NHÒ THÖÙC NIUTÔN Câu 1. Gọi T k là số hạng trong khai triển x 3 đó bằng 34. Hệ số của T k bằng A. 1287. B. 2574. Câu 2. Cho khai triển x 1 n
n
3. Biết
2n
13
2 y2
mà tổng số mũ của x và y trong số hạng
C. 41184.
x x
1
2n 1
a0
a1 x
a2 x
D. 54912.
2
...
a2 n x
2n
với n là số tự nhiên và
768 , tính a5 .
a2 k k 0
thức P x A. 2 2016.
1 x
2018
B. 2 2017.
Câu 4. Cho khai triển 1
x
n
sao cho tồn tại k thỏa mãn A. 21.
1 1009 C2018 . 2
. Tính S
C. 2 2018.
a2 x 2
a1 x
a0
ak ak 1
an x n với n
B. 90. B. n
Câu 6. Cho khai triển an x 1 n
5. Tìm n, biết a2 A. n 12.
a3
an
1
x 1
n 1
...
2x
83n. 13.
3x x
a0
x
x3
1 x
N
2
và
, n
15.
10
, có tất cả bao nhiêu số D. 32.
2
n 1 x 2
thứ 5 bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22. A. 0. B. 1. C. 2. x
14.
D. n
20
Câu 8. Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức 2 x
Câu 9. Trong khai triển của biểu thức x 3
bằng 804.
với mọi x
14.
1 x2
n
D. n
n
C. 30.
2017
1
12.
C. n
B. 29.
2
a1 x 1
Câu 7. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức x hạng ? A. 28.
2018
D. 642.
3
C. n
10.
n
a4 B. n
. Hỏi có bao nhiêu giá trị n
C. 91.
Câu 5. Tìm n, biết rằng hệ số của x trong khai triển x 8.
*
7 . 15 4
A. n
D. 2 2019.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x
T& G T
A. a5 B. a5 C. a5 D. a5 378. 378. 252. 126. Câu 3. Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị
có tổng số hạng thứ 3 và
D. 3.
. Tính tổng S của các hệ số của x 2 k
với k
1
D IỄ
nguyên dương.
2 2017.
B. S
Câu 10. Cho khai triển 1
x
A. S
2017.22016. x2
n
a3 a4 . Khi đó tổng S a0 14 41 A. S 310. B. S 311.
Biết rằng
Câu 11. Kí hiệu a3n sao cho a3n 3 A. n 4.
10
a1 x
a1
a2
a2 x 2
...
2
.
2
a2 n x 2 n với n là số tự nhiên và n
...
15.
. 2.
a2 n bằng 312.
C. S
là hệ số của số hạng chứa x 3n
3
313.
D. S
trong khai triển x 2
1
n
n
2 . Tìm n
x
B. n 10
5.
C. n
là hệ số của số hạng chứa x
5 n 10
8.
D. n
trong khai triển x
3
10. 1
n
x2
1000n n 1 , tìm n.
A. n
22016
2 2017
D. S
26n.
Câu 12. Kí hiệu a5n
a5n
3
a0
2 2016
2 2017
C. S
B. n
17.
C. n
19.
D. n
20.
n
2 . Biết
Câu 13. Cho khai triển x x
2 x
1
2. Tìm n, biết rằng a2 7n; nan ; an A. n 7. B. n 10.
n
2
a0
a2 x 2
a1 x C. n
D. n
12.
Câu 14. Xác định n biết rằng hệ số của x trong khai triển 1 A. n 5. B. n 6. Câu 15. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn
1
P x
x 1 2x
B. 2785130.
Câu 16. Khai triển 1 C110 a0
A. S
1 C11 a1
1 1
C. n Cnn
8. 1
x
2x
2
...
nx
14.
n 2
bằng 6n.
D. n 13. 171 . Tìm hệ số lớn nhất của biểu thức
sau khi khai triển và rút gọn.
A. 25346048.
S
với n là số tự nhiên và
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
n
n
1
an 1 x n
...
x
C112 a2
x
2
...
C113 a3
được viết thành a0
10 ... C11 a10
B. S
0.
x
C. 5570260.
10 11
D. 50692096. a1 x
a2 x
2
a110 x 110 . Tính tổng
...
11 C11 a11 .
C. S
10.
T& G T
n
n
1
D. S
11.
Câu 17. Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đa thức P x
2
2x
x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
của x 5 là 1001. Tổng các hệ số trong khai triển của P x bằng A. 1296. B. 7776. 1 x 2 Câu 18. Cho khai triên P x
C. 46656. x ... 1 2017 x a0
x3
n
thì hệ số
D. 279936. .... a2017 x 2017 . Kí hiệu
a2 x 2
a1 x
110.
2
P / x và P / / x lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức P x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. a2
P/ 0 .
P/ 0
B. a2
2
P/ / 0 .
C. a2
.
P/ / 0
D. a2
2
.
Câu 19. Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển 1 2x
3 . A. 8.C60 Câu 20**. Cho khai triển
x2
2x 2 x 1
2015 x 2016
3 C60 .
B.
a2 x 2
a1 x
60
.
3 . C. C 60
2018
a0
2017 x 2018
2016 x 2017
...
a2018 x 2018
3 . D. 8.C60
b1
x
b3
b2
1
x
1
2
x
1
3
b2018
... x
1
2018
2018
với x
1 . Tính tổng S
bk .
k 1
22018.
D IỄ
N
A. S
B. S
2 2017
1 1009 C2018 . 2
C. S
2 2017
---------- HẾT ----------
1 1009 C2018 . 2
D. S
2 2018
1 1009 C2018 . 2
NHÒ THÖÙC NIUTÔN 13
2 y2
đó bằng 34. Hệ số của T k bằng A. 1287. B. 2574.
C. 41184.
13
2y
2 13
C13k x
3 13 k
2y
2 k
C13k 2 k x 39
k 0
Câu 2. Cho khai triển x 1 n
2n
3k
y 2k
Tk
2 k C13k x 39
3k
y 2k .
k 0
Từ giả thiết bài toán, ta có 39 3k 2 k 34 k 5 5 Vậy hệ số của T k bằng 2 C13 41184. Chọn C.
3. Biết
D. 54912.
13
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Ta có x 3
n
mà tổng số mũ của x và y trong số hạng
T& G T
Câu 1. Gọi T k là số hạng trong khai triển x 3
x x
1
2n 1
a0
5.
a2 x 2
a1 x
...
a2 n x 2 n với n là số tự nhiên và
768 , tính a5 .
a2 k
k 0
A. a5
Lời giải. Ta có hay 22 n
B. a5
378.
1
f 1
a0
f
22 n
1
a1
a0
...
a2
a1
1536
C. a5
252.
a2
n
a2 n
...
378.
n
f 1
a2 n
f
1
2.
a2 k
1536
k 0
hệ số a5
5
D. a5
126.
C105
1
5
C94
126. Chọn C.
Câu 3. Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức P x
x
A. 2 2016.
1 x
2018
1 1009 C2018 . 2
. Tính S
B. 2 2017.
C. 2 2018.
D. 2 2019.
2018
2018 1 k C2018 . x 2018 2 k . x k 0 Để lũy thừa với số mũ nguyên dương thì 2018 2 k 1 1008 0 C2018 ... C2018 . Suy ra S C2018
Lời giải. Ta có x
k
1009.
D IỄ
N
0
1 1009 1 1009 1 1008 0 C2018 C2018 C2018 ... C2018 C2018 2 2 1 1009 1 1009 1 1008 0 2 S C2018 C2018 C2018 ... C2018 C2018 2 2
Suy ra S Cnk Cnn
k
1 C2018
0 C2018
Vậy S
1 1009 C2018 2
2018 C2018
2017 C2018
1010 ... C2018
1 1009 C2018 2
22018.
2 2017. Chọn B.
Câu 4. Cho khai triển 1
n
x
sao cho tồn tại k thỏa mãn A. 21. Lời giải. Ta có 1
2017 ... C2018
2018 C2018
a0 ak ak 1
B. 90. x
n
n
Cnk x k k 0
a1 x
a2 x 2
an x n với n
*
. Hỏi có bao nhiêu giá trị n
7 . 15
C. 91. hệ số của x k là Cnk .
D. 642.
2018
Vì n
nên k
*
Khi đó n
Cnk Cnk 1
7 15 1 7
21 22m
7 15
k
7m với m
6 m
2018
22 k 15 7
n
m
3k
Câu 5. Tìm n, biết rằng hệ số của x trong khai triển x B. n
Lời giải. Ta có x Do đó a4
Cn1
3
2x
2Cn2
2
3x x
3Cn3
5. Tìm n, biết a2 A. n 12.
n
a3
n
an
x 1
n
x
2x 1
2. n 1 n
x 1
3x 1
3.n n 1 n
...
a1 x 1 C. n
bằng 804.
n
a4
x
1
1
Cn2
83n
n
C
Cn3
0 n
x
1
Cn4
n
1 n
x .
2
12. Chọn C.
n
804
x n với mọi x
a0
D. n
14.
C x
n 1
1
C
n 1
83n
14.
n
3!
n 1
n
1
D. n n
x
2! 1
3x x
12.
2
83n. 13.
a4 B. n
2x 2
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Ta có x Vì a2
a3
3
n
804
Câu 6. Cho khai triển an x 1 n
1
21. 3
C. n
10. n
.
có 91 số. Chọn C.
0;1;2;...;90
4
8.
7
.
Chú ý: Nếu đề bài hỏi số nguyên dương nhỏ nhất thì n A. n
1
k
2
2 n
x
1
n 1 n
2
2!
và
T& G T
ak ak 1
Từ giả thiết
n 2
... C
15.
n 1 n
n 1 n
3!
, n
x 2 n
4!
Cnn .
1 4
83
13. Chọn B.
1 x2
Câu 7. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức x hạng ? A. 28.
B. 29.
Lời giải. Ta có x
1 x2
20
1 x
x3
20
1 x
x3
10
, có tất cả bao nhiêu số
C. 30.
10
20
C20k x 20
1 x2
k
k 0
20
D. 32.
k
10
C10m x
m 0
10
k
k 20
1 C x
1 x
3 10 m
m
m
20 3 k
1 C10m x 30
k 0
4m
.
m 0
Ta tìm các số hạng có cùng lũy thừa của x : 0 m 10, 0 k 20 k; m 2;4 , 6;7 , 10;10 . 20 3k 30 4 m 4 m 3k 10 Vậy trong khai triển đã cho có tất cả 21 11 3
29 số hạng. Chọn B.
Câu 8. Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức 2
x
2
n 1 x 2
có tổng số hạng thứ 3 và
D IỄ
N
thứ 5 bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22. A. 0. B. 1. C. 2. Lời giải. Số hạng thứ k
1 trong khai triển là T k
D. 3.
Cnk 2 x
n k
1
22
k x
.
Từ đó suy ra: Tổng hai số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135
T2
T4
Cn2 2 x
n 2
1
22
2 x
Cn4 2 x
n 4
1
22
4 x
1
135.
Tổng ba hệ số của ba số cuối bằng 22 n n 1 Cnn 2 Cnn 1 Cnn 22 n 1 22 n 2 Thay n 6 vào 1 , ta được C62 .2 4 x .21 2 x C64 .2 2 x .2 2 4 x
6. 135
22 x
1
22
2x
9.
Đặt 0
4 u
22 x , ta được 2u
u
9
u
4
x
u
1 2
x
Câu 9. Trong khai triển của biểu thức x 3
x
2
2017
1 1 . Vậy x 2
1 . Chọn C. 2
1;
. Tính tổng S của các hệ số của x 2 k
với k
1
nguyên dương.
Lời giải. Ta có x 3
x
Ta cần tính S
a5
Thay x
2017.22016.
B. S
a3
2017
2
a0
a7
a1 x
...
a2 x 2
...
...
a6051
2 2016 2
2 2017
D. S
.
a6051 x 6051 .
22016 2
.
1
a6051.
1 vào 1 , ta được a0
Thay x
2 2017
C. S
a1
a2
1 vào 1 , , ta được a0
a1
a2
Trừ vế theo vế 2 và 3 , ta được 2 a0
a3
a1
2 2017.
... a6051
a2
Theo khai triển nhị thức Niutơn, ta có x 3
2
...
a6051
3
.
0
2S
2017
2017
2
k C2017 x3
k
x
2a1
0
S
2017 k
2
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x
2
2017
T& G T
2 2017.
A. S
a1. số hạng
k 0
1 x3 a1 x chỉ xuất hiện trong C2017 1 x3 Mà C2017
1
x
2017 1
2
1
x
2
2017.2 2016. x 3
Câu 10. Cho khai triển 1
x2
x
n
a0
a3 a4 . Khi đó tổng S a0 14 41 A. S 310. B. S 311.
Biết rằng
Lời giải. Ta có 1
n
x2
x
2017 1
1
.
a1
a1 x
a2 x 2
a2
a1
x 1
x
x
Lời giải. Ta có x 2
x
n
k
2k
k 0
10
x2
a0
a2 x 2
a1 x
a0
a1
k
Cnk
l 0
k 0
a20 x 20 cho x
...
a2
Ckl . x k l .
l 0
1 ta được
310. Chọn A.
a20
...
là hệ số của số hạng chứa x 3n B. n
1
n
trong khai triển x 2
3
2
x
C. n
5. n
n
Cnk x
1
n
i
3n 3
3
Suy ra hệ số của số hạng chứa x Theo giả thiết Cn0Cn3 2 3 Câu 12. Kí hiệu a5n
2k
Cn1Cn1 2
n
2 . Tìm n n
x
k;i là C C 2 0 n
26 n
n
3 n
10.
n
Cnk Cni 2i x 3n
Cni x n i 2i
2k i
.
k 0 i 0
0;3 , 1;1 . 3
Cn1Cn1 2.
5. Chọn B.
là hệ số của số hạng chứa x 5n
10
D. n
8.
n
2 n k
i 0
3n 3
10
n
Ckl x l
Cn3C20 Cn2C22 Cn3C31 Cn4C40 14 41 n 10. 21n 2 99n 1110 0
i
a5n
k
Cnk x k
k 0
Chọn 3n
313.
D. S
26n.
D IỄ
N
sao cho a3n 3 A. n 4.
3
312.
Cn2C21
S
Câu 11. Kí hiệu a3n
10
trong khai triển x 3
1
n
x2
1000n n 1 , tìm n.
A. n
B. n
15.
Lời giải. Ta có x 3
1
n
x2
C. n
17. n
n
Cnk x
2 .
2i
5n 10
3k
2i
3n k
10
n
Cni x i 0
k;i
D. n
19.
n
k 0
Chọn 5n 3k
2.
a2 n bằng
...
k 0
Trong khai triển 1
2017.2 2016. Chọn B.
n
Cnk x k 1
a4 41
S
a2 n x 2 n với n là số tự nhiên và n
...
C. S
n
a Theo giả thiết 3 14
2017.2 2016
x
2 n i
2i
CnkCni 2i x 5 n k 0 i 0
0;5 , 2;2 .
20.
k 3 k 2i
.
n
2 . Biết
là Cn0 .Cn5 .2 5
Suy ra hệ số của số hạng chứa x 5n
10
Theo giả thiết Cn0 .Cn5 .2 5
1000n n 1
Câu 13. Cho khai triển x x
n
n
1
2 x
n
1
2. Tìm n, biết rằng a2 7n; nan ; an A. n 7. B. n 10.
Lời giải. Ta có x x
1
a2
Cn2
1
Cn2
Suy ra an
Cnn
1
Cnn
an
Cnn
2
2 1
n
2 x
n
n
1
1n
Cnn
C. n 1
x
n
1
a2 x 2
a1 x
...
an 1 x n
1
với n là số tự nhiên và
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
2
n
2
x
D. n
12.
x
1
n
x
1
1
x
1
14. n 1
n n 1
6
n n 1 n
2
4
6
n
n
2
2
n n 1 n
7n
4
2
loaïi
0
7 loaïi .
n
n
thoaû
10
10. Chọn B.
Câu 14. Xác định n biết rằng hệ số của x n trong khai triển 1 A. n
B. n
5.
Lời giải. Ta có 1
2x 2
x
...
C. n
6.
nx
n 2
1
2x 2
x
nx n . 1
...
2. n
2
...
n 1 .1 n.1
1.n
1. n 1
2. n
2
...
n 1.n
2n
n1 2
2n
n
n 1
1
2
n n
. n 1
32
1 2n
1
6
1
x 1 2x
n
n
N
Cnn
1
B. 2785130. n 1! 171 2!. n 1 !
D IỄ
1 1
Khi đó P x
...
bằng 6n. 13.
nx n
n.1
n 1 n3
n2
2
11n . 6
2x
17
17
1
171 . Tìm hệ số lớn nhất của biểu thức
n2
17
C17k 2 k x k
x k 0
D. 50692096.
3n 340
0
17
C17k 2 k x k k 0
C17k 2 k x k 1 . k 0
C17k 1 2 k 1 .
Suy ra hệ số của x k trong khai triển là C17k 2 k Hệ số của x k là lớn nhất khi
171
n 1
2 x 1
1
C. 5570260. n 1! 171 n!
n n 1
1
...
2x 2
x
2
sau khi khai triển và rút gọn.
A. 25346048.
Lời giải. Ta có Cnn
nx n
...
3
11n 6n n 5. Chọn A. 6 Câu 15. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn 11 Cnn
Theo giả thiết, ta có
n 1
22
12
n 1
2x 2
D. n
1. n 1
3 ...
x
8.
Hệ số của x n là: 1.n
P x
n n
6
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Vậy n
1 .
2
1n n 1
Theo giả thiết bài toán, ta có n n
n
x
n2
2
n
2
a0
n n 1
2 n 1
17. Chọn B.
n
T& G T
Cn2 .Cn2 .2 2
Cn2 .Cn2 .2 2.
C17k 2 k
C17k 1 2 k
1
C17k 1 2 k
1
C17k 2 k
C17k 2 k
C17k 1 2 k
1
C17k 1 2 k
1
C17k 2 2 k
2
n n
17 20 loaïi
.
k 17
C 2
1
k
C17k 1 2 k k 2 17
C
2
1 k 17
18
4 k 1 k
1
k 2
2 k !. 17
k !
1
1 C11 a1
C110 a0
S
141k
1224
0
147 k
1368
0
A. S
1
11
C113 a3
11 11 C17 2
x
...
10 11
k
12.
50692096. Chọn D.
được viết thành a0
10 ... C11 a10
B. S
a2 x 2
a1 x
11 C11 a11 .
C. S
10.
a110 x 110 . Tính tổng
...
D. S
11.
11
1 , từ khai triển nhân hai vế cho x 1 , ta được 11
x
1 . a0
C11k
a2 x 2
a1 x
11
Vế trái
*
110.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x 11
x2
0.
Lời giải. Xét x
k
k
x
C112 a2
k !
k !
2
12 12 2 Vậy hệ số lớn nhất cần tìm là C17
Câu 16. Khai triển 1
1 2 !. 19
k
3k 2 3k
k 19
18
k
2
4 k k 1
k
k !
22 1 !. 16
T& G T
C17k 1 2 k
1 k 1 !. 18
1
11 k
x 11k
k
1
a110 x 110 .
...
hệ số của x 11 bằng C111
11.
k 0
11
Vế phải
C11k x 11
k
. a0
a2 x 2
a1 x
a110 x 110
...
k 0
hệ số của x 11 bằng C110 a0 Vậy S
C110 a0
1 C11 a1
C112 a2
1 C11 a1
C113 a3
C112 a2
C113 a3
... C1110 a10
C1111a11 .
... C1110 a10
C1111a11
11. Chọn C.
Câu 17. Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đa thức P x
2
x
2x 2
x3
n
thì hệ số
của x là 1001. Tổng các hệ số trong khai triển của P x bằng 5
A. 1296.
B. 7776.
Lời giải. Ta có P x
x
2
2
2x
C. 46656.
x
3 n
n
n
Cnk 2 n k x k
Trường hợp 1. Với n
1
x
n
n
Cnl x 2 l
k 0
Hệ số của x 5 ứng với k
x
2
n
D. 279936.
2 n
Cnk Cnl 2 n
l 0
k
xk
2l thỏa mãn k
2l
5 khi đó k ; l
5;0 , 3;1 , 1;2 .
5
k; l
n 5
0 n
3 n
1 n
n 3
5.
D IỄ
N
5 n
Trường hợp 2. Với 3
5 khi đó k ; l
n
Hệ số của x là C C 2 5
3 n
1 n
n 3
1 n
2 n
CC 2
n 1
3;1 , 1;2 . 1001.
Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n 3 do đó chỉ có thể chọn n Thử lại vào phương trình ta thấy n 3 không thỏa mãn điều kiện. 1;2 . Trường hợp 3. Với n 2 khi đó k ; l Hệ số của x 5 là C12C22 2 Do đó chỉ có n 5 thỏa mãn Chọn B. Câu 18. Cho khai triên P x
.
5;0 , 3;1 , 1;2 .
CC 2 Cn1Cn2 2 n 1 1001. Hệ số của x là C C 2 Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n 5 do đó chỉ có thể chọn n Thử lại vào phương trình ta thấy n 5 thỏa mãn điều kiện. 5
2l
k 0 l 0
3.
1001 : vô lý.
tổng các hệ số trong khai triển là
1
x 2
x ... 1 2017 x
a0
a1 x
cho x 1
a2 x 2
....
65
7776.
a2017 x 2017 . Kí hiệu
P / x và P / / x lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức P x . Khẳng định nào sau đây đúng?
P/ 0 .
A. a2
P/ 0
B. a2
Lời giải. Ta có P / x
a1
2 3a3 x 2 ....
2a2 x
Tiếp tục đạo hàm lần nữa, ta có P / / x Cho x
0, ta được P / / 0
Chú ý: P ' x
P ''
P x .
1
P x .
1
1
2
1
x
2
2
x
2017.2016a2017 x 2015 .
6a3 x ....
2
2017 1 2017 x
....
.
. Chọn D. 2 2017 ; 1 2017 x
....
x
2
P/ / 0
a2
2 x
P/ / 0
D. a2
2017a2017 x 2016 . 2a2
2a2
P/ / 0 .
C. a2
.
22
12
P x
1
x
2
20172 . 1 2017 x
....
x
Câu 19. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 2015 x 2016
1 2x 3 . 8.C60
Lời giải. Đặt Suy ra f x
3 C60 .
B.
60
.
3 . C. C 60
3 . D. 8.C60
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A.
2017 x 2018
2016 x 2017
T& G T
3
2015 x 2016
f x
1 2x
g x
2015 x 2016
1
2016 x 2017
60
2017 x 2018
.
2017 x 2018
60
60
g x
2x
2016 x 2017
C60k
2x
k
g x
k 0
60
k
C60k
k 0
Vì bậc của đa thức g x là 2018 3 Vậy hệ số cần tìm là C60 .C33 .
2x . g x
0
i
60 .
k
i 0
số hạng chứa x 3 ứng với
3
2
k i
i
Cki
k
i
i
3
0
k
3
i
3
.
3 8.C60 . Chọn A.
Câu 20**. Cho khai triển
x2
2018
2x 2 x 1
a0
a2 x 2
a1 x
b1
a2018 x 2018
...
1
x
b3
b2
x
1
2
x
1
3
b2018
... x
1
2018
2018
với x
1 . Tính tổng S
bk .
k 1
2 2018.
A. S
x2
N
Lời giải. Đặt f x
D IỄ
Suy ra a0
S
Lại có f x
1 1009 C2018 . 2
2 2017
B. S
2x 2 x 1
, ta có f 0
D. S
a0
b1
x
b3
x
...
1009 C2018
1 1009 C2018 . 2
1 2018
1
1
2 2018
2 2018.
b2018
...
2 2018. 2018 k C2018 x
1
b2017 1010 C2018
Từ 1 và 2 , suy ra S
1
2 k 2018
k 0
k 0
a0
1 1009 C2018 . 2
2018
k C2018
1008
Suy ra b1
2 2017
C. S
0
x S
2017 ... C2018
2 2017
1
2018 k C2018 x
2018 2 k
1
2 k 2018
.
k 1009
b2 2018 C2018
b4
...
1009 C2018
b2018
0 C2018
S (vì Cnk
1 1009 C2018 . Chọn B. 2
---------- HẾT ----------
1 C2018
Cnn
k
).
1007 ... C2018
2
1008 C2018 .
TOÅ HÔÏP – CHÆNH HÔÏP Phần 1 – Ôn lại cơ bản
T& G T
Câu 1. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn. 2 20 1. A. 220 1. B. 220. C. D. 219. 2 Câu 2. Số tập con của một tập hợp gồm 2018 phần tử là A. 2018. B. 2 2018. C. 22018 1. D. 2 2018. Câu 3. Cho tập A có n phần tử n 4 . Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử nhiều gấp 26 lần số tập con của A có 4 phần tử. Hãy tìm k
0;1;2;...; n sao cho số tập con gồm k phần tử
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
của A là nhiều nhất. A. k 9. B. k 10. C. k 11. D. k 20. Câu 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử n 4 . Tìm n, biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ. A. n 8. B. n 9.
Câu 5. Với n
,n
1 2 và thỏa mãn 2 C2
1 C32
C. n 10. 1 9 ... . Tính P 2 5 Cn
1 C42
29 53 B. P C. . . 45 90 Câu 6. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 P1 2 P2 của tập hợp có n phần tử. A. 2013. B. 2014. C. 2017 2016 ... Câu 7. Tính giá trị của biểu thức P 0 1 A2017 A2017 A. P
59 . 90 3P3 ...
61 . 90 P2014 , với Pn là số các hoán vị D. P
P
2015. 2 2015 A2017
D. n 16. Cn5 Cn3 2 . n 4 !
nPn
D. 2016.
1
2016 A2017
.
1 1 1 C. P 2018 . B. P 2017 . . 2018! 2017! 2017! Câu 8. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 1 1 1 1 1 ... 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! A. P
D IỄ
N
A. n 2017. Câu 9. Tính tổng S
C
0 2n
2n
A. S 2 . Câu 10. Cho tổng S
C
0 2018
B. n 2018. C21n C22n ... C22nn . B. S 22 n 1. 1 2 9C2018 9 2 C2018
C. n
...
A. n 3. Câu 12. Tính tổng S
C
1009 2018
B. n 4. 1010 1011 C2018 C2018
... C
D. S 22 n 1. a ln 2 b ln 3 c ln 5, với a,
C. S 2 n. 2018 9 C2018 , biết ln S
C. n .
2n
D. 4038. 6480 trên tập * .
5.
1 1009 1 1009 1009 . C2018 . B. S 2 2017 C2018 . C. S 2 2017 C2018 2 2 Câu 13. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C21n 1 C22n 1 ... C2nn 1 2 20 2 2017
A. n 8. B. n 9. Câu 14. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C21n A. n
4.
B. n
5.
1
C. n 10. C23n 1 ... C22nn C. n
9.
1 . 2018!
D. 2020.
2018
2018 2018
2018
2 2018 1 . Pn
2019.
b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng A. 2018. B. 2019. C. 4036. Câu 11. Giải phương trình Cn1 3Cn2 7Cn3 ... 2n 1 Cnn 32 n
A. S
D. P
2017
1 1
D. n
6.
D. S
2 2018
D. n
11.
D. n
10.
1.
1024 .
1009 C2018 .
Câu 15. Biết S
0 30 C2018
4 34 C2018
2 32 C2018
2018 32018 C2018
...
2a
2 b với a, b a
b là các số nguyên
dương và không chia hết cho 2. Tính a b. A. a b 1. B. a b 2. C. a b 2017. D. a b 2018. 2 4 2i 2020 0 5C2020 52 C2020 ... 5i C2020 ... 51010 C2020 . Biết rằng S chia hết cho M , M Câu 16. Gọi S C2020 có thể nhận giá trị nào dưới đây ? B. M 2 2020. C. M 51010. D. M 52020. A. M 21010. 1 2015 2017 3 5 32 C2017 34 C2017 ... 32014 C2017 32016 C2017 . Biết S chia hết cho số M , M có Câu 17. Gọi S C2017 thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. M 2 2016. B. M 2 2017. C. M 2 2018. D. M 2 2019. 1 2 n 0 Câu 18. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn 5Cn 8Cn ... 3n 2 Cn 1600.
đây đúng ? A. n 1;8 .
B. n
Câu 20. Tính tổng S
4C
C. n
8;12 .
2C
4 2018
3C
5 2018
4C
6 2018
n n
3C
n
D. n
12;16 .
... 2016C
2018 2018
D. n 10. 8192. Khẳng định nào sau
.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A. S
C
3 2018
C. n 8. 5Cn2 ...
1 n
T& G T
A. n 5. B. n 7. Câu 19. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 3Cn0
B. S
2018.
C. S
2016.
2016.
16;20 .
D. S
2018.
D. S
100 C200 .
D. S
2018 2018C4036 .
Phần 2 – Vận dụng cao A. S
2200.
1 C2018
2018 1009C4035 .
C. S
2
3 C100
2200
1.
2 2 C2018
2
2
2
2
100 C100 .
...
2
2
C. S
3 3C2018
2
0 C2018
2018 C4036 .
1 C2018
B. S
2 C2018
N
D IỄ
B. n 2017. 2 3 C 2C2018 3C2018
4 4.33 C2017
.
B. S S
2018.2 2 2.1.C2018
... C
...
1009 C2018 .
D. S
2 C2018 Cn2016
C. 2018. 100 200C100 , biết S C. P
1 3 2 2.3C2017 3.32 C2017 2017 A. 32016 1. B. 32016. 2017 1 2016 0 C2017 Câu 9. Tính tổng S C2018C2018 C2018
1009 C2018 .
1 2019 C2 n . 2 D. n 2019. a ln 2018 b ln 2
2018 0 ... C2018 Cn
C. n 2018. 2018 2018C2018 , biết ln S
...
...
Câu 8. Tổng S
A. S 1009.2 Câu 10. Cho tổng
2
1 C2018 Cn2017
1 2018
20182 2018 1. . C4036 2 2017 20182. C4034 1.
2018 C2018 .
...
C. S
a, b, c . Giá trị của a b c bằng A. 0. B. 1. 2 4 6 12C100 Câu 7. Cho tổng S 4C100 8C100 dương. Tính giá trị biểu thức P a b. A. P 1. B. P 99.
2017
2
2018 C4036 .
0 Câu 5. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C2018 Cn2018
A. n 2016. Câu 6. Cho tổng S
2
D. S
2
2018 1009C4036 .
2018 2018C2018 .
...
B. S
2
1.
2018 2018 C2018 .
...
2017 1009C4036 .
2 2C2018
100 C200
C. S
20182 2018 .C4036 . 2 2017 . 2018 2.C4034
Câu 4. Tính tổng S A. S
2
B. S
1 C2018
Câu 3. Tính tổng S A. S
2 C100
B. S
Câu 2. Tính tổng S A. S
2
1 C100
Câu 1. Tính tổng S
c, với
D. 2019!. a.2 với a, b là các số nguyên b
D. P
199. k k.3k 1 C2017
...
C. 4 2016 1. 2017 k 2017 0 C2018 ... C2018 C1 . k
200.
2017 bằng: 2017.32016 C2017
D. 4 2016.
k 2018
2017
.
3 3.2.C2018
C. S ...
2018.22018. 2018 2018.2017.C2018 ,
D. S
2018.22019.
biết ln S a ln 2 b ln 2018 c ln 2017 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng A. 2. B. 2011. C. 2018. D. 2019. Câu 11. Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn1 3Cn2 4Cn3 ... n 1 Cnn 111. Khẳng định nào B. n 3 2018
C. n
4;7 . 4 2018
5 2018
6 2018
Câu 12. Tính tổng S
C
A. S 2016. Câu 13. Tính tổng S
2.Cn1
A. S 2n.3n 1. Câu 14. Cho tổng S
B. S 2n.3n 1. 2 3 1 C x 2 2 C2018 32 C2018 2
2C
3C
4C
B. S 2017. 2 2.2.Cn2 2 3.3.Cn3
nguyên và đều không chia hết cho 2. Giá trị của a A. 4076358. B. 2039188. 0 100C100
1 2
1 101C100
1 2
D. n
10;18 .
D. S
2019.
.
C. S 3n.2n 1. 2018 ... 2018 2 C2018 , biết S
D. S 3n.2n 1. a.2b với a, b là các số
b bằng C. 4079198.
D. 2009197.
100 2 102C100
1 2
101
...
100 200C100
1 2
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 15. Tính tổng S
... 2016C
2018 2018
C. S 2018. 2 n.n.Cnn .
...
1 2018
99
7;10 .
T& G T
sau đây đúng? A. n 1;4 .
A. S
100.
3 4
99
B. S
.
200.
3 4
99
C. S
.
