BÁO CÁO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN
vectorstock.com/28062405
Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC” LỚP 11 THPT (2020) WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594
MỤC LỤC TÊN MỤC
N
Ơ
H
N
Y
U
Q
M
KÈ
VIII. IX. X.
D
ẠY
XI.
TRANG 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
FF IC IA L
LỜI GIỚI THIỆU TÊN SÁNG KIẾN TÁC GIẢ SÁNG KIẾN CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận 2. Thực trạng CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC 1. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác 1.1 Lí thuyết về đường tròn lượng giác 1.2 Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác 1.3 Bài tập vận dụng 2. Kĩ năng dùng công thức lượng giác 2.1. Công thức lượng giác 2.2. Kỹ năng dùng công thức lượng giác 2.3. Bài tập vận dụng 3. Kĩ năng dùng hàm số lượng giác 3.1 Hàm số lượng giác 3.2 Kĩ năng dùng hàm số lượng giác 3.3 Bài tập vận dụng CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC” 1. Về phương diện lý luận 2. Về phương diện thực tiễn 3. Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến KẾT LUẬN NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC DO SÁNG KIẾN DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU TÀI LIỆU THAM KHẢO
O
MỤC I. II. III. IV. V. VI. VII.
4
4 4 5 13 18 18 18 24 26 26 27 31 33 33 33 34 36 36 36 36 37 38
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Nội dung Giáo dục và đào tạo
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
SGK
Sách giáo khoa
THPT
Trung học phổ thông
D
ẠY
KÈ
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
GD&ĐT
FF IC IA L
Chữ viết tắt
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I. LỜI GIỚI THIỆU
H
Ơ
N
O
FF IC IA L
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Phương pháp giáo dục là phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh, lòng say mê học tập và ý trí vươn lên. Một trong những nội dung đổi mới dạy học là đổi mới kiểm tra đánh giá. Năm 2017, lần đầu tiên Bộ GD&ĐT tổ chức thi môn toán theo hình thức trắc nghiệm. Về kiến thức hàn lâm thì không thay đổi nhưng cách giải quyết vấn đề hoàn toàn thay đổi. Trong một bài thi học sinh phải giải quyết một lượng nhiều câu hỏi trải rộng trên nhiều vấn đề chỉ trong một thời gian ngắn xuất hiện nhiều dạng toán mới lạ đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản trọng tâm và phải có kỹ năng làm bài thi trắc nghiệm. Đặc biệt với các em học sinh lớp 11 có rất nhiều dạng toán mới đòi hỏi các em đã bắt đầu cần có xu hướng tư duy nghiên cứu và sáng tạo. Lượng giác là một phần toán rất quan trọng trong chương trình toán 11. Để có kĩ năng cho học sinh giải bài tập trắc nghiệm phần lượng giác tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là “ Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”.
N
II. TÊN SÁNG KIẾN
“Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”
Y
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
M
Q
U
- Họ và tên: Doãn Hoài Nam. - Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc. - Số điện thoại: 0987272900. - Email: doanhoainam.c3yenlac@gmail.com.
KÈ
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm.
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
ẠY
Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học lượng giác lớp 11 THPT.
D
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ Ngày 10 tháng 10 năm 2019.
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
1
MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận: 1.1. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan là gì? Trắc nghiệm khách quan là một phương tiện kiểm tra, đánh giá về kiến thức hoặc để thu thập thông tin.
FF IC IA L
1.2. Ưu điểm và nhược điểm của câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Ưu điểm:
Ơ
N
O
Khảo sát được số lượng lớn thí sinh. Kết quả nhanh. Điểm số đáng tin cậy. Ngăn ngừa học tủ học lệch vì lượng kiến thức kiểm tra lớn. - Nhược điểm: Do có nhiều học sinh lười học nên có khuynh hướng khoanh bừa vì vậy không thấy rõ diễn biến tư duy của học sinh. Biên soạn đề tốn công sức. 1.3. Sự khác biệt giữa bài toán tự luận và bài toán trắc nghiệm
M
Q
U
Y
N
H
Bài toán tự luận yêu cầu thí sinh phải trình bầy lời giải một cách tuần tự với đầy đủ các bước để giải quyết vấn đề. Bài toán trắc nghiệm khách quan có nhiều dạng, tuy nhiên trong bài thi THPT quốc gia sẽ chỉ xuất hiện câu hỏi dạng lựa chọn 1 trong 4 phương án. Tức là cho trước 4 phương án lựa chọn, đáp số bài toán là một trong bốn phương án A, B, C, D. Trong đó một phương án đúng các phương án còn lại là các phương án nhiễu. Lưu ý có hai loại phương án nhiễu. +) Loại 1: Nhiễu xa tức là phương án này tách biệt hoàn toàn với phương án đúng, thí sinh dễ dàng tìm được đáp án đúng.
KÈ
+) Loại 2: Nhiễu gần tức là phương án này gần giống phương án đúng, có khả năng gây rối cao cho học sinh. Để loại được phương án này thí sinh cần có kiến thức cơ bản tốt và suy luận tốt.
ẠY
2. Thực trạng:
D
+) Khó khăn của học sinh khi làm bài thi bằng hình thức trắc nghiệm.
Khó khăn lớn nhất là áp lực thời gian bởi thí sinh phải vận dụng cả kiến thức và kĩ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian ngắn. Khó khăn thứ hai là câu hỏi trắc nghiệm đa dạng từ dễ đến khó. +) Trước kia khi dạy học lượng giác mới chỉ có dạng bài tập giải phương trình lượng giác. Học sinh chưa biết cách làm bài tập trắc nghiệm dựa vào lí thuyết lượng giác. Để làm được điều này đòi hỏi học sinh phải rất vững về lí thuyết và thông qua bài tập trắc nghiệm rèn được học sinh tính sáng tạo, tư duy sâu sắc. 2
D
ẠY
KÈ
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
FF IC IA L
Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm kiếm, thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm về lượng giác và kĩ năng giải quyết các câu hỏi đó. Phần tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả.
3
CHĆŻĆ NG II: Máť˜T Sáť? K᝸ NÄ‚NG LĂ€M BĂ€I TẏP TRẎC NGHIᝆM LƯᝢNG GIĂ C
1. KÄŠ năng dĂšng Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc: 1.1.
+
Là thuyết vᝠđư�ng tròn lưᝣng giåc
đ??´
−
D
áş Y
KĂˆ
M
Q
U
Y
N
H
Ć
N
O
FF IC IA L
+) Ä?Ć°áť?ng tròn Ä‘áť‹nh hĆ°áť›ng lĂ máť™t Ä‘Ć°áť?ng tròn trĂŞn Ä‘Ăł Ä‘ĂŁ cháť?n máť™t chiáť u chuyáťƒn Ä‘áť™ng gáť?i lĂ chiáť u dĆ°ĆĄng, chiáť u ngưᝣc lấi gáť?i lĂ chiáť u âm. Ta quy Ć°áť›c cháť?n chiáť u ngưᝣc váť›i chiáť u quay cᝧa kim Ä‘áť“ng háť“ lĂ chiáť u dĆ°ĆĄng. TrĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘áť‹nh hĆ°áť›ng cho hai Ä‘iáťƒm A vĂ B. Ä?iáťƒm M di Ä‘áť™ng trĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn luĂ´n theo máť™t chiáť u (âm hoạc dĆ°ĆĄng) tᝍ A Ä‘áşżn B tấo nĂŞn máť™t cung lưᝣng giĂĄc cĂł Ä‘iáťƒm đầu A vĂ Ä‘iáťƒm cuáť‘i B. Váť›i hai Ä‘iáťƒm A, B Ä‘ĂŁ cho trĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘áť‹nh hĆ°áť›ng ta cĂł vĂ´ sáť‘ cung lưᝣng giĂĄc Ä‘iáťƒm đầu A, Ä‘iáťƒm cuáť‘i B. Máť—i cung nhĆ° váşy Ä‘áťƒ đưᝣc kĂ˝ hiᝇu lĂ AB Nháşn xĂŠt: Ä?Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc, cung lưᝣng giĂĄc, gĂłc lưᝣng giĂĄc lĂ khĂĄi niᝇm rẼt khĂł Ä‘áť‘i váť›i háť?c sinh pháť• thĂ´ng. Máť—i Ä‘iáťƒm trĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn lĂ biáťƒu diáť…n Ä‘iáťƒm cuáť‘i cᝧa vĂ´ sáť‘ cung lưᝣng giĂĄc vĂ gĂłc lưᝣng giĂĄc. +) GĂłc lưᝣng giĂĄc D TrĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘áť‹nh hĆ°áť›ng cho máť™t cung lưᝣng giĂĄc CD . Máť™t Ä‘iáťƒm M chuyáťƒn Ä‘áť™ng trĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn tᝍ C táť›i D tấo nĂŞn cung lưᝣng giĂĄc nĂłi trĂŞn. Khi Ä‘Ăł tia OM quay xung quanh gáť‘c O O tᝍ váť‹ trĂ OC táť›i váť‹ trĂ OD. Ta nĂłi tia OM M tấo ra máť™t gĂłc lưᝣng giĂĄc, cĂł tia đầu lĂ OC, C tia cuáť‘i lĂ OD. KĂ hiᝇu gĂłc lưᝣng giĂĄc Ä‘Ăł lĂ (đ?‘‚đ??ś, đ?‘‚đ??ˇ). +) Ä?Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc Trong mạt pháşłng táť?a Ä‘áť™ đ?‘‚đ?‘Ľđ?‘Ś váş˝ Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘áť‹nh hĆ°áť›ng tâm đ?‘‚ bĂĄn kĂnh đ?‘… = 1. B(0;1) Ä?Ć°áť?ng tròn nĂ y cắt hai tr᝼c táť?a Ä‘áť™ tấi 4 Ä‘iáťƒm đ??´(1; 0), đ??´â€˛ (−1; 0), đ??ľ(0; 1), đ??ľâ€˛(0; −1). + Ta lẼy đ??´(1; 0) lĂ m Ä‘iáťƒm gáť‘c cᝧa Ä‘Ć°áť?ng tròn Ä‘Ăł. A’(-1;0) A(1;0) Ä?Ć°áť?ng tròn xĂĄc Ä‘áť‹nh nhĆ° trĂŞn đưᝣc gáť?i lĂ O Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc (gáť‘c A).
