20 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6 SGK MỚI (CẢ 3 BỘ SÁCH) CHUYÊN ĐỀ 2 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN by DẠY KÈM QUY NHƠN OLYMPIC

CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6

vectorstock.com/30416001

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

20 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6 SGK MỚI (CẢ 3 BỘ SÁCH) CHUYÊN ĐỀ 2 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN (TÓM TẮT LÝ THUYẾT, CÁC DẠNG BÀI, BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG) WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

FI CI A

CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :

a n = a.a.....a ( n thừa số a ) ( n ∈ ℕ* ) a được gọi là cơ số.

n được gọi là số mũ.

2. MỘT VÀI QUY ƯỚC

a 0 = 1 ví dụ : 20210 = 1 3. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

a m .a n = a m + n

ƠN

1n = 1 ví dụ : 12021 = 1

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ. 4. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

a m : a n = a m −n ( a ≠ 0; m ≥ 0 )

QU Y

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau. 5. LŨY THỪA CỦA LŨY THỪA

(a ) m

= a m. n

Ví dụ : 22

( )

= 22.4 = 28

6. NHÂN HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ, KHÁC SỐ MŨ m

KÈ

a m .b m = ( a.b )

ví dụ : 23.43 = ( 2.4 ) = 83 7. LŨY THỪA TẦNG n

a m = a(m ) 2

DẠ

Ví dụ: 33 = ( 3 )

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

( 3 ) = 39

8. CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ KHÁC SỐ MŨ Trang 1

a m : bm = ( a : b )

FI CI A

ví dụ : 84 : 4 4 = ( 8 : 4 ) = 2 4 9.LŨY THỪA CỦA MỘT THƯƠNG

( a :b )

= an : bn ( b ≠ 0 )

Ví dụ: (8 : 4) 2 = 82 : 42 = 64 :16 = 4 DẠNG 1: Viết gọn một biểu thức dưới dạng lũy thừa I. Phương pháp giải: Sử dụng các công thức sau:

a n = a.a.....a ( n thừa số a ) ( n ∈ ℕ*

)

am : bm = ( a : b ) n

= a m. n

a m .b m = ( a.b ) n

am = a(m

( a ≠ 0; m ≥ 0 )

)

a m : bm = ( a : b )

QU Y

(a )

ƠN

a m .a n = a m + n

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI

II. Bài toán:

Bài 1: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa a) 2.4.8.8.8

c) 34.27 4.812

d) 10.100.1003.10005 f) x1.x 2 ....x100 ( x ≠ 0)

KÈ

e) 3 y.3 y.3 y ( y ≠ 0 )

g) z1.z 4 .z 7 ....z100 ( z ≠ 0) Lời giải

b) 25.43.16 2

h) ( m1 ) 2 .( m2 )3 .( m3 )4 ....( m99 )100 ( m ≠ 0)

a) Ta có: 2.4.8.8.8 = 2.2 2.23.23.23 = 212

DẠ

b) Ta có: 25.43.162 = 25. 22

( ) .( 2 )

c) Ta có: 34.274.812 = 34. 33

( ) .( 3 )

= 25.26.28 = 219

= 34.312.38 = 324 Trang 2

d) Ta có: 10.100.1003.10005 = 10.102. 102

= 10.102.106.1015 = 1024

FI CI A

e) Ta có: 3 y.3 y.3 y ( y ≠ 0 ) = ( 3 y )

) .( 10 )

(

1 2 100 1+ 2+...+100 = x5050 ( x ≠ 0 ) f) Ta có: x .x ....x = x

g) Ta có: z1.z 4 .z 7 ....z100 ( z ≠ 0) = z1+ 4+ 7+...+100 = z (100+1).34:2 = z101.17 2

h) Ta có: m1

100

1.2

( ) .( m ) .( m ) .... ( m ) ( m ≠ 0 ) = m

.m 2.3 ....m99.10 = m 3

a) 108 :103 :10 4

b) 625 : 53

d) 1000000 :103

e) 243 : 33 : 3

(

c) 7 5 : 343 f) 265 : 25 : 4

100 15 62 h) a : a : a ( a ≠ 0 )

) : ( 4x ) : ( 4x ) ( x ≠ 0 )

ƠN

g) 4 x 2 Lời giải

i) y50 : y 5

a) Ta có: 108 :103 :10 4 = 10 b) Ta có: 625 : 53 = 54 : 53 = 5 c) Ta có: 7 5 : 343 = 7 5 : 7 3 = 7 2

d) Ta có: 1000000 :103 = 10 6 :103 = 103

QU Y

e) Ta có: 243 : 33 : 3 = 35 : 33 : 3 = 3

f) Ta có: 265 : 25 : 4 = 28 : 25 : 22 = 2 g) Ta có: ( 4 x 2

) : ( 4x ) : ( 4x ) = ( 4x )

i) Ta có: y 50 : y 5

2 2 = ( 2 x )  = ( 2 x ) ( x ≠ 0 )  

= y 50 : y15 : y 20 = y15

( ) :( y )

Bài 3: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng lũy thừa. 3

1   4

42.32 : 23 ;

1 .  ; 8

KÈ

c) d)

25.53. 56.

DẠ

3 2 2 3 6 6 12  1   1   1    1    1   1   1  a)   .   =    .    =   .   =    4   8   2    2    2   2   2 

Trang 3

1 3 .5 625

1 2 3 .2 .3 :125 . 20

Lời giải

(m≠0)

Bài 2: Viết kết quả phép chia dưới dạng lũy thừa.

.99.100.101

( ) :( y )

c) 25.53. d) 56.

1 5 1 510 .5 = 52.53. 4 .55 = 4 = 56 5 625 5

1 2 3 1 1 56.22.33 22.33.56 .2 .3 :125 = 56. .22.33. = 2 3 = − 2 4 = 33.52 = 675 20 20 125 2 .5.5 2 .5

Bài 4: Cho A = 1 + 21 + 22 + ... + 22015. viết A+ 1 dưới dạng lũy thừa của 8. Lời giải 1 2 2015 2016 2006 3 Ta có: A = 1 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 − 1  A + 1 = 2 = 2

DẠNG 2: Tính giá trị của một biểu thức lũy thừa. I. Phương pháp giải:

a n = a.a.....a ( n thừa số a ) ( n ∈ ℕ*

ƠN

Áp dụng công thức:

)

( a ≠ 0; m ≥ 0 )

= a m. n

a m .b m = ( a.b ) n

am = a(m

QU Y

a m .a n = a m + n

am : bm = ( a : b )

)

a m : bm = ( a : b )

và làm các phép tính như thông thường.

II. Bài toán:

KÈ

Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý. a)

+ 17 2 ) . ( 915 − 315 ) . ( 24 − 42

)

b) ( 82017 − 82015 ) : ( 82104.8 )

c) ( 13 + 23 + 34 + 55 ) . ( 13 + 23 + 33 + 43 ) . ( 38 − 812

DẠ

d) ( 28 + 83 ) : ( 25.23

672

= 8672

( )

(a )

FI CI A

( )

2 3 2 5 3 4 5 3 9 3 6 b) 4 .32 : 2 = 2 .2 : 2 = 2 .2 : 2 = 2 : 2 = 2

)

Lời giải

Trang 4

+ 17 2 ) . ( 915 − 315 ) . ( 24 − 42

)

FI CI A

= ( 217 + 17 2 ) . ( 915 − 315 ) . ( 16 − 16 ) = ( 217 + 17 2 ) . ( 915 − 315 ) .0 =0

2017

− 82015

) : (8

2104

.8 )

= ( 82017 − 82015 ) : 82015

= 82017 : 82015 − 82015 : 82015 = 82 − 1

ƠN

= 64 − 1 = 63 3

+ 23 + 34 + 45 ) . ( 13 + 23 + 33 + 43 ) . ( 38 − 812

)

= ( 13 + 23 + 34 + 45 ) . ( 13 + 23 + 33 + 43 ) . 38 − ( 34 ) 2  = ( 13 + 23 + 34 + 45 ) . ( 13 + 23 + 33 + 43 ) . ( 38 − 38

)

+ 83

QU Y

= ( 13 + 23 + 34 + 45 ) . ( 13 + 23 + 33 + 43 ) .0

) : ( 2 .2 )

=  28 + ( 23 )3  : 28

= ( 28 + 29 ) : 28

= ( 28 : 28 ) + ( 29 : 28

KÈ

= 1+ 2

)

Bài 2. Thực hiện phép tính: 3

DẠ

1 1   .  ;  2 4

Trang 5

 9   12   −9    .  :  ;  4  9   8 

8 ( − 3 ) .   .2−5 . 9 3

FI CI A

Lời giải 2

13 13 1 1 1 1 1 a)   .   = 3 . 2 = . = 2 4 8 16 128  2 4 2

1 72 1 1 7 b)   .   = 2 . 2 = 7 3 9 7  3 3

) )

. 2

3 6 2 1 3 .2 = = 4 5 5 3 .2 3 2

Bài 3: Thực hiện phép tính a. 1024 : (17.25 + 15.25 )

ƠN

(2 8 d) ( 3 ) .   .2 −5 = 33. 9 ( 32

b. 53.2 + ( 23 + 40 ) : 23

Lời giải

) )

36.26 = 6 4 = 32 = 9 2 .3

3 2 2 3 0 2 6 2 36 ( 2  9   12   9   3   9  3 8 c)   .   :   =    .1:   =   .   = 6 . 2 2 (3  4   9   8   2   8  2 9

 −1   −7    .  ;  7   3 

( 5.3

+ 17.34 ) : 62

a. Ta có: 1024 : (17.25 + 15.25 ) = 210 :  25 (17 + 15 )  = 210 : 25.25 = 1

QU Y

b. Ta có: 53.2 + ( 23 + 40 ) : 23 = 53.2 + 24 : 23 = 250 + 3 = 253 34.25 2 c. Ta có: ( 5.35 + 17.34 ) : 62 = 34 ( 5.3 + 17 )  : ( 3.2 ) = ( 34.32 ) : 32.22 = 2 2 = 9.8 = 72 3 .2

Bài 4: Thực hiện phép tính

Lời giải

( 10

+ 112 + 12 2 ) : ( 132 + 142 ) = ( 100 + 121 + 144 ) : ( 169 + 196 ) = 365 : 365 = 1

KÈ

a) Ta có:

b) ( 23.94 + 93.45 ) : ( 9 2.10 + 92.3 )

)

a) ( 102 + 112 + 12 2 ) : ( 132 + 142

b) Ta có: 3

+ 93.45 : 9 2.10 + 92.3 = 23.38 + 38.5 : 34.10 + 34.3 =

)(

) (

)(

( 2 .9

DẠ

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Trang 6

)

38 ( 8 + 5 ) 34.13

34.13 = 34 = 81 13

39.22

b) B =

3610.2515 c) C = 308

e) E =

( 2.3 )

212.14.126 d) D = 355.6

11.322.37 − 915 14

11.322.37 − 915

310.10 + 310.6

FI CI A

a) A =

( 2.3 )

49.36 + 64 f) F = 100.164

11.322.37 − 915 14

( 2.3 )

39.24

( ) ( )

620.530 = 612.522 8 8 6 .5

212.14.126 32.7 2.2.7.2.32.7 22.34.7 4 2 = = = 2 5 5 5 6 5 35 .6 3 .7 .2.3 2.3 .7 3 .7

11.322.37 − 915

(

2.314

)

QU Y

e) Ta có: E =

310.24 =3 39.24

29 11.329 − 330 3 ( 11 − 3 ) 3.8 = = = =6 4.328 4.328 4

6 2 . 52 3610.2515 c) Ta có: C = = 8 308 ( 6.5) d) Ta có: D =

ƠN

b) Ta có: B =

39.22

310. ( 10 + 6 )

a) Ta có: A =

310.10 + 310.6

Lời giải

10 2 4 49.36 + 64 49.4.9 + 412 4 . 9 + 4 = = =4 f) Ta có: F = 100.164 100.48 48.100

)

5.230.318 − 22.320.227 5.29.219.319 − 7.2 29.318

Bài 6. Thực hiện phép tính:

(

Lời giải

KÈ

229.318 ( 5.2 − 3 ) 5.230.318 − 2 2.320.227 = =2 5.29.219.319 − 7.2 29.318 228.318 ( 5.3 − 7.2 ) Bài 7: Tính các tổng sau:

b) B = 1 + 31 + 32 + ... + 32016

c) C = 1 + 32 + 34 + 36 + ... + 32020

d) D = 31 + 32 + 33 + ..... + 32021

DẠ

a) A = 1 + 21 + 22 + ... + 22015

Lời giải

Trang 7

a) Ta có: A = 1 + 21 + 22 + ...22015

FI CI A

 2 A = 2 + 22 + 23 + ... + 22016  2 A − A = A = 22016 − 1 b) Ta có: B = 1 + 31 + 32 + ... + 32016

 3B = 3 + 32 + ... + 32017  2 B = 32017 − 1 32017 − 1 2

B=

c) Ta có: C = 1 + 32 + 34 + 36 + ... + 32020

)

ƠN

=> 32 C = 32 ( 1 + 32 + 34 + 36 + ... + 32020

=> 9C = 32 + 34 + 36 + ... + 32022

=> 8C = 32022 − 1 32022 − 1 => C = 8

d) D = 31 + 32 + 33 + ... + 32021

)

=> 9C − C = ( 32 + 34 + 36 + ... + 32022 ) − ( 1 + 32 + 34 + 36 + ... + 32020

QU Y

 3 A = 32 + 33 + ... + 32021

 2 A = 3 A − A = 32021 − 3  A=

32021 − 3 2

Bài 8: Tính S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 8192 Lời giải

KÈ

Ta có: S = 20 + 21 + ... + 213  2S = 2 + 22 + ... + 214  S = 214 − 1 = 16383

Bài 9: Cho biết: 12 + 22 + 32 + ... + 102 = 385 . a) Tính A = 22 + 42 + 62 + ... + 202 ;

b)Tính B = 122 + 142 + 162 + 182 + 202 − 12 + 32 + 52 + 7 2 + 92 .

(

) (

)

DẠ

Lời giải

a) Ta có A = 22 + 42 + 62 + ... + 202 Trang 8

= 4 ( 12 + 22 + 32 + ... + 102

)

= 4.385 = 1540 b) B = 122 + 142 + 162 + 182 + 202 − 12 + 32 + 52 + 7 2 + 92

(

) (

)

= ( 122 − 1 ) + ( 142 − 32 ) + ( 162 − 52 ) + ( 182 − 7 2 ) + ( 202 − 92

)

FI CI A

= ( 1.2 ) + ( 2.2 ) + ( 2.3 ) + ... + ( 2.10 )

= ( 12 − 1 )( 12 + 1 ) + ( 14 − 3 )( 14 + 3 ) + ( 16 − 5 )( 16 + 5 ) + ( 18 − 7 )( 18 + 7 ) + ( 20 − 9 )( 20 + 9 ) = 11.13 + 11.17 + 11.21 + 11.25 + 11.25 + 11.29 = 11( 13 + 17 + 21 + 25 + 29 )

ƠN

= 11.125 = 1375 Bài 10: Tính tổng sau a) A = 12 + 32 + 52 + ... + 99 2

Lời giải Ta có:

A = ( 12 + 22 + 32 2 + 4 2 + 52 + ... + 992 + 1002 ) − ( 22 + 4 2 + 62 + ... + 1002

)

QU Y

Đặt C = ( 12 + 2 2 + 32 + 42 + 52 + ... + 992 + 1002 ) ’ D= ( 22 + 4 2 + 6 2 + ... + 1002 ) Tính C, ta có:

C = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ... + 992 + 1002

C = 1.1 + 2.2. + 3.3 + 4.4 + 5.5 + ... + 99.99 + 100.100

C = 1. ( 2 − 1 ) + 2. ( 3 − 1 ) + 3. ( 4 − 3 ) + 4. ( 5 − 4 ) + 5. ( 6 − 5 ) + ... + 99. ( 100 − 1 ) + 100. ( 101 − 1 )

=> C = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 99.100 + 100.101) − (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100)

KÈ

Đặt M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 99.100 + 100.101, N=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100 Tính M

M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 100.101

=> 3M = 1.2. ( 3 − 0 ) + 2.3. ( 4 − 1 ) + 3.4 ( 5 − 2 ) + 4.5. ( 6 − 3 ) + ... + 100.101( 102 − 99 )

DẠ

3M = ( 1.2.3 − 1.2.0 ) + ( 2.3.4 − 2.3.1 ) + ( 3.4.5 − 3.4.2 ) + ( 4.5.6 − 3.4.5 ) + ... + ( 100.101.102 − 99.100.101 ) 3M = 100.101.102

Trang 9

100.101.102 3

=> M =

FI CI A

Tính N N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100

100.101 2

Ta có C =

100.101.102 100.101 + 3 2

D= 22 + 42 + 62 + ... + 1002

(

Tương tự tính D ta có:

)

ƠN

D = 22 (12 + 22 + 32 + ... + 502 )  50.51.52 50.51  D = 2 2.  +  = 4. ( 50.52.17 + 25.51 ) 3 2  

100.101.102 100.101 + − 4. ( 50.52.17 + 25.51) 3 2

Vậy A =

DẠNG 3: Xét tính chia hết của một biểu thức lũy thừa. I. Phương pháp giải:

QU Y

Sử dụng công thức tính lũy thừa và tính chất chia hết, các dấu hiệu chia hết

II. Bài toán:

Bài 1: Cho S = 1 + 2 + 2 2 + 23 + 2 4 + 25 + 2 6 + 27 . Chứng tỏ rằng S chia hết cho 3. Lời giải

S = 1 + 2 + 2 2 + 23 + 2 4 + 25 + 2 6 + 27

= (1 + 2 ) + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27

) (

(

) (

)

KÈ

= 3 + 2 2 (1 + 2 ) + 2 4 (1 + 2 ) + 2 6 (1 + 2 ) = 3 + 2.3 + 2 4.3 + 2 6.3

= 3 1 + 2 + 2 4 + 26

(

)

Bài 2: Cho A = 2 + 2 2 + 23 + ... + 260 . Chứng minh rằng A chia hết cho 6.

Lời giải

A = 2 + 22 + 23 + 2 4 + ... + 259 + 260

DẠ

(

) (

)

(

= 2 + 22 + 22 2 + 22 + ... + 258 2 + 22

(

)

(

)

(

)

) Trang 10

= 6 + 2 2.6 + ... + 2 58.6

 A⋮ 6

FI CI A

Bài 3:

2 3 4 5 6 2014 + 22015 + 22016 . Cho biểu thức A = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2

Chứng minh rằng A chia hết cho 7.

Lời giải

A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + ... + 22014 + 22015 + 22016 A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + ... + 22014 + 2 2015 + 22016

(

) (

)

(

)

(Tổng A có 2016 số hạng, chia A thành 672 nhóm, mỗi nhóm có 3 số hạng)

= 12.2 + 2.2 + 22.2 + 124 + 224 + 22.2 4 + ... + 1.2 2014 + 2.22014 + 22.22014

) (

)

(

= 2 1 + 2 + 22 + 24 1 + 2 + 22 + ... + 22014 2 1 + 2 + 2 2

(

)

(

)

(

)

ƠN

(

)

= 2.7 + 2 4.7 + ... + 2 2014.7 = 7. 2 + 2 4 + ... + 2 2014 ⋮ 7

(

)

Bài 4: Cho A = 2 + 2 2 + 23 + ... + 260 . Chứng minh rằng A⋮ 3; A⋮ 5; A⋮ 7 Lời giải Ta có:

A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 257 + 259

) (

)

(

QU Y

(

•

)( 2

+ 260

)

= 2. ( 1 + 2 ) + 23 ( 1 + 2 ) + ... + 259 ( 1 + 2 )

= ( 1 + 2 ) . 2 + 23 + ... + 259 = 3. 2 + 23 + ... + 259 ⋮ 3

(

)

(

)

A = 2 + 2 2 + 23 + 2 4 + 25 + 26 + ... + 258 + 259 + 260

) (

(

•

)

(

= 2. 1 + 2 + 22 + 24 1 + 2 + 22 + ... + 258 1 + 2 + 22

(

)

(

•

)( 2 + 2

KÈ

= 1 + 2 + 22

(

)

(

)

+ 27 + ... + 258 = 7. 2 + 24 + ... + 258 ⋮ 7

)

(

)

A = (2 + 23 ) + (22 + 24 ) + ... + (258 + 260 ) = 2(1 + 22 ) + 22 (1 + 22 ) + ... + 258 (1 + 22 )

= (1 + 22 )(2 + 22 + ... + 257 + 258 ) = 5.(2 + 22 + .. + 258 )⋮ 5

DẠ

Bài 5: Cho A = 1 + 4 + 4 2 + 43... + 498 . Chứng tỏ rằng A chia hết cho 21. Lời giải

A = 1 + 4 + 4 2 + 4 3... + 4 98 có 99 số hạng Trang 11

= 1 + 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + ... + 496 + 497 + 498 có 33 nhóm

) (

)

(

)

(

Bài 6: Cho A =

7 2020

2019

− 32016 5

)

2015

. Chứng tỏ A chia hết cho 2

Lời giải 2019

Ta có 20162015 ⋮ 4 nên đặt 2016 2015 = 4k ' ( k ' ∈ N *)  32020

 A=

7 2020

2019

− 32016 − 32016 5

2015

2019

luôn có tận cùng là 0

2015

= ( 34 ) = 81k luôn có tận cùng là 1.

luôn có thể tận cùng 2, 4, 6, 8 .

ƠN

Khi đó: 7 2020

= ( 7 4 ) = 2401k luôn có tận cùng là 1.

Ta có 20202019 ⋮ 4 nên đặt 2020 2019 = 4 k ( k ∈ N *)  7 2020

FI CI A

= 21 + 21.43 + ... + 21.496 496 + 497 + 498 chia hết cho 21

Vậy A luôn chia hết cho 2

Bài 7: Cho số A = 4 + 4 2 + 43 + ... + 416 + 417 . Tìm số dư khi A chia cho 17.

Lời giải

A = 4 + 4 2 + 43 + ... + 416 + 417 có 17 số hạng

= 4 + ( 4 2 + 44 ) + ( 43 + 45 ) + ... + ( 414 + 416 ) + ( 415 + 417 )

có 8 cặp nhóm và thừa số hạng 4

QU Y

= 4 + 4 2 (1 + 4 2 ) + 4 3 (1 + 4 2 ) + ... + 414 (1 + 4 2 ) + 415 (1 + 4 2 ) = 4 + 4 2.17 + 4 3.17 + ... + 414.17 + 415.17

= 4 + 17 ( 4 2 + 4 3 + ... + 414 + 415 )

Vậy A chia cho 17 dư 4.

Bài 8: Cho A = ( 2014 + 1) . ( 2014 + 2 ) . ( 2014 + 3) ... ( 2014 + 2014 ) . Chứng minh A ⋮ 2 2013

KÈ

Lời giải

A = ( 2014 + 1) . ( 2014 + 2 ) . ( 2014 + 3) ... ( 2014 + 2014 ) = 2015.2016.2017.....4028 Số A là tích của 2014 thừa số trong đó có 1007 thừa số chẵn.

Đặt tích của các thừa số chẵn trong A là B (có 1007 thừa số chẵn).

DẠ

1007 B = 2016.2018.2020.....4028 = 2 .1008.1009.1010.....2014 1007 thõa sè ch ½ n

Đặt tích của các thừa số chẵn trong B là: C (có 504 thừa số chẵn). Trang 12

504 C = 1008.1010.1012.....2014 = 2 .504.505.506.....1007

504 thõa sè ch ½ n

FI CI A

Đặt tích của các thừa số chẵn trong C là: D (có 252 thừa số chẵn). 252 D = 504.506.508.....1006 = 2 .252.253.254.....503 252 thõa sè ch½ n

Đặt tích của các thừa số chẵn trong D là: E (có 126 thừa số chẵn). 126 E = 252.254.256.....502 = 2 .126.127.128.....251 126 thõa sè ch ½ n

Đặt tích của các thừa số chẵn trong E là: F (có 63 thừa số chẵn). 63 F = 126.128.130.....250 = 2 .63.64.65.....125 63 thõa sè ch ½ n

ƠN

Đặt tích của các thừa số chẵn trong F là: G (có 31 thừa số chẵn). 31 G = 64.66.68.....124 = 2 .32.33.....62 31 thõa sè ch ½ n

Đặt tích của các thừa số chẵn trong G là: H (có 16 thừa số chẵn).

16 H = 32.34.36.....62 = 2 .16.17.18.....31 16 thõa sè ch ½ n

= 216.2 4.17.2.9.19.2 2.5.21.2.11.23.2 3.3.25.2.13.27.2.19.29.2.15.31 = 2 30.3.5.9.11.13.15.17.19 2.21.23.25.27.29.31

QU Y

Như vậy trong A có tích các thừa số: 21007.2 504.2 252.2126.2 63.2 31.2 30 = 2 2013 Vậy A chia hết cho 22013 .

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. 2

Bài 1: Thực hiện phép tính:

212.35 − 46.92

KÈ

Lời giải 212.35 − 46.92 2

( 2 .3 )

510.73 − 252.492

( 125.7 )

+ 59143

−

510.73 − 252.492

( 125.7 )

212.35 − 22

+ 59143

( ) .( 3 ) 212.36

510.73 − 52

( ) .( 7 )

( 5 ) .7

+ 59.23.73

DẠ

212.34 ( 3 − 1 ) 510.73 ( 1 − 7 ) 2 5.6 32 212.35 − 212.34 510.7 3 − 510.7 4 = + 9 3 9 3 3= + 9 3 = + = 212.36 5 .7 + 5 .2 .7 212.36 5 .7 ( 8 + 1 ) 32 9 9

Bài 2: Thực hiện phép tính:

46.95 + 69.120 84.312 − 611 Trang 13

Lời giải 5

( ) ( ) ( )

FI CI A

22 . 32 + 29.39.23.3.5 212.310 + 212.310.5 212.310 ( 1 + 5 ) 46.95 + 69.120 2.6 4 = = 12 12 11 11 = 11 11 = = 4 4 12 11 8 .3 − 6 2 .3 − 2 .3 2 .3 ( 2.3 − 1 ) 3.5 5 23 .1312 − 211.311

Bài 3. Thực hiện phép tính:

9.520.279 − 3.915.259 7.329.1256 − 3.39.1519

Lời giải

29 18 2 2 329 .520 − 331.518 3 . 5 5 − 3 32.520.327 − 3 .330 .518 9.520.27 9 − 3.915.259 = = =8 = 7. 329.1256 − 3.39.1519 7.329.518 − 329.519 329 .518 ( 7 − 5 ) 7.329.518 − 310.319.519

ƠN

(

52.611.16 2 + 62.126.152 2.612.10 4 − 812.9603

Lời giải 11

Bài 4. Thực hiện phép tính:

2 4 + ( 2.3 ) . 22.3 . ( 3.5 ) 52.611.162 + 62.126.152 5 ( 2.3 ) . 2 = 2 3 12 4 2.612.104 − 812.9603 2. ( 2.3 ) . ( 2.5 ) − 34 . 26.3.5

QU Y

( )

( ) ( ) ( )

2 10 14 5 52.219.311 + 214.310.53 5 .3 .2 . 2 .3 + 5 25.3 + 5 = 17 4 12 11 18 3 = 17 3 11 = 3 2 .5 .3 − 3 .2 .5 2 .5 .3 . ( 5.3 − 2 ) 2 .5.3.12

(

32.3 + 5 96 + 5 101 = = 8.15.12 120.12 1440

)

KÈ

Bài 5. Thực hiện phép tính: 7.610.210.36 − 219.615 9.619.29 − 4.317.226

Lời giải

DẠ

10 10 20 6 19 15 15 7.610.220.36 − 219.615 7.2 .3 .2 .3 − 2 .2 .3 = 2 19 19 9 3 .2 .3 .2 − 22.226.317 9.619.29 − 4.317.226

Trang 14

)

FI CI A

230.316.7 − 234.315 230.315.(7.3 − 24 ) 22 (21 − 16) = 28 21 28 17 = 28 17 4 = 3 2 .3 − 2 .3 2 .3 (3 − 1) 3 (81 − 1) 22 (21 − 16) 4.5 1 = = 3 3 (81 − 1) 9.80 36

Bài 6. Tính: A = 4 + 2 2 + 23 + 2 4 + . . . + 2 20 Lời giải

A = 4 + 2 2 + 23 + 2 4 + . . . + 2 20  2 A = 8 + 23 + 2 4 + . . . + 2 21

 A = 2 A − A = 221 + 8 − (4 + 22 ) + (23 − 23 ) + (24 − 24 ) + ... + ( 2 20 − 220 ) = 221

ƠN

1 1 1 1 Bài 7. Tính A = + 2 + 3 + ... + 100 3 3 3 3 1 1 1 3 A = 1 + + 2 + ... + 99 3 3 3

Lời giải

1  1 1 1   1 1 Vậy: 3 A − A = 1 + + 2 + ... + 99  −  + 2 + ... + 100  3  3 3 3   3 3

=> A =

1 3100 − 1 = 3100 3100

3100 − 1 2.3100

QU Y

2A = 1−

Bài 8. Tính A = 5 + 52 + … + 596

Lời giải

A = 5 + 52 + …… + 596

KÈ

=> 5 A = 52 + 53 + …… + 596 + 597 => 4 A = 5 A – A = 597 − 5

597 - 5 4

=> A =

DẠ

Bài 9. Tính S = 5 + 52 + 53 + ……… + 52020 Lời giải

Ta có

5S = 52 + 53 + 54 + ……… + 52021 Trang 15

+ 53 + 54 + ……… + 52021

)

–

+ 52 + 53 + ……… + 52020

)

 5S – S =

S=

FI CI A

 4 S = 52021 − 5

52021 − 5 4

Bài 10: Tính C = 2 2 + 4 2 + 6 2 + ... + 20 2 Lời giải

C = 2 2 + 4 2 + 62 + ... + 202 = 22 12 + 22 + 32 + ... + 10 2

(

)

Đặt A = 12 + 2 2 + 32 + ...10 2 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 10.10

ƠN

A = 1( 2 − 1) + 2 ( 3 − 1) + 3 ( 4 − 1) + ... + 10 (11 − 1)

Ta có:

A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 10.11) − (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 ) 10.11.12 10.11 − = 10.11.4 − 5.11 = 385 3 2

 C = 4.385 = 1540

Bài 11: Tính B = 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 + ... + 99.100 2 Lời giải

QU Y

Ta có:

B = 1.22 + 2.32 + 3.42 + ... + 99.1002

B = 1.2.2 + 2.3.3 + 3.4.4 + ... + 99.100.100

B = 1.2 ( 3 − 1 ) + 2.3. ( 4 − 1 ) + ... + 99.100. ( 100 − 1 )

B = (1.2.3 − 1.2 ) + ( 2.3.4 − 2.3 ) + ... + ( 99.100.101 − 99.100 )

KÈ

B = ( 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 99.100.101 ) − ( 1.2 + 2.3 + ... + 99.100 ) Đặt N = ( 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 99.100.101 ) , M = ( 1.2 + 2.3 + ... + 99.100 ) Tính N , ta có:

4 N = 1.2.3. ( 4 − 0 ) + 2.3.4. ( 5 − 1 ) + ... + 99.100.101. ( 102 − 98 )

DẠ

4 N = ( 1.2.3.4 − 0.1.2.3 ) + ( 2.3.4.5 − 1.2.3.4 ) + ... + ( 99.100.101.102 − 98.99.100.101 ) 4 N = 99.100.101.102 Trang 16

Tương tự tính M ta có M = Vậy B =

99.100.101.102 4 99.100.101 3

FI CI A

=> N =

99.100.101.102 99.100.101 − 4 3

Bài 12: Chứng minh rằng:

b. 52008 + 52007 + 52006 chia hết cho 31

c. 88 + 220 chia hết cho 17

d. 3135.299 − 3136.36 chia hết cho 7.

a. 10 2008 + 125 chia hết cho 45

Lời giải

2008 a) Ta có: 102008 + 125 = 10 + 125 = 100...0 + 125 = 100...0125 , A có tận cùng là 5

 A chia hết cho 5

2005 so 0

ƠN

2008 so 0

Tổng các chữ số của A là: 1 + 2 + 5 + 1 = 9  A chia hết cho 9, mà ( 5,9 ) = 1  A chia hết cho 45 b) Ta có: 52008 + 52007 + 52006 = 52006 ( 52 + 51 + 1) = 52006.31 chia hết cho 31 8

c) Ta có: 88 + 2 20 = ( 23 ) + 2 20 = 2 24 + 2 20 = 2 20 ( 24 + 1) = 17.2 20 chia hết cho 17

QU Y

d) Ta có:

3135.299 − 3136.36 = 3135.299 − 3136 − 35.3136 = 3135 ( 299 − 313) − 35.3136 = −14.3135 − 35.3136 Chia hết cho 7 vì mỗi số hạng trong hiệu đều chia hết cho 7.

Bài 13:

a) Viết công thức tổng quát tính A = 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n b)Viết công thức tính a n +1 − 1 ( n ∈ N , a ≥ 2 )

KÈ

c) Chứng minh rằng: 20152015 − 1 chia hết cho 2014.

Lời giải a)

Ta có A = 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n

( a ≥ 2, n ∈ N )

DẠ

a. A = a + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n + a n +1

a. A − A = a n +1 − 1 Trang 17

( a ≥ 2, n ∈ N )

( a − 1 ) . A = a n+1 − 1

b) Ta có A = 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n = ( a n +1 − 1 ) : ( a − 1 )

FI CI A

Vậy A = 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n = ( a n +1 − 1 ) : ( a − 1 )

( a ≥ 2, n ∈ N )

Từ đó ta có công thức: ( a n +1 − 1 ) = ( a − 1) . ( 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n

) ( a ≥ 2, n ∈ N )

c) Nhận thấy 2015 − 1 = 2014 . Với công thức đã tìm được ở câu 1, hơn nữa ta thấy

nghĩ ngay đến cách làm sau: Xét A = 1 + 2015 + 20152 + 20153 + 20154 + ... + 20152014 2015. A = 2015 + 20152 + 20153 + 20154 + ... + 20152015

n +1

)

− 1 : ( a − 1 ) . Do đó để làm câu 2 ta

A = 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n có giá trị là số nguyên nên

ƠN

Do đó 2015. A − A = 20152015 − 1  2014. A = 2014 2015 − 1

Nên 20152015 − 1 = 2014. ( 1 + 2015 + 20152 + 20153 + 20154 + ... + 20152014

)

Mà 1 + 2015 + 20152 + 20153 + 20154 + ... + 20152014 có giá trị là số tự nhiên Vậy 20152015 − 1⋮ 2014

Bài 14:

a, Tính tổng : M = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3112

QU Y

b, Viết công thức tổng quát tính M = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + a8 + ... + a 2 n c, Viết công thức tính a 2 n + 2 − 1

( n∈ N ,a ≥ 2 )

d, Chứng minh rằng: 9 2018 − 1 92018 – 1 chia hết cho 80 a, Tương tự

Lời giải

KÈ

Ta có: M = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3112 32.M = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3112 + 3114

Do đó: 32.M − M = 3114 − 1 2

114

M .( 3 −1 ) = 3

3114 − 1 3114 − 1 −1  M = 2 = 3 −1 8

DẠ

b, Ta có: M = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + ... + a 2 n a 2 .M = a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + ... + a 2 n + a 2 n + 2 Trang 18

( n∈ N ,a ≥ 2 )

a 2 .M − M = a 2 n + 2 − 1  M . ( a 2 − 1 ) = a 2 n + 2 − 1

c, Từ kết quả câu b: + M = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + a8 + ... + a 2 n = ( a 2 n + 2 − 1 ) : ( a 2 −1 )

FI CI A

Vậy M = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + a8 + ... + a 2 n = ( a 2 n + 2 − 1 ) : ( a 2 −1 )

( n∈ N ,a ≥ 2 )

Từ đó ta có: a 2 n + 2 − 1 = ( a 2 −1 ) . ( 1 + a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + ... + a 2 n

) ( n∈ N ,a ≥ 2 )

d, Nhận thấy 9 2 − 1 = 80 . Với công thức đã tìm được ở câu c.

Hơn nữa ta thấy M = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + ... + a 2 n có giá trị là số nguyên

Nên ( a 2 n + 2 − 1 ) : ( a 2 −1 ) . Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm sau:

9 2.M = 9 2 + 9 4 + 96 + 98 + ... + 9 2016 + 9 2018

92.M − M = 92018 − 1  M . ( 92 − 1 ) = 92018 − 1

ƠN

Xét M = 1 + 9 2 + 9 4 + 96 + 98 + ... + 9 2016

)

Do đó 92018 − 1 = 80. ( 1 + 7 2 + 7 4 + 7 6 + 78 + ... + 92016

Mà 1 + 9 2 + 9 4 + 9 6 + 98 + ... + 9 2016 có giá trị là số tự nhiên. Vậy 9 2018 − 1⋮ 80

QU Y

Bài 15: a, Tính tổng : B = 8 + 83 + 85 + 87 + 89 + ... + 899 b, Viết công thức tổng quát tính A = a + a3 + a5 + a 7 + a 9 + ... + a 2 n +1 c, Viết công thức tính a 2 n +3 − a

( n∈ N ,a ≥ 2 )

Lời giải

KÈ

a, Tương tự

d, Chứng tỏ rằng: 6 2017 − 6 chia hết cho 35

Ta có: B = 8 + 83 + 85 + 87 + 89 + ... + 899 82.B = 83 + 85 + 87 + 89 + ... + 899 + 8101

DẠ

Do đó 82.B − B = 8101 − 8  B. ( 82 − 1 ) = 8101 − 8  B = b, Ta có: A = a + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + ... + a 2 n +1

a 2 . A = a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + ... + a 2 n +1 + a 2 n +3 Trang 19

8101 − 8 8101 − 8 = 82 − 1 63

A = a + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + ... + a 2 n +1 = ( a 2 n + 3 − a ) : ( a 2 − 1 )

c, Từ kết quả câu b: A = a + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + ... + a 2 n +1 = ( a 2 n + 3 − a ) : ( a 2 − 1 )

FI CI A

a 2 . A − A = a 2 n +3 − a  A ( a 2 − 1 ) = a 2 n + 3 − a

( n∈ N ,a ≥ 2 )

Từ đó ta có : a 2 n +3 − a = ( a 2 − 1 ) . ( a + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + ... + a 2 n +1

) ( n∈ N ,a ≥ 2 )

d, Nhận thấy 6 2 − 1 = 35 . Với công thức đã tìm được ở câu c.

Hơn nữa A = a + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + ... + a 2 n +1 có giá trị là số nguyên.

Nên ( a 2 n +3 − a )⋮ ( a 2 − 1 ) . Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm:

ƠN

Xét M = 6 + 63 + 65 + 67 + 69 + ... + 6 2015

6 2.M = 63 + 65 + 67 + 69 + ... + 6 2015 + 6 2017  6 2.M − M = 6 2017 − 6

 M . ( 6 2 − 1 ) = 62017 − 6

Do đó 62017 − 6 = 35. ( 6 + 63 + 65 + 67 + 69 + ... + 6 2015 )

Mà 6 + 63 + 65 + 6 7 + 69 + ... + 6 2015 có giá trị là số tự nhiên. Vậy 6 2017 − 6 ⋮ 35

Bài 16:

QU Y

1, Tính B = 1 − 5 + 52 − 53 + 54 − ... − 599 + 5100 2, Tính A = 1 − a d + a 2 d − a 3d + ... + a 2 nd

( a ≥ 2, n ∈ N )

3, Chứng tỏ rằng 20182009 + 1 chia hết cho 2019

Lời giải 1, Tương tự

Ta có B = 1 − 5 + 52 − 53 + 54 − ... − 599 + 5100

KÈ

5.B = 5 − 52 + 53 − 54 + 55 − ... − 5100 + 5101

Quan sát về quy luật dấu của các số hạng trong tổng B và 5B . Để các lũy thừa bị triệt tiêu hàng loạt

ta nghĩ đến tính 5 B + B = 5101 + 1  6 B = 5101 + 1  B =

DẠ

2, Ta có: A = 1 − a d + a 2 d − a3d + ... + a 2 nd

a d A = a d + a 2 d − a3d + ... + a(

2 n+1 ) d

Trang 20

5101 + 1 6

+1  A =

2 n +1 ) d

+1 a +1 d

3, Nhận thấy 2018 + 1 = 2019 . Với công thức đã tìm được ở câu 2. Hơn nữa A = 1 − a d + a 2 d − a3d + ... + a 2 nd có giá trị là số nguyên Nên a (

2 n +1 ) d

+ 1⋮ ( a d + 1 ) . Do đó để làm câu d ta nghĩ ngay đến cách làm sau:

Xét S = 1 − 2018 + 20182 − 20183 + ... + 20182008

2018.S + S = 20182009 + 1  2019.S = 20182009 + 1 20182009 + 1 = 2019. ( 1 − 2018 + 20182 − 20183 + ... + 20182008 )

2018.S = 2018 − 20182 + 20183 − 20184 + ... + 20182009

ƠN

Mà 1 − 2018 + 20182 − 20183 + ... + 20182008 có giá trị là số nguyên. Suy ra 20182009 + 1 chia hết cho 2019.

KÈ

QU Y

………… HẾT ………..

DẠ

a A+ A = a

( 2 n +1 ) d

FI CI A

Trang 21

HSG TOÁN 6

CHUYÊN ĐỀ .SO SÁNH

FI CI A

A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA. I. Phương pháp 1:

Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. ⇔m > n

ƠN

(a > 1)

am > an

- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

(

)

a n > bn n > 0 ⇔ a > b

II. Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân

(

)

QU Y

a > b và b > c thì a > c a.c > b.c c > 0 ⇔ a > b II. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.

Dạng 1. III. BÀI TẬP

KÈ

Bài 1: So sánh các số sau đây: a) 1619 và 8 25

c) 2711 và 818

e) 7.213 và 216

b) 523 và 6.5 22

d) 625 5 và 125 7

f) 19920 và 200315

DẠ

Phân tích:

Đưa cả hai lũy thừa về cùng cơ số, so sánh hai số mũ, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn.

Lời giải

a) 1619 và 8 25 1

TOÁN 6

Ta có: 1619 = (24 )19 = 276 và 825 = (23 )25 = 275 nên 1619 > 825 (vì 276 > 275 )

FI CI A

b) 523 và 6.5 22 Ta có: 523 = 5.522 < 6.522 nên 6.522 > 523

Ta có: 2711 = (33 )11 = 333 và 81 = (34 )8 = 332 nên 2711 > 818

(vì 333 > 332 )

d) 625 5 và 125 7

c) 2711 và 818

e) 7.213 và 216 Ta có: 216 = 23.213 = 8.213 > 7.213 nên 7.213 < 216

f) 19920 và 200315

ƠN

Ta có: 6255 = (54 )5 = 520 và 125 = (53 )7 = 521 nên 6255 < 1257 (vì 520 < 521 )

Ta có: 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23.52 )20 = 260.540

QU Y

và 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53 )15 = (24.53 )15 = 260.545 nên 19920 < 200315 ( vì 260.540 < 260.545 )

KÈ

a) 5100 và 3 500

Bài 2: So sánh các số sau đây:

b) 3 39 và 1121

1 1 và 35 21 2 5

e) 230 + 330 + 430 và 3.24 10

(

d) 3 2n và 2 3n n ∈ ℕ*

)

f) 111979 và 371320

Phân tích:

DẠ

Đưa cả hai lũy thừa về cùng số mũ, so sánh hai cơ số, lũy thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn. Lời giải

a) 5100 và 3 500

HSG TOÁN 6

Ta có: 5300 = (53 )100 = 125100 và 3500 = (35 )100 = 243100

FI CI A

nên 5300 < 3500 (vì 125 < 243 ⇒ 125100 < 243100 ) b) 3 39 và 1121 Ta có: 3 39 < 340 = (34 )10 = 8110 và 1121 > 1120 = (112 )10 = 12110

nên 339 <1121 (vì 8120 <12110 )

1 1 và 35 21 2 5

ƠN

Ta có: 221 = (23 )7 = 87 và 535 = (55 )7 = 31257

Suy ra:

nên: 221 < 535 ( do 87 < 31257 )

1 1 > 35 21 2 5

(

)

QU Y

d) 3 2n và 2 3n n ∈ ℕ* n

Ta có: 32n = (32 ) = 9n và 23n = (23 ) = 8n nên: 32n > 23n (vì 9n > 8n ) e) 230 + 330 + 430 và 3.24 10

Ta có: 430 = 230.230 = (23 )10 .(22 )15 = 810.415 > 810.315 > 810.310.3 = (8.3)10 .3 = 2410.3

KÈ

nên: 230 + 330 + 430 > 3.2410 f) 111979 và 371320

Ta có:

DẠ

660

( )

111979 < 111980 = 113

660

( )

= 1331660 và 371320 = 372

nên 111979 < 371320 (vì 1331660 <1369660 )

= 1369660

TOÁN 6

c) 1010 và 48.50 5

b) 9920 và 999910

d) 10750 và 7375

199110

Lời giải

Ta có:

A= 7244 (72 − 1) = 7244.71

ƠN

B = 7243 (72 − 1) = 7243.71

b) 9920 và 999910 10

( )

)

< 9999

nên: 9920 < 999910

QU Y

c) 1010 và 48.50 5

(

nên A > B

Ta có: 992 < 99.101 = 9999 ⇒ 992

Ta có: 1010 = 210.510 = 2.29.510

(

)(

)

và 48.505 = 3.24 . 25.510 = 3.29.510

KÈ

suy ra: 1010 < 48.505 (vì 2.29.510 < 3.29.510 ) nên: 1010 < 48.505

d) 10750 và 7375

DẠ

Ta có: 107 50 < 10850 = (4.27 ) = 2100.3150 75

f) 199010 + 19909 và

a) A= 7245 − 7244 và B = 7244 − 7243

e) 291 và 5 35

FI CI A

a) A = 7245 − 7244 và B = 7244 − 7243

và 7375 > 72 = (8.9) = 2225.3150

Bài 3: So sánh các số sau:

HSG TOÁN 6

nên: 107 50 < 7375 ( vì 2100.3150 < 2225.3150 )

FI CI A

e) 291 và 5 35 18

Ta thấy: 291 > 290 = (25 ) = 3218 18

và 535 < 536 = (52 ) = 2518

nên: 291 > 535 (do 291 > 3218 > 2518 > 535 ) f) 199010 + 19909 và 199110

(

)

ƠN

Ta có: 199010 + 19909 = 19909 1990 + 1 = 1991.19909

và: 199110 = 1991.19919 nên 199009 + 199010 < 199110 (do 19909 < 19919 )

QU Y

Bài 4: So sánh các số sau

a) 11022009 − 11022008 và 11022008 − 11022007

b) A = 20072007 + 2007 2008 và B = 20082009

Lời giải

KÈ

a) 11022009 − 11022008 và 11022008 − 11022007

(

)

Ta có: 11022009 − 11022008 = 11022008 1102 −1 = 11022008.1101

(

)

DẠ

và 11022008 − 11022007 = 11022007 1102 −1 = 11022007.1101 suy ra: 11022008.1101> 11022007.1101

TOÁN 6

nên: 11022009 − 11022008 > 11022008 − 11022007

(

)

Ta có: A = 20072007 + 2007 2008 = 2007 2007 1 + 2007 = 2008.2007 2007 và B = 20082009 = 2008.20082008

(2007

2007

< 20082008

)

suy ra: 2008.2007 2007 < 2008.20082008 nên A < B

ƠN

Bài 5: Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 Lời giải 9

FI CI A

b) A = 20072007 + 2007 2008 và B = 20082009

Ta có: 263 = (27 ) = 1289 và 527 = (53 ) = 1259 nên 263 > 527 (vì 1259 > 1259 )

Nên: 527 < 263 < 528 Bài 6: Chứng minh rằng:

21993 < 7 714

21995 < 5863

KÈ

Lời giải

QU Y

mà 263 = (29 ) = 5127 và 528 = (54 ) = 6257 nên 263 < 528 (vì 5127 < 6257 )

a) 21993 < 7714

Ta có: 214 = 16384 < 7 5 = 16807

DẠ

1993 9965 714 9996 và: = < = nên 21993 = 214 14 90 5 90

1993 14

( )

Vậy: 21993 < 7714

( )

< 7

714 5

= 7114

HSG TOÁN 6

Ta có: 215 = 32468 < 57 = 78125 và:

1993 13951 863 12945 = < = nên 21995 = 215 15 105 7 105

1995 15

( )

< 57

863 7

= 5863

Vậy: 21995 < 5863

Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ; 375 và 5 50 Lời giải

ƠN

Ta có: 2100 = (24 )25 = 1625   25 375 = 33 = 27 75  ⇒ 2100 < 550 < 375  550 = (52 )25 = 2525  

FI CI A

b) 21995 < 5863

( )

Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với 1 số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)

Lời giải

12 12 12 12 < 16 < 1 + 16 nên 13A < 13B ⇒ 1 + 17 13 + 1 13 + 1 13 + 1 13 + 1 17

Vì

1316 + 1 13.(1316 + 1) 1317 + 13 1317 + 1 + 12 12 = = = = 1 + 17 17 17 17 17 13 + 1 13 + 1 13 + 1 13 + 1 13 + 1

KÈ

và 13B =

13.(1315 + 1) 1316 + 13 1316 + 1 + 12 12 = = = 1 + 16 16 16 16 13 + 1 13 + 1 13 + 1 13 + 1

Ta có: 13A =

1315 + 1 1316 + 1 B = và 1316 + 1 1317 + 1

QU Y

Bài 1: So sánh biểu thức A =

DẠ

Vậy A < B

Bài 2: So sánh biểu thức A =

10100 + 1 1098 + 1 B = và 1099 + 1 1097 + 1

Lời giải 7

TOÁN 6

1 1098 + 1 1098 + 1 1098 + 10 − 9 9 B= = = = 1 − 98 97 98 98 10 10.(10 + 1) 10 + 10 10 + 10 10 + 10

Vì

9 9 9 9 < 98 nên 1 − 100 > 1 − 98 10 + 10 10 + 10 10 + 10 10 + 10 100

Bài 3: So sánh biểu thức A =

1920 + 5 1921 + 6 và B = 1020 − 8 1021 − 7

ƠN

Lời giải Ta có:

1920 + 5 1920 − 8 + 13 13 = = 1 + 20 20 20 19 − 8 19 − 8 19 − 8

1921 + 6 1921 − 7 + 13 13 = = 1 + 21 21 21 19 − 7 19 − 7 19 − 7

13 13 13 13 < 21 < 1 + 21 nên 1 + 20 19 − 8 19 − 7 19 − 8 19 − 7

QU Y

Vì

Vậy A > B

Vậy A < B

Bài 4: So sánh biểu thức A =

33.103 3774 và B = 3 3 5217 2 .5.10 + 7000

KÈ

Lời giải

33.103 33.103 103.33 33 = = = 3 3 3 3 3 47 2 .5.10 + 7000 8.5.10 + 7.10 10 .(40 + 7)

Ta có: A =

DẠ

và: B =

3774 33 = 5217 47

Vậy A = B

1 10100 + 1 10100 + 10 − 9 9 A= = = 1 − 100 99 100 10 10.(10 + 1) 10 + 10 10 + 10

FI CI A

Ta có:

HSG TOÁN 6

1 1 1 1 + 2 + 2 + .... + và B = 1 2 2 3 4 1002

Ta có:

FI CI A

Lời giải

1 1 1 1 < = − 2 2.1 1 2 2

1 1 1 1 < = − 2 2.3 2 3 3

ƠN

1 1 1 1 < = − 2 3.4 3 4 4

1 1 1 1 < = − 2 99.100 99 100 100 Lấy vế cộng vế ta có

………………..

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + 2 + 2 + .... + < − + − + − + ... + − = 1− = <1 2 2 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 2 3 4 100

QU Y

Bài 5: So sánh biểu thức A =

Vậy: A < B

Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm cơ số (số mũ) chưa biết

KÈ

Lời giải

Bài 1. Tìm x ∈ ℕ biết 25 < 5x < 125 .

Ta có: 25 < 5x < 3125 ⇔ 52 < 5x < 55 ⇔ 2 < x < 5 .

Do x ∈ ℕ nên x ∈ {3; 4} .

DẠ

Bài 2. Tìm x ∈ ℕ biết 27 < 9x < 81 . Lời giải

Ta có: 27 < 9x < 243 ⇔ 33 < 32x < 35 ⇒ 3 < 2x < 5 .

TOÁN 6

Do x ∈ ℕ ⇒ 2x ∈ ℕ nên 2x = 4 ⇒ x = 2 .

FI CI A

Vậy x = 2 . Bài 3. Tìm x ∈ ℕ biết 16x < 1284 . Lời giải 4

Ta có: 16x = (24 ) = 24x ; 128 4 = (27 ) = 228 .

Do 16x < 1284 nên 24x < 228 ⇒ 4x < 28 ⇒ x < 7 . mà x ∈ ℕ ⇒ x ∈ {0;1;2; 3; 4;5; 6} .

ƠN

Bài 4. Tìm x ∈ ℕ biết 364 < x 48 < 572 . Lời giải

Ta giải 364 < x 48 và x 48 < 572 .

Ta có x 48 > 364 ⇒ (x 3 ) > (34 ) ⇒ x 3 > 81 ⇒ x > 4 24

( )

< 53

⇒ x 2 < 125 ⇒ −11 < x < 11 (2)

QU Y

( )

x 48 < 572 ⇒ x 2

(1)

Từ (1) và (2) suy ra 4 < x < 11 .

Vì x ∈ ℕ ⇒ x ∈ {5, 6, 7, 8, 9,10} . Bài 5.

18 so 0

KÈ

18 ……… Tìm x ∈ ℕ biết 5x ⋅ 5x +1 ⋅ 5x +2 ≤ 100 0 : 2

Lời giải Ta có:

18 5x ⋅ 5x +1 ⋅ 5x +2 ≤ 1 00 ……… 0 : 2

DẠ

⇔5

3 x+3

18 so 0 18

≤ 10 : 2

HSG TOÁN 6

⇔ 53x +3 ≤ 518

⇔ 3x + 3 ≤ 18 .

FI CI A

⇔x ≤5

Vậy x ∈ {0;1;2; 3; 4; 5} DẠNG 4: Một số bài toán khác.

Bài 1: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một

Lời giải

ƠN

1. TH không dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321

lần và chỉ một lần ?

2. TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị này quá nhỏ so với 321)

* Xét các luỹ thừa có số mũ một chữ số đươc 4 số : 13 2 ,312 ,12 3 ,213 => 213 > 312 * Xét các luỹ thừa mà số mũ có hai chữ số được 4 số : 213 ,2 31 ,312 ,3 21 21

QU Y

=> 3 21 = 3.320 = 3.(32 )10 = 3.910 & 2 31 = 2.2 30 = 2(2 3 )10 = 2.810 => 2 31<3 So sánh 321 và 213 => 321 > 39 = (33 )3 = 273 > 213 Vậy số lớn nhất là 3 21 .

Bài 2:

KÈ

a. Số 58 có bao nhiêu chữ số ? b. Hai số 22003 và 5 2003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? Lời giải

Bài 1. Phương pháp: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của

DẠ

số đó. a.

TOÁN 6

58 = (5 4 ) 2 = 6252 > 600 2 = 360000 108 100000000 100000000 = < = 400000 28 256 250 <=> 360000 < 58 < 400000.

FI CI A

58 =

Do đó 58 có 6 chữ số.

chữ số. Vì 10 a −1 < 2 2003 < 10 a & 10 b −1 < 5 2003 < 10 b

ƠN

Nên 10 a −1 .10 b −1 < 2 2003 .5 2003 < 10 a .10 b => 10 a + b − 2 < 10 2003 < 10 a + b

Giả sử 2 2003 có a chữ số và 5 2003 có b chữ số thì khi viết 2 chữ số liền nhau ta được 1 số có (a + b)

Do đó: 2003 = a + b − 1

Vậy a + b = 2004 suy ra số đó có 2004 chữ số.

Bài 3: Tìm các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau:

b. m = 416.5 25 Lời giải

QU Y

a. n = 83.155

Phương pháp: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó lập luận

tìm số chữ số của số đó.

Bài 2. a. Ta có n = 83.155 = ( 23 ) . ( 3.5 ) = 29.35.55 = 24.35. ( 2.5 ) = 16.243.105 = 3888.105

KÈ

Số 3888.10 5 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số. Vậy n có 9 chữ số.

Bài 3. b. Ta có: m = 416.525 = ( 22 ) .525 = 232.525 = 27. ( 2.5 ) = 128.1025

DẠ

Bài 4. Số 128.10 25 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số. Vậy m có 28 chữ số.

Bài 4: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2 m − 2 n = 256 .

HSG TOÁN 6

( 1)

FI CI A

Ta có: 2 m − 2 n = 256 = 2 8 => 2 n (2 m −n − 1) = 2 8

Lời giải

Dễ thấy m ≠ n , ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m − n = 1 thì từ ( 1) ta có:

Trường hợp 2: Nếu m − n ≥ 2

2 n.(2 − 1) = 2 8  2n = 28  n = 8 và m = 9 .

 2 m − n − 1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của 1 chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra

()

ƠN

thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau.

CHỦ ĐỀ 2: SO SÁNH PHÂN SỐ

QU Y

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Vậy n = 8 và m = 9 là đáp số duy nhất.

Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu

dương rồi so sánh các tử lại với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

Từ lý thyết cơ bản ta rút ra nhận xét sau:

Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0.

Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0.

Hai phân số có cùng mẫu âm, phân số nào có tử lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại

KÈ

II. CÁC DẠNG TOÁN

DẠ

PHƯƠNG PHÁP 1: Quy đồng mẫu dương Ví dụ 1: So sánh các phân số sau

TOÁN 6

42 180 và −63 −216

−136 −306 và 476 816

FI CI A

Lời giải

42 2 4 180 5 = = = và −63 −3 −6 −216 −6

42 180 > −63 −216 −136 −2 16 −306 −3 21 = = = = và 476 7 −56 816 8 −56

Mà −6 < 0 và 4 < 5 nên

Mà −56 < 0 và 16 < 21 nên

−136 −306 > 476 816

Ví dụ 2: So sánh các phân số sau b.

287 2476 và 9111 −3007

ƠN

−69 2019 và 665 2020

Lời giải

287 2476 >0> −3007 b. 9111

−69 2019 <0< 665 2020

QU Y

Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần Lời giải

7 7 40 4 3 7 ; ; ; ; ; −6 −8 32 −15 10 −24

7 105 = −8 −120

40 −150 = 32 −120

4 32 = −15 −120

3 −36 = 10 −120

7 35 = −24 −120

7 140 = −6 −120

Nên

KÈ

Mà −120 < 0 và −150 < −36 < 32 < 35 < 105 < 140

40 3 4 7 7 7 > > > > > 32 10 −15 −24 −8 −6

DẠ

Ví dụ 4: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần

5 19 1 1 7 −1 ; ; ; ; ; 12 −27 −2 3 18 33

Lời giải

5 −495 = 12 −1188

19 836 = −27 −1188

1 594 = −2 −1188 14

HSG TOÁN 6

7 −462 = 18 −1188

−1 36 = 33 −1188

1 −396 = 3 −1188

19 1 −1 1 7 5 < < < < < −27 −2 33 3 18 12

Ví dụ 5: Tìm hai số nguyên a, b sao cho

2 a b 1 > > > −21 −9 −7 −3

Lời giải

Nên

FI CI A

Mà −1188 < 0 và −495 < −462 < −396 < 36 < 594 < 836

Vậy: a = 1, b = 1 hoặc a = 1, b = 2 hoặc a = 2, b = 2

Ví dụ 1: So sánh các phân số:

−4 −3 ; 9 13 b) và

QU Y

17 51 ; − 21 − a) và 31 Lời giải

a) 17 = −21

51 51 51 17 51 ; >  > −63 −63 −31 −21 −31

−4 12 −3 12 12 12 −4 −3 = ; = ; <  < 9 −27 13 −52 −27 −52 9 13

KÈ

PHƯƠNG PHÁP 2: Quy đồng tử dương

Ví dụ 2: So sánh các phân số:

7 5 và 421 531

b) −4 và

3 −134

ƠN

2 a b 1 6 7a 9b 21 > > > > > > 6 < 7 a < 9b < 21 −21 −9 −7 −3 hay −63 −63 −63 −63 suy ra

DẠ

Lời giải

TOÁN 6

7 35 5 35 35 35 7 5 = ; = ; >  > 421 2105 531 3717 2105 3717 421 531

−4 12 3 12 12 12 −4 3 = ; = ; <  < 93 −279 −134 −536 −273 −536 93 −134

FI CI A

PHƯƠNG PHÁP 3: Tích chéo với các mẫu dương

a c > b d

+ Nếu a.d < b.c thì

a c < b d

+ Nếu a.d = b.c thì

a c = b d

Ví dụ

Ví dụ 1: So sánh

5 7 và 6 8

Lời giải

5 7 < vì 5.8 < 7.6 6 8

QU Y

+ Nếu a.d > b.c thì

Lý thuyết:

ƠN

−4 −4 và 5 8

KÈ

Ví dụ 2: So sánh

Lời giải

DẠ

−4 −4 < vì −4.8 < −4.5 5 8

Ví dụ 3: So sánh

3 4 và −4 −5

HSG TOÁN 6

3 −3 4 −4 3 4 = = > và ; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên −4 4 −5 5 −4 −5

Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương chẳng hạn là sai

12 13 và 13 14

Lời giải

Ví dụ 5: So sánh

ƠN

12 13 < vì 12.14 < 13.13 13 14 7 −10 và −4 3

Ta có:

Lời giải

7 −7 −10 = và −4 4 3

Vì ( −7 ) .3 > ( −10 ) .4 nên

7 −10 > −4 3

QU Y

Ta viết

PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG SỐ HOẶC PHÂN SỐ LÀM TRUNG GIAN 4.1. DÙNG SỐ 1 LÀM TRUNG GIAN ( Chuyên đề so sánh số, phân số).

Bài 1. So sánh các cặp phân số

KÈ

7 19 và . 9 17 8 2019 và . 7 2020

Lời giải a)

Ta có:

7 19 7 19 < 1 và > 1 nên < . 9 17 9 7

Ta có:

8 2019 8 2019 > 1 và < 1 nên > . 7 2020 7 2020

DẠ

3 −4 < do 3.5 < -4.(-4) −4 5

Ví dụ 4: So sánh

FI CI A

Ta viết

Lời giải

TOÁN 6

Bình luận:

FI CI A

số nhỏ hơn 1 và một phân số lớn hơn 1 thì chúng ta có đánh giá được ngay về hai phân số đó.

Bài toán tổng quát Cho a, b , m, n là các số tự nhiên khác 0 . So sánh hai phân số dàng đánh giá

a b+n và . Khi đó ta rất dễ a+m b

a b+n . <1< a+m b

19 2005 và . 18 2004

1011 2023 và . 1010 2021

ƠN

Bài 2. So sánh các cặp phân số

Một trong các phương pháp so sánh hai phân số là ta so sánh các phân số đó với số 1 , nếu một phân

1930 + 5 1931 + 5 và B = . 1931 + 5 1932 + 5

Lời giải Ta có:

19 1 2005 1 1 1 19 2005 và . Vì nên . = 1+ = 1+ > > 18 18 2004 2004 18 2004 18 2004

Ta có

1011 1 2023 2 1 2 2 1011 2023 và . Vì nên . = 1+ = 1+ = > > 1010 1010 2021 2021 1010 2020 2021 1010 2021

1931 + 5 + 90 1930 + 5 1931 + 95 90 = Theo giả thiết A = 31 suy ra 19 A = 31 . = 1 + 31 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5

QU Y

(

)

1932 + 5 + 90 1932 + 95 90 = Ta lại có 19 B = 32 . = 1 + 32 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 90 90 Vì 19 31 + 5 < 19 32 + 5 nên 31 . Suy ra 19 A > 19 B ⇔ A > B . > 32 19 + 5 19 + 5

)

KÈ

(

Bình luận:

a c a c và mà ta chỉ ra được = 1 + M ; = 1 + N trong đó b d b d

Một số bài toán so sánh hai phân số

M > N thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài toán dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong

DẠ

thực tế chúng ta thường gặp những bài toán khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân

số ban đầu.

HSG TOÁN 6

Bài toán tương tự

107 + 5 108 + 6 và B = 107 − 8 108 − 7

FI CI A

Bài tập 1: Cho hai phân số A = So sánh A và B .

Bài tập 2: Cho hai phân số A =

108 + 2 108 và . B = 108 − 1 108 − 3

Bài tập 3: Cho hai phân số A =

1920 + 5 1921 + 6 và B = . 1920 − 8 1921 − 7

So sánh A và B .

1010 + 1 1010 − 1 và B = . 1010 − 1 1010 − 3

ƠN

Bài tập 4: Cho hai phân số A =

Bài 3. So sánh các cặp phân số

72 98 và . 73 99

2017 1009 và . 2019 1010

QU Y

So sánh A và B .

2 2008 − 3 2 2007 − 3 và . B = 2 2007 − 1 22006 − 1

Lời giải

72 1 98 1 1 1 72 98 và nên = 1− = 1 − . Vì > < 73 73 99 99 73 99 73 99

Ta có

Theo giả thiết A =

KÈ

So sánh A và B .

2017 2 1009 1 1 2 2 2017 1009 và . Vì nên . = 1− = 1− = < < 2019 2019 1010 1010 1010 2020 2019 2019 1010

2 2008 − 3 1 22008 − 3 1 suy ra A = = 1 − 2008 . 2007 2008 2 −1 2 2 −2 2 −2

22007 − 3 1 22007 − 3 1 nên B = 2007 . = 1 − 2007 2006 2 −1 2 2 −2 2 −2 1 1 1 1 Vì 2 2008 − 2 > 2 2007 − 2 nên 2008 suy ra A > B ⇔ A > B < 2007 2 2 2 −2 2 −2

DẠ

Ta lại có B =

Bình luận: 19

TOÁN 6

Một số bài toán so sánh hai phân số

a c a c và mà ta chỉ ra được = 1 − M ; = 1 − N trong đó b d b d

M > N thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài toán dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong

FI CI A

thực tế chúng ta thường gặp những bài toán khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là

ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân số ban đầu.

Bài toán tương tự.

Bài 4. Cho hai phân số: A =

218 − 3 220 − 3 và B = . So sánh A và B . 220 − 3 222 − 3

Bài tập: Cho hai phân số A =

20082008 + 1 20082007 + 1 và B = . So sánh A và B . 20082009 + 1 20082008 + 1

ƠN

Lời giải

Cách 1: Với bài toán này chúng ta có thể làm theo phương pháp so sánh với số 1, cách làm tương

Ta có 2008 A =

tự bài số 2 như sau :

20082009 + 2008 20082009 + 1 + 2007 2007 = . = 1+ 2009 2009 2008 + 1 2008 + 1 20082009 + 1 20082008 + 2018 20082008 + 1 + 2017 2017 = . = 1+ 2008 2008 2008 + 1 2008 + 1 20082008 + 1

QU Y

Ta lại có 2018 B =

Vì 22009 + 1 > 22008 + 1 nên

2017 2017 suy ra 2018 A < 2018B ⇔ A < B . < 2008 2009 2 +1 2 +1

Ngoài ra bài toán này có thể giải bằng các cách sau:

a a a+c < 1 thì . < b b b+c

+) Nếu

a a a+c > 1 thì > . b b b+c

KÈ

+) Nếu

Cách 2: Với mọi số tự nhiên a, b, c ≠ 0, ta chứng minh được:

DẠ

Áp dụng tính chất trên vào bài, ta có: Vì A =

20082008 + 1 20082009 + 1 < = 1 nên 20082009 + 1 20082009 + 1

FI CI A

2018 ( 20082007 + 1) 20082007 + 1 20082008 + 1 20082008 + 1 + 2017 A= < = = = B. 20082009 + 1 20082009 + 1 + 2017 20082008 + 1 2018 ( 20082008 + 1) Vậy A < B

Cách 3: Ta có:

1 20082009 + 1 20082009 + 2008 − 2007 = = A 20082008 + 1 20082008 + 1

1 20082008 + 1 20082008 + 2008 − 2007 = = B 20082007 + 1 20082007 + 1

2008.(20082007 + 1) − 2007 2007 = 2008 − 2007 2008 + 1 20082007 + 1

Vì 2008 2008 + 1 > 2008 2007 + 1 nên

2007 2007 1 1 . Do đó > ⇔ A 0 ). > 2008 − 2008 2008 A B 2008 + 1 2008 + 1

Cách 4: Quy đồng

2008

+ 1)( 20082008 + 1) − ( 20082009 + 1)( 20082007 + 1)

( 2008

20084016 + 2.20082008 + 1 − ( 20084016 + 20082009 + 20082007 + 1)

( 2008

KÈ

20082008 + 1 20082007 + 1 ( 2008 − = 20082009 + 1 20082008 + 1

Ta có: A − B =

2007 2007 < 2008 2008 + 1 20082008 + 1

QU Y

Suy ra 2008 −

ƠN

Ta lại có:

2008.(20082008 + 1) − 2007 2007 = 2018 − 2008 2008 2008 +1 2008 + 1

2009

+ 1)( 20082008 + 1)

2009

Cho hai phân số: A =

an + b a n +1 + b và B = . So sánh A và B . a n +1 + b a n+2 + b

Bài toán tương tự.

Bài tập 1: Cho hai phân số A =

1019 + 1 1020 + 1 và B = . 10 20 + 1 1021 + 1

+ 1)( 20082008 + 1)

20082007 ( 2.2008 − 20082 − 1)

Bài toán tổng quát

DẠ

HSG TOÁN 6

( 2008

2009

+ 1)( 20082008 + 1)

TOÁN 6

So sánh A và B .

1015 + 1 1016 + 1 và . B = 1016 + 1 1017 + 1

FI CI A

Bài tập 2: Cho hai phân số A = So sánh A và B .

Bài tập 3: Cho hai phân số A =

20092008 + 1 2009 2009 + 1 và B = . 2009 2009 + 1 2009 2010 + 1

1019 + 1 1020 + 1 Bài tập 4: Cho hai phân số A = 20 và B = 21 . 10 + 1 10 + 1 So sánh A và B .

Dạng 2. + So sánh hai phân số

ƠN

4.2 Dùng một phân số làm trung gian

So sánh A và B .

a c và ;( a, b, c, d > 0) b d

Nếu a < c còn b > d (hoặc a > c còn b < d ) thì ta có thể chọn phân số trung gian là

Bài 1: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất.:

c a (hoặc ) b d

40 41 và 57 55

QU Y

Phân tích: Ta có tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai ( 40 < 41 ); Mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai (57 > 55).

Lời giải.

Vậy

40 41 41 41 mà < < 57 57 57 55

KÈ

Ta có:

41 57

Chọn phân số trung gian là

40 41 . < 57 55

Đôi khi bài toán không cho ta nhìn thấy ngay phân số trung gian mà phải biến đổi chúng về

DẠ

các phân số tương đương có tính chất như trên. Các bạn có thể tham khảo một trong những cách biến đổi nó như sau:

+ Nếu hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số

phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp

HSG TOÁN 6

1 2 ; ;... thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số 2 3

2 hoặc 3 lần,…hay bằng

FI CI A

lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất”. Các bạn lưu ý đây không phải là các tối ưu có thể áp dụng trong các trường hợp mà chỉ là một cách để tham khảo. Bài 2: So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất.

67 15 và 101 29

Ta so sánh

60 67 và . Ta thấy 60 < 67; 116 > 101 116 101

Chọn phân số trung gian là

Ta có

60 101

60 60 60 67 15 67 . Vậy < ; < < 116 101 101 101 29 101

a a+m a <1 thì chọn phân số trung gian là (m>0) sao cho b b+m b

QU Y

+ Sử dụng tính chất với a, b,c, d >0 và <

ƠN

15 15 × 4 60 = = 29 29 × 4 116

Ta có:

Lời giải:

a+m < b+m

Bài 3: So sánh hai phân số sau:

33 15 và 101 29

Nếu theo cách trên các bạn sẽ có: Hiệu giữa hai mẫu số là: 101 – 29 =72

KÈ

Hiệu giữa hai tử số là: 33-15 = 18 Tỉ số giữa hiệu của hai mẫu số và hiệu của hai tử số là: 72 : 18 = 4

Nhân cả tử số và mẫu số của phân số

DẠ

số của hai phân số là nhỏ nhất. Ta có:

Khi đó việc so sánh hai phân số

15 với 4 để có hiệu hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu 29 15 15 × 4 60 = = 29 29 × 4 116

33 15 60 33 và thành so sánh và 101 29 116 101 23

TOÁN 6

33 33 + 15 48 60 < , suy ra < 1 , nên ta chọn phần tử trung gian là = 101 101 + 15 116 116

Vì

FI CI A

33 33 + 15 60 < < . 101 101 + 15 116

Nếu các bài toán so sánh sử dụng phương pháp tìm phần tử trung gian chỉ đơn giản như các ví dụ

phía trên thì thật là nhàm chán. Chúng ta có thể mở rộng hay nói vui là nâng cấp bài toán sử dụng

phương pháp dùng phần tử trung gian để nó trở lên hấp dẫn hơn. Chúng ta có thể sử dụng một trong

các cách sau. (Tuy nhiên, tác giả mong muốn trước khi xem lời giải thì người đọc tự giải thử trước).

Bài 4:: So sánh

ƠN

2015 2013 2011 2016 2014 2012 và + + + + 2020 2018 2016 2019 2017 2015

Phân tích: Chắc chắn sẽ không ai ngốc nghếch đến mức quy đồng rồi so sánh. ^_^. Nhiều bạn sẽ sử

dụng phần bù vì nhìn thấy quy luật của hiệu giữa tử và mẫu nhưng mình thấy cách đó dài hơn. Vậy nên chúng ta sử dụng kết hợp tính chất a1 > b1 ; a2 > b2 ;....; an > bn thì

a1 + a2 + a3 + ... + an > b1 + b2 + b3 + ... + bn và phân số trung gian.

Ta so sánh

QU Y

Lời giải:

2015 2016 2013 2014 2011 2012 và ; và ; và 2020 2019 2018 2017 2016 2015

Ta thấy đã xuất hiện dạng bài dùng phân số trung gian

2015 2016 2015 2015 2015 2016 và chọn làm phân số trung gian. Dễ thấy (1) < < 2020 2019 2019 2020 2019 2019

KÈ

2013 2014 2013 2013 2013 2014 và chọn làm phân số trung gian. Dễ thấy (2) < < 2018 2017 2017 2018 2017 2017

2011 2012 2011 2011 2011 2012 và chọn làm phân số trung gian. Dễ thấy (3) < < 2016 2015 2015 2016 2015 2015

DẠ

Từ (1), (2), (3) ta có

2015 2013 2011 2016 2014 2012 < . + + + + 2020 2018 2016 2019 2017 2015

Để tăng độ khó hơn một ít, chúng ta có thể mở rộng bài này thêm một chút

HSG TOÁN 6

Bài 5:: Chứng mình rằng

FI CI A

2011 2007 2003 503 502 501 < + + + + 2020 2018 2016 504 503 502

Phân tích: Ta đưa bài toán về bài toán so sánh 2011 2007 2003 503 502 501 và (I) + + + + 2020 2018 2016 504 503 502

Ta chia thành các cặp 2011 503 2007 502 2003 501 và ; và ; và 2020 504 2018 503 2016 502

ƠN

Hiệu giữa các mẫu số của phân sô bên vế trái lớn hơn nhiều so với mẫu số của các phân số bên vế phải. Vậy để đưa về dạng có thể tìm được phần tử trung gian thì ta phải nhân vào cả tử và mẫu của vế phải một số để cho hiệu giữa các mẫu của phân số bên vế trái và mẫu của các phân số bên vế

phải là nhỏ nhất.

Lời giải:

503 502 501 4 503 502 501 4 × 503 4 × 502 4 × 501 2012 2008 2004 = + + = ×( + + )= + + + + 504 503 502 4 504 503 502 4 × 504 4 × 503 4 × 502 2016 2012 2008

(I)

QU Y

Ta xét

Trở thành so sánh

2011 2007 2003 2012 2008 2004 và + + + + 2020 2018 2016 2016 2012 2008

2011 2012 2007 2008 2003 2004 và ; và ; và 2020 2016 2018 2012 2016 2008

Khi đó:

2011 2007 2003 2011 2007 2003 2012 2008 2004 503 502 501 < < = + + + + + + + + 2020 2018 2016 2016 2012 2008 2016 2012 2008 504 503 502

KÈ

(ĐFCM)

So sánh

Chúng ta lại có thể tăng thêm độ khó 1 chút. Ví dụ như bài sau:

Bài 6:: So sánh

DẠ

899 895 225 299 và + + 999 997 249 332

Hướng dẫn:

225 nhân cả tử và mẫu với 2 249

Phân số

299 nhân cả tử và mẫu với 3. 332

FI CI A

Phân số

TOÁN 6

Bài 7:: So sánh 20082008 + 1 20082007 + 2 A= và B = 20082009 + 1 20082008 + 1

Ta xét

Lời giải:

20082008 + 1 20082008 + 1 + 2007 20082008 + 2008 20082007 + 1 20082007 + 2 < = = < 20082009 + 1 20082009 + 1 + 2007 20082009 + 2008 20082008 + 1 20082008 + 1

a n −1 + k an + m và , với k > m an + m a n +1 + m

So sánh

ƠN

Tổng quát:

Ta có

QU Y

an + m a n + m + m.a − m a n + m.a a n −1 + m a n −1 + k < = = < n a n +1 + m a n +1 + m + m.a − m a n +1 + m.a a n + m a +m

+ Sử dụng tính chất với a, b,c, d >0 và >

a+m > b+m

a a+m a >1 thì chọn phân số trung gian là (m>0) sao cho b b+m b

Bài tập tương tự

KÈ

Bài tập 1: So sánh

899 895 225 223 và + + 999 997 249 247

Một số cách mở rộng khác:

DẠ

Bài 7:: So sánh 1 1 1 1 50 và + + + ... + 2.4 4.6 6.8 98.100 198

HSG TOÁN 6

Ta có

49 50 và 200 198

Chọn phân số trung gian là

Vậy

49 49 49 50 , khi đó: < < 198 200 198 198

1 1 1 1 50 < + + + ... + 2.4 4.6 6.8 98.100 198

ƠN

Bài tập tương tự Bài tập 1: So sánh

1 1 1 1 1 1 1 + + + ) và B= + + ... + 256 289 324 361 101 102 200 1 1 1 61 + + ... + và 31 32 90 89

QU Y

Bài tập 2: So sánh

A= 141× (

Bài 3: Cho tổng A=

So sánh

FI CI A

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98 49 + + + ... + = × ( − + − + .... + − ) = ×( − )= = 2.4 4.6 6.8 98.100 2 2 4 4 6 98 100 2 2 100 400 200

1 1 1 1 1 . So sánh A với + 3 + 3 + ... + 3 2 +3 3 +4 4 +5 2018 + 2019 6 3

4.3.dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian. 12 19 ? và 47 77

KÈ

Bài tập 1: So sánh Hướng dẫn

DẠ

1 Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là . 4 Ta có :

12 12 1 19 19 1 12 19 > = và < =  > 47 48 4 77 76 4 47 77

Bài tập 2: Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :

Lời giải:

TOÁN 6

58 36 và 89 53

18 26 và 53 78

13 34 25 74 và f) và 79 204 103 295

58 36 . và 63 55

12 19 và 37 54

11 16 và 32 49

FI CI A

PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng tính chất sau với m ≠ 0 :

a a a+m =1 = . b b b+m

a a a+m a a−m >1 > ; < b b b+m b b−m

a c a+c * = = . b d b+d

1011 − 1 1010 + 1 và B = ? 1012 − 1 1011 + 1

Hướng dẫn

1011 − 1 < 1 (vì tử < mẫu)  1012 − 1

KÈ

Vậy A < B .

1011 − 1 (1011 − 1) + 11 1011 + 10 1010 + 1 < = = =B 1012 − 1 (1012 − 1) + 11 1012 + 10 1011 + 1

Ta có : A =

QU Y

Bài tập 1: So sánh A =

ƠN

a a a+m a a−m <1 < ; > b b b+m b b−m

*0 <

Hướng dẫn

Bài tập 2: So sánh M =

2004 2005 2004 + 2005 + ? và N = 2005 2006 2005 + 2006

Hướng dẫn

DẠ

2004 2004  > 2005 2005 + 2006  Ta có :  => Cộng theo vế ta có kết quả M > N. 2005 2005  > 2006 2005 + 2006 

HSG TOÁN 6

37 3737 và ? 39 3939

Hướng dẫn 37 3700 3700 + 37 3737 a c a+c = = = .) (áp dụng = = 39 3900 3900 + 39 3939 b d b+d

Phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì phân số đó lớn hớn

PHƯƠNG PHÁP 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh

Hai phân số có cùng phân nguyên thì so sánh các phân số kèm theo. 5 12 vµ 8 15

ƠN

Bài 1: So sánh các phân số sau Lời giải

Ta cã 12 = 0,8 15 5 12 V × 0,625 < 0,8 nª n < 8 15

QU Y

5 = 0, 625; 8

Bài 2: So sánh các phân số sau Lời giải Ta cã

4 = −0,8 −5 3 4 V × − 0, 75 > -0,8 nª n > −4 −5

KÈ

3 = − 0, 75; −4

3 4 vµ −4 −5

Bài 3: So sánh các phân số sau 2003.2004 − 1 2004.2005 − 1 và B = 2003.2004 2004.2005

DẠ

Lời giải Ta có :

FI CI A

Bài tập 3: So sánh

TOÁN 6

A = 1+

−1 −1 −1 −1 , B = 1+ , Mà: < => A < B 2003.2004 2004.2005 2003.2004 2004.2005

2 2010 + 1 2 2012 + 1 và B = 22007 + 1 2 2009 + 1

b, A =

3123 + 1 3122 và B = 3125 + 1 3124 + 1

Lời giải

22012 + 23 − 7 7 = 23 − 2009 2009 2 +1 2 +1

Vậy B > A

1 8 1 125 8 8 + 3 + 1) + 2 2 ( 1 3 9=3 9= + 9 3125 + 1 3125 + 1 32 3125 + 1

Tương tự : B =

8 9

1 + 32 3124 + 1

Vậy, A < B

Lời giải Ta có :

a −1 b +1 với a, b là số nguyên cùng dấu và a ≠ b vµ a b

QU Y

Bài 5 : So sánh phân số :

b,Ta có : A =

ƠN

3123 +

22010 + 23 − 7 7 = 23 − 2002 2007 2 +1 2 +1

a, Ta có : A =

FI CI A

a) A =

Bài 4: So sánh các phân số sau

a −1 1 b +1 1 = 1 − vµ = 1+ a a b b

1 1 a −1 b + 1 > 0 vµ > 0  < a b a b

KÈ

*Nếu a > 0 và b > 0 thì

*Nếu a < 0 và b < 0 thì

Bài 6 : So sánh A =

1 1 a −1 b + 1 < 0 vµ < 0  > a b a b

2006 2007 2008 2009 với B=4 + + + 2007 2008 2009 2006

DẠ

Lời giải Ta có : A=

2007 − 1 2008 − 1 2009 − 1 2006 + 3 1 1 1 1 1 1 + + + = 4+ − + − + − >4 2007 2008 2009 2006 2006 2007 2006 2008 2006 2009 30

HSG TOÁN 6

Suy ra A > B

Dạng 3. III.CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP S=

1 1 1 1 1 1 + + + + vớ i 5 9 10 41 42 2

FI CI A

Bài 1. So sánh tổng Lời giải

Suy ra S =

1 1 1 1 1 1 1 1 4 + 5 +1 1 + + + + < + + = = 5 9 10 41 42 5 4 20 20 2

1 1 1 1 1 1 vớ i + + + + 7 13 25 49 97 3

b) B =

1 1 1 1 1 1 vớ i + + + ... + + 11 12 13 19 20 2

b) So sánh U =

1.3.5.7.....39 1 và V = 20 21.22.23.24.....40 2 −1

Lời giải

31 32 33 60 31.32.33....60 (31.32.33.....60).(1.2.3....30) . . .... = = 2 2 2 2 230 230.(1.2.3....30)

(1.3.5....59).(2.4.6....60) = 1.3.5....59 = Q 2.4.6....60

KÈ

31 32 33 60 và Q = 1.3.5.7....59 ? . . .... 2 2 2 2

QU Y

Bài 2. a)So sánh P và Q, biết rằng: P =

a) A =

ƠN

Bài toán tương tự: Không tính ra kết quả cụ thể hãy so sánh :

a) P =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + < + = và + < + = 9 10 8 8 4 41 42 40 40 20

Vậy P = Q

b) Ta có :

1.3.5.7.9.11.13.15.17.19.21.23.25.27.29.31.33.35.37.39 21.2.11.23.3.23.25.2.13.27.22.7.29.2.15.31.25.33.2.17.35.22.9.37.2.19.39.23.5

DẠ U=

1 1 = 20 5 2 3 2.2 .2.2 .2.2 .2.2 .2.2 2 3

TOÁN 6

1 1 U <V < 20 20 2 2 −1

1   1  11  1  1  d) So sánh : D =  1 −   1 −   1 −  ...  1 −  với 9  4   9   16   100 

b) So sánh : B = 1 +

1 1 1 1 1 1 1 − 4 + ... + 4 n − 2 - 4 n + ... + 98 - 100 với 2 10 3 3 3 3 3 3

Bài 3. a) So sánh A =

FI CI A

1 1   1  1  1   Bài toán tương tự: c) So sánh : C = 1 −  1 −  1 −  ... 1 −  với 21  2   3   4   20 

Vì

2 3 4 2014 2015 + 2 + 3 + ... + 2013 + 2014 vói 4 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 − 4 + ... + 4 n − 2 - 4 n + ... + 98 - 100 2 3 3 3 3 3 3

9A + A = 1−

b) Đặt S =

3 4 2014 2015 3 4 2014 2015 + 3 + ... + 2013 + 2014 Ta có : 2 S = + 2 + ... + 2012 + 2013 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 4−3 5−4 2015 − 2014 2015 + 2 + 3 + ... + − 2014 2 2 2 22013 2

2S − S =

1 1 < 1  10 A < 1  A < 3 10 100

KÈ 1

DẠ

2013

−

= 2−

1 2

2013

. Do đó :

2015 2 3 4 2014 2015 < 2  1 + + 2 + 3 + ... + 2013 + 2014 < 4 . Vậy A < 4 2014 2 2 2 2 2 2

Bài 4 a) So sánh

b) Cho A =

1  2015  1 1  S =  1 + + 2 + ... + 2013  − 2014 2  2  2 2

2014

1 1−   1 1 1 2 Ta có : 1 + + 2 + ... 2013 =   1 2 2 2 1− 2 S = 2−

1 1 1 1 1 + ... + 4 n − 4 − 4 n − 2 + 96 − 98 2 3 3 3 3 3

 9A = 1−

QU Y

a) A =

ƠN

Lời giải

1 1 1 1 với 1 + 2 + 2 + ... + 2 2 3 4 1002

1 1 1 1 2 8 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh : < A < . 2 2 3 4 9 5 9 32

HSG TOÁN 6

3 8 15 2499 ( B có 49 số hạng ). So sánh B với 48 . + + + ... + 4 9 16 2500

FI CI A

Lời giải

c) Cho B =

a) Ta có

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < = 1− , 2 < = − , 2 < = − , ..., < = − 2 2 2 1.2 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 100 99.100 99 100

Do đó :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + 2 + 2 + ... + < 1 − + − + − + ... + − = 1− = < 1. 2 2 2 3 4 100 2 2 3 3 4 99 100 100 100

 A>

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = − + − + − + ... + − 2.3 3.4 4.5 9.10 2 3 3 4 4 5 9 10

1 1 4 2 − = = (1) 2 10 10 5

Mặt khác : A <

 A <1−

b) Ta có : A >

ƠN

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + < 1. 2 2 3 4 1002

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = 1 − + − + − + ... + − 1.2 2.3 3.4 8.9 2 2 3 3 4 8 9

QU Y

Vậy

1 8 2 8 = (2) . Từ (1) và (2) suy ra: < A < 9 9 5 9

8 15 2499  1   3 1 1 1 c) Ta có : B − 49 = − 1 − + 1 − + 1 − + ... + 1 −  = −  + + + ... +  9 16 2500  2500   4  4 9 16

KÈ

1  1 1 1 B = 49 −  + + + ... +  = 49 − C . 2500   4 9 16

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = 2 + 2 + 2 + ... + 2 4 9 16 2500 2 3 4 50

Xét C =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = 1 − + − + − + ... + − = 1− <1 1.2 2.3 3.4 49.50 2 2 3 3 4 49 50 50

DẠ

C < 1  49 − C > 49 − 1 = 48  B > 48 .

TOÁN 6

2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 và Q = + + 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013

Bài 5. So sánh P và Q . Biết P =

FI CI A

Lời giải: Ta có: Q=

2010 + 2011 + 2012 2010 2011 2012 = + + 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013

Vì :

2010 2010 2011 2011 2012 2012 , , > > > 2011 2011 + 2012 + 2013 2012 2011 + 2012 + 2013 2013 2011 + 2012 + 2013

ƠN

Do đó : P > Q Cách 2: Có thể so sánh với 1

2006 2007 2008 2009 với 4 + + + 2007 2008 2009 2006

Bài toán tương tự: So sánh : D =

1 1 1 1 1 Bài 6. Cho A = + + + ... + + . So sánh A với 2 . 3 4 5 31 32

QU Y

Lời giải: 1 1 1 1 1 + + + ... + + 3 4 5 31 32

1 1 1 1 1  1 1   1 1  1 1 1 =  +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  8 9 12   13 18   19 27   28 32  3 4 5

1 1 1 1 1 5 5 + + + + + =2+ 2 2 3 3 3 32 32

KÈ

1 1 1 1 1 1 > 2. + 4. + 4. + 6. + 9. + 5. 4 8 12 18 27 32

DẠ

Bài 7. So sánh A =

20192019 + 2 20192018 + 2 và . B = 20192020 + 1 20192019 + 1

Lời giải: 2019 A =

20192019 + 4038 4037 2019 2020 + 4038 4037 = 1 + ; 2019 B = = 1+ . 2020 2020 2019 2019 + 1 2019 + 1 2019 + 1 20192019 + 1 34

HSG TOÁN 6

4037 4037 nên 2019 A < 2019 B . Vậy A < B . < 2020 2019 + 1 20192019 + 1

1 1 1 1 1 Bài 8. Cho A = + 2 + 3 + ... + 99 . Chứng tỏ A < . 3 3 3 3 2

Lời giải:

Bài 9. Cho a , b , c là các số tự nhiên khác 0 và M =

Lời giải:

a b c a b c + + > + + = 1 (1) b+c c+a a+b a+b+c a+b+c a+b+c

a b c . Chứng tỏ M không có giá + + b+c c+a a+b

ƠN

trị là số tự nhiên.

1 1 1 1 1 1 3 A = 1 + + 2 + 3 + ... + 98  2 A = 3 A − A = 1 − 99 < 1  A < 3 3 3 3 3 2

FI CI A

Vì

Mặc khác: sử dụng tính chất nếu 0 < x < y , z > 0 thì

a b c a+a b+b c+c + + < + + = 2 (2) b+c c+a a+b b+c+a c+a+b a+b+c

QU Y

Khi đó M =

x x+z < . y y+z

1 2 3 4 2019 2020 + 2 + 3 + 4 ... + 2019 + 2020 . Chứng minh A < 2 . 2 2 2 2 2 2

Lời giải:

KÈ

Bài 10. Cho A =

Từ (1) và (2): 1 < M < 2 . Vậy M không có giá trị là số tự nhiên.

Nhận xét: Với n ≥ 2 thì

1 2 3 4 2019 2020 + 2 + 3 + 4 ... + 2019 + 2020 2 2 2 2 2 2

DẠ

n 2n + 2 − ( n + 2 ) n + 1 n + 2 = = n −1 − n . 2n 2n 2 2

1 3 4   4 5   5 6   2020 2021   2021 2022  +  − 2  +  2 − 3  +  3 − 4  + ... +  2018 − 2019  +  2019 − 2020  2 2 2  2 2  2 2  2 2 2  2 

TOÁN 6

Bài 11. Cho A =

1 3 2022 2022 + − 2020 = 2 − 2020  A < 2 2 2 2 2 1 2 3 11 1 + 3 + 4 + ... + 12 . Chứng minh A < . 2 5 5 5 5 16

FI CI A

Lời giải: 1 2 3 11 + 2 + 3 + ... + 11 5 5 5 5 4 A = 5A − A =

1 1 1 1 1 11 + + + ... + 10 + 11 − 12 5 52 53 5 5 5

5A =

Vậy A <

1 11 11 + − <1 511 512 511

16 A = 20 A − 4 A = 1 − 1 . 16

1 1 1 1 1 1 . Chứng minh < B < . + + + ... + 52 6 2 7 2 1002 6 4

QU Y

Bài 12. Cho B =

ƠN

1 1 1 11 20 A = 1 + + 2 + ... + 10 − 11 5 5 5 5

Lời giải:

1 1 1 1 1 1 1 + + + ... +  B= − < 4.5 5.6 6.7 99.100 4 100 4

1 1 1 1 + + + ... + 5.6 6.7 7.8 100.101

1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + ... + − 5 6 6 7 7 8 100 101

KÈ

B>

1 1 1 − > 5 101 6

DẠ

Vậy B >

HSG TOÁN 6

FI CI A

1 1 1 1 + 2 + 2 +⋯ + <1 2 2 3 4 1002

Chứng minh rằng

PHẦN II.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG TOÁN 6 Bài 1. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 11)

Lời giải

Bài 2.

ƠN

1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 +⋯+ < + + +⋯ + 2 2 1.2 2.3 3.4 99.100 2 3 4 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 99 = 1− + − + − +⋯ + − = 1− = < 1. 2 2 3 3 4 99 100 2 100 (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12)

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < 2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 < 3 3 16 3 3 3 3 Lời giải

Chứng minh rằng: a)

Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − ;...; < = − < = − ; 2 < = − ; 2 < Vậy 2 2 3.4 3 4 100 99.100 99 100; 2 1.2 1 2 3 2.3 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − 2 + 3− 4 + 5 − 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2

 2A= 1 −

1 1 1 1 1 + 2 − 3+ 4 − 5 2 2 2 2 2

 2A+A =3A = 1-

QU Y

a) Đặt A=

1 26 − 1 = <1 26 26

1 3

KÈ

 3A < 1  A < b) Đặt A=

2 3 3 4 99 100 − 2 + 3 − 3 + ... + 98 − 99 3 3 3 3 3 3

3A= 1-

1 2 3 4 99 100 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 3 3 3 3 3 3

DẠ

1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1  4A = 1- + 2 − 3 + ... + 98 − 99 − 100  4A< 1- + 2 − 3 + ... + 98 − 99 (1) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- + 2 − 3 + ... + 98 − 99  3B= 2+ − 2 + ... + 97 − 98 3 3 3 3 3 3 3 3 3

TOÁN 6

1 3 <3B< (2) 99 4 3 3 3 Từ (1)và (2)  4A < B < A< 4 16 Bài 3. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 14)

FI CI A

Chứng minh rằng

4B = B+3B= 3-

1 1 1 1 + 3 + 4 + ... + n < 1 . 2 2 2 2 2

Lời giải

1 1 1 1 1 1 1 1 < 1 − ; 2 < − ;...; 2 < − . 2 2 2 3 2 3 n n −1 n 1 1 1 1 1  2 + 3 + 4 + ... + n < 1 − < 1. 2 2 2 2 n Bài 4. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12)

1 1 1 1 < = − . 2 n n ( n − 1) n − 1 n

Ta có :

ƠN

Áp dụng :

a a ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ? b b Theo bài toán cho a <b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m)

Lời giải

 a(b+m) < b( a+m) a a+m  < b b+m

Bài 5.

QU Y

 ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab)

Cho phân số

(ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12)

Chứng tỏ rằng:

1 1 1 1 1 7 + + + …+ + > 41 42 43 79 80 12

Lời giải

1 1 đến có 40 phân số. 41 80

Ta thấy:

KÈ

1 1 1 1 1 1 + + + ...... + + + 41 42 43 78 79 80

Vậy

1 1   1 1 1 1   1 1 + ...... + +  +  + + ... + +  =  + 59 60   61 62 79 80   41 42 1 1 1 1 1 1 > . > …..> và > >…> 41 42 60 61 62 80

DẠ

Vì

Ta có

(1) (2)

1 1 1   1 1 1 1  1  + + ... + +  +  + + ... + +  60 60   80 80 80 80   60 60

HSG TOÁN 6

20 20 1 1 4 + 3 7 + = + = = 60 80 3 4 12 12

(3)

1 1 1 1 1 1 7 + + + ...... + + + > 41 42 43 78 79 80 12 Bài 6.

(Đề thi HSG 6)

Chứng minh các phân số sau đây bằng nhau:

25 2525 252525 ; ; . 53 5353 535353

Lời giải 2525 25.101 25 = = 5353 53.101 53

ƠN

252525 25.10101 25 = = 535353 53.10101 53 25 2525 252525 . = = 53 5353 535353

Bài 7.

(Đề thi HSG 6)

Không quy đồng mẫu hãy so sánh hai phân số sau:

Lời giải

(1)

37 30 377 300 và 1 − = = 67 67 677 677

(2)

Từ (1) và (2) 

377 37 . > 677 67

(Đề thi HSG 6) 2005 2005 + 1 2005 2004 + 1 So sánh: A = và B = . 2005 2006 + 1 2005 2005 + 1

KÈ

Bài 8.

QU Y

300 300 300 30 30 300 mà > =  > 670 677 670 67 67 677 Ta có : 1 −

37 377 và . 67 677

Vậy

FI CI A

Từ (1) , (2), (3) Suy ra:

Lời giải

2005 2005 + 1 2005 2005 + 1 + 2004 2005( 2005 2004 + 1) 2005 2004 + 1 < = = = B. 2005 2006 + 1 2005 2006 + 1 + 2004 2005( 2005 2005 + 1) 2005 2005 + 1

DẠ

Vậy A < B.

Bài 9.

(Đề thi HSG 6) 20062005 + 1 2006 2006 + 1 So sánh: A = và B = . 20062006 + 1 2007 2007 + 1 Lời giải 39

TOÁN 6

20062006 + 2006 2006(20062005 + 1) 20062005 + 1 = = =B 20062007 + 2006 2006(20062006 + 1) 20062006 + 1

FI CI A

2006 2006 + 1 20062006 + 1 + 2005 a a a+n < < 1 thì < (n ∈ N * ) A = b b b+n 20062007 + 1 2006 2007 + 2005 + 1

Ta có nếu

Vậy A < B.

Bài 10. (Đề thi HSG 6) So sánh các biểu thức : a. 3200 và 2300 . 121212 2 404 10 với B = . + − 171717 17 1717 17

b. A =

Lời giải a.Ta có : 3200 =(32)100 = 9100

ƠN

2300 =(23)100 =8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300

121212 2 404 121212 : 10101 2 404 : 101 + − + + − 171717 17 1717 171717 : 10101 17 1717 : 101

 A=

12 2 4 12 + 2 − 4 + − = 17 17 17 17

Bài 11. Cho:

10 10 hay A = B = 17 17 .

QU Y

Vậy A =

b. A =

(Đề thi HSG 6) 102001 + 1 102002 + 1 A= 2002 ; B = 2003 .Hãy so sánh A và B. 10 + 1 10 + 1

Lời giải

10 2002 + 10 9 = 1 + 2002 2002 10 + 1 10 + 1

KÈ

Ta có: 10A = Tương tự:

10B =

102003 + 10 9 = 1 + 2003 2003 10 + 1 10 + 1

Từ (1) và (2) ta thấy :

(1)

9 2002

+ 1 10

9 2003

(2)

 10A > 10B  A > B.

DẠ

Bài 12.

a) So sánh phân số:

15 25 V ới 301 499

b) So sánh tổng S =

1 2 3 n 2007 + 2 + 3 + ... + n + ... + 2007 với 2. ( n ∈ N*) 2 2 2 2 2 40

HSG TOÁN 6

Lời giải

15 25 Với 301 499

15 15 1 25 25 15 25 . Vậy < < = = < 301 300 20 500 499 301 499 b) So sánh tổng S =

n n +1 n + 2 = n +1 − n . Từ đó ta có: n 2 2 2

Với ∀ n ≥ 2 ta có: S=

1 2 3 n 2007 + 2 + 3 + ... + n + ... + 2007 với 2. ( n ∈ N*) 2 2 2 2 2

FI CI A

a) So sánh phân số:

1 3 4 4 5 2008 2009 2009 + ( − 2 ) + ( 2 − 3 ) + ..... + ( 2006 − 2007 ) = 2 − 2007 < 2 . Vậy S < 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Bài 13. 3 8 9999 với số 99 + + ... + 4 9 10.000

ƠN

So sánh giá trị của biểu thức: A =

Lời giải

Biến đổi: 1 1 1 A = (1 − ) + (1 − ) + ... + (1 − ) 4 9 10000 1 1 1 ) + (1 − 2 ) + ... + (1 − ) 2 2 3 100 2

= 99 - (

1 1 1 + 2 + ... + ) = 99 - B 2 2 3 1002

Trong đó B = (

QU Y

= (1 −

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + ) 2 2 3 4 100 2

Bài 14.

và 3 2

KÈ

So sánh 2 số: 22

Vì B > 0 nên A < 99

Lời giải

Ta có 32 = 38 = 94 > 84 = 212 > 210

Từ đó:

DẠ

Suy ra: 23

> 22 = 22..2 = 42 > 32 = 32

> 32

Bài 15. Chứng minh rằng: A =

1 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 99 < 3 3 3 3 2

TOÁN 6

Lời giải

Nên 3A - A = 1 Hay 2A = 1 -

1 399

1 1 1 1  A= − < 99 99 3 2 2. 3 2

1 2

Bài 16. Số 250 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số ?

Lời giải

ƠN

10n −1 ≤ a ≤ 10n

Nhận xét: Số a có n chữ số khi và chỉ khi:

Ta thấy: 250 = 216 . 234 = 216 . (29 )3 . 27 = 216 . 5123 . 128

= 216 . 6254

Từ (1) và (2) suy ra: 2 50 < 1016

Mặt khác: 2 50 = 215 . 235 = 215 . (2 7 ) 5 = 215 . 1285

1015 = 215 . 515 = 215 . (53 )5 = 215. 1255

(3)

(4)

1015 < 2 50

QU Y

Từ (3) và (4) suy ra:

(1)

(2)

1016 = 216 . 516 = 216 . (5 4 ) 4

Vậy A <

1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 98 3 3 3 3

FI CI A

Ta có: 3A = 1 +

Vậy ta có: 1015 < 2 50 < 1016 ; Nên số 250 có 16 chữ số viết trong hệ thập phân

Bài 17.

Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:

Lời giải

31 + 9a 32 − 1 + 8a + a ∈ N  (a-1) ⋮ 8  a = 8q + 1(q ∈ N) = 8 8

KÈ

8b - 9a = 31  b =

11 a 23 và 8b - 9a = 31 < < 17 b 29

31 + 9(8q + 1) = 9q + 5 8



11 8q + 1 23 < < 17 9q + 5 29

11(9q+5) < 17(8q+1)  37q > 38  q > 1

DẠ

29(8q+1) < 23(9q+5)  25q < 86  q < 4  q ∈ {2; 3} q=2

a 23 a 32 q=3 = . = b 17 b 25

HSG TOÁN 6

Bài 18.

Chứng minh rằng: 21995 < 5863

FI CI A

Lời giải Có: 210 =1024, 55 =3025  210. 3 <55  21720. 3172 <5860 Có 37 =2187; 210 =1024  37 >211 3172 = (37)24. 34 > (211)24 > (211). 26 = 2270

 21720.2270 < 21720. 3172 < 5860 Vậy 21990 <5860 Mà 25 < 53  21995 <5863. Chứng minh rằng: 2 1993 < 7 714 Lời giải

( )

238

< 3238 . 73

Mặt khác 3238 = 33 .3235 = 33 . ( 35 ) < 33 ( 28 )

238

 22380 < 3238 .7 714

< 25.2376 = 2381  3238 < 2381

1994 − 4b a 1994 − 4b 4 1994 − 4b 2 1994 − 4b 14  =  < < 4< < 7 b 7b 7 7b 3 b 3

QU Y

7 a + 4b = 1994  a =

( )

10 2 = 1025  210 < 3.73  210  3 7 = 343 28 = 256  35 < 28  5 3 = 243

ƠN

Bài 19.

1994 1994 1 1994  b − 4 > 4  b > 8  b < 8  b < 294 4  1994 14 1994 26 1  −4<  >  b > 230  3 3 13 b b

 231 < b < 249

KÈ

7 a + 4b = 1994  4b = 7 k + 6 ( k ∈ N )  b =

7k + 6 ; b ∈ N  k = 4l + 2 (l ∈ N )  b = 7l + 5 4

236 244 <l<  l = 34  b = 243  a = 146 7 7 < 2381 .7 714  21999 < 7714

 231 < 7l + 5 < 249 

22380 < 3238 .7 714  22380

DẠ

Bài 20.

(Đề thi HSG 6 trường THCS Lê Ngọc Hân năm học 1997-1998)

So sánh: M =

19991999 + 1 19991989 + 1 và N = 19992000 + 1 19992009 + 1

Lời giải Ta có : 19991999 + 1 > 19991989 + 1 43

TOÁN 6

19992000 + 1 < 19992009 + 1

19991999 + 1 19991989 + 1 >  19992000 + 1 19992009 + 1

FI CI A

Vậy M > N Bài 21. (Đề thi HSG 6_ Quận Hai bà Trưng 1999 - 2000)

ƠN

Hãy so sánh hai phân số sau bằng tất cả các cách có thể được: 1999 19992000 1 1 1 ; >2 a) b) + + … + 2000 20002000 3 4 32 Lời giải a) Cách 1 : Qui đồng mẫu số rồi so sánh tử. 1999 19991999 19992000 Cách 2: = < 2000 20002000 20002000 1999 1 19992000 10000 1999 19992000 Cách 3: + = + =1  < 2000 2000 20002000 20002000 2000 20002000 1 1 4n − 1 1 + = 2 > ( n ∈ ℕ; n ≥ 2 ) b) 2n − 1 2n 4n − 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  + + …… + > + + …… + > + + …… + > 1 + + + > 2 3 4 32 2 3 16 2 2 8 2 3 4 Bài 22. HSG LÊ QUÝ ĐÔN - HƯNG HÀ

M = 1−

1 10!

1 <1 . 10! HSG 2012 – 2013

Vậy M < 1 (vì 0 <

Bài 23.

QU Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cho M = + + + + + + + + . So sánh M với 1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lời giải 2 −1 3 −1 4 −1 9 −1 10 −1 M= + + + ... + + 2! 3! 4! 9! 10!    1 1   1 1  1 1 1 1 1  M = 1−  +  −  +  −  + ... +  −  +  −   2!  2! 3!  3! 4!  8! 9!  9! 10!

DẠ

KÈ

1 3 5 9999 Cho A = . . ..... . So sánh A với 0, 01 . 2 4 6 10000 Lời giải 1 3 5 9999 2 4 6 10000 A = . . ..... . Đặt B = . . ..... . 2 4 6 10000 3 5 7 10001 1 2 3 4 5 6 9999 10000 < Vì < ; < ; < ;...; 2 3 4 5 6 7 10000 10001 1 3 5 9999   2 4 6 10000  Nên A 0; B > 0 ⇒ A 2 < A.B =  . . ..... . . . .....   2 4 6 10000   3 5 7 10001  2

 1  1 2 3 4 5 6 9999 10000 1 1 2 ⇒ A < . . . . . ..... . = < =   = (0, 01) .  2 3 4 5 6 7 10000 10001 10001 10000 100  Hay A < 0, 01 . 2

Bài 24.

HSG 2006 – 2007

Cho A =

b) 17 20 > 16 20 = (2 4 ) = 280 ;3115 < 3215 = (25 ) = 2 75

Bài 25.

ƠN

⇒ 3115 < 275 < 280 < 17 20 ⇒ 3115 < 17 20

So sánh 17 20 và 3115 . b) Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A = 2 + 2 + 2 + ... + < 2+ + + ... + 2 2 3 4 100 2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ A < 2 + − + − + ... + − 2 2 3 3 4 99 100 1 1 1 1 1 1 3 ⇔A< 2 + − = + − ⇔A< 2 2 100 4 2 100 4

FI CI A

1 1 1 1 3 . Chứng minh rằng A < + 2 + 2 + .... + 2 2 2 3 4 100 4

HSG 2013 – 2014

Thực hiện so sánh: 20092008 + 1 2009 2009 + 1 a) v ớ i A= B = 20092009 + 1 2009 2010 + 1 51 52 53 100 b) . C = 1.3.5.7.....99 với D = . . ..... 2 2 2 2 Lời giải a) Thực hiện qui đồng mẫu số:

QU Y

(20092008 +1)(20092010 +1) 20094018 + 20092010 + 20092008 +1 A= = (20092009 +1)(20092010 +1) (20092009 +1)(20092010 +1) (20092009 + 1)(20092009 +1) 20094018 + 20092009 + 20092009 + 1 B= = (20092010 + 1)(20092009 +1) (20092010 +1)(20092009 +1) 20092010 + 20092008 = 2008(20092 + 1)

20092009 + 20092009 = 20092008 (2009 + 2009)

KÈ

Do 2009 2 + 1 > 2009 + 2009 nên A > B . (Có thể chứng tỏ A − B > 0 để kết luận A > B ). Cách khác: Có thể so sánh 2009A với 2009B trước. 1.3.5.7.....99.2.4.6.....100 1.3.5.7.....99.2.4.6.....100 = b) C = 1.3.5.7.....99 = 2.4.6.....100 (1.2)(2.2)(3.2)(4.2).....(50.2) 1.2.3.....50.51.52.53.....100 51 52 53 100 = . . ..... =D 1.2.3.....50.2.2.2.....2 2 2 2 2

DẠ

50cs2

Vậy C = D . Bài 26. HSG THANH OAI 2013 – 2014 Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < . 2 4 8 16 32 64 3 45

HSG TOÁN 6

TOÁN 6

Lời giải

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A= − + − + − = − 2 + 3− 4 + 5 − 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2

HSG THANH OAI 2013 – 2014

So sánh:

20132012 + 1 vớ i 20132013 + 1

Bài 27.

FI CI A

1 1 1 1 1 1 2A = 1− + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 2 2 2 2 2 2 6 1 2 −1 ⇒ 2A + A = 3A = 1− 6 = 6 < 1 2 2 1 ⇒ 3A < 1 ⇒ A < . 3

20132013 + 1 . 20132014 + 1

Lời giải

20132014 + 20132012 = 20132012 (20132 + 1)

ƠN

(20132012 +1)(20132014 + 1) 20134026 + 20132012 + 20132014 +1 A= = (20132013 + 1)(20132014 + 1) (20132013 + 1)(20132014 + 1) (20132013 + 1)(20132013 + 1) 20134026 + 20132013 + 20132013 +1 B= = (20132014 + 1)(20132013 + 1) (20132014 +1)(20132013 + 1) 20132013 + 20132013 = 20132012 (2013 + 2013)

QU Y

Do 20132 + 1 > 2013 + 2013 nên A > B .

(Có thể chứng tỏ A − B > 0 để kết luận A > B ). Cách khác: Có thể so sánh 2013A với 2013B trước.

Bài 28.

Lời giải

So sánh 200410 + 20049 và 200510 .

KÈ

200410 + 20049 = 20049 (2004 +1) = 20049.2005 200510 = 20059.2005

Ta thấy 20059.2005 < 20059.2005 ⇒ 200410 + 20049 < 200510 .

Bài 29. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2013 - 2014) So sánh 22013 và 31344

DẠ

Lời giải

22013 = (23)671 = 8671 ; 31344= (32)672 = 9672

Ta có 8 < 9; 671 < 672 nên 8671< 9672 hay 22013 < 31344

HSG TOÁN 6

FI CI A

Lời giải Ta có: 2012 2011 2011 2011 A = 2011 − 2011 = 2011 ( 2011 −1) = 2011 .2010

20112013 −20112012 = 20112012 ( 2011−1) = 20112012.2010

ଶ଴ଵଷమబభయ ା ଵ

ଶ଴ଵଷమబభర

D =

ାଵ

ଶ଴ଵଷమబభమ ା ଵ ଶ଴ଵଷమబభయ ା ଵ

ଶ଴ଵଷమబభర

D = Vì

→ 2013C = ାଵ

ଶ଴ଵଷమబభర ା ଶ଴ଵଷ

ଶ଴ଵଷమబభమ ା ଵ ଶ଴ଵଷమబభయ

→ 2013D = ାଵ

ଶ଴ଵଶ ଶ଴ଵଷమబభర ା ଵ

ଶ଴ଵଷమబభర ା ଵ

ଶ଴ଵଷమబభయ ା ଶ଴ଵଷ

ଶ଴ଵଶ ଶ଴ଵଷమబభయ ା ଵ

ଶ଴ଵଷమబభయ ା ଵ

=1+

ଶ଴ଵଶ

ଶ଴ଵଷమబభయ ା ଵ

2009 2008 + 1 2009 2009 + 1

với

Lời giải

QU Y

(Đề số 88 Trường THCS Trực Ninh 2013-2014)

So sánh: C=

ଶ଴ଵଶ

ଶ଴ଵଷమబభర ା ଵ

nên 2013C < 2013D

Vậy C < D

Bài 32.

=1+

ଶ଴ଵଷమబభయ ା ଵ

ƠN

Lời giải

2012 2011 Do 2011 > 2011 nên B > A.

Bài 31. (Đề thi HSG 6) So sánh C và D

2009 2009 + 1 2009 2010 + 1

( 2009 2008 + 1)( 2009 2010 + 1) 2009 4018 + 2009 2010 + 2009 2008 + 1 = (2009 2009 + 1)(2009 2010 + 1) (2009 2009 + 1)(2009 2010 + 1)

KÈ

Thực hiện qui đồng mẫu số: C=

(2009 2009 + 1)( 2009 2009 + 1) 2009 4018 + 2009 2009 + 2009 2009 + 1 = (2009 2010 + 1)( 2009 2009 + 1) ( 2009 2010 + 1)( 2009 2009 + 1)

2009 2010 + 2009 2008 = 2009 2008 ( 2009 2 + 1)

DẠ

2009 2009 + 2009 2009 = 2009 2008 ( 2009 + 2009)

Do (2009 2 + 1) > ( 2009 + 2009) nên C > D

Bài 33.

