20 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6 SGK MỚI CHUYÊN ĐỀ 4 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT by DẠY KÈM QUY NHƠN OLYMPIC

CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6

vectorstock.com/30416001

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

20 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6 SGK MỚI (CẢ 3 BỘ SÁCH) CHUYÊN ĐỀ 4 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (TÓM TẮT LÝ THUYẾT, CÁC DẠNG BÀI, BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG) WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

FI CI A

CHỦ ĐỀ 1: CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN ƯCLN VÀ BCNN

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA VỀ ƯỚC VÀ BỘI

Ước: Số tự nhiên d ≠ 0 được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là

Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư ( a ) = {d ∈ ℕ : d | a}

ước của a.

Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của a ≠ 0 khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.

ƠN

Nhận xét: Tập hợp các bội của a ( a ≠ 0 ) là B ( a ) = {0; a ; 2 a ;...; ka} , k ∈ Z 2) Tính chất:

- Các số 1 và −1 là ước của mọi số nguyên. - Nếu Ư ( a ) = {1; a} thì a là số nguyên tố.

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là

QU Y

a x .b y .c z … thì số lượng các ước của A bằng ( x +1)( y +1)( z +1) …

Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó:

m có x + 1 cách chọn (là 1, a, a 2 , …, a x )

n có y + 1 cách chọn (là 1, b, b 2 , …, b y )

KÈ

2 z p có z + 1 cách chọn (là 1, c, c , …, c ),…

Do đó, số lượng các ước của A bằng ( x +1)( y +1)( z +1)

II. Ước chung và bội chung

DẠ

1) Định nghĩa

Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư ( a ) và Ư ( b ) có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là ước số chung của a và b. Kí hiệu: ƯC ( a; b ) . Trang 1

Nhận xét: Nếu ƯC ( a ; b ) = {1} thì a và b nguyên tố cùng nhau.

FI CI A

Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số d ∈ ℕ được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b ( a; b ∈ℤ ) khi d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC ( a; b ) . Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN ( a; b ) hoặc ( a; b ) hoặc gcd ( a; b ) .

Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B ( a ) và B ( b ) có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội

số chung của a và b. Kí hiệu BC ( a; b ) .

Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số m ≠ 0 được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC ( a; b ) . Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN ( a; b )

ƠN

hoặc [ a; b ] hoặc lcm ( a; b ) .

2) Tính chất

Một số tính chất của ước chung lớn nhất:

● Nếu ( a1 ; a 2 ;...; a n ) = 1 thì ta nói các số a1 ; a2 ;...; an nguyên tố cùng nhau.

nhau.

a b c c

QU Y

● Nếu ( am ; ak ) = 1, ∀m ≠ k ,{m, k} ∈{1;2;....; n} thì ta nói các số a1 ; a2 ;...; an đôi một nguyên tố cùng

● c∈ƯC ( a; b ) thì  ;  =

( a; b ) c

a b ;  = 1. d d 

● d = ( a; b ) ⇔ 

● ( ca; cb ) = c ( a; b ) .

KÈ

● ( a; b ) = 1 và ( a; c ) = 1 thì ( a; bc ) = 1 ● ( a; b; c ) =

( ( a; b ) ; c )

● Cho a > b > 0

DẠ

- Nếu a = b.q thì ( a; b ) = b.

- Nếu a = bq + r ( r ≠ 0 ) thì ( a; b ) = ( b; r ) .

Trang 2

Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất:

FI CI A

M M ● Nếu [ a ; b ] = M thì  ;  = 1.  a b 

● [ a; b; c ] = [ a; b ]; c  ● [ ka , kb ] = k [ a , b ];

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Các tính chất và bài toán cơ bản về ƯCLN và BCNN

● [ a ; b ]. ( a ; b ) = a.b

bằng ( x +1)( y +1)( z +1) …

m có x + 1 cách chọn (là 1, a, a 2 , …, a x )

Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó:

ƠN

I. Phương pháp giải Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .c z … thì số lượng các ước của A

QU Y

n có y + 1 cách chọn (là 1, b, b 2 , …, b y )

2 z p có z + 1 cách chọn (là 1, c, c , …, c ),…

Do đó, số lượng các ước của A bằng ( x +1)( y +1)( z +1)

II. Bài toán

Lời giải:

KÈ

Bài 1: Tìm số ước của số 1896 .

(

)

= 3192.296.

96 2 Ta có : 18 = 3 .2

DẠ

Vậy số ước của số 1896 là ( 96 + 1)(192 + 1) = 97.193 = 18721.

Bài 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ. Lời giải: Trang 3

a a * Giả sử n = p1 1 . p22 .... pk k với pi nguyên tố và ai ∈ N .

FI CI A

n là số chính phương khi và chỉ khi a1 , a2 ,..., ak là các số chẵn khi đó ( a1 + 1)( a2 + 1) ...( ak + 1) là số lẻ. Mặt khác ( a1 + 1)( a2 + 1) ...( ak + 1) là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng minh.

Lời giải Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng : 2

Bài 3: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n không thể có đúng 17 ước số.

n = ( m − 1) + m2 + ( m + 1) = 3m2 + 2 không thể là số chính phương.

Bài 3: Cho (a, b) = 1; a > b. Chứng minh rằng:

ƠN

Nếu n có đúng 17 ước số thì n là số chính phương (bài toán 1), vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

a) (a, a + b) = 1

c) (ab, a + b) = 1 d) (a 2 , a − b) = 1

b) (b, a − b) = 1

QU Y

Lời giải

a ⋮ d  b⋮ d  d ∈UC (a, b)  d ∈U (UC (a, b))  1⋮ d  d = 1 a) Đặt (a, a + b) = d (d ∈ N * )   a + b⋮ d

ab⋮ d c) (ab, a + b) = d   a + b⋮ d

Giả sử d ≠ 1. Gọi p là số ước nguyên tố của d (1 số tự nhiên khác 1 bào giờ cũng tồn tại ít nhất một ước

KÈ

ab⋮ p nguyên tố)  d ⋮ p   a + b ⋮ p

 a ⋮ b  b⋮ p  p ∈UC (a, b)  p ∈U (ucln(a, b))  1⋮ p  p = 1 (vô lý) Ta có: ab⋮ p   b ⋮ p  a ⋮ p

DẠ

Vậy d = 1  (ab; a + b) = 1

Trang 4

Bài 3: Biết rằng abc là bội chung của ab; ac; bc . Chứng minh rằng:

FI CI A

a 2 ⋮ p  a ⋮ p  b⋮ p  a 2b ⋮ d  a 2b ⋮ p  d)     b ⋮ p  a ⋮ p a − b⋮ d a − b⋮ p  a − b⋮ p

b) abc là bội của 11

a) abc là bội của bc

Lời giải

a) abc : ab ⇔ 10ab + c ⋮ ab ⇔ c ⋮ ab ⇔ c = 0 (do c có một chữ số, ab có hai chữ số)

ƠN

abc ⋮ ac  (100a + 10b)⋮10a  b⋮ a - c = 0 Đặt b = ak (k ∈ N * )

abc ⋮ ba  100a + 10b⋮ (10b + a)  99a ⋮10b + a  99a ⋮10ak + a  99⋮10k + 1  10k + 1 = 11 - c = 0; b = ak

⇔ k = 1  a = b; c = 0

QU Y

Vì abc ⋮ ac  abc ⋮ bc  đpcm

b) abc = aa 0 = 110 a ⋮11  đpcm

Bài 4: Biết rằng [ a, b ].(a, b) = ab

a. [ a, b] = 600;(a, b) nhỏ hơn 10 lần (a, b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai

KÈ

b. (a, b) = 12, [a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai c. Tổng cuả hai số bằng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đó Lời giải

a. Ta có: (a, b) = 600 :10 = 60;(a, b).[ a, b] = ab  60.60 = 120.b  b = 300

DẠ

b. Số thứ hai là 36

c. Gọi hai số phải tìm là: a và b

Trang 5

Có: d + dmn = 4 ⇔ d (mn + 1) = 4(1) Vì tổng của hai bằng 60 nên d (m + n) = 60(2)

L FI CI A

(m, n) = 1 ab d 2 .m.n (a, b) = d , đặt a = dm; b = dn   , ; a b = = = dmn [ ] * ( a, b ) d m, n ∈ N

Hoặc m = 3; n = 2  a = 36; b = 24

Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết

Từ (1)(2)  1, 2,3, 4,6,12 = d  d = 12(thoa.man)  m = 2; n = 3 ⇐ a = 24; b = 36

ƠN

I. Phương pháp giải Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên dư, sau đó để thỏa mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số nguyên n thỏa mãn điều kiện.

II. Bài toán

Bài 1: Tìm số tự nhiên n để 5n + 14 chia hết cho n + 2 . Lời giải:

QU Y

Ta có: 5n + 14 = 5.( n + 2 ) + 4

Mà 5.( n + 2 ) chia hết cho ( n + 2 )

Do đó ( 5n + 14 ) chia hết cho ( n + 2 ) ⇔ 4 chia hết cho ( n + 2 ) ⇔ ( n + 2 ) là ước của 4.

Do đó n ∈ {0; 2}

⇔ ( n + 2 ) ∈ {1 ; 2 ; 4}

KÈ

Vậy với n ∈ {0; 2} thì ( 5n + 14 ) chia hết cho ( n + 2 ) .

n + 15 là số tự nhiên. n+3

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để

DẠ

Lời giải: Để

n + 15 là số tự nhiên thì ( n + 15) chia hết cho ( n + 3) . n+3

( n + 15) − ( n + 3)  chia hết cho ( n + 3) . Trang 6

⇔ 12 chia hết cho ( n + 3) .

FI CI A

⇔ ( n + 3) là Ư (12 ) = {1;2;3;4;6;12} . ⇔ n ∈ {0;1; 3;9}.

Vậy với n ∈ {0;1;3;9} thì

n + 15 là số tự nhiên. n+3

(

)

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n 2 + 3n + 6 ⋮( n + 3) . Lời giải:

(

)

ƠN

Ta có: n 2 + 3n + 6 ⋮( n + 3) Suy ra:  n ( n + 3) + 6  ⋮( n + 3) ⇔ 6⋮( n + 3)

(

)

Vậy n = 0; n = 3 thì n 2 + 3n + 6 ⋮( n + 3) .

Lời giải: Ta có:

4n + 5 có giá trị là một số nguyên. 2n − 1

QU Y

Bài 4: Tìm số nguyên n để phân số

Do đó n + 3 ∈ Ư ( 6 ) = {1;2;3;6}

4n + 5 4n − 2 + 7 2 ( 2n − 1) + 7 7 = = = 2+ 2n − 1 2n − 1 2n − 1 2n − 1

4n + 5 7 là số nguyên thì là số nguyên 2n − 1 2n − 1

Vì 2 là số nguyên nên để

Suy ra 2 n – 1∈ Ư ( 7 ) = { –7; –1;1;7}

KÈ

⇔ 2n∈ { –6;0;2;8} ⇔ n∈ { –3;0;1;4}

Vậy với n ∈{ –3;0;1;4} thì

4n + 5 có giá trị là một số nguyên. 2n − 1

DẠ

Bài 5: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: B=

2 n + 2 5n + 17 3n + − n+2 n+2 n+2

Lời giải Ta có:

Trang 7

11 là số tự nhiên n+2

Để B là số tự nhiên thì

 11⋮( n + 2)  n + 2∈ Ư (11) = {−11; − 1;1;11}

Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11  n = 9 .

Bài 6: Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số n =

k + 23

là một số nguyên dương.

ƠN

Ta có: n =

( k + 1)

Vậy n = 9 thì B là số tự nhiên.

Lời giải

11 2 n + 2 5n + 17 3n 2 n + 2 + 5n + 17 − 3n 4 n + 19 4( n + 2) + 11 = =4+ + − = = n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2

FI CI A

k 2 + 2 k + 1 ( k + 23 )( k − 21) + 484 484 = = k −1+ , k ∈ Z + n là một số k + 23 k + 23 k + 23

nguyên dương khi và chỉ khi k + 23 | 484, k + 23 > 23

 k + 23 = 121  k = 98   k = 21  k + 23 = 44

Với k = 98 , ta có n = 81 Với k = 21 , ta có n = 11

QU Y

Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21  

Vậy giá trị k lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98.

Dạng 3: Tìm số tự nhiên khi biết điều kiện về tổng, tích, thương các số và dữ kiện về ƯCLN, BNCC.

I. Phương pháp giải

- Biết ƯCLN(a, b) = k thì a = km và b = kn với ƯCLN(m, n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó

KÈ

tìm được a và b

- Biết BCNN(a, b) = k thì ta gọi ƯCLN(a, b) = d thì a = md và b = nd với ƯCLN(m, n) = 1

(là điều kiện của số m, n cần tìm), từ đó tìm được a và b.

DẠ

II. Bài toán

Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a ; b biết a + b = 128 và ƯCLN(a, b) = 16. Lời giải:

Điều kiện: a, b ∈ ℤ + Trang 8

Giả sử 0 < a ≤ b . Ta có ƯCLN(a, b) = 16

FI CI A

 a = 16m; b = 16n với ( m, n ∈ Z + ) ; ƯCLN ( m, n ) = 1; m ≤ n Biết a + b = 128  16 ( m + n ) = 128  m + n = 8 Vì ƯCLN ( m, n ) = 1 nên ta có hai trường hợp của m và n

Trường hợp 1: m = 1, n = 7  a = 16, b = 112 Trường hợp 2: m = 3, n = 5  a = 48, b = 80

ƠN

Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 và ƯCLN ( a, b ) = 18 Lời giải: Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Giả sử a ≤ b

Ta có: a + b = 162, ( a , b ) = 18  a = 18 m Đặt  với ( m , n ) = 1, m ≤ n = b 18 n 

( m, n ) = 1 , lập bảng:

loai

144

126

m n a

KÈ

QU Y

Từ a + b = 162  18 ( m + n ) = 162  m + n = 9

Kết luận: Các số cần tìm là: (18;144 ) ; ( 36;126 ) ; ( 72;90 )

Bài 3: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15

DẠ

Lời giải:

Gọi hai số cần tìm là a ; b

( a, b ∈ ℕ; a, b < 200)

Ta có: a − b = 90; ( a , b ) = 15

Trang 9

15 m < 200 Lại có: a , b < 200    15 n < 200 

 ( m , n ) = 1   m − n = 6

FI CI A

 ( m , n ) = 1   15 ( m − n ) = 90

 m ≤ 13   n ≤ 13

195

105

ƠN

Vậy: ( a , b ) = (195;105 ) , ( 65; 75 ) , (85;15 ) .

 a = 15 m Đặt    b = 15 n

Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6.

Lời giải:

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a , b . Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Ta có: ab = 432; ( a , b ) = 6 ( a ≤ b )

Ta được: m 1

QU Y

Đặt a = 6 m , b = 6 n với (m, n) = 1 và m ≤ n  36 m n = 432  m n = 12

Vậy ( a , b ) = ( 6; 72 ) , (18, 24 ) .

Lời giải

KÈ

Bài 5: Tìm hai số a , b biết 7a = 11b và ƯCLN ( a; b ) = 45 .

Từ 7a = 11b suy ra a > b

( a1 ; b1 ) = 1, ( a1 ≥ b1 )

DẠ

 a = 45a1 Từ ƯCLN ( a; b ) = 45   b = 45b1

Mà:

 a = 11 a 11 a 11 vì ( a1; b1 ) = 1 => =  1 =  1 b 7 b1 7 b1 = 7

a = 45.11 = 495  b = 45.7 = 315

Vậy hai số a , b cần tìm là a = 495 và b = 315 . Trang 10

Bài 6: Cho a = 1980, b = 2100.

FI CI A

a) Tìm ( a, b) và [ a, b] .

b) So sánh [ a, b].( a, b) với ab. Chứng minh nhận xét đó đối với hai số tự nhiên a và b khác 0 tùy ý. Lời giải a) 1980 = 22.32.5.11,

2100 = 2 2.3.52.7.

ƯCLN(1980, 2100) = 22.3.5 = 60

ƠN

BCNN (1980,2100) = 22.32.52.7.11 = 69300.

. b) [1980,2100] .(1980,2100) = 1980.2100 ( đều bằng 4158000 ). Ta sẽ chứng minh rằng [ a, b].( a, b) = ab Cách 1. Trong cách giải này, các thừa số riêng cũng được coi như các thừa số chung, chẳng hạn a chứa

thừa số 11,b không chứa thừa số 11 thì ra coi như b chứa thừa số 11 với số mũ bằng 0 . Với cách viết này, trong ví dụ trên ta có:

2100 = 2 2.3.5 2.7.110.

(1980, 2100)

QU Y

1980 = 2 2.32.5.7 0.11.

là tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất 2 2.32.5.7 0.110 = 60 . [1980, 2100] là tích các

thừa số chung với số mũ lớn nhất 2 2.32.5 2.7.11 = 69300. Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp tổng quát:

KÈ

[ a, b].( a, b ) = a.b

(1)

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, các thừa số nguyên tố ở hai vế của (1) chính là các thừa số nguyên tố

có trong a và b. Ta sẽ chứng tỏ rằng hai vế chứa các thừa số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng

DẠ

bằng nhau.

Gọi p là thừa số nguyên tố tùy ý trong các thừa số nguyên tố như vậy. Giả sử số mũ của p trong a là x, số mũ của p trong b là y trong đó x và y có thể bằng 0. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng x ≥ y.

Trang 11

với số mũ y nên vế trái cũng chứa p với số mũ x + y. Cách 2. Gọi d = (a, b) thì a = da ', b = db ′ (1) , trong đó (a ', b ') = 1.

Đặt

ab = m ( 2) , ta cần chứng minh rằng [ a, b] = m . d

FI CI A

Khi đó vế phải của (1) chứa p với số mũ x + y . Còn ở vế trái, [a, b] chứa p với số mũ x, (a, b) chứ p

Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho m = ax , m = by và (x, y) = 1.

m = b.

a = ba' . Do đó, ta chọn x = b ' , y = a ' , thế thì ( x, y ) = 1 vì ( a ' , b' ) = 1. d

ab = [ a, b ] , tức là [ a, b] . ( a, b ) = ab. d

ƠN

Vậy

b = ab' , d

Thật vậy từ (1) và (2) suy ra m = a.

Bài 7: Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10 , BCNN của chúng bằng 900.

Lời giải

Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Giả sử a ≤ b . ' ' Ta có ( a, b) = 10 nên. a = 10a , b = 10b , (a ' , b' ) = 1, a ′ ≤ b '. Do đó ab = 100a ' b ' (1) . Mặt khác

ab = [ a, b] .(a, b) = 900.10 = 9000

QU Y

(2).

Từ (1) và (2) suy ra a ' b ' = 90. Ta có các trường hợp : 1

Suy ra:

KÈ

900

450

180

100

Bài 5: Tìm hai số tự nhiên a , b sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15. Lời giải

Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Giả sử a < b .

DẠ

 a = d .a1 Gọi d = ƯCLN( a; b)   b = d .b1

( a1 < b1 ) , ( a1 ; b1 ) = 1 , và d < 15

Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d

Trang 12

a = 2  a = 2 hoặc  1 b1 = 7  b = 7

a = 1  a = 3 TH2 : d = 3  a1 .b1 = 4   1 b1 = 4  b = 12

a = 1  a = 5 TH3 : d = 5  a1 .b1 = 2 =>  1 b1 = 2  b = 10

FI CI A

a = 1  a = 1 TH1 : d = 1  a1 .b1 = 14   1 b1 = 14  b = 14

Theo bài ra ta có: d + a1.b1d = 15 => d (1+ a1.b1 ) = 15 => d ∈U (15) = {1;3;5;15} , Mà d < 15, Nên

Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại.

Lời giải

ƠN

Bài 8: Tìm hai số nguyên dương a , b biết ab = 216 và ƯCLN ( a, b ) = 6 .

Điều kiện: a, b ∈ ℤ + . Giả sử a ≤ b . Ta có ƯCLN ( a, b ) = 6 .

 a = 6m; b = 6n ( m, n ∈ Z + ) ;UCLN ( m, n ) = 1; m ≤ n Biết ab = 216  6m.6n = 36mn = 216  mn = 6

QU Y

Vì ƯCLN ( m, n ) = 1 nên ta có hai trường hợp Trường hợp 1: m = 1, n = 6  a = 6, b = 36

Trường hợp 2: m = 2, n = 3  a = 12, b = 18

Vậy hai số cần tìm là ( a, b ) ∈{( 6;36 ) ; (12;18)} .

Lời giải

a = 2, 6 và ƯCLN ( a, b ) = 5 . b

KÈ

Bài 9: Tìm hai số nguyên dương a , b biết

Điều kiện: a, b ∈ ℤ +

(

)

DẠ

ƯCLN ( a, b ) = 5  a = 5m; b = 5n m, n ∈ Z + ; ¦CLN ( m, n ) = 1 Biết

a m 13 = 2, 6  = 2, 6 = với ƯCLN (m, n) = 1. b n 5

 m = 13 và n = 5  a = 65 và b = 25. Trang 13

Lời giải Gọi d = ƯCLN ( a, b )  a = md ; b = nd với m, n ∈ Z + ; ¦CLN ( m, n ) = 1 Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b nên m ≤ n

Biết a + b = 42  dm + dn = d ( m + n ) = 42 (1)

FI CI A

Bài 10: Tìm a , b biết a + b = 42 và BCNN ( a, b ) = 72 .

Biết BCNN ( a, b ) = 72  m.n.d = 72 ( 2 )

 d là ước chung của 42 và 72  d ∈ {1; 2;3;6}

ƠN

Lần lượt thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 thì m + n = 7 và

mn = 12

Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18; b = 4.6 = 24 .

 m = 3; n = 4 (thỏa mãn các điều kiện của m và n)

Bài 11: Tìm hai số nguyên dương a , b biết ab = 180 , BCNN ( a, b ) = 60 .

QU Y

Lời giải

Điều kiện: a, b ∈ ℤ +

Đặt ƯCLN ( a, b ) = d  a = md ; b = nd với ƯCLN ( m, n ) = 1  BCNN ( a, b ) = m.n.d

Biết ab = 180  m.n.d 2 = 180  d = ¦CLN ( a, b ) =

ab 180 = =3 BCNN ( a, b ) 60

KÈ

Từ đây bài toán đã biết ab = 180 và ¦CLN ( a, b ) = 3

 a = 3; b = 60 hoặc a = 12; b = 15 . a 4 = và BCNN ( a, b ) = 140 . b 5

DẠ

Bài 12: Tìm a , b biết Lời giải

Đặt ƯCLN ( a, b ) = d .

Trang 14

a 4 = , mặt khác ¦CLN ( 4,5) = 1  a = 4d ; b = 5d b 5

FI CI A

Vì

Mà BCNN ( a, b ) = 140 , nên ¦CLN ( a, b ) = 7 Từ đây bài toán đã biết

a 4 = và ¦CLN ( a, b ) = 7 b 5

 a = 28; b = 35 . Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a , b biết a − b = 7 và BCNN ( a, b ) = 140 Lời giải

(

)

ƠN

Điều kiện: a , b ∈ ℕ .

Biết a − b = 7  dm − dn = d ( m − n ) = 7 (1) Biết BCNN ( a, b ) = 140  m.n.d = 140 ( 2 )

QU Y

 d là ước chung của 7 và 140

Gọi d = ƯCLN ( a, b )  a = md ; b = nd m, n ∈ Z + ; ƯCLN ( m, n ) = 1

 d ∈{1;7}

Thay lần lượt các giá trị d vào (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất d = 7 thì m − n = 1 và

mn = 20  m = 5; n = 4 (thỏa mãn ¦CLN ( m, n ) = 1 )

Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35; b = 4.7 = 28 .

Lời giải

KÈ

Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a , b biết a + b = 96 và ƯCLN ( a, b ) = 6

Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Giả sử a > b .

(

)

DẠ

Biết ƯCLN ( a, b ) = 6  a = 6m; b = 6n m, n ∈ Z + ; ƯCLN ( m, n ) = 1; m > n Mà a + b = 96 nên 6m + 6n = 96  m + n = 16

Mà ƯCLN ( m, n ) = 1 nên có các trường hợp của số m, n như sau

Trang 15

Trường hợp 1: m = 11; n = 5  a = 66; b = 30

FI CI A

Trường hợp 2: m = 13; n = 3  a = 78; b = 18 Trường hợp 3: m = 15; n = 1  a = 90; b = 6 Vậy hai số cần tìm là ( a, b ) ∈{( 66;30 ) ; ( 78;18) ; ( 90;6 )} .

Lời giải Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Giả sử a > b .

(

)

Bài 15: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 504 và ƯCLN của chúng bằng 42

ƠN

Biết ƯCLN ( a, b ) = 42  a = 42m; b = 42n m, n ∈ Z + ; ƯCLN ( m, n ) = 1( m > n ) Mà a + b = 504  42m + 42n = 504  m + n = 12

Vì ƯCLN ( m, n ) = 1, nên có các trường hợp của số m, n như sau Trường hợp 1: m = 11; n = 1  a = 462; b = 42

Trường hợp 2: m = 7; n = 5  a = 294; b = 210

QU Y

Vậy hai số cần tìm là ( a, b ) ∈{( 462;42 ) ; ( 294;210 )} .

Bài 16: Cho n∈ ℕ , tìm số nguyên tố p có 2 chữ số sao cho p = ƯC ( 2n − 3;3n + 15) Lời giải

Vì số p = ƯC ( 2n − 3;3n + 15)

KÈ

 p cũng là ước của hiệu 2 ( 3n + 15) − 3 ( 2n − 3) = 39 Mà p là số nguyên tố có hai chữ số nên p = 13 . Vậy số nguyên tố cần tìm là p = 13 .

Bài 17: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300 và ƯCLN bằng 5.

DẠ

Lời giải

Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Giả sử a > b .

(

)

Biết ƯCLN ( a, b ) = 5  a = 5.m; b = 5.n m, n ∈ Z + ; ƯCLN ( m, n ) = 1( m > n ) Trang 16

Mà ab = 300 nên  m.5.n.5 = 300  mn = 12

FI CI A

Mà ƯCLN ( m, n ) = 1 nên có các trường hợp của số m, n như sau Trường hợp 1: m = 12; n = 1  a = 60; b = 5 Trường hợp 2: m = 4; n = 3  a = 20; b = 15

Vậy hai số cần tìm là ( a, b ) ∈{( 60;5) ; ( 20;15)} .

Bài 18: Tìm hai số tự nhiên a và b ( a < b ) , biết: ƯCLN ( a, b ) = 300; BCNN ( a, b ) = 900 . Lời giải

ƠN

Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Vì ƯCLN ( a, b ) = 10 và a < b

 a = 10m; b = 10n ( m, n ∈ Z + ) ; ƯCLN ( m, n ) = 1( m < n )  BCNN ( a, b ) = 10.m.n Mà BCNN ( a, b ) = 900 nên mn = 90. Khi đó có các trường hợp của số m, n như sau

QU Y

Trường hợp 1: m = 5; n = 18  a = 50; b = 180 (thỏa mãn) Trường hợp 2: m = 9; n = 10  a = 90; b = 100 (thỏa mãn) Vậy hai số cần tìm là ( a, b ) ∈{( 50;180 ) ; ( 90;100 )} .

Lời giải

KÈ

Điều kiện: a , b ∈ ℕ .

Bài 19: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: BCNN ( a, b ) = 300; ƯCLN ( a, b ) = 15; a + 15 = b .

Vì ƯCLN ( a, b ) = 15, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

a = 15m; b = 15n (1) và ¦CLN ( m, n ) = 1 ( 2 )

DẠ

Vì BCNN ( a, b ) = 300, nên theo trên ta suy ra BCNN (15m,15n ) = 300 = 15.20  BCNN ( m, n ) = 20 Vì a + 15 = b  15m + 15 + 15n  15 ( m + 1) = 15n  m + 1 = n

Trang 17

kiện (4) Vậy m = 4; n = 5 ta được các số phải tìm là a = 15.4 = 60; b = 15.5 = 75 .

FI CI A

Trong các trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) và (3) thì chỉ có trường hợp m = 4; n = 5 là thỏa mãn điều

Bài 20: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: BCNN ( a, b ) = 420; ƯCLN ( a, b ) = 21; a + 21 = b Lời giải

Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Vì ƯCLN ( a, b ) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

ƠN

a = 21m; b = 21n (1) và ¦CLN ( m, n ) = 1 ( 2 )

Vì BCNN ( a, b ) = 420  BCNN ( 21m, 21n ) = 420 = 21.20  BCNN ( m, n ) = 20 ( 3)

Vì a + 21 = b  21m + 21 = 21n  21( m + 1) = 21n  m + 1 = n ( 4 )

Trong các trường hợp thỏa mãn điều kiện (2) và (3) thì chỉ có trường hợp m = 4; n = 5 hoặc m = 2; n = 3 là thỏa mãn điều kiện (4)

QU Y

Vậy m = 4; n = 5 hoặc m = 2; n = 3 ta được các số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105 .

Bài 21: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: ƯCLN ( a, b ) = 5; BCNN ( a, b ) = 300 . Lời giải

Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Giả sử a > b.

(

)

KÈ

Biết ƯCLN ( a, b ) = 5  a = 5m; b = 5n m, n ∈ Z + ; ƯCLN ( m, n ) = 1, m > n

 BCNN ( a, b ) = 5mn

Mà BCNN ( a, b ) = 300  5mn = 300 ⇔ mn = 50

DẠ

Vì ƯCLN ( m, n ) = 1 nên ta có các trường hợp của số m, n như sau Trường hợp 1: m = 60, n = 1  a = 300, b = 5 Trường hợp 2: m = 20, n = 3  a = 100, b = 15

Trang 18

Trường hợp 3: m = 12, n = 5  a = 60, b = 25

FI CI A

Vậy hai số cần tìm là ( a, b ) ∈{( 300;5) ; (100;15) ; ( 60;25)} .

Bài 22: Tìm hai số tự nhiên a và b , biết: BCNN ( a, b ) = 180; ¦CLN ( a, b ) = 12 Lời giải

Điều kiện: a , b ∈ ℕ . Giả sử a > b.

(

)

Biết ƯCLN ( a, b ) = 12  a = 12m; b = 12n m, n ∈ ℤ + ; ƯCLN ( m, n ) = 1, m > n

 BCNN ( a, b ) = 12mn

ƠN

Mà BCNN ( a, b ) = 180  mn = 15

Vì ƯCLN ( m, n ) = 1 nên ta có các trường hợp của số m, n như sau

Trường hợp 1: m = 15, n = 1  a = 180, b = 12 Trường hợp 2: m = 5, n = 3  a = 100, b = 15

QU Y

Trường hợp 3: m = 12, n = 5  a = 60, b = 25

Vậy hai số cần tìm là ( a, b ) ∈{(180;12 ) ; (100;15) ; ( 60;25)} .

Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLN và BCNN của chúng bằng 23 Lời giải

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a , b và giả sử a > b

KÈ

Đặt ƯCLN ( a, b ) = d  a = md ; b = nd với m, n ∈ Z + ; ƯCLN ( m, n ) = 1, m > n  BCNN ( a, b ) = dmn Mà ƯCLN ( a, b ) + BCNN ( a, b ) = 23 nên d ( m.n + 1) = 23  d là ước của 23 hay d ∈{1;23}

Xét d = 1, ta có mn + 1 = 23 ⇔ mn = 22 với ¦CLN ( m, n ) = 1 nên ta có các trường hợp của m, n như sau:

DẠ

Trường hợp 1: m = 22, n = 1  a = 22, b = 1 Trường hợp 2: m = 11, n = 2  a = 11, b = 2 Xét d = 3, ta có mn + 1 = 1 ⇔ mn = 0 (không thỏa mãn) Trang 19

Vậy hai số cần tìm là ( a, b ) ∈{( 22;1) ; (11;2 )}

FI CI A

Bài 24: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 400. Lời giải Gọi các số phải tìm là a và b . Điều kiện: a , b ∈ ℕ .

Ta có ƯCLN ( a, b ) = 28  a = 28k ; b = 28q với k , q ∈ ℕ * và k , q nguyên tố cùng nhau Ta có a − b = 84  k − q = 3

Theo bài ra ta có 300 ≤ b < a ≤ 440  10 < q < k < 16. Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến

ƠN

15 là 11 và 14; 12 và 15

Vậy hai số cần tìm là 308 và 392.

Chi có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau  q = 11; k = 14  a = 28.11 = 308; b = 28.14 = 392

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG

QU Y

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0: a và b , sao cho: ( a, b ) = 1 và

Lời giải

(

)

a +b 7 = . 2 2 a +b 25

(Thi học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 1992 – 1993)

Gọi a + b, a 2 + b 2 = d  a + b⋮ d và a 2 + b 2 ⋮ d

 a 2 + 2ab + b 2 ⋮ d  2ab ⋮ d vì ( a, b ) = 1

KÈ

 ( ab, a + b ) = 1  ( 2ab, a + b ) = ( 2, a + b )  d là ước số của ( 2ab, a + b )  d là ước số của ( 2, a + b )

 d là ước số của 2  d = 1 hoặc d = 2 .

DẠ

a + b = 7 a = 4 a + b = 7 a = 3 Nếu d = 1   2 ⇔ ⇔ hoặc ⇔  2 b = 4 b = 3 a + b = 25 ab = 12

Trang 20

Tóm lại ( a, b ) ∈ {( 3;4 )( 4;3)}

Bài 2: Tìm tất cả các cặp số ( a, b ) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

a, b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a, b là 1.

ii)

Số N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) có đúng 16 ước số nguyên dương.

FI CI A

a + b = 14 Nếu d = 2   2 vô nghiệm. 2 a + b = 50

Lời giải Ta có: N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) chia hết cho các số:

ƠN

(Trích đề học sinh giỏi toán Đăk Lăk năm học 2017-2018)

1; a; b ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b; a ( ab + 1)( 2ab + 1) ; ( ab + 1) ; ( 2ab + 1) ; ( ab + 1)( 2ab + 1) ; ab;

ab ( ab + 1) ; ab ( 2ab + 1) ; N ; a ( ab + 1) ; a ( 2ab + 1) ; b ( ab + 1) ; b ( 2ab + 1)

Hay N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) có 16 ước dương Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì

QU Y

a; b; ab + 1;2ab + 1 là số nguyên tố. Do a, b > 1  ab + 1 > 2

Nếu a, b cùng lẻ thì ab + 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ  a = 2 .

Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab + 1 = 4b + 1 và ab + 1 = 2b + 1 chia hết cho 3 là hợp số (vô

lý)  b = 3 . Vậy a = 2; b = 3 .

KÈ

Bài 3: Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn

m +1 n +1 là số nguyên. + n m

Chứng minh ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn

m+n.

(Trích đề học sinh giỏi Hải Dương năm học 2004-2005)

DẠ

Lời giải

Gọi d là ƯCLN ( m, n ) suy ra m 2 , n 2 , mn cùng chia hết cho d 2 .

Trang 21

FI CI A

m + 1 n + 1 m2 + n2 + m + n Do + = là số nguyên nên m 2 + n 2 + m + n cũng chia hết cho d 2 . n m mn

Suy ra m + n chia hết cho d 2  m + n ≥ d 2  m + n ≥ d .

a là ước của b + c + bc ,

ii)

b là ước của a + c + ac ,

iii)

c là ước của a + b + ab ,

a) Hãy chỉ ra bộ ba số ( a, b, c ) thỏa mãn các điều kiện trên.

Bài 4: Cho ba số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau và đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

ƠN

b) Chứng minh rằng a, b, c không thể đồng thời là các số nguyên tố.

Lời giải

(Trích đề vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2007-2008)

a) Dễ thấy bộ số ( a, b, c ) = (1,3,7 ) thỏa mãn đề bài b) Đặt S = a + b + c + ab + bc + ca .

QU Y

Từ giả thiết suy ra S chia hết cho a, b, c .

Vì a, b, c đôi một khác nhau, do đó a, b, c đồng thời là các số nguyên tố thì S ⋮ abc hay S = k .abc ( k ∈ ℕ ) Không mất tính tổng quát, giả sử a < b < c .

Nếu a = 2 thì b, c đều lẻ  b + c + bc lẻ nên không chia hết cho 2 .

1 1 1 1 1 1 + + + + + <1 k ∉ℕ ab ac bc c b a

KÈ

0<k =

Do đó a ≥ 3 nên b ≥ 5, c ≥ 7 . Từ S = k .abc ( k ∈ ℕ ) suy ra

Vậy a, b, c không thể đồng thời là các số nguyên tố.

Bài 5: Tìm a , b biết:

DẠ

a) [ a, b] + ( a, b ) = 55 b) [ a, b] − ( a, b ) = 5

c) [ a, b] + ( a, b ) = 35

Lời giải Trang 22

ab = da ' b ' d

FI CI A

a) Gọi a = da '; b = db ' và ( a ', b ') = 1 . Ta có: [ a, b ] =

Theo đề bài, ta có: da ' b '+ d = 55 hay d ( a ' b '+ 1) = 55 . Như vậy a ' b '+ 1 là ước của 55, mặt khác a ' b '+ 1 ≥ 2 .

a ' b '+ 1

a 'b '

4 = 22

10 = 2.5

54 = 2.33

ƠN

Ta có lần lượt

a ' b '− 1

a 'b '

3 2

QU Y

b) Giải tương tự câu a) ta được: d ( a ' b '− 1) = 5 . Từ đó:

c) Có 6 cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70).

Bài 6: Tìm [ n, n + 1, n + 2]

Lời giải

KÈ

Đặt A = [ n, n + 1] và B = [ A, n + 2] . Áp dụng tính chất [ a, b, c ] = [ a, b ] , c  , ta có B = [ n, n + 1, n + 2] Dễ thấy ( n, n + 1) = 1 , suy ra [ n, n + 1] = n ( n + 1) do [ a, b ].( a, b ) = ab

Lại áp dụng tính chất [ a, b ] =

n ( n + 1)( n + 2 ) ab thế thì [ n, n + 1, n + 2] = ( a, b ) ( n ( n + 1) , n + 2 )

DẠ

Gọi d = ( n ( n + 1) , n + 2 ) . Do ( n + 1, n + 2 ) = 1 nên d = ( n, n + 2 ) = ( n, 2 )

Xét hai trường hợp: - Nếu n chẵn thì d = 2 , suy ra [ n, n + 1, n + 2] =

n ( n + 1)( n + 2 ) 2 Trang 23

Lời giải Gọi d là một ước chung của 3n + 4 và 5n + 1 ( d ∈ ℕ* )

Để 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung lớn hơn 1, ta phải có 3n + 4⋮17 Hay 3 ( n − 10 )⋮17 mà ƯCLN ( 3,17 ) = 1 nên ( n − 10 )⋮17

Vì n ∈ ℕ* , n < 30  −10 ≤ n − 10 < 20 nên k ∈ {0;1} .

ƠN

Do đó n − 10 = 17k ( k ∈ ℕ ) .

Ta có 3n + 4⋮ d và 5n + 1⋮ d nên 5 ( 3n + 4 ) − 3 ( 5n + 1)⋮ d ⇔ 17  d ∈ {1;17}

FI CI A

Bài 7: Tìm n ∈ ℕ* biết n < 30 để các số 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung lớn hơn 1.

Với k = 0  n = 10 , khi đó 3.10 + 4⋮17 và 5.10 + 1⋮17 (thỏa mãn)

Với k = 1  n = 27 , khi đó 3.27 + 4⋮17 và 5.27 + 1⋮17 (thỏa mãn) Vậy n ∈ {10;27} .

Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết a + 2b = 48 và ƯCLN ( a, b ) + 3.BCNN ( a, b ) = 114.

QU Y

Lời giải

a = d .a1 Gọi ƯCLN ( a, b ) = d   ; ( a1 , b1 ) = 1 b = d .b1

Mà : a + 2b = 48  d .a1 + 2d .b1 = 48  d ( a1 + 2b1 ) = 48  d ∈ U ( 48)

(1)

Ta lại có: ƯCLN ( a, b ) + 3.BCNN ( a, b ) = 114

KÈ

 d + 3.a1.b1.d = 114  d (1 + 3.a1.b1 ) = 114  d ∈ U (114 ) Từ (1) và (2) suy ra d ∈ UC ( 48,114 ) = {1; 2;3;6}

Mà: d (1 + 3.a1.b1 ) = 114 = 3.38  d ⋮ 3  d = 3 hoặc d = 6

DẠ

a1 + 2b1 = 16 a + 2b1 = 16  1 TH1: d = 3   (loại) 1 + 3a1.b1 = 38 3a1.b1 = 37  a1 + 2b1 = 8 a + 2b1 = 8  a1 = 2  a = 12 TH2: d = 6    1  1 + 3a1.b1 = 19 a1.b1 = 6 b1 = 3  b = 18 Trang 24

- Nếu n lẻ thì d = 1 , suy ra [ n, n + 1, n + 2] = n ( n + 1)( n + 2 )

(2)

)

Lời giải Ta có:

( = (2 = (2

n−1

)( + 1)( 2 + 1)( 2

n−1

) + 1)( 2 − 1) + 1) ... ( 2 + 1)( 2

2n−1

) (

2n−2

2n− 2

)

−1 ⋮d

)

(

)

Vậy 2 2 + 1, 2 2 + 1 = 1.

(

)

QU Y

Bài 10: Cho 1 ≤ m, n ∈ ℕ. Tìm 2m − 1, 2n − 1 Lời giải

Do đó 2 2 + 1 − 22 − 1 = 2⋮ d  d = 1 (vì d lẻ)

ƠN

(

2n−1

22 − 1 = 22 + 1 22 − 1

FI CI A

(

Bài 9: Cho m, n ∈ ℕ,1 ≤ m < n. Chứng minh rằng: 2 2 + 1, 2 2 + 1 = 1.

Vậy a = 12 và b = 18.

Đặt d = ( m, n ) . Khi đó tồn tại các số tự nhiên r , s sao cho rn − sm = d .

(

)

Đặt d1 = 2m − 1, 2n − 1  d1 lẻ.

Ta có:

KÈ

2n − 1⋮ 2d − 1 (vì n ⋮ d )

2m − 1⋮ 2d − 1 (vì m⋮ d )

Do đó d1 ⋮ 2 d − 1

DẠ

2n − 1⋮ d1  2rn − 1⋮ d1  2rn − 2 sm = 2 sm ( 2rn− sm − 1) = 2sm ( 2d − 1)⋮ d1 Mặt khác:  m sm 2 − 1⋮ d1  2 − 1⋮ d1

Mà ( 2, d1 ) = 1  2d − 1⋮ d1 Trang 25

)

m ,n)

FI CI A

(

Vậy 2m − 1, 2n − 1 = 2(

Từ đó suy ra d1 = 2d − 1.

− 1.

(

)

Bài 11: Cho a, m là các số nguyên lớn hơn 1 . Chứng minh rằng: 1 + a + a 2 + ... + a m −1 , a − 1 = ( m, a − 1) . Lời giải

(

)

Giả sử d | 1 + a + ... + a m −1 và d | ( a − 1) , suy ra:

d | ( a m−1 − 1) + ( a m− 2 − 1) + ... + ( a − 1) + m  d | m.

ƠN

Vậy d | m và d | ( a − 1) .

(

)

(

)

Vậy 1 + a + a 2 + ... + a m −1 , a − 1 = ( m, a − 1) .

Ngược lại, nếu d | a và d | ( a − 1) thì d m m −1 + ... + a + 1

QU Y

 a+b b+c c+a  Bài 12: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số lẻ thì  , ,  = ( a , b, c ) . 2 2   2

Lời giải

Giả sử d | a, b | d , c | d thì d lẻ.

( 2, d ) = 1) 

a+b ⋮d 2

b+c c+a ⋮ d và ⋮d 2 2

KÈ

Tương tự:

Ta có a + b⋮ d và a + b⋮ 2  a + b⋮ 2d ( do

a+b b+c c+a , , . 2 2 2

Vậy d là ước của

DẠ

Ngược lại, giả sử d là ước của

a+b b+c c+a a+b c+a b+c , , thì d là ước của + − = a. 2 2 2 2 2 2

Tương tự d | b và d | c.

Trang 26

Bài 13: Tìm tất cả các cặp số ( a; b ) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a; b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a; b là 1 . ii) Số N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) có đúng 16 ước số nguyên dương.

Lời giải

FI CI A

 a+b b+c c+a  Vậy:  , ,  = ( a , b, c ) . 2 2   2

Ta có: N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) chia hết cho các số :

ƠN

1; a; b ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b; a ( ab + 1)( 2ab + 1) ; ab + 1; ab ( 2ab + 1) ; 2ab + 1; N ; ab;

( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ( ab + 1) ; a ( 2ab + 1) ; a ( ab + 1) ; b ( 2ab + 1)

có 16 ước dương. Nên để N chỉ có đúng 16

ước dương thì a; b; ab + 1; 2 ab + 1 là số nguyên tố. Do a , b > 1  ab + 1 > 2

Nếu a; b cùng lẻ thì ab + 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ thì suy ra a = 2.

Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab + 1 = 4b + 1 và ab + 1 = 2b + 1 chia hết cho 3 là hợp số (vô

QU Y

lý), suy ra b = 3. Vậy a = 2, b = 3.

Bài 14: Tổng các số tự nhiên a1 , a2 ,..., a49 bằng 999. Hỏi ước số chung lớn nhất của chúng có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?

Lời giải

KÈ

Giả sử d = ( a1 , a2 ,..., a49 ) ,khi đó a1 + a2 + ... + a49 = 999⋮ d , suy ra d là ước của 999 = 33.37. Vì d | ak ( k = 1, 2,..., 49 ) nên ak ≥ d , ∀k  999 = a1 + a2 + ... + a49 ≥ 49d  d ≤

99 < 21. Vậy d chỉ có thể 29

nhận các giá trị 1, 3, 9.

DẠ

Giá trị d lớn nhất bằng 9 khi a1 = a2 = ... = a48 = 9; a49 = 567 (vì 9.48 + 567 = 999 )

Bài 15: Cho ( a, b ) = 1. Tìm (11a + 2b,18a + 5b ) Lời giải

Trang 27

FI CI A

Giả sử d = (11a + 2b,18a + 5b ) , khi đó d |18a + 5b và d |11a + 2b, suy ra

d |11(18a + 5b ) − 18 (11a + 2b ) = 19b  d |19 hoặc d | b.

Nếu d | b thì từ d | 5 (11a + 2b ) − 3 (18a + 5b ) = a − 5b  d | a  d | ( a, b ) = 1  d = 1.

Nếu d |19 thì d = 1 hoặc d = 19.

Vậy (11a + 2b,18a + 5b ) bằng 1 hoặc bằng 19.

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

 HẾT 

Trang 28

L FI CI A

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Ước và Bội của một số nguyên

Với a, b ∈ Z và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội

ƠN

của b và b là ước của a. 2. Nhận xét - Nếu a = bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b = q .

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên. 3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

4. Ước chung lớn nhất

QU Y

Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c).

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 5. Các tính chất

- ¦CLN(a,1) = 1; BCNN ( a,1) = a

KÈ

- Nếu a⋮ b  ¦CLN(a, b) = b; BCNN ( a, b ) = a - Nếu a, b nguyên tố cùng nhau  (a, b) = 1; [ a, b ] = a.b

DẠ

- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a = dm - Nếu ¦CLN(a, b) = d ;   ¦CLN(m, n) = 1; b = dn

Trang 1

FI CI A

10 = 2.5 Ví dụ ¦CLN(10,15) = 5;   ¦CLN(2,3) = 1 15 = 3.5 c = am  ¦CLN(m, n) = 1; - Nếu BCNN ( a, b ) = c;  c = bn

30 = 10.3 Ví dụ BCNN (10,15) = 30;   ¦CLN(2,3) = 1 30 = 15.2 - ab = ¦CLN(a,b).BCNN ( a,b )

ƠN

PHẦN II. BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số:

Bài toán: Tìm ¦CLN ( a1 , a2 ,..., an )

I. Phương pháp giải

QU Y

Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦CLN ( a1 , a2 ,..., an ) = d

 a1 ⋮ d a ⋮ d   2 d =? ...  an ⋮ d II.Bài toán

KÈ

Bài 1: Cho n ∈ N * . Chứng minh rằng a) ¦CLN ( n + 3,2 n + 5) = 1

DẠ

b) ¦CLN ( 3n + 3, 4n + 9 ) = 1 Lời giải:

a) Gọi ¦CLN(n + 3, 2 n + 5) = d (d ∈ N * ) Trang 2

FI CI A

n + 3⋮ d 2 n + 6 ⋮ d   2 n + 5⋮ d 2 n + 5⋮ d  ( 2n + 6 ) − ( 2n + 5 )  ⋮ d

 ( 2n + 6 − 2n − 5 )⋮ d

1⋮d  d = 1 Vậy ( n + 3; 2n + 5) = 1 .

ƠN

4(3n + 7)⋮ 7 12 n + 28⋮ d  b) Gọi ¦CLN(3n + 3, 4 n + 9) = d (d ∈ N * )   3(4 n + 9)⋮ d 12 n + 27⋮ d

 (12n + 28 ) − (12n + 27 )  ⋮ d

 (12n + 28 − 12n − 27 )⋮ d

QU Y

1⋮d  d = 1 Vậy ¦CLN ( 3n + 3, 4n + 9 ) = 1 .

Bài 2: Cho a, b là số tự nhiên lẻ, b ∈ N . Chứng minh rằng ¦CLN(a, ab + 128) = 1 .

Lời giải:

KÈ

a ⋮ d Đặt d = ¦CLN(a, ab + 128)   và d lẻ  128⋮ d và d lẻ ab + 128⋮ d  27 ⋮ d và d lẻ  2⋮ d và d lẻ  d = 1 .

DẠ

Vậy ( a, ab + 128) = 1 Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 17 n 2 + 1⋮ 6(n ∈ N * ) thì ¦CLN(n,2) = 1;¦CLN(m,3) = 1 . Lời giải:

Trang 3

FI CI A

+) Theo đầu bài ta có: 17 n 2 + 1⋮ 6  17 n 2 + 1⋮ 2  17 n 2 + 1 chẵn  n lẻ  n ⋮/ 2  (n, 2) = 1 +) Vì 17 n 2 + 1⋮ 6  17 n 2 + 1⋮ 3  n ⋮/ 3  (n,3) = 1 (nếu n ⋮ 3  17n 2 ⋮ 3  17n 2 + 1⋮ 3  lo¹i  n ⋮/ 3 ).

Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b . Chứng tỏ rằng 11a + 2b và 18a + 5b hoặc là số nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19. Lời giải

ƠN

Gọi d = (11a + 2b,18a + 5b)

 5(11a + 2b) − 2(18a + 5b)⋮ d

 19a ⋮ d  d ⋮19 Đặt 19a = dk (k ∈ N * )  d .k ⋮19    đpcm  k ⋮19

QU Y

- Nếu k ⋮19  k = 19q  19a = dk = d .19.q  a = dq  a ⋮ d 2 b ⋮ d   b ⋮ d  d ∈ ¦C(a, b) = 1  d = 1 . 5b ⋮ d Bài

Chứng

minh

rằng:

¦CLN(a, b) = 1

và

khác

tính

KÈ

Lời giải:

¦CLN(a m + b n , a m − b n ) = 1 ∀m, n ∈ N * và a m − b n > 0 .

m n m  a + b ⋮ d 2 a ⋮ d a) d = ¦CLN(a + b , a − b )   m ⇔ n . n  a − b ⋮ d 2 b ⋮ d n

DẠ

 a m ⋮ d Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ   n b ⋮ d

Giả sử d > 1  d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p Trang 4

chẵn

lẻ

thì

Vậy d ≤ 1  d = 1  đpcm. Bài 6: Tìm ƯCLN của 2n + 1 và 3n + 1 với n ∈ N .

 ( 6n + 4 ) − ( 6n + 3)⋮ d  1⋮ d

ƠN

Gọi d = ¦CLN ( 2n + 1,2 n + 3)  d ∈ N * 3 ( 2n + 1)⋮ d  2n + 1⋮ d 6n + 3⋮ d   Khi đó ta có :  3n + 2⋮ d 6 n + 4 ⋮ d  2 ( 3n + 2 )⋮ d

 d ∈¦ (1) = {1; −1}

QU Y

Do đó ¦C ( 2n + 1,3n + 1) là ước của d, hay là ước của 1 Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp Vậy ¦C ( 2n + 1,3n + 1) =¦ (1) = {−1;1} .

Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n + 24 và 3n + 4 . Lời giải:

Lời giải:

FI CI A

m  a ⋮ p  a ⋮ p  p ∈ ¦C( a, b); ma : (a, b) = 1  1⋮ p  p = 1  vô lý  n  b⋮ p  b ⋮ p

KÈ

Gọi ¦CLN ( 9n + 24,3n + 4 ) = d  d ∈ N *

9n + 24⋮ d 9n + 24⋮ d Khi đó ta có:   3n + 4⋮ d 9n + 12⋮ d

DẠ

 ( 9n + 24 ) − ( 9n + 12 ) = d  12⋮ d  d ∈ ¦ (12 ) = {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12}

Trang 5

FI CI A

Do đó d ∈ {1; 2; 4} - Để d = 2 thì n phải chẵn

- Để d = 1 thì n là số lẻ

n = 4k ( k ∈ N ) thì ¦CLN ( 9n + 24,3n + 4 ) = 4

n = 2k + 1( k ∈ N ) thì ¦CLN ( 9n + 24,3n + 4 ) = 1 .

ƠN

Vậy n = 4k + 2 ( k ∈ N ) thì ¦CLN ( 9n + 24,3n + 4 ) = 2

- Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4

Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n + 5 và 14n + 3 Lời giải:

Do ( 3n + 4 )⋮ d , mà 3n + 4 không chia hết cho 3, nên d ∈ {3;6;13} (loại)

QU Y

a) Gọi ¦CLN ( 21n + 5,14n + 3)  d ∈ N *

3 (14n + 3)⋮ d 14n + 3⋮ d  42n + 9⋮ d Khi đó ta có:     21n + 4⋮ d  42n + 8⋮ d  2 ( 21n + 4 )⋮ d

 ( 42n + 9 ) − ( 42n + 8)⋮ d  1⋮ d  d = 1

KÈ

Vậy ¦CLN ( 21n,14 n + 3) = 1

Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 18n + 2 và 30n + 3

Lời giải:

DẠ

Gọi ¦CLN (18n + 2,30n + 3)  d ∈ N *

5 (18n + 2 )⋮ d 18n + 2⋮ d 90n + 10⋮ d Khi đó ta có:    30n + 3⋮ d 90n + 9⋮ d 3 ( 30n + 3)⋮ d Trang 6

FI CI A

 ( 90n + 10 ) − ( 90n + 9 )⋮ d  1⋮ d  d = 1 Vậy ¦CLN (18n + 2,30n + 3) = 1 Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 24n + 7 và 18n + 5

Gọi ¦CLN ( 24n + 7,18n + 5)  d ∈ N *

ƠN

 24n + 7 ⋮ d 72n + 21⋮ d 3 ( 24n + 7 )⋮ d Khi đó ta có:    18n + 5⋮ d 72n + 20⋮ d  4 (18n + 5 )⋮ d

 ( 72n + 21) − ( 72n + 20 )⋮ d  1⋮ d  d = 1 Vậy ¦CLN ( 24n + 7,18n + 5) = 1 .

Lời giải:

Bài 11: Biết ¦CLN ( a, b ) = 95 . Tìm ¦CLN ( a + b, a − b ) .

QU Y

Lời giải:

Gọi ( a + b, a − b ) = d  d ∈ N *

a + b⋮ d  2 b ⋮ d  d ∈ ¦ ( 2 ) hoặc d ∈¦ ( b )  a − b⋮ d

KÈ

a + b⋮ d và   2a ⋮ d  hoặc d ∈¦ ( 2 ) hoặc d ∈¦ ( a ) a − b⋮ d

mà ( a, b ) = 95, nên d = 95 hoặc d = 2

DẠ

Vậy ( a + b, a − b ) = 2 hoặc d = 95 . Bài 12: Cho m, n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n , B là tập hợp các ước số chung của 11m + 5n và 9m + 4n . Chứng minh rằng A = B Lời giải: Trang 7

FI CI A

Gọi d = ¦CLN (11m + 5n,9m + 4n )  d ∈ N * 9 (11m + 5n )⋮ d 11m + 5n ⋮ d 99m + 45n ⋮ d Khi đó ta có:    9 m + 4 n ⋮ d 99m + 44n ⋮ d 11( 9m + 4n )⋮ d

(1)

 4 (11m + 5n )⋮ d 11m + 5n ⋮ d  44m + 20n ⋮ d Tương tự ta có:    9 m + 4 n ⋮ d  45m + 20n ⋮ d 5 ( 9m + 4n )⋮ d

(2)

ƠN

 ( 45m + 20n ) − ( 44m + 20n )  m⋮ d

Từ (1) và (2) ta có : d ∈ ¦C(m, n)  d ∈ ¦( A) và B ∈ ¦ ( d ) = ¦ ( A ) . Vậy A = B

 ( 99m + 45n ) − ( 99m + 44n )⋮ d  n⋮ d

Bài 13: Tìm ƯC của 2 n + 1 và 3n + 1 với n ∈ N

QU Y

Lời giải:

Gọi d = ¦CLN ( 2n + 1,3n + 1)  d ∈ N * Khi đó ta có :

KÈ

3 ( 2n + 1)⋮ d  2n + 1⋮ d 6n + 3⋮ d    3n + 2⋮ d 6 n + 4 ⋮ d  2 ( 3n + 2 )⋮ d

 ( 6n + 4 ) − ( 6n + 3)⋮ d  1⋮ d  d ∈ ¦ (1) = {1; −1}

Do đó ¦C ( 2n + 1,3n + 1) là ước của d , hay là ước của 1

DẠ

Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp

Vậy ¦C ( 2n + 1,3n + 1) = ¦ (1) = (1, −1)

Bài 14: Cho hai số 3n + 1 và 5n + 4 là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm ¦CLN ( 3n + 1,5n + 4 ) Trang 8

Lời giải:

FI CI A

Gọi ¦CLN ( 3n + 1,5n + 4 ) = d Khi đó

5 ( 3n + 1)⋮ d 3n + 1⋮ d   5n + 4 ⋮ d 3 ( 5n + 4 )⋮ d

 3 ( 5n + 4 ) − 5 ( 3n + 1)⋮ d  7⋮ d  d ∈ {1;7}

ƠN

Mà d ≠ 1 nên d = 7 Bài 15: Tìm ¦CLN ( 2n − 1,9n + 4 ) với n ∈ N

Lời giải: Gọi d = ¦CLN ( 2n − 1,9n + 4 ) ,  d ∈ N *

QU Y

Khi đó ta có :

 2n − 1⋮ d 18n − 9⋮ d 9 ( 2n − 1)⋮ d    9 n + 4 ⋮ d 18n + 8⋮ d  2 ( 9n + 4 )⋮ d

 (18n + 8 ) − (18n − 9 )⋮ d  17⋮ d

KÈ

 d ∈ ¦ (17 ) = {±1; ±17}

Mà là các số dương nên ta có : d = 1 hoặc d = 17

Vậy ¦CLN ( 2n − 1, 9n + 4 ) = 1 hoặc 17

DẠ

Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau I. Phương pháp giải

Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦CLN ( a, b ) = 1 Trang 9

FI CI A

Phương pháp giải: Giả sử d = ¦CLN ( a, b ) Cách 1: Chỉ ra d = 1 Cách 2:

+) Giả sử d ≠ 1( d ≥ 2) (phương pháp phản chứng)

+) Gọi p là ước nguyên tố của d +) Chỉ ra rằng p = 1 (vô lý)

ƠN

+) Kết luận d = 1 II. Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng hai số n + 1 và 3n + 4 ( n ∈ N ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:

QU Y

Gọi d = ¦CLN ( n + 1,3n + 4 )  d ∈ N * , nên ta có:

 n + 1⋮ d 3n + 3⋮ d   ( 3n + 4 ) − ( 3n + 3)⋮ d  1⋮ d  3 n + 4 ⋮ d 3 n + 4 ⋮ d  

Vậy hai số n + 1 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với ( n ∈ N ) .

Lời giải:

KÈ

Bài 2: Chứng minh rằng 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gọi d = ¦CLN ( 2n + 1,2 n + 3)  d ∈ N *

DẠ

2 n + 1⋮ d Khi đó ta có:   ( 2 n + 3) − ( 2 n + 1)⋮ d  2 ⋮ d  d ∈¦ ( 2 ) = {1;2} 2 n + 3⋮ d

Mà ta lại có ( 2n + 1)⋮ d mà 2n + 1 là số lẻ nên d = 2 (loại), do đó d = 1

Trang 10

FI CI A

Bài 3: Chứng minh rằng 14n + 3 và 21n + 4 ( n ∈ N ) là hai số nguyên tố cùng nhau

Vậy hai số 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải: Gọi d = ¦CLN ( 2n + 1,2 n + 3)  d ∈ N *

Khi đó ta có:

ƠN

3 (14n + 3)⋮ d 14n + 3⋮ d  42n + 9⋮ d     21n + 4⋮ d  42n + 8⋮ d  2 ( 21n + 4 )⋮ d

 ( 42n + 9 ) − ( 42n + 8 )⋮ d  1⋮ d

Vậy hai số 14n + 3 và 21n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

QU Y

Bài 4: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng m và mn + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Giả sử m và ( mn + 4 ) cùng chia hết cho số tự nhiên d , khi đó ta có:

m ⋮ d  m.n ⋮ d    m.n + 4⋮ d  m.n + 4⋮ d

Vậy d = 1

KÈ

 4⋮d  d ∈ {2; 4;1} , do m⋮ d và m lẻ  d = 2 hoặc d = 4 (loại)

Khi đó m và mn + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

DẠ

Bài 5: Cho ¦CLN ( a, b ) = 1 . Chứng tỏ rằng 8a + 3 và 5b + 1 là nguyên tố cùng nhau. Lời giải:

Gọi ¦CLN ( 8a + 3,5b + 1) = d  d ∈ N * Trang 11

FI CI A

8a + 3b⋮ d 5(8a + 3b)⋮ d 40a + 15b⋮ d     8(5a + b)⋮ d 40a + 8b⋮ d  5a + b⋮ d

 ( 40a + 15b ) − ( 40a + 7b )  7b⋮ d

8a + 3b ⋮ d 8a + 3b ⋮ d và   3 ( 5a + b )⋮ d 15a + 3b ⋮ d

 (15a + 3b ) − ( 8a + 3b )⋮ d  7a ⋮ d

ƠN

Vì ¦CLN ( a, b ) = 1 nên d = 1 hoặc d = 7 .

Bài 6: Chứng minh rằng 2n + 1 và 6n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải: Gọi d = ¦CLN ( 2n + 1,6n + 5) ,  d ∈ N *

QU Y

Khi đó ta có :

3 ( 2n + 1)⋮ d  2n + 1⋮ d 6n + 3⋮ d    6n + 5⋮ d  6 n + 5⋮ d  6 n + 5⋮ d

 ( 6n + 5) − ( 6n + 3)⋮ d  2⋮ d  d ∈ ¦(2)= {1;2}

Do 2n + 1⋮ d , mà 2 n + 1 lại là số lẻ nên d = 2 loại, do đó d = 1

KÈ

Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N thì các số 7 n + 10 và 5n + 7 ngyên tố cùng nhau

Lời giải:

DẠ

Gọi d = ¦CLN ( 7n + 10,5n + 7 ) ,  d ∈ N * Khi dó ta có :

 ( 35n + 50 ) − ( 35n + 49 )⋮ d  1⋮ d

Trang 12

FI CI A

Vậy hai số 7 n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

Do đó d = 1

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N thì các số 2 n + 3 và 4 n + 8 ngyên tố cùng nhau Lời giải:

 2 ( 2n + 3)⋮ d  2n + 3⋮ d  4n + 6 ⋮ d Gọi d = ¦CLN ( 2n + 3, 4n + 8 ) ,  d ∈ N* Khi đó ta có:     4n + 8⋮ d  4n + 8⋮ d  4 n + 8⋮ d

ƠN

 ( 4n + 8 ) − ( 4n + 6 )⋮ d  2⋮ d  d ∈ {1; 2} Vì 2n + 3⋮ d , mà 2 n + 3 là số lẻ nên d = 2 (loại)

Khi đó d = 1

Vậy hai số 2 n + 3 và 4 n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 9: Cho ¦CLN ( a, b ) = 1 . Chứng minh rằng ¦CLN ( a, a + b ) = 1

QU Y

Lời giải:

Ta có đặt d = ¦CLN ( a + b, a ) ,  d ∈ N *

a + b⋮ d  a + b − a ⋮ d  b ⋮ d mà a ⋮ d nên d ∈ ¦C ( a, b ) hay d ∈¦ (1)  d = 1   a⋮ d

KÈ

Bài 10: CMR: ¦CLN (12n + 1,30n + 1) = 1 với mọi số tự nhiên n Lời giải:

Gọi ¦CLN (12n + 1,30n + 1) = d , suy ra d ∈ N * khi đó ta có :

DẠ

5 (12n + 1)⋮ d 12n + 1⋮ d 60n + 5⋮ d    30n + 1⋮ d 60n + 2⋮ d  2 ( 30n + 1)⋮ d

 ( 60n + 5 )( 60n + 2 )⋮ d  3⋮ d  d ∈ {1;3} Trang 13

FI CI A

Vậy d = 1 , khi đó ¦CLN (12n + 1,30n + 1) = 1

Vì 12 n + 1 là một số không chia hết cho 3 nên d = 3 loại

Bài 11: Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau : a) a 2 và a + b

b) ab và a + b

a) Giả sử a 2 và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d

Lời giải:

ƠN

Khi đó a⋮ d , do đó b ⋮ d  a, b cùng chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết

¦CLN ( a;b ) =1

Vậy a 2 và a + b là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d

QU Y

Khi a ⋮ d  b ⋮ d , hoặc b ⋮ d  a ⋮ d

a và b cùng chia hết cho d , trái với ( a, b ) = 1

Vậy ab và a + b nguyên tố cùng nhau

Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau

Lời giải:

KÈ

Bài 1: Tìm n ∈ N để: 7n + 10 và 5n + 7 là hai số sau ngyên tố cùng nhau.

Gọi d = ( 7n + 10;5n + 7 )  d ∈ N *

DẠ

Khi dó ta có:

5 ( 7 n + 10 )⋮ d 7 n + 10⋮ d 35n + 50⋮ d    5 n + 7 ⋮ d 35n + 49⋮ d 7 ( 5n + 7 )⋮ d Trang 14

Do đó d = 1 Vậy với mọi n ∈ N hai số 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2: Tìm n ∈ N để: ( 2n + 3) và ( 4n + 8 ) là hai số sau ngyên tố cùng nhau

Lời giải : Gọi d = ( 2n + 3; 4n + 8 )  d ∈ N *

ƠN

Khi đó ta có:

 2 ( 2n + 3)⋮ d  2n + 3⋮ d  4n + 6 ⋮ d     4n + 8⋮ d  4n + 8⋮ d  4 n + 8⋮ d

 ( 4n + 8 ) − ( 4n + 6 )⋮ d  2⋮ d  d ∈ {1; 2}

FI CI A

 ( 35n + 50 ) − ( 35n + 49 )⋮ d  1⋮ d

QU Y

Vì ( 2n + 3)⋮ d , mà ( 2n + 3) là một số lẻ nên d = 2 (loại) Khi đó d = 1.

Vậy với mọi n ∈ N hai số ( 2n + 3) và ( 4n + 8 ) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 3: Tìm n ∈ N để: 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

KÈ

Lời giải:

Gọi UCLN (18n + 3, 21n + 7 ) = d  d ∈ N *

DẠ

7 (18n + 3)⋮ d 18n + 3⋮ d Khi đó ta có:    21n + 7 ⋮ d 6 ( 21n + 7 )⋮ d

 (126n + 42 ) − (126n + 21)⋮ d  21⋮ d  d ∈ ¦ ( 21) = {±1; ±3; ±7; ±21} Trang 15

FI CI A

Để hai số 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay

Do ( 21n + 7 )⋮ 7 , mà 21n + 7 không chia hết cho 3 nên d = 1 hoặc d = 7

18n + 3 ⋮/ 7  18n + 3 − 21⋮/ 7  18n − 18 ⋮/ 7  18 ( n − 1) ⋮/ 7  n − 1⋮/ 7  n − 1 ≠ 7k  n ≠ 7k + 1 Vậy n ≠ 7k + 1 với k là số tự nhiên thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố.

