Dethithpt.com [ Published in 2017 ] - Bài tập trắc nghiệm lớp 10 (8 TOPICS) - FULLTEXT - Có lời giải by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

MEÄNH ÑEÀ - TAÄP HÔÏP

BAØI 1.

MEÄNH ÑEÀ

I – MỆNH ĐỀ Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

II – PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề P là P ta có

P đúng khi P sai. P sai khi P đúng.

III – MỆNH ĐỀ KÉO THEO Mệnh đề '' Nếu P thì Q '' được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P

Mệnh đề P

Q còn được phát biểu là '' P kéo theo Q '' hoặc '' Từ P suy ra Q '' .

Mệnh đề P

Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P P Q đúng, nếu Q sai thì P Q sai.

Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì

Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P

Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.

IV – MỆNH ĐỀ ĐẢO – HAI MỆNH ĐỀ TƢƠNG ĐƢƠNG Mệnh đề Q

P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P

Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng. Nếu cả hai mệnh đề P Q và Q P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tƣơng đƣơng. Khi đó ta có kí hiệu P Q và đọc là P tương đương Q, hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc P khi và chỉ khi Q.

V – KÍ HIỆU

VÀ

Ví dụ: Câu '' Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0 '' là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau

: x2

0 hay x 2

0, x

Kí hiệu đọc là '' với mọi '' . Ví dụ: Câu '' Có một số nguyên nhỏ hơn 0 '' là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau n : n 0. Kí hiệu đọc là '' có một '' (tồn tại một) hay '' có ít nhất một '' (tồn tại ít nhất một).

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. NHẬN BIẾT MỆNH ĐỀ Câu 1. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. Buồn ngủ quá! B. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau. C. 8 là số chính phương. D. Băng Cốc là thủ đô của Mianma. Câu 2. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề? a) Huế là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) 5 19 24. e) 6 81 25. f) Bạn có rỗi tối nay không? g) x 2 11. A. 1. B. 2. C. 3. Câu 3. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Hãy đi nhanh lên! b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. c) 5 7 4 15. d) Năm 2018 là năm nhuận. A. 4. B. 3. C. 1. Câu 4. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề? a) Cố lên, sắp đói rồi! b) Số 15 là số nguyên tố. c) Tổng các góc của một tam giác là 180 . d) x là số nguyên dương. A. 3. B. 2. C. 4. Câu 5. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Đi ngủ đi! B. Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới. C. Bạn học trường nào? D. Không được làm việc riêng trong giờ học.

D. 4.

D. 2.

D. 1.

Vấn đề 2. XÉT TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. Câu 7. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng?

A. Nếu a

b thì a2 b2 . B. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. C. Nếu em chăm chỉ thì em thành công. D. Nếu một tam giác có một góc bằng 60 thì tam giác đó đều. Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A.

16.

C. 23 5 2 23 2.5. D. 23 5 2 23 2.5. Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau. B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông . C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại . D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 60 . Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 thì số nguyên n chia hết cho 5. B. Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành. C. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau. D. Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 thì số tự nhiên n chia hết cho 3. B. Nếu x

y thì x 2

y2.

C. Nếu x

y thì t. x

t . y.

D. Nếu x

y thì x

y3.

Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. " ABC là tam giác đều Tam giác ABC cân ". B. " ABC là tam giác đều

Tam giác ABC cân và có một góc 60 ".

C. " ABC là tam giác đều

ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau ".

D. " ABC là tam giác đều

Tam giác ABC có hai góc bằng 60 ".

Vấn đề 3. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Câu 13. Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề '' Mọi động vật đều di chuyển '' ? A. Mọi động vật đều không di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên. C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Có ít nhất một động vật di chuyển. Câu 14. Phủ định của mệnh đề '' Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn '' là mệnh đề nào sau đây? A. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn. B. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

C. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. D. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân tuần hoàn. Câu 15. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “ Số 6 chia hết cho 2 và 3”. A. Số 6 chia hết cho 2 hoặc 3. B. Số 6 không chia hết cho 2 và 3. C. Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3. D. Số 6 không chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Câu 16. Viết mệnh đề phủ định P của mệnh đề P : '' Tất cả các học sinh khối 10 của trường em đều biết bơi '' . A. P : '' Tất cả các học sinh khối 10 trường em đều biết bơi '' . B. P : '' Tất cả các học sinh khối 10 trường em có bạn không biết bơi '' . C. P : '' Trong các học sinh khối 10 trường em có bạn biết bơi '' . D. P : '' Tất cả các học sinh khối 10 trường em đều không biết bơi '' .

Vấn đề 4. KÍ HIỆU

VÀ

Câu 17. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P  x  là mệnh đề chứa biến '' x cao trên 180 cm '' . Mệnh đề " x

X , P x " khẳng định rằng:

A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm. B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm. C. Bất cứ ai cao trên 180 cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. D. Có một số người cao trên 180 cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. Câu 18. Mệnh đề " x

, x2

2 " khẳng định rằng:

A. Bình phương của mỗi số thực bằng 2. B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2. C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 2. D. Nếu x là một số thực thì x 2 2. Câu 19. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Không có số chẵn nào là số nguyên tố. , x 2 0. B. x C. n

, n n 11

6 chia hết cho 11.

D. Phương trình 3 x 2 6 0 có nghiệm hữu tỷ. Câu 20. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? , 2 x 2 8 0. A. x B. n

, n2

11n

2 chia hết cho 11.

C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5. D. n

, n2

1 chia hết cho 4.

Câu 21. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? , y , x y 2 0. A. x B. x

, y

D. x

, y

Câu 22. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi số thực x , nếu x B. Với mọi số thực x , nếu x

2 thì x 2 2

4 thì x

C. Với mọi số thực x , nếu x

4. 2.

2 thì x

D. Với mọi số thực x , nếu x 2 4 thì x 2. Câu 23. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. x B. x , x 2 x. C.

, x

, x2

Câu 24. Cho x là số thực, mệnh đề nào sau đây đúng? A.

x, x 2

5 hoặc x

x, x 2

B. x

, x2

, 2x

5 hoặc x

Câu 25. Mệnh đề nào sau đây đúng? A.

, x2

1 là bội số của 3. 1 là số nguyên tố.

, 2x

Câu 26. Mệnh đề P x : " x

, x2

0" . Phủ định của mệnh đề P là

A. x

, x2

D. x

, x2

Câu 27. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P x : " x 2 A. Tồn tại x sao cho x 2 C. Tồn tại x sao cho x

3x 3x

1 1

0 với mọi x " là

B. Tồn tại x sao cho x 2

D. Tồn tại x sao cho x

Câu 28. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P x : " x

: x

5 là số nguyên tố " là

: x2

5 là hợp số.

B. x

: x2

5 là hợp số.

: x2

5 là hợp số.

D. x

: x2

5 là số thực.

Câu 29. Phủ định của mệnh đề P x : " x A. " x C. " x

, 5x

3x 2

, 5x

1".

, x2

C. " x

x x

1 1

0" . 0" .

3x 2

B. " x

1".

Câu 30. Cho mệnh đề P x : " x A. " x

, 5x

D. " x

, x2

1" là

, 5x

3x 2

1".

, 5x

1".

0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề P x là

B. " x

, x2

0" .

D. " x

0" .

BAØI 2.

TAÄP HÔÏP

I – KHÁI NIỆM TẬP HỢP 1. Tập hợp và phần tử Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Giả sử đã cho tập hợp A. Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a A (đọc là a thuộc A ). Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a

A (đọc là P không thuộc

A ).

2. Cách xác định tập hợp Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau Liệt kê các phần tử của nó. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

3. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng, kí hiệu là , là tập hợp không chứa phần tử nào. Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử. A x : x A.

II – TẬP HỢP CON Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B và viết A B (đọc là A chứa trong B ). Thay cho A B ta cũng viết B A (đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A ) Như vậy A

x:x

B .

Nếu A không phải là một tập con của B, ta viết A

Ta có các tính chất sau A A với mọi tập hợp A Nếu A

B và B

C thì A

h.4

A với mọi tập hợp A.

III – TẬP HỢP BẰNG NHAU Khi A

B và B

A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A

x:x

B .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. PHẦN TỬ - TẬP HỢP

B. Như vậy

Câu 1. Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề '' 7 là số tự nhiên '' ? . . . A. 7 B. 7 C. 7 D. 7 Câu 2. Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề '' A.

2 không phải là số hữu tỉ '' ? 2

Câu 3. Cho A là một tập hợp. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng A. A

C. A

D. A

A .

Câu 4. Cho x là một phần tử của tập hợp A. Xét các mệnh đề sau: (I) x

(II) x

(III) x

(IV) x

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. I và II. B. I và III. C. I và IV. Câu 5. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề A A.

x, x

B. x , x

C. x , x

D. II và IV. ?

x, x

Vấn đề 2. XÁC ĐỊNH TẬP HỢP Câu 6. Hãy liệt kê các phần tử của tập X A. X

0 .

B. X

Câu 7. Cho tập X

2x 2

4 x 1 2x 2

0 .

3 . 2

C. X

1 .

D. X

3 . 2

0 . Tính tổng S các phần tử của

tập X . A. S

9 . 2

B. S

Câu 8. Ch tập X

tử? A. 1.

9 . x2

B. 2.

C. S

2 x

D. S

0 . Hỏi tập X có bao nhiêu phần

C. 3.

Câu 9. Hãy liệt kê các phần tử của tập X

D. 4. 2

6 x

0 .

A. X

5;3 .

B. X

5; 2; 5;3 .

C. X

2;3 .

D. X

5; 5 .

Câu 10. Hãy liệt kê các phần tử của tập X A. X

Câu 11. Cho tập hợp A

B. X

0 .

C. X

0 .

D. X

x là ước chung của 36 và 120} . Hãy liệt kê các phần tử của tập

hợp A . A. A

1;2;3;4;6;12 .

B. A

1;2;4;6;8;12 .

C. A

2;4;6;8;10;12 .

D. A

1;36;120 .

Câu 12. Hỏi tập hợp A

2 có bao nhiêu phần tử?

, k

A. 1. B. 2. Câu 13. Tập hợp nào sau đây là tập rỗng? A. A

B. B

2 3x 2

0 .

0 . D. D

2 3x 2

0 .

C. C

Câu 14. Cho tập M

2 3x 2

x ; y x, y

A. 0.

1 và x

C. 2.

x ; y x, y

A. 0.

1 . Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử ?

B. 1.

Câu 15. Cho tập M

D. 5.

C. 3.

và x

B. 1.

D. 4.

0 . Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử ?

D. Vô số.

C. 2. Vấn đề 3. TẬP CON

Câu 16. Hình nào sau đây minh họa tập A là con của tập B ?

D. 2;3;4 . Hỏi tập X có bao nhiêu tập hợp con?

Câu 17. Cho tập X A. 3.

B. 6.

Câu 18. Cho tập X

D. 9.

1;2;3;4 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Số tập con của X là 16.

B. Số tập con của X có hai phần tử là 8.

C. Số tập con của X chứa số 1 là 6.

D. Số tập con của X chứa 4 phần tử là 0.

Câu 19. Tập A

0;2;4;6 có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử?

A. 4.

D. 8.

1;2;3;4;5;6 có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử?

A. 30. Câu 21. Cho tập X ,

C. 7.

B. 6.

Câu 20. Tập A

B. 15.

C. 10.

; ; ; ; ; ; ; ; ;

D. 3.

. Số các tập con có ba phần tử trong đó có chứa

của X là

A. 8.

B. 10.

Câu 22. Cho hai tập hợp X đề nào sau đây sai? A. Y X .

C. 8.

C. 12.

D. 14.

n là bội của 4 và 6} , Y B. X

n là bội của 12} . Mệnh

C. n : n

X và n

D. X

Câu 23. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng một tập hợp con ? A.

B. 1 .

;1 .

Câu 24. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng hai tập hợp con ? A.

B. 1 .

;1 .

Câu 25. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng hai tập hợp con ? A. x ; y .

B. x .

Câu 26. Cho hai tập hợp A A

1;2;3

Câu 27. Cho hai tập hợp A A và X

C. 6. 1;2;5;7

x x

D. 8.

1;2;3 . Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa

và B

A. 1. B. 2. Câu 28. Cho các tập hợp sau:

1;2;3; 4;5 . Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa

và B

B. 5.

; x; y .

A. 4. X

;x .

C. 3.

D. 4.

x là bội số của 2 .

x là bội số của 6 .

x là ước số của 2 .

x là ước số của 6 .

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M N . B. N M .

C. P

D. Q

Câu 29. Cho ba tập hợp E , F và G. Biết E F , F G và G đúng. A. E F . B. F G. C. E G. Câu 30. Tìm x , y để ba tập hợp A A. x

C. x

2, y

2. 5.

BAØI 3.

2;5 , B

D. x

5, y

E . Khẳng định nào sau đây

D. E

x ; y ;5 bằng nhau.

5; x và C B. x

2 hoặc x 2 hoặc x

2, y

CAÙC PHEÙP TOAÙN TAÄP HÔÏP

I – GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu C Vậy A x

B (phần gạch chéo trong hình).

B A

x| x B

A;x x

II – HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B Kí hiệu C A B (phần gạch chéo trong hình).

Vậy A

x| x B

A hoac x x

III – HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu C A \ B (phần gạch chéo trong hình 7). Vậy A \ B x

A\ B

x| x x

A;x

A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu CA B.

Khi B

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hai tập hợp A A. A

1 .

1;5 và B

B. A

Câu 2. Cho hai tập hợp A

1;3;5 . Tìm A

1;3 .

C. A

a; b; c; d ; m , B

1;3;5 .

D. A

c; d ; m ; k ; l . Tìm A

a; b .

B. A

c; d ; m .

C. A

c; d .

D. A

a; b; c; d ; m ; k ; l .

Tìm A A. A

2;4 . B. A B

B. Q

2 .

và B

C. A

C. M

B. B4 .

Câu 6. Cho hai tập hợp A

4;5 .

30 .

D. P Q

D. B3 .

3;5;7;9 . Xác định tập hợp A B.

3;5 .

B. A

1;3;5;7;8;9 .

C. A

1;7;9 .

D. A

1;3;5 .

a; b; c , B

3 .

B4 ?

Câu 7. Cho các tập hợp A

x là bội của 6} ,

. Xác định tập hợp B2 C.

1;3;5;8 , B

D. A

A. A

đúng?

x là ước của 6}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 5. Gọi Bn là tập hợp các bội số của n trong A. B2 .

x là bội của 2} , N

x là ước của 2} , Q

A. M

1;5 .

Câu 4. Cho các tập hợp M

x 2 2x 2

A. A

Câu 3. Cho hai tập A

b; c; d , C

b; c; e . Khẳng định nào sau đây

A. A

B C

C. A

A C .

Câu 8. Gọi Bn là tập hợp các bội số của n trong A. B3

B. B3

Câu 9. Cho hai tập hợp A A. A \ B

0 .

0;1;2;3;4 , B

B. A \ B

Câu 10. Cho hai tập hợp A A. B \ A

5 .

B. B \ A

1;2 .

Câu 12. Cho hai tập hợp A

A. X

0;1;2;3;4 , B A\ B

0;1;5;6 . B. X

C. A \ B

2;7 và A

1;2;3;7 , B B

4;6;8 .

1;3 và B \ A

B C

D. A

. Xác định tập hợp B3

B6 .

C. B3

B6 .

C. A \ B

1;2 .

B. A

B12 .

D. A \ B

1;5 .

2;3;4;5;6 . Xác đinh tập hợp B \ A. C. B \ A

2;3;4 .

2;3;4;5;6 . Tìm X C. X

5 .

D. B \ A

A\ B

5;6 .

B\ A .

D. X

5;6 .

2;3;4;5;6 .

2;7 .

C. X

2;3;4 .

2;4;6;7;8 . Khẳng định nào sau đây đúng? B. A

D. A \ B

2;7 và A \ B

1;3 .

1;3 và A

1;3;4;6;8 .

4x Câu 14. Cho A là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình x số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 4 Khẳng định nào sau đây đúng? . A. A B A. B. A B A B. C. A \ B A. A

D. B3

2;3;4;5;6 . Xác đinh tập hợp A \ B.

Câu 15. Cho hai tập hợp A

A C .

B\ A .

1;2 .

Câu 13. Cho hai tập hợp A A. A

0;1 .

0;1;2;3;4 , B

0;1;5;6 . B. X

Xác định tập hợp X

0;1 .

0;1;2;3;4 , B

Câu 11. Cho hai tập hợp A A. X

B3 .

B. A

3 0 ; B là tập hợp các D. B \ A

0;1;2;3;4 , B

1;3;4;6;8 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

C. A \ B

0;2 .

D. B \ A

0;4 .

0;2 và B 0;1;2;3;4 . Có bao nhiêu tập hợp X thỏa mãn Câu 16. Cho hai tập hợp A A X B. A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Câu 17. Cho A , B là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ. Phần tô đen trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây ? A. A B. B. A B. C. A \ B. D. B \ A. Câu 18. Cho A , B là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ. Phần không bị gạch trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây ? A. A B. B. A B. C. A \ B. D. B \ A.

Câu 19. Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa như hình vẽ bên. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. A B \ C. B. A

B \ C.

C. A \ C

A\ B .

D. A B C. Câu 20. Lớp 10B1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10B1 là A. 9. B. 10. C. 18. D. 28. Câu 21. Lớp 10A 1 có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi đúng hai môn học của lớp 10A 1 là: A. 6. B. 7. C. 9. D. 10. Câu 22. Cho hai đa thức

A. C C. C

|g x

f x

0 ,C

A. C C. C

f x

|g x

0 ,C

f x và

f x .g x

| f x

0 ,

A B. B \ A.

0 ,

0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. H E F . B. H E F . C. H E \ F . D. H F \ E . Câu 25. Cho tập hợp A . Mệnh đề nào sau đây đúng? . A. A \ B. \ A A. A. . C. \ D. A \ A Câu 26. Cho tập hợp A . Mệnh đề nào sau đây sai? . A A. A. A B. . C. D. A A A. Câu 27. Cho tập hợp A . Mệnh đề nào sau đây sai? A. A . A. A B. . C. D. A A A. Câu 28. Cho M , N là hai tập hợp khác rỗng. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0 ,

0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

g2 x B. C D. C

| f x

A B. B \ A.

g x . Xét các tập hợp

| f2 x

A B. A \ B.

0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

g x

B. C D. C

Câu 24. Cho hai tập hợp

g x . Xét các tập hợp A

A B. A \ B.

Câu 23. Cho hai đa thức

và

|g x

0 . Tập hợp

A. M \ N

C. M \ N

B. M \ N

D. M \ N

Câu 29. Cho hai tập hợp M , N thỏa mãn M

N . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. M N N . C. M N M . Câu 30. Mệnh đề nào sau đây sai? A B. A. A B A A B . C. A \ B A

B. M \ N D. M \ N

BAØI 4.

B. A B D. A \ B

N. M. A

B A. A B

CAÙC TAÄP HÔÏP SOÁ

I – CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC 1. Tập hợp các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ... ; 1, 2, 3, ... .

2. Tập hợp các số nguyên ..., Các số

Vậy

1, 0, 1, 2, 3, ... .

3, ... là các số nguyên âm.

gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm.

3. Tập hợp các số hữu tỉ Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số

a , trong đó a, b b

c a và biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi ad bc. d b Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Hai phân số

4. Tập hợp các số thực Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ. Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

II – CÁC TẬP HỢP CON THƢỜNG DÙNG CỦA Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực Khoảng

a; b a; ;b

| x

b .

Đoạn

a; b

b .

Nửa khoảng

a; b

| x

b .

a; ;b

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho tập hợp X A. X

;2 .

B. X

Câu 2. Cho tập hợp X A. X

B. X

Câu 3. Cho tập hợp A

1;3

C. A

1;3

A. X

C. X

;

D. X

6;2 .

. Khẳng định nào sau đây đúng?

2011; 2011;

C. X

D. X

B. A

. D. A

1;4 , B

1;6 .

1;3

;2011 .

1;2 . Xác định X

2;4 .

2;2 , B

1;3

2;6 và C

B. X

Câu 5. Cho A

1;0;1;2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. A

Câu 4. Cho A

2011

2011 .

. Khẳng định nào sau đây đúng?

C. X và C

B C.

D. X

1;2 . ;

1 . Gọi X 2

B C. Khẳng định nào

sau đây đúng? A. X

1 . 2

B. X

1 . 2

C. X

1 . 2

D. X

1 . 2

Câu 6. Cho các số thực a, b, c, d thỏa a

d . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a; c

b; d

b; c .

B. a; c

b; d

b; c .

C. a; c

b; d

b; c .

D. a; c

b; d

b; d .

Câu 7. Cho hai tập hợp A

nhiêu số tự nhiên thuộc tập A B ? A. 0. B. 1. Câu 8. Khẳng định nào sau đây sai? A.

A. A

4;7 .

Câu 10. Cho A A. X

Câu 9. Cho tập hợp A

4;4 B. A

1;5 , B

1;10 .

B. X

và B

, 5x

7;9 4;9 .

2;7 và C

4 x 1 . Có bao

D. 3.

C. 2. *

7 .

1;7 . Khẳng định nào sau đây đúng? C. A

1;8 .

7;10 . Xác định X C. X

1;7

D. A A

6;2 .

B C.

7;10 .

D. X

1;10 .

Câu 11. Cho A A. X

; 2,B

B. X

3;4 .

Câu 12. Cho hai tập hợp A A. X

4; ;

4;7 và B

5;1 , B

C. B C

;4 .

; 2

Câu 13. Cho A A. A

C. X

0;4 . Xác định X

và C

D. X

2;4 .

. Xác định X

B. X

4; 2

D. X

4;7 .

3;7 .

; 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

và C

B. B C

;

D. A C

5; 2 .

Câu 14. Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho một tập con của tập số thực. Hỏi tập đó là tập nào ? . B. \ 3;3 . A. \ 3; C.

;3 .

3;3 .

Câu 15. Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho tập A A.

1 ?

Câu 16. Cho hai tập hợp A sau đây đúng? A. A B A. Câu 17. Cho A

0;3 , B

B C

C. A \ B

B. A

1;5 .

D. A

Câu 19. Cho tập A A. C A

5;7 .

0;5 .

. ; 3

B. C A

B. X

Câu 21. Cho hai tập hợp A A. C

; 2.

C. C

; 2

;5 .

D. C A ;3

1;3 .

5 . Khẳng định nào sau đây đúng?

5;5 .

Câu 20. Cho C A

là tập nào trong các tập sau?

D. D

;5 .

C. C A

D. B \ A

B \C

B. B

4 . Khẳng định nào

B C

3;2 . Phần bù của X trong

; 3

0;1 . Khẳng định nào sau đây sai?

1;5 và C

3;2 .

C. C

và B

Câu 18. Cho tập X A. A

B. A

C. A C \ C

A. X

A. A

và C B

5;7 . 2;3 và B 1;3 .

4;7 . Xác định tập X

C. X

5;5 . 3;4 .

. Xác định C

D. X

3;4 .

B .

B. C

; 2 .

D. C

; 2

1;3 .

Câu 22. Cho hai tập hợp A

3;7 và B

A. CA B

3;2

4;7 .

B. CA B

3;2

4;7 .

C. CA B

3;2

4;7 .

D. CA B

3;2

4;7 .

Câu 23. Cho hai tập hợp A B

4;3 và B

m 7; m . Tìm giá trị thực của tham số m để

A. m

B. m

Câu 24. Cho hai tập hợp A để A B A. m

m; m .

B. m

; 1

D. m

; 1

2 . 3

0 và hai tập hợp A

B 2 3

Câu 26. Cho hai tập hợp A

m để A B A. 7 m

. 2. B.

Câu 27. Cho hai tập hợp A để A B

. Tìm tất cả các giá trị

2;3 và B

m; m

4;1 và B

2 3

2 . 3

D. a

5 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

3; m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

B. m

m để A B A. m 0. m để A \ B

B. m

m 1;5 và B

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

C. m

D. m

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

. C. 4

Câu 30. Cho hai tập hợp A

1 . 2

B. m

tham số m để A

; m và B

Câu 29. Cho hai tập hợp A

A. m

4 ; a

;9a , B

Câu 28. Cho hai tập hợp A

A. m

0;3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

thực của tham số a để A

A. m

1 và B

D. m

; 1

Câu 25. Cho số thực a

A. a

C. m

; m và B

3m 1;3m

D. 4

3 . Tìm tất cả các giá trị thực của

C B. B. m

BAØI 5. I – SỐ GẦN ĐÚNG 20

2;4 . Xác định phần bù của B trong A.

1 . 2

C. m

1 . 2

SOÁ GAÀN ÑUÙNG - SAI SOÁ

D. m

1 . 2

Ví dụ 1. Khi tính diện tích của hình tròn bán kính r

2 cm

theo công thức S r . Nam lấy một giá trị gần đúng của là 3,1 và được kết quả S Minh lấy một giá trị gần đúng của

12, 4 cm 2 .

là 3,14

và được kết quả S Vì

3,1.4

3,14.4

12, 56 cm 2 .

3,14592653 ... là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, nên ta chỉ viết được gần

đúng kết quả phép tính .r 2 bằng một số thập phân hữu hạn.

II – QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG 1. Ôn tập quy tắc làm tròn số Trong sách giáo khoa Toán 7 tập một ta đã biết quy tắc làm tròn đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn) như sau Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0. Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm nhƣ trên, nhƣng cộng thêm một đơn vị vào chữ số hàng quy tròn. Chẳng hạn Số quy tròn đến hàng nghìn của x 2 841 675 là x 2 842 000, của y Số quy tròn đến hàng trăm của x

432 415 là y

12, 4253 là x

của y

432 000.

12, 43,

4,1521 là y

4,15.

2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trƣớc Ví dụ 2. Cho số gần đúng a a.

2 841 275 có độ chính xác d

Vì độ chính xác đến hàng trăm d

300. Hãy viết số quy tròn của số

Giải. 300 nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm

tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 2 841 000. Ví dụ 3. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a

3,1463 biết: a 3,1463 0, 001. Giải. Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0, 001 ) nên ta quy tròn số 3,1463 đến hàng trăm theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 3,15.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [

Câu 1. Cho số gần đúng a 23748023 với độ chính xác d 101 . Hãy viết số quy tròn của số a. A. 23749000. B. 23748000. C. 23746000. D. 23747000. Câu 2. Cho giá trị gần đúng của là a 3,141592653589 với độ chính xác 10 10 . Hãy viết số quy tròn của số a. A. a 3,141592654. B. a 3,1415926536.

C. a

3,141592653.

D. a

3,1415926535.

Câu 3. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần nghìn. A. 1,7320. B. 1,732. C. 1,733. D. 1,731. 2 Câu 4. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của chính xác đến hàng phần nghìn. A. 9,873. B. 9,870. C. 9,872. D. 9,871. Câu 5. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a 17658 biết a 17658 16. A. 17700. B. 17800. C. 17500. D. 17600. Câu 6. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a 15,318 biết a 15,318 0, 056. A. 15,3. B. 15,31. C. 15,32. D. 15,4. Câu 7. Đo độ cao một ngọn cây là h 347,13m 0, 2m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13. A. 345. B. 347. C. 348. D. 346. Câu 8. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh: a 12 cm 0, 2 cm; b 10, 2 cm 0, 2 cm; c 8cm 0,1cm. Tính chu vi P của tam giác đã cho.

30, 2 cm 0, 2 cm. 30, 2 cm 1 cm. A. P B. P P 30, 2 cm 0,5 cm. P 30, 2 cm 2 cm. C. D. Câu 9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x 43m 0,5m và chiều dài y 63m 0,5m . Tính chu vi P của miếng đất đã cho. A. P 212m 4m. B. P 212m 2m. C. P 212m 0,5m. D. P 212m 1m. Câu 10. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x 23m 0, 01m và chiều rộng là y 15m 0, 01m . Tính diện tích S của thửa ruộng đã cho. A. S C. S

345m 345m

0, 001m. 0, 01m.

B. S D. S

345m 345m

0,38m. 0,3801m.

MEÄNH ÑEÀ - TAÄP HÔÏP

BAØI 1.

MEÄNH ÑEÀ

I – MỆNH ĐỀ Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

II – PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề P là P ta có

P đúng khi P sai. P sai khi P đúng.

III – MỆNH ĐỀ KÉO THEO Mệnh đề '' Nếu P thì Q '' được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P

Mệnh đề P

Q còn được phát biểu là '' P kéo theo Q '' hoặc '' Từ P suy ra Q '' .

Mệnh đề P

Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P P Q đúng, nếu Q sai thì P Q sai.

Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì

Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P

Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.

IV – MỆNH ĐỀ ĐẢO – HAI MỆNH ĐỀ TƢƠNG ĐƢƠNG Mệnh đề Q

P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P

V – KÍ HIỆU

VÀ

Ví dụ: Câu '' Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0 '' là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau

: x2

0 hay x 2

0, x

D. 4.

D. 2.

D. 1.

A. Nếu a

16.

y thì x 2

y2.

C. Nếu x

y thì t. x

t . y.

D. Nếu x

y thì x

y3.

Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. " ABC là tam giác đều Tam giác ABC cân ". B. " ABC là tam giác đều

Tam giác ABC cân và có một góc 60 ".

C. " ABC là tam giác đều

ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau ".

D. " ABC là tam giác đều

Tam giác ABC có hai góc bằng 60 ".

Vấn đề 4. KÍ HIỆU

VÀ

Câu 17. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P  x  là mệnh đề chứa biến '' x cao trên 180 cm '' . Mệnh đề " x

X , P x " khẳng định rằng:

, x2

2 " khẳng định rằng:

, n n 11

6 chia hết cho 11.

D. Phương trình 3 x 2 6 0 có nghiệm hữu tỷ. Câu 20. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? , 2 x 2 8 0. A. x B. n

, n2

11n

2 chia hết cho 11.

C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5. D. n

, n2

1 chia hết cho 4.

Câu 21. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? , y , x y 2 0. A. x B. x

, y

D. x

, y

Câu 22. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi số thực x , nếu x B. Với mọi số thực x , nếu x

2 thì x 2 2

4 thì x

C. Với mọi số thực x , nếu x

4. 2.

2 thì x

D. Với mọi số thực x , nếu x 2 4 thì x 2. Câu 23. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. x B. x , x 2 x. C.

, x

, x2

Câu 24. Cho x là số thực, mệnh đề nào sau đây đúng? A.

x, x 2

5 hoặc x

x, x 2

B. x

, x2

, 2x

5 hoặc x

Câu 25. Mệnh đề nào sau đây đúng? A.

, x2

1 là bội số của 3. 1 là số nguyên tố.

, 2x

Câu 26. Mệnh đề P x : " x

, x2

0" . Phủ định của mệnh đề P là

A. x

, x2

D. x

, x2

Câu 27. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P x : " x 2 A. Tồn tại x sao cho x 2 C. Tồn tại x sao cho x

3x 3x

1 1

0 với mọi x " là

B. Tồn tại x sao cho x 2

D. Tồn tại x sao cho x

Câu 28. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P x : " x

: x

5 là số nguyên tố " là

: x2

5 là hợp số.

B. x

: x2

5 là hợp số.

: x2

5 là hợp số.

D. x

: x2

5 là số thực.

Câu 29. Phủ định của mệnh đề P x : " x A. " x C. " x

, 5x

3x 2

, 5x

1".

, x2

C. " x

x x

1 1

0" . 0" .

3x 2

B. " x

1".

Câu 30. Cho mệnh đề P x : " x A. " x

, 5x

D. " x

, x2

1" là

, 5x

3x 2

1".

, 5x

1".

0" . Mệnh đề phủ định của mệnh đề P x là

B. " x

, x2

0" .

D. " x

0" .

BAØI 2.

TAÄP HÔÏP

A (đọc là P không thuộc

A ).

x:x

B .

Nếu A không phải là một tập con của B, ta viết A

Ta có các tính chất sau A A với mọi tập hợp A Nếu A

B và B

C thì A

h.4

A với mọi tập hợp A.

III – TẬP HỢP BẰNG NHAU Khi A

B và B

A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A

x:x

B .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. PHẦN TỬ - TẬP HỢP

B. Như vậy

2 không phải là số hữu tỉ '' ? 2

Câu 3. Cho A là một tập hợp. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng A. A

C. A

D. A

A .

Câu 4. Cho x là một phần tử của tập hợp A. Xét các mệnh đề sau: (I) x

(II) x

(III) x

(IV) x

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng? A. I và II. B. I và III. C. I và IV. Câu 5. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề A A.

x, x

B. x , x

C. x , x

D. II và IV. ?

x, x

Vấn đề 2. XÁC ĐỊNH TẬP HỢP Câu 6. Hãy liệt kê các phần tử của tập X A. X

0 .

B. X

Câu 7. Cho tập X

2x 2

4 x 1 2x 2

0 .

3 . 2

C. X

1 .

D. X

3 . 2

0 . Tính tổng S các phần tử của

tập X . A. S

9 . 2

B. S

Câu 8. Ch tập X

tử? A. 1.

9 . x2

B. 2.

C. S

2 x

D. S

0 . Hỏi tập X có bao nhiêu phần

C. 3.

Câu 9. Hãy liệt kê các phần tử của tập X

D. 4. 2

6 x

0 .

A. X

5;3 .

B. X

5; 2; 5;3 .

C. X

2;3 .

D. X

5; 5 .

Câu 10. Hãy liệt kê các phần tử của tập X A. X

Câu 11. Cho tập hợp A

B. X

0 .

C. X

0 .

D. X

x là ước chung của 36 và 120} . Hãy liệt kê các phần tử của tập

hợp A . A. A

1;2;3;4;6;12 .

B. A

1;2;4;6;8;12 .

C. A

2;4;6;8;10;12 .

D. A

1;36;120 .

Câu 12. Hỏi tập hợp A

2 có bao nhiêu phần tử?

, k

A. 1. B. 2. Câu 13. Tập hợp nào sau đây là tập rỗng? A. A

B. B

2 3x 2

0 .

0 . D. D

2 3x 2

0 .

C. C

Câu 14. Cho tập M

2 3x 2

x ; y x, y

A. 0.

1 và x

C. 2.

x ; y x, y

A. 0.

1 . Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử ?

B. 1.

Câu 15. Cho tập M

D. 5.

C. 3.

và x

B. 1.

D. 4.

0 . Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử ?

D. Vô số.

C. 2. Vấn đề 3. TẬP CON

Câu 16. Hình nào sau đây minh họa tập A là con của tập B ?

D. 2;3;4 . Hỏi tập X có bao nhiêu tập hợp con?

Câu 17. Cho tập X A. 3.

B. 6.

Câu 18. Cho tập X

D. 9.

1;2;3;4 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Số tập con của X là 16.

B. Số tập con của X có hai phần tử là 8.

C. Số tập con của X chứa số 1 là 6.

D. Số tập con của X chứa 4 phần tử là 0.

Câu 19. Tập A

0;2;4;6 có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử?

A. 4.

D. 8.

1;2;3;4;5;6 có bao nhiêu tập hợp con có đúng hai phần tử?

A. 30. Câu 21. Cho tập X ,

C. 7.

B. 6.

Câu 20. Tập A

B. 15.

C. 10.

; ; ; ; ; ; ; ; ;

D. 3.

. Số các tập con có ba phần tử trong đó có chứa

của X là

A. 8.

B. 10.

Câu 22. Cho hai tập hợp X đề nào sau đây sai? A. Y X .

C. 8.

C. 12.

D. 14.

n là bội của 4 và 6} , Y B. X

n là bội của 12} . Mệnh

C. n : n

X và n

D. X

Câu 23. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng một tập hợp con ? A.

B. 1 .

;1 .

Câu 24. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng hai tập hợp con ? A.

B. 1 .

;1 .

Câu 25. Trong các tập hợp sau, tập nào có đúng hai tập hợp con ? A. x ; y .

B. x .

Câu 26. Cho hai tập hợp A A

1;2;3

Câu 27. Cho hai tập hợp A A và X

C. 6. 1;2;5;7

x x

D. 8.

1;2;3 . Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa

và B

A. 1. B. 2. Câu 28. Cho các tập hợp sau:

1;2;3; 4;5 . Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa

và B

B. 5.

; x; y .

A. 4. X

;x .

C. 3.

D. 4.

x là bội số của 2 .

x là bội số của 6 .

x là ước số của 2 .

x là ước số của 6 .

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M N . B. N M .

C. P

D. Q

Câu 29. Cho ba tập hợp E , F và G. Biết E F , F G và G đúng. A. E F . B. F G. C. E G. Câu 30. Tìm x , y để ba tập hợp A A. x

C. x

2, y

2. 5.

BAØI 3.

2;5 , B

D. x

5, y

E . Khẳng định nào sau đây

D. E

x ; y ;5 bằng nhau.

5; x và C B. x

2 hoặc x 2 hoặc x

2, y

CAÙC PHEÙP TOAÙN TAÄP HÔÏP

I – GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu C Vậy A x

B (phần gạch chéo trong hình).

B A

x| x B

A;x x

II – HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B Kí hiệu C A B (phần gạch chéo trong hình).

Vậy A

x| x B

A hoac x x

A\ B

x| x x

A;x

A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu CA B.

Khi B

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hai tập hợp A A. A

1 .

1;5 và B

B. A

Câu 2. Cho hai tập hợp A

1;3;5 . Tìm A

1;3 .

C. A

a; b; c; d ; m , B

1;3;5 .

D. A

c; d ; m ; k ; l . Tìm A

a; b .

B. A

c; d ; m .

C. A

c; d .

D. A

a; b; c; d ; m ; k ; l .

Tìm A A. A

2;4 . B. A B

B. Q

2 .

và B

C. A

C. M

B. B4 .

Câu 6. Cho hai tập hợp A

4;5 .

30 .

D. P Q

D. B3 .

3;5;7;9 . Xác định tập hợp A B.

3;5 .

B. A

1;3;5;7;8;9 .

C. A

1;7;9 .

D. A

1;3;5 .

a; b; c , B

3 .

B4 ?

Câu 7. Cho các tập hợp A

x là bội của 6} ,

. Xác định tập hợp B2 C.

1;3;5;8 , B

D. A

A. A

đúng?

x là ước của 6}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 5. Gọi Bn là tập hợp các bội số của n trong A. B2 .

x là bội của 2} , N

x là ước của 2} , Q

A. M

1;5 .

Câu 4. Cho các tập hợp M

x 2 2x 2

A. A

Câu 3. Cho hai tập A

b; c; d , C

b; c; e . Khẳng định nào sau đây

A. A

B C

C. A

A C .

Câu 8. Gọi Bn là tập hợp các bội số của n trong A. B3

B. B3

Câu 9. Cho hai tập hợp A A. A \ B

0 .

0;1;2;3;4 , B

B. A \ B

Câu 10. Cho hai tập hợp A A. B \ A

5 .

B. B \ A

1;2 .

Câu 12. Cho hai tập hợp A

A. X

0;1;2;3;4 , B A\ B

0;1;5;6 . B. X

C. A \ B

2;7 và A

1;2;3;7 , B B

4;6;8 .

1;3 và B \ A

B C

D. A

. Xác định tập hợp B3

B6 .

C. B3

B6 .

C. A \ B

1;2 .

B. A

B12 .

D. A \ B

1;5 .

2;3;4;5;6 . Xác đinh tập hợp B \ A. C. B \ A

2;3;4 .

2;3;4;5;6 . Tìm X C. X

5 .

D. B \ A

A\ B

5;6 .

B\ A .

D. X

5;6 .

2;3;4;5;6 .

2;7 .

C. X

2;3;4 .

2;4;6;7;8 . Khẳng định nào sau đây đúng? B. A

D. A \ B

2;7 và A \ B

1;3 .

1;3 và A

1;3;4;6;8 .

D. B3

2;3;4;5;6 . Xác đinh tập hợp A \ B.

Câu 15. Cho hai tập hợp A

A C .

B\ A .

1;2 .

Câu 13. Cho hai tập hợp A A. A

0;1 .

0;1;2;3;4 , B

0;1;5;6 . B. X

Xác định tập hợp X

0;1 .

0;1;2;3;4 , B

Câu 11. Cho hai tập hợp A A. X

B3 .

B. A

3 0 ; B là tập hợp các D. B \ A

0;1;2;3;4 , B

1;3;4;6;8 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

C. A \ B

0;2 .

D. B \ A

0;4 .

Câu 19. Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa như hình vẽ bên. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. A B \ C. B. A

B \ C.

C. A \ C

A\ B .

A. C C. C

|g x

f x

0 ,C

A. C C. C

f x

|g x

0 ,C

f x và

f x .g x

| f x

0 ,

A B. B \ A.

0 ,

0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

0 ,

0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

g2 x B. C D. C

| f x

A B. B \ A.

g x . Xét các tập hợp

| f2 x

A B. A \ B.

0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

g x

B. C D. C

Câu 24. Cho hai tập hợp

g x . Xét các tập hợp A

A B. A \ B.

Câu 23. Cho hai đa thức

và

|g x

0 . Tập hợp

A. M \ N

C. M \ N

B. M \ N

D. M \ N

Câu 29. Cho hai tập hợp M , N thỏa mãn M

N . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. M N N . C. M N M . Câu 30. Mệnh đề nào sau đây sai? A B. A. A B A A B . C. A \ B A

B. M \ N D. M \ N

BAØI 4.

B. A B D. A \ B

N. M. A

B A. A B

CAÙC TAÄP HÔÏP SOÁ

I – CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC 1. Tập hợp các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ... ; 1, 2, 3, ... .

2. Tập hợp các số nguyên ..., Các số

Vậy

1, 0, 1, 2, 3, ... .

3, ... là các số nguyên âm.

gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm.

3. Tập hợp các số hữu tỉ Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số

a , trong đó a, b b

c a và biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi ad bc. d b Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Hai phân số

II – CÁC TẬP HỢP CON THƢỜNG DÙNG CỦA Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực Khoảng

a; b a; ;b

| x

b .

Đoạn

a; b

b .

Nửa khoảng

a; b

| x

b .

a; ;b

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho tập hợp X A. X

;2 .

B. X

Câu 2. Cho tập hợp X A. X

B. X

Câu 3. Cho tập hợp A

1;3

C. A

1;3

A. X

C. X

;

D. X

6;2 .

. Khẳng định nào sau đây đúng?

2011; 2011;

C. X

D. X

B. A

. D. A

1;4 , B

1;6 .

1;3

;2011 .

1;2 . Xác định X

2;4 .

2;2 , B

1;3

2;6 và C

B. X

Câu 5. Cho A

1;0;1;2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. A

Câu 4. Cho A

2011

2011 .

. Khẳng định nào sau đây đúng?

C. X và C

B C.

D. X

1;2 . ;

1 . Gọi X 2

B C. Khẳng định nào

sau đây đúng? A. X

1 . 2

B. X

1 . 2

C. X

1 . 2

D. X

1 . 2

Câu 6. Cho các số thực a, b, c, d thỏa a

d . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a; c

b; d

b; c .

B. a; c

b; d

b; c .

C. a; c

b; d

b; c .

D. a; c

b; d

b; d .

Câu 7. Cho hai tập hợp A

nhiêu số tự nhiên thuộc tập A B ? A. 0. B. 1. Câu 8. Khẳng định nào sau đây sai? A.

A. A

4;7 .

Câu 10. Cho A A. X

Câu 9. Cho tập hợp A

4;4 B. A

1;5 , B

1;10 .

B. X

và B

, 5x

7;9 4;9 .

2;7 và C

4 x 1 . Có bao

D. 3.

C. 2. *

7 .

1;7 . Khẳng định nào sau đây đúng? C. A

1;8 .

7;10 . Xác định X C. X

1;7

D. A A

6;2 .

B C.

7;10 .

D. X

1;10 .

Câu 11. Cho A A. X

; 2,B

B. X

3;4 .

Câu 12. Cho hai tập hợp A A. X

4; ;

4;7 và B

5;1 , B

C. B C

;4 .

; 2

Câu 13. Cho A A. A

C. X

0;4 . Xác định X

và C

D. X

2;4 .

. Xác định X

B. X

4; 2

D. X

4;7 .

3;7 .

; 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

và C

B. B C

;

D. A C

5; 2 .

Câu 14. Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho một tập con của tập số thực. Hỏi tập đó là tập nào ? . B. \ 3;3 . A. \ 3; C.

;3 .

3;3 .

Câu 15. Hình vẽ nào sau đây (phần không bị gạch) minh họa cho tập A A.

1 ?

Câu 16. Cho hai tập hợp A sau đây đúng? A. A B A. Câu 17. Cho A

0;3 , B

B C

C. A \ B

B. A

1;5 .

D. A

Câu 19. Cho tập A A. C A

5;7 .

0;5 .

. ; 3

B. C A

B. X

Câu 21. Cho hai tập hợp A A. C

; 2.

C. C

; 2

;5 .

D. C A ;3

1;3 .

5 . Khẳng định nào sau đây đúng?

5;5 .

Câu 20. Cho C A

là tập nào trong các tập sau?

D. D

;5 .

C. C A

D. B \ A

B \C

B. B

4 . Khẳng định nào

B C

3;2 . Phần bù của X trong

; 3

0;1 . Khẳng định nào sau đây sai?

1;5 và C

3;2 .

C. C

và B

Câu 18. Cho tập X A. A

B. A

C. A C \ C

A. X

A. A

và C B

5;7 . 2;3 và B 1;3 .

4;7 . Xác định tập X

C. X

5;5 . 3;4 .

. Xác định C

D. X

3;4 .

B .

B. C

; 2 .

D. C

; 2

1;3 .

Câu 22. Cho hai tập hợp A

3;7 và B

A. CA B

3;2

4;7 .

B. CA B

3;2

4;7 .

C. CA B

3;2

4;7 .

D. CA B

3;2

4;7 .

Câu 23. Cho hai tập hợp A B

4;3 và B

m 7; m . Tìm giá trị thực của tham số m để

A. m

B. m

Câu 24. Cho hai tập hợp A để A B A. m

m; m .

B. m

; 1

D. m

; 1

2 . 3

0 và hai tập hợp A

B 2 3

Câu 26. Cho hai tập hợp A

m để A B A. 7 m

. 2. B.

Câu 27. Cho hai tập hợp A để A B

. Tìm tất cả các giá trị

2;3 và B

m; m

4;1 và B

2 3

2 . 3

D. a

5 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

3; m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

B. m

m để A B A. m 0. m để A \ B

B. m

m 1;5 và B

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

C. m

D. m

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

. C. 4

Câu 30. Cho hai tập hợp A

1 . 2

B. m

tham số m để A

; m và B

Câu 29. Cho hai tập hợp A

A. m

4 ; a

;9a , B

Câu 28. Cho hai tập hợp A

A. m

0;3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

thực của tham số a để A

A. m

1 và B

D. m

; 1

Câu 25. Cho số thực a

A. a

C. m

; m và B

3m 1;3m

D. 4

3 . Tìm tất cả các giá trị thực của

C B. B. m

BAØI 5. I – SỐ GẦN ĐÚNG 20

2;4 . Xác định phần bù của B trong A.

1 . 2

C. m

1 . 2

SOÁ GAÀN ÑUÙNG - SAI SOÁ

D. m

1 . 2

Ví dụ 1. Khi tính diện tích của hình tròn bán kính r

2 cm

theo công thức S r . Nam lấy một giá trị gần đúng của là 3,1 và được kết quả S Minh lấy một giá trị gần đúng của

12, 4 cm 2 .

là 3,14

và được kết quả S Vì

3,1.4

3,14.4

12, 56 cm 2 .

3,14592653 ... là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, nên ta chỉ viết được gần

đúng kết quả phép tính .r 2 bằng một số thập phân hữu hạn.

432 415 là y

12, 4253 là x

của y

432 000.

12, 43,

4,1521 là y

4,15.

2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trƣớc Ví dụ 2. Cho số gần đúng a a.

2 841 275 có độ chính xác d

Vì độ chính xác đến hàng trăm d

300. Hãy viết số quy tròn của số

Giải. 300 nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm

tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 2 841 000. Ví dụ 3. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [

C. a

3,141592653.

D. a

3,1415926535.

345m 345m

0, 001m. 0, 01m.

B. S D. S

345m 345m

0,38m. 0,3801m.

3 BAØI 1.

PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI CÖÔNG VEÀ PHÖÔNG TRÌNH

I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f x

g x

trong đó f x và g x là những biểu thức của x. Ta gọi f x là vế trái, g x là vế phải của phương trình 1 . Nếu có số thực x 0 sao cho f x 0

g x 0 là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm

của phương trình 1 . Giải phương trình 1 là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình Khi giải phương trình 1 , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f x và g x có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

3. Phương trình nhiều ẩn Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3 x 2 y x 2 2 xy 8, 2

4x 2

3z 2

2 xz

y2.

Phương trình 2 là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn 3 là phương trình ba ẩn ( x , y và z ). Khi x

x; y

2, y

1 thì hai vế của phương trình

có giá trị bằng nhau, ta nói cặp

2;1 là một nghiệm của phương trình 2 .

Tương tự, bộ ba số x ; y ; z

1;1;2 là một nghiệm của phương trình 3 .

4. Phương trình chứa tham số Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương 54

Định lí Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f x

f1 x

g1 x thì phương trình f1 x

trình f x

đều là nghiệm của phương trình

g x

g1 x được gọi là phương trình hệ quả của phương

g x .

Ta viết f x

g x

f1 x

g1 x .

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 2x 3 Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình 2 là 5 x 1 x2 1 A. x 1. B. x C. x D. x 1. 1. Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình A. x 3. B. x 2.

x 1 C. x

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình A. x

B. x

C. x

1 x B. x

0. 0 và x

D. x

Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình A. x

B. x

Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình

0 và x 2 1 x

D. x

3 là:

B. x

C. x

3 và x

D. x

3. 1 x

là

D. 2

0 là

3 và x

0 là

3 là D. x

A. x

Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình

1 2

C. x x

C. 2

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình A. x

x 1.

là

A. x

2 hoặc x

B. x

2 hoặc x

C. x

2 hoặc x

D. x

2 hoặc x

Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x A. x

2 và x

C. x

3 . 2

2 và x

Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x A. x

2 và x

C. x

2, x

4 . 3

1 và x

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình

1 . 2 1 và x 2

A. x C. x

B. x

2, x

D. x

2 và x

4 x

B. x

2 và x

D. x

2 và x

2x 1 x 2 3x

3 . 2

0 và x

3 2x là x

3x là 1 4 . 3 1.

0 là

B. x

1 và x 2

D. x

3 và x

3. 0.

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi A. Có cùng dạng phương trình. B. Có cùng tập xác định. C. Có cùng tập hợp nghiệm. D. Cả A, B, C đều đúng. Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 A. 2 C.

x 3

B. x

2 x

D. x 2

4 x 4 0. Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 A. x 2 C. x 2 x

x 3

3x 3x x

B. x 2

D. x 2

Câu 14. Cho phương trình x

1 x –1 x

3 x2

3x 1

0 . Phương trình nào sau đây tương đương

với phương trình đã cho ? A. x 1

B. x

C. x 2

D. x – 1 x

Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x A. x 2

B. 2 x 1

1 x

C. x x 5 0. Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3x

C. 3x

D. 7

x 2.

6x 1

x 1 2x 3

18.

x 1

9x 2 .

x 1 2x

x 1 .

Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai? A.

x 1

C. x

2 1 x

x 1

1 .

B. x 2

D. x 2

Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x C.

x 1 x x

x 1 và x

x và x

B. x

x 2 1 x 2 và x x và x 2 1. D. x x 2

1. 1.

Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. 2x C.

3 và 2 x

x và x

1. 2

x x

D. x

x .

0 và x

2 và x

Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x

B. 3 x x

2 x và x

8 3

C. x 3 2 x

x 1 .

x và 6 x x

16 3

x và x 3 2 x

D. x 2 2 x và x 2 4 x . Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

2x 2

0 1 và 2 x 3

4 x2

2 m 1 x

0 2 .

1 D. m . 2. 2 Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: A. m

B. m

mx 2 A. m

2 m 1 x

B. m

C. m

5; m

0 1 và m

C. m

2 x2

0 2 .

D. m

Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai? A.

C. 3 x

8x 2

x x 1 x 1

9 2x

3x 12

x 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào Câu 24. Cho phương trình 2 x không phải là hệ quả của phương trình đã cho? x A. 2 x B. 4 x 3 x 0. 0. 1 x

C. 2 x 2

D. 2 x 3

Câu 25. Cho hai phương trình: x x

3 x

1 và

x x

2 . Khẳng định nào

sau đây là đúng? A. Phương trình 1 là hệ quả của phương trình 2 . B. Phương trình 1 và 2 là hai phương trình tương đương. C. Phương trình 2 là hệ quả của phương trình 1 . D. Cả A, B, C đều sai. Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Câu 26. Tập nghiệm của phương trình A. S

0 .

B. S

A. 0.

5 3x

Câu 31. Phương trình 2 x A. 0. B. 1. x3

A. 0.

x 4x 2

1 x 1 B. 1.

Câu 33. Phương trình x

Câu 34. Phương trình x A. 0.

Câu 35. Phương trình x A. 0.

B. 1.

BAØI 2.

4 có bao nhiêu nghiệm? D. 3.

2 có bao nhiêu nghiệm? C. 2. D. 3. 2

x có bao nhiêu nghiệm?

D. 3.

2x 1 có bao nhiêu nghiệm? x 1 C. 2.

D. 3.

0 có bao nhiêu nghiệm? C. 2.

D. 3.

0 có bao nhiêu nghiệm? C. 2.

D. 3.

PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI

I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 58

D. 3.

C. 2.

B. 1. 2

1 x có bao nhiêu nghiệm? C. 2.

B. 1.

A. 0.

D. 3.

C. 2.

Câu 30. Phương trình x x 1 A. 0. B. 1.

2 .

D. 3.

C. 2.

D. S

27 có bao nhiêu nghiệm?

B. 1.

Câu 32. Phương trình

0;2 .

C. 2.

B. 1.

Câu 29. Phương trình

x 2 là:

0 có bao nhiêu nghiệm?

x 1

B. 1.

Câu 28. Phương trình

C. S

Câu 27. Phương trình x x 2 A. 0.

1. Phương trình bậc nhất Cách giải và biện luận phương trình dạng ax

0 được tóm tắt trong bảng sau

Hệ số a

Khi a

Kết luận

1 có nghiệm duy nhất x

0 b

1 vô nghiệm

1 nghiệm đúng với mọi x

0 phương trình ax

b a

0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

ax 2

Kết luận

4ac

2 có hai nghiệm phân biệt x1, 2

2 có nghiệm kép x

2 vô nghiệm

b 2a

3. Định lí Vi–ét Nếu phương trình bậc hai ax 2

b c , x1 x 2 . a a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u của phương trình x1

0 có hai nghiệm x1 , x 2 thì

S và tích uv

P thì u và v là các nghiệm

x 2 Sx P 0. II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1. Giải phương trình x

Giải Cách 1 a) Nếu x Giá trị x

3 thì phương trình 3 trở thành x 4 không thỏa mãn điều kiện x

1. Từ đó x

3 nên bị loại.

b) Nếu x

3 thì phương trình 3 trở thành

Giá trị này thỏa mãn điều kiện x

2 . 3

1. Từ đó x

3 nên là nghiệm.

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x

2 . 3

Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình 3 ta đưa tới phương trình hệ quả

4x 2

10 x

Phương trình cuối có hai nghiệm là x

2 . 3

4 và x

2 . 3

Thử lại ta thấy phương trình 3 chỉ có nghiệm là x

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví dụ 2. Giải phương trình

2. 4

Giải. 3 . Điều kiện của phương trình 4 là x 2 Bình phương hai vế của phương trình 4 ta đưa tới phương trình hệ quả 4

Phương trình cuối có hai nghiệm là x 3 2. Cả hai giá trị này đều thỏa 2 và x 3 4 , mãn điều kiện của phương trình nhưng khi thay vào phương trình 4 thì giá trị

x 3 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x cùng bằng 2 1 ). Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình 4 là x

2 là nghiệm (hai vế

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m 2

4 x

6 vô

nghiệm. A. m 1. B. m 2. C. m D. m 2. 2. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx m 0 vô nghiệm. A. m

B. m

0 .

C. m

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 nghiệm.

D. m

6 x

2m vô

A. m

B. m

C. m

2. 2

Câu 4. Cho phương trình m

1 x

m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham

7m 5 x

số m để phương trình đã cho vô nghiệm. A. m 1. B. m 2; m 3. C. m 2

D. m

y m 1 x 3m x m y m 1 x 12 x 2 Câu 5. Cho hai hàm số và . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A. m 2. B. m C. m D. m 1. 2. 2. Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2m nghiệm duy nhất. A. m 1.

B. m

C. m

D. m

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

9 x

3m m

A. 2.

4 x 2.

10;10 để phương trình

3 có nghiệm duy nhất ? B. 19.

C. 20.

D. 21.

Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn phương trình m

2 có

1 x

m 1 có nghiệm duy nhất.

1 x

Tổng các phần tử trong S bằng: A. 15. B. 16. C. 39.

D. 40.

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 nghiệm duy nhất x 1. A. m B. m 1.

C. m

Câu 10. Cho hai hàm số y

2 và y

1 x

D. m

tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A. m B. m C. m 2. 3. nghiệm đúng với mọi x thuộc . A. m 1. B. m 1. Câu 12. Cho phương trình m x 6 phương trình đã cho có nghiệm. A. m 2. B. m 2.

C. m

Câu 13. Cho phương trình m – 3m

1 có

D. m

2; m

D. m

1 x

3. m 1 có

3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

m . Tìm tất cả các giá trị của

7 x 2; m

m x

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m 2

5;10 để

C. m

2 x

2 và m

2. D. m

0. Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc . 5. A. m B. m C. m 1. D. Không tồn tại. 2. Câu 14. Cho phương trình m 2

2m x

m để phương trình đã cho có nghiệm. A. m 0. B. m 2.

3m C. m

2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

0; m

m 1 x 1 và y Câu 15. Cho hai hàm số y 3m m tham số để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau.

1 x

D. m

m . Tìm tất cả các giá trị của

A. m

2 . B. m 3

1; m

1 và m

2 . 3

2 . 3 Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 16. Phương trình ax 2 bx c 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: a 0 a 0 A. a 0. B. hoặc . 0 b 0

C. m

C. a

D. m

0 0

Câu 17. Số 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. x 2 4 x 2 0. B. 2 x 2 5x 7 0. C.

3x 2

D. x 3

Câu 18. Nghiệm của phương trình x 2 đồ thị hàm số nào sau đây? A. y x 2 và y 7 x 12. C. y

x và y

0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai

x 2 và y

B. y D. y

12.

7 x 12.

x và y

7 x 12.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn trình x

0 vô nghiệm? B. 10.

A. 9.

Câu 20. Phương trình m A. m

C. 20.

1 x

B. m

2mx

0 vô nghiệm khi:

C. m

D. 21. D. m

Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2 x kx A. k

B. k

1; m

C. k

Câu 22. Phương trình m – 2 x A. m

10;10 để phương

B. m

2x – 1

D. k

2. 0 vô nghiệm là? 3.

0 có nghiệm kép khi: C. m

D. m

Câu 23. Phương trình mx 6 4x m . A. B. m 0.

3m có nghiệm duy nhất khi: . C. m D. m 0. 2 Câu 24. Phương trình mx – 2 m 1 x m 1 0 có nghiệm duy nhất khi: A. m

B. m

1 x –6 m

Câu 25. Phương trình m A. m

B. m

C. m

1. 2

Câu 26. Phương trình 2 x 2

1; m

x mx

1 x 6 7

0; m 3

D. m

0 có nghiệm kép khi: 6 . 7

C. m

D. m

6 . 7

1 có nghiệm duy nhất khi:

17 17 B. m 2. C. m 2; m D. m 1. . . 8 8 Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m 2 x 2 2 x 1 2m 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S bằng:

A. m

5 7 . B. 3. C. . 2 2 Câu 28. Phương trình m 1 x 2 A.

9 . 2 0 có hai nghiệm phân biệt khi: D.

6x 1

5 5 8; m 1. . ; m 1. C. m D. m 4 4 Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn 5;5 để phương trình A. m

mx 2

2 m

B. m

2 x

A. 5.

m 1 B. 6.

Câu 30. Phương trình m A. 0

0 có hai nghiệm phân biệt.

B. m

C. 9.

2 x

D. 10.

0 có hai nghiệm phân biệt khi:

C. m

D. m

Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y

m –1 x

P :y A. m

2mx

Câu 32. Phương trình x A. m

3m – 1.

B. m

m tiếp xúc với parabol

C. m

D. m

0 có nghiệm khi: C. m 0.

D. m

Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc

20;20 để phương

trình x 2 A. 21.

2mx 144 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử trong S bằng: B. 18. C. 1. D. 0. Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y x2 y x 2 m có điểm chung. 7 . 2

A. m

7 . 2

B. m

Câu 35. Phương trình m 1 x 2

5 . 4

A. m

3x 1 5 . 4

B. m

7 . 2

C. m

3 và

7 . 2

D. m

0 có nghiệm khi: 5 . 4

C. m

D. m

Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

5 . 4

10;10 để phương trình

mx mx 1 0 có nghiệm. A. 17. B. 18. C. 20.

D. 21.

Câu 37. Biết rằng phương trình x của phương trình bằng: A. 1. B. 1.

m 1

0 có một nghiệm bằng 3 . Nghiệm còn lại

C. 2.

D. 4.

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 x có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. 1 5 2; . ;7 . A. m B. m 2 2

C. m

2 . 5

2 x

m 1

3 ;1 . 4

D. m

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương 3 x 2 2 m 1 x 3m 5 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại. A. m

B. m

C. m

3; m

D. m

trình

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 1 x 2

4mx

ba nghiệm phân biệt. A. m

3 . D. m 4 Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI B. m

Câu 41. Phương trình ax 2

3 . 4

C. m

0 a

0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ

khi: A.

0 P

0 S

Câu 42. Phương trình ax 2 A.

0 P

B. P S

0 S

0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

0 a

0 C. P S

0. 0

B. P S

C. P S

0 0

0 có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

0 a

Câu 44. Phương trình ax 2 A.

c 0

Câu 43. Phương trình ax 0

0. 0

0 S

0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

0 a

C. P

D. P

Câu 45. Phương trình x 2 mx 1 A. m B. m 2. 2.

0 có hai nghiệm âm phân biệt khi: 2. C. m D. m 0. 5;5 để phương trình Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc x 2 4mx m 2 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A. 5. B. 6. C. 10. D. 11. Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2 x m hai nghiệm âm phân biệt là: 1 1 1 1 ;0 . ; . A. m B. m C. m 0;2 . D. m 0 ; . 2 2 2 2 Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2

0 có

2;6 để phương

4mx m 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng: trình x A. 3. B. 2. C. 18. D. 21. Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 2 m 1 x m 2 1 0 có hai nghiệm dương phân biệt là: A. m

1 ;1 .

B. m

Câu 50. Phương trình m 1 x 2 A. m

B. m

D. m

C. m

Câu 51. Giả sử phương trình x 2

x1 , x 2 . Tính giá trị biểu thức P A. P

3m 2

C. P

10m

1 x

3 x1 x 2

10m 1.

Câu 52. Giả sử phương trình x giá trị biểu thức P

2 1

x 1 x2

;

0 có hai nghiệm trái dấu khi:

3x 1

1. D. m Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 ; 2

C. m

m2 5 x1

0 ( m là tham số) có hai nghiệm là

x 2 theo m.

B. P

3m 2

10m 5.

D. P

10m 1.

0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1 , x 2 . Tính

2 2

x 1 x1 theo m.

A. P

B. P

Câu 53. Giả sử phương trình 2 x thức T

C. P

4ax 1

0 có hai nghiệm x1 , x 2 . Tính giá trị của biểu

4 a2

B. T

a2 8 . 2

C. T

Câu 54. Cho phương trình x 2 px q 0 trong đó p phương trình bằng 1. Khi đó p bằng A.

4 q 1.

B. m

C. m

số). Tìm m để biểu thức P

1 . 2

B. m

x1 x 2

2 x1

1 . 2

B. Pmax

D. m

2 m

2 x1 x 2

B. Pmax

Câu 59. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 để biểu thức P A. m

1 . 2

2 1

2 x1 x 2 3 x 22 2 x1 x 2

B. m

Câu 60. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P A. Pmin

B. Pmin

1 . 2

2 1

0 ( m là tham

0 ( m là tham số). 9 . 4

D. Pmax

2 m 1 x x1

9 . 8

12.

2m 2

9 . 16

0 ( m là tham số). Tìm m

D. m

2 x1 x 2 3 x 22 2 x1 x 2

C. Pmin

m 1 1

5 . 2

0 ( m là tham số). Tìm giá

D. Pmin

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

0 ( m là

x1 x 2 . D. Pmax

m 1

đạt giá trị lớn nhất. C. m

25 . 4

C. Pmax

2mx x1

tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P

1 . 4

D. m

Câu 58. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2

A. Pmax

1 x

C. Pmax

0 ( m là tham

x1 x 2 có giá trị nguyên. x1 x 2

Câu 57. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P

1 x

6 đạt giá trị nhỏ nhất.

C. m

a2 8 . 4

D. q 1.

Câu 56. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x

A. Pmax

0. Nếu hiệu các nghiệm của

0, q

số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P

A. m

D. T

4 q 1.

Câu 55. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x

A. m

D. P

x2 .

4 a2 2 . 3

A. T

Câu 61. Nếu m m n bằng: A.

1 . B. 2

0 là các nghiệm của phương trình x 2

0 và n

1 . 2

phương trình x A. p

m 3.

B. p

0 thì tổng

D. 1.

Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x 2 2

0 là lập phương các nghiệm của

0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

C. p

3mn.

m n

p . q

Câu 63. Cho hai phương trình x 2 2mx 1 0 và x 2 2 x m 0. Có hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó. A. S

5 . 4

B. S

1 . 4

C. S

1 . 4

D. S

Câu 64. Cho hai phương trình x 2 mx 2 0 và x 2 2 x m 0 . Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3? A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình

x 2 ax b biểu thức S A. S

0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 a

B. S

0. Tính giá trị của

C. S

5 2

D. S

Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 3 3x Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2 x là: x 1 x 1 A. S

3 . 2

B. S

Câu 67. Tập nghiệm của phương trình A. S

1;4 .

Câu 68. Phương trình A. 0.

B. S

x2 x

C. S

1 .

2 x 2 10 x x 2 5x B. 1.

3 . 2

C. S

1 .

D. S

\ 1 .

là: D. S

4 .

3 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 69. Gọi x 0 là nghiệm của phương trình 1

C. 2.

D. 3.

2 x

10 2

50 x x

. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A. x 0

B. x 0

5; 3 .

Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình

m 1 . m2

A. S

B. S

2m 2

C. S

B. 1.

Câu 73. Phương trình A. m

3 . 2

C. m

0 và m

3 khi m

mx 2 x2 1

C. 2.

2mx 1 x 1

. 0 là:

2 . m2

0 là:

D. S

Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình A. 0.

D. S

3 x

1 trong trường hợp m

C. S

D. x 0

1;4 .

1 x 1

3 . m

B. S

Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình A. S

C. x 0

3; 1 .

\ 0 .

1 vô nghiệm? D. 3.

3 có nghiệm duy nhất khi:

B. m

3 . 2

1 và m 2

D. m

3 . 2

Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn x m x 2 có nghiệm. x 1 x 1 Tổng các phần tử trong tập S bằng: A. 1. B. 8.

3;5 để phương

trình

C. 9.

D. 10.

Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 1;20 để phương trình x 1 x 2 A. 4.

m x2

x x

3 có nghiệm. 2 B. 18.

C. 19.

Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình 3 x A. S

1;1 .

B. S

Câu 77. Phương trình 2 x

4 . 3

B. S

Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 A.

12. B.

C. 6.

D. S

1 .

0 .

0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 2. Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình 2 x A. S

3 2 x là:

2 C. S

1 .

D. 20.

D. Vô số. 1 x 3 là: C. S

5x D. 12.

4 . 3

D. S

4 bằng:

2 .

x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2

Câu 80. Gọi x1 , x 2 x1 x12

trị biểu thức P A. P 16.

B. P

3 7 ; . 2 4

C. P

58.

3 7 ; . 2 4

B. S

1 . 2

2 . 3

Câu 83. Phương trình 2 x

A. 0.

C. 2. Câu 84. Phương trình 2 x 4 A. 0.

Câu 86. Phương trình x A. 0.

B. 1.

C. 2

2x 2

D. 4.

2x 1

1 bằng:

C. 2.

Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x

3 3 3 . . a B. a C. a 2 2 2 Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x C. m

3 . 2 1 x2

A. 8.

B. 9. 6;2 .

C. 10.

B. S

0;2 .

B. S

2 .

Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình x A. 0. B. 1.

C. 2.

D. 11.

C. S

2 .

Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình A. S

5;5 để phương trình

1 có đúng hai nghiệm phân biệt?

Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình A. S

3 3 a . 2 2 m có nghiệm duy nhất.

D. a

D. Không có m.

Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn mx

1 có nghiệm duy nhất?

2ax

A. a

B. m

3 . 2

0 có bao nhiêu nghiệm?

B. 1.

0 bằng:

7 . 2

Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình 4 x x

A. m

20 . 3

D. Vô số.

C. 2.

A. 0.

2 bằng:

0 có bao nhiêu nghiệm ?

x 1

5 . 2

7 3 ; . 4 2

D. S

D. 4.

Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình 2 x B.

3 . 2

4 có bao nhiêu nghiệm?

C. 2.

A. 6.

7 ; 4

C. 6.

22.

5 là:

B. 1. B. 1.

D. P

28.

C. S

Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình x A.

4 x 17 . Tính giá

x2 .

Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình x A. S

6 .

C. S 2

3 là: .

D. S

2 là: 0 .

D. S

4 bằng:

D. 3.

Câu 94. Phương trình A. 1.

x C. 3.

B. 2.

Câu 95. Phương trình A. 0.

B. 1.

2 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

D. 5.

2 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

C. 2.

D. 3.

có đúng bốn nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 1 1 x2 2m x 1 0 có nghiệm. 2 x x A. m

3 3 ; . 4 4

C. m

;

B. m

3 . 4

3 ; 4

D. m

;

3 4

B. 8 m 1. C. 0 m 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 8.

A. m

3;4 .

C. m

– 2m x

4m – 1

trình

8. D. m m để phương

trình

Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số x 2 2mx 2m x m m 2 3 2m 0 có nghiệm.

C. m

; 3 1;

BAØI 3.

1; .

trình

để phương

A. m

3 .

0 có đúng hai nghiệm.

B. m 2

để phương

3 ; 4

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 4 2 4 x m 1 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1. x x2

A. m Câu 99.

x 1

2x 2 x 1

Câu 98.

Câu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

D. m

B. m D. m

3 ; 2

; 3 3 ; 2

để phương trình

PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN

I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn 70

Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. CHÚ Ý a) Khi a

0 ta có phương trình 0 x

nghiệm, còn nếu c b) Khi b y

c. Nếu c

0 thì phương trình này vô

0 thì mọi cặp số x 0 ; y0 đều là nghiệm.

0, phương trình ax a x b

c b

c trở thành

Cặp số x 0 ; y0 là một nghiệm của phương trình 1 khi và chỉ khi điểm M x 0 ; y 0 thuộc đường thẳng 2 . Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình 1 là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

a1 x

b1 y

a2 x

b2 y

Trong đó x , y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số x 0 ; y0 đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì x 0 ; y0 được gọi là một nghiệm của hệ phương trình 3 . Giải hệ phương trình 3 là tìm tập nghiệm của nó.

II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

trong đó x , y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

a1 x

b1 y

c1 z

a2 x

b2 y

c2 z

a3 x

b3 y

c3 z

Trong đó x , y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số x 0 ; y 0 ; z 0 nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình 4 . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

x Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình 2 x 3x

y z 5 là: 2 y z 24

A. x ; y ; z

5; 3;3 .

B. x ; y; z

4; 5;2 .

C. x ; y; z

2; 4;5 .

D. x ; y ; z

3; 5;3 .

Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình y z

2 là: 3

A. y z

Câu 3. Bộ x ; y ; z

x A. 2 x 5x

C. x

z z

x B.

7y 5x

2 z

D. x

. 2

y x

y 02

y y

C. P

3z 2z

1 . Tính giá trị của biểu

2 2z

D. P

Câu 6. Gọi x 0 ; yo ; z 0 là nghiệm của hệ phương trình 2 x 3x

x 0 y0 z 0 .

z 4 . 4y z 5

thức P

z 02 .

B. P

2 z

A. P

Câu 5. Gọi x 0 ; yo ; z 0 là nghiệm của hệ phương trình x x 02

thức P

1; 0;1 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

D. y z

D. 2 x y z 6 . 10 x 4 y z 2

6 z 10

B. 2 x 6 y 4 z x 2y 5

2. 0

C. y z

z z

A. x y

Câu 4. Bộ x ; y ; z

y y y

2; 1;1 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?

C. x x

B. y z

14.

y z 5 . Tính giá trị của biểu 2 y z 24

A. P

B. P

40.

C. P

D. P

1200.

Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình 3 x y 1 0 2 mx 5 y m

1200.

0 có duy nhất

một nghiệm. A. m

10 . 3

B. m

10.

C. m

D. m

10.

Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình my z x mz

10 . 3

1 1 vô nghiệm. 1

A. m B. m 0. C. m 1. D. m 1. 1. Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7, 5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7, 5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ? A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7, 5 tấn. B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7, 5 tấn. C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7, 5 tấn. D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7, 5 tấn. Câu 10. Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em. B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em. C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em. D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC BAÁT PHÖÔNG TRÌNH

4 BAØI 1.

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' a

b '' hoặc '' a

b '' được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề '' a của bất đẳng thức a

b c d '' đúng thì ta nói bất đẳng thức c b và cũng viết là a b c d.

d là bất đẳng thức hệ quả

Nếu bất đẳng thức a b là hệ quả của bất đẳng thức c đẳng thức tương đương với nhau và viết là a b c d.

d và ngược lại thì ta nói hai bất

3. Tính chất của bất đẳng thức Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a b ta chỉ cần chứng minh a b 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung Cộng hai vế của bất đẳng thức với a b a c b c một số c 0 a b ac bc Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số c 0 a b ac bc

0, c

n và a

n a

b và c

a2 n

b2 n 2n

a 3

b 3

c 1

b bd

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b hoặc a b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a b hoặc a b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI) 1. Bất đẳng thức Cô-si Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng a b ab , a, b 0. 1 2 a b Đẳng thức ab xảy ra khi và chỉ khi a b. 2

2. Các hệ quả Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. a

1 a

Hệ quả 2 Nếu x , y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x Hệ quả 3 Nếu x , y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x

y nhỏ nhất khi và chỉ khi x

III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện

Nội dung

x a

0, x

x, x

a hoặc x

x a

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? a b a b A. B. a c b d. a c c d c d C.

a d

b c.

b d.

a c

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai? a b a b b c A. B. a . a c a c a c 2

b d.

b a.

C. a b a c b c. D. a b c a c b. Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a b a b A. B. ac bd. ac bd. c d c d C.

bd.

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? A. a b ac bc. B. a b ac bc. C. c

bc.

Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? 0 a b a b 0 a b a . A. B. 0 c d c d 0 c d c d

a c

a b . D. c d

Câu 6. Nếu a

3b.

Câu 7. Nếu a b A. ab 0.

a b

b . d

d . c

2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

B. a2

b2 .

a và b a

B. b

C. 2a

2b.

1 a

1 . b

b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? a.

C. a

D. a

0 và b

Câu 8. Nếu 0 A.

1 a

1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

B. a

1 . a

C. a

D. a3

a2 .

Câu 9. Cho hai số thực dương a, b. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? A.

a2 a

1 . 2

Câu 10. Cho a, b

ab ab 1

0 và x

1 . 2

1 a , y 1 a a2

a2 1 a2 2

1 . 2

D. Tất cả đều đúng.

1 b . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 b b2

A. x

B. x

C. x

D. Không so sánh được.

Câu 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x A. m

1 2 2.

B. m

1 2 2.

C. m

Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

1 x

B. m

A. m

B. m

A. m

B. m

18.

B. m

A. m

B. m

C. m

D. Không tồn tại m.

1. D. m

2 x

với x

x 1 x

với 1

1 với 0 1 x 8.

D. m x

D. m

16.

1 x

2x 2 với x x 1

4 x

C. m

Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

D. m

C. m

Câu 15. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x A. m

C. m

Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

5 . 2

C. m

Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

với x

x A. m

D. m

16.

Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x A. m

1 . 2

B. m

7 . 2

C. m

B. m

2x 3 4 với x x C. m 6.

Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x A. m

x 32 với x 4 x 2

D. m

10.

Câu 19. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x A. m

B. m

B. M

27.

x 1 với x x

Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x A. M

1 . 2

B. M

C. M

1 . 4

1 . 2

B. M

C. M

x x

1 . 4

B. M

với x

Câu 24. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f x A. m

2, M

3. B. m

C. m

2, M

3 2.

3, M

D. m

3, M

4 5.

B. m

2; M

C. m

2; M

2 5.

D. m

0; M

Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x

7 2x

C. m

10.

Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x A. M

B. M

Câu 28. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x là: A. 0;3 . B. 0;2 . C. 2;2 . Câu 29. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x A. 0;

1 . B. 3

1;1 . C.

1 ;1 . 3

D. M

0; M

B. m

3 2.

A. m

D. M

Câu 25. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f x

A. m

30.

1 . 2

C. M

D. M

Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x A. M

với x

19 . 2 1 3 ; . 2 2

Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x A. M

D. m

3 5 2 x với x

C. M

24.

13 . 2

C. m

với x

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f x A. M

C. M y xy D. y

4. D. m

87 . 3

x2 .

2;2 . 1 . Tập giá trị của biểu thức P

D. M 4. 2 2. 3 . Tập giá trị của biểu thức S

2 2.

2 3. x

2 x

xy là:

1 . 3

Câu 30. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x

2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 xy

y là:

A. 3 2 . B. 1 . C. 8 . D. 3 2 . 2 y2 x Câu 31. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x S x y là: A. 0;

;0 .

C. 4;

Câu 32. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x

xy . Tập giá trị của biểu thức

3 x

D. 0;4 .

0 . Tập giá trị của biểu thức

y là:

A. 2;4 .

B. 0;4 .

C. 0;2 .

Câu 33. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x

D. 2;4 .

A. 4 . B. 5 . C. 9 . D. 2 . Câu 34. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn điều kiện x 2 y nhất của biểu thức S x y là: A. 1 .