So sánh

a) 10³º và 2100 ;

b) 85và 3.47 ; c) 1255và 257 47

Bài 30. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) So sánh A và B biết: A = 20112012 − 20112011 ; B = 20112013 − 20112012

TOÁN 6

Lời giải

2100=(2³)10=102410

FI CI A

Ta có 10³º=(10³)10=100010;

a, 10³º và 2100 => 10³º< 2100 b, 85và 3.47 85=215 ; 3.47 =3. 214 => 85< 3.47 c, 1255và 257 1255= 515; 257= 514 => 1255và 257

−22 51 và − ; 45 103

b) So sánh: A =

20092010 − 2 20092009 + 1 B = và . 20092010 + 1 20092011 − 2

Lời giải

22 22 1 51 51 22 51 −22 −51 < = = < ⇒ < ⇒ > 45 44 2 102 101 45 101 45 101

ƠN

a) So sánh:

Bài 34.

20092010 − 2 <1 20092011 − 2 20092010 − 2 20092010 − 2 + 2011 20092010 + 2009 ⇒B = < = 20092011 − 2 20092011 − 2 + 2011 20092011 + 2009 2009 20092009 + 1 20092009 + 1 = = =A 20092010 + 1 2009 20092010 + 1

( (

) )

Vậy A > B

Bài 35.

với

201238 + 372012 + 2 201239

KÈ

Lời giải

201237 + 372012 + 1 201238

So sánh A =

QU Y

b)B =

Thực hiện qui đồng mẫu số:

201237 + 37 2012 + 1 201276 + 37 2012.201239 + 201239 = 201238 201239.201238

201238 + 37 2012 + 2 201276 + 37 2012.201238 + 2.201238 = 201239 201239.201238

DẠ B=

37 2012.201239 + 201239 = 201238 ( 37 2012.2012 + 2012 )

HSG TOÁN 6

37 2012.201238 + 2.201238 = 201238 ( 37 2012 + 2 )

Từ đó suy ra A > B

(Đề thi HSG 6 – Mã B1) a+n a a) Cho a , b , n ∈ ℕ* . Hãy so sánh và b+n b b) Cho A =

FI CI A

Bài 36.

1011 − 1 1010 + 1 ; . So sánh A và B . B = 1012 − 1 1011 + 1

a >1 b

TH1:

a a+n a = 1 ⇔ a = b thì = =1. b b+n b

TH2:

a >1 ⇔ a > b ⇔ a + m > b + n . b

Mà

a+n a −b có phần thừa so với 1 là b+n b+n

a <1 b

ƠN

a =1 b

Ta xét 3 trường hợp

Lời giải

a a −b a −b a −b a+n a < < có phần thừa so với 1 là , vì nên b a b+n b b+n b a <1 ⇔ a < b ⇔ a + n < b + n b

Khi đó

QU Y

TH3:

a+n a −b a −b b − a a+n a < > có phần bù tới 1 là , vì nên b+n a b b+n b+n b 1011 − 1 1012 − 1

b) Cho A =

KÈ

1011 − 1) + 11 1011 + 10 ( a a+n a >  A< Rõ ràng A < 1 nên theo a, nếu < 1 thì = b b+n b (1012 − 1) + 11 1012 + 10 10 1011 + 10 10 (10 + 1) 1010 + 1 Do đó A < 12 = = 10 + 10 10 (1011 + 1) 1011 + 1

Vậy A < B .

DẠ

Bài 37. (Đề thi HSG 6 – Mã B5) a) So sánh: 222333 và 333222 Lời giải

TOÁN 6

2.111

= 8111. (111111 ) .111111

= 9111. (111111 )

333222 = ( 3.111)

3.111

FI CI A

Ta có 222333 = ( 2.111)

Suy ra : 222333 > 333222

Bài 38. (Đề thi HSG 6 – Mã B6) Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < ; 2 4 8 16 32 64 3

1 2 3 4 99 100 3 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 < 3 3 3 3 3 3 16

Lời giải a) Đặt A =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − + − + − 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26

 2A + A = 3A = 1−

1 26 − 1 = 6 <1 26 2

1 3

 3A < 1  A <

ƠN

1 1 1 1 1  2A = 1− + 2 − 3 + 4 − 5 2 2 2 2 2

QU Y

1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 b) Đặt A = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100  3 A = 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100  4 A = 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 − 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  4 A < 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 3 3 3 3 3

(1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B = 1 − + 2 − 3 + 98 − 99  3B = 2 + − 2 + ... + 97 − 98 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 <3  B< 99 3 4

KÈ

4 B = B + 3B = 3 −

Từ (1) và (2)  4 A < B <

3 3  A< 4 16

(Đề thi HSG 6 – Mã B10)

Bài 39.

(2)

DẠ

So sánh : 920 và 2713

Lời giải Có : 920 = 32

( )

= 340

HSG TOÁN 6 13

2713 = ( 33 ) = 339

FI CI A

Vì 340 > 339  920 > 2713 .

Bài 40.

(Đề thi HSG 6) a a Cho phân số ( a < b ) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ? b b Lời giải Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m)

 ab + am < ab + bm ( cộng hai vế với ab)  a (b + m) < b ( a + m) a a+m < b b+m

ƠN



(Đề thi HSG 6) 1 1 1 1 1 7 Chứng tỏ rằng: + + + ... + + > 41 42 43 79 80 12 Lời giải Ta thấy:

1 1 1 1 1 1 + + + ...... + + + 41 42 43 78 79 80

QU Y

Vậy

1 1 đến có 40 phân số. 41 80

Bài 41.

 1  1 1 1 1  1 1 1  =  + + ...... + + +  + + ... + +  (1) 59 60  79 80   41 42  61 62

1 1 1 1 1 1 > > ... > và > > ... > (2) 41 42 60 61 62 80

Vì

20 20 1 1 4 + 3 7 (3) + = + = = 60 80 3 4 12 12

KÈ

 1 1 1 1   1 1 1 1  Ta có  + + ... + + + + + ... + +  60 60   80 80 80 80   60 60

DẠ

Từ (1) , (2), (3) Suy ra:

1 1 1 1 1 1 7 + + + ...... + + + > 41 42 43 78 79 80 12

Bài 42. (Đề thi HSG 6) Chứng minh rằng các phân số sau đây bằng nhau. 51

41 4141 414141 ; ; 88 8888 888888

27425 − 27 27425425 − 27425 ; 99900 99900000

FI CI A

TOÁN 6

Lời giải a) Ta có

41 4141 414141 = = 88 8888 888888

b) Ta có:

27425000 − 27000 1000 ( 27425 − 27 ) 27425 − 27 = = 99900.1000 99900.1000 99900

Bài 43. (Đề thi HSG 6) Điền dấu x vào ô trống thích hợp: Lời giải

Câu

QU Y

1 1 Câu a) Số -5 bằng –5 + 5 5 1 1 a) Số -5 3bằng –580+ 5 b) Số 115 bằng 7 7 3 80 b) Số 11 5bằng 5 7 c) Số -117 bằng –114 4 5 5 c) Số -11 1bằng –112 13 d) Tổng -34 + 2 bằng4 -1 5 3 15 1 2 13 d) Tổng -3 + 2 bằng -1 5 3 15

ƠN

27425425 − 27425 ( 27425425 − 425) − ( 27425 − 425) = 99900.1000 99900000

Vậy

4141 41.101 41 414141 41.10101 41 ; = = = = 8888 88.101 88 888888 88.10101 88

Đúng

Sai

DẠ

KÈ

Cho S =

Sai

3 3 3 3 3 + + + + . Chứng minh rằng : 1< S < 2 10 11 12 13 14

Bài 44.

Đúng

Lời giải 10 10 10 10 5 5 5 5 + + + ... + + + + ... + a) M = = 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28

HSG TOÁN 6

b. S =

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 + + + + > + + + + => S > = 1 (1) 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 + + + + < + + + + =2 => S < < 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10

Từ (1) và (2) => 1 < S < 2

Cho:

(Đề thi HSG 6 huyện ABC 2019-2020) 10 2001 + 1 102002 + 1 A= 2002 ; B = 2003 . 10 + 1 10 + 1

ƠN

Bài 45.

Hãy so sánh A và B.

Lời giải 10A =

10 2002 + 10 9 = 1 + 2002 2002 10 + 1 10 + 1

Tương tự:

10B =

10 2003 + 10 9 = 1 + 2003 2003 10 + 1 10 + 1

Bài 46.

(1)

(2)

QU Y

Từ (1) và (2) ta thấy :

Ta có:

2002

+ 1 10

2003

 10A > 10B  A > B

Không quy đồng mẫu hãy so sánh hai phân số sau:

KÈ

Lời giải 300 300 300 30 30 300 mà > =  > 670 677 670 67 67 677 Ta có : 1 −

37 30 377 300 và 1 − = = 67 67 677 677

(2)

377 37 > 677 67

DẠ

Từ (1) và (2) 

(1)

Bài 47.

( Bài 4 - Đề 22) 2005 2005 + 1 2005 2004 + 1 So sánh: A = và B = 2005 2006 + 1 2005 2005 + 1 Lời giải 53

FI CI A

5 1 1  5 6 5 . −  = . = 3  4 28  3 28 14

(2)

5 1 1 1 1 1 1 1 1  −  = . − + − + − + ... + 3  4 7 7 10 10 13 25 28 

37 377 và 67 677

TOÁN 6

2005 2005 + 1 2005 2005 + 1 + 2004 2005( 2005 2004 + 1) 2005 2004 + 1 < = = =B 2005 2006 + 1 2005 2006 + 1 + 2004 2005( 2005 2005 + 1) 2005 2005 + 1

FI CI A

Vậy A < B

Bài 48.

( Bài 1b - Đề 23) 2006 2006 + 1 2006 2005 + 1 So sánh: A = và B = 2007 2007 + 1 2006 2006 + 1 Lời giải

20062006 + 1 20062006 + 1 + 2005 < 20062007 + 1 20062007 + 2005 + 1

20062006 + 2006 2006(20062005 + 1) 20062005 + 1 = = =B 20062007 + 2006 2006(20062006 + 1) 20062006 + 1

ƠN

a a a+n < 1 thì < (n ∈ N * ) b b b+n

a) 3200 và 2300 121212 2 404 10 với B = . + − 171717 17 1717 17

QU Y

b) A =

Vậy A < B

Bài 49. ( Bài 2 - Đề 25) So sánh các biểu thức :

Ta có nếu

Lời giải Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 2300 =(23)100 =8100

121212 2 404 121212 : 10101 2 404 : 101 12 2 4 12 + 2 − 4 + − + + −  A= + − = 171717 17 1717 171717 : 10101 17 1717 : 101 17 17 17 17

KÈ

Vì 9100> 8100 Nên 3200> 2300

Vậy A =

Đề thi HSG 6 Kinh Môn 2017 - 2018 201899 − 1 201898 − 1 So sánh: E = và F = 2018100 − 1 201899 − 1 Lời giải

DẠ

Bài 50.

10 10 hay A =B = 17 17

Ta có: E =

201899 − 1 2018100 − 2018 2017  2018 E =  2018.E = 1 − 100 100 2018 − 1 2018 − 1 2018100 − 1

HSG TOÁN 6

201898 − 1 201899 − 2018 2017  2018. F =  2018.F = 1 − 99 99 2018 − 1 2018 − 1 201899 − 1 2017 2017 2017 2017 <  1− > 1− Vì 100 99 100 2018 − 1 2018 − 1 2018 − 1 201899 − 1 Hay 2018E > 2018F  E > F Vậy E > F

So sánh : A =

2009 2009 + 1 20092010 − 2 và B = 2009 2010 + 1 20092011 − 2

Lời giải

22 22 1 51 51 22 51 −22 −51 < = = <  <  > 45 44 2 102 101 45 101 45 101 2009 2010 − 2 b) B = <1 20092011 − 2 20092010 − 2 20092010 − 2 + 2011 2009 2010 + 2009 B= < = 20092011 − 2 20092011 − 2 + 2011 20092011 + 2009 2009 ( 20092009 + 1) 20092009 + 1 = = =A 2010 2009 ( 20092010 + 1) 2009 + 1

ƠN

Vậy A > B

Đề HSG Toán 6 Ba Vì năm 2017-2018 1 1 1 1 1 Cho A = + + + ... + + 31 32 33 59 60 4 Chứng tỏ rằng: A < 5 Lời giải 1   1 1 1  1 1  1 1 A =  + + ..... +  +  + + .... +  +  + .... +  40   41 42 50   51 60   31 32

QU Y

Bài 52.

(Đề thi HSG 6 CẤP TRƯỜNG 2018- 2019 ) −22 51 a) So sánh : và − 45 103

DẠ

Bài 53.

KÈ

1   1 1   1 1  10 10 10  1 <  + ... +  +  + .... +  +  + ... +  = + + 30   40 40   50 50  30 40 50  30 1 1 1 47 48 4 = + + = < = 3 4 5 60 60 5

b) So sánh : A =

20092009 + 1 20092010 − 2 và B = 20092010 + 1 20092011 − 2

Lời giải

FI CI A

Đề HSG Toán 6 năm học 2019-2020 −22 51 và − So sánh : 45 103

Bài 51.

TOÁN 6

22 22 1 51 51 22 51 −22 −51 < = = <  <  > 45 44 2 102 101 45 101 45 101

20092010 − 2 <1 20092011 − 2

b) B =

FI CI A

20092010 − 2 20092010 − 2 + 2011 2009 2010 + 2009 < = 20092011 − 2 20092011 − 2 + 2011 20092011 + 2009 2009 ( 20092009 + 1) 2009 2009 + 1 = = =A 2010 2009 ( 20092010 + 1) 2009 + 1

B=

Vậy A > B

(Đề thi HSG 6 TP BUÔN MÊ THUỘT 2018- 2019 ) 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + ...... + < 2 4 6 8 ( 2n ) 4

( 2.2 )

( 2.3)

( 2.4 )

+ ...... +

( 2.n )

ƠN

Lời giải Ta có: 1 1 1 1 A = 2 + 2 + 2 + ..... + 2 4 6 8 ( 2n )

 1  1 1 1 1  1  1 1 1 A = .  2 + 2 + 2 + ..... + 2  < .  + + ..... +  4 2 3 4 n  4  1.2 2.3 ( n − 1) n 

1  1 1 A < . 1 −  < 4  n 4

(Đề thi HSG 6 huyện QUỲNH LƯU 2018- 2019 ) 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + ...... + <1 2 3 4 100 2 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ...... + < + + ..... + 2 2 2 3 4 100 1.2 2.3 99.100 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + ..... + − = 1− <1 1 2 2 3 99 100 100

KÈ

Bài 55.

QU Y

1 1 1 1 1 1 1 −  A < .  − + − + ..... + 4 1 2 2 3 n −1 n 

Bài 56. (Đề thi HSG 6 Tỉnh ĐỒNG THÁP 2018- 2019 ) So sánh P và Q

DẠ

Biết : P =

Bài 54.

2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 và Q = + + 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013

Lời giải Ta có:

HSG TOÁN 6

2010 + 2011 + 2012 2010 2011 2012 Lần lượt = + + 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011, 2010, 2012 ta thấy : 2010 2010 Ta có: < 2011 + 2012 + 2013 2011 2011 2011 < 2011 + 2012 + 2013 2012 2012 2012 < 2011 + 2012 + 2013 2013  P >Q

(Đề thi HSG 6 huyện VĨNH LỘC 2018- 2019 ) 2 3 4 2016 2017 Cho tổng T = 1 + 2 + 3 + ........ + 2015 + 2016 2 2 2 2 2 So sánh T với 3 Lời giải 2 3 4 2016 2017 T = 1 + 2 + 3 + ...... + 2015 + 2016 2 2 2 2 2 3 4 2016 2017 2T = 2 + 1 + 2 + ...... + 2014 + 2015 2 2 2 2 3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017 2T − T = 2 + 1 − 1 + 2 − 2 + .... + 2014 − 2014 + 2015 − 2015 − 2016 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2017 T = 2 + 1 + 2 + ...... + 2015 − 2016 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Đặt N = 1 + 2 + ...... + 2015  2 N = 1 + 1 + 2 + ...... + 2014 2 2 2 2 2 2 1 2 N − N = 1 − 2015  N < 1 2 2017 2017 Nên T < 2 + 1 − 2016 = 3 − 2016  T < 3 2 2

QU Y

ƠN

Bài 57.

FI CI A

(Đề thi HSG 6 huyện Duy Xuyên 2019-2020) 23 23232323 2323 232323 So sánh các phân số sau: ; ; ; 99 99999999 9999 999999

KÈ

Bài 58.

DẠ

Lời giải 23 23.101 2323 = = 99 99.101 9999 23 23.10101 232323 = = 99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323 = = 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323  = = = 99 9999 999999 99999999

TOÁN 6

(Đề thi HSG 6 cấp trường 2019-2020) −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A = 2005 + 2006 ; B = 2005 + 2006 10 10 10 10

(Đề thi HSG 6 cấp trường 2018-2019) −9 −19 −9 −19 Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: A = 2010 + 2011 ; B = 2011 + 2010 10 10 10 10

Bài 60.

−9 −19 −9 −10 −9 + 2011 = 2010 + 2011 + 2011 2010 10 10 10 10 10

−9 −19 −9 −10 −9 + 2010 = 2011 + 2010 + 2010 2011 10 10 10 10 10

−10 −10 > 2010  A > B 2011 10 10

Ta thấy

(Đề thi HSG 6 huyện Bạch Thông 2018-2019) 2013.2014 − 1 2014.2015 − 1 So sánh A và B biết: A = và B = 2013.2014 2014.2015

QU Y

Bài 61.

Ta có: A =

ƠN

Lời giải

Lời giải Ta có: A =

2014.2015 − 1 1 = 1− 2014.2015 2014.2015

1 1 nên A 2013.2014 2014.2015

KÈ

Vì

2013.2014 − 1 1 = 1− 2013.2014 2013.2014

Bài 62. (Đề thi HSG 6 Trung Nguyên – Huyện Yên Lạc 2018-2019) So sánh các số sau: 339 và 1121 ; 19920 và 200315 Lời giải

Ta có: 339 < 340 = ( 34 ) = 8110 ;1121 > 1120 = (112 ) = 12110

DẠ

FI CI A

Lời giải −7 −15 −7 −8 −7 A = 2005 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 10 10 10 10 10 −15 −7 −7 −8 −7 B = 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 10 10 10 10 10 −8 −8 >  A>B 102006 102005

Bài 59.

Vì 12110 > 8110 nên 1121 > 339 20 Ta có: 19920 < 20020 = ( 8.25 ) = 260.540

HSG TOÁN 6 15

200315 > 200015 = ( 24.53 ) = 260.545

Vì 260.540 < 260.545 nên 199 20 < 200315

(Đề thi HSG 6 huyện Sơn Tây 2019-2020) a+n a a) Cho a, b, n ∈ ℕ *. Hãy so sánh: và b+n b b)Cho A =

FI CI A

Bài 63.

1011 − 1 1010 + 1 ; B = . So sánh A và B 1012 − 1 1011 + 1

Lời giải

a a+n a = 1 ⇔ a = b thì = =1 b b+n b

Trường hợp 2:

a >1⇔ a > b ⇔ a + n > b + n b

Mà

a+n a −b có phần thừa so với 1 là b+n b+n

a a −b có phần thừa so với 1là b b a −b a −b a+n a nên < < b+n b b+n b

Trường hợp 3:

a+n b−a a b−a có phần bù tới 1 là , có phần bù tới 1 là b+n b+n b b

b−a b−a a+n a nên < > b+n b b+n b

b) A =

KÈ

Vì

a <1⇔ a < b ⇔ a + n < b + n b

Khi đó :

QU Y

Vì

Trường hợp 1:

a a a = 1; > 1; <1 b b b

ƠN

a)Ta xét 3 trường hợp:

1011 − 1 a a+n a ; rõ ràng A < 1 nên theo a, nếu < 1 thì > 12 10 − 1 b b+n b 11

(10  A< (10

− 1) + 11

DẠ

1011 + 10 12 12 − 1) + 11 10 + 10 =

10 1011 + 10 10. (10 + 1) 1010 + 1 Do đó: A < 12 = = 10 + 10 10. (1011 + 1) 1011 + 1

TOÁN 6

Vậy A < B

222221 444443 ; y= ta có: 222222 444445

a. x = y

c. x < y

b.x > y

Lời giải Chọn đáp án C Bài 65. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019) So sánh giá trị của biểu thức : A=

3 8 9999 với số 99 + + ..... + 4 9 10000

1  1 1 = 99 −  2 + 2 + ...... +  = 99 − B 1002  2 3

Vì B > 0  A < 99

Bài 66.

QU Y

1 1 1 1 + 2 + 2 + ...... + 2 2 3 4 1002

1   1  1  A = 1 −  + 1 −  + ...... + 1 −   4  9  10000  1  1 1    = 1 − 2  + 1 − 2  + ....... + 1 − 2   2   3   100 

ƠN

Lời giải

Trong đó, B =

(Đề HSG cấp trường 2018 – 2019) 23

So sánh hai số: 22 và 32

Lời giải 3

KÈ

Ta có: 32 = 38 = 94 > 84 = 212 > 210 23

Từ đó 23 > 22 = 22.2 = 42 > 32 = 32 23

FI CI A

Cho 2 số: x =

Bài 64. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019) Hãy chọn kết quả đúng

Suy ra : 23 > 32

(Đề HSG cấp trường 2018 – 2019) 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: A = + 2 + 3 + ...... + 99 < 3 3 3 3 2

DẠ

Bài 67.

Lời giải 1 1 1 1 Ta có: 3 A = 1 + + 2 + 3 + ..... + 98 3 3 3 3 60

HSG TOÁN 6

1 2

FI CI A

Vậy A <

1 1 1 1 1 hay 2 A = 1 − 99  A = − 99 < 99 3 3 2 2.3 2

Nên 3 A − A = 1 −

Bài 68.

(Đề HSG cấp trường 2018 - 2019) 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + ...... + < 2 4 6 8 ( 2n ) 4 Lời giải

( 2.2 )

( 2.3)

( 2.4 )

+ ...... +

1 1 1 1 + 2 + 2 + ..... + 2 2 4 6 8 ( 2n ) 1

( 2.n )

ƠN

Ta có: A =

1 1 1 1 1  1  1 1 1  A = .  2 + 2 + 2 + ..... + 2  < .  + + ..... +  4 2 3 4 n  4  1.2 2.3 ( n − 1) n 

1 1 1 1 1 1 1 A < .  − + − + ..... + −  4 1 2 2 3 n −1 n 

QU Y

1  1 1 A < . 1 −  < (dfcm) 4  n 4

Bài 69. (Đề thi HSG 6 huyện Lương Tài 2105 – 2016) So sánh A và B biết: A=

1718 + 1 , 1719 + 1

1717 + 1 1718 + 1

Lời giải

Bài 70.

KÈ

17 1718 + 1 1718 + 1 1718 + 1 + 16 17. (17 + 1) 1717 + 1 Vì A = 19 < 1  A = 19 < = = =B 17 + 1 17 + 1 1719 + 1 + 16 17. (1718 + 1) 1718 + 1

(Đề thi HSG 6 huyện Vũ Thư 2018-2019) 12

( 2!) + 32

( 2!) + 52

( 2!) + 72

+ ..... +

Cho biểu thức

( 2!) D=

DẠ

So sánh D với 6. Biết n ! = 1.2.3....n ( n ∈ ℕ )

Lời giải Ta có:

( 2!)

20152

TOÁN 6

( 2!) D=

( 2!) +

( 2!)

FI CI A

+ ..... + 32 52 72 20152 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D = 2 + 2 + 2 + 2 + ...... + 1 3 5 7 20152 12

2  2 2 2 D = 4 + 2.  2 + 2 + 2 + ..... +  20152  3 5 7 2 2 2  2  D < 4 + 2.  + + + ..... +  2013.2015   1.3 3.5 5.7

ƠN

1 1  1 1 1 1 1 1 = 4 + 2  − + − + − + ..... + −  2013 2015  1 3 3 5 5 7 1  2  = 4 + 2 1 − <6  = 4+2− 2015  2015  D<6

(Đề thi HSG 6 THCS Nguyễn Khuyến 2018-2019) −22 −51 So sánh : và 45 103

Bài 71.

Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 −22 −51 < = = <  <  > 45 44 2 102 101 45 101 45 101

Biết: P =

QU Y

Bài 72. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2018-2019) So sánh P và Q

2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 + + và Q = 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013

Lời giải Ta có:

2010 + 2011 + 2012 2011 + 2012 + 2013 2010 2011 2012 = + + 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013

KÈ

Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức

của P đều lớn hơn các phân thức của Q.

DẠ

Vậy P > Q

Bài 73. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2017-2018) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:

HSG TOÁN 6

−9 −19 −9 −19 + 2011 ; B = 2011 + 2010 2010 10 10 10 10

FI CI A

Lời giải Ta có: −9 −19 −9 −10 −9 + 2011 = 2010 + 2011 + 2011 2010 10 10 10 10 10 −9 −19 −9 −10 −9 B = 2011 + 2010 = 2011 + 2010 + 2010 10 10 10 10 10

−10 −10 > 2010  A > B 2011 10 10

Ta thấy

(Đề thi HSG 6 huyện Lập Thạch 2018-2019) 2011 2012 2013 + + So sánh S với 3, biết S = 2012 2013 2011

ƠN

Bài 74.

1   1 1   1 = 3+  − − +   2011 2012   2011 2013  1 1 1 1 Do > ; > 2011 2012 2011 2013

1 1 1 1 1   1 1   1 − > 0, − > 0  3+ − − + >3 2011 2012 2011 2013  2011 2012   2011 2013 

QU Y

Nên:

Lời giải 2011 2012 2013  1   1   1 1  S= + + = 1 − +  + 1 −  + 1 +  2012 2013 2011  2012   2013   2011 2011 

Vậy S>320

(Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2019-2020) 5 11 11 5 So sánh: N = 2005 + 2006 và M = 2005 + 2006 10 10 10 10

5 11 11 5 6 6 + 2006 − 2005 − 2006 = 2006 − 2005 2005 10 10 10 10 10 10

KÈ

Lời giải

Bài 75.

Ta có: N − M =

1   1 = 6  2006 − 2005  < 0  N < M 10   10 (Đề thi HSG 6 huyện Lương Tài 2015-2016) 1718 + 1 1717 + 1 So sánh A và B biết: A = 19 , B = 18 17 + 1 17 + 1

DẠ

Bài 76.

Lời giải

TOÁN 6

17 1718 + 1 1718 + 1 1718 + 1 + 16 17. (17 + 1) 1717 + 1 Vì A = 19 < 1  A = 19 < = = =B 17 + 1 17 + 1 1719 + 1 + 16 17. (1718 + 1) 1718 + 1

FI CI A

Bài 77. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2019-2020) So sánh : 22013 và 31344 Lời giải

22013 = ( 23 )

671

= 8671 ;31344 = ( 32 )

672

= 9672

Bài 78. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2018 - 2019) Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh: 1717 1313 và 8585 5151

b) 98.516 và 1920

Lời giải 1717 17 1 13 13 1313 1717 1313 a) = = = < =  < 8585 85 5 65 51 5151 8585 5151 b)98.516 = 316.516 = 1516 < 1916 < 1920  98.516 < 19 20

ƠN

Do 8 < 9,671 < 672  8671 < 9672  22013 < 31344

Bài 79. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 - 2019) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + ..... + 201271 + 201272 và B = 201273 − 1. So sánh A và B

QU Y

Lời giải Ta có: 2012 A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + .... + 201272 + 201273 Lấy 2012 A − A = 201273 − 1 ,

201273 − 1 Vậy A = < B = 201273 − 1 2011

KÈ

Bài 80. (HSG6 LƯƠNG TÀI , 2015-2016 ) So sánh A và B biết:

1718 + 1 , 1719 + 1

1717 + 1 1718 + 1

Lời giải

DẠ

17 1718 + 1 1718 + 1 1718 + 1 + 16 17.(17 + 1) 1717 + 1 Vì A = 19 < 1  A = 19 < = = =B 17 + 1 17 + 1 1719 + 1 + 16 17.(1718 + 1) 1718 + 1

Bài 81. (NGA SƠN, 2018-2019) So sánh:

a )3200 và 2300

b) 71 và 37

201201 201201201 và 202202 202202202

200

So sánh 3

và 2

300

100

200

= ( 32 )

Ta có: 3

FI CI A

Lời giải

100

= 9100 ;2300 = ( 23 )

= 8100

100

< 9100 nên 2300 < 3200 50 75 So sánh 71 và 37 50

= ( 8.9 ) = 2150.3100 75

37 75 > 3675 = ( 22.32 ) = 2150.3150 150

150

Mà 2 .3

> 2150.3100 75

> 7150

201201 201201201 và 202202 202202202

201201 201 1001 201 = . = ; 202202 202 1001 202

201201201 201 1001001 201 = . = 202202202 202 1001001 202

QU Y

Ta có:

(2)

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: 37 So sánh

(1)

ƠN

Mà 8

Ta thấy : 71 < 72

Vậy 2 phân số trên bằng nhau.

Bài 82. (ĐỒNG THÁP, 2018-2019) So sánh P và Q

2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 và Q = + + 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013

KÈ

Lời giải Ta có:

Biết : P =

2010 + 2011 + 2012 2011 + 2012 + 2013 2010 2011 2012 = + + 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013

DẠ

Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011, 2010, 2012 ta thấy

P>Q

HSG TOÁN 6

TOÁN 6

( LÝ NHÂN, 2018-2019)

So sánh A và B biết: A =

2010 2011 2012 1 1 1 1 + + và B = + + + .... + 2011 2012 2010 3 4 5 17

FI CI A

Lời giải

Từ đó suy ra A > B

(HSG6, 2017-2018)

1 1 1 1 + 2 + 2 + ..... + <1 2 2 3 4 1002

Chứng minh rằng

Lời giải

1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + 2 + .... + < − + − + .... + − = <1 2 2 2 3 100 1 2 2 3 99 100 100

Bài 85.

( BẠCH LIÊU, 2018-2019)

Cho M =

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ..... + + . Chứng minh rằng M < 1 2 2 2 3 4 2009 20102

KÈ

Lời giải Ta có:

Vậy

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < = − ; 2< = − ;.....; < = − 2 2 2 2.1 1 2 3 2.3 2 3 100 99.100 99 100

QU Y

Ta có:

ƠN

1  1 1 1 1 1 B =  +  +  + ..... +  +  + ..... +  9   10 17  3 4 5 1 1 1 B < .2 + .5 + .8  B < 3 2 5 8

1   1   2   A = 1 −  + 1 −  + 1 +   2011   2012   2010  1   1 1   1 A=3+ − − +   2010 2011   2010 2012   A>3

Bài 84.

1 1 1 1 + + ..... + + 1.2 2.3 2008.2009 2009.2010 1 1 1 1 1 1 1 M < 1 − + − + ..... + − + − 2 2 3 2008 2009 2009 2010 1  M <1 M <1− 2010

DẠ

Bài 83.

(THẠCH THÀNH, 2018-2019)

Cho A =

1 1 1 1 . + + + .... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017

Chứng minh A <

FI CI A

Bài 86.

3 4

Lời giải Ta có: A =

1 1 1 1 + + + .... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017

1 1 1 1 + + + ..... + (1 + 3).2 (1 + 5 ).3 (1 + 7 ).4 (1 + 2017 ).1009 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + ..... + = + + + .... + 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009

ƠN

1  1 1 1  + + + ...... +  2.2  2.3 3.4 1008.1009 

1 1 1 1 1 1 1  +  − + − + ..... + −  4 2 3 3 4 1008 1009 

1 1 1  1 1 3 + −   A < +  A < ( dfcm) 4  2 1009  4 2 4

QU Y

Bài 87.

(NGA SƠN, 2018-2019)

Cho A =

1 1 1 1 1 + + + + ..... + . Chứng minh : A < 2 12 22 32 42 50 2

Lời giải

1 1 1 < = 1 − 22 1.2 2

Ta có:

DẠ

KÈ

1 1 1 1 < = − 2 3 2.3 2 3 1 1 1 1 < = − ...... 2 4 3.4 3 4 1 1 1 1 < = − 2 50 49.50 49 50

Vậy A =

HSG TOÁN 6

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + .... + 2 2 1 2 3 4 50

TOÁN 6

1 1 1 1 1 < + + + + ..... + 1 1.2 2.3 3.4 49.50

Bài 88.

ƠN

(Đề thi HSG HUYỆN TÌNH GIA 2018 - 2019) 20072007 200720072007 So sánh 2 phân số: và 20082008 200820082008 Lời giải Ta có: 20072007 2007.1001 2007 = = 20082008 2008.1001 2008 200720072007 2007.100010001 2007 = = 200820082008 2008.100010001 2008 Vậy hai phân số trên bằng nhau

FI CI A

1 1 1 1 1 1 = 1 + − + − + ... + − 1 2 2 3 49 50 1 99 =1+1− = <2 50 50

(Đề thi HSG cấp trường) a −1 b +1 So sánh hai phân số và (với a, b là số nguyên cùng dấu và a; b ≠ 0) a b Lời giải a −1 1 b +1 1 = 1 − và = 1+ Có a a b b 1 1 1 1 a −1 b +1 < *Nếu a > 0, b > 0  > 0 và > 0  1 − < 1 + hay a b a b a b 1 1 1 1 a −1 b +1 > *Nếu a < 0, b < 0  < 0; < 0  1 − > 1 +  a b a b a b Bài 90. (Đề thi HSG 6 Cấp trường) B Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ..... + 498 + 499 , B = 4100 Chứng minh rằng: A < . 3 Lời giải

QU Y

Bài 89.

4 A = 4. (1 + 4 + 42 + 43 + 44 + .....498 + 499 )

KÈ

= 4 + 42 + 43 + 4 4 + .....498 + 499 + 4100 4100 − 1 3 100 4 − 1 4100  < 3 3

 4 A − A = 4100 − 1  A =

Vì 4100 − 1 < 4100

B 3 Bài 91. (Đề thi HSG 6 Cấp trường) a+n a a) Cho a , b, n ∈ ℕ * . Hãy so sánh và b+n b

DẠ

Vậy A <

HSG TOÁN 6

Lời giải a) Ta xét 3 trường hợp a a+n a = =1 Th1: = 1  a = b  b b+n b a Th2: > 1 ⇔ a > b  a + m > b + n , mà b a a−b a −b , vì có phần thừa so với 1 là b b b+n a Th3: < 1  a < b  a + n < b + n b a+n a −b , vì Khi đó có phần bù tới 1 là b+n b 1011 − 1 b) Cho A = 12 10 − 1

1010 + 1 . So sánh A và B. 1011 + 1

FI CI A

a+n a−b có phần thừa so với 1 là b+n b+n a−b a+n a < < nên b b+n b

1011 − 1 ; 1012 − 1

a −b b−a a+n a < > nên b b+n b+n b

ƠN

b) Cho A =

1011 − 1) + 11 1011 + 10 ( a a+n a rõ ràng A < 1 nên theo câu a, < 1  >  A< = b b+n b (1012 − 1) + 11 1012 + 10 10 1011 + 10 10 (10 + 1) 1010 + 1 = = 1012 + 10 10. (1011 + 1) 1011 + 1

QU Y

Vậy A < B. Bài 92. (Đề thi HSG 6 2018 - 2019 ) 1 1 1 1 Chứng minh 2 + 2 + 2 + ..... + 2 < 1 2 3 4 n

Do đó A <

Lời giải 1 1 1 1 = − Ta có: 2 < n n. ( n − 1) n − 1 n

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ..... + 2 < 1 − < 1 2 2 3 4 n n

(Đề thi HSG6 năm 2019 - 2020 ) 2016 2016 + 1 2016 2015 + 1 So sánh: A = và B = 2016 2017 + 1 2016 2016 + 1

Bài 93.

KÈ



1 1 1 1 1 1 1 1 < 1 − ; 2 < − ;......; 2 < − 2 2 2 3 2 3 n n −1 n

Áp dụng :

Lời giải

DẠ

2015 20162016 + 1 20162016 + 1 + 2015 2016. ( 2016 + 1) A= < = = B A< B 2016 2017 + 1 20162017 + 1 + 2015 2016 ( 20162016 + 1)

TOÁN 6

(Đề thi HSG 6 - 2019 - 2020)

So sánh A =

2006 2006 + 1 2006 2005 + 1 và B = 2007 2007 + 1 2006 2006 + 1

Bài 94.

a a a+n <1 < ( n ∈ ℕ *) b b b+n

20062006 + 1 20062006 + 1 + 2005 20062006 + 2006 A= < = 20062007 + 1 20062007 + 2005 + 1 20062007 + 2006 2006. ( 20062005 + 1) 20062005 + 1 = = =B 2006 2006. ( 20062006 + 1) 2006 + 1 Vậy A < B

ƠN

Bài 95. (Đề thi HSG6 - 2018-2019 ) So sánh các biểu thức: 3200 và 2300 121212 2 404 10 A= + − b) với B = 171717 17 1717 17 Lời giải

Ta có: 3200 = 32

100

( )

Ta có nếu

FI CI A

Lời giải

100

= 9100 > 8100 = ( 23 )

= 2300  3200 > 2300

121212 2 404 12 2 4 10 + − = + − =  A= B 171717 17 1717 17 17 17 17

(Đề thi HSG 6 - huyện Thanh Oai - 2018 -2019 ) 1 1 1 1 91 + + ...... + . Chứng minh rằng < S < Cho biết S = 101 102 130 4 330 Lời giải *Chứng minh S <

91 330

QU Y

Bài 96.

DẠ

KÈ

1 1   1 1   1 1   1 S = + + .... + + .... + + ..... + + +  110   111 120   121 130   101 102 1 1   1 1   1 1   1 S < + + ..... + + ..... + + ..... + + +  100   110 110   120 120   100 100 1 1 1 1 1 1 181 182 91 S< < < .10 + .10 + .10 = + + = 100 110 120 10 11 12 660 660 330 91 S< (1) 330 *Chứng minh

1 <S 4

HSG TOÁN 6

1 91 <S< 4 330

Bài 97. (Đề thi HSG 6 cấp Huyện 2018 -2029 ) Thực hiện so sánh:

a) A =

20132013 131313 vớ i B = 20142014 141414

ƠN

b)C = 20139 + 201310 với D = 201410

Lời giải 2013.10001 2013 13.10101 13 a) A = = ;B = = 2014.10001 2014 14.10101 14

2013 1 13 1 = ;1 − B = 1 − = 2014 2014 14 14

1− A = 1−

FI CI A

Từ (1) và (2) 

1   1 1   1 1   1 S > + ..... + + .... + + .... + + +  110   120 120   130 130   110 1 1 1 1 1 1 S> .10 + .10 + .10 = + + 110 120 130 11 12 13 431 429 1 S> > S> (2) 1716 1716 4

Do1 − A < 1 − B  A > B

D = 20149.2014 2013 < 2014  C < D

QU Y

b) C = 20139. (1 + 2013) = 20139.2014

Bài 98. (Đề thi HSG 6 ) So sánh 200410 + 20049 và 200510

KÈ

Lời giải 200410 + 20049 = 20049. ( 2004 + 1) = 20049.2005

200510 = 20059.2005

Do 20049.2005 < 20059.2005  200410 + 20049 < 200510

(Đề thi HSG 6 - Việt Yên 2019-2020) 10 2014 + 2016 10 2015 + 2016 So sánh A = 2015 và B = 2016 10 + 2016 10 + 2016

DẠ

Bài 99.

Lời giải Ta có: 71

TOÁN 6

(10

2015

+ 2016 ) . (102016 + 2016 )

104030 + 2016.102014.101 + 2016 2 (102015 + 2016 ) .(102016 + 2016 )

Lại có 2015 2015 102015 + 2016 (10 + 2016 ) . (10 + 2016 ) B = 2016 = 10 + 2016 (102016 + 2016 ) . (102015 + 2016 )

104030 + 2.2016.10 2015 + 20162 104030 + 20.2016.102014 + 20162 = (102015 + 2016)(102016 + 2016 ) (102015 + 2016)(102016 + 2016 )

Bài 100. (THCS Duy Xuyên năm học 2018- 2019) 1 1 1 <1 Chứng minh rằng: 2 + 2 + .... + 2 3 1002

Lời giải Ta có:

ƠN

Từ (1) và (2)  A > B

(2)

QU Y

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + .... + < + + .... + = 1 − + − + ..... + − 2 2 2 3 100 1.2 2.3 99.100 2 2 3 99 100 1 1 1 1 99  2 + 2 + .... + < 1− = <1 2 3 100 2 100 100

Bài 101. (Đề thi HSG Thanh Chương năm học 2018- 2019) 1 1 1 1 1 1 1 1 + < Chứng minh rằng: + + + + + 3 30 32 35 45 47 50 2

KÈ

Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 + + < + + = 30 32 35 30 30 30 10 1 1 1 1 1 1 1 + + < + + = 45 47 50 45 45 45 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  + + + + + + < + + = 3 30 32 35 45 47 50 3 10 15 2

DẠ

Bài 102. (Đề thi HSG 6 Duy Xuyên năm học 2019- 2020) 23 23232323 2323 232323 ; ; So sánh các phân số: ; 99 99999999 9999 999999 Lời giải

(1)

FI CI A

104030 + 2016. (102014 + 10 2016 ) + 20162

2014 2016 102014 + 2016 (10 + 2016 ) . (10 + 2016 ) A = 2015 = 10 + 2016 (10 2015 + 2016 ) . (102016 + 2016 )

HSG TOÁN 6

FI CI A

23 23.101 2323 = = 99 99.101 9999 23 23.10101 232323 = = 99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323 = = 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323  = = = 99 9999 999999 99999999

Bài 103. (Đề thi HSG 6 Thanh Chương năm học 2018- 2019) 2012 2012 + 1 2012 2011 + 1 và B = 2012 2013 + 1 20122012 + 1

So sánh : A =

Lời giải

2012 2012 + 1 <1 2012 2013 + 1

ƠN

Vì 20122012 + 1 < 20122013 + 1 

20122012 + 1 20122012 + 1 + 2011  < 20122013 + 1 20122013 + 1 + 2011 2011 20122012 + 2012 2012. ( 2012 + 1) 20122011 + 1 = = = =B 20122013 + 2012 2012. ( 2012 2012 + 1) 2012 2012 + 1  A< B Bài 104.

1 1 1 1 3 + 2 + 2 + ..... + . Chứng minh rằng A < 2 2 2 3 4 100 4

b) So sánh 17 20 và 3115

QU Y

a) Cho A =

KÈ

Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 a ) A = 2 + 2 + 2 + ...... + < 2+ + + .... + 2 2 3 4 100 2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ A < 2 + − + − + ...... + − 2 2 3 3 4 99 100 1 1 1 3 ⇔ A< 2 + − ⇔ A< 2 2 100 4 20

b)17 20 > 1620 = ( 24 ) = 280 3115 < 3215 = 2515 = 275

3115 < 275 < 280 < 17 20  3115 < 17 20

DẠ

Bài 105. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018) So sánh :

a) A =

20092008 + 1 20092009 + 1 v ớ i B = 2009 2009 + 1 20092010 + 1

TOÁN 6

b) 3111 và 1714

2008

+ 1)( 20092010 + 1)

2009

+ 1)( 20092010 + 1)

2009

+ 1)( 20092009 + 1)

2010

+ 1)( 20092009 + 1)

20094018 + 20092010 + 20092008 + 1 ( 20092009 + 1)( 20092010 + 1)

20094018 + 20092010 + 20092008 + 1 ( 20092010 + 1)( 20092009 + 1)

20092009 + 20092009 = 20092008. ( 2009 + 2009 ) Do ( 20092 + 1) > ( 2009 + 2009 )  A > B 11

ƠN

3111 < 3211 = ( 25 ) = 255 < 256 = ( 24 ) = 1614 < 1714  3111 < 1714

Bài 106. So sánh hai phân số:

102012 − 10 102011 + 10 và A = 102013 − 10 102012 + 10

Lời giải Vì B < 1 nên

2011 102012 − 10 + 110 102012 + 100 10 (10 + 10 ) 102011 + 10 = = = =A 102013 − 10 + 110 102013 + 100 10 (102012 + 10 ) 102012 + 10

QU Y

20092010 + 20092008 = 20092008. ( 20092 + 1)

FI CI A

( 2009 A= ( 2009 ( 2009 B= ( 2009

Lời giải a)Thực hiện quy đồng mẫu số:

Bài 107. So sánh không qua quy đồng: A =

−7 −15 −15 −7 + 2006 ; B = 2005 + 2006 2005 10 10 10 10

KÈ

Bài 108. Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: −9 −19 −9 −19 A = 2010 + 2011 ; B = 2011 + 2010 10 10 10 10

DẠ

Lời giải Ta có:

HSG TOÁN 6

−9 −19 −9 −10 −9 + 2011 = 2010 + 2011 + 2011 2010 10 10 10 10 10 −9 −19 −9 −10 −9 B = 2011 + 2010 = 2011 + 2010 + 2010 10 10 10 10 10

FI CI A

Ta thấy

−10 −10 > 2010  A > B 2011 10 10

Bài 109.

b) Cho A =

1011 − 1 ; 1012 − 1

a+n a và b+n b

a) Cho a, b, n ∈ ℕ * . Hãy so sánh

1010 + 1 . So sánh A và B. 1011 + 1

ƠN

Lời giải a) Ta xét 3 trường hợp a a+n a =1 a = b  = =1 b b+n b

Th2:

a a+n a −b có phần thừa so với 1 là > 1 ⇔ a > b  a + m > b + n , mà b b+n b+n

Th1:

a <1 a < b  a + n < b + n b

Khi đó

a+n a −b a −b b− a a+n a có phần bù tới 1 là nên , vì < > b+n b b b+n b+n b

b) Cho A =

1011 − 1 1012 − 1

Th3:

QU Y

a a−b a −b a −b a+n a có phần thừa so với 1 là nên , vì < < b b b+n b b+n b

KÈ

1011 − 1) + 11 1011 + 10 ( a a+n a rõ ràng A < 1 nên theo câu a, < 1  >  A< = b b+n b (1012 − 1) + 11 1012 + 10

10 1011 + 10 10 (10 + 1) 1010 + 1 Do đó A < 12 = = 10 + 10 10. (1011 + 1) 1011 + 1

DẠ

Bài 110. (Đề thi HSG 6 THCS Kim Trực- Kim Bài 2017-2018) Cho x, y, z là các số nguyên dương. Chứng minh rằng biểu thức sau không có giá trị nguyên. x y z A= + + x+ y y+ z z+ x Lời giải 75

FI CI A

Chứng minh được:  x  x x x+ z x+ y > x+ y+ z x+ y < x+ y + z    y  y y y+x >  A >1 <  A<2   y z x y z y z x y z + + + + + +    z  z z z+ y > <   z+ x x+ y+ z z + x x+ y+ z Vậy 1 < A < 2 nên A không là số nguyên. Bài 111. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018) So sánh

TOÁN 6

a ) 2711 & 818 b) 536 & 1124

ƠN

c) 339 & 1121

Lời giải 11

Do 333 > 332  2711 > 818 12

a ) 2711 = ( 33 ) = 333 ; 818 = ( 34 ) = 332

b) 536 = ( 53 ) = 12512 ;1124 = (112 ) = 12112

QU Y

Do 12512 > 12112  536 > 1124 c) 339 < 340 = ( 34 ) = 8110 ;

1121 > 1120 = (112 ) = 12110

Do12110 > 8110  1121 > 339

Bài 112. (Đề thi HSG 6 trường….. 2018 - 2019) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: −9 −19 −9 −19 A = 2010 + 2011 ; B = 2011 + 2010 10 10 10 10

DẠ

KÈ

Lời giải Ta có: −9 −19 −9 −10 −9 A = 2010 + 2011 = 2010 + 2011 + 2011 10 10 10 10 10 −9 −19 −9 −10 −9 B = 2011 + 2010 = 2011 + 2010 + 2010 10 10 10 10 10 −10 −10 Ta thấy 2011 > 2010  A > B 10 10 Bài 113. (Đề thi HSG 6 huyện Bá Thước 2018 - 2019) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + ..... + 201271 + 201272 và B = 201273 − 1. So sánh A và B 76

ƠN

FI CI A

Lời giải Ta có: 2012 A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + .... + 201272 + 201273 201273 − 1 Lấy 2012 A − A = 201273 − 1 , Vậy A = < B = 201273 − 1 2011 Bài 114. (Đề thi HSG 6 huyện ….. 2019 - 2020) −22 51 a) So sánh : và − 45 103 2009 2009 + 1 20092010 − 2 và b) So sánh : A = B = 20092010 + 1 20092011 − 2 Lời giải 22 22 1 51 51 22 51 −22 −51 a) < = = <  <  > 45 44 2 102 101 45 101 45 101 2009 2010 − 2 b) B = <1 2009 2011 − 2 20092010 − 2 20092010 − 2 + 2011 2009 2010 + 2009 B= < = 20092011 − 2 20092011 − 2 + 2011 20092011 + 2009 2009 ( 20092009 + 1) 20092009 + 1 = = =A 2010 2009 ( 20092010 + 1) 2009 + 1

HSG TOÁN 6

QU Y

Vậy A > B Bài 115. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 20… - 20…) 20122012 + 1 2012 2011 + 1 So sánh phân số: A = và B = 20122013 + 1 20122012 + 1 Lời giải 20122013 + 2012 2011 Ta có: 2012. A = = 1+ (1) 2013 2012 + 1 20122013 + 1 20122012 + 2012 2011 2012 B = = 1+ (2) 2012 2012 + 1 20122012 + 1 2011 2011 < Từ (1) và (2) ta thấy: 2013 2012 + 1 20122012 + 1 Suy ra 2012 A < 2012 B  A < B Bài 116. (Đề thi HSG 6 Trường THCS Nguyễn Khuyến 2017-2018) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh: −9 −19 −9 −19 + 2011 ; B = 2011 + 2012 2012 10 10 10 10

KÈ

Lời giải −9 −19 −9 −10 −9 A = 2012 + 2011 = 2012 + 2011 + 2011 10 10 10 10 10 −9 −19 −9 −10 −9 + = + + 2011 2012 2011 2012 2012

Mà

−10 −10 < 2012 nên A < B 2011 10 10

DẠ

TOÁN 6

Bài 117. (Đề thi HSG 6 Huyện Lương Tài 2015-2016) So sánh A và B biết: B=

1717 + 1 1718 + 1

1718 + 1 , 1719 + 1

FI CI A

Lời giải

17 1718 + 1 1718 + 1 1718 + 1 + 16 17. (17 + 1) 1717 + 1 Vì A = 19 < 1  A = 19 < = = =B 17 + 1 17 + 1 1719 + 1 + 16 17. (1718 + 1) 1718 + 1

Bài 118. (Đề thi HSG 6 cấp trường năm học 2018 - 2019) So sánh hai số 5566 và 6655 11

Lời giải 11

Ta có: 5566 = ( 556 ) ; 6655 = ( 665 )

ƠN

Vì 556 = 56.116 = 15625.11.115 ; 665 = 65.115 = 7776.115  556 > 665 Suy ra 5566 > 6655

a) 2 và 5

Bài 119. (HSG Toán 6 cấp trường) So sánh:

2008 2008 2005 2011 + n , A = m + n ( x, m, n ∈ ℕ *) m x x x x

b) B =

Lời giải

b) Tách rồi so sánh:

QU Y

a)291 > 290 = 3218 > 2518 = 536 > 535  291 > 535 3 3 , xm xn

Xét x = 1  A = B

A = B ⇔ m = n  Xét x > 1:  A > B ⇔ m > n A < B ⇔ m < n 

m ột l ầ n

KÈ

Bài 120. (HSG Toán 6 cấp trường) Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1;2;3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ

Lời giải *Trường hợp không dùng lũy thừa

DẠ

Số lớn nhất có thể viết được: 321 *Trường hợp dùng lũy thừa 2

- Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 13 ,31 ,12 ,21 3

So sánh 21 và 31 , ta có: 21 > 31

HSG TOÁN 6 13

Xét các lũy thừa mà số mũ có 2 chữ số: 2 ,2 ,3 ,3 31

So sánh 3 và 2 ta có:

FI CI A

321 = 3.320 = 3.( 32 ) = 3.910 10

231 = 2.230 = 2.( 23 ) = 2.810 31

3 3

( )

So sánh 3 với 21 ta có: 3 > 3 = 3

= 273 > 213

Vậy số lớn nhất là 3

a b

sao cho

Có thể tìm được bao nhiêu phân số

1 a 2 < < 7 b 3 a b

thỏa mãn điều kiện trên ?

Tìm 10 phân số có dạng

ƠN

Bài 121. (Đề HSG Toán 6_Đặng Chánh Kỷ_2018-2019) 1 a 2 Cho 2 phân số < < 7 b 3

Từ đó suy ra 3 > 2

Lời giải 3 a 14 4 5 13 < <  10 phân số là: ; ;.....; a) 21 b 21 21 21 21

QU Y

b) Có vô số phân số thỏa mãn điều kiện trên vì các phân số cần tìm phụ thuộc vào mẫu chung. Nếu mẫu chung càng lớn thì phân số càng nhiều

Bài 122. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2018-2019) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:

−9 2010

−19 10

2011

;B =

−9

2011

−19

2010

KÈ

10 Lời giải

−9 −19 −9 −10 −9 + 2011 = 2010 + 2011 + 2011 2010 10 10 10 10 10 −9 −19 −9 −10 −9 B = 2011 + 2010 = 2011 + 2010 + 2010 10 10 10 10 10 −10 −10 Ta thấy 2011 > 2010  A > B 10 10

DẠ

Bài 123. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2019-2020) −7 −15 −15 −7 So sánh không qua quy đồng: A = 2005 + 2006 ; B = 2005 + 2006 10 10 10 10 Lời giải 79

TOÁN 6

−7 −15 −7 −8 −7 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 2005 10 10 10 10 10 −15 −7 −7 −8 −7 B = 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 10 10 10 10 10 −8 −8 >  A> B 102006 102005 Bài 124. (Đề HSG Toán 6_cấp trường_2019-2020)

15 25 v ới 301 499

b)So sánh tổng S =

1 2 3 n 2007 + 2 + 3 + ..... + n + ...... + 2007 với 2. ( n ∈ℕ *) 2 2 2 2 2

a)So sánh phân số:

FI CI A

ƠN

Lời giải 15 15 1 25 25 15 25 a) < = = < . Vậy < 301 300 20 500 499 301 499 n n +1 n + 2 b)Với mọi n ≥ 2, ta có: n = n+1 − n . Từ đó ta có: 2 2 2 1 3 4   4 5  2009  2008 2009  S = +  − 2  +  2 − 3  + ..... +  2006 − 2007  = 2 − 2007 < 2 . Vậy S < 2 2 2 2  2 2  2 2 2  Bài 125. Đề HSG Toán 6_cấp huyện_2018-2019 1 3 5 9999 Cho A = . . ..... . So sánh A với 0,01 2 4 6 10000

2 3 4 9999 10000 ; < ;......; < nên A 0; B > 0 2 3 4 5 10000 10001 9999   2 4 6 10000  1 3 5  A2 < A.B =  . . ......  .  . . ......  10000   3 5 7 10001  2 4 6 1 2 3 9999 10000 1 1 2 2 = . . ...... . = < = ( 0, 01)  A2 < ( 0, 01)  A < 0, 01 2 3 4 10000 10001 10001 10000 <

KÈ

Vì

QU Y

Lời giải 1 3 5 9999 2 4 6 10000 A = . . ...... ,đặt B = . . ...... 3 5 7 10001 2 4 6 10000

DẠ

Bài 126. Đề HSG Toán 6_Nga Sơn_2018-2019 201201 201201201 c) và a )3200 và 2300 b) 7150 và 37 75 202202 202202202 Lời giải a) So sánh 3200 và 2300 100

Ta có: 3200 = ( 32 )

= 9100

100

; 2300 = ( 23 )

= 8100

Mà 8100 < 9100 nên 2300 < 3200

b) So sánh 7150 và 37 75 80

HSG TOÁN 6 50

Ta thấy : 7150 < 7250 = ( 8.9 ) = 2150.3100 (1) 75

37 75 > 3675 = ( 22.32 ) = 2150.3150

> 2150.3100

(3) 75

FI CI A

150 150

Mà 2 .3

(2)

Từ (1), (2), (3) suy ra: 37 > 71 201201 201 1001 201 c) Ta có: = . = ; 202202 202 1001 202 Vậy 2 phân số trên bằng nhau.