Bài 3: Tìm ¦CLN(7n + 3,8n − 1) với (n ∈ N * ) . Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau. Lời giải:

Khi đó ta có:

8 ( 7 n + 3)⋮ d 7 n + 3⋮ d 56n + 24⋮ d    8n − 1⋮ d 56n − 7 ⋮ d 7 ( 8n − 1)⋮ d

ƠN

Gọi d = ¦CLN ( 7n + 3,8n − 1) ,  d ∈ N *

 56n + 24 − 56n + 7 ⋮ d  31⋮ d  d = 1 hoặc d = 31 .

QU Y

Để d = 1 thì d ≠ 31 hay 7n + 3 ⋮ 31  7n + 3 − 31⋮ 31  7n − 28 ⋮ 31  7 ( n − 4 ) ⋮ 31  n − 4 ⋮ 31

Hay n − 4 ≠ 31k  n ≠ 31k + 4 ( k là số tự nhiên)

Vậy để 7 n + 3 và 8n − 1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì n ≠ 31k + 4 ( k là số tự nhiên)

Lời giải:

KÈ

Bài 4: Tìm n để 9n + 24 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau ( n ∈ N ).

DẠ

Gọi d = ¦CLN ( 9n + 24,3n + 4 ) 9n + 24 ⋮ d 9n + 24 ⋮ d   3n + 4 ⋮ d 3(3n + 4)⋮ d

Trang 16

FI CI A

 ( 9n + 24 ) − ( 9n + 12 )⋮ d  12⋮ d  d ∈ {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12}

Nếu d ∈ {±2; ±4; ±6; ±12}  9n + 24 chẵn và, 3n + 4 chẵn  d ∈ {±2; ±4; ±6; ±12} loại Nếu d = ±3  3n + 4⋮ 3 Vô lý  d=3(loại)

Nếu d = 1  9n + 24,3n + 4 là số lẻ  9n + 24 lẻ  n lẻ và 3n + 4 lẻ  n lẻ Vậy n lẻ

ƠN

Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4 n + 3 và 2 n + 3 nguyên tố cùng nhau.

Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,  d ∈ N*

QU Y

4n + 3⋮ d  4n + 3⋮ d    4n + 6⋮ d 2n + 3⋮ d

Lời giải:

 ( 4n + 6 ) − ( 4n + 3)⋮ d  3⋮ d  d ∈ {1;3} Để 4 n + 3 và 2 n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 3 hay

2n + 3 ⋮/ 3  2n ⋮/ 3  n ⋮/ 3  n ≠ 3k (k ∈ ℕ)

KÈ

Vậy n ≠ 3k ( k ∈ ℕ ) thì 4 n + 3 và 2 n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 6: Tìm số tự nhiên n để 7 n + 13 và 2 n + 4 nguyên tố cùng nhau. Lời giải:

DẠ

b, Gọi ¦CLN ( 7n + 13, 2n + 4 ) = d ,  d ∈ N *

7n + 13⋮ d 14n + 26⋮ d   14n + 28⋮ d  2n + 4⋮ d

Trang 17

FI CI A

 (14n + 28 ) − (14n + 26 )⋮ d  2⋮ d  d ∈ {1; 2} Để 7 n + 13 và 2 n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 2 hay 7 n + 13 ⋮/ 2  7 n ⋮ 2  n ⋮ 2  n chẵn Vậy n chẵn thì 7 n + 13 và 2 n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 7: Tìm số tự nhiên n để các số 18n + 3 và 21n + 7 nguyên tố cùng nhau . Lời giải:

ƠN

Gọi d = ¦CLN (18n + 3,21n + 7 )

18n + 3⋮ d 126 n + 21⋮ d 7(18n + 3)⋮ d    21n + 7⋮ d 6 ( 21n + 7 )⋮ d 126 n + 42 ⋮ d

 (126n + 42 ) − (126n + 21)⋮ d  21⋮ d  d ∈¦ ( 21) = {1;3;7;21}

QU Y

Nếu d = 3  21n + 7 ⋮ 3 (Vô lý)

Nếu d ∈ {1;7} , để 2 số trên là nguyên tố thì d ≠ 7  18n + 3 ⋮/ 7  18n + 3 − 21 ⋮/ 7  n − 1 ⋮/ 7  n ≠ 7 k + 1 Vậy với n ≠ 7k + 1( k ∈ N ) thì hai số trên nguyên tố cùng nhau

KÈ

Lời giải:

Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên n để n + 15 và n + 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d ∈ ¦C ( n + 15, n + 72 )  57⋮ d , do n + 15⋮ d ,57⋮ d ,

Nên tồn tại n sao cho n + 15 = 57k + 1 thì d = 1 , với k = 1;2;3;…

DẠ

Vậy có vô số n

 HẾT Trang 18

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Kiến thức cần nhớ 1. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

FI CI A

CHỦ ĐỀ 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯCLN, BCNN

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4- ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiếu số là số lớn nhất trong các ước chung của các số đó.

3. Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiếu số lớn hơn 1 , ta thực hiện ba bước sau: - Phân tích mổi số ra thừa số nguyên tố. - Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

ƠN

- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm. 4. Để tìm ước chung của nhiều số, ta có thể tìm ƯCLN của các số đó rồi tìm ước của ƯCLN đó. 5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

6. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của các số đó. 7. Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 , ta thực hiện ba bước sau:

QU Y

- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. - Chọn ra các thừa sổ nguyên tố chung và riêng.

- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

2. Các tính chất

8. Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể tìm BCNN của các số đó rồi nhân BCNN đó lần lượt với 0,1, 2, 3,…

KÈ

1. Khi cần kí hiệu gọn, ta có thể viết ƯCLN ( a, b ) là ( a, b ) , viết BCNN ( a , b ) là [ a, b] 2. Nếu ab⋮ c và (b, c ) = 1 thì a ⋮ c .

3. Nếu a ⋮ m và a ⋮ n thì a ⋮ BCNN (m, n) . Đặc biệt, nếu a ⋮ m, a ⋮ n và ( m, n) = 1 thì a ⋮ mn

DẠ

4. Nếu ƯCLN ( a , b ) = d thì a = dm, b = dn với ( m, n) = 1 . 5. Nếu BCNN ( a , b ) = c thì c = am, c = bn với ( m, n) = 1 . 6. ƯCLN ( a , b) ⋅ BCNN ( a , b ) = a.b . 7. Người ta chứng minh được rằng: Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Cho hai số tự nhiên a và b trong dó a > b .

FI CI A

+ Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN ( a , b ) = b .

+ Nếu a không chia hết cho b thì ƯCLN ( a , b ) bằng ƯCLN của b và số dư trong phép chia a cho b . Từ đó, ta có thuật toán Euclide tìm ƯCLN của hai số mà không cần phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố như sau: - Chia số lớn cho số nhỏ.

- Nếu phép chia này còn dư, lại lấy số chia mới chia cho số dư mới.

- Nếu phép chia còn dư, lấy số chia đem chia cho số dư.

- Cứ tiếp tục làm như vậy cho đến khi được số dư bằng 0 thì số chia cuối cùng là ƯCLN phải tìm.

ƠN

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Phương pháp phân tích ra các thừa số nguyên tố I. Phương pháp giải

Muốn tìm ƯCLN, BCNN của hai hay nhiều số ta làm như sau

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố với số mũ tương ứng Bước 2: Tìm các thừa số chung và riêng

QU Y

Bước 3: ƯCLN là tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất BCNN là tích của các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất II. Bài toán

Bài 1: Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho khi chia 364, 414, 539 cho n , ta được ba số dư bằng nhau.

Lời giải:

364, 414, 539 chia cho n có cùng số dư nên các hiệu của hai số trong ba số ấy chia hết cho n .

KÈ

Ta có:

539 − 414⋮ n , tức là 125⋮ n , 539 − 364⋮ n , tức là 175⋮ n ,

414 − 364⋮ n , tức là 50⋮ n .

DẠ

Để n lớn nhất thì n là ƯCLN (125, 175, 50) .

Phân tích ra thừa số nguyên tố: 125 = 53

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

175 = 5 2.7

FI CI A

50 = 5 2.2

ƯCLN (125, 175, 50) = 52 = 25 Vậy n = 25

Bài 2: Tìm số tự nhiên n nhỏ hơn 30 để các số 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung khác 1 .

Gọi d là một ước chung của 3n + 4 và 5n + 1 . Ta có 3n + 4⋮ d và 5n + 1⋮ d nên 5(3n + 4) − 3(5n + 1)⋮ d , tức là 17⋮ d

ƠN

Suy ra d ∈ {1;17} .

Lời giải:

Để 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung khác 1 , ta phải có 3n + 4⋮17 tức là 3n + 4 − 34⋮17 hay 3(n − 10)⋮17

Do n < 30 nên n = 10 hoặc n = 27 . Thử lại n = 10 , n = 27 thỏa mãn. Vậy n = 10 ,

Ta lại có (3,17) = 1 nên n −10⋮17 .

QU Y

Bài 3: Tổng của năm số tự nhiên bằng 156 . Ước chung lớn nhất của chúng có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? Lời giải:

Gọi năm số tự nhiên đã cho là a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , ước chung lớn nhất của chúng là d .

Ta có: a1 = dk1 , a2 = dk 2 , a3 = dk3 , a4 = dk4 , a5 = dk5

KÈ

nên a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = d ( k1 + k2 + k3 + k4 + k5 ) do đó 156 = d ( k1 + k2 + k3 + k4 + k5 ) Suy ra d là ước của 156 .

Ta lại có k1 + k 2 + k3 + k4 + k5 ≥ 5 nên 5 d ≤ 156 , suy ra d ≤ 31 .

DẠ

Phân tích ra thừa số nguyên tố: 156 = 2 2.3.13 . Ước lớn nhất của 156 không vượt quá 31 là 26 .

Trang 3

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Giá trị lớn nhất của d là 26 , xảy ra khi chẳng hạn a1 = a2 = a3 = a4 = 26 và a5 = 52 hoặc các hoán vị của

chúng.

Lời giải: Gọi thời gian ít nhất để sau đó, cả ba đèn lại cùng phát sáng là a (phút).

Ta có a là BCNN (4, 6, 7) .

FI CI A

Bài 4: Có ba đèn tín hiệu, chúng phát sáng cùng một lúc vào 8 giờ sáng. Đèn thứ nhất cứ 4 phút phát sáng một lần, đèn thứ hai cứ 6 phút phát sáng một lấn, đèn thứ ba cứ 7 phút phát sáng một lần. Thời gian đầu tiên để cả ba đèn cùng phát sáng sau 12 giờ trưa là lúc mấy giờ?

Phân tích ra thừa số nguyên tố: 4. = 2 2 , 6 = 2.3, 7 = 7 nên BCNN (4, 6, 7) = 2 2 ⋅ 3.7 = 84

ƠN

Sau 84 phút, cả ba đèn cùng phát sáng. Chúng cùng phát sáng vào lúc 9 giờ 24 phút, 10 giờ 48 phút, 12 giờ 12 phút. . . Thời gian đầu tiên sau 12 giờ trưa để cả ba đèn cùng phát sáng là lúc 12 giờ 12 phút.

Lời giải: Điều kiện để

Bài 5: Điền các chữ số thích hợp vào dấu * để số A = 679*** chia hết cho tất cả các số 5, 6, 7, 9

A chia hết cho tất cả các số 5, 6, 7, 9 là A chia hết cho BCNN (5, 6, 7, 9)

QU Y

BCNN (5, 6, 7,9) = 2.32 ⋅ 5.7 = 630

Ta thấy 679999 chia 630 được 1079 , dư 229 nên 679999 − 229 = 679770 chia hết cho 630 , 679770 − 630 = 679140 chia hết cho 630 . Đáp số: 679770 và 679140 .

Bài 6: Tìm các số tự nhiên a và b ( a < b ) biết ƯCLN ( a , b ) = 12, BCNN ( a , b ) = 240 Lời giải:

KÈ

Ta có ab = ƯCLN ( a , b ).BCNN ( a , b ) = 12.240 = 2880 (1) ƯCLN ( a , b ) = 12 nên a = 12m, b = 12 n trong đó ( m, n) = 1

Suy ra ab = 12m.12n = 144mn. ( 2 )

DẠ

Từ (1) và ( 2 ) suy ra 144mn = 2880 hay mn = 20 .

Ta có a < b nên m < n . Các số m, n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 nên

4 Trang 4

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

a b

240

FI CI A

Suy ra

Bài 7: Cho a = 24, b = 70, c = 112. Tìm ( a, b ) ; ( a, b, c ) ; [ a, b] ; [ a, b, c] . Từ đó kiểm tra công thức

ƯCLN (a, b, c) = ƯCLN(ƯCLN ( a , b ), c ); BCNN ( a , b, c ) = BCNN ( BCNN ( a , b ), c ) Lời giải:

ƠN

3 3 Ta có: a = 24 = 2 .3; b = 70 = 2.5.7; c = 112 = 24.7;(a, b) = 2;(a, b, c) = 2;[ a, b] = 2 .35.7 = 840

[ a, b, c] = 24.3.5.7 = 1680

ƯCLN (a, b, c) = 2; ƯCLN ( a , b ) = 2  ƯCLN(ƯCLN (a, b), c) = ƯCLN (2,112) = 2

Bài 8: Tìm ƯCLN, BCNN của các số sau a) 793016, 308, 3136

BCNN ( a , b, c ) = 1680; BCNN ( BCNC ( a , b ), c ) = BCNN (840,112) = 1680

QU Y

b) 1323,19845,1287, 315 Lời giải:

a) Ta có: 793016 = 23.73.17 2 ; 308 = 22.7.11 ; 3136 = 26.7 2

 ƯCLN ( 793016,308,3136 ) = 22.7 = 28; BCNN = 26.73.11 = 17 2

b) Ta có

1323 = 33.7 2 ; 19845 = 34.5.7 2 ; 1287 = 32.11.13 ; 315 = 32.5.7

KÈ

 ƯCLN (1323,19845,1287,315 ) = 32 = 9; BCNN = 34.5.7 2.11.13 Bài 9: Một trường tổ chức cho khoảng 700 và 800 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết rằng nếu xếp 40 người hoặc 50 người lên xe ô tô thì vừa đủ.

Lời giải:

DẠ

Gọi số học sinh của trường là: n ( n ∈ N * ) Theo bài ta có: 700 ≤ n ≤ 800

Vì n⋮ 45; n⋮ 40  n ∈ BC (40, 45)  n ∈ B( BCNN (40, 45)) Trang 5

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Ta có: 40 = 23.5; 45 = 32.5

FI CI A

BCNN (40, 45) = 23.32.5 = 360

 n ∈ B(360)   n = 700 700 ≤ n ≤ 800 Vậy Số học sinh là 700 . Dạng 2: Thuật toán EUCLID để tìm ƯCLN

Trong toán học, giải thuật Euclid (hay thuật toán Euclid) là một giải thuật để tính ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số nguyên, là số lớn nhất có thể chia được bởi hai số nguyên đó với số dư bằng không. Giải thuật này được đặt tên theo nhà toán học người Hy Lạp cổ đại Euclid, người đã viết nó trong bộ Cơ sở của ông (khoảng năm 300 TCN). Nó là một ví dụ về thuật toán, một chuỗi các bước tính toán theo điều kiện nhất định và là một trong số những thuật toán lâu đời nhất được sử dụng rộng rãi.

ƠN

Giải thuật Euclid dựa trên nguyên tắc là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không thay đổi khi thay số lớn hơn bằng hiệu của nó với số nhỏ hơn. Chẳng hạn, 21 là ƯCLN của 252 và 105 (vì 252 = 21 .12 và 105 = 21 . 5 ) và cũng là ƯCLN của 105 và 252 −105 =147 . Khi lặp lại quá trình trên thì hai số trong cặp số ngày càng nhỏ đến khi chúng bằng nhau, và khi đó chúng là ƯCLN của hai số ban đầu. Bằng cách đảo ngược lại các bước, ƯCLN này có thể được biểu diễn thành tổng của hai số hạng, mỗi số hạng bằng một trong hai số đã cho nhân với một số nguyên dương hoặc âm (đồng nhất thức Bézout), chẳng hạn,

21 = 5.105 + ( −2) . 252.

QU Y

Dạng ban đầu của giải thuật như trên có thể tốn nhiều bước thực hiện phép trừ để tìm ƯCLN nếu một trong hai số lớn hơn rất nhiều so với số còn lại. Một dạng khác của giải thuật rút ngắn lại các bước này, thay vào đó thế số lớn hơn bằng số dư của nó khi chia cho số nhỏ hơn (dừng lại khi số dư bằng không). Dạng thuật toán này chỉ tốn số bước nhiều nhất là năm lần số chữ số của số nhỏ hơn trên hệ thập phân. Gabriel Lamé chứng minh được điều này vào năm 1844, đánh dấu sự ra đời của lý thuyết độ phức tạp tính toán. Nhiều phương pháp khác để tăng hiệu quả của thuật toán cũng đã được phát triển trong thế kỷ 20.

DẠ

KÈ

Giải thuật Euclid có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tế. Nó được dùng để rút gọn phân số về dạng tối giản và thực hiện phép chia trong số học module. Thuật toán cũng là một thành phần then chốt trong giao thức mật mã để bảo mật kết nối Internet và được dùng để phá vỡ hệ thống mật mã này qua phân tích số nguyên. Nó cũng được áp dụng để giải phương trình Diophantine, chẳng hạn như tìm một số thỏa mãn nhiều biểu thức đồng dư theo định lý số dư Trung Quốc, để xây dựng liên phân số hay tìm xấp xỉ gần đúng nhất cho số thực. Cuối cùng, nó là công cụ cơ bản để chứng minh nhiều định lý trong lý thuyết số như định lý bốn số chính phương của Lagrange và tính duy nhất của phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố. Thuật toán Euclid ban đầu chỉ được giới hạn về số tự nhiên và độ dài hình học (số thực), nhưng đến thế kỷ 19 đã được mở rộng cho nhiều dạng số khác như số nguyên Gauss và đa thức một biến, dẫn đến các khái niệm về đại số trừu tượng như miền Euclid.

Trang 6

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Giải thuật Euclid dùng để tính ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số tự nhiên a và b . Ước chung

lớn nhất g là số lớn nhất chia được bởi cả a và b mà không để lại số dư và được ký hiệu là ƯCLN ( a, b )

FI CI A

hoặc ( a, b ) .

Nếu ƯCLN ( a, b ) = 1 thì a và b được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính chất này không khẳng định

b là số nguyên tố. Chẳng hạn, 6 và 35 đều không phải là số nguyên tố vì chúng đều có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố: 6 = 2.3 và 35 = 5.7 . Tuy nhiên, 6 và 35 nguyên tố cùng nhau vì chúng không có một thừa số chung nào.

Gọi g = ƯCLN ( a, b ) . Vì a và b đều là bội của g nên chúng có thể được viết thành a = mg và b = ng , và không tồn tại số G > g nào để các biểu thức trên đúng. Hai số tự nhiên m và n phải nguyên tố cùng nhau vì có thể phân tích bất kỳ thừa số chung nào từ m và n để g lớn hơn. Do đó, một số c bất kỳ được của chúng có thể chia được bởi một ước chung c bất kỳ.

ƠN

chia bởi a và b cũng được chia bởi g . Ước chung lớn nhất g của a và b là ước chung (dương) duy nhất

ƯCLN có thể được minh họa như sau: Xét một hình chữ nhật có kích thước là a × b và một ước chung c bất kỳ có thể chia được hết cả a và b . Cả hai cạnh của hình chữ nhật có thể được chia thành các đoạn thẳng bằng nhau có độ dài là c để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có cạnh bằng c . Ước chung lớn nhất g chính là giá trị lớn nhất của c để điều này có thể xảy ra. Chẳng hạn, một hình chữ nhật có kích thước

24 × 60 có thể được chia thành các hình vuông có cạnh là 1, 2, 3, 4, 6 hoặc 12 , nên 12 là ước chung lớn

vuông nằm trên cạnh còn lại (

24 = 2 ) và năm hình 12

QU Y

nhất của 24 và 60 , tức là hình chữ nhật trên có hai hình vuông nằm trên một cạnh ( 60 = 5 ). 12

KÈ

Ước chung lớn nhất của hai số a và b là tích của các thừa số nguyên tố chung của hai số đã cho, trong đó một thừa số có thể được nhân lên nhiều lần, chỉ khi tích của các thừa số đó chia được cả a và b . Chẳng hạn, ta phân tích được 1386 = 2.3.3.7.11 và 3213 = 3.3.3.7.17 nên ước chung lớn nhất 1386 và 3213 bằng 63 = 3.3.7 (là tích của các thừa số nguyên tố chung). Nếu hai số không có một thừa số nguyên tố chung nào thì ước chung lớn nhất của chúng bằng 1 (một trường hợp của tích rỗng), hay nói cách khác chúng nguyên tố cùng nhau. Một ưu điểm quan trọng của giải thuật Euclid là nó có thể tính được ƯCLN đó mà không cần phân tích ra thừa số nguyên tố. Bài toán phân tích các số nguyên lớn là rất khó và tính bảo mật của nhiều giao thức mật mã phổ biến được dựa trên tính chất này.

DẠ

ƯCLN

ƯCLN của ba số trở lên bằng tích của các thừa số nguyên tố chung của cả ba số đã cho, nhưng nó cũng có thể được tính bằng cách tìm ƯCLN của từng cặp số trong ba số đó. Chẳng hạn,

( a, b, c ) = ¦CLN ( a, ¦CLN ( b, c ) ) = ¦CLN ( ¦CLN ( a, b ) , c ) = ¦CLN ( ¦CLN ( a, c ) , b ) .

ư Vì vậy, giải thuật Euclid, vốn dùng để tính ƯCLN của hai số nguyên cũng có thể được áp dụng để tính ƯCLN của một số lượng số nguyên bất kỳ. Trang 7

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

FI CI A

Giải thuật Euclid gồm một dãy các bước mà trong đó, đầu ra của mỗi bước là đầu vào của bước kế tiếp. Gọi k là số nguyên dùng để đếm số bước của thuật toán, bắt đầu từ số không (khi đó bước đầu tiên tương ứng với k = 0 , bước tiếp theo là k = 1 ,...) Mỗi bước bắt đầu với hai số dư không âm rk −1 và rk −2 . Vì thuật toán giúp đảm bảo số dư luôn giảm dần theo từng bước nên rk −1 nhỏ hơn rk −2 . Mục tiêu của bước thứ k là tìm thương qk và số dư rk thỏa mãn rk − 2 = qk rk −1 + rk và 0 ≤ rk < rk −1 . Nói cách khác, từ số lớn hơn rk −2 , trừ đi bội của số nhỏ hơn rk −1 đến khi

phần dư rk nhỏ hơn rk −1 .

Ở bước đầu tiên ( k = 0 ), số dư rk −2 và rk −1 bằng a và b , hai số cần tìm ƯCLN. Đến bước kế tiếp ( k = 1 ), hai số dư lần lượt bằng b và số dư r0 ở bước đầu tiên,... Do đó, thuật toán có thể được viết thành một dãy các bước:

a = q0b + r0

ƠN

b = q1r0 + r1 r0 = q2 r1 + r2 r1 = q3 r2 + r3

...

Nếu a nhỏ hơn b thì thuật toán đảo ngược vị trí của hai số. Chẳng hạn, nếu a < b thì thương q0 bằng không và số dư r0 bằng a . Do đó, rk luôn nhỏ hơn rk −1 với mọi k ≥ 0 .

QU Y

Vì các số dư luôn giảm dần theo từng bước nhưng không thể là số âm nên số dư sau cùng rn phải bằng không và thuật toán dừng lại tại đó. Số dư khác không cuối cùng rn −1 chính là ước chung lớn nhất của a và

b . Số n không thể là vô hạn vì chỉ có một số lượng hữu hạn các số nguyên dương nằm giữa số dư ban đầu r0 và 0 . Tính đúng đắn của giải thuật Euclid có thể được chứng minh qua hai bước lập luận.

Bước thứ nhất, cần chứng minh số dư khác không cuối cùng rn −1 chia được cả a và b . Vì rn −1 là một ước chung nên nó phải nhỏ hơn hoặc bằng với ước chung lớn nhất g .

KÈ

Bước thứ hai, cần chứng minh rằng bất kỳ ước chung nào của a và b , trong đó có g cần phải chia được

rn −1 ; từ đó, g phải nhỏ hơn hoặc bằng rn −1 . Hai kết luận trên là mâu thuẫn trừ khi rn −1 = g . Để chứng tỏ rn −1 chia được cả a và b , cần biết rn −1 chia được số dư liền trước rn −2 : rn −2 = qn rn −1 vì số dư

cuối cùng rn bằng không. rn −1 cũng chia được số dư rn −3 : rn −3 = qn −1rn −2 + rn −1 vì nó chia được cả hai số hạng

DẠ

trong vế phải của phương trình. Chứng minh tương tự, rn −1 cũng chia được tất cả số dư liền trước nó kể cả a và b . Không có số dư liền trước rn −2 , rn −3 ,... chia bởi a và b cho số dư bằng không. Vì rn −1 là ước chung của a và b nên rn −1 ≤ g .

Trang 8

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Trong bước thứ hai, một số tự nhiên c bất kỳ chia được cả a và b (là ước chung của a và b ) cũng chia được số dư rk . Theo định nghĩa thì a và b có thể được viết thành bội của c : a = mc và b = nc với m và

FI CI A

n là các số tự nhiên. Ta có r0 = a − q0b = mc − q0 nc = ( m − q0 n ) c nên c là một ước của số dư ban đầu r0 . Chứng minh như bước thứ nhất, ta thấy c cũng là ước của các số dư liền sau r1 , r2 ,... Từ đó, ước chung lớn nhất g là ước của rn −1 hay g ≤ rn −1 . Kết hợp hai kết luận thu được, ta có g = rn −1 . Vậy g là ước chung lớn nhất của tất cả cặp số liền sau:

g = ¦CLN ( a, b ) = ¦CLN ( b, r0 ) = ¦CLN ( r0 , r1 ) = … = ¦CLN ( rn −2 , rn −1 ) = rn −1.

I. Phương pháp giải Muốn tìm ƯCLN của a và b (giả sử a ≥ b ) Bước 1: Chia a cho b có số dư là r

ƠN

Bước 2:

+ Nếu r = 0 thì ƯCLN ( a, b ) = b . Việc tìm ƯCLN dừng lại.

+ Nếu r > 0 , ta chia tiếp b cho r , được số dư r1

- Nếu r1 = 0 thì r1 = ¦CLN ( a, b ) . Dừng lại việc tìm ƯCLN - Nếu r1 > 0 thì ta thực hiện phép chia r cho r1 và lập lại quá trình như trên.

QU Y

ƯCLN ( a, b ) là số dư khác 0 nhỏ nhất trong dãy phép chia nói trên. II. Bài toán

Bài 1: Hãy tìm ƯCLN (1575,343) bằng thuật toán Ơclide

Lời giải: Ta có: 1575 = 343.4 + 203

KÈ

343 = 203.1 + 140

203 = 140.1 + 63

DẠ

140 = 63.2 + 14 63 = 14.4 + 7 14 = 7.2 + 0 (chia hết)

Vậy ƯCLN (1575,343) = 7

Trang 9

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

203 140 63

343

203 4

140

Lời giải:

ƠN

Bài 2: Tìm ƯCLN ( 58005, 2835 ) bằng thuật toán Euclide

63 14 2

Vậy ƯCLN (1575,343) = 7

FI CI A

1575 343

Trong thực hành làm như sau:

Ta có: 58005 = 20.2835 + 1305  (58005, 2835) = (2835,1305); 2835 = 2.1305 + 225;1305 = 5.225 + 180 225 = 1.180 + 45;180 = 4.45  ƯCLN = 45 .

Bài 3: Chứng minh rằng ƯCLN ( n + 1, 3n + 4) = 1, n ∈ ℕ . Lời giải: Cách 1:

QU Y

3n + 4⋮ d  (3n + 4) − 3(n + 1)⋮ d  1⋮ d  d = 1 . Gọi d = UCLN (n + 1,3n + 4), d ∈ ℕ*   n + 1⋮ d Vậy ƯCLN ( n + 1, 3n + 4) = 1, n ∈ ℕ . Cách 2:

Ta có: 3n + 4 = 3n + 3 + 1 = 3( n + 1) + 1

KÈ

Mà 3( n + 1) ⋮ ( n + 1)  3( n + 1) + 1 chia cho ( n + 1) dư 1 Suy ra ƯCLN (n + 1,3n + 4) = ( n + 1;1) = 1, n ∈ℕ Bài 4: Chứng minh rằng 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

DẠ

Cách 1:

Lời giải:

2n + 1⋮ d  (2n + 3) − (2n + 1)⋮ d  2⋮ d  d ∈ {1; 2} . Gọi d = UCLN (2n + 1, 2n + 3), d ∈ ℕ*   2n + 3⋮ d

Trang 10

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Mà 2n + 1⋮ d và 2n + 1 lẻ nên d lẻ. Suy ra d = 1 .

FI CI A

Vậy 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Cách 2: Ta có: 2n + 3 = 2n + 1 + 2  2n + 3 chia cho 2n + 1 dư 2

Suy ra ƯCLN (2n + 3, 2n + 1) = ( 2n + 1;2 ) = 1, n ∈ℕ (Vì 2n + 1 lẻ , 2 là số chẵn). Vậy 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 5: Biết số A gồm 2015 chữ số 2 và B gồm 8 chữ số 2 . Hãy tìm ƯCLN ( A, B ) Lời giải: 2015

2008

7.chu . so .2

Vì 2.2.....2 ⋮ 2.2.....2 0....0 → ( A, B ) = (2.2.....2 , 2.2.....2) 7

2008

ƠN

Ta có A = 22...2 = 2.2.....2 + 2.2......2 0....0

Ta có: 2.2.....2 = 2.2.....2 0 + 2 → (2.2.....2 , 2.2.....2) = (2.2.....2 , 2) = 2  ( A, B ) = 2 7

Bài 6: Số X gồm 2002 chữ số 9 , Y gồm 9 chữ số 9 . Tìm ƯCLN ( X , Y ) Lời giải: 2002

QU Y

Có: 2002 = 222.9 + 4; X = 99....9 + 9999 ; X = BS (Y ) + 9999(1) = 99....9 0000 1998

Y = 9999....9 = 9999....9 0 + 9 → Y = BS (9999) + 9(2);9999 = BS (9)(3) 9

Từ (1)(2)(3)  ƯCLN ( X , Y ) = 9

Lời giải:

KÈ

Theo đầu bài ta có:

Bài 7: Tìm số tự nhiên n , biết rằng khi chia 239 và 373 cho n thì số dư lần lượt là 14 và 23

239 − 14 = 225⋮ n  2 2 2   n ∈ UC (225,350)  n ∈ U (UCLN (225,350)); 225 = 3 .5 ;350 = 2.5 .7 373 − 23 = 350⋮ n 

ƯCLN (225, 350) = 25  n ∈ UC (25)

DẠ

n > 23  n = 25 Vì 373 chia cho n dư 23   n ∈ U (25)

Vậy n = 25

Trang 11

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Bài 8: Người ta đếm số trứng trog một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như theo tá hoặc theo từng 15 quả thì lần nào cũng dư 1 quả. Tính số trứng trong rổ, biết rằng số trứng đó lớn hơn 150 và nhỏ hơn 200 quả.

FI CI A

Lời giải: Gọi số trứng trong rổ là n ( n ∈ N * )

Ta có: 150 < n < 200(1); (n − 1)⋮10,12,15  (n − 1) ∈ BC (10,12,15)  n − 1 ∈ B(60) Theo (1)  149 < n − 1 < 199  n − 1 = 180  n = 181 Vạy số trứng trong rổ là 181 quả Nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường? Lời giải:

ƠN

Gọi số học sinh của trường là: n ( n ∈ N * )

Bài 9: Một trường học có số lượng học sinh không quá 1000 . Khi xếp hàng 20, 25,30 thì đều dư 15 .

Theo bài ra ta có: n ≤ 1000

Lại có: n − 15⋮ 20, 25,30; n⋮ 41; n − 15 ∈ BC (20, 25,30) ∈ B( BCNN (20, 25,30) = 300  n − 15 ∈ B(300)

n ∈ {315, 615,915}  n = 615 Mà n − 15 ≤ 1000 − 15 = 985  n − 1∈ {300, 600,900}   n⋮ 41 Vậy số học sinh của trường là 615 (học sinh).

QU Y

Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho 12,18, 23 thì số dư lần lượt là 11,17,9 Lời giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm là: a ( a ∈ N )

Theo bài ta có: a = 12 k + 1 = 18q + 17 = 2.3. p + 9( k , p , q ∈ N )

Ta tìm số b sao cho: a + b ⋮12,18, 23

Vì a nhỏ nhất

KÈ

Nhận thấy: a + 37 = 12k + 48⋮12; a + 37 = 18q + 54⋮18; a + 37 = 23 p + 46⋮ 23  a + 37 ∈ BC (12,18, 23)

 a + 37 = BCNN (12,18, 23);12 = 22.3;18 = 2.32 ; 23 = 23  BCNN (12,18, 23) = 22.32.23 = 828

 a = 828 − 37 = 791

DẠ

Vậy số tự nhiên cần tìm là 791 . Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6 , chia cho 4 dư 1 , chia cho 19 dư 11 Lời giải:

Gọi số cần tìm là a , ta có: ( a − 6)⋮11; ( a − 1)⋮ 4; ( a − 11)⋮19 Trang 12

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

 ( a − 6 + 33)⋮11; ( a −1 + 28)⋮ 4; ( a −11 + 38)⋮19

FI CI A

 ( a + 27 )⋮11; ( a + 27 )⋮ 4; ( a + 27 )⋮19 Mà a nhỏ nhất  ( a + 27 ) nhỏ nhất  ( a + 27 ) = BCNN (11, 4,9) Do ƯCLN ( 4;11;9) = 1  BCNN (11;4;9) = 11.14.9 = 396

 a + 27 = 396  a = 369

Bài 12: Cho a, b là các số tự nhiên khác 0 sao cho

Vậy số tự nhiên cần tìm là: 369 .

a +1 b +1 + là số tự nhiên. Gọi d là ƯCLN của a, b . b a

Chứng minh rằng: a + b ≥ d 2

d = ( a , b ) , đặt a = dm, b = dn;

ƠN

Lời giải:

 a 2 + b 2 + a + b⋮ ab a + 1 b + 1 a2 + b2 + a + b + = ∈N → → a 2 + b2 + a + b⋮ d 2 2 2 b a ab  ab = d .m.n⋮ d

a 2 = d 2 m2 ⋮ d 2  → a + b⋮ d 2 → a + b ≥ d 2 → dpcm 2 2 2 2  b = d n ⋮ d 

Bài 13: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5 , chia cho 13 dư 4 . Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?

