có lim+ = +∞; lim− = −∞ nên x = 2 là phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x→2 x − 2 x →2 x − 2

Tập xác định D = ℝ \ {2} .

x +1 x +1 = lim = 1 nên y = 1 là phương trình đường tiệm cận của đồ thị hàm số. x →+∞ x − 2 x →−∞ x − 2

lim+ y = lim+

lim

x→2

Chọn C

x→ 2

lim y = lim

x →+∞

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số nào sau đây nhận đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng? 2x A. y = x−2

D. (1; 3)

B. y = 2

2x C. y = x+2

x →+∞

lim y = lim

2 D. y = x − 2 − x

x →−∞

x− 2

x−2

C. 2

x− 2

x−2

là

D. 1

= +∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2

x− 2 = 1 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 x−2 2−x = −1 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −1 x−2

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 3. Trang 9

Trang 10

Chọn B

lim y = lim x→2

Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số y = A. 3

x +1 có bao nhiêu đường tiệm cận? x2 + 2x − 3

B. 2

C. 1

− 3 x + 2 ) sin x

= lim

x3 − 4 x

x →2

x→2

( x − 1) sin x sin 2 = x ( x + 2) 8

nên đường thẳng x = 2 không là đường tiệm cận

đứng. D. 0

lim+ y = lim+

x →−2

Hướng dẫn giải

− 3 x + 2 ) sin x

x3 − 4 x

x →−2

= −∞ nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị.

Vậy hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng là x = −2 .

Tập xác định D = ℝ \ {1; − 3}

Chọn A

x +1 = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 . x →±∞ x 2 + 2 x − 3

Ta có lim

+ lim− y = −∞; lim+ y = +∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 ; x →1

Ví dụ 9: Số

x →1

A. 3

+ lim− y = −∞; lim+ y = +∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −3 . x →−3

đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = B. 4

x+9 −3 là x2 + x C. 2

D. 1

x →−3

Hướng dẫn giải

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận.

Tập xác định D = [ −9; + ∞ ) \ {0; − 1} .

Chọn A

Khi đó, ta có Ví dụ 7: Đồ thị hàm số y = A. 1

x +1 x −1

có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 2

C. 4

D. 3

Tập xác định D = ℝ \ {±1}

lim

x+9 −3 1 1 = lim+ = và lim− x→0 x→0 6 x2 + x x + 1 x + 9 + 3 ( )

lim

x →−∞

x →+∞

lim+ y = +∞; lim− y = −∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1

(

)

x +9 −3 1 = 6 x2 + x

x+9 −3 = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x2 + x

Chọn C.

x →1

lim− y = +∞; lim+ y = −∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1

x →−1

x +9 −3 = −∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x2 + x

⇒ x = 0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có lim y = lim y = 1 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1 x →1

x +9 −3 = +∞, lim− x →−1 x2 + x

x →−0+

Hướng dẫn giải

x →+∞

lim

x →−1+

Chú ý: Không tồn tại lim y vì trong tập xác định không có x tiến tới -∞

x →−1

x →−∞

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y = Ví dụ 8: Đồ thị hàm số y = A. 1

− 3x + 2 ) sin x

x3 − 4 x

B. 2

A. 4

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? C. 3

16 − x 2 có bao nhiêu đường tiệm cận? x ( x − 16 )

B. 2

C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải

D. 4

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = [ −4; 4] \ {0}

Tập xác định D = ℝ \ {0; ± 2}

Do lim− y = +∞; lim+ y = −∞ nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x→0

 x − 3 x + 2   sin x   0 − 3.0 + 2 1 Ta có lim y = lim  .1 = − nên x = 0 không phải là đường tiệm cận   = 2 2 x→0 x→0 x 2 x − 4 0 − 4    2

x→0

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

Chọn D.

đứng. Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y = A. 0

Trang 11

B. 1

x +1 có bao nhiêu đường tiệm cận? x −1

C. 2

D. 3

Trang 12

Hướng dẫn giải

C. ( H ) là một hình vuông có diện tích bằng 25

Tập xác định D = ( −1; + ∞ ) \ {1}

D. ( H ) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10

Ta có :

Hướng dẫn giải

x +1 lim y = lim y = 0 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 x →+∞ x →+∞ x −1 lim+ y = lim+ x →1

x →1

(

x +1 = +∞; lim− y = −∞ x →1 x −1

x →−1

x +1 = − lim+ x →−1 x −1

1 x +1

6x + 1 − x2 − 2 = 5 ⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của ( C ) x →+∞ x−5

Ta có lim y = lim x →+∞

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 lim+ y = lim+

)

Tập xác định −∞; − 2  ∪  2; + ∞ \ {5}

6x + 1 − x2 − 2 = 7 ⇒ y = 7 là tiệm cận ngang của ( C ) x →−∞ x−5

lim y = lim

x →−∞

= −∞

lim y = +∞; lim− = −∞ ⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của ( C )

x →5+

x →5

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1

Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y = 5; y = 7; x = 5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

kích thước 2 × 5 nên có diện tích bằng 10.

Chọn D

Ví dụ 12: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. y = 1

B. y = 3 và y = 1

C. y = 2

D. y = 3

2x + 1 + x2 + 1 là x −3

Ví dụ 14 : Cho hàm số y = x + x 2 + 2 x + 3 . Khi đó, đồ thị hàm số A. có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang B. có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng C. có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Hướng dẫn giải

D. không có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Tập xác định D = ℝ \ {3}

Hướng dẫn giải 2

Ta có lim y = lim x →+∞

x →+∞

2x + 1 + x + 1 = lim x →+∞ x−3

Tập xác định D = ℝ

1 1 + 1+ 2 x x =3 3 1− x

Do hàm số liên tục trên ℝ nên đồ thị không có tiệm cận đứng

)

(

2x + 3

Ta có lim y = lim x + x 2 + 2 x + 3 = lim x →−∞

⇒ y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x →−∞

= −1

x + 2x + 3 − x

⇒ y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1 1 2 + + 1+ 2 2 x + 1 + x2 + 1 x x lim = lim = lim =1 x →−∞ x →−∞ x →−∞ 3 x−3 1− x

(

)

lim y = lim x + x 2 + 2 x + 3 = +∞

x →+∞

Vậy đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là y = −1 Chọn B

⇒ y = 1 là đường tiệm cận ngang.

Chọn B Ví dụ 15: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

x 2

A. y = 1 và y = −1

B. y = 1

thành một đa giác ( H ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

C. y = −1

D. Không có tiệm cận ngang

A. ( H ) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

Hướng dẫn giải

B. ( H ) là một hình vuông có diện tích bằng 4

Tập xác định ( −∞; − 1) ∪ (1; + ∞ )

Trang 13

là

x −1

6x + 1 − x2 − 2 Ví dụ 13: Biết các đường tiệm cận của đường cong ( C ) : y = và trục tung cắt nhau tạo x −5

Trang 14

Ta có lim y = lim x →+∞

x →+∞

x x2 − 1

= 1 và lim y = lim x →−∞

x →−∞

−x x2 − 1

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {1} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như hình dưới

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn B Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = 2 và lim f ( x ) = −2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x →+∞

x →−∞

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = −2 B. Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang

A. 3

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 2 và x = −2 Câu 2: Hàm số y = f ( x ) xác định với mọi x ≠ ±1, có lim+ f ( x ) = +∞, lim − = −∞, lim f ( x ) = +∞ , x →1

x →( −1)

x →+∞

B. 1

C. 2

D. 4

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên R \ {0} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như sau

lim f ( x ) = −∞ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

x →−∞

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có lim+ f ( x ) = −∞ và lim− f ( x ) = 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x →3

x →3

A. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x )

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1

B. Đồ thị hàm số y = f ( x ) không có tiệm cận đứng

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

C. Đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) D. Đường thẳng x = 3 không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) Câu 4: Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ \ {−1} có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu

Mệnh đề nào sau đây sai?

đường tiệm cận?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang B. Hàm số không có đạo hàm tại x = −1 C. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Trang 15

Trang 16

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Câu 17: Đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sau đây? A. y =

1+ x 1− x

B. y =

2 x 2 + 3x + 2 x−2

C. y =

2x − 2 x+2

Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 2 A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Câu 9: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

như sau

B. x = −1

D. y =

1 + x2 1+ x

x2 − 2 x + 3 là 2x − 4

C. y = 1

D. x = 1

2x 3x Câu 19: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = − là x + 1 2x − 1 A. y = 2

B. x =

Câu 20: Đồ thị hàm số y = A. 1

1 2

C. y =

1 2

D. y = −

3 2

x2 − 5 x + 6 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? x2 − 3x + 2

B. 3

C. 0

D. 2

Câu 21: Cho hàm số y =

2 x − 3x + 2 . Mệnh đề nào sau đây sai? x2 − 2x − 3

A. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận A. 0

B. 1

C. 3

Câu 10: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. y = −1

B. x = −1

Câu 11: Đồ thị của hàm số y = A. 2

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =

x+2 là 1− x

C. x = 1

B. 3

C. 1

B. x = 1

Câu 22: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 1

D. 4

2x − 1 là x +1

C. y = 2

1 B. y = x − 2 + x +1

2 C. y = x+2

Câu 14: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =  3 5 A.  − ;   5 2

3  5 B.  − ; −  2 2 

5  3 C.  − ; −  2 2 

A. 2

D. x = −1

B. 2

Câu 16: Đồ thị hàm số y =

C. 1

C. 3

D. 4

B. 1

x3 + x là x −x−2 2

C. 3

D. 0 2

Câu 24: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

1 D. y = x +1

A. 0

2 − 5x là 2x + 3

B. 2

Câu 25: Đồ thị hàm số y =

5 3 D.  ; −  2 2 

Câu 15: Tổng khoảng cách từ điểm M (1; − 2 ) đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. 4

B. 2

2 x + 2017 là x +1

Câu 23: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị tham số y =

Câu 13: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận?

5x A. y = 2− x

1 2

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2

D. y = 1

x+2 có bao nhiêu đường tiệm cận? 3− x

Câu 12: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. y = −2

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = −1 và x = 3

D. 2

A. 3

2x + 1 là x −1

D. 3

Trang 17

C. 3

C. 2

Câu 26: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. x = 1; y = 2

D. 1

x2 − 2x − 3 có bao nhiêu đường tiệm cận? x−2

B. 1

B. x = 1

Câu 27: Đồ thị hàm số y =

2x có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? x2 + 1

1− 4 − x là x2 − 2x − 3

x +1 4 − x2

D. 4

4 − x +1 x −1

C. x = 0; y = −1

là D. x = 1; y = −1

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Trang 18

A. 2

B. 0

C. 1

D. 4

Dạng 2: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Câu 28: Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai đường tiệm cận ngang?

x2 − x A. y = x +2

x+2 B. y = x −2

C. y =

Bài toán 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số y =

x −2

D. y =

x +1

4 − x2 x +1

Phương pháp giải

Câu 29: Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1− x

( x − 1)

B. n = 0; d = 1

Câu 30: Đồ thị hàm số y = A. 1

3x 2 + 2 2x + 1 − x

Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ

. Giá trị của n, d là

A. n = 1; d = 2

C. n = 0; d = 2

+ Tiệm cận đứng x = −

C. 3

2x − 1 2

B. y = 1 và y = −1

C. y = 2

B. 0

Hướng dẫn giải

là

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

D. y = 2 và y = −2

C. 3

Câu 33: Đồ thị hàm số y =

−2m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ −2 Chọn B

D. 2

Ví dụ mẫu

có bao nhiêu đường tiệm cận?

x +1 − x A. 2

Ví dụ 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y =

B. 1

C. 3

B. 0

Câu 35: Đồ thị hàm số y = A. 2

C. 1

A. m = 1

D. 3

có đường tiệm cận ngang y = 3

B. m = 0

C. m = 2

D. m = 3

Hướng dẫn giải

x2 − 4 có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x − 5x + 2 C. 3

x−m

là

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

B. 1

( 2m − 1) x + 1

D. 4

Câu 34: Đồ thị hàm số y = 4 x 2 + 4 x + 3 − 4 x 2 + 1 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? A. 2

A. m < −2

D. m = −2

Câu 32: Đồ thị hàm số y = 2 x − 1 + 4 x 2 − 4 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? A. 1

2x + 4 có tiệm cận đứng là x−m

C. m > −2

4x + 3 A. y = 1

thị hàm số y =

B. m ≠ −2

d c

a + Tiệm cận ngang y = c

D. 2

Câu 31: Phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

ax + b thì c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0 cx + d

Khi đó phương trình các đường tiệm cận là

D. n = d = 1

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 4

ax + b cx + d

−m ( 2m − 1) − 1 ≠ 0 ⇔ 2m2 − m + 1 ≠ 0 ⇒ ∀m ∈ ℝ

D. 4

Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m − 1 nên có 2m − 1 = 3 ⇔ m = 2 . Chọn C

ĐÁP ÁN 1-A

2-A

3-C

4-D

5-A

6-B

7-A

8-C

9-C

10-A

11-A

12-D

13-A

14-C

15-A

16-B

17-A

18-A

19-C

20-A

21-C

22-B

23-B

24-D

25-C

26-B

27-A

28-C

29-C

30-D

31-B

32-A

33-B

34-A

35-A

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = A. ℝ

B. ℝ \ {0}

C. ℝ \ {1}

x −1 có tiệm cận đứng là mx − 1 D. ℝ \ {0; 1}

Hướng dẫn giải m ≠ 0 m ≠ 0 Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là  ⇔ m − 1 + ≠ 0  m ≠ 1

Chọn D

Ví dụ 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

Trang 19

x −3 không có tiệm cận đứng là mx − 1 Trang 20

A. ℝ

 1 B. 0;   3

1  C.   3

D. {0}

Đường tiệm cận đứng là x = −

m m ⇒ − = 1 ⇔ m = −2 (thỏa mãn) 2 2

Chọn B

Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

mx + 1 với tham số m ≠ 0 . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm x − 2m số thuộc đường thẳng nào dưới đây?

m = 0 m = 0   −1 + 3m = 0 ⇔  m = 1  3 

Ví dụ 7: Cho hàm số y =

A. x + 2 y = 0

Chọn B

B. 2 x + y = 0

C. x − 2 y = 0

D. y = 2 x

Hướng dẫn giải ax + b . Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điềm A ( 0; − 1) và có đường tiệm cận x +1 ngang là y = 1 . Giá trị a + b bằng

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là −2m2 − 1 ≠ 0 ⇒ ∀m ∈ ℝ . Phương trình các đường tiệm cận là x = 2m; y = m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là

I ( 2m; m ) thuộc đường thẳng x = 2 y

Chọn C

Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a − b ≠ 0

Ví dụ 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 0; − 1) nên b = −1

phải trục tung là

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a ⇒ a = 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy a + b = 0

A. m > 0 và m ≠

5 4

B. m > 0

C. m > 0 và m ≠

3 4

D. m < 0

Chọn B

Ví dụ 5: Biết rằng đồ thị của hàm số y =

( a − 3) x + a + 2019 x − ( b + 3)

nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và

B. -3

C. 6

Hướng dẫn giải Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là −4m + 5 ≠ 0 ⇔ m ≠

trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a + b bằng

A. 3

D. 0

5 4

Phương trình đường tiệm cận đứng là x = m

Hướng dẫn giải

Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m > 0

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là − ( a − 3)( b + 3) − ( a + 2019 ) ≠ 0

m > 0  Vậy điều kiện cần tìm là  5 m ≠ 4

Phương trình các đường tiệm cận là x = b + 3 b + 3 = 0 b = −3 (thỏa mãn điều kiện) ⇒ ⇔  y a a = − 3 − 3 = 0   a = 3

Chọn A.

Vậy a + b = 0

Bài toán 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

Chọn D

Phương pháp giải

Ví dụ 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x +1 đi qua điểm 2x + m

A (1; 2 ) là

A. m = 4

4x − 5 có tiệm cận đứng nằm bên x−m

- Tiệm cận của đồ thị hàm số y =

2 A . Giá trị với A là số Ví dụ: Cho hàm số y = 2 f ( x) x − 2mx + 3m − 1

thực khác 0 và f ( x ) là đa thức bậc n > 0 .

B. m = −2

C. m = −4

D. m = 2

- Đồ thị hàm số y =

Hướng dẫn giải Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Trang 21

của tham số thực m để đồ thị hàm số đã cho nhận

đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng là A luôn có tiệm cận ngang A. m = 3 f ( x) B. m = 2 Trang 22

C. m ≠ 3

y = 0.

m  1 ⇔ g  −  ≠ 0 ⇔ + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ −8 4  2

- Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị D. m ≠ 2 hàm số y =

Chọn D

Hướng dẫn giải A khi và chỉ khi x0 là nghiệm của Điều kiện: x 2 − 2mx + 3m − 1 ≠ 0 f ( x)

f ( x ) hay f ( x0 ) = 0

Đặt g ( x ) = x 2 − 2mx + 3m − 1

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y =

Để đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị

đứng, giá trị của m + n bằng A. 6

hàm số đã cho thì

x −1 (m, n là tham số) nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận x 2 − 2mx + n + 6

B. 10

C. -4

D. -7

Hướng dẫn giải

g ( 2 ) = 0 ⇔ 4 − 4m + 3m − 1 = 0 ⇔ m = 3

Điều kiện: x 2 − 2mx + n + 6 ≠ 0 . Đặt g ( x ) = x 2 − 2mx + n + 6

Chọn A

Do x = 1 là nghiệm của f ( x ) = x − 1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng - Tiệm cận của đồ thị hàm số y =

f ( x) g ( x)

với

Ví dụ: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=

f ( x ) , g ( x ) là các đa thức bậc khác 0. f ( x)

- Điều kiện để đồ thị hàm số y =

g ( x)

Chọn C

có tiệm B. m = 1 C. m = 0; m = 1

- Điều kiện để đường thẳng x = x0 là tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số y =

là x0 là nghiệm

D. m = 0; m = −1

Ví dụ 3: Biết đồ thị hàm số y =

Hướng dẫn giải

trị m + n bằng

A. 8

Điều kiện x ≠ m

x0 là nghiệm bội n của g ( x ) , đồng thời là nghiệm

x 2 + mx + n − 6

B. 9

nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá

C. 6

D. -6

Điều kiện x 2 + mx + n − 6 ≠ 0 Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2m − n

m = 0 f ( m ) = 0 ⇔ 2m 2 − 3m + m = 0 ⇔  m = 1

⇒ 2m − n = 0

(1)

Đặt f ( x ) = (2m − n) x + mx + 1 và g ( x ) = x 2 + mx + n − 6 2

Chọn C.

Nhận thấy

f ( 0 ) ≠ 0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 là tiệm cận đứng thì

g ( 0 ) = 0 ⇔ n − 6 = 0 ⇔ n = 6 . Kết hợp với (1) suy ra m = 3 .

Ví dụ mẫu 2

Ví dụ 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = A. m = 8

( 2m − n ) x 2 + mx + 1

Hướng dẫn giải

Đặt f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + m

của g ( x ) nhưng không là nghiệm của f ( x ) hoặc Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng thì

bội m của f ( x ) và m < n

 g (1) = −2m + n + 7 = 0 n = 2m − 7 m = 1 g ( x) = 0 ⇔  ⇔ 2 ⇔ 2 m − 2 m + 1 = 0 ′  n = −5   ∆ = m − n − 6 = 0

Vậy m + n = −4 .

A. m = 0

cận ngang là bậc f ( x ) ≤ bậc g ( x ) .

f ( x)

2 x 2 − 3x + m không có tiệm cận đứng là x−m

thì x = 1 phải là nghiệm kép của phương trình

B. m = 0

mx − 2 x + 1 có tiệm cận đứng là 2x + 1

C. m ≠ 4

Vậy m + n = 9

Chọn B

D. m ≠ −8

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

 1 Tập xác định D = ℝ \  −  . Đặt g ( x ) = mx 2 − 2 x + 1  2

( C ) có tiệm cận ngang

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x = −

ax 2 + x − 1 có đồ thị ( C ) (a, b là các số thực dương và ab = 4 ). Biết rằng 4 x 2 + bx + 9

y = c và có đúng một tiệm cận đứng.

Giá trị của tổng T = 3a + b − 24c bằng

1 không là nghiệm của g ( x ) 2

A. 8

B. 9

C. 6

D. 11

Hướng dẫn giải Trang 23

Trang 24

Điều kiện 4 x 2 + bx + 9 ≠ 0 Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y =

Giá trị 2a − b3 bằng

A. 56

a a ⇒ =c 4 4

B. -56

C. -72

Đồ thị ( C ) có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:

Điều kiện ax 2 + bx + 4 ≥ 0

Trường hợp 1: Phương trình 4 x 2 + bx + 9 = 0 có nghiệm kép x = x0 và không là nghiệm của

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a > 0

ax 2 + bx + 1 = 0

Khi đó, ta có

⇔ b 2 − 144 = 0 ⇔ b = ±12 . Vì b > 0 nên b = 12 ⇒ a =

D. 72

Hướng dẫn giải

(

)

(

)

lim y = lim 2 x + ax 2 + bx + 4 = +∞

1 1 ⇒c= 3 12

x →+∞

lim y = lim 2 x + ax 2 + bx + 4 = lim

1 2 x + x −1 Thử lại ta có hàm số y = 3 2 (thỏa mãn) 4 x + 12 x − 9

x →−∞

1 1 Vậy T = 3. + 12 − 24. = 11 3 12

a − 4 = 0  ⇒ b ⇔  − a − 2 = −1 

Trường hợp 2: 4 x 2 + bx + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn

Chọn B.

ax 2 + x − 1 = 0 . Điều này không xảy ra vì ab = 4 .

x →−∞

( a − 4 ) x2 + bx + 4 ax 2 + bx + 4 − 2 x

= −1

a = 4 3 b = 4 . Vậy 2a − b = −56 

Chú ý: Để lim y = −1 thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a − 4 = 0 . Khi đó lim y =

Chọn D

x →−∞

− a−2

Chú ý: a; b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

Bài toán 3 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ Cho hàm số vô tỷ y = f ( x ) - Tìm tập xác định D của hàm số.

Ví dụ: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

( 2m + 1) x2 + 3

- Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x4 + 1

có đường tiệm cận

A. 0

B. Vô số

C. 1

D. 2

1  Tập xác định D = ℝ \   2

chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và A. m = 0 tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn lim y hoặc B. m = ±1 x →−∞

lim y hữu hạn.

cận ngang là y = 2 ?

Hướng dẫn giải

y = f ( x ) thì trong tập xác định D của hàm số phải ngang đi qua điểm A (1; − 3) là

x →+∞

mx + x 2 − 2 x + 3 có một đường tiệm 2x − 1

Ta có lim y = x →+∞

C. m = −2

m +1 m −1 ; lim y = x →−∞ 2 2

m +1 =2  m = 3 Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2 ⇔  2 ⇔ m = 5  m −1 = 2  2

D. m = 2 Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ Ta có lim y = 2m + 1 nên đồ thị chỉ có một đường x →±∞

Chọn D

tiệm cận ngang là y = 2m + 1

Để tiệm cận ngang đi qua điểm A (1; − 3) thì 2 m + 1 = −3 ⇔ m = −2

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Biết rằng đồ thị hàm số y =

Chọn C

ax + 1 có tiệm cận đứng là x = 2 , tiệm cận ngang là y = −3 . Khi đó x−b

a + b bằng

A. -1

Ví dụ mẫu

B. 2

C. 1

Câu 2: Các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y = 2 x + ax 2 + bx + 4 có tiệm cận ngang y = −1 Trang 25

D. -2

( m + 1) x − 2m + 1 x −1

không có tiệm cận đứng là Trang 26

A. m = 2

B. m =

1 2

C. m = 1

D. m = −1

ax + 1 . Giá trị của tham số a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm bx − 2 1 tiệm cận đứng và đường thẳng y = làm tiệm cận ngang là 2

Câu 3: Cho hàm số y =

A. a = 2; b = 2

B. a = 2; b = −2

C. a = 1; b = 2

Câu 4: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

D. a = −1; b = −2 mx − 1 đi qua điểm A (1; 2 ) 2x + m

là

A. m = −2

B. m = −4

C. m = −5

B. 1

C. 3

Câu 6: Biết đồ thị hàm số y =

D. m = 2

ax + 1 có đường tiệm cận đứng là x = 2 và đường tiệm cận ngang là bx − 2

C. 1

D. 5

B. m ≠ −2

B. y = 2 x

C. m ≤ −2

D. m < 2

C. x − 2 y = 0

D. x + 2 y = 0

A. 0

B. -3

1 6

(m, n là tham số) nhận trục hoành làm tiệm cận

C. -9

D. 6

x = −2 . Giá trị f ( −1) bằng

B. -8

C. −

1 2

D. 6

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

B. m = 6

C. m = 4

D. m = −4

mx + 1 . Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang x + 3n + 1 và tiệm cận đứng. Khi đó tổng m + n bằng

1 3

2 3

2x − m − 1 x − m2

A. m = −1

A. 1

D. 2

C. m = 0

D. m = −3

ax + 1 đi qua M ( 2; 5 ) và có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 x+d

B. 8

C. 7

Câu 18: Biết đồ thị của hàm số y =

A. 7

( a − 2b ) x

+ bx + 1

B. 8

Câu 19: Biết đồ thị hàm số y =

D. 3 có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm

C. 10

( 4a − b ) x 2 + ax + 1 x 2 + ax + b − 12

1 2

B. 15

D. 6

nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì giá

C. 2 3

Câu 20: Biết đồ thị hàm số y = A. 9

D. m = −

B. m = −2

Câu 17: Biết đồ thị hàm số y =

A. 10

qua điểm M (10; − 3) là

C. m = 3

C. 0

trị a + b bằng

mx + 5 Câu 11: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = đi x +1

B. m = −3

B. -1

x2 + x − b cận ngang là đường thẳng y = 0 . Giá trị a + 2b bằng

Câu 10: Cho hàm số y =

A. m = 5

x+m+3 ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tổng m − 2n bằng

D. m =

thì tổng a + d bằng

A ( 5; 2 ) là

B. −

( n − 3) x + n − 2019

1 6

x+2 có đường tiệm cận đứng là x = a và đường tiệm cận ngang là y = b . 3x + 9 Giá trị nguyên của tham số m nhỏ nhất thỏa mãn m ≥ a + b là

x+3 Câu 9: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = đi qua điểm x + m −1

A. 0

C. m = −

Câu 16: Đồ thị hàm số y =

2mx + 1 với tham số m ≠ 0 . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm x−m số đã cho thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A. m = −1

1 3

Câu 13: Biết đồ thị của hàm số y =

A. 1

Câu 8: Cho hàm số y =

A. 2 x + y = 0

B. m = ±

cắt nhau tại điểm thuộc đường thẳng y = x + 1 ?

B. 0

mx + 2 Câu 7: Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng là x −1

A. m ≠ 2

1 6

A. 2

D. 2

y = 3 , giá trị của a + b bằng

A. 4

A. m = ±

ax − 1 Câu 14: Đồ thị hàm số f ( x ) = đi qua điểm M (1; 2 ) và có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x+b

x+m Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = không có đường tiệm cận đứng? mx + 1

A. 0

−3 x + 1 có hai đường tiệm cận và hai x − 2m đường tiệm cận đó cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 là

Câu 12: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

x + ax + bx + c

( x − 2)

Câu 21: Biết đồ thị hàm số y =

Trang 27

B. 4

không có tiệm cận đứng. Giá trị b + c bằng

C. 1 4

D. -10

D. 7

x + ax + b

( x − 1)

không có tiệm cận đứng. Giá trị ab bằng

Trang 28

A. 2

B. -1

C. -2

Câu 22: Biết rằng đồ thị hàm số y = A. -2

( x − 1)

B. 2 5 x + 1 + ax + b

11 4

( x − 3)

15 16

1 2

D. −

15 16

1 là f ( x) +1

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Hướng dẫn giải Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm

C. −

39 8

Câu 24: Với các số thực dương a, b để đồ thị hàm số y =

không có tiệm cận đứng. Giá trị a + 2b bằng

29 8

Giá trị lớn nhất của biểu thức log a +1

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

không có tiệm cận đứng. Giá trị ab bằng

Câu 23: Biết đồ thị hàm số y = A. −

3x + 1 + ax + b

D. 1

D. −

của phương trình f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = −1 .

27 8

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có ba nghiệm

a + bx − 2 có đúng một đường tiệm cận. x−2

nên có ba tiệm cận đứng.

Chọn B.

b bằng 2

B. 2

C. -1

Ví dụ mẫu

D. -2

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. ĐÁP ÁN

1-A

2-A

3-C

4-A

5-C

6-A

7-B

8-B

9-D

10-B

11-B

12-C

13-C

14-B

15-A

16-B

17-A

18-B

19-B

20-B

21-C

22-C

23-C

24-D

Dạng 3. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn Bài toán 1: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xác định tiệm cận của đồ thị hàm số

A với A là số thực khác 0, g ( x ) xác định theo f ( x ) g ( x)

Tổng số đường tiệm cận của hàm số y =

Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có

- Xác định tiệm cận đứng: + Số tiệm cận của đồ thị hàm số y =

A là số đồ thị như hình vẽ. g ( x)

A. 2.

B. 3.

1 là f ( x) +1

C. 1.

D. 4.

Hướng dẫn giải Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = −1 .

nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 .

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y =

+ Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số

1 có f ( x) +1

hai đường tiệm cận đứng.

y = f ( x ) để xác định số nghiệm của phương trình Ta có lim

g ( x ) = 0 để suy ra số đường tiệm cận đứng.

x →+∞

- Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận

1 1 1 1 1 1 = = ; lim = = nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận f ( x ) + 1 3 + 1 4 x→−∞ f ( x ) + 1 1 + 1 2

ngang là y =

của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định.

Trang 29

1 1 và y = . 4 2

Trang 30

Vậy đồ thị hàm số y =

1 có bốn đường tiệm cận. f ( x) +1

Chọn D. Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Đồ thị hàm số g ( x ) =

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? f ( 4 − x2 ) − 3

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hướng dẫn giải Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

A. 2.

B. 4.

Đặt t = 4 − x 2 , ta có khi x → ±∞ thì t → −∞ .

1 là f ( x + x) + 3 3

C. 3.

Khi đó lim g ( x ) = lim x →±∞

D. 1.

t →−∞

1 = 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g ( x ) . f (t ) − 3

Đặt t = x + x , ta có khi x → −∞ thì t → −∞ và khi x → +∞ thì t → +∞ .

 4 − x 2 = −2 x = ± 6 Mặt khác f ( 4 − x 2 ) − 3 = 0 ⇔ f ( 4 − x 2 ) = 3 ⇔  ⇔ 2 x = 0 4 − x = 4

Mặt khác ta có t ′ = 3x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ nên với mọi t ∈ ℝ phương trình x 3 + x = t có duy nhất một

⇒ Đồ thị hàm số g ( x ) có ba đường tiệm cận đứng.

nghiệm x.

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có bốn đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải 3

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình

Chọn C.

f ( t ) + 3 = 0 ⇔ f ( t ) = −3 .

Bài toán 2: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xác định tiệm cận của đồ thị hàm số

1 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số y = f ( x3 + x ) + 3

ϕ ( x) g ( x)

có một tiệm cận đứng. Ta có lim

x →+∞

với ϕ ( x ) là một biểu thức theo x, g ( x ) là biểu thức theo f ( x )

Phương pháp giải

1 1 1 1 = lim = 0 ; lim = lim = 0 nên đồ thị hàm số x →−∞ f x 3 + x + 3 t →−∞ f ( t ) + 3 f ( x 3 + x ) + 3 t →+∞ f ( t ) + 3 ( )

- Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) tìm nghiệm Ví của phương trình g ( x ) = 0 và xác định biểu thức

1 có một tiệm cận ngang là y = 0 . f ( x3 + x ) + 3

dụ:

Cho

hàm

số

bậc

f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ. 3

g ( x) .

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận - Rút gọn biểu thức

Chọn A. Ví dụ 3. Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

ϕ ( x) g ( x)

và tìm tiệm cận đứng,

tiệm cận ngang.

Chú ý: - Điều kiện tồn tại của ϕ ( x ) . - Sử dụng tính chất nếu đa thức g ( x ) có nghiệm

Trang 31

Trang 32

là x = x0 thì g ( x ) = ( x − x0 ) .g1 ( x ) , ở đó g1 ( x ) là

( x − 3x + 2 ) 2 x + 1 ( x − 5x + 4 ) f ( x ) 2

Đồ thị hàm số g ( x ) =

một đa thức.

có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2.

B. 6.

C. 4.

D. 3.

x ≥ 1 x ≥ 1   ⇔  f ( x) ≠ 0 . Điều kiện xác định  x ≠ 0 f2 x − f x ≠0  ( )  ( )  f ( x) ≠ 1  f ( x) = 0 Xét phương trình f 2 ( x ) − f ( x ) = 0 ⇔   f ( x ) = 1

Hướng dẫn giải

(1) . ( 2)

Dựa vào đồ thị ta thấy

1  x ≥ − 2  Điều kiện xác định  x ≠ 1; x ≠ 2 . f x ≠0  ( ) 

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x = x1 < 1 (loại) và x = 2 (nghiệm kép). - Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt x = 1 , x = x2 ∈ (1; 2 ) , x = x3 > 2 . Khi đó 2

Với g ( x) =

điều

kiện

trên,

f 2 ( x ) − f ( x ) = f ( x )  f ( x ) − 1 = a 2 ( x − x1 )( x − 2 ) ( x − 1)( x − x2 )( x − x3 )

có

2x + 1 . ( x + 1)( x + 2 ) . f ( x )

Suy ra g ( x ) =

x −1 , a 2 x ( x − x1 )( x − 2 )( x − x2 )( x − x3 )

Khi đó số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

trong đó x1 < 1 , x2 ∈ (1; 2 ) , x3 > 2 nên đồ thị hàm số y = g ( x ) có ba tiệm cận đứng là x = 2 ; x = x2 ;

g ( x ) là số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0

x = x3 .

1 thỏa mãn x ≥ − . 2

Chọn C. Ví dụ 2. Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình  x = k ∈ ( 0;1) (thỏa mãn điều kiện). f ( x) = 0 ⇔  x = 2 Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có hai đường tiệm cận

đứng.

Chọn A. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ

Đặt g ( x ) =

thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số g ( x ) =

− 3x + 2 ) x − 1

x  f

( x ) − f ( x ) 

A. 4.

có bao nhiêu

B. 6.

C. 3.

D. 5.

B. 2.

C. 5.

D. 3.

Hướng dẫn giải  f ( x) ≠ 0 Điều kiện xác định f 2 ( x ) − 2 f ( x ) ≠ 0 ⇔  .  f ( x ) ≠ 2

đường tiệm cận đứng?

A. 4.

x2 − x . Đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f ( x) − 2 f ( x) 2

 f ( x) = 0 Ta có f 2 ( x ) − 2 f ( x ) = 0 ⇔  .  f ( x ) = 2

Hướng dẫn giải

Trang 33

Trang 34

Dựa vào đồ thị ta có f ( x ) = 0 có hai nghiệm x = x1 < 0 và x = 1 (nghiệm kép).

Khi đó g ( x ) =

 x = x2 ∈ ( x1 ; −1)  . f ( x) = 2 ⇔  x = 0  x = x3 > 1 

( x − x1 )( x − x2 ) . p ( x )

Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có ba đường tiệm cận đứng.

Chọn A. Chú ý: Do f(x) là hàm đa thức bậc 6 nên f’(x) là hàm đa thức bậc 5.

Vậy biểu thức f 2 ( x ) − 2 f ( x ) = f ( x )  f ( x ) − 2  2

= a 2 ( x − x1 )( x − 1) .x ( x − x2 )( x − x3 ) .

Ví dụ 4. Cho hàm số

Khi đó ta có g ( x ) =

a ( x − 2)

x −x 1 . = f 2 ( x ) − 2 f ( x ) a 2 ( x − 1)( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )

y = f ( x)

là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn

3 f (1) − 2 < 0

và

3 f ( a ) − a + 3a > 0, ∀a > 2 . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ. 3

Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng.

Chọn A. Ví dụ 3. Cho f ( x ) là hàm đa thức bậc 6 có bảng biến thiên như sau

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) =

A. 0.

B. 2.

x +1 là 3 f ( x + 2 ) − x3 + 3x

C. 1.

D. 3.

Hướng dẫn giải Đặt h ( x ) = 3 f ( x + 2 ) − x3 + 3x . Điều kiện h ( x ) ≠ 0 . Đồ thị hàm số g ( x ) =

( x − 3) ( x 2 − 4 x + 3) f ′ ( x )  f ( x ) − 2 

A. 3.

Ta có h′ ( x ) = 3 f ′ ( x + 2 ) − 3 x 2 + 3 , h′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x + 2 ) = x 2 − 1 .

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 2.

C. 4.

Đặt t = x + 2 , ta được f ′ ( t ) = t 2 − 4t + 3 . (*) D. 1.

Vẽ đồ thị hàm số y = t 2 − 4t + 3 vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) ta được hình vẽ sau

Hướng dẫn giải  f ′ ( x ) ≠ 0 Điều kiện  .  f ( x ) ≠ 2 Ta có ( x − 3) ( x 2 − 4 x + 3) = ( x − 3)

( x − 1) ;

 f ′( x) = 0 f ′ ( x ) .  f ( x ) − 2  = 0 ⇔  .  f ( x ) = 2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có f ′ ( x ) = 0 có nghiệm là x = 1 ; x = 2 (nghiệm kép); x = 3 (nghiệm kép) ⇒ f ′ ( x ) = a ( x − 1)( x − 2 )

( x − 3)

Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là t = 1; t = 3; t = a > 4 .

với a > 0 .

 x = x1 < 1 f ( x ) = 2 có hai nghiệm  nên f ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 ) . p ( x ) với p ( x ) là một đa thức  x = x2 ∈ ( 2;3)

Suy ra phương trình h′ ( x ) = 0 có nghiệm đơn x = −1; x = 1; x = a − 2 = b > 2 . Ta có bảng biến thiên của h ( x ) như sau

bậc 4 và p ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ . Trang 35

Trang 36

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Vì h ( −1) = 3 f (1) − 2 < 0 và h ( b ) = 3 f ( a ) − ( a − 2 ) + 3 ( a − 2 ) = 3 f ( a ) − a 3 + 3a + 6a 2 − 12a + 2 > 0 với mọi a > 4 nên phương trình h ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x = x1 < −1; x = x2 ∈ ( −1;1) .

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

A. 3.

Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có hai tiệm cận đứng.

B. 4.

C. 5.

2 là 3 f ( x) − 2 D. 6.

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng biến thiên như sau

Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số y = A. 3.

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f ( x) + 3 B. 0.

C. 2.

D. 1.

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Đồ thị hàm số y = A. 0.

1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f ( x) − 5 B. 4.

C. 2.

D. 1.

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau

Đồ thị hàm số y = A. 3.

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y =

A. 2.

B. 3.

C. 4.

1 có bao nhiêu tiệm cận đứng? f (3 − x ) − 2 B. 1.

C. 0.

D. 2.

1 là f ( x) − 5

D. 5. Trang 37

Trang 38

Câu 6: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

2020 là f ( x) − 1

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

A. 2.

Đồ thị của hàm số y = A. 1.

B. 4.

C. 3.

1 f ( x3 + 2 x ) − 5

là

D. 1.

1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ngang? 2 f ( x) −1 B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Đồ thị của hàm số y = A. 1.

1 có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 f ( x) −1

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1;1} , có đạo hàm trên ℝ \ {−1;1} và có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số y = A. 2.

1 có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? f ( x) −1 B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau Trang 39

Trang 40

Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Câu 11: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=

− 4) .( x2 + 2 x ) 2

 f ( x )  + 2 f ( x ) − 3

là

A. 2.

B. 5.

C. 3.

D. 4.

Câu 12: Cho hàm số f ( x ) = ( x + 3)( x + 1) có

đồ

g ( x) =

thị

như

vẽ.

hình

Đồ

( x − 1)( x − 3)

thị

Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

số

hàm

A. 4.

x −1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng f 2 ( x) − 9 f ( x)

B. 3.

C. 5.

( x)

là

−3

D. 2.

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

và tiệm cận ngang?

A. 8.

B. 3.

C. 4.

D. 9.

Câu 13: Cho hàm bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

x 4 − 4 x2 + 3

( x − 1) ( f 2 ( x ) − 2 f ( x ) )

A. 4.

B. 5.

C. 2.

D. 3.

là Hỏi đồ thị hàm số y =

A. 5.

thị

như

g ( x) =

hình

vẽ

bên.

− 2x) 1 − x

( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x )  cận đứng? A. 5.

B. 4.

C. 6.

D. 3.

Đồ

thị

hàm

hình

g ( x) =

vẽ

bên

dưới.

C. 3.

D. 4.

số

có bao nhiêu đường tiệm

Đặt g ( x ) =

Câu 15: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hàm số như

B. 2.

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ \ {1} và có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Câu 14: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ

x4 − 1 có bao nhiêu tiệm cận đứng? f ( x) − 4 f ( x) 2

Đồ

thị

hàm

A. 4.

số

2 f ( x) − 3 f ( x) −1

. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g ( x ) là

B. 5.

C. 6.

D. 3.

Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

x có bao nhiêu tiệm cận 2  ( x + 1)  f ( x ) − f ( x ) 

đứng? A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Trang 41

Trang 42

Đồ thị hàm số y =

e 2 f ( x )−1 − 1

A. 2.

Trường hợp 1: x = x0 là nghiệm của phương trình Vì x = 1 là nghiệm kép của g ( x ) = 0 và là nghiệm

có bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng?

B. 3.

C. 4.

g ( x ) = 0 nhưng không là nghiệm của phương trình đơn của f ( x ) = 0 nên x = 1 là tiệm cận đứng của

D. 5.

f ( x) = 0 .

Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

đồ thị hàm số.

Trường hợp 2: x = x0 là nghiệm bội n của phương Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận là y = 0 ; x = −2 ; x = 1 . trình g ( x ) = 0 , đồng thời là nghiệm bội m của phương trình f ( x ) = 0 thì n > m . m

Ta có f ( x ) = ( x − x0 ) . f1 ( x ) với f1 ( x ) không có nghiệm

Đồ thị hàm số y =

f 2 ( x) + 2 f ( x) + 1 f 2 ( x) − 9

có tổng số tất cả các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận

và

g ( x ) = ( x − x0 ) .g1 ( x ) với

g1 ( x ) không có nghiệm x = x0 . Khi đó m

ngang là

A. 4.

x = x0

B. 5.

C. 6.

D. 7.

f ( x ) ( x − x0 ) . f1 ( x ) f1 ( x ) = = g ( x ) ( x − x0 )n .g1 ( x ) ( x − x0 )n − m .g1 ( x )

nên x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã

ĐÁP ÁN

cho.

1–B

2–D

3–D

4–C

5–A

6–C

7–A

8–C

9–C

10 – C

11 – D

12 – C

13 – A

14 – D

15 – A

16 – A

17 – D

18 – A

19 – C

20 – C

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y =

Dạng 4. Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

ba tiệm cận. Tổng các giá trị của tập S bằng

Bài toán 1: Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức y =

f ( x) g ( x)

, với f ( x ) và

D. 15.

x →±∞

f ( x) g ( x)

Ví dụ: Xét đồ thị của hàm số có tiệm cận y=

ngang khi và chỉ khi bậc f ( x ) ≤ bậc g ( x ) . Khi đó

Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác -2 của phương trình x+2 có ba tiệm cận thì phương trình x 2 + 2 x + m 2 − 3m = 0 nên để đồ thị hàm số y = 2 x + 2 x + m2 − 3m

f ( x) x −1 = . x3 − 3x + 2 g ( x )

x 2 + 2 x + m 2 − 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Khi đó, do bậc của f ( x ) nhỏ hơn bậc g ( x ) nên có đúng một đường tiệm

đồ thị có một đường tiệm cận ngang y = 0 .

cận ngang.

Điều kiện để đồ thị hàm số y = đứng x = x0

C. 3.

Ta có lim y = 0 ⇒ đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 0 .

Điều kiện đề đồ thị hàm số y =

g ( x)

B. 19.

Điều kiện x 2 + 2 x + m2 − 3m ≠ 0 .

Phương pháp giải

f ( x)

A. 6.

Hướng dẫn giải

g ( x ) là các đa thức

đồ thị hàm số y =

x+2 có x 2 + 2 x + m2 − 3m

f ( x) g ( x)

có tiệm cận

Ta có x = −2 là nghiệm g ( x ) = 0 nhưng không là nghiệm của f ( x ) = 0 nên x = −2 là tiệm cận đứng

 3 − 13 3 + 13 2 <m< 1 − m + 3m > 0  ⇔ 2 ⇔ 2 2 .  m − 3m ≠ 0  m ≠ 0, m ≠ 3  Do m nguyên dương nên m ∈ {1; 2} . Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3.

Chọn C.

của đồ thị hàm số. Trang 43

Trang 44

Ví dụ 2. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

x2 + m có đúng hai đường x − 3x + 2 2

x 2 − 3x + 2 = 1 , khi đó đồ thị hàm số y = 1 không có tiệm cận ⇒ loại. x 2 − 3x + 2

Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là m ∈ {−6; −5;...; 2;3} nên tổng bằng

tiệm cận là

A. -5

Thử lại, ta có y =

B. 4

C. -1

D. 5

-15.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện x ≠ 1; x ≠ 2 . Ví dụ 4. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

Vì lim y = 1 nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang y = 1 với mọi m. x →±∞

x = 1 Ta có x 2 − 3x + 2 ⇔  . x = 2

đúng một đường tiệm cận là A. {−1; 0}

Xét f ( x ) = x 2 + m . Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì f ( x ) phải nhận x = 1 hoặc  f (1) = 0 m + 1 = 0  m = −1 x = 2 là nghiệm hay  . ⇔ ⇔ m + 4 = 0  m = −4  f ( 2 ) = 0 • Với m = −1 , ta có hàm số y =

B. {0}

C. ( −∞; −1) ∪ {0}

Hướng dẫn giải

x2 −1 x +1 = nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 2; y = 1 x − 3x + 2 x − 2 2

x2 − 4 x+2 = nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 1; y = 1 2 x − 3x + 2 x − 1

- Với m = 0 , hàm số có dạng y =

−1 . 4 x2 + 1

Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang y = 0 . Do đó m = 0 là một giá trị cần tìm.

(thỏa mãn).

- Với m ≠ 0 .

Vậy S = {−1; −4} nên tổng các giá trị m bằng -5.

Ta có lim y = 0 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0 .

Chọn A.

Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận thì

x →±∞

x 2 − 3x + 2 Ví dụ 3. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = 2 không có x − mx − m + 5

đường tiệm cận đứng A. -12.

B. 12.

D. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ )

 mx 2 − 2 x + 1 ≠ 0 Điều kiện  2 .  4 x + 4mx + 1 ≠ 0

(thỏa mãn). • Với m = −4 , ta có hàm số y =

2x −1 có 2 mx x − 2 + 1 ( )( 4 x2 + 4mx + 1)

C. 15.

+ Trường hợp 1. Hai phương trình f ( x ) = mx 2 − 2 x + 1 = 0 và g ( x ) = 4 x 2 + 4mx + 1 = 0 cùng vô nghiệm

1 − m < 0 m > 1 ⇔ 2 ⇔ ⇒ vô nghiệm − 4 m 4 < 0 −1 < m < 1 

D. -15.

Hướng dẫn giải

+ Trường hợp 2. Phương trình ( mx 2 − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1) = 0 có nghiệm duy nhất là x =

Điều kiện x 2 − mx − m + 5 ≠ 0 . Đặt f ( x ) = x 2 − 3 x + 2, g ( x ) = x 2 − mx − m + 5 .

x = 1 Ta có f ( x ) = 0 ⇔  là nghiệm đơn của tử thức. x = 2

Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau Trường hợp 1. Phương trình g ( x ) = 0 vô nghiệm ∆ = m2 + 4m − 20 < 0 ⇔ −2 − 2 6 < m < −2 + 2 6 .

1 là nghiệm của một trong hai phương trình f ( x ) = 0 hoặc g ( x ) = 0 2

m =0 m = 0 . ⇔4 ⇔   m = −1 1 + 2m + 1 = 0 Do m ≠ 0 nên m = −1 .

Do m ∈ ℤ nên m ∈ {−6; −5;...; 2}

Thử lại, với m = −1 thì hàm số là

1 − m − m + 5 = 0 Trường hợp 2. f ( x ) = 0 nhận đồng thời x = 1 và x = 2 làm nghiệm ⇔  ⇔ m = 3. 4 − 2m − m + 5 = 0

Trang 45

1 . Khi đó 2

(−x

2x −1 1 = − 2 x + 1)( 4 x 2 − 4 x + 1) ( − x 2 − 2 x + 1) ( 2 x − 1)

Trang 46

Khi đó, đồ thị hàm số đã cho có các tiệm cận đứng là x = −1 ± 2, x =

1 ⇒ m = −1 không thỏa mãn. 2

2   2   Khi đó tập xác định của hàm số là D =  −∞; − ; +∞  \ {3} . ∪ m  m  

Vậy tập hợp tham số m cần tìm là m ∈ {0} . Ta có lim

Chọn B.

x →+∞

Bài toán 2: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức

mx 2 − 4 mx 2 − 4 = m ; lim = − m nên đồ thị hàm số x →−∞ x −3 x−3

có hai tiệm cận ngang là y = ± m

Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

1 − x2 . x − 3x + 2

Bước 2. Xác định các đường tiệm cận. - Tiệm cận ngang + Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa căn thức có tiệm cận ngang thì trong tập xác định phải có các khoảng ( −∞; a ) hoặc ( b; +∞ ) . + Điều kiện đủ là: Tồn tại một trong các giới hạn lim = a hoặc lim = b thì đường thẳng y = a hoặc

x →−∞

x →+∞

2 4 ⇔m≥ . 9 m

4 . 9

Chọn A.

Tập xác định D = [ −1;1) . 1 − x2 Xét hàm số y = 3 có tập xác định là x − 3x + 2

Ví dụ 2. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

D = [ −1;1) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận

đường tiệm cận là

ngang. Ngoài ra, x = 2 là nghiệm của mẫu nhưng không

m ≥ 1  B.   m ≤ −2 m ≠ −3 

A. m ∈ ℝ

có lân cận trong tập xác định nên không tồn tại

x + 1 − x 2 + 3x có đúng hai x + ( m + 1) x − m − 2 2

 m ≤ −2 C.   m ≠ −3

m ≥ 1 D.   m ≤ −2

Hướng dẫn giải

lim y .

x → 2±

y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

1− x y = lim− = +∞ nên đồ thị có * Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị x0 để một trong Ta có lim x →1− x →1 (2 − x) 1− x các giới hạn lim+ y = −∞ hoặc lim− y = +∞ thì một tiệm cận đứng x = 1 . x → x0 x → x0

x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Để tồn tại tiệm cận đứng x = 3 thì 3 ≥ Kết hợp lại ta có m ≥

Hướng dẫn giải Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Nếu m ≤ 0 thì mx 2 − 4 < 0

Chú ý: Lân cận của x0 trong tập xác định là các

 x 2 + 3x ≥ 0  x ≤ −3; x ≥ 0 Điều kiện  2 ⇔ . x + m + 1 x − m − 2 ≠ 0 ( )  x ≠ 1; x ≠ − m − 2  Tập xác định D = ( −∞; −3] ∪ [ 0; +∞ ) \ {1; − m − 2} Ta có lim y = 0, ∀m ∈ D ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x →±∞

Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng.

khoảng dạng ( a; x0 ) ; ( x0 ; b ) ⊂ D

- Với m = −3 thì D = ( −∞; −3] ∪ [ 0; +∞ ) \ {1} .

Ví dụ mẫu

Khi đó, ta có hàm số y =

Ví dụ 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 4 A. m ≥ 9

B. m > 0

4 C. 0 < m < 9

mx 2 − 4 có đúng ba tiệm cận là x −3

(

)

Do đó lim+ y = −∞ và lim− y = −∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ⇒ m = −3 thỏa mãn. x →1

D. ∀m ∈ ℝ

x + 1 − x 2 + 3x −1 . = x2 − 2x + 1 ( x − 1) x + 1 + x 2 + 3x

x →1

- Với m ≠ −3 , ta có

Hướng dẫn giải

lim y = lim x →1

mx 2 − 4 ≥ 0 Điều kiện  . x ≠ 3

x →1

x + 1 − x 2 + 3x −1 −1 = lim = x + ( m + 1) x − m − 2 x→1 ( x + m + 2 ) x + 1 + x 2 + 3 x 4 ( m + 3) 2

(

)

⇒ x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m > 0 .

 − m − 2 ≤ −3  m ≥ 1 Để đường x = − m − 2 là tiệm cận đứng thì  . ⇔  −m − 2 ≥ 0  m ≤ −2 Trang 47

Trang 48

Khi đó

lim

x → ( − m − 2)+

mx 2 − 3mx + 2 > 0 ⇔ x ∈ [ x1 ; x2 ] (với x1 , x2 là hai nghiệm của phương

m ≥ 1  (tùy theo m) nên x m là ti ệ m c ậ n đứ ng khi = − − 2 y = ±∞   m ≤ −2 .  m ≠ −3 

D=∅

trình mx 2 − 3mx + 2 = 0 ) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ có tối đa hai tiệm cận đứng

m ≥ 1 Kết hợp cả hai trường hợp, ta có  .  m ≤ −2

Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm. Trường hợp 3. Với m > 0 .

Chọn D.

Xét phương trình mx 2 − 3mx + 2 = 0 .

Ví dụ 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x + mx + 1 có tiệm cận ngang là 2

A. m > 1

B. 0 < m < 1

C. m = 1

D. m = −1

- Nếu ∆ = 9m 2 − 8m < 0 ⇔ 0 < m <

Khi đó mx 2 − 3mx + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng mà chỉ có hai tiệm cận

Hướng dẫn giải Trường hợp 1. Với m = 0 thì hàm số là y = x + 1 nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó m = 0

ngang là y = ±

không phải giá trị cần tìm.

1 1 −1 vì lim = và lim = . x →+∞ x →−∞ m m m

 1 1  Trường hợp 2. Với m < 0 thì hàm số có tập xác định là D =  − ; y  nên không tồn tại xlim →−∞  −m −m 

- Nếu ∆ = 9m 2 − 8m = 0 ⇔ m =

và lim y ⇒ đồ thị không có tiệm cận ngang.

Khi đó, hàm số trở thành y =

x →+∞

3( x − 2) 2

(

- Nếu ∆ = 9m 2 − 8m > 0 ⇒ m >

)

Xét lim x + mx 2 + 1 = +∞ .

(

)

Xét lim x + mx 2 + 1 = lim

x →−∞

(1 − m ) x

3( x − 2) 2 2x − 3

nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận

−1

Nếu x = 1 là nghiệm của

8 . 9

phương trình g ( x ) = 0 ,

Hàm số xác định trên các khoảng ( −∞; x1 ) và ( x2 ; +∞ ) . .

1 Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ± . m

x − mx + 1

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 1 − m = 0 ⇔ m = 1 .

Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải

Chọn C.

mx 2 − 3mx + 2

có bốn

9  B.  ; +∞  8 

8  C.  ; +∞  9 

8  D.  ; +∞  \ {1} 9 

Hướng dẫn giải Điều kiện mx 2 − 3mx + 2 > 0 . (*)

Trường hợp 1. Với m = 0 , ta có y =

Vì x = 1 là nghiệm của tử f ( x ) = x − 1 nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng thì

đường tiệm cận phân biệt là

x −1 2

x =1

do phương trình g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt phương

nên

trình

g ( x ) = 0 có một nghiệm

có hai đường tiệm cận đứng.

x −1

Ví dụ 4. Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y =

A. ( 0; +∞ )

đứng và hai tiệm cận ngang.

Trường hợp 3. Với m > 0 thì hàm số có tập xác định là D = ℝ .

x →−∞

8 . 9

8 x − 24 x + 18

Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm.

x →+∞

8 . Hàm số xác định trên ℝ . 9

không phải là nghiệm của phương trình

x = a ≠1

nữa

thì

g ( x ) = m ( x − 1) . ( x − a ) .

mx 2 − 3mx + 2 = 0 ⇔ m − 3m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 .

Khi đó hàm số có dạng

8  m > Vậy giá trị của m cần tìm là  9. m ≠ 1

nên chỉ có một tiệm cận

Chọn D.

đứng là x = a .

x −1

m ( x − 1) . ( x − a )

nên đồ thị không có đường tiệm cận.

Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm.

Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =

Trường hợp 2. Với m < 0 . Phương trình mx 2 − 3mx + 2 = 0 có ∆ = 9m 2 − 8m > 0, ∀m < 0 nên

Nếu ∆ ≤ 0 thì hàm số có tập xác định là Trang 49

1+ x +1

x 2 − (1 − m ) x + 2m

có hai

tiệm cận đứng? A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Trang 50

Hướng dẫn giải

Điều kiện f ( x ) ≠ m .

 x ≥ −1 . Điều kiện  2  x − (1 − m ) x + 2m > 0

Để đồ thị hàm số g ( x ) =

Đặt f ( x ) = x 2 − (1 − m ) x + 2m Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt

2020 có đường tiệm cận đứng thì phương trình f ( x ) = m phải có nghiệm. f ( x) − m

x = a Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ′ ( x ) suy ra phương trình f ′ ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm là  x = b với −1 < a < 1 < b .

x1 , x2 ≥ −1 .

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau

Trường hợp 1. f ( x ) có nghiệm x = −1 ⇔ f ( −1) = 0 ⇔ m = −2 . Khi đó hàm số có dạng y =

1+ x +1 x 2 − 3x − 4

có tập xác định là D = ( 4; +∞ ) nên chỉ có một tiệm cận

đứng. ∆ > 0  Trường hợp 2. f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 > −1 ⇔ ( x1 + 1)( x2 + 1) > 0  x + x > −2  1 2

Suy ra phương trình y = f ( x ) có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt.

m < 5 − 2 6  (1 − m ) − 8m > 0 m > 5 + 2 6   ⇔ 2 m + 1 − m + 1 > 0 ⇔  ⇒ −2 < m < 5 − 2 6 1 − m > −2   m > −2  m < 3  2

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) =

2020 có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng. f ( x) − m

Chọn C. Ví dụ 2. Cho hàm số g ( x ) =

Do m ∈ ℤ nên m = −1; m = 0

2020 với h ( x ) = mx 4 + nx 3 + px 2 + qx . ( m, n, p, q ∈ ℝ, m ≠ 0 ) , h ( x ) − m2 − m

h ( 0 ) = 0 . Hàm số y = h ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Chọn B. Bài toán 3: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) có hai tiệm cận đứng? Đồ thị hàm số g ( x ) = A. 1.

A. 2.

2020 có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f ( x) − m B. 2.

C. 3.

B. 11.

C. 71.

D. 2019

Hướng dẫn giải

D. 4.

Hướng dẫn giải Trang 51

Trang 52

Từ

đồ

thị

suy

h′ ( x ) = m ( x + 1)( 4 x − 5 )( x − 3) = m ( 4 x 3 − 13 x 2 − 2 x + 15 )

và

m<0

nên

Điều kiện f ( x ) ≠ m .

Từ đồ thị hàm số f ′ ( x ) , ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) là

13   h ( x ) = m  x 4 − x3 − x 2 + 15 x  do h ( 0 ) = 0 . 3   Đồ thị g ( x ) có hai đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình h ( x ) = m2 + m có hai nghiệm phân biệt

⇔ x4 −

13 3 x − x 2 + 15 x = m + 1 có hai nghiệm phân biệt. 3

Đặt f ( x ) = x 4 −

13 3 x − x 2 + 15 x . 3

Ta có bảng biến thiên của f ( x ) như sau - Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận. - Nếu m ≠ 20 thì lim

x →±∞

f ( x ) − 20 f ( x) − m

= 1 ⇒ Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có phương trình f ( x ) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f ( −1) < 20 . Suy ra đồ thị hàm số g ( x ) có bốn tiệm cận khi phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm phân biệt khác a ⇔ f ( 3) < m < f ( −1) . Chọn B.

 −32   −35  Vì m < 0 nên m + 1 ∈  ;1 ⇔ m ∈  ;0  .  3   3 

Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và lim f ( x ) = 1 ; lim f ( x ) = +∞ . Có bao nhiêu giá trị x →−∞

x →+∞

Vậy có 11 số nguyên m. nguyên của tham số m thuộc [ −2020; 2020] để đồ thị hàm số g ( x ) =

Chọn B. Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới đây và

f ( −1) < 20 .

x 2 + 3x + x 2 f ( x) − f 2 ( x) + m

có tiệm cận

ngang nằm bên dưới đường thẳng y = −1 .

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Hướng dẫn giải

 x ≤ −3; x ≥ 0  Điều kiện 0 ≤ f ( x ) ≤ 2  2  2 f ( x ) − f ( x ) + m ≠ 0 Do lim f ( x ) = +∞ nên khi x → +∞ thì 2 f ( x ) − f 2 ( x ) → −∞ vì vậy x →+∞

Đồ thị hàm số g ( x ) =

f ( x ) − 20

f ( x) − m

2 f ( x ) − f 2 ( x ) không có nghĩa

khi x đủ lớn. Do đó không tồn tại lim g ( x ) . x →+∞

(m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi

Xét lim g ( x ) . x →−∞

A. m < f ( 3)

B. f ( 3) < m < f ( −1)

C. m > f ( −1)

D. f ( 3) ≤ m ≤ f ( −1)

Vì lim f ( x ) = 1 nên lim x →−∞

Hướng dẫn giải

Trang 53

x →−∞

2 f ( x) − f 2 ( x) =

lim  2 f ( x ) − f 2 ( x )  = 1 ;

x →−∞

Trang 54

lim

x →−∞

Từ đó lim g ( x ) = x →−∞

(

)

x 2 + 3 x + x = lim

x →−∞

 1 A.  0;   2

3 3 =− 2   3 −  1 − + 1 x  

1 1 B.  ;  4 2

A. Không tồn tại m

B. m = −2

A. m > 1

B. 0 < m < 1

Vì m ∈ ℤ nên m = 0 .

Chọn C.

A. m ≤ 0

B. 0 < m ≤

Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

x −1 có ba đường tiệm cận là mx 2 − 2 x + 3

 m ≠ 0  B. m ≠ −1 .  1 m < 3 

 m ≠ 0  D. m ≠ −1 .  1 m < 5 

m ≠ 0  C.  1.  m < 3

C. 1.

A. m < 1

B. m ≠ 1 và m ≠ −8

B. m ∈ [ 4;12]

Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng

D. m < 1 và m ≠ −8

6x − 3

( mx

− 6 x + 3)( 9 x 2 + 6mx + 1)

A. 6.

B. 7.

Câu 6: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

Câu 10: Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

1 2

D. m ≥

x − 1 + 2019 x 2 − 2mx + m + 2

để đồ thị hàm số

có đúng ba đường tiệm cận

là

A. 2019.

C. m < 2

B. 2018.

D. 2 < m < 3 − x + 2019 x + 2020 − 12 70 x 2 − ( m + 1) x + m

C. 2021.

D. 2020. x +1

Câu 12: Tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y =

mx 2 + 1

A. m > 0 . Câu

13: 3

B. m < 0 .

Gọi

tập

là

tất

C. m = 0 . cả

các

giá

trị

của

D. Không có m. tham

số

để

đồ

thị

hàm

số

y = x + 3x + 2 − 4 x + 3x + 2 + mx có tiệm cận ngang. Tổng các phần tử của S bằng

A. -2.

B. -3.

C. 2.

D. 3. x +1 2

có hai tiệm cận đứng

là

B. m < 1 .

C. m < 0 .

D. 10. x 2 − mx − 3m

có hai tiệm cận ngang

là

m < 0 A.  .  m ≠ −1

1+ x +1

1 2

m ( x − 1) + 4

có đúng một đường tiệm cận?

C. 5.

C. 0 < m <

Câu 14: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

D. m = 12

( −10;10 )

mx 2 + 3mx + 1 có ba đường tiệm cận là x+2

có đúng hai đường tiệm cận?

x2 + x − 2 có ba đường tiệm cận là x2 − 2x + m

C. m = −4

D. m ≠ 1

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =

x+2 Câu 4: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2 có một đường tiệm cận x − 4x + m đứng và một đường tiệm cận ngang là

A. m ∈ {4; −12}

có đường tiệm cận

D. 4.

C. m ≤ 1 và m ≠ −8

1 2

A. m > 2 hoặc m < −1 B. 2 ≤ m ≤ 3

mx 2 − 1 Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2 có đúng hai đường tiệm cận? x − 3x + 2

Câu 3: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

2x + 1

(1 − m ) x2 + 3x − 1

C. m < 1

Câu 9: Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

B. 2.

D. m = 2 và m = −2

ngang là

−3 1 < −1 ⇔ −1 < m < 2m + 2 2

A. 3.

m x có tiệm cận ngang là 2

C. m = −1 và m = 2

Câu 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

−3 . 2m + 2

Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = −1 thì

1  m < A.  5. m ≠ 0

D. ( 0; +∞ )

Câu 7: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 2 + 1 −

−3 với m ≠ −1 . 2m + 2

Khi đó đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y =

 1 C.  0;   2

Câu 15: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = có đúng hai

D. m = 0 .

( m − 1) x + 1 x2 − x + 1

có đúng một

đường tiệm cận ngang là

tiệm cận đứng là

Trang 55

A. không có giá trị nào của m thỏa mãn.

B. ∀m ∈ ℝ .

C. m = 1 .

D. m = 0 . Trang 56

Câu 16: Tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y = ax + 4 x 2 + 1 có tiệm cận ngang là A. a = −2 và a =

1 . 2

1 B. a = ± . 2

C. a = ±2 .

Câu 17: Tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số y = A. a > 0 .

B. a = 1 hoặc a = 4 .

Câu 18: Cho hàm số y =

12 + 4 x − x 2

x 2 − 6 x + 2m

x − x2 + 1 ax 2 + 2

D. a ≥ 0 .

có đồ thị ( Cm ) . Tập hợp các giá trị của tham số thực m để

B. [8;9 ) .

 9 D.  4;  .  2

2–B

3–D

4–A

5–B

6–A

7–D

8–C

9–B

10 – D

11 – A

12 – A

13 – A

14 – A

15 – C

16 – C

17 – D

18 – D

19 – D

20 – C

21 – D

22 – A

23 – D

24 – A

( 2m + 1) x2 + 3 x4 + 1

C. m = −2 .

D. m = 2 .

x−3 2

m < 0 B.  . m ≠ −9

m = 0 C.  .  m = −9 2

x=−

có hai đường tiệm cận ngang

m x + 2016 là

B. m = 0 .

C. m > 0 .

D. m ≠ 0 .

Câu 22: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

mx 2 + 1 có đúng một đường tiệm x +1

cận là

B. −1 ≤ m ≤ 0 .

C. m < −1 .

C. 0.

kích thước là −

C. ( −2; 2 ) .

D. ( 2; 2 )

Hướng dẫn giải

d a và nên có chu vi là c c

d a ad C = 2  +  và diện tích là S = 2 c  c  c

Câu 24: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có lim f ( x ) = lim f ( x ) = 2 . Gọi S là tập hợp các giá trị

Ví dụ mẫu

x →+∞

( x − 1)  f ( x ) + 3 g ( x) = 2 x + 2 ( m − 1) x + m 2 − 2

B. ( −2; −2 ) .

 d a điểm I  − ;  và cũng là tâm đối xứng của đồ và y = 2 nên tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm  c c cận là I ( −2; 2 ) . thị. Chọn C. - Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với

D. 2.

x →−∞

A. ( 2; −2 ) .

hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có các

D. m > 0 .

x−m −3 có đồ thị ( C ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc x2 − 4x + 3

B. 1.

a . c

( C ) là

- Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là Ta có phương trình hai đường tiệm cận là x = −2

đoạn [ −10;10] để đồ thị ( C ) có đúng hai đường tiệm cận? A. 3.

d . c

Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2

độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị

Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng là

D. m > 0 .

mx − 3

Câu 21: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị y =

ax + b 2x − 1 có đường tiệm cận Ví dụ: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Tọa cx + d x+2

khi và chỉ khi ad − bc ≠ 0, c ≠ 0 .

có ba tiệm cận là

ax + b cx + d

Phương pháp giải

có đường tiệm cận

Đồ thị hàm số y =

B. m = ±1 .

Câu 23: Cho hàm số f ( x ) =

1–B

Bài toán 1: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

x +m

A. −1 ≤ m < 0 .

3 . 2

Dạng 5. Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số và các đường tiệm cận  9 C.  4;  .  2

Câu 20: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

A. m < 0 .

ĐÁP ÁN

ngang đi qua điểm A ( −1;3) là

A. m = 0 .

C. -3.

có tiệm cận ngang là

C. a ≤ 0 .

Câu 19: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

A. m = 0 .

B. -2.

D. a = ±1 .

( Cm ) có đúng hai tiệm cận đứng là A. ( 0;9] .

1 A. − . 2

của tham số m để đồ thị của hàm số

có tổng số tiệm cận đứng và tiệm

cận ngang bằng 2. Tổng các phần tử của S bằng

Ví dụ 1. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

(

mx − 1 có đường tiệm cận đứng đi qua điểm 2x + m

)

A −1; 2 là

Trang 57

Trang 58

A. m = −2 .

B. m = 2 .

C. m = 2 .

D. m = −1 .

Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là 1 và a − 2 .

Hướng dẫn giải

a = 6 Theo giả thiết, ta có a − 2 .1 = 4 ⇔  .  a = −2

m Ta có ad − bc = m + 2 ≠ 0, ∀m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = − . 2 2

Vì a > 0 nên a = 6 .

m Để tiệm cận đứng đi qua điểm A −1; 2 thì − = −1 ⇔ m = 2 . 2

Chọn A.

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hàm số y =

(

)

Ví dụ 2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

2x + 3 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có x −1

diện tích bằng

A. 3 (đvdt)

d : y = 2 x + b (b là tham số thực) cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Biết b < 0 và diện tích tam giác AIB bằng

B. 6 (đvdt)

C. 1 (đvdt)

x +1 có đồ thị ( C ) . Hai đường tiệm cận của ( C ) cắt nhau tại I. Đường thẳng x −1

D. 2 (đvdt)

15 . Giá trị của b bằng 4

A. -1.

Hướng dẫn giải

B. -3.

C. -2.

Phương trình các đường tiệm cận là x = 1; y = 2 .

Hướng dẫn giải

Do đó hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích bằng 1.2 = 2 (đvdt).

Ta có tọa độ điểm I (1;1) .

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và d là

Ví dụ 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y =

2mx + m có đường tiệm cận đứng, x −1

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 là

A. m ≠ ±2 .

B. m = 2 .

1 C. m = ± . 2

∆ = b 2 + 2b + 17 > 0 khác 1 ⇔  ⇔ ∀b ∈ ℝ .  f (1) = −2 ≠ 0

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là −2m − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 .

Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (*).

Khi đó phương trình hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2m . Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ, ta có S = 2m . Theo giả thiết thì 2m = 8 ⇔ m = ±4 .

Khi đó A ( x1 ; 2 x1 + b ) , B ( x2 ; 2 x2 + b ) . Ta có IA = ( x1 − 1; 2 x1 + b − 1) ; IB = ( x2 − 1; 2 x2 + b − 1) . Diện tích tam giác IAB là S =

Chọn D. ax + 1 2x + 1 1 và g ( x ) = với a ≠ . Tất cả các giá trị thực dương x +1 x+2 2

của tham số a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 4 là

A. a = 6 .

 x ≠ 1 x +1 . = 2x + b ⇔  2 x −1  f ( x ) = 2 x + ( b − 3) x − b − 1 = 0 (*) Đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt

D. m = ±4 .

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Cho đồ thị hai hàm số f ( x ) =

B. a = 4 .

C. a = 3 .

D. a = 1 .

Theo giả thiết thì

b + 1 b 2 + 2b + 17

Do b < 0 nên b = −4 .

ax + 1 1 có tiệm cận là 2a − 1 ≠ 0 ⇔ a ≠ . x+2 2

Chú ý: - Với tam giác ABC có AB = ( a; b ) ; AC = ( c; d ) thì S∆ABC =

1 ad − bc . 2

- Nếu phương trình bậc

15 4

2 2 2 ⇔ ( b + 1) ( b + 1) + 16  = 225 ⇔ ( b + 1) = 9 ⇔  

2x + 1 có hai đường tiệm cận là x = −1 và y = 2 . x +1

Điều kiện để đồ thị hàm số g ( x ) =

1 ( x1 − 1)( 2 x2 + b − 1) − ( x2 − 1)( 2 x1 + b − 1) 2

b 2 + 2b + 17 1 1 . ( b + 1)( x1 − x2 ) = b + 1 . 2 2 2

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số f ( x ) =

D. -4

hai ax 2 + bx + c = 0 có

b = 2 b = −4 . 

hai nghiệm phân biệt

x1 , x2 thì x1 − x2 =

∆ a

Chọn D.

Với điều kiện đó thì đồ thị hàm số g ( x ) có hai đường tiệm cận là x = −2 và y = a . Trang 59

Trang 60

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( C1 ) và ( C2 ) lần lượt có phương trình

( x − 1)

+ ( y − 2 ) = 1 và ( x + 1) + y 2 = 1 . Biết đồ thị hàm số y =

ax + b đi qua tâm của ( C1 ) , đi qua x+c

tâm của ( C2 ) và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả ( C1 ) và ( C2 ) . Tổng a + b + c là

A. 5.

B. 8.

C. 2.

Vậy ta luôn có d1 .d 2 =

ad − bc = K là một số c2

không đổi.

đó

Khi

d1 + d 2 ≥ 2 d1 d 2 = 2 K

nên

min ( d1 + d 2 ) = 2 K khi d1 = d 2

D. -1.

Hướng dẫn giải ⇔

Đường tròn ( C1 ) có tâm I1 (1; 2 ) ; R1 = 1 và ( C2 ) có tâm I 2 ( −1; 0 ) ; R2 = 1 .

cx0 + d ad − bc 2 = ⇔ ( cx0 + d ) = ad − bc . c c ( cx0 + d )

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là ac − b ≠ 0 . Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y =

ax + b . x+c

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Gọi M là giao điểm của đồ thị y =

Khi đó ta có các đường tiệm cận ( C ) là x = −c và y = a .

M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng

a + b  c ≠ ±1  c + 1 = 2  Ta có I1 , I 2 ∈ ( C ) ⇔  ⇔ a = b .  −a + b = 0  a = c + 1  c − 1 Đường thẳng x = −c tiếp xúc với cả ( C1 ) và ( C2 )

A. 4.

B. 2.

C. 8.

D. 6.

Hướng dẫn giải Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

 c + 1 = 1 nên  ⇒c=0  c − 1 = 1

Áp dụng công thức, ta có d1 .d 2 =

⇒ a = b =1

6+2 = 2. 4

Chọn B.

Khi đó tiệm cận ngang của ( C ) là y = 1 tiếp xúc với cả ( C1 ) , ( C2 ) thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 2. Cho hàm số y =

Vậy a = b = 1; c = 0 ⇒ a + b + c = 2 .

2x − 3 x−2

( C ) . Gọi M là điểm bất kỳ trên ( C ) , d là tổng khoảng cách từ M đến

hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằng

Chọn C.

Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số y =

ax + b đến các đường tiệm cận cx + d

Giả sử đồ thị hàm số y = cận là ∆1 : x = −

ax + b 2x − 1 có các đường tiệm Ví dụ: Xét hàm số y = có hai đường cx + d x −1 tiệm cận là x = 1 và y = 2 . Khi đó tích các

d a và ∆ 2 : y = . c c

khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị đến

 ax + b  Gọi M  x0 ; 0  là điểm bất kì trên đồ thị.  cx0 + d  đó

A. 10.

B. 6.

C. 2.

D. 5.

Hướng dẫn giải Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Phương pháp giải

Khi

2x − 1 với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm 2x + 3

d1 = d ( M ; ∆1 ) = x0 +

cx + d d = 0 c c

−2 + 1 hai đường tiệm cận là d = = 1. 1

Áp dụng công thức, ta có d1 .d 2 =

−4 + 3 = 1. 1

Khi đó d = d1 + d 2 ≥ 2 d1 .d 2 = 2 . Vậy d min = 2 .

Chọn C. Ví dụ 3. Cho hàm số y =

và

1 − 3x có đồ thị ( C ) . Điểm M có hoành độ dương, nằm trên ( C ) sao cho 3− x

khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của ( C ) . Khoảng ax + b a ad − bc . d2 = d ( M ; ∆ 2 ) = 0 − = cx0 + d c c ( cx0 + d )

cách từ M đến tâm đối xứng của ( C ) bằng

A. 5. Trang 61

B. 3 2 .

C. 2 5 .

D. 4. Trang 62

 3x − 1  Giả sử M  x0 ; 0  ∈ ( C ) ( x0 > 0; x0 ≠ 3) . x0 − 3  

 ax + b  Gọi M  x0 ; 0  là điểm bất kỳ trên đồ thị.  cx0 + d 

Đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng ∆1 : x = 3 , tiệm cận ngang ∆ 2 : y = 3 và tâm đối xứng I ( 3;3) .

d:y=

 x0 = 7 16 Theo giả thiết d1 = 2d 2 ⇔ x0 − 3 = ⇔ ⇒ x0 = 7 (do x0 > 0 ). x0 − 3  x0 = −1

ad − bc

( cx0 + d )

ax + b ( x − x0 ) + 0 . cx0 + d

Gọ i A = d ∩ ∆ 1

Vậy M ( 7;5 ) ⇒ IM = 2 5 .

4x − 5 Ví dụ 4. Cho hàm số y = có đồ thị ( H ) . Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 < 0 là một điểm thuộc đồ thị x +1 thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của ( H ) bằng 6. Giá trị của biểu thức

 2 ( ad − bc ) .  ⇒ IA = c ( cx + d ) 0 

S∆IAB =

 4x − 5  Gọi M  x0 ; 0  ∈ ( H ) , x0 ≠ −1, x0 < 0 . x0 + 1  

đổi.

4 ad − bc

Ta có d1 + d 2 ≥ 2 d1 d 2 = 6 nên min ( d1 + d 2 ) = 6 khi

 x0 = 2 9 ⇒ . x0 + 1  x0 = −4

K 2

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .

= K là một số không đổi.

d) Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Ta có r =

S K = p IA + IB + AB

2 ad − bc 1 1 = K là một số không Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằng IA.IB = 2 2 c2 2 K + 2K .

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .

Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy

Do x0 < 0 nên M ( −4; 7 ) ⇒ S = 9 .

ra khi IA = IB nên ∆IAB vuông cân tại I. Gọi α là

Chọn C. Bài toán 3: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số y =

1 AB ≥ 2

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .  x A + xB = 2 xM Ngoài ra, ta có  nên M luôn là e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất.  y A + y B = 2 yM Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có trung điểm của AB. 1 1 1 2 2 K = + ≥ = ⇒ IH ≤ . 2 IH 2 IA2 IB 2 IA.IB K

9 Khi đó d1 = d ( M ; ∆1 ) = x0 + 1 và d 2 = d ( M ; ∆ 2 ) = ⇒ d1 .d 2 = 9 . x0 + 1

d1 = d 2 ⇔ x0 + 1 =

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .

Ta có R =

Do ∆IAB vuông tại I nên

Đồ thị ( H ) có tiệm cận đứng ∆1 : x = −1 và tiệm cận ngang ∆ 2 : y = 4 .

IA + IB + AB ≥ 2 IA.IB + 2 IA.IB = 2 K + 2 K

2 ( cx0 + d ) d a  ⇒ B  2 x0 + ;  ⇒ IB = . c c c  

D. 1.

Hướng dẫn giải

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB . b) Chu vi nhỏ nhất

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

Do đó IA.IB =

C. 9.

AB = IA2 + IB 2 ≥ 2 IA.IB = 2 K .

B = d ∩∆2

S = ( x0 + y0 ) bằng

B. 0.

tọa độ một tam giác vuông có

Ta có

 d 2bc − ad + acx0 ⇒ A  − ; c ( cx0 + d )  c

Chọn C.

A. 4.

tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến tạo với hai trục

a) Cạnh huyền nhỏ nhất. Khi đó tiếp tuyến của ( C ) tại M là

8 Khi đó d1 = d ( M ; ∆1 ) = x0 − 3 và d 2 = d ( M ; ∆ 2 ) = . x0 − 3

(H )

Câu 2: Tìm điểm M ∈ ( C ) hoặc viết phương trình

 d a I − ; .  c c

Hướng dẫn giải

góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆ 2 thì

ax + b cx + d

α = ( d ; ∆ 2 ) = ( d ; Ox ) = 45° nên hệ số góc của tiếp

Phương pháp giải

tuyến là k = ± tan 45° = ±1 .

Ta có các dạng câu hỏi thường gặp sau ax + b có đồ thị ( C ) có cx + d Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB. d a 2 ad − bc 1 1 các đường tiệm cận là ∆1 : x = − , ∆ 2 : y = và = K. S∆IAB = IA.IB = c c 2 2 c2

Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết

Giả sử đồ thị hàm số y =

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=

Trang 63

ax + b khi biết hệ số góc k = 1 hoặc k = −1. cx + d Trang 64

Theo lý thuyết thì để diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó hệ

Ví dụ mẫu

số góc của tiếp tuyến ∆ phải là k = ±1.

2x − 1 Ví dụ 1. Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc x −1

Do y ′ < 0, ∀x nên k = −1 .

( C ) cắt các đường tiệm cận của ( C ) tạo thành tam giác có diện tích bằng

Xét phương trình y ′ = k ⇒

A. 4.

B. 2 + 2 .

C. 4 + 2 2 .

D. 2

−3

( x − 2)

x = 2 − 3 = −1 ⇒  .  x = 2 + 3

(

Áp dụng công thức, ta có S =

⇔ y = −x + 4 − 2 3 .

2 −2 + 1

= 2.

(

x −1 2x − 3

(C ) .

Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số ( C ) .

B. 1.

(

)

(

) (

)

Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm P 4 + 2 3;0 , N 0; 4 + 2 3 và SOPQ =

1 4+2 3 2

(

)

≈ 27,85 .

Chọn C. Ví dụ 4. Cho hàm số y =

3 1 Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I  ;  2 2

Khi đó ta có IA.IB =

4 ad − bc

4 −3 + 2

x −1 , gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m − 2 . x+2

Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A ( x1 ; y1 ) và cắt tiệm cận ngang của đồ

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại M ∈ ( C ) bất kỳ với hai đường tiệm cận.

thị hàm số tại điểm B ( x2 ; y2 ) . Gọi S là tập hợp các số m sao cho x2 + y1 = −5 . Tổng bình phương các phần tử của S bằng

= 1.

A. 4.

1 1 1 2 2 Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có = + ≥ = 2 ⇒ IH ≤ . 2 IH 2 IA2 IB 2 IA.IB

B. 9.

C. 0.

Điều kiện m − 2 ≠ 2 ⇔ m ≠ 0 .

2 = . 2

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ∆ : x = −2 và tiệm cận ngang ∆ ′ : y = 1 . Ta có y ′ =

Ví dụ 3. Cho hàm số y =

2x − 1 có đồ thị ( C ) . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ) . Biết x−2

( x + 2)

⇒ y′ ( m − 2) =

Phương trình đường thẳng d là y =

tiếp tuyến ∆ của ( C ) tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi ∆ và

m−3 3 và y ( m − 2 ) = . m m2 m−3 3 . ( x − m + 2) + m m2

m−6  A = d ∩ ∆ ⇒ A  −2;  ; B = d ∩ ∆ ′ ⇒ B ( 2m − 2;1) m  

hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. ( 28; 29 ) .

B. ( 29;30 ) .

C. ( 27; 28 ) .

Do đó x2 + y1 = −5 ⇔ 2m − 2 +

D. ( 26; 27 ) .

Hướng dẫn giải

m−6 = −5 ⇔ 2 m 2 + 4 m − 6 = 0 ⇔ m

m = 1  m = −3 . 

Vậy S = ( −3) + 12 = 10 .

−3

( x − 2)

D. 10.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có y ′ =

(

⇔ y = −x + 4 + 2 3 .

Hướng dẫn giải

Vậy IH max

2 1 4−2 3 . 2

)

- Với x = 2 + 3 ⇒ y = 2 + 3 ⇒ tiếp tuyến ∆1 : y = − x − 2 − 3 + 2 + 3

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị ( C ) đạt giá trị lớn nhất bằng

) (

Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm M 4 − 2 3; 0 , N 0; 4 − 2 3 và SOMN =

Chọn D. Ví dụ 2. Cho hàm số y =

)

- Với x = 2 − 3 ⇒ y = 2 − 3 ⇒ Tiếp tuyến ∆1 : y = − x − 2 + 3 + 2 − 3

Hướng dẫn giải

< 0.

Chọn D. Trang 65

Trang 66

Bài tập tự luyện dạng 5 Câu 1: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

A. 2x + 1 cùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ x − 2018

A. 4036.

B. 1009.

C. 2018.

D. 1.

Câu 2: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

2x + 1 x +1

bằng

3 A. m = 1; m = − . 2

D. 5.

B. m = −1; m = 3 .

C. m = 1; m =

3 . 2

3 D. m = −1; m = − . 2

mx − 1 trong đó m, n là tham số. Biết giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ x−n

thị hàm số nằm trên đường thẳng x − 2 y + 3 = 0 và đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 0;1) . Giá trị của m + n bằng

A. -3.

B. 3.

C. 1.

D. -1.

x+2 có đồ thị ( C ) . Có bao nhiêu điểm M thuộc ( C ) sao cho khoảng cách từ x−3 điểm M đến đường tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng?

A. 1. Câu 6: Cho hàm số y =

B. 2.

C. 3.

D. 4.

khoảng cách từ A đến các đường tiệm cận của ( C ) bằng

C. 3.

D. 2 3 .

x+2 có đồ thị là ( C ) . Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc ( C ) sao cho x−2 tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất là

Câu 7: Cho hàm số y =

A. ( 0; −1) .

B. ( 2; 2 ) .

C. (1; −3) .

B. M 1 (1; −1) và M 2 ( −3;3)

C. M 1 (1; −1) và M 2 ( −3; 2 )

D. M 1 (1; −2 ) và M 2 ( −3; −3) 2x + 1 . Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) x −1

tại M cắt hai đường tiệm cận của ( C ) tại hai điểm P và Q. Gọi G là trọng tâm tam giác IPQ (với I là giao

điểm hai đường tiệm cận của ( C ) ). Diện tích tam giác GPQ là A. 2.

B. 4.

Câu 12: Cho hàm số y =

D. ( 4;3) .

2 . 3

D. 1.

2x − 1 có đồ thị là ( C ) . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận và x +1

M ( x0 , y0 ) ( x0 > 0 ) là một điểm trên ( C ) sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại A, B thỏa mãn AI 2 + IB 2 = 40 . Khi đó tích x0 y0 bằng

1 . 2

B. 2.

C. 1.

Câu 13: Tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số f ( x ) = đứng là các đường thẳng x = x1 và x = x2 sao cho

x +1 có đồ thị ( C ) và A là điểm thuộc ( C ) . Giá trị nhỏ nhất của tổng các x −1

B. 2.

A. M 1 (1;1) và M 2 ( −3;0 )

Câu 5: Cho hàm số y =

A. 2 2 .

D. 2 2 .

x−3 có đồ thị là ( C ) . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ) . Các x +1

Câu 11: Cho đồ thị ( C ) : y =

Câu 3: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị mx + 1 hàm số y = cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 3 là 2m + 1 − x

Câu 4: Cho hàm số y =

Câu 10: Cho hàm số y =

điểm M trên ( C ) sao cho độ dài đoạn IM ngắn nhất là

nhật có diện tích bằng

B. 3 3 .

m > 2 A.  .  m < −2

x +1 có hai đường tiệm cận x 2 + mx + 1

x12 x22 + > 7 là x22 x12

2 < m > 5 C.  .  − 5 < m < −2

B. −2 < m < 2 .

Câu 14: Biết rằng đồ thị của hàm số f ( x ) =

15 . 4

m > 5 D.  .  m < − 5

x −1 có hai tiệm cận đứng là x = x1 và x = x2 sao x 2 + mx + n

 x1 − x2 = 5 . Giá trị m + n bằng cho  3 3  x1 − x2 = 35 A. -1.

B. -7.

C. 1.

2x − 2 Câu 8: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . M là điểm thuộc ( C ) sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt x−2

D. 7.

ĐÁP ÁN

hai đường tiệm cận của ( C ) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2 5 . Tổng các hoành độ của tất cả các

điểm M thỏa mãn bài toán bằng A. 5.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

1–A

2–C

3–A

4–B

11 – A

12 – B

13 – D

14 – C

5–B

6–A

7–D

8–B

9–A

10 – B

x+2 Câu 9: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị x +1

( C ) đến một tiếp tuyến của ( C ) . Giá trị lớn nhất của d bằng Trang 67

Trang 68

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

CHUYÊN ĐỀ 1 BÀI 5. TIẾP TUYẾN

Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 . Ta nói rằng

Mục tiêu

hai đường cong ( C ) :y = f ( x ) và ( C ′ ) : y = g ( x ) tiếp xúc với nhau tại

Kiến thức

điểm M ( x 0 ;y0 ) nếu M là một tiếp điểm chung của chúng.

+ Nắm được khái niệm đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự tiếp xúc của hai đồ thị.

+ Hiểu được ý nghĩa của đạo hàm liên quan đến hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm. + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc và

Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y = f ( x ) và

tiếp tuyến đi qua điểm cho trước. Kĩ năng

( C ′) : y = g ( x )

tiếp xúc với nhau ⇔ hệ phương trình

f ( x ) = g ( x ) có nghiệm.  f ′ ( x ) = g′ ( x )

+ Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước. + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết trước.

Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

+ Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước. + Giải được các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Trang 1

Trang 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y = x 3 + x + 1 tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây? A. y = x + 1 .

B. y = −2x + 1.

C. y = −x + 1.

D. y = 2x + 1.

Điều kiện tiếp xúc của hai

Khái niệm tiếp tuyến

đồ thị hàm số:

chung của hai đồ thị hàm

Hướng dẫn giải:

số:

Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) và ( C ′ ) : y = g ( x ) là hệ phương trình

y = f ( x ) và ( C ′ ) : y = g ( x )

Cho hai hàm số f ( x ) và

tiếp xúc với nhau khi và chỉ

g ( x ) có đạo hàm tại điểm

f ( x ) = g ( x ) có nghiệm.  f ′ ( x ) = g′ ( x )

Hai

đường

cong

(C):

khi hệ phương trình

f ( x ) = g ( x ) có nghiệm  f ′ ( x ) = g′ ( x )

TIẾP TUYẾN

Nghiệm của hệ phương

x0 . Ta nói rằng hai đường cong (C): y = f ( x ) và

3 x + x + 1 = x + 1 Xét phương án A. y = x + 1 . Ta có hệ  2 ⇔x=0. 3x + 1 = 1

( C′) : y = g ( x )

Vậy đường thẳng y = x + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.

tiếp xúc với

nhau tại điểm M ( x 0 ;y0 )

trình là hoành độ tiếp điểm

nếu M là một tiếp điểm

của hai đường cong đó.

Ta có y′ = 3x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ nên các phương án B, C bị loại.

Chọn A. Ví dụ 2. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = −2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y =

chung của chúng. Hai đường cong có tiếp tuyến chung tại M.

x +1 là x −1

A. {7; −1} .

B. {−1} .

C. {6} .

D. {6; −1} .

Hướng dẫn giải: Đường thẳng y = −2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y =

x +1 khi và chỉ khi hệ phương trình sau có x −1

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

nghiệm

Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước

 x = 0  x +1  x +1   x +1  x − 1 = −2 x + m = −2 x + m   x − 1 = −2 x + m   m = −1 ⇔ ⇔  x −1 ⇔  −2  2 x = 2  ( x − 1) = 1  x2 − 2x = 0 = −2 2     ( x − 1)  m = 7

Bài toán 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y = f ( x ) và

Ví dụ: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = −x3 + 3x + 2 .

( C ′) : y = g ( x ) . Điều kiện để hai đường cong

Hoành độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục Ox là

tiếp xúc với nhau là hệ phương trình

 −x 3 + 3x + 2 = 0 nghiệm của hệ  2  −3x + 3 = 0

f ( x ) = g ( x ) có nghiệm.  f ′ ( x ) = g′ ( x )

- Nghiệm x = x 0 của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm của hai đường cong đã cho. - Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai

Vậy m ∈ {−1;7} thì đường thẳng d tiếp xúc với (C). Chọn A. Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị ( Cm ) của hàm số

y = x 3 − 4mx 2 + 7mx − 3m tiếp xúc với parabol ( P ) : y = x 2 − x + 1 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

x = 2;x = −1 ⇔ ⇒ x = −1  x = ±1

Vậy tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục hoành là A ( −1;0 ) .

11 . 4

331 . 4

9 . 4

D. −4 .

Hướng dẫn giải: Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm:  x 3 − 4 mx 2 + 7mx − 3m = x 2 − x + 1  2 3 x − 8mx + 7m = 2 x − 1

đường cong (C) và ( C ′ ) tiếp xúc với nhau tại bấy nhiêu điểm. Ví dụ mẫu Trang 3

Trang 4

Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng y = 1 là

 x 3 − ( 4m + 1) x 2 + ( 7m + 1) x − 3m − 1 = 0 (1) ⇔ 2 3x − 2 ( 4m + 1) x + 7m + 1 = 0 ( 2 )

(

2 20  . S = 0;6;  nên tổng các phần tử trong S bằng 3 3 

)

Giải (1), ta có (1) ⇔ ( x − 1) x 2 − 4 mx + 3m + 1 = 0

Chọn B.

x = 1 ⇔ 2  x − 4 mx + 3m + 1 = 0

Ví dụ 5. Biết đồ thị của hàm số ( C ) : y = x 3 + ax 2 + bx + c ( a, b, c ∈ ℝ ) , tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng x = 1 tại điểm có tung độ bằng 3. Tổng a + 2b + 3c bằng A. 4.

+ Với x = 1 thay vào (2) được m = 2

 x − 4 mx + 3m + 1 = 0 ( 3) ⇒ ( 2 m − 1) x = m + 1 ( 4 ) . + Xét hệ  2 3 x − 2 ( 4 m + 1) x + 7m + 1 = 0

• Nếu m =

1 thì (4) vô nghiệm. 2

• Nếu m ≠

m +1 1 thì (4) ⇔ x = . 2 2m − 1

B. 2.

 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 b = 0 ⇒  2 3 x + 2 ax + b = 0 c = 0 Mặt khác (C) đi qua điểm A (1;3) nên a + b + c + 1 = 3 ⇒ a = 2 . Vậy a + 2b + 3c = 2. Chọn B.

Ví dụ 6. Họ parabol ( Pm ) : y = mx 2 − 2 ( m − 3) x + m − 2 ( m ≠ 0 ) luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

m = 2  1 3 2 ⇔ 4 m − 11m + 5m + 2 = 0 ⇔  m = − (thỏa mãn điều kiện). 4  m = 1 

Hướng dẫn giải

1  11  Vậy S = 2; − ;1 nên tổng các phần tử trong S bằng . 4  4 

⇔ y = m ( x − 1) + 6 x − 2 .

A. A (1; −8 ) .

8 . 3

D. D (1;8 ) .

Xét đường thẳng d : y = 6 x − 2 thì hệ phương trình

x3 1 − ( m + 2 ) x 2 + 2mx + 1 tiếp xúc với đường thẳng y = 1 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng 3 2

20 . 3

C. C ( 0;2 ) .

Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

B. B ( 0; −2 ) .

Ta có: y = mx 2 − 2 ( m − 3) x + m − 2 = m ( x 2 − 2 x + 1) + 6 x − 2

Chọn A.

A. 10.

D. 3.

Vì (C) tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên x = 0 là nghiệm của hệ phương trình

m +1  m +1   m +1  vào (3) ta được  Thay x =  − 4m  2 m − 1  + 3m + 1 = 0 2m − 1  2m − 1   

C. 6.

Hướng dẫn giải:

32 . 3

 m ( x − 1)2 + 6 x − 2 = 6 x − 2 luôn có nghiệm x = 1 với mọi m ≠ 0 .  2 m ( x − 1) + 6 = 6

Vậy ( Pm ) luôn tiếp xúc với đường thẳng d : y = 6 x − 2 . Đường thẳng d đi qua điểm B ( 0; −2 ) . Chọn B.

Hướng dẫn giải

x 1 2  − ( m + 2 ) x + 2mx + 1 = 1(1) Xét hệ phương trình  3 2  x 2 − ( m + 2 ) x + 2m = 0 ( 2 )  3

Nhận xét: Nếu có thể viết lại hàm số ( Pm ) theo dạng y = m ( ax + b ) + cx + d thì ( Pm ) luôn tiếp xúc với đường y = cx + d . Bài toán 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 )

x = m . Giải phương trình (2) ta được  x = 2 + Với x = m , thay vào (1) ta được −

Phương pháp giải

m = 0 m3 . + m2 = 0 ⇔  6 m = 6

+ Với x = 2 , thay vào (1), ta được m =

2 . 3 Trang 5

Thực hiện theo các bước sau

Ví dụ: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Bước 1: Tính y′ = f ′ ( x ) và f ′ ( x0 ) .

y = − x 3 + x + 2 tại điểm M ( −2;8 ) bằng

Bước 2: Suy ra phương trình tiếp tuyến cần

A. –11.

B. 6.

C. 11.

D. –12. Trang 6

tìm là y = f ′ ( x0 )( x − x0 ) + y0

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 1 là

Bước 3: Thực hiện các yêu cầu còn lại của bài

Ta có y′ = −3x + 1 ⇒ y′ ( −2 ) = −11

y = 3 ( x − 1) + 1 ⇔ y = 3x − 2 .

toán. Kết luận.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

Chọn C.

Chú ý:

M ( −2;8 ) và y = −11( x + 2 ) + 8 .

Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 + x 2 + 1 tại điểm có tung độ bằng 1 là

- Nếu bài toán chỉ cho x0 thì ta cần tìm

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = −11 .

y0 = f ( x0 ) và f ′ ( x0 ) .

Chọn A.

A. y = 4.

B. y = 2.

C. y = 1.

D. y = 3.

Hướng dẫn giải

- Nếu bài toán chỉ cho y0 thì ta cần tìm x0

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm

bằng cách giải phương trình f ( x ) = y0 .

Ta có y0 = 1 ⇔ x04 + x02 = 0 ⇔ x0 = 0 ⇒ M ( 0;1) .

- Giá trị f ′ ( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của

Lại có y′ = 4 x 3 + 2 x ⇒ y′ ( 0 ) = 0

đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 1 . Chọn C.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

Ví dụ 1. Tiếp tuyến của đường cong ( C ) : y = x x + 1 tại điểm M ( 3;6 ) có hệ số góc bằng 1 A. − . 4

11 B. 4

1 C. 4

A. y = 2 x − 4.

11 D. − 4

C. y = −2 x + 4.

Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm của phương trình

x 2 x +1

3x + 2

2 x +1

Ta có y′ =

11 Hệ số góc cần tìm là y′ ( 3) = = . 2 3 +1 4

−2

( x − 3)

⇒ y ′ ( 2 ) = −2 .

Chọn B.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2 ( x − 2 ) hay y = −2 x + 4 .

Ví dụ 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x + 3 tại điểm M (1;2 ) là

Chọn C.

B. y = x + 1 .

C. y = 3 x − 1

Ví dụ 6. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x − 2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C)

D. y = 2 x + 2

với trục tung là

Hướng dẫn giải:

A. y = 3x − 2 .

Ta có y′ = 3 x 2 − 2 ⇒ y′ (1) = 1

D. y = −3x − 2

Phương trình tiếp tuyến tại A ( 0; −2 ) là y = 3 x − 2 .

Ví dụ 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 tại điểm có hoành độ bằng 1 là C. y = 3x − 2.

C. y = −2 x + 1

Ta có ( C ) ∩ Oy = A ( 0; −2 ) ; y′ ( 0 ) = 3.

Chọn B.

B. y = 3x + 2.

B. y = 2 x + 1

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm M (1;2 ) là y = ( x − 1) + 2 = x + 1 .

A. y = 3x − 3.

2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ đồ x −3

thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0).

3.3 + 2

A. y = 2 − x .

D. y = 2 x.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải Ta có y′ = x + 1 +

B. y = 3x + 1.

2x − 4 tại giao điểm của đồ thị với trục hoành là x −3

Chọn A.

D. y = 3x.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Gọi đường thẳng y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

Ta có y′ = 3x 2 ⇒ y′ (1) = 3.

hoành độ x = 1 . Giá trị a − b bằng

2x −1 tại điểm có x +1

Do x0 = 1 ⇒ y 0 = y (1) = 1 . Trang 7

Trang 8

A. 2.

B. –1.

C. 1.

1 1 11 121 Vậy S∆OAB = OA.OB = . .11 = ( ®vdt ) 2 2 3 6

1 . 2

Hướng dẫn giải

Chọn C.

1 2x −1 Ta có x0 = 1 ⇒ y0 = ⇒ Tọa độ tiếp điểm của đường thẳng y = ax + b và đồ thị hàm số y = là 2 x +1

Ví dụ 10. Cho hàm số y =

 1 M  1;  .  2

đồ thị hàm số tại điểm A (1; −2 ) song song với đường thẳng d : 3 x + y − 4 = 0 . Khi đó giá trị của a − 3b

Vì y′ =

x+b ( ab ≠ −2, a ≠ 0 ) . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của ax − 2

bằng 3

( x + 1)

3 . 4

nên y′ (1) =

A. 5.

B. 4.

C. –1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y =

3 1 3 1 ( x − 1) + ⇒ y = x − 4 2 4 4

Ta có: y′ =

3  a = 4 ⇒ ⇒ a−b =1 b = − 1  4

−2 − ab

( ax − 2 )

⇒ y′ (1) =

−2 − ab

(a − 2)

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 3 x + y − 4 = 0 ⇔ y = −3 x + 4 nên y′ (1) = −3 ⇔

−2 − ab

(a − 2)

= −3 .

Chọn C.

π π  Ví dụ 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan  − 3x  tại điểm có hoành độ x0 = là 6 4  A. y = − x −

π 6

+ 6.

B. y = − x +

π 6

+ 6.

C. y = − x −

π 6

− 6.

D. y = −6 x + π − 1.

Hướng dẫn giải Ta có y′ =

Mặt khác A (1; −2 ) thuộc đồ thị hàm số nên −2 =

+ Với a = 2 ⇒ b = −1 ⇒ ab = −2 (loại)

π π  ⇒ y′   = −6; x0 = ⇒ y0 = −1 6 6  2 π  cos  − 3x  4  −3

+ Với a = 1 ⇒ b = 1 ( thỏa mãn điều kiện). Khi đó ta có hàm số y = y′ =

Chọn D. Ví dụ 9. Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y =

2x +1 có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị (C) x −1

117 ( ®vdt ) 6

121 ( ®vdt ) 6

⇒ y′ (1) = −3 nên phương trình tiếp tuyến là y = −3x + 1 song song với đường thẳng

y = −3 x + 4 .

Chọn D.

119 ( ®vdt ) 6

Ví dụ 11. Trong tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y = − x 3 − 3x 2 + 3x + 1 thì đường thẳng

Hướng dẫn giải Ta có M ( 2;5) ∈ ( C ) ; y′ =

−3

( x − 2)

x +1 . x −2

Vậy a − 3b = −2 .

tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Diện tích tam giác OAB bằng 125 ( ®vdt ) . 6

1+ b ⇔ b = −2 a + 3. a−2

 −2 − ab = −3 a = 2 2  Khi đó ta có hệ  ( a − 2 ) ⇒ 5a 2 − 15a + 10 = 0 ⇔  a = 1   b = −2 a + 3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −6 x + π − 1

D. –2.

Hướng dẫn giải

d có hệ số góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là −3

( x − 1)

A. y = 6 x + 2.

; y′ ( 2 ) = −3 .

B. y = 2 x + 2.

C. y = 1.

D. y = 3x + 1.

Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến tại M ( 2;5) là d : y = −3 x + 11 .

Ta có y′ = −3x 2 − 6 x + 3

11  11  Khi đó d cắt Ox, Oy tại A  ;0  và B ( 0;11) ⇒ OA = ; OB = 11. 3 3 

Trang 9

Trang 10

A. m ≤ −2 .

Gọi M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là

B. −2 < m < 1 .

C. m ≥ 1 .

k = −3 x02 − 6 x0 + 3 = −3 ( x0 + 1) + 6 ≤ 6

Ta có f ′ ( x ) = 3x 2 + 2mx + 1 ⇒ k = f ′ (1) = 4 + 2m .

⇒ kmax = 6 ⇔ x0 = −1 hay M ( −1; −4 ) .

Do đó k. f ( −1) = ( 4 + 2 m )( m − 1)

Phương trình đường thẳng d là y = 6 ( x + 1) − 4 ⇔ y = 6 x + 2 .

Để k. f ( −1) < 0 thì ( 4 + 2m )( m − 1) < 0 ⇔ −2 < m < 1 .

Chọn A. Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất (nhỏ nhất) là tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị U ( x0 ; f ( x0 ) ) , với x0 là nghiệm của phương trình y′′ = 0 .

Chọn B. Ví dụ 15. Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1 , với m là tham số thực, có đồ thị (C). Biết rằng khi m = m0 thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = −1 đi qua A (1;3) . Mệnh đề nào sau đây

+ Nếu a > 0 thì hệ số góc k = f ′ ( x0 ) là nhỏ nhất.

đúng?

+ Nếu a < 0 thì hệ số góc k = f ′ ( x0 ) là lớn nhất.

A. −2 < m0 < −1 .

B. −1 < m0 < 0

C. 0 < m0 < 1

Ví dụ 12. Cho hàm số y = x − 2 x + ( m − 1) x + 2m có đồ thị ( Cm ) . Giá trị thực của tham số m để tiếp

Hướng dẫn giải

tuyến của đồ thị ( Cm ) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng y = 3x + 10 là

Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A (1;3) khi m = m0

A. m = 2.

B. m = 4.

D. m > 2

Hướng dẫn giải

C. m = 0.

D. không tồn tại m.

Ta có y′ = 3 x 2 + 6mx + m + 1 .

Hướng dẫn giải

Với x0 = −1 thì y0 = 2m − 1 ⇒ B ( −1;2m − 1) và y′ ( −1) = −5m + 4 .

Ta có y′ = 3 x 2 − 4 x + m − 1 ⇒ y′ (1) = m − 2 .

Tiếp tuyến tại B của (C) có phương trình là y = ( −5m + 4 )( x + 1) + 2m − 1 .

Tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình là

D. 1 < m0 < 2

1 Do tiếp tuyến đi qua A (1;3) nên 2 ( −5m + 4 ) + 2m − 1 = 3 ⇔ m = . 2

y = ( m − 2 )( x − 1) + 3m − 2 ⇔ y = ( m − 2 ) x + 2m

1 Vậy m0 = ∈ ( 0;1) . 2

m − 2 = 3 (vô lí) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3 x + 10 nên  2m ≠ 10

Chọn C.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

x2 có đồ thị (C). Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến 2−x

Chọn D.

Ví dụ 16. Cho hàm số y =

Ví dụ 13. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) = − x 3 + 3 x 2 + 9 x + 2 tại điểm M có hoành độ

trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ

x0 , biết rằng f ′′ ( x0 ) = −6 là

nguyên. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

A. y = 9 x + 6.

B. y = 9 x − 6.

C. y = 6 x + 9.

A. y = −8.

D. y = 6 x − 9.

B. y = −64.

C. y = −12.

D. y = −9.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải

 a2  Giả sử M  a;  là một điểm thuộc (C).  2−a

Ta có f ′ ( x ) = −3x 2 + 6 x + 9, f ′′ ( x ) = −6 x + 6 f ′′ ( x0 ) = −6 ⇔ −6 x0 + 6 = −6 ⇔ x0 = 2 ⇒ y0 = 24 và y′ ( 2 ) = 9

Phương trình tiếp tuyến tại M ( 2;24 ) là y = 9 ( x − 2 ) + 24 ⇔ y = 9 x + 6 . Chọn A. Ví dụ 14. Cho hàm số f ( x ) = x 3 + mx 2 + x + 1 . Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có hoành độ x = 1 . Tất cả các giá trị thực của tham số m để thỏa mãn k. f ( −1) < 0 là Trang 11

a = 0  a2   2 − a = 2a a2 4 Do d ( M; Ox ) = 2d ( M; Oy ) nên =2 a ⇔ 2 ⇔ a = 2−a 3   a a = 4  2 − a = −2a 

Theo giả thiết thì M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên nên a = 4 ⇒ M ( 4; −8 ) . Trang 12

Khi đó y′ =

4x − x2

(2 − x )

Ví dụ 18. Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị

⇒ y′ ( 4 ) = 0

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −8 .

(γ ) : x 2 + ( y − 1)

Chọn A. x +1 có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = −2 x + m − 1 ( m là tham số thực). x+2

Ví dụ 17. Cho hàm số y =

Gọi k1 , k2 là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tích k1 .k2 bằng A. 4.

1 . 4

C. 2.

A. m = −

= 4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là

13 . 16

B. m =

13 . 16

C. m = −

16 . 13

D. m =

Hướng dẫn giải 2

Đường tròn (γ ) : x 2 + ( y − 1) = 4 có tâm I ( 0;1) , R = 2 . Ta có A (1;1 − m ) ; y′ = 4 x 3 − 4 mx ⇒ y′ (1) = 4 − 4m .

D. 3.

Hướng dẫn giải

Suy ra phương trình tiếp tuyến ∆ : y = ( 4 − 4 m )( x − 1) + 1 − m .

Tập xác định D = ℝ \ {−2} .

3  Dễ thấy ∆ luôn đi qua điểm cố định F  ;0  và điểm F nằm trong đường tròn (γ ) . 4 

Ta có y′ =

16 . 13

( x + 2)

Giả sử ∆ cắt ( γ ) tại M, N, Khi đó MN = 2 R 2 − d 2 ( I ; ∆ ) = 2 4 − d 2 ( I ; ∆ ) .

Do đó MN nhỏ nhất ⇔ d ( I ;∆ ) lớn nhất ⇔ d ( I ; ∆ ) = IF ⇒ ∆ ⊥ IF .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) x +1 = −2 x + m − 1 ( với x ≠ −2 ) x+2

 3  Khi đó đường thẳng ∆ có 1 vectơ chỉ phương u ⊥ IF =  ; −1  ; u = (1;4 − 4m ) nên 4  

⇒ 2 x 2 + ( 6 − m ) x + 3 − 2m = 0 (1)

Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt

3 13 u. IF = 0 ⇔ 1. − ( 4 − 4m ) = 0 ⇔ m = . 4 16

khác –2.

Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 1

 ∆ = ( 6 − m )2 − 8 ( 3 − 2 m ) > 0 m 2 + 4m + 12 > 0 ⇔ ⇔ ⇒ ∀m ∈ ℝ  −1 ≠ 0 8 − 2 ( 6 − m ) + 3 − 2m ≠ 0

Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hai hàm số

Vậy (C) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) , với x1 , x2 là nghiệm của phương trình

trị các phần tử của S bằng

(1).

m−6   x1 + x2 = 2 Theo định lý Vi-ét ta có   x .x = 3 − 2m  1 2 2

Ta có k1.k2 =

( C1 ) : y = mx 3 + (1 − 2m ) x 2 + 2mx

1 2

( x1 + 2 ) ( x2 + 2 ) 1

m−6  3 − 2m   2 + 2. 2 + 4 

11 . 6

và ( C2 ) : y = 3mx 3 + 3 (1 − 2m ) x + 4m − 2 tiếp xúc với nhau. Tổng giá

B. 3.

C. 1.

7 . 2

Câu 2: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = 2 x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = 1

 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4 

2x − 3 . Tích giá trị các phần tử của S bằng x −1

1 . 2

B. 4.

C. –8.

D. –4.

Câu 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 4 − ( m + 1) x 2 + 4 m ( Cm ) tiếp xúc với đường thẳng d : y = 3 tại hai điểm phân biệt. Tổng các phần tử

của tập S bằng A. 14.

Chọn A.

B. 17.

C. 15.

D. 4.

Câu 4: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y = x − mx + 1 tiếp xúc với đường thẳng d : y = 5 là 3

A. m = 2. Trang 13

B. m = 3.

C. m = −1.

D. m = −3. Trang 14

Câu 5: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 1 − m . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành?

A. –1.

C. 2.

D. –2.

A. 0.

B. 3.

C. 1.

Câu 6: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = A. m = −2.

B. m = 0.

Câu 17: Cho hàm số y =

D. 2.

x2 − x + 1 tiếp xúc với parabol y = x 2 + m là x −1

C. m = −1.

D. m = 3.

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = − x 3 + 2 ( m + 1) x 2 − 5mx + 2 m tiếp A. 4.

B. 3.

C. 2.

A. y = −

1 ( x − 2) + 7 . 2

B. y = −

C. y = −

1 ( x + 2) − 6 2

D. y =

A. 45.

B. 0.

C. 24.

D. 9.

Câu 19: Cho hàm số y = x + 3x có đồ thị hàm số (C). Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có

cong y = − x + 2 x + 4 bằng B. –4.

C. –2.

tung độ bằng 4 là

D. 4.

x − 2 x 2 + 4 có đồ thị là (C). Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị 4

A. 9.

B. 6.

Câu 20: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

B. 126.

C. 34.

A. –5.

D. –1.

Câu 10: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 2 ) x − 2m tiếp xúc với trục hoành bằng A. 1.

1 ( x + 2) + 7 2

A. 6.

1 ( x + 2) + 6 . 2

Câu 18: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 4 ( C ) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M ( −2;2 ) có hệ số góc bằng

D. 1.

Câu 8: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng x + y = 2 m là tiếp tuyến của đường A. 2.

x 11 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ + 8 2

x0 = −2 là

xúc với trục hoành?

Câu 9: Cho hàm số y =

B. 1.

B. 3.

C. –3.

D. –1.

C. 0.

D. –2.

3x + 2 tại điểm có hoành độ x0 = 1 có hệ số góc bằng 2x − 3

B. –13.

C. 13.

D. –1.

2x − 4 Câu 21: Cho đồ thị ( H ) : y = . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại giao điểm của (H) và Ox x −3 là

A. y = −2 x + 4.

B. y = −2 x − 4.

C. y = 2 x − 4.

D. y = 2 x.

Câu 11: Trong ba đường thẳng d1 : y = 7 x − 9, d2 : y = 5x + 29, d3 : y = −5x − 5 có bao nhiêu đường thẳng

Câu 22: Cho hàm số y = − x + 5 , có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 + 3 x 2 − 2 x − 4 ?

y0 = −1 với hoành độ x0 < 0 là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 3x − 2 tại điểm có hoành độ bằng -3 có phương trình là 3

A. y = 9 x + 25 .

B. y = 30 x − 25

Câu 13: Đồ thị (C) của hàm số y =

C. y = 9 x − 25

D. y = 30 x + 25

3x + 1 cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có x −1

Câu 14: Cho hàm số y = A. y = 3 x + 2 .

B. y = −4 x − 1

C. y = 4 x − 1

C. y = 3x − 3

D. y = 3 x − 2

Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = sin x + 1 tại điểm có hoành độ 3 A. − . 2

3 B. . 2

1 C. − 2

Câu 16: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

π 3

)

(

C. y = −2 6 ( x + 6 ) − 1

D. y = 2 6 ( x − 6 ) + 1

Câu 23: Cho hàm số y =

x −1 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm x+2

số với trục hoành là B. x − 3 y + 1 = 0 .

C. x − 3 y − 1 = 0 .

D. x + 3 y − 1 = 0

Câu 24: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = x − x + 1 tại điểm có hoành độ bằng 1 là 4

A. y = 2 x − 1.

B. y = 2 x + 1.

bằng A. 2 x − 2 y = 1.

C. y = 1.

Câu 25: Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

1 D. 2

)

B. y = 2 6 x + 6 − 1

A. x + 3 y + 1 = 0 .

D. y = 5x − 1

x −2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 0 là x +1

B. y = −3 x − 2

(

A. y = 2 6 x − 6 − 1 .

phương trình là A. y = −5x − 1 .

B. 2 x + 2 y = −3.

D. y = 2 x + 3. 1 2x

1  tại điểm A  ;1  là 2 

C. 2 x − 2 y = −1.

D. 2 x + 2 y = 3.

Câu 26: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − 4 x + 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là 3

x+2 tại giao điểm với trục hoành, cắt trục tung x +1

A. y = −8 x + 17.

B. y = 8 x − 16.

C. y = 8 x + 15.

D. y = 8 x − 15.

Câu 27: Phương trình các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 6 x + 11x − 1 tại điểm có tung độ 3

bằng 5 là

tại điểm có tung độ bằng Trang 15

Trang 16

A. y = 2 x + 3; y = − x + 7; y = 2 x − 2.

B. y = 2 x + 1; y = − x + 2; y = 2 x − 2.

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ

C. y = 2 x + 3; y = − x + 7; y = 2 x − 1.

D. y = 2 x + 1; y = − x + 2; y = 2 x − 1.

song song, vuông góc,... Phương pháp giải

Câu 28: Cho hàm số y = x + 5x + 4 có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) tại các giao 2

điểm của đồ thị với trục Ox là

Thực hiện theo một trong hai cách sau:

Ví dụ: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Lập phương

A. y = 3x + 3 và y = −3x − 12.

B. y = 3 x − 3 và y = −3x + 12.

Cách 1:

trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp

C. y = −3 x + 3 và y = 3 x − 12.

D. y = 2 x + 3 và y = −2 x − 12.

Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến

tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = 9 x + 2 .

Câu 29: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x 4 + x 3 − 2 x 2 + 1 tại điểm có hoành độ -1 bằng

dựa vào giả thiết bài toán.

Hướng dẫn giải

Bước 2. Giải phương trình f ′ ( x ) = k để tìm

Vì tiếp tuyến song song với ∆ : y = 9 x + 2 nên hệ

Câu 30: Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số ( C ) : y = x 2 + x + 1 . Tiếp tuyến của (C) tại

x = x0 là hoành độ của tiếp điểm.

số góc của tiếp tuyến là k = 9.

M có phương trình là

Tính y 0 = f ( x0 ) ⇒ M ( x0 ; y0 ) .

Ta có y′ = 3 x 2 − 6 x .

D. y = x + 1.

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = k ( x − x0 ) + y0

 x = −1 Xét phương trình 3 x 2 − 6 x = 9 ⇔  x = 3

A. 4.

A. y =

B. 3.

1 x + 1. 2

C. –3.

1 B. y = − x + 1. 2

D. 11.

C. y = − x + 1.

Câu 31: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tan x tại điểm có hoành độ x = A. 2.

1 . 2

2 . 2

Câu 32: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 2 − A. y = 2 x + 1.

B. y = − x + 1.

bằng

Điểm M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến

D. 1.

1 tại điểm có hoành độ x = −1 là x

C. y = x − 1.

với đồ thị hàm số đã cho.

trình tiếp tuyến là y = 9 ( x + 1) − 2 ⇔ y = 9 x + 7 .

Cách 2:

+ Với x = 3 ⇒ y = 2 ⇒ N ( 3;2 ) có phương trình

Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến

D. y = − x + 2.

dựa vào giả thiết bài toán.

Câu 33: Cho hàm số y = x 3 − x 2 + x + 1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị (C) tại

Bước 2. Vì tiếp tuyến có hệ số góc là k nên

điểm thứ hai là M ( −1; −2 ) . Tọa độ điểm N là

phương trình tiếp tuyến có dạng y = kx + b .

A. ( 2;7 ) .

B. (1;2 ) .

Câu 34: Gọi d là tiếp tuyến của hàm số y =

C. ( 0;1) .

Dựa vào điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến với

D. ( −1;0 ) .

x −1 tại điểm có hoành độ bằng –3. Khi đó d tạo với hai trục x+2

tọa độ một tam giác có diện tích bằng

169 A. (đvdt). 6

121 B. (đvdt). 6

49 D. (đvdt). 6

11 A. y = x + . 3

1 B. y = − x − . 3

1 C. y = x + . 3

11 D. y = − x + . 3

Câu 36: Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y = 2 x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + mx + m + 1 và d là tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm có hoành độ x = −1 . Giá trị của tham số m để d đi qua điểm A ( 0;8 ) là A. m = 3.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = 0.

Vì tiếp tuyến song song với ∆ : y = 9 x + 2 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 9. . Phương trình tiếp tuyến có dạng

( d ) : y = 9x + b

với b ≠ 2 .

Lưu ý:

Vì ( d ) : y = 9 x + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

thì có bấy nhiêu tiếp điểm.

1 Câu 35: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 3x + 1 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành 3 độ là nghiệm của phương trình y′′ = 0 là

tiếp tuyến là y = 9 ( x − 3) + 2 ⇔ y = 9 x − 25 .

25 C. (đvdt). 6

+ Với x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ M ( −1; −2 ) có phương

- Một số trường hợp xác định hệ số góc của

3 2  x − 3 x + 2 = 9 x + b y = x 3 − 3 x 2 + 2 nên  2 3 x − 6 x = 9

đường thẳng thường gặp.

 b = 7. Giải hệ phương trình tìm được   b = −25.

Cho hai đường thẳng

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 x + 7

d1 : y = k1 x + b1 ; d2 : y = k2 x + b2 .

hoặc y = 9 x − 25 .

+ Trường hợp 1: d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 = −1. k = k2 + Trường hợp 2: d1 / / d2 ⇔  1 b1 ≠ b2

+ Trường hợp 3: Góc

Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) khi biết hệ số góc

Trang 17

Trang 18

( d1 ; d2 ) = α ⇒ tan α =

k1 − k2 . 1 + k1. k 2

Ta có y′ =

Đặc biệt:

( x + 1)

. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = x + 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là

k = 1.

1. Nếu góc giữa d : y = kx + b với Ox bằng

Xét phương trình

α ( 0° < α < 90° ) thì k = tan α .

( x + 1)

x = 0 =1⇔   x = −2

+ Với x = 0 thì y = 1 . Phương trình tiếp tuyến là y = x + 1 ( loại vì trùng với ∆ ).

2. Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy tại hai

+ Với x = −2 thì y = 3 . Phương trình tiếp tuyến là y = x + 5 .

điểm A, B mà OB = m.OA thì

k = tan α =

Vậy có một tiếp tuyến song song với ∆ : y = x + 1.

OB =m. OA

Chọn D. Ví dụ 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x 4 + x . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng

d : x + 5 y = 0 có phương trình là A. y = x + 4.

B. y = 5x − 3.

C. y = 3x − 5.

D. y = 2 x − 3.

Hướng dẫn giải + Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A ( x1 ; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) thì k =

Ta có y′ = 4 x 3 + 1 . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.

y1 − y 2 . x1 − x2

1  −1  Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x nên k.   = −1 ⇔ k = 5 . 5  5  Xét phương trình 4 x 3 + 1 = 5 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 1 có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 là

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5 ( x − 1) + 2 = 5 x − 3.

A. y = 9 x − 15 hay y = 9 x + 1 .

Chọn B.

B. y = 9 x − 15 hay y = 9 x + 17 .

Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 1 song song với trục Ox là

C. y = 9 x − 1 hay y = 9 x + 17 .

A. y = 3, y = −1.

B. y = 3, y = −2.

D. y = 9 x − 1 hay y = 9 x + 1 .

C. x = 3, x = −1.

D. y = 2, y = −1.

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình

Ta có y′ = 3x 2 − 3 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.

y = y0 với y0 là giá trị cực trị của hàm số đã cho.

Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 nên y′ ( x0 ) = 9 ⇔ 3x02 − 3 = 9 ⇔ x0 = ±2 .

Ta có y′ = 3 x 2 − 3; y′ = 0 ⇔ x = ±1 .

+ Với x0 = 2 thì y0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến là y = 9 ( x − 2 ) + 3 = 9 x − 15 .

Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là A (1; −1) , B ( −1;3) .

+ Với x0 = −2 thì y0 = −1 . Phương trình tiếp tuyến là y = 9 ( x + 2 ) − 1 = 9 x + 17 .

Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là y = −1; y = 3.

Chọn B.

Chọn A.

2x +1 Ví dụ 2: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = song song với đường thẳng ∆ : y = x + 1 ? x +1 A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 1 song song với đường thẳng d :12 x + y = 0 có dạng y = ax + b . Giá trị 2a + b bằng A. 0.

Hướng dẫn giải

B. –23.

C. –23 hoặc –24.

D. –24.

Hướng dẫn giải Trang 19

Trang 20

Ta có y′ = 6 x 2 − 6 x − 12 . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d :12 x + y = 0 ⇔ y = −12 x nên có hệ

Hướng dẫn giải

số góc k = −12 .

Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OA = 4OB .

x = 0 Xét phương trình 6 x 2 − 6 x − 12 = −12 ⇔  x = 1

= OB = 1 ⇔ k = ± 1 . Khi đó ∆OAB vuông tại O và ta có k = tan OAB OA 4 4

+ Với x = 0 thì y = 1 . Phương trình tiếp tuyến là y = −12 x + 1 .

Ta có: y′ = −

+ Với

x =1

thì y = −12 . Phương trình tiếp tuyến là y = −12 ( x − 1) − 12 = −12 x (loại vì tiếp tuyến trùng

( x − 1)

Xét phương trình −

với đường thẳng (d)).

( x − 1)

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = −12 x + 1 ⇒ a = −12; b = 1 ⇒ 2a + b = −23 . Xét phương trình −

Chọn B. Ví dụ 6: Trên đồ thị ( C ) : y =

x −1 có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến của (C) tại M song song với x −2

+ Với x = 3 thì y =

đường thẳng d : x + y = 1 ? A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 0.

y=−

Hướng dẫn giải Ta có y′ =

−1

( x − 2)

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x + y = 1 ⇔ y = − x + 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là

k = −1 . Xét phương trình −

y=−

=−

x = 3 1 ⇔ 4  x = −1

5 . Phương trình tiếp tuyến là 2

1 5 1 13 ( x − 3) + = − x + . 4 2 4 4

+ Với x = −1 thì y =

( x − 1)

1 (vô nghiệm). 4

3 . Phương trình tiếp tuyến là 2

1 3 1 5 ( x + 1) + = − x + 4 2 4 4

Chọn C.

( x − 2)

x = 1 = −1 ⇔  . x = 3

Ví dụ 8: Đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

+ Với x = 1 thì y = 0 . Phương trình tiếp tuyến là y = − x + 1 (loại vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng

tam giác vuông cân? B. y = x − 2 .

A. y = x + 2 .

(d)). + Với x = 3 thì y = 2 . Phương trình tiếp tuyến là y = − ( x − 3) + 2 = − x + 5 .

2x + 3 chắn hai trục tọa độ một x+2

C. y = − x + 2

D. y =

1 3 x+ 4 2

Hướng dẫn giải Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến lần lượt với Ox, Oy.

Vậy có một điểm M ( 3;2 ) thỏa mãn.

Vì ∆OAB vuông cân tại O nên OA = OB .

Chọn A.

2x −1 Ví dụ 7: Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến x −1 này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn OA = 4OB là 1 5  y = − 4 x + 4 A.   y = − 1 x − 13  4 4

1 5  y = − 4 x − 4 B.   y = − 1 x − 13  4 4

1 5  y = − 4 x + 4 C.   y = − 1 x + 13  4 4

1 5  y = − 4 x − 4 D.   y = − 1 x + 13  4 4

= OB = 1 ⇔ k = ±1 . Do đó k = tan OAB OA

Ta có y′ =

( x + 2)

Xét phương trình

( x + 2)

= −1 (vô nghiệm).  x = −1 =1⇔  .  x = −3

+ Với x = −1 thì y = 1 . Phương trình tiếp tuyến là y = ( x + 1) + 1 = x + 2 . Trang 21

Trang 22

+ Với x = −3 thì y = 3 . Phương trình tiếp tuyến là y = ( x + 3) + 3 = x + 6 .

Vì điểm A ( −1;1) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị nên x = −1 là nghiệm của phương trình

Chọn A.

2 x ( 2 ax 2 + b ) = −2 ⇒ −2 ( 2a + b ) = −2 ⇔ 2a + b = 1 .

1 Ví dụ 9: Cho hàm số y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m ) x + 1 có đồ thị là ( Cm ) . Tất cả các giá trị thực của 3

Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số nên a + b + 2 = 1 ⇔ a + b = −1 .

tham số m để trên đồ thị ( Cm ) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 là

2 a + b = 1 a = 2 Vậy ta có hệ  ⇔ ⇒ a2 − b 2 = −5.  a + b = −1 b = −3

Chọn C.

2 A. m < 12 hoặc m > . 3

B. m < 0 hoặc m > 1.

1 C. m < 0 hoặc m > . 3

D. m < 0 hoặc m >

Ví dụ 11: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 1 có đồ thị là (C). Số tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng

2 . 3

d : y = − x + 1 một góc α thỏa mãn cos α =

A. 1.

Hướng dẫn giải

Ta có cos α =

 1 k.  −  = −1 ⇔ k = 2.  2 thì x0 là nghiệm của phương trình

Vì d có hệ số góc bằng –1 nên tan α =

x = 0 + Trường hợp 1: k = −9 ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔  x = 2

Theo bài toán thì ta phải tìm m để (*) có duy nhất một nghiệm âm. + Trường hợp 1: Nếu m = 0 thì (*) ⇔ −2 x = −2 ⇔ x = 1 (loại).

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến y = −9 x + 1 và y = −9 x − 3 .

2 − 3m + Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0 . Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm là x = 1 và x = . m

1 9 ± 321 + Trường hợp 2: k = − ⇔ 27 x 2 − 54 x − 80 = 0 ⇔ x = 9 9

2 − 3m 2 < 0 ⇔ m < 0 hoặc m > . m 3

1 9 ± 321  Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là y = −  x −  + y ( x0 ) 9  9 

Chọn D. Ví dụ 10: Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + 2 tại điểm A ( −1;1) vuông góc với đường

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm.

thẳng d : x − 2 y + 3 = 0 . Giá trị a − b bằng

Chọn D.

B. –2.

C. –5.

D. 10.

Ví dụ 12: Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải Ta có: d : x − 2 y + 3 = 0 ⇔ y =

1 4 7 2 x − x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp 8 4

tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ( M, N khác A ) thỏa mãn

1 3 1 x + nên kd = 2 2 2

y1 − y2 = 3 ( x1 − x2 )

Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên phải có hệ số góc bằng –2.

A. 0.

Ta có y′ = 4 ax + 2bx = 2 x ( 2 ax + b ) 3

 k = −9 k +1 4 = ⇔ k = − 1 1− k 5 9 

Ta có y′ = 3 x 2 − 6 x − 9 .

⇔ mx 2 + 2 ( m − 1) x + 2 − 3m = 0 (* )

A. 13.

D. 4.

5 1 4 −1 = . (0° < α < 90° ) ⇒ tan α = cos2 α 5 41

y′ = k ⇔ mx 2 + 2 ( m − 1) x + 4 − 3m = 2 .

Do đó để (*) có một nghiệm âm thì

C. 3.

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.

Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k thì

( Cm )

B. 2.

Hướng dẫn giải

1 3 1 Ta có: d : x + 2 y − 3 = 0 ⇔ y = − x + nên hệ số góc của d là − . 2 2 2

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với

5 là 41

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến đi qua hai điểm M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là k =

Trang 23

y1 − y2 = 3. x1 − x2 Trang 24

Ta có y′ =

1 3 7 x − x. 2 2

Suy ra S∆IAB =

2 ad − bc c

Mặt khác để tiếp tuyến của hàm số trùng phương cắt được đồ thị tại hai điểm phân biệt thì tiếp điểm A chỉ có thể chạy trong phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ nhất sang điểm cực tiểu thứ hai (trừ hai điểm uốn). x = 0 Khi đó phương trình y′ = 0 ⇔ x 3 − 7 x = 0 ⇔  x = ± 7

(

Chọn B.

Ta có

ax + b khi biết mối quan hệ của tiếp cx + d

tuyến với các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

IA + IB + AB ≥ 2 IA. IB + 2 IA. IB = 2 K + 2 K

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất

2x −1 có đồ thị là (C). Ví dụ: Cho hàm số y = x −1

c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) thì đồ thị hàm số có hai

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) sao

d a tiệm cận là x = − ; y = . c c

cho tiếp tuyến đó vuông góc với IM, I là tâm đối

 d a Gọi I  − ;  là giao điểm của hai đường  c c

A. y = − x + 3, y = − x + 5.

tiệm cận ( và cũng là tâm đối xứng của đồ thị).

C. y = − x + 1, y = − x + 5.

Khi đó tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ;y0 ) bất kì

D. y = − x + 1, y = − x + 4. Hướng dẫn giải

 d 2 bc − ad + acx0  A − ;  và cắt tiệm cận  c c ( cx0 + d )  

Giả sử M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm,

⇒ IA. IB =

đổi.

4 ad − bc c

1 AB ≥ 2

K . 2

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .

d) Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất S K = p IA + IB + AB

Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất

B. y = − x + 1, y = − x + 3.

của đồ thị cắt tiệm cận đứng tại điểm

c ( cx0 + d )

Ta có R =

Ta có r =

xứng của (C) là

; IB =

Chọn C.

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .

Phương pháp giải

2 ( ad − bc )

tuyến là y = − x + 5.

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .

b) Chu vi nhỏ nhất

Ta có IA =

x = 0 = −1 ⇔  0  x0 = 2

+ Với x0 = 2 thì y0 = 3 . Do đó phương trình tiếp

tiệm cận một tam giác vuông có

Vậy chỉ có x0 = −1; x0 = −2 thỏa mãn.

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

( x0 − 1)

tuyến là y = − x + 1.

tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai

AB = IA2 + IB 2 ≥ 2 IA. IB = 2 K

)

−1

+ Với x0 = 0 thì y0 = 1 . Do đó phương trình tiếp

Tìm điểm M ∈ ( C ) hoặc viết phương trình

a) Cạnh huyền nhỏ nhất

Do đó hai điểm cực tiểu là x = − 7 và x = 7 nên hoành độ của tiếp điểm x0 ∈ − 7; 7

và bằng 2 K + 2 K . Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .

e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận

1 1 1 2 2 = + ≥ = ⇒ IH ≤ IH 2 IA2 IB 2 IA. IB K

K 2

Dấu bằng xảy ra khi IA = IB .

đứng và tiệm cận ngang của đồ thị.

d a  ngang tại điểm B  2 x0 + ;  . c c 

Vậy ta có phương trình

Khi đó các bài toán sau là tương đương:

1 7 Xét phương trình x 3 − x = 3 ⇔ x = 3; x = −1; x = −2. 2 2

ax + b Với hàm số y = ( với cx + d

Theo lý thuyết trên thì M là trung điểm của AB. Do

Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều

2 ( cx0 + d )

∆IAB vuông tại I mà IM ⊥ AB nên ∆IAB vuông

xảy ra khi IA = IB nên ∆IAB vuông cân tại I.

cân tại I ⇔ IA = IB khi đó hệ số góc của tiếp tuyến

Gọi α là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang

là k = ±1 .

∆ 2 thì α = ( d; ∆ 2 ) = ( d; Ox ) = 45° nên hệ số góc

= K là hằng số không

Mà k = y′ ( x0 ) =

−1

( x0 − 1)

của tiếp tuyến là k = ± tan 45° = ±1 .

< 0 nên k = −1 .

Ví dụ mẫu Trang 25

Trang 26

Ví dụ 1: Cho hàm số y =

x +1 có đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó x −1

Ta có −

song song với nhau?

a = 0 = −1 ⇔  . Do a > 0 ⇒ a = 2 ⇒ b = 3. Vậy a + 2b = 8. a = 2

( a − 1)

A. Không tồn tại cặp điểm đó.

B. Vô số số cặp điểm.

Chọn C.

C. 2.

D. 1.

2x + m , m là tham số khác –4 và d là một tiếp tuyến của (C). x −2 Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để d tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 2, tổng giá trị các phần tử của S bằng

Ví dụ 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y =

Hướng dẫn giải  a +1  b +1  Giả sử A  a;  , B  b,  với a ≠ b; a, b ≠ 1 .  a −1   b −1 

A. –11.

Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên y′ ( a ) = y′ ( b ) ⇔

−2

( a − 1)

−2

( b − 1)

a = b ⇔ a + b = 2

B. 8.

C. 3.

Hướng dẫn giải Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai tiệm

Do a ≠ b nên chỉ có a + b = 2 . Vậy có vô số cặp điểm A, B thỏa mãn.

cận.

Chọn B.

Theo lý thuyết, ta có IA. IB = 4 m + 4 ⇒ S∆IAB = 2 m + 4

ax + b Nhận xét: Hai điểm A, B phân biệt thuộc đồ thị hàm số y = mà tiếp tuyến tại đó song song với cx + d

 m = −3 Vậy ta có 2 m + 4 = 2 ⇔   m = −5

nhau thì A, B đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I. 4x − 3 Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện 2x +1 tích bằng

A. 6.

B. 7.

C. 5.

D. 4.

⇒ S = {−5; −3} nên tổng các phần tử của S bằng –8.

Chọn D. Ví dụ 5: Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) , x0 < 0 thuộc đồ thị của hàm số y =

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị. Khi đó tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B và I

A. –1.

B. 0.

C. –2.

Theo lý thuyết đã nêu thì S∆IAB =

2 4+6 4

Gọi A, B là giao điểm của A với hai đường tiệm cận. = 5. .

Theo lý thuyết d ( I ;∆ ) lớn nhất khi IA = IB ⇒ k = ±1 .

Chọn C. 2x −1 Ví dụ 3: Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M ( a; b ) ∈ ( C ) , a > 0 tạo với hai tiệm x −1

cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

B. 4.

Vậ y −

2 . Giá trị của a + 2b bằng

C. 8.

Mặt khác k = y′ ( x0 ) = −

D. 5.

( x0 + 1)

< 0 ⇒ k = −1 .

x = 0 = −1 ⇔  0  x 0 = −2

Hướng dẫn giải

Do x0 < 0 ⇒ x0 = −2 ⇒ y0 = 0 ⇒ x0 . y0 = 0 .

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do

Chọn B.

∆IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IAB là R =

1 AB = 2 ⇔ AB = 2 2 . 2

2x + 2 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận x −1 một tam giác có chu vi nhỏ nhất là

Ví dụ 6: Cho hàm số y =

Theo lý thuyết, ta có IA. IB = 4, AB = IA2 + IB 2 ≥ 2 IA. IB = 2 2 .

A. ∆ : y = − x − 1 và ∆ : y = − x + 17

Dấu " = " xảy ra khi IA = IB . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến k = ±1 . 1

( a − 1)

D. 2.

Hướng dẫn giải

là giao điểm của hai tiệm cận.

Mặt khác k = y′ ( a ) = −

x+2 sao cho x +1

khoảng cách từ I ( −1;1) đến A đạt giá trị lớn nhất. Giá trị x0 . y0 bằng

Hướng dẫn giải

A. 2.

D. –8.

B. ∆ : y = − x − 1 và ∆ : y = − x + 7

< 0 ⇒ k = −1 .

C. ∆ : y = − x − 21 và ∆ : y = − x + 7 Trang 27

Trang 28

D. ∆ : y = − x − 3 và ∆ : y = − x + 2

A. y =

9 1 4 2 x+ ; y= x+ . 4 2 9 9

B. y =

9 31 4 2 x+ ; y= x+ . 4 2 9 9

C. y =

9 1 4 4 x+ ; y= x+ . 4 2 9 9

D. y =

9 1 4 1 x+ ; y= x+ . 4 2 9 9

Hướng dẫn giải Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai

đường tiệm cận. Khi đó ∆IAB vuông tại I. Theo lý thuyết, chu vi ∆IAB là IA + IB + AB ≥ 2 IA. IB + 2 IA. IB = 8 + 4 2 vì IA. IB =

4 ad − bc

= 16

Do đó chu vi nhỏ nhất bằng 8 + 4 2 khi IA = IB ⇒ k = ±1 . Mặt khác k = y′ ( x0 ) = −

Vậy ta có −

( x0 − 1)

Hướng dẫn giải

( x0 − 1)

< 0 ⇒ k = −1 .

 2a  Gọi M  a;  ( a ≠ −2 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là  a+2

x = 3 = −1 ⇔  0  x 0 = −1

y = y′ ( a )( x − a ) +

2a 4 2a x − a) + . ⇔y= 2 ( a+2 a +2 ( a + 2)

Với x0 = 3 thì y0 = 4 . Do đó phương trình tiếp tuyến là y = − ( x − 3) + 4 = − x + 7

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của d với hai trục Ox, Oy.

Với x0 = −1 thì y0 = 0 . Do đó phương trình tiếp tuyến là y = − ( x + 1) = − x − 1

 a2   2 a2  . Tọa độ các điểm A, B là A  − ;0  , B  0; 2  2   ( a + 2 ) 

Chọn B. Ví dụ 7: Cho hàm số y =

2x + 2 có đồ thị (C). Một tiếp tuyến bất kỳ với (C) cắt đường tiệm cận đứng và x −1

đường tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại A và B, biết I (1;2 ) . Giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB bằng

A. 7 − 3 2 .

B. 8 − 4 2 .

C. 4 − 2 2

Với a = 1 ⇒ d1 : y =

D. 8 − 3 2

Hướng dẫn giải Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai

4 ad − bc

2x −1 có đồ thị (C). Gọi M ( x0 ; y0 ) , x0 > 0 là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến 2x − 2 của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho S∆OIB = 8S∆OIA ( I là giao hai

đường tiệm cận). Giá trị biểu thức S = x0 − 4 y0 bằng

IA + IB + AB IA = IB = 4 ⇒ AB = 4 2 ⇒ p = = 4+2 2 2 8 4+2 2

2 9 2 9 1 Với a = − ⇒ d2 : y =  x +  − 1 = x + 3 4 3 4 2

Ví dụ 9: Cho hàm số y =

= 16 ⇒ S∆IAB = 8 .

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp ∆IAB lớn nhất xảy ra khi

⇒ rmax =

4 2 4 2 ( x − 1) + = x + . 9 3 9 9

Chọn A.

đường tiệm cận và ∆IAB vuông tại I. Theo lý thuyết, ta có IA. IB =

a = 1 3a2 = a + 2 a4 1 1  Vậy SOAB = OA.OB = = ⇔ ⇔  2 2 a = − 2 2 2 ( a + 2 ) 18 3a = − a − 2  3

13 . 4

B. –2.

C. 2.

7 . 4

= 4−2 2

Chọn C. 2x có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một x+2 1 là tam giác có diện tích bằng 18

Ví dụ 8: Cho hàm số y =

Trang 29

Hướng dẫn giải

Trang 30

x2 − x +1 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường x −1 thẳng ∆ : 3x − 4 y + 1 = 0 là

= OIB nên S∆OIA = IA = 1 . Do góc OIA S∆OIB IB 8

Câu 1: Cho hàm số y =

= IA nên k = 1 ⇔ k = ± 1 . Mà k = tan IBA IB 8 8 Mặt khác k = y′ ( x0 ) =

⇔

−1 2 ( x0 − 1)

−2 4 ( x0 − 1)

<0⇒k =−

1 8

 x0 = 3 1 . =− ⇔ 8  x 0 = −1

A. y =

3 3 x − 9; y = x + 7 . 4 4

B. y =

3 3 3 5 x− ; y= x+ 4 4 4 4

C. y =

3 3 3 x − ; y = x +1. 4 4 4

D. y =

3 3 5 x − 3; y = x + 4 4 4

Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 1 có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 là

5 Do x0 > 0 nên x0 = 3 ⇒ y0 = ⇒ S = x0 − 4 y0 = −2 4

A. y = 9 x − 13 hay y = 9 x + 1

B. y = 9 x − 13 hay y = 9 x + 17

C. y = 9 x − 1 hay y = 9 x + 17

D. y = 9 x − 1 hay y = 9 x + 1

Câu 3: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

Chọn B. 2x − 3 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) cắt tiệm x−2 4 cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc với I ( 2;2 ) là ABI bằng 17

Ví dụ 10: Cho hàm số y =

1 3 1 7 A. y = − x − ; y = − x − 4 2 4 2

A. 2.

B. 3.

1 3 1 7 C. y = − x + ; y = − x − 4 2 4 2

D. 1.

Câu 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x + x . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d : x + 5 y = 0 có phương trình là

A. y = x + 4

B. y = 5x − 3

C. y = 3x − 5

D. y = 2 x − 3

2x +1 song song với đường thẳng 3 x − y + 2 = 0 là x +2

A. y = 3x + 14 .

B. y = 3x + 14, y = 3 x + 2.

C. y = 3x + 5, y = 3x − 8.

D. y = 3x − 8.

Câu 6: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số f ( x ) = x 3 + 1 sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

1 3 1 7 D. y = − x + ; y = − x + 4 2 4 2

M song song với đường thẳng d : y = 3 x − 1 ?

A. 1.

B. 2.

Hướng dẫn giải:

C. 0.

D. 3.

Câu 7: Cho hàm số y =

1 1 1 −1 = ⇒ k = ± 2 4 4 cos ABI

Ta có k = tan ABI =

Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) thì k = y′ ( x0 ) =

Xét phương trình

C. 0. 4

Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

1 3 1 7 B. y = − x − ; y = − x + 4 2 4 2

2x +1 song song với đường thẳng ∆ : y = x + 1 ? x +1

−1

( x0 − 2 )

−1

( x0 − 2 )

x + 3x 2 − 2 có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc 3

k = −9 là

1 <0⇒k =− . 4

A. y = −9 ( x + 3) .

3 1 3 . Phương trình tiếp tuyến là y = − x + . 2 4 2

+ Với x0 = 4 thì y0 =

5 1 5 1 7 . Phương trình tiếp tuyến là y = − ( x − 4 ) + = − x + 2 4 2 4 2

C. y + 16 = −9 ( x + 3)

D. y − 16 = −9 ( x − 3)

Câu 8: Cho hàm số y = x − 3x + 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường 3

 x0 = 0 1 =− ⇔ 4  x0 = 4

+ Với x0 = 0 thì y0 =

B. y − 16 = −9 ( x + 3) .

thẳng d : y = −

1 x + 2019 là 45

A. y = −45x + 83 .

B. y = 45x + 173

C. y = 45 x − 83

D. y = 45 x − 173

Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 3x − 8 x + 1 song song với đường thẳng 3

∆ : y = x + 2017 là

A. y = x − 2018 .

B. y = x + 2018 .

C. y = x + 4.

Chọn D.

D. y = x − 4; y = x + 28 .

Câu 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

Bài tập tự luyện dạng 2

x − 2 x 2 + x + 2 song song với đường thẳng 3

y = −2 x + 5 là

Trang 31

Trang 32

A. y = −2 x +

10 và y = −2 x + 2 3

2x − 3 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của (C) luôn cắt hai x−2 tiệm cận của (C) tại A và B. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB bằng

B. y = −2 x + 3 và y = −2 x − 1

C. y = −2 x + 4 và y = −2 x − 2

D. y = −2 x −

Câu 18: Cho hàm số y =

4 và y = −2 x − 2 3

A. 2 2 .

Câu 11: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 1 vuông góc với trục Oy là A. y = 3, y = −1.

B. y = 3, y = −2.

C. x = 3, x = −1.

D. y = 2, y = −1.

Câu 12: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = thẳng y =

x . Phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường 2−x

4 x + 1 là 3

3 9 3 1 x− , y= x− . 4 2 4 2

A. y = −2 x + 2, y = −2 x + 4. C. y = −2 x + 8, y = −2 x.

2x có hệ số góc bằng –2 là x −1

1 1 + + 2 ( k1 + k2 ) = 2019k12019 k22019 . Tổng các giá trị tất cả các phần tử của S k1 k2

D. y = −2 x + 1, y = −2 x.

Câu 21: Cho hàm số y =

 y = 18 x − 13 B.  .  y = 18 x + 51

C. y = 18 x − 51 .

C. m = 2.

D. m = 1.

tham số m để trên đồ thị ( Cm ) tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x + 2 y − 3 = 0 là

 1 1 2 C.  0;  ∪  ;   2 2 3

 1 1 2 D.  0;  ∪  ;   3  2 3

1 Câu 17: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + ( 3m − 4 ) x + 1 có 3 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x − y + 2019 = 0 là

B. m ≤ 1 .

1 C. − ≤ m . 2

D. 2018.

B. M (1;1) ; M ( 3;3) .

5  C. M (1;1) ; M  −1;  . 3 

 5 D. M  4;  ; M ( 3;3)  3

B. 2 6 .

C. 2 3 .

x −1 . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến 2x − 3 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu 22: Cho hàm số y =

1 Câu 16: Cho hàm số y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m ) x + 1 có đồ thị là ( Cm ) . Tập hợp các giá trị thực của 3

 1 1 8 B.  0;  ∪  ;  .  2   2 3

C. 6.

x−2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến ∆ của (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam x +1 giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến ∆ bằng

A.  y = 18 x + 13 D.   y = 18 x − 51

x −m có đồ thị ( Cm ) . Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có x +1 hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng y = 3x + 1 là

B. m = 3.

B. 0.

 5 A. M (1;1) ; M  4;  .  3

Câu 15: Cho hàm số y =

1 A. − < m < 1. 2

hệ số góc là k1 , k2 thỏa mãn

B. y = −2 x + 9, y = −2 x.

y = 18 x − 51 có phương trình là

 1   1 5 A.  0;  ∪  ;  .  2 2 3

D. 4.

2x − 3 Câu 20: Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = tại M . Đường thẳng (d) cắt các đường tiệm cận x−2 tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận là

Câu 14: Cho hàm số y = 2 x − 6 x + 3 có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 3

A. m = −2.

C. 2.

thẳng ( d ) : y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt có

A. 3.

3 7 3 1 D. x = − x − , y = − x − . 4 2 4 2

Câu 13: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

A. y = 18 x + 3 .

bằng 3 3 B. x = − x, y = − x − 1. 4 4

3 9 3 1 A. x = − x − , y = − x − . 4 2 4 2

C. x =

2x +1 có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đường Câu 19: Cho hàm số y = x +1

1 2

Câu 23: Cho hàm số y =

x −1 có đồ thị (C). Gọi điểm M ( x0 ; y0 ) với x0 > −1 là điểm thuộc (C), biết 2 ( x + 1)

tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4 x + y = 0 . Giá trị của x0 + 2 y0 bằng 5 A. − . 2

7 . 2

5 . 2

7 D. − . 2

2 mx + 3 . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tất cả các giá trị thực của x−m tham số m để tiếp tuyến tại một điểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho ∆IAB có diện tích S = 22 là

Câu 24: Cho hàm số y =

A. m = ±5 .

1 D. − ≤ m ≤ 1 . 2

B. 1.

B. m = ±6 .

C. m = ±2 .

D. m = ±4

2x có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến tại M của x +1 1 (C) cắt Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng , với O là gốc tọa độ? 4

Câu 25: Cho hàm số y =

Trang 33

Trang 34

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ

2x +1 . Tất cả các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (C) sao cho các tiếp Câu 26: Cho hàm số y = x −1 tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm lập thành một hình thang là 1  7  A. M ( 2;5) , N ( 0; −1) . B. M  3;  , N  −1;  . 2  2 

1  C. M ( 2;5) , N  −1;  . 2 

thị hàm số đã cho. Ta có y′ = 3 x 2 + 6 x − 6 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng

(

Vì tiếp tuyến đi qua N ( 0;1) nên ta có

2x − 3 có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai x−2

Câu 27: Cho hàm số y =

( 3x

điểm A, B thỏa mãn AB = 2 2 . Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 1 B. − . 2

A. –2.

C. –1.

2 0

•

Bài toán 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) cho Phương pháp giải

•

Thực hiện một trong hai cách sau

Ví dụ: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cách 1:

y = x 3 + 3x 2 − 6 x + 1 đi qua điểm N ( 0;1) là

phương

trình

tiếp

tuyến

có

dạng

y = k ( x − x0 ) + y0 .

A. y = −

33 x+2. 4

B. y = −

33 x + 11 4

C. y = −

33 x + 12 4

D. y = −

33 x +1 4

Bước 2. Tìm k là nghiệm của hệ phương trình  f ( x ) = k ( x − x0 ) + y0   f ′ ( x ) = k

Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến.

Cách 2: Bước 1. Giả sử A ( a; f ( a ) ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho nên phương trình tiếp tuyến tại điểm A là

y = f ′ ( a )( x − a ) + f ( a ) .

Bước 2. Do tiếp tuyến đi qua M ( x0 ; y0 ) nên a là nghiệm của phương trình

f ′ ( a )( x0 − a ) + f ( a ) = y0 . Tìm a và suy ra phương trình tiếp tuyến.

Với x0 = 0 ⇒ y0 = 1; y′ ( 0 ) = −6 nên phương trình tiếp tuyến là y = −6 x + 1.

trước.

đó

)

+ 6 x0 − 6 ( − x0 ) + x03 + 3x02 − 6 x0 + 1 = 1

 x0 = 0 ⇔ 2 x03 + 3 x02 = 0 ⇔   x0 = − 3  2

D. − 2.

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm M cho trước

Bước 1. Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi

)

y = 3 x02 + 6 x0 − 6 ( x − x0 ) + x03 + 3 x02 − 6 x0 + 1.

D. Với mọi M, N.

3 107 33 nên Với x0 = − ⇒ y0 = ; y′ ( x0 ) = − 2 8 4

phương trình tiếp tuyến là y = −

33 x + 1. 4

Chọn D. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y =

−x +1 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm x−2

A ( 2; −1) ?

A. 2.

B. 0.

Hướng dẫn giải

Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k.

Ta có y′ =

Vì tiếp tuyến đi qua N ( 0;1) nên phương trình tiếp

( x − 2)

C. 1.

D. 3.

, ∀x ≠ 2 .

 −x +1  Gọi tọa độ tiếp điểm là M  x0 ; 0  với x0 ≠ 2 . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại x0 − 2  

tuyến có dạng y = kx + 1 . k là nghiệm của hệ phương trình

điểm M là y =

 k = −6 3 2  x + 3 x − 6 x + 1 = kx + 1  ⇔  33 . 2  k = 3 x + 6 x − 6 k = − 4

( x0 − 2 )

( x − x0 ) +

− x0 + 1 . x0 − 2

Do tiếp tuyến đi qua điểm A ( 2; −1) nên ta có phương trình

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −6 x + 1 hoặc 33 y = − x +1. 4

( 2 − x0 ) + − x0 + 1 = −1 ⇔ − x0 = −1 ( vô nghiệm). 2 x0 − 2 ( x0 − 2 ) x0 − 2 Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.

Chọn B. Trang 35

. Trang 36

Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y =

ax + b thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua điểm cx + d

 d a I  − ;  là giao điểm của hai đường tiệm cận.  c c

B. 2.

C. 3.

D. 4.

5 . 2

nghiệm.

1 . 2

Nhận xét: - Nếu f ( x ) là hàm số bậc 2, bậc 3, bậc

nghiệm thì tương ứng với bấy nhiêu tiếp tuyến.

3  3 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A  0;  và có hệ số góc k có dạng y = kx + . 2  2

- Nếu f ( x ) là hàm số trùng phương có 3

3 3 1 4 2  x − 3x + = kx + (1) 2 2 Để ∆ tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình  2 có nghiệm x. 2 x 3 − 6 x = k ( 2 ) 

Hướng dẫn giải Ta có y′ = −

( x − 1)

, x ≠ 1; A ( a;1) .

Đường thẳng d qua A ( a;1) có hệ số góc k có phương trình là y = k ( x − a ) + 1 .

điểm cực trị thì nếu hệ (*) có nghiệm không

Để có duy nhất một đường thẳng d là tiếp tuyến của

phải là hoành độ của 2 điểm cực tiểu (cực đại)

thì mỗi nghiệm ứng với một tiếp tuyến của đồ

−x + 2  k ( x − a ) + 1 = x − 1 (1)   −1 k = 2 2 ( )  x ( − 1)

thị (C).

1 4 3 3 x − 3x 2 + = 2 x 3 − 6 x x + 2 2 2

(

D. 1.

tiếp tuyến tương ứng bài toán yêu cầu.

nhất trên bậc nhất thì hệ (*) có bao nhiêu

Hướng dẫn giải

Thế (2) vào (1), ta có

Dựa vào số nghiệm của hệ trên suy ra số

1 3 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 4 − 3 x 2 − có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm 2 2  3 A  0;  ?  2

A. 1.

 f ( x ) = k ( x − a ) + b có phương trình (* )   f ′ ( x ) = k

)

x = 0 ⇔ x2 x2 − 2 = 0 ⇔  . x = ± 2

Thế (2) vào (1) ta có

3 + Với x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ ∆1 : y = . 2

⇔ 2 x 2 − 6 x + a + 3 = 0 ( x ≠ 1)( 3)

(

)

−1

( x − 1)

( x − a) + 1 =

−x + 2 x −1

3 + Với x = 2 ⇒ k = −2 2 ⇒ ∆ 2 : y = −2 2 x + . 2

Để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất thì

3 + Vớ i x = − 2 ⇒ k = 2 2 ⇒ ∆ 3 : y = 2 2 x + . 2

+ Trường hợp 1: (3) có nghiệm kép khác 1

phương trình (3) có nghiệm duy nhất khác 1.  ∆′ = 9 − 2 a − 6 = 0 3 ⇔ ⇔a= 2 2 − 6 + a + 3 ≠ 0

Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn.

Chọn C.

+ Trường hợp 2: (3) có hai nghiệm phân biệt, trong

Bài toán 2: Xác định các điểm M để có k tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) đi qua điểm M

đó có một nghiệm bằng 1.

Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xây dựng tọa độ điểm M ( a; b ) .

 ∆′ = 3 − 2 a > 0 ⇔ ⇔ a =1 a − 1 = 0

−x + 2 Ví dụ: Cho hàm số y = có đồ thị (C) và x −1

Bước 2. Giả sử d là đường thẳng đi qua M và

điển A ( a;1) . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của

5 3  Vậy S =  ;1 nên tổng các phần tử bằng . 2 2 

có hệ số góc k. Khi đó phương trình đường

tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua

Chọn B.

thẳng d : y = k ( x − a ) + b .

A. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

Bước 3. Để d là tiếp tuyến của (C) thì hệ

Ví dụ mẫu

3 A. . 2

Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x 3 + 6 x 2 + 2 có đồ thị (C) và điểm M ( m;2 ) . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C). Trang 37

Trang 38

Tổng các phần tử của S bằng 20 A. . 3

13 B. . 2

 x 2 − 2 x + 3 = k ( x − 1) + a (1)   x −1 = k (2)  2  x − 2x + 3

16 D. . 3

C. 4.

Hướng dẫn giải

Thay (2) vào (1) ta được

Gọi d là đường thẳng đi qua M ( m;2 ) và có hệ số góc k. Khi đó phương trình của d là y = k ( x − m ) + 2 .

x2 − 2x + 3 =

x −1 x2 − 2x + 3

( x − 1) + a

⇔ x 2 − 2 x + 3 = ( x − 1) + a x 2 − 2 x + 3 ⇔ a x 2 − 2 x + 3 = 2

Để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua M thì hệ phương trình

⇔a=

( 3) .

 k = −3 x 2 + 12 x phải có hai nghiệm phân biệt.  3 2  − x + 6 x + 2 = k ( x − m ) + 2

Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt.