201201201 201 1001001 201 = . = 202202202 202 1001001 202

Cho A =

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ..... + 2 . Chứng minh : 2 1 2 3 4 50

A< 2

ƠN

Lời giải 1 1 1 Ta có: 2 < = 1− 2 1.2 2

Bài 127. Đề HSG Toán 6_Nga Sơn_2018-2019

Vậy A =

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + .... + 2 2 1 2 3 4 50

QU Y

1 1 1 1 1 < + + + + ..... + 1 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 1 1 1 1 = 1 + − + − + ... + − 1 2 2 3 49 50 1 99 = 1+1− = <2 50 50

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < = − ; 2< = − ......; 2 < = − 2 3 2.3 2 3 4 3.4 3 4 50 49.50 49 50

Bài 128. (ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 6- THANH OAI- 2018-2019) 5 5 5 5 5 + + + + ....... + . Chứng minh rằng 3 < S < 8 20 21 22 23 49

Lời giải

5 5 5 5 5 5 5 5 5 + + ...... + + > + + ..... + + = 30. = 3 20 21 48 49 50 50 50 50 50

KÈ

Xét tổng S =

Cho S =

S > 3

5 5 5 5 5 5 5 5 5 15 + + ...... + + < + + ..... + + = 30. = < 8 20 21 48 49 20 20 20 20 20 2

DẠ

S <8

3 < S < 8

Bài 129. (ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 6- HẢI HẬU) Với n là số tự nhiên, hãy so sánh bội chung nhỏ nhất của n2 + n + 2 và 3 với n2 + n + 2 81

TOÁN 6

Lời giải

Với mọi số tự nhiên n thì n2 + n + 2 không chia hết cho 3, thật vậy: n2 + n + 2 = n ( n + 1) + 2

FI CI A

Nếu n⋮3 thì n ( n + 1)⋮ 3  n ( n + 1) + 2 chia cho 3 dư 2

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + 1( k ∈ ℕ ) khi đó n 2 + n + 2 = ( 3k + 1)( 3k + 2 ) + 2 = 3 ( 3k 2 + 5 k ) + 1 chia cho 3 dư 1 Nếu n chia cho 3 dư 2 thì

n +1chia hết cho 3 khi đó n2 + n + 2 chia cho 3 dư 2

BCNN (n2 + n + 2;3) = 3(n2 + n + 2) > n2 + n + 2 Bài 130. (ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 6- THANH CHƯƠNG)

1717 1313 và 8585 5151

b) 9 8.516 và 1920

Lời giải 1717 17 1 13 13 1313 1717 1313 = = = < =  < 8585 85 5 65 51 5151 8585 5151

ƠN

Không tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:

b)98.516 = 316.516 = 1516 < 1916 < 1920  98.516 < 1920

Bài 131. (Đề thi HSG 6 CẤP TRƯỜNG 2019 - 2020) − 22 51 và − 45 101

b)So sánh : A =

QU Y

a)So sánh :

2009 2009 + 1 2009 2010 − 2 và B = 2009 2010 + 1 2009 2011 − 2

Lời giải

22 22 1 51 51 22 51 −22 −51 < = = <  <  > 45 44 2 102 101 45 101 45 101

2009 2010 − 2 <1 2009 2011 − 2 2009 2010 − 2 2009 2010 − 2 + 2011 2009 2010 + 2009 B= < = 2009 2011 − 2 2009 2011 − 2 + 2011 2009 2011 + 2009 2009 ( 2009 2009 + 1) 2009 2009 + 1 = = =A 2010 2009 ( 2009 2010 + 1) 2009 + 1

KÈ

b) B =

B< A

DẠ

Vậy

Bài 132. (Đề thi HSG 6 huyện HOÀI NHƠN 2018-2019) So sánh M và N biết: M =

19 30 + 5 1931 + 5 ; N = 19 31 + 5 19 32 + 5 82

Như vậy n2 + n + 2 không chia cho 3 với mọi n ∈ ℕ , mà 3 là số nguyên tố nên

HSG TOÁN 6

Lời giải

FI CI A

19. (1930 + 5 ) 1931 + 95 1930 + 5 90 M = 31  19M = = 31 = 1 + 31 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 31 19. (19 + 5) 1932 + 95 1931 + 5 90  19 N = = 32 = 1 + 32 N = 32 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 90 90 90 90 > 32  1 + 31 > 1 + 32  19M > 19 N 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 Vậy M > N

So sánh : 1234567899 và

9123456789

Lời giải 10

Bài 133. ( HSG 6 Huyện Vĩnh Tường năm 2019 – 2020 )

ƠN

9123456789 > 9100.000.000 = 8150.000.000 > 1050.000.000 > 10100 = (1010 ) > 1234567899 Bài 134. ( HSG 6 năm 2018 – 2019 )

−7 −15 −15 −7 + 2006 ; B = 2005 + 2006 2005 10 10 10 10

So sánh không qua quy đồng: A =

Lời giải

−7 −15 −7 −8 −7 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 2005 10 10 10 10 10

−15 −7 −7 −8 −7 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 2005 10 10 10 10 10

−8 −8 > 2005  A > B 2006 10 10

QU Y

Bài 135. ( HSG 6 năm 2018 – 2019 ): Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:

−9 −19 −9 −19 + 2011 ; B = 2011 + 2010 2010 10 10 10 10

KÈ

Lời giải

−9 −19 −9 −10 −9 + 2011 = 2010 + 2011 + 2011 2010 10 10 10 10 10

−9 −19 −9 −10 −9 + 2010 = 2011 + 2010 + 2010 2011 10 10 10 10 10

DẠ

Ta thấy

−10 −10 > 2010  A > B 2011 10 10

TOÁN 6

Bài 136. (Đề thi HSG 6 huyện VIỆT YÊN 2019-2020)

Lời giải 2014 + 2016 ) . (10 2016 + 2016 ) 10 2014 + 2016 (10 Ta có: A = 2015 = 10 + 2016 (10 2015 + 2016 ) . (10 2016 + 2016 )

(10

2015

+ 2016 ) . (10 2016 + 2016 )

10 4030 + 2016.10 2014.101 + 2016 2 = (1) (10 2015 + 2016 ) . (10 2016 + 2016 )

2015 + 2016 ) . (10 2015 + 2016 ) 10 2015 + 2016 (10 Lại có B = 2016 = 10 + 2016 (10 2016 + 2016 ) . (10 2015 + 2016 )

10 4030 + 2016. (10 2014 + 10 2016 ) + 2016 2

FI CI A

10 2014 + 2016 10 2015 + 2016 So sánh A = 2015 và B = 2016 10 10 + 2016 + 2016

 A> B

(2)

Từ (1) và (2)

ƠN

104030 + 2.2016.102015 + 20162 104030 + 20.2016.102014 + 20162 = = (102015 + 2016)(102016 + 2016) (102015 + 2016)(102016 + 2016)

Bài 137. (Đề thi HSG 6 THCS XUÂN DƯƠNG 2019-2020) Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ...... + + <1 2 2 2 3 4 5 2011 20122

Ta có:

QU Y

Lời giải

1 1 1 1 1 1 < < ; 2< ;.......; 2 2 2 1.2 3 2.3 2012 2011.2012

KÈ

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ..... + + < + + + ..... + 22 32 42 20112 20122 1.2 2.3 3.4 2011.2012 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 = − + − + − + ..... + − = 1 2 2 3 3 4 2011 2012 2012 1 1 1 1 1  2 + 2 + 2 + ..... + + <1 2 3 4 20112 20122 Bài 138. (Đề thi HSG 6 THCS HỒNG DƯƠNG 2019-2020)

Avà B biết: A = 20112012 − 20112011;

B = 20112013 − 20112012

So sánh

DẠ

Lời giải Ta có:

A = 20112012 − 20112011 = 20112011. ( 2011 − 1) = 20112011.2010

HSG TOÁN 6

B = 20112013 − 20112012 = 20112012. ( 2011 − 1) = 20112012.2010

20112012 > 20112011  B > A.

FI CI A

Bài 139. (Đề thi HSG 6, THCS DÂN HÒA 2018-2019) Cho A = 1 + 4 + 4 2 + 43 + .... + 499 ; B = 4100 Chứng minh rằng: A <

B 3

Lời giải

4 A = 4 + 4 2 + 4 3 + 4 4 + ..... + 4100 A = 1 + 4 + 4 2 + 4 3 + ..... + 4 99

3 A = 4 A − A = 4100 − 1

Vậy A <

ƠN

4100 − 1 4100 B < = 3 3 3

B 3

 A=

Bài 140. (Đề thi HSG 6, THCS DÂN HÒA 2018-2019) So sánh C và D: C =

20132013 + 1 20132014 +1

QU Y

Lời giải

;

20132012 +1 20132013 + 1

20132013 + 1 20132014 + 2013 2012 2013  C = = 1+ 2014 2014 2013 + 1 2013 + 1 20132014 + 1 20132012 + 1 20132013 + 2013 2012  2013 = = 1+ D= D 2013 2013 2013 + 1 2013 + 1 20132013 + 1

2012 2012 <  2013C < 2013D  C < D 2014 2013 + 1 20132013 + 1

Vì

Bài 141. (Đề thi HSGH 6, 2018-2019)

a) A =

KÈ

Thực hiện so sánh:

20132013 131313 với B = 20142014 141414

b) C = 20139 + 201310 với D = 201410

DẠ

Lời giải a) A =

2013.10001 2013 13.10101 13 = ;B = = 2014.10001 2014 14.10101 14

1− A = 1−

2013 1 13 1 = ;1 − B = 1 − = 2014 2014 14 14 85

TOÁN 6

Do 1− A < 1− B  A > B.

b) C = 20139. (1 + 2013) = 20139.2014

FI CI A

D = 20149.2014

Mà 2013 < 2014  C < D

Bài 142. a) Cho a , b , n ∈ ℕ * . Hãy so sánh

1011 −1 ; 1012 −1

1010 + 1 . So sánh A và B. 1011 + 1

b) Cho A =

a a+n và b+n b

Lời giải a) Ta xét 3 trường hợp a a+n a =1 a = b  = =1 b b+n b

Th2:

a a+n a −b có phần thừa so với 1 là > 1 ⇔ a > b  a + m > b + n , mà b b+n b+n

ƠN

Th1:

a a −b a −b a−b a+n a có phần thừa so với 1 là , vì nên < < b+n b b+n b b b a <1 a < b  a + n < b + n b

Khi đó

QU Y

Th3:

a+n a −b a −b b− a a+n a có phần bù tới 1 là nên , vì < > b b b+n b+n b b+n

b) Cho A =

1011 − 1 1012 − 1

1011 − 1) + 11 1011 + 10 ( a a+n a Rõ ràng A < 1 nên theo câu a, < 1  >  A< = b b+n b (1012 − 1) + 11 1012 + 10 10 1011 + 10 10 (10 + 1) 1010 + 1 = = 1012 + 10 10. (1011 + 1) 1011 + 1

KÈ

Do đó A <

Bài 143.

DẠ

Cho phân số

a ( a < b ) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn b

a ? b

Lời giải 86

HSG TOÁN 6

Theo bài toán cho a < b  am < bm

 ab + am < ab + bm



FI CI A

 a (b + m) < b ( a + m) a a+m < b b+m

Bài 144.

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < 2 4 8 16 32 64 3

1 2 3 4 99 100 3 − 2 + 2 − 4 + ...... + 99 − 100 < 3 3 3 3 3 3 16

Chứng minh rằng:

Lời giải

1 1 1 1 1  2A = 1− + 2 − 3 + 4 − 5 2 2 2 2 2 1 26 − 1  2 A + A = 3A = 1− 6 = 6 < 1 2 2 1  3A < 1  A < 3

ƠN

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − + − + − 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26

a) Đặt A =

QU Y

1 2 3 4 99 100 b) Đặt A = − 2 + 3 − 4 + ..... + 99 − 100 3 3 3 3 3 3

2 3 3 3 99 100  3 A = 1 − − 2 + 3 − 4 + ...... + 98 − 99 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 100  4 A = 1 − + 2 − 3 + ...... + 98 − 99 − 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  4 A < 1 − + 2 − 3 + ...... + 98 − 99 (1) 3 3 3 3 3

KÈ

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đặt B = 1 − + 2 − 3 + ..... + 98 − 99  3B = 2 + − 2 + .... + 97 − 98 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 < 3  B < (2) 99 3 4

4 B = B + 3B = 3 −

DẠ

Từ (1) và (2)  4 A < B <

3 3  A< 4 16

Bài 145. Tìm phân số lớn hơn

6 4 , nhỏ hơn và có mẫu số bằng 20. 17 17 87

TOÁN 6

Lời giải

a , a là số tự nhiên 20

Gọi phân số phải tìm là

FI CI A

4 a 6 < <  80 < 17a < 120  5 < a < 7  a = 6 17 20 17 Bài 146. So sánh 20092010 + 20092009 với 20102010

Lời giải

Bài 147. Cho A =

102001 + 1 ; 102002 + 1

102002 + 1 . Hãy so sánh A và B. 102003 + 1

102002 + 10 9 = 1 + 2002 (1) 2002 10 + 1 10 + 1

Tương tự: 10B =

102003 + 10 9 = 1 + 2003 (2) 2003 10 +1 10 +1

9 2002

Bài 148.

⇒ 10A > 10B ⇒ A > B

20092010 − 2 20092009 + 1 B = và . 20092010 + 1 20092011 − 2

22 22 1 51 51 22 51 −22 −51 < = = < ⇒ < ⇒ > 45 44 2 102 101 45 101 45 101

KÈ

9 2003

−22 51 và − ; 45 103

b) So sánh: A =

Lời giải

QU Y

Từ (1) và (2) ta thấy:

a) So sánh:

Ta có: 10A =

ƠN

Lời giải

DẠ

b)B =

( (

2009 2010 + 2009 2009 = 2009 2009 ( 2009 + 1) = 2009 2009.2010

) )

Vậy A > B

HSG TOÁN 6

Bài 149.

b) Cho A =

a a +n và b b +n

FI CI A

a) Cho a, b, n ∈ ℕ * . Hãy so sánh

1011 − 1 1010 + 1 . So sánh A và B. ; B = 1012 − 1 1011 + 1

Lời giải a) Ta xét 3 trường hợp a a +n a =1⇒a =b ⇒ = =1 b b +n b

Th2:

a a +n a −b có phần thừa so với 1 là > 1 ⇔ a > b ⇒ a + m > b + n , mà b b +n b +n

Th1:

Khi đó

a <1 ⇒a <b ⇒a +n <b +n b

a −b a +n a −b b −a a +n a có phần bù tới 1 là , vì nên < > b b +n b b +n b +n b

b) Cho A =

1011 − 1 1012 − 1

QU Y

Th3:

ƠN

a a −b a −b a −b a +n a có phần thừa so với 1 là nên , vì < < b b b +n b b +n b

( (

) )

1011 − 1 + 11 1011 + 10 a a +n a rõ ràng A < 1 nên theo câu a, < 1 ⇒ > ⇒A< = 12 b b +n b 1012 − 1 + 11 10 + 10

( (

) )

10 1010 + 1 1011 + 10 1010 + 1 = = 1012 + 10 10. 1011 + 1 1011 + 1

Do đó A <

Bài 150. (Đề thi HSG 6 cấp trường năm học 2018 - 2019) 1999

KÈ

Chứng minh rằng: 2

< 7 714

Lời giải

DẠ

210 = 1024 238 238  210 < 3.73  ( 210 ) < 3238.( 73 )  22380 < 3238.7714  3 7 = 343 8 2 = 256  35 < 28  5 3 = 243

Mặt khác:

TOÁN 6 47

3238 = 33.3235 = 33.( 35 ) < 33.( 28 ) < 25.2376 = 2381  3238 < 2381 Bài 151. (Đề thi HSG 6 THCS HOẰNG PHỤ 2019-2020) 201899 − 1 201898 − 1 a) So sánh E = và F = 2018100 − 1 201899 − 1 b) Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ) . Biết ab − ba là số chính phương

c) Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số abc + 1918 a+b+c

Tìm giá trị lớn nhất của A =

FI CI A

22380 < 3238.7714  22380 < 2381.7714  21999 < 7714

Lời giải

ƠN

a) Ta có:

201899 − 1 2018100 − 2018 2017  2018 E =  2018 E = 1 − 100 100 2018 − 1 2018 − 1 2018100 − 1 201899 − 1 201899 − 2018 2017  2018 =  2018 F = 1 − F= F 99 99 2018 − 1 2018 − 1 201899 − 1 Vì

2017 2017 2017 2017 <  1− > 1− 100 99 100 2018 − 1 2018 − 1 2018 − 1 201899 − 1

QU Y

Hay 2018E > 2018F  E > F b) Ta có: ab − ba = 9 ( a − b )

Do a , b là các chữ số, ab là số nguyên tố nên 3 ≤ b  9 ( a − b ) là số chính phương khi a − b ∈ {1; 4} Với a − b = 1 mà ab là số nguyên tố  ta được số ab = 43

Với a − b = 4 mà ab là số nguyên tố  ta được số ab = 73

a) A =

KÈ

Vậy ab ∈ {43;73}

abc 100a + 10b + c + 1918 = + 1918 a+b+c a+b+c

Nếu b = c = 0 thì A = 100 + 1918 = 2018

DẠ

Nếu b hoặc c khác 0 thì A<

100a + 100b + 100c + 1918 = 100 + 1918 = 2018  A ≤ 2018 a+b+c

HSG TOÁN 6

Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a ∈ {1; 2;....;9} ; b = c = 0 (Hai ý b,c này thầy cô tự chuyển nha, GV tách nhầm chuyên đề rồi)

FI CI A

Bài 152. (Đề thi HSG 6 huyện BÌNH THUẬN 2018-2019) So sánh: 36 25 và 2536 Lời giải 25

36 25 = (18.2 ) = 1825.225 = 1825.26.219 2536 = 2525.2511 = 2525.522 = 2525.53.519

 2525.53.519 > 1825.26.219 hay 3625 > 2536

ƠN

Bài 153. (Đề thi HSG 6 TP BUÔN MÊ THUỘC 2019-2020) 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 + ...... + < 2 4 6 8 ( 2n ) 4 Lời giải

1 1 1 1 + 2 + 2 + ..... + 2 2 4 6 8 ( 2n ) 1

( 2.2 )

( 2.3)

( 2.4 )

+ ...... +

( 2.n )

Ta có: A=

53 = 125; 26 = 64  53 > 26  2525 > 1825 ;519 > 219

QU Y

 1  1 1 1 1  1  1 1 1 + + ..... + A = .  2 + 2 + 2 + ..... + 2  < .   n  4  1.2 2.3 4 2 3 4 ( n − 1) n  1 1 1 1 1 1 1 A < .  − + − + ..... + −  n −1 n  4 1 2 2 3

1  1 1 A < .  1 −  < ( dfcm) 4  n 4

KÈ

Bài 154. (Đề thi HSG 6 HUYỆN LÂM THAO 2019-2020) Cho M = ( −a + b ) − ( b + c − a ) + ( c − a ) . Trong đó b, c ∈ ℤ còn a là một số nguyên âm. Chứng minh rằng biểu thức M luôn dương và tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Lời giải

M = −a mà a là số nguyên âm nên M luôn dương x = 0, y = 0 hoặc x = 2, y = 2

DẠ

(câu này cũng nhầm vị trí)

Bài 155. (Đề thi HSG 6 TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA 2018-2019) Cho biết S =

1 1 1 1 91 + + ...... + . Chứng minh rằng < S < 101 102 130 4 330

TOÁN 6

Lời giải

ƠN

1 1   1 1   1 1   1 S = + + .... + + .... + + ..... + + +  110   111 120   121 130   101 102 1 1   1 1   1 1   1 + + ..... + + ..... + + ..... + S < + +  100   110 110   120 120   100 100 1 1 1 1 1 1 181 182 91 S< .10 + .10 + .10 = + + = < < 100 110 120 10 11 12 660 660 330 91 S< (1) 330 1 *Chứng minh < S 4 1   1 1   1 1   1 S > + ..... + + .... + + .... + + +  110   120 120   130 130   110 1 1 1 1 1 1 S> .10 + .10 + .10 = + + 110 120 130 11 12 13 431 429 1 S> > S > (2) 1716 1716 4 1 91 Từ (1) và (2)  < S < 4 330 Bài 156. (Đề thi HSG 6 huyện HOÀI NHƠN 2018-2019) 1930 + 5 1931 + 5 So sánh M và N biết: M = 31 ; N = 32 19 + 5 19 + 5

91 330

FI CI A

*Chứng minh S <

QU Y

Lời giải

KÈ

19. (1930 + 5 ) 1931 + 95 1930 + 5 90 M = 31  19 M = = 31 = 1 + 31 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 31 19. (19 + 5 ) 1932 + 95 1931 + 5 90 N = 32  19 N = = 32 = 1 + 32 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 90 90 90 90 >  1 + 31 > 1 + 32  19 M > 19 N 1931 + 5 1932 + 5 19 + 5 19 + 5 Vậy M > N Bài 157. −22 −51 > a)So sánh : 45 101 2009 2009 + 1 2009 2010 − 2 b)So sánh : A = và B = 2009 2010 + 1 2009 2011 − 2

DẠ

Lời giải a)

22 22 1 51 51 22 51 −22 −51 < = = <  <  > 45 44 2 102 101 45 101 45 101

HSG TOÁN 6

2009 2010 − 2 <1 20092011 − 2 20092010 − 2 20092010 − 2 + 2011 2009 2010 + 2009 B= < = 20092011 − 2 20092011 − 2 + 2011 20092011 + 2009 2009 ( 20092009 + 1) 20092009 + 1 = = =A 2010 2009 ( 20092010 + 1) 2009 + 1

FI CI A

b) B =

Hãy so sánh : 1234567899 và 9123456789

Lời giải 10

Vậy B < A Bài 158. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020)

9123456789 > 9100.000.000 = 8150.000.000 > 1050.000.000 > 10100 = (1010 ) > 1234567899

Cho a, b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng

a b + ≥2 b a

Lời giải

ƠN

Bài 159. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020)

Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b  a = b + m, m ∈ ℕ

a b b+m b m b m b + = + = 1+ + ≥ 1+ + =2 b a b b+m b b+m b+m b+m

QU Y



Bài 160. (Đề thi HSG 6 huyện 282 năm học 2018-2019) So sánh:

a)A =

20132013 131313 vớ i B = 20142014 141414

Lời giải

b)C = 20139 + 201310 với D = 201410

2013.10001 2013 13.10101 13 = ;B = = 2014.10001 2014 14.10101 14 2013 1 13 1 1− A = 1− = ; 1− B = 1− = 2014 2014 14 14 1 1 Do <  1− A < 1− B  A > B 2014 14

KÈ

a) A =

b) C = 20139. (1 + 2013) = 20139.2014

DẠ

D = 20149.2014 2013 < 2014  C < D

Bài 161. (Đề thi HSG 6) 3 3 3 3 3 Cho S = . Chứng minh rằng : 1< S < 2. + + + + 10 11 12 13 14 93

TOÁN 6

Lời giải

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 => S < + + + + < + + + + < =2 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10

Từ (1) và (2) => 1 < S < 2.

Bài 162. Chứng minh rằng :

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + < 2 2 4 6 8 (2n) 4

Ta có 1 1 1 1 A = 2 + 2 + 2 + ... + 4 6 8 (2n) 2 1 1 1 1 + + + ... + 2 2 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 2

1 1 1 1 1  + + +   4  1.2 2.3 3.4 ( n − 1)n 

1 1 1 1 1  A =  2 + 2 + 2 + ... + 2  < 42 3 4 n 

ƠN

QU Y

1 1 1 1 1 1 1 1 1 A <  − + − + − + ... + −  4 1 2 2 3 3 4 ( n − 1) n  1 1 1 A < 1 −  < (Đpcm) 4 n 4 Bài 163. 2010 2011 2012 1 1 1 1 + + So sánh A và B biết A = và B = + + + ... + 2011 2012 2010 3 4 5 17

Lời giải Ta có

(2)

Lời giải

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 + + + + > + + + + => S > = 1 (1) 10 11 12 13 15 15 15 15 15 15 15

FI CI A

KÈ

1   1   2   A = 1 −  + 1 −  + 1 +   2011   2012   2010  1   1 1   1 A = 3+ − − +   2010 2011   2010 2012  A>3

DẠ

1  1 1 1 1 1 B =  +  +  + ... +  +  + ... +  9   10 17  3 4 5 1 1 1 B < .2 + .5 + .8 2 5 8 B<3

Từ đó suy ra A > B

HSG TOÁN 6

FI CI A

Bài 164. Không tính giá trị biểu thức. Hãy so sánh: 1717 1313 a, và b, 98 . 516 và 1920 8585 5151 Lời giải a,

1717 17 1 13 13 1313 1717 1313 = = = < = Û < 8585 85 5 65 51 5151 8585 5151

b, 98 . 516 = 316.516 = 1516 <1916 < 1920 => 98 . 516 < 1920

1 2 3 4 99 100 3 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 < 3 3 16 3 3 3 3

ƠN

Bài 165. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 − < ; a) − + − + 2 4 8 16 32 64 3

Lời giải

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − 2 + 3− 4 + 5 − 6 2 4 8 16 32 64 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1  2A= 1 − + 2 − 3 + 4 − 5 2 2 2 2 2 6 1 2 −1  2A+A =3A = 1- 6 = <1 2 26 1  3A < 1  A < 3 1 2 3 4 99 100 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 b) Đặt A= 3 3 3 3 3 3 2 3 3 4 99 100 3A= 1- − 2 + 3 − 3 + ... + 98 − 99 3 3 3 3 3 3

QU Y

a) Đặt A=

DẠ

KÈ

1 1 1 1 1 100  4A = 1- + 2 − 3 + ... + 98 − 99 − 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1  4A< 1- + 2 − 3 + ... + 98 − 99 (1) 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Đặt B= 1- + 2 − 3 + ... + 98 − 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1  3B= 2+ − 2 + ... + 97 − 98 3 3 3 3 1 3 4B = B+3B= 3- 99 < 3  B < (2) 4 3 3 3 Từ (1)và (2)  4A < B < A< 4 16 95

TOÁN 6

Bài 166. Các phân số sau có bằng nhau hay không? Vì sao?

FI CI A

23 23232323 2323 232323 ; ; ; 99 99999999 9999 999999 Lời giải Ta thấy;

23 23.101 2323 = = 99 99.101 9999

23 23.10101 232323 = = 99 99.10101 999999

Vậy;

ƠN

23 23.1010101 23232323 = = 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323 = = = 99 9999 999999 99999999

Bài 167.

199919991999 1999 và phân số B = . So sánh A và B. 200020002000 2000

Cho phân số A =

Lời giải

QU Y

Ta có 199919991999 1999000000 + 19990000 + 1999 A= = 200020002000 2000000000 + 20000000 + 2000 1999(100000000 + 10000 + 1) 1999.100010001 1999 = = = =B 2000(100000000 + 10000 + 1) 2000.100010001 2000 Vậy A = B.

12n + 1 là phân số tối giản. 30n + 2

KÈ

a. chứng tỏ rằng

Bài 168.

b. Chứng minh rằng :

1 1 1 1 + 2 + 2 +...+ <1 2 2 3 4 100 2

Lời giải

a. Gọi d là ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có

DẠ

5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d

vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó 1 1 1 1 < = 2 2.1 1 2 2 96

12 n + 1 là phân số tối giản 30 n + 2

b. Ta có

HSG TOÁN 6

1 1 1 1 < = 2 3 2.3 2 3

FI CI A

... 1 1 1 1 < = 2 100 99.100 99 100

Vậy

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 +...+ < - + - + ...+ 2 2 99 100 2 3 100 1 2 2 3

1 1 1 1 99 + 2 +...+ <1= <1 2 2 100 100 2 3 100

Bài 169. Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng

6 9 2 số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3. 7 11 3

9 6 21 : = (số thứ hai) 11 7 22

Số thứ nhất bằng:

9 2 27 : = (số thứ hai) 11 3 22

Số thứ ba bằng:

ƠN

Lời giải

22 + 21 + 27 70 (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22

Số thứ hai là : 210 :

70 21 27 = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là: .66 = 81 22 22 22

Bài 170.

QU Y

Tổng của 3 số bằng

So sánh: 222333 và 333222

Lời giải

Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2

KÈ

Suy ra: 222333 > 333222

Bài 171.

−7 −15 −15 −7 + 2006 và M = 2005 + 2006 2005 10 10 10 10

So sánh N =

DẠ

Lời giải

So sánh: Xét: N =

−7 −15 −7 −8 −7 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 2005 10 10 10 10 10

TOÁN 6

−8 −8 > 2005 2006 10 10

FI CI A

Ta có:

−15 −7 −7 −8 −7 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 2005 10 10 10 10 10

Và M =

Vậy N > M

Bài 172. (Đề thi HSG 6) Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0 và biểu thức:

a b c d + + + . a+b+c a+b+d a+c+d b+c+d

Hỏi M có giá trị là số tự nhiên hay không? Vì sao ?

Lời giải

Tương tự :

b b > a+b+d a+b+c+d

c c > a+c+d a+b+c+d

QU Y

d d > b+c+d a+b+c+d a+b+c+d =1 a+b+c+d

Suy ra M >

Vì a, b, c, d ∈ ℕ*  a + b + c > a + b 

a a < a +b+c a+b

b b < a+b+d a+b

Tương tự :

a a > a+b+c a+b+c+d

ƠN

Vì a, b, c, d ∈ ℕ*  a + b + c < a + b + c + d 

KÈ

c c < ; a+c+d c+d d d < ; b+c+d c+d

a+b c+d + =2 a+b c+d

DẠ

Suy ra M <

Vậy 1 < M < 2 nên M không là số tự nhiên.

HSG TOÁN 6

Bài 173. (Đề thi HSG 6 huyện 2006-2007)

15 25 với 301 499

b) So sánh tổng S =

1 2 3 n 2007 + 2 + 3 + ... + n + ... + 2007 với 2. n ∈ ℕ* 2 2 3 2 2

(

)

Lời giải a) So sánh phân số:

15 25 với 301 499

15 25 < . 301 499

b) So sánh tổng S =

n n +1 n + 2 = − n . Từ đó ta có: 2n 2n +1 2

1 3 4   4 5   2008 2009  +  − 2  +  2 − 3  + ... +  2006 − 2007  2 2 2  2 2  2 2 

= 2−

2009 <2 22007

QU Y

(

Với ∀n ≥ 2 ta có:

1 2 3 n 2007 + 2 + 3 + ... + n + ... + 2007 với 2. n ∈ ℕ* 2 2 3 2 2

ƠN

Vậy

15 15 1 25 25 < = = < . 301 300 20 500 499

Vậy S < 2

Bài 174. (Đề thi HSG 6)

Lời giải

KÈ

Biến đổi:

3 8 9999 + + ... + với số 99. 4 9 10000

So sánh giá trị của biểu thức: A =

FI CI A

a) So sánh phân số:

1   1  1  A =  1 −  +  1 −  + ... +  1 −   4  9  10000 

1   1 1    A =  1 − 2  +  1 − 2  + ... +  1 − 2   2   3   100 

DẠ

1 1   1 A = 99 −  2 + 2 + ... +  3 100 2  2

A = 99 − B

)

TOÁN 6

1 1 1 + 2 + ... + 2 2 3 1002

Trong đó B =

FI CI A

Vì B > 0 nên A < 99

Bài 175. (Đề thi HSG 6) 32

So sánh 2 số: 2 3 và 32

Lời giải 3

Ta có 32 = 38 = 94 > 84 = 212 > 210 23

Từ đó: 23 > 22 = 22.2 = 42 > 32 = 32 32

Suy ra: 2 3 > 32

Bài 176. (Đề thi HSG 6)

ƠN

1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: A = + 2 + 3 + ... + 99 < 3 3 3 3 2

1 1 1 1 Ta có: 3 A = 1 + + 2 + 3 + ... + 98 3 3 3 3 Nên 3 A − A = 1 −

1 399

QU Y

Hay 2 A = 1 −

1 399

1 1 1 − 99 < 2 2.3 2

Vậy A <

Lời giải

1 2

Bài 177. (Đề thi HSG 6 )

KÈ

a) Cho a, b, n ∈ ℕ* . Hãy so sánh b) Cho A =

a+n a và b+n b

1011 − 1 1010 + 1 , B = . So sánh A và B . 1012 − 1 1011 + 1

Lời giải

DẠ

Ta xét 3 trường hợp

TH1:

a a a = 1, > 1, < 1 b b b

a a+n a+n = 1 ⇔ a = b thì = =1 b b+n a+n

100

HSG TOÁN 6

a+n a −b có phần thừa so với 1 là b+n b+n

FI CI A

Mà

a > 1 ⇔ a > b ⇔ a + n > b + n. b

TH2:

a a −b có phần thừa so với 1 là , b b a −b a −b a+n a < nên < b+n b b+n b a < 1 ⇔ a < b ⇔ a + n < b + n. b

Khi đó

TH3:

a+n b−a có phần bù tới 1 là , b+n b+n

ƠN

vì

a b−a có phần bù tới 1 là , b b b−a b−a a+n a < nên > b+n b b+n b

b) Cho A =

1011 − 1 1012 − 1

a a+n a < 1 thì > b b+n b

(10 A< (10

( (

) )

1 2 3 n 11 1 + 3 + 4 + ... + n +1 + ... + 12 với n ∈ N. Chứng minh rằng A < 2 5 5 5 5 5 16

KÈ

Cho A =

10 + 10 10 10 + 1 1010 + 1 = = 12 + 10 10 1011 + 1 1011 + 1

) = 10 − 1) + 11 10

− 1 + 11

Vây A < B .

Bài 178.

QU Y

rõ ràng A < 1 nên theo a, nếu

Do đó

vì

Lời giải

1 2 3 n 11 + 2 + 3 + ... + n + ... + 11 Suy ra: 5 5 5 5 5

Xét 5 A =

DẠ

n 11   1 2 3 n 11  1 2 3 4 A = 5 A − A =  + 2 + 3 + ... + n + ... + 11  −  2 + 3 + 4 + ... + n +1 + ... + 12  5 5  5 5 5 5 5  5 5 5 1 1 1 1 1 11 4 A = + 2 + 3 + ... + n + ... + 11 − 12 5 5 5 5 5 5 11 4 A = B − 12 5 101

TOÁN 6

Với biểu thức:

1 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + n + ... + 11 5 5 5 5 5

FI CI A

1 1 1 1 1  5 B = 1 + + 2 + 3 + ... + n −1 + ... + 10 5 5 5 5 5

1  1 1 1 1 1   1 1 1  4 B = 5 B − B = 1 + + 2 + 3 + ... + 10  −  + 2 + 3 + ... + n + ... + 11  5  5 5 5 5 5   5 5 5

 4A =

1 511 − 1 511 − 1 =  B = 511 511 4.511

511 − 1 11 512 − 5 − 44 1 512 − 49 1  49  1 − =  A = • = • 1 − 12  < 11 12 12 12 16 16  5  16 4.5 5 4.5 5

Chứng minh rằng: A <

ƠN

Bài 179. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2013 - 2014) Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + … + 499 ; B = 4100 B 3

4A = 4 + 42 + 43 + 44 +…+ 4100 A = 1 + 4 + 42 + 43 +…+ 499 3A = 4A – A = 4100 – 1

Lời giải

4100 − 1 4100 B < = 3 3 3

Vậy A <

QU Y

=> A =

B 3

Bài 180. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) 5 5 5 5 Cho S = . Chứng minh rằng 3 < S < 8. + + + ... + 20 21 22 49

KÈ

Lời giải

Xét tổng S =

5 5 5 5 có 30 số hạng + + + ... + 20 21 22 49

5 5 5 5 5 5 5 5 > ; > ; > ;...; > 20 50 21 50 22 50 49 50

DẠ

Mà

 4B = 1 −

=> S > 30.

5 = 3 (1) 50

102

HSG TOÁN 6

Từ (1) và (2)  3 < S < 8 .

Bài 181. (Đề số 82 Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013-2014) 1 1 1 1 91 + + ... + Cho biết S = . Chứng minh rằng < S < 101 102 130 4 330 Lời giải 91 330

ƠN

* Chứng minh S <

1 1   1 1   1 1   1 + + ... + + ... + ... S=  + +  110   111 120   121 130   101 102

1 1   1 1   1 1   1 + + ... + + ... + ... S<  + +  100   110 110   120 120   100 100 1 1 1 1 1 1 ⋅10 + ⋅10 + ⋅10 = + + 100 110 120 10 11 12

66 + 60 + 55 660

181 182 91 < hay S < 660 660 330

QU Y

(1)

1 <S 4

KÈ

* Chứng minh

1   1 1   1 1   1 + ... + + ... + + ... S>  + +  110   120 120   130 130   110 1 1 1 1 1 1 ⋅10 + ⋅10 + ⋅10 = + + 110 120 130 11 12 13

DẠ

S >

FI CI A

5 5 5 5 5 5 5 5 = ; < ; < ;...; < 20 20 21 20 22 20 49 20 Lại có : 5 => S < 30 = 8(2) 20

156 + 143 + 132 1716

103

TOÁN 6

Từ (1) và (2) ta có

431 429 1 > Hay S > 1716 1716 4 1 91 <S < 4 330

FI CI A

S >

Bài 182. (Đề số 84) Chứng minh rằng : 1 +

1 1 1 + + ... + 1999 > 1000 2 3 2

Lời giải

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + 1999 = 1 + + ( + 2 ) + ( + ... + 3 ) + ( + ... + 4 ) + …+( 1998 + ... + 1999 ) 2 3 2 2 3 2 5 2 9 2 2 +1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1998 > 1 + + 2 .2 + 3 .2 + 4 .2 + ... + 1999 .2 = 1+ . 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM) 2 2 2 2 2 2

Chứng minh rằng

ƠN

Bài 183. (Đề số 85 Trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai 2013-2014)

1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + + <1 2 2 2 3 4 5 2011 2012 2

Ta có

Lời giải

1 1 1 1 1 1 1 1 < < ; 2 < ; 2 < ;…; 2 2 2 1.2 3 2.3 4 3.4 2012 2011.2012

QU Y

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + + < + + + ... + 2 2 2 2 3 4 2011 2012 1.2 2.3 3.4 2011.2012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + + < − + − + − +... + − 2 2 2 2 3 4 2011 2012 1 2 2 3 3 4 2011 2012

1 1 1 1 1 1 1 2011 + 2 + 2 + ... + + < − = <1 2 2 2 2 3 4 2011 2012 1 2012 2012

KÈ

Bài 184. (Đề số 86 Trường THCS Phương Trung) Chứng minh rằng :

1 1 1 1 + 2 + 2 +⋯+ 2 < 1 2 2 3 4 100

Lời giải

Ta có:

DẠ

1 1 1 1 < = − ; 2 2 1.2 1 2

1 1 1 1 < = − ; 2 3 2.3 2 3

104

HSG TOÁN 6

1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 +⋯+ < + + +⋯+ = 2 2 2 3 4 10 0 1.2 2.3 3.4 99.100

1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − +⋯ + − 2 2 3 3 4 99 100

1 99 = < 1. 2 100

1 1 1 1 + 2 + 2 +⋯+ 2 < 1 2 2 3 4 100

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Vậy

= 1−



FI CI A

1 1 1 1 1 1 1 1 < = − ;...; < = − 4 2 3 .4 3 4 100 2 99 .100 99 100 ;

105

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

FI CI A

CHỦ ĐỀ 2-3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP VÀ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc so sánh:

+ Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành các lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. a m > a n ( a > 1) ⇔ m > n

Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số (nhỏ hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ nhỏ hơn.

ƠN

a m > a n ( a < 1) ⇔ m < n

Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

an > bn (n > 0) ⇔ a > b

Khi cơ số bằng 1, thì hai lũy thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên + Để so sánh 2 lũy thừa A và B, ta tìm một lũy thừa M sao cho A < M M > B Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được Hoặc A > X > Y > B

QU Y

+ Để so sánh hai lũy thừa A và B , ta tìm hai lũy thừa X và Y sao cho: A < X < Y < B Trong đó các lũy thừa A và X ; X và Y ; Y và B có thể so sánh trực tiếp được. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

KÈ

Bài 1: Hãy so sánh:

Dạng 1: Biến đổi về cùng cơ số hoặc số mũ

a. 1619 và 8 25

b. 2711 và 818 .

Lời giải:

DẠ

a) Phân tích: Ta nhận thấy, ở câu a) thì 16 và 8 là các cơ số liên quan tới lũy thừa cơ số 2, ở câu b) thì 27 và 81 liên quan tới lũy thừa cơ số 3. Do đó để so sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các các lũy thừa có cùng cơ số, rồi dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với nhau. b) Lời giải: a) Ta có 1619 = (24 )19 = 276 ;825 = (23 ) 25 = 275 Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

Vì 276 > 275  1619 > 825 8

818 = 34 2711

FI CI A

b) Ta có

  8 11   81 < 27 33  

( ) =3 = (3 ) = 3 3

Bài 2: Hãy so sánh:

a. 1287 và 4 24 b. 5 36 và 1124 c. 32 60 và 8150

ƠN

d. 3500 và 7300 . Lời giải: a) Ta có :

a) Ta có :

1287 = (27 )7 = 249 424 = (22 ) 24 = 248

Nên 1287 > 4 24 b) Ta có:

536 = 12512   536 > 1124 24 12  11 = 121 

c) Ta có :

QU Y

Vì 249 > 248

d) Ta có:

KÈ

3260 = 2300 = 8100   3260 < 8150 50 200 100  81 = 3 = 9 

DẠ

3500 = 243100   3500 < 7300 300 100  7 = 343  Bài 3: Hãy so sánh: a) 1619 và 8 25 b) 6255 và 1257 . Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

Lời giải:

FI CI A

a) Ta có: 1619 = (24 )19 = 276 ;825 = (23 ) 25 = 275 Vì 276 > 275  1619 > 825 b) Ta có: 6255 = (54 )5 = 520 ;125 = (53 )7 = 521 Vì 520 < 521  6255 < 1257 Bài 4: Hãy so sánh:

a) 3210 và 2350 b) 2 31 và 3 21 c) 4 30 và 3 .2410 .

ƠN

Lời giải: a) Ta có:

3210 = 2770 2350 = 3270  3210 < 2350 b) Ta có:

QU Y

231 = 2.230 = 2.810 321 = 3.320 = 3.910  321 > 231 c) Ta có:

430 = 230.230 = (23 )10 .(22 )15 = 810.415 > 810.315 3.2410 = 3.(3.8)10 = 810.311

810.415 > 810.311 hay 430 > 3.2410

KÈ

Mà 810.315 > 810.311 nên

Bài 5: Chứng minh rằng 5 27 < 2 63 < 5 28 .

Lời giải:

DẠ

Ta có:

Trang 3

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

FI CI A

 527 = 1259 27 63   5 < 2 (1) 63 7 9 9 2 = (2 ) = 128  263 = (29 )7 = 3127  63 28   2 < 5 (2) 28 4 7 7 5 = (5 ) = 625 

Từ (1) và (2)  527 < 263 < 528 Bài 6: Hãy so sánh:

a) 32 n và 2 3 n ( n ∈ N * ) b) 5300 và 3500 . Lời giải:

ƠN

a) Phân tích: Ta nhận thấy, ở câu a) thì các lũy thừa có chung số mũa n, ở câu c) thì các lũy thừa có chung số mũ 100. Do đó để soa sánh, ta biến đổi các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số hoặc số mũ, rồi dựa vào so sánh cơ số để so sánh chúng với nhau.

b) Lời giải: a) Ta có: n

32 n = ( 32 ) = 9 n n

QU Y

2 3 n = ( 23 ) = 8 n

mà 9 > 8  32 > 23

Vậy 32 n > 23n b) Ta có: = 125100

100

= 243100

KÈ

3500 = ( 33 )

100

5300 = ( 53 )

 5300 < 3500

Bài 7: Hãy so sánh: 2 n ( n+ 2 )

và 9(

n+1)

a) 3

DẠ

b) 256n và 16n+5 (với n ∈ N )

Lời giải: a) Ta có:

Trang 4

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

+2n

9( n +1) = 9n

+ 2 n +1

n 2 + 2n + 1 > n 2 + 2n 2

 9( n +1) > 9n.( n + 2) 2

 9( n +1) > 32 n ( n + 2) (∀n ∈ N ) b) Ta có 256 n = 16 2 n , suy ra bài toán trở thành so sánh 2n và n + 5

+) Nếu 2n > n + 5 ⇔ n > 5  256 n > 16 2 n

FI CI A

32 n ( n + 2) = 9n ( n + 2) = 9n

+) Nếu 2n = n + 5 ⇔ n = 5  256 n = 16 2 n +) Nếu 2n < n + 5 ⇔ n < 5  256 n < 16 2 n

ƠN

Bài 8: Hãy so sánh 3.275 và 2435 . Lời giải:

Ta có: 5

2435 = ( 35 ) = 325 5

3.275 = 3. ( 33 ) = 3.315 = 316

QU Y

Vì 316 < 325  3.275 < 2435

Dạng 2: Đưa về một tích trong đó có thừa số giống nhau Bài 1: Hãy so sánh 202303 và 303202 . Lời giải:

Ta có: 202303 = (2.101)303 = 2303.101303 = 2303.1013.101 = 8101.1013.101 = 8101.101101.1012.101

303202 = (3.101)2.101 = 32.101.101 2.101 = 9101.1012.101

KÈ

 202303 > 303202

Bài 2: Hãy so sánh 2115 và 27 5 .498 . Lời giải:

Ta có:

DẠ

2115 = 315.715

275.498 = 315.716 15

Mà 7 < 7

Trang 5

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 15

Vậy 21 < 27 .49

FI CI A

Bài 3: Hãy so sánh 20152015 − 20152014 và 20152016 − 20152015 . Lời giải: Ta có:

20152015 − 20152014 = 20152014 (2015 −1) = 2014.20152014 20152016 − 20152015 = 2014.20152015

Mà 20152015 > 20152014  20152016 − 20152015 > 20152015 − 20152014

Lời giải: Ta có:

201510 + 20159 = 20159 (2015 + 1) = 2016.20159

ƠN

Bài 4: Hãy so sánh 201510 + 20159 và 201610 .

201610 = 2016.20169 Mà 2015 < 2016  201610 > 201510 + 20159

QU Y

Bài 5: Hãy so sánh A = 7245 − 7244 và B = 7244 − 7243 . Lời giải:

Ta có: A = 7244 (72 − 1) = 7244.71

B = 7243 (72 − 1) = 7243.71  A > B

Mà 44 > 43

KÈ

 A> B

Bài 6: Hãy so sánh 3775 và 7150 . Lời giải:

Ta có: 7150 < 72 50 = ( 8.9 ) = 2150.3100 (1) 75

DẠ

37 75 > 36 75 = ( 4.9 ) = 2150.3150 ( 2 )

Mà 2150.3150 > 2150.3100 ( 3 )

Từ (1)(2)(3) suy ra 3775 > 7150 Trang 6

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

Bài 7: Hãy so sánh:

FI CI A

a) 5 23 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 1512 và 813.1255 .

Lời giải:

a) Phân tích: Ta nhận thấy trong các số lũy thừa cần so sánh thì số mũ của chúng đề không có ước chung, hoặc cơ số của chúng không thể biểu diễn dưới dạng chung một cơ số. Do đó việc đưa các lũy thừa về các lũy thừa có cùng cơ số (hoặc số mũ) để so sánh có vẻ không khả quan. Tuy nhiên các cơ số trong các lũy thừa đều có ước chung, nên việc tách các lũy thừa thành tích, để xuất hiện thừa số chung rồi so sánh thừa số riêng có vẻ khả quan. Để làm được điều này ta cần dùng phương pháp sau: Biến đổi a n về dạng c.d k , biến đổi b m về dạng e.d k rồi so sánh hai số e và c. Từ đó so sánh được hai số a n và b m

a) Ta có: 5 = 5.5 < 6.5 23

ƠN

b) Lời giải: 22

b) Ta có: 7.2 < 8.2 = 2 .2 = 2 13

 216 > 7.213 3

4 3

mà 15 .5 > 15 12

3 5

( ) .( 5 )

= 1512.53

QU Y

c) Ta có: 81 .125 = 3

 6.522 > 523

 813.1255 > 1512

c) Nhận xét: Việc phân tích lũy thừa thành tích các lũy thừa sẽ giúp nhìn ra thừa số chung của các lũy thừa, từ đó việc so sánh hai lũy thừa chỉ còn dựa vào việc so sánh các thừa số riêng.

Bài 8: Hãy so sánh 99 20 và 999910 .

KÈ

Lời giải: Ta có:

9920 = ( 992 ) = ( 99.99 ) 10

999910 = ( 99.101) 10

DẠ

Vì ( 99 .99 ) < ( 99.101) Nên 992 < 999910

Bài 9: Hãy so sánh: a) 85 và 3.47 Trang 7

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

b) 1010 và 48.505 .

FI CI A

Lời giải: a) Ta có: 85 = 215 = 2.214 3.47 = 3.214

Vì 2 < 3 Nên 2.214 < 3.214

Vậy 85 < 3.47 b) Ta có: 1010 = 210 .510 = 2.29 .510 48.50 5 = ( 3.2 4 ) .( 2 5 .510 ) = 3.29 .510

ƠN

Vì 2 < 3 Nên 2.29 .510 < 3.29 .510

Bài 10: Hãy so sánh 430 và 3.2410 . Lời giải: 30

 1010 < 48.505

Ta có: 430 = ( 2 2 ) = ( 2.2 ) = 230 .230 = ( 23 ) .( 2 2 ) = 810 .415 10

QU Y

2410 .3 = ( 8.3 ) .3 = 810 .310 .3 = 810 .311

Vì 311 < 415  810 .311 < 810 .415  430 > 3.2410

Bài 11: Hãy so sánh 199010 + 19909 và 199110 . Lời giải:

KÈ

199110 = 1991.19919

Ta có: 199010 + 19909 = 19909 (1990 + 1) = 1991.19909

Vì 19909 < 19919  199010 + 19909 < 199110

Bài 12: Hãy so sánh 7812 − 7811 và 7811 − 7810 .

Lời giải:

DẠ

Ta có: 7812 − 7811 = 7811 ( 78 − 1) = 7811.77 7811 − 7810 = 7810 ( 78 − 1) = 7810 .77

Vì 7811 > 7810  7811.77 > 7810 .77  7812 − 7811 > 7811 − 7810

Dạng 3: So sánh thông qua một lũy thừa trung gian Trang 8

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

FI CI A

I. Phương pháp giải: Để so sánh 2 lũy thừa A và B , ta tìm một lũy thừa M sao cho A < M M > B Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được

II. Bài toán Bài 1: Hãy so sánh 230 + 330 + 430 và 3 .2410 . Lời giải: 30

Ta có: 430 = ( 2 2 ) = ( 2.2 ) = 230 .230 = ( 23 ) .( 2 2 ) > 810 .315 > 810 .310 .3 = ( 8.3 ) .3 = 2410 .3 Vậy 2 30 + 3 30 + 4 30 > 3.24 10

Bài 2: Hãy so sánh:

ƠN

a) 2225 và 3151 b) 199 20 và 200315 c) 2 91 và 5 36 .

Lời giải:

225 3 75 75 75 151 = (32 )75 = 3150 < 3 a) Ta có 2 = (2 ) = 8 < 9 A

=> 2225 < 3151

QU Y

b) Ta có:

19920 < 20020 = (8.25)20 = (23.52 )20 = (23.52 )20 = 260.540 ; 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53 )15 = (24.53 )15 = 260.545

 260.545 > 260.540  200315 > 199 20

91 90 18 36 = (25 )18 = 3218 > 25 = 5 c) Ta có: 2 > 2

KÈ

=> 291 > 536

Bài 3: Hãy so sánh: a) 99 20 và 910 .11 30

b) 96142 và 100.2393 .

DẠ

Lời giải:

a) Ta có 9920 = [(99) 2 ]10 = 980110 < (223 )10 = 2230

2230 = (2.11)30 = 230.1130 = 810.1130

mà 810.1130 < 910.1130 Trang 9

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

Nên 99 20 < 910 .11 30

FI CI A

b) Ta có:

96142 < 100042 = 10126 = 100.10124 100.10124 = 100.(104 )31 < 100.(233 )31 = 100.2393  96142 < 100.2393

Bài 4: Hãy so sánh:

a) 107 50 và 7375 b) 3339 và 1121 .

Lời giải: a) Ta có

ƠN

10750 < 10850 = (4.27)50 = 2100.3150 7375 > 7275 = (8.9)75 = 2225.3150  7375 > 10750

b) Ta có: 339 < 340 = (34 )10 = 8110 1121 > 1120 = (112 )10 = 12110

QU Y

=> 1121 > 339

Bài 5: Chứng tỏ rằng: 5 27 < 2 63 < 5 28 . Lời giải:

Gợi ý: Hãy chứng tỏ 527 < 2 63 và 2 63 < 528 9

( )

527 = ( 53 ) = 1259

KÈ

 263 > 527 (1)

Lại có: 263 = 27

( )

= 1289

Ta có: 263 = 27

= 1289

528 = ( 54 ) = 6257

DẠ

 263 < 528 ( 2)

Từ (1)(2)  527 < 263 < 528

Bài 6: Hãy so sánh 37 75 và 7150 . Lời giải:

Trang 10

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

a) Phân tích: Biến đổi an về dạng cd k , biến đổi bm về dạng e.d k rồi so sánh hai số e và c . Từ đó so

FI CI A

sánh được hai số an và bm

b) Lời giải: 50

Ta có: 7150 < 7250 = ( 8.9 ) = 2150 .3100 (1) 75

37 75 > 36 75 = ( 4.9 ) = 2150 .3150 ( 2 )

Mà 2150 .3150 > 2150 .3100 ( 3 )

Từ (1)(2)(3)  37 75 > 7150

Bài 7: Hãy so sánh: a) 50 20 và 255010

ƠN

b) 99910 và 9999995 .

Lời giải: 10

2 a) Ta có 50 20 = ( 50 )  = 250010 < 255010  50 20 < 255010   5

2 b) Ta có 99910 = ( 999 )  < 9980015 < 9999995  99910 < 9999995  

Bài 8: Hãy so sánh A = 123456789 và B = 567891234 .

Ta có

QU Y

Lời giải: A = 123456789 > 100050000 = 10150000

B = 567891234 < 100000 2000 = 1010000

Vì 1010000 < 10150000  567891234 < 123456789

Bài 9: Hãy so sánh 111979 và 371320 .

Lời giải: Ta có

KÈ

111979 < (113 )660 = 1331660

371320 = (37 2 )660 = 1369660 vì 1331660 < 1369 660

Nên 111979 < 371320

DẠ

Dạng 4: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian I. Phương pháp giải: Để so sánh hai lũy thừa A và B , ta tìm hai lũy thừa X và Y sao cho: A< X <Y < B

Hoặc A > X > Y > B Trang 11

Trong đó các lũy thừa A và X ; X và Y ; Y và B có thể so sánh trực tiếp được.

FI CI A

II. Bài toán Bài 1: Hãy so sánh a) 1720 và 3115 b) 19920 và 10024 c) 3111 và 1714 .

20 20 80 15 = 2 > 2 75 = (25 )15 = 3215 > 31 a) Ta có: 17 > 16 A B X

ƠN

b) Ta có: 199 5 < 200 5 = 2 5.100 5 = 32.100 5 (1) 100 6 = 100.100 5 (2)

Từ (1) và (2)  199 20 < 10024

3111 < 3211 = 255 1714 < 164 = (2 4 )14 = 256  3111 < 1714

Bài 2: Hãy so sánh a) 111979 và 371321

QU Y

c) Ta có:

 1995 < 1006  (1995 ) 4 < (1006 ) 4

Lời giải:

b) 10750 và 5175

c) 3201 và 6119 .

Lời giải:

KÈ

a) Ta có:

111979 < 111980 = (113 )660 = 1331660 371321 > 371320 = (372 )660 = 1369660

 1331660 < 1369660

DẠ

 111979 < 371321 b) Ta có: 107 201

c) Ta có: 3

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

< 15050 = (3.50)50 = 925.5050 < 5025.5050 = 5075 < 5175

> 3200 = (35 )40 = 24340 ;6119 < 6120 = (63 )40 = 21640  3201 > 6119

Bài 3: Chứng minh rằng 21995 < 5863 . Trang 12

Lời giải:

FI CI A

a) Phân tích: Xét an biến đổi được về dạng cq .d k và bm biến đổi được về dạng e p .g h Nếu cq < e p và d k < g h thì c q .d k < e p .g h

b)Lời giải: Ta có: 21995 = 21990.25 ;5863 = 5860.53

Nhận xét: 25 = 32 < 53 = 125 nên cần so sánh 21990 và 5860 Ta có: 210 = 1024;55 = 3025  210.3 < 55  21720.3172 < 5860

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

Lại có 21990 = 21720.2270 , cần so sánh 21720.2270 với số 21720.3172 như sau: 24

Do đó 21720.2270 < 21720.3172 < 5860  21990 < 5860 Mà 25 < 53  21995 < 5863

Bài 4: Chứng minh rằng 21999 < 7714 .