100.
3 4
199
.
100
.
D. S
200.
3 4
100
.
2a b 1 2018 với a, b, c là các số C2018 , biết S c 2019 b nguyên dương và đều không chia hết cho 2; phân số tối giản. Tính P a b c. c A. P 4034. B. P 4037. C. P 4038. D. P 4039. 20 0 21 1 22 2 23 3 2 2018 2018 C2018 C2018 C2018 C2018 ... C2018 . Câu 17. Tính tổng S 1 2 3 4 2019 1 1 A. S 2018. B. S 2019. C. S D. S . . 2018 2019 2a b 1 0 1 1 1 2 1 3 1 2018 Câu 18. Cho tổng S với C2018 C2018 C2018 C2018 ... C2018 , biết S c 2 4 6 8 2.2018 2 b a, b, c là các số nguyên dương, phân số tối giản. Tính P a b c. c A. P 4037. B. P 4039. C. P 6454. D. P 6458. 0 2018 1 2 3 2017 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 C2018 ... Câu 19. Tổng S bằng 3 4 5 6 2020 2021 1 1 1 1 A. B. C. D. . . . . 4121202989 4121202990 4121202991 4121202992 C 0 Cn1 Cn2 Cnn 2100 n 3 Câu 20. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn n ... . Khẳng 1.2 2.3 3.4 n 1 n 2 n 1 n 2
1 0 C2018 1
1 2 C2018 3
1 1 C2018 2
...
D IỄ
N
Câu 16. Cho tổng S
định nào sau đây đúng? A. n 1;49 . 0
Câu 21. Biết rằng
0 2018
2 C 1.2
B. n 1
1 2018
2C 2.3
C. n
50;99 . 2
2 2018
2 C 3.4
a tối giản. Hiệu a b bằng b A. 4039. B. 4037. 1 1 1 3 1 2017 C2018 ... C2018 Câu 22. Biết C2018 2 4 2018 b tối giản. Tính P a b c. c A. P 4034. B. P 4037.
3
3 2018
2C 4.5
100;149 . 2018
...
2018 2018
2 C 2019.2020
D. n
150;200 .
a với a, b là các số nguyên b
dương và
2
a
c
C. 4037. D. 4039. b với a, b, c là các số nguyên dương và phân số
C. P
4038.
D. P
4039.
1 0 C2018 2
Câu 23. Biết rằng
1 2 C2018 4
1 4 C2018 6
a.2b 1 với a, b là các số nguyên b b 1
1 2018 C2018 2020
...
a tối giản. Hiệu b a bằng b B. 1009. A. 1008. 1 1 2 2 3 3 4 Câu 24. Biết C2018 .2 2 C2018 .23 C2018 2 ... 2 3 4 nguyên dương và a; b 1. Tổng a b c bằng
dương và
A. 3364.
D. 2010. 1 với a, b, c là các số c
a 2018 .3 b
C. 4037.
n 1
D. 8037. *
.2 n 1 Cnn với n
. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất
C. n 292. 2018 2018.C2018 , biết ln 2S 2017 C2018
D. n
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
...
n
T& G T
B. 4036. 1 2 1 2 3 2 Câu 25. Cho tổng S n .2 Cn .2 Cn 2 3 1 thỏa mãn S n 5200 . n 1 A. n 200. B. n 201. 3 2 2.C2018 3.C2018 1 Câu 26. Cho S C2018 1 1 C2018 C2018
C. 1010. 2018 2018 2019 C2018 2 2019
...
a ln 2018
293.
b ln 2019
c với
a, b, c . Giá trị của a b c bằng A. 1. B. 2. C. 2018. D. 2019. 2 2 2 1 2 2017 2018 a a 1 2 2017 2018 2 Câu 27. Biết rằng ... .C2 a với a, b là C2018 C2018 C2018 C2018 2018 b 2017 2 1 a những số nguyên dương và là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng ? b A. a b 0;2018 . B. a b 2018;4036 . C. a b 4036;6054 . D. a b 1. 1009 1009 1009 1009 C2017 C2016 ... C1010 Câu 28. Cho S1 C2018 Khẳng định nào sau đây đúng ? A. S1 S 2 . B. S1 2019S 2 .
1009 C1009
và
C. S1
1008 3C2016
1009 3C2016
1010 C2016
S2
D. S1
2018S 2 .
1007 C2016 .
S2 .
2000
k C2018 k.
Câu 29. Tính tổng S
k 0
2018 C4018 .
A. S
Câu 30. Gọi M đúng?
C
1
1
1 2017
2 2017
C
M 1008 . N 2017 3 1 C2019 Câu 31. Tổng C2019
D IỄ
N
A.
A.
21010.
B.
M N
5 C2019
A. 22017 21008. 0 Câu 33. Tổng C2019
C
2017 2017
1009 . 2017 2019 ... C2019 bằng
21009.
8 C2019
2 3C2019
B. 22017 21009. 4 6 32 C2019 33 C2019 B.
a1
A. S
a3
a5
a7
A.
1.
2016 . 2017
. Khẳng định nào sau đây
D.
M N
2018 . 2017
C. 2 2018.
D. 2 2019.
x
2018
20118
được viết thành a0
a1 x
21009.
a4036 x 4036 . Tính
...
... a4035 . C. S
0. 2018
a4036 bằng
a6
C
D. 22019
Tổng S
a4
M N
1
2016 2016
C. 22019 21008. 2018 ... 31009 C2019 bằng
x
a2
C.
C
...
D. 21010.
Câu 35. Khai triển của biểu thức x 2
a0
1
1 2016
2019 C4019 .
C. 21009.
2 2018.
B. S
1.
C
1
0 2016
D. S
2016 ... C2019 bằng
Câu 34. Khai triển biểu thức 2018 x 2 tổng S
và N
4 C2019
2 2019.
2019 C4018 .
C. S
1
...
B.
0 Câu 32. Tổng C2019
A.
2018 C4019 .
B. S
... a4034 B. 0.
1
được viết thành a0 C.
D. S
1.
21009.
a1 x
a2 x 2
22018.
...
D. 21009.
a4036 x 4036 .
---------- HẾT ----------
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
TOÅ HÔÏP – CHÆNH HÔÏP
Phần 1 – Ôn lại cơ bản 1. 2. 3. 4.
Số tập con của một tập hợp Tính giá trị biểu thức Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn để tính tổng Tính tổng nhờ hệ thức Cnk Cnn k
5.
Tính tổng nhờ khai triển Niu-tơn và cho
6.
x
x Kỹ thuật tính tổng nhờ viết ngược biểu thức
.
Câu 1 Câu 5 Câu 9 Câu 12
đến đến đến đến
Câu 4 Câu 8 Câu 11 Câu 13
Câu 14
đến
Câu 17
Câu 18
đến
Câu 20
Câu 1 Câu 6 Câu 16 Câu 26 Câu 31
đến đến đến đến đến
Câu 5 Câu 15 Câu 25 Câu 30 Câu 35
Phần 2 – Vận dụng cao
Tính tổng từ bài toán bốc bi Dùng kỹ thuật đạo hàm để tính tổng Dùng kỹ thuật lấy tích phân để tính tổng Kỹ thuật biến đổi đặc biệt để tính tổng Kỹ thuật dùng số phức để tính tổng
D IỄ
N
1. 2. 3. 4. 5.
Phần 1 – Ôn lại cơ bản Vấn đề 1. SỐ TẬP CON CỦA MỘT TẬP HỢP Câu 1. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn.
2 20 1. D. 219. 2 Lời giải. Số tập hợp con khác rỗng có số phần từ chẵn là số cách chọn số phần tử chẵn từ 20 phần tử. A. 220 1.
B. 220.
C.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
4 6 18 20 2 C20 C20 ... C20 C20 . Do đó số tập con là C20 Tính tổng trên bằng cách khai triển nhị thức Niutơn hoặc dùng máy tính cầm tay và đối chiếu các đáp án. Chọn C. Câu 2. Số tập con của một tập hợp gồm 2018 phần tử là A. 2018. B. 2 2018. C. 22018 1. D. 2 2018. 0 Lời giải. Số tập con không có phần tử nào là C2018 ; 1 Số tập con có 1 phần tử là C2018 ;
2 Số tập con có 2 phần tử là C2018 ;
2018 . Số tập con có 2018 phần tử là C2018
0 Vậy số tập con của một tập hợp gồm 2018 phần tử là C2018
Chọn D. Câu 3. Cho tập A có n phần tử n
1 C2018
2 C2018
2018 C2018
1 1
2018
.
4 . Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử nhiều gấp
26 lần số tập con của A có 4 phần tử. Hãy tìm k
0;1;2;...; n sao cho số tập con gồm k phần tử
của A là nhiều nhất. A. k 9. B. k 10. C. k 11. D. k 20. 8 Lời giải. Số tập con có 8 phần tử của tập A là Cn , số tập con có 4 phần tử của tập A là Cn4 . Theo giả thiết, ta có Cn8
26Cn4
n! 8! n 8 !
26
Ta dễ dàng tìm được trong tất cả các C20k với k
n! 4! n 4
n
20.
10 0;1;2;...; n thì C20 lớn nhất. Chọn B.
Câu 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử n 4 . Tìm n, biết rằng trong số các phần tử của A có đúng
N
16n tập con có số phần tử là lẻ. A. n 8. B. n 9. C. n 10. D. n 16. Lời giải. Nếu n lẻ số tập con có số phần tử lẻ là: Cn1 Cn3 ... Cnn 16 n.
D IỄ
Ta có 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 ... Cnn 1 x n 1 Cnn x n . n
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 1 Cnn 2 n. Cho x 1
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 1 Cnn 0. Cho x 1
Suy ra 2 Cn1 Cn3 ... Cnn 2n Cn1 Cn3 ... Cnn 2 n 1 16n n 8 : không thỏa mãn. Nếu n chẵn, tương tự ta có được n 8. Chọn A.
Vấn đề 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 5. Với n A. P
29 . 45
,n
2 và thỏa mãn B. P
1 C22
53 . 90
1 C32
1 C42
...
C. P
1 Cn2
59 . 90
9 . Tính P 5
Cn5 Cn3 2 . n 4 ! D. P
61 . 90
1 C22
1 C32
1 3
1 6
1 C42
1 Cn2
...
2 n n 1
...
9 5
2 3.4
...
2 n n 1
4 5
1 2.3
1 3.4
...
1 n n 1
2 5
Áp dụng 1 ta có
1 3
P2
P1
P1
P3
P2
2 P2
...
Pn
Pn
Theo đề, ta có Pn
1
Pn
2 5
1
1
P1
2 P2
1
P1
3P3
2014
Câu 7. Tính giá trị của biểu thức P
2017 0 A2017
1
P2014
2 P2
3P3
...
P2014 , với Pn là số các hoán vị
nPn
C. 2015. 1 k 1 Pk
với k
1
D. 2016. 1 1;2;...
2
nPn
n 1
...
P1
2 P2
3P3
n
2016 1 A2017
...
N
D IỄ
nPn .
2013. Chọn A.
2017
2018! 2017!
...
nPn .
2
1
2015 2017
2016 2017
A
1 1 C. P . B. P 2017 . 2018! 2017! 2.2! 2017.2017! 2016.2016! Lời giải. Ta có P ... 2017! 2017! 2017! 2017.2017! 2016.2016! ... 2.2! 1.1! 2017! 2018 1 2017! 2017 1 2016! ... 3
A. P
9 5
.
Cộng các đẳng thức ở 2 ta được Pn
1
2 n n 1
...
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
1 1 1 ... 4 n 1 n 2 1 1 n 10. 5 n 10 C105 C123 59 . Chọn C. P Với n 10 6! 90 Câu 6. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 P1 của tập hợp có n phần tử. A. 2013. B. 2014. Lời giải. Ta có Pk Pk 1 k ! k 1 ! k 1 !. k
Do P1
1 6
4 5
2 2.3
1 1 2 3 1 1 2 n
1 3
1
T& G T
Lời giải. Ta có
2017! 2017! 2016!
...
A
2018
.
1 . 2017!
D. P
2018
1.1! 2017!
1 2!
3! 2!
2 1 1! 2! 1!
2017! 2018! 1! 1 P 2018 . Chọn C. 2017! 2017! Câu 8. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 1 1 1 1 2 2018 1 1 ... . 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn A. n 2017. B. n 2018. C. n 2019. D. 2020. 2018 1 1 1 1 2 1 1 Lời giải. Ta có ... . 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn Nhận hai vế cho 2019!, ta được
1 . 2018!
2019! 2!.2017!
2019! 4!.2015!
2019! ... 6!.2013!
2 C2019
4 C2019
2018 ... C2019
0 C2019
2 C2019
4 C2019
2019! 2018!.1!
2 2018 1 n! 2 2018 1 2019! . n!
2 2018 1 Pn
2019! .
2019! .
2018 ... C2019
2 2018 1 1 n! 2019! 2 2018 1 n !
2 2018
2019! 2016!.3!
0 C2019
2019! .
22018.n !
2 2018
1 n ! 2019!
0
2019. Chọn C.
n
Vấn đề 3. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN ĐỂ TÍNH TỔNG C21n
2 2 n.
A. S
C22n
22 n
B. S
C22nn .
...
Lời giải. Khai triển nhị thức Niutơn của 1
C22nn
1 9C2018
Lời giải. Xét khai triển 1
9, ta được 10
2018
x
2018
2018 ln 10
C
Câu 11. Giải phương trình C 3.
B. n
9C
Lời giải. Xét khai triển 1 Thay x
2, ta được: 3
Thay x
n
1, ta được: 2
x
n
C
9 C
C
2 n
7C
0 n
1 n
3 n
...
2
C
C
2 n
Cx
1 n
1 n
C x
2
2 C
C
2 n
2 n
N
D IỄ
0
c
2018
32 n
1 Cnn
b
1009 C2018
1 1009 C2018 . 2
Lời giải. Xét khai triển 1
1011 C2018
1010 C2018
B. S 2018
x
2 2017
10 2018
4036. Chọn C.
c
2n
6480 trên tập
D. n
n n
*
.
6.
n
... C x .
1
2
C .
...
6480
a
7Cn3
...
2n
n
4. Chọn B.
81
1 Cnn
Vấn đề 4. TÍNH TỔNG NHỜ HỆ THỨC Cnk
Câu 12. Tính tổng S
2 2017
b
.
S
n n
3n
A. S
2018
C
2018 2018
2 Cnn .
Theo đề, suy ra 3n
2n
9
x
2108
5.
2
...
3Cn2
32 n
... C
2018
a
n
D. 4038.
2018 2018
n
Trừ vế theo vế của 1 và 2 , ta được: Cn1
2n
x
2
...
C. n
2C
0 n
C
2 2018
2018 ln 5
C
0 n
2 2018
x
2
1 2018
4.
n
b ln 3 c ln 5, với a,
a ln 2
C. 4036.
1 2018
C
3C
22 n. Chọn A.
2018 9 2018 C2018 , biết ln S
...
1.
c bằng
0 2018
2018 ln 2
2n
22 n
C22nn x 2 n .
C22n x 2
1 1
2 9 2 C2018
0 2018
1 n
A. n
, ta có
C21n x
C
b, c là các số nguyên. Giá trị của a b A. 2018. B. 2019.
ln S
x 0 2n
C22n
0 C2018
Câu 10. Cho tổng S
Cho x
2n
D. S
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m C21n
1 , ta được C20n
2n
x
1
Cho x
2 n.
C. S
1.
T& G T
C20n
Câu 9. Tính tổng S
3n
Cnn
2n.
k
2018 C2018 .
...
1 1009 C2018 . 2
2 2017
C. S
1009 C2018 .
D. S
2 2018
1009 C2018 .
2018 0 1 C2018 C2018 x
k C2018 xk
2018 2018 ... C2018 x .
k 0
Cho x
1, ta được 2 2018
Vì Cnk
Cnn
k
2 2018
0 C2018
1010 2 C2018
1 C2018
1011 C2018
...
2018 C2018 .
2018 C2018
Câu 13. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C21n A. n
B. n
8.
Lời giải. Ta có 1 1
2n 1
0 2n 1
C
1009 C2018
1
C22n
C
1
C. n
9. 1 2n 1
2S
2n 1 2n 1
... C
.
1
1009 C2018
... C2nn 10.
22017
S 1
2 20
1 1009 C2018 . Chọn B. 2
1. D. n
11.
Cnn k , ta có
Áp dụng công thức Cnk
Từ 1 và 2 , suy ra C20n Theo giả thiết: C21n
C22n
1
C21n
1
C20n
1
C22nn
1 1
C21n
1
C22nn
1
C2nn
1
C2nn 11
... C2nn
1
... C2nn
1
22 n 2
1
2 20
1
2
.
22 n 1 C20n 1 2 2 n 2 n 10. Chọn C.
1
C21n
22n
1
... C2nn
1
2 20
1
1
1
x
Vấn đề 5. TÍNH TỔNG NHỜ KHAI TRIỂN NIU TƠN VÀ CHO Câu 14. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C A. n
B. n
4.
1
1
1 vào 1 , ta được: 2 2 n
Cho x
C
x
2n 1
1 2n 1
C
x
2n
x
D. n
9. 2n 1 2n 1
... C
.
Cho x
C20n
C21n
1
1 vào 1 , ta được: 0
C
2n 1 2n 1
... C
C
Cộng vế theo vế của 2 và 3 , ta được: 22 n
22 n 1 2.1024 n 5 . Chọn B. 0 2 32 C2018 Câu 15. Biết S 30 C2018
... C22nn 11 .
1
1 2n 1
0 2n 1
1
2 C21n
4 34 C2018
C23n
1
2018 32018 C2018
...
Lời giải. Xét khai triển 1 Thay x
x
3 vào 1 , ta được: 4
Thay x
C
2018
3 vào 1 , ta được: 2
1 2018
0 2018
C
2018
C
0 2018
C
4035
b
2017
a b
C
1 2018
2
x
2
3 C
2a
4 2018
22018
1 1
2017
x
...
2017
3
... 3
S
a
b
D. a b
2017.
2 2018
3
2 b với a, b
... C
2 2018
3 C
2
... C22nn
1
2017 2018
1 2018
3C
Cộng vế theo vế của 2 và 3 , ta được: 2S a
x
3C
0 2018
2 2018
2
.
nguyên dương và không chia hết cho 2. Tính a b. A. a b 1. B. a b 2. C. a b 2018
10.
1
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Xét khai triển x
C. n 0 2n 1
1024 .
... C
C
5.
2n 1
2n 1 2n 1
T& G T
3 2n 1
1 2n 1
1.
C
2017
2018 2018
C
2017 2018
C
3
2018 2018
2 4035
x
2018
2018
3
2018.
1
.
2018 2018
C
2018
là các số
C
2
.
2018 2018
.
3
2 2017
2018. Chọn D.
D IỄ
N
0 2020 2 4 2i Câu 16. Gọi S C2020 5C2020 52 C2020 ... 5i C2020 ... 51010 C2020 . Biết rằng S chia hết cho M , M có thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. M 21010. B. M 2 2020. C. M 51010. D. M 52020. Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có 2020 0 4 2019 2019 2020 2020 1 2 3 1 1 x C2020 C2020 x C2020 x 2 C2020 x 3 C2020 x 4 ... C2020 x C2020 x .
Thay x
5 vào 1 , ta được: 2020
1
5
Thay x
0 C2020
1 5C2020
3
2 5C2020
3 5 C2020
2 5C2020
3 5 C2020
2019
...
5
...
5
2019 C2020
2020 51010 C2020 .
5 vào 1 , ta được: 2020
1
5
0 C2020
1 5C2020
3
2020
Cộng vế theo vế, ta suy ra S 1010
21010
4 52 C2020
1
1
4 52 C2020
2019
1010
2020
5
1
5
2019 C2020
6
1010
2 5
2
2020 51010 C2020 .
6
2 5
2
1010
5
1 2
5
0 21010 C1010
2 5C1010
4 52 C1010
...
1010 5505 C1010
21010. Chọn A.
3 5 1 Câu 17. Gọi S C2017 32 C2017 34 C2017 ... thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. M 2 2016. B. M 2 2017. 1 3 5 Lời giải. Ta có 3S 3C2017 33 C2017 35 C2017
Xét 1
x
2017
1 2017
0 2017
C
C
2 2017
x
C
x
Thay x
3 vào 1 , ta được:
2
22016
2.4 2016
2017
22016
C. M 2 2018. 2015 2017 3 C2017 32017 C2017 .
2016 2016 ... C2017 x 1 3C2017
C
0 2017
22019.
D. M
4
2017 2017 C2017 x .
2 32 C2017
3 C
2017
2017
2
2
1
2016 32016 C2017
...
1 2017
3C
Trừ vế theo vế của 2 và 3 , ta được: 2 3S
3S
2017 32016 C2017 . Biết S chia hết cho số M , M có
2015
...
0 C2017
3 vào 1 , ta được: 4 2017
Thay x
2
2015 32014 C2017
2 2017
...
3
2016
C
2017 32017 C2017 . 2016 2017
3
2017
C
2017 2017
2 .
3
2 2016. Chọn A.
S
5Cn1
Câu 18. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn0
2Cn0
S
B. n 5Cn1
7. 8Cn2
...
...
C. n 2 Cnn .
3n
3n
2 Cnn
1600.
D. n 1
8.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A. n 5. Lời giải. Đặt
8Cn2
T& G T
Vấn đề 6. KỸ THUẬT TÍNH TỔNG NHỜ VIẾT NGƯỢC BIỂU THỨC 10.
Viết ngược lại biểu thức của S , ta được
3n
S
2 Cnn
3n 1 Cnn
1
4 Cnn
3n
Cộng 1 và 2 vế theo vế và kết hợp với công thức C
2S
0 n
3n
4 C
4 Cn0
3n
Theo giả thiết: 2 1600
1 n
3n
Cn1
4 C
Cn2
Lời giải. Đặt
B. n
8;12 .
4Cn1
5Cn2
3Cn0
S
C
4 C
7. Chọn B.
4Cn1
5Cn2
2
, ta có
...
...
C. n
...
n k n
4 Cnn
3n
4 1 1
0 n
2Cn0 .
...
2 n
3n
n
Câu 19. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 3C đây đúng ? A. n 1;8 .
3n
... Cnn
4 2n
3n
k n
2
n
n
3n
3 Cnn
4 2 n.
8192. Khẳng định nào sau D. n
12;16 .
3 Cnn .
n
16;20 .
1
Viết ngược lại biểu thức của S , ta được
S
3 Cnn
n
2 Cnn
n
n 1 Cnn
1
2
n
n
6 Cn0
Cn1
6 Cn0
Theo giả thiết: 2 8192
6 Cn1
n
Cn2
... Cnn
6 2n
6 Cn2
...
n
6 1 1
n
6 Cnn
n
n
6 2 n.
10. Chọn B.
n
N
n
n
2
Cnn k , ta có
Cộng 1 và 2 vế theo vế và kết hợp với công thức Cnk
2S
3Cn0 .
...
D IỄ
3 4 5 6 2018 2C2018 3C2018 4C2018 ... 2016C2018 . Câu 20. Tính tổng S C2018 A. S B. S C. S 2016. 2018. 2016. 1 2 0 2 .C2018 1 .C2018 0.C2018 2016. Lời giải. Đặt T
Xét P
T
1 1 .C2018
0 2 .C2018
S
2 0.C2018
3 1.C2018
...
D. S
2018.
2017 2015.C2018
2018 2016.C2018 .
1
1 1 .C2018
0 2 .C2018 .
2
Viết ngược lại biểu thức của P, ta được
P
2018 2016.C2018
2017 2015.C2018
2016 2014.C2018
2015 2013.C2018
Cộng 1 và 2 vế theo vế và kết hợp với công thức C 2P
2014C
0 2018
0 2014 C2018
2014 1 1 Suy ra P
0
T
2014C 1 C2018 2018
S
1 2018
2014C
2 C2018
3 C2018
2 2018
2014C
k n
C
3 2018
2018 ... C2018
0
0
S
Phần 2 – Vận dụng cao
T
...
2016. Chọn C.
n k n
...
, ta có 2017 2014C2018
2018 2014C2018
Vấn đề 1. TÍNH TỔNG (BÀI TOÁN BỐC BI) 2 1 100
Câu 1. Tính tổng S A. S
2 C100
C
2200.
B. S
Lời giải. Xét đa thức: 1
x
100
x
2
3 C100
2200
1.
100
1
2
2
100 C100 .
...
100 C200
C. S
1
x
200
D. S
1.
100 C200 .
.
100
Cân bằng hệ số của x ở hai vế, ta được 0 1 2 98 100 99 C100 .C100 C100 .C100 C100 .C100 hay 100 0 C100 .C100 Suy ra S
C
100 200
0 100
100 100
100 200
C .C
3 97 C100 .C100
100 0 C100 .C100
..
100 C20 0.
100 C200 .
S
1. Chọn C.
C
5 C70C2018
A. S
4 C71C2018
3 C72C2018
2 C73C2018
1 C74C2018
2
0 C75C2018 .
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Bài tập tương tự. Tính tổng S
T& G T
0 100 99 1 2 98 3 97 100 0 Cách 2. Nhận thấy biểu thức C100 .C100 C100 .C100 C100 .C100 C100 .C100 .. C100 .C10 0 là số cách lấy tùy ý 100 viên bi từ hộp chứa 100 viên bi xanh và 100 viên bi đỏ (các viên bi cùng màu giống nhau) thì 100 thu được kết quả C200 .
5 C2018 .
5 C2025 .
B. S
5 C2018 .
C. S
D. S
2
5 C2025 .
Lời giải. Tương tự như bài trên, biểu thức cần tính là số cách lấy tùy ý 5 viên bi từ hộp chứa 7 viên bi 5 xanh và 2018 viên bi đỏ (các viên bi cùng màu giống nhau) thì thu được kết quả C2025 . Chọn B. 1 C2018
Câu 2. Tính tổng S A. S
2018 . 1009C4035
Lời giải. Ta có S
2
2 2 C2018
2
2
2018 2018 C2018 .
...
2017 . 1009C4036
B. S
0 0. C2018
2
2
1 C2018
2018 . 1009C4036
C. S
2 2 C2018
2
D. S
2
2018 2018 C2018 .
...
2018 . 2018C4036
1
Viết ngược lại biểu thức của S , ta được S
2018 2018 C2018
2
2017 2017 C2018
2
2026 2016 C2018
Cộng 1 và 2 vế theo vế và kết hợp với công thức Cnk 2S
Vậy S
2 C2018
1 C2018
2
2
2 2C2018
3 3C2018
2
2
Cnn k , ta có 2018 C2018
...
20182 2018 1. . C4036 2 2017 20182. C4034 1.
D. S
1 C2018
D IỄ
0 2018C2017
2 2C2018
1 2018C2017
3 nCnk 11 , ta được 3C2018
2 2018C2017
2018 2018C2018 2
0 2018.C2017 0 2018 2. C2017
Câu 4. Tính tổng S A. S
2018 2018.C4036 .
2
B. S
Lời giải. Áp dụng công thức kCnk
Suy ra S
2
2018 2018C2018 .
...
20182 2018 .C4036 . 2 2017 2018 2.C4034 .
N
C. S
2
1 C2018
2
0 0. C2018 . 2
...
2018 1009C4036 . Chọn C.
Câu 3. Tính tổng S A. S
2
0 2018. C2018
2
2
0 C2018
2018 C4036 .
1 C2017
2
2018
2
2
1
2
2 C2018
... 2
2018 C 4036 .
x
2018
2
2 2018.C2017
2 C2017
1 C2018
B. S
Lời giải. Xét đa thức: 1 x
2
1 2018.C2017
2017 C2017
2
2
2017 2018 2.C4034 . Chọn C.
2
2018 C2018 .
...
C. S 1 x2
2017 2018C2017 2017 2018.C2017
...
.
2018
1009 C2018 .
D. S
.
2018
Cân bằng hệ số của x ở hai vế, ta được 2018 0 2017 2 2016 1 C2018 .C2018 C2018 .C2018 C2018 .C2018
3 2015 C2018 .C201 8
..
2018 0 C2018 .C20 18
1009 C2018 .
1009 C2018 .
1009 C2018 . Chọn D.
Suy ra S
1 2019 C2 n . 2 A. n 2016. B. n 2017. C. n 2018. D. n 2019. 1 2 2018 0 0 Lờigiải. Nhận thấy được vế trái C2018 Cn2018 C2018 Cn2017 C2018 Cn2016 ... C2018 Cn có dạng '' số cách lấy tùy ý 2018 viên bi từ hộp chứa 2018 viên bi xanh và n viên bi đỏ (các viên bi cùng màu giống nhau) 2018 thì thu được kết quả C2018 n. 0 Câu 5. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C2018 Cn2018
2018 !
2018 . n
2n ! 1 . 2 2019!. 2n 2019 !
2018!.n !
1 2 n . 2 n 1 . 2 n 2 .... 2 n 2018 . 2 2019 2017 ... n 1 2.n . n n 1 . n n 2 ....n
2017 ... n
2018 . n
1
n
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
2.2019 n
2018 0 ... C2018 Cn
2n ! 1 . 2 2019. 2 n 2019 !
n! n
2 C2018 Cn2016
T& G T
n
2018 !
n
1 2019 C2 n 2
Cn20182018
Khi đó, bài toán
1 C2018 Cn2017
n
2019
n
2019
n
2019 thỏa mãn * . Chọn D.
VT *
2018 .
*
VP * .
VT * >VP * .
Vấn đề 2. DŨNG KỸ THUẬT ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH TỔNG
Câu 6. Cho tổng S
1 C2018
a, b, c . Giá trị của a A. 0. Lời giải. Xét 1
x
2018
2 2C2018
0 2018
C
1 2018
C
S
2018.2
ln S
x
ln 2018
C
2
x
2017
x
2018 2018
... C
2017
x
2 2018
1 2018
C
2C
1 C2018
2 2C2018
2017 ln 2
D IỄ
N
1 C2018
4 100
2017
3 3C2018
2 2018C2017
1
x
1 x
b
2018. Chọn C.
c
nCnk 11 , ta được
2017 2018C2017
2Cn2
8C 12C Câu 7. Cho tổng S 4C dương. Tính giá trị biểu thức P a b. A. P 1. B. P 99. Lời giải. Ta có
1
2018 2018C2018
...
a
2018 2017 2018C2018 x .
0
k n
1 2018C2017
6 100
3 3C2018
...
0 2018C2017
2018 2018C2018
2 100
3 3C2018 x2
x
b
2 2C2018
thỏa mãn Cn1
.
1
Cách 2. (Dành cho hs đang học 11) Áp dụng công thức kC
c, với
D. 2019!.
2018
a c
Bài tập tương tự. Tìm n
a ln 2018 b ln 2
C. 2018.
2 2018
1 vào 1 , ta được: 2018 1 1 2017
2018 2018C2018 , biết ln S
...
b c bằng B. 1.
Lấy đạo hàm hai vế ta được: 2018 1 Thay x
3 3C2018
...
3Cn3
n 1 Cnn 100 100
200C
, biết S
C. P
1
nCnn
0 C100
1 C100 x
2 C100 x2
100
0 C100
1 C100 x
2 C100 x2
D. P
200.
100 100 ... C100 x ;
3 C100 x3
7.
a.2 với a, b là các số nguyên
199.
100
64 n . ĐS: n
b
1
100 100 ... C100 x .
2
Cộng 1 và 2 vế theo vế, ta được 1
x
100
1 x
100
0 2C100
2 2C100 x2
4 2C100 x4
...
100 100 2C100 x .
3
Lấy đạo hàm hai vế của 3 theo ẩn x ta được 100 1
99
x
2 4C100
1 vào 4 , ta được 100.2 99
Thay x a
100
b
99
a
1 3 2 2.3C2017 3.32 C2017 2017 B. 32016. 1.
Lời giải. Xét 1
2017
x
2 4C100 x
4 8C100
4 8C100 x3
4
100.2 99
100 hay S 200C100
...
100 99 200C100 x .
...
199. Chọn C.
b
4 4.33 C2017
Câu 8. Tổng S A. 32016
99
100 1 x
1 C2017 x
0 C2017
k k.3k 1 C2017
...
C. 4 2016
2017 bằng: 2017.32016 C2017
...
D. 4 2016.
1.
2017 2017 ... C2017 x .
2 C2017 x2
Đạo hàm hai vế ta được: Thay x
x
2016
2 2C2017 x
1 C2017
3 3C2017 x2
k kC2017 xk
...
1
2017 2016 2017C2017 x .
...
3 vào biểu thức trên ta được: 2016
1 C2017
2 2.3C2017
3 3.32 C2017
4 4.33 C2017
k k.3 k 1 C2017
...
...