B’(0;1)
+) Sáť‘ Ä‘o cᝧa cĂĄc cung lưᝣng giĂĄc cĂł cĂšng Ä‘iáťƒm đầu vĂ Ä‘iáťƒm cuáť‘i sai khĂĄc nhau máť™t báť™i cᝧa 2đ?œ‹ . Ta viáşżt: sÄ‘ AM = đ?›ź + đ?‘˜2đ?œ‹, đ?‘˜ ∈ ℤ. 4
O
FF IC IA L
+) Sáť‘ Ä‘o cᝧa gĂłc lưᝣng giĂĄc (đ?‘‚đ??´, đ?‘‚đ??ś) lĂ sáť‘ Ä‘o cᝧa cung lưᝣng giĂĄc AC tĆ°ĆĄng ᝊng. ChĂş Ă˝: VĂŹ máť—i cung lưᝣng giĂĄc ᝊng váť›i máť™t gĂłc lưᝣng giĂĄc vĂ ngưᝣc lấi, Ä‘áť“ng tháť?i sáť‘ Ä‘o cᝧa cĂĄc cung vĂ gĂłc lưᝣng giĂĄc tĆ°ĆĄng ᝊng lĂ trĂšng nhau nĂŞn tᝍ nay váť sau khi ta nĂłi váť cung thĂŹ Ä‘iáť u Ä‘Ăł cĹŠng Ä‘Ăşng cho gĂłc vĂ ngưᝣc lấi. +) Cháť?n Ä‘iáťƒm gáť‘c đ??´(1; 0) lĂ m Ä‘iáťƒm đầu cᝧa tẼt cả cĂĄc cung lưᝣng giĂĄc trĂŞN Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc. Ä?áťƒ biáťƒu diáť…n cung lưᝣng giĂĄc cĂł sáť‘ Ä‘o đ?›ź trĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc ta cần cháť?n Ä‘iáťƒm cuáť‘i M thuáť™c cung nĂ y. Ä?iáťƒm cuáť‘i M đưᝣc xĂĄc Ä‘áť‹nh báť&#x;i hᝇ thᝊc: sÄ‘ AM = đ?›ź. 1.2. KÄŠ năng dĂšng Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc 1.2.1. Ä?áťƒ cĂł kÄŠ năng dĂšng Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc trong cĂĄc câu háť?i váť tĂnh Ä‘áť“ng biáşżn ngháť‹ch biáşżn cᝧa hĂ m lưᝣng giĂĄc cần nắm rĂľ tĂnh chẼt nhĆ° sau: HĂ m y = sin x Ä‘áť“ng biáşżn trĂŞn cĂĄc khoảng thuáť™c náťa bĂŞn phải tr᝼c tung, ngháť‹ch biáşżn trĂŞn cĂĄc khoảng thuáť™c náťa bĂŞn trĂĄi tr᝼c tung. HĂ m y = cos x Ä‘áť“ng biáşżn trĂŞn cĂĄc khoảng thuáť™c náťa bĂŞn dĆ°áť›i tr᝼c hoĂ nh, ngháť‹ch biáşżn trĂŞn cĂĄc khoảng thuáť™c náťa bĂŞn trĂŞn tr᝼c hoĂ nh.
N
HĂ m y = tan x Ä‘áť“ng biáşżn trĂŞn cĂĄc khoảng khĂ´ng chᝊa Ä‘iáťƒm k
ď ° ( váť hĂŹnh ảnh 2
N
H
Ć
khoảng Ä‘Ăł náşąm hoĂ n toĂ n áť&#x; bĂŞn trĂĄi hoạc bĂŞn phải tr᝼c tung) HĂ m y = cot x ngháť‹ch biáşżn trĂŞn cĂĄc khoảng khĂ´ng chᝊa Ä‘iáťƒm kď ° ( váť hĂŹnh ảnh khoảng Ä‘Ăł náşąm hoĂ n toĂ n áť&#x; bĂŞn trĂŞn hoạc bĂŞn dĆ°áť›i tr᝼c hoĂ nh) VĂ d᝼ 1: Kháşłng Ä‘áť‹nh nĂ o sau đây sai? ď ° A. y = tan x ngháť‹ch biáşżn trong ďƒŚďƒ§ 0; ďƒśďƒˇ . 2
ď ° B. y = cos x Ä‘áť“ng biáşżn trong ďƒŚďƒ§ − ; 0 ďƒśďƒˇ .
ď ° C. y = sin x Ä‘áť“ng biáşżn trong ďƒŚďƒ§ − ; 0 ďƒśďƒˇ .
ď ° D. y = cot x ngháť‹ch biáşżn trong ďƒŚďƒ§ 0; ďƒśďƒˇ . 2
ďƒ¸
U
Y
ďƒ¨
ďƒ¨ 2
ďƒ¸
ďƒ¨ 2 ďƒ¨
ďƒ¸
ďƒ¸
M
Q
Láť?i giải: Dáťąa vĂ o nháşn xĂŠt trĂŞn cĂł ngay Ä‘ĂĄp ĂĄn lĂ A VĂ d᝼ 2: HĂ m sáť‘ y = sin x Ä‘áť“ng biáşżn trĂŞn khoảng nĂ o sau đây? 5ď ° 7ď ° A. ďƒŚďƒ§ ; ďƒśďƒˇ . 4 ďƒ¸
ďƒ¨ 4
KĂˆ
ďƒ¨ 4
9ď ° 11ď ° ďƒś B. ďƒŚďƒ§ ; ďƒˇ.
7ď ° C. ďƒŚďƒ§ ;3ď ° ďƒśďƒˇ .
4 ďƒ¸
ďƒ¨ 4
ďƒ¸
7ď ° 9ď ° D. ďƒŚďƒ§ ; ďƒśďƒˇ ďƒ¨ 4
4 ďƒ¸
D
áş Y
L�i giải: D᝹a và o đư�ng tròn lưᝣng giåc có đåp ån là D
11đ?œ‹
9đ?œ‹
4
4
5đ?œ‹
7đ?œ‹ 4
4
5
VĂ d᝼ 3: TĂŹm mᝇnh Ä‘áť Ä‘Ăşng trong cĂĄc mᝇnh Ä‘áť sau? A. HĂ m sáť‘ y = cot x Ä‘áť“ng biáşżn trĂŞn khoảng ( 0; ď ° ) . B. HĂ m sáť‘ y = sin x ngháť‹ch biáşżn trĂŞn khoảng (ď ° ; 2ď ° ) . ď ° ď ° C. HĂ m sáť‘ y = cos x ngháť‹ch biáşżn trĂŞn khoảng ďƒŚďƒ§ − ; ďƒśďƒˇ . ďƒ¨ 2 2ďƒ¸
ďƒ¨ 2
2 ďƒ¸
Láť?i giải: Dáťąa vĂ o Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc cĂł Ä‘ĂĄp ĂĄn lĂ D 5đ?œ‹
O
2
FF IC IA L
3ď ° 5ď ° D. HĂ m sáť‘ y = sin x Ä‘áť“ng biáşżn trĂŞn khoảng ďƒŚďƒ§ ; ďƒśďƒˇ .
đ?œ‹
−
đ?œ‹ 2
H
3đ?œ‹
Ć
N
2đ?œ‹ 0
N
2
Q
U
Y
1.2.2. Ä?áťƒ cĂł kÄŠ năng dĂšng Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc trong câu háť?i váť phĆ°ĆĄng trĂŹnh lưᝣng giĂĄc háť?c sinh cần thĂ nh thấo kÄŠ năng biáťƒu diáť…n gĂłc lưᝣng giĂĄc trĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn. +) KÄŠ năng nháşn dấng sáť‘ Ä‘iáťƒm biáťƒu diáť…n:
M
LuĂ´n viáşżt gĂłc lưᝣng giĂĄc dĆ°áť›i dấng ď Ą + k ď °
+k
ď °
KĂˆ
Và d᝼ 1: x =
đưᝣc biáťƒu diáť…n 6 Ä‘iáťƒm trĂŞn Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc. Khi Ä‘Ăł ta
3 ď ° lẼy máť‘c lĂ Ä‘iáťƒm ráť“i chia Ä‘Ć°áť?ng tròn lĂ m 6 phần. 4
D
áş Y
4
2ď ° . Khi Ä‘Ăł n lĂ sáť‘ Ä‘iáťƒm biáťƒu diáť…n. n
7đ?œ‹ 12
đ?œ‹ 4
11đ?œ‹ 12
− 5đ?œ‹
5đ?œ‹ 12
4 −
5đ?œ‹ 12
6
+) Kĩ năng xem một khoảng là bao nhiêu vòng quay:
3 Ví dụ 2: Khoảng − ; 10 có điểm xuất phát và điểm cuối là điểm A, B và quay
2
O
FF IC IA L
5,75 vòng.
N
+) Khi đó dựa vào câu hỏi của đề bài để xử lí câu trả lời
N
H
Ơ
Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình 2sin x − 3 = 0 trên đoạn 0; 2 . A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải: Đoạn 0; 2 được biểu diễn bằng 1 vòng quay vậy số nghiệm của phương trình trên đoạn đó là 2 Đáp án: D
Y
3 Ví dụ 4 : Số nghiệm thực của phương trình 2sin x + 1 = 0 trên đoạn − ;10 là:
U
B. 11 .
C. 20 .
D. 21 .
Q
A. 12 .
2
Lời giải :
2
M
3 Đoạn − ;10 được biểu diễn bằng 5,75 vòng.
D
ẠY
KÈ
Vậy số nghiệm của phương trình là 12. Đáp án : A
Ví dụ 5: Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x = A. S =
5 . 6
B. S =
3
.
C. S =
2
.