ƠN

37 = 2187; 211 = 2048  37 > 211 ; 3172 = ( 37 ) .34 > ( 211 ) .24 > ( 211 ) .26 = 2 270

Lời giải: Ta có:

QU Y

210 = 1025 28 = 256 10 3 10 238 238 3 238 2380 238 714   2 < 3.7  ( 2 ) < 3 . ( 7 )  2 < 3 .7 ;  5  35 < 28  3 7 = 343 3 = 243 238 3 235 3 5 47 3 8 47 5 376 381 238 381 3 = 3 .3 = 3 . ( 3 ) < 3 ( 2 ) < 2 .2 = 2  3 < 2 Mà:   22380 < 2381 .7714  21999 < 7714  2 2380 < 3238 .7 714

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1. Không tính kết quả của biểu thức, hãy so sánh (Trích đề thi HSG Hoa Lư)

b) M =

KÈ

a) A = 2019.2021 và B = 2020 2 10 2021 + 1 10 2022 + 1 và . N = 10 2022 + 1 10 2023 + 1

Lời giải:

DẠ

a) A = 2019.2021 = 2019.(2020 + 1) = 2019.2020 + 2019

B = 20202 = 2020.2020 = 2020.(2019 + 1) = 2020.2019 + 2020

Vì 2019 > 2020 Trang 13

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

Vì

Nên 1 +

9 10

2023

9 2022

+1 9

+ 1 10

2023

9 10

2022

> 1+

10 N = 1 +

9 2022

FI CI A

b) 10 M = 1 +

Nên A > B

9 10

2023

ƠN

Vậy M > N

Lời giải:

QU Y

1 2 3 4 2021 2022 B = − 2 + 3 − 4 + ... + 2021 − 2022 3 3 3 3 3 3 2 3 4 2021 2022 => 3B = 1 − + 2 − 3 + ... + 2020 − 2021 3 3 3 3 3

1 2 3 4 2021 2022 3 Bài 2: Chứng minh rằng B = − 2 + 3 − 4 + ... + 2021 − 2022 < (Trích đề thi HSG thị xã 3 3 3 3 3 3 16 Hoài Nhơn).

1 1 1 1 2022 => 4 B = B + 3B = 1 − + 2 − 3 + ... + 2020 − 2021 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 − 2 + 3 − 4 + ... + 2019 − 2020 3 3 3 3 3 3

KÈ

=> 3 A = 2 +

1 1 1 1 1 Đặt A = 1 − + 2 − 3 + ... + 2020 − 2021 3 3 3 3 3

4 A = A + 3A = 3 −

3 (2) 4

DẠ

=> A <

2021

Từ (1) và (2) => 4 B < A <

=> B <

3 4

3 16

Trang 14

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 101 . Chứng tỏ M < 1 2 2 2 2

FI CI A

Bài 3: Cho M = Lời giải:

1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + 100 2 2 2 2

M = 2M − M = 1 −

1 <1  M < 1 2101

Bài 4: So sánh : A =

2930 + 1 2931 + 1 v ớ i B = 2931 + 1 2932 + 1

ƠN

Mà M = 1 −

1 2101

Ta có M = 1 +

Ta có 29 A =

2932 + 1 + 28 28 = 1 + 32 32 29 + 1 29 + 1

(1)

(2)

QU Y

29 B =

2931 + 1 + 28 28 = 1 + 31 31 29 + 1 29 + 1

Lời giải:

Từ (1) và (2) suy ra 29 A > 29 B Nên A > B

KÈ

Lời giải: Ta có

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 (Trích đề thi HSG Quảng Trạch). 2 1 2 3 4 50

Bài 5: Chứng minh rằng S =

DẠ

1 1 1 1 < = − 2 2 1.2 1 2 1 1 1 1 < = − 2 3 2.3 2 3 ... 1 1 1 1 < = − 2 50 49.50 49 50

Trang 15

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 − 2 1 2 3 4 50 50

Mà 2 −

1 <2 50

Vậy S =

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 2 1 2 3 4 50

1 1 1 Bài 6: Cho A = 1 + + + ... + 100 . Chứng minh 50 < A < 100 . 2 3 2 −1

ƠN

Lời giải:

1 1 1 1 1 1   1 1 1  1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + 1 −  +  −  + ... +  −  2 1 2 3 4 50  2  2 3  49 50 

FI CI A

=> S =

1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  1 A = 1 +  +  +  + + +  +  + + ... +  + ... +  99 + 99 + ... + 100  15  2 +1 2 −1   2 3  4 5 6 7 8 9 2 Có 99 nhóm trong tổng của A

1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  1 +  +  + + +  +  + + ... +  + ... +  99 + 99 + ... + 99  8 2 2  2 2 4 4 4 4 8 8 2

A < 1 + 1 + 1 + 1 + .... + 1 = 100

QU Y

A < 1+ 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 +  +  +  + + +  +  + + ... +  + ... +  99 + 100 + ... + 100 + 100 2  3 4   5 6 7 8   9 10 16  2 −1 2  2 +1 2 + 2 Có 99 nhóm trong tổng của A

A = 1+

1 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1  1  1 +  +  +  + + +  +  + + ... +  + ... +  100 + 100 + ... + 100 + 100  − 100 2  4 4   8 8 8 8   16 16 16  2 2 2  2 2

A > 1+

1 1 1 1 1 1 1 + + + + ... + − 100 = 1 + 50 − 100 > 50 2 2 2 2 2 2 2

KÈ

A > 1+

DẠ

100 so hang

Bài 7: Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < . 2 4 8 16 32 64 3

Lời giải:

Trang 16

 1  − 100  2

Hướng dẫn : Đưa về dạng tổng S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n để tính tổng rồi so sánh.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − + − + − 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26

FI CI A

Đặt A =

1 1 1 1 1 => 2 A = 1 − + 2 − 3 + 4 − 5 2 2 2 2 2

Bài 8: Cho B =

1 3

ƠN

=> 3 A < 1 => A <

1 26 − 1 = 6 <1 26 2

4 10 28 398 + 1 + + + ... + 98 . Chứng minh B < 100. 3 9 27 3

Lời giải:

=> 2 A + A = 3 A = 1 −

4 10 28 398 + 1 4 10 28 398 + 1 + + + ... + 98 = + 2 + 3 + ... + 98 3 9 27 3 3 3 3 3

QU Y

4 10 28 398 + 1 4 10 28 398 + 1 => B − 98 = − 1 + 2 − 1 + 3 − 1 + ... + 98 − 1 = + + + ... + 98 3 3 3 3 3 9 27 3

1 1 1 1 B − 98 = + 2 + 3 + ... + 98 3 3 3 3

KÈ

1 1 1 1 => 3( B − 98) = 1 + + 2 + 3 + ... + 97 3 3 3 3 => 3( B − 98) − ( B − 98) = 1 −

97 97 97 => B − 98 = => B = 98 + < 100 . 98 196 196

DẠ

=> 2( B − 98) =

1 98

Trang 17

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA

Trang 18

L FI CI A

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

CHỦ ĐỀ 3: SO SÁNH LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

-Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a...a ( n thừa số a với n ∈ N ) -Qui ước: a 0 = 1(a ≠ 0) -Các phép tính luỹ thừa:

ƠN

- Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: a m .a n = a m+n

- Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : a m : a n = a m − n (a ≠ 0; m ≥ n)

- Luỹ thừa một tích: (a.b) n = a n .bn - Luỹ thừa một thương: (a : b ) n = a n : b n (b ≠ 0)

- Luỹ thừa tầng: a m = a ( m

)

QU Y

- Luỹ thừa của luỹ thừa: (a m ) n = a m.n

- Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: a − n =

1 (a ≠ 0) an

So sánh trực tiếp:

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI LŨY THỪA.

KÈ

Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ .

- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. am > an , a > 1 ⇔ m > n

DẠ

- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn a n > bn , n > 0 ⇔ a > b

So sánh gián tiếp: Trang 1

Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân

FI CI A

A > B, B > C  A > C A.C < B.C , C > 0  A < B

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: So sánh hai lũy thừa

I. Phương pháp giải

- Để so sánh hai lũy thừa A và B ta tìm một lũy thừa M sao cho A < M M > B

ƠN

Trong đó A và M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được.

- Để so sánh 2 lũy thừa A và B ta tìm hai lũy thừa M và N sao cho A < M < N M > N > B

Trong đó A và M ; M và B ; M và N có thể so sánh trực tiếp được. II. Bài toán Bài 1: So sánh các số sau:

QU Y

a) 19920 và 200315 b) 339 và 1121 Lời giải:

a)Ta có: 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23.52 )20 = (23.52 ) 20 = 260.540 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53 )15 = (24.53 )15 = 260.545

KÈ

Vì 260.545 > 260.540  20015 > 19920 Vậy 20015 > 19920

b) 339 < 340 = (34 )10 = 8110

DẠ

1121 > 1120 = (112 )10 = 12110

Do 12110 > 8110  1121 > 339 Vậy 1121 > 339 Trang 2

230 + 330 + 430 và 3.2410 Lời giải: Ta có: 30

FI CI A

Bài 2: So sánh các số sau:

430 = ( 2 2 ) = ( 2.2 ) = 230.230 = ( 23 ) . ( 22 ) > 810.315 > 810.310.3 = ( 8.3) .3 = 2410.3

Vậy 230 + 330 + 430 > 3.2410 Bài 3: So sánh các số sau: a) 2225 và 3151

ƠN

b) 199020 và 200315 c) 291 và 536

Lời giải

a) Ta có 2225 = (23 )75 = 875 < 975 = (32 )75 = 3150 < 3151 .

QU Y

Vậy 2225 < 3151 b) Ta có:

19920 < 20020 = (8.25) 20 = (23.52 )20 = (23.52 ) 20 = 260.540 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53 )15 = (24.53 )15 = 260.545

Vậy 200315 > 19920

Vì 260.545 > 260.540  200315 > 19920

KÈ

c) Ta có: 291 > 290 = (25 )18 = 3218 > 2518 = 536 Vậy 291 > 536

Bài 4: So sánh các số sau:

DẠ

a) 9920 và 910.1130

b) 96142 và 100.2393 Lời giải:

Trang 3

Vậy 9920 < 910.1130 b) Ta có: 96142 < 1000 42 = 10126 = 100.10124 100.2393 = 100.(233 )31 > 100.(104 )31 = 100.10124

 96142 < 100.2393 Vậy 96142 < 100.2393

ƠN

Bài 5: So sánh các số sau: a) 10750 và 7375

Lời giải: a) Ta có

10750 < 10850 = (4.27)50 = 2100.3150

b) 3775 và 7150

QU Y

7375 > 7275 = (8.9)75 = 2225.3150

Vì 2100.3150 < 2225.3150  10750 < 7375 Vậy 10750 < 7375

b) Ta có: 7150 < 7250 = ( 8.9 ) = 2150.3100 (1)

KÈ

37 75 > 3675 = ( 4.9 ) = 2150.3150 ( 2 )

Vì 2150.3150 > 2150.3100 ( 3)

Từ (1), (2), (3)  3775 > 7150

DẠ

Vậy 3775 > 7150

Bài 6: Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải:

Trang 4

FI CI A

a) Ta có 9920 = [(99)2 ]10 = 980110 < (223 )10 = 2230 ; 2230 = (2.11)30 = 230.1130 = 810.1130 < 910.1130

FI CI A

Ta có: 263 = ( 27 ) = 1289 ; 527 = ( 53 ) = 1259  263 > 527 (1) 7

263 = ( 27 ) = 1289 ; 528 = ( 54 ) = 6257  263 < 528 ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra  527 < 263 < 528

Bài 7: So sánh các số sau:

a) 5020 và 255010 b) 99910 và 9999995

Lời giải: 10

ƠN

2 a) Ta có: 5020 = ( 50 )  = 250010 < 255010  5020 < 255010   5

2 b) Ta có: 99910 = ( 999 )  < 9980015 < 9999995  99910 < 9999995  

Bài 8: So sánh : A = 123456789 và B = 567891234 Lời giải:

QU Y

Ta có: A = 123456789 > 100050000 = 10150000 ; B = 567891234 < 100000 2000 = 1010000 Vì: 1010000 < 10150000  567891234 < 123456789

Bài 9: So sánh các số sau:

b) 19920 và 10024

Lời giải:

KÈ

c) 3111 và 1714

a) 1720 và 3115

a) Ta có: 17 20 > 16 20 = 280 > 275 = (25 )15 = 3215 > 3115

DẠ

b) 199 20 > 20020 = 220.10020 < (23 )7 .10020 < 107.100 20 < 10024 c) 3111 < 3211 = 255 ;1714 > 164 = 256  3111 < 1714

Bài 10: So sánh các số sau: Trang 5

a) 111979 và 371321

FI CI A

b) 10750 và 5175 c) 3201 và 6119

Lời giải:

a) Ta có: 111979 < 111980 = (113 )660 = 1331660 ;371321 > 371320 = (37 2 )660 = 1369660 > 1331660 = 111979 b) Ta có: 10750 < 15050 = (3.50)50 = 9 25.5050 < 5025.5050 = 5075 < 5175

c) Ta có: 3201 > 3200 = (35 ) 40 = 24340 ; 6119 < 6120 = (63 ) 40 = 21640  3201 > 6119

ƠN

Bài 11: So sánh các số sau:

b) 21999 < 7714

Lời giải:

QU Y

Ta có: 21995 = 21990.25 ;5863 = 5860.53

a) 21995 < 5863

Nhận xét: 25 = 32 < 53 = 125 nên cần so sánh 21990 và 5860 Ta có: 210 = 1024;55 = 3025  210.3 < 55  21720.3172 < 5860 Lại có 21990 = 21720.2 270 , cần so sánh 21720.2270 với số 21720.3172 như sau: 24

37 = 2187; 211 = 2048  37 > 211 ; 3172 = ( 37 ) .34 > ( 211 ) .2 4 > ( 211 ) .26 = 2270

KÈ

Do đó 21720.2270 < 21720.3172 < 5860  21990 < 5860 Mà 25 < 53  21995 < 5863 b) Ta có:

DẠ

10  28 = 256  2 = 1025 10 3 10 238 238 3 238 2380 238 714   2 < 3.7  ( 2 ) < 3 . ( 7 )  2 < 3 .7 ;  5  35 < 28  3 7 = 343 3 = 243

Trang 6

 22380 < 2381 .7 714  21999 < 7 714

Bài 12: So sánh 2 hiệu sau

7245 − 7244 và 7244 − 7243

Ta có

+ 7244 − 72 43 = 72 43 (72 − 1) = 72 43 ⋅ 71

b) c)

199010 + 19909 và 199110 10750 và 3775 3339 và 1121

Lời giải:

QU Y

Vì 7244.71 < 7243.71 nên 7245 − 7244 < 7244 − 7243

ƠN

+ 7245 − 7244 = 7244 (72 − 1) = 72 44 ⋅ 71

Bài 13: So sánh

a) 199010 + 19909 = 19909 (1990 + 1) = 1991.19909 < 1991.19919 = 199110 Vậy 199010 + 19909 < 199110

b) Ta có

KÈ

+) 10750 < 10850 = (4.27)50 = 2100 ⋅ 3150 +) 37 75 > 3675 = (4.9)75 = 2150 ⋅ 3150

Vì 2150 ⋅ 3150 > 2100.3150 Do đó 3775 > 10750

DẠ

Lời giải:

FI CI A

238 3 235 3 5 47 3 8 47 5 376 381 238 381 3 = 3 .3 = 3 . ( 3 ) < 3 ( 2 ) < 2 .2 = 2  3 < 2 Mà:   2 2380 < 3238 .7 714

c) Ta có:

+) 339 < 340 = ( 34 ) = 8110 Trang 7

FI CI A

+) 1121 > 1120 = (112 ) = 12110 Vì 12110 > 8110  1121 > 339

Bài 14: So sánh a. 9920 và 999910

b. 85 và 3.47 c. 202303 và 303202

Lời giải: 10

ƠN

d. 1010 và 48.505

a. Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999  ( 99 2 ) < 999910 hay 9920 < 999910

101

c. Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = ( 23.1013 ) 101

101

= ( 8.101.1012 ) 101

= ( 9.1012 )

QU Y

303202 = (3.101)2.101 = ( 32.1012 )

b. Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47  85 < 3.47

d. Ta có :1010 = 210 ⋅ 510 = 2 ⋅ 29 ⋅ 510

48.505 = ( 3.2 4 ) ⋅ ( 25 ⋅ 510 ) = 3.29 ⋅ 510 ( ** )

Từ (*) và (* *)  1010 < 48.505

Bài 15: Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528

KÈ

Lời giải

Ta có : 263 = ( 27 ) = 1289 9

DẠ

527 = ( 53 ) = 1259 => 263 > 527 7

Lại có : 263 = ( 29 ) = 5127 7

528 = ( 54 ) = 6257 => 263 < 528 (2) Trang 8

= (808.101)101

Từ (1) và (2)  527 < 263 < 52

FI CI A

Bài 16: So sánh a. 111979 và 371321 b. 10750 và 5175 c. 3201 và 6119

660

= 1331660

a. 371321 > 371320 = ( 37 2 )

660

= 1369660 > 1331660 = 111979

ƠN

111979 < 111980 = (113 )

Lời giải:

b. 10750 < 15050 = (3.50)50 = 9 25 ⋅ 5050 < 5025 ⋅ 5050 = 5075 < 5175 40

Bài 17: Chứng minh rằng : 21995 < 5863

QU Y

Lời giải

c. 3201 > 3200 = ( 35 ) = 24340 ;6119 < 6120 = ( 63 ) = 21640  3201 > 6119

Có 210 = 1024, 55 = 3025  210 ⋅ 3 < 55  21720 ⋅ 3172 < 5860 Có 37 = 2187; 210 = 1024  37 > 211 24

3172 = ( 37 ) .34 > ( 211 ) 24 > ( 211 ) .26 = 2270  21720 ⋅ 2270 < 21720 ⋅ 3172 < 5560

Vậy 21990 < 5560 và 25 < 53  21995 < 5863

với 10.98 .

KÈ

Bài 18: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 . Hãy so sánh m

Lời giải:

DẠ

Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu.

Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu....

 m = 9.9.9.9.9.9.9.9.9 = 99 Trang 9

Mà 99 = 9.98 < 10.98 .

FI CI A

Vậy: m < 10.98 .

Dạng 2: So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa. I. Phương pháp giải - Phương pháp so sánh phần bù:

a a a a > k − và k + < k + m n m n

+ Nếu m < n thì k −

a a a a < k − và k + > k + m n m n

1 a ∈ N * ) ta có vận dụng so sánh sau: 2 ( a

1 1 1 1 1 − < 2< − . a a +1 a a −1 a

Cho phân số

QU Y

- Sử dụng kết quả của bài toán:

-Với biểu thức là tổng các số

a ( a, b ∈ N , b ≠ 0) b

a a a+m < 1 và m ∈ N , m ≠ 0 thì: < b b b+m

+ Nếu

a a a+m > 1 và m ∈ N , m ≠ 0 thì: > b b b+m

KÈ

+ Nếu

II. Bài toán

Bài 1: So sánh:

1015 + 1 1016 + 1 và B = 1016 + 1 1017 + 1

DẠ

a) A =

b) C =

ƠN

+ Nếu m > n thì k −

Với a, n, m, k ∈ N * . Ta có:

2 2008 − 3 22007 − 3 và D = 2 2007 − 1 22006 − 1

Lời giải:

Trang 10

 1016 + 1  1017 + 10 1017 + 1 + 9 1016 + 1 9 B = 17  10 B = 10.  17  = 17 = = 1 + 17 17 10 + 1 10 + 1 10 + 1  10 + 1  10 + 1 Vì 1016 + 1 < 1017 + 1 

10 + 1 10 + 1

 1+

9 16

10 + 1

> 1+

9 17

10 + 1

b) Ta có C =

 10 A > 10 B hay

A> B

22008 − 3 1 1  22008 − 3  22008 − 3 22008 − 2 − 1 1  C = .  2007 = 2008 = 1 − 2008  = 2008 2007 2 −1 2 2  2 −1  2 − 2 2 −2 2 −2

ƠN

22007 − 3 1 1  22007 − 3  22007 − 3 22007 − 2 − 1 1 D = 2006  D = .  2006 = 2007 = 1 − 2007  = 2007 2 −1 2 2  2 −1  2 − 2 2 −2 2 −2 Vì

1 2

2008

−2

1 2

2007

−2

 1−

2008

−2

> 1−

2007

1 1  C > DC > D −2 2 2

QU Y

Bài 2: So sánh:

22008 − 2 > 22007 − 2 

20082008 + 1 20082007 + 1 a) A = và B = 20082009 + 1 20082008 + 1 b) C =

100100 + 1 100101 + 1 và D = 10099 + 1 100100 + 1

Lời giải:

2008 ( 20082008 + 1)

KÈ

20082008 + 1 20082008 + 1 + 2007 20082008 + 2008 a) A = < 1 => A < = 20082009 + 1 20082009 + 1 + 2007 20082009 + 2008 2008 ( 20082007 + 1)

DẠ

Vậy A < B

100 100101 + 1 100101 + 1 + 99 100101 + 100 100 (100 + 1) b) Ta có : D = > 1 => D > = = =C 100100 + 1 100100 + 1 + 99 100100 + 100 100 (10099 + 1)

Vậy C < D Trang 11

 1015 + 1  1016 + 10 1016 + 1 + 9 1015 + 1 9  10 A = 10. = = 1 + 16  16  = 16 16 16 10 + 1 10 + 1 10 + 1  10 + 1  10 + 1

FI CI A

a) Ta có A =

1315 + 1 1316 + 1 và = B 1316 + 1 1317 + 1

b) A =

19991999 + 1 1999 2000 + 1 và = B 19991998 + 1 19991999 + 1

FI CI A

a) A =

Bài 3: So sánh:

15 1316 + 1 1316 + 1 + 12 1316 + 13 13 (13 + 1) a) B = 17 < 1 => B < 17 = = =A 13 + 1 13 + 1 + 12 1317 + 13 13 (1316 + 1)

ƠN

Vậy A > B

Lời giải:

1999 1999 2000 + 1 19992000 + 1 + 1998 1999 2000 + 1999 1999 (1999 + 1) > 1 => B > = = b) B = 19991999 + 1 19991999 + 1 + 1998 19991999 + 1999 1999 (19991998 + 1)

=A Vậy A < B

Bài 4: So sánh:

b) A =

QU Y

100100 + 1 10098 + 1 a) A = và B = 10099 + 1 10097 + 1 1011 − 1 1010 + 1 và = B 1012 − 1 1011 + 1

2 98 100100 + 1 100100 + 1 + 9999 100100 + 10 2 100 (100 + 1) > 1 => A > = = =B 10099 + 1 10099 + 1 + 9999 10099 + 10 2 1002 (10097 + 1)

Vậy A > B

10 1011 − 1 1011 − 1 + 11 1011 + 10 10 (10 + 1) < 1 => A < = = =B 1012 − 1 1012 − 1 + 11 1012 + 10 10 (1011 + 1)

DẠ

b) A =

KÈ

a) A =

Lời giải:

Vậy A < B

Bài 5: So sánh:

Trang 12

FI CI A

b) A =

107 + 5 108 + 6 và B = 8 a) A = 7 10 − 8 10 − 7 108 + 2 108 và B = 108 − 1 108 − 3

Lời giải:

107 + 5 107 − 8 + 13 13 a) A = 7 = = 1+ 7 7 10 − 8 10 − 8 10 − 8 108 + 6 108 − 7 + 13 13 = = 1+ 8 8 8 10 − 7 10 − 7 10 − 7

Mà:

13 13 13 13 > 8 => 1 + 7 > 1+ 8  A> B 7 10 − 8 10 − 7 10 − 8 10 − 7

ƠN

108 + 2 108 − 1 + 3 3 b) A = 8 = = 1+ 8 8 10 − 1 10 − 1 10 − 1

Vậy A > B

108 108 − 3 + 3 3 = = 1+ 8 8 8 10 − 3 10 − 3 10 − 3

Mà:

3 3 3 3 < 8  1+ 8 < 1+ 8  A< B 10 − 1 10 − 3 10 − 1 10 − 3

QU Y

Vậy A < B

Bài 6: So sánh:

1920 + 5 1921 + 6 và B = 1920 − 8 1921 − 7

b) A =

100 2009 + 1 100 2010 + 1 và B = 1002008 + 1 100 2009 + 1

KÈ

a) A =

Lời giải:

1920 + 5 1920 − 8 + 13 13 = = 1 + 20 20 20 19 − 8 19 − 8 19 − 8

DẠ a) A =

19 21 + 6 1921 − 7 + 13 13 = = 1 + 21 , 21 21 19 − 7 19 − 7 19 − 7 Trang 13

13 13 13 13 > 21  1 + 20 > 1 + 21  A> B 19 − 8 19 − 7 19 − 8 19 − 7 20

FI CI A

Mà:

Vậy A > B 2009 100 2010 + 1 1002010 + 1 + 99 100 (100 + 1) b) B = > 1 => B > = = A, 100 2009 + 1 1002009 + 1 + 99 100 (1002008 + 1)

Vậy A < B

Bài 7: So sánh:

b) A =

ƠN

1015 + 1 1016 + 1 a) A = 16 và B = 17 10 + 1 10 + 1 10 2004 + 1 102005 + 1 và B = 102005 + 1 10 2006 + 1

Lời giải:

15 1016 + 1 1016 + 1 + 9 10 (10 + 1) a) B = 17 < 1 => B < 17 = =A 10 + 1 10 + 1 + 9 10 (1016 + 1)

b) B =

QU Y

Vậy: A > B

2004 102005 + 1 102005 + 1 + 9 10 (10 + 1) < 1 => B < = =A 102006 + 1 102006 + 1 + 9 10 (102005 + 1)

Bài 8: So sánh:

Vậy A > B

101992 + 1 101993 + 3 và B = 101991 + 1 101992 + 3

b) A =

1010 + 1 1010 − 1 và B = 1010 − 1 1010 − 3

KÈ

a) A =

DẠ

Lời giải:

1992 101993 + 3 101993 + 3 + 7 10 (10 + 1) a) B = 1992 > 1 => B > 1992 = =A 10 + 3 10 + 3 + 7 10 (101991 + 1)

Trang 14

Mà:

1010 − 1 1010 − 3 + 2 2 = = 1 + 10 , 10 10 10 − 3 10 − 3 10 − 3

2 10

10 − 1 10 − 3

 1+

2 10

10 − 1

< 1+

2 10

10 − 3

 A< B

1010 + 1 1010 − 1 + 2 2 = = 1 + 10 10 10 10 − 1 10 − 1 10 − 1

FI CI A

b) A =

Vậy B > A

Vậy A < B

Bài 9: So sánh:

152016 + 5 152017 + 1 và B = 152017 + 5 152018 + 1

Lời giải:

21 1021 + 6 1021 + 6 + 54 1021 + 60 10 (10 + 6 ) < 1 => < = = =A B 10 22 + 6 1022 + 6 + 54 10 22 + 60 10 (10 21 + 6 )

QU Y

a) B =

Vậy A > B

2016 152017 + 1 152017 + 1 + 74 152017 + 75 15 (15 + 5 ) < 1 => B < = = =A 152018 + 1 152018 + 1 + 74 152018 + 75 15 (152017 + 5 )

Vậy A > B

1020 + 3 1021 + 4 và B = 10 21 + 3 10 22 + 4

a) A =

KÈ

Bài 10: So sánh:

b) B =

b) A =

ƠN

1020 + 6 10 21 + 6 a) A = 21 và B = 22 10 + 6 10 + 6

2021 + 3 20 22 + 8 và B = 2022 + 4 2023 + 28

DẠ

b) A =

Lời giải:

Trang 15

Vậy A > B b) B =

21 20 22 + 8 20 22 + 8 + 52 2022 + 60 20 ( 20 + 3) < 1 => B < = = =A 2023 + 28 2023 + 28 + 52 2023 + 80 20 ( 20 22 + 4 )

Bài 11: So sánh: A =

100100 + 1 10069 + 1 Và B = 10099 + 1 10068 + 1

ƠN

Lời giải: Quy đồng mẫu ta có: + 1)(10068 + 1)

+ 1)(10099 + 1)

+ 1)(10068

+ 1)(10099 + 1)

(100 , và B = + 1) (100

Xét hiệu

+ 1)(10068 + 1) − (10069 + 1)(10099 + 1)

(100

QU Y

100

(100 A− B =

100

(100 A= (100

+ 1)(10068 + 1)

100100 − 10099 − 10069 + 10068 (10099 + 1)(10068 + 1)

A− B =

100.10099 − 10099 − 100.10068 + 10068 (10099 + 1)(10068 + 1)

KÈ

A− B =

Vậy A > B

99 (10099 − 10068 )

(100

+ 1)(10068 + 1)

Vậy A > B .

DẠ

Bài 12: So sánh:

218 − 3 220 − 3 a) A = 20 và B = 22 2 −3 2 −3

Trang 16

20 10 21 + 4 1021 + 4 + 26 10 21 + 30 10 (10 + 3) < 1 => B < = = =A 1022 + 4 10 22 + 4 + 26 1022 + 30 10 (10 21 + 3)

FI CI A

a) B =

Lời giải:

FI CI A

1523 − 3 1522 + 4 và B = 21 b) A = 22 15 − 138 15 − 5

a) Chú ý trong trường hợp ta trừ cả tử và mẫu với cùng 1 số thì ta đảo chiều của bất 2 18 220 − 3 220 − 3 − 9 220 − 12 2 ( 2 − 3) đẳng thức B = 22 < 1 => B > 22 = = =A 2 −3 2 − 3 − 9 222 − 12 22 ( 220 − 3)

Vậy B > A

Vậy A > B 1014 − 1 1014 + 1 và B = 1015 − 11 1015 + 9

Bài 13: So sánh: A =

ƠN

22 1523 − 3 1523 − 3 + 63 1523 + 60 15 (15 + 4 ) b) A = 22 > 1 => A > 22 = = =B 15 − 138 15 − 138 + 63 1522 − 75 15 (1521 − 5 )

Lời giải: Ta có 15

QU Y

1015 − 10 (10 − 11) + 1 1 +) 10 A = 15 = = 1 + 15 15 10 − 11 10 − 11 10 − 11 1015 + 10 (10 + 9 ) + 1 1 +) 10 B = 15 = = 1 + 15 15 10 + 9 10 + 9 10 + 9

1 1 > 15  10 A > 10 B 10 − 11 10 + 9

Vậy A > B

KÈ

Vì

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: ( Lương Tài 2017 – 2018 )

DẠ

So sánh A và B biết

1718 + 1 1717 + 1 ; B= 1719 + 1 1718 + 1

Lời giải:

Trang 17

Cách 1:

FI CI A

Ta có 1719 + 17 16 = 1 + 19 +) 17 A = 19 17 + 1 17 + 1 +) 17 B =

16 16  17 A < 17 B < 18 19 17 + 1 10 + 1

Vì

1718 + 17 16 = 1 + 18 18 17 + 1 17 + 1

Cách 2: 1718 + 1 1718 + 1 + 16 1717 + 1 < = =B 1719 + 1 1719 + 1 + 16 1718 + 1

Vì A < 1  A = Vậy A < B

Bài 2:

QU Y

So sánh A và B biết

10 2014 + 2016 102015 + 2016 và B = 102015 + 2016 10 2016 + 2016

Lời giải: Cách 1:

Ta có

102016 + 2016 + 9.2016 9.2016 = 1 + 2016 2016 10 + 2016 10 + 2016

9.2016 9.2016 > 2016  10 A > 10 B 10 + 2016 10 + 2016

DẠ

Vì

KÈ

102015 + 2016 + 9.2016 9.2016 +) 10 A = = 1 + 2015 2015 10 + 2016 10 + 2016 +) 10 B =

ƠN

Vậy A < B

2015

Vậy A > B

Cách 2:

Trang 18

2015 2016

+ 2016 ) + 9.2016 + 2016 ) + 9.2016

10 2014 + 2016 =A 102015 + 2016

(10 (10

FI CI A

Vì B < 1  B < Vậy A > B

Bài 3: ( Hoài Nhơn 2015 – 2016 ) So sánh M và N biết 1930 + 5 1931 + 5 và = N 1931 + 5 1932 + 5

Lời giải:

ƠN

Cách 1:

+) 19 M =

1931 + 5 + 18.5 18.5 = 1 + 31 31 19 + 5 19 + 5

+) 19 N =

1932 + 5 + 18.5 18.5 = 1 + 32 32 19 + 5 19 + 5

18.5 18.5  19M > 19 N > 32 31 19 + 5 19 + 5

QU Y

Vì

Ta có

Vậy M > N

Cách 2:

KÈ

1931 + 5 ) + 18.5 1930 + 5 ( 1931 + 5 Vì N = 32 <1 N < = =M 19 + 5 (1932 + 5) + 18.5 1931 + 5 Vậy M > N

Bài 4: ( Hậu Lộc 2015 – 2016 )

So sánh A và B biết 20092008 + 1 2009 2009 + 1 và B = 2009 2009 + 1 2009 2010 + 1

DẠ A=

Lời giải:

Giải tương tự như bài 3. Trang 19

Bài 5: ( Lương Tài 2015 – 2016 )

FI CI A

So sánh A và B biết 1718 + 1 1717 + 1 và B = 18 A = 19 17 + 1 17 + 1

Lời giải:

Giải tương tự như bài 3.

Bài 6: ( Hoa Lư 2020 – 2021 ) So sánh M và N biết 102021 + 1 102022 + 1 và N = 102022 + 1 102023 + 1

ƠN

Giải tương tự như bài 3.

Bài 7: ( Quận Hà Đông 2020 – 2011 ) So sánh A và B biết 20212020 + 2 20212020 và B = 20212020 − 1 20212020 − 3

QU Y

Lời giải:

20212020 + 2 ) − 2 ( 20212020 + 2 Vì A = >1 A < =B 20212020 − 1 ( 20212020 − 1) − 2

KÈ

Vậy A < B

Bài 8: ( Lạng Giang 2020 – 2011 ) So sánh x và y biết

DẠ

x = 20212021 − 20212020 ; y = 20212019 − 20212018 Lời giải: Ta có

+) x = 20212021 − 20212020 = 20212020 (2021 − 1) = 2020.20212020 (1) Trang 20

FI CI A

+) y = 20212019 − 20212018 = 20212018 (2021 − 1) = 2020.20212018 ( 2 ) Từ (1) và ( 2 ) suy ra x > y

Bài 9: ( Nông Cống 2020 – 2011 ) 102019 + 1 102020 + 1 B và = 102020 + 1 102021 + 1

Lời giải: Ta có: 102019 + 1 102020 + 10 102020 + 1 + 9 9  10A = = = 1 + 2020 2020 2020 2020 10 + 1 10 + 1 10 + 1 10 + 1

102020 + 1 102021 + 10 10 2021 + 1 + 9 9  10B = = = 1 + 2021 2021 2021 2021 10 + 1 10 + 1 10 + 1 10 + 1

9 10

2020

> 1+

9 10

2021

+ 1 10

2021

QU Y

 1+

9 2020

Mà 102021 + 1 > 102020 + 1 nên

ƠN

Hay 10 A > 10 B  A > B Bài 10: ( Phù Cát 2020 – 2011 ) So sánh M và N , biết: M =

2022 + 5 2022 + 5 2022 + 5 + 95 < 1  N = < 2023 + 5 2023 + 5 2023 + 5 + 95 2022 + 5 20 22 + 20.5 < 2023 + 5 20 23 + 20.5



KÈ

Vì N =

2021 + 5 2022 + 5 N ; = 2022 + 5 2023 + 5

Lời giải:

21 20 22 + 5 20 ( 20 + 5 ) < 2023 + 5 20 ( 20 22 + 5 )



2022 + 5 2021 + 5 < =M 2023 + 5 2022 + 5

DẠ



So sánh: A =

Trang 21

Vậy: M > N

FI CI A

Bài 11: ( Ngọc Lạc 2020 – 2011 ) 102019 − 1 10 2020 − 1 So sánh: A = 2020 và B = 2021 10 + 1 10 + 1

Lời giải:

102020 − 10 11 = 1 − 2020 2020 10 + 1 10 + 1

10 B =

10 2021 − 10 11 = 1 − 2021 2021 10 + 1 10 + 1

11 10

2020

+ 1 10

2021

 10 A > 10 B

Vậy A > B

Bài 12: ( Chư Sê 2020 – 2011 )

252019 + 1 252020 + 1 B và = 252020 + 1 252021 + 1

QU Y

So sánh hai phân số A =

Vì

ƠN

10 A =

Ta có:

Lời giải: Ta có:

24 2020

> 1+

2021

 25 A > 25B  A > B

Vì 1 +

252020 + 1 252021 + 25 24  25 B = = 1 + 2021 2021 2021 25 + 1 25 + 1 25 + 1

KÈ

+) B =

252019 + 1 252020 + 25 24 +) A = 2020  25 A = = 1 + 2020 2020 25 + 1 25 + 1 25 + 1

DẠ

Bài 13: ( Gia Bình 2020 – 2011 ) So sánh 2 phân số sau: A =

2019 2020 + 1 2019 2019 + 1 và B = 2019 2019 + 1 20192018 + 1

Lời giải:

Trang 22

Ta có:

FI CI A

20192020 + 1 2019 2020 + 2019 − 2018 = 20192019 + 1 2019 2019 + 1 2019 ( 20192019 + 1) − 2018 2018 = = 2019 − 2019 2019 + 1 2019 2019 + 1

20192019 + 1 2019 2019 + 2019 − 2018 = 2019 2018 + 1 20192018 + 1 2019 ( 20192018 + 1) − 2018 2018 = = 2019 − 2018 2019 + 1 2019 2018 + 1

−

2018 2018 2018 2018 >−  2019 − > 2019 − 2019 2018 2019 2019 + 1 2019 + 1 2019 + 1 20192018 + 1

Vậy A > B

Bài 14: ( ? 2020 – 2011 )

2020 2018 − 1 2020 2019 + 1 v ớ i B = . 2020 2019 − 2019 2020 2020 + 2019

QU Y

So sánh A =

Lời giải: Ta có

( 20202019 + 1) − 2021 20202019 + 1 < 1  B > 20202020 + 2019 ( 20202020 + 2019 ) − 2021

2018 2018 < 2019 2019 + 1 20192018 + 1

ƠN

Vì 20192019 + 1 > 20192018 + 1 

2020 ( 20202018 − 1)

KÈ

20202020 − 2

Vậy B > A

2020 ( 20202018 − 1)

20202020 + 2020.2019

20202018 − 1 =A 2020 2019 + 2019

DẠ

Bài 15: ( ??? ) So sánh : A =

−7 −15 −15 −7 + 2006 và B = 2005 + 2006 2005 10 10 10 10

Lời giải:

Trang 23

−7 −8 −7 + 2006 + 2006 2005 10 10 10

+) B =

−7 −8 −7 + 2005 + 2006 2005 10 10 10

8 8 −8 −8 < 2005  2006 > 2005 2006 10 10 10 10

FI CI A

+) A =

Ta có:

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Vậy A > B.

Trang 24

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

FI CI A

CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a a n = a .a...a ( n ≠ 0) . a gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

n thừa số

Chú ý:

a 2 còn được gọi là a bình phương (hay bình phương của a ).

Quy ước: a1 = a

2. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số a m .a n = a m + n

ƠN

a 3 còn được gọi là a lập phương (hay lập phương của a ).

3. Chia hai luỹ thừa cùng cơ số a m : a n = a m − n ( a ≠ 0, m > n)

4. Luỹ thừa của luỹ thừa 5. Luỹ thừa một tích

QU Y

Quy ước a 0 = 1 ( a ≠ 0 )

( a.b )

6. Một số luỹ thừa của 10 :

m n

(a )

= a m ⋅n

= a m .b m

10 000 = 104

KÈ

- Một vạn:

- Một nghìn: 1 000 = 103

1 000 000 = 106

- M ột t ỉ :

1 000 000 000 = 109

- Một triệu:

DẠ

Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10n = 1000…00 (có n chữ số 0 )

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa

Trang 1

I. Phương pháp giải

FI CI A

- Đưa hai luỹ thừa về cùng cơ số - Sử dụng tính chất Nếu a m = a n thì m = n ( a ∈ N * ; a ≠ 1, m, n ∈ N )

II. Bài toán Bài 1: Tìm số tự nhiên x thoả mãn

a) 6x = 216 2x b) 3 = 81

ƠN

c) 73x−2 − 3.73 = 73.4

1 5 x .3 .3 = 32 x+1 9

Lời giải: a) 6x = 216

⇔ 6x = 63

QU Y

⇔ x=3 Vậy x = 3 b) 32 x = 81

⇔ 32 x = 92 = 34 ⇔ 2x = 4

⇔ x=2

KÈ

Vậy x = 2 . c) 73x−2 − 3.73 = 73.4

⇔ 73 x− 2 = 73 (3 + 4)

⇔ 73x−2 = 74 ⇔ x=2

DẠ

Vậy x = 2 .

1 5 x .3 .3 = 32 x+1 9

⇔ 33.3x = 32 x+1 Trang 2

⇔ 3x+3 = 32 x+1

FI CI A

⇔ x + 3 = 2x +1

⇔x=2 Vậy x = 2 .

Bài 2: Tìm số tự nhiên x thoả mãn

a) 5 x− 2 − 32 = 24 − ( 68 : 66 − 62 ) b) 3x + 16 = 196 : (193.192 ) − 3.12005 + 1

Lời giải:

ƠN

a) 5 x− 2 − 32 = 24 − ( 68 : 66 − 62 ) ⇔ 5 x− 2 − 9 = 16 − ( 6 2 − 62 )

⇔ 5x−2 − 9 = 16 − 0 ⇔ 5x−2 = 25

QU Y

⇔ 5x−2 = 25 ⇔ x−2= 2 ⇔ x=4

Vậy x = 4 .

b) 3x + 16 = 196 : (193.192 ) − 3.12005 + 1

KÈ

⇔ 3x + 16 = 196 :195 − 3 + 1 ⇔ 3x + 16 = 19 − 3 + 1

⇔ 3x + 16 = 17

DẠ

⇔ 3x = 1 ⇔ x=0

Vậy x = 0

Bài 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn Trang 3

a) 15 x .152 x = 1 2

FI CI A

b) 5 x .5 = 52 x 2

c) 9 x .81x = 729 2

d) 117 x = 11x .1112

Lời giải: 2

a) 15 x .152 x = 1

⇔ 15x

+2 x

= 150

ƠN

⇔ x2 + 2 x = 0 ⇔ x( x + 2) = 0

x = 0 ⇔ ⇔ x=0 x + 2 = 0 Vậy x = 0 2

⇔ 5x

QU Y

b) 5 x .5 = 52 x

= 52 x

⇔ x2 + 1 = 2 x

⇔ x2 − x − x + 1 = 0

⇔ x2 − 2 x + 1 = 0

KÈ

⇔ x( x −1) − ( x −1) = 0 ⇔ ( x −1)( x −1) = 0

⇔ x −1 = 0

DẠ

⇔ x =1

Vậy x = 1 2

c) 9 x .81x = 729 Trang 4

+2 x

= 93

FI CI A

⇔ 9x

⇔ 9 x .92 x = 93

⇔ x2 + 2 x = 3 ⇔ x2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ x 2 + 3x − x − 3 = 0

⇔ x( x + 3) − ( x + 3) = 0 ⇔ ( x + 3)( x − 1) = 0

ƠN

x + 3 = 0 ⇔ ⇔ x =1 x − 1 = 0  Vậy x = 1 2

⇔ 117 x = 11x

d) 117 x = 11x .1112 +12

⇔ x2 − 7 x + 12 = 0 ⇔ x2 − 4 x − 3x + 12 = 0

⇔ ( x − 4)( x − 3) = 0

⇔ x( x − 4) − 3( x − 4) = 0

QU Y

⇔ 7 x = x2 + 12

KÈ

x − 4 = 0 x = 4 ⇔ ⇔ x − 3 = 0 x = 3 Vậy x = 4; x = 3

Bài 4: Tìm số tự nhiên x thoả mãn

DẠ

a) 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 480 x +1 x x x b) 5 − 5 = 2.2 + 8.2

x x +1 x x x c) 6 + 6 = 2 +2.2 + 4.2

Trang 5

x 3 0 d) 3 + 25 = 26.2 + 2.3

FI CI A

Lời giải: a) 2x + 2x+1 + 2x+ 2 + 2x+3 = 480

⇔ 2 x (1 + 2 + 22 + 23 ) = 480

⇔ 2x.15 = 480

⇔ 2x = 25 ⇔ x=5

Vậy x = 5 b) 5x+1 − 5x = 2.2x + 8.2x

ƠN

⇔ 5x (5 − 1) = 2 x (2 + 8)

⇔ 22.5x = 2x+1.5 22.5 x 2 x+1.5 = 2 22.5 2 .5

⇔

⇔ 5x−1 = 2x−1 ⇔ x −1 = 0 ⇔ x = 1

c) 6x + 6x+1 = 2 x +2.2x + 4.2x

⇔ 7.6 x = 7.2x ⇔ 6 x = 2x ⇔ x=0

Vậy x = 0

QU Y

Vậy x = 1

KÈ

d) 3x + 25 = 26.23 + 2.30

⇔ 3x = 185

Vì 185 không viết được dưới dạng luỹ thừa của 3 nên không có sô tự nhiên x nào thoả mãn Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn

Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết x +1

DẠ

a) 3 + 3 x

+ 3x + 2 + 3x +3 = 1080

x x+1 x +2 x +3 2 b) 5 + 5 + 5 + 5 = 1 + 2 + 3... + 87 + 88 − 4

Trang 6

Lời giải:

FI CI A

a) 3x + 3x+1 + 3x+ 2 + 3x+3 = 1080

⇔ 3x (1 + 3 + 9 + 27) = 1080

⇔ 3x = 27 ⇔ x = 3 Vậy

x = 3 là giá trị cần tìm.

x x+1 x +2 x +3 2 b) 5 + 5 + 5 + 5 = 1 + 2 + 3... + 87 + 88 − 4

⇔ 5x (1 + 5 + 25 + 125) = (1 + 88) 88 : 2 − 16

⇔ 5x.156 = 3916 −16

ƠN

⇔ 5x.156 = 3900 ⇔ 5x = 25 ⇔ x=2

Vậy x = 2 .

Bài 6: Tìm hai số tự nhiên m, n biết 2m + 2n = 2m + n

2 m + 2n = 2m + n

⇔ 2m+ n − 2m − 2n = 0 ⇔ 2m.2n − 2m − 2n + 1 = 1 ⇔ 2m (2n − 1) − (2n − 1) = 1

⇔ (2m − 1)(2n − 1) = 1

QU Y

Lời giải:

KÈ

2m − 1 = 1 2m = 2 m = 1 m n Vì 2 ≥ 1 và 2 ≥ 1 nên   n  n  2 − 1 = 1 2 = 2 n = 1 Vậy m = n = 1

Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên x thoả mãn 16 x = 16 x

Lời giải:

DẠ 16 x = 16 x

⇔ x = x3

Trang 7

x = 0 x = 0 ⇔ ⇔⇔  2 x =1 1 − x = 0 Vậy có 2 số tự nhiên x thoả mãn là x = 0; x = 1

Bài 8:

a) Cho A = 5 + 52 + 53 + ... + 5100. Tìm số tự nhiên n biết 4 A + 5 = 5n+1

FI CI A

⇔ x(1 − x 2 ) = 0

2 3 99 100 2 n +1 −2 = B b) Cho B = 2 + 2 + 2 + .... + 2 + 2 . Tìm số tự nhiên n biết 2

Lời giải:

ƠN

a)Ta có

A = 5 + 52 + 53 + ... + 5100

 5 A = 52 + 53 + ... + 5100 + 5101

 5 A − A = 52 + 53 + ... + 5100 + 5101 − 5 + 52 + 53 + ... + 5100

(

) (

 4 A = 5101 − 5 Theo đầu bài ta có:

4 A + 5 = 5n+1  5101 = 5n +1  n = 100. Vậy n = 100 .

QU Y

 4 A + 5 = 5101

)

b) Ta có :

B = 2 + 22 + 23 + .... + 299 + 2100

KÈ

 2 B = 22 + 23 + .... + 299 + 2100 + 2101  2 B − B = 2101 − 2  B = 2101 − 2

Mà 2 2 n +1 − 2 = B

DẠ

 2101 = 22 n +1  2n + 1 = 101  n = 50

Vậy n = 50

Bài 9: a) Cho A = 4 + 4 2 + 43 + ... + 499 . Tìm số tự nhiên n biết rằng 3 A + 4 = 4 n − 2 . Trang 8

FI CI A

Lời giải a) A = 4 + 4 2 + 43 + ... + 499  4 A = 4 2 + 43 + 4 4 ... + 4100

 4 A − A = ( 42 + 43 + 44... + 4100 ) − ( 4 + 42 + 43 + ... + 499 )

 3 A = 4100 − 4

Có 3 A + 4 = 4 n − 2  4100 − 4 + 4 = 4 n− 2

ƠN

 4100 = 4 n− 2

 n − 2 = 100  n = 102

Vậy n = 102 . a) B = 4 + 43 + 45 + ... + 499  4 2 B = 43 + 45 + 47... + 4101

QU Y

 16 B − B = ( 43 + 45 + 47... + 4101 ) − ( 4 + 43 + 45 + ... + 499 )  15 B = 4101 − 4

Có 15 B = 4 2 n +1 − 4  4101 − 4 = 4 2 n+1 − 4

 4101 = 4 2 n+1

KÈ

 2n + 1 = 101  n = 50

Vậy n = 50 .

Bài 10: Tìm số tự nhiên x biết:

7 x + 2 + 7 x +1 + 7 x 52 x + 52 x +1 + 52 x + 3 = 57 131

DẠ

Lời giải:

7 x + 2 + 7 x +1 + 7 x 52 x + 52 x +1 + 52 x + 3 = 57 131

Trang 9

b) Cho B = 4 + 43 + 45 + ... + 499 . Tìm số tự nhiên n biết rằng 15 B = 4 2 n +1 − 4 .

= 57 ⇔ 7 x = 25x => x = 0

52 x (1 + 5 + 125 ) 131

FI CI A

⇔

7 x ( 49 + 7 + 1)

Vậy x = 0 Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết:

45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 . = 8n 35 + 35 + 35 25 + 25

Lời giải: 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 . = 8n 5 5 5 5 5 3 +3 +3 2 +2

4.45 65.6 . 5 = 23 n 5 3.3 2.2

ƠN

⇔

 24  24 ⇔   . = 23n  6  6

⇔ 45.4 = 23n

QU Y

⇔ 212 = 23n ⇔ 3n = 12 ⇔ n = 4 Vậy n = 4 Bài 12: Tìm hai số tự nhiên x, y thoả mãn 2x+1.3y = 12x

Lời giải:

2x+1.3y = 12x

⇔ 22 x : 2x+1 = 3y : 3x

KÈ

⇔ 2x−1 = 3y− x

⇔ 2 x+1.3y = 22 x.3x

x −1 = 0 ⇔ y − x = 0

DẠ

⇔ x = y =1

Vậy x = y = 1 Bài 13: Tìm x biết: a) 2x+2.3x+1.5x = 10800

x +3 x+1 x b) 4 .5 .6 = 192000

Trang 10

Lời giải:

FI CI A

x+2 x+1 x a) 2 .3 .5 = 10800

⇔ 2x+2.3x+1.5x = 24.33.52 x + 2 = 4  ⇔ x +1 = 3 ⇔ x = 2 x = 2  Vậy x = 2 . b) 4x+3.5x+1.6x = 192000

⇔ 4x+3.5x+1.6x = 44.53.6

Vậy không tìm được số tự nhiên x thoả mãn bài toán

Bài 14: Tìm x, y ∈ N biết 4 x + 3124 = 5 y

ƠN

x + 3 = 4 x = 1  ⇔ x +1 = 3 ⇔  x = 2 x = 1 

Lời giải: Nếu x = 0 thì 5 y = 40 + 3124 = 3125 = 55  y = 5

Nếu x ≠ 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y ∈ N ( vô lý)

QU Y

Vậy x = 0, y = 5

Dạng 2: Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa.

I. Phương pháp giải - Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ - Sử dụng tính chất

+) Ta có x n = 0 ( n ∈ N * ) ⇔ x = 0

KÈ

+) Ta có x n = a n ( a, x ∈ N ; n ∈ N * ) ⇔ x = a

II. Bài toán

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết:

DẠ

a) x n = 1 ( n ∈ ℕ* ) b) x n = 0 ( n ∈ ℕ* )

c) x n = 1 ( n ∈ℕ ) Trang 11

Lời giải:

FI CI A

a) x n = 1  x = 1( n ∈ ℕ* ) b) x n = 0  x = 0 ( n ∈ ℕ* ) c) x n = 1 ( n ∈ ℕ )

Nếu n = 0 thì x 0 = 1  x ∈ N * Nếu n ≠ 0 thì x n = 1  x = 1( n ∈ ℕ *) . Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết:

b) x 5 = 125

d) x 2 = 23 + 32 + 43

Lời giải: a) Ta có x 2 = 16  x 2 = 4 2  x = 4

2.x 3 = 48 32

ƠN

a) x 2 = 16

c) Ta có x = 20210 = 1

QU Y

b) Ta có x 5 = 125  x 5 = 53  x = 5

e) Ta có

2.x 3 = 48 32

KÈ

2.x 3 = 48 9

d) Ta có x 2 = 23 + 32 + 43 = 8 + 9 + 64 = 81 = 9 2  x = 9

2.x 3 = 48.9

2.x 3 = 432

DẠ

x 3 = 216 = 63

x=6

Vậy x = 6 Trang 12

c) x = 20210

Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết: 3

FI CI A

a) ( x − 3) = 27 3

b) ( 2 x + 1) = 125 2

c) 288 : ( x − 3) = 2 4

d) (1 + 3 x ) = 256

Lời giải: 3 a) Ta có ( x − 3) = 27 3

= 33

ƠN

( x − 3)

x −3 = 3

x=6 Vậy x = 6 3

( 2 x + 1)

= 53

2x +1 = 5 2x = 4

x=2

QU Y

b) Ta có ( 2 x + 1) = 125

KÈ

Vậy x = 2

c)Ta có 288 : ( x − 3) = 2 2

( x − 3)

DẠ

( x − 3)

= 288 : 2

= 144

= 122

x − 3 = 12 Trang 13

x = 15

FI CI A

Vậy x = 15 4

d) Ta có (1 + 3 x ) = 256

(1 + 3x )

= 44

1 + 3x = 4

3x = 4 − 1 3x = 3

ƠN

x =1 Vậy x = 1 Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết:

54 2

(x ) c)

=x =x

QU Y

4 11

(x ) b)

a) x 3 = x 2

Lời giải: a) Ta có x 3 = x 2 suy ra x 3 − x 2 = 0

⇔ x 2 ( x − 1) = 0

KÈ

 x2 = 0 x = 0 ⇔ ⇔ x = 1  x −1 = 0

Vậy x = 0 hoặc x = 1 . b) Ta có x 4

= x suy ra x 44 − x = 0

DẠ

( )

x ( x 43 − 1) = 0

x = 0 x = 0 x = 0 ⇔  43 ⇔  43 ⇔  x −1 = 0  x = 1  x = 1 Trang 14

( )

= x suy ra x108 − x = 0

FI CI A

c) Ta có x54

Vậy x = 0 hoặc x = 1 .

x ( x107 − 1) = 0

x = 0 x = 0 x = 0 ⇔  107 ⇔  107   x −1 = 0  x = 1 x = 1 Vậy x = 0 hoặc x = 1 . Bài 5: Tìm số tự nhiên x, biết: 2

a) 2. ( 2 x − 1) = 50 3

ƠN

b) ( 7 x − 11) = 25.52 + 200 c) 720 :  41 − ( 2 x − 5 )  = 23.5

Lời giải: 2 a) Ta có 2. ( 2 x − 1) = 50 2

( 2 x − 1) = 50 : 2 2 ( 2 x − 1) = 25 = 52

QU Y

 2x −1 = 5 2x = 6 x=3 Vậy x = 3 3 b) Ta có: ( 7 x − 11) = 25.52 + 200

KÈ

(7 x − 11)3 = 1000 = 103  7 x − 11 = 10 7 x = 21 x=3 Vậy x = 3

c) Ta có: 720 :  41 − ( 2 x − 5 )  = 23.5

720 :  41 − ( 2 x − 5 )  = 40

DẠ

 41 − ( 2 x − 5 )  = 720 : 40  41 − ( 2 x − 5 )  = 18

2 x − 5 = 23

2 x = 28 Trang 15

x = 14

FI CI A

Vậy x = 14 . Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết: 6

a) ( x − 2 ) = ( x − 2 )

b) ( 3 x − 6 ) = ( 3 x − 6 )

 ( x − 2) − ( x − 2) = 0

1 − ( x − 2 )2  = 0   6  ( x − 2) = 0 x − 2 = 0 x = 2 x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    2 2 ( x − 2) = 1  x − 2 = 1  x = 3 1 − ( x − 2) = 0 6

ƠN

( x − 2)

Vậy x = 2 hoặc x = 3 . 4 6 b) Ta có: ( 3 x − 6 ) = ( 3 x − 6 ) 4

 ( 3x − 6 ) − ( 3x − 6 ) = 0 4

1 − ( 3 x − 6 )2  = 0  

QU Y

(3x − 6 )

Lời giải: 6 8 a) Ta có: ( x − 2 ) = ( x − 2 )

x = 2 ( 3 x − 6 ) 4 = 0 3 x − 6 = 0 3 x = 6 x = 2    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2  x = 7 ( loai ) 1 − ( 3 x − 6 )2  = 0 x − = x = 3 6 1 3 7 3 x − 6 = 1 ( )       3 

Vậy x = 2 .