QU Y

Lời giải: Gọi số đó là a

Vì a chia cho 7 dư 5 , chia cho 13 dư 4  a + 9⋮ 7; a + 9⋮13 mà ƯCLN ( 7,13) = 1 nên  ( a + 9 )⋮ 7.13 = 91

 ( a + 9) = 91k  a = 91k − 9 = 91k − 91 + 82 = 91( k −1) + 82 ( k ∈ N )

KÈ

Vậy a chia cho 91 dư 82 .

Bài 14: Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia 836 cho a có số dư là 8 . Lời giải:

DẠ

Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có 355 = a.m + 13 với m ∈ N * và a > 13 hay a.m = 342 = 18.19 (1) và khi chia 836 cho a có số dư là 8  836 = a.n + 8  a.n = 828 = 18.46 với n ∈ N * (2). Từ (1) và (2) suy ra a = 18 là số tự nhiên cần tìm.

Trang 13

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Bài 15: Một số chia cho 7 dư 3 , chia cho 17 dư 12 , chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?

FI CI A

Lời giải: Gọi số đã cho là A . Theo bài ra ta có: A = 7a + 3 = 17b + 12 = 23c + 7

Mặt khác: A + 39 = 7a + 3 + 39 = 17b + 12 + 39 = 23c + 7 + 39 = 7 ( a + 6) = 17 ( b + 3) = 23 ( c + 2) Như vậy A + 39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23 .

Nhưng ƯCLN ( 7,17, 23) = 1  ( A + 39)⋮ 7.17.23  ( A + 39)⋮ 2737  A + 39 = 2737.k

 A = 2737k − 39 = 2737 ( k −1) + 2698

Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737 .

ƠN

Bài 16: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 . Lời giải: Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N ,100 ≤ a ≤ 999 )

Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 nên:

a − 7 ⋮8 a − 7 + 8⋮8 a + 1⋮8 a + 1 + 64⋮8  a + 65⋮8 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  a − 28⋮ 31 a − 28 + 31⋮ 31 a + 3⋮ 31 a + 3 + 62⋮ 31  a + 65⋮ 31

QU Y

Vì ( 8, 31) = 1  ( a + 65 )⋮ 248 ⇔ a = 248k − 65 ( k ∈ N * )

Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4 , khi đó a = 248.4 − 65 = 927 Vậy số cần tìm là 927 .

Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 4,6,7 đều dư 3 .

Lời giải:

Gọi số cần tìm là a . điều kiện a ∈ N , a ≥ 100

KÈ

Vì a chia cho 4,6,7 đều dư 3  ( a − 3)⋮ 4,6,7 Mà a nhỏ nhất nên a − 3 nhỏ nhất  a − 3 = BCNN ( 4,6,7 )

Mà ƯCLN ( 4,6,7 ) = 1  BCNN ( 4,6,7 ) = 4.6.7 = 168

DẠ

 a − 3 = 168 ⇔ a = 171

Vậy số cần tìm là 171 .

Bài 18: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 5 thì dư 3 , a chia cho 7 thì dư 4 . Lời giải:

Trang 14

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Ta có a chia cho 5 thì dư 3 , a chia cho 7 thì dư 4

FI CI A

 ( a − 3)⋮5 và ( a − 4)⋮ 7  ( a − 3 + 20)⋮5 và ( a − 4 + 21)⋮ 21  ( a + 17 )⋮5 và  ( a + 17 )⋮ 7  a + 17 là bội chung của 5 và 7 Vì a là số tự nhiên nỏ nhất nên a + 17 = BCNN (5, 7) = 35  a = 18.

Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư là 2 , còn chia cho 7 thì dư 3 .

Gọi số tự nhiên cần tìm là a

Lời giải:

( a ∈ N , a > 3)

Ta có khi chia a cho 3 , cho 4 , cho 5 , cho 6 đều dư là 2

ƠN

 a − 2 ∈ BC ( 3;4;5;6 ) = {60;120;180;240;....} Nên a nhận các giá trị 62;122;182; 242;...

Mặt khác a là số nhỏ nhất chia cho 7 thì dư 3 tức là ( a − 3) là số nhỏ nhất chia hết cho 7

 a = 122 (vì a = 62 thì 62 − 3 = 59 không chia hết cho 7 ).

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

QU Y

Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN bằng 6 . Lời giải:

(

Gọi 2 số cần tìm là a và b , giả sử a < b a, b ∈ ℕ* Vì ƯCLN ( a; b ) = 6

)

Ta có a + b = 84  6m + 6n = 84  m + n = 14 Lập bảng: m 1 n 13 a 6 b 78

KÈ

3 11 18 30

Vậy hai số cần tìm là 6 và 78 ; 18 và 66 ; 30 và 54 .

DẠ

Bài 2: Tìm số tự nhiên n biết ( 3n + 14) chia hết cho ( n + 1) . Lời giải:

Ta có ( 3n + 14) = 3( n −1) + 7

Trang 15

5 9 30 54

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Vì 3 ( n − 1)⋮( n − 1) nên để ( 3n + 14)⋮( n −1) thì 7⋮( n − 1)

FI CI A

 ( n −1) phải là ước của 7  n −1∈{−7; −1;1;7}  n ∈{−6;0;2;8} Mà n ∈ N , nên n ∈{0;2;8} Vậy n ∈{0;2;8} thì ( 3n + 14) chia hết cho ( n + 1) .

n + 15 là số tự nhiên. n+3

Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết

Để

Lời giải:

n + 15 là số tự nhiên thì ( n + 15) chia hết cho ( n + 3) n+3

ƠN

 ( n + 15) − ( n + 3)  chia hết cho ( n + 3) ⇔ 12 chia hết cho ( n + 3)

 n + 3 ∈{3;4;6;12}  n ∈{0;1;3;9} Vậy n ∈{0;1;3;9} thì

n + 15 là số tự nhiên. n+3

(

)

Mà n ∈ N nên ( n + 3) phải là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 và đồng thời là ước của 12

Lời giải: 2 Ta có n + 3n + 6 = n ( n + 3) + 6

(

QU Y

Bài 4: Tìm số tự nhiên n biết n2 + 3n + 6 ⋮( n + 3)

)

Vì n ( n + 3)⋮( n + 3) , nên để n2 + 3n + 6 ⋮( n + 3) thì 6⋮( n + 3)

Mà n ∈ N , nên ( n + 3) phải là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 và đồng thời là ước của 6

KÈ

 ( n + 3) ∈{3;6}  n ∈{0;3}

(

)

Vậy n ∈{0;3} thì n2 + 3n + 6 ⋮( n + 3)

Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết

n +1 có giá trị là một số nguyên n−2

DẠ

Lời giải: Ta có

n +1 là một số nguyên khi ( n + 1)⋮( n − 2) n−2

Ta có n + 1 = ( n − 2) + 3, do đó ( n + 1)⋮( n − 2) khi 3⋮( n − 2) Trang 16

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

 ( n − 2) là ước của 3

Vậy n ∈{−1;1;3;5} thì

FI CI A

 ( n − 2) ∈{−3; −1;1;3}  n ∈{−1;1;3;5} n +1 có giá trị là một số nguyên. n−2

Bài 6: Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng bằng 84 , ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 400 .

Lời giải: Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a, b và giả sử a > b

+ Đặt ƯCLN ( a, b ) = d  a = md ; b = nd với m, n ∈ Z ;UCLN ( m, n ) = 1, m > n  BCNN ( a, b ) = dmn

ƠN

Mà ƯCLN ( a, b ) + BCNN ( a, b ) = 23 nên d ( m.n + 1) = 23  d là ước của 23 hay d ∈{1;23} Xét d = 1, ta có mn + 1 = 23 ⇔ mn = 22 với ƯCLN ( m, n ) = 1 nên ta có các trường hợp của m, n như sau:

Trường hợp 2: m = 11, n = 2  a = 11, b = 2 Trường hợp 3: m = 11, n = 2  a = 11, b = 2

Trường hợp 1: m = 22, n = 1  a = 22, b = 1

QU Y

Xét d = 3, ta có mn + 1 = 1 ⇔ mn = 0 (không thỏa mãn)

Bài 7: Cho n ∈ N * . Tìm ƯCLN của 2n − 1 và 9n + 4 Lời giải:

2n − 1⋮ d (1) d = 1  2(9n + 4) − 9(2n − 1)⋮ d  17⋮ d   Gọi d = (2n − 1,9n + 4)(d ∈ N * )   9n + 4⋮ d (2)  d = 17

-Nếu d = 17  (9 n + 4) − 4(2 n − 1) = n + 8⋮17  n = 17 + 9 k ( k ∈ N )  9 n + 4 = 9(17 k + 9) + 4 = 9.17 k + 85⋮17 2 n − 1 = 2(17 k + 9) − 1 = 2.17 k + 17 ⋮17

KÈ

Vậy nếu n có dạng 17k + 9 ( k ∈ N ) thì UCLN ( 2n − 1;9n + 4) = 17

Bài 8: Tìm ƯCLN (1 + 2 + 3 + ... + n, 2n + 1) với n ∈ N , n ≥ 2

Lời giải:

DẠ

 n(n + 1) n(n + 1)⋮ d   n(n + 1)  , 2n + 1 = d   2    2  2n + 1⋮ d 2n + 1⋮ d

Giả sử d > 1 , p là ước nguyên tố của d Trang 17

Bài 9: Tìm ƯCLN của 9n + 24 và 3n + 4 Lời giải: * Gọi ƯCLN ( 9n + 24;3n + 4) = d  d ∈ N

9n + 24⋮ d 9n + 24⋮ d   ( 9n + 24 ) − ( 9n + 12 ) = d  12⋮ d Khi đó ta có:  3n + 4⋮ d 9n + 12⋮ d

FI CI A

 n⋮ p  n + 1⋮ p  n(n + 1)⋮ d     (n + 1) − n = 1⋮ p  1⋮ p (vô lý)  d = 1  n + 1⋮ p  n⋮ p

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

 d ∈U (12) = {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12}

Do ( 3n + 4 )⋮ d , mà 3n + 4 không chia hết cho 3 , nên d = 3; 6;13 (loại)

ƠN

Do đó d ∈{1;2;4} - Để d = 2 thì n phải chẵn

- Để d = 1 thì n là số lẻ

- Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4

Vậy n = 4k + 2 ( k ∈ N ) thì ƯCLN ( 9n + 24;3n + 4 ) = 2

QU Y

n = 4k ( k ∈ N ) thì ƯCLN ( 9n + 24;3n + 4 ) = 4

n = 2k + 1( k ∈ N ) thì ƯCLN ( 9n + 24;3n + 4) = 1 . Bài 10: Biết ( a, b ) = 95 . Tìm ( a + b, a − b ) Lời giải:

* Gọi ƯCLN ( a + b, a − b ) = d  d ∈ N

KÈ

a + b⋮ d  2b⋮ d  d ∈ U ( 2 ) hoặc d ∈U ( b )  a − b⋮ d

a + b⋮ d  2a ⋮ d  hoặc d ∈U ( 2) hoặc d ∈U ( a ) và  a − b⋮ d

DẠ

mà ƯCLN ( a, b ) = 95, nên d = 95 hoặc d = 2 Vậy ƯCLN ( a + b, a − b ) = 2 hoặc d = 95 .

Bài 11: Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10 , hàng 12 , hàng 15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vừa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh. Tính số học sinh khối 6? Trang 18

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Lời giải:

FI CI A

Gọi số học sinh khối 6 là a ( 3 < a < 400 ) Vì khi xếp hàng 10 , hàng 12 , hàng 15 đều dư 3 học sinh

 a − 3⋮10;12;15  a − 3 ∈ BC (10,12,15) Ta có: BCNN (10;12;15) = 60

 a − 3 ∈{60;120;180;240;300;360;420;....}  a ∈{63;123;183;243;303;363;423;...}

ƠN

mà a ⋮11; a < 400  a = 363 Vậy số học sinh khối 6 là 363 học sinh.

Bài 12: Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65kg ; 71kg ;

58kg ; 72kg ; 93kg . Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?

Lời giải:

QU Y

Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65 + 71 + 58 + 72 + 93 = 359 ( kg )

Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4 , mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3 . Trong các số 65;71;58;72;93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 . Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71kg .

Số xoài và cam còn lại: 359 − 71 = 288 ( kg )

KÈ

Số cam còn lại: 288: 4 = 72 ( kg )

Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71kg ; 72kg . Các giỏ xoài là giỏ đựng 65kg ;58kg ;93kg .

Bài 13: Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26kg còn lại

DẠ

mỗi bạn thu được 11kg . Lớp 6B có 1 bạn thu được 25kg còn lại mỗi bạn thu được 10kg . Tính số học sinh

mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg đến 300kg .

Lời giải:

Trang 19

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

Số học sinh lớp 6A là: ( 266 − 26 ) :11 + 1 = 20 (học sinh) Số học sinh lớp 6B là: ( 235 − 25) :10 + 1 = 22 (học sinh)

FI CI A

Do đó ( x − 15) ∈ BC (10;11) và 200 < x < 300  x − 15 = 220  x = 235

Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x ( kg )  ( x − 26)⋮11 và ( x − 25)⋮10

Bài 14: Số học sinh khối 6 của một trường chưa đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6 của trường đó.

(

Gọi số học sinh là a a ∈ N *

Lời giải:

) (

ƠN

Vì số học sinh khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3  a − 3 ∈ BC (10;12;15)

)

Mà BCNN (10;12;15 ) = 60  a − 3 = 60k k ∈ N *  a = 6kk + 3

123

183

Ta có bảng sau:

243

303

363

423

QU Y

Vì số học sinh chưa đến 400 bạn và khi xếp hàng 11 thì không dư nên a < 400 và a⋮11 Trong các giá trị trên, chỉ có a = 363 thỏa mãn bài toán Vậy số học sinh cần tìm là 363 học sinh.

Bài 15: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000 ? Lời giải:

(

KÈ

Gọi số người của đơn vị bộ đội là x x ∈ N * ; 41 < x < 100

)

Ta có a : 20 dư 15  ( x − 15)⋮ 20

a : 25 dư 15  ( x − 15)⋮ 25

DẠ

a : 30 dư 15  ( x − 15)⋮30

 ( x − 15) ∈ BC ( 20, 25,35)

2 2 2 2 Ta có 20 = 2 .5;25 = 5 ;30 = 2.3.5  BCNN ( 20, 25,30) = 2 .5 .3 = 300

Trang 20

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ

 BC ( 20, 25,35) = 300k ( k ∈ N )  x −15 = 300k ⇔ x = 300k + 15

FI CI A

Mà x < 1000 nên chỉ xét k ∈{1;2;3} , khi đó x ∈{315;615;915}

Vì số bộ đội khi xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ tức là: x⋮ 41, do đó có x = 615 thỏa mãn bài toán Vậy đơn vị bộ đội có 615 người.

Bài 16: Cho m, n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước chung của m và n . B là tập hợp các ước số

chung của 11m + 5n và 9m + 4n . Chứng minh rằng A = B.

Lời giải: * Gọi d = ¦CLN (11m + 5n,9m + 4n )  d ∈ N

(1)

11m + 5n ⋮ d 44m + 20n ⋮ d 4 (11m + 5n )⋮ d    m⋮ d Tương tự ta có:  9m + 4n ⋮ d 45m + 20n ⋮ d 5 ( 9m + 4n )⋮ d

( 2)

ƠN

11m + 5n ⋮ d 99m + 45n ⋮ d 9 (11m + 5n )⋮ d    n⋮ d Khi đó ta có:  9m + 4n ⋮ d 99m + 44n ⋮ d 11( 9m + 4n )⋮ d

Từ (1) và ( 2 ) ta có: d ∈ ¦C ( m; n )  d ∈ A  B ⊂ A Mà A ⊂ B

QU Y

Suy ra A = B .

DẠ

KÈ

HẾT

Trang 21

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

CHỦ ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN QUY VỀ TÌM ƯCLN VÀ BCNN

ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 4 – ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Ước và Bội của một số nguyên

Với a, b ∈ Z và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b . Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a .

- Nếu a = bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b = q

2. Nhận xét

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0 . Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. 3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết.

ƠN

- Các số 1 và −1 là ước của mọi số nguyên.

Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số ( a − k )⋮ b 4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ¦C ( a, b, c ) .

5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC ( a, b, c ) .

QU Y

6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. - Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội chung của các số đó. - (a,1) = 1; [ a,1] = a

7. Các tính chất

KÈ

- Nếu a ⋮ b  (a, b) = b; [ a, b ] = a - Nếu a, b nguyên tố cùng nhau  (a, b) = 1; [ a, b] = a.b

- ¦ C ( a, b ) = ¦ ( ¦ CLN ( a, b ) ) và BC ( a , b ) = B ( BCNN ( a, b ) )

DẠ

a = dm - Nếu (a, b) = d   vôùi ( m, n ) = 1 b = dn

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

- ab = (a, b).[ a, b ] 8. Phương pháp giải - Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k  ( a − k )⋮ b - Nếu a⋮ b và a⋮ c mà ¦ CLN (a, b) = 1

 a chia hết cho tích bc với ( a, b, c ∈ N )

FI CI A

c = am - Nếu [ a, b ] = c   vôùi (m, n) = 1 c = bn

- Nếu a⋮ b và a⋮ c mà a là số nhỏ nhất

 a = BCNN ( a, b )( a, b, c ∈ N )

ƠN

- Nếu a⋮ b và m⋮ b mà b lớn nhất

 b = UCLN ( a, m )( a, b, m ∈ N )

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1. Bài toán đưa về tìm ƯCLN và BCNN của hai hay nhiều số I. Phương pháp giải.

* Phương pháp giải bài toán đưa về tìm ƯCLN

- Tìm ƯCLN theo ba bước

QU Y

- Nếu a⋮ x, b⋮ x , x lớn nhất thì x ∈ ÖCLN(a, b)

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

phải tìm.

KÈ

- Kết luận bài toán

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN

* Phương pháp giải bài toán đưa về tìm BCNN - Nếu x ⋮ a, x ⋮ b , x nhỏ nhất thì x ∈ BCNN(a, b)

- Tìm BCNN theo ba bước

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

DẠ

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng. Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là

BCNN phải tìm.

- Kết luận bài toán Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

II.Bài toán.

Lời giải Vì 125⋮ x, 100⋮ x, 150⋮ x và x lớn nhất nên x = ÖCLN(125,100,150) Ta có: 125 = 53 100 = 22.52

150 = 2.3.52

FI CI A

Bài 1.Tìm số tự nhiên x lớn nhất biết rằng 125⋮ x, 100⋮ x, 150⋮ x

ÖCLN(125,100,150) = 52 = 25  x = 25

ƠN

Vậy x = 25

Bài 2.Tìm số tự nhiên x lớn nhất biết rằng 480⋮ x, 600⋮ x Lời giải

Vì 480⋮ x, 600⋮ x và x lớn nhất nên x = ÖCLN(480,600) Ta có: 480 = 25.3.5 600 = 23.3.52

QU Y

ÖCLN(480,600) = 23.3.5 = 120  x = 120

Vậy x = 120

Bài 3. Lan có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước 75 cm và 105 cm, Lan muốn cắt tấm bìa thành các

mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn Lời giải

KÈ

nhất cạnh hình vuông?

Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là a (cm) Theo bài ra ta có: 75⋮ a, 105⋮ a và a lớn nhất nên a = ÖCLN(75,105)

Ta có: 75 = 3.52

DẠ

105 = 3.5.7

ÖCLN(75,105) = 3.5 = 15  a = 15 Trang 3

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là 15cm .

FI CI A

Bài 4. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm 128 vở, 48 bút chì, 192 nhãn vở. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng như nhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu vở, bút chì, nhãn vở? Lời giải Gọi số phần thưởng được chia là a (phần thưởng), a ∈ N *

Theo bài ra ta có: 128⋮ a, 48⋮ a,192⋮ a và a lớn nhất nên a = ÖCLN (128,48,192)

Ta có: 128 = 2 7 48 = 3.2 4

ÖCLN(128, 48,192) = 2 4 = 16  a = 16

ƠN

192 = 26.3

Vậy có thể chia được nhiều nhất 16 phần thưởng

Mỗi phần thưởng có số vở là 128 :16 = 8 ( vở)

Mỗi phần thưởng có số bút chì là 48 :16 = 3 ( bút chì)

Mỗi phần thưởng có số nhãn vở là 192 :16 = 12 ( nhãn vở)

QU Y

Bài 5. Hùng có một tấm bìa hình chữ nhật, kích thước 60 cm và 96 cm, Hùng muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết không còn thừa mảnh nào,Tính độ dài lớn nhất cạnh hình vuông? Lời giải

Gọi độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là a (cm)

KÈ

Ta có: 60 = 22.3.5

Theo bài ra ta có: 60⋮ a, 96⋮ a và a lớn nhất nên a = ÖCLN(60,96)

96 = 25.3

ÖCLN(60,96) = 22.3 = 12

 a = 12

DẠ

Vậy độ dài lớn nhất cạnh hình vuông là 12cm

Bài 6. Một đội y tế có 24 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để các bác sĩ cũng như các y tá được chia đều vào mỗi tổ ?

Lời giải

Trang 4

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Ta có: 24 = 23.3 108 = 2 2.33 ÖCLN(24,108) = 22.3 = 12  a = 12

Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 tổ.

FI CI A

Theo bài ra ta có: 24⋮ a, 108⋮ a và a lớn nhất nên a = ÖCLN(24,108)

Gọi số tổ được chia là a (tổ), a ∈ N *

Bài 7. Khối lớp 6 có 84 học sinh, khối lớp 7 có 63 học sinh, khối lớp 8 có 105 học sinh. Trong một buổi chào cờ học sinh cả ba khối xếp thành các hàng dọc như nhau. Hỏi có thể xếp nhiều nhất thành bao nhiêu

ƠN

hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng ? Lời giải Gọi số hàng dọc được xếp là a ( hàng ), a ∈ N *

Theo bài ra ta có: 84⋮ a, 63⋮ a, 105⋮ a và a lớn nhất nên a = ÖCLN(84,63,105) Ta có: 84 = 22.3.7 63 = 32.7

QU Y

105 = 3.7.5

ÖCLN(84,63,105) = 3.7 = 21  a = 21

Vậy có thể xếp được nhiều nhất 21 hàng dọc.

Bài 8.Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a ⋮ 15, a ⋮ 20 Lời giải

KÈ

Vì a ⋮ 15, a ⋮ 20 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(15, 20) Ta có: 15 = 3.5

20 = 22.5

BCNN(15,20) = 22.3.5 = 60

DẠ

 a = 60

Vậy a = 60

Bài 9. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 15 và a chia hết cho 18 . Trang 5

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Lời giải

FI CI A

Vì a ⋮ 15, a ⋮ 18 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(15, 20) Ta có: 15 = 3.5 18 = 32.2 BCNN(15,20) = 2.32.5 = 90  a = 90

Vậy a = 90

Bài 10. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho15,18 và 25 Lời giải

ƠN

Vì a ⋮ 15, a ⋮ 18, a ⋮ 25 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(15, 20,25) Ta có: 15 = 3.5

25 = 52 BCNN(15,20,25) = 22.3.52 = 300

Vậy a = 300

QU Y

 a = 300

18 = 32.2

Bài 11. Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng cứ 8 ngày đến thư viện một lần, Hải 10 ngày một lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng đến thư viện? Lời giải

Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng đến thư viện là a ( ngày ), a ∈ N *

KÈ

Vì a ⋮ 8, a ⋮ 10 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(8, 10) Ta có: 8 = 23

10 = 2.5

BCNN(8,10) = 23.5 = 40

DẠ

 a = 40

Vậy sau 40 ngày hai bạn lại cùng đến thư viện.

Trang 6

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Bài 12. Hai bạn An và Bách cùng trực nhật, An cứ 10 ngày lại trực nhật còn Bách 12 ngày lại trực nhật.

FI CI A

Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật? Lời giải Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là a ( ngày ), a ∈ N * Vì a ⋮ 10, a ⋮ 12 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(10, 12)

Ta có: 10 = 2.5 12 = 22.3 BCNN(10,12) = 22.3.5 = 60

Vậy sau 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.

ƠN

 a = 60

Bài 13. Hai bạn Minh và Nhâm cùng trực nhật, Minh cứ 12 ngày lại trực nhật còn Nhâm 18 ngày lại trực

nhật. Lần đầu cả hai bạn cùng trực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì hai bạn lại cùng trực nhật? Lời giải

Gọi số ngày ít nhất để hai bạn cùng trực nhật là a ( ngày ), a ∈ N *

QU Y

Vì a ⋮ 12, a ⋮ 18 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(12, 18) Ta có: 12 = 22.3 18 = 2.32

 a = 36

BCNN(12,18) = 22.32 = 36

KÈ

Vậy sau 36 ngày hai bạn lại cùng trực nhật. Bài 14. Ba con tàu cập bến theo cách sau: Tàu I cứ 15 ngày cập bến một lần, tàu II cứ 20 ngày cập bến một lần, tàu III cứ 12 ngày cập bến một lần. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày cả ba tàu lại cùng cập bến ?

Lời giải

DẠ

Gọi số ngày ít nhất để ba tàu lại cùng cập bến là a ( ngày ), a ∈ N * Vì a ⋮ 15, a ⋮ 20, a ⋮ 12 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(15,20,12)

Ta có: 15 = 3.5 Trang 7

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

20 = 22.5

FI CI A

12 = 22.3 BCNN(15,20,12) = 22.3.5 = 60  a = 60

Vậy sau 60 ngày ba tàu lại cùng cập bến.

Bài 15. : Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc 6h sáng từ 1 bến xe đi theo ba hướng khác nhau, xe thứ

nhất quay về bến sau 1h 5 phút và sau 10 phút lại đi, xe thứ hai quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút, xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi, hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe cùng xuất phát lần thứ hai trong ngày và đó là lúc mấy giờ?

ƠN

Lời giải. Đổi 1h 5 phút = 65 phút

Gọi thời gian ngắn nhất để ba xe cùng xuất lần thứ 2 trong ngày là a ( phút ), a ∈ N *

Thời gian xe thứ nhất đi chuyến thứ 2 là 65 + 10 = 75 ( phút) Thời gian xe thứ hai đi chuyến thứ 2 là 56 + 4 = 60 ( phút) Thời gian xe thứ ba đi chuyến thứ 2 là 48 + 2 = 50 ( phút)

Ta có: 75 = 3.52 60 = 2 2.3.5 50 = 2.52

QU Y

Vì a ⋮ 75, a ⋮ 60, a ⋮ 50 và a nhỏ nhất khác 0 nên a = BCNN(75,60,50)

BCNN(75,60,50) = 22.3.52 = 300

 a = 300 ( phút) = 5 (giờ)

KÈ

Vậy sau 5 giờ thì ba xe lại cùng xuất phát lần thứ 2 . Lúc đó là 11h trưa. Dạng 2. Bài toán đưa về tìm BCNN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước. I. Phương pháp giải.

– Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm bội chung của hai hay nhiều số cho trước.

Nếu x ⋮ a, x ⋮ b  x ∈ BCNN(a, b)

DẠ

Nếu x chia cho a dư n , x chia cho b dư n  x − n ∈ BCNN(a, b) – Tìm BCNN của các số đó. – Tìm BC của các số là các bội của BCNN này . – Chọn trong số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho. Trang 8

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

II. Bài toán.

FI CI A

Bài 1. Tìm số tự nhiên x biết rằng x⋮ 12, x ⋮ 21, x⋮ 28 và 150 < x < 200 Lời giải Vì x⋮ 12, x ⋮ 21, x⋮ 28 nên x ∈ BC (12,21,28) Ta có: 12 = 22.3 21 = 3.7

28 = 22.7 BCNN(12,21,28) = 22.3.7 = 84 BC(12,21,28) = B ( 84 ) = {0;84;168;252;336;...}

ƠN

Vì 150 < x < 200 nên x = 168 Vậy x = 168

Bài 2. Tìm số tự nhiên x biết rằng x⋮ 12, x⋮ 20, x ⋮ 25 và 0 < x < 450 Lời giải

Vì x⋮ 12, x⋮ 20, x ⋮ 25 nên x ∈ BC(12,20,25)

QU Y

Ta có: 12 = 22.3 20 = 22.5 25 = 52

BCNN(12,20,25) = 22.3.52 = 300

BC(12,20,25) = B ( 300 ) = {0; 300; 600; 900;...}

Vì 0 < x < 450 nên x = 300

KÈ

Vậy x = 300

Bài 3. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ. Tính số sách đó biết số sách trong khoảng 200 đến 500 .

Lời giải

DẠ

Gọi số sách cần tìm là x ( cuốn) , 200 ≤ x ≤ 500 , x ∈ N * Vì số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên x⋮ 10, x ⋮ 12, x ⋮ 18  x ∈ BC(10,12,18)

Trang 9

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Ta có: 10 = 2.5

FI CI A

12 = 22.3 18 = 2.32 BCNN(10,12,18) = 22.32.5 = 180 BC(10,12,18) = B (180 ) = {0; 180; 360; 540; ...}

Vì 200 ≤ x ≤ 500 nên x = 360

Vậy số sách cần tìm là 360 cuốn.

Bài 4. Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp

35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ.

ƠN

Lời giải

Gọi số học sinh cần tìm là x ( học sinh) , 800 ≤ x ≤ 900 , x ∈ N * Vì xếp 35 hoặc 40 học sinh lên xe thì vừa đủ nên x ⋮ 35, x⋮ 40

 x ∈ BC(35, 40) Ta có: 35 = 5.7 40 = 23.5

QU Y

BCNN(35, 40) = 23.5.7 = 280

BC(35, 40) = B ( 280 ) = {0; 280; 560; 840;1120;...}

Vì 800 ≤ x ≤ 900 nên x = 840

Vậy trường đó có 840 học sinh.

Bài 5. Một trường tổ chức cho khoảng 700 đến 800 học sinh đi tham quan. Tính số học sinh biết nếu xếp Lời giải

KÈ

40 người hoặc 45 người lên xe ô tô thì vừa đủ. Gọi số học sinh của trường là: n ( n ∈ N * )

Theo bài ta có: 700 ≤ n ≤ 800

DẠ

Vì n⋮ 45; n⋮ 40  n ∈ BC (40, 45)  n ∈ B( BCNN (40, 45)) Ta có: 40 = 23.5 45 = 32.5

Trang 10

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Vậy số học sinh của trường đó là 700

FI CI A

n ∈ B(360) BCNN (40, 45) = 23.32.5 = 360    n = 700 700 ≤ n ≤ 800 Bài 6. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số chia cho 18;30; 45 có số dư lần lượt 8; 20;35 . Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N , 100 ≤ x ≤ 999 Vì x chia cho 18;30; 45 có số dư lần lượt 8; 20;35 nên x + 10⋮18,30,45

 x + 10 ∈ BC (18,30, 45)

Ta có: 18 = 2.32

ƠN

30 = 2.3.5

45 = 32.5 BCNN(18,30, 45) = 2.32.5 = 90

BC(18,30, 45) = B ( 90 ) = {0; 90; 180; 270;360; 450; 540; 630; 720;810;900; 990;1080;...}

Vì 100 ≤ x ≤ 999 nên 110 ≤ x + 10 ≤ 1009 và x nhỏ nhất

 x + 10 = 180

QU Y

x = 170 Vậy số cần tìm là 170

Bài 7. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, sao cho chia nó cho 17;25 có số dư lần lượt 8 và 16 . Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N , 100 ≤ x ≤ 999

Vì x chia cho 17;25 có số dư lần lượt 8 và 16 nên x + 9⋮17, 25

KÈ

 x + 9 ∈ BC (17,25)

BCNN(17,25) = 17.25 = 425 BC(17,25) = B ( 425 ) = {0; 425; 850; 1275;...}

DẠ

Vì 100 ≤ x ≤ 999 nên 109 ≤ x + 9 ≤ 1008  x + 9 ∈ {425;850}  x ∈ {416;841}

Vậy số cần tìm là 416 hoặc 841 . Trang 11

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Bài 8. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho n chia cho 8 thì dư 7 , chia cho 31 thì dư 28 .

FI CI A

Lời giải Vì n chia cho 8 thì dư 7 , chia cho 31 thì dư 28 nên

n = 8k + 7 với k , m ∈ N  n = 31 m + 28 

BCNN(8,31) = 8.31 = 248 BC(8,31) = B ( 248 ) = {0; 248; 496; 744;992;1240;...}

ƠN

Vì n là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên n + 65 = 992

n + 65 = 8k + 72⋮ 8  n + 65 = 31m + 93⋮ 31

 n = 927 Vậy n = 927 Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N , x < 500

Bài 9. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500 , sao cho chia nó cho 15 ; cho 35 có số dư lần lượt 8 và 13.

Vì x chia cho 15 ; 35 có số dư lần lượt 8 và 13 nên

QU Y

 x = 15k + 8 với k , m ∈ N   x = 35m + 13  x + 232 = 15k + 240⋮ 15   x + 232 = 35m + 245⋮ 35

Ta có: 15 = 3.5

KÈ

35 = 5.7

 x + 232 ∈ BC (15;35 )

BCNN(15,35) = 3.5.7 = 105 BC(15,35) = B (105 ) = {0; 105;210;315; 420;525;630; 735;...}

DẠ

Vì 0 < x < 500 nên 232 < x + 232 < 732  x + 232 ∈ {315; 420;525;630}  x ∈ {83;188; 293;398}

Trang 12

Vậy x ∈ {83;188; 293;398}

FI CI A

Bài 10. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 12 , cho 18, cho 23 có số dư theo thứ tự là 11,17,9.

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là: a ( a ∈ N ) Theo bài ta có: a = 12k + 11 = 18q + 17 = 2.3. p + 9 (k , p, q ∈ N )

 a + 37 = 12k + 48⋮12; a + 37 = 18q + 54⋮18; a + 37 = 23 p + 46⋮ 23  a + 37 ∈ BC (12,18, 23)

Vì a nhỏ nhất

 a + 37 = BCNN (12,18, 23);12 = 22.3;18 = 2.32 ;23 = 23  BCNN (12,18, 23) = 22.32.23 = 828  a = 828 − 37 = 791

ƠN

Vậy số tự nhiên cần tìm là 791

Bài 11. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5 , cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4,5.

Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N

Lời giải

Vì x chia cho 5 , cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4,5 nên

QU Y

 x = 5k + 3   x = 7m + 4 với k , m, n ∈ N  x = 9n + 5 

2 x = 10k + 6 2 x − 1 = 10k + 5⋮ 5    2 x = 14m + 8  2 x − 1 = 14m + 7⋮ 7 2 x = 18n + 10 2 x − 1 = 18n + 9⋮ 9  

 2 x − 1 ∈ BC(5, 7,9) mà x nhỏ nhất  2 x − 1 ∈ BCNN(5, 7,9) BCNN(5, 7,9) = 5.7.9 = 315

KÈ

 2 x − 1 = 315 2 x = 316 x = 158

Vậy x = 158

DẠ

Bài 12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8 dư 6 , chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và chia hết cho

23 .

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N Trang 13

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Vì x chia cho 8 dư 6 , chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13

FI CI A

nên x + 2⋮ 8, x + 2⋮ 12, x + 2⋮ 15  x + 2 ∈ BC(8,12,15)

Ta có: 8 = 23

12 = 22.3 15 = 3.5

BCNN(8,12,15) = 23.3.5 = 120

BC(8,12,15) = BC(120) = {0;120; 240;360; 480; 600; ...}  x + 2 ∈ {120;240;360; 480;600;...}

ƠN

 x ∈ {118;238;358; 478;598;...}

Vì x nhỏ nhất, x chia hết cho 23 nên x = 598.

Vậy x = 598

Bài 13. Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2,3, 4,5 đều thừa 1 người, Tính số đội viên biết số đó nằm trong khoảng 100 đến 150 ? Lời giải

QU Y

Gọi số đội viên cần tìm là x ( đội viên) , 100 ≤ x ≤ 150 , x ∈ N * Đội thiếu niên khi xếp hàng 2,3, 4,5 đều thừa 1 người nên x chia cho 2,3, 4,5 đều dư 1

 x − 1⋮ 2,x − 1⋮ 3, x − 1⋮ 4, x − 1⋮ 5  x − 1 ∈ BC (2,3, 4,5)

BCNN(2,3, 4,5) = 22.3.5 = 60

KÈ

BC(2,3, 4,5) = B ( 60 ) = {0; 60; 120; 180; ...}

Vì 100 ≤ x ≤ 150 nên x = 120 Vậy số đội viên là 120 đội viên

Bài 14. Số học sinh khối 6 của một trường THCS trong khoảng từ 200 đến 400 , khi xếp hàng 12,15 và

DẠ

18 đều thừa 5 học sinh. Tính số học sinh của trường đó. Lời giải

Gọi số học sinh của trường đó là x ( học sinh), 200 ≤ x ≤ 400 , x ∈ N *

Khi xếp hàng 12,15,18 đều thừa 5 học sinh nên x chia cho 12,15,18 đều dư 5 Trang 14

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

 x − 5⋮ 12, x − 5⋮ 15, x − 5⋮ 18

FI CI A

 x − 5 ∈ BC(12,15,18)

Ta có:

12 = 22.3 15 = 3.5 18 = 2.32

BCNN(12,15,18) = 22.32.5 = 180 BC(12,15,18) = B (180 ) = {0; 180; 360; 540; ...}

Vì 200 ≤ x ≤ 400 nên x = 360

ƠN

Vậy số học sinh của trường đó là 360 học sinh.

Bài 15. Một trường học có số lượng học sinh không quá 1000. Khi xếp hàng 20,25,30 thì đều dư 15 . Lời giải

Nhưng khi xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó.

Gọi số học sinh của trường đó là: n ( n ∈ N * ) Theo bài ra ta có: n ≤ 1000

QU Y

Lại có: n − 15⋮ 20, 25,30; n⋮ 41

n − 15 ∈ BC (20, 25,30) ∈ B ( BCNN (20, 25, 30) = 300  n − 15 ∈ B (300)

Mà n − 15 ≤ 1000 − 15 = 985  n − 15 ∈ {300, 600,900}

 n ∈ {315, 615,915}   n = 615  n ⋮ 41 Vậy số học sinh của trường là 615 học sinh.

KÈ

Bài 16. Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 người tham gia. Khi tổng chỉ huy cho xếp 5,6,8 hàng thì thấy lẻ 1 người, Khi cho đoàn xếp hàng 13 thì vừa vặn không thừa người nào. Hỏi số người tham gia tập đồng diễn là bao nhiêu ?

Lời giải

DẠ

Gọi số người tham gia tập đồng diễn là x ( người), 350 ≤ x ≤ 500 , x ∈ N * Khi tổng chỉ huy cho xếp 5,6,8 hàng thì thấy lẻ 1 người

 x − 1⋮ 5, x − 1⋮ 6, x − 1⋮ 8  x − 1 ∈ BC(5,6,8) Trang 15

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Ta có: 5 = 5

8 = 23 BCNN(5,6,8) = 23.3.5 = 120 BC(5,6,8) = BC(120) = {0;120; 240;360; 480;600; ...}  x − 1 ∈ {0;120; 240;360; 480; 600;...}

 x ∈ {1;121; 241;361; 481;...}

FI CI A

6 = 2.3

Vì 350 ≤ x ≤ 500 và x chia hết cho 13 nên x = 481 Vậy số người tham gia đồng diễn là 481 người

ƠN

Bài 17. Một khối học sinh khi xếp hàng 2,3, 4,5,6 đều thiếu 1 người nhưng xếp hàng 7 thì vừa đủ, biết số học sinh chưa đến 300 . Tính số học sinh của khối đó ?

Lời giải

Gọi số học sinh cần tìm là x ( học sinh), x < 300 , x ∈ N *

Một khối học sinh khi xếp hàng 2,3, 4,5,6 đều thiếu 1 người nên

 x + 1⋮ 2, x + 1⋮ 3, x + 1⋮ 4, x + 1⋮ 5, x + 1⋮ 6

QU Y

 x + 1 ∈ BC(2;3; 4; 5,6)

BCNN(2,3,4,5,6) = 22.3.5 = 60

BC(2,3, 4,5,6) = B ( 60 ) = {0; 60; 120; 180; 240;300;...}

 x + 1 ∈ {60; 120; 180;240;300;...}  x ∈ {59; 119; 179;239;299;...}

KÈ

Khối học sinh xếp hàng 7 thì vừa đủ nên x chia hết cho 7 và x < 300 nên x = 119 Vậy số học sinh của khối đó là 119

Bài 18. Số học sinh tham gia nghi thức đội là một số có ba chữ số lớn hơn 800. Nếu xếp hàng 20 thì dư

9 em, nếu xếp hàng 30 thì thiếu 21 em và xếp hàng 35 thì thiếu 26 em. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh

DẠ

tham gia?

Lời giải

Gọi số học sinh tham gia nghi thức đội là x ( học sinh), x ∈ N * , 800 < x < 999

Nếu xếp hàng 20 thì dư 9 em, nếu xếp hàng 30 thì thiếu 21 em và xếp hàng 35 thì thiếu 26 em nên Trang 16

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

 x − 9⋮ 20   x + 21⋮ 30  x + 26⋮ 35   x = 20k + 9   x = 30m − 21 với k , m, n ∈ N  x = 35n − 26 

 x − 9 = 20k ⋮ 20   x − 9 = 30m − 30⋮ 30  x − 9 = 35n − 35⋮ 35   x − 9 ∈ BC(20,30,35)

ƠN

Ta có: 20 = 22.5

30 = 2.3.5 35 = 5.7

BCNN(20,30,35) = 2 2.3.5.7 = 420

BC(20,30,35) = BC(420) = {0; 420;840;1260; ...}

QU Y

 x − 9 ∈ {0; 420;840;1260; ...}  x ∈ {9; 429;849;1269; ...}

Vì 800 < x < 999 nên x = 849

Vậy số học sinh tham gia nghi thức đội là 849 em

Bài 19. Người ta đếm số trứng trong một rổ. Nếu đếm theo từng chục cũng như theo tá hoặc theo từng 15

quả thì lần nào cũng dư 1 quả. Tính số trứng trong rổ, biết rằng số trứng đó lớn hơn 150 và nhỏ hơn 200

KÈ

quả.

Lời giải

Gọi số trứng trong rổ là n ( n ∈ N * )

Ta có: 150 < n < 200 (1);(n − 1)⋮10,12,15

DẠ

 n − 1 ∈ BC (10,12,15)  n − 1 ∈ B (60)

Theo (1)  149 < n − 1 < 199  n − 1 = 180  n = 181 Vậy số trứng trong rổ là 181 quả

Trang 17

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Bài 20. Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg;

Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài ?

Lời giải Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65 + 71 + 58 + 72 + 93 = 359 ( kg )

FI CI A

58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại.

Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4 , mà 359 Trong các số 65; 71;58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 . Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg.

Số cam còn lại: 288 : 4 = 72 ( kg ) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg .

Các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg; 58 kg; 93 kg.

ƠN

Số xoài và cam còn lại: 359 − 71 = 288 ( kg )

chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3 .

Bài 21. Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5 , chia cho 13 dư 4 . Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu? Gọi số đó là a

QU Y

Lời giải

Vì a chia cho 7 dư 5 , chia cho 13 dư 4  a + 9⋮ 7; a + 9⋮13 mà ƯCLN(7, 13) = 1 nên  a + 9⋮ 7.13 = 91

 a + 9 = 91k  a = 91k − 9 = 91k − 91 + 82 = 91( k − 1) + 82 ( k ∈ N )

Vậy a chia cho 91 dư 82 . 7 thì dư 3 .

Lời giải

KÈ

Bài 22. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho

Gọi số tự nhiên cần tìm là a ( a ∈ N , a > 3)

Khi chia a cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2

DẠ

 a − 2 ∈ BC ( 3; 4;5;6 ) = {60;120;180; 240;....}

Nên a nhận các giá trị 62;122;182; 242;...

Mặt khác a là số nhỏ nhất chia cho 7 thì dư 3 tức là ( a − 3) là số nhỏ nhất chia hết cho 7 Trang 18

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

 a = 122 (vì a = 62 thì 62 − 3 = 59 không chia hết cho 7 ).

FI CI A

Vậy số cần tìm là 122.

Bài 23. Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 kg còn lại mỗi bạn thu được 11 kg. Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 kg còn lại mỗi bạn thu được 10 kg. Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200 kg đến 300 kg.

Lời giải

Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x ( kg )  ( x − 26 )⋮11 và ( x − 25 )⋮10 Do đó ( x − 15 ) ∈ BC (10;11) và 200 < x < 300  x − 15 = 220  x = 235 Số học sinh lớp 6A là: ( 235 − 26 ) :11 + 1 = 20 (học sinh)

ƠN

Số học sinh lớp 6B là: ( 235 − 25) :10 + 1 = 22 (học sinh) Vậy lớp 6A có 20 học sinh Lớp 6B có 22 học sinh.

Bài 24. Số học sinh khối 6 của một trường chưa đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6 của trường đó.

Lời giải

QU Y

Gọi số học sinh là a ( a ∈ N * )

Vì số học sinh khi xếp hàng 10;12;15 đều dư 3  a − 3 ∈ BC (10;12;15) Mà BCNN (10;12;15 ) = 60  a − 3 = 60k ( k ∈ N * )  a = 60k + 3

Ta có bảng sau:

123

183

243

303

363

423

KÈ

Dạng 3. Bài toán đưa về tìm ƯCLN của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.

DẠ

I. Phương pháp giải. – Phân tích đề bài, suy luận để đưa về việc tìm ước chung của hai hay nhiều số cho trước. Nếu a⋮ x , b⋮ x  x ∈ ÖC(a, b)

Trang 19

FI CI A

a − n⋮ x  x ∈ ÖC(a − n, b − m) Nếu a chia x cho dư n , b chia cho x dư m   b − m ⋮ x

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

– Tìm ƯCLN của các số đó. – Tìm ƯC của các số là các ước của ƯCLN này . – Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.

II. Bài toán. Lời giải Vì chia 24 cho a thì dư 3 và khi chia 38 cho a cũng dư 3 nên

24 − 3⋮ a và a > 3

ƠN

38 − 3⋮ a và a > 3 21⋮ a  35⋮ a

 a ∈ ÖC(21,35) Ta có : 21 = 3.7

QU Y

35 = 5.7 ÖCLN(21,35) = 7

Bài 1.Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 24 cho a thì dư 3 và khi chia 38 cho a cũng dư 3

ÖC(21,35) = Ö ( 7 ) = {1; 7}  a ∈ {1; 7}

Vậy a = 7

Vì a > 3 nên a = 7

Lời giải

KÈ

Bài 2. Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia a dư 12 và 280 chia a dư 10. Vì 156 chia a dư 12 và 280 chia a dư 10 nên

156 − 12⋮ a và a > 12

280 − 10⋮ a và a > 10

DẠ

144⋮ a  270⋮ a

 a ∈ ÖC(144,270) Trang 20

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Ta có : 144 = 24.32

FI CI A

270 = 2.33.5 ÖCLN(144,270) = 2.32 = 18 ÖC(144,270) = Ö (18 ) = {1;2;3;6; 9;18}  a ∈ {1; 2;3; 6; 9;18}

Vì a > 12 nên a = 18

Vậy a = 18

Bài 3. Tìm số tự nhiên n biết 288 chia n dư 38 và 414 chia n dư 14. Lời giải

ƠN

Vì 288 chia n dư 38 và 414 chia n dư 14 nên

288 − 38⋮ n và n > 38 414 − 14⋮ n và n > 14

250⋮ n  400⋮ n

Ta có : 250 = 2.53

400 = 24.52

QU Y

 n ∈ ÖC(250,400)

ÖCLN(250, 400) = 2.52 = 50

ÖC(250, 400) = Ö ( 50 ) = {1; 2;5;10;25;50}

 n ∈ {1; 2; 5;10;25;50}

KÈ

Vì n > 38 nên n = 50 Vậy n = 50

Bài 4. Tìm số tự nhiên b lớn nhất biết rằng chia 326 cho b thì dư 11, còn chia 553 cho b thì dư 13.

Lời giải

DẠ

Vì chia 326 cho b thì dư 11, còn chia 553 cho b thì dư 13 nên

326 − 11⋮ b và b > 11 553 − 13⋮ b và b > 13

Trang 21

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

315⋮ b  540⋮ b

 b ∈ ÖC(315,540) Ta có : 315 = 32.5.7

540 = 22.33.5 ÖCLN(315,540) = 32.5 = 45

ÖC(315,540) = Ö ( 45 ) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Vì b > 13 , b lớn nhất nên b = 45 Vậy b = 45

Lời giải

398 − 38⋮ a và a > 38

360⋮ a  432⋮ a

 a ∈ ÖC(360,432) Ta có : 360 = 23.32.5

432 = 24.33

QU Y

450 − 18⋮ a và a > 18

Vì 398 chia a dư 38, 450 chia a dư 18 nên

ƠN

Bài 5. Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia a dư 38, 450 chia a dư 18.

ÖCLN(360, 432) = 23.32 = 72

ÖC(360, 432) = Ö ( 72 ) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24;36; 72}

KÈ

Vì a > 38 nên a = 72 Vậy a = 72

Bài 6. Tìm số tự nhiên a biết rằng 350 chia a dư 14 và 320 chia a dư 26.

Lời giải

DẠ

Vì 350 chia a dư 14 và 320 chia a dư 26 nên

350 − 14⋮ a và a > 14 320 − 26⋮ a và a > 26 Trang 22

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

336⋮ a  294⋮ a

 a ∈ ÖC(336,294) Ta có : 336 = 24.3.7

294 = 2.3.72

ÖC(336,294) = Ö ( 42 ) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

Vì a > 26 nên a = 42 Vậy a = 42

ÖCLN(336,294) = 2.3.7 = 42

Lời giải

264 − 24⋮ a và a > 24 363 − 43⋮ a và a > 43

 a ∈ ÖC(240,320) Ta có : 240 = 24.3.5

320 = 26.5

QU Y

240⋮ a  320⋮ a

Vì 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43 nên

ƠN

Bài 7. Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43.

ÖCLN(240,320) = 2 4.5 = 80

ÖC(240,320) = Ö ( 80 ) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40;80}

KÈ

Vì a > 43 nên a = 80 Vậy a = 80

Bài 8. Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 111 cho a thì dư 15 còn khi chia 180 cho a thì dư 20.

Lời giải

DẠ

Vì chia 111 cho a thì dư 15 còn khi chia 180 cho a thì dư 20 nên

111 − 15⋮ a và a > 15 180 − 20⋮ a và a > 20

Trang 23

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

96⋮ a  160⋮ a

 a ∈ ÖC(96,160) Ta có : 96 = 25.3

160 = 25.5

ÖC(96,160) = Ö ( 32 ) = {1; 2; 4; 8;16; 32}

Vì a > 20 nên a = 32 Vậy a = 32

ÖCLN(96,160) = 2 5 = 32

ƠN

Bài 9. Nếu ta chia 2 số 3972 và 170 cho cùng một số thì sẽ được số dư tương ứng là 4 và 42. Hỏi số chia là bao nhiêu? Gọi số chia cần tìm là a

Lời giải Vì 3972 chia a dư 4 và 170 chia a dư 42 nên

3972 − 4⋮ a và a > 4

QU Y

170 − 42⋮ a và a > 42 3968⋮ a  128⋮ a

 a ∈ ÖC(3968,128)

ÖCLN(3968,128) = 128

ÖC(3968,128) = Ö (128) = {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;128}

KÈ

Vì a > 42 nên a ∈ {64; 128} Vậy a ∈ {64; 128}

Bài 10. Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia a thì dư 38 còn 522 chia cho a thì dư 18. Lời giải

DẠ

Vì 398 chia a dư 38 và 522 chia a dư 18 nên

398 − 38⋮ a và a > 38 522 − 18⋮ a và a > 18 Trang 24

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

 a ∈ ÖC(360,504) Ta có : 360 = 23.32.5

504 = 23.32.7 ÖCLN(360,504) = 23.32 = 72

ÖC(360,504) = Ö ( 72 ) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24;36; 72}

FI CI A

360⋮ a  504⋮ a

Vì a > 38 nên a = 72 Vậy a = 72

ƠN

Bài 11. Tìm số tự nhiên n biết rằng khi chia 147 và 193 cho n thì có số dư lần lượt là 17 và 11. Lời giải

147 − 17⋮ n và n > 17 193 − 11⋮ n và n > 11

 n ∈ ÖC(130,182) Ta có : 130 = 2.5.13

182 = 2.7.13

QU Y

130⋮ n  182⋮ n

Vì 147 chia n dư 17 và 193 chia n dư 11 nên

ÖCLN(130,182) = 2.13 = 26

ÖC(130,182) = Ö ( 26 ) = {1; 2;13;26}

KÈ

Vì n > 17 nên n = 26 Vậy n = 26

Bài 12. Tìm số tự nhiên a biết rằng 351 chia cho a dư 15 còn 321 chia cho a dư 27.

Lời giải

DẠ

Vì 351 chia a dư 15 và 321 chia a dư 27 nên

351 − 15⋮ a và a > 15 321 − 27⋮ a và a > 27

Trang 25

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

336⋮ a  294⋮ a

 a ∈ ÖC(336,294) Ta có : 336 = 24.3.7

294 = 2.3.72

ÖC(336,294) = Ö ( 42 ) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

Vì a > 27 nên a = 42 Vậy a = 42

ÖCLN(336,294) = 2.3.7 = 42

ƠN

Bài 13. Tìm số tự nhiên b biết rằng chia 327 cho b thì dư 12 còn chia 557 cho b thì dư 17. Lời giải

327 − 12⋮ b và b > 12 557 − 17⋮ b và b > 17

QU Y

315⋮ b  540⋮ b

Vì chia 327 cho b thì dư 12 còn chia 557 cho b thì dư 17 nên

 b ∈ ÖC(315,540) Ta có : 315 = 32.5.7

540 = 22.33.5

ÖCLN(315,540) = 32.5 = 45

ÖC(315,540) = Ö ( 45 ) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

KÈ

Vì b > 17 nên b = 45 Vậy b = 45

Bài 14. Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho khi chia 364, 414,539 cho n ta được 3 số dư bằng nhau

Lời giải

DẠ

Vì ba số 364, 414,539 chia n có cùng số dư nên hiệu 2 số chia hết cho n  414 − 364⋮ n 50 ⋮ n    539 − 364 ⋮ n  175⋮ n mà n lớn nhất  n ∈ ÖCLN (50,175,125) 539 − 414⋮ n 125⋮ n   Trang 26

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

175 = 52.7 125 = 53 ÖCLN (50,175,125) = 52 = 25  n = 25

Vậy n = 25

Bài 15. Tìm số tự nhiên a biết 1960,2002 chia a có cùng số dư là 28. Lời giải Vì 1960 chia a dư 28 và 2002 chia a dư 28 nên

ƠN

1960 − 28⋮ a và a > 28

 a ∈ ÖC (1932,1974) Ta có : 1932 = 22.3.7.23

QU Y

1974 = 2.3.7.47

2002 − 28⋮ a và a > 28 1932⋮ a  1974⋮ a

FI CI A

Ta có : 50 = 2.52

ÖCLN(1932,1974) = 2.3.7 = 42

ÖC(1932,1974) = Ö ( 42 ) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

Vì a > 28 nên a = 42 Vậy a = 42

Lời giải

KÈ

nhiêu?

Bài 16. Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao

Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: A = 7a + 3 = 17b + 12 = 23c + 7

Mặt khác: A + 39 = 7a + 3 + 39 = 17b + 12 + 39 = 23c + 7 + 39 = 7 ( a + 6 ) = 17 ( b + 3) = 23 ( c + 2 )

DẠ

Như vậy A + 39 đồng thời chia hết cho 7 , 17 và 23 . Nhưng ƯCLN(7, 17, 23) = 1  ( A + 39 )⋮ 7.17.23  ( A + 39 )⋮ 2737  A + 39 = 2737.k

 A = 2737k − 39 = 2737 ( k − 1) + 2698

Trang 27

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a +1 b

b +1 a

là số tự nhiên. Gọi d là ƯCLN của

FI CI A

Bài 17. Cho a, b là các số tự nhiên khác 0 sao cho

Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737

a, b

Chứng minh rằng: a + b ≥ d 2

Lời giải

Ta có :  a = dm d = (a, b)   với ( m, n ) = 1 b = dn

a 2 = d 2 m 2 ⋮ d 2   a + b ⋮ d 2  a + b ≥ d 2  đpcm 2 2 2 2  b = d n ⋮ d 

ƠN

 a 2 + b 2 + a + b ⋮ ab a + 1 b + 1 a2 + b2 + a + b + = ∈N    a 2 + b2 + a + b⋮ d 2 2 2 b a ab  ab = d .m.n ⋮ d

PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. Bài 1: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 11 dư 6 , chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11 ( HSG huyện Quế Võ – Năm 2020 – 2021)

QU Y

Lời giải

Theo đề bài số cần tìm là n (n ∈Ν) , theo đề ra ta có:

n :11 dư 6  n − 6⋮11  n − 6 + 33 = n + 27 chia hết cho 11 (Do 33⋮11 ) n : 4 dư 1  n − 1⋮ 4  n − 1 + 28 = n + 27 chia hết cho 4 (Do 28⋮ 4 ) n :19 dư 11  n − 11⋮19  n − 11 + 38 = n + 27 chia hết cho 19 (Do 38⋮19 )

Suy ra n + 27 chia hết cho các số 4; 11; 19 mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên

KÈ

n + 27 = BCNN ( 4; 11; 19) = 836

Vậy n = 836 − 27 = 809

Bài 2: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho khi a chia cho 2 dư 1 , a chia cho 3 dư 1 , a chia cho 5 dư 4 ,

a chia cho 7 dư 3

( HSG CƯM’GAR – Năm 2020 – 2021)

DẠ

Lời giải

Theo đề bài số cần tìm là a (a ∈ Ν) , theo đề ra ta có:

a : 2 dư 1  a + 1⋮ 2  a + 1 + 10 = a + 11 chia hết cho 2 (Do 10⋮ 2 ) Trang 28

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a : 3 dư 1  a + 2⋮3  a + 2 + 9 = a + 11 chia hết cho 3 (Do 9⋮ 3 )

FI CI A

a : 5 dư 4  a + 1⋮5  a + 1 + 10 = a + 11 chia hết cho 5 (Do 10⋮5 ) a : 7 dư 3  a + 4⋮ 7  a + 4 + 7 = a + 11 chia hết cho 7 (Do 7⋮ 7 ) Suy ra a + 11 cùng chia hết cho 2;3;5;7 mà a là số nhỏ nhất nên

a + 11 = BCNN ( 2;3;5;7 ) Mà 2;3;5;7 đôi một nguyên tố cùng nhau

Vậy a = 199

Do vậy: a + 11 = 2.3.5.7 = 210

Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3 ; chia cho 6 dư 4 . ( HSG Quảng Trạch – Năm 2020 – 2021)

ƠN

Lời giải Gọi số cần tìm là a (a ∈ Ν) , theo đề ra ta có:

a : 3 dư 1  a + 2⋮ 3

a : 4 dư 2  a + 2⋮ 4 a : 5 dư 3  a + 2⋮ 5 a : 6 dư 4  a + 2⋮ 6

QU Y

Suy ra a + 2 cùng chia hết cho 3;4;5;6 mà a là số nhỏ nhất nên

a + 2 = BCNN ( 3;4;5;6 ) = 60 Vậy a = 58

Bài 4: Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho khi chia số đó cho 2 , cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 ta

được các số dư lần lượt là 1, 2,3, 4, 5 . ( HSG Nho Quan – Năm 2020 – 2021) Lời giải

KÈ

Gọi số cần tìm là a ( a ∈ Ν , 100 ≤ a ≤ 999 ) a : 2 dư 1  a − 1⋮ 2  a − 1 + 2 = a + 1 chia hết cho 2 (Do 2⋮ 2 )

a : 3 dư 2  a − 2⋮3  a − 2 + 3 = a + 1 chia hết cho 3 (Do 3⋮ 3 )

a : 4 dư 3  a − 3⋮ 4  a − 3 + 4 = a + 1 chia hết cho 4 (Do 4⋮ 4 )

DẠ

a : 5 dư 4  a − 1⋮5  a − 4 + 5 = a + 1 chia hết cho 5 (Do 5⋮ 5 ) a : 6 dư 5  a − 5⋮ 6  a − 5 + 6 = a + 1 chia hết cho 6 (Do 6⋮ 6 )

Suy ra a + 1 cùng chia hết cho 2;3; 4;5;6 Ta có:

Trang 29

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

BCNN ( 2;3;4;5;6 ) = 60

FI CI A

=> a + 1∈ BC (2,3, 4,5,6) = B(60) = {0,60,120,360,...,960,1020,...} Vì a là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên a + 1 = 960 Vậy a = 960 − 1 = 959

Bài 5: Số học sinh của trường THCS A nếu xếp mỗi hàng 10 học sinh thì thừa ra 3 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 12 thì thừa ra 5 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 15 thì thừa ra 8 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 19 thì vừa

đủ . Hỏi trường THCS A có bao nhiêu học sinh tất cả , biết số học sinh của trường đó lớn hơn 800 và nhỏ hơn 1000 . ( OLYMPIC Toán 6 – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

ƠN

Gọi số học sinh của trường THCS A là x ( x ∈ N*, 800<x<1000, häc sinh) Theo đề ra ta có:

Xếp mỗi hàng 19 học sinh thì vừa đủ nên x ⋮19 , suy ra đặt x = 19 k (k ∈ N *) khi đó vì:

19k − 3 + 10 = 19k + 7⋮10 (vì 10⋮10 )

Xếp mỗi hàng 10 học sinh thừa 3 học sinh nên x :10 dư 3 , suy ra 19k :10 dư 3 hay

Xếp mỗi hàng 12 học sinh thì thừa 5 học sinh nên x :12 dư 5 , suy ra 19k :12 dư 5 hay

19k − 5 + 12 = 19k + 7⋮12 (vì 12⋮12 )

QU Y

xếp mỗi hàng 15 học sinh thì thừa 8 học sinh nên x :15 dư 8 , suy ra 19k :15 dư 8 hay

19k − 8 + 15 = 19k + 7⋮15 (vì 15⋮15 )

Do đó 19k + 7 ∈ BC( BCNN (10,12,15))

=> 19k + 7 ∈ BC(60) = {0;60;120;180;240;300;360;420;480;540;600;660;720;780;840;900;960;1020;...}

Vì x ∈ N*, 800<x<1000, häc sinh) nên 19k + 7 ∈ {840;900;960}

19k + 7 k

KÈ

Lập bảng:

840

900

960

833 (loại) 19

47 (Thỏa mãn)

953 (loại) 19

=> a = 19.47 = 893 (học sinh)

DẠ

Vậy số học sinh của trường THCS A là 893 học sinh.

Bài 6: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết a chia cho 104 dư 51 , a chia cho 96 dư 27 . ( HSG Kim Sơn – Năm 2020 – 2021).

Lời giải

Trang 30

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Gọi số cần tìm là a (a ∈ Ν) , theo đề ra ta có:

FI CI A

=> a − 51⋮104 => a − 51 + 3.104⋮104 => a + 261⋮104 (Vì 3.104⋮104 ) => a − 27⋮ 96 => a − 27 + 3.96⋮ 96 => a + 261⋮ 96 (Vì 3.96⋮ 96 ) Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên: => a + 261 = BCNN (96;104) = 1248

Vậy a = 1248 − 261 = 987

Bài 7: Tìm số tự nhiên a , biết rằng 296 chia cho a thì dư 16 , còn 230 chia cho a thì dư 10. ( Năng khiếu toán 6 lần 1 – Năm 2020 – 2021)

Lời giải Gọi số cần tìm là a (a ∈ Ν*, a > 16) , theo đề ra ta có:

ƠN

296 − 16⋮ a => 280⋮ a 230 − 10⋮ a => 220⋮ a

a ∈¦ ( ¦CLN {220;280} ) = ¦ ( 20 )

Vì a > 16 nên a = 20 Vậy a = 20

QU Y

Bài 8: Tìm số tự nhiên a biết rằng a chia cho 7 dư 3 ; a chia cho 9 dư 1, a chia hết cho 11 và a nằm trong khoảng từ 350 đến 500 .

( HSG Nam Đàn – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số cần tìm là a (a ∈Ν,350 < a < 500) , theo đề ra ta có:

a : 7 dư 3  a − 3⋮ 7  a − 3 + 245 = a + 242⋮ 7 nên a + 242 chia hết cho 7 (Do 245⋮ 7 )

KÈ

a : 9 dư 1  a − 1⋮ 9  a − 1 + 243 = a + 242 ⋮ 9 nên a + 242 chia hết cho 9 (Do 243⋮9 ) a⋮ 11 => a + 242 ⋮ 11 (Do 242⋮11 )

Suy ra a + 242 cùng chia hết cho 7;9;11

Nên a + 242 ∈ B ( BCNN ( 7,9,11) ) = B ( 693) = {0;693;1386...}

DẠ

Vì a ∈Ν, 350 < a < 500 do đó a + 242 = 693 => a = 451 Vậy a = 451

Bài 9: Tìm số tự nhiên a , biết 398 chia cho a dư 38 , còn 450 chia cho a dư 18 .

( OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021) Trang 31

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Lời giải

398 − 38⋮ a => 360⋮ a 450 − 18⋮ a => 432⋮ a

=> a ∈¦ (¦ CLN {360;432}) =¦ (72) = {1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72} Vì a > 38 nên a = 72

FI CI A

Gọi số cần tìm là a (a ∈ Ν*, a > 38) , theo đề ra ta có:

Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết khi chia số đó cho 36, 40, 42 lần lượt được các số dư là 34, 38, 40. (OLYMPIC toán 6 Quốc Oai – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

ƠN

Gọi số cần tìm là a , a ∈ Ν , theo đề ra ta có:

a : 36 dư 34  a − 34⋮36  a − 34 + 36 = a + 2 chia hết cho 36 (Do 36⋮36 ) a : 40 dư 38  a − 38⋮ 40  a − 38 + 40 = a + 2 chia hết cho 40 (Do 40⋮ 40 )

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên: => a + 2 = BCNN (36;40;42) = 2520

Vậy a = 2520 − 2 = 2518

a : 42 dư 40  a − 40⋮ 42  a − 40 + 42 = a + 2 chia hết cho 42 (Do 42⋮ 42 )

QU Y

Bài 11: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho khi chia số đó cho 8 dư 7 và chia số đó cho 31 dư

28 .

( HSG Lục Nam – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N

Vì x chia cho 8 dư 7 , chia cho 31 dư 28 nên

KÈ

 x = 8k + 7 v ới k , m ∈ N   x = 31m + 28

 x + 65 = 8k + 72⋮ 8   x + 65 = 31m + 93⋮ 31

DẠ

 x + 65 ∈ BC ( 8;31)

BCNN(8,31) = 8.31 = 248 BC(8,31) = B ( 248) = {0; 248; 496; 744;992;1240;...} Trang 32

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Vì x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số nên x + 65 = 992  x = 927

FI CI A

Vậy số cần tìm là 927

Bài 12: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25,28 và 35 thì được các số dư lần lượt là 5,8,15. ( HSG Bá Thước – Năm 2020 – 2021)

Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N

Vì x chia cho các số 25,28 và 35 thì được các số dư lần lượt là 5,8,15 nên x + 20 ⋮ 25 x + 20 ⋮ 28

ƠN

x + 20 ⋮ 35

Ta có: 25 = 52 ; 28 = 22.7; 35 = 5.7

BCNN(25,28,35) = 22.52.7 = 700

 x + 20 ∈ BC ( 25, 28,35 )

BC(25,28,35) = B ( 700 ) = {0; 700;1400; ...}

QU Y

Vì x là số tự nhiên có 3 chữ số nên x + 20 = 700  x = 700 − 20 = 680 Vậy số cần tìm là 680

Bài 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số đó cho các số 7; 9;17 được số dư lần lượt là 1;3;13 (HSG Gia Bình – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N

KÈ

Vì x chia cho cho các số 7; 9;17 được số dư lần lượt là 1;3;13 nên

 x = 7k + 1  *  x = 9m + 3 ( Với k , m, n ∈ N )  x = 17n + 13 

DẠ

 x + 888 = 7k + 889 ⋮ 7    x + 888 = 9m + 891⋮ 9  x + 888 = 17n + 901⋮17 

 x + 888 ∈ BC ( 7, 9,17 ) mà x nhỏ nhất Trang 33

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

 x + 888 = BCNN ( 7, 9,17 ) = 1071

FI CI A

 x = 183 Vậy số cần tìm là 183

Bài 14: Số học sinh khối 6 của một trường khi xếp hàng 12 , hàng 15, hàng 18 đều thừa 2 học sinh. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 200 em. Hỏi khối 6 của trường đó có bao nhiêu học sinh ? ( HSG Lục Ngạn – Năm 2020 – 2021)

Lời giải Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là x ( học sinh), x ∈ N * , x < 200 Nếu xếp hàng 12 , hàng 15, hàng 18 đều thừa 2 học sinh nên

ƠN

 x − 2⋮ 12   x − 2⋮ 15  x − 2⋮18 

 x − 2 ∈ BC(12,15,18)

Ta có: 12 = 2 2.3

15 = 3.5 18 = 2.32

QU Y

BCNN(12,15,18) = 22.32.5 =180

BC(12,15,18) = BC(180) = {0;180;360; ...}

Vì x < 200 nên x − 2 = 180  x = 182

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 182 em

Bài 15: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 , cho 5, cho 7 được số dư theo thứ tự là 2,3, 4 .