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
2017. 1 3
T& G T
2017 1
2017.4 2016
1 C2017
2017. 4 2016
2 2.3C2017
3 3.32 C2017
2 2.3C2017
1
4 4.33 C2017
3 3.32 C2017
Suy ra S 4 2016 1. Chọn C. 0 2017 Câu 9. Tính tổng S C2018 C2018
4 4.33 C2017
1 2016 C2018 C2017
k k.3 k 1 C2017
...
k 2017 C2018 C2018
...
k k.3 k 1 C2017
...
k k
2017 2017.32016 C2017
...
...
2017 2017.32016 C2017 .
2017 0 C2018 C1 .
...
A. S 1009.22017. B. S 2018.22017. C. S 2018.22018. D. S 0 2017 1 2016 2 2015 k 2017 k 2017 0 Lời giải. Ta có S C2018C2018 C2018C2017 C2018C2016 ... C2018 C2018 ... C k 2018 C1 2018 1 C2018 C2018
2018 2018.C2018
2017 1 C2018 C2017
2016 1 C2018 C2016
2017 2017.C2018
2017 2017.3 2016 C2017
2018.22019.
...
2016 2016.C2018
1 ... 1.C2018
1
2018 /
x
2018.2 2017. Chọn B.
x 1
Câu 10. Cho tổng
2 2.1.C2018
S
biết ln S A. 2.
a ln 2
Lời giải. Xét 1
b ln 2018
x
2018
3 3.2.C2018
...
2018 2018.2017.C2018 ,
c ln 2017 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a b c bằng B. 2011. C. 2018. D. 2019. 1 C2018 x
0 C2018
2 C2018 x2
2018 2018 ... C2018 x .
Đạo hàm hai vế ta được:
2018 1
x
2017
1 C2018
2 2C2018 x
3 3C2018 x2
2018 2017 2018C2018 x .
...
Tiếp tục đạo hàm hai vế lần nữa, ta được 2018.2017. 1
2016
3 3.2.C2018 x
2 2.1.C2018
2018 2016 2018.2017.C2018 x .
...
N
1 vào biểu thức trên, ta được: 2018.2017.22016 S a 2016
D IỄ
Thay x
x
ln S
2016 ln 2
ln 2018
ln 2017
b
1
c Câu 11. Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2C sau đây đúng? A. n 1;4 . Lời giải. Xét 1
B. n x
n
0 n
C
1 n
Cx
3C
2 n
C x
2
4Cn3
C. n
4;7 . n n
b
c
2018. Chọn C.
1 2 n
1 n
a
...
n 1 Cnn
111. Khẳng định nào D. n
7;10 .
n
1
... C x .
Nhân hai vế của 1 cho x ta được: 1
x
n
Cn0 x
x
10;18 .
Cn1 x 2
Cn2 x 3
... Cnn x n 1 .
2
Lấy đạo hàm hai vế của 2 theo ẩn x ta được n1
Thay x
1 vào 3 , ta được
x
n 1
x
1
x
n
Cn0
2Cn1 x
3Cn2 x 2
...
n 1 Cnn x n .
3
1 2Cn1
2n
1
3Cn2
n 1 Cnn
...
n.2 n 1 2 n 1 111. Nếu n 5 n.2n 1 2n 5.2 4 25 112 : vô lí. Nếu n 5 n.2n 1 2n 5.2 4 25 112 : vô lí. Kiểm tra n 5 thỏa mãn. Chọn B. 0 1 2 Bài tập tương tự. Chứng minh C2018 2C2018 3C2018 ... Hướng dẫn. Xét 1
x
2018
Nhan x
x 1
2C21n
Bài tập tương tự. Chứng minh C20n Hướng dẫn. Xét 1 x
2n
Nhan x
Hướng dẫn. Xét 1
x
2019
Nhan x 3
x3 1
B. S
3C22n
4C23n
1
2019
x
5 3C2018
2n
2018 2016C2018 .
...
C. S
2017.
2n 1
Cho x 1
D. S
2018.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Xét 1
x
2018
0 2018
1 2018
C
Chia hai vế cho x 2 ta được
C
1
Lấy đạo hàm hai vế ta được 2016 x 2 1 x
x
C
2018
x
x
2 2018
x
2
2018 2018
... C
0 C2018 x2
2
1 C2018 x
x
2018
2019.
.
3 C2018 x
2 C2018
Cho x 1
2025.2 2018.
Cho x 1
...
2017
x
0.
2n. x 1 x
2019 2022C2019
...
Dao ham
6 4C2018
2018 x 1
2n 1 C22nn
1 x
2 5C2019
505.2 2019.
2018
x
...
Dao ham
1 4C2019
4 2C2018
3 C2018
Câu 12. Tính tổng S A. S 2016.
Dao ham
2n
x 1 x
0 Bài tập tương tự. Chứng minh 3C2019
2018
x
2018 2019C2018
T& G T
n.2 n
2018 2016 x . ... C2018
2017
0 1 2C2018 C2018 4 2018 2015 3 C2018 2C2018 x ... 2016C2018 x . x3 x3 x2 0 1 C2018 S S 2016. Chọn A. 1 vào biểu thức trên ta được 0 2C2018
Thay x
2.Cn1
Câu 13. Tính tổng S A. S
2n.3n 1.
Lời giải. Xét 1
x
n
Cn0
2 2.2.Cn2
2 3.3.Cn3
B. S
2n.3n 1.
Cn1 x
Cn2 x 2
Đạo hàm hai vế ta được: n 1
x
n 1
Nhân x vào hai vế ta được: nx 1
3n.2n 1.
C. S
D. S
2Cn2 x
n 1
Cn1 x
3Cn3 x 2
2Cn2 x 2
nCnn x n 1.
...
3Cn3 x 3
nCnn x n .
...
Thay x 2 vào biểu thức trên ta được: S 2n.3n 1. Chọn A. 2018 1 2 3 x 2 2 C2018 32 C2018 ... 2018 2 C2018 , biết S Câu 14. Cho tổng S 12 C2018 nguyên và đều không chia hết cho 2. Giá trị của a b bằng A. 4076358. B. 2039188. C. 4079198. x
0 2018
C
N
Lời giải. Xét 1
2018
1 2018
C
Đạo hàm hai vế ta được: 2018 1
D IỄ
x
2 2018
x
C
2017
Nhận hai vế cho x ta được: 2018 x 1
3n.2n 1.
... Cnn x n .
Cn1
x
2 n.n.Cnn .
...
x
2
2018 2018
... C
2 2C2018 x
1 C2018
x
2017
x
1 C2018 x
2018
a.2b với a, b là các số D. 2009197.
.
3 3C2018 x2
2 2C2018 x2
2018 2017 2018C2018 x .
...
3 3C2018 x3
...
2018 2018 2018C2018 x .
Tiếp tục đạo hàm hai vế ta được: 2018. 2018 x
Thay x
1.1
x
2016
1 12 C2018 x
2 22 C2018 x
1 vào biểu thức trên, ta được: 2018.2019. 1 1
a
3 32 C2018 x2
2016
...
S hay S
2018 2017 20182 C2018 x .
1009.2019.22017
1009.2019
a b 2039188. Chọn B. b 2017 Bài tập tương tự: Chứng minh 2 k 1 1 1 C2012 C2010 12 C2012 22011 22 C2012 22010 ... ( 1)k 1 k 2C2012 22012
Hướng dẫn: Xét 2
x
2012
Dao ham
...
Bài tập tương tự: Chứng minh 12.Cn1 .2 Hướng dẫn: Xét 1
x
n
Dao ham
...
Nhan x
...
2 2.Cn2 .2 2 Nhan x
...
Dao ham
32.Cn3 .2 3 Dao ham
...
... ...
k
2012 ... 20122 C2012
Cho x 1
n 2 .Cnn .2 n Cho x 1
2 n 2 n 1 .3 n 2.
0.
A. S
3 4
100.
Lời giải. Xét 1
x
99
1 2
0 100C100
Câu 15. Tính tổng S 99
Nhan x 100
100
100 2 102C100
1 2
101
99
200.
3 4
x 100 1
x
B. S
.
1 2
1 101C100
C. S
. 100
Dao ham
...
...
100.
3 4
Cho x
1 2
1 2
100 200C100
199
.
100
D. S
. 200.
3 4
200.
100
.
99
3 4
. Chọn B.
Vấn đề 3. DÙNG KỸ THUẬT LẤY TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG
Lời giải. Xét 1
1 2018
0 2018
C
C
2 2018
x
C
x
...
2
2018 2018
... C
x
2018
2a
b
với a, b, c là các số
c a
c.
b
D. P
4039.
1
.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x
2018
1 2 C2018 3
1 1 C2018 2
T& G T
1 2018 C2018 , biết S 2019 b nguyên dương và đều không chia hết cho 2; phân số tối giản. Tính P c A. P 4034. B. P 4037. C. P 4038. 1 0 C2018 1
Câu 16. Cho tổng S
Lấy tích phân hai vế của 1 với cận từ 0 đến 1 ta được 1
1
2018
x
1
0 C2018
dx
0
x
2019
2
1
Cn0 x
2019
2 2019 1 2019
2 C2018 x2
2018 2018 x ... C2018 dx
0
1
Vậy S
1 C2018 x
0
2019
1 0 C2018 2019 a 2019
b
1
c
2019
1 1 C2018 2
P
Câu 2. Áp dụng công thức kCnk
nCnk
1 1 2 Cn x 2
a
1 2 C2018 3
b
c
Cnk 11 k
1 1
1 2 3 Cn x 3
...
...
1 Cnn x 2019 2019
N
1 0 C2018 1
D IỄ
1 0 C2019 2019
1 1 C2018 2
1 C2019
1 2 C2018 3
2 C2019
3 C2019
0 Bài tập tương tự. Chứng minh 2C2018
0
1 2018 C2018 . 2019
4039. Chọn D.
1 0 C2018 1 1 1 C Cnk , ta được 2 2018 n
1 1 C2019 2019 1 2 C2019 2019
1 2018 C2018 2019
Suy ra S
1
.
1 2019 C2019 2019
1 1 2018 1 2 3 2019 C2018 C2019 C2019 C2019 ... C2019 2019 2019 0 0 C2019 C2019 1 2 2019 1 2019 2019 ... C2019 1 1 . 2019 2019 2019 2019 22 1 23 2 22019 2018 32019 1 C2018 C2018 ... C2018 . 2 3 2019 2019 ...
2
Hướng dẫn. Xét 1
x
2018
tich phan
1
x
2018
dx.
0
Câu 17. Tính tổng S A. S
2018.
20 0 C2018 1 B. S
Lời giải. Áp dụng công thức kCnk
21 1 C2018 2
22 2 C2018 3
C. S
2019.
nCnk
1 1
23 3 C2018 4
Cnk 11 k
...
2 2018 2018 C2018 . 2019
1 . 2018
Cnk , ta được n
D. S
1 . 2019
0 C2018 1
S
1 C2018 2
2.
2 2.
2 C2018 3
2 3.
3 C2018 4
2 2018.
...
2018 C2018 2019
1 1 2 3 2019 . 2C2019 2 2.C2019 2 3.C2019 ... 2 2019.C2019 2.2019 1 0 0 1 2 3 2019 . C2019 C2019 2C2019 2 2.C2019 2 3.C2019 ... 2 2019.C2019 2.2019 1 1 2019 0 1 2 . Chọn D. . C2019 2.2019 2019 2018
Cách 2. Xét khai triển 1 x
0 C2018
1 C2018 x
2 C2018 x2
2018 2018 ... C2018 x .
3 C2018 x3
Lấy tích phân hai vế, cận từ 0 đến 2 ta được 2
1 x
2018
0
2 C2018 x2
2018 2018 ... C2018 dx x
3 C2018 x3
0 2019
1
x
x2 1 C2018 2
2
xC
2019
0 2018
0
x3 2 C2018 3
x4 3 C2018 4
x 2019 2018 C2018 2019
...
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m 2 2019
20 0 C2018 1
Suy ra S
1 C2018 x
0 C2018
dx
T& G T
2
0 2 C2018
21 1 C2018 2
22 2 C2018 3
1 0 C2018 2
Câu 18. Cho tổng S
22 2 C2018 3
2 1 C2018 2
23 3 C2018 4
1 1 C2018 4
23 3 C2018 4
1 2 C2018 6
...
1 3 C2018 ... 8
0
2 2018 2018 C2018 . 2019
2 2018 2018 C2018 2019
...
2
1 . 2019
1 2.2018
2
2018 C2018 , biết S
b tối giản. Tính P a b c. c B. P 4039. C. P 6454. D. P 1 0 1 1 1 2 1 3 1 2018 C2018 C2018 C2018 C2018 ... C2018 . 2 2 3 4 2018 1
2a
b c
với
a, b, c là các số nguyên dương, phân số A. P
4037.
Lời giải. Ta viết lại S
1
Xét 1
x
2018
tich phan
1
x
2018
2 2019 1 . 2019
dx
0
Suy ra S
1 2
2 2019 1 4038
2 2019 1 2019
C
Câu 19. Tổng S
0 2018
C
D IỄ
C
4
2 2018
a
2019
b
1
c
4038
3 2018
C
6 1 B. . 4121202990
N
3 1 A. . 4121202989
1 2018
5
P
a
b
6058. Chọn D.
c
2018 C2018 bằng 2021 1 C. . 4121202991
2017 C2018 2020
...
1
Lời giải. Xét 1 x
2018
Nhan x 2
x2 1
x
2018
tich phan
x2 1
2018
x
B. n
Lời giải. Áp dụng công thức k
1C
k 1 n 1
Cn0 1.2
Cn1 2.3
Cn2 3.4
...
Cn2 3.4 C. n
50;99 .
k Do đó S
Cn1 2.3
D.
Cnn n 1 n
...
1 . 4121202992
1 . Chọn B. 4121202990
dx
0
C0 Câu 20. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn n 1.2 định nào sau đây đúng? A. n 1;49 .
6458.
2
2100 n 3 . Khẳng n 1 n 2 D. n
100;149 .
150;200 .
k n
n 1 C hai lần ta được Cnk 1 k
Cnn n 1 n
2
2
Cnk 22 n 1 n
1 n 1 n
2
2
.
. Cn2
2
Cn3
2
... Cnn
2 2
1 1 n
n
. Cn0
2
1 n 1 n
Cn1 2.3
Cn2
2
n 2
. 1 1
2
Cn0 1.2
Cách 2. Ta có
Cn1
2
1 n
Cnn n 1 n
...
Cn3
2
2 2
... Cnn
2
Cn0
2n 2 n 3 n 1 n 2
2 Cn0 1
2
Cn1 2
2
n
2
98. Chọn B. Cn0 2
Cnn n 1
...
Cn1
Cn1 3
A
1
1
n
Cn0
x dx
1 0
2
A
B
n 1
1
n 1
0
.
1 n
x 1
x Cn0
x dx
0
...Cnn x n d x
Cn1 x
T& G T
1
...Cnn x n dx
Cn1 x
Cnn . n 2
...
0
1
1
1
n 1
x
1
dx
1
n
Cn0 x
dx
0
1
x n
n 2
2
...Cnn x n
Cn1 x 2
1
dx
0
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
0
x
1
n
1
n 1
x
Cn1 x 3 3
Cn0 x 2 2
1
1
Cnn x n 2 n 2
...
0
0
0
0 2018
1
2 C 1.2
Câu 21. Biết rằng
1 2018
2 2018
2
2C 2.3
3
2 C 3.4
n2n 1 1 . n 1 n 2
B
3 2018
2C 4.5
2018 2 2018 C2018 2019.2020
...
a với a, b là các số b
a tối giản. Hiệu a b bằng b A. 4039. B. 4037. C. 4037. n 1 Cnk hai lần ta được Lời giải. Áp dụng công thức k 1 Cnk 11 nguyên dương và
k
0 1 2 0 C2018 21 C2018 1.2 2.3 1 2 2 0 C2020 2019.2020
Do đó S
Xét 1 x
2020
Chia hai vế cho x ta được
1 4
2 ta được
D IỄ
N
Cho x
2 Suy ra C2020
3 2C2020
a
1
b
4038
Câu 22. Biết
b tối giản. Tính P c A. P 4034. Lời giải. Xét
1
x
1 x
3 21 C2020
4 2 2 C2020
5 23 C2020
2 C2020 x2
4 22 C2020
2018
.
2018 2 2018 C2018 2019.2020
4 C2020 x4
1 C2020 x
3 2C2020
2020 22018 C2020
b
1 2017 C2018 2018
...
2020 2020 ... C2020 x .
2 C2020
4 2 2 C2020
1010
2020 2 2018 C2020 .
...
3 C2020 x
2020 2018 ... C2020 x .
2020 2 2018 C2020 .
... S
4 C2020 x2
1 4038
2a
b c
với a, b, c là các số nguyên dương và phân số
c.
B. P 2018
0 C2020 x2
2 C2020
...
1 3 C2018 4 a
2020
3 C2020 x3
2
4037. Chọn B.
a b
1 1 C2018 2
...
x2 2020 2
1 4
2
3 2 3 C2018 4.5
1 x
2
Cnk 22 n 1 n
2 2 2 C2018 3.4
1 C2020 x
0 C2020
Cnk 1 k
D. 4039.
1
C. P
4037.
x
2018
1 x 2
2018
D. P
4038. 1
Tich phan 0
1
x
2018
1 x 2
4039.
2018
dx.
1 1 Vậy C2018 2
1 3 C2018 4
1 0 C2018 2
Câu 23. Biết rằng
2 2018 1 2019
1 2017 C2018 2018
...
1 2 C2018 4
1 4 C2018 6
...
a tối giản. Hiệu b a bằng b A. 1008. B. 1009.
a
2018
b
1
c
2019
P
a
b
c
4038. Chọn C.
a.2b 1 với a, b là các số nguyên b b 1
1 2018 C2018 2020
dương và
x
1
1 x
x 1
2018
x
x 1 x
b
2019
x
x 1 x
1009.2 2019 1 . 2019.2020
dx
1010. Chọn C.
b a
1 1 2 2 3 3 C2018 .2 2 C2018 .23 C2018 2 4 ... 2 3 4 nguyên dương và a; b 1. Tổng a b c bằng
Câu 24. Biết
x 1
Nhan x
2018
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
1009
D. 2010. 2018
2
2018
2
a
2018
2
0
Suy ra
x
2018
1 x Tich phan
1
C. 1010.
2018
T& G T
1
Lời giải. Xét
2018
A. 3364. B. 4036. Lời giải. Ta thực hiện theo sơ đồ sau
2018 2018 2019 C2018 2 2019
1 với a, b, c là các số c
a 2018 .3 b
C. 4037.
D. 8037.
2
1
x
2018
dao ham
2018 1
x
2017
nhan x
2018 x 1
x
2017
tich phan
2018 x 1
x
2017
dx .
0
Khi đó
1 1 C2018 .2 2 2 a 1345
2 2 C2018 .23 3
b
673
a
c
2019
Câu 25. Cho tổng S n thỏa mãn S n A. n
5200
200.
b
c
3 3 C2018 2 4 4
...
2018 2018 2019 C2018 2 2019
1345 2018 .3 673
1 2019
4037. Chọn C.
1 2 1 2 3 2 .2 Cn .2 Cn 2 3 1 . n 1 B. n 201.
...
n .2 n 1 Cnn với n n 1
C. n
*
. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất
D. n
292.
293.
2
D IỄ
N
Lời giải. Xét 1
x
n
dao ham
n1
x
n 1
nhan x
nx 1
x
n 1
tich phan
nx 1 0
2n 1 1 . n 1 n 1 1 1 2n 1 2n 1 5200 3n. 5200 Theo đề bài, ta cần có 3n. n 1 n 1 n 1 n 1 2n 1 2n 1 n log5 3 log5 200 n log 5 3 200 log 5 200 log 5 2 n 1 n 1 200 log 5 2 n 292, 36 n 293. Chọn D. log 5 3 Khi đó ta được S
3n.
Vấn đề 4. KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI
x
n 1
dx .
3 3.C2018 1 C2018
a, b, c . Giá trị của a b c bằng A. 1. B. 2. Lời giải. Ta có n! n k !k ! kCnk k. n! Cnk 1 n k 1!k 1! Do đó S
2018 1 1 2018.2018
3 ...
a ln 2018
C. 2018.
n
k.
2018 2 1
1 2
2018 2018.C2018 , biết ln 2S 2017 C2018
...
2018
1!k 1!
n
k !k !
n
k.
k
1
k
1.
2018 2018 1
1 1 1 ... 1 2018 so
2018 2019 2018 . 2 a 1 b 1 a b ln 2019 c 0
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Suy ra ln 2S
n
k
1 2018 .2018 2
20182
ln 2018
c với
D. 2019.
k
2018 3 1 ...
b ln 2019
T& G T
2 2.C2018 1 C2018
1 C2018
Câu 26. Cho S
2. Chọn B.
c
2 2 1 2 2017 2017 2 2018 2018 2 a a 1 2 ... .C2 a với a, b là C2018 C2018 C2018 C2018 2018 b 2017 2 1 a những số nguyên dương và là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng ? b A. a b 0;2018 . B. a b 2018;4036 . C. a b 4036;6054 . D. a b 1.
Câu 27. Biết rằng
2018
k 1 2019
Lời giải. Viết thu gọn S
k
Ta có
k 2019
k
k 2019
k .C2018
2
k C2018 .
k
2018! k 1 !. 2018 k 1 !
2018! . k k ! 2018 k !
k 1 C2018 .
2018
k 1 k C2018 .C2018
Do đó S
0 1 C2018 .C2018
2018 2017 ... C2018 .C2018
1 2 C2018 .C2018
k 1
0 2017 C2018 .C2018
Suy ra
a
2018
b
2019
1 2016 C2018 .C2018
a
2017 0 ... C2018 .C2018
4037. Chọn C.
b
1009 1009 1009 1009 C2017 C2016 ... C1010 Câu 28. Cho S1 C2018 Khẳng định nào sau đây đúng ? A. S1 S 2 . B. S1 2019S 2 .
1009 C1009
N
D IỄ
Lời giải. Ta có C
Suy ra
C
1009 2018
C
1009 2017
k 1 n 1
C
k n 1
C
k n
C
1009 1010
C
C
C
1010 2018
1010 C2017
1010 1012
1010 1011
C
1010 101
1010 C1010
C
C
C
1009 C1009
1010 C1010
Ta có S 2
1010 C2016 1010 C2017
Vậy ta có S1
1008 3C2016
1009 3C2016 1009 2C2017
C
k 1 n 1
C
k n
và
C. S1
C
k n 1
1010 C2016
S2
1009 3C2016
D. S1
2018S 2 .
1008 3C2016
S2 .
.
1010 2018
1010 2019
... 1009 1011
2018 2018 C4036 . 2019
2017 C4036
1008 C2017
S 2 . Chọn A.
S1
1009 C2018
1007 C2016 1010 C2017
1009 C2017
1010 C2016 1009 C2017
1009 C2016
1009 C2016 1009 C2017
1009 ... C1010
1009 2 C2016 1008 C2017
1009 C1009
1008 C2016
1010 C2018
1009 C2018
1010 C2019 .
1008 C2016
1007 C2016
1010 C2019 .
1007 C2016 .
2000 k C2018 k.
Câu 29. Tính tổng S k 0 2018 C4018 .
A. S
2018 C4019 .
B. S 2000
2019 C4019 .
D. S
2000 k C2018
Lời giải. Ta có S
2019 C4018 .
C. S
2018 C2018
k
k 0
2018 C2018
k
2018 C2019
2018 C2020
2018 ... C 4018
2019 . Chọn D. C 4019
k 0
Nhận xét: Chứng minh công thức tổng quát Cnn ở các bài trước bằng hai cách. Cách thứ nhất là dùng công thức Cnk
Cnk
1 1
Cnn
Cnn
1
... Cnn
2
Cnn
k
1 k 1
* đã chứng minh
Cnk 1 .
Cách thứ hai là thấy vế trái * là hệ số của x n trong khai triển n
1
Ta coi đây là một cấp số nhân với u1
1
x .
x
n k 1
A.
M N
1 k 1
và bằng Cnn
Câu 30. Gọi M đúng?
và q 1
n 2
...
x
n k 1
1
C
1
1
1 2017
2 2017
C
B.
Lời giải. Ta có M
1
1
2 2017
k n
C
nC
C
M N
1
C
x
.
n
x
bằng hệ số của x n
x
2017 2017
và N
C
1009 . 2017
...
1
1 2016
C.
1
C
M N
C
k
Cnk
1 2017 1 2017 C2017
D IỄ
N
2017 2 C2017
1
2
0 2016
1 2016
Từ đó suy ra M
1
1
0 2016
1 2016
C
2017 2017 C2017
C
1009 .N 2017
... M N
1 2016 2016
C
C
2016 2016
1
ở khai triển
. Khẳng định nào sau đây
M N
D.
2017 2 C2017
2018 . 2017
2017 . 2017 C2017
...
2017 1 C2017
1 0 C2016
2017 2 , ta được C2017 1
1 2016
2
C
.
1
1 1 0 2017 C2016
2017 . Viết ngược ta có S 2016 C2016
...
C C Cộng vế theo vế ta được
2018
...
1
...
2016 . 2017
1 2017 1 2017 C2017
2017 2017
n Cnk
k 1 n 1
1
0 2016
2017 2017 C2017
2S
n
x
1
x
1
...
1 2017
Áp dụng công thức kC
Đặt S
.
.
1008 . 2017
Suy ra M
x
x n k 1
n k
x
x nên tổng trên bằng
1 1
1
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x
n
x
x
Hệ số của x n ở biểu thức cuối cùng 1
1
k 1
x
1
n
1
n 1
x
T& G T
x
1
S
1009 . Chọn B. 2017
2
1 2016
C
2017 2016 C2016
1009
2017 2016 C2016
...
2016 2015 C2016
1
1
0 2016
1 2016
C
C
2017 . 2016 C2016
...
1 0 C2016
...
.
1 2016 2016
C
1009 N .
Vấn đề 5. KỸ THUẬT DÙNG SỐ PHỨC ĐỂ TÍNH TỔNG Đặc điểm nhận dạng để ta ứng dụng số phức vào là biểu thức cần tính có Các hạng tử chẵn (hoặc lẻ) có dấu đối xứng, ví dụ S Cn1 Cn3 Cn5 ... hoặc S Cn0 Cn2 Cn4 ... S a1 a3 a5 ... hoặc S a0 a2 a4 ... 1 Câu 31. Tổng C2019
A.
Cn8
Cn12 ...
3 C2019
5 C2019
21010.
21009.
B.
Lời giải. Xét 1 i
2019
2019
Mặt khác 1 i
2 C2019 i2
2 C2019
1 i
C. 21009.
1 C2019 i
0 C2019
0 C2019
2019 bằng ... C2019
4 C2019
0 Câu 32. Tổng C2019
8 C2019
21008.
A. 22017
Lời giải. Xét 1 i
1 x
4 C2019
2019
x
1
1 i 2i
0 2019
2 C2019
Câu 33. Tổng C
0 2019
C
2 2019
2
3C
A. 2 . Lời giải. Xét khai triển 2019
B.
0 C2019
0 C2019
1 C2019
N
A. S
a3
a5
a7
... 3
2017
2
2 C2019
6 33 C2019
21019 i.
21009.
1
2 3C2019
. Chọn C.
bằng
2018
D. 2 2019.
.
3
3i
2019
2019 ... C2019
2019 ... 31009 C2019
673
3i
3i.
2 2019.
4 32 C2019
x
2
2018 ... 31009 C2019
7 33 C2019
8
2
C
3 C2019
3i
1008
2018 2019
C. 2
.
3i
2018
6 33 C2019
20118
2018 ... 31009 C2019
2 2019. Chọn A.
được viết thành a0
a1 x
a4036 x 4036 . Tính
...
... a4035 . B. S
1.
Lời giải. Thay x
2
1009
3 673
1
21019
2 2018.
2018 C2019
C
3C
Câu 34. Khai triển biểu thức 2018 x 2
a1
...
5 32 C2019
2019
2019 ... C2019 i
ta được
2018
0 So sánh phần thực, ta được C2019
tổng S
2018 ... C2019
2016 2019
6 2019
4 32 C2019
3 3C2019
3i
D IỄ
3
3i
2 3C2019
1 C2019
Mặt khác 1
2
5 C2019
4 C2019
...
C
3C
3 C2019
1 i 21019 i
4 C2019
8 2019
4 2019
21009.
D. 22019
1009
Cho x 1
2 C2019
4 2019
21008.
1 C2019
2
Từ 1 và 2 , suy ra C
3i
21019 i.
2019
1 x
2019
0 C2019
1
21019
2019 2019 ... C2019 i
2018 ... C2019
2 1009
1 i
3 C2019 i3
2 C2019 i2
2 C2019
1 i
2019
2019
2019 ... C2019 i
21009. Chọn C.
2019 ... C2019
C. 22019
0 So sánh phần thực, ta kết luận được C2019
x
1 i 21019 i
5 C2019
21009.
1 C2019 i
0 C2019
2019
Mặt khác 1 i
1
5 C2019
2016 bằng C2019
...
B. 22017
2019
0 C2019
Xét
3 C2019
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
4 C2019
3 C2019
1 C2019
1009
1 i 2i
1 So sánh phần ảo, ta kết luận được C2019
2019 2019 ... C2019 i
2018 ... C2019
2 1009
1 i
3 C2019 i3
D. 21010.
T& G T
Cn4
Cn0
Tổng S
i , ta có 2018i 2
i 2018 1
C. S
0.
i
a0
2018
a2
a4
2018
...
a0
a1i
a4036
a2 i 2
...
a4036 i 4036
a3
a5
a7
a1
a0
a2
a4
...
a4036
a1
So sánh phần ảo hai vế ta được S
a1
a3
a5
a7
... a4035
Câu 35. Khai triển của biểu thức x 2
x
1
2018
D. S
1.
a3
a5
a7
22018.
... a4035 i ... a4035 i.
0. Chọn B.
được viết thành a0
a1 x
a2 x 2
...
a4036 x 4036 .
Tổng S A.
a0
a2
a4
a4036 bằng
... a4034 B. 0.
1.
Lời giải. Ta có x 2 Thay x
a6
x
i , ta có i 2
i 2018 1
1 i
2018
1
a0 a0
C.
a0
2018
a2 a2
a2 x 2
a1 x a0
a4 a4
So sánh phần thực hai vế, ta được S
a1i
... ...
...
a2i 2
a4036 a4036
a0
a2
D. 21009.
a4036 x 4036
...
a4036 i 4036
a1
a3
a1
a4
21009.
a3
a6
a5 a5
a7 a7
... a4034
... a4035 i ... a4035 i.
a4036
1. Chọn A.
D IỄ
N
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
---------- HẾT ----------
XAÙC SUAÁT A – BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC Câu 1. Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng C 8 12.8 C 3 12 12.8 12.8 12 12.8 . B. 12 3 C. 12 D. A. 3 . . . 3 C12 C123 C12 C12 có n đỉnh n
không có cạnh nào là cạnh của H
, n
4 . Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của H
gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của H
1 cạnh là cạnh của H . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. n
4;12 .
B. n
C. n
13;21 .
22;30 .
và
và có đúng
T& G T
Câu 2. Cho đa giác H
D. n
31;38 .
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 3. Cho đa giác lồi H có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của H . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X , xác suất để chọn được 1 tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác H và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của H bằng
69 23 B. . . 70 17955 Câu 4. Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh n A.
C.
2, n
35 748 D. . . 10098 1995 . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh
1 . Tìm n . 5 A. n 4. B. n 5. C. n 8. D. n 10. Câu 5. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là 17 3 2 8 A. B. C. D. . . . . 114 19 35 57 Câu 6. Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M , xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là 8 18 20 73 A. B. C. D. . . . . 91 91 91 91 Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là A. 44100. B. 58800. C. 78400. D. 117600. Câu 8. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác, xác suất để nhận được một tam giác nhọn là 3 8 8 25 A. . B. . C. D. . . 11 11 33 33 Câu 9. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ? A. 1700. B. 2100. C. 2400. D. 39520. Câu 10. Cho đa giác có 60 đỉnh. Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác. Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đa giác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau? A. 13, 45%. B. 40, 45%. C. 80,70%. D. 85, 40%. Câu 11. Có 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 10 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2 người đứng liền kề bằng 35 25 35 75 A. B. C. D. . . . . 128 256 512 512
D IỄ
N
của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là
Câu 12. Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau (cân đối và đồng chất). Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 31 45 47 49 B. C. D. A. . . . . 32 256 256 256 Câu 13. Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác, xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật bằng 2 13 1 32 B. C. D. A. . . . . 15 15 33 33 Câu 14. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành nhưng không phải là hình vuông, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ? A. 35. B. 40. C. 45. D. 50.