KÈ

Lời giải:

Bài 7: Tìm số tự nhiên x, biết: ( x − 2 ) − ( x − 2 )

Ta có: ( x − 2 ) − ( x − 2 ) m

= 0 (m ∈ ℕ)

1 − ( x − 2 )3  = 0  

( x − 2)

m +3

DẠ

( x − 2 ) m = 0 ( x − 2 ) m = 0 x − 2 = 0 x = 2 x = 2   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3 3 3  1 − ( x − 2 )  = 0  1 − ( x − 2 )  = 0 x − 2 = 1 x = 3 ( x − 2 ) = 1    

Vậy x = 2 hoặc x = 3 . Trang 16

= ( x − 1)

x+ 4

(1)

x+2

Lời giải: Đặt x − 1 = y  x + 2 = y + 3; x + 4 = y + 5 Ta có (1) trở thành y y +3 = y y +5

y y +3 ( y 2 − 1) = 0

Vậy x ∈ {1;2} là giá trị cần tìm.

ƠN

Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng: 10 x + 48 = y 2 Lời giải: Nếu x = 0 ta có y 2 = 100 + 48 = 1 + 48 = 49 = 7 2  y = 7 .

 y y +3 = 0  y = 0 x = 1  2 ⇔   x ∈ {1; 2} y =1 x = 2  y − 1 = 0

FI CI A

Bài 8: Tìm số tự nhiên x, biết ( x − 1)

Nếu x ≠ 0 ta có 10 x có chữ số tận cùng là 0, do đó 10 x + 48 có chữ số tận cùng là 8 mà y 2 không thể có chữ số tận cùng là 8. Vậy x = 0, y = 7 . Bài 10: Tìm số tự nhiên x, biết: 5 a) 1600 :  41 − ( 2 x − 5 )  = 40   2 2 2 b) ( x + 1) + ( x + 2 )( x + 3) + ... + ( x 2 + 100 ) = 15050

QU Y

Lời giải:

5 a) Ta có: 1600 :  41 − ( 2 x − 5 )  = 40   5  41 − ( 2 x − 5 )  = 1600 : 40   5  41 − ( 2 x − 5 )  = 40   5

( 2 x − 5 ) = 41 − 40 5 ( 2 x − 5) = 1

KÈ

2x − 5 = 1 2x = 6 x=3 Vậy x = 3 . b) Ta có: ( x 2 + 1) + ( x 2 + 2 )( x 2 + 3) + ... + ( x 2 + 100 ) = 15050

DẠ

x 2 .100 + (1 + 2 + 3 + ... + 100 ) = 15050

x 2 .100 + (1 + 100 ) (100 − 1) :1 + 1 : 2 = 15050 x 2 .100 + 101.50 = 15050 x 2 .100 + 5050 = 15050 x 2 .100 = 15050 − 5050 Trang 17

x 2 .100 = 10000 x 2 = 100 = 10 2

FI CI A

 x = 10 Vậy x = 10 . Bài 11: Tìm số tự nhiên x, biết: 2 2021 a) (1 + 2 + 3 + 4 ) . (1 − x ) = 13 + 23 + 33 + 43 b) (1253.75 − 1755 : 5 ) : 20212022 = x 2022

10 2. (1 − x )

2021

100. (1 − x )

2021

Lời giải: 2 2021 a) Ta có: (1 + 2 + 3 + 4 ) . (1 − x ) = 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100

2021

 1− x = 1 x=2 Vậy x = 2 . b) Ta có: (1253.75 − 1755 : 5 ) : 20212022 = x 2022

ƠN

(1 − x ) = 100 :100 2021 (1 − x ) = 1

( 53 )3 .75 − ( 25.7 )5 : 5 : 20212022 = x 2022  

QU Y

59.7 5 − 255.7 5 : 5 : 20212022 = x 2022 59.75 − 510.7 5 : 5 : 20212022 = x 2022

59.75 − 59.75  : 20212022 = x 2022 0 : 20212022 = x 2022 x 2021 = 0 x=0 Vậy x = 0 .

KÈ

3 3   Bài 12. Tìm x ∈ ℕ , biết:  x 2 − 62 − ( 82 − 9.7 ) − 7.5 − 5.3 = 1     Lời giải: 3

3 3   Ta có:  x 2 − 62 − ( 82 − 9.7 ) − 7.5 − 5.3 = 1    

{

DẠ {

}

x 2 − 36 − ( 64 − 63) − 35 − 15 = 1   3

}

x 2 − 36 − 13 − 35 − 15 = 1

− 15} = 1

 x 2 − 15 = 1 Trang 18

Bài 13. Tìm x ∈ ℕ , biết: ( x − 3) = (1– 3x )

FI CI A

x 2 = 16 = 4 2 x = 4. Vậy x = 4 . 2

Lời giải: 2

Ta có ( x − 3) = (1– 3x )  x – 3 = 1– 3x

Vậy x = 1 100

Bài 14. Tìm số tự nhiên x và y , biết: ( 3x − 6 )

+ ( 2 y − 4)

200

Lời giải:

 ( 3x − 6 )

+ ( 2 y − 4)

100

Mà ( 3x − 6 )

100

nên ( 3x − 6 )

200

+ ( 2 y − 4)

≥ 0, ∀x, y

200

+ ( 2 y − 4)

200

ƠN

100

≥ 0, ( 2 y − 4 )

200

≤0

100

Ta có ( 3x − 6 )

≤0

4x = 4 x =1

( 3x − 6 )100 = 0 3 x − 6 = 0 x = 2 =0⇔ ⇔ ⇔   ( 2 y − 4 ) 200 = 0 2 y − 4 = 0 y = 2

QU Y

Vậy x = y = 2 .

Bài 15. Tìm số tự nhiên a và b, biết: 3a + 9b = 183

Lời giải:

Nếu a = 0 ta có 30 + 9b = 138

1 + 9b = 183

KÈ

9b = 182  b∉ℕ

Nếu a = 1 ta có 31 + 9b = 138

9b = 180

b = 20

DẠ

Nếu a ≥ 2 ta có 3a chia hết cho 9, 9b chia hết cho 9  3a + 9b chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết cho 9. 3a + 9b = 183 Vô lý.

Vậy a = 1, b = 20 .

Bài 16. Tìm số tự nhiên a và b, biết: 10 a + 168 = b 2 Trang 19

Lời giải:

FI CI A

Nếu a = 0 ta có b 2 = 100 + 168 b 2 = 169 b = 132

 b = 13 Nếu a ≠ 0 ta có 31 + 9b = 138

9b = 180

b = 20

Nếu a ≥ 2 ta có 3a chia hết cho 9, 9b chia hết cho 9  3a + 9b chia hết cho 9 nhưng 183 không chia hết cho 9. 3a + 9b = 183 Vô lý.

ƠN

Vậy a = 1, b = 20 .

Bài 17. Tổng bình phương của ba số tự nhiên là 2596. Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là

5 . Tìm ba số đó. 6

Lời giải: Gọi a, b, c là ba số tự nhiên phải tìm, ta có:

a 2 b 5 2 6 = ; =  a = b; c = b b 3 c 6 3 5

4 2 36 b + b 2 + b 2 = 5296 9 25

QU Y

Có a 2 + b 2 + c 2 = 2596 nên

giữa số thứ hai và số thứ ba là

649 2 b = 2596  b 2 = 900 225 2 6 6  b = 30, a = .30 = 20, c = b = .30 = 36 3 5 5 Vậy ba số cần tìm lần lượt là 20, 30, 36. 2 2 Bài 18. Tìm số tự nhiên x và y , biết: ( x − 2 ) + 2 ( y – 3) < 4

Hay

KÈ

( x − 2 )2 ≥ 0, ∀x 2 2  x − 2 + 2 y – 3 ≥0 Ta có  ( ) ( ) 2 2 y – 3 ≥ 0, ∀ y )  ( 2

Mà ( x − 2 ) + 2 ( y – 3) < 4 2

0 ≤ ( x − 2 ) + 2 ( y – 3) < 4 mà 2 ( y – 3) là số chẵn nên ta có các trường hợp:

DẠ

Xét trường hợp 1.

( x − 2 )2 = 0 x − 2 = 0 x = 2 ⇔ ⇔    2 y – 3 = 0 y = 3 2 ( y – 3) = 0 Trang 20

2 , 3

Xét trường hợp 2.

FI CI A

2 x = 3 ( x − 2 ) = 1  x − 2 = 1 ⇔ ⇔   2 2 2 ( y – 3) = 2 ( y – 3) = 1  y = 4

Vậy x = 2, y = 3 hoặc x = 3, y = 4 .

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. ( Khoảng 15 bài )

Bài 1: ĐỀ THI HUYỆN HOA LƯ

Tìm x biết: 32 x = 81

Lời giải:

 32 x = 34  2x = 4 x=2 Bài 2: ĐỀ THI HUYỆN PHÙ CÁT Tìm số tự nhiên x , biết: a) (7x −11)3 = 25.52 + 2.102

ƠN

32 x = 81

QU Y

x x +1 x+ 2 x + 2021 = 2 2026 − 16 b) 2 + 2 + 2 + ...... + 2 Lời giải:

a) Ta có ( 7 x -11) = 25.52 +2.52. 22

( 7 x -11)

= 23.52. ( 22 + 1)

( 7 x -11)

= 23.53

= 103

( 7 x -11)

KÈ

7 x - 11 = 10 7 x = 21 x=3 Vậy x = 3

b)2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ...... + 2 x + 2021 = 22026 − 16

DẠ

Đặt A = 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ...... + 2 x + 2021  2A = 2 x +1 + 2 x + 2 + ...... + 2 x + 2022  2A − A = 2 x + 2022 − 2 x

 A = 2 x+ 2022 − 2x = 2x ( 22022 − 1)

Từ (1):

Trang 21

 2 x ( 22022 -1) = 24 ( 22022 -1)

FI CI A

 2 x = 24 x = 4 Vậy x = 4

Bài 3: ĐỀ THI HUYỆN TP NINH BÌNH Tìm các số nguyên x biết:

( 7 x − 11)

= ( −3) .15 + 208

( 7 x − 11)

= 9.15 + 208

= 73

( 7 x − 11)

ƠN

( 7 x − 11)

Lời giải:

7 x − 11 = 7

18 7 Bài 4: ĐỀ THI HUYỆN TIÊN DU Tìm số tự nhiên x biết: 2.3 x + 5.3 x +1 = 153

QU Y

Lời giải:

2.3 x + 5.3 x +1 = 153

(2 + 15).3x = 153

17.3 x = 153

KÈ

3x = 9 x=2 Vậy x = 2 Bài 5: ĐỀ THI HUYỆN CHƯ SÊ

Tìm x ∈ ℕ , biết: 2 x + 2 x+ 2 =

Lời giải:

DẠ

Ta có:

200  1 1 1 1  . + + + ... +  19  1.2 2.3 3.4 19.20 

200  1 1 1 1  200  1  . + + + ... + = 1 −  = 10 19  1.2 2.3 3.4 19.20  19  20 

 2x + 2x+ 2 = 10  2 x (1 + 4 ) = 10  2x = 2  x = 1 Trang 22

5 x . 5 x +1.5 x + 2 = 1000.. .0 : 215 .

FI CI A

a) Tìm số tự nhiên x biết:

Bài 6: ĐỀ THI HƯNG HÀ

15 ch÷ sè 0

Lời giải: 15 5 x. 5x +1.5 x + 2 = 1000... 0 : 2 15 ch÷ sè 0

53x + 3 = 1015 : 215 53x + 3 = 515

ƠN

Suy ra: 3x + 3 = 15 = 12

Vậy x = 4

Bài 7: ĐỀ THI HUYỆN CHƯƠNG MỸ

x =4

Tìm số nguyên x thỏa mãn: 52 x− 3 + 7.52 = 12.52

QU Y

Lời giải: 52 x− 3 + 7.52 = 12.52

52 x− 3 = 12.52 − 7.52 52 x− 3 = (12 − 7).52

KÈ

52 x−3 = 53 2x − 3 = 3 2x = 3 x=3

Vậy x = 3

Bài 8: ĐỀ THI HUYỆN KIẾN XƯƠNG 2

DẠ

Tìm x biết: 26 − 3. ( 2 x − 3 ) = −7 2

Lời giải:

26 − 3. ( 2 x − 3 ) = −7 2 Trang 23

26 − 3. ( 2 x − 3) = −49 2

( 2 x − 3)

FI CI A

3. ( 2 x − 3) = 75 = 25

 2 x − 3 = 5 hoặc 2 x − 3 = −5  x = 4 hoặc x = −1 Vậy x = 4 hoặc x = −1 Bài 9: ĐỀ THI KỲ ANH 3

Tìm ‫ ݔ‬biết: ( 3 x − 7 ) = 23.32 + 53

Lời giải: = 23.32 + 53

(3x − 7 )

( 3x − 7 )

ƠN

= 8.9 + 53 = 125 = 53

( 3x − 7 )

3x − 7 = 5 3x = 12

x= 4

QU Y

x = 12 : 3

Bài 10: ĐỀ THI HUYỆN THANH TRÌ

Tìm số tự nhiên x , biết:

a) x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ... + ( x + 20 ) = 420 .

b) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x +3 + ... + 2 x + 2020 = 22023 − 4 .

KÈ

Lời giải

a) x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ... + ( x + 20 ) = 420

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + ... + x + 20 = 420

( x + x + ... + x ) + (1 + 2 + 3 + ... + 20 ) = 420

DẠ

21x +

21.20 = 420 2

21x + 210 = 420 21x = 420 − 210 Trang 24

21x = 210

FI CI A

x = 10 Vậy x = 10 . b) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x +3 + ... + 2 x + 2020 = 22023 − 4 . 2 x (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22020 ) = 22 ( 22021 − 1) (1)

Đặt A = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22020  2 A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 22021

 2 A − A = 22021 − 1  A = 22021 − 1 Từ (1)  2 x ( 22021 − 1) = 2 2 ( 22021 − 1)

 2 x = 22  x = 2

ƠN

Vậy x = 2 .

Lời giải Ta có: 2 x −1 + 2 x + 2 x +1 = 112

2x−1 + 2x−1.2 + 2x−1.22 = 112

Bài 11: ĐỀ THI YÊN ĐỊNH Tìm x biết 2 x −1 + 2 x + 2 x +1 = 112

2 x −1.7 = 112 2 x −1 = 16 2 x−1 = 2 4 x −1 = 4 x=5

2 x −1 = 112 : 7

QU Y

2 x−1. (1 + 2 + 2 2 ) = 112

KÈ

Bài 12: ĐỀ THI THANH BA 5

Cho x , y là các số tự nhiên thỏa mãn các hệ thức ( x − 2 ) = 243 ; 2 y + 2 y + 4 = 272 . Khẳng định nào sau

đây là đúng?

A. x + y = 9 .

B. x − y = −1 .

DẠ

Lời giải

Ta có ( x − 2 ) = 243 = 35

x−2=3 Trang 25

C. x 2 + y 2 = 40 .

D. x 2 − y 2 = −9 .

x=5

FI CI A

Ta có 2 y + 2 y + 4 = 272 2 y (1 + 24 ) = 272 2 y.17 = 272 2 y = 272 :17 = 16 2 y = 16 = 2 4

y=4

Vậy x + y = 9

Cho A = 31 + 32 + 33 + ... + 32019 . Tìm x để 2 A+ 3 = 3x

Lời giải

A = 31 + 32 + 33 + ... + 32019

ƠN

Bài 13. ĐỀ THI THỊ XÃ HOÀI NHƠN

3 A = 32 + 33 + ... + 32020

 3 A − A = ( 32 + 33 + ... + 32020 ) − ( 31 + 32 + 33 + ... + 32019 )

QU Y

 2 A = 32020 − 3  2 A + 3 = 32020 Mà 2 A+ 3 = 3x

 x = 2020

KÈ

Vậy x = 2020 thì 2 A+ 3 = 3x

Bài 14. ĐỀ THI KIẾN XƯƠNG

1 1 1  2 16  1 + + + ... + Tìm x biết:   .x = 2 73.76  19  4.7 7.10 10.13

DẠ

Lời giải

1 1 1  2 16  1 + + + ... +   .x = 2 73.76  19  4.7 7.10 10.13

Trang 26

FI CI A

11 1 1 1 1  2 16  − + − ... + −  .x = 2 3 4 7 7 73 76  19

3 2 16 .x = 2 38 19

x2 = 36 x = ±6

Vậy x = ±6 Bài 14. ĐỀ THI HUYỆN ĐÔNG HƯNG

ƠN

Tìm x biết: a) (2 x − 1) 2 = 25

(

Lời giải a) (2 x − 1)2 = 25

Ta có: 25 = 52  (2 x − 1) 2 = 52 hoặc ( −5 )

QU Y

Trường hợp 1: 2 x − 1 = −5  2 x = −4  x = −2 Trường hợp 2: 2 x − 1 = 5  2 x = 5 + 1  x = 3 Vậy x = 3 hoặc x = −2

(

)

b, 3 5 x − 1 − 2 = 70

(

KÈ

3. 5x − 1 − 2 = 70

(

)

b) 3 5 x − 1 − 2 = 70

)

3. 5x − 1 = 72

5 x − 1 = 24

DẠ

5 x = 25

x=2

Vậy x = 2

Bài 15. ĐỀ THI HUYỆN HƯNG HÀ Trang 27

Tìm số tự nhiên x biết: 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ... + 2 x + 2017 = 22020 − 4 .

2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ... + 2 x + 2017 = 22020 − 4 2 x. 1 + 2 + 22 + ... + 22017 = 22020 − 4

(

)

2 x. 22018 − 1 = 2 2020 − 4

2 = x

2 2020 − 4 2 2018 − 1

ƠN

2x =

)

(

22 22018 − 1

(

)

2018

−1

2 x = 22

DẠ

KÈ

QU Y

Vậy x = 2 .

FI CI A

Lời giải

Tìm số tự nhiên x biết: 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ... + 2 x + 2017 = 22020 − 4 .

Trang 28

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2+ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a...a ( n thừa số a với a ≠ 0; n ∈ N ).

2. QUI ƯỚC: a0 = 1 (a ≠ 0) và a1 = a a2 : Bình phương của a ( a ≠ 0 ) a3 : Lập phương của a

( a ≠ 0)

ƠN

Các chữ cái là biến số cần đưa vào mathtype 3. CÁC PHÉP TÍNH LŨY THỪA: + Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: a m .a n = a m + n

+ Chia hai luỹ thừa cùng cơ số: am : an = am−n (a ≠ 0; m ≥ n) + Luỹ thừa của một thương: (a : b)n = an : bn (b ≠ 0) + Luỹ thừa của luỹ thừa: (am )n = am.n n

)

QU Y

+ Luỹ thừa tầng: am = a( m

−n + Luỹ thừa với số mũ âm: a =

1 (a ≠ 0) an

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

I. Phương pháp giải

FI CI A

CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA

Nội dung bài toán: Tìm x để VT ( x ) = VP , ta đi đánh giá như sau

KÈ

+ Nếu x > x0  VT ( x ) > VP + Nếu x < x0  VT ( x ) < VP

+ Nếu x = x0  VT ( x ) = VP

DẠ

Kết luận: x = x0 là giá trị cần tìm.

II. Bài toán Bài 1: Tìm các số nguyên n thỏa mãn 364 < n 48 < 572

Trang 1

Phân tích: số cần tìm đóng vai trò cơ số, phần số mũ đã biết ta cần phân tích về lũy thừa có cùng số mũ

FI CI A

để có thể so sánh được phần cơ số với nhau.

Ta có: Hai lũy thừa đầu có số mũ là 64, 48 cùng chia hết cho 16 . Hai lũy thừa sau có số mũ 48, 72 cùng chia hết cho 24 Lời giải Với n ∈ Z , ta có: 364 < n 48

( )

 n3

( )

> 34

( )

 n3

> 8116

 n3 > 81  n > 4 (1)

( )

 n2

( )

< 53

( )

< 12524

 n2

ƠN

Mặt khác, với n ∈ Z , ta có: n 48 < 572

 n 2 < 125  − 11 ≤ n ≤ 11

( n ∈ Z ) (2)

Từ (1); (2)  4 < n ≤ 11 , mà n ∈ Z  n ∈ {5; 6; 7;8; 9;10;11}

QU Y

Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5; 6; 7;8;9;10;11

Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết rằng: a) 64 < 2 n < 512 b) 243 > 3n ≥ 9

KÈ

Lời giải

Phân tích: số cần tìm đóng vai trò số mũ trong lũy thừa, phần cơ số đã biết ta cần phân tích về lũy thừa có cùng cơ số để có thể so sánh được phần số mũ với nhau.

a) Ta có: 64 < 2 n < 512  2 6 < 2 n < 28

6<n<8

DẠ

mà n ∈ Z +  n = 7 b) Ta có: 243 > 3n ≥ 9  3 5 > 3 n ≥ 32 5>n≥2 Trang 2

mà n ∈ Z +  n ∈{2;3;4}

FI CI A

Bài 3: Tìm số tự nhiên n, biết rằng: a) 32 < 2 n < 512 b) 318 < n12 < 208

Phân tích: Nhận xét tương tự bài 1 và bài 2. Câu b phân tích đưa về lũy thừa có cùng số mũ để so sánh cơ số.

Lời giải

32 < 2 n  25 < 2 n  5 < n

(1)

2 n < 512  2 n < 29  n < 9

(2)

Vậy n ∈ {6;7;8} 6

Từ (1) và ( 2 )  5 < n < 9 , mà n ∈ Ν  n ∈ {6;7;8}

ƠN

a) Với n ∈ N , ta có:

Câu a phân tích đưa về lũy thừa có cùng cơ số để so sánh số mũ.

b) Với n ∈ N , ta có: 318 < n12 ⇔ ( 33 ) < ( n 2 ) ⇔ 33 < n 2 ⇔ 27 < n 2

QU Y

Vì 52 < 27 < 62 , nên 6 2 ≤ n 2  6 ≤ n 4

(1)

Với n ∈ N , ta có: n12 ≤ 208 ⇔ ( n3 ) < ( 202 ) ⇔ n3 < 202 ⇔ n3 < 400 Vì 73 < 400 < 8 3 , nên n 3 ≤ 7 3  n ≤ 7

(2)

Từ (1) và (2) , suy ra 6 ≤ n ≤ 7 , mà n ∈ N  n ∈ {6;7}

KÈ

a) 4 x −1 + 4 x = 5

Bài 4: Tìm số tự nhiên x > 0 thỏa mãn

b) 3 x + 32 x−1 = 2268

Phân tích: Các lũy thừa có cùng cơ số, nên học sinh hướng tới nghĩ đến đưa về cùng cơ số để nhóm, rút gọn đơn giản phép tính. Dễ dàng thực hiện được câu a. Hưỡng dấn cách đánh giá để có cách khác tìm x .

Câu b làm theo cách 1 thì sẽ gặp phải vấn đề xuất hiện bình phương trong phép tính khó thu gọn ở câu 4.

DẠ

Hướng dẫn cách nhẩm nghiệm và đánh giá so sánh để làm được theo cách 2 ở câu a.

Lời giải

a) 4 x −1 + 4 x = 5 Cách 1.

Trang 3

4 x −1 + 4 x = 5

FI CI A

⇔ 4x : 4 + 4x = 5

1 ⇔ 4 x. + 4 x = 5 4 5 ⇔ 4 x. = 5 4 ⇔ 4x = 4

⇔ x =1 Vậy x = 1 là giá trị cần tìm. Cách 2.

ƠN

Theo đề, x số tự nhiên x > 0  x ≥ 1 + TH1: x > 1 Ta có: x > 1  x −1 > 0

 4 x −1 > 1  x  4 > 4  4 x −1 + 4 x > 5

 x > 1 không thỏa mãn

QU Y

x −1 0  4 > 4  x  4 > 4

 4 x −1 > 41−1  x 1  4 > 4 = 4

+ TH2: x = 1  4 x −1 + 4 x = 4 0 + 41 = 5 = VP (thỏa mãn)

KÈ

Vậy x = 1 là giá trị cần tìm. b) 3 x + 32 x−1 = 2268 Ta có:

+ Nếu x = 4  34 + 32.4−1 = 2268  VT = VP (thỏa mãn)

DẠ

+ Nếu x > 4  3x + 32 x −1 > 34 + 37 = 2268 (không thỏa mãn)

+ Nếu x < 4  3x + 32 x −1 < 226 = VP (không thỏa mãn)

Vậy x = 4 là giá trị cần tìm.

Bài 5: Tìm số tự nhiên x > 0 thỏa mãn Trang 4

a) 2 x + 5 x + 7 x = 14

FI CI A

b) 2 x + x = 20 c) 2 x = 46 − 3 x

Phân tích: Câu a các lũy thừa không cùng cơ số nên không thu gọn biến đôi được biểu thức vế trái. Nhận thấy tổng các cơ số 2 + 5 + 7 = 14 nên x = 1 là một giá trị thỏa mãn. Đánh giá với các giá trị x < 1 (vì x > 0 theo đề bài nên loại) và x > 1

Câu b và c số cần tìm xuất hiện ở số mũ trong lũy thừa và cả ở biểu thức, ta thay các giá trị x lần lượt từ

1, 2, 3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá.

Lời giải a) 2 x + 5 x + 7 x = 14

ƠN

Ta có:

+ Nếu x = 0 thì 20 + 50 + 7 0 = 3 ≠ 14  x = 0 (loại) + Nếu x = 1 thì 21 + 51 + 71 = 14  x = 1 (thỏa mãn)

+ Nếu x > 1 thì 2 x + 5 x + 7 x > 21 + 51 + 71 = 14 (loại) Vậy x = 1 là giá trị cần tìm.

Ta có:

QU Y

b) 2 x + x = 20

+ Nếu x = 4 thì 2 4 + 4 = 20 (thỏa mãn)

+ Nếu x > 4 thì 2 x + x > 2 4 + 4 = 20 (loại) + Nếu 0 < x < 4 thì 2 x + x < 2 4 + 4 = 20 (loại) Vậy x = 4 là giá trị cần tìm.

c) 2 x = 46 − 3 x

+ TH1:

KÈ

Ta có: 2 x = 46 − 3 x  2 x + 3 x = 46 x ≥ 5  2 x ≥ 25 = 21

mà 3 x ≥ 3.5 = 15

 2 x + 3 x ≥ 47 > 46

DẠ

 x ≥ 5 (không thỏa mãn)

+ TH2: 0 < x ≤ 4  2x ≤ 24 = 16; mà 3 x ≤ 3.4 = 12  2 x + 3 x ≤ 28 < 46 (loại) Trang 5

Vậy không tồn tại giá trị của x thỏa mãn yêu cầu đề bài

FI CI A

Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết 3 x + 3 x +1 + 2 x + 2 = 388 (1)

Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x lần lượt từ 1, 2, 3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá.

Lời giải

+ TH1: 0 ≤ x < 4  3 x + 3 x +1 + 2 x + 2 < 34 + 34 +1 + 2 4 + 2  3 x + 3x +1 + 2 x + 2 < 388  VT (1) < VP (1)

ƠN

 0 ≤ x < 4 không thỏa mãn + TH2: x > 4

 3 x + 3x +1 + 2 x + 2 > 388  VT (1) > VP (1)

+ TH3: x = 4

QU Y

 x > 4 không thỏa mãn

 3 x + 3 x +1 + 2 x + 2 > 34 + 34 +1 + 2 4 + 2

 3 x + 3 x +1 + 2 x + 2 = 34 + 34 +1 + 2 4 + 2  3 x + 3x +1 + 2 x + 2 = 388  VT (1) = VP (1)

 x = 4 thỏa mãn

Vậy x = 4 là giá trị cần tìm.

KÈ

Bài 7: Tìm x, y, z ∈ N , biết x ≤ y ≤ z và 2 x + 3 y + 5 z = 156 (1) Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta nhận thấy 2 x + 3 y + 5 z = 156  5 z < 156  z ≤ 3  z ∈ {0;1; 2;3} . Chia các trường hợp của x để tìm x, y .

Lời giải

DẠ

Cách 1:

Ta có: 2 x + 3 y + 5 z = 156  5 z < 156

 z≤3 Trang 6

 z ∈ {0;1; 2;3} .

FI CI A

Vì x ≤ y ≤ z nên ta xét trường hợp sau:

TH1: z = 0  x ≤ y ≤ 0 hay x = y = z = 0 , thay vào (1) ta được: VT (1) = 20 + 30 + 50 = 3 < 156 (loại) TH2: z = 1  x ≤ y ≤ 1 , thay vào (1) ta được: VT (1) < 156 (loại)

TH3: z = 2  x ≤ y ≤ 2, thay vào (1) ta được: VT (1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156 (loại)

TH4: z = 3  x ≤ y ≤ 3, thay vào (1) ta được 2x + 3y + 125 = 156 ⇔ 2x + 3y = 31 (2) Ta có 3 y < 31 và y ≤ 3

+ Nếu y = 3, thay vào (2) ta được 2 x = 4  x = 2 (thỏa mãn)

ƠN

+ Nếu y ∈ {0,1, 2} thay vào (2) ta không tìm được giá trị của x thỏa mãn. Vậy x = 2; y = 3; z = 3

Cách 2: z Ta có: 5 < 156  z ≤ 3

+ Nếu z = 2  x ≤ y ≤ 2, thay vào (1) ta được: VT (1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156  loại trường hợp z = 2

( *)

QU Y

x y 3 + Nếu z = 3  x ≤ y ≤ 3 , thay vào (1) ta được: 2 + 3 + 5 = 156  2 x + 3 y = 31

+ Nếu y ≤ 2  x ≤ 2  2x + 3y ≤ 22 + 32 = 13 < 31 (loại)

 y = 3  2x + 33 = 31  2x = 4  x = 2. Vậy ( x; y; z ) = ( 2;3; 4 )

Bài 8: Tìm x, y, z ∈ N , thỏa mãn 2x +2 + 32 y+1 + 5z = 40 và 2 x + 3 y + 5 z = 156 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thấy 2

x = 0 < 25  x2 + 2 ≤ 5 ⇔ x2 ≤ 3 ⇔  x = 1

KÈ

< 32  2 x

Chia các trường hợp của x để tìm y, z

Lời giải

DẠ

Với x, y , z ∈ N , mà 2x

+ 32 y+1 + 5z = 40 (1) , nên ta có:

< 32  2 x

< 25

 x2 + 2 ≤ 5 Trang 7

x = 0 ⇔ x = 1 TH1: x = 0 Với x = 0 , từ (1) ta có 2 2 + 32 y +1 + 5 z = 40 ⇔ 32 y +1 + 5z = 36

( 2)

FI CI A

⇔ x2 ≤ 3

Ta có vế trái của (2) không chia hết cho 3 và vế phải của (2) chia hết cho 3 nên x = 0 loại

TH2: x = 1 Với x = 1 , từ (1) ta có : 23 + 32 y +1 + 5 z = 40

⇔ 32 y +1 + 5 z = 32 (3)

Ta có 32 y+1 < 32 ⇔ 2 y + 1 ≤ 3 ⇔ y ≤ 1

ƠN

+ Nếu y = 1  thay vào ( 3 ) ta được 27 + 5 z = 32 ⇔ z = 1 (thỏa mãn) + Nếu y = 0  thay vào ( 3 ) ta được 3 + 5 z = 32 ⇔ 5 z = 29 (loại)

Vậy x = y = z = 1

Bài 9*: Tìm x, y, z ∈ N , thỏa mãn 2 x + 2 y + 2 z = 210

QU Y

Phân tích: Các lũy thừa có cơ số giống nhau, vai trò của x, y, z sẽ như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x ≤ y ≤ z từ đó đánh giá được x ≤ 8 . Tiếp tục để đánh giá lần lượt được y và z ta biến đổi phân tích đặt 2 x ra ngoài làm thừa số chung để đánh giá được y − x và z − x . Nhận xét nếu y − x > 0 vô lí nên ta có được y = x , thay vào biểu thức nhận xét và tìm được giá trị của z Từ đó tìm được x và y

Lời giải

KÈ

Ta có: 210 = 1024

Vì x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x ≤ y ≤ z

Mà x ≤ y ≤ z  2 x + 2 y + 2 z ≥ 3.2 x  3.2 x ≤ 210  x ≤ 8

2x + 2 y + 2z = 210

Lại có:

 2 x 1 + 2 y − x + 2 z − x = 210

)

DẠ

(

 1 + 2 y − x + 2 z − x = 210 : 2 x  1 + 2 y − x + 2 z − x = 210 − x

Mà x ≤ 8  1 + 2 y − x + 2 z − x = 210 − x ≥ 210−8 Trang 8

 1 + 2 y − x + 2 z − x = 210− x ≥ 4 + Nếu y > x  y − x > 0  y − x ≥ 1; z − x ≥ 1

Ta có VT(*) là số lẻ và VP(*) là số chẵn  loại trường hợp y > x , do vậy y = x , thay vào (*) ta được:

(*) ⇔ 1 + 20 + 2 z − x = 210 − x ≥ 210−8 (**) + Nếu z − x = 0  VT (**) = 3 còn VP (**) là số chẵn nên loại

 z − x ≥1

FI CI A

( *)

Do đó (**) ⇔ 2 + 2 z − x = 210− x

ƠN

⇔ 1 + 2 z − x −1 = 29− x (***)

+ Nếu z − x − 1 ≥ 1  VT (***) là số lẻ và VP(***) là số chẵn  loại  z − x −1 = 0 9− x Từ (***)  2 = 2  x = 8  y = 8; z = 9

Vậy x = 8; y = 8; z = 9

Bài 10: Tìm các số nguyên dương x sao cho 3 x + 4 x = 5 x

QU Y

dàng đánh giá thì ta biến đổi một vế không chứa x bằng cách chia cả hai vế cho 5 x .

3  4 Ta có 3 + 4 = 5 ⇔   +   = 1 5 5 x

 3  4 7 + Với x = 1 , ta có:   +   = ≠ 1 5  5 5

KÈ

 x = 1 không thỏa mãn; 2

9 16 25 3  4 + = =1 + Với x = 2 , ta có:   +   =  5   5  25 25 25  x = 2 thỏa mãn;

DẠ

+ Với x > 2 , mà các cơ số

3 4 < <1 5 5

Trang 9

FI CI A

 3  x  3 2   <    5   5   x 2  4   4   5  <  5   2

 3  4 3  4    +  <   +  <1 5 5 5 5

Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 11: Tìm các số nguyên dương x, y sao cho 5 x 3 = 3 y + 317

 x > 2 không thỏa mãn;

ƠN

Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau đều chứa số cần tìm, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x, y lần lượt từ 1, 2, 3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được đánh giá.

Lời giải

+ Nếu y = 0  5 x3 = 1  không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn + Nếu y = 1  x = 4 (thỏa mãn)

+ Nếu y ≥ 2 thì 3 y chia hết cho 9, mà 317 chia cho 9 dư 2 và 5 x3 = 3 y + 317 nên 5x3 chia 9 dư 2

QU Y

Điều này mẫu thuẫn vì 5x3 chia 9 dư 0 hoặc 4 Vậy x = 4; y = 1 thỏa mãn bài toán

Bài 12: Tìm x ∈ N , biết a) 16 x < 1284

18 b) 5x.5x +1.5x + 2 ≤ 100.............0 :2 18 chu so 0

KÈ

Phân tích:

Câu a các lũy thừa có cơ số khác nhau, nhưng đều đưa được về lũy thừa cơ số 2 . Dùng công thức lũy thừa đưa về cùng cơ số để so sánh.

Câu b các lũy thừa có cùng một cơ số dùng phép biến đổi đưa về cùng lũy thừa số sau đó so sánh để tìm ra giá trị của x .

DẠ

Lời giải

a) Theo đề, ta có: 16 x < 1284 x

 ( 2 4 ) < ( 27 )

 24 x < 228 Trang 10

 4x < 28

FI CI A

x<7 Mà x ∈ N  x ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6} 18 b) Ta có: 5x.5x +1.5x + 2 ≤ 100.............0 :2 18 chu so 0

 53 x +3 ≤ 1018 : 218

 53 x +3 ≤ 518

 3x + 3 ≤ 18 x≤5

ƠN

Mà x ∈ N  x ∈ {0 ,1, 2 ,3 , 4 ,5}

Bài 13: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2m − 2n = 256

Phân tích: Các lũy thừa có cùng cơ số 2 , nhận thấy 256 > 0 nên m > n .

Lời giải

Đặt 2n ra ngoài làm thừa số chung chia các trường hợp để nhận xét tính được m, n .

Ta có: 2m − 2n = 256 = 28  2n 2m− n − 1 = 28

(

)

(1)

QU Y

Dễ thấy m ≠ n, ta xét 2 trường hợp:

+ TH1: m − n = 1, từ (1) ta có: 2n 21 − 1 = 28 ⇔ 2n = 28 ⇔ n = 8

(

)

Do m − n = 1  m = 9

 n = 8;m = 9

+ TH2: m − n ≥ 2  2m − n − 1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của

(1)

chứa thừa số nguyên tố lẻ khi

KÈ

phân tích ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2

 mâu thuẫn.

Vậy m = 9;n = 8 .

Bài 14: Tìm các số tự nhiên x , biết : 100 < 52 x −1 < 56

DẠ

Phân tích: Các lũy thừa của 52 x−1 < 56 có cùng cơ số 5 , dề dàng tìm được 2 x < 7 . Không biến đổi được 100 về cơ số 5 5, ta so sánh được 52 < 100 . Theo tính chất bắc cầu ta có: 52 < 100 < 52 x +1

Từ đó tìm được các số tự nhiên x Trang 11

Lời giải

FI CI A

Ta có: 100 < 52 x −1 < 56

 52 < 100 < 52 x −1 < 56  2 < 2x −1 < 6  3 < 2x < 7 Vì x là các số tự nhiên  x ∈ {2; 3} 3

Bài 15: Tìm số tự nhiên a, b sao cho: ( a + b ) = aba

Phân tích: aba là số tự nhiên có 3 chữ số nên 100 ≤ aba ≤ 999  100 ≤ ( a + b ) ≤ 999

5 ≤ a +b ≤ 9

ƠN

Từ đó ta có bẳng giá trị chia cá trường hợp và tìm được số tự nhiên a,b.

Lời giải

Vì aba là số tự nhiên có ba chữ số nên 100 ≤ aba ≤ 999 3

 100 ≤ ( a + b ) ≤ 999

5 ≤ a +b ≤ 9 a +b

aba = ( a + b )

125 /

216

343

512

729

KÈ

Vậy a = 3; b = 4 .

QU Y

Ta có bảng:

Bài 16: Tìm số tự nhiên x, y sao cho: 5x + 11y = 26 Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x, y lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia

các trường hợp đánh giá.

DẠ

Lời giải

+ Với y = 0 , ta có: 5x + 110 = 26

⇔ 5x + 1 = 26 ⇔ 5x = 25 Trang 12

⇔ 5 x = 52

FI CI A

⇔ x = 2 (thỏa mãn)

+ Với y = 1 , ta có: 5x + 111 = 26

⇔ 5x = 26 − 11 = 15

Vì x là số tự nhiên nên không có giá trị của x thỏa mãn 5x = 15  y = 1 không thỏa mãn

+ Với y ≥ 2 , ta có: 112 = 121 > 26 , nên không có giá trị thỏa 5x + 11y = 26 khi y ≥ 2 . Vậy x = 2; y = 0 .

Bài 17: Tìm x, y∈ℕ sao cho: 2 x + 624 = 5y

ƠN

Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị x, y lần lượt từ 1,2,3,4… và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá.

Lời giải

+ Với x = 0 thì 20 + 624 = 5y ⇔ 5y = 625 ⇔ 5y = 54 y = 4

+ Với x ≥ 1 , ta có 2x + 624 là số chẵn, 5y là số lẻ với mọi y ∈ ℕ : vô lí

QU Y

Vậy x = 0; y = 4

Bài 18: Chứng minh rằng: M =

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + < 2 2 4 6 8 ( 2n ) 4

Phân tích: Nhận thấy mẫu đều là các số chẵn chia hết cho 2 ,khi bình phương lên xuất hiện 1 1 ra ngoài làm thừa số chung. Để M < thì biểu thức còn lại so sánh 1. 4 4

đặt được

KÈ

Bằng tính chất của phân số, ta so sánh biểu thức còn lại với 1 và chứng minh được M <

Lời giải

DẠ

Ta có: M =

( 2 .2 )

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2 2 4 6 8 ( 2n ) 1

( 2 .3 )

( 2 .4 )

+ ... +

( 2.n )

1 1 1 1 + + + ... + 2 2 2 4.2 4.3 4.4 4.n 2 Trang 13

1 4

1 ,ta biến đổi 4

1 1 < ; 2 2 1.2

Suy ra M <

1 1 1 1 1 1 < ; 2< ; 2< 2 3 2.3 4 3.4 n (n − 1).n

 1 1 1 1 1 + + + ... +   4  1.2 2.3 3.4 (n − 1).n 

1 1 1 1 1 1 1 1 1  M <  − + − + − + ... + −  4 1 2 2 3 3 4 (n − 1) n 

1 1 1  M < 1 −  < 4 n  4

1 4

ƠN

Vậy M <

FI CI A

Mà

1  1 1 1 1  . 2 + 2 + 2 + ... + 2  4 2 3 4 n 

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Tìm các số tự nhiên x, y , sao cho 7 x + 12 y = 50

(Trích đề thi Olympic lớp 6 huyện Thanh Oai năm học 2017 – 2018)

Lời giải

QU Y

+ Với y = 0 , ta có: 7 x + 120 = 50

⇔ 7 x + 1 = 50 ⇔ 7 x = 49 ⇔ 7x = 72

⇔ x = 2 (thỏa mãn)

+ Với y = 1 , ta có: 7 x + 121 = 50

KÈ

⇔ 7 x = 50 − 12 = 28

Vì x là số tự nhiên nên không có giá trị của x thỏa mãn 7 x = 38  y = 1 không thỏa mãn

+ Với y ≥ 2 , ta có: 122 = 144 > 56 ,  VT > VP nên không có giá trị thỏa 7 x + 12 y = 50 khi y ≥ 2 .

Bài 2: Tìm x, y∈ ℕ , sao cho 2 x + 624 = 5y

DẠ

(Trích đề thi HSG lớp 6 trường THCS Nguyễn Khuyến năm học 2016 – 2017)

Lời giải

+ Với x = 0 , ta có: 20 + 624 = 5y

⇔ 5y = 625 Trang 14

⇔ y = 4 (thỏa mãn )

FI CI A

⇔ 5 y = 54

+ Với mọi x∈ ℕ , x ≠ 0 , ta có: vế trái 2x + 624 là số chẵn, vế phải 5 y là số lẻ  vô lí Vậy x = 0; y = 4

Bài 3: Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Thạch Thành năm học 2018 – 2019)

Lời giải Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1)

ƠN

100a + 3b + 1 Vì 225 là số lẻ nên (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) là lẻ   a cùng là số lẻ (2) 2 + 10a + b + Với a = 0 , từ (1)  (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225

⇔ (3b + 1)(b + 1) = 225 ⇔ (3b + 1)(b + 1) = 32.52 (3)

Vì 3b + 1 chia 3 dư 1 và 3b + 1 > b + 1 nên

QU Y

Từ (3)  (3b + 1)(b + 1) = 25.9

3b + 1 = 25 ⇔ ⇔ b = 8 (thỏa mãn) b + 1 = 9 + Với a ∈ ℕ, a ≥ 1  100a chẵn, mà từ (2) ta có 100a + 3b +1 là số lẻ

 3b + 1 là số lẻ  b là số chẵn

Vì b là số chẵn nên 2a + 10a + b cũng là số chẵn, trái với (2)  vô lí với giả thiết

KÈ

 b ∈∅ Vậy a = 0; b = 8

Bài 4: Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn 2 a + 124 = 5 b (1)

(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Nguyễn Khuyến năm học 2018 – 2019)

DẠ

Lời giải

+ Với a = 0 , từ (1) suy ra 2 0 + 124 = 5 b

 5 b = 125  5 b = 53 Trang 15

 b = 3 (thỏa mãn)

FI CI A

+ Với a ≥ 1, ta có vế trái 2 x + 124 luôn là số chẵn, mà vế phải 5b luôn là số lẻ với mọi a ≥ 1, a, b ∈ N ,

điều này vô lí. Vậy a = 0; b = 3

Bài 5: Tìm a, b ∈ ℕ thỏa mãn 10 a + 168 = b 2 (2) (Trích đề thi HSG lớp 6)

Lời giải + Với a = 0 , từ (2) suy ra 10 0 + 168 = b 2

 b 2 = 132 mà a, b ∈ ℕ

 b = 13 (thỏa mãn) + Với a ≥ 1, ta có 10a có chữ số tận cùng là 0

 Vế trái (2) là 10 a + 168 có chữ số tận cùng là 8

ƠN

 b 2 = 169

Mà Vế phải (2) là số chính phương b 2 nên không chữ số tận cùng không thể là 8

 điều này vô lí.

QU Y

Vậy a = 0; b = 13

Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z sao cho: ( x − y 2 + z ) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 0 Phân tích:

x − y2 + z = 0  Nhận thấy bình phương của mọi số nguyên đều không âm nên ta có được  y − 2 = 0 z + 3 = 0 

Lời giải

KÈ

Từ đó tìm được các số nguyên x, y, z.

DẠ

( x − y 2 + z )2 ≥ 0  2  Với mọi số nguyên x, y, z ta luôn có: ( y − 2 ) ≥ 0  2 ( z + 3) ≥ 0  2

Ta có: ( x − y 2 + z ) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 0

Trang 16

FI CI A

( x − y 2 + z )2 ≥ 0 ( x − y 2 + z )2 = 0 x − y2 + z = 0   2 2    ⇔ ( y − 2 ) ≥ 0 ⇔ ( y − 2 ) = 0 ⇔ y − 2 = 0   z + 3 = 0 2 2  ( z + 3) ≥ 0 ( z + 3) = 0  

Bài 7: Tìm các số nguyên x sao cho 2 x + 3 x + 4 x + 5 x = 41− x

 x − 22 + ( −3) = 0 x − y2 + z = 0 x = 7    ⇔ y = 2 ⇔ y = 2 ⇔ y = 2   z = −3  z = −3   z = −3 

(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Quang Trung năm học 2008-2009)

ƠN

Lời giải Với mọi giá trị của x ta có: x 2 ≥ 0 . Nên: 2x  2 3x  x2 4  x2 5 2

≥ 20 = 1

≥ 50 = 1

≥ 3 0 = 1  2 x2 + 3x2 + 4 x2 + 5 x2 ≥ 4 ≥ 40 = 1

Vậy x = 0 là giá trị cần tìm.

QU Y

Mà 41− x ≤ 4 nên để VT = VP thì x 2 = 0 hay x = 0

Bài 8: Tìm các số nguyên dương x sao cho 6 x − 2 x = 32 (Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Du năm học 2007-2008)

Lời giải

1 1 Ta có 32 + 2 x = 6 x ⇔ 32.   +   = 1  6 3 1

KÈ

 1   1  17 + Với x = 1 , ta có: 32   +   = ≠1 3  6 3  x = 1 không thỏa mãn; 2

DẠ

1 1 + Với x = 2 , ta có: 32.   +   = 1 6 3  x = 2 thỏa mãn;

+ Với x > 2 , mà các cơ số

1 1 < <1 6 3

Trang 17

FI CI A

2  1  x  1 2   1 x 1 <     32.   < 32.   x x 2 2  6   6  1 1 1 1  6 6      32.   +   < 32.   +   < 1 x 2 x 2 6 3  6 3  1   1   1   1  < <  3   3   3   3   

 x > 2 không thỏa mãn;

Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.

(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nam Trực năm học 2005-2006)

Lời giải 2x

ƠN

3 4 Ta có 102 x − 82 x = 62 x ⇔ 62 x + 82 x = 102 x ⇔   +   = 1 5 5 2

3  4 + Với x = 1 , ta có:   +   = 1 5 5

 x = 1 thỏa mãn;

+ Với x > 1 , mà các cơ số

Bài 9: Tìm các số nguyên dương x sao cho 10 2 x − 82 x = 6 2 x

3 4 < <1 5 5

 x > 1 không thỏa mãn;

QU Y

 3 2 x  3 2   <   2x 2x 2 2  5  5 3 4 3  4        +  <   +  <1 2x 2 5 5 5 5  4  4  <    5  5 

Vậy x = 1 là giá trị cần tìm.

KÈ

Bài 10: Tìm các số nguyên x, y,z sao cho: (1 − x ) + ( 3 − y ) + ( y 2 − x − z ) = 0 (Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sóc Sơn năm học 2014-2015)

Lời giải

DẠ

(1 − x )2 ≥ 0  2  Với mọi số nguyên x, y,z ta luôn có: ( 3 − y ) ≥ 0  2 2 ( y − x − z ) ≥ 0 2

Ta có: (1 − x ) + ( 3 − y ) + ( y 2 − x − z ) = 0

Trang 18

Bài 11: Tìm số nguyên dương x sao cho 2 x = 52 − 4 x (Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Quang Trung năm học 2011-2012) Ta có: + Nếu x = 5 thì 25 = 52 − 4.5 (thỏa mãn)

ƠN

2 x > 32  2 x > 25 ⇔ + Nếu x > 5 thì  (loại) 52 − 4 < 32 x 52 − 4 x < 52 − 4.5  

Lời giải

FI CI A

(1 − x )2 = 0 1 − x = 0 x = 1  2    ⇔ ( 3 − y ) = 0 ⇔ y = 3 ⇔ 3 − y = 0  2 z = 8  y2 − x − z = 0 2   ( y − x − z ) = 0

2 x < 32  2 x < 25 ⇔ + Nếu 0 < x < 5 thì  (loại) 52 − 4 x > 52 − 4.5 52 − 4 x > 32

Vậy x = 5 là giá trị cần tìm.

Bài 12: Tìm các số nguyên dương a và b sao cho: 2 a − 2b = 16 (Trích đề thi HSG lớp 6)

QU Y

Lời giải

Ta có: 2a − 2b = 16 = 24  2b 2a −b − 1 = 24 (1)

(

)

Dễ thấy a ≠ b, ta xét 2 trường hợp:

+ TH1: a − b = 1 , từ (1) ta có: 2b 21 − 1 = 24 ⇔ 2b = 2a ⇔ b = 4

(

)

Do a − b = 4  a = 5

KÈ

 b = 4;a = 5

+ TH2: a − b ≥ 2  2 a −b − 1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2  mâu thuẫn.

 HẾT 

DẠ

Vậy b = 4;a = 5 .

Trang 19

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2 - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

FI CI A

1. Tìm 1 chữ số tận cùng Tính chất 1:

a) Các số có chữ số tận cùng là 0,1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

c) Các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n ∈ ℕ ) thì chữ số tận cùng là 1 . d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n ∈ ℕ ) thì chữ số tận cùng là 6 . Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a :

- Nếu chữ số tận cùng của a là 3,7,9 :

Phân tích: a m = a 4n +r = a 4n .a r với r = 0, 1, 2, 3

ƠN

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0,1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0,1, 5, 6 .

Từ tính chất 1c ⇒ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của a r . - Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 : cũng như trường hợp trên Từ tính chất 1d ⇒ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6a r .

QU Y

Tính chất 2:

Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n ∈ ℕ ) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng Tính chất 3:

lũy thừa trong tổng.

KÈ

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3 . b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận

cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2 .

DẠ

c) Các số có chữ số tận cùng là 0,1, 4, 5, 6,9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận

cùng.

Tính chất 4:

(

)

Nếu a ∈ ℕ và a , 5 = 1 thì a 100 − 1 chia hết cho 125 .

Chứng minh:

⇒ a 20 + a 40 + a 60 + a 80 + 1 chia hết cho 5.

) (a

− 1

)

+ a 60 + a 40 + a 20 + 1 chia hết cho 125.

FI CI A

Vậy a 100 − 1 =

Do a 20 − 1 chia hết cho 25 nên a 20 , a 40, a 60, a 80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1

* Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số A = n k với n, k ∈ N .

(

)

- Giả sử A = 10q + r . Khi đó, A k = 10q + r = 10t p + r k với r ∈ ℕ; 0 ≤ r ≤ 9

- Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A .

Suy ra, chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r k .

- Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A .

ƠN

- Nếu A = 10m.am + am −1...a 0 = am ...a1a 0 thì am −1...a 0 là m chữ số cuối cùng của A . 2. Tìm hai chữ số tận cùng 100.

Việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho

Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a n : 220 ≡ 76 (mod 100) 320 ≡ 01 (mod 100) 65 ≡ 76 (mod 100) 7 4 ≡ 01 (mod 100)

QU Y

Trước hết, ta có nhận xét sau:

Mà: 76n ≡ 76 (mod 100) với n ≥ 1 ,

KÈ

5n ≡ 25 (mod 100) với n ≥ 2 .

Suy ra kết quả sau với k ∈ ℕ * :

a 20k ≡ 00 (mod 100) nếu a ≡ 0 (mod 10) ,

DẠ

a 20k ≡ 01 (mod 100) nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 (mod 10) , a 20k ≡ 25 (mod 100) nếu a ≡ 5 (mod 10) , a 20k ≡ 76 (mod 100) nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 (mod 100) .

Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của a n ta lấy số mũ n chia cho 20 .

Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng - Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76

- Các số 320 (hoặc 815 ); 7 4 ; 512 ; 992 có tận cùng bằng 01 .

FI CI A

- Các số 220 ; 65 ; 18 4 ; 24 2 ; 68 4 ; 742 có tận cùng bằng 76 . - Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76 .

- Các số có chữ số tận cùng là 01;25;76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn

- Các số 320 ; 7 4 ; 910 ; 512 ; 815 ; 992 có chữ số tận cùng là 01 . (2) - Các số 410 ; 65 ;18 4 ;24 2 ; 68 4 ; 742 có chữ số tận cùng là 76 . (3) n

ƠN

- Số 26 (n > 1) có chữ số tận cùng là 76 . (4)

không thay đổi. (1)

Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. CHÚ Ý:

- 410 có 2 chữ số tận cùng là 76 . - 52 có 2 chữ số tận cùng là 25 . - 820 có 2 chữ số tận cùng là 76 .

QU Y

- 910 có 2 chữ số tận cùng là 01 .

3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên

Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000.

Giả sử n = 100k + r với 0 ≤ r < 100 , khi đó: a n = a 100k +r = (a 100 ) .a r .

{

KÈ

Giả sử: a ≡ x (mod 10) , x ∈ 0, 1, 2, ..., 9} 100

Ta có: a 100 = (10k + x )

≡ x 100

(mod 1000)

Vậy 3 chữ số tận cùng của a 100 cũng chính là 3 chữ số tận cùng của x 100 .

Dùng quy nạp với mọi n ≥ 1 , ta có:

DẠ

625n ≡ 625 (mod 1000) ,

376n ≡ 376 (mod 1000) .

- Nếu x = 0 thì x 100 ≡ 000 (mod 1000)

- Nếu x = 5 thì x 4 = 54 = 625 ⇒ x 100 = (54 ) ≡ 625 (mod 103 )

(

- Nếu x = 2;4; 6; 8 thì x 100 ⋮ 2100 ⋮ 8 .

(

)

(

)

Ta có: x , 125 = 1 nên x 100 ≡ 1 mod 125 (Định lí Euler).

x 100 = 1000k + abc ⇒ abc ⋮ 8 và abc ≡ 1 (mod 125)

Giả sử 3 chữ số tận cùng của x 100 là abc ta có:

)

FI CI A

x 4 = 1; 81; 2401; 6561 ≡ 1 (mod 40) ⇒ x 100 = (40k + 1) ≡ 1 mod 103

- Nếu x = 1; 3; 7; 9 ta có tương ứng:

Trong các số 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 (các số có 3 chữ số chia cho 125 dư 1) chỉ có duy nhất một số

Do đó ta có kết quả sau:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

a 100k ≡ 000 mod 103 nếu a ≡ 0 mod 10

(

)

(

a 100k ≡ 001 mod 103 nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 mod 10

ƠN

chia hết cho 8 là 376. Vậy x 100 ≡ 376 (mod 1000).

)

a 100k ≡ 625 mod 103 nếu a ≡ 5 mod 10

(

)

QU Y

a 100k ≡ 376 mod 103 nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 mod 10

Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của a n ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ n . Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng - Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 001; 376; 625 .

- Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 0625 . PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

KÈ

Dạng 1: Tìm 1 chữ số tận cùng

Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận cùng của 187324 Lời giải: Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 1. Do đó:

(

DẠ

) = (…1)

187324 = (187 4 )81 = ….1

Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1 Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a )1567

Phân tích:

b)10619

c)1567 + 10619

d )1567.10619

- Ta biết rằng các số có chữ số tận cùng là 0,1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

- Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị.

FI CI A

Lời giải a) 1567 có chữ số tận cùng là 6 b) 10619 có chữ số tận cùng là 1 c) Theo câu a) và b)  Chữ số tận cùng của lũy thừa : 1567 + 10619 là 7 d) Theo kết quả câu a) và b)  Chữ số tận cùng của lũy thừa: 1567.10619 là 6 . Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của 52020 Phân tích:

Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là 5 . Lời giải

phân tích 52020 = 54.505 = 625505 . Vậy số 52020 có chữ số tận cùng bằng 5 . Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: b)8732

c) 91991

Lời giải a ) 7 2006 = 7 2004.7 2 = 7 4.501.7 2 = .....1.49 = .....9

d ) 2335

a ) 7 2006

ƠN

Ta thấy 54 = 625 , số tận cùng bằng 5 nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng 5 nên ta

e) 7430

b) 8732 = 87 4.7 = .....1

QU Y

Vậy chữ số tận cùng của 7 2006 là 9 .

Vậy chữ số tận cùng của 87 32 là 1 .

c) 91991 = 91988.93 = 9 4.497.93 = ......1......9 = .....9

Vậy chữ số tận cùng của 91991 là 9 .