Lời giải

KÈ

( HSG Thái Thụy – Năm 2019 – 2020) Vì a chia cho 3 , cho 5, cho 7 được số dư theo thứ tự là 2,3, 4 nên

DẠ

 a = 3k + 2  *  a = 5m + 3 ( Với k , m, n ∈ N )  a = 7n + 4 

Trang 34

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

2 a − 1 = 6 k + 3⋮ 3   2 a − 1 = 10m + 5⋮ 5 2 a − 1 = 14n + 7⋮ 7   2a − 1 ∈ BC ( 3, 5, 7 ) mà a nhỏ nhất  2a − 1 = BCNN ( 3,5, 7 ) = 105

 a = 53

Vậy a = 53

Bài 16: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết nó chia cho 23 thì dư 14 và chia cho 25 thì dư 16 . ( HSG Tiền Hải – Năm 2018 – 2019) Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N , x < 1000

ƠN

Lời giải Vì x chia cho 23 thì dư 14 và chia cho 25 thì dư 16 nên

x + 9⋮ 25

 x + 9 ∈ BC ( 23,25 )

QU Y

BCNN(23,25) = 575

x + 9⋮ 23

BC(23,25) = BC(575) = {0;575;1150; ...}

Vì x < 1000 nên x + 9 = 575  x = 566 Vậy số cần tìm là 566

Bài 17: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số đó cho 3 dư 1 , chia cho 5 dư 3 và chia cho 7 dư 5 .

( HSG Nhơn Trạch – Năm 2018 – 2019)

KÈ

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N , x nhỏ nhất. Vì x chia cho 3 dư 1 , chia cho 5 dư 3 và chia cho 7 dư 5 nên

DẠ

 x = 3k + 1  *  x = 5m + 3 ( Với k , m, n ∈ N )  x = 7n + 5 

Trang 35

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

 x + 2 = 3k + 3⋮ 3    x + 2 = 5m + 5⋮ 5  x + 2 = 7n + 7⋮ 7   x + 2 ∈ BC ( 3,5, 7 ) mà x nhỏ nhất  x + 2 = BCNN ( 3,5, 7 ) = 3.5.7 = 105

 x = 103

Vậy số cần tìm là 103

Bài 18: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có tính chất sau:

Số đó chia cho 3 dư 1, chia cho 4 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 3 , chia cho 6 thì dư 4 và chia hết cho 13.

ƠN

( HSG Sơn Tịnh – Năm 2018 – 2019)

Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x nhỏ nhất.

x + 2 ⋮ 3; x + 2 ⋮ 4; x + 2 ⋮ 5; x + 2 ⋮ 6

 x + 2 ∈ BC ( 3,4,5,6 )

QU Y

BCNN ( 3, 4,5, 6 ) = 60

Vì x chia cho 3 dư 1, chia cho 4 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 3 , chia cho 6 thì dư 4 nên

BC ( 3, 4,5, 6 ) = B ( 60 ) = {0;60;120;180; 240;300;360; 420; 480;540;600;...}

 x + 2 ∈ {60;120;180; 240;300;360; 420; 480;540;600;...}  x ∈ {58;118;178; 238; 298;358; 418; 478;538;598;...}

Mà x⋮13 , x nhỏ nhất nên x = 598 Vậy số cần tìm là 598

KÈ

Bài 19: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 5 dư 1, chia cho 11 dư 4, chia cho 13 dư 10. ( HSG Kiến Xương – Năm 2012 – 2013)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N , x nhỏ nhất.

DẠ

Vì x chia cho 5 dư 1, chia cho 11 dư 4, chia cho 13 dư 10 nên  x = 5k + 1  *  x = 11m + 4 ( Với k , m, n ∈ N )  x = 13n + 10  Trang 36

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

 x + 29 = 5k + 30 ⋮ 5    x + 29 = 11m + 33⋮11  x + 29 = 13n + 39 ⋮13   x + 29 ∈ BC ( 5,11,13 ) mà x nhỏ nhất  x + 29 = BCNN ( 5,11,13) = 5.11.13 = 715

 x = 686

Vậy số cần tìm là 686

Bài 20: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25; 28;35 thì được số dư lần lượt là 5;8;15.

ƠN

( HSG Kiến Xương – Năm 2011 – 2012)

Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x < 1000

x + 20 ⋮ 25; x + 20 ⋮ 28; x + 20 ⋮35

 x + 20 ∈ BC ( 25,28,35 )

Vì x chia cho các số 25; 28;35 thì được số dư lần lượt là 5;8;15 nên

QU Y

BCNN ( 25, 28,35 ) = 700

BC ( 25, 28,35) = B ( 700 ) = {0;700;1400; 2100; 2800;...}

 x + 20 ∈ {700;1400; 2100; 2800;...}  x ∈ {680;1380; 2080; 2780;...}

Mà x < 1000 nên x = 680

KÈ

Vậy số cần tìm là 680

Bài 21: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11 . ( HSG Phú Lương – Năm 2020 – 2021)

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là x , x ∈ N , x nhỏ nhất.

DẠ

Vì x chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11 nên

Trang 37

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

FI CI A

 x = 11k + 6  *  x = 4m + 1 ( Với k , m, n ∈ N )  x = 19n + 11   x + 27 = 11k + 33⋮11    x + 27 = 4m + 28⋮ 4  x + 27 = 19n + 38⋮19 

 x + 27 ∈ BC (11, 4,19 ) mà x nhỏ nhất  x + 27 = BCNN (11, 4,19 ) = 11.4.19 = 836

 x = 809

ƠN

Vậy số cần tìm là 809

Bài 22: Có 120 quyển vở và 72 cái bút được chia thành các phần thưởng đều nhau. Hỏi có thể chia được thành bao nhiêu phần thưởng để số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất.

( HSG Anh Sơn – Năm 2018 – 2019)

Lời giải

Gọi số phần thưởng được chia là a (phần thưởng), a ∈ N *

QU Y

Theo bài ra ta có: 120 ⋮ a, 72 ⋮ a nên a = ÖC (120, 72) 3 Ta có: 120 = 2 .3.5

72 = 32.23

ÖCLN(120,72) = 23.3 = 24

 a ∈ ÖC ( 24 ) = {1;2;3; 4;6;8;12; 24}

Vì số quyển vở và số bút trong mỗi phần thưởng là bé nhất nên a = 24

KÈ

Vậy có thể chia được 24 phần thưởng Mỗi phần thưởng có số vở là 120 : 24 = 5 ( vở) Mỗi phần thưởng có số bút là 72 : 24 = 3 ( bút )

Bài 23: Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh gồm ba môn Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, số học sinh tham gia

DẠ

như sau: Ngữ văn có 96 học sinh; Toán có 120 học sinh và Tiếng Anh có 72 học sinh. Trong buổi lễ tổng kết, các bạn tham gia thi được phân công đứng thành hàng dọc sao cho mỗi hàng có số bạn thi mỗi môn bằng nhau. Hỏi có thể phân công học sinh đứng thành bao nhiêu hàng để số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất. Trang 38

CHUYÊN ĐỀ 4: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

( HSG Bắc Ninh – Năm 2020 – 2021)

FI CI A

Lời giải * Gọi số hàng được phân công là a (hàng), a ∈ N

Theo bài ra ta có: 96 ⋮ a; 120 ⋮ a, 72 ⋮ a nên a = ÖC (96,120, 72) Ta có: 96 = 25.3

120 = 23.3.5

72 = 32.23 ÖCLN(96,120,72) = 23.3 = 24

ƠN

 a ∈ ÖC ( 24 ) = {1;2;3; 4;6;8;12; 24} Vì số học sinh mỗi môn trong một hàng ít nhất nên a = 24 Vậy có thể phân công được 24 hàng

DẠ

KÈ

QU Y

******************** **********************

Trang 39

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

CHUYÊN ĐỀ.BỘI CHUNG-ƯỚC CHUNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

FI CI A

I. Ước và bội 1) Định nghĩa về ước và bội

Ước: Số tự nhiên d ≠ 0 được gọi là ước của số tự nhiên a khi và chỉ khi a chia hết cho d . Ta nói d là ước của a. Nhận xét: Tập hợp các ước của a là Ư ( a ) = {d ∈ N : d | a}

Bội: Số tự nhiên m được gọi là bội của a ≠ 0 khi và chỉ khi m chia hết cho a hay a là một ước số m.

Nhận xét: Tập hợp các bội của a ( a ≠ 0 ) là B ( a ) = {0; a ; 2 a ;...; ka} , k ∈ Z

ƠN

2) Tính chất:

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào. - Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.

- Nếu Ư ( a ) = {1; a} thì a là số nguyên tố.

- Số lượng các ước của một số : Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .c z … thì số lượng các ước của A bằng ( x + 1)( y + 1)( z + 1) …

QU Y

Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó:

m có x + 1 cách chọn (là 1, a, a 2 , …, a x ) n có y + 1 cách chọn (là 1, b, b 2 , …, b y )

p có z + 1 cách chọn (là 1, c, c 2 , …, c z ),…

KÈ

Do đó, số lượng các ước của A bằng ( x + 1)( y + 1)( z + 1) II. Ước chung và bội chung 1) Định nghĩa

Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) và Ư(b) có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi

DẠ

là ước số chung của a và b. Kí hiệu ƯC(a; b)

1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Nhận xét: Nếu ƯC ( a ; b ) = {1} thì a và b nguyên tố cùng nhau.

Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số d ∈ N được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b ( a ; b ∈ Z )

FI CI A

khi d là phần tử lớn nhất trong tập hợp ƯC(a; b). Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a; b) hoặc (a;b) hoặc gcd(a;b).

Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) và B(b) có những phần tử chung thì những phần tử đó gọi là bội số chung của a và b. Kí hiệu BC(a; b)

Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số m ≠ 0 được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b khi m là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(a; b). Kí hiệu bội chung nhỏ nhất của a và b là

hoặc [ a ; b ] hoặc lcm(a;b).

BCNN(a; b)

2) Cách tìm ƯCLN và BCNN

a) Muốn tìn ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ,ta thực hiện các bước sau :

ƠN

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố 2.- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Tích đó là ƯCLN phải tìm . Ví dụ: 30 = 2.3.5,

3.- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó

20 = 2 2.5  ƯCLN(30; 20) = 2.5 = 10.

Chú ý :

QU Y

- Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng là 1. - Hai hay nhiều số có ƯCLN là 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau. - Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

b) Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 , ta thực hiện ba bước sau :

1- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố .

KÈ

2- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng . 3- Lập tích các thừa số đã chọn , mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của chúng Tích đó là BCNN phải tìm . 20 = 2 2.5  BCNN(30; 20) = 2 2.3.5 = 60

Ví dụ: 30 = 2.3.5,

Chú ý:

DẠ

- Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích các số đó. Ví dụ :

BCNN(5 ; 7 ; 8) = 5 . 7 . 8 = 280

- Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó .

Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 2

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

3) Tính chất

FI CI A

● Nếu ( a1 ; a 2 ;...; a n ) = 1 thì ta nói các số a1 ; a2 ;...; an nguyên tố cùng nhau.

Một số tính chất của ước chung lớn nhất:

● Nếu ( am ; ak ) = 1, ∀m ≠ k , {m, k} ∈ {1; 2;....; n} thì ta nói các số a1 ; a2 ;...; an đôi một nguyên tố cùng nhau.

a b c c

● c ∈ ƯC (a; b) thì  ;  =

( a; b ) c

a b ;  = 1. d d 

● d = ( a; b ) ⇔ 

● ( ca; cb ) = c ( a; b ) .

ƠN

● ( a; b ) = 1 và ( a; c ) = 1 thì ( a; bc ) = 1 ● ( a; b; c ) = ( ( a; b ) ; c )

- Nếu a = b.q thì ( a; b ) = b.

● Cho a > b > 0

- Nếu a = bq + r ( r ≠ 0 ) thì ( a; b ) = ( b; r ) .

QU Y

Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất: ● Nếu [ a ; b ] = M thì  M ; M  = 1.  a b  ● [ a ; b; c ] = [ a ; b ] ; c  ● [ ka , kb ] = k [ a , b ] ;

● [ a ; b ]. ( a ; b ) = a.b

KÈ

4) Thuật toán Euclid trong việc tính nhanh ƯCLN và BCNN “Thuật toán Euclid” là một trong những thuật toán cổ nhất được biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau đó được Euclid (ơ –clit) hệ thống và phát triển nên thuật toán mang tên ông. Về số học, “Thuật toán Euclid” là một thuật

toán để xác định ước số chung lớn nhất (GCD – Greatest Common Divisor)

DẠ

của 2 phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: các số nguyên). Khi có ƯCLN ta cũng tính nhanh được BCNN. Thuật toán này không yêu cầu việc phân tích thành thừa số 2 số nguyên. Thuật toán Oclit – dùng để tìm ƯCLN của 2 số nguyên bất kỳ.

3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Để tìm ƯCLN của hai số nguyên a và b bất kỳ ta dùng cách chia liên tiếp hay còn gọi là “vòng lặp”

như sau:

FI CI A

Bước 1: Lấy a chia cho b:

•

Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN(a, b) = b. Nếu a không chia hết cho b (dư r) thì làm tiếp bước 2. Bước 2: Lấy b chia cho số dư r:

•

Nếu b chia hết cho r thì ƯCLN(a, b) = r Nếu b chia r dư r1 ( r1 ≠ 0 ) thì làm tiếp bước 3.

Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1 :

•

Nếu r chia cho r1 dư 0 thì ƯCLN(a, b) = r1

……..

Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 : Nếu r1 chia hết cho r2 thì ƯCLN(a, b) = r2 .

rn−1

Nếu r1 cho cho r2 dư r3 ( r3 ≠ 0 ) thì làm tiếp như trên đến khi số dư bằng 0.

ƠN

Nếu r chia r1 dư r2 ( r1 ≠ 0 ) thì làm tiếp bước 4.

(a, b)

Số dư cuối cùng khác 0 trong dãy chia liên tiếp

QU Y

như trên là ƯCLN (a,b).

Ví dụ: Tính ước số chung lớn nhất của 91 và 287.

Trước hết lấy 287 (số lớn hơn trong 2 số) chia cho 91:

•

287 = 91.3 + 14 (91 và 14 sẽ được dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật toán Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14).

KÈ

số dư như sau:

Suy ra bài toán trở thành tìm ƯCLN(91,14). Lặp lại quy trình trên cho đến khi phép chia không còn

91 = 14.6 + 7 (14 và 7 sẽ được dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7.2 (không còn số dư suy ra kết thúc, nhận 7 làm kết quả)

DẠ

Thật vậy: 7 = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối cùng ƯCLN(287, 91) = 7

Tính BCNN nhanh nhất

Để việc giải toán về BCNN và ƯCLN được nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : 4

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN là [ a,b] và ƯCLN là (a,b) thì

( a, b )

, ( a, b ) =

Nghĩa là: Tích 2 số nguyên a.b = ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ra ƯCLN (12,18) = 6 thì:

Nếu làm theo cách phân tich thừa số nguyên tố thì phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = 2 x 32 suy ra BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36

[ a, b ]

BCNN (12,18) = (12 x 18) : 6 = 36

a.b

FI CI A

a.b = [ a , b ]. ( a , b )  [ a , b ] =

ƠN

Nhận xét: Với cặp số nguyên có nhiều chữ số thì việc phân tích ra thừa số nguyên tố mất nhiều thời gian; trong khi lấy tích số có thể bấm máy tính cầm tay khá nhanh và dễ hơn. 5) Phân số tối giản

a là phân số tối giải khi và chỉ khi ( a , b ) = 1. b

Tính chất:

Mọi phân số khác 0 đều có thể đưa về phân số tối giản.

ii)

Dạng tối giản của một phân số là duy nhất.

iii)

Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản.

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

QU Y

 Dạng 1: Các bài toán liên quan tới số ước của một số * Cơ sở phương pháp: Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là a x .b y .c z

KÈ

… thì số lượng các ước của A bằng ( x + 1)( y + 1)( z + 1) … Thật vậy ước của A là số có dạng mnp …trong đó:

DẠ

m có x + 1 cách chọn (là 1, a, a 2 , …, a x ) n có y + 1 cách chọn (là 1, b, b 2 , …, b y ) p có z + 1 cách chọn (là 1, c, c 2 , …, c z ),…

5 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Do đó, số lượng các ước của A bằng ( x + 1)( y + 1)( z + 1)

Bài toán 1. Tìm số ước của số 1896

Hướng dẫn giải

( )

Ta có : 1896 = 32.2

= 3192.296.

Vậy số ước của số 1896 là ( 96 + 1)(192 + 1) = 97.193 = 18721.

FI CI A

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 2. Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ.

ƠN

Hướng dẫn giải Giả sử n = p1a1 . p2a2 .... pkak với pi nguyên tố và ai ∈ N * .

n là số chính phương khi và chỉ khi a1 , a2 ,..., ak là các số chẵn khi đó ( a1 + 1)( a2 + 1) ...( ak + 1) là số

lẻ.

Mặt khác ( a1 + 1)( a2 + 1) ... ( ak + 1) là số các số ước của n, do đó bài toán được chứng minh. Bài toán 3. Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n

QU Y

không thể có đúng 17 ước số.

Hướng dẫn giải

Tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng : 2

n = ( m − 1) + m2 + ( m + 1) = 3m2 + 2 không thể là số chính phương.

minh.

KÈ

Nếu n có đúng 17 ước số thì n là số chính phương (bài toán 1), vô lí. Từ đó suy ra điều phải chứng

 Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết * Cơ sở phương pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia và phần nguyên

dư, sau đó để thỏa mãn chia hết thì số chia phải là ước của phần số nguyên dư, từ đó ta tìm được số

DẠ

nguyên n thỏa mãn điều kiện. * Ví dụ minh họa:

Bài toán 1. Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2).

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Hướng dẫn giải

Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.

FI CI A

Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2). Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ 4 chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) là ước của 4. ⇔ (n +2) ∈ {1 ; 2 ; 4}  n ∈ {0 ; 2}.

Bài toán 2. Tìm số tự nhiên n để

n + 15 là số tự nhiên. n+3

Hướng dẫn giải

n + 15 là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3). n+3

 [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3).

⇔ (n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. ⇔ n ∈ {0; 1; 3; 9}.

n + 15 là số tự nhiên. n+3

QU Y

Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9}thì

⇔ 12 chia hết cho (n +3) .

ƠN

Để

Vậy với n ∈{0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n + 2).

Bài toán 3. Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + 6 ⋮ n + 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: n2 + 3n + 6 ⋮ n + 3

Suy ra: n (n + 3) + 6 ⋮ n + 3 ⇔ 6 ⋮ n + 3

KÈ

=> n + 3 ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 3.

Bài toán 4. Tìm số nguyên n để phân số

DẠ

Ta có:

4n + 5 có giá trị là một số nguyên 2n − 1

Hướng dẫn giải

4n + 5 4n − 2 + 7 n(2n − 1) + 7 7 = = =n+ 2n − 1 2n − 1 2n − 1 2n − 1

Vì n nguyên nên để

4n + 5 7 nguyên thì nguyên 2n − 1 2n − 1

7 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

=> 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}

4n + 5 có giá trị là một số nguyên 2n − 1

FI CI A

Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thì

⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4}

Bài toán 5. Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: B=

2 n + 2 5 n + 17 3n + − n+2 n+2 n+2

Hướng dẫn giải Ta có: B=

4( n + 2) + 11 11 = 4+ n+2 n+2

ƠN

2 n + 2 5 n + 17 3n 2 n + 2 + 5 n + 17 − 3n 4 n + 19 + − = = n+2 n+2 n+2 n+2 n+2

11 là số tự nhiên n+2

Để B là số tự nhiên thì

Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11  n = 9

QU Y

Vậy n = 9 thì B ∈ N

 11 ⋮ (n + 2)  n + 2 ∈ Ư(11) = {±1; ±11}

Bài toán 6. Tìm k nguyên dương lớn nhất để ta có số n =

( k + 1)

k + 23

là một số nguyên dương

Hướng dẫn giải

k + 23

k 2 + 2 k + 1 ( k + 23 )( k − 21) + 484 484 = = k −1+ , k ∈ Z + n là một k + 23 k + 23 k + 23

Ta có: n =

( k + 1)

KÈ

số nguyên dương khi và chỉ khi k + 23 | 484, k + 23 > 23

 k + 23 = 121  k = 98  k + 23 = 44  k = 21 

Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21  

Với k = 98, ta có n = 81

DẠ

Với k = 21, ta có n = 11 Vậy giá trị k lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 98.

 Dạng 3: Tìm số biết ƯCLN của chúng * Cơ sở phương pháp: 8

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

* Nếu biết ƯCLN(a, b) = K thì a = K.m và b = K.n với ƯCLN(m; n) = 1 (là điều kiện của số m, n

cần tìm) , từ đó tìm được a và b.

FI CI A

* Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 và ƯCLN(a, b) = 18

Hướng dẫn giải Giả sử a ≤ b

Ta có: a + b = 162, ( a , b ) = 18  a = 18 m Đặt  với ( m , n ) = 1, m ≤ n  b = 18 n

ƠN

Từ a + b = 162  18 ( m + n ) = 162  m + n = 9 Do ( m, n ) = 1, lập bảng: 1

144

loai

126

QU Y

Kết luận: Các số cần tìm là: (18;144 ) ; ( 36;126 ) ; ( 72;90 )

Bài toán 2. Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15

Hướng dẫn giải

Gọi hai số cần tìm là a, b ( a , b ∈ N ; a , b < 200 )

Ta có: a − b = 90; ( a , b ) = 15  ( m , n ) = 1   15 ( m − n ) = 90

KÈ

 a = 15 m Đặt    b = 15 n

DẠ

15 m < 200 Lại có: a , b < 200     15 n < 200

 ( m , n ) = 1   m − n = 6

 m ≤ 13   n ≤ 13

195

105

9 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Hướng dẫn giải Ta có: ab = 432; ( a , b ) = 6 ( a ≤ b )

FI CI A

Bài toán 3. Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6

Vậy: ( a , b ) = (195;105 ) , ( 65; 75 ) , ( 85;15 ) .

Ta được: n

Vậy ( a , b ) = ( 6; 72 ) , (18, 24 )

ƠN

Đặt a = 6 m , b = 6 n với (m, n) = 1 và m ≤ n  36 mn = 432  mn = 12

Bài toán 4. Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và ƯCLN(a; b) = 45

Hướng dẫn giải

QU Y

Từ giả thiết suy ra a > b  a = 45a1 Từ ƯCLN(a; b) = 45   b = 45b1

Mà:

( a1 ; b1 ) = 1, ( a1 ≥ b1 )

a = 45.11 = 495  a = 11 a 11 a 11 vì ( a1; b1 ) = 1=>  =  1 =  1 b 7 b1 7 b = 45.7 = 315 b1 = 7

Vậy hai số a,b cần tìm là a = 495 và b = 315

 Dạng 4: Các bài toán phối hợp giữa BCNN của các số với ƯCLN của chúng

KÈ

* Cơ sở phương pháp:

* Nếu biết BCNN (a, b) = K thì ta gọi ƯCLN(a; b) = d thì a = m.d và b = n.d với ƯCLN(m; n) = 1 (là điều kiện của số m, n cần tìm) , từ đó tìm được a và b.

* Ví dụ minh họa:

DẠ

Bài toán 1. Cho a = 1980, b = 2100. a) Tìm ( a, b ) và [ a, b] . b) So sánh [ a, b] . ( a, b ) với ab. Chứng minh nhận xét đó đối với hai số tự nhiên a và b khác 0 tùy

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

ý.

FI CI A

( Nâng cao và phát triển lớp 6 tập 1 – Vũ Hữu Bình)

Hướng dẫn giải a) 1980 = 22.32.5.11,

2100 = 22.3.52.7.

ƯCLN(1980, 2100) = 22.3.5 = 60

[1980, 2100].(1980, 2100) = 1980.2100 (

BCNN (1980, 2100) = 22.32.52.7.11 = 69300.

đều bằng 4158000 ). Ta sẽ chứng minh rằng

ƠN

[ a, b].( a, b) = a.b

Cách 1. Trong cách giải này, các thừa số riêng cũng được coi như các thừa số chung, chẳng hạn a

chứa thừa số 11,b không chứa thừa số 11 thì ra coi như b chứa thừa số 11 với số mũ bằng 0 . Với

cách viết này, trong ví dụ trên ta có: 1980 = 2 2.32.5.7 0.11. 2100 = 2 2.3.5 2.7.110.

QU Y

(1980, 2100 ) là tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất

2 2.32.5.7 0.110 = 60 . [1980, 2100] là tích

các thừa số chung với số mũ lớn nhất 2 2.32.5 2.7.11 = 69300. Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp tổng quát:

(1)

[ a, b ]. ( a, b ) = a.b

KÈ

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, các thừa số nguyên tố ở hai vế của (1) chính là các thừa số nguyên tố có trong a và b. Ta sẽ chứng tỏ rằng hai vế chứa các thừa số nguyên tố như nhau với số mũ tương ứng bằng nhau.

Gọi p là thừa số nguyên tố tùy ý trong các thừa số nguyên tố như vậy. Giả sử số mũ của p trong a

DẠ

là x, số mũ của p trong b là y trong đó x và y có thể bằng 0. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng x ≥ y. Khi đó vế phải của (1) chứa p với số mũ x + y . Còn ở vế trái, [a, b] chứa p với số mũ x, (a, b) chứ p với số mũ y nên vế trái cũng chứa p với số mũ x + y.

Cách 2. Gọi d = ( a, b) thì a = da ', b = db ′ (1) , trong đó (a ', b ') = 1.

11 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Đặt

ab = m ( 2 ) , ta cần chứng minh rằng [ a, b ] = m . d

y) = 1. Thật vậy từ (1) và (2) suy ra m = a.

m = b.

a = ba ' . Do đó, ta chọn x = b ' , y = a ' , thế thì ( x, y ) = 1 vì ( a ' , b ' ) = 1. d

ab = [ a, b] , tức là [ a, b ]. ( a, b ) = ab. d

Vậy

b = ab' , d

FI CI A

Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho m = ax , m = by và (x,

Bài toán 2. Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10 , BCNN của chúng bằng 900.

ƠN

Hướng dẫn giải Gọi các số phải tìm là a và b , giả sử a ≤ b . Ta có (a, b) = 10 nên. a = 10a ' , b = 10b ' , ( a ' , b ' ) = 1, a ′ ≤ b '. Do đó ab = 100a ' b ' (1) . Mặt khác ab = [ a, b ].(a, b) = 900.10 = 9000

(2).

Suy ra: a

900

QU Y

Từ (1) và (2) suy ra a ' b ' = 90. Ta có các trường hợp :

450

180

100

KÈ

Bài toán 3. Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho tổng của ƯCLN và BCNN là 15

Hướng dẫn giải

Giả sử a < b

( a1 < b1 ) , ( a1 ; b1 ) = 1 , và d < 15

 a = d .a1 Gọi d = ƯCLN( a; b)   b = d .b1

DẠ

Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo bài ra ta có: d + a1.b1d = 15 => d (1 + a1.b1 ) = 15 => d ∈U (15) = {1;3;5;15} , Mà d < 15, Nên

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a = 2  a = 2 hoặc  1 b1 = 7  b = 7

a = 1  a = 3 TH2 : d = 3  a1 .b1 = 4   1 b1 = 4  b = 12 a = 1  a = 5 TH3 : d = 5  a1 .b1 = 2 =>  1 b1 = 2  b = 10

FI CI A

a = 1  a = 1 TH1 : d = 1  a1 .b1 = 14   1 b1 = 14  b = 14

Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại.

 Dạng 5: Các bài toán liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau

* Cơ sở phương pháp: Để chứng minh hai số là nguyên tố cùng nhau, ta chứng minh chúng có

ƯCLN = 1. * Ví dụ minh họa:

ƠN

Bài toán 1. Chứng minh rằng:

Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

2n + 1 và 3n + 1 ( n ∈ N ) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hướng dẫn giải

QU Y

a) Gọi d ∈ ƯC (n , n + 1)  ( n + 1) − n ⋮ d  1⋮ d  d = 1 . Vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi d ∈ ƯC (2n + 1, 2n + 3)  ( 2n + 3) − ( 2n + 1)⋮ d  2⋮ d  d ∈ {1; 2} . Nhưng d ≠ 2 vì d là ước của số lẻ. Vậy d = 1.

Vậy (2n + 1) và (2n + 3) là hai số nguyên tố cùng nhau.

c) Gọi d ∈ ƯC (2n + 1,3n + 1)  3(2n + 1) − 2(3n + 1)⋮ d  1⋮ d  d = 1 .

KÈ

Vậy 2n + 1 và 3n +1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài toán 2. Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng các số sau cũng là hai số

DẠ

nguyên tố cùng nhau: a) a và a + b

b) a2 và a + b

c) ab và a + b.

Hướng dẫn giải 13 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Gọi d ∈ ƯC(a, a + b)  ( a + b ) − a ⋮ d  b⋮ d Ta lại có: a ⋮ d  d ∈ ƯC(a, b), do đó d = 1

FI CI A

(vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau). Vậy (a, a + b) = 1.

Giả sử a2 và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d thì a chia hết cho d, do đó b cũng chia

hết cho d. Như vậy a và b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a, b) = 1. Vậy a2 và a + b là hai số nguyên tố cùng nhau. c)

Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d. Tồn tại một trong hai thừa số a và b,

chẳng hạn là a, chia hết cho d, do đó b cũng chia hết cho d, trái với (a, b) = 1.

Vậy (ab, a + b) = 1.

ƠN

Bài toán 3. Tìm số tự nhiên n để các số: 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau?

Hướng dẫn giải

Giả sử 9n + 24 và 3n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d.

( 9n + 24 ) − 3 ( 3n + 4 )⋮ d  12⋮ d  d ∈ {2;3} .

Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = 1 là

Ta có

d ≠ 2, d ≠ 3 . Ta dễ thấy d ≠ 3 vì 3n + 4 không chia hết cho 3. Muốn d ≠ 2 thì ít nhất một trong hai số 9n + 24 hoặc 3n + 4 không chia hết cho 2.

QU Y

Ta thấy 9n + 24 là số lẻ suy ra n lẻ, 3n + 4 lẻ suy ra n lẻ. Vậy để (9n + 24, 3n + 4) = 1 thì n phải là số lẻ.

Bài toán 4. Tìm n để 18n + 3 và 31n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

Hướng dẫn giải

KÈ

Gọi ƯCLN( 18n + 3 ; 21n + 7) = d, d ∈N*

7 (18n + 3)⋮ d 18n + 3⋮ d Khi đó ta có :    (126n + 42 ) − (126n + 21)⋮ d  21⋮ d 21n + 7 ⋮ d 6 ( 21n + 7 )⋮ d

 d ∈ U ( 21) = {±1; ±3; ±7; ±21}

DẠ

Do 21n + 7 ⋮ d, Mà 21n + 7 không chia hết cho 3, nên d = 1 hoặc d = 7

Để hai số 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyen tố thì d khác 7 hay 18n + 3 ⋮/ 7  18n + 3 -2 1 ⋮/ 7  18n - 18 ⋮/ 7  18( n - 1) ⋮/ 7  n - 1 ⋮/ 7

 n - 1 ≠ 7k  n ≠ 7k + 1

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Vậy n ≠ 7k + 1 với k là số tự nhiên thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố

 Dạng 6: Các bài toán về phân số tối giản

FI CI A

* Cơ sở phương pháp: Một phân số là tối giản khi tử số và mẫu số có ước chung lớn nhất bằng 1.

* Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Chứng minh rằng

2n + 3 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 3n + 4

Hướng dẫn giải

Gọi d là ước chung của (2n + 3) và (3n + 4). Suy ra:

2n + 3⋮ d 3 ( 2n + 3)⋮ d   3 ( 2n + 3) − 2 ( 3n + 4 )⋮ d  1⋮ d  d ∈ Ư(1)  3n + 4⋮ d 2 ( 3n + 4 )⋮ d

2n + 3 là phân số tối giản. 3n + 4

Bài toán 2. Chứng minh rằng

21n + 4 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 14n + 3

Vậy

ƠN

Mà Ư(1) = {−1;1}  d ∈ {−1;1}

QU Y

Hướng dẫn giải  21n + 4⋮ d Cách 1: Gọi (2n + 4, 14n + 3) = d   14n + 3⋮ d

(1)  7n + 1⋮ 3  14n + 2⋮ 3 ( 3) ( 2)

Từ (1) và (3) suy ra 1⋮ d  d = 1

21n + 4 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 14n + 3

Vậy

KÈ

Cách 2: Giả sử phân số

21n + 4 chưa tối giản 14n + 3

Suy ra 21n + 1 và 14n + 3 có một ước số chung nguyên tố d.

 ( 21n + 4 ) − (14n + 3) = 7 n + 1⋮ d

DẠ

 14n + 2⋮ d

15 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Vậy bài toán được chứng minh.