B. 2 .

trị lớn nhất của biểu thức P A. Câu

1 và 1 . 2 36. Cho

b3 a

số

4 là: y 3 xy . Giá trị nhỏ

D. 4 .

1 xy

2 . Giá trị nhỏ nhất và giá

xy lần lượt là:

B. 0 và 1 . hai

xy 2

C. 3 .

Câu 35. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x 4

1 x

1 . Giá trị nhỏ nhất của S

thực

ab a 1 b 1

1 và 1 . 4 thuộc khoảng

a, b

D. 1 và 2 .

0;1

0. Giá trị lớn nhất của biểu thức P

1 1 1 . B. . C. . D. 1 . 4 9 3 Câu 37. Cho hai số thực x , y thuộc đoạn 0;1 và thỏa mãn x

và

thỏa

mãn

ab bằng:

thức P

4 xy. Tập giá trị của biểu

xy là:

1 1 1 1 . C. 0; . D. ; . 3 4 3 4 Câu 38. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x 2 y S x 2 y là A. 0;1 . B. 0;

0 . Giá trị nhỏ nhất của

1 . 4 Câu 39. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x y xy 7 . Giá trị nhỏ nhất của S x 2 y là: A. 8 . B. 5 . C. 7 . D. 11 . Câu 40. Cho hai số thực x , y thỏa mãn 2 x 3 y 7 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P x y xy là: A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 2 . A. 2 .

B. 4 .

C. 8 .

Câu 41. Cho hai số thực x , y không âm và thỏa mãn x 2 P xy là: A.

13 . B. 4 . 4

C. 8 .

D. 13 .

Câu 42. Cho x , y là hai số thực thỏa mãn x

y và xy

biểu thức F

1 4 . 2

A. Fmin

Câu 44. Cho x A. 3.

1 2x

B. Fmin

B. 6.

1;7 .

C. Fmin

3 2.

C. 8.

D. Fmin x

1 y x

2 4 . 3

là

D. 9. y

3 . Tập giá trị của biểu

y là: B. 3;7 .

1 4 . 3

0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F

C. 3;7

0, b

. Tìm giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F

A. Fmin

D. P 5. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất Fmin của

2 . y

Câu 46. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a

y2 y

. Tính P

Câu 45. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x thức S

x2 x

1000. Biết biểu thức F

a 2 b2 . y b 1000 A. P 2. B. P 3. C. P 4. Câu 43. Cho x , y là các số thực dương và thỏa mãn x y x

đạt giá trị nhỏ nhất khi

12 . Giá trị lớn nhất của

B. Fmin

C. Fmin

1 .

0 và f x

4a c . b 3. 2

Câu 47. Cho ba số thực a, b, c không âm và thỏa mãn a b c và giá trị lớn nhất của biểu thức S a2 b2 c2 lần lượt là: A. 1 và 3 . B. 2 và 4 . C. 2 và 3 . 1 2 x y2 Câu 48. Cho ba số thực dương x , y, z . Biểu thức P 2 trị nhỏ nhất bằng: 11 5 9 A. . B. . C. . D. 9 . 2 2 2

7;7 . bx

D. Fmin 2

abc

0 với mọi

4 . Giá trị nhỏ nhất

D. 3 và 4 . x y z2 yz zx

z có giá xy

Câu 49. Cho ba số thực dương x , y, z thỏa mãn điều kiện x biểu thức P

biểu thức P A.

3 . 3

BAØI 2.

3 . Giá trị lớn nhất của

2 . Giá trị lớn nhất của

z bằng:

11 . 2 Câu 50. Cho ba số thực dương x , y, z thỏa mãn điều kiện x C. 5 .

A. 12 . B. 3 .

x bằng: D. 1 .

C. 2 3 .

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT MOÄT AÅN

I – KHÁI NIỆM BẤT PHƢƠNG TRÌNH MỘT ẨN 1. Bất phƣơng trình một ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f x

g x

f x

g x

trong đó f x và g x là những biểu thức của x. Ta gọi f x f x0

g x0

và g x f x0

lần lượt là vế trái của bất phương trình 1 . Số thực x 0 sao cho g x0

là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình

1. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. Chú ý: Bất phương trình 1 cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g x

f x

g x

f x

2. Điều kiện của một bất phƣơng trình Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f x và g x có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình 1 .

3. Bất phƣơng trình chứa tham số Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

II – HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MỘT ẨN Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƢƠNG TRÌNH 1. Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó.

2. Phép biến đổi tƣơng đƣơng Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

3. Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P x

Q x

P x

f x

Q x

f x

4. Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P x

Q x

P x .f x

Q x .f x , f x

0, x

P x

Q x

P x .f x

Q x .f x , f x

0, x

5. Bình phƣơng Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P x

Q x

P2 x

Q2 x , P x

0, Q x

0, x

6. Chú ý Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau 1)Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới. 2)Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P x

Q x với biểu thức f x ta cần lưu ý

đến điều kiện về dấu của f x . Nếu f x nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình. 3)Khi giải bất phương trình P x

Q x mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai

trường hợp a) P x , Q x cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình. b) P x , Q x cùng có giá trị âm ta viết

P x

Q x

P x

rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH Câu 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình A. x

B. x

C. x

;2 .

; x

Câu 2. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình x A. x

5;4 .

B. x

5;4 .

B. x

B. m

C. m

B. m

\ 2 . D. x

1 . 2

\ 2 .

6 2 x có tập xác

C. m

; 5.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y định là một đoạn trên trục số. A. m

D. x

1 ;2 . 2

D. x

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y định là một đoạn trên trục số. A. m

1 2x .

1 . 2

C. x

Câu 3. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình A. x

D. m

1 . 3

D. m

1 có tập xác

Vấn đề 2. CẶP BẤT PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG 3 3 tương đương với 3 2x 4 2x 4 3 3 A. 2 x 3. B. x và x 2 . C. x . D. Tất cả đều đúng. 2 2 3 3 Câu 7. Bất phương trình 2 x tương đương với: 5 2x 4 2x 4 5 5 A. 2 x 5. B. x và x 2 . C. x . D. Tất cả đều đúng. 2 2 Câu 8. Bất phương trình 2 x 1 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

Câu 6. Bất phương trình 2 x

A. 2 x 1 C. 2 x 1

1 x

1 3

2018

B. 2 x 1

2018.

1 x 1

x 2018 Câu 9. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?

1 3

x 1

2018

A. x

0 và x 2 x

C. x

0 và x

B. x

0 và x 2 x

D. x

0 và x

Câu 10. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x 2

A. x –1

B. x

5 x

Câu 11. Bất phương trình x

x x

0. B. x

Câu 12. Bất phương trình A. 1 2 x C. 1 x

x 1

A. a

x tương đương với

C. x

5 x

B. 2 x

D. x

x 1

D. x x 1

x 1 x .

Câu 13. Với giá trị nào của

a –1 x

0 tương đương với

x 1 2x .

x 1

x 2x

x .

a 1 x

B. a

D. a 2. 1. m 2 x m 1 Câu 14. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình và 3m x 1 tương đương: A. m B. m C. m D. m 3. 3. 2. 1. Câu 15. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình m 3 x 3m A. m

Câu 17. Bất phương trình ax b 0 có tập nghiệm là a 0 a 0 a . . A. B. C. b 0 b 0 b

khi: 0 . 0

Câu 18. Bất phương trình ax a

0 0

Câu 20. Bất phương trình A. 4.

và

B. S 3x

C. S

;2 . 5

2 B. 5.

0 vô nghiệm khi:

Câu 19. Tập nghiệm S của bất phương trình 5 x 1 A. S

2 tương đương:

x 1

B. m 0. C. m 4. D. m 0 hoặc m Vấn đề 3. BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

và

C. a

Câu 16. Bất phương trình ax b 0 vô nghiệm khi: a 0 a 0 a A. B. C. . . b 0 b 0 b

0 tương đương:

2m 1 x

thì hai bất phương trình

2 3

2x 5

3 là:

5 ; 2

D. S

x có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn

C. 9.

D. 10.

20 ; 23 10 ?

Câu 21. Tập nghiệm S của bất phương trình 1 A. S C. S

2 .

3 2 2 là:

2 x

B. S

D. S

x 7

Câu 22. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x 2

6 x 1 trên đoạn

10;10 bằng: A. 5.

B. 6.

C. 21.

Câu 23. Bất phương trình 2 x 1 x A. S

;

2 . B. S 3

2 ; 3

x 1 x

C. S

Câu 24. Tập nghiệm S của bất phương trình 5 x A. S

5 ; 2

B. S

3 ; 6

;0 .

B. S

;3 .

B. S

C. 26 .

B. S

B. m

Câu 32. Bất phương trình m A. m

B. m

3 . 6

D. S x2

. 2

1 là:

D. S

;3 .

2 là:

2 . 2

. D. S

D. m

4 x

bằng:

C. S

0 là:

B. 1.

3 vô nghiệm khi C. m

3m x 2.

2 2 x vô nghiệm khi

C. m

1, m

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2 nghiệm. A. 0.

là:

D. S x

D. S

2 x

3 . 6

;

D. 0 .

Câu 31. Bất phương trình m 1 x A. m

2 là:

C. S

Câu 30. Tập nghiệm S của bất phương trình x A. S

3 ;

Câu 29. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình A. 15 . B. 11 .

D. S 2

2 x là:

C. S

;2 .

5 có tập nghiệm

5 . 2

;

C. S

Câu 28. Tập nghiệm S của bất phương trình x A. S

C. S

Câu 27. Tập nghiệm S của bất phương trình x A. S

x 7

Câu 26. Tập nghiệm S của bất phương trình x 1 A. S

D. S

C. S

3 ; 6

. B. S

Câu 25. Tập nghiệm S của bất phương trình x A. S

D. 40. 2

C. 2.

m x

m vô

D. Vô số.

Câu 34. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2 m x m 6 x 2 vô nghiệm. Tổng các phần tử trong S bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 35. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình mx 2 nghiệm. A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 36. Bất phương trình m 2 A. m

B. m

9 x

C. m

Câu 37. Bất phương trình 4m 2 x 1 A. m

B. m

Câu 38. Bất phương trình m 2

9 . 4 x 1

D. m

9 x 12m nghiệm đúng với mọi x khi

C. m

9 . 4

D. m

3m nghiệm đúng với mọi x khi

D. m . Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình x m m A. m

B. m

tập nghiệm là A. m

C. m

B. m

C. m

D. m

A. m

C. m

B. m

C. m

Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m x A. m

B. m

C. m

4 có

B. m

2 và m

C. m

x có nghiệm.

D. m

3 có nghiệm.

D. m

Câu 43. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m 2 nghiệm. A. m 2 .

x 1 có tập

D. m

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m x A. m

1. B. m

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m x nghiệm là

m vô

m 1 6 x nghiệm đúng với mọi x khi

3. 2

D. m

6 x

1 có

Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m x 1 mx A. m 1. B. m 0 . C. m 0; m 1. D. m

m có nghiệm. .

Câu 45. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình mx nào sau đây là phần bù của tập S ?

2 . Hỏi tập hợp

A. 3;

B. 3;

3m với m

;3 .

Câu 46. Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2 x

1; A. m

1 có tập nghiệm là

. 3

B. m

C. m

D. m

Câu 47. Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 x

;3 .

3 x 1 có tập nghiệm là

A. m 1. B. m 1. C. m D. m 1. 1. Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx 4 0 nghiệm đúng với mọi x 8 . A. m

1 1 ; . 2 2

C. m

1 ; 2

1 . 2

B. m

;

D. m

1 ;0 2

1 . 2

Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m m 2 x 2 mx x 5 0 nghiệm đúng với mọi x 2018;2 .

để bất phương trình

7 7 7 . B. m . C. m . D. m 2 2 2 Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m 2 x 2 A. m

nghiệm x A. m

0 có

1;2 .

B. m

C. m

D. m

Vấn đề 4. HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 2 x 0 Câu 51. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình là: 2x 1 x 2 A. S

; 3.

B. S

;2 .

C. S

3;2 .

2x 1 3 Câu 52. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 4 3x 2 4 4 2; . ; . A. S B. S C. S 5 5 x

1 2

Câu 53. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình 3

A. S

;

1 . B. S 4

C. S

A. S

B. S

Câu 55. Tập S

2012 2018 ; . C. S 8 3

1 x

D. S

1 là:

; 2. x

5 2x 2 1 ;1 . 4

Câu 54. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình

D. S

là:

D. S

x 2017 2018 2 x là: 2 2012 ; . D. S 8

2018 ; 3

3 là tập nghiệm của hệ bất phương trình sau đây ? 2

2( x

1 .

2( x

1 .

Câu 56. Tập nghiệm S của bất phương trình A. S

3;5 .

B. S

3 x

5 3x 2 3x x

B. 8.

1 .

C. S

x 1

bằng: 11 . A. 2

2 x

3;5 .

Câu 57. Biết rằng bất phương trình

2( x

D. S

9 . 2

D. 5 7 3

5x x2

2 x

C. 28. 1 x x

3 . 2

A. m

2x x

A. m

11.

B. m

Câu 63. Hệ bất phương trình A. m

B. m

bằng:

6x 2

. Tổng nghiệm nguyên lớn nhất và 13 x

D. 7.

3 . 2

D. m

3 . 2

D. m

11.

3 có nghiệm khi và chỉ khi:

11.

C. m

5 2

D. 29.

C. m

3 x 6 Câu 62. Hệ bất phương trình 5 x m 2

có nghiệm khi và chỉ khi:

3 . 2

B. m

47 . 10

nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình bằng: A. 2. B. 3. C. 6. Câu 61. Hệ bất phương trình

D. 0.

Câu 59. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình

Câu 60. Cho bất phương trình

3;5 .

là:

C. 8.

B. 27.

1 .

3 có tập nghiệm là một đoạn a; b . Hỏi a

Câu 58. Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình

A. 21.

B. 4 .

2( x

là:

3;5 .

A. Vô số.

11.

có nghiệm khi và chỉ khi: C. m

D. m

Câu 64. Hệ bất phương trình A. m

B. m

Câu 65. Hệ bất phương trình A. m

1 . 3

B. 0

0 1 x

có nghiệm khi và chỉ khi:

C. m

m mx 1 2 có nghiệm khi và chỉ khi: m mx 2 2m 1 1 . 3

C. m

D. m

Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình

2x 1

có nghiệm

duy nhất. A. m

2 .

B. m

C. m

2 .

D. m

Câu 67. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình duy nhất. A. m 1 .

B. m

C. m

m x 6 x có nghiệm 3x 1 x 5 D. m

Câu 68. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình

2m có nghiệm duy nhất. 72 A. m . B. m 13

72 . 13

C. m

72 . 13

B. m

C. m

3 . 4 3x 4 x Câu 71. Hệ bất phương trình 1 2x m 5 . 2 2x 7 8x Câu 72. Hệ bất phương trình m 5 2x A. m

A. m

5 . 2

B. m

C. m 9 3x

B. m

3 x

3 ;m 4

4 mx

5 . 2

1 3

D. m

72 . 13

D. m

2m x

có nghiệm

vô nghiệm khi và chỉ khi:

C. m 1

Câu 70. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình duy nhất. 5 . A. m 2

D. m

Câu 69. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình duy nhất. A. m 1.

5 . 2

D. m

5 . 2

vô nghiệm khi và chỉ khi: C. m

D. m

Câu 73. Hệ bất phương trình

x 2m

A. m

72 . 13

B. m

Câu 75. Hệ bất phương trình A. m

B. m

BAØI 3.

vô nghiệm khi và chỉ khi:

5x C. m

72 . 13

D. m

72 . 13

x 1 2

mx A. m

72 . 13

3x Câu 74. Hệ bất phương trình

x 1 m

9 vô nghiệm khi và chỉ khi:

2 x

C. m

2 x

5 x

x 1

D. m

vô nghiệm khi và chỉ khi:

C. m

D. m

DAÁU CUÛA NHÒ THÖÙC BAÄC NHAÁT

I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1. Nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f x a

b trong đó a, b là hai số đã cho,

2. Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí Nhị thức f x

b ; a

b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng

, trái dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng

b . a

b a

f x

;

trái dấu với a 0 cùng dấu với a

Minh họa bằng đồ thị

II – XÉT DẤU TÍCH, THƢƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT 90

Giả sử f x là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f x ta suy ra được dấu của f x . Trường hợp f x là một thương cũng được xét tương tự.

III – ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH Giải bất phương trình f x

0 thực chất là xét xem biểu thức f x nhận giá trị dương với

những giá trị nào của x (do đó cũng biết f x nhận giá trị âm với những giá trị nào của x ), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f x .

1. Bất phƣơng trình tích, bất phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu thức Ví dụ. Giải bất phương trình

1 1 x

Giải. Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho 1 1 x 1 1 0 0 1 x 1 x 1 x x Xét dấu biểu thức f x 1 x Ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là 0

2. Bất phƣơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ. Giải bất phương trình

Giải. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có 2x 1 neu 2x 1 0 2x 1 2 x 1 neu 2 x 1 0. Do đó, ta xét phương trình trong hai khoảng a) Với x

x 1 ta có hệ bất phương trình 2

Hệ này có nghiệm là

b) Với x

1 2 2x 1

1 2

1 2 . x 7

1 . 2

1 x 1 ta có hệ bất phương trình 2 2 2x 1

Hệ này có nghiệm là

hay

x x

1 2. 3

Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng

1 2

và

1 ;3 . 2 Kết luận. Bất phương trình đã cho có nghiệm là

Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng f x a và f x a với a 0 đã cho. Ta có f x

f x

a hoặc f x

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT Câu 1. Cho biểu thức f x

4. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f x

B. x

1 ; 2

Câu 2. Cho biểu thức f x

A. x

phương trình f x A. x

C. x

5;3 .

C. x

x x

1 1 ; . 3 3

C. x

;

1 3

9x 2

1 ; 3

phương trình f x

C. x

;

1 2

. ; 5

x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất

B. x

D. x

2;3 .

2x 1 x 3

1 3

B. x

;

D. x

1 1 ; . 3 3

1 ; 3

0 là

1 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất

0 là

Câu 6. Cho biểu thức f x

1. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f x

Câu 5. Cho biểu thức f x

1 ;1 . 2

2 3

Câu 4. Cho biểu thức f x

A. x

B. x

. 2;

A. x

D. x

0 là

3; ;0

;2 .

5 3 x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất

D. x

phương trình f x

0;2

C. x

0 là

Câu 3. Cho biểu thức f x

A. x

0 là

. 1 3x

B. x

;

D. x

1 ;1 . 2

1 2

. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f x

0 là

A. x

;2 .

B. x

;2 . x

Câu 7. Cho biểu thức f x phương trình f x A. x

3;1

B. x

2;4 .

0;1

x x x

5 1 x

; 3

. 1;2 .

2;2

. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất

B. x

1;5 .

D. x

1;5 .

4 x 12 . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương x 2 4x

B. x

3;4 .

D. x

3;4 .

Câu 11. Cho biểu thức f x trình f x

2 x

x 1

2. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương

0 là ; 1.

C. x

0 là

0;3

A. x

0 là

Câu 10. Cho biểu thức f x

C. x

. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất

B. x

3;5 .

trình f x

D. x

phương trình f x

A. x

8 2 4

Câu 9. Cho biểu thức f x

C. x

3;1

D. x

2;4 .

D. x

0 là

; 2

A. x

. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất

1;2 .

phương trình f x

C. x

Câu 8. Cho biểu thức f x

A. x

3 2

0 là

; 3

C. x

B. x

4; 1 .

Câu 12. Cho biểu thức f x trình f x

D. x 1

; 4

2 x . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương 3x 2

0 là

A. x

2 ;1 . 3

B. x

;

2 3

C. x

2 ;1 . 3

D. x

2 ; 3

Câu 13. Cho biểu thức f x phương trình f x A. x

;

3 1

. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất

0 là

11 1 ; 5 3

C. x

11 5

B. x

1 ;2 . 3

D. x

1 x

Câu 14. Cho biểu thức f x phương trình f x

0 là

A. x

12; 4

3;0 .

C. x

;

11 5

2 x

3 4

;

3 x x

thỏa mãn bất phương trình f x

11 5

1 ;2 . 3

11 1 ; 5 3

D. x

Câu 15. Cho biểu thức f x

. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất

B. x

1 ;2 . 3

A. 1.

11 1 ; 5 3

;

11 5

1 ;2 . 3

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của x

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Vấn đề 2. BẤT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x B. 5.

A. 3. Câu 17. Tập nghiệm S A. x

4 x

C. x

4 5x

0 có dạng a; b . Khi đó b a bằng

8 1 x

D. không giới hạn.

C. 9.

4;5 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? 0.

B. x

4 5x

D. x

4 x

Câu 18. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x A. 1.

Câu 19. Tập nghiệm S A. x x

25 5

0 là

D. 4.

0;5 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây ? B. x x

C. x x

D. x x

2 x

0 là

D. 5.

C. 4.

Câu 21. Tập nghiệm S

3 x 1

Câu 20. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x x A. 2. B. 3.

5;7 là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?

A. x

3 x

5 14

B. x

3 x

5 14

C. x

3 x

5 14

D. x

3 x

5 14

Câu 22. Hỏi bất phương trình 2

x x

1 3

0 có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương

? A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 23. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình 3 x 6 x 2 x 2 x 1 0 là A.

Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 4 A. Một khoảng C. Hợp của ba khoảng.

D. 8.

x 3

0 là

B. Hợp của hai khoảng. D. Toàn trục số.

Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x A. x

B. x

C. x

x x

D. x

0 là 2.

Vấn đề 3. BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 2 x 2x 1

Câu 26. Bất phương trình A. S

1 ;2 . 2

0 có tập nghiệm là

1 ;2 . 2

B. S

Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình

x x x

1;2

B. S

C. S

1;2

D. S 3

A. S C. S

1;2 .

C. S

; 2 2;1

A. S C. S

; 3 3; 1

2; 4 x

2 1

Câu 31. Bất phương trình

. 3 1 x

2;3 .

1;2

1;2 .

D. S

1;2 .

Câu 30. Bất phương trình

1 ;2 . 2

0 là

B. S

; 1

D. S

1 có tập nghiệm là

Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình A. S

A. S

Câu 28. Bất phương trình

1 ;2 . 2

C. S

x2 x 3 x2 4

; 1

1 là

B. S

2;1

D. S

2;1

0 có tập nghiệm là

B. S D. S

; 3 3;1

1;1 . 1;

5 có tập nghiệm là 2x 1

A. S

;

1 2

2 ;1 . 11

B. S

1 2 ; 2 11

C. S

;

1 2

2 ;1 . 11

D. S

;

2x x 1

Câu 32. Bất phương trình

1 x

1; 1 2

. 2 ;1 . 11

2 có tập nghiệm là

A. S

1 3

B. S

; 1

C. S

1 3

D. S

; 1

1 ;1 . 3

1 x

Câu 33. Bất phương trình

2 x

3 4

có tập nghiệm là

A. S

; 12

4;3

B. S

12; 4

3;0 .

C. S

; 12

4;3

D. S

12; 4

3;0 .

Câu 34. Bất phương trình

1 1

có tập nghiệm S là

A. T

; 1

0;1

1;3 .

B. T

1;0

C. T

; 1

0;1

1;3 .

D. T

1;0

x 4 x2 9

Câu 35. Bất phương trình A. x

B. x

2 x

4x 3

có nghiệm nguyên lớn nhất là

C. x

D. x

Vấn đề 4. BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI Câu 36. Tất cả các giá trị của x thoả mãn x A.

B. 0

A. 1

Câu 38. Bất phương trình 3 x A.

;

2 3

;

2 . 3

x 4

;

1 3

D. 0

C. 1

2 có nghiệm là 2 ;2 . 3

D. 2;

1 là

Câu 39. Bất phương trình 1 3 x A.

1 là C. x

Câu 37. Nghiệm của bất phương trình 2 x

2 có nghiệm là B. 1;

1 . 3

;

Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình x A. 3;

;3 .

1 . 3

1 là 3;3 .

Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình 5 x tổng P A. 1.

;

6 có dạng S

4 C. 0.

A. 1.

B. 2.

C. 4.

Câu 43. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1 A. 2.

B. 4.

3 ;

Câu 45. Bất phương trình x

1 . 3

4 là

2 ;4 . 5

;4 .

B. 7;

1 . 3

; 7

1 ; 3

2017;2017 thỏa mãn bất phương trình

3x ?

A. 2016.

B. 2017.

C. 4032.

Câu 47. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x A. 5. B. 8.

C. 11.

Câu 48. Bất phương trình 3 x A.

2 ?

4 có nghiệm là

1 . 3

x 1

1 có nghiệm là

2 . 5

2 x

D. 8.

Câu 46. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x trong

. Tính

D. 3.

C. 6.

Câu 44. Bất phương trình : 3 x

D. 3.

Câu 42. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình

B. 2.

A. 4;

;

7 . 4

1 ; 2

C. S

;

4 là

3 có nghiệm là

1 7 ; . 2 4

. B. S 1 2

D. 16.

Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình A. S

D. 4034.

; 2 .

x 1 x

1 ; 2

1 là

2 1 ; 2

D. S

. 2;

1 . 2

Câu 50. Nghiệm của bất phương trình

A. 0;1 .

; 2

2 là

B. 5.

Câu 52. Bất phương trình x

x 1

1 ; 2

1;2 .

B. 2;

5 2

B. 2.

1 là

9 ; 2

3 là ; 1.

2;1 .

10 là x 1 C. ba khoảng.

Câu 55. Số nghiệm nguyên của bất phương trình

BAØI 4.

D. 0.

B. hai khoảng.

A. 1.

3 có tập nghiệm là 2 3 ; . C. 2

Câu 54. Tập nghiệm của bất phương trình A. một khoảng.

C. 2.

Câu 53. Tập nghiệm của bất phương trình x A.

D. 0;1 .

Câu 51. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x A. 3.

2 3x 1

D. toàn trục số.

1 là

C. 0.

D. 3.

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN

I – BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là

ax ax

by c; ax

1 by

c; ax

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình 1 được gọi là miền nghiệm của nó. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax by c như sau (tương tự cho bất phương trình ax by c )

Bƣớc 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng Bƣớc 2. Lấy một điểm M 0 x 0 ; y0 không thuộc Bƣớc 3. Tính ax 0

by0 và so sánh ax 0

Bƣớc 4. Kết luận Nếu ax 0 by0 c thì nửa mặt phẳng bờ Nếu ax 0

(ta thường lấy gốc tọa độ O )

by0 với c. chứa M 0 là miền nghiệm của ax 0

c thì nửa mặt phẳng bờ

by0 ax 0 by0 c. Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax 0 nghiệm của bất phương trình ax 0 by0 c.

: ax

by0

không chứa M 0 là miền nghiệm của

c bỏ đi đường thẳng ax

Ví dụ. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2 x

c là miền

Giải Vẽ đường thẳng

: 2x

Lấy gốc tọa độ O 0;0 , ta thấy O

và có

chứa gốc tọa 2.0 0 3 nên nửa mặt phẳng bờ độ O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình).

III – HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Tương tự hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x , y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 3x y 6 x y 4 Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình . x 0 y 0 Giải. Vẽ các đường thẳng d1 : 3 x y 6 d2 : x

d2 : x

d2 : y

Vì điểm M 0 1;1 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt

phẳng bờ

d1 ,

d2 ,

d3 ,

không chứa điểm

M 0 . Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI , IC, CO, OA ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.

IV – ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. 2 x 2

B. x 2

Câu 2. Cho bất phương trình 2 x sau:

C. x

D. x

0 (1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định

A. Bất phương trình 1 chỉ có một nghiệm duy nhất. B. Bất phương trình 1 vô nghiệm. C. Bất phương trình 1 luôn có vô số nghiệm. D. Bất phương trình 1 có tập nghiệm là

Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình: 3 x

2 y

4 x

3 là nửa mặt phẳng

chứa điểm: A. 3;0 .

B. 3;1 .

C. 2;1 .

Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình: 3 x

D. 0;0 .

4 y

3 là nửa mặt phẳng chứa

điểm: A. 0;0 .

4;2 .

Câu 5. Miền nghiệm của bất phương trình

2;2 .

2 y

5;3 .

2 1 x là nửa mặt phẳng không

chứa điểm nào trong các điểm sau? A. 0;0 .

B. 1;1 .

C. 4;2 .

D. 1; 1 .

Câu 6. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình: x 4 y 5 0

5;0 .

Câu 7. Điểm A A.

C. 3x

C. 0;0 .

D. 1; 3 .

1;3 là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:

2y 4 y

2;1 .

B. x D. 2 x

Câu 8. Cặp số 2;3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?

100

A. 2 x – 3 y –1 C. 4 x

3y .

Câu 9. Miền nghiệm của bất phương trình x nào, trong các hình vẽ sau?

B. x – y

D. x – 3 y

2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ

2 x

B. y

x O

C. D. Câu 10. Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau? y

3 x

2 O

-3

A. 2 x

B. 2 x

C. x

D. x

Vấn đề 2. HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

101

Câu 11. Cho hệ bất phương trình

. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền

nghiệm của hệ bất phương trình? B. N –1;1 .

A. M 0;1 .

Câu 12. Cho hệ bất phương trình

D. Q –1;0 .

C. P 1;3 .

5y 1

0 0 . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền 0

nghiệm của hệ bất phương trình? A. O 0;0 .

B. M 1;0 .

C. N 0; 2 .

Câu 13. Miền nghiệm của hệ bất phương trình

x 2 x

y 3 0

1 2

D. P 0;2 .

0 chứa điểm nào trong các điểm

3y 2

sau đây? A. O 0;0 .

B. M 2;1 .

C. N 1;1 . 3x

Câu 14. Miền nghiệm của hệ bất phương trình

D. P 5;1 .

chứa điểm nào trong các điểm sau

đây? A. O 0;0 .

B. M 1;2 .

C. N 2;1 .

D. P 8;4 .

Câu 15. Điểm M 0; 3 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây? A. C.

3 12 x

12 x

Câu 16. Cho hệ bất phương trình

x 2x

y 3y

0 2

3 12 x

12 x

. Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc

miền nghiệm của hệ bất phương trình? A. O 0;0 .

B. M 1;1 .

C. N

D. P

1;1 .

Câu 17. Miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hình vẽ sau?

102

1; 1 . 0 2 là phần không tô đậm của hình vẽ 3

Câu 18. Miền nghiệm của hệ bất phương trình

y 1

2 x

0 là phần không tô đậm của hình vẽ

nào trong các hình vẽ sau? y

1 1

-3

x -3

1 -3

103

C. D. Câu 19. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau? y

1 x

O 1 -1

0 y

. 1

x 2x

0 y

. 1

0 y

. 1

x 2x

0 y

. 1

Câu 20. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau? y

1 x

-2 2

0 2

Vấn đề 3. BÀI TOÁN TỐI ƢU Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T x , y

by với

x; y

nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước. Bƣớc 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác. Bƣớc 2: Tính giá trị của F tương ứng với x ; y là tọa độ của các đỉnh của đa giác. Bƣớc 3: Kết luận: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. Câu 21. Giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F x ; y

A. Fmin

104

y – x trên miền xác định bởi hệ

2 4 là 5

B. Fmin

C. Fmin

D. Fmin

Câu 22. Biểu thức F x ; y

y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện

tại điểm M có

toạ độ là: A. 4;1 .

8 7 ; . 3 3 x

x; y

40000 x

A. Pmax

2 y 100

Câu 23. Cho x , y thoả mãn hệ

2 2 ; . 3 3

0 0

. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức

30000 y.

2000000. B. Pmax

2400000.

C. Pmax

Câu 24. Giá trị lớn nhất Fmax của biểu thức F x ; y 0

y 1

2 y 10

D. 5;0 .

1800000. x

D. Pmax

1600000.

2 y trên miền xác định bởi hệ

A. Fmax

là

0 0

B. Fmax

C. Fmax

10.

Câu 25. Giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F x ; y

D. Fmax

12.

3 y trên miền xác định bởi hệ

là

A. Fmin

B. Fmin 26. C. Fmin 32. D. Fmin 67. 23. Câu 26. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. ● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu; ● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất? A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo. B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo. C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo. D. 4 lít nước cam và 6 lít nước táo. Câu 27. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm ● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; ● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất? A. 30 kg loại I và 40 kg loại II. B. 20 kg loại I và 40 kg loại II. C. 30 kg loại I và 20 kg loại II. D. 25 kg loại I và 45 kg loại II.

105

Câu 28. Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B . Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A . Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng. A. 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin B. B. 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B. C. 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin B. D. 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B. Câu 29. Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B 1, đựng cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau. Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm. Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất? A. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm. C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm. Câu 30. Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản phẩm B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ và máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất. A. Sản xuất 9 tấn sản phẩm A và không sản xuất sản phẩm B. B. Sản xuất 7 tấn sản phẩm A và 3 tấn sản phẩm B. 10 49 tấn sản phẩm A và tấn sản phẩm B. 3 9 D. Sản xuất 6 tấn sản phẩm B và không sản xuất sản phẩm A.

C. Sản xuất

BAØI 5.

DAÁU CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI

I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng

f x

106

ax 2

trong đó a, b, c là những hệ số, a

2. Dấu của tam thức bậc hai Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây Định lý

ax 2

Cho f x

0 ,

4 ac.

Nếu

0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x

Nếu

0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x

b . 2a

Nếu

0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số a khi x

a khi x1

x 2 trong đó x1 , x 2 x1

x1 hoặc x

x 2 , trái dấu với hệ số

x 2 là hai nghiệm của f x .

Chú ý Trong định lí trên, có thể thay biệt thức

4ac bằng biệt thức thu gọn

ac.

Minh họa hình học Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau

II – BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Bất phƣơng trình bậc hai Bất phương trình bậc hai ẩn x

ax a

0, ax

là bất phương trình dạng ax 2

bx c 0 (hoặc 0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho,

2. Giải bất phƣơng trình bậc hai Giải bất phương trình bậc hai ax 2

f x

bx c 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a 0 ) hay trái dấu với hệ số a (trường

107

hợp a

0 ).

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

ax 2

Câu 1. Cho f x a

0 0

ax 2

0 0

ax 2

0 0

2x 2

Câu 8. Tam thức bậc hai f x A. x C. x

B. 3;

;2 .

0 0

0 . Khi đó mệnh đề nào đúng? .

0, x

D. x

;2 .

2;3 .

;1 .

2 nhận giá trị không âm khi và chỉ khi

B. x

C. x

D. x

Câu 10. Số giá trị nguyên của x để tam thức f x B. 4.

5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi

A. x

108

C. x

6 nhận giá trị dương khi và chỉ khi

5 1 x

là

0, x

C. x

Câu 9. Tam thức bậc hai f x

A. 3.

4ac

là

B. x 5

0, x

5 nhận giá trị dương khi và chỉ khi

5;1 . ;

là D.

D. Tồn tại x để f x

Câu 7. Tam thức bậc hai f x A. x

0, x

B. f x

B. x

0 có

c a

Câu 6. Tam thức bậc hai f x 0;

0 . Điều kiện để f x

c a

C. f x không đổi dấu.

A. x

là

0 . Điều kiện để f x

c a

0, x

0 . Điều kiện để f x

c a

0 bx

ax 2

Câu 5. Cho f x A. f x

Câu 4. Cho f x A.

0 . Điều kiện để f x

c a 0

Câu 3. Cho f x A.

Câu 2. Cho f x A.

1;2 . 1;2 . 2

C. 5.

9 nhận giá trị âm là

D. 6.

Câu 11. Tam thức bậc hai f x A. Dương với mọi x

B. Âm với mọi x

C. Âm với mọi x

8 5 3:

3 x

D. Âm với mọi x

3;1 2 3 .

Câu 12. Tam thức bậc hai f x

2 x2

5 4 2 x

;1 .

3 2

A. Dương với mọi x

B. Dương với mọi x

C. Dương với mọi x

4; 2 .

D. Âm với mọi x

Câu 13. Cho f x

3 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:

0, x

C. f x

0, x

Câu 14. Dấu của tam thức bậc 2: f x 0 với 2

B. f x

0 với –3

C. f x

0 với 2

D. f x

0 với –3

–x

–2 và f x

x x

0, x

1;3

D. f x

0, x

1;3

5 x – 6 được xác định như sau:

2 hoặc x

–2 và f x 2x 2

2 hoặc x

là: C. 2.

4; g x

–2 .

–3 hoặc x

0 với x 3x

–3 hoặc x

0 với x 0 với x

3 và f x

B. f x

0 với x

3 và f x

Câu 15. Cho các tam thức f x thức đổi dấu trên A. 0. B. 1.

A. f x

3; 2 .

–2 . 3x

4; h x

3 x 2 . Số tam

D. 3.

Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình: 2 x – 7 x –15 0 là: 2

3 2

A. –

;–

; 5

3 B. – ;5 . 2

3 ; 2

Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình: – x 2 A.

; 1

; 7

Câu 18. Giải bất phương trình A. S

B. S

7 0 là:

1;7 .

7;1 .

C. S 2

C. 1;2 .

D. S

0 là:

B. 2;

Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình A. 1;4 . B. 1; 4 .

3 . 2

0 .

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình x A.

. ;1 .

0 là

109

Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình

2x 2

1 x

2 ;1 . 2

;

x 1

0 là

Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình 6 x 2 A.

1 1 ; . 2 3

;

1 2

1 ; 3

. 0 là:

2 2

1 1 ; . 2 3

;

1 2

1 ; 3

Câu 23. Số thực dương lớn nhất thỏa mãn x 2

x 12 0 là ? A. 1. B. 2. C. 3. Câu 24. Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là ? 2 2 A. 3x B. 3x x 1 x 1 0. C.

x 1

D. 3x

x 1

D. 4.

Câu 25. Cho bất phương trình x 8 x 7 0 . Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình. A. B. 8; C. D. 6; ;0 . . ;1 . . 2

Vấn đề 2. ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Câu 26. Giải bất phương trình x x A. x

B. 1

Câu 27. Biểu thức 3x 2 A. x

;

10 x

2 x2

3 4x

2. C. x

D. x

2;1

5 âm khi và chỉ khi

5 . 4

B. x

;

1 3

5 ;3 . 4

1 5 1 ; 3; . ;3 . D. x 3 4 3 Câu 28. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương? A. x 2 0 và x 2 x 2 0. B. x 2 0 và x 2 x C. x

C. x

0 và x 2 x

Câu 29. Biểu thức 4

x2 x2

D. x

3 x2

0 và x 2 x

9 âm khi

A. x

1;2 .

B. x

C. x

D. x

110

3; 2

; 3

1;2 . .

Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình x 3 A. x

4; 1

C. x

3x 2

B. x

0 là

4; 1

D. x

; 4

1;2 .

Vấn đề 3. ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 11x 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi x 2 5x 7

Câu 31. Biểu thức f x

A. x

3 ; 11

C. x

;

. 3 . D. x 11

3 . 11

Câu 32. Tập nghiệm S của bất phương trình A. S C. S

;

3 4

3 ;4 4

3 ;5 . 11

B. x

x 7 19 x

0 là

4;7 .

B. S

3 ;4 4

D. S

3 ;7 4

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn A. 0.

B. 2.

x 3 x2 4

1 x

C. 1.

2x ? 2x x 2

D. 3.

Câu 34. Tập nghiệm S của bất phương trình

2x 7x 7 2 x 3 x 10

1 là

A. Hai khoảng.

B. Một khoảng và một đoạn.

C. Hai khoảng và một đoạn.

D. Ba khoảng.

Câu 35. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình A. 0.

B. 2.

C. 1.

x2 5x 6

D. 3.

Vấn đề 4. ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Câu 36. Tìm tập xác định D của hàm số y A. D

;

1 . 2

C. D

;

1 2

2x 2

B. D

D. D

1 ;2 . 2

111

Câu 37. Giá trị nguyên dương lớn nhất để hàm số y A. 1.

B. 2.

C. 3.

Câu 38. Tìm tập xác định D của hàm số y A. D

B. D

x 2 xác định là

5 4x

;1 .

D. 4.

5 x2

15 7 5 x

C. D 3

Câu 39. Tìm tập xác định D của hàm số y 4

5;1 . x

D. D

A. D

\ 1; 4 .

B. D

4;1 .

C. D

4;1 .

D. D

Câu 40. Tìm tập xác định D của hàm số y

3x A. D

\ 1;

C. D

;

1 . 3

1 3

Câu 41. Tìm tập xác đinh D của hàm số y A. D

4; 3

C. D

; 3

Câu 42. Tìm tập xác định D của hàm số y A. D

5 ; 2

B. D

;

5 . 2

Câu 43. Tìm tập xác định D của hàm số f x A. D C. D

C. D

D. D

;

1 3

B. D

D. D

4; 3

C. D

1 ; 2

D. D

3 3x 1. x 2 2 x 15

3;4 .

x 2 5x 4 . 2 x 2 3x 1 B. D

5 ; 2

5;3

; 4

5 2x

D. D

; 5.

1 ; 2

5; 3

4; 1

B. D

Câu 45. Tìm tập xác định D của hàm số f x

112

1 ;1 . 3

B. D

Câu 44. Tìm tập xác định D của hàm số y A. D

; 4

D. D x2

5; 5 .

25 10 5.

4; x

1 . 2 12

2 2.

1 . 2

;

5 . 2

A. D

5;4 .

C. D

; 4

B. D

; 5

D. D

; 5

Vấn đề 5. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI VÔ NGHIỆM – CÓ NGHIỆM – CÓ HAI NGHIỆM PHÂN BIỆT Câu 46. Phương trình x 2 A. m

1 x

0 vô nghiệm khi và chỉ khi

B. 3

3 hoặc m

C. m

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình sau vô nghiệm

2m 2

1 x2

4mx

3 m 3. 5 Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

A. m

B. m

2 x2

B. m

Câu 49. Phương trình mx 2 A. 0

3 x

C. 0

4 x2

2 m

2 x

0 vô nghiệm ? m

D. 0

0 vô nghiệm khi và chỉ khi

3 C.

Câu 51. Cho tam thức bậc hai f x

3 . 5

D. m

0 vô nghiệm khi và chỉ khi

B. m

2 2m

2mx

Câu 50. Phương trình m 2 A. m

3. Với giá trị nào của b thì tam thức f x có

nghiệm ? A. b

2 3;2 3 . B. b

C. b

; 2 3

2 3;

2(m

2) x

Câu 52. Phương trình x 2 A.

2 3;2 3 .

D. b 2m

2 3;

0 ( m là tham số) có nghiệm khi

; 2 3

Câu 53. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

2x 2 A. 3.

2 m

2 x

B. 4.

Câu 54. Tìm các giá trị của m để phương trình m

0 có nghiệm ?

C. 2.

5 x

D. 1.

4 mx

0 có nghiệm.

113

A. m Câu

55. Tìm tất cả m 1 x2 2 m 3 x

A. m

10 3

28.

số

2 x

sao

B. m

m 1 x2 A. m

B. 2

Câu 59. Phương trình m 1 x A. m

2 x

3 2m C.

\ 0 .

C. m

2; 2 \ 1 .

sao cho phương trình

3 . 4

D. m

trình

28.

3 m 1. 4 Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình .

phương

1 đổi dấu 2 lần là

C. 0 m 28. D. m 0. Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 1 x2 m 1 x m 0 có nghiệm ? 3 A. m

10 3 . m 5

cho

0 hoặc m

B. m

m 1

giá trị thực của tham m 2 0 có nghiệm.

B. m

0 hoặc m

10 3.

m m

Câu 56. Các giá trị m để tam thức f x A. m

0 có hai nghiệm phân biệt ? 1

0 có hai nghiệm phân biệt khi B. m

2; 2 .

D. m

2; 2 \ 1 .

Câu 60. Giá trị nào của m thì phương trình m – 3 x 2

3 x– m

1 0 có hai nghiệm

phân biệt ? A. m

;

C. m

3 ; 5

3 5

\ 3 .

B. m

3 ;1 . 5

D. m

\ 3 .

Vấn đề 6. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC Câu 61. Tìm m để phương trình x 2 A. m 6. B. m 6.

3 0 có hai nghiệm dương phân biệt. C. 6 m 0. D. m 0.

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m m 2 x 2 2mx m 3 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. 2

C. m

0 hoặc

3 hoặc 2

B. m

Câu 63. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để x 2

114

sao cho phương trình m

2 m

1 x

0 có hai

nghiệm âm phân biệt. A. m

C. m

5 9

1 hoặc m

D. 1

Câu 64. Phương trình x

A. m

2 ; 3

C. m

2 5 41 ; . 3 4

2 x

0 có hai nghiệm không âm khi

B. m

41 4

D. m

Câu 65. Phương trình 2 x 2

m 1 x

2m 2

;

41 4

0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu

3m 5

khi và chỉ khi A. m

1 hoặc m

5 . 2

C. m

1 hoặc m

5 . 2

Câu 66. Phương trình m 2 A. m C.

2 x2

2m 2 x

1;2 .

0 có hai nghiệm trái dấu khi

5 B. m

D. m

Câu 67. Giá trị thực của tham số m để phương trình x 2

2 m 1 x

0 có hai

nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là A. 0

B. 0

C. 1

Câu 68. Với giá trị nào của m thì phương trình m 1 x 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện x1 A. 1

B. 1

C. m

2 m

A. m

C. 2

m 6.

1 x1

1 x

0 có hai

m 1 x

2mx

1 x 22

Câu 70. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 1 x12

0 có hai

3 ?

hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 khác 0 thỏa mãn

D. m

1 x2

x1 x 2

Câu 69. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình m nghiệm phân biệt x1 , x 2 khác 0 thỏa mãn

2 x

0 có

115

A. m

; 2

2; 1

C. m

; 2

2; 1 .

B. m

; 2

D. m

11 . 10

Vấn đề 7. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM – CÓ NGHIỆM – NGHIỆM ĐÚNG Câu 71. Tam thức f x A.

11 . 4

3x 2 11 4

Câu 72. Tam thức f x A. m

\ 6 .

2 x

C. m

2 x

B. 0

28.

Câu 75. Bất phương trình x

2 x

28.

C. m

D. 0

C. m

4 hoặc m

Câu 76. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

A. m

; 2

2 x

1 . 2 4.

Câu 80. Tam thức f x

2m 1 x

0 vô nghiệm khi và chỉ khi:

B. m

2;2 .

Câu 79. Tam thức f x

116

1 . 2 D. Không tồn tại m.

Câu 78. Tam thức f x

A. m

28.

B. m

Câu 77. Bất phương trình x 2

A. m

1 . 2 .

C. m

0 có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi:

C. m

1 không âm với mọi x khi:

4 hoặc m

A. m

D. m

A. m

nghiệm là

1 11 .

m – 4 âm với mọi x khi:

11 4

4 không dương với mọi x khi:

4 dương với mọi x khi:

14 .

Câu 74. Tam thức f x A. m

–2 x 2

14 hoặc m m

B. m

Câu 73. Tam thức f x A. m

2 2m 1 x

; 2

D. m

m2 B. m

m B. m

mx 2

2 x2

2 m 1 x

1 . 2

4 x2

C. m

8 x

2;2 .

1 dương với mọi x khi:

C. m

1 . 2

D. m

1 . 2

5 không dương với mọi x khi: 4.

3 âm với mọi x khi:

D. m

0 có tập

A. m

; 4 .

C. m

; 4

Câu 81. Tam thức f x A. m

2 x2

m B. m

2 m

; 4 .

D. m

; 4

2 x

Câu 82. Bất phương trình 3m

B. m

C. m

1 x

3 không âm với mọi x khi: D. m

0 có nghiệm đúng với mọi x khi

và chỉ khi: 1 . 3

A. m

1 . 3

B. m

C. m

D. m

Câu 83. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

1 3

2 x

2 m

2 x 1

1 3

0 có tập nghiệm là

4 x

2 x

để bất phương trình

1 . 3 Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

D. m

C. m

15.

để bất phương trình

0 vô nghiệm.

A. m

;

10 3

B. m

C. m

;

10 3

D. m

10 3

;

Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f x

A. m

Câu 86. Hàm số y

20 9

1 x2

m 2 m

4 x2

C. m

0. 1 x

4 x

1 xác định với mọi x

20 . 9

D. m

4 có tập xác định là D

1 m 3. B. 1 m 3. C. 1 m 3. Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để biểu thức A.

f x

5 5 5 B. m C. m . . . 8 8 8 Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2 x 2 2 m 2 x m 2 0 có nghiệm.

A. m

A. m C. m

B. m

D. m

1 4m 2

1 x 2

khi D. m

4 m

luôn dương.

5 . 8 để bất phương trình

D. m

0;2 .

Câu 89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 2 x 2 2 m 2 x m 2 0 có nghiệm.

để bất phương trình

117

A. m

B. m

C. m

D. m

0;2 .

Câu 90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mx 2 2 m 1 x m 2 0 có nghiệm. A. m

B. m

;

1 . 4

1 ; 4

C. m

để bất phương trình

D. m

\ 0 .

Vấn đề 8. HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 91. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình A. S

1;2 .

B. S

1;3 .

B. 3

x2 x

D. S

A. x

Câu 97. Hệ bất phương trình

4 3

118

x x

là:

1;2 .

D. S

1;1 .

2 . 3

D. x

2x 2 2

5x 3x

D. 3.

1)(3 x 2

2. 1 hay 1

C. 2. 2

là:

C. x

B. 1.

Câu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn A. 0.

1; 4 .

C. S

1 . 3

B. x

3x 2 3x

D. 3

2;3 .

7. 3

C. S

Câu 95. Giải hệ bất phương trình

B. S

1 .

B. S

D. S

là:

11x

A. S

Câu 94. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình

1;2 .

C. 4

Câu 93. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình

A. S

C. S

Câu 92. Tìm x thỏa mãn hệ bất phương trình A. x

x 2

4 3

có nghiệm là:

4 hoăc 3

1 hoăc 1

x x

1. 3.

Câu 98. Tập nghiệm của hệ bất phương trình A. 1;2 .

là:

C. (– ;1) (2;

B. 1;2 .

Câu 99. Hệ bất phương trình nào sau đây vô nghiệm? A.

x2 2x

3 x

2x 2

0 1

x2 2x

0 1

Câu 100. Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình 2 x

A. 2.

8 . 3

A. m

B. m

C. m

0 2

C. m

3 4

m 12

B. m

0 0 là: 0

8 . 3

D. m

có nghiệm khi:

Câu 103. Hệ bất phương trình A. m

Câu 102. Hệ bất phương trình A. m

C. 4. D. 5. 1 vô nghiệm khi và chỉ khi: 0 2

B. 3.

Câu 101. Hệ bất phương trình

có nghiệm khi và chỉ khi:

C. m

D. m

3x mx 6 2 x x 1 B. 3 m 6.

Câu 104. Tìm m để A.

6 nghiệm đúng với

C. m

Câu 105. Xác đinh m đê với moi x ta có A.

5 3

B. 1

Câu 106. Hệ bất phương trình A. m

B. m

Câu 107. Tìm m để hệ

A. 0

5 2

. B. 0

5 . 3

x 1 x

0 2mx

1 m

1 x

5 2

D. m

1 2

có nghiệm khi và chỉ khi:

C. m

x 5x m 2 2x 3x 2 5 C. m . 3

có nghiệm.

0 2

119

C. 0

5 2

. D. 0

5 2

Câu 108. Tìm m sao cho hệ bất phương trình A.

3 . 2

B. m

3 . 2

m 1 x

C. m

0 2

có nghiệm. D. m

Câu 109. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình

1. 10 x 16

3m 1 2

D. m

1 . 32

vô

nghiệm. A. m

1 . 5

B. m

1 . 4

Câu 110. Cho hệ bất phương trình

x2 x

2(a 1) x 6x

nghiệm, giá trị thích hợp của tham số a là: A. 0 a 2 . B. 0 a 4 .

120

1 . 11

C. m

0 2

. Để hệ bất phương trình có

C. 2

D. 0

CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC

5 BAØI 1.

CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC

I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác + Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta A quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương. Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B. Với hai điểm A , B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm þ

đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB .

2. Góc lượng giác þ

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD . Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung

lượng giác CD . nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD.

O C

Kí hiệu góc lượng giác đó là OC, OD .

3. Đường tròn lượng giác

B 0;1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A 1;0 , A '

+ A'

1;0

A 0;1

1;0 , B 0;1 , B ' 0; 1 .

Ta lấy A 1;0 làm điểm gốc của đường tròn đó.

B ' 0; 1

Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A ).

II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Độ và radian a) Đơn vị radian Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.

123

b) Quan hệ giữa độ và radian 0

180

rad và 1rad

180

c) Độ dài của một cung tròn Trên đường tròn bán kính R , cung nửa đường tròn có số đo là Vậy cung có số đo

rad và có độ dài là

rad của đường tròn bán kính R có độ dài

R .

2. Số đo của một cung lượng giác þ

Số đo của một cung lượng giác AM ( A þ

M ) là một số thực âm hay dương.

Kí hiệu số đo của cung AM là sđ AM . Ghi nhớ Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2 . Ta viết þ

sđ A M trong đó

k2 , k

là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A , điểm cuối là M .

3. Số đo của một góc lượng giác Số đo của góc lượng giác OA, OC là số đo của cung lượng giác AC tương ứng. Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A 1;0 làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo

trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm

cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ AM

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. LÝ THUYẾT Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn định hướng '' ? A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng. B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng. D. Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng. Câu 2. Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là:

124

A. B. C. D.

Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều quay kim đồng hồ. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ. þ

Câu 3. Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác AB xác định: A. Một góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . B. Hai góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . C. Bốn góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . D. Vô số góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB . Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' góc lượng giác '' ? A. Trên đường tròn tâm O bán kính R 1 , góc hình học AOB là góc lượng giác. B. Trên đường tròn tâm O bán kính R 1 , góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác. C. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB là góc lượng giác. D. Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác. Câu 5. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường tròn lượng giác '' ? A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác. B. Mỗi đường tròn có bán kính R 1 là một đường tròn lượng giác. C. Mỗi đường tròn có bán kính R 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác. D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác. Vấn đề 2. ĐỔI TỪ ĐỘ SANG RADIAN VÀ NGƯỢC LẠI Câu 6. Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là? A. Cung có độ dài bằng 1. C. Cung có độ dài bằng đường kính. Câu 7. Khẳng định nào sau đây là đúng? A.

rad

10.

rad

600.

B. Cung tương ứng với góc ở tâm 60 0 . D. Cung có độ dài bằng nửa đường kính.

rad

1800.

C. 1 rad

1800.

D. 1 rad

rad

180

Câu 8. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 1 rad

10.

B. 1 rad

60 0.

180

Câu 9. Nếu một cung tròn có số đo là a0 thì số đo radian của nó là: A. 180 a.

180 . a

a . 180

180a

Câu 10. Nếu một cung tròn có số đo là 3a0 thì số đo radian của nó là: A.

a . 60

a . 180

180 . a

60 . a

125

Câu 11. Đổi số đo của góc 70 0 sang đơn vị radian. A.

7 . 18

Câu 12. Đổi số đo của góc 1080 sang đơn vị radian. A.

3 . 5

3 . 2

Câu 13. Đổi số đo của góc 450 32 ' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần nghìn. A. 0,7947.

B. 0,7948.

C. 0,795.

D. 0,794.

Câu 14. Đổi số đo của góc 40 25' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm. A. 0,705.

B. 0,70.

Câu 15. Đổi số đo của góc A.

503 . 720

C. 0,7054.

D. 0,71.

125 45 sang đơn vị radian.

503 . 720

251 . 360

rad sang đơn vị độ, phút, giây. 12 B. 10 0. C. 6 0.

251 . 360

Câu 16. Đổi số đo của góc A. 150.

Câu 17. Đổi số đo của góc A. 330 45'.

Câu 18. Đổi số đo của góc A.

2860 44 ' 28''.

D. 50.

3 rad sang đơn vị độ, phút, giây. 16 C. 330 45'. 290 30 '. 5 rad sang đơn vị độ, phút, giây.

2860 28' 44 ''.

D. 2860 28' 44 ''.

286 0.

3 rad sang đơn vị độ, phút, giây. 4 A. 420 97 18 . B. 420 58 . C. 420 97 . Câu 20. Đổi số đo của góc 2 rad sang đơn vị độ, phút, giây.

320 55.

Câu 19. Đổi số đo của góc

114 0 59 15 .

114 0 35 .

114 0 35 29 .

D. 420 58 18 . D.

114 0 59 .

Vấn đề 3. ĐỘ DÀI CUNG TRÒN Câu 21. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó. B. Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó. C. Số đo của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó. D. Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó. Câu 22. Tính độ dài A.

3, 93cm.

của cung trên đường tròn có bán kính bằng 20cm và số đo B.

2, 94cm.

3,39cm.

. 16 1, 49cm.

Câu 23. Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 1,5 và bán kính bằng 20 cm . A. 30cm .

126

B. 40cm .

C. 20cm .

D. 60cm .

Câu 24. Một đường tròn có đường kính bằng 20 cm . Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo 350 (lấy 2 chữ số thập phân). A. 6, 01cm . B. 6,11cm .

C. 6, 21cm .

Câu 25. Tính số đo cung có độ dài của cung bằng A. 1,5rad .

B. 0, 67rad .

D. 6, 31cm .

40 cm trên đường tròn có bán kính 20 cm . 3

C. 80 0 .

D. 880 .

Câu 26. Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo radian của cung tròn đó là A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

Câu 27. Trên đường tròn bán kính

D. 4 .

R , cung tròn có độ dài bằng

có số đo (tính bằng radian) là: A. / 2 B. / 3

1 độ dài nửa đường tròn thì 6 D.

/ 4

/ 6.

Câu 28. Một cung có độ dài 10cm , có số đo bằng radian là 2,5 thì đường tròn của cung đó có bán kính là: A. 2,5cm . B. 3, 5cm . C. 4cm . D. 4,5cm . Câu 29. Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây. Hỏi trong 2 giây, bánh xe quay được 1 góc bao nhiêu độ.

8 5 3 5 B. C. D. . . . . 5 8 5 3 Câu 30. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là: A. 30 0. B. 400. C. 50 0. D. 600. A.

Vấn đề 5. GÓC LƯỢNG GIÁC Câu 31. Cho góc lượng giác Ox , Oy 1822 0 30 ' ?

Ox , Oy

A. k

22 0 30 ' k 360 0. Với giá trị k bằng bao nhiêu thì góc

B. k

Câu 32. Cho góc lượng giác

C. k

–5.

k 2 . Tìm k để 10

D. k

11 .

A. k 4. B. k 5. C. k 6. D. k 7. Câu 33. Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12 . Số đo của góc lượng giác OG, OP là A.

k2 , k

270 0

k 360 0 , k

9 . k2 , k 10 Câu 34. Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 450 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox , số đo cung lượng giác AN bằng C. 270 0

450 .

k 360 0 , k

B. 3150 .

127

C. 450 hoặc 3150 .

450

k 360 0 , k

Câu 35. Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 60 0 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là: A. 120o . C.

240 0 .

120 0 hoặc 240 0 .

D. 120 0

k 360 0 , k

Câu 36. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 750 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O , số đo cung lượng giác AN bằng: A. 2550 . C.

1050 .

1050 hoặc 2550 .

1050

k 360 0 , k

Câu 37. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):

5 , 6

25 , 3

3 19 . Các cung nào có điểm cuối trùng nhau: 6 A. và ; và . B. và ; và . C. , , . D. , , . Câu 38. Các cặp góc lượng giác sau ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối. Hãy nêu kết quả SAI trong các kết quả sau đây: 35 152 A. và . B. và . 3 3 10 5 155 281 C. và . D. và . 3 3 7 7 Câu 39. Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành tam giác đều ? k k2 k A. . B. k . C. . D. . 2 3 3 Câu 40. Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành hình vuông k k2 k A. . B. k . C. . D. . 2 3 3

BAØI 2.

GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT CUNG

I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG 1. Định nghĩa þ

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM Tung độ y

OK của điểm M gọi là sin của

sin 128

(còn viết AM

và kí hiệu là sin .

OK .

)

Hoành độ x

OH của điểm M gọi là côsin của

cos

tan

OH .

sin gọi là tang của cos (người ta còn dùng kí hiệu tg )

Nếu cos

và kí hiệu là cos .

0, tỉ số

và kí hiệu là

Nếu sin

A x H

0, tỉ số

cos sin

gọi là côtang của

sin . cos

tan

y B

và kí hiệu là cot

B'còn dùng kí (người ta

cos . sin Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

hiệu cotg

) cot

2. Hệ quả 1) sin

và cos

xác định với mọi

. Hơn nữa, ta có

sin

sin , k

;

cos

cos , k

2) Vì

sin

cos

3) Với mọi m

mà

1 nên ta có

1 đều tồn tại

4) tan

xác định với mọi

5) cot

xác định với mọi

2 k

k k

và

sao cho sin

m và cos

. .

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc

phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung

trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác Góc phần tư Giá trị lượng giác

III

cos sin tan cot

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt 129

sin

1 2

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tan

cot

Không xác định

3 1

Không xác định

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG 1. Ý nghĩa hình học của tan Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A . Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At . được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t 'At. Trục t 'At được gọi là trục tang. y t tan

M A x O T t'

2. Ý nghĩa hình học của cot Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B . Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bs được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s 'Bs Trục s 'Bs được gọi là trục côtang. y s' S s B cot

M x O

130

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1. Công thức lượng giác cơ bản Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau sin 2 cos2 1 1 k , k 1 tan 2 , 2 cos2 1 k ,k 1 cot 2 , sin 2 k , k tan .cot 1, 2

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau:

và

cos

2) Cung bù nhau:

sin

tan

cot

và

sin

3) Cung hơn kém

4) Cung phụ nhau:

cos

sin

cos

tan

cot

sin

cos

và

tan

cot

131

sin cos tan cot

cos

sin

cot

tan

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Cho thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. 0. 0. 0. 0. A. sin B. cos C. tan D. cot Câu 2. Cho thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. sin B. sin 0; cos 0. 0; cos 0. C. sin Câu 3. Cho sai ? A. sin Câu 4. Cho đúng ? A. sin

0; cos

D. sin

0; cos

thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là

0. 0. 0. 0. B. cos C. tan D. cot thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là B. cos

A. Thứ II.

B. Thứ IV.

Câu 6. Điểm cuối của góc lượng giác A. Thứ I.

C. tan

Câu 5. Điểm cuối của góc lượng giác

A. Thứ II. A. Thứ III.

C. Thứ II hoặc III. C. Thứ II hoặc III.

ở góc phần tư thứ mấy nếu

B. Thứ I hoặc III.

C. tan

0; cot

Câu 10. Cho 0

D. tan

. Khẳng định nào sau đây đúng?

cot

1 sin 2 .

D. Thứ I hoặc IV. sin 2

C. Thứ I hoặc II.

A. tan

D. Thứ I hoặc IV.

ở góc phần tư thứ mấy nếu cos

5 . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 0; cot 0. 0; cot B. tan

Câu 9. Cho 2

cùng dấu?

C. Thứ II hoặc IV. D. Thứ I hoặc III. ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , tan trái dấu?

B. Thứ I hoặc II.

Câu 8. Điểm cuối của góc lượng giác

D. cot

ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , cos

B. Thứ II hoặc IV.

Câu 7. Điểm cuối của góc lượng giác

132

sin .

D. Thứ III hoặc IV.

A. sin Câu 11. Cho 0 A. cot

C. tan

3 2

Câu 14. Cho

C. tan

0. D. tan

C. cos

D. tan

3 2

. Xác định dấu của biểu thức M

B. M

C. M

cos

B. M

C. M

. tan

D. M

3 . Xác định dấu của biểu thức M 2

Câu 15. Cho A. M

3 . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 3 0. B. tan 0. 2

Câu 13. Cho 3 2

D. sin

. Khẳng định nào sau đây đúng?

B. cot

A. tan

. Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương ?

A. sin

C. sin

0. B. cot

Câu 12. Cho

A. M

B. sin

sin

. cot

D. M

Vấn đề 2. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 16. Tính giá trị của sin

47 . 6

47 6 89 Câu 17. Tính giá trị của cot . 6 A. sin

47 6

3 . 2

B. sin

A. cot

89 6

B. cot

Câu 18. Tính giá trị của cos A. cos C. cos

4 4

1 . 2

89 6

3. 2k

3 . 2 1 . 2

C. sin

47 6

2 . 2

D. sin

47 6

C. cot

89 6

3 . 3

D. cot

89 6

1 . 2

3 . 3

B. cos D. cos

4 4

2 . 2 3 . 2

133

Câu 19. Tính giá trị của cos A. cos C. cos

3 3

B. cos

1 . 2

–1.

B. P

3 . 2

cot 44

14 3

sin

cos2

B. P

A. P

B. P

A. P

B. P

A. P

B. P

cos2

3 8

sin 10

cos2

5 8

3 . 2

cot 72 0 cot 180.

1 . 2

D. P

cos 2

sin 30

3 . 2

7 . 8 D. P

C. P

D. P

3 . 4

1. O

sin 20

...

sin 80 . D. P

D. P

tan 10 . tan 20 . tan 30 ..... tan 80 . C. P

Câu 25. Tính giá trị biểu thức P

3 . 2

C. P 2

tan 2

C. P

1 . 2

1 29 sin 4

Câu 24. Tính giá trị biểu thức P

Câu 23. Tính giá trị biểu thức P

tan 226 cos 406 0

C. P

Câu 22. Tính giá trị biểu thức P A. P

3 . 2

B. P

cos316 0

D. cos

Câu 21. Tính giá trị biểu thức P

A. P

3 . 2

Câu 20. Tính giá trị biểu thức P A. P

tan1 tan 2 tan 3 ... tan 89 . C. P

Vấn đề 3. TÍNH ĐÚNG SAI Câu 26. Với góc A. sin C. sin

bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?

cos 3

B. sin 2

cos2

D. sin cos 1. cos Câu 27. Với góc bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 2 C. sin 2

cos2 2

B. sin

cos2 180

D. sin 2

cos

cos2 180

Câu 28. Mệnh đề nào sau đây là sai? A.

C. cot

134

sin cos sin

1 sin

cos 0.

B. tan

sin cos

D. sin 2 2018

cos

cos2 2018

2018.

Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là sai?

1 sin 2

tan 2

A. 1

C. tan cot 2. Câu 30. Để tan x có nghĩa khi

D. tan . cot

A. x

B. x 0. . 2 Câu 32. Điều kiện trong đẳng thức tan .cot A.

k ,k

, k

C. x

k2 , k

2 3

k ,k

B. cos300

cos 600.

C. tan 450 tan 60 0. Câu 35. Mệnh đề nào sau đây đúng? tan 46 . A. tan 45

D. cot 600

cot 2400.

sin 90 14 .

xác định là

k ,k . 6 Câu 34. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. sin 600 sin1500.

C. sin 90 13

k .

k2 , k

D. x

k , k

cot

k .

. tan

1 là

Câu 33. Điều kiện để biểu thức P A.

1 cos2

B. 1 cot 2

k2 , k

B. cos142

cos143 .

D. cot 128

cot 126 .

Vấn đề 4. CÁC CUNG LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Câu 36. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. cos C. cos

sin .

B. sin

sin .

D. tan

Câu 37. Với mọi số thực A.

sin .

Câu 38. Cho cos A.

2 . 3

Câu 39. Với mọi

, ta có sin

9 2

B. cos .

1 . Khi đó sin 3 B.

1 . 3

thì tan 2017

cot 2

bằng C. sin .

3 2

sin .

cos .

bằng C.

1 . 3

2 . 3

bằng

135

B. cot .

tan .

Câu 40. Đơn giản biểu thức A

C. tan . cos

) , ta được

sin(

A. A

cos

sin .

B. A

2 sin .

C. A

sin

– cos .

D. A

Câu 41. Rút gọn biểu thức S

cos

x sin

A. S

B. S

C. S

2 sin x cos x.

D. S

Câu 42. Cho P

sin

và Q

. cos

đây là đúng ? A. P Q 0.

B. P

sin

sin 2 x 1.

sin

. cos

sin 10

. Mệnh đề nào dưới

D. P

1. 2

Câu 43. Biểu thức lượng giác sin

x ta được

x cos

cos2 x.

C. P

cot .

2. 2

3 cos 2

cos 8

giá trị bằng ? A. 1.

B. 2.

1 . 2

Câu 44. Giá trị biểu thức P A.

1 . sin 2 x

Câu 45. Biết rằng sin x A. 1.

tan

sin

tan

13 2

sin x

cot

13 4

cot 7

2 . sin 2 x

D. 1, 25

3 . 4 2

7 2 C.

1 . 2

Câu 46. Nếu cot 1, 25. tan 4 A. 1.

17 4

1 . cos2 x 2

2 . cos2 x

thì giá trị đúng của cos x là

1 . 2

. cos 6

0 thì tan x bằng

C. 0.

D. Một giá trị khác.

Câu 47. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng: A. sin A

C. tan A

sin B. tan B.

B. cos A

D. cot A

cos B. cot B.

Câu 48. Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, khi đó A. sin C C. tan C

sin A tan A

B . B .

B. cos C

cos A

D. cot C

Câu 49. Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là sai ?

136

bằng

cot A

B . B .

có

A. sin

C. sin A

B . 2 sin C.

C 2 D. cos A B B. cos

cos

2 B

B . 2 cos C.

sin

Câu 50. A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy tìm hệ thức sai: A. sin A C. cos C

sin 2 A

sin

C .

B 3C . 2

B. sin A

cos

D. sin C

sin A

B 2

2C .

Vấn đề 5. TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 51. Cho góc A. cos

1 . 13

Câu 53. Cho góc

3 . 5

3 5 . 5

Câu 56. Cho góc

B. P thỏa sin

4 . 5

Câu 57. Cho góc A. cos

12 và 2 13 5 . 12

B. cos thỏa cot

4 . 5

B. cos

5. 3 và 90O 5 4 . 5 3 và 0O 4 4 . 5

1 . 13

D. cos

D. tan

2019 . Tính sin . 2

4 . 5

D. sin

4 . 5

D. tan

12 . 5

. Tính tan . 5 . 12

C. tan

2 và 180o

thỏa mãn tan

C. sin

thỏa mãn cos

Câu 55. Cho góc

A. cot

2017 4 và 2 3

3 . 5

B. tan

C. tan

B. sin

12 . 5

A. tan

B. tan

5 . 13

3 . Tính tan . 2

5 và 3

thỏa mãn tan

Câu 54. Cho góc

A. P

. Tính cos . C. cos

thỏa mãn cos 3

A. sin

5 . 13

B. cos

Câu 52. Cho góc A. tan

12 và 2 13

thỏa mãn sin

C. P

270o. Tính P

cos

3 5 . 2

D. P

sin . 5 1 . 2

180O. Khẳng định nào sau đây đúng? C. tan

5 . 4

4 . 5

D. cos

90O. Khẳng định nào sau đây đúng? C. sin

4 . 5

D. sin

4 . 5

137

Câu 58. Cho góc A. P

thỏa sin

2 2 . B. P 9

Câu 60. Cho góc A. P

A. P

B. P

Câu 62. Cho góc

thỏa mãn

3 . 2

A. P

sin

Câu 65. Cho góc A. P

30 . 11

Câu 66. Cho góc A. P

4 . 9

Câu 67. Cho góc

138

2 6

3 2 4

và tan

C. P

và cot

. 2 . 4

3 tan a

tan 2

7 . 3

4 cot a.

6. 1.

2 tan

7 . 3

D. P

1 . Tính P cos

3 . 2

2 2 . 9

7 2

D. P

. Tính P

2 C. P

thỏa mãn

6 3 . 2

1 . 3

B. P

Câu 64. Cho góc P

C. P

3 và 4 5

tan

D. P

0 . Tính P

B. P

Câu 63. Cho góc A. P

3 và 5

thỏa mãn cos

1 . 3

A. P

2 . 4

D. P

. Tính P

C. P

12 . 25 3cot 1 . cot

2 tan tan

2 2 . 9

1 và 2 3

2 2.

B. P

C. P

D. P

1800 . Tính P

2 2 . 9

thỏa mãn cos

12 . 25

C. P

thỏa mãn sin

2 2.

Câu 61. Cho góc

tan 1 tan 2

. Tính P

3 . 7 1 và 900 3

B. P

Câu 59. Cho góc A. P

3 và 2 5

thỏa mãn sin

D. P

sin

3 2 4

thỏa mãn tan B. P

31 . 11

thỏa mãn tan B. P

C. P

4 . 9

thỏa mãn cot

4 và 2 3

D. P

1. . Tính P

32 . 11 3sin 2 cos . 5cos 7 sin

C. P

2. Tính P

C. P

1 . Tính P 3

3sin 2 sin

3 . Tính giá trị của biểu thức

cos .

B. P

4 . 19

4 cos . 5cos

sin 2 sin

3 . 2

cos . cos 2

D. P

34 . 11

D. P

4 . 19

15 . 13

A. P

Câu 68. Cho góc A. P

9 13

Câu 69. Cho góc

8 13

A. P

Câu 70. Cho góc A. P

9 13

Câu 71. Cho góc A. P

9 16

Câu 72. Cho góc A. P

91 125

Câu 73. Cho góc A. P

3 . 2

Câu 74. Cho góc A. P

2 m.

Câu 75. Cho góc A. P

15 . 13

B. P

thỏa mãn tan

C. P

2. Tính P

9 65

B. P

thỏa mãn tan

2 19

B. P

thỏa mãn tan

5. Tính P

thỏa mãn sin

49 25 4

B. P

2 m2 .

thỏa mãn tan B. P

C. P

cot thỏa mãn tan B. P 110.

Câu 77. Cho góc

thỏa mãn sin

12.

Câu 78. Cho góc A. P

Câu 79. Cho góc

B. P thỏa mãn

và tan

B. P

1. thỏa mãn 3cos

1 2

2 sin

cot

sin 3

cos3 .

1 9

sin

cos . 3 . 2

D. P sin

cos

D. P

tan 2

cot 2 . D. P

2 . Tính P 2 C. P 16.

14.

1 8

5 . Tính P 2

5. Tính P tan C. P 112.

co s

D. P

2. Tính P

cot

12 13

0. Tính P

7 5

cos

C. P

D. P

sin .cos .

m. . Tính P

cos

8 19

D. P

11 13

C. P

Câu 76. Cho góc A. P 100.

A. P

và sin

4 cos 2

cos4 .

cos

C. P

thỏa mãn 0

1 2 thỏa mãn sin

sin 4

12 và sin 25

thỏa mãn sin cos B. P

2 19

24 29

D. P 3 sin . cos 5 cos 2 sin 2

5 . Tính P 4 9 C. P 8

cos

9 32

B. P

2 sin 2

C. P

13.

3 sin . cos 4 cos 2 5 sin 2 6 cos 2

9 65

C. P

10 13

B. P

2 sin 2

C. P

1 . Tính P 2

D. P

13.

tan 2

cot

. D. P

m2 .

4. 115.

cot 2 . D. P

1 . Tính P

tan

C. P D. P 5. 2 và sin 0 . Tính sin .

18. cot .

139

5 . 13

A. sin

Câu 80. Cho góc A. P

7 . 13

B. sin

3 và sin 2

thỏa mãn

1 . 2

B. P

9 . 13

C. sin

1 . Tính P

2 cos

1 . 4

1 . 6

C. P

D. sin

12 . 13

2 tan

cot .

1 . 8

D. P

Vấn đề 6. RÚT GỌN BIỂU THỨC Câu 81. Rút gọn biểu thức M

sin x

cos x

sin x

cos x .

A. M 1. B. M 2. Câu 82. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 3 cos 4 x. A. sin 4 x cos 4 x 4 4

C. M

D. M

B. sin 4 x

cos 4 x

5 8

3 cos 4 x. 8

3 1 cos 4 x. 4 4 Câu 83. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

D. sin 4 x

cos 4 x

1 2

1 cos 4 x. 2

4 sin x.cos x.

C. sin 4 x

cos 4 x

A. sin 4 x

cos4 x

1 2 cos2 x.

B. sin 4 x

cos4 x

1 2 sin 2 x cos2 x.

C. sin 4 x

cos4 x

1 2 sin 2 x.

D. sin 4 x

cos4 x

2 cos2 x 1.

Câu 84. Rút gọn biểu thức M A. M

1 3sin 2 x cos2 x.

C. M

B. M

Câu 86. Rút gọn biểu thức M A. M

tan x.

B. M

Câu 87. Rút gọn biểu thức M A. M

cot x.

B. M

Câu 88. Rút gọn biểu thức M A. M

sin 2 x.

B. M

Câu 89. Rút gọn biểu thức M A. M

1 sin 2 . B. M

Câu 90. Rút gọn biểu thức M A. M

B. M

Câu 91. Đơn giản biểu thức P A. P

140

cos6 x.

3 2 sin 2 x. 2

Câu 85. Rút gọn biểu thức M A. M

sin 6 x

sin

B. P

2 sin 4 x

1 3sin 2 x.

D. M

cos 4 x

1. 2

B. M

3 2 sin 2 x. 4

cos2 x sin 2 x

C. M

tan 2 x.sin 2 x . D. M

C. M

cos8 x .

D. M

sin x.

sin x. 2

cot x

cos x.

1 – sin 2 x cot 2 x

C. M

– sin 2 x.

sin 2

4 sin 2

tan 2

C. M

2 sin .

tan 2

sin . sin 4 x

cos4 x 1 tan 2 x

C. M

2. sin 2

D. M

cot 2 x.cos2 x.

D. M

– cos2 x.

1 – co t 2 x .

cos2 x.

sin .

sin 8 x

tan x

sin 4

3cos2 . cot 2 x

D. M

D. P

cos

cos2 .

C. P

cos .

1 sin 2 1 sin 2

Câu 92. Đơn giản biểu thức P A. P

1 2 tan 2 .

B. P

1 2 tan 2 .

C. P

2 cos . sin 2

A. P

1 cos sin 2 2 sin 2

B. P

cos x

C. P

cos 2 x

sin 2 x.

2 cos2

1 cos2

D. P

1 sin 2

2 tan .

D. P

2 sin .

D. P

1 . 2

sin x. sin 2 x.

C. P

1 cos2 sin

sin C. P

cot x cos x cot 2 x

B. P

C. P

2 cos .

Câu 99. Đơn giản biểu thức P

D. P

cos 2 x

sin cos

A. P

2 cot 2 .

D. P cot

tan

B. P

cot 2 .

cos x

cos

1 tan .

Câu 98. Đơn giản biểu thức P A. P

D. P

cos 2 .

