4 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6 SGK MỚI (CẢ 3 BỘ SÁCH) by DẠY KÈM QUY NHƠN OLYMPIC

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6

vectorstock.com/30416001

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

4 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI HSG TOÁN 6 SGK MỚI (CẢ 3 BỘ SÁCH) CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TẾ, HÌNH HỌC TRỰC QUAN, ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC, GÓC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

FI CI A

CHỦ ĐỀ 1: HÌNH TAM GIÁC ĐỀU, HÌNH LỤC GIÁC ĐỀU

HH6.CHUYÊN ĐỀ 1-MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TẾ PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. TAM GIÁC ĐỀU

=C = 60° . ∆ABC đều có: AB = BC = AC ; A = B

2. LỤC GIÁC ĐỀU

ƠN

Trong tam giác đều có: 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60°

QU Y

Hình lục giác đều có: 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng nhau và mỗi góc bằng 120°

bằng 120° .

KÈ

Hình lục giác đều ABCDEF có: AB = BC = CD = DE = EF ; 6 góc ở đỉnh A, B, C , D, E , F bằng nhau và

Ba đường chéo chính bằng nhau: AD = BE = CF .

Ba đường chéo chính cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường:

DẠ

OA = OB = OC = OD = OE = OF .

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI 1. Tam giác đều

Trang 1

Bài 1. Trình bày cách vẽ tam giác đều ABC có cạnh 4 cm bằng thước thẳng và compa. Tính chu chu vi

FI CI A

của tam giác vừa vẽ được? Lời giải

* Để vẽ tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4 cm bằng thước thẳng và compa, ta làm như sau: Bước 1. Dùng thước vẽ đoạn thẳng AB = 4 cm .

Bước 2. Lấy A làm tâm, dùng compa vẽ một phần đường tròn có bán kính AB = 4 cm. .

giao điểm của hai phần đường tròn vừa vẽ. Bước 4. Dùng thước thẳng vẽ các đoạn thẳng AC và BC .

Bước 3. Lấy B làm tâm, dùng compa vẽ một phần đường tròn có bán kính BA = 4 cm ; gọi C là

ƠN

Vậy ta được tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 cm .

QU Y

* Chu vi tam giác đều ABC là: 3.4 = 12 cm .

Bài 2. Trình bày cách vẽ tam giác đều MNP có cạnh 5 cm bằng thước ê ke có góc bằng 60° . Tính chu vi của tam giác vừa vẽ được? Lời giải

* Để vẽ tam giác đều MNP có độ dài cạnh bằng 5 cm bằng thước ê kê có góc 60° , ta làm như sau: Bước 1: Vẽ đoạn thẳng MN = 5 cm (dùng thước thẳng)

KÈ

Bước 2: Vẽ góc NMx bằng 60° (dùng ê kê có góc 60° ) Bước 3: Vẽ góc MNy bằng 60° (dùng ê kê có góc 60° ). Hai tia Mx và Ny cắt nhau tại P .

DẠ

Bước 4: Nối M với P , N với P ta được tam giác đều MNP

Trang 2

L OF

Bài 3. Trình bày cách cắt giấy một tam giác đều từ một hình vuông.

FI CI A

* Chu vi tam giác đều MNP là: 3.5 = 15 cm .

ƠN

Lời giải

QU Y

Bước 1: Gấp hình theo hình 1

Bước 2: Gấp tiếp hình theo hình 2

Bước 3: Cắt theo đường gạch đỏ hình 3 ta được một tam giác đều. Bài 4. Vẽ tam giác đều DEF có cạnh 6 cm . Gọi M là điểm chính giữa cạnh DE , N là điểm chính

giữa cạnh EF , P là điểm chính giữa cạnh DF .

a) Hãy kiểm tra xem tam giác MNP là tam giác gì? Tính chu vi tam giác MNP ?

DẠ

Lời giải

KÈ

b) Tính tỉ số giữa chu vi tam giác MNP và chu vi tam giác DE.F

Trang 3

FI CI A

đều.

ƠN

a) Dùng thước thẳng (hoặc compa) kiểm tra ta thấy: MP = PN = MN nên tam giác MNP là tam giác

Tương tự ta cũng kiểm tra được tam giác EMN cũng là tam giác đều nên MN = NE = EM .

Vậy chu vi tam giác MNP là 3.3 = 9 ( cm ) .

1 1 ED = .6 = 3cm  MN = 3cm. 2 2

Vì M là điểm chính giữa của cạnh ED nên EM =

QU Y

b) Ta có chu vi tam giác DEF là 6.3 = 18 ( cm ) .

Suy ra, tỉ số giữa chu vi tam giác MNP và chu vi tam giác DE.F là

9 1 = . 18 2

Hay chu vi tam giác MNP bằng một nửa chu vi tam giác DE.F . Bài 5. Vẽ tam giác đều ABC có độ dài cạnh là x cm . Vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác đều ABC

các tam giác đều APB, AQC , BRC .

KÈ

a) Hình PQR có phải là hình tam giác đều không? b) Tính chu vi hình PQR .

DẠ

Lời giải

Trang 4

x cm

FI CI A

ƠN

a) Dùng thước thẳng (hoặc compa) kiểm tra ta thấy: PQ = QR = PR nên tam giác PQR là tam giác đều. b) Vì các tam giác ABC , APB, AQC , BRC là các tam giác đều nên: AB = BC = AC , AB = AP = PB,

AC = AQ = QC , BC = CR = BR nên AP = AQ = x cm. Do đó độ dài cạnh PQ bằng 2 x ( cm ) .

Vậy chu vi tam giác PQR là 2 x.3 = 6 x ( cm ) .

Bài 6. Cho ABC đều. Gọi D , E , F lần lượt là điểm chính giữa của các cạnh AB, BC , AC . Vẽ về phía

QU Y

ngoài tam giác đều ABC các tam giác đều AMP, APC , BQC . a) Kiểm tra xem các tam giác DEF , MPQ là tam giác gì? b) Cho chu vi tam giác DEF bằng 9 cm , hãy tính chu vi tam giác MPQ. A

DẠ

KÈ

Q Trang 5

L FI CI A

Lời giải

a) Dùng thước thẳng (hoặc compa) kiểm tra ta thấy: DE = EF = DF , MP = PQ = MQ nên các tam giác

b) Ta có AD =

1 1 AB nên CDEF = C ABC . 2 2

AB =

1 1 MQ nên C ABC = CMPQ 2 2

DEF , MPQ là các tam giác đều.

1 Ta suy ra CDEF = CMPQ hay CMPQ = 4.C DEF 4

ƠN

Mà CDEF = 9 cm Vậy CMPQ = 9.4 = 36 ( cm ) . 2. LỤC GIÁC ĐỀU:

Dạng 1: Vẽ hình lục giác đều và một số yếu tố cơ bản của hình lục giác đều:

I. Phương pháp giải:

- Dựa vào cách vẽ một tam giác đều khi biết độ dài cạnh các cạnh của nó, để vẽ hình lục giác đều có độ

QU Y

dài cạnh xác định bằng thước và compa, hoặc bằng êke và compa. - Dựa vào cách ghép sáu tam giác đều để tạo ra hình lục giác đều. II. Bài toán:

Bài 1: Nêu cách tạo ra lục giác đều từ một miếng bìa?

Lời giải:

Bước 1: Cắt miếng bìa đã cho thành sáu hình tam giác đều có cạnh bằng nhau.

DẠ

KÈ

Bước 2: Ghép sáu miếng bìa trên để được hình lục giác đều.

Trang 6

FI CI A

a) Từ đó hãy vẽ hình lục giác đều MNPQRH ?

Bài 2. Trình bày cách vẽ tam giác đều MNO có cạnh 4 cm bằng thước thẳng và compa.

b) Kể tên các đỉnh, cạnh, góc, đường chéo chính của hình lục giác đều MNPQRH ?

c) Hãy nhận xét về độ dài các cạnh, các đường chéo chính và độ lớn các góc của hình lục giác đều

MNPQRH ? Lời giải:

* Để vẽ tam giác đều MNO có độ dài cạnh bằng 4 cm bằng thước thẳng và compa, ta làm như sau: Bước 1. Dùng thước vẽ đoạn thẳng MN = 4 cm .

Bước 2. Lấy M làm tâm, dùng compa vẽ một phần đường tròn có bán kính MN = 4 cm. .

ƠN

Bước 3. Lấy N làm tâm, dùng compa vẽ một phần đường tròn có bán kính NM = 4 cm ; gọi O là giao điểm của hai phần đường tròn vừa vẽ.

Bước 4. Dùng thước thẳng vẽ các đoạn thẳng OM và ON . Ta được tam giác đều MNO có cạnh bằng

4 cm .

a) (Trình tự vẽ các đỉnh còn lại của lục giác đều MNPQRH có thể khác so với lời giải – đáp án mở) Bước 5: Lấy O làm tâm, dùng compa vẽ một phần đường tròn có bán kính ON = 4 cm. Lấy N làm tâm,

QU Y

dùng compa vẽ một phần đường tròn có bán kính NO = 4 cm ; gọi P là giao điểm của hai phần đường tròn vừa vẽ (điểm P khác điểm M ).Tương tự như trên tiếp tục vẽ được điểm Q (điểm Q khác điểm N ), điểm R (điểm R khác điểm P ), điểm H (điểm H khác điểm Q ). Bước 6: Dùng thước thẳng vẽ các đoạn thẳng NP, PQ, QR, RH , HM .

DẠ

KÈ

Vậy ta được hình lục giác đều MNPQRH .

b) Hình lục giác đều MNPQRH có: Trang 7

Sáu đỉnh là M , N , P, Q, R, H .

FI CI A

Sáu cạnh là MN , NP, PQ, QR, RH . Sáu góc đỉnh M , N , P, Q, R, H . Ba đường chéo chính là MQ, NR, PH

c) Theo cách vẽ trên ta có các tam giác đều OMN , ONP, OPQ, OQR, ORH , OHM vậy: MN = NP = PQ = QR = RH = HM = 4 ( cm )

= NPQ = PQR = QRH = RHM = HMN = 1200 MNP

MQ = MO+OR = 4+4 = 8 (cm); NR = NO + OR = 4+ 4 = 8 (cm);

ƠN

PH = PO+OH = 4 +4 = 8 (cm);

Bài 3. Trình bày cách vẽ tam giác đều OAB có cạnh 5 cm bằng thước ê kê có góc bằng 60° . Từ đó nêu

cách vẽ hình lục giác đều ABCDEF ?

QU Y

Lời giải

* Để vẽ tam giác đều OAB có độ dài cạnh bằng 5 cm bằng thước ê kê có góc 60° , ta làm như sau:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm (dùng thước thẳng) Bước 2: Vẽ góc BAx bằng 60° (dùng ê kê có góc 60° )

KÈ

Bước 3: Vẽ góc ABy bằng 60° (dùng ê kê có góc 60° ). Hai tia Ax và By cắt nhau tại O . Bước 4: Nối O với A , O với B ta được tam giác đều OAB . Bước 5: Tương tự như trên, lần lượt vẽ được các tam giác đều OBC, OCD,ODE,OEF, OFA (trình tự vẽ

các tam giác đều có thể khác lời giải – đáp án mở).

DẠ

Vậy ta vẽ được lục giác đều ABCDEF . Bài 4 . Trình bày cách cắt giấy một lục giác đều từ một hình vuông (khuyến khích hs tìm hiểu thêm các

cách gấp giấy khác). Lời giải

Trang 8

L FI CI A

Bước 1: Gấp hình vuông sao cho hai cạnh trùng khít lên nhau (theo hình a).

Bước 2: Gấp đôi hình chữ nhật sao cho chiều dài của nó trùng khít lên nhau (theo hình b). Bước 3: Trải phẳng tờ giấy về hình vuông ban đầu, xác định các giao điểm giữa các nếp gấp và một cạnh

ƠN

của hình vuông (theo hình c).

Bước 4: Tại giao điểm thứ ba của cạnh hình vuông, gấp giao điểm thứ nhất trùng lên cạnh liên kề hình vuông (theo hình d). (tính từ phải sang trái)

Bước 5: Trải phẳng tờ giấy hình vuông, rồi gấp ngang hình vuông tại giao điểm được xác định tại bước 4 (như hình e).

Bước 6: Dùng kéo cắt theo nếp gấp được đánh dấu màu đỏ (như hình g).

KÈ

QU Y

Bước 7: Mở đôi hình thang cân được hình lục giác đều (như hình h).

Dạng 2 : Cách nhận biết hình lục giác đều.

I.Phương pháp giải:

- Dựa vào các đặc điểm chung về cạnh, về góc để nhận biết hình lục giác đều.

DẠ

II.Bài toán:

Bài 5: Trong các hình dưới đây, hình nào là hình lục giác đều.

Trang 9

L FI CI A

Hình 2

Hình 3

ƠN

Hình 1

Hình 5

Hình 4

Lời giải:

Hình 1: Hình sáu cạnh PQRHKL không phải là lục giác đều vì các cạnh không bằng nhau.

QU Y

Hình 2: Hình sáu cạnh ABCDGH không phải là lục giác đều vì các góc không bằng nhau. Hình 3: Hình sáu cạnh EFIJKL là lục giác đều vì có 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng nhau. Hình 4: Đa giác ABCDEF không phải lục giác đều vì các cạnh không bằng nhau, các góc không bằng nhau.

Hình 5: Đa giác ABCDNM không phải là lục giác đều vì các cạnh không bằng nhau, các góc không bằng

nhau.

Dạng 3: Tính chu vi, diện tích của hình lục giác đều

KÈ

I.Phương pháp giải:

Thông qua công thức tính chu vi, diện tích của hình tam giác đều hoặc các hình tứ giác đã học ở tiểu học để tính chu vi, diện tích của hình lục giác đều.

Tính chu vi, diện tích của hình lục giác đều khi biết độ dài một cạnh của nó.

DẠ

II.Bài toán:

Bài 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF như hình sau, biết OA = 6 ( cm ) , BF = 10, 4 ( cm ) .

a) Tính chu vi hình lục giác đều ABCDEF . b) Tính diện tích hình lục giác đều ABCDEF Trang 10

FI CI A

Lời giải:

A O

tam giác OAB , OBC , OCD, ODE , OEF , OFA là tam giác đều)

b) Diện tích hình thoi ABOF là:

ƠN

Vậy chu vi hình lục giác đều ABCDEF là 6. AB = 6.6 = 36 ( cm )

a) Hình lục giác đều ABCDEF có OA = 6 ( cm ) nên OA = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 6 ( cm ) ( vì các

1 1 ⋅ OA ⋅ BF = . 6. 10, 4 = 31, 2 ( cm 2 ) 2 2

Theo hình vẽ diện tích hình lục giác đều ABCDEF gấp ba lần diện tích hình thoi ABOF Vậy diện tích hình lục giác ABCDEF đều là: 31,2 . 3 = 93,6 (cm2) Bài 7. Người ta thiết kế viên đá lát vườn hình lục giác đều bằng cách ghép các viên đá hình thang cân lại

với nhau (như hình bên). Mỗi viên đá hình thang cân có hai đáy là 10 cm và 20 cm, chiều cao 8,6 cm. Hỏi

QU Y

viên đá lát hình lục giác đều được tạo thành có diện tích bao nhiêu? (Biết rằng diện tích mạch ghép không

Lời giải:

KÈ

đáng kể)

1 (10 + 20). 8, 6 = 129 (cm2 ). 2

DẠ

Diện tích mỗi viên đá hình thang cân là:

Diện tích viên đá lục giác đều là: 129 . 2 = 258 (cm2 ).

Dạng 4: Bài toán thực tế, các bài toán liên quan đến lục giác đều.

I.Phương pháp giải: Trang 11

FI CI A

II.Bài toán:

- Sử dụng kiến thức về cạnh, góc và các đường chéo chính của lục giải đều để làm các bài tập. Bài 8: Lấy ví dụ các hình lục giác đều trong thực tế?

Lời giải: Các hình lục giác đều trong thực tế: nước Pháp trên bản đồ có hình lục giác đều – đất nước hình

QU Y

ƠN

lục lăng, tổ ong, lịch gỗ để bàn, rubik 12 mặt, biển báo giao thông, hình hộp bánh, hình trang trí…

DẠ

KÈ

Bài 9. Cho hình lục giác đều ABCDEF sau, hãy xác định số tam giác đều có trong hình ?

Trang 12

Lời giải:

FI CI A

Trong hình lục giác đều ABCDEF có 8 tam giác đều là : CMN , DNP, EPQ, FQR, ARS , BSM , ACE , BDF

Bài 10. Hãy kể tên các hình thang cân, hình chữ nhật có trong hình lục giác đều sau: C

Trong hình lục giác đều ABCDEF có :

Lời giải:

ƠN

Sáu hình thang cân là : ABCD, BCDE , CDEF , DEFA, EFAB, FABC Ba hình chữ nhật là: ABDE , BCEF , CDFA .

QU Y

Bài 11. Người ta muốn đặt một máy biến áp để đưa điện về sáu ngôi nhà. Phải đặt trạm biến áp ở đâu để

khoảng cách từ trạm biến áp đến sáu ngôi nhà bằng nhau, biết rằng sáu ngôi nhà ở vị trí sáu đỉnh của lục

DẠ

KÈ

giác đều?

Lời giải:

Mô hình hóa bài toán sáu ngôi nhà là sáu đỉnh A, B, C , D, E , F của hình lục giác đều ABCDEF , vẽ các đường chéo chính AD, BE , CF xác định được giao điểm O của các đường chéo chính. Để đặt trạm biến Trang 13

áp sao cho khoảng cách từ trạm biến áp đến sáu ngôi nhà bằng nhau thì người ta phải đặt trạm biến áp tại

ƠN

FI CI A

vị trí điểm O, vì OA = OB = OC = OD = OE = OF .

Bài 12. Người ta vẽ sáu hình vuông ở bên ngoài của một hình lục giác đều, mà mỗi hình vuông có chung

QU Y

một cạnh với hình lục giác đều như hình bên. Theo em các tam giác có phải là các tam giác đều không?

Lời giải:

KÈ

Các cạnh của hình lục giác đều có độ dài bằng nhau, nên độ dài các cạnh của sáu hình vuông vẽ bên ngoài của hình lục giác đều cũng bằng nhau, do đó hai cạnh của tam giác cũng là hai cạnh cạnh chung với hình vuông cũng bằng nhau.

3600 − 1200 − 2.900 = 600

DẠ

Số đo góc tạo bởi hai cạnh hình vuông cũng là hai cạnh chung của tam giác là :

Vậy các tam giác là tam giác đều.

Trang 14

(Trong trường hợp cách giải thích do trừ góc không thỏa đáng vì giảm tải kiến thức về cộng trừ góc, ta

FI CI A

mô hình hóa bài toán trên bằng cách vẽ hình trên giấy, bằng cách gấp giấy ta có độ dài của cạnh không chung với các hình vuông trùng khít với độ dài cạnh của lục giác).

Bài 13. Trong buổi tiệc sinh nhật bạn Na, mẹ đã đặt mua một cái bánh sinh nhật có hình lục giác đều. Em

hãy giúp bạn Na cắt cái bánh để chia đều cho: a) 6 bạn. b) 12 bạn.

c) 24 bạn. Lời giải:

QU Y

ƠN

a) Chiếc bánh sinh nhật hình lục giác được chia thành 6 phần cho 6 bạn (như hình).

DẠ

KÈ

b) Chiếc bánh sinh nhật hình lục giác được chia thành 12 phần cho 12 bạn (như hình).

Trang 15

ƠN

FI CI A

c) Chiếc bánh sinh nhật hình lục giác được chia thành 24 phần cho 24 bạn (như hình).

Bài 14. Bạn An có một sợi dây ruy băng dài 48cm . Nếu bạn An gấp thành một hình lục giác đều thì độ

dài mỗi cạnh của hình lục giác đều mà An tạo ra có độ dài bao nhiêu centimet?

Lời giải:

Bạn An gấp sợi dây ruy băng dài 48cm thành một hình lục giác đều, thì độ dài mỗi cạnh bằng:

48 : 6 = 8 ( cm )

QU Y

Bài 15. Nhà bạn An có một cái hộp đựng bánh kẹo hình lục giác đều rất đẹp. Chiếc hộp được cấu tạo rất

đặc biệt, ở giữa hộp có một khay nhỏ hình lục giác đều có độ dài một cạnh là 5cm . Độ dài cạnh của hình lục giác đều bên ngoài lớn hơn độ dài cạnh khay nhỏ ở giữa 5cm . Bạn An lấy băng keo quấn một vòng quanh mép chiếc hộp để bảo quản bánh kẹo bên trong. Hỏi độ dài đoạn băng keo bạn An dùng để quấn

DẠ

KÈ

chiếc hộp?

Lời giải:

Trang 16

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

 HẾT 

FI CI A

Độ dài đoạn băng keo bạn An dùng để quấn chiếc hộp là : 10 ⋅ 6 = 60 ( cm )

Độ dài cạnh của hình lục giác đều bên ngoài là: 5 + 5 = 10 ( cm )

Trang 17

CHUYÊN ĐỀ 1- MỘT SỐ HÌNH HỌC PHẲNG TRONG THỰC TIỄN.

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa

Hình vuông ABCD có:

ƠN

Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.

FI CI A

CHỦ ĐỀ 2: HÌNH VUÔNG.

Các góc A , góc B , góc C , góc D bằng nhau và bằng 90O .

Các cạnh AB, BC , CD, DA bằng nhau. Hai đường chéo AC , DB bằng nhau.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC , DB ta có: OA = OB = OC = OD .

2. Công thức tính chu vi

QU Y

Chu vi hình vuông C = 4.a .

Trong đó : C là chu vi hình vuông.

a là độ dài cạnh hình vuông.

Chú ý : Trong hình vuông nếu cạnh tăng lên b đơn vị thì chu vi tăng lên 4b đơn vị.

3. Công thức tính diện tích

Diện tích hình vuông : S = a 2 .

KÈ

Trong đó : S là diện tích hình vuông

a là độ dài cạnh hình vuông.

Chú ý : Trong hình vuông nếu cạnh tăng lên b lần thì diện tích tăng lên b 2 lần.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

DẠ

Dạng 1: Toán về nhận biết, đếm hình, cắt ghép hình

1.1 Các bài toán đếm hình có trong hình vẽ I. Phương pháp giải

Trang 1

Trong dạng này học sinh thường mắc những sai lầm là liệt kê các hình còn thiếu hoặc trùng

lặp. Để khắc phục ta phải đọc theo một thức tự thật khoa học. Khi đọc lưu ý các hình chỉ đọc 1

FI CI A

lần.

Tính số hình có được trong trường hợp hình có trước có số lượng đỉnh, điểm rất lớn, tổng quát. Ta nên thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Tính số hình có được theo yêu cầu đề toán ở trường hợp đơn giản (xét vài trường hợp).

Bước 2: Tìm ra quy luật của số hình (dựa vào quy luật của dãy số). Từ đó dựa vào quy tắc và

công thức để tính.

II. Bài toán

Bài 1. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 3 cm . Chia Các cạnh hình vuông thành

ƠN

ba đoạn bằng nhau mỗi đoạn dài 1 cm rồi nối các điểm như trên hình vẽ. Ta đếm được

bao nhiêu hình vuông có trong hình vẽ.

QU Y

Lời giải Quan sát hình vẽ ta thấy:

Số các hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm là: 3.3 = 9 hình vuông. Số các hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 cm là: 2.2 = 4 hình vuông.

Số các hình vuông có độ dài cạnh bằng 3 cm là: 1.1 = 1 hình vuông. Tổng số hình vuông có trong hình vẽ là: 9 + 4 + 1 = 14 hình vuông.

KÈ

Vậy tổng số hình vuông có trong hình vẽ là 14 hình vuông.

Bài 2. Cho hình chữ nhật có chiều dài 4 cm , chiều rộng 3 cm . Chia các cạnh của hình chữ nhật thành những đoạn thẳng bằng nhau có độ dài mỗi đoạn là 1 cm . Nối các điểm chia

DẠ

như hình vẽ. Tính tổng chu vi các hình vuông tạo thành.

Lời giải Trang 2

Số các hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 cm là: 3.2 = 6 hình vuông. Số các hình vuông có độ dài cạnh bằng 3 cm là: 2.1 = 2 hình vuông. Tổng chu vi các hình vuông là: 12.4.1 + 6.4.2 + 2.4.3 = 120 ( cm ) . Vậy tổng chu vi các hình vuông là: 120 cm .

FI CI A

Số các hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm là: 4.3 = 12 hình vuông.

Bài 3. Cho một hình vuông gồm 9 × 9 = 81 ô kẻ vuông do 10 đường kẻ ngang và dọc (gọi

ƠN

chung là dạng lưới) tạo thành. Có bao nhiêu hình vuông tạo thành bởi các hình lưới ấy?

Lời giải

Có 9 loại hình vuông được tạo thành từ các đường lưới cụ thể như sau:

QU Y

Số hình vuông có kích thước 1×1 là 9 × 9 = 81 hình vuông. Số hình vuông có kích thước 2 × 2 là 8 × 8 = 64 hình vuông. Số hình vuông có kích thước 3 × 3 là 7 × 7 = 49 hình vuông. ...

Số hình vuông có kích thước 8 × 8 là 2 × 2 = 4 hình vuông.

KÈ

Số hình vuông có kích thước 9 × 9 là 1× 1 = 1 hình vuông. Vậy có tất cả 9.9 + 8.8 + 7.7 + ... + 2.2 + 1.1 = 285 hình vuông. Màu xanh và số

Bài 4. Nối điểm chính giữa cạnh hình vuông thứ nhất ta được hình vuông thứ hai. Nối điểm

chính giữa các cạnh hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba, và cứ tiếp tục như

DẠ

vậy…. Hãy tìm số hình tam giác có trong hình vẽ như vậy đến hình vuông thứ 100 ?

Trang 3

Quan sát hình vẽ ta thấy:

L Theo đề bài ta có bảng sau: Số hình tam giác có

0 = 4.0

4 = 4.1

4 + 4 = 4.2

4 + 4 + 4 = 4.3

…

ƠN

Hình vuông thứ

FI CI A

Lời giải

100

4 + 4 + 4 + .. + 4 = 4.99

Số hình tam giác được tạo thành là: 4 × 99 = 396 (tam giác).

Nhận xét: Có thể rút ra công thức tổng quát cho dạng này là 4. ( n − 1) với n là lần vẽ thứ n .

I.Phương pháp giải

QU Y

1.2 Các bài toán về cắt ghép hình

Trong dạng toán này đầu tiên các em cần lưu ý ở khâu phân tích đề bài rồi vẽ hình. Từ hình vẽ ta phân tích rồi sử dụng các công thức tính diện tích, tính chu vi để áp dụng tìm các

II.Bài toán

mối quan hệ.

KÈ

Bài 5. Cho hai mảnh bìa hình vuông hãy cắt hai mảnh bìa hình vuông. Hãy cắt hai mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình vuông. Lời giải

Ta chia làm hai trường hợp:

DẠ

a) Hai hình có kích thước bằng nhau: Vẽ hình theo các bước sau

Bước 1: Cắt hình vuông 1 theo các đường như hình vẽ, hình vuông 2 giữ nguyên

Trang 4

L FI CI A

QU Y

Bước 3: Ghép vào ta được 1 hình vuông:

ƠN

Bước 2: Xếp hình 1có dạng như sau, hình vuông 2 giữ nguyên:

b) Hai hình có kích thước khác nhau Cắt theo các bước sau

KÈ

Bước 1: Đặt hai hình vuông ở vị trí như sau (để tìm cách vẽ):

DẠ

Bước 2: Cắt hai hình vuông theo các đường nét đứt sau:

Bước 3: Ghép phần (1) với (1), phần (2) với (2) ta được một hình vuông Trang 5

L FI CI A

Bài 6. Cho một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Hãy cắt miếng

tôn đó để ghép thành một miếng tôn hình vuông.

Lời giải

Vì miếng tôn có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng nên ta chia miếng tôn thành hai hình

ƠN

vuông bằng nhau theo nét đứt:

Thực hiện cắt hai miếng tôn hình vuông ta làm các bước như sau:

QU Y

Bước 1: Cắt hình vuông 1 theo các đường trên hình vẽ, hình vuông 2 giữ nguyên

KÈ

Bước 2: Xếp hình 1có dạng như sau, hình vuông 2 giữ nguyên:

DẠ

Bước 3: Ghép vào ta được 1 hình vuông:

Trang 6

Bài 7. Cho mảnh bìa có kích thước như hình vẽ. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để

FI CI A

ghép lại thành một hình vuông.

Lời giải

ƠN

Trước hết ta cắt mảnh bìa thành 3 hình vuông bằng nhau theo các nét đứt sau:

Ta cắt hai hình vuông để tạo thành một hình vuông ta tiến hành các bước sau:

QU Y

Bước 1: Cắt hình vuông 1 theo các đường như trên hình vẽ, hình vuông 2 giữ nguyên

DẠ

KÈ

Bước 2: Xếp hình 1có dạng như sau, hình vuông 2 giữ nguyên:

Trang 7

Vẽ hình theo các bước sau:

ƠN

Bước 1: Đặt hai hình vuông ở vị trí như sau (để tìm cách vẽ):

Ta được hình vuông mới và hình vuông còn lại tiếp tục ta làm như sau:

FI CI A

Bước 3: Ghép vào ta được 1 hình vuông:

QU Y

Bước 2: Cắt hai hình vuông theo các đường nét đứt sau:

KÈ

Bước 3: Ghép phần (1) với (1), phần (2) với (2) ta được một hình vuông

Bài 8. Cho hình vuông có chu vi bằng 20 cm . Người ta chia hình vuông đó thành 2 hình

DẠ

chữ nhật tìm tổng chu vi 2 hình chữ nhật đó?

Lời giải

Độ dài mỗi cạnh hình vuông đó là: 20 : 4 = 5 ( cm ) .

Khi chia ra hai hình chữ nhật thì tổng chiều rộng của hai hình chữ nhật đó là : 5 ( cm ) . Trang 8

Khi chia ra hai hình chữ nhật thì chiều dài mỗi hình chữ nhật bằng 5 ( cm ) . Tổng chiều dài của

FI CI A

hai hình chữ nhật đó là : 2.5 = 10 ( cm ) . Tổng chu vi 2 hình chữ nhật đó là: 2 ( 5 + 10 ) = 30 ( cm ) .

Bài 9. Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 100 cm . Cắt dọc theo cạnh của nó ta được một hình vuông và một hình chữ nhật mới. Hãy tìm độ dài các cạnh hình chữ nhật ban đầu, biết chu vi của hình chữ nhật mới là 60 cm ?

ƠN

Lời giải

Ta có:

Chu vi hình chữ nhật ban đầu = Chu vi hình chữ nhật mới + 2 lần độ dài cạnh hình vuông.

Suy ra: 2 lần chiều rộng của hình chữ nhật ( hay 2 lần cạnh hình vuông) là: 100 – 60 = 40 ( cm ) . Chiều rộng của hình chữ nhật bằng cạnh của hình vuông và bằng: 40 : 2 = 20 ( cm ) .

QU Y

Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu là: 100 : 2 = 50 ( cm ) . Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là: 50 – 20 = 30 ( cm ) . Vậy Chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 30 cm; 20 cm .

Bài 10. Có một hình vuông có cạnh bằng 8 cm , người ta chia hình vuông thành hai hình chữ

Lời giải

DẠ

KÈ

chữ nhật ?

nhật và thấy hiệu hai chu vi của hai hình chữ nhật bằng 8 cm . Tìm diện tích mỗi hình

Hai hình chữ nhật có cùng chiều dài là cạnh của hình vuông. Nửa chu vi hình chữ nhật lớn hơn nửa chu vi hình chữ nhật bé là: 8: 2 = 4 ( cm ) . Mà chiều rộng hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng của hình chữ nhật bé là: 4 cm . Trang 9

Tổng chiều rộng của hình chữ nhật lớn và chiều rộng của hình chữ nhật bé bằng cạnh của hình

vuông và bằng 8 cm nên ta có:

FI CI A

Chiều rộng hình chữ nhật lớn là: ( 8 + 4) : 2 = 6 ( cm ) . Chiều rộng của hình chữ nhật bé là: 8 – 6 = 2 ( cm ) . Diện tích hình chữ nhật lớn là: 6.8 = 48 ( cm 2 ) .

Diện tích hình chữ nhật bé là: 2.8 = 16 ( cm 2 ) . Vậy diện tích hình chữ nhật lớn và bé lần lượt là: 48 cm 2 ; 16 cm 2 .

Bài 11. Một hình vuông được chia thành 2 hình chữ nhật có tổng chu vi là 108 m và hiệu 2

Lời giải

ƠN

chu vi bằng 8 m . Tìm diện tích mỗi hình?

QU Y

Vì tổng hai chiều rộng hai hình chữ nhật bằng cạnh của hình vuông ban đầu nên tổng chu vi hai hình chữ nhật bằng 6 lần cạnh hình vuông ban đầu và bằng 108 m .

Độ dài cạnh hình vuông ban đầu là: 108 : 6 = 18 ( m ) . Chu vi hình chữ nhật lớn là: (108 + 8) : 2 = 58 ( m ) .

Chiều rộng hình chữ nhật lớn là: ( 58: 2 ) − 18 = 11 ( m ) .

KÈ

Diện tích hình chữ nhật lớn là: 18.11 = 198 ( m 2 ) . Diện tích hình vuông là: 18.18 = 324 ( m 2 ) . Diện tích hình chữ nhật nhỏ là: 324 − 198 = 126 ( m 2 ) .

DẠ

Bài 12. Có một miếng bìa hình vuông, cạnh 24 cm . Bạn Hoà cắt miếng bìa đó dọc theo một cạnh được 2 hình chữ nhật mà chu vi hình này bằng của hai hình chữ nhật cắt được.

Lời giải

Trang 10

4 hình kia. Tìm độ dài các cạnh 5

Chu vi miếng bìa hình vuông là: 24.4 = 96 ( cm ) .

FI CI A

Bạn Hoà cắt miếng bìa đó dọc theo một cạnh được 2 hình chữ nhật nên tổng chiều dài hai hình chữ nhật đó là 24 cm .

Tổng chu vi 2 miếng hình chữ nhật sau khi được cắt là: 96 + 24.2 = 144 ( cm ) .

Ta coi chu vi hình chữ nhật thứ nhất là 4 phần bằng nhau thì chu vi hình chữ nhật thứ hai là 5 phần bằng như thế.

Chu vi hình chữ nhật thứ nhất là: 144 : 9.4 = 64 ( cm

)

Nửa chu vi hình chữ nhật thứ nhất là: 64 : 2 = 32 ( cm )

Tổng số phần bằng nhau là: 4 + 5 = 9 (phần)

ƠN

Ta thấy chiều dài hình chữ nhật thứ nhất và chiều dài hình chữ nhật thứ hai đều bằng cạnh miếng bìa hình vuông ban đầu và bằng 24 cm .

Chiều rộng hình chữ nhật thứ nhất là: 32 − 24 = 8 ( cm ) . Chu vi hình chữ nhật thứ hai là: 144 − 64 = 80 ( cm ) . Nửa chu vi hình chữ nhật thứ hai là: 80 : 2 = 40 ( cm ) .

QU Y

Chiều rộng hình chữ nhật thứ hai là: 40 − 24 = 16 ( cm ) . Vậy chiều dài hai hình chữ nhật bằng 24 cm , chiều rộng hình chữ thứ nhất là 8 cm , chiều rộng hình chữ thứ hai là 16 cm .

Bài 13. Ba lần chu vi của hình chữ nhật bằng 8 lần chiều dài của nó. Nếu tăng chiều rộng

8 m , giảm chiều dài 8 m thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tìm độ dài mỗi cạnh Lời giải

KÈ

của hình chữ nhật đó.

Do ba lần chu vi của một hình chữ nhật bằng 8 lần chiều dài của nó nên nếu ta coi chiều dài của hình chữ nhật là 3 phần bằng nhau thì chu vi của nó sẽ là 8 phần bằng nhau như thế.

Tổng chiều dài và chiều rộng là : 8 : 2 = 4 (phần)

DẠ

Do đó chiều rộng chiếm số phần là 4 – 3 = 1 (phần) Do khi tăng chiều rộng lên 8 m , giảm chiều dài đi 8 m thì trở thành hình vuông nên hiệu chiều

dài và chiều rộng là: 8 + 8 = 16 m . Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là : 16 : ( 3 −1) .1 = 8 m .

Trang 11

1 diện tích ABCD . 2

tỏ rằng diện tích MNPQ bằng

Lời giải

Diện tích của hình vuông ABCD là : S ABCD = a 2 .

1 S ABCD . 2

1 diện tích ABCD . 2

QU Y

Vậy rằng diện tích MNPQ bằng

a.a a 2 = . 2 2

Diện tích của hình vuông MNPQ là : S MNPQ =

ƠN

Gọi độ dài đường chéo của hình MNPQ là a .

Suy ra S MNPQ =

FI CI A

Bài 14. Cạnh của hình vuông ABCD bằng đường chéo của hình vuông MNPQ . Hãy chứng

Bài 15. Dùng kéo cắt theo mép là đoạn thẳng MN . Khi đó, hình vuông ABCD bị chia thành 2 hình chữ nhật ABMN và MNCD . Biết tổng và hiệu chu vi 2 hình chữ nhật là

KÈ

1986 cm và 170 cm . Hãy tính diện tích 2 hình chữ nhật đó.

Lời giải

Chu vi hình chữ nhật ABMN là : 1986 + 170 : 2 = 1078 ( cm ) .

DẠ

Chu vi hình chữ nhật MNCD là : 1078 − 170 = 908 ( cm ) . Ta thấy tổng chu vi hai hình chữ nhật bằng 1986 cm nên:

AB + BN + NM + MA + MD + DC + NC + MN = 1986

 AB + ( BN + NC ) + NM + ( MA + MD ) + MN + DC = 1986 Trang 12

Chiều dài của hình chữ nhật là 16 : ( 3 − 1) .3 = 24 ( m ) .

Suy ra 6. AB = 1986  AB = 331 cm .

Chiều rộng hình chữ nhật ABMN là : 1078 : 2 − 331 = 208 cm . Diện tích hình chữ nhật ABMN là : 331.208 = 68848 cm . Chiều rộng hình chữ nhật MNCD là : 908 : 2 − 331 = 123 cm . Diện tích hình chữ nhật MNCD là : 331.123 = 40713 cm 2 .

Dạng 2: Diện tích

FI CI A

Ta thấy ngay AB là một cạnh của hình chữ nhật

I.Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông: S = a 2 .

ƠN

Trong đó a là độ dài cạnh hình vuông; S là diện tích hình vuông.

II.Bài toán

2.1. Dùng trực tiếp công thức tính diện tích hình vuông

Bài 16. Tính diện tích hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 6 cm . Lời giải

Diện tích hình vuông ABCD là: 6.6 = 36 ( cm 2 ) .

QU Y

Vậy diện tích hình vuông ABCD là 36 cm 2 .

Bài 17. Tính diện tích hình vuông CDEF có độ dài cạnh bằng 10 m . Lời giải

Diện tích hình vuông CDEF là: 10.10 = 100 ( m 2 ) .

Vậy diện tích hình vuông CDEF là 100 m 2 .

KÈ

Bài 18. Tính diện tích hình vuông ABCD biết chu vi của hình vuông đó là 24 cm . Lời giải

Vì chu vi hình vuông là 24 cm .

DẠ

Độ dài cạnh của hình vuông ABCD là 24:4 = 6 ( cm ) . Diện tích của hình vuông ABCD là: 6.6 = 36 ( cm 2 ) Vậy chu vi của hình vuông là 36 cm 2 .

Bài 19. Tính diện tích hình vuông biết chu vi của hình vuông đó là 64 cm . Trang 13

64:4 =16 ( cm ) Diện tích của hình vuông là: 16.16 = 256 ( cm 2 ) Vậy diện tích của hình vuông là 256 cm 2 .

Bài 20. Tính diện tích hình vuông biết nửa chu vi của hình vuông là 30 cm .

Lời giải

FI CI A

Vì chu vi của hình vuông là 64 cm nên độ dài cạnh của hình vuông đó là:

Vì nửa chu vi của hình vuông là 30 ( cm ) nên chu vi của hình vuông đó là

Độ dài cạnh của hình vuông là: 60:4 =15 ( cm ) Diện tích của hình vuông là: 152 = 225 ( cm 2 )

Vậy diện tích của hình vuông là 225 cm 2 .

ƠN

2.30 = 60 ( cm ) .

Bài 21. Một mảnh đất trồng rau hình vuông có chu vi 240 m . Tính diện tích mảnh đất đó. Lời giải

QU Y

Vì chu vi mảnh đất trồng rau hình vuông là 240 m nên độ dài cạnh của mảnh đất trồng rau hình vuông là: 240 :4 = 60 ( m )

Diện tích mảnh đất trồng rau hình vuông là: 602 = 3600 ( m 2 ) . Vậy diện tích mảnh đất trồng rau hình vuông là 3600 m 2

KÈ

Bài 22. Một mảnh vườn hình vuông có chu vi 360 m . Tính diện tích mảnh vườn đó. Lời giải

Chu vi mảnh vườn hình vuông là 360 m nên độ dài cạnh của mảnh vườn là:

a = 360 :4 = 90 ( m ) .

DẠ

Diện tích mảnh mảnh vườn hình vuông là: 902 = 8100 ( m 2 ) . Vậy diện tích mảnh mảnh vườn hình vuông là 8100 m 2 .

Bài 23. Một mảnh vườn hình vuông có độ dài đường chéo bằng 18 m . Tính diện tích mảnh vườn đó.

Lời giải Trang 14

Lời giải

L FI CI A

Gọi mảnh vườn hình vuông đó là ABCD . Nối hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại O . Suy ra: OA = OB = OC = OD = 9 m .

9.9 = 40, 5 ( m 2 ) . 2

Diện tích hình vuông là: 4.40,5 = 162 ( m 2 ) .

ƠN

Diện tích của mỗi tam giác là

Khi đó hình vuông được chia thành 4 tam giác có diện tích bằng nhau.

Bài 24. Bác Hoa có một thửa ruộng hình vuông có độ dài cạnh bằng 30 m . Bác trồng lúa trên

thửa ruộng đó. Biết rằng cứ 100 m2 thì thu hoạch được 70 kg thóc. Hỏi nếu thu hoạch hết lúa trên thửa ruộng đó thì bác Hoa thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc.

QU Y

Lời giải

KÈ

Diện tích của thửa ruộng hình vuông là: 30.30 = 900 ( m 2 ) . Vì cứ 100 m2 thì thu hoạch được 70 kg thóc nên 900 m 2 thì thu hoạch được số kg thóc là: 900.70 :100 = 630 ( kg ) .

Đổi 630 kg = 6,3 tạ

DẠ

Vậy nếu thu hoạch hết lúa trên thửa ruộng đó thì bác Hoa thu hoạch được 6,3 tạ thóc.

Bài 25. Anh Nam muốn dùng giấy dán để trang trí một bức tường hình vuông có độ dài cạnh là 6 m bằng cách tấm giấy hình vuông có cạnh là 50 cm . Hỏi để dán hết bức tường thì cần bao nhiêu tờ giấy? Trang 15

FI CI A

Lời giải

Diện tích của bức tường hình vuông đó là: 6.6 = 36 m 2 .

Đổi 50 cm = 0,5 m .

Diện tích của mỗi tấm giấy hình vuông đó là 0,5.0,5 = 0, 25 m 2 .

ƠN

Để dán hết bức tường thì cần số tờ giấy là: 36 : 0, 25 = 144 tờ giấy.

Bài 26. Bác An có một căn phòng hình vuông có độ dài cạnh là 4 m . Bác dùng loại gạch lát nền hình vuông có cạnh dài 40 cm . Bết mỗi viên gach giá 20.000 đồng. Hỏi số tiền

bác An phải mua gạch là bao nhiêu?

QU Y

Lời giải

Diện tích của căn phòng hình vuông đó là 4.4 = 16 ( m2 ) .

KÈ

Đổi 40 cm = 0, 4 m .

Diện tích của mỗi viên gạch hình vuông là 0, 4.0, 4 = 0,16 m 2 .

Để nát hết căn phòng cần số viên gạch là 16 : 0,16 = 100 (viên gạch)

Số tiền để mua 100 viên gạch là: 100.20000 = 2000000 đồng.

DẠ

Vậy để nát hết nền nhà cần 2 triệu đồng tiền mua gạch.

2.2. Các dạng bài tăng giảm, giảm độ dài các cạnh Bài 27. Người ta mở rộng một cái ao hình vuông về bốn phía như hình vẽ. Sau khi mở rộng , diện tích ao tăng thêm 192 m 2 . Tìm diện tích ao cũ. Trang 16

L FI CI A OF

Lời giải

ƠN

Chia phần mở rộng thành 4 hình chữ nhật có diện tích bằng nhau và có chiều rộng là 4 m . Vì diện tích tăng thêm 192 m 2 nên diện tích mỗi hình chữ nhật là: 192:4 = 48 ( m2 ) . Chiều dài của mỗi hình chữ nhật là : 48:4 =12 ( m ) .

Cạnh ao hình vuông là : 12 − 4 = 8 ( m ) . Diện tích cái ao cũ là : 8.8 = 64 ( m 2 ) .

QU Y

Vậy diện tích ao cũ là 64 m 2

Bài 28. Người ta mở rộng một cái ao hình vuông về bốn phía như hình vẽ. Sau khi mở rộng ,

Lời giải

DẠ

KÈ

diện tích ao tăng thêm 320 m 2 . Tìm diện tích ao khi chưa mở rộng.

Trang 17

FI CI A

Vì diện tích ao tăng thêm 320 m 2 nên diện tích mỗi hình chữ nhật là: 320:4 = 80 ( m2 ) . Chiều dài của mỗi hình chữ nhật là: 80:2 = 40 ( m ) . Cạnh ao hình vuông là: 40 − 2 = 38 ( m ) . Diện tích cái ao cũ là : 38.38 =1444 ( m 2 ) .

Vậy diện tích ao cũ là 1444 m 2

Bài 29. Tăng cạnh của hình vuông lên 2 lần thì diện tích hình vuông sẽ tăng lên bao nhiêu lần ?

ƠN

Lời giải

Cạnh hình vuông ban đầu là: a .

QU Y

Diện tích hình vuông ban đầu là: a.a = a 2 . Cạnh hình vuông sau khi tăng là: 2a .

Diện tích hình vuông lúc sau là: 2a.2a = 4a 2 . Vậy diện tích hình vuông tăng lên 4 lần

Lời giải

DẠ

KÈ

Bài 30. Nếu cạnh một hình vuông tăng lên gấp 3 lần thì diện tích của nó tăng lên gấp bao nhiêu lần.

Cạnh hình vuông ban đầu là: a . Diện tích hình vuông ban đầu là: a.a = a 2 . Trang 18

Chia phần mở rộng thành 4 hình chữ nhật có diện tích bằng nhau và có chiều rộng là 2 m .

Cạnh hình vuông sau khi tăng là: 3a .

FI CI A

Diện tích hình vuông lúc sau là: 3a.3a = 9a 2 . Vậy diện tích hình vuông tăng lên 9 lần

Bài 31. Nếu cạnh một hình vuông giảm đi 3 lần thì diện tích của nó giảm đi bao nhiêu lần?

Độ dài cạnh hình vuông ban đầu là: a Diện tích hình vuông ban đầu là: a.a = a 2

a 3

ƠN

Lời giải

Độ dài cạnh hình vuông sau khi giảm là:

Diện tích hình vuông sau khi giảm là:

a a a2 ⋅ = 3 3 9

QU Y

Vậy diện tích hình vuông giảm đi 9 lần

Bài 32. Một miếng đất hình vuông, sau khi mở rộng về một phía thêm 8 m thì được một mảnh đất có dạng hình chữ nhật có chu vi 116 m . Tìm diện tích mảnh đất hình vuông.

KÈ

Lời giải

Chu vi miếng đất hình vuông là: 116 − 8.2 = 100 ( m )

DẠ

Cạnh của miếng đất hình vuông (cũng là chiều rộng của hình chữ nhật) là: 100:4 = 25 ( m ) Diện tích miếng đất hình vuông là: 25.25 = 625 ( m 2 )

Vậy diện tích của miếng đất hình vuông là 625 m 2 .

Trang 19

rộng là hình chữ nhật có chu vi 26 m . Tìm diện tích mảnh đất hình vuông ban đầu?

FI CI A

Lời giải

Bài 33. Một miếng đất hình vuông khi mở rộng thêm về một phía 5 m thì phần mảnh đất mở

Sau khi mở rộng thêm chiều dài 5 m thì phần mảnh đất mở rộng là hình chữ nhật có độ dài một cạnh bằng 5 m .

Nửa chu vi của phần đất hình chữ nhật mở rộng là 26 : 2 = 13 ( m ) .

ƠN

Độ dài cạnh hình vuông (cũng là chiều dài hình chữ nhật) là: 13 − 5 = 8 ( m ) . Diện tích miếng đất hình vuông ban đầu là: 8.8 = 64 ( m2 ) .

Vậy diện tích của miếng đất hình vuông ban đầu là 64 m 2 .

Bài 34. Một miếng đất hình vuông khi mở rộng thêm về một phía 6 m thì phần mảnh đất mở rộng là hình chữ nhật có chu vi nhỏ hơn phần mảnh đất hình vuông ban đầu là 4 m .

QU Y

Tìm diện tích mảnh đất hình vuông ban đầu?

Lời giải

Ta có hình vẽ

KÈ

Gọi độ dài cạnh hình vuông ban đầu là a ( m ) . Chu vi hình vuông ban đầu là: 4a ( m ) .

Chu vi phần mảnh đất hình chữ nhật mới mở rộng là: 2 ( 6 + a ) ( m )

DẠ

Vì phần mảnh đất mở rộng là hình chữ nhật có chu vi nhỏ hơn phần mảnh đất hình vuông ban

đầu là 4 m nên ta có: 4a − 2 ( 6 + a ) = 4  a = 8 ( m ) . Diện tích của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 8.8 = 64 ( m2 ) .

Vậy diện tích của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 64 m 2 . Trang 20

rộng là hình chữ nhật có chu vi lớn hơn phần mảnh đất hình vuông ban đầu là 8 m . Tìm

FI CI A

diện tích mảnh đất hình vuông ban đầu?

Bài 35. Một miếng đất hình vuông khi mở rộng thêm về một phía 16 m thì phần mảnh đất mở

Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông ban đầu là a ( m ) . Chu vi hình vuông ban đầu là: 4a ( m ) .

ƠN

Chu vi phần mảnh đất hình chữ nhật mới mở rộng là: 2 (16 + a ) ( m ) Vì phần mảnh đất mở rộng là hình chữ nhật có chu vi lớn hơn phần mảnh đất hình vuông ban

đầu là 8 m nên ta có: 2 (16 + a ) − 4a = 8  a = 12 ( m ) .

Diện tích của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 12.12 = 144 ( m2 ) . Vậy diện tích của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 144 m 2 .

QU Y

Bài 36. Bác Hòa có một mảnh đất hình vuông. Bác mở rộng về phía đông 4 m , mở rộng về phia nam 3 m thì được mảnh đất hình chữ nhật có diện tích là 342 m 2 . Tính diện mảnh

đất ban đầu ?

Lời giải

KÈ

Ta có hình vẽ:

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a ( m ) .

DẠ

Nếu mở rộng về phía đông 4 m , mở rộng về phia nam 3 m thì được mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng là a + 3 ( m ) . Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: a + 4 ( m )

Vì diện tích mảnh đất hình chữ nhật bằng 342 m 2 nên: Trang 21

Diện tích mảnh đất ban đầu là 15.15 = 225 ( m 2 ) .

FI CI A

( a + 4)( a + 3) = 342  ( a + 4)( a + 3) = 19.18  a = 15 .

Bài 37. Nếu giảm một cạnh hình vuông 8 m , giảm cạnh khác đi 12 m thì được một hình chữ nhật có chiều dài gấp 1, 5 lần chiều rộng. Tính diện tích hình vuông.

ƠN

Lời giải

Hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là: 12 − 8 = 4 ( m ) . Vì chiều dài hình chữ nhật gấp 1, 5 lần chiều rộng nên:

Chiều rộng hình chữ nhật là: 4 : (1,5 − 1) = 8 ( m ) .

Độ dài cạnh hình vuông là: 8 + 12 = 20 ( m )

QU Y

Diện tích hình vuông là: 20.20 = 400 ( m 2 ) . Vậy diện tích hình vuông là 400 m 2 .

Bài 38. Nếu giảm một cạnh hình vuông đi 4 m , tăng cạnh khác lên 8 m thì được một hình chữ nhật có chiều dài gấp 2,5 lần chiều rộng. Tính diện tích hình vuông.

KÈ

Ta có hình vẽ

Lời giải

DẠ

Hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là: 8 + 4 = 12 ( m ) .

Vì chiều dài hình chữ nhật gấp 2,5 lần chiều rộng nên:

Chiều rộng hình chữ nhật là: 12 : ( 2,5 − 1) = 8 ( m ) .

Trang 22

Độ dài cạnh hình vuông là: 8 + 4 = 12 ( m ) .

FI CI A

Diện tích hình vuông là: 12.12 = 144 ( m 2 ) . Vậy diện tích hình vuông là 144 m 2 .

Bài 39. Trên miếng đất hình vuông, người ta đào một cái ao cá hình vuông ở một góc miếng đất, biết diện tích đất còn lại sau khi đào ao là 1280 m 2 , và cạnh của ao kém cạnh miếng đất 32 m . Hỏi diện tích ao cá bằng bao nhiêu?

ƠN

Lời giải

1, hình chữ nhật 2 , hình vuông 3 .

Phần diện tích còn lại 1280 m 2 sau khi đào ao ta chia thành 3 phần như hình vẽ: hình chữ nhật

Hình vuông có cạnh bằng 32 nên có diện tích bằng: 32.32 = 1024 ( m 2 ) Tổng diện tích của hình 1 và hình 2 là 1280 −1024 = 256 ( m 2 )

QU Y

Ta có hình 1 và hình 2 đều là hình chữ nhật có chiều dài bằng nhau ( 32 m ) chiều rộng bằng nhau (bằng cạnh của ao) nên có diện tích bằng nhau. Mỗi hình có diện tích bằng: 256:2 =128 ( m 2 )

Cạnh của ao có độ dài bằng: 128:32 = 4 ( m ) Diện tích của ao bằng: 4.4 =16 ( m 2 )

KÈ

Bài 40. Bác Lâm có một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh là 40 m . Bác làm một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m , phần đất còn lại bác dùng để trồng rau cải xanh. a) Hỏi số tiền bác Lâm thu được là bao nhiêu sau khi thu hoạch hết rau ở khu vườn. Biết trên mỗi

mét vuông bác thu hoạch được 2 kg rau và mỗi kg rau cải xanh có giá 20000 đồng.

DẠ

b) Em hãy tính diện tích của lối đi xung quanh vườn.

Lời giải

Trang 23

L FI CI A

a) Phần đất bác Lâm trồng rau cải xanh là một hình vuông có độ dài một cạnh là:

40 − 2.2 = 36 ( m )

Diện tích phần đất bác Lâm trồng rau cải xanh là: 36.36 = 1296 ( m 2 ) Khối lượng rau cải xanh bác Lâm thu được là: 1296.2 = 2592 ( kg )

(đồng) b) Diện tích mảnh vườn là: 40.40 = 1600 ( m 2 )

ƠN

Số tiền bác Lâm thu được sau khi thu hoạch hết rau ở khu vườn là: 2592.20000 = 51840000

Diện tích của lối đi quanh vườn là: 1600 − 1296 = 304 ( m 2 ) Vậy diện tích lối đi quanh vườn là 304 m 2

Dạng 3: Chu vi

I.Phương pháp giải

QU Y

3.1. Tính chu vi hình vuông dựa vào công thức

Sử dụng công thức tính chu vi hình vuông: C = 4.a . Trong đó: a là độ dài cạnh hình vuông.

C là chu vi hình vuông. Trong hình vuông nếu cạnh tăng lên b đơn vị thì chu vi tăng lên 4b đơn vị.

KÈ

Chú ý công thức sau để vận dụng trong quá trình biến đổi: a 2 − b2 = ( a − b )( a + b ) . Bài toán trồng cây trên đường khép kín:

DẠ

Trong đó: Số cây = Chu vi hình khép kín : Khoảng cách giữa các cây.

Trang 24

L OF

Bài 41. Tính chu vi hình vuông ABCD có độ dài các cạnh đều bằng 5 cm . Lời giải

ƠN

Chu vi hình vuông ABCD là: 4.5 = 20 ( cm ) . Vậy chu vi hình vuông ABCD là 20 cm .