D. S =
6
1 trên đoạn 2
− 2 ; 2
. 7
đ?œ‹
L�i giải: Vẽ đư�ng tròn lưᝣng giåc
2
ď ° ď ° ď ° Suy ra nghiᝇm trĂŞn Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ − ; ďƒšďƒş lĂ x = ďƒŤ 2 2ďƒť
đ?œ‹ 6
6
FF IC IA L
Ä?ĂĄp ĂĄn: D
−
ď °
đ?œ‹ 2
VĂ d᝼ 6: PhĆ°ĆĄng trĂŹnh sin ďƒŚďƒ§ 3x + ďƒśďƒˇ = − cĂł bao nhiĂŞu nghiᝇm thuáť™c khoảng 3ďƒ¸ 2 ďƒ¨ A. 3. B. 4. C. 1. D. 2
N
đ??´
ďƒŚ ď °ďƒś ďƒ§ 0; ďƒˇ ďƒ¨ 2ďƒ¸
đ?œ‹ 3
H
Ć
Láť?i giải: đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ 11đ?œ‹ Khi đ?‘Ľ ∈ (0; ) suy ra 3đ?‘Ľ + ∈ ( ; ). 2 3 3 6 DĂšng Ä‘Ć°áť?ng tròn suy ra sáť‘ nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh lĂ 2. Ä?ĂĄp ĂĄn: D
O
3
N
−√3
đ??ľ
Q
U
Y
2
B.
KĂˆ
A. ď ° .
M
VĂ d᝼ 7: Cho phĆ°ĆĄng trĂŹnh 3sin x −1 = 0 . Táť•ng cĂĄc nghiᝇm thuáť™c ď › 0; ď ° ď ? cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh lĂ : ď ° . 3
C.
2ď ° . 3
D.
4ď ° . 3
L�i giải: Vẽ đư�ng tròn lưᝣng giåc ta thẼy 1 3
D
áş Y
Ä‘Ć°áť?ng tháşłng y = cắt Ä‘Ć°áť?ng tròn tấi 2 Ä‘iáťƒm suy ra phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł 2 nghiᝇm lĂ ď Ą vĂ ď ° − ď Ą . Váşy táť•ng nghiᝇm lĂ ď ° Ä?ĂĄp ĂĄn : A
đ?‘Ś=
1 3
8
3 cĂł hai cĂ´ng thᝊc nghiᝇm dấng ď Ą + kď ° , ď ˘ + kď ° 2
VĂ d᝼ 8: PhĆ°ĆĄng trĂŹnh sin 2 x = −
( k ďƒŽ ) váť›i ď Ą , ď ˘ thuáť™c khoảng A.
ď ° 2
.
ď ° 2
ďƒŚ ď ° ď °ďƒś ďƒ§ − ; ďƒˇ . Khi Ä‘Ăł, ď Ą + ď ˘ báşąng ďƒ¨ 2 2ďƒ¸
ď ° 3
C. ď ° .
B. − .
D. − .
FF IC IA L
Láť?i giải: x = ď Ą + kď ° ďƒž 2x = 2ď Ą + 2kď ° vĂ x = ď ˘ + kď ° ďƒž 2 x = 2ď ˘ + 2kď ° ď ° ď °
Do x ďƒŽ ďƒŚďƒ§ − ; ďƒśďƒˇ ďƒž 2 x ďƒŽ ( âˆ’ď ° ; ď ° ) . ďƒ¨ 2 2ďƒ¸ DĂšng Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc suy ra: 2ď Ą = −
ď °
ďƒžď Ą = −
ď °
3 6 2ď ° ď ° 2ď ˘ = − ďƒžď ˘ =− 3 3
đ?œ‹ −đ?œ‹
N
O
Ä?ĂĄp ĂĄn : B
2đ?œ‹ 3
−
đ?œ‹ 3
H
Ć
−
N
ď ° ď ° VĂ d᝼ 9: Táť•ng cĂĄc nghiᝇm thuáť™c khoảng ďƒŚďƒ§ − ; ďƒśďƒˇ cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh 4sin 2 2 x −1 = 0
B.
ď ° . 3
C. 0 .
U
A. ď ° .
Q
báşąng:
Y
ďƒ¨ 2 2ďƒ¸
Láť?i giải: 4sin 2 2 x − 1 = 0 ďƒ› cos4 x = ď ° ď °
D.
ď ° . 6
1 2
2đ?œ‹ −2đ?œ‹
D
áş Y
KĂˆ
M
Do x ďƒŽ ďƒŚďƒ§ − ; ďƒśďƒˇ ďƒž 4 x ďƒŽ ( −2ď ° ; 2ď ° ) ďƒ¨ 2 2ďƒ¸ Váş˝ Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc nháşn ra ngay táť•ng cĂĄc nghiᝇm báşąng 0. Ä?ĂĄp ĂĄn: C
Nháşn xĂŠt: BĂ i toĂĄn trĂŞn náşżu thay phĆ°ĆĄng trĂŹnh 4sin 2 2 x −1 = 0 báşąng phĆ°ĆĄng trĂŹnh 6sin 2 2 x − 1 = 0 náşżu khĂ´ng dĂšng Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc sáş˝ rẼt dĂ i dòng vĂ gạp rẼt nhiáť u khĂł khăn. VĂ d᝼ 10 : PhĆ°ĆĄng trĂŹnh cos 2x + 4sin x + 5 = 0 cĂł bao nhiĂŞu nghiᝇm trĂŞn khoảng ( 0;10ď ° ) ? A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 9
Láť?i giải: ďƒŠsin x = −1
PT Ä‘ĂŁ cho ďƒ› −2sin 2 x + 4sin x + 6 = 0 ďƒ› ďƒŞ
ďƒŤsin x = 3 (VN )
ďƒ› x=−
ď ° 2
+ k 2ď ° , ( k ďƒŽ
).
Theo Ä‘áť : x ďƒŽ ( 0;10ď ° ) . Khoảng nĂ y đưᝣc biáťƒu diáť…n báť&#x;i 5 vòng tròn vĂŹ váşy phĆ°ĆĄng
VĂ d᝼ 11: TĂnh táť•ng S cĂĄc nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh ( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos4 x ) + 3 = 0 trong khoảng ( 0; 2ď ° ) . A. S =
11ď ° . 6
B. S = 4ď ° .
D. S =
C. S = 5ď ° .
Láť?i giải: Ta cĂł: ( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos 4 x ) + 3 = 0
O
ďƒ› − ( 2 cos 2 x + 5 ) cos 2 x + 3 = 0 .
N
ďƒ› −2cos 2 (2 x) − 5cos 2 x + 3 = 0 1 2
DÚng đư�ng tròn lưᝣng giåc suy ra: ; 2x =
4đ?œ‹
5đ?œ‹ 3 11đ?œ‹ 3
U
Y
ď °
3
3
N
5ď ° 7ď ° 11ď ° ; 2x = ; 2x = 3 3 3 3 ď ° 5ď ° 7ď ° 11ď ° = 4ď ° . Do Ä‘Ăł: S = + + + 6 6 6 6 2x =
đ?œ‹
0 2đ?œ‹
H
x ďƒŽ ( 0; 2ď ° ) ďƒž 2 x ďƒŽ ( 0; 4ď ° ) .
7ď ° . 6
7đ?œ‹
Ć
⇔ cos� =
FF IC IA L
trĂŹnh cĂł 5 nghiᝇm trĂŞn khoảng Ä‘Ăł. Ä?ĂĄp ĂĄn : A
B.
KĂˆ
A. 55ď ° .
M
Q
Ä?ĂĄp ĂĄn: B 1.2.3. KÄŠ năng dĂšng Ä‘Ć°áť?ng tròn lưᝣng giĂĄc trong giải phĆ°ĆĄng trĂŹnh lưᝣng giĂĄc cĂł Ä‘iáť u kiᝇn VĂ d᝼ 1: TĂnh táť•ng cĂĄc nghiᝇm trong Ä‘oấn ď ›0;30ď ? cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh: tan x = tan3x (1) 171ď ° . 2
C. 45ď ° .
D.
190ď ° . 2
D
áş Y
L�i giải: Ch�n C
ď ° ďƒŹ x ď‚š + kď ° ďƒŻ cos x ď‚š 0 ďƒŹ ďƒŻ 2 ďƒ›ďƒ Ä?iáť u kiᝇn Ä‘áťƒ phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1) cĂł nghÄŠa ďƒ (*) ďƒŽcos 3x ď‚š 0 ďƒŻ x ď‚š ď ° + kď ° ďƒŻďƒŽ 6 3 kď ° Khi Ä‘Ăł, phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1) 3x = x + kď ° ďƒ› x = (2) 2
DẼu X biáťƒu tháť‹ Ä‘iáťƒm cuáť‘i cᝧa gĂłc báť‹ loấi (*),
10
dấu
.
biểu thị điểm của góc tìm được (2) . Nhìn trên đường tròn ta được nghiệm là x = k 2 x = + k 2 , x = 0;30 k = 0;...; 4 x 0; ; 2 ;....;9
N
O
FF IC IA L
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình (1) là: 45 .
Ơ
N
Y
x = + k . 6 A. , (k Z ) x = + k . 3
2sin 2 x − 3 = 0 (1) 2 cos x − 1 x = + k . 6 B. , (k Z ) x = − + k . 3
H
Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình:
Q
U
x = 6 + k . C. , (k Z ) x = − 2 + k .2 3
x = 6 + k .2 D. , (k Z ) x = + k . 3
KÈ
M
Lời giải: Chọn C Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa 1 x + k 2 2 3
ẠY
cosx
D
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm cuối của góc bị loại là dấu X. x = + k 3 6 Khi đó, phương trình (1) sin 2 x = (2) 2 x = + k 3
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm cuối của góc (2) là
. 11
So sánh với điều kiện bằng đường tròn lượng giác ta được đáp án C. 2 Ví dụ 3: Cho phương trình cos 4 x − cos 2 x + 2sin x = 0. Tính diện tích đa giác có các
cos x + sin x
đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. B. 2 2.
C.
2 . 2
D.
Lời giải: 4
Điều kiện: sin x + cos x 0 x − + k , k .
2 . 4
FF IC IA L
A. 2.
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc bị loại là 2 điểm Phương trình tương đương: cos 4 x − cos 2 x + 2sin 2 x = 0 2cos2 2 x − 1 − cos 2 x + 1 − cos 2 x = 0
N
O
cos2 2 x − cos 2 x = 0 x = k cos 2 x = 1 . (*) x = + k cos 2 x = 0 4 2
H
Ơ
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc nghiệm (*)là 6 điểm. Trong đó có 2 điểm trùng với góc bị loại. x = k
N
Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là
x = + k 4
.
U
Y
Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm cuối của các cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật. Đó là hình chữ nhật ACA’C’
4
D
ẠY
KÈ
M
Q
như hình vẽ, trong đó AOC = .
1 2
4
Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là S ACA 'C' = 4SOAC = 4. .OA.OC.sin = 2.
12
1.3.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x = A.