B. P 2

sin tan cos 1

B. P

cos 2 .

sin

sin cos3

B. P

Câu 97. Đơn giản biểu thức P A. P

D. P

C. P

sin x.

2 tan 2 .

2 . 1 cos

2 cos 2 x 1 . sin x cos x

Câu 96. Đơn giản biểu thức P A. P

C. P

Câu 95. Đơn giản biểu thức P A. P

1 2 tan 2 .

1 . 1 cos

1 sin 2 cos 2 cos 2

Câu 94. Đơn giản biểu thức P

tan 2 .

1 2 tan 2 .

D. P

Câu 93. Đơn giản biểu thức P

A. P

sin xcosx . cot x

C. P

1 . 2

Câu 100. Hệ thức nào sau đây là sai? A.

sin 2 2 1 sin

1 2

cos 2

2 1 cos

1 4 sin 2 x .cos 2 x 4 sin 2 x .cos 2 x

tan

cot

tan 4 x 2 tan 2 x . 4 tan 2 x

141

sin x tan x tan x

1 sin x

cos x 1 sin x

D. tan x

cot x.

1 . cos x

BAØI 3.

COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC

I – CÔNG THỨC CỘNG cos a b

cos a cos b

cos a

cos a cos b sin a sin b

sin a b

sin a cos b cos a sin b

sin a

sin a cos b

tan a b tan a

sin a sin b

cos a sin b

tan a tan b 1 tan a tan b tan a tan b . 1 tan a tan b

II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI sin 2 a

2 sin a cos a

cos 2 a

cos 2 a sin 2 a

tan 2a

2 tan a . 1 tan 2 a

2 cos 2 a 1

1 2 sin 2 a

III – CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH 1. Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b sin a sin b sin a cos b

1 cos a b 2 1 cos a b 2 1 sin a b 2

cos a

sin a

b .

2. Công thức biến đổi tổng thành tích cos u

cos v

2 cos

cos

2 2 u v u v cos u cos v 2 sin sin 2 2 u v u v sin u sin v 2 sin cos 2 2 u v u v sin u sin v 2 cos sin . 2 2

142

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

cos4 15o

Câu 1. Rút gọn biểu thức M A. M

3 . 2

B. M

cos4 150

1 . 2

B. M

cos6 15o

1 . 2

B. M

Câu 4. Giá trị của biểu thức cos A.

3 . 2

cos

cos cos 4 12

sin C.

Câu 7. Giá trị của biểu thức M

1 A. . 2

1 . 32

D. M

15 3 . 32

là

3 . 4

cos

sin

1 . 2

5 18 là 12

2 . 2

3 . 2

tan 2250 cot 810. cot 69 0 bằng cot 2610 tan 2010

sin

1 B. . 4

Câu 8. Giá trị của biểu thức A

sin 2 150.

1 . 4

sin

1 . 2

Câu 6. Giá trị đúng của biểu thức A.

5 cos 18 9

Câu 5. Giá trị của biểu thức P

cos2 150

sin 6 15o.

sin

A. 1 .

sin

D. M

1 . 4

C. M

3 . 2

sin 4 150 C. M

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức M A. M

1 . 4

C. M

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức M A. M

sin 4 15o.

sin

3 . 8

Câu 9. Tính giá trị của biểu thức M

. cos

5 7 11 sin sin bằng 24 24 24 1 C. . 8

. cos C.

. cos

3 . 16

1 . 16

3 . 32

là

cos100 cos 200 cos 400 cos800.

A. M

1 cos10 0 . 16

B. M

1 cos10 0 . 2

C. M

1 cos10 0 . 4

D. M

1 cos10 0 . 8

143

Câu 10. Tính giá trị của biểu thức M A. M

cos

1 . 2

B. M

2 7

cos

4 7

C. M

cos

6 . 7

D. M

Vấn đề 2. TÍNH ĐÚNG SAI Câu 11. Công thức nào sau đây sai? A. cos a b

sin a sin b

cos a cos b.

B. cos a

sin a sin b cos a cos b.

C. sin a b

sin a cos b cos a sin b.

D. sin a

sin a cos b

cos a sin b.

Câu 12. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 2018a

2018 sin a. cos a.

B. sin 2018a

2018 sin 1009 a . cos 1009 a .

C. sin 2018a

2 sin a cos a.

D. sin 2018a

2 sin 1009a . cos 1009a .

Câu 13. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? A. cos 6a

cos2 3a sin 2 3a.

B. cos 6a

C. cos 6a 1 6 sin 2 a. D. cos 6a Câu 14. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau? 1 cos 2 x . A. sin 2 x B. cos2 x 2 x x C. sin x 2 sin cos . D. cos3x 2 2 Câu 15. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? A. sin a

cos a

C. sin a

cos a

2 sin a 2 sin a

1 2 sin 2 3a.

2 cos2 3a 1. 1 cos 2 x . 2

cos3 x

B. sin a

cos a

D. sin a

cos a

sin 3 x.

2 sin a 2 sin a

Câu 16. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức? 1) cos x

sin x

2 sin x

3) cos x

sin x

2 sin x

4 4

2) cos x

sin x

2 cos x

4) cos x

sin x

2 sin

A. 1. B. 2. Câu 17. Công thức nào sau đây đúng? A. cos3a 3cos a 4 cos3 a.

C. 3. B. cos3a

4 cos3 a 3cos a.

C. cos3a 3cos3 a 4 cos a. Câu 18. Công thức nào sau đây đúng? A. sin 3a 3sin a 4 sin 3 a.

D. cos3a

4 cos a 3cos3 a.

B. sin 3a

4 sin 3 a 3sin a.

D. sin 3a

4 sin a 3sin 3 a.

C. sin 3a

3sin 3 a 4 sin a.

Câu 19. Nếu cos a

144

D. 4.

0 thì khẳng định nào sau đây đúng?

x .

A. sin a

sin a .

B. sin a

sin b .

C. sin a

cos a .

D. sin a

cos b .

Câu 20. Nếu sin a

0 thì khẳng định nào sau đây đúng?

A. cos a

sin a .

B. cos a

sin b .

C. cos a

cos a .

D. cos a

cos b .

Vấn đề 3. VẬN DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 21. Rút gọn M A. M

sin x

B. M

cos x .

Câu 22. Rút gọn M A. M C. M

y cos y

cos a

1 2 cos a. B. M cos 4 a. cos a

y sin y.

C. M

sin x. b cos a b

Câu 23. Rút gọn M

cos x

sin a

sin x cos 2 y.

D. M

cos x cos 2 y.

b sin a b .

1 2 sin a. D. M b cos a b

sin a

sin 4 a. b sin a b .

A. M 1 2 sin 2 b. B. M 1 2 sin 2 b. C. M cos 4b. D. M sin 4b. Câu 24. Giá trị nào sau đây của x thỏa mãn sin 2 x.sin 3 x cos 2 x.cos3 x ? A. 18 . B. 30 . C. 36 . D. 45 . Câu 25. Đẳng thức nào sau đây đúng: sin b a 1 . 1 cos 2a . A. cot a cot b B. cos2 a sin a. sin b 2

1 sin 2 a b . D. tan a 2 Câu 26. Chọn công thức đúng trong các công thức sau: 1 cos a b cos a b . A. sin a. sin b 2 a b a b . cos . B. sin a sin b 2 sin 2 2 2 tan a C. tan 2a . 1 tan a C. sin a

D. cos 2a

2 sin x.

cos x

B. M

Câu 28. Tam giác ABC có cos A A.

56 . 65

sin a

cos a. cos b

sin 2 a cos2 a.

Câu 27. Rút gọn M A. M

56 . 65

cos x

2 sin x.

C. M

4 và cos B 5

2 cos x.

D. M

2 cos x.

5 . Khi đó cosC bằng 13 C.

16 . 65

33 . 65

145

Câu 29. Cho A, B, C là ba góc nhọn thỏa mãn tan A

A A.

1 , ta n B 2

1 , tan C 5

1 . Tổng 8

C bằng B.

Câu 30. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC . Khi đó P

sin A

. sin C tương

sin B

đương với: A. P

4 cos

A B C cos cos . 2 2 2

B. P

4 sin

A B C sin sin . 2 2 2

A B C A B C cos cos . D. P 2 cos cos cos . 2 2 2 2 2 2 Câu 31. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC . Khi đó P sin 2 A sin 2 B đương với: A. P 4 cos A. cos B. cos C. B. P 4 sin A. sin B. sin C. C. P

2 cos

C. P

sin 2C tương

4 sin A. sin B. sin C. D. P Câu 32. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC (không phải tam giác vuông). Khi đó P tan A tan B tan C tương đương với : A. P

4 cos A.cos B.cos C.

A B C . tan . tan . 2 2 2 tan A. tan B. tan C.

B. P

tan

C. P

D. P Câu 33. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC . Khi đó P A. P

tan

A B . tan 2 2

tan

B C . tan 2 2

A B C . tan . tan . 2 2 2 tan A. tan B. tan C. tan

C A . tan tương đương với: 2 2 1. B. P

tan

1. 2

C. P

tan

Câu 34. Trong

A B C . tan . tan . 2 2 2

ABC , nếu

A. Cân taïi B. Câu 35. Trong

sin B sin C

D. Đáp án khác.

2 cos A thì

B. Cân taïi A.

ABC , nếu

tan A tan C

ABC là tam giác có tính chất nào sau đây? C. Cân taïi C.

D. Vuông taïi B.

sin A thì sin 2 C

A. Tam giác vuông. B. Tam giác cân. C. Tam giác đều.

ABC là tam giác gì?

D. Tam giác vuông hoặc cân.

Vấn đề 4. TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Câu 36. Cho góc A. P

146

24 . 25

thỏa mãn B. P

24 . 25

4 . Tính P 5

và sin C. P

12 . 25

sin 2

D. P

12 . 25

Câu 37. Cho góc

thỏa mãn 0

2 5 . 3

A. P

B. P

3 . 5

B. P

Câu 39. Cho góc A. P

3 5

B. P

Câu 43. Cho góc

120 . 119

Câu 46. Cho góc

C. P

21 . 2

C. P

B. P

3 3 và 4 2

thỏa mãn cos

21 8

4 và 5

3 3 . 10

D. P

524 . 625

10 . 11

524 . 625

D. P

. Tính P

sin

5 . 3

sin 4

cos4

5 . 3

7 . 9

9 . 7

D. P

120 . 119

tan 2 . D. P

1 3sin 2

D. P

7 8

119 . 120

1 4 cos2

3 3

cos

D. P

2 . Tính P C. P

D. P

sin

2 . Tính P

2 . Tính P 3

thỏa mãn cos 21

3 5 và 2 13

thỏa mãn cos 2 B. P

C. P

119 . 120

B. P

12.

Câu 45. Cho góc A. P

17 . 81

thỏa mãn cos

Câu 44. Cho góc A. P

2 . Tính P 3

thỏa mãn sin 2

A. P

C. P

2 5 . 3

7 . 25

3 4 và 4 5

B. P

cos 4 .

C. P

thỏa mãn sin 2

Câu 42. Cho góc A. P

527 . 625

3 3 . 10

sin

C. P

4 . Tính P 5

B. P

Câu 41. Cho góc A. P

3 . Tính P 5

thỏa mãn sin

527 . 625

cos 2 cos

D. P

sin

C. P

11 . 100

B. P

Câu 40. Cho góc A. P

3 . Tính P 2

thỏa mãn sin

11 . 100

3 . 2

C. P

3 . 5

1 sin 2 sin

2 . Tính P 3

và sin

3 . 2

3 và 5

Câu 38. Biết sin A. P

3 . Tính P 2

cos

21. .

3 3

D. P tan

7 8

147

A. P

1 . 7

Câu 47. Cho góc A. P

2 . 10

Câu 48. Cho góc A. P

39 . 50

Câu 49. Cho góc

1 . 2 Câu 50. Cho góc A. P

A. P

11 . 113

Câu 51. Cho góc A. P

2 19.

Câu 52. Cho góc A. P

Câu 53. Cho góc A. P

10 . 9

Câu 54. Cho góc A. P

4 6 . 25

Câu 55. Cho góc A. P

24 . 25

Câu 56. Biết sin a

148

B. P

1 . 7

C. P

4 và 4 5

thỏa mãn cos 2 2 . 10

B. P

1 . 2

B. P thỏa mãn cot B. P

C. P

15. Tính P

13 . 113

B. P

3 2 và

B. P

thỏa mãn tan

thỏa mãn B. P

5 ; cos b 13

3 . 2

D. P

39 . 50

D. P

17 . 113

. Tính P 5 . 5

tan

cot

sin

19. cos

5 . 5

D. P

sin 2 . cos 4 1 10 9 C. P D. P . . 9 10 1 0 và sin . Tính P sin 2 . 5

2 . Tính P

9 . 10 cot 4 6 . 25

B. P

. cos

D. P

19.

C. P

thỏa mãn tan B. P

. Tính P

3 ;2 2

15 . 113

4 và 3

1 . 5

sin 2 .

C. P

2 19.

thỏa mãn tan

tan

C. P

thỏa mãn cot

sin

D. P

49 . 50

2 . Tính P

cos 2

3 . Tính P 2 C. P

5 2

. Tính P

1 . 5

4 và 5

49 . 50

thỏa mãn cot

C. P

thỏa mãn cos

D. P

C. P và sin

2 2 6 . 5

3 ; 5 2

2 6 . 25

24 . 25

C. P

1 . Tính P

2 cos

2 6 . 25

D. P

sin 2 .

D. P

. Hãy tính sin a

2 6 . 5

56 . 65

63 . 65

5 13

Câu 57. Nếu biết rằng sin biểu thức cos

, cos

D. 0. 3 5

là

16 . 65

18 . 65

113 . 144

115 . 144

2 6 . 18

Câu 60. Cho 0 A.

117 . 144 1 1 thì cos 2 a ; sin b 3 2

2 6 . 18

3 . 4

Câu 62. Nếu

1 0 2 cos 2a b có giá trị bằng

Câu 63. Biết rằng tan a

10 . 10

Câu 64. Nếu sin a cos a A.

20 . 7

Câu 65. Nếu tan a

3 , cot y 4

B. b

90 0

10 . 10

1 1350 5 20 . 7 7, tan a b

. sin

. 2 1 . Tổng x 7

y bằng

5 . 5

thì

cos

và tan b

4 6 . 18

D. .

có giá trị bằng D.

là ba góc nhọn thỏa mãn tan

, ,

Câu 61. Cho x , y là các góc nhọn và dương thỏa mãn cot x A.

b có giá trị bằng

119 . 144

4 6 . 18 3 1 , tan . Góc 4 7

và thỏa mãn tan

1 . Tính giá trị của biểu thức 4

Câu 59. Nếu a, b là hai góc nhọn và sin a A.

thì giá trị đúng của

18 . 65 1 Câu 58. Cho hai góc nhọn a ; b và biết rằng cos a ; cos b 3 P cos a b . cos a b . A.

16 . 65

33 . 65

1 90 0 3

3 . 4

180 0

thì biểu thức

5 . 5

180 0 thì giá trị của biểu thức tan 2a bằng C.

24 . 7

4 thì giá trị đúng của tan 2a là

149

11 . 27

13 . 27

Câu 66. Nếu sin . cos

với

sin

A. tan

2 cot .

2 B. tan

C. tan

2 tan .

D. tan

Câu 67. Nếu A.

2 B.

k ,

2 tan .

bằng

là hai nghiệm của phương trình x 2

và tan

thì

l , k, l 2 2 cot .

thì cot . cot

2 cot

13 . 27

0 q

p q 1

cot

; cot

A. pq. B.

q 1

2p . 1 q

là hai nghiệm của phương trình x p . q2

1 . pq

và tan

trị biểu thức P

cos

B. q.

p sin

0 p.q

rs bằng

q sin

0 q

0 thì giá

bằng:

p . q

Vấn đề 5. RÚT GỌN BIỂU THỨC Câu 71. Rút gọn biểu thức M A. M C. M

tan x

y . B. M

sin x

cos x . cos y

sin x

sin 2 .

cos x . cos y

tan x tan y . 1 tan x . tan y

D. M

cos 2

Câu 72. Rút gọn biểu thức M A. M

tan y .

tan x

B. M

cos 2 .

cos 2

C. M

D. M

cos 2 .

Câu 73. Chọn đẳng thức đúng. A. cos 2

a 2

C. cos 2

1 sin a . 2 a 2

1 cos a . 2

0 . Và

q . p2

. cos

C. 1.

0 thì tích P

là hai nghiệm của phương trình x 2

2p . 1 q

là hai nghiệm của phương trình x 2

; tan

Câu 70. Nếu tan

A. p.

Câu 69. Nếu tan

150

1 thì

bằng

tan

cot

C. 3.

Câu 68. Nếu tan

và cot

B. cos 2 D. cos 2

a 2

sin a . 2

a 2

1 cos a . 2

sin 2 .

Câu 74. Gọi M

sin y

sin x . sin y

thì

A. M

tan x

tan y.

B. M

cot x

cot y

C. M

cot y

cot x.

D. M

1 sin x

1 . sin y

Câu 75. Gọi M

cos x

cos3 x thì

cos 2 x

1 2

A. M

2 cos 2 x cos x

B. M

4 cos 2 x .

C. M

cos 2 x 2 cos x 1 .

D. M

cos 2 x 2 cos x

sin 3 x sin x . 2 cos2 x 1

Câu 76. Rút gọn biểu thức M A. tan 2x

cos x .

B. sin x.

C. 2 tan x.

D. 2sin x.

1 cos x cos 2 x cos3x . 2cos 2 x cos x 1 B. 2 cos x 1. C. 2 cos x.

Câu 77. Rút gọn biểu thức A A. cos x.

Câu 78. Rút gọn biểu thức A

Câu 79. Rút gọn biểu thức A A. sin 2 .

cos 2 .

tan 4 .

Câu 81. Khi

1 . 3

C. 2.

1 sin 4 1 sin 4

3 4 cos 2 3 4 cos 2

C. tan 2 .

cos 4 cos 4

B. tan 4 .

thì biểu thức A B.

1 . 6

D. cos 2 x.

cos 4 . cos 4

B. cos 2 .

Câu 80. Biểu thức A

cot cot

B. 2cos 2 x.

A. 0.

tan tan

D. cos x 1.

có kết quả rút gọn bằng: C.

sin 2 2

D. cot 2 .

cot 4 .

4 sin 4 4 sin 2 2

D. cot 4 .

4 sin 2 . cos 2 4 sin 2

1 . 9

sin 2 sin . 1 cos 2 cos B. 2 tan . C. tan 2

có giá trị bằng: D.

1 12 .

Câu 82. Rút gọn biểu thức A A. tan .

Câu 83. Rút gọn biểu thức A A. 1.

tan .

D. tan 2 .

1 sin a cos 2a . sin 2a cos a

B. tan .

5 . 2

D. 2 tan .

151

sin x

sin

Câu 84. Rút gọn biểu thức A

1 cos x

x A. tan . 2

cos

x 2

1 sin 2 . 2

sin .cos5

D. sin x.

x .

sin 5 .cos .

1 sin 4 . 2

được:

C. tan 2

B. cot x.

Câu 85. Rút gọn biểu thức A A.

x 2

3 sin 4 . 4

1 sin 4 . 4

Vấn đề 6. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Câu 86. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P A. M

1, m

5. B. M

3, m

C. M

2, m

2. D. M

0, m

Câu 87. Cho biểu thức P A. P C. P

. B. P

4, x 0, x

2 sin x

2. 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

4, x

. D. P

sin x

A. 1.

2, x

sin x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

B. 2.

C. 3.

D. 4. 2

sin x 2 cos2 x. D. M 3, m

Câu 89. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P A. M

3, m

B. M

Câu 88. Biểu thức P

3sin x

2, m

C. M

2, m

Câu 90. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P 8sin 2 x A. T 1.

3cos 2 x . Tính T B. T 2.

Câu 91. Cho biểu thức P A. P

2, x

cos x

B. P

m2. C. T

D. T

112.

130.

sin x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

1, x

C. P

2, x

sin 4 x

Câu 92. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P A. M

2, m

B. M

C. M

1, m

D. M

2, m

1, m

D. P

2 , x 2

cos4 x.

1 . 2

sin 6 x

Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P

cos6 x.

1 1 1 . . , m C. M 1, m D. M 2 4 4 Câu 94. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của biểu thức P 1 2 cos 3 x . A. M

2, m

A. M

3, m

152

B. M

1, m

1. B. M

1, m

C. M

2, m

D. M

0, m

Câu 95. Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức P A. M

B. M

6 BAØI 1.

2 1.

4 sin 2 x

C. M

2 sin 2 x

D. M

VECTÔ ÑÒNH NGHÓA

1. Khái niệm vectơ Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là AB và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B. Vectơ còn được kí hiệu là a, b , x , y, ... khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

A B a x

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

153

Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương.

3. Hai vectơ bằng nhau Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của AB được kí hiệu là AB , như vậy AB

AB.

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a

Chú ý. Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA

4. Vectơ – không Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó. Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là AA và được gọi là vectơ – không. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là A. DE . B. DE .

C. ED.

D. DE .

Câu 2. Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C ? A. 3. B. 6. C. 4. D. 9. Câu 3. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Câu 5. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó: A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC. B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB. C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.

155

D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB

AC .

Câu 6. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng? A. MN và CB. B. AB và MB. C. MA và MB. D. AN và CA. Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

A. 4.

B. 6.

C. 7.

D. 9.

Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU Câu 8. Với DE (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn ED được gọi là A. Phương của ED.

B. Hướng của ED.

C. Giá của ED.

D. Độ dài của ED.

Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai? A. AA

B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.

C. AB

D. 0 cùng phương với mọi vectơ.

Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều. D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. Câu 12. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để AB A. ABCD là hình bình hành. C. AC

BD.

CD ?

B. ABDC là hình bình hành. D. AB CD.

Câu 13. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn AB sai?

CD . Khẳng định nào sau đây

A. AB cùng hướng CD .

B. AB cùng phương CD .

C. AB

D. ABCD là hình bình hành.

CD .

Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? A. AB

DC.

B. OB DO. C. OA OC. D. CB DA. Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD , DA. Khẳng định nào sau đây sai? A. MN

QP.

B. QP

MN .

C. MQ

NP.

Câu 16. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AC

156

BD.

B. AB

CD.

D. MN

AC .

C. AB

D. Hai vectơ AB, AC cùng hướng.

BC .

Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. OA

B. OB và OD cùng hướng.

OC.

C. AC và BD cùng hướng.

D. AC

BD .

Câu 18. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. MA

B. AB

MB.

AC .

C. MN

D. BC

BC.

2 MN .

Câu 19. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. MB

B. AM

MC.

a 3 . 2

Câu 20. Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD A. AB

B. BD

AD.

C. AM

a 3 . 2

D. AM

60 . Đẳng thức nào sau đây đúng?

C. BD

D. BC

AC.

DA.

Câu 21. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai? A. AB

B. AB

ED.

AF .

C. OD

D. OB

BC.

OE .

Câu 22. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Câu 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. HA

CD và AD

CH .

B. HA

CD và AD

HC .

C. HA

CD và AC

CH .

D. HA

CD và AD

HC và OB

Câu 24. Cho AB A. 0.

0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB

B. 1.

Câu 25. Cho AB A. 1.

C. 2.

BAØI 2.

C. 0.

CD ?

D. Vô số.

0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB

B. 2.

OD .

CD ?

D. Vô số.

TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ

1. Tổng của hai vectơ Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB

a và BC

b . Vectơ

AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là a

157

Vậy AC a b . Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. B b

2. Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB

AC .

3. Tính chất của phép cộng các vectơ Với ba vectơ a, b , c tùy ý ta có  a  a  a

b 0

a (tính chất giao hoán);

c 0

a a

c (tính chất kết hợp);

a (tính chất của vectơ – không).

4. Hiệu của hai vectơ a) Vectơ đối Cho vectơ a. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là a. Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB là BA , nghĩa là

BA .

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0. b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a hiệu a

b . Như vậy a

b .

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có AB

158

OB OA.

b , kí

B O Chú ý 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. 2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có AB

AC (quy tắc ba điểm);

AB AC CB (quy tắc trừ). Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.

5. Áp dụng a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 1. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB

BC. B. MP

NP.

C. CA

CB.

D. AA

AB.

Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hai vectơ a, b cùng phương.

B. Hai vectơ a, b ngược hướng.

C. Hai vectơ a, b cùng độ dài.

D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu.

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. CA

BC.

B. AB

BC.

C. AB

CB.

D. AB

CA.

Câu 4. Cho AB

CD . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB và CD cùng hướng.

B. AB và CD cùng độ dài.

C. ABCD là hình bình hành.

D. AB

Câu 5. Tính tổng MN

QR .

A. MR . B. MN . C. PR . D. MP. Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là: IB. A. IA IB. B. IA IB. C. IA D. AI BI . Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?

A. IA IB. B. IA IB 0. C. IA IB 0. D. IA IB. Câu 8. Cho tam giác ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?

159

A. AB

B. HC

AC .

C. AB

HB.

D. BC

AC .

2 HC.

Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB

B. AB

BC.

C. AC

CD.

D. AD

BD.

CB .

Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA

MB GC

0. 0.

C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB CD CA. D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì

AC .

Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? A. OA OB

B. OB OC

CD.

OA.

C. AB AD DB. D. BC BA DC DA. Câu 12. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. AB

DB. B. AB

C. AB

CA.

BD.

D. AB

AC.

Câu 13. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB OC . A. OB OC

B. OB OC

BC.

DA.

C. OB OC OD OA. D. OB OC AB. Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AB C. AB

CA. B. CA

AB.

D. CA

BC .

Câu 15. Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AM

B. MA

AB.

C. MA MB MC. D. AB AC AM . Câu 16. Cho tam giác ABC với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Khẳng định nào sau đây sai? A. AB

B. AP

C. MN NP PM 0. D. PB MC MP. Câu 17. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AB

C. AB

AC. B. AB

BC .

Câu 18. Cho tam giác ABC có AB A. AB

160

AH .

D. AB CA

BC.

AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng?

B. HA

C. HB HC 0. D. AB AC . Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai? A. AH C. BC

B. AH

HC .

D. AH

HA.

AC.

AH .

Câu 20. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ MP

NP bằng vectơ nào trong các vectơ sau?

A. AP.

B. BP .

C. MN .

D. MB

NB.

Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với O tại hai điểm

A và B. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. OA

B. AB

OB.

C. OA

OB.

D. AB

OB.

Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT định nào sau đây đúng?

( T và T

là hai tiếp điểm). Khẳng

A. MT MT . B. MT MT D. OT TT . C. MT MT . Câu 23. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AB

CB.

B. AB

C. AB

DA.

D. AB

CD CD

BA.

OT .

DA. CB.

Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA ? A. BC AB. B. OA OC. C. BA DA. D. DC CB. Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai? A. OA

B. OA

EB.

C. AB CD EF 0. D. BC EF AD. Câu 26. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Hỏi vectơ

DO bằng vectơ nào trong các vectơ sau?

A. BA . B. BC . C. DC. D. AC. Câu 27. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai? A. OA

C. BA

DC .

B. AC

AD.

D. AB

CB.

Câu 28. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, BC . Đẳng thức nào sau đây sai? A. DO

EO. B. OC

EO.

C. OA OC OD OE OF 0. D. BE BF DO 0. Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. GA

BD.

B. GA

CD.

161

C. GA GC GD O. D. GA GD GC CD. Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AC

BD.

C. AB

AD .

B. AB

D. BC

AB .

Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính AB

AC .

A. AB

a 3.

B. AB

a 3 . 2

C. AB

2a.

D. AB

2a 3.

Câu 32. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB A. AB

a 2.

C. AB

2a. D. AB

a . Tính AB

B. AB

A. AB

5. B. AB

2 5.

C. AB

3. D. AB

2 3.

Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB

B. CA

Câu 35. Tam giác ABC có AB

AB AC

a 2 . 2

Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB

A. CA

AC .

2 13.

2. Tính độ dài của AB

3, AC

C. CA

a và BAC

4 . Tính CA

120 . Tính AB

AB AC

A. AB

a 3.

C. AB

a . 2

D. AB

AB .

D. CA

a . B. CA 2

3a . 2

C. CA

A. v

2a.

2 3a . D. CA 3

2 3.

Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC

162

HC . HC

C. v

2a và BD

8. a. Tính AC

D. v

BD .

a 7 . 2

12. Tính độ dài của

GC .

B. v

13.

Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC vectơ v

AC .

Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC . Tính CA A. CA

AC.

A. AC

3a. B. AC

C. AC

a 5.

a 3. D. AC

Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB A. AB

B. AB

DA .

C. AB

Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O. Tính OB A. OB

B. OB

a 2.

5a.

C. OB

a 2.

D. AB

2a.

D. OB

a 2 . 2

OC . a . 2

Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA MB MC 0 . Xác định vị trí điểm M . A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM . B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB. C. M trùng với C. D. M là trọng tâm tam giác ABC. Câu 42. Cho tam giác ABC. Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức

BA là

A. đường thẳng AB. C. đường tròn tâm A, bán kính BC .

B. trung trực đoạn BC . D. đường thẳng qua A và song song với BC .

Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA MB MC MD là A. một đường tròn. B. một đường thẳng. C. tập rỗng.

D. một đoạn thẳng.

Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB MC AB . Tìm vị trí điểm M . A. M là trung điểm của AC. B. M là trung điểm của AB. C. M là trung điểm của BC . D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM . Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA nào sau đây sai? A. MABC là hình bình hành. C. BA

BM . D. MA

BAØI 3.

B. AM

0 . Mệnh đề

AC.

BC.

TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁ

1. Định nghĩa Cho số k

0 và vectơ a

0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a, cùng

163

hướng với a nếu k

0, ngược hướng với a nếu k

0 và có độ dài bằng k . a .

2. Tính chất Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có  k a  h

kb ;

k a

ka ;

 h ka  1.a

hk a ;

1 .a

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có

2 MI .

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có

3 MG.

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b

0 cùng phương là có một số k để

k b.

Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để

k AC.

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x

k b.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA A. a.

B. 1

2 a.

a. Tính 2OA

C. a 5.

Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA

OB . D. 2a 2.

a. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. 3 OA

4 OB

5a.

B. 2 OA

C. 7 OA

2 OB

5a.

D. 11OA

3OB 6 OB

5a. 5a.

Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM . Khẳng

164

định nào sau đây đúng ? A. IB

2 IC

B. IB

2 IA

C. 2 IB IC IA 0. D. IB IC IA 0. Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM . Khẳng định nào sau đây đúng ? 1 1 A. AI B. AI AB AC . AB AC . 4 4 1 1 1 1 C. AI D. AI AB AC. AB AC. 4 2 4 2 Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ? 2 1 A. AG B. AG AB AC . AB AC . 3 3 1 2 2 C. AG D. AI AB AC. AB 3 AC. 3 2 3 Câu 6. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho

3 AM

2 AB và 3 DN

2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC.

1 1 B. MN AD BC. 3 3 1 2 C. MN D. MN AD BC. 3 3 Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD . Gọi AD và BC . Khẳng định nào sau đây sai ? A. MN

1 AD 3 2 AD 3 M và

2 BC. 3 1 BC. 3 N lần lượt là trung điểm của

A. MN

MD CN DC. B. MN AB MD BN . 1 1 AB DC . AD BC . C. MN D. MN 2 2 Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ? 1 1 CD BC. CD BC. A. DM B. DM 2 2 1 1 DC BC. DC BC. C. DM D. DM 2 2 Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM AB và N là trung

điểm của AC. Tính MN theo AB và AC. 1 1 1 1 A. MN B. MN AC AB. AC AB. 2 3 2 3 1 1 1 1 C. MN D. MN AB AC. AC AB. 2 3 2 3 Câu 10. Cho tam giác ABC. Hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau BM

NC. Tính AM theo AB và AC.

165

A. AM C. AM

2 AB 3 2 AB 3

1 AC. 3 1 AC. 3

1 AB 3 1 AB 3

B. AM D. AM

2 AC. 3 2 AC. 3

Câu 11. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC . Tính AB theo AM và BC . 1 1 A. AB AM B. AB BC BC. AM . 2 2 1 1 C. AB AM D. AB BC BC. AM . 2 2 Câu 12. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó A. AK

1 AB 6

1 AC. 4

B. AK

1 AB 4

1 AC. 6

C. AK

1 AB 4

1 AC. 6

D. AK

1 AB 6

1 AC. 4

Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD. A. AB

1 AC 2

C. AB

1 BD. 2 1 BC. 2

D. AB

Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a A. 2a

b, a

2b.

1 AC 2 1 AC 2

B. AB

B. 2a

b, a

BC, b 2b .

BD.

AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng phương? C. 5a

Câu 15. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA đúng ? A. Ba điểm C, M , B thẳng hàng.

1 BD. 2

10 a MB

2b. D. a

b, a

MC. Khẳng định nào sau đây

B. AM là phân giác trong của góc BAC.

C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng. D. AM

Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC . Đẳng thức nào sau đây đúng ? 1 A. GA 2 GI . B. IG C. GB GC 2 GI . D. GB GC GA. IA. 3 Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây sai ? 2 A. GA D. GB GC GM . AM . B. AB AC 3 AG. C. GA BG CG. 3 Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. AM

166

MC.

B. MB

MC.

BC . 2 Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai ? 1 A. AB 2 AM . B. AC 2 NC. C. BC D. CN AC. 2 MN . 2 Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

C. MB

D. AM

MC.

A. AB

2 AG. 3

C. CA

CG.

B. BA

3BG.

D. AB

Câu 21. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA CA

A. CI C. CI

2 CB . B. CI 3

2 IB. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

2 CB . 3

D. CI

2 CB.

2 CB . 3

Câu 22. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 2 MA

3 MC

B. 2 MA

2 BC.

3 MC

2 AC

BC.

C. 2 MA MB 3 MC 2CA CB. D. 2 MA MB 3 MC 2CB CA. Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ? A. AB

B. AD

2 AO.

1 CA. 2

1 CB. D. AC DB 2 AB. 2 Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng ? C. OA

A. AC

2 BC.

B. AC

AB.

C. AC

2 CD.

D. AC

CD.

Câu 25. Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai ? A. AB

AC.

B. AB

C. BA

2 BM .

D. MA

AC .

MD.

Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2 MA MB CA. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. M trùng A. B. M trùng B. C. M trùng C. D. M là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA BC

A. m

1, n

a, GB

b . Hãy tìm m , n để có

nb.

B. m

1, n

C. m

2, n

D. m

2, n

167

Câu 28. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ

x MB

y MC.

Tính giá trị biểu thức P

A. P

B. P

y. C. P

Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k

D. P

0. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng

thức MA MB MC MD k là A. một đoạn thẳng. B. một đường thẳng. C. một đường tròn. D. một điểm. Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA

MB MC MD là A. trung trực của đoạn thẳng AB. B. trung trực của đoạn thẳng AD. AC AB BC C. đường tròn tâm I , bán kính D. đường tròn tâm I , bán kính . . 2 2 Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA A. đường tròn tâm I , đường kính

MB là

AB . 2

B. đường tròn đường kính AB. C. đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. đường trung trực đoạn thẳng IA. Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2 MA

2 MB là

A. đường trung trực của đoạn thẳng AB. B. đường tròn đường kính AB. C. đường trung trực đoạn thẳng IA. D. đường tròn tâm A, bán kính AB. Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Ttập hợp các điểm M thỏa mãn

MC là

A. đường trung trực của đoạn BC. B. đường tròn đường kính BC. a C. đường tròn tâm G, bán kính . D. đường trung trực đoạn thẳng AG. 3 Câu 34. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

2 MA

3 MB

R theo a. a A. R . 3

4 MC

B. R

a . 9

MA là đường tròn cố định có bán kính R . Tính bán kính

C. R

a . 2

Câu 35. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn MA

168

D. R

a . 6

A. 1.

B. 2.

C. 3.

BAØI 4.

D. Vô số.

HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ

1. Trục và độ dài đại số trên trục a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e. Ta kí hiệu trục đó là O; e .

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục O; e . Khi đó có duy nhất một số k sao cho

k e. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

c) Cho hai điểm A và B trên trục O; e . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB

a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a Nhận xét. Nếu AB cùng hướng với e thì AB

a e. Ta gọi số

AB.

AB, còn nếu AB ngược hướng với e thì

AB. Nếu hai điểm A và B trên trục O; e có tọa độ lần lượt là a và b thì AB

b a.

2. Hệ trục tọa độ a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O; i , j gồm hai trục O; i

và O; j

Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O; i

vuông góc với nhau.

được gọi là trục hoành và kí

hiệu là Ox , trục O; j được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i

1. Hệ trục tọa độ O; i , j còn được kí hiệu là Oxy.

j O Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy. b) Tọa độ của vectơ Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA để OA1

x i , OA2

y j . Như vậy u

OA1

u và gọi A1 , A2 lần lượt là hình

OA2 và cặp số duy nhất x ; y

y j.

Cặp số x ; y duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết

169

x ; y hoặc u x ; y . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ

u u.

Như vậy

x; y

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau. Nếu u

x ; y và u

x ;y

thì

j O

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó. c) Tọa độ của một điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó. Như vậy, cặp số x ; y là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM

M x ; y hoặc M

x ; y . Khi đó ta viết

x ; y . Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của

điểm M . Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x M , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y M .

x; y

yj M x; y

j O

Chú ý rằng, nếu MM 1

Ox, MM 2

Oy thì x

OM 1 , y

OM 2 .

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Cho hai điểm A x A ; y A và B x B ; y B . Ta có

x A ; yB

3. Tọa độ của các vectơ u v , u v , k u Ta có các công thức sau: Cho u

170

u1 ; u2 , v

v1 ; v2

yA .

Khi đó:  u v

u2 ; v1

v2 ;

 u

u2 ; v1

v2 ;

 ku Nhận xét. Hai vectơ u số k sao cho u1

k u1 ; k u2 , k v1 ; v2 với v

u1 ; u2 , v

k v1 và u2

. 0 cùng phương khi và chỉ khi có một

k v2 .

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A x A ; y A , B x B ; y B . Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I x I ; y I của đoạn thẳng AB là

xB 2

, yI

yB 2

b) Cho tam giác ABC có A x A ; y A , B x B ; y B , C xC ; yC . Khi đó tọa độ của trọng tâm G x G ; yG của tam giác ABC được tính theo công thức

xB 3

, yG

yB 3

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM C HIỆM

Vấn đề 1. TỌA ĐỘ VECTƠ Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. a C. u

4;2 , v

Câu 2. Cho a A. u

8;3 cùng phương.

2; 4 , b

7; 7 .

Câu 3. Cho a A.

4;0 cùng hướng.

5;0 , b

B. u

3; 4 , b

Câu 4. Cho a

1;2 , b

A. 6; 9 .

7;3 là vectơ đối của d

D. a

6;3 , b

5;3 . Tìm tọa độ của u 9; 11 .

C. u

3; 2 , v

D. u

9; 5 .

1;5 .

C. 4; 6 .

6;9 .

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ O; i ; j , tọa độ của vectơ i

Câu 6. Cho u

2;1 ngược hướng.

3; 8 .

5; 14 .

5; 7 . Tìm tọa độ của vectơ a b.

B. 4; 5 .

A. 0;1 . B. 1; 1 . C.

7;3 .

2 a b.

1;2 . Tìm tọa độ của vectơ a

B. 2; 2 .

4;6 .

B. c

1;1 .

j là

D. 1;1 .

1;6 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. u

v và a

4;4 ngược hướng.

C. u

v và b

6; 24 cùng hướng.

B. u, v cùng phương. D. 2u

v, v cùng phương.

171

Câu 7. Cho u A. x

j và v

A. x

B. x

A. x

x ;2 , b

Câu 10. Cho ba vectơ a

D. x

C. x

5;1 , c

x ;7 . Tìm x biết c

C. x

B. x

15.

1 . 4

C. x

4; x . Tìm x để hai vectơ a, b cùng phương.

5;0 , b

Câu 9. Cho a

1 . 2

B. x

Câu 8. Cho a

xj . Xác định x sao cho u và v cùng phương.

2;1 , b

3;4 , c

D. x

3b .

D. x

7;2 . Giá trị của k, h để c

k.a

15.

A. k

2,5; h

1,3.

B. k

4, 6; h

5,1.

C. k

4, 4; h

0, 6.

D. k

3, 4; h

0, 2.

h.b là

Vấn đề 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Câu 11. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A 5;2 , B 10;8 . Tìm tọa độ của vectơ AB ? A. AB

15;10 .

B. AB

2;4 .

C. AB

5;6 .

Câu 12. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;3 , B AB

1;2 , C

D. AB

50;16 .

2;1 . Tìm tọa độ của vectơ

AC.

5; 3 .

B. 1;1 .

1;2 .

1;1 .

Câu 13. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2; 3 , B 4;7 . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. A. I 6;4 .

B. I 2;10 .

C. I 3;2 .

D. I 8; 21 .

Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;5 , B 1;2 , C 5;2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ? A. G

3; 3 .

B. G

9 9 ; . 2 2

C. G 9;9 .

D. G 3;3 .

Câu 15. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 6;1 , B

3;5 và trọng tâm G

1;1 .

Tìm tọa độ đỉnh C ? A. C 6; 3 .

B. C

6;3 .

C. C

6; 3 .

Câu 16. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A

D. C

3;6 .

2;2 , B 3;5 và trọng tâm là gốc tọa

độ O 0;0 . Tìm tọa độ đỉnh C ? A. C

1; 7 .

B. C 2; 2 .

C. C

3; 5 .

D. C 1;7 .

Câu 17. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1; 1 , N 5; 3 và C thuộc trục Oy , trọng tâm G của tam giác thuộc trục Ox . Tìm tọa độ điểm C. A. C 0;4.

B. C 2;4.

C. C 0;2.

Câu 18. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C

172

D. C 0; 4.

2; 4 , trọng tâm G 0;4 và trung

điểm cạnh BC là M 2;0 . Tổng hoành độ của điểm A và B là A.

B. 2.

C. 4.

Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A

D. 8. 2;0 . Khẳng định nào sau

1;1 , B 1;3 , C

đây sai? A. AB

B. A, B, C thẳng hàng.

2 AC.

2 D. BA 2CA 0. BC. 3 Câu 20. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 3; 2 , B 7;1 , C 0;1 , D C. BA

8; 5 . Khẳng

định nào sau đây đúng? A. AB, CD là hai vectơ đối nhau.

B. AB, CD ngược hướng.

C. AB, CD cùng hướng.

D. A, B, C, D thẳng hàng.

Câu 21. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A

1;5 , B 5;5 , C

1;11 . Khẳng định nào sau đây

đúng? A. A, B, C thẳng hàng.

B. AB, AC cùng phương.

C. AB, AC không cùng phương.

D. AB, AC cùng hướng.

Câu 22. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 1;1 , B 2; 1 , C 4;3 , D 3;5 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

B. G 9;7 là trọng tâm tam giác BCD.

C. AB

D. AC , AD cùng phương.

CD.

Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;1 , B

2; 2 , C 7;7 . Khẳng định

nào sau đây đúng? A. G 2;2 là trọng tâm tam giác ABC.

B. B ở giữa hai điểm A và C.

C. A ở giữa hai điểm B và C.

D. AB, AC cùng hướng.

Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 3; 4 . Gọi M 1 , M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox , Oy. Khẳng định nào đúng? A. OM 1

C. OM 1

OM 2

3; 4 .

B. OM 2

D. OM 1

OM 2

3; 4 .

Câu 25. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC , điểm C thuộc trục hoành. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB có tung độ khác 0.

B. Hai điểm A , B có tung độ khác nhau.

C. C có hoành độ bằng 0.

D. x A

Câu 26. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A

5; 2 , B

0. 5;3 , C 3;3 , D 3; 2 . Khẳng

định nào sau đây đúng? A. AB, CD cùng hướng.

B. ABCD là hình chữ nhật.

173

C. I

1;1 là trung điểm AC.

D. OA

OC .

Câu 27. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 2;1 , B 2; 1 , C

2; 1 . Xét hai

2; 3 , D

mệnh đề:

I . ABCD là hình bình hành.

II . AC cắt BD tại M 0; 1 .

Khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I và II đều đúng.

D. Cả I và II đều sai.

Câu 28. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B 3;2 , C 6;5 . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D 4;3 .

B. D 3;4 .

C. D 4;4 .

D. D 8;6 .

Câu 29. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 0; 3 , B 2;1 , D 5;5 Tìm tọa độ điểm C để tứ giác ABCD là hình bình hành. A. C 3;1 .

B. C

C. C 7;9 .

3; 1 .

D. C

7; 9 .

Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A 0;3 , D 2;1 và I

1;0 là

tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ tung điểm của cạnh BC . A. 1;2 .

2; 3 .

3; 2 .

4; 1 .

Câu 31. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B 9;7 , C 11; 1 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tìm tọa độ vectơ MN ? A. MN

2; 8 .

B. MN

1; 4 .

C. MN

10;6 .

D. MN

Câu 32. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 2;3 , N 0; 4 , P

5;3 . 1;6 lần lượt là

trung điểm của các cạnh BC, CA, AB . Tìm tọa độ đỉnh A ? A. A 1;5 .

B. A

C. A

3; 1 .

2; 7 .

Câu 33. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 , B IA

2 IB

A. I 1;2 .

D. A 1; 10 .

2;3 . Tìm tọa độ đỉểm I sao cho

B. I 1;

2 . 5

C. I

8 . 3

D. I 2; 2 .

Câu 34. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; 3 , B 3;4 . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng. A. M 1;0 .

B. M 4;0 .

C. M

5 1 ; . 3 3

Câu 35. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;0 , B 0;3 và C trục hoành sao cho biểu thức P A. M 4;0 .

174

B. M

4;0 .

2 MA

3MB

D. M

17 ;0 . 7

3; 5 . Tìm điểm M thuộc

2 MC đạt giá trị nhỏ nhất.

C. M 16;0 .

D. M

16;0 .

TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ VAØ ÖÙNG DUÏNG

7 BAØI 1.

GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ TÖØ 00 ÑEÁN 1800

1. Định nghĩa Với mỗi góc cho xOM

1800 ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao

và giả sử điểm M có tọa độ M x 0 ; y0 . y

Khi đó ta có định nghĩa: sin của góc là y0 , kí hiệu sin cosin của góc tang của góc

là x 0 , kí hiệu cos

y là 0 x 0 x0 kí hiệu tan

cotang của góc

y0 ;

là

x0 y0 y0

x0 ;

0 , y0 ; x0 0 , kí hiệu cot

x 1

x0 . y0

175

2. Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM xON

180

sin

. Ta có yM

sin 180

y0 , x M

x 0 . Do đó

thì

cos

cos 180 0

tan

tan 180 0

cot

cot 180 0

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị lượng giác

30 0

450

60 0

90 0

1800

sin

1 2

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tan

cot

3 1

Trong bảng kí hiệu " " để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn:

sin 120 0

sin 180 0

60 0

cos1350

cos 180 0

45 0

sin 60 0 cos 45 0

3 2 2 . 2

4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA 0

a và OB

Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là a, b . Nếu a, b kí hiệu là a

b hoặc b

90 0 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau,

177

O b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có a, b

b, a .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị cos 450

sin 450 bằng bao nhiêu?

A. 1.

Câu 2. Giá trị của tan 30 A.

4 3

. B.

3 3

. C.

D. 0.

cot 30 bằng bao nhiêu? 2 3

D. 2.

Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? A. sin 150 O

3 . 2

B. cos150 O

3 . 2

C. tan 150 O

D. cot150O

Câu 4. Tính giá trị biểu thức P A. P

3 . 2

B. P

cos30 cos 60

Câu 5. Tính giá trị biểu thức P

sin 30 sin 60 . C. P

sin 30 cos 60

cos 45O

C. sin 60 D. sin 120 cos150 0. Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 0O

cos 0O

C. sin180O

cos180O

D. P

B. sin 30O

sin 60 cos30 .

A. P 1. B. P 0. C. P Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 45O

D. P

cos 60O O

cos30

B. sin 90O

cos 90O

D. sin 60 O

cos 60 O

1. O

0. 1. 3 1 . 2

Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. cos 45O

sin 45O.

B. cos 45O

sin 135O.

C. cos30O

sin120O.

D. sin 60O

cos120O.

Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc B A. cos B

178

1 3

B. sin C

3 . 2

30 0. Khẳng định nào sau đây là sai?

C. cos C

1 . 2

D. sin B

1 . 2

Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin BAH

3 . B. cos BAH 2

1 3

3 . 2

C. sin ABC

D. sin AHC

1 . 2

Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin 180

B. sin 180

cos .

C. sin 180

sin .

D. sin 180

sin .

cos .

Câu 12. Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? cos . tan . cot . A. sin B. cos C. tan D. cot sin . Câu 13. Tính giá trị biểu thức P

sin 30 cos15

3 B. P 0. . 4 Câu 14. Cho hai góc và P cos cos sin sin . A. P

A. P

B. P

với C. P

B. P

1 D. P 1. . 2 180 . Tính giá trị của biểu thức

C. P

Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính P A. P

sin 150 cos165 .

sin A. cos B

cos A. sin B

C. P

Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính P

cos A. cos B

D. P

C .

D. P

sin A. sin B

cos . B. cos

Câu 18. Tính giá trị biểu thức S

sin 15

A. S 0. B. S 1. Câu 19. Cho hai góc và P sin cos sin cos . A. P 0. B. P 1. Câu 20. Cho hai góc và P cos cos sin sin . A. P

B. P

C. tan

sin .

D. cot

cot . 2

C .

1. A. P 0. B. P 1. C. P D. P Câu 17. Cho hai góc nhọn và phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?

A. sin

tan .

cos 20 C. S

sin 75 cos 110 . 2. D. S 4. 90 . Tính giá trị của biểu thức

C. P

1. D. P 2. 90 . Tính giá trị của biểu thức

với

1. 1. C. P D. P Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 21. Cho là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng? 0. 0. 0. 0. A. sin B. cos C. tan D. cot Câu 22. Cho hai góc nhọn và trong đó . Khẳng định nào sau đây là sai? A. cos

cos .

B. sin

sin .

Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai? cos50 . A. cos75

C. cot B. sin 80

cot .

D. tan

tan

sin 50 .

179

C. tan 45 tan 60 . Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90 sin 100 .

D. cos30

sin 60 .

B. cos 95

cos100 .

C. tan 85 tan 125 . Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng?

D. cos145

A. sin 90

B. sin 90 15

sin 150 .

C. cos 90 30

cos125 .

sin 90 30 .

D. cos150

cos100 .

cos120 .

Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 1 sin 2 . A. cos 2 B. cos 2 2 2 2 3 C. cos 2

sin 2

Câu 27. Cho biết sin A. P

1 . 4

3 . Giá trị của P 5

105 . 25

B. P

Câu 28. Cho biết tan A. P

4 . 3

B. P

19 . 13

B. P

Câu 31. Cho biết 3 cos A. tan

4 . 3

5 . 4 Câu 33. Cho biết sin

180

100 . 26

B. tan

A. cot

C. sin cos

19 . 13

sin

Câu 32. Cho biết 2 cos

A. sin cos

5 . 3

5. Giá trị của P

10 . 26

B. cot cos 2

1 2

6 sin 6 cos

sin 2

5 cos 2

sin 2

7 cos 7 sin 4 . 3

cot 2 cot

3 tan tan

C. P

25 . 13

bằng bao nhiêu ?

D. P

2 , 00

111 . 25

bằng bao nhiêu ?

5 . 3

D. P bằng bao nhiêu ? D. P

25 . 13

1 bằng bao nhiêu ?

5sin cos

C. tan

109 . 25

C. P

2 cos2

1? 1 . 3

50 . 26

D. P

900. Giá trị của tan

3 . 4

101 . 26

bằng

4 . 5

D. tan

5 . 4

900. Tính giá trị của cot .

3 2 . . C. cot 4 4 a. Tính giá trị của sin cos .

a . B. sin cos 2

C. P

1 , 00

2 sin

3 sin 2

C. P

2 . Giá trị của P 3

Câu 30. Cho biết cot A. P

107 . 25

3. Giá trị của P

Câu 29. Cho biết cos A. P

D. 5 cos 2

sin 2

D. cot

2a.

D. sin cos

11 2

2 . 2

Câu 34. Cho biết cos A. P

5 . 4

7 . 4

B. P

Câu 35. Cho biết sin

tan 2

C. P

17 . 5

B. P

cot 2

bằng bao nhiêu ?

9 . 4

1 . Giá trị của P 5

cos

15 . 5

A. P

1 . Giá trị của P 3

sin

D. P

sin 4

C. P

cos 4

11 . 4

bằng bao nhiêu ?

19 . 5

D. P

21 . 5

Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120O ? A. MN , NP

B. MO, ON .

Câu 37. Cho tam giác đều ABC. Tính P A. P

3 3 . 2

C. MN , OP .

cos AB, BC

3 . 2

B. P

C. P

D. MN , MP .

cos BC, CA 3 . 2

cos CA, AB . D. P

3 3 . 2

Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH . Tính AH , BA . A. 300.

B. 600.

C. 120 0.

Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc B

D. 150 0.

50 0. Hệ thức nào sau đây sai?

A. AB, BC

130 0.

B. BC, AC

40 0.

C. AB, CB

50 0.

D. AC, CB

40 0.

Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC A. cos AC, CB

1 . 2

2 AC. Tính cos AC, CB .

B. cos AC, CB

3 . 2

D. cos AC , CB

Câu 41. Cho tam giác ABC . Tính tổng AB, BC

BC, CA

C. cos AC , CB

A. 180 . B. 360 .

C. 270 .

Câu 42. Cho tam giác ABC với A A. 120 . B. 360 .

HA, HB

HB, HC

A. 360 . B. 180 .

3 . 2

CA, AB .

D. 120 . 60 . Tính tổng AB, BC

C. 270 .

Câu 43. Tam giác ABC

1 . 2

có góc

BC, CA .

D. 240 .

A bằng 100

và có trực tâm H . Tính tổng

HC, HA .

C. 80 .

D. 160 .

181

Câu 44. Cho hình vuông ABCD . Tính cos AC, BA . A. cos AC , BA C. cos AC, BA

2 . 2

D. cos AC, BA

Câu 45. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng AB, DC A. 450.

2 . 2

B. cos AC , BA

B. 4050.

1. AD, CB

C. 3150.

BAØI 2.

CO, DC . D. 2250.

TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ

1. Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là

a.b, được xác định bởi công thức sau:

a.b

a . b cos a, b .

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b Chú ý Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b Khi a

b tích vô hướng a.a được kí hiệu là a 2 và số này được gọi là bình phương vô

hướng của vectơ a. Ta có:

a . a . cos 0 0

a .

2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có: a.b

b.a (tính chất giao hoán);

a b

ka .b

a.b k a.b

0, a

a.c (tính chất phân phối); a. kb ;

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: 2

182

2a.b

b ;

a b

b a b

2a.b

b ; 2

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Trên mặt phẳng tọa độ O; i ; j , cho hai vectơ a

b1 ; b2 . Khi đó tích vô

a1 ; a2 , b

hướng a.b là:

a.b Nhận xét. Hai vectơ a

a1 ; a2 , b

a1b1

a2 b2 .

b1 ; b2 đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và

chỉ khi

a1b1

a2b2

4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ Độ dài của vectơ a

a1 ; a2 được tính theo công thức:

a12

a22 .

b) Góc giữa hai vectơ Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a

a1 ; a2

và b

b1 ; b2 đều

khác 0 thì ta có

cos a; b

a1b1

a.b a12

a.b

a2 b2

a22 . b12

b22

c) Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm A x A ; y A và B x B ; y B được tính theo công thức:

yA .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a.b

a.b .

B. a.b

C. a.b

Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc

a.b A.

D. a.b

a.b .

giữa hai vectơ a và b khi

a.b. 1800.

0 0.

900.

450.

183

Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a

2 và a.b

3, b

3. Xác định góc

giữa hai

vectơ a và b. A.

300.

450.

Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a vuông góc với nhau. Xác định góc A.

1200.

2 a 3b và v 5

1 và hai vectơ u

giữa hai vectơ a và b.

90 .

600.

180 .

450.

Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? A. a.b

1 a 2

C. a.b

1 a 2

b .

B. a.b

1 2 a 2

D. a.b

1 a 4

b .

Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB. AC . A. AB. AC

2a2 .

a2 3 . C. AB. AC 2

B. AB. AC

a2 . 2

D. AB. AC

a2 . 2

Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB. BC. a2 3 a2 a2 . C. AB.BC D. AB.BC . . 2 2 2 Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. AB.BC

a2 .

B. AB.BC

a2 1 2 1 2 1 2 . a . B. AC.CB a . a. C. GA.GB D. AB. AG 6 2 2 2 Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. AB. AC

A. AH . BC

150 0.

B. AB, HA

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB A. AB. BC

a2 .

B. AB.BC

b2 .

c2 .

B. BA. BC

Câu 12. Cho tam giác ABC có AB A. CA.CB

13.

B. CA.CB

15.

Câu 13. Cho tam giác ABC có BC A. P

c2 .

B. P

b2 2

Câu 14. Cho tam giác ABC có BC

184

a, CA .

a, CA

C. P

b, AB

c2 .

D. AB.BC

D. BA.BC

D. CA.CB

17.

c. Tính P c2

a2 2 . 2

c2 .

5 cm. Tính CA.CB.

3 cm, CA

b, AB

a2 . 2

b. Tính BA.BC.

c, AC

C. CA.CB

C. BA.BC

2 cm, BC

D. AC.CB a. Tính AB. BC.

C. AB. BC

Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB A. BA.BC

a2 . 2

C. AB. AC

b2 3

19.

AC .BC.

b2 a 2 . 2 c. Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tính .

D. P

AM . BC.

A. AM .BC

c2 2

b2 3

B. AM .BC

. a2

b2 2

b2 a 2 . 2 Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng C. AM . BC

D. AM .BC

0 là

OB . AB

A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuông tại O. D. tam giác OAB vuông cân tại O. Câu 16. Cho M , N , P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai? A. MN NP

C. MN .PQ

PQ. MN .

MN .NP

MN .PQ .

B. MP. MN D. MN

MN . MP .

PQ MN

MN 2

PQ 2 .

Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB. AC . A. AB. AC

a2 .

a 2 2.

B. AB. AC

Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính P A. P

B. P

3a2 .

AC. CD

B. P

2 2a.

2a2 .

C. P

1 2 a. 2

D. AB. AC

CA .

3a2 .

C. P

Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P A. P

2 2 a . 2

C. AB. AC

D. P

AC . BC

a2 .

2a2 .

BA .

D. P

2 a2 .

Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính AE . AB. 3a 2 . 5a 2 . A. AE . AB 2 a 2 . B. AE . AB C. AE . AB D. AE . AB 5a 2 . Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AC AM . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính MB. MN . 4

A. MB. MN

4. B. MB. MN

C. MB. MN

Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB A. AB. BD

62.

B. AB. BD

64.

Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC A. AB. AC

24.

B. AB. AC

8, AD

26.

Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB

D. MB. MN

16.

D. AB.BD

64.

5. Tích AB.BD.

C. AB.BD

8 và BD

62.

6. Tính AB. AC .

C. AB. AC

8 cm, AD

28.

D. AB. AC

32.

12 cm , góc ABC nhọn và diện tích

bằng 54 cm 2 . Tính cos AB, BC . A. cos AB, BC

2 7 . 16

B. cos AB, BC

2 7 . 16

185

5 7 . 16

C. cos AB, BC

5 7 . 16

D. cos AB, BC

Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB

a và AD

a 2 . Gọi K là trung điểm của cạnh

AD. Tính BK . AC .

A. BK . AC

a 2 2.

B. BK . AC

a 2 2.

C. BK . AC

D. BK . AC

2a2 .

Vấn đề 2. QUỸ TÍCH Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB A. một điểm.

B. đường thẳng.

C. đoạn thẳng.

Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB MA đỉnh của tam giác. A. một điểm. B. đường thẳng.

0 là:

D. đường tròn.

C. đoạn thẳng.

0 với A, B, C là ba D. đường tròn.

Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC 0 là: A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Câu 29*. Cho hai điểm A , B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N thỏa mãn AN . AB 2a 2 là: A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Câu 30*. Cho hai điểm A , B cố định và AB 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA. MB

16 là:

A. một điểm.

B. đường thẳng.

C. đoạn thẳng.

D. đường tròn.

Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A x A ; y A , B x B ; y B , C xC ; yC thì  Trung điểm I của đoạn AB

xB 3

 Trọng tâm G

 Trực tâm H

HA.BC

HB.CA

xA 2

xC y A ;

x B yA ; yB 3

 Chân đường cao K hạ từ đỉnh A

 Chân đường phân giác trong góc A là điểm D

186

CA .

AE 2 AE 2

AK .BC BK

 Tâm đường tròn ngoại tiếp E

 Chu vi: P

BE 2 . CE 2

k BC

AB . DC. AC

1 AB. AC. sin A 2

 Diện tích: S  Góc A : cos A

1 AB. AC. 1 cos 2 A . 2

cos AB, AC . AB. AC 0 . AB AC

 Tam giác ABC vuông cân tại A

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 3; 1 , B 2;10 , C

4;2 . Tính tích vô

hướng AB. AC . A. AB. AC

B. AB. AC

40.

C. AB. AC

D. AB. AC

26.

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 3; 1 và B 2;10 . Tính tích vô hướng AO.OB.

A. AO.OB

B. AO.OB

C. AO.OB

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a

D. AO.OB

6 j và b

16.

7 j. Tính tích vô

hướng a.b. A. a.b

B. a.b

30.

C. a.b

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a vectơ c biết c.a A. c

9 và c.b

B. c

1; 3 .

A. P

a. b

3;2 và b

43.

1; 7 . Tìm tọa độ

20.

1;3 .

C. c

D. c

1; 3 .

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a Tính P

D. a.b

30.

1;3 .

4;3 và c

1;2 , b

2;3 .

c. B. P

18.

C. P

D. P

20.

Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a

1;1 và b

28.

2;0 . Tính cosin của

góc giữa hai vectơ a và b . A. cos a, b C. cos a, b

1 2

1 2 2

2 . 2

B. cos a, b

. .

D. cos a, b

Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a

1 . 2

2; 1 và b

4; 3 . Tính cosin

của góc giữa hai vectơ a và b . A. cos a, b C. cos a, b

5 . 5 3 . 2

B. cos a, b

2 5 . 5

D. cos a, b

1 . 2

187

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a

4;3 và b

1;7 . Tính góc

giữa

hai vectơ a và b . A.

90O.

60O.

45O.

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x

30O.

1;2 và y

3; 1 . Tính góc

giữa hai vectơ x và y. A.

45O.

60O.

90O.

135O.

Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a

2;5 và b

3; 7 . Tính góc

giữa hai vectơ a và b . A.

30O.

45O.

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a

60O.

135O.

9;3 . Vectơ nào sau đây không vuông

góc với vectơ a ? A. v1

1; 3 .

B. v2

2; 6 .

C. v3

D. v4

1;3 .

Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;2 , B

1;3 .

1;1 và C 5; 1 . Tính cosin

của góc giữa hai vectơ AB và AC. A. cos AB, AC

1 . 2

3 . 2

B. cos AB, AC

5 2 . D. cos AB, AC . 5 5 Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 6;0 , B 3;1 và C

C. cos AB, AC

Tính số đo góc B của tam giác đã cho. A. 15O. B. 60O. C. 120O. Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A D

1; 1 .

D. 135O.

8;0 , B 0;4 , C 2;0

và

3; 5 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai góc BAD và BCD phụ nhau.

B. Góc BCD là góc nhọn.

C. cos AB, AD

D. Hai góc BAD và BCD bù nhau.

cos CB, CD .

1 i 2

Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u vectơ u vuông góc với v. A. k 20. B. k

20.

C. k

5 j và v

D. k

40.

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u

1 i 2

5 j và v

4 j. Tìm k để

40.

4 j. Tìm k để

vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau. A. k

37 . 4

B. k

37 . 2

C. k

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a

188

37 . 2

2;3 , b

D. k

5 . 8

4;1 và c

mb với

. Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ a

k, m A. 2 k

2m.

B. 3k

C. 2 k

2m.

b . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a biết a.d A. d

4 và b.d 2. 5 6 ; . B. d 7 7

5 6 ; . 7 7

C. d

2;3 và b

5 6 ; . 7 7

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u m . Tìm m để a vuông góc với trục hoành. A. m 4. B. m C. m 4.

v tạo với vectơ b

m.u

A. m

B. m

5 6 ; . 7 7

1;4 và a D. m

4;1 và v

4;1 . Tìm vectơ d

D. d

4;1 , v

Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u a

D. 3k

m.v với

1;4 . Tìm m để vectơ

j một góc 450.

1 1 C. m . . 2 4 Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI

D. m

1 . 2

Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M 1; 2

và

3;4 .

A. MN

B. MN

C. MN

D. MN

3 6.

2 13.

Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;4 , B 3;2 , C 5;4 . Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. P

2 2.

B. P

4 2.

C. P

3 i 5

Câu 53. Trong hệ tọa độ O; i ; j , cho vectơ a A.

1 . 5

B. 1.

6 . 5

D. P

8 2.

2 2.

4 j . Độ dài của vectơ a bằng 5

7 . 5

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u

3;4 và v

8;6 . Khẳng định nào

sau đây đúng? A. u

C. u vuông góc với v .

B. u và v cùng phương. D. u

Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A 1;2 , B

2; 4 , C 0;1 và D

3 . 2

Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. AB cùng phương với CD .

B. AB

C. AB

D. AB

CD.

CD . CD.

Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 7; 3 , B 8;4 , C 1;5 và D 0; 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

189

A. AC CB. B. Tam giác ABC đều. C. Tứ giác ABCD là hình vuông. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn. Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A

1;1 , B 0;2 , C 3;1 và D 0; 2 .

Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Tứ giác ABCD là hình thoi. C. Tứ giác ABCD là hình thang cân. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn. Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tam giác ABC đều. C. Tam giác ABC cân tại B .

1;1 , B 1;3 và C 1; 1 .

B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn. D. Tam giác ABC vuông cân tại A .

Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 10;5 , B 3;2 và C 6; 5 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. C. Tam giác ABC vuông cân tại B .

B. Tam giác ABC vuông cân tại A . D. Tam giác ABC có góc A tù.

Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A C

2; 1 , B 1; 1 và

2;2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều. C. Tam giác ABC vuông tại B .

B. Tam giác ABC vuông cân tại A . D. Tam giác ABC vuông cân tại C .

Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A

2;4 và B 8;4 . Tìm tọa độ điểm C

thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C. A. C 6;0 .

B. C 0;0 , C 6;0 .

C. C 0;0 .

Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 và B

D. C

1;0 .

3;1 . Tìm tọa độ điểm C

thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A. A. C 0;6 .

B. C 5;0 .

C. C 3;1 .

D. C 0; 6 .

Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A –4;0 , B –5;0 và C 3;0 . Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho MA

A. M –2;0 .

B. M 2;0 .

C. M –4;0 .

D. M –5;0 .

Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M –2;2 và N 1;1 . Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M , N , P thẳng hàng. A. P 0;4 .

B. P 0; –4 .

C. P –4;0 .

D. P 4;0 .

Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó

190

đến điểm N

1;4 bằng 2 5.

A. M 1;0 .

B. M 1;0 , M

3;0 . C. M 3;0 .

D. M 1;0 , M 3;0 .

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;3 và B 4;2 . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B. 5 5 3 ;0 . ;0 . A. C B. C ;0 . C. C 3 3 5

3 ;0 . 5

D. C

Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;2 , B 5; 2 . Tìm điểm M thuộc trục hoàng sao cho AMB A. M 0;1 .

900 ?

B. M 6;0 .

C. M 1;6 .

D. M 0;6 .

Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 1 và B 3;2 . Tìm M thuộc trục tung sao cho MA 2 A. M 0;1 .

MB 2 nhỏ nhất. B. M 0; 1 .

C. M 0;

1 . 2

D. M 0;

Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A

1 . 2

2;0 , B 2;5 ,

C 6;2 . Tìm tọa độ điểm D . A. D 2; 3 .

B. D 2;3 .

C. D

D. D

2; 3 .

Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3 , B tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho. 8 10 10 . . A. G 2; B. G ; 3 3 3

C. G 2;5 .

2;3 . 2;4 , C 5;3 . Tìm

D. G

Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. 1 1 1 ;1 . A. I ;1 . B. I C. I 1; . 4 4 4 Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A

H a; b là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a

4 10 ; . 3 3

4;1 , B 2;4 , C 2; 2 .

D. I 1;

1 . 4

3;0 , B 3;0 và C 2;6 . Gọi

6b.

A. a 6b 5. B. a 6b 6. C. a 6b 7. D. a 6b 8. Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;3 , B 2;7 và C Tìm toạ độ chân đường cao A ' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC . A. A ' 1; 4 . B. A ' 1;4 . C. A ' 1;4 .

D. A ' 4;1 .

Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 2;4 , B tọa độ chân đường cao A ' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho. 3 1 3 1 3 1 ; . ; . A. A ' ; . B. A ' C. A ' 5 5 5 5 5 5 Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông. A. D 5; 8 . B. D 8;5 . C. D

3; 8 .

3;1 , C 3; 1 . Tìm

D. A '

3 1 ; . 5 5

3; 2 , B 3;6 và C 11;0 . Tìm tọa

5;8 .

D. D

8;5 .

191

Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;4 và B 1;1 . Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. A. C 4;0 . B. C 2;2 .

C. C 4;0 , C

D. C 2;0 .

2;2 .

Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A 1; 1 và B 3;0 . Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm. A. D 0; 1 .

B. D 2; 3 .

C. D 2; 3 , D 0;1 .

D. D

Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 1;2 , B

2; 3 .

1;3 , C

và

2; 1

D 0; 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. ABCD là hình vuông. C. ABCD là hình thoi.

B. ABCD là hình chữ nhật. D. ABCD là hình bình hành.

Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A 1;3 và B 4;2 . Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB. 5 5 ; . 2 2

A. E C. E

3 1 ; . 2 2

B. E

3 2;4

D. E

2 .

3 2;4

2 .

Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0 , B 0;2 và C 0;7 . Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD. A. D 7;0 .

B. D 7;0 , D 2;9 .

BAØI 3.

C. D 0;7 , D 9;2 .

D. D 9;2 .

CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VAØ GIAÛI TAM GIAÙC

1. Định lí côsin Cho tam giác ABC có BC

a, AC

b và AB

Ta có a2

2bc. cos A ;

2ca. cos B;

2ab. cos C.

b c

Hệ quả cos A

B b

c a ; 2bc

cos B

a b ; 2 ca

cos C

b c . 2 ab

2. Định lí sin Cho tam giác ABC có BC a, AC bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có a b c 2R sin A sin B sin C

192

b , AB

c và R là

c B

I a

3. Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C . Ta có

m m

2 a

2 b

mc2

c2 2

b2 2

a2 ; 4 b2 ; 4 c2 . 4

mb B

mc a

4. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ; ● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; a b c ● p là nửa chu vi tam giác; 2 ● S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 S aha bhb chc 2 2 2 1 1 1 bc sin A ca sin B ab sin C 2 2 2 abc 4R pr

p p a p b p c. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC Câu 1. Tam giác ABC có AB A. 30 .

C. 60 .

1 và A

2, AC

D. 90 .

60 . Tính độ dài cạnh BC .

D. BC 2. 3. Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB và ACB A. BC

B. BC

8 . Số đo góc A bằng:

7, CA

B. 45 .

Câu 2. Tam giác ABC có AB A. BC

5, BC

C. BC

60 . Tính độ dài cạnh cạnh BC .

3 3 6.

B. BC

Câu 4. Tam giác ABC có AB

3 6

2, AC

C. BC

3 và C

3 7.

D. BC

3 33 . 2

45 . Tính độ dài cạnh BC .

193

A. BC

Câu 5. Tam giác ABC có B 5 6 . 2

A. AC

B. BC

2 2

45 và AB

60 , C

B. AC

C. BC

B. AC

Câu 7. Tam giác ABC có AB

C. AC

2. 4, BC

D. AC

5 2.

Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có BAD A. AC

D. BC

5 . Tính độ dài cạnh AC .

C. AC

5 3.

10.

60 . Tính độ dài cạnh AC .

D. AC

2 3.

2 7 . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho

6, AC

2 MB . Tính độ dài cạnh AM .

A. AM

B. AM

4 2.

Câu 8. Tam giác ABC có AB

C. AM

3. 6

2 2

, BC

D. AM

2 3.

3 2.

2 . Gọi D là chân đường phân

3, CA

giác trong góc A . Khi đó góc ADB bằng bao nhiêu độ? A. 45 . B. 60 . C. 75 . D. 90 . Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH 32 cm . Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4 . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu? A. 38 cm. B. 40 cm. C. 42 cm. D. 45 cm. Câu 10. Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F sao cho các góc

MPE , EPF , FPQ bằng nhau. Đặt MP sau, hệ thức nào đúng? A. ME

C. MF 2

FQ. B. ME 2 y2

q, PQ

m, PE

x , PF

y . Trong các hệ thức

xq.

D. MQ 2

yq.

2qm.

Câu 11. Cho góc xOy AB

3 . 2

30 . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho 1 . Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: B.

C. 2 2.

D. 2.

Câu 12. Cho góc xOy 30 . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB 1 . Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:

3 . B. 3. C. 2 2. 2 Câu 13. Tam giác ABC có AB c, BC A.

thức b b2

c a2

D. 2.

a, CA

b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng

c2 . Khi đó góc BAC bằng bao nhiêu độ?

A. 30 . B. 45 . C. 60 . Câu 14. Tam giác ABC vuông tại A , có AB c, AC trong góc BAC . Tính

194

theo b và c .

b . Gọi

D. 90 . là độ dài đoạn phân giác

2 b c 2 b c 2bc 2bc . B. a C. a D. a . . . bc b c bc b c Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 60 0 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây? A. 61 hải lí.

B. 36 hải lí. C. 21 hải lí. D. 18 hải lí. Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách AB 40m , CAB 450 và CBA Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 53 m .

70 0 .

B. 30 m . C. 41,5 m . D. 41 m .

Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH

4m, HB

20m, BAC

450 .

Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 17,5m . B. 17m . C. 16,5m . D. 16m . Câu 18. Giả sử CD h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A , B trên mặt đất sao cho ba điểm A , B và C thẳng hàng. Ta đo được AB 24 m ,

CAD

630 , CBD

480 .

Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 18m . B. 18,5m . C. 60m . D. 60,5m .

195

Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50 0 và 40 0 so với phương nằm ngang. Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 12m . B. 19m . C. 24m . D. 29m . Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD 60m , giả sử chiều cao của giác kế là OC 1m . Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta A nhình thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc AOB 60 0 . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây: A. 40m . B. 114m . C. 105m . D. 110m . 60°

Câu 21. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết 1m rằng độ cao AB 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 0 , phương C D 60m nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 150 30 ' . Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 135m . B. 234m . C. 165m .

D. 195m . Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Câu 22. Tam giác ABC có AB 6cm, AC xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng:

8cm và BC

A. 4cm . B. 3cm . C. 7cm . D. 5cm . Câu 23. Tam giác ABC vuông tại A và có AB AC BM của tam giác đã cho. A. BM

1, 5a.

B. BM

a 2.

Câu 24. Tam giác ABC có AB 9 cm, AC tuyến AM của tam giác đã cho. A. AM

15 cm. 2

B. AM

10 cm.

Câu 25. Tam giác ABC cân tại C , có AB

196

C. BM

10cm . Độ dài đường trung tuyến

a . Tính độ dài đường trung tuyến

a 3.

12 cm và BC

C. AM

a 5 . 2 15 cm. Tính độ dài đường trung

D. BM

9 cm.

9cm và AC

D. AM

13 cm. 2

15 cm . Gọi D là điểm đối xứng 2

của B qua C . Tính độ dài cạnh AD. A. AD

6 cm.

B. AD

9 cm.

Câu 26. Tam giác ABC có AB 5 13 và AM 26

cos AMB

A. AC

13 .

C. AD

3, BC

12 cm.

12 2 cm. là trung điểm của BC . Biết

8 . Gọi M

D. AD

3 . Tính độ dài cạnh AC .

B. AC

C. AC

13 .

D. AC

Câu 27*. Tam giác ABC có trọng tâm G . Hai trung tuyến BM Tính độ dài cạnh AB .

6 , CN

9 và BGC

120 0 .

A. AB

B. AB C. AB 2 11 . D. AB 2 13 . 11 . 13 . Câu 28**. Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. 24 .

B. 24 2 .

C. 72 .

Câu 29*. Cho tam giác ABC có AB 2

b c bằng: A.

c, BC

2a thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác tính theo a

a 3 . 3

C. 2a 3 .

Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có AB thức sau, biểu thức nào đúng:

C. 2 m 2

b . Nếu giữa a, b, c có liên hệ

a, CA

a 3 . 2

A. m 2

D. 72 2 .

3 a2 n2

b2 .

a, BC

b, BD

B. m 2

D. 3 m 2

b2 .

D. 3a 3 .

m và AC

2 a2 n2

n . Trong các biểu

b2 . b2 .

Câu 31**. Tam giác ABC có AB c, BC a, CA b . Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức a2 b2 5c2 . Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc nào? A. 30 0 .

B. 450 .

C. 60 0 .

D. 90 0 .

Câu 32**. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5m a2 mb2 m c2 . Khi đó tam giác này là tam giác gì? A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân. Câu 33**. Tam giác ABC có AB c, BC a, CA b . Gọi ma , mb , mc là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau:

3 2 a b2 c 2 . 4 Trong các khẳng định đã cho có I . ma2

mb2

A. I đúng.

mc2

B. Chỉ II đúng.

II . GA 2

GB 2

C. Cả hai cùng sai.

1 2 a 3

GC 2

c2 .

D. Cả hai cùng đúng.

Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Câu 34. Tam giác ABC có BC tam giác ABC .

10 và A

30 O . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp

197

A. R

B. R

10 .

Câu 35. Tam giác ABC có AB ngoại tiếp tam giác ABC . A. R

C. R

3, AC

6 và A

D. R

10 3 .

60 . Tính bán kính R của đường tròn

B. R 3 3 . C. R 3. Câu 36. Tam giác ABC có BC 21cm, CA 17cm, AB đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

D. R

10cm . Tính bán kính R của

85 7 7 85 B. R C. R D. R cm . cm . cm . cm . 2 4 2 8 Câu 37. Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R . Khi đó bán kính R bằng: A. R

A. R

a 3 . 2

a 2 . 3

B. R

a 3 . 3

C. R

12 AB cm và 5 AC

Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R 2,5cm . B. R 1,5cm . C. R

a 3 . 4

D. R

2cm .

3 . Tính bán kính 4

D. R

3,5cm .