Từ hệ trên, ta có − x 3 + 6 x 2 + 2 = ( −3x 2 + 12 x ) ( x − m ) + 2

Xét hàm số f ( x ) =

x − 2x + 3

x = 0 ⇔ x 2 x 2 − 3 ( m + 2 ) x + 12 m  = 0 ⇔  2 2 x − 3 ( m + 2 ) x + 12 m = 0 (* )

Ta có f ′ ( x ) =

Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau

x − 2x + 3 −2 ( x − 1)

(

x2 − 2x − 3

)

x2 − 2x + 3

; f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên

+ Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0 m = 6  ∆ = 9 ( m + 2 )2 − 96 m = 0 . ⇔ ⇔ m = 2 12m ≠ 0  3

+ Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0  ∆ = 9 ( m + 2 )2 − 96 m > 0 ⇔ ⇔ m=0 12m = 0

(

Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì a ∈ 0; 2  . Mà a nguyên nên a = 1 . 

Chọn C.

20  2  Vậy S = 6; ;0  nên tổng các phần tử bằng . 3  3 

Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số y =

Chọn A. Ví dụ 2: Cho hàm số

x 2 − 2 x + 3 có đồ thị (C) và điểm A (1; a ) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có

đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A ? A. 3.

B. 2.

C. 1.

x2 − 2x + 3

A. Vô số.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Câu 2: Cho hàm số y = x − 2 x có đồ thị là (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua gốc tọa

D. 4. x −1

hệ số góc bằng 2019? 4

độ?

Hướng dẫn giải Ta có hàm số y = x 2 − 2 x + 3 xác định trên ℝ , y′ =

2x −1 thỏa mãn tiếp tuyến tạị điểm đó của đồ thị có x −1

A. 1. .

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 3: Cho hàm số y = −

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ∆ đi qua A (1; a ) .

2x + x 2 + 4 x − 2 , gọi đồ thị của hàm số là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) 3

đi qua điểm A ( 2; −2 ) là

Phương trình đường thẳng ∆ : y = k ( x − 1) + a .

3 7 A. y = − x − . 4 2

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm

Câu 4: Cho hàm số y =

Trang 39

3 5 B. y = − x − . 4 2

3 1 C. y = − x − . 4 2

3 1 D. y = − x + 4 2

x2 − x +1 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M ( −1;3) là x −1 Trang 40

A. y = 3x − 1; y = −3x. B. y = 13; y = −3 x.

C. y = 3; y = −3 x + 1.

Câu 5: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. Vô số.

B. 2

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) =

D. y = 3; y = −3 x.

2x − 3 đi qua giao điểm hai đường tiệm cận? x+2

C. 1.

x2 − x + 1 có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) đi 4

qua điểm M ( 2; −1) là

A. y = − x + 1 và y = x − 3 .

B. y = − x − 1 và y = −2 x + 3 D. y = x + 1 và y = − x − 3

của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ

có hoành độ x = x0 .

x = 1 có phương trình là

Chú ý công thức đạo hàm của hàm số

D. Không có.

C. y = − x − 1 và y = − x + 3

tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm

hợp: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K , u = u ( x ) là hàm số xác định và có đạo hàm trên K và có giá trị trên khoảng K. Khi đó

( f ( u ) )′ = u′. f ′ ( u ) .

A. y = x − 2 . B. y = −

x +2. 13

C. y = −

x 1 + 13 13

D. y = −

x 12 − 13 13

Câu 7: Cho hàm số y = x 3 + x 2 + 3x + 1 có đồ thị là (C). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham

Hướng dẫn giải

số m để từ điểm M ( 0; m ) kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc

Ta cần tính f (1) , f ′ (1) .

đoạn [1;3] ?

Từ giả thiết

A. Vô số.

B. 0.

C. 60.

Câu 8: Trên đường thẳng x = 3 , tọa độ điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới

 f (1) = 0 Chọn x = 0 ta được f 2 (1) = − f 3 (1) ⇔   f (1) = −1

đồ thị (C) của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 đúng ba tiếp tuyến phân biệt là A. ( 3; −5) .

B. ( 3; −6 ) .

C. ( 3;2 )

Câu 9: Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

D. ( 3;1)

Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được

x 2 + 2 mx + 2m 2 − 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân x −1

2. f (1 + 2 x ) .2. f ′ (1 + 2 x ) = 1 + 9. f 2 (1 − 3x ) . f ′ (1 − 3x ) .

biệt và các tiếp tuyến của ( Cm ) tại hai điểm này vuông góc với nhau là

A. m = 0.

2 B. m = . 3

Chọn x = 0 ta được 4. f (1) . f ′ (1) = 1 + 9. f 2 (1) . f ′ (1) .

2 D. m = , m = −1. 3

C. m = −1.

+ Với f (1) = 0 ta được 0 = 1 (vô lý nên loại).

x −2 và M ( 0; m ) là một điểm thuộc trục Oy. Tất cả các giá trị 2x −1 thực của tham số m để luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương là

+ Với f (1) = −1 ⇒ f ′ (1) = −

Câu 10: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y =

A. m ≥ 2 .

B. m < 2 .

C. m ≤ 2 .

B. 3.

C. 6.

D. 1.

Áp dụng công thức viết phương trình tiếp

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn 2 f ( 2 x ) + f (1 − 2 x ) = 12 x 2 , ∀x ∈ ℝ .

A. y = 2 x + 2.

B. y = 4 x − 6.

C. y = 2 x − 6.

D. y = 4 x − 2.

Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) trên

Hướng dẫn giải

ℝ thỏa mãn

Ta cần tính f (1) , f ′ (1) .

x 12 − . 13 13

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

Phương pháp giải các giá trị y0 = f ( x0 ) và f ′ ( x0 ) .

1 nên phương trình 13

Chọn D.

Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ẩn tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước Từ biểu thức của hàm ẩn, tìm cách tính

tiếp tuyến là y = −

D. m > 2 .

2x Câu 11: Cho hàm số y = có đồ thị (C) và điểm A ( 0; a ) . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham x +1 số a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM , AN đến (C) với M, N là các tiếp điểm và MN = 4 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 4.

 f (1 + 2 x )  = x −  f (1 − 3 x ) , ∀x ∈ ℝ (* )

D. 61.

 f (1 + 2 x ) = x −  f (1 − 3x )  , ∀x ∈ ℝ . Tiếp tuyến

Trang 41

Từ giả thiết 2 f ( 2 x ) + f (1 − 2 x ) = 12 x 2 , ∀x ∈ ℝ . (*) Trang 42

Chọn x = 0 và x =

1 , ta được 2

A. 3.

2 f ( 0 ) + f (1) = 0  f ( 0 ) = −1 ⇔ .  2 f (1) + f ( 0 ) = 3  f (1) = 2

 f (x) Ta có g′ ( x ) =   f x2 

Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được 4. f ′ ( 2 x ) − 2. f ′ (1 − 2 x ) = 24 x, ∀x ∈ ℝ Chọn x = 0 và x =

B. 4.

( )

4 f ′ ( 0 ) − 2 f ′ (1) = 0  f ′ ( 0 ) = 2 1 , ta được  . ⇔ 2 ′ ′ 4 f (1) − 2 f ( 0 ) = 12  f ′ (1) = 4

⇒

Ví dụ 2: Cho các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) , y = h ( x ) = f ( x 3 + 2 ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) . Đường thẳng x = 2 cắt ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) lần lượt tại A, B, C. Biết phương trình tiếp tuyến của ( C1 ) tại A và của ( C2 ) tại B lần lượt là y = 3x + 4 và y = 6 x + 13 . Phương trình tiếp tuyến của ( C3 ) tại C là

C. y = −12 x + 49.

D. y = 2 x − 5.

′ f x 2 . f ′ ( x ) − f ( x ) .2 x. f ′ x 2  =  f 2 x2 

( )

f (1) . f ′ (1) − 2 f (1) . f ′ (1)

Chọn D.

B. y = 10 x − 21.

(1)

= −3 ⇔ −

f ′ (1) f (1)

= −3 ⇔ f (1) = 4.

Chọn B. Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Gọi ∆1 , ∆ 2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) = x 2 . f ( 4 x − 3) tại điểm có hoành độ x = 1 . Biết hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 vuông góc nhau và ∆1 không song song với Ox, Oy . Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. f (1) < 2.

3 < f (1) < 2.

C. f (1) ≥ 2.

D. 2 ≤ f (1) < 2 3.

Hướng dẫn giải

Để giải bài toán, ta cần tính h′ ( 2 ) và h ( 2 ) .

Ta có g′ ( x ) = x 2 . f ( 4 x − 3) ′ = 2 x. f ( 4 x − 3) + 4 x 2 . f ′ ( 4 x − 3) .

(

Phương trình tiếp tuyến của ( C1 ) tại A là

Theo giả thiết thì f ′ (1) .g′ (1) = −1 và f ′ (1) ≠ 0 .

⇔ f ′ (1) . ( 2 f (1) + 4 f ′ (1) ) = −1

Phương trình tiếp tuyến của ( C2 ) tại B là

y = f ′ ( 2 ) . f ′ ( f ( 2 ) ) ( x − 2 ) + f ( f ( 2 ) ) = f ′ ( 2 ) . f ′ (10 )( x − 2 ) + f (10 ) = 6 x + 13 .

⇔ 2 f (1) = −

 f ′ ( 2 ) . f ′ (10 ) = 6  f ′ (10 ) = 2 ⇒ ⇔ −2 f ′ ( 2 ) . f ′ (10 ) + f (10 ) = 13  f (10 ) = 25

Chọn C.

( (

) )′ = 3x . f ′ ( x 2

1 1 − 4 f ′ (1) ⇒ 2 f (1) = + 4 f ′ (1) ≥ 4 ⇔ f (1) ≥ 2 . f ′ (1) f ′ (1)

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) trên ℝ thỏa mãn f ( x 3 + 3 x + 1) = 2 x − 1 với mọi

x ∈ ℝ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −3 là

)

+ 2 nên h′ ( 2 ) = 12 f ′ (10 ) = 24 và h ( 2 ) = f (10 ) = 25 .

1 A. y = x . 3

Phương trình tiếp tuyến của ( C3 ) tại C là

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm và nhận giá trị dương trên ℝ . Biết tiếp tuyến của

( )

f x2

1 C. y = x − 3 . 3

1 D. y = x + 2. 3

Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x = −3 , ta cần tính f ( −3) và f ′ ( −3) .

Chọn A.

f (x)

1 B. y = x − 2 . 3

Hướng dẫn giải

y = h′ ( 2 )( x − 2 ) + h ( 2 ) = 24 ( x − 2 ) + 25 = 24 x − 23 .

hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) =

)

Ta có hệ số góc của các tiếp tuyến ∆1 , ∆ 2 lần lượt là f ′ (1) và g′ (1) = 2 f (1) + 4 f ′ (1) .

 f ′ ( 2 ) = 3  f ′ ( 2 ) = 3 y = f ′ ( 2 )( x − 2 ) + f ( 2 ) = 3 x + 4 ⇒  ⇔ ′ −2 f ( 2 ) + f ( 2 ) = 4  f ( 2 ) = 10

Ta có h′ ( x ) = f x 3 + 2

D. 2.

Từ giả thiết ta có f ′ (1) = 12 và g′ (1) = −3, f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ

Vậy f (1) = 2; f ′ (1) = 4 nên phương trình tiếp tuyến là y = 4 ( x − 1) + 2 = 4 x − 2 .

A. y = 24 x − 23.

C. 6.

Hướng dẫn giải

cùng tại điểm có hoành độ x0 = 1 có hệ số góc lần lượt

Với x = −1 suy ra f ( −3) = −3 . Do f ( x 3 + 3 x + 1) = 2 x − 1 ⇒ ( 3 x 2 + 3) f ′ ( x 3 + 3x + 1) = 2 .

1 Với x = −1 ⇒ 6 f ′ ( −3) = 2 ⇒ f ′ ( −3) = . 3

là 12 và –3. Giá trị của f (1) bằng Trang 43

Trang 44

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = f ′ ( −3)( x + 3) + f ( −3) ⇔ y =

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn  f ( x )  + 6 f ( x ) = −3 x + 10 với

1 1 ( x + 3) − 3 ⇔ y = x − 2 . 3 3

mọi x ∈ ℝ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1 là

A. y = − x + 2.

Chọn B. Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ . Gọi ( C1 ) , ( C2 ) và ( C3 ) lần lượt là đồ thị của các

Hướng dẫn giải

hàm số f ( x ) , g ( x ) = f ( x 2 ) và h ( x ) = f ( x 3 ) . Biết f (1) = 1 và tổng hệ số góc của hai tiếp tuyến tại điểm

Ta cần tính f (1) , f ′ (1) .

có hoành độ x = 1 của ( C1 ) , ( C2 ) bằng –3. Phương trình tiếp tuyến của ( C3 ) tại điểm có hoành độ x = 1 là

A. y = − x + 2.

B. y = −3 x − 2.

C. y = − x − 1.

1 4 D. y = − x + . 3 3

Thay x = 1 vào đẳng thức  f ( x )  + 6 f ( x ) = −3 x + 10 , ta có 3

D. y = −3x + 4.

1 2 C. y = x + . 3 3

B. y = x.

 f (1)  + 6 f (1) = −3 + 10 ⇔  f (1)  + 6 f (1) − 7 = 0 ⇔ f (1) = 1.

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có  f ( x )  + 6 f ( x ) = −3x + 10 đúng với mọi x nên đạo hàm hai vế ta được

Ta cần tính h (1) , h′ (1) .

( )

3.  f ( x )  . f ′ ( x ) + 6 f ′ ( x ) = −3, ∀x ∈ ℝ .

( )

Ta có g′ ( x ) = 2 xf ′ x 2 , h′ ( x ) = 3x 2 f ′ x 3 .

Thay x = 1 vào ta có 3  f (1)  . f ′ (1) + 6 f ′ (1) = −3 .

Theo giả thiết, ta có f ′ (1) + g ′ (1) = −3 ⇔ f ′ (1) + 2 f ′ (1) = −3 ⇔ f ′ (1) = −1 .

1 Vì f (1) = 1 nên f ′ (1) = − . 3

Do đó h′ (1) = 3 f ′ (1) = −3 và h (1) = f (1) = 1 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3 ( x − 1) + 1 = −3x + 4 .

1 4 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = − x + . 3 3

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) đều có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn

f 3 ( 2 − x ) − 2 f 2 ( 2 + 3 x ) + x 2 g ( x ) + 36 x = 0 , với mọi x ∈ ℝ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 2 là A. y = − x.

B. y = 2 x − 3.

C. y = −2 x + 3.

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn

2 f ( 2 x ) + f (1 − 2 x ) = 4 x 3 − x 2 , ∀x ∈ ℝ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có

D. y = x.

hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần lượt có dạng y = ax + b và y = a1 x + b1 . Giá trị biểu thức

Hướng dẫn giải Ta có f 3 ( 2 − x ) − 2 f 2 ( 2 + 3 x ) + x 2 g ( x ) + 36 x = 0, ∀x ∈ ℝ (1)

 f (2) = 0 Thay x = 0 vào (1) ta có f 3 ( 2 ) − 2 f 2 ( 2 ) = 0 ⇔   f ( 2 ) = 2

46 . 3

3 . 46

f (x) g (x)

2a − 5b bằng 3b1 + 2 a1

46 . 5

có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0

và có cùng hệ số góc khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

−3 f 2 ( 2 − x ) . f ′ ( 2 − x ) − 12 f ( 2 + 3 x ) . f ′ ( 2 + 3x ) + 2 x.g ( x ) + x 2 .g ′ ( x ) + 36 = 0. ( 2 ) 2

5 . 46

Câu 2: Biết đồ thị các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và y =

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được

Thay x = 0 vào (2) ta có −3 f

Bài tập tự luyện dạng 4

1 A. f ( 0 ) < . 4

( 2 ) . f ′ ( 2 ) − 12 f ( 2 ) . f ′ ( 2 ) + 36 = 0. ( 3)

1 B. f ( 0 ) ≤ . 4

1 C. f ( 0 ) > . 4

1 D. f ( 0 ) ≥ . 4

Câu 3: Cho các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và y = f ( x ) .g ( x ) . Biết tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã

+ Với f ( 2 ) = 0 thay vào (3) thì 36 = 0 (vô lý).

cho tại điểm x = 0 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

+ Với f ( 2 ) = 2 thay vào (3) thì f ′ ( 2 ) = 1 nên phương trình tiếp tuyến là y = x .

A. f ( 0 ) − g ( 0 ) = 1.

Chọn D.

B. f ( 0 ) − g ( 0 ) = −1.

C. f ( 0 ) + g ( 0 ) = 1.

D. f ( 0 ) + g ( 0 ) = −1.

Câu 4: Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị các hàm số

y = f ( x ) ; y = g ( x ) và y = Trang 45

f (x) + 3 g (x) + 3

bằng nhau và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? Trang 46

A. f (1) ≤ −

11 . 4

B. f (1) < −

11 . 4

C. f (1) ≥

11 . 4

D. f (1) >

11 . 4

Câu 11: Gọi k1 ; k2 ; k3 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị các hàm số y = f ( x ) ;y = g ( x ) ; y =

Câu 5: Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm trên ℝ và g ( 0 ) ≠ −1 . Biết tiếp tuyến tại điểm

x0 = 0 của ba đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , y =

f (x) +1 g ( x) +1

có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

f (x) g (x)

tại x = 2 và thỏa mãn k1 = k2 = 2k3 ≠ 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 A. f ( 2 ) < . 2

1 B. f ( 2 ) ≤ . 2

1 C. f ( 2 ) ≥ . 2

1 D. f ( 2 ) > . 2

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x = 1 . Gọi d1 , d2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 A. f ( 0 ) ≤ − , f ( 0 ) ≠ −1. 4

3 B. f ( 0 ) ≥ − , f ( 0 ) ≠ 1. 4

3 C. f ( 0 ) ≤ , f ( 0 ) ≠ −1. 4

3 D. f ( 0 ) ≥ , f ( 0 ) ≠ 1. 4

y = f ( x ) và y = g ( x ) = xf ( 2 x − 1) tại điểm có hoành độ x = 1 . Biết rằng hai đường thẳng d1 , d2 vuông góc với nhau, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f (1) ≤ 2.

B. f (1) ≥ 2 2.

C. 2 ≤ f (1) < 2 2.

2 < f (1) < 2.

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) , y = f  f ( x )  , y = f ( x + 2 ) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) . Biết tiếp

Dạng 5: Một số bài toán tiếp tuyến khác

tuyến của ( C1 ) , ( C2 ) tại điểm có hoành độ x0 = 1 có phương trình lần lượt là y = 2 x + 1, y = 6 x + 1 .

Bài toán 1. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = f ( x ) mà tiếp tuyến tại các điểm đó song song với

Phương trình tiếp tuyến của ( C3 ) tại điểm có hoành độ x0 = 1 là

nhau hoặc có cùng hệ số góc k.

A. y = 12 x − 5.

B. y = 6 x − 3.

C. y = 24 x − 21.

Phương pháp giải

D. y = 12 x − 9.

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ . Gọi ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) lần lượt là đồ thị của các hàm số

(

)

y = f ( x ) , y = f ( f ( x ) ) , y = f x 2 + 1 . Các tiếp tuyến của ( C1 ) , ( C2 ) tại điểm x0 = 2 có phương trình lần

B. M ( −2;11) .

C. N ( −2; −21) .

( )

Câu 8: Cho các hàm số y = f ( x ) , y = f x 2 , y =

( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) k1 + 2 k2 = 3k3 ≠ 0 . Giá trị f (1) bằng

các tiếp tuyến của

1 A. − . 5

điểm đó song song với nhau hoặc có cùng hệ

D. P ( 2; −21) .

số góc k thì x A , x B là hai nghiệm của phương

f (x)

có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) . Hệ số góc

( )

f x

tại điểm có hoành độ x0 = 1 lần lượt là k1 , k2 , k3 thỏa mãn

2 B. − . 5

3 C. − . 5

(

Khi đó ta có biểu thức liên hệ giữa x A , x B .

Đối với hàm số

4 D. − . 5

)

Đường thẳng x = 1 cắt ( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 ) lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của ( C1 ) tại M và của ( C2 ) tại N lần lượt là y = 3x + 2 và y = 12 x − 5 và phương trình tiếp tuyến của ( C3 ) tại P có dạng

y = ax + b . Giá trị a + b bằng B. 9.

trình f ′ ( x ) = k .

Từ đó giải quyết yêu cầu bài toán đưa ra.

Câu 9: Cho các hàm số y = f ( x ) ; y = f ( f ( x ) ) ; y = f x + 4 có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) .

A. 6.

A ( x A ; f ( x A ) ) , B ( x B ; f ( x B ) ) ( x A ≠ x B ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) mà tiếp tuyến tại hai

lượt là y = 2 x + 1, y = 4 x + 3 . Hỏi tiếp tuyến của ( C3 ) tại điểm x0 = 2 đi qua điểm nào dưới đây?

A. Q ( 2; −11) .

Giả sử hai điểm

C. 8.

ax + b ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) có tâm đối xứng cx + d

 d a là I  − ;  . Nếu A, B là hai điểm thuộc đồ  c c thị có tiếp tuyến tại A, B song song với nhau thì I là trung điểm của AB.

D. 7. 2

Ví dụ: Cho hàm số y =

x +1 có đồ thị (H). Gọi 2x −1

A ( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Tổng x1 + x2 bằng

A. 0.

B. –1.

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn giải

−3  x + 1 ′ Ta có y′ =   = 2  2 x − 1  ( 2 x − 1) Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau, nên ta có

−3

( 2 x1 − 1)

−3

( 2 x2 − 1)

⇔ ( 2 x1 − 1) = ( 2 x2 − 1)

 2 x1 − 1 = 2 x2 − 1  x1 = x2 ⇔ ⇔ x x 2 − 1 = − 2 + 1  1 2  x1 + x2 = 1

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn  f ( 2 x + 1)  +  f (1 − x )  = x.

Vì A ≠ B nên x1 + x2 = 1 .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

Chọn D.

1 6 A. y = − x + . 7 7

1 6 B. y = x − . 7 7

1 8 C. y = − x + . 7 7

1 5 D. y = x − . 7 7

Nhận xét: Hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số

Trang 47

ax + b với c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 mà tiếp tuyến tại cx + d Trang 48

A, B song song với nhau thì hai điểm A, B đối

 d a xứng với nhau qua điểm I  − ;  nên  c c

x A + x B = 2 xI = −

2d . c

x +1 có đồ thị (H). Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là hai điểm phân biệt thuộc (H) 2x −1 1 sao cho tiếp tuyến của (H) tại A , B có cùng hệ số góc k . Biết diện tích tam giác OAB bằng . Mệnh đề 2 nào dưới đây đúng? Ví dụ 2: Cho hàm số y =

A. k < −9.

B. −9 ≤ k < −6.

C. −6 ≤ k < −3.

D. −3 ≤ k < 0.

Hướng dẫn giải Ví dụ mẫu

x +1 Ví dụ 1: Cho hàm số y = có đồ thị (H). Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là hai điểm phân biệt thuộc (H) 2x −1 sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng A. 3 2 .

D. 2 6.

−3

( 2 x − 1)

y′ ( x1 ) = y′ ( x2 ) ⇔

( 2 x1 − 1)

−3

( 2 x2 − 1)

 x1 = x2 ⇔  x1 + x2 = 1

( 2 x − 1)

=k ⇒k <0.

1 1 a + , a > 0 thì 2 2

1 a+3  1 1 a−3 1 . A a + ; ,B − a+ ; 2 2 a   2 2 2a  2

1 1 Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử x1 = a + , a > 0 thì 2 2

1 Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC nếu có AB = ( a; b ) , AC = ( c; d ) thì S∆ABC = ad − bc . 2

1 a+3  1 1 a −3 1 . A a + ; , B − a+ ; 2 2a   2 2 2 a  2

 1 1 a + 3   1 1 a −3 Ta có OA =  a + ; , OB =  − a + ; 2 2a  2 2a  2  2

1 1 Gọi I  ;  là giao điểm của hai đường tiệm cận. 2 2

⇒ S∆OAB =

 x1 + x2 = 1 = 2 x I Ta thấy  nên I là trung điểm của AB.  y1 + y2 = 1 = 2 yI

⇔

 a 3  a2 a2 9 9 3 + 2 ≥ 2 . = Ta có IA =  ;  ⇒ IA = 4 4a 4 4a 2 2  2 2a 

1  a + 1  a − 3  − a + 1  a + 3 1 a2 − 3 1 . − = = 2  2  2 a  2  2 a 4 a 2

a2 − 2a − 3 = 0  a = 3 a2 − 3 ( vì a > 0). =2⇔ 2 ⇒ a a + 2a − 3 = 0  a = 1

1 + Với a = 3 ⇒ x1 = 2; x2 = −1 ⇒ k = − . 3

3 = 6. 2

+ Với a = 1 ⇒ x1 = 1; x2 = 0 ⇒ k = −3.

Vậy ABmin = 6 khi

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử x1 =

Vì x1 ≠ x2 nên x1 + x2 = 1 .

Vì I là trung điểm của AB nên AB = 2 IA ≥ 2

( 2 x − 1)

 x1 + x2 = 1  Suy ra 4kx 2 − 4 kx + k + 3 = 0 (* ) nên  k +3  x1 . x2 = 4k

. Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau nên

−3

Tiếp tuyến tại A, B của (H) có cùng hệ số góc k nên x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình

−

Hướng dẫn giải Ta có y′ =

Ta có: y′ = −

a 9 = ⇒ a2 = 3 ⇒ a = 3 4 4a2

1 Vậy giá trị của k là k = −3; k = − . 3

Chọn C.

Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 1 có đồ thị (C). Gọi A ( x A ; yA ) , B ( x B ; yB ) với x A > x B là các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và AB = 6 37 . Giá trị 2 x A − 3 x B bằng

A. 15. Trang 49

B. 90.

C. – 15.

D. – 90. Trang 50

Hướng dẫn giải Suy ra S∆OMN =

Ta có y′ = 3x − 3 . 2

( k − 1)

Do tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên y′ ( x A ) = y′ ( x B ) 2

Ta có MN 2 = ( k − 1) +

⇔ 3 x A2 − 3 = 3 x B2 − 3 ⇔ x A + x B = 0 (do x A > x B ). Giả sử A ( a, a3 − 3a + 1) , B ( −a, −a3 + 3a + 1) với a > 0 thuộc (C).

(

Khi đó AB 2 = 4 a2 + 2 a3 − 6 a

)

+ Với k = 2 ⇒ MN =

= 4a6 − 24 a 4 + 40a2 = 6 37 + Vớ i k =

⇔ 4 a6 − 24a 4 + 40a 2 − 1332 = 0 ⇔ a 2 = 9 ⇒ a = 3 (vì a > 0) ⇒ x A = 3; x B = −3 nên 2 x A − 3 x B = 15.

x+2 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc (C) và tiếp tuyến của x −1 (C) tại A, B song song với nhau. Đường thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N diện tích tam giác 1 OMN bằng . Độ dài đoạn MN bằng 4 Ví dụ 4: Cho hàm số y =

5 . 2

3 5 . 2

1  2 = ( k − 1)  1 + 2  k  

5 . 2

1 5 ⇒ MN = . 2 2 5 . 2

Chọn B. Bài toán 2: Một số dạng toán khác Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x 4 − 3x 2 + 2 và có hoành độ a. Có bao nhiêu số A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 5.

Hướng dẫn giải

−3

( x − 1)

nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A?

10 . 2

Hướng dẫn giải Ta có y′ =

( k − 1)

Vậy trong cả hai trường hợp thì MN =

Chọn A.

A. 10 .

k = 2 1 2 ⇔ 2 ( k − 1) = k ⇔  k = 1 4  2

x = 0 Ta có y′ = 4 x 3 − 6 x; y′ = 0 ⇔  . x = ± 6  2

. Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) . 2

Khi đó y′ ( x1 ) = y′ ( x2 ) ⇔ ( x1 − 1) = ( x2 − 1) ⇔ x1 + x2 = 2 .

y′′ = 12 x 2 − 6; y′′ = 0 ⇔ x = ±

Do đó tâm đối xứng I (1;1) của (C) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

2 . 2

Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k.

Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm thỏa mãn

Phương trình đường thẳng AB là y = k ( x − 1) + 1 .

 6 6 <a< −  2 2 ⇒ a ∈ {−1;0;1} .  a ≠ ± 2 ; a ∈ ℤ  2

Điều kiện để đường thẳng d : y = k ( x − 1) + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là phương trình

x+2 = k ( x − 1) + 1 (* ) có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 . x −1

Vậy có ba giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Ta có (* ) ⇔ kx 2 − 2 kx + k − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 khi và chỉ khi

Chọn B.

k ≠ 0  2 k − k ( k − 3) > 0 ⇔ k > 0  k − 2k + k − 3 ≠ 0

Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c mà đồ thị có ba điểm cực trị ( khi ab < 0) thì tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ nằm giữa hai điểm cực tiểu (cực đại), trừ điểm uốn sẽ luôn cắt đồ thị tại hai điểm khác nữa.

 k −1  Vì M, N là giao điểm của AB với Ox, Oy nên M  ;0  , N ( 0;1 − k ) .  k 

Trang 51

Trang 52

Ví dụ 2: Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x 4 − 3 x 2 + 2 và có hoành độ a . Có bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A và diện tích tam giác OBC bằng 2 3 ?

A. 1.

B. 3.

C. 2.

D. 5.

m−3 3 . ( x − m + 2) + m2 m

m−6   Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là A  −2; và tiệm cận ngang là B ( 2m − 2;1) . m  

Hướng dẫn giải

x = 0 Ta có y′ = 4 x 3 − 6 x; y′ = 0 ⇔  . x = ± 6  2

y′′ = 12 x 2 − 6; y′′ = 0 ⇔ x = ±

m −3  Gọi M  m − 2; ∈ ( C ) , m ≠ 0 , tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là m  

Theo giả thiết ta có Vậy m1 + m2 = −2 .

2 . 2

Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm nữa thì

Chọn B.

x +1 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm nằm x −1 trên hai nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt tại các cặp M, N và P, Q. Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng Ví dụ 4: Cho hàm số y =

 6 6 <a< −  2 2 ⇒ a ∈ {−1;0;1}  a ≠ ± 2  2 + Với a = −1 ⇒ A ( −1;0 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = 2 ( x + 1) .

A. 16.

x = 0 Xét phương trình x 4 − 3x 2 + 2 = 2 ( x + 1) ⇔  x = −1 nên B ( 0;2 ) , C ( 2;6 ) ⇒ S∆OBC = 2 (loại).  x = 2

(

) (

+ Với a = 0 ⇒ A ( 0;2 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = 2 nên B − 3;2 , C

B. 32.

nhất thì IM. IN = IP. IQ = 8 .

)

3;2 ⇒ S∆OBC = 2 3

Ta có SMNPQ =

1 1 1 MP.NQ = ( IM + IP )( IN + IQ ) = ( IM. IN + IP.IQ + IM. IQ + IN.IP ) 2 2 2

1 1 64 1  + IN. IP  ≥ 8 + .2 64 = 16 . (8 + 8 + IM.IQ + IN.IP ) = 8 +  2 2  IN.IP 2 

B ( 0;2 ) , C ( −2;6 ) ⇒ S∆OBC = 2 (loại). Vậ y a = 0 .

Vậy Smin = 16 khi

Chọn A.

vuông.

x −1 có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho tiếp x+2

tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = m − 2 cắt tiệm cận đứng tại A ( x1 ; y1 ) , cắt tiệm cận ngang tại

B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x2 + y1 = −5 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng B. – 2.

C. – 4.

Chọn A.

1 4 x − x 3 − 6 x 2 + 7 có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 2 có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d : y = mx ? Ví dụ 5: Cho hàm số y =

A. 27.

D. 2.

64 = IN. IP ⇒ IN. IP = 8 hay IN = IQ = IM = IP = 2 2 tức là MNPQ là hình IN. IP

B. 28.

C. 26.

Hướng dẫn giải

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x = −2 và y = 1 .

Giả sử M ( a; b ) là tiếp điểm. Ta có y′ = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x .

Ta có y′ =

( x + 2)

, y′ ( m − 2 ) =

D. 4.

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Theo tính chất của tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc

+ Với a = 1 ⇒ A (1;0 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến là y = −2 ( x − 1) nên

A. 4.

C. 8.

Hướng dẫn giải

(thỏa mãn).

Ví dụ 3: Cho hàm số y =

m = 1 m−6 . + 2 m − 2 = −5 ⇔ 2 m 2 + 4 m − 6 ⇔  m  m = −3

D. 25.

Tiếp tuyến của (C) tại M song song hoặc trùng với đường thẳng d : y = mx nên a là nghiệm của phương

3 . m2

trình 2 x 3 − 3x 2 − 12 x = m (* ) .

Trang 53

Trang 54

Để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d thì phương trình (*) có ít Bài tập tự luyện dạng 5

nhất hai nghiệm.

 x = −1 Xét f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x có y′ = 6 x 2 − 6 x − 12; y′ = 0 ⇔  . x = 2

Câu 1: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 3 có đồ thị (C). Trên (C) có hai điểm phân biệt A và B sao cho tiếp tuyến tại A, B có cùng hệ số góc k và O, A, B thẳng hàng. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. −3 < k < 0.

Bảng biến thiên

B. 0 < k < 3.

C. 8 < k < 12.

D. 4 < k < 8.

Câu 2: Cho hàm số y = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 3 có đồ thị (C). Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA = 2020.OB . Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 3: Cho hàm số y = x − 2 x có đồ thị (C). Trên đồ thị (C) có ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp 4

tuyến của (C) tại A, B, C có cùng hệ số góc k. Tập hợp tất cả các giá trị thực của k là

 −8 3 8 3  A.   2 ; 2  .  

Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm thì −20 ≤ m ≤ 7 . Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {−20, −19,...,6,7} .

Chọn B.

x +1 và điểm I (1;1) . Hai điểm A và B thuộc cùng một nhánh của đồ x −1 thị sao cho IA = IB . Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B. Khi tiếp tuyến tại A và Ví dụ 6: Cho đường cong ( C ) : y =

B của (C) tạo với nhau một góc 15° , giá trị biểu thức k1 + k2 bằng

(

)

B. 4 2 − 3 .

C. 2 6 + 2 2.

(

)

A, B, C có cùng hệ số góc k. Biết rằng ba điểm A, B, C cùng thuộc một parabol và đỉnh I của parabol có 1 hoành độ là . Tung độ của I bằng 6

−4 . 3

1 . 6

1 . 36

−1 . 6

(C) tại A, B song song với nhau, đường thẳng AB có hệ số góc dương và tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân. Giá trị x A . x B bằng

D. 4 2 + 3 .

A. – 3.

Do IA = IB nên k1 .k2 = 1 .

Câu 6: Cho hàm số y =

k −k Ta có tan15° = 1 2 1 + k1.k2

(

 −8 3 8 3  D.   9 ; 9  .  

Câu 5: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của

Hướng dẫn giải

⇔ k1 − k2 = 2 2 − 3

 −8 8  C.  ;  .  3 3

Câu 4: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 có đồ thị (C). Trên (C) có ba điểm A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại

Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn.

A. 2 6 − 2 2.

 −1 1  B.  ; .  3 3

B. – 1.

C. – 2.

D. 2.

x −1 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại x +1

A , B song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất từ điểm M ( 2;3) đến đường thẳng AB bằng

)

A. 13.

⇔ ( k1 − k2 ) = 28 − 16 3

3 . 2

C. 3 2.

D. 11.

Câu 7: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 x − 1 có đồ thị (C). Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành độ lần lượt là a, b ( a > b ) . Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và AB = 2 . Giá trị 2a + 3b bằng

⇔ ( k1 + k2 ) = 32 − 16 3 ⇒ k1 + k2 = 4 2 − 3 = 2 6 − 2 2 .

A. 4.

Chọn A.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

nhánh của đồ thị hàm số thỏa mãn IA = IB .

Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số 2 5 y = − x 3 + ( m − 1) x 2 + ( 3m − 2 ) x − tồn tại hai điểm M1 ( x1 ; y1 ) , M2 ( x2 ; y2 ) có tọa độ thỏa mãn 3 3 x1 . x2 > 0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng x − 2 y + 1 = 0 . Số

Gọi k1 , k2 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại A, B.

nguyên âm lớn nhất thuộc tập S là

Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y =

ax + b có tâm đối xứng là I. Cho A, B là hai điểm thuộc cùng một cx + d

A. – 1.

1 Ta có k1k2 = . c Trang 55

B. – 3.

C. – 2.

D. – 4.

Trang 56

x +1 có đồ thị (C). Hai điểm phân biệt A, B của (C) trong đó hoành độ của A −x + 2 âm sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng 1. Độ dài đoạn thẳng OA bằng Câu 9: Cho hàm số y =

A. 1.

1 . 2

89 . 2

Câu 10: Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x 4 − 3x 2 + 2 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. Khoảng cách giữa A và B lớn nhất bằng

3 . 2

3 3 . 2

35 . 2

của (C) tại A1 cắt (C) tại điểm thứ hai A2 ≠ A1 có tọa độ ( x2 ; y2 ) . Tiếp tuyến của (C) tại A2 cắt (C) tại

điểm thứ hai A3 ≠ A2 có tọa độ ( x3 ; y3 ) . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của (C) tại An −1 cắt (C) tại điểm thứ hai An ≠ An −1 có tọa độ ( xn ; yn ) . Giá trị x2019 bằng

B. 22018.

C. 22020.

Câu 12: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong ( C ) : y = A. 6.

B. 8.

5 . 4

3 B. − . 4

5 C. − . 4

D. −22017.

3 . 4

1 4 5 x − 3 x 2 + sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt 2 2 (C) tại hai điểm phân biệt B; C khác A thỏa mãn AC = 3 AB (với B nằm giữa A ;C). Độ dài đoạn thẳng OA bằng

Câu 19: Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y =

3 . 2

14 . 2

Câu 20: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y =

Câu 11: Cho hàm số y = x 3 − 2018 x có đồ thị (C). Xét điểm A1 có hoành độ x1 = 1 thuộc (C). Tiếp tuyến

A. −2 2019.

17 . 2

x −1 và d1 , d2 là hai tiếp tuyến của (C) song song với nhau. Khoảng 2x

cách lớn nhất giữa d1 , d2 là

A. 3.

B. 2 3.

C. 2.

D. 2 2.

3x + 1 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) x +1 tại A, B song song với nhau. Các tiếp tuyến này lần lượt cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của (C) tại M, N (tham khảo hình vẽ). Tứ giác MNBA có chu vi nhỏ nhất bằng

Câu 21: Cho hàm số y =

2x + 4 mà tiếp điểm có tọa độ nguyên? x −1

C. 4.

D. 3.

Câu 13: Có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x + 3x + 2 x tại đúng hai điểm phân biệt M 4

và N với x M < xN . Giá trị biểu thức xN − x M bằng

3 . 2

11 . 2

C. 2 2.

A. 16.

Câu 14: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. 1.

B. 3.

2 ( x + 1) x −2

B. 3.

C. 20.

x+2 cách đều hai điểm A (1; −3) , B ( 2; −6 ) ? x −1

C. 2.

D. 24.

ĐÁP ÁN DẠNG 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước

D. 4.

D. 1.

Câu 16: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x cách đều hai điểm A (1;2 ) , B ( −3; −6 ) ? A. 4.

B. 12.

mà tiếp điểm cách đều các trục tọa độ?

C. 2.

Câu 15: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. 4.

D. 6.

1–C

2–C

3–A

4–D

5–C

6–C

7–B

8–D

9–D

10 – B

11 – B

12 – A

13 – B

14 – D

15 – D

16 – D

17 – B

18 – D

19 – B

20 – B

21 – A

22 – B

23 – C

24 – A

25 – D

26 – D

27 – C

28 – A

29 – B

30 – A

31 – A

32 – B

33 – B

34 – A

35 – D

36 – D

DẠNG 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) khi biết hệ số góc

D. 5.

Câu 17: Cho đường thẳng y = m cắt đường cong ( C ) : y = x 4 − 3x 2 − 2 tại hai điểm phân biệt A và B sao

1–B

2–B

3–D

4–B

5–A

6–A

7–B

8–D

9–D

10 – A

cho tam giác OAB vuông tại O với m là số thực dương. Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại điểm nào dưới đây?

11 – A

12 – A

13 – C

14 – A

15 – C

16 – C

17 – D

18 – A

19 – C

20 – B

21 – A

22 – C

23 – D

24 – C

25 – B

26 – D

27 – C

A. M ( 0;40 ) .

B. N ( 0; −42 ) .

C. P ( 0; −38 ) .

D. Q ( 0; −40 ) .

DẠNG 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm M cho trước

Câu 18: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị (C). Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp các giá trị

1–B

1 thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B ( B ≠ A ) thỏa mãn a.b = − , trong 2 đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Tổng giá trị các phần tử của S bằng

11 – D

Trang 57

2–C

3–C

4–D

5–D

6–A

7–D

8–A

9–B

10 – B

DẠNG 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ẩn tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước Trang 58

1–D

2–B

11 – B

12 – B

3–C

4–A

5–A

6–A

7–C

8–C

9–D

10 – C

Dạng 5. Một số bài toán tiếp tuyến khác 1–C

2–B

3–D

4–C

5–A

6–A

7–A

8–D

9–A

10 – B

11 – B

12 – B

13 – B

14 – C

15 – A

16 – B

17 – C

18 – D

19 – D

20 – C

21 – D

Trang 59

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA

LŨY THỪA

Mục tiêu

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Kiến thức

Cho n là một số nguyên dương.

+ Biết các khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không

• Với a tùy ý: a n = a . a... a n thöøa soá

nguyên và lũy thừa với số mũ thực. + Biết khái niệm và tính chất của căn bậc n.

• Với a ≠ 0 : a 0 = 1; a − n =

+ Biết khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa. Chú ý:

+ Biết công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.

00 , 0 − n không có nghĩa.

+ Biết dạng đồ thị của hàm số lũy thừa. Kĩ năng +

1 (a: cơ số, n: số mũ). an

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như lũy

Biết dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy

thừa với số mũ nguyên dương.

thừa.

2. Phương trình x n = b ( *)

Biết khảo sát hàm số lũy thừa.

Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa.

• Với n lẻ: Phương trình (*) luôn có nghiệm duy nhất. • Với n chẵn + Nếu b > 0 : Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu. + Nếu b = 0 : Phương trình (*) có một nghiệm x = 0 + Nếu b < 0 : Phương trình (*) vô nghiệm.

3. Căn bậc n Khái niệm Cho b ∈ R , n ∈ N

( n ≥ 2 ) . Số a được gọi là căn bậc n của b

nếu a n = b . • Với n lẻ và b ∈ R , phương trình x n = b có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu là

• Với n chẵn: b < 0 : Không có căn bậc n của b. Trang 1

Trang 2

b = 0 : Có một căn bậc n của 0 là 0.

( )

• aα

b > 0 : Có hai căn trái dấu, ký hiệu giá trị dương là

b , còn giá

Tính chất

a aα •  = α ; b b

Với a, b ≥ 0 , m, n ∈ N * ; p ∈ Z ta có:

So sánh hai lũy thừa

• n ab = n a . n b ; a a = , b > 0; b nb p

• a =

( a ) ,( a > 0); n

 a khi n leû • a =  a khi n chaü n.

2,5 > 1,2 ⇔ (π )

- Nếu cơ số 0 < a < 1 thì α > β ⇔ aα < a β .

−0,5 > −1,1 ⇔ ( 0,3)

- Nếu số mũ α > 0 thì a > b > 0 ⇒ aα > bα .

Ví dụ:

- Nếu số mũ α < 0 thì a > b > 0 ⇒ aα < bα .

3 2 3 > ⇒  4 3 4

0,8

3 2 3 > ⇒  4 3 4

−0,8

HÀM SỐ LŨY THỪA 1. Khái niệm hàm số lũy thừa

4. Lũy thừa với số mũ hửu tỉ

Cho số thực a dương và số hửu tỉ r =

m , trong đó n

Ví dụ:

1 2

a =a ;

1 n

Hàm số y = x , với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa. α

a =a .

1,2

> (π ) −0,5

< ( 0,3)

−1,1

2 >  3

0,8

2 <  3

0,8

Chú ý: Tập xác định của hàm số y = x α tùy thuộc vào giá trị Ví dụ: Tập xác định của hàm số

m ∈ Z, n ∈ N* . Lũy thừa của a với số mũ r được xác định như m

sau: ar = a n = n a m .

của α .

y = x 5 là D = R;

Cụ thể:

y = x −5 là D = R \ {0} ;

• α nguyên dương: D = R ;

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

• α nguyên âm hoặc bằng 0: D = R \ {0} ;

Cho a > 0, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một

y = x 7 , y = x π là D = ( 0; +∞ ) .

• α không nguyên: D = ( 0; +∞ ) .

dãy số hữu tỉ ( rn ) mà α = lim rn và một dãy số tương ứng n →+∞

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

( a ) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r ) . rn

Hàm số lũy thừa y = x α , α ∈ R có đạo hàm với mọi x > 0 và:

Khi đó ta kí hiệu aα = lim arn là lũy thừa của a với số mũ

( )′ = α x

• xα

n →+∞

α.

α −1

( )′ = α u

Tính chất

;

α −1

• uα

6. Lũy thừa với số mũ thực

.u′ với u là biểu thức chứa x.

y = xα , α > 0

có: • aα .a β = aα + β ; aα = aα − β ; aβ

y = x −5 là y′ = −5.x −6 ;

là

y′ = 2sin x . ( sin x )′ = 2sin x.cos x Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với

y = x α ,α < 0

số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng

a. Tập khảo sát: ( 0; +∞ )

hạn: Khảo sát các hàm số y = x 3 trên

b. Sự biến thiên:

tập xác định của nó là ℝ , khảo sát hàm

• y′ = α x

Trang 3

Ví dụ: Đạo hàm của hàm số

y = sin2 x

3. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x α

Với mọi a, b là các số thực dương; α , β là các số thực tùy ý, ta

•

2,5

- Nếu cơ số a > 1 thì α > β ⇔ aα > a β .

• So sánh cùng số mũ

• n m a = n.m a ; n

Ví dụ:

• So sánh cùng cơ số

= aα . β ;

• ( a.b ) = aα .bα ;

trị âm là − n b .

•n

α −1

> 0, ∀ x >0

• y′ = α x

α −1

< 0, ∀ x >0

số y = x −2 trên tập xác định D = ℝ \ {0} . Trang 4

Hàm số luôn đồng biến.

Hàm số luôn nghịch biến.

• Giới hạn đặc biệt:

lim x = 0, lim x = +∞.

lim x = +∞, lim x = 0.

x → 0+

x →+∞

• Tiệm cận: Không có.

x → 0+

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA LŨY THỪA

aα

x →+∞

Định nghĩa

• Tiệm cận:

Tính chất

a n = a . a... a

Trục Ox là tiệm cận ngang.

00 ,0− n khoâ ng coù nghóa

a ∈ ℝ,α = n ∈ ℕ*

n thöøa soá

Trục Oy là tiệm cận đứng. c. Bảng biến thiên:

c. Bảng biến thiên:

a 0 = 1; a − n =

1 an

d. Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị của hàm số lũy thừa

ar = a n = n a m

luôn đi qua điểm I (1;1) .

∃ ( rn ) : lim rn = α n →+∞

⇒ aα = lim a n

a ≠ 0,α = ± n ∈ ℤ

m ∈ℚ n m ∈ ℤ, n ∈ ℕ * a > 0,α =

aα .a β = aα + β

a > 1; α > β ⇔ aα > a β

aα = aα − β aβ

0 < a < 1; α > β ⇔ aα < a β

(a ) α

a > 0,α laø soá voâ tæ

= aα . β

= aα .bα

( a.b )

n →+∞

α > 0; a > b > 0 ⇒ aα > bα α < 0; a > b > 0 ⇒ aα < bα

a aα   = α b b

a > 0,α ∈ ℝ

n lẻ

b ∈ ℝ, n ∈ ℕ* ( n ≥ 2 )

Căn bậc n của b

n chẵn

Có duy nhất

b<0

Không tồn tại

b=0

b>0

0=0

−n b

Trang 5

Trang 6

HÀM SỐ LŨY THỪA

Công thức lũy thừa với số mũ thực

( )

• am

= a m .n ;

• a m .a n = a m + n ; •

am = am −n ; an m

• a m .b m = ( a.b ) ; m

•

am  a  =  . bm  b  Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho x là số thực dương. Biểu thức

x 2 3 x được viết dưới dạng lũy

thừa với số mũ hữu tỉ là 5

A. x 12 .

B. x 6 .

C. x 7 .

D. x 5 .

Hướng dẫn giải.

Điều kiện x là số thực 1

Ta có:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

dương làm cho biểu thức ở

1 7 7  7 4 4 4 x 2 3 x = x 2 x 3 = x 3 =  x 3  = x 12 .  

dạng thũy thừa với số mũ hửu tỉ xác định.

Chọn A.

Dạng 1: Lũy thừa Bài toán 1. Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ

Ví dụ 2: Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức

Bài toán 1.1. Thu gọn biểu thức chứa căn thức Phương pháp giải

•

n m

•

ap =

a a b

n.m

 a  31 C.   . b

−1

Ta có:

;

 a 6 D.   . b

−1

= p

−1

a 3 b a 5 a 3  a   a 2 5 a 3  a  2 =     =   b a b b b b b b

Khi n chaü n ( b ≠ 0 )

( a ) ,( a > 0); n

 a  30 B.   . b

Hướng dẫn giải

Khi n leû ( b ≠ 0 )

 a  30 A.   . b

 n a . n b Khi n leû ab =  ;  n a . n b Khi n chaü n  n n a  = b n n 

a3 b a được viết dưới b a b

dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

Tính chất của căn bậc n •

a  a  6 5  a 6  a 6   =   =  . bb b b

Chọn D. Bài toán 1.2. Thu gọn biểu thức chứa lũy thừa

Phương pháp giải

a khi n leû an =  .  a khi n chaü n

Các hằng đẳng thức đáng nhớ: Trang 7

Trang 8

• ( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b2 ;

      x x −x Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức   (với x > 0, x ≠ 1) ta được 4 4 3 3  x + 1   x −1    − x − x   4  4   x + 1     x − 1

• ( a ± b ) = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 ; • a2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) ;

( = (a − b)(a

) + ab + b ) .

• a3 + b3 = ( a + b ) a2 − ab + b2 ;

A. x 2 .

• a3 − b 3

Hướng dẫn giải.

A. x.

−1

 y y +  . Biểu thức rút gọn của P là 1 − 2  x x  

B. 2 x.

C. x + 1.

D. x − 1.

  = 

Hướng dẫn giải

Ta có: P =

(

x− y

)

−1

 x − 2 xy + y    =   x  

(

x− y

)

(

x− y

)

 =  

Chọn A.

 a 0,5 + 2 a 0,5 − 2  a 0,5 + 1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức  −  . 0,5 (với 0 < a ≠ 1 ) ta được 0,5  a + 2a + 1 a − 1  a A.

a−2 . 2

a −1 . 2

2 . 1− a

D. x 3 .

   2 4 x − x +1− x  

x x −x

(

x2 + 4 x + 1 − x

)(

(

)

(

) 

  x x −1  =   4 x +1 1− x   1− x   x x−x

)(

)

3  = −x .  

Chọn C. Bài toán 2. Tính giá trị biểu thức

2 . a −1

Phương pháp giải Công thức đặc biệt

Hướng dẫn giải

 a +2 a − 2  a +1 Ta có:  − . 0,5 a − 1  a 0,5 a + 2 a + 1  0,5

0,5

f (x) =

 0,5 a +2 a 0,5 − 2 = − 0,5 2  0,5 a − 1 a 0,5 + 1 a +1 

(

C. − x 3 .

      x x −x Ta có:   4 4 3 3  x + 1   x −1 − x  − x    4  4    x − 1  x + 1  

Ví dụ mẫu 1  1  Ví dụ 1: Cho P =  x 2 − y 2     

B. − x 2 .

) (

)(

)

ax + a

Thật vậy, ta có:

thì f ( x ) + f (1 − x ) = 1.

f (1 − x ) =

 0,5 . a +1  a 0,5 

a + a ax

⇒ f (1 − x ) =

 a 0,5 + 2 a 0,5 − 2  1 =  0,5 − 0,5  . 0,5  a +1 a −1  a

a ax

a + a .a x

a ax + a

Nên: f ( x ) + f (1 − x ) = 1.

a + a 0,5 − 2 − a + a 0,5 + 2 1 2 . 0,5 = a −1 a −1 a

Ví dụ mẫu

Chọn D.

Ví dụ 1: Cho f ( x ) =

2018x

2018x + 2018

. Tính giá trị biểu thức sau đây ta được

 1   2   2018  S= f + f   + ... + f   2019 2019      2019 

A. S = 2018.

Trang 9

B. S = 2019.

C. S = 1009.

D. S = 2018.

Trang 10

Hướng dẫn giải

Ta có: f (1 − x ) =

Câu 5: Viết biểu thức

2018

⇒ f ( x ) + f (1 − x ) = 1

2018 + 2018 x

 1  Suy ra S = f  +  2019 

 2  f  + ... +  2019 

 2018  f =  2019 

 1  f +  2019 

 2018  f +  2019 

2 . 15

b3 a , ( a, b > 0 ) về dạng lũy thừa a b B.

4 . 15

A. Q = b 2 .

−

B. Q = b 9 .

3 . 2

1 . 2

5+3 +3 ta được 1 − 3x − 3− x −x

A. α =

5 D. − . 2

(

)

( 1 − (3

5 + 3x + 3− x x

−x

3x + 3− x = 5 = 25 ⇔  x −x 3 + 3 = −5 ( loaï i )

5 B. α = . 3

) = 5+ 5 = − 5. ) 1− 5 2

C. a 0 = 1; ∀a ∈ ℝ.

− b2 −b

)

a 3 a = 4 a.

a m = a ; ∀a ∈ ℝ; ∀m,n ∈ ℤ. 2

≠ b 3 ) được kết quả

A. P = a 2 .

a3 3

a a

−b

D. a2 .

−b

1 8

A. M = 20172018 + 1. 43

C. a 36 .

5 6

B. P = a .

C. P = a .

.a 4−

= a6 .

a5 = a 5 .

, với a > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3

C. P = a 2 .

−2

D. P = a 3 .

2018

−1

B. M = 20171009.

(

Câu 14: Giá trị của biểu thức P = 7 + 4 3

D. a 60 .

11 6

( a − a ) với a > 0, a ≠ 1. Giá trị của M = f ( 2017 Câu 13: Cho hàm số f ( a ) = a ( a − a )

Câu 4: Viết biểu thức P = a. 3 a 2 . a ( a > 0 ) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được A. P = a .

3 +1

B. P = a.

B. a 13 .

5 −3

( )

C. a 2

= a6 .

Câu 3: Cho số thực dương a. Rút gọn P = a a 4 a 5 a ta được

5 3

D. a 4 b 4 .

C. a 6 .

(a ) Câu 12: Cho biểu thức P =

m n

+ 1 (với a > 0, b > 0 và a

B. 2a .

C. a 4 b 4 .

B. a3 .

B. a n = n a m ; ∀a ∈ ℝ. D.

A. a 13 .

a3b3 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được 1

B. a 4 b 9 .

3 −1

A. 2.

D. P = x 9 .

Câu 11: Cho a > 0. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. a − n xác định với mọi ∀a ∈ ℝ \ {0} ; ∀n ∈ ℕ.

C. P = x 8 .

Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

1 D. α = . 6

Câu 10: Cho a là một số dương, viết a 3 a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được

Bài tập tự luyện dạng 1

2 C. α = . 3

B. P = x .

A. a 4 b 2 .

A. a 6 .

a 3 a được viết dưới dạng aα . . Giá trị của α là

Câu 9: Cho a, b là các số thực dương. Viết biểu thức

Chọn D.

Câu 2: Rút gọn biểu thức

D. Q = b 3 .

A. P = x 2 .

Ta có: 9 x + 9 − x = 23 ⇔ 3x + 3− x

−2 . 15

Câu 8: Rút gọn biểu thức P = x 3 . 6 x với x > 0 ta được

Hướng dẫn giải

Từ đó, thế vào P =

11 . 6

C. Q = b 3 .

Câu 7: Giả sử a là số thực dương, khác 1 và

A. −2.

Chọn C. Ví dụ 2: Cho 9 x + 9− x = 23. Tính giá trị của biểu thức P =

2 . 5

Câu 6: Rút gọn biếu thức Q = b 3 : 3 b với b > 0 ta được

 2   2017   1009   1010  +f  + f   + ... + f  + f   = 1009.  2019   2019   2019   2019 

a   ta được m bằng b

A. 1.

D. P = a2 .

2017

) (7 − 4 3)

B. 7 − 4 3.

(

Câu 15: Giá trị của biểu thức P = 9 + 4 5

Trang 11

C. M = 20171009 + 1.

D. M = −20171009 − 1.

2016

bằng

C. 7 + 4 3. 2017

) là

) (9 − 4 5 )

(

D. 7 + 4 3

)

2016

bằng Trang 12

B. 9 − 4 5.

A. 1.

Câu 16: Cho 4 x + 4− x = 14. Giá trị của biểu thức P = A. P = 2.

1 B. P = . 2

D. 9 − 4 5.

Ví dụ mẫu

(

D. P = 7.

4−5 −5 là 9 + 5 x + 5− x x

−x

B. 2.

4x Câu 19: Cho hàm số f ( x ) = x . Tổng P = 4 +2

99 . 2

301 . 6

D.  2  f  + ... +  100 

 98  f +  100 

101 . 2

• Nếu α là số nguyên dương thì không có điều kiện xác định của f ( x ) . • Nếu α là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì điều

C. ℝ \ {0} .

D.  0; +∞ ) .

Hướng dẫn giải sin 2018π ) Ta có y = x ( = x 0 nên tập xác định là ℝ \ {0} .

149 . 3

Chọn C.

(

A. ℝ.

C. 1008.

B. ( 0; +∞ ) .

)

−2019

là

C. ℝ \ {0} .

D.  0; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

D. 1007.

Vì số mũ −2019 là số nguyên âm nên điều kiện xác định của hàm số là 1 + x ≠ 0, ngoài ra hàm số còn chứa căn thức bậc hai nên x ≥ 0.

(

Ví dụ: Tập xác định của hàm số y = x − 6 x + 5

)

−3

là

1 + x ≠ 0 ( luoâ n ñuù ng ∀x ≥ 0 ) Hàm số xác định ⇔  ⇔ x ≥ 0.  x ≥ 0

A. ℝ.

B. ℝ \ {1; 5} .

Vậy D =  0; +∞ ) .

C. (1;5 ) .

D. ( −∞;1) ∪ ( 5; +∞ ) .

Chọn D.

(

)

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ ( −2018; 2018 ) để hàm số y = x 2 − 2 x − m + 1

Hướng dẫn giải

Số mũ −3 là số nguyên âm. Do đó, điều kiện xác

kiện xác định là f ( x ) ≠ 0.

x ≠ 1 định của hàm số là: x − 6 x + 5 ≠ 0 ⇔  . • Nếu α là số không nguyên thì điều kiện xác x ≠ 5

định là f ( x ) > 0.

B. ( 0; +∞ ) .

Ví dụ 3: Tập xác định của hảm số y = 1 + x

Ta tìm điều kiện xác định của hàm số α

1 không phải là số nguyên. Do đó, điều kiện xác định của hàm số là: 5

A. ℝ.

 99  f  bằng  100 

Bài toán 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

y =  f ( x )  , dựa vào số mũ α của nó như sau:

D. ( 3; +∞ ) .

sin 2018π ) Ví dụ 2: Tập xác định của hảm số y = x ( là

1 . 2

Dạng 2: Hàm số lũy thừa Phương pháp giải

C. ( 2;3 ) .

Chọn C.

 1   2   3   2013   2014  S= f + f  + f   + ... + f  + f   2015 2015 2015 2015          2015 

B. 2015.

B. ( −∞;2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

là

− x 2 + 5 x − 6 > 0 ⇔ x ∈ ( 2;3 ) . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là ( 2;3 ) .

4x Câu 20: Cho hàm số f ( x ) = x . Giá trị của biểu thức sau đây bằng 4 +2

A. 2014.

1 5

A. ℝ \ {2;3} .

Số mũ −

D. P = 2.

C. 1.  1  f +  100 

−

Hướng dẫn giải

9x Câu 18: Cho hàm số f ( x ) = x ; x ∈ ℝ và a, b thỏa a + b = 1. Giá trị f ( a ) + f ( b ) bằng 9 +3

A. -1.

)

Ví dụ 1: Tập xác định của hảm số y = − x 2 + 5 x − 6

1 C. P = . 9

B. P = 12 .

2017

−x

6 C. P = . 7

−1

)

10 − 2 − 2 là 3 + 2 x + 2− x x

Câu 17: Cho 25 x + 25− x = 7. Giá trị của biểu thức P = A. P = 12.

(

C. 9 + 4 5.

có tập xác

định là ℝ ? A. 4036.

B. 2018.

C. 2017.

D. Vô số

Hướng dẫn giải

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là ℝ \ {1; 5} .

Vì số mũ

Chọn B.

⇔ x − 2 x − m + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ

5 không phải là số nguyên nên hàm số xác định với ∀x ∈ ℝ.

Trang 13

Trang 14

∆′ < 0 ⇔ a > 0 ( luoâ n ñuù ng vì a = 1 > 0 )

= −24 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x.

Chọn A.

⇔ 1 − ( − m + 1) > 0

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số y = ( x sin x ) 3 là

⇔m>0

A. y′ =

m ∈ ( −2018;2018 ) Mà  ⇒ m ∈ {1,2,3,...,2017} . m ∈ ℤ

1 − 2 x sin x ) 3 . ( 3

Vậy có 2017 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

2 sin x + x cos x C. y′ = . . 3 3 x 2 sin 2 x

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Bài toán 2. Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Ta có: y′ =

Phương pháp giải Công thức tính đạo hàm

Chọn B.

( 2 x + 5)3 ′ = 6 ( 2 x + 5 )2 .  

Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số y = 1 + x

α −1

( )′ = α u

α −1

• uα

(

.u′ với u là biểu thức chứa x.

(3x + 3 x ) . (1 + x ) 3

(

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = 1 − x 2 −

5 4

−

5 4

1 A. y′ = − 1 − x 2 4

)

5 x 1− x2 2

)

(

C. y′ =

(

)

−

1 4

5 B. y′ = − x 1 − x 2 2

D. y′ =

(

1 x 1− x2 2

(

)

) −

−

5 4

1 1− x 4

(

1 − −1 2 4

)

(

. 1 − x2

−1

C. y′ =

(

) (

x + x .3 1 + x

Ta có: y′ = −

5 − 2 4

)′ = − 14 (1 − x ) .( −2 x ) = 21 x (1 − x )

=−

2 1+ x 3

(

C. y′ = 24 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x .

)

. B. y′ = −

. D. y′ = −

)

−

2 3

là

2 1+ x 3

(

2 1+ x 3

(

)

−

)

5 3

−

5 3

1 x

1 1+ x 3

(

2 − −1 3

)

5 − 3

1 x

−

5 3

1 2 x

−1

(3x + 3 x ) . (1 + x ) 3

Chọn A.

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = ( 2 + 3cos2 x ) . 3

1 − 2 x sin x ) 3 .cos x. ( 3

) .(1 + x )′ = − 32 (1 + x )

Chọn D.

A. y′ = −24 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x.

D. y′ =

Hướng dẫn giải .

Hướng dẫn giải

Ta có: y′ = −

−1

A. y′ =

Ví dụ mẫu

1 − 2 x sin x ) 3 . ( sin x + x cos x ) . ( 3

2 1 −1 − 2 ( x sin x ) 3 . ( x sin x )′ = 23 ( x − sin x ) 3 . (sin x + x cos x ) . 3

Ví dụ:

( )′ = α x ( x > 0,α ∈ ℝ ) ;

• xα

B. y′ =

Bài toán 3. Khảo sát sự biến thiên và nhận dạng đồ thị của hàm số lũy thừa

B. y′ = −12 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x.

Phương pháp giải Đồ thị của hàm số lũy thừa y = aα trên ( 0; +∞ ) :

D. y′ = 12 ( 2 + 3cos2 x ) sin 2 x.

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thùa với số mũ cụ thể, ta

phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải

Chẳng hạn: Khảo sát các hàm số y = x 3 trên tập xác định

Ta có: y′ = 4 ( 2 + 3cos 2 x ) ( 2 + 3cos 2 x )′

của nó là ℝ, khảo sát hàm số y = x −2 trên tập xác định

= 4 ( 2 + 3cos2 x ) ( −6sin 2 x )

D = ℝ \ {0} .

Trang 15

Trang 16

Nhận xét: Đồ thị của hàm số lũy thừa luôn đi qua điểm

A. D = ℝ \ {−1; 4} .

B. D = ( −∞; −1 ∪  4; +∞ ) .

I (1;1) .

C. D = ℝ.

D. D = ( −∞; −1) ∪ ( 4; +∞ ) .

Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định D = ℝ ?

(

A. y = 2 + x

 1  B. y =  2 + 2  . x  

(

Câu 3: Tập xác định D của hàm số y = x 2 − 3 x A. ( 0;3) .

)

−4

(

Câu 4: Tập xác định của hàm số y = x 2 − 4 x

)

2019 2020

A. f ( x ) = x 3 . −

A. D = ( −∞;3) .

B. D = ( −∞;3 .

 x −3  Câu 6: Tập xác định D của hàm số y =    x+2

Hướng dẫn giải

D. D = ( −∞;0 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

C. ( 0;4 ) .

D. ℝ \ {0; 4} .

C. D = ℝ \ {3} .

D. D = ℝ.

π 2

là

A. D = ℝ \ {−2;3} .

B. D = ( −∞, −2 ) ∪ 3, +∞ ) .

C. D = ℝ \ {3} .

D. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

(

A. D = ( −1;1) .

Hàm số đồng biến trên D, loại C. Chọn A.

B. Đồ thị (C ) không có tiệm cận.

C. Tập xác định của hàm số là ℝ.

D. Hàm số không có cực trị.

B. D = ℝ \ {−1;1} .

)

là D. D = ℝ.

C. D = (1; +∞ ) .

(

)

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −50;50 ) để hàm số y = x 2 − 2 x − m + 1

có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số tăng trên ( 0; +∞ ) .

1 2

có tập

xác định ℝ ? A. 99.

B. 49.

C. 50.

D. 100.

(

Câu 9: Biết tham số m ∈ ( a; b ) , với a < b thì hàm số y = x 2 − 2 x − m 2 + 5m − 5

Hướng dẫn giải

)

3+ 2 2

có tập xác định là

Giá trị tổng a + b là A. −5.

Hàm số có tập xác định là D = ( 0; +∞ ) . Ta có: y′ = − 2 x −

− sin

Câu 7: Tập xác định D của hàm số y = x e + x 2 − 1

Hàm số có tập xác định là D = ( 0; +∞ ) , loại đáp án B, D.

C. D = ℝ.

D. f ( x ) = x 3 .

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = x −

D. y = ( 2 + x ) .

Câu 5: Tập xác định D của hàm số y = ( 3 − x ) là

B. f ( x ) = 3 x .

C. f ( x ) = x 3 .

là

A. ( −∞;0  ∪  4; +∞ ) . B. ( −∞;0 ) ∪ ( 4; +∞ ) .

dưới đây?

)

là

B. D = ℝ \ {0;3} .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi f ( x ) có thể là hàm số nào trong bốn hàm số

(

C. y = 2 + x 2

2 −1

B. 5.

(

Câu 10: Tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x 2 − 4 x + m

< 0, ∀x ∈ D.

A. m > 4.

Hàm số nghịch biến trên D ⇒ Hàm số không có cực trị. Chọn D.

B. m < 4.

(

A. m > 1.

(

Câu 1: Tập xác định D của hàm số y = x 2 − 3 x − 4

)

2− 3

là

B. m > −1.

)

2019 2020

xác định trên ℝ là

C. m ≥ 4.

Câu 11: Tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x 2 − 2 x − m

Bài tập tự luyện dạng 2

D. −3.

C. 3.

D. m ≤ 4.

)

2020

xác định trên ℝ là

C. m < 1.

D. m < −1.

(

)

Câu 12: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 2 − mx + 1

Trang 17

sin

π 3

có tập xác định ℝ là Trang 18

A. −2 ≤ m ≤ 2.

B. m < −2 ∨ m > 2.

C. −1 < m < 1.

 x 2 + 2mx + m + 2  Câu 13: Tất cả các giá trị thực của m để hàm số y =   x2 + 3  

A. −1 < m < 2.

B. −1 ≤ m < 2.

D. −2 < m < 2. − 2

xác định trên ℝ là

C. −2 < m < 2.

D. −1 < m ≤ 2.

Câu 14: Phương trình tiếp tuyến của (C ) : y = x 2 tại điểm M0 có hoành độ x0 = 1 là A. y =

π 2

x + 1.

B. y =

π 2

x− π

Câu 15: Trên đồ thị của hàm số y = x 2

π 2 +1

+ 1.

C. y = π x − π + 1.

D. y = −

A. y = x 3 .

π 2

+ 1.

lấy điểm M0 có hoành độ x0 = 2 π . Tiếp tuyến của (C ) tại điểm

M0 có hệ số góc bằng A. π + 2.

C. y = x −2 .

B. y = log3 x.

D. y = 3x .

Câu 19: Cho hàm số y = x −4 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số có một trục đối xứng.

B. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;1) .

C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số có một tâm đối xứng.

Câu 20: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có nghiệm? B. 2π .

C. 2π − 1.

D. 3.

Câu 16: Cho các hàm số lũy thừa y = x , y = x , y = x có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây α

A. x 6 + 1 = 0.

x − 4 + 5 = 0.

C. x 5 + ( x − 1) 6 = 0.

D. x 4 − 1 = 0

ĐÁP ÁN

đúng? Dạng 1. Lũy thừa

1-A

2-D

3-D

4-C

5-D

6-D

7-C

8-B

9-C

10-A

11-B

12-B

13-D

14-C

15-C

16-C

17-B

18-C

19-A

20-D

Dạng 2. Hàm số lũy thừa

A. γ > β > α .

B. β > γ > α .

C. β > α > γ .

1-D

2-C

3-B

4-B

5-C

6-A

7-C

8-B

9-B

10-A

11-D

12-D

13-A

14-B

15-A

16-B

17-A

18-C

19-D

20-A

D. α > β > γ .

Câu 17: Cho α , β là các số thực. Đồ thị các hàm số y = x , y = x trên khoảng ( 0; +∞ ) được cho trong α

hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0 < β < 1 < α .

B. β < 0 < 1 < α .

C. 0 < α < 1 < β .

D. α < 0 < 1 < β .

Câu 18: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

Trang 19

Trang 20

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 2. LÔGARIT

1. Khái niệm lôgarit

Mục tiêu

Nhận xét: log a b = α ⇔ aα = b ( a, b > 0, a ≠ 1)

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng

Kiến thức

Ví dụ: log 2 8 = 3 ⇔ 23 = 8

thức a = b được gọi là lôgarit cơ số a của b , và ký

+ Biết khái niệm và tính chất của lôgarit.

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.

hiệu là log a = b .

+ Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số.

2. Tính chất

+ Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên.

Cho a, b > 0, a ≠ 1 . Ta có:

Kĩ năng +

Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.

Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài toán biến đổi, tính toán các biểu thức chứa

log a = 0;

log a a = 1

a loga b = b;

log a ( aα ) = α

3. Quy tắc tính lôgarit

lôgarit.

Ví dụ:

a. Lôgarit của một tích

Cho a, b1 , b2 > 0 với a ≠ 1 , ta có:

log a (b1b2 ) = log a b1 + log a b2 Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số

dương: loga ( b1 ...bn ) = loga b1 + ... + loga bn

• logπ

1 1  + logπ 2 = logπ  .2  = logπ 1 = 0; 2 2 

• log 3

1 2 3 7 8 + log 3 + log 3 + ... + log3 + log3 2 3 4 8 9

7 8 1 2 3 = log3  . . ..... .  2 3 4 8 9 

= log3

trong đó a, b1 , b2 ,..., bn > 0, a ≠ 1. b. Lôgarit của một thương

Ví dụ:

Cho a, b1 , b2 > 0 với a ≠ 1, ta có: loga =

Đặc biệt: log a

b1 = loga b1 − loga b2 b2

1 = − loga b b

1 = −2. 9

• log5

125 = log5 125 − log5 25 = 3 − 2 = 1; 25

• log7

1 = − log7 49 = −2. 49

( a > 0, b > 0 ) .

c. Lôgarit của một lũy thừa

Ví dụ:

Cho hai số dương a, b, a ≠ 1. Với mọi α , ta có:

• log2 83 = 3log2 8 = 3.3 = 9;

loga bα = α loga b

• log2 4 8 =

Đặc biệt: log a n b =

1 loga b n

4. Đổi cơ số

Cho a, b, c > 0; a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

Trang 1

1 1 3 log2 8 = .3 = . 4 4 4

Ví dụ: • log8 16 =

log2 16 4 = ; log2 8 3

Trang 2

log a b =

Đặc biệt:

logc b logc a

1 loga b = logb a

logaα b =

• log3 27 =

( b ≠ 1) ;

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 = 3; log27 3

• log128 2 = log27 2 =

Dạng 1: Biến đổi biểu thức lôgarit Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức

1 1 log2 2 = . 7 7

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho x , y > 0 và x 2 + 4 y 2 = 12 xy. Khẳng đinh nào sau đây đúng?

loga b (α ≠ 0 ) .

A. log 2 ( x + 2 y ) = log2 x + log 2 y + 1.

5. Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a. Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Với b > 0, log10 b thường được viết là log b hoặc lg b . b. Lôgarit tự nhiên

Nhận xét: Các lôgarit

có mặt trong các đáp án đều có cùng cơ số

 x + 2y  B. log2   = log2 x − log2 y.  4 

2. Do đó ta cũng có

1 C. log2 ( x + 2 y ) = 2 + ( log2 x + log2 y ) . 2

của lôgarit, biến đổi

D. 4 log2 ( x + 2 y ) = log2 x + log2 y.

thấy xuất hiện biểu

thể dùng các quy tắc từng đáp án đến khi thức

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Với b > 0, log e b

Hướng dẫn giải

được viết là ln b .

Với x , y > 0 , ta có: x 2 + 4 y 2 = 12 xy ⇔ ( x + 2 y ) = 16 xy

còn

giả thiết ban đầu để

⇔ log2 ( x + 2 y ) = log2 16 xy

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

không

lôgarit và so sánh với

tìm ra đáp án đúng.

⇔ 2 log2 ( x + 2 y ) = 4 + log2 x + log2 y ⇔ log2 ( x + 2 y ) = 2 +

1 ( log2 x + log2 y ) . 2

Chọn C. Ví dụ 2: Cho các số thực a < b < 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? 2

( )

A. ln ( ab ) = ln a2 + ln b 2 . a C. ln   = ln a − ln b . b

B. ln

Chú ý: Khi biến đổi

( ab ) = 12 ( ln a + ln b ) . 2

a D. ln   = ln a2 − ln b 2 . b

( )

biểu

thức

chứa

lôgarit, ta cần thận trọng trong việc lựa chọn tính chất, công

Hướng dẫn giải

thức, quy tắc sao cho

Vì khi a < b < 0 không tồn tại ln a, ln b.

biểu thức luôn xác

Chọn B.

định với điều kiện

Ví dụ 3: Cho a, b, c, d là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây

ban đầu.

đúng? a c A. ac = b d ⇔ ln   = . b d

C. ac = b d ⇔

ln a c = . ln b d

B. ac = b d ⇔

ln a d = . ln b c

a d D. ac = b d ⇔ ln   = . b c

Hướng dẫn giải

Trang 3

Trang 4

Do a, b, c, d là các số thực dương, khác 1 nên ta có: ac = b d ⇔ c ln a = d ln b ⇔

Ví dụ 1: Cho a, b, c,d > 0 . Rút gọn biểu thức

ln a d = . ln b c

a b c d S = ln + ln + ln + ln ta được b c d a

Chọn B. Ví dụ 4: Với các số thực dương a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3

 2a  A. log2   = 1 + 3log2 a − log2 b.  b 

A. S = 1.

B. S = 0.

a b c d C. S = ln  + + +  . b c d a

D. S = ln ( abcd ) .

Hướng dẫn giải

a b c d a b c d Ta có: S = ln + ln + ln + ln = ln  . . .  = ln1 = 0. b c d a b c d a

 2a3  1 B. log2   = 1 + log2 a − log2 b. b 3    2a3  C. log2   = 1 + 3log2 a + log2 b.  b 

pháp

giải

Phương

Ví dụ 2: Cho a, b > 0 và a, b ≠ 1 , biểu thức P = log

nghiệm: Ta thấy các đáp án

b3 .log b a 4

bằng

đều là các hằng số, như vậy ta

 2a 3  1 D. log2   = 1 + log2 a + log2 b. b 3  

A. 6

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta có :

 2a3  3 3 log2   = log2 2a − log2 ( b ) = log2 2 + log2 a − log2 b = 1 + 3log2 a − log2 b.  b 

3 1 P = log a b .logb a = log 1 b .logb a = .4.loga b. = 24. 1 2 log b a a 2

được kết quả P = 24.

Chọn B.

B. 24

( )

Chọn A.

C. 12.

D. 18.

Phương pháp giải

• b = aα , từ đó suy ra loga b = loga aα = α ;

7 • log32 128 = log25 27 = ; 5

Biến đổi biểu thức P = log

• 32log2 9 = 25log2 9 = 95.

A. P = −5 + 3 3.

B. P = −1 + 3.

C. P = −1 − 3.

D. P = −5 − 3 3.

;

• a = c , b = c , từ đó ta suy ra α

loga b = logcα c β =

loga c

α loga c

log

b3 .logb a 4

rồi bấm =,

pháp

giải

trắc

b a

b ta được a

Chọn a = 2, b = 2 3 . Bấm máy ta được P = −1 − 3.

Chọn C.

Hướng dẫn giải

β . α

b loga c , ta biến đổi

• Để tính

thay a = b = 2 vào biểu thức

nghiệm:

loga b = 3.

Ví dụ:

phụ thuộc vào giá trị của a, b . Sử dụng máy tính bỏ túi Casio,

Để tính loga b ta có thể biến đổi theo một trong các cách sau:

• a = bα , từ đó suy ra loga b = log bα b =

dự đoán giá trị của P không

Ví dụ 3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a ≠ 1, a ≠ b và Phương

Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện. Rút gọn biểu thức.

trắc

Chọn B.

Ta có: loga

b = aα , từ đó suy ra

loga

Ví dụ mẫu

b 1 ( loga b − 1) a =2 = b loga b − 1 a

1 3 −1 3 −1 2 = = −1 − 3. 1 3 −2 loga b − 1 2

(

)

Chọn C. Ví dụ 4 : Biến đổi biểu thức

Trang 5

Trang 6

Ví dụ 2. Cho lg3 = a,lg 2 = b. Khi đó giá trị của log125 30 được tính theo a là:

 a  −2 P = loga2 a10 b2 + log a   + log 3 b b (với 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1 )  b

(

)

ta được A. P = 2.

C. P = 3.

B. P = 1.

D. P = 2.

Ta có: log125 30 =

Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit ta có:  a  −2 P = loga2 a10 b2 + log a   + log 3 b b  b

1+ a . 3 (1 − b )

a . 3+ b

a . 3+ a

lg30 1 + lg3 1+ a = = . lg125 3 (1 − lg 2 ) 3 (1 − b )

Chọn B.

)

Ví dụ 3. Cho a = log2 3; b = log3 5; c = log7 2. Khi đó Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán lần lượt

1 =  loga a10 + log a b 2  + 2  loga a − loga b  + 3. ( −2 ) logb b   2

3− b

Hướng dẫn giải

(

4 (3 − a )

 1  1 10 + 2 loga b  + 2 1 − loga b  − 6 = 1. 2 2  

Chọn B. Bài toán 3. Tính giá trị biểu thức theo một biểu thức đã cho

2ac − 1 . abc + 2c + 1

abc + 2c + 1 . 2ac + 1

2ac + 1 . abc + 2c + 1

ac + 1 . abc + 2c + 1

log124 63 =

a 2 b3 Tính giá trị của loga 4 . c

bằng 0 thì đó là đáp án.

log2 63 log2 32.7 2 log2 3 + log2 7 = = log2 140 log2 22.5.7 2 + log2 5 + log2 7 2 log2 3 +

Hướng dẫn giải =

Ta có: loga

đi lần lượt các đáp án ở A, B, C, D. Kết quả nào

Ta có:

Để tính loga b theo m = loga x; n = loga y ta biến đổi Ví dụ: Cho loga b = 2, loga c = −3.

Từ đó suy ra loga b = loga aα .x β .y γ = α + mβ + nγ .

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải

b = aα .x β .y γ .

log2 3, log3 5, log7 2 cho a, b, c. Lấy log140 63 trừ

giá trị của log140 63 được tính theo a, b, c là:

1 log7 2

2 + log2 3.log3 5 +

ab = loga a2 + loga b3 − loga c4 c4

= 2 + 3.2 − 4. ( −3) = 20.

1 log7 2

2a + =

1 c

2 + ab +

1 c

1 + 2ac . 1 + 2c + abc

Chọn C. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH

Ví dụ mẫu

Phương pháp giải

Ví dụ 1. Cho log12 27 = a. Khi đó giá trị của log6 16 được tính theo a là A.

4 (3 − a )

3+ a

4 (3 + a)

3− a

4a . 3− a

Cơ sở lý thuyết: A = B ⇔ A − B = 0

2a . 3+ a

+) Đây là một nhận định cực kì cơ bản nhưng dựa vào nó ta có thể có các kỹ thuật bấm rất nhanh gọn phù hợp với yêu cầu của thi trắc nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: a = log12 27 =

+) Khi đề bài cho dưới dạng tính giá trị của biểu thức P và bên dưới cho 4 đáp án. Khi đó 1 trong 4 đáp án

log2 27 3log2 3 2a = ⇒ log2 3 = . log2 12 2 + log2 3 3−a

4 4 Khi đó log6 16 = 4 log6 2 = = = log2 6 1 + log2 3

sẽ bằng P và ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm ra đáp án đúng một cách nhanh nhất. Ví dụ mẫu

4 (3 − a) 4 = . 2a 3+ a 1+ 3−a

Ví dụ 1. Nếu a = log15 3 thì

Chọn A.

Trang 7

Trang 8

A. log25 15 = C. log25 15 =

3 . 5 (1 − a )

B. log25 15 =

1 . 2 (1 − a )

D. log25 15 =

Ví dụ 2. Đặt a = log2 3, b = log5 3. Biểu diễn log6 45 theo a, b ta được

5 . 3 (1 − a ) 1 . 5 (1 − a )

Hướng dẫn giải

a + 2ab . ab

B. log6 45 =

2a 2 − 2ab . ab

C. log6 45 =

a + 2ab . ab + b

D. log6 45 =

2a 2 − 2ab . ab + b

Hướng dẫn giải

Tư duy tự luận thì ta làm như sau: Ta có: a = log15 3 =

A. log6 45 =

1 1 1 1− a = ⇒ log3 5 = − 1 = log3 (3.5) 1 + log3 5 a a.

Ta có: log2 3 = a ⇔ log3 2 =

1 1 và log5 3 = b ⇔ log3 5 = . a b

Khi đó:

1 1 1 1 1  Khi đó: log 25 15 = log 5 15 = log 5 ( 5.3) = (1 + log5 3) =  1 +  2 2 2 2  log 3 5 

1 log3 45 log3 9 + log3 5 2 + log3 5 2 + b a (1 + 2b ) a + 2ab = = = = = log6 45 = . 1 log3 6 log3 3 + log3 2 1 + log3 2 b + ab b (1 + a ) 1+ a

  1 1  1 a  1 = 1 + .  = 1 + = 2  1 − a  2  1 − a  2 (1 − a ) a  

Chọn C. SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI (CASIO HAY VINACAL) ĐỂ GIẢI NHƯ SAU:

Chọn C.

Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log2 3, log5 3 cho A, B.

Bây giờ, ta sẽ sử dụng casio - vinacal theo cơ sở lí thuyết đã trình bày ở trên để giải bài toán này. Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log15 3 cho A.

Gán log2 3 = A. Bấm log2 3.

Bấm log15 3 .

Gán log5 3 = B. Bấm log5 3.

Bước 2: Nhập biểu thức: log 25 15 − (...)

Bước 2: Nhập biểu thức: log6 45 − ( ...)

Lần 1: Nhập log 25 15 −

Lần 1: Nhập log6 45 −

3 = 3(1 − A)

Loại A.

Loại A. Lần 2: Bấm

A + 2 AB = AB

Lần 2: Bấm

5 để sửa biểu thức thành log 25 15 − = 2(1 − A)

để sửa biểu thức thành log6 45 −

2 A2 − 2 AB = AB

để sửa biểu thức thành log6 45 −

A + 2 AB = AB + B

Loại B.

Loại B. Lần 3: Bấm

để sửa biểu thức thành log 25 15 −

1 = 2(1 − A)

Lần 3: Bấm Chọn C.

Ví dụ 3. Nếu log27 5 = a; log8 7 = b; log2 3 = c thì log12 35 bằng Chọn C.

Trang 9

Trang 10

3b + 2ac . c+2

3b + 3ac . c+2

3b + 2ac . c+3

3b + 3ac . c +1

Hướng dẫn giải

5a . 2

a +1 . a

Câu 5: Số thực x thỏa mãn: log x =

Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log27 5, log8 7, log2 3 cho A, B, C.

a−2 . a

a +1 . a−2

1 log3a − 2 log b + 3log c (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu 2

diễn x theo a, b, c.

A. x =

Gán log27 5 = A. Bấm log27 5.

3ac3 . b2

B. x =

3a . bc

C. x =

2 3

3a .c3 . b2

D. x =

3ac . b2

Câu 6: Đặt log3 5 = a. Mệnh đề nào sau đây đúng? Gán log8 7 = B. Bấm log8 7.

A. log15 75 =

B. log15 75 =

2a + 1 . a +1

C. log15 75 =

2a − 1 . a +1

D. log15 75 =

Câu 7: Cho a, b là các số thực dương, a ≠ 1. Rút gọn biểu thức: P = log2a ( ab ) −

Gán log2 3 = C . Bấm log2 3.

Bước 2: Nhập biểu thức: log12 35 − (...)

Lần 1: Nhập log12 35 −

a +1 . 2a + 1

A. P = loga b .

B. P = loga b − 1 .

C. P = loga b + 1 .

2a + 1 . a −1

2 log b − 1, ta được log a

D. P = 0.

Câu 8: Cho log27 5 = a,log8 7 = b, log2 3 = c. Giá trị của log12 35 bằng

3B + 2 AC = C+2

Loại A.

3b + 3ac . c+2

3b + 2ac . c+2

3b + 2ac . c+3

3b + 3ac . c +1

Câu 9: Cho a > 0, b > 0,a ≠ 1, b ≠ 1, n ∈ ℕ* . để sửa biểu thức thành log12 35 −

Lần 2: Bấm

3B + 3 AC = C+2

Một học sinh tính: P =

Chọn B.

Bước I: P = logb a + logb a2 + logb a3 + ... + logb a n .

Bài tập tự luyện dạng 1

(

... 2 .

B. n = log2 log2

n caê n baä c hai

C. n = 2 + log2 log2

... 2 .

Bước III: P = logb a1+ 2 +3+...+ n .

... 2 .

Bước IV: P = n ( n + 1) .logb a.

n caê n baä c hai

D. n = 2 − log2 log2

Trong các bước trình bày, bước nào sai?

... 2 .

A. Bước III

8 Câu 2: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn log2a b − 8logb a 3 b = − . Tính giá trị biểu 3

( )

)

thức P = loga a 3 ab + 2017, ta được

A. P = 2019.

B. P = 2020.

3a − 2 . a

3a . 2

C. Bước II

Câu 10: Cho log7 12 = x , log12 24 = y và log54 168 =

C. P = 2017.

D. P = 2016.

3 . 2a

B. S = 19.

Câu 11: Cho a, b > 0,a ≠ 1 thỏa mãn loga b = A. 12.

D. Bước IV

axy + 1 , trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính bxy + cx

giá trị biểu thức S = a + 2b + 3c, ta được

A. S = 4.

27 Câu 3: Biết log5 3 = a, khi đó giá trị của log3 được tính theo a là 25

B. Bước I

n caên baä c hai

(

)

Bước II: P = logb a.a 2 .a3 ...a n .

Câu 1: Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây đúng? A. n = − log2 log2

1 1 1 1 theo các bước sau: + + + ... + loga b loga2 b loga3 b log an b

B. 10.

C. S = 10.

D. S = 15.

b 16 và log2 a = . Tổng a + b bằng 4 b

C. 16.

D. 18.

Câu 12: Biết rằng log2 a,log3 b,log5 c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và có tổng bằng 14, đồng

a . 3a − 2

thời log2 a 4 ,log3 b 2 ,log5 c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của P = a + b + c bằng

Câu 4: Cho a = log2 20. Giá trị log20 5 theo a bằng

A. 125. Trang 11

B. 390725.

C. 390625.

D. 390710. Trang 12

 xy  Câu 13: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log4 x = log9 y = log6  + 1 . Giá trị của biểu thức  4  P=x

log 4 6

log9 6

bằng

A. 2.

B. 5.

C. 4.

D. 6.

của biểu thức S = m + n + p + q bằng

B. S = 2.

C. S = 3.

D. S = 4.

log a log b log c b = = = log x ≠ 0; = x y . Tính y theo p, q, r. p q r ac 2

Câu 15: Cho

A. y = q2 − pr.

B. y =

p+r . 2q

C. y = 2q − p − r.

D. y = 2q − pr.

loga b = loga a .x .y β

= α + m β + nγ .

4a C. . 3− a

2a D. . 3+ a

Hướng dẫn giải

A, B, C, D kết quả nào bằng 0 thì đó là

đáp án.

ac + 1 . abc + 2c + 1

4 4 = = log2 6 1 + log2 3

4 (3 − a) 4 = . 2a 3+ a 1+ 3−a

1+ a . 3 (1 − b )

a . 3+ b

a . 3+ a

1 log7 2

2a +

dụng

máy

tính:

gán

lần

lượt

log2 3 = A; log3 5 = B; log7 2 = C .

ở A, B, C, D, kết quả nào bẳng 0 thì đó là

1 c

đáp án.

(

)

Khi biểu thức P = a3 + b3 + c3 − 3 log2 a a + log2 b b + log2 cc đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a + b + c bằng

B. 3.2 3 3 . 3

C. 4.

Ta có đạo hàm f ′ ( x ) = 3x 2 − 3log2 x −

D. 6.

3 3log2 x − ; x ln 2 ln 2 2

6log x 3log2 x 3 − 2 22 + 2 2 . x ln 2 x ln 2 x ln 2

6 log2 x ( 3 − log2 x )  1  3 Vì f ′′′ ( x ) = 6  1 − 3 3  + 2 + > 0 ∀x ∈ 1; 2  nên x 3 ln 2 2  x ln 2  x ln 2

tính theo a là

Sử

log2 63 log2 32.7 2 log2 3 + log2 7 = = log2 140 log2 22.5.7 2 + log2 5 + log2 7

Ví dụ 4. Cho các số thực a, b, c ∈ 1; 2  thỏa mãn điều kiện log32 a + log32 b + log32 c ≤ 1

f ′′ ( x ) = 6 x −

Phương pháp trắc nghiệm:

Ta xét hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x log2 x − log32 c với x ∈ 1;2  .

Ví dụ 2: Cho log3 = a, log 2 = b. Khi đó giá trị của log125 30

3− b

Hướng dẫn giải

Chọn A.

4 (3 − a )

2ac + 1 . abc + 2c + 1

A. 3.

log2 27 3log2 3 2a Ta có: a = log12 27 = = ⇒ log2 3 = . log2 12 2 + log2 3 3−a

Chọn A.

log6 16 = 4 log6 2 =

abc + 2ac + 1 . 2ac + 1

Chọn C.

Lấy log6 16 trừ đi lần lượt các đáp số ở

theo a bằng

3− a

1 + 2ac = = = 1 1 1 + 2c + abc 2 + log2 3.log3 5 + 2 + ab + log7 2 c

Ví dụ 1: Cho log12 27 = a. Khi đó giá trị của log6 16 tính Sử dụng máy tính: gán log12 27 = A.

2ac − 1 . abc + 2c + 1

2 log2 3 +

Phương pháp trắc nghiệm:

Ví dụ mẫu

Từ đó suy ra: loga b = loga aα .x β .y γ = α + mβ + nγ .

3+ a

của biểu thức log140 63 được tính theo a, b, c là

Lấy log140 63 trừ đi lần lượt các đáp án số α

= α + β .loga x + γ .loga y

đáp án.

Ví dụ 3: Cho a = log2 3; b = log3 5; c = log7 2. Khi đó giá trị

Ta có: log140 63 =

b = aα .x β .y γ .

4 (3 + a)

ở A, B, C, D, kết quả nào bằng 0 thì đó là

Thật vậy:

Để tính loga b theo m = loga x; n = loga y, ta sẽ biến đổi

4 (3 − a )

log30 1 + log3 1+ a = = . log125 3 (1 − log 2 ) 3 (1 − b )

Hướng dẫn giải

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho Phương pháp giải

Ta có: log125 30 =

Lấy log140 63 trừ đi lần lượt các đáp án số

Chọn B.

ma + nb Câu 14: Cho a = log20 15; b = log30 15 biết log4000 600 = và trong đó m, n, p, q ∈ ℤ. Giá trị ab + pb + qa A. S = 1.

Hướng dẫn giải

Phương pháp trắc nghiệm:

f ′′ ( x ) ≥ f ′′ (1) ≈ 1,67 > 0.

Sử dụng máy tính: gán lần lượt

log3 = A; log 2 = B. Trang 13

Trang 14

Như vậy hàm số f ′ ( x ) đồng biến và có nghiệm duy nhất trên 1; 2  vì f ′ (1) < 0; f ′ ( 2 ) > 0 và có đồ thị lõm trên 1; 2  . Do đó ta có bảng biến thiên

(

)

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng f ( x ) ≤ 1 cho nên

Khi đó: R1 + R2 = I1 I 2 ⇔ m + 2 = 10 ⇔ m =

10 − 2 .

P ≤ 3 + log32 a + log32 b + log32 c ≤ 4

Trường hợp 2: ( C1 ) nằm trong ( C2 ) và hai đường tròn tiếp xúc trong.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1, c = 2 và các hoán vị. Chọn C. Ví dụ 5. Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y2 + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1. Với giá trị nào của m thì tồn tại duy nhất cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0?

(

)

10 − 2 .

C. 10 − 2 và

B. 10 + 2.

(

10 − 2

)

và

(

)

10 + 2 .

D. 10 − 2. Khi đó: R2 − R1 = I1 I 2 ⇔ m − 2 = 10 ⇔ m =

Hướng dẫn giải Điều kiện: 4 x + 4 y − 4 ≥ 0.

Vậy m =

Ta có log x2 + y2 + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 2

(

10 − 2

)

và m =

(

10 + 2

)

(

)

10 + 2 .

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

⇔ 4 x + 4 y − 4 ≥ x 2 + y 2 + 2 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 2 ) ≤ 2 (C1 ) .

Ví dụ 6. Xét các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ) ( C1 ) có tâm I1 ( 2; 2 ) bán kính R1 = 2. 2

a P = log2a a 2 + 3 logb   bằng b b

( )

Mặt khác: x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = m ( *) . 2

A. Pmin = 19.

B. Pmin = 13.

Với m = 0 thì x = −1; y = 1 (không thỏa mãn ( x − 2 ) + ( y − 2 ) ≤ 2 ).

Hướng dẫn giải

Với m > 0 thì ( *) là đường tròn ( C2 ) có tâm I 2 ( −1;1) bán kính R2 = m .

Ta có:

C. Pmin = 14.

D. Pmin = 15.

Để tồn tại duy nhất cặp ( x; y ) thì ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc với nhau.

P = log2a

Trường hợp 1: ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc ngoài.

  a  2  2 a + 3 logb   =   + 3 ( logb a − 1)  b   log a    a b 

( )

  2 =   + 3 ( logb a − 1) .  1 − loga b 

Trang 15

Trang 16

Đặt loga b = t ( 0 < t < 1) . Khi đó P =

Ta có f ′ ( t ) =

(1 − t )

−

(1 − t )

Biểu thức: P = x − y ⇒ x − y − P = 0 là họ đường thẳng ∆ song song với đường y = x.

3 + − 3 = f ( t ) với 0 < t < 1. t

3 3 3 3 Các giao điểm của hai hình tròn là A  ; ,B  ;−  2 2  2 2    

3 1 ⇒ f ′(t ) = 0 ⇔ t = . 3 t2

P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng ∆ đi qua A.

Bảng biến thiên:

Khi đường thẳng ∆ qua điểm A, ta có:

3 3 3− 3 − − Pmin = 0 ⇒ Pmin = . 2 2 2

P đạt giá trị lớn nhất khi đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C1 ) ta có: d ( I ; ∆ ) = R1 ⇔

= 1 ⇔ P = 2 ± 2 ⇔ Pmax = 2 + 2.

Chọn D

Chọn D.

Bài tập tự luyện dạng 2

Ví dụ 7. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x + y ≥ 3 và log x2 + y2 2

2 2 x−y Câu 1: Cho x ≠ y; xy < 1 thỏa mãn 3( ) log2 ( x − y ) = 32−2 xy log2 ( 2 − 2 xy ) . Giá trị lớn nhất của biểu

 x 4 x 2 − 3 x + 4 y 2 − 3y 2  ≥ 2  

(

)

(

A. 7.

Khi đó biểu thức T = 2 ( M + m + 1) có giá trị gần nhất số nào sau đây?

A. 7.

B. 8.

C. 9.

)

thức M = 2 x 3 + y3 − 3 xy bằng

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x − y.

13 . 2

17 . 2

D. 3.

Câu 2: Cho các số thức a, b, c thuộc đoạn 1;3 thỏa mãn log32 a + log32 b + log32 c ≤ 3. Giá trị lớn nhất của

D. 10.

Hướng dẫn giải

(

)

B. 4.

C. 5.

biểu thức P = a3 + b3 + c3 − 3 log 2 a a + log2 b b + log2 c c bằng

Ta có log x2 + y2  x 4 x 2 − 3x + 4 y 2 − 3y 2  ≥ 2 ⇔ log x2 + y2  x 2 + y 2   

(

1+1

 3− 3  Do đó T = 2 ( M + m + 1) = 2  2 + 2 +  ≈ 10.  2  

Từ bảng biến thiên, ta có Pmin = 15.

⇔ x 2 + y2

2−P

) ( 4 x − 3) ≥ ( x

)

+ y2

)

(

) ( 4 x − 3) ≥ 2

A. 3.

D. 6.

Câu 3: Cho hai số thực a, b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a + b = 10. Gọi m, n là hai nghiệm của phương

⇔ ( x − 2 ) + y 2 ≤ 1.

trình ( log a x )( log b x ) − 2 log a x − 3 log b x − 1 = 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = mn bằng

 x 2 + y 2 ≥ 3 Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn:  những điểm thuộc miền trong hình tròn ( C1 ) có tâm 2 2 ( x − 2 ) + y ≤ 1

16875 . 16

4000 . 27

Câu 4: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn log 2

I ( 2; 0 ) , bán kính R1 = 1 và nằm ngoài hình tròn ( C2 ) có tâm O ( 0;0 ) và bán kính R2 = 3.

C. 15625.

D. 3456.

a+b+c = a ( a − 4 ) + b ( b − 4 ) + c ( c − 4 ) . Giá trị lớn a 2 + b2 + c 2 + 2

nhất của biểu thức P = a + 2 b + 3c bằng

A. 3 10.

B. 12 + 2 42.

C. 12 + 2 35.

D. 6 10.

Câu 5: Cho các số thực a, b > 1 thỏa mãn điều kiện log2 a + log3 b = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = log3 a + log2 b bằng

Trang 17

log3 2 + log 2 3.

log3 2 + log2 3.

1 ( log3 2 + log2 3) . 2

log3 2 + log2 3

Trang 18

Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y + 1 ≥ log ( x + y ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1+ 3 . 10

2+ 3 . 5

Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn log nhỏ nhất của biểu thức P =

69 + 249 . 94

3+ 3 . 30

A. min S = 12.

x+y = x ( x − 3) + y ( x − 3 ) + xy. Giá trị x + y 2 + xy + 2 2

43 + 3 249 . 94

 1  1  + log  2 .  ln10    ln10

37 − 249 . 21 2

( a − b ) + (10

− log b

)

69 − 249 . 94

bằng

 1  1  − ln  2 .  ln10    ln10

C. 1.

D. 4.

B. 38.

109 . 9

83 . 2

1897 . 62

3701 . 124

B. T =

C. T =

2957 . 124

7 D. T = . 2

Câu 18: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2 log2 a − log2 b ≤ log2 ( a + 6b ) . Giá trị lớn nhất B. 3 2. 3

C. 8.

B. Pmin = 6.

D. 7. 2

)

C. Pmin = 2 + 3 2.

Câu 11: Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện

D. Pmin = 17 + 3.

1 < b < a < 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3

 3b − 1  2 P = loga   + 12 log b a − 3 bằng  4  a B. min P =

PM ax của biểu thức P = 2 A. PM ax = . 3

ab − b2 bằng a − 2ab + 2b2 2

1 C. PM ax = . 2

B. PM ax = 0.

2 D. PM ax = . 5

Câu 19: Cho a, b, c là các số trực thuộc đoạn 1;2  thỏa mãn log32 a + log32 b + log32 c ≤ 1. Khi biểu thức

(

)

P = a3 + b3 + c3 − 3 log2 a a + log2 b b + log2 cc đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a + b + c là 1

1 3

B. 3.2 3 . 3

A. 3.

C. min P = 9.

D. min P = 3 2.

(

)

biểu thức P = 2 x + 3y bằng

B. Pmin = 3 + 2.

Câu 13: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn b > 1 và

D. 6.

4 1 8 + + là log bc a log b 3logab 3 c ac

A. Pmin = 20. C. Pmin = 7 + 3 2.

C. 4.

Câu 20: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức:

Câu 12: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 1 x + log 1 y ≤ log 1 x + y 2 . Giá trị nhỏ nhất Pmin của

A. Pmin = 7 − 2 10.

3 b trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log b 4a + log2 . Tính tổng T = M + m. 4 4 8 A. T =

2 b a

(

A. min P = 13.

Câu 17: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn b2 = 3ab + 4a 2 và a ∈  4;232  . Gọi M, m lần lượt là giá

Câu 10: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln x + y . Giá trị nhỏ nhất P = x + y bằng A. Pmin = 2 2 + 3.

D. min S = 16.

( log 2 )( log 3)( log 4 ) ... ( log n ) , với n ∈ ℕ, n ≥ 2. Có bao

B. vô số.

A. 42.

 1  1  − log  2 . ln10  ln10   

+ 8log a − 1 bằng

A. 6.

Câu 15: Gọi a là giá trị nhỏ nhất của f ( n ) =

C. min S = 8.

1  Câu 16: Cho P = 9 log31 3 a + log21 a − log 1 a3 + 1 với a ∈  ;3 và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và  27  3 3 3 giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giá trị của biểu thức S = 4 M − 3m bằng

Câu 9: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0 < b < a < 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B. min S = 14.

A. 2.

P = loga

D. 4.

nhiêu số n để f ( n ) = a.

2 log ( ln10 ) .

4 ( 3b − 1)

C. 5.

bằng

1+ 3 . 4

x + 2y + 3 bằng x+y+6

Câu 8: Cho b > 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.

B. 7.

Câu 14: Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log2 ( a + 1) + log2 ( b + 1) ≥ 6. Giá trị nhỏ nhất của S = a + b

S = x + 3 y bằng

A. 6.

B. Pmin = 10.

C. Pmin = 18.

D. Pmin = 12.

D. Pmin = 7 + 2 10.

a ≤ b < a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a P = log a a + 2 log b   bằng b b

ĐÁP ÁN Dạng 1. Biến đổi biểu thức chứa lôgarit 1-B

Trang 19

2-A

3-A

4-C

5-A

6-B

7-A

8-A

9-D

10-D

Trang 20

11-D

12-D

13-C

14-D

15-C

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho 1-B

2-D

3-D

4-C

5-A

6-B

7-D

8-B

9-D

10-A

11-C

12-D

13-C

14-B

15-A

16-

17-B

18-C

19-C

20-A

Trang 21

2. Hàm số lôgarit

CHUYÊN ĐỀ 2

Định nghĩa

BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Mục tiêu

Hàm số y = log a x ( a > 0; a ≠ 1) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Kiến thức

Tập xác định

+ Nắm vững khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

Tập xác định: ( 0; +∞ ) .

+ Trình bày và áp dụng được công thức tìm đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

Đạo hàm

+ Nhận biết dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

Hàm số y = log a x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x dương và

Kĩ năng +

Biết cách vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.

Biết cách vẽ đồ thị các hàm số mũ, hàm số lôgarit.

Tìm được đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit.

( log a x ) ' =

Đặc biệt: ( ln x ) ' =

1 . x

1 . x ln a

Giới hạn đặc biệt lim log a x = −∞, lim log a x = +∞ ( a > 1) ;

x → 0+

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

x →+∞

lim log a x = +∞, lim log a x = −∞ ( 0 < a < 1) .

x → 0+

1. Hàm số mũ

x →+∞

Sự biến thiên

Định nghĩa Hàm số y = a x ( a > 0; a ≠ 1) được gọi là hàm số mũ cơ số a. Tập xác định

•

Khi a > 1 hàm số luôn đồng biến.

•

Khi 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến.

Hàm số y = a x ( a > 0; a ≠ 1) có tập xác định là ℝ . Đạo hàm

Hàm số y = a ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x. x

Đồ thị

Đặc biệt: ( e x ) ' = e x .

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm

(a )' = a

ln a

(1;0 ) , ( a;1)

(a ) ' = a

ln a.u '

Nhận xét: Đồ thị của các hàm số y = a x và y = log a x ( a > 0, a > 1)

đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x .

lim a x = 0, lim a x = +∞ ( a > 1) ;

x →−∞

x →+∞

lim a x = +∞, lim a x = 0 ( 0 < a < 1) .

x →−∞

Ứng dụng

x →+∞

1. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính

Sự biến thiên • •

và nằm bên phải trục tung.

Khi a > 1 hàm số luôn đồng biến.

trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước

Khi 0 < a < 1 hàm số luôn nghịch biến.

không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi

Đồ thị Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm

đơn r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

( 0;1) , (1; a )

n kì hạn ( n ∈ ℕ * ) là: S n = A + nAr = A (1 + nr )

và nằm phía trên trục hoành.

2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

Trang 1

S  n = log (1+ r )  n  ;  A Trang 2

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n kì hạn ( n ∈ ℕ * ) là: S n = A (1 + r ) .

3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định.

Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách hàng nhận

được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n ∈ ℕ * ) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn . Ta có S n =

r% =

r (% / tháng). Hỏi sau kn tháng, người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?

Sn − 1; A Sn

(1 + r )

Công thức tính: Lương nhận được sau kn tháng là

S kn = An.

 S n .r  n = log (1+ r )  +1 ;  A (1 + r )   

(1 + r )

−1

7. Bài toán tăng trưởng dân số

Công thức tính tăng trưởng dân số:

 S n .r  n = log (1+ r )  +1 ;  A (1 + r )    Sn .r A= n (1 + r ) (1 + r ) − 1

X m = X n (1 + r )

m− n

, m, n ∈ ℤ + , m ≥ n

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;

X m dân số năm m, X n dân số năm n.

A n (1 + r ) − 1 (1 + r ) . r

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là r % = m − n

4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Xm −1 Xn

8. Lãi kép liên tục

Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Mỗi

Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r (% / năm) thì số tiền

tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng.

nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm ( n ∈ ℕ * ) là: Sn = A (1 + r ) .

r n Công thức tính: X =  A (1 + r ) − S n  .   (1 + r )n − 1 Khi đó số tiền còn lại sau n tháng là Sn = A(1 + r )

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất

(1 + r ) −X

mỗi kì hạn là

−1

r  Sn = A 1 +   m

5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn

gọi là hình thức lãi kép liên tục thì người ta chứng minh được số tiền

là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

nhận được cả gốc lẫn lãi là:

Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn

S = Aen.r (công thức tăng trưởng mũ).

toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có n

(1 + r )

−1

m .n

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞ ,

nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền

S n = A (1 + r ) − X

r % thì số tiền thu được sau n năm là: m

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn = 0 nên n

A (1 + r ) − X

(1 + r ) r

−1

=0. n

Suy ra mỗi lần hoàn nợ số tiền là X =

A (1 + r ) .r

(1 + r )

−1

6. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm

là A (đồng/tháng). Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm Trang 3

Trang 4

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

HÀM SỐ MŨ

y'> 0 với mọi x

Luôn đồng biến

Tập xác định

D=ℝ Đạo hàm

Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số Bài toán 1: Tìm đạo hàm của các hàm số mũ – hàm số lôgarit

y'< 0

Phương pháp giải

với mọi x

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, lôgarit.

Luôn nghịch biến

Hàm số

Hàm số x

Tiệm cận ngang Ox

ln a; ( a u ) ' = a u ln a.u' . 1 1 ; ( ln x ) ' = . x ln a x

( log a x ) ' =

y ' = a x ln a

y=a a >1

(a )' = a

Ví dụ mẫu

y = ax 0 < a <1

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai? A. ( 3x ) ' = 3x ln 3

Đồ thị • Luôn đi qua điểm ( 0;1) và ( a;1)

C. ( log 3 x ) ' =

• Nằm phía trên Ox

Hướng dẫn giải

B. ( ln x ) ' =

1 x ln 3

1 x

D. ( e 2 x ) ' = e 2 x

Ta có:

(3 ) ' = 3 .ln 3 nên đáp án A đúng. x

( ln x ) ' = HÀM SỐ LÔGARIT

y ' > 0 ∀x > 0

Tập xác định

y ' < 0 ∀x > 0

Hàm số

y = log a x a >1

Đạo hàm

1 y' = ,x > 0 x ln a Tiệm cận đứng Oy

1 nên đáp án B đúng. x 1 nên đáp án C đúng. x ln 3

( log3 x ) ' =

D = ( 0; +∞ ) Luôn đồng biến

( e ) ' = ( 2 x ) '.e 2x

Luôn nghịch biến

= 2.e 2 x nên đáp án D sai.

Chọn D. Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = 16 x A. y ' = ( x 2 + 2 ) .16 x

Hàm số

y = log a x 0 < a <1

C. y ' = 16 x

B. y ' = 8 x.16 x

D. y ' = 8 x.42 x

.ln16

ln 4

.ln 2

Hướng dẫn giải

Ta có: y ' = ( x 2 + 2 ) '.16 x

Đồ thị • Luôn đi qua điểm (1;0 ) và ( a;1)

.ln16 = 2 x.16 x

.4ln 2 = 8 x.42 x

.ln 2 .

Chọn D. Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số f ( x ) = ln ( x 2 + 1) .

• Nằm bên phải Oy

A. f ' ( x ) = ln ( x 2 + 1) C. f ' ( x ) = Trang 5

1 x2 + 1

B. f ' ( x ) = ln 2 x D. f ' ( x ) =

2x x2 + 1 Trang 6

Bài toán 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hướng dẫn giải

Ta có: f ' ( x ) =

+ 1) '

2 2

x +1

Phương pháp giải

2x x +1 2

Hàm số y = a x ( a > 0; a ≠ 1) đồng biến khi a > 1

Chọn D.

và nghịch biến khi 0 < a < 1 .

(

)

Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số y = ln 1 + x + 1 . A. y ' =

C. y ' =

(

2 x +1 1− x +1

B. y ' =

)

x +1 1+ x +1

D. y ' =

(

2 x +1 1+ x +1

biến khi 0 < a < 1 .

1 1+ x +1

( 0; +∞ ) khi và chỉ khi

2 a + 3 > 1 ⇔ a > −1 .

Ví dụ mẫu x

Ví dụ 1: Tìm a để hàm số y = ( 2a − 5 ) nghịch biến trên ℝ .

u' Áp dụng công thức ( ln u ) ' = , ta có u

( (

))

y ' = ln 1 + x + 1 ' =

)

Mà 1 + x + 1 ' =

(1 +

)

x +1 '

5 <a<3 2

5 ≤a≤3 2

C. a > 3

D. a <

5 2

Hướng dẫn giải

1+ x +1

Hàm số y = ( 2a − 5 ) nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi 0 < 2a − 5 < 1 ⇔

1 1 nên y ' = . 2 x +1 2 x +1 1+ x +1

(

)

5 < a < 3. 2

Chọn A. Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?

Chọn B. Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) = ln ( e + xe −x

1 A. 3

−x

) . Giá trị f ' ( 2 ) bằng

2 B. 3

−1 C. 3

−2 D. 3

 3 C. y =   2   

D. y = log 1 x 2

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số y = a x luôn đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 1 . −x

+ xe

−x

e− x + xe − x

Suy ra f ' ( 2 ) = −

π  B. y =   2

A. y = log 2 x

Hướng dẫn giải Ta có f ' ( x ) =

1 < 1. 2

Hàm số y = log a x đồng biến khi a > 1 và nghịch Ví dụ: Hàm số y = log 2 a + 3 x đồng biến trên

)

Hướng dẫn giải

(

1 Ví dụ: Hàm số y =   nghịch biến trên ℝ vì 2

) ' = −e

−x

+ e − xe e− x + xe − x

−x

=−

x . 1+ x

Ở phương án B, a =

2 2 =− . 1+ 2 3

π 2

> 1 thỏa mãn khẳng định trên.

Ta loại phương án A và D vì hàm số y = log a x chỉ xác định trên ( 0; +∞ ) . x

Chọn D.

Ta loại phương án C, vì 0 <

Ví dụ 6: Cho hàm số y = log 2 ( 2 x + 1) . Giá trị của y ' (1) bằng A.

2 3ln 2

2 3

2ln 2 3

 3 3 < 1 nên hàm số y =   nghịch biến trên ( 0; +∞ ) . 2  2 

Chọn B.

1 3ln 2

Ví dụ 3: Cho hàm số y = ( x 2 − 3) e x . Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

2 x ln 2 2 Ta có f ( x ) = log 2 ( 2 x + 1) ⇒ f ' ( x ) = x ⇒ f ' (1) = . 3 2 + 1 ln 2 ( )

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) .

Chọn B.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) .

Trang 7

Trang 8

Câu 8: Cho hàm số y = e cos x . Khẳng định nào sau đây đúng?

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) . Hướng dẫn giải

Ta có: y ' = 2 x.e + ( x − 3) .e = e .( x + 2 x − 3) . 2

C. y 'sin x − y ".cos x + y ' = 0

D. y 'cos x − y.sin x − y " = 0

B. x0 = e 2

A. x0 = e

Bảng xét dấu: -3

−∞

y’

B. y 'sin x + y.cos x + y " = 0

Câu 9: Hàm số y = x.e − x đạt cực trị tại

x = 1 . y' = 0 ⇔   x = −3

A. y 'cos x + y.sin x + y " = 0

Câu 10: Cho hàm số y = x.e

+∞

A. xy = (1 + x 2 ) . y '

−

x2 2

D. x0 = 2

. Khẳng định nào sau đây đúng?

B. xy ' = (1 + x 2 ) . y

C. xy = (1 − x 2 ) . y '

D. xy ' = (1 − x 2 ) . y

Câu 11: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?

Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 1

3 A. y =   π 

Bài tập cơ bản Câu 1: Cho hàm số y = e x .sin x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. y ' = e x cos x

B. y '− y = y "

Câu 2: Cho hàm số y = e ax

+ bx + c

A. y ( 2 ) = 1

C. y " = 2 ( y '− y )

D. y " = −2e x cos x

đạt cực trị tại x = 1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung

Câu 3: Cho hàm số y = A. 2 y '+ xy" = −

1 x2

Câu 4: Cho hàm số y = log 3 ( 3x + x ) , biết y ' (1) = A. 2

B. 7

D. y ( 2 ) =

1 e2

B. a = 5

C. − 5 < a < −2; 2 < a < 5

D. a = 2

B. a = 2 3

C. y '+ xy" = −

1 x2

D. 2 y '+ xy" =

1 x2

A. 0 < a < 1, 0 1

1 B. y ' = x ln10

D. 1

Câu 16: Đối với hàm số y = ln

C. f ' (1) = π 2 + π ln π

D. f ' (1) = 1

1 C. y ' = 2 x ln10

ln10 D. y ' = x

A. xy '+ 1 = −e y

1 x ln 3

C. g ' ( x ) =

ln 3 x

D. g ' ( x ) =

3 4 < log b . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 5

C. a > 1, 0 < b < 1

A. y ' =

D. a > 1, b > 1

)

x ln 3

+ 1)

(

2 − ln 1 + 2

)

2 − ln

(

)

2 −1

1 . Khẳng định nào sau đây đúng? x +1

B. xy '− 1 = −e y

3e 2 x

2 −1

Câu 17: Đạo hàm của hàm số y =

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = ln x . Tìm đạo hàm của hàm số g ( x ) = log 3 ( x f ' ( x ) ) . B. g ' ( x ) =

D. a ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

(

1 x

π   D. y =    2+ 3

Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 2 + 1 − x ln x + x 2 + 1 trên đoạn [ −1;1] là

a 1 với a, b ∈ ℤ . Giá trị của a + b bằng + 4 b ln 3

Câu 6: Tìm đạo hàm của hàm số y = log 2 x .

1 A. y ' = x ln 2

C. a ∈ (1;2 )

Câu 14: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a 2 > a 2 ;log b

C. 4

B. f ' (1) = π 2 + ln π

A. 2 < a < 5

A. a = 1

Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y = f ( x ) = xπ .π x tại điểm x = 1 . A. f ' (1) = π

 3 C. y =    2 

Câu 13: Với giá trị nào của tham số a thì hàm số y = ( a 2 − 3a + 3) đồng biến?

ln x , khẳng định nào sau đây đúng? x B. y '+ xy" =

C. y ( 2 ) = e 2

B. y ( 2 ) = e

 2+ 3 B. y =   3  

Câu 12: Các giá trị thực của tham số a để hàm số y = log M x, M = a 2 − 4 nghịch biến trên tập xác định là

độ bằng e . Giá trị của hàm số tại x = 2 là

A. g ' ( x ) =

C. x0 = 1

B. y ' =

C. xy '+ 1 = e y

D. xy '− 1 = e y

e x − e− x là e x + e− x e2 x

+ 1)

C. y ' =

2e 2 x

+ 1)

D. y ' =

4e 2 x

+ 1)

Câu 18: Cho hàm số y = x sin x . Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 9

Trang 10

A. xy "− 2 y '+ xy = −2sin x

B. xy '+ yy "− xy ' = 2sin x

C. xy '+ yy '− xy ' = 2sin x

A. y =

D. xy "+ y '− xy = 2cos x + sin x

B. a ∈ ( −3; +∞ )

2 B. y =   e

Câu 30: Nếu ( 0,1a )

3   C. y =    3+ 2

1   D. y = 3− x    3− 2

B. y = x 2 + log 2 x

1 ( 4 x + 1) ln 3

B. y ' =

4 ( 4 x + 1) ln 3

C. y = x + log 2 x

1 B. y ' = x ln 2 x.ln10

C. y ' =

ln 3 4x + 1

1 C. y ' = 2 x ln 2 x.ln10

Câu 24: Cho hàm số f ( x ) = ln ( 4 x − x ) . Khẳng định nào sau đâ B. f ' ( 2 ) = 0

< ( 0,1a )

và log b

D. y ' =

4ln 3 4x + 1

C. 0 < a < 10 và b > 1

D. a > 10 và 0 < b < 1

A. x = 0

B. y ' = ( x 2 + 2 ) e − x

B. x = 1 2017 x

Câu 33: Tìm đạo hàm của hàm số y = 3 A. y ' = 2017ln 3.32017 x B. y ' =

1 D. y ' = x ln 2 x

ln 2 2

B. 1

A. e + D. f ' ( −1) = −1

C. y ' = xe− x

Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y = ln x + x 2 + 1 A. y ' =

2 x2 + 1

B. y ' =

2x x + x2 + 1

D. y ' =

−2cos x x − 1) ln10 2sin (

D. y ' = ( − x 2 + 2 ) e− x

32017 ln 3

C. x = −1

D. x = ln 2

C. y ' = 32017

D. y ' = ln 3.32017 x

1 e

B. e −

1 e

C. −e +

1 e

Câu 35: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a 4 > a 5 và logb

C. y ' = ( 2 x + 1) ln 5

(

2x − 1 .log e x2 − x

Câu 34: Cho hàm số y = e x + e − x . Giá trị của y "(1) là

D. y ' =

1 + x + 1) ln 5

Câu 26: Cho hàm số f ( x ) = ln ( x 4 + 1) . Đạo hàm f ' (1) bằng A.

D. y ' =

2 1 thì < log b 3 2

B. 0 < a < 10 và 0 < b < 1

y đúng?

C. f ' ( 5 ) = 1

2x + 1 2x + 1 B. y ' = 2 x + x +1 + x + 1) ln 5

2x − 1 − x ) log e

2cos x x − 1) ln10 2sin (

C. y ' =

A. a > 10 và b < 1

A. y ' = ( 2 x − 2 ) e x

Câu 25: Tìm đạo hàm của hàm số y = log 5 ( x 2 + x + 1) . A. y ' =

Câu 32: Cho hàm số y = ex + e − x . Nghiệm của phương trình y ' = 0 là

A. f ' ( 3) = −1,5

2cos x 2sin x − 1

B. y ' =

Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số y = log ( ln 2 x ) . 2 A. y ' = x ln 2 x.ln10

C. y ' =

Câu 31: Tìm đạo hàm của hàm số y = ( x 2 + 2 x ) e− x .

1 D. y = log 2 x

Câu 22: Đạo hàm của hàm số y = log 3 ( 4 x + 1) là A. y ' =

2x − 1 x2 − x

B. y ' =

Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trong khoảng ( 0; +∞ ) ? A. y = log 2 x

1 − x ) ln10

−2cos x 2sin x − 1

A. y ' =

1  D. a ∈  ;3  3 

1  C. a ∈  −∞;  3 

Câu 20: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến?

 π  A. y =   3+ 5 

Câu 29: Đạo hàm của hàm số y = log ( 2sin x − 1) trên tập xác định là

Câu 19: Hàm số y = ( −3a 2 + 10a − 2 ) đồng biến trên ( −∞; +∞ ) khi 1  A. a ∈  −∞;  3 

1 2

1 e

1 2 < log b . Mệnh đề nào sau đây 2 3

đúng? A. a > 1, b > 1

B. a > 1,0 < b < a

C. 0 < a < 1,0 < b < 1

D. 0 < a < 1, b > 1

Bài tập nâng cao

D. 2

 x +1 Câu 36: Cho hàm số f ( x ) = ln 2017 − ln   . Tính tổng S = f ' ( x ) + f ' ( 2 ) + ... + f ' ( 2017 ) , ta được  x 

)

C. y ' =

D. −e −

kết quả 1 x + x2 + 1

D. y ' =

A. S =

x2 + 1

Câu 28: Tìm đạo hàm của hàm số y = log ( x 2 − x ) .

4035 2018

B. S = 2017

C. S =

2016 2017

D. S =

2017 2018

Câu 37: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( 20 x 2 + 20 x − 1283) e40 x trên tập hợp các số tự nhiên là

Trang 11

Trang 12

A. −1283

B. −163.e 280

C. 157.e320

Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit

D. −8.e300

Bài toán 1. Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit.

Câu 38: Các giá trị của tham số m để hàm số y = ln ( x 2 + 1) − 2mx + 2 đồng biến trên ℝ là A. Không tồn tại m

1 B. m ≥ 2

1 C. m ≤ − 2

Phương pháp giải

1 1 D. − < m < 2 2

Hàm số y = a x ( a > 0; a ≠ 1) có tập xác định là ℝ .

Câu 39: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = 4 x − 2 x + 2 − mx + 1 đồng biến trên

y = log x −1 ( x 2 − 6 x + 9 ) .

Hàm số y = log a x ( a > 0; a ≠ 1) có tập xác định là

Hứớng dẫn giải

( 0; +∞ ) .

khoảng ( −1;1) là 1   A.  −∞; − ln 2  2  

Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số

B. ( −∞;0]

C. ( −∞; −2ln 2]

 x2 − 6x + 9 > 0  Hàm số xác định:  x − 1 > 0 x − 1 ≠ 1 

3   D.  −∞; − ln 2  2  

( x − 3 ) 2 > 0 x ≠ 3   ⇔ x > 1 ⇔  x > 1 ⇔ x ∈ (1; +∞ ) \ {2,3} . x ≠ 2 x ≠ 2   Vậy D = (1; +∞ ) \ {2,3} .

Ví dụ mẫu

 1− x  Ví dụ 1: Tập xác định D của hàm số y = ln   là  x−2 A. (1;2 )

B. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

C. ℝ \ {2}

D. ℝ \ {1, 2}

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định ⇔

1− x > 0 ⇔1< x < 2 x−2

Chọn A. Ví dụ 2: Điều kiện xác định D của hàm số y =

A. x < −3

B. x > −1

1 là 2x 1 log 9 − x +1 2

C. −3 < x < −1

D. 0 < x < 3

Hướng dẫn giải 1 2x 1  2x  > 92  log 9 x + 1 > 2 2x Hàm số xác định ⇔  ⇔  x +1 ⇔ >3 2 x +1 x 2 x   >0 >0  x + 1  x + 1

⇔

x+3 < 0 ⇔ −3 < x < −1 x +1

Chọn C Trang 13

Trang 14

Trường hợp 1: a ≠ 0 .

Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số y = 3x − 2 A. D = [ log 2 3; +∞ )

B. D = [ log 3 2; +∞ )

C. D = ( −∞;log 2 3]

D. D = ( −∞;log3 2]

a > 0  m > −2 m + 2 > 0 (*) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ m > −2 . 2 ∆ < 0 −m − 2 < 0 4 ( m + 2 ) − 4 ( m + 2 )( m + 3) < 0 Trường hợp 2: a = 0 ⇔ m = −2 , ta có (*) ⇔ 1 > 0, ∀x ∈ ℝ (đúng), nhận m = −2

Hướng dẫn giải Hàm số xác định ⇔ 3 − 2 ≥ 0 ⇔ 3 ≥ 2 ⇔ x ≥ log3 2 .

Vậy m ≥ −2 .

Chọn B.

Chọn D.

Ví dụ 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng ( −10;10 ) để hàm số Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số xác định trên khoảng cho trước

y = log 2 ( 4 x − 2 x + m ) có tập xác định D = ℝ ?

Phương pháp giải Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = log a f ( x ) xác định trên ℝ trong đó f ( x ) là một

B. 10

C. 11

D. 8

Hướng dẫn giải

tam thức bậc hai.

Hàm số có tập xác định D = ℝ khi 4 x − 2 x + m > 0 ∀x ∈ ℝ

Áp dụng tính chất •

A. 9

(1).

Đặt t = 2 , t > 0 . x

a > 0 Tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c > 0 ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi  . ∆ < 0

Khi đó (1) trở thành t 2 − t + m > 0 ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m > −t 2 + t ∀t ∈ ( 0; +∞ )

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = log a f ( x ) xác định trên khoảng D.

⇔ m > max f ( t ) = ( 0; +∞ )

1 với f ( t ) = −t 2 + t . 4

•

Cô lập tham số m.

•

Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Do m ∈ ℤ và m ∈ ( −10;10 ) nên m ∈ {1; 2;3;...;8;9} .

Ví dụ mẫu

Chọn A.

Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ln ( x 2 − 2mx + 4 ) xác định với

Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng ( −10;10 ) để hàm số

mọi x ∈ ℝ ?

A. 5

B. 2

C. 4

D. 3

1 xác định trên khoảng ( 0; +∞ ) ? m log32 x − 4log 3 x + m + 3

A. 13

Hướng dẫn giải

B. 11

D. 10

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định ∀x ∈ ℝ ⇔ x 2 − 2mx + 4 > 0, ∀x ∈ ℝ .

Hàm số xác định ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m log 32 x − 4log 3 x + m + 3 ≠ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ )

1 > 0 a > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ −2 < m < 2 . ∆ < 0  4m − 16 < 0

Đặt t = log 3 x, t ∈ ℝ .

Do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;0;1}

(*) ⇔ mt 2 − 4t + m + 3 = 0 vô nghiệm.

(*).

Trường hợp 1: m = 0 . Phương trình có nghiệm (loại m = 0 ).

Chọn D.

Trường hợp 2: m ≠ 0 . Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = log 2 ( m + 2 ) x 2 + 2 ( m + 2 ) x + m + 3 có tập xác định D = ℝ . A. m ≤ −2

C. 12

B. m > −2

C. m < −2

∆ ' < 0 ⇔ 4 − m ( m + 3) < 0 ⇔ m < −4 hoặc m > 1 .

D. m ≥ −2

Do m ∈ ℤ và m ∈ ( −10;10 ) nên m ∈ {−9; −8; −7; −6; −5;2;3;...8;9} .

Hướng dẫn giải

Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.

Hàm số xác định trên ℝ ⇔ ( m + 2 ) x 2 + 2 ( m + 2 ) x + m + 3 > 0, ∀x ∈ ℝ (*).

Chọn A. Trang 15

Trang 16

Bài tập tự luyện dạng 2

A. m ∈ ( −∞; 2 )

Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 3 x − x 2 )

−

π 2

B. D = (1;3)

C. D = ( 0;3) \ {1}

D. D = [1;3]

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x − 2 )

log100

C. m ∈ ( −∞;1)

D. m ∈ ( −∞;1] 2

Câu 9: Điều kiện xác định của phương trình log 4 ( x − 1) + log 2 ( x − 1) = 25 là

+ log 2 ( x − 1) .

A. D = ℝ \ {0;1;3}

B. m ∈ ( −1;1]

A. x ∈ ℝ

B. x ≠ 1

C. x ≥ 1

Câu 10: Tập xác định D của hàm số y = log 3

+ log 2 ( x 2 − 2 x − 3) .

A. D = ( 2;10 )

D. x > 1

10 − x là x 2 − 3x + 2

B. D = (1; +∞ )

C. D = ( −∞;10 )

D. D = ( −∞;1) ∪ ( 2;10 )

A. D = ( 3; +∞ )

B. D = ( 2;3)

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln ( x 2 − 2mx + 4 ) có tập xác định

C. D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ )

D. D = ( −1;3)

D = ℝ.

Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y = 2 x − 1 − log ( x − 2 ) . A. D = ( 2; +∞ )

B. D = [ 0; +∞ )

C. D = [ 0; +∞ ) \ {2}

D. D = ( 0; +∞ ) \ {2}

C. D = ( 0;1)

D. D = ℝ \ {0}

A. ( −8; −4 ) ∪ ( 3; +∞ ) B. ( −∞; −4 ) ∪ ( 3; +∞ )

)

A. (1; +∞ )

B. D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ )

C. D = ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ )

D. D = [ −2;2 )

Câu 6: Tìm tập xác định D của hàm số y = 5 x −1 − 25 + ( x − 4 )

D. ( −4;3)

B. (1; +∞ )

A. m >

(

B. −∞; 2

)

C. D = ( −∞;3]

D. D = [3; +∞ ) \ {4}

1 4

B. m > 0

1 4

D. m <

B. D = (1;5 )

C. D = ( −∞;1] ∪ [5; +∞ )

D. D = [1;5]

Câu 17: Tập xác định của hàm số log 2

)

A. D = − 2; 2 

B. D = − 2; 2

C. D =  − 2; 2 

D. D = −∞; − 2 

 1  A.  − ; +∞   3 

(

C. m ≥

A. D = ( −∞;1) ∪ ( 5; +∞ )

( x − m ) log 2  x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 4m 2 

D.  2; +∞

C. ∅

)

1 4

Câu 16: Tập xác định D của hàm số y = log ( x 2 − 6 x + 5) là

B. D = ( 4; +∞ )

(

D. [ 2; +∞ )

C. ( 2; +∞ )

Câu 15: Hàm số y = log 2 ( 4 x − 2 x + m ) có tập xác định D = ℝ khi

−2

A. D = ( −∞;3)

Câu 8: Cho hàm số y =

C. ( −8;3) \ {−4}

Câu 14: Tập xác định của hàm số y = ln ( x − 1) + ln ( x + 1) là

A. D = ( −∞; −2 )

(

A. [1; +∞ )

x2 + x − 2 − x .

2 − x2

D. −2 ≤ m ≤ 2

Câu 13: Tập xác định của hàm số y = log 2 ( 5x + 2 − 125 ) là

B. D = ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ )

Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y = 2017

C. m > −2 −5

A. D = (1; +∞ )

(

B. m > 2 hoặc m < −2

Câu 12: Hàm số y = ( x 2 − 16 ) − ln ( 24 − 5 x − x 2 ) có tập xác định là

x −1 Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y = log 2 . x

Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số y = ln

A. −2 < m < 2

 1  B.  − ; +∞   3 

3x + 1

x2 + x + 1 + x2 − x + 1 C. ℝ

là.

 1 D. ℝ \ −   3

. Các giá trị thực của tham số m để hàm số Dạng 3: Đồ thị hàm số

đã cho xác định với mọi x ∈ (1; +∞ ) là

Ví dụ mẫu Trang 17

Trang 18

Ví dụ 1: Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y = a x , y = b x , y = c x được cho trong

Chọn B. Ví dụ 3: Cho các hàm số y = a x , y = logb x , y = log c x có đồ thị như hình vẽ.

hình vẽ sau

Chọn mệnh đề đúng?

Mệnh đề nào đúng? A. a < b < c

B. a < c < b

C. b < c < a

D. c < a < b A. b < c < a

Hướng dẫn giải

B. a < c < b

C. c < b < a

D. c < a < b

Hướng dẫn giải

Ta có: y = a x nghịch biến nên 0 < a < 1 .

Ta có y = log c x nghịch biến nên 0 < c < 1 còn y = logb x và y = a x đồng biến nên b > 1 và a > 1 .

Mặt khác, y = b x , y = c x đồng biến, đồng thời cho x = 1 ⇒ y = b > y = c .

Xét y = a x : Với x = 1 ⇒ y = a ⇒ 1 < a < 2 .

Vậy a < c < b

Xét y = logb x : Với y = 1 ⇒ x = b ⇒ b = 2 .

Chọn B.

Do đó a < b

Ví dụ 2: Từ các đồ thị y = log a x , y = logb x , y = log c x đã cho ở hình vẽ sau:

Vậy c < 1 < a < b . Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 3 Bài tập cơ bản Câu 1: Cho hàm số y = log 1 x . Khẳng định nào sau đây sai? 5

A. Hàm số có tập xác định là D = ℝ \ {0} .

Khẳn định nào sau đây đúng?

B. y ' =

A. 0 < a < b < 1 < c

B. 0 < c < 1 < a < b

C. 0 < c < a < 1 < b

D. 0 < c < 1 < b < a

−1 x ln 5

C. Hàm số nghịch biến trên ( 0; +∞ ) D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy.

Hướng dẫn giải

Câu 2: Tìm phát biểu sai.

Ta có: y = log c x nghịch biến nên 0 < c < 1 . Mặt khác, y = log a x và y = logb x đồng biến nên a, b > 1 đồng thời cho y = 1 thì x = a < x = b . Vậy 0 < c <1< a < b. Trang 19

A. Đồ thị hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) nằm hoàn toàn phía trên Ox. B. Đồ thị hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) luôn đi qua điểm A ( 0;1) .

Trang 20

Câu 7: Quan sát hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

1 C. Đồ thị hàm số y = a x , y =   , ( 0 < a ≠ 1) đối xứng nhau qua trục Ox. a x

1 D. Đồ thị hàm số y = a x , y =   , ( 0 < a ≠ 1) đối xứng nhau qua trục Oy. a

A. a > 1, b > 1

B. 1 > a > 0, b > 1

C. a > 1,0 < b < 1

D. 0 < a < 1,0 < b < 1

Câu 3: Cho đồ thị của ba hàm số y = a x , y = b x , y = c x như

hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. c > b > a

B. b > a > c

C. c > a > b

D. b > c > a

Câu 8: Cho hai hàm số y = log b x, y = a x có đồ thị lần lượt là

( C1 )

và ( C2 ) như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây

đúng?

Câu 4: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên?

1 A. y =   3

 1  B. y =    2

C. y = 3x

D. y =

( 2)

A. a > 1, b > 1

B. 0 < a, b < 1

C. 0 < a < 1 < b

D. a > 1, b < 1

Câu 9: Cho các hàm số y = log a x và y = log b x có đồ thị

như hình vẽ bên. Đường thẳng x = 7 cắt trục hoành, đồ thị

hàm số y = log a x và y = log b x lần lượt tại H, M, N. Biết rằng HM = MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 5: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số y = a , a > 1 ? x

A. a = 7b

B. a = 2b

C. a = b 7

D. a = b 2

Câu 10: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số

nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

(I)

A. (I)

(II)

B. (II)

(III)

(IV)

C. (III)

D. (IV)

A. y = log 2 x

B. y = log 0,5 x

1 1 C. y = − x − 3 3

D. y = −3x + 1

Câu 11: Với giá thị nào của a để hàm số y = log a x ( 0 < a ≠ 1)

Câu 6: Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số y = a ,0 < a < 1 ? x

có đồ thị là hình bên ? A. a =

1 2

C. a = 2

(I) A. (I)

(II) B. (II)

D. a =

1 2

(IV)

(III) C. (IV)

B. a = 2

D. (III)

Trang 21

Trang 22

Câu 12: Biết hàm số y = 2 x có đồ thị là hình bên. Khi đó,

hàm số y = 2 x có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn A, B, C, D dưới đây?

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Hình 2

Hình 1

A. Hình 3

B. Hình 2

C. Hình 1

D. Hình 4

Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x trên [ −2;2] ? A. max y = 4;min y = − C. max y = 1;min y =

Hình 4

Hình 3 A. Hình 4

B. Hình 2

C. Hình 3

1 e

B. max y = 4;min y =

1 4

D. max y = 4;min y = 1

Câu 16: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y = log a x ,

D. Hình 1

y = logb x , y = log c x ( 0 < a, b, c ≠ 1) được vẽ trên cùng một

Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x 2e x trên đoạn [ −1;1] là A. e

1 4

hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? C. 2e

D. 0

Câu 14: Cho hàm số y = log 2 ( 2 x ) . Khi đó, hàm số y = log 2 ( 2 x ) có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

A. a > c > b

B. a > b > c

C. b > c > a

D. b > a > c x

1   Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) =   . Tìm khẳng định sai. + 2 3   A. Hàm số luôn nghịch biến trên ℝ . B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. C. Hàm số không có cực trị. D. f ( x ) luôn nhỏ hơn 1 với mọi x dương.

Trang 23

Trang 24

Câu 18: Cho f ( x ) = A. 1

B. 2

Câu 19: Cho hàm số f ( x ) = A.

1 4

Câu 24: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào

9x . Nếu a + b = 1 thì f ( a ) + f ( b ) là 9 +3 x

C. 3

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây?

D. 4

9x , x ∈ ℝ . Nếu a + b = 3 thì f ( a ) + f ( b − 2 ) có giá trị bằng 3 + 9x

3 4

C. 1

B. 2

C. 1

B. y = log 2 ( x + 1)

C. y = log 3 x + 1

D. y = log 3 ( x + 1)

D. 2

Câu 20: Hàm số y = log 2 ( x3 − 4 x ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0

A. y = log 2 x

Câu 25: Cho hàm số y = D. 3

( 2)

có đồ thị Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Câu 21: Cho ba số thực dương a,b,c khác 1. Đồ thị các hàm

số y = log a x , y = logb x , y = log c x được cho trong hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. b < c < a

B. a < b < c

C. c < a < b

D. a < c < b

Hình 2

Hình 1 Câu 22: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào A. y =

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây? A. y =

( 2)

B. y = −

( 2)

C. y =

( 2)

D. y = −

( 2)

Câu 26: Cho hàm số y = 5 x có đồ thị ( C ) . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với ( C ) qua đường

( 3)

C. y = 2 x +

5 2

1 B. y =   2

1 D. y =    3

thẳng y = x ? B. y = log 5 x

A. y = 5− x

D. y = −5− x

Câu 27: Cho hàm số y = 3 2 có đồ thị ( C ) . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với ( C ) qua đường

Câu 23: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào

thẳng y = x ?

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D A. y = log

dưới đây?

B. y = log 3 x 2

x C. y = log 3   2

1 D. y = log 3 x 2

A. y = −2 x

1 B. y =   2

C. y = 2

1 D. y = −   2

C. y = − log 5 x

Câu 28: Cho hàm số y = − log 2 x có đồ thị ( C ) . Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng với ( C ) qua đường thẳng y = x ?

A. y = 2 x

B. y = 2

−

1 x

C. y = 2− x

D. y = 2 2

Câu 29: Đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = log 2 x là đồ thị nào trong các đồ thị có phương trình sau đây?

Trang 25

Trang 26

B. y = 2 x

A. y = log 1 x

C. y = log 2 x

1 D. y =   2

không thay đổi trong thời gian gửi.

A. 0.8%

Dạng 4: Bài tập lãi suất

B. 0,6%

C. 0,7%

D. 0,5%

Sn −1. A

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

Gọi r là lãi suất tiền gửi của ngân hàng theo tháng. A, S n lần lượt là

Ví dụ 1: Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất Ghi nhớ:

số tiền gửi ban đầu và số tiền sau n = 9 tháng. Áp dụng công thức lãi

6,9% một năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được cộng vào tiền gốc, hỏi Khách hàng gửi vào ngân

kép ta có

sau 5 năm người đó rút được cả tiền gốc lẫn tiền lãi gần với con số nào hàng A đồng với lãi kép r (% / sau đây?

kì hạn) thì số tiền khách hàng

A. 105370000 đồng

B. 111680000 đồng

nhận được cả vốn lẫn lãi sau n

C. 107667000 đồng

D. 116570000 đồng

kì hạn ( n ∈ ℕ *) là:

Hướng dẫn giải

S n = A (1 + r )

Sn = A (1 + r ) ⇔ 61758000 = 58000000 (1 + r ) ⇔r=

61758000 − 1 ≈ 7.10−3 = 0, 7% 58000000

Vậy lãi suất ngân hàng hàng tháng là 0,7% n

Chọn C.

Gọi A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất hàng năm.

Ví dụ 4: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo Bài toán vay vốn trả góp:

Số tiền gốc và lãi sau năm thứ nhất là S1 = A + A.r = A (1 + r ) .

phương thức trả góp với lãi suất 0,85% mỗi tháng. Nếu sau mỗi tháng, Vay ngân hàng số tiền là A

kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 đồng với lãi suất r (% /

Số tiền gốc và lãi sau năm thứ hai là S2 = S1 + S1.r = A (1 + r ) .

triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết phương thức trả lãi tháng). Sau đúng một tháng kể

…

và gốc không thay đổi trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ;

Số tiền gốc và lãi người đó rút ra được sau 5 năm là 5

S5 = A. (1 + r ) = 80000000.(1 + 6,9% ) ≈ 111680799 (đồng)

A. 65

Chọn B.

Hướng dẫn giải

tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được cộng vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu?

B. 46 tháng

C. 47 tháng

Sn = A (1 + r ) , ta suy ra

C. 67

D. 68

S  n = log (1+ r )  n  .  A

mỗi tháng và r = 0,85% là lãi suất ngân hàng, n là số tháng anh An phải

Cách tính số tiền còn lại sau n tháng là: Sn = A (1 + r ) − X

Cuối tháng thứ nhất anh An còn nợ số tiền là

 A (1 + r ) − X  +  A (1 + r ) − X  r − X = A (1 + r ) − X (1 + r ) + 1 .

125 > 125 ⇔ n > log (1+ 0,5%) ≈ 44,74 100

Vậy sau ít nhất 45 tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu.

Chọn A.

(1 + r )

−1

 A(1 + r )2 − X (1 + r ) + 1 (1 + r ) − X = A(1 + r )3 − X (1 + r )2 + (1 + r ) + 1      …

 X  n = log (1+ r )  .  X − Ar 

Cuối tháng thứ n anh An còn nợ số tiền là

A (1 + r ) − X (1 + r )  n

đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất

A (1 + r ) − X Suy ra

hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về được 61758000

Sn = A (1 + r ) , ta có

n −1

+ (1 + r )

−1

Cuối tháng thứ ba anh An còn nợ số tiền là

Ví dụ 3: Bác Toản gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo Từ công thức lãi kép n

nợ thì

Cuối tháng thứ hai anh An còn nợ số tiền là

Sau n tháng, tổng số tiền gốc và lãi là: 100 (1 + 0,5% ) .

(1 + r )

Để sau đúng n tháng trả hết

A + Nr − X = A (1 + r ) − X .

tiền nợ sau đúng n tháng.

Theo đề bài:

D. 44 tháng

đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết

trả hết nợ.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài: 100 (1 + 0,5% )

B. 66

Đặt A = 500 triệu là số tiền đã vay, X = 10 triệu là số tiền trả trong

Ví dụ 2: Một người gửi ngân hàng 100 triệu với lãi suất 0,5% một Từ công thức lãi kép

A. 45 tháng

hai lần hoàn nợ cách nhau

nhiêu tháng anh trả hết nợ ngân hàng?

n−2

=0.

+ ... + (1 + r ) + 1 

Để sau n tháng, anh An trả hết nợ thì Trang 27

Trang 28

A (1 + r ) − X (1 + r )  n

n −1

+ (1 + r )

⇔ A (1 + r ) = X (1 + r )  n

⇔ A(1 + r ) = X

(1 + r )

n −1

−1

n−2

góp 8 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là 0,79% một tháng. Kì

+ ... + (1 + r ) + 1 = 0 

+ (1 + r )

trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Hỏi số tiền phải trả ở kì cuối là bao

+ ... + (1 + r ) + 1 

n−2

⇔ (1 + r ) =

nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn)

X  X  ⇔ n = log(1+ r )   X − Ar  X − Ar 

A. 2921000 đồng

B. 7084000 đồng

C. 2944000 đồng

D. 7140000 đồng

Hướng dẫn giải 10   Áp dụng ta có: n = log (1+ 0,0085)   ⇔ n ≈ 65,38 . − 10 500.0,0085  

Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất nên đây là bài toán vay vốn trả góp cuối kì.

Vậy anh An phải trả trong vòng 66 tháng.

Gọi A là số tiền vay ngân hàng, B là số tiền trả trong mỗi chu kì,

Chọn B.

d = r % là lãi suất cho số tiền chưa trả trên một chu kì, n là số kì trả nợ.

Ví dụ 5: Bác An có 400 triệu đồng mang đi gửi tiết kiệm ở hai kì hạn

Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kì như sau:

khác nhau đều theo hình thức lãi kép. Bác gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý; 200 triệu còn lại bác gửi theo kì hạn

+ Đầu kì thứ nhất là A

tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Sau khi gửi được đúng 1 năm, bác

+ Cuối kì thứ nhất là A (1 + d ) − B .

rút tất cả số tiền ở loại kì hạn theo quý và gửi theo tháng. Hỏi sau đúng

+ Cuối kì thứ hai là

2 năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác An thu được tất cả bao nhiêu tiền

 A (1 + d ) − B  (1 + d ) − B = A (1 + d ) − B (1 + d ) + 1

lãi? (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

A. 75,304 triệu đồng

B. 75,303 triệu đồng

+ Cuối kì thứ ba là

C. 470,656 triệu đồng

D. 475,304 triệu đồng

 A(1 + d )2 − B (1+ d ) +1 (1+ d ) − B = A(1+ d )3 − B (1+ d )2 + (1 + d ) +1     

Hướng dẫn giải

… n

Công thức tính lãi kép là Sn = A (1 + r ) .

+ Theo giả thiết quy nạp, cuối kì thứ n là

Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm theo kì hạn quý là:

A (1 + d ) − B (1 + d )  n

S1 = 200 (1 + 2,1% ) triệu đồng

n −1

+ ... + (1 + d ) + 1 = A (1 + d ) − B  n

(1 + d )

−1

Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau n chu kì là

Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm theo kì hạn tháng là: 12

S2 = 200 (1 + 0,73% ) triệu đồng

A (1 + d ) − B

(1 + d ) d

−1

Tổng số tiền bác An thu được sau 1 năm là S1 + S2 triệu đồng. n

Người đó trả hết nợ ngân hàng khi A (1 + d ) − B

Tổng số tiền bác An thu được sau 2 năm là 12

S = ( S1 + S 2 )(1 + 0,73% ) = 475,304 triệu đồng.

⇔ 350.1,0079n − 8.

Vậy tiền lãi bác An thu được sau 2 năm là L = S − 400 = 75,304

(1 + d ) d

−1

1,0079n − 1 = 0 ⇔ n ≈ 53,9 . 0,0079

Tức là phải mất 54 tháng người này mới trả hết nợ.

triệu đồng.

Cuối tháng thứ 53, số tiền còn nợ (tính cả lãi) là

Chọn A. Ví dụ 6: Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, mỗi tháng trả Trang 29

Trang 30

S53 = 350.1,007953 − 8.

1,007953 − 1 (triệu đồng) 0,0079

Vậy m =

36 (1,12 )

(1,12 )

−1

Kì trả nợ tiếp theo là cuối tháng thứ 54, khi đó phải trả số tiền S53 và

Chọn A.

lãi của số tiền này nữa là S53 + 0,0079.S53 = S53 .1,0079 ≈ 7,139832

Ví dụ 8: Một người mỗi đầu tháng gửi vào ngân hàng T triệu đồng với Bài toán tiền gửi ngân hàng:

(triệu đồng).

lãi suất kép 0,6% một tháng. Biết cuối tháng thứ 15 thì số tiền cả gốc lẫn Đầu mỗi tháng, khách hàng

Chọn D.

lãi sẽ thu về là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số nào nhất trong các gửi vào ngân hàng số tiền A

Ví dụ 7: Ông A vay dài hạn ngân hàng 300 triệu, với lãi suất 12% năm.

số sau đây?

đồng với lãi kép r (% / tháng)

Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một năm kể từ

A. 535000 đồng

B. 635000 đồng

thì số tiền khách hàng nhận

ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng

C. 613000 đồng

D. 643000 đồng

được cả vốn lẫn lãi sau n

một năm, số tiền hoàn ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 4

Hướng dẫn giải

tháng

Sau tháng gửi đầu tiên số tiền cả gốc và lãi thu được là T (1 + r )

cuối tháng, khi ngân hàng đã

năm kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất

Sau tháng thứ hai số tiền cả gốc và lãi thu được là

ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A. m =

36 (1,12 )

(1,12 )

−1

(triệu đồng)

m = 36 (1,12 )

(triệu đồng)

(nhận tiền

tính lãi) là

Sn =

T (1 + r ) + T (1 + r ) .

( n ∈ ℕ *)

A n (1 + r ) − 1 (1 + r ) . r

… Sau tháng thứ 15, số tiền cả gốc và lãi thu được là

C. m =

36 (1,12 ) − 1

(1,12 )

(triệu đồng) D. m =

300 (1,12 )

(1,12 )

T (1 + r ) + T (1 + r )

−1

( triệu đồng)

n −1

+ ... + T (1 + r ) .

Để số tiền cả gốc lẫn lãi thu về là 10 triệu đồng thì 15

Hướng dẫn giải

T (1 + r ) + T (1 + r ) + ... + T (1 + r ) = 10000000

Số tiền nợ sau năm thứ nhất: T1 = 300 (1 + 12% ) − m = 300 p − m , với

⇔ T (1 + r )

p = 1 + 12% = 1,12 .

(1 + r ) r

−1

= 10000000 ⇒ T ≈ 635.000 (đồng).

Số tiền nợ sau năm thứ hai: T2 = ( 300 p − m ) p − m = 300 p 2 − mp − m

Chọn B.

Số tiền nợ sau năm thứ ba:

Ví dụ 9: Một huyện A có 100 000 dân. Với mức tăng dân số bình quân Công thức tính tăng trưởng 1,8% năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số sẽ vượt 150 000 dân. dân số:

T3 = ( 300 p 2 − mp − m ) p − m = 300 p3 − mp 2 − mp − m

A. 22

Trả hết nợ sau năm thứ tư: ( 300 p − mp − mp − m ) p − m = 0 3

⇔ 300 p 4 − m.

− 1)

300 (1,12 ) . ( 0,12 )

(1,12 )

−1

⇔m=

36 (1,12 )

(1,12 )

X m = X n (1 + r ) +

Áp dụng công thức: X ' = X (1 + r ) . 150000  X ' Suy ra n = log1+ r  = 22,72796911 .  = log1+1,8% 100000  X 

m− n

( m, n ∈ ℤ , m ≥ n )

Giả sử sau n năm nữa thì dân số sẽ vượt 150 000 dân.

(1,12 ) − 1 4  = 0 ⇔ 300 (1,12 ) = m.  p −1 0,12

D. 28

⇔m=

C. 27

Hướng dẫn giải

⇔ 300 p − mp − mp − mp − m = 0 ⇔ 300 p − m( p + p + p + 1) = 0 4

B. 23

Chọn B.

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m; X m dân số năm m, X n dân số năm n.

Ví dụ 10: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức

−1

1,05%. Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, dân số của Việt Nam năm

Trang 31

Trang 32

2014 là 90728900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm

dày của môi trường đó và được tính bằng đơn vị mét. Biết rằng nước

2030, dân số của Việt Nam là:

biển có µ = 1, 4 . Hãy tính cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu khi từ

A. 106118331 người

B. 198049810 người

C. 107232574 người

D. 108358516 người

độ sâu 2m xuống đến 20m? A. e25,2

B. e22,5

C. e32,5

D. e52,5

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải Áp dụng công thức: X 2030 = X 2014 (1 + r )

Cường độ ánh sáng thay đổi khi từ độ sâu x1 đến độ sâu x2 là:

I1 I 0e − µ x1 µ x −x = = e ( 2 1) . I 2 I 0e − µ x2

Trong đó: X 2014 = 90728900; r = 1, 05; n = 16 Ta được dân số đến hết năm 2030 là: X 2030 = 107232574.

Thay x1 = 2; x2 = 20, µ = 1, 4 ta có

Chọn C. Ví dụ 11: Trong vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn

I1 = e 25,2 . I2

Chọn A.

 1 T bởi công thức: m ( t ) = m0   , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của 2

Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1: Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng thời hạn 15 tháng, lãi suất 0,6% tháng (lãi kép). Khi

chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0 ); T là chu kì bán rã (tức là khoảng

hết kỳ hạn thì số tiền người đó nhận được là

thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon

A. 55,664000 triệu

C là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu

B. 54,694000 triệu

C. 55,022000 triệu

D. 54,368000 triệu

Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng

Câu 2: Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng theo hình thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất 7% mỗi

còn bao nhiêu gam?

năm. Hỏi sau 4 năm người đó có bao nhiêu tiền cả gốc và lãi? 1

 1  5730 A. m ( t ) = 100.   2 1 C. m ( t ) = 100   2

−

100 t 5730

B. m ( t ) = 100.e

−

t ln 2 5730

−

100 t 5730

A. 70,13 triệu đồng

C. 61,25 triệu đồng

D. 65,53 triệu đồng

Câu 3: Một học sinh A khi 15 tuổi được hưởng tài sản thừa kế 200 000 000 đồng. Số tiền này được bảo quản trong một ngân hàng B với kì hạn thanh toán một năm và học sinh A chỉ nhận được số tiền này khi

D. m ( t ) = 100.e

18 tuổi. Biết rằng khi 18 tuổi, số tiền mà học sinh A được nhận sẽ là 231525000 đồng. Vậy lãi suất kì hạn 1 năm của ngân hàng B là bao nhiêu?

A. 8%

Hướng dẫn giải 1 T

B. 7%

C. 6%

D. 5%

Câu 4: Một chiếc ô tô mới mua năm 2016 với giá 800 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm, giá chiếc ô tô này bị

1 Theo công thức: m ( t ) = m0   ta có: 2

giảm 5%. Hỏi đến năm 2020, giá tiền chiếc ô tô này còn khoảng bao nhiêu?

A. 651605000 đồng

m ( t ) = 100.

B. 65,54 triệu đồng

1 5730 2

B. 685900000 đồng

C. 619024000 đồng

D. 760000000 đồng

Câu 5: Ông An gửi vào ngân hàng 60 triệu đồng theo hình thức lãi kép. Lãi suất ngân hàng là 8% trên năm. Sau 5 năm ông An tiếp tục gửi thêm 60 triệu đồng nữa. Hỏi sau 10 năm kể từ lần gửi đầu tiên ông

Chọn A.

An đến rút toàn bộ tiền gốc và tiền lãi được là bao nhiêu? (Biết lãi suất không thay đổi qua các năm ông

Ví dụ 12: Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí (chẳng

gửi tiền).

hạn sương mù, nước,…) sẽ giảm dần tùy thuộc độ dày của môi trường

A.231,815 (triệu đồng) B. 197,201 (triệu đồng)

và hằng số µ gọi là khả năng hấp thu của môi trường, tùy thuộc môi

C. 217,695 (triệu đồng)

D. 190,271 (triệu đồng)

trường thì khả năng hấp thu tính theo công thức I = I 0e − µ x với x là độ

Trang 33

Trang 34

Câu 6: Một người vay ngân hàng 90000000 đồng theo hình thức trả góp trong 3 năm. Mỗi tháng người

Câu 13: Ông Tuấn đầu tư 500 triệu đồng để mua xe ô tô chở khách. Sau khi mua, thu nhập bình quân mỗi

đó phải trả số tiền bằng nhau. Giả sử lãi suất trong toàn bộ quá trình trả nợ không đổi là 0,8% trên tháng.

tháng được 10 triệu đồng (sau khi trừ đi các khoản chi phí khác). Tuy nhiên mỗi năm giá trị xe lại giảm

Tổng số tiền người đó phải trả trong toàn bộ quá trình trả nợ là

10% so với năm trước đó. Tổng số tiền lãi sau 4 năm kinh doanh của ông Tuấn bằng bao nhiêu?

A. 103320000 đồng

B. 101320000 đồng

C. 105320000 đồng

D. 103940000 đồng

A. 480 triệu đồng

B. 308,05 triệu đồng

C. 328,05 triệu đồng

D. Lỗ 171,95 triệu đồng

Câu 7: Anh Minh gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6% tháng. Sau mỗi tháng, anh Minh đến

Câu 14: Anh Hòa gửi ngân hàng 3350000 đồng, theo phương thức lãi đơn với lãi suất 0,4% trên nửa

ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì

năm. Hỏi ít nhất bao lâu anh rút được cả vốn lẫn lãi là 4020000 đồng?

anh Minh rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng, anh Minh

A. 5 năm

B. 30 tháng

C. 3 năm

D. 24 tháng

không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng anh Minh sẽ

Câu 15: Một khách hàng gửi tiết kiệm 64 triệu đồng, với lãi suất 0,85% một tháng. Hỏi người đó phải

rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)?

mất ít nhất mấy tháng để được số tiền cả gốc lẫn lãi không dưới 72 triệu đồng?