FI CI A

II.Bài toán

Bài 42. Tính chu vi hình vuông ABCD có độ dài các cạnh đều bằng 12 cm .

Lời giải

Chu vi hình vuông ABCD là: 4.12 = 48 ( cm ) . Vậy chu vi hình vuông ABCD là 48 cm .

Bài 43. Tính chu vi hình vuông ABCD có độ dài các cạnh đều bằng 11 cm .

QU Y

Lời giải

Chu vi hình vuông ABCD là: 4.11 = 44 ( cm ) . Vậy chu vi hình vuông ABCD là 44 cm .

Bài 44. Tính chu vi hình vuông biết diện tích của hình vuông là 25 cm2 . Lời giải

KÈ

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a (cm). Vì diện tích hình vuông là 25 cm2 nên: 25 = a 2 . Suy ra độ dài cạnh hình vuông là a = 5 ( cm ) .

Chu vi của hình vuông là: 4.5 = 20 ( cm )

DẠ

Vậy chu vi của hình vuông là: 20cm .

Bài 45. Tính chu vi hình vuông biết diện tích của hình vuông là 36 cm 2 . Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a (cm). Trang 25

Vì diện tích hình vuông là 36 cm 2 nên: 36 = a 2 .

Chu vi của hình vuông là: 4.6 = 24 ( cm ) Vậy chu vi của hình vuông là: 24cm .

Bài 46. Tính chu vi hình vuông biết diện tích của hình vuông là 121 cm 2 . Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a (cm). Vì diện tích hình vuông là 121 cm 2 nên: 121 = a 2 .

Vậy chu vi của hình vuông là: 44cm .

ƠN

Suy ra độ dài cạnh hình vuông là a = 11 ( cm ) . Chu vi của hình vuông là: 4.11 = 44 ( cm )

FI CI A

Suy ra độ dài cạnh hình vuông là a = 6 ( cm ) .

vuông tăng lên bao nhiêu?

Bài 47. Cho hình vuông ABCD nếu độ dài cạnh hình vuông tăng lên 10 cm thì chu vi hình

QU Y

Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông ban đầu là: a ( cm )

KÈ

Chu vi hình vuông ban đầu là: 4a ( cm ) . Khi tăng độ dài mỗi cạnh hình vuông lên 10 cm thì độ dài cạnh hình vuông khi đó là:

a + 10 ( cm ) .

Khi tăng độ dài mỗi cạnh hình vuông lên 10 cm thì chu vi hình vuông khi đó là:

DẠ

4 ( a + 10) ( cm ) .

Chu vi hình vuông mới tăng so với chu vi hình vuông ban đầu là: 4 ( a + 10 ) − 4a = 40 ( cm ) .

Vậy nếu độ dài cạnh hình vuông tăng lên 10 cm thì chu vi hình vuông tăng lên bao nhiêu

40 cm . Trang 26

Bài 48. Cho 2 hình vuông có hiệu chu vi là 8 m , và hiệu diện tích là 56 m 2 . Tính độ dài mỗi cạnh hình vuông đó ?

FI CI A

Lời giải

Gọi hai cạnh hình vuông đó lần lượt là a; b ( m ) giả sử a > b .

Hiệu chu vi của hai hình vuông là 8 m nên ta có: 4a − 4b = 8  a − b = 2 (1)

ƠN

Hiệu diện tích của hai hình vuông đó là 56 m 2 nên ta có: a 2 − b2 = 56  ( a − b )( a + b ) = 56 (2) Từ (1) và (2) ta có: a + b = 56 : 2 = 28 Suy ra a = 15; b = 13 Vậy độ dài hai cạnh hình vuông đó là 15 m; 13 m .

đó là

Bài 49. Cho 2 hình vuông có tổng chu vi là 1000 cm . Biết tỉ số diện tích của 2 hình vuông 4 . Tính cạnh của mỗi hình vuông ? 9

QU Y

Lời giải

Gọi hai cạnh hình vuông đó lần lượt là a; b ( cm ) giả sử a < b .

KÈ

Tổng chu vi của hai hình vuông là 1000 cm nên ta có: 4a + 4b = 1000  a + b = 250 (1) Vì tỉ số diện tích của 2 hình vuông đó là

a2 4 a 2 4 . nên ta có: 2 =  = (2) 9 b 9 b 3

Từ (1) và (2) suy ra a = 100 cm; b = 150 cm .

Vậy độ dài hai cạnh hình vuông đó là 100 cm; 150 cm .

DẠ

Bài 50. Lớp em có một khung tranh hình vuông có độ dài cạnh là 80 cm . Nhân ngày 20 tháng 11, chúng em có cài hoa xung quanh, cách 10 cm cài một bông hoa. Hỏi cần bao

nhiêu bông hoa?

Lời giải Trang 27

FI CI A

Cần cài số bông hoa xung quanh khung tranh là: 320 :10 = 32 (bông hoa)

Bài 51. Một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 20 m . Người ta trồng cây xung quanh khu vườn đó, cứ 5 m lại trồng 1 cây. Hỏi xung quanh khu vườn đó trồng được bao nhiêu cây ?

Lời giải

Vậy xung quanh vườn trồng 16 cây.

Chu vi khu vườn hình vuông đó là: 4.20 = 80 ( m ) . Số cây trồng được xung quanh khu vườn là: 80 : 5 = 16 (cây)

ƠN

Bài 52. Một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 20 m . Người ta trồng cây xung quanh khu vườn đó, cứ 10 m lại trồng 5 cây. Hỏi xung quanh khu vườn đó trồng được bao nhiêu cây ?

Lời giải

Chu vi khu vườn hình vuông đó là: 4.20 = 80 ( m ) .

Vì cứ 10 m lại trồng 5 cây nên khoảng cách giữa mỗi cây là: 10 : 5 = 2 ( m ) .

QU Y

Số cây trồng được xung quanh khu vườn là: 80 : 2 = 40 (cây) Vậy xung quanh vườn trồng 40 cây.

Bài 53. Người ta đóng cọc rào một khu vườn hình vuông cạnh 25 m , cách 1 m đóng 1 cọc rồi đan nứa rào xung quanh. Hỏi tiền nứa và tiền cọc hết bao nhiêu, biết rào 1 m mất 3

cây nứa, 1 cây nứa giá 2500 đồng và giá một cọc rào là 3000 đồng?

Lời giải

KÈ

Chu vi hình vuông là: 25.4 = 100 ( m ) Số cọc cần để đóng là: 100 :1 = 100 (cọc) Số cây nứa cần để đan là: 100.3 = 300 (cây)

Số tiền để mua cọc là: 3000.100 = 300000 (đồng)

DẠ

Số tiền để mua nứa là: 2500.300 = 750000 (đồng) Vậy người đó cần 300000 đồng để mua cọc và 750000 đồng để mua nứa.

Bài 54. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm . Em hãy tìm tổng chu vi của hình vuông 1, hình vuông 2 , hình vuông 3 . Trong hình vẽ: Trang 28

Chu vi khung tranh là: 4.80 = 320 ( cm ) .

L FI CI A

Lời giải

Ta có tổng chu vi của 3 hình vuông 1; 2; 3 bằng:

4a + 4b + 4c = 4 ( a + b + c ) = 4.5 = 20 ( cm ) . Vậy tổng chu vi của 3 hình vuông 1; 2; 3 bằng 20 cm .

Gọi cạnh của hình vuông 1 là a , cạnh của hình vuông 2 là b , cạnh của hình vuông 3 là c .

ƠN

Bài 55. Tìm tổng chu vi của các hình vuông có trong hình vẽ dưới đây, biết hình vuông

ABCD có cạnh bằng 6 cm và M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC , CD, DA .

QU Y

Lời giải

Ta có 1 hình vuông lớn ABCD và 4 hình vuông nhỏ là: AMOQ, MBNO, ONCP, QOPD . Chu vi hình vuông lớn ABCD bằng: 6 .4 = 24 ( cm ) .

Cạnh của 1 hình vuông nhỏ bằng: 6 : 2 = 3 ( cm ) .

KÈ

Chu vi của một hình vuông nhỏ bằng: 3.4 = 12 ( cm ) . Tổng chu vi của các hình vuông có trong hình đã cho bằng: 24 + 12.4 = 72 ( cm ) .

Vậy tổng chu vi của các hình vuông có trong hình đã cho bằng: 72 cm .

DẠ

3.2. Các dạng bài tăng giảm, giảm độ dài các cạnh I.Phương pháp giải Sử dụng công thức tính chu vi hình vuông: C = 4.a .

Trong đó: a là độ dài cạnh hình vuông.

C là chu vi hình vuông. Trang 29

II.Bài toán

dạng hình chữ nhật có chu vi 112 m . Tìm chu vi mảnh đất ban đầu?

Lời giải

Hình vẽ:

FI CI A

Bài 56. Một miếng đất hình vuông khi mở rộng thêm chiều dài 6 m thì được mảnh đất có

Trong hình vuông nếu cạnh tăng lên b đơn vị thì chu vi tăng lên 4b đơn vị.

ƠN

Sau khi mở rộng thêm chiều dài 6 m thì được mảnh đất hình chữ nhật nên chiều dài hơn chiều rộng 6 m .

Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật khi mở rộng là: 112 : 2 = 56 ( m )

Chiều dài của mảnh đất sau khi mở rộng là: ( 56 + 6 ) : 2 = 31 ( m ) Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó là: 56 − 31 = 25 ( m )

QU Y

Suy ra miếng đất hình vuông ban đầu có độ dài cạnh là: 25 ( m ) Chu vi của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 4.25 = 100 ( m ) Vậy chu vi của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 100 m .

Bài 57. Một miếng đất hình vuông khi mở rộng thêm chiều dài 6 m thì phần mảnh đất mở

Lời giải

KÈ

Hình vẽ

rộng là hình chữ nhật có chu vi 42 m . Tìm chu vi mảnh đất ban đầu?

DẠ

Sau khi mở rộng thêm chiều dài 6 m thì phần mảnh đất mở rộng là hình chữ nhật có độ dài một

cạnh bằng 6 m . Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật khi mở rộng là: 42 : 2 = 21 ( m )

Trang 30

Độ dài cạnh của mảnh đất mở rộng là: 21 − 6 = 15 ( m )

FI CI A

Suy ra miếng đất hình vuông ban đầu có độ dài cạnh là: 15 m Chu vi của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 4.15 = 60 ( m ) Vậy chu vi của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 60 m .

Bài 58. Một miếng đất hình vuông khi mở rộng thêm chiều dài 6 m thì phần mảnh đất mở rộng là hình chữ nhật có chu vi nhỏ hơn phần mảnh đất hình vuông ban đầu là 100 m .

Tìm chu vi mảnh đất hình vuông ban đầu?

Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông ban đầu là a ( m ) .

ƠN

Ta có hình vẽ

Chu vi hình vuông ban đầu là: 4a ( m ) .

QU Y

Chu vi phần mảnh đất hình chữ nhật mới mở rộng là: 2 ( 6 + a ) ( m ) Vì phần mảnh đất mở rộng là hình chữ nhật có chu vi nhỏ hơn phần mảnh đất hình vuông ban

đầu là 100 m nên ta có: 4a − 2 ( 6 + a ) = 100  a = 56 ( m ) . Chu vi của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 4.56 = 224 ( m )

Vậy chu vi của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 224 m .

Bài 59. Một miếng đất hình vuông khi mở rộng thêm chiều dài 14 m thì phần mảnh đất mở

KÈ

rộng là hình chữ nhật có chu vi lớn hơn phần mảnh đất hình vuông ban đầu là 4 m . Tìm chu vi mảnh đất hình vuông ban đầu?

Lời giải

DẠ

Ta có hình vẽ

Gọi độ dài cạnh hình vuông ban đầu là a ( m ) . Trang 31

Chu vi hình vuông ban đầu là: 4a ( m ) .

FI CI A

Chu vi phần mảnh đất hình chữ nhật mới mở rộng là: 2 (14 + a ) ( m )

Vì phần mảnh đất mở rộng là hình chữ nhật có chu vi nhỏ hơn phần mảnh đất hình vuông ban

đầu là 4 m nên ta có: 2 (14 + a ) − 4a = 4  a = 12 ( m ) . Chu vi của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 4.12 = 48 ( m ) . Vậy chu vi của mảnh đất hình vuông ban đầu là: 48 m .

Bài 60. Người ta mở rộng mảnh vườn hình vuông về bốn phía mỗi phía 4 m . Sau khi mở

ƠN

rộng, diện tích mảnh vườn tăng thêm 192 m2 . Tìm chu vi mảnh vườn cũ.

Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông ban đầu là a ( m ) .

QU Y

Chia phần diện tích tăng thêm thành 4 hình chữ nhật có chiều rộng 4 m , chiều dài là a + 4 ( m ) Vì phần diện tích tăng thêm là 192 m2 nên diện tích mỗi hình chữ nhật là:

192 : 4 = 48 ( m 2 ) .

Chiều dài của mỗi hình chữ nhật này là: 48 : 4 = 12 ( m )

Độ dài cạnh hình vuông là: 12 − 4 = 8 ( m )

KÈ

Chu vi của mảnh vườn ban đầu là: 4.8 = 32 ( m ) Vậy chu vi của mảnh vườn ban đầu là 32 m

Bài 61. Một người có một mảnh vườn hình vuông. Người ta làm đường đi rộng 4 m xung

quanh bên trong mảnh vườn đó. Sau khi làm đường đi thì phần diện tích trồng trọt của

DẠ

mảnh vường giảm đi so với mảnh vườn ban đầu là 640 m 2 . Tìm chu vi mảnh vườn cũ.

Trang 32

L FI CI A

Lời giải Gọi độ dài cạnh hình vuông ban đầu là a ( m ) .

Chia phần diện tích giảm đi thành 4 hình chữ nhật có chiều rộng 4 m , chiều dài là

a + 4 ( m) .

640 : 4 = 160 ( m 2 ) .

ƠN

Vì phần diện tích giảm đi là 640 m2 nên diện tích mỗi hình chữ nhật là:

Chiều dài của mỗi hình chữ nhật này là: 160 : 4 = 40 ( m ) .

Độ dài cạnh hình vuông là: 40 − 4 = 36 ( m ) .

Chu vi của mảnh vườn ban đầu là: 4.36 = 144 ( m ) . Vậy chu vi của mảnh vườn ban đầu là 144 m .

QU Y

Bài 62. Bác Hòa có một mảnh đất hình vuông. Bác mở rộng về phía đông 3 m , mở rộng về phia nam 2 m thì được mảnh đất hình chữ nhật có diện tích là 156 m2 . Tính chu vi mảnh đất ban đầu ?

Lời giải

KÈ

Ta có hình vẽ:

DẠ

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a ( m )

Nếu mở rộng về phía đông 3 m , mở rộng về phia nam 2 m thì được mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng là a + 2 ( m ) .

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: a + 3 ( m ) Trang 33

Vì diện tích mảnh đất hình chữ nhật bằng 156 m2 nên:

Vậy chu vi mảnh đất ban đầu là 4.10 = 40 ( m ) .

FI CI A

( a + 2)( a + 3) = 156  ( a + 2)( a + 3) = 12.13  a = 10 .

Bài 63. Nếu giảm một cạnh hình vuông 42 m , giảm cạnh khác đi 6 m thì được một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính chu vi hình vuông.

Lời giải

ƠN

Hình vẽ

Hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là: 42 − 6 = 36 ( m ) .

Vì chiều dài hình chữ nhật gấp 3 lần chiều rộng nên: Chiều rộng hình chữ nhật là: 36 : ( 3 − 1) = 18 ( m ) .

QU Y

Độ dài cạnh hình vuông là: 18 + 42 = 60 ( m ) . Chu vi hình vuông là: 4.60 = 240 ( m ) . Vậy chu vi hình vuông là 240 m .

Bài 64. Nếu giảm một cạnh hình vuông đi 28 m , tăng cạnh khác lên 56 m thì được một hình

Lời giải

KÈ

Ta có hình vẽ

chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính chu vi hình vuông.

DẠ

Hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là: 28 + 56 = 84 ( m ) .

Vì chiều dài hình chữ nhật gấp 3 lần chiều rộng nên: Chiều rộng hình chữ nhật là: 84 : ( 3 − 1) = 42 ( m ) .

Trang 34

Độ dài cạnh hình vuông là: 42 + 28 = 70 ( m ) .

Vậy chu vi hình vuông là 280 m .

FI CI A

Chu vi hình vuông là: 4.70 = 280 ( m ) .

Bài 65. Nếu tăng một cạnh hình vuông lên 48 m , tăng cạnh khác lên 16 m thì được một hình chữ nhật có chiều dài gấp

4 lần chiều rộng. Tính chu vi hình vuông. 3

Lời giải

ƠN

Ta có hình vẽ

Vì chiều dài hình chữ nhật gấp

Hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là: 48 − 16 = 32 ( m ) . 4 lần chiều rộng nên: 3

Chiều rộng hình chữ nhật là: 32.3: ( 4 − 3) = 96 ( m ) .

QU Y

Độ dài cạnh hình vuông là: 96 − 16 = 80 ( m ) . Chu vi hình vuông là: 4.80 = 320 ( m ) . Vậy chu vi hình vuông là 320 m .

DẠ

KÈ

 HẾT 

Trang 35

CHUYÊN ĐỀ 1 – MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN

FI CI A

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

ƠN

Hình chữ nhật MNPQ có:

1. Một số tính chất của hình chữ nhật M

CHỦ ĐỀ 3: HÌNH CHỮ NHẬT

* Hai cạnh đối bằng nhau: MN = PQ; MQ = NP

* Hai cạnh đối MN và PQ song song với nhau; MQ và NP song song với nhau.

* Hai đường chéo bằng nhau: MP = NQ .

* Bốn góc ở các đỉnh M , N , P, Q đều là góc vuông.

QU Y

2. Công thức tính chu vi, diện tích của hình chữ nhật

Hình chữ nhật có chiều dài là a và chiều rộng là b , ta có:

* Chu vi hình chữ nhật: C = 2 ( a + b )

Chú ý:

KÈ

* Diện tích hình chữ nhật: S = ab * Nếu chiều dài tăng n lần, chiều rộng không đổi thì diện tích hình chữ nhật tăng lên n lần. * Nếu chiều rộng tăng lên n lần, chiều dài không đổi thì diện tích hình chữ nhật tăng lên n

lần.

DẠ

* Nếu chiều dài và chiều rộng tăng lên n lần thì diện tích hình chữ nhật tăng n 2 lần. * Nếu một chiều tăng n lần, chiều kia giảm n lần thì diện tích hình chữ nhật không đổi.

* Nếu chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều rộng không đổi thì chu vi tăng

thêm 2m (đvđd).

Trang 1

* Nếu chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều dài không đổi thì chu vi tăng

thêm 2m (đvđd).

FI CI A

* Nếu chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều dài giảm đi m (đvđd) thì chu vi không đổi.

* Nếu chiều dài của hình chữ nhật tăng thêm m (đvđd), chiều rộng tăng thêm n (đvđd) thì chu vi tăng thêm 2 ( m + n ) (đvđd).

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Các bài toán về chu vi hình chữ nhật.

I. Phương pháp giải

* HS nắm chắc công thức chu vi, các tính chất về cạnh, đường chéo của hình chữ nhật. * HS phân tích kĩ đề bài để tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong đề.

ƠN

II. Bài toán Bài 1: Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 72 cm . Người ta cắt bỏ đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của hình chữ nhật.

a) Tìm chu vi miếng bìa còn lại.

b) Nếu phần chiều dài còn lại của miếng bìa hơn phần còn lại của chiều rộng miếng bìa là 12 cm thì độ dài các cạnh của miếng bìa hình chữ nhật ban đầu là bao nhiêu xăng-ti-mét?

Lời giải:

QU Y

Từ hình vẽ ta thấy chu vình của miếng bìa sau khi cắt vẫn bằng chu vi hình chữ nhật ban đầu.

Vậy chu miếng bìa còn lại là 72 cm

KÈ

b) Gọi chiều dài, rộng miếng bìa ban đầu lần lượt là x ( cm ) , y ( cm ) , cạnh hình vuông bị cắt

đi là a ( cm )

Vì miếng bìa chữ nhật có chu vi 72 cm nên x + y = 72 : 2 = 36 (cm)

Chiều dài còn lại của miếng bìa là x − 2a ( cm )

DẠ

Chiều rộng còn lại của miếng bìa là y − 2a ( cm )

Vì phần chiều dài còn lại của miếng bìa hơn phần còn lại của chiều rộng miếng bìa là 12 cm

nên ( x − 2a ) − ( y − 2a ) = 12 hay x − y = 12 mà x + y = 36

Trang 2

Suy ra x = 24 (cm); y = 12 (cm) . Vậy các cạnh của miếng bìa là 24 (cm);12 (cm)

FI CI A

chiều rộng. Biết hình chữ nhật có diện tích từ 60 m 2 đến 80 m 2 . Tính chu vi đám đất.

Bài 2: Một đám đất hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là các số tự nhiên. Chiều dài gấp 3 lần

Lời giải: Gọi chiều rộng đám đất hình chữ nhật là a ( m ) , a ∈ ℕ Vì dài gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài là 3a ( m ) Diện tích đám đất hình chữ nhật là 3a.a = 3a 2 ( m 2 )

80 2 < 27  a = 5 hay a = 5 3

Chu vi đám đất là 2. ( 3.5 + 5 ) = 40 ( m )

ƠN

 20 ≤ a 2 ≤

2 Vì đám đất hình chữ nhật có diện tích từ 60 cm 2 đến 80 cm 2 nên 60 ≤ 3a ≤ 80

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi 100 cm ( AB > AD ). Lấy điểm M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh CD sao cho AMND là hình vuông còn BMNC là hình chữ nhật có chu vi 60 cm .

b) Tính diện tích tam giác DMC

a) Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD

QU Y

Lời giải:

a) Nửa chu vi hình chữ nhật ABCD là AB + BC = 100 : 2 = 50 ( cm ) Nửa chu vi hình chữ nhật BMNC là BM + BC = 60 : 2 = 30 ( cm )

KÈ

Suy ra ( AB + BC ) − ( BM + BC ) = 20 hay AM = 20 (cm) Chiều rộng hình chữ nhật ABCD là AD = AM = 20 (cm) (do AMND là hình vuông) Chiều dài hình chữ nhật ABCD là AB = 50 − 20 = 30 (cm)

b) Ta có MN = AM = 20 (cm) (do AMND là hình vuông)

DẠ

DC = AB = 30 (cm) (do ABCD là hình chữ nhật)

Diện tích tam giác DMC là 30.20 : 2 = 300 (cm 2 )

Trang 3

Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được

chiều dài của hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính chu vi hình chữ nhật ban

FI CI A

đầu. Lời giải: Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a > 0 Vì chiều dài gấp 4 chiều rộng nên chiều dài là 4.a (m) Chiều rộng mới là a + 45 (m)

chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới.

Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn

Theo đề bài thì hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng (tức là chiều dài cũ) nên ta có a + 45 = 16 a

15a = 45 hay a = 3

Chu vi hình chữ nhật ban đầu là 2.(3 + 4.3) = 30 (m)

ƠN

a + 45 = 4.4 a

Bài 5: Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành hai mảnh, một mảnh hình vuông, một mảnh hình chữ nhật. Biết chu vi thửa đất hình chữ nhật ban đầu hơn chu vi thửa đất hình vuông là 28 m . Diện tích của thửa đất ban đầu hơn diện tích thửa đất hình vuông là 224 m 2 . Tính chu vi thửa đất ban đầu.

QU Y

Lời giải:

Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là 28 : 2 = 14 ( m ) .

KÈ

Nửa chu vi hình ABCD là AD + AB . Nửa chu vi hình AMND là AD + AM . Do đó MB = AB − AM = 14 ( cm ) .

Diện tích hình ABCD là AB. AD = AB. AM (do AD = AM )

DẠ

Diện tích hình AMND là AM . AM Theo đề ta có AB. AM − AM . AM = 224 hay AM ( AB − AM ) = 224

 AM .14 = 224  AM = 16

Chiều rộng BC của hình ABCD là: AD = AM = 16 ( m ) Trang 4

Chiều dài AB của hình ABCD là: 14 + 16 = 30 ( m )

Chu vi hình chữ nhật ABCD là: 2. ( 30 + 16 ) = 92 ( m ) .

FI CI A

Bài 6: Một miếng bìa hình chữ nhật, có chiều rộng 30 cm , chiều dài 40 cm . Người ta muốn cắt đi một hình chữ nhật nằm chính giữa miếng bìa trên sao cho cạnh của hai hình chữ nhật song song và cách

đều nhau, đồng thời diện tích cắt đi bằng

1 diện tích miếng bìa ban đầu. Hỏi hai cạnh tương ứng của 2

hai hình chữ nhật ban đầu và cắt đi cách nhau bao nhiêu?

ƠN

Lời giải:

đó là: 8.6 = 48 (ô vuông).

Chia miếng bìa ABCD thành các ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh là 5 cm . Số ô vuông của miếng bìa

Số ô vuông của hình chữ nhật MNPQ là: 6.4 = 24 (ô vuông) Vì 48 : 24 = 2 (lần) nên hình chữ nhật MNPQ có diện tích đúng bằng diện tích hình cắt đi. Mặt khác

QU Y

các cạnh của hình chữ nhật MNPQ song song và cách đều các cạnh tương ứng của miếng bìa ABCD . Vì vậy hình MNPQ đúng là hình chữ nhật bị cắt đi. Mỗi cặp cạnh tương ứng của hình ABCD và MNPQ cách nhau 5 cm .

Bài 7: Cho một hình chữ nhật, biết nếu tăng chiều dài, chiều rộng mỗi chiều 2 cm thì diện tích hình

chữ nhật tăng thêm 50 cm 2 . Tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu.

Lời giải:

KÈ

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (cm), b (cm) . Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab (cm 2 ) Diện tích sau khi tăng mỗi chiều 2 cm là (a + 2)(b + 2) = ab + 2a + 2b + 4 (cm 2 )

Theo bài ra chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm 2 cm thì diện tích tăng thêm 50 cm 2

DẠ

nên: 2a + 2b + 4 = 50  2 ( a + b ) = 46 Vậy chu vi hình chữ nhật ban đầu là 46 cm.

Dạng 2: Các bài toán về diện tích hình chữ nhật.

I. Phương pháp giải Trang 5

* HS nắm chắc công thức diện tích của hình chữ nhật.

* HS phân tích kĩ đề bài để tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong đề.

FI CI A

* HS vận dụng tốt tính chất tỉ số diện tích của hai tam giác có cùng chiều cao (chiều cao bằng nhau) hoặc cùng cạnh đáy (cạnh đáy bằng nhau).

II. Bài toán

Bài 1: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 180 m2 , chu vi 58 m . Hãy tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó (biết số đo các cạnh là số tự nhiên)?

Lời giải:

Cách 1:

Ta có tổng của chiều rộng và chiều dài là: ( 58 : 2) = 29 ( m )

(1)

Ta phân tích diện tích hình chữ nhật thành tích của số đo chiều rộng và chiều dài được như

ƠN

180 = 1.180 = 2.90 = 3.60 = 4.45 = 5.36 = 6.30 = 9.20 = 10.18 = 12.15

( 2)

Dùng phương pháp đối chiếu, từ (1) ta thấy tổng số đo của chiều rộng và chiều dài là 29 m ,

đem đối chiếu với kết quả cặp số đo chiều rộng và chiều dài ở ( 2 ) ta thấy cặp số 9 và 20 thỏa mãn yêu cầu.

Như vậy chiều rộng là 9 m ; chiều dài là 20 m .

QU Y

Cách 2:

Gọi số đo chiều rộng là a ( m ) ; số đo chiều dài là b ( m ) ( a , b ∈ ℕ , a < b ) Theo đề bài ta có: a + b = 58 : 2 = 29 Lại có ab = 180

( 2 ) , suy ra

(1) , suy ra

0 < a < 15; 14 < b < 29

a hoặc b phải chia hết cho 9 .

Xét TH1: a chia hết cho 9 . Vì a chia hết cho 9 và 0 < a < 15 nên a = 9 . Với a = 9  b = 20 mà 9.20 = 180 (thỏa mãn ( 2 ) ).

KÈ

Xét TH2: b chia hết cho 9 ; 14 < b < 29 nên b = 18 hoặc b = 27 . – Nếu b = 18 thì a = 11 mà 11.18 = 198 (không thỏa mãn ( 2 ) ) nên TH này ta loại. – Nếu b = 27 thì a = 2 mà 2.27 = 54 (không thỏa mãn ( 2 ) ) nên TH này ta cũng loại.

Vậy chiều rộng là 9 m ; chiều dài là 20 m .

DẠ

Bài 2: Cho hình chữ nhật JKML có LO = OM = NM = nhật JKML biết diện tích tam giác NJO là 18 cm 2

( ) Trang 6

2 MK (như hình vẽ). Tính diện tích hình chữ 3

Lời giải:

2 MK ta suy ra nếu OM = NM = LO = a ( cm ) thì LM = 2a; KM = 3a 3

Ta có S hcn = S JLO + S MNO + S JKN + S JNO =

Từ đề bài: LO = OM = MN =

FI CI A

3 2 1 2 a + a + 2a 2 + 18 = 4a 2 + 18 2 2

ƠN

Mà Shcn = LM .KM = 6a 2  6a 2 = 4a 2 + 18  2a 2 = 9  a = 3

( )

2 Vậy S . hcn = 6.3.3 = 54 cm

Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi là 60 m . Tính diện tích của nó, biết rằng giữ nguyên chiều rộng của hình chữ nhật đó và tăng chiều dài lên 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 24 mét vuông.

Lời giải:

QU Y

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (m), b (m) . Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab (m 2 )

Diện tích sau khi giữ nguyên chiều rộng và tăng chiều dài lên 2 m là (a + 2)b = ab + 2b (m 2 ) Vì diện tích mới tăng 24 mét vuông nên 2b = 24  b = 12

Chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là: 12 ( m ) Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là 60 : 2 - 12 = 18 ( m )

( )

KÈ

Diện tích của hình chữ nhật là: 12.18 = 216 m 2 .

Bài 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Nếu mỗi chiều tăng thêm 1 m thì được

hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 26 mét vuông. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban

DẠ

đầu.

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là a (m), b (m) .

Diện tích ban đầu hình chữ nhật là ab (m 2 )

Trang 7

Diện tích sau khi tăng mỗi chiều 1 m là (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1 (m 2 ) 2

Theo bài ra chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật tăng thêm 1m thì diện tích tăng thêm 26 m

FI CI A

nên a + b + 1 = 26  a + b = 25 Theo bài ra: a = 1,5.b  1,5b + b = 25  2,5b = 25  b = 10 Từ đó a = 15

Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 15 m và 10 m .

MB , BN = NC . 3

ƠN

Bài 5: Tính tỉ số diện tích hình MBND với hình chữ nhật ABCD . Biết AM =

Ta có SABD = SCBD =

3 3 1 3 MB  SMBD = .SABD = ⋅ SABCD = SABCD 3 4 4 2 8

QU Y

Ta có AM =

SABCD

Lời giải:

Tương tự BN = NC  SNBD =

.SCBD =

1 1 1 ⋅ SABCD = SABCD 2 2 4

5 1 3 +  SABCD = SABCD 8 4 8

 SDMBN = SMBD + SCBD =  SDMBN SABCD

5 8

Vậy

KÈ

Bài 6: Một miếng bìa hình vuông cạnh 24 cm . Cắt miếng bìa đó dọc theo một cạnh ta được hai hình 4 . Tìm diện tích mỗi hình chữ nhật đó. 5

Lời giải:

DẠ

chữ nhật có tỉ số chu vi là

Trang 8

24-a

FI CI A

Gọi hình vuông là ABCD . Cắt miếng bìa theo đường EF .

Không mất tính tổng quát ta giả sử hình chữ nhật AEFD có chu vi lớn hơn.

Gọi độ dài AE là a (cm) Khi đó EB = 24 − a (cm)

24 − a + 24 4 48 − a 4 =  =  9 a = 144  a = 16 . 24 + a 5 24 + a 5

ƠN

Theo bài ra ta có:

Diện tích hình chữ nhật AEFD là 24.a = 24.16 = 386 (cm 2 )

Diện tích hình chữ nhật BEFC là 24 ( 24 − a ) = 24.8 = 192 (cm 2 )

(

)

(

Vậy diện tích mỗi hình chữ nhật là 16.24 = 384 cm 2 và 8.24 = 192 cm 2

)

Bài 7: Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng nhau. Biết rằng PQ = 4 cm .

QU Y

Tính diện tích hình chữ nhật ABCD .

Lời giải: Vì các hình thang vuông PQMA , QMBC , QPNC , PNDA bằng nhau nên: MQ = NP = QP = 4 cm và

KÈ

CN = AD .

Mặt khác AD = NP + QM = 4 + 4 = 8 ( cm ) . Do đó CN = AD = 8 cm . Diện tích hình thang vuông PQCN là: ( CN + PQ ) NP : 2 = ( 8 + 4 ) .4 : 2 = 24 cm 2

(

)

Suy ra diện tích hình chữ nhật ABCD là: 24.4 = 96 (cm2 ) .

DẠ

Bài 8: Một thửa ruộng hình chữ nhật được chia thành 2 mảnh, một mảnh nhỏ trồng rau và mảnh còn

lại trồng ngô (hình vẽ). Diện tích của mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích của mảnh trồng rau. Chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu, biết chiều rộng

của nó là 5 mét. Trang 9

L FI CI A

Lời giải:

Diện tích mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung một cạnh nên cạnh còn lại của mảnh trồng ngô gấp 6 lần cạnh còn lại của mảnh trồng rau.

Gọi cạnh còn lại của mảnh trồng rau là a (m) thì cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là 6 a (m).

Chu vi mảnh trồng rau là 2 ( a + 5 ) (m) Chu vi mảnh trồng ngô là 2 ( 6a + 5 ) (m)

 12a + 10 = 8a + 40  4a = 30  a = 7,5 Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng rau là: 7, 5 (m)

ƠN

Vì chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau nên 2 ( 6a + 5 ) = 4.2 ( a + 5 )

Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là: 7, 5.6 = 45 (m)

Diện tích thửa ruộng ban đầu là: ( 7, 5 + 45 ) .5 = 262, 5 (m 2 ) .

Bài 9: Một tờ giấy hình chữ nhật được gấp theo đường chéo như hình vẽ. Diện tích hình nhận được 5 diện tích hình chữ nhật ban đầu. Biết diện tích phần tô màu là 18 cm 2 . Tính diện tích tờ giấy 8

QU Y

bằng

KÈ

ban đầu.

Lời giải:

Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo (đường nét đứt) thì phần hình tam giác được tô màu bị

xếp chồng lên nhau. Do đó diện tích hình chữ nhật ban đầu lớn hơn diện tích hình nhận được chính là

DẠ

diện tích tam giác được tô màu. Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm đi bằng 1 −

5 3 = diện tích hình chữ nhật ban đầu. 8 8

Trang 10

3 3 diện tích hình chữ nhật ban đầu, hay diện tích hình chữ 8 8

Do vậy diện tích tam giác tô màu bằng

FI CI A

nhật ban đầu bằng 18cm2 . 3 Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 18 : = 48 (cm 2 ) 8

Bài 10: Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . Biết rằng diện tích tứ giác AIKD là 20 cm 2 và I là điểm chia AB thành 2 phần bằng nhau.

ƠN

Lời giải:

Kí hiệu S X là diện tích của hình X .

Nối D với I . Qua I và C vẽ các đường thẳng IP và CQ vuông góc với BD , IH vuông góc với DC .

Ta có S ADB = SCDB =

1 1 1 S DBC mà hai tam giác này có chung đáy DB nên IP = .CQ  S IDK = SCDK 2 2 2

QU Y

 S IDB =

1 1 1 S ABCD ; S DIB = S ADB (vì có chung đường cao DA , IB = AB ) 2 2 2

1 (vì có chung đáy DK và IP = .CQ )  SCDI = S IDK + S DKC = 3.S DIK . 2 1 1 DC Ta có S ADI = .AD.AI , S DIC = .IH .DC mà IH = AD , AI =  S DIC = 2.S ADI 2 2 2

KÈ

3 nên S ADI = .S DIK 2

Vì S AIKD = 20 (cm 2 )  S DAI + S IDK = 20  S DAI + Mặt khác S DAI =

2 S DAI = 20  S DAI = 20.3 : 5 = 12 (cm 2 ) 3

1 AB 1 ) = S ABCD S ADB (cùng chung chiều cao AD , AI = 2 2 4

Suy ra S ABCD = 4.S DAI = 4.12 = 48 (cm 2 ) .

DẠ

Bài 11: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 120 m . Người ta mở rộng khu vườn như hình vẽ để được một vườn hình chữ nhật lớn hơn. Tính diện tích phần mới mở thêm.

Trang 11

L FI CI A

Lời giải:

Nếu ta “dịch chuyển” khu vườn cũ ABCD vào một góc của khu vườn mới EFHD ta được hình vẽ bên. Kéo dài EF về phía F lấy M sao cho FM = BC thì diện tích hình chữ nhật BKHC đúng

bằng diện tích hình chữ nhật FMNK . Do đó phần diện tích mới mở thêm chính là diện tích hình chữ nhật EMNA .

Ta có AN = AB + KN + BK , vì AB + KN = 120 : 2 = 60 (m) ; BK = 10 (m) nên AN = 70 (m) . Vậy

ƠN

diện tích phần mới mở thêm là: 70.10 = 700 (m 2 ) .

Bài 12: Một mảnh đất hình chữ nhật được chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ hơn có diện tích được ghi

QU Y

như hình vẽ. Tính diện tích hình chữ nhật còn lại .

Lời giải:

Hai hình chữ nhật AMOP và MBQO có chiều rộng bằng nhau và có diện tích hình MBQO gấp 3 lần diện tích hình AMOP ( 24 gấp 8 là 3 lần), do đó chiều dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều

dài hình chữ nhật AMOP  OQ = 3.PO (1) . Hai hình chữ nhật POND và OQCN có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài hình OQCN gấp 3

KÈ

lần chiều dài hình POND (do (1) ). Do đó diện tích hình OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND . Vậy diện tích hình chữ nhật OQCN là: 16.3 = 48 (cm 2 ) .

Bài 13: Một vườn trường hình chữ nhật có chu vi 360 m . Tính diện tích của mảnh vườn đó biết nếu

DẠ

xóa chữ số 1 ở bên trái số đo chiều dài ta được số đo chiều rộng.

Lời giải:

Vì xóa chữ số 1 ở bên trái số đo chiều dài ta được số đo chiều rộng nên chiều dài hơn chiều rộng là 100 m

Nửa chu vi hình chữ nhật là 360 : 2 = 180 (m) Trang 12

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a > 0 thì chiều dài hình chữ nhật là a + 100 (m)

Ta có a + a + 100 = 180

FI CI A

2 a + 100 = 180 2 a = 80 hay a = 40

Diện tích của mảnh vườn là 40(100 + 40) = 5600 (m 2 )

Bài 14: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu giảm chiều dài đi 28 m , tăng chiều rộng thêm 10 m thì khu vườn đó trở thành hình vuông. Tính diện tích khu vườn ban đầu.

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a > 0 Vì chiều dài gấp ba chiều rộng nên chiều dài là 3.a (m)

ƠN

Vì giảm chiều dài đi 28 m nên chiều dài mới là 3.a − 28 (m)

Lời giải:

Vì tăng chiều rộng thêm 10 m nên chiều rộng mới là a + 10 (m)

Theo đề bài thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có 3a − 28 = a + 10

2 a = 38 hay a = 19

3a − a = 10 + 28

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 19.(3.19) = 1083 (m 2 )

Bài 15: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu thêm vào chiều dài 15 m ,

QU Y

thêm vào chiều rộng 20 m thì chiều dài mảnh đất mới gấp rưỡi chiều rộng mảnh đất khi đó. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.

Lời giải:

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là a (m) , a > 0 Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài là 2.a (m)

Chiều dài mới là 2.a + 15 (m)

KÈ

Chiều rộng mới là a + 20 (m) Theo đề ta có 2 a + 15 = 1, 5( a + 20) 2 a + 15 = 1, 5 a + 30

2 a − 1, 5 a = 30 − 15

0, 5 a = 15 hay a = 3

DẠ

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 3.(2.3) = 18 (m 2 )

Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi là 60 cm và chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC . Lấy

một điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2 MC . Nối A với M kéo dài cắt DC kéo dài tại điểm E .

N ối B v ớ i E . N ối D v ớ i M . Trang 13

a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD .

OB OD

FI CI A

c) Gọi O là giao điểm của AM và BD . Tính tỷ số

b) Chứng tỏ rằng tam giác MBE và tam giác MCD có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

a) Gọi chiều rộng BC của hình chữ nhật là a (m)

ƠN

Vì chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC nên chiều dài AB là 1, 5.a (m) Ta có 2.( a + 1, 5.a ) = 60 5a = 60 hay a = 12

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: 12.1, 5.12 = 216 (cm 2 )

b) Ta có S EAB = S BCD (vì có chiều cao hạ từ E lên đáy AB bằng chiều cao BC của tam giác BCD hạ từ B lên đáy CD , đáy CD = AB )

QU Y

Ta có S ABM = S DBM (vì có chiều AB = CD , chung đáy BM ) Do đó S EAB − S ABM = S BCD − S DBM hay S BME = S DMC c) Ta có S ABM = BM =

2 S MAD (vì có đường cao AB bằng đường cao hạ từ đỉnh M của ta giác MAD , đáy 3

2 2 BC = AD ) 3 3

2 chiều cao hạ từ đỉnh D của tam giác MAD lên đáy AM . Đây cũng là chiều cao từ các 3

KÈ

MAB bằng

Mà 2 tam giác này chung đáy AM nên suy ra chiều cao hạ từ đỉnh B lên AM của tam giác

đỉnh hạ lên đáy MO của tam giác MBO và tam giác MDO

Chiều cao hạ từ B lên đáy MO của tam giác MBO bằng

2 chiều cao hạ từ đỉnh D lên đáy MO 3

DẠ

của tam giác MDO  S MBO =

2 OB 2 S MDO mà hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ M lên BD  = . 3 OD 3

Dạng 3: Các bài toán có nội dung thực tiễn.

I. Phương pháp giải Trang 14

* Áp dụng công thức tính chu vi, diện tích hình chữ nhật vào giải toán.

FI CI A

II. Bài toán

* HS phân tích kỹ đề bài để tìm mối liên hệ giữa đề bài và các yếu tố thực tiễn.

Bài 1: Một người rào xung quanh khu đất hình chữ nhật có chiều dài 28 m , chiều rộng 15 m hết 43 chiếc cọc. Hỏi người đó rào xung quanh khu đất hình vuông có cạnh 25 m thì hết bao nhiêu chiếc cọc? Biết khoảng cách giữa hai cọc là như nhau.

Lời giải:

Chu vi hình chữ nhật là 2. ( 28 + 15 ) = 86 (m) Khoảng cách giữa hai cọc là 86 : 43 = 2 (m) Chu vi hình vuông là 4.25 = 100 (m) Số cọ cần để rào xung quanh hình vuông là 100 : 2 = 50 (cọc)

ƠN

Bài 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 24, 2 m 2 , chiều dài gấp 1, 25 lần chiều rộng. Hỏi người ta cần bao nhiêu cọc để đóng xung quanh khu vườn? Biết cứ 1m chôn một cọc và hai bên cửa ra vào rộng 0,8 m đều có cọc.

Lời giải:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m) , x > 0

Vì chiều dài gấp 1, 25 lần chiều rộng nên chiều dài hình chữ nhật là 1, 25 x (m)

 x 2 = 19, 36 =

QU Y

Theo đề diện tích hình chữ nhật là 24, 2 m 2 , ta có x.1,25x = 24,2 hay 1, 25 x 2 = 24, 2 484 22 , suy ra x = 25 5

22 22   Chu vi hình cữ nhật là 2.  1, 25. +  = 19,8 ( m) 5 5  

Chu vi vườn cần đóng cọc là 19,8 − 0,8 = 19 (m) Số cọ cần để đóng xung quanh vườn là 19 :1 + 1 = 20 (cọc)

KÈ

Bài 3: Một tấm biển quảng cáo hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng và diện tích bằng

1 m 2 . Hỏi phải dùng bao nhiêu mét nhôm để viền xung quanh tấm biển đó? Lời giải:

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m) , x > 0

DẠ

Vì chiều dài gấp bốn lần chiều rộng nên chiều dài hình chữ nhật là 4 x (m) 2

Theo đề diện tích hình chữ nhật là 1m2 , ta có x.4 x = 1 hay 4x = 1  x2 =

1 1 , suy ra x = 4 2 Trang 15

Số mét nhôm để viền xung quanh tấm biển chính là chu vi của tấm biển quảng cáo đó là

FI CI A

 1 1 2.  4. +  = 5 ( m)  2 2

Bài 4: Hợp tác xã Hòa Bình dự định xây dựng một khu vui chơi cho trẻ em trong xã. Vì thế họ đã mở rộng một mảnh đất hình chữ nhật để diện tích gấp ba lần diện tích ban đầu. Chiều rộng mảnh đất chỉ có thể tăng lên gấp đôi nên phải mở rộng thêm chiều dài. Khi đó mảnh đất trở thành hình vuông. Hãy tính

ƠN

diện tích khu vui chơi sau khi mở rộng. Biết rằng chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m .

Lời giải:

Gọi mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu là ABCD , khi mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để được mảnh đất hình vuông APMN có cạnh hình vuông gấp hai lần chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ABCD và diện tích gấp 3 lần diện tích mảnh đất hình chữ nhật ấy. Khi đó diện tích của các mảnh đất hình chữ nhật ABCD , DCHN , BPMH bằng nhau.

nên BP =

QU Y

Mảnh đất hình chữ nhật BPMH có độ dài cạnh BH gấp 2 lần độ dài cạnh AD 1 2 AB hay AB = AP 2 3

Ta lại có AD =

1 1 2 3 AP nên AD : AB = AP : AP = 2 2 3 4

Nửa chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m nên AD + AB = 56 : 2 = 28 (m) . Ta có : Chiều rộng mảnh đất ban đầu ( AD ) là: 28 : (3 + 4).3 = 12 (m) .

KÈ

Cạnh hình vuông APMN là: 12.2 = 24 (m) . Diện tích khu vui chơi là: 24.24 = 576 (m 2 ) . 1 chiều dài của nó 2

Bài 5: Bác Hà có hai tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm kính bằng

DẠ

và chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng chiều rộng của tấm kính to. Bác ghép hai tấm kính sát vào nhau và đặt lên bàn có diện tích 90 dm 2 thì vừa khít. Hãy tính kích thước của mỗi tấm kính đó.

Lời giải:

Trang 16

L FI CI A

Theo đầu bài, coi chiều rộng của tấm kính nhỏ là 1 đoạn thì chiều dài của nó là 2 đoạn như vậy và chiều rộng của tấm kính to cũng là 2 đoạn, khi đó chiều dài của tấm kính to là 4 đoạn như vậy.

Nếu bác Hà ghép khít hai tấm kính lại với nhau sẽ được hình chữ nhật ABCD (hình vẽ), trong đó

AMND là tấm kính nhỏ, MBCN là tấm kính to. Diện tích ABCD là 90 dm2.

Chia hình chữ nhật ABCD thành 10 hình vuông nhỏ, mỗi cạnh là chiều rộng của tấm kính nhỏ thì diện tích của mỗi hình vuông nhỏ là 90 :10 = 9 ( dm 2 ) .

ƠN

Ta có 9 = 3.3 , do đó cạnh hình vuông là 3 ( dm ) . Tấm kính nhỏ có chiều rộng 3 ( dm ) , chiều dài là 3.2 = 6 ( dm ) . Tấm kính to có chiều rộng là 6 ( dm ) , chiều dài là 6.2 = 12 ( dm ) .

Bài 6: Bác Phong có một mảnh đất hình chữ nhật, chiều rộng mảnh đất dài 8 m . Bác ngăn mảnh đó

thành hai phần, một phần để làm nhà, phần còn lại để làm vườn. Diện tích phần đất làm nhà bằng diện tích mảnh đất còn chu vi phần đất làm nhà bằng

QU Y

bác Phong.

1 2

2 chu vi mảnh đất. Tính diện tích mảnh đất của 3

Lời giải:

Có hai cách chia mảnh đất hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau.

KÈ

Cách chia 1: Như Hình 1.

Hình 1

Gọi mảnh đất hình chữ nhật là ABCD và phần đất làm nhà là AMND . Vì diện tích phần đất làm nhà bằng nửa diện tích mảnh đất nên M , N lần lượt là điểm chính giữa của

AB và CD . Do đó AM = MB = CN = ND .

DẠ

Chu vi của phần đất làm nhà là: ( AM + AD ) .2 = ( AM + 8 ) .2 = 2. AM + 16 = AB + 16 .

Chu vi của mảnh đất là: ( AB + AD ) .2 = ( AB + 8 ) .2 = 2. AB + 16 . Hiệu chu vi mảnh đất và chu vi phần đất làm nhà là: ( 2. AB + 16 ) − ( AB + 16 ) = AB . Trang 17

FI CI A

Do đó ta có: AB.3 = AB.2 + 16 hay AB = 16 . Vậy diện tích mảnh đất là: 16.8 = 128 (cm 2 )

2 1 = (chu vi mảnh đất) 3 3

Hiệu này so với chu vi mảnh đất thì chiếm: 1 −

Cách chia 2 : Như Hình 2.

Hình 2

Lập luận tương tự trường hợp trên, ta tìm được AB = 4 m . Điều này vô lí vì AB là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là 8 m . Do đó trường hợp này bị loại.

ƠN

Bài 7: Trên một mặt bàn hình vuông, người ta đặt một lọ hoa có đáy cũng là hình vuông sao cho một cạnh của đáy lọ hoa trùng với một cạnh của bàn tại chính giữa bàn ấy (như hình vẽ). Khoảng cách ngắn 2 nhất từ cạnh mặt bàn đến đáy lọ hoa là 35 m , biết diện tích còn lại của mặt bàn là 6300 cm . Tính

QU Y

cạnh của mặt bàn.

Lời giải:

Ta có thể chuyển lọ hoa vào góc bàn, khi đó ta có AGFE và FHCI là hình vuông; GBHF và EFID

KÈ

là các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. 70

S E

DẠ

Độ dài cạnh GB, FH , FI , ED là: 35.2 = 70 (cm) 2 Diện tích hình vuông FHCI là 70.70 = 4900 (cm )

Trang 18

2 Diện tích hình chữ nhật GBHF là ( 6300 − 4900) : 2 = 700 (cm )

Độ dài các cạnh hình vuông AGFE là 700: 70 = 10 (cm)

FI CI A

Vậy cạnh mặt bàn là: 70 +10 = 80 (cm)

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

 HẾT 

Trang 19

PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hình vẽ

Đặc điểm -

FI CI A

CHỦ ĐỀ 4: HÌNH THOI

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 1: MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN

Hình thoi ABCD có

+ Đỉnh: A, B , C , D

+ Cạnh: AB, BC , CD, DA

+ Hai cạnh kề: AB và BC ; BC và CD ; CD và DA ; DA và AB . A

+ Hai cạnh đối: AB và CD ; BC và AD . D

ƠN

+ Đường chéo: AC , BD

- Nhận xét:

+ Bốn cạnh bằng nhau và cặp cạnh đối diện

song song:

HÌNH

AB = CD = BC = AD ; AB // CD và AD // BC ;

THOI

QU Y

+ Hai đường chéo vuông góc: AC ⊥ BD ;

BCD ; góc ABC bằng góc ADC .

Một số công thức về hình thoi:

+ Chu vi: C = 4 m ( đơn vị độ dài) + Diện tích: S =

1 ab ( đơn vị diện tích) 2

( a,b : độ dài hai đường chéo)

KÈ

+ Các góc đối bằng nhau: góc BAD bằng góc

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Bài toán nhận biết hình, đếm hình.

Dạng 2: Vẽ hình thoi.

DẠ

Dạng 3: Bài toán cắt, ghép hình.

Dạng 4: Tính chu vi, diện tích hình thoi.

Trang 1

Dạng 1: Bài toán nhận biết hình, đếm hình.

FI CI A

I.Phương pháp giải

1. Nhận biết hình: Dựa vào đặc điểm hình thoi và của các hình khác để nhận biết ra hình thoi: + Hình vuông: Bốn cạnh bằng nhau, bốn góc bằng nhau và bằng 90

+ Hình chữ nhật: Các cạnh đối bằng nhau, bốn góc bằng nhau và bằng 90

+ Hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy song song, hai góc kề một đáy bằng nhau.

+ Hình thoi: Bốn cạnh bằng nhau, các góc đối bằng nhau.

+ Hình chữ bình hành: Các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau.

+ Tam giác đều, lục giác đều: Tất cả các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau. 2. Cách đếm hình thoi:

ƠN

Bước 1: Đánh số thứ tự các hình đơn, kể cả những hình không phải là hình thoi. Bước 2: Đếm các hình là hình thoi đơn theo nguyên tắc: từ trên xuống dưới, từ trái qua phải và ghi lại kết quả.

Bước 3: Đếm các hình là hình thoi được ghép từ 2 ( hoặc 3, 4...) hình đơn sát nhau, theo nguyên tắc: từ trên xuống dưới, từ trái qua phải và ghi lại kết quả.

Bước 4: Tính tổng tất cả các hình thoi đếm được ở các bước 1 ,2 ,3 ta được kết quả.

QU Y

II.Bài toán

Bài 1: Hình ảnh nào sau đây xuất hiện hình thoi?

Lời giải: Hình 4

Hình 2

Hình 3

KÈ

Hình 1

DẠ

Bài 2: Số hình thoi trong hình vẽ sau là bao nhiêu?

Lời giải:

Trang 2

Hình 4

L FI CI A

Có tất cả hai hình thoi là BMDN và ABCD .

ƠN

Bài 3: Trong các hình sau, hình nào là hình thoi? Nêu các yếu tố của hình đó?

Lời giải: H3 là hình thoi.

Hình thoi IJKL có: Bốn cạnh là IJ , JK , KL , LI ; bốn đỉnh là I , J , K , L ; hai đường chéo là IK , JL Hình thoi IJKL có bốn cạnh bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo vuông góc với nhau.

DẠ

Lời giải:

KÈ

QU Y

Bài 4: Hình vẽ sau có bao nhiêu hình thoi?

Trang 3

L FI CI A OF - Có 2 hình thoi được ghép từ 2 hình:

ƠN

- Có 2 hình thoi đơn: ( 7 ) , (10 )

( 5 + 6 ) , (11 + 12 )

- Có 3 hình thoi được ghép từ 6 hình:

( 2 + 6 + 7 + 10 + 11 + 15) , ( 5 + 6 + 7 + 10 + 11 + 12 ) , ( 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11)  Tổng cộng có: 2 + 2 + 3 = 7 (hình thoi)

QU Y

Bài 5: Trong hình dưới đây có bao nhiêu hình thoi?

DẠ

KÈ

Lời giải:

Trang 4

- Có 12 hình tam thoi ghép từ hai hình:

FI CI A

(1 + 4 ) ; ( 2 + 3) ; ( 3 + 4 ) ; ( 3 + 8) ; ( 4 + 5) ; ( 5 + 6 ) ; ( 5 + 10 ) ; ( 7 + 8) ; (8 + 9 ) ; ( 9 + 10 ) ; ( 9 + 12 ) ; (10 + 11) - Có 3 hình thoi ghép từ 8 hình:

(1 + 3 + 4 + 5 + 8 + 9 + 10 + 12 ) ; ( 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 9 + 10 + 11) ; ( 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 )  Tổng có tất cả 15 hình thoi.

ƠN

Bài 6: Trong hình sau có bao nhiêu hình thoi, kể tên các hình:

QU Y

Lời giải:

Có 15 hình thoi, đó là: ABCO , BCDO , CDEO , DEFO , EFAO , FABO , FHCL , AIDM , OHAG ,

OHBI , OICK , OKDL , OLEM , OMFG .

KÈ

Bài 7. Hình sau có bao nhiêu hình thoi?Kể tên các hình đó?

DẠ

Lời giải:

2 hình thoi là: EFGH , MNPQ

Trang 5

Bài 8. Cho 1 hình chữ nhật. Nối các điểm chính giữa mỗi cạnh của hình chữ nhật đó thì được hình thứ hai

FI CI A

là hình thoi; nối các điểm chính giữa mỗi cạnh của hình thoi thứ hai ta được hình thứ ba là hình chữ nhật; tiếp tục vẽ như thế. Hỏi: a) Có tất cả bao nhiêu hình thoi khi ta vẽ đến hình thứ 100 ?

ƠN

b) Vẽ đến hình thứ bao nhiêu thì ta được 100 hình tam giác?