T& G T
B – XÁC SUẤT HÌNH HỌC Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật
2;0 , B
2;2 , C 4;2 ,
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
ABCD với các điểm A
D 4;0 (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M x ; y mà x y 2.
8 1 3 4 B. . C. . D. . . 21 3 7 7 Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Nếu các điểm đều có cùng xác suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là: 11 13 13 15 B. C. D. A. . . . . 16 32 81 81 Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M 0;10 , N 100;10 và P 100;0 . Gọi A.
S là tập hợp tất cả các điểm A x ; y với x , y
ngẫu nhiên một điểm A x ; y
S . Xác suất để x
, nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy
y
90 bằng
845 86 169 473 . B. . C. . D. . 1111 101 200 500 Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ. 8 23 68 83 A. B. C. D. . . . . 91 91 91 91 Câu 19. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm
D IỄ
N
A.
phân biệt n
3, n
. Tìm n , biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.
B. n 4. C. n A. n 3. Câu 20. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt 4 n
6.
D. n 8. , trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng. Tìm giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt. A. n 6. B. n 8. C. n 10. D. n 16.
C – BÀI TOÁN BỐC BI
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Câu 21. Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 quả bóng vàng (được đánh số từ 1 đến 5), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4). Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng. Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau. 43 48 74 381 A. B. C. D. . . . . 91 91 455 455 Câu 22. Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng được đánh số từ 1 đến 10 và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10. Hai quả bóng cùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là '' cặp may mắn '' . Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 6 quả bóng. Xác suất để trong 6 quả bóng lấy ra có ít nhất một '' cặp may mắn '' là 1633 1408 2447 291484 A. B. C. D. . . . . 9139 45695 63973 3838380 Câu 23. Các mặt của một con xúc sắc được đánh số từ 1 đến 6. Người ta gieo con xúc sắc 3 lần liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo lại với nhau. Tính xác suất để tích thu được là một số chia hết cho 6. 81 83 133 135 A. B. C. D. . . . . 216 216 216 216 Câu 24. Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy có ít nhất một lượt gieo được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. 1 11 397 1331 A. B. C. D. . . . . 12 12 1728 1728 Câu 25. Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt ngẫu nhiên lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt được cả 3 con thỏ trắng mới thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là 4 29 31 4 A. . B. C. D. . . . 35 35 35 5
D – BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ Câu 26. Cho tập hợp A
1; 2; 3; 4; 5 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số
3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng 1 1 1 2 B. . C. . D. A. . . 2 15 3 3 Câu 27. Cho tập hợp A
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một
D IỄ
N
khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng 1 9 11 2 A. . B. . C. D. . . 4 26 26 9 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số được Câu 28. Cho tập hợp A lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 6 bằng 1 4 4 9 A. . B. . C. . D. . 9 9 27 28 Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1287 1286 3 7 A. B. C. D. . . . . 90000 90000 200 500 Câu 30. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để các chữ số của nó đôi một khác nhau bằng
A.
171 . 3125
B.
198 . 3125
C.
207 . 6250
D.
396 . 6250
E – BÀI TOÁN VỀ NHÓM Câu 31. Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh trong số đó có An và Bình. Cô giáo thực hiện phân nhóm ngẫu nhiên thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thành viên để thực hiện nhiệm vụ học tập. Xác suất để An và Bình cùng nhóm là 3C 2 C 4C 4 3!C102 C84C44 3!C102 C84C44 3C102 C84C44 A. 410 48 44 . B. 1 C. D. . 1 . . C12C8 C4 C124 C84C44 C124 C84C44 C124 C84C44
T& G T
Câu 32. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Hoa và Vinh cùng một nhóm là 7 25 1 7 A. . B. . C. D. . . 32 32 8 8
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
F – BÀI TOÁN VỀ MÃ ĐỀ THI
Câu 33. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là 7 17 19 21 A. B. C. D. . . . . 24 24 40 40 Câu 34. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, trong đó có 2 môn thi trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một cách ngẫu nhiên. Xác suất để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã đề thi bằng 5 13 5 31 A. B. C. D. . . . . 18 18 36 36 Câu 35. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngoài thi ba môn Văn, Toán, Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 môn tự chọn khác trong 3 môn: Hóa Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 6 mã đề thi khác nhau và mã đề thi của các môn khác nhau thì khác nhau. Xác suất để An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi là 3 5 2 1 A. . B. . C. D. . . 18 18 3 9
N
G – BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI
D IỄ
Câu 36. Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10 câu, mỗi câu chỉ chọn 1 đáp án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ? A. 41. B. 10001. C. 1048576. D. 1048577. Câu 37. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó. Người ta xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 . Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khó. A. 77220.
B. 77221.
C. 5080320.
2
D. 10! C42C168 .
Câu 38. Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu. Đề thi được hình thành bằng cách chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu trong đề cương. Một học sinh chỉ học thuộc 25 câu trong đề cương, xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh đã học thuộc là 3553 4346 8075 323 A. B. C. D. . . . . 7917 7917 23751 1827
C105 . 3
5
C105 . 3
5
C105 . 3
5
C1010
T& G T
Câu 39. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có môn thi bắt buộc là môn Toán. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0, 2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Toán nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Toán trong kỳ thi là 40 20 30 10 C 10 . 3 C 40 . 3 C 20 . 3 C 20 . 3 B. 50 50 . C. 50 50 . D. 50 50 . A. 50 50 . 4 4 4 4 Câu 40. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là C8 C108 C 8 .32 109 A. 10 . B. 10 C. 1010 . D. . . 40 4 4 262144 Câu 41. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0, 2 điểm. Mỗi môn thi thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm là
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
81922 . 4 4 410 40 Câu 42. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi môn thi trắc nghiệm Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0, 2 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất bạn An được 9, 4 điểm là 455 379 499 55 A. B. C. D. . . . . 3456 13824 13824 1536 A.
.
B.
10
.
C.
10
.
D.
H – BÀI TOÁN VỀ CẶP ĐÔI
D IỄ
N
Câu 43. Một trường THPT có 10 lớp 12 , mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắt tay với nhau). Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần. A. 405. B. 425. C. 432. D. 435. Câu 44. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là 89 3 72 1 A. B. C. D. . . . . 95 20 1140 5 Câu 45. Một chi đoàn có 40 người, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Ban chấp hành cần chọn ra 3 người để bầu vào các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư 2. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là 1 59 61 64 B. C. D. A. . . . . 65 65 65 65 Câu 46. Hai tổ chuyên môn của một trường trung học phổ thông có 9 giáo viên nam và 13 giáo viên nữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người trong số 22 người đó nhưng không có cặp vợ chồng nào ? A. 24054. B. 24072. C. 24090. D. 25704. Câu 47. Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đôi hoàn hảo ''. Trong giờ giải lao, ban tổ chức chọn ra ngẫu nhiên 4 người để tham gia văn nghệ. Xác suất để 4 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là 99 73 224 408 A. B. C. D. . . . . 323 481 323 481
K – BÀI TOÁN VỀ XẾP VỊ TRÍ
Câu 48. Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác xuất để 3 người được chọn không có 2 người nào đứng cạnh nhau. 6 1 21 7 B. C. D. A. . . . . 11 20 55 110 Câu 49. Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách tiếng Anh và 6 cuốn sách Toán (trong đó có hai cuốn Toán T1 và Toán T2 ) thành một hàng ngang trên giá sách. Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau bằng
1 1 1 1 B. C. D. . . . . 120 210 300 450 Câu 50. Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và 5 học sinh nam. Xác suất để xếp 9 học sinh vào một hàng dọc sao cho Thảo và My đứng cạnh nhau còn các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Thảo và My bằng 5 4 1 4 B. . C. D. A. . . . 63 67 6 9 Câu 51. Một tổ có 10 học sinh trong đó có 3 bạn gồm An, Bình và Cúc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào một ghế dài có 10 chỗ trống sao cho An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc không ngồi cạnh nhau. A. 2!.9! 2!.8!. B. 2!.9! 3.8!. C. 2!.9! 3!.8!. D. 3.9! 2.8!. Câu 52. Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm có 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có 6 chiếc ghế) để thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới. 3 1 1 1 A. B. C. D. . . . . 99920 462 924 665280 Câu 53. Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho các bi cùng màu không cạnh nhau? 1 2 1 2 A. B. C. D. . . . . 22 55 28512 35640 Câu 54. Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng (các viên bi bán kính khác nhau). Tính xác suất để khi xếp 6 bi trên thành một hàng ngang thì không có hai viên bi cùng màu nào đứng cạnh nhau. 2 4 7 1 B. C. D. A. . . . . 15 15 15 3 Câu 55. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hoàng) và 5 học sinh nữ (trong đó có Lan) thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan cũng không đứng cạnh nhau bằng 1 1 4 8 A. B. C. D. . . . . 350 450 1575 1575 Câu 56. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? D. 80640. B. 108864. C. 145152. D. 322560. Câu 57. Có 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ (các viên bi có bán kính khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng ngang sao cho các viên bi cùng màu không xếp cạnh nhau ? A. 72. B. 120. C. 196. D. 432. Câu 58. Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có 3 bạn An, Bình, Cúc được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để 3 bạn An, Bình, Cúc không có bạn nào được xếp cạnh nhau bằng 7 4 7 11 A. B. C. D. . . . . 10 15 15 15 Câu 59. Có 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng 1 7 14 25 A. B. C. D. . . . . 39 39 39 39
D IỄ
N
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
A.
Câu 60. Có 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn tròn. Tính số cách xếp sao cho có vợ chồng nhà A là ngồi cạnh nhau còn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợ chồng của nhau thì không ngồi cạnh nhau. A. 240. B. 244. C. 288. D. 480.
---------- HẾT ----------
T& G T
XAÙC SUAÁT A – BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Bài toán 1. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác n n 4 . và có đúng 1 cạnh chung với đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác và không có cạnh chung với đa giác
n.
Cn3
n n
4 .
n 2n
2 .
n
Bài toán 2. Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Số tam giác vuông có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác
Bài toán 3. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là n chẵn n lẻ n.C n2 2 n.Cn2 1 2
2
Bài toán 4. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác Cn3 (số tam giác tù + số tam giác vuông). Câu 1. Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng C 8 12.8 C 3 12 12.8 12.8 12 12.8 . . . A. 3 . B. 12 3 C. 12 D. 3 C123 C12 C12 C12 Lời giải. Ta có
n
n A
C123
3 12
C
12 8.12
P
C123
12 12.8 . Chọn C. C123
D IỄ
N
Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh: C123 . Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và 2 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 3 đỉnh liên tiếp cho 1 tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác. (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này) Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã chọn). Do đó trong trường hợp này có 8.12 tam giác. , n 4 . Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của H và Câu 2. Cho đa giác H có n đỉnh n không có cạnh nào là cạnh của H
gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của H
và có đúng
1 cạnh là cạnh của H . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. n
4;12 .
B. n
13;21 .
C. n
D. n
22;30 .
Lời giải. Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là C n3 . Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n . Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n n 4 (điều kiện n 3 n
số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là C
n
n n
31;38 .
và n
4 .
4 ).
Theo giả thiết, ta có Cn3
n n
n
4
5.n n
4
n
35 thoûa maõn
n
4 loaïi
. Chọn D.
Câu 3. Cho đa giác lồi H có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của H . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X , xác suất để chọn được 1 tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác H và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của H bằng
69 . 70
B.
X Lời giải. Ta có n
n A
3 C22
23 . 17955
C.
748 . 1995
D.
35 . 10098
1540 2 1540
C
1 C22
18
1 C1540
748 . Chọn C. 1995
P
1185030 444312
22 18 22
Câu 4. Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh n
T& G T
A.
. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh
2, n
1 . Tìm n . 5 D. n 10.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là A. n 4. Lời giải. Ta có n
B. n
C. n
5.
8.
C23n .
Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong số 2n 2 đỉnh còn lại của đa giác. Đa giác có 2n đỉnh nên có ●
Số cách chọn 1 đường kính là Cn1
●
Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong 2n
Suy ra n A
n 2n
2n 2
n đường kính.
n.
2 đỉnh là C21n
2
2n
2.
2.
Theo đề bài ta có phương trình
n 2n C
3 2n
2
1 5
n
8. Chọn C.
Câu 5. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là 17 3 2 8 . A. B. C. D. . . . 114 19 35 57 3 n C20 1140 8 160 P . Chọn C. Lời giải. Ta có 57 1140 n A 10.18 10.2 160
D IỄ
N
● Số tam giác vuông là 10.18. ● Số tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân ( 2 điểm tạo nên tam giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc với đường kính đã chọn với đường tròn). Do đó có 10.2 tam giác vuông cân. Câu 6. Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M , xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là 8 18 20 73 A. B. C. D. . . . . 91 91 91 91 n C153 455 18 90 P . Chọn B. Lời giải. Ta có 455 91 n A 7.15 3.5 90 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều. Xét một đỉnh A bất kỳ của đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA , hay có 7 tam giác cân tại đỉnh A. Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân.
15 5 tam giác. 3 Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên tam giác đều được đếm 3 lần. 7.15 3.5 90. Suy ra n A
Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là
Bài toán 5. Cho đa giác đều có n đỉnh. Công thức tổng quát tính số tam giác tù: n chẵn n lẻ n.Cn2 2 . n.C n2 1 . 2
2
T& G T
Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là A. 44100. B. 58800. C. 78400. D. 117600. Lời giải. Đánh số các đỉnh là A1 , A2 ,..., A100 . Xét đường chéo A1 A51 của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 và A52 đến A100 . Khi đó, mỗi tam giác có dạng A1 Ai A j là tam giác tù nếu Ai và A j cùng nằm trong nửa đường tròn
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn. 2 Chọn hai điểm Ai , A j là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm A2 , A3 ,..., A50 có C49 chọn. Giả sử Ai nằm giữa A1 và A j thì tam giác A1 Ai A j tù tại đỉnh Ai . Mà quả bị lặp hai lần. Có 100 cách chọn đỉnh. 2.1176.100 Vậy số tam giác tù là 117600. Chọn D. 2 2 Cách 2. Áp dụng công thức nhanh ta có n.C n2 2 100.C49
A j Ai A1
1176 cách
A1 Ai A j nên kết
117600.
2
Câu 8. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác, xác suất để nhận được một tam giác nhọn là 3 8 8 25 A. . B. . C. D. . . 11 11 33 33 n C123 8 P . Chọn C. Lời giải. Ta có 33 n A 39200 Số tam giác tù 117600, Số tam giác vuông 50.98 4900. 3 117600 4900 39200. Suy ra số tam giác nhọn: C100
D IỄ
N
Bài toán 6. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác n Cn2 4 n 5 A. và có đúng 2 cạnh chung với đa giác và có đúng 3 cạnh chung với đa giác và không có cạnh chung với đa giác
Và ta có thể chứng minh được
Cn4
A
n n 5
n n 5 n Cn4
B
C
C. A
2 B
B.
C .
n 3 Cn 5 . 4
Bài toán 7. Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT Bài toán 8. Cho đa giác đều có 4n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH VUÔNG Chứng minh. Tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác
Cn2 .
n.
Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách. Chọn 2 đỉnh còn lại trong n 4 đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có Cn2
Vậy trong trường hợp này có n
nhưng 2 đỉnh này không
5 (vì 2 đỉnh liên tiếp sẽ tạo nên 1 cạnh mà có n
Cn2
4
n 5 tứ giác.
4 đỉnh còn lại nên
T& G T
được liên tiếp nên trừ cho n có n 5 cạnh).
4
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác.
Chọn 1 đỉnh còn lại trong n 5 đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ). Do đó trường hợp này có n n 5 tứ giác. Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.
D IỄ
N
Trong n 4 đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn, tham khảo hình vẽ) sẽ tạo nên n 5 cạnh. Chọn 1 cạnh trong n 5 cạnh đó nên có n 5 cách. Tuy nhiên trong trường hợp này số tứ giác mình đếm đến 2 lần. n n 5 Do đó trường hợp này có tứ giác. 2 n n 5 Vậy có n n 5 tứ giác thỏa mãn. 2 Tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác Đánh số thứ tự các đỉnh của đa giác, ta có n bộ 4 số: 1;2;3;4 , 2;3;4;5 , ..., n 3; n 2; n 1; n , n 2; n 1; n;1 , n 1; n;1;2 , n;1;2;3 .
2
3
1 4
Lời giải. Ta có n
Cn2
n 20
n 5
4
2100. Chọn B.
T& G T
Vậy trường hợp này có n tứ giác thỏa mãn. Câu 9. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ? A. 1700. B. 2100. C. 2400. D. 39520.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Bài tập tương tự. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác ? Đáp số: 450. Bài tập tương tự. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Tính xác suất mà hai đường chéo được chọn một cách 57 ngẫu nhiên sẽ cắt nhau bên trong đa giác. Đáp số: . 169 2 n C170 . Đa giác 20 đỉnh có C202 20 170 đường chéo Biến cố chính là số tứ giác có 4 đỉnh được chọn từ 20 đỉnh của đa giác (vì cứ mỗi tứ giác tạo C204 . thành sẽ có đúng một cặp đường chéo cắt nhau trong đa giác) nên n A Câu 10. Cho đa giác có 60 đỉnh. Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác. Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đa giác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau? A. 13, 45%. B. 40, 45%. C. 80,70%. D. 85, 40%.
n
C604
3 15.C55 C604
0, 8070. Chọn C. n 3 Cn 5 15.C553 4 Câu 11. Có 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 10 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2 người đứng liền kề bằng 35 25 35 75 A. B. C. D. . . . . 128 256 512 512 Lời giải. Ta có
P
n 60
n A
n A
210
10 C
2 6
5
P
25 . Chọn B. 256
N
Lời giải. Ta có
n
D IỄ
Biến cố của bài toán được phát biểu lại như sau: '' số tứ giác được tạo thành từ đa giác có 10 đỉnh và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ''. Câu 12. Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau (cân đối và đồng chất). Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 31 45 47 49 A. B. C. D. . . . . 32 256 256 256 n 28 47 P . Chọn C. Lời giải. Ta có 256 n A 1 8 20 16 2 Không có bạn nào đứng: có 1 khả năng. Có 1 bạn đứng (7 bạn còn lại ngồi): có 8 khả năng. Có 2 bạn đứng nhưng không cạnh nhau: Đầu tiên chọn 1 người trong 8 người để đứng nên có 8 cách; tiếp theo chọn 1 trong 5 người còn lại đứng (trừ người đã đứng ở trước và hai người hai bên) 8.5 20 khả năng. nên có 5 cách. Hai người đứng này không phân biệt nên trường hợp này có 2
Có 3 bạn đứng nhưng không có 2 bạn nào trong 3 bạn đứng cạnh nhau. Bài toán quy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với đa giác có C83 8 8.4 16 khả năng. Có 4 bạn đứng nhưng không có 2 bạn nào trong 4 bạn đứng cạnh nhau. Bài toán quy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với đa giác 8 có .C33 2 khả năng. 4 Câu 13. Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác, xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật bằng 2 13 1 32 A. B. C. D. . . . . 15 15 33 33
C124
n
P
2 6
n A
C
1 . Chọn C. 33
T& G T
Lời giải. Ta có
12 6 đường chéo lớn. 2 Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 12 đỉnh có các đường chéo là hai đường chéo lớn. C62 . Suy ra số phần tử của biến cố là n A
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Đa giác đều đã cho có
Bài tập tương tự. Cho một đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn. Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh. Tìm n . Đáp số: n 8. Câu 14. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành nhưng không phải là hình vuông, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ? A. 35. B. 40. C. 45. D. 50. 45. Lời giải. Số hình chữ nhật được tạo thành (bao gồm cả hình vuông) là C102
20 5. 4 Vậy số hình chữ nhật thõa mãn yêu cầu bài toán là 45 5 Số hình vuông được tạo thành là
40. Chọn B.
B – XÁC SUẤT HÌNH HỌC
Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A
2;0 , B
2;2 , C 4;2 ,
D 4;0 (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy trong hình chữ
D IỄ
N
nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M x ; y mà x y 2.
1 3 4 B. . C. . . 3 7 7 Lời giải. Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7.3 x 2; 1;0;1;2;3;4 . y 0;1;2 A.
Để con châu chấu đáp xuống các điểm M x , y có x hình thang BEIA. Để M x , y có tọa độ nguyên thì Nếu x Nếu x
2; 1 thì y 0 thì y
0;1
0;1;2
có 2.3
có 2 điểm.
y x y
6 điểm.
D.
8 . 21
21 điểm vì
2 thì con châu chấu sẽ nhảy trong khu vực 2; 1;0;1;2 0;1;2
.
Nếu x
1
y
có 1 điểm.
0
có tất cả 6
9 điểm thỏa mãn. 9 3 Vậy xác suất cần tính P . Chọn B. 21 7 Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là số nguyên có giá 2 1
Suy ra n
81.
9.9
Gọi điểm M ' x ; y thỏa x , y
và OM
x2
2
y2
2
Nếu x
0
0; 1; 2 . Do đó có 1 5
y
Nếu x
1
Nếu x
2
Suy ra n A
x, y
4
5
y
0; 1. Do đó có 2 3
y
0. Do đó có 2 1
6
2
0; 1; 2.
x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x, y
x 2 y2 x, y
T& G T
trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Nếu các điểm đều có cùng xác suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là: 11 13 13 15 A. B. C. D. . . . . 16 32 81 81 x x 4 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4 . Lời giải. Gọi tọa độ điểm M x ; y thỏa x , y và nên y 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4 y 4
y
2
4
x2
5 cách chọn.
6 cách chọn
2 cách chọn.
13. .
13 . Chọn C. 81 Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M 0;10 , N 100;10 và P 100;0 . Gọi
Vậy xác suất cần tính P
S là tập hợp tất cả các điểm A x ; y với x , y
ngẫu nhiên một điểm A x ; y
169 . 200 Lời giải
B.
845 . 1111
y
90 bằng
C.
86 . 101
N
A.
S . Xác suất để x
, nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy
Nhận thấy các điểm cần tìm nằm trên các đường thẳng y
D.
473 . 500
m với m
D IỄ
0;1;2;...;10. Ứng với mỗi đường y m , tương ứng có 101 giá trị của x thỏa mãn ( x 0;1;2;...;100 ). Suy ra tập S có 11 101 1111 phần tử. 1 n C1111 1111 86 P . Chọn C. Ta có 101 n A 946. Trên đường y Trên đường y
0 lần lượt có 91 điểm thỏa mãn ( x 1 lần lượt có 90 điểm thỏa mãn ( x
Trên đường y
10 lần lượt có 81 điểm thỏa mãn ( x
Suy ra n A
91 90
...
81
0;1;2;...;90 ). 0;1;2;...;89 ). 0;1;2;...;80 ).
946.
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên
các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ. 8 23 68 83 A. B. C. D. . . . . 91 91 91 91 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho. C142 91 . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Gọi A là biến cố '' Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ '' . Để xảy ra biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư. ● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có C21C 41 cách. Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có C31C51 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là
C31C51
23 .
23 . Chọn B. 91
A
Vậy xác suất cần tính P A
C21C41
A
T& G T
●
Câu 19. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm
3, n
. Tìm n , biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
phân biệt n
A. n 3. B. n 4. C. n 6. D. n 8. Lời giải. Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác. Do đó số tam giác được tạo thành từ n 6 điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc d1 và n điểm (thẳng hàng) thuộc d2 là Cn3 Theo giả thiết, ta có Cn3
6
C63
6
C63
Cn3 .
Cn3
96
4 thoûa maõn
n
8 loaïi
n
. Chọn B.
Bài tập tương tự. Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt n 3, n khác A, B, C, D . Tìm n , biết số tam giác lấy từ n 6 điểm đã cho là 439. Đáp số n 10. Hướng dẫn. Theo giả thiết, ta có Cn3
C33
6
Cn3
439.
Câu 20. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt 4
, trong đó không có ba điểm nào thẳng
n
hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng. Tìm giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt. A. n 6. B. n 8. C. n 10. D. n 16. Lời giải. Ta có n điểm đồng phẳng tạo ra một mặt phẳng. n điểm còn lại như giả thiết tạo ra C n3 mặt phẳng.
D IỄ
N
2 điểm trên n điểm đồng phẳng với n điểm còn lại tạo ra Cn2 n mặt phẳng. 2 điểm trên n điểm còn lại với n điểm đồng phẳng tạo ra Cn2 n mặt phẳng. Theo đề bài ta có phương trình: 1 2 nCn2
Cn3
505
8. Chọn B.
n
C – BÀI TOÁN BỐC BI Câu 21. Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 quả bóng vàng (được đánh số từ 1 đến 5), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4). Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng. Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau. 43 48 74 381 A. B. C. D. . . . . 91 91 455 455 Lời giải. Ta có
n n A
2 xanh, 1 vàng, 1 đỏ
C154 2 4
1 3
1 3
1 4
C .C .C
2 4
1 3
C .C .C 2 4
1 3
1 3
C .C .C cách.
1 4
1 4
C .C .C
2 4
P
74 . Chọn C. 455
C41 .C42 .C31 cách.
1 xanh, 2 vàng, 1 đỏ
C41 .C41 .C42 cách. 1 xanh, 1 vàng, 2 đỏ Giải thích trường hợp 1: Khi bốc mình sẽ bốc bi ít hơn trước tiên. Bốc 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh nên có C 42 cách, tiếp theo bốc 1 viên bi vàng từ 3 viên bi vàng (do loại 2 viên cùng số với bi xanh đã
bốc) nên có C31 cách, cuối cùng bốc 1 viên bi đỏ từ 3 viên bi đỏ (do loại 2 viên cùng số với bi xanh và 1
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
viên cùng số với bi vàng) nên có C31 cách. Tương tự cho các trường hợp còn lại. Câu 22. Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng được đánh số từ 1 đến 10 và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10. Hai quả bóng cùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là '' cặp may mắn '' . Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 6 quả bóng. Xác suất để trong 6 quả bóng lấy ra có ít nhất một '' cặp may mắn '' là 1633 1408 2447 291484 A. B. C. D. . . . . 9139 45695 63973 3838380 6 n C40 291484 Lời giải. Ta có P . Chọn D. 3 2 2 1 1 4 1 2 1 2 3838380 n A C4 C4 C36 C2 C4 C38 C3 C36 C2 C3 Trường hợp 1. Chọn được cả 3 '' cặp may mắn '' : có C 43 cách.
2 Trường hợp 2. Chọn được đúng 2 '' cặp may mắn '' : có C42 . C36
C21 cách.
(Ở đây C21 là số cách chọn 1 '' cặp may mắn '' từ 2 '' cặp may mắn '' còn lại) Trường hợp 3. Chọn được đúng 1 '' cặp may mắn '' : có C41 . C384 2 (Ở đây C31 C36
C31 C362
C21
C32 cách.
C21 là số cách chọn 1 '' cặp may mắn '' từ 3 '' cặp may mắn '' còn lại; C32 là số cách
chọn 2 '' cặp may mắn '' từ 3 '' cặp may mắn '' còn lại) Câu 23. Các mặt của một con xúc sắc được đánh số từ 1 đến 6. Người ta gieo con xúc sắc 3 lần liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo lại với nhau. Tính xác suất để tích thu được là một số chia hết cho 6. 81 83 133 135 A. B. C. D. . . . . 216 216 216 216 Lời giải. Ta có 6 2 3 và 2;3 1. Số phần tử của không gian mẫu n
6 3.
N
Xét biến cố A : '' tích thu được là một số chia hết cho 6 ''. Ta mô tả không gian của biến cố đối A như sau: Không có số nào chia hết cho 3 có 4 3. Không có số nào chia hết cho 2 có 33. có 2 3. Không có số nào chia hết cho 2 và 3
D IỄ
Suy ra số phần tử của biến cố đối A là n A 43
43
33
23.
33 2 3 133 . Chọn C. 216 63 Chú ý: Do trường hợp không chia hết cho 2 và trường hợp không chia hết cho 3 nó bao trùm luôn trường hợp không chia hết cho cả 2 và 3 nên mình tính đến hai lần. Câu 24. Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy có ít nhất một lượt gieo được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. 1 11 397 1331 . . A. B. C. D. . . 12 12 1728 1728 Lời giải. Xét biến cố A : '' lần gieo thứ nhất con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng xu xuất hiện mặt 1 1 11 1 1 sấp '' xác suất biến cố A là P A P A 1 . 6 2 12 12 12
Vậy xác suất cần tính P
1
3
397 11 . 1728 12 Câu 25. Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt ngẫu nhiên lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt được cả 3 con thỏ trắng mới thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là 4 29 31 4 A. . B. C. D. . . . 35 35 35 5 Lời giải. Xét biến cố đối A : '' bắt được 3 thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần '' . TH1) Bắt được 3 con thỏ trắng trong 3 lần đầu: 3! 7.6.5 và n A 1 Ta có n 3!. Suy ra P A 1 . 7.6.5 TH2) Bắt được 3 con thỏ trắng trong 4 lần đầu: lần 4 bắt được con trắng; lần 1, 2 và 3 bắt được 2 con trắng và 1 con nâu. T C41 .C32 .3!. Suy ra P A 2
C41 .C32 .3! . 7.6.5.4
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Ta có n
1
T& G T
Vậy xác suất cần tính của bài toán là P
7.6.5.4 và n A 2
4 31 . Chọn D. P A 35 35 Cách 2. Ta mô tả không gian của biến cố A như sau TTT; TNNN; NTNN; NNTN Suy ra P A
Suy ra P A
P A1
P A2
4 35
P A
31 . 35
D – BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ Câu 26. Cho tập hợp A
1; 2; 3; 4; 5 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số
3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 15 3 3 Lời giải. Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde . ● Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có C53 10 cách.
● Còn lại hai vị trí, chọn 2 số trong 4 số 1; 2; 4; 5 xếp vào hai vị trí đó, có A42
D IỄ
N
Do đó tập S có 10.12 120 phần tử. 1 n C120 120 Ta có n A 20 20 20 20 80
● Hai chữ số còn lại là 1 và 2 , có C53 .2!
P
12 cách.
2 . Chọn C. 3
20 số.
● Tương tự cho các trường hợp 1 và 5 ; 2 và 4 ; 4 và 5 . 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một Câu 27. Cho tập hợp A khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng 1 9 11 2 A. . B. . C. D. . . 4 26 26 9 Lời giải. Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde . ● Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5 , bốn chữ số còn lại có A 64 cách chọn nên có 5A64 số luôn có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên). ● Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5 , ba chữ số còn lại có A53 cách chọn nên có 4 A53 số.
Do đó tập S có 5 A64 Ta có
1 1560
n
C
3 5
n A
4. A
4 A53
1560 phần tử.
1560 5. A53
P
540
9 . Chọn C. 26
●e
0 . Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho số 5 , ba số còn lại có A53 cách nên có 4.A53 số.
●e
5 . Khi đó a có 5 cách chọn; b , c , d có A53 cách chọn nên có 5.A53 số.
Câu 28. Cho tập hợp A
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số được
Lời giải. Tập S có 9 4 phần tử. Ta có
n
94
n A
4.9 2.3
4 . Chọn C. 27
a1a2 a3 a4 2.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Gọi số thỏa mãn biến cố là a1a2 a3 a4 . Do a1a2 a3 a4 6
P
T& G T
lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 6 bằng 1 4 4 9 A. . B. . C. . D. . 9 9 27 28
2
Suy ra a4
2, 4, 6, 8 : có 4 cách; và a1 , a2 có 9 cách chọn.
Nếu a1
a2
a4
3k
Nếu a1
a2
a4
3k
1
a3
2; 5; 8 nên a3 có 3 cách chọn.
Nếu a1
a2
a4
3k
2
a3
1; 4; 7 nên a3 có 3 cách chọn.
3; 6; 9 nên a3 có 3 cách chọn.
a3
Vậy a3 luôn luôn có 3 cách chọn nên n A
4.9 2.3
972.
Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1287 1286 3 7 A. B. C. D. . . . . 90000 90000 200 500 9.10 4. n Lời giải. Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 9.10 4
N
Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abcd1. Ta có abcd1 10abcd 1 3.abcd 7.abcd 1 chia hết cho 7 3.abcd 1 chia hết cho 7. h 1 Đặt 3.abcd 1 7h abcd 2h là số nguyên khi và chỉ khi h 3t 1. 3 9997 998 Khi đó abcd 7t 2 1000 7t 2 9999 t t 143,144,...,1428 . 7 7 Suy ra số cách chọn t sao cho số abcd1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286 hay nói 1286. cách khác n A
1286 . Chọn C. 90000 Câu 30. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để các chữ số của nó đôi một khác nhau bằng 171 198 207 396 A. B. C. D. . . . . 3125 3125 6250 6250 Lời giải. Số có 7 chữ số, 6 chữ số sau đều có 10 cách chọn, còn chữ số đầu phụ thuộc vào tổng 6 chữ 10 6. số sau nên chỉ có một cách chọn Không gian mẫu: n
D IỄ
Vậy xác suất cần tìm P
Vì tổng các chữ số từ 0 đến 9 bằng 45 chia hết cho 9, nên muốn viết số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 thì ta cần bỏ 3 chữ số trong các chữ số từ 0 đến 9 sao cho tổng của 3 số đó chia hết cho 9. Các bộ ba số có tổng chia hết cho 9 là: 0;1;8 , 0;2;7 , 0;3;6 , 0;4;5 ,
1;2;6 , 1;3;5 , 1;8;9 , 2;3;4 , 2;7;9 , 3;6;9 , 3;7;8 , 4;5;9 , 4;6;8 , 5;6;7 . Trường hợp 1. Bỏ một trong các bộ số: 0;1;8 , 0;2;7 , 0;3;6 , 0;4;5 : có 4 cách chọn.
Trong 7 chữ số còn lại không có chữ số 0, nên mỗi bộ 7 số còn lại viết được: 7! số. Do đó trường hợp này có 4.7! số. Trường hợp 2. Bỏ một trong các bộ số: 1;2;6 , 1;3;5 , 1;8;9 , 2;3;4 , 2;7;9 ,
3;6;9 ,
3;7;8 , 4;5;9 , 4;6;8 , 5;6;7 : có 10 cách chọn. Với mỗi cách bỏ ba số đi, trong 7 số còn lại viết được: 6.6! số. Do đó trong trường hợp này có 10.6.6! số. Suy ra n A 4.7! 10.6.6!. Vậy xác suất cần tính P
4.7! 10.6.6! 10 6
198 . Chọn B. 3125
E – BÀI TOÁN VỀ NHÓM
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Câu 31. Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh trong số đó có An và Bình. Cô giáo thực hiện phân nhóm ngẫu nhiên thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thành viên để thực hiện nhiệm vụ học tập. Xác suất để An và Bình cùng nhóm là 3C 2 C 4C 4 3C102 C84C44 3!C102 C84C44 3!C102 C84C44 . . 1 . A. 410 48 44 . B. 1 C. D. C12C8 C4 C124 C84C44 C124 C84C44 C124 C84C44 Lời giải. Ta có
n
C124 C84C44
n A
3C102 C84C44
P
3C102 C84C44 . Chọn A. C124 C84C44
Đầu tiên có 3 cách chọn nhóm để cho An và Bình vào nhóm đó, sau khi đã chọn An và Bình thì chọn thêm 2 bạn nữa nên có C102 cách. Chọn 4 bạn cho nhóm tiếp theo nên có C84 cách. 4 bạn còn lại vào nhóm cuối cùng nên có C 44 cách.
Câu 32. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Hoa và Vinh cùng một nhóm là 7 25 1 7 A. . B. . C. D. . . 32 32 8 8 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm và phải đảm bảo mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ. Giả sử ● Nhóm thứ nhất có 2 nữ và 2 nam, có C 42 .C82 cách. ●
Nhóm thứ hai có 1 nữ và 3 nam, có C21 .C63 .
● Sau khi chia nhóm thứ nhất và thứ hai xong thì còn lại 1 nữ và 3 nam nên nhóm thứ ba có duy nhất 1 cách. C42 .C82 .C21 .C63 6720 . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n
D IỄ
N
Gọi A là biến cố '' Hoa và Vinh cùng một nhóm '' . Ta mô tả các khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau: ● Trường hợp thứ nhất. Hoa và Vinh cùng với 1 bạn nam và 1 bạn nữ thành một nhóm nên có C71 .C31 cách. Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có C63 .C21 . Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba. Do đó trong trường hợp này có C71 .C31 .C63 .C21 840 cách. ● Trường hợp thứ hai. Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên có C72 cách. Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có C52 .C32 . Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba. Do đó trong trường hợp này có C72 .C52 .C32
630 cách.
● Trường hợp thứ ba. Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm. Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ. Suy ra nhóm thứ ba có 2 bạn nam và 2 bạn nữ. Trường hợp này trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính. 840 630 1470 . Suy ra số phần tử của biến cố A là n A Vậy xác suất cần tính P
1470 6720
7 . Chọn C. 32
F – BÀI TOÁN VỀ MÃ ĐỀ THI Câu 33. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là 7 17 19 21 A. B. C. D. . . . . 24 24 40 40 Lời giải. Không gian mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn. ● Thí sinh A có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi. Thí sinh B có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.
T& G T
●
C103 .C103 .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Gọi X là biến cố '' 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau '' . Để tìm số phần tử của X , ta đi tìm số phần tử của X như sau ● Giả sử A chọn trước nên có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi. ● Để B chọn khác A thì B phải chọn 3 trong 7 câu hỏi còn lại từ bộ 10 câu hỏi nên có C73 cách chọn. Suy ra số phần tử của biến cố X là X C103 .C73 . Vậy xác suất cần tính P X
X
X
C103 .C103 C103 .C107 C103 .C103
17 . Chọn B. 24
Bài tập tương tự. Với đề bài như trên và câu hỏi là tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B 21 chọn có đúng 1 câu hỏi giống nhau. Đáp số: . 40 Câu 34. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, trong đó có 2 môn thi trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một cách ngẫu nhiên. Xác suất để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã đề thi bằng 5 13 5 31 A. B. C. D. . . . . 18 18 36 36 n 64 6.6 6.6 5 P . Chọn A. Lời giải. Ta có 18 n A 2 6.6 1.5 ●
Mỗi người có 6 cách chọn mã đề cho mỗi môn nên n
6.6 6.6
6 4.
D IỄ
N
● Có 2 trường hợp trùng mã đề (Vật lí hoặc Hóa học). Nếu An chọn đề trước thì An có 6.6 cách chọn. Bình chọn đề sau mà để trùng với mã đề của An thì môn trùng chỉ có 1 cách chọn (An chọn gì thì bắt buộc Bình chọn nấy), môn còn lại Bình phải chọn khác An nên có 5 cách chọn (chọn 5 mã đề còn 2 6.6 1.5 . lại trừ mã đề An đã chọn ra). Vậy n A Câu 35. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngoài thi ba môn Văn, Toán, Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 môn tự chọn khác trong 3 môn: Hóa Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 6 mã đề thi khác nhau và mã đề thi của các môn khác nhau thì khác nhau. Xác suất để An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi là 3 5 2 1 A. . B. . C. D. . . 18 18 3 9 Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được của An và Bình. ● An có C32 cách chọn môn tự chọn, có C61 .C61 mã đề thi có thể nhận cho 2 môn tự chọn của An. ●
Bình có C32 cách chọn môn tự chọn, có C61 .C61 mã đề thi có thể nhận cho 2 môn tự chọn của Bình.
2
C32C61 .C61 .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Bình là 1.C61 . Do đó có C61 .C61 .1.C61 cách chọn mã đề thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra số phần tử của biến cố A là
C32 .C21 .C11 . C61 .C61 .1.C61 .
A
C32 .C21 .C11 . C61 .C61 .1.C61
1 . Chọn B. 9
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Vậy xác suất cần tính P
T& G T
Gọi A là biến cố '' An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi '' . Để tính số kết quả thuận lợi cho A , ta mô tả cách chọn 2 môn tự chọn của An và Bình và cách nhận mã đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán. ● Cách chọn môn. Giả sử An chọn trước 2 môn tự chọn trong 3 môn nên có C32 cách. Để Bình chọn 2 trong 3 môn tự chọn nhưng chỉ có đúng 1 môn trùng với An nên Bình phải chọn 1 trong 2 môn An đã chọn và 1 môn còn lại An không chọn, suy ra Bình có C21 .C11 cách. Do đó có C32 .C21 .C11 cách chọn môn thỏa yêu cầu bài toán. ● Cách chọn mã đề. Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề của An là C61 .C61 . Để Bình có chung đúng 1 mã đề với An thì trong 2 môn Bình chọn, môn trùng với An phải chọn mã đề giống như An nên có 1 cách, môn không trùng với An thì được chọn tùy ý nên có C61 cách, suy ra số cách chọn mã đề của
2 3
1 6
C C .C
1 2 6
G – BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI
Câu 36. Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10 câu, mỗi câu chỉ chọn 1 đáp án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ? A. 41. B. 10001. C. 1048576. D. 1048577. Lời giải. Mỗi phiếu có 4 phương án trả lời (hay nói cách khác mỗi phiếu có 4 cách chọn đáp án). Do đó có 4 10 kết quả khác nhau có thể xảy ra đối với các phiếu hợp lệ. Vậy cần tối thiểu C41
10
1048577 phiếu hợp lệ để có hai phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu.
1
Chọn D. Câu 37. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó. Người ta xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 . Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khó. A. 77220.
B. 77221.
C. 5080320.
2
D. 10! C42C168 .
Lời giải. ● Chọn ra 2 câu hỏi khó trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho đề thứ nhất, sau đó sắp xếp 10 câu này theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có C 42 .C168 .10! cách. ● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có 10! cách.
N
Suy ra số phần tử của biến cố A là
A
C42 .C168 .10!.10!
2
10! .C42 .C168 . Chọn D.
D IỄ
Câu 38. Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu. Đề thi được hình thành bằng cách chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu trong đề cương. Một học sinh chỉ học thuộc 25 câu trong đề cương, xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh đã học thuộc là 3553 4346 8075 323 A. B. C. D. . . . . 7917 7917 23751 1827 Lời giải. Ta có
n n A
10 C30 9 25
1 5
C C
10 25
C
P
10 9 C25 C51 C25 10 C30
3553 . Chọn B. 7917
9 câu thuộc – 1 câu không thuộc: có C259 C51 khả năng. 10 10 câu đã học thuộc hết: có C25 khả năng. Câu 39. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có môn thi bắt buộc là môn Toán. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0, 2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Toán nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Toán trong kỳ thi là
A.
C5100 . 3
40
B.
.
C5200 . 3
20
C5200 . 3
C.
.
30
.
4 50 4 50 4 50 Lời giải. Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50 x là số câu trả lời sai. 4 x 30 . Ta có số điểm của Hoa là 0, 2. x 0,1. 50 x
D.
C5400 . 3 4 50
10
.
Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu. Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi câu có 4 4 50 . phương án trả lời nên có 4 50 khả năng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Gọi X là biến cố '' Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu '' . Vì mỗi câu đúng có 1 phương án trả 30 lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có C50 . 3
30 50
C . 3
20
20 50
C . 3
. 20
. Chọn B. 4 50 4 50 Câu 40. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là C8 C108 C 8 .32 109 A. 10 . B. 10 C. 1010 . D. . . 40 4 4 262144 410 n 109 Lời giải. Ta có . Chọn B. P 2 9 10 8 262144 n A C10 . 3 C10 .3 C10
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Vậy xác suất cần tính P
30 C50 . 3
X
khả năng thuận lợi cho biến cố X . Suy ra
T& G T
số phần tử của biến cố X là
20
20
Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. ● 8 câu đúng – 2 câu sai: có C108 . 3
2
khả năng thuận lợi.
● 9 câu đúng – 1 câu sai: có C109 .3 khả năng thuận lợi.
● 10 câu đúng: có C1010 khả năng thuận lợi. Câu 41. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0, 2 điểm. Mỗi môn thi thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm là
C105 . 3
5
C105 . 3
5
C105 . 3
5
C1010
81922 . D. . 410 410 40 410 Lời giải. Thí sinh A không dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu nhiên ở cả hai môn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu. Không gian mẫu là số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên. 410 . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n B.
.
C.
.
N
A.
D IỄ
Gọi X là biến cố '' Thí sinh A làm được ít nhất 5 câu trong 10 được cho là chọn ngẫu nhiên '' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố X . Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. ● 5 câu đúng – 5 câu sai: có C105 . 3
5
khả năng thuận lợi.
● 6 câu đúng – 4 câu sai: có C . 3
4
khả năng thuận lợi.
● 7 câu đúng – 3 câu sai: có C . 3
3
khả năng thuận lợi.
● 8 câu đúng – 2 câu sai: có C108 . 3
2
khả năng thuận lợi.
6 10
7 10
● 9 câu đúng – 1 câu sai: có C .3 khả năng thuận lợi. 9 10
● 10 câu đúng: có C1010 khả năng thuận lợi. Suy ra n X
C105 . 3
5
Vậy xác suất cần tính P
C106 . 3
4
81922 . 410
C107 . 3
3
C108 . 3
2
10 C109 .3 C10
81922.
1 3 , trả lời sai là . Ta có các trường hợp: 4 4 5 5 1 3 ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 5 trên 10 câu là C105 . ; 4 4 Cách 2. Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là
6
4
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 6 trên 10 câu là C106
1 3 . 4 4
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 7 trên 10 câu là C107
1 3 . ; 4 4
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 8 trên 10 câu là C108
1 3 . ; 4 4
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 9 trên 10 câu là C109
1 3 . ; 4 4
;
7
3
8
2
1 4
10
.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
10 ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 10 trên 10 câu là C10
T& G T
9
Cộng các xác suất trên ta được xác suất cần tính. Câu 42. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi môn thi trắc nghiệm Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0, 2 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất bạn An được 9, 4 điểm là 455 379 499 55 A. B. C. D. . . . . 3456 13824 13824 1536 Lời giải. Ta chỉ quan tâm 8 câu còn lại. Trong 8 câu còn lại mình chia làm 2 loại: Loại 1: gồm 3 câu có 3 đáp án A, B, C 1 2 xác suất chọn đáp án đúng là , xác suất chọn đáp án đúng là . 3 3 Loại 2: gồm 5 câu có 4 đáp án A, B, C, D 1 3 xác suất chọn đáp án đúng là , xác suất chọn đáp án đúng là . 4 4 Để bạn An đạt được 9,4 điểm (tức cần đúng thêm 5 câu trong 8 câu còn lại) thì xảy ra một trong các khả năng sau 3 5 2 5 1 Đúng 0 câu loại 1 & Đúng 5 câu loại 3: xác suất C5 . . 3 4
D IỄ
N
Đúng 1 câu loại 1 & Đúng 4 câu loại 3:
1 2 xác suất C31 . . 3 3
2
4
C54 .
1 3 . . 4 4 3
2
2
Đúng 2 câu loại 1 & Đúng 3 câu loại 3:
xác suất C32 .
3 1 2 1 . C53 . . . 3 3 4 4
Đúng 3 câu loại 1 & Đúng 2 câu loại 3:
xác suất C33 .
1 3
Cộng các xác suất lại ta được xác suất cần tính P
2
3
C52 .
3
1 3 . . 4 4
499 . Chọn D. 13824
H – BÀI TOÁN VỀ CẶP ĐÔI Câu 43. Một trường THPT có 10 lớp 12 , mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắt tay với nhau). Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần. A. 405. B. 425. C. 432. D. 435. Lời giải. Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên 10 lớp cử ra 30 học sinh.
Suy ra số lần bắt tay là C302 (bao gồm các học sinh cùng lớp bắt tay với nhau). Số lần bắt tay của các học sinh học cùng một lớp là 10.C32 .
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Biến cố A là 3 người được chọn luôn có 1 cặp vợ chồng. ● Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, có C 41 cách.
T& G T
Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau thỏa mãn yêu cầu là C302 10.C32 405. Chọn A. Bài tập tương tự. Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi người không bắt tay vợ hoặc chồng của mình) trong một buổi gặp mặt, biết rằng có tất cả có 40 cái bắt tay. Đáp số: 5 cặp vợ chồng. Câu 44. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là 89 3 72 1 A. B. C. D. . . . . 95 20 1140 5 3 n C20 1140 72 89 Lời giải. Ta có P 1 . Chọn B. 1 1140 95 n A C41 .C18 72
● Chọn thêm 1 người trong 18 người, có C181 cách. Câu 45. Một chi đoàn có 40 người, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Ban chấp hành cần chọn ra 3 người để bầu vào các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư 2. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là 1 59 61 64 A. B. C. D. . . . . 65 65 65 65 3 59280 n A40 912 64 Lời giải. Ta có P 1 . Chọn D. 1 1 59280 65 n A C4 .C38 .3! 912 Câu 46. Hai tổ chuyên môn của một trường trung học phổ thông có 9 giáo viên nam và 13 giáo viên nữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người trong số 22 người đó nhưng không có cặp vợ chồng nào ? A. 24054. B. 24072. C. 24090. D. 25704. Lời giải. Ta có các trường hợp sau TH1: chon 5 người từ 18 người: có C185 cách. TH2: chon 1 người từ 2 cặp vợ chồng và 4 người từ 18 người: có C 41 .C184 cách. TH3: chon 2 người từ 2 cặp vợ chồng sao cho không phải là một cặp và 3 người từ 18 người: có C42 2 .C183 cách. Vậy có C185
C41 .C184
C42
2 .C183
24072 cách. Chọn B.
D IỄ
N
Cách 2. Tính theo phần bù. Tính số cách chọn 5 người tùy ý (cách chọn 5 người có đúng 1 cặp vợ chồng cách chọn 5 người có đúng 2 cặp vợ chồng). 5 26334 cách. Số cách chọn 5 người tùy ý: có C22 Số cách chọn 5 người có đúng 1 cặp vợ chồng: Chọn 1 cặp vợ chồng có 2 cách chọn, chọn 3 người còn lại có hai khả năng Khả năng thứ nhất: 1 người từ cặp vợ chồng còn lại và 2 người từ 18 người Khả năng thứ hai: 3 người từ 18 người Do đó trường hợp này có 2. C21C182 C183 cách. Số cách chọn 5 có đúng 2 cặp vợ chồng: Chọn 2 cặp vợ chồng có duy nhất 1 cách, chọn thêm 1 người từ 18 người nên có 18 cách: có 1.18 18 cách. 5 Vậy có C22
26334
2. C21C182
C183
18
24072 cách.
Câu 47. Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đôi hoàn hảo ''. Trong giờ giải lao, ban tổ chức chọn ra ngẫu nhiên 4 người để tham gia văn nghệ. Xác suất để 4 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là
A.
99 . 323
B.
n Lời giải. Ta có
n A
C404 4 20
224 . 323
C.
91390
C .C
P
1 4 2
77520
73 . 481
D.
408 . 481
408 . Chọn D. 481
Số cách chọn 4 cặp từ 20 cặp là C204 . Mỗi cặp chọn ra 1 người, do đó 4 cặp có nên có C21
4
cách chọn.
K – BÀI TOÁN VỀ XẾP VỊ TRÍ
C123
6 . Chọn A. 11
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
n
T& G T
Câu 48. Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác xuất để 3 người được chọn không có 2 người nào đứng cạnh nhau. 6 1 21 7 A. . B. C. D. . . . 11 20 55 110 Lời giải. Ta có
n A
P
3 10
C
Biến cố cần tính bằng số cách đặt 3 người vào 3 trong 10 khoảng trống tảo bởi 9 người (cứ đặt đâu lấy đó) nên có C103 cách. Bài tập tương tự. Một nhóm gồm 12 học sinh trong đó có Hoa, Anh, Vinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn đó thành một hàng ngang mà không có hai bạn trong ba bạn Hoa, Anh, Vinh đứng cạnh nhau? 6 Đáp số: . 11 9!. A103 . 12! và n A Hướng dẫn. Thực chất bài này như bài toán trên. Ta có n Câu 49. Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách tiếng Anh và 6 cuốn sách Toán (trong đó có hai cuốn Toán T1 và Toán T2 ) thành một hàng ngang trên giá sách. Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau bằng A.
1 . 120
Lời giải. Ta có
B.
n
n A
1 . 210
10!
3 4
5!.2!. A .3
C.
P
1 . 300
D.
1 . 450
1 . Chọn B. 210
D IỄ
N
Xếp 5 quyển toán (coi T1 và T2 là một khối) nên có 5!.2! cách. Tạo ra 4 khoảng trống giữa các cuốn Toán (không kể hai đầu). T T T T T Xếp 3 cuốn sách tiếng Anh vào 4 khoảng trống có A 43 cách. Xếp 1 cuốn Văn vào 3 vị trí còn lại (một khoảng trống mà tiếng Anh sắp còn lại, cùng với 2 khoảng trống 2 đầu cuốn Toán) nên có 3 cách. Câu 50. Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và 5 học sinh nam. Xác suất để xếp 9 học sinh vào một hàng dọc sao cho Thảo và My đứng cạnh nhau còn các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Thảo và My bằng 5 4 1 4 A. . B. . C. D. . . 63 67 6 9 n 9! 5 P . Chọn C. Lời giải. Ta có 3 63 5!. A6 .2! n A Xếp 5 bạn nam trước (tạo ra 6 khoảng trống kể cả hai đầu): có 5! cách. Coi Thảo và My là 1 khối và 2 bạn nữ còn lại ta xếp vào 3 trong 6 chỗ trống nên có A 63 cách. Giữa Thảo và My đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Câu 51. Một tổ có 10 học sinh trong đó có 3 bạn gồm An, Bình và Cúc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào một ghế dài có 10 chỗ trống sao cho An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc không ngồi cạnh nhau. A. 2!.9! 2!.8!. B. 2!.9! 3.8!. C. 2!.9! 3!.8!. D. 3.9! 2.8!. Lời giải. ● Vì An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nên xem như là 1 khối, giữa 2 người này đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách. Một khối (An và Bình) cùng với 8 người còn lại hoán đổi vị trí cho nhau nên có 9! cách. Nhưng đếm thế này mình đã đếm luôn trường hợp An và Cúc ngồi cạnh nhau. ● Ta đếm xem có bao nhiêu trường hợp An và Cúc ngồi cạnh nhau (dĩ nhiên An và Bình cũng ngồi cạnh nhau). Xem An, Bình và Cúc như 1 khối nhưng để An ngồi cạnh Bình và cũng ngồi cạnh Cúc thì An phải ngồi giữa Bình và Cúc, giữa Bình và Cúc đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách. Một khối (Bình, An, Cúc) cùng với 7 người còn lại hoán đổi vị trí cho nhau nên có 8! cách. Vậy có 2!.9! 2.8! cách thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 52. Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm có 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có 6 chiếc ghế) để thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới. 3 1 1 1 A. B. C. D. . . . . 99920 462 924 665280 12! n 1 P . Chọn A. Lời giải. Ta có 462 n A 2.6!.6! Đánh số thứ tự ghế từ 1 đến 12. 1 2
3
4
5
6
12 11 10 9 8 7 Chọn 1 trong 2 bộ số chẵn hoặc lẻ xếp 6 bạn nam vào, sau đó xếp 6 bạn nữ vào bộ ghế còn lại. Câu 53. Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho các bi cùng màu không cạnh nhau? 1 2 1 2 A. B. C. D. . . . . 22 55 28512 35640 12! n 2 3!.3!.3!.3! Lời giải. Ta có . Chọn B. P 55 1.C43 .C73 .C103 2.C63 .C93 n A Xếp 3 bi xanh trước: có 1 cách (tạo ra 4 khoảng trống kể cả hai đầu). Tiếp theo xếp 3 bi đỏ vào 4 khoảng trống: có C 43 cách. Bây giờ có tất cả 6 viên bi (gồm 3 bi xanh và 3 bi đỏ) tạo nên 7 khoảng trống, tiếp tục xếp 3 bi trắng vào 7 khoảng trống: có C73 cách. Thời điểm này có tất cả 9 viên bi (gồm 3 bi xanh, 3 bi đỏ và 3 bi trắng), tiếp tục xếp 3 bi vàng vào 10 khoảng trống: có C103 cách. Vậy có
D IỄ
N
1.C43 .C73 .C103 cách. Tuy nhiên khi xếp 3 bi xanh xong, kế tiếp xếp 3 bi đỏ vào 4 khoảng trống như đã trình bày ở trên thì có 2 trường hợp mà 2 bi xanh cạnh nhau Đ X X Đ X Đ
Đ X Đ X X Đ Ứng với mỗi trường hợp này sẽ kéo theo việc xếp bi trắng không thỏa mãn là C 63 và việc xếp bi vàng không thỏa mãn là C103 . Vậy số trường hợp không thỏa mãn (cần phải trừ ra) là 2.C63 .C93 cách. Câu 54. Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng (các viên bi bán kính khác nhau). Tính xác suất để khi xếp 6 bi trên thành một hàng ngang thì không có hai viên bi cùng màu nào đứng cạnh nhau. 2 4 7 1 A. . B. C. D. . . . 15 15 15 3 n 6! 1 P . Chọn A. Lời giải. Ta có 3 n A 240 Trường hợp 1. Có 3 cặp cạnh nhau: có 3!.2!.2!.2!
48 cách.
T& G T
Trường hợp 2. Có 2 cặp cạnh nhau Khả năng thứ nhất: Cặp xanh cạnh cặp đỏ Ta xem cặp xanh như 1 vị trí, cặp đỏ như 1 vị trí cùng với 2 viên bi vàng nên có 4! cách xếp. Hai viên bi trong cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách, hai viên bi trong cặp bi đỏ đổi vị trí nên có 2! cách. Nhưng ta đếm thế này là thừa trường hợp 3 cặp bi cạnh nhau. Do đó khả năng thứ nhất có 4!.2!.2! 48 48 cách. Khả năng thứ hai: Cặp xanh cạnh cặp vàng có 48 cách. Khả năng thứ ba: Cặp đỏ cạnh cặp vàng có 48 cách. Vậy trường hợp 2 có 48 48 48 144 cách. Trường hợp 3. Có 1 cặp cạnh nhau Khả năng thứ nhất: Chỉ có 2 viên bi xanh cạnh nhau Ta xem cặp xanh như 1 vị trí, cùng với 2 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng nên có 5! cách xếp. Hai viên bi trong cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách. Nhưng ta đếm thế này là thừa trường hợp 2 cặp bi cạnh nhau (cặp xanh cạnh cặp đỏ & cặp xanh cạnh cặp vàng) và trường hợp 3 cặp bi cạnh nhau. Do đó khả năng thứ nhất có 5!.2! 2.48 48 96 cách.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Khả năng thứ hai: Chỉ có 2 viên bi đỏ cạnh nhau có 96 cách. Khả năng thứ ba: Chỉ có 2 viên bi vàng cạnh nhau có 96 cách. Vậy trường hợp 3 có 96 96 96 288 cách. số cách xếp 6 bi thỏa mãn bài toán là 6! 48 144 288 240 cách. Nhận xét. Bài này ta không thể làm như bài trước được vì các viên bi khác nhau. Câu 55. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hoàng) và 5 học sinh nữ (trong đó có Lan) thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan cũng không đứng cạnh nhau bằng 1 1 4 8 A. B. C. D. . . . . 350 450 1575 1575 10! n 8 P . Chọn D. Lời giải. Ta có 1575 n A 18432
D IỄ
N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Chọn vị trí chẵn hoặc lẻ để xếp 5 nam: có 2 cách. Ta xét trường hợp 5 nam ở vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ). Khả năng 1: Hoàng đứng ngoài cùng: có 1 cách. Xếp Lan không cạnh Hoàng: có 4 cách. Đổi vị trí các nam: có 4! cách; Đổi vị trí các nữ: 4! cách. Do đó trong trường hợp này có 2.1.4.4!.4! 4608 cách. Khả năng 2: Hoàng không đứng ngoài cùng: có 4 cách. Xếp Lan không cạnh Hoàng (bỏ 2 vị trí cạnh Hoàng): có 3 cách. Đổi vị trí các nam: có 4! cách; Đổi vị trí các nữ: 4! cách. Do đó trong trường hợp này có 2.4.3.4!.4! 13824 cách. Câu 56. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? D. 80640. B. 108864. C. 145152. D. 322560. Lời giải. Gọi k là số học sinh lớp C ở giữa hai học sinh lớp A với k 0;1;2;3;4. Trước tiên ta đếm cách tạo thành cụm A CC...C A. k
Chọn 2 học sinh lớp A xếp 2 đầu có 2! cách. Chọn k học sinh lớp C xếp vào giữa hai học sinh lớp A có A 4k cách. Do đó có 2!. A4k cách tạo ra cụm A CC...C A. k
Coi cụm A CC...C A là một vị trí cùng với 9
k
2 học sinh còn lại thành 8
k
cho các vị trí này có 8
k ! cách.
Vậy với mỗi k như trên có 2!. A4k . 8
k ! cách xếp hàng. 4
2!. A4k . 8
số cách xếp hàng thỏa mãn đề bài là: k 0
k !
145152 cách. Chọn C.
k vị trí. Xếp hàng
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Câu 57. Có 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ (các viên bi có bán kính khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng ngang sao cho các viên bi cùng màu không xếp cạnh nhau ? A. 72. B. 120. C. 196. D. 432. Lời giải. Ta đánh số thứ tự các ô cần xếp bi. I II III IV V VI ● Trường hợp thứ nhất Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, V nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở các vị trí còn lại II, IV, VI nên cũng có 3! cách. Do đó trong tường hợp này có 3!.3! 36 cách. ● Trường hợp thứ hai (như trường hợp thứ nhất) Bi màu đỏ ở các vị trí II, IV, VI nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở các vị trí còn lại I, III, V nên cũng có 3! cách. Do đó trong tường hợp này có 3!.3! 36 cách. ● Trường hợp thứ ba Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, VI nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở tùy ý các vị trí còn lại thì có 3! cách nhưng trong đó có vị trí II x IV v V v không thỏa mãn. Do đó trong tường hợp này có 3!. 3! 2
24 cách.
● Trường hợp thứ tư (như trường hợp thứ ba) Bi màu đỏ ở các vị trí I, IV, VI nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở tùy ý các vị trí còn lại thì có 3! cách nhưng trong đó có vị trí II v III v V x không thỏa mãn. Do đó trong tường hợp này có 3!. 3! 2
24 cách.
Vậy có tất cả 36 24 36 24 120 cách thỏa mãn bài toán. Chọn B. Bài tập tương tự: Cũng câu hỏi như trên nhưng các bi cùng màu giống nhau. Đáp số: 10 cách. Câu 58. Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có 3 bạn An, Bình, Cúc được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để 3 bạn An, Bình, Cúc không có bạn nào được xếp cạnh nhau bằng 7 4 7 11 A. B. C. D. . . . . 10 15 15 15 11 1 ! 10! n 7 P . Chọn C. Lời giải. Ta có 3 15 n A 7!. A8 Xếp 8 ghế quanh bàn tròn rồi xếp 8 bạn vào (11 bạn trừ An, Bình, Cúc): có 8 1 !
7! cách.
D IỄ
N
8 bạn này sinh ra 8 khoảng trống, xếp 3 bạn (An, Bình, Cúc) vào 3 trong 8 khoảng trống đó nên có A83 cách. Câu 59. Có 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng 1 7 14 25 A. B. C. D. . . . . 39 39 39 39 n 14 1 ! 13! 14 P . Chọn C. Lời giải. Ta có 2 39 n A C8 .2!.11! Bước 1. Ta cố định thầy giáo. Bước 2. Chọn lấy 2 học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có C82 cách. Bước 3. Xếp 2 học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có 2! cách. Bước 4. Cuối cùng xếp 11 người còn lại vào 11 vị trí còn lại có 11! cách. Câu 60. Có 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn tròn. Tính số cách xếp sao cho có vợ chồng nhà A là ngồi cạnh nhau còn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợ chồng của nhau thì không ngồi cạnh nhau. A. 240. B. 244. C. 288. D. 480. Lời giải. Có 2 cách sắp xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn tròn (giả sử ông chồng ngồi cố định, còn bà vợ có 2 cách xếp).
Ta lại xếp 1 cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách. Bây giờ có tất cả 3 khe trống (vì cặp vợ chồng A không cho ai ngồi giữa). Ta xếp 1 cặp vợ chồng khác vào 3 khe này nên có A32 6 cách. Bây giờ có tất cả 5 khe trống. Ta xếp 1 cặp vợ chồng còn lại vào 5 khe này nên có A52 Vậy có 2 2 6 20
20 cách.
480 cách. Chọn D.
D IỄ
N
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
---------- HẾT ----------
HAØM SOÁ (hàm ẩn)
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
T& G T
Vận dụng cao
Vấn đề 1. Cho đồ thị f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x .
Câu 1. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
Khẳng định nào sau đây sai ? A. Hàm số f x đồng biến trên
f
x như hình bên.
2;1 .
B. Hàm số f x đồng biến trên 1;
C. Hàm số f x nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 . D. Hàm số f x nghịch biến trên
N
Câu 2. Cho hàm số y
D IỄ
Hàm số g x
1;0 .
f
B. 1;3 .
Câu 3. Cho hàm số y
A.
f x . Đồ thị hàm số y
x như hình bên dưới
f 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 0;2 .
Hàm số g x
; 2.
f x . Đồ thị hàm số y
C.
f
; 1.