KÈ

d ) 2335 = 2332.233 = 234.8.233 = .....1......7 = .....7

Vậy chữ số tận cùng của 2335 là 7 . 15

e) 7430 = ( 742 ) = (.....6)15 = .....6

Vậy chữ số tận cùng của 7430 là: 6 .

DẠ

f ) 7 4 n − 1 = .....1 − 1 = .....0

Vậy chữ số tận cùng của 7 4 n − 1 là 0 .

Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a ) 735 − 431

Lời giải

b) 24 n +1 + 2

c) 21930.91945

f ) 74n − 1

a) Ta có: 735 = 732.73 = 7 4.8.73 = .....1.343 = .....3 Vậy chữ số tận cùng của 735 − 431 là 3 .

b) Ta có: 2 4 n +1 = 24 n.2 = (2 4 ) n .2 = 16n.2 = .....2

FI CI A

 24 n+1 + 2 = .....2 + 2 = .....4 Vậy chữ số tận cùng của 24 n+1 + 2 là 4 . c) Ta có: 21930 = 21928.2 2 = 2 4.482.4 = .....6.4 = .....4

91945 = 91944.91 = 94.486.9 = .....1.9 = .....9

Vậy chữ số tận cùng của 21930.91945 là 6 . Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận cùng của các phép toán sau: a )118 + 128 + 138 + 148 + 158 + 168

b)11123 + 13124 + 15125

ƠN

Lời giải a) Ta có:

- 38 có chữ số tận cùng là 1 . - 48 có chữ số tận cùng là 6 .

- 18 có chữ số tận cùng là 1 . - 28 có chữ số tận cùng là 6 .

QU Y

- 58 có chữ số tận cùng là 5 .

- 68 có chữ số tận cùng là 6 .

Tổng các chữ số này bằng: 1 + 6 + 1 + 6 + 5 + 6 = 25 . Vậy 118 + 128 + 138 + 148 + 158 + 168 có chữ số tận cùng là 5.

b) Ta có:

- 1123 có chữ số tận cùng là 1 .

KÈ

- 3124 có chữ số tận cùng là 1 . - 5125 có chữ số tận cùng là 5 . Tổng các chữ số này bằng: 1 + 1 + 5 = 7 .

Vậy 11123 + 13124 + 15125 có chữ số tận cùng là 7 .

DẠ

c) Ta có:

- 5205 có chữ số tận cùng là 5 . - 715 có chữ số tận cùng là 3 .

Tổng các chữ số này bằng: 5 − 3 = 2 . Vậy 125205 − 23715 có chữ số tận cùng là 2 .

 21930.91945 = .....4......9 = .....6

c)125205 − 23715

Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau:

S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009.

Phân tích:

FI CI A

Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong S, các số mũ này đều chia 4 dư 1 . Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng 4n + 1 sẽ có tận cùng không đổi. Lời giải:

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n

n thuộc {2; 3; 4...;2004} )

4(n – 2) + 1

Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:

ƠN

(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200 (1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009 . Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9 . Tổng quát hóa:

4(n −2)+1

Tìm chữ số tận cùng của tổng sau: S = 21 + 35 + 49 + … + n

Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + ... + 20048011. Lời giải:

thuộc {2; 3; 4...;2004} )

QU Y

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n−2)+3 , n

Theo quy tắc 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 + 4 = 9019

KÈ

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9 Tương tự hóa:

Tìm chữ số tận cùng của S = 23 + 37 + 411 + … + n

4(n −2)+3

Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng

DẠ

Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a ) 22003

b) 799

Lời giải:

a) Do 22003 là số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n − 1⋮ 25 .

Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025⋮ 25 => 220 − 1 = ( 210 + 1)( 210 − 1)⋮ 25 => 23 ( 220 − 1)⋮100. Mặt khác:

)

− 1 + 23 = 100k + 8 ( k ∈ N ) .

100

(

2 2003 = 23 ( 2 2000 − 1) + 23 = 23 ( 220 )

FI CI A

Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08 . b) Do 7 99 là số lẻ, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7 n − 1⋮100 . Ta có 7 4 = 2401 => 74 − 1⋮100 . Mặt khác : 99 − 1 ∶ 4 => 99 = 4k + 1( k ∈ N )

Vậy 799 = 7 4 k + 1 = 7 ( 7 4 k − 1) + 7 = 100q + 7 ( q ∈ N ) tận cùng bởi hai chữ số 07 . Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991

ƠN

Lời giải

Ta thấy: 7 4 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. 497

( )

.343 = ...01

.343 = (...01).343 = ...43.

497

Do đó: 71991 = 71988.7 3 = (7 4 )

Vậy 71991 có hai chữ số tận cùng là 43 . Ví dụ 2.3: Tìm hai số tận cùng của 2100 Lời giải

QU Y

Chú ý rằng: 210 = 1024 bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76 , số có tận cùng bằng

76 thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76 . 10

( )

Do đó 2100 = (210 ) = 102410 = (10242 ) = ...76

= ...76

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 .

KÈ

a) 5151;

Ví dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận cùng của: 99

b) 9999 ;

c) 6666 ;

Hướng dẫn:

( )

a) 5151 = 512 99

(

( )

)

.51 = … 01

.51 = …51 . k

(

)

(

)

DẠ

b) 9999 = 992k +1 = 992 .99 = … 01 .99 = …99 . 133

( )

c) 6666 = 65

(

)

.6 = … 76 .6 = … 56 . 101

d) 14101.16101 = (14.16)

(

= 224101 = 2242

)

(

)

.224 = …76

.224

d) 14101.16101

(

)

= … 76 .224 = …24 . Ví dụ 2.5: Tìm 2 chữ số tận cùng của 197656.201577

Lời giải

FI CI A

Ta thấy:

Chữ số tận cùng của 197656 cũng là chữ số tận cùng của 7656 mà 7656 = ...76 Chữ số tận cùng của 201577 cũng là chữ số tận cùng của 1577 77

( ) ( ) ( )( )

mà 1577 = (3.5) = 377.577 = 320.3+17.577 = 317 ...01 . ...25 = ...63 ...25 = ...75.

( )( )

Suy ra: 197656.201577 = ...76 . ...75 = ...00. Vậy 197656.201577 có 2 chữ số tận cùng là 00 . Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận cùng của số C = 2999

ƠN

Lời giải

(

)(

)

Ta có: 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025 ⋮ 25 suy ra 220 – 1 = 210 + 1 210 – 1 ⋮ 25

– 1⋮ 220 – 1 suy ra 21000 – 1⋮ 25

( )

Ta lại có 21000 – 1 = 220

Do đó 21000 chữ số tận cùng là 26; 51; 76 nhưng 21000 ⋮ 4

Vậy 2999 tận cùng là 88

QU Y

Suy ra 21000 tận cùng là 76 ⇒ 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999 ⋮ 4

Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88 .

Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của 512020

Lời giải

Ta có 2020 = 2.1010 nên 512020 = (512 )1010 = 26011010 .

KÈ

Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của 512020 là 01 . Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của Lời giải

a) 72015

b) 57 66

a) Ta có: 7 4 = 2401 nên 72015 = 7 4.503+3 = (7 4 )503 .7 3 = 2401503.343 = (...01).343 = ...43

DẠ

2015 Chữ số tận cùng của 7 là 43 .

b) Ta có 57 66 = (57 4 )16 .57 2 = (...01)16 .3249 = ...49 Chữ số tận cùng của 57 66 là 49 .

Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng Ví dụ 3.1: Tìm ba chữ số tận cùng của 52008

Lời giải:

FI CI A

52008 =54.502=(54)502 54 có tận cùng là 625

Suy ra ( 54 )

502

có tận cùng là 625

Vậy 52008 có 3 chữ số tận cùng là 625 . Ví dụ 3.2: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 .

Lời giải Ta có: 210 = 1024 ≡ 024(mod1000) 250 = (210 )5 ≡ 245 ≡ 624(mod1000)

Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376 . Ví dụ 3.3: Tìm ba chữ số tận cùng của 123101

Phân tích:

ƠN

2100 = ( 250 ) ≡ 6242 ≡ 376(mod1000)

Nhận thấy rằng (123,5 ) = 1 nên ta sẽ áp dụng tính chất 4, khi đó chia hết cho 125 . Lời giải:

QU Y

+ Vì (123,5 ) = 1 nên áp dụng tính chất ta có 123101 − 1 chia hết cho 125 . + Ta lại có chia hết cho 8 (2)

Vì ( 8;125) = 1 và kết hợp (1),(2) ta có chia hết cho 1000 Khi đó

Vậy ba chữ số tận cùng của là 123 . 2003

Lời giải

KÈ

Ví dụ 3.4: Tìm ba chữ số tận cùng của 29

- Tìm 2 chữ số tận cùng của 92003

Ta có 92003 = 93.92000 = 93.(320 )50 ≡ 29 (mod100) 2003

DẠ

- Khi đó ta có 29

= 2100k+29 = 229.2100k ≡ 912.376 ≡ 912 (mod1000)

Vậy 3 chữ số tận cùng là 912 . 213

Ví dụ 3.5: Tìm ba chữ số tận cùng của 37 Lời giải

(1)

( )

Ta có 7213 ≡ 726.8+5 ≡ 7 8 213

.7 5 ≡ 126.75 ≡ 75 ≡ 7 (mod100)

là 187 .

FI CI A

213

Vậy ba chữ số tận cùng của 37

= 3100k+7 = 3100k.37 ≡ 1. 37 ≡ 187 (mod1000)

Khi đó 37

Ví dụ 3.6: Tìm ba chữ số tận cùng của 51992 Lời giải 498

( )

51992 = 54

= 625498 = 0625498 = … 0625

Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625 Ví dụ 3.7: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946 Lời giải

ƠN

Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125 Suy ra T = 5946 = (53)315.5=( n125 )315.5= m125 .5= t 625

Vậy T = 5946 có ba chữ số tận cùng là 125 .

(Với n, m, t ∈ ℕ )

Ví dụ 3.8: Tìm ba chữ số tận cùng của số: P = 51994 Lời giải

QU Y

Ta có:

54 = 0625 tận cùng là 0625 ;

55 tận cùng là 3125 ;

56 tận cùng là 5625

57 tận cùng là 8125 ;

58 tận cùng là 0625 ;

59 tận cùng là 3125 ;

511 tận cùng là 8125 ;

512 tận cùng là 0625

510 tận cùng là 5625 ; Chu kỳ lặp là 4.

Suy ra:

54m +1 tận cùng là 3125

KÈ

54m tận cùng là 0625 ;

54m +2 tận cùng là 5625 ;

54m+3 tận cùng là 8125

Mà 1994 có dạng 4m + 2 , do đó M = 51994 có 4 chữ số tận cùng là 5625 .

Ví dụ 3.9: Tìm ba chữ số tận cùng của số: R = 123101

DẠ

Lời giải

Do (123, 5) = 1 ⇒ 123100 − 1 chia hết cho 125 (1).

(

)(

)

Mặt khác: 123100 − 1 = 12325 − 1 12325 + 1 12350 + 1 ⇒ 123100 − 1 chia hết cho 8 (2).

Vì (8,125) = 1 , từ (1) và (2) suy ra : 123100 − 1 chi hết cho 1000

(

)

⇒ 123101 = 123 123100 − 1 + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N ) .

Vậy 123101 có ba chữ số tận cùng là 123 .

Ví dụ 3.10: Tìm ba chữ số tận cùng của 3399...98

FI CI A

Lời giải Do (9, 5) = 1 ⇒ 9100 − 1 chi hết cho 125 (1). Ta có 9100 − 1 chia hết cho 8 (2). Vì (8,125) = 1 , từ (1) và (2) suy ra: 9100 − 1 chia hết cho 1000

(

)

⇒ 3399...98 = 9199...9 = 9100 p +99 = 999 9100 p − 1 + 999 = 1000q + 999 ( p, q ∈ ℕ ) .

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999 .

Lại vì 9100 − 1 chia hết cho 1000 ⇒ ba chữ số tận cùng của 9100 là 001 mà 999 = 9100 : 9

??9 × 9 = ...001 để xác định ??9 = 889 ). Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 là 889 .

Ví dụ 3.11: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200

ƠN

⇒ ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9, sau đó dựa vào phép nhân

Lời giải Do (2004, 5) = 1

(

 2004200 = 2004100

)

QU Y

 2004100 chia cho 125 dư 1

chia cho 125 dư 1

 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126,251, 376, 501, 626, 751, 876 .

Do 2004200 chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376 .

Lời giải

KÈ

Ví dụ 3.12: Tìm ba chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 . Nhận thấy: lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n

4(k −2)+1

, k thuộc {2, 3,…,2004} ).

Mọi lũy thừa trong S đều có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của cơ số tương ứng:

DẠ

 Chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng:

(2 + 3 + … + 9) + 199.(0 + 1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200 (1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009 .

Vậy ba chữ số tận cùng sẽ là 009

Dạng 4: Vận dụng chứng minh chia hết, chia có dư. * Chú ý: a. Dấu hiệu chia hết cho 2 :

FI CI A

b. Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9 ):

Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.

Một số chia hết cho 3 (hoặc 9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9 ).

Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9 ) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9 ) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại. c. Dấu hiệu chia hết cho 5 :

Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5 . d. Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25 ):

Một số chia hết cho 4 (hoặc 25 ) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25 ).

ƠN

e. Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125 ):

Một số chia hết cho 8 (hoặc 125 ) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125 ). f. Dấu hiệu chia hết cho 11 :

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 .

Ví dụ 4.1: Cho 9999931999 − 5555571997 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5 . Lời giải:

Ta có: 31999 = ( 34 )

499

QU Y

Để chứng minh A⋮ 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. = 81499 .27

Suy ra: 31999 có chữ số tận cùng là 7 . 499

.7 = 2041499 .7

71997 = ( 7 4 )

Suy ra: 71997 có chữ số tận cùng là 7 .

KÈ

Vậy A có chữ số tận cùng bằng 0 . Do đó: A⋮ 5 .

Ví dụ 4.2: Cho n ∈ ℕ , chứng minh rằng n 2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 .

Lời giải:

DẠ

Ta có: n 2 + n + 1 = n ( n + 1) + 1

n ( n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 . Suy ra n ( n + 1) + 1 là một số lẻ nên không

chia hết cho 4 .

n ( n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên n ( n + 1) + 1 không có tận cùng là 5 hoặc 0 . Do đó n ( n + 1) + 1 không chia hết cho 5 .

Lời giải: Ta có: 10 2003 có chữ số tận cùng là 0 . Do đó: 10 2003 + 8 có chữ số tận cùng là 8 . Vậy 10 2003 + 8 chia hết cho 2 Ví dụ 4.4: Chứng minh 21132000 − 20112000 chia hết cho cả 2 và 5 .

Lời giải:

FI CI A

Ví dụ 4.3: Chứng tỏ rằng 10 2003 + 8 chia hết cho 2 .

Để 21132000 − 20112000 vừa chia hết cho cả 2 và 5 thì số phải có chữ số tận cùng là 0 . Suy ra: Cần chứng minh số bị trừ và số trừ đều có chữ số tận cùng là 1 .

Ta có: 21132000 = ( 21134 )

500

ƠN

Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận cùng là 1 thì a n cũng có chữ số tận cùng là 1 . = ...1 . Suy ra: 21132000 có chữ số tận cùng là 1 .

20112000 luôn có chữ số tận cùng là 1 .

Suy ra: 21132000 − 20112000 có chữ số tận cùng là 0 . Vậy: 21132000 − 20112000 chia hết cho cả 2 và 5 .

QU Y

Ví dụ 4.5: Cho 1 số có 4 chữ số: *26* . Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có bốn chữ số khác nhau chia hết cho tất cả bốn số: 2;3;5;9 . Lời giải:

Số *26* đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn. Số *26* chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5 .

Số *26* vừa chia hết cho 3 và 9 nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9 .

KÈ

Suy ra: Chữ số tận cùng của số *26* là 0 . Do đó ta có số *260  . Chữ số đầu là số 1 Vậy: số đã cho là 1260 .

Ví dụ 4.6: Chứng tỏ rằng hiệu 19831983 − 19171917 chia hết cho 10 .

DẠ

Lời giải:

Ta có: 19831983 = (19844 )

495

.19833

Số 19834 có chữ số tận cùng bằng 1

Suy ra (19834 )

495

có tận cùng bằng 1

Số 19833 có tận cùng bằng 7 Do đó: 19831983 có tận cùng bằng 7

Phân tích tương tự, 19171917 có tận cùng bằng 7

Vậy: 19831983 − 19171917 chia hết cho 10 . Ví dụ 4.7: Chứng tỏ rằng: 20075 + 20144 − 201313 chia hết cho 10 . Lời giải:

FI CI A

Do đó: 19831983 − 19171917 có tận cùng bằng 0

Ta có: 75 = 7 4 .7 = 2401.7 tận cùng bằng chữ số 7 nên số 20075 cũng tận cùng bằng chữ số 7 .

44 = 256 tận cùng bằng chữ số 6 nên 20144 cũng tận cùng bằng chữ số 6 .

313 = ( 34 ) .3 = 813 .3 tận cùng bằng chữ số 3 nên số 201313 cũng tận cùng bằng chữ số 3 .

Vây: số 20075 + 20144 − 201313 chia hết cho 10 .

ƠN

Suy ra: 20075 + 20144 − 201313 tận cùng bằng chữ số 0 .

Ví dụ 4.8: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân. Cách 1: 54 = 625

Lời giải:

Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625 . k

(

)

QU Y

Do đó: 51994 = 54 k + 2 = 25 ( 54 ) = 25 ( 0625 ) = 25 ...0625 = ...5625 Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 cho 10000 = 24 .54 Nhận xét: 54 k − 1 chia hết cho 54 − 1 = ( 52 −1)( 52 − 1) nên chia hết cho 16 . Ta có: 51994 = 56 ( 51988 − 1) + 56

Do 56 chia hết cho 54 còn 51988 −1 chia hết cho 16 (theo nhận xét trên)

KÈ

Nên: 56 ( 51988 − 1) chia hết cho 10000 Tính 56 = 15625

Vậy bốn chữ số tận cùng của 51994 là 5625 .

Ví dụ 4.9: Chứng minh rằng 3366 + 77 55 – 2 chia hết cho 5

DẠ

Lời giải: Ta chứng minh 3366 + 77 55 – 2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5 Thật vậy, 3366 có cùng chữ số tận cùng với 3366 , mà 366 = 933 = 9.92.16 suy ra 3366 có tận cùng là 9 , 77 55 có cùng chữ số tận cùng với 77 55 , vì 755 = 73.7 4.13 nên 77 55 có tận cùng là 3 . Do đó 3366 , 77 55 có chữ số tận cùng lần lượt là 9 , 3 suy ra 3366 + 77 55 – 2 tận cùng là 0 (đpcm) Dạng 5: Vận dụng chữ số tận cùng vào bài toán chính phương. * Chú ý:

- Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0;1; 4;5;6;9 - Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn

- Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1

FI CI A

- Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 - Số chính phương chia hết cho 1 thì sẽ chia hết cho 4 - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 - Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 - Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ. - Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu:

ƠN

+ A có chữ số tận cùng là 2;3;7;8 .

- Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn

+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn. + A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ. + A có hai chữ số tận cùng là lẻ.

+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2 .

Ví dụ 5.1: Các số sau có phải là số chính phương không? Vì sao? a) 10 2019 + 8 ;

QU Y

Lời giải:

b) 1.2.3.4...2019 + 7

a) Ta có: 10 2019 có chữ số tận cùng là 0

Suy ra: 10 2019 + 8 có chữ số tận cùng là 8 .

Do đó: 10 2019 + 8 không là số chính phương.

b) Ta có: 1.2.3.4...2019 có chữ số tận cùng là 0 .

KÈ

Suy ra: 1.2.3.4...2019 + 7 có chữ số tận cùng là 7 . Do đó: 1.2.3.4...2019 + 7 không là số chính phương. Ví dụ 5.2: Cho A = 22 + 23 + 2 4 + ... + 22020 . Chứng minh rằng A + 4 không là số chính phương.

Lời giải:

DẠ

Ta có: A = 22 + 23 + 2 4 + ... + 22020 2 A = 23 + 24 + 25 + ... + 2 2021

Suy ra: 2 A − A = 22021 − 4

Suy ra: A + 4 = 2 2021 − 4 + 4 = 2 2021

= ( 24 )

505

= 16505 . 2

Ta có: 10505 có chữ số tận cùng là 6 .

FI CI A

Suy ra: 16505 có chữ số tận cùng là 2 . Do đó: A + 4 có chữ số tận cùng là 2 . Vậy A + 4 không phải là số chính phương.

Ví dụ 5.3: Cho a ∈ ℕ và n − 1 không chia hết cho 4 . Chứng minh rằng 7 n + 2 không thể là số chính

Lời giải: Do n − 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r ( r ∈{0, 2,3} ) .

phương.

ƠN

Ta có 7 4 − 1 = 2400:10 . Ta viết 7 n + 2 = 7 4 k + r + 2 = 7 r ( 7 4 k − 1) + 7 r + 2 .

Vậy hai chữ số tận cùng của 7 n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 ( r = 0; 2;3) nên chỉ có thể là 03;51; 45 . Theo tính chất trên thì rõ ràng 7 n + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4 .

Ví dụ 5.4: Cho S = 1 + 31 + 32 + 33 + ... + 330 . Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương. Lời giải:

QU Y

Tổng có 31 số hạng , nhóm các số hạng từ trái sang phải, mỗi nhóm 4 hạng, còn thừa ba số hạng cuối là 328 + 329 + 330 . Trong mỗi nhóm, chữ số tận cùng của tổng là 0 . Vậy chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng 328 + 329 + 330 . Ta có: 329 = 328 .3 = ...1.3 = ...3

330 = 328 .32 = ...1. 9 = ...9

Tổng S có chữ số tận cùng 1 + 3 + 9 = ...3

KÈ

Số chính phương không có tận cùng bằng 3 . Suy ra S không phải là số chính phương. Ví dụ 5.5: Cho tổng S = 1 + 3 + 5 + ... + 2009 + 2011 a) Tính S

b) Chứng tỏ S là một số chính phương.

DẠ

Lời giải:

 2011 + 1   2011 − 1  a) Ta có: S =1 + 3 + 5 + ... + 2009 + 2011 =  + 1 = 10062 = 1012036  . 2 2   

b) S = 22 .5032 = 1006 2 có chữ số tận cùng là 6 nên S là số chính phương.

Ví dụ 5.6: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết vởi các chữ số 3;6;8;8 .

Lời giải: Gọi n 2 là số chính phương cần tìm.

FI CI A

Số tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 , không chia hết cho 4 nên không là số chính phương. Vậy n 2 phải tận cùng bằng 36 Suy ra số chính phương cần tìm là: 8836 = 94 2 BÀI TẬP Bài 1: Chứng tỏ rằng 10 2003 + 8 chia hết cho 2 .

Lời giải: Cách 1: 10 2003 = 10.102002 = 2.5.10 2002 chia hết cho 2 và 8 chia hết cho 2 . Do đó: 10 2003 + 8 chia hết cho 2 .

ƠN

Cách 2: 10 2003 có chữ số tận cùng là 0. Do đó: 10 2003 + 8 có chữ số tận cùng là 8 . Vậy: 10 2003 + 8 chia hết cho 2 . Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 67

a) 2345 ; b) 5796 Lời giải:

a) Số 243 có tận cùng là 4 , nâng lên luỹ thừa lẻ nên có chữ số tận cùng là 4 .

QU Y

b) Số 579 có tận cùng là 9 , nâng lên luỹ thừa chẵn nên có tận cùng là 1 . Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 61995 ; 91995 ; 31995 ; 21995 Lời giải:

Ta có: 61995 có số tận cùng là 6

91995 có số tận cùng là 9

31995 có số tận cùng là 7 ( 1995 = 4.498 + 3 )

KÈ

21995 có số tận cùng là 8 9

Bài 4: Tìm chữ số cuối cùng của số 7 9 .

Lời giải:

DẠ

Ta có: 7 4 k có chữ số cuối cùng là 7 . Mà: 99 = ( 2.4 + 1)

Do đó: chữ số cuối cùng của số 7 9 là 7 . Bài 5: Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7 . Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số?

Lời giải:

Số chính phương không tận cùng bằng 3 và 8 nên n 2 phải tận cùng bằng 6 .

Nếu tích có 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số tận cùng là 5 . Dó đó tích phải tận cùng là 5 nên trái đề bài. Vậy số thừa số của tích nhỏ nhất phải lớn hơn 5 .

Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 nên trái đề bài.

FI CI A

Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số.

Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 , hoặc tận cùng bằng 9 nên trái đề bài.

Bài 6: Tích A = 2.2 2 .23 ...210 .52 .54 .56 ...514 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 . Lời giải: Ta có: 2.2 2 .23 ...210 = 21+ 2 + 3 + ...+10 255

52 .54 .56 ...514 = 52 + 4 + 6 +...+14 = 556 Do đó: A = 255 . 556 = 255 .555 .5 = 1055 .5 Vậy A có tận cùng bằng 55 chữ số 0 .

ƠN

Bài 7: Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết rằng số gồm năm chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại bằng bốn lần số phải tìm. Lời giải:

Theo đầu bài ta có: 4.abcde = edcba (*)

Gọi số phải tìm là abcde ( a , b , c , d , e ∈ ℕ ;1 < a , e ≤ 9;0 ≤ b , c , d ≤ 9 )

Vì 4.abcde bằng một số có năm chữ số nên a ≤ 2 , a lại chẵ nên a = 2 .

QU Y

Tích 4e là một số tận cùng bằng 2 , do đó e = 3 hoặc e = 8 . Vì e là chữ số đầu của số tận cùng bằng b nên b phải là số lẻ, do đó b = 1 . Xét tích 4d . Đó là một số cộng với 3 được một số tận cùng bằng 1 nên 4.d tận cùng bằng 8 . Vậy d = 2 hoặc d = 7 .

Bằng cách thử trực tiếp, ta được d = 7 , do đó c = 9 .

KÈ

Vậy số phải tìm là 21978 .

Bài 8: Hãy thay vào a, b, c, d các chữ số thích hợp, biết rằng: a) abc .5 = dad ;

b) abc + ba = dcca ;

c) acc = cca = aa

Lời giải:

DẠ

a) Tích abc .5 là một số có ba chữ số, nên a = 1. c .5 là một số tận cùng bằng 0 hoặc 5 (tức là d = 0 hoặc d = 5 ) nhưng d ≠ 0 nên d = 5 , suy ra dad = 515 .

Vậy: abc = 515:5 =103 . Ta có phép tính 103.5 = 515 .

b) Ta viết lại phép tính như sau:

ba + abc

dcca

FI CI A

Ta có: a + c = a (vì a + c ≠ 10 + a ) nên c = 0 . Tổng là một số có bốn chữ số chỉ trong trường hợp a = 9 . Khi đó d =1 ; b + b là một số tận cùng bằng 0 , hơn nữa b + b phải khác 0 vì nếu không ta phải có b = 0 , trái với đầu bài. Do đó: b + b = 10 và b = 5 . Ta có phép tính: 950 + 59 = 1009 c) Ta viết lại phép tinh bằng: aa

+ cca acc

Do đó: a + a = 10 + c và a + c + 1 =10 + c ( a + c + 1 ≠ c ) .

ƠN

Nếu a + c < 10 thì a + c = 0 suy ra a = 0 , điều này vô lý vì rõ ràng a phải khác 0 .

Ta có phép tính: 988 − 889 = 99 .

Từ đó a = 9 nhưng a + a = 10 + c , nghĩa là 10 + c = 18 nên c = 8 .

Bài 9: Nếu a ∈ ℕ và ( a ;5 ) =1 thì a100 − 1 chia hết cho 125 . Lời giải:

QU Y

Do a 20 − 1 chia hết cho 25 nên a 20 ; a 40 ; a 60 ; a 80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1 . Suy ra: a 20 + a 40 + a 60 + a 80 + 1 chia hết cho 5 .

Vậy a100 −1 = ( a 20 − 1)( a 80 + a 60 + a 40 + a 20 + 1) chia hết cho 125 . Bài 10: Chứng minh rằng: Trong 11 số nguyên bất kì thế nào cũng có hai số có cùng chữ số tận cùng.

Lời giải:

Một số nguyên chỉ có thể tận cùng bằng 1 trong 10 chữ số 0;1; 2;...;9

KÈ

Lấp 11 số nguyên, theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai số có cùng chữ số tận cùng. PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. Bài 1: Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4 . Biết rằng khi chuyển chữ số 4 đó lên đầu còn

các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp 4 lần số cũ. (Đề thi HSG Gia Lai năm 2018 - 2019)

DẠ

Lời giải:

Gọi số cần tìm là abcde4 , ta có: abcde 4.4 = 4abcde Đặt abcde = x  abcde 4 = x 4 Ta có: x 4.4 = 400 000 + x

(10 x + 4 ) .4 = 400 000 + x 40 x + 16 = 400 000 + x

39 x = 399984

FI CI A

x = 10256

Vậy số cần tìm là 10256 .

Bài 2: Cho A = 2017 + 2017 2 + 20173 + ... + 201718 . Chứng tỏ rằng A⋮ 2018 . Tìm chữ số tận cùng của A. (Đề HSG Trực Ninh năm 2017 - 2018) Lời giải:

A = ( 2017 + 2017 2 ) + ( 20173 + 2017 4 ) + ... + ( 2017 2017 + 2017 2018 )

= 2017. (1 + 2017 ) + 20173. (1 + 2017 ) + ... + 2017 2017 (1 + 2017 )

ƠN

= 2018. ( 2017 + 20173 + ... + 2017 2017 )⋮ 2018

Ta có A = 2017 + 2017 2 + 20173 + ... + 201718 (tổng A có 2018 số hạng, 2018⋮ 2 )

= 2017 + 2017 2 + ( 20173 + 2017 4 + 20175 + 2017 6 ) + ... + ( 2017 2015 + 2017 2016 + 2017 2017 + 2017 2018 )

( ) = (...6 )

( )

= ...6 + 20173. ...0 + ... + 2017 2015. ...0

Vậy chữ số tận cùng của A là 6 . 14

Lời giải: 14

QU Y

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của số P =1414 + 99 + 23 (Đề HSG Lý Nhân năm 2018 - 2019).

Chữ số tận cùng của 1414 là 6 . 9

Chữ số tận cùng của 99 là 9 . 4

Chữ số tận cùng của 23 là 2 .

KÈ

Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng ( 6 + 9 + 2 ) là 7 . Bài 4: Cho M = 2 + 22 + 23 + ... + 220 (Đề HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017)

a) Chứng tỏ rằng M ⋮ 5 .

DẠ

b) Tìm chữ số tận cùng của M. Lời giải:

a) Ta có: M = 2 + 22 + 23 + ... + 220 = ( 2 + 22 + 23 + 2 4 ) + ... + ( 217 + 218 + 219 + 220 )

= 2 (1 + 2 + 22 + 23 ) + ... + 217 (1 + 2 + 22 + 23 )

= 15 ( 2 + ... + 217 )

FI CI A

= 5.3. ( 2 + ... + 217 )⋮ 5

b) Dễ thấy M ⋮ 2; M ⋮ 5  M ⋮10 Do đó: M có chữ số tận cùng bằng 0 .

Bài 5: Cho A = 3 ( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1) . Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A. (Đề HSG Bắc Ninh năm 2016 - 2017)

Lời giải: Ta có: A = 3 ( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1)

ƠN

= ( 22 −1)( 22 + 1)( 2 4 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1) = ( 24 − 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1)

= ( 28 − 1)( 28 + 1)( 216 + 1) = ( 216 −1)( 216 + 1)

= 232 − 1

Bài 6: Cho A =

QU Y

Vì 232 có chữ số tận cùng là 2 nên A = 232 −1 có chữ số tận cùng là 1 . 1 20122015 9294 . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5. (Đề HSG Hoằng Hoá năm 7 −3 2

(

)

2018 - 2019 ) Lời giải:

Vì 2012;92 đều là bội của 4 nên 20122015 và 9294 cũng là bội của 4 .

KÈ

Suy ra: 20122015 = 4m ( m ∈ ℕ* ) 9294 = 4n ( n ∈ ℕ* ) 2015

( ) ( )

− 392 = 7 4 m − 34 n = ...1 − ...1 = 0

Khi đó: 7 2012

DẠ

Vậy A có tận cùng là 0 nên chia hết cho 10 nên A =

1 20122015 9294 7 −3 ⋮5 . 2

(

)

Bài 7: Cho A = 102012 + 102011 + 10 2010 + 10 2009 + 8 . Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. (Đề

HSG Buôn Mê Thuột năm 2018 - 2019) Lời giải:

Ta có các số 102012 ;102011 ;102010 ;102009 đều có chữ số tận cùng là 0 .

Do đó: A = 102012 + 102011 + 10 2010 + 10 2009 + 8 có chữ số tận cùng là 8 . Vậy A không phải là số chính phương. b) 931999

FI CI A

a) 57 2011

Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (Đề HSG Tân Uyên 2018 - 2019) Lời giải: a) Xét 7 2011 , ta có: 7 2011 = ( 7 4 )

502

.73 = 2401502 .343

Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 Vậy số 57 2011 có chữ số tận cùng là 3 499

.33 = 81499 .27

b) Xét 31999 ta có: 31999 = ( 34 )

Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 Bài 9: (Đề HSG Yên Lạc 2018 - 2019) a) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 4931 ;322000

Lời giải:

b) Chứng tỏ rằng: 10 2011 + 8 chia hết cho 72

ƠN

Vậy số 931999 có chữ số tận cùng là 7

a) Do 49 có chữ số tận cùng là 9 , khi đó nâng lên lũy bậc lẻ có chữ số tận cùng là 9 Vậy 4931 có chữ số tận cùng là 9

QU Y

Ta có 32 2000 = 324.500 có chữ số tận cùng là 0 nên khi nâng lên lũy thừa 4n có tận cùng là chữ số 6 . Vậy 322000 có chữ số tận cùng là 6

b) Vì 10 2011 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 Lại có 10 2011 + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8

Vậy 10 2011 + 8 chia hết cho 72 .

Lời giải:

KÈ

Bài 10: Cho A = 5 + 52 + ... + 596 . Tìm chữ số tận cùng của A. (Đề HSG 2017 - 2018)

Ta có: A = 5 + 52 + ... + 596

5 A = 52 + 53 + ... + 596 + 597

DẠ

Do đó: 5 A − A = 597 − 5 Suy ra: A =

597 − 5 4

Ta có: 597 có chữ số tận cùng là 5

Suy ra 597 − 5 có chữ số tận cùng là 0

Vậy chữ số tận cùng của A là 0 . Bài 11: Chứng minh rằng: 10 2002 + 8 chia hết cho cả 9 và 2 . (Đề HSG Cao Lộc 2020 - 2021)

Lời giải:

FI CI A

a) Ta có: 10 2002 + 8 = 10...000 + 8 (2002 số 0) = 10...008 (2001 số 0) có 8 tận cùng nên chia hết cho 2 và tổng các chữ số của nó là: 1 + 0 + ... + 0 + 0 + 8 = 9 nên chia hết cho 9 Vậy 10 2002 + 8 chia hết cho 9 và 2 .

Bài 12: Cho B = 2 + 2 2 + 23 + ... + 2 40 . Tìm chữ số tận cùng của B . (Đề HSG Lục Ngạn 2020 - 2021) Lời giải:

Ta có: B = 2 + 2 2 + 23 + ... + 2 40 2 B = 2 2 + 23 + 24 + ... + 241 Do đó: 2 B − B = 241 − 2 2 41 − 2 1

ƠN

Suy ra: B =

Suy ra: 241 − 2 có chữ số tận cùng là 0 . Vậy chữ số tận cùng của B là 0 .

Ta có: 2 41 có chữ số tận cùng là 2 .

Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của dãy phép tính sau: P = 2001.2002.2003.2004 + 2005.2006.2007.2008.2009 .

QU Y

(Đề HSG Cao Lộc năm 2020 2021) Lời giải:

Ta gọi 2001.2002.2003.2004 là vế A. Ta sẽ nhân chữ số tận cùng của các thừa số ở vế A lại với nhau ta được: 1.2.3.4 = 24 nên vế A có chữ số tận cùng là 4 . Gọi 2005.2006.2007.2008.2009 là vế B. Ta sẽ nhân chữ số tận cùng của các thừa số ở vế B lại với nhau ta

được: 5.6.7.8.9 = 15120 nên vế B có chữ số tận cùng là 0 .

KÈ

Vậy chữ số tận cùng của P = 2001.2002.2003.2004 + 2005.2006.2007.2008.2009 là 4 + 0 = 4 . Bài 14: Tìm một chữ số tận cùng của: A = 3n + 2 + 2n + 2 + 3n + 2n ( n∈ℕ ) . (Đề HSG Kon Tum năm 2020 2021)

Lời giải:

DẠ

Ta có: A = 3n + 2 + 2 n + 2 + 3n + 2 n

= 3n .32 + 2n .22 + 3n + 2n = 3n ( 32 + 1) + 2n ( 22 + 1) = 3n .10 + 2n .5

Ta có: 3n .10 có chữ số tận cùng là 0 .

2n .5 có chữ số tận cùng là 0 . Vậy A có chữ số tận cùng là 0

Bài 15: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 . (Đề HSG năm 2016 - 2017)

FI CI A

Lời giải: Ta có: 210 = 1024 10

2100 = ( 210 ) = 102410 = (1024 2 )

Mà 1024 2 có hai chữ số tận cùng là 76 0

Suy ra: (1024 2 ) có hai chữ số tận cùng là 76

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Vậy 2100 có hai chữ số tận cùng là 76 .

CHUYÊN ĐỀ .CHỮ SỐ TẬN CÙNG

A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

FI CI A

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tìm 1 chữ số tận cùng Tính chất 1:

a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n ∈ ℕ ) thì chữ số tận cùng

ƠN

là 1 .

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n ∈ ℕ ) thì chữ số tận cùng là 6 .

Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m , trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a :

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 .

QU Y

- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9 :

Phân tích: a m = a 4n +r = a 4n .a r với r = 0, 1, 2, 3 Từ tính chất 1c ⇒ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của a r . - Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 : cũng như trường hợp trên

Tính chất 2:

Từ tính chất 1d ⇒ chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6a r .

KÈ

Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n ∈ ℕ ) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng

DẠ

của từng lũy thừa trong tổng.

Tính chất 3:

FI CI A

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.

c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay

đổi chữ số tận cùng. Tính chất 4:

(

)

Chứng minh:

ƠN

Nếu a ∈ ℕ và a , 5 = 1 thì a 100 − 1 chia hết cho 125.

Do a 20 − 1 chia hết cho 25 nên a 20, a 40, a 60, a 80 khi chia cho 25 có cùng số dư là 1

Vậy a 100 − 1 =

) (a

− 1

⇒ a 20 + a 40 + a 60 + a 80 + 1 chia hết cho 5.

)

+ a 60 + a 40 + a 20 + 1 chia hết cho 125.

* Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số A = n k với n, k ∈ N .

(

)

QU Y

- Giả sử A = 10q + r . Khi đó, A k = 10q + r = 10t p + r k với r ∈ ℕ; 0 ≤ r ≤ 9 Suy ra, chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r k . - Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A .

- Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A .

KÈ

- Nếu A = 10m.am + am −1...a 0 = am ...a1a 0 thì am −1...a 0 là m chữ số cuối cùng của A . 2. Tìm hai chữ số tận cùng Việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 100.

Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a n :

DẠ

Trước hết, ta có nhận xét sau: 220 ≡ 76 (mod 100) 320 ≡ 01 (mod 100)

65 ≡ 76 (mod 100)

7 4 ≡ 01 (mod 100)

FI CI A

Mà: 76n ≡ 76 (mod 100) với n ≥ 1 , 5n ≡ 25 (mod 100) với n ≥ 2 .

Suy ra kết quả sau với k ∈ ℕ * :

a 20k ≡ 01 (mod 100) nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 (mod 10) , a 20k ≡ 25 (mod 100) nếu a ≡ 5 (mod 10) ,

ƠN

a 20k ≡ 76 (mod 100) nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 (mod 100) .

a 20k ≡ 00 (mod 100) nếu a ≡ 0 (mod 10) ,

Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của a n ta lấy số mũ n chia cho 20 . Dạng 1. Một số trường hợp cụ thể về 2 chữ số tận cùng

- Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng

01; 25; 76

- Các số 320 (hoặc 815 ); 7 4 ; 512 ; 992 có tận cùng bằng 01 .

QU Y

- Các số 220 ; 65 ; 18 4 ; 242 ; 68 4 ; 74 2 có tận cùng bằng 76 . - Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76 . - Các số có chữ số tận cùng là 01;25; 76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. (1)

- Các số 320 ; 7 4 ; 910 ; 512 ; 815 ; 992 có chữ số tận cùng là 01. (2)

KÈ

- Các số 410 ; 65 ;18 4 ;242 ; 68 4 ; 742 có chữ số tận cùng là 76. (3) n

- Số 26 (n > 1) có chữ số tận cùng là 76. (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a m , trước hết ta xác định chữ số tận cùng

của a.

DẠ

Dạng 2. CHÚ Ý: - 410 có 2 chữ số tận cùng là 76. - 52 có 2 chữ số tận cùng là 25.

- 820 có 2 chữ số tận cùng là 76.

- 910 có 2 chữ số tận cùng là 01.

FI CI A

3. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên

Việc tìm ba chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 1000. k

Giả sử n = 100k + r với 0 ≤ r < 100 , khi đó: a n = a 100k +r = (a 100 ) .a r .

{

Giả sử: a ≡ x (mod 10) , x ∈ 0, 1, 2, ..., 9} ≡ x 100

(mod 1000)

100

Ta có: a 100 = (10k + x )

Vậy 3 chữ số tận cùng của a 100 cũng chính là 3 chữ số tận cùng của x 100 . Dùng quy nạp với mọi n ≥ 1 , ta có:

ƠN

625n ≡ 625 (mod 1000) ,

376n ≡ 376 (mod 1000) .

- Nếu x = 0 thì x 100 ≡ 000 (mod 1000)

- Nếu x = 5 thì x 4 = 54 = 625 ⇒ x 100 = (54 ) ≡ 625 (mod 103 ) - Nếu x = 1; 3; 7; 9 ta có tương ứng:

(

QU Y

x 4 = 1; 81; 2401; 6561 ≡ 1 (mod 40) ⇒ x 100 = (40k + 1) ≡ 1 mod 103

)

- Nếu x = 2; 4; 6; 8 thì x 100 ⋮ 2100 ⋮ 8 .

(

)

(

)

Ta có: x , 125 = 1 nên x 100 ≡ 1 mod 125 (Định lí Euler).

Giả sử 3 chữ số tận cùng của x 100 là abc ta có:

KÈ

x 100 = 1000k + abc ⇒ abc ⋮ 8 và abc ≡ 1 (mod 125) Trong các số 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 (các số có 3 chữ số chia cho 125 dư 1) chỉ có duy nhất một số chia hết cho 8 là 376. Vậy x 100 ≡ 376 (mod 1000).

Do đó ta có kết quả sau:

(

)

(

)

(

)

DẠ

a 100k ≡ 000 mod 103 nếu a ≡ 0 mod 10

(

)

a 100k ≡ 001 mod 103 nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 mod 10

(

)

(

)

(

)

a 100k ≡ 625 mod 103 nếu a ≡ 5 mod 10

(

)

FI CI A

a 100k ≡ 376 mod 103 nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 mod 10

Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của a n ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ n . Dạng 3. Một số trường hợp cụ thể về 3 chữ số tận cùng

Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng



001; 376; 625 .

Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625.



Dạng 1:

II. CÁC DẠNG TOÁN Tìm 1 chữ số tận cùng

Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: b ) 20182019

c )27 50

ƠN

a ) 3240

d ) 20192020

Phân tích:

- Ta biết rằng các số tận cùng là 2;4;6;8 khi nâng lên lũy thừa 4n đều cho tận cùng là 6 .

Còn các số tận cùng là 1; 3;7;9 khi nâng lên lũy thừa 4n đều cho tận cùng là 1. - Để đưa về lũy thừa 4n thì em cần viết số mũ dưới dạng công thức của phép chia có dư với số chia là 4 .

QU Y

- Để tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa trên ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của hàng đơn vị. Lời giải

a) Để tìm chữ số tận cùng của 3240 ta tìm chữ số tận cùng của 240

Ta xét 240 , ta có 240 = 24.10 = ...6 Vậy 3240 có chữ số tận cùng là 6 .

KÈ

b) Để tìm chữ số tận cùng của 20182019 ta tìm chữ số tận cùng của 82019

( )

Ta xét, ta có 82019 = 8 4.502 × 8 = ...6 × 8 = ...8

Vậy 20182019 có tận cùng là 8 .

DẠ

c) Chữ số tận cùng của 2750 cũng là chữ số tận cùng của 7 50

( )

Ta có 7 50 = 7 4.12 × 7 2 = ...1 × 49 = ...9

Vậy chữ số tận cùng của 2750 là 9 .

FI CI A

Ta có 92020 = 94.505 = ...1

d) Chữ số tận cùng của 20192020 cũng là chữ số tận cùng của 92020

Vậy chữ số tận cùng của 20192020 là 1 . Bình luận: Với phần d) ta có thể giải như sau:

Vì chữ số tận cùng là 9 mà khi nâng lên lũy thừa chẵn sẽ ra tận cùng là 1, do vậy 20192020 có tận cùng là 1 .

2021

.2050 ..

2020.

2019

ƠN

Với cách giải này ta hoàn toàn có thể mở rộng số cho phần d), chẳng hạn số 20192020 ,…

Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận cùng của 32020

Phân tích:

Để tìm được chữ số tận cùng của số trên ta phải đưa về số có tận cùng là 1 hoặc 6 . Lời giải

QU Y

Ta thấy 34 = 81 , số tận cùng bằng 1 nâng lên bậc lũy thừa nào cũng có chữ số tận cùng bằng 1 nên ta phân tích 32020 = 34.505 = 81505 .

Vậy số 32020 có chữ số tận cùng bằng 1 .

Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau 24

2015

b)20132014

5152

c)7850

Phân tích:

KÈ

a )2625

Trong bài này ta không thể viết ngay số mũ ở dạng 4n , để cho dễ biểu diễn ta dùng đồng dư thức để tìm dư của phép chia số mũ cho 4 .

Lời giải

DẠ

a) Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2524 khi chia cho 4 .

(

)

(

)

Ta có 25 ≡ 1 mod 4 ⇒ 2524 ≡ 1 mod 4 ⇒ 2524 = 4k + 1 (k ∈ N * )

Suy ra, 2625 = 264k +1 = 264k × 26 = ...6 × 26 = ...6 24

Vậy 2625 có tận cùng là 6 .

kỳ luôn có tận cùng là 6 ’ thì lời giải rất đơn giản. b) Tương tự, ta tìm số dư khi chia số mũ của 2013 cho 4 .

FI CI A

Nhận xét: Trong phần này rõ ràng dựa vào nhận xét ‘Số có tận cùng là 6 khi nâng lên lũy thừa bất

2014 ≡ 2 mod 4 ⇒ 20142015 ≡ 22015 mod 4  2015 ≡ 0 mod 4  ⇒ 2014  Ta có 22015 = 22.1002 × 2 = 41002 × 2  ⇒ 20142015 = 4k (k ∈ N *) 2015

Do đó 20132014

(

)

(

)

= 20134k = 20134k = ...1

có tận cùng là 1 .

ƠN

2015

Vậy 20132014

)

(

c) Trước hết ta tìm số dư trong phép chia 5051 khi chia cho 4 .

(

)

(

)

(

)

(

)

Suy ra 5051 ≡ 0 mod 4 (n ∈ N ) 52

(

Ta có 50 ≡ 2 mod 4 ; 502 ≡ 0 mod 4 ; 50k ≡ 0 mod 4 (k > 2)

)

5152

Từ đó ta có 7850 5152

= 78 4m = 78 4m = ...6

có tận cùng là 6 .

Bình luận:

Vậy 78 50

QU Y

Mà 5152 là số lẻ nên 5051 ≡ 0 mod 4 ⇒ 5051 = 4m (m ∈ N )

Với bài toán ở dạng lũy thừa tầng thì ta luôn chú ý tìm cách viết số mũ dưới dạng công thức của

KÈ

phép chia có dư với số chia là 4 . Tuy nhiên, nếu tận cùng là một trong các số đặc biệt như:

0;1;5;6 thì ta nhận xét ngay mà không cần quan tâm đến giá trị của số mũ. Còn nếu tận cùng là 4 hoặc 9 thì ta có thể xem xét tính chẵn lẻ của số mũ để suy ra kết quả.

Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận cùng của

DẠ

a )7 89 − 4 81

b )22014.91955

Lời giải

a) Ta có: 7 89 = 7 4.21.7 = 7.240121 nên số này có số tận cùng bằng 7 .

FI CI A

Vậy số 7 89 − 481 có chữ số tận cùng bằng 3

481 = 42.40.4 = 1640.4 nên số này có số tận cùng bằng 4 .

b) Ta có: 22014 = 24.506.22 = 16506.4 nên số này có số tận cùng bằng 4 .

91955 = 92.977.9 = 81977.9 nên số này có số tận cùng bằng 9 . Vậy số 22014.91955 có chữ số tận cùng bằng 6 .

Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau:

2020

b)(1.3.5....2019)

a )2627.2728 200202

100

d ) (1.3.9.11.13.17....2019)

ƠN

c) (8.18.28.38...198)

Phân tích:

Để tìm chữ số tận cùng của tích ta có thể tìm chữ số tận cùng của từng thừa số hoặc nhóm các thừa

số.

Lời giải

a) Ta thấy 26 có tận cùng là 6 , mà số tận cùng là 6 nâng lên lũy thừa bao nhiêu vẫn tận cùng là 6 .

QU Y

Do đó, 2627 có tận cùng là 6 . Có 2728 = 27 4.7 = ...1

Suy ra 2627 × 2728 = ...6 × ...1 = ...6 Vậy tích có tận cùng là 6 .

Khai thác: - Vì tích có tận cùng là 6 nên ta có thể yêu cầu khác như sau:

2627 × 2728 + 4 là số tự nhiên. 10

KÈ

Chứng minh rằng số

- Nếu để ý đến công thức lũy thừa của một tích ta có thể làm như sau: 27

Y DẠ

4×6

( )

= ...2

4×6+3

( )

2627 × 27 28 = 2627 × 27 27 × 27 = (26 × 27 ) × 27 = ...2 3

( )

× ...2 × 27 = ...6 × ...8 × 27 = ...6

× 27

b) Ta biết rằng tích của 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng là 5 , do đó tích

2020

có tận cùng là 5 .

FI CI A

kỳ vẫn tận cùng là 5 . Vậy (1 × 3 × 5 × ... × 2019)

1 × 3 × 5 × ... × 2019 sẽ có tận cùng là 5 . Mặt khác, số có tận cùng là 5 khi nâng lên lũy thừa bất

Khai thác: Ta biết rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp sẽ có tận cùng là 1 trong các số sau:

0;2;6 do đó, ta có thể ra bài toán như sau: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 2020

2020

b) (2n + 1)(2n + 2) = (1 × 3 × 5 × ... × 2019)

;

a ) n 2 + n = (1 × 3 × 5 × ... × 2019)

c) Đặt A = 8 × 18 × 28 × 38 × ... × 198 . Số thừa số của tích này là: (198 − 8) : 10 + 1 = 20 (số hạng) (1)

ƠN

Ta thấy tích 4 thừa số có tận cùng là 8 sẽ có tận cùng là 6 . Vì có 20 thừa số ta kết hợp được 5 nhóm mỗi nhóm có 4 thừa số, tích mỗi nhóm này có chữ số tận cùng là 6 . Do đó kết quả của tích A

202

A200

sẽ có tận cùng là 6 .

Vậy lũy thừa của tích có tận cùng là 6 .

có chữ số tận cùng là 6 . Mà số có tận cùng là 6 nâng lên lũy thừa bất kỳ sẽ có tận cùng là 6 , suy ra

Khai thác: - Ta để ý, chữ số tận cùng của A cũng là chữ số tận cùng của 8 × 8 × 8 × ... × 8 ( 20 thừa 200202

QU Y

số), do đó ta có thể quy về việc tìm chữ số tận cùng của 820

- Ta có mở rộng bài toán bằng cách cho tăng số lượng các thừa số của tích. - Hoàn toàn tương tự, ta cũng có thể thay đổi chữ số tận cùng của mỗi thừa số trong tích bởi một chữ số khác.

Chẳng hạn, tìm chữ số tận cùng của các số sau: 2020

KÈ

A = (2 × 12 × 22 × ... × 2022)

100200

B = (7 × 17 × 27 × ... × 2017 )

d) Ta để ý rằng các nhóm 1 × 3 × 7 × 9;11 × 13 × 17 × 19;...;2011 × 2013 × 2017 × 2019 đều có tận

DẠ

cùng giống nhau, nên ta đi tìm chữ số tận cùng của 1 nhóm. Ta có 1 × 3 × 7 × 9 = ...9

Có số nhóm là: (2011 − 1) : 10 + 1 = 202 (nhóm)

Suy ra 202

4×50+2

4×50

( ) = (...9) ×(...9) = ...1 ×...1 = ...1 Vậy (1 × 3 × 7 × 9 × 11 × 13 × 17 × ... × 2019) = (...1) = ...1 nên có tận cùng là 1 .

= ...9 100

100

FI CI A

(1 × 3 × 7 × 9 × 11 × 13 × 17 × ... × 2019) = (...9)

Khai thác: Ta thấy tất cả các thừa số của tích đều không chia hết cho 5 , nên ta có thể thay đổi cách phát biểu bài toán như sau:

5 của A, ta được số B. Tìm chữ số tận cùng của B100 .

Cho số A = (1 × 3 × 5 × 7 × 9 × 11 × 13 × 15 × ... × 2019) , sau khi gạch bỏ tất cả các số chia hết cho

- Bài toán trên có thể thay đổi các thừa số lẻ bằng các thừa số chẵn, chẳng hạn: Tìm chữ số tận cùng 2019

Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau:

ƠN

của số B = (2 × 4 × 6 × 8 × 12 × 14 × 16 × ... × 2018)

S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009.

Phân tích:

Trong dạng bài này ta phải tìm được quy luật của tổng, quy luật ở đây chính là số mũ của các số hạng trong S, các số mũ này đều chia 4 dư 1 . Mà ta biết các số khi nâng lên lũy thừa dạng 4n + 1

QU Y

sẽ có tận cùng không đổi.

Lời giải:

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n

4(n – 2) + 1

, n thuộc {2; 3; 4...;2004} )

Theo tính chất, suy ra mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống

nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:

KÈ

(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200 (1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009 . Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9 .

Tổng quát hóa:

DẠ

Tìm chữ số tận cùng của tổng sau: S = 21 + 35 + 49 + … + n

4(n −2)+1

Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + ... + 20048011. Lời giải:

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng

n 4(n−2)+3 , n thuộc {2; 3; 4...;2004} )

là 4 ; Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:

FI CI A

Theo quy tắc 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng

Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9 Tương tự hóa:

Ví dụ 1.8: Tìm số dư của phép chia: a) Q = 21 + 35 + 49 + ... + 20038005 cho 5

b) R = 23 + 37 + 411 + ...20038007 cho 5

4(n −2)+3

ƠN

Tìm chữ số tận cùng của S = 23 + 37 + 411 + … + n

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 + 4 = 9019

Lời giải:

a) Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng

QU Y

n 4(n−2)+1 , n thuộc {2; 3; 4...;2003} )

Theo quy tắc 2, Chữ số tận cùng của tổng Q các lũy thừa bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng S.

Mọi lũy thừa trong Q và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận

cùng của tổng:

(2 + 3 + ... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 = 200(1 + 2 + ... + 9) + 5 = 9005

KÈ

Vậy chữ số tận cùng của tổng Q là 5 nên chia 5 không có dư. b) Nhận xét: Mọi lũy thừa trong R đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng

n 4(n−2)+3 , n thuộc {2; 3; 4...;2003} )

DẠ

Theo quy tắc 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng

là 4

FI CI A

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 = 200.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9 + 8 + 7 = 9015

Như vậy, tổng R có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:

Vậy chữ số tận cùng của tổng R là 5 nên chia 5 không có dư.

Ví dụ 1.9: Cho H = 1234567891011121314151617 ……. được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có 121 chữ số. Số H 2019 có chữ số tận cùng là chữ số nào? Phân tích:

Trước hết ta phải tìm được chữ số tận cùng của H, muốn vậy ta phải tính xem với 121 chữ số thì

chữ số cuối cùng được viết là chữ số nào. Ta dựa vào bài toán ngược của bài toán “Đánh số trang sách”.

Ta có từ 1 đến 9 có 9 số, mỗi số gồm 1 chữ số.

ƠN

Lời giải:

Từ 10 đến 99 có 90 số, mỗi số gồm 2 chữ số nên khi viết chúng liên tiếp ta có 90.2 = 180 (chữ

số).

Mà 9 < 121 < 180 nên chữ số tận cùng của H phải ở số có hai chữ số. Số chữ số của các số có 2 chữ số viết ở H là: 121 − 9 = 112 (chữ số)

QU Y

Số các số có 2 chữ số viết viết ở H là 112 : 2 = 56

Số thứ 56 kể từ 10 có 2 chữ số là: 10 + (56 − 1) = 65 suy ra chữ số tận cùng của H là chữ số 5 (là chữ số hàng đơn vị của số 65 ). Mặt khác, 52019 có tận cùng là 5 . Vậy chữ số tận cùng của H 2019 là chữ số 5 .