S=
5 6 .
B.
S=
3.
C.
1 trên đoạn 2
S=
2.
D.
− 2 ; 2 . S=
6.
B. Điểm E , điểm F . D. Điểm E , điểm D .
O
2.
N
A. Điểm D , điểm C . C. Điểm C , điểm F .
FF IC IA L
Câu 2. Nghiệm của phương trình 2sin x + 1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
A. 3 .
B. 2 .
H
Ơ
Câu 3. Số nghiệm của phương trình sin x + = 1 thuộc đoạn ; 2 là: 4
C. 0 .
D. 1 . số
M
A. 20179 .
Q
U
Y
N
Câu 4. Phương trình 2sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ( 0; 2 ) ? A. 2 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. Vô nghiệm. Câu 5. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn −2018 ; 2018 ? B. 20181 .
C. 16144 .
D. 16145 .
5 của phương trình 2sin x 1 2 B. 1 . C. 4 .
KÈ
Câu 6. Số nghiệm thuộc đoạn 0;
A. 3 .
0 là:
D. 2 .
ẠY
Câu 7. Cho phương trình 2sin x − 3 = 0 . Tổng các nghiệm thuộc 0; của phương trình là:
D
A.
4 3
B. .
.
C.
3.
D.
Câu 8. Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x =
A.
S=
6
.
B.
S=
3
.
C.
S=
2 3
− 2 ; 2 . 5 S= 6 . D.
1 trên đoạn 2
2
.
.
3 Câu 9. Số nghiệm thực của phương trình 2sin x + 1 = 0 trên đoạn − ;10 là:
2
13
A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
D. 21 .
Câu 10. Phương trình: 2sin 2 x − − 3 = 0 có mấy nghiệm thuộc khoảng ( 0;3 ) .
A. 8 .
3 B. 6 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 11. Biết các nghiệm của phương trình cos 2 x = −
+ k , k ; với m, n là các số nguyên dương. Khi đó m + n bằng n
A. 4.
B. 3.
C. 5.
FF IC IA L
x=−
1 có dạng x = + k và 2 m
D. 6.
Câu 12. Phương trình 2cos x + = 1 có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là 3
A. 1
B.
2
C. 0
D. 3
k Câu 13. Nghiệm của phương trình cot x + = 3 có dạng x = − + , k , m ,
*
và
k là phân số tối giản. Khi đó m − n bằng n B. −3 . C. −5 .
n
D. 3 .
N
A. 5 .
m
O
n
3
B. x =
11 . 12
H
A. x = .
Ơ
Câu 14. Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x −1 = 0 trong đoạn 0; là: C. x =
N
Câu 15. Cho hai phương trình cos3x −1 = 0 (1); cos 2 x = −
2 . 3
D. x =
5 . 6
1 (2). Tập các nghiệm của 2
3
+ k 2 , k . B. x = k 2 , k .
U
A. x =
Y
phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là
C. x = + k 2 , k
Q
D. x =
3
2 + k 2 , k . 3
M
Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là 1 2
KÈ
nghiệm của phương trình cos 2 x = − .
D
ẠY
2 A. , , . 3 6 6 C. , , ; 3 3 3
, , . 4 4 2
2 B. , , ; , , .
3 3 3 3 D. , , . 3 3 3
6 6
5 Câu 17. Số nghiệm của phương trình 2cos x = 3 trên đoạn 0; là
A. 2 .
B. 1 .
Câu 18. Số nghiệm của phương trình cos x = A. 4 .
B. 2 .
C. 4 .
2
D. 3 .
1 thuộc đoạn −2 ; 2 là? 2 C. 3 . D. 1 .
Câu 19. Phương trình cos 2 x + cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( − ; ) ? 14
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x − cos x = 0 trên khoảng ( 0; 2 ) bằng T . Khi đó T có giá trị là: A.
T=
7 . 6
B. T = 2 .
C.
T=
4 . 3
D.
T =
.
5 là 2
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
FF IC IA L
Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2cos x = 3 trên đoạn 0;
D. 3 .
Câu 22. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10 của phương trình sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 . A.
105 . 2
B.
105 . 4
C.
297 . 4
D.
299 . 4
O
Câu 23. Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( 0;10 ) ? A. 5 B. 4 C. 2 D. 3
H
Ơ
N
Câu 24. Phương trình cos 2 x + 2cos x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; 2019 ) ? A. 320 . B. 1009 . C. 1010 . D. 321.
N
Câu 25. Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ( 0;10 ) ? B. 4 .
A. 5 .
C. 2 .
D. 3 .
Q
11 . 6
B. S = 4 .
M
A. S =
U
Y
Câu 26. Tính tổng S các nghiệm của phương trình ( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos 4 x ) + 3 = 0 trong khoảng ( 0; 2 ) .
KÈ
Câu 27. Số nghiệm thuộc khoảng 0;3 A. 4 .
B. 3 .
D. S =
C. S = 5 . của phương trình cos 2 x C. 1 .
7 . 6
5 cos x 1 0 là 2 D. 2 .
D
ẠY
Câu 28. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos2 x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 x . A. x =
2
.
B. x = 0 .
D. x =
C. x = .
4
.
Câu 29. Phương trình cos 2 x + cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( − ; ) ? A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 9
15
Câu 30. Số nghiệm của phương trình sin 2 x + − 3cos x − = 1 + 2sin x với 2 2 x 0;2 là: A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 15
Câu 31. Phương trình
2017 2017 ; − 2 2 A. m = 2017 .
4 tan 2 x − 5 tan x + 1 = 0
có
nghiệm trong khoảng
m
?
C. m = 4034 .
B. 4032 .
D. m = 2018 .
FF IC IA L
Câu 32. Trong khoảng ( 0; 2 ) , phương trình cos 2 x + 3cos x + 2 = 0 có tất cả m nghiệm. Tìm m . A. m = 1. B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 2 . Câu 33. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10 của phương trình sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 . A.
105 . 2
B.
105 . 4
C.
297 . 4
D.
299 . 4
Câu 34. Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn 0; 200 của phương trình 2cos2 x + 3sin x + 3 = 0
B. T = 10050 .
20301 . 2
10403 . 2
D.
N
T=
C. T =
O
A. T = 10150 .
B. 3 .
2 2 D. 1 .
C. 2 .
N
A. 4 .
H
Ơ
Câu 35. Số nghiệm của phương trình cos 2 x + 3 cos x − 1 = 0 trong đoạn − ; là: x 2
x 2
Câu 36. Tính tổng S các nghiệm của phương trình (2 cos x + 5)(sin 4 − cos 4 ) + 3 = 0
B. S =
U
11 . 12
5 . 2
C. S = 2 .
D. S =
7 . 12
Q
A. S =
Y
trong khoảng ( 0; 2 )
M
Câu 37. Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x + cos 2x + cos3x = 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 2 .
KÈ
Câu38. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 5x cos 7 x = cos 4 x sin8x trên ( 0; 2 ) bằng
ẠY
A.
19 . 3
B.
9 . 2
C. 5 .
D. 7 .
D
Câu 39. Phương trình sin 2x + 3cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; ) A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 40. Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0;13 của phương trình 2cos3 x + cos2 x + cos 2 x = 0 . Tính tổng các phần tử của S . A.
380 3
B.
420 3
C. 120
D.
400 3
Câu 41. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos3x − cos 2 x + 9sin x − 4 = 0 trên khoảng ( 0;3 ) là 16
A. 5 .
B.
11 . 3
C.
25 . 6
D. 6 .
Câu 42. Cho phương trình ( 2sin x − 1) ( 3 tan x + 2sin x ) = 3 − 4 cos 2 x . Gọi T là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0; 20 của phương trình trên. Tính tổng các phần tử của T . 570 . 3
B.
875 . 3
C.
880 . 3
D.
1150 . 3
FF IC IA L
A.
Câu 43. Số nghiệm của phương trình 2sin 2 2 x + cos 2 x + 1 = 0 trong 0; 2018 là A. 1008 . B. 2018 . C. 2017 . D. 1009 .
Câu 44. Số nghiệm của phương trình sin x + 4cos x = 2 + sin 2 x trong khoảng ( 0;5 ) là: A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 . Câu 45. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8cot 2 x ( sin 6 x + cos 6 x ) = sin 4 x
O
1 2
trên đường tròn lượng giác là : A. 2 . B. 4 .
D. 0 .
N
C. 6 .
Câu 47. Số
B. 1 . nghiệm
N
A. 3 .
2
H
Ơ
3 3 Câu 46. Số nghiệm thuộc − ; − của phương trình 3 sin x = cos − 2 x là:
thuộc
khoảng
C. 2 .
4 − 3 ; 2
D. 0 . của
phương
trình
C. 6 .
D. 2 .
Q
U
Y
cos ( + x ) + 3 sin x = sin 3 x − là 2 A. 4 . B. 3 .
2
M
Câu 48. Với − x số nghiệm của phương trình cos x + cos 2x + cos3x + cos 4 x = 0 là A. 3 . B. 6 . C. 8 . D. 0 .
D
ẠY
KÈ
Câu 49. Phương trình (1 + cos 4 x ) sin 2 x = 3cos 2 2 x có tổng các nghiệm trong đoạn 0; là: A.
. 3
B.
3 2
.
C. .
D.
2 . 3
Câu 50. Tìm số nghiệm của phương trình 3sin 2 2 x + cos 2 x − 1 = 0, x 0; 4 ) . A. 8 B. 2 C. 4 D. 12 Câu 51. Phương trình sin 3x + 2cos 2 x − 2sin x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc 7 ;0 . − 8 A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 0 .
17
Câu 52. Tìm nghiệm của phương trình A. x =
+ k ; k . B. x =
6 7 + k ; k . C. x = 6
Câu 53. Số
vị
trí
điểm
cos x − 3 sin x =0. 2sin x − 1
7 + k 2 ; k . 6
D. x = biểu
diễn
các
6
+ k 2 ; k .
nghiệm
của
2. Kĩ năng dùng công thức lượng giác: 2.1.
Công thức lượng giác: sin( x + y ) = sin x cos y + cosx sin y sin( x − y ) = sin x cos y − cosx sin y cos( x + y ) = cosx cos y − sin x sin y
D. 3 .
O
Công thức cộng:
trình
FF IC IA L
sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 = 0 trên đường tròn lượng giác là: tan x + 3 A. 4 . B. 1 . C. 2 .
phương
cos( x − y ) = cosx cos y + sin x sin y
cos2x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
Ơ
Công thức nhân đôi, nhân ba:
N
sin 2 x = 2sin x cosx
cos3x = 4 cos3 x − 3cos x
D
ẠY
KÈ
M
Q
U
Y
N
H
sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 2 Công thức tổng thành tích: x+ y x− y co s x + co s y = 2co s cos 2 2 x+ y x− y co s x − co s y = −2sin sin 2 2 1 cosx.cosy = [cos( x + y ) + c os( x − y )] 2 1 Công thức tích thành tổng: s inx.sin y = − [cos( x + y ) − c os( x − y )] 2 1 sinx.cosy = [sin( x + y ) + sin( x − y )] 2
2.2.