A. 1840270 đồng

B. 3000000 đồng

C. 1840269 đồng

D. 1840268 đồng

A. 13

B. 14

C. 15

D. 18

Câu 8: Bác Tuấn gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn một quý với lãi suất 1,77% một

Câu 16: Anh Ngọc muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối

quý. Nếu Bác Tuấn không rút lãi ở tất cả các định kì thì sau 3 năm Bác Tuấn nhận được số tiền cả vốn lẫn

tháng) với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Hỏi hàng tháng, anh Ngọc phải trả số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến

lãi là bao nhiêu? Biết rằng hết một kì hạn lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kì tiếp theo.

nghìn đồng) để sau đúng 2 năm thì trả hết nợ ngân hàng?

A. 90930000 đồng

B. 92690000 đồng

C. 92576000 đồng

D. 80486000 đồng

A. 9236000 đồng

B. 9137000 đồng

C. 9970000 đồng

D. 9971000 đồng

Câu 9: Một sinh viên muốn có 12 triệu đồng để mua laptop nên mỗi tháng gửi vào ngân hàng 250000

Câu 17: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi

đồng với lãi suất 0,72% một tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh ta đủ tiền mua laptop?

tháng trong ba năm đầu tiên là 6 triệu đồng/tháng. Tính từ ngày đầu làm việc, cứ sau đúng ba năm liên

A. 41

B. 36

C. 42

D. 37

tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng. Nếu tính theo hợp đồng thì

Câu 10: Cô Ngọc vay ngân hàng một số tiền với lãi suất 1% mỗi tháng. Cô ấy muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày cho vay, cô ấy bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 5 triệu đồng và cô ấy trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay (số tiền hoàn nợ tháng cuối cùng có thể ít hơn 5 triệu đồng). Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mà cô Ngọc vay ngân hàng là số nào trong các số dưới đây?

A. 224 triệu đồng

B. 222 triệu đồng

C. 221 triệu đồng

D. 225 triệu đồng

Câu 11: Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu đồng theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85% mỗi tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết rằng phương thức trả lãi và gốc không thay đổi trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng?

A. 68

B. 66

C. 65

D. 67

Câu 12: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng theo thỏa thuận: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 9 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng, tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng?

A. 24

B. 23

tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu?

A. 6.1,14 (triệu đồng) B. 6.1,16 (triệu đồng)

C. 6.1,15 (triệu đồng)

D. 6.1,116 (triệu đồng)

Câu 18: Một người cứ đầu tháng đều gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau?

A. 535000 đồng

B. 635000 đồng

C. 643000 đồng

D. 613000 đồng

Câu 19: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc trong một công ty với lương năm đầu là 72 triệu đồng, cứ sau 3 năm thì tăng lương 10%. Nếu tính theo hợp đồng thì sau đúng 21 năm, người đó nhận được tổng số tiền của công ty là A. 216 (1,17 − 1) (triệu đồng)

B. 7200 (1,17 − 1) (triệu đồng)

C. 720 (1,17 − 1) (triệu đồng)

D. 2160 (1,17 − 1) (triệu đồng)

Câu 20: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng theo hình thức lãi kép với thỏa thuận: sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 9 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng, tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu

đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng? C. 22

D. 25

A. 25 Trang 35

B. 24

C. 22

D. 23 Trang 36

Câu 21: Một người gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1% năm. Biết rằng nếu không rút

Hỏi áp suất của không khí ở độ cao 12km bằng bao nhiêu? (các kết quả giữ lại sau dấu thập phân 7 chữ

tiền ra khỏi ngân hàng thì sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc và tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi

số)

sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền lãi ít nhất bằng số tiền gửi ban đầu, giả định trong thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

A. 12 năm

B. 11 năm

C. 10 năm

phương thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu vị khách này mới có số tiền lãi nhiều hơn số tiền gốc ban đầu gửi

C. 18 tháng

C. 177,8176855

D. 175,8176855

hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá đều tăng gấp 10 lần số lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không

ngân hàng? Giả sử người đó không rút lãi ở tất cả các định kì.

B. 19 tháng

B. 176,8176855

Câu 29: Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10 giờ số lượng lá bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt D. 13 năm

Câu 22: Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kì hạn 3 tháng, với lãi suất 0,65% một tháng theo

A. 8 năm 11 tháng

A. 178,8176855

đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu số lượng lá bèo phủ kín tối thiểu một phần tư hồ? A. 10 − log 4 (giờ)

B. 10log 4 (giờ)

C. 1 + 10log 4 (giờ)

D. 10 − 10log 4 (giờ)

Câu 30: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ ponoli 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng D. 9 năm

của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Thời gian phân rã phóng xạ ponoli 210 để từ 20 gam còn lại

Câu 23: Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 10 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là 1% mỗi tháng. Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Biết lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi, hỏi số tiền còn phải trả ở kì cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến

2, 22.10−15 gam gần đúng với đáp án nào nhất?

A. Khoảng 18 năm

B. Khoảng 21 năm

C. Khoảng 19 năm

D. Khoảng 20 năm

hàng nghìn).

A. 2921000 đồng

B. 3387000 đồng

C. 2944000 đồng

D. 7084000 đồng

Câu 24: Mỗi tháng bà A gửi vào ngân hàng một khoản tiền không đổi với lãi suất cố định là 0,4% mỗi tháng. Ba năm rưỡi kể từ ngày gửi khoản tiền đầu tiên, bà A rút toàn bộ số tiền để mua xe. Số tiền nhận về lấy đến hàng nghìn là 91635000 đồng. Hỏi khoản tiền gửi mỗi tháng của bà A là bao nhiêu?

A. 2000000 đồng

B. 1800000 đồng

C. 1500000 đồng

D. 2500000 đồng

Câu 25: Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng dân số 1,5% mỗi năm thì cuối năm 2020 dân số thế giới là bao nhiêu?

A. 8,12 tỉ người

B. 8,05 tỉ người

C. 8 tỉ người

D. 8,10 tỉ người

Câu 26: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 10 năm khu rừng đó có số mét khối gỗ gần nhất với số nào?

A. 5,9.105

B. 5,92.105

C. 5,93.105

D. 5,94.105

Câu 27: Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ β − người ta dùng máy đếm xung. Khi chất này phóng xạ ra các hạt β − , các hạt này đập vào máy làm trong máy xuất hiện một xung điện và bộ đếm tăng thêm 1 đơn vị. Ban đầu máy đếm được 960 xung trong một phút nhưng sau đó 3 giờ thì chỉ còn 120 xung trong một phút (trong cùng điều kiện). Hỏi chu kì bán rã của chất này là bao nhiêu giờ?

A. 1 giờ

B. 2 giờ

C. 0,5 giờ

D. 1,5 giờ

Câu 28: Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức: P = P0e xi , trong đó P0 = 760mmHg là áp suất ở mực nước biển ( x = 0 ) , i là hệ số suy giảm. Biết rằng, ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,72 mmHg.

Trang 37

Trang 38

BÀI 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT Dạng 1: Đạo hàm, sự biến thiên của hàm số 1-C

2-B

3-A

4-B

5-B

6-C

7-B

8-B

9-C

10 - D

11 - B

12 - C

13 - D

14 - B

15 - C

16 - C

17 - A

18 - A

19 - D

20 - D

21 - D

22 - B

23 - B

24 - B

25 - A

26 - D

27 - D

28 - D

29 - C

30 - C

31 - D

32 - C

33 - A

34 - A

35 - D

36 - D

37 - B

38 - C

39 - C

8-D

9-D

Dạng 2: Tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit 1-C

2-C

3-C

4-B

5-C

6-D

7-C

11 - A

12 - C

13 - B

14 - D

15 - A

16 - A

17 - A

10 - D

Dạng 3: Đồ thị hàm số 1-A

2-C

3-D

4-A

5-A

6-B

7-C

8-C

9-D

10 - B

11 - A

12 - D

13 - A

14 - C

15 - D

16 - D

17 - B

18 - A

19 - C

20 - C

21 - A

22 - D

23 - A

24 - D

25 - C

26 - B

27 - A

28 - C

29 - A

Dạng 4: Lãi suất ngân hàng 1-B

2-B

3-D

4-A

5-C

6-D

7-A

8-C

9-C

10 - D

11 - B

12 - A

13 - B

14 - B

15 - B

16 - B

17 - C

18 - B

19 - D

20 - B

21 - A

22 - D

23 - B

24 - A

25 - A

26 - B

27 - A

28 - D

29 - A

30 - D

Trang 39

CHUYÊN ĐỀ 2.

+ Nếu 0 < a < 1 thì ( 3) ⇔ f ( x ) < log a b.

BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Mục tiêu

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Kiến thức + Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ. + Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ. Kĩ năng

b>0

Phương trình có nghiệm x = log a b

b≤0

Phương trình vô nghiệm

ax = b

+ Giải được một số phương trình mũ và bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, logarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số. + Nhận dạng được các loại phương trình mũ và bất phương trình mũ.

Phương trình nghiệm đúng với mọi

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình mũ a x = b

a =1

x∈ℝ

f x g x a ( ) =a ( )

a ≠ 1, a > 0

+ Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = log a b .

f ( x)

g ( x)

⇔ f ( x) = g ( x)

+ Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.

Đặc biệt: Phương trình a x = a y ⇔ x = y (biến đổi về cùng cơ số).

a f ( x) = b

0 < a ≠1

a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = log a b

b>0

f x g x Dạng 1: Phương trình có dạng a ( ) = a ( ) .

+ Nếu a = 1 thì a f ( x ) = a g ( x ) nghiệm đúng với mọi x. + Nếu 0 < a ≠ 1 thì f ( x ) = g ( x ) .

Dạng 2: Phương trình có dạng a

f ( x)

= b (với 0 < a ≠ 1, b > 0 )

= b ⇔ f ( x ) = log a b.

f ( x)

0 < a <1

BẤT

f x g x Dạng 1: Bất phương trình có dạng a ( ) ≤ a ( ) . (1)

f ( x)

< b ⇔ f ( x ) < log a b

( b > 0)

2. Bất phương trình mũ

f ( x)

log a b

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

+ Nếu a > 1 thì (1) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x ) . + Nếu a = 1 thì (1) nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ.

Tìm điều kiện để f ( x ) có

b≤0

nghĩa

a f ( x) < b

+ Nếu 0 < a < 1 thì (1) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) . Dạng 2: Bất phương trình có dạng a

a >1

0 < a <1 f ( x)

0 ). (2)

f ( x)

log a b

b>0

+ Nếu a > 1 thì ( 2 ) ⇔ f ( x ) < log a b. a >1

+ Nếu 0 < a < 1 thì ( 2 ) ⇔ f ( x ) > log a b.

a f ( x ) < b ⇔ f ( x ) < log a b

Dạng 3: Bất phương trình có dạng a f ( x ) > b. ( 3)

+ Nếu b ≤ 0 thì (3) nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ. + Nếu b > 0, a > 1 thì ( 3) ⇔ f ( x ) > log a b. Trang 1

Trang 2

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

x=0 . ⇔ −2 x 2 + x + 1 = 1 ⇔  x = 1  2

Dạng 1. Phương trình mũ Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x

A. 0.

C. 6.

B. 2.

− x−4

1 là 16

Chọn D.

(

D. 1.

Ví dụ 4. Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3 + 2 2

Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có 2 x

− x−4

A. T = 0.

 x =1 1 1 ⇔ x 2 − x − 4 = log 2 ⇔ x2 − x = 0 ⇔  . 16 16 x = 0

− x−4

(

x 2 −12

 27  =  là  125 

 3 ⇔  5

 3 .  5

x −12

. Tìm T.

D. T = 1.

)

x2 − x + 2

(

= 3− 2 2

)

x3 − 2

1 = 3+ 2 2 3+ 2 2

(

⇔ 3+ 2 2

(

)

x2 − x + 2

(

)

−1

= 3+ 2 2

, nên

)

2 − x3

Chọn A.

1 . 2

C. 1.

 27  3 5 =  ⇔   .   125  5 3 9

 3  3 =  ⇔  5 5

Vậy tổng các nghiệm là

D. 0.

Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số mũ

24 + x − 2 x 2

2 x − 24

3 =  5

Chú ý: Ta có thể đặt ẩn phụ sau khi đưa được về phương trình chứa một hàm số mũ.

Ta thường gặp các dạng sau:

 x=3 3 =   ⇔ −2 x 2 + x + 24 = 9 ⇔  . x = − 5 5  2 9

1 . 2

Chọn B. Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3.5 1 A. − . 2

3 B. . 2

x − 2 x 2 +1

3 C. − . 2

−2 x 2 + x +1

= 5.3

−2 x 2 + x +1

= 5.3

⇔

5x − 2 x 3−2 x

+ x +1

5 5 = ⇔  3 3

−2 x 2 + x +1

2 f ( x)

f ( x)

•

m.a

•

m.a

•

m.a 2 f ( x ) + n. ( a.b )

•

Ẩn phụ không hoàn toàn: Đặt a x = t khi đó phương trình mới chứa cả x và t. Ta coi t là ẩn; x là

là

f ( x)

+ n.a

+ n.b

f ( x)

+ p=0

1 f x f x + p = 0 , trong đó a.b = 1 . Đặt t = a ( ) , t > 0 suy ra b ( ) = . t f ( x)

a + p.b 2 f ( x ) = 0 . Chia hai vế cho b 2 f ( x ) và đặt   b

f ( x)

= t > 0.

tham số, tìm mối quan hệ x và t. Ví dụ mẫu

1 D. . 2

Ví dụ 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 4 x − 5.2 x + 4 = 0 là

Hướng dẫn giải Ta có: 3.5

x3 − 2

Phương pháp giải 2

24 − 2 x 2

x − 2 x 2 +1

)

Do đó tích tất cả các nghiệm là 0.

Hướng dẫn giải

 25  Ta có: 0, 6 x    9 

(

= 3− 2 2

x = 0 ⇔ x 2 − x + 2 = 2 − x3 ⇔ x3 + x 2 − x = 0 ⇔  .  x = −1 ± 5  2

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.

)(

(3 + 2 2 )

Chọn D.

 25  Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình 0, 6 x    9 

x2 − x + 2

C. T = −1.

Nhận xét: 3 + 2 2 3 − 2 2 = 1 ⇒ 3 − 2 2 =

x = 0 = 2−4 ⇔ x 2 − x − 4 = −4 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔  .  x =1

A. -8.

B. T = −2.

)

Hướng dẫn giải

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1. Cách 2: Ta có: 2 x

1 . 2

Vậy tổng các nghiệm là

A. 3. 5 = 3

B. 2.

C. 4.

Ta có: 4 x − 5.2 x + 4 = 0 ⇔ ( 22 ) − 5.2 x + 4 = 0 2

Trang 3

D. 1. Đưa phương trình ban

Hướng dẫn giải 2

đầu về dạng phương 2

trình bậc hai ẩn 2 x .

Trang 4

 2x = 1  x2 = 0  x=0 2 − 5.2 x + 4 = 0 ⇔  2 ⇔ 2 ⇔ . x x 2 =  2 = 4  x = ± 2

( )

⇔ 2x

⇔ 12 − 11.

Ví dụ 2. Phương trình 31+ x + 31− x = 10 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó giá trị biểu thức P = x1 + x2 + 2 x1 x2 là

Vậy S = 1 − 2 log 2 2.

B. -6.

C. -2.

D. 2.

Chọn C.

Hướng dẫn giải Ta có: 31+ x + 31− x = 10 ⇔ 3.3x +

2 3 = 10 ⇔ 3. ( 3x ) − 10.3x + 3 = 0 3x

Đưa phương trình ban đầu về dạng phương

(

Ví dụ 5. Phương trình 3 + 5

A. 9.

A. 2.

B. -1.

(

) (

)

2 −1 +

C. 0.

2 + 1 − 2 2 = 0 là

D. 1.

Hướng dẫn giải

)(

2 −1 x

 1    +  2 +1

( (

= 3.2 x có hai nghiệm x1 ; x2 . Giá

B. 13.

C. 1.

D. 2. Ta có −1

Ví dụ 3. Tích các nghiệm của phương trình

  ⇔ 

Hướng dẫn giải

Chọn C.

(

) + (3 − 5 )

trị biểu thức A = x12 + x22 bằng bao nhiêu?

trình bậc hai ẩn 3x.

 3x = 3  x =1 ⇔ x 1⇔ . Vậy P = −2. 3 =  x = −1  3

Ta có

 3 là   .  2

  3 x   = 4  x = − log 2 4  x = log 3 4 2 2 3 . ⇔ ⇔ ⇔  3 x 3  x =1  x =1     = 2  2 

Chọn A.

A. 0.

6x 9x  3 3 + 2. x = 0 ⇔ 2.   − 11.   + 12 = 0 x 4 4  2 2

(

) 2 + 1)

Nhận xét:

(

)(

2 −1

1 nên phương trình thành 2 +1

)

2 + 1 = 1 ⇒ 2 −1 =

2 +1 − 2 2 = 0 ⇔  

)

x 2 +1  − 2 2 

(

)

(

)

2 +1 +1 = 0

 x =1 ⇔ . x = −1 = 2 −1 

)

2 +1 = 1

⇒ 2 −1 =

2 +1 = 1+ 2 x

(

)

1 2 +1

đầu về dạng phương trình

bậc

(

hai

3+ 5 3− 5 3− 5  3+ 5  =1 ⇔ =  .  . 2 2 2  2  2x

3− 5  3+ 5  =   2  2 

ẩn

2 +1 .

phương trình bậc hai ẩn x

 3+ 5  là   .  2 

 3 + 5  x 3 + 5   = 2  2   x =1 ⇔ ⇔ . x  x = −1  3 + 5  3 − 5  =  2  2  Vậy A = 2.

Chọn D.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là -1.

Ví dụ 6. Tổng tất cả các nghiệm thực 3.4 x + ( 3x − 10 ) .2 x + 3 − x = 0 là S = log 2

Chọn B.

giản. Giá trị của a + b bằng

Ví dụ 4. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình

A. 2.

3.4 x +1 − 11.6 x + 2.9 x = 0. . Tìm S.

B. S = 1 − log 3 2.

C. S = 1 − 2 log 2 2.

C. 4.

D. 5.

D. S = 1.

3.4 x + ( 3x − 10 ) .2 x + 3 − x = 0 ⇔ 3. ( 2 x ) + ( 3x − 10 ) .2 x + 3 − x = 0

Đặt 2 x = t ( t > 0 ) , phương trình trở thành 3t 2 + ( 3x − 10 ) t + 3 − x = 0

Hướng dẫn giải Ta có: 3.4

B. 3.

a a là phân số tối , với b b

Hướng dẫn giải

A. S = 1 − log 2 3.

x +1

−1

Chia 2 vế cho 2 x đưa về

 3+ 5   3− 5   3+ 5   3+ 5  Do đó:   +   = 3 ⇔  2  − 3.  2  + 1 = 0  2   2     

Đưa phương trình ban

)

)(

Nhận xét 3 + 5 3 − 5 = 4 ⇔

Ta xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn là t = 2 x và tham số x. x

− 11.6 + 2.9 = 0 ⇔ 12.4 − 11.6 + 2.9 = 0

Chia 2 vế cho 4 đưa về phương trình bậc hai ẩn

Trang 5

Trang 6

 1 1  2x = t= Giải phương trình theo tham số x ta được  ⇔ 3 3   x  2 = 3 − x (*) t = 3 − x

A. P = 8.

B. P = 5.

D. P = 3.

Hướng dẫn giải 2 x −1

Ta có: 3 .5

Giải phương trình (*), ta có: 2 + x − 3 = 0 .

2 x −1 x

x −1 x −1   3x.5 x = 15 ⇔ = 1 ⇔ 3x −1.5 x = 1 ⇔ log 3  3x −1.5 x  = 0 3.5  

Đặt f ( x ) = 2 + x − 3, f ' ( x ) = 2 ln 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ nên phương trình f ( x ) = 0 có tối đa một nghiệm. x

C. P = 13.

⇔ log 3 3x −1 + log 3 5

Mà f (1) = 0 nên phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1 .

x −1 x

= 0 ⇔ x −1 +

x −1 .log 3 5 = 0 x

1 1 2 Tóm lại phương trình có nghiệm x1 = log 2 ; x2 = 1 nên S = log 2 + 1 = log 2 . 3 3 3

 x =1  1  ⇔ ( x − 1) . 1 + .log 3 5  = 0 ⇔  . x    x = − log 3 5

Do đó a = 2, b = 3 suy ra a + b = 5.

Vậy a = 3, b = 5 suy ra a + 2b = 13.

Chọn D.

Chọn C.

Bài toán 3. Lấy logarit hai vế Phương pháp giải

Bài toán 4. Đặt nhân tử chung

Cho 0 < a ≠ 1 và x, y > 0 ta có x = y ⇔ log a x = log a y

• •

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2.11x + 253x − 23x = 2 là

0 < a ≠ 1, b > 0 Phương trình a f ( x ) = b ⇔  .  f ( x ) = log a b Phương trình a

f ( x)

g( x)

⇔ log a a

hoặc log b a

f ( x)

A. 0.

= log a b

= log b b

g( x)

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

⇔ f ( x ) = g ( x ) .log a b

Ta có: 2.11x + 253x − 23x = 2 ⇔ 2.11x + 11x.23x − 23x − 2 = 0

⇔ f ( x ) .log b a = g ( x ) .

⇔ 2 (11x − 1) + 23x (11x − 1) = 0

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 7 x .3− x = 1 . Tìm S.

⇔ ( 2 + 23x )(11x − 1) = 0

A. S = log 7 3.

⇔ 11x − 1 = 0 (vì 2 + 3x > 0, ∀x ∈ ℝ ) ⇔ x = 0.

B. S = log 3 7.

C. S = log 2 3.

D. S = log 3 2.

Chọn A.

Hướng dẫn giải Ta có:

(

)

7 x .3− x = 1 ⇔ log 3 7 x .3− x = log 3 1 ⇔ log 3 7 x + log 3 3− x = 0

Lấy logarit cơ số 3

Ví dụ 2. Phương trình 2 x

hoặc cơ số 7 hai vế.

là

A. 0.

x = 0 ⇔ x .log 3 7 − x = 0 ⇔ x ( x log3 7 − 1) = 0 ⇔  .  x = 1 = log 7 3 log 3 7 

− 4.2 x

−x

B. 1.

Ta có: 2 x

− 22 x + 4 = 0 có số nghiệm nguyên dương

C. 2.

D. 3.

− 4.2 x

−x

− 22 x + 4 = 0 ⇔ 2 x − x.22 x − 4.2 x

(

⇔ 2 x − x. ( 22 x − 4 ) − ( 22 x − 4 ) = 0 ⇔ ( 22 x − 4 ) 2 x 2

Vậy tổng các nghiệm là S = log 7 3.

Chọn A.

2 x −1 x

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Phương trình 3x.5

−x

− 22 x + 4 = 0

)

−1 = 0

 22 x = 4  2x = 2  x =1 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ . x −x =1 x − x = 0 x = 0  2 = 15 có một nghiệm dạng x = − log a b , với a, b

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương.

Chọn B.

là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của P = a + 2b bằng bao nhiêu?

Bài toán 5. Phương pháp hàm số Trang 7

Trang 8

Phương pháp giải

 f (1) = 0 nên phương trình có hai nghiệm x = 0 hoặc x = 1. Mà   f ( 0 ) = 0

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên ( a; b ) thì có tối đa một

nghiệm của phương trình f ( x ) = k trên ( a; b ) và f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ ( a; b ) .

liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f ( x ) = g ( x ) không nhiều hơn một.

gần bằng số nào dưới đây?

A. 0,35.

f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v (hoặc u < v ) , ∀u, v ∈ D.

Ví dụ 1. Phương trình 3x = 5 − 2 x có bao nhiêu nghiệm? C. 1.

D. 2.

Mà f (1) = 0 nên phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1. Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.

10 . 23

3m + 27 3 3m + 27.2 x = 2 x có nghiệm thực?

A. 6.

B. 4.

C. Vô số.

D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải

Chọn C. Ta có

Ví dụ 2. Phương trình 2 x + 5 x = 2 + 5 x có bao nhiêu nghiệm? C. 1.

3m + 27 3 3m + 27.2 x = 2 x ⇔ 27 3 3m + 27.2 x = 23 x − 3m.

Đặt 2 x = u, điều kiện: u > 0 và

D. 2.

Hướng dẫn giải

3m + 27.2 x = v ⇒ v3 = 3m + 27.u.

(1) ( 2)

( 3)

(1) trở thành u 3 = 27v + 3m. x

Đặt f ( t ) = 2t + t , ta có f ′ ( t ) = 2t.ln 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ.

f ( x ) = 0 có tối đa một nghiệm.

Ta có: 2 + 5 = 2 + 5 x ⇔ 5 + 2 − 5 x − 2 = 0

Từ (3) và (2) suy ra u 3 − 27v = v3 − 27u ⇔ ( u − v ) . ( u 2 + uv + v 2 + 27 ) = 0

Đặt f ( x ) = 5 x + 2 x − 5 x − 2, ta có f ′ ( x ) = 5x.ln 5 + 2 x ln 2 − 5

⇔ u = v.

Xét f ′ ( x ) = 0 ⇔ 5 x.ln 5 + 2 x ln 2 − 5 = 0

1  3v 2  Do u 2 + uv + v 2 + 4 =  u + v  + + 27 > 0, ∀u , v ∈ ℝ, nên 2  4 

Ta có f ′′ ( x ) = 5x.ln 2 5 + 2 x ln 2 2 > 0, ∀x ∈ ℝ nên phương trình f ′ ( x ) = 0 có tối đa một nghiệm.

3m + 27u = u ⇔ m =

Vì lim f ′ ( x ) = −5 và lim f ′ ( x ) = +∞ nên phương trình f ′ ( x ) = 0 có duy x →−∞

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Đặt f ( x ) = 3x + 2 x − 5, ta có f ′ ( x ) = 3x ln 3 + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ nên phương trình

Ta có 223 x .2 x − 210 x + 23x 3 = 10 x 2 − x ⇔ 223 x + x + 23x 3 + x = 210 x + 10 x 2

Chọn B.

Ta có: 3x = 5 − 2 x ⇔ 3x + 2 x − 5 = 0

D. 0,45.

Hướng dẫn giải

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là

Hướng dẫn giải

B. 3.

C. 0,50.

 x=0 Mà f ( 23 x3 + x ) = f (10 x 2 ) nên 23 x3 + x = 10 x 2 ⇔  . x = 5 ± 2  23

Ví dụ mẫu

A. 0.

B. 0,40. 3

Tính chất 3. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình

B. 3.

Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình 223 x .2 x − 210 x + 23 x3 = 10 x 2 − x

Tính chất 2. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y = g ( x )

A. 0.

Chọn D.

x →+∞

Xét hàm số f ( u ) =

nhất một nghiệm x = x0 . Do đó, phương trình f ( x ) = 0 có tối đa hai nghiệm.

Ta có f ′ ( u ) =

Trang 9

u 3 − 27u , với u > 0. 3

u 3 − 27u với u > 0. 3

1 ( 3u 3 − 27 ) ; f ′ ( u ) = 0 ⇔ u = 3 do u > 0. 3 Trang 10

Suy ra min f ( u ) = −54. Do đó có vô số giá trị nguyên của m để phương trình

nghiệm thuộc ( x1 ; x2 ) ta giải như sau:

9 x − 2.3x + 3 − m = 0 có nghiệm thuộc ( 0; +∞ ) .

có nghiệm thực.

Bước 1. Đặt t = a x , t > 0

Đặt 3x = t , ( t > 0 ) . Vì x ∈ ( 0; +∞ ) nên t ∈ (1; +∞ ) .

Chọn C.

vì x ∈ ( x1 ; x2 ) ⇒ t ∈ ( a x1 ; a x2 ) .

Bài toán 6. Phương trình chứa tham số

Bước 2. Chuyển về phương trình ẩn t, cô lập m Phương trình trở thành: chuyển về dạng f ( t ) = m t 2 − 2t + 3 − m = 0 ⇔ m = t 2 − 2t + 3.

( 0;+∞ )

Phương pháp giải Ví dụ 1. Cho phương trình 4 x − m.2 x +1 + 2m = 0.

Bước 3. Xét hàm f ( t ) : tìm đạo hàm, lập bảng Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 2t + 3 trên khoảng (1; +∞ ) .

Biết rằng khi m = m0 thì phương trình có hai

biến thiên và đưa ra kết luận.

Có f ′ ( t ) = 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1. Ta có bảng biến thiên

nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3. Mệnh

f ′ (t )

đề nào sau đây là đúng?

A. m0 là số nguyên âm.

+∞

B. m0 là số nguyên tố.

f (t )

C. m0 là số lẻ.

2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m > 2 thỏa mãn

D. m0 là số chính phương.

yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

Ví dụ mẫu

Bước 1. Đặt t = a ( t > 0 ) , chuyển phương trình Ta có: x

ban đầu về phương trình ẩn t.

4 x − m.2 x +1 + 2m = 0. ⇔ ( 2 x ) − 2m.2 x + 2m = 0 (1) x

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 x − m.2 x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu?

Đặt t = 2 , t > 0, phương trình thành

A. Vô số.

t 2 − 2mt + 2m = 0 ( 2 ) .

Hướng dẫn giải

Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có Ta thấy rằng ứng với một giá trị t > 0 ta tìm được nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm quyết.

x1 , x2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t2 > t1 > 0 đồng thời

Chọn D. m

để

Ta có 4 x − m.2 x + 2m − 5 = 0 ⇔ ( 2 x ) − m.2 x + 2m − 5 = 0

Đặt t = 2 x , t > 0, phương trình thành t 2 − mt + 2m − 5 = 0 ( 2 ) . Đặt f ( t ) = t 2 − mt + 2m − 5

  2 m2 − 8m + 20 > 0  ∆>0  m − 4 ( 2m − 5 ) > 0  5  P > 0 2m − 5 > 0 m> 5   ⇔ ⇔ ⇔ < m < 4. 2  S > 0 m 0 > 2    m>0 1. f ( t ) < 0 1. (1 − m + 2m − 5 ) < 0  m<4   

Vậy m0 = 4 là một số chính phương.

Tìm

D. 4.

t2 > t1 > 0 đồng thời t1 < 1 < t2 (vì 2 x1 < 20 < 2 x2 ). Từ đó, ta có:

∆ > 0  4m 2 − 8m > 0    S > 0 ⇔  2m > 0 ⇔ m = 4.    2m = 8 P = 8

C. 1.

trình có hai nghiệm x1 < 0 < x2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

Từ đó, ta có điều kiện

dụ

B. 0.

Nhận xét rằng với một giá trị t > 0 ta tìm được một nghiệm x nên để phương

x1 + x2 = 3 ⇒ 2 x1 + x2 = 23 ⇔ t1.t2 = 8.

Ví

+∞

phương

trình

Bài toán: Tìm tham số m để phương trình có

Vậy chỉ có một giá trị nguyên của tham số m thỏa đề. Chọn C.

Trang 11

Trang 12

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

25 8

2 x + 3 = m 4 x + 1 (*) có nghiệm duy nhất? A. 3.

B. Vô số.

C. 1.

−∞

Hướng dẫn giải Đặt t = 2 x , t > 0, phương trình (*) ⇔ t + 3 = m t 2 + 1 ⇔ m =

Xét hàm số f ( t ) = Ta có f ′ ( t ) =

t +3

t +3 t2 +1

25 Do đó phương trình có nghiệm khi m ≤ . 8

(1) .

Chọn A.

xác định trên tập D = ( 0; +∞ ) .

t2 +1

Bài tập tự luyện dạng 1

1 − 3t

+ 1)

1 . Cho f ′ ( t ) = 0 ⇔ 1 − 3t = 0 ⇔ t = . 3 t2 +1

Câu 1: Giá trị của tham số k để hai phương trình 3x = 30 − x (1) và x − k = 0 ( 2 ) có nghiệm chung là A. 2.

Bảng biến thiên

B. 3.

Câu 2: Phương trình 3

−∞

D. 2.

1 3

y′

A. 1.

+∞

Câu 3: Phương trình

−

(

6 + 35

Câu 5: Phương trình 3

A. 1.

C. 3.

B. 1.

Đặt t = 2

1 , điều kiện t ≥ vì 2

D. 4.

C. 2.

B. 4.

C. 3.

x 2 − 4 x +5

x − 1 ≥ −1.

1  Xét hàm số y = −2t 2 + 5t trên  ; +∞  . 2 

x 2 − 3 x +8

y′

1 2

C. 26.

2 x −1

, khi đó tập nghiệm của phương trình là

 5 − 61 5 + 61  C. S =  ; . 2   2

D. S = {−2; −5} .

x +1

− 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm âm?

B. 3.

Câu 10: Cho phương trình 2

+∞

D. 25.

 −5 − 61 −5 + 61  B. S =  ; . 2 2  

A. 1.

5 4

D. 2.

A. S = {2;5} .

1 Câu 9: Phương trình 3x + 9.    3

5 Ta có y′ = −4t + 5. Cho y′ = 0 ⇔ 4t − 5 = 0 ⇔ t = . 4 −∞

D. 3.

= 9. Tổng các lập phương các nghiệm thực của phương trình là

B. 27.

Câu 8: Cho phương trình 3

Khi đó (*) ⇔ 2t 2 − 5t = − m.

D. 4.

Hướng dẫn giải x −1

D. 4.

= 666661 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 7: Cho phương trình 3 A. 28.

C. 1.

C. 3.

Câu 6: Phương trình 4 − 10.2 + 16 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

+ m = 0, (*) có nghiệm? B. 0.

) = 12 có bao nhiêu nghiệm?

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

A. 3.

6 − 35

B. 2. x−2

A. 0.

Chọn D.

x −1

) +(

D. 4.

Câu 4: Phương trình 2 .5 = 40000 có bao nhiêu nghiệm nguyên?

nghiệm duy nhất nên có hai giá trị nguyên của tham số m.

− 5.2

C. 3. x

B. 2. x+2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1 < m ≤ 3 hoặc m = 10 phương trình có

x −1

D. 5.

= 81 có bao nhiêu nghiệm? x

A. 1.

2.4

C. 4.

B. 2.

A. 1.

x3 − 9 x + 4

28 x+4 3

C. 0.

D. 2.

= 16 x −1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên. B. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

−

C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

Trang 13

Trang 14

D. Phương trình vô nghiệm. 8− x2

Câu 11: Phương trình 2 A. 7.

A. 1.

= 0, 001. (10

8− x 2

5 1− x

)

Câu 23: Cho phương trình 2

có tổng các nghiệm là

B. -7.

C. 5.

A. 0.

D. -5.

B. x = −1, x = log 3 2.

C. x = 1, x = log 3 2.

D. x = −1, x = − log 3 2.

A. 0. Câu 25: Phương trình

C. -2.

C. 4.

Câu 14: Cho phương trình 4 x − 41− x = 3. Khẳng định nào sau đây sai? x

C. 3.

5+ 2

) +(

A. 3.

Câu 15: Nghiệm của phương trình 2 x + 2 x +1 = 3x + 3x +1 là B. x = 1.

2 3 B. x ∈  ;  . 3 2

C. 0. 2

−5 x + 6

B. -3.

A. m < 2.

D. x = log 3 5 − 1.

B. m > 2.

A. -2.

B. 2.

 1 + 21  D. 5log 5   .  2 

A. S = {2; m log 3 5} .

B. S = {2; m + log 3 5} .

(

B. x ∈ {−5; −1;1;3} .

3− 2

) +(

3+ 2

Câu 33: Biết rằng phương trình 3x +1.25x −1 =

)

C. x = log 2 2 + 3 . 2

−3 x + 2

+ 4x

+6 x+5

= 42 x

+3x+7

C. x ∈ {−5; −1;1; −2} . x

) = ( 10 )

) (

)

= m có hai nghiệm phân

D. m ≤ 2.

(

) + 2 2( x + 2 ) − 2 x

2 x 2 +1

C. 0.

Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x −1.5

= 6 có nghiệm là

Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4 x

D. -4. x

+ 1. Khi đó, tổng hai

nghiệm bằng?

D. − log 3 6.

C. 5.

B. x = log 2 3.

có hai nghiệm phân biệt. Tổng

C. m = 2.

) + (2 + 3)

−1

C. 2.

Câu 31: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x

3 C. log 3 . 2

 1 + 21  B. log 5   .  2 

D. 3. 2

biệt?

C. x = log3 5 + 1.

2 B. log 3 . 3

(

D. 3x1 − 2 x2 = log 3 8.

C. 2.

(

Câu 19: Phương trình 5 x + 251− x = 6 có tích các nghiệm là

Câu 22: Phương trình

C. 2 x1 + 3x2 = log 3 54.

Câu 30: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 + 3 + 2 − 3

D. x ∈ {−1;1} .

Câu 18: Phương trình 9 x − 5.3x + 6 = 0 có tổng các nghiệm là

A. x ∈ {−5; −1;1; 2} .

D. 3.

có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1 < x2 hãy chọn phát biểu đúng?

B. 1.

A. 1.

C. x ∈ {−1; 0} .

B. x = log 3 5.

A. x = log 2 + 3 2. ( )

D. 2.

hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Câu 17: Nghiệm của phương trình 12.3x + 3.15x − 5 x +1 = 20 là

(

có bao nhiêu nghiệm?

Câu 29: m là tham số thay đổi sao cho phương trình 9 x − 4.3x +1 + 27 m

2 D. x = log 4 . 3 3

C. x = 0.

Câu 16: Nghiệm của phương trình 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0 là

Câu 20: Phương trình 7 + 4 3

D. 2.

Câu 28: Phương trình 4sin x + 4cos x = 2 2 ( sin x + cos x ) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [ 0;15] ?

D. Phương trình vô nghiệm.

 1 − 21  A. log 5   .  2 

) = ( 7)

C. 3.

A. log 3 6.

3− 2

A. 3 x1 + 2 x2 = log3 54. B. 2 x1 − 3x2 = log 3 8.

C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.

A. x = log 5 3 − 1.

B. 2.

Câu 27: Phương trình 2 x −3 = 3x

B. Phương trình có một nghiệm.

A. x ∈ {0;1} .

D. Vô số nghiệm.

+ 3x có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu?

B. 0.

A. 1.

A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 4 − 3.4 − 4 = 0.

3 A. x = log 3 . 2 4

x +1

Câu 26: Phương trình 32 x + 2 x ( 3x + 1) − 4.3x − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

D. 1.

(

D. 4.

= 6. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

B. 4.

A. 4.

tích x1.x2 bằng B. 2.

+ 4.2

sin 2 x

Câu 24: Phương trình x.2 + x + 2 = 2

Câu 13: Cho phương trình 4.4 x − 9.2 x +1 + 8 = 0. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó,

A. -1.

C. 3.

cos 2 x

B. 2. x

Câu 12: Phương trình 9 x − 5.3x + 6 = 0 có nghiệm là A. x = 1, x = log 2 3.

B. 2.

2 x− 2 − m x−m

D. 1.

= 15, m là tham số khác 2.

C. S = {2} .

D. S = {2; m − log 3 5} .

3 có đúng hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị của 25

P = 3x1 + 3x2 .

D. x = 1.

A. P =

+ 1. D. x ∈ {5; −1;1; 2} .

Trang 15

B. P = 26.

Câu 34: Phương trình 2 x −1 − 2 x A. 1.

có bao nhiêu nghiệm thực?

26 . 5

B. 2.

−x

C. P = 26.

D. P =

26 . 25

= ( x − 1) có bao nhiêu nghiệm? C. 3.

D. 4.

Trang 16

Câu 35: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin x − 2017cos x = cos 2 x trên đoạn [ 0; π]. A. T = π.

B. T =

π . 4

Câu 36: Biết rằng phương trình 3x

C. T = −1

π . 2

D. T =

Ví dụ mẫu

3π . 4

Ví dụ 1. Giải bất phương trình

+ ( x 2 − 1) 3x +1 = 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương

hai nghiệm của phương trình bằng A. 2.

C. 8.

D. −8.

thỏa mãn x1 + x2 = 1.

x +1

> 4−2 3

B. m = −3.

C. m = 3.

Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 22 x −1 + 22 x −2 + 22 x −3 ≥ 448 là

D. m = 1.

Hướng dẫn giải C. m = 2.

Câu 39: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2017

D. m = 1. 2 x −1

( 4 − 2 3 ) ⇔ x + 1 < 2 ⇔ x < 1.

Chọn D.

thỏa mãn x1 + x2 = 2. B. m = 3.

3 −1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( −∞;1)

9  A.  −∞;  . 2 

Ta có:

− 2m.2017 + m = 0 có hai nghiệm

9  B.  ; +∞  . 2 

9  C.  −∞; −  . 2 

 9  D.  − ; +∞  .  2 

1 2x 1 2x 1 2x 7 .2 + .2 + .2 ≥ 448 ⇔ .22 x ≥ 448 ⇔ 22 x ≥ 512 2 4 8 8

9 ⇔ 2 x ≥ log 2 512 ⇔ 2 x ≥ 9 ⇔ x ≥ . 2

thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1. A. m = 0.

)

3 −1

Hướng dẫn giải

Câu 38: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − m.2 x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2

A. m = 4.

(

Ta thấy a = 3 − 1 ∈ ( 0;1) nên ta có: x + 1 < log

B. 0.

Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 x − 2.3x +1 + m = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2

A. m = 6.

Bài toán 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản

B. m = 3.

C. m = 2.

D. m = 1.

Chọn B.

Câu 40: Cho phương trình ( m + 1)16 − 2 ( 2m − 3) 4 + 6m + 5 = 0 với m là tham số thực. Tập các giá trị

Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x + 2 x + 2 + 2 x + 4 ≥ 3x + 3x + 2 + 3x + 4 là

của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng ( a; b ) . Tính P = ab.

 13  A. T =  −∞;log 2  . 3 3  

  13 B. T = log 2 ; +∞  . 3  3 

 13  C. T =  −∞;log 2  . 3 3  

  13 D. T =  log 2 ; +∞  .  3 3 

A. P = 4.

3 C. P = − . 2

B. P = −4.

5 D. P = . 6

Câu 41: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 9 − ( m − 1) 3 + 2m = 0 có nghiệm duy nhất. x

A. m = 5 + 2 6.

B. m = 0; m = 5 + 2 6.

Hướng dẫn giải

C. m < 0.

D. m < 0; m = 5 + 2 6.

Ta có: 2 x + 4.2 x + 16.2 x ≥ 3x + 9.3x + 81.3x ⇔ 21.2 x ≥ 91.3x ⇔

Câu 42: Cho phương trình 4 x

− 2 x +1

− m.2 x

−2 x+2

+ 3m − 2 = 0 với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m

để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. A. m < 1.

B. m < 1; m > 2.

Câu 43: Cho phương trình m.2

x −5 x + 6

1− x

C. m ≥ 2. 2

= 2.2

6−5 x

D. m > 2.

B. 2.

+ m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá

Câu 44: Cho phương trình 251+

C. 3. 1− x

− ( m + 2 ) 51+

1− x

D. 4.

+ 2m + 1 = 0 với m là tham số thực. Số nguyên dương

B. m = 35.

Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình

(

5−2

)

2x x −1

≤

(

5+2

)

là

A. ( −∞; −1] ∪ [ 0;1].

B. [ −1;0].

C. ( −∞; −1] ∪ [ 0; +∞ ) .

D. [ −1; 0] ∪ (1; +∞ ) .

Hướng dẫn giải

m lớn nhất để phương trình có nghiệm là A. m = 20.

2 13 Vì cơ số a = ∈ ( 0;1) nên bất phương trình thành x ≤ log 2 . 3 3 3 Chọn A.

trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt? A. 1.

2 x 91  2  13 ≥ ⇔  ≥ . 3x 21  3  3

C. m = 30.

D. m = 25.

Ta thấy

Dạng 2: Bất phương trình mũ

Trang 17

(

5+2

)(

)

5 − 2 =1⇔ 5 − 2 =

(

5+2

)

−1

nên bất phương trình thành

Trang 18

(

5−2

)

2x x −1

≤

(

5−2

)

−x

Hướng dẫn giải

. (1)

Ta có:

Vì cơ số a = 5 − 2 ∈ ( 0;1) nên

(1) ⇔

 −1 ≤ x ≤ 0 2x 2x x2 + x ≥ −x ⇔ +x≥0⇔ ≥0⇔ . x −1 x −1 x −1  x >1

( 2 x ) − 6.2 x + 8 ≥ 0 4 x − 3.2 x +1 + 8 ≥0⇔ x +1 2 −1 2.2 x − 1

Lập bảng xét dấu của f ( t ) =

Chọn D.

t 2 − 6t + 8 x , 2 = t. 2t − 1

1 2

−∞

Bài toán 2. Bất phương trình theo một hàm số mũ VT

Ví dụ mẫu

2 +

−

+∞

−

Ví dụ 1. Bất phương trình 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 2.

B. 3.

C. 0.

Từ bảng xét dấu ta có:

D. 1.

x 2

(2 )

Hướng dẫn giải

2.2 x − 1

Ta có: 5.4 x + 2.25x − 7.10 x ≤ 0 2x

⇔ 5 + 2.

− 6.2 x + 8

 2x ≥ 4  x≥2 ≥ 0 ⇔ 1 ⇔ .  < 2x ≤ 2  −1 < x ≤ 1  2

25x 10 x 5 5 − 7. x ≤ 0 ⇔ 2.   − 7.   + 5 ≤ 0 x 4 4 2   2

Vậy bất phương trình không có nghiệm nguyên âm. Chọn C.

5 5 ⇔ 1 ≤   ≤ ⇔ 0 ≤ x ≤ 1. 2 2

Ví dụ 5. Bất phương trình

Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên.

tổng a + b là

Chọn A.

A. 2.

Ví dụ 2. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4 A. 2.

B. 4.

2 x2

− 5.4

x2 + x

C. 0.

2 x +1

Ta có: 42 x − 5.4 x

( )

+ 42 x +1 = 0 ⇔ 4 x

(

⇔ 4x

−x

)

B. 3.

D. 1.

Ta có:

1 5

x +1

−1

≥

− 5.4 x

−x

⇔

+4=0

Lập bảng xét dấu f ( t ) =

 x=0  x =1 ⇔ .  x = −1   x=2

1 5

−

1 +

+∞

−

 5 >5  x >1 6 − 6.5 x  ≥ ⇔ ⇔ 0 . 1 x x x  < 5 ≤ 1  −1 < x ≤ 0 ( 5.5 − 1) . (5 − 5 )  5 x

Từ bảng xét dấu ta có

Chọn A.

Vậy a = 1, b = 0 ⇒ a + b = 1.

4 x − 3.2 x +1 + 8 ≥ 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm? 2 x +1 − 1 B. -1.

t 2 − 6.t ,5 x = t. ( 5.t − 1) . ( 5 − t )

−∞

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.

A. 2.

5 − 5x − 5.5x + 1 6 − 6.5 x ≥0⇔ ≥0 x x x ( 5.5 − 1) . ( 5 − 5 ) ( 5.5 − 1) . ( 5 − 5x )

Đưa vế trái về dạng một ẩn chứa 5x sau đó xét dấu

 4x −x = 1  x2 − x = 0 ⇔ 2 ⇔ 2 x −x  4 =4 x − x = 2

Ví dụ 3. Bất phương trình

D. 1.

1 1 1 5 − 5x − 5.5 x + 1 ⇔ − ≥0⇔ ≥0 x x x 5−5 5.5 − 1 5 − 5 ( 5.5x − 1) .( 5 − 5x )

− 5.4 x .4 x + 4. ( 4 x ) = 0 2

C. 0.

Hướng dẫn giải

= 0 là

Hướng dẫn giải 2

1 1 có tập nghiệm dạng S = ( − a; b ] ∪ ( a; +∞ ) với a > 0 . Giá trị ≥ 5 x+1 − 1 5 − 5x

C. 0.

Chọn D. Bài toán 3. Lấy logarit hai vế

D. 1.

Trang 19

Trang 20

Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình

Phương pháp giải Cho 0 < a ≠ 1 và x, y > 0 ta có:

1    3

+ Nếu 0 < a < 1 thì x < y ⇔ log a x > log a y.

3 x2

1 <  3

 1  Vậy S =  − ;1 .  3 

2 x+1

là

Chọn C.

A. S = (1; +∞ ) .

+ Nếu a > 1 thì x < y ⇔ log a x < log a y.

1 Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình    2

1  B. S =  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) . 3 

 1  C. S =  − ;1 .  3 

2 x +1

C. S = ℝ \ {1; 2} .

D. S = ( 2; +∞ ) .

− x2 +5 x

1 >  4

x +1

1 ⇔ log 1   3 3

3 x2

1 > log 1   3 3

1 ⇔  2

− x2 +5 x

1 ⇔ log 1   2 2

2 x +1

1 >   2

− x2 + 5 x

2 x+2

1 < log 1   2 2

2 x+2

⇔ − x2 + 5 x < 2 x + 2 ⇔ − x 2 + 3x − 2 < 0

⇔ 3x 2 − 2 x − 1 > 0

⇔ x2 − 3x + 2 > 0

1  x<− ⇔ 3.   x >1

x > 2 ⇔ .  x <1 Vậy S = ( ∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

1  Vậy S =  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) . 3 

Chọn A.

Chọn B.

Ví dụ 3. Nghiệm của bất phương trình 8 x + 2 > 36.32− x là

Ví dụ mẫu

1 Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình    3

−3 x 2

< 32 x +1 là

A. S = (1; +∞ ) .

1  B. S =  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) . 3 

 1  C. S =  − ;1 .  3 

1  D. S =  −∞; −  . 3 

3 x2

⇔3

2 x +1

3 x2

⇔ log 3 3

 − log 2 6 < x < −2 B.  . x > 4

 −4 < x < −2 C.  . x > 1

 − log 3 18 < x < −2 D.  . x > 4

x−4

Ta có 8 x + 2 > 36.32 − x ⇔ 2 x + 2 > 34− x ⇔ log 3 2 x + 2 > log 3 34− x

−3 x2

2 x +1

 −3 < x < 2 A.  . x > 4

Hướng dẫn giải

1 Ta có    3

là

B. S = ( −∞;1) .

Ta có:

1 <  3

x +1

A. S = ( ∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

1 Ta có   2

Hướng dẫn giải

3 x2

1 >   4

Hướng dẫn giải

1  D. S =  −∞; −  . 3 

1    3

− x2 +5 x

⇔

2 x +1

< log 3 3

x−4  log 3 2  log 3 2 > 4 − x ⇔ ( x − 4 )  + 1 > 0 x+2  x+2 

x − 4 > 0 x > 4   x − 4 < 0  x < 4 ⇔  ⇔    log 3 2   log3 2 + 2 + x +1 < 0 <0   x+2  x + 2 

⇔ 3x 2 < 2 x + 1 1 ⇔ − < x < 1. 3

Trang 21

Trang 22

x > 4 x > 4   x < 4 ⇔  ⇔  x < 4   log 3 18 + x  − log 3 18 < x < −2 <0   x + 2

Ta có 8.3x + 3.2 x − 24 ≥ 6 x ⇔ 8.3x + 3.2 x − 2 x.3x − 24 ≥ 0

⇔ 3x ( 8 − 2 x ) + 3. ( 2 x − 8 ) ≥ 0 ⇔ ( 2 x − 8 )( 3 − 3x ) ≥ 0

 2 x ≤ 8  x ≤ 3  x  3 3 ≥   x ≥ 1 ⇔ ( 2 x − 8 )( 3x − 3) ≤ 0 ⇔  ⇔ ⇔ 1 ≤ x ≤ 3. x  x ≥ 3  2 ≥ 8    3x ≤ 3   x ≤ 1 

x > 4 ⇔ .  − log 3 18 < x < −2 Chọn D. 2x

Ví dụ 4. Bất phương trình 2 x.5 x +1 < 10 có tập nghiệm là ( −∞; −b ) ∪ ( −a; a ) . Khi đó b − a bằng A. log 2 5.

B. − log 25 .

C. 1.

D. 2 + log 2 5.

A. 0 ≤ x ≤ 1.

Ta có 2 x.5 x +1 < 10 ⇔

⇔

Chọn A. Ví dụ 2. Nghiệm của bất phương trình 52

Hướng dẫn giải

⇔ ( x − 1) .log 5 2 +

Vậy a = 1, b = 3 nên a + b = 4

2x x +1

Ta có 52

+ 5 < 51+

x −1 1   < 0 ⇔ ( x − 1) .  log 5 2 + <0 x +1 x +1 

( )

⇔ 5

⇔1< 5

−

Từ bảng xét dấu ta có

-1

( x − 1) . ( x .log 5 2 + log 5 2 + 1) < 0 ⇔  −1 < x < 1

D. 0 ≤ x ≤ 1.

− 6.5 x + 5 < 0 2

Chọn B.

Bài toán 5. Phương pháp hàm số

 −∞ < x < − log 10  2

x +1

là

⇔ 0 < x < 1.

+∞

−

C. 0 < x ≤ 1.

Bảng xét dấu:

( ) − 5 − 5.5 + 5 < 0 ⇔ ( 5 − 5)( 5 − 1) < 0 ⇔ 5

x +1

− log 2 10

Hướng dẫn giải

x −1 x −1   2 x.5 < 1 ⇔ 2 x −1.5 x +1 < 1 ⇔ log 5  2 x −1.5 x +1  < log 5 1 2.5  

−∞

+ 5 < 51+

B. 0 < x < 1.

( x − 1) . ( x .log5 2 + log5 2 + 1) < 0.

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a = 1 Do đó  ⇒ b − a = log 2 5. b = log 2 10

Tính chất: + Nếu hàm số y = f ( x ) luôn đồng biến trên D thì bất phương trình:

Chọn A.

f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v, ∀u, v ∈ D.

Bài toán 4. Đặt nhân tử chung Phương pháp giải

+ Nếu hàm số y = f ( x ) luôn nghịch biến trên D thì bất phương trình:

Phân tích để xuất hiện nhân tử và đặt nhân tử chung. Ta có A.B + A.C = A ( B + C )

f ( u ) > f ( v ) ⇔ u < v, ∀u, v ∈ D.

Với bài phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ để giải.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tập nghiệm S của bất phương trình 8.3x + 3.2 x − 24 ≥ 6 x có dạng S = [ a; b ] . Giá trị tổng a + b bằng

A. 4.

B. 2 − 2 .

C. 1 + 3.

  a Ví dụ 1. Bất phương trình 8 x + 2 x > 27 x +1 + 3x +1 có tập nghiệm là S =  −∞; log a 3  , với là phân số b b   tối giản. Giá trị của a.b bằng

D. 0.

A. 2.

Hướng dẫn giải Trang 23

B. 3.

C. 6.

D. 12. Trang 24

Hướng dẫn giải

Ta có 8 x + 2 x > 27 x +1 + 3x +1 ⇔ ( 2

x 3

)

+ 2x > (3

x +1 3

)

+ 3x +1

(

Đặt f ( t ) = t 3 + t , ta có f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ .

)

3 3 8x 27 x + ⇔ 2 x + 3x > 23 x − 2 + 33 x − 2 4 9

u = x 3 3 3 Đặt  khi đó 2 x + 3x > 23 x − 2 + 33 x − 2 ⇔ 2u + 3u > 2v + 3v v x = 3 − 2 

2 Mà f ( 2 x ) > f ( 3x +1 ) ⇔ 2 x > 3x +1 ⇔ 2 x > 3.3x ⇔   > 3 3 Vì

36 2 x + 3x > 9.8 x + 4.27 x ⇔ 2 x + 3x >

Xét hàm f ( t ) = 2t + 3t trên ℝ, f ′ ( t ) = 2t ln 2 + 3t ln 3 > 0, ∀x ∈ ℝ. Do đó hàm số f ( t ) đồng biến trên

2 ∈ ( 0;1) nên x < log 2 3 từ đó a = 2, b = 3 nên a.b = 6. 3 3

ℝ. 2

Chọn C.

Mà f ( u ) > f ( v ) ⇔ u > v ⇔ x3 > 3x − 2 ⇔ x3 − 3 x + 2 > 0 ⇔ ( x − 1) ( x + 2 ) > 0

Ví dụ 2. Tập nghiệm S của bất phương trình 24− x − x + 1 ≥ 0

 x > −2 ⇔ ⇔ x ∈ ( −2; +∞ ) \ {1} x ≠ 1

A. S = ( −∞;3].

B. S = ( 3; +∞ ) .

C. S = ( −∞;3) .

D. S = [3; +∞ ) .

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5. Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4sin x + 5cos x ≤ m.7 cos

Xét hàm số f ( x ) = 24− x − x + 1 có f ′ ( x ) = −24 − x ln 2 − 1 < 0, ∀x ∈ ℝ. Do đó hàm số f ( x ) nghịch biến trên ℝ.

a a  tối giản. Tổng S = a + b là nghiệm là m ∈  ; +∞  với a, b là các số nguyên dương và b b 

Mà ta có f ( 3) = 0 nên: f ( x ) ≥ 0 ⇔ f ( x ) ≥ f ( 3) ⇔ x ≤ 3

A. S = 13.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −∞;3] .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: 4sin x + 5cos x ≤ m.7 cos

Ví dụ 3. Cho phương trình 22 x

−15 x +10

− 2x

+10 x −50

B. 4.

+ x 2 − 25 x + 150 ≤ 0. Số nghiệm nguyên của bất  1  Xét f ( x ) = 4    28 

phương trình là A. 3.

B. S = 15.

C. 5.

D. 6.

cos2 x

5 +  7

C. S = 9.

 1  ⇔ 4   28 

cos2 x

5 +  7

có

D. S = 11.

cos2 x

≤ m.

cos2 x

với x ∈ ℝ.

 1 cos x 1   ≥ 28 4 5 6  28  nên f ( x ) ≥ Do  + hay f ( x ) ≥ . cos 2 x 28 7 7  5  5 ≥  7  7   2

Hướng dẫn giải 2 u = 2 x − 15 x + 100 ⇒ u − v = x 2 − 25 x + 150 Đặt  2 v = x + 10 x − 50

Thay vào bất phương trình ta được: 2u − 2v + u − v ≤ 0 ⇔ 2u + u ≤ 2v + v. Xét hàm f ( t ) = 2t + t ta có f ′ ( t ) = 2t ln 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ, suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên ℝ. Mà f ( u ) ≤ f ( v ) nên u ≤ v. Do đó: 2 x 2 − 15 x + 100 ≤ x 2 + 10 x − 50 ⇔ x 2 − 25 x + 150 ≤ 0 ⇔ 10 ≤ x ≤ 15.

6 6  hay m ∈  ; +∞  ⇒ S = 13. 7 7 

Chọn A.

Chọn D. 3

6 Vậy min f ( x ) = . Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ min f ( x ) ℝ ℝ 7 ⇔m≥

Vì x ∈ ℤ nên x = {10;11;12;13;14;15} .

(

Dấu đẳng thức xảy ra khi cos 2 x = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = k π.

)

Ví dụ 4. Cho bất phương trình 36 2 x + 3x > 9.8x + 4.27 x. Nghiệm của bất phương trình là A. x ∈ ( −2; +∞ ) .

B. x ∈ ( −2; +∞ ) \ {1} .

C. x ∈ (1; +∞ ) .

D. x ∈ ( −∞; −2 ) .

Bài toán 6. Bất phương trình chứa tham số Phương pháp giải •

Trang 25

Đặt t = a x ( t > 0 ) Trang 26

+ Chuyển về bất phương trình ẩn t.

+∞

+ Sử dụng định lý Vi-ét và điều kiện có nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải quyết. •

3 f (t )

Khi gặp dạng: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc ( x1 ; x2 ) ta giải như sau: + Đặt t = a x , t > 0, x ∈ ( x1 ; x2 ) ⇒ t ∈ ( a x1 ; a x2 )

Dựa vào bảng biến thiên, ta có m < 2 thì bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ.

+ Chuyển về phương trình ẩn t, cô lập m. Chuyển về dạng f ( t ) ≥ m; f ( t ) ≤ m,

Do đó có một giá trị nguyên dương của tham số m thỏa đề.

+ Xét hàm f ( t ) tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận.

Chọn C. Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

Chú ý:

m.9 x − ( 2m + 1) .6 x + m.4 x ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0;1) ?

Hàm f ( x ) liên tục trên [ a, b] . Xét phương trình f ( x ) < m

Tương tự f ( x ) > m thì:

min f ( x ) < m

Có nghiệm x ∈ ( a, b )

max f ( x ) > m

[ a ,b ]

max f ( x ) < m

Có min/max tại x0 ∈ ( a, b )

[ a ,b ]

C. 5.

D. 6. x

9 3 Ta có m.9 x − ( 2m + 1) .6 x + m.4 x ≤ 0 ⇔ m.   − ( 2m + 1) .   + m ≤ 0. 4   2 x

Đúng với mợi x ∈ ( a, b ) min f ( x ) ≥ m

max f ( x ) ≤ m

f ′ ( x ) không đổi dấu

3 3 Đặt t =   vì x ∈ ( 0;1) nên 1 < t < . 2 2

[ a ,b ]

f ( x ) ≤ m thì mọi trường hợp max f ( x ) ≤ m

f ( x ) ≥ m thì mọi trường hợp min f ( x ) ≥ m

Khi đó bất phương trình trở thành m. t 2 − ( 2m + 1) .t + m ≤ 0 ⇔ m ≤

[ a ,b ]

Ví dụ mẫu

Đặt f ( t ) =

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 9 x − m.3x − m + 3 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ ?

A. 3.

B. Vô số. x

min f ( x ) > m

[ a ,b ]

A. 8. Hướng dẫn giải

( t − 1)

Ta có f ′ ( t ) =

B. 0.

C. 1.

D. 2.

( t − 1)

3 với 1 < t < . 2

−t − 1

( t − 1)

, f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = −1.

Bảng biến thiên

Hướng dẫn giải Đặt t = 3x , t > 0, bất phương trình thành:

−1

t t 2 − mt − m + 3 > 0 ⇔ mt + m < t 2 + 3 ⇔ m ( t + 1) < t 2 + 3

f ′ (t )

t2 + 3 Vì t > 0 nên t + 1 > 0 do đó ta có m < . t +1

3 2

−

− +∞

f (t )

t2 + 3 t 2 + 2t − 3 Xét hàm số f ( t ) = trên khoảng ( 0; +∞ ) , ta có f ′ ( t ) = . 2 t +1 ( t + 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ lim f ( t ) = 6 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0;1) . t→

t = 1 Cho f ′ ( t ) = 0 ⇔  .  t = −3

3 2

Chọn D.

Bảng biến thiên:

Bài tập tự luyện dạng 2 t

f ′ (t )

+∞

−

Câu 1: Nghiệm của bất phương trình 32 x +1 > 33− x là 3 A. x > . 2

Trang 27

2 B. x < . 3

2 C. x > − . 3

2 D. x > . 3 Trang 28

Câu 2: Nghiệm của bất phương trình A. (1; +∞ ) .

( 2)

x−2

B. ( −∞;0 ) . 2

x + 2 x +1

Câu 5: Nghiệm của bất phương trình 3.9

2 Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình   5

A. ( −∞; 0].

A. ( −4;0 ) .

2− x

1 2

x −2 x

C. (1; +∞ ) . −

B. x > 3.

9 B. x ≥ . 2

 x < −4 D.  . x > 0

 20  B. x < log 2   . 5  3 

)

là

C. ( −∞; −1) ∪ [0; +∞ ) .

(

10 − 3

B. 3.

)

3− x x −1

(

10 + 3

)

x +1 x +3

D. [ −1;0] ∪ (1; +∞ ) . là

C. 0.

(2 + 3)

x −3 x −1

(

< 2− 3

)

x −1 x −3

B. x > 1.

D. 2.

có nghiệm là

C. x < 3.

B. 4.

D. 1 < x < 3. x2

) ≤ (7 − 4 3 )

C. 5.

x−4

bằng

D. 0.

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình 4 − 7.2 − 8 ≥ 0 là x

A. ( −∞; −1] ∪ [8; +∞ ) .

x ≤ 1 D.  .  x ≥ 10

A. (1; +∞ ) .

B. [ 0; 4] .

C. ( −∞;3].

D. [3; +∞ ) .

B. ( −∞;1) .

C. ( −1;1) .

D. ( −∞; −1) .

Câu 19: Bất phương trình 4 x < 2 x+1 + 3 có tập nghiệm là A. (1;3) .

A. [ −1;1].

2x ≤ 0 là 2

x +1

C. x < 2.

9 C. x ≤ − . 2

 3  C. x > log 5   . 2  20 

C. ( log 2 3;5 ) .

D. ( −∞; log 2 3) .

B. [ −1; 0 ) .

C. ( 0;1] .

D. ( −1;1) .

Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình 32 x +1 − 2.3x − 1 ≥ 0 trên tập số thực là D. [ 0; 2] .

A. ( −∞; 0].

là

C. ( −∞; −4 ) .

B. ( 2; 4 ) .

Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình 32 x +1 − 10.3x + 3 ≤ 0 là

D. (1; 2 ) .

B. [ 0; +∞ ) .

Câu 22: Cho bất phương trình 3x − D. ( 0; +∞ ) .

A. ( −∞;0 ) .

( 3)

C. ( −∞;1]. x

D. [1; +∞ ) .

< 0 . Tập nghiệm của bất phương trình là

B. ( 0;1) .

C. ( −∞;1) .

D. ∅.

Câu 23: Đặt t = 5 x thì bất phương trình 52 x − 3.5x + 2 + 32 < 0 trở thành bất phương trình nào sau đây?

D. x > 2.

A. t 2 − 75t + 32 < 0.

B. t 2 − 6t + 32 < 0.

Câu 24: Bất phương trình 4 x +

9 D. x ≥ − . 2

x = 1 A.  . 2 ≤ x ≤ 3

Câu 12: Bất phương trình 2 x + 2 + 5x +1 < 2 x + 5x + 2 có nghiệm là

 20  A. x > log 5   . 2  3 

5+2

(

Câu 11: Bất phương trình 22 x −1 + 22 x − 2 + 22 x −3 ≥ 448 có nghiệm là 9 A. x ≤ . 2

(

Câu 16: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 + 3

Câu 10: Nghiệm của bất phương trình 23 x.3x − 23 x −1.3x +1 > −288 là A. x < 3.

≤

Câu 18: Bất phương trình 9 x − 3x − 6 < 0 có tập nghiệm là

C. [ 2; +∞ ) .

B. ( −2;1) .

2  D.  −∞;  . 3 

2 >   là 5

B. ( −∞;1]. x−2

2x x −1

B. ( −∞; −2 ) ∪ (1; +∞ ) .

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình 2

x < 1 A.  . x > 3

A. −7.

C. 1 ≤ x ≤ 10.

A. 1.

1 ≥ x là 3

B. x ≥ 1.

)

B. [ −1;0].

Câu 15: Bất phương trình

C. x > 0.

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình

 x ≤ −1 D.  . x ≥ 4

là

B. x < −4.

5−2

Câu 14: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

> 729 x là

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình 3

A. (1; 2] .

là

2  C.  ; +∞  . 5 

2− x2 +5 x − 6

A. x ≤ 10.

A. ( −∞; −1] ∪ [ 0;1].

2− x

 2  B.  − ; +∞  .  3  3 x2 + 2 x

D. ( 6; +∞ ) .

(

x −5

 x ≤ −4 C.  . x ≥ 1 4x

A. −4 < x < 0.

5 ≤  2

B. x ≥ 1.

2 3 Câu 4: Tập hợp các số x thỏa mãn   ≤   3 2 2  A.  −∞;  . 5 

Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình

C. ( −∞; −8 ) .

2 Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình   5

A. x ≤ −4.

> 2 x +3 là

 3  D. x < log 2   . 5  20 

x −1

− 5.2 x +

x = 1 B.  . x ≥ 2

x −1 +1

C. t 2 − 3t + 32 < 0.

D. t 2 − 16t + 32 < 0.

+ 16 ≥ 0 có nghiệm là

C. 1 ≤ x ≤ 3.

x = 1 D.  . x = 2

Câu 25: Tập nghiệm của bất phương trình 3x − 3− x + 2 + 8 > 0 là A. ( −∞;0 ) .

B. ( 0; +∞ ) .

C. ( −∞;1) .

D. (1; +∞ ) .

Câu 26: Bất phương trình 5 x − 53− x ≤ 20 có tập nghiệm là Trang 29

Trang 30

A. ( −∞; 2].

B. ( −∞;1].

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 2; +∞ ) .

Câu 27: Cho bất phương trình 2 x + 23− x ≤ 9. Tập nghiệm của bất phương trình là A. [ 0;3].

B. [ 0; 2] .

C. [ 0; 4] . x

A. 0 ≤ x ≤ 1.

B. 1 ≤ x ≤ 2.

2 B. x < log 2 . 3

(

C. x < log 2 2.

D. x > log 2 2.

A. −1 ≤ x ≤ 1.

1 2 ≤ là 27 x 3

(

Câu 41: Giải bất phương trình 3 − 5 x < 0 A.  . x > 2

D. ( 2;3) .

1 B. − < x < 1. 2

A. 3.

1 D. x < − . 2

C. x > 1.

B. [ 0;1].

C. [ −2; −1].

B. x > 0.

B. 0.

 −1 ≤ x ≤ 1 A.  . x ≥ 2

D. x > 1.

C. ( −∞;0 ) .

B. [ 0;1].

D. ( −∞;1) .

C. [ −2; −1].

2  B.  ;1 . 3 

B. 10.

(

+ 9− x

+ 2 x +1

)

≥ 34.15− x

+2x

C. S = ( 2; +∞ ) .

D. S = 1 − 3; 0 .

(

1 < x ≤1 C.  2 .  x ≥ 4

x < 1 D.  . 1 ≤ x ≤ 2

1 1 ≥ . Tìm tập nghiệm của bất phương trình. 5 x +1 − 1 5 − 5x

C. S = ( −∞;0].

D. S = ( −∞;0 ) .

  B.  −∞; log 2 3  . 3  

C. ( log 3 2; +∞ ) . 2

−3 x + 2

)

Câu 38: Bất phương trình 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x < 0 có nghiệm là Trang 31

D. ( −∞; 0 ) .

≤ 51− x là

A. [ 2 − log 3 5;1].

B. ( 2 − log 3 5;1) .

C. ( −∞; 2 − log 3 5 ) ∪ [1; +∞ ) .

D. ( −∞; 2 − log 3 5 ) ∪ (1; +∞ ) .

Câu 47: Tập nghiệm của bất phương trình 22 x −1 > 52 x

có tập nghiệm là

B. S = ( 0; +∞ ) .

D. 1.

4 − 3.2 + 8 ≥ 0 là 2 x +1 − 1

Câu 46: Tập nghiệm của bất phương trình 3x

D. 16.

A. S = −∞;1 − 3  ∪ [ 0; 2] ∪ 1 + 3; +∞ .

)

2; +∞ .

Câu 45: Cho bất phương trình 8 x + 2 x > 27 x+1 + 3x +1. Tập nghiệm của bất phương trình là

D. ( 0;1) .

C. 12.

(

1 1 là ≤ 3x + 5 3x +1 − 1

B. S = ( −1;0] ∩ [1; +∞ ) .

A. ( −∞; log 2 3) .

 2 C.  0;  .  3

 1  D.  ;1 ∪ 2 2 

A. S = ( −1;0] ∪ (1; +∞ ) .

D. [ −1;0].

Câu 36: Bất phương trình 2.5x + 2 + 5.2 x + 2 ≤ 133. 10 x có tập nghiệm là S = [ a; b ] thì b − 2a bằng

+ 2 x +1

− 21+ 2 x − x ≤ 0 ta được

x +1

 −1 < x ≤ 1 B.  . x ≥ 2

Câu 44: Cho bất phương trình

Câu 35: Tập nghiệm của bất phương trình 3.4 x − 5.6 x + 2.9 x < 0 là

2 x − x2

C. 2.

Câu 43: Nghiệm của bất phương trình

D. [ −1;0].

C. x < 1.

B. (1; +∞ ) .

Câu 37: Bất phương trình 25− x

)

 x ≤ −2 D.  . x ≥ 2

C. {0; 2} .

Câu 34: Cho bất phương trình 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 0. Tập nghiệm của bất phương trình là

A. 6.

(

+ 3+ 5

B. x > 2.

A. ( −∞;0 ) .

2 x − x2

Câu 42: Tổng của tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình

Câu 33: Tập nghiệm của bất phương trình 3x +1 − 22 x +1 − 12 2 < 0 là

A. [1; 2].

D. −1 ≤ x ≤ 0.

≤ 14 là

2− 2 x

Câu 32: Nghiệm của bất phương trình 8 x + 18x − 2.27 x > 0 là

A. ( 0; +∞ ) .

)

 x ≤ −1 C.  . x ≥ 1

B. −2 ≤ x ≤ 2.

Câu 31: Cho bất phương trình 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 0 . Tập nghiệm của bất phương trình là

A. x < 0.

) (

1  C.   . 3

B. (1; 2 ) . 4 x −1

A. [1; 2].

C. −2 ≤ x ≤ −1. x

Câu 40: Nghiệm của bất phương trình 2 + 3 + 2 − 3

Câu 30: Giải bất phương trình 2 2 x +1 > 2 2 x +1 + 1 ta được 1  x<− A.  2.  x > 1

D. Vô nghiệm.

Câu 29: Tập nghiệm của bất phương trình 33 x −2 + A. ( 0;1) .

x < 1 C.  . x > 2

B. 1 < x < 2.

Câu 39: Bất phương trình 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 0 có nghiệm là

D. [ 0;1].

2  3 Câu 28: Giải bất phương trình   − 2   < 1 ta được 3    2

A. x = log 2 2.

9 3 <x< . 16 4

−5 x + 2

là

1  A.  ; 2 + log 5 2  . 2 

 1 2 + log 5 2  B.  ; . 2 2 

1  C.  −∞;  ∪ ( 2 + log 5 2; +∞ ) . 2 

1  D.  −∞; −  ∪ ( 2 + log 2 5; +∞ ) . 2  Trang 32

1 Câu 48: Số nghiệm nguyên của bất phương trình   2

A. 0.

B. 1.

≤ 3x −2 là

B. ( −∞; 2].

B. x > 2.

A. 3.

−5 x + 6

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Câu 62: Tập nghiệm của bất phương trình 3.2 + 7.5 > 49.10 − 2 x

C. [ 2 + log 3 2;3] .

D. ( 0; +∞ ) .

A. ( −∞; −1) .

Câu 50: Cho hàm số y = 4 .3 , khẳng định nào sau đây sai?

B. ( −1; 0 ) .

Câu 63: Cho bất phương trình

A. f ( x ) > 3 ⇔ x 2 + 2 x log 3 2 > 1.

B. f ( x ) > 3 ⇔ x 2 + 2 x ln 2 > ln 3.

C. f ( x ) > 3 ⇔ x 2 log 3 + 2 x log 2 > log 3.

D. f ( x ) > 3 ⇔ x 2 + x log 3 4 > 1.

1  A.  −∞;  . 2 

Câu 51: Cho hàm số f ( x ) = 5 x.7 x +1. Khẳng định nào sau đây sai?

C. ( −∞; −1) ∪ ( 0; +∞ ) .

D. (1; +∞ ) .

32− x + 3 − 2 x ≥ 0. Tập nghiệm của bất phương trình là 4x − 2

1  B.  ; 2  . 2 

1  D.  ; 2  . 2 

C. ( 2; +∞ ) .

Câu 64: Với giá trị nào của m thì bất phương trình 9 x − 2 ( m + 1) 3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi

A. f ( x ) > 1 ⇔ x + x 5 log 5 7 + log 5 7 > 0.

B. f ( x ) > 1 ⇔ x ln 5 + x5 ln 7 + ln 7 > 0.

C. f ( x ) > 1 ⇔ x log 7 5 + x > −1.

D. f ( x ) > 1 ⇔ 1 + x log 5 7 > − log 5 7.

D. x > 1.

Câu 61: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình 2 x ≤ 3 + 1 là D. 3.

C. x < 2. x 2

C. 2.

Câu 49: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x −3 ≥ 3x A. [ 0; 2] .

A. x < 1.

4− x2

x∈ℝ?

3 B. m ≤ − . 2

A. m ≠ −2.

(

Câu 52: Bất phương trình 2 x.5 x +1 < 10 với x > −1 có tập nghiệm là ( a; b ) . Khi đó b − a bằng A. − log . 5 2

B. 2 + log 2 5.

C. 1.

)

C. m ∈ −5 − 2 3; −5 + 2 3 .

D. 2.

D. không tồn tại m.

Câu 65: Tất cả các giá trị của m để bất phương trình ( 3m + 1)12 x + ( 2 − m ) 6 x + 3x < 0 nghiệm đúng

Câu 53: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 3x.5x < 1 là A. ( − log 5 3; 0].

B. [ log 3 5;0 ) .

C. ( − log 5 3;0 ) .

∀x > 0 là

D. ( log 3 5; 0 ) .

1  C.  −∞; −  . 3 

B. ( −∞; −2].

A. ( −2; +∞ ) .

Câu 54: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x > 1 − x là A. ( −∞;0 ) .

B. ∅.

C. ( 0; +∞ ) .

Câu 66: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình 9 x − m.3x − m + 3 > 0 nghiệm đúng với mọi x?

D. ℝ.

Câu 55: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x + 3x+1 ≤ 13 − 2 x là A. ( −∞; −1].

B. ( −∞;e ) ∪ ( e 2 ; +∞ ) .

C. [1; +∞ ) .

Câu 56: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 A. S = ( −∞;1].

B. S = ( −∞;3) .

4− x

D. ( −∞;1].

C. [1; +∞ ) .

D. [3; +∞ ) .

B. ( −∞;1].

C. ( −∞; −1].

B. ( −∞; 2].

C. ( −∞;0]. x

C. m ≤ 1.

B. 3 ≤ m ≤ 5.

có nghiệm?

D. m ≥ 1. 2 x + 7 + 2 x − 2 ≤ m có nghiệm?

C. m ≤ 3.

D. m ≥ 3.

III. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

D. ( −∞;1) .

Dạng 1. Phương trình mũ D. [1; +∞ ) .

D. [ 2; +∞ ) .

Câu 60: Nghiệm của bất phương trình 5 + 3 > 8 là x

B. m ≤ 4.

A. 0 ≤ m ≤ 3.

Câu 59: Tập nghiệm của bất phương trình 4 x + 3x ≥ 5 x là A. ℝ.

D. −6 < m < 2.

Câu 68: Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình

Câu 58: Tập nghiệm của bất phương trình 3x ≤ 5 − 2 x là A. ℝ.

C. m < 2.

A. m ≥ 4.

B. [ −1; +∞ ) .

B. m > 2 hoặc m < −6.

1 Câu 57: Tập nghiệm của bất phương trình   ≤ x + 4 là  3

A. ( −∞; −1].

A. m > 2.

Câu 67: Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình 2sin x + 3cos x ≥ m.3sin

− x + 1 ≥ 0.

C. ( −∞;3].

1  D.  −2; −  . 3 

Trang 33

1- B

2- C

3- B

4- A

5- B

6- D

7- A

8- A

9- C

10- B

11- C

12- C

13- C

14- D

15- A

16- D

17- D

18- A

19- B

20- A

21- A

22- A

23- D

24- D

25- B

26- A

27- D

28- A

29- B

30- B

35- A

36- B

37- C

38- C

39- D

40- A

31- C

32- D

33- A

34- A

41- D

42- D

43- C

44- D Trang 34

Dạng 2. Bất phương trình mũ 1- D

2- C

3- C

4- B

5- D

6- C

7- A

8- C

9- A

10- C

11- B

12- C

13- D

14- B

15- D

16- A

17- D

18- B

19- D

20- A

21- B

22- A

23- A

24- B

25- B

26- A

27- A

28- D

29- C

30- A

31- B

32- A

33- A

34- B

35- D

36- B

37- A

38- B

39- A

40- B

41- C

42- D

43- B

44- A

45- B

46- A

47- A

48- D

49- C

50- B

51- D

52- D

53- C

54- C

55- D

56- C

57- B

58- B

59- B

60- A

61- B

62- A

63- D

64- B

65- B

66- C

67- B

68- D

Trang 35

BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Mục tiêu Kiến thức 1. Biết cách giải các dạng phương trình lôgarit. 2. Biết cách giải các dạng bất phương trình lôgarit. Kĩ năng 1. Giải được một số phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, lôgarit hóa, mũ hóa, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số. 2. Nhận dạng được các phương trình và bất phương trình lôgarit.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình lôgarit

0 < a ≠1  Dạng 1: log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x) > 0 Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f ( x ) > 0 hoặc g ( x ) > 0 tùy thuộc vào độ phức tạp của f ( x ) > 0 và g ( x ) > 0  0 < a ≠1 Dạng 2: log a f ( x ) = b ⇔  b .  f ( x) = a 2. Bất phương trình lôgarit y = log a x ( 0 < a ≠ 1) .  a >1   0 < f ( x ) < g ( x ) Dạng 1: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔  0 < a <1     f ( x ) > g ( x ) > 0  a >1  0 < f ( x ) < ab   Dạng 2: log a f ( x ) a b   a >1   b   f ( x) > a Dạng 3: log a f ( x ) > b ⇔  0 < a <1    0 < f ( x ) < a b SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA log a f ( x ) < log a g ( x )

log a f ( x ) = log a g ( x )

0 < a ≠1  ⇔ f x ( ) = g ( x) > 0 

 a >1  0 < f x) < g ( x) (   ⇔ 0 < a <1     f ( x ) > g ( x ) > 0

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

log a f ( x ) = b  0 < a ≠1 ⇔ b  f ( x) = a

Trang 1

log a f ( x ) > b   a >1   b   f ( x) > a ⇔ 0 < a <1    0 < f ( x ) < a b

log a f ( x ) 1  0 < f ( x ) < ab  ⇔  0 < a <1     f ( x ) > ab

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Phương trình lôgarit Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log3 x 2 − x + 1 = − log 1 ( 2 x − 1) là

(

Ví dụ 4: Cho phương trình log 2 ( log3 ( log 2 x ) ) = 1. Gọi a là nghiệm của phương trình, biểu thức nào sau đây là đúng? A. log 2 a = 10 B. log 2 a = 8

)

C. log 2 a = 7

A. 0 Hướng dẫn giải Ta có:

B. 2

C. 6

Hướng dẫn giải Điều kiện x > 0;log 2 x > 0;log 3 ( log 2 x ) > 0 suy ra x > 2

D. 3

Khi đó log 2 ( log 3 ( log 2 x ) ) = 1 ⇔ x = 29 ⇒ a = 29 ⇒ log 2 a = 9

1  x > 2 2 1 0 x − >   log 3 ( x 2 − x + 1) = log 3 ( 2 x − 1) ⇔  2 ⇔ ⇔ x=3  x − x + 1 = 2 x + 1  x = 0    x = 3

Chọn D. Ví dụ 5: Tìm nghiệm của phương trình log x = log x .

Nên phương trình chỉ có một nghiệm là x = 3 . Chọn D. Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 3. Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x là

B. 2

Vậy S = [1; +∞ )

4 − x + log8 ( 4 + x ) . Tổng tất cả các nghiệm của

C. 4

D. S = [1; +∞ )

Kết hợp với (*) ta được x ∈ [1; +∞ ) thỏa mãn.

phương trình là

A. 2 6 − 4 Hướng dẫn giải

C. S = {1;10}

Khi đó log x = log x ⇔ log x = log x ⇔ log x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ∈ [1; +∞ )

log 20 x = log 20 2.log 2 x 2

B. S = ( 0; +∞ )

x >0 Điều kiện  ⇔ x > 0 (*). x>0

D. 4

⇔ log 2 x. (1 + log 3 2 + log 4 2 − log 20 2 ) = 0 ⇔ log 2 x = 0 ⇔ x = 1 Nên phương trình có duy nhất một nghiệm. Chọn A. Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 2. log3 x = log 3 2.log 2 x 2

A. S = (1; +∞ )

Hướng dẫn giải

A. 1 B. 2 C. 3 Hướng dẫn giải Ta có: log 2 x + log 3 2.log 2 x + log 4 2.log 2 x = log 20 2.log 2 x

Ví dụ 3: Cho phương trình log 4 ( x + 1) + 2 = log

D. log 2 a = 9

Chọn D. Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số lôgarit Phương pháp giải Bước 1. Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về Ví dụ: Phương trình log 2 x + 3log 2 x + log 1 x = 2 2 lôgarit cùng cơ số 2 có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó x1 − x2 bằng

D. 2 6

( x + 1) > 0  x ≠ −1 −4 < x < 4   Điều kiện: 4 − x > 0 ⇔  x < 4 ⇔    x > −4  x ≠ −1 3  ( 4 + x ) > 0 2

C. 2

2− −1+ 5 2

1 2

−2

B. −1− 5 2

5 1 − 2 2

Hướng dẫn giải Ta có: 4 log 2 2 x + 3log 2 x − log 2 x − 2 = 0

Ta có: log 2 x + 1 + log 2 4 = log 2 ( 4 − x ) + log 2 ( 4 + x ) ⇔ 4 x − 1 = 16 − x 2

⇔ 4 log 2 2 x + 2 log 2 x − 2 = 0

 x ≥ 1  2  x = −2 + 2 6   4 x − 4 = 16 − x ⇔ ⇔ (thỏa mãn điều kiện). x <1  x = −2   2   −4 x + 4 = 16 − x

Bước 2. Áp dụng phương pháp giải dạng 1.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là x = 2 6 − 4 . Chọn A. Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 2. log a 2 x 2 = log a x

Ví dụ mẫu

Trang 3

log 2 x = −1  x = 1 2 ⇔ ⇔  log 2 x = 1 x = 2  2  1 Khi đó x1 − x2 = 2 − 2 Chọn A.

Ví dụ 1: Phương trình log 3 ( 3x − 1) .log 3 ( 3 x+1 − 3 ) = 6 có

⇔ ln ( x 2 + x + 1) + ( x 2 + x + 1) = ln ( 2 x 2 + 1) + ( 2 x 2 + 1)

A. hai nghiệm dương C. phương trình vô nghiệm Hướng dẫn giải

1 Xét hàm số f ( t ) = ln t + t trên ( 0; +∞ ) , ta có f ′ ( t ) = + 1 > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) t x = 0 Mà f x 2 + x + 1 = f 2 x 2 + 1 ⇔ x 2 + x + 1 = 2 x2 + 1 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔  x = 1 Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 1. Chọn D. 1 là Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình ln ( x − 1) = x−2 A. 1 B. 0 C. 3 Hướng dẫn giải

B. một nghiệm dương D. một nghiệm kép

(

Ta có: log 3 ( 3x − 1) .log 3 ( 3 x +1 − 3 ) = 6 ⇔ log 3 ( 3x − 1) .log 3 ( 3.3x − 3 ) = 6 ⇔ log 3 ( 3x − 1) .log 3 3. ( 3x − 1)  = 6 ⇔ log 3 ( 3x − 1) . 1 + log 3 ( 3x − 1) = 6

log 3 ( 3x − 1) = 2 2 ⇔ log 3 ( 3x − 1) + log 3 ( 3x − 1) − 6 = 0 ⇔  log 3 ( 3x − 1) = −3  3 x − 1 = 9 3x = 10  x = log 3 10  ⇔ x ⇔  x 28 ⇔  1 3 − 1 = 3 =  x = log 3 28   27 27 27  Chọn A.

y′ =

+ Tính chất 1. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên ( a; b ) thì số nghiệm của phương trình f ( x ) = k trên ( a; b ) không nhiều hơn một và f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v, ∀u , v ∈ ( a; b ) . + Tính chất 2. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số y = g ( x ) liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f ( x ) = g ( x ) không nhiều hơn một. Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Phương trình log 3 ( x + 2 ) + log 7 ( 3 x + 4 ) = 2 có bao nhiêu nghiệm? C. 2

D. 2

1 x−2

1 1 + > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) \ {2} x − 1 ( x − 2 )2

Lập bảng biến thiên của hàm số trên D = (1; 2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Chọn A.

(

)

Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình log 3 x 2 − 2 x = log 5 x 2 − 2 x + 2 là A. 3 Hướng dẫn giải

B. 2

C. 1

D. 4

Điều kiện: x ≠ 0; x ≠ 2 Đặt t = x 2 − 2 x ⇒ x 2 − 2 x + 2 = t + 2 ⇒ log 3 t = log 5 ( t + 2 )

D. 3

Đặt log 3 t = log 5 ( t + 2 ) = u

4 Điều kiện x > − . Ta có: log 3 ( x + 2 ) + log 7 ( 3 x + 4 ) − 2 = 0 . 3

log3 t = u  t = 3u 5u − 2 = 3u 5u + 3u = 2 u u ⇒ ⇒ 5 − 2 = 3 ⇒ ⇒    u u u u u log5 ( t + 2 ) = u t + 2 = 5  5 − 2 = −3 3 + 2 = 5

Đặt f ( x ) = log 3 ( x + 2 ) + log 7 ( 3 x + 4 ) − 2

f ′( x) =

)

Xét hàm số y = ln ( x − 1) −

Bài toán 3. Phương pháp hàm số Phương pháp giải Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

B. 0

(

 x > 1, x ≠ 2  PT ⇔  1 ln ( x − 1) − x − 2 = 0

Chú ý: Biến đổi về phương trình có ẩn là log 3 ( 3 x − 1)

A. 1 Hướng dẫn giải

)

5u + 3u = 2 (1)  u ⇒  3 u 1  5  + 2  5  = 1 (2) 

1 1 4 + > 0, ∀x > − 3 ( x + 2 ) .ln 3 ( 3x + 4 ) .ln 7

Nên phương trình f ( x ) = 0 có tối đa một nghiệm.

Chọn A.

+ Xét (1): 5u + 3u = 2 Ta thấy u = 0 là một nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u = 0 là duy nhất.

Ví dụ 2: Phương trình ln ( x 2 + x + 1) − ln ( 2 x 2 + 1) = x 2 − x có tổng bình phương các nghiệm bằng

Với u = 0 ⇒ t = −1 ⇒ x 2 − 2 x + 1 = 0 , phương trình này vô nghiệm.

A. 5 Hướng dẫn giải

3 1 Xét (2):   + 2   = 1 5 5 Ta thấy u = 1 là một nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để chứng minh nghiệm u = 1 là duy nhất.

Mà f (1) = 0 nên phương trình có duy nhất một nghiệm x = 1 .

B. 25

C. 9

D. 1

Ta có: ln ( x 2 + x + 1) − ln ( 2 x 2 + 1) = x 2 − x Trang 5

Với u = 0 ⇒ t = 3 ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x ≠ 0; x ≠ 2 .

Chọn B. Ví dụ 5: Biết rằng phương trình log 2 (1 + x1009 ) = 2018 log 3 x có nghiệm duy nhất x0 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 1

A. 31008 < x0 < 31006

B. x0 > 31009 1

C. 1 < x0 < 31008

D. 31007 < x0 < 1

f ( x)

g ( x)

⇔ log a a

f ( x)

= log a b

g( x)

⇔ f ( x ) = g ( x ) .log a b

Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0

Hoặc log b a f ( x ) = log b b g ( x ) ⇔ f ( x ) .log b a = g ( x ) . Ví dụ mẫu

Đặt t = log 2 (1 + x1009 ) = 2018 log 3 x . Khi đó t > 0 . 1009 t 1 + x = 2 ⇒  2018 = 3t  x

Ví dụ 1: Phương trình 8

⇒ ( 2t − 1) = 3t ⇔ 2t − 1 =

 3   1 t 3 + 1 = 2t ⇔   +   = 1 (*)  2   2 t

( 3) ⇔ ( ) t

 3   1 t Ta thấy hàm số f ( t ) =   +   luôn nghịch biến và liên tục trên ( 0; +∞ ) và f ( 2 ) = 1 nên phương  2   2 trình (*) có duy nhất một nghiệm t = 2 . 1 1009

1 1 1 nên 1 < x0 < 31008 < 1009 1008 Chọn C. Ví dụ 6: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a ln 2 x + b ln x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình 5log 2 x + b log x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 .

Mà 0 <

Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S = 2a + 3b . B. Smin = 25

C. Smin = 33

D. Smin = 17

Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0 Đặt t = ln x , u = log x . Khi đó ta được at 2 + bt + 5 = 0 (1), 5u 2 + bu + a = 0 −

−

b a

> 10

−

C. 1

(

log 2 x 2 − 8

)

= ( x − 2 ) ⇔ log 2 ( x 2 − 8 ) = log 8 ( x − 2 )

 x = −2 ⇔ log 2 ( x2 − 8) = log 2 ( x − 2 ) ⇔ x2 − 8 = x − 2 ⇔  x = 3 So với điều kiện, ta nhận x = 3 là nghiệm của phương trình. Chọn C. 2

Ví dụ 2: Phương trình 5 x 2 + 22.x log5 15 − 5.3log5 5 x = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải Điều kiện x > 0 Ta có:

Phương trình trở thành: 5. ( 5t ) + 22.5t.3t − 15. ( 3t ) = 0  5  t 3   = 3 5 5 5 ⇔ 5.   + 22.   − 15 = 0 ⇔  ⇔ t = −1 t  3 3      5  = −5  3 

b 5

Nên log5 x = −1 ⇔ x =

Lấy lôgarit cơ số e hai vế ta được b b 5 (do a, b nguyên dương). − > − ln10 ⇔ ab ln10 > 5b ⇔ a ln10 > 5 ⇔ a > 5 5 ln10 Smin ⇔ amin , bmin . Mà amin = 3 ⇒ b 2 > 60 ⇒ bmin = 8 .

Chọn C.

Trang 7

D. 3

Nên nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm của phương trình thỏa mãn x > 2 2

−

B. 2

Vì x log5 15 = x1+ loc5 3 = x.x loc5 3 = x.3log 5 x . Đặt t = log 5 x ⇒ x = 5t .

b a

Với u = log x ⇔ x = 10u ⇒ x3 x4 = 10u1 .10u2 = 10u1 + u2 = 10

= ( x − 2 ) có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt?

5 x 2 + 22.x1+ log5 3 − 5.31+ 2log 5 x = 0 ⇔ 5 x 2 + 22.x1+ log5 3 − 5.3.32 log 5 x = 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ b 2 − 20 a > 0 ⇔ b 2 > 20 a . Với t = ln x ⇔ x = et ⇒ x1 x2 = et1 .et2 = et1 +t2 = e

)

 x < −2 2 Điều kiện xác định: x 2 − 8 > 0 ⇔   x > 2 2 Điều kiện có nghiệm là x − 2 > 0 ⇔ x > 2

Ta có: 8

⇒ x1009 = 3 hay x0 = 3

A. Smin = 30

(

log 2 x 2 −8

A. 0 Hướng dẫn giải

Ta có: x1 x2 > x3 x4 ⇒ e

⇒ S = 2a + 3b = 2.3 + 3.8 = 30 Chọn A. Bài toán 4. Mũ hóa hoặc lấy lôgarit hai vế Phương pháp giải Các lí thuyết được sử dụng 0 < a ≠ 1, b > 0 + a f ( x) = b ⇔   f ( x ) = log a b

1 5

Bài toán 5. Đặt ẩn phụ

A. 0 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt t = log a f ( x ) ⇔ f ( x ) = a t 1 ⇒ log na f ( x ) = t n , log f ( x ) a = , t ≠ 0 t

Ví dụ: Biết phương trình log 2 x − log x 64 = 1 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó tích hai nghiệm này bằng A. 2 B. 1 1 1 C. D. 4 2 Hướng dẫn giải x > 0 Điều kiện  x ≠ 1 Với điều kiện trên phương trình đã cho trở thành 6 log 2 x − 6 log x 2 = 1 ⇔ log 2 x − =1 log 2 x 2

⇔ ( log 2 x ) − log 2 x − 6 = 0

Bước 2: Chuyển phương trình về phương trình ẩn t Bước 3: Giải phương trình và kết hợp điều kiện. Có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn toàn để giải phương trình.

log 3 x = 1 Giải phương trình tham số x , ta được:  log 3 x = 11 − x (*) Giải phương trình (*), ta có: log 3 x + x − 11 = 0 Đặt f ( x ) = log 3 x + x − 11 trên ( 0; +∞ ) , ta có: f ′ ( x ) =

( 0; +∞ ) . Do đó, phương trình f ( x ) = 0 có tối đa một nghiệm. Mà f ( 9 ) = 0 nên x = 9 là nghiệm duy nhất của (*) Tóm lại phương trình có hai nghiệm: x = 3 , x = 9 . Chọn B. Bài toán 6. Phương trình tích Ví dụ mẫu

với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của a + b là b A. 11 B. 13 C. 3 D. 5 Hướng dẫn giải Ta có: 2 log 2 x + log x − ln x − 2 ln x.log x ⇔ log x ( 2 log x + 1) − ln x ( 2 log x + 1) = 0

t = 3 ⇔ t = −2 log x = 3 ⇒ 2 log 2 x = −2

C. 65

1 + 1 > 0 nên hàm số f ( x ) đồng biến trên x ln 3

a+ b

t2 − t − 6 = 0

1  1  x= log x = − ⇔ ( 2 log x + 1)( log x − ln x ) = 0 ⇔  ⇔ 2 10   log e.ln x − ln x = 0 log x − ln x = 0

1 1   x= x= ⇔ 10 ⇔  10   ln x = 0  x = 1

Ví dụ mẫu B. 84

D. 3

Phương trình log 32 x + ( x − 12 ) log 3 x + 11 − x = 0 là phương trình bậc hai theo ẩn log 3 x và tham số x .

Ví dụ 1: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 log3 x − log3 3x − 1 = 0 bằng A. 35 Hướng dẫn giải

C. 1

Ví dụ 1: Tổng các nghiệm của phương trình 2 log 2 x − ln x = 2 ln x.log x − log x là một số có dạng

Đặt t = log 2 x , phương trình trở thành

x = 8 ⇔ x = 1  4 Chọn A.

B. 2

Nên tổng các nghiệm của phương trình là 1 +

D. 28

a = 1 1 1 + 10 = ⇒ ⇒ a + b = 11 10 10 b = 10

Chọn A. Bài toán 7. Phương trình lôgarit chứa tham số Phương pháp giải

x > 0 x > 0 Điều kiện  ⇔ ⇔ x ≥1 log3 x ≥ 0  x ≥ 1

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình m ∈ ( −10;10 )

Phương trình 3 log 3 x − log 3 3x − 1 = 0 ⇔ 3 log 3 x − log 3 3 − log 3 x − 1 = 0

⇔ log 3 x − 3 log 3 x + 2 = 0

log 32 x + log 3 x + m = 0 có nghiệm?

Đặt t = log 3 x ; ( t > 0 ) . Phương trình trở thành:

log 3 x = 1  x1 = 3 t = 1 t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔  ⇔ ⇔ ⇒ x1 + x2 = 84 t 2 log x 4 = =   x2 = 81  3 Chọn B.

Bước 1: Đặt t = log 2 x; x ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ t ∈ ℝ Bước 2: Sử dụng định lý Vi-ét, hoặc cô lập m . Xét hàm f ( t ) , lập bảng biến thiên để tìm m .

Ví dụ 2: Phương trình log 32 x + ( x − 12 ) log 3 x + 11 − x = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? Trang 9

A. 11 C. 12 Hướng dẫn giải

B. 10 D. 5

Tập xác định D = ( 0; +∞ ) . Đặt log 3 x = t . Khi đó phương trình trở thành t 2 + t + m = 0 (*)

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình 1 (*) có nghiệm: ∆ = 1 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4 1 Vậy để phương trình có nghiệm thực thì m ≤ 4 Chọn B.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m ∈ ( −10;10 )

để phương trình

log 2 ( 5 − 1) log 4 ( 2.5 − 2 ) = m có nghiệm x ≥ 1? x

A. 6 B. 8 Hướng dẫn giải Điều kiện: 5 x − 1 > 0 ⇔ x > 0

C. 9

D. 7

(

)

m ≥ 4 Các giá trị m cần tìm  m < 0 Chọn D.

⇔ log 2 ( 5 − 1) 1 + log 2 ( 5 − 1) = 2 m ⇔ log ( 5 − 1) + log 2 ( 5 − 1) = 2 m x

2 2

  ∆ = m 2 − 4m ≥ 0   m ≥ 4   ⇔   m ≤ 0 ⇔ m ≥ 4 af ( −1) > 0 S m − 2 m > 0   = > −1 2 2 + Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn x1 < −1 < x2 ; af ( −1) < 0 ⇔ m < 0

1 log 2 ( 5 x − 1) log 4 ( 2.5 x − 2 ) = m ⇔ log 2 ( 5 x − 1) log 2 2 ( 5 x − 1) = m 2

(

 x > −1 (Ta thấy Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có một nghiệm thỏa mãn  x ≠ 0 (*) luôn có nghiệm khác 0) + Trường hợp 1: Phương trình (*) có hai nghiệm thỏa mãn −1 < x1 ≤ x2 khi

Đặt log 2 ( 5 − 1) = t . Khi đó phương trình đã cho trở thành t 2 + t − 2m = 0 (*) x

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

Phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1 khi phương trình (*) có nghiệm t ≥ 2

t ≥ t ≥ 2 (**) ⇔1 2 t1 ≤ 2 ≤ t2 (***)

 −1 − t1 = (Loại (**) vì nếu ∆ = 1 − 8m ≥ 0 thì (*) có nghiệm   −1 + t 2 = 

1 + 8m < 2, ∀m 2 1 + 8m 2

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm phân biệt −1 < t1 ≤ t2 :

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −10;10 ) để phương trình

log ( mx ) log ( x + 1)

= 2 có

nghiệm thực duy nhất?

C. 12

⇔ log ( mx ) = log ( x + 1) ⇔ mx = ( x + 1)

m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0  2 m ≠ 1  ∆′ > 0 ′ 1 0 ∆ = m − > ( )    ⇔ ⇔  t1 + 1 > 0 ( t1 + 1)( t2 + 1) > 0 t1t2 + ( t1 + t2 ) + 1 > 0 t2 + 1 > 0   ( t1 + t2 ) + 2 > 0 ( t1 + 1) + ( t2 + 1) > 0 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ 1   2  m 3 + 2 m 2 + 2m + 4  m3 + m + 2 2 ( m + 1) ⇔ + +1 > 0 ⇔  >0 m m m    2 ( m 2 + 1)  m2 + m + 1 >0   +2>0 m   m

D. 15

 x > −1 Điều kiện xác định:  x ≠ 0 log ( mx ) = 2 ⇔ log ( mx ) = 2 log ( x + 1) log ( x + 1) 2

D. 7

mt 2 − 2 ( m 2 + 1) t + m 3 + m + 2 = 0 (*)

Vậy phương trình có nghiệm thực x ≥ 1 thì m ≥ 3 Chọn D.

B. 16

A. 6 B. 8 C. 9 Hướng dẫn giải Đặt log 1 ( x − 4 ) = t . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Ta có (***) ⇔ af ( 2 ) ≤ 0 ⇔ 6 − 2m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

A. 11 Hướng dẫn giải

m ∈ ( −10;10 )

để phương trình

m log 21 ( x − 4 ) − 2 ( m2 + 1) log 1 ( x − 4 ) + m3 + m + 2 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng ( 4; 6 ) ?

m ≠ 0  m ≠ 1 m > 0   ⇔  ( m + 2 ) ( m2 + 2 ) ⇔ m ≠ 1 ⇔ 0 < m ≠1 >0  m + 2 m   >0  m m > 0

⇔ x 2 + ( 2 − m ) x + 1 = 0 (*)

Vậy 0 < m ≠ 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trang 11

Chọn B. 2 3

2 3

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 có nghiệm trong đoạn 1;3 3  ?   A. 6 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0 Đặt

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số B. 4

C. 1

D. 0

( m − 4 ) log

m ∈ ( −10;10 )

f (t ) = t 2 + t

trên

đoạn

[1; 2] .

có

để phương trình

x − 2 ( m − 2 ) log 2 x + m − 1 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn 1 < x1 < 2 < x2 ? C. 1

D. 0

2t − 1   (*)  t −1 

( m − 4 ) t 2 − 2 ( m − 2 ) t + m − 1 = 0 ⇔ m = 

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 2] số

2 2

A. 5 B. 4 Hướng dẫn giải Đặt log 2 x = t ⇒ 2t = x , khi đó phương trình đã cho trở thành

log 32 x + 1 = t

hàm

1 4

Chọn B.

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t 2 + t − 2m − 2 = 0 ⇔ t 2 + t = 2m + 2 (*) Xét

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm trong khoảng ( 0;1) khi m ≤

f ′ ( t ) = 2t + 1, ∀t ∈ [1; 2]

nên

min f ( t ) = f (1) = 2; max f ( t ) = f ( 2 ) = 6

(do t = 1 không phải là nghiệm). Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2 2

−2 ( 2t − 1) 1  2t − 1  Xét hàm số f ( t ) =  ; f ′ (t ) = 0 ⇔ t =  ; f ′ (t ) = 3 2  t −1  ( t − 1)

[1;2]

Để (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 2] thì 2 < 2m + 2 < 6 ⇔ 0 < m < 2

Bảng biến thiên:

Chọn C.

(

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 4 log 2 x

)

− log 1 x + m = 0 có nghiệm thuộc 2

khoảng ( 0;1) .  1 A. m ∈  0;   4 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0

(

4 log 2 x

)

1  B. m ∈  −∞;  4 

1  D. m ∈  ; +∞  4  

C. m ∈ ( −∞;0]

Từ bảng biến thiên suy ra m > 4 Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 1

− log 1 x + m = 0 ⇔ ( log 2 x ) + log 2 x + m = 0 2

Đặt t = log 2 x , do x ∈ ( 0;1) ⇒ t ∈ ( −∞; 0 )

Câu 1: Nghiệm phương trình là log 4 ( x − 1) = 3

Phương trình trở thành t 2 + t + m = 0 ⇔ m = −t 2 − t (*) 2

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm giữa đồ thị hàm số f ( t ) = −t − t với đường thẳng y = m Xét hàm số f ( t ) = −t − t trên t ∈ ( −∞;0 ) Ta có: f ′ ( t ) = −2t − 1, f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = −

A. x = 63

B. x = 82

C. x = 80

Câu 2: Tổng các nghiệm không âm của phương trình log

A. 1

1 2

B. 2

Câu 3: Phương trình log 2 ( 4 − 2

Bảng biến thiên:

)

x − log 3 ( 2 x − 4 x + 3 ) = 0 là

B. 4 − 2 x = 22− x D. Cả 3 đáp án đều sai

− 4.2 + 4 = 0 x

Câu 4: Cho phương trình log a ( x 2 + 3 x ) = log

2 x, ( a > 0; a ≠ 1) , số nghiệm của phương trình trên là

A. 1 B. 2 C. 3 Câu 5: Phương trình log a3 + 2 3 − log 4− a 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0

D. 4

) = 2 − x tương đương với phương trình nào sau đây?

A. 4 − 2 = 2 − x C. ( 2

C. 3 x

x 2

D. x = 65 2

B. 1

C. 2

D. 4 D. 3

Câu 6: Một học sinh giải phương trình log 22 x − log 2 x 2 + 1 = 0 theo các bước như sau:

Trang 13

(

x > 0 x > 0 Bước 1: Điều kiện  2 ⇔ ⇔ x>0 x ≠ 0 x > 0 Bước 2: Từ điều kiện trên phương trình đã cho trở thành:

( log 2 x )

A. 0 A. x = 4

Bước 3: Vậy nghiệm phương trình là x = 21 = 2 (nhận) Lời giải trên sai ở bước nào? A. Bước 1 B. Bước 2 C. Bước 3 B. Có nghiệm ∀x > 3 37 D. x = 4

C. 4

D. 5 3

( mx + 3 ) + log 2−

+ 1) có nghiệm là

−1 ?

m = 1 m = 1 A.  B.  C. m < 3 m = − 1   m = −2 Câu 11: Phương trình log 2 ( 2 x − 1) − log 1 ( x − 1) = 1 có nghiệm là

3 − 17 C. x = 4

Câu 12: Tập nghiệm của phương trình log

D. x = 1

A. 2

A. S = {2; −1}

B. S = {2;}

B. {−3; 4}

C. {−2; −3}

là C. x ≥ −2

4x B. m > − 2

1 C. 0 < m < 2

C. S = {4}

13 4

D. S = {4; −1}

Câu 22: Giải phương trình log3 x + log 3 ( x + 2 ) = 1 ta được nghiệm

A. S = {1}

B. x = 3 và x = −1

C. x =

−1 2

D. x = 3 và x = 6

{ D. S = {−5 − 5

B. S = −5; −5 − 5 2

}

2; −5 + 5 2

}

B. S = ∅

C. S = {1; 2}

D. S = {2}

Câu 25: Tập nghiệm của phương trình log 1 + x + 3log 1 − x − 2 = log 1 − x 2 là

D. {4; −2}

A. S = {1}

B. S = ∅

C. S = {1; 2}

2 1 6 2 Câu 26: Phương trình log 2 ( 3 x − 4 ) .log 2 x 3 = 8 log 2 x + log 2 ( 3 x − 4 ) 3 16    16  A. S = 1; 2;  B. S = {1; 2} C. S = 1;  9   9

D. x > −2

(

D. m > 0

Câu 27: Tập nghiệm của phương trình log 2+

Câu 15: Phương trình log 3 ( 3x − 1) .log 3 ( 3 x +1 − 3 ) = 6 có A. hai nghiệm dương C. phương trình vô nghiệm

Câu 24: Tập nghiệm của phương trình log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x là

Câu 14: Với giá trị nào của m thì phương trình log 2 ( 4 x + 2 m 3 ) = x có hai nghiệm phân biệt?

B. một nghiệm dương D. một nghiệm kép

2a − x + log 1 x = 0 có nghiệm là a

A. x = a C. x = 2a + 1

1+ 2  D. m ∈  ;1  3 

{ } C. S = {−5; −5 − 5 2; −5 + 5 2 }

log3 ( x + 2)

Câu 16: Phương trình log

1  C. m ∈  −∞;  3 

)

1 Câu 23: Tập nghiệm của phương trình log ( x + 10 ) + log x 2 = 2 − log 4 là 2

x − 1 = 2 là

Câu 13: Tất cả các giá trị x thỏa mãn x + 2 = 3 A. x ≠ −2 B. x ∈ ℝ

1 A. m < 2

1 1+ 2  B. m ∈  ;  3  3

(

A. S = −5; −5 + 5 2

3 + 17 B. x = 4

D. Đáp án khác

2 3

A. m ∈ 1 + 2;1

A. x = 3

D. m > 3

A. {3}

C. x = 25

5 15 C. 2 4 Câu 21: Tập nghiệm của phương trình log 4 ( x + 2 ) = log 2 x là

D. 4

 3 + 17 x = 4  A.  3 − 17 x =  4

B. x = 49

A. 1 B. 2 C. 3 Câu 9: Nghiệm của phương trình log π ( log 2 ( x − 3 ) ) = 0 là?

Câu 10: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình log 2 +

)

x + 2 = log 7 x có nghiệm là

Câu 20: Tìm tổng các nghiệm của phương trình log 2 x −1 ( 2 x 2 + x − 1) + log x +1 ( 2 x − 1) = 4

B. 2

D. 118

Câu 19: Với giá trị nào của m thì phương trình log x + log x + 1 = 3m có nghiệm trên [1;3] ? D. Không sai bước nào

Câu 8: Phương trình ( ln x ) − 7 ln x + 6 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 3

(

C. 59

2 3

Câu 7: Nghiệm của phương trình log 0,4 ( x − 3) + 2 = 0 là C. x = 2

B. 244

Câu 18: Phương trình log 3

− 2 log 2 x + 1 = 0 ⇔ log 2 x = 1

A. Vô nghiệm

)

Câu 17: Cho phương trình log 3 log 2 x 2 + 5 = 1 , tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là

B. x = 2a D. Phương trình vô nghiệm

)

có tập nghiệm là  16  D. S =  2;   9

( x + 1) = log 2− 3 ( x + 2 ) là

 −3 − 5  A. S =    2 

 −3 − 5 −3 + 5  B. S =  ;  2   2

 −3 + 5  C. S =    2 

 3 + 5  D. S =    2 

Câu 28: Tập nghiệm của phương trình

Trang 15

) (

D. S = {2} 2

3 2 3 3 log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 ) là 2 4 4 4

{

}

{

}

C. S = 2;1 + 33

B. S = 1 − 33

A. S = {2}

{

D. S = 2;1 − 33

}

Câu 29: Tìm số nghiệm của phương trình log 22 x + 3log 2 x + 2 = 0 A. 2 nghiệm

B. 1 nghiệm

Câu 30: Tìm số nghiệm của phương trình log A. 4 nghiệm

C. Vô nghiệm 2 2

B. 1 nghiệm

D. 3 nghiệm

− 1) + log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 1) − 2 = 0

C. 2 nghiệm

D. 3 nghiệm

Câu 31: Tìm số nghiệm của phương trình log 2 ( x + 1) = log x +1 16 A. Vô nghiệm

B. 3 nghiệm

C. 1 nghiệm 7 Câu 32: Tìm số nghiệm của phương trình log x 2 − log 4 x + = 0 6 A. 2 nghiệm B. 1 nghiệm C. 4 nghiệm 2 3

D. 2 nghiệm

C. 2 nghiệm 2 2

D. 3 nghiệm

A. T = 36

C. 1 nghiệm

Câu 49: Phương trình log 3 D. 3 nghiệm

Câu 35: Tìm số nghiệm của phương trình log 22 x + ( x − 12 ) log 2 x + 11 − x = 0 A. Vô nghiệm

B. 3 nghiệm

C. 1 nghiệm

B. 1

}

B. ( 2;5 )

C. ( 5;6 )

D. ( 6; +∞ )

= x − 4 x có nghiệm là

B. x = 0; x = 4

Câu 52: Phương trình 2

x − 2+ 3 m −3 x

D. −2

C. Vô nghiệm

+ ( x − 6x + 9x + m) 2 3

x−2

x +1

D. x = 4

+ 1 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

B. T = 64

C. T = 48

D. T = 72

x + log 2 ( x + 1) = 11 là 3 x = 2 B. x = 2 C.  x = 3

A. Vô nghiệm

D. x = 3

) = 2 − sin x − m cos x với m là tham số thực. Gọi S là tập Câu 54: Cho phương trình em cos x −sin x − e ( các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Khi đó S có dạng ( −∞; a ] ∪ [b; +∞ ) . Tính T = 10a + 20b 2 1−sin x

B. T = 12

C. T = 11

D. T = 6

B. {2 + log 2 5}

C. {log 2 5}

A. T = 1

D. {−2 + log 2 5}

B. 1

C. 2 C. m > 0

D. T = 3 10

A. m > 3

B. 1 < m < 3

C. m ≠ 3

D. Không có m

Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 32 x − ( m + 2 ) log 3 x + 3m − 1 = 0 có 2

D. m > 1

nghiệm x1 , x 2 sao cho x1 x 2 = 27

Câu 43: Tìm m để phương trình log 2 ( 4 x − m ) = x + 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. A. 0 < m < 1 B. 0 < m < 2 C. −1 < m < 0 Câu 44: Nghiệm của phương trình x + 2.3log 2 x = 3 là

C. T = 10 3

thực phân biệt thuộc (1;3]

D. 3

Câu 42: Tìm m để phương trình log 2 ( x 3 − 3 x ) = m có ba nghiệm thực phân biệt. B. 0 < m < 1

B. T = 0

Câu 55: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x.log 2 ( x − 1) + m = m.log 2 ( x − 1) + x có hai nghiệm

A. m < 1

A. x = 0

( x − 1)

C. −1 2

Câu 53: Nghiệm của phương trình

Câu 41: Số nghiệm của phương trình log 3 ( x + 1) = 2 là A. 0

D. − 5

Câu 40: Tập nghiệm của phương trình log 2 ( 2 x − 1) = −2 là A. {2 − log 2 5}

Câu 51: Phương trình log 3

A. T = 36

B. Có hai nghiệm trái dấu D. Vô nghiệm

9 a2

A. T = −7

= 2 có tổng các nghiệm bằng?

m ∈ ( a; b ) , đặt T = b − a thì

Câu 39: Phương trình x + log 2 ( 9 − 2 x ) = 3 có nghiệm nguyên dương là a . Tính giá trị của biểu thức T = a 3 − 5a −

1 243

3 x − x 2 −1

C. −3

B. 2 2x + 1

Câu 38: Phương trình log 3 ( x 2 + 4 x + 12 ) = 2 . Chọn phương án đúng. A. Có hai nghiệm cùng dương C. Có hai nghiệm cùng âm

)

B. 3

A. 1

D. 3 1 Câu 37: Giải phương trình log 4 2 log 3 1 + log 2 (1 + 3log 2 x )  = ta được nghiệm x = a . Khi đó giá trị 2 a thuộc khoảng nào sau đây? A. ( 0;3)

(

1 x 2 − 3x + 2 + 2 +   5

D. T =

D. 2 nghiệm

C. 2

{

C. T = 5

Câu 50: Hiệu của nghiệm lớn nhất với nghiệm nhỏ nhất của phương trình 7 x −1 − 2 log 7 ( 6 x − 5 ) = 1 là

Câu 36: Phương trình log x ( x 2 + 4 x − 4 ) = 3 có số nghiệm là A. 0

B. T = −3

D. 3 nghiệm

2 2

B. 2 nghiệm

Câu 34: Tìm số nghiệm của phương trình log x + log x + 1 = 1 A. Vô nghiệm

D. x = 3

Câu 45: Tìm tích các nghiệm của phương trình log 3 ( x + 1) + 3 ( x + 1) + 3x + 4  = 2 log 2 ( x + 1)   A. −1 B. −7 C. 7 D. 11 a a Câu 46: Cho phương trình log 2 ( x + 3log6 x ) = log 6 x có nghiệm x = với là phân số tối giản. Khi đó b b tổng a + b bằng? A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 3

log x +3

2 3

B. Vô nghiệm

C. x = 3; x = 1

Câu 47: Phương trình 2 5 ( ) = x có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô nghiệm Câu 48: Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình log 21 x − 5 log 3 x + 6 = 0 . Tính T

Câu 33: Tìm số nghiệm của phương trình log x + 5 log x + 1 + 7 = 0 A. 1 nghiệm

B. x = −3; x = 1

A. x = 1

4 28 D. m = 1 B. m = 25 C. m = 3 3 Câu 57: Định điều kiện cho tham số m để log x m + log mx m + log m2 x m = 0 có nghiệm.

A. m =

D. −2 < m < 0

Trang 17

m > 0 B.  m ≠ 1

A. m > 0

C. m ≠ 1

Câu 58: Số nghiệm của phương trình log 4 x 2 = log A. 0

B. 1

A. m = 2 Câu 69: Gọi

D. m > 1

C. 2

D. 3

 x = −1 C.  x = 4

B. x = 4

5  A. m ∈  −5; −  2 

D. Vô nghiệm

C. P = 93 2

{

C. S = 2 − 5; 2 + 5

( x − 1) + log 1 ( x + 1) = 1 .

{

D. S = 2 + 5

(

)

C. S = 9 3

Câu 63: Số nghiệm của phương trình A. 0

D. S = 252

x − 5x + 6 x = 0 là ln ( x − 1)

C. 2

1 Câu 64: Biết rằng phương trình 2 log 2 x + log 1 1 − x = log 2 2

(

)

B. S = 2

(x − 2

A. 0 < m < 100

B. m < 0; m > 100

3 ≤m≤ 5 4

4x − 1 − m = 0 có nghiệm. 4x + 1 C. m ≤ −1 D. −1 < m < 0

B. −1 < m < 1

tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt. 1 3 1 3     A. m ∈  −∞;  ∪  ; +∞  B. m ∈  −∞;  ∪  ; +∞  2 2 2 2    

)

C. S = −2

D. S = −6

D. 2 sao cho phương trình

C. S = 10 D. S = 12 log ( mx ) − 2 Câu 67: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình = 1 có nghiệm duy nhất log ( x + 1) C. m = 1

Câu 68: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log 2 3 x − m log

D. Không tồn tại m 3

D. m ∈ ( −∞;1) ∪ (1; +∞ )

)

x + 2 có nghiệm duy nhất dạng

A. 3 B. 5 C. 5 Câu 66: Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số log 4 ( 22 x + 2 x + 2 + 2 2 ) = log 2 m − 2 vô nghiệm. Giá trị của S bằng B. S = 8

Câu 73: Cho phương trình 2( x −1) .log 2 ( x 2 − 2 x + 3) = 4 x − m .log 2 ( 2 x − m + 2 ) với m là tham số thực. Tìm

(

x2 − 2 x + 1 2 Câu 65: Phương trình log 3 + x + 1 = 3x có tổng các nghiệm bằng: x

A. S = 6

B. 1 < m ≤ 5

1< m ≤ 2

Câu 74: Cho phương trình log3 x 2 + 4mx + log 1 ( 2 x − 2m − 1) = 0 với m là tham số thực. Gọi S là tập

D. 3

a + b 3 với a, b ∈ ℤ . Tính tổng S = a + b

A. S = 6

C. m ∈ ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ )

B. 1

log 22 x − 2 log 2 x − 3 = m ( log 2 x − 3) với m là tham số thực. Tìm các giá trị

B. S = 45

D. Không tồn tại m

của m để phương trình có nghiệm thuộc [16; +∞ )

A. m < 0

}

S = 27 + 27 A. S = 180

 10  C. m ∈  2;   3

Câu 72: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình log 2

Câu 62: Biết rằng phương trình log3 3x +1 − 1 = 2 x + log 1 2 có hai nghiệm x1 và x2 . Hãy tính tổng x1

4  B. m ∈  −1;  3 

Câu 71: Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc [ −2017; 2017 ] để phương trình log ( mx ) = 2 log ( x + 1) có nghiệm duy nhất? A. 2017 B. 4014 C. 2018 D. 4015

B. S = {3}

}

Mệnh đề nào sau đây là

1≤ m ≤ 5

D. P = 38

 3 + 13  A. S =    2 

( 2; 4 ) .

D. m = 0 sao cho phương trình

Câu 70: Cho phương trình

  x2 Câu 60: Biết rằng phương trình log 1 ( 9 x )  + log 3 − 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 . Tính 81  3  P = x1 x 2 1 B. P = 36 93 Câu 61: Tìm tập nghiệm S của phương trình log

có nghiệm thuộc

đúng?

A. P =

B. m = −2 C. m = 2 là giá trị thực nhỏ nhất của tham số

( m − 1) log 21 ( x − 2 ) − ( m − 5 ) log 1 ( x − 2 ) + m − 1 = 0

2 là

Câu 59: Nghiệm phương trình log 4 ( 3x + 4 ) .log x 2 = 1 là A. x = −2

x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất

nhỏ hơn 1.

Trang 19

tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó S có dạng [ a; b ] ∪ {c} với a < b < c . Tính P = 2a + 10b + c A. P = 0

B. P = 15

C. P = −2

Dạng 2. Bất phương trình lôgarit Bài toán 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản Phương pháp giải Áp dụng lý thuyết  a >1  0 < f x) < g ( x) (  Dạng 1: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔  0 < a <1     f ( x ) > g ( x ) > 0  a >1  0 < f ( x ) < ab  Dạng 2: log a f ( x ) a b

D. P = 13

 x < 27 log 3 x < 3   1   Ta có max log 3 x, log 1 x  < 3 ⇔ log x < 3 ⇔  1 ⇔ < x < 27 1 8 x > 2    2  8

  a >1   b   f ( x) > a Dạng 3: log a f ( x ) > b ⇔  0 < a <1    0 < f ( x ) < a b Ví dụ mẫu

  b  b là phân số tối Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình log3  log 1 x  ≥ 0 có dạng S =  a;  , với c  c  2  giản và a là số nguyên. Tính a + b + c D. 6 A. 3 B. 2 C. −2 Hướng dẫn giải   1 Ta có: log 3  log 1 x  ≥ 0 ⇔ log 1 x ≥ 1 ⇔ 0 < x ≤ 2  2  2 Nên a = 0, b = 1, c = 2 , do đó a + b + c = 3

Chọn A. Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình log 1 log 2 ( 2 − x 2 )  > 0 là S = ( a; b ) \ {0} . Tính a + 3b

1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S =  ; 27  8  Chọn C. Bài toán 2. Bất phương trình theo một hàm số lôgarit Phương pháp giải

Ví dụ: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 2 2 ( 2 x ) − 2 log 2 ( 4 x 2 ) − 8 ≤ 0 là A. Vô số C. 0 Hướng dẫn giải Ta có:

Bước 1. Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về lôgarit cùng cơ số Bước 2. Giải như dạng 1.

log 2 2 ( 2 x ) − 2 log 2 ( 4 x 2 ) − 8 ≤ 0 ⇔ 4 log 22 ( 2 x ) − 4 log 2 ( 2 x ) − 8 ≤ 0

A. 3 Hướng dẫn giải

B. 2

C. −2

1 1 ≤ 2x ≤ 4 ⇔ ≤ x ≤ 2 2 4 Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên. Chọn B.

D. 0

⇔ −1 ≤ log 2 ( 2 x ) ≤ 2 ⇔

Ta có: log 1 log 2 ( 2 − x 2 )  > 0 ⇔ 0 < log 2 ( 2 − x 2 ) < 1 ⇔ 1 < 2 − x 2 < 2 2 2  −1 < x < 1  x < 1 . Nên a = −1; b = 1 . Do đó a + 3b = 2 ⇔ 2 ⇔ x ≠ 0  x > 0

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình

Chọn B. Ví dụ 3: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log 2 log3 x − 3  ≥ 0 B. 4

C. 6

1 1 + > 2 là S = ( a; eb ) \ {ec } , với a, b, c ∈ ℤ . Tính 2 − ln x ln x

a+b+c A. 3 B. 2 C. 4 Hướng dẫn giải 2 − 2 ln x. ( 2 − ln x ) 2 ln 2 x − 4 ln x + 2 Ta có: >0⇔ >0 ( 2 − ln x ) .ln x ( 2 − ln x ) .ln x

A. 7 Hướng dẫn giải

B. 2 D. 1

D. 5

x > 4  x ≠ 3  x ≠ 3 Điều kiện:  ⇔ ⇔ log x − 3 > 0 x − 3 > 1 x < 2  3 

D. 6

Bảng xét dấu:

 x − 3 ≤ 3 Ta có: log 2 log 3 x − 3  ≥ 0 ⇔ 0 < log 3 x − 3 ≤ 1 ⇔   x − 3 > 1 3

1 < x − 3 ≤ 3 4 < x ≤ 6 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ [ 0; 2 ) ∪ ( 4;6] − > − ≥ − 1 x 3 3  2 > x ≥ 0 Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 4 Chọn B.

  Ví dụ 4: Bất phương trình max log 3 x, log 1 x  < 3 có tập nghiệm là 2   1  A. ( −∞; 27 ) B. ( 8; 27 ) C.  ; 27  8 

1 < x < e2 0 < ln x < 2 ⇔ Do đó:  nên a = 1, b = 2, c = 1 suy ra a + b + c = 4 ln x ≠ 1 x ≠ e Chọn C. Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 3 x + log 3 x 36 ≤ 3 là A. 9 Hướng dẫn giải

D. ( 27; +∞ )

Ta có: log3 x +

Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0 Trang 21

B. 0

C. 11

1 6 < 3 ⇔ log 3 x + −3< 0 log 36 3 x 1 + log3 x

D. 5

⇔

log 32 x − 2 log 3 x + 3 ≤ 0 ⇔ log 3 x + 1 < 0 vì log 32 x − 2 log 3 x + 3 > 0, ∀x > 0 log3 x + 1

So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S = ( 3;5 ) Do đó: b − a = 5 − 3 = 2 Chọn A. Bài toán 5. Đặt ẩn phụ Phương pháp giải

1 ⇔ log 3 x < −1 ⇔ 0 < x < nên không có giá trị nguyên thỏa mãn bài toán. 3 Chọn B.

(

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên x ∈ ( 0;30 ) mãn bất phương trình thỏa log 21 x − 5 log3 x + 6 > 0 ?

)

Ví dụ 3: Bất phương trình log 2 2 x 2 − x − 1 > 0 có tập nghiệm là ( a; b ) ∪ ( c; d ) . Tính tổng a + b + c + d 3

3 2 Hướng dẫn giải

(

B. 0

C. 1

D. − 17

A. 9 B. 10 C. 26 D. 27 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0 Xét phương trình: log 21 x − 5 log3 x + 6 > 0

)

Ta có log 2 2 x2 − x − 1 > 0 3

Bước 1. Đặt t = log a f ( x ) ⇔ f ( x ) = a t

1   x < − 2 ∨ x > 1 2 x 2 − x − 1 > 0 ⇔ 2 ⇔ 2 x − x − 1 < 1 1 − 17 < x < 1 + 17  4 4

1 ⇒ log na f ( x ) = t n , log f ( x ) a = , t ≠ 0 t

3 2

⇔ ( − log 3 x ) − 5log 3 x + 6 > 0 2

⇔ ( log 3 x ) − 5log 3 x + 6 > 0 (1)

1 − 17  1 1 − 17 1 ;b = − <x<−  a =  4 2 4 2  ⇔ ⇒  1 + 17 1 + 17  1 < x < c = 1; d = 4  4 Vậy a + b + c + d = 1 Chọn C Bài toán 4. Mũ hóa hoặc lấy lôgarit hai vế Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Bất phương trình x −2 + log x < 1000 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 999 B. 1000 C. Vô số D. 1001 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0 Ta có:

Đặt t = log 3 x

(1) ⇔ t 2 − 5t + 6 > 0

Bước 2. Chuyển phương trình về phương trình ẩn t Bước 3. Giải phương trình và kết hợp điều kiện

⇔ ( t − 2 )( t − 3) > 0

t < 2 ⇔ t > 3 log 3 x < 2 ⇒ log 3 x > 3 x < 9 ⇔ (thỏa mãn)  x > 27 Do x ∈ ( 0;30 ) nên có 10 giá trị thỏa mãn.

x −2+ log x < 1000 ⇔ log ( x −2 +log x ) < log1000

Chọn B. Ví dụ mẫu

⇔ ( log x − 2 ) log x < 3 ⇔ log 2 x − 2 log x − 3 < 0 1 ⇔ −1 < log x < 3 ⇔ < x < 1000 nên bất phương trình có 999 nghiệm nguyên. 10 Chọn A. Chú ý: khi cơ số a > 1 , giữ nguyên chiều bất phương trình; 0 < a < 1 đảo chiều bất phương trình. Ví dụ 2: Biết tập nghiệm S của bất phương trình log π  log 3 ( x − 2 )  > 0 là khoảng ( a; b ) . Tính b − a 6

A. 2 B. 4 C. 3 Hướng dẫn giải x > 2 x > 2  x − 2 > 0 Điều kiện:  ⇔ ⇔ ⇔ x>3 log 3 ( x − 2 ) > 0 x − 2 > 1 x > 3

D. 5

x log 2 x 2 2 − ≤1 Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 2 x log 2 x − 1 log 2

 1 A.  0;  ∪ 1; 2  ∪ ( 2; +∞ )  2  1 C.  0;  ∪  2; +∞  2

(

)

Hướng dẫn giải x > 0  Điều kiện:  x 2 > 0 ⇔0< x ≠2 log − 1 ≠ 0  2

log π log 3 ( x − 2 )  > 0 ⇔ log 3 ( x − 2 ) < 1 ⇔ x − 2 < 3 ⇔ x < 5 6

Trang 23

 1 B.  0;  ∪ 1; 2   2  1 D.  0;  ∪ [1; +∞ )  2

(

 x ≤ 2  log 20 4 −1  x ≥ 5 ⇔ ⇔ 5log 20 4 − 1 ≤ x ≤ 2 x ≥ 2     x ≤ 5log 20 4 − 1 Nên a = 5, b = 4, c = 1, d = 2 . Từ đó ta có: a + b + c + d = 12

x 2 2 − log 2 x ≤ 1 ⇔ log 2 x − 1 − 2 log 2 x ≤ 1 log 2 x log 2 − 1 log 2 x log 2 − 1

log 2

Đặt t = log 2 x

t > 1  t − 1 2t −2t 2 − t + 1 1 Bất phương trình trở thành − ≤1⇔ ≤ 0 ⇔ 0 < t ≤ t t −1 t ( t − 1) 2  t ≤ −1  + + +

Chọn C. Bài toán 7. Bất phương trình lôgarit chứa tham số Phương pháp giải

Với t > 1: log 2 x > 1 ⇔ x > 2 1 1 Với 0 < t ≤ : 0 < log 2 x ≤ ⇔ 1 < x < 2 2 2 1 Với t ≤ −1: log 2 x ≤ −1 ⇔ x ≤ 2

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −10;10 ) để bất phương trình

(

4 log 2 x

(

Ví dụ 2: Biết rằng bất phương trình log 2 ( 5x + 2 ) + 2.log 5x + 2 2 > 3 có tập nghiệm là S = ( log a b; +∞ ) , với

(

)

Đặt t = log 2 ( 5x + 2 ) > 1 . Khi đó (*) trở thành t +

Bước 1. Đặt ẩn phụ

(

Ta có: 4 log 2 x D. P = 7

B. 11 D. 9

)

+ log 2 x + m ≥ 0

2 2

⇔ log x + log 2 x + m ≥ 0 (*)

Đặt log 2 x = t

1 > 3 (*) log 2 ( 5 x + 2 )

Lại có 1 < x < 64 ⇔ 0 < log 2 x < 6 ⇔ 0 < t < 6 Bất phương trình (*) có dạng

2 > 3 ⇔ t 2 − 3t + 2 > 0 ⇔ t > 2 (do t > 1 ) t

Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét, hoặc cô lập m , xét hàm f ( t ) , lập bảng biến thiên để tìm m

Với t > 2 thì log 2 ( 5x + 2 ) > 2 = log 2 23 ⇔ 5 x > 2 ⇔ x > log 5 2

t 2 + t + m ≥ 0 ⇔ t 2 + t ≥ −m

Ta tìm m để t 2 + t ≥ − m có nghiệm với 0 < t < 6 Xét hàm f ( t ) = t 2 + t

a = 5 ⇒ P = 2a + 3b = 16 Suy ra  b = 2

f ′ ( t ) = 2t + 1, f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = −

Chọn B. Bài toán 6. Bất phương trình tích Ví dụ mẫu Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình

+ log 2 x + m ≥ 0 nghiệm đúng với

A. 8 C. 10 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 0

Hướng dẫn giải

Ta có log 2 ( 5x + 2 ) + 2.log 5x + 2 2 > 3 ⇔ log 2 ( 5 x + 2 ) + 2.

mọi x ∈ (1;64 )

 1 Kết hợp với điều kiện, bất phương trình đã cho có tập nghiệm S =  0;  ∪ 1; 2  ∪ ( 2; +∞ )  2 Chọn A.

( ) a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và a ≠ 1 . Tính P = 2a + 3b A. P = 11 B. P = 16 C. P = 18

)

1 2

Lập bảng biến thiên ta có:

log 4 ( x − 1) .log 5 ( x + 1) ≤ log 20 ( x − 1) có dạng là

S =  a log ab b − c; d  với a, b, c, d là các số nguyên dương. Tính tổng a + b + c + d A. 11 B. 13 C. 12 D. 5 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 1 , bất phương trình trở thành:

Vậy phương trình t 2 + t ≥ − m có nghiệm với 0 < t < 6 ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0 Chọn D.

log 4 ( x − 1) .log 5 ( x + 1) − log 20 4.log 20 ( x − 1) ≤ 0

 log 4 ( x − 1) ≤ 0  log 5 ( x + 1) ≥ log 20 4 ⇔ log 4 ( x − 1) . log 5 ( x + 1) − log 20 4  ≤ 0 ⇔  log 4 ( x − 1) ≥ 0  log x + 1 ≤ log 4 ) 20   5 (

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −10;10 ) để bất phương trình ln 2 x − m ln x + m + 3 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x > 3 A. 6 B. 4 C. 1 Hướng dẫn giải

Trang 25

D. 0

Ta có: ln 2 x − m ln x + m + 3 ≤ 0 ⇔ m ( ln x − 1) ≤ ln 2 x + 3 ⇔ m ≤

ln 2 x + 3 ln x − 1

t2 + 3 Đặt t = ln x; t ≥ ln 3 . Ta xét hàm số f ( t ) = t −1

( t − 1)

B. S = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )

C. S = ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

D. S = ( 2; +∞ )

Câu 3: Bất phương trình log 1 ( 2 x − 1) > log 1 ( x + 2 ) có tập nghiệm là 2

t2 + 3 4 4 f (t ) = = t +1+ ⇒ f ′ (t ) = 1 − ; 2 t −1 t −1 ( t − 1) f ′ (t ) = 0 ⇔ 1−

A. S = (1; 2 )

A. ( 3; +∞ )

1  C.  ;3  2 

B. ( −∞;3)

D. ( −2;3)

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình log 0,8 ( x 2 + x ) < log 0,8 ( −2 x + 4 ) là

t = 3 =0⇔  t = −1

A. ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) B. ( −4;1)

C. ( −∞; −4 ) ∪ (1; 2 )

(

D. (1; 2 )

)

Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 3x + 1 < log 1 ( 4 x ) 2

 1 A. S =  0;  ∪ (1; +∞ )  3 1  C. S =  ;1 3  Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x > 3 khi m ≥ 6 khi đó có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn B.

Ví dụ 2: Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log 5 + log ( x + 1) ≥ log ( mx + 4 x + m ) 2

nghiệm đúng với mọi x là A. 2 B. 4 Hướng dẫn giải Điều kiện xác định:

C. 1

 2  C.  − ;0  ∪ [8; +∞ )  5 

D. [8; +∞ )

B. ( −1; 2 )

A. ( 0;12 )

C. ( 5; +∞ )

(12 − x ) C. ( 0;9 )

B. ( 9;16 )

D. ( −∞;1)

là D. ( 0;16 )

Câu 9: Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình log m ( 2 x 2 + x + 3) ≤ log m ( 3 x 2 − x ) , biết rằng x = 1 là một nghiệm của bất phương trình.

1  A. S = ( −2; 0 ) ∪  ;3 3  1  C. S = [ −1;0 ) ∪  ;3 3 

m < 5 m < 5 5 − m > 0 m < 5   ⇔ ⇔ 2 2 ⇔  −2 ≤ 5 − m ⇔  m ≤ 7 ⇔ 3 ≤ m 5 − m ≤ 2 m ≥ 3 16 − 4 ( 5 − m ) ≥ 0 4 ≥ ( 5 − m )  

1  B. S = ( −1; 0 ) ∪  ; 2  3  D. S = ( −1; 0 ) ∪ (1;3]

Câu 10: Tập xác định của hàm số y = ln ( x − 1) + ln ( x + 1) là

Có hai giá trị nguyên thỏa mãn m ∈ {3; 4}

(

)

D.  2; +∞ Câu 11: Bất phương trình log 3 x ≤ log 9 ( x − 1) tương đương với bất phương trình nào sau đây? A. (1; +∞ )

Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 2

B. −∞; 2 2

Câu 1: Giải bất phương trình log 2 ( 3x − 2 ) > log 2 ( 6 − 5 x ) được tập nghiệm là ( a; b ) . Hãy tính tổng

S = a+b B. S =

B. [ 0;1) ∪ ( 2;8]

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình log 3 x < log

⇔ 5 ( x 2 + 1) ≥ ( mx 2 + 4 x + m ) ⇔ ( 5 − m ) x 2 − 4 x + 5 − m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

26 5

A. ( −∞;0] ∪ [8; +∞ )

A. (1; 4 )

log 5 + log ( x + 1) ≥ log ( mx + 4 x + m ) ⇔ log 5 ( x + 1) ≥ log ( mx + 4 x + m )

A. S =

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình ln ( x 2 − 3 x + 2 ) ≥ ln ( 5 x + 2 ) là

Câu 7: Bất phương trình log 4 ( x + 7 ) > log 2 ( x + 1) có tập nghiệm là

D. 0

m > 0 m > 0  2 mx + 4 x + m > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m > 2 ⇔ m > 2 2 16 − 4m < 0   m < −2  2

1  B. S =  −∞;  ∪ (1; +∞ ) 3   1 D. S =  0;  ∪ (1; +∞ )  3

11 5

C. S =

(

28 15

D. S =

A. log 3 x ≤ log 9 x − log 9 1 2

8 3

B. 2 log 3 x ≤ log 3 ( x − 1) 2

C. log 9 x ≤ log 3 ( x − 1) 2

D. log 3 x ≤ 2 log 3 ( x − 1) 2

Câu 12: Tất cả các giá trị của m để bất phương trình log 2 ( 7 x 2 + 7 ) ≥ log 2 ( mx 2 + 4 x + m ) có nghiệm

)

Câu 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log π x 2 − 1 < log π ( 3x − 3) 4

C. ∅

đúng với mọi giá trị của x là A. m ≤ 5 B. 2 < m ≤ 5

Trang 27

C. m ≥ 7

D. 2 ≤ m ≤ 5

A. 2 < x ≤ 3

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn điều kiện log ( x − 40 ) + log ( 60 − x ) < 2 ? A. 20

B. 18

C. 21

Câu 28: Nghiệm của bất phương trình log 2

D. 19

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 2 log 2 ( x − 1) ≤ log 2 ( 5 − x ) + 1 là A. (1;5 )

B. [1;3]

C. (1;3]

A. x ≤ 1

D. [ 3;5]

A. [1; +∞ )

B. ( 0;1]

C. ( 0;1)

3  D.  ;3 4 

A. x > 5

B. ( −2; +∞ )

B. ( −2;1)

A. S = ( 2; +∞ )

B. S = (1; 2 )

 x > 32 A.  x < 1

5  D.  ;3 2 

B. 2 ≤ x < 3

C. x ≥ 2

1  Câu 22: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 1 x + log 1  x +  ≥ 1 là 2  2 2 A. Vô số B. 0 C. 2

D. S = (1; 2]

B. ( −∞; −5 )

C. ( −∞; −5 ) ∪ ( 4; +∞ )

D. 2 < x < 3

B. ( −4;3)

C. ( 2;3)

D. 3

B. [1; 2]

 1  C.  − ; 2   2 

B. 0 < x ≤ 25

C. x ≥ 10

 1 B. S =  0;   2  1 D. S =  0;  ∪ [ 64; +∞ )  2

x > 5 B.  x <1

 x > 32 C.  0 < x < 2

 x ≥ 32 D.  x ≤ 1

 63  B. S = ( −∞;0] ∪  ; +∞   32 

D. S = ( −∞; 0] 2

Câu 34: Nghiệm của bất phương trình ( ln x ) − 2 ln x > −1 là

A. 1 < x < 2

D. ( 4; +∞ )

D. ( −2;5 )

A. ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ )

B. 2 < x < 4

C. 2 ≤ x ≤ 4

D. x ∈ ℝ

D. 1 ≤ x ≤ 2

 1  D.  − ; 2  2 

B. e 2 ; +∞ )

C. ( −∞; e] ∪ e 2 ; +∞ )

D. ( 0; e ] ∪  e2 ; +∞ )

3 x3 1 Câu 37: Tập nghiệm của bất phương trình log 3 .log 3 x − log 3 > + 2 log 3 x là x 3 2

A. ( 0; +∞ )

 3 B.  0;  ∪ (1; +∞ ) 8  

 3  C.  ;1  8 

 1  D.  ;1  27 

Câu 38: Tập nghiệm của bất phương trình log 22 x − 6 log 4 x − 4 < 0 là 1  A.  ;16  2 

Câu 26: Nghiệm của bất phương trình log 5 x3 + log 0,2 x + log 3 25 x ≤ 7 là A. x ≤ 25

D. m < −1

Câu 36: Tập nghiệm của bất phương trình ln 2 x − 3ln x + 2 ≥ 0 là

Câu 25: Bất phương trình 3log 3 ( x − 1) + log 3 3 ( 2 x − 1) ≤ 3 có tập nghiệm là A. (1; 2]

D. x > 10

x ≠ e A.  B. x ≠ 1 C. x ∈ ℝ \ {1} x > 0 Câu 35: Nghiệm của bất phương trình log 22 − 3log 2 x ≤ −2 là

Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x + 1) − 2 log 2 ( 5 − x ) < 1 − log 2 ( x − 2 ) chứa khoảng nào dưới đây? A. (1; 2 )

369 49

C. m > 0

C. S = [ 2; +∞ )

Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình log ( x + 1) + log x > log 20 là A. ( −5; 4 )

C. 3 < x < 4

 63  A. S = ( −∞; 0] ∪  ; 2   32 

Câu 21: Cho bất phương trình log 0,2 x − log 5 ( x − 2 ) < log 0,2 3 . Nghiệm của bất phương trình đã cho là A. x > 3

D. 1 ≤ x ≤

Câu 33: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 22 ( 2 − x ) + 4 log 2 ( 2 − x ) ≥ 5

C. S = ( 0; 2 )

369 49

Câu 32: Nghiệm của bất phương trình log 22 x − 6 log 2 x > −5 là

Câu 20: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 1 ( x + 2 ) − log 1 ( x ) > log 2 ( x 2 − x ) − 1 . 2

B. x > 3

C. S = [ 64; +∞ )

D. ∅

 5 C.  2;   2

C. x ≥

1  A. S =  ; 64  2 

B. ( 2;3]

)

Câu 31: Tập nghiệm S của bất phương trình log x − 5log 2 x − 6 ≤ 0 là

Câu 19: Bất phương trình log 2 ( 2 x − 1) − log 1 ( x − 2 ) ≤ 1 có tập nghiệm là A. ( 2; +∞ )

(

2 2

D. ( −2; 2 )

C. (1; +∞ )

369 49

nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ ? A. m < −1 ∨ m > 0 B. −1 < m < 0

Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình log ( x 2 + 2 x − 3) + log ( x + 3) − log ( x − 1) < 0 là A. ( −4; −2 ) ∪ (1; +∞ )

)

3 x + 1 + 6 − 1 ≥ log 2 7 − 10 − x là

Câu 30: Giá trị nào của tham số m thì bất phương trình log 2 ( 3x − 2mx − m − 2m + 4 ) > 1 + log 2 ( x 2 + 2 )

D. (1; +∞ )

C. ( 2; +∞ )

(

D. −2 < x < 3

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x + 2 ) − log 2 ( x − 2 ) < 2 là  10  A.  ; +∞   3 

B. x ≤

C. 3 < x

1 Câu 29: Nghiệm của bất phương trình log3 x 2 − 5 x + 6 + log 1 x − 2 < log 1 ( x + 3) là 2 3 3

Câu 15: Bất phương trình 2 log 3 ( 4 x − 3 ) + log 1 ( 2 x + 3 ) ≤ 2 là 3  3  3  A.  ; +∞  B.  ; +∞  C.  ;3 4  4  4  Câu 16: Bất phương trình log 2 x + log 3 x + log 4 x > log 20 x có tập nghiệm là

B. x < −2

D. 0 < x ≤ 10

B. ( −1; 4 )

C. ( −1;16 )

1  D.  ; 4  2 

Câu 39: Tập xác định của hàm số y = ln 2 x − 3ln x + 2 là

Câu 27: Nghiệm của bất phương trình 2 log 2 x + 1 ≤ 2 − log 2 ( x − 2 ) là

A. ( 0; e ] ∪  e2 ; +∞ )

Trang 29

B. ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ )

C. ( −∞; e] ∪ e 2 ; +∞ )

D. e 2 ; +∞ )

Câu 52: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 3 x + log 3 x 27 ≤ 3 là

Câu 40: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 2 2 ( 2 x ) − 2 log 2 ( 4 x 2 ) − 8 ≤ 0 1  A. S =  ; 2  4 

B. S = ( −∞; 2]

C. S = [ −2; 2]

A. 9

C. 5 ln x + 2 Câu 53: Giải bất phương trình < 0 ta được tập nghiệm là ln x − 1 1 1   A.  2 ;e  C.  −∞; 2  B. ( −∞;e ) e  e  

D. S = ( 0; 2]

Câu 41: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 2 x − 10 log 2 x + 1 > 0 là 1   B.  −∞;2 4  ∪ ( 2; +∞ )  

1   C.  0;2 4  ∪ ( 2; +∞ )   5 Câu 42: Tập nghiệm của bất phương trình log 22 x + 9 log8 x ≥ log 4 2 16 là 2  1 1  1  A.  ; 2  B.  0;  ∪ [ 2; +∞ ) C.  ; +∞   16  16  16 

A. ( 2; +∞ )

1   D.  0; 2 4   

63   B.  −∞;  32  

C. ( −∞; −5] ∪ [1; +∞ )

1   B.  0;2 4  ∪ ( 2; +∞ )  

C. ( 2; +∞ )

B. 38556

 8   8  C. Tập xác định của bất phương trình đã cho là T =  0;  ∪  ; 4  ∪ ( 4; +∞ )  27   27 

(

D. ( −∞; 2 )

Câu 55: Tập nghiệm của bất phương trình

D. 388639

B. ( −1;1] ∪ [ 4; +∞ )

C. ( 0; 4] ∪ [5; +∞ )

D. ( 0;1] ∪ [ 2; +∞ ) 3

A. x <

2 3

B. x <

4 9

C. x >

4 9

D. ( −∞; e ) ∪ ( e 2 ; +∞ )

Câu 56: Tập nghiệm của bất phương trình

B. ( −3; 4 ) ∪ ( −3; 2 )

C. ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ )

D. ( −∞; −3) ∪ ( 4; +∞ )

A. ( 0;1) ∪

3 Câu 49: Bất phương trình log 4 x − log x 4 ≤ − có bao nhiêu nghiệm nguyên trên đoạn [1;5] 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 Câu 50: Nghiệm của bất phương trình log x 100 − log100 x > 0 là 2

A. 1 < x < 102

1  x< 2 2 B.  10 1 < x < 102

C. 0 < x < 2

1 102

B. 9

C. 10

(

2; +∞

(

1 2 + ≤ 1 là 4 + log 2 x 2 − log 2 x  1  1 1 B.  0;  ∪  ;  ∪ ( 2; 4 ) ∪ ( 4; +∞ )  16   4 2   1  1 1  D.  0;  ∪  ;  ∪ ( 4; +∞ )  16   4 2 

16log 2 x 3log 2 x 2 − < 0 là log 2 x 2 + 3 log 2 x + 1  1 1 ;  ∪ (1; +∞ ) B.  2 2 2

)

 1 1 ;  ∪ 1; + 2 C.  2 2 2

)

 1  ;1 ∪ D.  2 2 

(

2; +∞

)

Câu 59: Tìm m để bất phương trình log 2 x − m log x + m + 3 ≤ 0 có nghiệm x > 1

1  0< x< 2 2 D.  10 1 < x < 102 2

 m < −3 A.  m ≥ 6

B. −3 < m ≤ 6

C. m < −3

D. m ≥ 6

Câu 60: Tập nghiệm của bất phương trình log x log 9 ( 3x − 9 ) < 1 là

Câu 51: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 log 5 x − log x 125 < 1 là A. 1

1 1 1 là > + log 6 e log 4− x e log 3+ x e

A. ( −3; −2 ) ∪ ( 3; 4 )

Câu 58: Tập nghiệm của bất phương trình

4 2 <x< 9 3

1 1 + > 2 là 2 − ln x ln x

C. (1; e 2 ) \ {e}

 1  1 1 A.  0;  ∪  ;  ∪ ( 2; 4 ) ∪ ( 4; +∞ )  16   4 2   1  1 1  C.  0;  ∪  ;  ∪ [ 2; 4] ∪ ( 4; +∞ )  16   4 2 

Câu 48: Bất phương trình 2 log 2 x.log 3 x + 2 log 2 x − 4 log 3 x − 4 > 0 có nghiệm là

)

9; 4 ∪ ( 4; +∞ )

B. ( −∞;1)

Câu 57: Tập nghiệm của bất phương trình

3x − 1 3 Câu 47: Tập nghiệm của bất phương trình log 4 ( 3 − 1) .log 1 ≤ là 4 4 16

A. ( −∞;0 ) ∪ (1; e ) ∪ ( e2 ; +∞ )

A. (1; 2] ∪ [3; +∞ )

) (

D. Tập xác định của bất phương trình đã cho là T = 0; 3 9 ∪

D. ( 0; 2 )

C. 378225

3 1 + <1 4 − 2 log 2 x 2 − 3log 3 x

B. Tập xác định của bất phương trình đã cho là T = [ 0; +∞ )

D. [ 2; +∞ )

 x3  Câu 45: Cho bất phương trình log 4 x.log 2 ( 4 x ) + log 2   < 0 . Nếu đặt t = log 2 x , ta được bất phương  2 trình nào sau đây? A. t 2 + 11t − 2 < 0 B. t 2 + 11t − 3 < 0 C. t 2 + 14t − 2 < 0 D. t 2 + 14t − 4 < 0 2 5 2 Câu 46: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình log 3 x − 25log3 x − 750 ≤ 0 là A. 925480

D. ( e; +∞ )

A. Tập xác định của bất phương trình đã cho là T = ( 0; +∞ )

Câu 44: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 2 x − 5log 2 x + 1 < 0 là

 1  A.  2 4 ;2   

D. 11

Câu 54: Mệnh đề nào sau đây đúng khi phát biểu về bất phương trình

Câu 43: Tập nghiệm của bất phương trình log 22 ( 2 − x ) − 8log 0,25 ( 2 − x ) − 5 ≥ 0 là  63  A. ( −∞; 0] ∪  ; 2   32 

B. 0

A. ∅

D. 11 Trang 31

B. ℝ

C. ( 3; +∞ )

D. ( log 3 10; +∞ )

Câu 61: Tập nghiệm của bất phương trình log x log 4 ( 2 x − 4 )  ≤ 1 là A. ℝ

B. ∅

C. ( log 2 5; +∞ )

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN D. ( 2; +∞ )

Dạng 1. Phương trình lôgarit

Câu 62: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log 2 x ( x 2 − 5 x + 6 ) < 1 là A. 0

B. 1

C. 2

(

D. 3

)

Câu 63: Tập nghiệm của bất phương trình log x x 2 − 8 x + 16 ≥ 0 là 5

A. [3; +∞ ) \ {4}

B. [3; +∞ )

C. ( 5; +∞ )

D. [3; +∞ ) \ {5}

Câu 64: Bất phương trình log 2 ( 2 x + 1) + log 3 ( 4 x + 2 ) ≤ 2 có tập nghiệm A. ( −∞; 0 )

B. [ 0; +∞ )

C. ( −∞; 0]

(

D. ( 0; +∞ )

)

Câu 65: Giải bất phương trình log x log 3 ( 9 x − 72 ) ≤ 1 ta được: A.

0 < x ≤ 2 B.  x ≠ 1

x≤2

log 9 72 ≤ x ≤ 2

D. log 9 73 ≤ x ≤ 2 Câu 66: Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( 7.10 x − 5.25 x ) > 2 x + 1 là A. [ −1;0 )

C. [ −1;0 )

B. ( −1;0 )

D. [ −1; 0]

Câu 67: Bất phương trình 2 log9 ( 9 x + 9 ) + log 1 ( 28 − 2.3x ) ≥ x có tập nghiệm là 3

A. ( −∞; −1] ∪ [ 2;log 3 14]

B. ( −∞; −1] ∪ [ 2; log 3 14 )

 12  C. ( −∞; −1] ∪  2;   5

D. ( −∞; log3 14]

Câu 68: Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình log m ( x 2 − 2 x + m + 5 ) > 1 có vô số nghiệm A. m > 1

B. 0 < m < 1

C. m ≥ 1

D. m > 0

Trang 33

1- D

2- D

3- B

4- A

5- B

6- D

7- D

11- B

12- D

21- B

22- A

13- D

14- C

15- A

16- A

17- D

23- A

24- A

25- B

26- A

27- C

31- D

32- A

33- B

34- C

35- D

36- B

37- A

41- C

42- A

43- C

44- A

45- C

46- D

8- C

9- D

10- B

18- B

19- B

20- D

28- D

29- A

30- C

38- C

39- C

40- D

47- A

48- A

49- B

50- A

51- B

52- C

53- D

54- C

55- B

56- D

57- A

58- C

59- B

60- A

61- D

62- A

63- B

64- B

65- A

66- C

67- B

68- B

69- A

70- B

71- C

72- A

73- A

74- C

Dạng 2. Bất phương trình lôgarit 1- B

2- D

3- C

4- C

5- A

6- C

7- B

8- C

9- C

10- D

11- B

12- B

13- B

14- C

15- C

16- D

17- A

18- D

19- C

20- B

21- A

22- B

23- D

24- C

25- A

26- B

27- A

28- D

29- C

30- B

31- A

32- C

33- A

34- A

35- C

36- D

37- D

38- A

39- A

40- A

41- C

42- B

43- A

44- A

45- D

46- A

47- D

48- D

49- A

50- D

51- C

52- A

53- A

54- D

55- C

56- A

57- D

58- C

59- A

60- D

61- C

62- C

63- D

64- C

65- D

66- B

67- B

68- A

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Định nghĩa nguyên hàm

Mục tiêu

Ví dụ: F ( x ) = x 3 là một nguyên hàm của hàm

Cho hàm số f ( x ) xác định trên K (K là khoảng, đoạn

Kiến thức + Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản.

hay nửa khoảng). Hàm số F ( x ) được gọi là một nguyên hàm của hàm số

+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm.

f (x)

số f ( x ) = 3x 2 vì ( x 3 ) = 3x 2

trên K nếu

F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .

Kĩ năng + Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm

Định lí

+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm.

Nhận xét: Nếu F ( x ) và G ( x ) cùng là nguyên

Giả sử hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số

+ Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế.

F ( x ) trên K. Khi đó:

•

Với mỗi hằng số C, hàm số F ( x ) + C cũng là

hàm của hàm số f ( x ) trên K thì: •

F ' ( x ) = G ' ( x ) , ∀x ∈ K .

•

F ( x ) − G ( x ) = C , với C là hằng số nào

một nguyên hàm của f ( x ) trên K. •

đó.

Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của f ( x ) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G (x) = F(x) + C

với mọi

x ∈ K . Do đó

F ( x ) + C, C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm

của

f (x)

trên

Ký

hiệu

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . Tính chất

Ví dụ 1:

Nếu f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên K thì: a)

∫ [2 sin x + 3cos x ] dx = 2 ∫ sin xdx + 3∫ cos xdx = 2 ( − cos x ) + 3sin x + C = −2 cos x + 3sin x + C

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C

b) ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , với k là hai số thực khác 0. c)

∫ mf ( x ) + ng ( x ) dx = m ∫ f ( x ) dx + n ∫ g ( x ) dx với

Ví dụ 2: 1

∫ 3x + 1 dx = 3 ln 3x + 1 + C

m,n là hai số thực khác 0. d)

Với

a, b ∈ ℝ 1

và

∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C ,

a≠0

có:

ở đó F ( x ) là một

nguyên hàm của f ( x ) . Sự tồn tại nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Trang 1

Trang 2

BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Nguyên hàm của hàm số sơ

Nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số hợp

cấp

hợp ( u = u ( x ) )

( u = ax + b;a ≠ 0 )

∫ dx = x + C

∫ du = u + C

∫ d ( ax + b ) = ax + b + C

x α +1 ∫ x dx = α + 1 + C (α ≠ −1)

uα +1 u= + C (α ≠ −1) α +1

∫ x dx = ln x + C 1

∫x

∫u

∫

2 xdx = x x + C 3

∫

2 udu = u u + C 3

∫

1 dx = 2 x + C x

∫

1 du = 2 u + C u

∫ e dx = e

∫ e du = e u

+ C (α ≠ −1)

∫ ( ax + b )

∫

1 1 dx = − . +C a ax + b

1 2 ax + bdx = . ( ax + b ) ax + b + C a 3

∫

∫a

mx + n

ax + b

dx =

∫ cos ( ax + b ) dx 1  ax + b π  ln tan  +  +C 4 a  2

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC NGUYÊN HÀM:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C

1. Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f ( x ) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F ( x ) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K . 2. Định lí Giả sử hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K. Khi đó:

1 1 dx = .2 ax + b + C a ax + b

∫e

∫ a dx = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1) ∫ a du = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1)

1 ( ax + b ) a α +1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C

1 du = − + C u

dx =

∫ u du = ln u + C

1 dx = − + C x

∫ ( ax + b )

1 u π  ∫ cos u du = ln tan  2 + 4  + C

α +1

1 x π ∫ cos x dx = ln tan  2 + 4  + C

•

Với mỗi hằng số C, hàm số F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K.

•

Hàm số F ( x ) + C, C ∈ ℝ được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K. Kí hiệu

2 dx = e ax + b + C a

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C .

1 a mx + n . + C ( a > 0, a ≠ 1) m ln a

3. Tính chất Nếu hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên K và k ≠ 0 thì ta luôn có:

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin udu = − cos u + C

1 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos udu = sin u + C

∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C

∫ tan xdx = − ln cos x + C

∫ tan udu = − ln cos u + C

1 ∫ tan ( ax + b ) dx = − a ln cos ( ax + b ) + C

∫ cot xdx = ln sin x + C

∫ cot udu = ln sin u + C

∫ cot ( ax + b ) dx = a ln sin ( ax + b ) + C

1 ∫ sin 2 x dx = − cot x + C

1 ∫ sin 2 u du = − cot u + C

1 1 ∫ sin 2 ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 ∫ cos2 x dx = tan x + C

1 ∫ cos2 u du = tan u + C

1 1 ∫ cos2 ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C

Bài toán 1: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp và hàm số mũ

1 x ∫ sin x dx = ln tan 2 + C

1 u ∫ sin u du = ln tan 2 + C

dx 1 ax + b ∫ sin ( ax + b ) = a ln tan 2 + C

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C

b) ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , với k là hai số thực khác 0. c)

∫ mf ( x ) + ng ( x ) dx = m ∫ f ( x ) dx + n ∫ g ( x ) dx

d) Với a, b ∈ ℝ và a ≠ 0 ta có:

với m,n là hai số thực khác 0.

∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C .

4. Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa Phương pháp giải •

Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên Ví dụ 1: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + x là: hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức

A. e x + x 2 + C

B. e x +

1 2 x +C 2

chứa x là những dạng cơ bản có trong

Trang 3

Trang 4

bảng nguyên hàm.

•

Áp dụng các công thức nguyên hàm

2 1 3   Ta có: ∫  5x 4 + 2 − 3 x  dx = x 5 − 2 − x 3 x + C x x 4  

1 x 1 2 e + x + C D. e x + 1 + C 2 x +1

trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm Hướng dẫn giải nguyên hàm.

∫(

Chọn A.

1 e + x dx = ∫ e dx + ∫ xdx = e + x 2 + C . 2

)

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Chọn B.

Ví dụ 2: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y = x ?

A. C.

2 x x 3

1 2 x

B. x 2 + 2 x − 6 ln x + C

C. 2 x 2 + 2 x − 6 ln x + C

D. x 2 + x − 3ln x + C

Ta có:

2 x x − 2020 3

A. 2 x 2 − 2 x − 6 ln x + C

Hướng dẫn giải

2 x x + 2019 3

∫

4x2 + x − 6 1 6  dx = ∫  4 x + −  dx = 2 x 2 + 2 x − 6 ln x + C x x x 

Chọn C.

Hướng dẫn giải Ta có:

∫

4x2 + x − 6 là: x

Chú ý: Tính chất phân thức:

2 xdx = x x + C , với C là hằng số. 3

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số y = x .

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A.

Chọn C.

Ví dụ 3: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + 3x là

a+b−c a b c = + − . d d d d

2x + e− x + C e ln 2

2x −1 là: ex

2x − e− x + C e ( ln 2 − 1)

2x + e− x + C e ( ln 2 − 1) x

2x + ex + C e ( ln 2 − 1) x

Hướng dẫn giải x

A. x 3 + 3x ln 3 + C

B. x 3 +

3x +C ln 3

Ta có:

C. x 3 + 3x + C

D. x 3 +

ln 3 +C 3x

Chọn C.

∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3x

2x − 1 2x 2 dx = ∫   dx − ∫ e − x dx = x + e− x + C . x e e ( ln 2 − 1) e

Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ( x + 2 )

Hướng dẫn giải Ta có:

∫

)

+ 3x dx = ∫ 3x 2 dx + ∫ 3x dx

3x =x + +C ln 3

A. −

( x + 2)

2021

Chọn B.

−

2021

( x + 2)

là:

2020

1010

( x + 2)

2019

2020

1010

( x + 2)

2020

−

2021

( x + 2)

2021

−

2021

( x + 2)

2018

1009

( x + 2)

2020

1010

Hướng dẫn giải Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 5x 4 + A. x 5 −

1 3 3 − x x +C x2 4

3 C. x − 2 − 3x 3 x + C x 5

Ta có:

2 3 − x là: x2

∫ x ( x + 2)

2019

= ∫ ( x + 2)

B. x 5 +

2020

dx = ∫ ( x + 2 ) − 2  ( x + 2 )

dx − 2 ∫ ( x + 2 )

2019

dx =

2019

( x + 2)

2021

−

( x + 2)

2020

1010

Chọn D.

1 3 3 − x x +C x2 4

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

6 1 D. 20 x − 4 − +C x 3x 3 x 2 3

1 là: e2 x + 1

1 A. x + ln e2 x + 1 + C B. x − ln ( e 2 x + 1) + C 2

Hướng dẫn giải Trang 5

(

)

C. ln e2 x + 1 + C

(

)

D. x − ln e2 x + 1 + C Trang 6

Hướng dẫn giải

(

Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

)

e2 x + 1 − e2 x 1 e2 x . = = 1− 2x 2x 2x e +1 e +1 e +1

Ta có:

∫e

Do đó

(

)

 1 e2 x  1 d e +1 1 dx = ∫  1 − 2 x = x − ln e2 x + 1 + C  dx = ∫ dx − ∫ 2 x +1 e + 1 2 e +1 2  

(

)

Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A.

1 6 

1 1 x + 2 + ( x − 2) x − 2 + C 6 6

(

x+2

) −(

1 x +2 + x −2

1 C. ln x − ln ( x 4 + 1) + C 2

1 D. ln x − ln ( x 4 + 1) + C 2

3 x −2 +C 

)

Ta có:

Chọn C.

1 1 ( x + 2) x + 2 − x − 2 + C 6 6

Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1 x +2 − x−2 dx = ∫ dx 4 x +2 + x −2 1 2 2 1 1  =  ( x + 2) x + 2 − ( x − 2) x − 2  + C = ( x + 2) x + 2 − ( x − 2) x − 2 + C 4 3 3 6 6 

∫

ax + bdx =

a−b a∓ b

3 +C x −1

B. ln x + 2 − 2 ln x − 1 +

3 +C x −1

C. 2 ln x + 2 + ln x − 1 −

3 +C x −1

D. 2 ln x + 2 + ln x − 1 +

3 +C x −1

Hướng dẫn giải

Ta phân tích 3 x 2 + 3 x + 3 = A ( x − 1) + B ( x − 1)( x + 2 ) + C ( x + 2 ) .

(thay x = −2 ⇒ A = 1; x = 1 ⇒ C = 3 và x = 0 ⇒ B = 2 ).

5 x − 13 là: x − 5x + 6 2

B. 3ln x − 3 + 2 ln x − 2 + C

C. 2 ln x + 3 + 3ln x + 2 + C

D. 2 ln x − 3 + 3ln x − 2 + C

Khi đó

3x 2 + 3x + 3

∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx = ∫ x + 2 dx + 2 ∫ x − 1dx + 3∫ ( x − 1) 2

dx = ln x + 2 + 2 ln x − 1 −

Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho các nguyên hàm hữu tỉ I = ∫

5 x − 13 5 x − 13 = x 2 − 5x + 6 ( x − 2 )( x − 3)

Ta sẽ phân tích: 5x − 13 = A ( x − 2 ) + B ( x − 3)

3 +C. x −1

Chọn A.

Hướng dẫn giải

P(x) Q( x)

dx , với P ( x ) và Q ( x ) là

các đa thức, cụ thể như sau:

•

(1)

Nếu deg ( P ( x ) ) ≥ deg ( Q ( x ) ) thì ta thực hiện phép chia P ( x ) cho Q ( x ) (ở đây, kí hiệu

deg ( P ( x ) ) là bậc của đa thức P ( x ) ).

Thế x = 2 và x = 3 lần lượt vào (1) ta có B = 3 và A = 2 .

∫x

3x 2 + 3x + 3 3x 2 + 3x + 3 dx = ∫ dx . 3 2 x − 3x + 2 ( x − 1) ( x + 2 )

Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay A = 1, C = 3 và B = 2 .

A. 2 ln x − 3 − 3ln x + 2 + C

Khi đó

∫

2 ( ax + b ) ax + b + C . 3a

Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

3 x 2 + 3x + 3 là: x 3 − 3x + 2

A. ln x + 2 + 2 ln x − 1 −

Ta có:

a± b=

1 x +2 − x −2 + C  6

∫

Chú ý: Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp:

(1 + x ) − 2 x dx = 1 dx − 2 x 3 dx = ln x − 1 ln x 4 + 1 + C 1− x4 dx = ∫ ( ) 5 ∫ x ∫ x4 +1 +x 2 x ( x 4 + 1)

∫x

Chọn A.

Ta có:

B. ln x − ln ( x 4 + 1) + C

là:

Hướng dẫn giải

Lưu ý:

1 A. ln x + ln ( x 4 + 1) + C 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

1− x4 là: x5 + x

2 ( x − 2 ) + 3 ( x − 3) 5x − 13 2 3 dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx − 5x + 6 x −3 x −2 ( x − 2 )( x − 3)

•

Khi deg ( P ( x ) ) < deg ( Q ( x ) ) thì ta quan sát mẫu số Q ( x ) ta tiến hành phân tích thành các nhân tử, sau đó, tách P ( x ) theo các tổ hợp của các nhân tử đó. Đến đây, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức

= 2 ln x − 3 + 3ln x − 2 + C

(hoặc giá trị riêng) để đưa về dạng tổng của các phân thức.

Chọn D.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp Trang 7

Trang 8

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

( ax + b )( cx + d ) mx + n

( ax + b )( cx + d )

1  a c  . − ad − bc  ax + b cx + d 

( Ax + Ba ) x + Ad + Bb . A B + = ax + b cx + d ( ax + b )( cx + d )

Ta đồng nhất thức mx + n = ( Ax + Ba ) x + Ad + Bb

1  ln ( 2 x − 1) + 2 khi x > 2 . Suy ra f ( x ) =  ln (1 − 2 x ) + 1 khi x < 1  2 Do đó P = f ( −1) + f ( 3) = 3 + ln 3 + ln 5 = 3 + ln15

(1) .

Chọn D.

Cách 1. Phương pháp đồng nhất hệ số.

Chú ý:

 Ac + Ba = m . Suy ra A, B. Đồng nhất đẳng thức, ta được   Ad + Bb = n

Chú ý đến tính liên tục của hàm số f ' ( x ) và cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 2. Phương pháp giá trị riêng.

Ở đây, ta sử dụng hai hằng số khác nhau ứng với x >

1 1 và x < . 2 2

b d Lần lượt thay x = − ; x = − vào hai vế của (1), tìm được A, B. a c

Trường hợp 3:

Trường hợp 4:

mx + n

( ax + b )

Ví dụ 11. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1;1} , thỏa mãn f ' ( x ) =

A B + . ax + b ( ax + b )2

mx + n

 1 f − +  2

B C + + cx + d ax + b

( ax + b ) ( cx + d ) ( ax + b ) 2 ⇒ mx + n = A ( cx + d ) + B ( ax + b ) + C ( ax + b )( cx + d ) (*)

Trường hợp 6:

(

( x − m ) ax 2 + bx + c 1 2

( x − a) + ( x − b)

)

f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫

A Bx + C + với ∆ = b2 − 4 ac < 0 . x − m ax 2 + bx + c

A B C D . + + + x − a ( x − a ) 2 x − b ( x − b )2

trị của biểu thức P = f ( −1) + f ( 3) là:

B. 3ln 2 + ln 5

C. 3 + 2 ln 5

B. 6 ln 2 + 2 ln 3 − ln 5

C. 2 ln 2 + 2 ln 3 − ln 5

D. 6 ln 2 − 2 ln 5

Hướng dẫn giải

2 1  Ví dụ 10. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \   thỏa mãn f ' ( x ) = ; f ( 0 ) = 1 và f (1) = 2 . Giá 2x −1 2 

A. 3ln 5 + ln 2

1 f   = 0 . Giá trị của biểu thức P = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) là: 2

A. 2 ln 2 − ln 5

b d Lần lượt thay x = − ; x = − ; x = 0 vào hai vế của (*) để tìm A, B, C. a c

Trường hợp 5:

2 ; f ( −3) + f ( 3) = 2 ln 2 và x2 −1

D. 3 + ln15

Hướng dẫn giải

2 1  x −1  1 dx = ∫  −  dx = ln x + 1 + C x2 −1  x −1 x +1 

  x −1  ln  x + 1  + C1 khi x > 1     1− x x −1 Hay f ( x ) = ln + C = ln + C2 khi − 1 < x < 1 x +1  1+ x   x −1  ln   + C3 khi x < −1   x +1  f ( −3) + f ( 3) = 2 ln 2 C + C3 = 2 ln 2  Theo bài ra, ta có:   1  ⇔ 1 1 f − + f = 0 C2 = 0      2   2 3 Do đó f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) = ln 3 + C3 + C2 + ln + C1 = 2 ln 2 + 2 ln 3 − ln 5 . 5

1  ln ( 2 x − 1) + C1 khi x > 2  2 f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ dx = ln 2 x − 1 + C =  2x −1 ln (1 − 2 x ) + C khi x < 1 2  2

Chọn C.

Bài toán 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác Phương pháp giải

 f ( 0 ) = 1 C2 = 1 Vì  . ⇔ C1 = 2  f (1) = 2

Yêu cầu chung: Nắm vững công thức lượng giác Ví và biến đổi lượng giác.

•

Trang 9

dụ:

Tìm

nguyên

hàm

của

hàm

số

f ( x ) = cos3x. cos 2 x trên ℝ ta thu được kết quả:

Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm

Trang 10

về dạng tổng, hiệu của các hàm số lượng giác trong đó, mỗi hàm số là những dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

•

∫

f ( x ) dx =

sin 5x sin x + +C 10 2

∫ f ( x ) dx =

sin 5x + sin x + C 5

Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên

∫

∫ f ( x ) dx =

sin 5x sin x − +C 10 2

Chú ý: Dùng công thức hạ bậc: cos2 a = Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số

D. 2 x + sin 2 x + C

1 + cos 2a 1 − cos 2 a . ; sin 2 a = 2 2

∫ (1 + 2 sin x )

dx là: 3

sin 5x sin x f ( x ) dx = + +C 10 2

(1 + 2 sin x )

A. 3 x − 4 cos x − sin 2 x + C

C. 3 x − sin 2 x + C

D. 3 x − 4 cos x + sin 2 x + C

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số

C. 2 x − sin 2 x + C

Chọn D.

1 Ta viết: f ( x ) = ( cos 5 x + cos x ) . 2

∫

4 cos3 x +C 3

Ta có: ∫ 4 cos2 xdx = 2 ∫ (1 + cos 2 x ) dx = 2 x + sin 2 x + C .

Hướng dẫn giải

Khi đó:

Hướng dẫn giải

1 f ( x ) dx = sin 3 x.sin 2 x + C 6

hàm.

A. 4 x + 2 sin 2 x + C

∫ (1 + 2 sin x )

1 − cos 2 x   dx = ∫ (1 + 4 sin x + 4 sin 2 x ) dx = ∫  1 + 4 sin x + 4.  dx 2   = ∫ ( 3 + 4 sin x − 2 cos 2 x ) dx = 3 x − 4 cos x − sin 2 x + C

∫ ( 2 cos x − 3cos 5x ) dx là: Chọn A.

A. −2 sin x + 15sin 5 x + C

3 B. −2 sin x + sin 5 x + C 5

3 C. 2 sin x − sin 5 x + C 5

D. 2 sin x − 5sin 5x + C

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số A.

Hướng dẫn giải

∫ ( sin x − cos x ) sin xdx là:

1 1 1 x + sin 2 x − cos 2 x + C 2 4 4

1 1 C. x − sin 2 x + cos 2 x + C 2 2

3 Ta có: ∫ ( 2 cos x − 3cos 5x ) dx = 2 sin x − sin 5 x + C 5

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

sin ax cos ax Lưu ý: ∫ cos axdx = + C; ∫ sin axdx = − +C. a a

∫ ( sin x − cos x ) sin xdx = ∫ ( sin

1 1 1 x − sin 2 x + cos 2 x + C 2 4 4

1 1 1 x + sin 2 x + cos 2 x + C 2 4 4

x − sin x cos x ) dx

1 1 1  1 − cos 2 x sin 2 x   = ∫ − dx =  x − sin 2 x + cos 2 x  + C 2 2  2 2 2  

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số ∫ sin 5x sin 2 xdx là:

Chọn B.

1 cos 5 x cos 2 x + C 10

1 1 cos3 x − sin 7 x + C 6 14

1 1 sin 3x − sin 7 x + C 3 7

1 1 sin 3 x − sin 7 x + C 2 2

Ví dụ 6. Nguyên hàm của hàm số A. − tan x − cot x + C

∫ sin

1 dx là: x cos2 x

B. tan x − cot x + C

C. tan x + cot x + C

D. cot x − tan x + C

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải Ta có:

1 1 1 Ta có: ∫ sin 5x sin 2 xdx = ∫ ( cos3 x − cos 7 x ) dx = cos3 x − sin 7 x + C 2 6 14

∫ sin

1 sin 2 x + cos2 x 1   1 dx = ∫ dx = ∫  + 2  dx = tan x − cot x + C . 2 2 x cos x sin 2 x.cos2 x  cos x sin x 

Chọn B.

Ví dụ 7. Nguyên hàm của hàm số

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số ∫ 4 cos2 xdx là: Trang 11

∫ 4 cos

1 dx là: x − 4 cos2 x + 1 Trang 12

cot 2 x +C 2

B. tan 2 x + C

C. cot 2 x + C

tan 2 x +C 2

Ta có: F ( x ) = ∫ sin 2 x. tan xdx = ∫ 2 sin x.cos x.

Hướng dẫn giải

1 1 1 1 1 tan 2 x Ta có: ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ d (2 x ) = +C 4 cos4 x − 4 cos2 x + 1 (2 cos2 x − 1)2 cos2 2 x 2 cos2 2 x 2 Chọn D.

Chú ý: Công thức nhân đôi: cos 2 x = 2 cos2 x − 1 .

cos 4 x +C 4

1 B. 3sin x + sin 3x + C 3

1 C. sin x − sin 3 x + C 3

4 D. 4 sin x − sin 3x + C 3

Hướng dẫn giải Ta có: ∫ cos3 xdx =

3 π 3 −1 π π  π 1 π  Do đó F   = − sin 2   + − = − . 2 12 4 4 2 4 2 3 Chọn D.

π  F   là: 8

Chọn C.

Chú ý: Công thức nhân ba: cos3a = 4 cos3 a − 3cos a

sin 3a = 3sin a − 4 sin a

3π + 16153 64

3π + 129224 8

3π + 129224 64

1  1 + cos 4 x  2 Ta có: cos4 2 x =   = 4 1 + 2 cos 4 x + cos 4 x 2   1 1 + cos8 x  1 =  1 + 2 cos 4 x +  = ( 3 + 4 cos 4 x + cos8 x ) 4 2  8

(

tan x + ln cos x + C 2

tan x − ln sin x + C 2

tan 2 x − ln cos x + C 2

tan 4 x +C 4 cos2 x

Do đó F ( x ) =

Hướng dẫn giải

)

Từ tan3 x = tan x 1 + tan 2 x − tan x

)

1 1 1 ( 3 + 4 cos 4 x + cos8 x ) dx =  3x + sin 4 x + sin 8 x  + C 8∫ 8 8 

Mà F ( 0 ) = 2019 nên ta có C = 2019 .

d ( cos x ) cos x

tan x + ln cos x + C . 2

1 1  Vậy F ( x ) =  3 x + sin 4 x + sin 8 x  + 2019 . 8 8 

Chọn A.

 π  3π + 129224 Do đó F   = 64 8

1 . Chú ý: ( tan x ) ' = 1 + tan x = cos2 x 2

Chọn C.

3 π  Ví dụ 10. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x tan x thỏa mãn F   = . Giá trị của 3 4  

Ví dụ 12. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

π  F   là: 4

F (π ) =

3 −1 π + 2 12

3π − 129224 32

Hướng dẫn giải

Ví dụ 9. Nguyên hàm của hàm số ∫ tan 3 xdx là:

Suy ra ∫ tan 3 xdx = ∫ tan xd ( tan x ) + ∫

sin 2 x 3 π + − . 2 2 3

Ví dụ 11. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos4 2 x thỏa mãn F ( 0 ) = 2019 . Giá trị của

1 1 1 1 ( 3cos x + cos 3x ) dx =  3sin x + sin 3x  + C = sin x − sin3 x + C 4∫ 4 3 3 

(

sin 2 x +C. 2

3 3 3 π π 1 2π π  Theo giả thiết, ta có: F   = ⇔ − sin +C = ⇒C= − . 3 2 3 4 2 3 3 4 Vậ y F ( x ) = x −

Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số ∫ cos3 xdx là: A.

Suy ra F ( x ) = ∫ (1 − cos 2 x ) dx = x −

sin x dx = 2 ∫ sin 2 xdx . cos x

3 +1 π − 2 12

3 +1 π + 2 12

3 −1 π − 2 12

Hướng dẫn giải

cos5 x π , với x ≠ + k 2π , k ∈ ℤ và thỏa mãn 2 1 − sin x

3  π . Giá trị của F  −  là: 4  2

2 3

B. 0.

5 3

1 3

Hướng dẫn giải Trang 13

Trang 14

Ta thấy:

C. 55 (m).

cos5 x = cos3 x (1 + sin x ) = 1 − sin 2 x cos x + cos3 x.sin x 1 − sin x

(

)

⇒ F ( x ) = ∫ 1 − sin 2 x d ( sin x ) − ∫ cos3 xd ( cos x ) = sin x − Theo giả thiết, ta có F (π ) = Vậy F ( x ) = sin x −

sin 3 x cos4 x − +C 3 4

Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh. Ta có: t = 0; s = 0 .

3 nên C = 1 . 4

s ( t ) = ∫ v ( t ) dt = ∫ (10 − 2t ) dt = 10t − t 2 + C, s ( 0 ) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ s ( t ) = 10t − t 2

sin 3 x cos4 x − +C 3 4

Ô tô dừng hẳn khi v ( t ) = 0 ⇔ 10 − 2t = 0 ⇔ t = 5 .

 π 1 Do đó F  −  = .  2 3

Trong 8 giây cuối, ô tô chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần

Chọn D.

đều trong 5 giây cuối.

Chú ý: Vớ i

D. 10 (m).

Hướng dẫn giải

Quãng *

n∈ℕ ,

có:

n n ∫ sin x.cos xdx = ∫ sin xd ( sin x ) =

cosn +1 x ∫ cos x.sin xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = − n + 1 + C n

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động với phương trình

Một chất điểm chuyển động theo phương trình

1 S = t 2 , trong đó t là thời gian tính bằng giây (s) và S 2

có: v ( t ) = S ' ( t ) và a ( t ) = v ' ( t ) . Từ đó ta có: S ( t ) = ∫ v ( t ) dt và v ( t ) = ∫ a ( t ) dt .

là:

3 m / s 2 , trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời t +1

(

)

điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:

gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t, ta

chuyển

Ví dụ mẫu

Phương pháp giải

Gọi v ( t ) và a ( t ) lần lượt là vận tốc tức thời và

Chọn C.

Bài toán 3: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm

điểm ban đầu.

tô

s = 3.10 + 10.5 − 5 = 55m .

Ví dụ 1. Một vật chuyển động với gia tốc a ( t ) =

điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời

ô 2

và

sin n +1 x +C. n +1

S = S ( t ) , với S ( t ) là quãng đường mà chất

đường

là quãng đường tính bằng mét (m). Vận tốc của chất

điểm tại thời điểm t0 = 5 ( s ) là: A. 5 (m/s).

B. 25 (m/s).

C. 2,5 (m/s.)

D. 10 (m/s).

A. 10 m/s.

B. 15,2 m/s.

C. 13,2 m/s.

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức: v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫

3 dt = 3ln t + 1 + C t +1

Vì vận tốc ban đầu (lúc t = 0 ) của vật là v0 = 6 m / s nên:

v ( 0 ) = 3ln 0 + 1 + C = 6 ⇔ C = 6 ⇒ v ( t ) = 3ln t + 1 + 6 . Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: v (10 ) = 3ln 10 + 1 + 6 ≈ 13,2 ( m / s ) .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: v ( t ) = S ' ( t ) = t nên v ( t0 ) = t0 = 5 ( m / s )

Ví dụ 2. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc a ( t ) = −

Chọn A.

Ví dụ 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển

động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = 10 − 2t ( m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc

đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được

1 3 5 2 t + t ( m / s 2 ) , trong đó t là khoảng 24 16

thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?

A. 5,6 m/s.

B. 6,51 m/s.

C. 7,26 m/s.

D. 6,8 m/s.

Hướng dẫn giải Vận tốc v ( t ) chính là nguyên hàm của gia tốc a ( t ) nên ta có:

5  1 5  1 v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫  − t 3 + t 2  dt = − t 4 + t 3 + C 16  96 48  24

trong 8 giây cuối cùng.

A. 50 (m).

D. 12 m/s.

Hướng dẫn giải

B. 25 (m). Trang 15

Trang 16

Tại thời điểm ban đầu

v0 = 0 ⇒ v ( 0 ) = 0 ⇔ −

(t = 0)

thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là:

1 4 5 3 .0 + .0 + C = 0 ⇔ C = 0 . 96 48

Vậy công thức vận tốc là v ( t ) = −

1 4 5 3 t + t 96 48

∫ 4 x − 3 dx = 4 ln 4 x − 3 + C

∫ 4 x − 3 dx = 2 ln 2 x − 2 + C

∫ 4 x − 3 dx = 2 ln 4 x − 3 + C

∫ 4 x − 3 dx = 2 ln 2 x − 2 + C

A. −

Chọn B.

3 ( m / s 2 ) . Ta tính v ( t ) = ∫ a ( t ) dt , kết hợp với điều kiện t +1

vận tốc ban đầu v0 = 6 m / s . Suy ra công thức tính vận tốc v ( t ) tại thời điểm t và tính được v (10 ) .

Ví dụ 3. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu?

A. 0,45 m/s.

Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 là:

Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là v ( 5) = 6,51 m / s .

Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động là a ( t ) =

B. 0,4 m/s.

C. 0,6 m/s.

1 ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C 3

2 ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C 3

1 2x + 1 + C 2

1 ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C 3

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x (1 − 3e −2 x ) là: A. e x − 3e −2 x + C

B. e x + e −2 x + C

C. e x − 3e− x + C

Câu 6: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. F (1) =

D. 0,8 m/s.

1 ln 3 − 2 2

B. F (1) = ln 3 + 2

D. e x + 3e − x + C

1 ; biết F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F (1) là: 2x +1

C. F (1) = 2 ln 3 − 2

D. F (1) =

Câu 7: Hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f ' ( x ) = 2e2 x + 1, ∀x, f ( 0 ) = 2 . Hàm số f ( x ) là:

Hướng dẫn giải Xem như tại thời điểm t0 = 0 thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có s ( 0 ) = 0 và

A. 2e x + 2 x

B. 2e x + 2 3

C. e2 x + x + 2

∫ f ( x ) dx = me

D. e2 x + x + 1 x3 +2

v ( 0 ) = 20 .

Câu 8: Cho hàm số f ( x ) = 2 x 2 e x

Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là s n ( t ) = −9,8 m / s 2 .

các số hữu tỉ và C là hằng số thực. Giá trị của biểu thức m + n + p bằng:

Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là

v ( t ) = ∫ −9,8dt = −9,8t + C1 .

1 3

A. T = 1009.

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 1

B. 2.

+ nxe2 x − pe2 x + C , với m, n, p là

13 6

16 1 2 ( x + 7) + C 32

7 6 1 . Giá trị biểu thức ln 2

B. T = 2 2019.2020

C. T =

22019 − 1 ln 2

D. T =

22020 − 1 ln 2

1 dx = a ln ( x − 1)( x + 1) + b ln x + C , với a, b là các số hữu tỉ và C là hằng số −x thực. Giá trị của biểu thức P = 2 a + b là:

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ( x 2 + 7 ) là: 16 1 2 ( x + 7) + C 16

16 1 2 ( x + 7) + C 32

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = −e6 x − 2 x + 3 là: B. −e − 4 x + 3 x + C

C. e6 x − x 2 + 3x + C

1 D. − e6 x − x 2 + 3 x + C 6

∫x

A. 0.

B. −1

Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1 A. e6 x − 4 x 2 + 3 x + C 6

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2 2019 + 1 ln 2

Câu 10: Cho biết 15

B. −

+ 2 xe2 x , ta có

T = F ( 0 ) + F (1) + ... + F ( 2018 ) + F ( 2019 ) là:

Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là v ( 2 ) = −9,8.2 + 20 = 0, 4 ( m / s ) .

16 1 2 ( x + 7) + C 2

Câu 9: Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x thỏa mãn F ( 0 ) =

Do v ( 0 ) = 20 nên −9,8t + C1 = 20 ⇔ C1 = 20 ⇒ v ( t ) = −9,8t + 20 .

1 ln 3 + 2 2

A. x − 4 ln x + 1 + C Câu 12: Cho biết

2 là: 4x − 3

∫x

B. x +

4 +C x +1

x2 + 2x − 3

( x + 1)

1 2

D. 1.

là:

1 2 4 x +x+ +C 2 x +1

D. x −

4 +C x +1

4 x + 11 dx = a ln x + 2 + b ln x + 3 + C , với a, b là các số nguyên và C là hằng số + 5x + 6

thực. Giá trị biểu thức P = a2 + ab + b2 là: Trang 17

Trang 18

A. 12.

B. 13.

C. 14.

D. 15.

Câu 13: Gọi ∫ 2020 x dx = F ( x ) + C với C là hằng số. Khi đó hàm số F ( x ) bằng: 2020 x +1 B. x +1

A. 2020 ln 2020 x

x.2020 x −1 C. ln 2020

Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 + A. C.

∫ f ( x ) dx = 3x ∫

1 f ( x ) dx = 3 x 2 − 2 + C x

∫ f ( x ) dx = ∫

x4 + ln x + C 4

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A.

1 ln 2 x + 3 + C 2

D. ∫ 2 x dx =

2x +C x +1

1 là: 2x + 3

1 ln ( 2 x + 3) + C 2

C. ln 2 x + 3 + C

B. x 3 + C

1 ln 2 x + 3 + C ln 2

e2 x x 3 + +C 2 3

C. F ( x ) = 2e2 x + 2 x + C

C. 6 x + C

C. F ( x ) =

x 4 3x 2 + + 2x + C 4 2

x2 + 3x + C 2

D. F ( x ) =

1 +C ex

C. F ( x ) = 3e x + e x ln e x + C

∫(

x2 e + x dx = e − + C 2

)

2 là: 4x − 3

∫ 4 x − 3 dx = 4 ln 4 x − 3 + C

∫ 4 x − 3 dx = 2 ln 2 x − 2 + C

∫ 4 x − 3 dx = 2 ln 4 x − 3 + C

∫ 4 x − 3 dx = 2 ln 2 x − 2 + C

1 ln ( 5x + 4 ) + C 5

D. F ( x ) = e2 x +

x3 +C 3

B. F ( x ) =

x4 + 3x 2 + 2 x + C 3

D. F ( x ) =

x4 x2 + + 2x + C 4 2

1 là: 5x + 4

B. ln 5 x + 4 + C

x 2020 2020

1 ln 5 x + 4 + C ln 5

1 ln 5 x + 4 + C 5

C. y = 2019 x 2018

x 2020 −1 2020

B. y = −2e−2 x + C ( C ∈ ℝ ) D. y =

Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − A.

x2 − 2 ln x + C 2

x2 + x+C 2

A. ∫ 2 x dx = ln 2.2 x + C B. ∫ 2 x dx = 2 x + C

e −2 x 2

2 là: x

C. 1 +

2 +C x2

x2 − 2 ln x + C 2

Câu 28: Nguyên hàm của hàm số y = 2 x là: C. ∫ 2 x dx =

Câu 29: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

D. F ( x ) = 3e x + x + C

∫ (e

e −2 x 2

C. y = 2e −2 x + C ( C ∈ ℝ )

B. F ( x ) = 3e x − x + C

x 2020 +1 2020

A. y = −

B. F ( x ) = e2 x + x 3 + C

Câu 21: Với C là hằng số, nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e + x là: x

x2 + 3x. ln 3 + C 2

Câu 26: Hàm số nào trong các hàm số sau đây là nguyên hàm của hàm số y = e −2 x ?

3x +C ln 3

Câu 20: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x ( 3 + e − x ) là: A. F ( x ) = 3e x −

+ x ) dx = e x + x 2 + C

C. F ( x ) =

x3 + x+C 3

Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 + 3x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau? A. F ( x ) = 3x 2 + 3 x + C

Câu 25: Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y = x 2019 ?

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2 x + x 2 là: A. F ( x ) =

∫ (e

B. F ( x ) = 1 +

Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số y = x 2 + 1 là: A. x 3 + x + C

x 2 3x + +C 2 ln 3

Câu 15: Nguyên hàm của hàm số y = 2 là: 2x +C ln 2

x2 +C 2

Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x4 f ( x ) dx = + ln x + C 4

C. ∫ 2 x dx =

)

+ x dx = e x +

A. F ( x ) =

A. ∫ 2 x dx = ln 2.2 x + C B. ∫ 2 x dx = 2 x + C

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + 3x là:

2020 x D. . ln 2020

1 là: x

1 +C x2

∫ (e

2 3

B. −

2 3

C. −

8 9

2x +C ln 2

1 x2 +1

D. ∫ 2 x dx =

(

2x +C x +1

)

. Giá trị của F ' 2 2 − F ' ( 0 ) là:

1 3

Câu 30: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4e 2 x + 2 x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Hàm số F ( x )

+ x ) dx = e + 2 x + C x

là: Trang 19

Trang 20

A. F ( x ) = 4e2 x + x 2 − 3

B. F ( x ) = 2e 2 x + x 2 − 1

C. F ( x ) = 2e 2 x + x 2 + 1

D. F ( x ) = 2e 2 x − x 2 − 1

A. F ( x ) = 3e3 x +1 + C

Câu 40: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 − 1 là:

Câu 31: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x ? 5

A. F ( x ) = x 4 − 2 x 2

B. F ( x ) = 3x 2 − 2

C. F ( x ) =

x − x2 + 1 5

D. F ( x ) =

x x − 4 2

Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x là: A. C.

∫

∫ f ( x ) dx = e

A. x 3 + C

B. D.

∫ f ( x ) dx = 3e ∫ f ( x ) dx =

B. e x +

∫ f ( x ) dx = ln 3 + x + C

ln x + x + C

A. C.

∫

e +C 3

A. f ( x ) = 2e2 x − 3

∫ f ( x ) dx = x sin x + cos x + C

B. f ( x ) = 2 xe x − 3

Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = 3x

∫ f ( x ) dx = ln x + x + C

∫ f ( x ) dx = 3

+ x+C

∫ f ( x ) dx = 1 − sin x + C

π3

∫

C. F ( x ) =

B. 625.

π 2 x2 2

C. 5.

D. F ( x ) = 2π x + C

D. 25.

∫ f ( x ) dx =

2x3 3 + +C 3 x

∫ f ( x ) dx = 2 x

1 2 x +1 e + ln x + C 2

1 2 x +1 + ln x e 2

2x3 3 − +C 3 x 3

−

3 +C x

dx là: 3x − 1

B. ln 3x − 1 + C

1 D. − ln 3x − 1 + C 3

C. 3ln 3x − 1 + C

1 . Biết f ( 3) + f ( −3) = 4 và x2 −1

1  1 f   + f  −  = 2 . Giá trị của biểu thức f ( −5) + f ( 0 ) + f ( 2 ) bằng:  3  3 1 B. 6 − ln 2 2

1 C. 5 + ln 2 2

C. 2e2 x +1 + ln x + C

B. x 3 + 2 x 2 − 5 x − 5

Câu 47: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1 Câu 38: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e2 x +1 + là: x

1 ln 3x − 1 + C 3

A. x 3 + x 2 − 3x − 5

 2  D. 1 + 5  +C  ln 2 

−3

1 D. 6 + ln 2 2

số y = f ( x ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −5 . Hàm số f ( x ) là:

B. x + 5.2 x. ln 2 + C

 2  2 x + 5x  + C − ln 2  ln 2  x

−1

Câu 46: Biết hàm số y = f ( x ) có f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 x − m + 1 , với m ∈ ℝ và f ( 2 ) = 1 . Biết đồ thị của hàm

−x

 2x  A. x + 5  +C  ln 2 

2x + 3 . Khẳng định nào sau đây đúng? x2

2x3 3 + +C 3 2x

1 A. 5 − ln 2 2

Câu 37: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 ( 2 + 5) là: x

D. f ( x ) = x 2 e x

Câu 45: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {−1;1} thỏa mãn f ' ( x ) =

Câu 36: Cho hàm số y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = x 2 . Giá trị của F ' ( 25) bằng: A. 125.

D. e x + 1 + C

C. f ( x ) = xe x −1 − 3

∫ f ( x ) dx =

x2 f ( x ) dx = − sin x + C 2

Câu 35: Hàm số F ( x ) = ∫ π dx có dạng: B. F ( x ) =

1 x 1 2 e + x +C 2 x +1

Câu 44: Nguyên hàm I = ∫

A. F ( x ) = π 2 x + C

1 2 x +C 2

Câu 34: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + cos x là: x2 f ( x ) dx = + sin x + C 2

D. x 3 − x + C

Câu 42: Hàm số F ( x ) = e x − 3 x + 4 là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Câu 33: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 + 1 là:

∫ f ( x ) dx = 3

C. 6 x + C

Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + x là:

x3 + x+C 3

A. e x + x 2 + C

e3 x +1 f ( x ) dx = +C 3x + 1

1 1 B. F ( x ) = 3e3 x +1. ln 3 + C C. F ( x ) = e3 x +1. ln 3 + C D. F ( x ) = e3 x +1 + C 3 3

1 2 x +1 e + ln x + C 2

Câu 39: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x +1 là:

∫ f ( x ) dx = ln

∫ f ( x ) dx = ln x + C

Câu 48: Cho biết

x+C

C. 2 x 3 + x 2 − 7 x − 5

D. x 3 + x 2 + 4 x − 5

ln x là: x 1

∫ f ( x ) dx = 2 ln

∫ f ( x ) dx = e

x +C

2 x − 13

∫ ( x + 1)( x − 2 ) dx = a ln x + 1 + b ln x − 2 + C với a, b là các số nguyên và C là hằng số

thực. Mệnh đề nào sau đây đúng? Trang 21

Trang 22

B. a + b = 8

A. a + 2 b = 8

C. 2a − b = 8

D. a − b = 8

2x +1 thỏa mãn F ( 2 ) = 3 . Hàm số F ( x ) là: 2x − 3

Câu 49: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. F ( x ) = x + 4 ln 2 x − 3 + 1

B. F ( x ) = x + 2 ln ( 2 x − 3) + 1

C. F ( x ) = x + 2 ln 2 x − 3 + 1

D. F ( x ) = x + 2 ln 2 x − 3 − 1

Câu 50: Hàm số y = f ( x ) có một nguyên hàm là F ( x ) = e . Nguyên hàm của hàm số

∫

f ( x) +1

ex f ( x) +1

dx = e x − e − x + C

∫

dx = 2e x + e − x + C

∫

Câu 51: Nguyên hàm của hàm số y = e A.

1 −3 x +1 e +C 3

−3 x +1

B. −3e −3 x +1 + C

f ( x) +1

ex f ( x) +1

f ( x) +1

A. là:

dx = 2e x − e − x + C

B. 20.

Câu 53: Biết

∫x

A. − cot x + x 2 −

)

= a x − b x + 2 + C với a, b là các số nguyên dương và C là hằng

B. P = 8

C. P = 46

Câu 55: Kết quả A.

B. 0.

∫e

1 ex −1 ln +C 3 ex + 2

C. 4 + ln15

ex − 1 +C ex + 2

D. ln

16 +1 21

(

)

C. ln e x − 2e − x + 1 + C

1 ex −1 ln +C 3 ex + 2

A. 2e x + tan x + C Câu

63:

B. cot x − x 2 +

π2

1 π  thỏa mãn F   = −1 là: sin 2 x 4

C. − cot x + x 2 − 1

D. cot x + x 2 −

π2 16

B. 2e x − tan x + C

C. 2e x −

Biết

F(x) = −

1 +C cos x

( x − a ) cos3 x + 1 sin 3x + 2019 b

một

là

D. 2e x + nguyên

hàm

1 +C cos x của

hàm

số

B. 15.

C. 10.

C. ( 5; +∞ )

D. (1;2 )

Giá trị của biểu thức S = a + 2b + c là:

C. S = 0

D. 18. 4

Câu 64: Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

8085 − 3π 8

A. Vô số.

B. S = −2

π2

3 −6 π  D. F   = 6 9

sin x thỏa mãn F ( 0 ) = 2020 . Giá trị của cos2 x

16170 − 3π 8

16170 + 3π 8

8085 + 3π 8

x − cos x . Hỏi đồ thị của hàm số y = F ( x ) có bao x2

nhiêu điểm cực trị?

Câu 57: Gọi F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) e x , với a, b, c ∈ ℤ là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 1) e x . A. S = 3

3+6 π  C. F   = 6 9

Câu 65: Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau? B. ( 2;3)

3 −2 π  B. F   = 6 9

  e Câu 62: Họ nguyên hàm của hàm số y = e x  2 +  là: 2 cos x  

Câu 56: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = 3 x 2 + e x + m − 1 . Biết f ( 0 ) = 2, f (1) = 2e . Giá trị của A. ( −2;0 )

D. cot ( 3 − 2 x ) + C

π  F   là: 4

dx là: − 2.e − x + 1

B. ln

1 tan ( 3 − 2 x ) + C 2

−x

A. 14.

D. P = 22

f ( −2 ) = −1 . Giá trị của biểu thức f (1) + f ( −1) bằng: 16 −1 21

f ( x ) = ( x − 2 ) sin 3x (với a, b, c ∈ ℤ ). Giá trị của ab + c bằng:

5 3 Câu 54: Cho hàm số f ( x ) xác định trên D = ℝ \   thỏa mãn f ' ( x ) = , f ( 0 ) = 0 và 5x − 3 5

A. ln

1 B. − cot ( 3 − 2 x ) + C 2

D. 10.

số thực. Giá trị của biểu thức P = a + b là:

A. P = 2

D. − cos3 x + C

1 là: sin 2 ( 3 − 2 x )

Câu 61: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x +

D. 3e −3 x +1 + C

C. 16.

x + 2 + ( x + 2) x

1 cot ( 3 − 2 x ) + C 2

3+2 π  A. F   = 6 9

1 dx = e x − e− x + C 2

1 C. − e −3 x +1 + C 3

(

C. cos3 x + C

là:

∫ 

A. 6.

B. − sin 3 x + C

π  2 π  Câu 60: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) = cos3x và F   = . Giá trị của F   : 2 3 9

 ax + b + ce x x 2 + 1   dx = 9 x 2 + 1 + 2 ln x + x 2 + 1 + 5e x + C , với a, b, c là các số 2  x + 1   nguyên và C là hằng số thực. Giá trị biểu thức M = a + b + c là:

Câu 52: Cho

A. sin 3 x + C

Câu 59: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Câu 58: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3sin 2 x cos x là:

B. 0.

Trang 23

D. 2.

1 Câu 66: Biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos x + x 2 − 1 . Hỏi đồ thị của hàm số y = F ( x ) 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Vô số.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Câu 67: Mệnh đề nào sau đây sai? 1 A. ∫ sin 3 xdx = cos3x + C 3

D. S = 4

C. 1.

B. ∫ e x dx = e x + C Trang 24

∫ x dx = 3

x4 +C 4

∫ x dx = ln x + C

B. 6 x + cos x + C

C. x 3 − cos x + C

A. ∫ sin 2 xdx =

D. 6 x − cos x + C

Câu 69: Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa, đẳng thức nào sau đây sai? A.

∫ cos

C. ∫ ln xdx =

1 +C x

Câu 70: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + cos x là: B.

1 x +1 e + sin x + C x +1

C. xe x −1 − sin x + C

D. e x + sin x + C

B. f ( x ) = cos x

C. f ( x ) = − cos x + m ( m ∈ ℝ )

D. f ( x ) = − cos x

∫ 2 dx = ln x + C

∫

∫ f ( x ) dx = x

1 + cos 2 x + C 2

∫ (e

) C. ∫ ( e + 2 sin x ) dx = e x

+ 2 sin x dx = e x − cos2 x + C

∫ f ( x ) dx = 4 x

e x +1 +C x +1

∫ f ( x ) dx = 4 x

∫

∫ f ( x ) dx =

− 2 cos x + C

C. ∫ tan 2 xdx =

x2 1 − cos 2 x + C 2 2

B. f ( x ) = sin x

) D. ∫ ( e + 2 sin x ) dx = e x

+ 2 sin x dx = e x + sin 2 x + C



π

∫ f ( x ) dx = 3 sin  3x + 6  + C

C. f ( x ) = cos x

D. P = 1

1 x + cos + C 2 2

x − cos + C 2

∫ f ( x ) dx = x

1 x − cos + C 2 2

∫ f ( x ) dx = 4 x

1 1 + tan 2 2 x + C 2

(

)

∫ ( sin 2 x − cos 2 x )

A. 5.

+ 2 cos x + C

1 x − cos + C 4 2

B. 4.

C. 2.

D. 3. x

Hàm số đã cho là:

A. f ( x ) =

x4 17 + e x − cos (π x ) − 4 4

B. f ( x ) =

x4 9 + e x + cos (π x ) − 4 4

17 4

D. f ( x ) =

x4 17 + e x − cos (π x ) + 4 4

C. f ( x ) = x 4 + e x − cos (π x ) − 

1 D. ∫ tan 2 xdx = − ln cos 2 x + C 2

Câu 83: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ có đạo hàm f ' ( x ) = x + e + π sin (π x ) và f (1) = e − 3 .

D. f ( x ) = − sin x

B. ∫ tan 2 xdx = − ln cos 2 x + C

π  Câu 76: Họ nguyên hàm của hàm số y = cos  3x +  là: 6  A.

C. Không tồn tại P.

a a là phân số tối dx = x + cos 4 x + C , với a, b là các số nguyên dương, b b giản và C ∈ ℝ . Giá trị của a + b bằng:

Câu 75: Nếu hàm số y = sin x là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) thì A. f ( x ) = − cos x

A. ∫ tan 2 xdx = 2 (1 + tan 2 2 x ) + C

Câu 82: Biết

∫ (e

1  −π  với ∀x ∈ ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ  , biết 1 + sin 2 x  4 

Câu 81: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan 2 x là:

x2 1 f ( x ) dx = + cos 2 x + C 2 2

B. P = 0

Câu 74: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x + 2 sin x là: A.

D. f ( x ) = 3 x + 5sin x + 2

1 x Câu 80: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =  x + sin  là: 2 2

Câu 73: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − sin 2 x là: x2 f ( x ) dx = + cos 2 x + C 2

− cos 2 x + C, C ∈ ℝ 2

C. f ( x ) = 3 x − 5sin x + 2

x e+1

D. ∫ e x dx =

D. ∫ sin 2 xdx =

B. f ( x ) = 3x − 5sin x − 5

∫ x dx = e + 1 + C e

B. ∫ sin 2 xdx = cos 2 x + C, C ∈ ℝ

A. f ( x ) = 3 x + 5sin x + 2

A. P = 2 − 3

Câu 72: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

π

 π   11π  F ( 0 ) = 1; F (π ) = 0 . Giá trị của biểu thức P = F  −  − F   là:  12   12 

A. f ( x ) = cos x + m ( m ∈ ℝ )



∫ f ( x ) dx = sin  3x + 6  + C

Câu 79: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y =

Câu 71: Chọn đáp án đúng ∫ sin xdx = f ( x ) + C khi và chỉ khi:

1 A. ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C 2

Câu 78: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) = 3 − 5cos x và f ( 0 ) = 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

D. ∫ sin xdx = − cos x + C

A. e x − sin x + C

cos 2 x + C, C ∈ ℝ 2

C. ∫ sin 2 xdx = 2 cos 2 x + C, C ∈ ℝ

B. ∫ e x dx = e x + C

dx = tan x + C

π

Câu 77: Phát biểu nào sau đây đúng?

Câu 68: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + sin x là: A. x 3 + cos x + C



∫ f ( x ) dx = 6 sin  3x + 6  + C

π

∫ f ( x ) dx = − 3 sin  3x + 6  + C

Câu 84: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos6 x là:

Trang 25

Trang 26

A. ∫ cos6 xdx = 6 sin 6 x + C

1 B. ∫ cos 6 xdx = sin 6 x + C 6

1 C. ∫ cos 6 xdx = − sin 6 x + C 6

D. ∫ cos6 xdx = sin 6 x + C

Câu 85: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

π2 16

A. F ( x ) = 9 x − 2π

D. F ( x ) = − cot x − tan x + C

Câu 86: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x + B. cot x − x 2 +

π2 16

C. F ( x ) = x +

1 π  thỏa mãn F   = −1 là: sin 2 x 4

C. − cot x + x 2 − 1

D. cot x + x 2 −

π2 16

π  Câu 87: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = sin (π − 2 x ) thỏa mãn F   = 1 là: 2

A. F ( x ) = C. F ( x ) =

− cos (π − 2 x )

2 cos (π − 2 x ) 2

1 2

B. F ( x ) = D. F ( x ) =

cos (π − 2 x )

2 cos (π − 2 x )

1 2

−

1 2

cos3 x A. y = 3

cos3 x + C (C ∈ ℝ) B. y = − 3

C. y = − sin 2 x

D. y = − sin 2 x + C ( C ∈ ℝ )

C. 4 x ln x −

Câu 90: Họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = tan

2019

)

x − sin 2 x sin 4 xdx = −

D. F ( x ) = x +

3 3

( tan x − cot x ) − ( tan x − cot x ) +

π 12

π 6

cos nx + C , với m, n, p ∈ ℤ và C là hằng số thực. Giá trị p

của biểu thức T = m + n + p là:

B. T = 14

A. 10130.

C. T = 16

D. T = 18

B. 10120.

C. 5154.

D. 10132.

Câu 95: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc v ( t )( m / s ) , có gia tốc a ( t ) = v ' ( t ) =

3 m / s 2 . Biết t +1

A. v = 3ln 3

B. v = 14

C. v = 3ln 3 + 6

x , với x ≠

π 2

)

D. v = 26

Câu 96: Gọi F ( t ) là số lượng vi khuẩn phát triển sau t giờ. Biết F ( t ) thỏa mãn F ' ( t ) = sin 3 x +C 3

(

vận tốc của ô tô tại giây thứ 6 bằng 6 (m/s). Vận tốc của ô tô tại giây thứ 20 là:

4x x 1 + − sin 2 x + C ln 4 2 4

10000 , ∀t > 0 1 + 2t

và ban đầu có 1000 con vi khuẩn. Sau 2 giờ số lượng vi khuẩn là:

A. 17094.

B. 9047.

C. 8047.

D. 32118.

Câu 97: Một vật chuyển động không vận tốc đầu xuất phát từ đỉnh mặt

+ kπ , k ∈ ℤ là:

phẳng nằm nghiêng. Biết gia tốc của chuyển động là 5 m / s 2 và sau 1,2 s thì vật đến chân của mặt ván. Độ dài của mặt ván là:

A. 3,6 m.

B. 3,2 m.

C. 3 m.

D. 2,8 m.

Câu 98: Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h. Tay đua nhấn ga để về đích, kể từ đó xe chạy với gia tốc

tan 2018 x tan 2016 x tan 2 x − + ... + − ln sin x + C 2018 2016 2

(

)

a ( t ) = 2t + 1 m / s 2 , trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc nhấn ga. Hỏi rằng 5 s sau khi nhấn ga thì xe

chạy với vận tốc bao nhiêu km/h?

tan 2018 x tan 2016 x tan 2 x − + ... + + ln cos x + C 2018 2016 2

A. 200 km/h.

Câu 91: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos3x cos x , biết đồ thị y = F ( x ) đi qua gốc tọa độ là: sin 4 x sin 2 x A. F ( x ) = + 4 2

∫ ( cos

( tan x − cot x )

2000 và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Hỏi ngày thứ 12 số 1+ x lượng vi khuẩn gần nhất với kết quả nào sau đây?

tan 2018 x tan 2016 x tan 2 x B. F ( x ) = − + ... + − ln cos x + C 2018 2016 2

D. F ( x ) =

B. F ( x ) = x +

điểm ban đầu. Biết rằng N ' ( x ) =

tan 2018 x tan 2016 x tan 2 x A. F ( x ) = − + ... + + ln sin x + C 2018 2016 2

C. F ( x ) =

sin 8 x sin 4 x + 8 4

Câu 94: Số lượng của một loại vi khuẩn được tính theo công thức N ( x ) , trong đó x là số ngày kể từ thời

Câu 89: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x + sin 2 x là: sin 3 x 4x 1 − sin 2 x + C B. 4 x ln x + +C ln 4 4 3

Câu 93: Biết

A. T = 9

Câu 88: Hàm số nào trong các hàm số sau đây có một nguyên hàm bằng cos2 x ?

D. F ( x ) =

π π  π π  π  Biết rằng F   = − , F   = và F   = π . Khẳng định nào sau đây đúng? 6 2 4 4     3

B. F ( x ) = cos x + sin x + C

C. F ( x ) = cot x − tan x + C

cos 4 x cos 2 x + 8 4

a sin 2 x cos2 x + b 3  π Câu 92: Cho hàm số F ( x ) xác định trên khoảng  0;  và có đạo hàm F ' ( x ) = . sin 2 x cos2 x  2

cos 2 x là: sin 2 x cos2 x

A. F ( x ) = − cos x − sin x + C

A. − cot x + x 2 −

C. F ( x ) =

có đạo hàm B ' ( t ) =

sin 4 x sin 2 x B. F ( x ) = + 8 2

Trang 27

B. 243 km/h.

C. 288 km/h.

D. 300 km/h.

Câu 99: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số B ( t ) liên tục và 1000

(1 + 0,3t )

, trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc ban đầu. Số lượng vi khuẩn ban

Trang 28

(

A. 9 ngày.

B. 10 ngày.

C. 11 ngày.

D. 12 ngày. Vậ y I =

điểm bắt đầu chuyển động, chất điểm đang ở vị trí có tọa độ x = 2 . Tọa độ chất điểm sau 1 giây chuyển động là:

Chọn C.

C. x = 5

D. x = 6

Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

∫

Phương pháp giải Định lí: Cho

∫ f ( u ) du = F ( u ) + C

và u = u ( x ) là Ví dụ 1: Nguyên hàm của hàm số f x = ln x là: ( ) x

hàm số có đạo hàm liên tục thì

∫ f u ( x ) u ' ( x ) dx = F u ( x ) + C Các bước thực hiện đổi biến: Xét I = ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx

Bước 1: Đặt u = u ( x ) , suy ra du = u ' ( x ) dx

ln 2 x +C 2

ln x +C 2

D. ln 2 x + C

1 − ln x +C x2

trên

f ( ax + b ) dx =

a, b ∈ ℝ; a ≠ 0

và

Suy ra

∫ f ( x ) dx = ∫ e

Mặt khác F ( −1) =

(

1 nên C = 0 . Vậy 3

Lưu ý: Ta có thể viết như sau: dx . Bằng phép đổi biến

D. I =

ax + b

dx = 2 x + C , với x > 0 .

1 dx = .2 ax + b + C a

, biết F ( −1) =

1 là: 3 1 3 D. F ( x ) = e x +1 3

∫ f ( x ) dx = 3 e

∫ f ( x ) dx = ∫ x e

2 x 3 +1

x 3 +1

dx =

1 x3 +1 1 3 e d x 3 + 1 = e x +1 + C 3∫ 3

(

)

1 Chú ý: Với các viết x 2 dx = d x 3 + 1 , ta có thể tính nguyên hàm đã cho một cách đơn giản và nhanh 3

(

)

gọn.

B. xdx = udu

)

∫

1 1 du = eu + C 3 3

u = x 2 + 1 , khẳng định nào sau đây sai?

C. I = ∫ u2 − 1 .udu

1 Đặt u = x 3 + 1 ta có du = 3 x 2 dx ⇒ x 2 dx = du 3

Chọn D.

A. x = u − 1

Suy ra

Ví dụ 1. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 2 .e x

1 2 Bước 3: Trả về biến x ban đầu, ta có nguyên hàm Vậy ln x ∫ x dx = 2 ln x + C cần tìm là I = F ( u ( x ) ) + C Chọn A.

∫

Ví dụ mẫu

1 3 Do đó F ( x ) = e x +1 + C . 3

x2 +1

x2 + 1 − x2 + 1 + C .

có:

1 F ( ax + b ) + C . a

Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu về ẩn u ta Đặt u = ln x ⇒ du = 1 dx x được I = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C , trong đó F ( u ) là 2 u Do đó A = ∫ udu = + C một nguyên hàm của hàm số f ( u ) . 2

)

Hướng dẫn giải

ln x 1 Đặt A = ∫ dx = ∫ ln x dx x x

Ví dụ 2: Cho I = ∫

(

1 3 1 3 1 3 1 A. F ( x ) = e x +1 + C B. F ( x ) = e x +1 + 2019 C. F ( x ) = e x +1 + 3 3 3 3

Hướng dẫn giải

1 2 x +1 3

Hệ quả: nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số Ví dụ 3: Ta biết f (x)

Bài toán 1: Phương pháp đổi biến dạng 1, đặt u = u ( x )

)

u −u+C 3

v ( t ) = 3t 2 + 4t ( m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Biết rằng tại thời

B. x = 4

(

Câu 100: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục Ox, với vận tốc cho bởi công thức

A. x = 9

)

Khi đó I = ∫ u 2 − 1 .udu = ∫ u 2 − 1 du

đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì nước trong hồ không còn an toàn nữa?

u −u+C 3

Ví dụ 2. Nguyên hàm M = ∫

2 sin x dx là: 1 + 3cos x

Hướng dẫn giải

1 A. M = ln (1 + 3cos x ) + C 3

B. M =

2 ln 1 + 3cos x + C 3

Ta có: u = x 2 + 1 ⇒ x 2 = u2 − 1 và xdx = udu .

2 C. M = − ln 1 + 3cos x + C 3

1 D. M = − ln 1 + 3cos x + C 3

Hướng dẫn giải

Trang 29

Trang 30

2 Đặt u = 1 + 3cos x , ta có du = −3sin xdx hay 2 sin xdx = − du . 3

Khi đó M = −

2 1 2 du = − ln u + C 3∫u 3

2 sin x 2 Vậ y M = ∫ dx = − ln 1 + 3cos x + C 1 + 3cos x 3

Ví dụ 3. Nguyên hàm P = ∫ x. 3 x 2 + 1dx là: 3 2 x +1 8

C. P =

33 2 x +1 + C 8

(

)

x2 +1 + C

B. P =

3 2 x +1 8

D. P =

3 2 x +1 4

1 1 3 Ta có: ∫ x. x + 1dx = ∫ x 2 + 1 3 d x 2 + 1 = x 2 + 1 2 8

(

) (

(x B. S =

D. S =

(

)

(

)

4 3

x +1 +1

1 ln 2

x +1 −1 x +1 +1

C. R = ln

x +1 −1

Vậy R = ln

(

)

x +1 −1 x +1 +1

du = ∫

)

1 ln 2

D. R = ln

(

)

x2 + 9 + C

− 3 x2 + 9

(

− 3 x2 + 9

x2 + 9

)

x2 + 9 + C

− 3 x2 + 9 + C

)

(

)

x2 + 9

)

(

− 3 x2 + 9

Ví dụ 6. Nguyên hàm T = ∫ x +1 −1 x +1 +1 x +1 −1 x +1 +1

A. T =

C. T =

)

u5 − 3u3 + C . 5

x2 + 9 + C

dx là:

B. T = 2 ln x + 1 + C

2 ( ln x + 1) ln x + 1 + C 3

D. T = ln x + 1 + C

2 ln x + 1

Ta có: T = ∫

2 1  u −1  1 du = ∫  −  du = ln u + 1 + C . u2 − 1 u − 1 u + 1  

x ln x + 1

dx = ∫

1 ln x + 1

d ( ln x + 1) = 2 ln x + 1 + C .

Chọn B. 2020

Ví dụ 7. Nguyên hàm U = ∫ +C 1 x −2 A. U =  3  x + 1 

Chọn D.

Chú ý: Với 0 < a ≠ 1 và x, y là các số thực dương, ta có: log a x − log a y = log a

x ln x + 1

Hướng dẫn giải

Đặt u = x + 1 ⇒ u2 = x + 1 . Suy ra x = u2 − 1 và dx = 2udu . u2 − 1 u

x2 + 9

x2 + 9 + C

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Khi đó R = ∫

)

(

+C.

B. R =

x2 + 9

)

Khi đó S = ∫ u 2 − 9 u.udu = ∫ u 4 − 9u 2 du =

dx là:

(

− 3 x2 + 9

Đặt u = x 2 + 9 ⇒ u 2 = x 2 + 9 . Suy ra x 2 = u 2 − 9 và xdx = udu .

Chú ý: chú ý rằng với a > 0 và m, n ∈ ℤ; n > 0 ta luôn có: a = n a m .

A. R =

)

m n

x x +1

x2 + 9

(x Vậ y S =

Ví dụ 4. Nguyên hàm R = ∫

Xét S = ∫ x 3 x 2 + 9dx = ∫ x 2 x 2 + 9 xdx .

x2 + 1 + C

Chọn A.

)

Hướng dẫn giải

x2 +1 + C

Hướng dẫn giải 3

C. S =

Chọn C.

A. P =

(x A. S =

x . y

C. U =

Ví dụ 5. Nguyên hàm S = ∫ x 3 x 2 + 9dx là:

( x − 2 ) dx 2022 ( x + 1)

là:

2021

1  x−2 6063  x + 1 

1  x−2 6060  x + 1 

D. U =

1  x−2 6069  x + 1 

2021

2020

B. U =

+C 2023

Hướng dẫn giải

Trang 31

Trang 32

2020

Xét U = ∫

1 2 1 u . 1 − u 2 du = ∫ u 2 − u 4 du 2∫ 2 1 1 1 1 = u3 − u 5 + C = sin 3 2 x − sin 5 2 x + C 6 10 6 10

( x − 2 ) dx =  x − 2 2020 1 dx 2022 ∫  x + 1  ( x + 1)2 ( x + 1)

x−2 3 1 1 ⇒ du = dx ⇒ du = dx . 2 2 x +1 3 ( x + 1) ( x + 1)

Đặt u =

Suy ra. U =

(

Ta có F ( x ) = ∫ sin 2 2 x.cos3 2 xdx =

1 2020 1 2021 1  x −2  u du = u + C . Vậ y U = 3∫ 6063 6063  x + 1 

)

(

)

π 1 π 1 1 π  F   = 0 ⇔ sin 3 − sin 5 + C = 0 ⇔ C = − 6 2 10 2 15 4

2021

1 1 1 Vậy F ( x ) = sin 3 2 x − sin 5 2 x − 6 10 15

Chọn C.

Do đó F ( 2019π ) = −

Lưu ý:

1 15

n +1 ( ax + b ) dx = 1 1  ax + b  +C   n + 2 ∫ ( cx + d ) n + 1 ad − bd  cx + d 

Ví dụ 8. Xét nguyên hàm V = ∫

Chọn A.

Ví dụ 10. Biết rằng

ln 2 x

(

x 1 + ln x + 1

)

dx . Đặt u = 1 + 1 + ln x , khẳng định nào sau đây sai?

dx = ( 2u − 2 ) du x

B. V = ∫

− 2u

u 5

2 5 16 C. V = u5 − u 4 + u3 − 4u 2 + C 5 2 3

D. V =

B. −3 + 5

(

u u 16 3 + − u + 4u 2 + C 5 2 3

Khi đó V = ∫

(

x 1 + ln x + 1

)

dx = ∫

− 2u u

)

Nguyên hàm ban đầu trở thành

Suy ra

. ( 2u − 2 ) du

(

)

Chọn C.

π  Ví dụ 9. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 2 x.cos3 2 x thỏa F   = 0 . Giá trị 4 F ( 2019π ) là:

1 A. F ( 2019π ) = − 15

)

(

)

∫ ( u + 1)

( 2 x + 3) dx

∫ x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 = − x

=−

1 +C. u +1

1 +C + 3x + 1

 −3 + 5 x = 2 Vậy g ( x ) = x 2 + 3 x + 1; g ( x ) = 0 ⇔ x 2 + 3 x + 1 = 0 ⇔  .  −3 − 5 x =  2

2 5 16 = 2 ∫ u − 5u + 8u − 4u du = u5 − u 4 + u3 − 4u 2 + C 5 2 3 4

)(

du = ( 2 x + 3) dx

dx Đặt u = 1 + 1 + ln x ⇒ ( u − 1) = 1 + ln x ⇔ ln x = u2 − 2u ⇒ = ( 2u − 2 ) du . x 2

D. −3 − 5

Vì x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 = x 2 + 3x x 2 + 3x + 2 + 1 =  x 2 + 3 x + 1 nên ta đặt u = x 2 + 3 x , khi đó

C. −3

Hướng dẫn giải

) . ( 2u − 2 ) du

Hướng dẫn giải

ln 2 x

phương trình g ( x ) = 0 . Tổng các phần tử của S bằng:

A. 0. 2

( 2 x + 3) dx

∫ x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) + 1 = − g ( x ) + C (với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của

 −3 + 5 −3 − 5  Do đó S =  ; . 2   2 Tổng giá trị các phần tử của S bằng −3 .

B. F ( 2019π ) = 0

2 C. F ( 2019π ) = − 15

1 D. F ( 2019π ) = 15

Hướng dẫn giải Đặt u = sin 2 x ⇒ du = 2 cos 2 xdx ⇒

1 du = cos 2 xdx 2

Chọn C.

Ví dụ 11. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x 8 − x2

(

trên khoảng −2 2;2 2

) thỏa mãn

F ( 2 ) = 0 . Khi đó phương trình F ( x ) = x có nghiệm là:

A. x = 0

B. x = 1

C. x = −1

D. x = 1 − 3

Hướng dẫn giải Trang 33

Trang 34

Ta có: F ( x ) = ∫

8 − x2

dx = − ∫

(

)

d 8 − x2 = − 8 − x2 + C

2 8 − x2

Ta có: f ( x ) . f ' ( x ) = ( 2 x + 1) 1 + f 2 ( x ) ⇔

Mặt khác F ( 2 ) = 0 ⇒ − 8 − x 2 + C = 0 ⇔ C = 2 Vậ y F ( x ) = − 8 − x 2 + 2 .

2 − x ≥ 0 Xét phương trình F ( x ) = x ⇔ − 8 − x 2 + 2 = x ⇔ 8 − x 2 = 2 − x ⇔  2 2 8 − x = ( 2 − x ) x ≤ 2  x ≤ 2 ⇔ 2 ⇔  x = 1 − 3 ⇔ x = 1 − 3 2 x − 4 x − 4 = 0     x = 1 + 3

f ( x ). f ' ( x )

∫

Suy ra

1+ f 2 ( x)

dx = ∫ ( 2 x + 1) dx ⇔ ∫

(

Theo giả thiết f ( 0 ) = 2 2 , suy ra

f ( x ). f ' ( x ) 1+ f 2 ( x)

(

d 1+ f 2 (x)

= 2x +1 .

2 1+ f 2 ( x)

1+ 2 2

)

∫ ( 2 x + 1) dx ⇔

1+ f 2 ( x ) = x2 + x + C

=C⇔C=3

Với C = 3 thì 1 + f 2 ( x ) = x 2 + x + 3 ⇒ f ( x ) =

+ x + 3) − 1

Vậy f (1) = 24 = 2 6 Chọn D.

Chọn D.

Ví dụ 12. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = F (1) =

2x +1 trên khoảng ( 0; +∞ ) và x + 2 x3 + x2 4

1 . Tổng S = F (1) + F ( 2 ) + F ( 3) + ... + F ( 2019 ) là 2

2019 2020

2019.2021 2020

C. 2018

1 2020

D. −

[ −2;1]

thỏa mãn f ( 0 ) = 3 và

. f ' ( x ) = 3x 2 + 4 x + 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −2;1] là:

B. 2 3 15

D. 3 15

Hướng dẫn giải

2019 2020

Ta có: ( f ( x ) ) . f ' ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 2

(* )

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:

Phân tích f ( x ) =

2x +1 2x +1 2x + 1 = = 2 x 4 + 2 x 3 + x 2 x 2 ( x + 1)2 x2 + x

Khi đó F ( x ) = ∫

2x +1

Vậ y F ( x ) = −

( f ( x ))

A. 2 3 42

Hướng dẫn giải

Mặt khác F (1) =

Ví dụ 16. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn

(

)

dx = ∫

)

(

∫ ( f ( x ))

)

d x2 + x = −

(

)

. f ' ( x ) dx = ∫ 3x 2 + 4 x + 2 dx ⇔

1 3 f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 2 x + C ⇔ f 3 ( x ) = 3 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 3C 3

Theo giả thiết, ta có f ( 0 ) = 3 nên

1 +C. x2 + x

( f (0))

1 1 1 ⇒ − + C = ⇒ C = 1. 2 2 2

= 3 ( 03 + 2.02 + 2.0 + C ) ⇔ 27 = 3C ⇔ C = 9 ⇒ f 3 ( x ) = 3 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 27

Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) = 3x 3 + 6 x 2 + 6 x + 27 trên đoạn [ −2;1] . Ta có g ' ( x ) = 9 x 2 + 12 x + 6 > 0, ∀x ∈ [ −2;1] nên đồng biến trên đoạn [ −2;1] .

1 1 1  1 +1 = − +1 = − −  +1 . x +x x ( x + 1)  x x +1 2

1 1   1 1 1 1 1 Do đó S = F (1) + F ( 2 ) + F ( 3) + ... + F ( 2019 ) = −  1 − + − + − + ... + − + 2019 2019 2020   2 2 3 3 4 1  1 1  = − 1 −  + 2019 = 2018 + 2020 = 2018 2020 2020   Chọn C.

Ví dụ 13. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định trên ℝ thỏa mãn f ( 0 ) = 2 2, f ( x ) > 0 và

B. 10

C. 5 3

[−2;1]

[ −2;1]

Chọn C.

Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến dạng 2 Phương pháp giải Kiến thức cần nhớ:

Các kĩ thuật đổi biến dạng 2 thường gặp và

Ta đã biết các đẳng thức sau:

cách xử lí.

sin t + cos t = 1 , với mọi t ∈ ℝ .

f ( x ) . f ' ( x ) = ( 2 x + 1) 1 + f 2 ( x ) , ∀x ∈ ℝ . Giá trị f (1) là: A. 6 2

Vậy max f ( x ) = 3 max g ( x ) = 3 42 .

D. 2 6

Hướng dẫn giải Trang 35

Trang 36

1 π , ∀t ≠ + kπ ( k ∈ ℤ ) cos2 t 2 1 2 1 + cot t = , ∀t ≠ kπ ( k ∈ ℤ ) sin 2 t

x x 4 − x2 +C C. arccos − 2 4

1 + tan 2 t =

 −π π  Đặt x = 2 sin t với t ∈  ;  . Ta có cos t > 0 và dx = 2 cos tdt .  2 2

bằng nguyên hàm cơ bản cũng như đổi biến số ở dạng 1, “lượng giác hóa” dựa vào các hằng đẳng thức lượng

xét các nguyên hàm sau đây:

Bài toán 1: Tính A1 = ∫ Đặt

x = a sin t ,

với

Từ x = 2 sin t ⇒ t = arcsin

dx a2 − x 2  −π π  t ∈ ;   2 2

Vậ y I = ∫ hoặc

x = a cos t với t ∈ ( 0;π ) dx Bài toán 2: Tính A2 = ∫ 2 a + x2

a+x dx a− x

Bài toán 3: Tính A3 = ∫

( x − a )( x − b )dx

dx = 2 arcsin

Bài toán 4: Tính A4 = ∫

(1 − x )

Bài toán 5: Tính A5 = ∫ x − a dx

Khi đó I = − ∫

Bài toán 5: Tính A5 = ∫ x − a dx Đặt x =

a sin t

dx là:

1− x

x 3

(1 − x ) 2

1 − x2 +C x

Đặt x = cos t, t < 0 < π ⇒ dx = − sin t.dt .

( x − a )( x − b )dx

(1 − x )

Hướng dẫn giải

a+x dx a− x

 π Đặt x = a + ( b − a ) sin t với t ∈ 0;   2 2

x x 4 − x2 − +C 2 2

Chọn D.

Vậ y

∫

4− x

dx Bài toán 2: Tính A2 = ∫ 2 a + x2

 π Đặt x = a cos 2t với t ∈  0;   2

Bài toán 4: Tính A4 = ∫

x 4 − x2 x và sin 2t = 2 sin t.cos t = 2 2

Ví dụ 2. Nguyên hàm I = ∫

 −π π  Đặt x = a tan t , với t ∈  ; .  2 2

Bài toán 3: Tính A3 = ∫

Suy ra I = 2 ∫ (1 − cos 2t ) dt = 2t − sin 2t + C

giác cơ bản và một số biến đổi thích hợp, cụ thể ta xem

 −π π  2 cos tdt = ∫ 4 sin 2 tdt (vì cos t > 0, ∀t ∈  ;  ).  2 2 4 − 4 sin t 4 sin 2 t

Khi đó I = ∫

đòi hỏi người học phải trang bị tư duy đổi biến theo kiểu

a2 − x 2

x x 4 − x2 − +C 2 2

Hướng dẫn giải

Với các bài toán sau đây thì ta không thể giải quyết ngay

Bài toán 1: Tính A1 = ∫

D. 2 arcsin

sin t.dt dt x dt = − ∫ 2 = cot t + C hay I = +C sin 3 t sin t 1 − x2

1 3

dx =

(1 − x ) 2

x 1 − x2

Chọn B.

Ví dụ 3. Nguyên hàm I = ∫

 −π π  với t ∈  ;   2 2

A. arctan x + C

1 dx là: 1+ x2

B. arccot x + C

C. arcsin x + C

D. arccos x + C

Hướng dẫn giải  −π π  Đặt x = tan t với t ∈  ;  , ta có dx = (1 + tan 2 t ) dt .  2 2

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Nguyên hàm I = ∫ A. arcsin

x2 4 − x2

x x 4 − x2 − +C 2 4

dx là:

Khi đó I = ∫

x x 4 − x2 B. 2 arccos − +C 2 2

Vậ y I = ∫

Trang 37

1 1 + tan 2 t dt = ∫ dt = t + C 1 + tan 2 t

(

)

1 dx = arctan x + C 1 + x2 Trang 38

Chọn A.

2017

Câu 8: Biết

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Cho hàm số F ( x ) có F ( x ) = ∫ A. ln ( x 4 + 1) + 1 Câu 2: Biết rằng

x3 dx và F ( 0 ) = 1 . Hàm số F ( x ) là: x +1

(

∫ 2 x ( 3x − 2 )

)

1 ln x 4 + 1 + 1 4

(

)

A. a = 2b

D. 4 ln ( x 4 + 1) + 1

23 252

dx = a ( 3 x − 2 ) + b ( 3 x − 2 ) + C , với a, b ∈ ℚ và C là hằng số thực. Giá

241 252

52 9

2 B. − ln 2 + 2 3

2 C. − ln 2 − 2 3

1 D. − ln 2 − 2 3

Câu 4: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng ( 0; +∞ ) . Khi đó A.

1 f 2

( x)+C

B. f

( x)+C

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = A. −

1 1  x4  + ln  4 +C 4 3x 36  x + 3 

1 1  x4  C. − 4 − ln  4 +C 3x 36  x + 3 

∫

( x)+C

C. −2 f

2 2 −8 3

2 2 +8 3

(

+ 1)

)

(

2021

+ 1)

)

2019

2020

B. 10.

A. 2.

1 u5 du 16 ∫

Câu 12: Nguyên hàm

( x)+C

+ 1)

2021

−

+ 1)

∫x

1 u5 du 12 ∫

C. F ( x ) =

1 +C x

C. −2 sin

1 5 u du 4∫

D. 2 sin

1 +C x

x3 dx và. F ( 0 ) = 1 Hàm số F ( x ) là: x +1 4

1 ln ( x 4 + 1) + 1 4

)

D. I =

1 +C x

B. F ( x ) =

1 3 ln ( x 4 + 1) + 4 4

(

)

D. F ( x ) = 4 ln x 4 + 1 + 1

Câu 14: Khi tính nguyên hàm

(

C. I = ∫ u5 du

1 cos dx bằng: x

B. sin

A. ∫ 2u u 2 − 4 du

4 2 +8 3

∫

∫ (u

x −3 dx , bằng cách đặt u = x + 1 ta được nguyên hàm nào? x +1 2

)

− 4 du

(

)

C. ∫ 2 u2 − 4 du

∫ (u

)

− 3 du

Câu 15: Cho hàm số f ( x ) = sin 2 2 x.sin x . Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm f ( x ) ?

2020

1 +C x

B. I =

A. F ( x ) = ln ( x 4 + 1) + 1

là: 2

D. 15.

C. 2 2

Câu 13: Cho hàm số F ( x ) có F ( x ) = ∫

1 1  x4  − ln  4 +C 4 12 x 36  x + 3 

C. 20.

 π π  f ( x ) . f ' ( x ) = 1 + f 2 ( x ) .cos x với mọi x ∈ 0;  . Giá trị của f   bằng:  2 2

1 1  x4  D. − + ln  4 +C 4 12 x 36  x + 3 

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 3 ( x 2 + 1) 2021 2020  2  x2 + 1 1  x +1 +C A. + 2  2021 2020   

A. 5.

A. − sin

4 2 −8 3

thỏa mãn f (1) = 4 và

f ( x ) = x. f ' ( x ) − 2 x − 3x với mọi x > 0 . Giá trị của f ( 2 ) bằng:

A. I =

1 , với x ≠ 0 là: x + 3x 5

(0; +∞ )

Câu 11: Xét I = ∫ x 3 ( 4 x 4 − 3) dx . Bằng cách đặt u = 4 x 4 − 3 , khẳng định nào sau đây đúng?

sin 2 x + cos x π  và F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F   Câu 6: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 + sin x 2 là: A.

Câu 9: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định trên khoảng

B. −

D. b = 2018a

( x ) dx bằng:

D. 2 f

C. a = 2018b

 π Câu 10: Cho hàm số f ( x ) không âm, có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn f ( 0 ) = 3 và  2

7 9

sin x π  Câu 3: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = và F   = 2 . Giá trị của F ( 0 ) là: 1 + 3cos x 2 1 A. − ln 2 + 2 3

B. b = 2a

trị của biểu thức P = 12 a + 7b là:

a, b ∈ ℕ* và C là hằng số thực. Mệnh đề nào sau

đây đúng?

1 3 ln x 4 + 1 + 4 4

b ( x − 1) 1  x −1 ∫ ( x + 1)2019 dx = a .  x + 1  + C, ∀x ≠ −1 và

2021 2020  2 ( x 2 + 1)  + C 1  ( x + 1) − 2  2021 2020   

A. y =

4 4 cos3 x − sin 5 x + C 3 5

4 4 B. y = − cos3 x + cos5 x + C 3 5

C. y =

4 4 cos3 x − cos5 x + C 3 5

4 4 D. y = − cos3 x + sin 5 x + C 3 5

Câu 16: Cho hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = rằng giá trị lớn nhất của F ( x ) trên khoảng ( 0;π ) là

Trang 39

2 cos x − 1 trên khoảng ( 0;π ) . Biết sin 2 x

3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Trang 40

 2π B. F   3

π  A. F   = 3 3 − 4 6

3  =  2

π  C. F   = − 3 3

 5π D. F   6

[1; +∞]

f ( x ) có đạo hàm đến cấp hai xác định trên

Câu 17: Cho hàm số

  = 3− 3  thỏa mãn

 xf ' ( x )  + 1 = x 2 1 − f ( x ) . f '' ( x )  với x ≥ 1 . Biết f (1) = f ' (1) = 1 . Giá trị của f 2 ( 2 ) là:

A. f

( 2 ) = 2 ln 2 + 2

B. f

( 2 ) = 2 ln 2 + 1

C. f

(2) =

Câu 18: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

D. f

2 ln 2 + 2

(2) =

2 ln 2 + 1

là:

x2 + 1

)

x 2 + 1 + 5 , biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa mãn

3 F ( 0 ) = 6 . Giá trị của F   là: 4

1 thỏa mãn F ( 0 ) = 10 . Hàm số F ( x ) 2e x + 3

Câu 24: Cho f ( x ) =

125 16

Câu 25: Cho

126 16

123 16

127 16

cos 2 x

∫ ( sin x + cos x + 2 )

dx = −

( sin x + cos x + 1) + C , với n ( sin x + cos x + 2 )

m, n ∈ ℕ và C là hằng số thực. Giá

trị của biểu thức A = m + n là:

1 B. x + 10 − ln 2e x + 3 3

1 ln 5 A. x − ln 2e x + 3 + 10 + 3 3

(

))

(

1  x 3   x − ln  2e +   + ln 5 − ln 2 3 2  

Câu 19: Biết

∫

( C. ln ( x +

1 x2 + 1

(

A. A = 5

))

(

sin x

)

dx = ln x + x + 1 + C . Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2

)

( D. − ln ( x +

A. ln cos x + cos x + 1 + C 2

Câu 26: Nguyên hàm I = ∫

1 ln 5 − ln 2 x − ln 2e x + 3 + 10 + 3 3

(

cos2 x + 1

là:

)

cos2 x + 1 + C

)

cos2 x + 1 + C

20 x 2 − 30 x + 7 3  Câu 20: Biết rằng trên khoảng  ; +∞  , hàm số f ( x ) = có một nguyên hàm 2x − 3 2  F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x − 3 (a, b, c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c bằng: A. 4.

B. 3.

C. 5.

B. I = ∫

2u 2 + 1

1 1 C. I = ∫ 2 du 2 u +1

)

B. S = {3}

C. S = ∅

Câu 23: Biết hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

D. S = {−3}

ln x x ln 2 x + 3

và đồ thị của hàm số

A. 2020.

B. 2018.

C. 2021.

1+ x2

9 − x2 +C 9x

9 − x2 +C 9x2

C. I =

D. I = −

9 − x2 +C 9x 2

dx là:

A. I = −

1 2 ( x − 2) 1 + x2 + C 3

B. I =

1 2 ( x − 2) 1 + x2 + C 3

C. I = −

1 2 ( x + 2) 1 + x2 + C 3

D. I =

1 2 ( x + 2) 1 + x2 + C 3

Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần Ví dụ 1: Kết quả nguyên hàm

Với u = u ( x ) và v = v ( x ) là các hàm số có đạo

Viết dưới dạng vi phân d ( uv ) = vdu + udv Khi đó lấy nguyên hàm hai vế ta được:

∫ xe dx x

là:

x2 x e +C 2

A. xe x − e x + C

C. xe x + e x + C

D. xe x + x + C

Hướng dẫn giải

∫ d ( uv ) = ∫ vdu + ∫ udv

u = x  du = dx Đặt  ⇒ x x dv = e dx v = e

Từ đó suy ra ∫ udv = uv − ∫ vdu (1)

Khi đó

∫ xe dx = ∫ xde

Công thức (1) là công thức nguyên hàm từng phần.

( ) bằng:

y = F ( x ) đi qua điểm ( e;2019 ) . Khi đó F e

B. I =

D. A = 4

là:

hàm trên khoảng K thì ta có: ( u.v ) ' = u ' v.v ' u

2 D. I = ∫ 2 du u +1

của phương trình F ( x ) + ln e x + 1 = 3 là:

A. S = {±3}

x2 9 − x2

Cơ sở của phương pháp:

1 Câu 22: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x thỏa mãn F ( 0 ) = − ln 2 . Tập nghiệm S e +1

(

9 − x2 +C 9x

C. A = 3

Phương pháp giải

D. 6.

sin 2 x Câu 21: Cho nguyên hàm I = ∫ dx . Nếu u = cos 2 x đặt thì mệnh đề nào sau đây đúng? cos 4 x + sin 4 x −1 A. I = ∫ 2 du u +1

A. I = −

Câu 27: Nguyên hàm I = ∫

B. − ln cos x + cos x + 1 + C 2

B. A = 2

= x.e x − ∫ e x .dx

= x.e x − e x + C Chọn A.

Ở ví dụ 1 này, ta ưu tiên đặt u = x , phần còn lại sẽ là

D. 2019.

dv, tức là dv = e x dx . Dòng thứ nhất tính đạo hàm, dòng thứ hai tìm nguyên hàm Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp Ví dụ 2: Kết quả nguyên hàm ln ( x + 2019 ) dx là: ∫ Trang 41

Trang 42

nguyên hàm từng phần.

A. ( x + 2019 ) ln ( x + 2019 ) + x + C

Còn đối với nguyên hàm v = ∫ v ( x ) dx ta chỉ cần Vậy

Bài toán: Tìm I = ∫ u ( x ) .v ( x ) dx , trong đó

B. ( x + 2019 ) ln ( x + 2019 ) − x + C

chọn một hằng số thích hợp. Điều này sẽ được

u ( x ) và v ( x ) là hai hàm có tính chất khác nhau,

C. ( x + 2019 ) ln ( x + 2019 ) + C

làm rõ qua các ví dụ minh họa ở cột bên phải.

chẳng hạn:

D. ln ( x + 2019 ) + C

u ( x ) là hàm số đa thức, v ( x ) là hàm số mũ. u ( x ) là hàm số logarit, v ( x ) là hàm số đa thức. u ( x ) là hàm số mũ, v ( x ) là hàm số lượng giác.

1 ⇔ ∫ e x .sin xdx = e x . ( sin x − cos x ) + C 2

u ( x ) là hàm số đa thức, v ( x ) là hàm số lượng Hướng dẫn giải giác.

∫ e .sin xdx = e .sin x − ∫ e . cos xdx ⇔ ∫ e .sin xdx = e .sin x − ( e .cos x + ∫ e .sin xdx ) Chọn C.

1 u = ln ( x + 2019 ) du = dx Đặt  ⇒ x + 2019 dv = dx v = x + 2019

Ở đây, lần từng phần thứ hai, ta nên nhớ tuân thủ nguyên tắc ở lần từng phần thứ nhất. Tức là lần thứ nhất đã ưu tiên u là lượng giác ( u = sin x ) thì lần thứ

(ở đây từ dv = dx ⇒ v = x + C , ta có thể chọn

hai ta cũng sẽ ưu tiên u là lượng giác ( u = cos x ) .

C = 2019 để việc tính toán đơn giản hơn) Khi đó

Ví dụ mẫu

∫ ln ( x + 2019 ) dx = ( x + 2019 ) ln ( x + 2019 ) − ∫ dx

Ví dụ 1. Kết quả nguyên hàm I = ∫ x ln ( 2 + x 2 ) dx là:

Vậ y

∫ ln ( x + 2019 ) dx = ( x + 2019 ) ln ( x + 2019 ) − x + C Chọn B.

(

1 C. e x ( sin x − cos x ) + C 2 1 x e ( sin x + cos x ) + C 2

u = u ( x ) du = u ' ( x ) dx Bước 1: Đặt  ⇒ dv = v ( x ) dx v = ∫ v ( x ) dx

u = sin x du = cos xdx Đặt  ⇒ x x dv = e dx  v = e

Khi đó I =

Lưu ý: Đặt u = u ( x ) (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Tức là,

tiên sắp xếp như thế.

) (

)

x2 +C 2

x2 + 2 x2 ln ( x 2 + 2 ) − + C 2 2

)

x2 + 2 x2 + 2 x2 ln ( x 2 + 2 ) − ∫ xdx = ln ( x 2 + 2 ) − + C 2 2 2

Chú ý: Thông thường thì với dv = xdx ⇒ v = Tuy nhiên trong trường hợp này, ta để ý v =

Đến đây ta phải áp dụng phương pháp từng phần một lần nữa, cụ thể: Với ∫ e . cos xdx ta thực hiện tương tự như sau: x

nếu có logarit thì ưu tiên đặt u là logarit, không + Đặt có logarit thì ưu tiên u là đa thức,… thứ tự ưu

(

B. x 2 + 2 ln x 2 + 2 −

Chọn D.

x x x Bước 2: Áp dụng công thức (1), ta được: Khi đó ∫ e .sin xdx = e .sin x − ∫ e .cos xdx

∫ udv = uv − ∫ vdu

)

2x  du = 2 dx u = ln 2 + x 2  x +2 Đặt  ⇒ 2 dv = xdx v = x + 2  2

B. 2e x ( sin x − cos x ) + C

Hướng dẫn giải

(

Hướng dẫn giải

A. 2e x ( sin x + cos x ) + C

Phương pháp nguyên hàm từng phần

x2 + 2 x2 ln x 2 + 2 + + C 2 2

C. ( x 2 + 2 ) ln ( x 2 + 2 ) + x 2 + C

Ví dụ 3: Tìm ∫ e x .sin xdx

u = cos x du = − sin xdx ⇒  x x dv = e dx v = e

Ví dụ 2. Kết quả nguyên hàm I = ∫

x2 2

x2 + 2 mang lại sự hiệu quả. 2

ln ( sin x + 2 cos x ) cos2 x

dx là:

A. ( tan x + 2 ) . ln ( sin x + 2 cos x ) − x + 2 ln cos x + C B. ( tan x + 2 ) . ln ( sin x + 2 cos x ) − x − 2 ln cos x + C

+ Khi đó ∫ e x . cos xdx = e x .cos x + ∫ e x .sin xdx

C. ( tan x + 2 ) . ln ( sin x + 2 cos x ) − x − 2 ln ( cos x ) + C D. ( cot x + 2 ) . ln ( sin x + 2 cos x ) − x − 2 ln cos x + C

Trang 43

Trang 44

Hướng dẫn giải

Chú ý:

cos x − 2 sin x u = ln ( sin x + 2 cos x ) du = dx   sin x + 2 cos x Đặt  ⇒  dx dv = v = tan x + 2 = sin x + 2 cos x  cos2 x  cos x

Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính toán chính xác đạo hàm

Kĩ thuật này rất đơn giản và tiết kiệm nhiều thời gian.

và nguyên hàm ở hai cột 1 và 3. Nếu nhầm lẫn thì rất đáng tiếc.

cos x − 2 sin x dx cos x = ( tan x + 2 ) ln ( sin x + 2 cos x ) − x − 2 ln cos x + C

Khi đó I = ( tan x + 2 ) ln ( sin x + 2 cos x ) − ∫

Ví dụ 4. Nguyên hàm I = ∫ x 4 e3 x dx là:

Chọn B.

Chú ý: Ở ví dụ này, chọn v = tan x + 2 có thể rút gọn được ngay tử và mẫu trong nguyên hàm ∫ vdu . Ví dụ 3. Kết quả nguyên hàm I = ∫ x 2 sin 5xdx là:

1 2 2 A. − x 2 cos 5 x − x sin 5 x + cos 5 x + C 5 25 125 C.

1 2 2 2 cos 5x + C x cos 5x − x sin 5x + 5 25 125

 x 4 4 x 3 12 x 2 24 x 24  A. I =  − 2 + 3 − 4 + 5  e3 x + C 3 3 3 3   3

B. I =

 x 4 4 x 3 12 x 2 24 x 24  C. I =  + 2 − 3 + 4 − 5  e3 x + C 3 3 3 3   3

 x 4 4 x 3 12 x 2  D. I =  − 2 + 3  e3 x + C 3 3   3

x 5 e3 x . +C 5 3

Hướng dẫn giải

1 2 2 B. − x 2 cos 5 x + x sin 5x − cos 5 x + C 5 25 125 1 2 2 D. − x 2 cos 5 x + x sin 5 x + cos 5 x + C 5 25 125

Nếu làm thông thường thì từng phần 4 lần ta mới thu được kết quả. Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ

đường chéo cho kết quả và nhanh chóng hơn.

Hướng dẫn giải Phân tích: Ở đây ta sẽ ưu tiên u = x 2 là đa thức, tuy nhiên vì bậc của u là 2 nên ta sẽ từng phần hai lần mới thu được kết quả. Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể như sau:

Bước 1: Chia thành 3 cột: + Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0. + Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo. + Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1.

Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu

 x 4 4 x 3 12 x 2 24 x 24  Vậ y I =  − 2 + 3 − 4 + 5  e 3 x + C . 3 3 3 3   3

(-), (+), (-),… rồi cộng các tích lại với nhau.

Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm I = ∫ e x sin xdx là: A. 2e x ( sin x + cos x ) + C C.

1 x e ( sin x − cos x ) + C 2

B. 2e x ( sin x − cos x ) + C D.

1 x e ( sin x + cos x ) + C 2

Hướng dẫn giải Phân tích: Sự tồn tại của hàm số mũ và lượng giác trong cùng một nguyên hàm sẽ rất dễ gây cho người

1 2 2 Khi đó I = − x 2 cos 5 x + x sin 5 x + cos 5x + C 5 25 125

học sự nhầm lẫn, nếu ta sẽ không biết điểm dừng thì có thể sẽ bị lạc vào vòng luẩn quẩn. Ở đây, để tìm

được kết quả thì ta phải từng phần hai lần như trong ví dụ 3. Tuy nhiên, với sơ đồ đường chéo thì sao?

Chọn D.

Khi nào sẽ dừng lại? Trang 45

Trang 46

Vậy I = ∫ x. ln xdx =

x2 x2 . ln 2 − + C 2 4

Chọn A.

Chú ý: chuyển lượng t ( x ) =

x2 1 x bên cột 1 sang nhân với v ( x ) = ta thu được kết quả . Khi đó bên cột x 2 2

1 còn lại 1, đạo hàm của nó bằng 0; bên cột 3 có nguyên hàm của Khi đó, ta sẽ có thể kết luận I = e x sin x − e x cos x − ∫ e x sin xdx .

Ví dụ 6.2. Kết quả nguyên hàm I = ∫ ( 4 x − 1) . ln 3 ( 2 x ) dx là:

1 Hay 2 I = e x sin x − e x .cos x . Vậy I = e x ( sin x − cos x ) + C 2

A. ( 2 x 2 − x ) ln 3 ( 2 x ) − ( 3x 2 − 3 x ) ln 2 ( 2 x ) − ( 3x 2 − 6 x ) ln ( 2 x ) +

3x 2 + 6x + C 2

B. ( 2 x 2 − x ) ln 3 ( 2 x ) − ( 3 x 2 − 3x ) ln 2 ( 2 x ) + ( 3 x 2 − 6 x ) ln ( 2 x ) −

3x 2 + 6x + C 2

Chọn C.

Chú ý: Chỉ dừng lại khi đạo hàm của nó có dạng giống dòng đầu tiên. Dòng cuối thu được

− ∫ sin xe x dx = − I .

C. 2 x 2 − x ln 3 ( 2 x ) + 3 x 2 − 3x ln 2 ( 2 x ) + 3 x 2 − 6 x ln ( 2 x ) −

3x 2 + 6x + C 2

D. ( 2 x 2 − x ) ln 3 ( 2 x ) + ( 3x 2 − 3 x ) ln 2 ( 2 x ) + ( 3x 2 − 6 x ) ln ( 2 x ) −

3x 2 − 6x + C 2

(

)

(

)

(

)

Ví dụ 6. Tìm I = ∫ ln n ( ax + b ) v ( x ) dx , trong đó v ( x ) là hàm đa thức, n ∈ ℕ* và a, b ∈ ℝ; a ≠ 0 Hướng dẫn giải Phân tích: Vì ưu tiên u ( x ) = ln n ( ax + b ) nên du = không về 0 được, vì vậy phải chuyển lượng t ( x ) =

na. ln n −1 ( ax + b )

ax + b

x x2 là . 2 4

dx và tiếp tục đạo hàm thì cột 1 sẽ

Hướng dẫn giải

na từ cột 1 sang nhân với v ( x ) ở cột 3 để rút gọn ax + b

bớt; tiếp tục quá trình như thế cho đến khi đạo hàm cột 1 về 0, và chú ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường.

Ví dụ 6.1. Kết quả nguyên hàm I = ∫ x. ln xdx là: A.

x2 x2 . ln 2 − + C 2 4

x2 x2 . ln 2 + + C 2 4

x2 x2 . ln 2 − + C 4 2

x2 x2 . ln 2 + + C 4 2

Hướng dẫn giải

(

)

(

)

(

)

Vậy I = 2 x 2 − x ln 3 ( 2 x ) − 3 x 2 − 3x ln 2 ( 2 x ) + 3 x 2 − 6 x ln ( 2 x ) −

3x 2 + 6x + C 2

Chọn B.

Chú ý: Chuyển

Trang 47

3 , nhân với ( 2 x 2 − x ) thu được ( 6 x − 3) x

Trang 48

Chuyển

2 , nhân với ( 3 x 2 − 3x ) thu được ( 6 x − 6 ) . x

Chuyển

1 , nhân với 3 x 2 − 6 x thu được ( 3 x − 6 ) . x

(

A. S = 3

là:

C. (1 − x ) e x + C

D. (1 + x ) e x + C

D. S = 4

các nguyên hàm của f ( x ) e2 x là:

B. ( x + 2 ) e2 x + e x + C

C. ( x − 1) e x + C

Câu 8: Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

D. ( x + 1) e x + C

ln ( x + 3) x2

thỏa mãn F ( −2 ) + F (1) = 0 và

F ( −1) + F ( 2 ) = a ln 2 + b ln 5 , với a, b là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + 6 b bằng:

Ta có F ' ( x ) = f ( x ) e2 x ⇔ e x + ( x − 1) e x = f ( x ) .e2 x ⇔ f ( x ) .e 2 x = x.e x .

∫ f '( x)e

C. S = 0

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ' ( x ) = e , ∀x ∈ ℝ và f ( 0 ) = 2 . Tất cả

A. ( x − 2 ) e x + e x + C

Hướng dẫn giải

Xét

B. S = −2

−x

hàm liên tục trên ℝ . Nguyên hàm của hàm số f ' ( x ) e

B. ( 2 + x ) e x + C

Giá trị của biểu thức S = a + 2b + c là:

)

Ví dụ 7. Cho F ( x ) = ( x − 1) e x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) e2 x . Biết rằng hàm số f ( x ) có đạo

A. ( 2 − x ) e x + C

)

Câu 6: Gọi F ( x ) = ax 2 + bx + c .e x , với a, b, c ∈ ℤ là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x − 1) .e x .

A. −4

B. 5.

C. 0.

D. −3

ln (1 + 2 x ) dx = − + a. ln (1 + 2 x ) + b. ln x + C với a, b là các số nguyên và C là x2 x hằng số thực. Giá trị của a + 2b là:

Câu 9: Biết

2x 2x u = e du = 2e dx Đặt  ⇒ dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )

∫

ln (1 + 2 x )

A. 0.

Do đó I = f ( x ) .e2 x − 2 ∫ f ( x ) e x dx = xe x − 2 ( x − 1) e x + C

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Vậy I = ∫ f ' ( x ) e 2 x dx = ( 2 − x ) e x + C

x  π Câu 10: Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên  0;  thỏa mãn f ( x ) + tan x. f ' ( x ) = . cos3 x  2

Chọn A.

Biết rằng

Bài tập tự luyện dạng 3 A.

Câu 1: Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x sin x là: A. x cos x + sin x + C

B. x cos x − sin x + C

C. − x cos x − sin x + C

D. − x cos x + sin x + C

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 4 x (1 + ln x ) là: A. 2 x 2 ln x + 3 x 2

B. 2 x 2 ln x + x 2

C. 2 x 2 ln x + 3x 2 + C

D. 2 x 2 ln x + x 2 + C

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 3x 2 + 1) ln x là: A. x ( x 2 + 1) ln x −

x3 +C 3

x3 C. x ( x + 1) ln x − − x + C 3 2

Câu 4: Tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

π  π  3 f   − f   = aπ 3 + b ln 3 , trong đó a, b ∈ ℚ . Giá trị của biểu thức P = a + b bằng: 3   6

14 9

x3 +C 3

A. F ( x ) = − cos x +

A. ( x 2 − x ) ln x −

x3 D. x ln x − − x + C 3

(

)

B. x cot x − ln sin x + C

Câu 13: Cho F ( x ) =

C. x cot x + ln sin x + C

D. − x cot x − ln ( sin x ) + C

trị của a2 − b là:

(

)

Câu 5: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x x 3 − 4 x . Hàm số F x 2 + x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6.

B. 5.

C. 3.

x2 x2 ln x − + C 2 4

x2 −x+C 2

A. − x cot x + ln ( sin x ) + C

)

x2 x2 ln x − + C 2 4

C. x 2 − x ln x + x 2 − x + C

x trên khoảng ( 0;π ) là: sin 2 x

(

7 9

D. −

4 9

B. F ( x ) = − cos x + ln x + C D. F ( x ) = − cos x + C

Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x − 1) ln x là:

Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x + x ln x là:

C. F ( x ) = cos x +

B. x 3 ln x −

2 9

A. 8.

B. ( x 2 − x ) ln x − x 2 − x + C D. ( x 2 − x ) ln x −

x2 + x+C 2

x 2 . ln x x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x (với a, b là hằng số). Giá − a b

B. 0.

C. 1.

1 2

Câu 14: Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x ( 3 + 2 ln x ) và F (1) = 3 . Khẳng định nào

D. 4.

đúng trong các khẳng định sau? Trang 49

Trang 50

A. F ( x ) = 2 x 2 + 2 x 2 ln x + 1 C. F ( x ) = 4 x 2 + 2 x 2 ln x

D. F ( x ) = 4 x 2 + 2 x 2 ln x − 1

Câu 24: Cho F ( x ) =

B. x 3 ln x + C

C. x 3 ln x + C

D. x 3 + x 3 ln x + C

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (1 + 2 x ) 1 + ln ( x + 1)  là:

x2 A. x + + ( x + x 2 ) ln x + C 2 C. x +

x2 − ( x + x 2 ) ln x + C 2

D. x 2 + xe x − e x + C

Câu 18: Nguyên hàm I = ∫ (1 + 2 x )( cos x + 1) dx có kết quả là: A. (1 + 2 x ) sin x + 2 cos x + C

B. x + x 2 − (1 + 2 x ) sin x − 2 cos x + C

C. x + x 2 + (1 + 2 x ) sin x − 2 cos x + C

D. x + x 2 + (1 + 2 x ) sin x + 2 cos x + C

Câu 19: Công thức nào sau đây sai?

1 A. ∫ ln xdx = + C x

dx B. ∫ = tan x + C cos2 x

A. C.

∫

1 f ( x ) dx = x 9

( 3ln x − 2 ) + C

3 2

2 ∫ f ( x ) dx = 9 x (3ln x − 1) + C

C. ∫ sin xdx = − cos x + C D. ∫ e dx = e + C x

B. D.

∫

2 f ( x ) dx = x 3

3 2

(

)

C. x 2 + x ln x − x 2 − x + C

( 3ln x − 2 ) + C

∫ xe dx = e

∫ xe dx = xe

+ xe x + C x

−e +C

dx = axe2 x + be2 x + C ( a, b ∈ ℚ ) và C là hằng số thực. Giá trị tích ab là:

1 4

B. ab =

1 4

C. ab = −

1 8

D. ab =

1 8

B. F (1) = e + 3

C. F (1) = e + 7

D. F (1) = e + 2

Câu 27: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x.e2 x là:

1  A. F ( x ) = 2e2 x  x −  + C 2 

1 B. F ( x ) = e2 x ( x − 2 ) + C 2

1 1  C. F ( x ) = e2 x  x −  + C 2 2 

D. F ( x ) = 2e2 x ( x − 2 ) + C

2 ∫ f ( x ) dx = 9 x ( 3ln x − 2 ) + C

A. F ( x ) =

x −x+C 2

D. ( x 2 + x ) ln x −

x2 −x+C 2

∫ xe dx = x

B. F ( x ) =

1 1 x sin 2 x + cos 2 x + C 2 4

1 ( 2 x cos 2 x + sin 2 x ) + C 4

C. F ( x ) = − 2

B. ( x 2 + x ) ln x +

A. F ( x ) = x sin 2 x + cos 2 x

1 1 x sin 2 x + cos 2 x 2 4

D. F ( x ) = x sin 2 x + cos 2 x + C

Câu 29: Cho F ( x ) = ∫ x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng.

3 2

1 ( 2 x cos 2 x − sin 2 x ) + C 4

B. F ( x ) = − D. F ( x ) =

1 ( 2 x cos 2 x + sin 2 x ) + C 4

1 ( 2 x cos 2 x − sin 2 x ) + C 4

a 1 + ln x ( ln x + b ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 , trong đó a, b ∈ ℤ . Giá x x trị của biểu thức S = a + b là: Câu 30: Cho F ( x ) = A. S = −2

Câu 22: Mệnh đề nào sau đây đúng? A.

∫ xe

C. F ( x ) =

Câu 21: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1) ln x là: A. ( x 2 + x ) ln x − x 2 + x + C

D. 3 x 2 + 6 xe x + 6e x + C

Câu 28: Họ nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x cos 2 x là: x

Câu 20: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x ln x là: 3 2

C. 3 x 2 e x − 6 xe x + e x + C

A. F (1) = 11e − 3

C. x 2 − 2 xe x − 2e x + C

là:

Câu 26: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 5 x + 1) e x và F ( 0 ) = 3 . Giá trị của F (1) là:

Câu 17: Nguyên hàm I = ∫ 2 x ( e x + 1) dx có kết quả là: A. x 2 + 2 xe x − 2e x + C B. x 2 + 2 xe x − e x + C

B. x 2 e x − 6 xe x + 6e x + C

A. ab = −

3x 2 + ( x + x 2 ) ln x + C 2

∫ f ' ( x ) e dx

A. 3 x 2 e x − 6 xe x + 6e x + C Câu 25: Biết

3x 2 B. x + − ( x + x 2 ) ln x + C 2 D. x +

D. 1 < a < 2

f (x) x là một nguyên hàm của . Biết rằng hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định với 3 x

mọi x ≠ 0 . Kết quả nguyên hàm

2x + x 3 ln x + C 3

C. a ≥ 3

Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 (1 + 3ln x ) là: A.

B. a < −2

A. 0 < a ≤ 1

B. F ( x ) = 2 x 2 + 2 x 2 ln x − 1

Câu 31: Biết

x2 x e + ex + C 2

B. S = 1

∫ ( x + 3) .e

−2 x

C. S = 2

D. S = 0

1 dx = − e −2 x ( 2 x + n ) + C với m, n ∈ ℚ . Khi đó tổng S = m 2 + n 2 có giá trị m

bằng:

x2 D. ∫ xe dx = e x + C 2

A. 10.

1 Câu 23: Gọi F ( x ) là nguyên hàm trên ℝ của hàm số f ( x ) = x e ( a ≠ 0 ) , sao cho F   = F ( 0 ) + 1 . a Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

B. 5.

C. 65.

Câu 32: Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e

D. 41. 3

và F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F ( −1) là:

2 ax

Trang 51

A. 6 −

15 e

B. 4 −

10 e

15 −4 e

10 e Trang 52

ĐÁP ÁN BÀI 1. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa 1–D

2–D

3–B

4–D

5–D

6–D

7–D

8–C

9–D

10 – A

11 – B

12 – B

13 – D

14 – D

15 – C

16 – A

17 – D

18 – A

19 – C

20 – D

21 – C

22 – A

23 – B

24 – D

25 – C

26 – A

27 – D

28 – C

29 – B

30 – B

31 – C

32 – D

33 – B

34 – A

35 – A

36 – B

37 – A

38 – D

39 – D

40 – D

41 – B

42 – B

43 – B

44 – A

45 – A

46 – A

47 – B

48 – D

49 – C

50 – B

51 – C

52 – C

53 – A

54 – A

55 – A

56 – D

57 – B

58 – A

59 – A

60 – C

61 – A

62 – A

63 – B

64 – B

65 – C

66 – C

67 – A

68 – C

69 – C

70 – D

71 – C

72 – D

73 – B

74 – C

75 – C

76 – A

77 – D

78 – C

79 – D

80 – A

81 – D

82 – A

83 – A

84 – B

85 – D

86 – A

87 – B

88 – C

89 – D

90 – D

91 – B

92 – C

93 – C

94 – A

95 – C

96 – B

97 – A

98 – C

99 – B

100 – C

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến 1–C

2–D

3–B

4–D

5–B

6–B

7–D

8–A

9–C

10 – A

11 – C

12 – A

13 – A

14 – C

15 – C

16 – B

17 – A

18 – A

19 – A

20 – D

21 – B

22 – B

23 – A

24 – B

25 – A

26 – A

27 – C

28 – A

29 – B

30 – B

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần 1–D

2–D

3–C

4–A

5–B

6–B

7–D

8–B

9–D

10 – A

11 – B

12 – D

13 – A

14 – D

15 – B

16 – A

17 – C

18 – A

19 – C

20 – D

21 – A

22 – D

23 – A

24 – D

25 – D

26 – C

27 – A

28 – A

29 – B

30 – B

31 – C

32 – C

33 – C

34 – C

35 – C

36 – B

37 – C

38 – C

39 – D

40 – D

Trang 53

CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 2: TÍCH PHÂN

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Mục tiêu

1. Định nghĩa tích phân

Kiến thức

Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] , với a < b.

+ Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân. + Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản để áp dụng tính tích phân. + Nắm vững các tính chất tích phân của các hàm số chẵn, hàm số lẻ và các quy tắc đạo hàm của

Nếu F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên đoạn

[ a; b]

thì giá trị F ( b ) − F ( a ) được gọi là tích phân của

+ Nắm vững các ý nghĩa vật lí của đạo hàm, từ dó giải quyết các bài toán thực tế sử dụng tích

Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tính tích phân.

Vận dụng tích phân vào các bài toán thực tế.

∫

∫ f ( x ) dx = F ( x )

= F (1) − F ( 0 )

Lưu ý: Giá trị của tích phân không phụ thuộc

f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a ) (1) a

Kĩ năng Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân.

Kí hiệu

phân.

hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 nên tích phân

= (13 + C ) − ( 03 + C ) = 1.

hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b ] .

hàm số hợp.

Chẳng hạn: F ( x ) = x 3 + C là một nguyên

Công thức (1) còn được gọi là công thức Newton –

vào hằng số C. Trong tính toán, ta thường chọn C = 0.

Leibnitz; a và b được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân. Ý nghĩa hình học của tích phân

Giả sử hàm số y = f ( x ) là hàm số liên tục và không âm

Chẳng hạn: Hàm số f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 có đồ 2

trên đoạn [ a; b ] . Khi đó, tích phân

∫

f ( x ) dx chính là

thị ( C ) và f ( x ) = ( x + 1) ≥ 0 , với ∀x ∈ ℝ .

diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f ( x ) , trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x = b, với

a < b. Diện tích “tam giác cong” giới hạn bởi ( C ) , trục Ox và hai đường thẳng x = −1 và x = 1 1

là S =

∫ f ( x ) dx = ∫ ( x −1

S = ∫ f ( x ) dx a

 x3  =  + x2 + x   3 

+ 2 x + 1) dx

−1 1 −1

8 = . 3

Lưu ý: Ta còn gọi hình phẳng trên là “hình thang cong”.

2. Tính chất cơ bản của tích phân Cho hàm số f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng

Trang 1

Trang 2

hoặc đoạn và a, b, c ∈ K , khi đó:

m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a )

a. Nếu b = a thì

∫ f ( x ) dx = 0

Chẳng hạn: Cho hàm số f ( x ) liên tục, có

b. Nếu f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b ] thì đạo hàm trên đoạn

[ −1; 2]

thỏa mãn

∫

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x )

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

= f ( 2 ) − f ( −1) = −9

−1

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( y ) dy = ...

Khi đó

f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( b ) − f ( a )

có b

f ( −1) = 8 và f ( 2 ) = −1.

ta có:

i. Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn

1. Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng 1

Lưu ý: Từ đó ta cũng có

Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx , trong đó

f ( b ) = f ( a ) + ∫ f ′ ( x ) dx

ta có thể phân tích f ( x ) = g ( u ( x ) ) u ′ ( x ) thì ta thực hiện

và f ( a ) = f ( b ) − ∫ f ′ ( x ) dx a

d. Tính chất trung cận

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , với c ∈ ( a; b )

∫

u (a)

u (b)

u(b)

u( a)

∫ g ( u ) du = G ( u )

u (b )

, với G ( u )

u(a )

Đổi biến dạng 2 Dấu hiệu

Cách đặt

a 2 − x2

 π π x = a sin t ; t ∈  − ;   2 2

f. Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] thì

∫ f ( x ) dx ≥ 0

và

x2 − a2

∫ f ( x ) dx = 0 khi f ( x ) = 0 . a

f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx

a sin t

 −π π  ; t ∈  ;  \ {0}  2 2

a2 + x2

 π π x = a tan t ; t ∈  − ;   2 2

a+x a−x

 π x = a.cos 2t ; t ∈  0;   2

a−x a+x

 π x = a.cos 2t ; t ∈  0;   2

g. Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] thì

u b

∫

là nguyên hàm của g ( u ) .

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

e. Đảo cận tích phân a

+ Khi đó I = ∫ f ( x ) dx =

đổi cận.

+ Đổi cận:

Với mọi k , h ∈ ℝ.

trong nguyên hàm, ở đây chỉ thêm bước

+ Đặt u = u ( x ) , suy ra du = u ′ ( x ) dx.

∫ k. f ( x ) + h.g ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx + h.∫ g ( x ) dx

tích phân cơ bản giống như đổi biến số

Phương pháp:

c. Tính chất tuyến tính

Lưu ý: Phương pháp đổi biến số trong

phép đổi biến số.

h. Nếu m = min f ( x ) và M = max f ( x ) thì [ a ;b]

[ a ;b ]

Trang 3

Trang 4

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

 π x = a + ( b − a ) sin 2 t ; t ∈  0;   2

( x − a )( b − x )

2. Phương pháp tích phân từng phần b

Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao

cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

Bài toán: Tính tích phân I = ∫ u ( x ) .v′ ( x ) dx Hướng dẫn giải

Định nghĩa

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] , với a < b . Nếu F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x )

trên đoạn [ a; b ] thì giá trị F ( b ) − F ( a ) được gọi là tích phân của hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b ] .

∫ vdu

u = u ( x ) du = u′ ( x ) dx Đặt  ⇒ ′ dv = v x dx ( )  v = v ( x )

dễ tính hơn ∫ udv .

Kí hiệu

∫ f ( x ) dx = F ( x )

= F (b ) − F ( a ) Ý nghĩa hình học của tích phân

Khi đó I = ( u.v ) ba − ∫ v.du (công thức tích phân từng

Giả sử hàm số y = − f ( x ) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [ a; b ] . Khi đó, tích phân

∫ f ( x ) dx a

phần) III. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT

chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng

1. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ − a; a ] . Khi đó

x = a, x = b ( a < b ) .

Đặc biệt

−a

∫ f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x ) dx

(1) b

S = ∫ f ( x ) dx

+ Nếu f ( x ) là hàm số lẻ thì ta có

∫ f ( x ) dx = 0

(1.1)

−a

Tính chất cơ bản của tích phân a

+ Nếu f ( x ) là hàm số chẵn thì ta có

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx −a

f ( x) 1 và ∫ dx = ∫ f ( x ) dx 1+ bx 20 −a a

Cho hàm số f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa

(1.2)

khoảng hoặc đoạn và a, b, c ∈ K , khi đó ta có các tính chất sau

( 0 < b ≠ 1)

(1.3) b

2. Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì

∫ f ( x ) dx = 0 ; ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) b

= f (b) − f ( a ) ;

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx

∫ k . f ( x ) + h.g ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx + h.∫ g ( x ) dx , với ∀k , h ∈ ℝ

Hệ quả: Hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] , khi đó:

3. Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và f ( a + b − x ) = f ( x ) thì

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , với c ∈ ( a; b ) ; ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx ;

∫ f ( sin x ) dx = ∫ f ( cos x ) dx b

b  ∫ f ( x ) dx ≥ 0 b b a ; f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒  b a a   ∫ f ( x ) dx = 0 ⇔ f ( x ) = 0 a

a+b ∫a xf ( x ) dx = 2 ∫a f ( x ) dx

m = min f ( x )  b [ a ;b ]   ⇒ m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ; M = max f ( x )  a [ a ;b ] 

Trang 5

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( y ) dy = ....

Trang 6

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Ta có

Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất

Phương pháp giải

[1; 2] ,

f (1) = 1

và

f ( 2) = 2 .

Tích

phân

A. I = ln 3 − 1.

I = ∫ f ′ ( x ) dx bằng

Sử dụng các tính chất của tích phân. Sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa tích phân

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

I=∫ 1

Hướng dẫn giải

để tính tích phân.

I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x )

= f ( 2 ) − f (1) = 2 − 1 = 1.

Chọn C.

C. 0.

D. 1.

Chọn B. 1

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx = 5 . Giá trị của I = ∫  f ( x ) + 2 g ( x ) dx là B. 7.

C. 9.

D. 12.

Chọn D.

Hướng dẫn giải 3

Ví dụ 6: Cho

= 3 − 0 = 3.

∫ f ( x ) dx = 3 và ∫ f ( x ) dx = 1. Giá trị của I = ∫ f ( x ) dx là

A. 2.

Chọn A.

B. 4.

Ví dụ 2: Giá trị của ∫ sin xdx bằng

D. −2.

A. 0.

B. 1.

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

C. −1.

π 2

= 3 + ( −1) = 2.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

∫ sin xdx = − cos x

C. 3.

Hướng dẫn giải

I = ∫ f ( x ) dx + 2 ∫ g ( x ) dx = 12 .

Ta có

D. I = ln 2 − 1.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 1: Giá trị của ∫ dx bằng

C. I = ln 2 + 1.

1 1 ( ln 3 − ln1) = ln 3 = ln 3. 2 2

A. 5. 3

3 0

B. I = ln 3.

1 1 dx = ln 2 x − 1 2x −1 2

Ví dụ 5: Cho

Ví dụ mẫu

B. 2.

1 dx là 2x −1

Hướng dẫn giải

∫ dx = x

= 4 = F ( 2) − F ( 0) 0

Ví dụ 4: Giá trị của I = ∫

A. 3.

Chọn D. Ví dụ: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn

Ta có

x4 4

3 ∫ x dx =

π 2

Ví dụ 7: Cho

= 1.

Chọn B.

A. I = 17.

Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) = x 3 có một nguyên hàm là F ( x ) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 16. B. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 1.

∫ −1

C. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 8.

f ( x ) dx = 2,

−1

∫ g ( x ) dx = −1 . Khi đó I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )dx bằng

B. I =

17 . 2

C. I =

15 . 2

1 D. I = . 2

Hướng dẫn giải

D. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 4.

Hướng dẫn giải

Trang 7

x2 Ta có I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x ) dx = 2 −1

−1

+ 2 ∫ f ( x ) dx − 3 ∫ g ( x ) dx

Trang 8

3 17 + 2.2 − 3 ( −1) = . 2 2

Ta có ( cos x )′ = − sin x nên sin xdx = −d ( cos x ) 2

Chọn B.

Ví dụ 12: Biết tích phân I = ∫

Ví dụ 8: Cho

1 ( x + 1)

∫ f ( x ) dx = 5 . Giá trị của I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx là bao nhiêu?

A. I = 3.

B. I = 5.

C. I = 6.

P = a + b + c là A. P = 8.

D. I = 7.

Ta có

I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx = ∫ f ( x ) dx + 2 ∫ sin xdx = 5 − 2 cos x 0

= 7.

I =∫ 1

Chọn D.

C. P = 2.

D. P = 6.

x + 1 − x ≠ 0, ∀x ∈ [1; 2] nên 2

1 1 x +1 − x dx = ∫ dx − ∫ dx = 2 x − 2 x + 1 x. x + 1 x x +1 1 1

(

)

2 1

= 4 2 − 2 3 − 2. Suy ra a = 4, b = c = −2 nên P = a + b + c = 0.

Ví dụ 9: Cho F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 1 B. I = − . 2

A. I = 0.

ln x . Giá trị của F ( e ) − F (1) bằng x

3 C. I = . 2

Chọn B. Nhân liên hợp

1 D. I = . 2

ln x ln 2 x dx = ∫ ln xd ( ln x ) = x 2 1 1

Ta có F ( e ) − F (1) = ∫

e 1

4 A. I = ln . 3

2 A. f (1) = . 3

1 C. I = ln . 2

Suy ra f ( x ) là hàm không giảm trên đoạn [1; 2] nên f ( x ) ≤ f ( 2 ) < 0 , ∀x ∈ [1; 2] .

3 D. I = ln . 4

Chia 2 vế hệ thức (1) cho  f ( x )  ta được



Do f ( 2 ) = −

Chọn C. C. I = 3.

Ví dụ 11: Tích phân I = ∫ cos3 x sin xdx bằng

= x, ∀x ∈ [1; 2]. (2)

 x2  2 1 1 3 =  ⇔ − = . f f 2 1 2 2 1 () ( )  

1 2 nên suy ra f (1) = − . 3 3

Chú ý rằng đề bài cho f ( 2 ) , yêu cầu tính f (1) , ta có thể sử dụng nguyên hàm để tìm hằng số C.

D. I = −1.

Hướng dẫn giải π

2  −1  dx = ∫ xdx ⇔   1  f ( x)  

f ′( x)

∫  f ( x )

Chọn A.

B. I = 0.

f ′( x)  f ( x ) 

Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1; 2] hệ thức (2), ta được

1 1 1 dx − ∫ dx = ( ln x + 1 − ln x + 2 ) = 2 ln 2 − ln 3. x +1 x+2 0 0

A. I = 1.

1 D. f (1) = . 3

( x + 2 ) − ( x + 1) = 1 − 1 1 = x 2 + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2 ) x +1 x + 2 1

2 C. f (1) = − . 3

Từ f ′ ( x ) = x  f ( x )  (1), suy ra f ′ ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ [1; 2] .

Hướng dẫn giải

Suy ra I = ∫

3 B. f (1) = . 2

Hướng dẫn giải

1 dx bằng x + 3x + 2 2

3 B. I = ln . 2

2 1 và f ′ ( x ) = x  f ( x )  với mọi x ∈ ℝ . Giá trị f (1) 3

bằng

1 = . 2

Chọn D. Ví dụ 10: Tích phân I = ∫

x + 1 − x.

Ví dụ 13: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( 2 ) = −

Hướng dẫn giải

Ta có

B. P = 0.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải π

dx = a 2 + b 3 + c , với a, b, c ∈ ℤ . Giá trị biểu thức x + x x +1

Tuy nhiên ta cũng có thể dựa vào định nghĩa của tích phân để xử lí.

1 1 1  Ta có I = − ∫ cos3 xd ( cos x ) = −  cos 4 x  = − + = 0. 4 4 4 0 0 π

Chọn B.

Trang 9

Trang 10

2 1 Ví dụ 14: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \   thỏa mãn f ′ ( x ) = và f ( 0 ) = 1, f (1) = −2 . Khi 2x −1 2

Hay f ( x ) = −

đó f ( −1) + f ( 3) bằng A. −1 + ln15.

B. 3 + ln 5.

C. −2 + ln 3.

∫

Do đó f ( x ) = −

f ′ ( x ) dx = f ( 0 ) − f ( −1) nên suy ra f ( −1) = f ( 0 ) − ∫ f ′ ( x ) dx.

−1

7 x4 + C. 4

7 7 f (1) = 0 ⇒ − + C = 0 ⇒ C = . 4 4

D. −1 − ln15.

Hướng dẫn giải Ta có

⇒ f ′ ( x ) = −7 x3 .

7 x4 7 + . 4 4

−1

 7x4 7  7 +  dx = . 4 4 5  0

Vậ y

= 1 − ∫ f ′ ( x ) dx.

∫ f ( x ) dx = ∫  − 0

−1

Chọn C.

Tương tự ta cũng có

Ví dụ 16: Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ −1;1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm

f ( 3) = f (1) + ∫ f ′ ( x ) dx

∫ f ( x ) dx = 5;∫ g ( x ) dx = 7 .

số lẻ. Biết

= −2 + ∫ f ′ ( x ) dx . 1

0 1

−1

∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx là

Giá trị của A = 0

Vậy f ( −1) + f ( 3) = −1 − ∫ f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx = −1 − ln 2 x − 1 −1

+ ln 2 x − 1 . −1

A. 12.

B. 24.

Vậy f ( −1) + f ( 3) = −1 + ln15.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Vì f ( x ) là hàm số chẵn nên 1

Ví dụ 15: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0 ,

∫  f ′ ( x )

dx = 7

và

−1

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx = 2.5 = 10

∫ g ( x ) dx = 0 . −1

∫ x . f ′ ( x ) dx = −1. Giá trị I = ∫ f ( x ) dx là 3

Vậy A = 10.

A. 1.

7 . 4

7 . 5

Chọn D. D. 4.

Ví dụ 17: Cho

Hướng dẫn giải 1

Ta có

∫  f ′ ( x )

dx = 7 (1).

= a + b ln 3 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b bằng

5 . 12

1 B. − . 3

1 C. . 4

1 . 12

Hướng dẫn giải

∫ x dx = 7 ⇒ ∫ 49 x dx = 7 (2). 6

xdx

∫ ( 2 x + 1) 0

0 1

Ta có

Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra 3 2

1 1  1 2x +1 −1 1  1 1 − dx = ∫   dx 2 ∫ 2 0 ( 2 x + 1) 2 0  2 x + 1 ( 2 x + 1)2 

 1 1 1 1 1 =  + ln ( 2 x + 1)  = − + ln 3. 4 2 x + 1 4 6 4 )  ( 0

∫  f ′ ( x ) + 7 x 

xdx

∫ ( 2 x + 1) 0

và ∫ 14 x3 . f ′ ( x ) dx = −14 (3).

D. 10.

Vì g ( x ) là hàm số lẻ nên

0 1

C. 0.

1 1 1 Vậy a = − , b = ⇒ a + b = . 6 4 12

dx = 0 mà  f ′ ( x ) + 7 x3  ≥ 0

Chọn D. Trang 11

Trang 12

Ví dụ 18: Cho

∫ ( x + 1)

dx = a + b.ln 2 + c.ln 3 , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 6a + b + c bằng

A. −2.

B. 1.

C. 2.

2 1 1  1   dx = ∫1 ( x + 1)2 ∫1  x + 1 − ( x + 1)2  dx =  ln x + 1 + x + 1    2

sin x dx bằng sin + cos x x 0

D. −1.

Hướng dẫn giải

Ta có

Ví dụ 21: Tích phân A = ∫

2 1

π 2

π 4

π 8

Hướng dẫn giải

1 = − − ln 2 + ln 3 6

π 2

Xét B = ∫

1 ⇒ a = − , b = −1, c = 1 nên 6a + b + c = −1. 6

cos x dx ta có sin x + cos x

π 2

Chọn D.

Kĩ thuật tích phân hữu tỉ, ở đây ta tách x =

π 16

A + B = ∫ dx =

1 ( 2 x + 1 − 1) . 2

π . 2

π 2

sin x − cos x dx sin x + cos x 0

A− B = ∫

2x + 3 Ví dụ 19: Cho ∫ 2 dx = a ln 2 + b ln 3, với a, b ∈ ℤ . Giá trị biểu thức a 2 − ab − b là x + x 2 A. 11.

B. 21.

C. 31.

= ( − ln sin x + cos x )

D. 41.

= − ln1 + ln1 = 0.

2x + 3 2x + 1+ 2 2   2x +1 + 2 dx = ∫ 2 dx = ∫  2  dx 2 +x x + x x + x x +x  2 2

∫x

2 0

Hướng dẫn giải

Ta có

2   2x + 1 2 2 = ∫ 2 + −  dx = ln x + x + 2 ln x − 2 ln x + 1 x + x x x +1 2

(

Từ đó, ta có hệ phương trình

)

π  π A + B = 2 ⇒ A=B= .  4  A − B = 0

= −5ln 2 + 4 ln 3 2

 a = −5 ⇒ → a 2 − ab − b = 41. b = 4

Chọn C.

Chọn D.

Ví dụ 22: Cho

π 3

5x + 6 Ví dụ 20. Biết rằng tích phân ∫ 2 dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị x + 5x + 6 1 biểu thức S = a + bc là bao nhiêu? A. S = −62.

∫ π

C. S = 20.

D. S = −10.

(

)

bằng A. 0.

B. S = 10.

cos 2 x + sin x.cos x + 1 dx = a + b ln 2 + c ln 1 + 3 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị abc cos 4 x + sin x.cos3 x

C. −4.

B. −2.

D. −6.

Hướng dẫn giải

Ta có

∫x 1

3 cos 2 x + sin x.cos x + 1 2 cos 2 x + sin x.cos x + sin 2 x Ta có ∫ dx = ∫ dx 4 3 2 2 π cos x + sin x.cos x π cos x ( cos x + sin x.cos x )

5x + 6 5x + 6 4   9 − dx = ∫ dx = ∫   dx + 5x + 6 x + 2 x + 3 x + 3 x + 2 ( )( )  1 1

=∫

= ( 9 ln x + 3 − 4 ln x + 2 ) = 9 ln 5 + 4 ln 3 − 26 ln 2.

Suy ra a = −26, b = 4, c = 9. Vậy S = a + bc = −26 + 4.9 = 10.

π 3 2 + tan x + tan 2 x 2 + tan x + tan 2 x dx = ∫ d ( tan x ) 2 cos x (1 + tan x ) (1 + tan x ) π 4

Chọn B.

3   2 tan 2 x = ∫  tan x +  d ( tan x ) = 2 (1 + tan x )  π  4

Trang 13

π 3

+ 2 ln tan x + 1 π3 π

Trang 14

= 1 − 2 ln 2 + 2 ln

(

)

b+c

3 + 1 . Suy ra a = 1, b = −2, c = 2 nên abc = −4.

∫

f ( x ) dx =

Chọn C.

∫

f ( x ) dx +

f ( x ) dx.

b+c

∫

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx.

Câu 2: Cho hàm số y = x có một nguyên hàm là F ( x ) . Khẳng định nào sau đây đúng? 3

e x + m, khi x ≥ 0 Ví dụ 23: Cho hàm số f ( x ) =  liên tục trên ℝ . 2 2 x 3 + x , khi x < 0

A. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 16. B. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 1.

C. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 8.

D. F ( 2 ) − F ( 0 ) = 4.

C. sin e.

D. cos e.

C. I = 2.

D. I = 4.

Biết

∫

Câu 3: Tích phân ∫ cos xdx bằng

f ( x ) dx = ae + b 3 + c ( a, b, c ∈ ℚ ) . Tổng T = a + b + 3c bằng

−1

A. 15.

B. −10.

C. −19.

A. − sin e.

D. −17.

Hướng dẫn giải

Câu 4: Tích phân I = ∫ ( 2 x + 1) dx bằng

Do hàm số liên tục trên ℝ nên hàm số liên tục tại x = 0

B. I = 6.

A. I = 5.

⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 0 ) ⇔ 1 + m = 0 ⇔ m = −1. x→0

B. − cos e. 2

x→0

−1

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = I

Ta có

1 2 2

−1

I1 = ∫ 2 x 3 + x 2 dx = ∫

Câu 5: Cho

+ I2 0

( 3 + x ) d (3 + x ) = 23 ( 3 + x ) 2

3 + x2

=2 3− −1

Câu 6: Cho

−1

∫ f ( x ) dx = 1; ∫ f ( x ) dx = 3. Tích phân ∫ f ( x ) dx bằng B. 4.

−2

B. I = 3. c

∫ f ( x ) dx = I

Suy ra

−1

+ I2 = e + 2 3 −

Câu 7: Cho

22 22 . Suy ra a = 1; b = 2; c = − . 3 3

Câu 8: Cho ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 12 và

Ví dụ 24: Biết

cos x

∫π 1 + 3

−x

dx = m . Giá trị của

−

cos x

∫π 1 + 3

dx bằng

π 4

C. π + m.

+ m.

π 4

Câu 9: Cho

− m.

cos 2 x

∫π 1 + 3

Ta có

−x

dx +

−

cos 2 x

∫π 1 + 3

dx =

−

∫π cos

−

xdx =

Câu 10: Cho

1 (1 + cos 2 x ) dx = π . 2 −∫π

cos x ∫ 1 + 3x dx = π − m. −π

Suy ra

∫ a

D. −1.

∫ f ( x ) dx = −3; ∫ f ( x ) dx = 6 và ∫ g ( x ) dx = 8. Khi đó ∫ 3 f ( x ) + g ( x ) dx B. 3.

C. 17.

B. 3.

bằng

D. −1.

∫ 2 f ( x ) − 3g ( x )dx = −4 . Khi đó ∫  f ( x ) + g ( x ) dx bằng 1

A. 14.

đây sai?

C. 7.

Câu 1: Giả sử f ( x ) là một hàm số liên tục trên khoảng (α ; β ) và a, b, c, b + c ∈ (α ; β ) . Mệnh đề nào sau

D. 2.

Câu 11: Cho ∫  f ( x ) + 2 g ( x )  dx = 5 và

Bài tập tự luyện dạng 1

C. 22.

Chọn A.

∫ g ( x ) dx = 5, khi đó ∫ f ( x ) dx bằng

B. 12.

A. 14.

D. 30. 1

∫ f ( x ) dx = 4 và ∫ g ( x ) dx = 3, khi đó ∫  2 f ( x ) − 3g ( x )dx bằng

A. 1.

Hướng dẫn giải

A. π − m.

C. 70.

B. 12.

A. −2.

−

B. 0. 1

D. I = −5.

∫ f ( x ) dx = 50 và ∫ f ( x ) dx = 20. Giá trị ∫ f ( x ) dx bằng a

Chọn C.

C. I = −3.

A. −30.

Vậy T = a + b + 3c = 1 + 2 − 22 = −19.

D. 0. 4

∫ f ( x ) dx = 1 , ∫ f ( t ) dt = −4. Giá trị của I = ∫ f ( y ) dy là

A. I = 5.

C. 2.

−2

I 2 = ∫ ( e − 1) dx = ( e − x ) = e − 2. x

A. 6.

16 . 3

C. 17.

Câu 12: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn

D. −1.

∫ f ( x ) dx = 7 , ∫ f ( x ) dx = 8 và ∫ f ( x ) dx = 9. Giá

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx. a

b+c

∫ a

f ( x ) dx =

trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng

∫

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx.

A. I = 5.

Trang 15

B. I = 6.

C. I = 7.

D. I = 8.

Trang 16

∫ f ′ ( x ) dx = 7 . Khi đó f (1) bằng

B. 11.

C. −3.

Câu 24: Tích phân I = ∫

A. 3.

D. −11.

A. ln 2 − 1.

1 1  Câu 14: Giá trị của I = ∫  − 2  dx là x x  1

Câu 15: Cho ∫ e

3 x −1

dx = m ( e − e p

Câu 16: Cho

D. I = e.

22 . 3

A. −5.

D. a = 3.

∫ g ( x ) . f ′ ( x ) dx = 1 , 0

A. P = −36. D. I = −1.

∫ 0

∫

f ′ ( x ) dx = 4.

0 2

∫

f ′ ( x ) dx = 3.

∫

B. −3.

D. −1.

Câu 31: Cho a là số thực dương, tính tích phân I = 3

C. 3.

A. I =

D. 6.

a2 + 1 . 2

B. b + b a + b. 3

B. I =

Câu 32: Biết

− 2ax − 1) dx bằng

D. P = 18.

∫ f ( x ) dx = 3, ∫ f ( x ) dx = 8.

Khẳng định nào dưới

C. b3 − ba 2 − b.

C. −12.

D. 16.

∫ x dx theo a.

a2 + 2 . 2

C. I =

−2 a 2 + 1 . 2

D. I =

3a 2 − 1 2

B. 2.

∫

Câu 33: Biết I =

−1

C. 5.

D. m + n = −2.

∫ ( x + 1)( 2 x + 1) = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5. Khi đó giá trị a + b + c bằng

A. −3.

D. 3b 2 − 2ab − 1.

∫ ( 3x + 1)( x + 3) dx bằng B. 9.

C. m + n = 2.

A. 50.

D. 6.

Câu 34: Cho

x+2 ∫1 x dx = a + b ln c , với a, b, c ∈ ℤ, c < 9. Tổng S = a + b + c là

∫x 3

Trang 17

C. 1.

D. 0.

3x + 5 x − 1 2 dx = a ln + b, ( a, b ∈ ℝ ) . Khi đó giá trị của a + 4b bằng x−2 3 B. 60.

Câu 23: Biết

C. P = −18.

−1

∫ f ( x ) dx = 10, ∫ f ( x ) dx = 4. Tích phân ∫ f ( x ) dx bằng ∫ ( 3x

B. m + n = −4.

A. 12.

D. A + B = 1.

x−2 dx = a + b ln 2 + c ln 3, với a, b, c là các số nguyên. Tích P = abc là x +1

B. −10.

Câu 22: Tích phân

∫

C. A = − B.

A. b − b a − b.

x + 5x + 2 dx = a + b ln 3 + c ln 5, ( a, b, c ∈ ℚ ) . Giá trị của abc bằng 2 + 4x + 3

∫x 0

Câu 21: Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân 2

D. −1.

A. −8.

C. 3.

B. 7.

Câu 30: Biết

∫ f ( x ) dx bằng

Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và

Câu 29: Biết rằng hàm số f ( x ) = mx + n thỏa mãn

f ′ ( x ) dx = 12.

A. 4.

B. P = 0.

A. m + n = 4.

Câu 19: Cho ∫  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1 . Khi đó A. 1.

đây là đúng?

định nào sau đây là đúng?

f ′ ( x ) dx = 8.

C. 1. π

B. A = B. 5

′

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( 0 ) = 2, f (1) = 6 . Khẳng

A. A = 2 B.

C. I = 2.

a ln 2 1 dx = , với a, b ∈ ℤ . Biểu thức P = a + b có giá trị bằng x2 − x − 2 b

B. 3.

Câu 28: Cho tích phân

∫ g ′ ( x ) . f ( x ) dx = 2. Khi đó I = ∫  f ( x ) .g ( x ) dx có giá trị là B. I = 1.

D. m ∈ (1;3) .

là

A. I = 3.

C. m ∈ ( 3;5 ) .

Câu 27: Cho hai tích phân A = ∫ sin 2 xdx và B = ∫ cos 2 xdx. Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng

C. a = 1.

Câu 17: Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] và

Câu 26: Biết rằng tích phân I = ∫

B. a = −3.

D. 8.

D. 1 − ln 2.

∫ 2mx − 1 dx = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

B. m ∈ ( 2; 4 ) .

∫ f ( x ) dx = 1, ∫ g ( x ) dx = 5 . Để ∫ a + 2ax + 3 f ( x ) dx − ∫ ( a − 2 ) g ( x ) dx = 10 thì 2

C. ln 2.

) với m, p, q ∈ ℚ và là các phân số tối giản. Giá trị m + p + q bằng

A. a = 2.

B. − ln 2.

A. m ∈ ( 4;6 ) .

B. 6. 3

D. S = 6.

1 dx có giá trị bằng x +1

Câu 25: Cho số thực m > 1 thỏa mãn C. I = 1.

A. 10.

C. S = 8.

1 B. I = + 1. e

1 A. I = . e

B. S = 5.

A. S = 7.

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn [1;3] , f ( 3) = 4 và

C. 59.

D. 40.

5x − 8 dx = a ln 3 + b ln 2 + c ln 5, với a, b, c là các số hữu tỉ. − 3x + 2 Trang 18

Giá trị của 2a −3b +c bằng A. 12.

B. 6. 1

Câu 35: Cho

∫

A. a + 2b = 7.

∫

D. 64.

B. a + 2b = 5.

C. a + 2b = −1.

D. a + 2b = 8.

C. S = −5.

−2

Câu 38: Cho

∫ 9x 2

A. 15.

C. 30.

∫ 4x

Câu 41: Cho

Câu 48: Cho hàm số

f ( x) =

B. T = 2.

Câu 49: Xác định số a dương sao cho

B. −15.

C. 14.

C. 2.

D. 1.

Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để tích phân

∫ 1

A. 3.

B. 5.

Câu 44: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ , có

x + 2x + 2 a dx = + a + ln 3 . Giá trị của a là x +1 2 C. a = 3.

D. a = −4.

A. −1.

B. 6. 3

C. 5.

D. 4.

∫

f ( x ) dx = 2 và

B. I = 16.

∫

f ( 2 x − 1 ) dx.

−1

3 C. I = . 2

D. I = 4.

x 3dx .

∫

2019

x 4 − x 2 + 1 dx = ∫

2019

A. 10.

B. −10.

3 x 2 Câu 52: Cho hàm số y = f ( x ) =  4 − x 7 . 2

C. 8. khi 0 ≤ x ≤ 1 . Tích phân khi 1 ≤ x ≤ 2

B. 1. 0

∫ π cos 2 x cos 4 xdx = a + b −

5 . 2

D. 9. 2

∫ f ( x ) dx bằng 0

3 . 2

3 , trong đó a, b là các hằng số hữu tỉ.

Giá trị ea + log 2 b bằng

A. −2.

Câu 45: Khẳng định nào sau đây đúng? −1

6x + x − 2 3 5 dx = 2 ln a + ln b + ln c, với a, b, c là các số hữu tỷ. 2 2 2 − 1)

∫ x(x

Câu 53: Cho tích phân

f ( x ) dx = 6. Tính I =

Giá trị của 2a − 3b + 5c bằng

D. 0. 3

A. I = 8.

dx tồn tại? x ( x − 5 )( x − 4 )

C. Vô số. 1

∫

D. T = 0.

B. a = 2.

D. 9.

1+ a

∫

 2x +1  Câu 50: Cho ∫   dx = a + b ln 2, với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a + b bằng x +1   0

1 . 2

B. −1.

x dx =

A. a = 1.

Câu 51: Cho

A. −2.

2 D. − . 3

C. T = −2.

x −3 dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng Câu 42: Cho ∫ 2 x + 3x + 2 0

−1

1 . 3

a b + + 2, với a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện x2 x

D. 40.

−1 . 2

A. T = −1.

2x −1 1 dx = ( ln a − ln b ) + c , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + 10c + 4x +1 2

A. 15.

∫

D. 9

1 2

bằng

a tối giản. Giá trị của b

∫ f ( x ) dx = 2 − 3ln 2. Tổng T = a + b là

D. 9.

4 x 2 + 15 x + 11 dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Biểu thức T = a.c − b bằng Câu 40: Cho ∫ 2x2 + 5x + 2 0 B. 6.

C. 14.

2 . 3

A. 4.

−

dx = a + b 3 với a, b là số thực. Giá trị của a − b bằng cos 2 x.sin 2 x

1 A. − . 3

D. P = 2.

C. 7.

B. 50.

−

1 − cos 2 xdx = ∫ 2π sin xdx.

3x2 + 5 x − 1 2 ∫−1 x − 2 dx = a ln 3 + b với a, b là các số hữu tỉ. Giá tị của a + 2b bằng

A. 60.

a, b, c là các số nguyên dương và

B. −5.

Câu 47: Cho I = ∫

Câu 39: Cho

∫π

D. S = −1.

C. P = 7.

B. −10.

A. 7.

1 − 5x dx = a ln b + c, với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 9a + 11b + 22c bằng − 24 x + 16

∫ x ( x + 2 ) dx = 4 ln b + c , với

B. P = 5.

a + b − c bằng

10 x  a  Câu 37: Cho ∫  x 2 +  dx = + ln , với a, b ∈ ℚ. Tổng P = a + b là + 1 x b b  1 A. P = 1.

e x ( x + 1) dx = ∫ e x ( x + 1) dx.

x −2 −1 dx = + n ln 2, với m, n là các số nguyên. Tổng S = m + n là x +1 m B. S = 4.

Câu 46: Cho

A. S = 1.

∫

dx 8 2 =a b− a + ( a, b ∈ ℝ* ) . Giá trị của a + 2b là bao nhiêu? 3 3 x + 2 + x +1

Câu 36: Biết

C. 1.

B. −3.

1 . 8

D. 0.

− x 2 + 1) dx. Trang 19

Trang 20

Câu 54: Giá trị của tích phân

Bài toán: Giả sử ta cần tính I = ∫ f ( x ) dx, trong đó ta Ví dụ 1: Giá trị của I = ∫ cos 2 x.sin xdx là

∫ max {sin x, cos x} dx bằng 0

A. 0.

B. 1. 3

có thể phân tích f ( x ) = g ( u ( x ) ) u ′ ( x ) .

1 . 2

x − x +1 a−4 b dx = , với a, b, c là các số nguyên dương. c x −1

∫ x+

Câu 55: Biết rằng

A. π .

B. 29. 1

Câu 56: Biết

∫x

C. 33.

x 3 + 3x dx = a + b ln 2 + c ln 3, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức + 3x + 2

Đặt u = cos x ⇒ du = − sin x.dx

Bước 2: Đổi cận

S = 2a + b 2 + c 2 bằng

A. S = 515.

B. S = 164.

C. S = 436.

∫ 0

1 1 f ( x ) dx = − . Giá trị của f ′   bằng π 4

5π 2 . 2

B. −

u (a)

u (b )

u( a)

I = ∫ f ( x ) dx =

5π 2 . 2

C. −

π 2 2

Câu 58: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn

∫e

π 2 2

B. 8.

∫ g ( u ) du =G ( u )

u(b)

dx <

C. Vô số.

2019.e − 2019 . Số phần tử k

Bài toán: Giả sử ta cần tính I = ∫ f ( x ) dx , ta có thể

Ví dụ 2: Giá trị của I = ∫ 1 − x 2 dx là

đổi biến như sau: D. 6.

π b x + x cos x − sin x b dx = − . Trong đó a, b, c là các số nguyên dương. Phân số 1 + cos x a c c 2

tối giản. Giá trị của T = a + b + c là

A. T = 16.

B. T = 59.

2 = . 3

1 2

A. 3

−1

Chọn D.

u( a )

∫

−1

A. 7.

Câu 60: Biết

u3 3

của tập hợp S bằng.

Đổi biến dạng 2

Câu 59: Biết I = ∫

−1

Khi đó I = ∫ u 2 ( − du ) = ∫ u 2 du =

Với G ( u ) là một nguyên hàm của g ( u ) .

x = 0 ⇒ u = 1 Đổi cận   x = π ⇒ u = −1

u (b )

Bước 3: Tính

D. S = −9.

Câu 57: Cho M, N là các số thực. Xét hàm số f ( x ) = M .sin π x + N .cos π x thỏa mãn f (1) = 3 và 1 2

2 . 3

⇒ sin x.dx = −du.

D. 27.

1 . 3

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt u = u ( x ) , suy ra du = u ′ ( x ) dx.

Tổng T = a + b + c bằng

A. 31.

B. 0.

C. T = 69.

Bước 1: Đặt x = ϕ ( t ) , ta có dx = ϕ ′ ( t ) dt.

C. T = −4.

3 . 8

π 6

3 . 4

π 12

π 6

−

3 . 8

−

3 . 4

Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt.

Bước 2: Đổi cận

Giá trị của T = a + b + c bằng

B. T = 3.

Hướng dẫn giải

D. T = 50.

1 x + ex + dx = a + eb − e c với a, b, c là các số nguyên. 4x xe 2 x

A. T = −3.

π 12

D. T = −5.

Bước 3: Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

Tính I = ∫ f (ϕ ( t ) ) .ϕ ′ ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt = G ( t )

Phương pháp giải

Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng 1 và dạng 2,

x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận  1 π  x = 2 ⇒ t = 6

β α

Khi đó I = ∫ 1 − sin 2 t .cos tdt 0

16 = ∫ cos t.dt = ∫ (1 + cos 2t ) .dt 20 0 2

Với G ( t ) là một nguyên hàm của g ( t ) .

cụ thể:

Đổi biến dạng 1 Trang 21

Trang 22

Dấu hiệu

Cách đặt  π π x = a sin t , t ∈  − ;   2 2

a 2 − x2 2

x −a

1 1  =  t + sin 2t  2 2 

π 6 0

1π 3 =  + . 2  6 4 

x dx là x −1 1 1+

Ví dụ 2: Giá trị của I = ∫

Chọn A.

A. I =

a  −π π  x= ,t ∈  ; \ {0} sin t  2 2 

a+x a−x

 π x = a.cos 2t , t ∈  0;   2

a−x a+x

 π x = a.cos 2t , t ∈ 0;   2

( x − a )( b − x )

 π x = a + ( b − a ) sin 2 t , t ∈ 0;   2

∫

1 3 A. I = ln . 4 5

x x2 + 4

153 . 116

D. I =

161 . 135

D. I =

34 . 27

1 1

 2u 3  1 11 = − u 2 + 4u − 4 ln u + 1  = − 4 ln 2.  3 0 3

Đặt u = x − 1 . e

1 5 C. I = ln . 2 3

A. I =

x 2 x2 + 4

116 . 153

u 2 −1 1 2 nên dx = udu . 3 x 3

Đổi cận 4

1 1 .udu = ∫ 2 du. 2 u −4 3 (u − 4) u 3

.xdx nên I = ∫

B. I =

Đặt u = 1 + 3ln x ⇒ ln x =

4 1

116 . 135

Hướng dẫn giải

2 3

1 + 3ln x .ln x dx là x

Ví dụ 3: Giá trị của I = ∫

1 3 D. I = ln . 2 5

Đổi cận

e 2

2 u. ( u − 1) 2 2 2  u 5 u 3  2 116 . udu = ∫ ( u 4 − u 2 ) du =  −  = . 3 3 91 9  5 3  1 135 1 2

Suy ra I =

C. I =

u +1 4   .2udu = ∫  2u 2 − 2u + 4 −  du 1 + u u +1  0 0

Khi đó I = ∫

Đặt u = x 2 + 4 ⇒ x 2 = u 2 − 4 nên xdx = udu

Hướng dẫn giải

∫

D. I = 11 − 4 ln 2.

Đổi cận

dx là

1 5 B. I = ln . 4 3

2 3

11 − 4 ln 2. 3

Đổi biến số dạng 1.

Ví dụ 1: Giá trị của I =

Khi đó I =

C. I =

Chọn C. 2 3

11 + 2 ln 2. 3

Đặt u = x − 1 ⇒ x = u 2 + 1 nên dx = 2udu.

Ví dụ mẫu

B. I =

Hướng dẫn giải

 π π x = a tan t , t ∈  − ;   2 2

a2 + x2

11 1 + ln 2. 3 2

Khi đó I = ∫

4 1  1 1  1 1 5 −   du = ( ln u − 2 − ln u + 2 ) = ln . ∫ 4 3u−2 u+2 4 4 3 3

Chọn A.

Chọn B.

π 2

+ Đặt u = x 2 + 4 . 2

Ví dụ 4: Giá trị của I = ∫

+ Rút x = u − 4 .

+ Đổi cận.

A. I =

+ Phương pháp tách phân thức hữu tỉ.

16 . 27

sin 2 x + sin x dx là 1 + 3cos x B. I =

43 . 27

C. I =

11 . 27

Hướng dẫn giải

Trang 23

Trang 24

Đặt u = 1 + 3cos x ⇒ cos x =

2 u 2 −1 nên sin xdx = − udu . 3 3

A. I =

B. I =

π 36

C. I =

π 6

D. I =

π 24

Hướng dẫn giải

Đổi cận

Đặt x =

2 u

Ta viết I = ∫

Đổi cận

3 −3cos t ⇒ dx = dt sin t sin 2 t

sin x ( 2 cos x + 1) 1 + 3cos x

dx = ∫ 0

2 cos x + 1 sin xdx. 1 + 3cos x

3 2

 u2 −1  2  +1 1 2 3   2 34 4  2u 3  2  4  Khi đó I = ∫ +u = . .  − udu  = ∫ ( 2u 2 + 1)du =  u 9 3  3  91  1 27 2

−3cos t 14 1π π  π dt = ∫ dt =  −  = . 3π 3  4 6  36 3 9 π 2 sin t. −9 4 6 sin t sin 2 t 6

Khi đó I = ∫

Chọn D. Chọn B. Ví dụ 5: Giá trị của I =

2 2

∫

1 − x2

A. I =

1 − . 4

B. I =

Ví dụ 7: Giá trị của I = ∫

dx là

π 4

1 − . 8

C. I =

π 3

1 − . 4

D. I =

π 8

1 − . 2

A. I =

π 3 4

B. I =

Hướng dẫn giải

Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt .

Đột biến lần 1: (Dạng 1)

Đổi cận x

Đặt u = x 2 ⇒ xdx =

2 2

π 4

Khi đó I = ∫ 0

sin 2 t.cos t 2

1 − sin t

1 1  =  t − sin 2t  2 2 

π 4 0

π 8

C. I =

π 3 18

D. I =

π 3 12

1 du. 2

14 (1 − cos 2t ) dt 2 ∫0

Suy ra I =

1 − . 4

0 1

1 1

1 1 1 1 du = ∫ du. 2 2 ∫0 u 2 + u + 1 20 1 3 u + +   2 4 

Đổi biến lần 2: (Dạng 2) Đặt u +

Chọn A. Đổi biến số dạng 2:

1 3 3 = tan t. Ta có du = (1 + tan 2 t ) dt 2 2 2

Đổi cận

 π π x = sin t , với t ∈  − ;  .  2 2 6

Ví dụ 6: Giá trị của I =

π 3

Đổi cận

dt = ∫ sin 2 tdt =

x dx là x4 + x2 + 1

∫ 3 2

1 x x2 − 9

dx là

Trang 25

Trang 26

A. 5.

33 3 π π  π 3 dt = . Khi đó I =  − = 3 π∫ 3  3 6  18

B. 12.

C. 7.

π  2 x x cos 2  6 6 6  1 + tan dx dx 2 2 dx =  Ta có I = ∫ =∫ =∫ dx. 2 2 2 ∫ 1 + sin x 0  x x x x 0 0  0   cos + sin  1 + tan  1 + tan  2 2 2 2    π

Chọn C.

Ví dụ 8: Biết

∫ sin

cos x dx = a ln 2 + b ln 3, với a, b là các số nguyên. x + 3sin x + 2

Giá trị của P = 2a + b là

A. 3.

Đặt t = 1 + tan B. 7.

C. 5.

D. 1.

x x  ⇒ 2dt = 1 + tan 2  dx. 2 2 

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x =

Hướng dẫn giải π

⇒ t = 3 − 3.

Ta có

D. −1.

Hướng dẫn giải

∫ sin

3− 3

2 cos x 1 dx = ∫ d ( sin x ) x + 3sin x + 2 sin x + 1)( sin x + 2 ) 0 (

π 2 1  1  = ∫ −  d ( sin x ) = ( ln sin x + 1 − ln sin x + 2 ) sin x + 1 sin x + 2   0

∫

2dt 2 =− t2 t

3− 3

= 1

− 3 +3 . 3

Suy ra a = −1, b = 3, c = 3 nên a + b + c = 5.

π 2

Chọn A.

Lưu ý:

= ln 2 − ln1 − ( ln 3 − ln 2 ) = 2 ln 2 − ln 3

x x  x 1 + sin x =  sin + cos  . Chia tử và mẫu cho cos 2   . 2 2  2

Suy ra a = 2, b = −1 ⇒ 2a + b = 3.

Chọn A.

Ví dụ 9: Biết I = ∫

ln 2

Ví dụ 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và

dx 1 = ( ln a − ln b + ln c ) , với a, b, c là các số nguyên tố. e x + 3e − x + 4 c

0 2

Giá trị của P = 2a − b + c là

A. P = −3.

Giá trị của I =

B. P = −1.

C. P = 4.

D. P = 3.

ln 2

1 1 2 1 1  1 t +1 dt = ∫  −  dt = ln t 2 + 4t + 3 2 1  t +1 t + 3  2 t +3

Khi đó I = ∫ f ( 2u ) du = ∫ f ( 2 x ) dx = 8. 2 1

1 = ( ln 3 − ln 5 + ln 2 ) . 2

Chọn B. Ví dụ 12: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ( 0; +∞ ) sao cho x 2 + xf ( e x ) + f ( e x ) = 1; với

Suy ra a = 3, b = 5, c = 2 . Vậy P = 2a − b + c = 3.

mọi x ∈ ( 0; +∞ ) . Giá trị của I =

Chọn D. 6

∫

f ( x ) .ln x

Ví dụ 10: Biết

∫ 1 + sin x = 0

D. 64.

Đổi cận x = 0 ⇒ u = 0, x = 2 ⇒ u = 1.

Khi đó

C. 16.

Đặt x 2 = 2u ⇒ 2 xdx = 2du ⇒ xdx = du.

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1, x = ln 2 ⇒ t = 2.

I=∫

B. 8.

Hướng dẫn giải

ln 2 dx e dx = . e x + 3e − x + 4 ∫0 e 2 x + 4e x + 3

Đặt t = e ⇒ dt = e dx.