Lời giải:

a) Ta thấy các lần vẽ hình thứ 1; 3; … vẽ ra hình chữ nhật. Các lần vẽ hình thứ 2; 4; … vẽ ra hình thoi.

Vẽ hình thứ hai ta được 1 hình thoi. Vẽ hình thứ ba ta được 1 hình thoi.

…..

QU Y

Vẽ hình thứ tư ta được 2 ( = 4 : 2 ) hình thoi.

Vẽ hình thứ nhất (là hình chữ nhật) ta được 0 hình thoi.

Vẽ hình thứ một trăm ta được 50 = (100 : 2 ) hình thoi. Tổng quát: Vẽ hình thứ n ta được: n hình thoi nếu n chẵn. 2

n −1 hình thoi nếu n lẻ. 2

KÈ

b)Vẽ hình thứ nhất ta được 4 ⋅ 0 = 0 hình tam giác. Vẽ hình thứ hai ta được 4 ⋅1 = 4 hình tam giác.

.....

Vẽ hình thứ ba ta được 4 ⋅ 2 = 8 hình tam giác.

DẠ

Vẽ hình thứ n ta được 4 ⋅ ( n − 1) hình tam giác.

Theo bài ra: 4 ⋅ ( n − 1) = 100

n − 1 = 100 : 4 Trang 6

n − 1 = 25

Vậy vẽ đến hình thứ 26 ta sẽ được 100 hình tam giác. DẠNG 2: Vẽ hình thoi I.Phương pháp giải

FI CI A

n = 26

- Để vẽ hình thoi khi biết độ dài cạnh (hoặc biết độ dài cạnh và đường chéo) ta dựa vào nhận xét: Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau, các cạnh đối song song song với nhau.

II.Bài toán Bài 1: Vẽ hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 cm . Lời giải:

ƠN

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 5cm .

Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua B . Lấy điểm C trên đường thẳng đó sao cho BC = 5cm .

QU Y

Bước 3. Vẽ đường thẳng đi qua C và song song với cạnh AB . Vẽ đường thẳng đi qua A và song song với cạnh BC .

KÈ

Bước 4. Hai đường thẳng này cắt nhau tại D , ta được hình thoi ABCD .

Bài 2: Vẽ hình thoi ABCD biết AB = 3cm và đường chéo AC = 5cm

Lời giải:

DẠ

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AC = 5cm .

Bước 2. Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 3cm . Trang 7

L FI CI A

Bước 3. Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm C bán kính 3cm , phần đường tròn này cắt phần đường

tròn tâm A ở bước 2 tại hai điểm B và D .

ƠN

Bước 4. Dùng thước vẽ các đoạn thẳng BA , BC , DA , DC . Ta được hình thoi ABCD .

Bài 3: Vẽ hình thoi cạnh 5 cm và đường chéo 8 cm.

QU Y

Lời giải:

+ Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng AC = 8 cm.

KÈ

+ Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 5 cm. + Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm C bán kính 5 cm. Nó cắt phần đường tròn tâm A ở trên tại hai điểm B và D .

+ Dùng thước nối các đoạn AB, BC, CD, DA , ta được hình thoi ABCD .

DẠ

Bài 4: Hãy trình bày một cách vẽ hình thoi ABCD , biết độ dài đường chéo AC = 6 cm , đường chéo BD = 8 cm . Dùng thước đo và cho biết độ dài các cạnh của hình thoi ABCD bằng bao nhiêu?

Lời giải:

- Vẽ đoạn thẳng AC = 6 cm . Trang 8

FI CI A

- Lấy O là điểm chính giữa đoạn thẳng AC , OA = OC = 3cm .

- Qua O vẽ đoạn thẳng BD vuông góc với đoạn thẳng AC sao cho OB = OD = 4 cm .

ƠN

- Nối các điểm A, B , C , D lại với nhau ta được hình thoi ABCD .

DẠNG 3: Bài toán cắt, ghép hình. I.Phương pháp giải

- Vẽ hình đã cho trên giấy kẻ ô vuông sao cho có thể đếm được số ô vuông của hình vẽ. Quan sát đặc điểm các yếu tố hình đã cho: đỉnh, cạnh, góc; vị trí; hình dạng và độ lớn. Tưởng tượng ra hình cần ghép được

QU Y

(có thể vẽ thử ra giấy kẻ ô vuông).

- Phân tích, đối chiếu, so sánh các yếu tố hình đã cho và cần xác định các yếu tố nào đã được thỏa mãn, xác định được bộ phận nào cần ghép. Thực hiện cắt ghép thử. - Kiểm tra các yêu cầu của bài toán, tìm các cách ghép khác và chọn cách tốt nhất. II.Bài toán

Lời giải:

KÈ

Bài 1: Cho hình sau: Hãy cắt hình thoi này thành các mảnh rồi ghép thành hình chữ nhật?

DẠ

Cắt và ghép theo hướng dẫn sau: Cách 1:

Trang 9

L FI CI A OF NH

ƠN

Cách 2:

Bài 2: Cắt 2 tam giác đều cạnh 5 cm rồi ghép thành một hình thoi: Lời giải:

Dùng thước thẳng chia khoảng, compa để vẽ 2 hình tam giác đều có ra giấy.

QU Y

Cách vẽ:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5cm

Bước 2: Dùng compa vẽ đường tròn tâm A bán kính 5cm . Dùng compa vẽ đường tròn tâm B bán kính

KÈ

5cm , hai đường tròn này cắt nhau tại C .

DẠ

Bước 3: Nối A với C , nối B với C ta được tam giác đều ABC .

Trang 10

L FI CI A OF

Sau khi vẽ xong hai tam giác đều, ta cắt và ghép như sau:

ƠN

Bài 3: Ghép hai tam giác đều cạnh 5 cm để được một hình thoi như hình vẽ.

Cạnh của hình thoi có độ dài bằng bao nhiêu? Lời giải:

QU Y

Theo cách ghép hình, cạnh hình thoi được tạo thành bằng cạnh của mỗi tam giác đều, và bằng 5 cm. Bài 4: Bạn Minh gấp mảnh vải hình chữ nhật có các cạnh 12 cm và 16 cm và cắt theo đường kẻ phấn trắng

KÈ

dài 10 cm như hình vẽ.

Ta thu được con diều hình thoi có độ dài cạnh bằng bao nhiêu? Lời giải:

Theo cách gấp hình, cạnh của hình thoi bằng độ dài đường kẻ phấn trắng và bằng 10 cm.

DẠ

Dạng 4: Tính chu vi, diện tích hình thoi I.Phương pháp giải - Sử dụng công thức tính chu vi và diện tích hình thoi.

II.Bài toán

Trang 11

FI CI A

Bài 1: Tính diện tích hình thoi ABCD , biết AC = 6 cm , BD = 7 cm

Lời giải: Diện tích hình thoi ABCD là 1 .6.7 = 21 ( cm 2 ) 2

ƠN

Bài 2: Một hình thoi có chu vi bằng 36 cm . Độ dài cạnh của hình thoi đó bằng bao nhiêu? Lời giải:

Độ dài cạnh của hình thoi là: 36 : 4 = 9 (cm)

Bài 3: Một hình thoi có diện tích bằng 420 cm 2 , độ dài một đường chéo là 21cm . Tính độ dài đường chéo thứ hai. Lời giải:

QU Y

Độ dài đường chéo thứ hai là 420.2 : 21 = 40 cm

Bài 4: Một miếng bìa hình thoi có độ dài đường chéo bé bằng 24 cm , độ dài đường chéo lớn gấp 2 lần đường chéo bé. Diện tích của miếng bìa đó bằng bao nhiêu?

Lời giải:

KÈ

Độ dài đường chéo lớn là: 24.2 = 48 ( cm ) Suy ra diện tích miếng bìa đó là:

24.48 = 576 ( cm 2 ) . 2

Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài 8 dm , chiều rộng 5 dm . Gọi M ; N ; P ; Q lần lượt là

điểm chính giữa các cạnh AB; BC ; CD; DA của hình chữ nhật.

DẠ

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác MNPQ .

Lời giải:

Trang 12

L FI CI A

a) Tứ giác MNPQ là hình thoi. 1 .5.8 = 20 dm 2 . 2

b) Diện tích hình thoi MNPQ là:

Bài 6: Một miếng bìa hình bình hành có chu vi bằng 2 m . Nếu bớt chiều dài đi 20 cm thì ta được một

Lời giải: 20 cm

ƠN

miếng bìa hình thoi có diện tích bằng 6 dm 2 .Tính diện tích hình bình hành đó.

QU Y

6 dm2

Đổi 2 m = 20 dm ; 20 cm = 2 dm

Nửa chu vi hình bình hành là: 20 : 2 = 10 (dm) . Nửa chu vi hình thoi là: 10 − 2 = 8(dm)

Cạnh của hình thoi là: 8 : 2 = 4 (dm)

KÈ

Độ dài đường cao của hình thoi tương ứng với cạnh dài của hình bình hành là: 6 : 4 = 1,5(dm) Vì cạnh hình thoi chính là cạnh ngắn của hình bình hành nên cạnh dài của hình bình hành là:

10 − 4 = 6 (dm) .

Diện tích miếng bìa hình bình hành lúc đầu là: 6.1,5 = 9 (dm 2 ) .

DẠ

Bài 7. Một hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là 45 cm , biết đường chéo thứ nhất bằng chéo thứ hai. Hỏi hình thoi đó có diện tích là bao nhiêu? Lời giải:

Trang 13

3 đường 2

L FI CI A

Dựa vào tỉ lệ của hai đường chéo, ta có thể nhận thấy, tổng của hai đường chéo được chia làm 3 + 2 = 5 phần bằng nhau. Trong đó, đường chéo thứ nhất chiếm 3 phần, đường chéo thứ hai chiếm 2 phần.

Độ dài đường chéo thứ nhất là:

45 : ( 3 + 2 ) ⋅ 3 = 27 ( cm ) Độ dài đường chéo thứ hai là:

ƠN

45 − 27 = 18 ( cm ) Diện tích hình thoi là:

(

)

1 ⋅ 27 ⋅18 = 243 cm 2 2

Đáp số: 243cm 2

3 độ 5

QU Y

Bài 8: Một hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo bằng 64 cm , độ dài đường chéo thứ nhất bằng dài đường chéo thứ hai. Khi đó, diện tích hình thoi bằng bao nhiêu?

KÈ

Lời giải:

Dựa vào tỉ lệ của hai đường chéo, ta có thể nhận thấy, tổng của hai đường chéo được chia làm 3 + 5 = 8

DẠ

phần bằng nhau. Trong đó, đường chéo thứ nhất chiếm 3 phần, đường chéo thứ hai chiếm 5 phần. Từ nhận xét đó, ta có được: Độ dài đường chéo thứ nhất: ( 64 : 8) .3 = 24 ( cm ) Trang 14

24.40 = 480 ( cm2 ) . 2

FI CI A

Diện tích hình thoi bằng:

Độ dài đường chéo thứ hai: ( 64 : 8) .5 = 40 ( cm )

Bài 9. Một miếng đất hình thoi có độ dài một cạnh bằng 42 m , người ta muốn rào xung quanh miếng đất bằng bốn đường dây kẽm gai. Hỏi cần tất cả bao nhiêu mét dây kẽm gai để rào? Lời giải:

Số mét dây kẽm gai cần có để rào miếng đất là: 168.4 = 672 m . Đáp số: 672 m

Chu vi miếng đất hình thoi là: 42.4 = 168 m

5 AB . Tính diện tích phần được tô màu. 6

QU Y

và BC =

ƠN

Bài 10. Trung điểm các cạnh của hình chữ nhật ABCD tạo thành hình thoi như hình vẽ. Biết AB = 24 cm

Lời giải:

Độ dài cạnh BC là: 24 : 6 ⋅ 5 = 20 ( cm )

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 20 ⋅ 24 = 480 ( cm 2 )

Diện tích hình thoi MNPQ là: 20 ⋅ 24 : 2 = 240 ( cm 2 )

KÈ

Diện tích của phần tô màu là: 480 − 240 = 240 ( cm 2 ) Đáp số: 240 cm 2

Bài 11. Cho hình vẽ sau:

Hình thoi MNPQ có độ dài cạnh là 30 cm . Tổng độ dài hai đường chéo là 84 cm , hiệu độ dài hai đường

DẠ

chéo là 12 cm . Tính độ dài chiều cao NK .

Trang 15

L FI CI A

Lời giải:

Độ dài đường chéo thứ nhất của hình thoi là:

(84 + 12 ) : 2 = 48 ( cm ) Độ dài đường chéo thứ hai của hình thoi là:

ƠN

48 − 12 = 36 ( cm )

(

48 ⋅ 36 : 2 = 864 cm 2

)

Diện tích hình thoi MNPQ là:

Diện tích hình thoi còn được tính như sau: S MNPQ = NK ⋅ PQ

Đáp số: NK = 28,8 cm

QU Y

 NK = S MNPQ : PQ = 864 : 30 = 28,8 ( cm )

Bài 12: Tính diện tích hình chữ nhật ABCD , biết hình thoi AMBN có diện tích bằng 14 cm 2 , độ dài đoạn

Lời giải

KÈ

thẳng MO = 2 cm và chu vi hình chữ nhật ABCD bằng 22 cm .

Độ dài đoạn MN là: 2.2 = 4 cm

DẠ

Độ dài đoạn AB là: 14.2 : 4 = 7 cm

Nửa chu vi hình chữ nhật ABCD là: 22 : 2 = 11cm Độ dài chiều rộng AD là: 11 − 7 = 4 cm Trang 16

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 7.4 = 28 cm 2 .

FI CI A

Đáp số : 28 cm 2 Bài 13: Cho hình vẽ.

Tính diện tích hình chữ nhật BMAO , biết hình thoi ABCD có diện tích bằng 48 cm 2 và đường chéo

ƠN

AC = 12 cm .

Lời giải

Độ dài đoạn BO là: 8 : 2 = 4 cm Độ dài AO là: 12 : 2 = 6 cm

Độ dài đường chéo BD của hình thoi là: 48.2 :12 = 8cm

Diện tích hình chữ nhật BMAO là: 6.4 = 24 cm 2

QU Y

Đáp số : 24 cm 2

Bài 14: Bác Nam muốn làm một cái cửa sổ hình thoi có chiều dài hai đường chéo lần lượt là 120 cm và 70 cm . Bác muốn làm cửa sổ bằng kính để tạo nên nét sang trọng và nhận được nhiều ánh sáng tự nhiên

cho căn nhà. Em hãy tính diện tích phần mặt kính mà bác Nam cần dùng để làm vừa khít cái cửa sổ đó (xem như diện tích phần viền không đáng kể).

Lời giải:

KÈ

Diện tích phần mặt kính mà bác Nam cần dùng để làm vừa khít cái cửa sổ đó là: 120 ⋅ 70 = 4200 ( cm 2 ) 2

Đáp số : 4200 cm 2

Bài 15: Cho hình thoi MPNQ biết MN = 8cm , PQ = 6 cm

DẠ

a) Tính diện tích hình thoi MPNQ . b) Biết MP = 5cm tính chu vi hình thoi.

Lời giải:

Trang 17

L (

FI CI A

8⋅6 = 24 cm 2 2

)

a) Diện tích hình thoi MPNQ là

b) Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi MPNQ là: 5 ⋅ 4 = 20 ( cm )

ƠN

Đáp số : 24 cm 2 , 20 cm

Bài 16: Một khu ruộng hình thoi có hai đường chéo là 30 m, 40 m . Biết rằng năng suất lúa là 0,8 kg/m 2 . Hỏi khu ruộng đó cho sản lượng là bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

Diện tích của khu ruộng là:

Lời giải: 30 ⋅ 40 = 600 m 2 2

( )

Sản lượng lúa của khu ruộng đó là: 0,8 ⋅ 600 = 480 ( kg )

QU Y

Bài 17: Một mảnh đất trong công viên hình chữ nhật có chiều dài 16 m và chiều rộng bằng nửa chiều dài. Người ta dự định làm một giàn hoa bên trong mảnh đất đó có hình thoi như hình bên, còn lại sẽ trồng hoa hồng. Nếu mỗi mét vuông trồng được 4 cây hoa hồng, hỏi cần bao nhiêu cây hoa hồng để trồng hết phần

KÈ

đất còn lại đó?

DẠ

Lời giải:

Chiều rộng của mảnh đất là: 16 : 2 = 8 ( m ) Diện tích mảnh đất là: 16 ⋅ 8 = 128 ( m 2 )

Trang 18

16 ⋅ 8 = 64 ( m 2 ) 2

Diện tích đất để trồng hoa hồng là: 128 − 64 = 64 ( m 2 ) Số cây hoa hồng dùng để trồng hết phần đất còn lại là: 64 : 4 = 16 (cây) Đáp số: 16 cây

FI CI A

Diện tích của giàn hoa hình thoi là:

Bài 18: Anh Tâm làm 4 khung cửa sắt, có kích thước và hình dạng như hình bên. Khung sắt bên ngoài

là hình chữ nhật có chiều dài 250 cm , chiều rộng là 120 cm . Phía trong là các hình thoi có độ dài cạnh

QU Y

ƠN

60 cm . Hỏi anh Tâm cần dùng bao nhiêu mét dây thép đề làm được bốn khung cửa như vậy?

Lời giải:

Số mét thép dùng để làm khung sắt bên ngoài là: ( 250 + 120 ) ⋅ 2 = 740 ( cm ) = 7, 4 ( m ) Độ dài 4 cạnh của một hình thoi là: 4 ⋅ 60 = 240 ( cm )

Số mét thép dùng để làm 4 hình thoi là: 4 ⋅ 240 = 960 ( cm ) =9,6 ( m )

KÈ

Số mét thép anh Tâm dùng để làm một khung cửa là: 7, 4 + 9, 6 + 2,5 + 1, 2 = 20, 7 ( m ) Số mét thép anh Tâm cần dùng để làm bốn khung cửa là: 20, 7 ⋅ 4 = 82,8 ( m )

DẠ

Đáp số : 82,8 m

Trang 19

FI CI A

CHỦ ĐỀ 6: HÌNH THANG CÂN PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

ƠN

1. HÌNH THANG CÂN

- Hình thang cân có: + Hai đường chéo bằng nhau. + Hai đáy song song với nhau. + Hai góc kề một đáy bằng nhau.

+ Hai cạnh bên bằng nhau.

KÈ

QU Y

2. CHU VI VÀ DIỆN TÍCH HÌNH THANG

Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh của hình thang đó. C = AB + BC + CD + DA

DẠ

Diện tích hình thang bằng tổng độ dài hai cạnh đáy nhân với chiều cao rồi chia đôi. S=

( AB + CD ) . AH 2

*) Chú ý 1: Cho hình thang ABCD như hình vẽ bên dưới

Trang 1

HH6.CHUYÊN ĐỀ 1-MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN

FI CI A

+) SADC = SBDC +) SDAB = SCAB *) Chú ý 2: Tỉ số diện tích thường dùng:

QU Y

ƠN

+ Hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạnh đáy

SABC AB = S ADC CD

KÈ

SABC BH = SDAC DK

+ Hai tam giác có chung cạnh đáy thì tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 đường cao

Y DẠ

D Trang 2

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

FI CI A

Dạng 1: Nhận biết hình thang cân

Hình thang cân ABCD có

ƠN

I. Phương pháp giải:

Hai cạnh đáy AB, CD song song với nhau

•

Hai cạnh bên bằng nhau: AD = BC

•

Hai đường chéo: AC = BD

•

Hai góc kề với cạnh đáy AB bằng nhau tức là góc DAB và góc CBA bằng nhau,

•

QU Y

hai góc kề với cạnh đáy CD bằng nhau tức là góc ADC và góc BCD bằng nhau. II.Bài toán

Lời giải:

KÈ

Bài 1: Trong các hình sau, hình nào là hình thang cân? Vì sao

Hình 3 là hình thang cân vì có hai đường chéo bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau.

Bài 2: Cho hình vẽ sau, biết các đoạn thẳng MN , PQ, EF song song với nhau, MP = NQ , PE = QF . Có

DẠ

bao nhiêu hình thang cân? Kể tên các hình thang cân đó.

Trang 3

L FI CI A Tứ giác MNQP là hình thang cân vì tứ giác MNQP có

Lời giải:

+ Hai đường chéo MQ = NP Tứ giác PQFE là hình thang cân vì tứ giác PQFE có

+ Hai đường chéo PF = QE

+ Hai cạnh đáy PQ , EF song song với nhau

ƠN

+ Hai cạnh đáy MN , PQ song song với nhau

Tứ giác MNFE là hình thang cân vì tứ giác MNFE có

QU Y

+ Hai cạnh đáy MN , EF song song với nhau + Hai đường chéo MF = NE

DẠ

KÈ

Bài 3: Cho hình vẽ, hình bên có bao nhiêu hình thang cân

Lời giải:

Các hình thang cân là: MNCB , AMPC , ANPB

Tứ giác MNCB là hình thang cân vì tứ giác MNCB có Trang 4

+ Hai cạnh đáy MN , BC song song với nhau

FI CI A

+ Hai đường chéo MC = NB Tứ giác MACP là hình thang cân vì tứ giác MACP có + Hai cạnh đáy MP , AC song song với nhau + Hai đường chéo MC = AP Tứ giác ANPB là hình thang cân vì tứ giác ANPB có

+ Hai cạnh đáy NP , AB song song với nhau + Hai đường chéo AP = BN

HÌNH 1

HÌNH 2

Lời giải:

ƠN

Bài 4: Dưới đây là một số hình ảnh thực tế, em hãy cho biết hình nào là hình thang cân.

HÌNH 3

HÌNH 4

Hình 4 có mặt bàn là hình thang cân

QU Y

Bài 5:

Cho hình thang cân ABCD có hai cạnh AB, CD song song với nhau, biết góc ADC bằng 60 o , Tính số đo góc BCD .

DẠ

KÈ

Lời giải:

Hình thang cân ABCD có hai góc kề với cạnh đáy CD bằng nhau tức là góc ADC và góc BCD bằng nhau. . Trang 5

FI CI A

Bài 6: Nêu tên cạnh đáy, cạnh bên, các góc bằng nhau của hình thang cân ABCD

Mà góc ADC bằng 60 o nên số đo góc BCD bằng 60 o .

ƠN

Lời giải: - Cạnh đáy AB; CD. - Cạnh bên AD; BC.

- Các góc bằng nhau góc ADC bằng góc BCD, góc BAD bằng góc ABC Bài 7: Cho hình lục giác đều ABCDEF như hình vẽ. Hãy quan sát và cho biết có bao nhiêu hình thang

KÈ

QU Y

cân trong hình vẽ, đọc tên các hình thang cân đó.

DẠ

Lời giải:

Trong hình lục giác đều ABCDEF có 6 hình thang cân.

Các hình thang cân là: ABCF , ABCD, BCDE , CDEF , AFDE , ABEF . Trang 6

Dạng 2: Chu vi và diện tích hình thang.

ƠN

Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh của hình thang đó.

FI CI A

I.Phương pháp giải

C = AB + BC + CD + DA

Diện tích hình thang bằng tổng độ dài hai cạnh đáy nhân với chiều cao rồi chia đôi.

( AB + CD ) . AH 2

II.Bài toán

Bài 1: Trung bình cộng hai đáy của một hình thang bằng 34 m . Nếu tăng đáy bé thêm 12 m thì diện tích

QU Y

hình thang tăng thêm 114 m 2 . Hãy tìm diện tích hình thang ban đầu.

KÈ

Lời giải:

Chiều cao CH của tam giác BEC (hay chiều cao của hình thang AECD ) là: 114.2 :12 = 19 ( m ) .

DẠ

Tổng độ dài hai đáy của hình thang là: 34.2 = 68 ( m ) . Diện tích ban đầu của hình thang ABCD là: 68.19 : 2 = 646 (m 2 ) .

Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB là 27 cm , đáy lớn CD là 48 cm . Nếu kéo dài đáy nhỏ thêm 5 cm thì được diện tích của hình thang tăng thêm 40 cm 2 . Tính diện tích hình thang đã cho. Trang 7

FI CI A

Lời giải

Chiều cao CH của tam giác BEC (hay chiều cao của hình thang AECD ) là: 40.2 : 5 = 16 ( m ) . (27 + 48).16 = 600 ( m 2 ) . 2

ƠN

Diện tích ban đầu của hình thang ABCD là: S =

Bài 3: Cho một hình thang vuông có đáy lớn dài 18 m , chiều cao 6 m . Nếu kéo dài đáy bé về một phía

để trở thành hình chữ nhật thì diện tích tăng thêm 12 m 2 . Tìm diện tích của hình thang.

QU Y

Lời giải:

Độ dài cạnh BE là: 12.2 : 6 = 4 ( m ) .

KÈ

Độ dài đáy bé AB của hình thang là: 18 − 4 = 14 ( m ) . Diện tích ban đầu của hình thang ABCD là: 144.22 : 2 = 1584 (m 2 ) . Bài 4: Trung bình cộng hai đáy của một hình thang bằng 72 m . Nếu tăng đáy lớn thêm 20 m thì diện tích

hình thang tăng thêm 220 m 2 . Hãy tìm diện tích hình thang ban đầu.

DẠ

Lời giải:

Trang 8

L FI CI A OF

Chiều cao BH của tam giác BEC (hay chiều cao của hình thang ABED ) là: 220.2 : 20 = 22 ( m ) . Tổng độ dài hai đáy của hình thang là: 72.2 = 144 ( m ) .

(18 + 14).6 = 96 ( m 2 ) . 2

Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB =

2 CD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Diện 3

ƠN

Diện tích ban đầu của hình thang ABCD là: S =

tích hình tam giác BOC là 15 cm 2 . Tính diện tích hình thang ABCD . Lời giải:

QU Y

KÈ

Hai tam giác ABC và ADC có đường cao bằng nhau nên tỉ số diện tích sẽ bằng tỉ số hai cạnh đáy

SABC AB 2 = = SADC CD 3



DẠ

S 2 BH Hai tam giác ABC và ADC có chung cạnh đáy AC  ABC = = S ADC 3 DK Hai tam giác BOC và DOC có chung cạnh đáy OC

Trang 9

SDOC DK 3 S 3 3 = =  DOC =  SDOC = .15 = 22,5 (cm 2 ) SBOC BH 2 15 2 2

FI CI A



 S BDC = 15 + 22,5 = 37,5 (cm 2 )

Mà

SBAD AB 2 S 2 2 = =  BAD =  SBAD = .37,5 = 25 (cm 2 ) SBCD CD 3 37,5 3 3

Vậy S ABCD = 25 + 37, 5 = 62,5 (cm 2 ) .

Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và DC , MA = MC ( M ∈ AC ); MN //BD ( N ∈ CD ). Chứng minh rằng đoạn thẳng BN chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

chứng

QU Y

Cần

ƠN

Lời giải:

Do BDNM là hình thang → S MBD = SNBD SMBD + SABD = SNDB + SABD → S ABMD = S ABND

(1)

KÈ

1   S ABM = S BMC = 2 S ABC Do MA = MC →  1 S S ADC DAM = S DCM =  2 → S ABM + SDAM =

1 1 ( SABC + SADC ) = .SABCD 2 2

DẠ

1 → S ABMD = .S ABCD (2) 2 1 .Từ (1) và (2) suy ra: SABMD = S ABND = .SABCD 2

Vậy đoạn thẳng BN chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

Trang 10

minh SABND =

1 S ABCD 2

FI CI A

trung điểm của đáy lớn DC , nối OK kéo dài cắt đáy nhỏ AB tại I. So sánh S AIKD và SBIKC .

Bài 7: Cho hình thang có hai đáy AB và DC , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Gọi K là

Lời giải

ƠN

S ADC = SBCD (Vì chung đáy CD , chiều cao hạ từ A xuống CD bằng chiều cao hạ từ B xuống CD (bằng

Mà

SADC = S AOD + SDOC SBCD = SBOC + SDOC

 S AOD = SBOC .

chiều cao hình thang).

SDOK = SCOK ( V× chung ®−êng cao h¹ tõ O; DK = CK ) . SBCKO = SBOC + SCOK

QU Y

S ADKO = S AOD + SDOK  S BCKO = S ADKO

SADK = SBCK ( chiÒu cao b»ng nhau; DK = CK )

SBKO = SBCKO − SBCK

KÈ

 S AKO = SBKO

S AKO = S ADKO − S ADK

Hai tam giác AKO và BKO lại có chung cạnh KO và chiều cao hạ từ A xuống KO bằng chiều cao hạ từ

B xuống KO .

Hai tam giác AKI và BKI lại có chung cạnh KI và chiều cao hạ từ A bằng chiều cao hạ từ B xuống

DẠ

KO ( KI )  SAKI = SBKI . SAIKD = S ADK + S AKI SBIKC = SBCK + SBKI

 SAIKD = SBIKC . Trang 11

Bài 8: Cho hình thang ABCD có hai đáy BC và AD , M là trung điểm của BC , E là trung điểm của

FI CI A

AD . Hai đoạn thẳng AM và BE cắt nhau tại K , hai đoạn thẳng MD và CE cắt nhau tại N (như hình vẽ). Biết diện tích hình tam giác ABK bằng 5 cm2 , diện tích hình tam giác CND bằng 3 cm2 . Tính diện tích hình tứ giác EKMN .

ƠN

Lời giải

Ta có: SABM = SBME ( V× cïng chung ®¸y BM, chiÒu cao b»ng nhau )

SABM = SABK + SBMK  2   SABK = SKME = 5 (cm ) SBME = SKME + SBMK 

QU Y

Ta có:

SMCE = SMCD ( V× cïng chung ®¸y MC, chiÒu cao b»ng nhau ) Mµ :

SMCE = SENM + SMNC  2  → SENM = SCND = 3 (cm ) SMCD = SCND + SMNC 

 S EKMN = SENM + S KME = 3 + 5 = 8 (cm 2 ) .

Bài 9: Cho hình thang ABCD có hai đáy BC và DA . Điểm M là điểm chính giữa các cạnh BC, điểm E

KÈ

là điểm chính giữa cạnh AD . Hai đoạn thẳng AM và BE cắt nhau tại K , hai đoạn thẳng MD và CE cắt nhau tại N . Hãy so sánh diện tích các hình thang AMCE, BMDE và ABCD .

DẠ

Lời giải:

Trang 12

L FI CI A OF

Ta có: SABM = SMCD ( Vì đáy BM = MC và chiều cao bằng nhau).

Ta có:

SMDE = SMAE =

1 SMAD 2

Mµ SBMDE = SBME + SMDE

QU Y

1 SBME = SABM = SMCD = ( SMCD + SABM ) 2

S AMCE = S ABCD − S ABM − SCED    S AMCE = SBMDE SBMDE = S ABCD − SMCD − S ABE 

ƠN

SABE = SCDE ( Vì đáy AE = ED và chiều cao bằng nhau).

1 1  SBMDE = ( SMCD + SABM + SMAD ) = S ABCD 2 2

1 SABCD . 2

Vậy SAMCE = SBMDE =

KÈ

Bài 10: Cho hình thang ABCD có hai đáy BC và DA . Gọi trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q . Hãy so sánh diện tích tứ giác MNPQ với hình thang ABCD . Lời giải:

DẠ

Cách 1:

Trang 13

L FI CI A

Cắt ghép hình thang đã cho thành một hình tam giác có diện tích bằng diện tích hình thang đó. Vì sau khi cắt ghép thì hình thang ABCD biến thành tam giác NEF nên:

- Diện tích hình thang ABCD bằng diện tích hình tam giác NEF . Bởi vì M là trung điểm của NE nên

diện tích tam giác MNQ bằng diện tích tam giác MEQ hay S1 + S2 = S6 . - Tương tự: S3 + S4 = S5 . - Suy ra: S1 + S2 + S3 + S4 = S5 + S6 .

ƠN

Vậy diện tích tứ giác MNPQ bằng một nửa diện tích hình tam giác NEF và do đó bằng một nửa diện tích hình thang ABCD .

QU Y

Cách 2:

Vì M là trung điểm của AB nên diện tích tam giác AMD bằng một nửa diện tích tam giác ABD . Vì Q là trung điểm của AD nên diện tích tam giác AMQ bằng một nửa diện tích tam giác AMD . 1 diện tích hình tam giác ABD . 4

Vậy diện tích S1 bằng

Giải thích tương tự, ta thấy S3 bằng

1 diện tích hình tam giác BCD . 4

KÈ

1 diện tích hình thang ABCD . 4

DẠ

Suy ra S1 + S3 bằng

Trang 14

2 P

M 4

Giải thích tương tự ta thấy S2 + S4 (xem hình vẽ ở cách 1) bằng

1 diện tích hình thang ABCD . 4

1 1 diện tích hình thang ABCD . Suy ra diện tích hình MNPQ bằng diện tích 2 2

ƠN

Vậy S1 + S2 + S3 + S4 bằng

FI CI A

hình thang ABCD .

Bài 11: Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O . a) So sánh các đoạn thẳng OA và OC ; OB và OD . b) Tính diện tích 2 tam giác: AOD và DCO biết diện tích hình thang ABCD bằng 32 cm2 .

QU Y

Lời giải:

KÈ

S ABC AB 1 = = (V× ®−êng cao h¹ tõ C xuèng AB b»ng ®−êng cao h¹ tõ A xuèng DC ) . S ACD CD 3

S ABC BH 1 = = (V× chung ®¸y AC ) S ACD DK 3

DẠ



Mà

S ABO BH 1 = = (V× chung ®¸y AO) S ADO DK 3 Trang 15

S ABO OB 1 = = (V× chung ®−êng cao h¹ tõ A xuèng BD ) S ADO OD 3

1  OB = OD . 3 1 Chứng minh tương tự, ta cũng có OA = OC . 3 b) Ta có: SBCD = 3S BAD (đường cao bằng nhau, CD = 3 AD )

(

)

(

)

FI CI A



(

Mà S BCD + S BAD = S ABCD = 32 cm 2 , từ đó tìm được S BCD = 24 cm 2 , S BAD = 8 cm 2

)

Lại có S AOD = 3S AOB (có cùng chiều cao hạ từ A xuống BD , OD = 3OB )

ƠN

Mà S AOB + S AOD = S ABD = 8 ( cm 2 ) , từ đó tính được S AOD = 6 ( cm 2 )  S DOC = 18 ( cm 2 ) Dạng 3: Các bài toán thực tế.

QU Y

I.Phương pháp giải

Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh của hình thang đó. C = AB + BC + CD + DA

KÈ

Diện tích hình thang bằng tổng độ dài hai cạnh đáy nhân với chiều cao rồi chia đôi. S=

II.Bài toán

( AB + CD ) . AH 2

Bài 1: Một chiếc bàn khung thép được thiết kế như hình dưới đây. Mặt bàn là hình thang cân có hai đáy

DẠ

lần lượt là 1200 mm , 600 mm và cạnh bên 600 mm . Chiều cao bàn là 730 mm . Hỏi làm một chiếc khung bàn nói trên cần bao nhiêu mét thép (coi mối hàn không đáng kể).

Trang 16

L FI CI A OF

Lời giải:

Số mét thép cần dùng làm khung mặt bàn là: P1 = 1200 + 600 + 2.600 = 3000 (mm) .

Vậy tổng số mét thép cần dùng làm khunng bàn là:

ƠN

Số mét thép cần dùng làm chân bàn là: P2 = 4.730 = 2920 (mm) .

P = P1 + P2 = 3000 + 2920 = 5920 (mm) = 5,92 (m) .

Bài 2: Một thửa ruộng có dạng như hình dưới đây. Nếu trên mỗi mét vuông thu hoạch được 0,8 kg thóc

QU Y

thì thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc.

Lời giải:

KÈ

Diện tích phần hình thang là:

S1 =

( 30 + 50 ) .10 = 400 (m ) 2

Diện tích phần hình chữ nhật là:

S2 = 15.50 = 750 (m 2 )

DẠ

Tổng diện tích của thửa ruộng là:

S = S1 + S2 = 400 + 750 = 1150 (m2 )

Số ki-lô-gam thóc thu được trên thửa ruộng đó là: 1150.0,8 = 920 (kg) Trang 17

FI CI A

a) Tính diện tích mảnh ruộng.

a) Diện tích của thửa ruộng là: S =

(15 + 25 ) .10 = 200 (m 2 ) . 2

b) Hỏi mảnh ruộng cho sản lượng bao nhiêu ki-lô-gam thóc.

Lời giải:

Bài 3: Một mảnh ruộng hình thang có kích thước như hình vẽ. Biết năng suất là 0,8 kg / m 2 .

ƠN

b) Số ki-lô-gam thóc thu được là: 200.0,8 = 160 (kg).

Bài 4: Bản thiết kế một hiên nhà được biểu thị ở hình sau. Nếu chi phí làm mỗi 9dm2 hiên là 150 000

QU Y

đồng thì chi phí của cả hiên nhà sẽ là bao nhiêu.

Lời giải:

( 54 + 72 ) .45 = 2835 2

( dm ) . 2

Diện tích của mái hiên là: S =

2835.150000 = 47 250 000 (®ång) . 9

KÈ

Chi phí để làm hiên nhà là:

Bài 5: Một mảnh vườn có hình dạng như hình bên dưới. Để tính diện tích mảnh vườn, người ta chia nó thành hình thang cân ABCD và hình bình hành ADEF có kích thước như sau: BC = 30 m ; AD = 42m ;

DẠ

BM = 22m ; EN = 28m . Hãy tính diện tích mảnh vườn này.

Trang 18

L FI CI A

Diện tích hình thang cân ABCD là: S1 =

( 30 + 42 ) .22 = 792 2

Lời giải:

(m ) . 2

ƠN

Diện tích hình bình hành ADEF là: S2 = 42.28 = 1176 ( m 2 ) .

Vậy tổng diện tích mảnh vườn là: S = S1 + S2 = 792 + 1176 = 1968 ( m 2 ) . Bài 6: Thân đê kè bờ sông thường có dạng một hình thang cân để tạo nên sự cân đối, bền vững khi chịu áp

lực rất lớn của nước. Mặt cắt một bờ đê có dạng hình thang cân mà bề rộng thân đê phía mặt trên là 10m, chân đê có độ rộng 25m, đê cao 5m. Mặt cắt của bờ đê được biểu diễn như hình vẽ bên. Em hãy tìm diện

QU Y

tích của phần mặt cắt đó?

KÈ

Lời giải:

Diện tích của phần mặt cắt bờ đê là: S =

(10 + 25 ) .5 = 87,5 2

(m ) . 2

Bài 7: Một chi tiết máy có dạng và kích thước như hình bên, em hãy tính chu vi và diện tích của chi tiết

DẠ

máy đó.

Trang 19

L FI CI A OF

Lời giải:

ƠN

Chu vi của chi tiết máy đó là: 8.2 + 15 + (15 − 4 ) +3.2 + 2 = 50 (cm) Diện tích hình chữ nhật AFGH là: SGFGH = 8.15 = 120 ( cm 2 )

Diện tích hình thang BCDE là: SBCDE =

Độ dài đường cao của hình thang BCDE là: 8 − 4 = 4 ( cm )

( 4 + 2 ) .4 = 12 2

( cm ) 2

QU Y

Diện tích của chi tiết máy đó là: Schi tiÕt m¸y = S AFGH − S BCDE = 120 − 12 = 108 ( cm 2 ) Vậy: chi tiết máy có chu vi bằng 42 cm , diện tích bằng 108 cm 2 . Bài 8: Bác hai có một thửa ruộng có dạng như hình bên. Bác hai trồng lúa trên toàn bộ thửa ruộng đó. Nếu trên mỗi mét vuông bác Hai thu hoạch được 0,8 kg thóc thì số tiền bác Hai thu được là bao nhiêu? Biết

DẠ

KÈ

mỗi tạ thóc có giá 700000 ®ång .

Trang 20

Độ dài đoạn GD là: GD = EF = 45 (m) Độ dài đoạn GC là: 45 − 3 = 42 (m) Diện tích phần thửa ruộng hình thang ABCG là: S ABCG =

FI CI A

Lời giải:

( 20 + 42 ) .25 = 775 2

(m ) 2

Diện tích phần thửa ruộng hình bình hành GDEF là: SGDEF = 45.26 = 1170 ( m 2 )

Diện tích thửa ruộng là: Sthöa ruéng = S ABCG + SGDEF = 775 + 1170 = 1945 ( m 2 )

Số ki-lô-gam thóc bác Hai thu hoạch được trên thửa ruộng là: 1945.0,8 = 1556 (kg) Đổi 1556 kg = 15,56 t¹ .

ƠN

Số tiền bác Hai thu được là: 15,56.700000 = 10 892 000 (®ång) .

Bài 9: Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn 120 m , đáy bé bằng

2 4 đáy lớn và bằng chiều cao. Người 3 3

ta trồng ngô trên thửa ruộng đó, tính ra trung bình 100 m 2 thu được 50 kg ngô. Hỏi cả thửa ruộng thu được bao nhiêu tạ ngô?

QU Y

Lời giải:

KÈ

Đáy bé của hình thang dài là: 2 120. = 80 ( m ) 3

DẠ

Chiều cao của hình thang dài là: 3 .80 = 60 ( m ) 4

Diện tích thửa ruộng hình thang là:

(120 + 80 ) .60 = 6000 2

(m ) Trang 21

Vì trung bình 100 m 2 thu được 50 kg ngô, nên 6000 m 2 thu được số ki-lô-gam ngô là:

FI CI A

6000 :100. 50 = 3000 ( kg )

Đổi 3000 kg = 30 tạ. Vậy cả thửa ruộng thu được 30 tạ ngô.

Bài 10: Thửa ruộng hình thang có trung bình cộng hai đáy là 46 m . Nếu mở rộng đáy lớn thêm 12 m và

giữ nguyên đáy bé thì được thửa ruộng mới có diện tích lớn hơn diện tích thửa ruộng ban đầu là 114 m 2 . Tính diện tích thửa ruộng?

ƠN

Lời giải:

QU Y

Tổng hai đáy của hình thang là: 46. 2 = 92 ( m )

Gọi chiều cao thửa ruộng là: x ( m ) Diện tích thửa ruộng ban đầu là:

92 . x : 2 = 46. x m 2

( )

Tổng đáy lớn và đáy bé sau khi mở rộng đáy lớn thêm 12m là:

KÈ

92 + 12 = 104 ( m )

Diện tích thửa ruộng sau khi mở rộng đáy lớn là: 104 . x : 2 = 52. x m 2

( )

DẠ

Thửa ruộng mới có diện tích mới lớn hơn 114 m 2 nên ta có: 52 . x − 46 . x = 114 m 2 9. x

( ) = 114 ( m ) 2

Trang 22

x = 19 m 2

( )

FI CI A

Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 46 .19 = 874 m 2

( )

Bài 11: Một chiếc móc treo quần áo có dạng hình thang cân (hình bên) được làm từ đoạn dây nhôm dài 60 cm . Phần hình thang cân có đáy nhỏ dài 15cm , đáy lớn 25cm , cạnh bên 7cm . Hỏi phần còn lại làm

Lời giải:

ƠN

móc treo có độ dài bao nhiêu (bỏ qua mối nối)?

Vì chiếc móc treo quần áo có dạng hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau và bằng 7cm Chu vi của hình thang cân là:

QU Y

15 + 25 + 7 + 7 = 54 ( cm )

Phần còn lại làm móc treo có độ dài là: 60 − 54 = 6 ( cm )

Bài 12:

Một mảnh vườn hình thang cân có đáy nhỏ là 12 m , đáy lớn là 18 m và có diện tích là 225 m 2 .

Người ta muốn lấy một phần miếng đất để trồng hoa có dạng hình chữ nhật có chiều rộng bằng đáy nhỏ,

KÈ

chiều dài đúng bằng chiều cao của mảnh vườn hình thang cân. a) Hãy tính diện tích phần đất trồng hoa. b) Dự kiến mỗi mét vuông hoa có giá 500000 đồng. Hãy tính số tiền dự kiến thu được khi thu hoạch

phần đất trồng hoa trên.

DẠ

Lời giải:

Trang 23

L FI CI A OF

a. Tổng hai đáy của hình thang là:

Chiều cao của mảnh vườn hình thang cân là: 225 . 2 : 30 = 15 ( m )

ƠN

12 + 18 = 30 ( m )

Vì một phần miếng đất để trồng hoa có dạng hình chữ nhật có chiều rộng bằng đáy nhỏ, chiều dài đúng bằng chiều cao của mảnh vườn hình thang cân nên diện tích phần đất trồng hoa là: 12 .15 = 180 m 2

( )

b. Vì mỗi mét vuông hoa có giá 500 000đ nên số tiền dự kiến thu được khi thu hoạch phần đất trồng hoa

QU Y

là:

180 . 500000 = 90000000 (đồng)

DẠ

KÈ

 HẾT 

Trang 24

FI CI A

PHẦN 5: HÌNH BÌNH HÀNH PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

ƠN

A. NHẬN BIẾT CÁC YẾU TỐ CỦA HÌNH BÌNH HÀNH:

*Hình hình hành ABCD có:

Các điểm A, B , C , D gọi là các đỉnh của hình bình hành ABCD . Các đoạn thẳng AB , BC , CD, DA gọi là các cạnh của hình bình hành ABCD .

QU Y

AC và BD gọi là hai đường chéo của hình bình hành ABCD . I. Định nghĩa:

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. A

KÈ

Ta có: AB // CD và AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

DẠ

*Chú ý: Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.

Trang 1

HH6.CHUYÊN ĐỀ 1 – MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN

FI CI A

Ta có: AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang Mà AD // BC . Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành. II. Tính chất:

+ Các góc đối bằng nhau

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

ƠN

Trong hình bình hành: + Các cạnh đối bằng nhau

QU Y

Nhận xét: Hình bình hành ABCD có: - Hai cạnh đối AB và CD , BC và AD song song với nhau;

- Hai cạnh đối bằng nhau: AB = CD; BC = AD - Hai góc ờ các đinh A và C bằng nhau; hai góc ở các đỉnh B và D bằng nhau.

KÈ

B. CÔNG THỨC TÍNH CHU VI VÀ DIỆN TÍCH CỦA HÌNH BÌNH HÀNH: I. Công thức tính chu vi hình bình hành:

DẠ

Muốn tính chu vi hình bình hành ta lấy tổng hai cạnh kề bất kỳ của hình bình hành rối nhân 2.

Trang 2

FI CI A

Chu vi hình bình hành: P = ( a + b ) .2 Với a , b là các cạnh của hình bình hành. P là chu vi của hình bình hành.

ƠN

II. Công thức tính diện tích hình bình hành:

Muốn tính diện tích hình bình hành ta lấy cạnh đáy nhân chiều cao.

QU Y

Diện tích hình bình hành: S = a.h

Với độ dài cạnh là a ; độ dài đường cao ứng với cạnh a là h ; S là diện tích của hình bình hành. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Nhận dạng hình bình hành. Vẽ hình bình hành..

Dạng 2: Nhận biết các độ dài bằng nhau trên hình bình hành..

KÈ

Dạng 3: Tính chu vi, diện tích hình thoi. Dạng 1: Nhận dạng hình bình hành. Vẽ hình bình hành. I.Phương pháp giải

DẠ

Hình bình hành ABCD có:

Trang 3

L FI CI A

- Hai cạnh đối AB và CD , BC và AD song song với nhau; - Hai cạnh đối bằng nhau: AB = CD; BC = AD

- Hai góc ở các đỉnh A và C bằng nhau; hai góc ở các đỉnh B và D bằng nhau.

- Để nhận dạng hay vẽ hình bình hành, ta thường dùng các nhận xét: Các cạnh đối bằng nhau, hai cạnh đối song song và bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

ƠN

II.Bài toán

Bài 1: Cho ba điểm A, B , C trên giấy kẻ ô vuông. Vẽ ba điểm D , E , F sao cho mỗi điểm đó cùng với ba điểm A, B , C là bốn đỉnh của một hình bình hành.

QU Y

Lời giải:

Qua điểm A , B , C lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BC , AC , AB , chúng cắt nhau

KÈ

tại D , E , F .

Có ba hình bình hành:

Hình bình hành ABCD (với AC là một đường chéo)

Hình bình hành ACBE (với AB là một đường chéo) Hình bình hành ABFC (với BC là một đường chéo)

DẠ

Bài 2: Hình vẽ dưới đây có bao nhiêu hình bình hành?

Trang 4

Lời giải: Có ba hình bình hành là: ABNM , MNCD và ABCD . Bài 3: Hình vẽ dưới đây có bao nhiêu hình bình hành?

ƠN

Lời giải:

FI CI A

QU Y

Có chín hình bình hành là: AHIM , HBNI , ABNM , MIKD , INCK , MNCD, AHKD, HBCK và

ABCD .

Bài 4: Hình vẽ dưới đây có bao nhiêu hình bình hành?

KÈ

Lời giải:

DẠ

Có ba hình bình hành là: ABNM , MNCD và ABCD .

Bài 5: Vẽ hình bình hành ABCD biết AB = 3cm, BC = 5cm và đường chéo AC = 7cm . a/ Dùng compa để kiểm tra xem các cạnh đối diện của hình bình hành có bằng nhau không? b/ Vẽ đường chéo BD cắt đường chéo AC tại I . So sánh BI và DI . Trang 5

Lời giải:

FI CI A

- Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm .

- Vẽ đường tròn tâm A bán kính 7 cm; vẽ đường tròn tâm B bán kính 5 cm; hai đường tròn cắt nhau tại

C . Nối B với C .

- Từ A kẻ đường thẳng song song với BC ; từ C kẻ đường thẳng song song với AB ; hai đường thẳng này cắt nhau tại D .

- ABCD là hình bình hành cần vẽ.

5cm

3cm

ƠN

7cm

A a/ Kết quả đo: BC = AD; AB = CD .

5cm

3cm

QU Y

7cm

b/ Kết quả đo: BI = DI .

Lời giải:

KÈ

Bài 6: Vẽ hình bình hành ABCD bất kỳ trên giấy.

DẠ

*Cách 1: Vẽ trên giấy kẻ ô vuông

Trang 6

L FI CI A OF

Chú ý: Khi vẽ các cặp đoạn thẳng AB; CD phải song song và BC ; AD phải song song nhờ vào các ô trên *Cách 2: Vẽ trên giấy có hai đường thẳng song song

QU Y

ƠN

giấy vẽ.

Chú ý: Phải vẽ được AB; CD song song và AB = CD . Dạng 2: Nhận biết các độ dài bằng nhau trên hình bình hành.

I.Phương pháp giải

- Hình bình hành ABCD có AB = CD; AD = BC .

II.Bài toán

KÈ

- Nếu AC cắt BD ở O thì OA = OC ; OB = OD .

Bài 1: Cho hình vẽ với ABCD là hình bình hành, AC cắt BD ở O và BE = DG .

Hãy kể tên các đoạn thẳng bằng nhau trên hình.

DẠ

Lời giải:

Trang 7

E O

D Ta có: ABCD là hình bình hành

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD . a/ Tìm các đoạn thẳng bằng nhau.

ƠN

Nên AB = CD; AD = BC ; OA = OC ; OB = OD . Ta có: OB = OD mà BE = DG nên OE = OG .

FI CI A

b/ Dùng ê ke vẽ các đường cao AH và CK . Đo và so sánh độ dài AH và CK . Lời giải:

QU Y

a/ Vì ABCD là hình bình hành.

KÈ

Nên AB = CD và AD = BC . b/ Kết quả đo: AH = CK .

DẠ

Bài 3: Cho ba điểm A, B , C trên giấy kẻ ô vuông. Vẽ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành.

Trang 8

L FI CI A ƠN

Để ABCD là một hình bình hành thì các cạnh đối phải song song.

Lời giải:

QU Y

Nên điểm D nằm trên đường thẳng song song với BC và AD = BC .

DẠ

KÈ

Nối các đoạn thẳng AB , BC , CD, DA ta được hình bình hành ABCD .

Trang 9

tên các đường cao đó. Lời giải:

ƠN

Ta có: AH ⊥ CD nên AH là đường cao của hình bình hành ABCD . Ta có: AK ⊥ BC nên AK là đường cao của hình bình hành ABCD .

QU Y

Bài 5: Xem các hình sau:

a/ Hãy cho biết hình 1, hình 2, hình 3 có bao nhiêu hình bình hành ?

Lời giải: a/ Ta có:

KÈ

b/ Tìm số hình bình hành của hình thứ 24?

Hình 1 có 3 hình bình hành (vì 3 = 1 + 2 )

DẠ

Hình 2 có 6 hình bình hành (vì 6 = 1 + 2 + 3 ) Hình 3 có 10 hình bình hành (vì 10 = 1 + 2 + 3 + 4 ) b/ Số hình bình hành của hình số 24 là : 1 + 2 + 3 + ... + 25 = (1 + 25).25 : 2 = 325 (hình bình hành) Trang 10

FI CI A

Bài 4: Vẽ hình bình hành ABCD . Dùng ê ke vẽ các đường cao kẻ từ A đến CD và từ A đến BC . Nêu

Bài 4: Cho hình vẽ biết MQ // AD . Chỉ ra các hình bình hành tạo thành từ các điểm M , N , P , Q, A, B ,

FI CI A

C, D .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Lời giải:

Trang 11

L FI CI A OF ƠN

Dạng 3: Tính chu vi và diện tích của hình bình hành. I.Phương pháp giải

- Dựa vào các công thức chu vi và diện tích của hình bình hành để tìm kết quả bài toán.

QU Y

II.Bài toán Bài 1: Một hình bình hành có độ dài hai cạnh đáy là 3cm và 4cm . Tính chu vi hình bình hành. Lời giải:

Chu vi hình bình hành là : ( 3 + 4 ) .2 = 14cm .

Bài 2: Một hình bình hành có đáy là 12cm và chiều cao là 7cm . Tính diện tích hình bình hành.

Lời giải:

KÈ

Diện tích hình bình hành là: 12.7 = 84cm 2 . Bài 3: Một khu rừng có dạng hình bình hành có chiều cao là 312m , độ dài đáy gấp đôi chiều cao. Hỏi diện tích của khu rừng đó là bao nhiêu?

Lời giải:

Độ dài đáy của khu rừng là:

DẠ

312.2 = 624 (m)

Diện tích của khu rừng là:

624.312 = 194688 m2. Trang 12

Bài 4: Một miếng đất hình bình hành có cạnh đáy dài 32 m; chiều cao bằng cạnh đáy. Trên miếng

FI CI A

đất người ta trồng rau, mỗi mét vuông đất thu hoạch được 2,5 kg rau. Hỏi trên miếng đất đó thu hoạch được tất cả là bao nhiêu kg rau? Lời giải: Theo đề bài ta có: Chiều cao của miếng đất bằng: 32 m.

Diện tích miếng đất là: 32.32 = 1024 m2 Số rau thu hoạch trên miếng đất là: 1024.2,5 = 2560 kg.

Bài 5: Hình bình hành ABCD có chu vi là 94cm, cạnh BC = 20 cm. Chiều cao AH = 18 cm.

ƠN

Khi đó, diện tích hình bình hành ABCD bằng bao nhiêu cm2? Lời giải:

18cm

QU Y

Cạnh đáy CD dài:

94: 2 – 20 = 27 cm

20cm

27.18 = 486 cm2.

Diện tích hình bình hành ABCD là:

KÈ

Bài 6: Cho một hình bình hành có diện tích bằng 900 cm2 biết nếu giảm chiều cao đi 6cm thì diện tích

DẠ

hình bình hành giảm đi 180 cm2. Tìm độ dài đáy, chiều cao của hình bình hành đó ?

Trang 13

Phân tích: Khi giảm chiều cao của hình bình hành đi 6cm thì khi đó phần giảm đi là 1 hình bình hành mới

FI CI A

có chiều cao bằng 6cm và cạnh đáy tương ứng chính bằng cạnh đáy của hình bình hành ban đầu. Vậy 180cm 2 = 6. cạnh đáy. Từ đó tính được độ dài đáy của hình bình hành ban đầu. Lời giải: Độ dài đáy của hình bình hành ban đầu là:

180: 6 = 30 (cm)

Độ dài chiều cao của hình bình hành ban đầu là:

900: 30 = 30 (cm)

Bài 7: Tính diện tích hình bình hành, biết tổng số đo độ dài đáy và và chiều cao là 24cm, độ dài đáy hơn chiều cao 4cm.

ƠN

Lời giải: Ta có: Chiều cao + độ dài đáy = 24cm (1) Mà, độ dài đáy - chiều cao = 4cm (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra: Chiều cao = ( 24 – 4 ) : 2 Chiều cao = 10cm

QU Y

Do đó, độ dài đáy là 24 –10 = 14 cm Diện tích hình bình hành là 10.14 = 140 cm2.