Kĩ năng dùng công thức lượng giác: Dùng công thức lượng giác để biến đổi điều kiện phù hợp với bài toán
Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình
cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 là: cos x
18
x = 2 + k 2 C. x = + k 2 ( k 6 x = 5 + k 2 6
x = 6 + k B. (k x = 5 + k 6
).
x = 6 + k 2 D. (k x = 5 + k 2 6
).
).
FF IC IA L
x = 2 + k 2 A. x = + k ( k 6 x = 5 + k 6
Lời giải
O
Điều kiện xác định: cos x 0 sinx 1 . Khi đó phương trình trở thành:
).
sin x = 1 (1) cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 −2sin x + 3sin x − 1 = 0 sin x = 1 (2) 2
N
2
x = + k 2 6 x = 5 + k 2 6
H
Ơ
Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được
Y
N
với k .
U
Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình cot x − tanx+4sin2x=
).
x = 3 + k B. (k x = − + k 3
).
x = 6 + k 2 D. (k x = 5 + k 2 6
D
ẠY
KÈ
M
Q
x = 4 + k A. x = + k ( k 6 x = − + k 6 x = k C. x = + k ( k 3 x = − + k 3
2 là: sin 2 x
).
).
Lời giải Điều kiện xác định: sin 2 x 0 cos2x 1 Khi đó phương trình trở thành: cos 2 x = 1 (1) 2cos 2 x − cos 2 x − 1 = 0 cos 2 x = 1 (2) 2 2
19
Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được x = + k 3 x = − + k 3
với k .
Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình tan 3x.cot x = −1 là: 4
(k ) .
).
x = + k 2 C. x = + k ( k ) . D. 6 (k 4 2 x = 5 + k 2 6
Lời giải 1 2
).
O
A. x = k
x = 3 + k B. (k x = − + k 3
FF IC IA L
Đáp án : B
Ơ
Khi đó phương trình trở thành:
N
Điều kiện xác định: sin x.c os3x 0 ( sin 4 x − sin 2 x ) 0 sin 2 x ( 2 cos 2 x − 1) 0
N
H
sin 2 x = 0(1) sin 3x.c osx+sinx.cos 3 x = 0 sin 4 x = 0 cos 2 x = 0(2)
4
Y
Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được x = + k
Q
U
với k . Đáp án : C
Ví dụ 4: Nghiệm của phương trình
cos8 x = 0 là: sin 4 x
x = 3 + k B. (k x = − + k 3
M
ẠY
KÈ
A. x = k
D
2
C. x =
4
(k ) .
+ k (k 16 8
x = + k 2 6 D. (k x = 5 + k 2 6
).
).
).
Lời giải Điều kiện xác định: sin 4 x 0 sin 4 x 0 cos8x 1 Khi đó phương trình trở thành: 2
cos8 x = 0 x =
16
+k
4
(thỏa mãn điều kiên)
Đáp án: C 20
sin 2 x = 0 là: sinx + 1 x = 2 + k B. (k x = + k 2 2
Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình 2
(k ) .
).
x = + k 2 C. x = + k ( k ) . D. (k ) . 2 2 x = k
Lời giải Điều kiện xác định: sinx −1 Khi đó phương trình trở thành:
O
sin x=0 s inx = 0 sin 2 x = 0 s inx = 1 cosx = 0 s inx = −1
FF IC IA L
A. x = k
N
x = k s inx = 0 Kết hợp điều kiện suy ra phương trình tương đương x = + k 2 s inx = 1 2
Ơ
Đáp án: D
2
4
(k ) .
B. x = + k
(k ) . 2
N
A. x = k
H
Ví dụ 6: Nghiệm của phương trình tan 2 x − tanx.tan 3x = 2 là:
Y
x = + k 2 C. x = + k ( k ) . D. 2 (k ) . x = k
Lời giải
Q
U
2
Điều kiện xác định:
KÈ
M
cos2 x −1 1 2 cosx.c os3x 0 ( cos 4 x + co s 2 x ) 0 2 cos 2 x + cos2 x − 1 0 1 2 cos 2 x 2
Khi đó phương trình trở thành:
ẠY
tanx(tanx − tan 3x) = 2 tan x
D
− s in2x = 2 sin 2 x = −cosx.c os3x cosx.c os3x
1 1 (1 − cos 2 x ) = − ( cos 4 x + co s 2 x ) cos 4 x = −1 cos 2 2 x = 0 ( thỏa mãn điều kiện). 2 2
4
Vậy nghiệm của phương trình là x = + k
2
Đáp án: B Ví dụ 7: Nghiệm của phương trình sin 4x = cos2x là:
21
4
B. x = + k
(k ) . 2
x = + k 2 C. x = + k ( k ) . D. (k ) . 2 2 x = k
Lời giải Cách 1: Phương trình tương đương
N
O
x = 12 + k 1 sin 2 x = 5 2sin 2 x.c os2 x = co s 2 x + k 2 x = 12 cos 2 x = 0 x = + k 4 2
FF IC IA L
x = 12 + k 5 A. x = + k . 12 x = + k 4 2
Cách 2: Phương trình tương đương
N
H
Ơ
x = +k 4 x = − 2 x + k 2 12 3 2 sin 4 x = sin( − 2 x) 2 x = + k 4 x = + 2 x + k 2 2 4
Q
U
Y
Đáp án: A Nhận xét: Khi biến đổi lượng giác cần phải biết biến đổi theo nhiều hướng phù hợp với đáp án bài toán nếu không rất khó nhận biết đáp án nào đúng. Từ đây giáo viên cũng có thể ra đề trắc nghiệm gây nhiễu cho học sinh. sin 2 x + sin x = −1 là: sin 3 x x = 2 + k B. (k ) . x = + k 2 2
M
Ví dụ 8: Nghiệm của phương trình
KÈ
2
(k ) .
x = + k 2 C. x = + k ( k ) . D. (k ) . 2 2 x = k
D
ẠY
A. x = k
Lời giải Điều kiện xác định:
sinx 0 cos x 1 sin 3 x 0 sin x(3 − 4sin x) = 0 1 3 cos x sin x 2 2 2
Khi đó phương trình trở thành:
22
sin x=0 sin 2 x + sin x + sin 3 x = 0 sin 2 x + 2sin 2 x.cos x = 0 cosx = 0 1 cosx = − 2 Kết hợp điều kiện suy ra phương trình tương đương cos x = 0 x = + k 2
Ví dụ 9: Nghiệm của phương trình 8sin x =
FF IC IA L
Đáp án: C Nhận xét: Trong ví dụ này có rất nhiều cách biến đổi. Tuy nhiên việc biến đổi như trên giúp loại nghiệm rất đơn giản. Ngoài ra nếu hs thành thạo đường tròn lượng giác thì cũng khá nhanh. 3 1 + là: cosx s inx
H
Ơ
N
O
x = + k 6 A. x = k ( k ) . B. (k ) . 2 x = − + k 12 2 x = + k 2 C. x = + k ( k ) . D. 2 (k ) . 2 x = k cos x 0 Điều kiện xác định:
Y
sin x 0
N
Lời giải:
U
Khi đó phương trình trở thành: 1 3 cosx − s inx 2 2
M
cos 3 x =
Q
4sin 2 x s inx = 3 s inx+cosx 2(cosx − cos 3 x) = 3 s inx+cosx
KÈ
3x = x + + k 2 x = + k 3 6 cos 3x = cos(x + ) 3 3x = − x − + k 2 x = − + k 3 12 2
D
ẠY
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình Đáp án: B Nhận xét: Nếu bài toán này học sinh làm theo cách biến đổi sau thì khó có thể nhận ra đáp án vì vậy khi làm bà tập trắc nghiệm kĩ năng biến đổi lượng giác theo nhiều hướng khác nhau là rất quan trọng. Phương trình tương đương với phương trình 8s in 2 xcosx = 3 s inx+cosx
23
Đây là phương trình đẳng cấp chia 2 vế cho cos3 x ta được phương trình tanx = 3 2 3 tan x − 7 tan x + 3tanx+1=0 tan x = tan x =
3−2 3+2
cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 là: cos x
x = + k 6 B. (k x = 5 + k 6
N
O
).
x = 6 + k 2 D. (k x = 5 + k 2 6
).
N
x = 2 + k 2 A. x = + k ( k ) . 6 5 x = + k 6 x = 2 + k 2 C. x = + k 2 ( k ) . 6 x = 5 + k 2 6
Ơ
Câu 1. Nghiệm của phương trình
FF IC IA L
Bài tập vận dụng:
H
2.3.
1 3
cos x − 3 sin x = 0. 2sin x − 1 7 A. x = + k ; k . B. x = + k 2 ; k . 6 6 7 + k ; k . C. x = D. x = + k 2 ; k . 6 6
M
Q
U
Y
Câu 2.Tìm nghiệm của phương trình
Câu 3. Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình
KÈ
sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 = 0 trên đường tròn lượng giác là: tan x + 3 A. 4 . B. 1 . C. 2 .
D
ẠY
Câu 4. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình
D. 3 .
( 2 cos x − 1)( sin 2 x − cos x ) = 0 sin x − 1
trên 0; ta được kết quả là: 2
A. T =
2 . 3
B. T =
2
.
C. T = .
D. T =
3
.
Câu 5. Tính tổng các nghiệm thuộc 0;100 của phương trình 3 − cos 2 x + sin 2 x − 5sin x − cos x = 0. 2 cos x − 3
24
A.
7475 . 3
7375 . 3
B.
Câu 6. Cho phương trình
C. 4950 .
cos 4 x − cos 2 x + 2sin 2 x = 0. cos x + sin x
D.