D.
1;
.
x như hình bên dưới
f 1 2 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B.
;0 .
C. 0;1 .
D. 1;
.
Câu 4. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
f
x như hình bên dưới. Hàm số g x
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
;0 .
B. 0;
Hàm số g x A.
;
2
f 3 2x
B.
D IỄ
Hỏi hàm số g x
B.
f x . Đồ thị hàm số y
f x
2
D.
2;1 .
;1 .
x như hình bên dưới
f
Câu 8. Cho hàm số y bên. Hỏi hàm số g x khoảng sau ? ; 2. A.
C. 2;3 .
D. 4;7 .
x như hình bên.
f
đồng biến trên khoảng nào trong các B.
1;
.
D. 0;1 .
1;0 .
1;0 .
C. 1;2 .
1;2 .
khoảng sau ? ; 1. A.
C.
x như hình bên dưới
f
1 ;1 . 2
f x . Đồ thị hàm số y
; 1.
Câu 7. Cho hàm số y
C.
D.
f 3 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
N
A.
1;3 .
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
1 . 2
Câu 6. Cho hàm số y
Hàm số g x
f x . Đồ thị hàm số y
C.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 5. Cho hàm số y
.
T& G T
A.
f x . Đồ thị hàm số y
f x
2
f
x
như hình
đồng biến trên khoảng nào trong các B.
2; 1 .
D. 1;2 .
f 2
ex
Câu 9. Cho hàm số y
x như hình bên dưới
f
f x 3 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B.
; 1.
Câu 10. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
hình bên. Đặt g x
2
f x
C. 1;
1;1 .
D. 0;1 .
.
x như
f
2 . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2;
T& G T
Hàm số g x A.
f x . Đồ thị hàm số y
.
B. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;2 .
1;0 .
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng
D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng Câu 11. Cho hàm số y
Hỏi hàm số g x
f x2
A. 2. Câu 12. Cho hàm số y bên. Hỏi hàm số g x
f x . Đồ thị hàm số y
; 2.
f
5 có bao nhiêu khoảng nghịch biến ?
B. 3. C. 4. f x . Đồ thị hàm số y f x
B. 0;
N
2; 1 .
D IỄ
Câu 13. Cho hàm số y bên. Hỏi hàm số g x
D. 5.
như hình
f 1 x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau ? A. 1;2 . C.
x như hình bên dưới
D.
f x . Đồ thị hàm số y
f
.
1;1 .
x
như hình
f 3 x 2 đồng biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau ? A. 2;3 .
B.
2; 1 .
C. 0;1 .
D.
1;0 .
Câu 14. Cho hàm số y bên. Hỏi hàm số g x các khoảng sau ? A. 1;2 . C.
;2 .
f x . Đồ thị hàm số y
f x
f
x
như hình
x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong B. D.
;0 . 1 ; 2
.
Câu 15. Cho hàm số y
A.
1;
f x
2
B.
Câu 16. Cho hàm số y
f 3
x
f
2
f
x2
x như hình bên dưới và f
2
f 2
f
D. 5;
x như hình bên dưới
2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
2x
C. 1;2 2
;1 .
f x . Đồ thị hàm số y
f
1.
D. 2 2
1;
.
x như hình bên dưới
N A.
f
; 1.
x2
0.
.
D IỄ Hàm số g x
0
D. 1;2 .
1;1 .
C. 2;5 .
f x . Đồ thị hàm số y
; 1 2 2 . B.
Câu 18. Cho hàm số y
f 2
2
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B. 1;2 .
Câu 17. Cho hàm số y
A.
f x . Đồ thị hàm số y
2; 1 .
Hàm số g x
C.
2; 1 .
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A.
x như hình vẽ bên dưới và f
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
3 . 2
Hàm số g x
f
T& G T
Hàm số g x
f x . Đồ thị hàm số y
2x B.
3
x2 ;
1 . 2
2x
2 đồng biến trên khoảng nào sau đây ? C.
1 ; 2
.
D.
1;
.
Câu
19.
Cho
f' x
g x
hàm
số
y
f x .
Đồ
2 như hình vẽ bên. Hàm số y
2
thị
hàm
y
số
nghịch
f x
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.
1;1 .
C.
2
3 5 B. ; . 2 2
D. 2;
;2 .
-2
x
2
.
O
3
1
-1
Vấn đề 2. Cho đồ thị f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x Câu 20. Cho hàm số y
f x có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y
g x . f
x như hình bên
Đặt g x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
dưới
x , khẳng định nào sau đây là đúng ?
f x
A. g 2 C. g
1
g1.
B. g
g1
g 2 .
D. g 1
g
1
f x có đạo hàm liên tục trên
Câu 21. Cho hàm số y dưới
Hàm số g x
N
B.
; 2.
Câu 22. Cho hàm số y Đồ thị hàm số y
g x
2f x
x
các khoảng sau ? A. 3;1 . B. 1;3 . C. D. 3;
;3 .
.
2;2 .
g 2 .
1
g 2 .
. Đồ thị hàm số y
C. 2;4 .
f x có đạo hàm liên tục trên f
1
g
g1
f
x như hình bên
x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
2f x
D IỄ A.
1
2
x
.
như hình bên. Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong
D. 2;
.
Câu 23. Cho hàm số y
f x có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y
x như hình bên
f
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
dưới
Hỏi hàm số g x A.
x2 2
f 1 x
B.
3;1 .
x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
2;0 .
C.
1;
3 . 2
D. 1;3 .
Vấn đề 3. Cho bảng biến thiên f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x . Câu 24. Cho hàm số y
Hàm số g x 1;
5 x 2
f 2x 2
1 . 4
B.
3 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 2 1 ;1 . 4
N
A.
f x có bảng biên thiên như hình vẽ
D IỄ
Câu 25. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
Hàm số g x A.
4; 2 .
f 1
x 2
C. 1;
5 . 4
D.
9 ; 4
. Bảng biến thiên của hàm số f
.
x như hình vẽ
x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B.
2;0 .
C. 0;2 .
D. 2;4 .
Vấn đề 4. Cho biểu thức f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x . Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm f
x2
x
2 x với mọi x
. Hàm số g x
x 2
f 1
4x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.
B.
; 6.
Câu 27. Cho hàm số y
C.
6;6 .
có đạo hàm f
f x
x2 x
x
9 x
4
2
6 2;
.
với mọi x
. Hàm số
f x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A.
B.
2;2 .
C.
; 3.
Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f
x
x
B.
2.
g x
2x
2 ?
có đạo hàm f
f x
3 . 2
x
D. 3.
2
x x 1
x
với mọi x
2
. Hàm số
5x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? x2 4
f
A.
B.
; 2.
Câu 30. Cho hàm số y với mọi x A.
Câu 31. Cho hàm số y
x
B.
2; 1 .
x
D. 2;4 .
4 .t x với mọi x
1 x
C.
f x
có đạo hàm f ' x
. Hàm số g x
các khoảng sau ? ;3 . A.
x
2
C. 1;
A. 18.
có đạo hàm f
100 để hàm số g x
D. 3;
.
f x
D IỄ
Câu 34. Cho hàm số y
A. 3. Câu 35. Cho hàm số y
x
f 3
B. 6. f x có đạo hàm f
f x
x
2
Phần 2. Cực trị của hàm số
f x
. Có bao nhiêu số
x x
1
x
2
9 với mọi x
mx
x đồng biến trên khoảng 3;
x
2
x x
x 1 x
?
5 với mọi x
mx
. Có bao
? D. 7.
1
2
3x
4
mx
3
1 với mọi x
đồng biến trên khoảng 0; C. 5.
. Có bao
D. 8. 2
đồng biến trên 1; x
2
?
D. 84.
2
C. 5.
f x có đạo hàm f
B. 4.
với mọi x
2x
C. 7.
B. 4.
nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x
x
.
đồng biến, nghịch biến.
C. 83.
có đạo hàm f
nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x
1
2
m đồng biến trên khoảng 4;
B. 82.
nhiêu số nguyên dương m để hàm số g x A. 5.
x
8x
N
Câu 33. Cho hàm số y
f x
2
x
2
và
2019 nghịch biến trên khoảng nào trong
2018 x
f 1 x
2018 với mọi x
2 .t x
Vấn đề 5. Cho biểu thức f ' x , m . Tìm m để hàm số f u x
nguyên m
0
D. 1;2 .
1;1 .
1 x x
B. 0;3 .
Câu 32. Cho hàm số f x
và t x
f x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
. Hàm số g x
0 với mọi x
C. 0;2 .
2;1 .
f x có đạo hàm f
; 2.
A. 3.
.
. Hỏi số thực nào dưới
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 29. Cho hàm số y
2 x với mọi x
C.
1.
D. 3;
0;3 .
x2
f x2
đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số g x A.
2
1
; 3
T& G T
g x
t x
D.
6 2;6 2 .
? D. 6.
. Có bao
Vấn đề 1. Cho đồ thị f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x . Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y
f x là
B. 3. f x . Đồ thị hàm số y
f x2
bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g x A. 2. C. 4.
Hỏi hàm số g x
f x có đạo hàm trên
f x2
A. 1. Câu 4. Cho hàm số y
3.
và có bảng xét dấu của y
f
x như sau
2 x có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
B. 2. C. 3. f x có đạo hàm liên tục trên
và f 0
D. 4. 0, đồng thời đồ thị hàm số
x như hình vẽ bên dưới
D IỄ
N
f
D. 5.
B. 3. D. 5.
Câu 3. Cho hàm số y
y
C. 4. f x như hình
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A. 2. Câu 2. Cho hàm số y
T& G T
y
x . Số điểm cực trị của hàm số
f
Số điểm cực trị của hàm số g x A. 1. Câu 5. Cho hàm số y
f 2 x là
B. 2. f x có đạo hàm trên
Số điểm cực trị của hàm số g x
f x
2017
C. 3. . Đồ thị hàm số y
2018 x
2019 là
D. 4. f ' x như hình vẽ bên dưới
A. 1. Câu 6. Cho hàm số y
B. 2. f x có đạo hàm trên
hàm số g x
x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
Hàm số g x
f x có đạo hàm trên
B. x 1. D. Không có điểm cực tiểu. . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A. x 0. C. x 2. Câu 7. Cho hàm số y
f
D. 4. x như hình vẽ bên dưới. Hỏi
T& G T
f x
C. 3. . Đồ thị hàm số y
f x
x3 3
x2
x
2 đạt cực đại tại
B. x 0 . f x có đạo hàm trên
Hàm số g x
2f x
x 2 đạt cực tiểu tại điểm
1. A. x Câu 9. Cho hàm số y
B. x 0. f x có đạo hàm trên
D IỄ
N
1. A. x Câu 8. Cho hàm số y
Hỏi đồ thị hàm số g x
A. 2. Câu 10. Cho hàm số y
f x
C. x 1 . . Đồ thị hàm số y
C. x 1. . Đồ thị hàm số y
f
D. x 2 . x như hình vẽ bên dưới.
f
D. x 2. x như hình vẽ bên dưới.
3 x có bao nhiểu điểm cực trị ?
B. 3. C. 4. D. 7. f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên dưới
2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
f x
A. 2. B. 3. C. 5. Câu 11. Cho hàm số bậc bốn y f x . Đồ thị hàm số y
g x
hình
f A. 1. C. 3.
vẽ
x
2
bên.
2x
Số
điểm
đại
của
hàm
số
2 là B. 2. D. 4.
Câu 12. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
Số điểm cực trị của hàm số g x A. 1. Câu 13. Cho hàm số y
; 3, 4
x
cực
x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
như
D. 7.
f
T& G T
Hỏi hàm số g x
9;
e
2f x
1
5
f x
f
là
B. 2. f x . Đồ thị hàm số y
. Đặt g x
f x
x như hình vẽ dưới đây
mx
C. 3. D. 4. f x như hình vẽ bên dưới và f
x
0 với mọi
5. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số m để
D IỄ
N
hàm số g x có đúng hai điểm cực trị ?
A. 4. Câu 14. Cho hàm số y
B. 7. f x . Đồ thị hàm số y
C. 8. D. 9. f x như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x A. 3.
B. 4.
C. 5.
f x
m có 5 điểm cực trị ? D. Vô số.
Câu 15. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
x như hình vẽ bên dưới.
f
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x A. 2.
B. 3.
m có 5 điểm cực trị ?
f x
C. 4.
D. Vô số.
Vấn đề 2. Cho biểu thức f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x .
f x có đạo hàm f
đạt cực đại tại A. x 0.
B. x
g x
f x A. 1.
A. 0.
. Hàm số y
D. x
2. 2
1 x 1
x
3.
1 với mọi x
2
x
f x
. Hàm số
x có bao nhiêu điểm cực trị ?
C. 3.
có đạo hàm f
f x
D. 4.
x
x
2
1 x
với mọi x
4
. Hàm số
x có bao nhiêu điểm cực đại ?
B. 1.
Câu 19. Cho hàm số y
C. 2.
có đạo hàm f
f x
x
D. 3.
x
2
x 1 x
4
2
với mọi x
. Hàm số
f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?
g x
A. 2. Câu 20. Cho hàm số
f x2
g x
B. 3. y f x
f x .f
x
x x 1
2
B. 4. y f x
x
f x .f
x
D IỄ
2
N
điểm cực trị ? A. 1. Câu 22. Cho hàm số x
có đạo hàm
cực trị ? A. 1.
x2
4
3
C. 5. có đạo hàm cấp 3
với mọi x
B. 2. y f x
D. 5. với mọi x
2x
15 x 4
của hàm số g x
12 x với mọi x
.
Hàm số
A. 1.
cực trị của hàm số g x A. 1.
x
f x
D. 6. liên tục trên
và thỏa mãn
f x .f
1
x
x có bao nhiêu điểm D. 4.
2
5
x
3
3 với mọi x
. Số điểm cực trị
là
f x
f x
C. 5. có đạo hàm f
x
x
D. 7. 2
1 x
4
x
2
4 với mọi x
f x có đạo hàm f
C. 5. x
x x
D. 7. 2
4
x
2
4 với mọi x
là B. 1.
. Số điểm
là
B. 3.
Câu 25. Cho hàm số y của hàm số g x
x
4
và thỏa mãn x có bao nhiêu
x
C. 3.
B. 3.
Câu 24. Cho hàm số y
2
2
2f x .f
f
. Hàm số g x
B. 2.
f x
D. 6. liên tục trên
. Hàm số g x
C. 3. có đạo hàm cấp
Câu 23. Cho hàm số f x có đạo hàm f
A. 0.
C. 4. f x
8 x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3. Câu 21. Cho hàm số
f
x
B. 2.
f 3
x với mọi x
1 3
C. x
1.
f x có đạo hàm f
Câu 18. Cho hàm số y g x
x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 17. Cho hàm số y
x
T& G T
Câu 16. Cho hàm số y
C. 3.
D. 5.
. Số điểm cực trị
Vấn đề 3. Cho biểu thức f ' x , m . Tìm m để hàm số f u x
nhiêu số nguyên m
f x
có đạo hàm f
10 để hàm số g x
A. 6.
f x
B. 7.
Câu 27. Cho hàm số y
x2 x
x
có đạo hàm f
B. 4.
x
x
5;5 để hàm số g x
A. 3.
x
f x
x
m
2
3m
1
4
4
m
x
x
3
3
với mọi x
x
x2 x
x
trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x B. 16.
1
5
với mọi
. Có bao nhiêu
có 3 điểm cực trị ?
1 x2
2mx
D. 6. 5 với mọi x
C. 4.
f x có đạo hàm f
3
x
D. 6. 5
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 30. Cho hàm số y
3
có 3 điểm cực trị ?
f x
có đúng 1 điểm cực trị ?
f x
B. 3.
A. 15.
x
2
C. 5.
có đạo hàm f
nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x A. 2.
1
x
f x
B. 4.
Câu 29. Cho hàm số y
. Có bao
D. 9. 2
C. 5.
Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f số nguyên m thuộc đoạn
5 với mọi x
C. 8.
f x
A. 3.
2mx
có 5 điểm cực trị ?
. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g x
x
1 x2
T& G T
Câu 26. Cho hàm số y
có n điểm cực trị
. Có bao
D. 5.
2
f x2
x
2
8x
2 x với mọi x
. Có bao nhiêu giá
m có 5 điểm cực trị ?
C. 17.
D. 18.
Vấn đề 4. Cho đồ thị f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x .
Câu 31. Cho hàm số f x
g x
f x
N
x2
D IỄ
f
3x có bao nhiêu điểm cực đại ? B. 4. D. 6.
Câu 33. Cho hàm số y f x
như hình vẽ bên dưới. Hàm số
B. x 0. C. x 1. f x có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm
A. 3. C. 5.
g x
và có đồ thị f x
x đạt cực đại tại
1. A. x Câu 32. Cho hàm số y số g x
xác định trên
2
f x
có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
D. x
2.
Câu 34. Cho hàm số y
có bao nhiêu điểm cực trị ?
f f x A. 3. C. 5.
B. 4. D. 6.
Câu 35. Cho hàm số y trị của hàm số g x
f x có đạo hàm trên
2
A. 2.
f x
3
f x
.
B. 3.
Câu 36. Cho hàm số y
f x
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực
C. 4.
f x
4 có
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A. 2. Câu 37. Cho hàm số y
2f x
B. 3. C. 4. f x có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị
D. 5.
3 có bao nhiêu điểm cực trị ?
D IỄ
N
A. 4. B. 5. C. 7. D. 9.
D. 5.
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số g x
tổng tung độ của các điểm cực trị bằng
hàm số h x
T& G T
g x
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
f x
Câu 38. Cho hàm số f x
g x
f x
A. 2.
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
2018 là
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Câu 39. Cho hàm số f x
g x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
2 là
f x
B. 3.
A. 1.
C. 5.
D. 7.
f x có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ
thị hàm số g x
2
1 có bao nhiêu điểm cực trị ? B. 3. D. 7.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A. 2. C. 5.
f x
T& G T
Câu 40. Cho hàm số y
Vấn đề 5. Cho bảng biến thiên của hàm f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm f u x . Câu 41. Cho hàm số y
Hàm số g x
1.
B. x
D IỄ
Câu 42. Cho hàm số y
Hỏi hàm số g x
f x2
A. 0. Câu 43. Cho hàm số y
và có bảng biến thiên như sau
1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
N
A. x
3f x
f x xác định, liên tục trên
1.
C. x
1.
D. x
f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
1 có bao nhiêu điểm cực trị ? B. 1.
C. 2.
f x có bảng biến thiên như sau
D. 3.
0.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g x A. 2.
f 3
x .
B. 3.
D. 6.
f x có bảng biến thiên như sau 1
3
0
0
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x f' x
T& G T
Câu 44. Cho hàm số y
C. 5.
2018
f x
2018
Hỏi đồ thị hàm số g x A. 2.
f x
2017
B. 3.
Câu 45. Cho hàm số y
C. 4.
f x liên tục trên
Hỏi số điểm cực trị của hàm số g x
f x
D. 5.
và có bảng biến thiên như hình vẽ sau
nhiều nhất là bao nhiêu ?
B. 7.
C. 11.
D. 13.
D IỄ
N
A. 5.
2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
Vấn đề 6. Cho đồ thị f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x , m .
Câu 46. Cho hàm bậc ba y
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số
m để hàm số g x
m có 3 điểm cực trị là
A. m
f x
1 hoặc m
3.
B. m
3 hoặc m
1.
Câu 47. Cho hàm số y
Đồ thị hàm số g x A. m
D. 1
3.
m
f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
2m có 5 điểm cực trị khi
f x
B. m
4;11 .
2;
11 . 2
C. m
2;
trị bằng A. 2016.
B.
3x 2
9x
m
2.
N
Câu 50. Cho hàm số y
B. m
m có 5 điểm cực 2
5
D. 2016.
f ( x ) m có 5 điểm cực trị.
C. m
2.
2.
D.
m m
2 2
.
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương của
tham số m để hàm số g x
D IỄ
3.
f x có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g x
A. 2.
x3
D. m
C. 1952.
496.
Câu 49. Cho hàm số bậc bốn y
2
11 . 2
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 48. Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y
A.
3.
T& G T
1 hoặc m
C. m
f x
B. 3.
2018
m có 7 điểm cực trị ?
C. 4.
D. 6.
f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có
Câu 51. Cho hàm số y
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
g x
2018
f x
m 2 có 5 điểm cực trị ?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Câu 52. Cho hàm số y
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
4;4 để hàm số g x
f x 1
m có 5
điểm cực trị ? A. 3.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
Câu 53. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số
y
f x . Với m
1 thì hàm số g x
f x
m
có
bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. C. 3.
B. 2.
D. 5.
Câu 54. Cho hàm số y
f x
m có 5 điểm cực trị.
D IỄ
N
m để hàm số g x
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
1. A. m Câu 55. Cho hàm số y
1. B. m C. m 1. f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
D. m
1.
f2 x
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h x
m có đúng 3 điểm cực
f x
trị.
1 . 4
B. m
C. m
D. m
1.
Vấn đề 7. Cho biểu thức f x , m . Tìm m để hàm số f u x
f x có đúng ba điểm cực trị là
nhiêu điểm cực trị ? A. 3. Câu 57. Cho hàm số f x
B. 4. x 3 2m 1 x 2
trị của m để hàm số g x
2
5 4
B.
m
mx 3
trị nguyên của tham số m
m
3m
2 x
10;10 để hàm số g x ax 3
5 m 2. 4 2 m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá
C.
bx 2
cx
5 4
m
f x
D.
2.
có 5 điểm cực trị ?
C. 10. D. 11. d có đồ thị nhận hai điểm A 0;3 và B 2; 1
ax 2 x
làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x
5.
B. 7.
số g x
D. 11.
N
D IỄ f x
0
x3
Câu 62. Cho hàm số f x
b
c
d
0
2018
ax 2
bx
c với
a, b, c
và
D. 5. 4 a 2b
8
4a
8
2b
c c
0 0
. Hàm số
C. 3.
x3
mx 2
nx
1 với m, n
và
m
D. 5. n 0
7
2 2m
n
0
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2. Câu 63. Cho hàm số y
x2
. Hàm
2018
C. 3.
B. 2.
f x
và d a
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1.
g x
d với a, b, c, d
cx
B. 2.
Câu 61. Cho hàm số f x
g x
bx 2
d.
cx
2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
f x
A. 1.
bx 2
C. 9.
a
ax 3
Câu 60. Cho hàm số f x
2 x có bao
C. 5. D. 6. 2 m x 2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá
2.
3mx 2
A. 7. B. 9. Câu 59. Cho hàm số bậc ba f x
A.
f x2
2; 1 và 0. Hàm số g x
có 5 điểm cực trị.
f x
5 . 4 Câu 58. Cho hàm số f x A.
có n điểm cực trị
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 56. Hàm số y
1.
T& G T
1 . 4
A. m
B. 5. ax 3 bx 2
cx
C. 9. D. 11. d đạt cực trị tại các điểm x1 , x 2 thỏa mãn x1
1;0 ,
1;2 . Biết hàm số đồng biến trên khoảng x1 ; x 2 . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. a 0, b 0, c 0, d 0. C. a 0, b 0, c 0, d 0.
B. a D. a
0, b 0, b
0, c 0, c
0, d 0, d
0. 0.
Câu 64. Cho hàm số y của hàm số g x
f x
A. 1.
bx 2
c biết a
2018 và a
0, c
b
c
2018. Số cực trị
2018 là B. 3.
Câu 65. Cho hàm số f x
g x
ax 4
f x
m
4
C. 5.
1 x
4
2
m 1
.m
2
4 x
D. 7. 2
4
m
16 với m là tham số thực. Hàm số
1 có bao nhiêu điểm cực tri ?
f x A. 3.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
D IỄ
N
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
---------- HẾT ----------
HAØM SOÁ (hàm ẩn) Vận dụng cao
Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 1. Cho đồ thị f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x . …………………….….……….
02
2. Cho đồ thị f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x
14
g x …………….…….….
3. Cho bảng biến thiên f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x . ……………….
17
4. Cho biểu thức f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x . ………….……………….
18
5. Cho biểu thức f ' x , m . Tìm m để hàm số f u x
21
đồng biến, nghịch biến…..…..
Phần 2. Cực trị của hàm số Kí hiệu f u x
là các hàm số hợp; hàm tổng, hàm chứa trị tuyệt đối.
1. Cho đồ thị f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x . …………………………….………. 23 2. Cho biểu thức f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x . ………………………..…….
31
3. Cho biểu thức f ' x , m . Tìm m để hàm số f u x
34
có n điểm cực trị……………..…..
4. Cho đồ thị f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x . ………………………………….…… 36 5. Cho bảng biến thiên của hàm f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x . ……
42
6. Cho đồ thị f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x , m . ……………………….……….… 44
T& G T
có n điểm cực trị……………..…..
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
7. Cho biểu thức f x , m . Tìm m để hàm số f u x
Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x .
Câu 1. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
Khẳng định nào sau đây sai ? A. Hàm số f x đồng biến trên
f
x như hình bên.
2;1 .
B. Hàm số f x đồng biến trên 1;
C. Hàm số f x nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .
N
D. Hàm số f x nghịch biến trên
D IỄ
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số y ● f' x
0 khi
2
x
x 1 Suy ra A đúng, B đúng. 0 khi x ● f' x 2
1
; 2.
f ' x ta thấy:
f x đồng biến trên các khoảng
f x nghịch biến trên khoảng
2;1 , 1;
; 2 . Suy ra D đúng.
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C. Câu 2. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
f
.
x như hình bên dưới
49
f 3 2 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. 0;2 .
B. 1;3 .
Ta có g x Xét g x
x
2
0
x
x
2
5
D.
; 1.
1;
.
.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f
C.
T& G T
Hàm số g x
2 f 3 2x . f 3 2x
0
0
2
3 2x
3 2x
Vậy g x nghịch biến trên các khoảng
1 2 x
2
5
1 5 ; và 2 2
5 2.
x
1
; 1 . Chọn C.
x
Cách 2. Ta có g x
0
f 3 2x
0
theo do thi f ' x
3 2x 3 2x 3 2x
2
2 5
x
x
5 2 1 . 2 1
N
Bảng biến thiên
D IỄ
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C. Chú ý: Dấu của g x theo do thi f ' x
được xác định như sau: Ví dụ ta chọn x
f 3 2x
f 3
0. Khi đó g 0
f 3
0
0.
Nhận thấy các nghiệm của g x là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 3. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
f
x như hình bên dưới
1;
1 , suy ra 3 2 x 2
3
Hàm số g x
B.
1;0 .
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f Ta có g x Xét g x
C. 0;1 .
;0 .
x
x
0
1
1
x
2
D. 1;
.
.
2 f 1 2x . 0
f 1 2x
1 2x
0
1
1 2x
1
x
1
1 2
2
1 ;0 và 1; 2
Vậy g x đồng biến trên các khoảng
x
0
.
. Chọn D.
1 2x 0
2 f 1 2x
0
1
1 2x
1
1 2x
2
1
x
0
1 2x
4 nghiem kep
x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Cách 2. Ta có g x
theo do thi f ' x
x
T& G T
A.
f 1 2 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
x
1. 2 3 2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ chọn x theo do thi f ' x
f 1 2x
Nhận thấy các nghiệm x nghiệm x
f
3
1 ;x 2
0. Khi đó g 2
0 và x
2f
3
2
1;
, suy ra 1 2 x
0.
1 của g x là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu;
3 là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu. 2
Câu 4. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
f
x như hình bên dưới. Hàm số g x
D IỄ
N
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
A.
3
;0 .
B. 0;
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có f
.
x
0
C.
x
0
x
3
.
1;3 .
D.
2;1 .
f 2
ex
ex . f 2
Xét g x
ex ; g x
ex
f 2
0
theo do thi f ' x
0
2
ex
0
2
x
3
e
x
0.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số g x nghịch biến trên
A.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Hàm số g x
2
;
f 3 2x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
1 . 2
1 ;1 . 2
B.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f Ta có g x Xét g x
x như hình bên dưới
f
T& G T
f x . Đồ thị hàm số y
Câu 5. Cho hàm số y
;0 . Chọn A.
2 f 3 2 x .2
0
f 3 2x
f 3 2x
0
x
C. 1;2 .
0
x
1
1
x
4
D.
.
. ln 2.
3 2x
1
Vậy g x đồng biến trên các khoảng
3 2x
2
x
1
1 2
4
1 ;1 , 2; 2
x
. 1
. Chọn B.
3 2x
0
f 3 2x
0
theo do thi f ' x
3 2x
4
3 2x
1
D IỄ
N
Cách 2. Ta có g x
1
x
x
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
f x . Đồ thị hàm số y
f
1 . 2
x
Bảng biến thiên
Câu 6. Cho hàm số y
2
x như hình bên dưới
1
;1 .
A.
f 3 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B.
; 1.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f
x
Với x
3
3 khi đó g x
C. 2;3 .
1;2 .
f x
1
0
x
x
1
4
g x
f
và f
x
3
0
x
hàm số g x đồng biến trên các khoảng 3;4 , 7;
3
x
1
3
3 khi đó g x
4
f 3
x
1
Câu 7. Cho hàm số y Hỏi hàm số g x
x
3
f x . Đồ thị hàm số y
f x2
1
x
0
f 3
2 xf
x
x
7
x2
1
x2
1
0
đồng biến trên khoảng nào trong các
.
1;
x2 .
g x
0
x
0
f
x2
x
0
f
2
x
x
0
0
x2
1
theo do thi f ' x
x
x
0
1
N
Cách 2. Ta có g x
x 0
x
0
f
2
x
theo do thi f ' x
0
0
x
2
x
2
0
x2
1
1
x
0
x
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 1;
0
0
2
. Chọn C.
D IỄ
0
x
2
x như hình bên.
f
B.
Hàm số g x đồng biến
x
3 4
.
D. 0;1 .
Lời giải. Ta có g x
1
x
1 x
4
1;2 . Chọn B.
1;0 .
1
x
2
khoảng sau ? ; 1. A.
x
1
.
f 3
g x
hàm số g x đồng biến trên khoảng
C.
1
4 loaïi
x
1
x
x
0
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Với x
D. 4;7 .
T& G T
Hàm số g x
1
.
0
4
x
x
1;
x
x
1;
0. 2
1
1 . Với x
2
theo do thi f ' x
1
2 xf x 2
Từ 1 và 2 , suy ra g x
f
x
2
0.
0 trên khoảng 1;
2 nên g x mang dấu
.
Nhận thấy các nghiệm của g x là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 8. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
bên. Hỏi hàm số g x
f x
2
f
đồng biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau ? ; 2. A.
B.
D. 1;2 .
1;0 .
2 xf x 2 . x
0
f
x
2
x
0
Hàm số g x đồng biến
g x
0
f
x 2
1 x
x
0
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Ta có g x
0
2; 1 .
T& G T
C.
như hình
x
x
2
1
0
x
x2
x
0
1
x2
4
x2
4
0
2
1
1
. Chọn B.
x
x
Cách 2. Ta có g x
x2
1
theo do thi f ' x
0
f
0
x
theo do thi f ' x
x2
0
0
2
x
1
x2
1
x2
4
0
x
1.
x
2
Bảng biến thiên
2;
D IỄ
x
N
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;
x
2;
x x2
1
0. 4 . Với x 2
Từ 1 và 2 , suy ra g x
4
2 xf x
2
theo do thi f ' x
f
x2
0 trên khoảng 2;
0.
2 nên g x mang dấu
Nhận thấy các nghiệm của g x là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 9. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
f
x như hình bên dưới
.
f x 3 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
Hàm số g x A.
B.
; 1.
3x 2 f
Lời giải. Ta có g x
g x
x
0
2
f
0 x
D. 0;1 .
.
x3 ;
theo do thi f ' x
3
C. 1;
1;1 .
0
x2
0
x
3
0
x
3
x x
1
x3
0
. 1
1
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C. Câu 10. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
f x2
hình bên. Đặt g x
x như
f
2 . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2;
.
B. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;2 . C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng
1;0 .
D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng
Lời giải. Ta có g x x
g x
0
f
x2
2 xf
2 ;
x
0
theo do thi f ' x
x2
2
; 2.
0
0
2
2
x2
2
x
x
1 nghiem kep
2
0
x
1.
x
2
D IỄ
N
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C. Câu 11. Cho hàm số y
Hỏi hàm số g x A. 2.
f x2
f x . Đồ thị hàm số y
f
x như hình bên dưới
5 có bao nhiêu khoảng nghịch biến ? B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Ta có g x
x2
2 xf
5; x
g x
0
x
0
f
2
x
theo do thi f ' x
5
0
0
x
0
x
2
5
4
x
1
x
2
5
1
x
2
x2
5
x
2
. 7
T& G T
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C. f x . Đồ thị hàm số y
f
như hình
x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 12. Cho hàm số y
f 1 x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong
bên. Hỏi hàm số g x các khoảng sau ? A. 1;2 .