Bài 8: Một hình bình hành có diện tích bằng diện tích hình vuông cạnh 6cm, chiều cao bằng 4cm. Tính độ dài đáy của hình đó. Lời giải:

Diện tích hình vuông là 6.6 = 36 cm2.

KÈ

Diện tích hình bình hành bằng diện tích hình vuông = 36cm2. Độ dài đáy của hình bình hành là 36 : 4 = 9 cm. Bài 9: Có một miếng đất hình bình hành cạnh đáy bằng 32m, người ta mở rộng miếng đất bằng cách tăng độ dài cạnh đáy thêm 4m được miếng đất hình bình hành mới. Có diện tích hơn diện tích miếng đất ban

đầu là 56 m 2 . Hỏi diện tích của miếng đất ban đầu là bao nhiêu?

DẠ

Lời giải:

Trang 14

L FI CI A

Miếng đất sau khi mở rộng có diện tích hơn diện tích ban đầu là 56m2. Phần tăng thêm là diện tích một

hình bình hành có cạnh đáy là 4m và có chiều cao bằng chiều cao của miếng đất ban đầu. Chiều cao của miếng đất ban đầu bằng:

56: 4 = 14 (m) Diện tích của miếng đất ban đầu:

ƠN

32.14 = 488 (m2)

Bài 10: Tìm diện tích của hình H gồm hình bình hành ABCD và hình chữ nhật BMNC , biết hình chữ

QU Y

nhật BMNC có chu vi bằng 18cm và chiều dài MN gấp hai lần chiều rộng BM .

KÈ

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật BMNC bằng:

18: 2 = 9 (cm)

Coi chiều dài hình chữ nhật BMNC gồm 2 phần bằng nhau thì chiều rộng của nó gồm 1 phần như thế.

Tổng số phần bằng nhau là:

DẠ

2 + 1 = 3 (phần)

Chiều rộng của hình chữ nhật BMNC :

9: 3 = 3 (cm)

Chiều dài của hình chữ nhật BMNC : Trang 15

3.2 = 6 (cm)

FI CI A

Diện tích của hình chữ nhật BMNC :

6.3 = 18 (cm2) Diện tích hình bình hành ABCD :

6.2 = 12 (cm2) Diện tích hình H là:

12 + 18 = 30 (cm2)

Bài 11: Hình bình hành ABCD có cạnh đáy AB = 6 cm, cạnh bên BC = 4 cm với M ; N ; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; DC ; AD; BC . Hỏi:

ƠN

a) Hình trên có tất cả bao nhiêu hình bình hành?

b) Tổng chu vi của tất cả các hình bình hành trên bằng bao nhiêu?

QU Y

Lời giải:

a) Có tất cả 9 hình bình hành là:

AMOP; MBOP; OQCN ; POND; ABQP; PQCD; AMND; MBCN ; ABCD .

b) Các hình bình hành AMOP; MBOP; OQCN ; POND có chu vi bằng nhau, mỗi hình có cạnh đáy bằng:

Cạnh bên bằng:

KÈ

4: 2 = 2 (cm)

6: 2 = 3 (cm)

Chu vi của mỗi hình là:

( 3 + 2 ) .2 = 10 (cm)

Các hình bình hành ABQP và PQCD có chu vi bằng nhau, mỗi hình có cạnh đáy bằng 6 cm và cạnh bên

DẠ

bằng:

4: 2 = 2 (cm)

Chu vi của mỗi hình bằng:

( 6 + 2 ) .2 = 16 (cm) Trang 16

Các hình AMND và MBCN có chu vi bằng nhau mỗi hình có cạnh bên bằng 4 cm và cạnh đáy bằng:

FI CI A

6: 2 = 3 (cm) Chu vi của mỗi hình là:

( 3 + 4 ) .2 = 14 (cm) Hình bình hành ABCD có chu vi bằng:

( 6 + 4 ) .2 = 20 (cm)

Tổng chu vi các hình bình hành là:

10.4 + 16.2 + 14.2 + 20 = 120 (cm)

QU Y

ƠN

Bài 12: Tính diện tích hình chữ nhật AKCH biết hình bình hành ABCD có diện tích bằng 28 cm 2 .

Lời giải:

Chiều cao AH của hình bình hành ABCD là: 28 : 7 = 4( cm) Độ dài cạnh HC hình chữ nhật AKCH là: 7 − 2 = 5( cm)

 HẾT 

DẠ

KÈ

Diện tích của hình chữ nhật AKCH là: 5 × 4 = 20 ( cm 2 )

Trang 17

FI CI A

CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TỨ GIÁC TỔNG HỢP CÓ SỰ GIAO NHAU CÁC HÌNH PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Công thức tính chu vi ( P ) , diện tích ( S ) các hình đã học. 1.Hình chữ nhật:

ƠN

P = ( a + b ). 2 (a, b cùng đơn vị đo)

S = a. b

2. Hình vuông:

P = a.4

S = a. a

QU Y

3.Hình thoi:

S = m.n:2

KÈ

1 a. h 2

H. 2

H.1

DẠ

( m , n là độ dài hai đường chéo)

4. Hình tam giác:

Trang 1

HH6. CHUYÊN ĐỀ 1 - MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN

5. Hình thang:

S = a. h h

6. Hình bình hành

FI CI A

S = ( a + b ). h : 2

ƠN

PHẦN II.CÁC BÀI TOÁN

QU Y

Bài 1: Cho hình vẽ dưới đây, biết diện tích hình chữ nhật là 2400 cm 2 .Tính diện tích hình tam giác MCD

Lời giải:

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 25 + 15 = 40 ( cm ) Chiều dài hình chữ nhật là: 2400 : 40 = 60 ( cm )

Diện tích hình tam giác MCD là: 60.25 : 2 = 750 ( cm 2 )

KÈ

Bài 2: Cho hình vẽ sau đây biết diện tích hình tam giác MCD là 1500 cm 2 . a) Tìm diện tích hình chữ nhật ABCD ?

DẠ

b) Tìm diện tích tứ giác AMCB ?

Trang 2

25 cm

Lời giải: Chiều dài DC của hình chữ nhật ABCD .

ƠN

1500.2 : 25 = 120 ( cm ) Chiều rộng hình chữ nhật ABCD là:

25 + 15 = 40 ( cm )

120.40 = 4800 cm 2

(

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

)

Diện tích hình tứ giác AMCB là:

(

)

QU Y

(15 + 40).120 : 2 = 3300 cm 2

FI CI A

15 cm

KÈ

Bài 3: Cho hình vẽ với các số đo như sau

DẠ

Tính diện tích hình bình hành MNPQ vẽ trong hình chữ nhật ABCD . Biết AB = 28 cm ; CB = 18 cm ;

AM = CP =

1 4

AB ; BN = DQ =

1 3

BC ;

Lời giải:

Trang 3

Diện tích hình bình hành MNPQ bằng diện tích hình chữ nhật ABCD trừ đi tổng diện tích của bốn hình

FI CI A

tam giác MAQ , MBN , PCN và QDP . Ta có:

AM = GP = 28 : 4 = 7 ( cm ) BN = DQ = 18 : 3 = 6 ( cm )

AQ = 18 − 6 = 12 ( cm ) Diện tích hình tam giác MBN (hoặc tam giác QDP ) là:

(

)

ƠN

21.6 : 2 = 63 cm 2

MB = 28 − 7 = 21 ( cm )

Diện tích hình tam giác AMQ (hoặc tam giác PCN ) là:

7.12 : 2 = 42 ( cm 2 )

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 28.18 = 504 cm 2

(

)

QU Y

Diện tích hình bình hành MNPQ là: 504 − ( 42.2 + 63.2 ) = 294 cm 2

(

)

Bài 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng 22, 5 m và có diện tích bằng diện tích một cái sân hình

Lời giải:

22,5 m

KÈ

vuông cạnh 27 m . Tính chu vi thửa ruộng đó?

DẠ

Diện tích hình chữ nhật là: 27.27 = 729 ( m 2 ) Chiều dài hình chữ nhật là: 729 : 22,5 = 32, 4 (m) Chu vi hình chữ nhật là: (32, 4 + 22,5).2 = 109,8 (m)

Trang 4

Bài 5: Một nền nhà hình chữ nhật có nửa chu vi là 22, 5 m , chiều rộng 4,5 m . Người ta nát nền nhà bằng

FI CI A

loại gạch men hình vuông có cạnh 3dm . a) Tính diện tích nền nhà.

ƠN

b) Tìm số viên gạch cần dùng để nát nền nhà đó (Coi diện tích khe giữa các viên gạch không đáng kể)

Lời giải: a) Chiều dài hình chữ nhật là: 22,5 − 4, 5 = 18 (m)

Diện tích nền nhà là: 18.4 ,5 = 81 ( m 2 ) Đổi 3 dm = 0, 3 m

b) Diện tích viên gạch men là: 0 ,3.0 ,3 = 0 , 09 ( m 2 )

QU Y

Số viên gạch cần dùng để nát nền nhà đó là: 81: 0, 09 = 900 (viên) Bài 6: Cho hình thoi ABCD có diện tích là 216 cm 2 và chu vi là 60 cm . Đoạn thẳng MN chia hình thoi thành hai hình bình hành AMND và MBCN (như hình vẽ), biết độ dài cạnh MB hơn độ dài cạnh AM là 5cm . Tính:

a) Chu vi hình bình hành MBCN .

DẠ

KÈ

b) Diện tích hình bình hành AMND . A M

D N

Lời giải:

Cạnh AB của hình thoi có độ dài là: 60 : 4 = 15 ( cm ) Trang 5

Độ dài cạnh MB là: (15 + 5 ) : 2 = 10 ( cm )

FI CI A

Độ dài cạnh AM là: 15 − 10 = 5 ( cm ) a) Chu vi hình bình hành MBCN là: (10 + 15 ) .2 = 50 ( cm ) b) Có

AM 5 1 1 = = hay diện tích hình binh hành AMND bằng diện tích hình bình hành ABCD . AB 15 3 3

1 Diện tích hình bình hành AMND là: 216. = 72 ( cm 2 ) 3

2 đáy lớn và chiều cao bé hơn đáy bé 3

ƠN

Bài 7: Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn 120 m ; đáy bé bằng

(vì có cùng chiều cao hạ từ N xuống AB )

là 5 m . a) Tính diện tích thửa ruộng hình thang.

b) Cứ 200 m thu được 129 kg thóc. Tính xem trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam

QU Y

thóc?

Lời giải:

120 m

2 a) Đáy bé của thửa ruộng là: 120. = 80 ( m ) 3

KÈ

Chiều cao của thửa ruộng là: 80 − 5 = 75 ( m ) Diện tích thửa ruộng là: (120 + 80).75 : 2 = 7500 ( m )

b) Số thóc thu được trên thửa ruộng là: 7500 : 200.129 = 4837,5 ( kg )

DẠ

Bài 8:

Cho hình thang vuông ABCD có kích thước như trên hình vẽ trên. Tính: a) Diện tích hình thang ABCD.

b) Diện tích hình tam giác ABC. Trang 6

30cm

25cm

50cm

Lời giải: a) Diện tích hình thang ABCD 2

( 50 + 30 ) .25 : 2 = 1000 ( cm ) b) Diện tích hình tam giác ADC là: 25.50 : 2 = 625 cm 2

ƠN

( )

Diện tích hình tam giác ABC là: 1000 − 625 = 375 cm 2

)

(

FI CI A

Bài 9: Tính diện tích của một hình vuông có chu vi bằng chu vi của hình chữ nhật có chiều dài 12 cm , chiều rộng 6 cm . Lời giải:

QU Y

Chu vi hình chữ nhật là: (12 + 6).2 = 36 (cm) Cạnh của hình vuông là: 36 : 4 = 9 (cm)

Diện tích của hình vuông là: 9.9 = 81 (cm 2 )

Bài 10: Nhà bác Hoa có một miếng đất hình thang có trung bình cộng 2 đáy là 60 m , đường cao bằng

cạnh của một mảnh vườn hình vuông có chu vi 160 m . Người ta trồng ngô trên miếng đất này, mỗi mùa, cứ 3 hec-ta thì thu được 13,5 tấn ngô. Hỏi trên mảnh đất này, mỗi mùa người ta thu được tất cả bao nhiêu

Lời giải:

KÈ

ki-lô-gam ngô?

Tổng chiều dài hai cạnh đáy của hình thang là: 60 × 2 = 120 ( m )

Chiều cao của hình thang là: 160 : 4 = 40 ( m )

DẠ

Diện tích hình thang là: 120.40 : 2 = 2400 ( m 2 ) = 0 , 24 ( ha ) Số ki-lô-gam ngô thu được trong 1 mùa là: 0, 24.13,5 : 3 = 1, 08 (tấn) = 1080 kg

Trang 7

PQ = 4 cm . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . B

A (2)

(3) 4 cm P (1)

(4)

FI CI A

Bài 11: Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước tương ứng bằng nhau. Biết rằng

Lời giải:

ƠN

Vì các hình thang vuông PQMA , QMBC , QPNC , PNDA bằng nhau nên: MQ = NP = QP = 4 cm và CN = AD

Do đó CN = AD = 8 ( cm ) Diện tích hình thang vuông PQCN là:

( cm ) 2

QU Y

( CN + PQ ) .NP : 2 = ( 8 + 4 ) .4 : 2 = 24

Mặt khác AD = NP + QM = 4 + 4 = 8 ( cm )

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 24.4 = 96 cm 2

(

)

Bài 12: Tính chu vi và diện tích của một hình vuông, biết rằng nếu thêm vào một cạnh của hình vuông

5 cm và bớt ở cạnh kề nó 5 cm thì hình vuông trở thành 1 hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều

rộng. Lời giải:

DẠ

KÈ

Ta có hình vẽ mô tả hình chữ nhật như sau:

Trang 8

Hiệu chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là: 5 + 5 = 10 ( cm )

FI CI A

Coi chiều rộng là 1 phần thì chiều dài là 2 phần Hiệu số phần bằng nhau là: 2 − 1 = 1 (phần)

 1 phần ứng với 10 cm Chiều dài của hình chữ nhật là: 2.10 = 20 ( cm )

Cạnh của hình vuông lúc đầu là: 20 − 5 = 15 ( cm ) Chu vi hình vuông lúc đầu là: 15.4 = 60 ( cm ) Diện tích hình vuông lúc đầu là: 15.15 = 225 ( cm 2 )

ƠN

Bài 13: Một thửa ruộng hình thang vuông ABCD có tổng hai đáy là 72, 5 m . Người ta mở rộng thêm đáy bé AB là 7,5 m 7,5 m để thửa ruộng thành hình chữ nhật AECD , vì vậy diện tích tăng thêm 56, 25 m 2 . Tính diện tích thửa ruộng hình thang ban đầu.

QU Y

Lời giải:

Vì chiều cao phần diện tích tăng thêm cũng là chiều cao CE của tam giác CEB . Chiều cao CE của tam giác CEB là:

56, 25.2 : 7 ,5 = 15 ( m )

S ABCD =

KÈ

Diện tích thửa ruộng hình thang ban đầu là ( AB + CD ).EC 72,5.15 = = 543, 75 ( m 2 ) 2 2

Bài 14: Người ta xếp 4 hình chữ nhật bằng nhau có chiều rộng mỗi hình là 5 cm ; chiều dài là 8 cm để

DẠ

được một hình vuông ABCD và bên trong có là một hình vuông MNPQ (như hình vẽ). Tính diện tích hình vuông MNPQ .

Trang 9

L FI CI A OF

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật nhỏ là: 5.8 = 40 cm 2

(

)

Diện tích hình vuông ABCD là: 13.13 = 169 cm 2

(

ƠN

Cạnh hình vuông ABCD là 5 + 8 = 13 ( cm )

) Diện tích hình vuông MNPQ là : 169 − ( 40.4 ) = 9 ( cm )

Bài 15:

Cho hình chữ nhật ABCD và hình bình hành AMCN có các kích thước ghi trên hình vẽ. Tính diện tích

QU Y

hình chữ nhật ABCD và hình bình hành AMCN . A

8 cm

4 cm

10 cm

KÈ

Lời giải:

Nhìn hình ta có: AD = BC = 8 cm; BM = ND = 4 cm.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 10.8 = 80 cm 2

DẠ

(

10 cm

)

Cạnh NC của hình bình hành AMCN là:

4+10=14 ( cm ) Trang 10

4 cm

Diện tích hình bình hành AMCN là:

FI CI A

S AMCN = AD.NC = 8.14 = 112 ( cm 2 )

Bài 16: Người ta có thể thiết kế một mặt bàn hình bình hành bằng cách ghép bốn miếng gỗ hình tam giác đều lại với nhau (như hình vẽ). Biết rằng bốn miếng gỗ hình tam giác đều có diện tích bằng nhau, đồng thời chiếc bàn sau khi ghép khít bốn tam giác lại với nhau có độ dài một cạnh bằng 120 cm và chiều cao

ƠN

tương ứng là 80 cm . Hãy tính diện tích của mặt bàn và diện tích của một miếng gỗ đem ghép?

Lời giải:

Mặt bàn là hình bình hành có độ dài một cạnh bằng 120 cm và chiều cao tương ứng là 80 cm nên diện tích của mặt bàn là: Smb = 120 .80 = 9600 ( cm 2 ) .

QU Y

Diện tích của một miếng gỗ hình tam giác đều đem ghép thành chiếc bàn là: S∆ =

S mb 9600 = = 2400 ( cm 2 ) 4 4

Bài 17: Anh Nam muốn dùng giấy dán tường để dán trang trí một bức tường hình chữ nhật có chiều dài

6m và chiều rộng 4m . Ở giữa bức tường có một cửa sổ hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là

80cm và 150cm . Tính số tiền cần dùng để dán giấy bức tường trên, biết rằng giá trọn gói (bao gồm tiền

DẠ

Lời giải:

KÈ

giấy dán và tiền công) mỗi mét vuông giấy dán tường là 150.000 đồng.

Trang 11

80.150 = 6000 ( cm 2 ) = 0 , 6 ( m 2 ) . 2

FI CI A

Diện tích cửa sổ là: Scs =

Diện tích bức tường là: Sbt = 6 . 4 = 24 ( m 2 )

Diện tích giấy dán tường cần dùng là: S= Sbt -Scs = 24 − 0 , 6 = 23, 4 ( m 2 )

Số tiền cần dùng để dán giấy bức tường trên là: 23,4.150000 = 3510000 (ñoàng) . gạch lát nền là gạch hình vuông có cạnh dài 40cm . Hỏi:

Bài 18: Bác An lát nền cho một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 12m , chiều rộng 8m . Bác dùng loại

a) Bác An phải sử dụng bao nhiêu viên gạch (coi mạch vữa không đáng kể) để lát hết nền căn phòng.

ƠN

b) Số tiền bác An cần phải trả để lát nền cho căn phòng biết tiền gạch cho mỗi mét vuông là 150.000 đồng và tiền công thợ lát mỗi mét vuông nền nhà là 80.000 đồng.

QU Y

Lời giải:

a) Diện tích nền căn phòng là: S n = 12 .8 = 96 ( m 2 ) = 960.000 ( cm 2 ) .

Diện tích một viên gạch là: Svg = 40 . 40 = 1600 ( cm 2 ) . Số viên gạch cần dùng để lát hết nền căn phòng là: 960000 :1600 = 600 (viên).

KÈ

b) Tiền gạch dùng để lát hết nền căn phòng là: 150000 .96 = 14.400.000 (đồng). Tiền công thợ phải trả để lát hết nền căn phòng là: 80000 .96 = 7.680.000 (đồng). Số tiền bác An cần phải trả để lát nền cho căn phòng là: 14.400.000 + 7.680.000 = 22.080.000 (đồng).

Bài 19: Một chi tiết máy có dạng và kích thước như hình biết AHGF là hình chữ nhật, BCDE là hình

DẠ

thang cân. Hãy hãy tính chu vi và diện tích của chi tiết máy đó.

Trang 12

L FI CI A OF

Lời giải:

Chu vi của chi tiết máy đó là: 8 + 15 + 8 + (15 − 4 ) + 3.2 + 2 = 50 ( cm ) . Diện tích hình chữ nhật AFGH là S AFGH = 8.15 = 120 ( cm 2 ) .

( 4 + 2 ) .4 = 12 2

( cm ) . 2

Diện tích hình thang cân BCDE là S BCDE =

ƠN

Độ dài đường cao của hình thang cân BCDE là 8 − 4 = 4 ( cm ) .

Diện tích của chi tiết máy đó là S = S AFGH − S BCDE = 120 − 12 = 108 ( cm 2 ) . Vậy chi tiết máy có chu vi bằng 50 ( cm ) , diện tích bằng 108 ( cm 2 ) .

KÈ

QU Y

Bài 20: Khu vườn nhà anh Sơn có dạng như hình vẽ.

a) Anh Sơn muốn dùng lưới B40 để rào cả khu vườn thì cần dùng tất cả bao nhiêu mét lưới (theo chiều

dài) và anh phải trả bao nhiêu tiền để rào khu vườn, biết giá trọn gói (gồm tiền lưới và tiền công) cho mỗi

DẠ

mét lưới (theo chiều dài) là 150.000 đồng.

b) Trên phần đất ABCG , anh Sơn trồng rau xà lách, còn trên mảnh đất GDEF anh trồng rau cải xanh. Hỏi

sau khi anh Sơn thu hoạch hết toàn bộ rau xà lách và rau cải xanh trong khu vườn thì anh thu được bao

Trang 13

FI CI A

kilôgam rau xà lách là 5000 đồng, giá mỗi kilôgam rau cải xanh là 4500 đồng.

nhiêu tiền? Biết rằng cứ 1m 2 thì anh thu hoạch được 2kg rau xà lách và 3kg rau cải xanh. Giá mỗi

Lời giải: a) Số mét lưới B40 anh Sơn cần dùng để rào toàn bộ khu vườn là

12 + 16 + 18 + ( 30 − 16 ) + (12 + 18 ) + 30 = 120 ( m )

Số tiền anh Sơn phải trả để rào hết khu vườn là 120.150000 = 18.000.000 (đồng).

b) Diện tích phần đất ABCG anh Sơn dùng để trồng rau xà lách là: S ABCG = 12.16 = 192 ( m 2 ) Độ dài đoạn DE là 30 − 16 = 14 ( m ) .

ƠN

Độ dài đoạn EF là 12 + 18 = 30 ( m ) .

Diện tích phần đất GDEF anh Sơn dùng để trồng rau cải xanh là SGDEF = 14.30 = 420 ( m 2 ) Khối lượng rau xà lách thu được trên phần đất ABCG là 2.192 = 384 ( kg ) .

Khối lượng rau cải xanh thu được trên phần đất GDEF là 3 . 420 = 1260 ( kg ) . Số tiền anh Sơn thu được từ rau xà lách là 384 .5000 = 1.920.000 (đồng). Số tiền anh Sơn thu được từ rau cải xanh là 1260 . 4500 = 5.670.000 (đồng).

QU Y

Tổng số tiền anh Sơn thu được là 1.920.000 + 5.670.000 = 7.590.000 (đồng). Bài 21: Bác Hai có một thửa ruộng có dạng như hình bên (độ dài đoạn thẳng CD bằng 3 mét). Bác Hai trồng lúa trên toàn bộ thửa ruộng đó. Nếu trên mỗi mét vuông bác Hai thu được 0 ,8 kg thóc thì số tiền bác

DẠ

KÈ

Hai thu được là bao nhiêu? Biết mỗi tạ thóc có giá 700.000 đồng.

Trang 14

Độ dài đoạn thẳng GD là GD = EF = 45 ( m ) . Độ dài đoạn thẳng GC là GC = 45 − 3 = 42 ( m ) . Diện tích phần thửa ruộng hình thang ABCG là S ABCG =

FI CI A

Lời giải:

( 20 + 42 ) .25 = 775 2

(m ) . 2

Diện tích phần thửa ruộng hình bình hành GDEF là SGDEF = 45.26 = 1170 ( m 2 )

Diện tích thửa ruộng là S = S ABCG + SGDEF = 775 + 1170 = 1945 ( m 2 ) .

Số kilôgam thóc bác Hai thu hoạch được trên thửa ruộng là 1945 .0 ,8 = 1556 ( kg ) .

ƠN

Đổi 1556 kg =15,56 tạ Số tiền bác Hai thu được là 15,56 × 700.000 =10.892.000 (đồng).

Bài 22: Nhà bác Sơn có một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 40 mét và chiều dài gấp đôi chiều

rộng. Trong khu vườn, bác Sơn làm một lối đi để tiện chăm sóc và tưới cho cây với kích thước được cho như hình vẽ. Bác dùng lưới B40 rào xung quanh khu vườn. Chi phí để làm cho mỗi mét hàng rào là 150.000 đồng và cho mỗi mét vuông làm lối đi là 350.000 đồng (bao gồm cả tiền công thợ và tiền vật

Lời giải:

KÈ

QU Y

liệu). Hỏi bác Sơn phải trả bao nhiêu tiền để làm hàng rào và làm lối đi cho khu vườn?

Chiều rộng khu vườn là 40 : 2 = 20 ( m ) .

DẠ

Chiều dài lưới B40 dùng để rào khu vườn là ( 40 + 20 ) .2 = 120 ( m ) . Diện tích của lối đi là S

loái ñi

= 2.20 = 40 m 2 .

( )

Chi phí để làm hàng rào là 120 × 150.000 = 18.000.000 (đồng). Chi phí để làm lối đi là 40 × 350.000 = 14.000.000 (đồng). Trang 15

FI CI A

8.000.000 + 14.000.000 = 32.000.000 (đồng).

Số tiền bác Sơn phải trả để làm hàng rào và làm lối đi cho khu vườn là:

Bài 23: Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu giảm chiều dài đi 3m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích được tăng thêm 75m 2 . Tính các cạnh của khu đất. Lời giải:

Gọi khu đất hình chữ nhật là hình chữ nhật ABCD . Giảm chiều dài đi 3m tức là vẽ điểm H nằm trên cạnh AB sao cho HB = 3m và tăng chiều rộng thêm 3m tức là trên cạnh AD kéo dài vẽ điểm G sao cho

ƠN

DG = 3m .

Vẽ các hình chữ nhật HBCE và DGFE . Khi đó EC = EF = 3m . Vẽ hình vuông ELCF .

KÈ

QU Y

Vẽ hình chữ nhật DGIK sao cho DK = BC .

Ta thấy diện tích tăng thêm là diện tích của hình chữ nhật EFIK có chiều rộng là IK = DG = 3m . Do đó, chiều dài KE của hình chữ nhật đó là KE = 75:3 = 25m .

Chiều dài này khi tăng thêm 3m là KE + EC = KC  KC = 25 + 3 = 28m .

DẠ

Do đó chiều dài hình chữ nhật ban đầu là DC = DK + KC = BC + KC = 3BC  KC = 2 BC . Chiều dài KC gấp đôi chiều rộng ban đầu BC của khu đất.

Chiều rộng ban đầu của khu đất là BC = KC : 2 = 28 : 2 = 14 ( m ) .

Trang 16

Chiều dài ban đầu của khu đất là AB = BC .3 = 14.3 = 42 ( m ) .

FI CI A

Bài 24: Anh Tâm làm 4 khung cửa sắt có kích thước và hình dạng như hình bên. Khung sắt bên ngoài là hình chữ nhật có chiều dài 250 cm , chiều rộng là 120cm . Phía trong là các hình thoi có độ dài cạnh

ƠN

60 cm . Hỏi anh Tâm cần dùng bao nhiêu mét dây thép để làm được bốn khung cửa như vậy?

Lời giải:

QU Y

Số mét thép dùng để làm khung sắt bên ngoài là ( 250 + 120 ) .2 = 740 (cm) = 7,4 (m) . Chu vi của một hình thoi là 4.60=240 (cm)

Số mét thép dùng để làm 4 hình thoi là 4.240 = 960 (cm) = 9,6 (m) Số mét thép anh Tâm dùng để làm một khung cửa là 7, 4 + 9,6 + 2,5 + 1,2 = 20,7 (m)

Số mét thép anh Tâm dùng để làm được bốn khung cửa là 20,7.4 = 82,8 (m) . 2 2 Bài 25: Cho hình thang ABCD (hình vẽ) có SABD = 10 cm ; SCBD = 20 cm . Tính diện tích các tam giác

DẠ

KÈ

ABC và ACD .

Trang 17

FI CI A

Từ A , B lần lượt hạ các đường cao AH , BK tương ứng xuống cạnh đáy DC .

Lời giải:

Từ D , C lần lượt hạ các đường cao DE , CF tương ứng xuống cạnh đáy AB .

Khi đó, ta có AH = BK = DE = CF (bằng chiều cao hình thang ABCD ).

ƠN

Xét hai tam giác ABD và tam giác ABC có chung đáy AB , chiều cao tương ứng đều bằng chiều cao hình thang nên S ABC = SABD .

Ta suy ra SABC = 10 cm 2 .

Xét hai tam giác ACD và tam giác BCD có chung đáy CD , chiều cao tương ứng đều bằng chiều cao hình thang nên SACD = SBCD . Ta suy ra SACD = 20 cm 2 .

)

QU Y

(

Bài 26: Cho hình thang ABCD có AB // CD và điểm N nằm trên cạnh CD (như hình vẽ). Biết diện tích

KÈ

tam giác BND bằng 18 cm 2 , diện tích tam giác BOC bằng 7cm 2 . Tính diện tích tứ giác AOND .

DẠ

Lời giải:

Từ A, B lần lượt hạ các đường cao AH , BK tương ứng xuống cạnh đáy DC .

Trang 18

L FI CI A OF

Ta có AH = BK (bằng chiều cao hình thang ABCD ).

Khi đó, ta có: S AND = S BND (vì cùng chung đáy ND và có chiều cao bằng chiều cao hình thang).

ƠN

S ANC = S BNC (vì cùng chung đáy NC và có chiều cao bằng chiều cao hình thang).  S ANC − SONC = S BNC − SONC

 S AON = S BOC

Khi đó diện tích của tứ giác AOND là S AOND = S AND + S AON = S AND + S BOC  S AOND = 18 + 7 = 25 ( cm 2 ) .

QU Y

Vậy S AOND = 25 ( cm 2 ) .

Bài 27: Một miếng bìa hình bình hành có chu vi là 2m . Nếu bớt một cạnh đi 20 cm thì ta được miếng bìa hình thoi có diện tích 6 dm 2 . Tìm diện tích miếng bìa hình bình hành đó.

KÈ

Lời giải:

Đổi 2 m = 20 dm ; 20 cm = 2 dm .

DẠ

Khi bớt một cạnh của hình bình hành đi 2 dm thì chu vi hình bình hành giảm đi 2.2 = 4 (dm) trở thành chu vi của hình thoi. Chu vi của hình thoi là 20 − 4 = 16 (dm) .

Cạnh của hình thoi là DN = 20 : 4 = 4 (dm) . Trang 19

AH cũng là chiều cao của hình bình hành ABCD .

FI CI A

Khi đó chiều cao AH của hình thoi AMND là 6 : 4 = 1,5 (dm) .

Độ dài cạnh của hình bình hành ABCD là DC = DN + NC = 4 + 2 = 6 (dm) . Vậy diện tích miếng bìa hình hình hành ABCD là S = 1, 5.6 = 9 ( dm 2 )

Bài 28: Cô Trâm trồng hoa trên một thửa ruộng hình thang vuông có đáy lớn bằng 160 m và chiều cao bằng 30m . Nếu mở rộng thửa ruộng thành mảnh đất hình chữ nhật mà vẫn giữ nguyên đáy lớn thì diện

trung bình mỗi hec-ta hoa bán được 140.000.000 đồng.

ƠN

Lời giải:

tích thửa ruộng tăng thêm 600 m 2 . Hỏi cô Trâm bán được bao nhiêu tiền hoa trên thửa ruộng đó biết rằng

Ta có AD = CM nên AD chính là độ dài đường cao của tam giác BCM hạ từ đỉnh C . 1 1 BM .CM = BM . AD suy ra độ dài cạnh đáy BM là 2 2

BM =

QU Y

Từ công thức S BCM =

2.S BCM 2.600 = = 40 (m) . AD 30

Độ dài đáy bé AB là 160 − 40 = 120 (m) .

Diện tích của hình thang ABCD là S =

(120 + 160 ) .30 = 4200 (m 2 ) . 2

KÈ

Đổi 4200 m 2 = 0, 42 ha

Số tiền cô Trâm thu được trên thửa ruộng đó là 0, 42 ×140.000.000 = 58.800.000 (đồng). Bài 29: Một hình chữ nhật có chu vi 54 cm . Nếu tăng chiều rộng thêm 2, 5 cm và giảm chiều dài

2, 5 cm thì được một hình vuông. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

DẠ

Lời giải:

Trang 20

L FI CI A OF

Nửa chu vi hình chữ nhật là 54 : 2 = 27 (cm) .

ƠN

Khi tăng chiều rộng thêm 2,5 cm và giảm chiều dài 2,5 cm thì được hình vuông nên chiều dài hơn chiều rộng là 2,5 + 2,5 = 5 (cm) .

Do đó, chiều dài hình chữ nhật là ( 27 + 5) : 2 = 16 (cm) .

Chiều rộng hình chữ nhật là 27 − 16 = 11 (cm) .

Vậy diện tích hình chữ nhật là 16.11 = 176 (cm 2 ) .

Bài 30: Một hình chữ nhật nếu tăng chiều rộng để bằng chiều dài của nó thì diện tích tăng thêm 20 cm 2 ,

QU Y

khi giảm chiều dài cho bằng chiều rộng thì diện tích giảm đi 16 cm 2 . Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.

DẠ

KÈ

Lời giải:

Trang 21

Khi tăng chiều rộng bằng chiều dài, diện tích tăng thêm 20 cm 2 chính là diện tích của hình chữ nhật

FI CI A

DCFE .

Khi giảm chiều dài bằng chiều rộng, diện tích giảm đi 16 cm 2 chính là diện tích của hình chữ nhật GBCH Vẽ hình chữ nhật DHIE .

Ta có HC = HI (cùng bằng hiệu chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu). Hiệu của diện tích tăng lên và diện tích giảm đi chính bằng diện tích của hình vuông HCFI . Hiệu đó là 20 − 16 = 4 (cm 2 ) .

Do 4 = 2.2 nên độ dài cạnh HC là 2cm . Cạnh DH hay chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là 16 : 2 = 8 (cm) . Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là 8 + 2 = 10 (cm) .

ƠN

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 8.10 = 80 (cm 2 ) .

DẠ

KÈ

QU Y

 HẾT 

Trang 22

FI CI A

CHỦ ĐỀ 1: HÌNH CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG – HÌNH CÓ TÂM ĐỐI XỨNG

HH6. CHUYÊN ĐỀ 2 - HÌNH HỌC TRỰC QUAN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. HÌNH CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG a) Khái niệm

QU Y

ƠN

Ví dụ: Các hình a , b , c là các hình có trục đối xứng là đường thẳng d .

b) Nhận xét

- Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng của hình tròn.

- Mỗi đường chéo là một trục đối xứng của hình thoi. - Mỗi đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện là một trục đối xứng của hình chữ nhật.

KÈ

2. HÌNH CÓ TÂM ĐỐI XỨNG a) Khái niệm

DẠ

- Mỗi hình có một điểm O , mà khi quay hình đó xung quanh điểm O đúng một nửa vòng thì hình thu được “chồng khít” với chính nó ở vị trí ban đầu (trước khi quay). Những hình như thế gọi là hình có tâm đối xứng và điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình đó. Ví dụ: Hình tròn tâm O hay chong chóng hai cánh là các hình có tâm đối xứng

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 1

L FI CI A

b) Nhận xét - Tâm đối xứng của hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật là giao điểm hai đường chéo. - Tâm đối xứng của hình lục giác đều là giao điểm của các đường chéo chính.

ƠN

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Xác định trục đối xứng, tâm đối xứng của hình

I. Phương pháp giải

- Để xác định trục đối xứng của một hình, ta xác định một đường thẳng d chia hình thành hai phần mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng d thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau.

QU Y

- Để xác định tâm đối xứng của một hình, ta xác định một điểm O , mà khi quay hình đó xung quanh điểm O đúng một nửa vòng thì hình thu được “chồng khít” với chính nó ở vị trí ban đầu (trước khi quay). II. Bài toán

Bài 1: Mỗi hình sau: hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều, hình tròn, có bao nhiêu trục đối xứng?

Lời giải:

DẠ

KÈ

+) Hình tam giác đều có 3 trục đối xứng:

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 2

FI CI A

+) Hình vuông có 4 trục đối xứng:

QU Y

ƠN

+) Hình lục giác đều có 6 trục đối xứng là:

KÈ

+) Hình tròn có vô số trục đối xứng là: đường thẳng đi qua tâm

Bài 2: Trong các chữ cái và chữ số dưới đây, em hãy liệt kê:

DẠ

a) Chữ cái và chữ số có đúng một trục đối xứng; b) Chữ cái và chữ số có hai trục đối xứng.

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 3

L FI CI A OF

Lời giải:

ƠN

a) Các chữ cái và chữ số có đúng một trục đối xứng là: A , B , M , Y , 3 .

QU Y

b) Các chữ cái và chữ số có hai trục đối xứng là: H , X , 0 , 8

Lời giải:

KÈ

Bài 3: Trong các hình sau, hình nào có trục đối xứng?

DẠ

Hình có trục đối xứng là: a, b, c, d , e, g , i.

Bài 4: Quan sát các hình dưới đây:

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 4

L FI CI A OF

b) Có bao nhiêu hình có đúng một trục đối xứng?

ƠN

a) Có bao nhiêu hình có tâm đối xứng?

c) Có bao nhiêu hình có cả tâm đối xứng và trục đối xứng?

d) Có bao nhiêu hình không có cả tâm đối xứng lẫn trục đối xứng?

Lời giải:

QU Y

a) Có 2 hình có tâm đối xứng là:

DẠ

KÈ

b) Có 3 hình có đúng 1 trục đối xứng là:

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 5

ƠN

d) Có 1 hình không có tâm đối xứng và trục đối xứng là:

FI CI A

c) Có 1 hình có cả tâm đối xứng và trục đối xứng là:

QU Y

Bài 5: Trong các biển báo giao thông sau, biển báo nào có tâm đối xứng? Chỉ ra tâm đối xứng (nếu có) của các hình đó.

b) Cấm đi ngược chiểu

c) Cấm đỗ xe

d) Cấm dừng và đỗ xe

a) Đường cấm

KÈ

Lời giải:

Biển báo có tâm đối xứng là: a); b); d )

DẠ

+) Tâm đối xứng của các hình đó là:

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 6

L FI CI A

b) Cấm đi ngược chiểu

d) Cấm dừng và đỗ xe

a) Đường cấm

Lời giải:

ƠN

Bài 6: Trong các hình hoa văn sau, hình hoa văn nào có tâm đối xứng?

Cả 3 hình hoa văn trên đều có tâm đối xứng.

QU Y

+) Tâm đối xứng của các hình đó là:

DẠ

KÈ

Bài 7: Trong các hình dưới đây, hình nào dưới đây có tâm đối xứng? Em hãy xác định tâm đối xứng (nếu có) của chúng.

TÀI LIỆU NHÓM a) :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 7

Lời giải:

FI CI A

Các hình có tâm đối xứng là hình a, c.

ƠN

Bài 8: Hình nào sau đây có đường nét đứt là trục đối xứng?

QU Y

Lời giải:

Các hình a, b, d có đường nét đứt là trục đối xứng.

DẠ

KÈ

Bài 9: Mỗi hình sau đây có bao nhiêu trục đối xứng?

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 8

L FI CI A

ƠN

Số trục đối xứng của mỗi hình được thể hiện trong bảng sau:

Lời giải:

QU Y

Bài 10: Hãy vẽ một trục đối xứng của mỗi hình sau (nếu có)

Lời giải:

DẠ

KÈ

Một trục đối xứng của mỗi hình được chỉ ra trong các hình vẽ dưới đây

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 9

L FI CI A OF

ƠN

Bài 11: Tìm tâm đối xứng của mỗi hình sau (nếu có):

QU Y

Lời giải:

KÈ

Tâm đối xứng được chỉ ra như hình vẽ

DẠ

Bài 12: Dưới đây là hình ảnh một di tích ở Hà Nội. Em hãy tìm tính đối xứng và cho biết tên di tích này.

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 10

L FI CI A OF

Lời giải:

Hình ảnh một di tích này có trục đối xứng. Đây là Khuê Văn Các, Hà Nội

ƠN

Bài 13: Trong các hình sau hình nào có trục đối xứng, hình nào có tâm đối xứng? Xác định các trục đối xứng và tâm đối xứng (nếu có) của các hình đó.

QU Y

Lời giải: Hình b có trục đối xứng.

KÈ

Hình a có tâm đối xứng.

DẠ

Bài 14. Vẽ trục đối xứng của các hình dưới dây

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 11

ƠN

Bài 15. Vẽ trục đối xứng của hai biển báo sau dưới dây

FI CI A

Lời giải

QU Y

Bài 16: Bàn cờ vua gồm 8 hàng (đánh số từ 1 đến 8 ) và 8 cột (đánh các chữ cái từ A đến H ) a) Tìm trục đối xứng và tâm đối xứng của bàn cờ vua. b) Mã trắng nằm ở B1 , hãy tìm quân cờ đối xứng với nó qua tâm đối xứng.

DẠ

KÈ

c) Vua trắng nằm ở ô E1 , hãy tìm quân cờ đối xứng với nó qua trục đối xứng ngang (đường thẳng giữa hàng 4 và hàng 5 )

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 12

Lời giải:

FI CI A

a) Bàn cờ vua có 4 trục đối xứng gồm: hai đường chéo của bàn cờ, trục ngang là đường thẳng giữa hàng 4 và 5 , trục dọc là đường thẳng giữa cột D và cột E . Tâm đối xứng của bàn cờ là giao của 4 trục đối xứng b) Mã trắng ở ô B1 , có hình đối xứng qua tâm là mã đen ở ô G8

QU Y

ƠN

c) Vua trắng ở ô E1 , có hình đối xứng qua trục ngang (giữa hàng 4 và hàng 5) là vua đen ở ô E 8

Dạng 2. Vẽ hình có tính đối xứng I. Phương pháp giải

KÈ

- Để vẽ điểm A ' đối xứng với điểm A qua O ta thực hiện như sau: Dựng đường tròn tâm O bán kính OA , đường tròn này cắt lại đường thẳng OA tại điểm A ' khác A . Khi đó điểm A ' là điểm đối xứng với điểm A qua O .

DẠ

- Để vẽ được 2 hình đối xứng với nhau qua 1 điểm O , ta sẽ chọn một số điểm đặc biệt thuộc hình đó, lấy đối xứng qua O rồi nối các điểm đó lại để được hình mới đối xứng với hình đã cho qua tâm O .

- Để vẽ được hình đối xứng qua trục d thì đường thẳng d cần chia hình thành hai phần, mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng d thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau.

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 13

FI CI A

Bài 1. Em hãy vẽ thêm vào mỗi hình dưới đây để được các hình có d là trục đối xứng.

II. Bài toán

ƠN

Lời giải

DẠ

Lời giải

KÈ

QU Y

Bài 2. Em hãy hoàn thiện các bức tranh dưới đây để được các hình có trục đối xứng d .

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 14

FI CI A

Bài 3. Em hãy hoàn thiện các bức tranh dưới đây để được các hình có tâm đối xứng O

ƠN

Lời giải

QU Y

Bài 4. Em hãy hoàn thiện các bức tranh dưới đây để được các hình có tâm đối xứng O và trục đối xứng d

DẠ

KÈ

Lời giải

Bài 5. Vẽ lại các hình bên vào giấy kẻ ô vuông rồi vẽ thêm để được một hình nhận điểm O làm tâm đối xứng.

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 15

L FI CI A

QU Y

ƠN

Lời giải

DẠ

KÈ

Bài 6. Vẽ lại hình bên vào giấy kẻ ô vuông rồi vẽ thêm để được một hình nhận điểm O làm tâm đối xứng.

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 16

FI CI A

Lời giải

ƠN

Bài 7. Em hãy vẽ thêm vào mỗi hình dưới đây để được các hình có điểm O là tâm đối xứng.

QU Y

KÈ

Lời giải

DẠ

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 17

FI CI A

Bài 8. Em hãy hoàn thiện hình sau để được một hình nhận điểm O làm tâm đối xứng đồng thời hình đó có trục đối xứng.

QU Y

ƠN

Lời giải

Bài 9. Hình gấp khúc dưới đây có độ dài bằng 4 đơn vị. Em hãy vẽ thêm vào hình đó: a) Một đường gấp khúc có độ dài bằng 6 đơn vị để được một hình có tâm đối xứng nhưng không có trục đối xứng. b) Một đường gấp khúc có độ dài bằng 8 đơn vị để được một hình có tâm đối xứng và có 4 trục đối xứng.

c) Một đường gấp khúc có độ dài ngắn nhất để được một hình có tâm đối xứng.

DẠ

KÈ

d) Một đường gấp khúc có độ dài ngắn nhất để được một hình có tâm đối xứng và có trục đối xứng.

Lời giải

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 18

FI CI A

ƠN

DẠ

Lời giải

KÈ

QU Y

Bài 10. Hình gấp khúc dưới đây gồm 4 đoạn thẳng có độ dài bằng 1cm . Em hãy vẽ thêm một đường gấp khúc có độ dài bằng 8cm để được một hình có cả tâm đối xứng và trục đối xứng.

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

 HẾT 

Trang 19

FI CI A

CHỦ ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG TỰ NHIÊN

HH6. CHUYÊN ĐỀ 2 - HÌNH HỌC TRỰC QUAN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. HÌNH CÓ TÍNH ĐỐI XỨNG

- Hình có trục đối xứng còn được gọi là hình đối xứng trục. Hình có tâm đối xứng còn được gọi là hình đối xứng tâm. Hình có trục đối xứng hoặc có tâm đối xứng hoặc vừa có trục đối xứng, vừa có tâm đối xứng được gọi là hình có tính đối xứng.

ƠN

- Có đường thẳng d chia hình thành hai phần, mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng d thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. Những hình như thế gọi là hình có trục đối xứng và đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình đó. - Mỗi hình có một điểm O , mà khi quay hình đó xung quanh điểm O đúng một nửa vòng thì hình thu được “chồng khít” với chính nó ở vị trí ban đầu (trước khi quay). Những hình như thế gọi là hình có tâm đối xứng và điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình đó.

- Đoạn thẳng có 1 trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Tâm đối xứng của đoạn thẳng chính là trung điểm của nó.

QU Y

- Hình thoi có 2 trục đối xứng chính là hai đường chéo của nó. Tâm đối xứng của hình thoi là giao điểm của hai đường chéo. - Hình vuông có 4 trục đối xứng, đó là hai đường chéo và mỗi đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện của hình vuông. Tâm đối xứng của hình vuông là giao điểm của hai đường chéo. - Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện là một trục đối xứng của hình chữ nhật. Tâm đối xứng của hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo.

- Hình bình hành không có trục đối xứng. Tâm đối xứng của nó là giao điểm của hai đường chéo.

KÈ

- Hình tròn có vô số trục đối xứng và mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng của hình tròn. Tâm của hình tròn chính là tâm đối xứng của hình tròn đó. - Hình thang cân có 1 trục đối xứng và trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân. Hình thang cân không có tâm đối xứng.

DẠ

- Tam giác đều có 3 trục đối xứng. Mỗi trục đối xứng là đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và trung điểm của cạnh đối diện trong tam giác đó. Tam giác đều không có tâm đối xứng. - Hình lục giác đều có 6 trục đối xứng và trục đối xứng là các đường thẳng đi qua một cặp đỉnh đối diện và các đường thẳng đi qua các trung điểm của một cặp cạnh đối diện. Tâm đối xứng của hình lục giác đều là giao điểm của các đường chéo chính. Trang 1

L FI CI A OF ƠN NH QU Y M KÈ Y DẠ

2. VAI TRÒ CỦA TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG THẾ GIỚI TỰ NHIÊN

- Từ xưa đến nay, những hình có tính đối xứng được coi là cân đối, hài hòa. Con người đã học hỏi và áp dụng tính đối xứng trong thế giới tự nhiên, cũng như trong khoa học kĩ thuật và đời sống. Trang 2

- Trong tự nhiên, tính đối xứng được thể hiện rất đa dạng, phong phú. Ví dụ: mặt trời, cầu vồng, con công, con bướm, chiếc lá, ...

FI CI A

- Trong nghệ thuật, trang trí hầu hết thiết kế về kiến trúc, đồ họa hay một tác phẩm nghệ thuật đều phải thực hiện tốt yếu tố cân bằng. Vì thế, bố cục đối xứng thường được sử dụng trong các tác phẩm nghệ thuật hay kiến trúc. - Trong thiết kế, công nghệ, chúng ta cũng dễ dàng nhận ra các bố cục có tính đối xứng. Các công trình hay máy móc muốn tồn tại, ổn định, bền vững và có được vẻ đẹp, bắt mắt thì phải chú trọng đến tính cân xứng.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Xác định tính đối xứng của một hình trong tự nhiên

ƠN

I. Phương pháp giải

- Đối xứng là công cụ chủ yếu để kết nối giữa toán học với khoa học và nghệ thuật.

- Để xác định tính đối xứng của một hình, ta cần xác định trục đối xứng hoặc tâm đối xứng của hình đó.

- Để xác định trục đối xứng của một hình, ta xác định một đường thẳng d chia hình thành hai phần mà nếu “gấp” hình theo đường thẳng d thì hai phần đó “chồng khít” lên nhau. - Để xác định tâm đối xứng của một hình, ta xác định một điểm O , mà khi quay hình đó xung quanh điểm O đúng một nửa vòng thì hình thu được “chồng khít” với chính nó ở vị trí ban đầu (trước khi quay).

QU Y

II. Bài toán

Bài 1: Trong bảng các chữ cái in hoa, hãy chỉ ra các chữ cái có đối xứng trục thẳng đứng, các chữ cái có đối xứng trục nằm ngang, các chữ cái có hai trục đối xứng, các chữ cái có tâm đối xứng. Xác định các trục đối xứng, tâm đối xứng của nó. Lời giải:

DẠ

KÈ

- Các chữ cái có đối xứng trục thẳng đứng là: A, Ă, Â, W, T, Y, U, I, O, Ô, H, X, V, M.

Trang 3

FI CI A

- Các chữ cái có đối xứng trục nằm ngang là: E, I, O, D, H, X, C, B, K.

- Các chữ cái có hai trục đối xứng là: I, O, H, X.

ƠN

- Các chữ cái có tâm đối xứng là: I, O, H, X, N, Z, S.

DẠ

KÈ

QU Y

Bài 2: Ứng dụng tính đối xứng vào các loài động vật trong thiên nhiên, người ta chia thành các loại: đối xứng hai bên (đối xứng song phương) và đối xứng tỏa tròn (đối xứng xuyên tâm), một số ít loài không có tính đối xứng. Hãy sắp xếp các loài vật sau vào các kiểu đối xứng.

Trang 4

L FI CI A OF ƠN NH QU Y

Lời giải:

- Các động vật đối xứng hai bên là: hổ, rùa, châu chấu, chim, cá.

- Các động vật đối xứng tỏa tròn là: thủy tức, sao biển, san hô, sứa, hải quỳ.

Nhận xét:

KÈ

- Các động vật không đối xứng là: bọt biển, placozoa.

- Các động vật có biểu hiện đối xứng song phương (đối xứng hai bên) thường có vùng đầu và đuôi (trước

và sau), trên và dưới (lưng và bụng) và hai bên trái và phải. Hầu hết đều có một bộ não nằm ở đầu, là một

DẠ

phần của hệ thần kinh phát triển tốt và thậm chí có thể có cả bên phải và bên trái. Ngoài việc có một hệ thống thần kinh phát triển hơn, động vật đối xứng hai bên có thể di chuyển nhanh hơn so với động vật có cơ thể khác. Cơ thể đối xứng hai bên này giúp động vật tìm kiếm thức ăn hoặc thoát khỏi những kẻ săn mồi tốt hơn. Trang 5

FI CI A

tay và chân ở cùng một vị trí trên mỗi bên của cơ thể khiến chúng ta đối xứng song phương.

- Nhiều loài động vật, kể cả con người, thể hiện tính đối xứng hai bên. Ví dụ, việc chúng ta có mắt, cánh

QU Y

ƠN

Bài 3: Trong hội họa, các nhà thiết kế cũng đã ứng dụng tính đối xứng để thiết kế các hoa văn trang trí, để thể hiện sự cân đối, hài hòa, mang tính thẩm mĩ. Xác định trục đối xứng và tâm đối xứng của các hình sau.

DẠ

KÈ

Lời giải:

Trang 6

L FI CI A OF ƠN NH QU Y

DẠ

KÈ

Bài 4: Tính đối xứng tạo nên sự cân đối, hài hòa giữa các hình. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng có thể gấp hình để tìm trục đối xứng của nó. Em hãy quan sát và vẽ phác thảo trục đối xứng của các hình dưới đây.

Trang 7

DẠ

Lời giải:

Trang 8

KÈ QU Y ƠN

FI CI A

Trang 9

DẠ M

KÈ QU Y ƠN

FI CI A

Lời giải: - Hình có tâm đối xứng là: hình 1, hình 4.

ƠN

FI CI A

Bài 5: Chúng ta có thể thấy tính đối xứng cũng biểu hiện trên các biển báo giao thông. Theo em, hình nào sau đây có tâm đối xứng?, hình nào có trục đối xứng? Em có biết ý nghĩa của từng hình?

QU Y

- Hình có trục đối xứng là: hình 1, hình 3, hình 4.

DẠ

KÈ

- Ý nghĩa:

Dạng 2: Vẽ hình có tính đối xứng và ứng dụng tính đối xứng trong tự nhiên. Trang 10

I. Phương pháp giải

FI CI A

- Vận dụng tính đối xứng trục và đối xứng tâm để vẽ thêm phần còn lại của 1 hình khi biết một nửa của nó. - Sưu tầm những hình ảnh thực tế liên qua đến tính đối xứng để thấy được tính đa dạng của đối xứng trong tự nhiên và tìm hiểu ý nghĩa của đối xứng trong cuộc sống. - Để cắt một chữ cái có trục đối xứng ta có thể gấp đôi tờ giấy theo trục đối xứng ấy để cắt. Khi đó ta chỉ phải cắt một nửa chữ cái và nhận được chữ cái khi mở ra.

- Áp dụng tính đối xứng để cắt chữ, cắt hình bằng giấy nhanh và chính xác: II. Bài toán

QU Y

ƠN

Bài 1: Vẽ lại các hình sau đây rồi vẽ thêm để hình thu được nhận đường nét đứt là trục đối xứng.

DẠ

KÈ

Lời giải:

Bài 2: Vẽ lại các hình sau đây rồi vẽ thêm để hình thu được nhận điểm I làm tâm đối xứng.

Trang 11

L FI CI A OF QU Y

ƠN

Lời giải:

DẠ

Lời giải:

KÈ

Bài 3: Vẽ hình đối xứng của các hình sau qua trục đối xứng d .

Trang 12

L FI CI A

ƠN

Bài 4: Vẽ hình đối xứng với hình sau qua tâm O .

QU Y

Lời giải:

DẠ

KÈ

Bài 5: Vẽ hình đối xứng của hình sau qua trục đối xứng d .

Trang 13

DẠ M

KÈ QU Y ƠN

Lời giải:

Trang 14

FI CI A

ƠN

FI CI A

Bài 6: Vẽ hình đối xứng với hình sau lần lượt qua trục đối xứng d và qua tâm I .

KÈ

QU Y

Lời giải:

DẠ

Bài 7: Vẽ hình đối xứng với hình sau lần lượt qua tâm I và qua trục đối xứng d .

Trang 15

L FI CI A OF ƠN KÈ

QU Y

Lời giải:

DẠ

Bài 8: Vẽ hình đối xứng với hình sau lần lượt qua trục đối xứng d và qua trục đối xứng d ' .

Trang 16

L FI CI A OF ƠN KÈ

QU Y

Lời giải:

DẠ

Bài 9: Ứng dụng tính đối xứng em hãy hoàn thiện sân đá bóng theo mẫu sau. Em hãy cho biết vai trò của nét đứt trong hình.

Trang 17

L FI CI A OF ƠN

DẠ

KÈ

QU Y

Lời giải:

* Nhận xét: Nét đứt trong hình đóng vai trò là trục đối xứng. Nhờ tính đối xứng tạo nên sự công bằng về khoảng cách của hai đội chơi.

Trang 18

FI CI A

Lời giải:

Bài 10: Em hãy ứng dụng tính đối xứng để cắt chữ A, H, V bằng giấy.

a) Chữ A

Bước 1: Chuẩn bị một mảnh giấy hình chữ nhật kích thước 3cmx5cm . Gấp đôi mảnh giấy như H1.1b.