Câu 39. Cho tam giác ABC có AB 3 3, BC 6 3 và CA 9 . Gọi D là trung điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. 9 9 A. R . B. R 3 . C. R 3 3 . D. R . 2 6 Câu 40**. Tam giác nhọn ABC có AC b, BC a , BB ' là đường cao kẻ từ B và CBB ' Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo a, b và là: A. R C. R

b2 2ab cos 2 sin

B. R

b2 2ab cos 2 cos

D. R

b2 2ab cos 2 sin

b2 2ab cos 2 cos

Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 41. Tam giác ABC có AB A. S

ABC

9 3.

B. S

3, AC

ABC

Câu 42. Tam giác ABC có AC A. S

ABC

B. S

Câu 43. Tam giác ABC có a A. S

ABC

16 .

B. S

ABC

Câu 44. Tam giác ABC có AB giác.

198

60 . Tính diện tích tam giác ABC .

9 3 . 2

C. S

4, BAC

30 , ACB

4 3.

C. S

21, b ABC

6, BAC

17, c

48 . 3, AC

ABC

D. S

ABC

9 . 2

75 . Tính diện tích tam giác ABC .

ABC

D. S

ABC

8 3.

10 . Diện tích của tam giác ABC bằng: C. S ABC 24 . D. S ABC 84 .

6, BAC

60 . Tính độ dài đường cao ha của tam

A. ha

3 3.

B. ha

Câu 45. Tam giác ABC có AC của tam giác.

C. ha

3 . 2

D. ha

60 . Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A

4, ACB

A. h 2 3 . B. h 4 3 . C. h 2 . D. h 4 . Câu 46. Tam giác ABC có a 21, b 17, c 10 . Gọi B ' là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh AC . Tính BB ' . 168 84 84 A. BB ' 8 . B. BB ' . C. BB ' . D. BB ' . 17 5 17 Câu 47. Tam giác ABC có AB 8 cm, AC 18 cm và có diện tích bằng 64 cm 2 . Giá trị sin A ằng: 3 . 2

A. sin A

B. sin A

3 . 8

Câu 48. Hình bình hành ABCD có AB có diện tích bằng:

C. sin A a, BC

4 . 5

a 2 và BAD

8 . 9

D. sin A

450 . Khi đó hình bình hành

B. a2 2 . C. a2 . D. a2 3 . Câu 49*. Tam giác ABC vuông tại A có AB AC 30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC bằng: A. 2a2 .

B. 50 2 cm 2 . C. 75 cm 2 . D. 15 105 cm 2 . Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R 4 cm có diện tích bằng: A. 50 cm 2 .

B. 13 2 cm 2

A. 13 cm 2

Câu 51*. Tam giác ABC có BC cạnh AB . A. AB

C. AB

2 hoặc AB

2 3, AC

2 21 . 3

C. 12 3 cm 2

D. 15 cm 2 .

2 AB và độ dài đường cao AH

B. AB

2 3 . 3

D. AB

2 hoặc AB

2 . Tính độ dài

2 3 . 3

Câu 52*. Tam giác ABC có BC a, CA b, AB c và có diện tích S . Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 2S . B. 3S . C. 4S . D. 6S . Câu 53*. Tam giác ABC có BC a và CA b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. 60 0 . B. 90 0 . C. 1500 . D. 1200 . Câu 54*. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vuông góc với nhau và có

BC A. S

3 , góc BAC ABC

3 3.

30 0 . Tính diện tích tam giác ABC .

B. S

ABC

6 3.

C. S

ABC

9 3.

D. S

ABC

3 3 . 2

Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

199

Câu 55. Tam giác ABC có AB nội tiếp tam giác đã cho. A. r

B. r

Câu 56. Tam giác ABC có a tam giác đã cho.

5, AC

21, b

8 và BAC

60 0 . Tính bán kính r của đường tròn

C. r D. r 2 3 . 3. 17, c 10 . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp

7 . D. r 2 Câu 57. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a . A. r

16 .

B. r

C. r

A. r

a 3 . 4

B. r

a 2 . 5

C. r

Câu 58. Tam giác ABC vuông tại A có AB tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. r

200

1 cm.

B. r

2 cm.

a 3 . 6

6 cm, BC

C. r

D. r

a 5 . 7

10 cm. Tính bán kính r của đường

2 cm.

D. r

3 cm.

Câu 59. Tam giác ABC vuông cân tại A , có AB tiếp tam giác đã cho. a a A. r . B. r . C. r 2 2

a . Tính bán kính r của đường tròn nội

a . 3

D. r

2 2 Câu 60. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Gọi r là R bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó tỉ số bằng: r

A. 1

2 2

2 1 . 2

2 2

PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG

8 BAØI 1.

PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng song hoặc trùng với . Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

nếu u

0 và giá của u song

2. Phương trình tham số của đường thẳng Đường thẳng

đi qua điểm M 0 x 0 ; y0 và có VTCP u

a; b thì có hệ số góc k

b . a

phương trình tham số của đường thẳng

Nhận xét. Nếu đường thẳng

có VTCP u

a; b

có dạng

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng vectơ chỉ phương của . Nhận xét. ● Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. ● Nếu u

a; b là một VTCP của

● Nếu n

A; B là một VTPT của

0 và n vuông góc với

b; a là một VTPT của

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng 202

nếu n

B; A là một VTPCT của

. .

Đường thẳng

đi qua điểm M 0 x 0 ; y0 và có VTPT n

phương trình tổng quát của đường thẳng

A x

B y

0 hay Ax

A; B

có dạng

0 với C

Ax 0

By0 .

Nhận xét.

A . B ● Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng ● Nếu đường thẳng

x a0

y bo

có VTPT n

A; B thì có hệ số góc k

C , b0 A

1 với a0

C . B

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M a0 ;0 và N 0; b0 .

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là b1 y c1 0 và 2 : a2 x 1 : a1 x Tọa độ giao điểm của

và

● Nếu hệ có một nghiệm x 0 ; y0 thì ● Nếu hệ vô nghiệm thì

và

là nghiệm của hệ phương trình:

● Nếu hệ có vô số nghiệm thì

b2 y

cắt

trùng với

2 2

0. a1 x

b1 y

a2 x

b2 y

tại điểm M 0 x 0 ; y0 .

không có điểm chung, hay

song song với

Cách 2. Xét tỉ số ● Nếu

a1 a2

b1 b2

c1 thì c2

trùng với

● Nếu

a1 a2

b1 b2

c1 thì c2

song song

● Nếu

a1 a2

b1 thì b2

cắt

6. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1

: a1 x

b1 y

: a2 x

b2 y

Gọi

0 có VTPT n1

0 có VTPT n2

a1 ; b1 ; a2 ; b2 .

là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng

và

Khi đó

203

cos

n1.n2

cos n1 , n2

a1.a2 a12

n1 . n2

b1.b2

b12 . a22

b22

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ M 0 x 0 ; y0 đến đường thẳng

ax 0

d M 0,

by 0 a2

: ax

0 được tính theo công thức

Nhận xét. Cho hai đường thẳng 1 : a1 x b1 y c1 0 và 2 : a2 x b2 y c2 thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

a1 x

b1 y 2 1

a2 x

2 1

b2 y 2 2

c2 2 2

0 cắt nhau

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG – VECTƠ PHÁP TUYẾN Câu 1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox ? A. u1

1;0 .

B. u2

0; 1 .

C. u3

1;1 .

D. u4

1;1 .

Câu 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy ? A. u1

1; 1 .

B. u2

0;1 .

C. u3

1;0 .

D. u4

1;1 .

Câu 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A 3;2 và B 1;4 ? A. u1

1;2 .

B. u2

2;1 .

C. u3

2;6 .

D. u4

1;1 .

Câu 4. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O 0;0 và điểm M a; b ? A. u1

0; a

B. u2

a; b .

C. u3

a; b .

D. u4

a; b .

Câu 5. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A a;0 và B 0; b ? A. u1

a; b .

B. u2

a; b .

C. u3

b; a .

D. u4

b; a .

Câu 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường phân giác góc phần tư thứ nhất? A. u1

1;1 .

B. u2

0; 1 .

C. u3

1;0 .

D. u4

1;1 .

Câu 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox ? A. n1

0;1 .

B. n2

1;0 .

C. n3

1;0 .

D. n4

1;1 .

Câu 8. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy ? A. n1

204

1;1 .

B. n2

0;1 .

C. n3

1;1 .

D. n4

1;0 .

Câu 9. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A 2;3 và B 4;1 ? A. n1

2; 2 .

B. n2

2; 1 .

C. n3

1;1 .

D. n4

1; 2 .

Câu 10. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A a; b ? A. n1

a; b .

B. n2

1;0 .

C. n3

b; a .

D. n4

a; b .

Câu 11. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A a;0 và B 0; b ? A. n1

b; a .

B. n2

b; a .

C. n3

b; a .

D. n4

a; b .

Câu 12. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai? A. n1

1;1 .

B. n2

0;1 .

C. n3

1;0 .

Câu 13. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u

D. n4

1;1 .

2; 1 . Trong các vectơ sau, vectơ

nào là một vectơ pháp tuyến của d ? A. n1

1;2 .

B. n2

1; 2 .

C. n3

3;6 .

Câu 14. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n

D. n4

3;6 .

4; 2 . Trong các vectơ sau, vectơ

nào là một vectơ chỉ phương của d ? A. u1

2; 4 .

B. u2

2;4 .

C. u3

1;2 .

Câu 15. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u

D. u4

2;1 .

3; 4 . Đường thẳng

vuông góc

với d có một vectơ pháp tuyến là: A. n1

4; 3 .

B. n2

4; 3 .

C. n3

Câu 16. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n

3;4 .

D. n4

3; 4 .

2; 5 . Đường thẳng

vuông góc

với d có một vectơ chỉ phương là: A. u1

5; 2 .

B. u2

5;2 .

C. u3

Câu 17. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u

2;5 .

D. u4

2; 5 .

3; 4 . Đường thẳng

song song

với d có một vectơ pháp tuyến là: A. n1

4; 3 .

B. n2

4;3 .

C. n3

Câu 18. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n

3;4 .

D. n4

3; 4 .

2; 5 . Đường thẳng

song song

với d có một vectơ chỉ phương là: A. u1

5; 2 .

B. u2

5; 2 .

C. u3

2;5 .

D. u4

2; 5 .

Vấn đề 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

205

Câu 19. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương? A. 1 . B. 2 . C. 4 .

D. Vô số.

Câu 20. Đường thẳng d đi qua điểm M 1; 2 và có vectơ chỉ phương u

3;5 có phương

trình tham số là: A. d :

5 2t

. B. d :

1 3t

C. d :

1 5t

2 3t

D. d :

Câu 21. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u

1;2 có phương

trình tham số là: A. d :

B. d :

C. d :

D. d :

Câu 22. Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 2 và có vectơ chỉ phương u trình tham số là: x 3 2t x A. d : . B. d : y 0 y

0 2

C. d :

A. u1

6;0 .

B. u2

6;0 .

C. u3

2;6 .

1 ;3 . 2

B. u2

C. u3

5; 3 .

1 6t

1;6 .

D. u4

Câu 24. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

A. u1

3;0 có phương

D. d :

Câu 23. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d :

0;1 . 1 t 2 ? 3 3t

D. u4

5;3 .

Câu 25. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A 2; 1 và B 2;5 . A.

1 6t

Câu 26. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A –1;3 và B 3;1 . A.

x y

1 2t 3

1 2t

3 t

2t 1 t

1 2t

Câu 27. Đường thẳng đi qua hai điểm A 1;1 và B 2;2 có phương trình tham số là: A.

1 t

1 2t

1 t

Câu 28. Đường thẳng đi qua hai điểm A 3; 7 và B 1; 7 có phương trình tham số là: A.

x y

t 7

x y

t 7

3 t

1 7t

Câu 29. Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng đi

206

qua hai điểm O 0;0 và M 1; 3 ? A.

1 t

3 3t

1 2t

Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 2;0 ¸ B 0;3 và C

3; 1 .

Đường thẳng đi qua điểm B và song song với AC có phương trình tham số là: A.

1 3t

3 5t

Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 3;2 ¸ P 4;0 và Q 0; 2 . Đường thẳng đi qua điểm A và song song với PQ có phương trình tham số là: A.

3 2t

x y

1 2t t

1 2t

Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A –2;1 và phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là đường thẳng chứa cạnh AB . x 2 3t x 2 4t A. . B. . y 2 2t y 1 3t

x y

. Viết phương trình tham số của

2 3t 1 4t

x y

Câu 33. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. x 3 t x 3 t x A. . B. . C. y 5 t y 5 t y

t 5

2 3t 1

3;5 và song song

5 t

Câu 34. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M 4; 7 và song song với trục Ox . A.

4t 7t

x y

4 7

x y

Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;4 , B 3;2 và

C 7;3 . Viết phương trình tham số của đường trung tuyến CM của tam giác. A.

3 5t

3 t

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2;4 , B 5;0 và

C 2;1 . Trung tuyến BM của tam giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng:

25 27 . C. 13. . D. 2 2 Câu 37. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến? A. 1. B. 2. C. 4. A.

12. B.

D. Vô số.

207

Câu 38. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d : x A. n1

0; 2 .

B. n2

1; 2 .

C. n3

2;0 .

Câu 39. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d : 3x A. n1

3;0 .

B. n2

3; 1 .

C. n3

A. n1

2; 1 .

B. n2

1;2 .

C. n3

x y

3; 2 .

B. u2

2;3 .

C. u3

2;1 .

2017

D. n4

6; 2 .

3 t

D. n4

3;2 .

Câu 42. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A

D. n4

1 2t

1; 2 .

Câu 41. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d : 2 x A. u1

6;2 .

Câu 40. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d :

2017

2018 D. u4

3;2 , B

1;2 .

0? 2; 3 .

3;3 có một vectơ

pháp tuyến là: A. n1

6;5 .

B. n2

Câu 43. Cho đường thẳng tuyến của A. n1

0;1 .

C. n3

3;5 .

D. n4

1;0 .

0 . Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp

1; –3 .

B. n2

–2;6 .

C. n3

1 ; 1 . 3

D. n4

Câu 44. Đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2 và có vectơ pháp tuyến n trình tổng quát là: A. d : x 2 y 4 0.

B. d : x

C. d : 2 x

D. d : x

2;4 có phương

Câu 45. Đường thẳng d đi qua điểm M 0; 2 và có vectơ chỉ phương u trình tổng quát là: A. d : x 0.

B. d : y

Câu 46. Đường thẳng d đi qua điểm A trình tham số là: x 4 2t A. . y 5 3t

1 3t

C. d : y

3;0 có phương

D. d : x

4;5 và có vectơ pháp tuyến n

1 2t

3;1 .

3;2 có phương x

5 2t

Câu 47. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng x 3 5t d: ? y 1 4t A. 4 x

5 y 17

B. 4 x

5 y 17

C. 4 x

5 y 17

D. 4 x

5 y 17

Câu 48. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng x 15 d: ? y 6 7t

208

A. x

B. x

C. 6 x 15 y

D. x

Câu 49. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d:x y 3 0? A.

3 t

1 t

Câu 50. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng d : 3x 2 y 6 0 ? A.

x y

3t 2t

3 t 2

Câu 51. Cho đường thẳng d : 3x

2018

A. d có vectơ pháp tuyến n

3;5 .

B. d có vectơ chỉ phương u

5; 3 .

5 . 3 D. d song song với đường thẳng

t 3 t 2

3 t 2

0 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

C. d có hệ số góc k

Câu 52. Đường thẳng d

: 2x A. 2 x

: 3x

đi qua điểm

M 1;2

và song song với đường thẳng

0 có phương trình tổng quát là:

3 y 12

0 . B. 2 x

3y 8

C. 4 x

6y 1

D. 4 x

3y 8

Câu 53. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng : 6 x 4 x 1 0 là: A. 3x 2 y 0. B. 4 x 6 y 0. C. 3x 12 y 1 0. D. 6 x 4 y 1 0. Câu 54. Đường thẳng d

: 2x A. 2 x

y 3

B. x

2y 3

Câu 55. Viết phương trình đường thẳng thẳng d :

1;2

và vuông góc với đường thẳng

0 có phương trình tổng quát là:

đi qua điểm M

3 2t

1 3t

C. x

y 1

D. x

đi qua điểm A 4; 3 và song song với đường

A. 3x

C. 3x

0 . D. 3x

3 y 17

Câu 56. Cho tam giác ABC có A 2;0 , B 0;3 , C –3;1 . Đường thẳng d đi qua B và song song với AC có phương trình tổng quát là: A. 5x – y 3 0 . B. 5x y – 3 0 . C. x

5 y –15

D. x –15 y

Câu 57. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M với đường thẳng

x y

t 2t

1;0 và vuông góc

209

A. 2 x

0 . B. 2 x

Câu 58. Đường thẳng d

: A.

1 3t

2 3t

C. x

2y 1

đi qua điểm M

D. x

và vuông góc với đường thẳng

2;1

1 3t

1 5t

Câu 59. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A với đường thẳng A.

1 13t

: 2x

1 13t

1 2t

y B.

1;2 và song song

: 3x 13 y 1 3t

1 13t

Câu 60. Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm A đường thẳng

2y 1

có phương trình tham số là:

1 5t

1 3t

2 13t

1;2 và vuông góc với

4 x

1 2t

Câu 61. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. A. x y 3 0 . B. x y 3 0 . C. x

2; 5 và song

D. 2 x

y 1

Câu 62. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M 3; 1 và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai. A. x y 4 0 . B. x y 4 0 .

C. x

D. x

Câu 63. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M

4;0 và vuông góc

với đường phân giác góc phần tư thứ hai. A.

Câu 64. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M

1;2 và song song

với trục Ox . A. y

B. x

C. x

D. y

Câu 65. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M 6; 10 và vuông góc với trục Oy . A.

B. d :

x y

t 10

C. d :

D. d :

x y

6 10

Câu 66. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A 3; 1 và B 1;5 là: A.

C. 3x

3y y

6 6

0. 0.

B. 3x

y 10

D. 3x

y 8

0. 0.

Câu 67. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A –2 ;0 và B 0 ;3 là:

210

B. 3x – 2 y

C. 3x – 2 y

D. 2 x – 3 y

A. 2 x

Câu 68. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A 2; 1 và B 2;5 là: A. x

y 1

B. 2 x

C. x

D. x

Câu 69. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A 3; 7 và B 1; 7 là: A. y 7

B. y

C. x

D. x

Câu 70. Cho tam giác ABC có A 1;1 , B (0; 2), C 4;2 . Lập phương trình đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ A. A. x

B. 2 x

y 3

C. x

2y 3

D. x

Câu 71. Đường trung trực của đoạn AB với A 1; 4 và B 5;2 có phương trình là: A. 2 x

0. B. 3x

3y 3

2y 1

C. 3x

D. x

y 1

Câu 72. Đường trung trực của đoạn AB với A 4; 1 và B 1; 4 có phương trình là: A. x

B. x

C. y

D. x

Câu 73. Đường trung trực của đoạn AB với A 1; 4 và B 1;2 có phương trình là: A. y

B. x

C. y 1

D. x

Câu 74. Đường trung trực của đoạn AB với A 1; 4 và B 3; 4 có phương trình là : A. y

B. x

C. x

D. y

Câu 75. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2; 1 , B 4;5 và

3;2 . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.

A. 7 x

3 y 11

C. 3x

7y 1

D. 7 x

7 y 13

3 y 13

Câu 76. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2; 1 , B 4;5 và

3;2 . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B.

A. 3x C. 3x

5 y 13 5 y 37

B. 3x

D. 5x

0. 0.

Câu 77. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2; 1 , B 4;5 và

3;2 . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ C.

A. x

y 1

B. x

3y 3

C. 3x

y 11

D. 3x

Vấn đề 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 78. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : x 2 y 1 0 và d2 : 3x A. Trùng nhau. C. Vuông góc với nhau.

6 y 10

B. Song song. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

211

Câu 79. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : 3x 2 y 6 0 và d2 : 6 x

2y 8

A. Trùng nhau. C. Vuông góc với nhau.

B. Song song. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. x y Câu 80. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : 1 và d2 : 3x 4 y 10 0 . 3 4 A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Câu 81. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : A. Trùng nhau. C. Vuông góc với nhau.

1 t

và d 2 :

2 2t

B. Song song. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 82. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 :

x y

3 2

4t 6t

và d 2 :

2 2t

A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Câu 83. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 3 9 x 3 t x 9t 2 2 và . : : 1 2 4 1 y 1 t y 8t 3 3 A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Câu 84. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng x 4 t . 2 y 1 0 và 2 : 1 : 7x y 1 5t A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Câu 85. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng x 4 2t d1 : và d2 : 3x 2 y 14 0 . y 1 3t A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Câu 86. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng x 4 2t d1 : và d2 : 5x 2 y 14 0 . y 1 5t A. Trùng nhau. C. Vuông góc với nhau.

B. Song song. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 87. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 :

212

x y

3t 2t

và d 2 :

x y

2t 2

A. Trùng nhau. C. Vuông góc với nhau.

B. Song song. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 88. Cho hai đường thẳng d1 :

t 3

và d2 :

5 t1

3t1

Khẳng định nào sau đây là đúng: B. d1 và d2 cắt nhau tại M 1; –3 .

A. d1 song song d2 .

C. d1 trùng với d2 . D. d1 và d2 cắt nhau tại M 3; –1 . Câu 89. Cho hai đường thẳng d1 :

1 t

Khẳng định nào sau đây là đúng: A. d1 song song d2 . C. d2 cắt trục Oy tại M 0;

và d2 : x – 2 y

B. d2 song song với trục Ox .

1 . 2

D. d1 và d2 cắt nhau tại M

Câu 90. Cho bốn điểm A 4; 3 , B 5;1 , C 2;3 và D

1 3 ; . 8 8

2; 2 . Xác định vị trí tương đối của

hai đường thẳng AB và CD . A. Trùng nhau. C. Vuông góc với nhau.

B. Song song. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 91. Cho bốn điểm A 1;2 , B 4;0 , C 1; 3 và D 7; 7 . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD . A. Trùng nhau. B. Song song. C. Vuông góc với nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau. Câu 92. Các cặp đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau? A. d1 :

và d2 : 2 x

1 2t

B. d1 : x

0 và d2 :

C. d1 : 2 x

D. d1 : 2 x

y –1 .

0 và d2 : x

2y 1

0 và d2 : 4 x

2y 1

Câu 93. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng 2 x A. 2 x

3y 1

B. x

C. 2 x

D. 4 x

Câu 94. Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với đường thẳng x A.

1 t

1 3t

3y 1

Câu 95. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng 4 x

3y 1

1 3t

213

3 3t

Câu 96. Đường thẳng nào sau đây có vô số điểm chung với đường thẳng A.

1 2018t

. B.

1 t

1 2018t

3y 1

C. 3x

2018

B. 7 x

3y 1

D. 7 x

2018

m2 y

y x

3 t

Câu 97. Đường thẳng nào sau đây có đúng một điểm chung với đường thẳng A. 7 x

1 t

5 7t

. ?

0. 0.

Câu 98. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

d1 : 3x

0 và d2 : 2m 1 x

4 y 10

0 trùng nhau?

A. m 2 . B. m C. m 2 . D. m 1. 2. Câu 99. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng có phương trình

d1 : mx A. m

m 1 y

0 và d2 : 2 x

B. m

0 . Nếu d1 song song d2 thì:

y 1

C. m

Câu 100. Tìm m để hai đường thẳng d1 : 2 x

0 và d2 :

1 . B. m 2. C. m 2 Câu 101. Với giá trị nào của a thì hai đường thẳng

1 . 2

A. m

d1 : 2 x – 4 y 1

0 và d2 :

1 at

a 1t

2. A. a B. a 2. C. a Câu 102. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

d1 :

và d2 :

x y

D. m

A. m

1 mt

B. m

và d2 : 4 x

1 2m t

C. m

1 4 mt

D. a

cắt nhau.

1 . 2

trùng nhau?

1 2. . B. m C. m 2 . 2 Câu 103. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng x

vuông góc với nhau?

A. m

d1 :

2 3t

D. m

0 trùng nhau.

4 . 3

D. m

Câu 104. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

d1 : 2 x A. m

214

0 và d 2 : m

4 m

B. m

3 x C. m

y 2.

2m 1

0 song song? D. m

Câu 105. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng 3my 10 0 và 2 : mx 4 y 1 : 2x

0 cắt nhau.

A. 1 m 10 . B. m 1 . C. Không có m . Câu 106. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

: mx

0 và

y 19

: m 1 x

1 y

D. Với mọi m .

0 vuông góc?

A. Với mọi m . B. m 2 . C. Không có m . Câu 107. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

d1 : 3mx A. m

0 và d2 : m 2

B. m

2 x

2my

C. m

D. m

0 cắt nhau?

D. m

1 và m

Câu 108. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

d1 : 2 x

0 và d2 :

3 y 10

2 3t

1 4 mt

1 9 . B. m . C. m 2 8 Câu 109. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

9 . 8

A. m

d1 : 4 x

0 và d2 :

1 2t

8 8 . B. m . C. m 3 3 Câu 110. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng A. m

0 và d2 : m 2

1. B. m

1; m

trùng nhau?

4 . 3

2 x C. m

5 . 4

D. m

A. m

d1 : 3mx

vuông góc?

D. m

2my

4 . 3

0 song song?

D. m

Câu 111. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

d1 : A.

B. m

và d2 : mx

0 song song?

2 y 14

C. m

D. m

Câu 112. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

d1 : m A. m

3 x

0 và d2 : x

C. m

0 cắt nhau?

Câu 113. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

x 1

A. Không có m .

y B. m

m 1

2t m

4 . 3

và

1 mt

C. m

trùng nhau? D. m

215

Câu 114. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng A.

B. 0;5 .

0;2 .

: 5x

C. 2;0 .

2 ;0 . 3

B. 0; 5 .

Câu 115. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d : A.

5 15t

10; 18 .

B. 10;18 .

2;0 .

và trục tung.

C. 0;5 .

Câu 116. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 7 x A.

0 và trục hoành.

2 y 10

3 y 16

5;0 .

0 và x

10;18 .

D. 10; 18 .

Câu 117. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng

d1 : A. 1;7 .

x y

3 2

4t 5t

C. 2; 3 .

3;2 .

Câu 118. Cho hai đường thẳng d1 : 2 x

và d2 :

D. 5;1 .

0 và d2 :

3 y 19

. Tìm toạ độ giao

điểm của hai đường thẳng đã cho. A. 2;5 .

B. 10;25 .

D. 5;2 .

1;7 .

Câu 119. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A –2;0 , B 1;4 và đường thẳng

d: A.

x y

t 2

. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và d . B. –2 ;0 .

2;0 .

Câu 120. Xác định a để hai đường thẳng d1 : ax một điểm nằm trên trục hoành. 1. A. a 1. B. a

D. 0 ; – 2 .

C. 0 ;2 .

3y – 4

C. a

0 và d2 :

x y D. a

Câu 121. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng d1 : 4 x

d2 :

1 t 3

cắt nhau tại

2. 3my – m 2

0 và

cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.

6. A. m 0 hoặc m 2. C. m 0 hoặc m Câu 122. Cho ba đường thẳng d1 : 3x – 2 y

B. m 0 hoặc m 2 . D. m 0 hoặc m 6 . 5 0 , d2 : 2 x 4 y –7 0 , d3 : 3x

4 y –1

Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 và d2 , và song song với d3 là: A. 24 x

32 y – 53

C. 24 x – 32 y

B. 24 x

D. 24 x – 32 y – 53

32 y

Câu 123. Lập phương trình của đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : x 3 y 1 0 , d2 : x 3y 5 0 và vuông góc với đường thẳng d3 : 2 x y 7 0 . A. 3x

216

6y 5

B. 6 x

12 y 5

C. 6 x

12 y 10

D. x

Câu 124. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình

d1 : 3x

0 , d2 : 5x

4 y 15

2y 1

0 và d3 : mx

2m 1 y

0 . Tìm tất cả

9m 13

các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.

1 B. m . 5 Câu 125. Nếu ba đường thẳng d1 : 2 x y – 4 A. m

1 . 5

C. m

0 , d2 : 5x – 2 y

D. m

0 và d3 : mx

3y – 2

đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?

12 12 B. C. 12. . . 5 5 Câu 126. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1 : 3x – 4 y A.

d3 : mx – 4 y A. m

C. m

B. m 4 . 3

C. m

B. N

4 . 3

B. N –7;0 .

Câu 130. Đường thẳng 12 x A. M 1;1 .

D. m

1;3 .

y –1

0 , d2 : x

B. N

1; 1 .

C. P 1;

3 . 4

1 2t

3 t

2y 1

0 và

B. N 1; 2 .

D. m

D. Q

3 . 4

C. P 3;5 .

D. Q 3; 2 .

0 không đi qua điểm nào sau đây? C. P

5 ;0 . 12

Câu 131. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng A. M

0 và

0 đi qua điểm nào sau đây?

Câu 129. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d : A. M 2; –1 .

2 y –1

0 đồng quy?

Câu 128. Đường thẳng d : 51x 30 y 11 A. M

0 , d2 : 5x

Câu 127. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1 : 2 x A. m

12.

0 đồng quy? B. m

d3 : mx – y – 7

1 2t

3 5t

D. Q 1;

17 . 7

D. Q

3;8 .

C. P 3;1 .

Vấn đề 4. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 132. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 2 x y 10 0 và d2 : x A. 30o. B. 45o. C. 60o. D. 135o. Câu 133. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 7 x 3 y 6 0 và d2 : 2 x

217

2 . 3

Câu 134. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 2 x o

A. 30 . B. 45 .

3 . 4

D. 2 3y

0 và d2 : y

C. 60 .

D. 90 .

Câu 135. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : x

0 và d2 : x

A. 30o. B. 45o. C. 60o. D. 90o. Câu 136. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng

d1 : 6 x

5 y 15

A. 30o. B. 45o. C. 60o. Câu 137. Cho đường thẳng d1 : x 2 y 7 bởi giữa hai đường thẳng đã cho. 2 3 A. . B. . 5 5 Câu 138. Cho đường thẳng d1 : x giữa hai đường thẳng đã cho. A.

10 . 10

2 . 3

0 và d2 :

5y 1

1 5t

D. 90o. 0 và d2 : 2 x C.

0 . Tính cosin của góc tạo

3 . 5

0 và d2 : x

Câu 139. Cho đường thẳng d1 :10 x

0 . Tính cosin của góc tạo bởi

3 . 3

0 và d2 :

1 t

. Tính cosin của góc tạo bởi

giữa hai đường thẳng đã cho. A.

3 10 . 10

3 . 5

Câu 140. Cho đường thẳng d1 : 3x

4y 1

10 . 10

0 và d2 :

15 12t

1 5t

3 . 10

Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.

56 . B. 65

33 . 65

6 . 65

Câu 141. Cho đường thẳng d1 : 2 x

33 . 65 0 và d2 :

2m 1 t

1 3t

Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho. A.

3 130

2 5 5

Câu 142. Cho hai đường thẳng d1 : 3x

4 y 12

3 5

0 và d2 :

tham số a để d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 450.

218

1 2t

1 . 2 . Tìm các giá trị của

A. a

2 hoặc a 7

C. a

5 hoặc a

14. 14.

Câu 143. Đường thẳng

7 hoặc a 2

D. a

2 hoặc a 7

đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : 2 x

0 đồng thời tạo với đường thẳng d3 : y 1

d2 : x 2 y 1 trình: A. : 2x y C.

B. a

0 hoặc

y 1 y

0 . B. 0.

y 3

0 một góc 45 có phương

0 hoặc

: 2x

0 và

Câu 144. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A 2;0 và tạo với trục hoành một góc 45 ? A. Có duy nhất. C. Vô số.

B. 2 . D. Không tồn tại.

Câu 145. Đường thẳng k của đường thẳng

A. k

1 hoặc k 3 1 hoặc k 3

C. k

tạo với đường thẳng d : x

0 một góc 450 . Tìm hệ số góc

. B. k

D. k

1 hoặc k 3

Câu 146. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d : y đường thẳng

kx tạo với

x một góc 60 . Tổng hai giá trị của k bằng:

8. A. B. 4. C. 1. Câu 147. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng điểm M x m ; ym , N x n ; yn

không thuộc

: ax

0 và hai

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng

định sau: A. M , N khác phía so với

khi ax m

bym

c . ax n

byn

B. M , N cùng phía so với

khi ax m

bym

c . ax n

byn

C. M , N khác phía so với

khi ax m

bym

c . ax n

byn

D. M , N cùng phía so với

khi ax m

bym

c . ax n

byn

Câu 148. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 3x

4y 5

0 và hai

điểm A 1;3 , B 2; m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d .

1 1 1. . C. m D. m . 4 4 Câu 149. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 4 x 7 y m A. m

điểm A 1;2 , B

B. m

0 và hai

3;4 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d và đoạn thẳng AB có

219

điểm chung. A. 10

40 .

C. 10

40 .

D. m

Câu 150. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d :

A 1;2 , B

10 .

1 3t

và hai điểm

2; m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với

A. m

B. m

13.

13 .

C. m

D. m

13.

Câu 151. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d :

A 1;2 , B A. m

13 .

1 t

và hai điểm

3;4 . Tìm m để d cắt đoạn thẳng AB .

B. m

C. m

D. Không tồn tại m .

Câu 152. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;3 , B

1;5 . Đường thẳng d : 2 x

2;4 và

0 cắt cạnh nào của tam giác đã cho?

A. Cạnh AC . B. Cạnh AB . C. Cạnh BC . D. Không cạnh nào. Câu 153. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng 2 y 3 0 và 2 : 2 x y 3 0 . 1 :x A. 3x

0 và x

C. 3x

0 và

3y x

B. 3x

0 và x

D. 3x

0 và x

6 3y

0. 6

Câu 154. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng : x y 0 và trục hoành. A. 1

2 x

0; x

2 y

B. 1

C. 1

2 x

0; x

2 y

D. x

2 x 1

0; x

2 y

0; x

2 y

Câu 155. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A

7 ;3 , B 1;2 và 4

4;3 . Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

A. 4 x

2 y 13

C. 4 x

2y 1

0. 0.

B. 4 x

8 y 17

D. 4 x

8 y 31

Câu 156. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;5 , B

4; 5 và

C 4; 1 . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là: A. y

B. y

C. x

D. x 1

Câu 157. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x

d2 :12 x 5 y 12 d1 và d2 là: A. 3x

220

11y 3

4 y 3 0 và 0 . Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng

B. 11x

3 y 11

C. 3x 11y

D. 11x

3 y 11

Vấn đề 5. KHOẢNG CÁCH Câu 158. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M x 0 ; y 0

: ax

0 . Khoảng cách từ điểm M đến ax 0

A. d M ,

by0

ax 0

C. d M ,

ax 0 a

by 0 2

được tính bằng công thức:

B. d M ,

Câu 159. Khoảng cách từ điểm M

by0

ax 0

D. d M ,

a 1;1 đến đường thẳng

: 3x

2 4 B. 2 . C. . . 5 5 Câu 160. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng x đến đường thẳng : 3x y 4 0 bằng: B.

3 10 . 5

0 bằng:

4y 3

4 . 25 0 và 2 x

10 . 5

by0 2

A. 2 10 .

và đường thẳng

3y 1

D. 2 .

Câu 161. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;2 , B 0;3 và C 4;0 . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

1 . 5

B. 3 .

1 . 25

3 . 5

Câu 162. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 3; 4 , B 1;5 và

C 3;1 . Tính diện tích tam giác ABC . A. 10.

B. 5.

D. 2 5.

26.

Câu 163. Khoảng cách từ điểm M 0;3 đến đường thẳng

: x cos A.

B. 6.

y sin

3 2

C. 3 sin .

Câu 164. Khoảng cách từ điểm M 2;0 đến đường thẳng A. 2.

2 . 5

0 bằng:

sin

10 5

1 3t

4t D.

3 cos

sin

bằng: 5 . 2

Câu 165. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M 15;1 đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng

bằng:

221

A. 10.

16 5

Câu 166. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A thẳng

: mx

A. m

m B.

1;2 đến đường

0 bằng 2 5 .

4 m

1 . 2

C. m

Không tồn tại m .

Câu 167. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của hai đường x t thẳng d1 : và d2 : x 2 y m 0 đến gốc toạ độ bằng 2 . y 2 t

Câu 168. Đường tròn C

: 8x A. R

6 y 100 4.

A. R

B. R

C. R có tâm

B. R

24 . 13

C. R

44 .

10 .

2 x 2

D. R 2 y 2

7 . 13

0 tiếp xúc với đường

1? B. m

2 . 2 0. Trong các điểm M 21; 3 , N 0;4 ,

C. m

D. m

19;5 và Q 1;5 điểm nào gần đường thẳng d nhất?

A. M .

B. N .

C. P .

Câu 172. Cho đường thẳng d : 7 x

D. R

44 . 13

và tiếp xúc với đường thẳng

2; 2

Câu 171. Cho đường thẳng d : 21x 11y 10

0 . Bán kính R của đường tròn C bằng:

và tiếp xúc với đường thẳng

12 y 10

tròn C : x 2

0 . Bán kính R của đường tròn C bằng:

Câu 170. Với giá trị nào của m thì đường thẳng

A. m

có tâm là gốc tọa độ O 0;0

Câu 169. Đường tròn

: 5x

10 y 15

D. Q .

0. Trong các điểm M 1; 3 , N 0;4 ,

19;5 và Q 1;5 điểm nào cách xa đường thẳng d nhất?

A. M .

B. N .

C. P .

D. Q .

Câu 173. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2;3 và B 1;4 . Đường thẳng nào sau đây cách đều hai điểm A và B ? A. x y 2 0. B. x 2 y 0.

C. 2 x

2 y 10

D. x

y 100

Câu 174. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A 0;1 , B 12;5 và C

3;0 .

Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A, B và C . A. x

222

0 . B.

y 10

C. x

D. 5x

y 1

Câu 175. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;1 , B

: mx

3 2

0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để B.

m m

1 .

m m

1 . 2

3 . 2

3 2 . 2

B. 15 .

y 3

0 và

C. 9 .

B. 1, 01 .

0 bằng: D.

5 . 2 x : y

Câu 178. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1 : 6 x – 8 y 101 0 và d2 : 3x – 4 y A. 10,1 .

C. 2 .

Câu 177. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d : 7 x A.

cách đều hai điểm A , B .

1 .

Câu 176. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 3 0 và 2 : 3x – 4 y – 6 1 : 6x – 8 y A.

2;4 và đường thẳng

9 50

2 7t

0 bằng:

C. 101 .

D. 101 .

Câu 179. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;1 , B 4; 3 và đường thẳng

d:x

2y 1

0 . Tìm điểm M thuộc d có tọa độ nguyên và thỏa mãn khoảng cách từ

M đến đường thẳng AB bằng 6 .

A. M 3;7 .

B. M 7;3 .

C. M

43; 27 .

D. M 3;

Câu 180. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A 0;1

27 . 11

và đường thẳng

. Tìm điểm M thuộc d và cách A một khoảng bằng 5 , biết M có hoành

độ âm. A. M 4;4 .

4;4

24 2 . ; 5 5

C. M

24 2 ; . 5 5

D. M

4;4 .

Câu 181. Biết rằng có đúng hai điểm thuộc trục hoành và cách đường thẳng : 2 x y 5 0 một khoảng bằng 2 5 . Tích hoành độ của hai điểm đó bằng: A.

75 . 4

25 . 4

225 . 4

D. Đáp số khác.

Câu 182. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3; 1 và B 0;3 . Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1 .

223

14 ;0 3

7 ;0 2 . M 1;0 M

4 M ;0 3

M M

7 ;0 2 . 1;0

14 ;0 3

4 ;0 3

Câu 183. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 3;0 và B 0; 4 . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6.

M 0;0

M 0; 8

B. M 0; 8 .

C. M 6;0 .

Câu 184. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng

: 3x 2 y 3 thẳng đã cho. 2

A. M 0;

1 . 2

B. M

1 2t

M 0;6 1

: 3x

0 và

0 . Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho M cách đều hai đường 1 ;0 . 2

C. M

1 ;0 . 2

D. M

Câu 185. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A

M 0;0

2;0 .

2;2 , B 4; 6 và đường thẳng

. Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B.

A. M 3;7 .

B. M

C. M 2;5 .

3; 5 .

D. M

Câu 186. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A

1;2 , B

2; 3

3;2 và đường thẳng

0 . Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại C.

d : 2x

A. C

2; 1 .

3 ;0 . 2

B. C

C. C

D. C 0;3

1;1 .

Câu 187. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;2 , B 0;3 và đường thẳng

d:y

2 . Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại B.

A. C 1;2 .

B. C 4;2 .

Câu 188. Đường thẳng

C. 3x D. 3x

0 hoặc 3x 0 hoặc 3x

0 hoặc 3x

4y 4y 4y

224

4y 8

1;2

D. C

4 4 4

0 hoặc 3x

4 y 12

4y 1

1;2 .

0 và cách d một

0. 0. 0. 0.

Câu 189. Tập hợp các điểm cách đường thẳng đường thẳng có phương trình nào sau đây? A. 3x 4 y 8 0 hoặc 3x 4 y 12 0 . B. 3x

song song với đường thẳng d : 3x

khoảng bằng 1 có phương trình: A. 3x 4 y 6 0 hoặc 3x 4 y B. 3x

C 1;2

: 3x

0 một khoảng bằng 2 là hai

C. 3x

4y 8

0 hoặc 3x

4 y 12

D. 3x

0 hoặc 3x

4 y 12

Câu 190. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 5x 3 y 3 0 và d2 : 5x 3 y 7 0 song song nhau. Đường thẳng vừa song song và cách đều với d1 , d2 là: A. 5x 3 y 2 0. B. 5x 3 y 4 0. C. 5x

D. 5x

BAØI 2.

PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG TROØN

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn C tâm I a; b , bán kính R có phương trình:

R 2.

Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x 2

R2 .

2. Nhận xét ● Phương trình đường tròn x

x2 trong đó c

● Phương trình x 2

2ax

R 2 có thể viết dưới dạng

2by

R2. y2

2ax

2by

0 là phương trình của đường tròn C

0. Khi đó, đường tròn C có tâm I a; b , bán kính R

khi

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho đường tròn C có tâm I a; b và bán kính R . Đường thẳng

là tiếp tuyến với C tại điểm M 0 x 0 ; y0 .

Ta có ● M 0 x 0 ; y0 thuộc

● IM 0

Do đó

có phương trình là

a; y0

x0 – a x – x0

b là vectơ pháp tuyến của

y0 – b y – y0

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN, TÌM TÂM & BÁN KÍNH

225

Câu 1. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : x 1 A. I

1;3 , R

C. I 1; 3 , R

B. I 1; 3 , R

16.

D. I

16.

1;3 , R

Câu 2. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : x 2 A. I 0; 4 , R

B. I 0; 4 , R

C. I 0;4 , R

1;0 , R

B. I

C. I

1;0 , R

2 2.

D. I 1;0 , R

C. I 1;1 , R

Câu 5. Đường tròn C : x A. I 3; 1 , R

C. I 3; 1 , R

Câu 6. Đường tròn C : x

6 y 12

1;0 , R

Câu 4. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : x

2 2.

9 là:

B. I 0;0 , R

81.

D. I 0;0 , R

0 có tâm I và bán kính R lần lượt là: B. I

3;1 , R

D. I

3;1 , R

0 có tâm I và bán kính R lần lượt là: B. I

2;3 , R

C. I

D. I

2;3 , R

Câu 7. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : x 2

A. I 2; 1 , R

2 2.

B. I

2;1 , R

C. I 2; 1 , R

D. I

2;1 , R

Câu 8. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : 2 x

21 . 2

B. I 2; 1 , R

C. I 4; 2 , R

21.

D. I

Câu 9. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : 16 x

C. I

8;4 , R 8;4 , R

91. 69.

226

10;0 , R

111.

B. I

0 là:

4y 1

0 là:

19. 16 y

1 1 ; , R 2 4

Câu 10. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : x 2 A. I

22 . 2

B. I 8; 4 , R D. I

8. 2

4;2 , R 2

2 2.

2;1 , R

A. I

8 là:

64.

A. I

16 là:

5 là:

A. I 2; 3 , R

4;6 , R

Câu 3. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : x A. I

D. I 0;4 , R

A. I 0;0 , R

10;0 , R

16 x

8 y 11

91. 1.

y 2 – 10 x 11

89.

0 là:

C. I

6. D. I 5;0 , R

5;0 , R

Câu 11. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn C : x 2 A. I 0;5 , R C. I 0;

B. I 0; 5 , R

5 . 2

D. I 0;

5 , R 2

Câu 12. Đường tròn C : x 1

C : x2

A. C.

C :x

y2 y

2x 2x

Câu 13. Đường tròn C : x A. C.

C : x C : x

6 6

4y 4y

y 7 y 7

B. 0 .

10 x

0 có dạng tổng quát là:

D. C : x

89.

C. 10 .

đến trục Ox . A. 5 .

B. C : x

Câu 15. Cho đường tròn C : x

5 . 2

B. C : x 2

14 y

5 , R 2

D. C : x

0 là:

25 có dạng khai triển là:

12 x

Câu 14. Tâm của đường tròn C : x A. 5 .

y2 – 5y

6 6

y 7

81. 89.

0 cách trục Oy một khoảng bằng:

D. 5 . 2

B. 7 .

0 . Tính khoảng cách từ tâm của C

C. 3,5 .

D. 2,5 .

Vấn đề 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Ta thường gặp một số dạng lập phương trình đường tròn 1. Có tâm I và bán kính R . 2. Có tâm I và đi qua điểm M . 3. Có đường kính AB . 4. Có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d . 5. Đi qua ba điểm A, B, C . 6. Có tâm I thuộc đường thẳng d và Đi qua hai điểm A , B . Đi qua A , tiếp xúc . Có bán kính R , tiếp xúc Tiếp xúc với 1 và 2 .

7. Đi qua điểm A và Tiếp xúc với tại M . Tiếp xúc với hai đường thẳng

8. Đi qua hai điểm A , B có và tiếp xúc với đường thẳng d . Câu 16. Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính R A. x

B. x

1 có phương trình là:

227

x 1

y 1

D. x

Câu 17. Đường tròn có tâm I 1;2 , bán kính R A. x

3 có phương trình là:

B. x 2

D. x 2

C. x 2

Câu 18. Đường tròn C có tâm I 1; 5 và đi qua O 0;0 có phương trình là: A. C.

x 1

B. x

26.

C. x 2

52. 57

D. x 1

26.

Câu 19. Đường tròn C có tâm I A.

26.

2;3 và đi qua M 2; 3 có phương trình là: B. x D. x 2

52. 39

Câu 20. Đường tròn đường kính AB với A 3; 1 , B 1; 5 có phương trình là: A.

B. x

D. x

17. 5.

Câu 21. Đường tròn đường kính AB với A 1;1 , B 7;5 có phương trình là: y 2 – 8x –6 y

A. x 2 C. x

0 .

B. x 2 D. x

8 x – 6 y – 12

0 .

y – 8 x – 6 y – 12

0 .

y2 2

Câu 22. Đường tròn C có tâm I 2;3 và tiếp xúc với trục Ox có phương trình là: A. C.

x x

y –3

9. 3.

B. x D. x

y –3 y

4. 9.

Câu 23. Đường tròn C có tâm I 2; 3 và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là: A.

y –3 y

B. x

D. x

Câu 24. Đường tròn C có tâm I

y –3 y

9. 9.

2;1 và tiếp xúc với đường thẳng

: 3x – 4 y

0 có

: x – 2y

0 có

phương trình là: A. x C.

2 2

y –1 2

1. 2

Câu 25. Đường tròn C có tâm I

B. x

D. x

y –1

1 . 25

1;2 và tiếp xúc với đường thẳng

phương trình là: A.

y –2

228

4 . 25 2 . 5

B. x

D. x

y –2

4 . 5

Câu 26. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đi qua ba điểm A 0; 4 , B 2; 4 , C 4;0 . A. I 0;0 .

B. I 1;0 .

C. I 3;2 .

D. I 1;1 .

Câu 27. Tìm bán kính R của đường tròn đi qua ba điểm A 0; 4 , B 3; 4 , C 3;0 . A. R

B. R

C. R

Câu 28. Đường tròn C đi qua ba điểm A A. x

C. x

y 1

25.

Câu 29. Cho tam giác ABC có A

3; 1 , B y

D. x

5 . 2

D. R

1;3 và C

B. x

10 .

2;2 có phương trình là: 20 2

20.

2;4 , B 5;5 , C 6; 2 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC có phương trình là:

A. x 2 C. x

y2 y

2x 4x

B. x

Câu 30. Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B

D. x

2 y

y 1 4x

20.

3;0 , C 2; 2 . Tam giác ABC nội tiếp đường

tròn có phương trình là: A. x 2

B. x 2

8 y 18

C. x 2

D. x 2

8 y 18

Câu 31. Đường tròn C đi qua ba điểm O 0;0 , A 8;0 và B 0;6 có phương trình là: A. C.

x x

4 4

3 3

25.

B. x D. x

4 4

3 3

25.

Câu 32. Đường tròn C đi qua ba điểm O 0;0 , A a;0 , B 0; b có phương trình là: A. x 2

2ax

C. x 2

B. x 2

D. x 2

Câu 33. Đường tròn C đi qua hai điểm A 1;1 , B 5;3 và có tâm I thuộc trục hoành có phương trình là: A. C.

x x

4 4

B. x

10.

D. x

4 4

10. 10.

Câu 34. Đường tròn C đi qua hai điểm A 1;1 , B 3;5 và có tâm I thuộc trục tung có phương trình là: A. x 2 C. x 2

Câu 35. Đường tròn C đi qua hai điểm A

: 3x

y 10

B. x 2

D. x 2

1;2 , B

6. 6

2;3 và có tâm I thuộc đường thẳng

0. Phương trình của đường tròn C là:

229

y 1 y

Câu 36. Đường tròn C

5. 5.

D. x

y 1

:3x

có tâm I thuộc đường thẳng d : x

2;1 và tiếp xúc với đường thẳng

B. x

0 , đi qua điểm

0 . Phương trình của đường tròn

C là: 2

25 .

B. x

D. x 1

Câu 37. Đường tròn C có tâm I thuộc đường thẳng d : x và tiếp xúc với đường thẳng A.

x 1

8 hoặc x

Câu 38. Đường tròn C có tâm I thuộc đường thẳng d : x tiếp xúc với đường thẳng

:3x

16 .

25 .

3y 5

0 , bán kính R

2 2

0 . Phương trình của đường tròn C là:

y 1

0 , bán kính R

5 và

0 . Biết tâm I có hoành độ dương. Phương

4 y 11

trình của đường tròn C là: A. C.

x x

y y

3 2

25 .

25 hoặc x

25 .

Câu 39. Đường tròn C có tâm I thuộc đường thẳng d : x

5 y 12

0 và tiếp xúc với hai

trục tọa độ có phương trình là: A.

D. x

4 hoặc x

3 3

Câu 40. Đường tròn C có tâm I thuộc đường thẳng thẳng d1 : 3x – y A.

230

0, d2 : x – 3 y

40 hoặc x

40.

5 và tiếp xúc với hai đường

0 có phương trình là: 2

10.

40 hoặc x

10.

Câu 41. Đường tròn C đi qua điểm A 1; 2 và tiếp xúc với đường thẳng

y 1

tại M 1;2 . Phương trình của đường tròn C là: A.

29.

B. x

13.

D. x

20.

Câu 42. Đường tròn C đi qua điểm M 2;1 và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox , Oy có phương trình là: A.

x 1

y 1

1 hoặc x

y 2

25. 2

25.

25. 1.

Câu 43. Đường tròn C đi qua điểm M 2; 1 và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox , Oy có phương trình là: A. B.

x 1

y 1

1 hoặc x

: 3x

C. x

25.

đi qua hai điểm A 1;2 , B 3;4

và tiếp xúc với đường thẳng

B. x 2

6x – 4 y

8 x – 2 y 10

8x – 2 y

Câu 45. Đường tròn C

d : 3x – 4 y hơn 5.

0 . Viết phương trình đường tròn C , biết tâm của C

y 3

những số nguyên. A. x 2 y 2 3 x – 7 y 2

25. 1 hoặc x

Câu 44. Đường tròn C

D. x

có tọa độ là

đi qua hai điểm A –1;1 , B 3;3 và tiếp xúc với đường thẳng

0 . Viết phương trình đường tròn C , biết tâm của C có hoành độ nhỏ y

25.

B. x

D. x

5. 25 .

Vấn đề 3. TÌM THAM SỐ m ĐỂ LÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Câu 46. Cho phương trình x 2

2ax

2by

1 . Điều kiện để 1 là phương trình

đường tròn là:

231

A. a 2

B. a2

C. a 2

D. a 2

Câu 47. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn? A. 4 x 2 C. x 2

10 x

2 y2

B. x 2

D. x 2

6 y 12

Câu 48. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn? A. x 2

C. 2 x 2

2 y2

B. x 2

0. 6

D. 5 x 2

4 y2

4y x

Câu 49. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn? A. x 2

C. x 2

2 xy 1

9 0.

B. x 2

D. x 2

0. 3y 1

Câu 50. Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của đường tròn? A. x 2

C. x 2

y2 – 2

Câu 51. Cho phương trình x

2mx

B. x 2

y 2 – 100 y

D. x 2

2 m –1 y

0 1 . Tìm điều kiện của m để

1 là phương trình đường tròn. A. m

1 . 2

B. m

Câu 52. Cho phương trình x 2

C. m

2mx

4 m

2 y

D. m

1 . Tìm điều kiện của m

để 1 là phương trình đường tròn. A. m

C. m

Câu 53. Cho phương trình x 2

2my

B. m

D. m

;

1 3

. .

0 1 . Có bao nhiêu giá trị m nguyên

dương không vượt quá 10 để 1 là phương trình của đường tròn? A. Không có.

B. 6 .

Câu 54. Cho phương trình x

C. 7 .

y – 8x

10 y

D. 8 .

1 . Tìm điều kiện của m để 1 là

phương trình đường tròn có bán kính bằng 7 . A. m

B. m

Câu 55. Cho phương trình x

8. 2

C. m 2 m

1 x

–8 .

4y 1

D. m = – 4 . 1 . Với giá trị nào của m để 1

là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất? 1. A. m 2. B. m C. m 1.

D. m

Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Câu 56. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn C : x

232

25 tại điểm

M 2;1 là: A. d : y

C. d : 3x

Câu 57. Cho đường tròn C : x 1

B. d : 4 x

3 y 14

D. d : 4 x

3 y 11

8 . Viết phương trình tiếp tuyến d của C

tại điểm A 3; 4 . A. d : x

y 1

0. B. d : x

2 y 11

C. d : x

y 7

0. D. d : x

0. 0.

Câu 58. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn C : x 2

0 tại điểm

5 , biết tiếp

N 1; 1 là: A. d : x

B. d : x

C. d : x

D. d : x

Câu 59. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C : x tuyến song song với đường thẳng d : 2 x A. 2 x

y 1

C. 2 x

0 hoặc 2 x

y 1

y 10

0 hoặc 3x – 4 y – 27

B. 3x – 4 y

0 hoặc 3x – 4 y

C. 3x – 4 y

0 hoặc 3x – 4 y

D. 3x – 4 y

0 hoặc 3x – 4 y – 27

0 hoặc 2 x

y 10

D. 2 x

0 hoặc 2 x

y 10

A. 4 x

3 y 14

0 hoặc 4 x

B. 4 x

3 y 14

C. 4 x

3 y 36

D. 4 x

3 y 14

0 hoặc 4 x

3 y 36

Câu 62. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C : x tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x A. 4 x – 3 y

C. 4 x

0 hoặc 4 x – 3 y – 45

B. 4 x

D. 4 x

Câu 63. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C : x 2 tuyến vuông góc với đường thẳng d : 2 x

4 y 17

0 , biết

y 1

25 , biết tiếp

3 y 14

3 y 36

2018

Câu 61. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C : x tuyến song song với đường thẳng d : 4 x

B. 2 x

tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 3x

Câu 60. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C : x A. 3x – 4 y

2018

0 hoặc 4 x

0 hoặc 4 x y2

3 y – 21 8

0. 0.

0 , biết tiếp

233

A. 3x

2 y 17

0 hoặc 3x

B. 3x

C. 3x

2 y 17

0 hoặc 3x

0. D. 3x

tuyến vuông góc với trục hoành. A. x 0 .

B. y

0 hoặc y

C. x

D. y

Câu 65. Viết phương trình tiếp tuyến

0 hoặc 3x

2 y 17

Câu 64. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C : x

0 hoặc x

0 hoặc 3x

2 y 17 2

9 9

0. 0.

0 , biết tiếp

8 , biết tiếp

4 2

của đường tròn C : x 1

tuyến đi qua điểm A 5; 2 . A.

0 hoặc

y 3

Câu 66. Viết phương trình tiếp tuyến

y 3

0 hoặc

của đường tròn C : x

y 7

0. 4

0 , biết

tiếp tuyến đi qua điểm B 4;6 . A.

0 hoặc

: 3x

0 hoặc

: 3x

4 y 36

0 hoặc

: 3x

4 y 12

Câu 67. Cho đường tròn C : x của C , biết

4 y 36

y 1

25 và điểm M 9; 4 . Gọi

là tiếp tuyến

đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ

điểm P 6;5 đến

bằng:

A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Câu 68. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn C : x 2 y 2 2 x 4 y 11 0 ? A. 0.

B. 2.

C. 1.

Câu 69. Cho đường tròn C : x

D. 3.

1 . Qua điểm M 4 ; 3 có thể kẻ được bao

nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C ? A. 0. B. 1. C. 2. Câu 70. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N

C : x

A. 0.

B. 1.

C. 2.

BAØI 3.

D. Vô số.

PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG ELIP

1. Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1 F2 thỏa mãn MF1

MF2

2a ( a không đổi và a

● F1 , F2 là hai tiêu điểm.

234

2;0

D. Vô số. tiếp xúc với đường tròn

2c c

0 . Tập hợp các điểm M

0 ) là một đường Elip.

y M x; y

● F1 F2

2c là tiêu cự của Elip.

2. Phương trình chính tắc của Elip E :

x2 a2

y2 b2

1 với a2

Do đó điểm M x 0 ; y 0

c2 . x 02 a2

y 02 b2

1 và x 0

a , y0

3. Tính chất và hình dạng của Elip ● Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé). ● Tâm đối xứng O . ● Tọa độ các đỉnh A1

a;0 , A2 a;0 , B1 0; b , B2 0; b .

● Độ dài trục lớn 2a . Độ dài trục bé 2b . ● Tiêu điểm F1

c;0 , F2 c;0 .

● Tiêu cự 2c . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. CHO PHƯƠNG TRÌNH ELIP, HỎI CÁC THÔNG SỐ Câu 1. Elip E : A. 5.

x2 25

B. 10. 2

B. 4.

B. 2.

A. 8.

D. 50.

1 có độ dài trục lớn bằng:

5y2

x 100

B. 10.

1 . 2

25 có độ dài trục lớn bằng:

C. 5. 2

Câu 4. Elip E :

16 y

C. 1.

Câu 3. Elip E : x 2 A. 1.

1 có độ dài trục lớn bằng:

C. 25.

Câu 2. Elip E : 4 x A. 2.

y2 9

D. 10.

y 64

1 có độ dài trục bé bằng:

C. 16.

D. 20.

Câu 5. Elip E : A. 5.

x 16

B. 10.

y 16

1 có tiêu cự bằng:

B. 6.

Câu 7. Elip E :

x 9

B. 5.

D. 40.

x 25

A.3.

4 có tổng độ dài trục lớn và trục bé bằng:

C. 20. 2

Câu 6. Elip E :

y 4

C. 9.

D. 18.

1 có tiêu cự bằng:

C. 10.

D. 2 5.

235

Câu 8. Elip E : A. p

x2 p2

y2 q2

Câu 9. Elip E :

1 , với p

A. 100;0 . Câu 10. Elip E :

x2 16

A. 4;0 . Câu 11. Elip E :

y2 36

A. 0;3 .

D. 2 p2

100;0 .

y2 12

1 có một đỉnh nằm trên trục bé là:

y2 6

C. 0;10 .

C. 0;2 3 .

B. 0 ; 6 .

D. 3;0 .

3;0 . x2 5

y2 4

B. F1

3;0 và F2 3;0 .

C. F1 0; 1 và F2 0;1 .

D. F1

2;0 và F2 2;0 .

A. e

x2 9

3 . 2

A. k

1 . Tỉ số e của tiêu cự và độ dài trục lớn của elip bằng: 7 . 4

y2 4

x 16

3 . 4

3 5

y 8

5 . 4

C. f

2 . 3

D. f

5 . 3

1 . Tỉ số k của tiêu cự và độ dài trục bé của elip bằng:

B. k x 25

C. k

y 9

1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

4;0 và F2 4;0 .

c 4 . a 5 C. E có đỉnh A1 5;0 . B. E có tỉ số

D. E có độ dài trục nhỏ bằng 3. Câu 17. Cho elip E : x 2

D. k

A. E có các tiêu điểm F1

236

D. e

Câu 16. Cho elip E :

C. e

1 . Tỉ số f của độ dài trục lớn và tiêu cự của elip bằng:

B. f 2

Câu 15. Elip E :

y2 9

B. e

Câu 14. Elip E : A. f

x2 16

10;0 .

D. 4;0 .

1;0 và F2 1;0 .

Câu 13. Elip E :

q2 .

1 có một tiêu điểm là:

Câu 12. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip E : A. F1

q2 .

1 có một đỉnh nằm trên trục lớn là:

B. 0;12 . x2 9

0 có tiêu cự bằng: C. p 2

B. p q . x2 100

4 y2

1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Elip có tiêu cự bằng

B. Elip có trục nhỏ bằng 2.

C. Elip có một tiêu điểm là F 0; Câu 18. Cho elip E : 4 x 2

9 y2

2 . 3

36 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. E có trục lớn bằng 6. C. E có tiêu cự bằng

D. Elip có trục lớn bằng 4.

B. E có trục nhỏ bằng 4.

c 5 . a 3 Vấn đề 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ELIP D. E có tỉ số

Câu 19. Phương trình của elip E có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là: A. 9 x 2 2

x 9

16 y 2

B. 9 x 2

144.

y 16

x 64

16 y 2

y 36

Câu 20. Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10. A.

x2 25

y2 9

x2 100

y2 81

x2 25

y2 16

Câu 21. Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm F

x2 25

y2 16

3;0 . Phương trình chính tắc của

elip là: A.

x2 25

y2 9

x2 100

y2 16

x2 100

y2 81

x2 25

y2 16

Câu 22. Elip có độ dài trục nhỏ là 4 6 và có một tiêu điểm F 5;0 . Phương trình chính tắc của elip là: A.

x2 121

y2 96

x2 101

y2 96

x2 49

y2 24

Câu 23. Elip có một đỉnh là A 5;0 và có một tiêu điểm F1

x2 29

y2 24

4;0 . Phương trình chính tắc của elip

là: A.

x2 25

y2 16

x2 5

Câu 24. Elip có hai đỉnh là

y2 4

x2 25

y2 9

3;0 ; 3;0 và có hai tiêu điểm là

x 5

y 4

1;0 ; 1;0 . Phương trình

chính tắc của elip là: A.

x2 9

y2 1

x2 8

y2 9

x2 9

y2 8

x2 1

y2 9

Câu 25. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4 3. A.

x 2 y2 + 16 4

x2 36

y2 9

x2 36

y2 24

x 2 y2 + 24 16

Câu 26. Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.

237

x2 64

y2 60

x2 25

y2 9

x2 100

y2 64

x2 9

y2 1

Câu 27. Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 2 , tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64 . A.

x2 12

y2 8

x2 8

y2 12

Câu 28. Elip có một tiêu điểm F

x2 12

y2 4

x2 8

y2 4

2;0 và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12 5 .

Phương trình chính tắc của elip là: A.

x2 9

y2 5

x2 36

y2 20

x2 144

y2 5

x2 45

y2 16

Câu 29. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số của tiêu cự 12 với độ dài trục lớn bằng . 13 A.

x2 26

y2 25

x2 169

y2 25

x2 52

y2 25

x2 169

y2 5

Câu 30. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với 1 độ dài trục lớn bằng . 3 A.

x 2 y2 + 9 8

x2 9

y2 5

x2 6

y2 5

x 2 y2 + 9 3

Câu 31. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tỉ số của tiêu cự 4 với độ dài trục lớn bằng . 5 A.

x2 36

y2 25

x2 25

y2 36

x2 64

y2 36

x2 100

y2 36

Câu 32. Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng

3 . 5

Phương trình chính tắc của elip là: A.

x2 25

y2 16

x2 5

y2 4

x2 25

y2 9

x2 9

y2 4

Câu 33. Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng Phương trình chính tắc của elip là: A.

x2 25

y2 16

x2 5

y2 4

x2 25

y2 9

x2 9

y2 4

Câu 34. Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A 7;0 và B 0;3 . A.

238

x2 40

y2 9

x2 16

y2 9

x2 9

y2 49

x2 49

y2 9

5 . 3

Câu 35. Elip đi qua các điểm M 0;3 và N 3; A.

x2 16

y2 9

x2 25

y2 9

Câu 36. Elip đi qua các điểm A 0;1 và N 1;

12 có phương trình chính tắc là: 5

x2 9

y2 25

x2 25

y2 9

3 có phương trình chính tắc là: 2

x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 1. 1. B. C. D. 1. 1. 16 4 8 4 4 1 2 1 Câu 37. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm M 2; 2 .

x 2 y2 + 20 5

x2 36

y2 9

x2 24

y2 6

x 2 y2 + 16 4

Câu 38. Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua A 5;0 . A.

x2 25

y2 16

x 2 y2 + 25 16

x 2 y2 + 25 9

x 2 y2 + 100 81

Câu 39. Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 2 3 và đi qua A 2;1 . A.

x 2 y2 + 6 3

x2 8

y2 2

x2 8

y2 5

x 2 y2 + 9 4

Câu 40. Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm 15; 1 .

x2 12

y2 4

x2 16

Câu 41. Elip qua điểm M 2;

y2 4 5 3

x2 18

y2 4

và có một tiêu điểm F

x2 20

y2 4

2;0 . Phương trình chính tắc của

elip là: A.

x2 9

y2 5

x2 9

y2 4

x2 25

y2 16

Câu 42. Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1

x2 25

y2 9

2;0 , F2 2;0 và đi qua điểm

M 2;3 là: A.

x2 16

y2 12

x2 16

y2 9

x2 16

y2 4

x2 16

y2 8

Câu 43. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A 6;0 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng A.

x 2 y2 + 36 27

1 . 2

x2 6

y2 3

x 2 y2 + 36 18

x 2 y2 + 6 2

239

Câu 44. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm N 2; với độ dài trục lớn bằng A.

x2 9

y2 4

5 và tỉ số của tiêu cự 3

2 . 3

x2 9

y2 5

x2 9

y2 6

x2 9

y2 3

Câu 45. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A 2; 3 và tỉ số của độ dài 2

trục lớn với tiêu cự bằng A.

x2 16

y2 4

x2 4

y2 3

x2 3

y2 4

x2 4

y2 16

Vấn đề 3. CÂU HỎI VẬN DỤNG 2

x y a 2 b2 đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 46. Cho elip E :

A. c2

b2 .

B. b2

1 với a

c2 .

0. Gọi 2c là tiêu cự của E . Trong các mệnh

C. a2

c2 .

D. c

Câu 47. Cho elip có hai tiêu điểm F1 , F2 và có độ dài trục lớn bằng 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. 2a F1 F2 . B. 2a F1 F2 . C. 2a F1 F2 . D. 4a F1 F2 . x 2 y2 1 . Hai điểm A , B là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai 25 9 trục Ox , Oy . Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng:

Câu 48. Cho elip E :

A. 34. B.

34.

C. 5.

D. 136.

Câu 49. Một elip E có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: A. e

1 . 3

B. e

2 . 3

C. e

3 . 3

Câu 50. Một elip E có khoảng cách giữa hai đỉnh kế tiếp nhau gấp

D. e

2 2 . 3

3 lần tiêu cự của nó. Tỉ 2

số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: A. e

5 . 5

B. e

2 . 5

C. e

3 . 5

D. e

2 . 5

Câu 51. Cho điểm M 2;3 nằm trên đường elip E có phương trình chính tắc:

x2 a2

Trong các điểm sau đây điểm nào không nằm trên E : A. M 1

240

2;3 .

B. M 2 2; 3 .

C. M 3

2; 3 .

D. M 4 3;2 .

y2 b2

Câu 52. Cho elip E :

x2 a2

y2 b2

1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. E không có trục đối xứng. B. E có một trục đối xứng là trục hoành. C. E có hai trục đối xứng là trục hoành và trục tung. D. E có vô số trục đối xứng. Câu 53. Cho elip E :

x2 a2

y2 b2

1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. E không có tâm đối xứng.

B. E có đúng một tâm đối xứng.

C. E có hai tâm đối xứng.

D. E có vô số tâm đối xứng.

Câu 54. Elip E có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của

E bằng: A. e

1 . B. e

2 . C. e

1 . 3

D. e

Câu 55. Elip E có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của E bằng: A. e

1 . B. e

2 . C. e

1 . 3

D. e

Câu 56. Elip E có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của elip cùng nằm trên một đường tròn. Độ dài trục nhỏ của E bằng: A. 2.

B. 4.

C. 8.

Câu 57. Cho elip E : A. 3

D. 16.

x y 1 và M là một điểm tùy ý trên E . Khi đó: 16 9 B. 4 OM 5. C. OM 5. D. OM

x2 y2 + 1 và điểm M nằm trên E . Nếu M có hoành độ bằng 169 144 13 thì khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:

Câu 58. Cho elip E :

A. 10 và 6.

B. 8 và 18. 2

C. 13

D. 13

10 .

x y + 1 và điểm M nằm trên E . Nếu M có hoành độ bằng 1 thì 16 12 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:

Câu 59. Cho elip E :

A. 3,5 và 4,5 .

B. 3 và 5 .

Câu 60. Cho elip có phương trình 16 x 2

C. 4 25 y 2

2 . 2 100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm M

D. 4

thuộc elip có hoành độ bằng 2 đến hai tiêu điểm. A.

B. 2 2.

C. 5 .

D. 4 3.

241

x2 y2 1 . Qua một tiêu điểm của E dựng đường thẳng song song 100 36 với trục Oy và cắt E tại hai điểm M và N .

Câu 61. Cho elip E :

Tính độ dài MN . A.

64 . 5

36 . 5

C. 25 .

25 . 2

x 2 y2 1 . Một đường thẳng đi qua điểm A 2;2 và song song với trục 20 16 hoành cắt E tại hai điểm phân biệt M và N . Tính độ dài MN .

Câu 62. Cho E :

A. 3 5.

B. 15 2.

C. 2 15. 2

Câu 63. Dây cung của elip E :

x a2

D. 5 3.

y b2

1 0

a vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm

có độ dài bằng: A.

2c2 . a

2b2 . a

Câu 64. Đường thẳng d : 3x

4 y 12

2a2 . c

0 cắt elip E :

x2 16

y2 9

a2 . c

1 tại hai điểm phân biệt

M và N . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN bằng:

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 25.

Câu 65. Giá trị của m để đường thẳng

0 cắt elip E :

x2 4

y2 1

1 tại hai

điểm phân biệt là: A. m

B. m

2 2.

C. m

2 2.

2 2

2 2.

HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI VAØ BÌNH LUAÄN

1 BAØI 1.

MEÄNH ÑEÀ - TAÄP HÔÏP MEÄNH ÑEÀ

Câu 1. Câu cảm thán không phải là mệnh đề. Chọn A. Câu 2. Các câu c), f) không phải là mệnh đề vì không phải là một câu khẳng định. Chọn B. Câu 3. Câu a) là câu cảm thán không phải là mệnh đề. Chọn B. Câu 4. Câu a) không là mệnh đề. Chọn A. Câu 5. Chọn B. Câu 6. Chọn D.

242

A là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 3

4 là số chẵn nhưng 1 và 3 là số lẻ.

243

B là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ. C là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 3 4 là số chẵn nhưng 1 và 3 là số lẻ. Câu 7. Mệnh đề A là một mệnh đề sai vì b Mệnh đề B là mệnh đề đúng. Vì a 9

0 thì a2

9n, n

9 3

b2 . a 3 . Chọn B.

Câu C chưa là mệnh đề vì chưa khẳng định được tính đúng, sai. Mệnh đề D là mệnh đề sai vì chưa đủ điều kiện để khẳng định một tam giác là đều. Câu 8. Xét đáp án A. Ta có:

2. Suy ra A sai. Chọn A.

Câu 9. Đáp án A sai vì hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác đồng dạng bằng nhau khi chúng có cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Chọn A. Câu 10. Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số nguyên n chia hết cho 5 thì số nguyên n có chữ số tận cùng là 5 ”. Mệnh đề này sai vì số nguyên n cũng có thể có chữ số tận cùng là 0 . Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Mệnh đề này đúng. Chọn B. Câu 11. Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 ”. Mệnh đề này sai vì tổng các chữ số của n phải chia hết cho 9 thì n mới chia hết cho 9 . Xét mệnh đề đảo của đáp án B: x y x y “Nếu x 2 y 2 thì x y ” sai vì x 2 y 2 . x y Xét mệnh đề đảo của đáp án C: “Nếu t. x

t. y thì x

y ” sai với t

x, y

Chọn D. Câu 12. Chọn A. Mệnh đề kéo théo " ABC là tam giác đều Tam giác ABC cân " là mệnh đề đúng, nhưng mệnh ABC là tam giác đều " là mệnh đề sai. đề đảo " Tam giác ABC cân Do đó, 2 mệnh đề " ABC là tam giác đều " và " Tam giác ABC cân " không phải là 2 mệnh đề tương đương. Câu 13. Phủ định của mệnh đề " x

K , P x " là mệnh đề " x

K , P x " . Do đó, phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” là mệnh đề “Có ít nhất một động vật không di chuyển”. Chọn C.

Câu 14. Phủ định của mệnh đề " x

K , P x " là mệnh đề " x

K , P x " . Do đó, phủ định của mệnh đề “Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là mệnh đề “Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn”. Chọn C. Câu 15. Phủ định của mệnh đề “ Số 6 chia hết cho 2 và 3” là mệnh đề: “Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3”. Chọn C. Câu 16. Chọn D. Câu 17. Mệnh đề “ x X , x cao trên 180 cm ” khẳng định: “Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180 cm ”. Chọn A. Câu 18. Chọn B. Câu 19. Chọn C.

246

Với n

n n

4 4

66 11 .

Câu 20. Chọn D. Với k , ta có:  Khi n

16 k 2

1 không chia hết cho 4.

 Khi n

, n2

1 không chia hết cho 4.

 Khi n n

Câu 21. Với x

16 k

5 không chia hết cho 4.

24 k

10 không chia hết cho 4.

16 k 2

1 1

16 k

thì x

2 không chia hết cho 4.

0. Chọn C.

Câu 22. Chọn A. B sai vì x

C sai vì x D sai vì x Câu 23. Với x

3 1 2

4 nhưng 1

2 nhưng x

, x2

Câu 24. Đáp án A đúng vì

4 nhưng

1 4

1 2

x, x 2

x . Chọn A. 5

. Chọn A.

Câu 25. Chọn A. Đáp án B sai vì x 2

3 là số vô tỉ.

Đáp án C sai với x

Đáp án D sai với x

9 là hợp số.

Câu 26. Phủ định của mệnh đề P là P x : " x

, x2

0" . Chọn D.

Câu 27. Phủ định của mệnh đề P x là P x : “Tồn tại x sao cho x 2

0 ”.

Chọn B. Câu 28. Phủ định của mệnh đề P x là P x : " x

: x2

5 là hợp số " .

Câu 29. Phủ định của mệnh đề P x là P x : " x

, 5x

3x 2

1" . Chọn C.

Câu 30. Phủ định của mệnh đề P x là: P x : " x

, x2

Chọn C.

BAØI 2. Câu 1. Chọn B. Câu 3. Chọn C. Câu 5. Chọn B.

0" . Chọn C.

TAÄP HÔÏP Câu 2. Chọn C. Câu 4. Chọn C.

247

Câu 6. Ta có 2x 2

3 2

nên X

3 . Chọn D. 2

x x Câu 7. Ta có x

4 x

1 2x

0 7x

x x

Suy ra S

2 1 3

Câu 8. Ta có x 2

1 2 3

6. Chọn D.

9 . x2

2 x

x x

x Suy ra tập X có ba phần tử là

6 x2

Câu 12. Vì k

. 5

2;3 . Chọn C.

Câu 10. Vì phương trình x 2 Câu 11. Ta có

Do đó X

3; 1; 3. Chọn C. x

Câu 9. Ta có x 2

36 120

2 2.32 2 3.3.5

và k

0 vô nghiệm nên X

. Do đó A

2 nên k

. Chọn C.

1;2;3;4;6;12 . Chọn A. 2; 1;0;1;2 do đó k 2

1;2;5 .

Vậy A có 3 phần tử. Chọn D. Câu 13. Xét các đáp án:  Đáp án A. A . Khi đó, A không phải là tập hợp rỗng mà A là tập hợp có 1 phần tử . Vậy A sai. 2 x 3 x 1 .  Đáp án B, C, D. Ta có 3 x 2 3 x 2 4 x 1 0

248

1 3

2 3x 2

Do đó, D

2 3x 2

Câu 14. Ta có x , y

và x

Do đó ta suy ra M Câu 15. Ta có Mà x 2

1 nên

0;1 , 1;0

0, x

Do đó ta suy ra M

2 1 . Chọn B. ; 1; 3 3

0, y

1, y

1 . 0

nên M có 2 phần tử. Chọn C.

0 nên chỉ xảy ra khi x 2

0. y2

0;0 nên M có 1 phần tử. Chọn B.

Câu 16. Chọn D. Câu 17. Các tập hợp con của X là:

; 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 3;4 ; 2;4 ; 2;3;4 .

Chọn C. Cách trắc nghiệm: Tập X có 3 phần tử nên có số tập con là 23 8. Câu 18. Số tập con của X là 2 4 16. Chọn A. Câu 19. Các tập con có hai phần tử của tập A là: A1 0;2 ; A2 0;4 ; A3 0;6 ; A4 2;4 ; A5 2;6 ; A6 4;6 . Chọn B. Câu 20. Các tập con có hai phần tử của tập A là: A1 1;2 ; A2 1;3 ; A3 1;4 ; A4 1;5 ; A5 A7

2;4 ; A8

A13

4, 5 ; A14

2;5 ; A9 4;6 ; A15

Chọn B. Câu 21. Tập X có 10 phần từ. Gọi Y

2;6 ; A10

3;4 ; A11

1;6 ; A6

2;3 ;

3;5 ; A12

3;6 ;

5;6 .