B. 0;
2; 1 .
C.
D.
Trường hợp 2:
1;1 .
2
Lời giải. Ta có g x
Trường hợp 1:
.
2 xf 1 x . Hàm số g x nghịch biến
2x
0
2
f 1 x
2x
0
x
0
0
1
1 x2
0
1 x2
1 1 x2
theo do thi f ' x
0
0
.
0. Chọn B.
x
2
x
0
f 1 x2
2 : vo nghiem
0
x
2
f 1 x
Cách 2. Ta có g x
0
x
g x
0
1 x2
1
2
2
1 x
x
0.
D IỄ
N
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ chọn x 1 x
1
x
1
2x 1 x2
0;
.
1
0. 0
Từ 1 và 2 , suy ra g 1 Nhận thấy nghiệm của g x
f 1 x2
f
0
0 trên khoảng 0;
theo do thi f ' x
f
0
2
.
0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
0.
2
2x
0
f 1 x2 2x
0 .
0
f 1 x2
0
Câu 13. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
bên. Hỏi hàm số g x
f 3 x
2
f
như hình
x
đồng biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau ? A. 2;3 .
B.
2; 1 .
C. 0;1 .
D.
1;0 . x
0
f 3
Lời giải. Ta có g x
2
x . Hàm số g x đồng biến
2 xf 3
g x
0
x
x
3
x 2
1
x
3
x
2
2
9 x2
4
1
x
3
2
x
1
. Chọn D.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
theo do thi f ' x
6
0 2
x
0
6
x2
3
x2
3
2
x
Cách 2. Ta có g x
0
1
0
x
0
4
x2
x2
1
9
theo do thi f ' x
x2
f 3
x x
3 1
0
x
0
3
x
2
3
x
2
3
x2
2
0
x x
3
1
x
2
x
1
2
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
bên. Hỏi hàm số g x
f x . Đồ thị hàm số y
f x
x
2
N
D IỄ
B.
1 2x f
1 ; 2
x
x2 .
.
1 2x f
Hàm số g x nghịch biến
g x
0
Trường hợp 1:
f
x
0 x
2
x 0
x
x
1 2x f
1 2x
như hình
;0 .
D.
;2 .
Lời giải. Ta có g ' x
x
nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau ? A. 1;2 . C.
f
1 2 x2
x
0 x2
0 .
0 x2
0
x 1
x
x2
2
0
6
Bảng biến thiên
Câu 14. Cho hàm số y
x2
0
T& G T
0
0
0
f 3
x
x2
1 . 2
.
Trường hợp 2:
1 2x f
0 x2
x
1 2 x x2
x 0
1
. 2 : vo nghiem
1 . Chọn D. 2
Kết hợp hai trường hợp ta được x
x
1 2 x2
1 : vo nghiem
x
x2
2 : vo nghiem
x 1 2x
Cách 2. Ta có g x
0
f
0
x
x
2
theo do thi f ' x
0
1 . 2
x
Cách 3. Vì x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Bảng biến thiên
x2
2
1 2
x
1 4
1 4
theo do thi f ' x
f
x
x2
0.
Suy ra dấu của g ' x phụ thuộc vào dấu của 1 2 x. Yêu cầu bài toán cần g ' x
Câu 15. Cho hàm số y
Hàm số g x 1;
3 . 2
2
1 2x
0
f x . Đồ thị hàm số y
1 . 2
x
f
x như hình vẽ bên dưới và f
2
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B.
C.
2; 1 .
1;1 .
D. 1;2 .
D IỄ
N
A.
f x
0
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y
Từ bảng biến thiên suy ra f x Ta có g x
2f
x .f x .
f
0, x
x , suy ra bảng biến thiên của hàm số f x như sau
.
f 2
0
0
x .f x
f
f
0
0
x
f x
0
x 1
Suy ra hàm số g x nghịch biến trên các khoảng Câu 16. Cho hàm số y
Hàm số g x A.
f 3
2
x
2
.
; 2 , 1;2 . Chọn D.
f x . Đồ thị hàm số y
x
2
f
x như hình bên dưới và f
B. 1;2 .
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y
C. 2;5 .
D. 5;
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m 0, x
Ta có g x
2f 3
x .f 3
x .
f 3
x .f 3
x
.
0
f 3
x
f 3
x
Suy ra hàm số g x nghịch biến trên các khoảng
0
0
2
3
x
3
x
1
2
2 x
x 1
5
.
;1 , 2;5 . Chọn C.
f x . Đồ thị hàm số y
f
x như hình bên dưới
D IỄ
N
Câu 17. Cho hàm số y
.
x , suy ra bảng biến thiên của hàm số f x như sau
f
Từ bảng biến thiên suy ra f x
0
0.
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
2; 1 .
Xét g x
f 2
2
T& G T
Xét g x
Hàm số g x A.
x2
f
2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
2x
; 1 2 2 . B.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra f
x
Ta có g x
x
2
1 2x
C. 1;2 2
;1 .
f 2
x
x2
0
2x
x
1
x
1 .
x
3
2 ;
1.
D. 2 2
1;
.
1
x
theo do thi f ' x
0
g x
x2
f
1
x
0 2x
2
2x
2
x2
2x
2
x
0
0
2
x
1 nghiem boi ba
1
x
1 2 2
3
x
1 2 2
.
Lập bảng biến thiên và ta chọn A. Chú ý: Cách xét dấu g x như sau: Ví dụ xét trên khoảng
1; 1 2 2
ta chọn x
1
Hàm số g x A.
; 1.
f x . Đồ thị hàm số y
x2
f
2x
x2
3
B.
Lời giải. Ta có g x
x
;
1 x
0
2
2x
1
3
x2
u
x
2x
2
2 đồng biến trên khoảng nào sau đây ?
1 . 2
2
2x
3
x
0, x
2x
2
D.
.
x2
f
2x
1;
x2
3
2x
. 1
x2
2x
1
2
.
1
2
2
1
x
1
2
1
2
1
1
2
N
f u
1 ; 2
2
x
theo do thi f ' x
C.
1
2
0 với mọi x
2x
3
2x
1
1
x
x như hình bên dưới
f
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 18. Cho hàm số y
2
T& G T
f 2 0 vì dựa vào đồ thị f x ta thấy tại x 2 1;3 thì f 2 nghiệm của phương trình g x 0 là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu. g 0
0. Khi đó
D IỄ
Từ 1 và 2 , suy ra dấu của g x phụ thuộc vào dấu của nhị thức x Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.
1 (ngược dấu)
.
2 .
0. Các
Câu 19. Cho hàm số
f' x
g x
2 như hình vẽ bên. Hàm số y
2
y
Đồ thị hàm số
f x .
y
f x
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 3 5 A. 1;1 . B. ; . 2 2 C.
D. 2;
;2 .
2
-2
x
2
.
O
3
1
-1
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có f ' x Đặt t
x
2, ta được f ' t
2
2 2
Cách khác. Từ đồ thị hàm số f ' x
2 t
1
x
1
3.
3 hay f ' t
2
0
1. Chọn A.
t
1
2 tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
2
2 (tham khảo hình vẽ bên dưới).
T& G T
f' x
2
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
y
-2
x
2
O
1
3
-3
Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f ' x
2 sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f ' x (tham
khảo hình vẽ bên dưới).
y
x
1
-1
3
O
-3
Từ đồ thị hàm số f ' x , ta thấy f ' x
0 khi x
1;1 .
N
Vấn đề 2. Cho đồ thị f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x
f x có đạo hàm liên tục trên
D IỄ
Câu 20. Cho hàm số y
. Đồ thị hàm số y
dưới
Đặt g x A. g 2 C. g
x , khẳng định nào sau đây là đúng ?
f x g 1
1
g1.
B. g
g1
g 2 .
D. g 1
Lời giải. Ta có g x
f
x
1
g x
0
f
x
1
1.
g
g1
g 2 .
1
g 2 .
f
g x . x như hình bên
Số nghiệm của phương trình g x
0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y
f
x và đường
Dựa vào đồ thị, suy ra g x
0
x
1
x
1 .
x
2
T& G T
1 (như hình vẽ bên dưới).
thẳng d : y
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên
g 2
g
1
g 1 . Chọn C.
Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2; nằm phía trên đường thẳng y
f
1 mang dấu
x
f x có đạo hàm liên tục trên
Câu 21. Cho hàm số y
.
. Đồ thị hàm số y
f
x như hình bên
D IỄ
N
dưới
1 nên g x
, ta thấy đồ thị hàm số
Hàm số g x A.
2f x
x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ? B.
; 2.
Lời giải. Ta có g x
2f
x
2x
Số nghiệm của phương trình g x thẳng d : y
C. 2;4 .
2;2 . g x
0
f
x
D. 2; x.
0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y
x (như hình vẽ bên dưới).
.
f
x và đường
0
2
x
2 .
x
4
Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x
0)
hàm số g x đồng biến trên
Câu 22. Cho hàm số y Đồ thị hàm số y
g x
x nằm phía trên đường thẳng
2;2 . Chọn B.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x nên g x
y
2;2 thì đồ thị hàm số f
T& G T
Dựa vào đồ thị, suy ra g x
x
2f x
x
f x có đạo hàm liên tục trên
f
1
2
.
như hình bên. Hỏi hàm số
x
đồng biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau ? A. 3;1 . B. 1;3 . C.
;3 .
D. 3;
.
Lời giải. Ta có g x
2f
x
2 x
0
f
x
x
1.
0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y
Số nghiệm của phương trình g x
f
x và đường
x 1 (như hình vẽ bên dưới).
D IỄ
N
thẳng d : y
g x
1
Dựa vào đồ thị, suy ra g x
Yêu cầu bài toán
y
g x
0
3
x
1 .
x
3
x 1
3 x
3
(vì phần đồ thị của f ' x
nằm phía trên đường thẳng
x 1 ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B.
Câu 23. Cho hàm số y dưới
0
x
f x có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y
f
x như hình bên
B.
3;1 .
Lời giải. Ta có g x Để g x
0
x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A.
x2 2
f 1 x
T& G T
Hỏi hàm số g x
f 1 x
x
3 . 2
D. 1;3 .
1 x , bất phương trình trở thành f t
x cắt đồ thị hàm số f ' x lần lượt tại ba điểm x
Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình f t
N
1;
1.
x 1. Đặt t
f 1 x
Kẻ đường thẳng y
C.
2;0 .
t
t
1
1 x
3
t
3
1 1 x
3; x
3
3
t.
1; x
3.
4
x 2
x
D IỄ
Đối chiếu đáp án ta chọn B. Vấn đề 3. Cho bảng biến thiên f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x .
Câu 24. Cho hàm số y
f x có bảng biên thiên như hình vẽ
0
.
1;
3 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? 2 1 5 9 ;1 . ; B. C. 1; . D. 4 4 4
1 . 4
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f
x
x
0
2
x
và f
3
5 2
4x
f 2x 2 Ta có g x
4x
5 f 2
5 x 2
2x 2
3 . Xét g x 2
f 2x 2
0
5 8
x
5 x 2
3 2
0
2
5 2
f 2x 2
2x 2
5 x 2
2x 2
0
5 x 2
5 x 2
3 2
3.
0 5 x 2
3 2
0
5 2
0 5 x 2
3 2
0
9 . 4
x
1
3
5 8
x
4x
x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
2
.
f 2x 2
5 2
0
0 4x
4x
x
.
T& G T
A.
5 x 2
f 2x 2
Hàm số g x
3 2
x
3
1
.
3 2
0
5 8
x
2x 2
1 4
5 x 2
3 2
x
5 8
2
Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.
. Bảng biến thiên của hàm số f
x như hình vẽ
D IỄ
N
Câu 25. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
Hàm số g x A.
x 2
f 1
x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B.
4; 2 .
1 f 1 2
Lời giải. Ta có g x TH1: f 1
x 2
2
2
1
2;0 . x 1. Xét g x 2 x 3 4 x 2
C. 0;2 . 0
f 1
D. 2;4 . x 2
2
2. Do đó hàm số nghịch biến trên
4; 2 .
x 2
TH2: f 1 khoảng 2
2
1
x 2
1
0
a
2
2
2a
4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên
x
2a;4 chứ không nghịch biến trên toàn khoảng 2;4 .
x x nghịch biến trên 4; 2 . Chọn A. 2 Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử.
Vậy hàm số g x
f 1
Vấn đề 4. Cho biểu thức f ' x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u x . Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm f
x2
x
2 x với mọi x
. Hàm số g x
f 1
x 2
4x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? B.
; 6.
1 f 1 2
Xét
9 2
x 2
4
6
x
1 1 2
2
x 2
D.
6 2;6 2 .
x 2
21
4
x2 8
x2
0
36
Câu 27. Cho hàm số y
.
6. Chọn B.
có đạo hàm f
f x
6 2;
x2 . 8
9 2
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Ta có g x
C.
6;6 .
T& G T
A.
x2 x
x
9 x
4
2
với mọi x
. Hàm số
f x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
g x A.
B.
; 3.
2 xf x 2
2x 5 x 2
2;2 .
Lời giải. Ta có g x
C.
g x
2x
0
x
2
9 x
2
2
4
0
D. 3;
0;3 .
.
2
9 x2
x
5
; 3
4 ;
0
x
3.
x
2
Bảng biến thiên
D IỄ
N
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D. Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f
x
x
đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số g x A.
B.
2.
Lời giải. Ta có g x
Xét 2 x
1
5
x 1
4
2 x
1
2 x
1
1
0
2x
2x
x
2
C.
x2
x2 5
f x
1.
2 x 1 f
2
1
1
4
0
x
x
2
x2
2 x với mọi x
2x
2 ?
. Hỏi số thực nào dưới
3 . 2
D. 3.
2
2 1
2
x2
2x
2
1. 1 .
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 0;1 , 2;
.
2
2 x2
2x
2
Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm số g x . Chọn B. Câu 29. Cho hàm số y
x x 1
x
2
2
x
với mọi x
. Hàm số
5x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? x2 4
f
A.
B.
; 2.
Lời giải. Ta có f
0
x
C. 0;2 .
2;1 .
x x
1
2
x
2
0
x
0
x
1.
x
2
20 5 x 20 5 x 2
Xét g x
x2
x
2
;g x
4
2
5x x2 4 5x x2 4 5x x2 4
0
0 0 1
x x
0
x
1 nghiem boi chan
2
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
4
5x
f
2
D. 2;4 .
T& G T
g x
có đạo hàm f
f x
x
.
4 nghiem boi chan
2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 4; x
20 5 x
5
x2
x
4
5x
5
x2
4
25 29
Câu 30. Cho hàm số y
N
Theo giả thiết f
x2 x 1 x
0, x
Bảng biến thiên
2
0.
x2 x
x
1 x
4 .t x với mọi x
và t x
C.
D. 1;2 .
1;1 .
x2 .
2 xf
Mà t x
2
.
2; 1 .
Lời giải. Ta có g x
Từ đó suy ra g x
25 29
f x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B.
x
1
0 trên khoảng 4;
f x có đạo hàm f
; 2.
2
25 25 29 29
25 29
f
. Hàm số g x
D IỄ A.
5
1
0.
2
Từ 1 và 2 , suy ra g x
với mọi x
ta chọn x
2
2x 5 x 2 t x2
1 x2
4 .t x
f
x2
x4 x2
1 x2
4 .t x 2 .
4 .t x 2 .
0, x
nên dấu của g ' x cùng dấu 2 x 5 x 2
1 x2
4 .
0
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
0 với mọi x
t x
có đạo hàm f ' x
f x
. Hàm số g x
các khoảng sau ? ;3 . A. Theo giả thiết f ' x
1 x x
Từ đó suy ra g ' x
x 3
0, x
C. 1;
D. 3;
.
2018. 2 .t x
2018
f'1 x
x 3
t 1 x
x
x
Xét g x
8 .f
x2
x2
8x
2x
8 .f x2
Vậy 18
x
x
1
2x
đồng biến, nghịch biến.
với mọi x
2x
. Có bao nhiêu số
m đồng biến trên khoảng 4;
8x
0
x
0
x
2
?
D. 84.
.
m . Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 4;
m
0, x
8x
m
0, x
0, x
4;
m
2, x
4;
8x
8x
khi và chỉ khi
4
4
m
18.
100. Chọn B.
Câu 33. Cho hàm số y
f x
có đạo hàm f
nhiêu số nguyên dương m để hàm số g x A. 5.
x
x x
f 3
1
2
x2
mx
9 với mọi x
x đồng biến trên khoảng 3;
f 3
B. 6.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f 3 Ta có g x
x
2
8x
m
m
2
C. 83.
x2
2
D IỄ x
1
2
N
x2
x .
4
0, x
f
f x
2
B. 82.
2x
2018.
x , ta kết luận được hàm số g x nghịch biến trên các khoảng
có đạo hàm f
100 để hàm số g x
Lời giải. Ta có f
g x
x .t 1 x
. Chọn D.
Câu 32. Cho hàm số f x
A. 18.
.
nên dấu của g ' x cùng dấu với x 3
0, x
Vấn đề 5. Cho biểu thức f ' x , m . Tìm m để hàm số f u x
nguyên m
và
x .t 1 x .
Lập bảng xét dấu cho biểu thức x 3
;0 , 3;
2018 với mọi x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
f'1 x
2 .t x
2019 nghịch biến trên khoảng nào trong
2018 x
f 1 x
B. 0;3 .
Lời giải. Ta có g ' x
Mà t x
1 x x
T& G T
Câu 31. Cho hàm số y
C. 7.
x
3
x 2
x
2
3
D. 8.
x
2
m 3
x
9.
x .
Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 3;
khi và chỉ khi g x
0, x
3;
?
. Có bao
3
x 2
2
x 3
x
m m
0, x
x
2
3 9
3
x
3; 2
x
m 3
, x
x
3 x
3;
x
3
2
x
Vậy suy ra m
9
x
3 m
6
0, x
2
9
3
.
9
3
x
2
3
có đạo hàm f
f x
C. 5.
x
2
x
4
x
2
1 x
2 x.x 4 x 2 mx 2 x
m m
4
0, x
1
1 x4
mx 2
5
5
x2
0, x
, x
5
2 5
0, x
x4 5 . x2
m
ta được max h x
4; 3; 2; 1 . Chọn B.
m
f x có đạo hàm f
N
D IỄ
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f
g x
0, x
x x
x
f x
2
x
2
x
2
2
2 xf
x
2 x. x 2 x 2
1
8
mx
6
1
2
1
3x 8
0, x
0;
3x
8
x6
1
trên 0;
3x
mx 3
8
1 với mọi x
mx
1
0, x
?
1.
0;
0;
0; 3x 8 1 . x6
ta được max h x 0;
. Có bao
D. 6. 6
0;
mx 6
max h x với h x
m
3x 4
đồng biến trên khoảng
0, x
3x 8 1 , x x6
m
2
đồng biến trên khoảng 0;
2
x . Để hàm số g x
3x
Khảo sát hàm h x
x
1
C. 5. 2
2
0;
2 5.
1;
B. 4.
2 xf
1;
0, x
1
nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x
Ta có g x
5.
khi và chỉ khi g x
x4 5 trên 1; x2
Câu 35. Cho hàm số y
A. 3.
mx
1
Khảo sát hàm h x Suy ra m
D. 7.
2
1
max h x với h x 1;
4
x .
Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;
x
?
. Có bao
2
2 xf
2
5 với mọi x
mx
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f Ta có g x
6.
3
x2 x 1 x2
x
B. 4.
A. 3.
9 x
f x 2 đồng biến trên 1;
nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x
x4
3.
x
1;2;3;4;5;6 . Chọn B.
m
Câu 34. Cho hàm số y
2 xf
3;
3;
min h x với h x
Ta có h x
9
x
T& G T
f 3
4.
0;
khi và chỉ khi
4
m
m
4; 3; 2; 1 . Chọn B.
T& G T
Suy ra m
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Phần 2. Cực trị của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x .
Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y
y
f x là
A. 2. B. 3. Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số f
f
x . Số điểm cực trị của hàm số
C. 4. D. 5. x có 4 điểm chung với trục hoành x1 ; 0; x 2 ; x3 nhưng chỉ cắt
D IỄ
N
thực sự tại hai điểm là 0 và x 3 . Bảng biến thiên
Vậy hàm số y
f x có 2 điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f ' x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị. Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại. Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu. Câu 2. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g x A. 2. C. 4.
f x
2
f
x
3. B. 3. D. 5.
như hình
Lời giải. Ta có g x
g x
0
x
0
f
x2
x2
2 xf
3; 0
x theo do thi f ' x
3
0
x
x
2
3
x
2
3
2 1 nghiem kep
0
x
1
.
x
2 nghiem kep
Bảng biến thiên
x
x
2; 2;
x
0. 2
1
4
x
2
3
x2
Từ 1 và 2 , suy ra g x
2 xf
Nhận thấy các nghiệm x
1 và x
nghiệm x
1
theo do thi f ' x
f
x
2
3
0.
2
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x
T& G T
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;
0 trên khoảng 2;
3
nên g x mang dấu
.
0 là các nghiệm bội lẻ nên g x qua nghiệm đổi dấu; các
2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f
x tiếp xúc với trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 1 ) nên qua nghiệm không đổi dấu. Câu 3. Cho hàm số y
f x có đạo hàm trên
f x2
Hỏi hàm số g x
và có bảng xét dấu của y
Lời giải. Ta có g x
2x
C. 3.
2 f
x
2
g x
0
2
f
2
x
0
2x
D. 4.
2x ;
x
2x
x như sau
2 x có bao nhiêu điểm cực tiểu ? B. 2.
A. 1.
f
theo BBT f ' x
0
1
x
2
2x
x
2
2x
1 nghiem kep
x2
2x
3
2
x
1
x
1
x x
2 nghiem kep
.
1
3
D IỄ
N
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3; x x
3;
2x
3;
2
x
2 2x
Từ 1 và 2 , suy ra g x Nhận thấy các nghiệm x
0. 3
1 theo BBT f ' x
2x 1 và x
2 f
f
x2
x
2x
2
2x
0.
0 trên khoảng 3;
2 nên g x mang dấu
3 là các nghiệm bội lẻ nên g x qua nghiệm đổi dấu.
.
Câu 4. Cho hàm số y
và f 0
0, đồng thời đồ thị hàm số
x như hình vẽ bên dưới
f 2 x là
Số điểm cực trị của hàm số g x A. 1.
B. 2.
T& G T
f
y
có đạo hàm liên tục trên
f x
C. 3.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có f
x
Bảng biến thiên của hàm số y
f x
x
.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
0
D. 4.
2
x
nghiem kep
1
x
Xét g x
2f
x f x ; g x
0
f
x
f x
0
theo BBT f x
0
2
x
1 nghiem kep
x
a a
x
b b
2
.
0
D IỄ
N
Bảng biến thiên của hàm số g x
Vậy hàm số g x có 3 điểm cực trị. Chọn C. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ chọn x x
0
theo do thi f ' x
Theo giả thiết f 0
f 0
Nhận thấy x Nghiệm x
2; x
a; x
1; b
1
0.
2
0.
Từ 1 và 2 , suy ra g 0
0
0 trên khoảng
1; b .
b là các nghiệm đơn nên g x
đổi dấu khi qua các nghiệm này.
1 là nghiệm kép nên g x không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta
bỏ qua nghiệm x
1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g x .
Câu 5. Cho hàm số y
f x có đạo hàm trên
. Đồ thị hàm số y
f ' x như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số g x f' x
B. 2. 2017
Dựa vào đồ thị hàm số y
2017
2018 x
2019 là
C. 3. 0 f' x
2017
D. 4. 2018.
f ' x suy ra phương trình f ' x
2017
2018 có 1 nghiệm đơn duy
2018; g x
nhất. Suy ra hàm số g x có 1 điểm cực trị. Chọn A. Câu 6. Cho hàm số y
f x có đạo hàm trên
hàm số g x
x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
f
x như hình vẽ bên dưới. Hỏi
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
f x
. Đồ thị hàm số y
T& G T
A. 1. Lời giải. Ta có g x
f x
A. x 0. C. x 2. Lời giải. Ta có g x
f
x
0
1; g x
Suy ra số nghiệm của phương trình g x
0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f
x và
1.
N
đường thẳng y
f
B. x 1. D. Không có điểm cực tiểu. 1. x
D IỄ
Dựa vào đồ thị ta suy ra g x
0
x
0
x
1.
x
2
Lập bảng biến thiên cho hàm g x ta thấy g x đạt cực tiểu tại x
1. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng nằm phía dưới đường y Câu 7. Cho hàm số y
1 nên g x mang dấu
f x có đạo hàm trên
;0 ta thấy đồ thị hàm f
.
. Đồ thị hàm số y
f
x như hình vẽ bên dưới.
x
Hàm số g x A. x
f x
x3 3
x2
1.
B. x
Lời giải. Ta có g x
f
x
2 đạt cực đại tại
x
x
0. 2
C. x
2 x 1; g x
f
x
D. x
x 1 .
0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f
2
parapol P : y
2.
2
T& G T
Suy ra số nghiệm của phương trình g x
0
1.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x 1 .
x và
Dựa vào đồ thị ta suy ra g x
0
x
0
x
1.
x
2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực đại tại x
1. Chọn C.
D IỄ
N
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng 2
nằm phía trên đường y
x 1 nên g x mang dấu
Nhận thấy các nghiệm x
0; x
Câu 8. Cho hàm số y Hàm số g x
2f x
1; x
x
.
2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g x đổi dấu.
f x có đạo hàm trên 2
;0 ta thấy đồ thị hàm f
x đạt cực tiểu tại điểm
. Đồ thị hàm số y
f
x như hình vẽ bên dưới.
A. x 1. Lời giải. Ta có g x
2f
B. x 0. x 2x; g x
0
Suy ra số nghiệm của phương trình g x
D. x
1. x.
2.
0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f
x và
x.
x 0
1
x
0
x
1
x
2
.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Dựa vào đồ thị ta suy ra g x
T& G T
đường thẳng y
C. x f x
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực tiểu tại x
0. Chọn B.
; 1 ta thấy đồ thị hàm f
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng nằm phía trên đường y Câu 9. Cho hàm số y đồ thị hàm số g x
x nên g x mang dấu
f x có đạo hàm trên
.
. Đồ thị hàm số y
f
x như hình vẽ bên dưới. Hỏi
3 x có bao nhiểu điểm cực trị ?
D IỄ
N
f x
x
A. 2. Lời giải. Ta có g x
f
B. 3. x 3; g x
Suy ra số nghiệm của phương trình g x đường thẳng y
3.
0
f
C. 4. x 3.
D. 7.
0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f
x và
Dựa vào đồ thị ta suy ra g x
0
1
x
0
x
1
x
2
. Ta thấy x
2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g x
0, x
1 là các nghiệm đơn và
3 x có 3 điểm cực trị. Chọn B.
f x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
x
1, x
T& G T
x
Câu 10. Cho hàm số y
Hỏi hàm số g x
f x . Đồ thị của hàm số y
x như hình vẽ bên dưới
f
2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
f x
A. 2. B. 3. Lời giải. Từ đồ thị hàm số f x ta thấy f
C. 5. D. 7. x cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1
điểm có hoành độ âm) f x có 2 điểm cực trị dương
f x
f x
có 5 điểm cực trị
2018 có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh
D IỄ
N
hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn C. Câu 11. Cho hàm số bậc bốn y như
g x
hình
f
x
vẽ
2
bên.
2x
Số
f x . Đồ thị hàm số y
điểm
cực
đại
của
hàm
2 là
A. 1. C. 3.
B. 2. D. 4.
x
Lời giải. Ta có g x
x
2
1 2x
f 2
x2
2x
2 .
f
x
số
1
x 1
x Suy ra g x
0
0
x2
f
2x
2
2x
2
x2
2x
2
1
x2
2x
2
3
x
theo do thi f ' x
0
0
2
1
x
1
x
1
2.
x
1
2
Bảng xét dấu
1
x g' Từ đó suy ra hàm số g x
x0
rồi
thay
0
hay
của g ' x để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x 0 thuộc khoảng đang
vào 1
g 0
2 có 1 điểm cực đại. Chọn A.
2x
Chẳng
g x . f
hạn
với
khoảng
0 vì dựa vào đồ thị ta thấy f
2
2
1; 1 0.
ta
2
chọn
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
xét
x2
2 0
0
0
f
1
1
T& G T
Chú ý: Cách xét dấu
2
2
Câu 12. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
Số điểm cực trị của hàm số g x
e
A. 1. B. 2. Lời giải. Ta thấy đồ thị của hàm số f
2f x
1
5
f x
x như hình vẽ dưới đây
f
là
C. 3. D. 4. x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, suy ra hàm số f x có
3 điểm cực trị. Ta có g x Vì 2e2 f
x
1
2f
5
f x
x .e
. ln 5
2f x
1
f
x .5
f x
. ln 5
f
0 với mọi x nên g x
x . 2e
0
f
2f x
x
1
5
f x
. ln 5 .
0.
D IỄ
N
Suy ra số điểm cực trị của hàm số g x bằng số điểm cực trị của hàm số f x . Chọn C. Câu 13. Cho hàm số y
; 3, 4
x
9;
f x . Đồ thị hàm số y . Đặt g x
f x
mx
f
x như hình vẽ bên dưới và f
B. 7.
0 với mọi
5. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số m để
hàm số g x có đúng hai điểm cực trị ?
A. 4.
x
C. 8.
D. 9.
Lời giải. Ta có g x
f
x
0
m; g x
f
x
m
0
f
x
m.
Để hàm số g x có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g x
m
5
10
m
m
13
Câu 14. Cho hàm số y
m
1;2;3;4;5;10;11;12 . Chọn C.
f x . Đồ thị hàm số y
f
x như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x
m có 5 điểm cực trị ?
C. 5. D. Vô số. x cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
B. 4. A. 3. Lời giải. Từ đồ thị hàm số f x ta thấy f
f x
T& G T
phân biệt
0 có hai nghiệm bội lẻ
điểm có hoành độ âm) f x có 2 điểm cực trị dương
f x f x
có 5 điểm cực trị
m
có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng
đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D. Chú ý: Đồ thị hàm số f x m có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến. Đồ thị hàm số f x
m có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.
Câu 15. Cho hàm số y
f x . Đồ thị hàm số y
f
x như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x B. 3.
C. 4.
N
A. 2.
D IỄ
Yêu cầu bài toán
hàm số f x
x
0
D. Vô số.
1 . Suy ra bảng biến thiên của f x 2
x x
được đồ thị hàm số f x
m có 5 điểm cực trị ?
2
x
x ta có f
Lời giải. Từ đồ thị f
f x
m có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta
m có đúng 5 điểm cực trị).
Từ bảng biến thiên của f x , suy ra f x
m luôn có 2 điểm cực trị dương
(sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị
m
1.
tịnh tiến f x
Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị Suy ra
2
1
m
m
m
2.
2; 1;0 . Chọn B.
m
Vấn đề 2. Cho biểu thức f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x . Câu 16. Cho hàm số y
f x có đạo hàm f
đạt cực đại tại A. x 0.
B. x
Lời giải. Ta có f
x
x
x
C. x 1 . 3
1.
1 3
x
0
0
x
1 3
x
x
x với mọi x
. Hàm số y
D. x
2.
f x
3.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Bảng biến thiên
f x đạt cực đại tại x
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y
f x có đạo hàm f
Câu 17. Cho hàm số y g x
f x
A. 1.
B. 2.
f
1
x
1 x 1
x
x
1 x
1
2
1 là nghiệm kép
x
f 3 A. 0.
2
1 . Ta thấy x 2
x
0
D. 4.
2 ;
x
f x
có đạo hàm f
B. 1.
N
D IỄ
0
. Hàm số
1 và x
2 là các nghiệm đơn còn
x2
x
1 x
với mọi x
4
. Hàm số
x có bao nhiêu điểm cực đại ?
Lời giải. Ta có g x
g x
1 với mọi x
2
hàm số g x có 2 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 18. Cho hàm số y
g x
x
1
x
x
2
C. 3.
2
x
0
1 x 1
x có bao nhiêu điểm cực trị ?