ƠN

Bước 2:Vẽ theo hình 1.1c rồi cắt theo nét vẽ , sau đó mở ra ta được chữ A (H1d).

QU Y

b) Chữ H

DẠ

KÈ

Bước 1: Chuẩn bị mảnh giấy như hình 1.2a. Gấp đôi mảnh giấy như H1.2b. Bước 2: Vẽ theo hình 1.2c rồi cắt theo nét vẽ, mở ra được hình chữ H.

c) Chữ V

Trang 19

ƠN

FI CI A

Bước 1: Chuẩn bị mảnh giấy như hình 1.3a. Gấp đôi mảnh giấy như H1.3b. Bước 2: Vẽ theo hình 1.3c rồi cắt theo nét vẽ, mở ra được hình chữ V.

Lời giải:

KÈ

QU Y

Bài 11: Giờ thực hành gấp giấy để cắt chữ, em hãy đoán xem ta được những chữ gì khi mở giấy ra?

- Hình 2a là chữ T.

DẠ

- Hình 2b là chữ M. - Hình 2c là chữ E. Bài 12: Ứng dụng tính đối xứng em hãy gấp giấy và cắt để được hình dưới đây.

Trang 20

L FI CI A

Lời giải:

Bước 1: Chuẩn bị một mảnh giấy hình vuông kích thước 4cmx4cm . Gấp đôi mảnh giấy hai lần sao cho các cạnh đối diện của nó trùng lên nhau (H3a)

QU Y

ƠN

Bước 2: Vẽ theo hình (H3b) rồi cắt theo nét vẽ, sau đó mở ra ta được hình (H3c)

DẠ

KÈ

Bài 13: Bạn Nam đã xoay một hình như hình 4.

Bạn đã xoay hình đó tất cả 6 lần. Hỏi cuối cùng, bạn ấy đã nhận được hình vẽ có dạng như thế nào? Trang 21

L FI CI A OF ƠN

Lời giải:

Theo quy luật xoay như trên lần xoay thứ tư sẽ quay trở về hình ban đầu, như vậy lần quay thứ năm sẽ giống lần xoay thứ nhất, lần xoay thứ sáu sẽ giống lần xoay thứ hai. Vậy sau sáu lần quay bạn ấy nhận được hình có dạng hình e

QU Y

Bài 14: (Bài toán điền số do Philippine đề nghị trong kỳ thi IMSO 2019 dành cho học sinh 11-12 tuổi giải trong vòng 3 phút)

DẠ

KÈ

Alex và Betty đứng đối diện nhau, trên nền đất ở giữa họ có một dãy các số và các dấu cộng như hình dưới đây. Do vị trí nhìn khác nhau nên Alex và Betty nhìn thấy hai phép toán khác nhau. Ta có thể điền hai chữ số vào hai ô vuông trống sao cho kết quả của hai phép toán này là như nhau. Hỏi kết quả đó là bao nhiêu?

Trang 22

L FI CI A OF NH

Phép toán Alex thấy: 89 + 16 + 69 + 6a + b8 + 88 .

ƠN

Lời giải:

Phép toán Betty thấy: 88 + 8b ' + a '9 + 69 + 91 + 68 , với a khi lật ngược lại thành a ' và b khi lật ngược lại thành b ' . Suy ra a, a ', b, b ' ∈ {0;1;6;8;9} .

QU Y

Nhìn hai phép toán trên, ta thấy đều có 88 và 69 nên ta loại ra trước. Với các số hạng còn lại thì

Dễ dàng nhận ra 4 bộ số này có các số giống nhau, suy ra a = 1 ; a ' = 1 ; b = 9 ; b ' = 6 .

KÈ

Phép toán Alex thấy: 89 + 16 + 69 + 61 + 98 + 88 = 421 . Phép toán Betty thấy: 88 + 86 + 19 + 69 + 91 + 68 = 421 . Vậy kết quả đó là 421 .

DẠ

Nhận xét: Ta cũng có thể chỉ dựa vào bộ 4 chữ số tận cùng Alex nhìn thấy và bộ 4 chữ số tận cùng Betty nhìn thấy để suy ra 2 bộ số này giống nhau, suy ra a = 1 ; b ' = 6 , rồi từ đó suy ra a ' = 1 ; b = 9 . Bài 15: Hai bạn Bình và An đứng đối diện nhau, trên nền đất ở giữa họ có một dãy các số và các dấu cộng như trên hình dưới đây. Do vị trí nhìn khác nhau nên hai bạn thấy hai bạn nhìn thấy hai dãy phép tính khác nhau. Hãy tìm cách điền hai chữ số vào hai ô trống để kết quả tính của hai bạn Bình và An bằng nhau. Em có nhận xét gì về hình ảnh mà hai bạn quan sát được? Trang 23

L FI CI A OF ƠN NH

Lời giải:

QU Y

Phép toán Bình thấy: 89 + 16 + 69 + 6a + b8 + 11 .

Phép toán An thấy: 11 + 8b ' + a '9 + 69 + 91 + 68 , với a khi lật ngược lại thành a ' và b khi lật ngược lại thành b ' . Suy ra a, a ', b, b ' ∈ {0;1;6;8;9} .

KÈ

Nhìn hai phép toán trên, ta thấy đều có 11 và 69 nên ta loại ra trước. Với các số hạng còn lại thì

Dễ dàng nhận ra 4 bộ số này có các số giống nhau, suy ra a = 1 ; a ' = 1 ; b = 9 ; b ' = 6 . Phép toán Bình thấy: 89 + 16 + 69 + 61 + 98 + 11 = 344 .

Phép toán An thấy: 11 + 86 + 19 + 69 + 91 + 68 = 344 .

DẠ

+) Vậy kết quả đó là 344 . Nhận xét: Ta cũng có thể chỉ dựa vào bộ 4 chữ số tận cùng Bình nhìn thấy và bộ 4 chữ số tận cùng An nhìn thấy để suy ra 2 bộ số này giống nhau, suy ra a = 1 ; b ' = 6 , rồi từ đó suy ra a ' = 1 ; b = 9 .

Trang 24

+) Hình ảnh mà hai bạn quan sát được là đối ngược nhau.

FI CI A

Bài 16: Điền số vào các ô trống sau với quy luật đã cho, biết các ô ngoài cùng bên trái và các ô ngoài cùng bên phải điền số 1 . Em có nhận xét gì về các số đã điền?

QU Y

ƠN

DẠ

KÈ

Lời giải:

Trang 25

c=a+b

1 1 1

8 9

36 45

84 120

70 126

210

15 35

6 21

126

252

210

120

1 10

1 1

ƠN

1 1

FI CI A

- Nhận xét: Giá trị của các số trên cùng một hàng đối xứng với nhau.

QU Y

- Chú ý: Có thể lập vô số hàng dãy số tương tự trong tam giác trên, tam giác này còn được gọi là tam giác Pa-xcan (Pascal). Nhiều đối tượng trong toán học có tính đối xứng, góp phần tạo nên vẻ đẹp của toán học. Một số biểu thức và công thức toán học cũng có tính đối xứng. Ví dụ a + b = b + a hay a.b = b.a ; mỗi số nguyên ...; − 4; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2; 3; 4;... đều có số đối của nó; hay tam giác Pa-xcan (Pascal) như trên cũng là ví dụ điển hình về tính đối xứng trong toán học.

DẠ

KÈ

Bài 17: Khi thiết kế căn phòng, nếu căn phòng chật hẹp, người ta có thể lắp gương phẳng trên tường để tăng cảm giác thoáng hơn, rộng hơn cho không gian của căn phòng (như hình minh họa bên dưới). Đó là vì tính đối xứng của vật và ảnh của vật qua gương phẳng, nên khi ảnh của căn phòng phản chiếu qua gương, ta có cảm giác diện tích căn phòng rộng hơn. Giả sử đặt một cái bàn cách mặt gương 5 m , hỏi lúc này cái bàn và ảnh của nó qua gương cách nhau bao nhiêu mét?

Trang 26

L FI CI A OF ƠN

Lời giải:

Vì tính đối xứng của vật và ảnh của vật qua gương phẳng nên khoảng cách từ mặt gương đến ảnh của cái bàn cũng là 5 m . Vậy cái bàn và ảnh của nó qua gương cách nhau: 5 + 5 = 10 ( m ) .

QU Y

Bài 18: Hãy xác định hình đối xứng của các chữ sau qua trục đối xứng d . Em có biết tại sao chữ “AMBULANCE” trên các xe cấp cứu thường ghi ngược?

KÈ

Lời giải:

DẠ

Thông thường khi gặp xe cứu thương, các xe khác phải nhường đường; tuy nhiên người ngồi trong xe đằng trước không nghe thấy còi hụ vì cửa xe đóng kín. Tài xế thường quan sát xe phía sau qua gương chiếu hậu, khi nhìn qua gương chiếu hậu thì chữ trên xe sẽ chuyển thành AMBULANCE, trong tiếng Việt, ambulance có nghĩa là xe cứu thương. Nhờ tính đối xứng như trên, tài xế dễ nhận ra có xe cứu thương phía sau để nhường đường.

Trang 27

L FI CI A OF

ƠN

Bài 19: Em hãy sưu tầm những hình ảnh trong thế giới tự nhiên, nghệ thuật kiến trúc và công nghệ có sử dụng tính đối xứng, từ đó nêu ý nghĩa của tính đối xứng trong từng lĩnh vực đó. Lời giải:

QU Y

 Trong tự nhiên, tính đối xứng được thể hiện rất đa dạng, phong phú, chẳng hạn: con bướm, mặt trăng, sao biển,...

+) Ý nghĩa: Tính đối xứng của một đối tượng là một trong những dấu hiệu quan trọng nhất giúp chúng ta nhanh chóng định hình đối tượng đó khi nhìn vào nó. Ngoài ra, với con người, đối xứng tạo ra sự cân bằng, hài hòa, trật tự nhờ đó tạo ra thẩm mĩ.

KÈ

 Trong nghệ thuật kiến trúc và công nghệ : Bố cục đối xứng thường được sử dụng trong các tác phẩm nghệ thuật hay kiến trúc.

DẠ

Một số ví dụ:

Trang 28

L FI CI A OF

+) Ý nghĩa: Tính đối xứng tạo ra sự cân bằng, chắc chắn, bền vững, thẩm mĩ trong các nghệ thuật kiến trúc.

ƠN

 Trong thiết kế, công nghệ, chúng ta cũng dễ dàng nhận ra các bố cục có tính đối xứng.

DẠ

KÈ

QU Y

Một số ví dụ:

Trang 29

L FI CI A OF ƠN NH QU Y

 HẾT 

DẠ

KÈ

+) Ý nghĩa: Tính đối xứng giúp các công trình hay máy móc ổn định, bền vững và có được vẻ đẹp, bắt mắt, tồn tại lâu dài.

Trang 30

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

HH6. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

FI CI A

CHỦ ĐỀ 1: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, TIA PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1. Vị trí của điểm và đường thẳng Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A ∈ a .

a A

ƠN

Điểm B không thuộc đường thẳng a , kí hiệu B ∉ a . B a

QU Y

2. Ba điểm D , E , F thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng; ba điểm M , N , P không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào. P

a M

3. Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

KÈ

4. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng. 5. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành 4, 5, 6... điểm thẳng hàng. II. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

1. Có một đường thẳng và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A và B .

DẠ

2. Có ba cách đặt tên đường thẳng: Dùng một chữ cái in thường: đường thẳng a , đường thẳng b , đường thẳng x , đường thẳng y ... a

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

FI CI A

Dùng hai chữ cái in thường: đường thẳng xy , đường thẳng ab , đường thẳng uv ...

Dùng hai chữ cái in hoa: đường thẳng AB , đường thẳng CD ... D

3. Vị trí của hai đường thẳng phân biệt:

ƠN

Hoặc không có giao điểm nào (gọi là hai đường thẳng song song).

QU Y

Hoặc chỉ có một giao điểm (gọi là hai đường thẳng cắt nhau).

4. Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có hai giao điểm,

5. Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của hai đường thẳng nào đó, rồi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua giao điểm này.

KÈ

III. TIA

1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi O là một tia gốc O .

Khi đọc (hay viết) tên một tia, ta phải đọc (hay viết) tên gốc trước. 2. Hai tia chung gốc Ox và Oy tạo thành đường

DẠ

thẳng xy gọi là hai tia đối nhau.

Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

FI CI A

3. Hai tia trùng nhau OA và OB nếu hai tia có giao điểm khác gốc O .

4. Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét 3 điểm A , B , O thẳng hàng. Nếu tia OA và tia OB đối nhau thì điểm O nằm giữa A và B . B

Ngược lại nếu O nằm giữa A và B thì:

• Hai tia OA , OB đối nhau.

ƠN

• Hai tia AO , AB trùng nhau; hai tia BO , BA trùng nhau. PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Bài toán trồng cây thẳng hàng.

I. Phương pháp giải Các cây thẳng hàng là các cây cùng nằm trên một đường thẳng. Giao điểm của hai hay nhiều đường thẳng là vị trí của 1 cây thỏa mãn bài toán.

QU Y

II. Bài toán

Bài 1: Có 9 cây, hãy trồng thành 8 hàng sao cho mỗi hàng có 3 cây. Lời giải

KÈ

Theo hình 1 (mỗi điểm trên hình vẽ là một cây).

Hình 1

DẠ

Bài 2: Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây (Giải bằng 4 cách). Lời giải

Trang 3

Cách 2

Cách 3

Cách 4

ƠN

Cách 1

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Dạng 2: Đếm số đường thẳng tạo thành từ các điểm cho trước

I. Phương pháp giải Cho biết có n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ( n ∈ ℕ và n ≥ 3 ). Kẻ từ một điểm bất kỳ với n − 1 điểm còn lại được n − 1 đường thẳng.

QU Y

Làm như vậy với n điểm nên có n ( n − 1) đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần. Do vậy số đường thẳng vẽ được là n ( n − 1) : 2 đường thẳng.

II. Bài toán

Bài 1: Cho 5 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm đó. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Lời giải

KÈ

Cách 1: Vẽ hình rồi liệt kê các đường thẳng đó (Chỉ dùng khi chỉ có ít điểm). Cách 2: Bằng cách tính:

Lấy một điểm bất kì (chẳng hạn điểm M ), còn lại 4 điểm phân biệt ta nối điểm M với 4 điểm còn lại đó được 4 đường thẳng.

Với 5 điểm đã cho ta có: 4 đường × 5 điểm.

DẠ

Nhưng với cách làm trên, mỗi đường ta đã tính hai lần. Chẳng hạn, khi chọn điểm M ta nối M với N , ta có đường thẳng MN . Nhưng khi chọn điểm N , ta nối N với M , ta cũng có đường thẳng NM .

Hai đường thẳng này trùng nhau nên ta chỉ tính là một đường. Trang 4

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Vậy số đường thẳng vẽ được là: 4.5 : 2 = 10 (đường thẳng).

FI CI A

Bài 2: Cho n điểm ( n ∈ ℕ và n ≥ 2 ) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n . Lời giải

n(n − 1) = 105 nên n(n − 1) = 210 = 2.3.5.7 = 15.14 . 2

Ta có

Vậy n = 15 .

Bài 3: Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. Lời giải

ƠN

Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: 19.20 : 2 = 190 .

Trong a điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là: ( a − 1) a : 2 . Vì có a điểm thẳng hàng nên qua a điểm này ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Ta có: 190 − (a − 1) a : 2 + 1 = 170 ⇔ (a − 1)a : 2 = 21 ⇔ (a − 1) a = 42 ⇔ (a − 1) a = 6 ⋅ 7

QU Y

Vậy a = 7 .

Bài 4:

a) Cho bốn điểm A1 , A2 , A3 , A4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một

đường thẳng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng?

Lời giải

b) Cũng hỏi như trên với 5 điểm?

KÈ

a) Qua A1 kẻ được 3 đường thẳng A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 . Qua A2 kẻ được 2 đường thẳng A2 A3 , A2 A4 .

Qua A3 kẻ được 1 đường thẳng A3 A4 .

DẠ

Qua A4 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới. Vậy số đường thẳng vẽ được là: 3 + 2 + 1 = 6 (đường thẳng).

b) Nếu cho 5 điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì

Trang 5

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Qua A1 kẻ được 4 đường thẳng A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A5 .

FI CI A

Qua A2 kẻ được 3 đường thẳng A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 . Qua A3 kẻ được 2 đường thẳng A3 A4 , A3 A5 . Qua A4 kẻ được 1 đường thẳng A4 A5 . Qua A5 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.

Vậy số đường thẳng vẽ được là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đường thẳng).

Bài 5:

ƠN

a) Có 25 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bởi n điểm ( n ∈ ℕ và n ≥ 2 ) thì số đường thẳng là bao nhiêu? b) Cho 25 điểm trong đó có đúng 8 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? Lời giải a) Kẻ từ một điểm bất kỳ tới các điểm còn lại vẽ được 24 đường thẳng. Làm như vậy với 25 điểm nên có 24.25 = 600 (đường thẳng). Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần. Do vậy số đường thẳng thực sự có là: 600 : 2 = 300 (đường thẳng). Lập luận tương tự có n điểm thì có: n. ( n − 1) : 2 (đường thẳng).

QU Y

b) Nếu 25 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được MP; MQ; NP; NQ

KÈ

đường thẳng (câu a). Với 8 điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: 8.7 : 2 = 28 (đường thẳng) Còn nếu 8 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: 28 − 1 = 27 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là: 300 − 27 = 273 (đường thẳng) Bài 6: a) Cho 31 đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm có được. b) Cho m đường thẳng ( m ∈ ℕ , m ≥ 2 ) trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 190 . Tính m . Lời giải

a) Mỗi đường thẳng cắt 30 đường thẳng còn lại tạo thành 30 giao điểm.

DẠ

Có 31 đường thẳng nên có 30.31 = 930 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có: 930 : 2 = 465 (giao điểm)

Nếu thay 31 bởi n ( n ∈ ℕ và n ≥ 2 ) thì số giao điểm có được là: n ( n − 1) : 2 (giao điểm)

Trang 6

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

b) Theo câu a ta có: m ( m − 1) : 2 = 190 ⇔ m(m − 1) = 380 ⇔ m(m − 1) = 20.19 .

Lời giải

1000.999 = 499500 (đường thẳng). 2

Số đường thẳng tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là:

3.2 = 3 (đường thẳng). 2

Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là:

FI CI A

Vậy m = 20 . Bài 7: Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó?

Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 3 − 1 = 2 (đường thẳng).

ƠN

Vậy số đường thẳng tạo thành là: 499500 − 2 = 499498 (đường thẳng)

Bài 8: Cho 2022 điểm trong đó chỉ có 22 điểm thẳng hàng. Tính số đường thẳng đi qua hai trong 2022 điểm trên.

Lời giải

Qua 2022 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được: 2022.2021: 2 = 2043231 (đường thẳng)

QU Y

Do có 22 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là: 22.21: 2 − 1 = 230 (đường thẳng) Vậy qua 2022 điểm trong đó chỉ có 22 điểm thẳng hàng ta vẽ được: 2043231 − 230 = 2043001 (đường thẳng)

Bài 9: Trên tia Ox vẽ các điểm M 1 ; M 2 ; M 3 . Nếu trong mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm các điểm M 4 ; M 5 ; M 6 ; ...; M 101 ; M 102 . Trong các điểm M 1 ; M 2 ; M 3 ; ...; M 101 ; M 102 có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ

KÈ

Lời giải

qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao?

Giả sử trong các điểm M 1 ; M 2 ; M 3 ; ...; M 101 ; M 102 (1) không có ba điểm nào thẳng hàng.

Từ một điểm bất kỳ trong (1) ta vẽ được 101 đường thẳng qua các điểm còn lại trong (1) .

DẠ

Làm như thế với 102 điểm ta được 101.102 = 10302 (đường thẳng). Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần nên tất cả có 10302 : 2 = 5151 (đường thẳng). Qua 3 điểm thẳng hàng chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Nếu 3 điểm này không thẳng hàng sẽ vẽ được số đường thẳng là: 3.2 : 2 = 3 (đường thẳng).

Trang 7

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Vì trong (1) có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 − 1 = 2 (đường thẳng)

FI CI A

Vậy số đường thẳng cần tìm là: 5151 − 2 = 5149 (đường thẳng).

Dạng 3: Tính số giao điểm của các đường thẳng I. Phương pháp giải  Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm (1 giao điểm).

 Nếu có n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Ta thấy cứ một đường thẳng trong n đường thẳng đã cho cắt n − 1 đường thẳng còn lại tạo thành n − 1 giao điểm.

ƠN

Vì có n đường thẳng nên số giao điểm sẽ là : n ( n − 1) (giao điểm)

Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là : n ( n − 1) : 2 (giao điểm).

Vậy có n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng n(n − 1) nào đồng quy thì số giao điểm là: . 2

* Chú ý: Nếu biết số giao điểm thì tìm được số đường thẳng. II. Bài toán

QU Y

Bài 1: Vẽ bốn đường thẳng đôi một cắt nhau. Số giao điểm (của hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) có thể là bao nhiêu? Lời giải

Khi vẽ bốn đường thẳng có thể xảy ra các trường hợp sau:

KÈ

a) Bốn đường thẳng đó đồng quy: có một giao điểm.

DẠ

b) Có ba đường thẳng đồng quy, còn đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng đó: có 4 giao điểm.

Trang 8

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

ƠN

c) Không có ba đường thẳng nào đồng quy (đôi một cắt nhau): có 6 giao điểm.

Bài 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể bằng bao nhiêu?

Lời giải

Bài toán đòi hỏi phải xét đủ các trường hợp:

QU Y

a) Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm.

b) Có đúng ba đường thẳng đồng quy:

KÈ

Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm.

DẠ

Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm.

Trang 9

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

b) Không có ba đường thẳng nào đồng quy.

Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm.

ƠN

Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm.

QU Y

Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm.

DẠ

KÈ

Có đúng một cặp đường thẳng song song: 5 giao điểm.

Không có hai đường thẳng nào song song: 6 giao điểm.

Trang 10

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Bài 3: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. Lời giải

ƠN

Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm. Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 = 10100 (giao điểm).

Vậy số giao điểm là 5050 (giao điểm).

Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là: 10100 : 2 = 5050 (giao điểm)..

Bài 2: Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

QU Y

Lời giải Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần. Vậy số giao điểm thực tế là: 2005.2006 : 2 = 2011015 (giao điểm).

Lời giải

Bài 3: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780 . Tính n .

KÈ

Trong n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào n( n − 1) đồng quy, số giao điểm của các đường thẳng đó là . 2

Mà số giao điểm là 780 , nên :

n(n − 1) = 780 ⇔ n ( n − 1) = 780.2 ⇔ n ( n − 1) = 40.39 . 2

DẠ

Vậy n = 40 .

Dạng 4. Xác định tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau I. Phương pháp giải

Trang 11

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Để xác định tia, hai tia đối nhau hay trùng nhau, cần lưu ý các điều sau:

FI CI A

• Để nhận biết tia cần để ý tới gốc và phần đường thẳng bị chia ra bởi gốc. • Hai tia đối nhau hoặc hai tia trùng nhau đều phải có điều kiện chung gốc. Mỗi điểm nằm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau. • Hai tia trùng nhau là hai tia chung gốc và chung phần đường thẳng bị chia ra bởi gốc.

II. Bài toán

Bài 1: Vẽ hai tia Ox , Oy đối nhau. Lấy điểm M thuộc tia Ox , điểm N và điểm K thuộc tia Oy sao cho N nằm giữa hai điểm O và K . Vì sao có thể khẳng định được : a) Hai tia OM , ON đối nhau. b) Hai tia OM , OK đối nhau.

ƠN

Lời giải

a) Điểm M thuộc tia Ox ; điểm N thuộc tia Oy . Vậy tia OM trùng với tia Ox ; tia ON trùng với tia Oy . Do hai tia Ox , Oy đối nhau nên hai tia OM , ON đối nhau (1) b) Điểm N nằm giữa hai điểm O và K nên hai tia ON và OK trùng nhau ( 2 ) .

QU Y

Từ (1) và ( 2 ) suy ra hai tia OM , OK đối nhau.

Bài 2: Vẽ hai đường thẳng xy và mn cắt nhau tại O . 1) Kể tên các tia đối nhau.

2) Trên tia On lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Kể tên các tia trùng nhau.

DẠ

KÈ

Lời giải

Trang 12

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Hình 1

FI CI A

1) Các tia đối nhau là : + Tia Ox là tia đối của tia Oy ; + Tia Om là tia đối của tia On . 2) Các tia trùng nhau là :

+ Tia OA trùng tia On ; + Tia OB trùng tia Oy .

Bài 3:

ƠN

Cho điểm O và B nằm trên đường thẳng xy . Tìm vị trí điểm A để điểm O nằm giữa hai điểm A và B .

QU Y

Lời giải

Hình 2

Muốn có điểm O nằm giữa hai điểm A và B , thì ba điểm O , A , B phải thẳng hàng. Mà + O và B nằm trên đường thẳng xy , vậy A phải nằm trên đường thẳng xy .

+ O nằm giữa B và A , nên A phải thuộc tia đối của tia OB . Vậy A phải nằm trên tia Ox . Từ đó suy ra cách tìm điểm A là điểm bất kì trên tia Ox .

KÈ

Bài 4: Cho điểm A thuộc đường thẳng xy . Lấy điểm OA thuộc tia Ax , điểm C thuộc tia Ay . a) Tìm các tia đối của tia Ax .

b) Tìm các tia trùng với tia Ax .

DẠ

c) Trên hình vẽ có bao nhiêu tia? (Hai tia trùng nhau chỉ kể là một tia)

Lời giải

Trang 13

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

a) Các tia đối của tia Ax là tia AC và Ay (Hai tia này chỉ là một).

FI CI A

b) Tia trùng với tia Ax là tia AB .

c) Trên hình vẽ có tất cả có 6 tia, đó là: Tia Bx , tia By , tia Ax , tia Ay , tia Cx , tia Cy .

Bài 5: Trên tia Ox lấy 2021 điểm khác điểm O . Có bao nhiêu tia trùng với tia Ox trong hình vẽ? Lời giải

Với mỗi điểm khác điểm O trên tia Ox ta được một tia gốc O trùng với tia Ox .

Do đó, trên tia Ox có 2021 điểm khác điểm O thì có 2021 tia gốc O trùng với tia Ox .

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Bài 6: Cho bốn đường thẳng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Trên hình có bao nhiêu tia?

Lời giải

Cứ hai đường thẳng bất kì (trong bốn đường thẳng đã cho) cắt nhau sẽ tạo ra bốn tia. Trang 14

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

4.3 = 6 (cách) 2

FI CI A

Số cách chọn ra hai đường thẳng trong bốn đường thẳng là: Do đó trên hình vẽ có số tia là: 4.6 = 24 (tia)

Bài 7: Cho ba đường thẳng xx ' , yy ' , zz ' cắt nhau đôi một tạo thành ba giao điểm A , B , C trong đó A là

ƠN

giao điểm của yy ' và zz ' ; B là giao điểm của xx ' và yy ' ; C là giao điểm của xx ' và zz ' .

a) Trên hình vẽ có bao nhiêu tia? Kể tên các tia đó.

c) Kể tên các tia trùng nhau.

DẠ

KÈ

Lời giải

QU Y

b) Có bao nhiêu cặp tia đối nhau? Kể tên các tia đó.

a) Tại mỗi giao điểm A , B , C có 4 tia nên trên hình vẽ có 12 tia.

Trang 15

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

+ Các tia gốc B : Bx , Bx ' , By , By ' . + Các tia gốc C : Cx , Cx ' , Cz , Cz ' . b) Có 6 cặp tia đối nhau: Bx và Bx ' ; By và By ' ; Az và Az ' ; Ay và Ay ' ; Cx và Cx ' ; Cz và Cz ' .

+ Các tia trùng nhau gốc A : AB và Ay ; AC và Az ' .

ƠN

+ Các tia trùng nhau gốc B : BC và Bx ' ; BA và By ' .

c) Các tia trùng nhau

FI CI A

+ Các tia gốc A : Ay , Ay ' , Az , Az ' .

+ Các tia trùng nhau gốc C : CA và Cz ; CB và Cx .

Dạng 5. Xác định điểm nằm giữa hai điểm

I.Phương pháp giải

Để xác định điểm nằm giữa hai điểm khác, ta sử dụng lưu ý nếu hai tia OA và OB là hai tia đối nhau thì điểm O nằm giữa hai điểm A và B .

QU Y

II.Bài toán

Bài 1: Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B ; điểm M nằm giữa hai điểm A và O ; điểm N nằm giữa hai điểm B và O . a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc O .

KÈ

Lời giải

b) Chứng tỏ rằng điểm O nằm giữa hai điểm M và N .

a) Điểm M nằm giữa hai điểm A và O nên hai tia OM và OA trùng nhau (1)

Điểm N nằm giữa hai điểm B và O nên hai tia ON và OB trùng nhau ( 2 )

DẠ

b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B nên hai tia OA và OB đối nhau ( 3) Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra hai tia OM , ON đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm M và N .

Trang 16

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Bài 2: Trên đường thẳng xy lấy một điểm O . Lấy điểm A trên tia Ox , điểm B trên tia Oy ( A và B

FI CI A

khác điểm O ). a) Trong ba điểm A , B , O điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

b) Lấy điểm M nằm giữa O và A . Giải thích vì sao điểm O nằm giữa hai điểm M và B .

Lời giải

a) Vì điểm O thuộc đường thẳng xy nên Ox và Oy là hai tia đối nhau. Điểm A ∈ Ox , B ∈ Oy nên hai tia OA và OB đối nhau, do đó điểm O nằm giữa A và B .

Mặt khác, hai tia OA và OB đối nhau. ( 2 )

Do đó điểm O nằm giữa hai điểm M , B .

Nên từ (1) và ( 2 ) suy ra hai tia OM và OB đối nhau.

ƠN

b) Điểm M nằm giữa hai điểm O và A nên hai tia OA và OM trùng nhau. (1)

QU Y

Bài 3: Cho tia Ox và hai điểm A , B sao cho OA và OB đều là tia đối của tia Ox . a) Nêu nhận xét vị trí hai tia OA và OB . b) Nhận xét vị trí ba điểm O , A , B .

c) Có thể khẳng định điểm A nằm giữa O và B không?

KÈ

Lời giải

Trường hợp 1

Trường hợp 2

DẠ

a) Vì tia OA và tia OB đều là tia đối của tia Ox nên hai tia OA và OB trùng nhau. b) Vì theo câu tia OA và tia OB trùng nhau nên ba điểm O , A , B thẳng hàng. c) Không thể khẳng định điểm A nằm giữa hai điểm O và B .

Bài 4: Cho ba điểm A , B , C sao cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B . Trang 17

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

a) Vẽ điểm M thuộc tia CB sao cho điểm M nằm giữa hai điểm C và B .

FI CI A

b) Vẽ điểm M thuộc tia CB sao cho điểm B nằm giữa C và M .

c) Giải thích vì sao trong cả hai câu a và b điểm C nằm giữa hai điểm A và M .

Lời giải

ƠN

c) Điểm M thuộc tia CB và M không trùng C nên tia CB và CM trùng nhau (1)

Điểm C nằm giữa A và B nên CA và CB là hai tia đối nhau ( 2 )

Từ (1) và ( 2 ) suy ra các tia CM và CA đối nhau nên điểm C nằm giữa hai điểm A và M .

QU Y

Bài 5: Cho bốn điểm A , B , C , D sao cho B nằm giữa A và C , điểm A nằm giữa hai điểm B và D . Vì sao điểm B nằm giữa hai điểm D và C . Lời giải

Vì điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên BA và BC là hai tia đối nhau (1)

KÈ

Vì điểm A nằm giữa hai điểm B và D nên BA và BD là hai tia trùng nhau ( 2 ) Từ (1) và ( 2 ) ta có BC và BD là hai tia đối nhau do đó điểm B nằm giữa D và C .

Dạng 6. Xác định vị trí của một điểm di động trên tia.

I.Phương pháp giải

DẠ

Dựa vào vị trí tương đối giữa tia với tia, tia với đường thẳng, đoạn thẳng.

II.Bài toán Bài 1:

Trang 18

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Trên đường thẳng xy lấy điểm O . Trên tia Ox lấy điểm A khác O , trên tia Ay lấy điểm B

FI CI A

khác O . Gọi M là điểm di động trên xy . Xác định vị trí của M để: a) Hai tia OM và OB trùng nhau. b) Hai tia MA và MB đối nhau.

Lời giải

a) Để hai tia OM và OB trùng nhau thì điểm M thuộc tia Oy

ƠN

b) Để điểm hai tia MA và MB đối nhau thì điểm M nằm giữa A và B , không trùng với điểm A và điểm B

Bài 2: Cho hai điểm cố định O , A và đường thẳng xy . Đường thẳng xy đi qua điểm O , điểm A không thuộc xy . M là điểm bất kì trên xy , vẽ tia Az đi qua điểm M . Xác định vị trí điểm M

để:

QU Y

a) Tia Az cắt tia Ox mà không cắt tia Oy . b) Tia Az cắt tia Oy mà không cắt tia Ox . c) Tia Az vừa tia Ox vừa cắt tia Oy .

Lời giải

a) Tia Az cắt tia Ox mà không cắt tia Oy thì điểm M thuộc tia Ox và điểm M không trùng

DẠ

KÈ

đ iể m O .

b) Tia Az cắt tia Oy mà không cắt tia Ox thì điểm M thuộc tia Oy và điểm M không trùng

đ iể m O .

Trang 19

DẠ

KÈ

QU Y

HẾT

ƠN

c) Tia Az vừa cắt tia Ox vừa cắt tia Oy thì điểm M trùng với điểm O .

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Trang 20

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Trang 21

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

CHỦ ĐỀ 2: ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN

FI CI A

THẲNG

HH6. CHUYÊN ĐỀ 3 - ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG.

1. Đoạn thẳng là hình gồm điểm A , điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B . A

2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương. 3. AB = CD ⇔ AB và CD có cùng độ dài. A

ƠN

AB < CD ⇔ độ dài đoạn thẳng AB nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng CD . A

QU Y

AB > CD ⇔ độ dài đoạn thẳng AB lớn hơn độ dài đoạn thẳng CD . A

4. Điểm nằm giữa hai điểm:

B D

KÈ

Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM + MB = AB . Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B .

DẠ

Nếu AM + MB ≠ AB thì điểm M không nằm giữa A và . B ..

Nếu điểm M

nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N

AM + MN + NB = AB

2. VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI

Trang 1

nằm giữa hai điểm M

và B thì

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

1. Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một điểm M sao cho OM = a (đơn vị dài).

FI CI A

2. Trên tia Ox , OM = a , ON = b nếu 0 < a < b hay OM < ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N .

3. Trên tia Ox có 3 điểm M , N , P , OM = a ; ON = b , OP = c nếu 0 < a < b < c hay OM < ON < OP

điểm N nằm giữa hai điểm M và P . 3. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG

1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó.

A 2. Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

AB . 2

3. Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và MA = 4. Mỗi đoạn thẳng có 1 trung điểm duy nhất.

AB thì M là trung điểm của đoạn AB . 2

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

ƠN

Điểm M nằm giữa hai điểm A , B và MA = MB =

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và chứng minh điểm nằm giữa. I.Phương pháp giải

 Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng các nhận xét sau: Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM + MB = AB . Ngược lại, nếu AM + MB = AB

QU Y

•

thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B .

• Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì AM + MN + NB = AB .

• Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB =

AB . 2

 Để chứng minh điểm nằm giữa hai điểm ta thường sử dụng các nhận xét sau:

KÈ

• Nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B . • Trên tia Ox , OM = a , ON = b nếu 0 < a < b hay OM < ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và

• Nếu tia OM và tia ON là hai tia đối nhau thì điểm O nằm giữa hai điểm M và N .

DẠ

II.Bài toán

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = 7 cm. Gọi C là điểm nằm giữa A và B , AC = 3 cm . M là trung điểm của BC . Tính BM .

Lời giải:

Trang 2

FI CI A

Vì điểm C nằm giữa hai điểm A và B Nên AC + BC = AB  3 + BC = 7 Suy ra BC = 7 − 3 = 4 (cm)

BC 4 = = 2 (cm). 2 2

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC Nên BM =

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. M là điểm nằm giữa hai điểm A và B . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AM và MB . Tính độ dài đoạn thẳng CD .

ƠN

Lời giải:

Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên AM + MB = AB

Vì C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AM và MB nên ta có:

CM =

AM MB , MD = . 2 2

Do đó CD = CM + MD =

QU Y

Vì M nằm giữa A và B , C nằm giữa A và M , D nằm giữa M và B , suy ra M nằm giữa C và D AM MB AB 6 + = = = 3 (cm). 2 2 2 2

Bài 3: Trên tia Ox cho 4 điểm A , B , C , D biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ; OA = 5 cm, OD = 2 cm, BC = 4 cm và độ dài đoạn AC gấp đôi độ dài đoạn BD . Tính độ dài các đoạn

BD , AC .

KÈ

Lời giải:

Vì A nằm giữa B và C nên BA + AC = BC  BA + AC = 4  AC = 4 − AB

Vì A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D  B nằm giữa A và D .

DẠ

Trên tia Ox , ta có OD < OA ( 2 < 5 ) Nên điểm D nằm giữa hai điểm O và A . Suy ra : OD + DA = OA

 2 + DA = 5

Trang 3

(1)

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

 DA = 3 (cm).

FI CI A

Vì B nằm giữa hai điểm A và D Nên DB + BA = DA

 DB + BA = 3

( 2)

 BD = 3 − AB Từ (1) và ( 2 ) ta có: AC − BD = 1

( 3)

Theo đề ra: AC = 2 BD thay vào

( 3)

Ta có 2 BD − BD = 1

 BD = 1 (cm)  AC = 2 BD

ƠN

 AC = 2 (cm) Vậy AC = 2 (cm), BD = 1 (cm).

Bài 4: Đoạn thẳng AB = 36 cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là

các đoạn thẳng AM , MN , NP và PB . Gọi E , F , G , H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn

thẳng AM , MN , NP, PB . Biết độ dài của đoạn thẳng EH = 30 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng FG . Lời giải: E

QU Y

Vì đoạn thẳng AB được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng AM , MN , NP , PB nên suy ra các điểm M , N , P nằm giữa hai điểm A , B theo thứ tự M nằm giữa A và N , N nằm giữa M và P , P nằm giữa N và B . Mặt khác : E , F , G , H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM , MN , NP , PB nên điểm E

nằm giữa hai điểm A và H , điểm H nằm giữa hai điểm E và B .

KÈ

Do đó ta có: AE + EH + HB = AB Mà AB = 36 , EH = 30 . Suy ra: AE + 30 + HB = 36

(1)

 AE + HB =36 – 30 = 6

AM PB và HB = (do E và H là trung điểm của AM và PB ) 2 2

DẠ

Mà AE =

Từ (1) và ( 2 ) ta có : AE + HB =

AM PB AM + PB + = =6 2 2 2 Trang 4

( 2)

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

 AM + PB = 12 (cm).

FI CI A

Vì các điểm M , N , P nằm giữa hai điểm A , B theo thứ tự M nằm giữa A và N , N nằm giữa M và

P , P nằm giữa N và B nên ta có: AM + MP + PB = AB Suy ra: MP = AB – ( AM + PB ) =36 –12  MP = 24 ( cm ) . Mặt khác F , G lần lượt là trung điểm của MN , NP nên ta có: FN =

MN NP MN + NP + = (*) 2 2 2

Do đó ta có: FN + NG =

MN NP ; NG = 2 2

Theo đề bài, thứ tự các điểm chia và thứ tự trung điểm các đoạn thẳng thì N là điểm nằm giữa hai điểm F , G và N là điểm nằm giữa hai điểm M , P . Do đó ta có: FN + NG = FG , MN + NP = MP MP 24 = = 12 (cm) 2 2

ƠN

Thay vào (*) ta có: FG =

Vậy độ dài đoạn thẳng FG là 12 (cm).

Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài 28 cm được chia thành ba đoạn thẳng không bằng nhau theo thứ tự AC , CD và DB . Gọi E , F là trung điểm của đoạn thẳng AC , DB . Biết độ dài đoạn EF = 16 cm. Tìm độ dài đoạn CD .

QU Y

Lời giải:

Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AC , CD và DB . Vậy hai điểm C , D nằm giữa hai điểm A và B .

Vì E là trung điểm của AC nên AE =

KÈ

F là trung điểm của DB nên FB = Từ (1) và ( 2 ) có : AE + FB =

AC 2

DB 2

(1) ( 2)

AC DB AC + BD +  AE + FB = 2 2 2

Vì điểm E và điểm F nằm giữa hai điểm A , B và điểm E nằm giữa hai điểm A , F

DẠ

Nên: AE + EF + FB = AB  AE + FB = AB − EF Suy ra AE + FB =

AC + BD = 28 − 16 = 12 2

Suy ra: AC + BD = 24 (cm)

Vậy đoạn CD = AB - ( AC + BD) = 28 - 24 = 4 (cm) Trang 5

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Bài 6: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C . Biết E là trung điểm của đoạn a) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn CB lớn hơn độ dài đoạn CA . b) Tìm độ dài đoạn EF .

Lời giải: C

FI CI A

thẳng CA , F là trung điểm của đoạn thẳng CB .

a) Điểm C thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa hai điểm B , C Suy ra BC = BA + AC Mà BA, AC , BC > 0

b) Vì F là trung điểm của đoạn CB , nên : CF =

CA 2

(1)

( 2)

Vì E là trung điểm của đoạn CA , nên : CE =

CB 2

ƠN

Suy ra độ dài đoạn CB lớn hơn độ dài đoạn CA .

Mà CA < CB ( câu a), nên CE < CF , chứng tỏ điểm E nằm giữa hai điểm C , F Suy ra : CF = CE + EF

QU Y

 EF = CF - CE ( 3) Thay (1) và ( 2 ) vào ( 3) , ta có : EF = Vậy EF = 3 (cm).

CB CA CB − CA AB 6 − = = = = 3 (cm). 2 2 2 2 2

Bài 7: Vẽ tia Ax . Trên tia Ax xác định hai điểm B và C sao cho B nằm giữa A , C và AC = 8 cm, AB = 3BC . Tính độ dài các đoạn AB, BC .

(Đề thi HSG huyện Hưng Hà 2020-2021)

KÈ

Lời giải:

Vì điểm B nằm giữa hai điểm A , C nên AB + BC = AC

DẠ

Mà AB = 3BC , AC = 8 cm Suy ra: 3BC + BC = 8  4 BC = 8  BC = 2 (cm)

Trang 6

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Do đó: AB = 2.3 = 6 (cm).

FI CI A

Vậy AB = 6 (cm), BC = 2 (cm).

Bài 8: Trên tia Ox lấy các điểm A và B sao cho OA = 2 cm, OB = 8 cm. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA , K là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài các đoạn thẳng AB , IK .

(Đề thi HSG huyện Nông Cống 2020 - 2021) Lời giải:

Trên tia Ox , ta có OA < OB ( 2 < 8 ) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B . Do đó: OA + AB = OB

ƠN

 2 + AB = 8  AB = 8 − 2 = 6 (cm)

Nên OI = IA =

OA 2 = = 1 (cm) 2 2

Vì K là trung điểm của đoạn thẳng AB AB 6 = = 3 (cm) 2 2

QU Y

Nên AK = KB =

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng OA

Mà điểm A nằm giữa hai điểm O và B , điểm I nằm giữa hai điểm O và A , K nằm giữa hai điểm A và

B nên suy ra A nằm giữa hai điểm I và K . Suy ra: AI + AK = IK  IK = 1 + 3 = 4 (cm).

Vậy AB = 6 (cm), IK = 4 (cm).

Bài 9: Cho ba điểm A , O , B sao cho OA = 2 cm, OB = 3 cm và AB = 5 cm. Lấy điểm M nằm trên

Lời giải:

KÈ

đường thẳng AB sao cho OM = 1 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM ? (Đề thi HSG huyện Hoa Lư 2020-2021)

Vì OA + OB = AB do 2 + 3 = 5 nên điểm O nằm giữa hai điểm A và B .

 O nằm trên đường thẳng AB và hai tia OA , OB đối nhau.

DẠ

+) Trường hợp 1: M nằm trên tia OB

Trang 7

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Ta có: OM và OA là hai tia đối nhau nên O nằm giữa A và M

+) Trường hợp 2: M nằm trên tia OA

FI CI A

Khi đó: AM = AO + OM = 2 + 1 = 3 (cm)

Trên tia OA , ta có OM < OA (do 1 < 2 ) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và A Khi đó: OM + MA = OA  AM = OA − OM = 2 − 1 = 1 (cm)

ƠN

Vậy AM = 3 (cm), AM = 1 (cm) .

Bài 10: Cho đoạn thẳng AB biết AB = 10 cm. Lấy 2 điểm C , D trên đoạn AB ( C , D không trùng với

A , B ) sao cho AD + BC = 13 cm. 2. Tính độ dài đoạn thẳng CD .

1. Chứng minh rằng: Điểm C nằm giữa hai điểm A và D .

(Đề thi HSG huyện Gia Bình 2020-2021)

QU Y

Lời giải: A

1) Vì điểm C nằm trên đọan AB nên điểm C nằm giữa hai điểm A , B  AC + CB = 10

(1)

KÈ

 AC = 10 − CB

Suy ra AC + CB = AB

Theo bài ra ta có: AD + BC = 13  AD = 13 − BC

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra AC < AD .

DẠ

Trên tia AB có AC < AD nên điểm C nằm giữa hai điểm A và D . 2) Vì điểm C nằm giữa A và D nên AC + CD = AD Ta có:

AD + BC = 13

 AC + CD + BC = 13 Trang 8

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

 ( AC + BC ) + CD = 13

FI CI A

 AB + CD = 13  CD = 13 − AB  CD = 13 − 10 = 3 (cm) Vậy CD = 3 (cm)

Dạng 2: Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng, chứng minh đẳng thức độ dài có

liên quan. I.Phương pháp giải

Để chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta thường làm như sau: Bước 2: Chứng tỏ MA = MB . Cách 2. Chứng minh MA = MB =

AB 2

Bước 2: Chứng tỏ MA =

Cách 3. Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm giữa A và B .

ƠN

Cách 1. Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm giữa A và B .

AB AB hoặc MB = . 2 2

II. Bài toán

QU Y

Bài 1: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm, OB = 6 cm. Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB và AC . Lời giải:

Trên tia Ox , ta có: OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B Suy ra AB + OA = OB  AB = OB − OA ;

KÈ

Mà OA = 4 cm, OB = 6 cm Nnên AB = 6 − 4 = 2 (cm)

Trên tia BA , ta có BA < BC (2 < 3) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C

Suy ra AC + BA = BC

DẠ

 AC = BC − BA Mà BC = 3 cm, AB = 2 cm.

Do đó: AC = 3 − 2 = 1 (cm) Vậy AB = 2 (cm), AC = 1 (cm).

Trang 9

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Bài 2: Trên tia Ox cho 4 điểm A , B , C , D . Biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ;

FI CI A

OA = 7 cm, OD = 3 cm, BC = 8 cm và AC = 3BD . a) Tính độ dài AC . b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD . Lời giải:

a) Đặt BD = x (cm)  AC = 3 x (cm)

Trên tia Ox có OD < OA ( vì 3 < 7 ) Nên điểm D nằm giữa hai điểm O và A

ƠN

Suy ra: OD + DA = OA  DA = OA − OD = 7 − 3 = 4 (cm)

Vì điểm B nằm giữa hai điểm D và C , điểm A nằm giữa hai điểm B và C

Nên điểm B nằm giữa hai điểm D và A . Suy ra DB + BA = DA  DB + BA = 4

(1)

 x + BA = 4

QU Y

Vì A nằm giữa B và C nên: BA + AC = BC hay 3 x + BA = 8

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) ta có: (3 x + BA) − ( x + BA) = 8 − 4  2x = 4  x = 2  AC = 3.2 = 6 (cm)

Vậy AC = 6 (cm)

b) Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x = 2  BA = 2 .

KÈ

Mà BD = x = 2  BD = BA .

Mặt khác điểm B nằm giữa 2 điểm D và A . Suy ra B là trung điểm của đoạn thẳng AD .

Bài 3: Trên tia Ox lấy hai điểm M và N , sao cho OM = 3 cm và ON = 7 cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN .

DẠ

b) Lấy điểm P trên tia Ox , sao cho MP = 2 cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP . c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P . Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN . Lời giải:

Trang 10

a) Trên tia Ox , ta có: OM < ON ( 3 < 7 ) nên M nằm giữa hai điểm O và N  OM + MN = ON

 3 + MN = 7  MN = 7 − 3 = 4 (cm) b)TH1: P nằm giữa M và N . M

Vậy MN = 4 (cm).

ƠN

Vì P nằm giữa M và N mà M nằm giữa hai điểm O và N Nên M nằm giữa O và P  OP = OM + MP TH2: P nằm giữa O và M .

Vì P nằm giữa O và M Nên OM = OP + PM  3 = OP + 2  OP = 1 (cm).

QU Y

 OP = 3 + 2 = 5 (cm)

c)Vì M nằm giữa O và P nên MO + MP = OP

KÈ

 OP = 3 + 2 = 5 (cm)

Trên tia Ox , ta có OP < ON ( 5 < 7 ) nên P nằm giữa O và N  OP + PN = ON

 5 + PN = 7

DẠ

 PN = 2 (cm). Do đó: MP = PN (1) Trên tia Ox , ta có: OM < OP < ON

( 3 < 5 < 7 ) nên

Trang 11

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

P nằm giữa M và N

( 2)

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Từ (1) và ( 2 ) suy ra P là trung điểm của MN

FI CI A

Bài 4: Cho các điểm A , B , C nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M , N lần lượt là trung điểm

của các đoạn thẳng AB , AC . Chứng tỏ rằng: BC = 2 MN . Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ từng trường hợp đó? Lời giải:

- Trường hợp 1: Hai điểm B , C ở cùng phía với A , tức là hai tia AB , AC trùng nhau. A

* Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : AB > AC , AC > AB (hai trường hợp chứng minh tương tự).

AC 2

Vì M là trung điểm của AB , nên: AM = MB =

AB 2

Từ (1) và ( 2 ) ta có :

( 2)

AC AB AC − AB − = 2 2 2

( 3)

QU Y

AN − AM =

(1)

Vì N là trung điểm của AC , nên: AN = NC =

ƠN

Giả sử: AC > AB .

Ta xét AC > AB , nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C . Suy ra: AC = AB + BC => BC = AC − AB

( 4)

AB < AC => AM < AN nên điểm M nằm giữa hai điểm A và N .

Suy ra: AN = AM + MN => MN = AN − AM ( 5 ) Thay ( 4 ) và ( 5 ) vào ( 3) , ta có: MN =

BC hay BC = 2 MN 2

KÈ

* Trường hợp 2: Hai tia AB và AC đối nhau Mà điểm M thuộc tia AB , điểm N thuộc tia AC

DẠ

Nên AM và AN là hai tia đối nhau

M là trung điểm của AB , nên: AM = MB =

AB 2

Trang 12

( 6)

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC AC 2

(7)

Từ ( 6 ) và ( 7 ) có:

AM + AN =

AB + AC 2

( 8)

Vì AB , AC là hai tia đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm B , C .

(9)

Suy ra: BC = BA + AC

FI CI A

N là trung điểm của AC , nên: AN = NC =

(10 )

Suy ra: MN = AM + AN Thay ( 9 ) và (10 ) vào ( 8 ) , ta có : MN =

BC hay BC = 2 MN . 2

Vì M và N thuộc hai tia đối nhau AB , AC nên điểm A nằm giữa hai điểm M , N

ƠN

Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài bằng a được chia thành ba đoạn thẳng bởi hai điểm chia P , Q theo thứ tự là đoạn AP , PQ , QB sao cho AP = 2 PQ = 2QB . Tìm khoảng cách giữa:

a) Điểm A và điểm I với I là trung điểm của QB .

b) Điểm E và điểm I với E là trung điểm của đoạn AP . Lời giải:

QU Y

a) Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AP , PQ , QB nên suy ra

AB = AP + PQ + QB . Mà AP = 2 PQ = 2QB

Suy ra: PQ = QB

KÈ

Vậy AB = 2QB + BQ + QB = 4QB

(1)

( 2) ( 3)

Vì I là trung điểm của QB , nên : QI = IB =

QB 2

( 4)

I là trung điểm của QB , mà Q nằm giữa hai điểm A , B nên I cũng nằm giữa hai điểm A , B .

(5)

Suy ra: AB = AI + IB

DẠ

Từ ( 3) ta có:

AB = 4QB  QB =

AB QB AB QB AB  =  IB = QI = = 4 2 8 2 8

Thay ( 6 ) vào ( 5 ) có: Trang 13

( 6)

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

AB 8 AB 8 AB − AB = 8 8

 AI = AB −  AI =

7 AB 7 a = (cm) 8 8

b) Theo

( 3)

FI CI A

AB = AI +

ta có: AB = 4QB .

Vậy ta suy ra: AB = 2 AP  AP =

AB 2 AP AB = . 2 4

mà PQ = QB ,

( 8)

AB . 4

(7)

ƠN

Mà E là trung điểm của AP , nên EP =

Vậy : PQ = QB =

Theo (1) ta có: 2QB = AP .

Theo đầu bài, đoạn AB được chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP , PQ , QB Suy ra EI = EP + PQ + QI

 EI =

AB AB AB + + 4 4 8

QU Y

Thay ( 6 ) , ( 7 ) , ( 8 ) vào ( 9 ) có: EI =

(9)

5 AB 5a  EI = (cm). 8 8

Bài tập 6: Trên tia Ox vẽ các điểm A , B , C sao cho OA = 12cm , OB = 19cm , OC = 26cm . Điểm B có là trung điểm của đoạn thẳng AC hay không? Vì sao?

KÈ

Lời giải:

Trên tia Ox ta có OA < OB (12 < 19 ) nên A nằm giữa hai điểm O và B

Suy ra: OA + AB = OB

DẠ

 AB = OB − OA = 19 − 12 = 7 (cm) (1)

Trên tia Ox ta có OB < OC (19 < 26 ) nên điểm B nằm giữa hai điểm O và C Suy ra: OB + BC = OC

 BC = OC − OB = 26 − 19 = 7 (cm)

( 2) Trang 14

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

( 3)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra AB = BC .

FI CI A

Mặt khác Trên tia Ox ta có OA < OB < OC (12 < 19 < 26 )

( 4)

suy ra điểm B nằm giữa hai điểm A và C .

Từ ( 3) và ( 4 )  B là trung điểm của đoạn thẳng AC .

Bài tập 7: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc đoạn thẳng

CA − CB . 2

MB thì CM = Lời giải:

ƠN

Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và C nên: CA = MA + CM

(1)

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB =

Suy ra: CM =

( 2)

AB ( 3) 2

QU Y

Từ (1) , ( 2 ) và ( 3) ta được: CA − CB = 2CM

Vì điểm C nằm giữa hai điểm M và B nên: CM + CB = MB => CB = MB − CM

CA − CB 2

Bài tập 8: Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA = a (cm), OB = b (cm). a) Tính độ dài đoạn thẳng AB , biết b < a .

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

KÈ

Lời giải:

1 (a + b) . 2

a) Trên tia Ox , ta có: OB < OA ( do b < a ) nên điểm B nằm giữa điểm O và điểm A . Suy ra: OB + AB = OA

DẠ

Suy ra: AB = OA − OB = a − b. b) Vì M nằm trên tia Ox và

OM =

1 a + b 2b + a − b a−b OA − OB 1 ( a + b) = = =b+ = OB + = OB + AB 2 2 2 2 2 2 Trang 15

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

 M là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM .

FI CI A

Bài 9:

1. Trên tia Oy , lấy điểm M và H sao cho OM = 5 cm, OH = 10 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HM . Điểm

M có là trung điểm của đoạn thẳng OH không? Vì sao?

2. Cho đoạn thẳng AB . Điểm C thuộc tia đối của tia BA . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC . Chứng minh rằng: CM =

CA + CB BC và MN = . 2 2

(Đề thi HSG huyện Ninh Bình 2020-2021) Lời giải:

Ta có OM + MH = OH  MH = 10 − 5 = 5cm

ƠN

1) Chứng minh được M nằm giữa O và H .