7573 . 3
Tính diện tích đa giác có các
đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. B. 2 2.
C.
2 . 2
D.
2 . 4
FF IC IA L
A. 2.
sin x sin 2 x + 2sin x cos 2 x + sin x + cos x = 3 cos 2 x sin x + cos x
Câu 7. Số nghiệm của phương trình trong khoảng ( − ; ) là: A. 2 . B. 4 .
C. 3 .
D. 5 .
cos 2 x − cos3 x − 1 Câu 8. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x − tan x = cos 2 x trên đoạn [1;70]
O
2
B. 263
A. 188
C. 363
D. 365
N
H
Ơ
N
sin 3x + cos 3x − 2 2 cos x + + 1 4 Câu 9. Số nghiệm của phương trình = 0 trong sin x khoảng 0; là 2 A. 2 . B. 1 . C. 0 . C. 3 .
Y
a2 sin 2 x + a 2 − 2 = có nghiệm, tham số a phải thỏa 1 − tan 2 x cos 2 x
U
Câu 10. Để phương trình
Q
mãn điều kiện:
a 1 B. . a 3
M
A. a 3 .
C. a 4 .
KÈ
Câu 11. Các nghiệm của phương trình 2 (1 + cos x ) (1 + cot 2 x ) =
D. a 1 . sin x − 1 được biểu sin x + cos x
ẠY
diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác? A. 3 . B. 2 . C. 4 .
D. 1 .
D
Câu 12. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x 1 + tan x tan sin x + cot x = 4 là 2
A. − . 6
B.
2
.
Câu 13. Số nghiệm của phương trình
( ;3 ) là A. 2 .
B. 1 .
C.
6
.
D. − . 2
tan 2 x − tan x + cot 2 x − cot x − 2 = 0 trong khoảng sin 2 x − 1
C. 0 .
C. 4. 25
Câu 14. TĂŹm nghiᝇm cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh ď ° 2
tan x − sin x 1 . = 3 sin x cos x
A. x = k ; k ďƒŽ .
B. Vô nghiᝇm
C. x = k 2ď ° ; k ďƒŽ .
D. x = + kď ° ; k ďƒŽ .
ď ° 2
sin 3x − sin x = cos2 x + sin 2 x . 2sin x
B. 5ď ° .
A. 4ď ° .
C.
3.1. Hà m sᝑ lưᝣng giåc Bảng biến thiên cᝧa hà m sᝑ lưᝣng giåc: ➢ Bảng biến thiên cᝧa hà m sᝑ � = sin �
N
đ?œ‹ 2
0
9 2
D. ď ° .
đ?œ‹
Ć
đ?‘Ľ
15 ď °. 2
O
3. KÄŠ năng dĂšng hĂ m sáť‘ lưᝣng giĂĄc:
FF IC IA L
Câu 15. TĂnh táť•ng cĂĄc nghiᝇm thuáť™c ď › 0;3ď ° ď ? cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh
H
1
0
Y
0
N
đ?‘Ś = sin đ?‘Ľ
Q
U
➢ Bảng biáşżn thiĂŞn cᝧa hĂ m sáť‘ đ?‘Ś = cos đ?‘Ľ −đ?œ‹
M
đ?‘Ľ
đ?œ‹ 2
đ?œ‹
1
D
áş Y
KĂˆ
đ?‘Ś = cos đ?‘Ľ −1
-1
➢ Bảng biến thiên cᝧa hà m sᝑ � = tan � �
0
đ?œ‹ 4
đ?œ‹ 2 +∞
1
đ?‘Ś = tan đ?‘Ľ 0
26
➢ Bảng biến thiên cᝧa hà m sᝑ � = cot � �
đ?œ‹ 2
0
đ?œ‹
+∞
0
FF IC IA L
đ?‘Ś = cot đ?‘Ľ
−∞
3.2. KÄŠ năng dĂšng hĂ m sáť‘ lưᝣng giĂĄc: Chᝧ yáşżu sĂĄng kiáşżn Ä‘Ć°a ra kÄŠ năng dĂšng hĂ m sáť‘ lưᝣng giĂĄc đạc biᝇt lĂ dĂšng bảng biáşżn thiĂŞn cᝧa hĂ m sáť‘ lưᝣng giĂĄc trong bĂ i táşp chᝊa tham sáť‘ ď ° VĂ d᝼ 1: TĂŹm m Ä‘áťƒ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cos x = m cĂł 3 nghiᝇm thuáť™c Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ −2ď ° ; ďƒšďƒş ďƒŤ
O
L�i giải:
2ďƒť
ď ° Ta cĂł bảng biáşżn thiĂŞn cᝧa hĂ m sáť‘ y = cos x trĂŞn Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ −2ď ° ; ďƒšďƒş lĂ :
0
2ďƒť
đ?œ‹ 2
0 1
0
0
−1
U
Y
N
đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ
Ć
1
−đ?œ‹
N
3đ?œ‹ − 2
−2đ?œ‹
H
đ?‘Ľ
ďƒŤ đ?œ‹ − 2
ďƒŤ
M
m ďƒŽ ď › 0;1ď ?
Q
ď ° Tᝍ bảng biáşżn thiĂŞn ta thẼy phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł 3 nghiᝇm thuáť™c Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ −2ď ° ; ďƒšďƒş khi 2ďƒť
ď ° 2ď ° VĂ d᝼ 2: TĂŹm m Ä‘áťƒ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cos 2x = m cĂł 3 nghiᝇm thuáť™c Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ − ; ďƒšďƒş
KĂˆ
ďƒŤ 2 3 ďƒť
L�i giải:
D
áş Y
ď ° 2ď ° Ta cĂł bảng biáşżn thiĂŞn cᝧa hĂ m sáť‘ y = cos 2x trĂŞn Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ − ; ďƒšďƒş lĂ : ďƒŤ 2 3 ďƒť
đ?‘Ľ
−2đ?œ‹
2đ?‘Ľ
−đ?œ‹
2đ?œ‹ 3 −
đ?œ‹ 2
0
đ?œ‹ 2
đ?œ‹
4đ?œ‹ 3
1 đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ
0 −1
0
−
1 3
−1 27
ď ° 2ď ° Tᝍ bảng biáşżn thiĂŞn ta thẼy phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł 3 nghiᝇm thuáť™c Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ − ; ďƒšďƒş khi ďƒŤ 2 3 ďƒť
1ďƒš ďƒŠ m ďƒŽ ďƒŞ −1; − ďƒş 2ďƒť ďƒŤ
ď ° ď ° VĂ d᝼ 3: TĂŹm m Ä‘áťƒ phĆ°ĆĄng trĂŹnh sin(2 x − ) = m cĂł 2 nghiᝇm thuáť™c Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ âˆ’ď ° ; ďƒšďƒş ďƒŤ
4
ď °
Ta cĂł bảng biáşżn thiĂŞn cᝧa hĂ m sáť‘ y = sin(2 x − ) 4
đ?‘Ľ
thu᝙c đoấn
−đ?œ‹
2đ?‘Ľ −
đ?œ‹ 4
−
9đ?œ‹ 4
−
3đ?œ‹ 2
−
đ?œ‹ 2
O
1
1 √2
−
N
−1
Ć
−
3đ?œ‹ 4
đ?œ‹ 2
1 đ?œ‹ đ?‘Ś = sin (2đ?‘Ľ − ) 4
ď °ďƒš ďƒŠ − ď ° ; lĂ : ďƒŞďƒŤ 2 ďƒşďƒť đ?œ‹ 2
FF IC IA L
L�i giải:
2ďƒť
1 √2
H
ď ° Tᝍ bảng biáşżn thiĂŞn ta thẼy phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł 2 nghiᝇm thuáť™c Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ âˆ’ď ° ; ďƒšďƒş khi 2ďƒť
N
1 ďƒš ďƒŠ m ďƒŽ ďƒŞ −1; − ďƒˆ ď ť1ď ˝ 2 ďƒşďƒť ďƒŤ
ďƒŤ
U
Y
ď ° ď ° VĂ d᝼ 4: TĂŹm m Ä‘áťƒ phĆ°ĆĄng trĂŹnh sin( x + ) = m cĂł 2 nghiᝇm thuáť™c Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ − ; ď ° ďƒšďƒş
Q
L�i giải:
ďƒŤ 2
3
ďƒť
ď °
Ta có bảng biến thiên cᝧa hà m sᝑ y = sin( x + ) là :
M
đ?‘Ľ
đ?œ‹ 3
KĂˆ đ?‘Ľ+
3
đ?œ‹ đ?œ‹ 2
4đ?œ‹ 3
1 −
1 2
−
√3 2
D
áş Y
đ?œ‹ đ?‘Ś = sin (đ?‘Ľ + ) 3
đ?œ‹ − 2 đ?œ‹ − 6
ď °
Tᝍ bảng biáşżn thiĂŞn ta thẼy phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł 2 nghiᝇm thuáť™c Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ − ; ď ° ďƒšďƒş khi ďƒŤ 2 ďƒť ďƒŠ 1 ďƒś m ďƒŽ ďƒŞ − ;1ďƒˇ ďƒŤ 2 ďƒ¸
28
VĂ d᝼ 5: Cho phĆ°ĆĄng trĂŹnh (1 + cos x )( cos 4 x − m cos x ) = m sin 2 x . TĂŹm tẼt cả cĂĄc giĂĄ tráť‹ 2ď ° cᝧa m Ä‘áťƒ phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł Ä‘Ăşng 3 nghiᝇm phân biᝇt thuáť™c ďƒŠďƒŞ0; ďƒšďƒş . ďƒŤ
A. m ďƒŽ ďƒŠďƒŞ − ; ďƒšďƒş . ďƒŤ 2 2ďƒť
B. m ďƒŽ ( âˆ’ď‚Ľ ; − 1ď ? ďƒˆ ď ›1; + ď‚Ľ ) .
C. m ďƒŽ ( −1;1) .
D. m ďƒŽ ďƒŠďƒŞ − ;1ďƒśďƒˇ . ďƒŤ 2 ďƒ¸ Láť?i giải
1 1
3 ďƒť
FF IC IA L
1
Ta cĂł: (1 + cos x )( cos 4 x − m cos x ) = m sin 2 x ďƒ› (1 + cos x )( cos 4 x − m cos x ) − m (1 − cos 2 x ) = 0 ďƒŠcos x = −1 ďƒ› (1 + cos x ) ďƒŠďƒŤcos 4 x − m cos x − m (1 − cos x ) ďƒšďƒť = 0 ďƒ› ďƒŞ . ďƒŤcos 4 x = m
➢ XĂŠt phĆ°ĆĄng trĂŹnh cos x = −1 ďƒ› x = ď ° + k 2ď ° ( k ďƒŽ ) .