; ;x

là tập con của X trong đó x

X .

Có 8 cách chọn x từ các phần tử còn lại trong C . Do đó, có 8 tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 22. Chọn C. Câu 23. Chọn A. Tập có một tập con là . Câu 24. Chọn B. Tập 1 có đúng hai tập con là Câu 25. Chọn B. Tập x Câu 26. Ta có A Ta có X

có hai tập con là

và 1 .

và x .

X nên X có ít nhất 3 phần tử 1;2;3 .

B nên X phải X có nhiều nhất 5 phần tử và các phần tử thuộc X cũng thuộc

Do đó các tập X thỏa mãn là 1;2;3 , 1;2;3;4 , 1;2;3;5 , 1;2;3;4;5

có 4 tập thỏa

mãn. Chọn A.

249

Câu 27. Các tập X thỏa mãn là

có 4 tập X thỏa mãn.

, 1 , 2 , 1;2

Chọn D. Câu 28. Ta có M Suy ra N

0;2;4;6;... , N

0;6;12;... , P

1;2 , Q

1;2;3;6 .

Q. Chọn B.

M và P

Câu 29. Lấy x bất kì thuộc F , vì F G nên x G mà G E nên x E do đó F E . Lại do E F nên E F . Lấy x bất kì thuộc G, vì G E nên x E mà E F nên x F do đó G F . Lại do F G nên F G. Vậy E F G. Chọn D. Câu 30. Vì A B nên x 2. Lại do B C nên y x 2 hoặc y 5. Vậy x

2 hoặc x

BAØI 3.

CAÙC PHEÙP TOAÙN TAÄP HÔÏP

Câu 1. Tập hợp A

5. Chọn B.

2, y

B gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

1;5 . Chọn D.

Câu 2. Tập hợp A và tập hợp B có chung các phần tử c, d, m . Do đó A

c; d ; m . Chọn B.

Câu 3. Ta có 2 x

x Và

n 3

Suy ra A

30 B

2;3;4;5 .

x x

2k, k

2;4;6;8;10;...

x x

6k, k

6;12;18;24;...

1;2

1;2;3;6

Q. Chọn D.

Câu 5. Ta có các tập hợp

250

1 2

1 ;0;2 . 2

2 . Chọn B.

Câu 4. Ta có các tập hợp

Do đó P Q

B 3

x x

2k, k

2;4;6;8;10;...

x x

4 k, k

4;8;12;16;...

Do đó B2

B4 . Chọn B.

Câu 6. Chọn B. Câu 7. Xét các đáp án:

 Đáp án A.

A A

 Đáp án B.

B C

a, b, c

a, b, c, d

B C

Câu 8. Ta có các tập hợp

b, c

a, b, c

b, c, e

b; c

B C

a, b, c A C

a, b, c, d

a, b, c, e

a, b, c

A C . Chọn B.

x x

3k , k

x x

6k, k

3;6;9;12;15;... 6;12;18;...

B3 . Chọn B.

Câu 9. Tập hợp A \ B gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

A\ B

0 . Chọn A.

Câu 10. Tập hợp B \ A gồm những phần tử thuộc B nhưng không thuộc A

B\ A Câu 11. Ta có

Câu 12. Ta có

Câu 13. Ta có

5;6 . Chọn D.

A\ B

0;1

B\ A

5;6

A\ B

0;1

B\ A

5;6

2;7

1;2;3;4;6;7;8

A\ B

1;3

B\ A

4;6;8

Câu 14. Ta có x 2 B

6 0

A\ B

B\ A

A\ B

B\ A

0;1;5;6 . Chọn A.

. Chọn B.

3; 2; 1;0;1;2;3 . Do đó A \ B

Câu 15. Chọn C. Câu 16. Vì A X

. Chọn D.

1;3 . Chọn C.

B nên X chắc chắn có chứa các phần tử 1; 3; 4.

Các tập X có thể là 1;3;4 , 1;3;4;0 , 1;3;4;2 , 1;3;4;0;2 . Chọn C. Câu 17. Chọn A. Câu 18. Chọn D. Câu 19. Chọn B. Câu 20. Ta dùng biểu đồ Ven để giải:

251

Giỏi Toán + Lý

Lý

Toán

2 1 1

Giỏi Lý + Hóa

1 Giỏi Toán + Hóa

Hóa

Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất 1 trong 3 môn là: 1 2 1 3 1 1 1 10 Chọn B. Câu 21. Dựa vào biểu đồ ven của câu trên, ta có số học sinh giỏi đúng hai môn học là 2 1 3 6. Chọn A. Câu 22. Ta có:

f x g x

f x

g x

Câu 23. Ta có f 2 x C

hay C

g2 x

| f x f x

g x

0, g x

nên C

A \ B. Chọn C.

0 nên C

| f x

0, g x

B. Chọn B.

Câu 24. Ta có f x g x

nên H Câu 25. Chọn D. Câu 26. Ta có A A Câu 27. Chọn A. Ta có A Câu 28. Ta có x

Câu 29. Chọn C.

Câu 30. Chọn D.

252

M\ N

f x

g x

| f x

A . Chọn A. . x

. Chọn B.

g x

0 nên H

F . Chọn B.

nên

BAØI 4.

CAÙC TAÄP HÔÏP SOÁ

Câu 1. Chọn D. Câu 2. Chọn A. Câu 3. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có A

1;3

 Đáp án B. Ta có A

1;3

0;1;2 . 1;0;1;2 .

 Đáp án C. Ta có A

1;3

 Đáp án D. Ta có A

1;3

1;2 .

là tập hợp các số hữu tỉ trong nửa khoảng

1;3 .

Chọn B. Câu 4. Ta có A

Câu 5. Ta có A

2;4

1;2

. Chọn D.

B C A

B C

1 . Chọn D. 2

Câu 6. Chọn A. Câu 7. Ta có:

Suy ra A

4x 1

Câu 12. Ta có A

Câu 9. Chọn B.

Câu 11. Ta có A

;2 .

có hai số tự nhiên là 0 và 1. Chọn C.

1;2

Câu 8. Chọn D.

; 2

Câu 10. Chọn C.

4;7

; 2

3;4 . Chọn B. 3;7 . Chọn B.

4; 2

Câu 13. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có A

5;1

 Đáp án B. Ta có B C

; 2

 Đáp án C. Ta có B C

; 2

 Đáp án D. Ta có A C

5;1

; 2

\ 1;3 .

;

2;3 .

. 5; 2 .

Chọn C. Câu 14. Chọn B. Câu 15. Ta có x

nên hình minh họa cho tập A đáp án A. Chọn A.

Câu 16. Ta có

Do đó, A \ B

6 4

0 x 6

A B

1;6 . 4;4 .

A . Chọn C.

253

Câu 17. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có A

0;3

1;5

1;3

B C

1;3

0;1

 Đáp án B. Ta có A

0;3

1;5

0;5

B C

0;5

0;1

 Đáp án C. Ta có A C

0;3

0;1

0;3

A C \C

0;3 \ 0;1

 Đáp án D. Ta có A

1;3

1;3 \ 0;1

1;3 .

B \C

0;5 . 0

1;3 .

Chọn C. Câu 18. Ta có C A

\ A

Câu 19. Ta có A

; 3

. Chọn D.

; 5

C A

5;5 . Chọn C.

Câu 20. Ta có:

C A

C B

4;7

Suy ra X

Câu 21. Ta có A

3;4 . Chọn D.

B B

Câu 22. Chọn D. Câu 23. Điều kiện: m Để B

A 3;5 .

; 2 . Chọn B.

A khi và chỉ khi

3 . Chọn C.

Câu 24. Chọn C. Câu 25. Để hai tập hợp A và B giao nhau khác rỗng khi và chỉ khi 9a

4 a

4 2 a 0 . Chọn C. 9 3 Câu 26. Nếu giải trực tiếp thì hơi khó một chút. Nhưng ta đi giải mệnh đề phủ định thì đơn giản . Ta có 2 trường hợp sau: hơn, tức là đi tìm m để A B 9 a2

4 (do a

Hình 1 3

Hình 2 Trường hợp 1. (Xem hình vẽ 1) Để A B

Trường hợp 2. (Xem hình vẽ 2) Để A

Kết hợp hai trường hợp ta được

254

m m

3 7

thì A

Suy ra để A

thì

3. Chọn D.

Câu 27. Điều kiện: m 3. Để A B A khi và chỉ khi B Đối chiếu điều kiện, ta được

Câu 28. Chọn B. Câu 29. Điều kiện: m 1 5 m Để A \ B khi và chỉ khi A Đối chiếu điều kiện, ta được 4 Câu 30. Ta có C B Do đó, để A

A , tức là m

C B

BAØI 5.

1 . Chọn D.

6. B , tức là 3

m 1

6 . Chọn C.

;3m 1

3m 1

1 . Chọn B. 2

SOÁ GAÀN ÑUÙNG - SAI SOÁ

Câu 1. Độ chính xác d 101 (hàng trăm), nên ta làm tròn số a được kết quả là a 23748000 . Chọn B.

23748023 đến hàng nghìn,

Câu 2. Độ chính xác d 10 10 làm tròn số a 3,141592653589 chính xác đến hàng của 9 d .10 10 (9 chữ số thập phân), kết quả là a 3,141592654000. Chọn A. 3 Câu 3. 3 MTCT quả: 1, 732 . Chọn B. 2 Câu 4. 2 MTCT quả: 9,870. Chọn B.

Câu 5. a

17658

1, 7320508076...

làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết

9,8696044011...

làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết

16 (hàng chục)

làm tròn số a

17658 đến hàng trăm,

kết quả là: 17700. Chọn A. Câu 6. a 15,318 0,056 làm tròn số a 15,318 chính xác đến hàng d 0,056 của d .10 0,56 (hàng phần trăm), kết quả là: 15,32. Chọn C. làm tròn số h

Câu 7. h 347,13m 0, 2m d 0, 2 (hàng đơn vị), kết quả là 347. Chọn B. Câu 8. Chu vi tam giác là:

12 10, 2 8

0, 2

0,1

30, 2

347,13 đến hàng d .10

0,5.

Chọn C. Câu 9. Chu vi của miếng đất là

2. 43 63

2. 43 0,5

63 0,5

0,5 0,5

212

2. Chọn B.

Câu 10. Diện tích của thửa ruộng là

0, 01 . 15

0, 01

255

23.15

256

23.0,01 15.0,01 0,012

345 0,3801. Chọn D.

0 thì a2

9n, n

9 3

b2 . a 3 . Chọn B.

2. Suy ra A sai. Chọn A.

t. y thì x

y ” sai với t

x, y

K , P x " là mệnh đề " x

K , P x " . Do đó, phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” là mệnh đề “Có ít nhất một động vật không di chuyển”. Chọn C.

Câu 14. Phủ định của mệnh đề " x

K , P x " là mệnh đề " x

246

Với n

n n

4 4

66 11 .

Câu 20. Chọn D. Với k , ta có:  Khi n

16 k 2

1 không chia hết cho 4.

 Khi n

, n2

1 không chia hết cho 4.

 Khi n n

Câu 21. Với x

16 k

5 không chia hết cho 4.

24 k

10 không chia hết cho 4.

16 k 2

1 1

16 k

thì x

2 không chia hết cho 4.

0. Chọn C.

Câu 22. Chọn A. B sai vì x

C sai vì x D sai vì x Câu 23. Với x

3 1 2

4 nhưng 1

2 nhưng x

, x2

Câu 24. Đáp án A đúng vì

4 nhưng

1 4

1 2

x, x 2

x . Chọn A. 5

. Chọn A.

Câu 25. Chọn A. Đáp án B sai vì x 2

3 là số vô tỉ.

Đáp án C sai với x

Đáp án D sai với x

9 là hợp số.

Câu 26. Phủ định của mệnh đề P là P x : " x

, x2

0" . Chọn D.

Câu 27. Phủ định của mệnh đề P x là P x : “Tồn tại x sao cho x 2

0 ”.

Chọn B. Câu 28. Phủ định của mệnh đề P x là P x : " x

: x2

5 là hợp số " .

Câu 29. Phủ định của mệnh đề P x là P x : " x

, 5x

3x 2

1" . Chọn C.

Câu 30. Phủ định của mệnh đề P x là: P x : " x

, x2

Chọn C.

BAØI 2. Câu 1. Chọn B. Câu 3. Chọn C. Câu 5. Chọn B.

0" . Chọn C.

TAÄP HÔÏP Câu 2. Chọn C. Câu 4. Chọn C.

247

Câu 6. Ta có 2x 2

3 2

nên X

3 . Chọn D. 2

x x Câu 7. Ta có x

4 x

1 2x

0 7x

x x

Suy ra S

2 1 3

Câu 8. Ta có x 2

1 2 3

6. Chọn D.

9 . x2

2 x

x x

x Suy ra tập X có ba phần tử là

6 x2

Câu 12. Vì k

. 5

2;3 . Chọn C.

Câu 10. Vì phương trình x 2 Câu 11. Ta có

Do đó X

3; 1; 3. Chọn C. x

Câu 9. Ta có x 2

36 120

2 2.32 2 3.3.5

và k

0 vô nghiệm nên X

. Do đó A

2 nên k

. Chọn C.

1;2;3;4;6;12 . Chọn A. 2; 1;0;1;2 do đó k 2

1;2;5 .

248

1 3

2 3x 2

Do đó, D

2 3x 2

Câu 14. Ta có x , y

và x

Do đó ta suy ra M Câu 15. Ta có Mà x 2

1 nên

0;1 , 1;0

0, x

Do đó ta suy ra M

2 1 . Chọn B. ; 1; 3 3

0, y

1, y

1 . 0

nên M có 2 phần tử. Chọn C.

0 nên chỉ xảy ra khi x 2

0. y2

0;0 nên M có 1 phần tử. Chọn B.

Câu 16. Chọn D. Câu 17. Các tập hợp con của X là:

; 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 3;4 ; 2;4 ; 2;3;4 .

2;4 ; A8

A13

4, 5 ; A14

2;5 ; A9 4;6 ; A15

Chọn B. Câu 21. Tập X có 10 phần từ. Gọi Y

2;6 ; A10

3;4 ; A11

1;6 ; A6

2;3 ;

3;5 ; A12

3;6 ;

5;6 .

; ;x

là tập con của X trong đó x

X .

có hai tập con là

và 1 .

và x .

X nên X có ít nhất 3 phần tử 1;2;3 .

B nên X phải X có nhiều nhất 5 phần tử và các phần tử thuộc X cũng thuộc

Do đó các tập X thỏa mãn là 1;2;3 , 1;2;3;4 , 1;2;3;5 , 1;2;3;4;5

có 4 tập thỏa

mãn. Chọn A.

249

Câu 27. Các tập X thỏa mãn là

có 4 tập X thỏa mãn.

, 1 , 2 , 1;2

Chọn D. Câu 28. Ta có M Suy ra N

0;2;4;6;... , N

0;6;12;... , P

1;2 , Q

1;2;3;6 .

Q. Chọn B.

M và P

2 hoặc x

BAØI 3.

CAÙC PHEÙP TOAÙN TAÄP HÔÏP

Câu 1. Tập hợp A

5. Chọn B.

2, y

B gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

1;5 . Chọn D.

Câu 2. Tập hợp A và tập hợp B có chung các phần tử c, d, m . Do đó A

c; d ; m . Chọn B.

Câu 3. Ta có 2 x

x Và

n 3

Suy ra A

30 B

2;3;4;5 .

x x

2k, k

2;4;6;8;10;...

x x

6k, k

6;12;18;24;...

1;2

1;2;3;6

Q. Chọn D.

Câu 5. Ta có các tập hợp

250

1 2

1 ;0;2 . 2

2 . Chọn B.

Câu 4. Ta có các tập hợp

Do đó P Q

B 3

x x

2k, k

2;4;6;8;10;...

x x

4 k, k

4;8;12;16;...

Do đó B2

B4 . Chọn B.

Câu 6. Chọn B. Câu 7. Xét các đáp án:

 Đáp án A.

A A

 Đáp án B.

B C

a, b, c

a, b, c, d

B C

Câu 8. Ta có các tập hợp

b, c

a, b, c

b, c, e

b; c

B C

a, b, c A C

a, b, c, d

a, b, c, e

a, b, c

A C . Chọn B.

x x

3k , k

x x

6k, k

3;6;9;12;15;... 6;12;18;...

B3 . Chọn B.

Câu 9. Tập hợp A \ B gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

A\ B

0 . Chọn A.

Câu 10. Tập hợp B \ A gồm những phần tử thuộc B nhưng không thuộc A

B\ A Câu 11. Ta có

Câu 12. Ta có

Câu 13. Ta có

5;6 . Chọn D.

A\ B

0;1

B\ A

5;6

A\ B

0;1

B\ A

5;6

2;7

1;2;3;4;6;7;8

A\ B

1;3

B\ A

4;6;8

Câu 14. Ta có x 2 B

6 0

A\ B

B\ A

A\ B

B\ A

0;1;5;6 . Chọn A.

. Chọn B.

3; 2; 1;0;1;2;3 . Do đó A \ B

Câu 15. Chọn C. Câu 16. Vì A X

. Chọn D.

1;3 . Chọn C.

B nên X chắc chắn có chứa các phần tử 1; 3; 4.

Các tập X có thể là 1;3;4 , 1;3;4;0 , 1;3;4;2 , 1;3;4;0;2 . Chọn C. Câu 17. Chọn A. Câu 18. Chọn D. Câu 19. Chọn B. Câu 20. Ta dùng biểu đồ Ven để giải:

251

Giỏi Toán + Lý

Lý

Toán

2 1 1

Giỏi Lý + Hóa

1 Giỏi Toán + Hóa

Hóa

f x g x

f x

g x

Câu 23. Ta có f 2 x C

hay C

g2 x

| f x f x

g x

0, g x

nên C

A \ B. Chọn C.

0 nên C

| f x

0, g x

B. Chọn B.

Câu 24. Ta có f x g x

nên H Câu 25. Chọn D. Câu 26. Ta có A A Câu 27. Chọn A. Ta có A Câu 28. Ta có x

Câu 29. Chọn C.

Câu 30. Chọn D.

252

M\ N

f x

g x

| f x

A . Chọn A. . x

. Chọn B.

g x

0 nên H

F . Chọn B.

nên

BAØI 4.

CAÙC TAÄP HÔÏP SOÁ

Câu 1. Chọn D. Câu 2. Chọn A. Câu 3. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có A

1;3

 Đáp án B. Ta có A

1;3

0;1;2 . 1;0;1;2 .

 Đáp án C. Ta có A

1;3

 Đáp án D. Ta có A

1;3

1;2 .

là tập hợp các số hữu tỉ trong nửa khoảng

1;3 .

Chọn B. Câu 4. Ta có A

Câu 5. Ta có A

2;4

1;2

. Chọn D.

B C A

B C

1 . Chọn D. 2

Câu 6. Chọn A. Câu 7. Ta có:

Suy ra A

4x 1

Câu 12. Ta có A

Câu 9. Chọn B.

Câu 11. Ta có A

;2 .

có hai số tự nhiên là 0 và 1. Chọn C.

1;2

Câu 8. Chọn D.

; 2

Câu 10. Chọn C.

4;7

; 2

3;4 . Chọn B. 3;7 . Chọn B.

4; 2

Câu 13. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có A

5;1

 Đáp án B. Ta có B C

; 2

 Đáp án C. Ta có B C

; 2

 Đáp án D. Ta có A C

5;1

; 2

\ 1;3 .

;

2;3 .

. 5; 2 .

Chọn C. Câu 14. Chọn B. Câu 15. Ta có x

nên hình minh họa cho tập A đáp án A. Chọn A.

Câu 16. Ta có

Do đó, A \ B

6 4

0 x 6

A B

1;6 . 4;4 .

A . Chọn C.

253

Câu 17. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có A

0;3

1;5

1;3

B C

1;3

0;1

 Đáp án B. Ta có A

0;3

1;5

0;5

B C

0;5

0;1

 Đáp án C. Ta có A C

0;3

0;1

0;3

A C \C

0;3 \ 0;1

 Đáp án D. Ta có A

1;3

1;3 \ 0;1

1;3 .

B \C

0;5 . 0

1;3 .

Chọn C. Câu 18. Ta có C A

\ A

Câu 19. Ta có A

; 3

. Chọn D.

; 5

C A

5;5 . Chọn C.

Câu 20. Ta có:

C A

C B

4;7

Suy ra X

Câu 21. Ta có A

3;4 . Chọn D.

B B

Câu 22. Chọn D. Câu 23. Điều kiện: m Để B

A 3;5 .

; 2 . Chọn B.

A khi và chỉ khi

3 . Chọn C.

Câu 24. Chọn C. Câu 25. Để hai tập hợp A và B giao nhau khác rỗng khi và chỉ khi 9a

4 a

4 (do a

Hình 1 3

Hình 2 Trường hợp 1. (Xem hình vẽ 1) Để A B

Trường hợp 2. (Xem hình vẽ 2) Để A

Kết hợp hai trường hợp ta được

254

m m

3 7

thì A

Suy ra để A

thì

3. Chọn D.

Câu 27. Điều kiện: m 3. Để A B A khi và chỉ khi B Đối chiếu điều kiện, ta được

Câu 28. Chọn B. Câu 29. Điều kiện: m 1 5 m Để A \ B khi và chỉ khi A Đối chiếu điều kiện, ta được 4 Câu 30. Ta có C B Do đó, để A

A , tức là m

C B

BAØI 5.

1 . Chọn D.

6. B , tức là 3

m 1

6 . Chọn C.

;3m 1

3m 1

1 . Chọn B. 2

SOÁ GAÀN ÑUÙNG - SAI SOÁ

Câu 1. Độ chính xác d 101 (hàng trăm), nên ta làm tròn số a được kết quả là a 23748000 . Chọn B.

23748023 đến hàng nghìn,

Câu 5. a

17658

1, 7320508076...

làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết

9,8696044011...

làm tròn đến hàng phần nghìn ta được kết

16 (hàng chục)

làm tròn số a

17658 đến hàng trăm,

Câu 7. h 347,13m 0, 2m d 0, 2 (hàng đơn vị), kết quả là 347. Chọn B. Câu 8. Chu vi tam giác là:

12 10, 2 8

0, 2

0,1

30, 2

347,13 đến hàng d .10

0,5.

Chọn C. Câu 9. Chu vi của miếng đất là

2. 43 63

2. 43 0,5

63 0,5

0,5 0,5

212

2. Chọn B.

Câu 10. Diện tích của thửa ruộng là

0, 01 . 15

0, 01

255

23.15

256

23.0,01 15.0,01 0,012

345 0,3801. Chọn D.

x2 4 0 x 2 0

Câu 7. Phương trình xác định khi

Câu 8. Phương trình xác định khi 3 2 x

Câu 9. Phương trình xác định khi 4

4 . Chọn C. 3 1

1 2

x Câu 10. Phương trình xác định khi

. Chọn D.

3 . Chọn B. 2 0

x x

1 2 . Chọn C.

Câu 11. Chọn C. Câu 12. Ta có x 2

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0

2;2 .

Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có 2

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S1  Đáp án B. Ta có x

2 x2

 Đáp án D. Ta có x

S0 .

x 2

S0 .

S 0 . Chọn C.

2;2

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 4 Câu 13. Ta có x 2

2; 1;2

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 3 2

2x 2;1

2;1

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 2  Đáp án C. Ta có

2 2

S0 .

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0

0;3 .

Xét các đáp án:

285

 Đáp án A. Ta có x

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S1

 Đáp án B. Ta có x 2

x 3

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 2

0 x

 Đáp án C. Ta có x

3x x

 Đáp án D. Ta có x 2

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 4 Câu 14. Ta có x

1 x –1 x

1 x

Câu 15. Ta có x đã cho là S 0

S0 .

S 0 . Chọn D.

0;3

x 1 x

0 2

S0 .

x 0

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 3

3 2

S0 .

0 (vì x 2

. Chọn D.

0, x

(vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của phương trình

Xét các đáp án:

 Đáp án A. Ta có

0 . Do đó, phương trình x 2

nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S1  Đáp án B. Ta có 2 x

x 5

5 x

 Đáp án D. Ta có

6x 1

(vô nghiệm). Do đó, phương trình

5 . Do đó, phương trình x x

18 . Do đó, phương trình

18 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S 4

Câu 17. Chọn D. Vì x 2 1 Câu 18. Xét các đáp án:

S0 .

S 0 . Chọn C.

Câu 16. Chọn A.

286

0 0

có tập nghiệm là S 3

0 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S 2

 Đáp án C. Ta có x x

1 vô

S0 . 2x

2x 1

S0 .

 Đáp án A. Ta có

 Đáp án B. Ta có x Do đó, x

2 và x

x 2

x x

 Đáp án C. Ta có

1 0

1 . Chọn A.

1 không phải là cặp phương trình tương đương. x

. Do đó,

x x

x và

1 không phải là cặp phương trình tương đương.

x x

 Đáp án D. Ta có

2 2

x x

x 1

0 1 . Do đó, x x

x và x

1 không phải

là cặp phương trình tương đương. Câu 19. Xét các đáp án:

 Đáp án A. Ta có

Do đó, 2x

 Đáp án B. Ta có Do đó,

x x

0 và x

3 và 2 x 0

Do đó,

Do đó, x x Câu 20. Chọn D.

1 2

x .

0 là cặp phương trình tương đương. Chọn B.

x và x

 Đáp án D. Ta có x

1 không phải là cặp phương trình tương đương.

1 2

 Đáp án C. Ta có

1 2

2 x

2 1

2 và x

x x

0 2

x 3

2 5

13 2

2 5

13 2

không phải là cặp phương trình tương đương.

1 không phải là cặp phương trình tương đương.

287

Ta có

Do đó,

4x 2

2 x và x

Câu 21. Ta có 2

Với m

2 cũng là nghiệm của phương trình 1 .

2 trở thành 2 x 3

7x 2

Câu 22. Ta có 1

1 mx

7 hoặc x 5

5 , ta có

5x 2

12 x

 2 trở thành

7x 2

10 hoặc x 7

Suy ra hai phương trình không tương đương Với m 4 , ta có  1 trở thành 4 x 2

 2 trở thành 2 x 2

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m 4 thỏa mãn. Chọn C. Câu 23. Chọn C. Ta có:

1 . 2

2 hoặc x

1 cũng là nghiệm của phương trình 2 .

 1 trở thành

3 thỏa mãn. Chọn B.

Do hai phương trình tương đương nên x 1 vào 2 , ta được m

1 . 2

2 hoặc x

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m

288

3 , ta có

Với m

4 x 2 không phải là cặp phương trình tương đương.

2 vào 1 , ta được 2

1 trở thành 2 x 2

Thay x

Do hai phương trình tương đương nên x Thay x

2 2x 2

1 hoặc x 2 1 hoặc x 2

1. 1.

m m

5 4

x x

 3x

8x 2

3 5 4

x 6x

0 x

 8x 2

11 4

Do đó, phương trình 8 x 2 3x 2 x 3 . Câu 24. Ta có 2 x 2

1. 2

x 1 2

0 không phải là hệ quả của phương trình

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0

1 . 2

Xét các đáp án: x

 Đáp án A. Ta có 2 x

1 x

2x 1 x

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 1

x  Đáp án B. Ta có 4 x 3

x x

1;0;

1 2

1. 2

2x 2 x 0 x 5 0

S0 .

2x 2 x x 5

(vô nghiệm). Do

S 0 . Chọn C. x

1 2

S0 .

1 1 ;0; 2 2

đó, tập nghiệm của phương trình là S 3

 Đáp án D. Ta có 2 x 3

1. 2

Do đó, tập nghiệm của phương trình là S 2  Đáp án C. Ta có 2 x 2

1 2

0 1 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là 2 1

S0 .

Câu 25. Ta có:  Phương trình 1

289

Do đó, tập nghiệm của phương trình 1 là S1  Phương trình 2

2;3 .

Do đó, tập nghiệm của phương trình 2 là S 2 Vì S 2

S1 nên phương trình 1 là hệ quả của phương trình 2 . Chọn A.

Câu 26. Điều kiện:

x x

0 . 2

Thử lại ta thấy cả x 0 và x 2 đều thỏa mãn phương trình. Chọn C. Câu 27. Điều kiện: x 1 0 x 1. x

Phương trình tương đương với x

0 2

x x

1. 1

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.

Câu 28. Điều kiện:

Thử lại ta thấy x 3 thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.

Câu 29. Điều kiện: Ta thấy x

Nếu x

5 3x

. *

3 thỏa mãn điều kiện * .

3 thì *

5 3x

x x

5 3 5 3

Do đó điều kiện xác định của phương trình là x

5 . 3

3 hoặc x

5 vào phương trình thấy chỉ có x 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. x 1 0 x 1 x 1. Câu 30. Điều kiện 1 x 0 x 1 Thay x

3 và x

3 thỏa mãn.

Thử lại x 1 thì phương trình không thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn A. x

Câu 31. Điều kiện: x 2

290

0 2

5 . 3

Thử lại phương trình thấy x 2 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.

Câu 32. Điều kiện:

4x 2 x

x x

1 . 2

Thay x 1 và x 2 vào phương trình thấy chỉ có x 1 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. Câu 33. Điều kiện: x 1 . Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2

x 1 2x 1 Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x Câu 34. Điều kiện: x 3 .  Ta có x Nếu x

x 1 hoặc x 2. Chọn B.

3 là một nghiệm. 3 thì

0 . Do đó phương trình tuong đương

1 hoặc x

Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x Câu 35. Điều kiện: x 1.  Ta có x  Nếu x

3. Chọn B.

1 là một nghiệm.

1 thì

0 . Do đó phương trình tương đương

x x 2 0 x 1 hoặc x 2 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn C.

BAØI 2.

PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI

Câu 1. Phương trình đã cho vô nghiệm khi Câu 2. Phương trình viết lại mx

1, x

m2 3m

4 6

0 0

2 . Chọn B.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Câu 3. Phương trình đã cho vô nghiệm khi

. Chọn A.

m m

2 3

m m

0 2

Chọn C. Câu 4. Phương trình viết lại m 2

6 x

m 1.

291

m 2 5m 6 Phương trình vô nghiệm khi m 1 0

m m

2 3

m m

2 . Chọn B. 3

Câu 5. Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình m 1 x 2 3m 2 x m m 1 x 2 12 x 2 vô nghiệm

3 m2

2 m vô nghiệm

4 x

m2 4 0 2 m 0

2. Chọn A.

Câu 6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m

Câu 7. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m m

10;10

2 . Chọn D.

có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Câu 8. Phương trình viết lại 3m 2

1 m.

2 x

m Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 3m 2 m

5;10

1 2 3

5; 4; 3; 2; 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10 .

Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39 . Chọn C. Câu 9. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m 2

m m

0 1

1 . m

Khi đó, nghiệm của phương trình là x

1 1 m 1 (thỏa mãn * ). Chọn D. m Câu 10. Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình Yêu cầu bài toán

1 x m2 m2

m m

3m 6 x

m có nghiệm duy nhất

7 x 2

m có nghiệm duy nhất m m

3 2

. Chọn C.

Câu 11. Phương trình đã cho nghiệm đúng với

hay phương trình có vô số nghiệm khi

m 1 0 m 1 0

1 . Chọn A.

Câu 12. Phương trình viết lại m 2

4 x

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

m2 3m

4 6

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m

292

0 0

m m

2 2

2 . Chọn B.

Câu 13. Phương trình đã cho nghiệm đúng với

3m m

m m

0 5

1 2

hay phương trình có vô số nghiệm khi

. Chọn D.

Câu 14. Phương trình đã cho vô nghiệm khi

m m

0 2

m m

2 1

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m 0 . Chọn D. Câu 15. Đồ thị hai hàm số trùng nhau khi và chỉ khi phương trình

1 x 3m 2

3m 2

1 m

1 m có vô số nghiệm

2 x

3m 2 m 2 1 m 0

m có vô số nghiệm

1 x

1. Chọn C.

Câu 16. Chọn B.  Với a 0 . Phương trình trở thành bx khi b 0 .

c . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất

 Với a 0 . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi Câu 17. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có

 Đáp án B. Ta có 2.

 Đáp án C. Ta có

 Đáp án D. Ta có

4. 2

1 3

2 1

7 1

Chọn B. Câu 18. Ta có x 2 7 x 12 0 x 2 7 x 12 . Do đó, nghiệm của phương trình đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y x 2 và y 7 x 12 . Chọn D. Câu 19. Ta có

1 4m .

Phương trình vô nghiệm khi Do

m m

Câu 20.  Với m

10;10 1

1 4m

1 4

Có 10 giá trị thỏa mãn. Chọn B.

1;2;3;...;10

Khi đó phương trình trở thành 2 x

3 . 2

293

 Với m

1 . Ta có

Phương trình vô nghiệm khi

2. Chọn B.

1 . 2

Khi đó, phương trình trở thành  Với 2 k 1

2 m

Câu 21. Phương trình viết lại 2 k 1 x  Với 2 k 1

1 . Ta có 2

0 2

3 . 4

2k 1 .6

Khi đó, phương trình đã cho vô nghiệm khi

12 k 12 k

Do đó, số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là k Câu 22. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi

11 . 6

2 . Chọn C.

0 m 1

22 .

Chọn B. Câu 23. Phương trình viết lại mx 2  Với m

6 3m

0 . Khi đó, phương trình trở thành 4 x

3 . Do đó, m 2

0 là một

giá trị cần tìm.  Với m

0 . Ta có

m 6 3m

3m 2

3 m 1

Khi đó, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt nên m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 24. 1  Với m 0 . Khi đó, phương trình trở thành 2 x 1 0 . Do đó, m 0 là một x 2 giá trị cần tìm.  Với m

0 . Ta có

m m

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi Chọn C. Câu 25. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi

m 7m

1 2

0 13m

6 7

Câu 26. Phương trình viết lại 2

294

m x2

0 0

6 . Chọn C. 7

m 1

 Với 2 m

Do đó, m

2 . Khi đó, phương trình trở thành

2 là một giá trị cần tìm.

 Với 2 m

2 . Ta có

4 2 m .

8m 17 .

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi

17 . 8

Chọn C. Câu 27.  Với m

2 , phương trình trở thành

3 . Do đó m 2

2 là một giá trị

cần tìm.  Với m

2m 2

2 , phương trình đã cho là phương trình bậc hai có 3 phương trình có nghiệm duy nhất hoặc m 1 . 0 m 2 3 3 1; ; 2 Vậy S tổng các phần tử trong S bằng 1 2 2 2

3 . Để

9 . Chọn D. 2

Câu 28. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

m 1

m m

1 8

. Chọn C.

Câu 29. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

0 4

m m 1;2;3;4;5 4 . Do m 5;5 m 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 30. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi m2

13m 2

. Chọn C.

Câu 31. Phương trình hoành độ giao điểm m 1 x 2

m 1 x2

2 m 1 x

2m 1

Có 5 giá trị nguyên của m

2mx

3m 1

Để d tiếp xúc với P khi và chỉ khi phương trình * có nghiệm kép

m 1 '

0 2

m – 1 – m – 1 2m – 1

–m m – 1

0. Chọn C.

Câu 32. Phương trình tương đương với x m. Do vế trái của phương trình không âm nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m 0 m 0. Chọn C.

295

Câu 33. Phương trình có nghiệm khi m

20;20

144

12 2

20; 19; 18;...; 12;12;13;14;...;20 .

Do đó tổng các phần tử trong tập S bằng 0. Chọn D.

Câu 34. Phương trình hoành độ giao điểm

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình * có nghiệm /

1 2

7 . Chọn D. 2

Câu 35. Với m

1 , phương trình trở thành 3x 1

Với m

1 , ta có

4 m 1

Phương trình có nghiệm khi

1 . Do đó m 3

5 4

1 thỏa mãn.

5 4

5 là giá trị cần tìm. Chọn A. 4 Câu 36. Nếu m 0 thì phương trình trở thành 1 0 : vô nghiệm. Khi m 0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Hợp hai trường hợp ta được m

Kết hợp điều kiện m

0, ta được:

10;10

4;5;6;...;10 .

10; 9; 8;...; 1

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán. Chọn A. Câu 37. Vì phương trình đã cho có nghiệm bằng 3 nên thay x 3 vào phương trình, ta được 9 12 m 1 0 m 2. 2 phương trình trở thành x 2

Với m

Câu 38. Phương trình có hai nghiệm phân biệt

8m 16

. Chọn B.

Theo định lí Viet, ta có

x1 x 2 x1

296

2 x2

m 1 ; x1 3

2 3

2 m 2 , x2 9 m 1 x1 x 2 3 x1

1 m 9

2 m 81

m 1 3

2m 2

19 m

Câu 39. Phương trình có hai nghiệm phân biệt

7 2

Câu 40. Ta có x 1 x 2

15 4

0, m

3m 5 ; x1 3

2 m

4 mx

21 x g x

m m

1 6

3 . Chọn C. 7

1 x2

, x2

3m 5 3

x1 x 2

10m

1 2

3x 2

3m 5 3

x1 x 2

Theo định lí Viet, ta có

5 2 (thỏa mãn * ). Chọn A. 7

4mx

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi * có hai nghiệm phân biệt

4m 2

khác 1

1 4m

3 . Chọn D. 4

0. Câu 41. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 cùng dấu nên x1 x 2 hay P 0 . Chọn A.

0. Câu 42. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm âm nên

x1 x 2

0 0

hay

. Chọn C.

0. Câu 43. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm dương nên

x1 x1 x 2

0 0

hay

. Chọn B.

0. Câu 44. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm trái dấu nên x1 x 2 0 hay P 0 .

c 0 ac 0 b2 4 ac a nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P 0 . Chọn C. Câu 45. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi Mặt khác, P

0 . Do đó, phương trình có hai

297

0 0

m2 4 m 0

m m

2 2

2 . Chọn A.

Câu 46. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi

0 0

3m 2 0 4m 0 m

5;5

Có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài

1;2;3;4;5

toán. Chọn A. Câu 47. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi m 0 a 0 m 0 1 4m 2 0 0 1 1 m 0 m 1 S 0 2 2 0 m m 0 P 0 1 0

1 . Chọn D. 2

Câu 48. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi S

2;6 m

0 0

3m 2 0 4m 0

2; 1 . Do đó, tổng các phần tử trong S bằng

Chọn A. Câu 49. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt S P

2 m

m m m m

1 1

Vậy với m 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 50. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi m 1 0 a 0 m 1 0 m 1 . Chọn A. 1 P 0 0 m 1 Câu 51. Theo định lý Viet, ta có Thay vào P , ta được P Câu 52. Ta có P

x12

298

x 22

x12 1 x 2

x1. x 2 ( x1

x2 )

x1 x 2

3 m2

5 2m 1

x 22 1 x1

x12 2

3m 2

x12 . x 2

2 x1 . x 2

10m 1. Chọn C.

x 22

x1 .x 2 x1

x 22 . x1

x2 .

Theo định lý Viet, ta có

x1 . x 2

Thay vào P , ta được P

2( m )

m .3

Câu 53. Vì x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 Theo định lý Viet, ta có x1

Từ 1 và 2 suy ra T 2

Ta có T

4a 2

x2 2

4ax 1

1 2

1 . 2

2 a và x1 x 2

9. Chọn B.

2 .

4 x1 x 2 .

4 a2

Câu 54. Giả sử x1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x 2

Theo định lý Viet, ta có

x1 x 2

p q

(vì p, q

Từ giả thiết, ta có x1

Từ 1 , 2 suy ra p2

4q 1

Câu 55. Ta có

2m 1

4(m 2

Khi đó P Do m

x1 x 2 x1 x 2

3 nên 2m 4

Để P

x1 x 2

Câu 56. Ta có

2m m

m 1 2m 1

Khi đó P Dấu ''

x1 x 2

2 x1

x1 p

4 x1 x 2

4q 1

0. Chọn A.

3 . 4

1 . 5 4 2m

2m 1

5 . 2m 1

2m 1 .

x1 . x 2

2 m2

1 : thỏa mãn. Chọn D.

'' xảy ra khi và chỉ khi m

Câu 57. Ta có

0 ).

1 là ước của 5 , suy ra 2m

Để phương trình có hai nghiệm Theo định lý Viet, ta có

5 . 2

2 , ta được P m

2m 1 4

thì ta phải có 2m

Thử lại với m

0. Chọn B.

4m 3 .

Để phương trình có hai nghiệm Theo định lý Viet, ta có

1 . 2

2 2 2m

12.

2 : thỏa * . Chọn C.

299

Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi

x1 Theo định lý Viet, ta có Khi đó A

1 2

m 1

2 m

4 2

25 4

2m 2

25 (do 4

2 m

2 ).

2 m 1 2m 2

x1 . x 2

1 : thỏa * . Chọn C. 2

Để phương trình có hai nghiệm Theo định lý Viet, ta có

'' xảy ra khi và chỉ khi m

Câu 58. Ta có

m m

x1 x 2

2 x1 x 2 m

Dấu ''

4 m2

m 1 m .

. 1

Khi đó

Vì 0

Do đó P Dấu ''

x1 . x 2 1 4

1 4

2 m

2m 2

2 m 1

9 16

1 4

3 4

9 16

1 4

m 2

2 m2 2

9 16

9 8

2 m

1 2

2 m

1 4

9 16

9 . 8

1 : thỏa mãn * . Chọn C. 4 2 m 2 0 , với mọi m .

'' xảy ra khi và chỉ khi m 4 m 1

Câu 59. Ta có

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . x x2 m Theo định lý Viet, ta có 1 . x1 x 2 m 1 Suy ra x12 Khi đó P

x 22 x

2 1

2 x1 x 2 3 x 22 2( x1 x 2

2 x1 x 2

2m 1 . m2 2

2 m 1

m 1 2m 1 2m 1 m 2 2 1 2 2 m 2 m 2 m2 2 1, m . Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi m

Suy ra P 1 Suy ra P Câu 60. Ta có

4 m 1

2 0 , với mọi m .

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .

300

0, m

1 4

1. Chọn B.

9 . 16 0.

Theo định lý Viet, ta có Suy ra x12

x 22

Khi đó P Suy ra P

x1 x 2 2

1 2

2m 1 m2 2

1 , m 2

m2 2m m2

2 2m

1 2

. Dấu ''

1 . 2

m.n

n m

x 33

3 4

x 33

m , thay vào

x3 x 4 2

Khi đó, ta có hệ

1 x0

2mx 0 2

2 x0

, ta được

3x 3 x 4 .

m m2

3n .

3mn. Chọn C. 2mx

1 là nghiệm của phương trình x 2 x0

x 02

Câu 63. Gọi x 0 là nghiệm của phương trình x 2

1 m

2 , ta được x 02 1 m

x 02 mx

2 0

2 thay vào 1 , ta được

0. Điều kiện: x 0

1 m

2x0

m 1 x 02

2m.

Câu 64. Gọi x 0 là một nghiệm của phương trình x 2

x 0 là một nghiệm của phương trình x 2

2mx 0

2x0 m 1

Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là m1

Suy ra 3

2. Chọn B.

x 43

Theo định lý Viet, ta có x 3

Với x 0

0, m

0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 và phương trình

Lấy 1

Suy ra

2 m2

m m

'' xảy ra khi và chỉ khi m

0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x 4 .

Theo bài ra, ta có

Vậy p

2 m 1

2 m2

m n 1. Chọn B. Câu 62. Giả sử phương trình x 2 x

. m 1

Câu 61. Theo định lý Viet, ta có

2 x1 x 2

2 x1 x 2 3 x 22 2( x1 x 2

x12

Suy ra P

5 4

mx 2x

2x0

m x0

1 2

5 . 4

1 . Chọn C. 4 2

0. m

301

x 02

Khi đó, ta có hệ

mx 0

2 3

x 02

mx 0

x 02

2 8x0

15.

x0 Thay 2 vào 1 , ta được x 02

x 02

8x0

15 x 0

2 2

3 5 2

3 giá trị của m cần tìm. Chọn D.

Câu 65. Vì c, d là hai nghiệm của phương trình x 2 Vì a, b là hai nghiệm của phương trình x Khi đó, ta có hệ

Lại có

 Với a

c thì từ c

 Với a

c thì từ c

Ta có c2

Khi đó S a b Câu 66. Điều kiện x

a c 2c

3x x 1

Câu 67. Điều kiện x

a a

c c

0 loaïi

1 thoaû maõn

2c.

2. Chọn A.

2.1

3 thỏa mãn điều kiện 2

Khi đó phương trình

1 loaïi

4 . Chọn D.

S 2

2x x2

x2 10 x 5x

Câu 69. Điều kiện:

x x

2 3

2x x

x x

50 x x

0 3

Phương trình tương đương 1

302

3 x

2c và từ a

2c2

0 suy ra a

0 : mâu thuẫn giả thiết.

3 . Chọn C. 2

Câu 68.

b d

d c 2 c c 2c 1. Khi đó phương trình

3 x

0 suy ra c

c2 a

2 2

10 x

. Chọn A.

cho ta

x x

2 x

10 2

10 thoaû maõn 3 loaïi

Chọn D.

Câu 70.

1 x 1 x

2m 2

Câu 71.

3 x

x 1

1 x 1 x

3 x

6m m

Câu 72.

mx 2 x 1

2mx 1 Câu 73. x 1

2 . Chọn D. m2

0 3 m

3 x

nghieäm duy nhaát

3 . Chọn B. m

. Chọn D.

4 2m 3

3 2 1 2

Chọn D.

x m Câu 74. x 1 Vì m Câu 75.

x x

1 2

m 4 x2

x x

m 2

m 2 m

. 1

3; 2;1;2;3;4;5 . Chọn D.

3 2

coù nghieäm

3;5 nên m

x x

2 1

coù nghieäm

m 2

Suy ra có tất cả 18 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu. Chọn B. 3 2x 0 Câu 76. Phương trình 2 2 3x 2 3 2x

3 2

x 9x 2

3 2

x 4

4x 2

Câu 77. Phương trình

12 x

5x 2 4

1;1 . Chọn A.

5 2x

Do đó, phương trình có vô số nghiệm. Chọn D. x

Câu 78. Phương trình

x 2x

0 1

x x

3 2

x x

3 4 3

x 2

. Chọn B.

303

x Câu 79. Phương trình

8 x2

4 x 17

17 4 2 x 8x

x x

4 x 17

17 4 x 2 x

x 12 22

0 0

Câu 81. Phương trình

26 x

3 2 7 4

Câu 82. Phương trình

Câu 83. Phương trình

2, x

0, x

'' xảy ra khi và chỉ khi

9x 2

3x 2

20 x

30 x

b a

20 . Chọn D. 3

x 1

5 2

0 0

0 5

x x

2 1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn A.

28. Chọn C.

3 7 ; . Chọn A. 2 4

4 x

Chọn D.

304

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình bằng

Câu 85. Ta có

12 x 2

x 6

Dấu ''

Câu 84. Ta có

17 4 x 2 8x

4 x 17

8x 2

4 2

17 4

6. Chọn B.

Câu 80. Phương trình

2x 2

x x

45 2

13 2

Dấu ''

'' xảy ra khi và chỉ khi

Câu 86. Đặt t

1, t

5 2

 Với t

1 ta có x

 Với t

2 ta có x

5 2

1 x

0 . Suy ra t

Phương trình trở thành t 2

1 t 1

2, x

4x t

1. Chọn D.

0, x

2x 1

3 hoặc x

3, x 2

2 hoặc x

Câu 87. Phương trình tương đương với 4 x 2 2

1 hoặc t

Vậy phương trình có bốn nghiệm là x

2x 1 , t

thoûa

1 2

1. Chọn B.

;0 :

Phương trình trở thành

2ax

2a 3 x

Phương trình 1 có nghiệm duy nhất khi 2a 3

1 . Mà x 2a 3

phương trình là x  Xét x

loaïi

3 3 2 Với t 2 , ta có 2 x 1 2 2x 1 2 1 2 x 2 Câu 88. Dễ thấy, x 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. 2x 1

 Xét x

5 . Chọn B. 2

Phương trình trở thành t 2

Đặt t

5 2

2a 3

3 . Khi đó, nghiệm của 2 3 . a 2

Phương trình trở thành 3 x Phương trình 2 phương trình là x

1 2a 3

2ax

3 x

có nghiệm duy nhất khi 2a

1 2a

. Mà x

1 2a

3 . Khi đó, nghiệm của 2 3 . a 2

Chọn D. Câu 89. Phương trình Đặt t

x ,t

m 1

0 , phương trình trở thành t 2

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Với t

0 là nghiệm của phương trình

m 1

có nghiệm duy nhất t

m 1

305

Thử lại, thay m

1 vào phương trình

, thấy phương trình có 2 nghiệm t

0 và t

Không thỏa mãn. Chọn D. Câu 90. Ta có mx

1 x

3 x

Xét 1 , ta có:  m

1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x

 m

1 thì phương trình có nghiệm x

Xét 2 , ta có:  m

3 thì phương trình vô nghiệm.

 m

3 thì phương trình có nghiệm x

Vì

2 m

3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

0, m

2 m

Mà m

5;5 và m

Câu 91. Cách 1:

khi m

1 và m

có 9 giá trị m . Chọn B.

5; 4; 2;0;1;2;3;4;5

0, x

6. Chọn C.

2. Chọn B.

Cách 2: Thử đáp án. Thay x

2 vào phương trình ta được

2.2 3

2 3 (sai).

Thay x

6 vào phương trình ta được

2.6 3

6 3 (đúng).

Vậy x

6 là nghiệm của phương trình.

Câu 92. Cách 1:

2 2

Cách 2: Thử đáp án. Thay x

0 vào phương trình ta được

2 (sai).

Thay x

2 vào phương trình ta được

2 (đúng).

Vậy x

2 là nghiệm của phương trình.

Câu 93. Điều kiện xác định của phương trình 2 x Ta có x

2 2

2x 2x

Giải phương trình

306

7 7

x2 x

4 2

x 0

2 2x

7 . 2

x x

2 x

0 7

2 x

2 2x

2 1

x 1 : 2x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x trình là 1 2 3. Chọn D.

Từ phương trình đã cho ta được: x 2

2 nên tổng hai nghiệm của phương

1, x

Câu 94. Điều kiện xác định của phương trình x

So với điều kiện x 2 thì x 5 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn A. Câu 95. Điều kiện xác định của phương trình 2 x 0 x 2. Từ phương trình đã cho ta được 2

2 2

x2 x

x x

Với mỗi t thỏa mãn

1 2

tx 0

1 t t

0 *

thì * có hai nghiệm x phân biệt.

Mặt khác phương trình đã cho trở thành: m

1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn B.

Câu 96. Đặt

1 m

0 ** .

Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm t phân biệt thỏa mãn m 1 m 1 0 m 1 . Chọn D. điều kiện t 0 hay 1 1 m 0 1 m 1 m 24 1 m 25 1 1 m 4 Câu 97. Đặt x

1 x

t t

. 1 2 t 2 x2 Khi đó phương trình đã cho trở thành f t x2

luôn có hai nghiệm phân biệt t1

t2 do ac

2mt 1

* (Phương trình này

0 ). Do đó phương trình đã cho có nghiệm

khi và chỉ khi (*) có ít nhất một nghiệm t thỏa mãn t

2 , hay ít nhất một trong hai số

2 phải nằm giữa hai nghiệm t1 , t2 ; hay

307

f 2 f

0 2

3 4

g x

2 x

Câu 98. Đặt x

3 4

3 4m

. Chọn D.

0 *

. 4 t 2 4. 2 x 0 nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi t

Phương trình * có ac

. Do đó

* nếu có nghiệm lớn hơn 1 thì có duy nhất một nghiệm như thế x1

t 1

1. t2

Mặt khác phương trình đã cho trở thành f t

0 * * . Phương trình đã

cho có đúng hai nghiệm x1 , x 2 lớn hơn 1 khi và chỉ khi * * có hai nghiệm phân biệt t1 , t 2 lớn

4 hơn

1, hay

t1t 2

– 2m x 2

Phương trình 1 trở thành g t

Phương trình 2 có nghiệm khi có nghiệm kép x

m m

Câu 99. Ta có x 2 Đặt t

1 t2

1 8

. Chọn B.

4m – 1

0. 1

4m 1

0. 3

0. 2 2mt

3 . Khi t

3 thì phương trình 2

Phương trình 1 có đúng hai nghiệm khi: TH1: Phương trình 3 có nghiệm kép lớn hơn 3 . Phương trình 3 có nghiệm kép khi

Với m

Phương trình 3 có nghiệm t

3 : Không thỏa mãn.

Với m

Phương trình 3 có nghiệm t

3 : Thỏa mãn.

TH2: Phương trình 3 có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1

m2 g 3

4m 2m

1 8

0 0

Hợp hai trường hợp ta được m Câu 100. Ta có x 2

308

2mx

2m x

4; m

2 3 2m

3 . Chọn C. 0

0 m2

Ta có m 2

m 1. m

2 3

Nếu m 3 , thì m 2 2m 3 m 0, suy ra (2) có nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm. Nếu m 1 thì (1) vô nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và và chỉ khi 3 (2) có nghiệm m 2 2m 3 m 0 m 2 2m 3 m 2 m . 2 3 ; 3 ; . Chọn B. Vậy m 2

BAØI 3.

PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN

Câu 1. Cách 1. Từ phương trình x

11 suy ra z

trình còn lại ta được hệ phương trình, ta được

. Từ đó ta được z

Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y ; z

11 x

y. Thay vào hai phương

11 x

11 4 5

5 y

4;5;2 . Chọn B.

Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được x ; y ; z

4;5;2 là nghiệm của hệ phương

trình. Câu 2. Cách 1. Từ phương trình z 2 x 3 suy ra z 3 2 x. Thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ phương trình, ta được x 2y 1 x 2y 1 x 1 . y 2 3 2x 2 4x y 4 y 0 Từ đó ta được z

3 2.1

Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y ; z

1;0;1 . Chọn D.

Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được x ; y ; z

1;0;1 là nghiệm của hệ phương

trình. Câu 3. Bằng cách sử dụng MTCT ta được x ; y ; z x

2; 1;1 là nghiệm của hệ phương trình

3 . Chọn A.

6 9

Câu 4. Bằng cách sử dụng MTCT ta được x ; y ; z

1;0;1 là nghiệm của hệ phương trình

309

2x x

y x

. Chọn C.

Câu 5. Ta có x

Phương trình 2

Phương trình 3

3 2y

1 2 . 3

2z 2 2 y 2z 3

3 y

Từ * và * * , ta có

2 . Thay vào 1 , ta được

3 . Thay vào 1 , ta được

10 .

Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y ; z

Câu 6. Ta có 2 x

z y

11 z

Phương trình 3

. Suy ra x

1;1;1

3. Chọn C.

1 2 .

5 z

2y .

Thay vào 1 và 2 ta được hệ phương trình

24 y

Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y ; z

4;5;2

Câu 7. Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra

Hệ phương trình

y 1

2 mx

phương trình 2mx

5y m

y 1

y x

310

mx x

m 1 mx

1 y

1 mx 1 m

x y

2.5

40. Chọn B.

4.5.2

3.4

1 2

có nghiệm duy nhất khi 1; 2

là nghiệm của

0 tức là 2m.1 5.

m 1 my

Câu 8. Cách 1. Từ hệ phương trình đã cho suy ra z lại, ta được

. Suy ra z

m y

1 1 m m2

10. Chọn B.

1 my. Thay vào hai phương trình còn

1 mx

1 m3 x

. 1

Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi

1 m3 m

1 2

Chọn A. Cách 2. Thử trực tiếp Thay m

1 vào hệ phương trình ta được hệ phương trình

1 .

Sử dụng MTCT ta thấy hệ vô nghiệm. Câu 9. Gọi x là số xe tải chở 3 tấn, y là số xe tải chở 5 tấn và z là số xe tải chở 7, 5 tấn. Điều kiện: x , y, z nguyên dương. x

Theo giả thiết của bài toán ta có 3 x 5 y 7, 5 z 290. 22, 5 z 6 x 15 y Giải hệ ta được x

20, y

19, z

18. Chọn B.

Câu 10. Gọi số học sinh của lớp 10 A, 10 B, 10C lần lượt là x , y, z. Điều kiện: x , y, z nguyên dương. x

Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình 3 x 4x Giải hệ ta được x

40, y

43, z

128

375

476.

45. Chọn A.

311

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC BAÁT PHÖÔNG TRÌNH

4 BAØI 1. Câu 1. Ta có

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC a

a d

b c. Chọn C.

Câu 2. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

Câu 3. Ta có

a c

c a

b b

c c

A đúng.

2 B đúng.

b a a c

C đúng.

b c

D sai. Chọn D.

c b

bd. Chọn C.

Câu 4. Xét bất phương trình a

Khi nhân cả hai vế của

với c, ta được

. Chọn D.

Câu 5. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: 0 a b 0 a b a b Chưa đủ dữ kiện để so sánh , 1 1 0 c d 0 c d d c

a c

1 d

1 c

b d

a b

Chưa đủ dữ kiện để so sánh

a b , c d

C sai vì chưa thiếu điều kiện a, b, c, d.

d 1 c Câu 6. Từ giả thiết, ta có a

312

a b

d c

a b

d c

D đúng. Chọn D.

2b. Chọn C.

A sai.

B sai.

Câu 7. Từ giả thiết, ta có

b a

0 a

0. Chọn A.

Câu 8. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: 1 a

1 a

1 a a a

a 1

a2 a 1

1 , a a

a, a

1 a

a 1 a 1

a 1

a2 ,

a, a

B sai.

0;1

C sai.

0;1

A đúng.

0;1

D sai.

0;1

Chọn A. Câu 9. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

2a2

ab ab 1

1 2

2 ab ab 1 2 ab 1

1 2

2 a

1 4

0, a

1 2

A sai.

a a2

1 2

2 a

ab 1

2 a

1 , a, b 2

B sai.

ab ab 1

2 ab 1

1 1 2

a2 1 a2 2

1 , a 2

C đúng.

Chọn C. Câu 10. Giả sử x

1 b b2

b2 ab2

a b a

1 b 1 b b2

ab2

a2 b

Câu 11. Ta có f x

Dấu "

1 a 1 a a2

ab a b

4 2

2 x 1

2 x

0 . Vậy x

2. Vậy m

y. Chọn B.

2 x

2 2

1. Chọn B.

1 x2

" xảy ra khi và chỉ khi

1 b 1 a

a2 b

0 luôn đúng với mọi a

Dấu "

" xảy ra

Câu 12. Ta có f x

1 a

1 a 1 b

2 4

1 2

4. x

2. 4

3 (vô lý).

x 4 Vậy hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất. Chọn D.

313

Câu 13. Ta có f x

2x 1 1 x 1

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x

x Dấu "

" xảy ra

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x

16 x

Câu 15. Ta có f x Vì x

f x

0;1 4

x 1 x

2 x

16 x

4 x

0. Vậy m 10 x x

1 x

" xảy ra

Cách 2. Ta có f x

4 1 x x

4 1 x

1 x

16 x

10.

f x

18.

18. Chọn B. x

4 1 x

1 x

x x

1 . Vậy m 2

x . 1 x

1 . 2

8. Chọn D.

1 1 . x 1 x

1 2

x 1 x

f x

x 1 x

4. Chọn B.

1 x x 1 x

x 1 x

0 1 x x

1 1 x

x 1 x

1 x x

f x

2 . Vậy m 3

1 x x

1 x

1 4

1 x

314

" xảy ra

2. Chọn C.

16 x

4x x

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

Dấu "

2 x.

Câu 16. Cách 1. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

Dấu "

0 nên theo bất đẳng thức Côsi, ta có x

Mặt khác x 1 x

4 x

1 x

4 1 x

" xảy ra

4. Vậy m

1 Dấu "

" xảy ra

1 x2

Dấu "

Câu 14. Ta có f x

1 x x

1 x x . x 1 x

x 1 x 2

f x

2. 4.

x 2 32 4 x 2

Câu 17. Ta có f x

x 2 4 36 4 x 2 x

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

Dấu "

" xảy ra 2x

Câu 18. Ta có f x

Dấu "

" xảy ra

2 x

3 x

" xảy ra

8. Vậy m

Dấu "

3 2x

1 x

1 5 2x

2 x

2x 2

2 x

Dấu "

x 3

2 f x

3 1

4. Chọn C.

33 8

1 x

6. Chọn D.

1 x

1 . x

1 x

1 1 1 4 4 x 3. . . x x x

1. Vậy m

1 5 2x

f x

4. Chọn A.

1 . 2

2. Vậy M

Câu 22. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 2

f x

27.

27. Chọn C.

, ta được

1. Vậy M

x 1

2 x

" xảy ra

9 x

2 2 33 2x 2. . x x

1 x

x 1 x 1 1

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có

f x

2 . x

1. Vậy m

1 5 x 2 2 2x 1 5 2x

x 1 x

Câu 21. Ta có f x

" xảy ra

Câu 20. Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của Côsi ab f x

2 2

1 x

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 3

Dấu "

2x 2 x4

Câu 19. Ta có f x

4 x

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 2 x 2 x

2x 2

4 3

x 1 .1

2 x 1.

1 . Chọn B. 2 4

2 x 2 .4

315

x 4x

f x

1 . Dấu " 4

" xảy ra

Câu 23. Ta có f x

x 2x

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 2

x 4x

f x

1 . Dấu " 4

Câu 24. Hàm số xác định khi Ta có f 2 x Vì

Dấu ''

Vậy m

3, M

44 5 Lấy 1 Suy ra

3;6 .

f x

9 nên suy ra f 2 x

4 8

0 4 8

'' xảy ra

0 x

3 . Vậy M 2

f x

3 2.

8 nên TXĐ D

3 x

4;8 nên suy ra f 2 x

, x

4. Vậy m

4;8 . 4 8

f x

4;8 , áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

4 5

16 5

4 .

16 5

4 5

x .

4 x

2 theo vế, ta được

8 x

4 8 5

Dấu "

" xảy ra

Vậy m

2, M

316

3 2. Chọn B.

Ta có f 2 x

Với x

6. Vậy m

Câu 25. Hàm số xác định khi

Dấu ''

6 nên TXĐ D

3;6 nên suy ra f 2 x

3 hoặc x

1 . Chọn B. 4

1. Vậy M

x .

3 6

x x 6

'' xảy ra

0, x

Dấu ''

x 6

Lại có 2

Vì

'' xảy ra

" xảy ra 3

2 x 2 .1

1 . Chọn A. 4

2. Vậy M

8 x

4 8

x 5

4 8

4f x 5

2 5.

. x

36 . Vậy M 5

2 5. Chọn C.

8 x

f x

4 5 2 5.

44 5

3 2.

Câu 26. Hàm số xác định khi

Vì

7 2x

11 2 7 2 x 3 x 3x

1 3x 3

2 7 2 x 3x

4 . Vậy m 3

Câu 27. Ta có f 2 x

2x 8

'' xảy ra

Câu 28. Ta có x

Suy ra x

Câu 29. Ta có

y 2

1 3 xy

4 xy .

87 . 3

f x

x2 .

2x 8

4. Chọn D.

2. Chọn C.

29 3

2. Vậy M

2x 8

29 . 3

8 x

Câu 30. Với mọi x , y ta có x Suy ra x

2x 8

2 7 2 x 3x

87 . Chọn D. 3

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 x 8 f2 x

4 7 ; nên suy ra f 2 x 3 2

, x

'' xảy ra

Dấu ''

4 7 ; . 3 2

7 nên TXĐ D 2

7 2x

7 2 x 3x

Dấu ''

4 3

Ta có y 2

x x

y y

2 hay x

4 xy

1 3 . Chọn D. 1

Chọn B. Câu 31. Ta có x 2

Suy ra x

1 x 4

x 2

Câu 32. Từ giả thiết, ta có 3 x

6 x

y 0

3xy y

3 x 4

1 x 4

y .

4. Chọn D. y2

4. Chọn D.

317

Câu 33. Ta có Dấu ''

1 x

4 y

1 x

'' xảy ra khi x

4 y

1 ;y 3

2 . Chọn C. 3

Câu 34. Từ giả thiết, ta có xy x Vì x

0, y x

3 x

a3 b

1 x

b2 a

2t 3

t 1 2t 1

b3 a a2 b

● 1 a 1 b

y x

1 y

1 2

0 ). Chọn D. 1 . xy

1. Chọn A.

2 ab.2 ab

1 2 ab

2x 2 y2

2t 1

4 (do x , y

1 a 1 b .

4x y . y x

3 xy . *

1 t

2t 2

b3 a

4x y

2 x 2 y 2 , kết hợp với giả thiết ta được xy

1 t 1 2t 1

4 y

0 . Do đó *

Câu 36. Giả thiết ●

0 , ta được t

0 nên x

Câu 35. Ta có x 4 Đặt xy

1 x

4 ab.

ab.

Từ 1 , 2 và kết hợp với * , ta được 4 ab

1 2 ab

Câu 37. Ta có 4 xy Do x , y

3ab

2 ab 1

2 xy

0;1 , suy ra 1 x 1

Kết hợp * và giả thiết, ta được 1 4 xy Câu 38. Từ giả thiết, ta có x

Câu 39. Từ giả thiết x Ta có 16

318

2 x 3

8 y

1 y 2

1 . x .2 y 2

2 x

1 2y

1 . Chọn A. 9

1 . 4

xy y

1 x 2y . 2 4

8 (do x , y 1 y

2 x

0. *

1 . Chọn D. 3 2

0 ). Chọn C. 16.

2y 2

5 (do x , y

0 ). Chọn B.

Câu 40. Ta có 6 x Suy ra x

1 y

8 . Dấu '' x2 x

Câu 42. Ta có F

'' xảy ra khi x

y2 y

xy " xảy ra

Vậy Fmin

36 .

y2 y

2 xy x

2.1000

1000 y

20 5 2

a b

2.1000 x y

20 5

1000

a b

2 xy

2.1000 x y

2 4 x.2 y .

4. Chọn C.

1000

4 5 khi

2; y

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F

Dấu "

5 . Chọn B.

Câu 41. Từ giả thiết, ta có 16 Suy ra xy

2 3y

y .

2.1000 . x y

2.1000 x y

40 5.

2ab

4000

a 2 b2 1000

Chọn C. Câu 43. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có

x 2

1 2x

Khi đó F

Dấu "

x 1 . 2 2x

2 x

4 2 y

x 2

1 y ; 2x 2

y x

2 y

x 2

y 2

1 và

1 2x

" xảy ra

Câu 44. Ta có F

2 y x

Dấu "

" xảy ra

Câu 45. Điều kiện: ● Ta có x

x 2

y x

y 2

2 y

33 x

y 1

2 x

1 2x

y 2 y

3

3 2

1 y x

1 2

. 1

y x

1 4 . 2

1 4 . Chọn A. 2

. Vậy Fmin

8 y .8 y.

, suy ra x

y 3

y 2 . 2 y

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F

33 8

1 . Chọn B. 2

0. . 4

x 2

y 2

319

Suy ra x ● Lại có x  x

1

y y

Suy ra x

y 2

x

y 7.

4 x

1 2 x

1 4 x 2

3 3 4 x

2 y

1 (do 2 x

2 y

1 .

1 

y

Chọn C.

ax 2

Câu 46. Do hàm số f x

" xảy ra khi

4a 2

Câu 47. Từ giả thiết suy ra a2

Ta có 4

4 ac

b2 a2

abc

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

Từ đó suy ra 4

2 b2 b

2 4 ac b

b2 .

4 ac 2b b

4 a. Chọn B.

a 2 b2 c 2 . c2

a 2 b2 c 2 .

0 0

4a c b

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F Dấu "

0, x

S3 27

hay

4 S

4. Chọn D.

Câu 48. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

y zx

z xy

3. 3 x 2 .

y z . zx xy

x yz

3; y 2

z xy

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được x 2

9 . Khi x y z 1 thì P 2 Câu 49. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 3

x 3

3 y

Tương tự: y Suy ra P Khi x

4 x hay x 3

4 y và z z3

1 thì P

33 x

x yz

y zx

z xy

4x .

4 x

12.

12. Chọn A.

Câu 50. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 4 x y 4 3 ; y z .4 x y . 3 2 3

320

4z .

3 z 3

y zx

9 . Chọn C. 2

Suy ra P

x yz

3; z 2

z 2

4 3 và

4 x . 3

x 2

4 3 .

Suy ra Do đó P

y .

4 3

z .

BAØI 2.

4 3

x .

4 3

2 thì P 3

2 3. Chọn C.

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT MOÄT AÅN 2

0 0

 Nếu m

3 thì tập xác định của hàm số là D

 Nếu m

3 thì tập xác định của hàm số là D

 Nếu m

3 thì tập xác định của hàm số là D

Câu 5. Hàm số xác định khi

0 0

x x

1 2 5

1 . Chọn C. 2

1 2

0 0

Câu 3. Bất phương trình xác định khi

Câu 4. Hàm số xác định khi

1 2x

Câu 2. Bất phương trình xác định khi

m 2 m  Nếu 2 m  Nếu 2

2 3. Khi x

Câu 1. Bất phương trình xác định khi

 Nếu

x x

1 . Chọn C.

. 3 . .

m;3 . Chọn B.

m 2 . 1

2 thì tập xác định của hàm số là D

Câu 6. Điều kiện: x

4. Chọn B.

1 . .

2 . Bất phương trình tương đương với: 2 x

m . Chọn D. 2

3 (thỏa mãn điều 2

kiện). Chọn D. Câu 7. Điều kiện: x

2. Bất phương trình tương đương với: 2 x

5 và x 2

điều kiện ta có x Câu 8. Nếu ta cộng

5 kết hợp với 2

2 . Chọn B.

vào hai vế bất phương trình 2 x 1 x 3 trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai.

0 thì điều kiện của bất phương

321

Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với x kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai. Chọn B. Câu 9. Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A: x 2 0 x 2.

x2 x

2018 thì điều

Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương. Chọn A. Câu 10. Bất phương trình x 5 0 x 5. Bất phương trình x – 1

5 x

Bất phương trình x 2 x Bất phương trình

Câu 11. Bất phương trình x Ta có:

x x

Ta có: x

Câu 12. Bất phương trình

x x

. Đáp án A sai.

. Đáp án B sai.

5. Đáp án C đúng. Chọn C.

0 có điều kiện x 2

x 1

Ta có: 2 x

x 1 x 2x

x 1

1 . Đáp án A sai.

0 . Đáp án B sai.

0. Đáp án C đúng. Chọn C.

Ta có: 1 2 x

x x

0 vô nghiệm vì từ điều kiện x

x 2

x 1 x

x 1 2x

1 x

x 1 x

x 1

1 2

1. Đáp án A sai. . Đáp án B đúng.

Chọn B. Câu 13. Phương pháp trắc nghiệm: Thay lần lượt từng đáp án vào hai phương trình. 1 a 1 x a 2 0 2x 1 0 x 2 . Không thỏa. ● Thay a 1 , ta được a –1 x a 3 0 0x 2 0 x

● Thay a

a –1 x

5 , ta được

Câu 14. Viết lại m

322

a 1 x

2 x

1 và 3m

1 x

3m 1

2 .

1 2 . Chọn B. 1 2

m ● Thay m

2 x

3 , ta được

3m ● Thay m

1 x

3m 1

5 . Không thỏa mãn. 4

2 thì hệ số của x ở 1 bằng 0 , hệ số của x ở 2 khác 0 . Không thỏa mãn.

● Thay m

1 thì hệ số của x ở 1 dương, hệ số của x ở 2 âm. Suy ra nghiệm của

hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa. Đến đây dùng phương pháp loại trừ thì chỉ còn đáp án D.

m ● Thay m

2 x

4 5

3 , ta được

1 x

3m 1

10 x

4 5

. Chọn D.

Câu 15. ● Thay m

1 , thì hệ số của x ở 1 dương, hệ số của x ở 2 dương. Suy ra nghiệm của

hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa. ● Thay m

0 , ta được

3 x

2m 1 x

6 2

nhưng chưa đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án D cũng có m ● Thay m

2 2

. Ta thấy thỏa mãn

0 . Ta thử tiếp m

4 , thì hệ số của x ở 1 dương, hệ số của x ở 2 dương. Suy ra nghiệm của

hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa mãn. Vậy với m 0 thỏa mãn. Chọn B. Câu 16. b b ;  Nếu a 0 thì ax b 0 nên S x a a  Nếu a

0 thì ax

 Nếu a 0 thì ax  Với b 0 thì S  Với b 0 thì S

b nên S a

b 0 có dạng 0 x . . Chọn D.

;

. b a

Câu 17.  Nếu a

0 thì ax

b nên S a

b ; a

 Nếu a

0 thì ax

b nên S a

;

 Nếu a 0 thì ax  Với b 0 thì S

b .

0 có dạng 0 x

 Với b Câu 18.

0 thì S

. b a

. Chọn A.

323

 Nếu a

0 thì ax

b nên S a

;

 Nếu a

0 thì ax

b nên S a

b ; a

 Nếu a

0 thì ax

0 có dạng 0 x

 Với b

0 thì S

 Với b

0 thì S

. Chọn A.

2x 5

Câu 19. Bất phương trình 5 x 1

b a

. .

25 x

23 x

20 . 23

Chọn D. Câu 20. Bất phương trình Vì x

, 10

9 x 15 6 x 2 3 5 nên có 5 nghiệm nguyên. Chọn B.

3 2 2

Câu 21. Bất phương trình 1

2 x

3 2 2

Chọn B. Câu 22. Bất phương trình x 2

3 3x

5 7x

2 3x

0.x

x 7

2 3x

x 1 x

5 tương đương với

. Chọn D.

. Chọn A.

2 tương đương với:

S 2

6;7;8;9;10 . Chọn D.

2 x tương đương với:

9 : vô nghiệm

Câu 27. Điều kiện: x

10;10

4 3x

Câu 26. Bất phương trình tương đương x 2

0. x

2x 1 x

Câu 25. Bất phương trình x

6 x x

Câu 24. Bất phương trình 5 x

x 7

Câu 23. Bất phương trình 2

2 1

. Chọn D.

3 6

x x2

3 ; 6

S x2

9 15

. Chọn A. 8x

Bất phương trình tương đương

Chọn B. Câu 28. Điều kiện: x

2 x

3 x

2. Bất phương trình tương đương x

Câu 29. Điều kiện: x 4. Bất phương trình tương đương : x 2 4 x 6 4 x 6, x x 5; x 6 Câu 30. Điều kiện: x

324

2 S

x 5

2 . Chọn C. 11. Chọn B.

Bất phương trình tương đương với Câu 31. Rõ ràng nếu m Xét m

0 0

. Chọn C.

3 : vô nghiệm. Chọn C.

Câu 32. Bất phương trình tương đương với m

Với m

1 bất phương trình luôn có nghiệm.

1 bất phương trình trở thành 0 x

Rõ ràng nếu m 2

2 x

2 m.

bất phương trình luôn có nghiệm.

1 bất phương trình trở thành 0 x

1 : vô nghiệm.

Với m 2 bất phương trình trở thành 0 x 0 : vô nghiệm. Chọn C. m 1 Câu 33. Rõ ràng nếu m 2 m 0 bất phương trình luôn có nghiệm. m 0 Với m

1 bất phương trình trở thành 0 x

Với m

0 bất phương trình trở thành 0 x

1 : nghiệm đúng với mọi x

0 : vô nghiệm.

Chọn B. Câu 34. Bất phương trình tương đương với m 2 Rõ ràng nếu m 2 Với m Với m Suy ra S

2 3

bất phương trình luôn có nghiệm.

2 bất phương trình trở thành 0 x

0 : vô nghiệm.

3 bất phương trình trở thành 0 x

2;3

5 : vô nghiệm.

1. Chọn B.

Câu 35. Bất phương trình tương đương với m 1 x Rõ ràng nếu m Xét m

2 m.

6 x

1 bất phương trình luôn có nghiệm.

1 bất phương trình trở thành 0 x

1 : nghiệm đúng với mọi x .

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. 2

Câu 36. Bất phương trình tương đương với m Với m

3 x

3 bất phương trình trở thành 0 x

m 3.

6 : nghiệm đúng với mọi x

Chọn D. Câu 37. Bất phương trình tương đương với 4m 2 m

Dễ dàng thấy nếu 4 m 2

nghiệm đúng với mọi x . 1 bất phương trình trở thành 0 x Với m Với m

9 bất phương trình trở thành 0 x 4

9 x

4m 2

12m .

1 9 4

thì bất phương trình không thể có

16 : vô nghiệm.

27 : nghiệm đúng với mọi x 4

325

9 . Chọn B. 4 Câu 38. Bất phương trình tương đương với m 2 Vậy giá trị cần tìm là m

Dễ dàng thấy nếu m 2

9 x

3m.

3 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng

x Với m 3 bất phương trình trở thành 0 x 18 : vô nghiệm Với m 3 bất phương trình trở thành 0 x 0 : nghiệm đúng với mọi x Vậy giá trị cần tìm là m 3. Chọn B. Câu 39. Để ý rằng, bất phương trình ax b 0 (hoặc 0, 0, 0) ● Vô nghiệm S

hoặc có tập nghiệm là S

● Có tập nghiệm là một tập con của Bất phương trình viết lại m Xét m

2 x

thì chỉ xét riêng a

thì chỉ xét a

0 hoặc a

m2 .

2 , bất phương trình

m 2

4 m m 2

. Chọn C.

Câu 40. Bất phương trình viết lại m 1 x

Xét m 1

1 , bất phương trình

m2 1 m 1

Xét m 1

1 , bất phương trình

m2 1 m 1

Chọn C. Câu 41. Bất phương trình viết lại m

2 x

1; ;m

1 .

● Rõ ràng m 2 0 m 2 thì bất phương trình có nghiệm. 1 (vô lí). ● Xét m 2 0 m 2 , bất phương trình trở thành 0 x Vậy bất phương trình có nghiệm khi m 2 . Chọn A. Câu 42. Bất phương trình viết lại m

1 x

● Rõ ràng m 1 0 thì bất phương trình có nghiệm. 1 , bất phương trình trở thành 0 x ● Xét m 1 0 m Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m . Chọn C. Câu 43. ● Rõ ràng m 2

● Xét m 2

2 (luôn đúng với mọi x ).

0 thì bất phương trình có nghiệm. m m

0x 3

S 2

Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm khi m Câu 44. Bất phương trình viết lại m ● Rõ ràng m 2

326

m x

0 thì bất phương trình có nghiệm.