CA + CB BC và MN = . 2 2

QU Y

2) Chứng minh rằng: CM =

Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng OH vì : M nằm giữa O và H và MH = MO (= 5 cm)

Vì M là trung điểm của AB , điểm C thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C . Suy ra: CA = CM + AM

 CM = AC − AM (1) Lại có B nằm giữa M và C

KÈ

 CM = CB + BM ( 2 )

Từ (1) và ( 2 )  2CM = AC − AM + BC + MB = AC + BC ( do AM = MB )

CA + CB 2

Vậy CM =

DẠ

Lại có N là trung điểm của AC  CN =

AC 2

Có AB < AC , M , N theo thứ tự là trung điiểm của AB và AC  AM < AN

 M nằm giữa A và N  AN = AM + MN

Trang 16

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC

Bài 10: Trên tia Ox lấy hai điểm A , B sao cho OA = 3 cm, OB = 5 cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng AB .

AC − AB BC = 2 2

FI CI A

 MN = AN − AM =

b) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng AC . Lấy điểm M thuộc

1 đoạn thẳng OA sao cho OM = OA . Hỏi M có là trung điểm của đoạn thẳng BC không? Vì sao? 2

ƠN

Lời giải:

a) Trên tia Ox có OA < OB , (3 < 5) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và O. Suy ra OA + AB = OB

 AB = OB − OA

 AB = 5 − 3 = 2 (cm) Vậy AB = 2 (cm) .

b) Vì điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AC nên OC = OA = 3 (cm).

QU Y

1 Vì điểm M thuộc đoạn thẳng OA và OM = OA 2 Nên điểm M là trung điểm của đoạn thẳng OA . Suy ra OM = MA = 3 : 2 = 1,5 (cm).

Vì hai điểm C , M nằm trên hai tia đối nhau gốc O nên điểm O nằm giữa hai điểm C , M .

 3 + 1,5 = CM

KÈ

 CM = 4, 5 (cm)

Suy ra: CO + OM = CM

Trên tia Ox có OM < OB (1, 5 < 5) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và B . Suy ra: OM + MB = OB

 MB = OB − OM

 MB = 5 − 1,5 = 3,5 (cm).

DẠ

Ta thấy MB ≠ MC (3, 5 ≠ 4, 5) nên điểm M không là trung điểm của đoạn thẳng BC .

Trang 17

CHUYÊN ĐỀ. ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TAM GIÁC.

PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

FI CI A

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. I. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1.Vị trí của điểm và đường thẳng - Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A ∈ a - Điểm B không thuộc đường thẳng a , kí hiệu B ∉ a

2. Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng, ba điểm không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào.

3. Trong ba điểm thẳng hàng có một điểm và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. 4. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng.

II. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

ƠN

5. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành nhiều (4, 5, 6,....) điểm thẳng hàng. 1.Có một đường thẳng và chỉ có 1 đường thẳng đi qua hai điểm A và B - Dùng một chữ cái in thường: ví dụ a - Dùng hai chữ cái in thường: ví dụ xy - Dùng hai chữ cái in hoa: ví dụ AB

2. Có ba cách đặt tên đường thẳng:

QU Y

3.Ba vị trí có hai đường thẳng phân biệt:

- Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song) - Hoặc chỉ có một điểm chung (gọi là đường thẳng cắt nhau)

4.Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ chúng có hai điểm chung.

5. Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định giao điểm của đường thẳng nào đó

KÈ

rồi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua giao điểm này.

III. TIA

1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là một tia gốc O .

2. Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng được gọi là hai tia đối nhau 3. Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau:

DẠ

Xét 3 điểm A, O, B thẳng hàng.

- Nếu OA và OB đối nhau thì gốc O nằm giữa A và B - Ngược lại nếu O nằm giữa A và B thì:

+ Hai tia OA, OB đối nhau

+ Hai tia AO, AB trùng nhau; hai tia BO, BA trùng nhau.

IV. ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CỘNG ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG 2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương. 3. AB = CD ⇔ AB và CD có cùng độ dài AB < CD ⇔ AB ngắn hơn CD AB > CD ⇔ AB dài hơn CD . Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM + MB = AB

4.Điểm nằm giữa hai điểm:

FI CI A

1. Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A , điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B

Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B . Nếu AM + MB ≠ AB thì điểm M không nằm giữa A và B .

AM + MN + NB = AB

V. VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI

ƠN

Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì

1. Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được 1 và chỉ một điểm M sao cho OM = a (đơn vị dài). 2. Trên tia Ox , OM = a, ON = b , nếu 0 < a < b hay OM < ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N

3. Trên tia Ox có 3 điểm M , N , P ; OM = a; ON = b; OP = c ; nếu 0 < a < b < c hay OM< ON < OP

QU Y

điểm N nằm giữa hai điểm M và P .

VI. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG

1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng đó. 2. Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB =

3. Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và MA =

AB 2

AB thì M là trung điểm của AB 2

KÈ

4. Mỗi đoạn thẳng có 1 trung điểm duy nhất. VII. TAM GIÁC 1. Định nghĩa

Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC , AC khi ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Kí hiệu là ∆ABC .

DẠ

2. Các yếu tố trong tam giác Tam giác ABC có:

+ Ba đỉnh là: A, B, C .

+ Ba cạnh là:

AB , BC , AC .

Bước 1. Vẽ một đoạn thẳng AB có độ dài bằng một cạnh cho trước;

FI CI A

3. Để vẽ một tam giác ABC có độ dài 3 cạnh cho trước, ta làm như sau:

, + Ba góc là ABC , BAC ACB .

Bước 2. Vẽ đỉnh C (thứ ba) là giao điểm của hai cung tròn có tâm lần lượt là hai đỉnh A và B đã vẽ và bán kính lần lượt bằng độ dài hai cạnh còn lại.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

- Các cây thẳng hàng là các cây cùng nằm trên một đường thẳng.

Dạng 1: Bài toán trồng cây thẳng hàng.

- Giao điểm của hai hay nhiều đường thẳng là vị trí của 1 cây thỏa mãn bài toán. Bài tập 1. Có 10 cây, hãy trồng thành 5 hàng sao cho mỗi hàng có 4 cây.

Theo hình 11 ( mỗi điểm trên hình vẽ là một cây ).

ƠN

Hướng dẫn

Hình

Bài tập 2. Có 9 cây, hãy trồng thành 8 hàng sao cho mỗi hàng có 3 cây.

QU Y

Hướng dẫn

KÈ

Theo hình 12 ( mỗi điểm trên hình vẽ là một cây ).

Hình

Bài tập 3. Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây (Giải bằng 4 cách)

DẠ

Hướng dẫn

Cách 3

Cách 4

Cách 2

ƠN

Cách 1

FI CI A

Dạng 2: Đếm số đoạn thẳng (đường thẳng) tạo thành từ các điểm cho trước Cho biết có n điểm (n ∈ N và n ≥ 2).

Kẻ từ một điểm bất kỳ với n −1 điểm còn lại được n − 1 đoạn thẳng (đường thẳng) Làm như vậy với n điểm nên có n ( n −1) đoạn thẳng (đường thẳng). Nhưng mỗi đoạn thẳng (đường thẳng) được tính 2 lần

Do vậy số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ được là n ( n −1) : 2 đoạn thẳng (đường thẳng)

QU Y

Bài tập 1. Lấy năm điểm M, N, P, Q, R, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm đó. Có bao nhiêu đường thẳng tất cả ? Đó là những đường thẳng nào?

Hướng dẫn

Cách 1: Vẽ hình rồi liệt kê các đường thẳng đó (Chỉ dùng khi chỉ có ít điểm) Cách 2: Bằng cách tính:

Lấy một điểm bất kì ( chẳng hạn điểm M), còn lại 4 điểm phân biệt ta nối điểm M với 4 điểm còn lại

đó được 4 đường thẳng.

KÈ

Với 5 điểm đã cho ta có : 4 đường × 5 điểm. Nhưng với cách làm trên, mỗi đường ta đã tính hai lần. chẳng hạn, khi chọn điểm M ta nối M với N, ta có đường thẳng MN. Nhưng khi chọn điểm N, ta nối N với M, ta cũng có đường thẳng NM. Hai đường

thẳng này trùng nhau nên ta chỉ tính là một đường.

DẠ

Vậy số đường thẳng vẽ được là :

4×5 = 10 ( đường thẳng). 2

Bài tập 2. Vẽ bốn đường thẳng đôi một cắt nhau. Số giao điểm ( của hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) có thể là bao nhiêu ?

Hướng dẫn Khi vẽ bốn đường thẳng có thể xảy ra các trường hợp sau :

a) Bốn đường thẳng đó đồng quy : có một điểm chung ( H.a).

FI CI A

b) Có ba đường thẳng đồng quy, còn đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng đó : có 4 điểm ( H.b).

c) Không có ba đường thẳng nào đồng quy (đôi một cắt nhau) : có 6 điểm ( H.c).

Hình 3 nhiêu?

Hướng dẫn

QU Y

Bài toán đòi hỏi phải xét đủ các trường hợp:

ƠN

Bài tập 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng có thể bằng bao

Hình 4

a) Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm (H4a)

b) Có đúng ba đường thẳng đồng quy: - Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm (H4b)

KÈ

- Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm (H4c)

DẠ

b) Không có ba đường thẳng nào đồng quy

FI CI A

Hình 5 - Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm (H5a) - Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm (H5b)

ƠN

- Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm (H5c)

- Có đúng một cặp đường thẳng song song: 5 giao điểm (H5d,e) - Không có hai đường thẳng nào song song: 6 giao điểm (H5g)

Bài tập 4: Cho n điểm ( n ≥ 2) . Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn thẳng. a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng? b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng?

QU Y

c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng.

Hướng dẫn

a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n −1 điểm còn lại, ta vẽ được n −1 đoạn thẳng . Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có

n(n −1) đoạn thẳng. 2

b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, nhưng số phận đoạn thẳng phải đếm vẫn không thay đổi,

n( n −1) đoạn thẳng. 2

do đó vẫn có

n( n −1) = 1770 2

KÈ

c) Ta có

Do đó: n(n −1) = 1770.2 = 2 2.3.5.59 = 59.60

Suy ra n = 60 .

DẠ

Bài tập 5: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n ?

Hướng dẫn

Ta có

n(n −1) = 105 nên n( n −1) = 210 = 2.3.5.7 = 15.14 . 2

Vậy n = 15 .

FI CI A

Bài tập 6: Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng.

Hướng dẫn

Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: 19.20 : 2 = 190 .

Thực tế, trong a điểm này ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có: 190 − ( a −1) a : 2 + 1 = 170

⇒a=7

ƠN

Bài tập 7

Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là: ( a −1) a : 2

a) Cho bốn điểm A1,A2,A3,A 4 trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một

đường thẳng. Có bao nhiêu đường thẳng?

b) Cũng hỏi như thế với 5 điểm,10 điểm?

Hướng dẫn

a) Qua A1 kẻ được 3 đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4 Qua A2 kẻ được 2 đường thẳng A2 A3, A2A4

QU Y

Qua A3 kẻ được 1 đường thẳng A3 A4

Qua A4 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới. Vậy có tất cả 3+2+1=6 đường thẳng.

b) Nếu cho 5 điểm A1, A2 , A3 ,A4 , A5 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì (0,25) Qua A1 kẻ được 4 đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4, A 1A5

Qua A2 kẻ được 3 đường thẳng A3A2 , A2A5 , A2A4 Qua A3 kẻ được 2 đường thẳng A4 A3, A3A5

KÈ

Qua A4 kẻ được 1 đường thẳng A4A5 Qua A5 không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới Vậy có tất cả 4+ 3+2+1=10 đường thẳng. Lập luận như trên số đường thẳng kẻ được khi cho 10 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

là : 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 đường thẳng .

DẠ

Bài tập 8.

a) Có 25 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường

thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Nếu thay 25 điểm bởi n điểm ( n ∈ N và n ≥ 2 ) thì số đường thẳng là bao nhiêu?

đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

b) Cho 25 điểm trong đó có đúng 8 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các

đường thẳng. Biết rằng tất cả có 120 đường thẳng. Tìm m . Hướng dẫn a) Kể từ một điểm bất kỳ với các điểm còn lại vẽ được 24 đường thẳng. Làm như vậy với 25 điểm nên có 24.25 = 600 đường thẳng Do vậy số đường thẳng thực sự có là: 600 : 2 = 300 đường thẳng Lập luận tương tự có n điểm thì có: n.( n −1) : 2 (đường thẳng)

Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần

FI CI A

c) Cho m điểm ( m ∈ N ) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một

b) Nếu 25 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được 300 đường

ƠN

thẳng (câu a)

Với 8 điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: 8.7 : 2 = 28 đường thẳng

28 − 1 = 27 (đường thẳng)

Còn nếu 8 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: Số đường thẳng cần tìm là: 300 − 27 = 273 đường thẳng c) Ta có: m ( m − 1) : 2 = 120 ⇔ m ( m − 1) = 120.2

QU Y

⇔ m ( m − 1) = 240 ⇔ m ( m − 1) = 16.15  m = 15 Bài tập 9.

a) Cho 31 đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Tính số giao điểm có được. b) Cho m đường thẳng ( m ∈ N ) trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba

KÈ

Hướng dẫn

đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 190 . Tính

a) Mỗi đường thẳng cắt 30 đường thẳng còn lại tạo thành 30 giao điểm. Có 31 đường thẳng nên có 30.31 = 930 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có: 930 : 2 = 465 (giao điểm)

Nếu thay 31 bởi n ( n ∈ N và n ≥ 2 ) thì số giao điểm có được là:

DẠ

n ( n −1) : 2 (giao điểm)

b) m ( m − 1) : 2 = 190 ⇔ m (m − 1) = 380 ⇔ m (m − 1) = 20.19 . Vậy m = 20

Bài tập 10. Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Hỏi tất cả có bao nhiêu đoạn thẳng?

Hướng dẫn vậy 5 lần (vì có 5 điểm) nên ta có 5.4 =20 đoạn thẳng.

FI CI A

Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong 4 điểm còn lại, ta vẽ được 4 đoạn thẳng . Làm như Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 20 : 2 = 10 đoạn thẳng.

Bài tập 11. Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng? Hướng

Bài tập 12. Cho năm điểm phân biệt, trong đó có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đoạn thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng?

Bài tập 13. Cho bốn điểm phân biệt, trong đó có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một

ƠN

đoạn thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng? Bài tập 14: Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 20 điểm đó vẽ được tất cả bao

nhiêu đường thẳng?

Hướng dẫn

Nếu trong 20 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được

QU Y

Trong 7 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì tạo thành

20.(20 − 1) = 190 . (Đường thẳng). 2

7.(7 − 1) = 21 (Đường thẳng). 2

Vì 7 điểm thẳng hàng tạo thành 1 đường thẳng nên số đường thẳng giảm 21 - 1 = 20 (Đường thẳng). Vậy có 190 – 20 = 170 (Đường thẳng).

Bài tập 15:

a) Cho 15 điểm. Nối cặp hai điểm trong 15 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng mà mút

thuộc 15 điểm đã cho.

b) Với cách nối như trên, nhưng có 60 điểm thì có được bao nhiêu đoạn thẳng.( Mỗi đoạn thẳng có mút

KÈ

thuộc 60 điểm đã cho)

Hướng dẫn

a) Số đoạn thẳng: 15. 14 : 2 = 105

DẠ

b) Tổng quát số đoạn thẳng là: n = 60 nên số đoạn thẳng là:

n(n − 1) ( n là số điểm) 2

60(60 − 1) = 1770 ( đoạn) 2

Bài tập 16: Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó?

1000.999 đường thẳng 2

Số đường thẳn tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là:

3.2 = 3 đường thẳng 2

Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 3 – 1 = 2 đường thẳng. 1000.999 − 2 = 499498 ( đường thẳng) 2

Vậy số đường thẳng tạo thành là:

FI CI A

Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là:

Hướng dẫn

Bài tập 17: Cho 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng. Hỏi: a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong các điểm trên?

ƠN

b) Có bao nhiêu đoạn thẳng đi qua hai trong các điểm trên?

Hướng dẫn a) 2013.2012:2=2025078 ( đường thẳng)

Qua 2013 điểm trong đó khụng có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được Do 13 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là: 13.12:2-1=77 ( đường thẳng)

QU Y

=> Qua 2013 điểm trong đú chỉ có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ được 2025078-77=2025001( đường thẳng) b)

Vì số đoạn thẳng tạo thành khụng phụ thuộc vào số điểm thẳng hàng nên Qua 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ được

2013.2012:2=2025078 ( đoạn thẳng)

Bài tập 18: Trên tia Ox vẽ các điểm M1;M2;M3. Nếu trong mặt phẳng chứa tia Ox vẽ thêm các điểm

KÈ

M4; M5; M6; ...; M101; M102. Trong các điểm M1; M2; M3; M4; ...; M101; M102 có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao?

Hướng dẫn

Giả sử trong các điểm M1; M2; M3; M4; ...; M101; M102 (1) không có ba điểm nào thẳng hàng Từ một điểm bất kỳ trong (1) ta vẽ được 101 đường thẳng qua các điểm còn lại trong (1)

DẠ

Làm như thế với 102 điểm ta được 101.102 = 10302 đường thẳng Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần nên tất cả chỉ có

10302 : 2 = 5151 (đường thẳng)

Vì trong (1) có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2 Vậy số đường thẳng cần tìm là: 5151 – 2 = 5149 (đường thẳng).

Dạng 3: Tính số giao điểm của các đường thẳng

FI CI A

* Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm (1 giao điểm)

* Nếu có n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy => Số giao điểm là:

n(n −1) 2

* Chú ý: Nếu biết số giao điểm thì tìm được số đường thẳng.

Bài tập 1: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. Hướng dẫn

ƠN

- Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm. - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao điểm. - Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là : Vậy số giao điểm là: 5050 giao điểm

10100 : 2 = 5050 giao điểm.

Bài tập 2: Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.

QU Y

Hướng dẫn

Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng

 có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần  số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm Bài tập 3: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường Hướng dẫn

n(n −1) = 780 ta tính được n = 40 2

KÈ

Từ

thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780 . Tính n ?

Dạng 4: Vẽ tam giác. Tính số tam giác tạo thành

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn tạo thành một tam giác ABC.

DẠ

Với n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta vẽ được Bài tập 1:

a) Vẽ tam giác ABC biết BC = 5cm, AB = 3cm, AC = 4cm .

n.(n − 1).(n − 2) tam giác. 6

b) Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên. Vẽ tia AO cắt BC tại H , tia BO cắt AC tại I , tia

CO cắt AB tại K . Trong hình đó có bao nhiêu tam giác. a) Vẽ đoạn thẳng BC = 5cm Vẽ cung tròn ( B;3cm) Vẽ cung tròn (C ; 4cm) Lấy giao điểm A của hai cung trên. Vẽ đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC . Có 6 tam giác “đơn” là AOK ; AOI ; BOK ; BOH ; COH và COI .

Có 3 tam giác “Ghép đôi” là AOB; BOC ; COA . Có 6 tam giác “Ghép ba” là ABH ; BCI ; CAK ; ABI ; BCK ; CAH .

ƠN

Có một tam giác “Ghép 6 ” là tam giác ABC .

FI CI A

Hướng dẫn

Vậy trong hình có tất cả 6 + 3 + 1 + 6 = 16 (tam giác).

Bài tập 2: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; B. Tính số tam giác tạo thành

Hướng dẫn

...; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; A3; ...; A2004 ;

Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1; A2; A3; ...; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó.

QU Y

Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác.

Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015

=5 Bài tập 3: Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù thỏa mãn: xOy yOz . Khi Oy là tia phân giác 4

KÈ

của góc tOz. Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng phân biệt sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz và Ot. Vẽ đường tròn tâm O bán kính r. Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ. Tính số tam giác mà các đỉnh của nó đều thuộc tập

hợp A.

Hướng dẫn

Hình 2

DẠ

Khi Oy là tia phân giác của góc tOz thì 4 tia Ox, Oy, Oz, Ot là

4 tia phân biệt.

t z

- Lập luận để có 50.2 + 4 = 104 tia gốc O phân biệt, suy ra A có 104 điểm (phần tử).

104.103 = 5356 đoạn thẳng nối 2 trong 104 điểm của A 2

- Lập luận để có

FI CI A

- Nối hai đầu của mỗi đoạn thẳng đó với 1 điểm thuộc 102 điểm còn lại (không phải là các mút của

đoạn thẳng đó) được 102 tam giác

- vậy có 5356.102 tam giác. Nhưng như thế thì mỗi tam giác được tính 3 lần. Vậy ta có

5356.102 = 182 104 (tam giác) 3

Bài tập 4: Giả sử trên tia Ay lần lượt lấy các điểm : A1 , A2 , A3 , ….., An đôi một khác nhau và khác A. Nối CA1 ; CA2 ; CA3 ; …..;CAn . Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam giác khác nhau. Vậy trên Ay có bao nhiêu điểm phân biệt khác A?

Hướng dẫn

Tính được n = 19 Kết luận trên Ay có 18 điểm phân biệt khác A

n( n − 1) tam giác khác nhau 2

ƠN

Tính được: Có n điểm khác nhau trên Ax thì có

Bài tập 5: Cho 20 điểm cùng nằm trên một đường tròn và không trùng nhau. Hỏi vẽ được bao nhiêu hình tam giác nhận 3 trong 20 điểm là đỉnh?

Hướng dẫn

QU Y

Chọn 1 trong 20 điểm nối với 19 điểm còn lại ta có 19 đoạn thẳng, có 20 điểm nên có 20. 19= 380 (đoạn thẳng)

Mà mỗi đoạn tính 2 lần nên có (19. 20): 2 = 190 đoạn thẳng Hai mút đoạn thẳng với 18 điểm còn lại ta có 1 hình tam giác, có 190 đoạn thẳng nên có 190. 18 tam giác

Mà mỗi tam giác tính 3 lần nên có (190.18):3 = 1140 (tam giác)

Bài tập 6: Cho 10 điểm thuộc đường thẳng a và một điểm nằm ngoài đường thẳng ấy. Có bao nhiêu

KÈ

tam giác có các đỉnh là ba trong 11 điểm trên?

Hướng dẫn

Có bao nhiêu đoạn thẳng nằm trên đường thẳng a thì có bấy nhiêu tam giác.

Đáp số: 45 tam giác.

Bài tập 7: Cho tam giác ABC , điểm D nằm giữa A và C , điểm E nằm giữa A và B . Các đoạn

DẠ

thẳng BD và CE cắt nhau ở K . Nối DE . Tính xem có bao nhiêu tam giác trong hình vẽ?

Đáp số:

Có 5 tam giác “đơn”, có 4 tam giác “đôi”, có 2 tam giác “ba”, có 1 tam giác “năm”, tất cả có 12 tam

Dạng 5: Bài tập liên quan tới trung điểm đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng.

giác.

FI CI A

Nếu điểm M nằm giữa điểm A và điểm B thì AM + MB = AB . Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B .

Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B ; điểm N nằm giữa hai điểm M và B thì AM + MN + NB = AB Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB =

AB thì M là trung điểm của AB 2

Nếu M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và MA =

AB 2

Bài tập 1. Đoạn thẳng AB= 36 cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau là các

ƠN

đoạn thẳng AM, MN, NP và PB. Gọi E, F, H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM, MN, NP và PB. Biết độ dài của đoạn thẳng EH = 30cm. Tính độ dài của đoạn thẳng FG.

Hướng dẫn Vậy AE + HB = 36 – 30 = 6(cm). AM 2

(1) ; HB =

Từ (1) và (2) ta có : AE + HB =

PB 2

(2) (E và H là trung điểm của AM và PB)

QU Y

Mà AE =

- Theo đầu bài : AB = 36 cm, EH = 30 cm.

AM PB AM + PB + = 2 2 2

AM + PB = 6  AM + PB = 12(cm) 2 Mà AE + HB = 6(cm) , nên

KÈ

Vậy, MP = AB – ( AM +PB ) = 36 – 12 →MP = 24 (cm). - Theo đầu bài : F là trung điểm của MN, nên Và G là trung điểm của NP, nên

NG =

NP 2

FN =

MN 2

(3) (4)

DẠ

Từ (3) và (4) suy ra : FN + NG =

MN NP MN + NP + = 2 2 2

(5)

Theo thứ tự lấy các điểm chia và thứ tự lấy trung điểm các đoạn thẳng, thì N là điểm nằm giữa hai

điểm F và G; N là điểm nằm giữa hai điểm M và P. Vậy FN + NG = FG và MN + NP = MP. MP 24 = = 12(cm) 2 2 .

FI CI A

Thay vào (5) ta có :

FG =

Vậy độ dài đoạn thẳng FG là 12 cm.

Bài tập 2. Các điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và AC. Chứng tỏ rằng : BC = 2MN. Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ từng trường hợp đó.

Hướng dẫn Khi vẽ hình có hai trường hợp:

- Trường hợp 1( H.a) : Hai điểm B và C ở cùng phía với A, tức là hai tia AB và AC trùng nhau.

ƠN

+ Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : AB > AC, AC > AB ( hai trường hợp chứng minh tương tự ). Ta chứng tỏ AB < AC: AC 2

M là trung điểm của AB, nên : AM =

AB 2

AN − AM =

QU Y

Từ (1) và (2) ta có :

(1)

N là trung điểm của AC, nên : AN =

(2)

AC AB AC − AB − = 2 2 2

(3)

Ta xét AB < AC, nêm điểm B nằm giữa hai điểm A và C. AC = AB + BC => BC = AC - AB

(4)

AB < AC => AM < AN nên điểm M nằm giữa hai điểm A và N. (5)

AN = AM + MN => MN = AN - AM

KÈ

Thay (4) và (5) vào (3), ta có: MN = BC/2 hay BC = 2MN

- Trường hợp 2 ( H.b) : Hai điểm B và C thuộc hai tia đối AB và AC. Suy ra hai trung điểm cũng thuộc

DẠ

hai tia đối nhau. M là trung điểm của AB, nên : AM =

AB 2

(6)

N là trung điểm của AC, nên : AN =

AC 2

(7)

AB + AC 2

(8)

Mà AB và AC là hai tia đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C. BC = BA + AC

(9)

FI CI A

AM + AN =

Từ ( 6) và (7) có :

M ∈ AB và N∈ AC là hai tia đối, nên điểm A nằm giữa hai điểm M và N và ta có: (10)

Thay (9) và (10) vào (8), ta có : MN =

BC hay BC = 2MN. 2

MN = AM + AN

Bài tập 3. các điểm A, B, C nằm trên một đoạn thẳng. Biết rằng AB= 12cm, BC = 13,5cm. Độ dài đoạn thẳng AC có thể bằng bao nhiêu? Chỉ rõ từng trường hợp.

ƠN

Hướng dẫn Xét hai trường hợp : Vậy, điểm A nằm giữa hai điểm B và C. Ta có: BC = BA + AC. Thay số vào ta được : 13,5 = 12 + AC.

QU Y

Vậy AC = 1,5 ( cm).

- Trường hợp 1 ( H.a) : Hai điểm B và C ở hai tia đối nhau AB và AC.

- Trường hợp 2 ( H.b) : Hai điểm B và C ở cùng phía với điểm A. Vì BC > BA ( 13,5 cm > 12cm), nên không thể xảy ra trường hợp điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Chỉ có thể xảy ra điểm B nằm giữa hai điểm A và C.

Ta có : AC = AB + BC  AC = 12 + 13,5 = 25,5 (cm). Vậy AC = 25,5 (cm).

KÈ

Bài tập 4. Đoạn thẳng AB có độ dài 28cm. Được chia thành ba đoạn thẳng không bằng nhau theo thứ tự AC, CD và DB. E và F là trung điểm của đoạn thẳng AC và DB. Biết độ dài đoạn EF = 16cm. Tìm

độ dài đoạn CD.

Hướng dẫn

DẠ

Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AC, CD, DB. Vậy, hai điểm C và D nằm giữa hai điểm A và B, hay đoạn thẳng CD nằm giữa hai đoạn thẳng AC và DB.

AC 2

(1)

F là trung điểm của DB nên FB =

DB 2

(2)

Từ (1) và (2) có : AE + FB =

FI CI A

E là trung điểm của AC nên AE =

AC DB AC + BD +  AE + FB = 2 2 2

Trong đó AE + FB = AB – EF. AC + BD = 28 − 16 = 12 2

Vậy, AE + FB =

Suy ra: AC + BD = 24 (cm). Vậy đoạn CD = AB – ( AC + BD ) = 28 – 24 = 4 (cm).

Bài tập 5. Cho đoạn thẳng AB= 6cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C. Biết E là trung điểm của đoạn thẳng CA, F là trung điểm của đoạn thẳng CB.

ƠN

a) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn CB lớn hơn độ dài đoạn CA. b) Tìm độ dài đoạn EF.

Hướng dẫn

a) Điểm C thuộc tia đối của tia AB, nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C. Vậy ta có : BC = BA + AC.

Độ lớn của các đoạn BC, BA, BC là các số dương, nên tổng hai số phải lớn hơn một số hạng. Vậy, BC phải lớn hơn AC.

CB 2

QU Y

b) F là trung điểm của đoạn CB, nên : CF = E là trung điểm của đoạn CA, nên : CE =

CA 2

(1) (2)

Mà CA < Cb ( câu a), nên CE < CF, chứng tỏ điểm E nằm giữa hai điểm C và F. Suy ra : CF = CE + EF

 EF = CF – CE

KÈ

Thay (1) và (2) vào (3), ta có : EF =

(3) CB CA CB − CA AB 6 − = = = = 3(cm) . 2 2 2 2 2

Vậy EF = 3 cm.

Bài tập 6. Đoạn thẳng AB có độ dài bằng a được chia thành ba đoạn thẳng bởi hai điểm chia P, Q theo

thứ tự là đoạn AP, PQ và QB sao cho AP = 2PQ = 2 QB. Tìm khoảng cách giữa

DẠ

a) Điểm A và điểm I là trung điểm của QB b) Điểm E là trung điểm của đoạn AP và điểm I

Hướng dẫn

a) Đoạn AB được chia thành ba đoạn theo thứ tự AP, PQ, QB. Mà AP = 2 PQ

(1)

2QP = 2QB  PQ + QB

(2)

Vậy AB = 2QB + BQ + QB  AB = 4QB

(3)

I là trung điểm của QB, nên : IB =

QB 2

FI CI A

Vậy AB = AP + PQ + QB.

(4)

Vậy ta có : AB = AI + IB

Vậy

IB =

(5) AB QB AB  = 4 2 8 .

ƠN

Từ (3) ta có :

AB = 4QB  QB =

I là trung điểm của QB, mà Q nằm giữa hai điểm A và B, nên I cũng nằm giữa hai điểm A và B.

QB AB = 2 8

(6)

Thay (6) vào (5) có :

AB AB 8 AB − AB 7 AB 7 a  AI = AB − =  AI = = (cm) 8 8 8 8 8

AB = AI +

( a là độ dài đoạn AB ).

Theo (1) : 2QB = AP. Vậy ta suy ra :

QU Y

b) Theo (3) : AB = 4QB.

AB = 2 AP  AP =

Mà E là trung điểm của AP, nên

AB 2

EP =

AP AB = 2 4 .

(7)

QB AB = 8 Theo (6) : 2

AB AB , mà PQ + QB, vậy : PQ = . 4 4

KÈ

Suy ra QB =

QB AB AB . =  QB = 2 8 4

Theo (6) :

Mà I là trung điểm của QB, nên QI =

DẠ

(8)

Thay QB =

AB AB , có QI = 4 8

QB . 2 (9)

Theo đầu bài, đoạn AB được chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP, PQ, QB nên EI = EP + PQ + QI

 EI =

AB AB AB + + 4 4 8

5 AB 5a  EI = (cm) , ( a là độ dài đoạn AB). 8 8

FI CI A

Thay (7), (8), (9) vào (10) có: EI =

(10)

Bài tập 7: Trên tia Ox vẽ các điểm M1;M2;M3 sao cho OM1 = 12cm; OM2 = 19cm; OM3 = 26cm. Điểm M2 có là trung điểm của đoạn thẳng M1M3 hay không? Vì sao?

Hướng dẫn Tính được M2M3 = 7 cm Tính được M1M2 = 7 cm Suy ra M1M2 = M2M3

(1)

Trên tia Ox ta có OM1< OM2< OM3 => M2 nằm giữa M1 và M3

(2)

ƠN

Từ (1); (2) => M2 là trung điểm của đoạn thẳng M1M3

Bài tập 8: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của CA + CB 2

tia BA thì CM =

Hướng dẫn

CA = MA + CM

QU Y

CB = MB - CM

Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB)  CM =

CA − CB 2

Bài 10: Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C , D , biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OA = 2cm; BC = 4cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD . Tính độ dài các đoạn BD; AC .

Hướng dẫn

KÈ

Vì A nằm giữa B và C nên BA + AC = BC ⇒ BA + AC = 4 (1) Lập luận ⇒ B nằm giữa A và D . Theo gt OD < OA ⇒ D nằm giữa O và A .

Mà OD + DA = OA ⇒ 2 + DA = 5 ⇒ DA = 3cm

DẠ

Ta có DB + BA = DA ⇒ DB + BA = 3 (1) - (2) => AC − BD = 1

Theo đề ra: AC = 2 BD thay vào (3) Ta có 2 BD − BD = 1 ⇒ BD = 1

(2) (3)

⇒ AC = 2 BD ⇒ AC = 2cm

Bài 11: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4cm; OB = 6cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3cm . So sánh AB với AC .

A •

C •

O •

FI CI A

Hướng dẫn

B •

Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm giữa O và B Suy ra AB = OB − OA ; AB = 6 − 4 = 2(cm)

Hai điểm A và C trên tia BA < BC (2 < 3) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C

Suy ra AC = BC − BA = 3 − 2 = 1(cm) Vậy AB > AC (2 > 1) .

Bài 12: Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C , D . Biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ;

ƠN

OA = 7cm; OD = 3cm; BC = 8cm và AC = 3BD . Tính độ dài AC .

b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD . a) Tính độ dài AC .

DxB • •

O •

A •

QU Y

Đặt BD = x(cm) ⇒ AC = 3x (cm)

Hướng dẫn

C •

Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA ) nên: OD + DA = OA ⇒ DA = 4

⇒ DB + BA = 4 hay x + BA = 4

(1)

Vì A nằm giữa B và C nên: BA + AC = BC hay 3 x + BA = 8

(2)

Từ (1) và (2) ta có: (3 x + BA) − ( x + BA) = 8 − 4

⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 ⇒ AC = 3.2 = 6(cm)

KÈ

b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD . Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x = 2 ⇒ BA = 2 Mà BD = x = 2

⇒ BD = BA(= 2) ⇒ B là trung điểm của đoạn thẳng AD .

DẠ

Bài 13: Trên tia Ox lấy hai điểm M và N , sao cho OM = 3cm và ON = 7cm . a) Tính độ dài đoạn thẳng MN .

b) Lấy điểm P trên tia Ox , sao cho MP = 2cm . Tính độ dài đoạn thẳng OP .

c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P . Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN .

Hướng dẫn

M •

P •

•

a) Do M , N cùng thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O và N

FI CI A

⇒ OM + ON = ON

O •

⇒ 3 + MN = 7 ⇒ MN = 7 − 3 = 4(cm) Vậy MN = 4(cm) . b) TH1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P

⇒ OP = OM + MP ⇒ OP = 3 + 2 = 5(cm) TH2: Nếu P nằm giữa O và M ⇒ OM = OP + PM

⇒ 3 = OP + 2 ⇒ OP = 1(cm) .

⇒ OP + PN = ON ⇒ 5 + PN = 7 ⇒ PN = 2(cm)

ƠN

c) M nằm giữa O và P ⇒ OP = 5(cm) < ON = 7(cm) nên P nằm giữa O và N

Do đó: MP = PN , mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN

Gọi I là trung điểm của AB . a) Tính IC ?

Bài 14: Cho đường thẳng xy . Trên xy lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = a (cm); AC = b(cm) (b > a ) .

b) Lấy 4 điểm M ; N ; P; Q nằm ngoài đường thẳng xy . Chứng tỏ rằng đường thẳng xy hoặc không

Hướng dẫn

QU Y

cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong các đoạn thẳng sau: MN , MP, MQ, NP, NQ, PQ .

a) TH1: B, C nằm cùng phía với nhau so với điểm A

x Tính được IC = b − a

B •

A •

•

A •

•

C •

TH2: B, C nằm khác phía so với điểm A .

KÈ

Tính được IC = b + b)

a 2

C •

*) TH1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy

DẠ

không cắt các đoạn thẳng: MN , MP, MQ, NP, NQ, PQ .

*) TH2: Nếu có 3 điểm (giả sử: M ; N ; P ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 1

điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 3 đoạn thẳng sau:

FI CI A

MQ, NQ, PQ .

*) TH3: Nếu có 2 điểm (giả sử M ; N ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 2 điểm ( P; Q) nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 4 đoạn thẳng sau: MP; MQ; NP; NQ .

Bài tập 15: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.

a) Chứng tỏ rằng OA < OB.

b) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O.

c) Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB. Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP . Chứng tỏ rằng

ƠN

tia OH cắt đoạn NP tại một điểm E nằm giữa N và P

Hướng dẫn

E H

QU Y

a) Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau

Suy ra điểm A nằm giữa điểm O và điểm B Vậy OA < OB

b) Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB Suy ra OM = (1/2) . OA, ON = (1/2) . OB

Theo câu a vì OA < OB nên OM < ON M, N thuộc tia OB nên M nằm giữa O và N

KÈ

Suy ra OM + MN = ON Suy ra MN = ON – OM

MN = (1/2) .OB – (1/2) . OA = (1/2) .(OB – OA)= (1/2) AB

AB có độ dài không đổi nên MN không đổi

DẠ

c) Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E năm giữa N và P

Bài tập 16: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.

a) Chứng tỏ rằng OA < OB.

FI CI A

b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

Hướng dẫn

a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B  OA < OB b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB  OM =

ƠN

Vì OA < OB, nên OM < ON.

OA OB ; ON = 2 2

Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N. c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N  OM + MN = ON

 MN =

 MN = ON − OM

OB − OA AB = 2 2

Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc

QU Y

vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

Bài tập 17 : Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a (cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

1 (a+b). 2

KÈ

Hướng dẫn

a) Vì OB <OA (do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +AB= OA

Từ đó suy ra: AB = a-b.

DẠ

b) Vì M nằm trên tia Ox và OM = = OB +

OA − OB 1 = OB + AB 2 2

1 a + b 2b + a − b a−b ( a + b) = = =b+ = 2 2 2 2

 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM

Bài tập 18: Cho đoạn thẳng AB =1m. Lấy A1 là trung điểm của đoạn thẳng AB, A2 là trung điểm của AA1, A3 là trung điểm của AA2, … cứ tiếp tục như vậy cho đến A20 là trung điểm của AA19. Tính AA1

FI CI A

+ AA2 + AA3 + ... + AA20.

Hướng dẫn

AA1 =

1 AB, 2

AA2 =

1 1 AA1 = 2 AB, 2 2

AA3 =

1 1 AA2 = 3 AB, ..., 2 2 1 AB. 2 20

ƠN

AA20 =

Ta có:

Khi đó:

1 1 1 1 + 2 + 3 +... + 20 2 2 2 2

Thì 2T =1 +

1 1 1 1 + 2 + 3 +... + 19 2 2 2 2

Do đó 2T -T =T =1 -

QU Y

Đặt T =

1 1 1 1 + 2 + 3 +... + 20 )AB 2 2 2 2

AA1+AA2+AA3+ ... +AA20 =(

2 20 − 1 1 = . 2 20 2 20

Vậy AA1+AA2+AA3+ ... +AA20 = T.AB =

2 20 − 1 2 20 − 1 .1 = (m) 2 20 2 20

Bài tập 19: Cho đoạn thẳng AB=2 2014cm. Lần lượt lấy điểm M1, M2, M3, . . ., M2014 là trung điểm của

KÈ

Hướng dẫn

các đoạn thẳng AB, AM1, AM2, . . . , AM2013 .Tính BM2014?

Vì M1 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB => AM1 =

1 AB 2

Vì M2 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AM1 => AM2=

DẠ

Vì M3 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AM2 => AM3= .......

Vì M2014là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AM2013

1 1 AM1= 2 AB 2 2

1 1 AM2= 3 AB 2 2

=> AM2014 =

1 2 2014

AB =

1 2 2014

2 2014 = 1( cm)

Từ (1), (2), (3), ..., (2014) suy ra M2014 nằm giữa Avà B

FI CI A

=> AM2014 + BM2014 = AB ; BM2014 = AB - AM2014 => BM2014=2 2014 – 1 Vậy BM2014=2 2014-1

Bài tập 20: Cho AB=2 2014 cm. Gọi C 1 là trung điểm của AB; Gọi C 2 là trung điểm của A C 1 ; Gọi C 3 là trung điểm của AC 2 ;…; Gọi C 2014 là trung điểm của AC 2013 . Tính C 1 C 2014 .

Vì C 1 là trung điểm của AB nên AC 1 =AB/2

Hướng dẫn

(1)

Vì C 2 là trung điểm của A C 1 nên AC 2 = AC 1 /2=AB/2 2 3

ƠN

Vì C 3 à trung điểm của A C 2 nên AC 3 = AC 2 /2=AB/2

(2)

…

VÌ C 2014 là trung điểm của AC 2013 nên AC 2014 = AB/2 2014 =1

(3)

(2014)

Do đó AC 2014 + C 1 C 2014 =AC 1 Vậy C 1 C 2014 =2 2013 -1

TỪ (1), (2),(3),…,(2014) suy ra C 2014 nằm giữa A và C 1

QU Y

Câu 1. PHẦN II.BÀI TOÁN THƯỚNG GẶP TRONG ĐỀ HSG (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 11) a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm ; AB = 3cm ; AC = 4cm . b. Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia BO cắt AC tại I ,tia CO cắt AB tại K . Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác. Lời giải a. Vẽ đoạn thẳng BC = 5cm Vẽ cung tròn ( B;3cm )

Vẽ cung tròn ( C ; 4cm )

KÈ

Lấy giao điểm A của hai cung trên. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC .

DẠ

b. Có 6 tam giác “đơn” là AOK ; AOI ; BOK ; BOH ; COH ; và COI . Có 3 tam giác “Ghép đôi” là AOB; BOC; COA . Có 6 tam giác “Ghép ba” là ABH ; BCI ; CAK ; ABI ; BCK ; CAH . Có một tam giác “Ghép 6” là tam giác ABC . Vậy trong hình có tất cả 6+3+1+6 = 16(Tam giác). Câu 2. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 12) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao ch OA = a ( cm ) , OB = b ( cm )

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

1 ( a + b). 2

1 a + b 2b + a − b a−b ( a + b) = = =b+ = 2 2 2 2

OA − OB 1 = OB + AB 2 2  M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM = OB +

b)Vì M nằm trên tia Ox và OM =

FI CI A

Lời giải a) Vì OB < OA ( do b < a ) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB + OA = OA Từ đó suy ra: AB = a − b .

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a

ƠN

(ĐỀ HSG 6 SỐ D - 15) Câu 3. Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C , D . biết rằng A nằm giữa B và C ; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD . Tìm độ dài các đoạn BD; AC . Lời giải

QU Y

Vì A nằm giữa B và C nên BA + AC = BC  BA + AC = 4 (1) Lập luận  B nằm giữa A và D . Theo gt OD < OA  D nằm giữa O và A. Mà OD + DA = OA  2 + DA = 5  DA = 3 cm Ta có DB + BA = DA  DB + BA = 3 (2) (1) – ( 2 ) AC – DB = 1 (3 ) Theo ĐỀ HSG 6 ra : AC = 2 BD thay vào ( 3 )

DẠ

KÈ

Ta có 2 BD – BD = 1  BD = 1  AC = 2 BD  AC = 2 cm Câu 4. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 14) a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b.Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. Lời giải a.Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối của tia BA. Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau  B nằm giữa A và C AC = AB + BC = 12 cm.

ƠN

FI CI A

*TH 2 : C thuộc tia BA. C nằm giữa A và B (Vì BA > BC )  AC + BC = AB AC = AB − BC = 4 cm. b. - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm. - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm. -Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là : 10100 : 2 = 5050 giao điểm. Câu 5. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 20) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2 ; A3 ; ...; A2004 . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2 ; A3 ; ...; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành Lời giải Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1 ; A2 ; A3 ; ...; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trsên AB để tạo thành 2005 tam giác. Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015 Câu 6. (ĐỀ HSG 6 SỐ D - 19) Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ; OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .So sánh AB với AC Lời giải x

mà OA < OB ( 4 < 6 ) nên điểm A năm giữa O và B suy ra

QU Y

Hai điểm A và B trên tia Ox

AB = OB – OA  AB = 6 – 4 = 2 ( cm )

Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC

(

2 < 3 ) nên điểm A năm giữa hai điểm B và C

Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 ( cm ) Vậy AB > AC

(

2 > 1)

KÈ

Câu 7. (Đề số 85 Trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai 2013-2014) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB. b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Lời giải

a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai đ O và B  OA< OB. b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :

DẠ

 OM =

OA OB ; ON = 2 2

Vì OA < OB, nên OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.

QU Y

ƠN

FI CI A

Câu 8. (Đề số 89 Trường THCS Lập Lễ 2013-2014) 1. Cho trước 6 điểm .Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. a) Nếu trong 6 điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường thẳng ? Nếu trong 6 điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường thẳng ? b) 2.Cho trước n điểm ( n ∈ N ; n ≥ 2) .Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 28 đoạn thẳng .Tìm n. Lời giải 1.a) Chọn một trong số 6 điểm đã cho rồi nối điểm đó với 5 điểm còn lại ta được 5 đường thẳng. Làm như vậy với tất cả 6 điểm ta được 5.6 đường thẳng.Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần( Vì 5.6 đường thẳng AB với đường thẳng BA chỉ là một ) do đó chỉ có = 15 (đường thẳng) 2 b. Nếu không có ba điểm thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được là 15 Nếu 3 điểm không thẳng hàng thì qua ba điểm này vẽ được 3 đường thẳng Nếu 3 điểm thẳng hàng thì qua ba điểm này vẽ được 1 đường thẳng Do đó số đường thẳng giảm đi là 3-1=2 Vậy tất cả có 15-2=13 (đường thẳng) 2) Chọn một trong số n điểm đã cho rồi nối với n-1 điểm còn lại ta được n-1 đoạn thẳng Làm như vậy với tất cả n điểm ta được n.(n-1 ) đoạn thẳng .Nhưng mỗi đoạn thẳng được tính hai lần n.( n − 1) .Do vậy có (đoạn thẳng) 2 Vì tất cả có 28 đoạn thẳng nên ta có n.( n − 1) = 28 2  n.( n − 1) = 56  n = 8 Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ điểm N nằm giữa M và B. Câu 9. Cho biết MN = a (cm); NB = b (cm). a) Tính AB. Giải: a) AB = 2MB = 2(MN + NB) = 2( a + b) Câu 10. Cho đoạn thẳng AB = 7cm. Điểm C nằn giữa Avà B sao cho AC = 2cm. Các điểm D,E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB. Gọi I là trung điểm của DE. tính DE và CI. E

DẠ

KÈ

Giải: + Ta có: AC + CB = AB ( vì C nằm giữa AB) nên CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + Vì D và E nằm giữa A,B nên AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (vì D là trung điểm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (vì E là trung điểm BC) Vậy DE = 7 - 1 - 2,5 = 3,5 (cm) + Vì I là trung điểm của DE Nên DI = 1/2 DE = 1/2 .3,5 = 1,75(cm) Suy ra AI = AD + DI = 1 + 1,75 = 2,75 + Ta thấy AD < AC < AI nên (nằm giữa D và I) nên DC + CI = DI Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - 1 = 0,75 (cm). Kết luận: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm.

FI CI A

Câu 11. (Đề thi HSG 6) Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Lời giải Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thẳng

QU Y

ƠN

Làm như vậy với 100 điểm ta được 99.100 đường thẳng Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần, do đó tất cả có 99.100 : 2 = 4950 đường thẳng. Câu 12. (Đề thi HSG 6) Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu. Lời giải 24 × 25 n( n − 1) Có = 300 đường thẳng. Với n điểm có đường thẳng. 2 2 Câu 13. (Đề thi HSG 6) Cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n? Lời giải n ( n − 1) Số đường thẳng vẽ được qua n điểm: = 105 2  n .(n – 1) = 210 = 2 . 5 . 3 . 7 = 10 . 14  n. (n – 1) = 6 . 35 = 15 . 14. Vì n và n – 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14. Câu 14. (Đề thi HSG 6) Cho đoạn thẳng AB = 7cm . Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4cm m. Trên tia BA lấy điểm AB sao cho KB = 2cm . a. Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K . b. Tính IK . Lời giải a) Trên tia BA ta có KB = 2cm , AB = 7cm nên AB = 7cm do đó điểm K nằm giữa A và B .

4cm

2cm

DẠ

KÈ

 AK + KB = AB  AK + 2 = 7  AK = 5cm Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (4 < 5) ) nên điểm I nằm giữa A và K . b) Do điểm I nằm giữa A và K . Nên IA + IK = AK Hay 4 + IK = 5  IK = 1 Câu 15. (Đề thi HSG 6) Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A , nằm cùng phía đối với B . Điểm M nằm giữa A và B . Biết AB = 5cm ; AM = 3cm ; BN = 1cm . Chứng tỏ rằng: a. Bốn điểm A , B , M , N thẳng hàng

FI CI A

b. Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB . c. Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròng tâm A , đi qua N , chúng cắt nhau tại C , tính chu vi của ∆ CAN . Lời giải

ƠN

QU Y

a. Bốn điểm A , B , M , N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN . b. BM = AB − AM = 2cm M ,N ∈ tia AB mà BM > BN ( 2 > 1)  N năm giữa B và M .  MN = BM − BN = 1cm = BN  N là trung điểm của BM . c. Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = BN = 1 = cm Đường tròn tâm A , đi qua N nên  AC = AN = AM + NM = 4cm Chu vi ∆ CAN = AC + CN + NA = 4 + 4 + 1 = 9cm . Câu 16. (Đề thi HSG 6) Cho đoạn thẳng AB . Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho CA ≤ CB Lời giải A

DẠ

KÈ

Gọi M là trung điểm của AB  AM = MB và M ∈ AB Xét 3 trừơng hợp a ) C ≡ M ta có AM = MB  CA = CB b ) C nằm giữa A và M  CA < MA  CA < MB (1) M nằm giữa C và B nên MB < CB (2) Từ (1) & (2)  CA < CB c ) C nằm giữa M và B  CB < MB  CB < MA ( 3) M nằm giữa C và A nên MA < AC (4) Từ (3) và (4)  CA < CB Tóm lại C ∈ AB thì ta luôn có CA ≤ CB . Câu 17. (Đề thi HSG 6) Vẽ đoạn thẳng AB = 5cm Lấy 2 điểm C , D nằm giữa A và B sao cho : AC + BD = 6cm a. Chứng tỏ điểm C nằm giữa B và D . b.Tính độ dài đoạn thẳng CD .

ƠN

FI CI A

a) C nằm giữa A và B nên : AC + CB = AB = 5cm Và AC + BD = 6cm  AC + CB < AC + BD  CB < BD nên C nằm giữa B và D b ) BD = BC + CD vì AC + BD = 6cm nên AC + BC + CD = 6cm  ( BC + AC ) + CD = 6  CD = 6 − 5 = 1cm Vậy CD = 1 cm Câu 18. (Đề 17) Người ta trồng 12 cây thành 6 hàng, mỗi hàng có 4 cây. Hãy vẽ sơ đồ vị trí của 12 cây đó. Lời giải

Câu 19. (Đề 19)Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ; OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .So sánh AB với AC . Lời giải x

Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm giữa

O và B suy ra AB = OB – OA AB = 6 – 4 = 2 (cm)

QU Y

Hai điểm A và C trên tia BA mà BA < BC (2 < 3) nên điểm A nằm giữa hai

điểm B và C Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1(cm) ậy AB > AC (2 > 1)

DẠ

KÈ

Câu 20. (Đề thi HSG 6) Trên tia Ox lấy các điểm A, B, C, D sao cho OA=1cm, OB = 5 cm, AC= 3 cm, BD= 6cm. a, Chứng minh rằng điểm C nằm giữa 2 điểm A và B. b, Tính độ dài đoạn thẳng CD. Câu 21. (Đề thi HSG 6) a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b. Hai đoạn thẳng AB và CD không cùng nằm trên một đường thẳng. Chúng có thể có mấy điểm chung? Vì sao? Lời giải: a. Xét hai trường hợp 4cm

8cm

Trường hợp 1: Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau

 B nằm giữa A và C  AC = AB + BC = 12 cm.

ƠN

FI CI A

Trường hợp 2: C thuộc tia BA. C nằm giữa A và B (vì BA > BC)  AC + BC = AB  AC = AB - BC = 4 cm. b. Hai đoạn thẳng AB và CD chỉ có nhiều nhất 1 điểm chung, vì nếu có 2 điểm chung thì A, B, C, D thuộc 1 đường thẳng, trái với giả thiết. Cho 100 điểm trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Giải Chia 100 điểm thành 2 tập hợp A gồm 3 điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm còn lại. Số đường thẳng trong tập hợp A là 1 97.96 Số đường thẳng trong tập hợp B là = 4656 2 Số đường thẳng qua 1 điểm thuộc tập hợp A và điểm thuộc tập hợp B là 3.97 = 291. Vậy số đường thẳng đi qua 100 điểm trong đó có 3 điểm thẳng hàng là: 1 + 4656 + 291 = 4948 (đường thẳng). Câu 22. HSG HUYỆN 2013 – 2014 Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA = 7cm; OD = 3cm; BC = 8cm và AC =3BD. a) Tính độ dài AC. b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD. Giải 3x

QU Y

Đặt BD = x ( cm )  AC = 3x ( cm ) Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA) nên:

OD + DA = OADA = 4  DB + BA = 4 hay x + BA = 4 (1) Vì A nằm giữa B và C nên: BA + AC = BC hay 3x + BA = 8 ( 2 ) Từ (1) và (2) ta có: ( 3x + BA) −

 2 x = 4 x = 2  AC = 3.2 =

( x + BA) 6 ( cm )

= 8−4

b) Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x = 2  BA = 2 Mà BD = x = 2  BD = BA ( = 2 )  B là trung điểm của đoạn thẳng AD.

KÈ

Câu 23. HSG 2013 – 2014 Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.

CA + CB 2 CA − CB b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM = . 2 Giải a) Ta có CA = MA + CM CB = MB − CM CA − CB Trừ được CA − CB = 2CM ( Do MA = MB )  CM = 2 b) CA = CM + MA

DẠ

a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM =

FI CI A

CB = CM – MB Cộng được CA + CB = 2CM ( Do MA = MB ) CA + CB .  CM = 2 Câu 24. HSG 2013 – 2014 Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, sao cho OM = 3cm và ON = 7cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP. c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN. Giải P M

Vậy MN = 4 ( cm )

ƠN

b) TH1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P  OP = OM + MP  OP = 3 + 2 = 5 ( cm ) .

a) Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O và N  OM + MN = ON  3 + MN = 7  MN = 7 − 3 = 4(cm)

TH2: Nếu P nằm giữa O và M  OM = OP + PM  3 = OP + 2 OP = 1( cm ) . c) M nằm giữa O và P  OP = 5 ( cm ) < ON = 7 ( cm ) nên P nằm giữa O và N

suy ra OP + PN = ON 5 + PN = 7 PN = 2 ( cm )

Do đó: MP = PN , mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN.

KÈ

QU Y

Câu 25. HSG 2013 – 2014 Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó. Giải Cách 1: Với n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm với nhau cho ta n(n − 1) đoạn thẳng. 2 n(n − 1) Chọn một đoạn thẳng trong đoạn thẳng này và từng n – 2 điểm còn lại, ta được n – 2 tam 2 n(n − 1) n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) đoạn thẳng nên có .(n − 2) = tam giác. Tuy nhiên mỗi tam giác. Có 2 2 2 giác được tính ba lần (Chẳng hạn: ∆ABC , ∆ACB, ∆BCA ). n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2) Do đó số tam giác được tạo thành là: :3 = . 2 6 2014.2013.2012 Áp dụng với n = 2014 thì số tam giác được tạo thành là: = 1359502364 6 Cách 2: Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có ( n − 1) cách chọn, đỉnh

C có ( n − 2 ) cách chọn.