A. 4. x

∫ xf ( x ) dx là 0

Hướng dẫn giải Ta có I = ∫

∫ f ( 2 x ) dx = 8.

a 3 +b , với a, b ∈ ℤ, c ∈ ℤ + và a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị c

1 A. I = − . 8

2 B. I = − . 3

dx là

C. I =

1 . 12

3 D. I = . 8

Hướng dẫn giải

của tổng a + b + c bằng Trang 27

Trang 28

Với x ∈ ( 0; +∞ ) ta có x 2 + xf ( e x ) + f ( e x ) = 1 ⇒ f ( e x ) =

Đặt ln x = t ⇔ x = et ⇒ dt =

1 − x2 = 1 − x. 1+ x

Ví dụ 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn

dx . x

Giá trị của I = ∫ 1 4

1 Đổi cận x = e ⇒ t = ; x = e ⇒ t = 1. 2 1

Khi đó I = ∫ t. f ( et ) dt = ∫ t (1 − t ) dt = 1 2

1 2

3sin x − cos x

22 . 3

f ( ln 2 x ) x ln x

dx = 2 .

D. 8.

Đặt A = ∫ tan x. f ( cos x ) dx = 2 ⇔ ∫ 2

C. 4.

Chọn C.

B. 1.

∫ 2sin x + 3cos x dx =

∫

Hướng dẫn giải 2

Ví dụ 13: Biết

2 ∫ tan x. f ( cos x ) dx = 2 và

f (2x) dx là x

A. 0.

1 . 12

b −11 ln 2 + b ln 3 + cπ , ( b, c ∈ ℚ ) . Giá trị của là 13 c

22π . 3

22 . 3π

sin x.cos x . f ( cos 2 x ) dx = 2. cos 2 x

1 Đặt t = cos 2 x ⇒ dt = −2sin x cos xdx ⇒ − dt = sin x cos xdx. 2

22π . 13

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1 và x =

1 f (t ) 1 ⇒ t = . Khi đó A = ∫ dt = 4. t 4 2 1

Hướng dẫn giải e

m ( 2sin x + 3cos x ) + n ( 2 cos x − 3sin x ) 3sin x − cos x Phân tích = 2sin x + 3cos x 2sin x + 3cos x =

Đặt B =

f ( ln x ) x ln x

1 2

Giá trị của I = ∫ 1 4

3 11 ( 2sin x + 3cos x ) − ( 2 cos x − 3sin x ) 2 3sin x − cos x 13 13 = dx dx. ∫0 2sin x + 3cos x ∫0 2sin x + 3cos x π

Đổi cận x = 4

Khi đó I = ∫

2 3  3 11 2 cos x − 3sin x  = ∫ − . dx = ( x )  13 13 2sin x 3cos x 13 +  0 

π 2 0

−

11 2 2 cos x − 3sin x dx. 13 ∫0 2sin x + 3cos x

1 2

∫

ln x. f ( ln x ) 2

x ln 2 x

Tương tự ta có B = ∫

2sin x + 3cos x

dx = 2 ⇔ 4

( 2m − 3n ) sin x + ( 3m + 2n ) cos x

Suy ra

∫

2m − 3n = 3 3 11 Đồng nhất hệ số ta có  ⇔ m = ;n = − . m n 3 + 2 = − 1 13 13  π

f (t ) t

dx = 2.

dt = 4.

f (2x) 1 dx. Đặt t = 2 x ⇒ dx = dt. x 2

1 1 ⇒ t = và x = 2 ⇒ t = 4. 4 2 1 4 f (t ) f (t ) f (t ) dt = ∫ dt + ∫ dt = 4 + 4 = 8 t t t 1 1 2

Chọn D.

3π 11 d ( 2sin x + 3cos x ) 3π 11 − − ln 2sin x + 3cos x dx = 26 13 ∫0 2sin x + 3cos x 26 13 2

Ví dụ 15: Cho

2 0

∫ 0

( x + 3)( x + 1)

dx = a − b ; với a, b là các số nguyên.

11  b= 3π 11 11 b 11 26 22  13 ⇒ = . = = − ln 2 + ln 3. Do đó  3 c 13 3 26 13 13 3 c =  26

Giá trị của biểu thức a b + b a bằng

Chọn A.

Giá trị của I = ∫

A. 17.

B. 57.

C. 145.

D. 32.

Hướng dẫn giải 1

Trang 29

( x + 3)( x + 1)

dx = ∫ 0

1 dx . 2 x + 3 ( x + 1) x +1

Trang 30

x +3 −2 dx ⇒ 2tdt = dx ⇒ = −tdt. 2 2 x +1 ( x + 1) ( x + 1)

Đặt t =

Câu 3: Biết

1 dx = 2 x + 3 ( x + 1) x +1

Mà

∫ 0

1 3

A. I = 3

∫ t ( −t ) dt = ∫ dt = t 3

Câu 4: Biết

Từ đó ta có giá trị a b + b a = 32 + 23 = 17.

Câu 6: Cho

∫

Ví dụ 16: Cho

1 2

x 1 a  dx = ln  + b  , với a, b là các số nguyên tố. Giá trị của biểu thức x3 + 1 a b 

dx là

D. I = 25.

B. I = 16.

C. I = 2.

D. I = 4.

∫ f ( x + 1) dx = 10 . Giá rị của J = ∫ f ( 5 x + 4 ) dx là

A. J = 4.

Chọn A.

∫ f (e ) e

A. I = 8. Câu 5: Cho

∫ f ( ln x ) x dx = 4. Giá trị của I = ∫ f ( x ) dx là e

dx = a − b nên suy ra a = 3, b = 2.

ln 2

5 C. I = . 2

B. I = 15.

= 3 − 2.

∫

f ( x ) dx = 20. Giá trị của I = ∫ f ( 4 x − 3) dx −

15 . 4

( x + 3)( x + 1)

∫ 1

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3, x = 1 ⇒ t = 2. Ta có I = ∫

f ( x ) dx = 5 và

B. J = 10.

C. J = 32.

−3

D. J = 2.

∫ f ( x ) dx = 27. Giá trị của ∫ f ( −3x ) dx là

A. I = 27.

B. I = −3.

C. I = 9.

D. I = 3. 1

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( tan x ) = cos 4 x, ∀x ∈ ℝ . Giá trị của I = ∫ f ( x ) dx

P = 2 ( a + b ) bằng

A. 12.

B. 10.

C. 18.

D. 15.

là

Hướng dẫn giải 1

Biến đổi I = ∫ 1 2

Đặt u = 1 +

A. 1

x dx = ∫ x +1 1 3

x 1  x 1 + 3   x  3

dx = ∫ 1 2

1 1 x. 1 + 3 x

dx = ∫ 1 2

1 . 4 dx . 1 x 1+ 3 x

π +2 . 8

B. 1. 1

30 . 10

32 . 10

1 3  = ln  + 2  . 3 2 

)

− 1) dx là

A. I = 5. 2

31 . 10

∫ f ( x ) dx = 18. Giá trị của I = ∫ x ( 2 + f ( 3x

−1

C. 2

du 1 u −1 ∫ u 2 − 1 = 3 ln u + 1 2

π . 4

Câu 9: Biết

31 A. − . 10

1 Đổi cận x = ⇒ u = 3; x = 1 ⇒ u = 2. 2

2udu 2 Ta có I = ∫ 2 3 = u − 1 . u ) 3 2 (

2 +π . 4

Câu 8: Giá trị của I = ∫ x (1 + x 2 ) dx là

1 1 3 1 ⇒ u 2 = 1 + 3 ⇒ 2udu = − 4 dx và x3 = 2 . x3 x x u −1

B. I = 7.

C. I = 8.

D. I = 10.

1 C. I = . 3

D. I =

π 2

Câu 10: Giá trị của I = ∫ sin 2 x.cos xdx là 0

Suy ra a = 3, b = 2. Vậy P = 2 ( a + b ) = 10. A. I = 0.

Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 11: Biết

Câu 1: Cho

∫ f ( x ) dx = 2019. Giá trị của I = ∫  f ( 2 x ) + f ( 4 − 2 x )dx là 0

A. I = 0.

B. I = 2019.

C. I = 4038.

C. I = 6.

B. I = 2.

D. I = 2020.

Câu 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ có ∫ 2 f ( x ) dx = 2 và ∫ f ( x + 1)dx = 4. Giá trị của I = ∫ f ( x ) dx là B. I = 4.

1 ∫a x dx = 2, trong đó a, b là các hằng số dương. Giá trị của

A. I = ln 2.

A. I = 5.

B. I = 1.

Câu 12: Giả sử tích phân I = ∫ 1

1 C. I = . ln 2

π3 24

∫ x ln x dx là

1 D. I = . 2

1 dx = a + b ln 3 + c ln 5 ( a, b, c ∈ ℚ ) . Giá trị của giá trị biểu thức 1 + 3x + 1

P = a + b + c là

D. I = 7. Trang 31

Trang 32

8 A. P = . 3

4 B. P = . 3 e

Câu 13: Biết rằng I = ∫ 1

5 C. P = . 3

ln x x ( ln x + 2 )

7 D. P = . 3

c dx = a ln 3 + b ln 2 + , với a, b, c ∈ ℤ . Giá trị của giá trị biểu thức 3

A. P = 1.

B. P = 11.

∫ 3x + 5 0

C. P = 9.

A. 3.

D. P = 3.

dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các số hữu tỉ. 3x + 1 + 7

B. 63.

Câu 23: Cho

10 A. − . 3

5 B. − . 3

10 C. . 3

5 D. . 3

B. 9.

C. 20.

Giá trị của tổng T = m + n + p là B. T = 6.

C. T = 8.

A. I =

71 . 6

A. T = −1.

dx = a + b ln 2 + c ln 3 , với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của T = a + b + c là

B. T = 0. e

∫

( 3x

C. T = 2.

D. T = 1.

C. P = 10.

∫ xf ( x ) dx = −2. Giá trị 2∫ f ( x ) dx bằng 1

C. −1.

) dx + 4

ln 3

D. I =

32 . 3

∫e

. f (1 + e2 x ) dx là

ln 2

C. I =

309 . 2

3 D. I = 9 + 150 ln . 2

x+2 dx = a ln 12 + b ln 7, với a, b là các số nguyên. Giá trị của tổng a + b bằng + 4x + 7 B. 1.

∫ 4x

Câu 27: Cho

1 . 2

D. 0.

2x −1 1 dx = ( ln a − ln b ) + c , với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + 10c + 4x +1 2

Câu 28: Biết

C. − π 2

∫ 0

sin xf

(

π 3 9

3cos x + 1

D. −

∫

1 + x ln x

1 A. . 2

2π 3 . 9

B. 1. e

Câu 29: Biết

∫x 1

) dx bằng

C. 14.

D. 9.

( x + 1) ln x + 2dx = ae + b ln  e + 1 

∫ f ( x ) dx bằng 0

B. − ln 2.

B. −15. e

f ′ ( x ) = ( 2 x + 1)  f ( x )  , ∀x ∈ ℝ và f ( 0 ) = −1 . Giá trị của tích phân

A. 15.

D. −2.

Câu 20: Cho hàm số f ( x ) luôn nhận giá trị âm và có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn

Câu 21: Cho I = ∫ f ( x ) dx = 2. Giá trị của

4 . 3

bằng

B. 2.

∫x

A. 1.

x2 + 1 x +1

Câu 26: Biết

(

A. −1.

D. P = 3.

Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1;3] , thỏa mãn f ( 4 − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [1;3] và 3

C. I = 32.

B. I = 159.

B. P = 14.

x. f

P = a 2 + b 2 + c 2 là

1 A. − . 6

∫

Giá trị của I = A. I = 309.

− 1) ln x + 3x 2 − 1 dx = a.e3 + b + c.ln ( e + 1) , với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của 1 + x ln x

A. P = 9.

2 . 3

khi x > 2 4 x Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) =  . x khi x≤2 − 2 + 12 

D. T = 7.

ex + 3

B. I = 31.

7 . 12

là

D. 19.

π x 3 + 2 x + ex 3 2 x 1 1 e   dx = + .ln  p + Câu 16: Biết ∫  , với m, n, p là các số nguyên dương. m e ln n  e +π  π + e.2 x 0 A. T = 5.

∫ 1+

D. 9.

1 2  x 2 + 3 khi x ≥ 1 Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) =  . Giá trị của I = 2 ∫ f ( sin x ) cos xdx + 3∫ f ( 3 − 2 x ) dx 5 − x khi x < 1 0 0

2 Câu 15: Có bao nhiêu số a ∈ ( 0; 20π ) sao cho ∫ sin 5 x sin 2 xdx = . 7 0

ln 6

C. 81.

2 + 3 tan x dx = a 5 + b 2, với a, b ∈ ℝ . Giá trị của giá trị biểu thức A = a + b là 1 + cos 2 x

1 A. . 3

A. 10.

∫ 0

Giá trị của a + b + c bằng

Câu 18: Cho

D. −2.

Câu 17: Biết

4 . 3

x−3 dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a 2 − b 2 + c 2 x +1 + x + 3

∫3

Câu 22: Cho

bằng

P = a 2 + b 2 + c 2 là

Câu 14: Biết rằng

4 B. − . 3

A. 2.

a   trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tỉ số là b  e  C. 3.

D. 2.

x +1 dx = ln ( ae + b ) , với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức + x ln x

T = a 2 − ab + b 2 là A. 3.

Trang 33

B. 1.

C. 0.

D. 8.

Trang 34

Câu 30: Biết rằng

1 A. − . 9

Câu 39: Biết

cos3 x + sin x ∫π sin x dx = a.π + b + c.ln 2, ( a, b, c ∈ ℚ ) . Giá trị của tổng S = a + b + c là

A. S = 1. Câu 31: Cho

B. S =

C. S =

23 . 24

D. S =

7 . 24

1 A. m = . 2

B. m = 2.

( 3x + 1)

∫ 3x

+ x ln x

86 . 27

C. −2.

A. 6.

ln b   dx = ln  a +  với a, b, c là các số nguyên dương và c ≤ 4. c  

B. 9.

C. 7.

D. 8. m

Câu 40: Có bao nhiêu giá trị của tham số m trong khoảng ( 0; 6π ) thỏa mãn

C. m = 4.

67 . 27

Tổng a + b + c bằng

ex dx = ln 2. Khi đó giá trị của m là x e +2

ln m

∫

13 . 24

D. m = 0, m = 4.

sin x

∫ 5 + 4 cos x dx = 2

A. 6.

B. 12.

C. 8.

D. 4.

π 6

Câu 32: Biết ∫ sin n x.cos xdx = 0

A. 3.

1 và n ∈ ℕ* . Giá trị của n bằng 64

B. 4.

C. 5.

Câu 41: Biết rằng

∫ 0

D. 6.

dx x2 + 4 x + 3

2+ a  = 2 ln   với a, b là các số nguyên dương.  1+ b 

Giá trị của a + b bằng A. 3.

π 2

Câu 33: Cho tích phân I = ∫ 2 + cos x .sin xdx. Nếu đặt t = 2 + cos x thì kết quả nào sau đây đúng? 0

B. 5.

C. 9.

D. 7. 2019

Câu 42: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

ℝ

thỏa

A. I = ∫ tdt.

B. I = ∫ tdt.

C. I = 2 ∫ tdt.

e 2019 −1

D. I = ∫ tdt.

∫

Câu 34: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa điều kiện f ( x ) + f ( − x ) = 2 cos 2 x.

(

)

A. 4.

B. 1.

∫π

Câu 43: Cho tích phân I = ∫

f ( x ) dx

A. 0.

B. 5

Câu 35: Giá trị của A. 4.

π 2

C. 1.

B. 5. 9 3 4

Câu 36: Giá trị I =

∫x

D. −1.

sin (π x 3 ) e

C. 1.

( )

cos π x3

D. 0.

D. P = 2.

Câu 44: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) = 6 x 2 f ( x 3 ) −

6 . Giá trị của 3x + 1

dx gần bằng giá trị nào nhất trong các số sau đây?

A. 2.

B. 4. 1

B. 0,036.

3 C. P = . 2

∫ f ( x ) dx là

1 6

A. 0,046.

x 2 + ( 2 x + cos x ) cos x + 1 − sin x c dx = aπ 2 + b − ln với a, b, c là các số hữu x + cos x π

5 B. P = . 4

A. P = 3.

∫x

D.3.

tỉ. Giá trị của biểu thức P = ac 3 + b là

dx được kết quả I = a ln 3 + b ln 5, với a, b ∈ ℤ . Giá trị a 2 + ab + 3b 2 là 3x + 1

∫x 1

Câu 37: Biết

C. 2.

−

Khi đó tích phân

x f ln ( x 2 + 1) dx bằng x2 + 1

Giá trị của I =

∫ f ( x ) dx = 2. 0

C. 0,037.

Câu 45: Cho

D. 0,038.

x +1 dx = ln ( ln a + b ) với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của P = a 2 + b 2 + ab + x ln x

∫ 0

+ x) e

C. −1.

D. 6.

dx = a.e + b ln ( e + c ) với a, b, c ∈ ℤ . Giá trị của P = a + 2b − c là

x + e− x

A. P = 1.

B. P = −1.

C. P = 0.

D. P = −2. 1

Câu 46: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( 2 x ) = 3 f ( x ) , ∀x ∈ ℝ . Biết rằng

là A. 10.

B. 8. 2

Câu 38: Biết

∫ 3x + 1

C. 12.

D. 6.

∫ f ( x ) dx = 1. 0

x 9 x2 − 1

Giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng

dx = a + b 2 + c 35 với a, b, c là các số hữu tỷ.

A. I = 5.

Giá trị của P = a + 2b + c − 7 là

Trang 35

B. I = 3.

C. I = 8.

D. I = 2.

Trang 36

Câu 47: Giá trị của

∫ 0

a a 9 − x 2 dx = π trong đó a, b ∈ ℤ và là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức b b

Bài toán: Tính tích phân I = ∫ u ( x ) .v′ ( x ) dx.

Ví dụ: Biết

∫ 2 x ln (1 + x ) dx = a.ln b,

với a, b ∈ ℕ* ,

T = ab là

b là số nguyên tố. Giá trị của 3a + 4b bằng B. T = 24.

A. T = 35.

n +1

Câu 48: Giá trị của lim

n →+∞

∫ n

A. −1.

C. T = 12.

D. T = 36.

dx bằng 1 + ex

B. 21.

C. 12.

D. 32.

Hướng dẫn giải

B. 1.

C. e.

D. 0.

Xét I = ∫ 2 x ln (1 + x ) dx.

ln 6

dx = 3ln a − ln b với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của P = ab là Câu 49: Biết I = ∫ x + e 2 e− x − 3 ln 3 A. P = 10.

A. 42.

B. P = −10.

C. P = 15.

D. P = 20.

Câu 50: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn f ( x ) =

(

) + ln x . Giá trị của

f 2 x −1 x

u = u ( x ) du = u′ ( x ) dx Đặt  ⇒ dv = v′ ( x ) dx v = v ( x )

1  dx u = ln (1 + x ) du = Đặt  . ⇒ 1+ x dv = 2 xdx 2 v = x − 1 

Khi đó b

I = ( u.v ) − ∫ vdu

I = ∫ f ( x )dx là

Ta có I = ( x 2 − 1) ln ( x + 1) − ∫

x2 − 1 dx x +1

 x2 2 = 3ln 3 − ∫ ( x − 1) dx = 3ln 3 −  − x  = 3ln 3.  2 0 0 2

A. I = 3 + 2 ln 2 2.

B. I = 2 ln 2 2.

C. I = ln 2 2.

D. I = 2ln 2.

Câu 51: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn hệ thức 4  f (1) + g (1) = 4 . Giá trị của I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx là   g ( x ) = − x. f ′ ( x ) ; f ( x ) = − x.g ′ ( x ) 1

Vậy a = 3, b = 3 ⇒ 3a + 4b = 21. Chú ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho

Chọn B.

A. 8ln 2.

B. 3ln 2.

C. 6 ln 2.

D. 4 ln 2.

ta dễ dàng tìm được v và tích phân

Câu 52: Giá trị của ∫ max {4, x 2 } dx là

hơn ∫ udv.

A. 12.

B. 21. 2

∫ 1

dễ tính

Câu 53: Giả sử

∫ vdu

43 . 3

D. 9.

1 + x2 1 b  dx =  a a − b  với a, b, c ∈ ℕ ; 1 ≤ a, b, c ≤ 9. Giá trị của biểu thức x4 c b+c 

C2ba−+ac là

Ví dụ mẫu e2

Ví dụ 1: Giá trị của tích phân I = ∫ e

A. 165.

B. 715. 6+ 2 2

Câu 54: Tính tích phân

∫ 1

C. 5456.

D. 35.

A. 1.

−4 x 4 + x 2 − 3 2 dx = a 3 + b + cπ + 4, với a, b, c là các số nguyên. x4 + 1 8

(

)

Khi đó biểu thức a + b 2 + c 4 có giá trị bằng A. 20.

B. 241.

C. 196.

dx là x ln x

B. 0.

C. ln 2.

D. 4.

Hướng dẫn giải Đặt u = ln x ⇒ du =

dx . x

x = e ⇒ u = 1 Đổi cận  . 2 x = e ⇒ u = 2

D. 48.

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Do đó I = ∫

Phương pháp giải

du = ln u u

= ln 2 − ln1 = ln 2. 1

Chọn C.

Trang 37

Trang 38

dx  du = u = ln x   x Đặt  . dx ⇒  − 1 dv =  2  v = x x 

Ví dụ 2: Giá trị của tích phân I = ∫ x 2 1 − x 2 dx là 0

π 2

π 16

π 4

π 8

Khi đó I =

Hướng dẫn giải Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt.

x = 0 ⇒ t = 0  Đổi cận  π.  x = 1 ⇒ t = 2

∫

∫ sin

−1 . Do đó P = 2a + 3b + c = 4. 2

u = ln x  + Đặt  dx . dv = x 2

t cos 2 tdt

1 8

1  − ln x −1  2 1 ln 2 dx =  +  = − . 2 x x 1 2 2  x

+ Ưu tiên logarit.

sin 2 t. 1 − sin 2 t cos tdt

π /2

+∫

Chọn D.

Suy ra b = 1, c = 2, a =

π /2

− ln x x

π /2

∫

(1 − cos 4t ) dt =

π 16

Ví dụ 5: Biết

∫ 1 + cos 2 x dx = aπ + b ln 2, với a, b là các số hũu tỉ. 0

Giá trị của T = 16a − 8b là

Chọn B.

A. T = 4.

Ví dụ 3: Giá trị của tích phân I = ∫ x tan 2 xdx là

B. T = 5.

C. T = 2.

D. T = −2.

Hướng dẫn giải

1 A. tan1 + ln ( cos1) − . 2

1 B. tan1 − ln ( cos1) + . 2

1 C. cot1 + ln ( cos1) − . 2

1 D. cot1 − ln ( cos1) + . 2

u = x ⇒ du = dx  Đặt  1 dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x

u = x du = dx Đặt  ⇒ . 2 dv = xdx tan v = tan x − x 

I = ( x tan x − x

)

Khi đó

 x  − ∫ ( tan x − x ) dx = tan1 − 1 +  ln cos x +  2 0  0 1

 1 A =  x tan x 2 

1 0

1 = tan1 + ln ( cos1) − . 2

 4  1 − ∫ tan xdx  = ( x tan x + ln cos x ) 2  0  π

π 4 0

  

1π 2  1π 1  π 1 =  + ln  =  − ln 2  = − ln 2. 2 4 2  2  4 2  8 4

Chọn A. 2

ln x b b Ví dụ 4. Cho tích phân I = ∫ là dx = + a ln 2 với a là số thực b và c là các số dương, đồng thời x c c 1 phân số tối giản. Giá trị của biểu thức P = 2a + 3b + c là A. P = 6.

4 14 x x x Đặt A = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx. 2 1 + cos 2 2 cos 2 0 cos 2 x x x 0 0

Hướng dẫn giải

B. P = 5.

C. P = −6.

1 −1 Vậy a = , b = do đó 16a − 8b = 2 + 2 = 4. 8 4 Chọn A.

+ Biến đổi 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x. D. P = 4.

+ Ưu tiên đa thức.

Hướng dẫn giải

Trang 39

Trang 40

u = x  + Đặt  . 1 dv = cos 2 x dx

Ví dụ 8. Cho

1 . 4

C. 0.

D. 1.

Sử dụng phương pháp từng phần.

ln ( sin x + 2 cos x ) dx = a ln 3 + b ln 2 + cπ với a, b, c là các số hữu tỉ. cos 2 x 0 4

∫

15 . 8

5 . 8

5 . 4

1 2x x.e 2

− 0

1 2x 1 e dx = x.e 2 x 2 ∫0 2

1 − e2 x 4 0

1 0

1 1 = e2 + . 4 4

Khi đó π

ln ( sin x + 2 cos x ) dx = ( tan x + 2 ) ln ( sin x + 2 cos x ) ∫0 cos 2 x 4

1 1 1 Đồng nhất hệ số hai vế ta có a = , b = . Vậy a + b = . 4 4 2

4 0

cos x − 2sin x dx cos x 0

−∫

+ Ưu tiên đa thức.

7 = 3ln 3 − ln 2 − ( x + 2 ln cos x ) 2

u = x + Đặt  . 2x dv = e dx Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên ℝ , f ( 2 ) = 16 và

∫ f ( x ) dx = 4.

π 4 0

7 2 5 π π = 3ln 3 − ln 2 − − 2 ln = 3ln 3 − ln 2 − . 2 4 2 2 4

Tích phân

5 1 Suy ra a = 3, b = − , c = − . Vậy abc = 18. 2 4

x

∫ xf ′  2  dx bằng

Chọn A.

B. 12.

C. 56.

D. 144.

Ví dụ 9. Biết

Hướng dẫn giải Đặt t =

4 3 2  = 3ln   − 2 ln 2 − ∫ (1 − 2 tan x )dx 0  2 

Chọn A.

A. 112.

17 . 8

u = ln ( sin x + 2 cos x )  cos x − 2sin x dx  du = Đặt  ⇒ sin x + 2 cos x .  dx dv =  v = tan x + 2 cos 2 x 

1 1 Suy ra a.e 2 + b = e 2 + . 4 4

Hướng dẫn giải

du = dx u = x  Đặt  ⇒ 1 2x . 2x dv = e dx v = e 2  1

Giá trị của abc bằng

Hướng dẫn giải

Khi đó I = u.v − ∫ v.du =

Ví dụ 6: Cho I = ∫ xe dx = a.e + b với a, b ∈ ℚ . Giá trị của tổng a + b là 2x

1 . 2

Chọn A.

∫ 4 xf ′ ( x ) dx = 4 xf ( x ) 0 − ∫ 4 f ( x ) dx = 8 f ( 2 ) − 4∫ f ( x ) dx = 8.16 − 4.4 = 112.

x−

1 x

dx = me q − n, trong đó m, n, p, q là các số nguyên dương và

p là phân số tối q

giản. Giá trị của T = m + n + p + q là

x ⇒ x = 2t ⇒ dx = 2dt. 2

x = 0 ⇒ t = 0 Đổi cận  . Do đó x = 4 ⇒ t = 2

∫ ( x + 1)

A. T = 11. 4

 x ∫0 xf ′  2  dx = ∫0 4tf ′ ( t ) dt = ∫0 4 xf ′ ( x ) dx.

B. T = 10.

C. T = 7.

D. T = 8.

Hướng dẫn giải

Ta có

u = 4 x du = 4dx Đặt  ⇒ . ′ = dv f x dx ( )  v = f ( x )

I = ∫ ( x + 1) e 2

x−

1 x

dx = ∫ ( x 2 + 2 x + 1) e

1 2

Suy ra

Xét I1 = ∫ ( x 2 + 1)e 1

Trang 41

x−

1 x

x−

1 x

dx = ∫ ( x 2 + 1)e 1

dx = ∫ x 2 .e 1

x−

1 x

x−

1 x

dx + ∫ 2 xe

x−

1 x

dx.

2 2 1 x−  x− 1  x2 + 1 1  dx = ∫ x 2 .e x d  x −  = ∫ x 2 d  e x  2 x x 1    1

Trang 42

= x 2e

x−

1 2 x 1

− ∫e

⇒ I1 + ∫ 2 xe

x−

1 x

d ( x 2 ) = x 2e

x−

1 2 x 1

1 x−

1 x

dx = x 2e

x−

1 2 x

− ∫ 2 xe

1 x

A. 5e − 3.

⇒ I = x2e

x−

1 2 x

x−

Câu 6: Giá trị của tích phân I = ∫ ( 2 x + 1) e x dx là B. e − 1.

C. I = 2.

D. I =

1 A. I = . 2

Khi đó T = m + n + p + q = 4 + 1 + 3 + 2 = 10.

B. I = 4

Câu 8: Biết

Chọn B.

∫ x ln ( x

1 2 (e − 2) . 2

1 2 ( e + 1) . 4

+ 9 ) dx = a ln 5 + b ln 3 + c, trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức

Bài tập tự luyện dạng 3

T = a + b + c là B. T = 9.

A. T = 10.

Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 5, ∫ f ( x ) dx = 12.

C. T = 8.

D. T = 11.

Câu 9: Giá trị của tích phân I = ∫ x cos 2 xdx được biểu diễn dưới dạng a.π 2 + b ( a, b ∈ ℚ ) . Khi đó tích

a.b bằng

Giá trị của J = ∫ xf ′ ( x ) dx là A. J = −17.

B. J = 17.

C. J = 7.

D. J = −7.

A. 0.

Câu 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn

B. −

∫ x  f ′ ( x ) − 2dx = f (1) . Giá trị của 0

I = ∫ f ( x ) dx bằng

C. −

1 . 16

D. −

1 . 64

8 7 A. ln 2 − . 3 9

B. 2.

A. −2.

C. −1.

D. 1.

Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) và thỏa

8 7 B. ln 2 − . 3 3

C. 24ln 2 − 7.

7 D. 8 ln 2 − . 3

∫ ( 2 x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 , 3 f (1) − f ( 0 ) = 12.

Giá trị

Câu 11: Biết

∫ (1 + x ) cos 2 xdx = a + b ( a, b ∈ ℤ ) . Giá trị của tích ab bằng *

A. 32.

của I = ∫ f ( x ) dx là

B. 2.

C. 4.

D. 12.

B. I = 1.

A. I = 2.

C. I = −1.

D. I = −2.

Câu 12: Biết

Câu 4: Cho hai hàm số liên tục f ( x ) và g ( x ) có nguyên hàm lần lượt là F ( x ) và G ( x ) trên đọan

Biết rằng

1 . 32

Câu 10: Giá trị của tích phân I = ∫ x 2 ln xdx là

3 F (1) = 1, F ( 2 ) = 4, G (1) = , G ( 2 ) = 2 2

và

∫

f ( x ) G ( x ) dx =

67 . 12

Giá trị của

∫ x cos 2 xdx = a + bπ , với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của S = a + 2b là 0

A. S = 0.

1 C. S = . 2

B. S = 1.

3 D. S = . 8

Câu 13: Giá trị của tích phân I = ∫ ( x + 1) ln ( x − 3) dx là

∫ F ( x ) g ( x ) dx là

D. 5e + 1.

Câu 7: Giá trị của I = ∫ x ln xdx là

= 4e 2 − 1

⇒ m = 4, n = 1, p = 3, q = 2.

[1; 2] .

C. e + 1.

11 . 12

B. −

145 . 12

C. −

11 . 12

A. 10 ln 2 −

145 . 12

19 . 4

B. 10 ln 2 +

19 . 4

19 − 10 ln 2. 4

C. 10 ln 2.

1 C. K = . 2

D. K =

e− 4

Câu 14: Giá trị K =

Câu 5: Tích phân I = ∫ 3xe dx nhận giá trị nào sau đây? x

∫ ( x + 4 ) ln ( x + 4 )dx là

−3

−1

3e3 + 6 A. I = . e −1

3e3 − 6 B. I = . e −1

3e3 + 6 C. I = . e

A. K =

3e3 + 6 D. I = . −e

e2 − 1 . 4

B. K =

Câu 15: Giá trị của tích phân

Trang 43

e2 − 2 . 2

e2 + 1 . 4

∫ ( x + 1) ln xdx là 1

Trang 44

e2 + 5 . 4

e2 − 5 . 2

e2 + 5 . 2

Câu 25: Cho

Câu 16: Cho tích phân I = ∫ x ln xdx. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 26: Giá trị của tích phân I =

1 2 2 e x ln x − ∫ x ln xdx. 2 1 1

A. I = −

Câu 17: Biết ∫ ln ( x 2 − x ) dx = a ln 3 − b với a, b là các số nguyên. Khi đó a − b bằng

C. I =

A. 1.

B. 2.

C. 0.

Câu 18: Giá trị của ∫ π .x.e dx là

A. 14.

Câu 19: Biết

∫ 1

1 . 3

B. −8.

A. D. 8.

B. 2.

C. 4.

Câu 21: Cho I = ∫ ( 2 x − 1) e dx. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I < m là khoảng ( a; b ) . Giá 0

e2 − 3 . 2e 2

B. I =

2 − e2 . e2

C. P = −4.

C. I =

e2 − 2 . e2



1

1 x

bằng

D. I =

3 − e2 . 2e 2

a ∈ ( −1;0 ) . b

D. a − b = 6.

a c a dc e trong đó a, b, c, d là các số nguyên dương và các phân số , b b d

C. 24.

D. 64.

C. −

13 . 4

D. −

π 4

Câu 31: Cho tích phân

sin 2 x − x sin x π 2 1 2 +1 dx = + ln + c ln 2 (với a, b, c là các số nguyên). Khi 2 cos x a b 2 −1 0

∫

A. 2.

B. 4.

C. −1.

D. 1.

∫ f ′ ( x ) cos

13 . 2

đó a + b + c bằng

xdx = 10 và

Câu 32: Cho các hàm số

f ( x ) có đạo hàm

f ′ ( x ) và thỏa mãn

∫ ( 2 x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 , 0

3 f (1) − f ( 0 ) = 12. Giá trị của

∫ f ( x ) sin 2 xdx bằng B. 13.

Câu 24: Biết J = ∫ x log 2 xdx = 16 −

∫ f ( x ) dx là 0

dx =

13 . 4

D. 4.

x .sin xdx = aπ 2 + b ( a, b ∈ ℤ ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. 1.

13 . 2

∫ f ′ ( x ) ln xdx

A. −13.

C. 8.

1  Câu 30: Cho tích phân I = ∫  x +  ln xdx = a.e 2 + b, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 4a + 3b là x 1

D. P = −1.

 π Câu 23: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên 0;  , thỏa mãn  2

f ( 0 ) = 3. Tích phân

với a; b ∈ ℕ . Khi đó a 2 − b 2 bằng

trị của P = a − 3b là

f ( x) 1 là một nguyên hàm của hàm số . Giá trị của 2x2 x

∫

∫ 1 + x − x  e

A. 12.

B. P = −2.

2019 ln 2 22019 − ln . 2019 1+ 2 1 + 22019

là tối giản. Giá trị của bc − ad là

D. 12.

Câu 22: Cho F ( x ) =

1 12

∫ (1 + x ) sin 2 xdx = 2 ( a, b ∈ ℤ ) . Giá trị của tích ab bằng

A. P = −3.

π −a

B. a 2 − b = −4. 12

A. I =

a < −3. b

Câu 29: Biết

A. 6.

D. I =

2019 ln 2 22019 + ln . 2019 1+ 2 1 + 2 2019

C. 2.

B. I = −

B. 12.

Câu 28: Cho tích phân I =

π 4

dx là

π2

2 ln x + 3 a dx = + b với a, b ∈ ℤ . Giá trị của a + b bằng x2 e

A. −2. Câu 20: Biết

∫ ( x − 1) cos xdx = 0

D. P = −3.

Câu 27: Biết

ln x

∫ ( x + 1)

ln 22019 2 − 2020 ln . 1 + 22019 1 + 22019

B. π .e.

C. P = 3.

ln 22019 2 + 2020 ln . 1 + 22019 1 + 22019

D. −1.

A. π .

D. T = 13.

D. I =

B. P = 1. 22019

B. I = x 2 ln 2 x − 2∫ x ln xdx.

C. I = x 2 ln 2 x − ∫ x ln xdx.

C. T = 17.

ln (1 + x ) dx = a ln 2 + b ln 3, với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của P = a + 4b là x2

A. P = 0.

1 e

∫ 1

e 1 A. I = x 2 ln 2 x + ∫ x ln xdx. 2 1 1

B. T = 19.

A. T = 11.

e2 − 5 . 4

C. 7.

A. I = 1.

D. −7.

B. I = −2. 4

a a với a, b ∈ ℕ* , là phân số tối giản. Giá trị của T = a + b là b ln 2 b Trang 45

Câu 33: Biết rằng tích phân

∫ 0

( x + 1) e

C. I = 2.

D. I = −1.

2x + 1

dx = ae 4 + b. Giá trị của T = a 2 − b 2 là

Trang 46

A. T = 1.

3 C. T = . 2

B. T = 2.

Câu 34: Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu I n = ∫ x (1 − x 2

2 n

)

A. 1.

B. 2.

5 D. T = . 2

−a

I dx. Giá trị của lim n +1 là n →+∞ I n

C. 3.

Xét I =

∫e

−a

∫ f ( x ) dx. Đổi biến

x = −t ⇒ dx = − dt.

−a

D. 5.

Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) với f ( 0 ) = f (1) = 1. Biết rằng

Đổi cận x = − a ⇒ t = a; x = 0 ⇒ t = 0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.

Ta có

 f ( x ) + f ′ ( x )  dx = a.e + b . Giá trị

Khi đó

của Q = a 2019 + b 2020 là A. Q = 22019 + 1.

B. Q = 0.

C. Q = 2.

D. Q = 22019 − 1.

Do đó (1) được chứng minh.

Câu 36: Biết

I = ∫ f ( −t )( − dt ) = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx

2 ln x + 3 a ∫1 x 2 dx = e + b với a, b ∈ ℤ . Giá trị của a + b bằng

A. −2.

B. −8.

Đặc biệt

C. 2.

Hàm số f ( x ) = cos x.ln

+ Nếu f ( x ) là hàm số lẻ thì ta có

D. 8. 2

Câu 37: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và f ( 2 ) = 16, ∫ f ( x ) dx = 4.

∫ f ( x ) dx = 0

(1.1).

Giá trị của tích phân I = ∫ x. f ′ ( 2 x ) dx là

f ( − x ) = cos ( − x ) .ln

B. I = 12.

Câu 38: Đặt I k = ∫

C. I = 20.

D. I = 7.

B. k ∈ {2;3} .

C. k ∈ {4;1} .

Vậy I = ∫ cos x.ln

D. k ∈ {3; 4} .

−1 1

Câu 39: Cho



1 

∫ x ln ( x + 2 ) + x + 2  dx = 0

A. T = 13.

a 2 ln 2 − bc ln 3 + c với a, b, c ∈ ℕ . Giá trị của T = a + b + c là 4

B. T = 15.

C. T = 17.

Câu 40: Biết

∫π

−

đoạn [ −6;6] .

π2

Biết rằng

B. M = 41.

C. M = −37.

D. M = −35.

Phương pháp giải

∫ f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x ) dx Chứng minh

(1)

−1

∫ f ( x ) dx. −1

Dạng 4: Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn a. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ − a; a ] . Khi đó

∫ f ( x ) dx = 8 và ∫ f ( −2 x ) dx = 3.

Tính

−a

2+ x dx = 0 . 2− x

Ví dụ 2: Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên

D. T = 11.

3π với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của M = a − b + c là dx = a + + b c 1 + x2 + x x cos x

A. M = 35.

2+ x là hàm số lẻ. 2− x

Chọn C.

π 6

2− x 2+ x = − cos x.ln = − f ( x). 2+ x 2− x

Do đó hàm số f ( x ) = cos x.ln

k ln dx , với k nguyên dương. Nếu I k < e − 2 thì khẳng định nào sau đây là đúng? x

A. k ∈ {1; 2} .

trên đoạn [ −1;1]. Mặt khác, với ∀x ∈ [ −1;1] ⇒ − x ∈ [ −1;1] và

−a

A. I = 13.

2+ x xác định và liên tục 2− x

A. I = 11.

B. I = 5.

C. I = 2.

D. I = 14.

2+ x Ví dụ 1: Tích phân I = ∫ cos x.ln dx bằng 2− x −1 A. −1.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

+ Nếu f ( x ) là hàm số chẵn thì ta có a

Hướng dẫn giải

Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx −a

Hướng dẫn giải

(1.2)

đoạn [ −6;6] ta có 3

∫ f ( −2 x ) dx = 3 ⇔ ∫ f ( 2 x ) dx = 3 Trang 47

Trang 48

⇔

đó:

3 1 F ( 2 x ) = 3. 2 1

∫ f ( x ) dx = 6.

Do đó F ( 6 ) − F ( 2 ) = 6 hay

∫ f ( sin x ) dx − ∫ f ( cos x ) dx

A. N = −1.

B. N = 0.

C. N = 1.

D. N = 2.

Hướng dẫn giải

Vậy I =

−1

Ta có N =

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 14.

∫π f ( x ) dx = ∫π f ( − x ) dx

−

Chọn D. 1

Ví dụ 3: Tích phân I =

∫e

−1

Suy ra 2 N =

2020

−

dx có giá trị là +1

∫π  f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫π 2 cos xdx.

−

A. I = 0.

B. I =

2021

C. I =

22020 . 2019 2019

2 . 2021

D. I =

2 . 2019

a f ( x) 1 ∫− a 1 + b x dx = 2 −∫a f ( x ) dx ( 0 < b ≠ 1) (1.3). a

∫ 1+ b

dx (*). x

Giá trị tích phân G = ∫ f ( x ) dx là 0

Ta có 1 2020 x 2021 x dx = ∫ 2 −1 2021

= −1

2.22021 22021 ⇒I = . 2021 2021

Chọn C.

−a

Đổi biến x = −t ⇒ dx = − dt.

( ) ∫ 1 + b ( −dt ) = ∫

−a

f −1

−t

−a

bx. f ( x)

Hay A =

∫ −a

Suy ra 2 A =

1+ b

A. G = 2.

1 B. G = . 2

2 C. G = . 3

1 D. G = . 3

Hướng dẫn giải

Đổi cận x = − a ⇒ t = a; x = a ⇒ t = −a

Khi đó A =

mãn f ( x ) + f ( 2 − x ) = x ( 2 − x ) , ∀x ∈ ℝ.

f ( x ) = x 2020 và b = e ta có

f ( x)

Đặt A =

Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa

Áp dụng bài toán (1.3) ở cột bên trái cho hàm số

Chứng minh (1.3):

Chọn D.

Hướng dẫn giải

+ Nếu f ( x ) là hàm số chẵn thì ta cũng có

Vậy N = 2 ∫ cos xdx = 2sin x 2 = 2.

bt . f ( t )

1 + bt

c. Nếu dt.

f ( x ) liên tục trên đoạn

f ( a + b − x ) = f ( x ) thì b

dx (**).

−a

và

0 2

Suy ra 2G = ∫  f ( x ) + f ( − x )  dx = ∫ x ( 2 − x ) dx b

a +b ∫a xf ( x ) dx = 2 ∫a f ( x ) dx

1 ∫ f ( x ) dx ⇔ A = 2 ∫ f ( x ) dx.

[ a; b ]

Ta có G = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( 2 − x ) dx

Vậy G =

1 2 x ( 2 − x ) dx = . 2 ∫0 3

Chọn C. Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

b. Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] thì b

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx a

Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa điều

đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 0,

kiện f ( x ) + f ( − x ) = 2 cos x, với ∀x ∈ ℝ .

dx = 7 và

1 ∫ x f ( x ) dx = 3 . Tích phân ∫ f ( x ) dx bằng 2

∫π f ( x ) dx là

−

Hệ quả: hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] , khi Giá trị của N =

∫  f ′ ( x )

Trang 49

Trang 50

A. C.

7 . 5

B. 1.

7 . 4

D. 4.

e. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

f ( x ) liên tục trên đoạn

[ a; b ]

du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Đặt   x3 2 và dv = x dx v = 3 

∫ a

f ( x ) dx ≥ 0 và

Ta có

∫ x f ( x ) dx = 2

x3 f ( x )

∫ f ( x ) dx = 0 khi f ( x ) = 0. a

⇒−

Chứng minh 1

1 − ∫ x3 f ′ ( x ) dx 30 0

1 3 1 x . f ′ ( x )dx = ⇒ ∫ x 3 . f ′ ( x ) dx = −1. 3 ∫0 3 0

∫  f ′ ( x )

x7 7

Coi (*) là tam thức bậc hai theo biến λ , và vì (*) đúng với mọi λ ∈ ℝ nên ta có ∆′ ≤ 0 khi và chỉ

0 1

0 2

⇒ ∫  f ( x ) + 7 x3  dx = 0.

b  b  b  ⇔  ∫ f 2 ( x ) dx  ≤  ∫ f 2 ( x ) dx   ∫ g 2 ( x ) dx  . a  a  a 

f ′ ( x ) = −7 x 3 ⇒ f ( x ) = −

7x4 +C, 4

mà

Do đó f ( x ) = 1

Vậy

7 (1 − x 4 ) , ∀x ∈ [0;1] . 4  7 x4 7  7 +  dx = . 4 4 5  0 1

∫ f ( x ) dx = ∫  − 0

Chọn A.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f ( x ) = 0 hoặc

0 1

7 f (1) = 0 nên C = . 4

6 3 ∫  f ' ( x ) dx + ∫ 49 x dx + ∫14 x . f ′ ( x ) dx = 0 0

khi b 2  b 2  b 2   ∫ f ( x ) dx  −  ∫ f ( x ) dx  ∫ g ( x ) dx  ≤ 0 a  a  a 

Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra

3 3 3 ∫ x . f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ ∫ x .ax dx = −1 ⇒ a = −7.

3 ∫ x . f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ ∫ 14 x . f ′ ( x ) dx = −14 (3). 3

(*)

1 1 ⇒ ∫ 49 x 6 dx = .49 = 7 (2). 7 7 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f ′ ( x ) = ax 3 , với

λ 2 ∫ f 2 ( x ) dx + 2λ ∫ f ( x ) g ( x )dx + ∫ g 2 ( x ) dx ≥ 0 Suy

dx = 7 (1).

2 2 1 ⇔ 7 ≤ 7. .∫  f ′ ( x )  dx = ∫  f ′ ( x )  dx. 7 0 0

a∈ℝ .

Suy ra

0 6 ∫ x dx =

1  1  1  2 2 7 = 7  ∫ x 3 f ′ ( x ) dx  ≤ 7  ∫ ( x3 ) dx  .  ∫  f ′ ( x )  dx  0  0  0 

Ta có

Với mọi λ ∈ ℝ , ta có λ f ( x ) + g ( x )  ≥ 0 . ⇔ λ 2 f 2 ( x ) + 2λ f ( x ) g ( x ) + g 2 ( x ) ≥ 0

Cách 1: Ta có

b  b 2  b 2   ∫ f ( x ) g ( x ) dx  ≤  ∫ f ( x ) dx  .  ∫ g ( x ) dx  a  a  a 

[ a; b] . Khi đó, ta có

f ( x ) ≥ 0 với ∀x ∈ [ a; b ] thì

∫ x . f ′ ( x ) dx = −1

Cho hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên đoạn Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

Hướng dẫn giải

d. Nếu

Cách 2: Tương tự như trên ta có

Do  f ′ ( x ) + 7 x 3  ≥ 0 ⇒ ∫  f ′ ( x ) + 7 x 3  dx ≥ 0 . Mà

g ( x ) = −λ f ( x ) , với λ ∈ ℝ.

0 1

∫  f ′ ( x ) + 7 x

Ví dụ mẫu

3 2

 dx = 0 ⇒ f ′ ( x ) = −7 x3 .

Ví dụ 1: Cho số thực a > 0. Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn [ 0; a ] thỏa mãn

0 4

f ( x) = −

7x + C. 4

1 dx là 1 + f ( x) 0

f ( x ) . f ( a − x ) = 1. Giá trị tích phân I = ∫

7 7 Mà f (1) = 0 ⇒ − + C = 0 ⇒ C = . 4 4

A. I =

7x 7 Do đó f ( x ) = − + . 4 4 1

Vậy

∫ 0

2a . 3

a B. I = . 2

a C. I = . 3

D. I = a.

Hướng dẫn giải Đặt t = a − x ⇒ dt = − dx. Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0.

1  7 x4 7  7 f ( x ) dx = ∫  − +  dx = . 4 4 5 0

Trang 51

Trang 52

a a a f ( x) 1 1 1 dt = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx. 1 + 1 f a − t 1 + f a − x 1 + f ( x) ( ) ( ) 0 0 0 1+ 0 f ( x)

3π 2

Khi đó I = ∫

Ta có P = −

a a f ( x) 1 a dx + ∫ dx = ∫ 1.dx = a. Vậy I = . 1+ f ( x) 1+ f ( x) 2 0 0 0 a

⇒ 2P = −

Chọn B. Ta có thể chọn hàm số f ( x ) = 1 , với mọi x ∈ [ 0; a ] thỏa mãn yêu cầu đề bài. a

−

3 2

3π 2

∫π  f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫π 3 2

−

3π 2

2 − 2 cos 2 xdx = 4 ∫ sin x dx.

3 2

3π 2

Hay P = 2∫ sin xdx − 2 ∫ sin xdx = −2 cosx

+ 2 cos x

3π 2

= 6.

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ −1;1] và f ( − x ) + 2019 f ( x ) = e , ∀x ∈ [ −1;1] . Tích phân x

Ví dụ 4: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = sin x với mọi x và f ( 0 ) = 1.

Tích phân eπ . f (π ) bằng

∫ f ( x ) dx bằng −1 2

e −1 A. . 2019e

e −1 B. . e

e −1 C. . 2020e

D. 0.

eπ − 1 . 2

eπ + 3 . 2

π +1 2

Hướng dẫn giải

Ta có M =

3 2

1 1 a dx = ∫ dx = . + f x 1 2 2 ( ) 0 0

∫π f ( x ) dx = ∫π f ( − x ) dx

3π 2

⇒ 2I = ∫

Khi đó I = ∫

3π 2

Ta có f ( x ) + f ′ ( x ) = sin x nên e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) = e x .sin x, ∀x ∈ ℝ.

−1

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − x ) dx. 1

Do đó 2020M = 2019 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫  f ( − x ) + 2019 f ( x )  dx. −1

⇔  e x f ( x ) ′ = e x .sin x hay ∫ e x f ( x ) ′dx = ∫ e x .sin xdx

−1

⇔  e x f ( x ) 

−1

= 0

1 x e ( sin x − cos x )  2

⇔ eπ f (π ) − f ( 0 ) =

1 π ( e + 1) 2

Suy ra M =

e2 − 1 1 e x dx = . ∫ 2020 −1 2020e

⇔ eπ f (π ) =

Chọn C.

eπ + 3 . 2

Chọn C. b

Nếu f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì

∫ f ( x ) dx =

Để ý rằng ( e x )′ = e x nên nếu nhân thêm hai vế của f ( x ) + f ′ ( x ) = sin x với e x thì ta sẽ có ngay

a b

( e . f ( x ) )′ = e .sin x. x

= ∫ f ( a + b − x ) dx

Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) tuần hoàn với chu kì

Ví dụ 3. Cho f ( x ) là một hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = 2 − 2 cos 2 x . 3π 2

Giá trị tích phân P = −

A. P = 3.

∫π

f ( x ) dx là

3 2

B. P = 4.

C. P = 6.

D. P = 8.

π  và có đạo hàm liên tục thỏa mãn f   = 0 , 2

π ∫π f ( x ) .cos xdx = 4 . Giá trị của f ( 2019π ) .

A. −1.

Hướng dẫn giải

∫  f ′ ( x ) dx = 4 và π

B. 0.

1 . 2

D. 1.

Hướng dẫn giải

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có

Trang 53

Trang 54

∫ π

f ( x ) .cos xdx =  f ( x ) .sin x 

π π

∫ f ′ ( x ) .sin xdx = − 4 . π

− ∫ f ′ ( x ) .sin xdx. Suy ra

Câu 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = tan 2 x, với ∀x ≠

π 2

+ kπ , k ∈ ℤ . Giá trị

π 4

1 − cos 2 x  2 x − sin 2 x  Mặt khác ∫ sin xdx = ∫ dx =  2 4   π π

π 4

của

∫π f ( x ) dx là

−

A. 1 −

Suy ra π 2

∫  f ′ ( x )

π  ⇒ f ′ ( x ) = − sin x. Do đó f ( x ) = cos x + C. Vì f   = 0 nên C = 0. 2

Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] , và f (1) − f ( 0 ) = 2

0 ≤ f ′ ( x ) ≤ 2 2 x , ∀x ∈ [ 0;1] . Khi đó, giá trị của tích phân ∫  f ′ ( x )  dx thuộc khoảng nà

14 . Biết rằng 2 o

D. 2 −

f ( x ) liên tục trên đoạn

π 2

là

C. π .

D. 0.

[ −1;1]

và

f ( x ) ≠ 0 với mọi x ∈ [ −1;1] . Đặt

∫ g ( x ) dx = −2∫ g ( x ) dx.

∫ g ( x ) dx = 2∫ g ( x ) dx. −1

∫ g ( x ) dx = 0. −1

f ( x) + f (−x) , với mọi x ∈ [ −1;1] . Mệnh đề nào sau đây đúng? f ( x). f ( −x)

−1

C. 1 +

− 1. π

∫ f ( sin x ) dx = 1. Giá trị của ∫ xf ( sin x ) dx

1 . 2

g ( x) =

Chọn A.

Câu 3: Cho hàm số

Ta được f ( x ) = cos x ⇒ f ( 2019π ) = cos ( 2019π ) = −1.

Câu 2: Biết

dx + 2 ∫ sin xf ′ ( x ) dx + ∫ sin xdx = 0 ⇔ ∫  f ′ ( x ) + sin x  dx = 0. 0

π 2

∫ g ( x ) dx = 0. 0

đây?

 13 14  B.  ;  . 3 3

A. ( 2; 4 ) .

 10 13  C.  ;  .  3 3

Câu 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và các tích phân

D. (1;3) .

∫ f ( tan x ) dx = 4 và ∫

x2 f ( x ) dx = 2. Giá trị x2 + 1

của tích phân I = ∫ f ( x ) dx là

Hướng dẫn giải

Do 0 ≤ f ′ ( x ) ≤ 2 2 x , ∀x ∈ [ 0;1] nên 0 ≤ ( f ′ ( x ) ) ≤ 8 x, ∀x ∈ [ 0;1]. 1

A. 2.

A. −4.

1 1  1 2 1 2 2 2  ∫ f ′ ( x ) dx  ≤ ∫ 1 dx.∫  f ′ ( x )  dx ⇔  f (1) − f ( 0 )  ≤ ∫  f ′ ( x )  dx 0 0 0  0

B. e − 2.

C. 4.

D. 2 − e.

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục và nhận giá trị dương trên [ 0;1] . Biết f ( x ) . f (1 − x ) = 1 với 1

∀x ∈ [ 0;1] . Giá trị của tích phân I = ∫

2 7 ≤  f ′ ( x )  dx 2 ∫0 

Vậy

D. 1.

g ( x ) f ' ( x ) = x ( x − 2 ) e x . Giá trị của giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) .g ′ ( x )dx là

Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

⇔

C. 3.

Câu 5: Cho hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f ′ ( 0 ) . f ′ ( 2 ) ≠ 0 và

Suy ra ∫  f ′ ( x )  dx ≤ ∫ 8 xdx hay ∫  f ′ ( x )  dx ≤ 4 (1). 0

B. 6.

2 7 ≤  f ′ ( x )  dx ≤ 4. 2 ∫0 

3 . 2

1 . 2

dx ta được kết quả là 1+ f ( x) C. 1.

D. 2.

Câu 7: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 .

Chọn C.

Bài tập tự luyện dạng 4

Giá trị của

∫ f ( x ) dx bằng 0

Trang 55

Trang 56

π 4

π 6

π 20

π 16

Câu 8: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 4 x. f ( x 2 ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 . Tích

25 . 4

9 . 2

phân I = ∫ f ( x ) dx là

[0;1]

trên đoạn

và thỏa mãn f ( 0 ) = 2,

B. I =

π 6

C. I =

π 20

D. I =

Câu 9: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2 f ( x ) + 3 f ( − x ) =

π 16

∫  f ( x )

13 . 4

+ 1dx = 2 ∫  0

f ′ ( x ) . f ( x ) dx. Giá trị của

dx là

1 . 4 + x2

15 . 4

15 . 2

17 . 2

19 . 2 1

−2

A. I = − Câu

π 20

10:

B. I =

Cho

hàm

số

π 20

C. I = −

f ( x)

liên

f ′ ( x ) x + 1 = 2 x f ( x ) + 1. Giá trị của f 2

A. 0.

tục

thỏa

π 10

D. I =

mãn

điều

kiện

π 10

f ( x ) > −1, f ( 0 ) = 0

và

( 3 ) là

B. 3.

C. 7.

1 ∫ x f ( x ) dx = 2 . Tích phân ∫ f ( x ) dx bằng

2 . 3

2 3 mãn đẳng thức x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [1; 4] . Biết rằng f (1) = , giá trị của I = ∫ f ( x ) dx là 2 1

B. I =

1174 . 45

C. I =

1222 . 45

D. I =

Giá trị lớn nhất của f (1) là bao nhiêu? e −1 B. . e

6 . 5 π  f   = 0. Biết 4

∫ f ( x ) dx = 8 , ∫ f ′ ( x ) sin 2 xdx = − 4 . Giá trị của tích phân I = ∫ f ( 2 x ) dx là 0

1 B. I = . 2

1 D. I = . 4

C. I = 2.

Câu 19: Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ ( 0; +∞ ) đồng thời thỏa mãn điều kiện 3π 2

∫ f ( x ) sin xdx = −4. Khi đó f (π )

f ( x ) = x ( sin x + f ′ ( x ) ) + cos x và C. e − 1.

7 . 4

A. I = 1.

1201 . 45

Câu 12: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ và f ( 0 ) = 0 .

2e − 1 A. . e

5 . 2

1186 . 45

 π Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và  4

D. 9.

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4] , đồng biến trên đoạn [1; 4] và thỏa

A. I =

Câu 17: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 1, ∫  f ′ ( x ) dx = 9 và

∫ f ( x ) dx là

Giá trị của I =

∫  f ′ ( x ) .  f ( x ) 0

Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] , f ( x ) và f ′ ( x ) đều nhận giá trị dương 1

A. I =

5 . 2

nằm trong khoảng nào?

D. 2e − 1.

A. ( 6; 7 ) .

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục và khác 0 trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ′ ( 0 ) = −1

B. ( 5; 6 ) .

C. (12;13) .

D. (11;12 ) . π

Câu 20: Cho hàm số f ( x ) xác định và có đạo hàm liên tục trên [ 0; π ] thỏa mãn

và  f ′ ( x )  = f ′′ ( x ) . Đặt T = f (1) − f ( 0 ) , khẳng định nào sau đây đúng?

∫ f ( x ) cos xdx = A, 0

A. −2 ≤ T < −1.

B. −1 ≤ T < 0.

C. 0 ≤ T < 1.

D. 1 ≤ T < 2.

Câu 14: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục nhận giá trị dương trên ( 0; +∞ ) và thỏa mãn f (1) = 1 ,

f ( x ) = f ′ ( x ) . 3 x + 1 , với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 < f ( 5 ) < 4.

B. 1 < f ( 5 ) < 2.

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

C. 4 < f ( 5) < 5.

( 0; +∞ )

π  f   = 0 và 2

∫ ( f ′ ( x ))

dx =

thỏa mãn điều kiện f (1) = −2 ln 2 và

D. π 2 A. 1

∫ ( f ′ ( x )) 0

và

π 

dx =

π2 8

∫ cos  2 x  f ( x )dx = 2 . Giá trị của ∫ f ( x ) dx là 0

Trang 57

∫ f ( 2 x ) dx theo A là

Câu 21: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa f (1) = 0,

x ( x + 1) . f ′ ( x ) + f ( x ) = x 2 + x, với mọi x ∈ ( 0; +∞ ) . Giá trị f ( 2 ) = a + b ln 3, với a, b ∈ ℚ . Giá trị của a 2 + b 2 là

, với A là hằng số. Giá trị của

A B. . 2

A. 4A.

D. 2 < f ( 5 ) < 3.

2A2

Trang 58

π . 2

B. π .

1 . π

π . 2

π 2 π  π Câu 22: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0;  thỏa mãn f ( 0 ) = 0, ∫  f ′ ( x )  dx = và 4 2   0 2

1 . π

4 . π

6 . π

2 . π

 x  Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) = 2020 ln  e 2020 + e  . Giá trị của giá trị biểu thức   T = f ′ (1) + f ′ ( 2 ) + ... + f ′ ( 2019 ) là

2 π ∫0 sin x. f ( x ) dx = 4 . Tích phân I = ∫0 f ( x ) dx bằng

A. 1.

π . 2

A. T = C. 2.

π . 4

2 −π  2 π   ∫0  f ( x ) − 2 2 f ( x ) sin  x − 4  dx = 2 . Tích phân

B. T = 1009.

Câu 29: Giá trị của tổng T =

 π Câu 23: Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên 0;  thỏa mãn  2 π

2019 . 2

1 . 4121202989

C. T =

2021 . 2

D. T = 1010.

0 C2018 C1 C2 C3 C 2017 C 2018 − 2018 + 2018 − 2018 + ... − 2018 + 2018 là 3 4 5 6 2020 2021

1 . 4121202990

1 . 4121202992

1 . 4121202991

Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn

∫ f ( x ) dx bằng

∫ xf ( x ) dx = 0 0

và max f ( x ) = 1. Tích phân [0;1]

π . 4

B. 0.

C. 1.

I = ∫ e x f ( x ) dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

π . 2

5  A.  −∞; −  . 4 

Câu 24: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng ( 0;1) và f ( x ) ≠ 0 , ∀x ∈ ( 0;1) . Biết rằng

 3 1 f   = a, f   = b 2  2 

x + xf ′ ( x ) = 2 f ( x ) − 4, ∀x ∈ ( 0;1) .

và

trị

Giá

của

tích

phân

π 3

I=∫ π

sin 2 x.cos x + 2sin 2 x dx theo a và b là f 2 ( sin x ) 3a + b . 4ab

B. I =

3b + a . 4ab

3 . 2

C. I =

3b − a . 4ab

D. I =

3a − b . 4ab

A. 4.

5 . 6

7 . 6

A. 4 < f ( 3) < 6.

9 Câu 26: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = 1, ∫  f ′ ( x )  dx = và 5 0 2

1 B. I = . 4

3 C. I = . 4

∫ 0

9 f ( x ) dx = và 2 2

∫ 0

πx 3π f ′ ( x ) cos dx = . Tích phân của 2 4

C. 2 < f ( 3) < 4.

D. f ( 3) > 6.

43 . 30

16 . 35

43 . 15

26 . 15

Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa mãn 3 f ( x ) + f ( 2 − x ) = 2 ( x − 1) e x

1 D. I = . 5

− 2 x +1

+ 4.

Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Biết 1

B. f ( 3) < 2.

T = f 2 ( 2 ) là A.

3 A. I = . 5

D. 6.

Câu 33: Cho hàm số f ( x ) có ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) . f ′′ ( x ) = x3 − 2 x, ∀x ∈ [ 0;1] , f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 1 . Giá trị của

2 ∫ ( x ) dx = 5 . Giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx là f

1+ 3 2 . 2

x > −1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2+3 2 . 2

Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) biết f ( x ) > 0 với mọi x > −1 , f ( 0 ) = 1 và f ( x ) = x + 1. f ′ ( x ) với mọi

f ′ ( x ) f ( x ) dx. Giá trị của tích phân ∫  f ( x )  dx là

5 . 4

D. ( e − 1; +∞ ) .

4 f ( x) π   π Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên 0;  thỏa mãn f   = 3, ∫ dx = 1 và 4 cos x 4     0

Câu 25: Cho hàm số f ( x ) có đọa hàm dương, liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và 2 1  3∫  f ′ ( x )  f ( x )  +  dx ≤ 2∫ 9 0  0

 5 3 C.  − ;  .  4 2

∫ sin x.tan x. f ( x ) dx = 2. Tích phân ∫ sin x. f ′ ( x ) dx bằng

A. I =

3  B.  ; e − 1 . 2 

Giá trị của tích phân I = ∫ f ( x ) dx ta được kết quả là 0

A. I = e + 4.

∫ f ( x ) dx bằng

B. I = 8.

C. I = 2.

D. I = e + 2.

Trang 59

Trang 60

Câu 35: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên [ 0; +∞ ) thỏa mãn ( x + 2 ) f ( x ) + ( x + 1) f ′ ( x ) = e x , với mọi

  25ln 2 2 − 5ln 2  . A. 5  31 − 2  

1 x > 0 và f ( 0 ) = . Giá trị của f ( 2 ) là 2 e A. f ( 2 ) = . 3

e B. f ( 2 ) = . 6

Câu 36: Cho hàm số

e C. f ( 2 ) = . 3

y = f ( x ) có

e D. f ( 2 ) = . 6

[0; +∞ )

f ′ ( x ) liên tục trên nửa khoảng

1 355ln 2   31 − . 5 2 

 1 25ln 2 2 − 5ln 2  .  31 − 5 2 

355ln 2   D. 5  31 − . 2   1

thỏa mãn

Câu 42: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn f ( 0 ) = 1, ∫  f ′ ( x )  dx = 0

3 f ( x ) + f ′ ( x ) = 1 + 3.e −2 x . Khi đó A. e3 f (1) − f ( 0 ) =

C. e3 f (1) − f ( 0 ) =

1 − . e +3 2

+ 3) e + 3 − 8

1 − . 2 e +3 4

D. e3 f (1) − f ( 0 ) = ( e 2 + 3) e 2 + 3 − 8.

Câu 37: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 3 f ′ ( x ) .e f

( x ) − x2 −1

−

2x = 0 và f ( 0 ) = 1. f ( x) 2

∫  f ′ ( x )

15 . 4

45 . 8

D. 1

Câu 38: Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ . Biết

f ( x)

∫3

−2

dx = ∫ ( x + 1) e x f ( x ) dx = 0

e2 − 1 . Giá trị của 4

B. 2 − e.

1 . 2019 ln 2

3 . 4040 ln 2

Câu 39: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết

∫ 1

∫

C. 10.

D. −10. x

Câu 40: Hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) . Biết rằng tồn tại hằng số a > 0 để

∫

f (t ) t4

∫ f ( cos x ) sin 2 xdx = 2. Giá trị 2

46:

B. 16. Cho

hàm

số

C. 9. y = f ( x)

xác

định

D. 5. và

liên

tục

trên

ℝ \ {0}

thỏa

mãn:

∫ f ( x ) dx là 1

dt = 2 x − 6,

ln 2 3 A. − − . 2 2

∫ f ( x ) dx là

1 B. − ln 2 − . 2

ln 2 C. − − 1. 2

3 D. − ln 2 − . 2

Câu 47: Cho hàm số f ( x ) liên tục và dương trên ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ′ ( x ) + ( 2 x + 4 ) f 2 ( x ) = 0 và

39364 . 9

x 2 . f 2 ( x ) + ( 2 x − 1) . f ( x ) = x. f ′ ( x ) − 1 với ∀x ∈ ℝ \ {0} đồng thời f (1) = −2 . Giá trị của

) dx = 6 và

21869 . 5

(

5 . 2018ln 2

∫ ( f ( x ) + 2) dx bằng

Câu

∀x > 0. Giá trị của tích phân

∫

∫ ( f ( x ) + 2 x ) dx là

của

A. 10. B. 15.

D. e − 2.

f ( cos x ) .sin xdx = 3. Giá trị của

A. 12.

e2 . 4

f ln x

dx = 7 ,

C. 0.

Câu 45: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ biết

D. 3.

f ( ln x )

−1

π e3

11 . 30

C. 4.

∫ f ( x ) dx là

B. 6.

1 . 30

∫ f ( x ) dx bằng

dx bằng

A. 1.

11 . 4

Câu 44: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;1] và f ( − x ) + 2019 f ( x ) = 2 x , ∀x ∈ [ −1;1] . Giá trị của

5 7 . 4

∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx = 1. Giá trị của 0

e A. . 2

∫ x. f ( x ) dx bằng

2 7 . 3

11 . 12

Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f (1) = 0.

Tích phân

∫ ( 2 x − 1) f ( x ) dx = − 30 . Tích phân ∫ f ( x ) dx bằng

B. e3 f (1) − f ( 0 ) =

1 , 30

C. 4374.

D. −

40 . 3

1 a a f ( 0 ) = . Giá trị của tổng S = f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2018 ) = với a ∈ ℤ, b ∈ ℕ, tối giản. Khi 3 b b đó b − a bằng

Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ , có đạo hàm đến cấp hai trên ℝ và thỏa mãn 2 f 3 ( x ) .  4. ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) . f ′′ ( x )  = e x , ∀x ∈ ℝ , biết f ( 0 ) = 0 . Khi đó  

5ln 2

∫

f 5 ( x ) .dx bằng

1  2020 1009  + . B. 1011. 2  2021 2020 

C. 1.

D. 2018.

Trang 61

Trang 62

Dạng 5: Một số bài toán thực tế ứng dụng tích phân

Ví dụ mẫu

Phương pháp giải

Ví dụ 1: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 3t + t 2 . Tính quãng

5.1.1. Một vật chuyển động có phương trình vận Ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần đều với tốc v ( t ) trong khoảng thời gian từ t = a đến vận tốc v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) . Quãng đường mà

t = b ( a < b ) sẽ di chuyển được quãng đường là: b

S = ∫ v ( t ) dt a

vật chuyển động từ thời điểm t = 0 ( s ) đến thời

đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A.

4300 m. 3

B. 4300 m.

C. 430 m.

A. 1028m.

B. 1280m.

C. 1308m.

D. 1380m.

Hàm vận tốc v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ ( 3t + t 2 ) dt =

3t 2 t 3 + + C. 2 3

Hướng dẫn giải

Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc ⇒ v ( 0 ) = 10 ⇒ C = 10.

Khi vật dừng lại thì v ( t ) = 160 − 10t = 0 ⇔ t = 16

Ta được v ( t ) =

Do đó S = ∫ v ( t ) dt = ∫ (160 − 10t ) dt

= (160t − 5t

)

430 m. 3

Hướng dẫn giải

điểm mà vật dừng lại là

3t 2 t 3 + + 10. 2 3

Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là 10  3t 2 t 3   t3 t4  + + 10 dt =  + + 10t  S = ∫ 2 3   2 12  0

= 1280 ( m ) .

= 0

4300 ( m) 3

Chọn A. Chọn B.

v ( t ) = ∫ a ( t ) dt

5.1.2. Một vật chuyển động có phương trình gia Ví dụ 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc

Ví dụ 2: Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có biểu thức cường độ là

tốc a ( t ) thì vận tốc của vật đó sau khoảng thời

π  i ( t ) = I 0 cos  ωt −  . Biết i = q′ với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc t = 0 , điện lượng 2 

gian [t1 ; t2 ] là:

v ( t ) ( m / s ) , có gia tốc a ( t ) = v′ ( t ) =

3 ( m / s2 ). 2t + 1

Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn t2

v = ∫ a ( t ) dt t1

chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian từ 0 đến

vị) là

A. 4,6 m/s.

B. 7,2 m/s.

C. 1,5 m/s.

D. 2,2 m/s.

Hướng dẫn giải

v=∫ 0

3 3 dt = ln 2t + 1 2t + 1 2

B. 0.

2I0

π I0 . ω 2

Hướng dẫn giải

Vận tốc của ô tô sau 10 giây là 10

π 2I0 . ω

π là ω

10 0

Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn của đoạn mạch trong thời gian từ 0 đến

3 = ln 21 ≈ 4, 6 ( m / s ) . 2

Chọn A.

π ω

I π π   Q = ∫ I ( t ) dt = ∫ I 0 cos  ωt −  dt = 0 sin  ωt −  2 2 ω   0 0

π ω 0

2I 0

π là ω

Chọn C. 5.1.4. Điện lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn

Q ( t ) = ∫ I ( t ) dt

của đoạn mạch trong thời gian từ t1 đến t2 là:

13 t +8 5

Ví dụ 3: Gọi h ( t )( cm ) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng h′ ( t ) =

và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến

Q = ∫ I ( t ) dt

0,01cm) Trang 63

Trang 64

B. 2,66 cm.

A. 2,67 cm.

C. 2,65 cm.

D. 2,68 cm.

Câu 7: Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc (theo cm2 / s ) là a ( t ) =

Hướng dẫn giải

∫ h′ ( t ) dt = ∫ 5

3  t + 8dt =  ( t + 8 ) 3 t + 8   20 

≈ 2, 66 ( cm )

Bài tập tự luyện dạng 5

chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 ( s ) đến thời điểm vật dừng lại.

B. S = 1280m.

C. S = 2480m.

phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc

a = −70 ( m / s 2 ) . Quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?

B. 94,00 m.

C. 97,50 m.

−3

C. (1 + 2t ) + 30.

ô tô đi được trong vòng 1h kể từ khi tăng tốc.

B. 62 km.

C. 60 km.

−20

(1 + 2t )

+ 30.

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −5t + 20 ( m / s ) , trong đó t là thời gian được tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu?

B. 5 m.

C. 3 m.

B. 3,5 m.

C. 6,5 m.

chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a ( m / s 2 ) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây

A. 22 m / s.

B. 15 m / s.

C. 10 m / s.

phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 4,75m.

B. 4,5m.

C. 4,25m.

chậm dần đều với v ( t ) = −5t + 10 ( m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu

đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

D. 6 m.

A. 0,2 m.

B. 2 m.

C. 10 m.

x = g ( t ) = 4sin t. Gọi t1 là thời điểm đầu tiên và t2 là thời điểm thứ hai mà hai chất điểm có vận tốc bằng

của đường parabol có đỉnh I ( 2;9 ) và trục đối xứng song

nhau. Tính theo t1 và t2 độ dài quãng đường mà chất điểm A đã di chuyển từ thời điểm t1 đến thời điểm

song với trục tung như hình bên. Quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó là

t2 .

1 C. 2 ( t2 − t1 ) − ( t22 − t12 ) . 2

D. 5 m.

Câu 11: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động

Câu 12: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v

B. 4 + 2 ( t1 + t2 ) −

D. 7 m / s.

Câu 10: Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì người lái hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều

Câu 5: Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t = 0. Tại thời điểm 1 t, vị trí của chất điểm A được cho bởi x = f ( t ) = −6 + 2t − t 2 và vị trí của chất điểm B được cho bởi 2

1 2 2 ( t1 + t2 ) . 2

D. 4,5 m.

Câu 9: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy 1 2 11 luật v ( t ) = t + t ( m / s ) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. 180 18 Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng

với vận tốc v ( t ) = −38t + 19 ( m / s ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm

D. 63 km.

Câu 4: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe

A. 4 − 2 ( t1 + t2 ) +

thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

D. 96,25 m.

Câu 3: Một ô tô đang đi với vận tốc 60 km/h thì tăng tốc với gia tốc a ( t ) = 2 + 6t ( km / h 2 ) . Quãng đường

A. 4 m.

10 + 20. 1 + 2t

lúc bắt đầu hãm phanh. Quãng đường ô tô di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu mét?

A. 5,5 m.

D. S = 3840m.

Câu 2: Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v ( t ) = 7t ( m / s ) . Đi được 5 ( s ) người lái xe

A. 26 km.

động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = −36t + 18 ( m / s ) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ

Câu 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v ( t ) = 160 − 10t ( m / s ) . Tìm quãng đường S mà vật di

A.87,50 m.

10 . 1 + 2t

Câu 8: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển

Chọn B.

A. S = 2560m.

(với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc v theo t, biết rằng khi t = 0 thì v = 30 ( cm / s ) . Hàm vận tốc đó là

Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây là 6

−20

(1 + 2t )

D. 20 m.

(km/h) phụ thuộc vào thời gian t ( h ) có đồ thị là một phần

A. s = 24, 25 km.

1 2 2 ( t1 + t2 ) . 2

B. s = 26, 75 km. C. s = 24, 75 km.

1 D. 2 ( t1 − t2 ) − ( t12 − t22 ) . 2

Câu 6: Một tia lửa được bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa ấy cách

D. s = 25, 25 km.

mặt đất bao nhiêu mét, biết gia tốc là 9,8 m / s 2 ?

A. 30,625m.

B. 37,5m.

C. 68,125m.

D. 6,875m.

Trang 65

Trang 66

A. 7545,2 giây.

Câu 13: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v

B. 7234,8 giây.

C. 7200,7 giây.

D. 7560,5 giây.

(km/h) phụ thuộc vào thời gian t ( h ) có đồ thị như hình

Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v ( t ) = 30 − 5t ( m / s ) . Quãng đường vật di

bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có

chuyển từ thời điểm t = 2 ( s ) đến khi dừng hẳn là

A. 50m.

đỉnh I ( 2;9 ) và trục đối xứng song song với trục tung.

B. 30m.

C. 90m.

D. 40m.

Câu 18: Một vật đang chuyển động với vận tốc v = 20 ( m / s ) thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính

Khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

theo thời gian t là a ( t ) = −4 + 2t ( m / s 2 ) . Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi gia tốc

đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất A.

A. s = 23, 25 km.

104 m. 3

B. 104m.

C. 208m.

104 m. 6

B. s = 21,58 km.

Câu 19: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v0 = 15m / s thì tăng vận tốc với gia tốc

C. s = 15,50 km.

a ( t ) = t 2 + 4t ( m / s 2 ) . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc

D. s = 13,83 km.

bắt đầu tăng vận tốc.

A. 68,25m. Câu 14: Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên. Biết rằng sau 10s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 50m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét? A.

1000 m. 3

1400 C. m. 3

B. 70,25m.

C. 69,75m.

D. 67,25m.

Câu 20: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 ( t ) = 4t ( m / s ) . Đi được 6 ( s ) , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc

−12 ( m / s 2 ) . Tính quãng đường S ( m ) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn

A. S = 456 m.

B. S = 240 m.

C. S = 72 m.

D. 96 m.

Câu 21: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm

1100 m. 3

phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức vA ( t ) = 16 − 4t (đơn vị tính bằng m/s), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu?

D. 300m.

A. 33 m.

B. 12 m.

C. 31 m.

D. 32 m.

Câu 15: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v

Câu 22: Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h. Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc

(km/h) phụ thuộc thời gian t ( h ) có đồ thị là một phần của

a ( t ) = 2t + 1( m / s 2 ) . Hỏi rằng 5 s sau khi nhấn ga thì xe chạy với vận tốc bao nhiêu km/h?

A. 200.

đường parabol cố định I (1;1) và trục đối xứng song song

A. s = 6 km. C. s =

40 km. 3

C. 288.

D. 300.

a ( t ) = t 2 + 3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.

B. s = 8 km. D. s =

B. 243.

Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là

với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.

A. 136m.

46 km. 3

B. 126m.

C. 276m.

D. 216m.

Câu 24: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v ( t ) = t 2 + 10t ( m / s ) với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc

200 ( m / s ) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

Câu 16: Người ta thay nước mới cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu h1 = 280 cm . Giả sử h ( t ) cm là chiều cao của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao nước tại giây thứ t là h′ ( t ) =

1 3 3 t + 3 . Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được độ sâu của hồ bơi? 500 4 Trang 67

A. 500m.

B. 2000m.

4000 m. 3

2500 m. 3

Câu 25: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số 1000 B′ ( t ) = , t ≥ 0 , trong đó B ( t ) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t. Số lượng vi 2 (1 + 0,3t ) Trang 68

khuẩn ban đầu là 500 con trên một ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi vào ngày thứ bao nhiêu thì nước trong hồ không còn an toàn nữa?

A. 9.

B. 10.

C. 11.

D. 12.

Câu 26: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc − a m / s 2 . Biết ô tô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. ( 3; 4 ) .

B. ( 4;5 ) .

C. ( 5;6 ) .

D. ( 6;7 ) .

Câu 27: Tại một nơi không có gió, một chiếc khinh khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khinh khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v ( t ) = 10t − t 2 , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v (t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khinh khí cầu là

A. v = 5 m / p.

B. v = 7 m / p.

C. v = 9 m / p.

D. v = 3 m / p.

Câu 28: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy 1 2 59 luật v ( t ) = t + t ( m / s ) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. 150 75 Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng a ( m / s 2 ) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

A. 20 m/s.

B. 16 m/s.

C. 13 m/s.

D. 15 m/s.

41 – B

42 – B

43 – D

44- B

51 – A

52 – C

53 – D

54 – B

45 – D

46 – A

47 – D

48 – D

49 – A

50 – B

Dạng 3. Giá trị của tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 1-D

2–C

3–B

4–A

5–C

6–C

7–D

8–C

9–D

10 – A

11 – A

12 – A

13 – A

14 – D

15 – A

16 – D

17 – A

18 – A

19 – A

20 – A

21 – A

22 – A

23 – B

24 – B

25 – D

26 – A

27 – B

28 – C

29 – C

30 – B

31 – C

32 – A

33 – B

34 – A

35 – C

36 – A

37 – D

38 – A

39 – A

40 – A

Dạng 4. Tính tích phân các hàm đặc biệt, hàm ẩn 1–D

2–B

3–C

4–B

5–C

6–B

7–A

8–C

9–B

10 – B

11 – A

12 – B

13 – A

14 – A

15 – B

16 – D

17 – B

18 – D

19 – B

20 – C

21 – D

22 – A

23 – B

24 – D

25 – D

26 – B

27 – C

28 – A

29 – B

30 – C

31 – B

32 – D

33 – C

34 – C

35 – D

36 – C

37 – C

38 – D

39 – A

40 – B

41 – A

42 – A

43 – D

44 – B

45 – D

46 – B

47 – A

Dạng 5. Các bài toán thực tế của tích phân 1–B

2–D

3–B

4–B

5–A

6–C

7–B

8–D

9–B

10 – A

11 – C

12 – C

13 – B

14 – A

15 – C

16 – B

17 – D

18 – A

19 – C

20 – D

21 – A

22 – C

23 – C

24 – D

25 – B

26 – C

27 – C

28 – B

Đáp án và lời giải Dạng 1. Tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất 1–B

2–D

3–C

4–B

5–B

6–D

7–A

8–C

9–D

10 – B

11 – B

12 – B

13 – C

14 – A

15 – C

16 – B

17 – A

18 – B

19 – A

20 – D

21 – A

22 – B

23 – A

24 – C

25 – D

26 – C

27 – B

28 – A

29 – A

30 – C

31 – A

32 – D

33 – C

34 – D

35 – D

36 – A

37 – B

38 – B

39 – D

40 – B

41 – C

42 – B

43 – A

44 – D

45 – B

46 – B

47 – D

48 – C

49 – B

50 – C

51 – D

52 – A

53 – A

54 – C

55 – C

56 – A

57 – A

58 – A

59 – C

60 – C

Dạng 2. Tính bằng phương pháp đổi biến 1–B

2–A

3–A

4–D

5–D

6–C

7–A

8–C

9–B

10 – C

11 – B

12 – B

13 – D

14 – A

15 – A

16 – D

17 – B

18 – D

19 – D

20 – C

21 – C

22 – D

23 – A

24 – B

25 – A

26 – D

27 – C

28 – B

29 – B

30 – C

31 – C

32 – A

33 – B

34 – B

35 – B

36 – C

37 – C

38 – A

39 – C

40 – A

Trang 69

Trang 70

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Mục tiêu

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Kiến thức

Diện tích hình phẳng

+ Nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay. + Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip.

(H )

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b (với a < b ) được xác định theo công thức:

+ Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.

Kĩ năng

S = ∫ f ( x ) dx a

+ Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích Chú ý

của các vật thể, cũng như vật thể tròn xoay. + Lập được phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip để xử lí các bài toán liên

Nếu f ( x ) không đổi dấu trên đoạn [ a; b] thì

Phần tô màu đen chính là diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] , trục

quan.

S = ∫ f ( x ) dx =

+ Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong các trường hợp

cụ thể.

∫ f ( x ) dx

• Nếu phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất x = c thuộc hoành và hai đường thẳng x = a , x = b (với a < b ). khoảng ( a; b ) thì Đặc biệt: b

S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

• Nếu phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm c1 < c2 thuộc

•

Nếu

f ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a; b]

thì

S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx •

Nếu

f ( x) ≤ 0 ,

∀x ∈ [ a; b]

thì

S = ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

khoảng ( a; b ) thì b

S = ∫ f ( x ) dx =

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Diện tích hình phẳng

( C1 ) :

(H )

giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] và

hai đường thẳng x = a , x = b (với a < b ) được xác định theo công thức: b

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a

Phần gạch chéo trong hình là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

( C1 ) :

y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x )

liên tục trên đoạn [ a; b] và hai đường Trang 1

Trang 2

thẳng x = a , x = b (với a < b ).

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Đặc biệt: Chú ý

Diện tích hình phẳng

° Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b] (đồ thị

• Nếu phương trình f ( x ) = g ( x ) vô nghiệm trên khoảng b

( a; b ) thì

( C1 )

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx . a

thẳng x = a , x = b (với a < b ) được xác định theo công thức:

S = ∫ f ( x ) dx

thuộc ( a; b ) thì S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx c

= ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  f ( x ) − g ( x )  dx

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] , trục hoành và hai đường

nằm phía trên đồ thị ( C2 ) ) thì ta

có: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

• Nếu phương trình f ( x ) = g ( x ) có nghiệm duy nhất x = c

(H )

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

= ∫  f ( x ) − g ( x )  dx a

• Nếu f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b] (đồ thị

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

( C1 )

Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

nằm phía dưới đồ thị ( C2 ) ) thì ta

( C1 ) :

y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] và

• Nếu phương trình f ( x ) = g ( x ) có hai nghiệm c1 < c2 thuộc có: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

hai đường thẳng x = a , x = b (với a < b ) được xác định theo

khoảng ( a; b ) thì

công thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

S = ∫ f ( x ) dx =

= − ∫  f ( x ) − g ( x )  dx

∫  f ( x ) − g ( x ) dx

+ ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + c1

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng

∫  f ( x ) − g ( x ) dx

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị bởi một đường cong

Phương pháp giải

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

( C ) : y = f ( x )  Ox : y = 0 Xét hình phẳng ( H ) :  x = a x = b (a < b)  Khi đó diện tích hình phẳng ( H ) là: b

S = ∫ f ( x ) dx

Ví dụ: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( C ) : y =

−3 x − 1 và hai trục tọa độ là S. x −1

Tính S.

Hướng dẫn giải Hoành độ giao điểm của

(C )

và trục hoành là

nghiệm của phương trình:

−3 x − 1 1 =0⇔ x=− x −1 3

Trong loại 1 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi tìm bằng cách giải phương trình f ( x ) = 0 .

Do đó diện tích hình phẳng là 0

−3 x − 1 dx = 1 x −1

∫ −



4 

∫  3 + x − 1  dx

1 − 3 0

= ( 3 x + 4 ln x − 1 )

Trang 3

1 − 3

4 = 4 ln − 1 3

Trang 4

Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ln x , y = 1 và đường thẳng x = 1 bằng Ví dụ mẫu

A. e 2 . 2

B. e + 2 .

Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ( x − 2 ) − 1 , trục hoành và hai đường thẳng

Hướng dẫn giải

x = 1 , x = 2 bằng

Ta có ln x = 1 ⇔ x = e .

2 3

3 2

1 3

D. e − 2 .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ln x , y = 1 và đường thẳng x = 1 là:

7 3

S = ∫ ln x − 1 dx =

Hướng dẫn giải

C. 2e.

∫ ( ln x − 1) dx

= x ( ln x − 1) − ∫ dx = 1 − x

=e−2

Ta có S = ∫ ( x − 2 ) − 1 dx = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx 2

Chọn D.

Ví dụ 5*: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e x ,

∫(x

Vì phương trình x 2 − 4 x + 3 không có nghiệm trên (1;2 ) nên S =

− 4 x + 3) dx =

2 3

trục hoành và các đường thẳng x = −1 , x = 1 . Với k ∈ ( −1;1) , đường

Chọn A.

thẳng x = k chia hình phẳng ( H ) thành hai hình phẳng có diện tích

Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh có thể sử dụng máy tính

lần lượt là S1 và S2 (như hình vẽ bên). Giá trị k để S1 = S2 là

bỏ túi để kiểm tra kết quả.

Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = −3 , x = 2 (như hình vẽ bên). Đặt a =

1  C. ln  e +  − ln 2 . e 

−3

Hướng dẫn giải

∫ f ( x ) dx , b = ∫ f ( x ) dx .

Vì e x > 0 với mọi x ∈ ℝ nên ta có

B. S = a − b .

C. S = −a − b .

D. S = b − a .

S1 = ∫ e x dx = e x

Hướng dẫn giải

−1

−3

Ví dụ 3: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới han bởi các đường y =

ln x , y = 0 , x = 1 , x = e . Mệnh x2

đề nào dưới đây đúng? e

ln x dx . x2 1

A. S = π ∫

= e k − e −1 và S2 = ∫ e x dx = e x

−1

= e − ek k

1 1  1 ⇔ k = ln  e +  = ln  e +  − ln 2 2 e e 

Chọn C. Chú ý: a x = b ⇔ x = log a b

B. S = ∫ 1

ln x dx . x2

 ln x  C. S = ∫  2  dx . x  1

 ln x  D. S = π ∫  2  dx . x  1

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới han bởi các đường y =

1 1 1 S1 = S2 ⇔ e k − e −1 = e − e k ⇔ 2ek = e + ⇔ e k =  e +  2 e e

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −a + b

Chọn D.

S=∫

D. ln 2 .

A. S = a + b .

1  B. 2 ln  e −  − 1 . e 

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Ta có S =

A. 2 ln 2 − 1 .

Ví dụ 6*: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên [ −2;6] như hình vẽ bên. Biết các miền A, B, x = 2 có diện tích lần lượt là 32; 2; 3.

ln x , y = 0 , x = 1 , x = e là: x2

Tích phân

∫  f ( 2 x + 2 ) + 1 dx

bằng

−2

ln x ln x ln x dx = ∫ 2 dx vì 2 > 0 , ∀x ∈ (1; e ) x2 x x 1

Chọn B.

45 . 2

B. 41.

C. 37.

41 . 2

Hướng dẫn giải Trang 5

Trang 6

Ta có

∫  f ( 2 x + 2 ) + 1 dx =

∫ f ( 2 x + 2 ) dx + 4

−2

∫

–3

g′ ( x )

Xét I1 =

−∞

–

f ( 2 x + 2 ) dx .

−2

1 +

+∞

Đặt t = 2 x + 2 ⇒ dt = 2 dx ⇒ dx =

–

+∞

g (1)

g ( x)

dt 2

+∞

g ( −3)

g ( 3)

Đổi cận: x = −2 ⇒ t = −2 ; x = 2 ⇒ t = 6 .

Suy ra g ( −3) < g (1) và g ( 3) < g (1)

Suy ra I1 =

1 f ( t ) dt . 2 −∫2

Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ′ ( x ) , đường thẳng d:

Gọi x1 ; x2 là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x )

y = x + 1 trên các đoạn [ −3;1] và [1;3] ta có:

với trực hoành ( −2 < x1 < x2 < 6 ) . Ta có x x2 6 1 1 I1 =  ∫ f ( t ) df + ∫ f ( t ) df + ∫ f ( t ) df  2  −2 x1 x2 1 33 = ( 32 − 2 + 3) = 2 2

+) Trên đoạn [ −3;1] ta có f ′ ( x ) ≥ x + 1 nên S1 =

 1  = ( S A − S B + SC )   2

∫ g ′ ( x ) dx = 2 ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1) dx .

−3

+) Trên đoạn [1;3] ta có f ′ ( x ) ≤ x + 1 nên S 2 = ∫ g ′ ( x ) dx = 1

1 ( x + 1) f ′ ( x )  dx . 2 ∫1 

Dựa vào đồ thị ta thấy S1 > S2 nên ta có:

33 41 Vậy ∫  f ( 2 x + 2 ) + 1 dx = I1 + 4 = + 4 = 2 2 −2

g ( x)

> − g ( x ) ⇔ g (1) − g ( −3) > − g ( 3) + g (1) ⇔ g ( 3) > g ( −3) . −3

Chọn D.

Vậy g (1) > g ( 3) > g ( −3) .

Ví dụ 7*: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như

Chọn D.

hình bên.

Lưu ý:

Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

- Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f ′ ( x ) và đường thẳng d: y = x + 1 chính là nghiệm của

A. g ( 3) > g ( −3) > g (1) .

phương trình g ′ ( x ) = 0 .

B. g ( −3) > g ( 3) > g (1) .

- Lập bảng biến thịên ta thấy g (1) lớn hơn g ( ±3) . Ta chỉ cần so sánh g ( 3) và g ( −3) .

C. g (1) > g ( −3) > g ( 3) .

- So sánh diện tích dựa vào đồ thị.

D. g (1) > g ( 3) > g ( −3) .

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Phương pháp giải

Hướng dẫn giải

Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x + 1)

g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x + 1 . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f ′ ( x ) và đường thẳng d: y = x + 1 .

x =1 Dựa vào đồ thị ta thấy: g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x + 1 ⇔   x = ±3

( C1 ) : y = f ( x )  ( C ) : y = g ( x ) Xét hình phẳng ( H ) :  2 x = a x = b ( a < b) 

Ví dụ: Tính diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ sau.

Khi đó diện tích hình phẳng ( H ) là: b

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

Bảng biến thiên:

Trang 7

Trang 8

Trong loại 2 này, nếu thiếu cận a hoặc b thì ta đi

Hướng dẫn giải

tìm bằng cách giải phương trình f ( x ) = g ( x ) .

Vì m > 0 nên từ my = x 2 ta suy y =

Lưu ý: Kĩ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, quan

x2 ≥ 0; m

Từ mx = y 2 nên x ≥ 0 và y = mx .

sát hình vẽ để xác định diện tích.

Xét phương trình

x = 0 x2 = mx ⇔ x 4 = m3 x ⇔  m x = m

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: m

S=∫

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy

m  x2 x2  dx = ∫  mx −  dx m m 0

2 m x3  .x x − =   3m   3

− x + 3 ≥ x − 2 x − 1 ∀x ∈ [ −1; 2] 2

mx −

Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong 2

hình vẽ là S = ∫ ( − x 2 + 3) − ( x 2 − 2 x − 1)  dx −1 2

= 0

1 2 1 2 m = m 3 3

1 Yêu cầu bài toán S = 3 ⇔ m 2 = 3 ⇔ m 2 = 9 ⇔ m = 3 (vì m > 0 ). 3

Chọn C. Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm y = x2 và y =

= ∫ ( −2 x 2 + 2 x + 4 ) dx

2x là S = a + b ln 2 với a, x −1

−1

 −2  =  x3 + x 2 + 4 x   3  =

b là những số hữu tỷ. Giá trị của a + b là

1 A. − . 3

−1

3 2

B. 2.

2 C. − . 3

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C1 ) : y = x2 và ( C2 ) : y = Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y = x3 − 3x , y = x . Tính S. A. S = 4 .

B. S = 8 .

C. S = 2 .

D. 1.

x2 =

D. S = 0 .

2x là x −1

x = 0 2x  x = −1 3 2 x x x x ≠ 1 ⇒ − − 2 = 0 ⇔ ( )  x −1  x = 2

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

 x = ±2 x 3 − 3x = x ⇔ x3 − 4 x = 0 ⇔  x = 0 0

Vậ y S =

∫ (x −2

− 4 x ) dx +

∫(x

− 4 x ) dx = 4 + 4 = 8 .

Chọn B. Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường my = x 2 , mx = y 2 (với m > 0 ). Tìm giá trị của m để S = 3 .

A. m = 1 .

B. m = 2 .

C. m = 3 .

D. m = 4 . Trang 9

Trang 10

Diện tích của ( H ) là 1

3 3 x 3

S = ∫ 3x 2 dx + ∫ 4 − x 2 dx = 0

3 + I với I = ∫ 4 − x 2 dx . 3 1

+I = 0

 π π Đặt x = 2sin t , t ∈  − ;  ⇒ dx = 2 cos t.dt  2 2 Đổi cận x = 1 ⇒ t =

π 6

, x =2⇒t =

π 2

. π

I = ∫ 4 − 4sin t .2 cos t.dt = ∫ 4 cos t.dt = ∫ 2 (1 + cos 2t ) .dt = ( 2 x + sin 2t ) 2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

 2 x   2x    − x 2  dx = ∫  2 + − x 2  dx =  2 x + 2 ln x − 1 −  S = ∫ x − 1 x − 1 3      −1 −1 0

= −1

5 − 2 ln 2 3

5 Suy ra a = và b = −2 3

Vậy a + b = −

2π 3 − 3 2

Vậ y S =

1 3

3 3 2π 3 4π − 3 +I = + − = 3 3 3 2 6

Chọn B. Ví dụ 5*: Hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi đồ thị ( C ) của hàm đa

Chọn A.

thức bậc ba và parabol

Ví dụ 4*: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3x 2 , cung

( P)

có trục đối xứng vuông góc với trục

hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng tròn có phương trình y = 4 − x 2 (với 0 ≤ x ≤ 2 ) và trục hoành (phần tô

đậm trong hình vẽ). Diện tích của ( H ) là A.

4π + 3 . 12

4π + 2 3 − 3 C. . 6

4π − 3 . 6

37 . 12

7 . 12

11 . 12

5 . 12

Hướng dẫn giải

5 3 − 2π . D. 3

Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là y = 2 và y = 0 nên ta xét hai hàm số là y = ax3 + bx 2 + cx + 2 , y = mx2 + nx (với a, m ≠ 0 ).

Hướng dẫn giải

Suy ra ( C ) : y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + 2 và ( P ) : y = g ( x ) = mx 2 + nx . Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( P ) là: ax3 + bx 2 + cx + 2 = mx 2 + nx ⇔ ( ax 3 + bx 2 + cx + 2 ) − ( mx 2 + nx ) = 0 .

Đặt P ( x ) = ( ax3 + bx 2 + cx + 2 ) − ( mx 2 + nx ) . Theo giả thiết, ( C ) và ( P ) cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là x = −1 , x = 1 , x = 2 nên Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y = 3x 2 và cung tròn y = 4 − x 2 (với 0 ≤ x ≤ 2 ) lả

P ( x ) = a ( x + 1)( x − 1)( x − 2 ) . Ta có P ( 0 ) = 2a .

4 − x 2 = 3 x 2 ⇔ 4 − x 2 = 3x 4 ⇔ x = 1 .

Mặt khác, ta có P ( 0 ) = f ( 0 ) − g ( 0 ) = 2 ⇒ a = 1 .

Trang 11

Trang 12

Vậy diện tích phần tô đậm là S =

∫ ( x + 1)( x − 1)( x − 2 ) dx = 12

−1

Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x , y = 0 , x = 0 , x = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2

A. S = π ∫ e 2 x dx .

B. S = ∫ e x dx .

C. S = π ∫ e x dx .

D. S = ∫ e2 x dx .

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − x và đồ thị hàm số y = x − x 2 là 3

37 . 12

B. I =

9 . 4

Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng

(H )

81 . 12

D. 13.

A. k =

giới hạn bởi các đường

2 ln 4 . 3

B. k = ln 2 .

D. k = ln 3 .

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị trên đoạn [ −1; 4] như

y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = −1 , x = 2 (như hình vẽ

hình vẽ bên. Tính tích phân I =

bên).

Đặt a =

8 C. k = ln . 3

∫ f ( x ) dx . −1

−1

∫ f ( x ) dx , b = ∫ f ( x ) dx , mệnh đề nào sau đây đúng?

A. S = b − a . B. S = b + a .

A. I = 3 .

B. I =

11 . 2

C. I = 5 .

D. I =

5 . 2

Câu 6: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y = ln x , y = 1 , y = 1 − x .

C. S = −b + a . D. S = −b − a .

A. S = e −

Câu 4: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bởi các đường y = e , y = 0 , x = 0 , x = ln 4 . Đường thẳng x

x = k ( 0 < k < ln 4 ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên dưới. Tìm k để S1 = 2S2 .

3 . 2

B. S = e −

1 . 2

C. S = e +

1 . 2

D. S = e +

3 2

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ , đồ thị hàm

y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án dưới đây là đúng?

A. f ( 2 ) > f ( −1) > f ( 0 ) . B. f ( 0 ) > f ( −1) > f ( 2 ) . C. f ( 0 ) > f ( 2 ) > f ( −1) . D. f ( −1) > f ( 0 ) > f ( 2 ) . Câu 8: Cho hàm y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) , biết đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đọan [ −2; 2] như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích S1 = S 2 = S3 =

Trang 13

22 , 15

76 15

Trang 14

Giá trị của biểu thức F ( 2 ) + F (1) − F ( −1) − F ( −2 ) bằng

∫ ( 2x

− 2 x − 4 ) dx .

−1

∫ ( −2 x + 2 ) dx . −1

∫ ( 2 x − 2 ) dx . −1

∫ ( −2 x

+ 2 x + 4 ) dx .

−1

Câu 12: Cho hai hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx − 2 và g ( x ) = dx 2 + ex + 2 , với a, b, c, d, e ∈ ℝ . Biết rằng đồ thị của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; –1; 1 (tham khảo hình vẽ bên). 36 . A. I = 5

32 B. I = . 15

18 C. I = 5

32 D. I = − . 15

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như

37 . 6

13 . 2

9 . 2

37 . 12

hình vẽ. Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) + x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. g ( 3) > g ( −3) > g (1) .

Câu 13: Cho hai hàm số

B. g (1) > g ( 3) > g ( −3) . C. g (1) > g ( −3) > g ( 3) .

g ( x ) = dx 2 + ex +

D. g ( −3) > g ( 3) > g (1) .

f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx − 1 và

1 với a, b, c, d, e ∈ ℝ . Biết rằng đồ thị hàm số 2

y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –3; –1; 2 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích bằng và

125 . 12

253 . 12

g ( x ) = dx 2 + ex + 1 (với a, b, c, d, e ∈ ℝ ). Biết rằng đồ thị của hàm số

253 . 48

125 . 48

Câu

10:

Cho

hai

hàm

số

f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx −

1 2

y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –3;

Câu 14: Cho hai hàm số

f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx +

–1; 1 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã g ( x ) = dx 2 + ex −

cho có diện tích bằng

9 . 2

C. 4.

3 4

và

3 với a, b, c, d, e ∈ ℝ . Biết rằng đồ thị của 4

hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ

B. 8.

lần lượt là –2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ bên). Hình phẳng giới

D. 5.

hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Câu 11: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên A.

được tính theo công thức nào dưới đây? Trang 15

125 . 48

253 . 24

Trang 16

125 . 24

thực t ∈ [ 0;1] . Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 , y = t 3 , x = 0 và S2 là diện

253 . 48

Câu 15: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường

4 − x 2 , y = x và y = 2 có diện tích là S = a + bπ với a, b ∈ ℚ (phần bôi đen như hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây

đúng? A. a > 0 và b > 0 . B. a > 1 và b > 1. C. a + 2b = 3 . D. a 2 + 4b 2 ≥ 5 . Câu 16: Gọi

(H)

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

( P) :

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 , y = t 3 , x = 1 (tham khảo hình vẽ bên). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của S1 + S2 . Tính 2M + 16m .

y = 8 x − x 2 và trục hoành. Các đường thẳng y = a , y = b , y = c với 0 < a < b < c < 16 chia

(H)

thành bốn phần có diện tích

A. 2M + 16m = 3 .

bằng nhau.

B. 2M + 16m = 5 .

C. 2M + 16m = 7 .

1 2 x và đường tròn ( C ) có bán kính 2

Giá trị của biểu thức (16 − a ) + (16 − b ) + (16 − c ) bằng:

Câu 20: Cho Parabol ( P ) : y =

A. 2048.

B. 3584.

bằng 1 tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm A duy

C. 2816.

D. 3480.

nhất với ( P ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) , ( C ) và trục

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) = mx4 + nx3 + px 2 + qx + r trong đó

D. 2M + 16m = 10 .

hoành (phần bôi đậm trong hình vẽ bên) bằng

m, n, p, q, r ∈ ℝ . Biết rằng hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình f ( x ) = r có tất cả bao

27 3 − 8π . 24

9 3 + 9 − 4π . 12

29 3 − 9π . 24

3 3 + 2 −π . 3

nhiêu phần tử?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Câu 21: Hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) và y = g ( x ) . Biết rằng đồ

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) = mx4 + nx3 + px 2 + qx + r trong

thị của hai hàm số này tiếp xúc nhau tại x = −3 và cắt nhau tại

đó m, n, p, q, r ∈ ℝ . Biết rằng hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình

vẽ

bên.

Tập

nghiệm

của

phương

hai điểm có hoành độ lần lượt là –1; 2 như hình vẽ bên. Diện tích của hình phẳng ( H ) (phần gạch sọc trên hình vẽ) gần

trình

f ( x ) = 16m + 8n + 4 p + 2q + r có tất cả bao nhiêu phần tử?

nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 3.

B. 4.

A. 3,11.

B. 2,45.

C. 5.

D. 6.

C. 3,21.

D. 2,95.

Câu 19: Cho đồ thị hàm số y = x3 trên đoạn [ 0;1] và một số Trang 17

Trang 18

Câu 22: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình

Câu 27: Cho hàm số y = x4 − 6 x 2 + m có đồ thị ( Cm ) . Giả sử ( Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

phẳng ( A) , ( B ) lần lượt bằng 3 và 7.

sao cho hình phẳng giới hạn bởi ( Cm ) và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục

hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó m =

Tích phân ∫ cos x. f ( 5sin x − 1) dx bằng 0

Giá trị của biểu thức S = a + b là:

4 A. − . 5

B. 2.

4 C. . 5

A. 7.

D. –2.

( C2 ) . Biết rằng ( C1 )

C. 1 < m <

3 . 2

D. 4.

đi qua gốc tọa độ và cắt ( C 2 ) tại bốn

điểm có hoành độ lần lượt là −2 ; –1; 1 và m. Tiếp tuyến của

bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a ≠ 0 và g ( x ) = px 2 + qx − 3 có đồ thị lần lượt là ( C1 ) và

tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích

1 . 2

C. 5.

Câu 28: Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e với

tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục

A. 0 < m <

B. 6. 4

Câu 23: Cho đường cong ( C ) : y = 8x − 27 x3 và đường thẳng y = m cắt

(C )

a a (với a, b là các số nguyên, b > 0 , là phân số tối giản). b b

đồ thị hàm số y = f ( x ) − g ( x ) tại điểm có hoành độ x = −2

1 < m < 1. 2

có hệ số góc bằng −

3 < m < 2. 2

15 . Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi 2

đồ thị hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) (phần được tô đậm

Câu 24: Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số

trong hình vẽ bên). Diện tích của hình ( H ) bằng

y = log a x ; y = logb x như hình vẽ bên. Gọi d là đường thẳng song A.

song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x = k

( k > 1) . Gọi

S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = log a x , đường

• Đường tròn

Câu 26: Số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm y =

1553 . 30

(C )

tâm I ( a; b ) và bán kính R có phương trình

( x − a) + ( y − b)

= R 2 hay

• Elip ( E ) có tâm O ( 0;0 ) là gốc tọa độ, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b (với a > b > 0 ), có các tiêu cự F1 ( −c;0 ) và F2 ( c;0 ) , với c 2 = a 2 − b 2 có phương trình chính tắc là

thức nào?

C. a 2 − a − 2 = 0 .

y = b ± R 2 − ( x − a ) . Diện tích hình tròn là S = π R 2 .

27 , các giá trị của a thỏa mãn đẳng độ xA = a . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( d ) và ( C ) bằng 4

B. a 2 − 2 a = 0 .

1553 . 60

D. a = b 4 ln 2 .

Câu 25: Cho đồ thị ( C ) của hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 . Gọi ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A có hoành

A. 2a 2 − a − 1 = 0 .

Các kiến thức được sử dụng khi giải toán:

sau đây đúng?

C. b = a 4 ln 2 .

1553 . 240

Phương pháp giải

y = logb x , đường thẳng d và trục hoành. Biết S1 = 4S2 . Mệnh đề nào

B. a = b 4 .

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

thẳng d và trục hoành; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

A. b = a 4 .

1553 . 120

D. a 2 + 2 a − 3 = 0 .

x 2 + 2ax + 3a 2 a 2 − ax và y = có diện 6 1+ a 1 + a6

y=±

x2 y2 + = 1 hay a 2 b2

b 2 a − x2 . a

Diện tích của elip là S = π .a.b . • Parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c .

tích lớn nhất là

1 3 2

B. 1.

C. 2.

 b ∆  • Khi đó đỉnh của ( P ) là I  − ;  với ∆ = b2 − 4ac và điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( P ) ⇔ y0 = ax02 + bx0 + c .  2a 4a 

Ví dụ mẫu

Trang 19

Trang 20

Ví dụ 1: Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ bên dưới).

Cho biết MNEG là hình chữ nhật có MN = 4m ; cung EIF có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh I

Biết kinh phí để trồng hoa là 100000 đồng/1 m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)? A. 7862000 đồng.

B. 7653000 đồng.

C. 7128000 đồng.

D. 7826000 đồng.

Hướng dẫn giải

là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m2 . Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó? A. 20 400 000 đồng.

B. 20 600 000 đồng.

C. 20 800 000 đồng.

D. 21 200 000 đồng.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ bên dưới

Chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN (hình vẽ bên dưới).

B2 A1

8m O

B1 Từ giả thiết ta có: a = 8 và b = 5 . Vậy phương trình của elip là ( E ) :

x2 y2 5 64 − x 2 . + = 1 hay y = ± 64 25 8

Khi đó, diện tích dải đất trồng hoa chính là diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi ( E ) và các đường thẳng x = −4 và x = 4 .

1 Khi đó parabol có phương trình là y = − x 2 + 6 . 6 2

208 2  1  Diện tích của khung tranh là S = ∫  − x 2 + 6  dx = (m ) . 6 9  −2 

4 π 5 5 3 64 − x 2 dx = ∫ 64 − x 2 dx = 80  +  8 2 6 4 0 0   4

Ta có: S = 4 ∫

Suy ra số tiền cần để làm bức tranh là

Khi đó số tiền cần để trồng hoa trên dải đất là

208 × 900.000 = 20800000 (đồng). 9

T = 100000.S = 7652891,82 ≈ 7653000 (đồng).

Chọn C.

Chọn B.

Lưu ý: Parabol có dạng y = ax 2 + bx + c . Giải hệ phương trình

Chú ý: Việc tìm kết quả tích phân chúng ta nên sử dụng máy tính cho nhanh chóng. Ví dụ 2: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIG ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6m , chiều dài CD = 12 m (hình vẽ bên dưới).

 I ( 0;6 ) ∈ ( P )   b =0 −  2a C ( 6; 0 ) ∈ ( P ) Ví dụ 3: Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu (phần được gạch chéo trên hình vẽ bên). Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng

giới hạn bởi parabol y = 2 x 2 − 1 và nửa trên của đường tròn có tâm là

Trang 21

Trang 22

gốc tọa độ và bán kính bằng

2 m. Số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu là bao nhiêu

biết rằng để trồng mỗi m hoa cần ít nhất là 250000 đồng? A.

3π − 2 × 250000 (đồng). 6

3π + 10 × 250000 (đồng). 6

3π + 10 × 250000 (đồng). 3

3π + 2 × 250000 (đồng). 3

2 B2

A1 –5

–2

A2 5

–2 B1 Elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 10 m và độ dài trục nhỏ là 4m nên ta có a = 5 , b = 2 . Diện tích của

( E ) là

Hướng dẫn giải

S1 = π ab = 10π ( m 2 ) .

Phương trình đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính R = 2 là x 2 + y 2 = 2 hay y = ± 2 − x 2

Đường tròn ( C ) có đường kính bằng độ dài trục nhỏ của elip nên có bán kính là R = 2 ( m ) .

Tọa độ giao điểm của parabol và đường tròn là nghiệm hệ phương trình

Diện tích của hình tròn ( C ) là S 2 = π R 2 = 4π ( m 2 ) .

y = 2 − x ⇔  x = −1; y = 1  2  x = 1; y = 1  y = 2x −1 2

Tổng số tiền T mà ban tổ chức cần để trồng hoa trên hình tròn và trồng cỏ trên phần còn lại của mảnh

Diện tích vườn hoa là S =

∫(

)

2 − x 2 − 2 x 2 + 1 dx =

−1

vườn là T = 100.000 S 2 + 60.000 ( S1 − S 2 ) ≈ 2388000 (đồng).

3π + 10 . 6

Số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu là

Chọn D. Bài tập tự luyện dạng 1

3π + 10 × 250000 (đồng). 6

y 40

Câu 1: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80 m được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được

Chọn B. Lưu ý: Nửa đường tròn phía trên trục hoành có phương trình là y = 2 − x 2 Ví dụ 4: Để trang trí cho một lễ hội đầu xuân, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn là 10m, chiều dài trục nhỏ là 4 m. Ban tổ chức chia mảnh vườn elip thành hai phần bởi đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ.

là 2000 đồng mỗi m2 trồng cây con và 4000 đồng mỗi m2 trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)? A. 31904000 đồng.

B. 23991000 đồng.

C. 10566000 đồng.

D. 17635000 đồng.

50 x A

Cây con

Câu 2: Một cái cổng hình parabol như hình vẽ bên dưới. Biết chiều cao GH = 4 m , chiều rộng AB = 4 m ,

AC = BD = 0,9 m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại 10 m

là hình chữ nhật CDEG tô đậm giá là 1200 000 đồng/ m2 , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000

Trên hình tròn, người ta trồng hoa với giá 100000 đồng/ m2 , phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng 2

cỏ với giá 60000 đồng/ m (biết tiền trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả tiền công và tiền mua cây). Hỏi ban tổ chức cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)? A. 2387000 đồng.

B. 2638000 đồng.

C. 2639000 đồng.

D. 2388000 đồng.

đồng/ m2 . Tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 đồng.

B. 7368000 đồng.

C. 4077000 đồng.

D. 11370000 đồng.

Câu 3: Một khu đất có hình dạng là một hình tròn với đường kính d = 20 m như hình vẽ bên. Người ta muốn trồng rau

Hướng dẫn giải

trên dải đất rộng 10 m lấy tâm của đường tròn khu đất làm –10 Trang 23

–5

10 Trang 24

của parabol y = ax 2 + bx + c . Biết f ( −3 ) = 0 , giá trị của f ( −1) + f (1) bằng

tâm đối xứng. Diện tích phần đất trống còn lại bao nhiêu m2 ? A.

100π − 50 3 . 3

100π − 10 3 . 3

23 . 6

31 . 6

400π − 50 3 . 3

200π − 50 3 . 3

35 . 3

9 . 2

Câu 4: Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol

Câu 8: Một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ bên. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng

đỉnh S như hình vẽ bên. Biết OS = AB = 4 ( m ) , với O là trung điểm

của AB. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc giá 120 000 đồng/

đường tròn lớn có phương trình x 2 + y 2 = 25 . Các đường

m2 ; phần giữa là hình quạt tâm O, bán kính 2 m được tô đậm giá

tròn

140000 đồng/ m2 ; phần còn lại giá 160000 đồng/ m2 . Tổng chi phí để sơn cả ba phần gần nhất với số nào sau đây?

 −7  G  0;  và đều có bán kính bằng 2. Biết chi phí sơn là  2 

A. 1444000 đồng.

B. 1488000 đồng.

C. 1450000 đồng.

D. 1493000 đồng.

Câu 5: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí để

B2 N

gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2 = 8m ,

B1 B2 = 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có

MQ = 3m . A. 7322000 đồng.

B. 7213000 đồng.

C. 5526000 đồng.

D. 5782000 đồng.

Câu 6: Trong công viên Toán học, có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong Toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có

250 2 m . 3

 7 J  0;  ,  2

 −7  K  ;0 ,  2 

A. 650000 (đồng).

B. 688500 (đồng).

C. 785200 (đồng).

D. 588700 (đồng).

Câu 9: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần trồng hoa hồng có dạng một hình parabol có đỉnh trùng với tâm hình tròn và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa đường tròn, hai đầu mút của parabol nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một đoạn 4 mét (phần tô màu). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dùng để trồng hoa cúc. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồng

A. 2.132.000 đồng.

B. 2.266.000 đồng.

C. 2.257.000 đồng.

D. 2.123.000 đồng.

Câu 10: Bác An có mảnh ruộng hình Elip độ dài trục lớn bằng 100m, độ dài trục bé bằng 80m. Với chủ trương xây dựng kinh tế nông thôn mới, bác định chuyển đổi canh tác bằng cách đào một cái ao hình elip ở chính giữa vườn có trục lớn bằng 90m, trục bé bằng 70m để nuôi tôm, cá. Phần đất còn lại bác làm bờ

trồng cây xung quanh. Biết chi phí đào 1 m2 ao hết 250000 đồng và chi phí làm bờ trồng cây là 100000 đồng/1 m2 . Hỏi số tiền bác phải chi gần với số nào nhất sau đây?

125 2 B. S = m . 4 D. S =

7  I  ;0  , 2 

150 000 đồng/ m2 . Hỏi chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số tiền nào sau đây (làm tròn đến nghìn đồng)?

như hình vẽ bên dưới. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

C. S =

tâm

hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 200 000 đồng/ m2 và

phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16 y 2 = x 2 ( 25 − x 2 )

125 2 A. S = m . 6

có

900 000 đồng/ m2 , đơn vị trên hệ trục là dm. Chi phí phải trả để sơn hoàn thiện chi tiết máy gần nhất với số tiền nào sau đây?

sơn phần tô đậm là 200 000 đồng/ m2 và phần còn lại 100 000 đồng/ m2 . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên

nhỏ

A. 1370519000 đồng. B. 1400500000 đồng.

C. 1500000000 đồng.

D. 1398212000 đồng.

Câu 11: Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông (phần không kẻ) người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200

125 2 m . 3

Câu 7: Cho hàm số f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x )

000 đồng / m2 , biết MN = 4 m , MQ = 6 m . Hỏi số tiền để mua hoa trang trí gần với số tiền nào sau đây?

trên [ −3; 2 ] như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần

Trang 25

Trang 26

A. 3 434 300 đồng.

B. 3 373 400 đồng.

C. 3 437 300 đồng.

D. 3 733 300 đồng.

bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5 cm , OH = 4 cm . Diện tích bề mặt hoa văn đó.

Câu 12: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là

một parabol. Giá 1 m2 của rào sắt là 700000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng nghìn)?

160 2 cm . 3

140 2 cm . 3

14 2 cm . 3

D. 50 cm2 .

Câu 17: Cho parabol ( P ) : y = x 2 và một đường thẳng d thay đổi cắt ( P ) tại hai điểm A, B sao cho

A. 6.620.000 đồng.

AB = 2019 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và đường thẳng d.

B. 6.320.000 đồng.

Tìm giá trị lớn nhất Smax của S.

C. 6.520.000 đồng. D. 6.417.000 đồng. Câu 13: Trên một khuôn viên hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m, trục bé bằng 10 m. Người ta muốn trồng hoa trên một dải đất phía trong khuôn viên, dải đất có một cạnh song song với trục lớn và cách trục lớn 2,5 m (hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100

000 đồng/ m2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? A. 2 879 000 đồng.

B. 2 587 000 đồng.

C. 2 457 000 đồng.

D. 2 678 000 đồng.

xxx hoa xxx 5/2 m 16 m

A. Smax =

20193 + 1 . 6

B. Smax =

20193 . 3

C. Smax =

20193 − 1 . 6

D. Smax =

20193 . 6

Câu 18: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên. Diện tích hoa văn trang trí

(phần tô đậm) bằng A.

Câu 14: Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố X có dạng hình tròn đường kính AB = 4 m . Công ty cây xanh thiết kế phần

1600 3 cm . 3

C. 250 cm3 .

trồng hoa giấy ở giữa hai đường parabol có trục đối xứng vuông góc với đường kính AB tại tâm của hình tròn và cắt AB tại điểm C, C′ thỏa mãn BC = 1m (phần tô đậm). Phần còn lại của

800 3 cm . 3

D. 800 cm3 .

Câu 19: Cho một viên gạch men có dạng hình vuông

OABC như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có O ( 0;0 ) ,

vòng xuyến thiết kế trồng hoa cúc. Chi phí để trồng hoa giấy và hoa cúc lần lượt là 200000 đồng / m2 và 100 000 đồng / m2 . Hỏi chi phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?

A ( 0;1) , B (1;1) , C (1;0 ) và hai đường cong lần lượt là đồ thị

hàm số y = x3 và y = 3 x . Tính diện tích của phần không được

A. 1523000 đồng.

tô đậm trên viên gạch men.

B. 1532000 đồng. C. 1790000 đồng. D. 1980000 đồng. Câu 15: Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích 200

m2 . Người ta muốn trồng hoa trên mảnh vườn đó theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của mảnh vườn như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng hoa là 300 nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Xác định chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên.

1 . 3

5 . 4

4 . 5

1 . 2

Câu 20: Để tăng thêm thu nhập, ông Bình chăn nuôi thêm 2 con bò. Do

diện tích đất của nhà ông hẹp nên ông xây chuồng bò như hình vẽ bên và chia thành hai phần bằng nhau để nhốt 2 con bò. Biết ABCD là hình

A. 30 triệu đồng.

B. 60 triệu đồng.

vuông cạnh 4m và I là đỉnh của một parabol có trục đối xứng là trung

C. 50 triệu đồng.

D. 40 triệu đồng

trực của BC và parabol đi qua hai điểm A, D; tiền xây chuồng bò hết

Câu 16: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10cm bằng cách khoét đi bốn phần

350000 đồng/1 m2 và I cách BC một khoảng 5m. Số tiền chi phí ông

Trang 27

Trang 28

Thể tích vật thể

Bình bỏ ra để xây dựng chuồng bò (làm tròn đến hàng nghìn) là bao nhiêu? A. 6333000đồng.

B. 7533000đồng.

C. 6533000đồng.

D. 7333000đồng.

Cắt một vật thể B bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b ,

B. THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

với a < b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

tại điểm có hoành độ x (với a ≤ x ≤ b ) cắt B theo thiết diện có diện tích S ( x ) như hình vẽ bên. b

Khi đó thể tích vật thể B là V = ∫ S ( x ) dx . a

Thể tích khối tròn xoay

a) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] , trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b (với a < b ). Quay ( H )

xung quanh trục Ox ta thu được một khối tròn xoay như hình vẽ bên. Thể

tích

khối

tròn

xoay

thu

được

là

V = π ∫  f ( x )  dx a

Nếu đổi vai trò của x và y cho nhau, ta được d

VOy = π ∫ g 2 ( y ) dy c

Khi đó, hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g ( y ) liên tục trên đoạn [ c; d ] , trục Oy và hai đường thẳng y = c , y = d (với c < d ). Quay ( H )

xung quanh trục Oy ta thu được một khối tròn xoay như hình vẽ bên. b) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C 2 ) : y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] và hai đường thẳng x = a , x = b

(với a < b ). Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta thu

ú ý:

được một khối tròn xoay như hình vẽ bên. Khi đó,

thể tích khối tròn xoay thu được là Trang 29

Tro ng

Trang 30

trường hợp này, ta phải có f ( x ) .g ( x ) ≥ 0 với

∀x ∈ [ a; b ] thì mới áp dụng được công thức.

V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Thể tích vật thể Cắt một vật thể B bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vuông góc với trục

Ox lần lượt tại x = a và x = b , với a < b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (với a ≤ x ≤ b ) cắt B theo thiết diện có diện tích S ( x ) như hình vẽ. b

Khi đó thể tích vật thể B là V = ∫ S ( x ) dx a

Ứng dụng của tích phân trong tính thể tích

Thể tích khối tròn xoay a) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục

trên đoạn [ a; b ] , trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b (với

a < b ). Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta thu được một khối tròn xoay b

như hình vẽ bên. V = π ∫  f ( x )  dx a

Nếu đổi vai trò của x và y cho nhau, ta được d

VOy = π ∫ g 2 ( y ) dy c

Khi đó, hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g ( y ) liên tục trên đoạn [ c; d ] , trục Oy và hai đường thẳng y = c , y = d (với c < d ). Quay ( H ) xung quanh trục Oy ta thu được một khối tròn xoay như hình vẽ bên.

b) Cho hình phẳng y = f ( x) ,

(H )

giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

( C1 ) :

( C 2 ) : y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] và hai đường

thẳng x = a , x = b (với a < b ). Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta thu được một khối tròn xoay như hình vẽ bên. Khi đó, thể tích khối tròn xoay thu được là b

V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx a

Chú ý: Trong trường hợp này, ta phải có

f ( x ) . g ( x ) ≥ 0 v ới

∀x ∈ [ a; b ] thì mới áp dụng được công thức.

Trang 31

Trang 32

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số

Bài toán 1: Tính thể tích vật thể

x = 0, x =

y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] , trục Ox và hai

Phương pháp giải Ví dụ: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi

Cắt một vật thể B bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q )

vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b , hai mặt phẳng x = 1 và x = 3 , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại với a < b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ X (với a ≤ x ≤ b ) cắt B theo điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 3 ) thì được thiết diện thiết diện có diện tích S ( x ) b

Hướng dẫn giải

Diện tích thiết diện là S ( x ) = 3x 3x 2 − 2 .

Khi đó thể tích vật thể B là V = ∫ S ( x ) dx

Suy

thể

vật

tích

thể

V = ∫ S ( x ) dx = ∫ 3x 3x 2 − 2dx =

tạ o

. Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D

quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? đường thẳng x = a và x = b (với a < b ). Quay Hướng dẫn giải π π ( H ) xung quanh trục Ox ta thu được một khối tròn b

Ta có V = π ∫ y 2 dx = π ∫ ( 2 + cos x ) dx

xoay có thể tích là V = π ∫  f ( x )  dx a

= π ( 2 x + sin x )

3x 2 − 2

là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và

= π + (π + 1)

Ví dụ mẫu

thành

là

Ví dụ 1: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x 2 + 2 , y = 0 , x = 1 , x = 2 . Gọi V lả thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

124 3

A. V = ∫ ( x 2 + 2 ) dx .

Ví dụ mẫu

B. V = ∫ ( x 2 + 2 ) dx .

C. V = π ∫ ( x 2 + 2 ) dx .

D. V = π ∫ ( x 2 + 2 ) dx .

Hướng dẫn giải

Ví dụ: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x =

π 4

, biết rằng thiết diện của vật

π  thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0 ≤ x ≤  làm một tam giác đều 4 

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) được giới hạn bởi các đường y = x 2 + 2 ,

y = 0 , x = 1 , x = 2 xung quanh trục Ox là 2

V = π ∫ ( x 2 + 2 ) dx

có cạnh là 2 cos 2x .

Chọn C. A. V = 3 .

B. V =

3 . 2

C. V =

1 . 2

D. V =

2 . 2

Ví dụ 2: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác đều là S ( x ) =

(

3 2 cos 2 x

)

x = 1 , x = 2 . Thể tích cảu vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình ( H ) quay xung quanh trục Ox bằng

= 3 cos 2 x

Thể tích vật thể là V = ∫ S ( x ) dx = ∫ 3 cos 2 xdx =

3 sin 2 x 2

  a V = π  ln + b  , trong đó a, b là các số hữu tỷ. Khi đó tích a.b bằng 3  

π 4 0

3 2

Chọn B.

10 . 3

B. −

10 . 3

C. 2.

D. –2.

Hướng dẫn giải Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi hình phẳng ( H ) quay xung quanh trục Ox là

Bài toán 2: Tính thể tích khối tròn xoay

2 2 2   2x −1  2x −1 1 2 − V = π ∫  dx = π ∫  dx  dx = π ∫ 2 2  2x +1  1 1 ( 2 x + 1) 1   2 x + 1 ( 2 x + 1)  2

Phương pháp giải Áp dụng các công thức tính thể tích khối tròn Ví dụ: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong xoay:

2 x −1 , trục hoành, hai đường thẳng 2x +1

y = 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng

Trang 33

1  1 = π  ln ( 2 x + 1) +  2x + 1  2

2 1

 15 2  1 5 2  = π  ln −  = π  ln −  3 15   2 3 15  

Trang 34

Suy ra a = 15 , b = −

Chọn C.

2 15

Ví dụ 4: Kí-hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 ( x − 1) e x , trục tung và trục hoành.

Vậy a.b = −2 .

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox:

Chọn D. Ví dụ 3: Cho parabol ( P ) : y = 16 − x 2 và hai điểm A ( a;0 ) , B ( − a; 0 ) ; a < 0 < 4 . Gọi ( H ) là hình

A. V = 4 − 2e .

phẳng giới hạn bởi ( P ) và trục Ox, ( H1 ) là hình chữ nhật ABCD với C, D là hai điểm thuộc ( P ) . Gọi V

Hướng dẫn giải

là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay ( H ) quanh Oy và V1 là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay ( H1 ) quanh Oy. Giá trị lớn nhất của tỉ số

2 . 3

1 . 4

C. V = e 2 − 5 .

D. V = ( e 2 − 5 ) π .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là 2 ( x − 1) e x = 0 ⇔ x = 1 . Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( H ) xung quanh trục Ox là:

V1 bằng V C.

B. V = ( 4 − 2e ) π .

1 . 2

V = π ∫  2 ( x − 1) e x  dx = 4π ∫ ( x − 1) e 2 x dx

3 . 4

du = 2 ( x − 1) dx 2 u = ( x − 1)  Đặt  ⇒ e2 x 2x v = dv = e dx 2 

Hướng dẫn giải

Suy ra V = 4π ( x − 1)

e2 x 2

− 4π ∫ ( x − 1) e 2 x dx = −2π − 4π ∫ ( x − 1) e 2 x dx

Gọi V1 = 4π ∫ ( x − 1) e2 x dx 0

 du = dx u = x − 1  Đặt  ⇒  e2 x 2x dv = e dx v =  2

Suy ra V1 = 4π ( x − 1) 16

Ta có V = Vy = π ∫ (16 − y ) dy = 128π Vì D ∈ ( P ) nên D ( a;16 − a 2 ) . Suy ra AD = 16 − a 2 .

− 2π ∫ e 2 x dx = 2π − π e 2 x

= 2π − π e 2 + π = 3π − π e2

Chọn D.

Do đó khi xoay ( H1 ) quanh Oy ta được hình trụ tròn có bán kính R = a và chiều cao h = 16 − a 2 . Suy

Ví dụ 5: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi hai đồ thị ( C1 ) : y = 2 x2 và ( C2 ) : y 2 = 4 x . Quay hình phẳng

(H )

ra V1 = π a 2 (16 − a 2 ) = π (16a 2 − a 4 ) Xét hàm số f ( x ) = π (16a 2 − a 4 ) trên [ 0;4] ta thấy: f ′ ( x ) = π ( 32 x − 4 x 3 )

xung quanh trục Ox ta thu được khối tròn xoay có thể tích là

A. V =

x = 0  f ′( x) = 0 ⇔ x = 2 2  x = −2 2 

(

V = −2π − V1 = −2π − ( 3π − π e2 ) = π ( e 2 − 5 )

88π . 5

B. V =

9π . 70

C. V =

4π . 3

D. V =

6π . 5

Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là nghiệm của hệ phương trình 2 x = y = 0  y = 2 x ⇔  2 y = 4 x  x = 1; y = 2 

)

nên max f ( x ) = f 2 2 = 64π . [0;4]

e2 x 2

1  V  64π Vậy max  1  = = khi a = 2 2 .  V  128π 2 Trang 35

Trang 36

1 1 1 1 V = .π .O B 2 .OA = .π .π 2 .π = π 4 ⇒ p = 3 3 3 3 1 Vậy 24 p = 24. = 8 . 3

Chọn A. Lưu ý: Vì trên đoạn

[0; π ]

thì y = x − π ≤ 0 và y = sin x ≥ 0

nên không thể áp dụng công

1 thức V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx . Ở đây ta áp dụng công thức tính thể tích khối nón là V = .π .r 2 .h . 3 a

Với x ∈ [0;1] thì y 2 = 4 x ⇔ y = 2 x .

Ví dụ 7: Để chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An 1

(

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là V = π ∫ ( 2 x 2 ) − 2 x

)

đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn

xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng OO ′ = 5 cm ,

0 1

6π = π ∫ ( 4 x − 4 x 2 ) dx = 5 0

OA = 10 cm , OB = 20 cm , đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là

điểm A. Thể tích của chiếc mũ bằng

Chọn A. A.

2750π cm3 . 3

2500π cm3 . 3

tục trên đoạn [ a; b] và hai đường thẳng x = a , x = b (với a < b ). Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta thu

2050π cm3 . 3

2250π cm3 . 3

được một khối tròn xoay.

Hướng dẫn giải

Ghi nhớ: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) liên

Ta gọi:

Khi đó, thể tích khối tròn xoay thu được là S = ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx

+) Thể tích của chiếc mũ là V.

Ví dụ 6: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường ( C1 ) : f ( x ) = x − π , ( C2 ) : g ( x ) = sin x và x = 0 .

+) Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng OA = 10 cm cm và đường cao OO ' = 5 cm là V1 .

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do ( H ) quay quanh trục hoành và V = pπ 2 , p ∈ ( ℚ ) . Giá trị

+) Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong AB và hai trục tọa

độ quanh trục Oy là V2 .

của 24p bằng

A. 8.

B. 4.

C. 24.

Khi đó V1 = 5.102 π = 500π và V = V1 + V2 .

D. 12.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số ( C1 ) và

( C2 ) là x − π = sin x ⇔ x − π − sin x = 0 (1) . Xét hàm số h ( x ) = x − π − sin x ⇒ h′ ( x ) = 1 − cos x ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ . Suy ra h ( x ) đồng biến trên ℝ và x = π là một nghiệm của phương trình (1) nên x = π là nghiệm duy nhất của phương trình (1) . Do đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành

Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng ( P ) : y = a ( x − 10 ) .

là thể tích của khối nón khỉ quay tam giác vuông OAB quanh trục hoành.

Trang 37

Trang 38

Câu 1: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các

1 Vì ( P ) qua điểm B ( 0; 20 ) nên a = . 5

Do đó ( P ) : y = 20

đường y = 4 − x 2 , y = 0 .

1 2 ( x − 10 ) . Từ đó suy ra x = 10 − 5 y (do x < 10 ). 5

(

Suy ra V2 = π ∫ 10 − 5 y

)

Vậy V = V1 + V2 =

A. V = 2π .

B. V =

71 . 82

C. V =

512π . 15

8 D. V = π 2 3

Câu 2: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi

8000  1000  π ( cm3 ) . dy = π  3000 − = 3  3 

các đường y = tan x , y = 0 , x = 0 , x =

1000 2500 π + 500π = π ( cm3 ) 3 3

π . 4

π2 π π π ln 2 . B. V = . C. V = . D. V = . 4 4 4 2 Câu 3: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các A. V =

Chọn B. Ví dụ 8: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = 0 và x = 4 quanh trục Ox. Đường thẳng x = a ( 0 < a < 4 ) cắt đồ thị hàm số y = x tại M như hình

đường y = 3 x , y = 0 , x = 1 , x = 8 . A. V = π 2 .

vẽ bên dưới:

B. V =

9π . 4

C. V = 18, 6 .

D. V =

93π 5

Câu 4: Kí hiệu V1 là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và V2 là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x + 2 , y = 2 1 − x 2 quanh Ox. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. V1 < V2 .

B. V1 = V2 .

C. V1 > V2 .

D. V1 = 2V2 .

Câu 5: Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ( O; R ) và ( O; R′ ) , OO′ = 4 R . Trên đường tròn ( O; R ) lấy hai điểm A, B sao cho AB = R 3 . Mặt phẳng ( P ) đi qua A, B cắt đoạn OO′ và tạo với đáy một góc bằng 60°. ( P ) cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của hình elip. Diện tích thiết diện đó bằng Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V = 2V1 . Khi đó

A. a = 2 .

B. a = 2 2 .

C. a =

5 . 2

D. a = 3 .

Hướng dẫn giải 4

x2 Ta có V = π ∫ xdx = π 2 0

 4π 3 2 A.  −  R . 3 2  

 2π 3 2 B.  −  R . 3 4  

 2π 3 2 C.  +  R . 3 4  

 4π 3 2 D.  +  R . 3 2  

Câu 6: Một chiếc cốc hình trụ có chiều cao bằng 10cm và bán kính mặt trong bằng 3 cm đựng một lượng nước. Khi nghiêng cốc nước sao cho nước chạm vào miệng cốc thì ở đáy mực nước đi qua tâm của đáy. Thể tích nước ở trong cốc bằng

= 8π . Mà V = 2V1 ⇒ V1 = 4π 0

Gọi K là hình chiếu của M trên trục Ox. Khi đó OK = a , KH = 4 − a , MK = a . Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta được hai khối nón sinh bởi các tam giác OMK, MHK nên thể tích của khối tròn xoay đó là

A. 30π cm3 .

B. 30 cm3 .

C. 60 cm3 .

D. 15π cm3 .

Câu 7: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

1 1 4π a . V1 = .π .MK 2 .OK + .π .MK 2 .KH = 3 3 3

1 2 x , 4

x y = − , x = 0 và x = 4 (phần hình phẳng bên phải trục Oy), tham 2 khảo hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng

4π a Từ V1 = 4π suy ra = 4π ⇔ a = 3 . 3

Chọn D. Bài tập tự luyện Trang 39

Trang 40

512 π. 15

196 π. 15

272 π. 15

112 π. 15

Câu 8: Cho hình ( H ) giới hạn bởi trục hoành, một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol đó tại điểm A ( 2; 4 ) (như hình vẽ bên). Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình ( H ) quay quanh trục Ox bằng

32π . 5

16π . 5

2π . 3

22π . 5

Cho ( H1 ) , ( H 2 ) quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V1 , V2 . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. V1 = V2 .

1 B. V1 = V2 . 2

C. V1 = 2V2 .

2 D. V1 = V2 . 3

Câu 9: Cho hình ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong x = y 2 và đường thẳng x = a với a > 0 .

Câu 12: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 và

Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của vật thể tạo tròn xoay sinh ra khi quay hình ( H ) quanh trục hoành và

đường tròn x2 + y 2 = 2 (phần tô đậm trong hình). Thể tích V

trục tung. Kí hiệu ∆V là giá trị lớn nhất của V1 = −

V2 đạt được khi a = a0 > 0 . Hệ thức nào sau đây 8

đúng? A. 5∆V = 2π a0 .

B. 5∆V = 4π a0 .

C. 4∆V = 5π a0 .

D. 2∆V = 5π a0 .

Câu 10: Xét ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) = a sin x + b cos x (với a, b là các hằng số thực dương), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π . Nếu vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) quanh trục Ox có thể tích bằng

A. 8.

5π 2 và f ′ ( 0 ) = 2 thì 2a + 5b bằng 2

B. 11.

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi ( H1 )

C. 9.

của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành bằng

5π . 3

44π . 15

22π . 15

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  f ′ ( x )  + f ( x ) . f ′′ ( x ) = 2020 x , ∀x ∈ ℝ và f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 1 . Gọi

(H ) D. 10.

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 . Tính

thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục Ox.

x2 x2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , y=− , 4 4 2

x = −4 , x = 4 và ( H 2 ) là hình gồm tất cả các điểm ( x; y ) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ 16 , x 2 + ( y − 2 ) ≥ 4 ,

 8098  A. V =   π.  3 

Câu 14: Cho hình

B. V = 4049π .

(H )

C. V =

8098 π. 3

D. V =

8098 π. 3

là hình phẳng giới hạn bới parabol

x2 + ( y + 2) ≥ 4 .

y = 2 2 x , cung tròn có phương trình y = 9 − x 2 (với 0 ≤ x ≤ 3 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) quanh trục Ox là

Trang 41

164π . 15

164 . 15

Trang 42

163π . 15

y = x2 − 2 x , y = 0 , x = 0 , x = 1 quanh trục hoành có giá trị bằng

163 . 15 2

Câu 15: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn ( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 3) ≤ 1 quanh trục Ox.

A. V = 2π 2 .

B. V = 6π 2 .

C. V = π 2 .

( a < b ) . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

quay D quanh trục hoành được tính theo công thức. b

A. V = π ∫ f 2 ( x ) dx .

B. V = 2π ∫ f 2 ( x ) dx .

C. V = π 2 ∫ f 2 ( x ) dx .

D. V = π 2 ∫ f ( x ) dx .

8π . 15

7π . 8

7π 2 . 8

7π 2 . 4

A. V = π ∫ ( x + 3) dx . B. V = ∫ ( x + 3) dx . 2

C. V = π ∫ ( x + 3) dx . 2

A. 32.

x 2 + 1dx .

∫ (x

D. V = ∫ ( x + 3) dx .

+ 1) dx .

C. π ∫

x = 0 , x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? B. V = 2π (π + 1) .

C. V = 2π .

Câu 20: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 2 . Gọi V là thể tích 2

C. V = π ∫ ( x 2 + 3) dx .

Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích là

A. V =

B. V =

e2 − 1 C. V = . 2

D. V =

B. V = 2π .

( be

− 2 ) . Giá trị a + b bằng

C. 34.

D. 20.

B. V = π ( e − 2 ) .

C. V = π e .

D. V = π ( e − 1) .

1 3 x − x2 , y = 0 , 3

81π . 35

81 . 35

71π . 35

Câu 28: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong y =

71 . 35

x−3 , trục hoành và trục tung. Khối tròn x +1

xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V = π ( a + b ln 2 ) với a, b là các số nguyên. Giá trị

B. T = 6 .

C. T = 10 .

D. T = −1 .

Câu 29: Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường elip có phương trình

x2 y 2 + = 1 quay xung quanh trục Ox là 9 4 B. 12π .

C. 16π .

D. 6π .

Câu 30: Vật thể paraboloid tròn xoay như hình vẽ bên có đáy (phần gạch chéo) diện tích B = 3 và chiều cao h = 4 (khoảng cách từ đỉnh đến mặt

x = 1 . Khối tròn xoay tạo thanh khi quay D quanh trục hoành có thể tích là 4 C. V = . 3

3π 2 . 8

x = 0 và x = 3 quanh trục Ox là

A. 8π .

π ( e 2 − 1)

Câu 22: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x 2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ,

4π A. V = . 3

Câu 21: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 1 .

π ( e 2 + 1)

A. V = π ( e + 1) .

A. T = 3 .

D. V = ∫ ( x 2 + 3) dx .

π e2

, x = π . Thể

T = a + b bằng

khối tròn xoay được tạo thành khi quay D xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. V = π ∫ ( x 2 + 3) dx . B. V = ∫ ( x 2 + 3) dx .

B. 28.

D. V = 2π .

tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

Câu 19: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng

A. V = 2 (π + 1) .

3π 2 . 4

Câu 27: Thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) xác định bởi các đường y = D. π ∫ ( x 2 + 1) dx .

x 2 + 1dx .

Câu 26: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = ln x , trục hoành và đường thẳng x = e . Tính thể

x = 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích là

∫

8π . 7

Câu 18: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ,

xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành Ox bằng

khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2

Câu 25: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = x ln x , y = 0 , x = 1 , x = e . Thể tích của khối tròn

Câu 17: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 2 . Gọi V là thể tích

15π . 8

tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành Ox bằng

Câu 24: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = 1 + sin 4 x + cos 4 x , y = 0 , x =

D. V = 6π .

Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

D. V = 2 .

Câu 23: Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường Trang 43

đáy). Thể tích của vật thể trên là

1 A. V = π . 3

B. V = 6 .

1 C. V = π . 4

D. V = 8 . Trang 44

C. V = Câu 31: Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

(H )

giới hạn bởi đường cong

C. a + b = 9 .

kính lần lượt là 2 và 4. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay khi quay đường cong

y = x − 1 quay quanh trục Ox. Thể tích của bình cắm hoa đó bằng

V = π  a + b ln ( e + 1)  , trong đó a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B. a − 2b = −3 .

40π . 3

D. V =

Câu 36: Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình là các đường tròn có đường

5 + ( x − 4) ex y= , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 1 quanh trục hoành có thể tích xe x + 1

A. a + b = 5 .

14π . 3

A. 8π .

D. 2a − b = 13 . 2

15π . 2

14π . 3

14 . 3

Câu 32: Ký hiệu D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) = x .e x , trục hoành, đường thẳng

Câu 37: Gọi V là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x a và y = a ( 2 − a ) x ,

x = 1 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay D quanh trục hoành.

0 < a < 2 khi quay quanh trục Ox. Giá trị của a để V đạt giá trị lớn nhất là

A. V = e2 − 1.

B. V = π ( e 2 − 1) .

1 C. V = π e 2 − 1 . 4

1 D. V = π ( e 2 − 1) . 4

Câu 33: Trong mặt phẳng, cho đường elip ( E ) có độ dài trục lớn là

A. a = 1 .

C. V = 24π .

D. V =

3 . 2

D. a =

3 . 4

trục Ox có thể tích bằng bao nhiêu?

B′

AA′ . Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.

B. V = 60π .

C. a =

(phần gạch sọc trong hình). Khối tròn xoay khi quay H xung quanh

A′

elip và đường tròn (được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục

A. V = 36π .

1 . 2

Câu 38: Cho hình H giới hạn bởi các đường y 2 = 2 x và x 2 + y 2 = 8

AA′ = 10 , độ dài trục nhỏ là BB′ = 6 , đường tròn tâm O có đường kính là BB′ (như hình vẽ bên). Cho miền hình hình phẳng giới hạn bởi đường

B. a =

(

2π 8 2 − 7 3

 32 2  C.  − 8  π . 3  

20π . 3

(

4π 13 − 8 2 3

(

4π 8 2 − 7 3

Câu 34: Một hình cầu có bán kính 6 dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai

Câu 39: Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết

mặt phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung

diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là 1600π ( cm 2 ) , chiều dài của trống là 1 m . Biết

quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ). Tính thể tích V mà chiếc lu

rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường parabol. Hỏi thể tích của cái trống

chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4 dm.

là bao nhiêu?

368 A. V = π dm3 . 3

B. V = 192π dm3 .

736 π dm3 . 3

D. V = 288π dm3 .

C. V =

A. 425,2 dm3 .

B. 425,2 cm3 .

C. 425,2 cm3 .

D. 425,2. m3

Câu 40: Một bình hoa dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − sin x + 2 và trục Ox (tham khảo hình vẽ bên). Biết đáy bình hoa là hình tròn có bán kính bằng 2 dm, miệng bình hoa là

Câu 35: Cho hai đường tròn ( O1 ,5 ) và ( O2 , 3) cắt nhau tại hai A

điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn ( O2 ,3) .

bình hoa gần với giá trị nào trong các giá trị sau đây?

Gọi D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài

đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay D

đường tròn bán kính bằng 1,5 dm. Bỏ qua độ dày của bình hoa, thể tích của (D) C

A. 100 dm3 .

B. 104 dm3 .

C. 102 dm3 .

D. 103 dm3 .

quanh trục O1O2 ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của

khối tròn xoay được tạo thành.

A. V = 36π .

B. V =

68π . 3 Trang 45

Trang 46

Câu 41: Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là

Câu 46: Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu ( S1 ) ,

kiến trúc xây dựng như đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà

( S2 )

Nội, sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất, ... Xét

có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của ( S1 )

một Lavabo (bồn rửa) làm bằng sứ đặc hình dạng là một nửa khối elip

thuộc ( S 2 ) và ngược lại (xem hình vẽ). Tính thể tích phần

tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên của Lavabo là: dài X rộng:

chung V của hai khối cầu tạo bởi ( S1 ) và ( S 2 ) .

660 × 380 mm(tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng Lavabo có độ dày A. π R3 .

đều là 20 mm. Thể tích chứa nước của Lavabo gần với giá trị nào trong các giá trị sau: A. 18,66 dm3 .

B. 18,76 dm3 .

C. 18,86 dm3 .

D. 18,96 dm3 .

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể ( H ) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương

( a < b ) . Gọi S ( x )

trình x = a và x = b

5π R 3 . 12

B. D.

π R3 2

2π R3 . 5

là diện tích thiết diện của ( H ) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc

với trục Ox tại điểm có hoành độ là x với a ≤ x ≤ b . Giả sử hàm số y = S ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Khi đó, thể tích V của vật thể ( H ) được cho bởi công thức: b

A. V = π ∫  S ( x )  dx . B. V = π ∫ S ( x ) dx . a

C. V = ∫  S ( x )  dx .

D. V = ∫ S ( x ) dx . a

Câu 43: Cho ( T ) là vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 , x = 1 . Tính thể tích V của ( T ) biết rằng khi cắt ( T ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng X ( 0 ≤ x ≤ 1) , ta được thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 1 + x .

A. V =

3 . 2

B. V =

3 3 π. 8

C. V =

3 3 . 8

3 D. V = π . 2

Câu 44: Cho vật thể ( T ) giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 ; x = 2 . cắt vật thể ( T ) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng ( x + 1) e x .

π (13e4 − 1) 4

13e 4 − 1 . 4

C. 2e2 .

D. 2π e2 .

Câu 45: Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi

đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình

= 30° . tròn đường kính AB có diện tích là 8π và BAC Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình ( H ) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB.

220 π. 3

98 π. 3

224 π. 3

D. 4π 2 .

Trang 47

Trang 48

ĐÁP ÁN A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng 1. Tính diện tích hình phẳng 1-B

2-A

3-A

4-D

5-D

6-A

7-B

8-A

9-B

10 - C

11 - D

12 - A

13 - C

14 - D

15 - D

16 - B

17 - A

18 - B

19 - B

20 - A

21 - A

22 -A

23 - C

24 - A

25 - B

26 - B

27 - B

28 - A

Dạng 2: Các bài toán thực tế ứng dựng diện tích hình phẳng 1-B

2-A

3-D

4-A

5-A

6-D

7-B

8-D

9-B

10 - A

11 - D

12 - D

13 - C

14 - C

15 - D

16 - B

17 - D

18 - A

19 - D

20 - C

B. THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1-C

2-D

3-D

4-B

5-D

6-C

7-B

8-B

9-A

10 - C

11 - A

12 - B

13 - C

14 - A

15 - B

16 - A

17 - C

18 - D

19 - B

20 - C

21 - D

22 - A

23 - A

24 - A

25 - A

26 - B

27 - A

28 - D

29 - C

30 - B

37 - B

38 - D

39 - A

40 - D

31 - D

32 - D

33 - C

34 - C

35 - D

36 - B

41 - B

42 - D

43 - C

44 - B

45 - B

46 - C

Trang 49

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

CHUYÊN ĐỀ 4 SỐ PHỨC BÀI 1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

1. Số phức

Mục tiêu

Ví dụ: Định nghĩa

2 +) z = 5 − i ∈ ℂ ; 7 Cho số phức z có dạng: z = a + bi với a, b ∈ ℝ , trong đó a gọi

Kiến thức + Nắm vững khái niệm số phức, số phức liên hợp, hai số phức bằng nhau.

là phần thực của z , b gọi là phần ảo của z , i gọi là đơn vị ảo thỏa +) z = − 2 + π i ∈ ℂ ;

+ Trình bày được công thức tính môđun số phức.

mãn i 2 = −1 .

+ Mô tả được biểu diễn hình học của một số phức.

Đặc biệt:

Kĩ năng

Tập hợp các số phức, kí hiệu là ℂ .

+ Biết tìm phần thực, phần ảo của một số phức.

Số phức z là số thực nếu b = 0 .

+ Biết tìm số phức liên hợp của số phức z = a + bi .

Số phức z là số thuần ảo nếu a = 0 .

+ Tính được môđun của một số phức.

Số phức z = 0 + 0i = 0 vừa là số thực, vừa là số ảo (còn gọi là số

+ Biết biểu diễn hình học của một số phức.

4 π +) z = i, w = cos i, u = −i ,… là 3 12 các số thuần ảo.

thuần ảo).

+ Cho điểm M ( a; b ) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi , biết tìm phần thực, phần ảo; biết

tính môđun của z .

Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu z , là z = a − bi .

+ Biết tìm điều kiện để hai số phức bằng nhau.

Ví dụ 2 +) Số phức z = 5 − i có số phức 7 2 liên hợp là z = 5 + i ; 7

+ Biết cách tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn tính chất nào đó.

4 +) Số phức z = i có số phức liên 3 4 hợp là z = − i . 3

Nhận xét: Mỗi số thực có số phức liên hợp là chính nó.

Môđun của số phức Môđun của số phức z , kí hiệu là z = a 2 + b 2 .

Ví dụ: 2 Số phức z = 5 − i có môđun 7 2

1229  2 z = 52 +  −  = 7  7

2. Hai số phức bằng nhau

Ví dụ: Định nghĩa

Hai số phức z1 = a1 + b1i và z2 = a2 + b2i được gọi là bằng nhau khi

a1 = a2 và chỉ khi  . b1 = b2 3. Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi bằng 0 khi và chỉ

a = 0 khi  b = 0 hay z = 0 .

Nhận xét:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức z = a + bi; a, b ∈ ℝ được +) OM = z ; biểu diễn bởi điểm M (a; b) . Ngược lại, mỗi điểm M (a; b) biểu +) Nếu z1 , z2 có các điểm biểu diễn

Trang 1

Trang 2

diễn duy nhất một số phức là z = a + bi .

lần

lượt

là

M1, M 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

thì

M 1M 2 = z1 − z2 .

a là phần thực của số phức z b là phần ảo của số phức z

Số phức liên hợp của z

z = a − bi

Đại số

z = a 2 + b2

( ℂ là tập hợp số phức)

Số phức

SỐ PHỨC

liên hợp

z = a + bi

( a, b ∈ ℝ; i

Môđun số phức

= −1)

M ′ là điểm biểu diễn của

Độ dài đoạn OM là môđun

số phức z

số phức z Hình học

M là điểm biểu diễn của số phức z

Trang 3

Trang 4

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Ví dụ mẫu

Dạng 1: Xác định các yếu tố liên quan đến khái niệm số phức

Ví dụ 1: Số phức liên hợp của số phức z = −1 + 3i là

Bài toán 1. Tìm phần thực, phần ảo của số phức

A. 1 − 3i .

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa: Số phức z = a + bi với Ví dụ: Số phức z = 3 − 7i có phần thực là 3, phần ảo a, b ∈ ℝ có a là phần thực, b là phần ảo.

C. −1 + 3i .

D. −1 − 3i .

Số phức liên hợp của số phức z = −1 + 3i là z = −1 − 3i .

của z là −7

Chọn D.

Chú ý: Tránh nhầm lẫn phần ảo của z là −7i .

Ví dụ 2: Cho số phức z = 3 + 4i . Phần thực và phần ảo của số phức z là A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i .

Ví dụ mẫu

B. Phần thực 3 là và phần ảo là −4 .

Ví dụ 1: Phần ảo của số phức z = −7 + 6i bằng A. −6 .

B. 1 + 3i .

Hướng dẫn giải

B. 6i .

C. Phần thực là −4 và phần ảo là 3 . C. 6 .

D. −6i .

D. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i .

Hướng dẫn giải

Phần ảo của số phức z là 6.

Số phức z = 3 + 4i , suy ra số phức z = z = 3 − 4i có phần thực là 3 và phần ảo là −4

Chọn C.

Chọn B.

Ví dụ 2: Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. −1 − 3i .

B. 1 + 3i .

C. −1 + 3i .

Ví dụ 3: Môđun của số phức z = 3 + 4i là D. 1 − 3i .

A. 7 .

Hướng dẫn giải

C. 3 .

Hướng dẫn giải

Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là z = 1 + 3i .

Ta có z = 3 + 4i ⇒ z = 32 + 42 = 5 .

Chọn B. Ví dụ 3: Cho số phức z = 3 − 2i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng A. 5 .

B. 5 .

B. −1 .

C. −5 .

Chọn B. Ví dụ 4: Cho số phức z = −12 + 5i . Môđun của số phức z bằng

D. 1 .

B. 119 .

A. 13 .

Hướng dẫn giải Số phức z = 3 − 2i có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −2 .

Hướng dẫn giải

Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 1 .

Ta có: z = z = (−12) 2 + 52 = 169 = 13 .

C. 17 .

D. −7 .

Chọn D. Chọn A.

Bài toán 2. Tìm số phức liên hợp, môđun của số phức, điều kiện để hai số phức bằng nhau

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M ( −3; 4 ) là điểm biểu diễn của số phức z . Môđun số

Phương pháp giải

phức z bằng

• Số phức liên hợp của số phức z = a + bi kí Ví dụ: Số phức z = 3 − 7i có: hiệu z là z = a − bi .

A. 1.

+) Số phức liên hợp z = 3 + 7i ;

• Môđun của số phức z = a + bi , kí hiệu là +) Môđun z = 32 + (−7) 2 = 58 . a = a2 + b2 .

• Hai số phức z1 = a1 + b1i và z2 = a2 + b2i bằng

B. 25 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải

Chú ý: Tránh nhầm lẫn đổi dấu ở phần thực là

Cách 1: Ta có: Điểm M ( −3; 4 ) là điểm biểu diễn của số phức z , nên z = −3 + 4i . Suy ra, z =

z = −3 − 7i

a = a2 nhau khi và chỉ khi  1 . b1 = b2

( −3 )

+ 42 = 5 .

Cách 2: Ta có z = OM =

( −3 )

+ 42 = 5

Chọn D.

Trang 5

Trang 6

Ví dụ 6: Trong hình vẽ bên, điểm P biểu diễn số phức z1 , điểm Q biểu diễn số phức z2 . Mệnh đề nào

9 y 2 − 4 = 8 y 2  x = −2 . ⇔ ⇔  y = ±2 −10 x = 20

dưới đây đúng?

Vậy có hai cặp số thỏa mãn: ( −2; −2 ) ; ( −2; 2 ) .

A. z1 = z2 .

B. z1 = z2 = 5 .

C. z1 = z2 = 5 .

D. z1 = − z2 .

Bài tập tự luyện dạng 1 Bài tập cơ bản

Ta có z1 = −1 + 2i, z2 = 2 + i

Câu 1: Cho số phức z = 1 − 2i . Phần ảo của số phức z là?

 z = ( −1) 2 + 22 = 5  1 ⇒ z1 = z2 = 5 ⇒  z2 = 22 + 12 = 5

A. 2 .

A. x = 3; y = −1 .

Ví dụ 7: Tìm các số thực x và y thỏa mãn điều kiện ( 2 x + 1) + ( 3 y − 2 ) i = ( x + 2 ) + ( y + 4 ) i

 x = −1 C.  .  y = −3

D. 1 .

2 B. x = ; y = −1 . 3

C. x = 3; y = −3 .

D. x = −3; y = −1 .

A. Phần thực bằng −10 và phần ảo bằng −2i .

B. Phần thực bằng −10 và phần ảo bằng −2 .

C. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2 .

D. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2i .

Câu 4: Số phức liên hợp của số phức z = 1 − 2i là

Ta có

A. z = 1 + 2i .

2 x + 1 = x + 2 x = 1 . ⇔ ( 2 x + 1) + ( 3 y − 2 ) i = ( x + 2 ) + ( y + 4 ) i ⇔  3 y − 2 = y + 4 y = 3

Ví dụ 8: Biết rằng có duy nhất một cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn ( x + y ) + ( x − y ) i = 5 + 3i . Giá trị của

S = x + 2 y là B. S = 4 .

C. S = 6 .

B. z = 2 − i .

C. z = −1 + 2i .

D. z = −1 − 2i .

Câu 5: Cho số phức z = −1 − 2 6i . Phần thực và phần ảo của số phức z là?