2n + 3 là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. n + 3n + 2

FI CI A

Bài toán 3. Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải Ta viết lại:

2n + 3 2n + 3 = n + 3n + 2 ( n + 1)( n + 2 ) 2

Do n + 1 và n + 2 là hai số tự nhiên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau  ( n + 1, n + 2 ) = 1 Suy ra tổng của chúng là (n + 1) + (n + 2) = 2n + 3 và tích của chúng là

2n + 3 , n ∈ N là phân số tối giản. n + 3n + 2 2

Bài toán 4. Định n để

Vậy phân số

ƠN

( n + 1)( n + 2 ) = n 2 + 3n + 2 cũng nguyên tố cùng nhau.

n+8 là phân số tối giản với n là số tự nhiên. 2n − 5

QU Y

Hướng dẫn giải Để

n+8 là phân số tối giản thì (n + 8, 2n – 5) = 1 2n − 5

 d | n + 8 Giả sử d là một ước nguyên tố của 2n – 5 và n + 8. Suy ra:  d | 2 n − 5

(1) ( 2)

( 3)

Từ (1) và (2) suy ra: d | 2 ( n + 8 ) = ( 2n − 5 ) + 21 Do đó d | 21  d = 3, 7

KÈ

Muốn cho phân số tối giản thì điều kiện cần và đủ là (n + 8) không chia hết cho 3 và 7. Do đó: n ≠ 3k + 1, n ≠ 7 m − 1 với k , m ∈ N

Vậy n ≠ 3k + 1 và n ≠ 7 m − 1 là điều kiện cần tìm để phân số

 Dạng 7: Tìm ƯCLN của các biểu thức số

DẠ

* Ví dụ minh họa: Bài toán 1. Tìm ƯCLN của 2n −1 và 9n + 4 ( n∈ℕ ) .

Do đó: (14n + 3) − (14n + 1) = 1⋮ d ,vô lý

n+8 tối giản. 2n − 5

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Hướng dẫn giải

FI CI A

Gọi d∈ ƯC(2n - 1,9n + 4)  2(9n + 4) − 9(2n − 1)⋮ d  17 ⋮ d  d ∈ {17;1} Vì 2n − 1⋮ 17  2n − 18⋮17 ⇔ 2(n − 9) ⋮17 ⇔ n − 9⋮17 ⇔ n = 17 k + 9 với k ∈ N Nếu n =17k + 9 thì 2n - 1 ⋮17 và 9n + 4 = 9(17k + 9)+ 4 = Bội 17 + 85 ⋮17 do đó (2n - 1,9n + 4) = 17.

n ( n +1) 2

(

)

và 2n + 1 n∈ℕ .

ƠN

Bài toán 2. Tìm ƯCLN của

Nếu n ≠ 17 k + 9 thì 2n - 1 không chia hết cho 17 do đó (2n - 1,9n + 4) = 1

Hướng dẫn giải



 ,2n + 1 thì n ( n + 1)⋮ d và 2n + 1⋮ d 

 n ( n + 1)

Gọi d ∈ ƯC 

2 Suy ra n ( 2n + 1) − n ( n + 1)⋮ d tức là n ⋮ d . 2

Vậy ƯCLN của

QU Y

Từ n ( n + 1)⋮ d và n ⋮ d suy ra n⋮ d . Ta lại có 2n + 1⋮ d , do đó 1⋮ d nên d = 1

n ( n + 1) 2

và 2n + 1 bằng 1.

 Dạng 8: Liên hệ giữa phép chia có dư với phép chia hết, ƯCLN, BCNN * Cơ sở phương pháp:

* Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k  a – k ⋮ b * Nếu a ⋮ b và a ⋮ c mà ƯCLN(a, b) = 1  a chia hết cho tích b.c (a, b, c ∈ N)

KÈ

* Nếu a ⋮ b và a ⋮ c mà a là số nhỏ nhất  a = BCNN(a, b) (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b và m ⋮ b mà b lớn nhất  b = Ư CLN(a, m) (a, b, m ∈ N)

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1. Bạn Nam nghĩ 1 số có 3 chữa số, nếu bớt số đó đi 8 thì được 1 số ⋮ 7, nếu bớt số đó đi 9

DẠ

thì được 1 số ⋮ 8, nếu bớt số đó đi 10 thì được 1 số ⋮ 9, Hỏi bạn Nam nghĩ số nào?

Hướng dẫn giải

Gọi x là số bạn Nam đã nghĩ, Điều kiện: 99 < x < 1000 17 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

FI CI A

 x − 8⋮ 7  x − 1⋮ 7   Theo bài ra ta có:  x − 9⋮8   x − 1⋮8  x − 1⋮ 7;8;9  x − 1 ∈ BC (7;8;9)  x − 10⋮ 9  x − 1⋮ 9  

x − 1∈ {0;504;1008;.....}  x ∈ {1;505;1009;....} , Mà 99 < x < 1000 nên x = 505 Vậy số có ba chữ số mà bạn Nam nghĩ là 505

Bài toán 2. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3, cho 5, cho 7 được các số dư theo thứ

Hướng dẫn giải

tự là 2, 3, 4

ƠN

a = 3m + 2  2a = 6m + 4 2a − 1⋮ 3    Theo bài ra ta có: a = 5n + 3 ( m, n, p ∈ N )  2a = 10n + 6  2a − 1⋮ 5  2a − 1 ∈ BC (3;5;7) a = 7 p + 4 2a = 14 p + 8 2a − 1⋮ 7    Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 1 = BCNN( 3; 5; 7) = 105  2a = 106  a = 53

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 53

Bài toán 3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5, 7, 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5

QU Y

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là a. Theo bài ra ta có:

a = 5m + 3 2a = 10m + 6 2a − 1⋮ 5    a = 7 n + 4 ( m, n, p ∈ N )  2a = 14n + 8  2a − 1⋮ 7  2a − 1 ∈ BC (9;5;7) a = 9 p + 5 2a = 18 p + 10 2a − 1⋮ 9   

 a = 158

Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 1 = BCNN( 9; 5; 7) = 315  2a = 316

KÈ

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 158

Bài toán 4. Linh và Mai cùng mua một số hộp bút chì màu, số bút đựng trong mỗi hộp bằng nhau

và lớn hơn 1. Kết quả Linh có 15 bút chì màu và Mai có 18 bút chì màu hỏi mỗi hộp có bao nhiêu

DẠ

chiếc bút?

Hướng dẫn giải

Gọi số bút trong mỗi hộp là a. Điều kiện: a ∈ N , a < 15 và a >1

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Theo bài ra ta có : 15 ⋮ a và 18 ⋮ a, Nên a là 1 ước chung của 15 và 18

FI CI A

Và a phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn 15  kết quả được a = 3

Bài toán 5. Hai lớp 6A và 6B tham gia phong trào tết trồng cây, mỗi em tròng 1 số cây như nhau, kết quả lớp 6A trồng được 132 cây vag 6B được 135 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh.

Hướng dẫn giải Gọi số cây mỗi em trồng được là a, Điều kiện: a ∈ N , a < 132, a > 1

Theo bài ra ta có: 132 ⋮ a và 135 ⋮ a khi đó ta thấy a ∈UC (132;135) = {1;3}

Vậy a = 3, Khi đó lớp 6A có 132 : 3 = 44 học sinh và lớp 6B có 135 : 3 = 45 học sinh.

ƠN

Bài toán 6. Trong cuộc thi HSG cấp tỉnh có ba môn Toán Văn Anh ,số học sinh tham gia như sau:Văn có 96 học sinh, Toán có 120 học sinh và Anh có 72 học sinh.Trong buổi tổng kết các bạn

được tham gia phân công đứng thành hàng dọc sao cho mỗi hàng có số bạn thi mỗi môn bằng

nhau.Hỏi có thể phân học sinh đứng thành ít nhất bao nhiêu hàng?

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh đứng ở mỗi hàng là a. Điều kiện : a ∈ N , a < 72 và a > 1

96 ⋮ a ;120 ⋮ a và 72 ⋮ a ,

QU Y

Vì mỗi hàng có số học sinh mỗi môn bằng nhau nên ta có:

Để có ít nhất bao nhiêu hàng thì số học sinh phải là lớn nhất hay a lớn nhất Hay a = ƯCLN ( 96 ; 120 ; 72) = 24, Vậy số hàng cần tìm là : (96 + 120 + 72) : 24 = 12 hàng

 Dạng 9: Tìm ƯCLN của hai số bằng thuật toán Ơ-clit

* Cơ sở phương pháp:

a) Trường hợp b | a thì (a, b) = b

KÈ

b) Trường hợp b | a giả sử a = bq + c thì (a, b) = (b, c). Thuật toán Euclid.

DẠ

19 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

a = bq + r1 , 0 < r1 < b b = r1 q1 + r2 , 0 < r2 < r1

rn−1

r1 = r2 q2 + r3 , 0 < r3 < r2 ....

rn − 2 = rn−1 qn −1 + rn , 0 < rn < rn−1

rn −1 = rn qn

Thuật toán Euclid phải kết thức với số dư rn +1 ≠ 0 Theo b) ta có ( a, b ) = ( b, r1 ) = ( r1 , r2 ) = ... = ( rn −1 , rn ) = rn .

(a, b)

……..

FI CI A

Giả sử:

Vậy ƯCLN(a, b) là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclid.

* Ví dụ minh họa:

ƠN

Bài toán 1. Dùng thuật toán Euclid để chứng minh : ( n 4 + 3n 2 + 1, n3 + 2n ) = 1.

(

)

Ta có n 4 + 3n 2 + 1 = n3 + 2n n + n 2 + 1

n3 + 2n = ( n 2 + 1) + n

QU Y

n 2 + 1 = n.n + 1 n = 1.n + 0

Hướng dẫn giải

(

)

Vậy n 4 + 3n 2 + 1, n3 + 2n = 1.

Bài toán 2. Cho hai số tự nhiên a và b ( a > b).

a) Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b thì ( a, b) = b. b) Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho b thì ƯCLN của hai số bằng ƯCLN của số nhỏ và

KÈ

số dư trong phép chia số lớn cho số nhỏ.

c) Dùng các nhận xét trên để tìm ƯCLN(72, 56) (Nâng cao và phát triển lớp 6 tập 1)

Hướng dẫn giải

DẠ

a) Mọi ước chung của a và b hiển nhiên là ước của b . Đảo lại, do a chia hết cho b nên b là ước chung của a và b . Vậy ( a, b) = b. b) Gọi r là số dư trong phép chia a cho b ( a > b). Ta có a = bk + r ( k ∈ N ), cần chứng mình rằng ( a, b) = (b, r ). 20

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Thật vậy, nếu a và b cùng chia hết cho d thì r chia hết cho d , do đó ước chung của a và b

cũng là ước chung của b và r (1). Đảo lại nếu b và r cùng chia hết cho d thì a chia hết cho d ,

FI CI A

do đó ước chung của b và r cũng là ước chung của a và b (2). Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các

ước chung của a và b và tập hợp các ước chung của b và r bằng nhau. Do đó hai số lớn nhất trong hai tập hợp đó cũng bằng nhau, tức là ( a, b) = (b, r ). c) 72 chia 56 dư 16 nên (72,56) = (56,16) ;

56 chia 16 dư 8 nên (56,16) = (16,8) ;

16 chia hết cho 8 nên (16,8) = 8 . Vậy (72,56) = 8.

Nhận xét : Giả sử a không chia hết cho b và a chia cho b dư r1 , b chia cho r1 dư r2 , r1 chia cho r2 dư r3 ,...., rn− 2 chia cho rn−1 dư rn , rn −1 chia cho rn dư 0 ( dãy số b, r1 , r2 ,...rn là dãy số tự nhiên giảm

ƠN

dần nên số phép chia là hữu hạn do đó quá trình trên kết thức với một số dư bằng 0 ). Theo chứng minh ở ví dụ trên ta có ( a, b ) = ( b, r1 ) = ( r1 , r2 ) = ... ( rn −1 , rn ) = rn vì rn −1 chia hết cho rn Như vậy UCLN ( a, b) là số chia cuối cùng trong dãy các phép chia liên tiếp a cho b , b cho r1 , r1

cho r2 ,... , trong đó r1 , r2 ,... là số dư trong các phép chia theo thứ tự trên. Trong thực hành người ta đặt tính như sau :

QU Y

72 56

Việc thực hiện một dãy phép chia liên tiếp như trên được gọi là thuật toán Ơ clit. Trường hợp tìm ƯCLN của ba số, ta tìm ƯCLN của hai số rồi tìm UCLN của kết quả với số thứ ba.

KÈ

Bài toán 3. Tìm ƯCLN( a, b) biết a là số gồm 1991 chữ số 2; b là số gồm 8 chữ số 2.

Hướng dẫn giải

DẠ

Ta có: 1991 chia 8 dư 7, còn 8 chia 7 dư 1 Theo thuật toán Ơ- Clít: (a, b) = ( 22 ...2 ,22 ...2) = (22 ...2,22 ...2) = (22 ...2,2) = 2. 1991 sè 2 8 sè 2

8 sè 2

7 sè 2

21 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Bài toán 4. Tìm ƯCLN của 2004 sè 1

b) 123456789 và 987654321.

11 ...1 và 11 ...1 8 sè 1

FI CI A

(Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toánTHCS phần số học- Nguyễn Vũ Thanh)

Hướng dẫn giải a)

Gọi a = 11 ...1 b = 11 ...1 . Ta có 2000⋮8 nên 11 ...1 = 11...111...1...11. ..1⋮ b. 2000 so 1 8 so 1 8 so 1 8 so 1 2004 sè 1 8 sè 1

2000 so 1

Do đó a = 11...1 0000 + 1111 = bq + 1111  ( a, b ) = ( b,1111) = 1111 ( do b⋮1111) . 2000 so 1

Gọi a = 987654321; b = 123456789. Ta có:

ƠN

a = 8b + 9  ( a, b ) = ( b,9 ) = 9 ( dob⋮ 9 ) . C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1. Tìm số chia và thương của một phép chia có số bị chia bằng 145, số dư bằng 12 biết rằng thương khác 1 (số chia và thương là các số tự nhiên).

Câu 2. Hãy viết số 108 dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 0. Câu 3. Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1.

QU Y

Câu 4. Tìm a ∈ N để a + 1 là bội của a – 1

Câu 5. Tìm số tự nhiên sao cho 4n - 5 chia hết cho 2n – 1 Câu 6. Tìm số nguyên n để: 5 + n 2 − 2n chia hết cho n − 2 2

Câu 7. Tìm số nguyên n để: n + 4 chia hết cho n + 2

Câu 8. Tím tất cả các số nguyên n để phân số n + 1 có giá trị là một số nguyên. n−2

KÈ

Câu 9. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chữ số của nó với

n ( n là số tự nhiên, có thể gồm một hoặc nhiều chữ số) Câu 10. Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia cho a dư 24, còn 363 chia cho a dư 43.

Câu 11. Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia cho a thì dư 38 , còn 450 chia cho a thì dư 18. Câu 12. Có 100 quyển vở và 90 bút chì được thưởng đều cho một số học sinh, còn lại 4 quyển vở

DẠ

và 18 bút chì không đủ chia đều. Tính số học sinh được thưởng.

Câu 13. Phần thưởng cho học sinh của một lớp học gồm 128 vở, 48 bút chì, 192 nhãn vở. Có thể

chia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng như nhau, mỗi phần thưởng gồm bao nhiêu vở,

bút chì, nhãn vở? 22

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Câu 14. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3, cho 5, cho 7 được số dư theo thứ tự là

2, 3, 4

FI CI A

Câu 15. Một cuộc thi chạy tiếp sức theo vòng tròn gồm nhiều chặng. Biết rằng chu vi đường tròn là 330m , mỗi chặng dài 75m , địa điểm xuất phát và kết thúc cùng một chỗ. Hỏi cuộc thi có ít nhất mấy chặng?

Câu 16. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, sao cho chia nó cho 17 , cho 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16 .

Câu 17. Tìm số tư nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho n chia cho 8 thì dư 7 , chia cho 31 thì

dư 28.

Câu 18. Nếu xếp một số sách vào từng túi 10 cuốn thì vừa hết, vào từng túi 12 cuốn thì thừa 2 cuốn, vào từng túi 18 cuốn thì thừa 8 cuốn. biết rằng số sách trong khoảng từ 715 đến 1000.

ƠN

Tính số sách đó?

Câu 19. Hai lớp 6 A, 6 B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Trong lớp 6A ,một bạn thu được

trong khoảng từ 200kg đến 300kg .

25kg , còn lại mỗi bạn thu 10kg . Tính số học sinh mỗi lớp, biết rằng số giấy mỗi lớp thu được

Câu 20. Có hai chiếc đồng hồ(có kim giờ và kim phút). Trong một ngày, chiếc thứ nhất chạy nhanh 2 phút, chiếc thứ hai chạy chậm 3 phút. Cả hai đồng hồ được lấy lại giờ chính xác. Hỏi sau ít nhất

QU Y

bao lâu, cả hai đồng hồ lại chạy chính xác?

Câu 21.Tìm hai số tự nhiên biết rằng:

a) Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN bằng 28, các số đó trong khoảng từ 300 đến 440. b) Hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12.

Câu 22. Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 36 và tổng của chúng bằng 432

Câu 23. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tích của chúng bằng 864 và ƯCLN của nó là 6 Câu 24. Chứng minh rằng 14n + 3 và 21n + 4 (n ∈N )là hai số nguyên tố cùng nhau

KÈ

Câu 25. Chứng minh rằng 2n + 1 và 6n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau Câu 26. BCNN của 2 số tự nhiên bằng 770, một số bằng 14. Tìm số kia. Câu 27. Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng các số sau cũng là hai số

nguyên tố cùng nhau:

DẠ

a) b và a − b (a > b); 2

b) a + b và ab .

Câu 28. Chứng minh rằng nếu số c nguyên tố cùng nhau với a và với b thì c nguyên tố cùng nhau với tích ab.

23 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Câu 29. Tìm số tự nhiên n sao cho:

a) 4n − 5 chia hết cho 13;

FI CI A

b) 5n + 1 chia hết cho 7; c) 25n + 3 chia hết cho 53.

Câu 30. Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: a) 4n + 3 và 2 n + 3; b) 7n + 13 và 2 n + 4;

c) 9n + 24 và 3n + 4; d) 18n + 3 và 21n + 7.

Câu 31. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên n để n + 15 và n + 72 là hai số nguyên tố cùng

ƠN

nhau .

Câu 32. Cho ( a, b ) = 1. Tìm :

a) ( a + b, a − b )

b) ( 7a + 9b,3a + 8b )

Câu 33. Tìm a, b biết: a) [ a, b ] + ( a, b ) = 55;

c) [ a, b ] + ( a, b ) = 35.

QU Y

b) [ a, b ] − ( a, b ) = 5;

Câu 34. Tìm ƯCLN của các số sau bằng thuật toán Ơ-clit: a) (187231,165148) ; b) (11 …1 ,11 …1).

100 chu so 8 chu so

KÈ

Câu 35. Tìm [ n; n + 1; n + 2] Câu 36. Tìm n ∈ ℕ* biết n < 30 để các số 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung lớn hơn 1. Câu 37. Tìm số nguyên n để phân số

2n + 1 có giá trị là số nguyên. n+2

Câu 38. Ba xe buýt cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng từ một bến xe và đi theo 3 hướng khác nhau. Xe

DẠ

thứ nhất quay về bến sau 1 giờ 5 phút và sau 10 phút lại đi. Xe thứ hai quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút. Xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi. Hỏi ba xe lại cùng xuất phát từ bến lần thứ hai vào lúc mấy giờ?

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

2n + 1 luôn tối giản. 6n + 5

6n + 5 (n ∈ ℕ). 3n + 2

FI CI A

Câu 40. Cho phân số: P =

Câu 39. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số

a) Chứng tỏ rằng phân số P là phân số tối giản. b) Với giá trị nào của n thì phân số P có giá trị lớn nhất?

Câu 41. Tìm hai số nguyên dương biết a + 2b = 48 và ƯCLN(a; b) + 3.BCNN(a; b) = 114

Câu 43. Chứng minh rằng (a, b) = (5a + 3b, 13a + 8b) Câu 44. Cho ba số tự nhiên a, b, c nguyên tố cùng nhau đôi một.

ƠN

Chứng minh rằng (ab + bc + ca, abc) = 1

Câu 42. Cho (a, b) = 1, tìm (11a + 2b, 18a + 5b).

Câu 45. Tìm tất các các số tự nhiên a, b nguyên tố cùng nhau biết rằng:

a+b 8 = 2 a − ab + b 73

(

)

Câu 46. Cho m, n ∈ N, 1 ≤ m < n . Chứng minh rằng: 2 2 + 1, 22 + 1 = 1

(

)

QU Y

Câu 47. Cho 1 ≤ m, n ∈ N . Tìm 2m − 1, 2 n − 1

Câu 48. Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: ƯCLN ( a, b) = 15 và BCNN ( a , b ) = 300; Câu 49. Cho a ∈ Z , tìm ( a, a+2 )

Câu 50. Cho a, m là các số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng :

(1 + a + a

+ .... + a m −1 , a − 1) = ( m, a − 1) .

KÈ

a+b b+c c+a Câu 51. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số lẻ thì  , ,  = ( a , b, c ) . 2 2   2

Câu 52. Tổng các số tự nhiên a1 , a2 ,...., a49 bằng 999. Hỏi ước số chung lớn nhất của chúng có thể

nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?

DẠ

Câu 53. Cho (a, b) = 1, tìm (11a + 2b, 18a + 5b) Câu 54. Cho (m, n) = 1. Tìm ( m + n, m 2 + n 2 ) . Câu 55. Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi n ∈ Z .

25 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

21n + 4 ; 14n + 3

2n + 1 2n ( n + 1)

18n + 3 ; 21n + 7

2n + 3 . n+7

Câu 57.Tìm hai số tự nhiên a, b thỏa mãn a + b = 128 và ( a, b ) = 16. Câu 58.Tìm ƯCLN của ab + ba và 33 với a + b không chia hết cho 3

FI CI A

Câu 56. Tìm số nguyên n để các phân số sau tối giản.

Câu 59. Chứng minh rằng một số tự nhiên có ba chữ số tận cùng là 136 thì ít nhất có 4 ước số dương.

Câu 60. Chứng minh rằng nếu kn − lm = 1 thì ( ma + nb, ka + lb ) = ( a, b ) .

ƠN

Câu 61. Tìm ƯCLN của tất cả các số có 9 chữ số được viết bởi các chữ số 1, 2, 3, …, 9 và trong các số đó các chữ số đều khác nhau.

Câu 62. Cho (a, b) = 1 tìm ƯCLN của 2a + b và a(a + b)

12n + 1 ; 30n + 2

15n 2 + 8n + 6 . 30n 2 + 21n + 13

13 + n tối giản. n−2

QU Y

Câu 64. Tìm số nguyên n để phân số

Câu 63. Chứng minh các phân số sau tối giản với n là số nguyên

Câu 65. Chứng minh rằng nếu 5n 2 + 1⋮ 6 thì

n n và tối giản. 2 3 7 8 31 , ,..., . n + 9 n + 10 n + 33

Câu 66. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để các phân số sau tối giản : Câu 67. Tìm số tự nhiên a, b biết ab = 360, [ a, b ] = 60.

6, 7, 8.

KÈ

Câu 68. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có số dư lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5,

Câu 69. Tìm tất cả các cặp số ( a; b ) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

DẠ

i) a , b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a, b là 1. ii) Số N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) có đúng 16 ước số nguyên dương.

Câu 70. Xác định các số nguyên tố p, q sao cho p 2 − pq + 2q 2 và 2 p 2 + pq + q 2 là các số nguyên

tố cùng nhau. 26

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a +b 7 . = 2 2 a +b 25

Câu 71. Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0: a và b, sao cho: ( a, b ) = 1 và

(Thi học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 1992 – 1993)

FI CI A

Câu 72. Cho m, n là hai số nguyên tố cùng nhau. Tìm ước chung lớn nhất của m + n và m 2 + n 2 .

Câu 73. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa mãn 4a + 1 và 4b − 1 nguyên tố cùng nhau, đồng thời a + b là ước của 16ab + 1 . Câu 74. Tìm tất cả các cặp số ( a; b ) nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

i) a , b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a, b là 1. ii) Số N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) có đúng 16 ước số nguyên dương.

(Trích đề học sinh giỏi toán Đăk Lăk năm học 2017-2018)

m +1 n +1 + là số nguyên. n m

ƠN

Câu 75. Cho hai số tự nhiên m và n thoả mãn

Chứng minh ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn

m+n

(Trích đề học sinh giỏi Hải Dương năm học 2004-2005)

Câu 76. Cho ba số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau và đồng thời thỏa mãn các điều kiện: i) a là ước của b + c + bc ,

QU Y

ii) b là ước của a + c + ac , iii) c là ước của a + b + ab ,

a) Hãy chỉ ra bộ ba số ( a, b, c ) thỏa mãn các điều kiện trên.

(Trích đề vào 10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2007-2008)

DẠ

KÈ

b) Chứng minh rằng a, b, c không thể đồng thời là các số nguyên tố.

27 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

HƯỚNG DẪN

Câu 1. là số chia, a là thương, ta có 145 = ax + 12 ( x > 12 ) . Như vậy x là ước của

FI CI A

Gọi x

145 − 12 = 133 Phân tích ra thừa số nguyên tố : 133 = 7.19

Ước của 133 mà lơn hơn 12 là 19 và 133

Nếu số chia bằng 19 thì thương bằng 7. Nếu số chia bằng 133 thì thương bằng 1, trái với đề bài.

Câu 2. Giả sử số 108 viết dưới dạng tổng của

Vậy số chia bằng 19, thương bằng 7.

k số tự nhiên liên tiếp là n + 1, n + 2,..., n + k với

k , n ∈ ℕ, k ≥ 2, n + 1 ≥ 1 . Ta có:

ƠN

( n + 1) + ( n + 2 ) + ... + ( n + k ) = 108 ( 2n + k + 1) .k = 108

2 ( 2n + k + 1) .k = 216

Bài toán đưa đến việc tìm các ước của 216. Ta đưa ra hai nhận xét sau để giảm bớt số trường hợp phải xét: 1) 2n + k + 1 > k ≥ 2

QU Y

2) Hiệu ( 2 n + k + 1 ) − k = 2 n + 1 là số lẻ nên trong hai số 2n + k + 1 và k có một số chẵn, một số lẻ.

Do đó ta chỉ cần tìm ước lẻ của 216, đồng thời trong hai số 2n + k + 1 và k có tích bằng 216, chọn

k là số nhỏ hơn.

Phân tích ra thừa số nguyên tố: 216 = 2 .3 . Ước lẻ của 216 lớn hơn 1 là 3, 9, 27 Với k = 3 thì 2n + k + 1 = 72 ta được n = 34, do đó 108 = 35 + 36 + 37

KÈ

Với k = 9 thì 2n + k + 1 = 24 ta được n = 7, do đó 108 = 8 + 9 + ..... + 16 Với 2n + k + 1 = 27 thì k = 8 , ta được n = 9, do đó 108 = 10 + 11 + ... + 17

Câu 3. Để 3n + 4⋮ n −1 ⇔ [1.(3n + 4) − 3.(n −1)] ⋮ n −1 ⇔ 7 ⋮ n −1 hay n – 1 ∈ Ư(7)

 n −1 = 1 ⇒  n − 1 = 7

DẠ

⇔

n = 2   n = 8

Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì 3n + 4 ⋮ n – 1

Câu 4. Để a + 1 là bội của a - 1 nên thì

a +1 a +1 2 là số nguyên = 1+ a −1 a −1 a −1 28

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

=> a – 1 ∈ Ư(2) = {-1,1,2}

=> a = {0,2,3} (thỏa mãn a ∈ N)

FI CI A

Câu 5. Ta có 4n - 5 = 2( 2n - 1) - 3 Để 4n - 5 chia hết cho 2n - 1 thì 3 chia hết cho 2n - 1 Với 2n – 1 = 1 => n = 1 Với 2n – 1 = 3 => n = 2 Vậy n = 1; 2

Câu 6. Ta có 5 + n 2 − 2 n = 5 + n(n – 2)

=> 5 + n 2 − 2 n ⋮ (n – 2) khi 5 ⋮ (n – 2) => n – 2 ∈ Ư(5) = {-5, -1, 1, 5} => n ∈ {- 3, 1, 3, 7}

Tìm được: n = 0 , 2 ; 6 .

n +1 Câu 8. Ta có n − 2 là số nguyên khi ( n + 1) ⋮ n − 2

ƠN

Câu 7. n 2 + 4⋮ n + 2  n ( n + 2 ) − 2 ( n + 2 ) + 8⋮ n + 2  8⋮ n + 2 .

Ta có : n + 1 = [ (n − 2) + 3]

QU Y

Vậy ( n + 1)⋮ n − 2 khi 3⋮ n − 2  n − 2 ∈U (3) = {±1; ±3}  n ∈ {−1;1;3;5}

Câu 9. Gọi số phải tìm là abc , ta có abc + 1001 + 10n + n = abc.n Suy ra abc ⋮ n . Đặt abc = n.k

( k ∈ ℕ ) thì nk + 111n = nkn .

Chia hai vế cho n ≠ 0 ta được k + 111 = nk tức là 111 = k ( n − 1) . Như vậy k và n − 1 là ước của

111 .

DẠ

KÈ

Bài toán có 4 đáp số:

n −1

abc

111

112

114

148

111

222

Câu 10. Số 264 chia cho a dư 24 nên a là ước của 264 − 24 = 240, a > 24

29 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Số 363 chia cho a dư 43 nên a là ức của 363 − 43 = 320, a > 43

Do a là ước chung của 240 và 320, đồng thời a > 43 .

FI CI A

ƯCLN (240,320) = 80 ước chung lớn hơn 43 là 80. Vậy a = 80

Câu 11. Ta thấy : 398 – 38 = 360⋮ a ; a > 38 .

450 − 18 = 432⋮ a ; a > 18 . Vậy a là ước chung của 360 và 420, đồng thời a > 38 . 2

ƯCLN ( 360, 432 ) = 23.32 = 72 . Ước chung của 360 và 432 mà lớn hơn 38 là 72 .

ƠN

Vậy a = 72 .

Phân tích ra thừa số nguyên tố: 360 = 2 .3 .5 ; 432 = 2 4.33 .

Câu 12. Số học sinh là ước chung của 100 − 4 = 96 và 90 – 18 = 72 , đồng thời lớn hơn 18. Tìm được: 24 học sinh.

Câu 13. Số phần thưởng lớn nhất là ƯCLN (128, 48,192 ) .

Đáp số: Chia được nhiều nhất thành 16 phần thưởng, mỗi phần gồm 8 vở, 3 bút chì, 12 nhãn vở. Câu 14. a = 3m + 2 ( m ∈ N)  2a = 6m + 4, chia cho 3 dư 1

QU Y

a = 5n + 3 ( n ∈ N )  2 a = 10n + 6 chia cho 5 dư 1 a = 7 p + 4 ( p ∈ N )  2a = 14 p + 8, chia cho 7 dư 1 Do đó: 2 a − 1 ∈ BC (3,5,7) . Để a nhỏ nhất thì 2 a − 1 là BCNN (3,5, 7)

2a −1=105

KÈ

2a =106 a = 53

BCNN (3,5,7) =1

Câu 15. Chiều dài ngắn nhất của đường chạy tính bằng mét là BCNN ( 330,75) = 1650 gồm

1650 : 75 = 22 chặng.

Câu 16. Gọi số phải tìm là n .

DẠ

n + 9 ∈ BC (17, 25) . Từ đó b = 425k − 9 .

Đáp số: 416 và 841. Câu 17. n + 1⋮8  n + 1 + 64⋮8  n + 65⋮8 (1) .

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

n + 3⋮31  n + 3 + 62⋮31  n + 65⋮31 ( 2 ) .

Từ (1) và ( 2 ) : n + 65⋮ BCNN ( 8,31)

FI CI A

 n + 65⋮ 248

 n = 248k − 65 ( k ∈ ℕ* ) . Với k = 3 thì n = 679; Với k = 4 thì n = 927;

Với k = 5 thì n = 1175 .

Để n là số lớn nhất có ba chữ số, ta chọn n = 927 .

Câu 18. Gọi số sách là x thì x + 10 ∈ BC (10,12,18 ) và 715 < x < 1000.

ƠN

Đáp số: x = 890 . Câu 19. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x

( kg )

thì x − 26⋮11 ; x − 25⋮10 do đó

x − 15 ∈ BC (11,10 ) ngoài ra 200 < x < 300 . Ta tìm được x = 235 , do đó lớp 6A có 20 học sinh,

lớp 6B có 22 học sinh.

Câu 20. Đồng hồ thứ nhất lấy lại giờ chính xác khi nó chạy nhanh được 12 giờ, tức là 720 phút, như vậy nó lại chỉ đúng giờ sau: 720 : 2 = 360 (ngày).

QU Y

Đồng hồ thứ hai lấy lại giờ chính xác khi nó chạy chậm được 12 giờ, tức là 720 phút, như vậy nó lại chỉ đúng giờ sau: 720 : 3 = 240 (ngày).

Số ngày ít nhất để cả hai đồng hồ cùng chỉ giờ đúng là BCNN ( 360, 240 ) = 720 .

Đáp số: 720 ngày.

Câu 21. a) Gọi hai số phải tìm là a và b , ta có: a − b = 84, a = 28a ', b = 28b ' trong đó

( a ', b ' = 1) , suy ra a '− b ' = 3.

KÈ

Do 300 ≤ b < a ≤ 400 nên 11 ≤ b ' < a ' ≤ 15. Trường hợp a ' = 15, b ' = 12 loại vì trái với ( a ', b ' ) = 1. Trường hợp a ' = 14, b ' = 11 cho a = 392, b = 308.

b) Có vô số đáp số: a = 12a ', b = 12b ' với a ' = 2n + 5, b ' = 2n + 1 (n ∈ ℕ)

DẠ

Câu 22.