DẠ

Như vậy có: n ( n – 1)( n – 2 ) tam giác. Nhưng mỗi tam giác được tính 6 lần ( ∆ABC , ∆ACB, ∆BAC , ∆BCA, ∆CAB , ∆CBA ). n(n − 1)(n − 2) Do đó số tam giác có được là: 6

FI CI A

Câu 26. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2013 - 2014) Cho đường thẳng xy. Trên xy lấy 3 điểm A; B; C sao cho AB = a cm; AC = b cm (b > a). Gọi I là trung điểm của AB. a. Tính IC ? b. Lấy 4 điểm M; N; P; Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong các đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. Lời giải a) TH1. B ; C nằm cùng phía với nhau so với điểm A C

a 2 TH2. B; C nằm khác phía so với điểm A. C

HS tính được IC = b -

a 2 b) *) TH 1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy không cắt các đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. *) TH 2: Nếu có 3 điểm (giả sử M ; N ; P) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 1 điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 3 đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ. *) TH 3: Nếu có 2 điểm ( giả sử M ; N ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 2 điểm (P ; Q) nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 4 đoạn thẳng sau: MP; MQ, NP; NQ. Câu 27. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) Cho đoạn thẳng AB có độ dài là a. Gọi C là điểm thuộc tia đối của tia AB. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC, N là trung điểm của đoạn thẳng CB. Tính độ dài đoạn thẳng MN. Lời giải Vẽ hình đúng cho A M N C B

QU Y

ƠN

HS tính được IC = b +

Gọi độ dài đoạn thẳng AC là b. Vì C nằm trên tia đối của tia AB nên A nằm giữa C và B ta có: CB = CA + AB = b + a M là trung điểm của đoạn thẳng AC nên CM = MA =

N là trung điểm của đoạn thẳng CB nên CN = NB =

KÈ

M và N đều nằm trên tia CA vì CM < CN ( < nên MN = CN – CM =

)

Vậy MN =

DẠ

Câu 28. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) Cho góc xAy .Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6cm .Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm 1. tính BD 2. Lấy C là một điểm trên tia A y sao cho góc BCD =80 0 góc BCA = 45 0 .tính góc ACD ? 3 .Biết AK = 2cm ( K ∈ BD ). Tính BK? Lời giải Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

QU Y

ƠN

FI CI A

=> A nằm giữa B và D => BD = BA + AD = 6+4 = 10 cm b) Vì A nằm giữa D và B => tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD - ACB = 800 - 450 =350 c) * Trường hợp 1 :K thuộc tia Ax Lập luận chỉ ra K nằm giữa A và B => AK + KB = AB Tính được KB * Trường hợp 2 K thuộc tia đối của tia Ax Lập luận chỉ ra A nằm giữa K và B => KA + AB = KB => KB = 8 cm. Câu 29. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) Cho 4 điểm A; B; C; D không nằm trên đường thẳng a. Chứng minh rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD. Lời giải +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cùng thuộc một nửa mp bờ là a. => Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD +) TH2: Trong hai nửa mp đói nhau bờ a, mỗi nửa mp chứa 2 trong bốn điểm A; B; C; D => Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD. +) TH2: Trong hai nửa mp đối nhau bờ a, một nửa mp chứa 1 điểm, nửa mp còn lại chứa 3 trong số bốn điểm A; B; C; D => Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD. Suy ra điều phải chứng minh . Câu 30. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2013 - 2014) Cho đường thẳng xy. Trên xy lấy 3 điểm A; B; C sao cho AB = a cm; AC = b cm (b > a). Gọi I là trung điểm của AB. a. Tính IC ? b. Lấy 4 điểm M; N; P; Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong các đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. Lời giải a) TH1. B ; C nằm cùng phía với nhau so với điểm A A

a 2 TH2. B; C nằm khác phía so với điểm A. C

HS tính được IC = b -

KÈ

a 2 b) *) TH 1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy không cắt các đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ. *) TH 2: Nếu có 3 điểm (giả sử M ; N ; P) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 1 điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 3 đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ. *) TH 3: Nếu có 2 điểm ( giả sử M ; N ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 2 điểm (P ; Q) nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy cắt 4 đoạn thẳng sau: MP; MQ, NP; NQ. Câu 31. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) Cho đoạn thẳng AB có độ dài là a. Gọi C là điểm thuộc tia đối của tia AB. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC, N là trung điểm của đoạn thẳng CB. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

DẠ

HS tính được IC = b +

Gọi độ dài đoạn thẳng AC là b. Vì C nằm trên tia đối của tia AB nên A nằm giữa C và B ta có: CB = CA + AB = b + a M là trung điểm của đoạn thẳng AC nên CM = MA = N là trung điểm của đoạn thẳng CB nên CN = NB = M và N đều nằm trên tia CA vì CM < CN ( < -

)

nên MN = CN – CM = Vậy MN =

FI CI A

Lời giải Vẽ hình đúng cho

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

Câu 32. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) Cho góc xAy .Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6cm .Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm 1. tính BD 2. Lấy C là một điểm trên tia A y sao cho góc BCD =80 0 góc BCA = 45 0 .tính góc ACD ? 3 .Biết AK = 2cm ( K ∈ BD ). Tính BK? Lời giải Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax => A nằm giữa B và D => BD = BA + AD = 6+4 = 10 cm b) Vì A nằm giữa D và B => tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD - ACB = 800 - 450 =350 c) * Trường hợp 1 :K thuộc tia Ax Lập luận chỉ ra K nằm giữa A và B => AK + KB = AB Tính được KB * Trường hợp 2 K thuộc tia đối của tia Ax Lập luận chỉ ra A nằm giữa K và B => KA + AB = KB => KB = 8 cm. Câu 33. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Oai 2013 - 2014) Cho 4 điểm A; B; C; D không nằm trên đường thẳng a. Chứng minh rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng sau : AB; AC; BC; BD; CD; AD. Lời giải +) TH1: Bốn điểm A; B; C; D cùng thuộc một nửa mp bờ là a. => Đường thẳng a không cắt đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD +) TH2: Trong hai nửa mp đói nhau bờ a, mỗi nửa mp chứa 2 trong bốn điểm A; B; C; D => Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD. +) TH2: Trong hai nửa mp đối nhau bờ a, một nửa mp chứa 1 điểm, nửa mp còn lại chứa 3 trong số bốn điểm A; B; C; D => Đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB; AC; AD; BC; BD; CD. Suy ra điều phải chứng minh . Câu 34. Cho 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng. Hỏi: a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong các điểm trên?

b) Có bao nhiêu đoạn thẳng đi qua hai trong các điểm trên?

FI CI A

2)Cho đoạn thẳng AB=2 2014cm. Lần lượt lấy điểm M1, M2, M3, . . ., M2014 là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AM1, AM2, . . . , AM2013 .Tính BM2014? Lời giải 1) a. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong các điểm trên? Qua 2013 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 2013.2012:2=2025078 ( đường thẳng) Do 13 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là: 13.12:2-1=77 ( đường thẳng)

=> Qua 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ được 2025078-77=2025001( đường thẳng) b. Có bao nhiêu đoạn thẳng đi qua hai trong các điểm trên? Vì số đoạn thẳng tạo thành không phụ thuộc vào số điểm thẳng hàng nên Qua 2013 điểm trong đó chỉ có 13 điểm thẳng hàng ta vẽ được 2013.2012:2=2025078 ( đoạn thẳng)

1 AB 2

ƠN

2) Vì M1 là trung điểm của các đoạn thẳng AB => AM1=

1 1 AM1= 2 AB 2 2

Vì M2 là trung điểm của các đoạn thẳng AM1 => AM2= Vì M3 là trung điểm của các đoạn thẳng AM2 => AM3= ........

1 1 AM2= 3 AB 2 2

1 2

2014

2 2014

QU Y

Vì M2014là trung điểm của các đoạn thẳng AM2013 => AM2014 = =

(1)

= 1( cm)

1 2 2014

(2) (3)

AB (2014)

Từ (1), (2), (3), ..., (2014) suy ra M2014 nằm giữa Avà B => AM2014 +BM2014 =AB

KÈ

Câu 35. Trên tia 0x cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC. Lời giải D

DẠ

Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC  BA +AC =4 (1) Lâp. luân  B nằm giữa A và D. Theo gt OD < OA  D nằm giữa O và A. Mà OD + DA = OA  2 + DA =5  DA =3 cm Ta có DB + BA = DA DB +BA =3 (2) (1) –(2) AC – DB = 1 (3) theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta có 2BD – BD = 1  BD = 1  AC = 2BD  AC = 2 cm

Câu 36. Cho đoạn thẳng AB = 4,5 cm. Tìm tất cả các điểm cách điểm A một khoảng bằng 3 cm và cách B một khoảng bằng 2,5 cm.

FI CI A

Lời giải

M A

Các điểm cách A một khoảng 3 cm nằm trên đt (A; 3cm); các điểm cách B một khoảng 2,5cm nằm trên đt (B; 2,5cm).

Câu 37.

ƠN

Giao điểm M và N của hai đường tròn này chính là những điểm thoả mãn yêu cầu đề bài. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.

CA + CB 2 CA − CB b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa hai điểm M và B thì CM = . 2 Lời giải a, Nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA Ta có: CA = CM + MA (1) CB = CM – MB (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được CA + CB = 2CM (Do MA = MB)

QU Y

a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM =

CA + CB (đpcm) 2 b, Nếu C là điểm nằm giữa hai điểm M và B Ta có CA = MA + CM (3) CB = MB – CM (4) Trừ vế với vế của (3)và (4) ta được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) CA − CB (đpcm) 2

KÈ

 CM =

Câu 38. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Lời giải

DẠ

Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lai tạo nên 100 giao điểm . Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm được tính hai lần nên chỉ có: (101.100) : 2 = 5050 (giao điểm).

Câu 39.

Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho AD =

1 AB và trên BC lấy điểm E sao cho 3

1 BC. Nối A với E, C với D chúng cắt nhau ở I. 3 a) So sánh diện tích hai tam giác AID và CIE. b) Nối D với E. Chứng tỏ DE song song với AC.

FI CI A

EC =

Lời giải A

D I

ƠN

Vẽ hình đúng. a) Diện tích tam giác ACD =

1 diện tích tam giác ABC. 3

Diện tích tam giác AEC =

1 diện tích tam giác ABC. 3

Vậy diện tích tam giác ACD = diện tích tam giác AEC.

QU Y

Mà hai tam giác ACD và AEC có chung tam giác AIC. Vậy diện tích tam giác AID bằng diện tích tam giác EID.

KÈ

b) Diện tích tam giác ADC bằng diện tích tam giác AEC. Hai tam giác này có chung cạnh đáy AC nên chiều cao của hai tam giác trên hạ từ đỉnh D và E cũng bằng nhau. Suy ra tứ giác ACED là hình thang và DE và AC là đáy bé và đáy lớn nên chúng song song với nhau. Vậy DE song song với AC. Câu 40. (Đề thi HSG 6 – Mã B1) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. Lời giải Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng  Có : 2005.2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần  Số giao điểm thực tế là : ( 2005.2006 ) : 2 = 1003.2005 = 2011015 giao điểm

DẠ

Câu 41. (Đề thi HSG 6 – Mã B2) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Lời giải Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm

FI CI A

Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100: 2 = 5050 (giao điểm) Câu 42. (Đề thi HSG 6 – Mã B3) Bốn điểm A , B , C , D không nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB , AC , AD , BC , BD , CD . Lời giải Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng Xét 3 trường hợp a) Nếu cả 4 điểm A , B , C , D thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào. b) Nếu có 1 điểm (Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B , C , D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB , AC , AD c) Nếu có 2 điểm chẳng hạn ( A và B ) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia ( C và D ) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC , AD , BC , BD . Câu 43. (Đề thi HSG 6 – Mã B6) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA = a ( cm ) , OB = b ( cm ) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB , biết b < a

b O

ƠN

1 ( a + b) 2 Lời giải

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

KÈ

QU Y

a) Vì OB < OA (do b < a ) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A . Do đó : OB + OA = OA Từ đó suy ra : AB = a − b 1 a + b 2b + a − b a−b = =b+ b) Vì M nằm trên tia Ox và OM = ( a + b ) = 2 2 2 2 OA − OB 1 = OB + = OB + AB 2 2  M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM Câu 44. (Đề thi HSG 6 – Mã B7) Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. Lời giải Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là : 19.20 : 2 = 190 Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là : ( a –1) a : 2 .

DẠ

Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có : 190 – ( a − 1) a : 2 + 1 = 170 a=7 Câu 45. (Đề thi HSG 6 – Mã B7) Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao?

Lời giải

y t'

và yOz Gọi Ot , Ot ′ là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù xOy = a°  Giả sử : xOy yOz = 180° – a°

FI CI A

ƠN

1 = 1 a° ; ′Oy = (180° − a° ) t Khi đó : tOy 2 2 1 1 ′ = a° + (180° − a° ) = 90°  tOt 2 2 Câu 46. (Đề thi HSG 6 – Mã B10) Cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, cứ 2 điểm ta sẽ vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Lời giải Mỗi đường thẳng cắt 19 đường thẳng còn lại tạo nên 19 giao điểm. Mà có 20 đường thẳng  Có : 19.20 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần  Số đường thẳng là : (19.20 ) : 2 = 19.10 = 190 đường thẳng (Đề thi HSG 6)

QU Y

Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA = a ( cm ) , OB = b ( cm ) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = ( a + b ) .

Lời giải

KÈ

Vì OB < OA (

b B

trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A) Do đó: OB + OA = OA Từ đó suy ra: AB = a − b.

b) Vì M nằm trên tia Ox và OM =

DẠ

= OB +

1 a + b 2b + a − b a−b ( a + b) = = =b+ = 2 2 2 2

OA − OB 1 = OB + AB 2 2

 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM

do b < a ) nên

ƠN

FI CI A

Câu 47. (Đề thi HSG 6) a) Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm. b) Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia BO cắt AC tại I, tia CO cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác) Lời giải a) Vẽ đoạn thẳng BC=5cm Vẽ cung tròn (B;3cm) Vẽ cung tròn (C;4cm) Lấy giao điểm A của hai cung trên. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC) b) Có 6 tam giác” đơn” là AOK; AOI; BOK; BOH; COH; và COI. Có 3 tam giác “Ghép đôi” là AOB; BOC; COA) Có 6 tam giác “Ghép ba” Là ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH. Có một tam giác “Ghép 6” là tam giác ABC) Vậy trong hình có tất cả 6+3+1+6 = 16(Tam giác). Câu 48. (Đề thi HSG 6) a)Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC) b)Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường

Hai tia BA) BC là hai tia đối nhau

thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. Lời giải a)Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối của tia BA)

QU Y

 B nằm giữa A và C  AC = AB + BC = 12 cm.

*TH 2 : C thuộc tia BA) C nằm giữa A và B (Vì BA > BC)

 AC + BC = AB  AC = AB - BC = 4 cm.

b) Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm.

KÈ

Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao diểm. Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là : 10100 : 2 = 5050 giao điểm.

DẠ

Câu 49. (Đề thi HSG 6) Trên tia Ox cho 4 điểm A) B, C, D) biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD) Tìm độ dài các đoạn BD; AC)

Lời giải

Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC  BA +AC =4 (1) Lập luận  B nằm giữa A và D)

Theo gt OD < OA  D nằm giữa O và A) Mà OD + DA = OA  2 + DA =5  DA =3 cm

Ta có DB + BA = DA DB +BA =3 (2)

FI CI A

(1) –(2) AC – DB = 1 (3) theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta có 2BD – BD = 1  BD = 1  AC = 2BD  AC = 2 cm

Câu 50. (Đề thi HSG 6) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1 ; A2 ; A3 ; ...; A2004 .

Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2 ; A3 ; ...; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành

Lời giải Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1; A2 ; A3 ; ...; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm

ƠN

suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. với MA1 để được 1 tam giác thì M

Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp A1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015 Chuyên đề 8: HÌNH HỌC (góc)

QU Y

Câu 51. (Đề thi HSG 6) a) Cho 6 tia chung gốc) Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b) Vậy với n tia chung gốc) Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. Lời giải a) Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc) Xét 1 tia) tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc) 5 .6 Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc) Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả là = 15 2 góc n −1 b) Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có n( ) (góc). 2

(Đề thi HSG 6) = 350 . Tính xOz trong từng trường hợp. a) Cho xOy có số đo 1000 . Vẽ tia Oz sao cho xOy

KÈ

Câu 52.

b) Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau. Lời giải a) Có 2 cách vẽ tia Oz

DẠ

TH1: Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy. = xOy − yOz = 100 0 − 350 = 650 Khi đó: xOz

b, Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau

FI CI A

TH2: Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz. = xOy + yOz = 100 0 + 350 = 1350 Khi đó: xOz

ƠN

 MA + MB = AB AB ⇔ MA = MB = M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔  2  MA = MB

Câu 53. (Đề thi HSG 6) Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm. a) Tình độ dài BM

= 800 , BAC = 600 . Tính CAM b) Cho biết BAM

và CAM . Tính xAy c) Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của BAC d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tính độ dài BK.

QU Y

Lời giải

a) M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM  C nằm giữa B và M.

 BM = BC + CM = 8 (cm)

b) C nằm giữa B,M

 Tia AC nằm giữa tia AB, AM

- BAC = BAM = 200  CAM

KÈ

= xAC = 1 BAC + CAy + 1 CAM c) Có xAy 2 2 1 1 1 BAC + CAM = BAM = .80 = 400 2 2 2 d) + Nếu K ∈ tia CM  C nằm giữa B và K

 BK = BC + CK = 6 (cm)

DẠ

+ Nếu K ∈ tia CB  K nằm giữa B và C  BK = BC = CK =4 (cm)

(Đề thi HSG 6) =1250 ; OM = 4cm, ON = 3cm Cho tam giác MON có MON

Câu 54.

a) Trên tia đối của tia ON xác định điểm B sao cho OB = 2cm. Tính NB

= 800 . Tính b)Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OM, có bờ là đường thẳng ON, vẽ tia OA sao cho MOA AON

FI CI A

Lời giải

tia ON  O nằm giữa N

và B  NB = NO + OB = 3 + 2 = 5 (cm)

ƠN

a) B thuộc tia đối của

< MON do b) Ta có tia OM nằm trên nửa mặt phẳng bờ là tia ON chứa tia OM và MOA

(800 < 1250 )  tia OA nằm giữa tia OM và tia ON

− MOA = 1250 − 800 = 450  AON = MON

QU Y

Câu 55. (Đề thi HSG 6 huyện 2019-2020) Cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n?

Số đường thẳng vẽ được qua n điểm:

Lời giải

n ( n − 1) = 105 2

 n .(n – 1) = 210 = 2 . 5 . 3 . 7 = 10 . 14  n. (n – 1) = 6 . 35 = 15 . 14.

Vậy n = 14.

Vì n và n – 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14

KÈ

Câu 56. (Đề thi HSG 6 huyện2019-2020) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm.

DẠ

a) Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. b) Tính IK. Giải

a) Trên tia BA ta có BK = 2 cm.BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK +

FI CI A

điểm I nằm giữa A và K b) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5  IK = 5- 4 = 1.

KB = AB hay AK + 2 = 7  AK = 5 cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 < 5) nên

Câu 57. (Đề thi HSG 6 huyện2019-2020) Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng: a. Bốn điểm A,B,M,N thẳng hàng b. Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB

∆ CAN . Giải

M N

c. Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C, tính chu vi của

ƠN

a. Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN b. BM = AB – AM = 2 (cm) M,N ∈ tia AB mà BM > BN ( 2 > 1)

 N là đường trung điểm của BM .

MN = BM – BN = 1 cm = BN.

 N năm giữa B và M.

c. Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1 cm Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4 cm Chu vi ∆ CAN = AC + CN = NA = 4 + 4+1= 9 (cm)

QU Y

Câu 58. (Bài 6 - Đề 23) Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. có tất cả bao nhiêu đường thẳng.

Lời giải

Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thằng

KÈ

Làm như vậy với 100 điểm ta được 99.100 đường thẳng Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần, do đó tất cả có 99.100 : 2 = 4950 đường thẳng Câu 59. (Bài 5 - Đề 24) Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu. Lời giải 24 × 25 n(n − 1) Có = 300 đường thẳng. Với n điểm có đường thẳng 2 2

DẠ

Câu 60. Đề thi HSG 6 Gia Lai 2018-2019 Cho 40 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ?

Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng.

FI CI A

thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tìm n ? Lời giải Kẻ từ 1 điểm bất kỳ với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng Làm như vậy với 40 điểm ta được 39.40 = 1560 (đường thẳng) Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2 = 780 (đường thẳng) Nếu 40 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được 780 đường thẳng. *Với 10 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được: 10.9 : 2 = 45 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là : 780 − 44 = 736 (đường thẳng) Ta có:

Cho n điểm ( n ∈ ℕ ) . Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta được 1 đường

n. ( n − 1) : 2 = 105

ƠN

n(n − 1) = 210 n(n − 1) = 15.14

Vậy n = 15

Câu 61. Đề thi HSG 6 Trực Ninh 2017 -2018 Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 5cm. Tính

độ dài đoạn thẳng AC

Lời giải

QU Y

Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA

Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra điểm B nằm giữa hai điểm A và C Ta có: AB + BC = AC thay số tính được AC = 7 cm

Trường hợp điểm C thuộc tia BA

KÈ

Trên tia BA, BA < BC ( 2cm < 5cm ) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C Ta có: AB + AC = BC Thay số tính được AC = 3cm

DẠ

Câu 62. Đề thi HSG 6 Nga Sơn 2017-2018 Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA = 7 cm;OD = 3cm; BC = 8cm và AC = 3BD

Tính độ dài AC Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD Lời giải

Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA) nên : OD + DA = OA  DA = 4  DB + BA = 4 hay x + BA = 4 (1) Vì A nằm giữa B và C nên : BA + AC = BC hay 3x + BA = 8(2)

FI CI A

Đặt BD = x (cm)  AC = 3x (cm)

Từ (1) và (2) ta có ( 3x + BA ) − ( x + BA ) = 8 − 4  2x = 4  x = 2  AC = 3.2 = 6 (cm)

Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x = 2  BA = 2 Mà BD = x = 2  BD = BA(= 2)  B là trung điểm của đoạn thẳng AD

Đề thi HSG 6 Kinh Môn 2017 - 2018 Trên tia Ox lấy 2 điểm A, B sao cho OA = 6cm, OB = 10 cm. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của OA, AB. Tính độ dài đoạn thẳng EF.

ƠN

Lời giải

Vì hai điểm A, B cùng nằm trên tia Ox mà OA < OB ( 6cm < 10 cm ) nên điểm A nằm giữa hai điểm O

và B  OA + AB = OB Thay số 6 + AB = 10  AB = 4cm . Vậy AB = 4cm

OA , thay số EA = 6 : 2 = 3cm 2 AB F là trung điểm của AB nên AF = 2 Thay số: AF = 4 : 2 = 2cm

QU Y

Vì E là trung điểm OA nên EA =

Do A nằm giữa O và B. Mà E là trung điểm của OA, F là trung điểm của AB nên điểm A nằm giữa hai điểm E và F  EF = EA + AF = 3 + 2 = 5(cm) Vậy EF = 5cm.

KÈ

Câu 63. Đề thi HSG 6 Kinh Môn 2017 – 2018 Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Tính số đường thẳng kẻ được. Lời giải Giả sử trong 2018 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường thẳng. Làm như vậy với 2018 điểm ta được 2018.2017 = 4 070306 đường thẳng

DẠ

Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng kẻ được là : 2 035153 đường thẳng.

FI CI A

Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3; Số đường thẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng là 1; Khi thay 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thành 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là : 3 − 1 = 2 Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng thực tế kẻ được là : 2 035153 − 2 = 2 035151 Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳng. Câu 64. Đề HSG Toán 6_Hương Sơn_2018-2019 Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM = 3cm, ON = 7cm

P M

ƠN

Tính độ dài đoạn thẳng MN. Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP. Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó Lời giải

QU Y

Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O và N  OM + MN = ON  3 + MN = 7  MN = 4cm Th1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P  OP = OM + MP = 3 + 2 = 5cm Th2: Nếu P nằm giữa O và M  OM = OP + PM  OP = OM − PM = 3 − 2 = 1cm M nằm giữa O và P  OP = 5cm < ON = 7cm nên P nằm giữa O và N Suy ra : OP + PN = ON  5 + PN = 7  PN = 2cm Do đó MP = PN, mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN. Với n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm với nhau cho ta

thẳng

KÈ

Chọn một đoạn thẳng trong

n ( n − 1) 2

đoạn

n ( n − 1) đoạn thẳng này và từng n − 2 điểm còn lại, ta được n − 2 tam 2

n ( n − 1) n ( n − 1) n ( n − 1)( n − 2) đoạn thẳng nên có . ( n − 2) = tam giác. Tuy nhiên mỗi tam 2 2 2 giác được tính 3 lần (ABC,ACB,BAC) n ( n − 1)( n − 2) n ( n − 1)( n − 2) Do đó số tam giác được tạo thành là: :3 = 2 6 2014.2013.2012 = 1359502364 Áp dụng với n = 2014 ta được số tam giác tạo thành: 2

DẠ

giác. Có

Câu 65. Đề HSG Toán 6_Bạch Thông_2018-2019 Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB

FI CI A

Chứng tỏ OA < OB Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại

Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia OB). Lời giải O

suy ra OA < OB Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên OM =

Hai tia OA, OB đối nhau nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B,

OA OB ;ON = 2 2

ƠN

Vì OA < OB  OM < ON Hai điểm M và N thuộc tia OB mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N Ta có: OM + MN = ON  MN = ON − OM OB − OA AB = Hay MN = 2 2 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi. Câu 66. Đề thi HSG 6 Lý Nhân 2018 -2019 Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.

QU Y

Chứng tỏ rằng OA < OB Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O. Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB. Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP. Chứng tỏ rằng tia OH cắt đoạn thẳng NP tại một điểm E nằm giữa N và P Lời giải

KÈ

Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau Suy ra điểm A nằm giữa điểm O và điểm B Vậy OA < OB Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB

DẠ

Suy ra OM = OM + MN = ON  MN = ON − OM 1 1 1 1 MN = OB − OA = ( OB − OA ) = AB 2 2 2 2

FI CI A

AB có độ dài không đổi nên MN không đổi Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E nằm giữa N và P.

Câu 67. Đề HSG Toán 6 Ba Vì năm 2017-2018 Cho tam giác ABC và một đường thẳng d không đi qua bất kỳ đỉnh nào của tam giác và cắt cạnh BC của tam giác. Hãy chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt một và chỉ một trong hai cạnh AB và AC của tam giác ABC Lời giải Đường thẳng d cắt cạnh BC và B,C ∉ d nên B và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d TH1: Nếu A thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B thì d cắt cạnh AC mà không cắt cạnh AB

ƠN

Th2: Nếu A thuộc nửa mặt phẳng chứa C thì d cắt cạnh AB mà không cắt cạnh AC

QU Y

A d

Câu 68. (Đề thi HSG 6 CẤP TRƯỜNG 2018- 2019 ) Trong mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

KÈ

a) Vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng đi qua các điểm đã cho b) Vẽ được bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.

DẠ

Lời giải a) Trong mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ mỗi điểm nối với 5 điểm còn lại ta được 1 đoạn thẳng. Do số đoạn thẳng vẽ được tính 2 lần nên: Số đoạn thẳng vẽ được là: ( 6.5) : 2 = 15 (đoạn thẳng)

b) Số đoạn thẳng vẽ được là: 15 (đoạn thẳng) Cứ 3 đoạn thẳng phân biệt vẽ được 1 tam giác

Số tam giác vẽ được là: (15.4 ) : 3 = 20 (tam giác)

FI CI A

Câu 69. (Đề thi HSG 6 huyện Lâm Thao 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB, Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB) Lời giải a) Lập luận chứng tỏ được OA < OB b) Lập luận chứng tỏ OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O và N AB c) MN = . Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi 2 Câu 70. (Đề thi HSG 6 huyện Bạch Thông 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung

điểm của OA, OB

ƠN

a) Chứng tỏ OA < OB

b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại OB).

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia

Lời giải

a) Hai tia OA, OB đối nhau nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra OA < OB

QU Y

b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên OM =

OA OB ; ON = 2 2

Vì OA < OB  OM < ON Hai điểm M và N thuộc tia OB mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N c) Ta có: OM + MN = ON  MN = ON − OM OB − OA AB Hay MN = = 2 2 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi.

DẠ

KÈ

Câu 71. (Đề thi HSG 6 huyện Giao Thủy 2018-2019) Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780. Tính n Lời giải Mỗi đường thẳng cắt n − 1 đường thẳng còn lại tạo nên n − 1 giao điểm Có n đường thẳng nên có n ( n − 1) giao điểm Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần nên số giao điểm là

n ( n − 1)

2 Vậy với n đường thẳng, trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba

n ( n − 1)

giao điểm (1) 2 Theo bài ra với n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 780(2) n ( n − 1) = 780  n ( n − 1) = 1560 = 39.40  n = 40 Từ (1) và (2)  2 Câu 72. (Đề thi HSG 6 Trung Nguyên – Huyện Yên Lạc 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm O nằm giữa A và B, lấy điểm I nằm giữa O và B a) Giả sử AB = 5cm, AO = 2cm, BI = 2cm. Tính OI b) Giả sử OA = a, BI = b. Tìm điều kiện của a và b để AI = OB Lời giải a) Có hình vẽ đúng Vì I nằm giữa A và B nên AB = AI + IB  AI = AB − IB = 5 − 2 = 3cm O nằm giữa A và I nên AI = OA + OI  OI = AI − AO = 3 − 2 = 1cm b) Vì O nằm giữa A và I nên AI = OA + OI I nằm giữa O và B nên OB = OI + IB Để AI = OB thì OA = BI  a = b Câu 73. (Đề thi HSG 6 Trung Nguyên – Huyện Yên Lạc 2018-2019) a) Vẽ 5 đoạn thẳng đôi một cắt nhau sao cho tổng số giao điểm là 10. Giải thích vì sao số giao điểm không thể vượt quá 10 ?

ƠN

FI CI A

đường thẳng nào đồng quy có

b) Cho trước n điểm ( n ∈ ℕ, n ≥ 2 ) . Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 210 đoạn thẳng. Tìm n.

Lời giải a) Mỗi đoạn thẳng có số giao điểm với bốn đoạn còn lại nhiều nhất chỉ có thể là 4. Vậy với 5 đoạn

QU Y

thẳng thì số giao điểm nhiều nhất là 5.4 = 20. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần do đó số giao

điểm nhiều nhất chỉ có 4.5 : 2 = 10, suy ra số giao điểm không thể vượt quá 10 b) Qua mỗi cặp điểm vẽ được 1 đoạn thẳng. Có n điểm cho trước vẽ được: n ( n − 1) : 2

đoạn thẳng. Số đoạn thẳng vẽ được là : 210 đoạn thẳng nên ta có: n ( n − 1) : 2 = 210  n(n − 1) = 210 = 21.20

Vậy n = 21 Câu 74. (Đề HSG) 1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng.

KÈ

Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng. 2. Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC + BD = 9cm.

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

Lời giải

DẠ

1) Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng: +Chọn một điểm bất kỳ trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ

được 29 đường thẳng.

Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng.

Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là

FI CI A

( 29.30) : 2 = 435 đường thẳng Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng.

Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được

a ( a − 1) : 2 đường thẳng.

Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng nên số đường thẳng bi giảm đi là

Theo bài ra ta có: a ( a − 1) : 2 − 1 = 435 − 421 = 14

 a ( a − 1) = 30 = 6.5

Thay AB = 6cm ta có: AD + DB = 6cm

a) Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB = AB

ƠN

Vì a − 1và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a − 1 < a  a = 6

a ( a − 1) : 2 − 1 đường thẳng

Lại có : AC + DB = 9cm  AD + DB < AC + DB hay AD < AC Trên tia AB có: AD < AC  D nằm giữa A và C

QU Y

b) Vì D nằm giữa A và C suy ra AD + DC = AC Lại có : AC + DB = 9cm  AD + DC + DB = 9cm Hay ( AD + DB ) + DC = 9cm

Thay AD + DB = 6cm , ta có: 6cm + DC = 9cm . Vậy DC = 3cm.

Câu 75. (Đề HSG cấp trường 2018 - 2019) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. CA + CB 2 CA − CB b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM = 2 Lời giải

DẠ

KÈ

a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM =

CA = MA + CM

M CB = MB − CM

CA = CM + MA CB = CM − MB

CA + CB 2

Câu 76. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019) Qua ba điểm bất kỳ A, B, C ta có: a. AB + BC = AC

c. AB + BC ≥ AC

b. AB + BC > AC

d. AB + BC ≤ AC

Cộng được CA + CB = 2CM ( Do...MA = MB )  CM =

CA − CB 2

FI CI A

Trừ được CA − CB = 2CM ( Do...MA = MB )  CM =

ƠN

Lời giải

Chọn đáp án C

Câu 77. (Đề HSG cấp trường 2018 – 2019) Cho đoạn thẳng AB = 7cm. Điểm C nằm giữa A và B sao cho AC = 2cm. Các điểm D , E theo thứ tự là trung điểm của AC , CB. Gọi I là trung điểm của DE. Tính DE và CI

Lời giải

QU Y

+ Ta có: AC + CB = AB  CB = AB − AC = 7 − 2 = 5cm + Vì D và E nằm giữa A và B nên AD + DE + EB = AB  DE = AB − AD − EB

1 1 AC = .2 = 1cm (Vì D là trung điểm AC) 2 2

EB =

1 1 BC = .5 = 2,5(cm) (vì E là trung điểm của BC) 2 2

KÈ

AD =

Vậy DE = 7 − 1 − 2, 5 = 3, 5cm Vì I là trung điểm DE  DI =

1 1 DE = .3,5 = 1, 75cm 2 2

 AI = AD + DI = 1 + 1, 75 = 2, 75( cm )

DẠ

Ta thấy AD < AC < AI nên C nằm giữa D và I  DC + CI = DI  CI = DI − DC = 1, 75 − 1 = 0, 75(cm )

Kết luận: DE = 3,5cm, CI = 0, 75cm.

Câu 78. (Đề thi HSG 6 huyện Việt Yên 2018-2019) Cho góc xAy , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho

AD = 4cm.

FI CI A

a) Tính BD

b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD = 800 , BCA = 450 . Tính góc ACD c) Biết AK = 2cm (K thuộc BD). Tính BK.

Lời giải

ƠN

QU Y

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax  A nằm giữa D và B  BD = BA + AD = 6 + 4 = 10(cm ) b) Vì A nằm giữa D và B  tia CA nằm giữa hai tia CB , CD.  ACD + ACB = BCD  ACD = BCD − ACB = 800 − 450 = 350

KÈ

c) Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

A K

- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B - Suy ra AK + KB = AB  KB = AB − AK = 6 − 2 = 4(cm )

Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

DẠ

- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

K A

Suy ra KB = KA + AB  KB = 6 + 2 = 8(cm )

Kết luận : Vậy KB = 4cm hoặc KB = 8cm.

là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN =

FI CI A

Câu 79. (Đề thi HSG 6 Bắc Ninh 2018-2019) 1. Cho đoạn thẳng AB = a; điểm C nằm giữa hai điểm A và B, điểm M là trung điểm của AC , điểm N a 2

2. Hình thang vuông ABCD có góc A và D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I.So sánh

Lời giải 1 1) M là trung điểm của AC nên: AM = MC = AC 2

diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC.

C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N C nằm giữa M và N  MC + CN = MN

Do đó MN =

C nằm giữa A và B  AC + CB = AB = a

ƠN

1 1 N là trung điểm CB nên: CN = NB = CB  MC + CN = ( AC + CB ) 2 2

a 2

2) Nối BD. Ta có: SBDC = S ADC (cùng đáy DC và chiều cao BH = AD)

QU Y

 1  S BDH = S DBA  = S ABHD  ; S DBA = S IAD (cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)  2  Do đó:

SBHC = SBDC − SBDH = SBDC − SDBA = S ADC − SIAD = SIDC Vậy SBHC = SIDC

KÈ

Câu 80. (Đề thi HSG 6 huyện Lập Thạch 2019-2020) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB )

DẠ

Lời giải

a) Hai tia AO , AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra:

 OA < OB OA OB ; ON = 2 2

b) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên  OM =

FI CI A

Vì OA < OB nên OM < ON Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có: OB − OA AB  OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN = = 2 2 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB )

ƠN

Câu 81. (Đề thi HSG 6 huyện Lâm Thao 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB, Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại. c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB) Lời giải a) Lập luận chứng tỏ được OA < OB b) Lập luận chứng tỏ OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O và N AB c) MN = . Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi. 2 Câu 82. (Đề thi HSG 6 huyện Thanh Chương 2019-2020) Cho đường thẳng xy. Trên xy, lấy ba điểm A, B, C sao cho AB = a cm , AC = b (cm ) ( b > a ) Gọi I là trung điểm của AB

QU Y

a) Tính IC b) Lấy 4 điểm M , N , P, Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy không cắt hoặc cất ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong câc đoạn thẳng sau: MN , MP , MQ , NP , NQ , PQ .

Lời giải

a) TH1: B, C nằm cùng phía với nhau so với A

KÈ

Học sinh tính được: IC = b −

a 2

Th2: B, C nằm khác phía so với điểm A

DẠ

Học sinh tính được IC = b +

a 2

b) TH1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng

xy không cắt các đoạn thẳng: MN , MP , MQ , NP , NQ , PQ

*Th2: Nếu có 3 điểm (giả sử M , N , P ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy còn 1

điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đườn thẳng xy cắt 3 đoạn thẳng sau: MQ , NQ , PQ

( P; Q ) nằm khác phía bờ là đường thẳng

FI CI A

*Th3: Nếu có 2 điểm (giả sử M , N ) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 2 điểm xy thì đườn thẳng xy cắt 4 đoạn sau: MP, MQ , NP, NQ

Câu 83. (Đề thi HSG 6 huyện Hoằng Hóa 2017-2018) a) Cho đoạn thẳng AB = 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2cm .Chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K.Tính IK

Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C , D. biết rằng A nằm giữa B và C, B nằm giữa C và D;

OA = 5cm, OD = 2cm, BC = 4cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tính độ dài các đoạn BD, AC.

Lời giải A

ƠN

a) +) Trên tia BA ta có BK=2cm, BA=7cm nên BK < BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra : AK + KB = AB  AK = 7 − 2 = 5cm

Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK ( 4 < 5) nên điểm I nằm giữa A và K +) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK  4 + IK = 5  IK = 1(cm ) b) D

QU Y

Vì A nằm giữa B và C nên BA + AC = BC  BA + AC = 4

(1)

Lập luận  B nằm giữa A và D

Theo giả thiết OD < OA  D nằm giữa O và A Mà OD + DA = OA  2 + DA = 5  DA = 3cm

Ta có DB + BA = DA  DB + BA = 3(2)

KÈ

Lấy (1) − ( 2 ) : AC − DB = 1 (3) Theo đề ra : AC = 2 BD thay vào (3) Ta có: 2 BD − BD = 1  BD = 1(cm )  AC = 2 BD = 2(cm )

Câu 84. (Đề thi HSG 6 THCS Tân Lập 2018 - 2019) Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4cm, OB = 6cm. Trên tia BA lấy điểm C sao cho

DẠ

BC = 3cm. So sánh AB với AC. Lời giải

FI CI A

Hai điểm A, B trên tia Ox mà OA < OB ( 4 < 6 ) nên điểm A nằm giữa O và B suy ra AB = OB − OA = 6 − 4 = 2(cm )

Hai điểm A và C trên tia BA mà BA < BC ( 2cm < 3cm ) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C Suy ra : AC = BC − BA = 3 − 2 = 1(cm )

Vậy AB > AC ( 2 > 1)

ƠN

Câu 85. (Đề thi HSG 6 huyện Tam Dương 2016-2017) a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia BA lấy O (O khác B). So sánh độ dài đoạn thẳng OM và trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA và OB b) Cho 10 đường thẳng đồng quy tại O. Hỏi có bao nhiêu góc ở đỉnh O được tạo thành (không kể góc bẹt)

QU Y

Lời giải

a) M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên M nằm giữa A và B; MA = MB (1) Hai tia BM , BA trùng nhau; hai tia BO, BA đối nhau do đó B nằm giữa O và M  OM = OB + BM (2)

Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB , MO trùng nhau suy ra hai tia MA, MO đối nhau do đó M nằm

giữa A và O

Vậy OM + MA = OA  OM = OA − MA(3)

KÈ

Từ (1), (2), (3) suy ra 2OM = OA + OB hay OM =

OA + OB 2

b) 10 đường thẳng đồng quy tại O  có 20 tia gốc O. Chọn ra một tia, tia đó tạo với mỗi tia trong

( 20 − 1) tia tạo thành một góc. Làm như thế với 20 tia ta có 20.( 20 − 1) = 380 góc, trong đó mỗi góc đã

DẠ

được tính hai lần. Do đó số góc tạo thành là: 380 : 2 = 190 (góc) Câu 86. (Đề thi HSG 6 THCS Hà Huy Tập) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ rằng OA < OB

b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vi trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB )

A N

a) Vì O thuộc tia đối của tia AB  A nằm giữa O và B  OA + AB = OB  OA < OB (vì độ dài các đoạn thẳng là số dương)

 OM =

b) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên:

FI CI A

Lời giải

OA OB ; ON = 2 2

Vì OA < OB  OM < ON

c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N nên ta có:  OM + MN = ON  MN = ON − OM OB − OA AB = 2 2

 MN =

ƠN

Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O , N

Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)

QU Y

Câu 87. (HSG6, 2017-2018) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

ĐÁP ÁN

Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm. Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần, nên chỉ có: 101.100 : 2 = 5050 (giao điểm)

KÈ

Câu 88. (HSG6, 2017-2018) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho

OA = a(cm), OB = b(cm)

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB biết b < a

DẠ

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

1 (a + b) 2

ĐÁP ÁN

B A

a) Vì

OB < OA(b < a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A, do đó:

FI CI A

OB + BA = OA  AB = a − b 1 b) OM = ( a + b ) nghĩa là M là trung điểm của OA. 2

Câu 89. (HSG6, 2017-2018) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C , D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D;

OA = 5cm, OD = 2cm, BC = 4cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD, AC

A C

Vì A nằm giữa B và C nên

BA + AC = BC  BA + AC = 4 (1)

Lập luận  B nằm giữa A và D Theo giả thiết OD < OA  D nằm giữa O và A

ƠN

ĐÁP ÁN

Ta có:

(mà OD + DA = OA  2 + DA = 5  DA = 3cm

DB + BA = DA  DB + BA = 3 (2)

QU Y

(1) − ( 2 )  AC − DB = 1(3) Theo đề ra AC = 2 BD thay vào (3)

Ta có: 2 BD − BD = 1  BD = 1cm  AC = 2 BD = 2cm

KÈ

Câu 90. ( NGỌC LẶC, 2018-2019) Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n

Tính được số đường thẳng:

ĐÁP ÁN

n ( n − 1) = 105  n ( n − 1) = 210 = 15.14  n = 15 2

Câu 91. (HSG6, 2019-2020) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là

DẠ

A1 , A2 , A3 ,....., A2004 . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A1 , A2 , A3 ,....., A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành. ĐÁP ÁN

Câu 92. ( LÝ NHÂN, 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi

FI CI A

Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1 , A2 , A3 ,....., A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005.2006 = 4022030 tam giác(nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015

M , N thứ tự là trung điểm của

OA, OB.

QU Y

ƠN

a) Chứng tỏ rằng OA < OB b) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O. c) Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB. Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP. Chứng tỏ rằng tia OH cắt đoạn thẳng NP tại một điểm E nằm giữa N và P ĐÁP ÁN

M A

KÈ

a) Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau Suy ra điểm A nằm giữa điểm O và điểm B Vậy OA < OB b) Vì M , N lần lượt là trung điểm của OA, OB Suy ra OM = OM + MN = ON  MN = ON − OM

DẠ

1 1 1 1 MN = OB − OA = ( OB − OA ) = AB 2 2 2 2 AB có độ dài không đổi nên MN không đổi c) Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP

P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON , OP Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E nằm giữa N và P.

FI CI A

Câu 93. (Đề thi HSG HUYỆN TĨNH GIA 2018 - 2019) Trên tia Ox lấy hai điểm A, B (điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn độ dài OA). Gọi M là trung điểm của OA. Hãy so sánh độ dài MB

Lời giải

Ta có trung bình cộng BO , BA là Ta lại có BO = BA + AO nên

BO + AB BO BA = + 2 2 2

BO + BA BA AO BA AO = + + = + BA 2 2 2 2 2

Từ (I) và (II) suy ra BM =

ƠN

Mặt khác ta có: BM = BA + AM mà M là trung điểm của OA nên BM =

(I )

AO + BA 2

( II )

BO + BA . hay số đo BA bằng trung bình cộng số đo BO , BA 2

a) b)

Câu 94. (Đề thi HSG HUYỆN QUẾ SƠN 2018 - 2019) Hình thang vuông ABCD có góc A và D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại điểm I Hãy so sánh diện tích tam giác IDC với diện tích tam giác BHC Cho AD = 9cm, AB = 10cm, DC = 12cm. Hãy tính diện tích ∆BIC

QU Y

Lời giải

a) Tam giác AIH và tam giác DIH có dường cao bằng nhau và có cạnh đáy bằng nhau ( IH chung ) nên có diện tích bằng nhau. Suy ra ∆IDC , ∆AHC có diện tích bằng nhau (do cùng cộng thêm diện tích ∆IHC )

Tam giác BHC và tam giác AHC có đường cao bằng nhau và

I D

KÈ

cạnh đáy bằng nhau (HC chung) nên có diện tích bằng nhau Suy ra ∆IDC , ∆BHC có diện tích bằng nhau (do cùng bằng diện tích tam giác AHC ) b) Tính được HC = 2cm

Tính được diện tích BHC = ( 2.9 ) : 2 = 9 cm2

(

DẠ

Diện tích IDC bằng diện tích BIC = 9cm 2 Tính được IH =

2 S IDC 2.9 3 = = ( cm ) DC 12 2

)

Câu 95. (Đề thi HSG 6 Cấp trường) Trên tia Ox, xác định các điểm A và B sao cho OA = a (cm ), OB = b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB , biết b < a b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

1 ( a + b) 2

Lời giải

FI CI A

S BIC

3  9 −  .2  BI .CH  15 2 = = = ( cm 2 ) 2 2 2

ƠN

a) Vì OB < OA ( b < a ) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa hai điểm O và A

b) Vì M nằm trên tia Ox, OM =

OM =

1 ( a + b) 2

Do đó: OB + BA = OA  AB = a − b

1 a + b 2b + a − b a−b OA − OB 1 = =b+ = OB + = OB + AB ( a + b) = 2 2 2 2 2 2

QU Y

 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = MB

Câu 96. (Đề thi HSG 6 Cấp trường) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào

đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Lời giải

Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là:

KÈ

( 2005.2006 ) : 2 = 2011015 giao điểm. Câu 97. (Đề thi HSG 6 Cấp trường) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là A1 , A2 , A3 ,....., A2004 . Từ

điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A1 , A2 , A3 ,....., A2004 ; B. Tính số tam

DẠ

giác tạo thành.

Lời giải

Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1 , A2 , A3 ,....., A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó.

Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác.

Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005.2006 = 4022030 tam giác(nhưng lưu ý là MA kết hợp với

FI CI A

MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015

QU Y

ƠN

Câu 98. (Đề thi HSG 6 2018 - 2019 ) a) Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm . Tính độ dài đoạn thẳng AC b) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng Lời giải a) Xét hai trường hợp: * Th1: C thuộc tia đối của tia BA Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau  B nằm giữa A và C  AC = AB + BC = 12cm * Th 2: C thuộc tia BA C nằm giữa A và B (vì BA > BC)  AC + BC = BA  AC = AB − BC = 4cm b) - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 = 10100 giao điểm - Do mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm: 10100 : 2 = 5050 giao điểm . Câu 99. (Đề thi HSG - 2019-2020) Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Hỏi tất cả có bao nhiêu đường thẳng ? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu ? Lời giải 24.25 Có = 300 đường thẳng. 2 n ( n − 1) Với n điểm có đường thẳng. 2 Câu 100. (Đề thi HSG6 - 2018-2019 ) sao cho : Cho góc xOy có số đo bằng 1200. Điểm A nằm trong góc xOy AOy = 750.

KÈ

= 1350. mà BOx Điểm B nằm ngoài góc xOy Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng không ? Vì sao ? Lời giải Học sinh tự vẽ hình = 1200 , Vì xOy AOy = 750 , điểm A nằm trong góc xOy nên tia OA nằm giữa hai tia Ox, Oy = xOy − Ta có: xOA AOy = 1200 − 750 = 450

Điểm B có thể ở 2 vị trí: B và B’

DẠ

+ xOA = 1350 + 450 = 1800. + Tại B thì tia OB nằm ngoài hai tia Ox, OA nên BOx

= BOx + xOA = 1800  3 điểm A, O, B thẳng hàng. Do đó BOA

' = 1350 < 1800  ' − xOA = 1350 − 450 = 900. AOB ' = xOB + Còn tại B’ thì: xOB Nên ba điểm A, O, B ' không thẳng hàng.

Câu 101. (Đề thi HSG 6 cấp huyện 2019-2020)

b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy , Oz là phân số của góc hợp bởi hai tia còn lại.

Lời giải

FI CI A

, xOz bằng Cho tia Ox. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy, Oz sao cho xOy 120 0.Chứng minh rằng: = xOz = yOz a) xOy

' Oy = 600 , x ' Oz = 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên yOz = yOx ' + x ' Oz = 1200 . Vậy Ta có x = xOy yOz = zOx

Câu 102. (Đề thi HSG 6 - huyện Thanh Oai - 2018 -2019 )

' Oy = x ' Oz nên Ox ' là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Do tia Ox ' nằm giữa hai tia Oy, Oz và x Oy, Oz , xOy Tương tự tia Oy ' (tia đối của tia Oy ) và tia Oz ' (tia đối của tia Oz) là phân giác của xOz

ƠN

. Vẽ tia Om sao Cho tia Oz nằm trong góc vuông xOy. Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phân giác của tOz cho tia Oy là phân giác của zOm a) Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau

' Om = 300. Tính tOz b) Gọi Ox ' là tia đối của tia Ox, biết rằng x c) Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox, Oz, Oy, Om, Ox ' và Ot ). Hỏi trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ? Lời giải

QU Y

KÈ

a) Tia Oz nằm trong góc xOy nên: + zOy = xOy = 900 xOz

DẠ

= 1 tOz ; zOy = 1 zOm Theo giả thiết ta có các tia phân giác nên xOz 2 2 1 1 0 0 + zOm = 180 Từ đó suy ra : tOz + zOm = 90 ⇔ tOz 2 2 ; zOm là hai góc kề nhau  tOz

= mOx ' = 300 (cùng kề bù với mOx ) b) Chứng minh tOz

= xOz = 300  tOz = 600  tOx

Vậy có tất cả là

( n + 5 )( n + 6 ) góc

2 Thay = 2014 ta được số góc là: ( 2014 + 6 )( 2014 + 5 ) : 2 = 2039190 (góc)

FI CI A

c) Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox, Oy, Oz , Ot Om, Ox '. Tất cả trong hình vẽ có n + 6 tia phân biệt Cứ 1 tia trong n + 6 tia đó tạo với n + 5 thi còn lai thành n + 5 góc Có n + 6 tia tạo thành ( n + 5)( n + 6 ) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần

ƠN

Lời giải

Câu 103. (Đề thi HSG 6 cấp Huyện 2018 -2029 ) Cho đoạn thẳng AB. Điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của OA, OB a) Trong 3 điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Vì sao ? b) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O.

OM =

O thuộc tia đối của tia AB  O nằm giữa hai điểm A và B  OA < OB

OA OB ; ON = 2 2

OA < OB  OM < ON  M nằm giữa hai diểm O và N

QU Y

Từ a) được MO + MN = ON  MN = ON − OM  MN =

OB OA AB − = 2 2 2

Độ dài đoạn thẳng AB cố định nên MN cố định không phụ thuộc vào O. Câu 104. (Đề thi HSG 6 )

trong các trường hợp sau: Cho 2 góc xOy, xOz , Om là tia phân giác của yOz . Tính xOm = 1000 ; xOz = 600 a) Góc xOy

DẠ

KÈ

= α ; xOz = β (α > β ) b) xOy

Lời giải

FI CI A

- Nếu hai tia Oy, Oz thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ Ox thì: = 200 , xOm = 800 yOz = 1000 − 600 = 400  zOm Nếu hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt = 800 , xOm = 200 thì: yOz = 1000 + 600 = 1600  zOm

a) Xét 2 trường hợp :

phẳng

đối

nhau

có

bờ

ƠN

b) Xét 2 trường hợp :

=α +β - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là Ox thì ta tính được: xOm 2

- Nếu hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox thì

QU Y

= α − β neu α + β ≤ 1800 xOm 2 = 1800 − α − β neu α + β > 1800 xOm 2

Câu 105. (Đề thi HSG 6 - 2016 - 2017 ) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C , D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA = 5cm, OD = 2cm, BC = 4cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài đoạn BD, AC . Lời giải

KÈ

DẠ

Vì A nằm giữa B và C nên BA + AC = BC  BA + AC = 4 Lập luận  B nằm giữa A và D Theo giả thiết OD < OA  D nằm giữa O và A Mà OD + DA = OA  2 + DA = 5  DA = 3cm Ta có: DB + BA = DA  DB + BA = 3 (2)

(1) − ( 2 ) : AC − DB = 1(3)

Theo đề ra AC = 2 BD thay vào (3)

(1)

DẠ

KÈ

QU Y

ƠN

FI CI A

 2BD − BD = 1  BD = 1cm  AC = 2BD = 2cm

FI CI A

Câu 106. (Đề thi HSG 6 - Việt Yên 2019-2020) Cho tam giác ABC có ACB = 600 , AB = 6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A, B ) sao cho AD = 2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD

biết ACD = 200 b) Tính số đo của DCB

= 900. Tính ACx c) Dựng tia Cx sao cho DCx d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A, C ) . Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau.

Lời giải

A E

ƠN

QU Y

Trường hợp 1

D B

C x Trường hợp 2

a) D nằm giữa A và B suy ra AD + BD = AB  BD = 6 − 2 = 4cm = = 400 ACD + DCB ACB  DCB b) Tia CD nằm giữa hai tia CA, CB  c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phía so với đường thẳng CB

KÈ

ACx = 900 − ACD = 700 Tính được góc - Trường hợp 2: Hai tia CD, Cx nằm về hai phía so với đường thẳng CB

DẠ

ACx = 900 + ACD = 1100 Tính được : d) Xét đường thẳng CD Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ CD chứa điểm B và nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A  tia CA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A E thuộc đoạn AC  E thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A  E và B ở hai nửa mặt phẳng bờ CD  đường thẳng CD cắt đoạn EB Xét đường thẳng BE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD

Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau. Câu 107. (Đề thi HSG K6 Nghi Lộc năm học 2019- 2020 Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB.

b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

FI CI A

a) Chứng tỏ rằng OA < OB

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)

Lời giải

a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra:  OA < OB

OA OB ; ON = 2 2

ƠN

b) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên  OM =

Vì OA < OB nên OM < ON Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có:

OB − OA AB = 2 2 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)

QU Y

 OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN =

Câu 108. (Đề thi HSG K6 Ứng Hòa năm học 2018- 2019) Cho đoạn thẳng CD, điểm O thuộc tia đối của tia DC . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OD, OC a) Chứng tỏ rằng OD < OC

b) Trong ba điểm I , O, K điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại

KÈ

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng IK không phụ thuộc vào vị trí của điểm O

C K D I O Lời giải a) Vì 2 điểm C và O nằm trên 2 tia đối nhau gốc D nên D nằm giữa C và O  OD + DC = OC  OD < OC

DẠ

1 b) Vì I là trung điểm của OD nên OI = OD 2 1 Vì K là trung điểm của OC nên OK = OC 2

FI CI A

1 1 1 1  IK = OK − OI = OC − OD = ( OC − OD ) = CD 2 2 2 2 1  IK có giá trị không đỏi bằng CD 2

Mà OD < OC  OI < OK Hai điểm I, K cùng nằm trên tia OC mà OI < OK  I nằm giữa O và K c) Vì I nằm giữa O và K nên OI + IK = OK

Câu 109. Cho 100 điểm trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng Lời giải Chia 100 điểm thành 2 tập hợp A gồm 3 điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm còn lại

Số đường thẳng trong tập hợp B là

97.96 = 4656 2

ƠN

Số đường thẳng trong tập hợp A là 1

Số đường thẳng qua 1 điểm thuộc tập hợp A và điểm thuộc tập hợp B là 3.97 = 291

Vậy số đường thẳng tạo thành là: 1 + 4656 + 291 = 4948 đường thẳng.

QU Y

Câu 110. Trên đoạn thẳng AB = 3cm , lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN a) Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1cm b) Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN lớn nhất. Lời giải

M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB − MB = 3 − 1 = 2(cm )

DẠ

KÈ

AN = AM = 2cm A nằm giữa N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5cm BN = AN + AB , AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN nhỏ nhất AN lớn nhất khi AM lớn nhất AM lớn nhất khi AM = AB Lúc đó M trùng B và BN = 6cm Câu 111. Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB a) Chứng tỏ rằng OA < OB

b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

FI CI A

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O(O thuộc tia đối của tia AB ) Lời giải

a) Hai tia AO , AB đối nhau nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra OA < OB b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên:

OA OB ; ON = 2 2 Vì OA < OB  OM < ON Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON , nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

 OM =

ƠN

c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có: OB − OA AB  OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN = = 2 2 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối tia OB) Câu 112. Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Lời giải

QU Y

Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là: ( 2005.2006 ) : 2 = 2011015 giao điểm. Câu 113. Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là A1 , A2 , A3 ,....., A2004 . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm

A1 , A2 , A3 ,....., A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành.