Chọn D.

A. Phần thực bằng −1 và phần ảo bằng 2 6 .

B. Phần thực bằng −1 và phần ảo bằng 2 6i .

C. Phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 2 6 .

D. Phần thực bằng −1 và phần ảo bằng −2 6i .

Câu 6: Môđun của số phức z = ( −4 + 3i ) .i bằng A.

D. S = 3 .

B. 5 .

C. 3 .

D. 4 .

Bài tập nâng cao

Hướng dẫn giải

Câu 7: Số thực x và y thỏa mãn x 2 + ( 2xy − 4 y ) i − 4x − y 2 + 29 = 0 với i là đơn vị ảo là

x + y = 5 x = 4 Ta có ( x + y ) + ( x − y ) i = 5 + 3i ⇔  ⇔ x y − = 3  y =1

x = 5 A.  . y = 0

Vậy S = x + 2 y = 6 .

 x = −5 B.  . y = 0

x = 2 C.  .  y = ±5

 x = 0 D.  .  y = ± 29

Dạng 2: Tìm điểm biểu diễn hình học của số phức

Chọn C. Ví dụ 9: Có tất cả bao nhiêu cặp số thực ( x; y ) để hai số phức

z1 = 9 y 2 − 4 − 10 xi 5 , x2 = 8 y 2 + 20i11 là hai số phức liên hợp của nhau? A. 1.

C. −1 .

Câu 3: Cho số phức z = 10 − 2i . Phần thực và phần ảo của số phức z là

x = 1 D.  . y = 3

Hướng dẫn giải

A. S = 5 .

B. −2 .

Câu 2: Đâu là giá trị của hai số thực x và y thỏa mãn ( 3x + 2 yi ) + ( 3 − i ) = 4 x − 3i với i là đơn vị ảo?

Chọn C.

 x = −1 B.  . y = 3

i 5 = i; i11 = −i.

Chọn B.

Hướng dẫn giải

x = 1 . A.   y = −3

Do đó:

B. 2.

C. 3 . D. 4 .

Phương pháp giải

Nhận xét:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức z = a + bi

i 4 k = 1;

Ví dụ:

có điểm biểu diễn là M ( a; b ) .

i 4 k +1 = i;

Hướng dẫn giải

i 4 k + 2 = −1;

Ta có

i 4 k +3 = −i.

z1 = z2 ⇔ 9 y 2 − 4 − 10 xi 5 = 8 y 2 − 20i11 ⇔ 9 y 2 − 4 − 10 xi = 8 y 2 + 20i

Với mọi k ∈ ℕ.

Chú ý:

• Ta có: OM = z .

Trang 7

• Nếu z1 , z2 có các điểm biểu diễn lần lượt là

Điểm M ( −2; 4 ) trên hình vẽ là điểm biểu diễn số

Trang 8

M 1 , M 2 thì M 1M 2 = z1 − z2 .

Suy ra, P ( 4;3) là điểm biểu diễn số phức z = 4 + 3i.

phức z = −2 + 4i . Khi đó OM = z = 2 5 .

 3 Cách 2: Ta có: M (1; 2 ) , N ( 3;1) ⇒ I  2;  là trung điểm của đoạn thẳng MN .  2

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, điểm nào sau đây biểu diễn số phức z = 2 + i ? A. M ( 2; 0 ) .

B. N ( 2;1) .

C. P ( 2; −1) .

Tứ giác OMPN là hình bình hành nên I là trung điểm OP . Suy ra P ( 4;3) , là điểm biểu diễn số phức D. Q (1; 2 ) .

z = 4 + 3i .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Điểm biểu diễn số phức z = 2 + i là N ( 2;1) .

Ví dụ 5: Các điểm A, B, C , D ở hình vẽ bên là các

Chọn B.

điểm biểu điểm biểu diễn cho các số phức

Ví dụ 2: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm

z1 , z2 , z3 , z4 . Hỏi trong số đó có bao nhiêu số phức

biểu diễn số phức z = −1 + 2i ? A. N. C. M.

Chú ý: Tránh nhầm

B. P.

lẫn phần thực và phần

D. Q.

ảo trên hệ trục tọa độ,

có môđun bằng 5? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

dẫn đến chọn nhầm

Hướng dẫn giải

Điểm biểu diễn cho số phức z = −1 + 2i là Q ( −1; 2 ) .

đáp án C.

Ta có OA = OB = OC = OD = 5 . Vậy, có bốn số

Chọn D.

phức có môđun bằng 5.

Ví dụ 3: Cho z = −1 − 2i . Điểm nào trong hình vẽ

Chọn D.

bên là điểm biểu diễn số phức z ? A. N .

B. M .

C. P.

D. Q.

Hướng dẫn giải

Ta có z = −1 + 2i nên điểm biểu diễn số phức z là

Chú ý: Tránh nhầm lẫn phần thực và phần ảo trên hệ trục tọa độ,

Ví dụ 6: Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = 2, z2 = 4i,

z3 = 2 + 4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Diện tích tam giác ABC bằng A. 8.

B. 2.

C. 6.

dẫn đến chọn nhầm

Hướng dẫn giải

đáp án B.

Ta có A ( 2; 0 ) , B ( 0; 4 ) , C ( 2; 4 ) suy ra AC = ( 0; 4 ) ; BC = ( 2; 0 ) ⇒ AC.BC = 0.

Q ( −1; 2 )

Do đó tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

Chọn D. Ví dụ 4: Cho hai điểm M , N trong mặt phẳng phức

1 1 Suy ra S∆ABC = CA.CB = .4.2 = 4. 2 2

như hình bên. Gọi P là điểm sao cho OMPN là

Chọn D.

hình bình hành. Điểm P biểu thị cho số phức nào

Ví dụ 7: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z có phần ảo bằng 2 là A. Đường thẳng có phương trình x = 2 .

Nhận xét:

B. z = 4 + 3i .

B. Đường thẳng có phương trình x = −2 .

ax + by = c ( a, b, c ∈ ℝ )

D. z = 2 − i .

C. Đường thẳng có phương trình y = 2 .

phương trình của đường

D. Đường thẳng có phương trình y = −2 .

thẳng trong mặt phẳng tọa

trong các số phức sau? A. z = 4 − 3i . C. z = −2 + i .

D. 4.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Giả sử P ( x; y ) . Ta có: MP = ( x − 1; y − 2 ) ; ON = ( 3;1) .

Hướng dẫn giải

là

độ ( Oxy ) .

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . Số phức z có phần ảo bằng 2 khi y = 2.

 x −1 = 3 x = 4 Tứ giác OMPN là hình bình hành khi MP = ON ⇔  ⇔ . y − 2 =1 y = 3

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z có phần ảo bằng 2 là đường

Trang 9

Trang 10

Câu 7: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z có phần thực bằng −3 là

thẳng y = 2. Chọn C.

Bài tập cơ bản

C. Đường thẳng có phương trình y = 3.

D. Đường thẳng có phương trình y = −3.

z2 = 3 + i; z3 = −2 − 2i. Tìm tọa độ đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD.

Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm A, B, C theo thứ tự biểu diễn các số phức 2 + 3i,3 + i,1 + 2i. B. z = 2 + 2i.

C. z = 2 − 2i.

D. z = 1 − i.

điểm I của đoạn thẳng MN là C. I ( 3; 2 ) .

B. D ( −6; −3) .

C. D ( −4; −3) .

D. D ( −4; −5 ) .

độ Oxy lần lượt là các điểm A, B, C . Diện tích tam giác ABC bằng

Câu 2: Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hình học các số phức z = 2 − i và w = 4 + 5i. Tọa độ trung B. I ( 4;6 ) .

A. D ( −6; −5 ) .

Câu 9: Cho các số phức z1 = 3 − 2i, z2 = 1 + 4i và z3 = −1 + i có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa

Trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức z . Số phức z là

A. I ( 2;3) .

B. Đường thẳng có phương trình x = 3.

Câu 8: Biết rằng ba điểm A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của số phức z1 = 1 − 2i,

Bài tập tự luyện dạng 2

A. z = 1 + i.

A. Đường thẳng có phương trình x = −3.

A. 2 17.

B. 12.

C. 4 13.

D. 9.

D. I ( 6; 4 ) .

Câu 3: Cho số phức z = −2 + i . Trong hình bên điểm

biểu diễn số phức z là A. M .

B. Q.

C. P.

D. N .

Câu 4: Số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) có điểm biểu diễn

như hình vẽ bên. Giá trị của a, b là A. a = −4, b = 3. B. a = 3, b = −4. C. a = 3, b = 4. D. a = −4, b = −3. Câu 5: Gọi M và M ′ lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z và z . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. A. M và M ′ đối xứng nhau qua trục hoành.

B. M và M ′ đối xứng nhau qua trục tung.

C. M và M ′ đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

D. Ba điểm O, M và M ′ thẳng hàng.

Câu 6: Trong hình vẽ dưới đây, điểm nào trong các điểm

A, B, C , D biểu diễn số phức có môđun bằng 2 2 ? A. Điểm A. B. Điểm B. C. Điểm C. D. Điểm D. Bài tập nâng cao

Trang 11

Trang 12

CHUYÊN ĐỀ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC

1. Phép cộng số phức

Mục tiêu

Ví dụ: Định nghĩa

Kiến thức

( 5 + 4i ) + ( 3 − 2i ) = 8 + 2i.

Tổng của hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ℝ )

+ Nhận biết được các phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số phức; phép chia hai số phức. Kĩ năng + Thành thạo các phép toán cộng, trừ hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên

là số phức z + z ′ = a + a′ + ( b + b′ ) i. Tính chất

Với mọi z , z ′, z ′′∈ ℂ ta có:

Ví dụ:

+ Thành thạo phép nhân hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan.

Tính chất kết hợp: ( z + z ′ ) + z ′′ = z + ( z ′ + z ′′ ) ;

2 2 z = 5 − i có số đối là − z = −5 + i. 7 7

+ Thành thạo phép toán chia hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan.

Tính chất giao hoán: z + z ′ = z ′ + z;

+ Vận dụng các phép toán đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp.

Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z;

quan.

z + ( − z ) = ( − z ) + z = 0.

2. Phép trừ số phức Hiệu của hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ℝ ) :

z − z ′ = z + ( − z′ ) = ( a − a′ ) + ( b − b′ ) i.

3. Phép nhân số phức

Ví dụ:

( 5 + 4i ) − ( 3 − 2i ) = 2 + 6i. Ví dụ:

Định nghĩa Tích của hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ℝ ) là

( 5 + 4i )( 3 − 2i ) = (15 + 8) + (12 − 10 ) i = 23 + 2i.

số phức zz′ = aa′ − bb′ + ( ab′ + a′b ) i.

Tính chất Chú ý:

Với mọi z , z ′, z ′′∈ ℂ ta có: • Tính chất giao hoán: zz′ = z ′z;

• Ta có thể thực hiện phép cộng và phép nhân các số phức theo các quy tắc như phép toán

• Tính chất kết hợp: ( zz′ ) z ′′ = z ( z ′z ′′ ) ;

cộng và nhân các số thực.

• Nhân với 1: 1.z = z.1 = z;

° Các hằng đẳng thức của các số thực cũng

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: đúng đối với các số phức. 2

z ( z ′ + z′′ ) = zz ′ + zz ′′.

Ví dụ: z 2 + 4 = z 2 − ( 2i ) = ( z − 2i )( z + 2i ) .

4. Phép chia cho số phức khác 0 Số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 kí hiệu là z −1 , là số phức thỏa mãn zz −1 = 1, , hay z −1 =

1 z

Thương của phép chia số phức z′ cho số phức z khác 0,

Ví dụ:

z = 3 − 2i có số phức nghịch đảo là 1 1 3 2 = . ( 3 + 2i ) = + i. z 13 13 13

Ví dụ:

Trang 1

Trang 2

kí hiêu là

5 + 4i ( 5 + 4i )( 3 + 2i ) 7 + 22i 7 22 = = = + i. 3 − 2i ( 3 − 2i )( 3 + 2i ) 13 13 13

z′ z′ z = z ′z −1 = 2 . z z

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức Phương pháp giải

Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a′ + b′i , trong đó Ví dụ: a, b, a′, b′ ∈ ℝ . Khi đó:

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Tính chất phép cộng số phức

Phép cộng số phức

Với mọi z , z ′, z ′′∈ ℂ ta có

Tổng của hai số phức z = a + bi

( z + z′) + z′′ = z + ( z′ + z′′) ;

và z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ℝ )

z + z ′ = z ′ + z;

là số phức z + z ′ = a + a′ + ( b + b′ ) i.

z + 0 = 0 + z = z;

Hai số phức z1 = 3 − 7i, z2 = 4 + 3i có

•

z + z ' = a + a '+ ( b + b′ ) i;

z1 + z2 = ( 3 + 4 ) + ( −7 + 3) i = 7 − 4i;

•

z − z ' = ( a − a ' ) + ( b − b ′ ) i;

z1 − z2 = ( 3 − 4 ) + ( −7 − 3) i = −1 − 10i;

•

zz′ = aa′ − bb′ + ( ab′ + a′b ) i;

z1 z2 = ( 3.4 − ( −7 ) .3) + ( 3.3 + 4. ( −7 ) ) i = 33 − 19i;

•

z′ z ′ z = 2. z z

z1 ( 3 − 7i )( 4 − 3i ) 9 37 = = − − i. z2 ( 4 + 3i ) . ( 4 − 3i ) 25 25

z + ( − z ) = ( − z ) + z = 0. Ví dụ mẫu

Phép trừ số phức

CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC

Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = −4 − 5i. Số phức z = z1 + z2 là

Hiệu của hai số phức z = a + bi và z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ℝ ) là số

A. z = −2 − 2i.

phức z − z ′ = ( a − a′ ) + ( b − b′ ) i.

Tính chất phép nhân số phức

Với mọi z , z ′, z ′′∈ ℂ ta có

z = z1 + z2 = 2 + 3i + ( −4 − 5i ) = −2 − 2i.

B. w = −5 + i.

C. w = −3 − 8i.

D. w = −3 + i.

Hướng dẫn giải

z ( z ′ + z′′ ) = zz ′ + zz ′′.

phức zz′ = aa′ − bb′ + ( ab′ + a′b ) i.

Hướng dẫn giải

A. w = −3 + 8i.

1.z = z.1 = z;

và z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ℝ ) là số

D. z = 2 − 2i.

Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 = 1 − 2i, z2 = 2 + 3i. Số phức w = z1 − 2 z2 là

( zz′ ) z′′ = z ( z′z′′ ) ;

Tích của hai số phức z = a + bi

C. z = 2 + 2i.

Chọn A.

zz′ = z ′z;

Phép nhân số phức

B. z = −2 + 2i.

Ta có w = z1 − 2 z2 = 1 − 2i − 2 ( 2 + 3i ) = −3 − 8i. Chọn C. 1 3 Ví dụ 3: Cho hai số phức z = − + i. Số phức là w = 1 + z + z 2 2 2

Phép chia số phức khác 0 Số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 kí hiệu là z −1 là số −1

−1

phức thỏa mãn zz = 1 hay z =

1 z

A. 2 − 3i.

C. 0.

1 3 D. − + i. 2 2

Hướng dẫn giải

Thương của phép chia số phức z ′ cho số phức z ≠ 0 , kí hiệu là

B. 1.

 1 3   1 3  w = 1 +  − + i  +  − + i  = 0. 2 2 2 2    

z′ z′ z = z ′z −1 = 2 . z z

Chọn C. Chú ý: Các hằng đẳng thức của các số thực cũng dùng đối với các số phức. Ví dụ 4: Tất cả các số phức z thỏa mãn 2 z − 3 (1 + i ) = iz + 7 − 3i là

Trang 3

Trang 4

A. z =

8 4 − i. 5 5

B. z = 4 − 2i.

C. z =

8 4 + i. 5 5

A. w = −3 + 2i.

D. z = 4 + 2i.

B. w = 2 + 3i.

C. w = 3 + 2i.

Hướng dẫn giải

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn (1 + z )(1 + i ) − 5 + i = 0. Số phức w = 1 + z bằng

10 Ta có: 2 z − 3 (1 + i ) = iz + 7 − 3i ⇔ ( 2 − i ) z = 10 ⇔ z = ⇔ z = 4 + 2i. 2−i

A. −1 + 3i.

Ví dụ 5: Cho hai số phức z = (1 + i ) (1 + 2i ) . Số phức z là A. −4 + 2i.

B. −4 − 2i.

C. 4 − 2i.

B. 1 − 3i.

C. −2 + 3i.

8 A. w = . 3

D. 4 + 2i.

8 B. w = + i. 3

C. w =

10 + i. 3

A. −152 + 4i.

B. −152 − 4i.

C. 152 − 4i.

A. z = −3 + 4i.

B. z = 3 + 4i.

C. z = 3 − 4i.

Chọn B. Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 2 + 3i = 5 và

Ví dụ 6: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 1 + 3i − z i = 0 . Giá trị của S = a − 3b là C. S = −3.

A. 2.

7 D. S = . 3

B. Vô số.

C. 1.

Dạng 2: Xác định các yếu tố của số phức qua các phép toán

Ta có z + 1 + 3i − z i = 0

Bài toán 1. Tìm phần thực, phần ảo của số phức

⇔ a +1+ b + 3 − a + b

)

D. z = −3 − 4i.

z là số thuần ảo? z −2

Hướng dẫn giải

D. 152 + 4i.

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z (1 − 2i ) + z.i = 15 + i. Số phức z là

Do đó: z = −4 − 2i.

10 . 3

Ta có: z = (1 + i ) (1 + 2i ) = 2i (1 + 2i ) = −4 + 2i.

B. S = 3.

Câu 8: Cho z1 = 2 + 4i, z2 = 3 − 5i. Số phức w = z1.z2 là

Hướng dẫn giải

7 A. S = − . 3

D. 2 − 3i.

1 Câu 7: Cho số phức z = 1 − i. Số phức w = iz + 3z là 3

Chọn D.

(

D. w = −2 − 3i.

Bài tập nâng cao

D. 0.

Phương pháp giải

a + 1 = 0 i=0⇔ 2 2 b + 3 = a + b

• Số phức z = a + bi có phần thực là a và phần ảo Ví dụ: Phần thực của số phức z thỏa mãn là b .

 a = −1  a = −1   ⇔ b ≥ −3 ⇔ 4 ⇒ S = 3.  2 b = − 3  b + 3 = 1 + b2 ) (

( 5 − i ) z = 7 − 17i

Chú ý: Học sinh thường nhầm phần ảo của số phức

z = 3 − 12i là −12i

là

A. 3.

B. −3.

C. 2.

D. −2.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

( 5 − i ) z = 7 − 17i ⇔ z =

Bài tập tự luyện dạng 1

7 − 17i = 2 − 3i 5−i

Bài tập cơ bản

Phần thực của số phức z là 2.

Câu 1: Cho hai số phức z1 = 3 − 7i và z2 = 2 + 3i . Số phức z = z1 + z2 là

Chọn C.

A. z = 1 − 10i.

B. z = 5 − 4i.

C. z = 3 − 10i.

D. z = 3 + 3i.

Câu 2: Cho hai số phức z1 = 1 + 2i và z2 = 3 − 4i. Số phức 2 z1 + 3z2 − z1 z2 là số phức nào sau đây? A. 10i.

B. −10i.

C. 11 + 8i.

D. 11 − 10i.

C. z = 2 − 3i.

D. z = −2 − 3i.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = 14 − 2i . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng

Câu 3: Số phức z thỏa mãn z + ( 2 + i ) z = 3 − 5i là A. z = 2 + 3i.

B. z = −2 + 3i.

A. 14.

B. −5i.

C. 5 − 5i.

B. 2.

C. −2.

D. −14.

Hướng dẫn giải

Câu 4: Cho hai số phức z1 = 2 − 2i , z2 = −3 + 3i. Khi đó số phức z1 − z2 là A. −5 + 5i.

Ví dụ mẫu

Ta có: (1 + i ) z = 14 − 2i ⇔ z =

D. −1 + i.

14 − 2i ⇔ z = 6 − 8i ⇒ z = 6 + 8i. 1+ i

Suy ra, z có phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 8.

Câu 5: Cho số phức z = 1 + 2i. Số phức w = 2 z + z là Trang 5

Trang 6

Hướng dẫn giải

Do đó tổng phần thực và phần ảo của z bằng 14. Chọn A.

Ta có: z ( 2 − i ) + 13i = 1 ⇒ z =

Ví dụ 2: Cho hai số phức z = 3 + 2i và z ′ = a + ( a − 11) i. Tất cả các giá trị thực của a dể z + z′ là một 2

1 − 13i = 3 − 5i. 2−i

Do đó z = 32 + ( −5 ) = 34.

số thực là A. a = −3.

B. a = 3.

Chọn C.

C. a = 3 hoặc a = −3.

D. a = 13 hoặc a = − 13.

Ví dụ 2: Cho số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 6 + 5i. Số phức liên hợp của số phức z = 6z1 + 5z 2 là

Hướng dẫn giải

A. z = 51 + 40i.

Ta có: z + z ′ = 3 + 2i + a + ( a − 11) i. = 3 + a + ( a − 9 ) i. 2

B. z = 51 − 40i.

C. z = 48 + 37i.

D. z = 48 − 37i.

Hướng dẫn giải

Ta có: z = 6z1 + 5z 2 = 6 ( 3 + 2i ) + 5 ( 6 + 5i ) = 48 + 37i.

 a = −3 z + z′ là số thực khi và chỉ khi a 2 − 9 = 0 ⇔  . a = 3

Suy ra z = 48 − 37i.

Chọn C.

Chọn D. 2

Ví dụ 3: Gọi z1 , z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy ở hình bên. Khi đó

Ví dụ 3: Cho số phức z = (1 + i ) (1 + 2i ) . Số phức có phần ảo là A. 2.

B. 4.

C. −2.

z1 + z2 bằng

D. 2i.

Hướng dẫn giải

A. 2 29.

Ta có:

B. 20.

C. 2 5.

D. 116.

Hướng dẫn giải 2

z = (1 + i ) (1 + 2i ) = (1 + 2i + i 2 ) (1 + 2i ) = 2i (1 + 2i ) = 2i + 4i 2 = 2i − 4

Từ hình vẽ ta có điểm M ( 3; 2 ) biểu diễn số phức

Vậy số phức z có phần ảo là 2.

z1 = 3 + 2i, điểm N (1; −4 ) biểu diễn số phức z2 = 1 − 4i.

Chọn A.

Ta có z1 + z2 = 4 − 2i

Bài toán 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức Phương pháp giải

⇒ z1 + z2 =

• Số phức z = a + bi có z = a − bi và z = a 2 + b 2 .

Chú ý: Nếu z = a + bi thì z + z = 2a; z.z = a 2 + b 2 .

Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức

( 4 ) + ( −2 )

= 2 5.

Chọn C.

z = ( 2 − 3i )( 3 + 2i ) là

Ví dụ 4: Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực thỏa mãn

A. z = 12 − 5i.

B. z = −12 + 5i.

C. z = −12 − 5i.

D. z = 12 + 5i.

a + bi + 2i ( a − bi ) + 4 = i, với i là đơn vị ảo. Môđun của ω = 1 + z + z 2 là

A. ω = 229.

B. ω = 13.

C. ω = 229.

D. ω = 13.

Hướng dẫn giải

Ta có z = ( 2 − 3i )( 3 + 2i ) = 6 − 5i − 6i 2 = 12 − 5i

⇒ z = 12 + 5i.

Hướng dẫn giải a + 2b = −4 a = 2 Ta có a + bi + 2i ( a − bi ) + 4 = i ⇔  ⇔ . Suy ra z = 2 − 3i. b a + 2 = 1  b = − 3

Chọn D. Do đó ω = 1 + z + z 2 = −2 − 15i. Vậy ω =

Ví dụ mẫu

= 229

Chọn A.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z ( 2 − i ) + 13i = 1. Mô đun của số phức z là A. z = 34.

( −2 ) + ( −15)

B. z =

5 34 . 3

C. z = 34.

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z = D. z =

34 . 3

A. w = 4 2.

Trang 7

1 + 3i . Môđun của số phức w = i.z + z là 1− i

B. w = 2.

C. w = 3 2.

D. w = 2 2.

Trang 8

Ví dụ 2: Gọi z1 , z2 lần lượt có điểm biểu diễn là

Hướng dẫn giải Ta có: z =

1 + 3i = −1 + 2i. 1− i

M , N trên mặt phẳng phức (hình bên). Khi đó phần

ảo của số phức

⇒ z = −1 − 2i ⇒ w = i. ( −1 + 2i ) + ( −1 − 2i ) = −3 − 3i.

⇒ w=

( −3) + ( −3)

= 18 = 3 2.

Chọn C.

5 . 17

C. P = 3.

D. P = 1.

Hướng dẫn giải

z1 = 3 + 2i, z2 = 1 − 4i ⇒

Đặt z1 = a1 + b1i; a1 , b1 ∈ ℝ, z2 = a2 + b2i; a2 , b2 ∈ ℝ.

Chọn A.

Suy ra a12 + b12 = a22 + b22 = 1 và z1 − 2 z2 = 6 ⇔ a1.a2 + b1.b2 =

−1 . 4

( 2a1 + a2 ) + ( 2b1 + b2 )

1 . 2

tọa độ là

A. M ( 4; −7 ) .

1 = 2 ( a + b ) + . ( a22 + b22 ) + ( a1a2 + b1b2 ) 4 2 1

z1 3 + 2i 5 14 = = − + i. z2 1 − 4i 17 17

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = 11 − 3i . Điểm M biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng

Ta có: 2 z1 + z2 = 2a1 + a2 + ( 2b1 + b2 ) i

⇒ 2 z1 + z2 =

Dựa vào hình vẽ ta có được

B. P = 3.

1 B. − . 4

Hướng dẫn giải

Giá trị của biểu thức P = 2 z1 + z2 là

A. P = 2.

14 . 17

C. −

Ví dụ 6: Cho z1 , z2 là các số phức thỏa mãn z1 = z2 = 1 và z1 − 2 z2 = 6.

z1 là z2

2 1

B. M (14; −14 ) . 11 − 3i = 4 − 7i. 1+ i

Ta có: (1 + i ) z = 11 − 3i ⇒ z =

Chọn A.

Suy ra điểm biểu diễn cho số phức z là M ( 4; −7 ) .

Bài toán 3. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức

Chọn A.

Ví dụ mẫu

1 Ví dụ 4: Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4 − 3i, (1 + 2i ) i, . Số phức có điểm i

1 là Ví dụ 1: Điểm biểu diễn của số phức z = 2 − 3i

A. ( 3; −2 ) .

C. ( −2;3) .

Chú ý: Để xác định tọa D. ( 4; −1) .

độ điểm biểu diễn số phức, ta cần viết số phức

biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là

A. z = −6 − 4i.

B. z = −6 + 3i.

C. z = 6 − 5i.

D. z = 4 − 2i.

Hướng dẫn giải

dưới dạng

1 2 + 3i 2 3 = = + i. z= 2 − 3i ( 2 − 3i )( 2 + 3i ) 13 13

Ta có

z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) .

A là điểm biểu diễn của số phức 4 − 3i nên A ( 4; −3) .

Suy ra điểm biểu diễn của số phức z =

D. M ( 7; −7 ) .

Hướng dẫn giải

Suy ra P = 2 z1 + z2 = 2.

2 3 B.  ;  .  13 13 

C. M ( 8; −14 ) .

B là điểm biểu diễn của số phức (1 + 2i ) i = −2 + i nên B ( −2;1) .

1 2 3 là:  ;  . 2 − 3i  13 13 

1 = −i nên C ( 0; −1) . i Điều kiện để ABCD là hình bình hành là AD = BC

C là điểm biểu diễn của số phức

Chọn B.

 xD − x A = xC − xB  xD = xC + x A − xB = 6 ⇔ ⇔ ⇒ D ( 6; −5 ) ⇒ z = 6 − 5i.  yD − y A = yC − yB  yD = yC + y A − yB = −5 Chọn C. Trang 9

Trang 10

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z1 = 2 − i, z2 = −1 + 6i, z3 = 8 + i. Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC .

A. 21009 − 1.

B. z4 = 5.

C. ( z4 ) = 13 + 12i.

9 B. a = 1; a = . 5

Câu 5: Số phức z = (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i )

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. z4 = 3 − 2i.

9 A. a = −1; a = − . 5

Hướng dẫn giải A. z =

Ta có: A ( 2; −1) , B ( −1; 6 ) , C ( 8;1) .

170 . 7

2018

B. 21009 + 1.

Câu 6: Môđun của số phức z = 2 + 3i −

D. z4 = 3 − 2i.

9 C. a = −1; a = . 5

B. z =

có phần ảo bằng

C. 1 − 21009.

170 . 4

C. z =

170 . 5

Câu 7: Cho số phức z thoả mãn ( 2 + i ) z = 10 − 5i. Hỏi điểm biểu diễn

⇒ G ( 3; 2 ) ⇔ z4 = 3 + 2i ⇒ z4 = 3 − 2i.

số phức z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên?

D. z =

170 . 3

A. Điểm Q.

Chọn D. Ví dụ 6: Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn z1 = 3, z2 = 4, z1 − z2 = 5 . Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng toạ độ. Diện tích S của ∆OAB (với O là gốc toạ độ) là

A. S = 5 2.

B. S = 6.

C. S =

25 . 2

B. Điểm M . C. Điểm P. D. Điểm N .

D. S = 12.

Câu 8: Biết điểm M trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z. Điểm biểu diễn số phức iz là

Hướng dẫn giải

A. M .

Ta có: z1 = OA = 3, z2 = OB = 4, z1 − z2 = AB = 5

B. N .

⇒ ∆OAB vuông tại O (vì OA2 + OB 2 = AB 2 )

C. P.

1 1 ⇒ S∆OAB = OA.OB = .3.4 = 6. 2 2

D. Q. Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i ) = 3 − 5i. Môđun của z là

Chọn B.

A. z = 17.

Bài tập tự luyện dạng 2 Bài tập cơ bản

B. z = 16.

C. z = 17.

D. z = 4.

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z ( 2 + 2i ) − 2 = iz + 2 + 7i.

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 z = 6 − 4i với i là đơn vị ảo. Phần ảo của số phức z là A. −4.

B. 4.

(

3 +i

C. 2.

D. 6.

) (1 + i 3 ) . Phần thực, phần ảo của số phức z là

B. Q.

B. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng −4 3i.

C. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 4 3.

D. Phần thực bằng −4 và phần ảo bằng −4 3.

Câu 3: Cho số phức z = ( 2a − b + 4 ) − ( a + b + 6 ) i, với a, b ∈ ℝ, i là đơn vị ảo. Biết rằng z là số thuần ảo và z + 2 + i là số thực. Giá trị của S = a 2 + b 2 là B. S = 5.

Trong hình bên, điểm biểu diễn số phức z − 5 + i là

A. M .

A. Phần thực bằng −4 và phần ảo bằng 4 3i.

A. S = 13.

D. − ( 21009 + 1) .

1 + 5i là 3−i

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Câu 2: Biết z =

9 D. a = 1; a = − . 5

C. P. D. N . Bài tập nâng cao Câu 11: Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z − 2 z = −7 + 3i + z . Môđun của số phức w = 1 − z + z 2 bằng

C. S = 20.

D. S = 36.

A. w = 445.

Câu 4: Cho số phức z = 3a − ( 2a + 1) i với a ∈ ℝ, i là đơn vị ảo. Biết rằng z 2 là một số phức có phần thực bằng 8 , giá trị của a là

C. w = 37.

D. w = 457.

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i. Mô đun của số phức w = ( z + 1) z bằng A. 2.

Trang 11

B. w = 425.

B. 10.

D. 4. Trang 12

Câu 13: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = 6, z2 = 2. Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 .

A. 1.

= 60°. Giá trị của T = z 2 + 9 z 2 là Biết MON 1 2

Hướng dẫn giải

A. T = 18.

B. T = 24 3.

(

B. z = 2017.

D. T = 36 3.

B. w = 3.

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z =

C. z = 4.

D. z = 2018. 2016 1 2017 2

z z

C. w = 3.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện z.z + z = 2 và z = 2? D. w = 5.

A. 2.

2 và điểm A trong hình vẽ bên 2

B. Điểm M .

C. Điểm N .

D. Điểm P.

B. 3.

C. 1.

Ta có: z.z + z = 2 ⇔ z + z = 2 ⇔ z + 4 = 2. Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 = 4 2

và ( C2 ) : ( x + 4 ) + y 2 = 4. Vì I1 I 2 = R1 + R2 ( I1 , I 2 là tâm của các đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) ) nên ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc nhau). Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu.

Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i.

Chọn C.

5 Số phức w = có điểm biểu diễn là điểm nào trong các điểm A, B, C , D iz

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z ( z − 6 − i ) + 2i = ( 7 − i ) z ? A. 2.

ở hình bên?

B. 3.

C. 1.

A. Điểm D.

B. Điểm C .

Hướng dẫn giải

C. Điểm B.

D. Điểm A.

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức z.

Câu 18: Cho A, B, C , D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức 1 + 2i; 1 + 3 + i; 1 + 3 − i; 1 − 2i. Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I .Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây?

A. z = 3.

B. z = 1 − 3i.

C. z = 1.

C. 2. 2

A. 2.

B. 4.

C. 1.

z ( z − 6 − i ) + 2i = ( 7 − i ) z

⇔ ( a − 7 + i ) z = 6a + ( a − 2 ) i ⇔ ( a − 7 + i ) z = 6a + ( a − 2 ) i

D. 6.

Câu 20: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1. Khi đó z1 + z2 + z1 − z2

Đặt z = a ≥ 0, a ∈ ℝ , khi đó ta có

⇔ ( a − 7 + i ) z = 6a + ai − 2i

4 z1 z2 + 16 z2 z3 + 9 z1 z3 = 48 . Giá trị của biểu thức P = z1 + z2 + z3 bằng

B. 8.

D. 4.

⇔ a ( z − 6 − i ) + 2i = ( 7 − i ) z

D. z = −1.

Câu 19: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 = 4, z2 = 3, z3 = 2 và

A. 1.

D. 4.

Hướng dẫn giải

1 là một trong bốn điểm M , N , P, Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là iz

A. Điểm Q.

Do đó z = 1 + i nên có một số phức thỏa mãn. Chọn A.

là

là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức

D. 4.

 x 2 + ( y − 1)2 = ( x − 1)2 + y 2 Ta có hệ phương trình:  ⇒ x = y = 1. 2 2 2 2  x + ( y − 2 ) = x + y

)

Câu 15: Cho hai số phức z1 = 2 + i, z2 = 1 − 2i. Môđun của số phức w = A. w = 5.

C. 3.

Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) . C. T = 36 2.

Câu 14: Môđun của số phức z thỏa mãn: 3 z.z + 2017 z − z = 12 − 2018i là A. z = 2.

B. 2.

2 3 ⇔ ( a − 7 ) + 1 a 2 = 36a 2 + ( a − 2 )  

bằng

D. 0.

⇔ a 4 − 14a 3 + 13a 2 + 4a − 4 = 0 ⇔ ( a − 1) ( a 3 − 13a 2 + 4 ) = 0.

Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Hàm số f ( a ) = a 3 − 13a 2 ( a ≥ 0 ) có bảng biến thiên:

Ví dụ mẫu  z − i = z − 1 Ví dụ 1: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn  ?  z − 2i = z Trang 13

Trang 14

z1 − z2 = 37 ⇒ x 2 + y 2 + c 2 + d 2 − 2 xc − 2 yd = 37 ⇔ xc + yd = −6. Lại có: z1 x + yi xc + yd yc − xd 3 3 = = + i = − + bi. Suy ra a = − . z2 c + di c 2 + d 2 c 2 + d 2 8 8 Mà

Đường thẳng y = −4 cắt đồ thị hàm số f ( a ) tại hai điểm nên phương trình a 3 − 13a 2 + 4 = 0 có hai

nghiệm khác 1 (do f (1) ≠ 0 ). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều

z z1 3 9 9 27 3 3 = 1 = = a 2 + b2 ⇔ a 2 + b2 = ⇒ b 2 = − a 2 = ⇒b=± z2 z2 4 16 16 64 8

Vậy có hai số phức z thỏa mãn.

Chọn B.

kiện.

Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa

Chọn B.

mãn z.z = 1 và z − 3 + i = m . Số phần tử của S là

Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa

A. 2.

mãn z − ( 2m − 1) − i = 10 và z − 1 + i = z − 2 + 3i ? A. 40.

B. 41.

C. 165.

Đặt z = a + bi; a, b ∈ ℝ ta có hệ phương trình.

a 2 + b 2 = 1  2  2 2  a − 3 + ( b + 1) = m

Ta có: z − ( 2m − 1) − i = 10 ⇔ z − ( 2m − 1) − i = 100

(

⇔  x − ( 2m − 1)  + ( y − 1) = 100.

)

Phương trình a 2 + b 2 = 1 là đường tròn tâm O, bán kính R = 1 .

Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn ( C ) có tâm I ( 2m − 1;1) , bán kính R = 10. 2

Lại có z − 1 + i = z − 2 + 3i ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) i = ( x − 2 ) + ( 3 − y ) i 2

D. 3.

Dễ thấy m > 0.

Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) và M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z.

C. 1.

Hướng dẫn giải

D. 164.

Hướng dẫn giải

B. 4.

(

Phương trình a − 3

)

+ ( b + 1) = m 2 là đường tròn tâm I

(

Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài

Khi đó điểm biểu diễn số phức z cũng nằm trên đường thẳng ∆ : 2 x + 8 y − 11 = 0

a 2 + b 2 = 1  có nghiệm duy nhất ⇔ Hệ phương trình  2 2 2  a − 3 + ( b + 1) = m

Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C ) tại 2 điểm phân biệt.

⇔ Hai đường tròn này tiếp túc với nhau

⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − 2 ) + ( 3 − y ) ⇔ 2x + 8 y − 11 = 0.

Tức là d ( I , ∆ ) < 10 ⇔

2 ( 2m − 1) + 8 − 11 2

2 +8

< 10 ⇔

(

)

m = 1 (thỏa mãn m > 0 ). ⇔ OI = m ± 1 ⇔ m ± 1 = 2 ⇔  m = 3

5 − 20 17 5 + 20 17 <m< . 4 4

Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy, có hai số thực thỏa mãn.

Chọn B.

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 = 3, z2 = 4, z1 − z2 = 37. Hỏi có bao nhiêu số z mà

Ví dụ 7: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 1 và

z1 = a + bi ? z2

A. 1.

A. 3. B. 2.

C. 3.

)

3; −1 , bán kính R = m .

B. 4.

C. 6.

z z + = 1. z z D. 8.

Hướng dẫn giải

D. 4.

Đặt z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) . Ta có

Hướng dẫn giải Đặt z1 = x + yi, z2 = c + di ( x, y, c, d ∈ ℝ ) . Ta có:

z = a 2 + b 2 = 1 ⇒ a 2 + b 2 = 1.

z1 = 3 ⇒ x 2 + y 2 = 9; z2 = 4 ⇒ c 2 + d 2 = 16;

Trang 15

Trang 16

Câu 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 5 + 16i z = 0?

2 ( a + bi ) + ( a − bi ) z z z2 + z + = = = 2a 2 − 2b 2 = 1. 2 z z z. z z

A. 4.

B. 10.

C. 8.

D. 6. 2

a 2 + b 2 = 1 a 2 + b 2 = 1  Ta có hệ:  2 ⇔  2 2 1 hoặc 2  2a − 2b = 1 a − b = 2  2 3  a = 4 hoặc ⇔ b 2 = 1  4

A. 1.

 2 1  a = 4 .  b 2 = 3  4

A. 1.

A. 0.

A. Vô số.

A. 0. C. 2.

D. 3.

C. 1.

A. 10.

C. 3.

B. 3.

D. 1.

C. 2.

D. 1.

B. 42.

C. 52.

D. 4.

D. 40.

Phương pháp giải Ví dụ:

Cho trước các điểm cố định I , F1 , F2 ; F1 F2 = 2c ( c > 0 )

z 5 là số thuần ảo và z 2 + 1 = ? 1+ z 2

C. 3.

B. Vô số.

Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết.

Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm

Tập hợp các điểm M thoả mãn MI = R ( R > 0 ) là đường biểu diễn số phức z thoả mãn z + 2 − 5i = 4 là đường tròn tâm I ( −2;5 ) , tròn tâm I bán kính R. bán kính R = 2. Tập hợp các điểm M thoả mãn MF1 + MF2 = 2a ( a > c )

D. 4.

là elip có hai tiêu điểm là F1 , F2 .

D. 0.

Tập hợp các điểm M thoả mãn MF1 = MF2 là đường

Câu 6: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z − 5 − i ) + 2i = ( 6 − i ) z ? A. 4.

D. 2.

C. 0.

Dạng 4: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức

3 2 Câu 5: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + z i − 1 − i = 0? 4

B. 3.

B. 2.

D. 2.

Bài tập nâng cao

A. 1.

C. 3.

mãn z.z = 1 và z − −3 − 4i = m . Tổng các phần tử thuộc S là

Câu 3: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 1 và z 2 + 4 = 2 3 ?

B. 2.

B. 4.

Câu 15: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa

Câu 2: Số các số phức thỏa mãn điều kiện z 2 + 2 z = 0 là

A. 1.

D. 4.

z Câu 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 3i = 5 và là số thuần ảo? z−4 2

Câu 4: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

C. 3.

z Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 3i = 13 và là số thuần ảo? z+2

Câu 1: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 = z + z ?

B. 2.

Câu 12: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 2 − i = 2 2 và ( z − 1) là số thuần ảo?

Bài tập nâng cao dạng 3

A. 1.

D. 4.

Bài tập cơ bản

B. 4.

C. 3.

Câu 11: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 1 − 3i = 3 2 và ( z + 2i ) là số thuần ảo?

Chọn D.

A. 0.

B. 2.

Vậy có 8 cặp số ( a; b ) do đó có 8 số phức thỏa mãn.

B. 4.

)

là số thuần ảo?

 1 3  1 3  3 1  3 1   Suy ra ( a; b ) ∈  ; ± ; ±  ;  − ; ±   .  ;  − ; ±  ;  2   2 2   2 2  2 2    2

A. 1.

(

Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = z + z + 1 và ( z − 2 ) z + 1

a 2 + b 2 = 1   2 2 1 a − b = −  2

trung trực của đoạn thẳng F1 F2 .

D. 1.

Câu 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3 + 2i z = 0? A. 4.

B. 3.

C. 2.

Ví dụ mẫu

D. 6.

(

tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm I ( a; b ) và

z − 1 − 10i = 5?

A. Hai.

)

Ví dụ 1: Xét các số phức z thỏa mãn ( z − 6 ) 8 + z.i là số thực. Biết rằng

Câu 8: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z − 10 + 2i = z + 2 − 14i và

B. Không.

C. Một.

bán kính R. Giá trị a + b + R bằng

D. Vô số.

Trang 17

Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy , 2

( x − a) + ( y − b)

= R 2 là

Trang 18

B. 4.

A. 6.

C. 12.

D. 24.

phương trình đường tròn

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z

có tâm I ( a; b ) và bán kính

thỏa mãn z − 1 + 2i = z + 1 + 2i là đường thẳng có phương trình

R >0.

Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) .

(

A. x − 2 y + 1 = 0.

B. x + 2 y = 0.

C. x − 2 y = 0.

D. x + 2 y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ z = x − yi.

)

Vì ( z − 6 ) 8 + z.i = ( x − 6 ) + yi  ( y + 8 ) + xi  là số thực nên 2

Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn của số phức z.

x ( x − 6 ) + y ( y + 8 ) = 0 ⇔ ( x − 3) + ( y + 4 ) = 25.

Ta có: z − 1 + 2i = z + 1 + 2i

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = 5. Vậy a + b + R = 4.

⇔ x + yi − 1 + 2i = z − yi + 1 + 2i

Chọn B.

⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) i = ( x + 1) + ( 2 − y ) i

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 10 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

( x − 1) + ( y + 2 )

⇔

B. Một đường tròn.

⇔ x2 − 2 x + 1 + y 2 + 4 y + 4 = x 2 + 2 x + 1 + y 2 − 4 y + 4

C. Một elip.

⇔ x − 2 y = 0.

D. Một hypebol. Hướng dẫn giải

Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x − 2 y = 0.

Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thì z − 3 + z + 3 = 10 ⇔ ( x − 3) + yi + ( x + 3) + yi = 10(*)

Chọn C.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F1 ( 3;0 ) , F2 ( −3;0 ) . Dễ thấy F1 F2 = 6 = 2c

Ví dụ 5: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3 z + i = 2 z − z + 3i .

Khi đó: z − 3 + z + 3 = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 = 2a.

Tập hợp tất cả các điểm M như vậy là

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F1 , F2 , độ dài trục lớn là 2a = 10

Chọn C. 2

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z = 10 và w = ( 6 + 8i ) z + (1 − 2i ) . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là

A. I ( −3; −4 ) .

B. I ( 3; 4 ) .

C. I (1; −2 ) .

A. Một parabol.

B. Một đường thẳng.

C. Một đường tròn.

D. Một elip.

y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) là phương parabol.

Hướng dẫn giải

trình

đường

Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi; ∀x; y ∈ ℝ. Khi đó 2

2x 2 2 ⇔ 9  x 2 + ( y + 1)  = x 2 + ( −3 y + 3) ⇔ y = −   9

Ta có

Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy ,

3 z + i = 2 z − z + 3i ⇔ 3 x 2 + ( y + 1) = x 2 + ( −3 y + 3)

D. I ( 6;8 ) .

Hướng dẫn giải w = ( 6 + 8i ) z + (1 − 2i )

( x + 1) + ( 2 − y )

A. Một parabol.

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là một đường parabol.

Chọn A.

⇔ w − ( −3 − 4i ) = ( 6 + 8i ) z

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5. Tập hợp các Chú ý: Phần hình phẳng điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng cần tính diện tích là hình đó là vành khăn màu xám trong A. S = 25π . B. S = 8π . C. S = 4π . D. S = 16π . hình vẽ dưới đây:

⇔ w − ( −3 − 4i ) = 62 + 82 z ⇔ w − ( −3 − 4i ) = 10.10 ⇔ w − ( −3 − 4i ) = 100 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn ( C ) có tâm I ( −3; −4 ) .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi M ( a; b ) là điểm biểu diễn của số phức z và A ( −1;3) là điểm biểu Trang 19

Trang 20

diễn số phức −1 + 3i. Khi đó AM = z − 3i + 1 = 2

Câu 9: Cho các số phức z thỏa mãn z + 1 = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 2

( a + 1) + ( b − 3)

(

A. 9.

Suy ra 32 ≤ ( a + 1) + ( b − 3) ≤ 52 ⇔ 32 ≤ AM ≤ 52. Tập hợp các điểm biểu

A. 15π .

S = 25π − 9π = 16π .

Bài tập tự luyện dạng 4 6 + 8i +i z

B. r = 5.

5 C. r = . 2

C. 20π .

D. 18π .

một đường tròn. Toạ độ tâm và bán kính r của đường tròn đó là

A. I ( 3; 0 ) , bán kính r = 10.

B. I ( 3; 0 ) , bán kính r = 10.

C. I ( 0;3) , bán kính r = 10.

D. I ( 0;3) , bán kính r = 10.

B. 2 13.

D. r = 5.

5  3 9  A.  x −  +  y −  = . 2  2 4 

3 . 13

5  3  D.  x −  +  y −  = 9. 2  2 

)

các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

D. Một hypebol.

A. 2 2.

C. 2.

D. 4.

Câu 15: Cho các số phức z thỏa mãn z − 2i = 3. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức

D. Một hypebol.

w = 2iz + 3 − 3i là đường tròn. Diện tích của hình tròn giới hạn bởi đường tròn đó bằng

A. 9π .

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i = 2 z + 2 + i . Tập hợp các điểm biểu diễn của z là C. Một parabol.

B. ( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 36.

(

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i = z + 2 z − 1 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z là C. Một parabol.

13 . 3

Câu 14: Xét các số phức z thỏa mãn z − 2i ( z + 2 ) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + z + 1 − i = 3. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

B. Một elip.

A. 3 13.

C. Một đường tròn.

1+ z 3 − 2i +i 2 − i = 3. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = iz z

C. ( x − 10 ) + ( y − 6 ) = 16.

C. r = 3.

biểu diễn số phức w = z1 + z2 là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

z lả một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là

B. Một elip.

C. 4.

Câu 13: Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z − 5 − 3i = 5 và z1 − z2 = 8. Tập hợp các điểm

z + 2 + 5i Câu 3: Cho hai số phức z và w = . Biết rằng w là một số thuần ảo và tập hợp diễn số phức z −i

B. Một elip.

B. 2 2 .

là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là

D. r = 10.

Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z = 5 và tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = ( 4 + 2i ) z + 3i là

B. r = 10.

A. 2.

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn

là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là

A. Một đường tròn.

B. 12π .

các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z = 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w =

A. Một đường tròn.

D. 3.

Câu 11: Biết các số phức z thỏa mãn ( z + 2i )( z − 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả

Chọn D.

A. Một đường thẳng

C. 6.

z + 2 − i + z − 4 − i = 10 là

kể cả các điểm nằm trên hai đường tròn này.

A. r = 3.

B. 36.

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn

diễn của z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn ( A;3) và ( A;5 ) ,

A. r = 40.

)

w = 1 + i 8 z + i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là

B. 36π .

C. 6π .

D. 18π .

D. Một đường thẳng.

(

)

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 = 2 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 1 + i 3 z + 2 là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là

A. r = 8.

B. r = 4.

C. r = 2 2.

D. r = 2.

Câu 8: Gọi A, B, C , D lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 + 2i,1 + 3 + i,1 + 3 − i,1 − 2i trên mặt phẳng tọa độ. Biết tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn, tâm của đường tròn đó biểu diễn số phức có phần thực là

B. 2.

D. 1. Trang 21

Trang 22

CHUYÊN ĐỀ 4

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

1. Căn bậc hai của một phức

Mục tiêu

Định nghĩa

Kiến thức

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = w được gọi là một căn

+ Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

bậc hai của w

Kĩ năng +

Tìm căn bậc hai của số phức w

Giải được phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức và vận dụng vào giải được một

•

số bài toán liên quan +

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai

w là số thực.

+ Nếu w < 0 thì w có hai căn bậc hai là i − w và −i − w

Vận dụng định lý Vi-ét vào giải một số bài toán chứa nhiều biểu thức đối xứng đối với hai •

Biết cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hệ số thực

w và − w

+ Nếu w ≥ 0 thì w có hai căn bậc hai là

nghiệm của phương trình +

Nhận xét:

w = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , b ≠ 0

là 0 +) Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Nếu z = x + iy là căn bậc hai của w thì ( x + iy ) = a + bi

+ Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp

 x2 − y2 = a Do đó ta có hệ phương trình:  2xy = b Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của w Chú ý:

2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Xét phương trình az 2 + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0 )

Mọi phương trình bậc n: A0 z n + A1 z n −1 + ... + An −1 z + An = 0

Ta có ∆ = b − 4ac

luôn có n nghiệm phức (không

•

b Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm thực x = − 2a

•

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 =

•

nhất thiết phân biệt) với n nguyên dương.

−b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 =

−b + i ∆ 2a

; x2 =

−b − i ∆ 2a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0

( a ≠ 0)

có hai nghiệm phân

biệt x1 , x2 (thực hoặc phức) thì

b   S = x1 + x2 = − a  P = x x = c 1 2  a

Trang 1

Trang 2

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

B. ±5i

A. ±5

C. ± 5i

D. ± 5

Hướng dẫn giải

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

 z = 5i Ta có phương trình: z 2 + 5 = 0 ⇔ z 2 = −5 ⇔ z 2 = 5i 2 ⇔   z = − 5i

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0 )

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là z1 = 5i và z2 = − 5i

∆ = b 2 − 4ac

Chọn C 2

∆<0

∆=0

Ví dụ 2. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2 + z + 1 = 0 . Giá trị của biểu thức A = z1 + z2

∆>0

là

A. 2

B. 1

Phương trình có hai nghiệm

Phương trình có

Phương trình có hai nghiệm thực

Hướng dẫn giải

phức phân biệt

nghiệm thực duy nhất

phân biệt

Ta có ∆ = −7 =

x1 =

−b + i ∆ 2a

; x2 =

b x=− 2a

−b − i ∆ 2a

x1 =

−b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a

( 7i )

C. 4

D. 3

nên phương trình có hai nghiệm là:

1 7 1 7 z=− − i; z = − + i 4 4 4 4 2

Suy ra A = z1 + z2 = 1

Chọn B

b   S = x1 + x2 = − a Hệ thức Vi-ét  P = x x = c 1 2  a

Ví dụ 3. Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z 2 + 1 = z A.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 + 3i 2

Cho phương trình: az + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0 ) 2

•

Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

1− 3 2

1+ 3 2

1 + 2i 2

Hướng dẫn giải

Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm Phương pháp giải

( z ∈ ℂ) ?

Ta có z 2 + 1 = z

Ví dụ: Xét phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0 a) Giải phương trình trên tập số phức

( z ∈ ℂ ) ⇔ z 2 − 2.z.

1 1 3 1  3i 2  + =− ⇔z−  = 2 4 4 2 4 

 1  1 + 3i 3i z − = z = 2 2 2 ⇔ ⇔  1 − 3i  1 − 3i z − = z =  2  2 2

b) Tính z1 + z2

Hướng dẫn giải

•

Áp dụng các phép toán trên tập số phức để a) Ta có: ∆ ' = 1 − 5 = −4 = ( 2i )2 biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là:

Chọn A Ví dụ 4. Phương trình z 2 + az + b = 0 ( a, b ∈ ℝ ) có nghiệm phức là 3 + 4i . Giá trị của a + b bằng

z1 = 2 + 2i ; z2 = 2 − 2i

A. 31

b) Ta có z1 = z2 = 22 + 22 = 2 2

B. 5

C. 19

D. 29

Hướng dẫn giải Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình z 2 + az + b = 0 nên ta có:

Suy ra z1 + z2 = 2 2 + 2 2 = 4 2

( 3 + 4i )

Ví dụ mẫu

+ a ( 3 + 4i ) + b = 0 ⇔ ( 3a + b − 7 ) + ( 4a + 24 ) i = 0

Chú ý: Nếu z0 là nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số

Ví dụ 1. Tất cả các nghiệm phức của phương trình z 2 + 5 = 0 là

thực thì z0 cũng là Trang 3

Trang 4

3a + b − 7 = 0  a = −6 ⇔ ⇔ + = a 4 24 0  b = 25

nghiệm của phương

Hướng dẫn giải

trình

Do đó a + b = 19

z = 2 + i 2 Xét phương trình z 2 − 4 z + 5 = 0 ⇔ ( z − 2 ) = −1 ⇔  1  z2 = 2 − i

Cách 2: Vì z1 = 3 + 4i là nghiệm của phương trình z 2 + az + b = 0 nên z2 = 3 − 4i

Khi đó ta có: ( z1 − 1)

cũng là nghiệm của phương trình đã cho

(

= (1 + i ) . (1 + i )

 z1 + z2 = − a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có   z1.z2 = b

2 1009

1009

= (1 + i ) . ( 2i )

 a = −6 ( 3 + 4i ) + ( 3 − 4i ) = − a ⇔ ⇔ ⇒ a + b = 19 b = 25 ( 3 + 4i )( 3 − 4i ) = b

1009

= ( 2i )

)

2019

+ ( z2 − 1)

2019

(

+ (1 − i ) . (1 − i )

= (1 + i )

2019

+ (1 − i )

2019

2 1009

)

1009

+ (1 − i ) . ( −2i )

1010

( (1 + i ) − (1 − i ) ) = ( 2i )

505

= (i2 )

.21010 = −21010

Chọn D

Chọn C

Bài tập tự luyện dạng 1

Ví dụ 5. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 + 6 z + 34 = 0 . Giá trị của z0 + 2 − i là

Bài tập cơ bản Câu 1: Nghiệm của phương trình z 2 − z + 1 = 0 trên tập số phức là

A. 17

B. 17

C. 2 17

A. z =

3 1 3 1 + i; z = − i 2 2 2 2

B. z = 3 + i ; z = 3 − i

C. z =

1 3 1 3 + i; z = − i 2 2 2 2

D. z = 1 + 3i ; z = 1 − 3i

Hướng dẫn giải 2

Ta có ∆ ' = −25 = ( 5i ) . Phương trình có hai nghiệm là z = −3 + 5i ; z = −3 − 5i

Do đó z0 = −3 + 5i ⇒ z0 + 2 − i = −1 + 4i = 17

Câu 2: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức

Chọn A

P = z1 + z2

Ví dụ 6. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0

Tọa độ điểm biểu diễn số phức A. P ( 3; 2 )

A. P = 20

C. Q ( 3; −2 )

A. 4

A. –31

 z = 1 + 2i Ta có z 2 − 2 z + 5 = 0 ⇔   z = 1 − 2i

1 3 A. M 1  ;  2 2

Chọn A Ví dụ 7. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 4 z + 5 = 0 . Giá trị của biểu thức

A. 21009

D. 2

B. –19

C. 1

D. –11

3 1 B. M 2  ;  2 2

3 1 C. M 3  ; −  2 2

 1 3 D. M 4  − ;   2 2

−1 + i 3 2

−1 − i 3 2

C. 2i

D. 2

Câu 7: Kí hiệu z0 là số phức có phần ảo âm của phương trình 9 z 2 + 6 z + 37 = 0 . Tọa độ của điểm biểu diễn số phức w = iz0 là

bằng B. 21010

C. 6

Câu 6: Cho z là nghiệm phức của phương trình x 2 + x + 1 = 0 . Giá trị của biểu thức P = z 4 + 2 z 3 − z là

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P ( 3; 2 )

2019

B. 3

đây là điểm biểu diễn của số phức iz0 ?

7 − 4i 7 − 4i ( 7 − 4i )(1 + 2i ) = = = 3 + 2i z1 1 − 2i 12 + 22

+ ( z2 − 1)

D. P = 2 10

Câu 5: Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2 − 6 z + 5 = 0 . Hỏi điểm nào dưới

Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z1 = 1 − 2i . Khi đó:

2019

C. P = 0

Câu 4: Biết số phức z = −3 + 4i là một nghiệm của phương trình z 2 + az + b = 0 , trong đó a, b là các số thực. Giá trị của a − b là

D. M (1; 2 )

Hướng dẫn giải

( z1 − 1)

B. P = 40

Câu 3: Phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 có hai nghiệm là z1 , z2 . Giá trị của z1 − z2 bằng

7 − 4i trên mặt phẳng phức là z1

B. N (1; −2 )

C. 0

D. −21010 Trang 5

Trang 6

1  A.  −2; −  3 

 1  B.  − ; −2   3 

1  C.  2; −  3 

 1  D.  − ; 2   3 

Câu 8: Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 3 z + 5 = 0 . Giá trị của z1 + z2 bằng A. 2 5

C. 3

D. 10

Câu 9: Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0 . Giá trị của z1 + 2 + 6i bằng

A. 5

Câu 10: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 9 z + 6 z + 4 = 0 . Giá trị của biểu thức 2

1 1 + bằng z1 z2 A.

A. 5

B. 2

3 2

A. 13

B. 11

5 2

C. 10

100

+ (1 + z2 )

B. w = −251

C. w = 251

Phương pháp giải

Ví dụ: Phương trình z 2 − 4 z + 24 = 0 có hai

Định lí Vi-ét: Cho phương trình:

D. 20

nghiệm phức z1 , z2 nên

az + bz + c = 0 ; a, b, c ∈ ℝ ; a ≠ 0

z1 + z2 = 4 ; z1.z2 = 24

Câu 12: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0 . Giá trị của biểu thức z1 + z1.z2 là A. 5

B. 10

C. 15

D. 0

Bài tập nâng cao Câu 13: Phương trình z 2 − 3z + 4 = 0 có hai nghiệm phức z1 , z2 . Giá trị của z1.z2 2 bằng A. 27

B. 64

C. 16

B. 16

C. 27 3

A. 4

c a

B. −4

c a

)

bằng

D. 8 2

bằng

c 4a

D. −4

c a

C. M ( −2; −1)

C. –6

D. 7

13 C. 2

z + z = 2 Theo định lí Vi-ét ta có:  1 2  z1.z2 = 5 2

Chọn C

D. M ( 2; −1)

cho hai số phức z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Diện tích tam giác OAB bằng

B. 12

B. –9

Suy ra z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 = 22 − 2.5 = −6

Câu 17: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 4 z + 13 = 0 và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn

A. 13

A. 14 Hướng dẫn giải

Gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0

điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = i 2019 z0 ? B. M ( 2;1)

b a

Ví dụ 1: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0 . Giá trị của biểu thức z12 + z22

Câu 16: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 + 2 z + 5 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ,

A. M ( −2;1)

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1 + z2 =

Ví dụ mẫu

Câu 15: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình az 2 + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ ℝ ) . Giá trị của biểu thức M = z1 + z2 + ( z1 − z2 ) − ( z1 + z2

b   z1 + z2 = − a có hai nghiệm phức z1 , z2 thì   z .z = c  1 2 a

D. 8

Câu 14: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + 3 = 0 . Môđun của z13 .z24 bằng A. 81

D. w = −250 i

Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng

Câu 11: Ký hiệu z1 , z2 là nghiệm của phương trình z + 2 z + 10 = 0 . Giá trị của z1 . z2 bằng B.

D. 10

Câu 20: Gọi z1 và z2 là các nghiệm phức của phương trình z + 4 z + 5 = 0 .

A. w = 250 i

D. 6

C. 12 2

A. 5

D. 1

m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 = z2 .z2 . Hỏi trong khoảng ( 0; 20 )

100

B. 3

C. 7

Câu 19: Trong tập các số phức, cho phương trình z 2 − 6 z + m = 0 , m ∈ ℝ (1) . Gọi m0 là một giá trị của

Tính w = (1 + z1 )

4 3

z 2 − z + 1 = 0 . Giá trị của biểu thức

có bao nhiêu giá trị m0 ∈ ℕ ?

D. 73

Câu 18: Gọi z là một nghiệm của phương trình 1 1 M = z 2019 + z 2018 + 2019 + 2018 + 5 bằng z z

D. 6

Ví dụ 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i ? A. z 2 − 2 z + 3 = 0

B. z 2 + 2 z + 5 = 0

phương trình:

C. z 2 − 2 z + 5 = 0

D. z 2 + 2 z + 3 = 0

+) z 2 − 2 z + 3 = 0

Hướng dẫn giải Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương

Trang 7

Chúng ta có thể giải từng

⇔ ( z − 1) = 2i 2 ⇔ z − 1 = ±i 2 Trang 8

Suy ra z13 + z23 = ( z1 + z2 ) ( z12 − z1 z2 + z22 )

trình bậc hai có nghiệm 1 + 2i thì nghiệm còn lại là 1 − 2i

⇔ z = 1± i 2

Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5

+) z 2 + 2 z + 5 = 0

Vậy số phức 1 + 2i là nghiệm của phương trình z − 2 z + 5 = 0

Chọn C

(

= ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) − 3 z1 z2

⇔ ( z + 1) = 4i 2

z13 + z23

) (

= 2 − 3i + 2 + 3i

)

= −20

= 4. ( 42 − 3.7 ) = −20

⇔ z + 1 = ±2i

(

)

⇔ z = −1 ± 2i

Chọn A

+) z 2 − 2 z + 5 = 0

Ví dụ 5: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2 − 2 z + 27 = 0 . Giá trị của z1 z2 + z2 z1 bằng

⇔ ( z − 1) = 4i 2

A. 2

⇔ z − 1 = ±2i

B. 6

⇔ z = 1 ± 2i

Hướng dẫn giải

+) z 2 + 2 z + 3 = 0

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1 + z2 =

C. 3 6

2 và z1.z2 = 9 3

⇔ ( z + 1) = 2i 2

Mà z1 = z2 =

⇔ z + 1 = ±i 2

z1 z2 =

z1.z2 = 9 = 3

2 Do đó z1 z2 + z2 z1 = z1.3 + z2 .3 = 3 ( z1 + z2 ) = 3. = 2 3

⇔ z = −1 ± i 2

Ví dụ 3: Kí hiệu z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình 2 z 2 + 4 z + 3 = 0 . Tính giá trị biểu thức

Chọn A

P = z1 z2 + i ( z1 + z2 )

Ví dụ 6: Cho số thực a > 2 và gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + a = 0 . Mệnh đề

A. P = 1

B. P =

7 2

C. P = 3

D. P =

nào sau đây sai?

5 2

A. z1 + z2 là số thực

Hướng dẫn giải

C. 2

Ta có z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z + 4 z + 3 = 0

Ta có z1 + z2 = −

3 3 5 2 3 + i ( −2 ) = − 2i =   + ( −2 ) = 2 2 2 2

z1 z2 là số thực + z2 z1

b = 2 . Đáp án A đúng a

nghiệm, nghiệm còn lại là z2 = x − yi Suy ra z1 − z2 = 2 yi là số ảo. Đáp án B đúng

Chọn D Ví dụ 4: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z − 4 z + 7 = 0 . Cách khác:

Giá tị của P = z13 + z23 bằng

C. 14 7

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z1 = x + yi ; x, y ∈ ℝ là một

A. –20

z1 z2 là số ảo + z2 z1

Hướng dẫn giải

 z1 + z2 = −2  Theo định lý Vi-ét ta có  3  z1.z2 = 2 Ta có P = z1 z2 + i ( z1 + z2 ) =

B. z1 − z2 là số ảo

B. 20 D. 28 7

Hướng dẫn giải

 z1 + z2 = 4 Theo định lý Vi-ét ta có   z1.z2 = 7

z1 z2 z12 + z22 ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 4 − 2a + = = = ∈ℝ z2 z1 z1.z2 z1.z2 a

Ta có: z2 − 4z + 7 = 0 2

⇔ ( z − 2 ) = 3i

Vậy C là đáp án sai và D đúng Chọn C

Bài tập tự luyện dạng 2

 z1 = 2 − 3i ⇔  z2 = 2 + 3i

Bài tập cơ bản Câu 1: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức −i 3 và i 3 làm nghiệm?

Do đó:

A. z 2 + 5 = 0 Trang 9

B. z 2 + 3 = 0

C. z 2 + 9 = 0

D. z 2 + 3 = 0 Trang 10

Câu 2: Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức 2 − 3i và 2 + 3i làm nghiệm?

Bài tập nâng cao

z = 2  z = − 2 z2 = 2  Ta có: 2 z 4 − 3 z 2 − 2 = 0 ⇔  2 ⇔ z = 2 i  z = − 1 = 1 .i 2  2  2 2  z = − 2 i  2

Câu 4: Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0 . Giá trị của biểu thức P = z14 + z24 là

Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng

A. z + 4 z + 3 = 0 2

B. z + 4 z + 13 = 0 2

C. z − 4 z + 13 = 0

D. z − 4 z + 3 = 0

Câu 3: Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − 3 z + 5 = 0 . Giá trị của z1.z2 bằng A. 5

B. −

A. –14

1 2

B. −14i

C. 3

C. 14

1 2

D. 14i

Câu 5: Cho số phức z0 có z0 = 2018 . Diện tích của đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn của z0 và

các nghiệm của phương trình A. 9

1 1 1 được viết dạng n 3 , n ∈ ℕ . Chữ số hàng đơn vị của n là = + z + z0 z z0

B. 8

C. 3

D. 2

nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12 + z22 = −6 B. m = ±4

C. m = −3

D. m = 3

B. 4

C. 2

D. 3

B. 10

C. 2i

bằng

B. 12

C. 0

D. 2 + 5

Hướng dẫn giải

z = 1  z = −1 z = 1 Ta có: z 4 + 4 z 2 − 5 = 0 ⇔  2 ⇔  z = 5i  z = −5   z = − 5i

( 5) +( 5)

= 12

của biểu thức S = z1 + z2 + z3 + z4 là

B. S = 16

C. S = 17

D. S = 15

Hướng dẫn giải 2

Ta có: ( z 2 + z ) + 4 ( z 2 + z ) − 12 = 0

Với t = 3 ta có z 2 = 3 ⇒ z = ± 3

t = 2 Đặt t = z 2 + z , ta có t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔  t = −6

Với t = −2 ta có z = −2 ⇒ z = ±i 2 2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm z = ± 3 ;

z = ±i 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2 z 4 − 3 z 2 − 2 = 0 là C. 2 5

Ví dụ 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình ( z 2 + z ) + 4 ( z 2 + z ) − 12 = 0 . Giá trị

A. S = 18

Nắm vững cách giải một số phương trình Đặt z 2 = t , ta có phương trình: quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc t = 3 t2 − t − 6 = 0 ⇔  cao;…  t = −2

B. 5 2

Chọn B

Ví dụ: Giải phương trình: z 4 − z 2 − 6 = 0 trên tập Nắm vững cách giải phương trình bậc hai số phức. với hệ số thực trên tập số phức Hướng dẫn giải

A. 3 2

Phương pháp giải

•

Do đó: z1 + z2 + z3 + z4 = 12 + 12 +

D. 10i

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

•

z1 + z2 + z3 + z4

Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z1 = 1 , z2 = −1 , z3 = −i 5 , z4 = i 5

Câu 8: Gọi z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình z + 4 z + 7 = 0 . Số phức z1 z2 + z1 z2 bằng 2

A. 2

Ví dụ 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4 + 4 z 2 − 5 = 0 . Giá trị của

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của a sao cho phương trình z 2 − az + 2a − a 2 = 0 có hai nghiệm phức có môđun bằng 1? A. 1

2 2 i+− i =3 2 2 2

Chọn A

A. 2 + 2 5

Câu 6: Cho phương trình z 2 + mz + 5 = 0 trong đó m là tham số thực. Tìm m để phương trình có hai A. m = ±2

2+− 2 +

D. 2 3

Hướng dẫn giải

 z1 = 1  z = −2  2 2 z + z − 2 = 0  Suy ra:  2 ⇔  z3 = −1 + i 23 2 z + z + 6 = 0   −1 − i 23  z4 =  2 2

2 2 23  2  1   23   1   Suy ra S = 12 + ( −2 ) +  −  +   +  −  +  −  = 17 2   2  2   2 

Trang 11

Trang 12

Chọn C Ví dụ 4: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình A. 1

B. 4

Đặt z = a + bi có

+ z = −4 . Khi đó z1 + z2 bằng

C. 8

D. 2

Đặt t = z ( t ≥ 0 ) ta có phương trình t 2017 =

Hướng dẫn giải

Nếu t ≤ 1 ⇒ VT ≤ 1 ; VP ≥ 1

2  z2  z.z  Ta có: 2 + z = −4 ⇔   + z = −4 ⇔  + z = −4   z  z  z    4

  1 15 1 i z = − − z = − + 2 2 2 ⇔ z2 + z +4 = 0 ⇔  ⇒   1 15 1 i z = − + z = − −   2 2 2

Nếu t = 1 ⇒ z = 1

Chọn D Bài tập tự luyện dạng 3

15 i 2 15 i 2

Câu 1: Gọi z1 , z2 , z3 là các nghiệm của phương trình iz 3 − 2 z 2 + (1 − i ) z + i = 0 . Biết z1 là số thuần ảo. Đặt P = z2 − z3 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 4 < P < 5

1 15 1 15 Vậy z1 + z2 = − − i− + i = −1 = 1 2 2 2 2

+ 4 )( z + 4 )( z + 4 )( z + 4 ) = 441 . Tìm a 2 2

2 3

 a = −1 B.   a = 19  2

 a = −1 C.   a = − 19  2

A. S = 3 3

C. T = 10

D. T = 8

B. S =

3 3 2

C. S = 1

D. S =

3 3 4

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018 + 10iz 2017 + 10iz − 11 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2

Nhận xét: z 2 + 4 = z 2 − ( 2i ) = ( z + 2i )( z − 2i )

1 3  A. z =  ;  2 2 

Đặt f ( x ) = z + az + 1 , ta có: 4

2 3

2 4

k =1

= (16i 4 + 4ai 2 + 1)(16i 4 + 4ai 2 + 1) = (17 − 4a )

B. z = (1; 2 )

C. z = [ 0;1)

D. z = [ 2;3)

Câu 5: Cho phương trình z 4 − 2 z 3 + 6 z 2 − 8 z + 9 = 0 có bốn nghiệm phức phân biệt là z1 , z2 , z3 , z4 .

+ 4 )( z + 4 )( z + 4 )( z + 4 ) = ∏ ( zk + 2i ) . ∏ ( zk − 2i ) = f ( −2i ) . f ( 2i )

Tính giá trị của biểu thức T = ( z12 + 4 )( z22 + 4 )( z32 + 4 )( z42 + 4 )

A. T = 2i

B. T = 1

C. T = −2i

D. T = 0

Câu 6: Biết z1 , z2 = 5 − 4i và z3 là ba nghiệm của phương trình z + bz + cz + d = 0 ( b, c, d ∈ ℝ ) , trong 3

 a = −1 2 Theo giả thiết, ta có (17 − 4a ) = 441 ⇔   a = 19  2

đó z3 là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w = z1 + 3z2 + 2 z3 bằng A. –12

Chọn B

B. –8

C. –4

D. 0

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn 11z10 + 10iz 9 + 10iz − 11 = 0 . Tính môđun của số phức z

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018 + 10iz 2017 + 10iz − 11 = 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 ≤ z < 3

B. T = 6

z 3 − 6 z 2 + 12 z − 7 = 0 . Tính diện tích S của tam giác ABC

a = 1 D.   a = 19  2

Hướng dẫn giải

2 2

A. T = 4

Câu 3: Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 là nghiệm của phương trình

2 4

a = 1 A.   a = − 19  2

D. 1 < P < 2

T = z1 + z2 + z3 + z4 .

Ví dụ 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z + az + 1 = 0 có bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 thỏa mãn

2 1

C. 3 < P < 4

Câu 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 và z4 là các nghiệm phức của phương trình z − 5 z 2 − 36 = 0 . Tính tổng 4

B. 2 < P < 3

Chọn A

2 1

100t 2 + 220b + 121 121t 2 + 220b + 100

Nếu t ≥ 1 ⇒ VT ≥ 1 ; VP ≤ 1

Điều kiện: z ≠ 0 z

2 (10b + 11) + 100a 2 = 100 ( a 2 + b2 ) + 220b + 121 11 − 10iz 11 − 10i ( a + bi ) = = 2 11z + 10i 11( a + bi ) + 10i 121( a 2 + b 2 ) + 220b + 100 121a 2 + (11b + 10 )

B. 0 ≤ z < 1

C. 1 < z < 2

A. z = 10

1 3 D. ≤ z < 2 2

C. z = 11

D. z = 221

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z 6 − z 5 + z 4 − z 3 + z 2 − z + 1 = 0 . Tìm phần thực của số phức W = z ( z 2 − z + 1)

Hướng dẫn giải Ta có z 2017 (11z + 10i ) = 11 − 10iz ⇔ z 2017 =

B. z = 1

A. Phần thực bằng 1

11 − 10iz 11 − 10iz 2017 ⇒ z = 11z + 10i 11z + 10i

Trang 13

B. Phần thực bằng 0

Trang 14

C. Phần thực bằng 2

D. Phần thực bằng

1 2

Câu 9: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 là các nghiệm phức của phương trình z 6 + 2016 z 5 + 2017 z 4 + 2018 z 3 + 2017 z 2 + 2016 z + 1 = 0 Tính T = ( z12 + 1)( z22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1)( z52 + 1)( z62 + 1)

A. T = 20182

B. T = 2017 2

C. T = 20162

D. T = 20142 4

 z −1  Câu 10: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình   = 1 . Tính giá trị của biểu thức  2z − i  T = ( z12 + 1)( z22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1)

A. T = −6375

B. T = 6375

C. T = −

17 9

D. T =

17 9

Câu 11: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, a > 0 ) có z = 1 . Kí hiệu a0 là phần thực của biểu thức a0 + 1 là a

z 3 − 2 z + z . Giá trị nhỏ nhất của

A. –4

B. –1

C. 0

D. 1

Câu 12: Cho số thực z thỏa mãn 5 z = ( i + 4 ) z + 2 ( i − 4 ) . Phần thực của số phức z 3 là 3

12 5

B. −

4 5

3 5

1 5

HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Giải phương trình, tính toán biểu thức nghiệm 1- C

2- A

3- C

4- B

5- A

6- D

7- C

8- A

9- A

10- B

11- C

12- B

13- D

14- C

15- D

16- A

17- D

18- B

19- D

20-B

5- C

6- A

7- A

8- A

7- B

8- D

9- D

10- D

Dạng 2: Định lí Vi – ét và ứng dụng 1-B

2- C

3- A

4- A

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai 1- B

2- C

11- B

12- B

3- D

4- A

5- B

6- C

Trang 15

CHUYÊN ĐỀ 4. SỐ PHỨC

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

BÀI 4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC

1. Các bất đẳng thức thường dùng

Mục tiêu

a. Cho các số phức z1 , z2 ta có:

Kiến thức

+) z1 + z2 ≥ z1 + z2 (1).

+ Nắm vững các định nghĩa về số phức và các phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số phức; phép chia hai số phức. + Nắm vững các bài toán cực trị cơ bản về liên quan giữa các yếu tố: Điểm, đường tròn, đường

+) z1 + z2 ≥ z1 − z2 (2).

thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình tròn, … + Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản liên quan đến môđun số phức và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Kĩ năng +

z = 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1 .  z1 ≠ 0, ∃k ∈ ℝ, k ≥ 0, z2 = kz1

 z1 = 0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   z1 ≠ 0, ∃k ∈ ℝ, k ≤ 0, z2 = kz1 b. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Biết thực hiện thành thạo các định nghĩa, các phép toán trên số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan.

Cho các số thực a, b, x, y ta có: ax + by ≤

+ b 2 )( x 2 + y 2 )

Biết thực hiện thành thạo việc chuyển đổi ngôn ngữ số phức sang ngôn ngữ hình học.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx .

Giải thành thạo các bài toán cực trị cơ bản về liên quan giữa các yếu tố: Điểm, đường tròn,

2. Một số kết quả đã biết

đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình tròn, …

a. Cho hai điểm A, B cố định. Với điểm M bất kỳ luôn có bất đẳng thức tam giác:

+ Vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz vào giải các bài toán max, min môđun số phức.

+) MA + MB ≥ AB , dấu “=” xảy ra ⇔ M nằm giữa hai điểm A, B . +) MA − MB ≤ AB , dấu “=” xảy ra ⇔ B nằm giữa hai điểm A, M .

b. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có: +) MA − MB ≤ AB , dấu “=” xảy ra ⇔ Ba điểm A, M , B thẳng hàng. +) Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B , dấu “=” xảy ra ⇔ Ba điểm A′, M , B thẳng hàng.

c. Cho hai điểm A, B nằm khác phía đối với đường thẳng d và M là điểm di động trên d . Ta có: +) MA + MB ≥ AB , dấu “=” xảy ra ⇔ M nằm giữa hai điểm A, B . +) Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua d , khi đó ta có MA − MB = MA′ − MB ≤ A′B , dấu “=” xảy ra ⇔ Ba điểm A′, M , B thẳng hàng.

d. Cho đoạn thẳng PQ và điểm A không thuộc PQ , M là điểm di động trên đoạn thẳng PQ , khi đó

max AM = max { AP, AQ} . Để tìm giá trị nhỏ nhất của AM ta xét các trường hợp sau: +) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ nằm trên đoạn PQ thì min AM = AH . +) Nếu hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng PQ không nằm trên đoạn PQ thì min AM = min { AP; AQ} . e. Cho đường thẳng ∆ và điểm A không nằm trên ∆ . Điểm M trên ∆ có khoảng cách đến A nhỏ nhất

chính là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ . Trang 1

Trang 2

f. Cho x, y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A1 A2 ... An . Khi đó giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

cho số phức z; −3i thì z + 3i = MA .

biểu thức F = ax + by ( a, b là hai số thực đã cho không đồng thời bằng 0 ) đạt được tại một trong các

Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải

đỉnh của miền đa giác.

bài toán hình học.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với các số thực a, b, x, y ta có

ax + by ≤ Dấu “=” xảy ra khi

+ b 2 )( x 2 + y 2 ) .

a b = . x y Parabol y = x 2 có đỉnh tại điểm O ( 0;0 ) , trục đối

Các bất đẳng thức

xứng là đường thẳng x = 0 . Hơn nữa, điểm A

thường dùng

thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có:

MA ≥ OA = 3 . Suy ra, min MA = 3 khi M ≡ O . Bất đẳng thức tam giác

Bước 3: Kết luận cho bài toán số phức.

Vậy min z + 3i = 3 , khi z = 0 . Chọn A.

z1 + z2 ≤ z1 + z2 . Dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2 ( k ≥ 0 ) . z1 − z2 ≤ z1 + z2 . Dấu. “=” xảy ra khi z1 = kz2 ( k ≤ 0 ) .

Ví dụ mẫu

z1 + z2 ≥ z1 − z2 . Dấu. “=” xảy ra khi z1 = kz2 ( k ≤ 0 ) . z1

OI − r ≤ OM = z ≤ OI + r

số phức z bằng

Dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2 ( k ≥ 0 ) .

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 1 . Môđun lớn nhất của Nhận xét:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp hình học

A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải

Gọi M ( x; y ) , I ( 3; 4 ) là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn

(

) (

)

z;3 + 4i . Từ giả thiết z − 3 − 4i = 1 ⇒ MI = 1 .

2 z − z = i z + z . Giá trị nhỏ nhất của z + 3i bằng

tròn tâm I ( 3; 4 ) , bán kính r = 1 .

A. 3.

C. 2 3 .

D. 2.

Mặt khác z = OM . Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI + r , khi

M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I ( 3; 4 ) , bán

Hướng dẫn giải

Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ z = x − yi . Khi đó sang ngôn ngữ hình học. 2 2 z − z = i z + z ⇔ 2 ( 2 yi ) = 4 x 2i ⇔ y = x 2 .

(

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường

) (

)

Gọi M ( x; y ) ; A ( 0; −3) lần lượt là điểm biểu diễn

Trang 3

 18 24  kính r = 1 . Hay M  ;  . 5 5  Do đó, max z = OI + r = 5 + 1 = 6 , khi z =

18 24 + i. 5 5

Chọn B.

Trang 4

Ví dụ 2: Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i , số phức z

Nhận xét: Trong tất cả các đoạn

thẳng kẻ từ điểm O đến đường

có môđun nhỏ nhất là A. z = 2 − 2i .

B. z = 1 + i .

thẳng d , đoạn vuông góc OM

C. z = 2 + 2i .

D. z = 1 − i .

ngắn nhất.

2b = 2 a 2 − c 2 = 2 25 − 9 = 8 . Mặt khác OM = z nhỏ nhất bằng 4 khi z = 4i hoặc z = −4i . Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 4.

Chọn B.

Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) . Khi đó z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ x + y − 4 = 0

(d ) .

Ví dụ 4: Xét số phức z thỏa mãn 4 z + i + 3 z − i = 10 . Tổng giá trị lớn

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d . nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

Do đó z = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d . Suy ra M ( 2; 2 ) hay z = 2 + 2i . Chọn C. Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z + 3 + z − 3 = 10 . Giá trị nhỏ nhất

60 . 49

58 . 49

18 . 7

16 . 7

Hướng dẫn giải

của z là

Gọi A ( 0; −1) , B ( 0;1) , đoạn thẳng AB có trung điểm O ( 0;0 ) . Điểm

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

M biểu diễn số phức z . 2

Hướng dẫn giải

Theo công thức trung tuyến z = OM 2 =

Cách 1:

Theo giả thiết 4MA + 3MB = 10 . Đặt MA = a ⇒ MB =

Gọi F1 ( −3;0 ) , F2 ( 3; 0 ) , có trung điểm là O ( 0;0 ) . Điểm M biểu diễn

Theo công thức trung tuyến thì z = OM 2 =

Ta có MF1 + MF2

10 − 4a . 3

Khi đó

số phức z .

MA2 + MB 2 AB 2 − . 2 4

( MF ≥

2 1

+ MF2

MF12 + MF2 2 F1 F2 2 − . 2 4

thức: a 2 + b 2 ≥

2 2

)

Với mọi số thực a, b ta có bất đẳng

= 50 .

(a + b)

MA − MB =

10 − 7 a

≤ AB = 2 ⇒ −6 ≤ 10 − 7a ≤ 6 ⇔ 2

Do −

 M ( −4;0 )  MF1 = MF2 50 36 ⇒ ⇒ min z = − =4 ,  2 4  MF1 + MF2 = 10  M ( 4; 0 )

36 24 576 2 nên ≤ 5a − 8 ≤ ⇒ 0 ≤ ( 5a − 8) ≤ 7 7 49

 z ≥1  MA2 + MB 2 ≥ 4   ⇒  2  260 81 9 . 2 2 ⇒ z ≤  MA + MB ≤ z ≤ 49  49 7 

Khi z = 4i hoặc z = −4i .

Cách 2:. Đẳng thức z = 1 khi z = ±

Gọi F1 ( −3;0 ) , F2 ( 3; 0 ) , M ( x; y ) ; ( x, y ∈ ℝ ) lần lượt là các điểm biểu

Ta có F1 F2 = 2c = 6 ⇒ c = 3 . Theo giả thiết ta có MF1 + MF2 = 10 , tập

 10 − 4a  ( 5a − 8 ) + 36 . Ta có MA2 + MB 2 = a 2 +   = 9  3 

Đẳng thức xảy ra khi

diễn các số phức −3;3; z .

4 16 ≤a≤ . 7 7

24 7 9 9 + i . Đẳng thức z = khi z = i . 25 25 7 7

Với mọi điểm M nằm trên elip,

đoạn OM ngắn nhất là đoạn nối O với giao điểm của trục bé với elip.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

16 . 7

Chọn D.

hợp điểm M là đường elip có trục lớn 2a = 10 ⇒ a = 5 ; trục bé

Trang 5

Trang 6

Ví dụ 5: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn z − 2 + z + 2 = 4 2 .

⇔ x 2 + ( y + 1) = ( x + 2 ) + ( y − 1) ⇔ x − y + 1 = 0 ( ∆ ) .

Trong mặt phẳng tọa độ gọi M , N là điểm biểu diễn số phức z và z .

Ta có P = ( i − 1) z + 4 − 2i = ( i − 1) z +

Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

A. 1.

C. 4 2 .

D. 2 2 .

= 2

( x − 3) + ( y − 1)

4 − 2i

( i − 1)

= 2 z −3−i

= 2MA , với A = ( 3;1) . 3 −1 +1

Hướng dẫn giải

⇒ Pmin = 2 MAmin = 2d ( A, ∆ ) = 2

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ⇒ z = x − yi .

Đẳng thức xảy ra khi M là hình chiếu vuông góc của A trên đường

Gọi F1 ( −2;0 ) , F2 ( 2; 0 ) , M ( x; y ) , N ( x; − y ) lần lượt là các điểm biểu

12 + 12

= 3.

3 5 3 5 thẳng ∆ hay M  ;  ⇒ z = + i . 2 2 2 2

diễn các số phức −2; 2; z; z .

Chọn C.

Do M , N là điểm biểu diễn số phức z và z nên suy ra M , N đối xứng

Ví dụ 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 6 và z1 − z2 = 2 .

nhau qua Ox .

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Khi đó S∆OMN = xy .

P = z1 + z2 . Khi đó môđun của số phức M + mi là

Ta có F1 F2 = 2c = 4 ⇒ c = 2 . Theo giả thiết ta có MF1 + MF2 = 4 2 ,

tập hợp điểm M thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn

C. 2 10 .

2a = 4 2 ⇒ a = 2 2 ; trục bé 2b = 2 a 2 − c 2 = 2 8 − 4 = 4 ⇒ b = 2 . Nên elip có phương trình ( E ) : Do đó 1 =

76 .

B. 76. D. 2 11 .

Hướng dẫn giải

x2 y2 + =1 . 8 4

Ta gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 . Từ giả thiết z1 + z2 = 6 ⇒ OA + OB = 6 ⇔ OI = 3 với I là trung

xy x2 y2 x2 y2 + ≥2 = ⇒ S ∆OMN = xy ≤ 2 2 . . 8 4 8 4 2 2

điểm của đoạn thẳng AB . z1 − z2 = 2 ⇒ OA − OB = 2 ⇔ AB = 2 .

 x = 2 Đẳng thức xảy ra khi  .  y = 2

AB 2 = 20 . 2

Chọn D.

Ta có OA2 + OB 2 = 2OI 2 +

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z + i = z + 2 + i . Giá trị nhỏ nhất

P = z1 + z2 = OA + OB ⇒ P 2 ≤ (12 + 12 )( OA2 + OB 2 ) = 40 .

của P = ( i − 1) z + 4 − 2i là

Vậy max P = 2 10 = M .

A. 1.

3 B. . 2

C. 3.

3 2 . D. 2

Mặt khác, P = z1 + z2 = OA + OB ≥ OA + OB = 6 . Vậy min P = 6 = m . Suy ra M + mi = 40 + 36 = 76 .

Chọn A.

Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) ; M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z . Ta có z + i = z + 2 + i ⇔ x + ( y + 1) i = x + 2 − ( y − 1) i

Trang 7

Trang 8

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + i − z + 1 − 3i = 5 . Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P = z + 1 − 4i bằng A. 1.

1 C. . 5

z − 2 + i ≤ 5 ⇔ ( x − 2 ) + ( y + 1) ≤ 25 (hình tròn tâm I ( 2; −1) bán kính r = 5 ); Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

3 . 5

z + 2 − 3i ≤ z − 2 + i ≤ 5 thuộc miền (T ) (xem hình vẽ với

A ( −2; 2 ) , B ( 2; −6 ) ).

Hướng dẫn giải

Ta có P + 25 = ( x + 4 ) + ( y + 3)

Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z ; gọi A ( 2; −1) , B ( −1;3) là

⇒ P + 25 =

điểm biểu diễn số phức 2 − i; −1 + 3i . Ta có AB = 5 .

( x + 4 ) + ( y + 3)

= NJ (với J ( −4; −3) ) .

Bài toán trở thành tìm điểm N thuộc miền (T ) sao cho NJ đạt giá trị

Từ giả thiết z − 2 + i − z + 1 − 3i = 5

lớn nhất, nhỏ nhất. ⇒

( x − 2 ) + ( y + 1)

( x + 1) + ( y − 3)

−

Ta có

⇒ MA − MB = 5 ⇒ MA − MB = AB ⇒ MA = MB + AB .

IJ − r ≤ NJ ≤ JB ⇔ 2 10 − 5 ≤ P + 25 ≤ 3 5 ⇔ 40 − 20 10 ≤ P ≤ 20

Suy ra M , A, B thẳng hàng ( B nằm giữa M và A ). Do đó quỹ tích

P đạt giá trị nhỏ nhất khi N là giao điểm của đường thẳng JI với

điểm M là tia Bt ngược hướng với tia BA .

đường tròn tâm I ( 2; −1) bán kính r = 5 và NJ = 2 10 − 5 .

P = z + 1 − 4i =

( x + 1) + ( y − 4 )

, với C ( −1; 4 ) ⇒ P = MC .

P đạt giá trị lớn nhất khi N ≡ B .

Ta có AB = ( −3; 4 ) phương trình đường thẳng AB : 4 x + 3 y − 5 = 0 . CH = d ( C , AB ) =

4 ( −1) + 3.4 − 5

Do đó min P = CH =

42 + 32

Vậy m + M = 60 − 20 10 . Chọn A.

3 = , CB = 5

( −1 + 1) + ( 3 − 4 )

Bài tập tự luyện dạng 1

=1 .

Bài tập cơ bản

3 khi H là giao điểm của đường thẳng AB và 5

Câu 1: Gọi M và m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức z thỏa mãn z − 1 = 2 . Giá trị của

M + m là

đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AB .

A. 3.

Chọn B.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + z + 2 = 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 9: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thỏa mãn

của z . Giá trị M + m là z + 2 − 3i ≤ z − 2 + i ≤ 5 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị A. M + m =

lớn nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + 8 x + 6 y . Giá trị m + M là A. 60 − 20 10 . C.

9 . 5

17 . 2

B. M + m = 8 .

C. M + m = 1 .

D. M + m = 4 .

Câu 3: Cho số phức z thỏa z − 1 − 2i = z − 3 − i . Khi đó, z nhỏ nhất bằng

B. 44 − 20 10 .

A. 1.

D. 52 − 20 10 .

Hướng dẫn giải

3 . 2

5 . 2

D. 2.

Câu 4: Cho số phức z thỏa z = 1 . Giá trị lớn nhất của P = z 2 + z + z 2 − z là

Gọi N ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi .

Ta có z + 2 − 3i ≤ z − 2 + i ⇔ 2 x + y + 2 ≤ 0 ;

Trang 9

14 . 5

B. 4.

C. 2 2 .

D. 2 3 .

Trang 10

Câu 5: Cho số phức z và w biết chúng thỏa mãn hai điều kiện

(1 + i ) z + 2 = 2; w = iz . Giá trị lớn nhất 1− i

Câu 14: Cho hai số phức z và w = a + bi thỏa mãn z + 5 + z − 5 = 6; 5a − 4b − 20 = 0 . Giá trị nhỏ

nhất của z − w là

của P = w − z bằng A. 4.

B. 2 2 .

C. 4 2 .

Câu 6: Cho số phức z thỏa (1 + i ) z + 1 − 7i = 2 . Giá trị lớn nhất của z là A. 4.

B. 7.

C. 6.

D. 5.

A. 4 6 .

là B. 2 5 .

C. 13 .

B. 2 26 .

14 85 . 17

A. 2.

C. 3.

Câu 17: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn

2 6 . 6

3 . 4

1 nhỏ nhất của z − + i . Giá trị của M 2 + m 2 là 2

39 . 2

137 . 10

157 . 10

C. 1.

5 + 58 .

B. 0.

C. 5.

D. −12 .

trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 − 14 x + 8 y . Giá trị m2 + M 2 là 118661 − 3000 34 B. 3472 − 120 34 25

C. 4732 − 120 34

D. 3436 − 120 34

1-C

2-D

3-C

4-C

5-C

6-C

7-A

8-D

9-A

10-D

11-B

12-A

13-B

14-A

15-C

16-A

17-A

18-D

19-A

20-C

Phương pháp giải

điểm biểu diễn số phức z2 biết z2 − 2 − i = z2 − 6 − i . Độ dài ngắn nhất của đoạn MN bằng A. 2 5 .

C. 10 + 58 .

Dạng 2: Phương pháp đại số

33 . 2

Câu 13: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1 = a + ( a 2 − 2a + 2 ) i ( với a là số thực thay đổi) và N là

6 5 B. . 5

2 −1.

ĐÁP ÁN – Dạng 1. Phương pháp hình học

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

môđun nhỏ nhất. Giá trị của S = 7 a + b là

2 5 . 5

C. 1.

Câu 20: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) thỏa mãn z + 2 − 3i ≤ z − 2 + i ≤ 5 . Gọi m, M lần lượt là giá

D. 5 10 .

là B.

z1 − i z +i = 1; 2 = 2 . Giá trị nhỏ nhất của z1 − z2 là z1 + 2 − 3i z2 − 1 + i

B. 2 10 .

A. 7. C. 6 5 .

D. 130 .

Câu 19: Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) là số phức thỏa mãn điều kiện z − 1 − 2i + z + 2 − 3i = 10 và có

D. 4.

Câu 11: Xét các số phức z thỏa mãn z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3 − 4i ) . Giá trị nhỏ nhất của z + 1 − i

A. 1.

A. 10 + 34 .

nhỏ nhất của z − 2 − 3i . Giá trị của M + 5m bằng B. 3 10 .

D. 3 6 .

66 .

nhất của biểu thức P = z − 3 − 3i . Giá trị của M + m bằng

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z + z + 2 + 3 z − z − 2i ≤ 6 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

A. 8 5 .

3 . 41

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z + z + 2 z − z = 8 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

z − 1 − 2i − z + 2 − i đạt giá trị lớn nhất. Giá trị T = 3b − a là B. −2 .

B. 10.

A. 2 2 .

14 170 . 17

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z + 1 − i = z + 2 − 2i . Biết khi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thì biểu thức

A. 5.

Câu 16: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z − 1 = 34 và z + 1 + mi = z + m + 2i (trong đó

lớn nhất của z − 1 − 2i . Giá trị P = m.M bằng B. P = 10 2 .

4 . 41

m ∈ ℝ ). Gọi z1 , z2 là hai số phức thuộc S sao cho z1 − z2 lớn nhất, khi đó giá trị của z1 + z2 bằng

7 . 5

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 3 + 2i = 34 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị

A. P = 5 34 .

z + w bằng

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z + 1 − 2i − z − 1 − i = 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = iz + 3 − 4i

7 5 . 5

5 . 41

Câu 15: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z + 2w = 8 − 6i và z − w = 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài tập nâng cao

3 . 41

Các bất đẳng thức thường dùng:

1. Cho các số phức z1 , z2 ta có: a. z1 + z2 ≥ z1 + z2 (1)

D. 5.

Trang 11

Trang 12

z = 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1  z1 ≠ 0, ∃k ∈ ℝ, k ≥ 0, z2 = kz1

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn

b. z1 + z2 ≥ z1 − z2 .(2)

nhỏ nhất. Giá trị của z bằng

z −1 3 = 1 , biết z + − 5i đạt giá trị z − 2i 2

 z1 = 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   z1 ≠ 0, ∃k ∈ ℝ, k ≤ 0, z2 = kz1

2 . 2

2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

5 . 2

17 . 2

Cho các số thực a, b, x, y ta có ax + by ≤

+ b 2 )( x 2 + y 2 )

Hướng dẫn giải Gọi z = a + bi ( z ≠ 2i )( a, b ∈ ℝ ) .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx .

z −1 = 1 ⇔ z − 1 = z − 2i ⇔ 2a − 4b + 3 = 0 ⇒ 2a + 3 = 4b z − 2i

Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z = a + ( a − 3) i, ( a ∈ ℝ ) . Giá trị của a để khoảng Nhận xét: Lời giải có sử cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất bằng

A. a =

3 . 2

C. a = 1 .

B. a =

dụng đánh giá

⇒ z+

3 − 5i = 2

x 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

1 . 2

Suy ra min z +

D. a = 2 .

Hướng dẫn giải

Vậy z = 2

3 9 3 2 2  . z = a 2 + ( a − 3) = 2  a −  + ≥ 2 2 2 

1  3 1 a = − 5i = 2 5 ⇔  2 ⇒ z = +i 2 2 b = 1

5 . 2

Giá trị lớn nhất của biểu thức z1 + z2 là

Ví dụ 2: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i , số phức z có môđun nhỏ nhất là

A. 5.

B. 5 3 .

C. 12 5 .

D. 5 2 .

bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

Hướng dẫn giải

B. z = −1 − i .

(

Ta có 2 z1 + z2

D. z = −1 + i .

)= z +z 1

2 2

+ z1 − z2 = 52 + 32 + 42 = 50 .

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

Hướng dẫn giải

(

Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) .

z1 + z2 ≤ 2 z1 + z2

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ ( a − 2 ) + ( b − 4 ) i = a + ( b − 2 ) i ⇔ −a − b + 4 = 0 . ⇒ z = ( 4 − b ) + bi ⇒ z =

= 5 ( b − 1) + 20 ≥ 2 5

Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − z2 = 3 + 4i và z1 + z2 = 5 . Nhận xét: Lời giải sử dụng

Chọn A.

C. z = 2 + 2i .

Chọn C.

3 3 3 Đẳng thức xảy ra khi a = . Hay z = − i . 2 2 2

A. z = 1 + 2i .

( 2b ) + ( b − 5 )

( 4 − b)

50 = 5 2 .

Gọi z1 = x + yi, z2 = a + bi; a, b, x, y ∈ ℝ

 z1 − z2 = 3 + 4i   z1 + z2 = 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2 2  z1 + z2 = 25 z = z 2  1

+ b2 = 2 ( b − 2 ) + 8 ≥ 2 2 .

Suy ra min z = 2 2 ⇔ b = 2 ⇒ a = 2 ⇒ z = 2 + 2i .

Chọn C.

Trang 13

Trang 14

M .m bằng

7 1   x= a= 7 1 1 7  2 và  2 . Hay ⇒ z1 = + i; z2 = − i .  1 7 2 2 2 2 b = − y =   2 2

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = 1 + z + 3 1 − z bằng A. 2 10 .

B. 6 5 .

C. 3 15 .

D. 2 5 .

bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

Mặt khác

Nhận xét: Lời giải sử dụng

z = ( z − 3 + 4i ) + ( 3 − 4i ) ≥ z − 3 + 4i − 3 − 4i = 4 − 5 = 1 = m . 4   z − 3 + 4i = k ( 3 − 4i ) , ( k < 0 ) k = − 5 Đẳng thức xảy ra khi  ⇒ z = 3 − 4 i  z − 3 + 4i = 4  5 5

Hướng dẫn giải

(

+ 32 ) 1 + z + 1 − z 2

z1 − z2 ≤ z1 − z2 .

4   z − 3 + 4i = k ( 3 − 4i ) , ( k > 0 ) k = 5 Đẳng thức xảy ra khi  ⇒ .  z − 3 + 4i = 4  z = 27 − 36 i  5 5

Chọn D.

B. 10. D. 12.

Ta có z = ( z − 3 + 4i ) + ( 3 − 4i ) ≤ z − 3 + 4i + 3 − 4i = 4 + 5 = 9 = M .

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức z1 + z2 bằng 5 2 .

A. 9. C. 11. Hướng dẫn giải

Thay z1 , z2 vào giả thiết thỏa mãn.

Ta có P ≤

z1 + z2 ≥ z1 + z2 và

(

20 1 + z

)=2

Đẳng thức xảy ra khi

Chọn A.

4   z =1  x2 + y2 = 1  x = − 5 4 3   ⇔ ⇒z=− ± i .  5x 1− z ⇔  2 2 3 5 5 x + y + 1 + = 0 1 + = z   y = ±  2 3   5

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 2 + 4 = z ( z + 2i ) . Giá trị nhỏ nhất

Chọn A. Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 2 . Giá trị lớn nhất của z + 3 − i bằng

A. 6.

B. 7.

C. 8.

D. 9.

z1 , z2 :

của z + i bằng

Vậy max P = 2 10 .

z1.z2 = z1 . z2 .

A. 2.

C. 1.

1 . 2

Nhận xét: Lời giải sử dụng

Hướng dẫn giải

bất

Ta có z 2 + 4 = z ( z + 2i ) ⇔ ( z + 2i )( z − 2i ) = z ( z + 2i )

đẳng

thức

z1 + z2 ≥ z1 + z2 .

Chú ý: Với mọi số phức

⇔ z + 2i . z − 2i = z . z + 2i  z + 2i = 0  z = −2i  z = −2i ⇔ ⇔ ⇔ z = z − 2 i z = z − 2 i  z = a + i, a ∈ ℝ  

Hướng dẫn giải Ta có z + 3 − i = ( z − 1 + 2i ) + ( 4 − 3i ) ≤ z − 1 + 2i + 4 − 3i = 7 .

 z − 1 + 2i = k ( 4 − 3i ) , k > 0 13 16 ⇒z= − i . Đẳng thức xảy ra khi  5 5 z − 1 + 2 i = 2 

 z + i = −2i + i = 1 Do đó  ⇒ min z + 1 = 1 .  z + i = ( a + i ) + i = a 2 + 4 ≥ 2

Vậy giá trị lớn nhất của z + 3 − i bằng 7.

Chọn C.

Chọn B.

Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn ( z − 1) z + 2i là số thực và z đạt

Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 3 + 4i = 4 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của

(

Nhận xét: Lời giải sử dụng

giá trị nhỏ nhất.

bất đẳng thức

A. z =

Trang 15

)

4 2 − i. 5 5

4 2 B. z = − + i . 5 5 Trang 16

4 2 C. z = − − i . 5 5

D. z =

4 2 + i. 5 5

Ta có f ' ( t ) =

Hướng dẫn giải

1 1 − ; f ′ (t ) = 0 ⇔ t = 1 . 2t + 2 6 − 2t

Mà f (1) = 4, f ( −1) = 2 2, f ( 3) = 2 2 . Vậy max f ( t ) = f (1) = 4 .

Gọi z = a + bi; a, b ∈ ℝ .

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

( ) Do đó ( z − 1) ( z + 2i ) là số thực ⇔ 2a + b − 2 = 0 ⇔ b = 2 − 2a Ta có ( z − 1) z + 2i = ( a − 1) a − b ( 2 − b )  + ( 2a + b − 2 ) i

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có T = 2t + 2 + 6 − 2t ≤

(1 + 1) .8 = 4 .

Đẳng thức xảy ra khi t = 1 .

4 4 2 5 2  Khi đó z = a 2 + ( 2 − 2a ) = 5  a −  + ≥ . 5 5 5 

Chọn B. Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá

4  a = 5 Đẳng thức xảy ra khi  b = 2  5

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z + 1 + z 2 + z + 1 . Khi đó giá trị của

M + m bằng A. 5.

B. 6.

5 C. . 4

4  a= 2 5 4 2  5 min z = ⇔ . Vậ y z = + i . 2 5 5 5 b =  5

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) và t = z + 1 . Khi đó

Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 = 2 . Tìm giá trị

(

B. max T = 4 .

C. max T = 4 2 .

D. max T = 8 .

t2 − 2 . 2

Ta có

z 2 + z + 1 = a 2 − b 2 + 2abi + a + bi + 1 = a 2 + (1 − b 2 ) + a + b ( 2a + 1) i

Hướng dẫn giải

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ℝ ) , ta có z − 1 = 2 ⇔ x − 1 + yi = 2 ⇔

t 2 = ( z + 1) z + 1 = z + 1 + z + z = 2 + 2a ⇒ a =

lớn nhất của biểu thức T = z + i + z − 2 − i .

A. max T = 8 2 .

)

9 . 4

( 2a

+ a ) + b 2 ( 2a + 1) = a 2 ( 2a + 1) + (1 − a 2 ) ( 2a + 1) 2

= 2a + 1 = t 2 − 1

( x − 1)

+y = 2

⇒ z + 1 + z 2 + z + 1 = t + t 2 − 1 (với 0 ≤ t ≤ 2 , do a 2 ≤ 1 ).

⇔ ( x − 1) + y 2 = 2 ⇔ x 2 + y 2 = 2 x + 1 (*).

Xét hàm số f ( t ) = t + t 2 − 1 với t ∈ [ 0; 2] .

Lại có

1 5 Trường hợp 1: t ∈ [ 0;1] ⇒ f ( t ) = t + 1 − t 2 = −t 2 + t + 1 ≤ f   = 2 4

T = z + i + z − 2 − i = x + ( y + 1) i + x − 2 + ( y − 1) i

5  f (t ) =  max 0;1] [ 4 . và có f ( 0 ) = f (1) = 1 nên   min f ( t ) = 1  [0;1]

= x 2 + y 2 + 2 y + 1 + x2 + y 2 − 4 x − 2 y + 5 Kết hợp với (*) ta được

T = 2x + 2 y + 2 + 6 − 2x − 2 y = 2 ( x + y ) + 2 + 6 − 2 ( x + y )

Trường hợp 2:

Đặt T = x + y , khi đó T = f ( t ) = 2t + 2 + 6 − 2t với t ∈ [ −1;3] .

t ∈ [1; 2] ⇒ f ( t ) = t + t 2 − 1 = t 2 + t − 1, f ′ ( t ) = 2t + 1 > 0, ∀t ∈ [1; 2]

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số Trang 17

Trang 18

 max f ( t ) = f ( 2 ) = 5  [1;2] . Do đó hàm số luôn đồng biến trên [1; 2] ⇒  f ( t ) = f (1) = 1  min [1;2]

giá trị lớn nhất là

A. z =

Bài tập cơ bản Câu 1: Cho z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 + 1 + z2 + 1 + z1 z2 + 1 là B. 2.

C. 8.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z +

D. 4.

C. z =

3 1 + i. 4 8

D. z =

6 1 + i. 8 8

2 . 2

1 = a ( a > 0 ) . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z

B. a + a + 4 .

a +4.

D. 2

(

)

a +4 −a .

A. min P = 12 .

D. 8.

C. z = 2 + 2i .

2 . 4

C. min P = 8 .

D. max P = 0 .

B. 2.

2 . 2

3 2 . 2

D. 4.

z + 1 − i . Giá trị lớn nhất T = w + i là w −1

C. 2.

1 . 2

Câu 15: Xét các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − 3 + z1 + 3 = z2 − 4 + z2 + 4 = 10 . Giá trị lớn nhất của biểu

Câu 4: Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 + i = z + 1 − 4i , số phức z có môđun nhỏ nhất là B. z = −1 − i .

B. max P = 12 .

Câu 14: Cho các số phức z và w thỏa mãn ( 3 − i ) z = A.

nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2 bằng

C. −8 .

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 . Giá trị nhỏ nhất của P = 1 + z + 1 + z 2 + 1 + z 3 là

Câu 3: Trong các số phức z thỏa mãn z − ( 2 + 4i ) = 2 , gọi z1 và z2 lần lượt là số phức có môđun lớn B. 4.

C. 1.

Câu 12: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn điều kiện z 2 + 4 = 2 z . Đặt P = 8 ( b 2 − a 2 ) . Mệnh

A. 1. 2

1 . 2

đề nào dưới đây đúng?

của z . Khi đó M + m bằng

A. z = 1 + 2i .

1 B. z = i . 2

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn các điều kiện z không phải là số thực đồng thời số phức w =

Bài tập tự luyện dạng 2

A. 8i .

6 1 + i. 4 2

z là z4 +1 một số thực. Biết rằng phần thực đó là một số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của phần thực của z là

Chọn B.

A. a .

D. w = 1 + 2 .

Câu 10: Trong các số phức z thỏa mãn 2 z + z = z − i , số phức có phần thực không âm sao cho z −1 đạt

 M = max f ( t ) = 5 [0;2]  Vậy  ⇒ M + m = 6. m = min f (t ) = 1  [0;2]

A. 1.

C. w = 2 2 .

B. w = 2 .

A. w = 6 .

thức z1 − z2 là

D. z = −1 + i .

A. 7.

B. 20.

C. 14.

D. 10.

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 + 4 = z + 2i z − 2 . Giá trị nhỏ nhất của z − 1 + i bằng A. min z − 1 + i = 3 . B. min z − 1 + i = 2 .

C. min z − 1 + i = 2 .

ĐÁP ÁN – Dạng 2. Phương pháp đại số

D. min z − 1 + i = 1 .

Bài tập nâng cao Câu 6: Số phức z thỏa mãn 2 z + 1 = z + z + 3 và số phức w = z − 8 có môđun nhỏ nhất. Tổng phần thực

1-B

2-C

3-D

4-B

5-C

11-A

12-A

13-B

14-B

15-D

6-D

7-A

8-C

9-A

10-D

các số phức z thỏa mãn là

A. 5.

B. 7.

C. 10.

D. 14.

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i = 2 . Giá trị lớn nhất của P = 2 z + 2 − i + 3 z − 2 − 3i là A. max P = 3 26 .

B. max P = 3 13 .

C. max P = 4 13 .

D. max P = 2 13 .

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − 2i = 4 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z + 2 + i . Giá trị của S = M 2 + m 2 là

A. S = 34 .

B. S = 82 .

C. S = 68 .

D. S = 36 .

Câu 9: Cho các số phức z thỏa mãn z + 1 = 2 z . Ký hiệu M = max z , m = min z . Môđun của số phức 2

w = M + mi là Trang 19

Trang 20

ĐỀ 01

ĐỀ THI HỌC KÌ I

x y’

Môn: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

−∞

0 0 2

3 0

+∞

y -2

−∞ Câu 1: Số mặt phẳng đối xứng của hình chóp đều S.ABC là . A. 4

B. 2

C. 6

D. 3

Câu 2: Cho a là số thực dương khác 1. Hình nào sau đây là đồ thị của hàm số mũ y = a x ?

+∞ +

A. y CĐ = 3 và y CT = 0

B. y CĐ = 2 và yCT = −2

C. yCĐ = −2 và y CT = 2

D. yCĐ = 0 và y CT = 3

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có AB = 6, BC = 8, AC = 10 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 4 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

A. V = 40

B. V = 32

C. V = 192

D. V = 24

Câu 10: Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y? A.

A. log a ( xy ) = log a x.log a y

Câu 3: Khối cầu (S ) có bánh kính bằng r và thể tích bằng V. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 A. V = πr 2 3

4 B. V = π 2 r 2 3

4 C. V = π2 r 3 3

4 D. V = πr 3

Câu 4: Cho log3 x = 6 . Tính K = log 3 x B. K = 8

C. K = 2

x y’

D. K = 3

và SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc bằng 600 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. V =

6a 3

B. V = 2a 3

C. V =

2a 3

D. V =

5a 3 C. R = 3

5a 2 D. R = 2

Câu 7: Đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x − 1 có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường

B. P ( −1;1)

C. Q ( −1; −8)

-1 0

1 0 2

2 0

+∞ +

+∞ 19 12

−∞ A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số có hai điểm cực trị.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2

Câu 12: Cho (S ) là một mặt cầu cố định có bán kính R. Một hình trụ ( H ) thay đổi nhưng luôn có

hai đường tròn đáy nằm trên (S ) . Gọi V1 là thể tích của khối cầu (S ) và V2 là thể tích lớn nhất của khối trụ ( H ) . Tính tỉ số

thẳng AB?

A. N ( 0; 2 )

AC = 5a, BC = 3a và BD = 4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 5a 2 B. R = 3

−∞

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại B, AC vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) ,

5a 3 A. R = 2

D. log a ( xy ) = log a x + log a y

đúng.

Câu 5: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a , SA vuông góc với đáy

log a x log a y

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ , bảng biến thiên như sau. Kết luận nào sau đây

A. K = 4

C. log a ( xy ) =

B. log a ( xy ) = log a x − log a y

D. M ( 0; −1)

V1 = 6 V2

V1 V2 B.

V1 =2 V2

V1 = 3 V2

V1 = 2 V2

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên. Tìm giá trị cực đại và giá trị cực

Câu 13: Cho hình nón tròn xoay có đường sinh bằng 13(cm), bán kính đường tròn đáy bằng 5(cm).

tiểu của hàm số đã cho

Thể tích của khối nón tròn xoay là A. 200π ( cm3 )

B. 150π ( cm 3 )

C. 100π ( cm3 )

D. 300π ( cm 3 )

Câu 14: Cho hàm số y = ( x + 1) ( x 2 − 2 ) có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Stp = 2πr ( l + r )

B. Stp = 2πr ( l + 2r )

C. Stp = πr ( l + r )

D. Stp = πr ( 2l + r )

A. ( C ) không cắt trục hoành.

B. ( C ) cắt trục hoành tại một điểm.

Câu 23: Cho hình nón tròn xoay. Một mặt phẳng ( P ) đi qua đỉnh O của hình nón và cắt đường tròn

C. ( C ) cắt trục hoành tại ba điểm.

D. ( C ) cắt trục hoành tại hai điểm.

đáy của hình nón tại hai điểm. Thiết diện được tạo thành là A. Một tứ giác.

Câu 15: Thể tích V của một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là

1 A. V = B2 h 3

B. V = Bh

Câu 16: Phương trình 23− 4x = A. x = −3

1 C. V = Bh 3

D. V =

1 Bh 2

B. ( 5; +∞ )

C. x = 2

D. x = 3

C. ( −∞;10 )

D. ( −∞;5 )

Câu 26: Đồ thị y =

2x − m 2 x−m−4

đồng biến trên khoảng ( 2021; +∞ ) . Khi đó, giá trị của S bằng. B. 2035145

C. α = β

D. α ≤ β

tích đáy bằng B và chiều cao bằng h? A. Khối chóp.

Câu 18: Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y =

A. 2035144

B. α < β

1 Câu 25: Khối đa diện nào sau đây có công thức thể tích là V = Bh ? Biết hình đa diện đó có diện 3

Câu 17: Tập xác định của hàm số y = log 2 (10 − 2x ) là A. ( −∞; 2 )

D. Một tam giác cân.

A. α > β

1 có nghiệm là 32

B. x = −2

B. Một hình thang cân. C. Một ngũ giác.

Câu 24: Cho π > π với α, β ∈ ℝ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? α

C. 2035146

D. 2035143

Câu 19: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. Khối hộp chữ nhật. C. Khối hộp.

x−2 x2 − 4

A. 2

D. Khối lăng trụ.

có bao nhiêu tiệm cận?

B. 4

C. 3

D. 1

Câu 27: Cho 4 số thực a, b, x, y với là các số dương và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? , ab A.

ax = a x−y ay

B. a x = a x + y

C. a x .a y = a x.y

D. a.b x = a.b x

Câu 28: Hai thành phố A và B ngăn cách nhau bởi một còn sông. Người ta cần xây cây cầu bắc qua

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 )

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −2 )

sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông 2(km), thành phố B cách bờ sông 5(km), khoảng cách giữa đường thẳng đi qua A và đường thẳng đi qua B cùng vuông góc với bờ sông là 12(km). Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau. Nhằm tiết kiệm chi

Câu 20: Cho mặt cầu (S ) có tâm O, bán kính r. Mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là

phí đi từ thành phố A đến thành phố B, người ta xây cây cầu ở vị trí MN để quãng đường đi từ

đường tròn ( C ) có bán kính R. Kết luận nào sau đây sai?

thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (hình vẽ). Khi đó, độ dài đoạn là AM

A. R = r 2 + d 2 ( O, ( α ) ) B. d ( O, ( α ) ) < r C. Diện tích của mặt cầu là S = 4πr 2 D. Đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính bằng bán kính mặt cầu Câu 21: Với a, b, x là các số thực dương thỏa mãn log 5 x = 4 log 5 a + 3log 5 b , mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. x = 3a + 4b

B. x = 4a + 3b

C. x = a 4 b3

D. x = a 4 + b3

Câu 22: Một khối trụ có khoảng cách giữa hai đáy, độ dài đường sinh và bán kính đường tròn đáy

lần lượt bằng h, l, r. Khi đó công thức tính diện tích toàn phần của khối trụ là

A. AM =

2 193 km 7

B. AM =

3 193 km 7

C. AM = 193 km

D. AM =

193 km 7

Câu 29: Đạo hàm của hàm số y = 5x + 2017 là A. y ' =

5x 5ln 5

B. y ' = 5x.ln 5

A. y ' = C. y ' =

5x ln 5

D. y ' = 5x

Câu 30: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, ∆SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích 84π cm 2 . Khoảng cách giữa

3 21 cm 7

2 21 cm 7

21 cm 7

Câu 31: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x 2 + x − 2 )

6 21 cm 7

−3

A. D = ( 0; +∞ )

B. D = ( −∞; −2 ) ∪ (1; +∞ )

C. D = ℝ \ {−2;1}

D. D = ℝ

C. y ' =

( 2x + 1)

( 2x + 1) ln10

D. y ' =

( 2x + 1)

Câu 37: Mỗi cạnh của một hình đa diện là cạnh chung của đúng n mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. n = 2

B. n = 5

C. n = 3

D. n = 4

Câu 32: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = B. −3 ≤ m ≤ 3

x -2 −∞ y’ + 0 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

0 -

2 0

+∞ -

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 2 )

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 )

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 )

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;0 )

Câu 39: Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?

 m < −3 A.  m > 3

B. y ' =

Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

hai đường thẳng SA và BD là

( 2x + 1) ln10

x − 3x 2 + m 2 x + 2m − 3 đồng biến trên ℝ . 3

C. −3 < m < 3

 m ≤ −3 D.  m ≥ 3

A. y = − x 4 − 2x 2 B. y = − x 4 + 3x 2 + 1 C. y = − x 4 + 4x 2 D. y = x 4 − 3x 2

Câu 33: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. Với 0 < a < 1 , hàm số y = log a x là một hàm nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ )

Câu 40: Cho hàm số f ( x ) =

B. Với a > 1 , hàm số y = log a x là một hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ )

A. m = 5

x − m2 , với m là tham số. Giá trị lớn nhất của m để min f ( x ) = −2 là [0;3] x +8

B. m = 6

C. m = 4

D. m = 3

C. Với a > 1 , hàm số y = a là một hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ )

Câu 41: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 − 2.3 + m = 0 có hai nghiệm thực

D. Với 0 < a < 1 , hàm số y = a x là một hàm nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ )

x1 , x 2 thỏa mãn x1 + x 2 = 0

Câu 34: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 3

1− y = 3xy + x + 3y − 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất x + 3xy

Pmin của P = x + y

A. Pmin =

4 3+4 3

4 3−4 3

C. Pmin =

C. y =

2x + 1 2x − 1

x+3 B. y = 1− x

D. y =

x +1 x −1

Câu 36: Tính đạo hàm của hàm số y = log ( 2x + 1)

4 3 −4 9

D. Pmin =

4 3+4 9

B. m = 0

Câu 42: Giá trị lớn nhất của hàm số y = A. – 4

B. Pmin =

Câu 35: Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào ? x+2 A. y = x +1

A. m = 6

B. 10

C. m = 3

D m =1 .

x+4 trên đoạn [3; 4] x−2

C. 7

D. 8

1 Câu 43: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − 4 ) x + 3 đạt cực tiểu tại 3

x =3

A. m = 1

B. m = −1

C. m = 5

D. m = −7

Câu 44: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân ABC với AB = AC = a , BAC = 1200 , mặt phẳng ( AB 'C ') tạo với đáy một góc 300 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. V =

a3 6

B. V =

a3 8

3a 3 8

C. V =

D. V =

9a 3 8

ĐÁP ÁN 1-D

2-C

3-A

4-C

Câu 45: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C có AA ' = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và

11-B

12-C

13-C

BC = a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

21-C

22-A

23-A

31-C

32-D

41-D

42-C

A. V = a 3

B. V =

a3 2

a3 6

C. V =

D. V =

a3 3

5-D

6-D

7-A

8-B

9-B

10-D

14-C

15-B

16-C

17-D

18-D

19-B

20-A

24-A

25-A

26-C

27-A

28-A

29-B

30-D

33-B

34-B

35-D

36-A

37-A

38-D

39-C

40-C

43-A

44-B

45-B

46-B

47-C

48-B

49-A

50-A

Câu 46: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hái đáy của hình trụ, AB = 4a, AC = 5a . Thể tích của khối trụ.

A. 8πa

B. 12πa

C. 4πa

D. 16πa

LỜI GIẢI CHI TIẾT 3

Câu 1: Đáp án D

Câu 47: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h và đường sinh l. Kết

Phương pháp:

luận nào sau đây sai?

Sử dụng khái niệm mặt phẳng đối xứng. Vẽ hình và đếm.

1 A. V = πr 2 h 3

B. Stp = πrl + πr 2

C. h 2 = r 2 + l2

D. Stp = πrl

Câu 48: Hàm số y = f ( x ) có giới hạn lim− f ( x ) = +∞ và đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) chỉ nhận x →a

B. d : x = a

C. d : x = −a

D. d : y = −a

1 1 −   3 a 5  a 10 − a 5   với a > 0, a ≠ 1 , ta được kết quả là Câu 49: Rút gọn biểu thức M = 2  1 2 −   a3 a3 − a 3   

1 a +1

1 B. a +1

1 C. a −1

Số mặt phẳng đối xứng của hình chóp đều S.ABC là: 3 (chính là 3 mặt phẳng chứa đỉnh S và 1 đường trung tuyến của tam giác ABC) Câu 2: Đáp án C

đường thẳng d làm tiệm cận đứng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. d : y = a

Cách giải:

1 a −1

Đồ thị của hàm số mũ y = a x là hình của phương án C (có tập xác định D = ℝ và tập giá trị

T = ( 0; +∞ ) Câu 3: Đáp án A

Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu. Cách giải:

Khối cầu (S ) có bánh kính bằng r và thể tích bằng V =

Câu 50: Đầu mỗi tháng anh A gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất kép là mỗi tháng. Hỏi sau

Câu 4: Đáp án C

ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn

Phương pháp:

100 triệu biết lãi suất không đổi trong quá trình gửi. 0,6%

Sử dụng công thức log a bc = c log a b ( 0 < a ≠ 1; b > 0 )

A. 31 tháng.

B. 40 tháng.

C. 35 tháng.

D. 30 tháng.

4 3 πr 3

Cách giải:

1 1 K = log 3 3 x = log3 x = .6 = 2 3 3 Câu 5: Đáp án D Phương pháp:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P). Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’. Cách giải: Ta có:

Ta có: y = x 3 + 3x 2 − 9x − 1 ⇒ y ' = 3x 2 + 6x − 9

BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SC; (SAB ) ) = ( SC;SB ) = CSB = 600  BC ⊥ SA

1 1 ⇒ y =  x +  .y '− 8 x + 2 3 3

Do BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ Tam giác SBC vuông tại B ⇒ SB =

Đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x − 1 có hai cực trị A và B ⇒ Phương trình đường thẳng AB:

BC 2a 2a = = tan CSB tan 600 3

y = −8x + 2

Tam giác SAB vuông tại A

Dễ dàng kiểm tra được N ( 0; 2 ) ∈ AB

4a 2 a ⇒ SA = SB − AB = − a2 = 3 3 2

Câu 8: Đáp án B

Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ VS.ABCD

Dựa vào bảng biến thiên xác định các điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số.

1 1 a 2 3a 3 = .SA.SABCD = . .a.2 a = 3 3 3 9

Cách giải: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 2

Câu 6: Đáp án D

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; y CT = −2

Phương pháp:

Câu 9: Đáp án B

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

Phương pháp:

- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+) Sử dụng định lí Pytago đảo chứng minh tam giác ABC vuông.

- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy - Dựng mặt phẳng trung trực ( α ) của một cạnh bên nào đó

1 +) VS.ABC = SA.S∆ABC 3

- Xác định I = ( α ) ∩ d , I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Cách giải:

Cách giải: Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của CD, AC, AD.

Tam giác ABC có: AB = 6, BC = 8, AC = 10 ⇒ AB2 + BC2 = AC 2 ⇒ ∆ABC vuông tại B (Định lí

∆BCD vuông tại B, M là trung điểm của CD ⇒ M là tâm đường tròn

1 1 Pytago đảo) ⇒ S∆ABC = .AB.BC = .6.8 = 24 2 2

ngoại tiếp ∆BCD

1 1 ⇒ VS.ABC = .SA.S∆ABC = .4.24 = 32 3 3

IM là đường trung bình của ∆ACD ⇒ IM / /AC Lại có AC ⊥ ( BCD ) ⇒ IM ⊥ ( BCD ) ⇒ IC = IB = ID (1)

Câu 10: Đáp án D

Mặt khác, ∆ACD vuông tại C, I là trung điểm của AD ⇒ IA = IC = ID ( 2 )

Phương pháp:

Từ (1), (2) suy ra IA = IC = IB = ID ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD, bán kính

Sử dụng công thức tính logarit của 1 tích.

AD AC2 + CD2 AC2 + CB2 + BD2 = = = 2 2 2

( 5a ) + ( 3a ) + ( 4a ) 2

5 2a 2

Cách giải: Với x, y, a > 0, a ≠ 1 ta có log a ( xy ) = log a x + log a y là mệnh đề đúng.

Câu 7: Đáp án A

Câu 11: Đáp án B

Phương pháp:

Phương pháp :

+) Viết phương trình đường thẳng AB.

Dựa vào BBT xác định các điểm cực trị của hàm số.

+) Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào đường thẳng AB và kết luận.

Cách giải:

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x = 1, x = 2

⇒ “Hàm số có hai điểm cực trị.” Là mệnh đề đúng. Câu 12: Đáp án C

1 1 Thể tích khối nón tròn xoay: V = πr 2 h = π.52.12 = 100π ( cm3 ) 3 3

Phương pháp:

Câu 14: Đáp án C

+) Giả sử bán kính mặt cầu là R, bán kính đường tròn đáy của khối trụ là r.

Phương pháp:

+) Biểu diễn đường cao h của hình trụ theo R và r.

Tìm số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ V = πr 2 h và công thức tính thể tích khối cầu V =

4 3 πR 3

Cách giải:

Cách giải: Giả sử bán kính mặt cầu là R, bán kính đường tròn đáy của khối trụ là r.

 x = −1 Cho y = 0 ⇒ ( x + 1) ( x 2 − 2 ) = 0 ⇔  ⇒ Đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại ba điểm. x = ± 2

Khi đó, đường cao của khối trụ là

Câu 15: Đáp án B

h = OO ' = 2.OI = 2 IA 2 − OA 2 = 2 R 2 − r 2

Phương pháp:

Thể tích khối cầu là: V1 =

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ.

4 3 πR 3 2

Cách giải: 2

Thể tích khối trụ là: Vtru = πr h = πr .2 R − r = 2πr

R −r

Thể tích V của một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là V = Bh

Câu 16: Đáp án C

Ta có:

 r2 r2 2 2  2 2  + + + ( R − r )   R 2 3 1 4 2 2 r r 4R 6 2 2 4 2 2 2 2 r ( R − r ) = . .( R − r ) ≤  =  ⇒ r (R − r ) ≤ 4 2 2 3 27    3    ⇒ r2 R 2 − r2 ≤

2R 3 4πR 3 ⇒ 2πr 2 R 2 − r 2 ≤ 3 3 3 3

Phương pháp: a x = b ⇔ x = log a b Cách giải: Ta có: 23− 4x =

1 ⇔ 23− 4x = 2−5 ⇔ 3 − 4x = −5 ⇔ x = 2 32

Câu 17: Đáp án D Phương pháp:

4πR 3 r2 3 2 khi và chỉ khi ⇒ V2 = max ( Vtru ) = = R 2 − r2 ⇔ r2 = R 2 ⇔ r = R 2 2 3 3 3

Hàm số y = log a f ( x ) xác định khi và chỉ khi f ( x ) > 0

Cách giải:

4 3 πR V1 Khi đó = 3 4 V2 πR 3 3 3

Vậy tập xác định của hàm số y = log 2 (10 − 2x ) là ( −∞;5 )

Câu 13: Đáp án C

Câu 18: Đáp án D

Hàm số y = log 2 (10 − 2x ) xác định ⇔ 10 − 2x > 0 ⇔ x < 5

Phương pháp :

Phương pháp: 2

+) Tính độ dài đường cao của hình nón, sử dụng công thức l = h + r 1 +) Tính thể tích của khối nón V = πr 2 h 3

Cách giải: Độ dài đường cao của hình nón: h = l2 − r 2 = 132 − 52 = 12

Hàm số y =

y ' > 0 ax + b   d có TXĐ D = R \ −  đồng biến trên ( a; b ) ⇔  d cx + d  c − c ∉ ( a; b )

 2u1 + ( n − 1) d  .n Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Sn =  2 Cách giải:

TXĐ: D = R \ {m + 4}

2x − m 2 m 2 − 2m − 8 Ta có: y = ⇒ y' = 2 x−m−4 ( x − m − 4)

Phương pháp:

Diện tích toàn phần của khối trụ: Stp = 2πrl + 2πr 2 Cách giải:

Diện tích toàn phần của khối trụ: Stp = 2πrl + 2πr 2 = 2πr ( l + r )

m > 4 m2 − 2m − 8 > 0  4 < m ≤ 2017  Để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2021; +∞ ) thì  ⇔   m < −2 ⇔  m + 4 ≤ 2021  m < −2  m ≤ 2017 

Phương pháp:

Mà m nguyên dương ⇒ Tập các giá trị của m thỏa mãn là: {5;6; 7;...; 2017}

Vẽ hình và kết luận.

Tổng các giá trị của m thỏa mãn là:

Cách giải:

Câu 23: Đáp án D

 2.1 + ( 2017 − 1) .1 .2017 − 10 = 2035143 5 + 6 + 7 + ... + 2017 = 1 + 2 + ... + 2017 − (1 + 2 + 3 + 4 ) =  2 Câu 19: Đáp án B Phương pháp:

Tính y’ và xét dấu của y’, từ đó suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số. Cách giải:

x = 0 Ta có: y = x 4 − 2x 2 ⇒ y ' = 4x 3 − 4x = 0 ⇔   x = ±1

Thiết diện được tạo thành là một tam giác cân. Câu 24: Đáp án A

Phương pháp: a f ( x ) > a g ( x )

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −2 ) là mệnh đề đúng Câu 20: Đáp án A

 a > 1  f ( x ) > g ( x ) ⇔ 0 < a <1    f ( x ) < g ( x ) 

Phương pháp:

Cách giải:

Sử dụng định lí Pytago.

Ta có: πα > πβ , mà π > 1 ⇒ α > β

Cách giải:

Câu 25: Đáp án A

Kết luận sai là: R = r 2 + d 2 ( O, ( α ) )

Phương pháp:

Sửa lại r = R 2 + d 2 ( O, ( α ) )

Cách giải:

Câu 21: Đáp án C

1 Công thức thể tích là V = Bh là công thức tính thể tích của khối chóp. 3

Phương pháp:

Sử dụng công thức log a f ( x ) + log a g ( x ) = log a f ( x ) g ( x )  ( 0 < a ≠ 1; f ( x ) , g ( x ) > 0 ) Cách giải:

Ta có: log 5 x = 4 log 5 a + 3log 5 b ⇔ log 5 x = log 5 ( a 4 b3 ) ⇔ x = a 4 b3 Câu 22: Đáp án A

Sử dụng các công thức tính thể tích khối đa diện đã được học.

Câu 26: Đáp án C Phương pháp:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →+∞

x →−∞

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu lim+ f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm số. x →a

x →a

Cách giải: TXĐ: D = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ )

Ta có: lim

x →+∞

lim

x →−2−

x−2 2

x −4

x−2 x2 − 4

2 2 1− x = 1, lim x − 2 = lim x = −1 x →−∞ 4 x 2 − 4 x →−∞ 1 − 4 1− 2 x x2

1−

= lim

x →+∞

x−2

= −∞, lim+

x −4

x→2

= lim+ x →2

Dựng AH, BK như hình vẽ. Gọi độ dài đoạn HM là x (km), ( 0 < x < 12 )

x −2 =0 x+2

Khi đó NK = 12 − x

Suy ra, đồ thị có 2 TCN là y = 1, y = −1 và 1 TCĐ là x = −2

Khi đó ta có: AM = AH 2 + HM 2 = 22 + x 2 ; NB = NK 2 + BK 2 = 52 + (12 − x )

Câu 27: Đáp án A

Do MN không đổi, nên để tiết kiệm chi phí đi từ A đến B (tức là, độ dài đường gấp khúc AMNB

Phương pháp:

ngắn nhất) thì AM + NB phải nhỏ nhất

Sử dụng các công thức về lũy thừa.

Ta có: AM + NB = 22 + x 2 + 52 + (12 − x ) ≥

Cách giải: x

Với 0 < a, b, x, y ≠ 1 ta có

a = a x − y là mệnh đề đúng. ay

Khi đó ( AM + NB )min = 193 khi và chỉ khi

Đáp án B sai vì ( a x ) = a xy

= 49 + 144 = 193

x 12 − x x + 12 − x 12 24 = = = ⇒x= 2 5 2+5 7 7

Câu 29: Đáp án B

Câu 28: Đáp án A

Phương pháp: ( a x ) ' = a x .ln a, a > 0

Phương pháp:

Cách giải:

+) Sử dụng định lí Pytago tính AM và BN.

y = 5x + 2017 ⇒ y ' = 5x.ln 5

+) Do MN không đổi, nên để tiết kiệm chi phí đi từ A đến B (tức là, độ dài đường gấp khúc AMNB

Câu 30: Đáp án D

ngắn nhất) thì AN + NB phải nhỏ nhất.

Cách giải:

Đáp án D sai vì ( ab ) = a x b x

a 2 + b2 + x 2 + y2 ≥

( 2 + 5) + ( x + 12 − x )

2 193  24  ⇒ AM = 22 +   = ( km ) 7  7 

Đáp án C sai vì a x a y = a x + y

+) Áp dụng BĐT

Xác định tâm và bán kính mặt cầu, từ đó tính toán độ dài của khối chóp và khoảng cách cần tìm. 2

(a + b) + ( x + y)

. Dấu “=” xảy ra ⇔

a x = b y

Cách giải: Đặt a(cm) là độ dài các cạnh của hình vuông ABCD và tam giác đều SAB. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, G là trọng tâm tam giác SAB, N là trung điểm của AB Tam giác SAB đều ⇒ SN ⊥ ( ABCD ) ⇒ SN ⊥ NO Dựng hình chữ nhật NOIG, khi đó:

IO / /GN ⇒ IO ⊥ ( ABCD ) ⇒ IA = IB = IC = ID Mặt khác IG // NO mà NO ⊥ ( SAB ) , ( do NO ⊥ AB, NO ⊥ SN )

GI ⊥ ( SAB ) ⇒ IS = IA = IB (do G là trọng tâm và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Câu 31: Đáp án C Phương pháp:

đều SAB )

⇒ IA = IB = IC = ID = IS ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD, mặt cầu này có bán

Cho hàm số y = x n

kính:

Với n ∈ Z+ ⇒ TXĐ : D = R 2

2 a2 a2 7 a 2 a 3 + = R = IA = IG + AG =   +  . .a  = 4 3 12 2 3 2  2

Diện tích mặt cầu: 4πR 2 = 4π.

7 2 7 2 a = πa = 84π ⇒ a 2 = 36 ⇔ a = 6 ( cm ) 12 3

*) Gọi M là trung điểm của SC. Tính VS.ABCD , từ đó suy ra thể tích khối chóp S.BMD: 3

Với n ∈ Z ⇒ TXĐ : D = ( 0; +∞ ) Cách giải:

x ≠ 1 Do −3 ∈ Z− ⇒ Hàm số xác định ⇔ x 2 + x − 2 ≠ 0 ⇔   x ≠ −2 Vậy TXĐ của hàm số là D = R \ {−2;1}

1 1 a 3 2 a 3 6 3 = = 36 3 ( cm3 ) VS.ABCD = .SN.SABCD = . .a = 3 3 2 6 6 VS.BMD SM 1 1 1 1 = = ⇒ VS.BMD = .VS.BCD = VS.ABCD = .36 3 = 9 3 ( cm3 ) VS.BCD SC 2 2 4 4 *) Tính diện tích tam giác BMD:

Câu 32: Đáp án D

a > 0 Phương pháp: ax 2 + bx + c ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ 0 Cách giải:

Ta có: y =

1 a BD a 2 Ta có: MO = SA = , OB = OD = = 2 2 2 2 BC ⊥ AB Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông cân tại B. BC ⊥ SN Có SB = BC = a ⇒ BM =

Với n ∈ Z− ⇒ TXĐ : D = R \ {0}

x3 − 3x 2 + m 2 x + 2m − 3 ⇒ y ' = x 2 − 6x + m 2 3

m ≥ 3 1 > 0 ( luôn đúng ) Để hàm số đồng biến trên R ⇒ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔  ⇔ 9 − m2 ≤ 0 ⇔  ∆ ' ≤ 0  m ≤ −3 Câu 33: Đáp án B

SC a 2 = ⇒ ∆BOM cân tại B. 2 2

Dựa vào hệ số a xác định tính đơn điệu của hàm số y = a x và y = log a x ( x > 0 ) 2

 a 2   a 2 7 Gọi H là trung điểm của OM ⇒ BH = BO2 − OH 2 =   −  4  = 4 a 2   1 1 7 a a2 7 a 2 7 a 2 7 62 7 9 7 ⇒ SBDM = 2S∆BOM = 2. = = = SBOM = .BH.OM = . a. = ( cm2 ) 2 2 4 2 16 16 8 8 2

Cách giải:

Mệnh đề sai là: Với a > 1 , hàm số y = log a x là một hàm đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) Sửa lại: Với a > 1 , hàm số y = log a x là một hàm đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) Câu 34: Đáp án B

*) Ta có: MO / /SA ⇒ SA / / ( BMD ) ⇒ d ( SA; BD ) = d ( SA; ( BMD ) ) = d ( A; ( BMD ) )

Phương pháp:

AC ∩ ( BMD ) = O ⇒ d ( A; ( BMD ) ) = d ( C; ( BMD ) ) Mà  OA = OC

Cách giải:

Ta có: VM.CBD

1 1 9 7 = .d ( C; ( BMD ) ) .SBMD ⇒ .d ( C; ( BMD ) ) . =9 3 3 3 2

⇔ d ( C; ( BMD ) ) =

6 3 6 21 6 21 = cm ( cm ) ⇒ d ( SA; BD ) = 7 7 7

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và đánh giá giá trị nhỏ nhất của hàm số. Với x, y là các số thực dương, ta có:

log 3

1− y = 3xy + x + 3y − 4 x + 3xy

⇔ log 3 (1 − y ) log 3 ( x + 3xy ) = 3xy + x + 3y − 4

Dựa vào BBT xác định các khoảng đơn điệu của hàm số.

⇔ log 3 (1 − y ) + 3 (1 − y ) + 1 = log 3 ( x + 3xy ) + 3xy + x

Cách giải:

⇔ log 3 ( 3 (1 − y ) ) + 3 (1 − y ) = log 3 ( x + 3xy ) + 3xy + x (1)

Mệnh đề đúng là: Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;0 )

Xét hàm số f ( x ) = log 3 x + x, ( x > 0 ) ta có: 1 f '( x ) = + 1 > 0, ∀x > 0 ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) x ln 3 Khi đó, phương trình (1) ⇔ f ( 3 − 3y ) = f ( x + 3xy ) ⇔ 3 − 3y = x + 3xy ⇔ 3xy + 3y + x = 3 1 4  ⇔ 3y ( x + 1) + x + 1 = 4 ⇔ ( x + 1)  y +  = ( 2 ) 3 3 

Phương pháp:

Nhận biết đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương. Cách giải:

Giả sử hàm số đó là: y = ax 4 + bx 2 + c, ( a ≠ 0 ) Quan sát đồ thị hàm số ta thấy, khi x → +∞, y → −∞ ⇒ a < 0 ⇒ Loại phương án D

Ta có: 2

Đồ thị hàm số đi qua O ( 0; 0 ) ⇒ c = 0 ⇒ Loại phương án B

1 4 4   x +1+ y +  P+  P+ 1  4   3 3 3 ≥ ( x + 1)  y +  ≤   ⇔ ≤  ⇔ 3  3 3  2  2        1  2 x +1 = y + x=   3 4 3−4   Pmin = khi và chỉ khi  ⇔ 3 ( x + 1)  y + 1  = 4 y = 2   3 3 

2 4 4 4 3−4 ⇔ P+ ≥ ⇔P≥ 3 3 3 3 3 −3 3 3 −1 3

Câu 35: Đáp án D

Hàm số đạt cực tiểu tại 2 điểm x = ± 2 ⇒ Chọn phương án C: y = − x 4 + 4x 2 có y ' = −4x 3 + 8x Câu 40: Đáp án C Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] Bước 1: Tính y’, giải phương trình y ' = 0 ⇒ x i ∈ [ a; b ] +) Bước 2: Tính các giá trị f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )

Phương pháp:

Dựa vào TCĐ và TCN của đồ thị hàm số.

+) Bước 3: max f ( x ) = max {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} ; min f ( x ) = min {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} [a;b]

[a;b]

Cách giải:

Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1 ⇒ Loại phương án A và C. Đồ thị hàm số có TCN là y = 1 ⇒ Loại phương án B. Câu 36: Đáp án A Phương pháp: ( log a u ( x ) ) ' =

Câu 39: Đáp án C

x − m2 8 + m2 ⇒ f '(x ) = > 0, ∀x ∈ [ 0;3] ⇒ Hàm số f ( x ) đồng biến trên [ 0;3] 2 x +8 ( x + 8)

⇒ min f ( x ) = f ( 0 ) = [0;3]

( u ( x )) ' u ( x ) .ln a

Cách giải: y = log ( 2x + 1) ⇒ y ' =

Ta có: f ( x ) =

Theo đề bài, ta có: 2

( 2x + 1) ln10

Câu 37: Đáp án A Cách giải:

Mỗi cạnh của một hình đa diện là cạnh chung của đúng n mặt của hình đa diện đó ⇒ n = 2

−m 2 8

−m 2 = −2 ⇔ m 2 = 16 ⇔ m = ±4 8

Giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là: m = 4 Câu 41: Đáp án D Phương pháp:

+) Đặt 3x = t, ( t > 0 ) đưa phương trình trở về phương trình bậc hai ẩn t.

Câu 38: Đáp án D

+) Sử dụng định lí Vi-ét tìm điều kiện của m.

Phương pháp:

Cách giải:

Đặt 3x = t, ( t > 0 ) , phương trình 9 x − 2.3x + m = 0 (1) trở thành t 2 − 6.t + m = 0 ( 2 ) Để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x 2 phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm t1 , t 2 cùng dương

m = 1  y ' ( 3) = 0 m 2 − 6m + 5 = 0 32 − 2m.3 + m 2 − 4 = 0  ⇔ ⇔ ⇔   m = 5 ⇒ m = 1  2.3 − 2m > 0 6 − 2m > 0 y '' 3 = 0  ( )   m < 3  Câu 44: Đáp án B

9−m ≥ 0 ∆ ' > 0 m ≤ 9 −6  ⇔ S > 0 ⇔ − > 0 ( luôn đúng ) ⇔  ⇔0<m≤9 1 m > 0 P > 0  m >0 1 Ta có: t1 = 3x1 , t 2 = 3x 2 ⇒ t1t 2 = 3x1 .3x 2 = 3x1 + x 2 = 30 = 1t1 = 3x1 , t 2 = 3x 2 ⇒ t1t 2 = 3x1.3x 2 = 3x1 + x 2 = 30 = 1

Xác định góc giữa hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) - Tìm giao tuyến ∆ của ( α ) , ( β ) - Xác định 1 mặt phẳng ( γ ) ⊥ ∆ - Tìm các giao tuyến a = ( α ) ∩ ( γ ) , b = ( β ) ∩ ( γ ) - Góc giữa hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) : ( ( α ) ; ( β ) ) = ( a; b )

Mà t1t 2 = m ⇒ m = 1( tm ) . Vậy m = 1

Cách giải:

Câu 42: Đáp án C

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] Bước 1: Tính y’, giải phương trình y ' = 0 ⇒ x i ∈ [ a; b ] +) Bước 2: Tính các giá trị f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i ) +) Bước 3: max f ( x ) = max {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} ; min f ( x ) = min {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )}

Mà AA ' ⊥ B'C' ⇒ B'C' ⊥ ( AIA ' )

( AB'C ' ) ⊥ ( A 'B'C ' ) = B'C '  Ta có: ( AB'C ' ) ∩ ( AIA ' ) = AI ⇒ ( ( AB'C ' ) ; ( A ' B'C ' ) ) = AIA ' = 300  ( A ' B'C ' ) ∩ ( AIA ' ) = A ' I Gọi I là trung điểm của B’C’. Tam giác A’B’C’ cân tại A’ ⇒ A ' I ⊥ B'C '

[a;b ]

Cách giải:

x+4 −6 Ta có: y = ⇒ y' = < 0, ∀x ∈ [3; 4] 2 x−2 ( x − 2)

⇒ Hàm số nghịch biến trên [3; 4] ⇒ max y = y ( 3) = 7 [3;4]

Câu 43: Đáp án A Phương pháp: f ' ( x 0 ) = 0 Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = x 0 ⇔  f '' ( x 0 ) > 0

Cách giải:

 y ' = x 2 − 2mx + m 2 − 4 1 Ta có: y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − 4 ) x + 3 ⇒  3  y '' = 2x − 2m

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 thì

Phương pháp:

∆A ' IB' vuông tại I

⇒ A ' I = A ' B'.sin B' = a.sin 300 =

a 2

  1800 − A ' 1800 − 1200 = = 300   B' = C ' = 2 2   a a ∆AIA ' vuông tại A’ ⇒ AA ' = A'I.tanAIA' = .tan 300 = 2 2 3 1 1 a2 3 Diện tích tam giác ABC: SABC = .AB.AC.sin A = .a.a.sin1200 = 2 2 4 Thể tích của khối lăng trụ đã cho là: V = AA '.SABC =

Câu 45: Đáp án B Phương pháp: Thể tích khối lăng trụ: V = Sh

a2 3 a3 = 8 2 3 4 a

Cách giải:

Phương pháp: a m .a n = a m + n ; a m : a n = a m −n 2

ABC là tam giác vuông cân tại A ⇒ AB = AC =

BC a 2 1 a = = a ⇒ SABC = .AB.AC = 2 2 2 2

Cách giải:

Câu 46: Đáp án B

1 1 −   3 1 a 5  a 10 − a 5   = a 2 −1 = a −1 = Ta có: M = 2  1 2 −  a −1 a −1  a3 a3 − a 3   

Phương pháp:

Câu 50: Đáp án

Thể tích khối trụ: V = πr 2 h

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ: V = SABC .AA ' =

a a .a = 2 2

Cách giải: ABCD là hình chữ nhật 2

AB 4a = = 2a 2 2

Thể tích của khối trụ: V = πr 2 h = π ( 2a ) .3a = 12πa 3

Câu 47: Đáp án C

Số tiền thu được sau n tháng: A n =

)

1 a +1

Sử dụng mối quan hệ giữa đường cao, bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Cách giải: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h và đường sinh l .

a.1 + r 1 + r n − 1 r

Cách giải: Số tiền thu được sau n tháng: A n =

Phương pháp:

a.1 + r 1 + r n − 1 r

Ta xác định giá trị của n nhỏ nhất n ∈ N * thỏa mãn a.1 + r 1 + r n − 1 3.1 + 0, 6% 1 + 0, 6% n − 1 ≥ 100 ⇔ ≥ 100 ⇔ n ≥ 30,31 ⇒ n min = 31 r 0, 6% Vậy, sau ít nhất 31 tháng thì anh A nhận được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn 100 triệu.

Kết luận sai là: h 2 = r 2 + l 2 Sửa lại: l2 = r 2 + h 2

Câu 48: Đáp án B Phương pháp: * Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →−∞

x →a

Cách giải: Hàm số y = f ( x ) có giới hạn lim− f ( x ) = +∞ và đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) c hỉ nhận đường x →a

thẳng d làm tiệm cận đứng ⇒ d : x = a

Câu 49: Đáp án A

)(

tháng.

Khối trụ đã cho có chiều cao h = AD = 3a , bán kính đáy r =

x →a

(

a −1

Mỗi tháng đều gửi một số tiền là a đồng vào đầu mỗi tháng tính theo lại kép với lãi suất là r% mỗi 2

⇒ AC = AB + AD ⇔ ( 5a ) = ( 4a ) + AD ⇔ AD = 3a

x →+∞

a −1 a +1

ĐỀ 02

ĐỀ THI HỌC KÌ I

Câu 10: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Môn: TOÁN 12

A. Hàm số có 3 điểm cực trị.

B. Hàm số không có điểm cực đại.

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

C. Hàm số có 1 điểm cực trị.

D. Hàm số không có điểm cực tiểu.

Câu 11: Cho hàm số y = x ( x − 1) có đồ thị ( C ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 1: Cho a là số thực dương khác 1, khi đó I = log a a 3 có giá trị là A. I = a 3

B. I = 3a

C. I = a

D. I = 3

Câu 2: Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới

A. ( C ) và trục hoành có 2 điểm chung

B. ( C ) và trục hoành không có điểm chung.

C. ( C ) và trục hoành có 1 điểm chung.

D. ( C ) và trục hoành có 3 điểm chung.

Câu 12: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. y = x 4 + 2x 2 + 1

B. y = x 4 − 2x 2 + 1

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; 2 )

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 )

C. y = x 4 − 2x 2 − 1

D. y = x 4 + 2x 2 − 1

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2; 2 )

Câu 13: Cho phương trình 25 − 5

1 Câu 3: Tập xác định D của hàm số y =   là: 2

A. D = R

B. D = ( −∞; 0 )

C. D = ( 0; +∞ )

B. 3

D. D = R \ {0}

C. 4

D. 5

A. x = 5

C. D = ( −∞;1)

D. D = ( 0; +∞ )

Câu 6: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng a và chiều cao hình trụ bằng

a . Diện tích 2

xung quanh Sxq của hình trụ là:

πa 2 A. Sxq = 2

πa 2 B. Sxq = 8

πa 2 C. Sxq = 4

D. Sxq = πa

B. 4

C. 1

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; 2 )

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ )

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ )

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 2 )

B. 2

B. x = 1

C. x = 4

D. x = 3

1 B. y = x 3 + x 3

C. y =

2x + 1 x +1

D. y = x 4 + 1

Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích V của khối chóp S.ABC là:

A. V =

a3 3 4

A. V =

2 3 πa 3

B. V =

a3 3 12

C. V =

a3 3 24

D. V =

a3 3 8

D. 3

1 B. V = πa 3 3

C. V =

4 3 πa 3

D. V = 2πa 3

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , biết SA = 4 và diện tích tam giác ABC bằng 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V = 32

x −1 x +1 C. 1

D. 2t 2 − 5t + 4 = 0

CD = 2a . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang vuông đó quanh cạnh CD là:

A. 0

A. y = ( x + 1)

D. 0

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 2 ) , ∀x ∈ R . Mệnh đề nào dưới đây sai?

Câu 9: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y =

C. t 2 − 5t + 4 = 0

Câu 17: Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AD = a , đáy nhỏ AB = a , đáy lớn

Câu 7: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 . Giá trị cực đại của hàm số là: A. –1

B. t 2 − t + 4 = 0

Câu 15: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ( −∞; +∞ )

Câu 5: Tập xác định D của hàm số y = ( x − 1) là: B. D = R \ {1}

A. 2t 2 − t + 4 = 0

Câu 14: Nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) = 2 là:

2 x

A. D = [1; +∞ )

+ 4 = 0 . Khi đặt t = 5x , ta được phương trình nào dưới

đây?

Câu 4: Trong hình đa diện, số cạnh ít nhất của một mặt là: A. 2

x +1

B. V = 4

C. V =

Câu 19: Đạo hàm y’ của hàm số y = log 3 ( x 2 + 1) là:

32 3

D. V =

8 3

A. y ' =

+ 1)

Câu 20: Cho hàm số y =

B. y ' =

2x 2 + x ( 1) ln 3

C. y ' =

2x 2 + x ( 1) log 3

2x x2 +1

D. y ' =

2x − 1 có đồ thị ( C ) . Tất cả các tiếp tuyến của ( C ) có hệ số góc x−2

k = −3 là:

C. −1 < m < 1

D. −1 < m < 3

Câu 27: Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh bằng 2a. Một mặt phẳng qua đỉnh S cắt hình nón theo một thiết diện, thiết diện đó đạt diện tích lớn nhất là:

A. 4a 2

B. 2a 2

C. a 2

Câu 28: T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 9 x − 11.3x + 9 = 0 , giá trị của T là:

A. y = −3x − 14 và y = −3x − 2

B. y = −3x − 4

C. y = −3x + 4

D. y = −3x + 14 và y = −3x + 2

Câu 21: Cho hàm số y =

A. T = 1

B. T = 9

C. T = 2

hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB là:

x2 − 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x −1

A. V = 144π

B. V = 24π

C. V = 32π

Câu 30: Cho hai đồ thị hàm số y = a ( C ) và y = log b x ( C ) như

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1, y = −1 và một tiệm cận đứng là x = 1 .

hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0 < b < 1 < a

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = −1 và một tiệm cận đứng là x = 1 .

B. a > 1 và b > 1

Câu 22: Cho hình vẽ bên với M, N lần lượt là trung điểm của các

C. 0 < a < 1 và 0 < b < 1

cạnh SB, SC. SA vuông góc với (ABC). Thể tích V của khối đa diện

D. 0 < a < 1 < b

ABCNM là:

Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 và

1 A. V = abc 4

1 B. V = abc 8

1 C. V = abc 6

D. V =

a SA = , SA ⊥ ( ABCD ) . Thể tích V của khối chóp S.ABC là 2

1 abc 24

Câu 23: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = B. 2

A. V = x 2 − 5x + 6 là x 2 − 3x + 2

D. 0 2

A. M =

Câu 24: P là tích tất cả các nghiệm của phương trình log x − 4 log 2 x + 8 = 0 . Giá trị của P là: B. P = 6

C. P = 64

D. P = 4

3 2

B. 2a 2 3

C. a 2 3

Câu 26: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 1 có đồ thị như hình bên. Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 3 − 3x + 1 = m có ba nghiệm thực phân biệt là:

A. −1 ≤ m ≤ 3

B. −1 ≤ m ≤ 1

9 2

B. V =

a3 3 2

C. V =

a3 3 3

D. V =

a3 2 6

3 4

B. M = 3

C. M =

7 2

D. M = 4

Câu 33: Tập nghiệm S của bất phương trình log 32 x − 3log 3 x + 2 ≤ 0 là A. S = [3;9]

Câu 25: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình tứ diện đều cạnh a bằng: A.

a3 2 12

Câu 32: Giá trị lớn nhất M của hàm số y = x 3 − 5x 2 + 7x + 1 trên đoạn [ −1; 2] là

C. 1 2 2

A. P = 8

D. V = 96π

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và một tiệm cận đứng là x = 1 .

A. 3

D. T = 0

Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 4 . Thể tích của khối trụ tạo thành khi quay

A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = −1

3a 2

B. S = [1;9]

C. S = [ 0;9]

D. S = [1; 2]

Câu 34: Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, ( c ≠ 0 ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a > 0, b < 0, c < 0

B. a > 0, b < 0, c > 0

C. a < 0, b > 0, c < 0

D. a > 0, b > 0, c < 0

1 Câu 35: Tập nghiệm S của bất phương trình   2

x 2 −3x

≥ 4 là:

 3 − 17 3 + 17  A. S =  ;  2   2

A. m = 1 hoặc m = −

B. S = ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ )

  3 − 17   3 + 17 C. S =  −∞; ; +∞  ∪ 2 2    

C. m = −

D. S = [1; 2]

Câu 36: Số lượng của một loại vi khuẩn Lactobacillus trong một phòng thí nghiệm được tính thao công thức s ( t ) = s ( 0 ) .2t , trong đó s ( 0 ) là lượng vi khuẩn ban đầu, s ( t ) là lượng vi khuẩn sau t phút. Biết sau 2 phút thì số lượng vi khuẩn Lactobacillus là 575 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc đầu, số lượng vi khuẩn là 9 triệu 200 nghìn con?