2 . Chọn A.

● Xét m 2

Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm với mọi m Câu 45. Bất phương trình tương đương với m Với m

2 x

Suy ra phần bù của S là

2 x

Với m 1 , bất phương trình trở thành 0 x mãn yêu cầu bài toán.

Với m

m 1 2m 2

2 : vô nghiệm. Do đó m m 1 2m 2

1 , bất phương trình tương đương với x

Do đó yêu cầu bài toán

;3 . Chọn D.

Câu 46. Bất phương trình tương đương với 2m

Với m

3m 6 m 2

2 , bất phương trình tương đương với x

. Chọn D.

3 : thỏa mãn m

1 , bất phương trình tương đương với x

1 không thỏa

m 1 ; 2m 2

m 1 2m 2

;

m 1 : 2m 2

không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy m 3 là giá trị cần tìm. Chọn A. Câu 47. Bất phương trình tương đương với 2 x

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S

TH1: m

0 , bất phương trình

Yêu cầu bài toán

8;8

thì 3 m

1. Chọn C.

4 ; m

1 . 2

TH3: m

0 , bất phương trình

Yêu cầu bài toán Suy ra

4 m

1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 TH2: m 0 , bất phương trình trở thành 0. x Do đó m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Suy ra 0

3 m.

8;8 . 4

4 m

3 m;

Để bất phương trình trên có tập nghiệm là 4; Câu 48. Cách 1. Ta có x

1 2

8;8

4 m

0 : đúng với mọi x. 4 m

;

4 . m

1 . 2

0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

327

1 2

Kết hợp các trường hợp ta được

1 là giá trị cần tìm. Chọn A. 2

Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với f x hàm số y

0, x

đồ thị của

8;8

8;8 nằm phía trên trục hoành  hai đầu mút của đoạn

trên khoảng

f x

thẳng đó đều nằm phía trên trục hoành

f 8

;

Yêu cầu bài toán

m ; 1

0 1

2x 1 3 Câu 52. Ta có 4 3x 2 Chọn B. x 1 2 Câu 53. Ta có 3

328

2m 2

3 4

0, m

)

2m 2 5 m2 m 1

2m 2

5 có hệ số m 2

1 x

2m 2

2m 2 m2

1;2

1 x

2m 2 m2

0 nên đồng biến.

m 1

1 .2 2m 2

7 . Chọn C. 2

7 . 2

m 1

Yêu cầu bài toán Câu 51. Ta có

y 2

Câu 50. Bất phương trình

2m 2 5 m2 m 1

1 2

2m 2 5 m2 m 1

m 1 x

Do đó yêu cầu bài toán

2m 2 m2

2m 2

1 x

Hàm số bậc nhất y

;

1 . 2

2m 2

1 x

2018;2

Cách 2. Ta có m 2

2m 2 5 (vì m 2 m2 m 1

1 2

Câu 49. Cách 1. Bất phương trình

1 2

x 3

5 2x 2

2m 2 m2

m ; 1 x 3

2x 1

4 3x

6 2x

3. Chọn A.

x 1

5 2x

m 1

3 1

4 5

2. Chọn A.

x 2

4 . 5

1 1 . Chọn C. 4

2x 1 Câu 54. Ta có

2017

2018 2 x 2

2018

2018 2 x

2018 3

2 x 1

Câu 55. Ta có

Ta có

2 x

2 x 1

Câu 56. Ta có

3 x

x 3 2

11 5

5 2

44 14 47 4

44 14

2 6

7 1

. D sai.

42 x 8x

47 4

x 7

5 3

Câu 59. Bất phương trình

; 1 . C sai.

2 11 5 5 2

11 5

5 . 2

47 . Chọn D. 10

Câu 58. Bất phương trình

. B sai.

x Suy ra a

3 ; 2

3 . Chọn A. 2

2 x 3 3x 3

3;5 . Chọn C.

Câu 57. Bất phương trình 5 3 x

3 2

2x 2x

2012

2018 3 2012 8

S 3 2

x 1

1 x

3 2

2018

2012 . Chọn B. 8

2 x

28 x

14 x

4;5;6;7;8;9;10;11 . Chọn C.

x 4

7 4x

x 4

7 x

0;1;2;3;4;5;6 . Suy ra tổng bằng 21 . Chọn A.

329

1 2x 12 x

8 8

4x 13 x

12 x

Suy ra tổng cần tính là 0

Câu 62. Bất phương trình 3 x

Câu 63. Bất phương trình x 2

Suy ra S 2

;

1 ; 2

0;1;2;3 .

2 .

3 . Chọn C. 2 ;5 .

m 5

;

11. Chọn A.

m 1;1 . .

1 . Chọn C. 2 có tập nghiệm S1

1 x

0 có tập nghiệm S1

4 (do m 2 m2 1

0 ).

4 m

Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1 Giải bất phương trình

7 2

1 m 2 3 có tập nghiệm S1 m

4 2

13 x

0 có tập nghiệm S 2

Câu 64. Bất phương trình x Bất phương trình m 2

7 có tập nghiệm S 2

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1

Hệ có nghiệm

7 2

6x 2

0 có tập nghiệm S1

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1

Bất phương trình x

2 có tập nghiệm S 2

3 . Chọn B.

Câu 61. Bất phương trình 2 x 1

Bất phương trình

6x 2

Bất phương trình x

1 2x

Câu 60. Bất phương trình

2 m2

4 m2 1

2m 2

Chọn D. Câu 65. Hệ bất phương trình tương đương với  Với m nghiệm.

330

m2 x m2 x

m 2 . 4m 1

0 , ta có hệ bất phương trình trở thành

: hệ bất phương trình vô

m 2 m2 . 4m 1 m2

x  Với m

0 , ta có hệ bất phương trình tương đương với

m 2 m2

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Vậy 0

Bất phương trình x

;m .

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất

S1 S 2 là tập hợp có đúng một phần tử

m. Chọn B.

Câu 67. Bất phương trình m 2 x 6 ; m2 1

1 x

;

S1 S 2 là tập hợp có đúng một phần tử

2m 8 5

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy m

8 13

2m 8 ; 5

S1 S 2 là tập hợp có đúng một phần tử

72 . Chọn A. 13

Câu 69. Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì Thử lại với m

8 . 13

Bất phương trình 2 m

2m 8 5

1. Chọn C.

Câu 68. Bất phương trình x S1

;3 .

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất

6 m2 1

Bất phương trình 3 x

8 13

1 . 3

1 là giá trị cần tìm. Chọn B. 3

Câu 66. Bất phương trình 2 x

4m 1 m2

m 3 m

m m

1 , hệ bất phương trình trở thành

9 3

1. 2.

1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Câu 70. Hệ bất phương trình tương đương với

2m 1 x 4m

4 x

3 2m 3

Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì

331

3 2m 2m 1 Thử lại

3 4m

8m 2

26m

3 2

3 , hệ trở thành 4

Với m

1 x

4x 5 , hệ trở thành 6x 2

Với m

3 2

5 . 2

3 : thỏa mãn.

1 : không thỏa mãn. 2

3 hoặc m 4

3 là giá trị cần tìm. Chọn B. 4

Vậy m

Câu 71. Bất phương trình 3 x Bất phương trình 1 2 x

Để hệ bất phương trình vô nghiệm Câu 72. Bất phương trình 2 x Bất phương trình m

Bất phương trình 2 m

13 x

8 13

Để hệ bất phương trình vô nghiệm

5 . Chọn D. 2

5 2

S1 S 2

S1 5x

8 . 13

2m 8 5

8 13

S1 S 2

3. Chọn B.

;1 .

;

; x

;m .

m 6

5 ; 2

5 2

Để hệ bất phương trình vô nghiệm Câu 73. Bất phương trình x

2m 8 ; 5

2m 8 5

72 . 13

Chọn A. Câu 74. Bất phương trình 3 x Bất phương trình x

Suy ra S1

1 9

332

x 1

x 1 6x

9 x

m 1

2 x x

m m 1 2

;1 .

m 1 ; 2

1 9

3;1 .

Bất phương trình mx 1

m .

Để hệ bất phương trình vô nghiệm

S1 S 2

m 1 2

Chọn B. Câu 75. Bất phương trình 2 x

5 x

Bất phương trình mx  Với m

14 3

2 : vô nghiệm

trong trường hợp này ta chọn m 1 , ta có *

hệ bất phương trình vô nghiệm

6 3 m 1

3 m 1

1 , ta có *

14 m 1

2 m 1

;

m 1

14 3

m 1 4 (do với m 7

m 1

0 ).

1. 2 ; m 1

Khi đó S1 S 2 luôn luôn khác rỗng nên m Vậy m

S1 S 2

trong trường hợp này ta chọn m  Với m

hệ vô nghiệm.

m 1

14 m 1

2. *

m 1 x

1 , khi đó * trở thành 0 x

 Với m

14 ; 3

1 không thỏa mãn.

1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm.

Chọn B.

BAØI 3.

DAÁU CUÛA NHÒ THÖÙC BAÄC NHAÁT

Câu 1. Ta có f x

Câu 2. Ta có f x

5 3

5 và 3

Phương trình x

. Chọn A.

0. x

Bảng xét dấu

x x

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Câu 3. Ta có x x

0; x

x 0

2 và 3

0 x

x 0

; 5 x

. Chọn D.

3. Bảng xét dấu 3

333

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Câu 4. Ta có f x

Phương trình 3 x 1

1 và 3 x 3

3x 1 3x

0;2 1

. Chọn A.

1 . 3

Bảng xét dấu

1 3

x 3x

1 3 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Câu 5. Ta có 2 x 1 x 3 Phương trình 2 x 1

1 0

1 1 ; . Chọn D. 3 3

2x 1 x 1 x 2

1 ;x 1 2

1 và x

0. 2

1 2

Bảng xét dấu

1 2

2x 1

f x

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra f x Câu 6. Ta có f x

Câu 7. Phương trình x

1 0 3x 6 3 0 x

3; 2

;

1 2

. Chọn C.

;2 . Chọn A.

2 và x 1

Bảng xét dấu

x x

334

3 4

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Câu 8. Phương trình 4 x

2; 2

1;2 . Chọn D.

; 3

2 và 4

Bảng xét dấu

x 4x

0 0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Câu 9. Phương trình x

0; x

3; x

; 2

2;4 . Chọn A.

5 và 1 x

Bảng xét dấu

1 x

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

0;1

3;5 .

Chọn C. Câu 10. Ta có f x

4 x 12 x2 4x

Phương trình 4 x 12

4 x 12 . x x 4

0 và x

3; x

Bảng xét dấu

4 x 12

x x

0 4

f x

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra f x Câu 11. Ta có f x Phương trình x

2 x

x 1

0 x

2 x x

x x

4 và x

3;4 . Chọn C.

4 . 1

335

Bảng xét dấu

x x

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Câu 12. Ta có f x Phương trình 4 x

2 x 3x 2

1 4

2 2 3x 2

1 và 3 x

4; 1 . Chọn C.

4x 3x

4 . 2 2 . 3

Bảng xét dấu

2 3

x 4x

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

2 ;1 . 3

Chọn C.

Câu 13. Ta có f x Phương trình 5 x và 3 x

11 1

3 x

11 ;x 5

4 3x

5 x 11 . x 2 3x 1

1 . 3

Bảng xét dấu

11 5

x 5x

1 3

0 0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Câu 14. Ta có f x

336

1 x

2 x

3 4

x x x

11 1 ; 5 3

12 3 x

. Chọn B.

Phương trình x

12; x

3 và x

Bảng xét dấu

x x

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Câu 15. Ta có 1

f x

Phương trình x

3 x x

5; x 1

x x

3;0 . Chọn A.

12; 4

x 5 . x 1 x 1

1 và x

Bảng xét dấu

0 0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng 1

f x

5; 1

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 16. Đặt f x

Phương trình 2 x

8 1 x

4 và 1 x

Ta có bảng xét dấu

2x 8 1 x f x

1, a

Câu 17. Phương trình x Phương trình x 4 Ta có bảng xét dấu x x 5

0 0

Từ bảng xét dấu ta có f x Khi đó b

b a

4;1 .

5. Chọn B.

4 và x

4 và 5 x 5 0

25 4

5 4

5. 0

337

x x x

4 4 5

0 0 0

4 x

0 0

Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S x

4 5x

là nghiệm của bất phương trình

4;5

0. Chọn B.

Câu 18. Đặt f x

Phương trình x

3 x 1

3 và x 1

Ta có bảng xét dấu

x x3 x 1 f  x



3 0

  

Từ bảng xét dấu ta có x

  

3 x 1



  

0 0 x

Suy ra các nghiệm nguyên của bất phương trình là

3;1 .

3, 2, 1, 0,1.

Suy ra tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng

Chọn C. Câu 19. Đặt f x

x x

Phương trình x 0 và x Ta có bảng xét dấu

0 5

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng x

Phương trình x

x x x 2 x 1 f x

x x

0; x

2 x

0;5

f x

x x

0. Chọn B.

2 và x

 0 0

 



1. Ta có bảng xét dấu

x 2

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x

338

0 0

f x

Câu 20. Đặt f x

x x x

0 0

1;0

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 3. Chọn B. Câu 21. Phương trình x 3 0 x 3. x 3; x 3 0 Và x

5; 14



x 3 x 3 x 5 14 2x 3 x 5 14

3 x

7. Ta có bảng xét dấu

3

3 x

0 0

5 14

0. Chọn B.

x x

1 3

Phương trình 2

0 0

5 14

Câu 22. Đặt f x

Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S trình x

5;7 là tập nghiệm của bất phương

1 và 3

x 2

2 x x 1 3 x f x

2; x

Ta có bảng xét dấu x

0 0 0

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

; 1

2;3 .

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương. Chọn D. Câu 23. Bất phương trình 3x Vì x

Đặt f x

0, x x

6 x

2 x

2 x 1

2 nên bất phương trình trở thành

2 x

1 . Phương trình x

Ta có bảng xét dấu x

2 x 1

2 và x 1

. x

0 0

2, ta được

0 x

x ; 2

; 2

1;2

Do đó, nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình là nhỏ nhất của bất phương trình là 3. Vậy tích cần tính là

2x 4

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

Câu 24. Đặt f x

x 2 x 1 f x

Kết hợp với điều kiện x

3 x

x 3

3 .3

3 và nghiệm nguyên dương 9. Chọn A.

x .

339

Phương trình 2 x

Và 3 x

3; 3

Ta có bảng xét dấu x x 3 2x 3 x 4 x f x

0; 4

3 0

0 0

Từ bảng xét dấu ta có f x

; 3

0;3

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là hợp của ba khoảng. Chọn C. x 1 0 Câu 25. Bất phương trình x 1 x x 2 0 x x 2 0 Đặt f x

x x

Phương trình x

0 và x

x x

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Kết hợp với điều kiện x

1, ta được tập nghiệm S

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x Câu 26. Đặt f x

2 x . Ta có 2 2x 1

2 và 2 x

1. Chọn C.

Bảng xét dấu

1 2

0 0

f x Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f x

340

2 .

Bảng xét dấu x

1 2

1 . 2

1 ;2 . Chọn C. 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 3

Câu 27. Đặt f x

x x x

Bảng xét dấu x

. Ta có

; x

0 0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

1;2

Chọn A. Câu 28. Bất phương trình

x 2 Bảng xét dấu Đặt f x

3 2

1 . Ta có x x

x 2

1 và 2

1 x x

0. 0

x 2

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S Câu 29. Bất phương trình Đặt f x

3 4

x 1 . Ta có x 2 x 2

1 .

; 1

. Chọn C.

1 và x

x 1 2 x 2

2 x

0. 0

x x

2 2

Bảng xét dấu

x x

0 0

341

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S Câu 30. Bất phương trình Đặt f x

4 x

2 1

2x 6 . Ta có 2 x x 1 x 1

1 .

2; 1

. Chọn B.

2x 6 1 x 1

3 và x 1 x

Bảng xét dấu

x 2x

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

x 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S Câu 31. Bất phương trình

Đặt f x

3 1 x

5 2x 1

11x 2 . Ta có 11x 1 x 2x 1

3 x

1;1 . Chọn B.

; 3

11x 2 1 x 2x 1

. 1

2 ; 11

1 x 2x

0 1

x 0

Bảng xét dấu

1 2

x 11x

2 11 0

1 x 2x

0 0

f x

1 2

x Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

342

2 11 ;

x 1 2

. 1 2 ;1 . Chọn A. 11

1 x

1. 2

. 1

2x x 1

Câu 32. Bất phương trình Đặt f x

1 x

1 3x 1 x 1

1 3x . Ta có 1 3 x 1 x 1

1 x 1 ; 3 x 1

. 1

Bảng xét dấu

1 3

x 1 3x x

0 0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

0 x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

1 x

Câu 33. Bất phương trình

Đặt f x

x x

12 3 x

2 x

3 4

. Ta có x

1 3

x 3

x x

1 3.

. Chọn A.

12 3 x

4 12;

Bảng xét dấu

x x

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S Câu 34. Bất phương trình

x x

1 x

1 1

1 x

x 1 x x

0 x

1 x

x 1 x

3 1

3;0 . Chọn D.

1 1

4 0

12; 4

1 2

x x x

3 1

(vì x 1

0, x

343

Đặt f x

x x

. Ta có x

3 và x

Bảng xét dấu

0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x Kết hợp với điều kiện x

3 x

Đặt f x

x x

1, ta được tập nghiệm S

Chọn C. Câu 35. Bất phương trình tương đương với x x 4 2x x 3 4x x

x x

3 x

3 x 22 . Ta có 3 x x 3 x 3

; 1

x x

3 x

0;1

3 x 22 x 3 x 3

22 x ; 3 x

1;3 .

Bảng xét dấu

22 3

x 3x

0 0 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng f x

22 3

;

3;3 .

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x Câu 36. Ta có x

x 1

Câu 37. Ta có 2 x

Câu 38. Ta có 3x

Câu 39. Ta có 1 3 x

344

1 3x 1 3x

4 2

2 1

2. Chọn D.

2. Chọn A.

3x 3x 3

2 3

1 3.

2. Chọn C.

2. Chọn B.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S Câu 40. Vì x

nên suy ra x

0, x

1, x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S Câu 41. Cách 1. Bất phương trình 5 x Cách 2. TH1. Với 5x TH2. Với 5x

suy ra

2 5

Câu 42. Điều kiện: x

Bất phương trình

2 x

x 1

2 x 2 x

x 1 x 1

2 . 5

2 5

2 x 2 x

2 2

Giải 1 , ta có bất phương trình 1

Giải 2 , ta có bất phương trình 2

x 1 x 1

1 4

0. Chọn C.

3x 0 x 1 4 x 0 x 1

1 2

1. 4; 1

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên x cần tìm là x

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S

2. 5

Câu 43. Bất phương trình 1

4 2 5

;

5x 6

0, bất phương trình 5 x

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S

Mặt khác S

. Chọn A.

. Chọn D.

0, bất phương trình 5 x

1 3

;

1;0 .

4; 3; 2;0 . Chọn B.

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S

2;1

1 1

3;6 .

Vậy số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình là 8. Chọn D. Câu 44. Ta có 3x

3 2 x 1 3x

3x 2x

3 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

4 5x

2 5

0 4.

2 ; 4 . Chọn C. 5

345

Câu 45. Ta có x

3 2x

2x 4 x

4 3

x 2x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

7 3x

1 . 3

1 . Chọn C. 3

Câu 46. TH1. Với 2 x

Kết hợp với điều kiện x TH2. Với 2 x

Kết hợp với điều kiện x

1 , khi đó 2 x 1 2 1 1; suy ra S1 2 1 , khi đó 2 x 1 2 1 suy ra S 2 2

Kết hợp với điều kiện x TH2. Với 2 x

Kết hợp với điều kiện x

2, ta có x

2x 1

S1 S 2

2, ta được tập nghiệm S1 2, ta có x

1 . 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S Câu 47. TH1. Với 2 x

16.

2;16 .

8 . 3

8 ;2 . 3

2, ta được tập nghiệm S 2

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S

. Chọn A.

8 ;16 . 3

Vậy số nghiệm nguyên x thỏa mãn bất phương trình là 19. Chọn B. 1 x 3x 4 x 3 2x 1 2 Câu 48. Ta có 3 x 4 x 3 . 3x 4 x 3 4x 7 7 x 4 1 7 ; . Chọn B. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 2 4 Câu 49. Điều kiện: x TH1. Với x 1

2 0

0 x

Kết hợp với điều kiện x TH2. Với x 1

346

x 1, ta có

2. x

x x

1 2

1, ta được tập nghiệm S1 1, ta có

1 x x 2

3 x

2x 1 x 2

x x

1 2. 2

Kết hợp với điều kiện x

1, ta được tập nghiệm là S 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S Câu 50. Điều kiện: x 0. TH1. Với x 2 0 x

2 x

1 x x

Kết hợp với điều kiện x

2, ta được tập nghiệm S1

TH2. Với x

2, ta có

1 x

1 ; 2

; 2

. Chọn B.

2, ta có x

1 ; 2

; 2

Kết hợp với điều kiện x

2;0 x

2x 1 x

x 0

2 x

Câu 51. Xét bất phương trình x

1. 2

1 . 2

;

S1 S 2 1

2, ta được tập nghiệm là S 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

. Chọn C.

1; .

Bảng xét dấu

x x 2 2x 1

TH1. Với x

0 |

2, khi đó

Kết hợp với điều kiện x TH2. Với

2, ta được tập nghiệm S1

1 , khi đó 2

Kết hợp với điều kiện TH3. Với x

1 2 | 0

1 , khi đó 2

2 2x

1 . 2

. x

1 , ta được tập nghiệm S 2 2

1 , ta được tập nghiệm S3 . 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S S1 S 2 S 3

Kết hợp với điều kiện x

Câu 52. Xét bất phương trình x

x 1

3 2

. Chọn D. .

Lập bảng xét dấu

347

TH1. Với x

0 0

3 2 2, ta được tập nghiệm S1

2, khi đó

Kết hợp với điều kiện x TH2. Với

Kết hợp với điều kiện TH3. Với x

1, khi đó

Kết hợp với điều kiện x

x 1

3 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

5 . 2

9 . 2

9 ; 2

1, ta được tập nghiệm S 3

Câu 53. Xét bất phương trình x

3 . 2

3 x 2 1, ta được tập nghiệm S 2 .

1, khi đó

9 ; 2

. Chọn D.

Bảng xét dấu

x x x

1 0 |

1 2

TH1. Với x TH2. Với

1, khi đó 1

Kết hợp với điều kiện TH3. Với x

2, khi đó

x 1

2 x

1 x

x x

Bất phương trình

2 1

3 2

3 (vô lý) suy ra S1

3 3

2; S3

. . Chọn B.

5 x 2

10 x 1

1 x

2 2

x 1

Bảng xét dấu:

x x x

2, khi đó

Kết hợp với điều kiện x

348

1 0 |

| 0

1 2

TH1. Với x

3 (luôn đúng).

2, ta được tập nghiệm S 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S Câu 54. Điều kiện:

+ +

2, ta được tập nghiệm S 2

x x

Kết hợp với điều kiện x

x 1

2, khi đó

2 | 0

1 2 x

2, ta được tập nghiệm S1

; 5.

TH2. Với

1, khi đó

Kết hợp với điều kiện TH3. Với x

x 1 2 x

Kết hợp với điều kiện x

TH1. Với x

0, ta có

1;1 . 5.

; 5

2 3x x 1

1;1

2 3x x 1

Vậy số nghiệm nguyên x cần tìm là 1 x

1 4

3 . 2

3 4

1 . 2

3 1 ; . 4 2

0, ta được tập nghiệm S 2 S1

1 3 ; . 4 2

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S

BAØI 4.

0, ta được tập nghiệm S 1

2 3x

Kết hợp với điều kiện x

2 3x x 1

2 3x

Kết hợp với điều kiện x TH2. Với x

1, ta được tập nghiệm S 3

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S Chọn C. Câu 55. Điều kiện: x

1, ta được tập nghiệm S 2

1 khi đó

1 2 x

1 3 ; 4 2

3 1 ; . 4 2

1 . Chọn A.

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN

Câu 1. Theo định nghĩa thì x y 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bất phương trình còn lại là bất phương trình bậc hai. Chọn D. Câu 2. Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng d : 2 x

0 chia mặt phẳng thành hai

nửa mặt phẳng. Chọn điểm O 0;0 không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy x; y

0;0 là nghiệm của bất

phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm O 0;0 kể cả d . Vậy bất phương trình 1 luôn có vô số nghiệm. Chọn C. Câu 3. Ta có 3x

2 y

4 x 1

3y 1

Vì 2 3.1 1 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ 2;1 . Chọn C. Câu 4. Ta có 3 x 1

4 y

5x 3

4y 8

Vì 2.0 4.0 8 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ 0; 0 . Chọn A.

349

Câu 5. Ta có Vì

2 y

21 x

4 là mệnh đề sai nên

2.2

4;2 không thuộc miền nghiệm của bất phương

trình. Chọn C. Câu 6. Vì

5 4.0

0 là mệnh đề sai nên

5;0 không thuộc miền nghiệm của bất

phương trình. Chọn A. Câu 7. Vì

bất phương trình Câu 8. Vì 2 3

x–y

0 là mệnh đề đúng nên A

2.3 4

1;3 là điểm thuộc miền nghiệm của

0 . Chọn A.

0 là mệnh đề đúng nên cặp số 2;3 là nghiệm của bất phương trình

0 . Chọn B.

Câu 9. Đường thẳng

mãn bất phương trình x x y 2 . Chọn A.

0 đi qua hai điểm A 2;0 , B 0;2 và cặp số 0; 0 thỏa

2 nên Hình 1 biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình

Câu 10. Đường thẳng đi qua hai điểm A

3 ;0 và B 0; 3 nên có phương trình 2 x 2

Mặt khác, cặp số 0; 0 không thỏa mãn bất phương trình 2 x hình trên biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2 x

3 nên phần tô đậm ở

3 . Chọn B.

Câu 11. Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. 0 3.1 2 0 Với M 0;1 . Bất phương trình thứ hai sai nên A sai. 2.0 1 1 0 Với N –1;1

1 3.1 2 2.

1 1

: Đúng. Chọn B.

Câu 12. Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. 2.0 5.0 1

Với O 0;0

2.0 0

0 0 . Bất phương trình thứ nhất và thứ ba sai nên A sai.

0 1

2.1 5.0 1

Với M 1;0

2.1 0

0 . Bất phương trình thứ ba sai nên B sai.

1 0 1

2.0 5. Với N 0; 3

2.0 0

3 2

0 : Đúng. Chọn C.

5 1

Câu 13. Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

350

Với O 0;0

Với M 2;1

0 2 0

0 1 3 0

1 2

2 2 2

1 1 3 0

1 2

0 . Bất phương trình thứ nhất sai nên A sai.

3.0 2

0 : Đúng. Chọn B.

3.1 2

Câu 14. Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Chọn D. Câu 15. Thay tọa độ M 0; 3 lần lượt vào từng hệ bất phương trình. Chọn A. Câu 16. Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình. Chọn C. Câu 17. Chọn điểm M 0;1 thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn. Chọn A. Câu 18. Chọn điểm M 0; 4 thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn. Chọn B. Câu 19. Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A. Chọn điểm M 1;0 thử vào các hệ bất phương trình. Xét đáp án B, ta có

1 0

2.1 0

: Đúng và miền nghiệm không chứa biên. Chọn B.

Câu 20. Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C. Chọn điểm M 0;1 thử vào các hệ bất phương trình. Xét đáp án B, ta có y

0 2.1 0

3.1

: Sai. Vậy ta Chọn D.

Câu 21. Ta có 2 y x x y

0. * 0

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng

d1 : y

0, d2 : 2 y

d3 : x

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình * là

y d1 5 C 4 B 2 d3

phần mặt phẳng (tam giác ABC kể cả biên) tô màu như hình vẽ. Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ * là

x O

A 0;2 , B 2;3 , C 1;4 .

351

F 0;2

Ta có F 2;3

F 1;4

1 . Chọn A.

Fmin

Câu 22. Ta đi giải các hệ phương trình 2 7 x x 2x y 2 2 x y 2 x 2y 2 3 3 ; ; x 2y 2 2 x y 5 8 x y 5 y y 3 3 Suy ra chỉ có đáp án A và C là đỉnh của đa giác miền nghiệm. So sánh F x ; y

y – x ứng với tọa độ ở đáp án A và C, ta được đáp án 4;1 . Chọn A.

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng

d1 : x

2 y 100

d2 : 2 x

y 80

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (tứ giác OABC kể cả biên) tô màu như hình vẽ. Xét các đỉnh của miền khép kín tạo y bởi hệ là 80

O 0; 0 , A 0;50 ,

B 20;40 ,

C 40;0 . P 0;0 Ta có

P 0;50 P 20;40 P 40;0 Pmax

1500000 2000000 1600000

100

C O

40 d1

2000000. Chọn A.

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng

d1 : x

y 1

d2 : x

2 y 10

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (ngũ giác OABCD kể cả biên) tô màu như hình vẽ. Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là O 0;0 , A 1;0 , B 4;3 , C 2;4 , D 0;4 .

352

d1 5 4 3

C D

A -1 O

x 10

F 0;0

F 1;0

Ta có F 4;3

F 2;4

F 0;4

Fmax

10. Chọn C.

Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng

d1 : 2 x

y 14

0, d2 : 2 x

5 y 30

': x

10.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (tứ giác ABCD kể cả biên) tô màu như hình vẽ. y Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ là 14

A 5;4 ,

5 B ;9 , 2 B

C 10;9 ,

D 10;2 . F 5;4

d2 '

5 F ;9 2 Ta có F 10;9 F 10;2

Fmin

32.

67 46

2 Chọn C. Câu 26. Giả sử x , y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.

Suy ra 30 x

10 y là số gam đường cần dùng;

y là số lít nước cần dùng;

4 y là số gam hương liệu cần dùng. x y

Theo giả thiết ta có 30 x

x x

0 0

x y

10 y 210 y 9 4 y 24

3 x y 21 . * x y 9 x 4 y 24

Số điểm thưởng nhận được sẽ là P

60 x

0 0

80 y.

Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với x , y thỏa mãn * . Chọn C. Câu 27. Gọi x

0, y

0 kg lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: 2 x Tổng số giờ làm việc: 30 x

15 y

200.

1200.

353

Lợi nhuận tạo thành: L

30 y (nghìn).

40 x

Thực chất của bài toán này là phải tìm x

30 x

200

15 y

sao cho L

1200

40 x

0 thoả mãn hệ

0, y

30 y đạt giá trị lớn nhất. Chọn B.

Câu 28. Gọi x 0, y 0 lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày. Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có: 400 x y 1000. Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có: x 600, y 500. Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có: 0,5x y 3x. Số tiền cần dùng mỗi ngày là: T x , y Bài toán trở thành: Tìm x 0

400

1000

0, 5 x

Câu 29. Gọi x

600, 0 y

0, y

7, 5 y.

0 thỏa mãn hệ

0, y 500

để T x , y

7, 5 y đạt giá trị nhỏ nhất. Chọn D.

0 lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai. 3x

Bài toán đưa đến tìm x

0, y

0 thoả mãn hệ x 3 y 6x y

900 1000 sao cho L 900

y nhỏ

nhất. Chọn A. Câu 30. Gọi x 0, y 0 (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm A và sản phẩm B. Ta có: x 6 y là thời gian hoạt động của máy I .

3 y là thời gian hoạt động của máy II .

2 y là thời gian hoạt động của máy III .

Số tiền lãi của nhà máy: T

3 y (triệu đồng). x

Bài toán trở thành: Tìm x

0, y

0 thỏa mãn 2 x 3x

6y 3y 2y

36 23 để T 27

lớn nhất. Chọn B.

BAØI 5. Câu 1. f x

354

DAÁU CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI 0, x

khi a

0 và

0 . Chọn C.

3 y đạt giá trị

Câu 2. f x

0, x

khi a

0 và

0 . Chọn A.

Câu 3. f x

0, x

khi a

0 và

0 . Chọn D.

Câu 4. f x

0, x

khi a

0 và

0 . Chọn A.

Câu 5. Vì

0 và a

Câu 6. Ta có

0 nên f x không đổi dấu trên

2 '

Câu 7. Ta có f x

1 2.5 0

9 x

f x

. Chọn C.

0, x

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x Câu 8. Ta có f x

2;3 . Chọn D.

x .

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu f x Câu 9. Ta có f x

;

. Chọn C.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x

x Câu 10. Ta có f x

2 . Chọn B.

1 9 . Bảng xét dấu 2

355

Dựa vào bảng xét dấu f x

9 . Mà x nguyên nên x 2

0;1; 2;3; 4 .

Chọn A. Câu 11. Ta có f x

1 2 3

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x Câu 12. Ta có f x

1 2 3 . Chọn C.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x Câu 13. Ta có f x

2 . Chọn B.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x Câu 14. Ta có f x

3 . Chọn B.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta được

f x

0 với 2

Câu 15. Vì f x

356

3 và f x

0 vô nghiệm, g x

0 với x

2 hoặc x

0 vô nghiệm, h x

3 . Chọn C.

0 có hai nghiệm phân biệt nên

chỉ có h x đổi dấu trên

. Chọn B. x

Câu 16. Ta có 2 x 2 – 7 x –15

5 3. 2

Bảng xét dấu

x  5 Dựa vào bảng xét dấu 2 x – 7 x –15  0   . Chọn A. x   3  2 2

Câu 17. Ta có – x 2

7 0

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu – x  6 x  7  0  1  x  7. Chọn B. 2

Câu 18. Ta có –2 x2 Bảng xét dấu

3x 7 0 vô nghiệm.

Dựa vào bảng xét dấu Câu 19. Ta có f x

2 x 2  3x  7  0  x  . Chọn C. 3x

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x Câu 20. Ta có f x

2 . Chọn C.

357

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x

Câu 21. Ta có f x

2x2

. Chọn C.

1 x 1

2 2 .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x

Câu 22. Ta có f x

x 1

2 2

1 3

1 . Chọn A.

1 2

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x Câu 23. Ta có f x

x 12

0 0

1 2

1 . Chọn A. 3 3

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x

358

x 12

0 là 4 . Chọn D.

4 . Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa

Câu 24. Xét

f x

3x 2

f x

có

x 1

0, x tức là tập nghiệm của bất phương trình là

Câu 25. Ta có f x

nên

. Chọn C.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f x

Tập nghiệm của bất phương trình là S Vì

13 2

và

13 2

S nên 6;

Câu 26. Bất phương trình x x Xét phương trình x 2

thỏa yêu cầu bài toán. Chọn D.

2 x2

5 4

1 x

2x 2

Lập bảng xét dấu

x x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x

3x 2

Câu 27. Đặt f x Phương trình 3 x

10 x

3 4x 0

. Chọn C.

5 x

1 và 4 x 3

5 . 4

Lập bảng xét dấu

1 3

x 3x 2

10 x 4x

0 0

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x

Phương trình x Lập bảng xét dấu

x2 x

f x

Câu 28. Đặt f x

5 4

0 x

;

0 1 3

5 ;3 . Chọn B. 4

2 .

0 và x

359

x x

0 2

f x

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy rằng bất phương trình x

x2 x

Chọn D. Câu 29. Đặt f x

Phương trình 4 Phương trình x 2 2

Ta có x

x2 x2

3 5 2

3 x2

3 x

f x

. Lập bảng xét dấu:

x2 x

3 0

x 4

11 4

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 4

3 x

3 2

; 3

2;1

Phương trình x 2

3x 2 0

Lập bảng xét dấu x

5x x

2 x

2 x2

và x

4 0

5x x

1 0

2 2

2 x2

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng x

4; 1

Chọn A. Câu 31. Ta có

360

. Chọn D.

Câu 30. Bất phương trình x 3

x 2

5 2

3 4

0, x

Do đó, bất phương trình f x

11x

3 11

3 . 11

;

Chọn C. Câu 32. Điều kiện: 4 x 2

Phương trình x

19 x

7 và 4 x

4 4x

19 x

3. 4

Bảng xét dấu:

3 4

x x

19 x

f x

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình

x 7 19 x

x2 Câu 33. Điều kiện: x

x x

0 x

x 3 1 x2 4 x 2 Bảng xét dấu:

2x 2x x 2

. Chọn B.

1 x

9 2 0

f x

. Bất phương trình:

x 3 x2 4

x 2x

3 ;4 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

3 4 x

2x 2x

2x x2

9 4

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy

2x x2

9 4

;

Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x

9 2

2;2 .

1 thỏa mãn yêu cầu.

Chọn C. Câu 34. Điều kiện: x 2

2 x

x x

2 5

Bất phương trình

361

2x 2 7x 7 x 2 3 x 10

4x 3 3 x 10

Bảng xét dấu

x x

; 2

3x 10 f x

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình

1;3

Chọn C.

Câu 35. Bất phương trình Vì x 2

x2 x2

nên bất phương trình

0, x

0 x

x2 5x 6

1 5x

Phương trình x 2

f x

0 x

1 5x

và x 2

Bảng xét dấu

x x x2

1 5x

f x Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f x Kết hợp với x

, ta được x

3; 2

1;1

1;0;1 .

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D. Câu 36. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 2 x 2 Phương trình 2 x 2

2 2x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2 x 2 Vậy tập xác định của hàm số là D

362

2 ;

1 2

2 0

1 2 0

x 2x 2

0. x

1 . Bảng xét dấu: 2

x 2;

;

1 2

. Chọn C.

Câu 37. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 5 4 x

Phương trình 5 4 x

1 x

0. x

Bảng xét dấu

x 5 4x

1 0

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 5 4 x

5;1 .

Vậy nghiệm dương lớn nhất để hàm số xác định là x Câu 38. Hàm số xác định khi và chỉ khi 2

5 x

1. Chọn A.

15 7 5 x

25 10 5

Phương trình

5 x2

15 7 5 x

25 10 5

5 x

5 5

Bảng xét dấu

x 2

5 x

15 7 5 x

25 10 5

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 2

5 x2

15 7 5 x

25 10 5

Vậy tâp xác định của hàm số là D

3x 1 x

Vậy tập xác định của hàm số là D

. Bảng xét dấu:

4;1 .

4;1 . Chọn C.

Câu 40. Hàm số xác định khi và chỉ khi 3x 2

4 1 0

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 4

4 3x

5; 5 .

Phương trình 3 x 2

5; 5 . Chọn D.

Câu 39. Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 Phương trình 4

1 3x

1. 3

Bảng xét dấu

x 3x 2

1 3 0

363

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 3 x 2

Vậy tập xác định của hàm số là D

;

1 3

;

và x

1 3

. Chọn C.

x2 x 6 x 4 0

Câu 41. Hàm số xác định khi và chỉ khi Phương trình x 2

Bảng xét dấu

x x

6 4

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy

x2 x 6 x 4 0

Vậy tập xác định của hàm số là D

4; 3 x2

Câu 42. Hàm số xác định khi và chỉ khi Phương trình x 2

và 5 2 x

. Chọn A.

5 2x

4; 3

5 . 2

Bảng xét dấu

5 2

x x2

2x 3 5 2x

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

x 2x 3 5 2x 0

Vậy tập xác định của hàm số là D Câu 43. Hàm số xác định Phương trình x 2

x 12

;

5 . 2

5 . Chọn A. 2

3 3x 1 2 x 2 x 15 0

và

x2 x2

f x x2

x 12 2 x 15 x

Bảng xét dấu

364

x 12

3 0

f x

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

3 3x 1 2 x 15

Vậy tập xác định của hàm số là D

5; 3

x 2 5x 4 2 x 2 3x 1

3;4 .

3;4 . Chọn B.

5; 3

Câu 44. Hàm số xác định khi và chỉ khi f x

Phương trình x 2

và 2 x 2

1. 2

Bảng xét dấu

x x2

2x 2

f x

x 2 5x 4 Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 2 x 2 3 x 1

Vậy tập xác định của hàm số là D

x2 x

x 12

Phương trình x 2

; 4

1 ; 2

. Chọn C.

x 12

2 2

x 12 x2

5 x

1 ; 2

; 4

Câu 45. Hàm số xác định khi và chỉ khi

1 2

0. x

Bảng xét dấu

x x

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x 2

Vậy tập xác định của hàm số là D

; 5

. Chọn B.

Câu 46. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m

Câu 47. Yêu cầu bài toán

4 0

m 1 m

2m 2

a x

1 2

1 . Chọn B.

0 2 2m 2

, m

365

Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m

2 x2

Câu 48. Xét phương trình m TH1. Với m

Suy ra với m Do đó m

2 2m

3 x

2, khi đó

2 thì phương trình

2 5m

4m 2

thì phương trình

Kết hợp hai TH, ta được

Câu 49. Xét phương trình mx 2

12 m

2mx

0 thì phương trình

vô nghiệm.

0, khi đó để phương trình 0

m m

Kết hợp hai TH, ta được 0 Câu 50. Xét phương trình m TH1. Với m 2 Khi m

0 (vô lý).

vô nghiệm

2 m

2 x

0 (vô lý).

3 . 8 Suy ra với m 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. m 2 , khi đó để phương trình TH2. Với m 2 4 0 m 2 Khi m

Suy ra với

3 m2

m m

0 2 4

4 là giá trị cần tìm. Chọn D.

4 x

Suy ra với m

là giá trị cần tìm. Chọn C.

TH2. Với m

16 m

vô nghiệm.

0, khi đó phương trình

366

vô nghiệm 5m 2

TH1. Với m

có nghiệm duy nhất x

2, khi đó để phương trình

Do đó, với

2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2. Với m

. Chọn A.

2 m

3m 2

thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

vô nghiệm 2m 2

Kết hợp hai TH, ta được

Câu 51. Để phương trình f x

0 có nghiệm

2 3

b 2 3 b

2 3

4.3 b

là giá trị cần tìm. Chọn C.

2 3

b Vây b

; 2 3

Yêu cầu bài toán

1 m

Câu 53. Xét 2 x 2

2 m

Kết hợp với m

TH1. Với m

Suy ra với m TH2. Với m 2m

3m 2

5 m

0, có

5 m

2 6

2m 5

2 m2 m2

3; 2; 1 là các giá trị cần tìm. Chọn A. 2

4 mx

3 . 20

có nghiệm duy nhất x

3 . 20

20 x

5, khi đó để phương trình 4m 2

m 1 3m

có nghiệm

10 . 3

1 10 thì phương trình 3 m

Kết hợp hai TH, ta được

có nghiệm.

1 10 là giá trị cần tìm. Chọn C. 3

Câu 55. Xét phương trình m 1 x 2 TH1. Với m 1

2m 2

5, khi đó

5 x

là giá trị cần tìm. Chọn D.

1 thì phương trình

7 m 10

Do đó, với

, ta được m

Câu 54. Xét phương trình m

0, có

2m 1

2 x

Yêu cầu bài toán

2 m

2 3

là giá trị cần tìm. Chọn C.

2 3;

Câu 52. Xét phương trình x 2

2 m

1, khi đó

3 x

2.4 x 1 2

1 . 8

367

Suy ra với m

1 thì phương trình

TH2. Với m 1 m

2m 2

1, khi đó để phương trình

m 1 2

Do đó, với m

3 4

2 m

79 8

1 thì phương trình

Kết hợp hai TH, ta được m

có nghiệm

suy ra

0, m

Vậy m

0 hoặc m

Câu 57. Xét x 2 a

m 1

0, m

28m

m m

0 m

1 x

1 3

0, có

m 1

Ta có

12m

17 m

0 2

17.16

Do đó, hệ bất phương trình

4 m

1 3

4 m 1 3 2m

1 m

Câu 60. Yêu cầu bài toán

a x

3 m

17m

7 . 3

0, m

1 m

32m

0, m

2; 2 \ 1 . 2; 2 \ 1 . Chọn C.

0 3

4 m

3 m

32m 16

m 1 m

1 2

0 2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

368

1 . Chọn B.

1 2

suy ra 17m 2

m 1 x

Câu 59. Yêu cầu bài toán

Câu 58. Yêu cầu bài toán

4 8m

28 là giá trị cần tìm. Chọn B.

7 suy ra m 2 2m 0, m 7 4 0 3 m 3 3 . Chọn A. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m Ta có

0 có hai nghiệm phân biệt.

f x

0 có hai nghiệm phân biệt

32m

là giá trị cần tìm. Chọn B.

luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 56. Tam thức f x đổi dấu hai lần Phương trình f x

1 . 8

có nghiệm duy nhất x

m m

3 2

4 m

m 1 5m

3 5

;

3 5

\ 3 là giá trị cần tìm.

Chọn A. Câu 61. Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 0

4 m

x1 x 2

m m

4 m 12

m a

m 0

Câu 62. Yêu cầu bài toán

2 2

6. Chọn A.

0 m

2 m

2m m 2 m 3 m 2

6 3

Chọn B. Câu 63. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

0 S

2 m 9m

5 9

. Chọn B. 1

Câu 64. Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi

0 S

2 2

4 2m 2

m 2

8m 2

41 4

Chọn B. Câu 65. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

5 . Chọn B. 2 Câu 66. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac

2. 2m 2

2 x

2 m 1 x

m x

2 .

Câu 67. Phương trình x 2

2mx

. Chọn B. m2

369

Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu

Với m

0;2 suy ra

x1 x 2

Kết hợp với

, ta được 0

2 m m

Để phương trình

2 m

2 x

x 1 m 1 x

Câu 69. Xét phương trình m Phương trình

3m 7 m 1

x1 x 2

, ta được 1

m 3 m 1

suy ra

2m 6 m 1

0 0

m m

2 2

0 0

1 x2

2mx

, có

1;2

suy ra

x1 x 2 Theo bài ra, ta có

1 x1

, ta được x2

x1 x 2 x1 x 2

1 x2

m m

m 1 x

x12

2m m 2

6 2; 1 m

1;2

m m

6 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi:

2m 4 m 1 . m 3 m 1

2m m 1 . m 2 m 1

là giá trị cần tìm. Chọn B.

Khi đó, gọi x1 , x 2 là nghiệm của phương trình

370

3 là giá trị cần tìm. Chọn B.

Câu 70. Đặt f x

có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi

Kết hợp với

x1 x 2

Kết hợp với

. x 22

m 1 x

m 1

Khi đó, gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình

, có a

có hai nghiệm phân biệt

Theo bài ra, ta có x1

1 là giá trị cần tìm. Chọn B.

Câu 68. Xét phương trình m 1 x 2 Suy ra phương trình

x1 x 2

, theo bài ra, ta có x 2

m 2 6m 7 m 2 0

0 f 0

m m

7 1. *

Gọi x1 , x 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Theo Viet, ta có

1 x12

Yêu cầu bài toán m 1

2 m

1 x 22 2

2m 1

3 m

4m 2

nghiệm đúng với mọi Chọn D. Câu 76. Tam thức f x

f x

m x2

28m

0 có tập nghiệm là

khi

Câu 77. Bất phương trình f x

6 . Chọn C.

28 . Chọn B. 0 nên bất phương trình f x

m có hệ số a

2m 1

2 . Chọn D.

m 2

2m 1 x

1. Chọn C.

0, x (không âm) khi

x khi và chỉ khi

m có hệ số a

0, x khi

0 nên f x 2

0 . Do đó f x

12m 28

4 8m 1

Câu 75. Tam thức f ( x )

11 . Chọn A. 4 0, x (không dương) khi

m 1 . m 2

0 . Do đó f x

8 m 4

2 x1 x 2

m2 12m

Câu 74. Tam thức f x có a 2

x1 x 2

7m 11

Câu 73. Tam thức f x có a 2

7 m m 2 8 3 0 . Do đó f x 0, x khi

Câu 72. Tam thức f x có a

m 2

Câu 71. Tam thức f x có a

x12 x 22 x12 . x 22

2 x

4m 2

0 nên bất phương trình

. Chọn D.

0 khi và chỉ khi f x

0 nghiệm

đúng với mọi x .

Tam thức f x với mọi x khi

Câu 78. Tam thức f x

m 1

2 x

4 m

2 có hệ số a

có hệ số a

2m 1

1 . Chọn A. 2

0 nên f x

0 nghiệm đúng

2 . Chọn D.

0, x nên f x

dương với mọi x khi

Câu 79.  Với m

4 , ta có f x

 Với m

4 , yêu cầu bài toán

0 : đúng với mọi x . m

4 x2

8 x

0, x

371

0 0

4 m

Kết hợp hai trường hợp ta được m

4 là giá trị cần tìm. Chọn A.

Câu 80.  Với m

0 thay vào ta được f x

 Với m

0 , yêu cầu bài toán

0 0

Câu 81.  Với m

m 3m 2

2 , tam thức bậc hai trở thành 1

 Với m

m 0 4m m 3

0 ( vô lý ) suy ra m

2 , yêu cầu bài toán

0 '

2 x

2 m

Kết hợp hai trường hợp ta được m

0 12m

4 .Chọn B.

0 : đúng với mọi x . 2

2 m

0 2

0 không thỏa mãn.

2 x

m 2 0 m 2 0

0, x

2 là giá trị cần tìm. Chọn A.

Câu 82. Xét bất phương trình 3m

1 x2

1 x

TH1. Với 3m

1 , bất phương trình 3

TH2. Với 3m

1 , bất phương trình 3

0 0

0 2

0. trở thành 4

1 m

Kết hợp hai trường hợp, ta được m

0 (luôn đúng).

nghiệm đúng với mọi x

3m 4 3m

1 3

1 2

0 46m

1 . 3

1 là giá trị cần tìm. Chọn B. 3

Câu 83. Xét 2m 2

1 hoặc m 2

1 thì bất phương trình trở thành 2

 Khi m

5x 1

1 : không nghiệm 5

đúng với mọi x .  Khi m  Khi

1 2 thì yêu cầu bài toán

m m

372

2 thì bất phương trình trở thành

2m 2

0 : nghiệm đúng với mọi x .

2 x2

2 m

2 x 1

0, x

3m 2

Kết hợp hai trường hợp ta được

1 3

m 1 2

1 3

2 m

1 3

2 là giá trị cần tìm. Chọn B.

Câu 84.  Xét m 2

Với m

2 , bất phương trình trở thành

Với m

2. 1 : không thỏa mãn. 4 0 : vô nghiệm. Do đó m 2 thỏa mãn.

2 , bất phương trình trở thành 1

 Xét m

4 x

2 . Yêu cầu bài toán

2 x

0, x m2

4 m2

3m 2

10 hoặc m 3

Kết hợp hai trường hợp, ta được m

10 3.

m 0

2 . Chọn A.

Câu 85.

f x xác định với mọi x

f x

TH1: m

4 thì f x

TH2: m

4 , yêu cầu bài toán

0, x

9 8

0 0

4 không thỏa.

20m

20 9

0, x

4 2

0. Chọn B.

Câu 86. Yêu cầu bài toán

f x

1 thì f x

1 , khi đó 1

1 x2

m '

1 x

. 1

: thỏa mãn.

2 m

Kết hợp hai trường hợp ta được

1 2

m 3

1 m

3. Chọn A.

Câu 87. Ta có

4x2

Do đó f x x2

4 m

5x x2

2x 4 m 4x2

1 x

1 4m 2

5 4

1 x 5x

7 16

1 4m 2 2

0 với mọi x

0, x

373

1 '

4 m

1 4m 2

2x 2

Câu 88. Đặt f x a

2 0

2 m

f x

0 2 x

2 và

5 . Chọn B. 8

2 m

2m.

bất phương trình có nghiệm.

0, x

f x

0 tại x

f x

0 có hai nghiệm phân biệt x1

có nghiệm x

; x1

2 2

, còn ngoài ra thì f x

0 nên bất phương trình

có nghiệm.

x2 ;

x 2 . Khi đó bất phương trình đã cho

Vậy cả ba trường hợp ta thấy bất phương trình đều có nghiệm. Chọn A.

2x 2

Câu 89. Đặt f x

2 0

2 m

f x

2 x

2 và

2 m

2m.

bất phương trình vô nghiệm.

0, x

Do đó trường hợp này không có m thỏa mãn.

f x

0 khi x

f x

0 khi x

phương trình vô nghiệm. Do đó trường hợp này có m

0 hoặc m

Hợp các trường hợp ta được m

mx 2

, còn ngoài ra thì f x

2 thỏa mãn.

x 2 . Khi đó bất phương

2 m

1 x

;0 m

2 thỏa mãn.

thỏa mãn. Chọn C.

2 và

m m

x 1. Do đó m 0 thỏa mãn. bất phương trình trở thành 2 x 2 0 0 0 , ta biện luận các trường hợp như câu. Do đó m 0 thỏa mãn. 1 0 , yêu cầu bài toán ' 0 m f x 0 4 có hai nghiệm phân biệt x1

Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm x

x1 ; x 2 .

1 m 0 thỏa mãn. Hợp các trường hợp ta được m 4 ;2 . Câu 91. Tập nghiệm của 2 x 0 là S1 Do đó

Tập nghiệm của x 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S

374

0 nên bất

x1 ; x 2 .

Do đó trường hợp này có m

Câu 90. Đặt f x

0 có hai nghiệm phân biệt x1

f x

trình đã cho có nghiệm x

m m

b 2a b 2a

0 là S1 S1

1;3 .

1;2 . Chọn C.

1 . Chọn C. 4

x2 .

Câu 92. Tập nghiệm của x 2 Tập nghiệm của x

11x

Tập nghiệm của x

Câu 94. Tập nghiệm của x Tập nghiệm của x 2

0 là S1

0 là S 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S

1;2 .

1 . Chọn B.

Tập nghiệm của 3x 2

0 là S 2

2 ;1 . 3

. Chọn C.

0 là S1

Vậy tập nghiệm của hệ là S

2x 2

;

0 là S1

1)(3 x 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S

Tập nghiệm của ( x

Câu 98. Tập nghiệm của x 2 Tập nghiệm của 2 x

Vậy tập nghiệm của hệ là S

Tập nghiệm của

2x 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S

Đáp án B. Tập nghiệm của x 2 Tập nghiệm của

2x 2

0 là S1

57 4

;

57 4

;2 .

4;1 . Chọn C.

4 ; 1 3

1;3 . Chọn D.

1;6 .

1;2 . Chọn A.

1;2 .

0 là S 2

4 ; 1 3

Câu 99. Đáp án A. Tập nghiệm của x 2

0 là S 2

3 là S 2

3;3 .

5;2 .

Do đó các giá trị nguyên của x thuộc tập S là Câu 97. Tập nghiệm của x 2

1 3

0 là S1

0 là S 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S

. Chọn B.

Tập nghiệm của

Câu 95. Tập nghiệm của 3x 2

Câu 96. Tập nghiệm của

1;1 .

. Chọn D.

;2 ;1

3; 4 ;1

; 1

0 là S 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S 2

; 1

0 là S 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S Câu 93. Tập nghiệm của x

0 là S1

0 là S 2

. ; 1

; 1

0 là S1

1;3 .

375

Vậy tập nghiệm của hệ là S

Đáp án C. Tập nghiệm của x Tập nghiệm của 2 x 2

Đáp án D. Tập nghiệm của x 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S

Tập nghiệm của 2 x 2

0 là S1

; 1

0 là S1

1;3 .

1;3 . Chọn B.

0 là S1

0 là S 2

0 là S 3 S1

; 1

0 là S 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S Suy ra nghiệm nguyên là

Câu 100. Tập nghiệm của x 2

0 là S 2

Vậy tập nghiệm của hệ là S

Tập nghiệm của 2 x 2

; 3 2;

5 . 2 ;1

3 ; 2

1;1

3 5 ; . 2 2

1;0;2 . Chọn B.

Câu 101. Bất phương trình 1  1  x 

4  4 . Suy ra S1   1;  3  3



m

Bất phương trình  2   x   m . Suy ra S 2   ;   . 2 2  Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi S1  S2    

m  1  m  2. 2

Chọn C.

Câu 102. Bất phương trình 1  1  x  1. Suy ra S1   1;1 . Bất phương trình  2   x  m. Suy ra S 2   m;   . Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1  S2    m  1. Chọn C. Câu 103. Bất phương trình 1  3  x  4. Suy ra S1   3; 4  . Bất phương trình có S 2   ; m  1 . Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S1  S2    m  1  3  m  2. Chọn B. Câu 104. Bất phương trình đã cho tương tương với

9 x2

376

3x 2

6 x2

1 (do x 2

0 x

)

12 x 2

3x 2

9 x

Yêu cầu

6 x

0 1

(1) và (2) nghiệm đúng

144

Câu 105. Bất phương trình tương đương

3x 2 2 x 2 m 0 2 x 2 3x 2 13x 2 26 x 14 m 0 2 x 2 3x 2 Yêu cầu

3x 2 13x 2

262

Bất phương trình x2

m2 m

x 1

Để hệ có nghiệm

m m

4.13 14

2mx 1

2mx

1 . Suy ra S 2 1

1 . Suy ra S1

1 (điều kiện: m2

5 3 . Chọn A.

0 2

4.3 2

Câu 106. Bất phương trình x 1

26 x 14 m

(1) và (2) nghiệm đúng 1

1 m

x m 1

)

1; m

1 .

 1  m  0  m  1  2  2 m  1  0  m  1  m  1 m 1 1 m     m 1  1  m  0  m  1    m 2  1  1  m 2   m  1  Đối chiếu điều kiện, ta được m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 107. Điều kiện để (1) có nghiệm là ' m 0 . Khi đó 1 có tập nghiệm S1 Ta thấy (2) có tập nghiệm S 2 Hệ có nghiệm

m ;1

m; m

m 1

m .

1 m

m m

5 2

. Chọn B.

Câu 108. Bất phương trình 1  1  x  4. Suy ra S1   1; 4  . Giải bất phương trình (2) Với m  1  0  m  1 thì bất phương trình (2) trở thành

0 x  2 : vô nghiệm . 377

Với m  1  0  m  1 thì bất phương trình (2) tương đương với x 

2 . m 1

 .Hệ bất phương trình có nghiệm khi Suy ra S 2   4m .  m  1 ;   m 1 2

Với m  1  0  m  1 thì bất phương trình (2) tương đương với x  Suy ra S2   ;



2  1  m  1 (không thỏa) m 1

3 . Chọn B. 2 Câu 109. Bất phương trình 1  8  x  2. Suy ra S1   8; 2 . Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m

Giải bất phương trình (2) Với m  0 thì bất phương trình (2) trở thành

0 x  1 : vô nghiệm .

Với m  0 thì bất phương trình (2) tương đương với x 

3m  1  ;   . m  

378

2 . m 1

2  . m  1 

Hệ bất phương trình có nghiệm khi

Suy ra S 2   

3m  1 . m

3m  1 1  2  m   . m 5 3m  1 Với m  0 thì bất phương trình (2) tương đương với x  . m Hệ bất phương trình vô nghiệm khi

Suy ra S 2   ;



3m  1  .Hệ bất phương trình vô nghiệm khi m 

3m  1 1  8  m  m 11 1 . Chọn C. 11

Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m

Câu 110. Bất phương trình 1  1  x  5. Suy ra S1  1;5 . Ta thấy (2) có tập nghiệm S2 Hệ có nghiệm

2a ; a 1

a 1

2a .

2 . Chọn A.

CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC

5 BAØI 1.

a 1

CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC

Câu 1. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 2, ta chọn D. Câu 2. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 6, ta chọn B. Câu 3. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng cuối, ta chọn D. Câu 4. Theo SGK cơ bản trang 135, mục 2, ta chọn D. Câu 5. Theo SGK cơ bản trang 135, mục 3, ta chọn D. Câu 6. Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad. Chọn D. Câu 7.

rad tướng ứng với 1800 . Chọn C.

Câu 8. Ta có

rad tướng ứng với 1800 .

Suy ra 1 rad tương ứng với x 0 . Vậy x Câu 9. Áp dụng công thức Câu 10. Áp dụng công thức

380

a. với 180 a. với 180

180.1

. Chọn D.

tính bằng radian, a tính bằng độ. Chọn C. tính bằng radian, a tính bằng độ.

3a. 180

Trong trường hợp này là 3a

a . Chọn A. 60

a. với 180

Câu 11. Cách 1. Áp dụng công thức

tính bằng radian, a tính bằng độ.

a. 70 7 . Chọn C. 180 180 18 Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian. Bước 2. Bấm 70 x = q B 1 = . Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ. Câu 12. Tương tự như câu trên. Chọn A. Ta có

a. với 180

Câu 13. Áp dụng công thức Trước tiên ta đổi 450 32 '

32 60

tính bằng radian, a tính bằng độ. .

Áp dụng công thức, ta được

32 . 60 180

0,7947065861. Chọn C.

Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian. Bước 2. Bấm 45 x 32 x = q B 1 = . Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.

a. với 180

Câu 14. Cách 1. Áp dụng công thức

tính bằng radian, a tính bằng độ.

Trước tiên ta đổi 40 0 25'

25 . 60

Áp dụng công thức, ta được

25 . 60 180

97 432

0,705403906. Chọn D.

Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian. Bước 2. Bấm 40 x 25 x = q B 1 = n. Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ. Câu 15. Tương tự như câu trên. Chọn A.

a. 180

Câu 16. Cách 1. Từ công thức

.180

với

tính bằng radian, a tính bằng

độ. 0

Ta có a

.180

.180 150 . Chọn A.

Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.

381

Bước 2. Bấm (qLP12)qB2= . Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.

.180

Câu 17. Ta có a

3 .180 16

135 4

330 45'. Chọn C.

Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây. Bước 2. Bấm (z3qLP16)qB2=nx.

.180

Câu 18. Ta có a

5.180

286 0 28 ' 44 ''. Chọn B.

Cách 2. Bấm máy tính: Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây. Bước 2. Bấm z 5 qB2=x. Câu 19. Tương tự như câu trên. Chọn D. Câu 20. Tương tự như câu trên. Chọn C. Câu 21. Từ công thức

Câu 22. Áp dụng công thức Câu 23. Ta có

tỷ lệ nhau. Chọn A.

là

1,5.20

3, 93cm. Chọn A. 16 30 cm. Chọn A. 20.

Câu 24. Cung có số đo 350 thì có số đó radian là Bán kính đường tròn R Suy ra

7 .10 36

Câu 25. Ta có Câu 26.

Câu 28. Ta có l

2R R

R R

382

4 .2 R 5

8 R. 5

7 . 36

10 cm.

40 3 20

2 3

0, 67 rad. Chọn B.

2 rad. Chọn B. 1 R 6 R 10 2, 5

. Chọn D.

4 . Chọn C.

Câu 29. Trong 2 giây bánh xe đạp quay được

35 180

6,11 cm. Chọn B.

Câu 27. Ta có

20 2

a 180

2.2 5

4 vòng tức là quay được cung có độ dài là 5

Ta có l

8 R 5 R

l R

8 . Chọn A. 5

10.2 R 72

Câu 30. 72 răng có chiều dài là 2 R nên 10 răng có chiều dài l

Theo công thức l

5 R 18 R

l R

5 18

5 R 18 5 180. 18 50 0 .

180

mà a

Chọn C. Cách khác: 72 răng tương ứng với 360 0 nên 10 răng tương ứng với Câu 31. Theo đề Ox , Oy

1822 0 30 '

22 0 30 ' k.360 0

10.360 72

1822 0 30 '

50 0 . k

Chọn D. Câu 32. Ta có 10

19 2

Câu 33. Góc lượng giác OG, OP chiếm

21 2

5. Chọn B.

1 1 đường tròn. Số đo là .2 4 4

k2 , k

Chọn A. Câu 34. Vì số đo cung AM bằng 450 nên AOM

450 , N là điểm đối xứng với M qua trục

Ox nên AON 450 . Do đó số đo cung AN bằng 45o nên số đo cung lượng giác AN có số đo là 45o k 360 o , k .

Chọn D.

60 0 , MON

Câu 35. Ta có AOM

60 0

120 0 .

Nên AON

Khi đó số đo cung AN bằng 1200 . Chọn A. Câu 36. Ta có AOM 750 , MON 180 0 Nên cung lượng giác AN có số đo bằng 1050

k 360 0 , k

Chọn D. Câu 37. Cách 1. Ta có Và

hai cung

4 và

và

có điểm cuối trùng nhau.

Cách 2. Gọi A, B, C, D là điểm cuối của các cung Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có B

, , C, A

D. Chọn B.

Câu 38. Cặp góc lượng giác a và b ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối.

383

Khi đó a

k2 , k

a b . 2

hay k

Dễ thấy, ở đáp án B vì k

152 5 2

303 20

. Chọn B.

Câu 39. Tam giác đều có góc ở đỉnh là 60o nên góc ở tâm là 120o tương ứng

k2 . 3

Chọn A. Câu 40. Hình vẽ tham khảo (hình vẽ bên). Hình vuông CDEF có góc DCE là 45o nên góc ở tâm là 90o tương ứng

k . 2

Chọn A.

BAØI 2.

GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT CUNG sin

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

thuộc góc phần tư thứ nhất

thuộc góc phần tư thứ hai

cos

tan

cot

sin

cos

sin

cos

tan

cot

sin

cos

tan

cot

Chọn A.

Chọn C.

Chọn A.

Chọn B.

Câu 5. Chọn D. Câu 6. Chọn C. Câu 7. Ta có cos Đẳng thức cos

1 sin 2

cos

cos 2

cos

tư thứ I hoặc IV. Chọn D. Câu 8. Ta có

384

sin 2

sin

sin .

cos

cos .

điểm cuối của góc lượng giác

ở góc phần

Đẳng thức sin

sin

điểm cuối của góc lượng giác

ở góc phần tư

thứ I hoặc II. Chọn C.

5 2

Câu 9. Ta có 2

tan

cot

thuộc góc phần tư thứ I

. Chọn A.

Câu 10. Ta có 0 thứ III

điểm cuối cung

thuộc góc phần tư

0. Chọn D.

sin

Câu 11. Ta có

điểm cuối cung

cot

2 3 2

0 . Chọn D.

tan

Câu 12. Ta có

sin ; cot

sin

cos

tan

3 2

Câu 13. Ta có

sin ; cos

cos ; tan

tan .

Chọn B.

3 2

3 cos 2

cos

sin

3 2

tan

3 2

Chọn B.

Câu 14. Ta có

tan

0. Chọn B. 3 2 3 2

Câu 15. Ta có

3 2

2 5 2

cot

sin

0 . Chọn D.

Câu 16. Ta có sin

47 6

sin 8

89 Câu 17. Cách 1. Ta có cot 6

sin

5 cot 6

6 14

sin 5 cot 6

1 . Chọn D. 2 3.

385

Cách 2. Hướng dẫn bấm máy tính. 1 89 tan 6

Bấm lên màn hình

Câu 18. Ta có cos

và bấm dấu =. Màn hình hiện ra kết quả.

5 4

cos

cos Câu 19. Ta có cos

cos

4 k2

5 4

2 . Chọn B. 2

cos

1 . 2

Chọn C. Câu 20. Sử dụng mối quan hệ của các cung có liên quan đặc biệt, ta có

cot 44 0

tan 46 0 cos 46 0 cos 44

Câu 21. Ta có P

sin

2 3

sin

2 3

2 cos 2

Vì

3 8

Do đó

cos

2 P

Câu 23. Do 10O

3 2

8 3 cos 8

cos 2

3 2 sin 2 8

80O

20O

cos

sin 2 10O

cos 2 10O

sin 2 30O 1 1 1 1

386

3 . Chọn B. 2

2 2

7 8

cos 2

5 cos 8

cos 2

3 8

sin

3 8

cos2

3 cos 2 8

70O

7 8

cos 2

5 8

sin 2 20O

cos 2 30O

3 . 8

2. Chọn D.

2.1

30O

sin 2

60O

40O

50O

cos 2 20O

sin 2 40O

cos 2 40O

4. Chọn C.

1. Chọn B.

3 . 8

Câu 24. Áp dụng công thức tan x. tan 90 Do đó P

tương ứng đôi một phụ nhau. Áp dụng công thức sin 90O

cos

1. Chọn B.

2 1

tan 2

sin 6 tan 2

sin 2

7 8 8 Câu 22. Ta có 3 5 8 8 P

2 tan 46 0 cos 46 0 sin 46 0

tan x. cot x

90O nên các cung lượng giác

cosx , ta được

Câu 25. Áp dụng công thức tan x. tan 90

tan x. cot x

Do đó P 1. Chọn B. Câu 26. Chọn B. Câu 27. Ta có cos 180 Do đó sin 2

cos 2 180

cos

cos2 180

sin 2

Câu 28. Chọn D. Vì sin 2018 2

cos 2 .

1. Chọn C.

cos 2

cos 2018

Câu 29. Chọn C. Câu 30. Chọn C. Câu 31. cot x

có nghĩa khi x

2018

Câu 32. Ta có tan .cot

sin cos . cos sin

Đẳng thức xác định khi

2018

cos

sin

k . Chọn D.

2018

1. k

2 k

Câu 33. Biểu thức xác định khi

, k

. Chọn A.

k 6

. Chọn C.

k 6 Câu 34. Dùng MTCT kiểm tra từng đáp án. Chọn C. Câu 35. Chọn B. Trong khoảng giá trị từ 90 đến 180 , khi giá trị góc tăng thì giá trị cos của góc tương ứng giảm. Câu 36. Chọn A. 9 sin 4 sin cos . Chọn B. Câu 37. Ta có sin 2 2 2 3 2

Câu 38. Ta có sin

sin

cos

sin

1 . Chọn C. 3

cos

tan . Chọn C.

Câu 39. Ta có tan 2017 Câu 40. Ta có A

sin

cos

sin

Chọn D. Câu 41. Ta có S

cos

x . sin

sin x. sin x Câu 42. Ta có P Và Q

sin

Khi đó P

sin

cos x.

sin

cos x

. cos . cos

sin .cos

x . cos

sin 2 x

sin . cos .

sin .cos

sin

cos 2 x

cos

1. Chọn D.

sin . cos .

0. Chọn A.

387

Câu 43. Ta có sin 3 2

Và cos

cos x ; sin 10

cos 2

cos

cos x

sin 10

sin x

cos x

x sin x

cos

Suy ra P

cot

4 2

1 cot x

Câu 45. Ta có sin x

sin

Câu 46. Ta có tan 4 Và sin x

13 2 13 2

1, 25

Khi đó cot 1, 25. tan 4

cos 8

cot x.

2 . Chọn C. sin 2 x

cos x và sin x

2 cot 2 x

sin x

sin

cos x

1, 25

cos x

sin x

cos x .

cos x

tan 1, 25 suy ra cot1, 25. tan1, 25

cos x ; cos 6

3 2

1; cot 7

sin

cos x.

cos2 x

1 cot x

Kết hợp với giá trị sin Suy ra sin x

cot

2.sin x.cos x sin 2 x 2. Chọn B. 7 tan 1 và tan x cot x . 4 2

2.sin x.cos x sin 2 x 17 tan 4 Câu 44. Ta có tan 4 4 13 4

sin x ; cos 8

cos2 x

Và cot

Khi đó sin

sin x.

1 . Chọn C. 2

cos x

cos x .

. cos 6

sin x tan x 0. Chọn C. cos x Câu 47. Vì A, B, C là ba góc của một tam giác suy ra A

1 cos 2 x

cos

sin x

Mặt khác tan x

Khi đó sin A

tan A

sin

tan

sin B; cos A

tan B; cot A

C cot

Câu 48. Vì A, B, C là các góc của tam giác ABC nên C Do đó C và A

sin C

B là 2 góc bù nhau

Và tan C

tan A

Câu 49. Ta có A

Do đó cos A

B ; cot C

cos

cot A B

B .

B ; cos C

cos A

B .

B . C

cos C. Chọn D.

Câu 50. A, B, C là ba góc của một tam giác

388

180

sin A

cot B. Chọn B.

B o

cos B.

1800

Ta có sin A

sin 1800

C 5 13

1 sin 2

cos

sin 180 0

Câu 51. Ta có

sin C. Chọn D.

5 . Chọn D. 13

cos

2 2 3

1 cos2

sin Câu 52. Ta có

2 3

sin

3 2

sin cos

tan

2 5

Chọn B.

Câu 53. Ta có

1 cos 2 2019 2

tan 2

2017 2

Câu 54. Ta có

1 cos 2

4 3

5 13

1 cos2

sin

3 2

504.2

sin cos

3 . Mà tan 5

cos

4 3

sin 3 5

4 . Chọn D. 5

sin

5 13

sin

504.2

sin cos

tan

5 . 12

Chọn C. Câu 55. Ta có

cos 2

1 tan 2

180 o sin

Câu 56. Ta có

4 5

cos

1 cot 2

3 4

4 . Chọn D. 5

cos 2

25 16

sin

1 sin 2

Câu 58. Ta có

4 5

3 5 . Chọn A. 5

180

1 Câu 57. Ta có sin 2 0

cos

. Do đó, sin

1 sin 2

cos

270 o

tan . cos

cos

1 5

cos

4 5

4 . Chọn C. 5

tan

3 . 4

2 Thay tan

3 vào P , ta được P 4

12 . Chọn D. 25

389

Câu 59. Ta có

Thay

2 2 3

1 sin 2

cos 0

180

2 4 vào P , ta được P 2 2

tan cot

Câu 60. Ta có P

tan

7 2

tan 3

1 3

Theo giả thiết: sin

tan

1 3

2 2 3

Ta có

cot

2 2 . Chọn C. 9

sin

1 sin 2

cos

2 4 . 2 2

tan

2 2 3

cot

1 . 3

sin

2 2 3

cos

cos sin

2 2. Chọn B.

4 5

1 cos 2

sin Câu 61. Ta có

4 3 vào P , ta được P 3 4

tan

Thay cot

Câu 62. Ta có P Vì

sin

tan

4 5

Theo giả thiết:

cot

4 . Chọn A.

1 cos2

sin

4 3. 3 4

tan

4 5

sin

4 5

tan

4 3

Chọn B.

Câu 63. Ta có

2 tan

Thay

390

3 4

9 4 4

vào P , ta được P

3 . Chọn C. 2

5 4

1 . 3

Câu 64. Ta có

cot Thay

Câu 65. Ta có

5 6

7 3

11 6

3 . 2

3 . Chọn D. 2

3 vào P , ta được P 2 1 cos 2 1 tan 2

9 25

3 5

cos

3 5

cos

sin

tan . cos

Thay sin

4 và cos 5

4 . 5 31 . Chọn B. 11

3 vào P , ta được P 5

Câu 66. Chia cả tử và mẫu của P cho cos

ta được P

3 tan 2 5 7 tan

ta được P

3 2

3.2 2 5 7.2

4 . 19

1 3 1 5. 3

13 .

Chọn D. Câu 67. Chia cả tử và mẫu của P cho sin Chọn D. Câu 68. Chia cả tử và mẫu của P cho cos2 2

2 tan 3 tan 2 5 tan 6

2.2 3.2 4 2 5.2 6

Câu 69. Chia cả tử và mẫu của P cho cos2

2 tan 2 3 tan 5 tan 2

Câu 70. Ta có P

sin 2

tan 2

cos2

tan 2

Câu 71. Từ giả thiết, ta có sin

sin .cos

3. 1 2

Chia hai vế của * cho cos2 P 1

1 2

. sin 2 ta được P

cos

9 . Chọn A. 13

ta được 1 2

cos2 P cos 2

tan 2 1 2 1 tan 2

ta được

4 cot 5 cot

25 16

8 . Chọn D. 19

sin 2 sin 2 cos 2 52 1 1 52

cos2 . * 1 12 . Chọn D. 13

1 2 sin .cos

25 16

9 . Chọn B. 32

391

Câu 72. Áp dụng a3

sin 3

cos3

Ta có sin Vì sin

cos

sin 2

Thay sin cos

Câu 73. Ta có sin

cos

Do 0

suy ra sin

Câu 74. Ta có sin Suy ra sin

cos sin

cos

sin

cos

12 7 . 25 5

2 sin 2

nên sin

24 25

7 5

cos

sin

cos

Câu 75. Ta có P

sin

cos 2

cos

49 . 25

7 . 5

cos

sin

cos2

2 sin cos

cos

Suy ra sin

3sin cos

7 5 vào P , ta được P 12 25

cos

b , ta có

3ab a

0 nên ta chọn sin

cos

sin

cos

5 4

91 . Chọn A. 125

cos 2

3 . 4 3 . Chọn D. 2

0 . Vậy P

cos 2

2 sin 2

2 m2

cos 2

m 2 . Chọn D.

tan 2

cot 2

tan

cot

tan 3

cot 3

tan

cot

2 tan .cot

2.1

Chọn B. Câu 76. Ta có P

53 Câu 77. Ta có sin sin 2 cos 2

Khi đó P

2 2

cos 2 sin 2

sin 2

3 tan cot

tan

cot

110 . Chọn B.

3.5

cos

cos 2

sin

cos

1 2

1 . 4

sin cos

sin 4 cos 4 sin 2 . cos 2 2

2 sin 2 . cos 2

1 2 sin cos

sin 2 . cos 2

14. Chọn B.

sin co s

Câu 78. Ta có

tan Do

Chọn C.

tan

suy ra tan

Thay tan

392

cot

5 2

và cot

1 tan

0 nên tan 2 1

tan 2

tan

5 2

1 tan

cot

vào P , ta được P

5 2

2 1

5 2

tan

2 1

. 5.

Câu 79. Ta có 3cos 9 cos 2 cos

cos

2 sin

3cos

12 sin

12 cos . sin

12 sin

5 cos

1 : loại (vì sin

sin

0 ).

0 , ta có hệ phương trình

12 sin

5 cos 2

4 cos

2 sin

4 sin 2

12 cos . sin 5 cos

5cos

5 cos

12 sin

3 cos

2 sin

5 13 . 12 13

sin

0 2

cos

Chọn A.

sin 3 suy ra cos 2

Câu 80. Với Ta có

sin sin

2 cos 2

cos

0 0

5 cos

4 cos

Từ hệ thức sin 2

Thay tan

sin x sin x

Suy ra M

cos x

3 (do sin 5

1 . Chọn C. 6

sin 2 x

cos 2 x

2 sin x . cos x

1 2 sin x. cos x

sin 2 x

cos 2 x

2 sin x . cos x

1 2 sin x. cos x

2. Chọn B.

Câu 82. Ta có sin 4 x

sin 2 x

4 5

1 , suy ra sin

cos x

0 loaïi

cos

cos2

sin 3 cos 4 và cot . cos 4 sin 3 3 4 và cot vào P , ta được P 4 3

tan

Câu 81. Ta có

1 2 cos cos

cos2 x

cos 4 x 2

sin 2 x

1 2. sin x. cos x 2

2. sin 2 x . cos2 x 2

1 2 sin 2 x 2

cos2 x

2. sin 2 x . cos2 x

1 1 cos 4 x . 2 2

3 4

1 cos 4 x. 4

cos 2 x sin 2 x

cos 2 x

Chọn C. Câu 83. Ta có sin 4 x

sin 2 x

cos2 x

Câu 84. Ta có M

sin 2 x

cos 4 x

sin 2 x

1 cos2 x sin 6 x

cos2 x

cos 6 x

cos 2 x

cos2 x sin 2 x

sin 2 x

1 2 cos2 x. Chọn A. 3

3sin 2 x cos2 x sin 2 x

cos 2 x

cos2 x

1 3sin 2 x cos 2 x

3 2 sin 2 x. 4

Chọn D.