2ď ° PhĆ°ĆĄng trĂŹnh cos x = −1 khĂ´ng cĂł nghiᝇm trong Ä‘oấn ďƒŠďƒŞ0; ďƒšďƒş .
2ď ° ďƒš ďƒŠ 8ď ° ďƒš ďƒşďƒť ďƒ› 4 x ďƒŽ ďƒŞďƒŤ0; 3 ďƒşďƒť .
N
➢ XĂŠt cos 4x = m . Ta cĂł x ďƒŽ ďƒŠďƒŞ0; ďƒŤ 3
3 ďƒť
O
ďƒŤ
0
đ?œ‹
3
] lĂ : 2đ?œ‹ 3
3đ?œ‹ 2
2đ?œ‹
8đ?œ‹ 3
5đ?œ‹ 2
1
0
0
0 −
M
đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘œđ?‘ 4đ?‘Ľ
đ?œ‹ 2
Q
1
N
4đ?‘Ľ
Y
0
U
đ?‘Ľ
8đ?œ‹
H
Ć
Ta có bảng biến thiên cᝧa hà m sᝑ y = cos 4x trên đoấn [0;
KĂˆ
−1
1 2
áş Y
Tᝍ bảng biáşżn thiĂŞn ta thẼy: Váť›i 4 x ďƒŽ ď › 0; 2ď ° ď ? \ ď ťď ° ď ˝ vĂ m ďƒŽ ( −1;1ď ? phĆ°ĆĄng trĂŹnh cos 4x = m cĂł 2 nghiᝇm.
D
Váť›i 4 x ďƒŽ ďƒŚďƒ§ 2ď ° ; ďƒ¨
8ď ° ďƒš 1 vĂ m ďƒŽ ďƒŠďƒŞ − ;1ďƒˇďƒś phĆ°ĆĄng trĂŹnh cos 4x = m cĂł 1 nghiᝇm. ďƒş 3 ďƒť ďƒŤ 2 ďƒ¸
2ď ° 1 Váşy phĆ°ĆĄng trĂŹnh cĂł 3 nghiᝇm phân biᝇt thuáť™c ďƒŠďƒŞ0; ďƒšďƒş khi m ďƒŽ ďƒŠďƒŞ − ;1ďƒˇďƒś ďƒŤ 3 ďƒť ďƒŤ 2 ďƒ¸ VĂ d᝼ 6: CĂł bao nhiĂŞu giĂĄ tráť‹ nguyĂŞn cᝧa tham sáť‘ m Ä‘áťƒ phĆ°ĆĄng trĂŹnh ďƒŚ ď ° ďƒś cos3x − cos 2x + m cos x = 1 cĂł Ä‘Ăşng bảy nghiᝇm khĂĄc nhau thuáť™c khoảng ďƒ§ − ; 2ď ° ďƒˇ ? ďƒ¨ 2 ďƒ¸
A. 3 .
B. 5 .
C. 7 .
D. 1 .
L�i giải 29
cos3x − cos 2x + m cos x = 1
ďƒ› 4 cos3 x − 3cos x − ( 2 cos 2 x − 1) + m cos x = 1
ďƒ› 4 cos3 x − 2 cos 2 x + ( m − 3) cos x = 0
ďƒŠt = 0
Ä?ạt t = cos x váť›i t ďƒŽ ď › −1;1ď ? . Ta cĂł: PT ďƒ› ďƒŞ 2 ďƒŤ 4t − 2t + ( m − 3) = 0 (*) ď ° Ta cĂł bảng biáşżn thiĂŞn cᝧa hĂ m sáť‘ y = cos x trĂŞn khoảng ďƒŚďƒ§ − ; 2ď ° ďƒśďƒˇ lĂ : đ?œ‹ − 2
đ?‘Ľ
đ?œ‹ 2
0
đ?œ‹
1 đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ
0
0
+ kď ° , cĂł 2 nghiᝇm lĂ
ď ° 3ď ° ď ° ; thuáť™c ďƒŚďƒ§ − ; 2ď ° ďƒśďƒˇ . 2 2 ďƒ¨ 2 ďƒ¸
N
2
O
−1
ď °
2đ?œ‹ 1
0
Váť›i t = 0 thĂŹ cos x = 0 ďƒ› x =
ďƒ¸ 3đ?œ‹ 2
FF IC IA L
ďƒ¨ 2
Ć
ď ° Váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ t ďƒŽ ( 0; 1) thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh t = cos x cĂł 3 nghiᝇm cᝧa thuáť™c ďƒŚďƒ§ − ; 2ď ° ďƒśďƒˇ .
H
ďƒ¨ 2
ďƒ¸
N
ď ° Váť›i máť—i giĂĄ tráť‹ t ďƒŽ ( −1;0ď ? thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh t = cos x cĂł 2 nghiᝇm cᝧa thuáť™c ďƒŚďƒ§ − ; 2ď ° ďƒśďƒˇ . ďƒ¨ 2
ďƒ¸
2
+ 2t + 3 , nghiᝇm
ďƒ¨ 2
ďƒ¸
cᝧa phĆ°ĆĄng trĂŹnh nĂ y lĂ hoĂ nh Ä‘áť™ giao Ä‘iáťƒm cᝧa
U
(*) ďƒ› m = −4t
Y
ď ° Váť›i t = −1 thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh t = cos x cĂł 1 nghiᝇm cᝧa thuáť™c ďƒŚďƒ§ − ; 2ď ° ďƒśďƒˇ .
M
Q
Ä‘Ć°áť?ng tháşłng đ?‘Ś = đ?‘š vĂ Ä‘áť“ tháť‹ hĂ m sáť‘ y = −4t 2 + 2t + 3 −1
KĂˆ
đ?‘Ą
D
áş Y
đ?‘Ś
0
1 4 13 4
1
3 1 −3
Káşżt hᝣp 2 bảng biáşżn thiĂŞn ta cĂł Ä‘áťƒ PT cĂł Ä‘Ăşng 7 nghiᝇm tháť?a mĂŁn thĂŹ phĆ°ĆĄng trĂŹnh (*) phải cĂł 2 nghiᝇm t1 ; t2 tháť?a mĂŁn Ä‘iáť u kiᝇn: −1  t1  0  t2  1 . Tᝍ bảng biáşżn thiĂŞn trĂŞn ta cĂł m ďƒŽ (1;3) . Váşy m = ď ť2ď ˝ .
30
3.3. Bài tập vận dụng: Câu 1: Tìm m để phương trình cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 có nghiệm thuộc 3 khoảng ; ? 2 2
A. m −1;0 .
B. m −1;0 ) .
C. m ( −1;0 ) .
D. m −1; . 2
FF IC IA L
1
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x −
A. 13 .
m + 2 = 0 có nghiệm thực? 4 B. 15 . C. 7 .
D. 9 .
O
Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình cos2 x + m sin x − m = 0 có nghiệm? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. vô số.
N
Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m + 2 = 0 có nghiệm thực? 4 B. 15 . C. 7 .
D. 9 .
H
A. 13 .
Ơ
sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x −
Y
nghiệm x 0; . 2 A. 3 .
N
Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình: 2sin x + ( m − 1) cos x = −m có
B. 1 .
D. Vô số.
C. 2 .
Q
U
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 cos3 x − cos 2 x + ( m − 3) cos x − 1 = 0 có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng − ; .
M
2 2
B. 3.
C. 0.
D. 1.
KÈ
A. 2.
ẠY
Câu 7: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos3 2 x − cos2 2 x = m sin 2 x có nghiệm thuộc khoảng 0; ? 6 A. 3 . B. 0 . C. 2 .
D
D. 1 . Câu 8: Cho phương trình (1 + cos x )( cos 4 x − m cos x ) = m sin x . Tìm tất cả các giá trị 2
2 của m để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc 0; .
A. m − ; . 2 2
B. m ( − ; − 1 1; + ) .
C. m ( −1;1) .
D. m − ;1 . 2
1 1
3
1
31
Câu 9: Số các giá trị thực của tham số m để phương trình ( sin x − 1) ( 2 cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m ) = 0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn 0; 2 là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. vô số. Câu
trị nguyên của 2cos3x = m − 2cos x + m + 6cos x có nghiệm? A. 5 . B. 4 . C. 6 .
10:
Có
bao
nhiêu
giá
tham
số
để
m
pt
3
D. 3 .
FF IC IA L
Câu 11:Tìm m để phương trình 2sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm x − ; 2 2 3 2
A. −1 m 3 .
C. 1 m 3 .
B. − m .
3 2
D. m .
O
Câu 12: Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm với ẩn x, ( x ) : 4 cos x − 3sin x = ( m3 − 4m + 3) x + m − 4. A. Vô số B. 2 C. 3 D. 1 Câu 13: Cho phương trình cos 2 x − ( 2m − 3) cos x + m − 1 = 0 ( m là tham số). Tìm tất cả 3 các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ; .
N
H
Ơ
N
2 2 A. 1 m 2 . B. m 2 . C. m 1 . D. m 1 . Câu 14 : Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình cos 2 x − 5sin x + m = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng − ; . 2 A. −1 m 6 . C. m −4 −1;6 )
B. −4 m 6 .
D. −4 m −1.
Y
Câu 16: Tất cả các giá trị của m để phương trình cos 2 x − ( 2m − 1) cos x − m + 1 = 0 có
C.
0 m 1.
D.
0 m 1.
D
ẠY
KÈ
M
Q
U
đúng 2 nghiệm x − ; là 2 2 A. −1 m 1 . B. −1 m 0 .
32
CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ: “MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC”
FF IC IA L
Trên đây là một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác trong chương trình Toán THPT mà bản thân tôi đã thực hiện một số năm ở trường THPT Yên Lạc. Tuy không phải là vấn đề hoàn toàn mới nhưng qua thực tế giảng dạy, khi áp dụng chuyên đề này cho bản thân tôi và tổ bộ môn, tôi thấy chuyên đề đã đạt được những kết quả và lợi ích cơ bản sau: 1. Về phương diện lý luận:
O
- Khơi dậy hứng thú ở người học nhằm nhóm lên ở học sinh niềm yêu thích môn học, tạo động lực bên trong để các em tích cực, tự giác tiếp thu kiến thức và say mê môn học.