A. 14 phút

B. 7 phút

C. 12 phút

Câu 37: Nếu log a 4 + log16 b 2 = 1 và log 1 a + log 4 b 2 = 2

A. T = 9

B. T = 4

D. 6 phút

1 với a > 0, b > 0 thì tổng T = a + b bằng 2

C. T = 3

D. T = 6

Câu 38: Cho hình trụ có chiều cao h = 25 bán kính đáy r = 20 . Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 . Tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng

A. d =

5 501 3

Câu 39: Cho hàm số y =

B. d =

5 501 6

C. d =

5 69 6

D. d =

5 69 3

2x +1 + 1 . Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến 2x − m

trên khoảng ( −1;1) là:

B. m ≤

1 hoặc m ≥ 2 2

1 1 C. − < m < hoặc m > 2 2 2

D. m > −

1 log 2

y . Giá trị nhỏ nhất Pmin của

P = 10x 2 − 2 ( x + y ) − 3 là:

A. Pmin = −

1 9

B. Pmin = −3

C. Pmin = −

7 2

D. Pmin =

A. m < 1 Câu

44:

B. m > 1 Cho

hình

AB = 2a, BC = a, SO =

chóp

S.ABCD

C. m ≤ 1 có

đáy

là

D. m ≥ 1 hình

chữ

nhật

tâm

Biết

a 3 và SO ⊥ ( ABCD ) . Lấy hai điểm M, N lần lượt nằm trên cạnh SC, 2

2 1 SD sao cho SM = SC và SN = ND . Thể tích V của khối đa diện SABMN là 3 3

A. V =

2a 3 3 27

B. V =

5a 3 3 36

C. V =

4a 3 3 27

D. V =

5a 3 3 12

Câu 45: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, BAC = 1200 , cạnh AC’ hợp với mặt đáy góc 450 . Thể tích V của khối lăng trụ ABCA’B’C’ là:

2a 3 3 3

B. V =

a3 3 3

C. V = 2a 3 3

a 6 3

4a 3 3

2a 6 3

có chung cạnh XY như hình bên. Thể tích V của vật thể tròn xoay sinh 13 C. − < m < 3 4

1 2

Câu 43: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 1 không có cực trị là:

Câu 47: Trong mặt phẳng (P) cho hình (H) ghép bởi hai hình bình hành

D. −1 + 2 ≤ m ≤ 3

1 1 Câu 41: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho y = x 3 − x 2 + mx + 1 đạt cực trị tại 3 2

x1 , x 2 thỏa mãn ( x1 + 2m )( x 2 + 2m ) = 7 là:

D. m = 1

D. V = a 3 3

vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng

1 2

phương trình có nghiệm x ∈ 1; 2 2  là:  

B. −1 + 2 < m < 3

7 4

3 4

Câu 46: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA = a, AC = 2a và SA

Câu 40: Cho phương trình log 22 x + log 22 x + 2 − m − 1 = 0 . Tất cả các giá trị của tham số m để

13 A. − ≤ m ≤ 3 4

B. m = 1 hoặc m = −

Câu 42: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 + 2 log 2 x =

A. V =

1 1 A. − < m ≤ hoặc m ≥ 2 2 2

7 4

bởi hình (H) khi quay mặt phẳng (P) xung quanh trục XY là:

  2 2 A. V = 125π 1 +  B. V = 125π 1 +  12 6    

C. V = 125π

D. V = 125π 2

a 3 3

Câu 48: Biết đường thẳng y = − x + 2 cắt đồ thị hàm số y =

2x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B x +1

có hoành độ lần lượt là x A , x B . Khi đó

A. x A + x B = 3

B. x A + x B = −1

C. x A + x B = −3

D. x A + x B = 1

Câu 49: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d : x + 4y − 5 = 0 thì m có giá trị là: A. m = −3

B. m = −9

C. m = −

3 2

ĐÁP ÁN 1-D

2-B

3-A

11-A

12-C

13-C

21-A

22-B

23-B

31-A

32-D

33-A

41-C

42-C

43-D

4-B

5-A

6-D

7-B

14-A

15-B

16-C

17-C

24-A

25-C

26-D

27-B

34-A

35-D

36-D

37-B

44-B

45-D

46-A

47-C

D. m ∈∅ Câu 1: Đáp án D

khoảng ( −∞; +∞ ) là

Sử dụng công thức log a b m = m log a b ( 0 < a ≠ 1; b > 0 )

B. m = 0

C. m = 1

D. m = −1

9-B

10-A

18-C

19-B

20-D

28-C

29-D

30-D

38-B

39-A

40-D

48-B

49-C

50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

1 1 Câu 50: Số nguyên m lớn nhất để hàm số y = x 3 − ( 2m + 1) x 2 + ( m 2 + 2 ) x + 1 đồng biến trên 3 2

A. m = 2

8-D

Phương pháp:

Cách giải: I = log a a 3 = 3log a a = 3 Câu 2: Đáp án B Nhận biết đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương.

Cách giải: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇒ Loại phương án A và D, do y ' = 4x 3 + 4x = 0 có đúng 1 nghiệm là x = 0

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương ⇒ Chọn phương án B. Câu 3: Đáp án A Phương pháp: Hàm số y = a x có TXĐ D = R

Cách giải: x

1 Tập xác định D của hàm số y =   là D = R 2

Câu 4: Đáp án B Cách giải: Trong hình đa diện, số cạnh ít nhất của một mặt là: 3

Câu 5: Đáp án A Phương pháp: Hàm số y = x n Với n ∈ Z+ , TXĐ của hàm số là D = R Với n ∈ Z− , TXĐ của hàm số là D = R \ {0}

Với n ∈ Z , TXĐ của hàm số là D = ( 0; +∞ )

Ta có: f ' ( x ) = ( x − 2 ) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; 2 ) là mệnh đề sai.

Hàm số y = a x có TXĐ D = R

Câu 9: Đáp án B

Cách giải:

Phương pháp:

Khi x ∈ {1; 2} ⇒ Hàm số xác định.

Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất y =

Khi x = −1 ⇒ y = ( x − 1)

−2

Khi x = −2 ⇒ y = ( x − 1) Khi x ∈ R \ {±1; ±2} ⇐

−1

xác định ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1 ⇒ x = −1 không thỏa mãn. xác định ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1 ⇒ x = −1 không tỏa mãn.

ax + b d , ( a, c, ad − bc ≠ 0 ) có TXĐ: x = − và TCN: cx + d c

a c

Cách giải:

2 ∉Z x

Đồ thị hàm số y =

x − 1 > 0 x > 1 Điều kiện xác định:  ⇔ ⇔ x >1 x ≠ 0  x ≠ 0

x −1 có 2 đường tiệm cận là: y = 1, x = −1 x +1

Câu 10: Đáp án A Phương pháp:

x 2

Tập xác định D của hàm số y = ( x − 1) là D = [1; +∞ )

Giải phương trình y ' = 0 và suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Câu 6: Đáp án D

Cách giải:

Phương pháp:

x = 0 y = x 4 − 2x 2 + 1 ⇒ y ' = 4x 3 − 4x, y ' = 0 ⇔  x = 1  x = −1

Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ: Sxq = 2πrh

Cách giải:

⇒ Hàm số có 3 điểm cực trị.

a Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ: Sxq = 2πrh = 2π.a. = πa 2 2

Câu 11: Đáp án A

Câu 7: Đáp án B

Phương pháp:

Giải phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox.

f ' ( x 0 ) = 0 Điểm x = x 0 là điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) ⇔  f '' ( x 0 ) < 0

Cách giải:

⇒ ( C ) và trục hoành có 2 điểm chung.

y = x 3 − 3x + 2 ⇒ y ' = 3x 2 − 3, y '' = 6x 3x 2 − 3 = 0 y ' = 0  x = ±1 Xét hệ phương trình  ⇔ ⇔ ⇔ x = −1  y '' < 0 x < 0 6x < 0 3

⇒ x = −1 là điểm cực đại của hàm số ⇒ yCĐ = y ( −1) = ( −1) − 3 ( −1) + 2 = 4 Câu 8: Đáp án D Phương pháp:

Xét dấu của f ' ( x ) và suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số. Cách giải:

x = 0 Xét phương trình hoành độ giao điểm của y = x 2 ( x − 1) và Ox :x 2 ( x − 1) = 0 ⇔  x = 1

Câu 12: Đáp án C Phương pháp:

Giải phương trình y ' = 0 , xét dấu y’ và suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số. Cách giải:

x = 0 Ta có: y = x 3 − 3x 2 + 2 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x = 0 ⇔  x = 2

⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) Câu 13: Đáp án C

Phương pháp: x

Đặt t = 5 , biểu diễn 25 theo t. Cách giải: 2

Khi đặt t = 5x ⇒ 25x = ( 5x ) = t 2 ta được phương trình: t 2 − 5t + 4 = 0 Câu 14: Đáp án A

Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒ AB = AC =

BC a 1 a2 = ⇒ S∆ABC = AB.AC = 2 4 2 2

1 1 a 3 a2 a3 3 VS.ABC = SH.S∆ABC = . . = 3 3 2 4 24

Câu 17: Đáp án C Phương pháp:

Phương pháp: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b

Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang vuông đó quanh cạnh CD

Cách giải:

ghép bởi 1 khối nón tròn xoay và 1 khối trụ tròn xoay.

Ta có: log 2 ( x − 1) = 2 ⇔ x − 1 = 4 ⇔ x = 5

Cách giải:

Câu 15: Đáp án B

Kẻ BI ⊥ CD, ( I ∈ CD ) ⇒ IB = AD = a

Phương pháp:

Do AB = a, CD = 2a ⇒ IC = ID = a

Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ R và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Khối nón tròn xoay có đường cao IC = a , bán kính đáy IB = a có thể tích là:

Cách giải:

1 1 V1 = .πa 2 .a = πa 3 3 3

1 1 Xét hàm số: y = x 3 + x ⇒ y ' = x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ R ⇒ Hàm số y = x 3 + x đồng biến trên 3 3

Khối trụ tròn xoay có đường cao AB = a , bán kính đáy IB = a có thể tích là:

( −∞; +∞ )

V2 = πa 2 .a = πa 3

Câu 16: Đáp án C

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang vuông đó quanh cạnh CD là:

Câu 16: Phương pháp:

+) Gọi H là trung điểm của BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) 1 +) Tính thể tích khối chóp VS.ABC = SH.S∆ABC 3 Cách giải:

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) (do tam giác SBC đều). ( SBC ) ⊥ ( ABC )  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC Ta có:  ⇒ SH ⊥ ( ABC ) SH ⊂ ( SBC ) SH ⊥ BC  Khi đó VS.ABC

1 = SH.S∆ABC 3

a 3 Ta có: Tam giác SBC đều cạnh a ⇒ SH = 2

V = V1 + V2 =

4 3 πa 3

Câu 18: Đáp án C Câu 18: 1 Phương pháp: V = SA.SABC 3

1 1 32 Cách giải: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ V = SA.SABC = .4.8 = 3 3 3

Câu 19: Đáp án B Phương pháp: y = log a u ( x ) ⇒ y ' = Cách giải: y = log 3 ( x 2 + 1) ⇒ y ' = Câu 20: Đáp án D Phương pháp:

( u ( x )) ' u ( x ) .ln a

2x + 1) ln 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f (x)

tại điểm

M ( x 0 ; y0 )

là:

y = f ' ( x 0 ) . ( x − x 0 ) + y0

VS.AMN SM SN 1 1 1 V 3 3 1 1 = = . = ⇒ VS.AMN = S.ABC ⇒ VABCNM = VS.ABC − VS.AMN = VS.ABC = . abc = abc . VS.ABC SB SC 2 2 4 4 4 4 6 8

Cách giải:

1 1 1 1 Mà VS.ABC = .SA.SABC = .a. bc = abc 3 3 2 6

2x − 1 −3 ⇒ y' = 2 x −2 ( x − 2)

Câu 23: Đáp án B Phương pháp:

Gọi tiếp điểm là M ( x 0 ; y 0 ) Tiếp tuyến của Ccó hệ số góc k = −3 ⇒ y ' ( 0 ) = −3 ⇔ −

( x 2 − 2)

 x0 = 1 = −3 ⇔   x0 = 3

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →+∞

x →−∞

x 0 = 1 ⇒ y 0 = −1 , phương trình tiếp tuyến: y = −3 ( x − 1) + ( −1) ⇔ y = −3x + 2

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x )

x 0 = 3 ⇒ y0 = 5 , phương trình tiếp tuyến: y = −3 ( x − 3) + 5 ⇔ y = −3x + 14

Nếu lim+ f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm x →a

Câu 21: Đáp án A

số.

Phương pháp:

Cách giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x )

TXĐ: D = R \ {1; 2}

Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →+∞

x →−∞

x →a

số.

x 2 − 5x + 5 x 2 − 5x + 5 = lim 2 =1 2 x →+∞ x − 3x + 2 x →−∞ x − 3x + 2

lim

x 2 − 5x + 5 x 2 − 5x + 5 = −∞; lim− 2 = +∞ x →1 x − 3x + 2 x 2 − 3x + 2

lim

x 2 − 5x + 5 x −3 x 2 − 5x + 5 x −3 = lim+ = −1; lim− 2 = lim− = −1 2 x → 2 x → 2 x → 2 x − 3x + 2 x −1 x − 3x + 2 x −1

x →1+

x → 2+

Cách giải:

(

TXĐ: D = −∞; − 2  ∪  2; +∞

Ta có: lim

x →+∞

)

2 2 1− 2 − 1− 2 x2 − 2 x2 − 2 x x = lim = 1, lim = lim = −1 ⇒ Đồ thị hàm số có x →+∞ x →−∞ x →−∞ 1 1 x −1 x −1 1− 1− x x

x →a

Ta có: lim

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu lim+ f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm

x →a

⇒ Đồ thị hàm số có 1 TCN y = 1 và TCĐ là x = 1 Câu 24: Đáp án A Phương pháp: Giải phương trình bậc hai đối với hàm số logarit.

Cách giải:

2 tiệm cận ngang là y = 1, y = −1

ĐKXĐ: x > 0

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

log 2 x = 1 x = 2 Khi đó log 22 x 2 − 4 log 2 x 3 + 8 = 0 ⇔ 4 log 22 x − 12 log 2 x + 8 = 0 ⇔  ⇔ log x = 2 x = 4  2

Câu 22: Đáp án B Phương pháp: VABCNM = VS.ABC − VS.AMN

⇒ Tích tất cả các nghiệm của phương trình: P = 8

Cách giải:

Câu 25: Đáp án C

Ta có: VABCNM = VS.ABC − VS.AMN

Phương pháp: Tứ diện đều có 4 mặt đều là tam giác đều.

Cách giải:

Thể tích khối trụ: V = Sh = πr 2 h

Tổng diện tích tất cả các mặt của hình tứ diện đều cạnh a bằng: 4.

= a2 3

Cách giải: Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được một khối trụ có đường cao là 6, bán kính

Câu 26: Đáp án D

đáy là 64

Phương pháp:

Thể tích của khối trụ đó là: V = πr 2 h = π.42.6 = 96π

Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số f ( x ) và đường thẳng

Câu 30: Đáp án D

y=m

Phương pháp:

Cách giải:

Đồ thị hàm số y = a x đồng biến trên R nếu a > 1 và nghịch biến trên

Số nghiệm của phương trình x 3 − 3x + 1 = m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 1

R nếu 0 < a < 1

và đường thẳng y = m

Cách giải:

⇒ Để phương trình x − 3x + 1 = m có ba nghiệm thực phân biệt thì −1 < m < 3

Đồ thị hàm số y = a x ( C1 ) nghịch biến trên R ⇒ 0 < a < 1

Câu 27: Đáp án B

Đồ thị hàm số y = log b c ( C2 ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇒ b > 1

Phương pháp: Diện tích lớn nhất khi mặt phẳng cắt đi qua trục của hình nón.

Cách giải: Diện tích lớn nhất khi mặt phẳng cắt đi qua trục của hình nón. Tam giác SAB cân tại S, có SA = SB = 2a 1 1 Khi đó S∆SAB = SA.SB.sinASB = .2a.2a.sinASB = 2a 2 .sinASB ≤ 2a 2 2 2 Thiết diện đó đạt diện tích lớn nhất là 2a 2 khi mặt phẳng cắt đi qua trục của hình nón và

ASB = 90

⇒ 0 < a <1< b Câu 31: Đáp án A Phương pháp: 1 Thể tích khối chóp: V = Sh 3

Cách giải: 1 1 1 1 a a3 2 SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ VS.ABC = .SA.SABC = .SA. SABCD = . . a.a 2 = 2 3 2 6 2 12

(

Câu 32: Đáp án D

Câu 28: Đáp án C

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ]

Đặt 3x = t ( t > 0 ) đưa về phương trình bậc hai ẩn t. Sử dụng định lí Vi-ét. Cách giải: Đặt 3x = t ( t > 0 ) . Phương trình 9 x − 11.3x + 9 = 0 (1) trở thành t 2 − 11t + 9 = 0 ( 2 ) 9 Phương trình (2) có 2 nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn t1.t 2 = = 9 1

3x1 = t1 Ta có:  x ⇒ t1.t 2 = 3x1.3x 2 = 3x1 + x 2 ⇒ 9 = 3x1 + x 2 ⇒ x1 + x 2 = 2 3 2 = t 2 Câu 29: Đáp án D Phương pháp:

)

Bước 1: Tính y’, giải phương trình y ' = 0 ⇒ x i ∈ [ a; b ] +) Bước 2: Tính các giá trị f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i ) +) Bước 3: max f ( x ) = max {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} ; min f ( x ) = min {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} [a;b]

[a;b]

Cách giải:

 x = 1 ∈ [ −1; 2] Ta có: y = x 3 − 5x 2 + 7x + 1 ⇒ y ' = 3x 2 − 10x + 7 = 0 ⇔   x = 7 ∉ [ −1; 2]  3

Hàm số liên tục trên [ −1; 2] có y ( −1) = −12, y (1) = 4, y ( 2 ) = 3 ⇒ Giá trị lớn nhất của hàm số:

+) Tính s ( 0 )

M=4

+) Tính t khi số lượng khi khuẩn là 9 triệu 200 nghìn con.

Câu 33: Đáp án A

Cách giải:

Phương pháp:

Biết sau 2 phút thì số lượng vi khuẩn Lactobacillus là 575 nghìn con

Giải bất phương trình bậc hai đối với hàm logarit.

⇒ 575 = s ( 0 ) .22 ⇒ s ( 0 ) =

Cách giải:

575 (nghìn con) 4 575 t .2 ⇒ 2t = 64 ⇒ t = 6 (phút) 4

Ta có: log 32 x − 3log 3 x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ log 3 x ≤ 2 ⇔ 3 ≤ x ≤ 9

Số lượng vi khuẩn là 9 triệu 200 nghìn con: 9200 =

Tập nghiệm S của bất phương trình log 32 x − 3log 3 x + 2 ≤ 0 là S = [3;9]

Vậy, sau 6 phút, kể từ lúc đầu, số lượng vi khuẩn là 9 triệu 200 nghìn con.

Câu 34: Đáp án A

Câu 37: Đáp án B

Phương pháp:

Nhận biết đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương.

log a bc = c log a b, ( a, b > 0, a ≠ 1)

Cách giải: Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: khi x → +∞, y → +∞ ⇒ a > 0

1 log a c = log a b, ( a, b > 0, a ≠ 1, c ≠ 0 ) c

Hàm số có 3 cực trị ⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Cách giải:

x = 0 Ta có: y ' = 0 ⇔ 4ax 3 + 2bx = 0 ⇔  2 x = − b 2a 

Với a > 0, b > 0 ta có:

Để phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì

−b > 0 ⇒ b < 0 ( do a > 0 ) 2a

1 1 log 4 a + log16 b 2 = 1 log 2 a + log 2 b = 1 log a = 1   2 2 ⇔ 2 ⇔ a+b=4 1⇔  3 log a log b + = 3 1 4 log 2 b = 1  1 − log a + log b = 2 2 2  2  2 2

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ âm ⇒ c < 0

Câu 38: Đáp án B

Câu 35: Đáp án D

Phương pháp:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

 a > 1   x > log a b Phương pháp: a x > b ⇔   0 < a < 1    x < log a b

Cách giải:

Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên mặt phẳng đáy còn lại (như hình vẽ). I là trung điểm của AC.

OO '/ / AD ⇒ OO'/ / ( ABCD )

Cách giải:

1 Ta có:   2

x 2 − 3x

≥ 4 ⇔ 2− x

+ 3x

≥ 4 ⇔ − x 2 + 3x ≥ 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

1 Tập nghiệm S của bất phương trình   2 Câu 36: Đáp án D Phương pháp:

x 2 −3x

≥ 4 là S = [1; 2]

⇒ d ( OO '; AB ) = d ( OO '; ( ABCD ) ) = d ( O; ( ABCD ) ) (1) AD / /OO ' Ta có:  ⇒ AD ⊥ ( OAC ) ⇒ AD ⊥ OI OO' ⊥ ( OAC ) Mà AC ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( O; ( ACBD ) ) = OI ( 2 ) Từ (1), (2) ⇒ d ( AB;OO' ) = OI

Tam giác ABD vuông tại D, có BAD = ( AB; AD ) = ( AB;OO ' ) = 300 ⇒ BD = AD.tan 300 = 25.

1 25 25 1 25 = ⇒ AC = BD = ⇒ IA = AC = 2 3 3 3 2 3 2

5 501 5 501  25  Tam giác OIA vuông tại I ⇒ OI = OA 2 − IA 2 = 202 −   = 6 ⇒d= 6 2 3  

Câu 39: Đáp án A

f ' ( x ) = 2 log 2 x.

1 > 0, ∀x ∈ 1; 2 2  ⇒ f (1) ≤ t ≤ 2   x.ln 2

( )⇔0≤t≤2 2

Phương trình log 22 x + log 22 x + 2 − m − 1 = 0 (1) trở thành:

Xét hàm số g ( t ) = t + t + 2 − 1, t ∈ [ 0; 2] ta có:

+) Đặt 2x = t ( t > 0 )

g '(t ) = 1+

+) Tìm tập xác định của hàm số R \ {x 0 }

ax + b  y ' > 0 ( hoac y ' < 0 ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên ( a; b ) ⇔  cx + d  x 0 ∉ ( a; b )

Cách giải:

⇒ g ( 0) ≤ g ( t ) ≤ g ( 2) ⇔ 2 − 1 ≤ g ( t ) ≤ 3

⇒ Để phương trình đã cho có nghiệm thì −1 + 2 ≤ m ≤ 3 Phương pháp:

2 x +1 + 1 2.2 x + 1 Ta có: y = x = 2 − m 2x − m

Đặt t = 2 x > 0 ta có y ( t ) =

2 > 0, ∀t ∈ [ 0; 2] ⇒ Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] 2 t+2

Câu 41: Đáp án C

ĐKXĐ: 2x ≠ m

+) Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị. +) Áp dụng định lí Vi-ét biểu diễn biểu thức ( x1 + 2m )( x 2 + 2m ) theo m.

2t + 1 −2m − 1 ( t ≠ m) ⇒ y ' = 2 t−m ( t − m)

+) Tìm m.

1  1  Ta có: x ∈ ( −1;1) ⇒ 2 x ∈  ; 2  ⇒ t ∈  ; 2  , khi đó bài toán ban đầu trở thành tìm m để hàm số 2  2  y(t) =

Đặt t = log 22 x = f ( x ) , x ∈ 1; 2 2  ,  

t + t + 2 − m − 1 = 0, t ∈ [ 0; 2] ⇔ m = t + t + 2 − 1

Phương pháp:

+) Hàm số có dạng

Cách giải:

2t + 1 1 ( t ≠ m ) nghịch biến trên  ; 2  t−m 2 

Cách giải: 1 1 Ta có: y = x 3 − x 2 + mx + 1 ⇒ y ' = x 2 − x + m 3 2

Để hàm số có 2 cực trị x1 , x 2 thì y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 − 4m > 0 ⇔ m <

1  m > − 2  −2m − 1 < 0 1  1  − <m≤  ⇔ 2  1  ⇔   m ≥ 2 ⇔  2 m ∉  2 ; 2   m ≥ 2 1     m ≤ 2 

 x1 + x 2 = 1 Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có:   x1 x 2 = m Theo bài ra:

( x1 + 2m )( x 2 + 2m ) = 7 ⇔ x1x 2 + 2m ( x1 + x 2 ) + 4m 2 − 7 ⇔ m + 2m.1 + 4m2 − 7 = 0

Câu 40: Đáp án D +) Đặt t = log 22 x , xác định khoảng giá trị [ a; b ] của t theo x.

 m = 1 ( ktm ) ⇔ 4m 2 + 3m − 7 = 0 ⇔   m = − 7 ( tm )  4

+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng f ( t ) = m .

Câu 42: Đáp án C

Phương pháp:

+) Phương trình f ( t ) = m có nghiệm ⇔ min f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) [a;b]

[a;b]

Phương pháp: +) Đưa về cùng cơ số, sử dụng công thức log a x + log a y = log a ( xy ) ( 0 < a ≠ 1; x, y > 0 )

1 4

1 1 1 1 ⇒ VS.AMN = VS.ADC = . .VS.ABCD = VS.ABCD 6 6 2 2

+) Khi đó log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) > 0 +) Đưa biểu thức P về dạng tam thức bậc hai ẩn t. Tìm GTNN của P.

1 1 5 Từ (1), (2) suy ra: VS.ABMN = VS.AMB + VS.ANM = VS.ABCD + VS.ABCD = VS.ABCD 3 12 12

Cách giải: ĐK: x > 0; y > 0 1 Ta có: 2 + 2 log 2 x = log 2

1 1 a 3 3a 3 Mà VS.ABCD = .SO.SABCD = . .2a.a = 3 3 2 3

y ⇔ log 2 ( 4x 2 ) = log 2 y ⇔ y = 4x 2 2

1 7 7  Khi đó: P = 10x 2 − 2 ( x + y ) − 3 = 10x 2 − 2 ( x + 4x 2 ) − 3 = 2x 2 − 2x − 3 = 2  x −  − ≥ − 2 2 2  1 7 = − khi và chỉ khi x = ⇒ y = 4x 2 = 1 2 2

⇒ Pmin

Câu 43: Đáp án D Phương pháp: Hàm đa thức bậc ba không có cực trị khi và chỉ khi ∆ y '=0 ≤ 0

Cách giải: Ta có: y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 1 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x + 3m (*)

Để hàm số đã cho không có cực trị thì ∆ '(*) ≤ 0 ⇔ 9 − 9m ≤ 0 ⇔ m ≥ 1 Chú ý và sai lầm: Học sinh hay nhầm lẫn rằng hàm đa thức bậc ba không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ y '=0 < 0

Câu 44: Đáp án B Phương pháp: Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác: Cho khối chóp S.ABC, các điểm A1 , B1 , C1 lần lượt thuộc SA, SB, SC. Khi đó, VS.A1B1C1

VS.ABC

SA1 SB1 SC1 = . . SA SB SC

Cách giải: *) Tính thể tích khối chóp S.AMB theo thể tích khối chóp S.ABCD: Ta có:

VS.AMB SM 2 2 2 1 1 = = ⇒ SS.ANM = VS.ABC = . .VS.ABCD = VS.ABCD (1) VS.ABC SC 3 3 3 2 3

*) Tính thể tích khối chóp S.AMN theo thể tích khối chóp S.ABCD: Ta có:

VS.AMN SN SM 1 2 1 . = = . = VS.ADC SD SC 4 3 6

( 2)

⇒ VS.ABMN =

5 a 3 3 5a 3 3 . = 12 3 36

Câu 45: Đáp án D Phương pháp: Thể tích khối lăng trụ: V = Sh

Cách giải: CC ' ⊥ ( ABC ) ⇒ ( AC '; ( ABC ) ) = ( AC '; AC ) = C ' AC = 450 ⇒ ∆ACC ' vuông cân tại C ⇒ CC ' = AC = 2a Diện tích tam giác ABC: SABC =

1 1 1 3 3a 2 AB.AC.sin A = .a.2a.sin1200 = .a.2a. = 2 2 2 2 2

Thể tích V của khối lăng trụ ABCA’B’C’ là: V = SABC.CC ' =

a2 3 .2a = a 3 3 2

Câu 46: Đáp án A Phương pháp: Áp dụng phương pháp xác định khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng.

Cách giải: Kẻ AH ⊥ SB, ( H ∈ SB ) BC ⊥ AB Ta có  ⇒ BC ⊥ ( ABC ) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ SA ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = AH Tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB =

AC 2a = =a 2 2 2

Tam giác SAB vuông tại A, AH ⊥ SB ⇒

1 1 1 1 1 3 = + = + = AH 2 AB2 SA 2 2a 2 a 2 2a 2

⇒ AH =

a 6 a 6 ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = 3 3

Câu 47: Đáp án C

( d ) : x + 4y − 5 ⇔ y = −

Phương pháp: Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ V = πr 2 h trong đó r; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Thể tích vật thể tròn xoay thu được bằng với thể tích của khối trụ có bán

XA 5 và đường cao h = OO ' = XY = 10 , có thể = 2 2

Phương pháp: Hàm số đã cho đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

1 1 Ta có: y = x 3 − ( 2m + 1) x 2 + ( m 2 + 2 ) x + 1 ⇒ y ' = x 2 − ( 2m + 1) x + m 2 + 2 3 2

Câu 48: Đáp án B Phương pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

2x + 1 và đường thẳng y = − x + 2 x +1

Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

Câu 50: Đáp án C

Cách giải:

 5  tích là: V = πr 2 h = π.   .10 = 125π  2

2x + 1 và đường thẳng y = − x + 2 x +1

2x + 1 = − x + 2, ( x ≠ −1) x +1

⇔ 2x + 1 = ( − x + 2 )( x + 1) ⇔ 2x + 1 = − x 2 + x + 2 ⇔ x 2 + x − 1 = 0 Gọi A, B là giao điểm của 2 đồ thị, áp dụng định lí Vi-ét ⇒ x A + x B = −1

Câu 49: Đáp án C Phương pháp: +) Lấy y chia y’, phần dư chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. +) Hai đường thẳng vuông góc khi tích hệ số góc của chúng bằng -1.

Cách giải: Ta có: y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x − m

Đồ thị hàm số có 2 cực trị ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 . Ta có: 1 8 m 1 ⇒ y =  x −  y '− mx + 2 − 3 3 3 3  

⇒ Phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị A, B của đồ thị hàm số đã cho là: 8 m y = − mx + 2 − 3 3

8  1 3 Do AB vuông góc với d nên − m.  −  = −1 ⇔ m = − ( tm ) 3  4 2 Vậy, không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Cách giải:

kính đáy r = OA =

1 5 x+ 4 4

1 > 0 2 Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) thì  ⇔ ( 2m + 1) − 4 ( m 2 + 2 ) ≤ 0 ∆ ≤ 0

⇔ 4m − 7 ≤ 0 ⇔ m ≤

7 4

⇒ Số nguyên m lớn nhất thỏa mãn là 1.

ĐỀ 03

ĐỀ THI HỌC KÌ I

Môn: TOÁN 12

−∞ -

f '( x )

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian

2 +

+∞

phát đề)

+∞

f (x) -1

2x − 3 Câu 1: Đường thẳng nào cho dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x +1

A. y = −2

B. y = −1

C. x = 2

Câu 2: Cho hàm số f ( x ) = x 2 ln x . Tính f ' ( e ) A. 3e

B. 2e

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm thực phân biệt.

C. e

1 B. V = πr 3 3

D. 2 + e

B. 46

−∞ +

f '( x )

C. V = πr 3

C. 52

1 -

D. V = 4πr 2 f (x)

Câu 4: Thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 6 gần bằng số nào sau đây nhất? A. 48

D. m ∈ [ −1;3]

C. m ∈ ( −1;3)

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3: Viết công thức tính V của khối cầu có bán kính r. 4 A. V = πr 3 3

B. m ∈ ( −∞;3)

A. m ∈ ( −1; +∞ )

D. y = 2

−∞

+∞ -1

−∞

D. 51

+∞

Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số y = ln ( x 2 − 3x ) A. Hàm số có điểm cực tiểu bằng 0.

A. D = ( 0;3)

B. D = [ 0;3]

C. D = ( −∞;0 ) ∪ ( 3; +∞ )

D. D = ( −∞;0 ) ∪ [3; +∞ )

B. Hàm số có điểm cực đại bằng 5.

Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên là b và chiều cao là h ( b > h ) . Tính thể tích của khối chóp đó.

A. V =

Câu 7: Cho hàm số y = x 3 − mx + 1 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm

3 2 2

B. m >

3 2 2

A. log a ( xy ) = log a x + log a y

B. log a ( xy ) = log a ( x + y )

C. log a ( xy ) = log a ( x − y )

D. log a ( xy ) = log a x.log a y

Câu 12: Cho hàm số y =

số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

A. m ≤

D. Hàm số có điểm cực tiểu bằng 1. Câu 11: Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đều nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y

3 2 ( b − h 2 ) h B. V = 123 ( b2 − h 2 ) h C. V = 83 ( b2 − h 2 ) h D. V = 43 ( b2 − h 2 ) b 4

C. Hàm số có điểm cực tiểu bằng -1.

C. m <

3 2 2

D. m ≥

3 2 2

Câu 8: Nếu tăng chiều cao một khối chóp lên 2 lần và giảm diện tích đáy đi 6 lần thì thể tích khối

A. 4

A. Giảm 12 lần.

B. Tăng 3 lần.

C. Giảm 3 lần.

D. Không tăng, không giảm.

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

có đồ thị ( C ) . Đồ thị ( C ) có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 3

C. 1

D. 2

Câu 13: Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có AB = 3, AD = 4, AA ' = 5 A. V = 12

chóp đó tăng hay giảm bao nhiêu lần?

x−2 4x 2 − 1

B. V = 60

C. V = 10

D. V = 20

1 Câu 14: Cho hàm số y = x 3 − 2x 2 + 2x + 1 ( C ) . Biết đồ thị ( C ) có hai tiếp tuyến cùng vuông 3 góc với đường thẳng d : y = x . Gọi h là khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó. Tính h.

A. h = 2

B. h =

4 2 3

C. h =

2 3

D. h =

2 2 3

Câu 23: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với ( ABC ) và AD = a, AC = 2a ; cạnh BC vuông

góc với cạnh AB . Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và biết diện tích xung quanh gấp đôi diện A. r = a 5

tích đáy. Tính thể tích của khối chóp.

A. V =

a3 3 2

B. V =

a3 3 3

C. V =

a3 3 12

D. V =

a3 3 6

Câu 16: Cho khối tứ diện ABCD, M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MCD) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện nào?

C. 0

1 A. V = abc 6

D. 3

A. S = {1;log 2 3}

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −3;1)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ )

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −3)

a . a 3

a a

dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

B. a 4

C. a 4

D. a 4

B. min y = 2

C. min y = −25

[0;4]

D. min y = −34 [0;4]

Câu 21: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm , chiều cao h = 7cm . Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. y = − x 3 + 3x − 1

A. Sxq = 35π ( cm

)

B. Sxq = 70π ( cm

)

35 C. Sxq = π ( cm 2 ) 3

70 D. Sxq = π ( cm 2 ) 3

Câu 22: Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm

số nào? A. y = x 4 − 3x 2 − 1

B. y = − x 3 + 3x − 1

C. y = x 4 − 3x 2 + 1

D. y = x 3 − 2x 2 + 1

2a 3 3

D. V =

1 B. V = abc 3

C. V = abc

1 D. V = abc 2

B. S = {0;log 2 3}

C. S = {1; log 3 2}

D. S = {1}

B. y = x 4 − 4x 2 + 1

C. y =

2x − 3 x −3

D. y =

−x + 3 x +1

Câu 28: Viết công thức diện tích xung quanh Sxq của hình nón tròn xoay có độ lại đường sinh l và

bán kính đường tròn đáy r. A. Sxq = 2πrl Câu 29: Cho hàm số y =

B. Sxq = rl

C. Sxq = πrl

D. Sxq =

1 πrl 2

2x + 1 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( 2;5 ) của đồ thị hàm số trên x −1

là: A. y = 3x − 11

C. V = 2 2a 3

Câu 27: Đồ thị hàm số nào dưới đây đi qua điểm M ( 2; −1)

Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9x + 2 trên đoạn [ 0; 4] [0;4]

3a 3 6

A. a 2

A. min y = −18

B. V =

Câu 26: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 22x −1 − 5.2 x −1 + 3 = 0 . Tìm S.

Câu 18: Cho hàm số y = x + 3x − 9x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 19: Cho a > 0 . Hãy viết biểu thức

2 2a 3 3

SA = a, SB = b, SC = c . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

4 4

a 5 2

khối chóp đã cho.

Câu 17: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( x − 1) ( x 2 − 2x ) với trục hoành.

D. r =

Câu 25: Cho khối chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và

D. Hai khối tứ diện.

B. 2

C. r = a

đỉnh S lên đáy là trung điểm của AB, cạnh bên SC tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích V của

A. V =

C. Một khối lăng trụ tam giác và một khối tứ diện

A. 1

a 3 2

Câu 24: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a . Hình chiếu của

A. Hai khối lăng trụ tam giác. B. Hai khối chóp tứ giác.

B. r =

B. y = −3x + 11

C. y = −3x − 11

Câu 30: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 3x − 1) 1  A. D =  ; +∞  3 

B. D = R

D. y = 3x + 11

1 3

1  C. D = R \   3 

Câu 31: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 − 3x . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Đồ thị ( C ) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

1  D. D =  ; +∞  3 

B. Đồ thị ( C ) cắt trục tung tại 1 điểm.

Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = − x 3 + 2x 2 − ( m − 1) x + 2 nghịch

C. Đồ thị ( C ) nhận trục Oy làm trục đối xứng.

biến trên khoảng ( −∞; +∞ )

D. Đồ thị ( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

A. m ≤

Câu 32: Tính đạo hàm của hàm số y = 3x 1 x A. y ' = .3 ln 3

B. y ' = 3

x −1

C. y ' = 3 .ln 3

A. – 6

C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. Câu 34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có tâm I. Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của khối

1 6

B. k =

1 3

C. k =

1 8

D. k =

1 12

nào? 2

−∞

+∞

f '(x)

f (x)

A. V =

a3 3

B. V =

x +1 x−2

B. y =

2x − 1 x+2

2x + 3 x−2

D. y =

x−4 x−2

Câu 36: Tính tổng lập phương các nghiệm của phương trình: log 2 x.log3 x + 1 = log 2 x + log3 x A. 125

B. 35

Câu 37: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 5 A. max y = [1;5] 29

1 B. max y = [1;5] 4

C. 13

D. 5

2 A. y =   3

6 5

a3 3 2

C. V = a 3

D. V =

a3 2

 2  B. y =    3

 −1  B. M  2;   3 

C. y = ( 0,99 )

(

D. y = 2 − 3

)

2 3 5 2 x − x + 2x + 1 3 2

 1 35  C. M  ; −   2 24 

 1 35  D. M  ;   2 24 

1 D. max y = [1;5] 5

a+2 a

B. log 45 5 =

a −1 a

C. log 45 5 =

2−a a

D. log 45 5 =

e2017x − 1 x →0 x

Câu 44: Tính lim A. 0

B. 1

C. 2017 4

D. +∞

Câu 45: Tìm giá trị y CT cực tiểu của hàm số y = x − 4x + 3 A. y CT =

x trên đoạn [1;5] x2 + 4 2 C. max y = [1;5] 6

3 2

Câu 43: Đặt a = log 3 45 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

C. y =

Câu 41: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ ?

A. log 45 5 = A. y =

2 3

Câu 40: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AC = a 2 .

 1 A. M  2;   3

+∞

−∞

7 3

D. m >

x +1 . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên x −1

Câu 42: Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số y =

1 3

C. m ≥

Biết tam giác ABC1 có chu vi bằng 5a . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A1B1C1

V1 V

Câu 35: Bảng sau là bảng biến thiên của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số x

Câu 39: Cho hàm số y =

7 3

đoạn [ −5; −1] . Tính M + m

A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.

A. k =

B. m ≥

D. y ' = x.3

Câu 33: Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

hộp ABCD.A’B’C’D’ và khối chóp I.ABCD. Tính tỉ số k =

7 3

B. yCT = 2

C. y CT = 3

D. yCT = −1

Câu 46: Tìm nghiệm của phương trình log 2 ( 2x − 1) = A. x = 8

B. x =

7 2

C. x =

9 2

D. x = 5

a−2 a

Câu 47: Ông A gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi suất kép. Lãi suất ngân hàng

Đáp án

là 8% trên năm và không thay đổi qua các năm ông gửi tiền. Sau 5 năm ông cần tiền sửa nhà, ông

1-D

đã rút toàn bộ số tiền và sử dụng một nửa số tiền đó vào công việc, số còn lại ông tiếp tục gửi

11-A

ngân hàng và với hình thức như trên. Hỏi sau 10 năm ông A đã thu được số tiền lãi là bao nhiêu?

21-B

(đơn vị tính là triệu đồng).

31-C 41-B

A. ≈ 79, 412

B. ≈ 80, 412

C. ≈ 81, 412

D. ≈ 100, 412

2-A

3-A

4-D

5-C

6-A

7-B

8-C

9-C

10-D

12-A

13-B

14-D

15-D

16-D

17-D

18-A

19-B

20-C

22-C

23-D

24-A

25-A

26-A

27-C

28-C

29-B

30-D

32-C

33-A

34-A

35-C

36-B

37-B

38-B

39-B

40-A

42-D

43-D

44-C

45-D

46-C

47-C

48-B

49-A

50-B

Câu 48: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 3) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1

D. Hàm số đạt cực đại tại x = −1

Câu 49: Đồ thị hàm số y =

1 − 2x 2 có tiệm cận đứng x = a và tiệm cận ngang y = b . Tính giá x 2 + 6x + 9

trị T = 2a − b

A. T = −4

Câu 1: Đáp án D Phương pháp: Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →+∞

x →−∞

Cách giải: B. T = −8

C. T = −1

D. T = −6

B. y = x 3 + 1

C. y =

x −1 x+2

lim

x →+∞

Câu 50: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) A. y = x 4 + 3x

LỜI GIẢI CHI TIẾT

2x − 3 2x − 3 2x − 3 có tiệm cận ngang là: y = 2 = 2, lim = 2 ⇒ Đồ thị hàm số y = x →−∞ x + 1 x +1 x +1

Câu 2: Đáp án A D. y = e − x

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của một tích ( f .g ) ' = f '.g + f .g ' Cách giải:

Ta có: f ( x ) = x 2 ln x ⇒ f ' ( x ) = 2x.ln x + x 2 .

1 = 2x ln x + x ⇒ f ' ( e ) = 2e ln e + e = 2e + 2 = 3e x

Câu 3: Đáp án A Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu. Cách giải:

Công thức tính V của khối cầu có bán kính r: V =

4 3 πr 3

Câu 4: Đáp án D Phương pháp:

1 Sử dụng công thức tính thể tích chóp Vchóp = Sđáy .h 3 Cách giải:

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Diện tích đáy: Sđ = AB2 = 62 = 36

ABCD là hình vuông tâm O ⇒ OB =

AB 6 = =3 2 2 2

Tam giác SOB vuông tại O

+) Xác định m để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt. +) Cô lập m, sử dụng phương pháp hàm số.

(

⇒ SO = SB2 − OB2 = 62 − 3 2

Thể tích khối chóp: VS.ABCD

Phương pháp:

)

= 36 − 18 = 3 2

1 1 = .SO.Sđ = .3 2.36 = 36 2 ≈ 51 3 3

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − mx + 1 và trục hoành là:

x 3 − mx + 1 = 0

Câu 5: Đáp án C

⇔ x 3 − mx + 1 = 0 ⇔ mx = x 3 + 1 (*)

Phương pháp:

+) x = 0 : (*) ⇔ m.0 = 1 : vô lý ⇒ Phương trình (*) không có nghiệm x = 0 với mọi m

Hàm số y = log a f ( x ) ( 0 < a ≠ 1) xác định khi và chỉ khi ⇔ f ( x ) > 0 Cách giải: x > 3 ĐKXĐ: x 2 − 3x > 0 ⇔  x < 0

+) x ≠ 0 : (*) ⇔ m =

x3 + 1 1 = x 2 + (**) x x

1 1 2x 3 − 1 1 Xét hàm số f ( x ) = x 2 + , ( x ≠ 0 ) , f ' ( x ) = 2x − 2 = , f '( x ) = 0 ⇔ x = 3 x x x2 2

TXĐ: D = ( −∞;0 ) ∪ ( 3; +∞ ) Câu 6: Đáp án A

f '( x )

+∞

+) Tính diện tích tam giác đều ABC theo b và h. 1 +) Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp VS.ABC = SG.SABC 3

1 2

+∞

Phương pháp:

+) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC )

−∞

+∞

f (x) −∞

Cách giải:

+∞

33 2 2

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC ) Tam giác SCG vuông tại G ⇒ CG = SC 2 − SG 2 = b 2 − h 2 3 3 ⇒ CI = CG = . b 2 − h 2 2 2 3 . b2 − h 2 3 ⇒ AI = CI.tan 300 = 2 = . b 2 − h 2 ⇒ AB = 3. b 2 − h 2 2 3

Số nghiệm của phương trình (**) là số giao điểm của đồ thị hàm số f ( x ) = x 2 +

1 và đường thẳng x

y = m song song với trục hoành.

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (**) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 ⇒m>

33 2 2

Câu 8: Đáp án C

1 1 3 2 3 3 2 ⇒ SABC = .CI.AB = . b − h 2 . 3. b 2 − h 2 = ( b − h2 ) 2 2 2 4

Phương pháp:

1 1 3 3 2 Thể tích của khối chóp là: VS.ABC = SG.SABC = .h. ( b − h 2 ) = 43 ( b2 − h 2 ) h 3 3 4

1 Thể tích khối chóp V = Sh 3

Câu 7: Đáp án B

Cách giải:

1 Thể tích khối chóp ban đầu: V = Sh 3

1 1   TXĐ: D =  −∞; −  ∪  ; +∞  2 2  

S Theo đề bài, ta có: S' = ; h ' = 2h 6 1 1 S 1 1  1 V ' = S' h ' = . .2h = .  Sh  = V ⇒ Thể tích khối chóp đó giảm 3 lần. 3 3 6 3 3  3

x−2

lim

4x 2 − 1

x →+∞

= lim

x →+∞

Câu 9: Đáp án C Phương pháp: Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường

1 1 ⇒ Đồ thị (C) có TCN là y = , y = − 2 2

lim

thẳng y = m

 1 x → −   2

Cách giải:

2 2 1− x = 1 ; lim x − 2 = lim x =−1 2 x →−∞ 4x 2 − 1 x →−∞ 2 1 1 4− 2 − 4− 2 x x

1−

x −2 −

4x − 1

= −∞;

lim +

1 x →   2

x−2 4x 2 − 1

= −∞

Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và

1 1 ⇒ Đồ thị (C) có TCĐ là x = − , x = 2 2

đường thẳng y = m

Đồ thị hàm số ( C ) có tất cả 4 đường tiệm cận.

⇒ Để (*) có 3 nghiệm thực phân biệt thì m ∈ ( −1;3)

Câu 13: Đáp án B

Câu 10: Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc

Nếu f ' ( x ) đổi dấu khi qua điểm x = x 0 ⇒ x = x 0 là điểm cực trị của hàm số.

Cách giải:

Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’: V = 3.4.5 = 60

Cách giải: Tại x = 1, f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương ⇒ Hàm số có điểm cực tiểu bằng 1.

Câu 11: Đáp án A

Câu 14: Đáp án D Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp: Sử dụng công thức tính logarit của 1 tích.

y = f ' ( x 0 ) .( x − x 0 ) + y0

Cách giải:

log a ( xy ) = log a x + log a y

1 y = x 3 − 2x 2 + 2x + 1 ⇒ y ' = x 2 − 4x + 2 3

Câu 12: Đáp án A * Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →+∞

x →−∞

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu lim+ f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm x →a

số.

x →a

y = f (x)

tại điểm

M ( x 0 ; y0 )

Tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng d : y = x có hệ số góc k = −1 x0 = 1 Gọi M ( x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm ⇒ y ' ( x 0 ) ⇔ x 02 − 4x 0 + 2 = −1 ⇔ x 20 − 4x 0 + 3 = 0 ⇔  x0 = 3

+) x 0 = 1 ⇒ y0 =

4 7 4 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = −1. ( x − 1) + ⇔ y = − x + ( d1 ) 3 3 3

+) x 0 = 3 ⇒ y 0 = −2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = −1. ( x − 3) + ( −2 ) ⇔ y = − x + 1 ( d 2 )

là:

−1 − 0 +

Ta có: d1 / /d 2 , A (1;0 ) ∈ d 2 ⇒ d ( d1 ;d 2 ) = d ( A;d1 ) =

7 3

1 +1

2 2 2 2 ⇒h= 3 3

Câu 15: Đáp án Phương pháp:

+) Gọi b là độ dài cạnh bên, sử dụng giả thiết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy biểu diễn b theo a.

Cách giải:

+) Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

Mặt phẳng (MCD) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện:

1 +) VS.ABCD = SO.SABCD 3

Hai khối tứ diện. Câu 17: Đáp án D

Cách giải:

Phương pháp:

Gọi b là độ dài cạnh bên, I là trung điểm của BC ⇒ SI ⊥ BC

Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Tam giác SIB vuông tại I ⇒ SI = SB2 − IB2 = b 2 −

Cách giải:

a2 4

1 1 a a ⇒ SSBC = .SI.BC = . b 2 − .a ⇒ Sxq = 4.SSBC = 2a b 2 − 2 2 4 4

x = 1 Cho y = 0 ⇒ ( x − 1) ( x 2 − 2x ) = 0 ⇔  x = 0  x = 2

Diện tích đáy: SABCD = a 2

Vậy đồ thị hàm số y = ( x − 1) ( x 2 − 2x ) cắt trục hoành tại 3 điểm.

Theo đề bài, ta có:

Câu 18: Đáp án A

2a b 2 −

a2 a2 a2 5 5 = 2a 2 ⇔ b 2 − = a ⇔ b2 − = a 2 ⇔ b2 = a 2 ⇔ b = a 4 4 4 4 2

ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ OB =

x = 1 y = x 3 + 3x 2 − 9x + 1 ⇒ y ' = 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇔   x = −3

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

5 2 a2 3 = a − a 4 2 2

1 1 3 2 3a 3 Thể tích của khối chóp VS.ABCD = .SO.SABCD = . a.a = 3 3 2 6 Câu 16: Đáp án D

Tính y’, xét dấu y’ và tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. Cách giải:

a 2

Tam giác SOB vuông tại O ⇒ SO = SB2 − OB2 =

Phương pháp:

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) Câu 19: Đáp án B Phương pháp: m

Sử dụng các công thức:

a m = a n ; a m .a n = a m + n ;

Cách giải:

Ta có:

a4.4 a5 3

a a

a 4 .a 4

 32  a   

1 3

1 2

21 1 − 2

=a4

am = a m−n an

Câu 20: Đáp án C

Mà AD ⊥ ( ABC ) ⇒ IM ⊥ ( ABC ) ⇒ IA = IB = IC ( 2 )

Phương pháp:

Từ (1), (2) ⇒ IA = IB = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính mặt cầu:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] r=

Bước 1: Tính y’, giải phương trình y ' = 0 ⇒ x i ∈ [ a; b ]

Câu 24: Đáp án A

+) Bước 2: Tính các giá trị f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i ) +) Bước 3: max f ( x ) = max {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} ; min f ( x ) = min {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} [a;b]

CD AD 2 + AC 2 a 2 + 4a 2 a 5 = = = 2 2 2 2

[a;b]

Phương pháp: +) Xác định góc giữa SC và mặt đáy là góc giữa SC và hình chiếu của nó trên (ABCD).

Cách giải:

+) Áp dụng định lí Pytago tính SM.

 x = −1 ∉ [ 0; 4] y = x 3 − 3x 2 − 9x + 2 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x − 9 = 0 ⇔   x = 3 ∈ [ 0; 4]

1 +) V = .SM.SABCD 3

Cách giải:

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [ 0; 4] có y ( 0 ) = 2, y ( 3) = −25, y ( 4 ) = −18 ⇒ min y = −25 [0;4]

Câu 21: Đáp án B Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ SM ⊥ ( ABCD )

⇒ ( SC; ( ABCD ) ) = ( SC; MC ) = SCM = 450

⇒ ∆SMC vuông cân tại M. ⇒ SM = MC = MB2 + BC 2 = a 2 + a 2 = a 2 (tam giác SBC vuông tại B)

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh = 2π.5.7 = 70π ( cm 2 )

1 1 2 2a 3 Thể tích khối chóp S.ABCD: V = .SM.SABCD = .a 2.a.2a = 3 3 3

Câu 22: Đáp án C

Câu 25: Đáp án A

Phương pháp:

Nhận biết đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương, hàm số bậc ba.

Cách giải:

1 Thể tích khối chóp vuông SS.ABC = SA.SB.SC 6

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: đây không phải đồ thị hàm số bậc 3 ⇒ Loại bỏ phương án B và D

Cách giải:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương ⇒ Chọn phương án C.

S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau

Câu 23: Đáp án D

1 1 ⇒ S.ABC là tứ diện vuông tại đỉnh S ⇒ V = .SA.SB.SC = abc 6 6

Phương pháp: +) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện là điểm cách đều tất cả các đỉnh của tứ diện. +) Áp dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Cách giải: Tam giác ABC vuông tại B, M là trung điểm của AC ⇒ M là tâm

Câu 26: Đáp án A Phương pháp: Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai một ẩn. Giải phương trình và suy ra ẩn t. Cách giải:

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

22x −1 − 5.2 x −1 + 3 = 0 ⇔ 2.22( x −1) − 5.2 x −1 + 3 = 0

Gọi I là trung điểm của CD ⇒ IC = ID (1)

t = 1 Đặt 2x −1 = t, ( t > 0 ) . Phương trình đã cho trở thành: 2t 2 − 5t + 3 = 0 ⇔  3 ( tm ) t =  2

Ta có: IM là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ IM / /AD

 2x −1 = 1 x −1 = 0 x = 1 ⇒  x −1 3 ⇔  ⇔ 2 =  x − 1 = log 2 3 = log 2 3 − 1  x = log 2 3   2 2

1 1  Vậy tập xác định D của hàm số y = ( 3x − 1) 3 là D =  ; +∞  3 

Vậy, phương trình có tập nghiệm S = {1; log 2 3}

Phương pháp:

Câu 31: Đáp án C

Câu 27: Đáp án C

Sử dụng tính chất:

Phương pháp:

+) Hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Thay tọa độ điểm M và các hàm số.

+) Hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Cách giải:

Ta có: −1 =

+) y = x 3 − 3x = f ( x ) , ( D = R ) ⇒ ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D

2.2 − 3 2x − 3 luôn đúng ⇒ M ( 2; −1) nằm trên đồ thị hàm số y = 2−3 x −3

Ta có f ( − x ) = ( − x ) − 3 ( − x ) = − x 3 + 3x = −f ( x )

Câu 28: Đáp án C Cách giải:

⇒ Hàm số y = x 3 − 3x là hàm lẻ ⇒ Đồ thị ( C ) nhận trục O làm tâm đối xứng ⇒ A đúng

Công thức diện tích xung quanh Sxq của hình nón: Sxq = πrl

+) Cho x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm duy nhất O ( 0; 0 ) ⇒ B đúng

Câu 29: Đáp án B

x = 0 +) Xét phương trình hoành độ giao điểm x 3 − 3x = 0 ⇔ x ( x 2 − 3) = 0 ⇔  ⇒ Đồ thị ( C ) x = ± 3

Phương pháp: Phương trình

tiếp

tuyến

của

đồ thị hàm số

y = f (x)

tại

điểm

M ( x 0 ; y0 )

là

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇒ D đúng.

y = f ' ( x 0 ) . ( x − x 0 ) + y0

Câu 32: Đáp án C

Cách giải:

Phương pháp: ( a x ) ' = a x .ln a

2x + 1 3 −3 , ( D = R \ {1} ) ⇒ y ' = − ⇒ y '( 2) = = −3 2 2 x −1 x − 1 2 ( ) ( − 1)

2.2 + 1 y ( 2) = =5 2 −1

Cách giải: y = 3x ⇒ y ' = 3x ln 3 Câu 33: Đáp án A Cách giải:

Khẳng định sai là: Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.

Vậy phương trình tiếp tuyến: y = −3. ( x − 2 ) + 5 ⇔ y = −3x + 11

Câu 34: Đáp án A

Câu 30: Đáp án D

Phương pháp:

Xác định tỉ số chiều cao và tỉ số diện tích đáy của chóp I.ABCD và khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

Cho hàm số y = x

Với n ∈ Z ⇒ TXĐ : D = R +

Với n ∈ Z ⇒ TXĐ : D = R \ {0} −

Với n ∈ Z ⇒ TXĐ : D = ( 0; +∞ ) Cách giải:

Vì

1 1 ∉ Z ⇒ Hàm số xác định ⇔ 3x − 1 >⇔ x > 3 3

Cách giải:

1 1 1 V1 = .d ( I; ( ABCD ) ) .SABCD = . d ( A; ( ABCD ) ) .SABCD (do I là 3 3 2 trung điểm của AC) V 1 1 1 = .AA '.SABCD = V ⇒ k = 1 = 6 6 V 6 Câu 35: Đáp án C Phương pháp:

Dựa vào TCĐ và TCN của đồ thị hàm số.

 −3 < 0 ( luôn đúng ) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ⇔   ∆ ' ≤ 0

Cách giải:

Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 2 và TCN là y = 2 ⇒ y =

2x + 3 x−2

⇔ 22 − ( −3) . (1 − m ) ≤ 0 ⇔ 4 + 3 − 3m ≤ 0 ⇔ m ≥

Câu 36: Đáp án B

Vậy m ≥

Phương pháp:

7 3

Đưa phương trình về dạng tích sau đó giải phương trình logarit cơ bản.

Câu 39: Đáp án B

Cách giải:

Phương pháp:

ĐKXĐ: x > 0

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ]

Ta có log 2 x.log3 x + 1 = log 2 x + log3 x

Bước 1: Tính y’, giải phương trình y ' = 0 ⇒ x i ∈ [ a; b ]

⇔ log 2 x.log 3 x − log 2 x + 1 − log 3 x = 0 ⇔ log 2 x. ( log 3 x − 1) + (1 − log 3 x ) = 0

+) Bước 2: Tính các giá trị f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )

log 3 x − 1 = 0 x = 3 ⇔ ( log 3 x − 1)( log 2 x − 1) = 0 ⇔  ⇔ log x − 1 = 0 x = 2  2

+) Bước 3: max f ( x ) = max {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} ; min f ( x ) = min {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )}

Tổng lập phương các nghiệm của phương trình là: 33 + 22 = 35

Cách giải:

Câu 37: Đáp án B

Phương pháp:

[a;b]

x +1 −2 , ( D = R \ {1} ) ⇒ y ' = < 0, ∀x ∈ [ −5; −1] ⇒ Hàm số nghịch biến trên [ −5; −1] 2 x −1 ( x − 1)

2   2 2 max y = y ( −5 ) = 3 M = ⇒ [−5;−1] ⇒ 3 ⇒M+m= 3  min y = y ( −1) = 0 m = 0 [ −5;−1] Câu 40: Đáp án

+) Bước 3: max f ( x ) = max {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} ; min f ( x ) = min {f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i )} [a;b]

[a;b]

Cách giải:  x = −2 ∉ [1;5] 1. ( x 2 + 4 ) − 2x.x x y= 2 ⇒ y' = =0⇔ 2 2 x +4 ( x + 4)  x = 2 ∈ [1;5]

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ: V = Sh Cách giải:

BC = AC = a 2 ABC là tam giác vuông cân tại C, AC = a 2 ⇒  AB = AC 2 = 2a

1 1 5 1 Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [1;5] có y (1) = ; y ( 2 ) = ; y ( 5 ) = ⇒ max y = [1;5] 5 4 29 4

Đặt AA ' = BB' = CC' = h

Câu 38: Đáp án B

Tam giác ACC1 vuông tại C ⇒ AC1 = 2a 2 + h 2

Phương pháp:

Tam giác BCC1 vuông tại C ⇒ BC1 = 2a 2 + h 2

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( −∞; +∞ ) khi và chỉ khi f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) , f ' ( x ) = 0 tại hữu hạn điểm. Cách giải:

y = − x 3 + 2x 2 − ( m − 1) x + 2 ⇒ y ' = −3x 2 + 4x − m + 1

Chu vi tam giác ABC1 : 2a 2 + h 2 + 2a 2 + h 2 + 2a = 5a

9 a2 a ⇔ 2 2a 2 + h 2 = 3a ⇔ 2a 2 + h 2 = a 2 ⇔ h 2 = ⇔h= 4 4 2

2 a 1 a3 Thể tích V của khối lăng trụ ABC.A1B1C1 là V = SABC .h = . a 2 . = 2 2 2

Phương pháp: lim

Câu 41: Đáp án B

Cách giải:

(

)

Phương pháp:

x →0

ex − 1 =1 x

e2017x − 1 e 2017 x − 1 = 2017.lim = 2017.1 = 2017 x →0 x →0 x x

lim

Xét hàm số y = a x , 0 < a ≠ 1

Câu 45: Đáp án D

+) a > 1 : Hàm số đồng biến trên R.

Phương pháp:

+) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến trên R. Cách giải: x

2  2  Hàm số nào đồng biến trên R là: y =  >1  , do 3  3

 y ' ( x 0 ) = 0 Nếu  ⇒ x = x 0 là điểm cực tiểu của hàm số.  y '' ( x 0 ) > 0

Cách giải:

Câu 42: Đáp án D

y = x 4 − 4x 2 + 3 ⇒ y ' = 4x 3 − 8x; y '' = 12x 2 − 8

Phương pháp:

x = 0  x = 2    x = − 2  x = 2 ⇒ y = −1  y ' = 4x 3 − 8x = 0 y ' = 0 ⇔ ⇔  ⇔  2 y '' > 0 12x − 8 > 0   x >  x = − 2 ⇒ y = −1 3   x < − 2 3  

 y ' ( x 0 ) = 0 Nếu  ⇒ x = x 0 là điểm cực đại của hàm số.  y '' ( x 0 ) < 0

Cách giải:

2 3 5 2 x − x + 2x + 1 ⇒ y ' = 2x 2 − 5x + 2; y '' = 4x − 5 3 2

x = 2  x = 1 y ' = 0 1 35 Ta có:  ⇔  2⇔x= ⇒y= 2 24  y '' < 0  x < 5  4

 1 35  Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là: M  ;   2 24 

Câu 43: Đáp án

Câu 46: Đáp án C Phương pháp:

Giải phương trình logarit cơ bản: log a f ( x ) = b ⇒ f ( x ) = a b Cách giải: log 22 ( 2x − 1) = 3 ⇔ 2x − 1 = 23 ⇔ x = 9 Câu 47: Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng công thức đổi cơ số: log a b =

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 2, yCT = −1

Phương pháp:

log c b , ( 0 < a, b, c ≠ 1) log c a

Công thức lãi kép, không kỳ hạn: A n = M (1 + r% )

Cách giải:

Với: A n là số tiền nhận được sau tháng thứ n,

Ta có: a = log3 45 = log3 ( 32.5 ) = log 3 32 + log 3 5 = 2 + log 3 5 ⇒ log 3 5 = a − 2

M là số tiền gửi ban đầu,

log 45 5 =

log3 5 a − 2 = log 3 45 a

Câu 44: Đáp án C

n là thời gian gửi tiền (tháng), r là lãi suất định kì (%). Cách giải:

Số tiền ông A rút ra sau 5 năm đầu là: 100.1 + 8%5 ≈ 146,933 (triệu đồng)

Số tiền ông A tiếp tục gửi là: 146,933 : 2 ≈ 73, 466 (triệu đồng) Số tiền ông A nhận được sau 5 năm còn lại là: 73, 466.1 + 8%5 ≈ 107,946 (triệu đồng) Sau 10 năm ông A đã thu được số tiền lãi là: 107,946 − 73, 466 + 146,933 − 100 ≈ 81, 412 (triệu đồng) Câu 48: Đáp án B Phương pháp :

Nếu f ' ( x ) đổi dấu khi qua điểm x = x 0 ⇒ x = x 0 là điểm cực trị của hàm số. Cách giải:

f ' ( x ) đổi dấu từ - sang + tại x = 3 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 Câu 49: Đáp án A

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →+∞

x →−∞

x →a

số. Cách giải:

1 − 2x 2 , D = R \ {3} x + 6x + 9 2

lim f ( x ) = −2, lim f ( x ) = −2

x →+∞

x →−∞

lim + f ( x ) = lim − f ( x ) = −∞

x →( −3)

⇒ Hàm số có TCN là y = −2 , TCĐ x = −3 ⇒ a = −3, b = −2 ⇒ T = 2a − b = 2. ( −3) − ( −2 ) = −4

Câu 50: Đáp án B Phương pháp:

Xét từng hàm số, giải bất phương trình y ' ≥ 0 Cách giải:

y = x 3 + 1 ⇒ y ' = 3x 2 ≥ 0, ∀x ∈ R, y ' = 0 tại điểm duy nhất x = 0

⇒ Hàm số y = x 3 + 1 đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ )

ĐỀ 04

ĐỀ THI HỌC KÌ I Môn: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: Cho hàm số y =

A. 9

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

D. 4

B. 10

A. y = −9x − 26

C. 11

D. 8 2

B. y = 9x − 26

C. y = −9x − 3

D. y = 9x − 2

 π Câu 11: Với x ∈  0;  , hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là:  2

3 đồng biến trên khoảng nào? x+2 1  C.  ;1 2 

 1  D.  − ; +∞   2 

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng

A. y ' = C. y ' =

1 sin x cos x sin x

−

B. y ' =

cos x sin x

D. y ' =

cos x

1 sin x cos x sin x

1 cos x sin x cos x

Câu 12: Cho hàm số y = −2017e − x − 3e−2x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

đồ thị hàm số y = f ( x ) có mấy điểm cực trị?

A. 2

A. y ''+ 3y '+ 2y = −2017

B. y ''+ 3y '+ 2y = −3

B. 1

C. y ''+ 3y '+ 2y = 0

D. y ''+ 3y '+ 2y = 2

C. 0

Câu 13: Đồ thị hình bên là đồ thị của một trong 4 hàm số dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

D. 3

A. y = x 3 − 3x 2 − 3x − 1

Câu 4: Cho hàm số y = x 2 − 3x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số có 2 điểm cực trị.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

1 B. y = x 3 + 3x − 1 3

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 3

D. Hàm số không có cực trị.

C. y = x 3 + 3x 2 − 3x + 1

Câu 5: Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m − 3 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông.

A. m = −1

B. m ≠ 0

C. m = 2

B. x = −1

C. y = 2017

D. m = 1 2017x − 2018 x +1

D. y = −1

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = −1 và lim f ( x ) = −1 . Tìm phương trình đường tiệm x →−∞

B. y = 1

x +1 có đồ thị ( C ) . Gọi A, B ( x A > x B > 0 ) là hai điểm trên ( C ) có x −1

tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và AB = 2 5 . Tính x A − x B

A. x A − x B = 2

B. x A − x B = 4

Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x →+∞

cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 − 2017f ( x ) A. y = −2017

D. y = x 3 − 3x − 1 Câu 14: Cho hàm số y =

Câu 6: Tìm phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 2017

x 2 − 3x + 2 x − mx − m + 5 2

Câu 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 tại điểm A ( 3;1) là:

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ )

( −1; 2 )

C. 0

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ )

B. (1; +∞ )

B. 2

không có đường tiệm cận đứng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

A. ( −∞;1)

A. 1

2x − x 2 − x − 6 x 2 −1

Câu 9: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =

3x − 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? −2 + x

Câu 2: Hàm số y = ln ( x + 2 ) +

Câu 8: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

A. 0 C. y = 2017

D. y = 2019

B. 1

C. x A − x B = 2 2

D. x A − x B = 2

ln x trên đoạn [1; e] là: x C. −

1 e

D. e

Câu 16: Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 16, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng A. 64

B. 4

C. 16

D. 8

Câu 17: Cho hàm số y =

x +1 có đồ thị ( C ) . Gọi M ( x M ; y M ) là một điểm trên ( C ) sao cho tổng x −1

khoảng cách từ điểm M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Tổng x M + y M bằng A. 2 2 − 1

B. 1

C. 2 − 2 3

B. 0

D. 2 − 2 2

Câu

20:

Tìm

tất

cả

các

giá

của

tham

số

để

đồ

thị

hàm

số

y = ( m + 1) x − 2 ( 2m − 3) x + 6m + 5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x 2 , x 3 , x 4 thỏa mãn x1 < x 2 < x 2 < 1 < x 4 B. m ∈ ( −3; −1)

C. m ∈ ( −3;1)

D. m ∈ ( −4; −1)

2x + 1 tại điểm có hoành độ bằng 0 cắt hai trục tọa độ x +1

lần lượt tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng B. 3

Câu 22: Cho hàm số y =

1 2

D. D = ( 2; +∞ )

A. log a x 2 = 2 log a x

B. log a ( xy ) = log a x + log a y

C. log a ( x + y ) = log a x + log a y

D. log a ( xy ) = log a x + log a y

mx 3 + 7mx 2 + 14x − m + 2 3

nghịch biến trên nửa khoảng [1; +∞ )

14   A.  −∞; −  15  

14   B.  −∞; −  15  

 14  D.  − ; +∞   15 

14   C.  −2; −  15  

Câu 29: Cho đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình

C. 0 < b < a

D. 0 < a < b 2

B. a, b, d > 0; c < 0

C. a, c, d > 0; d < 0

D. a, d > 0; b, c < 0 B. 4

C. 6

D. 9

Câu 31: Hỏi khối đa diện đều loại {4;3} có bao nhiêu mặt ? A. 4

B. 20

C. 6

D. 12

Câu 32: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2a 2 . Gọi S là tổng diện tích tất

B. b < 0 < a

Câu 23: Tìm tổng S = 1 + 22 log

A. a, b, c < 0; d > 0

A. 3

ax + b có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm khẳng x +1

A. a < b < 0

A. S = 1008 .2017

C. D = ( −∞; 2 )

Câu 30: Số mặt phẳng đối xứng của khối lăng trụ tam giác đều là:

1 4

định đúng trong các khẳng định sau:

1 2x + 1

bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Câu 21: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =

A. 2

D. y ' =

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

5  A. m ∈  −1; −  6 

( 2x + 1) ln 2

đúng?

1  1 1  C. m ∈  − ;  \ {0} D. m ∈  −∞;  \ {0} 2  6 2  trị

C. y ' =

Câu 27: Cho a > 0, a ≠ 1 và x, y là hai số thực khác 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định

D. 2

để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.  1 1 B. m ∈  − ;   6 2

( 2x + 1) ln 2

B. D = ( −∞; 2]

A. D = ( −∞; +∞ )

Câu 19: Cho hàm số y = mx 3 − x 2 − 2x + 8m có đồ thị ( Cm ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m

 1 1 A. m ∈  − ;   6 2

B. y ' =

1− 3

C. 1

2 2x + 1

Câu 26: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 2 − x )

Câu 18: Tìm số giao điểm của đồ thị ( C ) : y = x − 3x + 2x + 2017 và đường thẳng y = 2017 A. 3

A. y ' =

cả các mặt của bát diện có các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính S.

2 + 33 log 3 2 2 + 42 log 4 2 2 + ... + 2017 2 log 2017 2 2 . 2

B. S = 1007 .2017

C. S = 1009 .2017

Câu 24: Cho hàm số y = ln x . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) B. Hàm số có tập giá trị là ( −∞; +∞ ) C. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng D. Hàm số có tập giá trị là ( 0; +∞ ) Câu 25: Tính đạo hàm của hàm số y = log 2 ( 2x + 1)

A. S = 4a 2 3 2

D. S = 1010 .2017

B. S = 8a 2

C. S = 16a 2 3

D. S = 8a 2 3

Câu 33: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. cos x = 0 ⇔ x =

π + k2π 2

C. cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

B. cos x = 1 ⇔ x = k2π D. cos x = 0 ⇔ x =

π + kπ 2

Câu 34: Giải phương trình cos 2 x + 5sin x − 4 = 0 A. x =

π + kπ 2

π B. x = − + kπ 2

C. x = k2π

D. x =

π + k2π 2

Câu 35: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình A. S = 2035153π

B. S = 1001000π

sin x = 0 trên đoạn [ 0; 2017π] . Tính S cos x + 1

C. S = 1017072π

D. S = 200200π

Câu 36: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau? A. 648

B. 1000

C. 729

màu là:

1 4

1 9

2   Câu 38: Trong khai triển đa thức P ( x ) =  x +  x  A. 60

B. 80

4 9

( x > 0 ) , hệ số của

C. 160

x 3 là:

B. d = a

D. 240

D. 300

C. d =

4a 5 5

D. d =

2a 5 5

3a 3 . Tính chiều cao h của hình hộp đã cho.

C. h = 3a

6a 7

A. 2πa 2

11 11

C. cos α =

33 11

D. cos α =

8a 7

4a 3

4a 7

B. 2πa 2 3

C. πa 2

D. πa 2 3

πa 3 3 6

πa 3 3 3

πa 3 3 2

πa 3 3 12

trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó bằng:

πa 3 3

πa 3 4

πa 3 3 2

πa 3 3 4

Câu 50: Trong các khối trụ có cùng diện tích toàn phần bằng π , gọi ( Ż ) là khối trụ có thể tích

lớn nhất, chiều cao của ( Ż ) bằng:

hộp đó bằng

B. 165cm 3

C. 140 cm 3

D. 160 cm 3

Câu 43: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) bằng

3 7 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 7

B. V = a 3

22 11

Câu 49: Cho tam giác ABC có A = 1200 , AB = AC = a . Quay tam giác ABC (bao gồm điểm

D. h = 4a

Câu 42: Diện tích ba mặt của hình hộp lần lượt bằng 20 cm , 28cm , 35cm 3 . Thể tích của hình

1 A. V = a 3 3

B. cos α =

Câu 47: Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3

A. 3

A. 165cm 3

2 22 11

khối nón là:

Câu 41: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, ABC = 60 và thể tích bằng

B. h = a

A. cos α =

Câu 48: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài 2a. Thể tích của

C. 450

A. h = 2a

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , M là trung điểm của cạnh CC’. Tính

SA = 2a . Tính khoảng cách d từ điểm B đến ( SCD ) . a 5 5

Câu 45: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A’BC đều

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và C’M.

Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ ( ABCD ) và

A. d =

D. 300

AB = 2a, AC = a, AA ' = 4 a . Gọi M là điểm thuộc cạnh AA’ sao cho MA ' = 3MA . Tính khoảng

Tính góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC).

B. 600

C. 150

Câu 46: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết

5 9

Câu 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 .

A. 750

B. 600

cosin góc α giữa hai đường thẳng AA’ và BM.

D. 720

Câu 37: Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất 2 bi được chọn có cùng

A. 450

2 C. V = a 3 3

3 D. V = a 3 2

Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 2BC và BAC = 1200 . Hình chiếu của A trên các đoạn SB, SC lần lượt là M, N. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AMN ) .

π 3

6 3

6 6

π 3 4

ĐÁP ÁN

Cực tiểu là điểm mà tại đó f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương.

1-B

2-B

3-A

4-D

5-D

6-B

7-D

8-A

9-B

10-B

11-D

12-C

13-D

14-A

15-A

16-C

17-D

18-A

19-C

20-D

21-C

22-D

23-C

24-D

25-B

26-C

27-D

28-B

29-D

30-B

31-C

32-D

33-A

34-D

35-C

36-A

37-C

38-A

39-B

40-B

41-A

42-C

43-D

44-D

45-C

46-B

47-B

48-B

49-B

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cực đại là điểm mà tại đó f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm. Cách giải:

y = x 2 − 3x . TXĐ: D = ( −∞;0] ∪ [3; +∞ ) y' =

2x − 3 2 x 2 − 3x

3 = 0 ⇔ x = ∉ D ⇒ hàm số không có cực trị. 2

Câu 5: Đáp án D

Câu 1: Đáp án B

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị. +) ∆ABC vuông ⇒ AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = 0

Cách giải:

3x − 1 3x − 1 = có TXĐ: D = R \ {2} −2 + x x − 2

Ta có y ' =

−5

( x − 2)

< 0, ∀x ∈ D suy ra hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Câu 2: Đáp án B

y = x 4 − 2mx 2 + 2m − 3 . TXĐ: D = R x = 0 y ' = 4x 3 − 4mx; y ' = 0 ⇔  2 x = m

Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ m > 0 (*)

(

) (

Phương pháp:

Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là A ( 0; 2m − 3) , B − m; − m 2 + 2m − 3 , C

Xác định khoảng trên TXĐ mà y ' ≥ 0 (dấu “=” xảy ra ở hữu hạn điểm)

AB = − m; − m 2 , AC =

Cách giải: y = ln x + 2 +

y' =

3 . TXĐ: D = ( −2; +∞ ) x+2

1 3 x −1 − = x + 2 ( x + 2 )2 ( x + 2 )2

y ' ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên (1; +∞ ) Câu 3: Đáp án A Phương pháp:

(

)

(

m; − m 2

m; − m 2 + 2m − 3

)

Dễ thấy: Tam giác ABC cân tại A m = 0 Yêu cầu bài toán ⇔ AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = 0 ⇔ − m + m 4 = 0 ⇔ m ( m3 − 1) = 0 ⇔  m = 1

So với điều kiện (*) suy ra m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 6: Đáp án B Phương pháp:

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x )

Dựa vào đồ thị hàm số.

Nếu lim+ f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm

Cách giải:

số.

Dựa vào đồ thị, trên khoảng ( −1;3) , đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị lần lượt là ( 0; 4 ) , ( 2; 0 )

Cách giải:

Câu 4: Đáp án D

Ta có: lim− y = +∞ và lim+ y = −∞ nên x = −1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .

Phương pháp:

Câu 7: Đáp án D

- TXĐ

Phương pháp:

- Tính f ' ( x ) , đánh giá dấu của f ' ( x ) và chỉ ra cực đại, cực tiểu của hàm số y = f ( x )

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x )

x →a

x →−1

x →a

x →−1

Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →+∞

x →−∞

Cách giải:

 lim y = lim y ( 2 − 2017f ( x ) ) = 2 − 2017. ( −1) = 2019  x →−∞ x →−∞ Ta có:  = lim y lim y ( 2 − 2017f ( x ) ) = 2 − 2017. ( −1) = 2019  x →+∞ x →+∞

Thay ngược lại khi m = 3 ta có: y = Vậy m ∈ {−6; −5;...; 2;3}

Câu 10: Đáp án B Phương pháp:

Nên y = 2019 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 − 2017f ( x )

Phương trình tiếp

Câu 8: Đáp án A

y = f ' ( x 0 )( x − x 0 ) + y0

Phương pháp:

Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số.

y = f (x)

tại điểm

M ( x0; y 0 )

x →−∞

Ta có: y ' = 3x 2 − 6x ⇒ y ' ( 3) = 9 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9 ( x − 3) + 1 ⇔ y = 9x − 26

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x )

Câu 11: Đáp án D

Nếu lim+ f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm

Phương pháp:

số.

Đạo hàm:

x →a

tuyến của đồ thị hàm số

Cách giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) x →+∞

x 2 − 3x + 2 = 1 ⇒ Hàm số không có tiệm cận ⇒ m = 3 ( tm ) x 2 − 3x + 1

x →a

Cách giải:

(

TXĐ: D = ( −∞; −2] ∪ [3; +∞ )

Cách giải:

Do lim y = 0 nên đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

y' =

x →±

)

u (x) ' =

( u ( x )) ' 2 u (x)

2 ( sin x ) ' 2 ( cos x ) ' cos x sin x − = + 2 sin x 2 cos x sin x cos x

x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 ∉ D ⇒ Đồ thị hàm số không có TCĐ.

Câu 12: Đáp án C

Vậy, số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 1.

Phương pháp:

Câu 9: Đáp án B

Tính các đạo hàm y’ y’’ sau đó thay vào biểu thức y ''+ 3y '+ 2y rồi rút gọn.

Phương pháp:

Cách giải:

y = −2017e − x − 3e −2x ⇒ y ' = 2017e− x + 6e −2x , y '' = −2017e − x − 12e−2x

Xét các trường hợp sau: TH1: Phương trình x 2 − mx − m + 5 = 0 vô nghiệm

Ta có: y ''+ 3y '+ 2y = −2017e− x − 12e −2x + 3 ( 2017e − x + 6e −2x ) + 2 ( −2017e − x − 3e −2x ) = 0

⇔ ∆ < 0 ⇔ m 2 + 4m − 20 < 0 ⇔ −2 − 2 6 < m < −2 + 2 6

Câu 13: Đáp án D Phương pháp:

Do m ∈ Z nên m ∈ {−6; −5;...; 2}

Nhận biết đồ thị hàm số bậc ba.

TH2: Phương trình x 2 − mx − m + 5 = 0 có nghiệm trùng với nghiệm của tử số:

x = 1 Phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  x = 2 Nếu x = 1 là nghiệm của mẫu ⇒ 1 − m − m + 5 = 0 ⇔ −2m + 6 = 0 ⇔ m = 3 Thay ngược lại khi m = 3 ta có: y =

x 2 − 3x + 2 = 1 ⇒ Hàm số không có tiệm cận ⇒ m = 3 ( tm ) x 2 − 3x + 1

Nếu x = 2 là nghiệm của mẫu ⇒ 4 − 2m − m + 5 = 0 ⇔ −3m + 9 = 0 ⇔ m = 3

Cách giải: Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0; −1) nên loại đáp án C 1 Xét hàm số y = x 3 + 3x − 1 có y ' = x 2 + 3 > 0, ∀x . Hàm số luôn đồng biến trên R nên loại B 3 Xét hàm số y = x 3 − 3x 2 − 3x − 1 có y ' = 3x 2 − 6x − 3, y ' = 0 ⇔ x = 1 ± 2 Hàm số đạt cực trị tại 2 điểm x = 1 ± 2 , nên loại A.

là

Câu 14: Đáp án A Phương pháp:

x A + x B = 2 TH2: a = 0 ⇒  ⇒ x A , x B là nghiệm của phương trình X 2 − 2X = 0 x x = 0  A B

+) Gọi A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B )

Suy ra ( x A , x B ) = ( 30; 2 ) ⇒ x A − x B = −2 < 0 hoặc ( x A , x B ) = ( 2; 0 ) ⇒ x A − x B = 2

+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và B song song ⇒ y ' ( x A ) = y ' ( x B )

Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án A.

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AB =

( x B − x A ) + ( yB − yA )

Câu 15: Đáp án A

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ]

Cách giải: y=

+) Bước 1: Tính y’, giải phương trình y ' = 0 ⇒ x i ∈ [ a; b ]

x + 1 x −1 + 2 2 = = 1+ x −1 x −1 x −1

Ta có: TXĐ: D = R \ {1} và y ' =

+) Bước 2: Tính các giá trị f ( a ) ; f ( b ) ; f ( x i ) −2

( x − 1)

+) Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở Bước 2 và kết luận

Cách giải:

Gọi A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) ( x A ≠ x B ) Theo giả thiết y ' ( x A ) = y ' ( x B ) ⇔

−2

( x A − 1)

−2

( x B − 1)

x = xB ( L) ⇔ A xA + xB = 2

(xB − xA )

AB =

 2 2  + 1 + −1 −  = x − 1 x  B A − 1

⇒ AB = 20 ⇔ ( x B − x A )

1 .x − ln x ln x 1 − ln x ⇒ y' = x 2 = y= , y ' = 0 ⇔ 1 − ln x = 0 ⇔ x = e ∈ [1;e ] x x x2

( xB − xA )

 2(xA − xB )  +   ( x A − 1)( x B − 1) 

  4 = 20 1 + 2   ( x A x B − x A − x B + 1) 

  4 2 ⇒ ( x B − x A ) 1 + = 20 , với x A + x B = 2 2  ( x A x B − 2 + 1)  ⇒

(( xB − xA )

  4 − 4x A x B 1 + = 20 (*) 2   ( x A x B − 1) 

)

Ta có: y (1) = 0, y ( e ) =

1 ⇒ min y = 0 [1;e] e

Câu 16: Đáp án C Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô si, đánh giá GTLN của diện tích hình chữ nhật thông qua độ dài cạnh của hình chữ nhật đó. Cách giải:

Gọi x ( 0 < x < 8) là một cạnh của hình chữ nhật, suy ra cạnh còn lại: 8 − x 2

x +8− x Diện tích của hình chữ nhật: S = x ( 8 − x ) ≤   ⇔ S ≤ 16 2 

Đặt x A x B = a

Do đó Smax = 16 ⇔ x = 8 − x ⇔ x = 4

Phương trình (*) tương đương

Câu 17: Đáp án D



( 4 − 4a ) 1 + 

⇔ 4 (1 − a )

 16 = 20  = 20 ⇔ 4 (1 − a ) + 2 1− a ( a − 1)  4

1 − a = 4 a = −3 − 20 (1 − a ) + 16 = 0 ⇔  ⇔ 1 − a = 1 a = 0

x + x B = 2 TH1: a = −3 ⇒  A ⇒ x A , x B là nghiệm của phương trình X 2 − 2X − 3 = 0  x A x B = −2 Suy ra ( x A , x B ) = ( 3; −1) ⇒ x A − x B = 4 hoặc ( x A , x B ) = ( −1;3) ⇒ x A − x B = −4

Phương pháp:

+) Tính khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ. +) Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN. Cách giải:

TXĐ: D = R \ {1} M ( x M ; y M ) ∈ ( C ) ⇒ yM =

 xM +1 x +1  ⇒ M  xM; M  x M −1 xM −1  

Đặt d ( M ) = d ( M; Oy ) + d ( M; Oy ) = x M +

mx 3 − x 2 − 2x + 8m ⇔ ( x + 2 ) ( mx 2 ( 2m − 1) x − 4m ) = 0

xM +1 xM −1

Nhận xét: Với M ( 0;1) thì ta có: d ( M ) = 1 . Do đó, để tìm GTNN của d ( M ) ta chỉ cần xét khi

x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ x ≤ 1

Do đó ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác –2

* Nếu 0 ≤ x < 1 thì d ( M ) = g ( x ) = x − Ta

có:

g '( x ) = 1+

( x − 1)

x +1 x −1

> 0, ∀x ∈ [ 0;1) ⇒ g ( x )

nghịch

biến

trên

[0;1)

đó

min g ( x ) = g ( 0 ) = 1 [0;1)

* Nếu −1 ≤ x ≤ 0 thì d ( M ) = g ( x ) = − x − Ta có: g ' ( x ) = −1 +

( x − 1)

Phương pháp:

 x = 1 + 2 ∉ [ −1;0] ⇒ g(x) = 0 ⇔   x = 1 − 2 ∈ [ −1;0]

(

  m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0    1 1 2   ⇔ ∆ = ( 2m + 1) − 16m 2 > 0 ⇔ −12m 2 + 4m + 1 > 0 ⇔ − < m < ⇔  1 1 2    6 − 6 < m < 2 1 g − 2 = 2m + 1 ≠ 0 ( )  1 m ≠ −   2  m ≠ − 2

Câu 20: Đáp án D

x +1 x −1

Đặt t = x 2 , t ≥ 0 , tìm m để phương trình ( m + 1) t 2 − 2 ( 2m − 3) + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t 2

Cách giải:

)

Ta có: g ( 0 ) = 1, g ( −1) = 1, g 1 − 2 = 2 2 − 2

Phương trình hoành độ giao điểm: ( m + 1) x 4 − 2 ( 2m − 3) x 2 + 6m + 5 = 0 (1)

)

min g ( x ) = g 1 − 2 = 2 2 − 2 [0;1)

 x = −2 ⇔ 2 g ( x ) = mx − ( 2m + 1) x − 4m = 0

Đặt t = x 2 , t ≥ 0 , phương trình trở thành: ( m + 1) t 2 − 2 ( 2m − 3) + 6m + 5 = 0 ( 2 )

(

)

Do đó M ( x M ; y M ) thỏa mãn đề bài là: M 1 − 2;1 − 2 suy ra: x M + y M = 2 − 2

Phương trình (1) có 4 nghiệm thỏa mãn x1 < x 2 < x 3 < 1 < x 4 khi và chỉ khi phương trình (2) có

Câu 18: Đáp án A

0 < t1 < t 2 0 < t1 < t 2 hai nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t 2 ⇔  ⇔ ( t1 − 1)( t 2 − 1) < 0  t1t 2 − ( t1 + t 2 ) + 1 < 0

Phương pháp: Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng y = 2017

Đếm số nghiệm của phương trình, từ đó kết luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số trên (số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số).

Cách giải:

x = 0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3x 2 + 2x + 2017 = 2017 ⇔ x 3 − 3x 2 + 2x = 0 ⇔  x = 1  x = 2 Do đó, giữa đường thẳng và ( C ) có 3 điểm chung. Câu 19: Đáp án C Phương pháp:

Tìm m để phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt. Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

    + ≠ m 1 0   m ≠ −1  2  2 ∆ = − − + + > ' 2m 3 m 1 6m 5 0 ( ) ( )( )  ∆ ' = −2m − 23m + 4 > 0   2 ( 2m − 3) 2 ( 2m − 3)  ⇔ S = >0 ⇔ S = >0 m 1 m +1 +   6m + 5 6m + 5   P = m + 1 > 0 P = m + 1 > 0    6m + 5 2 ( 2m − 3)  3m + 12 < 0 1 0 − + <  m + 1  m +1  m +1

Vậy b > a > 0

 m ≠ 1   −23 − 561 −23 − 561 <m<  4 4   3  m> ⇔  2   m < −1  5   m > − 6   m < −1 −4 < m < −1 

Câu 23: Đáp án Phương pháp: 1 log a c = b = log a b, log a b c = c log a b (Giả sử các biểu thức là có nghĩa). c

Cách giải: Ta có:

S = 1 + 22 log

2 + 33 log 3 2 2 + 42 log 4 2 2 + ... + 2017 2 log 2017 2 2

= 1 + 22.2.log 2 2 + 32.3.log 2 2 + 42.4.log 2 2 + ... + 2017 2.2017.log 2 2 = 1 + 23 + 33 + 43 + ... + 20173

Câu 21: Đáp án C Phương pháp:

Bằng quy nạp, ta chứng minh được: 1 + 23 + 33 + 42 + ... + n 3 =

- Viết phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 0. - Xác định tọa độ 2 điểm A và B

Áp dụng với n = 2017 , ta có: S = 1 + 23 + 33 + 43 + ... + 20173 =

- Tính diện tích tam giác OAB.

Cách giải:

Câu 24: Đáp án D

TXĐ: D = R \ {−1}

Phương pháp:

Ta có: y =

Dựa vào đồ thị hàm số y = ln x để đánh giá.

2x + 1 1 ⇒ y' = 2 x +1 ( x + 1)

Cách giải: Đồ thị hàm số y = ln x có dạng :

Với x 0 = 0 , ta có y ( 0 ) = 1, y ' ( 0 ) = 1

2x + 1 tại điểm Vậy, phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y = x +1 y = 1( x − 0 ) + 1 ⇔ y = x + 1 d cắt Ox tại điểm A ( −1;0 ) , d cắt Oy tại điểm B ( 0;1) ⇒ OA = 1; OB = 1

1 1 1 SAOB = OA.OB = .1.1 = 2 2 2

Qua đồ thị ta thấy, các khẳng định A, B, C đúng.

( 0;1)

là:

1 Ta có: ln = ln e−1 = −1 < 0 , nên khẳng định D sai. e

Câu 25: Đáp án B Phương pháp: y = log a f ( x ) ⇒ y ' =

Câu 22: Đáp án D

Cách giải: y = log 2 ( 2x + 1) ⇒ y ' =

Phương pháp:

Câu 26: Đáp án

Dựa vào TCN của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Phương pháp:

Cách giải: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = a . Theo hình vẽ, ta có: a > 0  b  Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A  − ;0   a  Theo hình vẽ, ta có: −

b b b−a < −1 ⇔ > 1 ⇒ > 0 . Mà a > 0 ⇒ b − a > 0 ⇔ b > a a a a

n 2 ( n + 1)

(f ( x )) ' f ( x ) .ln a

( 2x + 1) ' = 2 + + 2x 1 ln 2 2x ( ) ( 1) ln 2

Hàm số lũy thừa y = x α - Nếu α là số nguyên dương thì TXĐ: D = R - Nếu α là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ: D = R \ {0} - Nếu α là số không nguyên thì TXĐ: D = ( 0; +∞ )

Cách giải:

, ∀n ∈ N *

2017 2.20192 = 10092.2017 2 4

1− 3

Hàm số y = ( 2 − x )

là hàm lũy thừa, có số mũ 1 − 3 ∉ Z nên xác định ⇔ 2 − x > 0 ⇔ x < 2

Theo đồ thị thì hàm số có hai điểm cực trị trái dấu ⇒ ac < 0 ⇒ c < 0

Vậy TXĐ là D = ( −∞; 2 )

y '' = 6ax + 2b = 0 ⇒ x = −

Câu 27: Đáp án D

Do đó, đáp án đúng là D.

Phương pháp: log a ( xy ) = log a x + log a y, ( x, y > 0; a > 0, a ≠ 1)

Câu 30: Đáp án B

Cách giải: log a ( xy ) = log a x + log a y

Cách giải:

Ta có các mặt đối xứng của khối lăng trụ tam giác đều là các mặt phẳng trung trực của các đoạn

Câu 28: Đáp án B

thẳng AB, BC, CA, AA’.

Phương pháp:

Câu 31: Đáp án C

Tìm m để y ' ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞ )

Cách giải:

Khối đa diện đều loại {4;3} chính là khối lập phương, nên có 6 mặt.

TXĐ: D = R

Câu 32: Đáp án D

y ' = mx 2 + 14mx + 14

+) Tính cạnh của hình bát diện đều.

Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng (1; +∞ ] ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) 2

+) Tính diện tích một mặt của bát diện đều, sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a

⇔ mx + 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔ mx + 14mx ≤ −14, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔ m ( x 2 + 14x ) ≤ −14, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔ m ≤

−14 , ∀x ∈ [1; +∞ ) x 2 + 14x

Xét hàm số f ( x ) =

28 ( x + 7 )

+ 14x )

là S =

a2 3 4

+) Bát diện đều là đa diện đều có 8 mặt là tam giác đều. Cách giải:

(Do x 2 + 14x > 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) )

f '( x ) =

b b . Đồ thị có điểm uốn có hoành độ dương suy ra x = − > 0 ⇒ b < 0 3a 3a

−14 , x ∈ [1; +∞ ) x 2 + 14x

> 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇒ Hàm số đồng biến trên [1; +∞ )

+∞ 0

f (x)

−

Vậy với m ≤ −

14 15

14 thì hàm số nghịch biến trên nửa khoảng [1; +∞ ) 15

Câu 29: Đáp án D Phương pháp:

Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba.

Gọi E, F, I, J, M, N lần lượt là tâm của sáu mặt của hình lập phương (như hình vẽ), khi đó: E, F, I, J, M, N là đỉnh của một bát diện đều. Thật vậy, xét tứ diện đều ACB’D’ khi đó E, F, I, J, M, N là trung điểm của các cạnh của tứ diện nên mỗi mặt của bát diện là những

tam giác đều bằng nhau có cạnh bằng

AC 2

Cách giải:

Ta thấy: lim y = +∞ ⇒ a > 0 ⇒ Loại đáp án A. x →+∞

Ta có: y ' = 3ax 2 + 2bx + c

Mà AC là đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2a 2 suy ra AC = 4a suy ra cạnh của hình bát diện đều là 2a.

Suy ra diện tích một mặt S∆IEF =

( 2a )

Cách giải:

= a2 3

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau lập từ 0; 1; 2;…; 9 (kể cả bắt đầu từ chữ số 0) là

Vậy tổng S = 8a 2 3

3 số. A10

Câu 33: Đáp án A

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau lập từ 0; 1; 2; …; 9 (Bắt đầu bằng chữ số 0) là

Phương pháp:

A 39 số.

Sử dụng công thức nghiệm của những phương trình lượng giác có góc đặc biệt. Cách giải: cos x = 0 ⇔ a =

π + kπ ⇒ Đáp án A sai. 2

3 Vậy số các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau là: A10 − A 93 = 648 (số)

Câu 37: Đáp án C Phương pháp:

Câu 34: Đáp án d Phương pháp:

Xác suất của biến cố A: P ( A ) =

Đưa về phương trình bậc hai ẩn . sin x

n (A) n (Ω)

Cách giải:

cos 2 x + 5sin x = 4 = 0 ⇔ 1 − 2sin 2 x + 5sin x − 4 = 0

Chọn 2 bi bất kì từ 9 bi ta có: n ( Ω ) = C92 = 36

sin x = 1 π  ⇔ −2sin x + 5sin x − 3 = 0 ⇔  ⇔ x = + k2π, k ∈ Z 3 2 sin x = 2 ( vô nghiem )

Gọi A là biến cố hai bi được chọn cùng màu, ta có: n ( A ) = C 24 + C52 = 16

Câu 35: Đáp án C

Vậy, xác suất của biến cố A là: P ( A ) =

n ( A ) 16 4 = = n ( Ω ) 36 9

Câu 38: Đáp án A

Phương pháp :

Phương pháp:

+) Giải phương trình lượng giác.

Áp dụng Công thức khai triển nhị thức Newton: ( x + y ) = ∑ Cin x i .y n −i n

+) Xác định các nghiệm thuộc [ 0; 2017π]

i =0

+) Tính tổng các nghiệm vừa xác định được.

Cách giải:

Cách giải: cos 2 = 1 sin x = 0 sin x Ta có: =0⇔ ⇔ ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z cos x + 1 cos x ≠ −1 cos x ≠ −1

2017 Vì x ∈ [ 0; 2017 π] ⇔ 0 ≤ x ≤ 2017π ⇒ 0 ≤ k2π ≤ 2017π ⇔ 0 ≤ k ≤ = 1008, 5 2

3k 6−  2  k k 2 Số hạng tổng quát trong khai triển là: T = C 6k x 6 − k   = 2 C6 x  x

Để có số hạng chứa x 3 khi 6 −

3k =3⇔k =2 2

Vậy hệ số của x 3 trong khai triển trên là: 22 C 26 = 60

Vậy k ∈ {0;1; 2;..;1008} , do đó ta được 1009 nghiệm là:

Câu 39: Đáp án B

x 0 = 0, x1 = 1.2π, x 2 = 2.2π,..., x1007 = 1007.2π, x1008 = 1008.2π

Phương pháp:

Tổng các nghiệm là:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

S = 0 + 1.2π + 2.2π + ... + 1007.2π + 1008.2π = 2π (1 + 2 + 3 + ... + 1008 ) = 2π.

1008.1009 = 1017072π 2

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Câu 36: Đáp án A

Cách giải:

Phương pháp:

Vì SA ⊥ ( ABC ) nên hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng

+) Tính các số có 3 chữ số đôi một khác nhau (Kể cả chữ số 0 đứng đầu). +) Tính các số có 3 chữ số đôi một khác nhau (Bắt đầu bằng chữ số 0).

(ABC) là AB. Khi đó góc giữa đường thẳng SB với mặt (ABC) là SAB

Câu 43: Đáp án D

Trong tam giác vuông SBA có

tan SBA =

Phương pháp:

SA a 3 = = 3 ⇒ SBA = 600 AB a

+) Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Vậy góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC) là: 60

+) Sử dụng công thức đổi điểm, chứng minh d (; ( SCD ) ) = d ( B; ( SCD ) )

Câu 40: Đáp án D

+) Dựng khoảng cách từ H đến ( SCD )

Phương pháp: Chuyển tính khoảng cách từ B đến ( SCD ) sang tính khoảng cách từ A đến ( SCD )

+) Đặt cạnh đáy bằng x. Tính x theo a.

Cách giải:

1 +) Áp dụng công thức tính thể tích V = SH.SABCD 3

CD ⊥ AD Gọi H là hình chiếu của A trên SD ta có:  ⇒ CD ⊥ ( SAD ) CD ⊥ SA

Cách giải:

Mà AH ⊂ ( SAD ) ⇒ AH ⊥ CD

Vì d ( B; ( SCD ) ) = d ( H; ( SCD ) ) =

AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH  AH ⊥ SD

Tam giác SAC vuông tại A, AH ⊥ SC

1 1 1 SA.AD = + ⇔ AH = = AH 2 SA 2 AD 2 SA 2 + AD 2

⇒ d ( B, ( SCD ) ) = AH =

2a.a 2

4a + a

Kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ CD ⇒ HK ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( H; ( SCD ) ) = HK =

2a 5 5

Gọi x là độ dài cạnh đáy. Khi đó, do ∆SAB cạnh x nên SH =

2a 5 5

⇒

Câu 41: Đáp án A Phương pháp: V = Bh ⇒ h =

V B

Do đáy là hình thoi cạnh a, ABC = 600 nên diện tích đáy là: B = 2.

a2 3 a2 3 = 4 2

V a3 3 = = 2a B a2 3 2

Câu 44: Đáp án D Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) - Tìm giao tuyến ∆ của ( α ) , ( β ) . - Xác định 1 mặt phẳng ( γ ) ⊥ ∆

Phương pháp:

- Tìm các giao tuyến a = ( α ) ∩ ( γ ) , b = ( β ) ∩ ( γ )

Thể tích của hình hộp: V = abc

- Góc giữa hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) : ( ( α ) ; ( β ) ) = ( a; b )

Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật, theo giả thiết có: ab = 20, bc = 28, ac = 35 Mà V = abc = ab.bc.ac = 20.28.35 = 140 ( cm 3 )

x 3 , HM = x 2

3a 1 3a 3 ⇒ VS.ABCD = .SH.VABCD = 2 3 2

Câu 42: Đáp án C

Cách giải:

3 7a 7

1 1 1 7 4 1 7 = + ⇔ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒x=a 3 HK 2 SH 2 HM 2 9a 3x x 3x

Vậy SABCD = 3a 2 , SH =

Cách giải:

Thể tích của khối hộp là V = Bh ⇒ h =

3 7a 7

CD ⊥ SH Gọi M là trung điểm của CD ta có:  ⇒ CD ⊥ ( SHM ) CD ⊥ HM

Vì AB / /CD ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = AH

⇒

Vì ∆SAB đều, gọi H là trung điểm của AB, từ giả thiết ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Cách giải: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , D là điểm đối xứng của A qua O

11a 2 3a 2 + − a2 BM 2 + CM 2 − BC 2 33 8 8 = = Xét ∆BMC có cos BMC = 2.BM.CM 11 a 22 a 6 2. . 4 4

 AB ⊥ BD Ta có:  ⇒ BD ⊥ ( SAB ) ⇒ BD ⊥ AM SA ⊥ BD Mà AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ ( SAB ) ⇒ AM ⊥ SD Tương tự AN ⊥ SD

Câu 46: Đáp án B

Vậy SD ⊥ ( AMN ) , mà SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ( ( AMN ) ; ( ABC ) ) = ( SA; AD ) = ASD vì ∆SAD vuông

Cách giải: Gọi I = B 'M ∩ BA ' , ta có:

tại A. Ta có: tan ASD =

 BC / /B 'C ' ⇒ BC / / ( MB 'C ' )   BC ⊄ ( MB 'C ' )

AD SA

Mà AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên AD = Vậy tan ASD =

BC 2BC SA = = sin1200 3 3

1 ⇒ ASD = 300 3

Mà hai tam giác IMA’ và IB’B đồng dạng, nên: IA ' MA ' 3 3 4 = = ⇒ IA ' = IB ⇒ d ( B; ( MB 'C ' ) ) = d ( A '; ( MB 'C ' ) ) IB BB ' 4 4 3

Câu 45: Đáp án C

Dựng A ' K ⊥ B 'C ' tại K, A ' H ⊥ MK tại H, ta có:

Phương pháp:

 B 'C ' ⊥ A ' K ⇒ B 'C ' ⊥ ( MA ' K ) ⇒ A ' H ⊥ B 'C '   B 'C ' ⊥ MA '

+) Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) +) Xác định góc giữa AA’ và BM.

Mà A ' H ⊥ MK ⇒ A ' H ⊥ ( MB 'C ') ⇒ d ( A '; ( MB 'C ') ) = A ' H

+) Áp dụng định lí Cosin trong tam giác.

Xét tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có:

Cách giải: Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) Ta có A ' H = AH =

⇒ d ( BC; C ' M ) = d ( BC; ( MB 'C ' ) ) = d ( B; MB 'C ')

a 3 a 6 nên AA ' = 2 2

Xét tam giác MA’K vuông tại A’ có:

Do AA '/ / CC' nên ( AA '; BM ) = ( CC '; BM ) . Ta tính góc BMC Vì M là trung điểm của CC’ nên CM =

Vậy d ( BC;C ' M ) =

1 1 a 6 CC ' = AA ' = 2 2 4

Gọi N là giao điểm của A’M với AC. Do CM / /AA ', CM =

1 1 1 1 1 5 = + = + = A ' K 2 A ' B '2 A 'C '2 4a 2 a 2 4a 2 1 1 1 5 1 49 6a = + = + = ⇒ A 'H = A ' H 2 A ' K 2 A ' M 2 4a 2 9a 2 36a 2 7

4 4 6a 8a A 'H = . = 3 3 7 7

Câu 47: Đáp án B

1 AA ' nên CM là đường trung bình 2

Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πRl = 2πRh

Cách giải:

∆AA 'N ⇒ là trung điểm của AN. C

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πRl = 2πRh = 2π.a.a 3 = 2 3πa 2 Ta có: A 'C = AC = CN nên AA 'N vuông tại A’, AN = 2a, AA ' =

a 6 a 10 ⇒ A'N = 2 2

Tương tự ∆ABN vuông tại B, AB = a, AN = 2a ⇒ BN = a 3 Xét ∆A ' BN có A ' B = a, BN = a 3, A ' N = BM 2 =

a 10 , BM là trung tuyến nên 2

BN 2 + A ' B2 A ' N 2 3a 2 + a 2 5a 2 11a 2 a 22 − = − = ⇒ BN = 2 4 2 8 8 4

Câu 48: Đáp án B Phương pháp: 1 Thể tích khối nón: V = πR 2 h 3

Cách giải: Giả sử hình nón có đỉnh S, tâm đáy là O, thiết diện qua trục là SAB. Ta có: tam giác SAB đều cạnh 2a ⇒ R = a Tam giác SOA vuông tại O có: h = SO = SA 2 − AO 2 = 3a

Bảng biến thiên:

1 1 3πa 3 Thể tích khối nón là: V = πR 2 h = . 3a.πa 2 = 3 3 3

Câu 49: Đáp án B Phương pháp:

g '( R )

6 6

0 +

2 2 -

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích V1 thể tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi V2 thể tích khối nón nhỏ có đỉnh

g (R )

A và thiết diện qua trục là ADC.

Cách giải:

Vậy, thể tích khối trụ lớn nhất khi R =

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích V1 thể tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi V2 thể tích khối nón nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục là ADC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hai khối nón Xét tam giác AOC vuông tại O, có: sin 600 =

cos 600 =

OC 3 ⇒ OAC sin 600 = a AC 2

AO a 3 ⇒ OA = AC cos 600 = ⇒ OB = a AC 2 2 2

1 1 1 1  3  πa 3 V = V1 − V2 = BO.π, OC 2 − OA.πOC 2 = πOC 2 ( BO − OA ) = π.  a  a = 3 3 3 3  2  4

Câu 50: Đáp án B Phương pháp: Xét hàm số, tìm GTLN.

Cách giải: Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = 2πRh + 2πR 2 = π ⇒ h = Do h > 0 ⇒ 1 − 2R 2 > 0 ⇔ R 2 <

1 2 ⇔0<R < 2 2

Thể tích khối trụ: V = πR 2 h = πR 2 . Xét hàm số g ( R ) =

Ta có: g ' ( R ) =

1 − 2R 2 2R

3 1 − 2R 2 π ( R − 2R ) = 2R 2

  π ( R − 2R 3 ) trên  0; 22  2  

π (1 − 6R 2 ) , g ' ( R ) = 0 ⇔ R = 66 ( do R > 0 ) 2

6 6 ⇒h= 6 3

ĐỀ 05

ĐỀ THI HỌC KÌ I

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;0 )

Môn: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: Cho hàm số y =

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ )

1  D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; +∞  2 

Câu 2: Cho lăng trụ tứ giác đều có cạnh bằng a và cạnh bên bằng 2a. Diện tích xung quanh của

A. 3

256π 3

64π 2 3

B. 4

D. 4

A. P = a 3

B. P = a 9

C. P = a 3

e Câu 7: Bất phương trình   2

C. 3 e ≤  2

C. 5

D. 4

B. y ' = e. ( e x −1 + x e −1 ) C. y ' = x. ( x e−1 + e x −1 ) D. y ' = e.ln x + x

B. –2

C. 1

D. – 1

D. 4

1 2

A. 2πa 2

có nghiệm là

C. x ≤ −4

x − 3x + 3 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x −1

B. – 3

21 2

D. 0

Câu 16: Diện tích toàn phần của hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a bằng B.

3πa 2 2

C. πa 2

πa 2 2

Câu 17: Cho khối chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC cùng độ dài bằng a và vuông góc với nhau

từng đôi một. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

D. x ≥ −4

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định

nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

B. 3

A. y ' = x e .ln x + e x

A. −

D. P = a 2

2x + 3

B. x < −4

D. 5

 1 hàm số trên đoạn  −1;  . Tính tích M.m.  2

Câu 6: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − 4x + 1 và đường thẳng y = x + 1 bằng:

x −1

C. 1

Câu 12: Một hình đa diện có ít nhất bao nhiêu đỉnh?

Câu 15: Cho hàm số y =

Câu 5: Cho P = 3 a.a , a > 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. x > −4

A. 3

C. 2

B. 2

D. A = 1 − 2a

1  Câu 11: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 1  x 2 − 2 x + 3  với trục hoành là 3 

A. 2

1 3

A. 1

C. A = 1 + 2a

Câu 14: Hàm số y = x 3 − 3x có giá trị cực đại bằng

2x + 1 có bao nhiêu tiệm cận? 4 − x2 B. 1

B. A = 4 − 2a

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số y = x + e

D. 4a 2

32π 3

a 2 + log 1 4a , a > 0, a ≠ 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 3: Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh 2 2 bằng

Câu 4: Đồ thị hàm số y =

A. A = 4 + 2a

A. 6

hình lăng trụ đã cho bằng

C. 8a 2

2 3 D. S =  ;  3 2

1  B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; +∞  2 

B. 9a 2

2  C. S =  ;3  3 

3  B. S =  −∞;  2 

Câu 10: Cho biểu thức A = log

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ )

A. 8π 6

3  A. S =  ; 4  2 

2x − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng? x −2

A. 10a 2

Câu 9: Tập nghiệm S của bất phương trình log 1 ( 3x − 2 ) > log 1 ( 4 − x ) là

a3 6

B. a 3

a3 2

a3 3

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ

( −1; +∞ )

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; +∞ ) Trang 1

Trang 2

x y’

−∞

1 0

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) là:

+∞ +∞

A. y =

-1

−∞ Khẳng định nào sau đây đúng?

C. y = − x 3 + 3x 2

A. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

A. x = 1, y = −1

C. Hàm số y = f ( x ) chỉ có một cực trị.

C. 2a

a3 2 D. 3

Câu 20: Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Xét điểm M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Hỏi điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau? A. Mặt trụ.

B. Mặt nón.

C. Mặt cầu.

C. 2

B. (1; +∞ )

Câu 28: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4x − 3.2 x +1 + 8 = 0 B. 1 − log 2 3

C. 3

D. 6

B. y = x + 2 − 2

C. y =

x−2 x +1

D. y = 2x − 2

C. {5;3}

D. Vô số

D. {3;5}

Câu 23: Hàm số y = x 2 − x nghịch biến trên khoảng A. ( −∞; 0 )

1  C.  −∞;  2 

Câu 31: Cho mặt nón có chiều cao h = 6 , bán kính đáy r = 3 . Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ D. ( 0;1)

đặt trong mặt nón sao cho trục của mặt nón đi qua tâm hai đáy của hình lập phương, một đáy của hình lập phương nằm trong cùng một mặt phẳng đáy của hình trụ, các đỉnh của đáy còn lại thuộc

Câu 24: Cho hàm số y = log 2 x . Xét các phát biểu

các đường sinh của hình nón. Độ dài đường chéo của hình lập phương bằng

(1) Hàm số y = log 2 x đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

A. 3 3

(2) Hàm số y = log 2 x có một điểm cực tiểu.

3 6 2

C. 6 3

(

)

2 −1

(3) Đồ thị hàm số y = log 2 x có tiệm cận.

Câu 32: B ạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt là

Số phát biểu đúng là

hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng

A. 0

B. 1

16π 2 3

B. {4;3}

có bao nhiêu nghiệm thực?

B. 3

D. Khối nón có thể tích bằng

A. {3; 4}

D. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

A. 1

C. Khối nón có độ dài đường sinh bằng 4.

Câu 30: Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại

C. Phương trình có hai nghiệm âm.

D. x = 1, y = 2

B. Khối nón có diện tích xung quanh bằng 16π 2

A. y = x 3 − 10

B. Phương trình vô nghiệm.

1 C. x = − , y = 1 2

Câu 29: Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0; 2] bằng –2 ?

A. Phương trình có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm.

1 2

B. x = 2, y = 1

A. Khối nón có diện tích đáy bằng 8π

A. 1 + log 2 3

D. Mặt phẳng.

Câu 21: Cho phương trình log 5 ( x 2 + x + 1) = 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 22: Phương trình ( x 4 )

2x + 1 là x −1

diện tích bằng 8. Khẳng định nào sau đây sai ?

Câu 19: Thể tích của khối bát diện đều cạnh a bằng 3

D. y = x 4 − 4x 2 + 4

Câu 27: Cắt một khối nón bởi mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên R bằng -1.

2a 3 2 B. 3

B. y = x 3 − 3x 2

Câu 26: Các tiệm cận của đồ thị hàm số y =

B. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên R bằng 0.

a3 2 A. 6

3x − 1 x+2

C. 3

D. 6

(

)

2 −1

20cm, thành máng nghiêng với mặt đất một góc ϕ ( 00 < ϕ < 900 ) .

D. 2 Trang 3

Trang 4

Bạn Nam phải nghiêng thành máng một góc trong khoảng nào sau đây để lượng mưa thoát được là nhiều nhất?

A. 700 ;900 )

B. 100 ;300 )

C. 300 ;500 )

D. 500 ;700 )

54π 5

108π 5

C. 60π

D. 18π

Câu 40: Đồ thị của hàm số nào sau đây có ba tiệm cận? A. y =

x x 2 − 2x

B. y =

1− x2

C. y =

1 x

Câu 33: Theo thống kê dân số năm 2017, mật độ dân số của Việt Nam là 308 người/ km 2 và mức

Câu 41: Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và

tăng trưởng dân số là năm. Với mức tăng trưởng như vậy, tới năm bao nhiêu mật độ dân số Việt

chiều cao lần lượt là 30cm, 20cm và 30cm (như hình vẽ). Một con

Nam đạt 340 người 1,03%/ km

A. Năm 2028

D. y =

x x 2 − 2x

kiến xuất phát từ điểm A muốn tới điểm B thì quãng đường ngắn

B. Năm 2027

C. Năm 2026

D. Năm 2025

nhất nó phải đi là bao nhiêu cm?

Câu 34: Cho các hàm số y = log a x, y = log b x và y = c (với a, b, c

A. 30 + 10 14 cm

B. 10 34 cm

là các số dương khác 1) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau

C. 10 22 cm

D. 20 + 30 2 cm

đây đúng? Câu 42: Cho hàm số y =

A. c > b > a B. c > a > b

x4 + 3 có giá trị cực đại y1 và giá trị cực tiểu y 2 . Giá trị của S = y1 − y 2 x

bằng

C. a > b > c

B. S = 0

A. S = 8

D. b > a > c

C. S = −2

D. S = −8

Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đồ thị lần lượt như hình vẽ 2x + 1− 2x

Câu 35: Biết rằng phương trình 5

1− 1− 2x

− m.5

= 4.5 có nghiệm khi và chỉ khi m ∈ [ a; b ] ,

với m là tham số. Giá trị của b − a bằng

9 5

B. 9

1 5

D. 1 2

Câu 36: Cho phương trình log 4 ( x 2 − 4x + 4 ) + log16 ( x + 4 ) − m = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham Đồ thị hàm số y = f ( x ) .g ( x ) là đồ thị nào dưới đây?

số thực m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. A. m < 2 log 2 3

B. m > −2 log 2 3 m

C. m ∈∅

D. 2 log 2 3 < m < 2 log 2 3

Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = 2, AD = 4 ;

mặt bên SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng 6. Thể tích khối S.BCD bằng A. 6

B. 18

C. 2

D. 1

Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB = x thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài a. Tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong trường hợp thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất. A.

a 3 3

a 6 4

a 3 4

a 6 3

B. x

Câu 44: Phương trình e − e 1  A.  ;1 2 

C. 2x −1

= 1 − x + 2 2x + 1 có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

 5 B.  2;   2

 3 C. 1;   2

3  D.  ; 2  2 

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 3 − 3x + m có giá trị cực đại và

Câu 39: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 6, AB = 3 . Diện tích của mặt cầu có tâm A

giá trị cực tiểu trái dấu.

A. m ∈ {−2; 2}

và tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) bằng Trang 5

B. m < −2 hoặc m > 2 C. −2 < m < 2

D. m ∈ ℝ Trang 6

ĐÁP ÁN

Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng .SBCE

A. 14πa 2

B. 11πa 2

C. 8πa 2

D. 12πa 2

1  Câu 47: Gọi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = ln x trên đoạn  2 ;e  lần lượt là m và e  M. Tích M.m bằng

A. –1

B. 2e x

C. x

−2 e

B. log 3 2

7 3

6-C

7-C

8-B

9-D

10-B

11-A

12-D

13-B

14-A

15-C

16-B

17-A

18-A

19-D

20-C

21-D

22-A

23-A

24-D

25-B

26-D

27-B

28-C

29-C

30-C

31-A

32-D

33-B

34-D

35-A

36-A

37-C

38-B

39-B

40-A

41-B

42-D

43-C

44-B

45-C

46-A

47-A

48-D

49-B

50-D

* Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: - Bước 1: Tìm tập xác định, tính f ' ( x ) - Bước 2: Tìm các điểm tại đó f ' ( x ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định

phân biệt

B. 3 nghiệm.

C. 2 nghiệm.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

D. 6 nghiệm.

2x + 3 có đồ thị ( C ) . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đường x−2

thẳng y = 2x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến của t ( C ) ại hai điểm đó song song với nhau?

A. 0

5-A

Phương pháp: D. –1

Câu 50: Cho hàm số y =

4-A

Câu 1: Đáp án C

Câu 49: Phương trình x − 3x 2 − m 2 = 0 (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm

A. 4 nghiệm.

3-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

7 3

2-C

D. 1

Câu 48: Phương trình 3.9 − 7.6 + 2.4 = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 . Tổng x1 + x 2 bằng A. 1

1-C

B. 2

C. Vô số

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải: Tập xác định: D = R \ {2}

D. 1

2. ( −2 ) − 1( −1) −3 2x − 1 ⇒ y' = = < 0, ∀x ∈ D 2 2 x−2 x − 2 x ( ) ( − 2)

⇒ Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; 2 ) , ( 2; +∞ )

Câu 2: Đáp án C Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: Sxq = 2 ( a + b ) h (trong đó, a, b là chiều dài, chiều rộng của đáy, h là chiều cao) Diện tích xung quanh của lăng trụ tứ giác đều: Sxq = 4ah trong đó, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao) .

Cách giải: Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho bằng: 4.a.2a = 8a 2

Câu 3: Đáp án C Phương pháp: Thể tích khối cầu có bán kính R là V =

4 3 πR 3

Cách giải: Trang 7

Trang 8

Bán kính của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh 2 2 chính là nửa độ dài đường chéo các mặt của hình lập phương và bằng: R =

Thể tích khối cầu đó là: V =

( 2 2 ). 2

Câu 7: Đáp án C Phương pháp:

Xét hàm số có dạng y = a x , a > 0, a ≠ 1 + Nếu 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến trên ( −∞; +∞ )

4 3 4 3 32π πR = π.2 = 3 3 3

+ Nếu a > 1 : hàm số đồng biến trên ( −∞; +∞ )

Câu 4: Đáp án A

e Cách giải:   2

Phương pháp:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x )

x −1

Câu 8: Đáp án B

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x )

Cách giải:

x →−∞

Nếu lim+ f ( x ) = −∞ hoặc lim− f ( x ) = +∞ hoặc lim− f ( x ) = −∞ thì x = a là TCĐ của đồ thị hàm số. x →a

x →a

log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f (x) < g (x)  0 < a < 1

2 1 + 2x + 1 x x 2 ⇒ Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 0 lim = lim lim = 2 x →∞ x →∞ 4 − x x →∞ 4 −1 = 0 x2

Cách giải:

2x + 1 2x + 1 2x + 1 2x + 1 lim = lim− = +∞, lim+ = lim+ = −∞, lim− = lim− = +∞, lim+ = lim+ = −∞ 2 2 2 2 x →−2− x →−2 4 − x x →−2 x →−2 4 − x x →−2 x →−2 4 − x x →2 x→2 4 − x

Câu 5: Đáp án A

1 3

a = a m , a m .a n = a m + n , a > 0 1

1 1 + 3

a.a 3 = a 3 .a 3 = a 3

3x − 2 > 0 2 Điều kiện xác định:  ⇔ <x<4 4 − x > 0 3 

1  3  log 1 ( 3x − 2 ) > log 1 ( 4 − x ) ⇔ 3x − 2 < 4 − x  do 0 < < 1 ⇔ 4x < 6 ⇔ x < 2  2  2 2 2 3 Kết hợp điều kiện xác định, suy ra, bất phương trình có tập nghiệm S =  ;  3 2

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ )

Phương pháp:

Tập xác định: D = R \ {−2; 2}

e   ,  0 < < 1 2  

Câu 9: Đáp án D

Cách giải:

Phương pháp:

2x + 3

⇔ x − 1 ≥ 2x + 3 ⇔ x ≤ −4

Nếu lim f ( x ) = a hoặc lim f ( x ) = a ⇒ y = a là TCN của đồ thị hàm số. x →+∞

e ≤  2

Câu 10: Đáp án B

= a3

1 Phương pháp: log a bc = c log a b, log a c b = log a b ( 0 < a ≠ 1, b > 0 ) c

Câu 6: Đáp án C Phương pháp: Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

A = log a a 2 + log 1 4a , ( a > 0, a ≠ 1) 2

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − 4x + 1 và đường thẳng y = x + 1 là: x = 0 x 3 − 4x + 1 = x + 1 ⇒ x 3 − 5x = 0 ⇔  x = ± 5

= log 1 a 2 + log 2−1 22a = a2

1 1 .2.log a a + .2a.log 2 2 = 4 − 2a 1 −1 2

Câu 11: Đáp án A

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm và bằng 3.

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải: Trang 9

Trang 10

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:

- Tính tích M.m.

Cách giải:

x = 1  x −1 = 0 x −1 = 0 1  x −1  x2 − 2 x + 3 = 0 ⇔ 1 2 ⇔ ⇔  x = 3  x −2 x +3= 0 3  x =3  x = −3  3

TXĐ: D = R \ {1}

( 2x − 3)( x − 1) − 1. ( x 2 − 3x + 3) x 2 − 2x x 2 − 3x + 3 ⇒ y' = = 2 2 x −1 ( x − 1) ( x − 1)

1  Vậy, đồ thị hàm số x − 1  x 2 − 2 x + 3  giao với trục hoành tại 3 điểm. 3 

Câu 12: Đáp án D

x = 0 y' = 0 ⇔  x = 2

Cách giải:

 1 Bảng biến thiên trên đoạn  −1;   2

Một hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.

Câu 13: Đáp án Phương pháp: ( x α ) = α.x α−1 , ( a α ) ' = a x .ln a Cách giải: y = x e + e x ⇒ y ' = e.x e −1 + e x = e. ( e x −1 + x e−1 ) Câu 14: Đáp án A

Phương pháp:

-1

y’

- Tìm TXĐ - Tính đạo hàm

−

- Lập bảng xét dấu y’

0 -3

1 2 +

7 2

Cách giải:

7 21 Giá trị nhỏ nhất m = − , giá trị lớn nhất M = −3 ⇒ M.m = 2 2

Tập xác định: D = R

Câu 16: Đáp án B

- Xác định điểm cực đại và tính giá trị cực đại.

y ' = 0 ⇔ x = ±1

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πRh

Bảng xét dấu y’

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + S2đáy = 2πRh + 2πR 2

y’

−

7 2

Phương pháp:

y = x 3 − 3x ⇒ y ' = 3x 2 − 3

+∞

-1

−∞ +

1 -

Cách giải:

+∞ +

Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a nên hình trụ đã cho có chiều cao h = a , bán kính đáy

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và giá trị cực đại yCĐ = 2

Câu 15: Đáp án C

a 2 2

2 a  a  3πa Diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp = 2πRh + 2πR 2 = 2π. .a + 2π.   = 2 2 2

Phương pháp: - Tìm TXĐ

Câu 17: Đáp án A

- Tính y’

Phương pháp:

 1 - Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn  −1;   2

Khối chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một là một tứ diện vuông tại đỉnh S

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trang 11

Trang 12

Thể tích của tứ diện vuông có độ dài ba cạnh góc vuông bằng a, b, c là: V =

abc 6

(x ) 4

⇔x

1 2

= ( 22 )

⇔ x2

= 22

⇔x=2

Phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thực duy nhất.

Cách giải: Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

1 2

Câu 23: Đáp án A

a.a.a a 3 = 6 6

Phương pháp:

Câu 18: Đáp án A

- Tìm TXĐ

Phương pháp:

- Tính y’

Dựa vào BBT và đánh giá từng đáp án.

- Lập bảng xét dấu y’

Cách giải:

- Đánh giá khoảng nghịch biến.

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên đoạn [ 0;1] , đoạn này có độ dài bằng 1 ⇒ Phương án A đúng.

Cách giải:

Hàm số không có GTLN, GTNN trên R ⇒ B và D sai.

TXĐ: D = ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ )

Hàm số đạt cực trị tại 2 điểm ⇒ C sai

y = x2 − x ⇒ y ' =

Câu 19: Đáp án D

2 x −x

=0⇔x=

1 2

Bảng xét dấu y’:

Câu 19: Phương pháp:

Khối bát diện đều được ghép bởi hai khối chóp tứ giác bằng nhau, do vậy, ta tính thể tích bát diện bằng cách tính 2 lần thể tích khối chóp tứ giác.

y’

−∞ -

1 2 0

+∞ +

Hàm số y = x 2 − x nghịch biến trên khoảng ( −∞; 0 )

Cách giải:

Câu 24: Đáp án D

1 1 a a3 Thể tích của một khối chóp là: V1 = .SABCD .EH = a 2 . = 3 3 2 3 2 Thể tích khối bát diện đều là: V = 2V1 = 2.

2x − 1

Phương pháp: Đánh giá từng đáp án.

a3 a3 2 = 3 3 2

Cách giải:

Câu 20: Đáp án C

(1) Hàm số y = log 2 x đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) : đúng, do 2 > 1

Cách giải:

(2) Hàm số y = log 2 x có một điểm cực tiểu: sai, hàm số y = log 2 x luôn đồng biến trên ( 0; +∞ )

M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông ⇒ M thuộc mặt cầu có một đường kính là AB.

(3) Đồ thị hàm số y = log 2 x có tiệm cận: đúng, tiệm cận đó là đường x = 0

Câu 21: Đáp án D

Số phát biểu đúng là 2.

Phương pháp: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b ( 0 < a ≠ 1, b > 0 )

Câu 25: Đáp án B

Cách giải:

Phương pháp:

log 5 ( x 2 + x + 1) = 1 ⇔ x 2 + x + 1 = 51 ⇔ x 2 + x − 4 = 0

Phân biệt dạng đồ thị của các hàm số : bậc nhất trên bậc nhất, bậc ba, bậc bốn trùng phương. Cách giải:

Do a.c = 1. ( −4 ) < 0 nên phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu.

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy, đồ thị hàm số không thể là đồ thị của hàm bậc nhất trên bậc nhất và

Câu 22: Đáp án A

bậc bốn trùng phương. Do đó, loại phương án A và D.

Phương pháp:

Còn lại, phương án B và C là các hàm số bậc ba.

Đưa về cùng số mũ.

Quan sát đồ thị ta thấy, khi x → +∞ thì y → +∞ nên ta chọn B ( a = 1 > 0 )

Cách giải: Trang 13

Trang 14

Câu 26: Đáp án D

t = 4 ⇒ 2x = 4 ⇔ x = 2

Phương pháp:

Tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là: 1 + 2 = 3

ax + b d Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất y = , ( a, c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) có tiệm cận đứng là x = − , cx + d c

Phương pháp:

tiệm cận ngang là y =

c a

Câu 29: Đáp án C

Sử dụng phương pháp tìm GTNN, GTLN của hàm số. Cách giải:

Cách giải:

+) y = x 3 − 10 ⇒ y ' = 3x 2 ≥ 0, ∀x

2x + 1 Các tiệm cận của đồ thị hàm số y = là x = 1, y = 2 x −1

⇒ Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] ⇒ min ( x 3 − 10 ) = 03 − 10 = −10 [0;2 ]

Câu 27: Đáp án B

+) y = x + 2 − 2 ⇒ y ' =

Phương pháp:

Diện tích hình tròn bán kính R: S = πR 2

1 > 0, ∀x ∈ [0; 2] 2 x+2

⇒ Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] ⇒ min [0;2]

Diện tích xung quanh của khối nón: Sxq = πRl

(

)

x +2 −2 = 0+2 −2 = 2 −2

x−2 3 ⇒ y' = > 0, ∀x ∈ [ 0; 2] 2 x +1 ( x + 1)

1 Thể tích khối nón: V = πR 2 h 3

+) y =

Cách giải:

 x−2 0−2 ⇒ Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] ⇒ min  = = −2 [0;2 ]  x + 1  0 + 1

Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S và S∆SAB = 8

+) y = 2 x − 2 ⇒ y ' = 2 x.ln 2 > 0, ∀x

1 1 Ta có: S∆SAB = .SO.AB = .OA.2OA = OA 2 = 8 ⇒ OA = 2 2 2 2

⇒ Hàm số đồng biến trên [ 0; 2] ⇒ min ( 2 x − 2 ) = 20 − 2 = 1 − 2 = −1 [0;2]

⇒ Đường tròn đáy có bán kính R = OA = 2 2

(

Diện tích đáy: S = πR 2 = π 2 2

)

Câu 30: Đáp án C

= 8π

Cách giải:

Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại {5;3}

Độ dài đường sinh: l = SA = OA. 2 = 2 2. 2 = 4

Câu 31: Đáp án A

Diện tích xung quanh của khối nón: Sxq = πRl = π.2 2.4 = 8 2π

Phương pháp:

Đường cao: h = SO = OA = 2 2

Cắt khối hình bởi mặt phẳng đi qua trục

2 1 1 16 2π Thể tích khối nón: V = πR 2 h = π. 2 2 .2 2 = 3 3 3

(

)

Tính độ dài x cạnh của hình lập phương Tính độ dài đường chéo của hình lập phương: x 3

Câu 28: Đáp án C

Cách giải:

Phương pháp: Đặt 2x = t, ( t > 0 ) . Giải phương trình tìm , sau đó tìm và tổng các nghiệm. t x Cách giải:

t = 2 Đặt 2x = t, ( t > 0 ) . Phương trình trở thành: t 2 − 3.t.2 + 8 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 8 = 0 ⇔  t = 4

t = 2 ⇒ 2x = 2 ⇔ x = 1 Trang 15

Trang 16

S' = 0 ⇔ 20 400 − h 2 + 400 − 22 = 0 ⇔ h 2 = 300 ⇒ h = 10 3 Bảng xét dấu: h

+∞

10 3

S’

Diện tích hình thang lớn nhất khi h = 10 3 Khi đó, sin ϕ = Xét mặt cắt qua trục có SH = h = 6, HA = HB = r = 3

Câu 33: Đáp án B

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x.

Phương pháp:

MN SN x SN x Vì MN // AB nên = ⇔ = = AB SB 2.3 SB 6 Vì NE // SH nên

10 3 3 = ⇒ ϕ = 600 ⇒ ϕ ∈ 500 ; 700 ) 0 2

Công thức: A n = M (1 + r% )

Với: A n là mật độ dân số ở năm thứ n,

NE NB x NE = ⇔ = SH SB 6 SB

M là mật độ dân số ban đầu,

x x SN NE ⇒ + = + =1⇒ X = 3 6 6 SB SB

n là thời gian (năm), r là mức tăng trưởng dân số.

⇒ Độ dài đường chéo của hình lập phương là: 3 3

Cách giải:

Câu 32: Đáp án D

n  340  Ta có: A n = M (1 + r% ) ⇔ 340 = 308.1 + 1, 03%n ⇒ n = log1,0103   ≈ 9, 64  308 

Phương pháp:

Tính thể tích của khối lăng trụ đứng, có đáy là hình thang cân mà hai cạnh bên bằng đáy bé và bằng

⇒ Ta cần 10 năm để đạt mật độ dân số như vậy

20cm.

⇒ Đến năm 2027 mật độ dân số nước ta đạt đến con số đó.

Thể tích lớn nhất khi diện tích của hình thang cân lớn nhất.

Câu 34: Đáp án D

Cách giải:

Thể tích nước lớn nhất khi diện tích của hình thang cân lớn nhất

Ta thấy, hai hàm số y = log a x, y = log b x đều đồng biến trên ( 0; +∞ ) ⇒ a, b > 1 Lấy x 0 > 0 bất kì, ta thấy log a x 0 > log b x 0 ⇒ a < b ⇒ 1 < a < b Hàm số y = c x nghịch biến trên ℝ ⇒ c < 1 ⇒ c < a < b Câu 35: Đáp án A Phương pháp:

Gọi độ dài đường cao là h. Khi đó, AE = BF = h , từ đó, suy ra DE = CF = 202 − h 2 = 400 − h 2

Chia cả hai vế cho 51−

CD = DE + EF + FC = 2 400 − h 2 + 20

Cách giải:

Diện tích hình thang: S = ( AB + CD ) .AE : 2 = 2

S' = 20 + 400 − h − h.

h 400 − h 2

= 20 +

20 + 2 400 − h 2 + 20 .h = 20h + h 400 − h 2 2

400 − 2h

Chia cả hai vế cho 51−

52x +

1− 2x

− m.51−

 1  ⇔ 5.    5

400 − h 2 Trang 17

(

2− x

)

1− 2x −1

1− 2x

ta có:

= 4.5x ⇔ 52x −1+ 2

 1  − 4.    5

(

1− 2x

)

1− 2x −1

− m = 4.5x −1+

1− 2x

⇔ 52x −1+ 2

1− 2x

− 4.5x −1+

1− 2x

Trang 18

Ta thấy

1  1  1 − 2x − 1 ≥ 0, ∀x ≥ ⇒ 0 <   2  5

(

 1  Đặt    5

)

(

)

1− 2x −1

(

)

1− 2x −1

1 1 Diện tích tam giác SAD: SSAD = SH.AD = 6 ⇒ .SH.4 = 6 ⇒ SH = 3 2 2

1 1  ≤ 1, ∀x ≥  do 0 < < 1 2 5 

1 1 Diện tích tam giác BCD: SBCD = .AB.BC = .2.2 = 2 2 2

= t, 0 < t ≤ 1

1 1 Thể tích khối S.BCD: V = SBCD .SH = .2.3 = 2 3 3

Xét hàm số y = 5t − 4t, t ∈ ( 0;1] : y ' = 10t − 4 y' = 0 ⇔ t =

Câu 38: Đáp án B

2 5

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ AH vuông góc mặt phẳng (BCD) (H thuộc (BCD))

4 4 2 Ta có: y ( 0 ) = 0, y   = − , y (1) = 1 ⇒ max y = 1, min y = − ( 0;1] ( 0;1] 5 5 5

⇒ H ∈ BM, AH ⊥ HM VABCD lớn nhất khi và chỉ khi AH có độ dài lớn nhất, tức là khi H trùng M

4 9  4  Để phương trình đã cho có nghiệm thì m ∈  − ;1 ⇒ a = − , b = 1 ⇒ b − a = 5 5  5 

Hai tam giác ACD, BCD đều, cạnh a, có đường cao AM, BM bằng

Câu 36: Đáp án A

a 3 2

Phương pháp:

Tam giác ABM vuông cân tại A, lấy N là trung điểm của AB

Cô lập m, đưa về dạng f ( x ) = m

⇒ MN ⊥ AB

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m

Mà MN ⊂ ( AMB ) ⊥ CD ⇒ MN ⊥ CD ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD a 3 AM a 6 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là: MN = = 2 = 4 2 2

Cách giải: Điều kiện: x ≠ 2, x ≠ −4 4

log 4 ( x 2 − 4x + 4 ) + log16 ( x + 4 ) − m = 0 ⇔ log 4 ( x − 2 ) + log16 ( x + 4 ) = m

Câu 39: Đáp án B Phương pháp:

⇔ log 2 x − 2 + log 2 x + 4 = m ⇔ log 2 ( x − 2 )( x + 4 ) = m ⇔ x 2 + 2x − 8 = 2m

Mặt cầu tâm A tiếp xúc với (SBC) có bán kính R = d ( A; ( SBC ) )

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

Diện tích mặt cầu: Smc = 4πR 2

y = x 2 + 2x − 8 và đường thẳng y = 2m

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số bên, ta thấy, để đồ thị hàm số y = x 2 + 2x − 8 cắt đường

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; O là giao điểm của AN và

thẳng y = 2m tại 4 điểm phân biệt thì 0 < 2m < 9 ⇔ m < log 2 9 ⇔ m < 2 log 2 3

CM. Kẻ AH ⊥ SN ( H ∈ SN )

Câu 37: Đáp án C

2 2 3 3 = 3 AN = . 3 3 2

Phương pháp:

Tam giác ABC đều, tâm O ⇒ OA =

1 Thể tích khối chóp: V = Sh 3

Tam giác SAO vuông tại O ⇒ SO = SA 2 − OA 2 = 6 − 3 = 3 Tam giác SBC cân tại N ⇒ SN ⊥ BC ⇒ Tam giác SNC vuông tại N

Cách giải:

Kẻ SH vuông góc AB (H thuộc AB). Do mặt bên SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Trang 19

15 3 ⇒ SN = SB2 − BN 2 = 6 −   = 2 2

Trang 20

3 3 AH AN AH 3 3 3 Tam giác AHN đồng dạng tam giác SON ⇒ = ⇔ = 2 = ⇒ AH = SO SN 3 15 5 5 2 2

 3 3  108π Diện tích mặt cầu: Smc = 4πR 2 = 4π.   = 5  5  Câu 40: Đáp án A Phương pháp:

Tìm số đường tiệm cận của từng đồ thị hàm số Để đến được B, đầu tiên con kiến phải đi trên một trong các mặt bên và đi đến một trong các cạnh

Cách giải: Đồ thị hàm số y = Đồ thị hàm số y = Đồ thị hàm số y = Đồ thị hàm số y =

bên: NP, PE, QE, MQ, MF, NF

x có 3 đường tiệm cận là x = 0, x = 2, y = 0 x − 2x

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh MF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì

x 1− x2

A, I, B thẳng hàng:

có 1 đường tiệm cận là x = 1, x = −1

Độ dài AB = AQ2 + QB2 = 502 + 302 = 10 34 ( cm )

1 có 2 đường tiệm cận là x = 0, y = 0 x

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh NF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì A, I, B thẳng hàng:

x có 2 đường tiệm cận là x = 2, y = 0 x 2 − 2x

Độ dài AB = AP 2 + PB2 = 602 + 202 = 20 10 ( cm )

Câu 41: Đáp án B

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh PF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì

Phương pháp:

A, I, B thẳng hàng:

Trải tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật ra cùng một mặt phẳng.

Độ dài AB = AN 2 + NB2 = 302 + 502 = 10 34 ( cm )

Cách giải:

Vậy, quãng đường ngắn nhất con kiến đi là 10 34 ( cm ) Câu 42: Đáp án D Phương pháp:

Khảo sát, tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số. Từ đó tính S. Cách giải:

4x 3 .x − ( x 4 + 3) .1 3x 4 − 3 x4 + 3 , ( x ≠ 0) ⇒ y ' = = x x2 x2

y ' = 0 ⇔ x = ±1 Bảng xét dấu y’: x y’

-1

−∞

0 -

1 -

+∞ +

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 , giá trị cực đại y1 = −4 , đạt cực tiểu tại x = 1 , giá trị cực tiểu y 2 = 4

S = y1 − y 2 = −4 − 4 = −8 Trang 21

Trang 22

Câu 43: Đáp án

y = x 3 − 3x + m ⇒ y ' = 3x 2 − 3 y ' = 0 ⇔ x = ±1 x = 1 ⇒ y = −2 + m x = −1 ⇒ y = 2 + m Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu ⇒ ( −2 + m )( 2 + m ) < 0 ⇔ −2 < m < 2 Câu 46: Đáp án A Phương pháp:

Cách giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Đặt y = f ( x ) .g ( x ) = h ( x ) . Khi đó:

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

h ( 0 ) = f ( 0 ) .g ( 0 ) = 0.0 = 0

Trong đó, B ( 2a;0; 0 ) , C ( 2a; 2a; 0 ) , E ( a;0;0 ) , S ( 0; 0;a )

h (1) = f (1) .g (1) = 1. ( −1) = −1

Gọi I ( x 0 ; y0 ; z 0 ) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC.

Do đó, ta chọn phương án C

Khi đó, IS2 = IB2 = IC2 = IE 2

Câu 44: Đáp án B

 x 02 + y 02 + ( z 0 − a )2 = ( x 0 − 2a )2 + y02 + z 02  2 2 2  ⇔  x 02 + y 02 + ( z 0 − a ) = ( x 0 − 2a ) + ( y0 − 2a ) + z 20  2 2 2 2 2 2  x 0 + y 0 + ( z 0 − a ) = ( x 0 − a ) + y 0 + z 0

Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Cách giải: Điều kiện: x ≥ −

ex − e ⇔

(

2x +1

1 2

= 1 − x 2 + 2 2x + 1 ⇔ 2x + 1 + 2 2x + 1 + 1 + e

)

2x + 1 + 1 + e

2x +1

= x 2 + 2x + 1 + e x

= ( x + 1) + e x

Xét hàm số y = ( x + 1) + e x ⇒ y ' = 2 ( x + 1) + e x = 2x + 1 + e x + 1 > 0, ∀x ≥ −

3a  −2az 0 + a 2 = −4ax 0 + 4a 2 x 0 = 2 4x 0 − 2z 0 = 3a    ⇔ −2az 0 + a 2 = −4ax 0 + 4a 2 − 4ay 0 + 4a 2 ⇔  4x 0 + 4y0 − 2z 0 = 7a ⇔  y 0 = a  x − z = 0  2 2 3a  0 0 −2az 0 + a = −2ax 0 + a z0 =  2

1 2

 1  ⇒ Hàm số đồng biến trên  − ; +∞   2 

Phương trình đã cho tương đương: 2

Bán kính mặt cầu: R = SI = x 02 + y 02 + ( z 0 − a ) =

x ≥ 0 x ≥ 0  5 ⇔ 2 ⇔ x = 1 + 2 ∈  2;  2x + 1 = x ⇔  2  2 2x + 1 = x  x − 2x − 1 = 0

9a 2 a 2 a 14 + a2 + = a 4 2

Diện tích mặt cầu: S = 4πR 2 = 14πa 2

Câu 45: Đáp án C

Câu 47: Đáp án A

Phương pháp:

+) Tính y’, giải phương trình y ' = 0 ⇒ các cực trị của hàm số.

- Tìm TXĐ

+) Tính các giá trị cực trị của hàm số và yCT .y CĐ < 0

- Tìm nghiệm và điểm không xác định của y’

Cách giải: Trang 23

Trang 24

- Tính các giá trị tại

1 , tại , tại nghiệm của y’ . Tìm GTLN, GTNN trong các giá trị đó. e e2

Số nghiệm của phương trình x 3 − 3x 2 − m 2 = 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 3x 2

- Tính tích M.m.

và đường thẳng y = m 2

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2

TXĐ: D = ( 0; +∞ )

y = x.ln x ⇒ y ' = ln x + x. y' = 0 ⇔ x =

1 = ln x + 1 x

1 e

2 1 1 1 Ta có: f  2  = − 2 , f ( e ) = e, f   = − e e e  e 1 Vậy min f ( x ) = − = m, max f ( x ) = e = M ⇒ M.m = −1 1  1  e ;e  2   2 ;e  e



e

Ta vẽ được đồ thị hàm số y = x − 3x 2 như sau:



Câu 48: Đáp án D Phương pháp: x

3 Chia cả hai vế cho 4x , đặt   = t . Giải phương trình tìm t, từ đó tìm x và tổng x1 + x 2 2

Cách giải: x

9 3 3.9 x − 7.6 x + 2.4 x = 0 ⇔ 3.   − 7   + 2 = 0 4 2 3

 3  x  x = log 3 2   = 2 t = 2  2 x 2 2   ⇒ ⇔ 3t − 7t + 2 = 0 ⇔ 3 1 Đặt   = t . Phương trình trở thành  t = 1  3  x 1  x = log 3 2  3   =   2 3 3  2 

Tổng hai nghiệm x1 + x 2 = log 3 2 + log 3 2

Do m 2 ≥ 0, ∀m nên đồ thị hàm số y = x − 3x 2 cắt đường thẳng y = m 2 tại nhiều nhất 3 điểm. Câu 50: Đáp án D Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng y = 2x + m : 2x + 3 = 2x + m, ( x ≠ 2 ) ⇔ 2x + 3 = ( 2x + m )( x − 2 ) ⇔ 2x 2 + ( m − 6 ) x − 2m − 3 = 0 (*) x −2

1 2  1 = log 3  2.  = log 3 = −1 3 3  2  2 3

Câu 49: Đáp án B

Dễ dàng kiểm tra được x = 2 không phải nghiệm của phương trình (*) với mọi m

Phương pháp:

Để 3

phương

trình

(*)

có

nghiệm

biệt

x1 , x 2

Số nghiệm của phương trình x 3 − 3x 2 − m 2 = 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 3x 2

∆ > 0 ⇔ ( m − 6 ) + 8 ( 2m + 3) > 0 ⇔ m 2 + 4m + 60 > 0 , luôn đúng

và đường thẳng y = m 2

Phác họa đồ thị hàm số , từ đó nhận xét số giao điểm trên.

phân

2x + 3 7 ⇒y=− 2 x−2 ( x − 2)

Tiếp tuyến của ( C ) tại hai điểm giao song song với nhau

Cách giải:

Trang 25

Trang 26

thì

⇔−

( x1 − 2)

=−

( x1 − 2 )

 x1 = x 2 2 2 ⇔ ( x1 − 2 ) = ( x 2 − 2 ) ⇔  ⇔ x1 + x 2 = 4  x1 + x 2 = 4

Theo Vi – ét, ta có: x1 + x 2 = −

m−6 m−6 ⇒− = 4 ⇔ m − 6 = −8 ⇔ m = −2 2 2

Vậy, có 1 giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trang 27

ĐỀ 06

ĐỀ THI HỌC KÌ I Môn: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên ℝ ? A. y =

x . x +1

B. y = x3 + 3x.

C. y = 3

x 2

x +1

D. y = x 2 .

Câu 2: Các khoảng đồng biến của hàm số y = − x + 3x + 1 là A. ( −∞; 0 ) ; ( 2; +∞ ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. [ 0; 2 ] .

A. m = 0 ∨ m = ±1.

C. m = ±1 . 3

D. m = ±2 .

Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 3x − 9 x + 35 trên đoạn [ −4; 4 ] là A. 40.

B. 8.

C. −41.

D. 15.

Câu 10: Cho hàm số y = − x 2 + 2 x . Giá trị lớn nhất của hàm số bằng A. 0.

B. 1.

C. 2.

Câu 11: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 − 4 x − 5 trên đoạn [ −2; 6 ] bằng. Chọn 1 câu đúng. A. 7.

D. ℝ.

B. m = 1.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

Câu 3: Tìm m để hàm số y = x3 − m x 2 + x + 1 đồng biến trên ℝ. B.  − 3; 3  .

A. ( 0; +∞ ) .

(

)

C. − 3; 3 .

D. ∅.

trên đoạn [ 0;1] bằng −2

A. m = 2 ∨ m = −1.

Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó :

Câu 13: Cho hàm số y =

2x + 1 ( I ) , y = − x 4 + x 2 − 2 ( II ) , y = x3 + 3 x − 5 ( III ) . x +1

A. (I) và (II).

B. Chỉ (I).

C. (II) và (III).

A. 0.

B. m = −1.

C. m = 2 .

B. 1.

C. 2.

Câu 14: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y = A. y = 3.

A. Hàm số đồng biến trên ℝ.

D. m ∈ ∅ .

3 . Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng x−2

D. (I) và (III).

Câu 5: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 − 7 x + 5 . Chọn mệnh đề đúng

x − m2 + m x +1

B. y = 0.

D. 3.

3x + 1 là x2 − 4

C. x = 0.

D. x = ±2.

B. Hàm số có 2 điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung.

Câu 15: Hàm số y = x3 − 3x 2 + 1. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m tại 3 điểm phân biệt

C. Hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục tung.

khi

D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

A. −3 < m < 1.

Câu 6: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 − x 2 + 2 là  2 50  B.  ;  .  3 27 

A. ( 2; 0 ) . Câu 7: Hàm số y =

C. ( 0; 2 ) .

 50 3  D.  ;  .  27 2 

1 3 x + m x 2 + ( m2 − 4 ) x + 2 đạt được cực đại tại x = 1 khi 3

A. m = 1.

B. m = −1.

C. m = 1 hoặc m = −3.

D. m = −3.

Câu 8: Với giá trị nào của thì đồ thị hàm số y = x 4 − 2m2 x 2 + 1 có ba cực trị tạo thành tam giác vuông

B. −3 ≤ m ≤ 1.

C. m > 1.

D. m < −3.

Câu 16: Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đường cong y =

2x + 4 . Khi đó x −1

hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

5 A. − . 2

B. 1.

C. 2.

5 . 2

Câu 17: Đồ thị sau đây là của hàm số y = − x 4 + 4 x 2 . Với giá trị nào của m thì phương trình

x 4 − 4 x 2 + m − 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt? A. 1 < m < 5.

B. 0 ≤ m < 4.

A. y = C. 2 < m < 6.

D. 0 ≤ m ≤ 6.

Câu 18: Giá trị của m để đường thẳng y = −2x + m cắt đường cong y = phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

A. −1 < m < 2.

B. m = ±2.

2x + 1 tại hai điểm x +1

3 (O là gốc tọa độ) là

C. −2 < m < 2.

D. m = ±2 3.

2x + 1 . x +1

B. y =

 1 Câu 22: Tính K =    16 

−0,75

A. 12.

2x + 3 . x +1

1 +  8

−

4 3

Câu 23: Tính L =

−1

−3

2 .2 + 5 .5

B. −10.

A. y = x − 3x + 3x. C. y = x + 3x − 3x.

B. y = − x + 3x − 3x. D. y = − x − 3x − 3x.

Câu 20: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

1 B. y = − x 4 + 3 x 2 − 3. 4

C. y = x 4 − 2 x 2 − 3.

D. y = x 4 +2x 2 − 3.

Câu 21: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?

2 3

D. 24.

C. 12.

D. 15.

a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hửu tỷ là: 6

B. a 6 .

1  1  Câu 25: K =  x 2 − y 2   

D. a 6 .

−1

B. 2 x.

A. x.

C. a 5 .

 y y +  . Biểu thức rút gọn của K là: 1 − 2 x x  

Câu 26: Hàm số y = ( 4 − x

A. y = x 4 − 3x 2 − 3.

C. 18.

A. a 6 .

3 2 5

)

C. x + 1.

D. x − 1.

có tập xác định là:

A. ( −2; 2 ) .

B. ( −∞; −2 ] ∪ [ 2; +∞ ) .

C. R.

D. R \ {−2; 2} .

(

Câu 27: log a a 2 3 a 2 5 a 4 : 15 a 7 A. 3.

2x + 1 . 1− x

, ta được:

Câu 24: Cho a là một số dương, biểu thức a

D. y =

10−3 :10−2 − ( 0, 25 )

A. 10.

x+2 . x +1

, ta được:

B. 16.

Câu 19: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

C. y =

) bằng:

12 . 5

9 . 5

D. 2.

Câu 28: Hàm số y = log 5 ( 4 x − x 2 ) có tập xác định là: A. ( 2; 6 ) .

B. ( 0; 4 ) .

C. ( 0; +∞ ) .

D. ℝ.

Câu 29: Cho a > 0 và a ≠ 1 , bc > 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 2

A. log a ( bc ) = log a b + log a c.

B. log a ( bc ) = 2 ( log a b + log a c ) .

C. log a ( bc ) = log a b + log a c.

D. log a ( b 2 c ) = log a b 2 + log a c .

Câu 30: Cho log 2 5 = a , log3 5 = b . Khi đó log 6 5 tính theo a và b là:

1 . a+b

ab . a+b

D. a 2 + b2 .

C. a + b.

D. Nếu các mặt của ( H ) là các đa giác đều thì ( H ) được gọi là đa diện đều. Câu 39: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA ' = a 5 . Thể

Câu 31: Tính mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hàm số y = log a x với 0 < a < 1 là một hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) . B. Hàm số y = log a x với a > 1 là một hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .

tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng?

a 3 15 . 4

a 3 15 . 12

a3 3 . 4

a3 5 . 12

C. Hàm số y = log a x ( 0 < a ≠ 1) có tập xác định là ℝ.

Câu 40: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh bên bằng 2a, chiều cao của hình chóp

D. Đồ thị các hàm số y = log a x và y = log 1 x ( 0 < a ≠ 1) thì đối xứng với nhau qua trục hoành.

S . ABC bằng a, thể tích của khối chóp S . ABC bằng?

Câu 32: Nghiệm của phương trình 4 A. [ 0;1] .

2 x +3

4− x

thuộc vào tập nào?

B. [ 2;5] .

C. (1; 2 ) .

D. {3} .

B. {1} .

C. {−4} .

D. {−4; −1} .

Câu 34: Phương trình 9 x + 6 x = 2.4 x có nghiệm thuộc tập hợp nào? A. [1; 2 ] .

B. [ 0;1] .

Câu 35: Tổng các nghiệm của phương trình A. 110.

C. (1; 2 ) .

Câu 36: Số nghiệm của phương trình log 7 x = log 3 A. 0.

D. ( 0;1) .

C. 10.

B. 1.

(

)

3a 3 2 . 4

a3 2 . 4

a3 . 6

a3 3 . 6

a3 . 12

a3 3 . 3

cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 60° . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng

a3 3 . 4

a3 3 . 12

a3 6 . 4

a3 6 . 12

Câu 43: Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là tam giác vuông tại cân tại A, SC ⊥ ( ABC ' ) và AB = a , SC = a . Mặt phẳng qua C và vuông góc với SB tại F đồng thời cắt SA tại E. Thể tích

x + 2 là?

D. 2.

Câu 37: Cho khối đa diện. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh. B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. D. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất 3 mặt. Câu 38: Cho khối đa diện lồi ( H ) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ của ( H ) luôn thuộc ( H ) . B. Miền trong của ( H ) luôn nằm về một phía đối với mặt phẳng chứa 1 mặt bất kỳ của ( H ) . C. Mặt của đa diện là đa giác.

Câu 41: Cho hình chóp S . ABC đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc đáy và góc SC và đáy

A. D. 0.

C. 3.

3a 3 3 . 4

Câu 42: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , đáy là tam giác đều cạnh a, A’ cách đều 3 điểm A, B, C

1 2 + = 1 bằng? 4 − lg x 2 + lg x

B. 11.

bằng 30° . Thể tích khối chóp là

Câu 33: Giải phương trình ln ( x + 1) + ln ( x + 3) = ln ( x + 7 ) A. {−4;1} .

a3 3 . 4

của khối chóp S .CEF bằng

a3 . 12

a3 . 54

a3 2 . 36

a3 3 . 36

Câu 44: Một tam đều ABC cạnh là a, đường cao AH . Người ta quay tam giác ABC quanh trục AH, tạo nên hình nón. Tính diện tích xung quanh hình nón

A. π a 2 .

B. 2π a 2 .

π a2 2

D. π a 2 2.

Câu 45: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng a và thiết diện qua trục là hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

π a2 2

B. π a 2 .

C. 4π a 2 .

D. 3π a 2 .

Câu 46: Hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc (ABC),

Hàm số y = x3 + 3x có tập xác định D = ℝ.

SA = AC = a 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S . ABC là

Mặt khác ( x3 + 3 x ) = 3 x 2 + 3 > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ Hàm số y = x3 + 3x đồng biến trên ℝ.

A. a.

B. 2a.

C. a 2.

a . 2

Câu 2: Đáp án B Ta có y ' = −3x 2 + 6 x ⇒ y ' > 0 ⇔ −3x 2 + 6 x > 0 ⇔ 0 < x < 2

Câu 47: Cho hình lập phương cạnh a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp bằng A.

π a3 3 3

π a3 2 3

2π a 3 . 3

π a3 3 2

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Câu 3: Đáp án B

a 2 Câu 48: Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy là a, chiều cao là . Thể tích khối cầu ngoại 2 tiếp hình chóp bằng

A. a.

Ta có y ' = 3x 2 − 2mx + 1 Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ ∆ ' ( y ') ≤ 0 ⇔ m 2 − 3 ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ m ≤ 3

Câu 4: Đáp án D

a 2 . 2

C. a 2.

D. 2a 2.

Câu 5: Đáp án B

Câu 49: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD), gọi (P) là

Câu 6: Đáp án C

mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, ( P ) cắt SB, SC, SD lần lượt tại C ', B ', D '. Khi đó diện

x = 0 Ta có y ' = 3 x 2 − 2 x ⇒ y ' = 0 ⇔  . x = 2 3 

tích mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCD. A ' B ' C ' D ' là

A. π a 2 .

B. 2π a 2 .

C. 3π a 2 .

D. 4π a 2 .

Câu 50: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, AD = 2a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

2a . 3

2a 2 . 3

2a 3 . 3

 y '' ( 0 ) = −2  Mặt khác y '' = 6 x − 2 ⇒   2  ⇒ Điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( 0; 2 ) .  y ''  3  = 2   

Câu 7: Đáp án D

a . 3

Ta có y ' = x 2 + 2mx + m 2 − 4 ⇒ y '' = 2 x + 2m .

Đáp án

m = 1 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ y ' (1) = 0 ⇔ 1 + 2m + m 2 − 4 = 0 ⇔  .  m = −3

1-B

2-B

3-B

4-D

5-B

6-C

7-D

8-C

9-A

10-B

11-C

12-A

13-C

14-B

15-A

16-C

17-A

18-D

19-A

20-C

21-A

22-D

23-B

24-A

25-A

26-A

27-A

28-B

29-D

30-B

31-D

32-A

33-B

34-B

35-A

36-B

37-D

38-D

39-A

40-B

Câu 8: Đáp án C

41-C

42-A

43-B

44-C

45-C

46-A

47-D

48-B

49-B

50-C

x = 0 x = 0 x = m . Ta có y ' = 4 x 3 − 4m 2 x ⇒ y ' = 0 ⇔  2 ⇔ 2  x = m  x = − m

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B

m = 1 ⇒ y '' (1) = 4 > 0 Vớ i  ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 1 khi m = −3. m = −3 ⇒ y '' (1) = −4 < 0

Hàm số có 3 cực trị, suy ra m ≠ 0.