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b, ta có:

31 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

a = 36a1 Vì UCLN( a; b) = 36 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 36b1

FI CI A

a + b = 432 => 36a1 + 36b1 = 432 => 36 ( a1 + b1 ) = 432 Nên a1 + b1 = 12 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có

180

252

396

252

180

bẳng sau:

Câu 23. Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b, ta có:

ƠN

Vậy các cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm là : (36 ; 396), (180 ; 252), (252 ; 180), và (396 ; 36)

a = 6a1 Vì UCLN( a; b) = 6 nên  và ( a1:b1) = 1, Mà: b = 6b1

144

QU Y

a.b = 864 => 6a1.6b1 = 864 => 36.a1 .b1 = 864 Nên a1.b1 = 24 Mà ( a1:b1) = 1 Nên ta có bẳng sau:

KÈ

Khi đó ta có :

Câu 24. Gọi d = ƯCLN( 14n + 3 ; 21n + 4) => d ∈N*

14n + 3⋮ d 42n + 9⋮ d 3 (14n + 3)⋮ d =>  =>  => ( 42n + 9 ) − ( 42n + 8 )⋮ d => 1⋮ d  21n + 4⋮ d 42n + 8⋮ d 2 ( 21n + 4 )⋮ d

Vậy hai số 14n + 3 và 21n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Câu 25. Gọi d = ƯCLN( 2n + 1 ; 6n + 5), => d ∈N*

DẠ

Khi đó ta có :

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

2n + 1⋮ d 6n + 3⋮ d 3 ( 2n + 1)⋮ d =>  =>  => ( 6n + 5 ) − ( 6n + 3)⋮ d =>  6n + 5⋮ d 6n + 5⋮ d 6n + 5⋮ d

FI CI A

2⋮ d => d ∈ U ( 2 ) = {1;2} Do 2n + 1 ⋮ d, mà 2n + 1 lại là số lẻ nên d=2 loại, do đó d=1 Vậy hai số 14n + 3 và 21n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Câu 26. Gọi số phải tìm x , thì [14, x ] = 770.

Vậy k bằng: 1,2,7,14, tương ứng x bằng 770,385,110,55.

Ta có: 770 = x.k (k ∈ ℕ),770 = 14.55, (k ,55) = 1, do đó k là ước của 14.

Câu 27. a) Gọi d ∈ ƯC (b, b − a) thì a − b⋮ d , b⋮ d , do đó a ⋮ d . Ta có ( a, b) = 1 nên d = 1 .

ƠN

b) Giả sử a 2 + b 2 và ab cùng chia hết cho số nguyên tố d thì vô lí.

Câu 28. Giả sử ab và c cùng chia hết cho số nguyên tố d thì vô lí. Câu 29. a) 4n − 5 ⋮ 13

 4n − 5 + 13 ⋮ 13  4n + 8 ⋮ 13  4(n + 2) ⋮ 13 Do ( 4,13) = 1 nên n + 2 ⋮ 13

(

)

(

QU Y

Đáp số: n = 13k − 2 k ∈ ℕ* . b) Đáp số : n = 7 k − 3 k ∈ ℕ*

)

c) ( 25n + 3) ⋮ 53  ( 25n + 3 − 53) ⋮ 53.

KÈ

Câu 30.

Đáp số: n = 53k + 2 ( k ∈ ℕ )

a) n không chia hết cho 3. b)

n là số chẵn.

c) n là số lẻ.

d) Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d thì

DẠ

6 ( 21n + 7 ) − 7 (18n + 3) ⋮ d  21 ⋮ d .

Vậy d ∈ {3;7} . Hiển nhiên d ≠ 3 vì 21n + 7 không chia hết cho 3. Như vậy (18n + 3, 21n + 7 ) ≠ 1 33 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

⇔ (18n + 3) ⋮ 7 (còn 21n + 7 luôn chia hết cho 7)

⇔ (18n + 3 − 21) ⋮ 7 ⇔ 18 ( n − 1) ⋮ 7 ⇔ ( n − 1) ⋮ 7 .

FI CI A

Vậy nếu n ≠ 7k + 1( k ∈ ℕ ) thì (18n + 3,21n + 7 ) = 1 .

Câu 31. Bài toán không yêu cầu tìm mọi giá trị của n mà chỉ cần chỉ ra vô số giá trị của n để

( n + 5, n + 72) = 1 . Do đó ngoài cách giải như ở bài trên, có thể giải như sau:

Gọi d ∈ ƯC ( n + 5, n + 72 ) thì 57 ⋮ d . Do ( n + 15) ⋮ d , 57 ⋮ d nên nếu tồn tại n sao cho

n + 15 = 57k + 1 thì d = 1 . Nếu ta chọn n = 57k − 14 ( k = 1, 2,3,...) thì ( n + 15, n + 72 ) = 1 , rõ ràng có vô số giá trị của n .

Câu 32. a) ƯCLN ( a + b, a − b ) bằng 2 nếu a và b cùng lẻ, bằng 1 nếu trong a và b có một số

ƠN

chẵn và một số lẻ. b) 1 hoặc 29.

Câu 33.

[ a, b ] =

a) Gọi a = da ', b = db ', (a ', b ') = 1 . Ta có:

ab = da ' b ' . Theo đề bài, ta có: da ' b '+ d = 55 hay d ( a ' b '+ d ) = 55 . Như vậy a ' b '+ 1 là d

Ta có lần lượt

QU Y

ước của 55, mặt khác a ' b '+ 1 ≥ 2 .

a ' b '+ 1

a 'b '

4 = 22

10 = 2.5

KÈ

54 = 2.33

b) Giải tương tự câu a) ta được: d ( a ' b '− 1) = 5 . Từ đó:

a ' b '− 1 a ' b '

DẠ

c) Có 6 cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70). 34

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Câu 34. a) 1; b) 1111

FI CI A

Đặt A = [ n, n + 1] và B = [ A, n + 2] . Áp dụng tính chất [ a, b, c ] = [ a, b ] , c  , ta có

B = [ n, n + 1, n + 2]. Dễ thấy ( n, n + 1) = 1 , suy ra [ n, n + 1] = n ( n + 1) .

(

( do [ a, b].( a, b ) = ab )

n ( n + 1)( n + 2 ) a.b thế thì [ n, n + 1, n + 2] = ( a; b ) ( n ( n + 1) , n + 2 )

Lại áp dụng tính chất [ a; b] =

)

Gọi d = n ( n + 1) , n + 2 . Do ( n + 1, n + 2 ) = 1 nên d = ( n, n + 2 ) = ( n, 2 ) Xét hai trường hợp:

n ( n + 1)( n + 2 )

ƠN

- Nếu n chẵn thì d = 2, suy ra [ n, n + 1, n + 2] =

- Nếu n lẻ thì d = 1, suy ra [ n, n + 1, n + 2] = n ( n + 1)( n + 2 ) .

Câu 36. Gọi d là một ước chung của 3n + 4 và 5n + 1 ( d ∈ ℕ * )

Ta có 3n + 4⋮ d và 5n + 1⋮ d nên 5 ( 3n + 4 ) – 3 ( 5n + 1)⋮ d ⇔ 17⋮ d  d ∈ {1;17}

Để 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung lớn hơn 1, ta phải có 3n + 4⋮17

( n –10)⋮17

QU Y

hay 3 ( n –10 )⋮17 mà UCLN ( 3 ; 17 ) = 1 nên

n –10 = 17k (k ∈ ℕ) . Vì n ∈ ℕ, n < 30  −10 ≤ n –10 < 20 nên k ∈ {0 ; 1} . Với k = 0  n = 10 , khi đó 3.10 + 4⋮17 và 5.10 + 1⋮17 (thỏa mãn) Với k = 1  n = 27 , khi đó 3.27 + 4⋮17 và 5.27 + 1⋮17 (thỏa mãn)

Vậy n ∈ {10 ; 27} .

2n + 1 có giá trị là số nguyên thì 2n + 1⋮ n + 2 (1) n+2

KÈ

Câu 37. Để

Vì n + 2⋮ n + 2 nên 2 ( n + 2 )⋮ n + 2 (2)

Từ (1) và (2)  2 ( n + 2 ) − ( 2n + 1)  ⋮ n + 2

DẠ

 3⋮ n + 2

Vì n + 2 nguyên nên n + 2 ∈ {−1; −3;1;3}  n ∈ {−3; −5; −1;1}

Vậy với  n ∈ {−3; −5; −1;1} thì phân số

Câu 35.

2n + 1 là số nguyên. n+2

35 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Câu 38. Giả sử sau a phút (kể từ lúc 6h) thì 3 xe lại cùng xuất phát tại bến lần thứ 2.

Tìm được BCNN ( 75,60,50 ) = 300 (phút) = 5 giờ. Sau 5h thì 3 xe lại cùng xuất phát, lúc đó là 11h cùng ngày.

FI CI A

Lập luận để suy ra a là BCNN ( 75,60,50 ) .

2n + 1⋮ d  6n + 5 − 3 ( 2n + 1)⋮ d  2⋮ d  d ∈ {1;2} Câu 39. Giả sử d ∈UCLN ( 2n + 1, 6n + 5)    6 n + 5⋮ d

Vì n là số nguyên dương nên 2n + 1 ⋮ 2  d ≠ 2  d = 1

Câu 40. Cho phân số: P =

2n + 1 luôn tối giản. 6n + 5

Vậy với mọi số nguyên dương n thì phân số

6n + 5 ( n ∈ ℕ). 3n + 2

ƠN

a) Chứng tỏ rằng phân số P là phân số tối giản. Gọi d = ƯC ( 6n + 5,3n + 2 ) (với d ∈ ℕ* )

 6n + 5 ⋮ d và 3n + 2 ⋮ d  ( 6n + 5 ) − ( 3n + 2 ) .2 ⋮ d ⇔ 1 ⋮ d  d = 1 Vậy phân số P là phân số tối giản.

b) Với giá trị nào của n thì phân số P có giá trị lớn nhất?

6n + 5 2 ( 3n + 2 ) + 1 1 = = 2+ 3n + 2 3n + 2 3n + 2

QU Y

Ta có: P =

Với n ∈ ℕ thì 3n + 2 ≥ 2  Dấu “=” xảy ra ⇔ n = 0

1 1 1 5 5 ≤ ⇔ 2+ ≤ P≤ 3n + 2 2 3n + 2 2 2

Vậy n = 0 thì phân số P có giá trị lớn nhất bằng

5 ⋅ 2

KÈ

 a = d .a1 Câu 41. Gọi UCLN ( a; b ) = d =>  ( a1; b1 ) = 1 b = d .b1

Mà : a + 2b = 48 => da1 + 2db1 = 48 => d ( a1 + 2b1 ) = 48 => d ∈U ( 48)

(1)

Ta lại có: 3.BCNN(a; b) + ƯCLN(a; b) = 114

DẠ

=> d + 3.a1.b1.d = 114 => d (1 + 3a1.b1 ) = 114 => d ∈U (114 ) Từ (1) và (2) => d ∈ UC (48;114) = {1; 2;3;6}

Mà : d (1 + 3a1.b1 ) = 114 = 3.38 => d ⋮ 3 => d = 3 hoặc d = 6

(2)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Vậy a = 12 và b = 18

Câu 42. Đặt (11a + 2b, 18a + 5b) = d

55a + 10b⋮ d   19a ⋮ d 36a + 10b⋮ d 198a + 36b⋮ d  19b⋮ d 198a + 55b⋮ d

ƠN

Và 

19a ⋮ d  19⋮ d (vì (a, b) = 1) 19b⋮ d

Do đó 

Vậy d ∈ {1;9}

Câu 43. Ta có

QU Y

( a, b ) = ( a,a + b ) = ( a + a + b,a + b ) = ( 2a + b,a + b ) = ( 2a + b,3a + 2b ) = ( 5a + 3b,3a + 2b ) = ( 5a + 3b, 2 ( 5a + 3b ) + 3a + 2b ) = ( 5a + 3b,13a + 8b )

( ab + bc + ca )⋮ p abc⋮ p

KÈ

Câu 44. Giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho 

a ⋮ p  Từ abc⋮ p  b⋮ p  c⋮ p

DẠ

FI CI A

 a + 2b1 = 8  a + 2b1 = 8  a = 2 => a = 12 TH2 : d = 6 =>  1 =>  1 =>  1 1 + 3a1.b1 = 19  a1.b1 = 6 b1 = 3 => b = 18

 a + 2b1 = 16  a + 2b1 = 16 TH1 : d = 3=>  1 (loại) =>  1 1 + 3a1.b1 = 38 3a1.b1 = 37

 b⋮ p  c⋮ p

Giả sử a ⋮ p  ab + ac⋮ p  bc⋮ p  

Điều này mâu thuẫn với (a, b) = 1 hoặc (a, c) = 1. 37 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

(

)

(

) ) = ( a + b,3ab )

Câu 45. Ta có a + b,a 2 − ab + b 2 = a + b, ( a + b ) − a 2 − ab + b 2

( a + b,a

Vì vậy

FI CI A

Do (a, b) = 1 nên (a + b, ab) = 1

− ab + b 2 ) = ( a + b,3ab ) = ( a + b,3)  d ∈ {1;3}

* Xét d = 1

a + b = 8 a+b 8 = ⇔ ⇔ 3ab = −9  2 2 a 2 − ab + b 2 73 a − ab + b = 73

Khi đó

Điều này không xảy ra vì a, b ∈ N

ƠN

* Xét d = 3

( a;b ) = (17;7 ) a + b = 24 a+b 8 = ⇔ ⇔ = − ⇔ 3ab 9   2 2 a 2 − ab + b 2 73 a − ab + b = 219 ( a;b ) = ( 7;17 )

Khi đó

Thử lại ta được hai cặp số trên thỏa mãn điều kiện bài toán.

(

)

Ta có

( = (2 = (2

n −1

)( + 1)( 2 + 1)( 2

n −1

QU Y

Câu 46. Đặt d = 22 + 1, 2 2 + 1  d lẻ.

) + 1)( 2 − 1) + 1) ... ( 2 + 1)( 2

2 2 − 1 = 22 + 1 22 − 1

2 n −1

2 n −2

2n − 2

)

− 1 ⋮d

(

2 n −1

) (

)

(

KÈ

Do đó 22 + 1 − 2 2 − 1 = 2⋮ d  d = 1 (vì d lẻ) n

Vậy 2 2 + 1, 22 + 1 = 1

Câu 47. Đặt d = (m, n). Khi đó tồn tại các số tự nhiên r, s sao cho rn - sm = d.

(

)

DẠ

Đặt d1 = 2 m − 1, 2 n − 1  d1 lẻ. Ta có:

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

2 n − 1⋮ 2d − 1 (vì n ⋮ d )

FI CI A

2 m − 1⋮ 2d − 1 (vì m⋮ d ) Do đó d1 ⋮ 2d − 1

2 n − 1⋮ d1  2rn − 1⋮ d1  2 rn − 2sm = 2sm ( 2rn −sm − 1) = 2sm ( 2d − 1)⋮ d1 m sm 2 − 1⋮ d1  2 − 1⋮ d1

Mặt khác: 

Mà ( 2,d1 ) = 1  2d − 1⋮ d1 Từ đó suy ra d1 = 2d − 1

(

)

m,n )

−1

ƠN

Vậy 2m − 1, 2 n − 1 = 2(

Câu 48. Giả sử a ≤ b

 a = 15.m Do ƯCLN (a, b) = 15   ( m ≤ n ) , ( m, n ) = 1 , b = 15.n

Khi đó BCNN(a; b) = 15.m.n. Do đó:

QU Y

ƯCLN(a; b).BCNN(a; b) = (15.m.n ) .15 = (15 m ) . (15 n ) = a.b  ab = 300.15 = 4500  mn = 20  15 m .15 n = 4500    m≤n

300

KÈ

Ta có bảng:

Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (15 ;60), (300 ; 75) và đảo ngược lại.

Câu 49. Giả sử d = ( a , a + 2 )  d | a và d | a + 2  d | a + 2 − a  d = 1 hoặc d = 2.

DẠ

Với a lẻ thì (a, a + 2) = 1. Với a chẵn thì (a, a + 2) = 2.

Câu 50. Giả sử d | (1 + a + ... + a m −1 ) và d | ( a − 1) ,suy ra :

39 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

d | ( a m −1 − 1) + ( a m − 2 − 1) + ... + ( a − 1) + m  d | m .

FI CI A

Vậy d | m và d | a − 1. Ngược lại, nếu d | a và d | a − 1 thì d ( m m −1 + ... + a + 1) Vậy (1 + a + ... + a m −1 , a − 1) = ( m , a − 1)

Ta có a + b ⋮ d và a + b ⋮ 2  a + b ⋮ 2 d ( do

Vậy d là ước của

ƠN

b+c c+d ⋮ d và ⋮d 2 2 a+b b+c c+a , , . 2 2 2

Ngược lại, giả sử d là ước của

a+b ⋮d. 2

Tương tự:

( 2, d ) = 1) 

Câu 51. Giả sử d | a , b | d , c | d thì d lẻ.

a+b b+c c+a a+b a+c b+c thì d là ước của , , + − = a. 2 2 2 2 2 2

QU Y

Tương tự d | b và d | c.

a+b b+c c+a Vậy:  , ,  = ( a , b, c ). 2 2   2

Câu 52.

Giả sử d = ( a1 , a 2 ,..., a 49 ) ,khi đó a1 + a 2 + ... + a 49 = 999 ⋮ d , suy ra d là ước của

999 = 33.37

KÈ

Vì d | a k ( k = 1, 2,..., 49 ) nên a k ≥ d , ∀ k  999 = a1 + a 2 + ... + a 49 ≥ 49 d  d ≤

99 < 21. Vậy 29

d chỉ có thể nhận các giá trị 1,3, 9.

Giá trị d lớn nhất bằng 9 khi a1 = a2 = ... = a48 = 9; a49 = 567 (vì 9.48 + 567 = 999 )

DẠ

Câu 53. Giả sử d = (11a + 2b,18a + 5b ) , khi đó d |18a + 5b và d |11a + 2b , suy ra

d |11(18a + 5b ) − 18 (11a + 2b ) = 19b  d |19 hoặc d | b.

Nếu d | b thì từ d | 5 (11a + 2b ) − 3 (18a + 5b ) = a − 5b  d | a  d | ( a, b ) = 1  d = 1.

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Nếu d |19 thì d = 1 hoặc d = 19.

FI CI A

(

Vậy (11a + 2b, 18a + 5b) bằng 1 hoặc bằng 19.

)

Câu 54. Giả sử d = m + n, m 2 + n 2 khi đó d | m + n và d | m 2 + n 2 suy ra 2

d | ( m + n ) − ( m 2 − n 2 ) = 2mn.

(

)

(

)

Do đó d | 2m 2 , 2n 2 = 2 m 2 , n 2 = 2  d = 1 hoặc d = 2. Nếu m, n cùng lẻ thì d = 2.

ƠN

Nếu m, n khác tính chẵn lẻ thì d = 1.

d | m + n và d | 2 mn suy ra d | 2m ( m + n ) − 2mn = 2m 2 và d | 2n ( m + n ) − 2mn = 2n 2 .

Câu 55. a) Giả sử d = ( 21n + 4,14n + 3) , khi đó d | 21n + 4 và d |14 n + 3 suy ra d | 2 ( 21n + 4 )

Vậy

và d | 3 (14n + 3)  d | 3 (14n + 3) − 2 ( 21n + 4 ) = 1  d = 1.

21n + 4 là phân số tối giản. 14n + 3

(

)

QU Y

b) Giả sử d = 2n + 1, 2 n 2 + 2n suy ra d | 2 n 2 + 2n − n ( 2n + 1) = n. Từ d | 2n + 1 và d | n suy ra d | 2n + 1 − 2n = 1  d = 1.

2n + 1 là phân số tối giản. 2n 2 + 2n

Vậy

18n + 3 3 ( 6n + 1) = . Mà ( 3,7 ) = ( 3,3n + 1) = ( 6n + 1,3n + 1) = 1 nên để là 21n + 7 7 ( 3n + 1)

KÈ

Câu 56. a) Ta có:

phân số

18n + 3 tối giản ta phải có ( 6n + 1,7 ) = 1. 21n + 7

DẠ

Mặt khác, 6n + 1 = 7n – (n – 1), do đó :

( 6n + 1,7 ) = 1. ⇔ ( n − 1,7 ) = 1 ⇔ n ≠ 7 k + 1 ( k ∈ Z ) .

Vậy, với n chia cho 7 không dư 1 thì

18n + 3 là phân số tối giản. 21n + 7

41 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

2n + 3 11 = 2− tối giản ⇔ ( n + 7,11) = 1 ⇔ n ≠ 11k − 7 ( k ∈ Z ) , n+7 n+7

b) Ta có

FI CI A

Câu 57. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a ≤ b. Vì ( a, b ) = 16 nên a = 16a1 , b = 16b1 với ( a1 , b1 ) = 1.

Từ a + b = 128 suy ra 16 ( a1 + b1 ) = 128 ⇔ a1 + b1 = 8 . Với điều kiện a1 ≤ b1 và ( a1 , b1 ) = 1 ta có

a1 = 1, b1 8 hoặc a1 = 3, b1 = 5 . Từ đó ta có a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80.

Câu 58. Ta có ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11( a + b ) ;33 = 11.3 . Vì (a + b) không chia hết cho 3

(

)

nên ab + ba,33 = 11

ƠN

Câu 59. Số có 3 chữ số tận cùng là 136 chia hết cho 8 nên có ít nhất 4 ước số dương là 1, 2, 4, 8. Câu 60. d | a, d | b thì d | ma + nb, d | ka + lb;

QU Y

Câu 61. Ta có 123456798 – 123456789 = 9 nên ƯCLN phải tìm chỉ có thể là 1, 3 hoặc 9, mà tất cả các số đã cho đều chia hết cho 9 nên ƯCLN phải tìm là 9.

Câu 62.

 d | a ( 2a + b ) − ( a 2 + ab ) = a 2  d = ( 2a − b, a + ab )    d | ( a 2 , b2 ) = 1  d = 1 2 2  d | b ( 2a + b ) − 2 ( a + ab ) = b − 2a Câu 63.

KÈ

a ) d = (12n + 1,30n + 2 )  d | 5 (12n + 1) − 2 ( 30n + 2 ) = 1  d = 1 12n + 1 là phân số tối giản. 30n + 2

Vậy phân số

DẠ

b) d = (15n 2 + 8n + 6,30n 2 + 21n + 13)  d | 2 (15n 2 + 8n + 6 ) − ( 30n 2 + 21n + 13) = 1  d | 5n + 1  d | 3n ( 5n + 1) − (15n 2 + 8n + 6 )  d | 5n + 6  d | ( 5n + 6 ) − ( 5n + 1)  d | 5  d | 5n + 6  d |1  d = 1.   d |5 42

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

n + 13 15 = 1+ tối giản (15, n − 2 ) = 1. n−2 n−2

FI CI A

Câu 64.

15n 2 + 8n + 6 là phân số tối giản. 30n 2 + 21n + 13

Vậy phân số

Do đó n – 2 không chia hết cho 3 và 5. Do đó để phân số

n + 13 tối giản thì n ≠ 3k + 2, n ≠ 5l + 2 n−2

k + ( n + 2) n+2 k = 1+ tối giản ( k = 7,8,..,31) . Mà k + ( n + 2) k k

ƠN

Câu 66. Các số đã cho có dạng

Câu 65. Chứng minh n lẻ là không chia hết cho 3.

⇔ ( n + 2, k ) = 1 ⇔ n + 2 nguyên tố cùng nhau với 7,8,...,31 và n + 2 nhỏ nhất ⇔ n + 2 = 37 ⇔ n = 35.

Câu 67. a) a = 6, b = 60 hoặc a = 12, b = 30 ( a ≤ b ) ;

b) Các cặp số (a, b) với a ≤ b cần tìm là (1;54 ) , ( 2;27 ) , ( 5;50 ) , (10; 25 ) và (11;44 )

QU Y

Câu 68. n + 1⋮[ 2,3, 4,5,6,7,8,9] = 5.7.8.9 = 2520 . Vậy n = 2519. Câu 69. Ta có: N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) chia hết cho các số: 1; a ; b ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ; a ( ab + 1)( 2ab + 1) ; ab + 1 ; ab ( 2ab + 1) ; 2ab + 1 ;

ab ( ab + 1) ; N ; ab ; ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ( ab + 1) ; a ( 2ab + 1) ; a ( ab + 1) ; b ( 2ab + 1) có 16 ước

dương Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì a; b; ab + 1; 2ab + 1 là số nguyên tố . Do

KÈ

a, b > 1  ab + 1 > 2

Nếu a; b cùng lẻ thì ab + 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ  a = 2 .

Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab + 1 = 4b + 1 và ab + 1 = 2b + 1 chia hết cho 3 là

DẠ

hợp số (vô lý)  b = 3 . Vậy a = 2; b = 3 .

Câu 70. Đặt A = p 2 − pq + 2q 2 và B = 2 p 2 + pq + q 2 . Xét các trường hợp: +) p = q = 2 , không thoả mãn.

43 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

+) p = 2, q ≥ 3, khi đó

= ( 2 − q + q 2 ,8 + 2 p + q 2 )

( A, B ) = ( 4 − 2q + 2q 2 ,8 + 2q + q 2 )

FI CI A

(vì 8 + 2 p + q 2 ⋮ 2 )

= ( 6 + 3q,8 + 2q + q 2 ) (vì 8 + 2 p + q 2 ⋮ 3 )

= ( 2 + q,8 + ( 2 + q ) q ) , = d.

Suy ra d lẻ và d 8 . Do đó d = 1. +) q = 2, p ≥ 3, khi đó

ƠN

( A, B ) = ( p 2 − 2 p+ 8,2 p2 + 2 p + 4 ) = ( p 2 − 2 p + 8, p 2 + p + 2 ) , (vì p 2 − 2 p + 8⋮ 2 )

= ( 3 p − 6, p 2 + p + 2 )

= ( p − 2, p 2 + p + 2 ) ,

(vì p + p + 2⋮3 )

= ( p − 2, p 2 + 4 )

(

)

QU Y

= p − 2, ( p − 2 ) + 4 p = d.

Suy ra d 4 p , d lẻ và d < p. Do đó d = 1.

+) p, q ≥ 3, . Vì p, q đều là số lẻ nên p + q và p − q là các số chẵn. Suy ra

A = p ( p − q ) + 2q 2 ⋮ 2 và B = 2 p 2 + q ( q + p )⋮ 2. Vậy A và B không nguyên tố cùng nhau.

KÈ

Tóm lại: p = 2, q ≥ 3, q nguyên tố hoặc q = 2, p ≥ 3, p nguyên tố.

Câu 71. Gọi ( a + b, a 2 + b 2 ) = d  a + b ⋮ d và a 2 + b 2 ⋮ d

 a 2 + 2ab + b 2 ⋮ d  2ab ⋮ d vì ( a, b ) = 1

DẠ

 ( ab, a + b ) = 1  ( 2ab, a + b ) = ( 2, a + b )  d là ước số của ( 2ab, a + b )  d là ước số của ( 2, a + b )  d là ước số cùa 2  d = 1 hoặc d = 2 . 44

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a = 4 .  b = 3

a + b = 7 a + b = 7 a = 3 ⇔ ⇔ Nếu d = 1   2 hoặc 2 b = 4 a + b = 25 ab = 12

FI CI A

a + b = 14 Nếu d = 2   2 vô nghiệm. 2 a + b = 50 Tóm lại ( a, b ) = ( 3, 4 ) , ( 4,3)

Khi đó ta có A ⋮ d; B⋮ d hay ta được m + n ⋮ d; m 2 + n 2 ⋮ d . 2

(

)

(

)

Câu 72. Đặt A = m + n và B = m 2 + n 2 . Gọi d là ước chung lớn nhất của A và B với d ≥ 1 .

Ta lại có A 2 − B = ( m + n ) − m 2 + n 2 = 2mn . Mà A 2 − B ⋮ d nên suy ra 2mn ⋮ d .

ƠN

Lại có m + n ⋮ d nên 2n ( m + n )⋮ d  2mn + 2n 2 ⋮ d

Kết hợp với 2mn ⋮ d ta được 2n 2 ⋮ d . Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được 2m 2 ⋮ d . Theo bài ra thì m và n nguyên tố cùng nhau nên m và n không cùng tính chẵn. Ta xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Trong hai số m và n có một số chẵn và một số lẻ, khi đó m + n là số lẻ nên từ

m + n chia hết cho d ta suy ra được d là số lẻ. Từ đó ta được m 2 và n 2 cùng chia hế cho d. Mà ta lại có m và n nguyên tố cùng nhau nên suy ra d = 1 .

QU Y

• Trường hợp 2: Cả hai số m và n đều là số lẻ, khi đó từ m + n là số chẵn nên từ m + n chia hết cho d với d lớn nhất ta suy ra được d là số chẵn.

Đặt d = 2d ' , khi đó từ 2m 2 ⋮ d và 2n 2 ⋮ d ta được m 2 ⋮ d ' và n 2 ⋮ d' . Do m và n nguyên tố cùng nhau nên suy ra d ' = 1 , do đó d = 2 . Vậy ta có hai kết quả như sau:

(

)

+ Nếu trong hai số m và n có một số chẵn và một số lẻ thì m + n, m 2 + n 2 = 1

(

)

KÈ

+ Nếu cả hai số m và n cùng lẻ thì m + n, m 2 + n 2 = 2 .

Câu 73. Giả sử các số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu bài toán, khi đó ta có

( 4a + 1, 4b − 1) = 1 và 16ab + 1⋮( a + b ) .

Ta có ( 4a + 1)( 4b + 1) = 16ab + 1 + 4 ( a + b )⋮ ( a + b ) .

DẠ

Lại có 4a + 1 + 4b − 1 = 4 ( a + b )⋮ ( a + b ) . Mà ( 4a + 1, 4b − 1) = 1 .

45 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Nếu cả hai số 4a + 1 và a + b cùng chia hết cho một số nguyên tố p nào đó, thì từ 4a + 1 + 4b − 1

Từ đó suy ra ( 4a + 1,a + b ) = 1 .

FI CI A

chia hết cho ( a + b ) ta suy ra được 4b − 1⋮ p , điều này mâu thuẫn với giả thiết ( 4a + 1, 4b − 1) = 1 .

Ta có ( 4a + 1)( 4b + 1)⋮ ( a + b ) và ( 4a + 1,a + b ) = 1 nên suy ra 4b + 1⋮ ( a + b ) . Ngược lại giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn 4b + 1⋮ ( a + b ) Khi đó từ

( 4a + 1)( 4b + 1)⋮ (a + b ) ta suy được 16ab⋮( a + b ) .

Ta lại có 4a + 1 + 4b − 1 = 4 ( a + b )⋮ ( a + b ) , suy ra 4b + 1⋮ p .

Nếu hai số 4a + 1 và 4b − 1 cùng chia hết cho p thì p là số nguyên tố lẻ.

Từ đó ta được ( 4a + 1, 4b − 1) = 1 .

ƠN

Do đó ta được 4b + 1 − ( 4b − 1) = 2 ⋮ p , điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố lẻ.

Như vậy hai số nguyên dương a, b thỏa mãn ( 4a + 1, 4b − 1) = 1 và 16ab⋮ ( a + b ) tương đương với

hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 4b + 1⋮ ( a + b ) .

Chú ý là 4b + 1 là số lẻ và 4b + 1 < 4 ( a + b ) nên từ 4b + 1⋮ ( a + b ) ta suy ra được

QU Y

 4b + 1 = a + b a = 3b + 1 ⇔   b = 3a − 1  4b + 1 = 3 ( a + b ) Như vậy cặp số nguyên dương ( a; b ) là ( c; 3c − 1) , ( 3c + 1; c ) với c ∈ N* .

Câu 74. Ta có: N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) chia hết cho các số: 1; a ; b ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ; a ( ab + 1)( 2ab + 1) ; ab + 1 ; ab ( 2ab + 1) ; 2ab + 1 ;

ab ( ab + 1) ; N ; ab ; ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ( ab + 1) ; a ( 2ab + 1) ; a ( ab + 1) ; b ( 2ab + 1) có 16 ước dương Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì a; b; ab + 1; 2ab + 1 là số nguyên tố. Do

KÈ

a, b > 1  ab + 1 > 2

Nếu a; b cùng lẻ thì ab + 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý). Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ  a = 2 .

Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab + 1 = 4b + 1 và ab + 1 = 2b + 1 chia hết cho 3 là

DẠ

hợp số (vô lý)  b = 3 . Vậy a = 2; b = 3 .

Câu 75. Gọi d là ƯCLN(m, n) suy ra m 2 , n 2 , mn cùng chia hết cho d 2 .

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Suy ra m + n chia hết cho d 2  m + n ≥ d 2 

m + 1 n + 1 m2 + n2 + m + n là số nguyên nên m 2 + n 2 + m + n cũng chia hết cho d 2 . + = n m mn m + n ≥ d.

FI CI A

Câu 76. a) Dễ thấy bộ số ( a, b, c ) = (1,3,7 ) thỏa mãn đề bài b) Đặt S = a + b + c + ab + bc + ac . Từ giả thiết suy ra S chia hết cho a, b, c .

Vì a, b, c đôi một khác nhau, do đó a, b, c đồng thời là các số nguyên tố thì S ⋮ abc hay S = kabc (k ∈ ℕ )

Không mất tính tổng quát, giả sử a < b < c .

ƠN

Nếu a = 2 thì b, c đều lẻ  b + c + bc lẻ nên không chia hết cho 2 . Do đó a ≥ 3 nên b ≥ 5, c ≥ 7 . Từ S = kabc( k ∈ ℕ ) suy ra 0<k =

1 1 1 1 1 1 + + + + + <1 k ∉ℕ ab ac bc a b c

Vậy a, b, c không thể đồng thời là các số nguyên tố.

Câu 77. Thay x = 2n + 1  A = 4n ( n + 3) = 4n ( n + 1 + 2 ) = 4n ( n + 1) + 8n

QU Y

Câu 78. Ta cần tìm ab ; cho biết ab ⋮ ab với 1 ≤ a, b ≤ 9 . ⇔ ab = nab với n là số tự nhiên khác 0.

⇔ 10a + b = nab ⇔ 10a = b ( na − 1)  10a ⋮ ( na − 1)

Nếu a = 1  b ( n − 1) = 10  có thể lập bảng để chọn:

n −1

KÈ

DẠ

Nếu a ≠ 1  ( an − 1) = 1  an − 1 là ước số của 10.

 an − 1∈ {1; 2;5}  an ∈ {2;3;6}  ( an − 1, n ) = ( 2;1) , ( 3;1) , ( 2;3) , ( 3; 2 )

47 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN

CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG

Thay ( a, n ) vào ta tính được b.

FI CI A

Ta có: ( a; b ) = ( 2; 4 ) , ( 3;6 )

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Đáp số: ab ∈ {11;12;15; 24;36}