Tổng quát hóa:

KÈ

Bài toán có thể mở rộng cho số các chữ số của số đã cho. Cho H = 1234567891011121314151617 ……. được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có n chữ số ( n ∈ N * ). Số H 2019 có chữ số tận cùng là chữ số nào?

Với mỗi giá trị của n ta được một bài toán mới. 2

DẠ

Ví dụ 1.10: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn (10 × A + x ) = 1414 + 99 + 23 với A là số tự nhiên khác 0 . Phân tích:

Rõ ràng ta không thể tính được giá trị vế phải, để ý rằng x chính là chữ số tận cùng của biểu thức

10 × A + x nên ta suy nghĩ theo hướng tìm chữ số tận cùng của vế phải.

FI CI A

Lời giải

Ta biết rằng, số có tận cùng là 4 (hoặc 9 ) khi nâng lên lũy thừa chẵn cho tận cùng là 6 (hoặc 1 ), còn khi nâng lên lũy thừa lẻ sẽ tận cùng không đổi. 14

Do đó, chữ số tận cùng của 1414

là 6 , chữ số tận cùng của 99 là 9

suy ra chữ số tận cùng của 23 là 2 .

Mặt khác, 23 = 281 = 24×20+1 = 24×20 × 2 = ...6 × 2 = ...2

Do vậy, chữ số tận cùng của vế phải giống chữ số tận cùng của 6 + 9 + 2 = 17 , tức là 7 . 2

ƠN

Ta thấy 10 × A + x có tận cùng là x nên (10 × A + x ) có tận cùng bằng tận cùng của x 2 Vì không có số nào lũy thừa bậc 2 lên để có tận cùng là 7 , nên không tìm được x thỏa mãn.

Vậy không có x thỏa mãn.

Bình luận:

Việc phát hiện ra x là chữ số tận cùng của biểu thức trong ngoặc là mấu chốt để giải bài toán.

QU Y

Tổng quát hóa:

Vì không có số nào lũy thừa với số mũ khác 4n + 1 hoặc 4n + 3 lại có tận cùng là 7 , nên ta có thể tổng quát bài toán như sau:

Với mỗi số tự nhiên n , hãy tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 4n +2

Ví dụ 1.11:

= 1414 + 99 + 23 với A là số tự nhiên khác 0 .

KÈ

b) (10 × A + x )

= 1414 + 99 + 23 với A là số tự nhiên khác 0 .

a) (10 × A + x )

Chứng minh N = 20124n + 20134n + 20144n + 20154n không phải là số chính

phương với mọi n là số nguyên dương.

Lời giải

DẠ

Ta có 20124n = (...6)n nên số này có số tận cùng bằng 6 20134n = (...1)n nên số này có số tận cùng bằng 1 2014 4n = (...6)n nên số này có số tận cùng bằng 6

20154n số này có số tận cùng bằng 5

Suy ra số N có chữ số tận cùng bằng 8 , mà số chính phương không có chữ số tận cùng bằng 8 .

Ví dụ 1.12:

FI CI A

Vậy số N không là số chính phương.

Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n 2 + n + 1 chia hết cho 19952000 Lời giải:

19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5 . Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n 2 + n + 1 có chia hết cho 5 không?

Ta có n 2 + n = n (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n 2 + n chỉ có thể là 0;2;6  n 2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3;7  n 2 + n + 1 không chia hết cho 5 .

ƠN

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n 2 + n + 1 chia hết cho 19952000 Sử dụng tính chất: “ một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0;1;5;6;9 ”, ta có thể giải được bài toán sau:

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 . Chứng minh rằng p 8n + 3.p 4n − 4 chia hết cho 5 .

Ví dụ 1.13:

Lời giải:

Theo tính chất trên, ta có p là số nguyên tố lớn hơn 5 vậy chữ số tận cùng của p là các chữ số

QU Y

1; 3;7;9 , các lũy thừa của p có dạng 4n  Chữ số tận cùng của p 8n ; p 4n là 1 . Vậy chữ số tận cùng của p 8n + 3.p 4n − 4 là 0 nên chia hết cho 5 (dpcm). Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng

Ví dụ 2.1: Tìm hai số tận cùng của 2100

Lời giải

KÈ

Chú ý rằng: 210 = 1024 bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. 10

( )

= ...76

Do đó 2100 = (210 ) = 102410 = (10242 ) = ...76

DẠ

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76. Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991 Lời giải

497

( )

.343 = ...01

.343 = (...01).343 = ...43.

Vậy 71991 có hai chữ số tận cùng là 43. Bài toán tương tự Tìm hai chữ số tận cùng của: 99

a) 5151;

b) 9999 ;

c) 6666 ;

( )

a) 5151 = 512

(

)

.51 = … 01 k

( )

.51 = … 51 . k

(

)

(

d) 14101.16101

Hướng dẫn:

FI CI A

497

Do đó: 71991 = 71988.7 3 = (7 4 )

Ta thấy: 7 4 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01.

)

(

)

.6 = … 76 .6 = … 56 . 101

d) 14101.16101 = (14.16)

(

133

( )

c) 6666 = 65

= 224101 = 2242

)

QU Y

= … 76 .224 = …24 .

ƠN

b) 9999 = 992k +1 = 992 .99 = … 01 .99 = … 99 .

(

)

.224 = … 76

.224

Ví dụ 2.3: Tìm 2 chữ số tận cùng của 197656.201577

Ta thấy:

Lời giải

Chữ số tận cùng của 197656 cũng là chữ số tận cùng của 7656 mà 7656 = ...76

KÈ

Chữ số tận cùng của 201577 cũng là chữ số tận cùng 77

của 1577 mà 1577 = (3.5) = 377.577 = 320.3+17.577 = 317 (...01)( . ...25) = (...63)(...25) = ...75.

Suy ra: 197656.201577 = (...76)( . ...75) = ...00.

DẠ

Vậy 197656.201577 có 2 chữ số tận cùng là 00. Ví dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận cùng của số C = 2999 Lời giải

(

)(

)

– 1⋮ 220 – 1 suy ra 21000 – 1⋮ 25

Do đó 21000 chữ số tận cùng là 26; 51; 76 nhưng 21000 ⋮ 4 Suy ra 21000 tận cùng là 76 ⇒ 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999 ⋮ 4 Vậy 2999 tận cùng là 88

Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88.

FI CI A

( )

Ta lại có 21000 – 1 = 220

Ta có: 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025 ⋮ 25 suy ra 220 – 1 = 210 + 1 210 – 1 ⋮ 25

Ví dụ 2.5: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng

ƠN

a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ⋯ + 20042002 b) S 2 = 12003 + 22003 + 32003 + ⋯ + 20042003

Phân tích: Trong bài tập này ta sử dụng tính chất sau:

Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a 20 − 1 ⋮ 25 . (*)

QU Y

Lời giải

a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a 2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a 100 − 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a 2 chia hết cho 25.

( )

Mặt khác, từ tính chất (*) ta suy ra với mọi a ∈ N và a , 5 = 1 ta có a 100 − 1⋮ 25.

(

)

KÈ

Vậy với mọi a ∈ N ta có a 2 a 100 − 1 ⋮ 100 .

(

)

(

)

Do đó S1 = 12002 + 22 22000 − 1 + ... + 20042 20042000 − 1 + 22 + 32 + ... + 20042.

DẠ

Nên hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng

Ta có: 12 + 22 + 32 + ... + n 2 =

12 + 22 + 32 + ... + 20042. n (n + 1)(2n + 1) 6

⇒ 12 + 22 + ... + 20042 = 2005.4009.334 = 2684707030 , tận cùng là 30.

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30.

(

)

(

)

FI CI A

S 2 = 12003 + 23 22000 − 1 + ... + 2004 3 20042000 − 1 + 23 + 33 + 2004 3.

b) Hoàn toàn tương tự như câu a,

Nên hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng

13 + 23 + 33 + ... + 20043.

Áp dụng công thức: 13 + 23 + ... + n 3 = (1 + 2 + ... + n )

 n (n + 1)   =    2  

⇒ 13 + 23 + ... + 20043 = (2005.1002) = 4036121180100 , tận cùng là 00.

Ví dụ 2.6: Tìm 2 chữ số tận cùng của 42004

ƠN

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00.

Lời giải

Mặt khác 2004 = 10.200 + 4.

Do 4 là số chẵn nên ta tìm số n nhỏ nhất để 4n − 1 ⋮ 25 . Ta tìm được n = 10 thỏa mãn.

QU Y

Nên 42004 = 410.200+4 = 4 4 (410 )200 − 1 + 44 = 100k + 256   Vậy chữ số tận cùng của 42004 là 56.

Ví dụ 2.7: Tìm 2 chữ số tận cùng của 512020

Lời giải

KÈ

512020 là 01.

Ta có 2020 = 2.1010 nên 512020 = (512 )1010 = 26011010 . Khi đó theo quy tắc (1) chữ số tận cùng của

Ví dụ 2.8: Tìm 2 chữ số tận cùng của

a) 72015

b) 57 66

Lời giải

a) Ta có: 7 4 = 2401 nên 7 2015 = 7 4.503+ 3 = (7 4 )503 .7 3 = 2401503.343 = (...01).343 = ...43

DẠ

2015 Chữ số tận cùng của 7 là 43.

b) ta có 57 66 = (57 4 )16 .57 2 = (...01)16 .3249 = ...49

Bình luận:

Ở ví dụ này ta đã áp dụng tính chất:

FI CI A

Nếu A có 2 chữ số tận cùng là ab và B có 2 chữ số tận cùng là cd thì 2 chữ số tận cùng của A.B là 2 chữ số tận cùng của tích ab và cd Ví dụ 2.9: Tìm 2 chữ số tận cùng của 2

b) 199619

a) 2098123

Phân tích:

+ Ta thấy 2 chữ số tận cùng của 2098123 cũng là 2 chữ số tận cùng của 98123

+ tương tự ta thấy 2 chữ số tận cùng của 199619 cũng là 2 chữ số tận cùng của 9619 .

ƠN

Lời giải a)Ta có: 98123 = (49.2)123 = 49123.2123 mà:

49123 = 492.61+1 = 240161.49 = (...01).49 = .....49 2123 = 220.6+3 = (220 )6 .23 = (....76)6 .8 = ......08

⇒ 98123 = (49.2)123 = 49123.2123 = (.....49).(....08) = .....92

QU Y

Vậy 2 chữ số tận cùng của 2098123 là 92. 2

b) ta có: 9619 = 96361 = (32.3)361 = 32361.3361 = (25 )361.3361 = 21805.3361 . Mà

21805 = 220.90+5 = (220 )90 .25 = (...76)90 .32 = ....32 3361 = 320.18+1 = (320 )18 .3 = (....01)18 .3 = ....03

KÈ

⇒ 9619 = 96361 = (32.3)361 = 32361.3361 = (25 )361.3361 = 21805.3361 = (....32).(....03) = ....96 2

Vậy 2 chữ số tận cùng của 199619 là 96.

Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng

DẠ

Ví dụ 3.1: Tìm 3 chữ số tận cùng của 123101 Phân tích:

Nhận thấy rằng (123,5 ) = 1 nên ta sẽ áp dụng tính chất 4, khi đó chia hết cho 125.

Lời giải: + Vì (123,5 ) = 1 nên áp dụng tính chất ta có 123101 − 1 chia hết cho 125.

Vì (8;125)=1 và kết hợp (1),(2) ta có chia hết cho 1000 Khi đó Vậy 3 chữ số tận cùng của là 123

Ví dụ 3.2: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2004200 Phân tích:

L FI CI A

+ Ta lại có chia hết cho 8 (2)

(1)

Cách 1: Ta dễ dàng chứng minh được chia hết cho 8, khi đó ta sẽ tìm 3 chữ số tận cùng bằng cách gián tiếp: tìm dư phép chia số đó cho 125 từ đó suy ra các khả năng 3 chữ số tận cùng , cuối cùng

ƠN

kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 + Ta có nên suy ra chia hết cho 8

+ Ta lại có (2014,5) = 1 nên 2004100 ≡ 1 (mod125) => 2004 200 ≡ 1 (mod125) Hay ( 2004200 − 1) chia hết cho 125 khi đó số 2004200 có các khả năng 3 chữ số tận cùng là 126;251;376;501;626;751;876

QU Y

Vì 2004200 chia hết cho 8 nên số đó có chữ số tận cùng là 376 Cách 2.

Ta thấy 2004 ≡ 4 (mod10) khi đó 2004200 ≡ 20042.100 ≡ 376 (mod1000)

Vậy số đó có chữ số tận cùng là 376

Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:

KÈ

Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Tìm 3 chữ số tận cùng của A200 Phân tích:

Vì A là một số chẵn không chia hết cho 10 nên (A,5)=1. Khi đó ta áp dụng tính chất ta có A100 − 1

DẠ

chia hết cho 125. Lời giải: 200

+ Do A là một số chẵn nên A200 = (2n)

= 2200.n200 ≡ 0 (mod 8) (với n ∈ N và (n;5)=1)

Suy ra A200 chia hết cho 8

+ Vì A là một số chẵn không chia hết cho 10 nên (A,5)=1. Khi đó áp dụng tính chất ta có

FI CI A

A100 ≡ 1 (mod125) => A 200 ≡ 1 (mod125)

(1)

Hay ( A 200 − 1) chia hết cho 125 khi đó số A200 có các khả năng 3 chữ số tận cùng là 126;251;376;501;626;751;876 Vì A200 chia hết cho 8 nên số đó có chữ số tận cùng là 376

Bình luận:

Bài toán tổng quát này cũng có thể coi là phần chứng minh ý (4) trong phần chú ý 2003

Ví dụ 3.3: Tìm 3 chữ số tận cùng của 29

ƠN

Lời giải - Tìm 2 chữ số tận cùng của 92003

2003

- Khi đó ta có 29

Ta có 92003 = 93.92000 = 93.(320 )50 ≡ 29 (mod100)

= 2100k+29 = 229.2100k ≡ 912.376 ≡ 912 (mod1000)

Vậy 3 chữ số tận cùng là 912

QU Y

213

Ví dụ 3.4: Tìm 3 chữ số tận cùng của 37

( )

Ta có 7213 ≡ 726.8+5 ≡ 7 8

.75 ≡ 126.7 5 ≡ 75 ≡ 7 (mod100)

= 3100k+7 = 3100k.37 ≡ 1. 37 ≡ 187 (mod1000)

213

Khi đó 37

Lời giải

213

KÈ

Vậy 3 chữ số tận cùng của 37

là 187

Ví dụ 3.5: Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận

cùng của a.

Phân tích:

DẠ

Để chứng minh ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a thì ta cần đưa ra

dạng a101 = 100k + a.

Ta thấy (a,10)=1 thì a chỉ có thể là các số lẻ tận cùng khác 5

Lời giải.

+ Do (a,10)=1 nên khi đó ta có a ≡ 1; 3; 7; 9 (mod10)

FI CI A

Áp dụng chú ý phần (2) ta có a 100 ≡ 1 (mod1000)

Ta xét a 101 = a 100 .a ≡ 1.a (mod1000) = a (mod1000) => a101 = 1000k + a (với k ∈ N* ) Điều này có nghĩa ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cùng của a. (đpcm) Ví dụ 3.6: Tìm ba chữ số tận cùng của 51992

498

( )

51992 = 54

Lời giải

= 625498 = 0625498 = (… 0625)

Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625

ƠN

Ví dụ 3.7: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946

Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125

Lời giải

Suy ra T = 5946 = (53)315.5=( n125 )315.5= m125 .5= t 625 (Với n, m, t ∈ ℕ )

QU Y

Vậy T = 5946 có ba chữ số tận cùng là 125 .

Ví dụ 3.8: Tìm ba chữ số tận cùng của số: P = 51994

Ta có:

Lời giải

55 tận cùng là 3125 ;

56 tận cùng là 5625

57 tận cùng là 8125 ;

58 tận cùng là 0625 ;

59 tận cùng là 3125 ;

510 tận cùng là 5625 ;

511 tận cùng là 8125 ;

512 tận cùng là 0625

KÈ

54 = 0625 tận cùng là 0625 ;

54m tận cùng là 0625 ;

54m+1 tận cùng là 3125

54m+2 tận cùng là 5625 ;

54m+3 tận cùng là 8125

Chu kỳ lặp là 4.

Suy ra:

DẠ

Mà 1994 có dạng 4m + 2 , do đó M = 51994 có 4 chữ số tận cùng là 5625 . Ví dụ 3.9: Tìm ba chữ số tận cùng của số: R = 123101 Lời giải

Do (123, 5) = 1 ⇒ 123100 − 1 chia hết cho 125 (1).

(

)(

)

(

)

⇒ 123101 = 123 123100 − 1 + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N ) .

Vậy 123101 có ba chữ số tận cùng là 123 . Ví dụ 3.10: Tìm ba chữ số tận cùng của 3399...98

Lời giải

FI CI A

Vì (8,125) = 1 , từ (1) và (2) suy ra : 123100 − 1 chi hết cho 1000

Mặt khác: 123100 − 1 = 12325 − 1 12325 + 1 12350 + 1 ⇒ 123100 − 1 chia hết cho 8 (2).

Do (9, 5) = 1 ⇒ 9100 − 1 chi hết cho 125 (1). Ta có 9100 − 1 chia hết cho 8 (2).

(

ƠN

Vì (8,125) = 1 , từ (1) và (2) suy ra: 9100 − 1 chia hết cho 1000

)

⇒ 3399...98 = 9199...9 = 9100 p +99 = 999 9100 p − 1 + 999 = 1000q + 999 (p, q ∈ ℕ ) .

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999 . Lại vì 9100 − 1 chia hết cho 1000 ⇒ ba chữ số tận cùng của 9100 là 001 mà 999 = 9100 : 9

⇒ ba chữ số tận cùng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9, sau đó dựa vào phép nhân ??9 × 9 = ...001 để xác định ??9 = 889 ).

QU Y

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 là 889.

Ví dụ 3.11: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200

Do (2004, 5) = 1

Lời giải

 2004100 chia cho 125 dư 1

(

)

chia cho 125 dư 1

KÈ

 2004200 = 2004100

 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126,251, 376, 501, 626, 751, 876 . Do 2004200 chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376.

DẠ

Ví dụ 3.12: Tìm ba chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 . Lời giải

Nhận thấy: lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1

(các lũy thừa đều có dạng n

4(k −2)+1

, k thuộc {2, 3,…, 2004} ).

Mọi lũy thừa trong S đều có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của cơ số tương ứng:

 Chữ số tận cùng của tổng S là chữ số tận cùng của tổng:

FI CI A

(2 + 3 + … + 9) + 199.(0 + 1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200 (1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009 .

Vậy ba chữ số tận cùng sẽ là 009

Ví dụ 3.13: Tìm ba chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 +… + 20048011 . Lời giải

Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n n thuộc {2, 3,…, 2004} ).

4(n −2)+3

23 có chữ số tận cùng là 8; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ; …

ƠN

Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng:

ba chữ số tận cùng của tổng T là 019.

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 Vậy = 200 (1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. Dạng 4: Vận dụng chứng minh chia hết, chia có dư

Ví dụ 4.1: Chứng minh rằng 8102 - 2102 chia hêt cho 10 Lời giải

QU Y

Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tân cùng là 6.Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6. Do đó ta biến đổi như sau:

8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4

Vậy 8102 -2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10

KÈ

Ví dụ 4.2: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Lời giải

Theo tính chất 1a => 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ?

Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

DẠ

=> Chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chia hết cho 5. Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000.

Ví dụ 4.3: Chứng minh rằng 261570 chia hết cho 8 Lời giải 5

Ta thấy:26 = 11881376 ,số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) cũng có tận cùng

FI CI A

bằng 376.Do đó: 261570=(265)314=(…376)314=(…376) Mà 376 chia hết cho 8 Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 Vậy 261570 chia hết cho 8

Ví dụ 4.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n. a) 7 4n − 1 chia hết cho 5; b) 34n+1 + 2 chia hết cho 5; c) 24n +1 + 3 chia hết cho 5;

ƠN

d) 24n +2 + 1 chia hết cho 5; e) 92n +1 + 1 chia hết cho 10.

Lời giải

a) 7 4n − 1 = (7 4 )n − 1 = 2401n − 1 = ... = ...1 − 1 , tận cùng bằng 0. Vậy 7 4n − 1⋮ 5 .

Vậy 34n+1 + 2 ⋮ 5 .

QU Y

b) 34n +1 + 2 = (3n )n .3 + 2 = 81n.3 + 2 = ...1.3 + 2 , tận cùng bằng 5.

c) 24n +1 + 3 = (24 )n .2 + 3 = 16n.2 + 3 = ...6.2 + 3 , tận cùng bằng 5. Vậy 24n+1 + 3 ⋮ 5 .

d) 24n+2 + 1 tận cùng bằng 5 nên chia hết cho 5.

e) 92n +1 + 1 = (92 )n .9 + 1 = 81n.9 + 1 = ...1.9 + 1 , tận cùng bằng 0.

KÈ

Vậy 92n+1 + 1 chia hết cho 10. Ví dụ 4.5: Chứng minh răng 261570 chia hết cho 8 Lời giải

Ta thấy:265 = 11881376, số có tận cùng bằng 376 nâng lên lũy thừa

DẠ

Nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 376. Do đó:

261570 = (265)314 = (…376)314 = (…376) Mà 376 chia hết cho 8

Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8

Vậy 261570 chia hết cho 8 Ví dụ 4.6: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho số n2 + n + 1 chia hết cho 20052005 có tận cùng là 5. nên nó chia hết cho 5

FI CI A

Số 2005

Lời giải 2005

Ta có n2 + n + 1 = n(n+1) +1 chỉ có thể có các chữ số tận cùng là 1, 3, 7. nên nó không chia hết cho 5 Vậy không tồn tại n.

Ví dụ 4.7: Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. chứng minh rằng ( P8n + 3p4n - 4 )⋮5. Lời giải

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 nên tận cùng của p chỉ có thể là các chữ số: 1; 3; 7; 9 Nếu P có tận cùng là 1 thì P8n + 3p4n – 4 có tận cùng là 0 nên nó chia hết cho 5

Nếu P có tận cùng là 3 thì p4n = 10k+ 34n = 10k + 81n có tận cùng là 1. p8n có tận cùng là 1. nên: P8n

ƠN

+ 3p4n – 4 có tận cùng là 0. nên nó chia hết cho 5 Nếu p có tận cùng là 7 thì tương tự. tận cùng của p4n và p8n cũng có tận cùng là 1. nên tổng chia hết cho 5

là 1 Nên tổng trên cũng chia hết cho 5.

Nếu p có tận cùng là 9 thì:p4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận cùng là 1và p8n = (p 4n )2 có tận cùng

Tóm lại với p nguyên tố lớn hơn 5 thì tổng luôn chia hết cho 5

QU Y

Nhận xét chung về phương pháp:

1. Tách an dưới dạng (10k + a1)n với a1 = {0, 1,.....9} 2. Viết n dưới dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3) 3. Sử dụng nhận xét 1, 2, 3 đã chứng minh ở trên. Ví dụ 4.8: Chứng minh rằng n5 và n có chữ số tận cung giống nhau

Lời giải

Để chứng minh n5 và n có cùng chữ số tận cùng là đi chứng minh n5 – n ⋮ 10

KÈ

Ta có: A =n5 – n = n(n4-1).(n2+1) = (n-1).n(n+1).(n2+1) Ta có 10 =2.5 và (2.5)=1 (n-1), n, n+1 là các số tự nhiên liên tiếp

Suy ra A ⋮ 2

DẠ

Chứng minh A ⋮ 5 nếu n ⋮ 5 thì Ạ ⋮ 5

Nếu

n ⋮ 5 dư 1 suy ra n-1 ⋮ 5 ⇒ A ⋮ 5 n: 5 dư 2 suy ra n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+1 ⋮ 5 ⇒ A ⋮ 5 n: 5 dư 3 suy ra n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+1 ⋮ 5 ⇒ A ⋮ 5

n: 5 dư 4 suy ra n+1 ⋮ 5 ⇒ A ⋮ 5 Vậy A ⋮ 2 và A ⋮ 5 ⇔ A ⋮ 10

FI CI A

Dạng 5: Vận dụng chữ số tận cùng vào bài toán chính phương

Vậy n5 và n có cùng chữ số tận cùng.

Ví dụ 5.1: Cho n = 20162 + 20172 + 20182 − 20192 . Chứng minh n không là số chính phương. Phân tích:

Để chứng minh n không là số chính phương ta chỉ ra số này có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8.

Lời giải Ta có

20162 có chữ số tận cùng là 6

ƠN

20172 có chữ số tận cùng là 9

20182 có chữ số tận cùng là 4

20192 có chữ số tận cùng là 1

⇒ 20162 + 20172 + 20182 − 20192 có chữ số tận cùng giống với chữ số tận cùng của 6 + 9 + 4 − 1 = 18 .

QU Y

⇒ 20162 + 20172 + 20182 − 20192 có chữ số tận cùng là 8. ⇒ 20162 + 20172 + 20182 − 20192 không phải là số chính phương. Bình luận:

Bài toán này giáo viên có thể thay đổi các cơ số tùy thích sao cho tổng hiệu các chữ số tận cùng

của các số trong tổng hiệu là một số có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8.

 



KÈ

Việc chứng một số n không là số chính phương còn có một số cách khác: 2 Chứng minh n không viết được dưới dạng k ( k ∈ ℤ ).

Dựa vào phép chia cho 3, 4, 5, 8 . 2

Chỉ ra n nằm giữa hai số chính phương liên tiếp, tức là k 2 < n < (k + 1) , k ∈ ℕ .

DẠ

Ví dụ 5.2: Cho n = 1.3.5.7 … 2021 . Chứng minh rằng n + 3 không là số chính phương. Phân tích

Để ý ta thấy rằng n là tích của các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 2021 nên n là số lẻ, mà n chia hết cho 5 do đó n có chữ số tận cùng là 5. Vì thế bài toán này có thể vận dụng chữ số tận cùng để chứng

FI CI A

minh n + 3 không là số chính phương. Lời giải

n ⋮ 5, n lẻ ⇒ chữ số tận cùng của n là 5. ⇒ n + 3 có chữ số tận cùng là 8.

Bình luận:

⇒ n + 3 không là số chính phương.

Bài toán này có thể sử dụng tính chất một số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 thì số đó không phải là số chính phương.

ƠN

Thật vậy, n⋮ 3 và n⋮ 9 ⇒ n + 3 ⋮ 3 nhưng n + 3 /⋮ 9

⇒ n + 3 không là số chính phương.

Ví dụ 5.3: Biết a ∈ ℕ và a > 2 . Tìm a sao cho a(a − 1).a(a − 1) = (a − 2)aa(a − 1) . Lời giải 2

QU Y

Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: a(a − 1) = (a − 2)aa(a − 1) . Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương. Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 0,1, 4, 5, 6, 9 nên a chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 1,2, 5, 6,7, 0 (1)

Do a là chữ số nên a ≤ 9 , kết hợp với điều kiện đề bài ta có a ∈ ℕ và 2 < a ≤ 9 (2)

KÈ

Từ (1) và (2) suy ra a có thể nhận được một trong các giá trị 5,6,7 . Thử trực tiếp với a = 5, 6, 7 chỉ có với a = 7 thì (a − 2)aa(a − 1) = 5776 = 762 .

Ví dụ 5.4: Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị

DẠ

và số chính phương đó viết dưới dạng (5n + 4)2 với n ∈ ℕ . Lời giải

Số 5n + 4 tận cùng bằng 4 hoặc 9. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 5n + 4 tận cùng bằng 4 thì (5n + 4)2 tận cùng bằng 6. Cần tìm số có dạng

6 * *6 là bình phương của một số tận cùng bằng 4. Không có số nào thỏa mãn điều kiện trên vì

FI CI A

74 2 = 5476 < 6 * *6 < 7056 = 842 .

Trường hợp 5n + 4 tận cùng bằng 9 thì (5n + 4)2 tận cùng bằng 1. Cần tìm số có dạng

1 * *1 là bình phương của một số tận cùng bằng 9. Ta thấy 292 = 841 < 1 * *1 < 2401 = 492 , còn 392 = 1521.

Vậy số chính phương phải tìm là 1521 .

Ví dụ 5.5: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n ! + 2019 là một số chính phương. (Ở đây

n ! = 1.2.3 …n )

ƠN

(Đề thi IMSO 2019) Phân tích:

Bài toán yêu cầu tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n ! + 2019 là một số chính phương nên

các số n là hữu hạn. Do đó ta có thể tìm tất cả các các số nguyên dương n sao cho n ! + 2019 không là số chính phương, sau đó thử trực tiếp các giá trị n còn lại vào n ! + 2019 để tìm ra n

QU Y

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

Dựa vào nhận xét một số có 2 chữ số lẻ tận cùng không là số chính phương. Nếu n ≥ 5 thì n ! = 1.2.3.4.5 …n có hai chữ số tận cùng là y 0 trong đó y là chữ số chẳn nên

n ! + 2019 có hai chữ số lẻ tận cùng nên không là số chính phương.

KÈ

Thử trực tiếp với n = 1,2, 3, 4 chỉ có với n = 3 thì n ! + 2019 = 2025 = 452 . Bình luận:

Bài toán này có thể sử dụng tính chất chia hết và chia có dư. Dựa vào nhận xét một số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 thì không là số chính

phương.

DẠ

Nếu n ≥ 6 thì n ! = 1.2.3.4.5.6 …n chia hết cho 9. Do 2019⋮ 3 nhưng 2019 /⋮ 9

Nên với n ≥ 6 thì n ! + 2019 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính

FI CI A

Thử trực tiếp với n = 1,2, 3, 4, 5 chỉ có với n = 3 thì n ! + 2019 = 2025 = 452 .

phương.

Dựa vào nhận xét một số chia hết cho 4 dư 3 không là số chính phương.

Do 2019 chia hết cho 4 dư 3 nên với n ≥ 4 thì n ! = 1.2.3.4 …n chia hết cho 4 và n ! + 2019 chia cho 4 dư 3 nên không là số chính phương.

Thử trực tiếp với n = 1,2, 3 chỉ có với n = 3 thì n ! + 2019 = 2025 = 452 . 1. Định nghĩa số chính phương:

Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên

ƠN

2. Tính chất số chính phương (tính chất liên quan đến chữ số tận cùng)

- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể có chữ số tận cùng bằng 2; 3; 7; 8.

- Số chính phương có chữ số tận cùng bằng 1; 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

- Số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. - Số chính phương có chữ số tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

QU Y

Ví dụ 5.6: Tìm số chính phương có 4 chữ số gồm các chữ số 0; 2; 3; 5 Lời giải

Một số chính phương có chữ số tận cùng không thể là 2 hoặc 3. Nếu số chính phương có chữ số tận cùng là 0 thì chữ số hang chục cũng là 0 . Do đó số chính phương cần tìm có chữ số tận cùng là 5.

Mà số chính phương có chữ số tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

KÈ

Nên số chính phương cần tìm chỉ có thể là 3025 Thử lại: 3025 = 552

Vậy chính phương cần tìm là 3025

Ví dụ 5.7: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi nhân số đó với 135 ta được một số chính

DẠ

phương.

Lời giải

(

)

Gọi số tự nhiên cần tìm là ab 9 <ab <100;a;b <10

FI CI A

Theo đề bài ta có ab.135 là số chính phương Có 9.135 < ab.135 < 100.135 ⇒ 1215 <ab.135 < 13500

(

) (

Có ab.135 là số chính phương chia hết cho 135 nên ab.135 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

)

x x −1 . x x −1 = x − 2 xx x −1

{

ƠN

⇒ ab.135 ∈ 352 ; 402 ; 452 ; 502 ; 552 ; 602 ; 652 ; 702 ; 752 ; 802 ; 852 ; 902 ;952 ;1002 ;1052 ; 1102 ;1152

{

Mà ab.135 là số chính phương chia hết cho 135 nên ab.135 ∈ 452 ;902

{

}

Vậy số phải tìm là 15; 60

}

⇒ ab ∈ 15;60

}

QU Y

Ví dụ 5.8: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho A = 1! + 2 ! + 3 ! + .... + n ! là một số chinh phương. Lời giải

Với n = 1 thì A= 1! = 1 = 12 là số chính phương +) Với n = 2 thì A= 1! + 2 ! = 3 không là số chính phương

+) Với n = 3 thì A= 1! + 2! + 3! = 9 = 32 là số chính phương

KÈ

+) Với n ≥ 4 ta có 1! + 2 ! + 3 ! + 4 ! = 33 Mà 5 !; 6 !; 7 !;...; n ! đều có tận cùng là 0 do đó A là số có chữ số tận cùng là 3 nên A không là số

chính phương.

DẠ

Vậy n = 1; n = 3

Ví dụ 5.9: Cho 5 số chinh phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hang đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính

FI CI A

phương. Lời giải

Số chính phương có chữ số hang đơn vị à 6 thì chữ số hàng chục của số đó là số lẻ. Mà chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho khác nhau

Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1; 3; 5; 7; 9 do đó tổng của chúng là:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.

Ví dụ 5.10: Chứng minh rằng N = 20124n + 20134n + 20144n + 20154n không phải là số chính

ƠN

phương Lời giải

Ta có 20124 có chữ số tận cùng bằng 6 nên 20124n có chữ số tận cùng bằng 6

Có 20134 có chữ số tận cùng bằng 1 nên 20134n có chữ số tận cùng bằng 1 Có 20144 có chữ số tận cùng bằng 6 nên 20144n có chữ số tận cùng bằng 6

QU Y

Mà 20154n có chữ số tận cùng bằng 5

Do đó N = 20124n + 20134n + 20144n + 20154n có chữ số tận cùng bằng 8 Mặt khác, không có số chính phương nào có chữ số tận cùng bằng 8. Vậy N không là số chính phương.

III. BÀI TẬP

KÈ

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: 7 99

b ) 141414

c ) 4 567

Lời giải:

DẠ

a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 :

99 = 4.24 + 3 ⇒ 7 99 = 7 96+3 = 7 4.24+3 = 7 4.24.7 3

Từ kết luận (II) ⇒ chữ số tận cùng của 7 99 chính là chữ số tận cùng của 7 3 = 343 là 3 . b) Chữ số tận cùng của 14 là 4

Ta có: 1414 = 4.353 + 2

141414 = 144.353+2 = 144.353.142 từ kết luận (III) ⇒ Chữ số tận cùng của 141414 là chữ số tận cùng của

FI CI A

là 6 . c) Ta có: 567 = 4.141 + 3

4567 = 44.141+3 = 44.141.43 từ kết luận (III) ⇒ Chữ số tận cùng của 4567 là chữ số tận cùng của 6.43 = 384 là 4 .

a) 187 324 .

b) 122020 .

c) 142020 . Lời giải

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số:

a) Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng

)

( )

= …1

(

Do đó 187 324 = 187 4

ƠN

1 . Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 1 .

Vậy chữ số tận cùng của 187 324 là 1 . b) Ta có: 122020 = 62020.22020

QU Y

Nhận thấy: 61 có tận cùng là 6 ;

62 có tận cùng là 6 ; 63 có tận cùng là 6 ;

Vậy 6n có tận cùng là 6 suy ra 62020 có tận cùng là 6 .

Lại có: 24 = 16 có tận cùng là 6 ; 505

( )

KÈ

Suy ra 22020 = 24

= 16505 có tận cùng là 6

( )( )

Vậy 122020 = 62020.22020 = ...6 . ...6 = ...6 có tận cùng là 6 .

c) Ta thấy: 142020 = 22020.72020 . 505

( )

DẠ

Mà: 22020 = 24

1010

( )

Và 72020 = 72

= 16505 = ...6 có tận cùng là 6 . 505

( )

= 491010 = 492

= 2401505 = ...1 có tận cùng là 1 .

( )( )

Vậy 142020 = ...6 . ...1 có tận cùng là 6 .

b/ 1414 ;

a/ 7 9 ;

c/ 35 Lời giải

a/ Có: 99 = (8 + 1) = 4k + 1 , với k ∈ ℕ 9

b/ Ta có 1414 = 1967 = (49.4) = 4k với k ∈ ℕ 14

⇒ 7 9 = 7 4k +1 = 7.7 4k = 7.492k có chữ số tận cùng là 7.1 = 7 .

FI CI A

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của các số:

c/ Có 56 = (4 + 1) = 4k + 1 với k ∈ ℕ 67

ƠN

⇒ 1414 = 2 4k .7 4k = 16k .2401k nên có chữ số tận cùng là 6 .

Bài 4: Chứng minh rằng: a/ 8102 − 2102 chia hêt cho 10 .

⇒ 35 = 34k +1 = 3.34k = 3.81k có tận cùng là 3.1 = 3 .

b/ n 2 + n + 1 không chia hết cho 20152020 với mọi n ∈ ℕ .

QU Y

c/ p 8n + 3 p 4n − 4 chia hết cho 5 với p là số nguyên tố lớn hơn 5 và n ∈ ℕ . Lời giải

a/ Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tân cùng là

Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng có tận cùng bằng 6 .

Do đó ta biến đổi như sau: 25

( )

2102 = 24

( )

.82 = ...6

KÈ

8102 = 84

( )

.64 = ...6 .64 = … 4 có tận cùng là 4 .

( )

.22 = 1625.4 = … 6 .4 = … 4 có tận cùng là 4 .

Vậy 8102 − 2102 có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10 .

DẠ

b/ Ta thấy so 20152020 có chữ số tận cùng là 5 , nên nó chia hết cho 5 Ta có n 2 + n + 1 = n (n + 1) + 1 chỉ có thể có các chữ số tận cùng là 1, 3, 7 (vì n (n + 1)

có tận cùng là 0,2,6 ), nên nó không chia hết cho 5

Vậy n 2 + n + 1 không chia hết cho 5 với mọi n ∈ ℕ .

c/ Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên tận cùng của p chỉ có thể là các chữ số: 1; 3;7;9 .

FI CI A

- Nếu p có tận cùng là 1 thì p 8n + 3p 4n – 4 có tận cùng là 0 nên nó chia hết cho 5 ; - Nếu p có tận cùng là 3 thì p 4n = 10k + 3 4n = 10k + 81n có tận cùng là 1 ;

p 8n có tận cùng là 1 , nên: p 8n + 3p 4n – 4 có tận cùng là 0 , nên nó chia hết cho 5 .

- Nếu p có tận cùng là 7 thì tương tự: tận cùng của p 4n và p 8n cũng có tận cùng là 1 , nên đó chia hết cho 5 .

tổng

- Nếu p có tận cùng là 9 thì: p 4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận cùng là 1 và có tận cùng là 1 , nên tổng trên cũng chia hết cho 5 .

ƠN

( )

p 8n = p 2

Tóm lại với p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì p 8n + 3p 4n – 4 luôn chia hết cho 5 , với

n ∈ ℕ.

Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của 51991

Lời giải

Vì 25 lũy thừa bao nhiêu lên cũng có tận cùng là 25 nên ta tìm cách tách 51991 thành tích của lũy

QU Y

thừa có cơ số 25 và một bộ phận còn lại: 51991 = 51990.5 = (52 )995 .5 = 25995.5 Vì 25995 có hai số tận cùng là 25 mà 25.5 = 125 nên 25995.5 có hai số tận cùng là 25 24

Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của 2424

Lời giả

KÈ

Vì 2424 là một số tự nhiên chẵn nên đặt 2424 = 2k ( k là số tự nhiên đủ lớn), từ đó 24

2424 = 242k = (242 )k = 576k

Vì những số tự nhiên có tận cùng bằng 76 thì lũy thừa lên bao nhiêu cũng là số có tận cùng bằng 76 24

24 nên hai chữ số tận cùng của 24 là 76

DẠ

Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 45236 + 11

Ta có

Lời giải

118

( )

45236 = 452

= 2025118 = ....25

⇒ 45236 + 11 = .........36

FI CI A

Hai chữ số tận cùng của 45236 + 11 là 36 Bài 8: Cho A = 2 + 22 + 23 + ..... + 239 Tìm hai chữ số tận cùng của A Lời giải

A = 2 + 22 + 23 + ..... + 239 2.A = 22 + 23 + .......... + 240 A = 240 − 2

= 10485762 , mà những số có hai số tận cùng là 76 nâng lên lũy thừa khác 0 đều

ƠN

( )

Có 240 = 220

bằng số tự nhiên có hai số tận cùng là 76 nên 240 có hai số tận cùng là 76. Từ đó A = 240 − 2 có hai số tận cùng là 74

Bài 9: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991

Lời giải

71991 = 71988.7 3 = (7 4 )497 .343 = (2401)497 .343 = .....01.343 = .....43

QU Y

Vậy hai chữ số tận cùng của 71991 là 43

Bài 10: Tìm hai chữ số tận cùng của 5151

Lời giải

5151 = 5150.51 = (512 )25 .51 = (.....01)25 .51 = .......01.51 = .....51

KÈ

Vậy hai chữ số tận cùng của 5151 là 51 99

Bài 11: Tìm hai chữ số tận cùng của 9999

Lời giải

Vì 9999 là số lẻ nên đặt 9999 = 2k + 1 . Ta có k

DẠ

9999 = 992k +1 = 992k .99 = (992 )k .99 = .9801 .99 = ......01.99 = ....99 99

Vậy hai chữ số tận cùng của 9999 là 99

Bài 12: Chứng minh rằng 45236 + 11 chia hết cho 4

Lời giải

118

( )

45236 = 452

FI CI A

Ta có = 2025118 = ....25

⇒ 45236 + 11 = .........36

Vì có hai chữ số tận cùng là 36 mà 36 chia hết cho 4 nên 45236 + 11 chia hết cho 4

Bài 13: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: 9

b) 7 9

a ) 22003

Phân tích:

ƠN

a) Do 22003 là số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n−1 ⋮ 25 . Viết m = p n + q (p; q ∈ ℕ ) , trong đó q là số nhỏ nhất để aq ∶ 4 ta có:

trong đó 2q (2 pn − 1)⋮ 100 9

x = 22003 = 2q (2 pn − 1) + 2q

b) Nếu 7 9 lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho 7n−1 ⋮100 .

QU Y

Viết m = u n + v (u; v ∈ ℕ, 0 ≤ v < n ) ta có x = 7 99 = 7 v (7 un − 1) + 7 v . Trong đó 7 v (7 un − 1)⋮ 100

a) Ta có

Lời giải:

(

)(

)

(

210 = 1024 ⇒ 210 + 1 = 1025 ⋮ 25 ⇒ 220 − 1 = 210 + 1 210 − 1 ⋮ 25

)

KÈ

⇒ 2 2 − 1 ⋮ 100

Mặt khác: 22003 = 23 (22000 − 1) + 2 3 = 2 3 [(220 )100 − 1] + 2 3 = 100k + 8 (k ∈ ℕ) . Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08.

b) Cách 1: Ta có 7 4 = 2401 ⇒ 7 4 − 1 = 2400 ⋮100

DẠ

Mặt khác: 99 – 1 ∶4 ⇒ 99 = 4k + 1 ( k ∈ ℕ ) 9

Vậy 7 9 = 7 4k +1 = 7(7 4k − 1) + 7 = 100q + 7 (q ∈ ℕ). Vậy hai chữ số tận cùng của 7 9 là 07.

Cách 2: Ta có 7 4 = 2401 , số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng có tận cùng bằng 01.

( )

Do đó

FI CI A

7 9 = 7 4k+1 = 7 4 .7 = (2401) .7 = (...01).7 = ...07 9

Vậy hai chữ số tận cùng của 7 9 là 07. Bài toán tương tự: Tìm hai chữ số tận cùng của các số:

3517

b) 71991

Bài 14: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: b) 3999

ƠN

a ) 2999

Lời giải:

a) Cách 1: Ta thấy rằng 2999 = 21000 : 2 . Mặt khác ta có:

+) 21000 chia 25 dư 1, do đó hai chữ số tận cùng của 21000 có thể là 01;26;51;76 +) 21000 là bội của 4

QU Y

Suy ra 21000 có hai chữ số tận cùng phải là 76.

Như vậy hai chữ số tận cùng của 2999 có thể là 38 ( = 76 : 2 ) hoặc 88 (= 176 : 2 ). Nhưng do 2999 cũng là bội của 4 nên hai chữ số tận cùng của nó là 88. Cách 2: Ta có 210 = 1024 , bình phương của hai số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có

100

( )

100

= (1024)

KÈ

21000 = 210

tận cùng bằng 76 thì nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng là 76. Do đó

Làm tiếp tục làm như Cách 1 b) Ta có

34 = 81 ≡ −19(mod100);

DẠ

38 ≡ 192 ≡ 61(mod100) 310 ≡ 61.9 ≡ 49(mod100) 3100 ≡ 4910 ≡ 01(mod100)

(

= 10242

)

= (...76) = ...76

Nghĩa là hai chữ số tận cùng của 31000 là 01. Vì 31000 là bội của 3, nên chữ số hàng trăm của nó khi

Bài 15: Tìm hai chữ số tận cùng của tổng:

S = 12002 + 22002 + 32002 + ⋯ + 20042002 Lời giải:

FI CI A

101 không chia hết cho 3). Vậy số 3999 = 31000 : 3 có hai chữ số lận cùng là 76 (=201:3).

chia cho 3 phải cho số dư là 2 (chia tiếp thì số 201 chia hết cho 3, nếu số dư là 0 hay 1 thì số 001,

Dễ thấy, nếu a chẵn thì a 2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a 100 − 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho

5 thì a 2 chia hết cho 25.

Mặt khác, với mọi a ∈ ℕ và (a,1) = 1 (a, 5) = 1 ta có a 20 − 1 ⋮ 25 ⇒ a 100 − 1 ⋮ 25 . Vậy với mọi a ∈ ℕ ta có a 2 (a 100 − 1)⋮ 100 .

ƠN

Do đó S = 12002 + 22 (22000 − 1) + ... + 20042 (20042000 − 1) + 22 + 32 + ... + 20042 . Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S cũng chính là hai chữ số tận cùng của

12 + 22 + 32 + ... + 20042 =

tổng 12 + 22 + 32 + ... + 20042 . áp dụng công thức: n (n + 1)(2n + 1) 6

⇒ 12 + 22 + 32 + ... + 20042 = 2684707030

QU Y

Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S là 30. Bài toán tương tự:

Tìm hai chữ số tận cùng của tổng: S = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003 Tìm hai chữ số tận cùng của 22015 + 22016 + 22017 .

Lời giải:

KÈ

Ta có 22015 + 22016 + 22017 = 22000 (215 + 216 + 2 17 ) . Ta lại có 22000 = (220 )100 . 100

( )

Vì 220 ≡ 76 (mod100) nên 220

≡ 76(mod100) hay 22000 có hai chữ số tận cùng là 76 . Từ đó

suy ra hai chữ số tận cùng của tổng trên là hai chữ số tận cùng của tích 76.76 là

DẠ

Bài 16: Tìm ba chữ số tận cùng của 3399…98. Lời giải:

Do (9, 5) = 1 => 9100 – 1⋮ 125

(2).

Mà 9100 – 1 ⋮ 8

(1)

FI CI A

Lại có (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 9100 – 1 ⋮ 1000 => 3399…98 = 9199…9 = 9100 p

+ 99

= 999 (9100 p – 1) + 999

= 1000q + 999 ( p, q ∈ N ) .

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399…98. cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999.

Lại vì 9100 – 1 ⋮ 1000 => ba chữ số tận cùng của 9100 là 001 mà 999 = 9100 : 9 => ba chữ số tận cùng của 3399…98 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 999 là 9 , sau đó dựa vào phép

Vậy ba chữ số tận cùng của 3399…98 là 889 . Tìm 3 chữ số tận cùng của A = 3.7.11…2011

ƠN

nhân ¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ??9.9=¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ...001??9¯ .9=...001¯ để xác định ¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ??9=889??9¯ =889 ).

Lời giải:

Gọi x là 3 chữ số tận cùng của A , ta có A ≡ x (mod1000) và x lẻ. Vì trong A chứa 15, 35, 55 nên A ⋮ 125 ⇒ x ⋮125 ⇒ x ∈ {125; 375; 625; 875} Ta có:

QU Y

A = 3.7.11...2011 ≡ 3.(4.1 + 3)(4.2 + 3)...(4.502 + 3) ≡ (3.7 )(3.7 )...(3.7 ).3 ≡ 5.5...5.3 ≡ 1.1...1.5.3 ≡ 7(mod 8) 251 251

⇒ x ≡ 7(mod 8) ⇒ x = 375

Vậy 3 chữ số tận cùng của A là 375

Bài 17: Tìm 3 chữ số tận cùng là tích A của 11 số nguyên dương đầu tiên. Lời giải:

Ta có: A = 1.2.3.4 …11

KÈ

Trong biểu thức A có thừa số 2; 5; 10 nên A chia hết cho 100 Vậy 2 chữ số tận cùng của A là 00. A = 1.3.4.6.7.8.9.11 ≡ 2.6.7.8.9.11 100

Ta có:

DẠ

≡ 2.7.8.9.11 ≡ 4.8.9.11 ≡ 2.9.11 ≡ 8.11 ≡ 8(mod10)

Vậy 3 chữ số tận cùng của A là 800.

Bài 18: Chứng minh rằng 8102 - 2102 chia hêt cho 10

Lời giải

Do đó ta biến đổi như sau: 8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4 Vậy 8102 -2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10

FI CI A

6.Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6.

Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tân cùng là

Bài 19: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Lời giải

Theo tính chất 1a => 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ? Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

ƠN

=> Chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 => n2 + n + 1 không chia hết cho 5.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. Bài 20: Chứng minh rằng 261570 chia hết cho 8

Lời giải

Ta thấy:26 = 11881376 , số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) cũng có tận

QU Y

cùng bằng 376.Do đó: 261570=(265)314=(…376)314=(…376) Mà 376 chia hết cho 8

Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8 Vậy 261570 chia hết cho 8

Bài 21: Chứng minh số n = 20042 + 20032 + 20022 − 20012 không phải là số chính phương. Phân tích:

KÈ

Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0,1, 4, 5, 6, 9 nếu các số tận cùng là 2, 3,7, 8 thì không phải là số chính phương.

Lời giải

Ta thấy chữ số tận cùng của các số 20042 , 20032 , 20022 , 20012 lần lượt là 6, 9, 4,1 . Do đó số n có

DẠ

chữ số tận cùng là 8 , 8 nên n không phải là số chính phương. 14

Bài 22: Chứng tỏ rằng A = 1414 + 99 + 2 3 không phải là số chính phương.

Phân tích:

FI CI A

chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3 .

- Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có

- Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2 .

- Các số có chữ số tận cùng là 0,1, 4,5,6, 9 , khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi

Lời giải 14

A = 1414 + 99 + 2 3

ƠN

Ta có: 1414 có chữ số tận cùng là 6

chữ số tận cùng.

99 có chữ số tận cùng là 9 4

23 có chữ số tận cùng là 2

Suy ra A có chữ số tận cùng là (6 + 9 + 2) = ..7 Vậy A không phải là số chính phương.

QU Y

Bài 23: Chứng tỏ rằng C = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 52020 không phải là số chính phương.

Lời giải

C = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 52020

KÈ

Ta có: 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 52020 ⋮ 5

52 + 53 + 54 + ... + 52020 ⋮ 25

C = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 52020 không chia hết cho 25

DẠ

Vậy C không phải là số chính phương.

Bài 24: Chứng minh 1234567890 không phải là số chính phươngLời giải

FI CI A

Ta thấy số chia hết cho vì chữ số tận cùng là nhưng lại không chia hết cho vì hai chữ số tận cùng là . Vì vậy, số không phải là số chính phương. Lời giải

Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 5 vì chữ số tận cùng là 0 nhưng lại không chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng là 90 . Vì vậy, số 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài 25: Cho B = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2021 chứng tỏ B là số chính phương. Lời giải

B = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2021 2021 − 1 2021 + 1 +1 = 2 2

ƠN

Số số hạng:

Vậy B là số chính phương.

(

2021 + 1 2021 + 1  2021 + 1  = 10112 Tổng B = . =  2 2 2  

)

Bài 26: Cho A = 200. 92013 + 92012 + 92011 + .......... + 92 + 9 + 1 . Chứng minh rằng A + 25 là

QU Y

số chính phương.

Lời giải

Đặt B = 92013 + 92012 + 92011 + ......... + 92 + 9 + 1 3

⇒ 9B = 92014 + 92013 + ................. + 9 + 92 + 9 92014 − 1 8 92014 − 1 ⇒ A = 200.B = 200. = 25. 92014 − 1 8 2 ⇒ A + 25 = 25.92014 = 5.91007

KÈ

⇒ 8B = 92014 − 1 ⇒ B =

DẠ

Vậy A + 25 là số chính phương.

(

)

B.BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 6 Bài 1.

FI CI A

a) Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100 ;71991 b) Tìm 4 chữ số tận cùng của số sau: 51992 Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999

b) 931999

Bài 3. 2

Tìm chữ số tận cùng của S

Bài 4. (Đề HSG 6 trường Lê Quý Đôn năm 2014-2015) Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 ?

ƠN

Bài 5. (Đề HSG 6 trường Võ Thị Sáu năm 2014-2015)

Cho S = 1 + 3 + 3 + 3 + ..... + 3 + 3

Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A.

Bài 6. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: b) 931999

Bài 7. (Đề HSG 2019-2020) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: b) 931999

QU Y

571999

a) 572011

Bài 8. (Đề HSG 2017-2018)

Cho A = 5 + 52 + ...... + 596. Tìm chữ số tận cùng của A

HƯỚNG DẪN Bài 1.

a) Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100 ;71991 b) Tìm 4 chữ số tận cùng của số sau: 51992

KÈ

Lời giải

a) *Tìm hai số tận cùng của 2100 210 = 1024 , bình phương của hai số có tận cùng là 24 thì tận cùng bằng 76, có số tận cùng bằng 76

nên nâng lên lũy thừa nào cũng bằng 76. 10

DẠ

Do đó: 2100 = ( 210 ) = (10242 ) = (....76 ) = .....76

Vậy hai số tận cùng của 2100 là 76. *Tìm hai chữ số tận cùng của 71991

Ta thấy 7 4 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng bằng 01. 497

.343 = (...01)

497

.343 = (...01) .343 = .......43

FI CI A

Vậy 71991 có hai số tận cùng bằng 43. b) Tìm 4 số tận cùng của 51992 Ta có: 51992 = ( 54 )

498

= 0625498 = ....0625

Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999

b) 931999

( )

499

Lời giải a) Ta có: 71999 = 7 4

.73 = 2401499.343  nên chữ số tận cùng là 3

Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là 3

( )

499

.33 = 81499.27 nên có chữ số tận cùng là 7

Bài 3. 2

Cho S = 1 + 3 + 3 + 3 + ..... + 3 + 3

ƠN

b) 31999 = 34

Do đó: 71991 = 71988.73 = ( 7 4 )

Tìm chữ số tận cùng của S

Lời giải

S = (1 + 3 + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37 ) + ..... + ( 344 + 345 + 346 + 347 ) + 348 + 349 48

Mặt khác: 3 + 3

QU Y

Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10, do đó tận cùng bằng 0

= 34.12 + 348.3 = ....1 + ....1.3 = ....4

Vậy S có tận cùng bằng 4

Bài 4.(Đề HSG trường Lê Quý Đôn năm 2014-2015)

Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 ?

KÈ

Ta có: 210 = 1024;

Lời giải 10

2100 = ( 210 ) = 102410 = (10242 )

Mà 1024 2 có hai chữ số tận cùng là 76 =>( 1024 2 ) 5 có hai chữ số tận cùng là 76

Vậy 2100 có hai chữ số tận cùng là 76

DẠ

Bài 5.(Đề HSG 6 trường Võ Thị Sáu năm 2014-2015) Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A.

Lời giải

A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221.

Nên A.2 - A = 221 -2

 A = 221 - 2

Vậy A có tận cùng là 2.

Bài 6. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 572011

b) 931999

Lời giải

a) Tìm chữ số tận cùng của số 572011 Xét 72011; ta có: 72011 = (74)502.73 = 2401502. 343

b) Tìm chữ số tận cùng của số 931999 Xét 31999; ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Vậy số 31999 có chữ số tận cùng là 7.

Bài 7. (Đề HSG 2019-2020) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 571999

b) 931999

QU Y

Suy ra chữ số tận cùng bằng 7

ƠN

Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 Vậy số 572011 có chữ số tận cùng là 3.

Lời giải a) Ta có: 71999 = ( 7 4 )

499

.73 = 2401499.343  nên chữ số tận cùng là 3

Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là 3 499

.33 = 81499.27 nên có chữ số tận cùng là 7

b) 31999 = ( 34 )

Bài 8. (Đề HSG 2017-2018)

KÈ

Cho A = 5 + 52 + ...... + 596. Tìm chữ số tận cùng của A

Lời giải

A = 5 + 52 + ...... + 596  5A = 52 + 53 + ...... + 596 + 597

 5A − A = 597 − 5  A =

597 − 5 4

DẠ

Ta có: 597 có chữ số tận cùng là 5  597 − 5 có chữ số tận cùng là 0 Vậy chữ số tận cùng của A là 0.

FI CI A

... 165 có tận cùng là 6 . Nên 165 . 2 có tận cùng là 6. 2 có tận cùng là 2.

Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2