Lời giải. Ta có g x g x
x
x
3. Chọn D.
2
x 4
f 3
C. 2.
x
1
x x
2
x
3
0
1 4
x
1
x
2 .
x
4
x
3
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g x đạt cực đại tại x Câu 19. Cho hàm số y
có đạo hàm f
f x
D. 3.
2
x 4
1;
2. Chọn B.
x2 x 1 x
x
x x
4
2
với mọi x
. Hàm số
f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?
g x
A. 2.
B. 3.
Lời giải. Ta có g x
2 xf
x
C. 4.
2
2x
5
x
2
1 x
x g x
0
2x 5 x 2
1 x2
4
2
0
1 và x
D. 5.
2
4 ;
0
x x
Ta thấy x
2
0 là các nghiệm bội lẻ
1 2
2
. x
2
2
0
hàm số g x có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 20. Cho hàm số
f x
B. 4.
Lời giải. Ta có g x
2 x
C. 5. x2
4 f
8x
2 x
2 x
4
x2
2x
2
2 x2
2x
0
3, x
1
trị. Chọn C. Câu 21. Cho hàm số
4
x
x x 1
2
4
x
3
điểm cực trị ? A. 1. Lời giải. Ta có g x
2x
0
2
2x
2
0
với mọi x
B. 2. x f x
2f
f x .f
0
x
0 và x
f
2f
C. 3. x 2f x .f
x .f
x x
1
2
x
3
4
0
4 là các nghiệm đơn
Câu 22. Cho hàm số f
x
2
f x .f
cực trị ? A. 1.
Hàm số
x
2
x
1
. 3
hàm số g x có 5 điểm cực
x
2
2f x .f
15 x 4
x
12 x
0
0 và x
x
12 x với mọi x
D IỄ
2f x .f
1
2
0
4
f x .f
x
0
x
3
x
0
x
1 .
x
4
f x .f
C. 3.
2
x
liên tục trên
2
. Hàm số g x
15 x
4
x có bao nhiêu
D. 6. x ;
và thỏa mãn
x có bao nhiêu điểm
D. 4.
12 x .
4. 5
4 là các nghiệm bội lẻ 5
3
N
Nhận thấy x
f
x
và thỏa mãn
hàm số g x có 2 điểm cực trị. Chọn B.
B. 2.
0
4 0
0
có đạo hàm cấp
f x
y
15 x 4
x
Lời giải. Ta có g x g x
x x
liên tục trên
. Hàm số g x
x
Ta thấy x
.
2x ;
4 đều là các nghiệm đơn
x
g x
2 x2
0
có đạo hàm cấp 3
f x
y
2x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
f x .f
2 và x
0, x
2
x2 x
Ta thấy x
x
D. 6.
x2
4
x 0
với mọi
2x
8 x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3.
g x
x2
x
f
T& G T
g x
2
có đạo hàm
f x
y
hàm số g x có 2 điểm cực trị.
Chọn B.
Câu 23. Cho hàm số f x có đạo hàm f của hàm số g x
f x
A. 1. Lời giải. Ta có f Do f
x
1
x
0
x
2
5
3
3 với mọi x
x
. Số điểm cực trị
là B. 3.
x
4
x
C. 5. 1
4
x
2
x chỉ đổi dấu khi x đi qua x hàm số f x có 2 điểm cực trị x
5
x
3
3 và x
3
0
D. 7. x
1
x
2 .
x
3
2
3 và x
2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương
hàm số f x
có 3 điểm cực trị (cụ thể là x
2; x
2 do tính đối xứng của hàm số
0; x
chẵn f x ). Chọn B. Câu 24. Cho hàm số y cực trị của hàm số g x
x
B. 3.
Lời giải. Ta có f
x
2
4
x2
4 với mọi x
C. 5. 1 x
x
0
1 x
x
2
4
x2
4
x đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x
D. 7.
x
0
1
x
1; x
2
.
2
hàm số f x có 5 điểm cực trị (cụ thể là x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
chẵn f x ). Chọn C.
f x có đạo hàm f
của hàm số g x A. 0.
x x
x
x x
0
2
4
x2
4
x chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x hàm số f x có 1 điểm cực trị x hàm số f x
Chọn B.
2
4
x2
4 với mọi x
C. 3. x 0
0
x
D. 5.
2
.
0 Oy
0 Oy
có 1 điểm cực trị (cụ thể là x
0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f x ).
Vấn đề 3. Cho biểu thức f ' x , m . Tìm m để hàm số f u x Câu 26. Cho hàm số y nhiêu số nguyên m A. 6.
có đạo hàm f
f x
10 để hàm số g x
x2 x
x
1 x2
có n điểm cực trị
2mx
5 với mọi x
B. 7.
C. 8.
0
x
D IỄ
N
f x có 2 điểm cực trị dương.
Xét f
x
D. 9.
Do đó *
x
2
0 2 mx
0 1
x 5
0
x
2
2mx
. 5
1 có hai nghiệm dương phân biệt
0 1
m
f x
có đạo hàm f
. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g x
A. 3.
5
5
m
0
9; 8; 7; 6; 5; 4; 3 . Chọn B.
Câu 27. Cho hàm số y x
m2 5 0 2m 0
S P
10 m m
nên yêu cầu bài toán
*
x
0 1
. Có bao
có 5 điểm cực trị ?
f x
Lời giải. Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f x
x2
. Số điểm cực trị
là
B. 1.
Lời giải. Ta có f Do f
f x
x
2
0 do tính đối xứng của hàm số
1; x
2; x
1 và x
T& G T
hàm số f x có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x
Câu 25. Cho hàm số y
. Số điểm
là
f x
A. 1.
Do f
có đạo hàm f
f x
B. 4.
x
x
f x C. 5.
1
2
x2
m2
3m
4
có 3 điểm cực trị ? D. 6.
3
x
3
5
với mọi
x
Lời giải. Xét f
x
1
x
0
m
x
Yêu cầu bài toán
x
2
3
3m
4
1 3
x
0
0
2
x
1 có hai nghiệm trái dấu
m
m
2
.
2
3m
3m
4
x
m
0 1
0
m
1
4
0;1;2;3 . Chọn B.
m
Câu 28. Cho hàm số f x có đạo hàm f số nguyên m thuộc đoạn
x
x
1
5;5 để hàm số g x
A. 3.
Nếu m
x
0
x
1
x
m
x
3
4
5
3
3
với mọi x
C. 5.
x
1 nghiem boi 4
0
x
m nghiem boi 5 .
0
x
3 nghiem boi 3
0
1 ). Khi đó, hàm số f x
3; x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
có 1 cực trị là x
0. Do đó, m
3 không thỏa yêu cầu đề bài. m 1 Khi thì hàm số f x có hai điểm cực trị là x m 3
Để hàm số f x m
0
m
5;5
Câu 29. Cho hàm số y
có đạo hàm f
f x
x2 x
x
2
x
x
0
0.
3
phải có hai điểm cực trị trái dấu
x
1
x
5 với mọi x
2mx
C. 4.
x
0
2
1 x2
2 mx
5
x
0
D. 5.
0
x
0
. Có bao
có đúng 1 điểm cực trị ?
f x
B. 3.
Lời giải. Xét f
0. Do
1; 2; 3; 4; 5 . Chọn C.
nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x A. 2.
chỉ có 1 cực trị là x
m và x
có 3 điểm cực trị thì hàm số f x
m
chỉ
1 không thỏa yêu cầu đề bài.
3 thì hàm số f x không có cực trị. Khi đó, hàm số f x
đó, m
. Có bao nhiêu
D. 6.
1 thì hàm số f x có hai điểm cực trị âm ( x
Nếu m
x
có 3 điểm cực trị ?
f x
B. 4.
Lời giải. Xét f
m
4
T& G T
m
0
2
1
2
.
2mx
5
0 1
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra
m2
D IỄ
N
Trường hợp 1. Phương trình 1 có hai nghiệm âm phân biệt
S P
2m
5
m
5
m
Câu 30. Cho hàm số y
Lời giải. Xét f
f x có đạo hàm f
x
Ta có g x
B. 16. x
2 x
0
4 f
x
x2
0
m
5.
m2
5
0
2; 1 . Chọn A.
m
x
1
2
8x
1
f x2
trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x A. 15.
0
0
Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán. Trường hợp 2. Phương trình 1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
5
5
2
x2
2 x với mọi x
8x
m có 5 điểm cực trị ?
C. 17. x 1 nghiem boi 2 x2
2x
m ;
0
x
0
x
2
. Có bao nhiêu giá
D. 18. .
4
x g x
2 x
0
x2
4 f
8x
m
0 có 5 nghiệm bội lẻ
g x
0
x
2
8x
m
1 nghiem boi 2
x
2
8x
m
0
1
x2
8x
m
2
2
. Yêu
cầu
bài
toán
mỗi phương trình 1 , 2 đều có hai nghiệm phân biệt khác 4.
* Xét đồ thị C của hàm số y vẽ). Khi đó *
x2
8 x và hai đường thẳng d1 : y
d1 , d2 cắt C tại bốn điểm phân biệt
m, d2 : y
16
m
m
m
2 (như hình
16.
T& G T
Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa. Chọn A. Vấn đề 4. Cho đồ thị f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x .
g x
f x
xác định trên
và có đồ thị f x
như hình vẽ bên dưới. Hàm số
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 31. Cho hàm số f x
x đạt cực đại tại
1. A. x Lời giải. Ta có g x
f
B. x 0. x 1; g x
0
Suy ra số nghiệm của phương trình g x
1.
D. x
2.
0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f
x và
1.
D IỄ
N
đường thẳng y
f
C. x x 1.
Dựa vào đồ thị ta suy ra g x
0
x
1
x
1 .
x
2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực đại tại x
1. Chọn A.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng nằm phía trên đường y
1 nên g x mang dấu
.
; 1 ta thấy đồ thị hàm f
x
Câu 32. Cho hàm số y số g x
f
x
2
f x có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm
3x có bao nhiêu điểm cực đại ?
A. 3. C. 5.
B. 4. D. 6.
2x
x2
3 .f
3x ;
2x g x
0
3
f
x
2
0
theo do thi f x
3x
0
x2
3x
2
3x
x
3 2 3
x
3 2
x
2
x
0
17 2
x
0
x
3
.
T& G T
Lời giải. Ta có g x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A. Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ chọn x
2x
2
x
3
3x
5
2
;
1
4
theo do thi f x
f
4
2x
3 f
0 ( vì f đang tăng). x2
Nhận thấy các nghiệm của phương trình g x
3x
2
17
3
0 trên khoảng
2
;
.
0 là các nghiệm bội lẻ nên g x qua nghiệm đổi
có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số
f x
N
Câu 33. Cho hàm số y f x
D IỄ
g x
17
3
0.
Từ 1 và 2 , suy ra g x
dấu.
4
2
có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có
f x
0
x
0
x
1 nghiem kep và f
x
3
x
0
x
a 0
x
1
x
b 1
a
1 .
b
3
2f
x .f x ; g x
f
0
0
x
f x
0
a 0
a
1
x
1
x
b 1
b
3
x
0
x
1 nghiem boi 2
x
3
.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Bảng biến thiên
T& G T
Ta có g x
x
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g x có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Chọn C. Câu 34. Cho hàm số y
g x
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
f f x A. 3. C. 5.
f x
B. 4. D. 6.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy f x đạt cực trị tại x Suy ra f
0
x
0 nghiem don
x
2 nghiem don
D IỄ
N
x
Ta có g x
f
x
0
f
x .f
f x ;g x
x
0 nghiem don
x
2 nghiem don
0
.
Dựa vào đồ thị suy ra: Phương trình 1 có hai nghiệm x
0, x
2.
.
f
x
f
f x
0
f
f x
0 .
0
0 (nghiệm kép) và x
f x
0 1
f x
2 2
a a
2 .
.
Phương trình 2 có một nghiệm x Vậy phương trình g x
0 có 4 nghiệm bội lẻ là x
Câu 35. Cho hàm số y
f x có đạo hàm trên
trị của hàm số g x
2
f x
3
f x
a và x
f
2
b. Suy ra hàm số
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực
.
B. 3.
Lời giải. Ta có g x
C. 4. . ln 2 3
. ln 2
f x
f
0
x
f x
x 2
f
f x
D. 5.
3
f x
. ln 3
3 2
0
. ln 3 ; x
f x
0
ln 2 ln 3
f
0
log 3 2
ln 2 ln 3
1
1 2
.
f x có 3 điểm cực trị).
phương trình 2 vô nghiệm.
1, x
Vậy hàm số g x
x
f x
Dựa vào đồ thị ta thấy: 1 có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y f x
2, x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
A. 2.
0
0, x
có 4 điểm cực trị. Chọn B.
f f x
g x
a.
T& G T
g x
b b
2
f x
Câu 36. Cho hàm số y
3
f x
f x
có 3 điểm cực trị. Chọn B.
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số g x
f x
D IỄ
A. 2.
N
tổng tung độ của các điểm cực trị bằng
Lời giải. Đồ thị hàm số g x
B. 3.
f x
C. 4. 4 có được bằng cách
D. 5.
Tịnh tiến đề thị hàm số f x lên trên 4 đơn vị ta được f x Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f x
Dựa vào đồ thị hàm số g x
f x
4.
4 qua Ox , ta được f x
4 , suy ra tọa độ các điểm cực trị là
4.
1;0 , 0;4 , 2;0
4 có
tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 4 0 4. Chọn C. Câu 37. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h x
3 có bao nhiêu điểm cực trị ?
2f x
A. 4. B. 5. C. 7. D. 9.
0
f
x
3
theo do thi f x
0
g x
2f
x
1
x
0
x
a 1
x
2
x ; g
a
2
. Ta tính được
g 0 g a
1
1
7
1
.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
g x
2f x
T& G T
Lời giải. Xét g x
g 2
1
Bảng biến thiên của hàm số g x
Dựa vào bảng biến thiên suy ra Đồ thị hàm số g x có 4 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số g x cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số h x
Câu 38. Cho hàm số f x
f x
3 có 7 điểm cực trị. Chọn C.
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
2018 là
D IỄ
N
g x
2f x
A. 2. B. 3. C. 5. Lời giải. Từ đồ thị ta thấy hàm số f x có 2 điểm cực trị dương
D. 7.
hàm số f x có 5 điểm cực trị hàm số f x Chọn C.
2018 có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay đổi cực trị).
Câu 39. Cho hàm số f x
2 là
f x
B. 3.
A. 1.
C. 5.
Lời giải. Trước tiên ta phải biết rằng, đồ thị hàm số f x
D. 7.
2 được suy ra từ đồ thị hàm số f x
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
bằng cách tịnh tiến sang phải 2 đơn vị rồi mới lấy đối xứng.
Dựa vào đồ thị hàm số f x
2 , suy ra hàm số g x có 5 điểm cực trị. Chọn C.
Câu 40. Cho hàm số y
f x có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ
thị hàm số g x
2
f x
1 có bao nhiêu điểm cực trị ? B. 3. D. 7.
D IỄ
N
A. 2. C. 5.
T& G T
g x
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
Lời giải. Đồ thị hàm số g x
f x
2
1 được suy ra từ đồ thị hàm số f x như sau:
Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua. Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 1 sang phải 2 đơn vị. Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 2 lên trên 1 đơn vị. Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến Bước 2 và Bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f x là 3 điểm cực trị. Chọn B.
Vấn đề 5. Cho bảng biến thiên của hàm f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm f u x . Câu 41. Cho hàm số y
f x xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau
Hàm số g x
1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
3f x
A. x 1. Lời giải. Ta có g x
B. x 3f ' x .
1.
C. x
1.
D. x
0.
Do đó điểm cực tiểu của hàm số g x trùng với điểm cực tiểu của hàm số f x . Vậy điểm cực tiểu của hàm số g x là x
T& G T
f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 42. Cho hàm số y
f x2
Hỏi hàm số g x A. 0.
1 có bao nhiêu điểm cực trị ? B. 1.
Lời giải. Ta có g x
x
g x
1. Chọn C.
0
f x
Vậy g x
D. 3.
1; x
0
2
C. 2.
2 x. f x 2
theo BBT
1
0
x
2
x
2
1
1
2
1
0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x
x
0 nghiem don
x
0 nghiem kep
x
0 nghiem boi 3 .
0 nên hàm số g x có 1 điểm cực trị. Chọn B.
f x có bảng biến thiên như sau
D IỄ
N
Câu 43. Cho hàm số y
Tìm số điểm cực trị của hàm số g x A. 2. Lời giải. Ta có g x g x
0
x .
B. 3. f 3 x .
x
0
g x không xác định
3
Bảng biến thiên
f 3
f 3
C. 5.
theo BBT
x
1
D. 6.
3
x
0
x
3
3
x
2
x
1
x
2.
.
f 3
f x có bảng biến thiên như sau
x f' x
1
3
0
0
f x
2018
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Câu 44. Cho hàm số y
x có 3 điểm cực trị. Chọn B.
T& G T
Vậy hàm số g x
Hỏi đồ thị hàm số g x
f x
2017
A. 2. B. 3. f x Lời giải. Đồ thị hàm số u x
2018 2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
C. 4. D. 5. 2018 có được từ đồ thị f x bằng cách tịnh tiến đồ thị
2017
f x sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.
Suy ra bảng biến thiên của u x
x u' x
2016
2020
0
0
u x
4036
0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g x
f x liên tục trên
có 3 điểm cực trị. Chọn B.
và có bảng biến thiên như hình vẽ sau
D IỄ
N
Câu 45. Cho hàm số y
u x
Hỏi số điểm cực trị của hàm số g x
f x
nhiều nhất là bao nhiêu ?
A. 5. B. 7. C. 11. D. 13. Lời giải. Ta có đồ thị hàm số y f x có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương. Khi đó Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tối đa 4 điểm. Hàm số f x có 3 điểm cực trị. Suy ra hàm số g x
f x
sẽ có tối đa 7 điểm cực trị. Chọn B.
Vấn đề 6. Cho đồ thị f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x , m .
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số
m để hàm số g x
m có 3 điểm cực trị là
A. m C. m
f x
1 hoặc m 1 hoặc m
B. m 3 hoặc m D. 1 m 3.
3. 3.
B với
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số f x bằng A
1.
T& G T
Câu 46. Cho hàm bậc ba y
A là số điểm cực trị của hàm f x
B là số giao điểm của f x với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên) Áp dụng: Vì hàm f x đã cho có 2 điểm cực trị nên f x Do đó yêu cầu bài toán
số giao điểm của đồ thị f x
Để số giao điểm của đồ thị f x
m cũng luôn có 2 điểm cực trị.
m với trục hoành là 1 .
m với trục hoành là 1 , ta cần
Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị
m
Hoặc tịnh tiến đồ thị f x lên trên tối thiểu 3 đơn vị Vậy m
1 hoặc m
Câu 47. Cho hàm số y
D IỄ A. m
4;11 .
2m có 5 điểm cực trị khi
f x
B. m
2;
11 . 2
C. m
số giao điểm của đồ thị f x
Để số giao điểm của đồ thị f x
2;
D. m
3.
2m cũng luôn có 2 điểm cực trị. 2m với trục hoành là 3 .
2m
4
2m
11
Câu 48. Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y B.
11 . 2
2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới
lớn hơn 4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị
trị bằng A. 2016.
3.
f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 2 điểm cực trị nên f x Do đó yêu cầu bài toán
m
3. Chọn A.
N
Đồ thị hàm số g x
1.
496.
C. 1952.
x3
3x 2
m
2
m
11 . Chọn C. 2 9x
5
m có 5 điểm cực 2
D. 2016.
x3
Lời giải. Vẽ đồ thị hàm số f x
3x 2
5 như hình bên dưới
9x
m cũng luôn có 2 điểm cực trị. 2 m Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị f x với trục hoành là 3 . 2 m Để số giao điểm của đồ thị f x với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f x lên trên nhưng 2 m phải nhỏ hơn 32 đơn vị m 1; 2; 3; ...; 63 32 0 m 64 m 0 2 m 2016. Chọn D.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
T& G T
Ta thấy hàm số f x có 2 điểm cực trị nên f x
Câu 49. Cho hàm số bậc bốn y
f x có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số g x A.
2
m
2.
B. m
f ( x ) m có 5 điểm cực trị.
C. m
2.
Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f x Do đó yêu cầu bài toán
số giao điểm của đồ thị f x
m m
2 2
.
m cũng luôn có 3 điểm cực trị.
m với trục hoành là 2.
m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới ít
D IỄ
N
Để số giao điểm của đồ thị f x
D.
2.
nhất 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần) 2 m 2. Chọn C. m Câu 50. Cho hàm số y
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương của
tham số m để hàm số g x
f x
2018
m có 7 điểm cực trị ?
Để số giao điểm của đồ thị f x
m với trục hoành là 4, ta cần đồng thời
2018
Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới nhỏ hơn 2 đơn vị Tịnh tiến đồ thị f x lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị Vậy
2
m
m với trục hoành là 4.
2018
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). số giao điểm của đồ thị f x Do đó yêu cầu bài toán
D. 6. m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do
T& G T
A. 2. B. 3. C. 4. Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f x 2018
3
m
m
m
2
3.
1; 2 . Chọn A.
m
f x có đồ thị như hình vẽ bên. Có
Câu 51. Cho hàm số y
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x 2018 m 2 có 5 điểm cực trị ? A. 1. C. 4.
B. 2. D. 5.
Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f x
2018
(do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). số giao điểm của đồ thị f x 2018 Do đó yêu cầu bài toán Để số giao điểm của đồ thị f x
m2 cũng luôn có 3 điểm cực trị
m2 với trục hoành là 2.
m2 với trục hoành là 2, ta cần
2018
m2
N
Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị
2 : vô lý
D IỄ
Hoặc tịnh tiến đồ thị f x lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị
2
m2
6
2
m 6
Câu 52. Cho hàm số y
m
6
m
m
2; 2 . Chọn B.
2
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
4;4 để hàm số g x
f x 1
1
phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị f x
m với trục hoành là 2.
T& G T
điểm cực trị ? B. 5. C. 6. A. 3. Lời giải. Vì hàm f x đã cho có 3 điểm cực trị nên f x
m có 5
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
D. 7. m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do
Để số giao điểm của đồ thị f x
1
1
m với trục hoành là 2, ta cần
Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị
m
2.
Hoặc tịnh tiến đồ thị f x lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị
3 m 6. 2 m Vậy 3 m 6
m
m
4;4
4; 3; 2;3;4 . Chọn B.
m
Câu 53. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f x . Với m 1 thì hàm số g x f x m có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. C. 3.
B. 2. D. 5.
Lời giải. Đồ thị hàm số f x
m
được suy ra từ đồ thị hàm số f x bằng cách lấy đối xứng trước
D IỄ
N
rồi mới tịnh tiến. Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số f x như hình bên dưới
Dựa vào đồ thị hàm số f x ta thấy có 3 điểm cực trị
f x
m cũng luôn có 3 điểm cực trị
(vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Chọn C.
Câu 54. Cho hàm số y
m để hàm số g x
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
f x
m có 5 điểm cực trị.
A. m
B. m
1.
C. m
1.
Lời giải. Nhận xét: Hàm g x
f x
D. m
1.
1.
là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy
m
0 là một điểm cực trị của hàm số. x Ta có g x . f x m với x 0. x f
0
x
m
0
x
theo do thi f x
m
x
1
1 m
. *
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
g x
T& G T
x
x
Để hàm số g x có 5 điểm cực trị
x
1
1 m
* có 4 nghiệm phân biệt khác 0
1 m
0
1 m
0
1 m
Cách 2. Đồ thị hàm số f x
m
1. Chọn A.
m
1 m
m được suy ra từ đồ thị hàm số f x bằng cách tịnh tiến trước rồi
mới lấy đối xứng. Để hàm số f x m có 5 điểm cực trị
hàm số f x
m có 2 điểm cực trị dương. Do đó ta phải
tịnh tiến điểm cực đại của đồ thị hàm số f x qua phía bên phải trục tung nghĩa là tịnh tiến đồ thị hàm số f x sang phải lớn hơn 1 đơn vị
1.
f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới
D IỄ
N
Câu 55. Cho hàm số y
m
f2 x
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h x
f x
m có đúng 3 điểm cực
trị.
1 . 4 Lời giải. Xét g x A. m
g x
0
f
B. m
f2 x
x
2f x
0
f x
1 . 4 m
theo do thi f x
1
Bảng biến thiên của hàm số g x
C. m
g x
f
D. m
1.
x 2f x
1. f2 1
x
1
g1
x
3
. Ta tính được g 3
m
x
a a
g a
m
0
1.
f 1
m
m .
1 2
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g x có 3 điểm cực trị.
f x
m
2
1 2
f x
1 có 3 điểm cực trị khi và chỉ 4
m
khi đồ thị hàm số g x nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc)
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
1 . Chọn B. 4
m
Vấn đề 7. Cho biểu thức f x , m . Tìm m để hàm số f u x Câu 56. Hàm số y
f x có đúng ba điểm cực trị là
nhiêu điểm cực trị ? A. 3.
B. 4.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f
0
x
Ta có g x
2 x 1 f
x
2
2
x
1.
0
Vì g x
1
f
x2
0
D. 6.
1
2x
2
x2
2x
1
x2
2x
0
x
1 nghiem boi ba
x
0 nghiem don
x
2 nghiem don
trị của m để hàm số g x
f x
N
x3
2m 1 x 2
3x 2
Hàm số g x
có 5 điểm cực trị
f x
2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá
m x
5 m 2. 4 2 2 m 1 x 2 m.
B.
m
D IỄ
2
2
có 5 điểm cực trị.
5 . 4 Lời giải. Ta có f x
C.
5 4
m
5 4
m
2.
hàm số f x có hai cực trị dương
0 x
D.
2.
2m 1 f
.
0 có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên g x có 3 điểm cực trị. Chọn A.
Câu 57. Cho hàm số f x
A.
2 x có bao
0
2
x
2x
f x2
2; 1 và 0. Hàm số g x
2x ; x
x
có n điểm cực trị
C. 5.
x x
g x
T& G T
f2 x
Suy ra đồ thị hàm số h x
0 có hai nghiệm dương phân biệt
S
0
P
0
2
2 2m 1 3 m
2 3
3 2
m
0
0 5 4
m
2.
0
Chọn C. Câu 58. Cho hàm số f x trị nguyên của tham số m
mx 3
3mx 2
3m
2 x
10;10 để hàm số g x
2 m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá
f x
có 5 điểm cực trị ?
B. 9. có 5 điểm cực trị
A. 7.
Xét f x
f x
x 1 mx 2
0
2mx
m
0 có 3 nghiệm phân biệt.
f x
2
x
0
D. 11.
1 2
mx
2mx
m
2
0 m2
phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1
f 1
m
m
0
ax 3
Câu 59. Cho hàm số bậc ba f x
bx 2
5.
B. 7. 2
Lời giải. Ta có g x
2
0
d có đồ thị nhận hai điểm A 0;3 và B 2; 1
cx
ax 2 x
làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x A.
m m 2 0
1; 2; 3; ...; 10 . Chọn C.
m
10;10
m
.
0
m Do đó *
1
*
bx
C. 9. 2
cx
f x .
d
d.
cx
D. 11.
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
ax x
bx 2
T& G T
Lời giải. Để g x
C. 10.
Hàm số f x có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương hàm số f x có 3 điểm cực trị.
1
Đồ thị hàm số f x có điểm cực trị A 0;3
Oy và điểm cực trị B 2; 1 thuộc góc phần tư thứ IV
nên đồ thị f x cắt trục hoành tại 3 điểm ( 1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương) đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 2 Từ 1 và 2 suy ra đồ thị hàm số g x
f x
có 7 điểm cực trị. Chọn B.
Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị f x rồi suy ra đồ thị f x , tiếp tục suy ra đồ thị f x . 0
a
Câu 60. Cho hàm số f x số g x
ax
3
bx
2
cx
d với a, b, c, d
và d a
. Hàm
2018
b
c
d
2018
0
2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
f x
A. 1. Lời giải. Hàm số g x
B. 2. C. 3. f x 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục trên
D. 5.
.
lim g x
x
d
2018
a
b
N
g 0 g1
D IỄ
Ta có
c
0
d
g x
0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên
.
2018
0
f x
2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số
lim g x
x
Khi đó đồ thị hàm số
g x
f x
2018 có đúng 5 điểm cực trị. Chọn D.
Câu 61. Cho hàm số f x
g x
f x
x3
ax 2
bx
c với
a, b, c
và
4 a 2b
8 8
4a
2b
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1. Lời giải. Hàm số f x
B. 2. x ax 2 3
bx
C. 3. c (là hàm số bậc ba) liên tục trên
D. 5. .
0
c c
0
. Hàm số
lim f x
x
2
f
Ta có
f 2
8 8
4 a 2b
4a
2b
c
c
0
0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên
f x
0
.
lim f x
x
Khi đó đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g x
có đúng 5
f x
điểm cực trị. Chọn D.
x3
Câu 62. Cho hàm số f x
nx
1 với m, n
m
n
7
2 2m
0 n
0
. Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
f x
A. 2.
B. 5.
f 0
C. 9.
D. 11.
1
f 1
m
n
f 2
7
4m
và lim f x
0
p
2 sao cho f p
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
Lời giải. Ta có
Suy ra f x
và
T& G T
g x
mx 2
x
2n
0.
0
0 có ba nghiệm phân biệt c1
0;1 , c2
Suy ra đồ thị hàm số f x có hai điểm cực trị x1
1;2 và c3
c1 ; c2 và x 2
2; p .
c2 ; c3 .
1
2
Từ 1 và 2 , suy ra đồ thị hàm số f x có dạng như hình bên dưới
hàm số f x
có 11 điểm cực trị.
D IỄ
N
Từ đó suy ra hàm số f x có 5 điểm cực trị
Chọn D. Câu 63. Cho hàm số y
x2
ax 3
bx 2
cx
d đạt cực trị tại các điểm x1 , x 2 thỏa mãn x1
1;0 ,
1;2 . Biết hàm số đồng biến trên khoảng x1 ; x 2 . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
độ âm. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. a 0, b 0, c 0, d 0. C. a 0, b 0, c 0, d 0. Lời giải. Vì hàm số hàm số y ax 3 bx 2 trên khoảng x1 ; x 2 nên suy ra a
B. a D. a
cx
0, b 0, c 0, d 0. 0, b 0, c 0, d 0. d đạt cực trị tại các điểm x1 , x 2 và hàm số đồng biến
0.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d
0.
3ax 2
nên suy ra y
0 có hai nghiệm trái dấu
Mặt khác x1 Vậy a
c . Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 , x 2 thỏa mãn x1
2bx
1;2 nên x1
1;0 , x 2
0, b
0, c
A. 1. Lời giải. Đặt h x a
h 0
f x
2018 là
f x
B. 3. 2018
b
c
b
c 2018
bx 2
ax
2018
a
0.
2b 3a
0
0
b
0.
2018
4
a
0
b
0
0
bx
c biết a
0, c
2018 và a
b
C. 5. c 2018.
2
c 2018
D. 7.
đồ thị hàm số h x có 3 điểm cực trị. 1
0 có nghiệm thuộc 0;1
h 1 .h 0
0
2018. Số cực trị
c
Đ ÀN ht TO t ÁN M p: ai // lB d -L ox a Ý da yk yk e -H em m Ó qu qu yn y A ho n Q nb h U o us Y in n. es u N s@ co H gm z Ơ N ai .co l.c |S om m
h1
Ta có
ax 4
f x
0
Từ giả thiết c a
x2
c
0
1;2
0. Chọn A.
0, d
Câu 64. Cho hàm số y của hàm số g x
ac
1;0 , x 2
T& G T
Ta có y
0 có 4 nghiệm
h x
phân biệt (dáng điệu của hàm trùng phương). Từ 1 và 2 , suy ra hàm số g x
2
2018 có 7 điểm cực trị. Chọn D.
f x
1
a
Cách 2. Trắc nghiệm. Chọn b c
4
g x
2018
f x
x4
4x 2
1.
2019
Vẽ phát họa đồ thị ta thấy có 7 điểm cực trị.
m4
Câu 65. Cho hàm số f x
g x
f x
f
f x
1
x . f x
1
f x
2
0 vô nghiệm do
N
1
D IỄ
f x
1
C. 6.
f x
; g x
1
f
0
4.2 m.m 2
4 15m 4
4m
15
2 m.m 2 2m
m2
D. 7.
2
x
0
f x
m4
0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì
x
16 với m là tham số thực. Hàm số
1 có bao nhiêu điểm cực tri ?
Lời giải. Ta có g x Suy ra g x
4m
4 x2
B. 5.
A. 3.
f
2m 1.m 2
1 x4
2 2
2
1
0
.
1 2m 1.m 2
m4 11m 4
1 . 4m 11
4
15
0.
Vậy hàm số đã cho có 3 cực trị. Chọn A. Cách 2. Hàm số f x có 3 điểm cực trị (do hệ số a và b trái dấu) cực trị. Phương trình f x Vậy hàm số g x
1
f x
0 vô nghiệm (đã giải thích ở trên).
1 có 3 cực trị.
0 với mọi m.
f x
1 cũng có 3 điểm