Ơ
N
- Giúp học sinh nắm chắc nội dung, chương trình của chủ đề cũng như những yêu cầu cơ bản của chủ đề đó sẽ giúp các em có cái nhìn tổng thể về các kiến thức, kỹ năng cần nắm được của chủ đề: “Một số kĩ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”, từ đó tự xây dựng cho mình kế hoạch học tập hợp lý.
Y
N
H
- Sự phối kết hợp các pháp dạy học của giáo viên theo các hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập phân hóa theo định hướng phát triển các năng lực của HS, khiến cho mọi đối tượng học sinh vừa nắm được những kiến thức vừa học, rèn luyện các kỹ năng cơ bản, vừa chủ động, tự tin giải các bài tập tương tự.
Q
U
- Tăng cường kiểm tra, đánh giá không chỉ giúp học sinh kịp thời uốn nắn, bổ sung những chỗ hổng về kiến thức, những sai sót về kỹ năng mà còn điều chỉnh phương pháp giảng dạy của giáo viên cho phù hợp, hiệu quả. 2. Về phương diện thực tiễn:
M
2.1. Về chương trình SGK:
D
ẠY
KÈ
Kĩ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác trong SGK khá đơn giản và ít mà thực tế trong các đề thi lại khá dài, đa dạng và khó; HS cần phải nắm chắc kiến thức về lượng giác. Thế nhưng thời lượng dành cho phần này không nhiều nên giáo viên không có nhiều thời gian để rèn kỹ năng áp dụng các kiến thức đã học vào bài tập cũng như không có đủ thời gian chữa hết các dạng toán thường gặp của chủ đề này. - Hơn nữa, thực tế một số dạng bài tập nâng cao thường gặp thường yêu cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các công thức liên quan đến lượng giác vào việc giải bài toán. Vì vậy nội dung ôn tập phần này rất đa dạng và phong phú, đôi khi HS lúng túng khi không biết phải bắt đầu từ đâu. Vì thế, cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản, những dạng chủ yếu của chủ đề: “Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác” và có thời gian hợp lý giúp các em củng cố các kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng áp dụng các kiến thức đó vào giải bài tập vừa góp phần giúp các em có kiến thức vững chắc, tự 33
tin trong quá trình học tập một cách chủ động, tích cực tránh được cách tiếp cận thụ động hoặc cảm tính, tùy tiện khá phổ biến hiện nay, tạo điều kiện thuận lợi phục vụ tốt cho nội dung ôn thi THPT quốc gia sắp tới. 2.2. Về phía người dạy:
FF IC IA L
- Do nội dung, chương trình SGK cũ chưa quan tâm nhiều tới việc cung cấp nhiều hệ thống các bài tập trắc nghiệm nên đa số giáo viên còn chưa chú ý nhiều tới việc hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức, kỹ năng cơ bản vào giải các bài tập trắc nghiệm, mà chỉ thiên về việc giảng giải cho HS những nội dung chính trong bài. - Một số giáo viên tuy đã chú ý tới nhưng chưa có tính hệ thống, đôi khi còn quá lệ thuộc vào hệ thống các ví dụ, bài tập trong SGK, hoặc tài liệu có sẵn nên chất lượng và hiệu quả giảng dạy chưa cao.
O
- Khi dạy ôn nâng cao cho HS phục vụ cho chuyên đề, một số GV chưa có sự đầu tư nghiên cứu, sáng tạo ra các bài tập.
Ơ
N
Áp dụng chủ đề “Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác” giúp giáo viên chủ động và sáng tạo trong việc tổ chức cho học sinh học tập theo những dạng bài tập trắc nghiệm, giúp các em phát triển năng lực một cách khoa học, có hệ thống, vừa tránh được lối dạy tủ, học lệch, vừa góp phần đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng giảng dạy.
H
2.3.Về phía người học:
Q
U
Y
N
- Không ít học sinh còn chưa sử dụng thành thạo các kỹ năng, các thao tác cơ bản khi làm một bài tập trắc nghiệm lượng giác. Rèn luyện áp dụng các kiến thức, kỹ năng cơ bản vào giải các bài tập trắc nghiệm để giúp HS nâng cao năng lực tư duy, khả năng diễn đạt, tạo điều kiện cho các em tích cực, chủ động tiếp thu kiến thức mới, các phương pháp giải sáng tạo đạt kết quả cao. 3. Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến: Sĩ số % HS giỏi % HS Khá % HS TB
KÈ
Lớp
M
Kết quả sát hạch lớp 10A1 trước khi áp dụng sáng kiến % HS yếu
%HS kém
45
13%
77%
8%
2%
0%
11H
45
9%
50%
32%
9%
0%
D
ẠY
11A
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hành kiểm tra, sát hạch lại, kết quả đạt được rất khả quan. Cụ thể như sau: Lớp
Sĩ số % HS giỏi % HS Khá
% HS TB
% HS yếu
%HS kém
11A
45
45%
51%
4%
0%
0%
11H
45
30%
56%
14%
0%
0%
34
FF IC IA L
Qua bản thống kê trên, điều dễ thấy là khi chưa áp dụng SKKN này là việc vận dụng kiến thức vào giải các bài tập của học sinh chất lượng kém hơn. Tỷ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi quá ít, tỷ lệ học sinh trung bình trở xuống còn rất cao ở những lớp trung bình. Còn sau khi áp dụng SKKN này kết quả tiếp thu kiến thức, vận dụng kiến thức vào giải các bài tập của học sinh cao hơn (điểm Khá – Giỏi nhiều hơn; điểm trung bình ít hơn, điểm yếu – kém hầu như không còn). Điều đó đã chứng tỏ SKKN này đã góp phần đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng giảng dạy chủ đề: “Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác ”. Nội dung báo cáo này đã được áp dụng có hiệu quả trong tổ bộ môn Trường THPT Yên Lạc mấy năm qua. Đặc biệt, những nội dung này đã được thông qua trong buổi sinh hoạt chuyên môn ở tổ Toán trường THPT Yên Lạc được các thầy, cô giáo trong tổ chia sẻ và đánh giá cao.
D
ẠY
KÈ
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
Từ kết quả trong buổi sinh hoạt chuyên môn và kết quả đạt được qua các kỳ thi chung cấp trường, cấp Sở khi áp dụng rộng rãi SKKN này vào việc giảng dạy, ôn tập môn Toán cho thấy SKKN này đã giúp GV chủ động, tích cực hơn và giúp HS chủ động tiếp cận những bài toán thực tế hết sức quen thuộc xung quanh cuộc sống hàng ngày từ đó giúp các em yêu thích môn học hơn, tiếp thu kiến thức tốt hơn.
35
KẾT LUẬN Trên đây là những kinh nghiệm mà bản thân tác giả đã thực hiện trong thực tế giảng dạy môn Toán nói chung và chủ đề: “Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác” nói riêng ở Trường THPT Yên Lạc. Như đã nói ở trên, những kinh nghiệm này đã được áp dụng trong tổ chuyên môn Trường THPT Yên Lạc và thực sự đã góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả môn Toán nói chung và của chủ đề nói riêng.
FF IC IA L
Tuy nhiên, với kinh nghiệm ít ỏi của bản thân nên SKKN của tác giả khó tránh khỏi những khiếm khuyết. Với tinh thần cầu thị, tác giả rất mong nhận được sự tham gia, góp ý của các thầy cô lớp trước, các bạn đồng nghiệp để tác giả có một cái nhìn thấu đáo hơn và tiếp tục tham gia góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng, hiệu quả môn Toán nói chung và chủ đề: “Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác ”. Tác giả xin chân thành cảm ơn! VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT
O
Không.
N
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Ơ
- Sáng kiến được áp dụng trong điều kiện nhà trường cần đảm bảo yếu tố về cơ sở vật chất, thiết bị dạy học như phòng học bộ môn, máy chiếu, máy tính.
H
- Giáo viên có kiến thức, kỹ năng về dạy học bài tập trắc nghiệm.
N
- Học sinh chuẩn bị bài ở nhà chu đáo theo hướng dẫn của giáo viên, tích cực xây dựng bài trên lớp.
Y
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC DO SÁNG KIẾN
Q
U
1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
M
- Sáng kiến đã góp phần làm rõ cơ sở lí luận và thực tiễn trong việc khắc sâu và mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS giáo dục thường xuyên khá và giỏi.
ẠY
KÈ
- Sáng kiến đã cụ thể việc bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo trong học tập cho HS dưới các dạng bài toán. Trong mỗi dạng bài toán đều có các bài tập minh hoạ, ở mỗi bài tập minh họa đều có sự hướng dẫn, gợi mở của GV để HS phát hiện và giải quyết vấn đề.
D
- Sáng kiến đã đề ra các con đường khắc sâu và mở rộng kiến thức SGK để HS có thể tự học và nghiên cứu toán thực tế. - Sáng kiến có thể làm tài liệu tham khảo cho HS, GV bậc THPT. 2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: - Góp phần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, nâng cao hiệu quả bài học về các bài tập trắc nghiệm, qua đó góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục.
36
XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Tên tổ chức/cá nhân
TT
Địa chỉ
Phạm vi/lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Doãn Hoài Nam
THPT Yên Lạc
Dạy học môn Toán lớp 11
2
Tổ Toán
Trường THPT Yên Lạc
Dạy học môn Toán lớp 11
FF IC IA L
1
Yên Lạc, ngày 16 tháng 02 năm 2020
Thủ trưởng đơn vị
Tác giả sáng kiến
N
O
Yên Lạc, ngày.....tháng......năm 2020
D
ẠY
KÈ
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
Doãn Hoài Nam
37
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích11 Ban Cơ bản – Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2006. 2. Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 Ban Nâng cao – Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2006.
FF IC IA L
3. Sách Bài tập Đại số và giải tích 11 Ban Cơ bản – Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2006.
4. Sách Bài tập Đại số và giải tích 11 Ban Nâng cao – Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2006.
D
ẠY
KÈ
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
5. Tuyển tập các đề thi thử THPT quốc gia năm 2017.
38