 A ( 0;1)   AB = ( m; − m 2 )   Gọi 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là A, B, C ⇒  B ( m;1 − m 2 ) ⇒  2   AC = ( − m; − m ) 2 C ( − m;1 − m ) Suy ra AB = AC ⇒ ∆ABC cân tại A ⇒ ∆ABC vuông thì vuông ở A. m = 0 Khi đó AB. AC = 0 ⇔ − m 2 + m 4 = 0 ⇔  ⇒ m = ±1.  m = ±1

Câu 9: Đáp án A

Ta có lim y = lim y = 0 ⇒ TCN y = 0. x →+∞

x →−∞

Câu 15: Đáp án A

x = 0 Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 32 + 1 → f ' ( x ) = 3x ( x − 2 ) → f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 2 Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số f ( x ) , đồ thị f ( x ) cắt đường y = m tại 3 điểm phân biệt khi: f ( 2 ) < m < f ( 0 ) ⇔ −3 < m < 1

 x = −1 Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x − 9 ⇒ y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔  x = 9 Lại có f ( −4 ) = −41, f ( −1) = 40, f ( 4 ) = 15 ⇒ max y = f ( −1) = 40. .

Câu 16: Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm: x + 1 =

2x + 4 ⇔ x 2 − 2 x − 5 = 0 (1) x −1

[ −4;4]

Câu 10: Đáp án B

Ta có xM và x N là nghiệm của PT (1) ⇒ y1 =

Hàm số có tập xác định D = [ 0; 2 ] .

Câu 17: Đáp án A

Ta có y ' =

1− x 2

− x + 2x

⇒ y ' = 0 ⇔ x = 1.

yM + yN xM + xN + 2 = = 2. 2 2

Số nghiệm của PT đầu bài là số điểm chung của đồ thị hàm số y = − x 4 + 4x 2 , với đường

y = m − 1 . Dựa vào đồ thị đã cho, chúng có 4 điểm chung khi 0 < m − 1 < 4 ⇔ 1 < m < 5 .

Lại có f ( 0 ) = 0, f (1) = 1, f ( 2 ) = 0 ⇒ max y = f (1) = 1 . Câu 11: Đáp án C

Câu 18: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm: −2 x + m =

Đặt . y = f ( x ) = x 2 − 4 x − 5 . Ta có:

2x + 1 ⇔ 2 x2 + ( 4 − m ) x + 1 − m = 0 x +1

(1)

x 2 − 4 x − 5 = ( x − 2 ) − 9 ≥ −9 ⇒ max y = max { f ( −2 ) , f ( 2 ) , f ( 6 )} = f ( 2 ) = 9 [ −2;6]

Câu 12: Đáp án A

Ta có f ( x ) = 1 −

m2 − m + 1 m2 − m + 1 ⇒ f '( x) = > 0 vì m 2 − m + 1 > 0 2 x +1 ( x + 1)

m = 2 Theo đề: min f ( x ) = f ( 0 ) = −m 2 + m = −2 ⇔  . [ 0;1] m − 1

PT (1) có ∆ = ( 4 − m ) − 8 (1 − m ) = m 2 + 8 > 0 nên luôn tồn tại 2 giao điểm phân biệt A, B

m−4   x A + xB = 2 Theo định lý Vi-et thì  . x x = 1 − m  A B 2 Khi đó AB =

( x A − xB )

Câu 13: Đáp án C ⇒ SOAB =

+ ( y A − y B ) = 5 ( x A − xB ) = 5

d ( O, AB ) . AB

= 3⇔2 3=

Câu 19: Đáp án A

Câu 14: Đáp án B

Vì lim y = +∞ ⇒ Hệ số của x 3 lớn hơn 0. x →+∞

− 4 x A xB =

5 m2 + 8 2

5 m 2 + 8 ⇔ m 2 = 12 ⇔ m = ±2 3 . 5 2

 lim+ y = +∞ Ta có lim y = lim y = 0 ⇒ TCN y = 0 và  x→ 2 ⇒ TCĐ x = 2 x →+∞ x →−∞ y = −∞  xlim → 2−

( x A + xB )

Hàm số đồng biến trên ℝ nên có y ' ≥ 0 với mọi x.

log 6 5 =

Câu 20: Đáp án C Vì lim y = +∞ ⇒ Hệ số của x 4 lớn hơn 0.

1 1 1 ab = = = . log 5 6 log 5 2 + log 5 3 1 1 a + b + a b

Câu 31: Đáp án D

x →+∞

Đồ thị có 3 điểm cực trị nên phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt là 0 và ±1.

Cách mệnh đề A sai do nghịch biến, B sai do đồng biến, C sai.

Câu 21: Đáp án A

Câu 32: Đáp án A

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 (loại C) và tiệm cận đứng x = −1 (loại D). Hàm số đồng

42 x +3 = 84− x ⇔ 24 x +6 = 212−3 x ⇔ 4 x + 6 = 12 − 3 x ⇔ 7 x = 6 ⇔ x =

biến trên các khoảng xác định nên có y ' ≥ 0 .

Câu 33: Đáp án B

Câu 22: Đáp án D

K = (2

−4 −0,75

)

+ (2

4 −3 − 3

)

( −4).( −0,75)

4   3

( −3).

= 2 + 2 = 24.

−1

−3

2 .2 + 5 .5

10−3 :10−2 − ( 0, 25 )

3+ ( −1)

−3−( −2 )

−1

= −10.

2 1 + 2

Ta có

= a6 .

Câu 25: Đáp án A 1  1  K =  x2 − y2   

Câu 35: Đáp án A

Ta có a 3 a = a 3 a 2 = a 3

3 3 3 9 x + 6 x = 2.4 x ⇔   +   = 2 ⇒   = t > 0, t 2 + t = 2 ⇒ t = 1 ⇒ x = 0 2 2 2

( −3) + 4

Câu 24: Đáp án A 2

 x > −1  x > −1 ln ( x + 1) + ln ( x + 3) = ln ( x + 7 ) ⇔  2 ⇔ 2 ⇔ x =1 + + = + x 4 x 3 x 7   x + 3x − 4 = 0 Câu 34: Đáp án B

Câu 23: Đáp án B 3

6 ∈ [ 0;1] 7

1 2 1 2 + =1⇔ + = 1 . Đặt t = lg x ⇒ 2 + t + 8 − 2t = −t 2 + 2t + 8 4 − lg x 2 + lg x 4−t 2+t

⇔ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1; t = 2 ⇒ x = 10; x = 100. −1

 y y  1 − 2 x + x  =  

(

x− y

)

 y  :  − 1 = x.  x 

Câu 36: Đáp án B

(

)

x + 2 = t ⇒ x = 7';

t 2

Câu 26: Đáp án A

log 7 x = log 3

Hàm số xác định khi 4 − x 2 > 0 ⇔ −2 < x < 2.

Hàm số bên trái có nghiệm duy nhất t nên phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 27: Đáp án A

Câu 37: Đáp án D

 log a a 2 3 a 2 5 a 4 : 15 a 7 = log a  a 

(

)

2 4 7 2+ + − 3 5 17

 3  = log a a = 3. 

Một cạnh thì giao của hai mặt.

Câu 38: Đáp án D

Câu 28: Đáp án B

Đa diện đều khi các mặt là đa giác đều bằng nhau.

Điều kiện xác định 4 x − x 2 > 0 ⇔ 0 < x < 4.

Câu 39: Đáp án A

Câu 29: Đáp án D

V = S ABC . AA ' =

Phương án A, B, C đều cần b > 0 ; c > 0 .

Câu 30: Đáp án B

a2 3 a 3 15 .a 5 = . 4 4

Câu 40: Đáp án B Giả sử cạnh tam giác đều là x ta có

 7 2  1 2 x + 2 = 3' ⇒ 7 + 2 = 9 ⇒   + 2   = 1 9   9

3 2 . = 2 3

( 2a )

− a2 ⇒

1 3 3a 3 3 = a 3 ⇒ x = 3a ⇒ V = .a.9a 2 . = 3 4 4 3

Câu 41: Đáp án C

Kẻ CF ⊥ SB , qua F kẻ đường thẳng song song với AB cắt SA tại E ⇒ mặt phẳng cần tìm là (CEF) Ta có

FS CS 2 a2 SF 1 SE 1 1 = = = ⇒ = ⇒ = FB CB 2 2a 2 2 SB 3 SA 3

Ta có

VS .CFE SC SF SE 1 1 1 1 = . . = 1. . = ⇒ VS .CFE = VS .CBA VS .CBA SC SB SA 3 3 9 9

Ta có SC ∩ ( ABC ) = {C} và SA ⊥ ( ABC ) = 30° SC , ( ABC ) ) = ( SC , AC ) = SCA ⇒ (

= Ta có tan SCA Ta có S ABC = ⇒ VS . ABC =

SA = a.tan 30° = a ⇒ SA = AC.tan SCA AC 3

a2 3 4

Ta có S ABC =

1 1 a2 a3 AB. AC = ⇒ VS . ABC = SC.S ABC = 2 2 3 6

1 1 a3 a3 ⇒ VS .CFE = VS . ABC = . = 9 9 6 54 Câu 44: Đáp án C

1 1 a a 2 3 a3 SA.S ABC = . . = 3 3 3 4 12

Hình nón tạo thành có đường cao đường sinh l = a , bán kính r =

Câu 42: Đáp án A

a π a2 ⇒ S xq = π rl = . 2 2

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 45: Đáp án C

Ta có HA = HB = HC mà A ' A = A ' B = A ' C

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên h = 2 a ⇒ S xq = 2π rh = 4π a 2

⇒ A ' H ⊥ ( ABC )

Câu 46: Đáp án A

Ta có AA '∩ ( ABC ) = { A} và A ' H ⊥ ( ABC )

Gọi M là trung điểm của AC Trong mặt phẳng (SAC) qua M kẻ đường thẳng song song

AA ', ( ABC ) ) = ( AA ', AH ) = A ' AH = 60° ⇒ (

Ta có tan A ' AH =

Mà AM =

SA cắt SC tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

A' H ⇒ A ' H = AH .tan A ' AH AH

Ta có IM =

a 3 a 3 2 ⇒ AH = AM = 2 3 3

Ta có S ABC =

3 4

⇒ VABC . A ' B ' C ' = A ' H . S ABC =

Câu 43: Đáp án B

 AB ⊥ AC Ta có  ⇒ AB ⊥ ( SAC ) ⇒ AB ⊥ SB  AB ⊥ SC

a 2 a 2 ⇒ R = IA = IM 2 + MA2 =   +   = a  2   2 

a 3 .tan 60° = a ⇒ A ' H = AH .tan A ' AH = 3 2

a 2 a 2 1 1 , MA = AC = SA = 2 2 2 2

Câu 47: Đáp án D

Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là

a2 + a2 + a2 a 3 a3 3 4 = ⇒ V = π R3 = 2 2 3 2

Câu 48: Đáp án B

Áp dụng công thức giải nhanh ta có R =

SA2 a 2 = 2S H 2

với

Câu 49: Đáp án B

Kẻ AB’, AD’ lần lượt vuông góc với SB, SD Gọi I là giao điểm của SO và B’D’, gọi C’ là giao điểm của SC Khi đó mặt phẳng (P) là (AB’C’D’) Khối đa diện ABCD.A’B’C’D’ có tâm mặt cầu là O Ta có R = OA =

a 2 ⇒ S = 4π R 2 = 2π a 2 . 2

Câu 50: Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

( SAB ) ⊥ ( ABC D ) Ta có  ⇒ SH ⊥ ( ABC D )  SH ⊥ AB Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của ∆SAB Qua O, G lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng (ABCD) và (SAB) cắt nhau tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a 5 1 1 a 3 a 3 1 Ta có GH = I O = SH = . , OA = . AC = = 3 3 2 2 2 2 Bán kính mặt cầu là IA = I O2 + OA2 =

2a 3 3

AI và

ĐỀ 07

ĐỀ THI HỌC KÌ I Môn: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = cos 2x − 4 cos x A. 6

B. 4

C. 7

A. ( 3; +∞ )

B. ( −∞;3)

C. (−∞;3]

D. [3; +∞)

Câu 11: Đặt log 2 3 = a, log3 5 = b . Hãy biểu diễn log3 30 theo a, b A.

a + ab + b a

a + ab + 1 a

C. b

D. 1 + a + ab

Câu 12: Tìm tập xác định của hàm số y = log 0,3 ( x + 2 ) D. 5

A. [1; +∞)

B. (−2; −1]

C. [0; +∞)

D. [2; +∞)

Câu 2: Khi nuôi cá thí nghiệm trong một hồ, nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ nuôi n con cá

Câu 13: Với mức tiêu thụ thức ăn của trang trại A không đổi như dự định thì lượng thức ăn dự

n ∈ N* thì trung bình sau mỗi vụ mỗi con cá nặng P ( n ) = 480 − 20n ( gam ) . Hỏi phải thả bao

trữ sẽ hết sau 100 ngày. Nhưng thực tế, mức tiêu thụ thức ăn tăng thêm 4% mỗi ngày (ngày sau

nhiêu con cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ để sau mỗi vụ khối lượng cá thu được là nhiều

tăng 4% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn dự trữ đó sẽ hết sau khoảng bao nhiêu

nhất?

ngày? (làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 9 con

B. 15 con

Câu 3: Đồ thị hàm số y = e A. 0

C. 10 con

D. 12 con

− 3x − 5 ) có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − mx 2 + 2m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

A. m > 8

B. m ∈ ( 0;8 )

B. ( 0; +∞ )

C. m > 0 2

+ ( x − 1)

D. m ∈ [ 0;8]

C. ℝ \ {1}

3V 4

V 4

B. x = −6

B. n = 1

 3 A.  0;   2

C. x = −2

D. x = 0,5

V 2

B. {−1;1}

C. ∅

D. {0}

C. n = 2

D. n = 3

C. A = 39

C. ( 2; 2 )

3  D.  0; −  2 

B. x.3x−1

C. 3x

D. 3x ln 3

Câu 18: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = A. y = − x − 2

D. A = 35

 3  B.  − ;0   2 

2x + 3 với trục tung x−2

B. y = x + 2

x+2 tại điểm A ( −2; 0 ) x +1

C. y = − x

D. y = − x + 2

Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x + x + 1 trên đoạn [ 0;1] 3

Câu 9: Tính tổng của tất cả các nghiệm của phương trình 12 + 6 x = 4.3x + 3.2x A. 1

B. 3

2V 3

Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số y = 3x A. 3x log 3 x

Câu 8: Tính giá trị của biểu thức A = 5log5 7 + log 2 32 B. A = 12

A. {1}

Câu 16: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y =

Câu 7: Gọi n là số điểm cực trị của hàm số y = x 4 − 5 x 2 + 6 . Tìm n

A. A = 7

D. 43 ngày

Tính thể tích của khối đa diện MNBCD

D. ( 0; +∞ ) \ {1}

A. n = 0

C. 37 ngày

−3

1 Câu 6: Giải phương trình   = 4 x+ 3 2

A. x = 2

B. 41 ngày

Câu 15: Tìm tập nghiệm của phương trình 32+ x + 32− x = 30

Câu 5: Tìm tập xác định của hàm số y = x A. ℝ \ {0}

A. 40 ngày

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

C. 4

Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số y = log 0,2 ( x − 3)

D. 2

A. 5

B. 3

Câu 20: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?

C. 4

5 2

A. y =

x−2 x +1

B. y = x 4 + 1

C. y = x3 + 2 x

D. y = x3 + 2 x2

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A.

a3 3

a3 3 6

a3 3 2

Câu 28: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x có đồ thị (C). Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 0.

A. k = 0

−∞ -

y' y

-1 0

+∞

-4

π 3a3 6

π 3a3 24

πa 3 24

A. 24

B. 8

C. 48

Câu 31: Gọi n là số nghiệm của phương trình 5 .3 x

-4

A. n = 2

B. n = 0

x+1

A. y = x 4 − 3x 2 − 3

Câu 32: Đồ thị được vẽ trên hình là đồ thị của hàm số nào

C. y = x 4 − 2 x 2 − 3

D. y = x 4 + 2 x 2 − 3

đây?

Câu 23: Hỏi hàm số y = x3 − 3x + 5 nghịch biến trong khoảng nào? B. (1; +∞ )

Câu 24: Cho lăng trụ đứng

C. ( −1;1)

π 3a3 8

A. y =

2x + 1 x−2

B. y =

2x + 1 x −1

C. y =

x −1 x−2

D. y =

2x + 1 1− x

D. ( −∞;1)

ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân đỉnh A và

D. 12

= 45 . Tìm n

C. n = 1

1 B. y = − x 4 + 3 x 2 − 3 4

A. ( 7;3 )

D. k = −2

Câu 30: Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = 2, AD = 3, AA ' = 4

-3

−∞

C. k = 2

của khối nón đã cho.

0 +

1 2

Câu 29: Một khối nón có thiết diện đi qua trục của nó là một tam giác đều cạnh a. Tính thể tích

D. a3

Câu 22: Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? x

B. k =

D. n = 3 dưới

AB = a, BAC = 300 , AA ' = 2a . Tính thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' A.

a3 3 4

a3 3 2

a3 6

a3 2

Câu 25: Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = − x + 3x 3

A. ( −1; −2 )

B. (1; 0 )

C. (1; 2 )

D. ( 0; 0 )

nghiệm trái dấu?

B. m ∈ ∅

 81  C. m ∈  0;   4

Câu 27: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. x = 1

B. x = −1

B. 2πa 2

C. 4πa 2

D. 3πa2

Câu 34: Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) , SA = a . Tính thể tích hình chóp đã cho.

A. 2a3 3 D. m < 0

a3 3 3

2a 3 5 3

2a 3 3 3

1 Câu 35: Tìm tập nghiệm của bất phương trình   > 9 3

x +1 x −1

C. y = −1

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD

A. 6πa 2

Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 9 x − 3x+ 2 + m = 0 có hai

A. m ∈ ( 0;8 )

Câu 33: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a .

D. y = 1

A. ( −∞; 2 )

B. ( −2; +∞ )

C. ( 2; +∞ )

Câu 36: Gọi n là số nghiệm của phương trình 4 x − 2 x+1 − 3 = 0 . Tìm n

D. ( −∞; −2 )

A. n = 2

B. n = 3

C. n = 1

D. n = 0

Câu 37: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 3 ( 2 x − 1) > 1 1  A.  ; +∞  2 

B. ( −∞; 2 )

C. ( 2; +∞ )

D. [1; +∞)

A. 4π

a 3 2

C. a

a 6 3

A. 1

B. e

32π 3

D. 16π

C. 8a3

D. 27a3

Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx 4 + ( m − 1) x 2 + 2 có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu

m ≤ 0 B.  m ≥ 1

A. m < 0 D. 2

Câu 40: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 3 . Quay hình chữ nhật

4π 3

B. 81a3

Câu 39: Cho hàm số y = x ln x . Tính y ' ( e )

1 C. e

D. ( 0; 2 )

Câu 46: Hình lập phương có diện tích một mặt bằng 9a 2 , tính thể tích hình lập phương đó A. 9a3

phẳng (BCD)

C. ( −∞;1)

Câu 45: Một mặt cầu có diện tích bằng 16π , tính thể tích của khối cầu đó

Câu 38: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt

A. a 6

B. ( −∞; +∞ )

A. (1; +∞ )

C. m ≤ 0

D. m < 1

Câu 48: Tìm tất cả các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 4 + 3x 2 − 4 với trục hoành A. x = 1

B. x = ±1

C. x = 2

D. x = ±2

ABCD xung quanh cạnh CD ta thu được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh hình trụ đó

A. 12π

B. 6π

Câu 41: Tìm tập xác định của hàm số y = A. ℝ \ {1}

B. (1; +∞ )

C. 9π

D. 4π

2x + 1 1− x

V 3

D. ℝ

V 8

là giao tuyến của ( P) và (Q) . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. d thuộc một mặt trụ cố định có khoảng cách giữa đường sinh và trục bằng 4 2 B. d thuộc một mặt trụ cố định có khoảng cách giữa đường sinh và trục bằng 8 C. d thuộc một mặt trụ cố định có khoảng cách giữa đường sinh và trục bằng 4

a3 2 2

đồng biến trên khoảng nào?

a3 2 6

a3 3 2

a3 3 3

Đáp án 1-D

2-D

3-C

4-A

5-D

6-C

7-D

8-B

9-B

10-A

11-A

12-B

13-B

14-A

15-B

16-D

17-D

18-A

19-B

20-C

21-B

22-B

23-C

24-B

25-C

26-A

27-D

28-C

29-B

30-A

31-C

32-C

33-A

34-B

35-D

36-C

37-C

38-D

39-D

40-A

41-A

42-A

43-C

44-A

45-C

46-D

47-C

48-B

49-A

50-B

D. d thuộc một mặt trụ cố định −2x

D. m ≤ 3

chóp đó

V 2

8. Hai mặt phẳng (P),(Q) thay đổi vuông góc với nhau lần lượt chứa hai đường thẳng a, b. Gọi d

C. m > 3

Câu 50: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . Tính thể tích của hình

Câu 43: Cho hai đường thẳng a, b cố định, song song với nhau và khoảng cách giữa chúng bằng

Câu 44: Hỏi hàm số y = e x

B. m ≤ −3

A. m < −3  1 C. ℝ \ −   2

thể tích của hình chóp M . A ' B ' C '

V 6

x+3 đồng biến trên từng x−m

khoảng xác định của nó

Câu 42: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng V. Gọi M là trung điểm của AA ' . Tính

Câu 49: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án D

Ta có: y = 2cos2 x − 1 − 4cos x. Đặt t = cos x ( t ∈ [ −1;1]) khi đó: f ( t ) = 2t 2 − 4t − 1

Ta có A = 5log5 7 + log 2 32 = 7log5 5 + log 2 25 = 7 + 5 = 12

Ta có: f ' ( t ) = 4t − 4 = 0 ⇔ t = 1

Câu 9: Đáp án B

Mặt khác f ( −1) = 5; f (1) = −3 ⇒ max f ( t ) = 5

2 x = 4 Ta có PT ⇔ 4 ( 3 − 3x ) + 2 x ( 3 − 3x ) = 0 ⇒ ( 2 x − 4 )( 3x − 3) = 0 ⇔  x ⇔ 3 = 3

[ −1;1]

Câu 2: Đáp án D

Do đó T = 3

Khối lượng cá là: nP ( n ) = 480n − 20n 2 = −20 (12 − n 2 ) + 2880 ≤ 2880

Câu 10: Đáp án A

Để khối lượng cá thu được nhiều nhất thì phải tha 12 con trên mỗi đơn vị diện tích.

Hàm số xác định khi x − 3 > 0 ⇔ x > 3

Câu 3: Đáp án C

Câu 11: Đáp án A

Ta có: y ' = e x ( x 2 − 3x − 5 ) + ( 2 x − 3) e x = e x ( x 2 − x − 8 ) = 0 ⇔ x = Do y ' đổi dấu khi qua các điểm x =

x = 2  x = 1

1 ± 33 2

1 ± 33 nên hàm số có 2 điểm cực trị 2

Ta có: log 3 30 =

log 2 30 log 2 3 + log 2 2 + log 2 5 a + 1 + log 2 3.log 3 5 a + 1 + ab = = = log 2 3 a a a

Câu 12: Đáp án B

Câu 4: Đáp án A

 x > −2  x + 2 > 0 Hàm số đã cho xác định khi  ⇔ ⇔ −2 < x ≤ −1 0  x + 2 ≤ 0,3 = 1 log 0,3 ( x + 2 ) ≥ 0

Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 − mx 2 + 2m = 0

Câu 13: Đáp án B

Đặt t = x 2 ( t > 0 ) ta có t 2 − mt + 2m = 0 (1)

Giả sử ban đầu mỗi ngày lượng thức ăn là x suy ra lượng thức ăn dự trữ là

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì PT (1) có 2 nghiệm dương phân biệt

T = x + x.1, 04 + x.1, 042 +

∆ = m 2 − 8m > 0  ⇔ S = m > 0 ⇔ m>8  P = 2m > 0 

Thực tế số ngày lượng thức ăn dự trữ hết là n thì :

Câu 5: Đáp án D

Câu 14: Đáp án A

x > 0 Hàm số xác định khi  ⇒ D = ( 0; +∞ ) \ {1} x ≠ 1

Ta có:

T = x + x.1,04 + x.1, 042... + x.1, 04n −1 = x.

1 − 1,04n−1 1 − 1,04 n−1 = 100 ⇒ n ≈ 41 ngµy . Giải 1 − 1,04 1 − 1, 04

VA.DMN AM AN 1 V 3V = . = ⇒ VA.DMN = ⇒ VABCD = VA.BCD AB AC 4 4 4

Câu 6: Đáp án C x

x +3 1 Ta có:   = 4 x +3 ⇔ 2− x = ( 22 ) = 22 x + 6 ⇔ − x = 2 x + 6 ⇔ x = −2 2  

Câu 7: Đáp án D

Câu 15: Đáp án B

x = 0 . Do đó hàm số có 3 điểm cực trị Ta có: y ' = 4 x 3 − 10 x = 0 ⇔  x = ± 5  2

Ta có:

Câu 8: Đáp án B

32+ x + 32− x = 30 ⇔ 9.3x +

t = 3 9 9 t =3x 2  t t t = 30  → 9 + = 30 ⇔ 9 − 30 + 9 = 0 ⇔ ⇒ x = ±1 t = 1 t 3x 3 

Câu 16: Đáp án D

Câu 24: Đáp án B

2x + 3 Giao điểm của đồ thị hàm số y = với trục tung. x−2

S ABC =

Cho x = 0 ⇒ y = −

3 ⇒ tọa độ giao điểm 2

3   0; −  2 

a3 3 1 2 a sin 300 = 2 4

Thể tích lăng trụ là: V = AA '.S ABC = 2a.

a3 3 a3 3 = 4 2

Câu 17: Đáp án D Ta có : y ' = 3x ln 3

Câu 25: Đáp án C

Câu 18: Đáp án A Ta có: y ' =

−1

( x + 1)

Ta có : y ' = −3x 2 + 3 = −3 ( x 2 − 1) = 0 ⇔ x = ±1

⇒ y ' ( −2 ) = −1; y ( −2 ) = 0

Ta có : y '' = −6 x; y '' (1) = −6 < 0 ⇒ x = 1 là điểm cực đại ; y '' ( −1) = 6 > 0 ⇒ x = −1 là điểm cực

Do đó PTTT tại A ( −2; 0 ) là: y = −1 ( x + 2 ) = − x − 2

Câu 19: Đáp án B

tiểu. Tọa độ điểm cực đại là : (1; 2 )

Ta có: y ' = 3x + 1 > 0 ( ∀x ∈ [ 0;1]) nên Max = y (1) y = 3

Câu 26: Đáp án A

Câu 20: Đáp án C

Đặt t = 3x > 0 ⇒ ta có phương trình” f ( t ) = 9t 2 − 9t + m = 0 (1)

[0;1]

Loại A vì hàm số không có tập xác định là ℝ

Để phương trình bàn đầu có hai nghiệm trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2

Loại B và D vì hàm số không thỏa mãn y ' > 0 ( ∀x ∈ ℝ ) Xét C ta có: y ' = 3 x 2 + 2 > 0 ( ∀x ∈ ℝ ) nên hàm số đồng biến trên ℝ

Câu 21: Đáp án B Gọi H là trung điểm của AB. Vì ∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB 2

Ta có: HB =

a a 3 a , SH = SB 2 − HB 2 = a 2 −   = 2 2 2

Thể tích khối chóp S. ABCD là: V =

1 1 a 3 2 a3 3 SH .S ABCD = . .a = 3 3 2 6

Câu 22: Đáp án B Câu 23: Đáp án C Ta có: y ' = 3 x 2 − 3 = 3 ( x 2 − 1) < 0 ⇔ −1 < x < 1 ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1)

thỏa mãn: 0 < t1 < 1 < t2

 ∆ = 9 2 − 4m > 0  ⇔  f ( 0) = m > 0 ⇔ 0<m<8  f 1 8 m 0 = − + < ( ) 

Câu 27: Đáp án D x +1 Ta có : lim y = lim = lim x →∞ x →∞ x − 1 x →∞

1 x = 1 ⇒ y = 1 là TCN 1 1− x 1+

Câu 28: Đáp án C Ta có : y ' = −4 x 3 + 2 ⇒ k = y ' ( 0 ) = 2

Câu 29: Đáp án B 2

Bán kính đáy là: r =

a a 3 a . Chiều cao của hình nón là: h = a 2 −   = 2 2  2

1 1  a  a 3 π 3a 3 Thể tích của khối nón là : V = π r 2 h = π .   . = 3 3 2 2 24

Câu 36: Đáp án C

Câu 30: Đáp án A

t = −1( L ) t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔  t = 3

Phương

Thể tích của hình hộp là: V = 2.3.4 = 24

Câu 31: Đáp án C

trình

đã

cho

⇔ 22 x − 2.2 x − 3 = 0 .

Đặt

t = 2x > 0 ,

( 2; +∞ )

Câu 33: Đáp án A

Câu 38: Đáp án D

Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD; SA ⊥ AD (1)

Gọi H là hình chiếu của A xuống ( BCD ) ⇒ H là tâm

 BD ⊥ SA Ta có:  ⇒ BD ⊥ ( SAB ) ⇒ BD ⊥ SB ( 2 )  BD ⊥ AB

tam giác BCD

Chứng minh tương tự ta có: CD ⊥ SC ( 3 )

Ta có: BH =

Gọi I là trung điểm của SD. Từ (1), (2) và (3) ⇒ I là tâm

2 2 a a 3 a −  = 3 3 2

mặt 2

cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD Ta có: AD = a 2 + a 2 = a 2

(

+ a 2

)

a 6 = 2

a 6 2 S = 4π R 2 = 4π .   = 6π a  2  Câu 34: Đáp án B

1 2 = ( 2a ) sin 600 = a 2 3 2

a3 3 1 1 Thể tích hình chóp là: V = SA.S ABC = .a.a 2 3 = 3 3 3 Câu 35: Đáp án D

Bất phương trình ⇔ 3− x > 32 ⇔ − x > 2 ⇔ x < −2 . Vậy tập nghiệm của bất phượng trình là:

( −∞; −2 )

a 3 a 6 d ( A; ( BCD ) ) = AH = a 2 −   = 3 3   Câu 39: Đáp án D

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD là:

S ABC

có:

Bất phương trình ⇔ 2 x − 1 > 3 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 2 . Và tập nghiệm của bất phương trình là:

Đồ thị có TCĐ: x = 2 và TCN: y = 1

Câu 37: Đáp án C

Câu 32: Đáp án C

( 2a )

đó

Với t = 3 thì 2 x = 3 ⇔ x = log 2 3 . Vậy phương trình có 1 nghiệm ⇒ n = 1

Phương trình ⇔ 5 x .3x = 15 ⇔ 15 x = 15 ⇔ x = 1 . Vậy n = 1

SD R= = 2

khi

Ta có: y ' = ln x + 1 ⇒ y ' ( e ) = 2 Câu 40: Đáp án A

Hình trụ có bán kính r = AD = 3 , đường sinh l = AB = 2 Diện tích xung quanh của hình trụ là: S xq = 2π rl = 2π .3.2 = 12π Câu 41: Đáp án A

Tập xác định 1 − x ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 Câu 42: Đáp án A

1 1 1 V VM . A ' B ' C ' = .VA. A ' B ' C ' = . .VABC . A ' B ' C ' = 2 2 3 6 Câu 43: Đáp án C

Vì a ⊂ ( P ) , b ⊂ ( Q ) và a // b nên giao tuyến d cũng // với a và b.

Lấy A ∈ a và B ∈ b sao cho AB = 8 ⇒ a ⊥ AB ⊥ b. Mặt phẳng qua AB vuông góc với a cắt d tại C ⇒ ∠ACB = 90 ⇒ C di động trên đường tròn đường kính AB ⇒ d thuộc một mặt trụ cố

Xét chóp tứ giác đều S. ABCD có O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

định.

Vì A, B, C thuộc đường tròn đáy của hình trụ, mà đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm M của AB, bán kính

AB =4 2

⇒ Khoảng cách giữa đường sinh với trục là 4. Câu 44: Đáp án A

Ta có y ' = 2 ( x − 1) e x

−2 x

 → y' ≥ 0 ⇔ x ≥1

Câu 45: Đáp án C

S = 4π r 2 = 16π ⇔ r = 2 ⇒ V =

4π r 3 32π = 3 3

Câu 46: Đáp án D

Giả sử x là độ dài cạnh hình lập phương. Ta có x 2 = 9a 2 ⇔ x = 3a ⇒ V = x3 = 27a 3 Câu 47: Đáp án C

Với m = 0 ⇒ y = − x 2 + 2 (thỏa mãn). Xét m ≠ 0, ta có y ' = 4mx3 + 2 ( m − 1) x = 2 x ( 2mx 2 + m − 1) Để hàm số không có cực tiểu thì m < 0 và y ' = 0 chỉ có duy nhất 1 nghiệm.

x = 0 m > 1 1− m . Vậy m ≤ 0 là giá trị cần tìm Mà y ' = 0 ⇔  2 1 − m nên cần <0⇔ x = 2m m < 0 2m  Câu 48: Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm x 4 + 3x 2 − 4 = 0 ⇔ ( x 2 + 4 )( x 2 − 1) = 0 ⇔ x = ±1 Câu 49: Đáp án A

Ta có y =

x+3 m+3 = 1+ . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì trước hết x−m x−m

m ≠ −3 Khi đó cần y ' = −

m+3

( x − m)

Câu 50: Đáp án B

> 0 ⇔ m < −3

a 2 SO.S ABCD a 3 2 a 2 ⇒ VS . ABCD = = Ta có SO = SA2 − OA2 = a 2 −   =  2 3 6  2 

ĐỀ 08

ĐỀ THI HỌC KÌ I

Câu 8: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số

trong

Môn: TOÁN 12

bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới

đây.

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Cho hàm số y =

C. y = − x 3 + 3x − 1.

A. Hàm số đơn điệu trên ℝ .

D. y = x 3 + x 2 − 1.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;3) và (3; +∞) .

Câu 9: Tìm giá trị cực tiểu của yCT của hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 5.

C. Hàm số nghịch biến trên ℝ \ {3} .

A. yCT = 5.

D. Hàm số đồng biến trên ℝ \ {3} .

C. m = 0

D. m = -2

Câu 3: Một chất điểm chuyển động theo qui luật s(t ) = −t 3 + 6t 2 . Tính thời điểm t(giây) tại đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. B. t = 6

B. (−∞; −2)

Câu 5: Đồ thị hàm số y = A. 3

x 2 − 2016

C. (0; +∞)

D. t = 0

D. ℝ

có bao nhiều đường tiệm cận nang?

B. 2

C. 0

D. 2.

đặt cực đại tại điểm x = 1. B. m = 2.

C. m = 0.

D. m = 4.

Câu 12: Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất trên ℝ. A. y = − x 3 − x 2 + 2.

B. y = 2 x 3 − x 2 − 5.

C. y = 2 x 4 − x 2 − 5.

D. y = − x 3 − x 2 + 3.

[ −1;1]

B. min y = 3.

C. min y = 0.

[ −1;1]

D. min y = −1. [ −1;1]

Câu 14: Tìm giá trị của m để hàm số y = − x − 3x + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −1;1] bằng 0. 3

A. m = 6.

C. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.

thiên như hình dưới.

D. Đồ thị hàm số nhận trục Ox làm trục đối xứng. Câu 7: Đồ thị hàm số nào sua đây có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 ? B. y =

B. m = 0.

C. m = 2.

D. m = 4.

Câu 15: Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục trên các khoảng (−∞;1),(1; +∞) và có bảng biến

x →+∞

x −3 . x2 − 4

C. 0.

1 Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = x 3 − mx 2 + (m2 − m + 1) x + 1 3

A. min y = 3.

D. 1

B. lim y = +∞ và lim y = +∞

A. y =

B. 1.

A. Hàm số tập xác định là ℝ. x →−∞

D. yCT = 9.

Câu 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 6 − 3 x trên đoạn [ −1;1] bằng 0.

Câu 6: Cho hàm số y = x − 2 x + 3. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 4

A. 3.

A. m = 1.

C. t = 4

Câu 4: Hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 nghịch biến trên khoảng nào?

2x + 3

C. yCT = 3.

Câu 10: Số điểm cực trị của hàm số y = − x − x + 1 là:

B. m = 2

A. (−2;0)

B. yCT = 1. 4

1 Câu 2: Tìm m bé nhất để hàm số y = x 3 + mx 2 + 4 x + 2016 đồng biến trên tập xác định? 3

A. t = 2

A. y = − x 2 + x − 1. B. y = x 4 + x 2 − 1.

x −3 khẳng định nào sau đây là đúng? x+3

A. m = -4

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

x−2 . x2 − 4

C. y =

x −2 . x2 + 4

D. y =

x +3 . x2 + 4

Câu 22: Cho a là số thực dương. Rút gọn biểu thức P = B. P = a −1 .

A. P = a2 .

3 −1

5 −3

)

3 +1

a 4−

C. P = 1.

. D. P = a.

Câu 23: Cho a, b là hai số thực dương, m là một số nguyên còn n là một số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Khẳng định nào sau đây đúng? A. a m .a n = a m + n .

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 5.

2x −1 . Khẳng định nào sua đây là khẳng định sai? x −1

A. Hàm số không có cực trị. B. lim y = 2 và lim y = 2 . C. Đồ thị hàm số không cắt trục tung.

A. Q = 5a + b.

B. Q = 5b + a.

C. Q = 6 a − b.

D. Q = 11a − 5b.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Câu 19: Tìm điều kiện của m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x 4 − x 2 tại bốn điểm phân biệt.

C. Hàm số y = (π ) x nghịch biến trên ℝ. D. Hàm số y = ln x đồng biến trên khoảng (0; +∞). Câu 27: Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh dáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung quang bằng 480. Tính thể tích của khối lăng trụ.

A. 2010

B. 1080

C. 2040

D. 1010

Câu 28: Cho a, b là hai số thực dương. Tìm x biết: log 2 x = 2 log 2 a + 4 log 2 b .

1 B. 0 < m < . 4

1 C. m < − . 4

1 D. m > . 4

Câu 20: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x + 1 + 3 − x trên đoạn [ −1;3]. A. max f ( x ) = 2 3.

[ −1;3]

C. max f ( x ) = 2 2.

A. x = a 2 .b 4 .

D. max f ( x ) = 2.

Câu 21: Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? B. 3

C. 6

C. x = a.b2 .

D. x = a.b 4 .

Câu 29: Cho hai hàm số thực dương x, y thỏa mãn x 2 + y 2 = 7 xy. Khẳng định nào sau đây là

A. log

x+y 1 = (log x + log y). 3 2

B. log

x 2 + y2 = 3log x + 3log y). 7

C. log

x+y = log x 2 + log y 2 . 3

D. log

x+y = 2(log x 2 + log y 2 ). 7

[ −1;3]

B. x = a 2 .b2 .

đúng?

B. max f ( x ) = 3 2.

[ −1;3]

A. 9

D. m ≥ n.

7 Câu 25: Đặt a = ln 2, b = ln 3. Hãy biểu điễn Q = ln 21 + 2 ln14 − 3ln theo a và b. 2

Câu 18: Tìm số gia điểm của đồ thị hàm số y = ( x − 1)( x 2 + x + 3) với trục hoành.

1 A. − < m < 0. 4

C. m = n.

B. Hàm số y = (3−1 ) là hàm số mũ.

Câu 17: Cho hàm số y = x + 2 x . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị song song với trục hoành?

A. 2.

D. a n = n m .

A. Hàm số y = log x là hàm số logarit.

D. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm I (1;2).

A. 3.

m n

C. ( a m ) = a m + n .

Câu 26: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

x →+∞

B. m < n.

A. m > n.

D. Hàm số có nhiều hơn hai cực trị.

x →−∞

am = am − n . an

Câu 24: Cho (2 − 3)m > (2 − 3)n , với m, n ∈ ℤ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Câu 16: Cho hàm số y =

D. 8

Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = ln( x 2 − 4 x ). Tìm tập nghiệm của phương trình f '( x ) = 0. A. (−∞;0) ∪ (4; +∞).

B. {4} .

C. {2} .

D. θ .

Câu 31: Giải phương trình e 4 − ln x = x.

A. V =

3 . 96

B. V =

2 . 12

C. V =

2 . 96

D. V =

3 . 16

Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = 0 và lim f ( x ) = +∞. Khẳng định nào sau đây đúng? x →+∞

A. x = e . 2

B. x = e . 4

C. x = e.

Câu 32: Tìm tập xác định D của hàm số y = (1 − x 2 )

D. x = e .

+ x −2 .

x →0

A. Đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị của hàm số đã cho không có một tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.

A. D = (−1;1).

B. D = (0;1).

C. Đồ thị của hàm số đã cho không có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

C. D = ℝ \ {−1;1} .

D. D = (−1;1) \ {0} .

D. Đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

Câu 33: Cho hàm số y = 2016.e

x .ln

1 8

Câu 39: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Tính theo V thể tích khối tứ diện AB’CD’. . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. y '+ 2 y ln 2 = 0.

B. y '+ 3y ln 2 = 0.

C. y '− 8 y ln 2 = 0.

D. y '+ 8 y ln 2 = 0.

B. x = 2.

V . 3

3V . 4

2V . 3

V . 6

Câu 40: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C có dáy ABC là tam giác vuông tại B.

AB = 2a, AC = a 5, AA ' = 2a 3. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C

Câu 34: Giải phương trình log2 (3x − 2) = 2.

4 A. x = . 3

C. x = 1.

2 D. x = . 3

Câu 35: Khẳng định nào dới đây là khẳng định đúng? A. Hình chóp nào cũng có có mặt cầu ngoại tiếp. B. Hình hộp đứng nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp. C. Hình lăng trụ tam giác có cạnh bên không vuông góc với đáy có thể nội tiếp một mặt cầu.

A. V =

2a3 3 . 3

a3 3 . 3

B. V =

C. V = 4a3 3.

D. V = 2 a3 3.

Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. S = 4π a2 .

B. S = 3π a2 .

C. S = 3π a2 .

D. S = 6π a2 .

Câu 42: Cho mặt cầu tâm O bán kính R và mặt phẳng (P) cách tâm (O) một khoảng

D. Hình lăng trụ đứng nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp. Câu 36: Cho hình chop S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABC A. Trung điểm SB.

B. Trung điểm AC. D. Trung điểm SC.

Câu 37: Người ta cắt miếng bìa tam giác đều cạnh bằng 2 như hình dưới và gấp theo các đường kẻ, sau

đó dán các máp lại để được hình tứ diện đều. Tính thể tích V của khối tứ diện tạo thành.

kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu đã cho.

A. r =

C. Trung điểm BC.

R . Tìm bán 2

R 3 . 2

B. r =

R 3 . 4

C. r =

R 2 . 2

D. r =

R 2 . 4

Câu 43: Cho khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tính thể tích V của khối trụ đó. A. V = 4π R3 .

B. V = 2π R3 .

4 C. V = π R3 . 3

2 D. V = π R3 . 3

Câu 44: Trong không gian cho hai điểm A, B phân biệt. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB là một số không đổi.

A. Hai đường thẳng song song.

B. Một mặt cầu.

C. Một mặt trụ.

D. Một mặt nón.

Câu 45: Cho một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 10. Cắt khối trụ bới mặt phẳng (α )

phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối chóp

song song với trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD sao cho A, B cùng thuộc một đáy

S.ABCD

của khối trụ và AB = 12. Tính khoảng cách h từ trục của khối trụ đến mặt phẳng (α )

A. h = 8.

B. h = 44.

C. h = 10.

D. h = 136.

Câu 46: Một thợ thủ công pha một khối thạch cao vào nước tạo thành một hỗn hợp có thể tích V = 330cm3, sau đó đổ vào khuôn để đúc thành những viên phấn hình trụ có bán kính đáy R = 0,5 cm và chiều cao h = 6 cm. Biết rằng trong quá trình đúc sự tiêu hao nhiên liệu là không đáng kể. Hỏi người thợ thủ công đó đúc được bao nhiêu viên phấn?

A. 50 viên.

B. 70 viên.

C. 24 viên.

D. 23 viên.

Câu 47: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 2α (0 < 2α < 180 ) và khoảng cách từ tâm của 0

đường tròn đáy đến mỗi đường sinh bằng d. Tính theo d và α chiều cao h của hình nón. A. h =

d . sin α

B. h =

d . cos α

C. h =

d . tan α

D. h =

d . cot α

Câu 48: Trong không gian cho tam giác ABC có AB = AC = 4 và BC = 6. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Quay tam giác đó quanh trục AM ta được một hình nón. Tính diện tích toàn phần Stp của hình nón đó?

A. Stp = 21π .

B. Stp = 29π .

C. Stp = 24π .

D. Stp = 7π .

Câu 49: Cắt bỏ hình quạt tròn AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán bán kính OA và OB của hình quạt còn lại với nhau để được cái phễu có dạng hình nón. Gọi x là số đo góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu,

0 < x < 2π . Tìm x để khối nón có thể tích lớn nhất? A. x =

2 6 π. 27

B. x =

2 6 π. 3

C. x =

2 6 π. 9

D. Đáp án khác. Câu 50: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. AB = AD = 2a, CD = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt

A. V =

3 5 3 a. 5

B. V =

3 15 3 a. 5

C. V =

3 5 3 a. 8

D. V =

5 3 a. 8

Đáp án 1-B

2-D

3-A

4-A

5-B

6-D

7-A

8-C

9-A

10-B

11-B

12-C

13-A

14-D

15-C

16-C

17-B

18-C

19-A

20-C

21-A

22-D

23-C

24-B

25-A

26-C

27-B

28-B

29-A

30-C

31-A

32-D

33-B

34-B

35-C

36-D

37-B

38-D

39-A

40-D

41-B

42-A

43-B

44-C

45-A

46-B

47-A

48-A

49-B

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B. HD: Hàm số có tập xác định D = ℝ \ {−3}.

3 3  2+ x(2 + )  2x + 3 x x =2 = lim = lim  xlim →+∞ x 2 − 2016 x →+∞ x 1 − 2016 x →+∞ 1 − 2016   x2 x2 HD: Ta có  3 3  x(2 + ) 2+  lim 2 x + 3 = lim x x = lim = −2  x →−∞ x 2 − 2016 x →−∞ 2016 x →+∞ 2016  x 1− 2 − 1− 2 x x  Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang.

Câu 6: Đáp án D. HD: Ta có các khẳng định sau: +) Hàm số tập xác định là ℝ.

6 Ta có y ' = > 0, ∀x ≠ −3 ( x + 3)2

+) lim y = +∞ và lim = +∞.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

x = 0 +) y ' = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔  ⇒ Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.  x = ±1

Câu 2: Đáp án D. HD: Hàm số có tập xác định D = ℝ ⇒ y ' = x 2 + 2mx + 4. Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ '( y ') ≤ 0 ⇔ m2 − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2. Suy ra giá trị bé nhất của m bằng −2.

Câu 3: Đáp án A. HD: Ta có s(t ) = −t 3 + 6t 2 ⇒ v(t ) = s '(t ) = −3t 2 + 12t ⇒ v '(t ) = −6t + 12.

v max ⇔ v '(t ) = 0 ⇔ −6t + 12 = 0 ⇒ t = 2(s ).

x →−∞

x →+∞

+) Hàm số là hàm số chẵn, suy ra đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Câu 7: Đáp án A. Câu 8: Đáp án C. Câu 9: Đáp án A.

x = 1 HD: Ta có y ' = 3x 2 − 12 x + 9 ⇒ y ' = 0 ⇔  . x = 3

Câu 4: Đáp án A.

 y ''(1) = −6 < 0 Mặt khác y '' = 6 x − 12 ⇒  ⇒ yCT = y (3) = 5.  y ''(3) = 6 > 0

HD: Ta có y ' = 3x 2 + 6 x ⇒ y ' < 0 ⇔ 3x 2 + 6 x < 0 ⇔ −2 < x < 0.

Câu 10: Đáp án B

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−2;0).

HD: Ta có y ' = −4 x3 − 2 x ⇒ y ' = 0 ⇔ x = 0. Suy ra đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị.

Câu 5: Đáp án B.

Câu 11: Đáp án B. HD: Ta có y ' = x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 ⇒ y '' = 2 x − 2m.

m = 1 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ y '(1) = 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 = 0 ⇔  . m = 2  m = 1 ⇒ y ''(1) = 0 Với  ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 1 khi m = 2.  m = 2 ⇒ y ''(1) = −2

Câu 12: Đáp án C.

HD: Ta có đồ thị hai hàm số hàm số như hình bên

Câu 13: Đáp án A.

Hai hàm số cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

HD: Ta có y ' = −

3 < 0, ∀x ∈ (−∞; 2) ⇒ Hàm số nghịch biến trên đoạn [ −1;1] . 2 6 − 3x

1 ⇔ − < m < 0. 4

Suy ra min y = y(1) = 3. [ −1;1]

Câu 14: Đáp án D. x = 0 HD: Ta có y ' = −3x 2 − 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔  .  x = −2 Suy ra y(0) = m, y (−1) = m − 2, y (1) = m − 4. Suy ra min y = y(1) = m − 4 = 0 ⇒ m = 4. [ −1;1]

Câu 15: Đáp án C.

Câu 20: Đáp án C. HD: Cách 1: Ta có:

y' =

1 1 3 − x − x +1 − = = 0 ⇔ 3 − x − x + 1 = 0 ⇔ 3 − x = x + 1. x +1 3− x ( x + 1)(3 − x)

Câu 16: Đáp án C.

⇔ 3 − x = x + 1 ⇔ x = 1.

HD: Ta có :

Ta có: y (−1) = 2, y (3) = 2, y (1) = 2 2 ⇒ max f ( x) = 2 2.

1 +) y ' = − < 0 ⇒ Hàm số không có cực trị. ( x − 1) 2

Cách 2: Ta có:

[ −1;3]

y 2 = ( x + 1 + 3 − x ) 2 ≤ (12 + 12 )( x + 1 + 3 − x) = 8 ⇒ y ≤ 2 2 ⇒ max f ( x ) = 2 2.

+) lim y = 2 và lim = 2. x →−∞

[ −1;3]

x →+∞

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm I (1; 2). +) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;1).

Câu 17: Đáp án B.

Câu 21: Đáp án A. HD: Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xưng:

- 3 Mặt phẳng đối xứng chia nó thành 2 khối hộp chữ nhật. - 6 mặt phẳng đối xứng chia nó thành 2 khối lăng trụ tam giác.

HD: Ta có y ' = 4 x3 + 4 x.

Câu 22: Đáp án D.

Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị tại A( x0 ; y0 ) thỏa mãn đề bài. Suy ra ∆ : y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 .

HD: Ta có P =

3 −1)( 3 +1)

5 −3+ 4− 5

a2 = a. a

Vì ∆ / / Ox nên y '( x0 ) = 0 ⇔ 4 x + 4 x0 = 0 ⇒ x0 = 0 ⇒ ∆ : y = 0 ≡ Ox.

Câu 23: Đáp án C.

Câu 18: Đáp án C.

HD: Ta có ( a m ) = a mn .

HD: PT hoành độ gia điểm là ( x − 1)( x 2 + x + 3) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1.

Câu 24: Đáp án B.

Suy ra đồ thì hàm số đã cho và trục hoành có 1 giao

HD: Ta có 0 < 2 − 3 < 1 nên m < n.

điểm.

Câu 25: Đáp án A.

Câu 19: Đáp án A.

HD: Ta có Q = (ln 7 + ln 3) + 2(ln 7 + ln 2) − 3(ln 7 − ln 2) = ln 3 + 5ln 2 = b + 5a.

3 0

Câu 26: Đáp án C.

HD: Ta có y = 2016e− x ln8 =

HD: Ta có π > 1 ⇒ y = (π ) đồng biến trên ℝ. x

2016 (eln8 )

Câu 27: Đáp án B.

Câu 34: Đáp án B.

HD: Gọi độ dài chiều cao của lăng trụ là h. Ta có: h.(37 + 13 + 30) = 80h = 480 ⇔ h = 6.

HD: Ta có 3x − 2 = 22 ⇔ x = 2.

Chu vi đáy là: p =

37 + 13 + 30 = 40. 2

Diện tích một đáy của lăng trụ là: S=

p ( p − a )( p − b )( p − c) = 40.(40 − 37)(40 − 13)(40 − 30) = 180.

Thể tích của khối lăng trụ là: V = Sh = 180.6 = 1080. Câu 28: Đáp án B. HD: Ta có log 2 x = log 2 a 2 + log 2 ( b ) 4 = log 2 (a 2 b 2 ) ⇒ x = a 2b 2 . Câu 29: Đáp án A. HD: Ta có A ⇔ log

2016 = 2016.8− x ⇒ y ' = −2016.8− x ln 8 = − y ln 8 = −3 y ln 2. 8x

Câu 35: Đáp án C. HD: Đảm bảo yêu cầu đáy nội tiếp một đường tròn. Câu 36: Đáp án D. HD: Gọi O là trung điểm của cạnh SC..

Mà ∆SAC vuông tại A ⇒ SO = OA = OC.

 BC ⊥ AB Từ  ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ SO = OB = OC  BC ⊥ SA

⇒ OA = OB = OC = SO = R.

x+ y x+ y = log xy ⇒ = xy ⇒ ( x + y )2 = 9 xy ⇒ x 2 + y 2 = 7 xy. 3 3

B ⇔ log

x2 + y 2 = log( x 3 y 3 ) ⇒ Loại. 7

Câu 37: Đáp án B.

C ⇔ log

x+ y = log( x 2 y 2 ) ⇒ Loại. 3

HD: Tứ diện tạo thành là tứ diện đều có cạnh bằng 1 → V =

D ⇔ log

x+ y = log( x 4 y 4 ) ⇒ Loại. 7

Câu 38: Đáp án D.

2 . 12

HD: Vì lim f ( x ) = 0 nên đồ thị hàm số đã cho có TCN: y = 0. Vì lim f ( x) = +∞ nên đồ thị x →+∞

Câu 30: Đáp án C. HD: Ta có f '( x ) =

2x − a = 0 ⇒ x = 2. x2 − 4 x

Câu 31: Đáp án A. HD: Ta có x =

e4 e4 = ⇒ x = e 2 (x > 0). eln x x

Câu 32: Đáp án D.

x→ 0

hàm số đã cho không có TCĐ.

Câu 39: Đáp án A.

1 1 V HD: Ta có VA. A ' B ' D ' = .d ( A;( A ' B ' D ')).S ∆A ' B ' D ' = d ( A;( A ' B ' D ')).S A ' B 'C' D ' = . 3 6 6 Suy ra VAB 'CD ' = VABCD. A ' B 'C ' D ' − VB '.ABC − VD'.A CD − VA.A'B'D' − VC.B'C'D' = V − 4.

V V = . 6 3

Câu 40: Đáp án D.

1 − x 2 > 0  −1 < x < 1 HD: Ta có  ⇔ x ≠ 0 x ≠ 0

1 1 HD: Thể tích khối lăng trụ cần tính là V = AA '.S∆ABC = . AA '. AB.BC = 2a 3.2a.a = 2a 3 3. 2 2

Câu 33: Đáp án B.

Câu 41: Đáp án B.

HD: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là R = R

2 ABCD

 a 2  a2 a 3 SA2 + =  = .  + 4 4 2  2 

Câu 49: Đáp án B.

1 HD: Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón ⇒ V( N ) = π r 2 h. 3

a 3 2 Vậy diện tích mặt cầu tính là S mc = 4π R 2 = 4π .   = 3π a . 2  

1 1 r2 r2 Ta có V( N ) = π r 2 h = π r 2 l 2 − r 2 ⇔ 9V 2 = π 2 .r 4 .(l 2 − r 2 ) = π 2 . . .(l 2 − r 2 ). 3 3 2 2

Câu 42: Đáp án A. HD: Bán kính r của đường tròn giao tuyến là r = R 2 − d 2 (O;( P)) = R 2 −

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là Stp = π rl + π r 2 = 21π .

R2 R 3 = . 4 2

Câu 43: Đáp án B. HD: Thể tích của khối trụ là V = π R 2 h = π .R 2 .2R = 2π R3 .

 r2 r2 2 2   2 + 2 +l −r  6 6 3 r r  = l → 9V 2 ≤ π 2 . 4l ⇔ V ≤ 2π l . Mặt khác .(l 2 − r 2 ) ≤  2 2 27 27 27 9 3 2

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

Câu 44: Đáp án C. HD: Gọi d là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB.

r2 3 3 = l 2 − r 2 ⇔ l 2 = r 2 ⇔ R2 = r 2. 2 2 2

Chu vi hình tròn đáy của hình nón là C = 2π R − (2π − x ).R → r =

1 1 Suy ra S∆MAB = .d ( M ;( AB)). AB = .d . AB , vì S, AB là hằng số ⇒ d không đổi. 2 2

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu của bài toán là một mặt trụ.

3  x.R  8π 2 8π 2 2 6 2 V ậy R 2 = .  →x= = π.  ⇔x = 2  2π  3 3 3

Câu 45: Đáp án A.

Câu 50: Đáp án B.

HD: Khoảng cách h từ trục đến mặt phẳng (α ) là h = R 2 − (

AB 2 ) = 102 − 62 = 8. 2

Câu 46: Đáp án B.

HD: Ta có ( SIB ) ⊥ ( ABCD) và

( SIC ) ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ ( ABCD). = 60 0. Kẻ IK ⊥ BC (K ∈ BC ) suy ra BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI

3 HD: Thể tích của mỗi viên phấn là V = π R 2 h = π .(0,5)2 .6 = π cm3 . 2 Vậy số viên phấn được sản xuất là N = 330 :

3π ≈ 70 viên. 2

Câu 47: Đáp án A.

Diện tích hình thang ABCD là

1 S ABCD = . AD.( AB + CD) = 3a 2 . 2 Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng

HD: Chiều cao h của hình nón là sin α =

d d ⇒h= . h sin α

Câu 48: Đáp án A. HD: Khi quay tam giác ABC quanh trục AM ta được hình nón có

- Bán kính đường tròn đáy r =

x.R 2π

BC = 3. 2

- Độ dài đường sinh l = AB = 4.

BC = ( AB − CD ) 2 + AD 2 = a 5 ⇒ IK =

3a 2 3a 2 ⇒ S∆IBC = . 2 2

2.S∆ABC 3 5a = . BC 5

1 1 3 15a 2 3 15a 3 = 3 15a . Vậy V ⇒ SI = IK .tan SKI .SI .S ABCD = . .3a = . S . ABCD = 5 3 3 5 5

ĐỀ 09

ĐỀ THI HỌC KÌ I

Môn: TOÁN 12

số là:

A. 0

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Đồ thị của hàm số y = A. 0

C. 1

 5 A.  1;   4

D. 3

Câu 2: Chọn khẳng định đúng. Hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 A. Nhận x = −2 làm điểm cực đại

B. Nhận x = 2 làm điểm cực đại

C. Nhận x = −2 làm điểm cực đại

D. Nhận x = 2 làm điểm cực đại

A. 0

đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là: B. t = 3

C. t = 1

B. 0

C. 2

B. 0

C. 1

1 <   là: 2

5  5  C. ( −∞;1) ∪  ; +∞  D.  ; +∞  4  4 

B. 2

C. 1

A. 0

B. 1

C. 2

B. 8

C. 16

A. (1; +∞ ) D. 4

2 6 B.  ;  3 5

2  C.  −∞;  3 

a3 3 6

2a 3 3 3

Câu 7: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào được kê sau đây?

trên đáy là điểm H nằm trên cạnh AC sao cho AH = góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC

a3 3 3

A. liệt

a3 3 12

a3 3 36

a3 3 24

A. y = − x − 3x + 2 3

C. y = x3 − 3x + 2 D. y = − x3 + 3x + 2

 6 D.  1;   5

2 AC , mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một 3

Câu 15: Phương trình tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

B. y = x3 + 3x − 2

D. 4

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S

B, AC = 2a . Thể tích khối chóp S.ABC bằng.

D. 3

Câu 13: Bất phương trình log 2 ( 3 x − 2 ) − log 2 ( 6 − 5 x ) > 0 có tập nghiệm là:

D. 3

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3 . Tam giác ABC vuông cân tại

A. a 3 3

D. 3

Câu 11: Phương trình ln x + ln ( 3 x + 2 ) = 0 có mấy nghiệm?

A. 64

Câu 5: Số giao điểm của hai đồ thị y = x 4 − 3x 2 + 2 và y = x 2 − 2 là. A. 2

D. 3

Câu 12: Phương trình log 2 x + log 4 x + log8 x = 11 có nghiệm là:

D. t = 4

Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( x 2 − 3x + 10 ) ( x + 3) và trục hoành là: A. 1

5  B.  −∞;  4 

C. 1 1 x−1

Câu 10: Số nghiệm của phương trình ( 3x −1 + 32− x − 4 ) 3 x = 0 là:

Câu 3: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = s(t) = 6 t 2 − t 3 − 9 t + 1 . Thời điểm t (giây) tại A. t = 2

B. 2

1 Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình    2

2 có bao nhiêu đường tiệm cận? x −1

B. 2

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x 3 ( x + 1) ( x + 2 ) . Số điểm cực trị của hàm

A. y = 2017

B. y = 1

C. y = − 2017

a3 3 8

x + 2017 x 2 − 2017

là

D. y = 1, y = −1

 3π  Câu 16: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 2 sinx trên đoạn 0;  là:  2 

3π − 2 4

3π + 2 2

3π + 2 4

3π − 2 2

Câu 17: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =  1  A.  − ;1  2 

2− x là: 2x +1

 1 1 B.  − ; −   2 2

1  C.  ;1 2 

A. 4π a 3 2

C. 2

B. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;1)

C. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số có một tam đối xứng

2 có tập xác định là: 1 − ln x

B. ℝ

B. 3

C. ( 0; +∞ ) \ {e}

C. 2

1 C. π a 3 3

2a 30 11

D. π a 2

2a 33 33

a 33 11

Câu 28: Cho hàm số y = x 4 − 2 mx 2 + 2 . Giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O là: B. m = ± 3

C. m = − 3

A. Một cực đại và hai cực tiểu

D. m = 3

B. Một cực tiểu và hai cực đại

C. Một cực đại và không có cực tiểu.

D. 4

1 D. π a3 4

D. Một cực tiểu và một cực đại.

Câu 30: Tìm m để phương trình x − 2 x − m − 3 = 0 có nhiều hơn hai nghiệm. 4

mặt đáy, cạnh bên SB = a 3 . Thể tích của khối ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 3 B. π a3 4

C. 2π a 2

1 Câu 29: Cho hàm y = − x 4 + 2 x 2 − 3 . Hàm số có: 4

D. ( 0; +∞ )

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

4 A. π a3 3

2a 33 11

A. m = 3

π  Câu 21: Cho hàm số f ( x ) = ln sin 2 x có đạo hàm f '   bằng: 8

A. 1

B. 3π a 2

Câu 27: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Bán kính mặt cầu

A. Đồ thị hàm số có một trục đối xứng.

A. ( 0; e )

A. 4π a 2

ngoại tiếp hình chóp là:

D. 3

Câu 19: Cho hàm số y = x −4 . Tìm khẳng định sai.

Câu 20: Hàm số y =

D. 4π a 3 3

giác đều cạnh 2a 2 . Diện tích xung quanh của khối nón là:

với trục hoành?

B. 1

C. 3π a 3 2

Câu 26: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam  1  D.  − ; 2   2 

Câu 18: Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 − 2017 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song A. 0

B. π a 3 2

A. −4 < m ≤ −3

B. m = −4 hoặc m = −3

C. −4 ≤ m ≤ −3

D. m ≤ −4 hoặc m ≥ −3

Câu 31: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3 trên đoạn [ −3; 2 ] là:

Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích của khối ngoại tiếp

A. max y = 66, min y = 2

B. max y = 30, min y = −2

hình chóp là:

C. max y = 66, min y = −2

D. max y = 86, min y = 2

a 3π 2 A. 3

a 3π 3 B. 3

a 3π 3 C. 2

x∈[ −3;2]

D. a π 3 3

x∈[ −3;2]

Câu 24: Trong không gian cho tam giác vuông OIM vuông góc tại I, góc OMI bằng 60 và cạnh

A. y = x 4 − 3 x 2 − 3

IM bằng 2a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo

1 B. y = − x 4 + 3 x 2 − 3 4

thành một hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh là:

B. 6π a 2

C. 4π a 2

x∈[ −3;2]

x∈[−3;2]

Câu 32: Đồ thị hình bên là của hàm số nào? 0

A. 8π a 2

x∈[ −3;2]

D. 2π a 2

Câu 25: Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh 2a 2 . Gọi I và H lần lượt là trung điểm

C. y = x 4 − 2 x 2 − 3 D. y = x 4 + 2 x 2 − 3

của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn

Câu 33: Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 . Giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba

xoay có thể tích là:

đỉnh của một tam giác vuông cân là :

A. m = 1

B. m = 0; m = ±1

C. m = ±1

D. m ≠ 0

Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng a 2 . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề :

a3 2 2

a3 3 3

C. a 3 3

D. a 3 2

Câu 41: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = 3a, BC = 5a , mặt phẳng SAC vuông góc với đáy. Biết SA = 2a 3 , SAC = 300 . Thể tích khối chóp là :

A. SO không vuông góc với đáy B. OA =

a 5 2

A. 2 a 3 3

B. a 3 3

(

a3 3 3

D. Đáp án khác

)

C. BD = a 5

Câu 42: Tìm các giá trị của m để hàm số y = m2 + 5m x3 − 6mx 2 − 6 x + 2017 đạt cực đại tại

D. Các cạnh bên khối chóp tạo với mp đáy các góc bằng nhau

x =1

Câu 35: Cho ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thế tích

A. m = −2

B. m = 1

của lăng trụ bằng :

C. m = 1 hoặc m = −2

D. Kết quả khác.

a3 2

a3 3 2

a3 3 4

a3 2 3

Câu 36: Cho S.ABCD là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của khối

Câu 43: Xác định m để phương trình 4 x − 2 m.2 x + m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt A. m > 2

a3 3

a3 2 6

a3 3 4

a3 2 3

Câu 37: Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’ C’ D và khối tứ diện ABCD bằng :

1 2

1 4

1 6

1 8

Câu 38: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 600 và SA ⊥ ( ABCD ) , biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a . Thể tích khối chóp là:

a3 2 6

a3 2 4

a3 3 12

a3 3 4

C. m < −1

D. m < −1 hoặc m > 2

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = m − 2 x cắt đồ thị hàm số

chóp bằng :

B. m > 0

2x + 4 tại hai điểm phân biệt. x +1

A. m ≥ 4

B. m ≤ 4

C. m > 4

D. m < 4

Câu 45: Một khối chóp tam giác có độ dài các cạnh đáy lần lượt là 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp.

A. 16 3

B. 8 3

(

16 2 3

D. 16π

)

Câu 46: Cho hàm số y = x3 + mx 2 − 1 + n 2 x − 5 ( n + m ) . Chọn khẳng định đúng. A. Hàm số không có cực đại và có cực tiểu với mọi giá trị của m và n. B. Hàm số không có cực đại và không có cực tiểu với mọi giá trị của m và n.

Câu 39: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A , BC = 2a; AB = a ; .

C. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị của m và n

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’và BC’ theo a là :

D. Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu với mọi giá trị của m và n

3a 3 2

2a 3 2

a 3 2

a 3 3

Câu 40: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a 0

biết rằng (A’BC) hợp với đáy ABC một góc 45 . Thể tích lăng trụ là :

Câu 47: Cho hai đồ thị hàm số ( C ) y = hai hàm số trên có 4 giao điểm?

x3 3x 2 5 x và ( d m ) y = m . Với giá trị của m thì đồ thị + + 6 2 2

 7 25  B. m ∈  ;  6 6 

A. m ∈ ( −∞; 0 )

 25  C. m ∈  ; +∞   6 

 7 D. m ∈  0;   6

x = 0 . Do y '' = 6 x − 6 ⇒ y '' ( 2 ) > 0 nên hàm số đặt cực tiểu tại Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x = 0 ⇔  x = 2

Câu 48: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ gọi O là giao điểm AC và BD. Tính tỉ số thể tích của

x=2

khối chóp O.A’B’C’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Câu 3: Đáp án A

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 6

1 D. 12

Ta có vận tốc v = s ' = −3t 2 + 12t − 9 = −3 ( t − 2 ) + 2 ≤ 3 nên vận tốc của vật lớn nhất khi và chỉ

Câu 49: Tìm tất cả các gía trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [1; 2] x4 +

Câu 4: Đáp án A

16 4 2   − 4  x 2 + 2  − 12  x −  = m x4 x  x  

B. −15 ≤ m ≤ 9

A. −13 ≤ m ≤ 11

C. −15 < m < 9

D. −16 ≤ m ≤ 9

Câu 50: Cho tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = BC = 4, BD = 2 5, CD = 5 . Khoảng cách B. 1

 x 2 − 3x + 10 = 0 Ta có: PT hoành độ giao điểm là: y = ( x 2 − 3x + 10 ) ( x + 3) = 0 ⇔  ⇔ x = −3 Do x + 3 = 0 đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất Câu 5: Đáp án A

giữa hai đường thẳng AC và BD gần nhất với giá trị nào sau đây. A. 4

khi t = 2 khi đó vmax = 3m / s

C. 2

Phương trình hoành độ giao điểm là:

D. 3

x 4 − 3x 2 + 2 = x 2 − 2 ⇔ x 4 − 4 x 2 + 4 = 0 ⇔ ( x 2 − 2 ) = 0 Đáp án

⇔ x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ⇒ có 2 giao điểm của hai đồ thị hàm

1-B

2-D

3-A

4-A

5-A

6-D

7-D

8-B

9-A

10-B

số

11-B

12-A

13-D

14-C

15-D

16-B

17-B

18-D

19-D

20-C

Câu 6: Đáp án D

21-C

22-A

23-A

24-A

25-A

26-A

27-A

28-A

29-B

30-A

Ta có: 2 AB 2 = AC 2 ⇔ 2. AB 2 = 2a 2 ⇔ AB 2 = 2 a 2

31-A

32-B

33-C

34-A

35-C

36-B

37-B

38-B

39-C

40-D

41-A

42-A

43-A

44-C

45-A

46-C

47-D

48-C

49-B

50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

S ABC =

1 1 AB 2 = .2 a 2 = a 2 2 2

a3 3 1 1 Thể tích khối chóp S ABC là V = SA.S ABC = a 3a 2 = 3 3 3

Câu 1: Đáp án B

Ta có: lim y = lim x →1

x →1

2 = +∞ ⇒ TCĐ : x = 1 x −1

2 2 lim y = lim = lim x ⇒ TCN : y = 0 x →+∞ x →+∞ x − 1 x →+∞ 1 1− x Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

Câu 2: Đáp án D

Câu 7: Đáp án D Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: lim y = −∞ nên a < 0 (loại B và C). Đồ thị hàm số cắt trục tung x→+∞

tại điểm (0;2) và có 2 điểm cực trị trái dấu nên ta loại A

Câu 8: Đáp án B Do f ' ( x ) đổi dấu qua các điểm x = 0; x = −2 nên hàm số có 2 điểm cực trị

Câu 9: Đáp án A

BPT: ⇔

1 5 − 4x 5 >4⇔ > 0 ⇔1< x < x −1 x −1 4

SH = HN tan 600 =

Câu 10: Đáp án B 3x 9 t 9 t = 3x Ta có: PT ⇔ 3x −1 + 32 − x − 4 = 0 ⇔ + x − 4 = 0  → + −4=0 3 3 3 t

t = 3 x = 3 ⇒ x = 1 ⇔ t 2 − 12t + 27 = 0 ⇔  x t = 3 = 9 ⇒ x = 2

a 3 a . 3= 6 2

a3 3 1 1 a 1 Thể tích khối chóp S.ABC là: V = SH .S ABC = . . a 2 sin 600 = 3 3 2 2 24

Câu 15: Đáp án D

Câu 11: Đáp án B

Ta có lim y = lim x →+∞

x →+∞

ĐK: x > 0 . Khi đó PT ⇔ ln  x ( 3x + 2 )  = 0 ⇔ x ( 3x + 2 ) = 1 ⇔ 3x + 2 x − 1 = 0 2

 x = −1 1 ⇔ ⇒x= x = 1 3 3 

lim y = lim

x →−∞

Câu 12: Đáp án A

2017 2 = −1 ⇒ y = −1 là TCN của đồ thị hàm số = lim x 2 − 2017 x→−∞ 1 − 2017 x2 −1 −

x + 2017

Câu 16: Đáp án B

ĐK: x > 0 . Khi đó log 2 x + log 22 x + log 23 x = 11 1 1 11 ⇔ log 2 x + log 2 x + log 2 x = 11 ⇔ log 2 x = 11 ⇔ log 2 x = 6 ⇔ x = 64 2 3 6

Câu 13: Đáp án D ĐK:

x →−∞

2017 2 = lim = 1 ⇒ y = 1 là TCN của đồ thị hàm số. x 2 + 2017 x →+∞ 1 − 2017 2 x 1+

x + 2017

2 6 <x< 3 5

Ta có:

 π  3π   x = 4 + k 2π ∈  0; 2  ⇒ k = 0 1 π π   y ' = 1 − 2 cos x = 0 ⇔ cos x = = cos ⇔  ⇒x=  4 4 π 2  3π   x = − + k 2π ∈  0;  ⇒ k ∈∅ 4 2   

Ta có: log 2 ( 3 x − 2 ) − log 2 ( 6 − 5 x ) ⇔ log 2 ( 3 x − 2 ) > log 2 ( 6 − 5 x ) ⇔ 3 z − 2 > 6 − 5 x

 3π Tính được y ( 0 ) = 0, y   2

⇔ 8x > 8 ⇔ x > 1

Câu 17: Đáp án B

 6 Vậy nghiệm của BPT là: 1;   5

Tiệm cận đứng x = −

Câu 14: Đáp án C

Câu 18: Đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC. HN / / AM ⇒ HN ⊥ BC

x = 0 Trục hoành Ox: y = 0 , ta có y ' = 4 x3 − 8 x = 0 ⇔  x = ± 2

= 600 ⇒ HNS 2

2 a 3  a  3a Ta có: AM 2 = a 2 −   = ⇒ AM = 2 4 2  

Ta có:

HN CH 1 1 1 a 3 a 3 = = ⇒ HN = AM = . = AM CA 3 3 3 2 6

 3π π  π + 2, y   = − 1 =  2 4 4

1 1  1 1 và tiệm cận ngang y = − ⇒ I  − ; −  2 2  2 2

Câu 19: Đáp án D Ta có y =

1 , đồ thị hàm số có một trục đối xứng là trục tung. Rõ ràng B đúng. Tiệm cận đứng x4

x = 0 và tiệm cận ngang y = 0 Câu 20: Đáp án C

x > 0 x > 0 ⇔ Ta có  ln 1 x ≠  x ≠ e Câu 21: Đáp án C Ta có: f ' ( x ) =

2 cos 2 x π  ⇒ f '  = 2 sin 2 x 8

Câu 22: Đáp án A

Từ ∆SPO ∼ ∆SDH ( g − g ) ⇒

SD.SP ⇒ SO = = SH

SO SP = SD SH

SD 2 2 = SD SH 2 SH

SD.

Cạnh SH = SD 2 − HD 2 =

2π a3 a a ⇒ SO = ⇒ 3 2 2

Cạnh SA = SB 2 − AB 2 = a 2 Gọi O là trung điểm của cạnh SC

Câu 24: Đáp án A

Mà ∆SAC ⇒ SO = OA = OC vuông tại A

Ta có S xq = π Rl = π IM .OM

Từ

Lại có cos 600 =

IM 1 = ⇒ OM = 4a ⇒ S xq = 8π a 2 OM 2

 BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ SO = OB = OC   BC ⊥ SA

Câu 25: Đáp án A

Từ

Ta có V = π R 2 h = π HC 2 .IH = 4 2π a 3

CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ SO = OC = OD  CD ⊥ SA 4 Do đó SO = OA = OB = OC = OD ⇒ V = π SO 3 3

Cạnh SO =

1 1 1 SC = SA2 + AC 2 = SA2 + AB 2 + BC 2 = a 2 2 2

4 ⇒ v = π a3 3

Câu 26: Đáp án A Ta có S xq = π RI = π OC .SC = π a 2.2 a 2 = 4π a 2

Câu 23: Đáp án A Gọi H = AC ∩ BD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Dựng hình như bên với OP là đường trung trực của đoạn

SD ⇒ SO = OD Ta có OH là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông

Câu 27: Đáp án A

ABCD ⇒ OA = OB = OC = OD

Dựng hình như bên với SH ⊥ ( ABC ) và OP là đường trung trực

4 ⇒ SO = OA = OB = OC = OD ⇒ V = π SO 3 3

của cạnh SA ⇒ OA = OB = OC = SO = R

Ta có SO =

x = 0  x ∈ ( −3; 2 ) ⇔ Ta có  3  x = ±1  y ' = 4 x − 4 x = 0

SP.SA SH 2

a 33  AB  Cạnh SH = SA2 − AH 2 = SA2 −   = 3  3 2a 33 ⇒ R = SO = 11

Câu 28: Đáp án A

x = 0 ⇒ y = 2 Ta có y ' = 4 x − 4mx = 0 ⇔  ( m > 0) 2 x = ± m ⇒ y = 2 − m 3

0 + m − m = 3.0 Ép cho  ⇔m=± 3⇒m= 3 2 2 + 2 ( 2 − m ) = 3.0 Câu 29: Đáp án B

x = 0 Ta có y ' = − x3 + 4 x = 0 ⇔   x = ±2 Hơn nữa a = −

1 <0 4

Tính được y ( −3 ) = 66; y ( 2 ) = 11; y ( 0 ) = 3; y ( ±1) = 2

Câu 32: Đáp án B Câu 33: Đáp án C

x = 0 y ' = 4 x3 − 4m 2 x = 4 x ( x 2 − m 2 ) = 0 ⇔  (*)  x = ±m Để hàm số có 3 cực trị thì m ≠ 0 Tọa độ các điểm cực trị là:

A ( 0;1) , B ( m; −m4 + 1) , C ( −m; −m4 + 1) ⇒ AB ( m; −m4 ) , AC ( −m; −m4 ) 2  2 4 2 4 2  AB = AC  m + ( − m ) = ( − m ) + ( −m ) ⇔ Khi đó ∆ABC vuông cân tại A ⇔   AB. AC = 0 m ( −m ) + ( −m4 )( −m4 ) = 0 

Câu 30: Đáp án A

m = 0 ⇔ −m2 + m8 = 0 ⇔ −m2 (1 − m6 ) = 0 ⇔  So sánh với điều kiện (*) ⇒ m = ±1 m = ±1

x = 0 Ta có m + 3 = x 4 − 2 x 2 = f ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔   x = ±1

Câu 34: Đáp án A

Bảng biến thiên

SB = SD ⇒ ∆SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD (1) Chứng minh tương tự ta có: SO ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ Khẳng định A sai

Câu 35: Đáp án C S ABC = Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 và đường y = m+3

Dựa vào hình vẽ trên thì −1 < m + 3 ≤ 0 ⇔ −4 < m ≤ −3

Câu 31: Đáp án A

a2 3 1 2 a sin 600 = 2 4

Thể tích của lăng trụ là: VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ABC = a

a 2 3 a3 3 = 4 4

S ABCD = a 2 sin 600 =

a2 3 2

Thể tích khối chóp là:

1 1 a 6 a 2 3 a3 2 VS . ABCD = SA.S ABCD = . . = 3 3 2 2 4

Câu 36: Đáp án B

Câu 39: Đáp án C

 AA '/ / BB ' ⊂ ( BCC ' B ') ⇒ d ( AA '; BC ') = d ( A; ( BCC ' B ') ) = AH ,   BC ' ⊂ ( BCC ' B ')

Ta có: 2 BO 2 = a 2 ⇒ BO =

a a  a  ; SO = a 2 −   = 2 2  2

S ABCD = a 2 Thể

trong đó H là hình chiếu của A lên BC. tích

khối

chóp

S.ABCD

1 1 a 2 a 2 V = SO.S ABCD = . a = 3 3 2 6

là:

Ta có: AC =

( 2a )

− a 2 = a 3; AH =

⇒ d ( AA '; BC ') = AH = Câu 37: Đáp án B Ta có

VAB 'C ' D AB ' AC ' 1 1 1 . = = . = VABCD AB AC 2 2 4

AB. AC a.a 3 a 3 = = BC 2a 2

a 3 2

Câu 40: Đáp án D 2

Ta có: 2. AB 2 = AC 2 = ( 2a ) ⇒ AB = a 2 Vì

tam

giác

A ' AB vuông

tại

Bˆ = 450 ⇒ cân

có

A ⇒ A ' A = AB = a 2

Câu 38: Đáp án B

1 1 AB 2 = a 2 2 2

(

)

= a2

= 600 : 2 = 300 ⇒ ABC = 180 0 − 2.30 0 = 1200 Ta có BAC

Ta có: S ABC =

Ta có: AC 2 = 2. AB 2 cos120 0 = 2. AB 2 .2 sin 2600

Thể tích lăng trụ là: V = A '. A.S ABC = a 2.a 2 = a 3 2

 3 2 = 4a 2   = 3a 2   SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ AC ⇒

a 6 1 1 2 − = ⇒ SA = a 2 3a 2 3a 2 2

Câu 41: Đáp án A 1 1 1 = + SA2 AH 2 AC 2

( SAC ) ⊥ ( ABC ) Kẻ AH ⊥ AC . Ta có  ⇒ SH ⊥ ( ABC )  SH ⊥ AC Ta có SH = SA sin 300 = a 3; AC =

( 5a ) − ( 3a )

= 4a

tại

S ABC =

(

1 1 AB. AC = 3a.4 a = 6 a 2 2 2

)

(

)

Ta có y ' = 3x 2 + m2 x − 1 + n2 . Do PT y ' = 0 có ac = −3 1 + n2 < 0 nên hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi giá trị của m và n

Thể tích khối chóp S.ABC là:

Câu 47: Đáp án D

1 1 V = SH .S ABC = a 3.6 a 2 = 2 a 3 3 3 3

Vẽ đồ thị hàm số ( C ) y =

Câu 42: Đáp án A

x3 3x 2 5 x + + 6 2 2

Ta có : y ' = 3 m2 + 5m x 2 − 12mx − 6; y''=6 m2 + 5m x − 12m

Dựa vào đồ thị suy ra đồ thị hai hàm số trên và đường thẳng

m = 1 Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi y ' (1) = 3 ( m + 5m ) − 12m − 6 = 0 ⇔   m = −2

y = m có 6 giao điểm khi 0 < m <

(

)

(

)

Với m = 1 ⇔ y '' (1) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 Với m = −2 ⇔ y '' (1) < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1

Câu 43: Đáp án A

Câu 48: Đáp án C 1 1 S V Thể tích khối chóp nhỏ V = .h.S A ' B 'C ' = .h. = 3 3 2 6

Câu 49: Đáp án B 2

Đặt t = 2 x (t > 0) . Khi đó PT ⇔ t 2 − 2mt + m + 2 = 0(*)

Đặt t = x −

4  2 2 , với x ∈ [1; 2 ] ⇒ t ∈ [ −1;1] . Ta có x2 + 2 =  x −  + 4 = t 2 + 4 x  x x

PT đã cho có hai nghiệm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt

2 16  2 4  =  x + 2  − 8 = ( t 2 + 4 ) − 8 = t 4 + 8t 2 + 8 4 x  x 

đó

Khi

phương

đã

trình

2x + 4 tại hai điểm phân biệt thì phương trình x +1

2x + 4 có hai nghiệm phân biệt x +1

⇔ phương trình 2 x 2 − ( m − 4 ) x + 4 − m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1  ∆ = ( m − 4 )2 − 4.2. ( 4 − m ) > 0 m > 4 ⇔ ⇔ 2  m < −4  2. ( −1) − ( m − 4 ) . ( −1) + 4 − m ≠ 0

tương

đường

Xét hàm số f ( t ) = t 4 + 4t 2 − 12t − 8 trên [ −1;1] , có f ' ( t ) = t 3 + 4t − 12 = 0 ⇔ t = 1 Dựa vào BBT, để phương trình m = f ( t ) có nghiệm khi và chỉ khi −15 ≤ m ≤ 9

Câu 50: Đáp án C Từ

giả

thiết,

có

∆BAD

và

∆CAD vuông

tại A ⇒ DA ⊥ ( ABC ) Kẻ hình bình hành ABEC ⇒ AC / / BE ⇒ AC/ / ( BDE )

Câu 45: Đáp án A

⇒ d ( AC ; BD ) = d ( A; ( BDE ) )

Tam giác vuông nên R = 5 . Ba cạnh bên bằng nhau nên chân chiều cao là tâm đường tròn ngoại

Kẻ AF vuông góc với BE tại F, kẻ AH ⊥ BF ( H ∈ BF )

1 1 tiếp đáy. Thể tích chóp V = .S .h = .0,5.6.8.4 sin 600 = 16 3 3 3

Suy ra AH ⊥ ( BDE ) ⇒ d ( A; ( BDE ) ) = AH

Câu 46: Đáp án C

cho

t 4 + 8t 2 + 8 − 4 ( t 2 + 4 ) − 12t = m ⇔ t 4 + 4t 2 − 12t − 8 = m

Câu 44: Đáp án C

m − 2x =

Và x 4 +

∆ ' = m2 − m − 2 > 0  ⇔  S = 2m > 0 P = m + 2 > 0 

Để đường thẳng y = m − 2 x cắt đồ thị hàm số y =

7 6

với

Ta có AF = d ( B; AC ) =

2.S∆ABC 2 p ( p − a )( p − b )( p − c ) 15 = = AC 3 2

Tam giác DAF vuông tại A, có

1 1 1 = + ⇒ AH ≈ 1, 74 AH 2 AD 2 AF 2

ĐỀ 10

ĐỀ THI HỌC KÌ I Môn: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

C. y =

2− x x

D. y = x3 − x 2 + x − 3

Câu 7: Giá trị của m để phương trình 4 x − 2x + 6 = m có nghiệm là: A. 0 < m ≤

23 4

B. m >

23 4

C. m <

23 4

D. m ≥

23 4

Câu 8: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 ( C ) . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của (C) và có hệ Câu 1: Tập nghiệm của phương trình log 3 ( 4.3x −1 − 1) = 2 x − 1 là A. {0;3}

B. ∅

số góc nhỏ nhất?

C. {0;1}

D. {1;3}

A. y = −3x

B. y = −3x + 3

C. y = 0

Câu 2: Số nghiệm của phương trình A. 2

1 2 + = 1 là 4 − log x 2 + log x

B. 3

A. 1

C. 1

D. 0

Câu 3: Giả sử có hệ thức a 2 + b 2 = 7 ab ( a, b > 0 ) . Hệ thức nào sau đây đúng? A. 2 log 2 ( a + b ) = log 2a + log 2 b. C. 2log 2

a+b = log 2a + log 2 b. 3

B. 4log 2 D. log 2

D. y = −3x − 3

Câu 9: Tổng các nghiệm của phương trình 25 − 2 ( 3 − x ) 5 + 2 x − 7 = 0 là x

a+b = log 2a + log 2 b. 6

a+b = 2 ( log 2a + log 2 b ) . 3

Câu 4: Bảng biến thiên say đây là của hàm số nào?

B. 2

C. 6

D. -9

Câu 10: Cho đường cong y = x − 3x . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu. 3

B. ∆ đi qua điểm M ( −1; −2 ) .

A. ∆ song song với trục hoành. C. ∆ không đi qua gốc tọa độ.

D. ∆ đi qua điểm M (1; −2 ) .

Câu 11: Giá trị của m để phương trình x − 3 x − m = 0 có nghiệm duy nhất là: 2

9 4

A. m < −1 hoặc m > 1

B. m =

C. m < −2 hoặc m ≥ 2

D. m = −

Câu 12: Hàm số y =

9 4

m 3 1 x − ( m − 1) x2 + 3 ( m − 2 ) x + đồng biến trên (2;+ ∞) thì m thuộc tập 3 3

nào sau đây?

A. y = x + 2 x − 3.

B. y = x − 2 x − 3.

1 C. y = − x 4 − 3 x 2 − 3. 4

D. y = x4 − 3x 2 − 3.

B. ℝ \ {−4;1}

là

C. ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ ) D. [ −4;1]

Câu 6: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây có tiệm cận ngang? 2

A. y =

3x − 1 . x +1

2  A. m ∈  −∞;  3 

B. m ∈ ( −∞; −1)

 −2 − 6  2  C. m ∈  −∞;  D. m ∈  ; +∞   2 3    

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2 a, tam giác SBC có diện tích bằng

Câu 5: Tập xác định của hàm số y = ( 4 − 3 x − x 2 ) A. ( −4;1)

B. y = x4 − x 2 − 2

6 2a 2 . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC). Tính góc ϕ biết thể tích khối chóp S.ABC là V = 4a3.

A. ϕ = 450

B. ϕ = 900

C. ϕ = 300

D. ϕ = 600

Câu 14: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Biết thể 3

tích của lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V =

3a A. h = . 8

A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là biên độ chuẩn. Đầu thế kỉ 20, một trận động đất ở San

4a . Tính khoảng cách h giữa AB và B ' C ' . 3

8a B. h = . 3

a C. h = . 3

Francisco có cường độ 8,3 độ Richer. Trong cùng năm đó, một trận động đất khác ở Nam Mỹ có

2a D. h = . 3

Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 − 4ln (1 − x ) trên đoạn [ −2;0 ] là: A. 1 − 4ln 2.

B. 1

C. 4 − 4ln3

Câu 21: Cường độ một trận động đất M (richer) được cho bởi công thức M = log A − log A0 với

biên độ mạnh gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là

A. 2,075

Câu 16: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào?

D. 33,2

+2x

B. y = − x 4 −

4 3 x. 3

1 C. y = x 3 − x 2 − 3 x. D. y = ln x. 3

Câu 23: Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có kích thước a, a 2, a 3 có diện tích là

−2 x − 5 A. y = . x −1

A. 20π a 2

B. 16π a 2

C. 6π a 2

D. 24π a 2

Câu 24: Đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 − x + 3 có điểm uốn là I ( −2;1) khi

−2 x + 3 B. y = . x −1

1 3 A. a = , b = − . 4 2

2x + 3 C. y = . x −1 D. y = − x + 2 x

C. 8,9

Câu 22: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng ( −1; +∞ ) ?

D. 0 A. y = e x

B. 11

1 3 B. a = , b = . 4 2

3 C. a = − , b = −1. 2

1 3 D. a = − , b = − . 4 2

Câu 25: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới: 2

Câu 17: Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đường cong y =

2x + 4 . Khi đó x −1

hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng A. 2

B. −

5 2

D. 1

− x2 + 2 x + a . Để hàm số có giá trị cực tiểu m, giá trị cực đại M thỏa x−3

Câu 18: Cho hàm số y =

mãn m − M = 4 thì a bằng A. −1

B. −2

B. (1; +∞ )

D. 2

C. ( 0; +∞ )

B. m = ±1

C. m = 1

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞; +∞ ) D. Hàm số đồng biến trên ℝ .

D. [ 2; +∞ )

Câu 20: Đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành khi A. m ≠ 1

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ )

C. 1

Câu 19: Tập xác định của hàm số y = log 2 x − 1 là: A. ( 0;1)

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Câu 26: Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là A.

D. m = −1

2π a 3 3

4 2π a 3 3

8π a 3 3

D. 2π a3

Câu 27: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , tam giác SAB đều là

4π a 2 3

5π a 2 3

C. π a2

2π a 2 3

Câu 28: Kim tự tháp Kê - ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng năm 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Khi đó thể

1000 khối lập phương nhỏ có cạnh 10cm. Hỏi các khối lập phương thu được sau khi cắt có bao nhiêu khối lập phương có đúng 2 mặt được sơn đỏ? A. Một đáp án khác

B. 100

C. 96

D. 64

C. Hình 3

D. Hình 4

Câu 37: Hàm số y = x − 3x có đồ thị là 3

tích của Kim tự tháp bằng

A. 2952100 ( m3 )

B. 7776300 ( m 3 )

C. 2592100 ( m3 )

D. 7767300 ( m3 )

Câu 29: Cho hàm số y = esin x . Biểu thức rút gọn của K = y 'cos x − y sin x − y '' là A. 0

B. 2esin x

C. 1

(

Câu 30: Tích các nghiệm của phương trình 5 + 24 A. 1

B. −1

D. cos x.esin x

) + (5 −

)

= 10 là

C. −4

D. 6

x2 + x + 1 Câu 31: Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu tiệm cận? −5 x 2 − 2 x + 3 A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 32: Giá trị của m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. m = 3

B. m = 2

2x + 1 đi qua điểm M ( 2;3 ) là x+m

C. m = −2

D. m = 0

Câu 33: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + ( m + 1) x + m − 2 trên đoạn [ 0; 2 ] bằng 3

A. Hình 1

B. Hình 2

 2 Câu 38: Phương trình 0,125.42 x − 3 =   8    A. 6 Câu

39:

−x

có nghiệm là

B. 4

Cho

hình

C. 3

chóp

S.ABCD

có

B. m = ±1

C. m = ± 7

D. m = ±3

Câu 34: Cho hình chóp O.ABC. Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm M, N, P

VO. MNP OA OB OC = . . . VO . ABC OA OB OC

VO. MNP OM ON OP = . . . VO . ABC OA OB OC

VO. MNP OM ON OP = . . . VO . ABC OA OB OA

VO. MNP OM ON OC = . . . VO . ABC OA OB OP

Câu 35: Phương trình ( x − 2 ) log 2 ( x − 3 ) + log 3 ( x − 2 )  = x + 1 có tập nghiệm là: A. ∅

B. {5}

C. {2;5}

D. {4;8}

Câu 36: Một khối lập phương có cạnh 1m. Người ta sơn đỏ tất cả các mặt của khối lập phương

rồi cắt khối lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của khối lập phương để được

là

hình

bình

hành

với

AB = a, AD = 2a, BAD = 60 . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa SC và mặt đáy bằng 600. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỷ số A. 3

V là a3

Câu 40: Đồ thị hàm số y = mx 4 + ( m 2 − 9 ) x 2 + 10 có 3 điểm cực trị thì tập giá trị của m là A. ℝ \ {0}

khác O. Khẳng định nào sau đây là đúng?

ABCD

7. A. m = ± 2

D. 5

đáy

B. ( −3;0 ) ∪ ( 3; +∞ )

C. ( −∞; −3 ) ∪ ( 0;3 )

D. ( 3; +∞ )

Câu 41: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có BC = a 2.

Hình chiếu vuông góc của B ' xuống mặt đáy ( ABC ) là H trùng với trung điểm BC. Biết mặt bên ( BB ' A ' A ) tạo với đáy một góc 600 Thể tích của khối lăng trụ là ABC. A ' B ' C ' là A.

a3 3 8

a3 3 6

Câu 42: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ

a3 3 4

a3 3 12

B. Bất kì một hình hộp nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp. C. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp. D. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp. Câu 50: Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S ( I ; 2a ) . Khi đó đường tròn mặt cắt có bán kính là A.

Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại bốn điểm phân biệt khi A. m < −1

B. m = −1

C. m > 0

D. −1 < m < 0

Câu 43: Số nghiệm của phương trình 9 + 6 = 2.4 là x

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Câu 44: Nếu bán kính R của một khối cầu tăng gấp hai lần thì thể tích của khối cầu đó tăng lên

bao nhiêu lần? A. 2

B. 4

C. 8

D. 6

Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 2a. SA vuông góc với đáy, biết góc giữa (SBC) và đáy là 450. Thể tích khối chóp là

3 2a 3 2

2a 3 2

C. 3 2a 3

2a 3

Câu 46: Giá trị của m để phương trình log 32 x − (m + 2) log 3 x + 3m − 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2,

thỏa mãn x1 x2 = 27 là A. ∅

B. m = ±1

C. m = 5

D. m = 1

Câu 47: Lãi suất ngân hàng hiện nay là 6% trên năm. Lúc con ông A bắt đầu học lớp 10 thì ông

gửi tiết kiệm 200 triệu. Hỏi sau 3 năm ông A nhận cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? A. 233,2 triệu

B. 238,2 triệu

C. 283,2 triệu

D. 228,2 triệu

Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ ( ABC ) . SA = BC = a và AB = a 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là

A. a

a 2 33

a 22

Câu 49: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp.

a 23

a 2 + d 2 ( I , ( P ) ).

4a 2 − d 2 ( I , ( P ) ). C.

a 2 − d 2 ( I , ( P ) ).

4 a 2 + d 2 ( I , ( P ) ).

Đáp án

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận ngang.

1-C

2-A

3-C

4-B

5-A

6-C

7-B

8-D

9-A

10-D

Câu 7: Đáp án B

11-D

12-D

13-A

14-B

15-A

16-B

17-D

18-D

19-D

20-C

Đặt t = 2 x > 0. Khi đó phương trình trở thành: t 2 − t + 6 = m, t > 0

21-C

22-A

23-C

24-D

25-A

26-A

27-B

28-C

29-A

30-B

Vẽ đồ thị hàm số y = t 2 − t + 6, t > 0

31-C

32-C

33-D

34-B

35-B

36-C

37-A

38-A

39-C

40-C

41-C

42-D

43-D

44-C

45-B

46-D

47-B

48-A

49-B

50-B

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C 2 4 1 Phương trình đã cho ⇔ 4.3x −1 − 1 = 32 x −1 ⇔ .3x − 1 = ( 3x ) − 4.3x + 3 = 0 3 3

t = 1 Đặt t = 3x > 0, ta có: t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔  1 = 3 Với t = 1 thì 3x = 1 ⇔ x = 0

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì m >

Với t = 3 thì 3x = 3 ⇔ x = 1

Câu 8: Đáp án D

Vậy tập nghiệm của phương trình là: {0;1}

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm ( x0 ; y0 ) là:

Câu 2: Đáp án A

k = y '( x0 ) = 3 x02 − 6 x0 = 3( x0 − 1) 2 − 3 ≥ −3 ⇒ k min = −3 ⇔ x0 = 1 ⇒ y0 = 0

 4 − log x ≠ 0 log x ≠ 4 Điều kiện:  ⇔ ( *) + x ≠ 2 log 0  log x ≠ −2

Phương trình tiếp tuyến là: y = −3( x − 1) + 0 = −3 x − 3.

Với điều kiện (*) thì phương trình trở thành: 2 + log x + 8 − 2log x = ( 4 − log x )( 2 + log x )

log x = 1  x = 10 ⇔ log 2 x − 3log x + 2 = 0 ⇔  ⇔ . Vậy phương trình có 2 nghiệm. x = log 2   x = 100 Câu 3: Đáp án C 2

Ta có: a + b = 7 ab ⇔ ( a + b ) 2

⇒ log 2

23 . 4

a+b a+b = 9ab ⇔  = ab > 0  = ab > 0 ⇔ 3 3  

a+b 1 1 = log 2 ab = log 2 ab = ( log 2 a + log 2 b ) . 3 2 2

Câu 4: Đáp án B

Câu 9: Đáp án A Đặt t = 5 x > 0. Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 2(3 − x)t + 2 x − 7 = 0

t = −1 ( L) Ta có: ∆ t ' = ( x − 4) 2 ⇒  t = −2 x + 7 Với t = −2 x + 7 thì 5 x = −2 x + 7. Ta thấy hàm y = 5x đồng biến còn hàm y = −2 x + 7 nghịch biến ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất.

Câu 10: Đáp án D

x = 0  y = 0 Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔  ⇒ ⇒ Tọa độ các điểm cực trị là: ( 0;0 ) , ( 2; −4 )  x = 2  y = −4

⇒ ∆ : y = −2 x.

Câu 5: Đáp án A Điều kiện: 4 − 3x − x > 0 ⇔ −4 < x < 1. Vậy TXĐ của hàm số là: D = ( −4;1)

Câu 11: Đáp án D

Câu 6: Đáp án C

Ta có: x2 − 3x − m = 0 ⇔ x 2 − 3x = m Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 3x

S ABC =

a2 V 3 8a ⇒ AH = = = S ABC a 2 2 3 2

Ta có: d ( AB; B ' C ') = d ( AB; ( A' B ' C ') ) = d ( A ( A' B ' C ') )

= AH = h ⇒ h =

9 Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất thì m = − . 4 Câu 12: Đáp án D Ta có: y ' = mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2). Để hàm số đồng biến trên ( 2; +∞ ) thì y ' > 0∀x ∈ ( 2; +∞ ) 2

8a 3

Câu 15: Đáp án A Ta có: y ' = 2 x +

 x = −1 4 =0⇔ 1− x  x = 2 (L)

TH1: m = 0 ⇒ y ' = 2 x − 6 > 0 ⇔ x > 3 ⇒ loại.

Ta có: y ( −2) = 4 − 4 ln 3; y (0) = 0; y ( −1) = 1 − 4 ln 2 ⇒ Min y = 1 − 4ln 2 ⇔ x = −1

m > 0 2+ 6 TH2:  ⇔m> 2 ∆ ' = ( m − 1) − 3 m m − 2 < 0 2 ( ) 

Câu 16: Đáp án B

m > 0  2  ∆ ' = (m − 1) − 3m ( m − 2 ) ≥ 0 2 2+ 6 ⇔ ≤m< TH3:  y '(2) = 3m − 2 ≥ 0 3 2   m −1  m < 2

Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; −3 ) (loại A).

Kết hợp các trường hợp, ta có: m ≥

Câu 17: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm là: x + 1 =

x ≠ 1 x ≠ 1 2x + 4 ⇔ 2 ⇔ 2 x −1 x x − 1 = 2 + 4   x − 2x − 5 = 0

x1 + x2 =1 2

Câu 18: Đáp án D

3V 3.4a 3 = = 6a 2 . Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Ta SA 2a

= ϕ ⇒ AH = SA cot ϕ = 2a cot ϕ , SH = 2a có: SHA sin ϕ 2

BC =

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng và y = −2 là tiệm cận ngang (loại C và D).

⇔ x = 1 ± 6 ⇒ x1 =

2 3

Câu 13: Đáp án A Ta có: S ABC =

 −2;0

Ta có: y = − x +

3 − a − ( x − 3) −x + a 3− a ⇒ y ' = −1 + = 2 2 x−3 x − 3 ( ) ( x − 3)

Hàm số có 2 cực trị khi a < 3. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: y = −2 x + 2

2S SBC 2S ABC 6 2a 6a 2 = ⇔ = ⇒ cos ϕ = ⇒ ϕ = 450. 2a SH AH 2a cot ϕ 2 sin ϕ

Ta có: xCT = 3 − 3 − a ; x CD =3+ 3 − a Lại có: m − M = yCT − yCD = −2 ( xCT − xCD ) = 4 3 − a = 4 ⇔ a = 2.

Câu 14: Đáp án B

Câu 19: Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của A xuống ( A ' B ' C ') . Ta có:

x > 0 x > 0 Hàm số đã cho xác định khi  ⇔ ⇔ x ≥ 2. x ≥ 2 log 2 x − 1 ≥ 0

Câu 20: Đáp án C

3  x − 3mx + m + 1 = 0 Đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành khi  2 3 x − 3m = 0 2 2 m = 1  x = m  x = m ⇒ 3 ⇔ ⇔ 3 2 3 2 x = 1  x − 3 x + x + 1 = 0 −2 x + x + 1 = 0

Câu 27: Đáp án B Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH ⊥ ( ABC ) Ta có: R1 = RABC =

Câu 21: Đáp án C

+) R2 = RABC =

Ta có: M = log A − log A0 = 8,3

a a ; AB = a = 2sin 600 3

Áp dụng công thức giải nhanh ta có:

Mặt khác M ' = log 4 A − log A0 = log 4 + log A − log A0 = log 4 + M = 8,9 ( richer ) R = R12 + R22 −

Câu 22: Đáp án A Xét y = e x

+ 2. x

⇒ y ' = ex

+ 2. x

.(2 x + 2) > 0 ⇔ x > −1 nên hàm số đồng biến trên ( −1; +∞ ) .

Câu 23: Đáp án C Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là: R = 2

Khi đó S = 4π R = 6π a

a a = 2sin 600 3

a 2 + b2 + c 2 a 2 + 2a 2 + 3a 2 a 6 = = 2 2 2

Câu 24: Đáp án D

 −b  = −2 Đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 − x + 3 có điểm uốn là I ( −2;1) khi  3a  f (−2) = 1 1  a = − 4 b = 6 a b = 6 a ⇒ ⇔ ⇔ 1 = −8a + 4b + 2 + 3  −8a + 4b = −4 b = −3  2

Câu 25: Đáp án A Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ )

Câu 26: Đáp án A

a 2 a 2 Bán kính đường tròn đáy là: Rñ = ⇒ chiều cao: h = SA2 − Rñ2 = a2 − Rñ2 = . 2 2 SA2 a 2 a2 a 2 a3 2 4 Khi đó bán kính mặt cầu là: R = = = = ⇒ V = π R3 = 2SH 2h a 2 2 3 3

AB 2 a 15 = 4 6

Do vậy Smc = 4π R 2 =

5π a 2 3

Câu 28: Đáp án C

1 Ta có: Sñ = a 2 = 2302 ⇒ V = Sñ h = 2592100 m3 . 3

( )

Câu 29: Đáp án A Ta có: y ' = esin x cos x ⇒ y '' = esin x cos2 x − sin x e sin x Khi đó K = esin x cos2 x − esin x sin x − esin x cos2 x + sin x.esin x = 0

Câu 30: Đáp án B

(

)(

)

(

Ta có: 5 + 24 5 − 24 = 1. Đặt t = 5 + 24

) ⇒ ( 5 − 24 )

1 t

t 2 − 10t + 1 = 0 1 Khi đó PT ⇒ t + = 10 ⇔  ⇔ t = 5 ± 24 ⇒ x = ±1. t t ≠ 0 Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng -1.

Câu 31: Đáp án C Ta có: lim

x →±∞

x2 + x + 1 −1 = nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang. −5x 2 − 2 x + 3 5

Lại có PT g( x ) = −5 x 2 − 2 x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt và PT x 2 + x + 1 = 0 vô nghiệm nên

đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng. Câu 32: Đáp án C

TCĐ của đồ thị hàm số y =

2x + 1 là x = − m x+m

(

) (

)

= 600 ⇒ SC , ( ABCD ) = SC , ( AC ) = SCA

Để TCĐ qua điểm M ( 2;3) ⇒ − m = 2 ⇔ m = −2

=a 7 Ta có AC = AB 2 + BC 2 − 2 AB.BC .cos ABC

Câu 33: Đáp án D

= Ta có tan SCA

(

) (

Ta có: y ' = 3 x + m + 1 > 0 ∀x ∈  0;2  2

)

SA = a 7.tan 600 = a 21 ⇒ SA = AC.tan SCA AC

Do đó Min y = y(0) = m 2 − 2 = 7 ⇔ m = ±3

1 = a2 3 Ta có SABCD = 2SABD = 2. .AB. AD.sin BAD 2

Câu 34: Đáp án B

1 1 V ⇒ VS . ABCD = SA.SABCD = .a 21.a 2 3 = a3 7 ⇒ 3 = 7 3 3 a

 0;2 

Ta có:

VO . MNP VO . ABC

OM ON OP . . . OA OB OC

Câu 40: Đáp án C  m > −3 Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m(m 2 − 9) < 0 ⇔  0 < m < 3

Câu 35: Đáp án B ĐK: x > 3. Khi đó: PT ⇔ log2 ( x − 3) + log3 ( x − 2 ) − Xét hàm số f '( x ) =

x +1 =0 x−2

Câu 41: Đáp án C

1 1 3 + + > 0 ( ∀x > 3) nên hàm số đồng biến trên ( 3; +∞ ) x − 3 x − 2 ( x − 2 )2

Gọi K là trung điểm của AB ⇒ HK / / AC Mà ∆ABC vuông cân tại A ⇒ HK ⊥ AB

 AB ⊥ HK Ta có  ⇒ AB ⊥ ( SHK ) ⇒ SB ⊥ B ' K  AB ⊥ SH

Ta có: PT ⇔ f ( x ) = f (5) ⇔ x = 5

Câu 36: Đáp án C

' = 60 HK , B ' K ) = HKB ( BB ' A ' A ) , ( ABC ) ) = ( (

Mỗi chiều của khối lập phương gồm 10 khối nhỏ có kích thước 10cm × 10cm × 10cm.

⇒

Hình lập phương có 12 cạnh, mỗi cạnh có 8 khối nhỏ được sơn 2 mặt đó

Ta có BC = a 2 ⇒ AB = AC = a

Do đó có tổng cộng 12.8 = 96 mặt.

Câu 37: Đáp án A

Ta có HK =

 x = 1 ⇒ y = −2 mà a = 1 > 0 nên hàm số có điểm cực đại là Ta có: y ' = 3 x 2 − 3; y ' = 0 ⇔   x = −1 ⇒ y = 2

1 a a 3 AC = ⇒ B ' H = HK .tan 600 = 2 2 2

Ta có S ABC =

1 a2 AB. AC = 2 2

( −1;2 ) , điểm cực tiểu là (1; −2 ) ,

⇒ VABC . A ' B ' C ' = B ' H .SABC =

Câu 38: Đáp án A  2 Ta có: 0,125.4 2 x − 3 =    8   

−x

⇔ 2−3.24 x − 6 = 2 2 ⇔ 24 x − 9 = 2 2 ⇔ 4 x − 9 =

Câu 39: Đáp án C Ta có SC ∩ ( ABCD ) = {C} và SA ⊥ ( ABCD )

5 x⇔ x=6 2

a 3 a 2 a3 3 . = 2 2 4

Câu 42: Đáp án D Để cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì −1 < m < 0 Câu 43: Đáp án D Phương trình đã cho tương đương

x x 2x x x  3  x   3  x  9 6 3 3 3   +   = 2 ⇔   +   − 2 = 0 ⇔   − 1   + 2  = 0 ⇔   = 1 ⇔ x = 0  2    2    4 4 2 2 2

Câu 44: Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AC Trong mặt phẳng (SAC) qua H vẽ đường thẳng song với SA cắt SC tại I => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

4 Ta có công thức thể tích V = π R 3 nên khi tăng bán kính R gấp 2 lần thì thể tích của khối cầu 3

Ta có AC = AB 2 + BC 2 = a 3 ⇒ AH =

đó sẽ tăng lên 8 lần

Ta có IH =

Câu 45: Đáp án B

1 ⇒ CM = AD = a ⇒ CM = AB ⇒ ∆ACB vuông tại C 2  BC ⊥ AC Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ SC  BC ⊥ SA

⇒ ( SBC ) , ( ABCD ) = ( SC , AC ) = SCA = 450

)

=a 2 Ta có AC = AD 2 + DC 2 = a 2 ⇒ SA = AC .tan SCA Ta có S ABCD =

1 1 3a 2 AD. ( AB + CD ) = .a. ( a + 2a ) = 2 2 2

1 1 3a 2 a3 2 ⇒ VS . ABCD = SA.SABCD = .a 2. = 3 3 2 2 Câu 46: Đáp án D Điều kiện. Đặt t = log3 x khi đó phương trình trở thành t 2 − ( m + 2 ) t + 3m − 1 = 0 (*) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

m > 4 + 2 2 2 ⇔ ∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) − 4 ( 3m − 1) > 0 ⇔ m2 − 8m + 8 > 0 ⇔   m < 4 − 2 2 Khi đó theo Vi-et ta có

t1 + t2 = m + 2 ⇔ log3 x1 + log3 x2 = m + 2 ⇔ log3 ( x1 x2 ) = m + 2 ⇔ m = 1

Câu 47: Đáp án B Sau 3 năm ông A nhận cả vốn lẫn lãi là 200(1+6%)3 = 238,2 triệu.

Câu 48: Đáp án A

chóp

a 3 2

1 a SA = ⇒ IA = IH 2 + AH 2 = a = R. 2 2

Câu 49: Đáp án B

Gọi M là trung điểm của AB => ADCM là hình vuông

(

song

Đáp án B sai, hình hộp có đáy là hình bình hành không mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 50: Đáp án B Bán kính mặt cắt là

R 2 − d 2 ( I , ( P ) ) = 4a 2 − d 2 ( I , ( P ) )

có

ĐỀ 11

ĐỀ THI HỌC KÌ I

C. Không tồn tại.

Môn: TOÁN 12

Câu 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − x + 1 tại điểm M (1;1) là A. y = 2 x.

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) B. y = log 2 x.

C. y = log

D. y = log e x.

π x

B. x > 1.

D. x < 0.

B. x < 2. B. AA’.

Câu 5: Giá trị của 49 A. 5.

log7 2

D. x < 6.

C. AB.

2x B. y ' = 2 . x +1

B. ( −2;3 ) .

D. 4.

x C. y ' = 2 . x +1

D. y ' = 2 x ( x + 1) .

A. x =

3x − 7 là x+2

C. ( 3; −2 ) .

B. 5 2 cm.

B. 3.

C. 5 cm.

C. 6.

1 3 , y= . 2 2

5 cm. 2

D. 5.

B. x =

D. ( −3; 2 ) .

Câu 16: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số lũy thừa? x

B. y = − x 4 +2x 2 + 1.

C. y = x 2 − 3x + 6

D. y =

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ −1;1] lần lượt

1 B.   . π 

C. y = x π .

D. y = 2 x 3 .

Câu 17: Mệnh đề nào sau đây đúng?

x +1 . x−2

Câu 9: Dựa vào đồ thị của hàm số ở hình bên dưới ta suy ra giá

3 1 , y= . 2 2

1 D. x = , y = −1. 2

1 C. x = −1, y = . 2

A. y = x cos π .

A. y = 2 x 3 − 3x 2 .

B. 2;0.

D. M ( 0; −2 ) .

đường thẳng lần lượt có phương trình 2

Câu 8: Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A. 0; −2.

C. M ( −1; 0 ) .

3 − 2x Câu 15: Cho hàm số y = . Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là các 2x − 1

C. 2.

Câu 7: Tọa độ giao điểm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = A. ( 2; −3) .

B. M (1; 2 ) .

A. 4.

Câu 6: Đạo hàm của hàm số y = ln ( x + 1) là A. y ' = e x

D. Bát diện đều.

Câu 14: Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là

D. AC.

C. Nhị thập diện đều.

A. 10 cm.

bằng:

B. 3.

B. Tứ diện đều.

cao của hình trụ bằng

C. x > 2.

Câu 4: Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đường kính là A. AC’.

D. y = 2 x − 1.

Câu 13: Cho hình trụ có bán kính đáy 5cm. Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Chiều

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình log3 x < 2 là: A. 0 < x < 9.

A. Thập nhị diện đều.

A. M ( 2;1) .

C. x > 0.

C. y = −2 x − 1.

2x + 2 và trục hoành là điểm M có tọa độ Câu 12: Giao điểm của đường cong y = x+3

1 Câu 2: Nghiệm của bất phương trình   > 1 là: 2

A. x < 1.

B. y = 2 x + 3.

Câu 11: Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều?

Câu 1: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó? A. y = logπ x.

D. 2; −2.

(

) < (4 − 2) .

(

) < (2 − 2 ) .

A. 4 − 2

(

11 − 2

(

3− 2

) >(

)

trị là

C. 2 − 2

) <(

Câu 18: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó ?

11 − 2 . 5

)

3− 2 .

2 B. y =   3

A. y = ( 0,5 ) .

e C. y =   π 

D. y =

( 2) .

Câu 19: Mỗi đỉnh của khối bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu cạnh ? A. 7.

B. 6.

C. 4.

D. 5.

28 3

C. 5

x +1 B. y = x −1

x −1 C. y = x +1

C. y ' = e x + 2x

D. y ' = e x

B. 10 = 1

C. 00 = 1

D. 30 = 1

Câu 29: Độ dài đường sinh của hình nón có bán kính đáy r , chiều cao h bằng

3 2

h2 − r 2

r 2 − h2

D. h 2 + r 2

h2 + r 2

Câu 30: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a , chiều cao là 3a . Đường sinh của hình nón bằng

−x −1 D. y = −x + 1

Câu 22: Đồ thị sau đây là của hàm số nào? A. y = − x3 + 3x 2 + 1.

A. 5a.

B. 4a.

C. a 7.

B. 5a + 4b

C. a 4 b5

Câu 32: Với giá trị nào của a dương thì biểu thức log 6 ( 4 + 2a

B. y = x − 3x + 1.

A. 2

C. y = − x − 3x − 1. 2

B. 4

Câu 33: Phương trình 5 − 24.5 2x

D. y = x3 − 3x − 1. Câu 23: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích V của

D. 3a

Câu 31: Nếu log 2 x = 5 log 2 a + 4 log 2 b ( a, b > 0 ) thì x bằng A. a5b4

B. y ' = e x + 2

Câu 28: Mệnh đề nào sau đây sai :

Câu 21: Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ?

−x + 1 A. y = x −1

Câu 27: Hàm số y = e + 2 x − 1 có đạo hàm là

A. 20 = 1 D. −

D. Hình lập phương

A. y ' = e x + 1

5x + 3 Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn [3;5] là: x−2 A. −2

C. Hình nhị thập diện đều

A. −1

D. 4a + 5b 2

)=2 ?

C. Giá trị khác x−1

D. 1

− 1 = 0 có nghiệm là :

B. 1

C. 5

D. −

khối lăng trụ ABC. A ' B ' C '

A. V =

a3 3 2

B. V =

a3 3 5

C. V =

a3 3 3

D. V =

a3 3 4

32π R3 3

24π R3 3

4π R 3 3

Câu 25: Đồ thị sau đây là của hàm số nào? 1 A. y = − x 4 + 3 x 2 − 3. 4

phương là :

D. 4π R 2

Câu 35: Cho hàm số y = A. m > 0.

B. 900 cm3

C. 2700 cm3

D. 1000 cm3

1 3 m 2 x − x − 2 x + 4 đồng biến trên ℝ thì giá trị của m là 3 2 B. m < 0 .

C. Không tồn tại m.

D. Với mọi m.

Câu 36: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = xe trên [ −1; 0 ] là x

B. y = x 4 + 2 x 2 − 3.

A. −e.

C. y = x − 2 x − 3. 4

Câu 34: Cho hình lập phương có độ dài đường chéo bằng 10 3 cm . Thể tích của khối lập

A. 3000 cm3

Câu 24: Một khối cầu có bán kính 2R thì có thể tích bằng

1 5

1 B. − . e

1 . e

D. 0.

Câu 37: Đường thẳng d : y = m x − 2m − 4 cắt đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 6 tại 3 điểm

D. y = − x 4 − 3x 2 − 3.

phân biệt khi

Câu 26: Các khối đa diện đều nào có tất cả các mặt là hình vuông ? A. Hình bát diện đều

B. Hình tứ diện đều

A. m < 1.

B. m < −3.

C. m > 1.

D. m > −3.

Câu 38: Cho hàm số y = x 4 − ( 3m + 2 ) x 2 + 3m có đồ thị là ( Cm ) , m là tham số. Đường thẳng

B. m =

A. m = 3.

y = −1 cắt ( Cm ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2 khi A. −

1 < m < 1 và m ≠ 0. 4

1 B. − < m < 2 và m ≠ 0. 3

C. −

1 < m < 1 và m ≠ 0. 2

1 D. − < m < 1 và m ≠ 0. 3

a 3 13 . 2

a3 . 2

a3 5 . 3

4 x + y + 3.42 y = 8 là Câu 40: Nghiệm của hệ phương trình   x + 3 y = 2 − log 4 3 1 1  A.  (1 + log 4 3) ; (1 − log 4 3)  . 2 2 

1 1  C.  ( 3 + log 4 3) ; (1 − log 4 3)  . 2 2 

1 1  D.  ( 3 + log 4 3) ; ( 3 − log 4 3)  . 2 2 

( (1 + log 3) ; (1 − log 3) ) . 4

Câu 41: Một hình trụ có trục OO ' = 2 7 , ABCD là hình vuông có cạnh bằng 8 có đỉnh nằm trên

A. 2.

25 . 4

C. 25π 14

D. 16π 7

Câu 42: Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R = 5 tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng chứa tam giác là

A. 4.

B. 3.

C. 6.

D. 5.

Câu 43: Phương trình x 2 x 2 − 2 = m có đúng 6 nghiệm thực khi A. m > 0.

B. m > 1.

C. 0 < m < 1. 2

Câu 44: Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số y = tham số m là

25 . 8

góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa

A. V =

a 3 . Thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là 4

a3 3 . 3

B. V =

a3 3 . 6

C. V =

a3 3 . 12

D. V =

a3 3 . 36

Câu 48: Điểm M ( 3; −1) thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − x + m khi m bằng

A. 2.

B. 1.

C. −1.

D. 0.

1− x là x+3

A. ( −3;1) .

B. ( −∞; −3] ∪ [1; +∞ ) .

C. [ −3;1] .

D. ( −∞; −3 ) ∪ (1; +∞ ) .

Câu 50: Lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 30cm ,

AC = 40cm , B ' A = 50cm. Diện tích toàn phần của khối lăng trụ là A. 6000cm2 .

B. 5400cm2 .

D. m < 0.

x−m +m bằng −2 trên đoạn [ 0;1] . Giá trị của x +1

Câu 48: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông

Câu 49: Tập xác định của hàm số y = log 2

trụ là B. 50π 7

D. y = −5 x + 10.

C. 0.

hai đường tròn đáy sao cho tâm của hình vuông trùng với trung điểm của OO' . Thể tích của hình

A. 25π 7

C. y = −3 x − 3.

y = 2sin 2 x − cos x + 1 . Khi đó giá trị của tích M.n là

AA’ và BC là

B. y = − x − 3.

A. y = −3 x + 3.

Câu 46: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

chóp S.ABCD là B.

 m = −1 D.  . m = 2

nhỏ nhất?

Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; biết AB = a , AD = a 3 . Hình

a3 5 . 5

m = 0 C.  . m = 1

Câu 45: Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = x 3 − 32 + 2 và có hệ số góc

chiếu S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB; góc tạo bởi SD và đáy là 60° . Thể tích của khối

1 ± 21 . 2

C. 4800cm2 .

D. 7200cm2 .

Đáp án 1-D

2-D

3-A

4-A

5-D

6-B

7-B

8-D

9-D

10-D

11-C

12-C

13-A

14-C

15-D

16-B

17-A

18-D

19-C

20-B

21-C

22-B

23-D

24-A

25-C

26-D

27-B

28-C

29-C

30-A

Nhị thập diện đều có các mặt là ngũ giác, không phải là tam giác đều.

31-A

32-B

33-B

34-D

35-C

36-B

37-D

38-D

39-B

40-A

Câu 12: Đáp án C

41-B

42-B

43-C

44-D

45-A

46-C

47-D

48-D

49-A

50-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Với hàm số y = log e x ta có y ' = π

x ln

< 0 nên hàm số nghịch biến.

Bất phương trình tương đương x < log 1 1 ⇔ x < 0 . 2

Câu 3: Đáp án A Điều kiện: x > 0. Bất phương trình tương đương x < 32 ⇔ x < 9 ⇒ 0 < x < 9. Câu 4: Đáp án A Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABC D. A ' B ' C ' D ' có đường kính là AC’.

Câu 5: Đáp án D Ta có 49log7 2 = 2log7 49 = 22 = 4.

Câu 6: Đáp án B Ta có

Câu 13: Đáp án A Câu 14: Đáp án C

Câu 2: Đáp án D

2x + 2 và trục hoành M ( −1; 0 ) . x+3

Chiều cao của hình trụ bằng đường kính của mặt đáy nên có chiều cao là 10cm.

Câu 1: Đáp án D

(x y' =

Giao điểm của đường cong y =

+ 1) '

2x = 2 . x2 + 1 x +1

Khối tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

Câu 15: Đáp án D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =

1 , tiệm cận ngang là y = −1. 2

Câu 16: Đáp án B Hàm số trong các đáp án A, C, D là các hàm số lũy thừa. Hàm số trong đáp án B là hàm số mũ.

Câu 17: Đáp án A Với a > 1 thì a m > a n ⇔ m > n. Với 0 < a < 1 thì a m > a n ⇔ m < n.

Câu 18: Đáp án D Hàm số y = a x đồng biến trên ℝ khi a > 1 .

Câu 19: Đáp án C Mỗi đỉnh của khối bát diện đều là đỉnh chung của 4 cạnh.

Câu 7: Đáp án B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −2 , tiệm cận ngang là y = 3 nên giao điểm là ( −2;3 ) . Câu 8: Đáp án D Với hàm số y =

x +1 −3 ta có y ' = < 0 nên hàm số không có cực trị. 2 x−2 ( x − 2)

Câu 9: Đáp án D Giá trị lớn nhất là 2, giá trị nhỏ nhất là –2.

Câu 10: Đáp án D Ta có y ' = 3x 2 − 1. Hệ số của tiếp tuyến là k = y ' (1) = 2 ⇒ pttt : y = 2 x − 1.

Câu 11: Đáp án C

Câu 20: Đáp án B Ta có y ' =

−13

( x − 2)

< 0, ∀x ∈ ( 3;5 ) ⇒ min y = y ( 5 ) = [3;5]

28 . 3

Câu 21: Đáp án C Ta có y A = 1 ; yB ' =

−2

( x − 1)

; yC ' =

( x + 1)

; yD ' =

−2

( − x + 1)

Câu 22: Đáp án B

Câu 33: Đáp án B

Ta có lim y = −∞ ; lim y = +∞ ⇒ a > 0 ⇒ Loại A và C x →−∞

x →+∞

Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ ( 0;1) . Câu 23: Đáp án D

Phương trình 52 x − 24.5x −1 − 1 = 0 ⇔ ( 5x ) −

5 x = 5 24 x .5 − 1 = 0 ⇔  x ⇔ x = 1. 5 = − 1 5  5

Câu 34: Đáp án D

Ta có V = A ' A.S ABC

a 2 3 a3 3 = a. = . 4 4

Câu 24: Đáp án A

4 4 32π R 3 3 Ta có V = π r 3 = π . ( 2 R ) = . 3 3 3

Gọi a là độ dài cạnh lập phương ⇒ Độ dài đường chéo là d = a 3 = 10 3 ⇒ a = 10. Vậy thể tích của khối lập phương là V = a3 = 103 = 1000 cm3 .

Câu 35: Đáp án C Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ x 2 − mx − 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ = m2 + 8 ≤ 0 (vô

Câu 25: Đáp án C

lý).

Ta có lim y = +∞ ⇒ a > 0 ⇒ Loại A và D

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên ℝ.

x →+∞

Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ (1; −4 ) . Câu 26: Đáp án D Hình lập phương có tất cả các mặt là hình vuông.

Câu 27: Đáp án B

Câu 36: Đáp án B Hàm số y = xe x trên [ −1; 0 ] , có y ' = e x + x.e x = 0 ⇔ x = −1.

1 1 Tính giá trị y ( −1) = − ; y ( 0 ) = 0 suy ra min y = − . [ −1;0] e e Câu 37: Đáp án D

Ta có y ' = e x + 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là x 3 − 6 x 2 + 9 x − 6 = m x − 2m − 4

Câu 28: Đáp án C

⇔ x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 = m ( x − 2 ) ⇔ ( x − 2 ) ( x 2 − 4 x + 1) = m ( x − 2 )

Mệnh đề sai là 00 = 1.

Ta có h + r = l ⇒ l = h + r .

x = 2 ⇔  x2 − 4 x + 1 − m = 0  f ( x) 

Câu 30: Đáp án A

Để (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

 r = 4a  Ta có h = 3a ⇒ l = 5a. l 2 = h 2 + r 2 

 f ( 2 ) ≠ 0 ⇔ ' ⇔ m > −3. ∆(*) > 0

Câu 29: Đáp án C 2

Câu 31: Đáp án A Ta có log 2 x = 5 log 2 a + 4 log 2 b = log 2 ( a 5 ) + log 2 ( b 4 ) = log 2 ( a 5 b 4 ) ⇒ x = a 5 b 4 .

Câu 32: Đáp án B 2

Ta có log 6 ( 4 + 2 a ) = 2 ⇔ 4 + 2a 2 = 6 2 ⇔ 2a 2 = 32 ⇔ a = ±4.

(*) .

Câu 38: Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là x 4 − ( 3m + 2 ) x 2 + 3m = −1

 x = ±1 ⇔ x 4 − ( 3m + 2 ) x 2 + 3m + 1 = 0 ⇔ ( x 2 − 1)( x 2 − 3m − 1) = 0 ⇔  2 .  x = 3m + 1 (*)

Câu 43: Đáp án C

3m + 1 > 0 m ≠ 0   Yêu cầu bài toán ⇔ 3m + 1 ≠ 1 ⇔  1 3m + 1 < 4  − 3 < m < 1 

x = 0 Xét hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 2 ⇒ f ' ( x ) = 4 x 3 − 4 x  → f '( x) = 0 ⇔   x = ±1

Câu 39: Đáp án B

x ≥ 2 Với  thì đồ thị hàm số y = x 2 x 2 − 2 giống với đồ thị hàm số f ( x )  x ≤ − 2

Vì HD là hình chiếu của SD trên mp (ABCD)

D; ( ABC D ) = ( S D; H D ) = S D H = 60°. ⇒ S Tam giác AHD vuông tại A, có H D =

Với − 2 < x < 2 thì đồ thị hàm số y = x 2 x 2 − 2 đối xứng với đồ thị hàm số f ( x ) qua trục

AH 2 + AD2 =

= Tam giác SHD vuông tại H, có tan SDH

a 13 . 2

SH a 39 ⇒ SH = . HD 2

hoành.

Số nghiệm của PT đầu bài là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 x 2 − 2 với đường y = m , dựa vài đồ thị đã xác định, để chúng có 6 giao điểm thì 0 < m < 1.

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là a 3 13 1 1 a 39 2 VS . ABC D = .SH .S ABC D = . .a 3 = . 3 3 2 2 Câu 40: Đáp án A

Từ phương trình hai của hệ, ta có x + y = 2 − log 4 3 − 2 y. Thế vào phương trình một, ta được 4 2−log4 3−2 y + 3.42 y = 8 ⇔ ⇔ 9. ( 4

2y 2

)

− 24.4

+ 16 = 0 ⇔ 4

16 1 . + 3.42 y = 8. 3 42 y

4 1 4 = ⇔ 2 y = log 4   = 1 − log 4 3 ⇔ y = (1 − log 4 3) . 3 2 3

1 1  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  (1 + log 4 3) ; (1 − log 4 3)  . 2 2  Câu 41: Đáp án B

Ta có y =

x − m2 + m m2 − m + 1 m2 − m + 1 = 1− , vì m 2 − m + 1 > 0 nên y ' = > 0. 2 x +1 x +1 ( x + 1)

m = 2 ⇒ min y = y ( 0 ) = −2 ⇔ − m 2 + m = −2 ⇔  . [ 0;1]  m = −1 Câu 45: Đáp án A

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD ⇒ AI = 4 2 ⇒ R = AO =

Câu 44: Đáp án D

AI 2 − OI 2 = 5 ⇒ V = π R 2 .OO ' = 50π 7.

Ta có y ' = 3x 2 − 6 x ⇒ y '' = 6 x − 6  → y '' = 0 ⇔ x = 1 Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là tiếp tuyến có tiếp điểm hoành độ x = 1

Câu 42: Đáp án B

Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm trên các cạnh AB, AC, BC. Gọi H là hình chiếu của O lên mặt

Tiếp tuyến cần tìm : y = y ' (1)( x − 1) + y (1) ⇔ y = −3 x + 3

phẳng (ABC). Vì ∆OHM = ∆OHN ⇒ HM = HN , tương tự HN = HP , vậy H là tâm đường tròn

Câu 46: Đáp án C

bán kính r nội tiếp tam giác ABC ⇒ OH = R 2 − r 2

Ta có y = 2 sin 2 x − cos x + 1 = −2 cos 2 x − cos x + 3 = −2t 2 − t + 3 = f ( t ) với t ∈ [ −1;1]

Dựa vào công thức Heron, ta tính được S ABC = 84 =

AB + BC + CA r ⇒ r = 4 ⇒ OH = 3. 2

⇒ f ' ( t ) = −4t − 1  → f '(t ) = 0 ⇔ t = −

1 4

25  M =  1  25 Lại có f (1) = 0, f ( −1) = 2, f  −  = ⇒ 8 ⇒ Mm = 0.  4 8 m = 0 Câu 47: Đáp án D

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu M lên AA’ Vì A ' G ⊥ BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( AA ' M ) ⇒ BC ⊥ HM ⇒ d ( BC , AA ') = HM

HM HM 1 A ' AG = AG. Ta có: A ' G = AG.tan = AG. = 2 2 HA 3 AM − HM ⇒ VABC . A ' B ' C ' =

S ABC . A ' G a 3 3 = . 3 36

Câu 48: Đáp án D

2 2 2 Sử dụng y: y ' ⇒ − x + m , d : y = − x + m , M ∈ d ⇒ −1 = − .3 + m ⇒ m = 0. 3 3 3 Câu 49: Đáp án A

Tập xác định

1− x > 0 ⇔ −3 < x < 1 x+3

Câu 50: Đáp án A

Ta có AA ' = B ' A2 − AB 2 = 40 cm. Đồng thời BC =

AB 2 + AC 2 = 50 cm.

⇒ Stp = S AA ' B ' B + S AA ' C ' C ' + S BCC ' B ' + 2 S ABC

= AB. AA '+ AC. AA '+ BC. AA '+ AB. AC = 6000 cm2 .

ĐỀ 12

ĐỀ THI HỌC KÌ I

cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia sông 100 m.

Môn: TOÁN 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) x−2 có x2 + mx + m

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =

bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở

đúng một tiệm cận đứng.

200 3

B. 100.

C. 100 101.

200 2

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a , S A = a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. a3 .

A. Không có giá trị thực nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

a3 . 3

a3 2 . 6

a3 2 . 2

Câu 8: Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn log 2 ( 5 x − 20 ) > 3.

4 B. 0 ≤ m ≤ 4 hoặc m = − . 3

A. x <

28 . 5

B. 4 < x <

28 . 5

C. x >

28 . 5

D. x >

29 . 5

4  C. m ∈ 0; 4; −  . 3 

Câu 9: Cho hình trục có bán kình bằng r. Gọi O,O’ là tâm của hai đáy, với OO ' = 2r . Một

D. m ≤ 0 hoặc m ≥ 4.

mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đáy hình trụ tại O và O’. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng

định nào là khẳng định sai?

Câu 2: Hỏi hàm số y = x 2 − 4 x + 3 nghịch biến trên khoảng nào? A. ( 2; +∞ ) .

B. ( 3; +∞ ) .

C. ( −∞;1) .

D. ( −∞; 2 ) .

Câu 3: Người ta bỏ bốn quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng bốn lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của bốn quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính tỉ số

B. Diện tích mặt cầu bằng

2 diện tích toàn phần của hình trụ. 3

C. Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Câu 10: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C 'D' cạnh a. Hãy tính thể tích V của khối nón có B.

S1 3 = . S2 2

S1 8 = . S2 9

B. A = 32.

C. A = 48.

S1 9 = . S2 8

Câu 4: Cho log a b = 10 , log a c = −15 . Tính giá trị của biểu thức A = log a A. A = −2.

3 thể tích khối trụ. 4

D. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng 6π r 2 .

S1 . S2

S1 = 1. S2

A. Thể tích khối cầu bằng

8 3

b c5

đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. A. V =

D. A = 47.

Câu 5: Trong không gian, cho hình vuông ABCD có cạnh 2a. Gọi M, N lần lượt là trung

π a3 2

B. V =

C. S xq = 4π a 2 .

C. V =

π a3 6

D. V =

π a3 12

tạo nên bởi hình trụ đã cho. A. V = π 3r 3 .

B. V =

3 3 πr . 3

4 C. V = π r 3 . 3

D. V = 3π r 3 .

Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x − 2 + 4 − x .

tròn xoay. Tính diện tích xung quanh S xq của hình trụ tròn xoay đó.

B. S xq = 16π a 2 .

Câu 11: Cho một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 . Tính thể tích V của khối trụ

điểm các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục MN ta được một hình trụ

A. S xq = 2π a 2 .

π a3

D. S xq = 8π a 2 .

Câu 6: Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100 m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 13: Tính diện tích S của mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh 2a. A. S = 12π a 2 .

4 B. S = π a 2 . 3

C. S = 4π a 2 .

D. S = 8π a 2 .

Câu 14: Đặt a = log12 18 , b = log 24 54 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. log 2 3 =

3b − 1 . 3−b

B. ab + 5 ( a − b ) = 1.

Câu 19: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;

AB = 6a , AC = 7a và AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD,

2a − 1 C. log 2 3 = . 2−a

D. ab + 5 ( a + b ) = 1.

π  Câu 15: Giải bất phương trình  tan  7 

x2 − x −9

π  ≤  tan  7 

DB. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.

A. V = 7a3 .

x −1

B. V =

A. x ≤ −2.

B. x ≥ 4.

C. −2 ≤ x ≤ 4.

D. x ≤ −2 hoặc x ≥ 4.

Câu 16: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = x3 − 2 x − 3.

7 3 a. 2

C. V =

28 3 a. 3

D. V = 14a3 .

Câu 20: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = xe x . A. -1.

B. Hàm số không có giá trị cực tiểu.

C. 1.

1 D. − . e

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x3 + 3x2 − 12 x = m có đúng một nghiệm dương. A. Không tồn tại giá trị thực nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

B. y = x − 3x − 2. 3

C. y =

D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng ( 0; 2 ) bằng 5.

B. m = −7 hoặc m > 0.

1 4 x − 2 x 2 + 4. 4

C. m = −7 hoặc m ≥ 0. D. m < −7 hoặc m > 20.

1 D. y = − x 4 + 2 x 2 + 4. 4

Câu 22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = 2 , lim f ( x ) = +∞ . Khẳng định nào sau đây x →+∞

x →−∞

là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang phân biệt. C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng x = 2. D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ \ {2} và có bảng biến thiên:

góc với mặt phẳng đáy và S A = 3a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. V =

a3 . 4

B. V =

3a 3 . 4

C. V = 3 a 3 .

D. V =

3a 3 . 3

 x Câu 23: Cho hàm số f ( x ) =  x  Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai? e 

A. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. B. Hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất. C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;1) . D. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất bằng e−3 . Câu 24: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Giá trị cực đại của hàm số bằng 5. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận. C. Phương trình f ( x ) − 1 = 0 có đúng hai nghiệm thực.

viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bị xung quanh đều tiếp xúc với đường sinh của lọ hình trụ. Tính diện tích đáy của lọ hình trụ. A. 18π r 2 .

B. 9π r 2 .

C. 16π r 2 .

D. 36π r 2 .

Câu 25: Cho a, b là các số thực dương, a khác 1. Đặt t = log a b. Trong các khẳng định sau,

A. Phương trình vô nghiệm.

B. x = 1.

khẳng định nào là khẳng định đúng?

C. x = −20153 + 1.

1 D. x =    3

A. b = a t .

B. t ≥ 0.

C. t là số thực dương.

D. a = b t

2015

+ 1.

Câu 31: Tính đạo hàm của hàm số y = x (1 + ln ( 2 x ) ) .

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:

1 A. y ' = 1 + . x C. y ' = ln ( 2 x ) + 1 +

B. y ' =

1 . 2x

1 . x

D. y ' = ln ( 2 e2 x ) .

Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x3 − 3x 2 + m x có hai điểm cực trị trái dấu.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f ( x ) = m có nghiệm là −1 ≤ m < 6. B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = 6. C. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất bằng 6 và giá trị nhỏ nhất bằng −1 .

A. m < 0. B. 0 < m < 3. C. m < 3. D. Không có giá trị thực nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

D. Hàm số đã cho có đúng hai cực trị. Câu 27: Cho phương trình log x − ( 8 log 3 5 + 1) log 3 ( 9 x ) − 4 = 0. Khẳng định nào dưới đây 2 3

là khẳng định sai? A. Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn log 2 ( x1 x2 ) = 8 log 3 5 + 1.

Câu 33: Phương trình log 2 ( x 2 − 4 x − 23) = log 2 ( x + 1) có bao nhiêu nghiệm? A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Câu 34: Cho a, b là những số thực dương. Tìm x, biết log 3 x = log 9 a + log 3 3 b. 1

A. x = a . 3 b 2

1 B. x = là một nghiệm của phương trình đã cho. 9

B. x = ab 2 .

C. x = b a .

D. x = 3 2

C. Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm, trong đó có một nghiệm nguyên.

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =

D. Phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm.

có đúng hai tiệm cận ngang.

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x + m x + 16 cắt

A. m < 0.

trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

C. m > 0.

A. Không có giá trị thực nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2 x − mx 2 + 1 x −1

D. m = 0. x2

Câu 36: Cho hàm số f ( x ) = e .10 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. f ( x ) < 1 ⇔ x + x 2 ln10 < 0.

C. m < −12.

B. f ( x ) < 1 ⇔ x log 1 e + x 2 log 1 10 > 0. 2

D. m < 0.

C. f ( x ) < 1 ⇔ x log e + x 2 < 0.

A. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số.

B. min y = −5.

C. min y = −7.

D. min y = −3.

D. f ( x ) < 1 ⇔ x log 3 e + x log 3 10 < 0. 2

Câu 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x − 2 x + 3 ) − 7.

Câu 30: Giải phương trình log 3 ( x − 1) = −2015.

B. 0 < m < 3 hoặc m > 3.

B. m > 12.

log3 a + log

Câu 37: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

3a3 . Tính 2

A. h =

6a . 3

B. h =

2a . 3

21a . 7

C. h =

D. h =

3 7a . 7

Câu 38: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x3 − 3x + 2. A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −1;1) , đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và

(1; +∞ ) .

 x − 6 2 Câu 44: Tìm tập xác định của hàm số y =   .  x +1 

A. ( −∞; −1) ∪ [ 6; +∞ ) .

B. ( −∞; −1) ∪ ( 6; +∞ ) .

C. ( 6; +∞ ) .

D. [ 6; +∞ ) .

Câu 45: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a , cạnh

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −1;1) , nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và

(1; +∞ ) .

bên AA ' = 2a. Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AC. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

A. V =

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 0;3) , đồng biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) và

( 3; +∞ ) . Câu 39: Cho hình chóp tam giác S.ABC có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là

1 3 a. 2

1 B. V = a 3 . 3

C. V = a3 .

D. V =

Câu 46: Giải bất phương trình log 2 ( 8x + 2 x + 6 ) < 2 ( x + 1) . A. 1 < x < log 2 3.

B. x > 1.

C. 0 < x < log 2 3.

D. x < log 2 3.

trung điểm của SB, N là điểm trên cạnh SC sao cho N S = 2 NC. Tính thể tích V của khối chóp

Câu 47: Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y =

A.BMNC.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. V = 15.

B. V = 5.

C. V = 30.

D. V = 10.

 2 Câu 40: Cho a và b thuộc khoảng  0;  , α , β là những số thực tùy ý. Khẳng định nào sau  e

đây là khẳng định sai? α

A. aα bα = ( ab ) .

B. aα > a β ⇔ α > β .

C. aα a β = aα + β .

D. ( aα ) = ( a β ) .

Câu 41: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x + A. max y = [1;3]

13 . 3

B. max y = 5. [1;3]

[1;3]

B. y ' = 10 x ln10.

C. y ' = x.10x −1.

B. ∆ có hệ số góc dương.

C. ∆ có hệ số góc bằng −1.

D. ∆ song song với đường thẳng y = −5.

Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

D. max y = 4. [1;3]

3 D. m > . 2

D. y = 10 x.

thức A = x1 + x2 − x1 x2 .

A. A = 2 log7 5 + 1.

B. A = − log 7 175.

C. A = 2 log7 5 − 1.

D. A = −2log7 5 + 1.

Câu 50: Trong không gian, cho tam giác OIM vuông tại I , OI = a 3 và OM = 2a. Tính diện tích toàn phần Stp của hình nón, nhận được khi quay tam giác OIM quanh trục OI.

A. Stp = 2π a 2 . C. h = 15a.

3 C. m ≥ . 2

khối lăng trụ đã cho là B. h = 5a.

3 B. m < . 2

Câu 49: Biết phương trình 7 x .52 x = 7 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tính giá trị của biểu

Câu 43: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 30a 2 và thể tích là 150a3 . Chiều cao h của

A. h = 5.

A. ∆ song song với trục hoành.

A. m > 0.

Câu 42: Tính đạo hàm của hàm số y = 10 x.

10 x A. y ' = . ln10

1 3 x − 2 x 2 + 3x − 5. 3

 π y = 2sin 3 x − 3sin 2 x + m sin x đồng biến trên khoảng  0;  .  2

4 trên đoạn [1;3]. x C. max y = −4.

2 3 a. 3

1 D. h = a. 5

B. Stp = 4π a 2 .

C. Stp = 3π a 2 .

Đáp án

D. Stp = 6π a 2 .

1-C

2-C

3-A

4-C

5-C

6-A

7-C

8-C

9-A

10-D

11-A

12-B

13-C

14-D

15-D

16-C

17-A

18-B

19-A

20-D

21-B

22-A

23-A

24-D

25-A

26-C

27-D

28-C

29-D

30-D

31-D

32-A

33-B

34-A

35-B

36-D

37-D

38-A

39-D

40-B

41-B

42-B

43-B

44-B

45-C

46-A

47-C

48-C

49-D

50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C

Đặt HM = x 0 ≤ x ≤ 300 11

(

)

thời gian di chuyển là: t ( x ) =

AM MB + v v 2

 100 3  1 2 x 2 + 1002 + 300 11 − x ≥ t   v  3 

)

(

Do đó khoảng cách bơi là: 2

Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi phương trình: g ( x ) = x 2 + m x + m có nghiệm

 100  200 AM = 1002 +  .  = 3 3  

kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 2.

Câu 7: Đáp án C

∆ = m 2 − 4m = 0  −4 Khi đó: ∆ = m 2 − 4m > 0 ⇔ m = 0; m = 4; m = . 3   g 2 = 4 + 2m + m = 0   ( )

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Câu 2: Đáp án C Ta có: TXĐ: D = ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) ; y ' =

2x − 4 2 x2 − 4x + 3

<0⇔ x<2

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) .

Khi đó OA =

a 2 a 2 ⇒ SO = SA2 − OA2 = . 2 2

1 1 a 2 2 1 3 Do đó VS . ABC D = SO. S ABC D = . .a = a 2. 3 3 2 6 Câu 8: Đáp án C

Ta có : log 2 ( 5 x − 20 ) > 3 ⇔ 5 x − 20 > 8 ⇔ x >

Câu 3: Đáp án A

28 . 5

Câu 9: Đáp án A

Gọi r là bán kính của quả bóng bàn, khi đó bán kính đáy hình trụ là r và chiều cao hình trụ là S 4.4π r 2 16π r 2 h = 4.2r = 8r. Khi đó 1 = = = 1. S2 2π r.h 2π r.8r

4 Ta có: VC = π r 2 ;VT = π r 2 h = 2π r 3 3

( h = OO ' = 2r ) .

S C = 4π r 2 ; StpT = 2π rh + 2π r 2 = 6π r 2 ; S xqT = 2π rh = 4π r 2 .

Câu 4: Đáp án C Ta có: A = log a

khi đó tổng

Đáp án sai là A.

a8 b3 3

= log a a + log a b − log a

3 5 c = 8 + log a b − log a c = 48. 2 3 5

Câu 5: Đáp án C

Câu 10: Đáp án D

Chiều cao khối nón là h = a. Đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’ nên bán kính đáy là:

Khi quay hình vuông đó xung quanh trục MN ta được một hình trụ tròn xoay có chiều cao

1 1 a2 π a3 A' B ' a = . Do đó V = π r 2 h = π .a = . 2 2 3 3 4 12

bằng 2a và bán kính đáy r = a ⇒ S xq = 2π rh = 2π .a.2a = 4π a 2 .

Câu 6: Đáp án A

Câu 11: Đáp án A

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với A, B là các vị trí của chiến sỹ và mục tiêu tấn công

Ta có: V = π r 2 h = π r 2 .r 3 = π r 3 3.

Ta có: AK = HB =

AB 2 − AH 2 = 300 11.

Câu 12: Đáp án B

TXĐ: D = [ 2; 4]. Ta có: f ' ( x ) =

1 2 x−2

−

1 2 4− x

= 0 ⇔ x − 2 = 4 − x ⇔ x = 3.

Mặt khác f ( 2 ) = f ( 4 ) = 2 ; f ( 3) = 2 nên Max f ( x ) = 2.

Ta có: y ' = e x + xe x = e x ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1

Câu 13: Đáp án C

Do y’ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = −1 nên x = −1 là điểm cực tiểu của hàm

[ 2;4]

Bán kính của mặt cầu nội tiếp lập phương cạnh 2a là : r =

2a = a ⇒ S = 4π a 2 . 2

Rõ ràng do b ≠ 0 nên một trong 2 đáp án B hoặc D là đáp án sai. Xét B ta có: ab + 5 ( a − b ) = log12 18.log 24 54 + 5 ( log12 18 − log 24 54 ) = 1.

 x = −2 Xét đồ thị hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x ⇒ y ' = 6 ( x 2 + x − 2 ) → y ' = 0 ⇔  x = 1

Số nghiệm của PT đầu bài là số điểm chung của đồ thị hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x với

Do đó đáp án D sai.

đường thẳng y = m . có hoành độ dương. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số đó

Câu 15: Đáp án D

π π  < 1 nên  tan  7 7 

−1 . e

Câu 21: Đáp án B

Câu 14: Đáp án D

Do 0 < tan

số. Khi đó giá trị cực tiểu là yCT = y ( −1) =

x2 − x −9

π  ≤  tan  7 

x −1

⇔ x2 − x − 9 ≥ x − 1

x ≥ 4 ⇔ x2 − 2x − 8 ⇔  .  x ≤ −2 Câu 16: Đáp án C

m > 0 ⇒ .  m = y (1) = −7 Câu 22: Đáp án A

Ta có V =

SA. S ABC a 3 = . 3 4

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại A và B).

Câu 23: Đáp án A

Do lim y = +∞ nên hệ số a > 0 (loại D).

Ta có f ' ( x ) =

x →+∞

Câu 17: Đáp án A

Do lim f ( x ) = 2 nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = 2 khi x → +∞ x →+∞

2 3 x 2 e3 x − 3e3 x x 3 3x (1 − x ) =  → f '( x ) = 0 ⇔ 6x e e3 x

x = 1 x = 0 

Hàm số chỉ có 1 điểm cực trị là x = 1.

Câu 24: Đáp án D

Do lim f ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang khi x → −∞.

Bán kính đáy bằng 6r. Cụ thể viên bi nằm chính giữa là đường tròn nhỏ,

Câu 18: Đáp án B

các viên bi còn lại nằm ở giữa 2 đường tròn như hình vẽ.

x →−∞

Do lim y = 2 nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = 2 .

Diện tích đáy của hình trụ là : S = π ( 6r ) = 36π r 2 .

x →−∞

Do lim+ y = 4; lim− y = −3 nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng. x→2

x→ 2

Đáp án sai là B. Câu 19: Đáp án A

1 Ta có: VABC D = . AB. AC. AD = 28a 3 . 6 Do: SMNP =

1 1 1 1 d ( N ; MP ) .MP = . d ( B; CD ) . CD 2 2 2 2

1 1 S BC D . Do đó VA.MNP = VABCD = 7a3 . 4 4

Câu 20: Đáp án D

Câu 25: Đáp án A a t = b  Ta có t = log a b ⇒ b > 0 .  0 < a ≠ 1

Câu 26: Đáp án C Dễ thấy A, B đều đúng. Phương án C sai vì khi y = 6 không tồn tại x nên hàm số không đạt giá trị lớn nhất bằng 6. Phương án D đúng vì đạo hàm đổi dấu 2 lần nên hs có 2 cực trị.

Câu 27: Đáp án D

1  log3 x = −2 x = 9 PT ⇔ ( log 3 x + 2 ) ( log 3 x − ( 8log 3 5 + 3) ) = 0 ⇔  ⇔ 8  8 log3 x = 8log3 5 + 3 = log 3 ( 5 .27 )  x = 5 .27

Ta có log 3 x = log 9 a + log 3 3 b =

2  2  1 2 log 3 a + log 3 b = log 3  a 3 b  ⇔ x = a 3 b .   2 3  

Như vậy đáp án D sai.

Câu 35: Đáp án B

Câu 28: Đáp án C

Để đồ thị có 2 tiệm cận ngang thì tập xác định của hàm số không bị giới hạn 2 phía vô cùng

Ta có x3 + m x + 16 = 0 ⇔ −m = x 2 +

⇒m≥0

16 = f ( x ) vì x = 0 không thỏa. x 3

Hàm số f ( x ) có lim f ( x ) = lim f ( x ) = +∞ và f ' ( x ) = 2 x − x →+∞

x →−∞

16 2 x − 16 = x2 x2

2x − mx2 + 1 Khi đó: lim y = lim = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ x −1

2− m+ 1−

 → f '( x) = 0 ⇔ x = 2

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + m x + 16 với trục hoành là số giao điểm của đồ thị hàm số f ( x ) với đường y = − m . Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ( x ) để đồ thị của f ( x ) với đường y = − m có 3 giao điểm thì − m > f ( 2 ) ⇔ m < −12.

2x − mx 2 + 1 Và lim y = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ x −1

2+ m+ 1−

1 x

= 2− m

1 x2 = 2 + m

Để đồ thị có 2 đường tiệm cận ngang thì m > 0. Câu 36: Đáp án D

Câu 29: Đáp án D 2

2 Ta có y = ( x 2 − 2 x + 3) − 7 = ( x − 1) + 2  − 7 ≥ −3.  

(

Ta có f ( x ) < 1 ⇔ ln e x .10 x

(

Câu 30: Đáp án D

f ( x ) < 1 ⇔ log 1 e x .10 x

(

f ( x ) < 1 ⇔ log e .10

Ta có y ' = x (1 + ln ( 2 x ) ) = x ' (1 + ln ( 2 x ) ) + x (1 + ln ( 2 x ) ) ' = 2 + ln ( 2 x ) = ln ( 2 x.e 2 ) .

f ( x ) < 1 ⇔ log 3

cực trị hay ∆ ' = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.

Lúc này y ' = 0 có 2 nghiệm là x1 , x2 . Cần

)<0⇔ x+ x

) > 0 ⇔ x log

1 2

e + x 2 log 1 10 > 0. 2

10 > 0.

Câu 37: Đáp án D Kẻ SH ⊥ AB tại H ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) . x 3 3a 2 1 x 3 2 ⇒ = . .x ⇒ x = a 3. 2 2 3 2

Đặt AB = x > 0 ⇒ SH =

Câu 33: Đáp án B

Ta có d = d ( A; ( SCD ) ) = d ( H ; ( SCD ) )

 x 2 − 4 x − 23 > 0 Điều kiện  . Ta có: x + 1 > 0

⇒

Loại x = −3 vì không thỏa điều kiện.

ln10 < 0.

x1 x2 = m < 0.

x = 8 PT ⇔ x 2 − 4 x − 23 = x + 1 ⇔ x 2 − 5 x − 24 = 0 ⇔  .  x = −3

Ta có y ' = 3x 2 − 6 x + m. Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì trước hết phải có 2 điểm

) < 0 ⇔ x log e + x < 0. ( e .10 ) > 0 ⇔ x log + x log

Câu 31: Đáp án D

Câu 32: Đáp án A

Ta có log 3 ( x − 1) = −2015 ⇔ x − 1 = 3−2015 ⇔ x = 3−2015 + 1.

Câu 34: Đáp án A

1 x

1 x2

1 1 1 1 1 3a = + = + ⇒d= d 2 SH 2 HK 2  3a 2 3a 2 7    2 

Câu 38: Đáp án A x > 1 Ta có y ' = 3x 2 − 3 nên y ' < 0 ⇔ −1 < x < 1 và y ' > 0 ⇔   x < −1

Câu 39: Đáp án D Ta có

VS . AMN SA SM SN 1 2 = = . . . . VS . ABC SA AB AC 2 3

1 3 2 x − 2 x 2 + 3x − 5 ⇒ y ' = x 2 − 4 x + 3 = ( x − 2 ) − 1 ≥ −1. 3

Câu 48: Đáp án C

1 Mà VS . ABC = .9.5 = 15 ⇒ VS . AMN = 5 ⇒ VABMNC = 10. 3

 π Ta có y ' = 6sin 2 x cos x − 6sin x cos x + m cos x ≥ 0, ∀x ∈  0;   2

Câu 40: Đáp án B

 π  π ⇔ 6sin 2 x − 6sin x + m ≥ 0, ∀x ∈  0;  ⇔ m ≥ 6sin x − 6sin 2 x = f ( x ) , ∀x ∈  0;  .  2  2

Ta có a, b ∈ ( 0;1) nên a > a ⇔ α < β .

Câu 41: Đáp án B

 x ∈ (1;3) 13  Ta có  ⇔ x = 2 , tính được y (1) = 5 , y ( 3) = , y ( 2 ) = 4. 4 3 y ' = 1 − = 0  x2  Câu 42: Đáp án B

3 π  π  3 Tính được f ( 0 ) = 0, f   = 0, f   = ⇒ m ≥ . 2 6 2 2    

Ta có y ' = 10 x ln10.

Câu 43: Đáp án B

Câu 49: Đáp án D

Ta có h.30a2 = 150a3 ⇒ h = 5a.

2 2  x1 + x2 = −2 log 7 5 PT ⇔ 7 x −1.52 x = 1 ⇔ log 7 7 x −1.52 x = 0 ⇔ x 2 − 1 + 2 x log 7 5 = 0 ⇒   x1 x2 = −1

(

Câu 44: Đáp án B

 x ≠ −1 x > 6  Ta có  x − 6 ⇔ > 0  x < −1  x + 1

Ta có Stp = π Rl + π R 2 = π ( IM .OM + IM 2 ) . Cạnh IM = OM 2 − OI 2 = a ⇒ Stp = 3π a 2

Ta có V = A ' H .S ABC

Cạnh A ' H =

AC 2

= a 2.

A ' A2 − AH 2 = 2a 2 − a 2 = a

1 ⇒ V = a. a 2.a 2 = a 3 2

Câu 46: Đáp án A Điều kiện x > −1 BPT ⇔ ( 2

x 3

)

(* ) 3

+ 2 x + 6 < 22( x +1) ⇔ ( 2 x ) + 2 x + 6 < 4. ( 2 x )

⇔ ( 2 x + 1)( 2 x − 2 )( 2 x − 3) < 0 ⇔ 2 < 2 x < 3 ⇔ 1 < x < log 2 3.

Câu 47: Đáp án C

)

Câu 50: Đáp án C

Câu 45: Đáp án C

Cạnh AB = BC =

  π  x ∈  0; 2  π         π x ∈  0;  π  x ∈  0;    2 π  2 Lại có  ⇔ ⇔  x = + k 2π ⇔ x =    6 π 1 6  sin x = = sin   f ' ( x ) = 6 cos x − 12sin x cos x  5π 2 6  + k 2π  x = 6 