393

Câu 85. Ta có sin 4 x

cos 4 x

Suy ra M

cos 2 x sin 2 x

sin 2 x 2

2 1 sin 2 x cos 2 x

sin 8 x

2 1 2 sin 2 xcos 2 x

cos 2 x

cos 2 x sin 2 x

cos 8 x

sin 4 xcos 4 x

sin 8 x

cos 8 x

4 sin 2 xcos 2 x

2 sin 4 xcos 4 x

4 sin 2 xcos 2 x

sin 4 x

cos 4 x

2 sin 2 x .cos 2 x

sin 4 x

cos 4 x

sin 2 x

cos 2 x

Câu 86. Ta có M

tan 2 x

sin 2 x

sin 2 x cos 2 x

sin 2 x

cot 2 x

cos 2 x

cos 2 x sin 2 x

cos 2 x

1 cos 2 x sin 2 x .

sin 8 x 2

cos 8 x 4 sin 2 x.cos 2 x

sin 2 x

cos 2 x

1. Chọn A.

2 1

1 cos 2 x

sin 2 x . tan 2 x .

1 sin 2 x

cos 2 x . cot 2 x.

Chọn C. Câu 87. Ta có M Chọn D. Câu 88. Ta biến đổi: M Câu 89. Ta có M

tan 2

cot 2 x

cos2 x

sin 2

tan 2

Câu 90. Ta có M

4 sin 2

cos2

sin 2

4 sin 2

sin 4 x

1 cos2 x

sin 2 x. Chọn A.

3cos2

4 sin 2

3cos2

1 2 sin 2 x.cos2 x 1

2 sin 2 x.cos2 x

1 cot 2 x

sin 2 x cos2 x

3 sin 2

cos2 x sin 2 x

cos 4 x 2 sin 2 x.cos2 x sin 2 x cos2 x

cos2

3. Chọn D.

2 2 . sin 2 x

cos2 x

Chọn D. Câu 91. Ta có P

sin 4

sin 2

cos2

sin 2 cos 2

sin 2

cos 2

tan 2

sin 2

sin

Chọn A. Câu 92. Ta có P

1 sin 2 1 sin 2

Câu 93. Ta có P

1 cos sin 2

1 cos 1 cos 1 cos Câu 94. Ta có P

394

1 sin 2

1 cos 2

1 1 cos 1 1 cos

cos2 cos2

1 cos 1 cos2 1 1 cos

cos 4

2 tan 2 . Chọn A.

1 . 1 cos 1 1 cos

1 cos2

sin 2 cos2

0. Chọn D.

cos2

1 cos 2 cos 2

sin 2 cos 2

2 cos2 x

Câu 95. Ta có P

cot

sin cos

1 cos Chọn B. Câu 99. Ta có Và

cos

tan

Câu 1. Ta có M

sin

. Chọn C.

1 cos2 sin

sin

sin cos

sin x . cos x .

cos 2 x cot 2 x

sin x cos x

sin 2 x

2 sin 2 cos 2

sin cos 2

sin 2 x cos 2 x

tan . .

. 2 cos 2 cos

cos

1 cos 2 x .

sin cos

cos2 sin

1 sin

2 tan 2 . Chọn A.

cos 1 cos cos 1

1 sin 2

1 cos2 sin 2 cos

sin x tan x Câu 100. Ta có tan x Chọn C.

BAØI 3.

1 cos 1

sin x. Chọn B.

cos x

2 sin . cos cos 2 1 cos . sin sin

2 sin . cos cos 3 sin

1 cos2

sin 2 cos

1 sin 2 x

cos

cot 2 x cos 2 x cot 2 x

sin x .cosx cot x

Suy ra P

sin

cos2 x sin 2 x sin x cos x

sin 2

2 sin . cos 1 sin 2 cos . sin

sin tan cos 1

Câu 98. Ta có P

cos

tan 2

cos 2 x

cos x

sin

Suy ra P

sin 2 x

sin x

Câu 96. Ta có P

Câu 97. Ta có

tan 2 . Chọn A.

2 cos .

1 sin 2 x .

sin 2 x .

1. Chọn A.

sin x tan x

sin x.

cos x sin x

1 cos x

1 sin x

cot x.

COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC cos 4 15o

cos2 15o cos 2 15o

sin 4 15o

cos 2 15o

sin 2 15o cos2 15o sin 2 15o

cos 2.15 o

Câu 2. Áp dụng công thức nhân đôi cos2 a sin 2 a

sin 2 15o

sin 2 15o cos 30 o

3 . Chọn B. 2

cos 2a .

395

Ta có M

cos4 15o

sin 4 15o

cos2 15o

sin 2 15o cos2 15o

cos2 15o

sin 2 15o

sin 2 15o . sin 2 15o

cos2 15o

sin 2 15o

cos30o

cos 2 . sin 2

sin 4

sin 2 15o . cos30o

3. Chọn A.

Câu 3. Ta có

cos 6

sin 6

cos 2

sin 2

cos 4

cos 2 . cos 2

sin 2

1 sin 2 2 4

cos 2 . 1 Vậy M

1 sin 2 30 o 4

cos 30 o. 1

Câu 4. Ta có cos

cos

sin

Câu 5. Áp dụng công thức Khi đó sin Và cos

Câu 6. Ta có

5 cos 18 9

cos

Do đó M

cos

cos a

sin

cos

5 18 cos

5 18

sin

cos

tan 180 0 cot 180 0 1

tan 9

sin

. 1 . 2

1 . Vậy P 2

450 810

1 1 : 2 2

tan 9 0. cot 69 0 tan 180 0

1 tan 30 0

3 . Chọn A. 2

cos a. cos b sin a. sin b

210

1. Chọn A.

3. Chọn C.

cos

1 5 . sin . sin 4 12 12

1 1 6 . cos 4 2 12

Câu 8. Áp dụng công thức sin 2a

.cos

Câu 9. Vì sin 100

0 nên suy ra

cos

1 . 0 8

1 2

1 . Chọn D. 16

2.sin a.cos a, ta có

.cos

1 . sin . cos . cos 4 12 12 6

396

15 3 . Chọn D. 32

5 11 cos và sin . 24 24 24 5 5 1 5 5 sin sin cos cos . 2. sin . cos . 2. sin . cos 24 24 24 24 4 24 24 24 24

Câu 7. Ta có sin

sin

cos

tan 2250 cot 810. cot 69 0 cot 2610 tan 2010

7 24

1 1 . 4 4

sin a b

1 tan 9 0. tan 210 tan 9 0 tan 210

sin a. cos b cos a. sin b

sin

cos 2 . sin 2

3 .1 2

sin

.cos

1 . sin . cos 8 6 6

1 .sin .cos .cos .cos 2 24 24 12 6 1 . sin 16 3

3 . Chọn D. 32

16 sin 10 0 cos10 0 cos 20 0 cos 40 0 cos 80 0 16 sin 10 0

4 sin 40 0 cos 40 0 cos 80 0 16 sin 10 0

sin 20 0 16 sin 10 0

8 sin 20 0 cos 20 0 cos 40 0 cos 80 0 16 sin 10 0 sin 160 0 . 16 sin 10 0

2 sin 80 0 cos 80 0 16 sin 10 0

2 sin 10 0 cos10 0 16 sin 10 0

1 cos10 0 . Chọn D. 8 a b a b Câu 10. Áp dụng công thức sin a sin b 2. cos . sin . 2 2 2 4 6 Ta có 2 sin . M 2.cos .sin 2.cos .sin 2.cos .sin 7 7 7 7 7 7 7 3 5 3 7 5 sin sin sin sin sin sin sin sin 7 7 7 7 7 7 7 1 Vậy giá trị biểu thức M . Chọn B. 2 cos a cos b sin a sin b . Câu 11. Chọn B. Ta có cos a b M

Câu 12. Áp dụng công thức sin 2

sin . 7

ta được

2 sin .cos

2 sin 1009 a . cos 1009 a . Chọn D.

sin 2018a

Câu 13. Áp dụng công thức cos 2

cos 6a

cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2 sin 2 2 cos2 3a 1 1 2 sin 2 3a . Chọn C.

cos 3a sin 3a

Câu 14. Chọn D. Ta có cos3x Câu 15. Chọn B. Câu 16. Ta có cos x Chọn B. Câu 17. Chọn B.

2 cos x

Câu 20. Ta có sin a

cos a

0 sin

cos

a b

sin x

y cos y

b 2b

Câu 21. Áp dụng công thức sin a

cos a

2 cos

cos x

b cos a b

cos b

sin a cos b

y sin y

Câu 22. Áp dụng công thức cos x cos y

3cos x .

2 sin

x .

Câu 18. Chọn A.

Câu 19. Ta có cos a

sin a

sin x

4 cos3 x

, ta được

sin a

Chọn B. Câu 23. Áp dụng công thức cos x cos y

sin x

sin x sin y b sin a b sin x sin y

k . cos b . Chọn D.

k .

cos b . Chọn D.

sin b cos a , ta được

cos x cos a cos x

sin x. Chọn A. y , ta được b

a b

cos 2a

1 2 sin 2 a.

y , ta được

397

cos a

b cos a b

cos a

b (a b)

sin a

b sin a b 1 2 sin 2 b. Chọn A.

cos 2b

Câu 24. Áp dụng công thức cos a. cos b sin a. sin b sin 2 x. sin 3 x

cos5 x

cos 2 x. cos3 x

b , ta được

cos a

sin 2 x. sin 3 x

k . Chọn A. 5

Câu 25. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có cot a

cos a sin a

cot b

 Đáp án B. Ta có cos 2a

cos b sin b

2 cos2 a 1

sin a

cos a. sin b sin a. cos b sin a. sin b

sin a. sin b

1 1 cos 2a . Chọn B. 2

cos2 a

Câu 26. Chọn B. Câu 27. Áp dụng công thức cos a cos b

2 sin

x M

cos x

2 sin x. sin

Câu 28. Ta có

cos B cos 180

. sin

2 sin

a b , ta được 2

4 . sin

2 sin x. Chọn B.

cos A

cos C

cos x

4 5 5 13 A

cos A. cos B

3 5 . Mà A 12 13

sin A sin B B

cos A

180 , do đó

B 4 5 . 5 13

sin A. sin B

3 12 . 5 13

16 . 65

Chọn C. 1 2

1 7 5 Câu 29. Ta có tan A B 1 1 9 1 . 2 5 7 1 tan A B tan C 9 8 tan A B C 1 1 tan A B . tan C 1 7 . 1 9 8 tan A tan B 1 tan A. tan B

2 C 2 2 Áp dụng, ta được

Câu 30. Do

398

C 2 B

2 A 2

sin

C sin 2

B 2 cos

cos A 2

C 2 . B

. Chọn C.

sin A

sin B

sin C

2 sin

B 2

cos

2 sin

C C cos 2 2

C A B A B C cos 2 cos cos 2 2 2 2 C A B A B C A B 2 cos cos cos 4 cos cos cos . Chọn A. 2 2 2 2 2 2 2 cos

Câu 31. Do A

sin A

sin C.

Áp dụng, ta được

sin 2 A

sin 2 B

2 sin C.cos A

sin 2C

2 sin A

2 sin C.cos C

B . cos A

2 sin C. cos C

2 sin C cos A

cos C .

B C A B C . cos 2 2 A B C 2B A 4 sin C. cos . cos 2 4 sin C. cos

4 sin C. cos

Câu 32. Ta có P Mà A

B . cos

tan A

tan B

cos A

sin C cos C

tan A

sin C B

cos C

tan B

sin C.

cos A. cos B sin A. sin B cos A. cos B cos A. cos B. cos C

sin C.

tan C

sin A

sin C . cos C

cos A. cos B

. Khi đó, ta được

cos C cos A. cos B cos A. cos B. cos C

sin C

4 sin A. sin B. sin C. Chọn B.

4 sin C. sin B. sin A

tan C

sin A

sin C cos A. cos B

B C

cos A

cos A. cos B

cos A. cos B. cos C

sin A. sin B. sin C cos A. cos B. cos C

tan A. tan B. tan C

Chọn D. Câu 33. Do A

tan

B C

C B

2 tan

2 A C tan 2 2

tan

2 B 2

A 2

tan

A 2 2 C tan 2

B 2 C B 1 tan tan 2 2 C B . tan 2 2

tan

cot

A 2

1 ta n

A 2

A B B C C A . tan tan . tan tan . tan 1 . Chọn A. 2 2 2 2 2 2 sin B Câu 34. Ta có 2 cos A sin B 2 sin C.cos A. sin C sin C tan

Mặt khác A

sin B

sin A

sin C

C . Do đó, ta được

399

sin C

Câu 35. Ta có

sin 2 A sin 2 C

tan A tan C

Câu 36. Ta có P

Từ hệ thức sin 2

sin

Suy ra P

2 cos

sin

4 . 5

3 sin 2

1 cos 2

Ta có cos 2

sin

1 2 sin 2

Thay vào P , ta được P Câu 40. Ta có cos 2

400

1 2. 1 1 2 2

1 2 sin 2

cos

2 cos .

5 . 3

1 sin 2 2 5 . Chọn D. 3

3 5

3 2

cos 2 2

7 25

1 2.

4 . 5

1 sin 2

1 cos a b 2

1 cos 2 3

24 . Chọn A. 25

cos

1 , suy ra cos

3 5

Câu 39. Áp dụng công thức sin a. sin b P

sin

3 nên ta chọn cos 2 sin

4 2. . 5

sin

5 3

sin

cos2

3 . 5

1 sin 2

1 , suy ra cos

nên ta chọn cos

Từ hệ thức sin 2

2 sin cos .

3 vào P , ta được P 5

cos2

3 5

sin 2

3 . 5

2 sin cos 2 cos 2 sin cos

Câu 37. Ta có P

1 , suy ra cos

4 và cos 5

Thay sin

Câu 38. Ta có

sin 2

cos2

sin 2 A

. Chọn D.

nên ta chọn cos

Do 0

sin 2C

sin 2

Từ hệ thức sin 2

sin 2 A sin 2 C

sin A cos C cos A sin C

C . Chọn A.

3 5

cos a

7 . 25 11 . Chọn A. 100

4 5

7 . 25

1 2

4 5

3 3 . Chọn C. 10

b , ta được

Suy ra P Câu 41. Vì

2 cos2 2

cos 4

3 4

Do sin

cos

Câu 42. Áp dụng a 4 Ta có P

cos

1 sin 2

0 nên sin

cos

sin 4

sin

suy ra

Ta có sin

cos4

49 1 625

527 . Chọn B. 625

nên sin

cos

4 5

9 . Suy ra sin 5 3

cos

. Vậy P

cos

. Chọn A.

2 a 2 b2 .

sin 2

cos2

2 sin 2 . cos2

1 2 sin 2 2

7 . 9

Chọn C. Câu 43. Ta có P Từ hệ thức sin 2 Do

3 2

cos2

Câu 44. Ta có P

5 vào P , ta được P 13

1 cos 2 2

1 4.

cos

Từ hệ thức sin 2

Thay sin

cos cos 3

cos2

cos 2 2

5 2

2 vào P , ta được P 3

Câu 45. Ta có P

sin

nên ta chọn sin

120 . Chọn C. 119 5 2

1 , suy ra sin

7 và cos 4

12 . 13

1 cos2

12 . 13

nên ta chọn sin

1 3.

Thay cos 2

3 2

2 sin .cos . 2 cos2 1

1 , suy ra sin

12 và cos 13

Thay sin

sin 2 cos 2

tan 2

3 cos 2 2

4 3

1 2 cos 2

7 . Chọn D. 6

1 cos 2

3 sin 2

7 . 4

3 vào P , ta được P 4

1 3 . 2 4

3 . 2

7 4

21 8

Chọn B. Câu 46. Ta có P Từ hệ thức sin 2

tan

cos2

tan 1 . 1 tan

1 , suy ra sin

1 cos2

3 . 5

401

3 nên ta chọn sin 2

3 vào P , ta được P 4

Thay tan Câu 47. Ta có P

cos 2

Từ hệ thức sin 2 2 Do

3 . Suy ra tan 5

cos2 2

Câu 48. Ta có P

sin

Từ hệ thức sin 2

. cos

cos2

1 sin 2 2

3 và cos 5

Thay sin

tan

5 2

Từ giả thiết cot

cot 2

2 vào P , ta được P

Thay tan

Câu 50. Ta có cot Suy ra P

tan

sin 2

cos sin

4 2

cot

tan

cos

15sin . 30 1 sin 2

30 sin 2

30 1 cot 2

30 1 152

Chọn C. sin

Câu 51. Ta có P

Từ hệ thức 1

402

tan

cot 2

cot

1 sin 2

3. Chọn C.

2 sin . cos

39 . Chọn D. 50

tan 1 . 1 tan

1 tan . tan 2

1 .

3 . 5

1 cos2

4 vào P , ta được P 5

2 cos

3 . 5

tan

Câu 49. Ta có P

2 . Chọn B. 10

1 sin 2

sin

1 , suy ra sin

3 nên ta chọn sin 2

3 . 5

4 vào P , ta được P 5 3 2

3 . 5

1 cos2 2

nên ta chọn sin 2

3 và cos 2 5

Thay sin 2

sin 2

1 , suy ra sin 2

3 . 4

1 . Chọn A. 7

2 cos 2 2

sin cos

cos

2 2 sin

cos sin

sin 2

sin

2 1 19

cos 2 cos

2 . sin

15 . 113

sin

Khi đó

2 2

cos

Từ hệ thức sin 2 3 ;2 2

Vì

, suy ra P

cos2

Nhắc lại công thức: Nếu đặt t

Thay sin 2 Câu 54. Ta có A Từ hệ thức cot 2

Câu 55. Với Ta có

2 6 5

sin

5 . Chọn C. 5

tan

2t và cos 2 1 t2

thì sin 2

cos

1 t2 . 1 t2

3 . 5

10 . Chọn C. 9

2 6. 0, cot

2 6 . 5

cot . sin

4 6 . Chọn B. 25 suy ra

16 . 25

2 6 vào P , ta được 5

2 cos 2

1 1 tan 2

4 . 5

2 6 . Suy ra cos

sin

1 cos2

1 25 cot 2 24 cot sin 2 cot 0 nên tan cùng dấu và tan

1 và cos 5

1 2. . 5

Do đó ta chọn cot

cos

1 tan 2 2 tan 4 , cos 2 2 1 tan 2 5 1 tan 4 3 và cos 2 vào P , ta được P 5 5 sin 2 2 sin cos .

Do đó sin 2

Thay sin

2 19. Chọn A.

4 1 vào P 2 , ta được P 2 . Suy ra P 5 5 sin 2 sin 2 . cos 4 1 2 cos2 2

Câu 53. Ta có P

, cot

sin

1 , suy ra sin 2

nên ta chọn sin

Thay sin

Vì tan

3 ; 4

2 2

3 ;2 2

1 sin . Với

Câu 52. Ta có P 2

0 nên ta chọn sin

sin

1 1

sin

cos

1 2 cos

cos2

403

0 loaïi

cos 5 cos2

4 cos

Từ hệ thức sin 2 Vậy P

cos2

sin 2

1 cos 2 b

Vậy cos

cos a. cos b

3 5

1 1 .1 9 16

5 3 . 13 5

12 . 13

cos a

12 3 . 13 5

cos 2 a. cos 2 b

;

4 . 5

sin b

12 4 . 13 5

cos a. cos b

33 . Chọn C. 65 25 169 9 25

12 . 13 4 . 5

5 4 . 13 5

16 . Chọn B. 65

sin a. sin b cos a. cos b sin a. sin b

1 cos 2 a . 1 cos 2 b .

119 . Chọn D. 144

1 sin 2 a

1 3

1 2

nên suy ra 2

cos b Khi đó cos a

16 mà b 25

sin .sin

cos a Câu 59. Vì a, b

suy ra sin

b . cos a b

sin a. sin b

sin b.cos a

3 với 0 5

cos a

144 mà a 169

suy ra cos

cos .cos

Câu 58. Ta có P

5 với 2 13

Tương tự, có cos

4 5

5 13

sin a.cos b

Câu 57. Ta có sin

1 1 . 9 16

3 2. . 5

1 sin a

Tương tự, ta có sin 2 b

3 (do sin 0 ). 5 24 . Chọn C. 25

1 , suy ra sin

Câu 56. Ta có cos a

4 5

cos

2 sin . cos 2

Khi đó sin a

1 sin b 2 2 3 . 3 2

cos a. cos b sin a. sin b

2 2 3

1 1 . 3 2

3 2 1 2 6 . 6

Vậy cos 2 a

Câu 60. Ta có tan

404

2 cos a

tan tan 1 tan . tan

1 2 6 6 1 7

3 4 1 3 1 . 7 4

4 6 . Chọn D. 18

1 suy ra a

. Chọn B.

Câu 61. Ta có cot x

Mặt khác 0

x, y

suy ra 0

Câu 62. Ta có tan

. sin

cos

sin

. cos

(vì

Lại có 1

1 tan a 1 tan 2 a

1 cos2 b

tan 2 b

Mặt khác sin b

1 2

3 suy ra sin 2a 5

1 . 3

24 25

a b

3 . 5

vì 900

4 1 . 5 10

1 25

1 sin 2a

7 vì 2700 25

4 . 5

1 cos2 2a

1 25

sin 2a cos 2a

tan b

sin 2 a. sin b

Vậy giá trị của biểu thức tan 2a

tan a

3 2

sin a cos a

1 sin 2 2 a

Câu 65. Ta có tan 2a

là ba góc nhọn). Chọn C.

1 5

. cos . 0.

cos 2 a. cos b

Câu 64. Ta có sin a cos a Khi đó cos 2 a

1 2

cos

, ,

3 . Chọn B. 4

. sin

cos b

tan b. cos b

Khi đó cos 2a b

sin

. sin

. Do đó x

cos

Vậy tổng ba góc

Câu 63. Ta có cos 2 a

3 1 . 1 4 7 3 1 4 7

cot x . cot y 1 cot x cot y

1800

1 10

sin 2a

. Chọn A.

24 . 25

3600.

24 . Chọn C. 7 tan a

tan a b

1 tan a

b . tan a b

7 4 1 7.4

11 . 27

Chọn A. Câu 66. Ta có sin .cos

sin . cos

2 sin . cos Câu 67. Từ giả thiết, ta có

sin sin

sin

. cos

. sin .

sin

cos

sin cos

2 tan . Chọn D.

405

Suy ra cot

cot

2 cot

cot

tan

tan . tan

Khi đó P

tan

r.s

cot

tan

Khi đó P

Câu 71. Ta có M

cot

1 q

p 1 q

p2 1 q

sin x cos x

tan y

cot . cot 1 tan

1 1 . tan tan

1 q

sin y cos y

. q.

p 1 q p 2 .q

0 nên theo định lí Viet, ta

q. tan 2

tan x

p . Chọn A. q 1

tan tan 1 tan . tan

p. tan

q. p 2

0 nên theo định lí Viet, ta

p . Chọn B. q2

r. s

tan 2

1 q

1 tan

. cot . cot

q. tan 2

p2 1 q

tan tan 1 tan . tan

3. Chọn C.

cot . cot

cot

và

tan

cos2

1 2

cot

p. tan

1 q

tan

tan . tan

là hai nghiệm của phương trình x 2

Câu 70. Vì tan , tan có

tan tan 1 tan tan

tan

p . Vậy P q2

tan . tan

cot . cot

. Khi đó tan

Câu 69. Theo định lí Viet, ta có

cot cot nên suy ra cot . cot 1

là hai nghiệm của phương trình x 2

Câu 68. Vì tan , tan có

1 cot 1 1 . cot cot

cot cot cot . cot 1

2. tan

1 cot

tan tan Mặt khác 1 tan . tan

cot

2. cot

1 q 2

q. p 2

1. Chọn C.

sin x cos y cos x sin y cos x cos y

sin x

cos x cos y

Chọn C. Câu 72. Vì hai góc Suy ra M

cos 2 cos

406

và

cos 2

4 2

phụ nhau nên cos

cos 2

sin 2 . Chọn D.

sin

4 sin 2

Câu 73. cos 2

a 2

cos

sin

1 sin a . Chọn A. 2

Câu 74. Ta có sin y. cos x cos y. sin x M sin x . sin y

sin y. cos x sin x . sin y

cos y. sin x sin x . sin y

cos x sin x

cos y sin y

cot x

cot y .

Chọn B. Câu 75. Ta có: M

cos x

cos 2 x

cos 3 x

2 cos 2 x. cos x

cos x

cos 2 x

cos 3 x

cos 2 x

cos 2 x 2 cos x

1 .

Chọn D. Câu 76. Ta có:

sin 3 x sin x 2 cos2 x 1

2 cos 2 x sin x cos 2 x

1 cos 2 x

Câu 77. Ta có: A

cos x

2 cos 2 x 1

2 sin x . Chọn D. 2 cos 2 x 2 cos 2 x cos x cos x cos 2 x

cos 3 x cos x

2 cos x cos x

cos 2 x 2 cos x. Chọn C. cos x cos 2 x Câu 78. Ta có sin cos sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos sin sin .cos sin cos sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos sin sin .cos cos 2 cos 2 0. Chọn A. Do đó A Câu 79. Ta có 1 cos 4 sin 4 2sin 2 2 2sin 2 cos 2 A 1 cos 4 sin 4 2cos 2 2 2 sin 2 cos 2

sin 2

cos 2

cos 2 .

2sin 2 (sin 2 2cos 2 (sin 2

cos 2 ) cos 2 )

tan 2 .

Chọn C. 1 2sin 2 ;cos 4

Câu 80. Ta có cos 2

3 4 1 2 sin 2 3

4 2 cos

2 cos 2 2 2

2 1 2 sin 2 1

2 2 cos

2 1 2sin 2

8 sin 2 a 8 sin 2 8 cos2 a 8 cos2

1 . Do đó:

8 sin 4 8 cos 4

tan 4

Chọn B. Câu 81. Ta có A

sin 2 2

4 sin 4 4 sin 2 2

sin 4 cos (1 sin 2 ) 2

4 sin 2 . cos 2 4 sin 2 sin 4 cos 4

Do đó giá trị của biểu thức A tại

4(1 sin 2

4 sin 4 ) 4 sin 2 . cos 2

tan 4 a.

là tan

1 . Chọn C. 9

407

sin 2 1 cos2

Câu 82. Ta có A

sin

sin cos

2cos

1 cos

sin

2cos

cos

2cos

tan

Chọn A.

1 sin a 2 sin 2 a 1 2 sin a. cos a cos a

Câu 83. Ta có A Câu 84. Ta có sin x

sin 2.

1 cos x

x 2

1 cos 2.

x 2

Câu 86. Ta có

P 1

Câu 87. Ta có 4

x x 2 cos 2 2 x x cos 2 cos 2 2

cos2

sin 2

1 sin 2 2

cos2

sin 2

sin x

3 1

Ta có

cos x

Câu 89. Ta có P Do

cos x

Câu 90. Ta có P Mà

408

sin x

2 cos x

sin 2 x 1

sin b

cos 4

sin 4

cos 2

sin 2

1 sin 2 cos 2 2

3sin x

1 sin 4 . Chọn D. 4

cos 2 x

sin 2 x

a 2

sin

b 2

, ta có

. 1;0;1 . Chọn C.

cos2 x

1 1 cos 2 x

8 sin 2 x

cos x

sin 2 x

0. Chọn C.

2 cos

sin

3cos 2 x

2 sin x

2 cos2 x

8 sin 2 x

x . Chọn A. 2

tan

. Chọn A.

Câu 88. Áp dụng công thức sin a sin x

3sin x

sin .cos

1 sin 2 2

tan a. Chọn B.

x 2

sin

sin 5 .cos

sin x

2 sin x

cos a 2 sin a 1

2 cos 2

x x x cos sin 2 2 2 x 2 x 2 cos cos 2 2

Câu 85. Ta có sin .cos5

sin a cos a

x x 2 sin cos , 2 2

2 sin Do đó A

sin a 2 sin a 1

1 cos2 x M

3 1 2 sin 2 x

2 sin 2 x

. Chọn C.

Câu 91. Ta có P

cos 4 x

sin 4 x

sin 2 x 1

Mà

cos 4 x

Câu 92. Ta có P Mà

cos 2 x

Câu 93. Ta có P

1 2

sin 4 x

cos4 x

1 sin 6 x

3 4

1 cos 6 x

1. Chọn A.

cos 2 x

2 sin 2 x cos 2 x

1 1 cos 4 x . 2 2

1 cos 4 x 4

sin 2 x cos 2 x sin 2 x

3 4 1 2

1. Chọn B.

cos2 x

cos 2 x

1 2 sin 2 x 2

1 cos 4 x. 4

cos2 x sin 2 x 1

cos 2 x. M

3 sin 2 x cos 2 x sin 2 x

. Chọn C. cos 2 x

409

1 3sin 2 x cos2 x

Mà

1 4

cos 3 x

1 1 2 cos 3 x 4 sin 2 x

Câu 95. Ta có P sin 2 x

Mà

cos 2 x sin 2 x

5 8

3 1 cos 4 x . 4 2

cos 4 x

Câu 94. Ta có

3 2 sin 2 x 4

2 sin 2 x

2 sin 2 x 1

3 cos 4 x 8

3 cos 4 x. 8 1

1 . Chọn C. 4

2 cos 3 x

. Chọn B. 1

m 1 cos 2 x 2

sin 2 x

cos 2 x

2. 2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2

4 2

1 4

5 8

2 sin 2 x

2. Chọn D.

VECTÔ

BAØI 1.

ÑÒNH NGHÓA

Câu 1. Chọn D. Câu 2. Chọn B. Đó là các vectơ: AB, BA, BC, CB, CA, AC. Câu 3. Xét các vectơ có điểm A là điểm đầu thì có các vectơ thỏa mãn bài toán là có 3 vectơ.

AB, AC, AD

Tương tự cho các điểm còn lại B, C, D. Chọn D. Câu 4. Chọn A. Vì vectơ - không cùng phương với mọi vectơ. Câu 5. Chọn A. Câu 6. Chọn B. Câu 7. Chọn B. Đó là các vectơ: AB, BA, DE , ED, FC, CF . B

C D

A O

E Câu 8. Chọn D.

410

Câu 9. Chọn C. Vì có thể xảy ra trường hợp AB

Câu 10. Chọn D. Câu 11. Chọn B. Câu 12. Ta có:  AB

ABDC là hình bình hành.

 Mặt khác, ABDC là hình bình hành

CD .

Do đó, điều kiện cần và đủ để AB CD là ABDC là hình bình hành. Chọn B. Câu 13. Chọn D. Phải suy ra ABDC là hình bình hành (nếu A, B, C, D không thẳng hàng) hoặc bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng. Câu 14. Chọn C. Câu 15. Chọn D. MN PQ 1 Ta có (do cùng song song và bằng AC ). MN PQ 2

A M

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Câu 16. Chọn C. Vì AB

BC .

Câu 17. Chọn D. Câu 18. Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC . Do đó BC

2 MN

P C A

2 MN .

Chọn D. Câu 19. Chọn D. Câu 20.

B A

C D

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên BD

Chọn B. Câu 21. Chọn D.

Câu 22. Chọn A. Đó là các vectơ: AB, ED .

411

O E Câu 23.

A D H

O C BC (do góc DCB chắn nửa đường tròn).

B Ta có AH BC và DC Suy ra AH DC. Tương tự ta cũng có CH

AD.

Suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành. Do đó HA Câu 24. Ta có AB

CD và AD

HC . Chọn B.

CD . Suy ra tập hợp các điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán

là đường tròn tâm C , bán kính AB . Chọn D. Câu 25. Chọn A.

BAØI 2.

TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ

Câu 1. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có AB hành). Vậy A sai.

 Đáp án B. Ta có MP

 Đáp án C. Ta có CA

BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình

NP . Vậy B đúng. Chọn B.

CB (với D là điểm thỏa mãn ABDC

là hình bình hành). Vậy C sai.  Đáp án D. Ta có AA Câu 2. Chọn D.

AB . Vậy D sai.

b . Do đó, a và b cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau. Ta có a Câu 3. Xét các đáp án:

 Đáp án A. Ta có CA  Đáp án B. Ta có AB hành). Vậy B sai.  Đáp án C. Ta có AB Câu 4. Ta có AB

412

BA AC

AB AD

DC . Do đó:

BC . Vậy A sai.

BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình

CB . Vậy C đúng. Chọn C.

 AB và CD ngược hướng.  AB và CD cùng độ dài.  ABCD là hình bình hành nếu AB và CD không cùng giá.  AB CD Chọn B.

Câu 5. Ta có MN

MN .

Chọn B. Câu 6. Chọn C. IB Câu 7. Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là IA Chọn B. Câu 8. Tam giác ABC cân ở A , đường cao AH . Do đó, H là trung điểm BC . Ta có: A  AB AC AB AC

 H là trung điểm BC

2 HC

Chọn A. Câu 9.

B A

D vuông ABCD là hình

CAD

CB . Chọn D.

Câu 10. Chọn D. Với ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên một đường thẳng, đẳng thức

AC xảy ra khi B nằm giữa A và C .

Câu 11. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có OA OB  Đáp án B. Ta có

OB OC

OD OA

 Đáp án C. Ta có AB  Đáp án D. Ta có

CD . Vậy A đúng.

. Vậy B sai.

DB. Vậy C đúng.

. Vậy D đúng.

O D

Chọn B. Câu 12. Chọn A. Do ABCD là hình bình hành nên BC Suy ra AB

AD.

DB.

413

Câu 13. Ta có OB OC

DA . Chọn B.

Câu 14. Độ dài các cạnh của tam giác là a thì độ dài các vectơ AB

Chọn C. Câu 15. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có AM quy tắc ba điểm). Chọn A.  Đáp án B, C. Ta có

0 (theo

MA MB 2 MN AC (với điểm N là trung điểm của AB ). B

 Đáp án D. Ta có AB Câu 16. Xét các đáp án:

2 AM .

 Đáp án A. Ta có AB

 Đáp án B. Ta có AP

1 AB 2

 Đáp án D. Ta có PB

1 AB 2

1 AA 2

 Đáp án C. Ta có MN

1 BC 2

1 CA 2

0. B

1 AB 2

1 BC 2

1 AC 2

MP.

Chọn D. Câu 17. Đáp án A chỉ đúng khi ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C . Đáp án B đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn B. Câu 18. Do ABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC . Xét các đáp án:

 Đáp án A. Ta có AB

2 AH .

 Đáp án B. Ta có HA

 Đáp án C. Ta có HB

0 (do H là trung điểm BC ).

0. B

 Đáp án D. Do AB và AC không cùng phương nên AB AC . Chọn C. Câu 19. Do ABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC . Xét các đáp án: AH

 Đáp án A. Ta có

414

HC .

 Đáp án B. Ta có

 Đáp án C. Ta có

 Đáp án D. Ta có AB

. Do đó B sai. Chọn B. BH BC

HA.

ABC vuông cân tại A ).

AH (do

Câu 20. Ta có NP

BP.

Chọn B. Câu 21. Do hai tiếp tuyến song song và A, B là hai tiếp điểm nên AB làB đường kính. N

Do đó O là trung điểm của AB . Suy ra OA Chọn A.

OB . B

Câu 22. Do MT , MT là hai tiếp tuyến ( T và T

là hai tiếp điểm) nên MT

MT .

Chọn C. T

Câu 23. Ta có AB

CB.

Chọn A. Câu 24. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có BC  Đáp án B. Ta có

 Đáp án C. Ta có BA

 Đáp án D. Ta có DC CB

AD DC

CA.

0. Do đo A đúng.

Chọn C. Câu 25. Ta có

415

2OB

EB. Do đo B đúng.

AO EF AO OA AA 0. Do đó C đúng. Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D sai. Chọn D.

Câu 26. Ta có AO

BC . Chọn B.

B O

Câu 27. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có OA

 Đáp án B. Ta có AB

AC (quy tắc hình bình hành).

 Đáp án C. Ta có

. DA

O D

 Đáp án D. Do CD

CB .

Chọn D. Câu 28. Ta có OF , OE lần lượt là đường trung bình của tam giác

BCD và

ABC .

BEOF là hình bình hành. A

BE BF BO BE BF DO BO DO Chọn D. Câu 29. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA

Do đó GA Chọn A. Câu 30.

B F

G A

BD.

. AB

416

BD. O

GB. GD

Ta có

Mà BD

AD .

Chọn C. Câu 31. Gọi H là trung điểm của BC BC 3 2

Suy ra AH Ta lại có AB

BC.

a 3 . 2

2 AH

a 3 2

a 3. Chọn A.

Gọi M là trung điểm BC Ta có AB

2 AM

1 BC. 2

a 2. Chọn A.

Câu 33.

Ta có AB

Gọi I là trung điểm BC

Câu 32.

A AC

5 . 2

Khi đó AC

2 AI

5 2

Chọn A. Câu 34. Ta có CA

Câu 35. Gọi M là trung điểm BC

AC 2 AM

Trong tam giác vuông AMB , ta có AM

AB 2

5 . Chọn C.

BC.

AB. sin ABM

a. sin 30 0

a . 2

Ta có AB

2 AM

a. Chọn B.

Câu 36. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành AHBD là hình chữ nhật.

Ta có CD

CA BD 2

CH BC 2

CD. AH 2

BC 2

3a2 4

a 7 . 2

Chọn D. Câu 37. B

417 M G

Gọi M là trung điểm của BC . Ta có GB

2GM

1 2. AM 3

Câu 38. Gọi O

2GM

2 AM 3

2 1 BC 3 2

BC 3

4. Chọn D.

BD và M là trung điểm của CD .

Ta có AC

1 4. CD 2 Chọn C.

2 OC

2 OD

2 2OM

a2 2 4

4OM

M D

Câu 39. Ta có AB

a 2. Chọn C.

Câu 40. Gọi M là trung điểm của BC . Ta có OB

2 OM

2OM

Câu 42. Ta có MB

Mà A, B, C cố định

G . Chọn D.

Chọn A. Câu 41. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có GA

a 5.

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A , bán kính BC .

Chọn C. Câu 43. MA

CB AD : vô lí Không có điểm M thỏa mãn. Chọn C. Câu 44.

Gọi I là trung điểm của BC

AB Chọn A. Câu 45.

2 MI

Ta có MA

2 MI

M là trung điểm AC. B

AB A

MABC là hình bình hành MA CB. Do đó D sai. Chọn D.

BAØI 3.

TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁ

Câu 1.

418 A

Gọi C là điểm đối xứng của O qua A

Tam giác OBC vuông tại O, có BC Ta có 2OA OB

OC OB

2OA OB

2a.

OC 2

a 5.

BC, suy ra

a 5.

Chọn C. Câu 2. Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:  A đúng, gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho

3 OA

3OA

OC.

Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho

4 OB

4OB

 B đúng, vì 2 OA

OD.

Dựng hình chữ nhật OCED suy ra OC Ta có 3OA

3 OB

2 OA

OE (quy tắc hình bình hành).

OC 2

3 OB

OD 2

5a.

 C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A. Chọn C.  D đúng, vì 11OA

6 OB

11 OA

6 OB

11a 6a

5a.

Câu 3. Vì M là trung điểm BC nên IB

2 IM .

Mặt khác I là trung điểm AM nên IA Suy ra IB

2 IA

2 IM

2 IA

2 IM

I 0.

Chọn B. Câu 4. Vì M là trung điểm BC nên

2 AM . 1

Mặt khác I là trung điểm AM nên

2 AI

AM . 2

Từ 1 , 2 suy ra AB

I AC

4 AI

1 AB 4

AC .

Chọn A. Câu 5. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC 2 AG AM . 3 Và M là trung điểm của BC

2 AM

1 AB 2

AC .

C419

2 1 . AB 3 2

Do đó AG

1 AB 3

AC .

Chọn B. Câu 6. Ta có MN

Suy ra 3 MN

2 MB

Theo bài ra, ta có MA Vậy 3 MN

DN và MN

2 MB

2 BC

CN .

2 CN

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: A đúng, vì MD

B đúng, vì AB

C đúng, vì MN Suy ra 2 MN

2 BC. Chọn C. 3

Câu 7. Vì M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC

2CN .

1 AD 3

0 và DN

2 MB

2 BC

MD BN

BN và MN

D CN MC

C CN

MN .

CN .

1 AD BC . 2 D sai, vì theo phân tích ở đáp án C. Chọn D. MN

Câu 8. Xét các đáp án ta thấy bài toán yêu cần phân tích vectơ DM theo hai vectơ DC và BC . Vì ABCD là hình bình hành nên DB

DC.

Và M là trung điểm AB nên 2 DM

2 DM

1 DC 2

DC suy ra DM

2 BC

Câu 9. Vì N là trung điểm AC nên 2 MN

2 MN

2 MA

Suy ra MN Câu 10. Ta có AM

420

2 AB 3

1 AB 3 AB

2 DM

2 DA

DC.

BC. Chọn C.

AC.

1 AC. Chọn B. 2 BM

1 BC 3

1 AC 3

2 AB 3

1 AC. 3

Chọn A. Câu 11. Ta có AB

Câu 12. Ta có AK

1 AM 2

1 BC. Chọn C. 2 1 1 1 1 AB AC AB 2 2 3 4

Câu 13. Vì ABCD là hình bình hành nên CB Ta có

AB Câu 14. Dễ thấy

1 AC 2

2 AB

1 AC . Chọn C. 6

1 BD. Chọn A. 2

10 a 2b

hai vectơ 5a

2 5a

2b cùng phương. Chọn C.

10a

Câu 15. Gọi I , G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC. Vì I là trung điểm BC nên MB Theo bài ra, ta có MA

2 MI .

MC suy ra MA

A, M , I thẳng hàng

2 MI

Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC

AI .

Do đó, ba điểm A, M , G thẳng hàng. Chọn C. Câu 16. Vì I là trung điểm của BC suy ra IB

2 GI

2 GI . Chọn C.

Câu 17. Vì M là trung điểm của BC suy ra MB

Ta có

IB 0

2 GM

2 GM . Chọn D.

Câu 18. Vì M là trung điểm của BC nên MB

MC. Chọn C.

Câu 19. Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC Mà BC, MN là hai vectơ cùng hướng nên BC Câu 20. Gọi E là trung điểm của AC Mà G là trọng tâm của tam giác ABC Từ 1 , 2 suy ra BA

3 2. BG 2

1 BC. 2

2 MN . Chọn C. BC

2 BE . 1

3 BG. 2 2

3 BG. Chọn B.

421

Câu 21. Từ giả thiết IA Lại có CA

B là trung điểm của IA

2 IB

3 AB

2CI

3 CB CA

AB; AI

2 CA

4CB

2 AB.

2 CB.

Chọn C. Câu 22. Ta có 2 MA Chọn C. Câu 23. Ta có OA

3 MC

Câu 25. Ta có MA

Câu 24. Ta có

2 MC

2CA

Đẳng thức

3 MC

2 BC

2CA

CB.

0 ). Chọn C.

2 BC. Chọn A.

CD 0

CB (vì OA

OB OC

Suy ra điều trên không thể xảy ra vì DA Câu 26. Ta có 2 MA

BC. Chọn D.

2 MA

MA.

suy ra M là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn D.

Câu 27. Ta có BC

2GB do GA

Chọn B. Câu 28. Do AB và AC không cùng phương nên tồn tại các số thực x , y sao cho

x AB

1 x

y AC, M

y AM

x MB

Theo bài ra, ta có MA

x AM

yMC

y 1 MA

x MB

y MC suy ra x

y AM

Do đó MA

2 MI

x MB

y 1

Câu 29. Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, ta có

2 MI

yMC.

2 MI

4 MI

Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

k . Chọn C. 4 Câu 30. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB, CD. tròn tâm I , bán kính R

Khi đó

422

2 ME

2 MF

, M.

2. Chọn B.

, M.

MI là đường

k . 4

Do đó MA

2 ME

2 MF

Vì E , F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức

MF .

suy ra tập hợp các điểm M là trung trực

của đoạn thẳng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD. Chọn B. Câu 31. Vì I là trung điểm của AB suy ra MA Do đó MA

2 MI

AB . 2 là đường tròn tâm I , bán kính

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

2 MI .

AB . Chọn A. 2

Câu 32. Chọn điểm E thuộc đoạn AB sao cho EB Chọn điểm F thuộc đoạn AB sao cho FA Ta có

2 MA

3 ME

2 EA

2 MB 3 MF

2 EA

2 FB

2 ME

2 EA

2 FA

3 ME

2 EA

2 MF

3 MF

2 FB ME

MF .

Vì E , F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức

suy ra tập hợp các điểm M là trung trực

của đoạn thẳng EF . Gọi I là trung điểm của AB suy ra I cũng là trung điểm của EF . Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn 2 MA

2 MB là đường trung trực của

đoạn thẳng AB. Chọn A. Câu 33. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó Theo bài ra, ta có MA

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA

2 MI MB

2 MI

2 MJ

MJ .

MC là đường trung trực của đoạn

thẳng IJ , cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC. Chọn A. Câu 34. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có 2 MA

3 MB

4 MC

Chọn điểm I sao cho 2 IA

2 MI 3 IB

4 IC

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC Khi đó 9 IG

9 IG

3 MI

3 IA

IC 9 IG

4 MI IC

IC . IC

3 IG. CA.

Do đó

423

2 MA

3 MB

4 MC

Vì I là điểm cố định thỏa mãn

9 MI

2 IA

3IB

4 IC

9 MI

AB.

nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I ,

AB a . Chọn B. 9 9 Câu 35. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC nên G cố định duy nhất và bán kính R

Ta có MA

3GM

3 GM

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1. Chọn D.

BAØI 4.

HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ 5 b 4

Câu 1. Ta có a Câu 2. Ta có

a, b cùng hướng. Chọn A.

4; 8

5; 3

Câu 3. Ta có a

Câu 4. Ta có a b Câu 5. Ta có

1;0

0;1

4 4 4 4 3 2 Xét tỉ số 1 6 2 8 Xét tỉ số 6 24 u

1;1 . Chọn D.

2; 8 .

1 3

0 u

2; 1

1; x

1 2

424

2 x ;4 15;3

x 1

6; 24 cùng hướng. Chọn C.

v và b

Câu 8. Hai vectơ a, b cùng phương

4;4 không cùng phương. Loại A

v và a

u, v không cùng phương. Loại B

Để u và v cùng phương

Câu 9. Ta có

9; 11 . Chọn B.

5; 8 3

6;9 . Chọn C.

4;4 và u v

2; 2 . Chọn B.

Xét tỉ số

Câu 7. Ta có

2a b

1; 4

1 5;2

Câu 6. Ta có u

1 . Chọn B. 2

5. x 3b

0.4 2x

15;7 .

0. Chọn C.

Để c

2 x 15

k.a

2k; k

h.b

3h;4 h

Câu 10. Ta có

k.a

Theo đề bài: c

k.a

2; 1

3; 2

Cách khác: AB

h.b

3h; k

4h .

4, 4

0, 6

. Chọn C.

5;6 . Chọn C.

Câu 11. Ta có AB Câu 12. Ta có

h.b

15. Chọn C.

Câu 13. Ta có

yI xG Câu 14. Ta có

CB 4

2 3 7 2

3 ; 1

1;1 . Chọn B.

1;1 .

3 1 5 3 5 2 2 3

I 3;2 . Chọn C. 2 3 G 3;3 . Chọn D. 3

Câu 15. Gọi C x ; y .

6 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

3 1 5 3

. Chọn C.

Câu 16. Gọi C x ; y .

2 Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên

Câu 17. Vì C thuộc trục Oy

3 x 0 3 5 y 0 3

. Chọn A.

C có hoành độ bằng 0 . Loại B.

G có tung độ bằng 0. Xét các đáp án còn lại chỉ có đáp án Trọng tâm G thuộc trục Ox y A y B yC A thỏa mãn 0. Chọn A. 3

Câu 18. Vì M là trung điểm BC nên

2xM

2.2

2 yM

2.0

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

3 xG

3 yG

B 6;4 .

4;12 .

425

Suy ra x A

2. Chọn B.

Câu 19. Ta có

2;2

AC Câu 20. Ta có

2 AC. Chọn A.

2 AB

1; 1

4;3

AB, CD ngược hướng.

8; 6

Chọn B. Câu 21. Ta có

Câu 22. Ta có

Câu 23. Ta có

6;0

0;6

1; 2

6.6

3; 3

AB, AC không cùng phương. Chọn C.

0.0

ABCD là hình bình hành. Chọn A.

2 AB. Đẳng thức này chứng tỏ A ở giữa hai điểm

6;6

B và C. Chọn C. Câu 24. Từ giả thiết, suy ra M 1 A. Sai vì OM 1

C. Sai vì OM 1

OM 2

3;0 , M 2

0; 4 . B. Sai vì OM 2

M 2 M1

3;4 .

Dùng phương pháp loại trừ ta Chọn D. Cách 2. Gọi I là trung điểm M 1 M 2 Ta có OM 1

OM 2

3 2. ;2. 2

2OI

3 ; 2 . 2

3; 4 . Chọn D.

Câu 25. Từ giả thiết suy ra cạnh OC thuộc trục hoành nên y A

cạnh AB song song với trục hoành

x B ;0 . Do đó loại A và B.

Nếu C có hoành độ bằng 0

O : mâu thuẩn với giả thiết OABC là hình bình

C 0;0

hành. Loại C. Dùng phương pháp loại trừ, ta Chọn D. Cách 2. Gọi I là tâm của hình bình hành OABC . Suy ra I là trung điểm AC

I là trung điểm OB

Từ đó suy ra

426

xC 2

xB 2

xA 2 0 2

xC y A ;

xB 0 ;

0 2

yB 2

0. Chọn D.

0;5

0; 5

Câu 26. Ta có

CD suy ra AB, CD ngược hướng. Loại A.

5 3 2 2 3 2

Tọa độ trung điểm của AC là y

Ta có OC

3;3 ;

5; 2

5;3

1 1 2

. Loại C.

10;1

OC. Loại D.

Dùng phương pháp loại trừ ta Chọn B. Câu 27. Ta có AB

0; 2 , DC

AB DC

0; 2

ABCD là hình bình hành.

Khi đó tọa độ trung điểm của AC là 0; 1 và cũng là tọa độ trung điểm của BD. Chọn C. Câu 28. Gọi D x ; y . Ta có

2;1

Tứ giác ABCD là hình bình hành

Câu 29. Gọi C x ; y . Ta có

2;4

Tứ giác ABCD là hình bình hành

D 4;4 . Chọn C.

. x ;5

. 5; y

C 7;9 . Chọn C.

Câu 30. Gọi M là tọa độ trung điểm của cạnh AD Gọi N x N ; y N

là tọa độ trung điểm của cạnh BC .

Do I là tâm của hình chữ nhật Suy ra

M 1;2 .

2xI

2 yI

1 BC 2

Câu 31. Ta có MN

I là trung điểm của MN .

1 2; 8 2

3; 2 . Chọn C. 1; 4 . Chọn B.

Câu 32. Gọi A x ; y . Từ giả thiết, ta suy ra PA Ta có PA

1; y

MN .

6 và MN

2; 7 .

427

Khi đó *

3; 1 .

Chọn B. Câu 33. Gọi I x ; y . Ta có

1 x ;2

2 IB

Do đó từ giả thiết IA

428

x ;3

2 IB

2 x ;6

3 3x ;8 3 y . 2 IB

3 3x 8 3y

0 0

x y

1 8 . Chọn C. 3

Câu 34. Điểm M

M m ;0 . Ta có AB

Để A, B, M thẳng hàng Câu 35. Ta có 2 MA

1;7 và AM m

AB cùng phương với AM

3MB

2 MC

Chọn điểm I sao cho 2 IA

3 IB

2 MI

3 MI

2 IA

3IB

2 IC

3 7

2 MI

2;3 . m

17 . Chọn D. 7

IC , I

2 IC , I .

0. *

Gọi I x ; y , từ * ta có

21 x 2 0 y Khi đó P

3 0 x 3 2 y

2 MA

3 MB

2 3 x 2 5 y 2 MC

0 0

4; 16 .

MI .

MI nhỏ nhất. Mà M thuộc trục hoành nên MI nhỏ nhất khi M là hình Để P nhỏ nhất M 4;0 . Chọn B. chiếu vuông góc của I lên trục hoành

7 BAØI 1.

TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ VAØ ÖÙNG DUÏNG GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ TÖØ 00 ÑEÁN 1800

Câu 1. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được

2 2 cos 450 sin 450 2. Chọn B. 2 0 sin 45 2 Câu 2. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 1 tan 30 0 4 3 tan 30 0 cot 30 0 . Chọn A. 3 0 cot 30 3 cos 450

Câu 3. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 1 tan 150 O . Chọn C. 3 Câu 4. Vì 30 0 và 60 0 là hai góc phụ nhau nên

cos30 cos 60

sin 30 sin 60

sin 30 0

cos 60 0

sin 60 0

cos 30 0

cos30 cos 60

cos 60 cos30

0. Chọn D.

429

Câu 5. Vì 30 0 và 60 0 là hai góc phụ nhau nên

sin 30 0

cos 60 0

sin 60 0

cos 30 0

P sin 30 cos 60 sin 60 cos30 cos2 60 sin 2 60 1. Chọn A. Câu 6. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 3 2 cos 30 0 sin 120 0 3. Chọn D. 3 0 sin 120 2 Câu 7. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được cos 30 0

cos 0 0

sin 0

cos 0 0

1. Chọn A.

sin 0 0

Câu 8. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 1 cos120 0 2 . Chọn D. 3 0 sin 60 2 Câu 9. Từ giả thiết suy ra C 60 0. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được cos B

cos 30 0

3 . Chọn A. 2

1 2

sin BAH Câu 10. Ta có BAH

30 0

3 2

cos BAH 60 0

Ta có ABC

sin ABC

3 . Do đó C đúng. Chọn C. 2

và 180

Câu 11. Hai góc bù nhau

Chọn C. Câu 12. Hai góc bù nhau và nhau. Do đó D sai. Chọn D.

. Do đó A sai; B sai.

thì cho có giá trị của sin bằng nhau.

thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối

sin 150 ; Câu 13. Hai góc 30 0 và 1500 bù nhau nên sin 30 cos165 . Hai góc 15 và 165 bù nhau nên cos15

Do đó P

sin 30 cos15

Chọn B. Câu 14. Hai góc Do đó P

430

bù nhau nên sin

và

cos cos

Câu 15. Giả sử A

sin 150 cos165

sin sin C

sin

cos2

sin 150 .

cos165

; cos

cos .

sin 2

. Biểu thức trở thành P

sin cos

sin 150 cos165

cos2 cos sin

1 . Chọn C. .

Trong tam giác ABC , có A Do hai góc Do đó, P

và

Câu 16. Giả sử A

180 .

; cos

sin

cos sin

cos .

sin cos

và

bù nhau nên sin

cos cos

sin sin

Câu 17. Hai góc nhọn cot tan . Chọn A.

cos cos

180

sin

; cos

cos2

sin 2

Câu 18. Hai góc 15 và 75 phụ nhau nên sin 75 Do đó, S 2

sin 15

sin 2

Do đó, P

cos 15

cos ; cos

sin cos

sin 20

phụ nhau nên sin

và

cos cos

sin sin

cot ;

cos15 . sin 20 .

sin 2 15

cos 2 15

sin 2 20

cos ; cos

sin .

cos2

1 . Chọn B.

cos ; cos

sin .

sin 2

sin cos

sin ; tan

cos 110 2

phụ nhau nên sin

và

1 . Chọn C.

cos2

sin 75

cos 20

Câu 20. Hai góc

cos 20

Chọn C. Câu 19. Hai góc Do đó, P

cos .

Hai góc 20 và 110 hơn kém nhau 90 nên cos110 2

sin sin

180 .

phụ nhau thì sin

và

0 . Chọn A.

cos sin

. Biểu thức trở thành P

Trong tam giác ABC có A Do đó P

180

bù nhau nên sin

sin cos

Do hai góc

cos sin

cos 2 20

0 . Chọn A.

cos sin

Câu 21. Chọn C. Câu 22. Chọn A. Câu 23. Chọn A. Trong khoảng từ 0 đến 90 , khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Câu 24. Trong khoảng từ 90 đến 180 , khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn B. Câu 25. Trong khoảng từ 90 đến 180 , khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn C. Câu 26. Từ biểu thức cos2 Do đó ta có 5 cos 2

sin 2

Câu 27. Ta có biểu thức sin 2 Do đó ta có P

3 sin 2

1 ta suy ra cos 2

sin 2

5. Chọn D.

cos 2 5 cos 2

cos 2

1 3.

3 5

3 16 25

1 sin 2

16 . 25

107 . Chọn B. 25

431

6 sin 6 cos

Câu 28. Ta có P

Câu 29. Ta có biểu thức sin 2

cot 2 cot

Ta có P

7 cos 7 sin

sin cos

sin 2

cos sin cos 2 sin

6 tan 7 6 7 tan

sin 7 cos

cos2

3 tan tan

sin cos sin cos

5 . Chọn B. 3

5 . 9

1 cos2

2 3

cos 2 cos 2

3 sin sin 2

3. 2 3

5 9 5 9

19 . 13

Chọn B.

2 cos2

Câu 30. Ta có P

1 cot 2

5sin cos

2 cot 2

Câu 31. Ta có 3cos

9 cos2

5 cot

sin

sin 2

2 sin

3cos

10 sin

2 sin

sin

1 : không thỏa mãn vì 00 4 3 cos tan 5 5

sin

Câu 32. Ta có 2 cos

2 sin

2 sin 2

6 cos 2

8 cos

cos

1 : không thỏa mãn vì 00

cos

1 3

2 2 3

sin

Câu 33. Ta có sin

2 sin cos

Câu 34. Ta có cos

1 2 sin cos

432

cos a2 sin 1 9

cot

sin

sin cos 1 3

sin 2

cos

sin cos

cos sin

1 sin 2

101 . Chọn D. 26

sin 2 sin

1 4 . 5

900.

sin cos

4 . Chọn A. 3

2 2 cos

2 1 cos 2

cos 2

cos2 sin 2

9 cos2

2 sin

4 cos 2

8 cos

sin

9 1 sin 2

1 sin

3 cot 2 5 cot 2 cot 1

cot 2

sin 2

2 sin 2 8 cos

1 1. 3 900. cos sin

2 . Chọn C. 4

cos a2

1 2

sin 4 . 9

a2 . Chọn C. 1 9

4 cos 2

2 2 cos

tan 2

Ta có P

cot 2 2

sin 2 cos2 sin cos

sin 4

sin

1 5

1 2 sin cos

Vẽ NE

sin cos

2 tan cot

9 4

cos sin

7 . Chọn B. 4

1 5

cos

2 . 5

sin cos

cos4

sin 2

cos2

2 sin 2

cos2

17 . Chọn B. 5

1 2 sin cos

Câu 36.

cos

cot

1 sin cos

Câu 35. Ta có sin

Ta có P

tan

MN . Khi đó MN , NP

NE , NP P

PNE

180 0

Vẽ OF

180 0

MNP

120 0. Chọn A.

60 0

MO . Khi đó MO, ON

Vì MN

OF , ON

NOF

60 .

MN , OP

90 .

Ta có MN , MP Câu 37. Vẽ BE

NMP

60 .

AB . Khi đó AB, BC

Tương tự, ta cũng có cos BC, CA Vậy cos AB, BC Câu 38. Vẽ AE

BE , BC

CBE

cos BC, CA

180 0

120 0 C

cos CA, AB cos CA, AB

1 . 2 A 3 . Chọn C. 2

BA .

Khi đó AH , AE

(hình vẽ)

HAE 180 0

BAH

30 0

H 150 0.

Chọn D.

Câu 39. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D. Vì AC, CB Câu 40. Xác định được AC, CB Ta có cos ACB

180 CBA

1 . 2

cos120 0

cos AB, BC

E 0

AC CB

1 2

180 0

ACB.

ACB

60 0

180

ACB

180

E 0

140 .

433 B

180 0

AC, CB Vậy cos AC, CB

120 0

ACB

1 . Chọn B. 2

cos120 0

Câu 41.

Ta có

AB, BC

180 0

ABC

BC , CA

180 0

BCA

CA , AB

180 0

CAB

AB, BC

BC, CA

540 0

CA, AB

ABC

BCA

540 0

CAB

180 0

360 0.

Chọn B. AB, BC

180 0

ABC

BC , CA

180 0

BCA

Câu 42. Ta có

AB, BC 360 0

180 0

Câu 43. Ta có

360 0

BAC

HA , HB

BHA

HB, HC

BHC

HC , HA

CHA

HA, HB 2 BHC

360 0

BC, CA

HB, HC

2 180 0

100 0

ABC

180 0

BCA

60 0

240 0. Chọn D. H F I

HC, HA

BHA

BHC

1000

CHA

160 0

(do tứ giác HIAF nội tiếp. Chọn D. Câu 44. Vẽ AE

BA .

Khi đó cos AC, BA cos CAE

cos1350

2 . Chọn B. 2

Ta có AB, DC cùng hướng nên AB, DC

00 .

Ta có AD, CB ngược hướng nên AD, CB

180 0 .

CO, CE

OCE

DC , khi đó

CO, DC

cos AC, AE

Câu 45.

Vẽ CE

1350.

434 D

Vậy AB, DC

00 Chọn C.

AD, CB

180 0

CO, DC

1350

BAØI 2.

3150.

TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ

Câu 1. Ta có a.b

a . b .cos a, b .

Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên a, b Vậy a.b

cos a, b

a . b . Chọn A.

Câu 2. Ta có a.b

a . b .cos a, b .

Mà theo giả thiết a.b Câu 3. Ta có a.b

a . b , suy ra cos a, b

a . b . cos a, b

1 a.b

cos a, b

180 0. Chọn A.

a, b 3 3.2

a.b

1 2

120 0.

a, b

Chọn D. Câu 4. Ta có u a

b 1

u .v

2 a 3b a 5

2 2 a 5

2 13 ab 3b 5

1. a.b

Suy ra cos a, b

180 0. Chọn B.

a, b

a.b

Câu 5. Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số 2

Ta có a

a b

1 1 và nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D. 2 4 2 2 1 4ab a.b a b a b . 4

Chọn C. A đúng, vì a

a.b

1 a 2

B đúng, vì a b

a.b

1 2 a 2

a 2

b 2

b. a

a.a

a.b

b.a

b.b

2a.b

a b

a b. a b

a.a

a.b b.a

b.b

2a.b

Câu 6. Xác định được góc AB, AC là góc A nên AB, AC

60 0.

435

Do đó AB. AC

a2 . Chọn D. 2

a.a.cos 60 0

AB. AC.cos AB, AC

Câu 7. Xác định được góc AB, BC là góc ngoài của góc B nên AB, BC Do đó AB.BC

a2 . Chọn C. 2

a.a.cos120 0

AB.BC.cos AB, BC

120 0.

Câu 8. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: Xác định được góc AB, AC là góc A nên AB, AC Do đó AB. AC

a2 2

a.a.cos 60 0

AB. AC.cos AB, AC

60 0. A đúng.

Xác định được góc AC, CB là góc ngoài của góc C nên AC, CB Do đó AC.CB

a2 2

a.a.cos120 0

AC.CB.cos AC, CB

B đúng.

Xác định được góc GA, GB là góc AGB nên GA, GB Do đó GA.GB

GA.GB. cos GA, GB

a 3

120 0. a2 6

. cos120 0

Xác định được góc AB, AG là góc GAB nên AB, AG Do đó AB. AG

AB. AG. cos AB, AG

a 3

120 0.

30 0.

a2 2

. cos 30 0

C sai. Chọn C.

D đúng.

Câu 9. Xác định được góc AC, CB là góc ngoài của góc A nên AC, CB Do đó AC.CB

a2 . Chọn D. 2

a.a.cos120 0

AC.CB.cos AC, CB

120 0.

Câu 10. Xác định được góc AB, BC là góc ngoài của góc B nên AB, BC Do đó AB.BC

a.a 2.cos1350

AB.BC.cos AB, BC

Câu 11. Ta có BA.BC

BA.BC. cos BA, BC

BA.BC. cos B

1350.

a2 . Chọn A. c. b2

c2 . b

Chọn B. Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB Ta có BA.BC Câu 12. Ta có AB Khi đó CA.CB

BA. BA BC

BA. AC

AB 2

AB. AC

c2 . Chọn B.

ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C.

CA.CB.cos CA, CB

Cách khác. Ta có AB 2

436

3.5.cos 0 0 2

CB CA

CB 2

15. Chọn B. 2CBCA

CA 2

c2 .

1 CB 2 2

CBCA Câu 13. Ta có P

CA 2

AB . AC

1 2 3 2

AB 2

AC .BC

AC . BA

AC 2

Câu 14. Vì M là trung điểm của BC suy ra AB Khi đó AM .BC 1 AC 2

AB . AC

Câu 15. Ta có OA 2

1 AB 2

2 1 AC 2

OB . AB

15.

AC .

AB 2 AC

1 AB 2

AC .BC

c2 . Chọn A.

2 AM .

AC . BA

1 AC 2 2

AB 2

OB . OB OA

c2 2

. Chọn A.

OB OA 0 OB 2 OA 2 0 OB OA. Chọn B. Câu 16. Đáp án A đúng theo tính chất phân phối. Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng MP. MN MN . MP . Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán. Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B Câu 17. Ta có AB, AC

AB. AC . cos 450

450 nên AB. AC

BAC

a.a 2.

2 2

a2 .

Chọn A. Câu 18. Từ giả thiết suy ra AC Ta có P

AC. CD

AC.CD AC 2

CA.CD cos CA, CD Câu 19. Ta có Khi đó P

a 2.

a 2

AC .2 BD

AC.CA

2 AB.BD

Khi đó AE . AB

DE . AB

a 2

2 AC.BD

2.a.a 2.

AD. AB

AC 2

a 2.a.cos 450

2 2 Câu 20. Ta có C là trung điểm của DE nên DE 2. BA. BD cos BA, BD

CA.CD

3a2 . Chọn C.

2 BD

2 BA.BD

. 0

2 a 2 . Chọn D.

2a.

DE . AB

DE . AB.cos DE , AB

DE . AB.cos 0 0

2a2 . Chọn A.

Câu 21. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ MB, MN theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. A B M

437

1 AC 4

1 AB 4

3 1 AB AD. 4 4 1 AB AD 4

1 1 AC AD DC 4 2 1 1 3 1 AD AB AB AD AD AB. Suy ra: 2 4 4 4 2 3 1 3 1 1 MB. MN AB AD AD AB 3 AB. AD 3 AB 4 4 4 4 16

1 0 16

3a2

3 AD

AD . AB

0 . Chọn B.

Câu 22. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, BD theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. Ta có AB.BD

AB. BA

Chọn D. Câu 23. Gọi O

AB.BA

AB.BC

AB. AB

OB . AC

Chọn D. Câu 24. Ta có S ABCD

2.S

ABC

AO. AC

1 . AB.BC. sin ABC 2 2.S ABC 2.27 sin ABC AB. AD 8.12

64 .

BD , giả thiết không cho góc,

ta phân tích các vectơ AB, AC theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. Ta có

AB. AC

AB 2

ABC

1 AC 2D 32 . 2

27 cm 2 . Diện tích tam giác ABC là:

1 . AB. AD. sin ABC. 2 9 16

5 7 (vì ABC nhọn). 16

1 sin 2 ABC

cos ABC

1 AC. AC 2

OB. AC

ABC

Mặt khác góc giữa hai vectơ AB, BC là góc ngoài của góc ABC

cos 180 0

Suy ra cos AB, BC Câu 25. Ta có AC Ta có

BK . AC

438

ABC

AB 2

AD 2

1 AD 2

cos ABC

2a2

a 3.

5 7 . Chọn D. 16 A

B 1 AD AB 2

BA. AB

1 AD. AB 2

BA. AD

Câu 26. Gọi I là trung điểm BC Ta có MA MB

1 AD. AD 2 MB

Biểu thức * chứng tỏ MA

2 MI .

MA. MI

MA.2 MI

1 a 2 2

0. Chọn A.

MI . *

MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập hợp

các điểm M là đường tròn đường kính AI . Chọn D. Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có MB MA

Biểu thức * chứng tỏ MB

MB.3MG

3 MG.

MB. MG

MG. *

MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp

các điểm M là đường tròn đường kính BG. Chọn D. MA BC. Câu 28. Ta có MA.BC 0 Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC . Chọn B.

Câu 29*. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B . Khi đó AC Suy ra AB. AC

2 AB

2a 2 .

Kết hợp với giả thiết, ta có AN . AB

AB AN

2 AB.

AB. AC

AB.CN

AB .

Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với AB. Chọn B. Câu 30*. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB Ta có MA. MB

MI 2

IA MI

IA 2

IB.

IA MI

AB 2 . 4

MI 2 AB 2 4

Theo giả thiết, ta có MI 2

AB 2 4

MI 2

82 4

Chọn A. Câu 31. Ta có AB Suy ra AB. AC

Câu 32. Ta có AO

4.3

Câu 34. Gọi c Ta có

c.a c.b

40. Chọn A.

11.3

2;10 . Suy ra AO.OB

3;1 , OB

Câu 33. Từ giả thiết suy ra a Suy ra a.b

7;3 .

1;11 , AC

4;6 và b

3.2

1.10

4. Chọn C.

3; 7 .

30. Chọn A.

x; y . 9

3x 20

2y 7y

1 3

1;3 . Chọn B.

439

Câu 35. Ta có b

6;6 . Suy ra P

a. b

a.b

Câu 36. Ta có cos a, b

1.2

a.b

2.4

a.b

Câu 37. Ta có cos a, b

a.b

Câu 38. Ta có cos a, b

2.6

1.0 2

1 . 2

5 . Chọn A. 5

9. 1

x.y

a.b

2.3 4

a.b

2 2

4. 9 5

a, b

450. Chọn C.

2 2

x, y

1350. Chọn D.

2 2

a, b

1350. Chọn D.

25. 9

18. Chọn B. 2 . Chọn B. 2

1. 16

x. y

Câu 40. Ta có cos a, b

1.6

4.1 3.7

a.b

Câu 39. Ta có cos x , y

Câu 41. Kiểm tra tích vô hướng a.v , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận vectơ đó không vuông góc với a. Chọn C. Câu 42. Ta có AB

2; 1 và AC AB. AC

2.4

AB . AC

Suy ra cos AB, AC Câu 43. Ta có BA cos BA, BC

4; 3 .

3; 1 và BC

Chọn D. Câu 44. Ta có AB

8;4 , AD

cos CB, CD

1. 16

4. 2

BAD

BCD

440

1 ; 5 ,v 2

BA, BC

5;5 .

4 . 5

2;4 , CD

1 k 5 2 1 ; 5 ,v Câu 46. Từ giả thiết suy ra u 2 v

2 2

cos CB, CD

Câu 45. Từ giả thiết suy ra u

5 . Chọn D. 5

8 4 . 5 5 2 . 5 4. 5

Suy ra

Yêu cầu bài toán: u

1. 16

5; 5 , CB

8.5

cos AB, AD

4 9

BA . BC

4; 2 . Suy ra:

BA.BC

180 0. Chọn D.

k; 4 .

40 . Chọn C.

135O.

1 4

Suy ra u u

Để c

1 101 2

2;4

Câu 47. Ta có

1 101 và v 2

c a

Câu 48. Gọi d

m.v

m.u

4m 4m

5 m

m 2

37 . Chọn C. 2

4 3k

5 7

6 7

a.i

1; m

5 m

0. Chọn C.

. Chọn B.

1;0 .

4. Chọn B.

1;1

4 m

17m 2

2 2

cos 450

cos a, b

1 1

v j

Yêu cầu bài toán

37 4

m;1 4m . Trục hoành có vectơ đơn vị là i

Vectơ a vuông góc với trục hoành Câu 50. Ta có

x ; y . Từ giả thiết, ta có hệ

Câu 49. Ta có a

101 4

4 m ;3k

16 . Do đó để

2 2

16m

2 17m m

25m

16m

2 2

0 50m

17 m

16 m

1 . 4

Chọn C.

4;6 suy ra MN

Câu 51. Ta có MN

AB Câu 52. Ta có BC

2; 2

2;2

4;0

Câu 53. Ta có a

4 j 5

Câu 54. Ta có u.v

Câu 55. Ta có AB

4.6

AB 3 4 ; 5 5

Vậy chu vi P của tam giác ABC là P 3 i 5

2 13. Chọn D.

2 2

2 2 02

3 5

4 2. Chọn B. 2

4 5

1. Chọn B.

0 suy ra u vuông góc với v . Chọn C.

3; 6 và CD

1 suy ra AB.CD 2

6 .

1 2

441

Vậy AB vuông góc với CD . Chọn C.

1;7

7;1

1; 7

Câu 56. Ta có

DA Lại có AB.BC

5 2

7; 1

5 2

0 nên AB

7.1

5 2

BC .

Từ đó suy ra ABCD là hình vuông. Chọn C. Câu 57. Ta có

1;1

3;3 3 AB. 1

Suy ra DC AB và DC

Mặt khác

3 AB .

BC. 2

Từ 1 và 2 , suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân. Chọn C. Câu 58. Ta có AB Suy ra

AB AB

AC 2

0; 4 và AC

2;2 , BC 2 2

Câu 59. Ta có AB Suy ra AB.BC

BC 2

2; 2 .

. Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn D.

7; 3 , BC

3; 7 và AC

7 .3

4; 10 .

0 và AB

BC.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B. Chọn C. Câu 60. Ta có AB Do đó

3;3 và AC

3;0 , BC

3 2

AB 2

AC 2

0;3 .

BC 2 .

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn B. Ox nên C c;0 và

Câu 61. Ta có C

CA CB

Tam giác ABC vuông tại C nên CA.CB

Câu 62. Ta có C

442

C 6; 0

C 0;0

Oy nên C 0; c và

c;4

8 c;4

2 c. 8 c

. Chọn B. AB

4; 1

1; c 2

4.4

5 2.

Tam giác ABC vuông tại A nên AB. AC

4 .

1 c 2

Vậy C 0;6 . Chọn A. Câu 63.

Ta có M

Do MA

x ;0

Ox nên M x ;0 và MB

x ;0

Câu 64. Ta có P

x ;0

0 nên 6 3 x

Ox nên P x ;0 và

Do M , N , P thẳng hàng nên

Theo giả thiết: MN 2

Câu 66. Ta có C

Do CA

3; 1

2 1

2 5 20

CA 2

CB 2

P 4;0 . Chọn D.

1 m;4 .

1 m m

3 1; 3

4; 2

2 5

M 1;0

Ox nên C x ;0 và

2 5

6 3 x ;0 .

2;0 . Chọn A.

2; 2

Ox nên M m ;0 và MN

Câu 65. Ta có M

1 m

3;0

. Chọn B.

5 3

5 ;0 . 3

15.

Chọn B. Ox nên M m ;0 và

Câu 67. Ta có M

90 0 suy ra AM .BM

Vì AMB

Câu 68. Ta có M Khi đó MA 2

2 m

1 2

m m

2; 2

5;2

0 nên m

M 1;0

1 6

M 6;0

Oy nên M 0; m và 2

MB 2

29 2

29 ; m 2

2 m

2 .2

. Chọn B.

1; 1 m

3;2

1 m

2m 2

443

Suy ra MA 2 Dấu ''

MB 2

29 . 2

min

Câu 69. Gọi D x ; y . Ta có AD

1 2

'' xảy ra khi và chỉ khi m

1 . Chọn C. 2

4; 3 . Vì ABCD là hình bình hành nên

2; y và BC

x x

M 0;

D 2; 3 . Chọn A.

1 2 5 3 3 4 3 3

xG Câu 70. Tọa độ trọng tâm G x G ; yG là

yG AI

4; y 1

Câu 71. Gọi I x ; y . Ta có BI

2; y

4 .

2; y

4 3 . Chọn D. 10 3

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA x

y 1

2 2

IA 2 IB 2

IC 2

IB 2 IC 2 1 4.

Chọn B. Câu 72. Ta có

3; b & BC

a 3; b & AC 0

BH . AC

a 3 .5

Câu 73. Gọi A ' x ; y . Ta có BC

AA '

444

5 x

2 5

b.6

4; y

2; y

15 y

7 15

5 6

AA '.BC

B, A ', C thang hang

5; 15

BA '

Từ giả thiết, ta có

. Từ giả thiết, ta có:

5;6

AH . BC

AA '

1;6

BA '

13.

k BC

1 2

7. Chọn C.

Giải hệ

A ' 1;4 . Chọn C.

AA '

Câu 74. Gọi A ' x ; y . Ta có BC

2; y

6; 2

BA '

3; y 1

Vì A ' là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên AA ' BC

B, C, A ' thaúng haøng AA '.BC BA '

k BC

2 .6

4 .

y 1 2

Câu 75. Dễ dàng kiểm tra BA. BC

3 5

4 0

1 5

. Chọn D.

90 0.

ABC

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra I là trung điểm của AC

3 2

Gọi D x ; y , do I cũng là trung điểm của BD

I 4; 1 .

D 5; 8 .

Chọn A. Câu 76. Gọi C x ; y . Ta có

1;3

4 3y 20 y

Câu 77. Gọi C

x ; y . Ta có

hay

1. y

0 5

2;1

y 5 x

2 3 3

x 2

3. y 1

x 1

0 y 1

. Chọn C.

. 3; y

AB AB

Vì ABCD là hình vuông nên ta có

2 x

1. x 1

BA.BC 0 BA BC

Tam giác ABC vuông cân tại B

10 y 2

. 1; y 1

BC BC

y 5

2 3 3

4 2

hoặc

Với C1 4; 2 ta tính được đỉnh D1 2; 3 : thỏa mãn. Với C2 2;2 ta tính được đỉnh D2 0;1 : không thỏa mãn. Chọn B.

445

2;1

Câu 78. Ta có BC

1; 4

ABCD là hình hình hành.

AB.BC

2;1

Chọn D.

EA EB

Câu 79. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có 2 EB. 2

Vì E nằm giữa hai điểm A , B nên EA Gọi E x ; y . Ta có

1 x ;3

x ;2

2 4 x x 2 2 Từ * , suy ra 2 y 4 3 y 2 y 2 Câu 80. Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Gọi

Ta có

0; y

0;5

2; y

Từ 1 và 2 , ta có

 Trường hợp 2:

2 k ;2 k

3 2

2k x

. Chọn D.

2 có một cặp cạnh đối song song không bằng D x; y .

k AB (với k

2 . 2

1 x

 Trường hợp 1:

OA OB

. 1 y2

1 loaïi

7 2

. Làm tương tự ta được D

D 7;0 .

2;9 .

Vậy D 7;0 hoặc D 2;9 . Chọn B.

BAØI 3.

CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VAØ GIAÛI TAM GIAÙC

Câu 1. Theo định lí hàm cosin, ta có cos A Do đó, A

446

60 . Chọn C.

AB 2

AC 2 BC 2 2 AB. AC

82 7 2 2.5.8

1 . 2

25. 2

Câu 2. Theo định lí hàm cosin, ta có BC 2 AB 2 AC 2 2 AB. AC. cos A 2 2 12 Câu 3. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC .

MN là đường trung bình của

1 AC . Mà MN 2 Theo định lí hàm cosin, ta có

AB 2

AC 2

BC 2

3 . Chọn D.

ABC .

3 , suy ra AC

2.2.1. cos 60

6. B

2. AC.BC. cos ACB

BC 2

2.6. BC. cos 60

BC 3 3 6 Chọn A. Câu 4. Theo định lí hàm cosin, ta có

AB 2

AC 2

BC 2

2 2

2. AC.BC.cos C

BC 2

2. 3. BC.cos 45

. Chọn B.

Câu 5. Theo định lí hàm sin, ta có

sin C

sin B

5 sin 45

AC sin 60

5 6 . 2

Chọn A. Câu 6. B

Do ABCD là hình thoi, có BAD Theo định lí hàm cosin, ta có

AC 2

AB 2

12 12 Chọn A. Câu 7.

BC 2

120 . A

2. AB.BC.cos ABC

2.1.1.cos120

3 D

Theo định lí hàm cosin, ta có : cos B Do MC

ABC

2 MB

1 BC 3

AB 2

BC 2 AC 2 2. AB.BC

2 7

2.4.6

1 . 2

Theo định lí hàm cosin, ta có

AM 2 42

AB 2 22

BM 2

2.4.2.

1 2

2. AB.BM . cos B 12

2 3

Chọn C. Câu 8. Theo định lí hàm cosin, ta có: A

447

AB 2

cos BAC BAC

AC 2 BC 2 2. AB. AC

120

BAD

cos ABC

BC AC 2 2. AB. BC

ABD có BAD

Trong

1 2 2 2

60 , ABD

ABC

75 .

ADB

Chọn C. Câu 9. Do tam giác ABC vuông tại A , có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông AB : AC là 3 : 4 nên AB là cạnh nhỏ nhất trong tam giác.

AB 3 4 AC AB . AC 4 3 Trong ABC có AH là đường cao 1 1 1 1 1 4 AH 2 AB 2 AC 2 AB 2 AB 2 3 Ta có

1 32 2

1 AB 2

9 16 AB 2

MPF

EPQ

40 . Chọn B.

Câu 10. Ta có MPE

EPF

MPQ 3

FPQ

60 .

Theo định lí hàm cosin, ta có

ME 2

AM 2 q2

MF 2 MQ

AM 2 q

AE 2

y 2

2qx. cos 30

AF 2 2

2. AM . AE . cos MAE

qx 3

2 AM . AF . cos MAF q2

2qy. cos 60 2

OAB

Khi đó OB

448

OAB

1 . sin OAB sin 30

2 sin OAB y B

90 .

Khi đó OB 2 . Chọn D. Câu 12. Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB OB . sin OAB sin OAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi sin OAB

m . Chọn C.

Câu 11. Theo định lí hàm sin, ta có: OB AB AB OB . sin OAB sin OAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi sin OAB

x O

1 . sin OAB sin 30

2 sin OAB

90 . x O

Tam giác OAB vuông tại A Chọn B

OB 2

AB 2 AB 2

Câu 13. Theo định lí hàm cosin, ta có cos BAC Mà b b2

c a2

c b2

b b2

a2 b

1 2

BAC

AC 2 BC 2 2. AB. AC

a2 c c3 a2

a2 b bc

b2 a 2 . 2bc

0 (do b

0, c

bc b2

Khi đó, cos BAC

c2 a2 2bc

60 . Chọn C.

Câu 14.

AB 2

Ta có BC

AC 2

c2 . A

Do AD là phân giác trong của BAC

c b2 c 2 . b c

AB c c . DC . DC . BC AC b b c Theo định lí hàm cosin, ta có BD

c 2 b2

2. AB. AD. cos ABD

b AD

c 2. AD

c 2 b2

b AD

2bc hay b c

c2 c

AD 2

c 2. AD

2c. AD. cos 45

2bc3 b

2bc . Chọn A. b c

Câu 15. Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có

30 và A

40, AC

60 0.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có

302

2bc cos A

402

2.30.40.cos 600

900 1600 1200

1300.

Vậy BC 1300 36 (hải lí). Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Chọn B. Câu 16. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có Vì sin C

sin

nên AC

AB. sin sin

Câu 17. Trong tam giác AHB , ta có tan ABH Suy ra ABC

90 0

ABH

AC sin B

40. sin 70 0 sin 1150

AH BH

4 20

AB sin C 41, 47 m. Chọn C.

1 5

ABH

11019 ' .

78 0 41' .

449

180 0

Suy ra ACB

BAC

56 019 ' .

ABC

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC , ta được

sin ACB

sin BAC

AB. sin BAC

17m. Chọn B.

sin ACB

AD sin

Câu 18. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có

Ta có

630

nên D

24. sin 480 sin 150

AB. sin sin

Do đó AD

Trong tam giác vuông ACD, có h Câu 19. Từ hình vẽ, suy ra BAC

ABD

1800

BAD

480

AB . sin D

150.

68, 91 m.

61, 4 m. Chọn D.

AD.sin

10 0 và

ADB

1800

500

900

400 .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có

sin BAC

sin ABC

BC. sin ABC

sin BAC

5. sin 40 0 sin 10 0

CD AC 18, 9 m. Chọn B.

Trong tam giác vuông ADC , ta có sin CAD Vậy CH

11, 9

AB OB

Câu 20. Tam giác OAB vuông tại B, có tan AOB Vậy chiếu cao của ngọn tháp là h

Khi đó A

180 0

Theo định lí sin, ta có

b sin B

1800

AC. sin CAD

tan 60 0.OB

600 , ABC

1800

c b hay sin C sin 1050 30

11, 9 m.

60 3 m .

1 m. Chọn C.

60 3

Câu 21. Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có CAB

18, 5 m .

1050 30 và c

1650 30

70.

14 0 30 .

70 sin 14 0 30

70. sin 1050 30 269, 4 m. sin 14 0 30 Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với AC 269, 4 134,7 m. góc 30 0 nên CH 2 2 Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m. Chọn A. Câu 22.

Do đó AC

Áp dụng công thức đường trung tuyến ma2

450

c2 2

a2 ta được: 4

ma2

AC 2

AB 2

BC 2 4

2 5. Chọn D.

10 2 4

Câu 23. M là trung điểm của AC

AC 2

a . 2

BAM vuông tại A

Tam giác

AB 2

AM 2

a2 4

a 5 . Chọn D. 2

Câu 24.

Áp dụng hệ thức đường trung tuyến ma2

AC 2

ma2

AB 2

2 15 . Chọn A. 2

BC 2 4

122

c2 2

152 4

a2 ta được: 4

225 . 4

Câu 25. C là trung điểm của BD. Ta có: D là điểm đối xứng của B qua C AC là trung tuyến của tam giác DAB. BD 2 BC 2 AC 15. Theo hệ thức trung tuyến ta có:

AB 2

AD 2

BD 2 4

2 2.

15 2

152 2

144

2 AC

BD 2 2

12. Chọn C.

Câu 26. Ta có: M là trung điểm của BC

Trong tam giác ABM ta có: cos AMB AM 2

2 AM .BM . cos AMB

AM 2

20 13 AM 13

BC 2

AM 2 BM 2 AB 2 2 AM .BM

BM 2

AB 2

7 13 13

3 ( thoaû maõn) 3 (loaïi)

13.

Ta có: AMB và AMC là hai góc kề bù. cos AMC

Trong tam giác

cos AMB AMC ta có:

5 13 26

451

AC 2

AM 2

CM 2

2 AM .CM . cos AMC

5 13 26

13 16 2. 13.4.

7. Chọn D.

Câu 27*. Ta có: BGC và BGN là hai góc kề bù mà BGC G là trọng tâm của tam giác ABC

120 0

120 0.

BGN

2 BM 4. 3 1 GN CN 3. 3 Trong tam giác BGN ta có:

BN 2

GN 2

BG 2

BN 2

9 16 2.3.4.

N là trung điểm của AB

m a2 Câu 28**. Ta có: m

2 2

c a2 2bc

Diện tích tam giác

13.

2 13. Chọn D.

2BN

a 4 b2 4 c2 4

1 cos2 A

sin A

m c2 Ta có: cos A

AB 2

2 b

2GN .BG. cos BGN

1 2

81 144

292

208

4 13

100

b c

225

208 100

292

2.4 13.10

ABC : S

5 13

18 13 . Chọn C. 65

5 13 ABC

2 73

1 bc sin A 2

1 18 13 .4 13.10. 2 65

Câu 29*. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác: ma2 Mà: b2

m a2

2a 2

a 4

3a 4

452

c2 2

a2 4

1 BD 2

m . 2

ABC

AC m 2 a2 b2 2 4 4 2 Câu 31**. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. BO 2

a 3 . Chọn A. 2

Câu 30*. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có: BO BO là trung tuyến của tam giác

n2 4

2 a2

b2 . Chọn B.

AC 2

Ta có: AM 2

BN 2

AB 2

BC 2 4

AC 4

Trong tam giác

c2 2

b 4

GN AN 2. AG.GN

2 b

a2 9

9 2 b2

a 2 c2 a 2 . 9 18 b2

9 a

b 36

a2 9

2 b

c2 18

b2 4 b2 36

b2 36

b2 4

a2 c2 a 2 . 9 18

b2 36

10 c2

2 b2

36.2.

2 a2

a2 c2 a 2 . 9 18

c2 4

0 b2 36

mb2

10b

10c c

2 b2 2

Câu 33**. Ta có: mb2

m c2

GC 2

b2 4

2 2a

ABC vuông. Chọn C. 2

a2 4 b2 4 c2 4

c2 2

a2 4

2 a2

c2 2

tam giác

m a2

GB 2

m c2

a2 4 b2 4 c2 4

m c2 Mà: 5m a2

Câu 32**. Ta có: mb2

GA 2

a2 9

90 0. Chọn D.

m a2

b2 36

AGN

c2 9

2. 2

AGN ta có:

1 BN 2 9

GN 2

2 b2

4 AM 2 9

AG 2

2 b2 cos AGN

a2 4

b2 2

4 2 ma 9

mb2

ma2

mc2 BC

Câu 34. Áp dụng định lí sin, ta có

mb2

4 3 2 . a 9 4 2R

3 2 a 4

mc2

c2 BC

sin BAC

2. sin A

1 2 a b2 3 10 2. sin 30 0

c2 . Chọn D. 10.

Chọn B. Câu 35. Áp dụng định lí Cosin, ta có BC 2 2

2.3.6.cos 60

AB 2 2

AC 2

2 AB. AC. cos BAC

AB 2

AC 2 .

453

AC 2

Suy ra tam giác ABC vuông tại B, do đó bán kính R Câu 36. Đặt p S

p p

ABC

BC 2

AB p

24. Áp dụng công thức Hê – rông, ta có

BC p CA

Vậy bán kính cần tìm là S

3. Chọn A.

24. 24

AB.BC.CA 4R

ABC

84 cm 2 .

21 . 24 17 . 24 10

AB.BC.CA 4.S ABC

21.17.10 4.84

85 cm. 8

Chọn C. Câu 37. Xét tam giác ABC đều cạnh a, gọi M là trung điểm của BC . BC suy ra S

Ta có AM

Vậy bán kính cần tính là S

ABC

1 . AM .BC 2

1 . AB 2 2

ABC

AB.BC.CA 4R

AB AC

3 4 3 8 3 . 4 5

Suy ra AB

3 AC thế vào 4

AB 6 3 5

BC 2

Vậy bán kính cần tìm là R

sin ACB Câu 41. Ta có S

454

ABC

3 AB 3

3 .3 3 3

8 3 . 5

BC BC

a2 cos2 b2 2ab sin 2 cos

1 . AB. AC. sin A 2

3 3.

3. Chọn B.

b a. sin

2ab sin .

1 .3.6. sin 60 0 2

a.sin .

a2 .cos2 .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính là

tam giác ABD đều.

và BB

b a.sin

a2 sin 2

2ab. sin

12 5

BC 2 4

3 3

Tam giác ABB vuông tại B , có AB

AH 2

3 AC 2 4

AC 2

Câu 40**. Xét tam giác BB C vuông tại B , có sin CBB

a 3 . 3

2 3.

AB 2

AD 2

Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R

Mà AB

3 cm.

Câu 39. Vì D là trung điểm của BC Tam giác ABD có AB

AC 2

AB. AC

, ta được

AB 2

AB.BC.CA 4.S ABC

Chọn C. Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Mặt khác

a2 3 . 4

BM 2 .BC

9 3 . Chọn B. 2

a2 . cos2

Câu 42. Ta có ABC

180 0

BAC

ACB

Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB

Diện tích tam giác ABC là S Câu 43. Ta có p Do đó S

p p

1 AB. AC sin BAC 2

ABC

21 17 10 2

ACB .

4. Chọn C.

24 .

a p b p

24 24

84 . Chọn D.

21 24 17 24 10

Câu 44. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có

BC 2 Ta có S

AB 2

AC 2

2 AB. AC cos A

1 . AB. AC. sin A 2

ABC

3 3.

1 .3.6. sin 60 0 2

9 3 . 2

1 2S .BC.ha ha 3. Chọn C. 2 BC Câu 45. Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A . Lại có S

ABC

AH AC

Tam giác vuông AHC , có sin ACH

AC. sin ACH

3 2

2 3.

Chọn A. Câu 46. Ta có p

21 17 10 2

24 .

Suy ra S

p p

a p b p

Lại có S

1 b.BB ' 2

Câu 47. Ta có S

ABC

24 24

1 .17.BB ' 2

BB '

1 . AB. AC.sin BAC 2

Câu 48. Diện tích tam giác ABD là S

ABD

21 24 17 24 10

168 . Chọn C. 17

1 .8.18.sin A 2

1 . AB. AD.sin BAD 2

Vậy diện tích hình bình hành ABCD là S ABCD

2.S

84 .

ABD

8 . Chọn D. 9

sin A

1 .a.a 2.sin 450 2 a2 2

a2 . 2

a2 . Chọn C.

1 AC 15 cm. 2 Đường thẳng BF cắt CE tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Câu 49*. Vì F là trung điểm của AC

Khi đó

d B; AC d G ; AC

BF GF

d G ; AC

1 d B; AC 3

AB 3

10 cm.

Vậy diện tích tam giác GFC là: 1 1 S GFC .d G; AC . FC .10.15 75 cm 2 . Chọn C. 2 2 Câu 50*. Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh bằng a.

455

Theo định lí sin, ta có

a sin 60 0

sin BAC

Vậy diện tích cần tính là S

ABC

2.4

1 . AB. AC. sin BAC 2

8. sin 60 0

2 1 . 4 3 . sin 60 0 2

4 3.

12 3 cm 2 .

Chọn C. AB

Câu 51*. Ta có p

3 AB

Suy ra S

BC 2

2 3 3 AB

1 BC. AH 2

AB 2 3

2 3 3 AB

2 3 2 3

AB 2 3

9 AB 2

2 3 2 3

. .

2 3.

3 AB

Từ đó ta có 2 3

3 AB 2

Lại có S

2 3

12 12

2 AB 2

AB 2

2 21 . Chọn C. 3

1 1 . AC.BC. sin ACB .ab. sin ACB. 2 2 Khi tăng cạnh BC lên 2 lần và cạnh AC lên 3 lần thì diện tích tam giác ABC lúc này là 1 1 S ABC . 3 AC . 2 BC . sin ACB 6. . AC.BC. sin ACB 6S . Chọn D. 2 2 1 1 Câu 53*. Diện tích tam giác ABC là S ABC . AC.BC. sin ACB .ab. sin ACB. 2 2 ab . Vì a, b không đổi và sin ACB 1, C nên suy ra S ABC 2 Câu 52*. Diện tích tam giác ABC ban đầu là S

Dấu "

" xảy ra khi và chỉ khi sin ACB

ACB

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là S

5a2

Trong tam giác ABC , ta có a 2

Câu 54*. Vì BM

2bc. cos A

1 1 2a2 bc sin A . . sin A a 2 tan A 2 2 cos A Câu 55. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có

AB 2

Diện tích S

456

AC 2

2 AB. AC cos A

1 AB. AC. sin A 2

ab . Chọn B. 2

c2 . (Áp dụng hệ quả đã có trước)

Khi đó S

BC 2

90 0.

1 3 .5.8. 2 2

10 3 .

5a 2

2bc cos A

3 3 . Chọn A.

2a2 . cos A

Lại có S

p.r

Lại có S

S p

21 17 2

Câu 56. Ta có p Suy ra S

24 24 p.r

2S BC

24 .

21 24 17 24 10 r

S p

84 24

S p

a2 3 4 3a 2

Câu 58. Dùng Pitago tính được AC Diện tích tam giác vuông S

84 .

7 . Chọn C. 2

Câu 57. Diện tích tam giác đều cạnh a bằng: S

Lại có S

3 . Chọn C.

a2 3 . 4

a 3 . Chọn C. 6

8 , suy ra p

1 AB. AC 2

24 .Lại có S

BC 2 p.r

12 . r

S p

2 cm.

Chọn C. Câu 59. Từ giả thiết, ta có AC Suy ra p

BC 2

a và BC

2 2

a 2.

457

Diện tích tam giác vuông S Lại có S

Câu 60. Giả sử AC Ta có p

S p

p.r

BC 2

Diện tích tam giác vuông S Lại có S

p.r

S p

1 a2 . AB. AC 2 2 a . Chọn C. 2 2

BC 2

a 2 . Suy ra R

BC 2

a 2 . 2

1 a2 . AB. AC 2 2 a R . Vậy r 2 2

2 . Chọn A.

PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG

8 BAØI 1.

PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

Câu 1. Trục Ox: y

0 có VTCP i 1;0 nên một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP

là i 1;0 . Chọn A. Câu 2. Trục Oy: x

0 có VTCP j 0;1 nên một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP

là j 0;1 . Chọn B. Câu 3. Đường thẳng đi qua hai điểm A

3;2 và B 1; 4 có VTCP là AB

4;2 hoặc u 2;1 .

Chọn B. Câu 4. OM Câu 5. AB

a; b a; b

đường thẳng OM có VTCP: u

a; b . Chọn B.

đường thẳng AB có VTCP:

Câu 6. Đường phân giác góc phần tư (I): x

a; b hoặc u

VTPT: n 1; 1

a; b . Chọn A.

VTCP: u 1;1 . Chọn A. Câu 7. Đường thẳng song song với Ox: y

0 m

VTPT: n 0;1 . Chọn A.

Câu 8. Đường thẳng song song với Oy: x

0 m

VTPT: n 1;0 . Chọn D.

Câu 9. AB

458

2; 2

đường thẳng AB có VTCP u 1; 1

VTPT n 1;1 . Chọn C.

Câu 10. OA

đường thẳng AB có VTCP u

a; b

a; b VTPT n b; a . Chọn C.

Câu 11. AB

đường thẳng AB có VTCP u

a; b

VTPT n

b; a .

Chọn C. Câu 12. Góc phần tư (II): x

1;1 . Chọn A.

VTPT n

Câu 13. Đường thẳng d có VTCP: u 2; 1

VTPT n 1; 2 hoặc 3n

Câu 14. Đường thẳng d có VTPT: n 4; 2

VTCP u 2; 4 hoặc

Câu 15.

Câu 16.

Câu 17.

Câu 18.

3; 4

d nd

2; 5

3; 4

2; 5

ud n

|| d

2; 5 hay chọn

|| d

1 u 2

1; 2 . Chọn C.

3; 4 . Chọn D.

ud u

3;6 . Chọn D.

3; 4

2;5 . Chọn C.

4;3 . Chọn A.

2; 5

5; 2 . Chọn A.

Câu 19. Chọn D. Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

M 1; 2 ud

PTTS d :

3;5

O 0;0 ud

d u

1; 2

M 0; 2 ud

Câu 23. d :

Câu 24.

u x

3; 0 2

1 6t

1 t 2 3 3t

A 2; 1

Câu 25.

AB 1;3

1 3t

PTTS d :

VTCP u

0;6

x y

4; 2

2;1

. Chọn C.

. Chọn D.

6 0;1 hay chọn u

0;6 1 ;3 2

2 1 6t AB :

u AB

. Chọn B.

Câu 26.

VTCP u

AB : u AB

1 2

0;1 . Chọn D.

1;6 hay chọn u

1;6 . Chọn A.

. Chọn A.

t x y

1 2t 3 t

. Chọn D.

459

A 1;1

Câu 27.

AB : u AB

1;1

1 t

1 t t

A 3; 7

O 0; 0

Câu 28. Ta có:

AB : u AB

M 0; 7

2;0

2 1;0

AB :

3 t

. Chọn D.

. Chọn A.

Câu 29. Kiểm tra đường thẳng nào không chứa O 0;0

loại A. Chọn A.

Nếu cần thì có thể kiểm tra đường thẳng nào không chứa điểm M 1; 3 . Câu 30. Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có

B 0;3

d d:

5; 1

1. 5;1

3 t

Chọn A.

Câu 31. Gọi d là đường thẳng qua A và song song với PQ.

A 3; 2

Ta có:

d: ud

Câu 32.

1;0

2;1

AB || CD

4; 2 d

2 2;1 x

AB, uCD u AB

1 2t

. Chọn C.

4;3 uCD

Câu 33. Góc phần tư (I) : x

AB :

4; 3 0

VTCP : u 1;1

x y

2 4t t 1 3t

. Chọn B.

3 t

A 0; 7

Chọn B. Câu 34. uOx

1;0

M 2;3

Chọn D. Câu 35.

Câu 36.

A 1; 4 B 3; 2 A 2; 4 C 2;1

Ta có: N 20; yN Câu 37. Chọn D.

460

M 2;

5 2

5;0

20 yN

5 1; 0

6t 5t

5 2

CM : 1 6; 5 2

t yN

5 2 25 2

x y

7 t t 3 MB :

. Chọn C. x y

Chọn B.

6t . 5t

Câu 38. d : x

Câu 39. d : 3x Câu 40. d :

2017 y

2017

2; 1

3 t

Câu 41. d : 2 x 3 y

2018

3;1 hay chọn

1 2t

1; 2 . Chọn B.

1; 2 . Chọn D.

6; 2 . Chọn D.

2nd

2; 3

3; 2 hay chọn

3; 2 .

Chọn A.

Câu 42. Gọi d là trung trực đoạn AB, ta có:

0;1

AB n1 1; 3

Câu 43.

Câu 44.

: x 3y

A 1; 2 nd

Câu 46.

4 y 10 3 1;0

4;5

x y

Câu 47. Ta có: d :

Câu 49. d : x

1 ; 1 3

x y

A 3;1

5; 4

1 nd 3

0. Chọn B.

4 2t t 3t

2nd . Chọn D.

4; 5

. Chọn A.

d :4 x 3

5 y 1

0. Chọn C. A 15;6

15 6 7t y

d:y

0;1

2;3

3 5t 1 4t

5 y 17 x y

2;6

0;1 . Chọn B.

d : x 2y 5

3; 2

d : 4x

4 y

3;0

1; 3

d: 2 x 1

2; 4

M 0; 2

Câu 48. d :

d : 2x Câu 45.

0;7

7 0;1

1;0

A 0;3

y 1; 1

1;1

d : x 15

x y

0. Chọn A.

t t 3 t

Chọn A. Câu 50. d : 3x

A 0; 3 ud

x nd

y 3; 2

d 2;3

2 1;

3 2

3 t t 2

. Chọn B.

461

Câu 51. d : 3 x

d : 3x

2018

M 1; 2

Câu 52.

2018

d ||

: 2x

3 y 12 c

O 0;0 d ||

: 6x

1; 2

: 2x

Vậy d : x 2 y

5; 3

3 5

5 3

: 3x

d 3y

0 c

0. Chọn A.

3y 8

O 0;0

d : 6x

0 c

6.0 4.0

0. Chọn A.

d : 3x 2 y

M 0

Chọn C.

D đúng.

d : 2x

1; 2

d : x 2y

1 2.2

0. Chọn D.

A 4; 3

2;3

|| d :3 x B 0;3

8. Vậy d : 2 x

4x 1

y 3

Câu 55. Ta có: ud

d 2;3

2 y

3; 2 : 3x

0. Choïn C.

d AC

B 0;3

5;1

d || AC d :1 x

Câu 57. u

A 4; 3

3; 5

Câu 56. u AC

M 1; 2

Vậy d : 6 x 4 y Câu 54.

d ||

3;5

2.1 3.2

Câu 53.

1;0

5 y

1; 2

1;5 0

1;0

1; 2

2;1

d:x

5 y 15

d :1 x 1

0. Choïn C

2 y

d:x

2y 1

. Chọn B.

Chọn C.

2;1

Câu 58. u

3;5

d A Câu 59. n

d ||

462

1; 2

3; 13

A nd

3; 5

1; 2

5; 3

3; 13

13;3

1 3t

x y

1 13t 2

. Chọn A.

1; 2

Câu 60. n

2; 1

2; 5

Câu 61. (I) : x

II : x

4;0

II : x Câu 63. d d:

Câu 64.

Câu 65.

0 c

d:x

ud x

d:x

0. Choïn B.

t 4

A 0; 4

1;1

1;1 t

d || Ox : y

M 6; 10

. Choïn C.

2. Chọn D.

d:y

Oy : x x

1; 2

. Chọn A.

2 t

M 3; 1

2; 5

d:x

1 2t

d y

0. Chọn B.

y 3

M 3; 1 Câu 62.

2; 1

d || Vậy d : x

1; 2

0 2

A 3; 1

AB : 3x

y 8

1;0

A 2; 10

. Choïn B.

Câu 66.

u AB

2;6

AB : 3 x 3 Câu 67.

2;0

B 0;3

1 y 1

AB :

A 2; 1

nAB

3;1 0 x 2

y 3

AB : x AB

A 3; 7

0;6

nAB

0. Chọn D.

AB AB : y

4;0

nAB

0. Chọn B.

1; 0

Câu 69.

u AB

Câu 68.

u AB

0. Choïn D.

0. Chọn B.

0;1

Câu 70. Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần viết phương trình đường thẳng AM.

463

Ta có :

B 0; 2

M 2;0

C 4; 2

u AM

1; 1

nAM

1;1

AM : x

0. Chọn A.

Câu 71. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có

A 1; 4 , B 5; 2

I 3; 1

d d : 2x

4;6

3y 3

0. Chọn A.

2 2; 3

Câu 72. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có A 4; 1 , B 1; 4 d

5 5 ; 2 2

d d:x

3; 3

0. Chọn B.

3 1;1

Câu 73. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có

A 1; 4 , B 1; 2

I 1; 1

d d:y 1

0;6

0. Chọn A.

6 0;1

Câu 74. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có

A 1; 4 , B 3; 4

I 2; 4

2; 0

2 1;0

d:x d

0. Chọn C.

Câu 75. Gọi hA là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Ta có

A 2; 1 hA

nhA

7; 3

hA : 7 x

3 y 11

0. Chọn A.

Câu 76. Gọi hB là đường cao kẻ từ B của tam giác ABC. Ta có

B 4;5 hB

nhB

5;3

5; 3

hB : 5 x 3 y 5

0. Chọn D.

Câu 77. Gọi hC là đường cao kẻ từ C của tam giác ABC. Ta có

3; 2

nhC

d1 : x

2y 1

Câu 78.

Câu 79.

d 2 : 3x

hC : x

2 1;3

6 y 10

1 3

2 6

d1 : 3x

3; 2

d2 : 6 x

2y 8

6; 2

vuông góc. Chọn D.

464

2;6

1 10

0. Chọn B.

d1 || d2 . Chọn B.

3 2 6 2 n1 n2 0

d1 , d 2 cắt nhau nhưng không

d1 :

Câu 80.

x 3

y 4

d 2 : 3x

1 1 ; 3 4

4 y 10

n1 n2

d 2 . Chọn C.

3; 4

Câu 81. d1 : d2 :

1 t

2t 2t

2 6t

1 2t

1; 2

B 2; 8

d 2 , u2

2; 4

1 2 2 4 B d1 t

d 2 . Chọn A.

Câu 82. d1 : d2 :

3; 2

d1 , u1

2; 3

2;3

2 3 2 3 A d2

d1 || d 2 . Chọn B.

Câu 83.

: y x

2 :

9 2 1 3

3 t 2 4 1 t 3

A 3; 1

3 4 ; 2 3

, u1

9t u2

9;8

3 2 9

4 3 8

1 6

Chọn A. Câu 84. 1

: 7x

2y 1

x 4 t u2 y 1 5t vuông góc. Chọn D. Câu 85. 2

d1 :

x y

d 2 : 3x

7; 2

1; 5

4 2t 1 3t

A 4;1

2 y 14

4 2t 1 5t

A 4;1

2 y 14

d1 , u1 3; 2

7 2 5 1 n1 n2 0

5;1

2; 3 u2

2; 3

cắt nhau nhưng không

d 2 . Chọn A.

Câu 86.

d1 :

x y

d2 : 5x

d1 , u1 5; 2

2; 5 u2

2; 5

d1 || d 2 . Chọn B.

Câu 87.

465

d1 :

d2 :

u1 u2

3; 2

d 2 . Chọn C.

2;3

Câu 88. Ta có d1 :

d1 : 2 x

5 t1

3t1

d1 : 2 x

d 2 : 3x

y 8

d2 :

Câu 89. d1 :

1 t

d 2 : 3x

Oy d 2 : x – 2 y 1

y 8

d1 : 3x

M 3; 1 . Chọn D.

d1 : 3x

1 2

y 8

d2 : x – 2 y 1

M 0;

15 7 11 7

x y

A, B, D sai.

1 . Chọn C. 2

Chọn D. Câu 90.

u AB

uCD

1 4 4 1 u AB uCD 0

1; 4 4; 1

AB, CD cắt nhau nhưng không vuông góc.

Chọn D.

A 1; 2

Câu 91.

AB, u AB

C 1; 3

CD, uCD

3; 2

nAB

2;3

AB : 2 x

u1 u2

3y 8

6; 4

3 6 C

2 4 AB

nên AB || CD. Chọn B. Câu 92. (i)

d1 :

x y

d2 : 2 x d1 : x (ii)

1 2t y –1 2

d2 : d2 :

0 x y

2;1

n1 t . 0

1; 2 u2

1; 2

1;0 u2

1;0

466

rằng

một

đường

thẳng

n1 n2

0;1

Tương tự, kiểm tra và loại các đáp án C, D. d : 2x 3y 1 0 2 Câu 93. Xét đáp án A: d A : 2x 3y 1 0 2 Để

loại A.

song

3 3 song

1 1 với

d 2 . Chọn B.

d || d A . Chọn A.

3y 1

sẽ

có

dạng

1 . Do đó kiểm tra chỉ thấy có đáp án A thỏa mãn, các đáp án còn lại

0 c

không thỏa mãn. Câu 94. Kí hiệu d : x 3 y (i) Xét đáp án A: d1 : (ii) Xét đáp án B: d 2 :

1 t

1 3t

x y

1 3t 2 t

(iii) Xét đáp án C: d3 : (iv) Xét đáp án D: d 4 :

3t 3t t

Câu 95. Kí hiệu d : 4 x 3 y 1

(i) Xét đáp án A: d1 :

1; 3 .

1;3

n1 , n không cùng phương nên loại A.

3;1

n2 , n không cùng phương nên loại B.

1;3

n3 , n không cùng phương nên loại C.

M 1; 2 n4

1; 3

d || d 4 . Chọn D.

4; 3 .

n1 3; 4 n1 nd 0 nên Chọn A. y 3 3t (ii) Tương tự kiểm tra và loại các đáp án B, C, D. Câu 96. Hai đường thẳng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau. Như vậy bài toán trở thành tìm đường thẳng trùng với đường thẳng đã cho lúc đầu. Ta có A 0; 1 d x t d: kiểm tra đường thẳng nào chứa điểm A 0; 1 và có y 1 ud 1;0 VTCP cùng phương với ud

Chọn C.

Câu 97. Ta cần tìm đường thẳng cắt d : d1 : 7 x

3y 1

d2 : 7 x

3y 1

0 & d3 : 7 x

Câu 98.

d1 : 3x

4 y 10

d1 : mx

m 1 y

d2 : 2 x

y 1

d1 : 2 x 3 y Câu 100.

d2 :

5 7t

2018

2 3t

1 4mt

3y 1

d 2 , d 3 || d

2m 1 3

m2 4

loại B, D. Chọn C.

10 10

2. Choïn C. 2m

d : 7x

d1 d 2

m 2

d1 || d 2

0 m

loại A.

m 2 y 10

d 2 : 2m 1 x 2m 1

Câu 99.

m 1 1

2m 1

2. Choïn A.

2; 3

4m; 3

d1 d 2

4m 2

3 3

1 . Chọn C. 2

Câu 101. Ta có

467

d1 : 2 x – 4 y 1 x

d2 :

1 at

a 1t

1; 2

a 1; a

d1 d 2

n1 n2

a 1 2a

Chọn D. Câu 102.

d1 : d2 :

x y

2 2t 3t

2; 3

mt 6

A d1 d 2

A 2; 6

1 2m t

d 2 , u2

m 2

m;1 2m

1 2m 3

Chọn C. Câu 103.

d1 :

x y

2 2t 1 mt

d2 : 4 x 3 y

A 2;1

d1 , u1

2; m

d1 d 2

3; 4

2 3

m 4

m 0 8 m 3

loại m

Chọn D. Câu 104. Với m Với m

d1 : 2 x

d2 : 7 x

4 thì

d1 : 2 x

d2 : m

3 x

4 m

2m 1

d1 || d2

1 1

m m

2m 1 4 m

1 5

Chọn B.

Câu 105.

: 2 x 3my 10

: mx

4y 1

Câu 106. Ta có :

Câu 107. Ta có:

m m

468

0 0

: mx

: m 1 x

y 19

d1 : 3mx

2 x

d1 : y

d2 : x

d1 d 2

m2 2 3m

m 1 y

m m 1

d2 : m

2my

n1 6

: 4y 1

5 2 m

0 0

. Chọn D. 3m 4

m 1; m 1

. Choïn C.

3m; 2 0

2; 2m

0 thoaû maõn m

. Chọn D. 2m 2

0 (thoaû maõn)

m;1

1m 1

d1 : 2 x 3 y 10 Câu 108.

d2 : d1 d2

x 2 3t y 1 4mt

2.4m

d2 :

x y

Câu 110. Ta có

2 3

d1 : 3mx

d2 : m2

2 x

Câu 111. Ta có:

d1 :

d1 || d 2

Câu 112.

d1 d 2

8 3

1;1

0; 2

d1 , n1

2m 1

d1 : 3 x d2 : x 1 2 m

2y 1

0 khoâng thoaû maõn m

1 1; m 1

m; 2

khoâng thoaû maõn

2; 2m

. Choïn A. 3 6

A 8;10

m 3 1

2m 2

m 1 2 2y

m2 2 3m

8 . Chọn B. 3

3m; 2

1 m

2my

2 y 14

m; 2

m 1t

d1 : m 3 x

3m 8

d2 : x

d 2 , n2

d1 || d 2

d 2 : mx

4; 3

A 1; 4

d2 : 2 x

9 . Chọn C. 8

d1 : y

4m; 3

m 4

2; 3

1 2t 4 mt

A d1 d 2

d1 : 4 x 3 y Câu 109.

0 m

m m

1 2

. Chọn A.

thoaû maõn . Chọn B.

Câu 113.

469

: :

1 mt

A m;1

Câu 114. Ox

5 15t

d 2 : x 10

Câu 117. d2 :

x y

d2 :

0 2 y 10

1 3 2 , y 3

t x

5 15t

x 0

1 m2 1

1 4t

7 5t

3 2

3 y 19

4t 5t

. Chọn C.

. Chọn A. 0

. Chọn A.

d1 : 2 x

m 2

m2 1 0 m 1 0

0 3

d1 : 7 x 3 y 16

d1 :

Câu 118.

2 y 10

1 m1 m

m 1 m2

: 5x

Câu 115. Oy d :

Câu 116.

m;1

m 1 mt 1 m t 3

1 d1 d 2

2; m 2

d1 , u1

1 4t 7 5t

7. Chọn A.

0 d1 d 2

2 22

3 55

x y

Chọn A.

A –2;0 , B 1; 4 Câu 119.

x d: y

AB : 4 x 3 y

0 AB d

d:x

2 t

4x 3 y 8 0 x y 2 0

Chọn B. Câu 120. Ox d 2 2a

470

1 t

3 3t

Câu 121. Oy d 2

6m m 2

x 0

2 0

Ox d 2

2; 0

2. Chọn D.

. Chọn D.

Oy d 2

A 0; 2

x y

2 . 0

2 . 5

Câu 122.

d1 : 3x – 2 y d2 : 2 x

d1 : x

3y 1

3 31 ; . Ta có 8 16

5 3

9m 13

y–4

d2 : 5x – 2 y

26 3

d2 : 5x

53 . 8

2 3

5 . 3

1; 3

5. Chọn D.

5 26 ; 9 9

1;3

12. Chọn D.

2 y –1

m 12 15

d1 : 3x – 4 y 15

5 9 26 9

0. Chọn A.

y m

31 4

2 . Ta có 3

A 3;

0 0

d1 : 2 x

6y 5

2y 1

d : 3x

d1 : 3x 4 y 15 d2 : 5x

9 8

0. Chọn A.

d:x

0 c

32 y 53

2 3

A 7

d3 : 24 x

m 6m

5m 9

d : 3x 0

Câu 124. Ta có:

Câu 127.

53 8

d2 : x 3 y

Vậy d : x

Câu 126.

4y –

d d3 : 2 x

Câu 125.

4y – 7

4 y –1

Vậy d : 3x

A d

A d d || d3 : 3x

Câu 123.

3 8 31 16

3. Chọn C.

d1 : 2 x

y –1

d2 : x

2y 1

1 1

A 1; 1

m 1 7

Chọn B.

Câu 128. Đặt f x; y

51x 30 y 11

f M

f N

f P

f Q

4 3 4 3

Chọn A.

471

Câu 129. M 2; –1

N –7;0

x 2, y

7, y 0

x 3, y 5

Câu 130. Gọi 12 x

1 2t

3 t

1 2t

3 t

x 3, y 2 d

Q 3; 2

3 t

2 1

12 x

Câu 131. Gọi d :

3 5t 2

1 x

3;8

3, y 8

f P

0, f Q x

3 5t

3 8

2 5

d d . Chọn A.

M N

1 2t 3 5t

0 0

1, y 3

3 5t

1 2t

1; 1

1;3

d . Chọn D.

f N

1 2t 2

x 3, y 1

P 3;1

1 2t

x 1, y

N 1; 2

f M 1;1 Đặt f x; y

1 2 VN 4

3 t

1 2t

P 3;5

1 2t

3 5t

d . Chọn C.

Câu 132. Ta có d1 : 2 x

y 10

d2 : x 3 y

n1 n2

2; 1

d1 ; d 2

1; 3

2.1

cos 2

1. 2

1 . 1

45 . Chọn B.

Câu 133. Ta có

d1 : 7 x 3 y

7; 3

d2 : 2 x 5 y

2; 5

d1 ; d 2

cos

14 15 49

9. 4

1 25

Chọn A. Câu 134. Ta có

d1 : 2 x d2 : y Chọn A.

472

2 3y 6

5 n2

n1 0;1

1; 3

d1 ; d 2

3 cos

1 3. 0 1

3 2

30 .

Câu 135.

d1 : x

d 2 : x 10

1; 3

d1 ; d 2

1 0

cos

1 2

1 3. 1 0

1;0

60 . Chọn C.

d1 : 6 x 5 y 15 Câu 136.

Câu 137.

Câu 138.

Câu 139.

Câu 140.

x d2 : y d1 : x

10 6t 1 5t 2y

d2 : 2 x

0 n2

0 9

d2 : x

d1 : 10 x

5y 1

x d2 : y

2 t 1 t

d1 : 3x

4y 1

x d2 : y

15 12t 1 5t

n1 n2

5; 6 n1

d1 : x

6; 5

1; 2

d1 ; d 2

1; 2

d1 ; d 2

1 2

1;1

2 1

4 1. 1 1

3; 4

. Chọn A.

15 48

cos

5; 12

. Chọn A.

cos

d1 ; d 2

1 4. 1 1

2;1 d1 ; d 2

3 . Chọn C. 5

1 4. 1 4

cos

1; 1

90 . Chọn D.

1 4

cos

1; 2

d1 ; d 2

33 . 65

9 16. 25 144

Chọn D. d1 : 2 x

Câu 141.

d2 :

x y

2;3 d1 ; d 2

2m 1 t 4

1 3t

6 3

cos

3; 1

9. 9 1

130

Chọn A. Câu 142. Ta có

d1 : 3x

4 y 12

x d2 : y

2 at 1 2t

25 a 2

3; 4 d1 ; d 2

2; a

cos 45

Câu 143.

8 4a 2

12a

y 3

d2 : x 2 y 1

d1 : 2 x

Ta có d3 : y 1

1 2

cos

0;1 , gọi n

b a2

7a 2

b2 . 0 1

96a

A 1;1

2b 2

25. a 2

14 2 7

. Chọn A.

. ; d3 . Khi đó

a; b ,

cos

a a

a b

b a

1 1, b

:x 1

y :x

0 y

Chọn C. Câu 144. Chọn B.

473

Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó. (i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d . (ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc 0 Câu 145. d : x

cos 45

3a 2

8ab 3b 2

1; 2 , gọi n

b2 . 5

Câu 146.

1 b k 3 3b k

5 a2

d:y

k; 1

1; 1

a; b 2a 2

1 2

5 3 xB

4 yB

Câu 149. Đoạn thẳng AB và d : 4 x

k k

4 xA

7 yA

Câu 150. d :

3xA

1 3t

Câu 151. d :

m 4 xB

7 yB

1 t

2 yA

m 2 xB

2 yB

m 2

2x 3y

sol: k k1 , k k2

0 khi và chỉ khi

40. Chọn A.

13. Chọn C.

0. Đoạn thẳng AB cắt d khi và chỉ khi

m 2

0. Khi đó điều kiện bài toán trở thành

3 m

f A 1;3 Câu 152. Đặt f x; y

2k 2

1. 2

m 10 m 40

2 m 13

d:x

1 . Chọn B. 4 0 có điểm chung khi và chỉ khi

d : 3x

7 3xB

4y 5

10 1 4m

8b 2

8ab

cos 60

Chọn B. Câu 147. Chọn D. Câu 148. A 1;3 , B 2; m nằm cùng phía với d : 3x

4 yA

a . Ta có b

1 3 . Chọn A. 3

3xA

90 .

0 1

3. Chọn B.

m 0

f B

2; 4

f C

1;5

d không cắt cạnh nào

của tam giác ABC . Chọn D. Câu 153. Điểm M x; y thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi

d M;

x 2

2y 5

y 5

; y

x 3y

Câu 154. Điểm M x; y thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi

474

khi và chỉ khi

. Chọn C.

; Ox : y

0 khi và chỉ khi

d M;

7 A ;3 , C 4

y 2

7 ;3 , B 1; 2 4

A Câu 155.

d M ; Ox

2 y

AB : 4 x 3 y

. Chọn D.

0 .

4;3

AC : y

Suy ra các đường phân giác góc A là: 4x 3y

f B 1; 2 f C

4;3

2 y 13

4 x 8 y 17

A 1;5 , B

2 y 13

0 23

suy ra đường phân giác trong góc A là 4 x Câu 156.

f x; y

4; 5

A 1;5 , C 4; 1

AB : 2 x

AC : 2 x

0. Chọn B.

8 y 17 3

Suy ra các đường phân giác góc A là:

x 1

f x; y

x 1

f B

4; 5

f C 4; 1

suy ra đường phân giác trong góc A là y

5 3

0. Chọn B.

Câu 157. Các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 : 3x 4 y 3 0 và d2 :12 x 5 y 12 0 là:

12 x

5 Gọi I

5 y 12

3x 11y 3

11x 3 y 11

I 1;0 ; d : 3x 11y 3

0 0

10;3

Gọi H là hình chiếu của M lên d1 . Ta có: IM

130, MH

sin MIH

MH IM

30 12 3 5

9 130

9, suy ra

MIH

2MIH

90 .

Suy ra d : 3x 11y 3 0 là đường phân giác góc tù, suy ra đường phân giác góc nhọn là 11x 3 y 11 0 . Chọn B. Câu 158. Chọn C. Câu 159. d M ;

3 4 3 9 16

2. Chọn B.

475

Câu 160.

Câu 161.

x 3y 2x

3y 1

1;1

d A;

A 1; 2 B 0;3 , C 4;0

BC : 3x

4 y 12

3 1 4

9 1

. Chọn C.

3 8 12

d A; BC

1 . 5

9 16

Chọn A.

A 3; 4 A 3; 4

Câu 162. Cách 1:

B 1; 5 , C 3;1

BC : 2 x

Cách 2: S

1 AB 2 . AC 2 2

ABC

3sin

Câu 163. d M ;

Câu 164.

Câu 165.

1 3t

d A; BC

AB AC . 6. Chọn B.

sin 2

: 4x 3 y : x 3y

2 5

5. Chọn B.

3 2 sin

cos

1 .2 5. 5 2

S ABC

2 5

2 2

0 N

d M; MN min

2. Chọn A. 15 3 2

d M;

10.

1 9

Chọn A.

Câu 166. d A;

2 m m

2 5

5. m2

m 3

x y

d1 :

d2 : x

t 2 t 2y

4m 2

d1 : x

d2 : x

2 1 . Chọn B. 2

0 m

x y

4 m m 2

M 4 m; m 2 Khi đó: OM

4 m

m 2

100

Câu 168. R

d O;

Câu 169. R

d I;

Câu 170.

tiếp xúc đường tròn

476

6m 4

1 m

Câu 167.

10. Chọn D.

10 24 10 25 144

44 . Chọn A. 13

d2 .

. Chọn C.

C : x2

O 0;0

d I;

f M 21; 3 f N 0; 4 Câu 171. f x; y

1 464 54

. Chọn D.

21x 11y 10 f P

19;5

464

f Q 1;5

f M 1; 3

f N 0; 4 Câu 172. f x; y

. Chọn C.

7 x 10 y 15 f P

1. Chọn A.

19;5

f Q 1;5

98 42

Câu 173. Đường thẳng cách đều hai điểm A, B thì đường thẳng đó hoặc song song (hoặc trùng) với AB , hoặc đi qua trung điểm I của đoạn AB . Ta có:

3 7 ; 2 2

A 2;3 B 1; 4

AB || d : x

1;1

nAB

0. Chọn A.

1;1

Câu 174. Dễ thấy ba điểm A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng cách điều A, B, C khi và chỉ khi chúng song song hoặc trùng với AB . Ta có: AB

12;4

nAB

1; 3

AB || d : x 3 y

Khi đó:

: mx

0 n

I m 1

Câu 176.

Câu 177.

A 2;0 2 ||

8y 1 : 6x 2; 2

d : 7x d

Câu 178.

1 1

,n y

d d;

A 4;3

5 2 1

3;3

. nAB

1;1

cách đều A, B

m; 1

m 2

0. Chọn A.

1 5 ; 2 2

Câu 175. Gọi I là trung điểm đoạn AB

;

. Chọn C. 1

d A;

12 1

100

3 . Chọn B. 2

7;1 0

7;1 14

d A; d

d 2 || d1 : 6 x – 8 y 101

2 3

d d1 ; d 2

3 2

. Chọn A.

24 24 101 100

101 10

10,1. Chọn A.

477

Câu 179.

d:x

AB : 4 x

2y 1 3y

Câu 180. M

d M ; AB

M 2m 1; m , m

3m 7

11m 3

. Khi đó

3 t

2t;3 t với 2

M 2

27 l 11

12t 17

1. Khi đó

t 2

M 7;3 . Chọn B.

1 l

24 2 ;; . 5 5

17 5

Chọn C. Câu 181. Gọi M x;0

d M;

Ox thì hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của phương trình:

2 5

AB : 4 x

x1 x2 4x 9

d M ; AB

75 . Chọn A. 4

x1 x2

15 2

M x;0

Câu 182.

5 2

7 2

7 ;0 2 . Chọn A. M 1;0 M

Câu 183. Ta có

AB : 4 x 3 y 12 AB

M 0; y

MAB

3 y 12

d M ; AB

1 3 y 12 .5. 2 5

M 0;0 8

M 0; 8

Chọn A.

M x;0

Câu 184.

d M; M

Câu 185.

MA 20t

3x d M;

x y

t 1 2t

6 13

M t ;1 2t

1 2

2t 1

1 ;0 . Chọn B. 2

d : 2x

3; 5 . Chọn B.

Câu 186.

478

M m; 2m

2; 1 . Chọn A.

m 1

2m 1

Câu 187.

Câu 188.

d:y

C c; 2

M 1;1

d : 3x 4 y 1 || d

: 3x 4 y

d d;

C 1; 2

1; 2

. Chọn C.

d M;

c 1

4 6

Chọn A.

Câu 189. d M x; y ;

Câu 190. d M x; y ; d1

d M x; y ; d 2

4 y 12

4y 8

0 0 3y

. Chọn B. 7

Chọn C.

BAØI 2.

PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG TROØN

Câu 1. C : x 1 Câu 2. C : x 2 Câu 3. C : x 1 Câu 4. C : x 2

y 2

I 0; 4 , R

5. Chọn A.

9 12

Câu 7. C : x 2

I 2; 1 , R Câu 8. Ta có:

C : 2 x2 a c

Câu 9. C :16 x 2

2, b 1 2

16 y 2

6 y 12

0 2

2 2. Chọn C.

3. Chọn D.

I 3; 1 , R Câu 6. C : x 2

1;0 , R

I 0;0 , R

4. Chọn B.

Câu 5. Ta có C : x 2

I 1; 3 , R

6 2

1, c

2. Choïn C.

6 a

2 2

3, b

2, b

3, c

I 2; 3 ,

5. Choïn A.

2, b

1, c

4 1 3

2 2. Choïn A.

2 y2

4y 1

1 I 2; 1 , R

16 x 8 y 11

4 1

1 2

22 . Choïn B. 2

1 11 y 2 16

479

1 1 ; 2 4

1 4

Chọn D. 1 16

11 16

Câu 10. C : x 2

y 2 –10 x 11

Câu 11. C : x 2

y2 – 5 y

I 0;

Câu 12. C : x 1 Câu 13. C : x 2

5 ,R 2

25 25 4

12 x 14 y

5;0 , R

6;7

C : x

y 7

10 x 1

I 5;0

Câu 15. C : x 2

Câu 17. C :

Câu 18. C :

I 0;0 R

I 1; 2 R

C : x2

I 1; 5 R

2;3

C : x2

5. Chọn D.

5 7 ; 2 2

7 2

d I ; Ox

7 . Chọn C. 2

2x 4 y

0. Chọn A.

26. Chọn C.

IM y2

49 4

d I ; Oy

C : x 1

Câu 19. C :

0. Chọn C.

1. Chọn B.

C : x 1

81. Chọn B.

Câu 14. C : x 2

Câu 16. C :

5 . Chọn C. 2

6. Chọn C.

0 11

2 4x

3 3

C : x

y 3

52.

0. Chọn D.

I 2; 3 Câu 20. C :

1 AB 2

1 2

1 3

5 1

C : x

Chọn D.

I 4;3 Câu 21. C :

R x2

Câu 22. C :

480

IA 8x

4 1 6y

I 2;3 R

d I ; Ox

3 1

C : x

y 3

0. Chọn A.

C : x

9. Chọn A.

Câu 23. C :

Câu 24. C :

Câu 25. C :

I 2; 3 R

d I ; Oy

2;1

d I;

1; 2

d I;

Câu 26. A, B, C

Câu 27.

C :x

6 4

1 4

2by

Câu 28. A, B, C

C :x

4. Chọn C.

y 1

C : x 1

2ax

Vậy C : x

3 0

2by

0. Chọn A.

C : x2

2ax

2by

Câu 30. A, B, C 5

9 6a

C : x2

2ax

a b

5 . Chọn D. 2

50 10a 10b 4b

0 c c

0 0

. 20

1 .

0. Chọn D.

0 4

40 12a

Vậy C : x 2

4 . Chọn B. 5

10 6a

Câu 29. A, B, C

1. Chọn A.

I 1;1 . Chọn D.

8 4a 2

AC 2

0; 4 2

2ax

C : x

1 4 2

9 16

3;0

C : x

2by 3 2 4, c

0 . Vậy C : x 2

3x 8 y 18

Chọn B.

I 4;3 Câu 31. O 0;0 , A 8;0 , B 0;6

OB R

AB 2

C : x

y 3

25.

Chọn A. Câu 32. Ta có O 0;0 , A a;0 , B 0; b

481

a b ; 2 2

C : x a2

AB 2

C :x

a 2

b 2

b2 4

2 2

0. Chọn C.

ax by

Câu 33. I a;0

a 1

I 4;0 R

Vậy đường tròn cần tìm là: x

4 2

10. Chọn B.

Câu 34. I 0; a

a 1

I 0; 4 R2

Vậy đường tròn cần tìm là: x2 Câu 35. Ta có: I

I a;3a 10

a 1

Câu 36. Dễ thấy A là

: 4x

y 1

3;1 . 2

5. Chọn D.

nên tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng qua A vuông góc với

Vậy phương trình đường tròn là: x 1 Câu 37. I

I 5 3a; a

d I;

Vậy các phương trình đường tròn là: x 5

3y y

5 8

I 2 2a; a , a

10a 5

2 l

d I; I 8; 3

Vậy phương trình đường tròn là: x 8

482

a a

2 2

8 hoặc x 1

I 1; 3

25. Chọn D. 4 4a

2 2 2

Chọn A. Câu 38. I

Vậy đường tròn cần tìm là: x

10. Chọn B.

a 2

25. Chọn D.

I 5;0

0 2

I 2

1; 2

Câu 39. I

I 12 5a; a

3;3 , R

I 2; 2 , R

d I ; Ox

d I ; Oy

12 5a

Vậy phương trình các đường tròn là :

Câu 40. Ta có: I

4 hoặc x

I 5; a a

y 3

d I ; d1

I 5;8 , R 2

9. Chọn D. 18 a

d I ; d2

I 5; 2 , R

14 3a

2 10

Vậy phương trình các đường tròn:

x 5

y 8

10 hoặc x 5

40. Chọn A.

Câu 41. Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng qua M vuông góc với

y 3

Ta có: R 2

IA2

I a;3 a .

IM 2

a 1

I 3;0

a 5

C : x 3

a 1

IM 2

I 1;1 , R

I 5;5 , R

a 1

C : x 1

C : x 5

y 1 2

. Chọn A. 25

Câu 43. Vì M 2; 1 thuộc góc phần tư (IV) nên A a; a , a Khi đó: R

a a

a2 1

Câu 44. AB : x

d:x

Ta có: R

IM 2

5 IA

I 1; 1 , R

I 5; 5 , R

y 1 0

a 1

C : x 5

y 1 2

1 2

. Chọn D. 25

0, đoạn AB có trung điểm M 2;3

a 1

trung trực của đoạn AB là

. 2

Vậy phương trình đường tròn là: x Chọn D. Câu 45. AB : x

C : x 1

I a;5 a , a d I;

8. Chọn D.

Câu 42. Vì M 2;1 thuộc góc phần tư (I) nên A a; a , a Khi đó: R

là

2 10

y 1

I 4;1 , R

8x 2 y

0, đoạn AB có trung điểm M 1; 2

10.

trung trực của đoạn AB là

483

d : 2x R

5. Ta có

I a; 4 2a , a

d I;

a 1

2ax

kiểm tra điều kiện a b c 0. x 2 y 2 4 x 6 y 12 0 a 2, b 2

Vậy phương trình đường tròn là: x 3 Câu 46. Chọn B. Câu 47. Xét phương trình dạng : x 2

11a 8

I 3; 2 , R

25. Chọn A.

2by

0, lần lượt tính các hệ số a, b, c và

3, c

0. Chọn D.

y 10 x 6 y 2 0, x 2 y 4 x 8 y 1 0 không có dạng đã Các phương trình 4 x nêu loại các đáp án A và C. Đáp án x 2 y 2 2 x 8 y 20 0 không thỏa mãn điều kiện a 2 b2 c 0. 2

Câu 48. Loại các đáp án D vì không có dạng x 2 Xét đáp án A : x2 y 2 2x

Xét đáp án B : x2 y 2 6x

1, b

2ax

2by

2, c

3, b

loại A. loại B.

Xét đáp án D : 2x2

2 y2

Chọn D. Câu 49. Loại các đáp án C và D vì không có dạng x 2 Xét đáp án A : x 2

Xét đáp án B : x 2

9 a

1 ,b 2

a 1 ,b 2

2ax

1 ,c 2 a2

2by

9 b2

b2 0

loại A.

Chọn B.

Câu 50. Xét A :

1 1 ,b , c 4 a2 2 2 Các đáp án còn lại các hệ số a, b, c thỏa mãn a 2 b2 c x2

Câu 51. Ta có: x

1 m

2m 2

Câu 52. Ta có: x

484

2mx

2 m –1 y

4 m

2m 1

2 y

Chọn A.

6 m

1 . Chọn A. 2 a

2 m 2

6 m

5m2

15m 10

. Chọn B. a

Câu 53. Ta có: x

2my

Câu 54. x 2

y 2 – 8 x 10 y

Câu 55. Ta có: x

2 m 1 x

Rmin

8. Chọn C.

m 1

1. Chọn B.

2; 2 nên tiếp tuyến tại M có VTPT là n

3 y 1

4y 1

m 1

Câu 56. Đường tròn (C) có tâm I phương trình là: 4 x

a 2

b c

4;5 ;10. Chọn C.

4;3 , nên có

0. Chọn D.

3 y 11

Câu 57. Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 nên tiếp tuyến tại A có VTPT là

Nên có phương trình là: 1. x 3

2; 2

1. y

3 y 1

Câu 59. Đường tròn (C) có tâm I 3; 1 , R : 2x

5 5

2 5

0. Chọn C.

c c

Câu 61. Đường tròn (C) có tâm I 2;1 , R

1 1;3 , 2

0. Chọn D.

0 c

7 .

. Chọn B.

5 và tiếp tuyến có dạng

2; 2 , R : 3x

d I;

5 và tiếp tuyến có dạng

Câu 60. Đường tròn (C) có tâm I

Ta có R

1 3 ; 2 2

Nên có phương trình là: 1 x 1

d I;

3 1 ; nên tiếp tuyến tại N có VTPT là 2 2

Câu 58. Đường tròn (C) có tâm I

Ta có R

2 1; 1 ,

23 27

0 c

2018 .

. Chọn A.

5 và tiếp tuyến có dạng

485

: 4x

Ta có R

c 11

d I;

14 l

Câu 62. Đường tròn (C) có tâm I 2; 4 , R

d I;

Câu 63. Đường tròn (C) có tâm I

d I;

13 và tiếp tuyến có dạng

d I;

17 9

Câu 65. Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 , R

: ax Ta có: d I ;

Ta có: d I ;

Chọn D. Câu 67. Đường tròn (C) có tâm I

Ta có: d I ;

4a 6b

b 3b

3a d P;

24 15 24 5

4, b

a b

b a

0 a2 4a

0 ab

a 3a

: 4x

1, b

3, b

3 y 24

không có tiếp tuyến nào của

đường tròn kẻ từ O. Chọn A.

486

3. Chọn B.

Câu 68. Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 , R Câu 69. Vì M

. Chọn B. 1

1, b

5 và tiếp tuyến có dạng

1;1 , R

10a 5b

2 và tiếp tuyến có dạng

: ax

0 a2

2b a2

Câu 66. Đường tròn (C) có tâm I 2; 2 , R

: ax

. Chọn C.

2 2 và tiếp tuyến có dạng

2 2

. Chọn C.

by 5a

2 và tiếp tuyến có dạng

Câu 64. Đường tròn (C) có tâm I 2; 2 , R Ta có R

. Chọn D. 21

2;1 , R

. Chọn C.

: 3x Ta có R

14 .

5 và tiếp tuyến có dạng

: 4x Ta có R

0 c

C nên có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M. Chọn C.

Câu 70. Đường tròn (C) có tâm I 2; 3 , R

có đúng hai tiếp

tuyến của đường tròn kẻ từ N. Chọn C.

BAØI 3.

PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG ELIP x2 a2

Câu 1. Gọi phương trình của Elip là Xét E :

x2 25

y2 9

Xét E : 4 x

16 y

x2 a2

x2 1 4

a b

Câu 2. Gọi phương trình của Elip là

y2 b2

1, có độ dài trục lớn A1 A2

5 3

y2 b2

A1 A2

10. Chọn B.

1, có độ dài trục lớn A1 A2

1 4 1 16

y2 1 16

2.5

2a.

1 b

1 2

2a.

A1 A2

1 2

Chọn C. Câu 3. Gọi phương trình của Elip là Xét E : x 2

5y2

x2 25

x2 a2

y2 b2

y2 5

x2 a2

y2 b2

1, có độ dài trục lớn A1 A2

a2 b

2a.

A1 A2

2.5

10.

Chọn D. Câu 4. Gọi phương trình của Elip là Xét E :

x2 100

y2 64

a2 b

100

là B1 B2

a2 b

2b. Khi đó, xét E : 64

Câu 5. Gọi phương trình của Elip là

x2 a2

x2 16

A1 A2

1, có độ dài trục bé B1 B2

y2 b2 y2

B1 B2

2.8

2b.

16. Chọn C.

1, có độ dài trục lớn A1 A2 x2 64

B1 B2

2.8

y2 4

2.2

2a và độ dài trục bé

20.

Chọn C. Câu 6. Gọi phương trình của Elip là Xét E :

x2 25

y2 16

x2 a2

y2 b2

1, có tiêu cự là 2 c.

6. Chọn B.

487

x2 a2

Câu 7. Gọi phương trình của Elip là Xét E :

x2 9

y2 4

c2 x2 a2

Câu 8. Gọi phương trình của Elip là Xét E :

x2 p2

y2 q2

y2 b2

1, có tiêu cự là 2 c.

y2 b2

E suy ra

m2 100

E suy ra

n2 12

m m

10 2

2 5. Chọn D.

M 10;0

10 10

2 3

2 p2

M m ;0 .

10;0

. Chọn D.

N 0; n .

Câu 10. Gọi N là điểm nằm trên trục bé của E Mặt khác N

1, có tiêu cự là 2 c.

Chọn D. Câu 9. Gọi M là điểm nằm trên trục lớn của E Mặt khác M

N 0;2 3

2 3

N 0; 2 3

Chọn C. Câu 11. Gọi phương trình của E là Xét E :

x2 9

y2 6

Vậy tiêu điểm của Elip là F1

x2 5

y2 4

y2 b2

x2 a2

x2 16

y2 9

x2 9

y2 4

1, có tọa độ tiêu điểm F

a2 2

Chọn B. Câu 14. Xét E :

Vậy tỉ số f cần tính là f

488

b 2a 2c

c;0 .

1;0 . Chọn A.

c;0 .

3;0 . Chọn C. y2 b2

Vậy tiêu điểm của Elip là F1 1;0 , F2 Câu 13. Xét E :

1, có tọa độ tiêu điểm F

3;0 , F2

Câu 12. Gọi phương trình của E là Xét E :

x2 a2

3 5

. Chọn B.

3 5

c a

7 . 4

q2 .

Câu 15. Xét E :

x2 16

y2 8

y2 9

2c 2b

Vậy tỉ số k cần tính là k

x2 Câu 16. Ta có E : 25

2 2

1. Chọn C.

2 2

x2 E : 2 5

y2 32

3 a2

Do đó, độ dài trục nhỏ của E là 6. Chọn D.

Câu 17. Ta có E : x 2

4 y2

E :

x2 12

1 2

3 2

Do đó:  E có tiêu cự F1 F2

 E có trục nhỏ bằng 1, trục lớn bằng 2. 3 ;0 và F2 2

 E có tiêu điểm là F1

3 ;0 . 2

Chọn A. Câu 18. Ta có E : 4 x

x2 E : 2 3

y2 22

Do đó, E có tiêu cự bằng 2 5 . Chọn C. Câu 19. Xét đáp án A. Ta có E : 9 x 2

16 y 2

144

E :

x2 42

y2 32

Do đó E có độ dài trục lớn là 8, độ dài trục nhỏ là 6. Chọn A. Câu 20. Elip E có

F1 F2

A1 A2

2c 2a

Do đó, phương trình chính tắc của Elip là E : Câu 21. Elip E có độ dài trục lớn là 10 Elip E có một tiêu điểm F Khi đó, b

3;0

x2 25

2a c

y2 16

1 . Chọn D.

489

x2 25

Phương trình chính tắc của Elip là E :

y2 16

Câu 22. Elip E có độ dài trục nhỏ là 4 6 Elip E có một tiêu điểm F 5;0

Câu 23. Elip E có một đỉnh là A 5;0 Elip E có một tiêu điểm F Khi đó, b

y2 24

4;0

3;0

Elip E có hai tiêu điểm là F1

x2 25

y2 9

1 . Chọn C.

1;0 và F2 1;0

x2 9

1 . Chọn C.

2 2. y2 8

Câu 25. Elip E có trục lớn gấp đôi trục bé Elip E có tiêu cự bằng 4 3

Ox và 3;0

Phương trình chính tắc của Elip là E :

Ta có a2

1 . Chọn C.

a c

2 6.

Câu 24. Elip E có hai đỉnh là

4 6

5 . Khi đó, a

x2 49

Phương trình chính tắc của Elip là E :

Khi đó, b

2b c

Phương trình chính tắc của Elip là E :

1 . Chọn D.

A1 A2 4 3

2B1 B2

2 3

Phương trình chính tắc của Elip là E :

x2 16

2.2b

2b .

2 3.

2 . Khi đó, a

y2 4

1 . Chọn A.

Câu 26. Elip E có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị Elip E có độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị

2a 2b 4.

2b 2c

Ta có

a b

b c

a b a

2 b

a b 2

Phương trình chính tắc của Elip là E :

x2 100

y2 64

a 2b

490

16 .

a b

1 . Chọn C.

Câu 27. Elip E có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng Mặt khác, 2a

2b 2c

b 2 . 2

10 8

c Ta có

b 2 2 c2 16

1 2 b 2 3 2 b 2

a2 a2

a2 b

Phương trình chính tắc của Elip là E : Câu 28. Elip E có một tiêu điểm F

x2 12

y2 8

2;0

1 . Chọn A.

Elip E có tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12 5

3 5 b

a Ta có

ab a2

3 5 b2

3 5 b

Phương trình chính tắc của Elip là E :

x2 9

4 y2 5

Câu 29. Elip E có độ dài trục lớn bằng 26

x2 169

Câu 30. Elip E có độ dài trục lớn bằng 6

12 13

2c 2a

12 13

12 a 13

1 3

1 a 3

1, với a

y2 25

1 . Chọn B.

x2 9

y2 8

12 .

1 3

2c 2a

1 . Chọn A.

Câu 31. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E : Độ dài trục nhỏ của Elip là 12 suy ra 2b

x2 a2

y2 b2 b 6.

Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số

13 .

2 2.

Phương trình chính tắc của Elip là E :

Mặt khác a2

3 5.

Elip E có tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng

Phương trình chính tắc của Elip là E :

Do đó, b

12 5

1 . Chọn A.

Elip E có tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng Do đó, b

2a.2b

Vậy phương trình cần tìm là E :

16 2 a 25 x2 100

y2 36

9 2 a 25

c a

4 5

100.

4 a. 5

1. Chọn D.

491

x2 a2 18 a

Câu 32. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E : Tổng độ dài hai trục của Elip là 2a

y2 1, với a b 0. b2 b 9 b 9 a.

Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số Mà a2

9 a

9 2 a 25

45 loại vì b

5 (a x2 25

y2 16

Tổng độ dài hai trục của Elip là 2a

9 45

x2 a2 10 a

c2 suy ra a2

5 a

Vậy phương trình cần tìm là E :

5 2 a 9

x2 9

y2 4

x2 a2

y2 b2

72 a2

49.

Elip đi qua điểm B 0;3 suy ra

32 b2

Vậy phương trình cần tìm là E :

x2 49

y2 9

1. Chọn D.

Câu 35. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E : 02 a2

32 b2

12 32 suy ra 2 5 a

Vậy phương trình cần tìm là E :

x2 25

5 3

0. 0.

5 a. 3

5 15

1. Chọn D.

Elip đi qua điểm A 7;0 suy ra

Elip đi qua điểm N 3;

c a

15 loại vì b

3 (a

Câu 34. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E :

Elip đi qua điểm M 0;3 suy ra

y2 1, với a b b2 b 5 b 5 a

Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số

y2 9

x2 a2

y2 b2

12 5 b2

1, với a

9 a2

144 1 . 25 b2

1. Chọn B.

Câu 36. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E :

492

3 a. 5

1. Chọn A.

Câu 33. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E :

3 5

c2 suy ra:

Vậy phương trình cần tìm là E :

Mà a2

c a

x2 a2

y2 b2

1, với a

25.

Elip đi qua điểm A 0;1 suy ra

02 a2

12 b2

Elip đi qua điểm N 1;

3 2

3 12 suy ra 2 2 a

Vậy phương trình cần tìm là E :

x2 4

y2 1

x2 a2

y2 b2

Elip có độ dài trục lớn gấp đôi trục bé suy ra 2a

a Do đó, ta có hệ phương trình

22 a2

Vậy phương trình cần tìm là E :

1 4

x2 20

Elip đi qua điểm A 5;0 suy ra Do đó, ta có hệ phương trình

a2 a

Vậy phương trình cần tìm là E :

Từ 1 , 2 suy ra

4 a2

1 b2

25 x2 25

b y2 16

22 a2

12 b2

x 6

1 . 4

1, với a

25.

1. Chọn B.

1 b2

4 b

2 3

1 b2

1 4

y2 b2

0 b2

Vậy phương trình cần tìm là E :

x2 a2

5 a2

Elip có tiêu cự bằng 2 3 suy ra 2c

1 b2

Câu 39. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E :

Elip đi qua điểm A 2;1 suy ra

1. Chọn A.

Câu 38. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E : Elip có tiêu cự bằng 6 suy ra 2c

2b.

4 b2

1 4 b2

y2 5

1 a2

1 b2

1, với a

2.2b

1 a2

3 1 . 4 b2

1. Chọn C.

Câu 37. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E :

Elip đi qua điểm M 2; 2 suy ra

1 a2

x2 a2

y2 b2

1, với a

4 a2

1 b2

3 1.

1 2 .

a2 1

b2 2b

3 2

y 3

1. Chọn A.

493

x2 a2

Câu 40. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E : Elip có tiêu cự bằng 8 suy ra 2c

y2 b2

Elip đi qua điểm M

15; 1 suy ra

Từ 1 , 2 suy ra 15 a2

1 b2

16 1

Vậy phương trình cần tìm là E :

15 b2 16

1 b2

x2 20

y2 4

2;0 suy ra c

5 3 b2

5 22 Elip đi qua điểm M 2; suy ra 2 3 a

Từ 1 , 2 suy ra

4 a2

25 9b2

b 2

Từ 1 , 2 suy ra

4 a2

9 b2

4 a2

9 b2

b x 16

1, với a

4 1.

25 9b 2

1 2 .

y2 b2

2 4 a2

1, với a

9 b2

1 2 .

4 1.

4 2

y 12

1. Chọn A.

Câu 43. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E : 62 a2

x2 a2

c 1

02 b2

Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng

494

Elip đi qua điểm A 6;0 suy ra

1 2 .

1. Chọn A.

3 b2

Vậy phương trình cần tìm là E :

y2 b2

25 9b 2

2 a2

1 b2

y 5

x2 a2

2;0 , F2 2;0

Elip đi qua điểm M 2;3 suy ra

15 a2

Câu 42. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E : Elip có hai tiêu điểm là F1

16 1 .

x 9

Vậy phương trình cần tìm là E :

b2 4

1. Chọn D.

Câu 41. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E : Elip có một tiêu điểm là F

1, với a

x2 a2 a2

y2 b2

1, với a

1 2

36.

2c 1 suy ra 2a 2

1 2

c a

a2 . 4

Kết hợp với điều kiện b2

c2 , ta được b2

Vậy phương trình cần tìm là E :

x2 36

y2 27

x2 a2

Vậy phương trình cần tìm là E :

25 9b 2

y2 5

2 3

4 2 a 9

4 25 1 a2 5a2 9b2 5a2 x2 9

1, với a

4 a2

c2 , ta được b2

4 25 1 Từ 1 , 2 suy ra a2 9b2 9b2 5a2

y2 b2

2 2c suy ra 3 2a

Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng

3 .36 4

27.

5 3 b2

5 22 suy ra 2 3 a

Kết hợp với điều kiện b2

3 2 a 4

1. Chọn A.

Câu 44. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E :

Elip đi qua điểm N 2;

a2 4

c a

2 3

5 2 a 9

9b2

9 1 a2 9 b 2 5a 2

5a2

4 2 a. 9 2.

1. Chọn B.

Câu 45. Gọi phương trình chính tắc của Elip là E :

x2 a2

y2 b2

1, với a

22 Elip đi qua điểm A 2; 3 suy ra 2 a

Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng Kết hợp với điều kiện b2

4 Từ 1 , 2 suy ra a2 a2

3 1 b2 4 b2

Vậy phương trình cần tìm là E :

Câu 47. Ta có a

2a 2a

4 a2

3 b2

suy ra

2a 2c

3 2 a 4

a2 4

c2 , ta được b2

4 3 2 4b b2 2 a 4 b2 2

Câu 46. Ta có c 2

x 16

4 b2 a2

1 4b

1. c2

3 2 a . 4

4 b2

y 4

1. Chọn A.

c2 . Chọn C.

2c F1 F2 . Chọn B.

Câu 48. Ta có a 2

495

và b2 9 b 3 OAB Tam giác vuông, có

OA2

AB Vậy AB

OB 2

34.

34 .

Chọn B. Câu 49. Ta có A1 A2

3B1 B2

9b2

9 a2

c2 a2

8 9

c a

9c 2

8a 2

2 2 . 3

2 2 . Chọn D. 3

Vậy e Câu 50.

3 F1 F2 2

Ta có AB

9c 2

2a 2

10c 2

c2 a2

1 5

c a

9c 2

5 . 5

5 . Chọn A. 5

Vậy e

Câu 51. Ta có điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ là 2; 3 . Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ là

2;3 .

Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ là

2; 3 . Chọn D.

Câu 52. Ta có E có hai trục đối xứng là trục hoành và trục tung. Chọn C. Câu 53. Ta có E có đúng một tâm đối xứng là gốc tọa độ O . Chọn B. Câu 54. Ta có B1 B2

c2 a2

1 2 1

Vậy e

496

a2 c a

c2 1 2

c2 .

. Chọn C.

Câu 55. Ta có F1 B1 F2

F1 F2

900

OB1

F1 F2 2

c2 a2

1 2 1

Vậy e

c a

1 2

. Chọn C.

Câu 56. Ta có A1 A2

4 2

2 2

Và bốn điểm F1 , B1 , F2 , B2 cùng nằm trên một đường tròn

Vậy độ dài trục nhỏ của E là 4. Chọn B. Câu 57. Ta có a 2 Mà OB

Câu 58. Ta có a

169

Tọa độ hai tiêu điểm F1

13 , b

144

0, M

13;0 .

4 , b2

9 , MF2 2

25 4 MF1 MF2

Câu 61. Xét E :

2 3 và c 2

3 5 . 2

7 . Chọn A. 2

25 y 2

x2 25 4

100

5 , b2 4 2 2a 5. Chọn C. a

x2 100

12 và c 2

3 5 . 2

Do tính đối xứng của E nên chọn M 1;

2;0 , F2 2;0

M có hoành độ bằng 1

Câu 60. Ta có 16 x 2

4. Chọn A.

Tọa độ hai tiêu điểm F1

MF1

18. Chọn B.

8, MF2

Câu 59. Ta có a 2

5;0 , F2 5;0

M có hoành độ bằng

MF1

4 và b2

y2 36

Khi đó, Elip có tiêu điểm là F1

a2 b

8;0

y2 4

100 36

64.

đường thẳng d // Oy và đi qua F1 là x

497

Giao điểm của d và E là nghiệm của hệ phương trình

8 2

24 . 5

x 100

y 36

Vậy tọa độ hai điểm M

24 ,N 5

24 5

48 5

Câu 62. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 2;2 và song song trục hoành có phương trình là y

Ta có d

2. x 2 y2 20 16 y 2

Vậy độ dài đoạn thẳng MN

x2 20

22 16

2 2

15;2

2 15. Chọn C.

Câu 63. Hai tiêu điểm có tọa độ lần lượt là F1

c;0 , F2 c;0 .

Đường thẳng chứa dây cung vuông góc với trục lớn (trục hoành ) tại tiêu điểm F có phương trình là : x c. x 2 y2 a 2 b2 x c

Suy ra

Vậy tọa độ giao điểm của

c 2

c a2

y b2

và E là M c;

x 2

b a

b4 a2

b2 b2 , N c; a a

2b2 . Chọn B. a

Câu 64. Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và E là nghiệm của hệ

4 y 12

x2 16

y2 9

Vậy tọa độ giao điểm là Câu 65. Chọn D.

498

x2 16

3x 4

3x 3 4 9

M 0;3 N 4;0

5. Chọn C.

3x 4 0

3x 4

b2 a