Lời giải

DẠ

KÈ

Câu 114. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 2017-2018) a. Cho 3 điểm A, B, C biết AB = 18cm, AC = 13cm, BC = 30cm. Ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay

FI CI A

không ? Vì sao ?

b. Lấy thêm 17 điểm phân biệt khác 3 điểm A, B, C cho trước. Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng

c. Nếu có tất cả 1770 đoạn thẳng thì phải lấy thêm bao nhiêu điểm phân biệt khác 3 điểm A, B, C cho trước.

Lời giải a. Ta có: 18 + 13 = 31 ≠ 30 hay AB + AC ≠ BC  A không nằm giữa B và C

Bằng cách tương tự cũng chỉ ra được B không nằm giữa A và C; C không nằm giữa A và B nên A, B, C không thẳng hàng

ƠN

b. Lấy thêm 17 điểm phân biệt khác 3 điểm A, B, C cho trước thì có tất cả 20 điểm

Ta có: n. ( n − 1) : 2 = 1770  n = 60

- Chọn 1 điểm trong số 20 điểm, nối điểm đó với 19 điểm còn lại ta được 19 đoạn thẳng. Làm như thế với tất cả 20 điểm, ta được 19.20 đoạn thẳng 19.20 = 190 đoạn thẳng - Như thế mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần nên số đoạn thẳng là 2 c. Gọi số điểm để vẽ được 1770 đoạn thẳng là a

QU Y

Số điểm thêm vào là 57 điểm.

Câu 115. (Đề thi HSG 6 huyện Hòa An 2018 - 2019) Trên đoạn thẳng AB = 3cm , lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN a. Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1cm

KÈ

b. Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN lớn nhất.

Lời giải

a. M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB − MB = 3 − 1 = 2(cm) AN = AM = 2cm

A nằm giữa N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5cm

DẠ

b. BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN nhỏ nhất AN lớn nhất khi AM lớn nhất AM lớn nhất khi AM = AB

Lúc đó M trùng B và BN = 6cm

FI CI A

Câu 116. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 20… - 20…) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB a. Chứng tỏ rằng: OA < OB b. Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại c. Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O Lời giải

O M A N

a. Hai tia AO, AB đối nhau nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B Suy ra OA < OB b. Ta có: M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên:

OA OB ; ON = 2 2 Vì OA < OB  OM < ON Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O, N c. Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N , nên ta có:

ƠN

 OM =

OB − OA AB = 2 2 Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)

 OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN =

QU Y

Câu 117. (Đề thi HSG 6 huyện Thủy Nguyên 20… - 20…) Trên đoạn thẳng AB lấy 2013 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ

A đến B

là: A, A1 , A2 , A3 ,....., A2011 , B . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB, ta nối M với các điểm A, A1 , A2 , A3 ,....., A2011 , B . Tính số tam giác được tạo thành

Lời giải Trên đoạn thẳng B có các điểm A, A1 , A2 , A3 ,....., A2011 , B . Do đó, tổng số điểm trên đoạn thẳng AB là 2013 điểm, như vậy sẽ có 2013 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó Mỗi đoạn thẳng có thể kết hợp với 2012 đoạn còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên đoạn thẳng AB

KÈ

dể tạo thành 2012 tam giác

Như vậy 2013 doạn thẳng sẽ tạo thành 2012.2013 = 4050156 tam giác, nhưng mỗi tam giác được tính hai lần. Do đó số tam giác thực có là: 4 050156 : 2 = 2025078 tam giác.

Câu 118. Đề thi HSG 6 huyện Thuỷ Nguyên 2019-2020) a) Vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây

DẠ

b) Cho 2012 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường

thẳng nào đồng quy. Tìm số giao điểm của các đường thẳng ấy (Giải

FI CI A

a) Có 3 cách

Có 2012 đường thẳng nên có 2012.2011 giao điểm

ƠN

b) Mỗi đường thẳng cắt 2011 đường thẳng còn lại tạo thành 2011 giao điểm

Mặt khác : mỗi giao điểm được tính hai lần nên chỉ có:

2012.2011: 2 = 2023066 (giao điểm)

Vì

nằm

QU Y

Câu 119. (Đề thi Olympic Toán 6 2017-2018) Cho hai điểm C và D nằm giữa hai điểm A và B. Biết AB = 12cm, AC = 7cm , CD = 3cm. Tính BD ?

giữa

và

Giải

nên

AC + CB = AB  CB = 12 − 7 = 5cm

D C

Vì D nằm giữa hai điểm A và B và DC = 3cm nên có 2 trường hợp:

KÈ

TH1: D nằm giữa A và C hay C nằm giữa B và D ta có:

BC + CD = BD  BD = 8cm

TH2: D nằm giữa C và B  BD + DC = CB  DB = 2cm

DẠ

Câu 120. (Đề thi Olympic Toán 6 2017-2018) a) Cho 10 điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm

ta vẽ một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng b) Giải bài toán ở câu a trong trường hợp có đúng 3 điểm thẳng hàng ?

Giải

a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm còn lại ta vẽ

được 9 đường thẳng. Làm như vậy với 10 điểm ta được 90

FI CI A

đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần do đó tất cả chỉ có 90 : 2 = 45 đường thẳng. b) Giả sử không có 3 điểm thẳng hàng thì có 45 đường thẳng. Vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là

3 −1 = 2

Vậy chỉ có 43 đường thẳng.

Câu 121. (Đề thi HSG 6 huyện Đức Phổ 2018-2019) a) Trên đường thẳng xy lấy các điểm M , N , P sao cho độ dài MN = a và NP = 2a ( với a > 0) . Tính

ƠN

độ dài đoạn thẳng MP theo a

trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ là đường thẳng chứa b) Cho tia Ox là phân giác của MON

= MOy + NOy > MON . Chứng tỏ rằng: xOy tia OM , vẽ tia Oy sao cho MOy 2 Giải

QU Y

*Trường hợp N và P nằm khác phía với M ta có M nằm giữa N và P nên ta có:

N M

MN + MP = NP  MP = NP − MN = 2a − a = a

*Trường hợp N, P nằm cùng phía với M ta có N

KÈ

nằm giữa M và P nên MP = MN + NP = a + 2a = 3a

1 nên > MON ( gt ) nên tia ON nằm giữa hai Do Ox là tia phân giác của MON xON = MON . Do MOy 2

DẠ

tia OM và Oy nên:

FI CI A

= = MOy − MON + 1 MON = MOy − 1 MON = 2 MOy − MON xOy yON + NOx 2 2 2 MOy + MOy − MON MOy + NOy = = 2 2

+ NOM = MOy  NOy = MOy − MON NOy

Câu 122. (Đề thi HSG 6 Năm 2019-2020) Cho đoạn thẳng AB , điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB. d) Chứng tỏ rằng OA < OB

e) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

f) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB )

tia

d) Hai

ƠN

Giải

AO , AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra:

QU Y

 OA < OB

e) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên  OM =

OA OB ; ON = 2 2

Vì OA < OB nên OM < ON

Hai điểm M , N thuộc tia OB , mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

f) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có:

KÈ

 OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN =

OB − OA AB = 2 2

Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc

vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB )

DẠ

Câu 123. (HSG Toán 6 cấp trường) Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n Giải

= 105  n ( n − 1) = 210 = 15.14  n = 15

a) Tính độ dài đoạn thẳng BN khi AB = 7cm. b) Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN lớn nhất.

Giải:

M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB − MB = 3 − 1 = 2(cm)

AN = AM = 2cm A nằm giữa N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5cm

FI CI A

Câu 124. (HSG Toán 6 cấp trường Hòa An) Trên đoạn thẳng AB=3cm, lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM=AN

n ( n − 1)

Tính được số đường thẳng:

ƠN

BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN nhỏ nhất AN lớn nhất khi AM lớn nhất

AM lớn nhất khi AM = ABLúc đó M trùng B và BN = 6cm

Câu 125. (HSG Toán 6 cấp trường) Cho đoạn AB = 7cm. C là một điểm nằm giữa A và B. M, N lần lượt là trung điểm của AC, CB. Tính

QU Y

MN.

Giải:

Lập luận điểm nằm giữa và tính được MN = 3,5cm Câu 126. (HSG Toán 6 cấp trường Nga Thắng ) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D;

OA = 7 cm; OD = 3 cm; BC = 8 cm và AC = 3BD

KÈ

a) Tính độ dài AC b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD c) Giải:

a) Đặt BD = x (cm)  AC = 3 x (cm)

DẠ

Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA) nên : OD + DA = OA  DA = 4  DB + BA = 4 hay x + BA = 4 (1)

Vì A nằm giữa B và C nên : BA + AC = BC hay 3 x + BA = 8(2)

Từ (1) và (2) ta có ( 3x + BA ) − ( x + BA) = 8 − 4  2 x = 4  x = 2  AC = 3.2 = 6 (cm)

b) Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x = 2  BA = 2

FI CI A

Mà BD = x = 2  BD = BA( = 2)  B là trung điểm của đoạn thẳng AD

Câu 127. (HSG Toán 6 cấp trường Crong Ana) a) Cho 40 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng. b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ? c) Cho n điểm ( n ∈ ℕ ) . Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta có một đườn

thẳng. Biết rằng tất cả có 105 đường thẳng. Tìm n . Giải: a) Kẻ từ 1 điểm bất kỳ với các điểm còn lại:39 đường thẳng

Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần.

ƠN

Làm như vậy với 40 điểm ta được: 39.40 = 1560 (đường thẳng)

Do vậy số đường thẳng thực sự là: 1560 : 2 = 780 (đường thẳng)

b) Nếu 40 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 780 đường thẳng *Với 10 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:

10.9 : 2 = 45 (đường thẳng)

*Còn nếu 10 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng

QU Y

Do vậy số đường thẳng bị giảm đi: 45 − 1 = 44 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm: 780 − 44 = 736 (đường thẳng) d) Ta có: n. ( n − 1) : 2 = 105 n. ( n − 1) = 105.2

n ( n − 1) = 210 = 15.14  n = 15

KÈ

Câu 128. (Đề HSG Toán 6_...._2019-2020) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB b) Trong ba điểm O , M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của

DẠ

tia AB )

Lời giải

g) Hai tia AO , AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B , suy ra:

h) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên  OM =

OA OB ; ON = 2 2

FI CI A

Vì OA < OB  OM < ON Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

 OA < OB

i) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N , nên ta có: OB − OA AB  OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN = = 2 2 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB )

ƠN

Câu 129. Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a, Chứng tỏ rằng OA < OB. b, Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O. c, Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB. Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP . Chứng tỏ rằng tia OH cắt đoạn NP tại một điểm E nằm giữa N và P. Lời giải

QU Y

a, Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau

Suy ra điểm A nằm giữa điểm O và điểm B Vậy OA < OB

b, Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB

Suy ra OM = (1/2) . OA, ON = (1/2) . OB Theo câu a vì OA < OB nên OM < ON

KÈ

M, N thuộc tia OB nên M nằm giữa O và N Suy ra OM + MN = ON Suy ra MN = ON – OM MN = (1/2) .OB – (1/2) . OA = (1/2) .(OB – OA)= (1/2) AB

AB có độ dài không đổi nên MN không đổi. c, Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP

DẠ

P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E năm giữa N và P. Câu 130. Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a

1 (a+b). 2 Lời giải a) Vì OB < OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA=

FI CI A

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

OA Từ đó suy ra: AB = a − b. b) Vì M nằm trên tia Ox và OM =

1 a + b 2b + a − b a−b OA − OB 1 ( a + b) = = =b+ = OB + = OB + AB 2 2 2 2 2 2

 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM

ƠN

Câu 131. Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. Lời giải Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là: 19 . 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là ; (a – 1 ) a : 2 .

Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có: 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170  a=7

Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.

Lời giải

QU Y

Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng  có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần  số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. Câu 132.

Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Lời giải

KÈ

Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 (giao điểm) Câu 133.

Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Lời giải

DẠ

Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng Xét 3 trường hợp

a) Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào.

b) Nếu có 1 điểm (Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD

c) Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD

FI CI A

Câu 134. (Đề thi HSG THCS HƯNG MỸ)

Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì: CA − CB CM = 2

Lời giải

CB = MB − CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra CA − CB = 2CM ( MA = MB )  CM =

CA = CM + MA(1)

CA − CB 2

Câu 135. (Đề thi HSG huyện TÂN UYÊN 2018-2019)

ƠN

Cho 2010 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Lời giải

Mỗi đường thẳng cắt 2009 đường thẳng còn lại tạo nên 2009 giao điểm

Mà có 2010 đường thẳng  có: 2009.2010 giao điểm

Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần  Số giao điểm thực tế là:

( 2009.2010 ) : 2 = 2019045 (giao điểm)

Câu 136. Trên tia Ox, xác định các điểm A, B sao cho OA = a(cm), OB = b(cm)

QU Y

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a

1 (a + b) 2 Lời giải

b) Xác định điểm M trên tia Ox, sao cho OM =

B A

KÈ

Vì OB < OA ( b < a ) nên trên tia Ox, thì điểm B nằm giữa hai điểm O và A Do đó: OB + BA = OA  AB = a − b

1 ( a + b) 2

Vì M nằm trên tia Ox, OM =

DẠ

OM =

1 a + b 2b + a − b a −b OA − OB 1 = =b+ = OB + = OB + AB (a + b) = 2 2 2 2 2 2

 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = MB

Câu 137. Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB . Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB

FI CI A

b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O ( O thuộc tia đối của tia AB )

Lời giải

Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên OM =

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B , suy ra: OA < OB OA OB ; ON = 2 2

Vì OA < OB nên OM < ON Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N , nên ta có:

 OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN =

ƠN

Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

OB − OA AB = 2 2

Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB )

Câu 138. (Đề thi HSG 6 Trường THCS Phú Lương 2018-2019) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D như hình vẽ

D B

QU Y

Biết rằng OA = 5cm, OD = 2cm, BC = 4cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD . Tìm độ dài các đoạn

BD; AC.

Lời giải

D B

Vì A nằm giữa B và C nên BA + AC = BC  BA + AC = 4 Vì D nằm giữa O và A nên OD + DA = OA

KÈ

Suy ra 2 + DA = 5  DA = 3cm Ta có DB + BA = DA  DB + BA = 3

(1) − ( 2 ) vế theo vế ta được:

(2)

AC − DB = 1 (3)

Theo đề bài : AC = 2 BD ,

DẠ

thay vào (3) ta có: 2BD − BD = 1  BD = 1cm, AC = 2cm

x (1)

Câu 139. (Đề thi HSG 6 Trường THCS Hưng Mỹ 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì:

CA − CB 2

FI CI A

CM =

Lời giải CB = MB − CM (2)

CA = CM + MA(1)

Từ (1) và (2) suy ra CA − CB = 2CM ( MA = MB )  CM =

CA − CB 2

Câu 140. (Đề thi HSG 6 Phòng GD-ĐT Hòa An 2018-2019) Trên đoạn thẳng AB = 3cm , lấy điểm M . Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN

a) Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1cm

b) Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB ) để BN lớn nhất.

Lời giải

ƠN

M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB − MB = 3 − 1 = 2(cm) AN = AM = 2cm

A nằm giữa N , B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5cm

BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN nhỏ nhất AN lớn nhất khi AM lớn nhất

QU Y

AM lớn nhất khi AM = AB Lúc đó M trùng B và BN = 6 cm

Câu 141. (ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 6- TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC) Cho góc xAy. Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4cm 1) Tính BD = 800 , BCA = 450. Tính 2) Lấy C là một điểm tùy ý trên tia Ay sao cho BCD ACD

3) Biết AK = 2cm( K ∈ BD). Tính

BK Lời giải

KÈ

a)Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax  A nằm giữa B và D  BD = BA + AD = 6 + 4 = 10cm b)Vì A nằm giữa D và B nên tia CA nằm giữa hai tia CB, CD  −  ACD + ACB = BCD ACD = BCD ACB = 800 − 450 = 350

c)Trường hợp 1:K thuộc tia Ax Lập luận chỉ ra K nằm giữa A và B  AK + K = AB  được KB Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax Lập luận chỉ ra A nằm giữa K và B  KA + AB = KB  KB = 8cm

DẠ

FI CI A

Câu 142. (ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 6- YÊN KỲ) 1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng 2. Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC + BD = 9cm. a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C Tính độ dài đoạn thẳng CD? Lời giải 1)Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng: +Chọn một điểm bất kỳ trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng. +Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng. +Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là ( 29.30 ) : 2 = 435 đường thẳng. Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng. - Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được a ( a − 1) : 2 − 1 đường thẳng.

ƠN

Theo bài ra ta có: a ( a − 1) : 2 − 1 = 435 − 421 = 14  a ( a − 1) = 30 = 6.5 Vì a − 1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a − 1 < a nên a = 6 1.

a) Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB = AB

QU Y

Thay AB = 6cm ta có: AD + DB = 6cm Lại có AC + DB = 9cm  AD + DB < AC + DB hay AD < AC Trên tia AB có: AD < AC  D nằm giữa A và C b) Vì D nằm giữa A và C suy ra AD + DC = AC Lại có: AC + DB = 9cm , suy ra AD + DC + DB = 9cm hay ( AD + DB ) + DC = 9cm Thay AD + DB = 6cm , ta có: 6cm + DC = 9 ( cm ) . Vậy DC = 3cm. Câu 143. (Đề thi HSG 6 THANH CHƯƠNG 2019 -2020) Cho đường thẳng xy. Trên xy, lấy ba điểm A,B,C sao cho AB = a cm , AC = b (cm) ( b > a ) .Gọi I là trung điểm của AB

c) Tính IC d) Lấy 4 điểm M, N, P,Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy không cắt hoặc

KÈ

cất ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong câc đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ .

Lời giải

c) TH1: B, C nằm cùng phía với nhau so với A

DẠ

Học sinh tính được: IC = b −

a 2

Th2: B, C nằm khác phía so với điểm A

a 2

FI CI A

Học sinh tính được IC = b +

d) TH1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xy không cắt các đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ

*Th2: Nếu có 3 điểm (giả sử M, N, P) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy còn 1 điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đườn thẳng xy cắt 3 đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ

*Th3: Nếu có 2 điểm (giả sử M, N) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn 2 điểm

( P;Q ) nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đườn thẳng xy cắt 4 đoạn sau: MP, MQ, NP, NQ a) AB = 5cm, AO = 2cm, BI = 2cm. Tính AI

ƠN

Câu 144. (Đề thi HSG 6 YÊN LẠC 2018 -2019) Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm O nằm giữa A và B, lấy điểm I nằm giữa O và B

b) Giả sử OA = a, BI = b. Tìm điều kiện của a và b để AI = OB

không thể vượt quá 10 ?

QU Y

Lời giải a) Có hình vẽ đúng Vì I nằm giữa A và B nên AB = AI + IB  AI = AB − IB = 5 − 2 = 3cm O nằm giữa A và I nên AI = OA + OI  OI = AI − AO = 3 − 2 = 1cm b) Vì O nằm giữa A và I nên AI = OA + OI I nằm giữa O và B nên OB = OI + IB Để AI = OB thì OA = BI  a = b Câu 145. (Đề thi HSG 6 YÊN LẠC 2018 -2019) a) Vẽ 5 đoạn thẳng đôi một cắt nhau sao cho tổng số giao điểm là 10. Giải thích vì sao số giao điểm

KÈ

thẳng. Tìm n.

b) Cho trước n điểm ( n ∈ ℕ, n ≥ 2 ) . Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 210 đoạn

DẠ

Lời giải a) Là 4. Vậy với 5 đoạn thẳng thì số giao điểm nhiều nhất là 5.4 = 20. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần do đó số giao điểm nhiều nhất chỉ có 4.5 : 2 = 10, suy ra số giao điểm không thể vượt quá 10 b) Qua mỗi cặp điểm vẽ được 1 đoạn thẳng. Có n điểm cho trước vẽ được: n ( n − 1) : 2 đoạn thẳng. Số đoạn thẳng vẽ được là : 210 đoạn thẳng nên ta có: n ( n − 1) : 2 = 210  n(n − 1) = 210 = 21.20 Vậy n = 21

Câu 146. ( HSG 6 Liên Châu năm 2018 – 2019 ) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng

nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

FI CI A

Lời giải 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Thì số giao điểm của chúng là: n ( n − 1) 101.100 = = 5050 2 2

BC =

nên

ƠN

Vì C là trung điểm AB

Câu 147. ( HSG 6 Huyện Vĩnh Tường năm 2019 – 2020 ): Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10cm. Gọi điểm C là trung điểm của AB, gọi D là điểm thuộc đoạn AB sao cho AD = 6 cm. Gọi E là trung điểm của BD. Gọi F là trung điểm của AD. Tính độ dài các đoạn thẳng BC và EF ? Lời giải

AB 10 = = 5 cm 2 2

Vì điểm D nằm giữa hai điểm A và B nên AD + DB = AB BD = 4 cm

6 + BD = 10

BD 4 = = 2 (cm) 2 2

Vì điểm F là trung điểm AD nên FD =

AD 6 = = 3(cm) 2 2

QU Y

Vì điểm E là trung điểm BD nên DE =

Trên 2 tia đối nhau DE và DF có : EF = DE + DF = 2 + 3 = 5 (cm ) Câu 148. ( HSG Cấp Trường) Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM = 800 , BAC = 600. Tính CAM b) Cho biết BAM

KÈ

c) Lấy K thuộc đoạn thẳng

BM sao cho CK = 1cm. Tính độ dài BK Lời giải A

DẠ

a) Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nên diểm C nằm giữa hai điểm B và M Do đó: BM = BC + CM = 5 + 3 = 8( cm ) b) Do C nằm giữa hai điểm B và M nên tia AC nằm giữa hai tia AB , AM .

= BAM − BAC = 800 − 600 = 200 Do đó CAM c) Nếu

K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hình vẽ)

Khi đó BK = BC + CK = 5 + 1 = 6cm

FI CI A

Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K2 trong hình vẽ) Khi đó BK = BC − CK = 5 − 1 = 4( cm )

j) Hai tia AO , AB đối nhau, nên điểm  OA < OB

ƠN

Câu 149. ( HSG Cấp Trường 2019 – 2020 ) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB b)Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? c )Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O thuộc tia đối của tia AB Lời giải

A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra: OA OB ; ON = 2 2

k) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên  OM =

QU Y

Vì OA < OB nên OM < ON Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N l) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có: OB − OA AB  OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN = = 2 2 Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm (O ) thuộc tia đối của tia AB) Câu 150. ( HSG Cấp Trường 2019 – 2020 )

Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.

CA + CB 2 CA − CB b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM = 2 Lời giải a)

KÈ

a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM =

DẠ

CA = MA + CM

CB = MB − CM

Trừ được CA − CB = 2CM ( Do...MA = MB )  CM =

CA − CB 2

Cộng được CA + CB = 2CM ( Do...MA = MB )  CM =

FI CI A

CA = CM + MA CB = CM − MB

CA + CB 2

Câu 151. (Đề thi HSG 6 2017-2018) Trên tia Ox, xác định các điểm A và B sao cho OA = a (cm), OB = b(cm)

b) Xác định điểm

AB, biết b < a

M trên tia Ox sao cho OM =

1 (a + b) 2

Lời giải

a) Tính độ dài đoạn thẳng

ƠN

a) Vì OB < OA ( b < a ) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa hai điểm O và A Do đó: OB + BA = OA  AB = a − b

1 (a + b) 2 1 a + b 2b + a − b a−b OA − OB 1 OM = ( a + b ) = = =b+ = OB + = OB + AB 2 2 2 2 2 2  M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = MB

b) Vì M nằm trên tia Ox, OM =

QU Y

Câu 152. (Đề thi HSG 6 2018-2019) a) Vẽ tam giác ABC biết BC = 5cm, AB = 3cm, AC = 4cm . b) Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên. Vẽ tia AO cắt BC tại H, tia BO cắt AC tại I, tia CO cắt AB tại K. Trong hình đó có bao nhiêu tam giác. Lời giải

KÈ

O B

a) Vẽ đoạn thẳng BC = 5cm Vẽ cung tròn ( B;3cm ) ; vẽ cung tròn ( C ;4cm )

DẠ

Lấy giao điểm A của hai cung trên b) Có 6 tam giác đơn: AOK , AOI , BOK , COH , COI Có 3 tam giác ghép đôi: AOB, BOC , COA Có 6 tam giác ghép ba: ABH , BCI , CAK , ABI , BCK , CAH Có 1 tam giác ghép sáu là: ABC

OA, OB

FI CI A

Câu 153. (Đề thi HSG 6 THCS XUÂN DƯƠNG 2019-2020) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của a) Chứng tỏ rằng OA < OB b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Lời giải

Vậy trong hình có tất cả: 6 + 3 + 1 + 6 = 16 (tam giác)

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B  OA < OB Ta có M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên:

OA OB ; ON = , vì OA < OB  OM < ON 2 2 Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.

 OM =

Câu 154. (Đề thi HSG 6 THCS MỸ HƯNG 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.

ƠN

CA + CB 2 CA − CB b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM = 2 a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia

BA thì CM =

Lời giải

CB = MB − CM

QU Y

CA = MA + CM

Trừ được CA − CB = 2CM ( Do...MA = MB )  CM =

CA − CB 2

CA = CM + MA

CB = CM − MB

KÈ

Cộng được CA + CB = 2CM ( Do...MA = MB )  CM =

CA + CB 2

Câu 155. Đề thi HSG 6, THCS DÂN HÒA 2018-2019)

DẠ

Cho đoạn thẳng AB có độ dài là a. Gọi C là điểm thuộc tia đối của tia AB. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC, N là trung điểm của đoạn thẳng CB. Tính độ dài đoạn thẳng MN .

Lời giải

Gọi độ dài đoạn thẳng AC là b

Vì C nằm trên tia đối của

tia AB nên A nằm giữa C và B b 2

FI CI A

M là trung điểm của đoạn thẳng AC nên CM = MA =

Ta có: CB = CA + AB = b + a

a+b 2

N là trung điểm của đoạn thẳng CB nên CN = NB =

b a+b M và N đều nằm trên tia CA vì CM < CN  <  2  2

Vậy MN =

a+b b a − = 2 2 2

Nên MN = CN − CM =

a 2

Câu 156. (Đề thi HSG 6, huyện ANH SƠN 2018-2019)

a. Chứng tỏ rằng: CM =

ƠN

Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc tia đối của tia BA. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

CA + CB 2

= 300 , b. Gọi O là một điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết AOM = 600. Hỏi AOC = 1200 , BOC không ? Vì sao ? OB có phải là tia phân giác của MOC

Lời giải

QU Y

M là trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C.

Ta có: CA = MA + MC

(1)

Ta có B nằm giữa M và C nên CB = CM − MB

Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM − MB

DẠ

KÈ

 CA + CB = 2CM ( Do MA = MB)  MC =

CA + CB 2

(2)

Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có:

= MOC AOC − AOM = 1200 − 600 = 600

FI CI A

= 1 MOC nên OB là tia phân giác MOC Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và BOC 2 Câu 157. (Đề thi HSG 6, huyện ANH SƠN 2018-2019)

a. Chứng tỏ rằng: CM =

ƠN

Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc tia đối của tia BA. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

CA + CB 2

= 300 , b. Gọi O là một điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết AOM = 600. AOC = 120 0 , BOC

không ? Vì sao ? Hỏi OB có phải là tia phân giác của MOC Lời giải

QU Y

M là trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C.

Ta có: CA = MA + MC

(1)

Ta có B nằm giữa M và C nên CB = CM − MB

(2)

Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM − MB

CA + CB 2

DẠ

KÈ

 CA + CB = 2CM ( Do MA = MB)  MC =

Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có:

Câu 158. (Đề thi HSGH 6, 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB. Điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi

M , N theo thứ tự là trung điểm của

OA, OB c) Trong 3 điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Vì sao ? d) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O

Lời giải

FI CI A

= 1 MOC nên OB là tia phân giác MOC Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và BOC 2

= MOC AOC − AOM = 1200 − 600 = 600

OM =

ƠN

a) O thuộc tia đối của tia AB  O nằm giữa hai điểm A và B  OA < OB

OA OB ; ON = 2 2

OA < OB  OM < ON  M nằm giữa hai diểm O và N

b) Từ a) được MO + MN = ON  MN = ON − OM  MN =

OB OA AB − = 2 2 2

Độ dài đoạn thẳng AB cố định nên MN cố định không phụ thuộc vào O.

QU Y

Câu 159. Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Lời giải

Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là:

( 2005.2006 ) : 2 = 2011015 (giao điểm)

KÈ

Câu 160. Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là A1 , A2 , A3 ,....., A2004 . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A1 , A2 , A3 ,....., A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành..

Lời giải

DẠ

Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005.2006 = 4022030 tam giác(nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được tam giác và hai tam giác này chỉ là 1)

Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015

a) Tính độ dài đoạn thẳng b) Xác định điểm

Ox, xác định các điểm A và B sao cho OA = a(cm), OB = b(cm) AB, biết b < a 1 2

FI CI A

Câu 161. Trên tia

M trên tia Ox sao cho OM = ( a + b ) Lời giải

B A

a) Vì OB < OA ( b < a ) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa hai điểm O và A

b) Vì M nằm trên tia Ox, OM =

1 ( a + b) 2

1 a + b 2b + a − b a −b OA − OB 1 = =b+ = OB + = OB + AB (a + b) = 2 2 2 2 2 2

ƠN

OM =

Do đó: OB + BA = OA  AB = a − b

 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = MB

Số đường thẳng vẽ được qua n điểm

Câu 162. Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng Lời giải n (n − 1) 2

= 105 ⇒ n. (n − 1) = 210 = 15.14 ⇒ n = 15

QU Y

Câu 163. Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2cm . a) Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K; b) Tính IK.

Lời giải

a) Trên tia BA ta có BK = 2cm ; BA = 7cm ⇒ BK < BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra

KÈ

AK + KB = AB ⇒ AK + 2 = 7 ⇒ AK = 5cm Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (4 < 5) nên điểm I nằm giữa A, K b) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK ⇒ 4 + IK = 5 ⇒ IK = 1cm

DẠ

Câu 164. Cho hai điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm , AM = 3cm, BN = 1cm . Chứng tỏ rằng: a) Bốn điểm A, B, M , N thẳng hàng

b) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB.

c) Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C. Tính chu vi

∆CAN .

FI CI A

Lời giải

b) BM = AB − AM

M , N ∈ tia AB mà BM > BN (2 > 1) ⇒ N nằm giữa B và M

a) Bốn điểm A, B, M , N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN

ƠN

MN = BM − BN = 1cm = BN ⇒ N là trung điểm của BM c) Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1cm Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4cm Chu vi ∆CAN : AC + CN = NA = 4 + 4 + 1 = 9cm .

Câu 165. Trên tia Ox , xác định các điểm A và B sao cho OA = a (cm ),OB = b(cm ) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a .

1 (a + b ) . 2 Lời giải

QU Y

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

x A

a) Vì OB < OA (b < a ) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa hai điểm O và A Do đó: OB + BA = OA ⇒ AB = a − b

1 (a + b ) 2 1 a +b 2b + a − b a −b OA − OB 1 OM = (a + b ) = = =b + = OB + = OB + AB 2 2 2 2 2 2

KÈ

b) Vì M nằm trên tia Ox ,OM =

⇒ M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = MB .

Câu 4: Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là A1, A2 , A3,....., A2004 . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm

DẠ

A, A1, A2, A3,....., A2004 , B ; Tính số tam giác tạo thành. Lời giải

Trên đoạn thẳng AB có các điểm A, A1, A2, A3,....., A2004 , B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006

điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó.

Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA ) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác.

FI CI A

Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005.2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được tam giác và hai tam giác này chỉ là 1). Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015

Câu 166. Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Lời giải Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là:

(2005.2006) : 2 = 2011015 giao điểm.

Câu 167. (Đề 242) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4cm. Trên tia a) Hãy chứng tỏ rằng b) Tính IK.

ƠN

cho BK = 2cm

BA lấy điểm K sao

I nằm giữa A và K

Giải

BK = 2cm, BA = 7cm nên BK < BA  K nằm giữa A và B  AK + KB = AB hay AK = 7 − 2 = 5cm Trên tia AB có điểm I , K mà AI < AK ( 4cm < 5cm ) nên điểm I nằm giữa A và K

QU Y

a) Trên tia BA, ta có:

b) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK hay 4 + IK = 5  IK = 5 − 4 = 1(cm)

Câu 168. (Đề 243) Cho hai điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B.

AB = 5cm, AM = 3cm, BN = 1cm. Chứng tỏ rằng:

a) Bốn điểm

Biết

A, B, M , N thẳng hàng

KÈ

b) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB. c) Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C. Tính chu vi

∆CAN

Giải

A, B, M , N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN b) BM = AB − AM M , N ∈ tia AB mà BM > BN (2 > 1)  N nằm giữa B và M

DẠ

a) Bốn điểm

MN = BM − BN = 1cm = BN  N là trung điểm của BM

c) Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1cm Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4cm

FI CI A

Chu vi ∆CAN : AC + CN = NA = 4 + 4 + 1 = 9cm

Câu 169. (Đề 244) Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho CA ≤ CB

Giải

- Gọi M là trung điểm của AB suy ra Xét ba trường hợp:

B MA = MB và M ∈ AB

a)C ≡ M ta có: MA = MB  CA = CB

M nằm giữa C và B nên MB < CB

(2)

Từ (1) và (2)  CA < CB

(1)

ƠN

b) C nằm giữa A và M nên CA < MA  CA < MB

Chọn

M nằm giữa A và C nên MA < CA(4) Từ (3) và (4) ta có CA < CB

QU Y

Tóm lại C ∈ MA  CA ≤ CB

a) C nằm giữa M và B  CB < MB  CB < MA (3)

Câu 170. (Đề 244) Vẽ đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy hai điểm C, D nằm giữa A và B sao cho: AC + BD = 6cm c) Chứng tỏ điểm C nằm giữa B và D d) Tính độ dài đoạn thẳng CD

Giải

a) C nằm giữa A và B nên: AC + CB = AB = 5cm và AC + BD = 6

KÈ

 AC + CB < AC + BD  CB < BD  C nằm giữa D và B b) BD = BC + CD

Vì AC + BD = 6  AC + BC + CD = 6  ( BC + AC ) + CD = 6

DẠ

 CD = 6 − AB = 6 − 5 = 1 . Vậy CD = 1cm.

Câu 171. (Đề 245) Cho tam giác ABC có

a) Tính độ dài

BC = 5,5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm

100

= 800 , BAC = 600. Tính CAM b) Biết BAM

BM biết CK = 1cm Giải

a) C nằm giữa B và M

 BC + CM = BM  BM = 3 + 5,5 = 8,5

b) C nằm giữa B và M nên AC là tia nằm giữa 2 tia AB, AM

+ CAM = BAM  BAC = BAM − BAC = 800 − 600 = 200  CAM

FI CI A

c) Tính độ dài BK thuộc đoạn

+Nếu K nằm giữa C và

c) Xét 2 trường hợp: +Nếu K nằm giữa C và M ta tính được: BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5(cm)

B  BK = 4,5cm

ƠN

Câu 172. (Đề 246) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và AB + BC = AC . Điêmr nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Tại sao ?

Giải

HSTL

Câu 173. (Đề 247) Cho 5 điểm A, B, C , D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

QU Y

- Có bao nhiêu đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 5 điểm đã cho. Kể tên các đoạn thẳng ấy - Có thể dựng được một đường thẳng không đi qua điểm nào trong 5 điểm đã cho mà cắt đúng 5 đoạn thẳng trong các đoạn thẳng nói trên không ? Vì sao?

Giải HSTL

Câu 174. (Đề 248 ) Trên tia Ax, lấy các điểm

KÈ

B, C, D sao cho AB = 5cm, AC = 1cm, AD = 3cm. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa hai điểm C và B. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho CM = 3cm. Chứng minh rằng điểm C nằm giữa hai điểm A và M

HSTL

Giải

DẠ

Câu 175. (Đề 249) Trên tia Ox, cho 3 điểm A, B, C phân biệt.Chứng mnh rằng: a) Nếu OA + OB < OC thì điểm B nằm giữa O và C b) Nếu OA + AB + BC = OC thì điểm B nằm giữa A và C

101

Giải HSTL

FI CI A

Câu 176. (Đề thi HSG 6 THCS HOẰNG PHỤ 2019-2020) Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm a) Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n b) Số giao điểm của các đường thẳng đó có thể là 2017 được không? Vì sao Lời giải a) Với n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Số giao điểm được xác định như sau: Chọn 1 đường thẳng, đường thẳng này cắt n − 1 đường thẳng còn lại tạo ra n − 1 giao điểm, làm như vậy với n đường thẳng ta được n ( n − 1) giao

điểm. Nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần, nên số giao điểm là n ( n − 1) : 2 giao điểm Khi số giao điểm là 1128 ta có: n ( n − 1) : 2 = 1128  n = 48

b) Giả sử số giao điểm bằng 2017, áp dụng kết quả câu a) ta có: n ( n − 1) : 2 = 2017

ƠN

Lý luận ra điều vô lý, nên số giao điểm không thể bằng 2017 Câu 177. (Đề thi HSG 6 2019-2020) Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm a) Trong 3 điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao ? b) Tính độ dài đoạn thẳng AB c) Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao ? d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2 BA . Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OD Lời giải

QU Y

KÈ

a) Ta có OA = 2cm, OB = 4cm. Vì 2cm < 4cm  OA < OB nên A nằm giữa O và B b) Vì A nằm giữa O và B nên OA + AB = OB ⇔ 2 + AB = 4  AB = 4 − 2 = 2(cm ) c) Vì OA + AB = OB và OA = AB = 2cm nên A là trung điểm của OB d) Ta có: BD = 2 BA = 2.2 = 4cm  BD = BO = 4cm (1) Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D  OB + BD = OD (2) Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD. Câu 178. (Đề thi HSG 6 huyện BÌNH THUẬN 2018-2019) Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC + BD = 9cm a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD. Lời giải

DẠ

a) Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB = AB hay AD + DB = 6cm Lại có AC + DB = 9cm  AD + DB < AC + DB hay AD < AC (1) Mà D và C cùng nằm giữa A và B hay D, C cùng thuộc tia AB (2)

102

Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C b) Vì D nằm giữa A và C suy ra: AD + DC = AC mà AC + BD = 9 Nên AD + DC + BD = 9 ⇔ ( AD + DB ) + DC = 9  6 + DC = 9  DC = 3cm

FI CI A

Câu 179. (Đề thi chọn HSG khối 6 năm học 2018-2019) a) Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B sao cho OA = 8cm, AB = 2cm. Tính OB b) Cho 20 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm bất kỳ ta vẽ được 1 đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng. Lời giải a) TH1: Điểm A nằm giữa O và B x

Tính được OB = 10cm TH2: Điểm B nằm giữa O và A x

ƠN

Tính được OB = 6cm b) Qua 20 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được ( 20.19) : 2 = 190 đường thẳng. Qua 5 điểm không thẳng hàng vẽ được ( 5.4 ) : 2 = 10 đường thẳng

Cho 20 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm bất kỳ ta vẽ được 1 đường thẳng. Vậy vẽ được tất cả số đường thẳng là 190 − 10 + 1 = 181 đường thẳng. Câu 180. (Đề thi HSG toán 6 cấp trường 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho CA ≤ CB Lời giải C

QU Y

DẠ

KÈ

- Gọi M là trung điểm của AB suy ra MA = MB và M ∈ AB Xét ba trường hợp: a )C ≡ M ta có: MA = MB  CA = CB b) C nằm giữa A và M nên CA < MA  CA < MB (1) M nằm giữa C và B nên MB < CB (2) Từ (1) và (2)  CA < CB c) C nằm giữa M và B  CB < MB  CB < MA (3) M nằm giữa A và C nên MA < CA(4) Từ (3) và (4) ta có CA < CB Tóm lại C ∈ MA  CA ≤ CB Câu 181. (Đề thi HSG toán 6 cấp trường 2018-2019) Vẽ đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy hai điểm C, D nằm giữa A và B sao cho: AC + BD = 6cm a) Chứng tỏ điểm C nằm giữa B và D b) Tính độ dài đoạn thẳng CD Lời giải

a) C nằm giữa A và B nên: AC + CB = AB = 5cm và AC + BD = 6  AC + CB < AC + BD  CB < BD  C nằm giữa D và B

103

b) BD = BC + CD Vì AC + BD = 6  AC + BC + CD = 6  ( BC + AC ) + CD = 6

FI CI A

 CD = 6 − AB = 6 − 5 = 1. Vậy CD = 1cm.

Vậy thực tế chỉ có Theo bài ra ta có:

n ( n − 1) 2 n ( n − 1)

Câu 182. (Đề thi HSG 6 huyện TAM DƯƠNG 2018-2019) Trên mặt phẳng cho n đường thẳng trong đó có bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Biết rằng tổng số giao điểm mà n đường thẳng đó tạo thành bằng 465. Tìm n Lời giải Có n dường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có 3 đường thẳng đồng quy, nên mỗi đường thẳng sẽ cắt n − 1 đường thẳng còn lại tạo ra n − 1 giao điểm phân biệt Do đó n đường thẳng thì có n ( n − 1) giao điểm nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần giao điểm

ƠN

= 465 2 ⇔ n ( n − 1) = 930 = 31.30  n = 31

QU Y

Câu 183. (Đề thi chọn HSG cấp trường 2018-2019) Cho 20 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng. Lời giải Giả sử trong 20 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng Gọi 20 điểm đó là A1 , A2 , A3 ,......, A20 Vì cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng nên Qua điểm A1 và từng điểm trong 19 điểm còn lại A2 , A3 ,....., A20 ta vẽ được 19 đường thẳng.

KÈ

Qua điểm A2 và từng điểm trong 18 điểm còn lại A3 , A4 ,....., A20 ta vẽ được 18 đường thẳng. ……………………………………………… Qua điểm A19 và điểm A20 ta vẽ được 1 đường thẳng. Do đó số đường thẳng tạo thành là: 1 + 2 + 3 + .... + 19 + 20 = 190 (đường thẳng) Với a điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì ta có số đường thẳng tạo thành là a. ( a − 1) 1 + 2 + 3 + ...... + ( a − 1) = 2 Với a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Vậy trong 20 điểm mà có a điểm thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là: ( a − 1) a : 2 − 1 = 190 − 170

( a − 1) a : 2 = 21  a ( a − 1) = 42 = 6.7  a = 7

DẠ

Câu 184. (Đề thi HSG 6 HUYỆN 2018-2019) Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng. Lời giải Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng: Chọn một điểm bất kỳ trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.

104

Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là ( 29.30) : 2 = 435 đường thẳng

FI CI A

Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng. Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được a ( a − 1) : 2 đường thẳng. Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng nên số đường thẳng bi giảm đi là a ( a − 1) : 2 − 1 đường thẳng Theo bài ra ta có: a ( a − 1) : 2 − 1 = 435 − 421 = 14

 a ( a − 1) = 30 = 6.5

ƠN

Vì a − 1và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a − 1 < a  a = 6 Câu 185. (Đề thi HSG 6 HUYỆN LÂM THAO 2019-2020) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB, Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại. c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB) Lời giải

a) Lập luận chứng tỏ được OA < OB b) Lập luận chứng tỏ OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O và N AB MN = . Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi. 2 Câu 186. (Đề thi HSG 6 huyện Vĩnh Tường 2019-2020)

QU Y

Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10cm. Gọi điểm C là trung điểm của AB, gọi D là điểm thuộc đoạn AB sao cho AD = 6cm. Gọi E là trung điểm của BD. Gọi F là trung điểm của AD. Tính độ dài các đoạn thẳng BC và EF? Hướng dẫn giải

C D

Tính được độ dài AC = BC = 5cm BD = 4cm, DE = BE = 2cm, AF = DF = 3cm  EF = 5cm

DẠ

KÈ

Câu 187. (Đề thi HSG 6 huyện số 286 năm học 2018-2019) 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM = 3cm, ON = 7cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Lấy điểm P trên tia Ox sao cho MP = 2cm. Tính OP c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN 2) Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó. Hướng dẫn giải

105

1) a) Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O, N

b) Th1: nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P

 OP = OM + MP  OP = 3 + 2 = 5cm Th2: Nếu P nằm giữa O và N thì OM = OP + PM  3 = OP + 2  OP = 1cm c) M nằm giữa O và P nên OP < ON(5cm < 7cm) nên P nằm giữa O và N

 OP + PN = ON  5 + PN = 7  PN = 2(cm)

FI CI A

 OM + MN = ON  3 + MN = 7  MN = 4cm

Do đó MP = PN , mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN.

2) Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có ( n − 1) cách chọn, đỉnh C có

ƠN

(n – 2 ) cách chọn.

Như vậy có n ( n − 1)( n − 2 ) tam giác nhưng mỗi tam giác được tính 6 lần nên số tam giác là: n ( n − 1)( n − 2 )

QU Y

Câu 188. (Đề thi HSG 6 huyện số 287 năm học 2018-2019) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA = 7cm, OD = 3cm, BC = 8cm, AC = 3BD a) Tính độ dài AC b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD Hướng dẫn giải 3x

a) Đặt BD = x(cm)  AC = 3x(cm)

KÈ

Vì D nằm giữa O và A (do OD<OA) nên OD + DA = OA  DA = 4  DB + BA = 4  x + BA = 4(1) Vì A nằm giữa B và C nên: BA + AC = BC hay 3x + BA = 8(2) Từ (1) và (2) ta có: ( 3x + BA ) − ( x + BA ) = 8 − 4  2x = 4  x = 2  AC = 3.2 = 6cm b) Theo (1) ta có: x + BA = 4  x = 2  BA = 2 mà BD = x = 2

DẠ

 BD = BA = 2  B là trung điểm của đoạn thẳng AD. Câu 189. (Đề thi HSG 6 huyện Cẩm Thủy 2016-2017) 1) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; OA = 7 cm ; OD = 3 cm; BC = 8 cm; và AC = 3BD. a. Tính độ dài AC b. Chứng tỏ rằng điểm B là trung điểm của đoạn AD

106

1a)

. C

. .B .A D

FI CI A

2) Cho 2017 điểm trong đó có đúng 1945 điểm cùng nằm trên đường thẳng a, ngoài ra không có 3 điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng khác a; Vẽ tất cả các đường thẳng đi qua 2 trong 2017 điểm đó. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng. Hướng dẫn giải x

ƠN

O = 3x (cm) Đặt BD = x ( cm )  AC Vì D nằm giữa O và A ( DO OD < OA ( 3cm < 7cm) nên OD + DA = OA  DA = 4cm. Vì A nằm giữa B và C nên A và C nằm cùng phía với B, mà B nằm giữa D và C nên D và C nằm khác phía với B suy ra D và A nằm khác phía với B hay B nằm giữa D và A  DB + BA = AB  x + AB = 4  AB = 4 – x Vì A nằm giữa B và C nên AB + AC = BC hay 3x + AB = 8  3x + 4 – x = 8  x = 2 suy ra AC = 3 . 2 = 6 cm 1b) Vì AB = 4 – x ( câu a) mà x = 2  AB = 4 – 2 = 2 cm, mà BD = 2 cm  DB = BA = 2cm mà B nằm giữa D và A ( câu a) nên B là trung điểm của AD 2) – Với 2017 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng ta tính được số đường thẳng kẻ được là : 2017 . 2016 : 2 = 2033136 đường. - Với 1975 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng ta tính được có số đường thẳng kẻ được là: 1945 . 1944 :2 = 1890540 đường, số đường này trùng nhau nên chỉ tính 1 đường Nên chỉ vẽ được : 2033136 – 1890540 + 1 = 142591 đường. Câu 190. (Đề thi HSG 6 huyện 282 năm học 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB. Điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của

OA, OB .

a) Trong 3 điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Vì sao ?

QU Y

b) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O Hướng dẫn giải

a) O thuộc tia đối của tia AB  O nằm giữa hai điểm A và B  OA < OB

OM =

OA OB ;ON = mà OA < OB  OM < ON  M nằm giữa hai diểm O và N 2 2

OB OA AB − = 2 2 2 Độ dài đoạn thẳng AB cố định nên MN cố định không phụ thuộc vào O.

DẠ

KÈ

b) Từ a) được MO + MN = ON  MN = ON − OM  MN =

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

CHUYÊN ĐỀ .GÓC – BÀI TOÁN LIÊN QUAN. PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

FI CI A

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ. I . NỬA MẶT PHẲNG

1. Hình gồm đường thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là một nửa mặt phẳng bờ a .

Nhận xét: bất kỳ đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau.

2. Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy , nếu tia Oz cắt

B•

đoạn thẳng AB tại điểm M nằm giữa A và B ( A ∈ Ox, B ∈ Oy; A và B khác O )

ƠN

Nhận xét: Nếu hai tia Ox và Oy đối nhau thì mọi tia Oz khác Ox , Oy đều nằm giữa hai tia Ox , Oy .

O•

•

3. Hai điểm A và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ

a thì đoạn thẳng AB không cắt a

• M

4. Hai điểm A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a thì đoạn thẳng AC cắt d tại điểm M nằm giữa A và C .

QU Y

B•

A•

d II - GÓC, SỐ ĐO GÓC. CỘNG SỐ ĐO HAI GÓC

M • •

1. Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau

có hai tai chung gốc là Ox và Oy xOy

KÈ

tia Ox là tia đối của tia Oy

có Góc bẹt xOy

y O x • O• 0 2. Mỗi góc có một số đo dương. Số đo của góc bẹt là 180 . Số đo của mỗi góc không vượt qua

1800 .

DẠ

3.So sánh góc. ⇔A và B cùng số đo A= B ⇔ s ố đo A< B A < s ố đo B

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

⇔ s ố đo A> B A > s ố đo B

4. Các loại góc:

FI CI A

00 < góc nhọn < góc vuông (900 ) < góc tù < bẹt (1800 )

5. Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là cạnh chung. 6. Góc phụ. Góc bù ⇔ = 900 A phụ với B A+ B

Hai góc vừa kề vừa bù gọi là hai góc kề bù.

⇔ = 1800 A bù với B A+ B Hai góc kề bù có tổng bằng 1800 và hai cạnh ngoài là hai tia đối nhau

+ 7. Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì xOy yOz = xOz

ƠN

+ thì Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz Ngược lại, nếu xOy yOz = xOz + thì Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz . Nếu xOy yOz ≠ xOz

Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz ; tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz thì:

+ = xOz . xOy yOt + tOz

8. Hai góc AOB và AOC là hai góc kề, tia OA′ là tia đối của OA

QU Y

A′

O •

- Nếu AOB + AOC < 1800 thì tia OA nằm giữa hai tia OB và OC•

- Nếu AOB + AOC > 1800 thì tia OA′ nằm giữa hai tia OB và OC .

III .VẼ GÓC CHO BIẾT SỐ ĐO

O •

KÈ

1. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox , bao giờ cũng vẽ được 1 và chỉ 1 tia Oy sao z cho xOy = m (độ).

DẠ

= m 0 , xOz = n 0 ; nếu m < n thì tia Oy nằm 2.Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứ tia Ox , có xOy

giữa hai tia Ox, Oz .

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= m0 , xOz = n 0 ; xOt = p 0 . Nếu m < n thì 3. Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox , có xOy

Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot .

FI CI A

t z

O•

IV . TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC

1. Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau

ƠN

O •

= zOy = xOy . 2. Nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì: xOz 2

QU Y

= xOy tia Oz là tia phân giác của góc xOy . 3. Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy và xOz 2

4. Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó. Mỗi góc có một đường phân giác duy nhất. - Ba cạnh: AB, BC , AC

, C - Ba góc: A, B

3. Nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của một tam giác và cắt một cạnh của tam giác ấy

KÈ

thì nó cắt một và chỉ một trong hai cạnh còn lại.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính số góc tạo thành từ các điểm (hoặc từ các tia) cho trước.

* Nếu có n tia chung gốc thì số góc tạo thành là

n( n −1) góc 2

DẠ

Giải thích:

- Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc.

- Xét 1 tia, tia đó cùng với n - 1 tia còn lại tạo thành n - 1 góc. - Làm như vậy với n tia ta được n.(n-1) góc.

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

- Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả

n( n −1) góc 2

tất cả có bao nhiêu góc tạo thành (có đỉnh là các điểm đã cho) ?

Hướng dẫn Giả sử có 10 điểm A1, A2,…A10 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. * Xét đoạn thẳng A1A2 Nối A1 với 8 điểm còn lại ta được 8 góc có đỉnh là A1 Nối A2 với 8 điểm còn lại ta được 8 góc có đỉnh là A2

Mà ở đây có tổng cộng

Vậy với đoạn thẳng A1A2 ta được 16 góc

FI CI A

Bài tập 1: Cho 10 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm đó với nhau. Hỏi

10.9 = 45 đoạn thẳng do đó có 45. 16 góc. 2

1045.16 = 360 góc. 2

ƠN

Nhưng nếu vậy mỗi góc đã được tính hai lần. Vậy số gúc là

Bài tập 2: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm 2006 tia phân Hướng dẫn

biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc. Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc

Nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .

2010.2009 = 2 019 045 góc 2

QU Y

Vậy có tất cả

Bài tập 3: Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung

Hướng dẫn

gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo

KÈ

thành tất cả 300 góc.

Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5

góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc

DẠ

Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được

tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là: O

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

góc

Vì có 300 góc được tạo thành nên:

+ 5 )( n + 6 ) 2

= 300 ⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25

+ 5 )( n + 6 )

FI CI A

⇔ n + 5 = 24 ⇔ n = 19

Bài tập 4: Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho:

2 = 2xOx ; xOx 3 = 3xOx ; xOx 4 = 4xOx ; ...; xOx n = nxOx . Tìm số n nhỏ nhất để trong xOx 1 1 1 1 các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.

Hướng dẫn

2 = 2xOx ; Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx 1

1 = x  xOx 1Ox 2 = x 2 Ox 3 = ... = x n −1Ox n

ƠN

3 = 3xOx ; xOx 4 = 4xOx ; ...; xOx n = nxOx xOx 1 1 1

Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox 2017 là tia phân giác chung của 2017 góc:

4034 = x xOx 1Ox 4033 = x 2 Ox 4032 = ... = x 2016 Ox 2018

Bài tập 5: Cho n tia chung gốc O: Ox1,Ox2,..., Oxn cùng nằm trong một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox1. Có tất cả bao nhiêu góc được tạo thành?

Hướng dẫn

n(n − 1) 2

QU Y

Số góc có được từ n tia chung gốc là:

Bài tập 6: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 190 góc. Tính n ? Hướng dẫn

Bài tập 7:

n( n −1) = 190 được n bằng 20 . 2

a) Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ? Vì sao?

KÈ

b) Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.

Hướng dẫn

a) Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5

góc. Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả là

DẠ

5.6 = 15 góc. 2

 n −1 b) Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có n  (góc).  2 

Dạng 2: Bài tập liên quan tới tính đo góc.

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

* Cho biết tia phân giác tính số đo góc

* Cho biết số đo góc chứng minh một tia là phân giác của góc

FI CI A

* Chứng minh góc bằng nhau, so sánh hai góc. * Dựa vào việc tính số đo góc chỉ ra hai góc kề bù, hai tia đối nhau.

Bài tập 1: Vẽ 2 góc kề bù xÔy và yÔx’ , biết xÔy = 700. Gọi Ot là tia phân giác của xÔy, Ot’ là tia phân giác của x’Ôy. Tính yÔx’; tÔt’; xÔt’

Hướng dẫn HD: Ta có xÔy và yÔx’ là 2 góc kề bù

 xÔy + yÔx’ = 1800  yÔx’= 1800 – 700 = 1100

Vì Ot’ là tia phân giác của yÔx’

1 1 yÔx’ = .1100 = 550 2 2

Vì Ot là tia phân giác của xÔy

1 1 xÔy = .700= 350 2 2

Vì Ox và Ox’ đối nhau

700

 xÔt = tÔy =

ƠN

 t’Ôx’ = tÔy =

 Ot và Ot’ nằm giữa Ox và Ox’  xÔt + tÔt’ + t’Ôx’= 1800  tÔt’ = 1800 – 350 – 550 = 900

QU Y

xÔt’ và t’Ôx’ là 2 góc kề bù  xÔt’ + t’Ôx’ = 1800  xÔt’ = 1800 – 550 = 1250

Bài tập 2: Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc.

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c)* Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt

Hướng dẫn

(không trùng với các tia OA; OB; OC; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?

KÈ

a) Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên:

+ BOC =1800 AOB

= 5 AOB nên: 6 AOB = 1800 mà BOC Do đó:

DẠ

= 1800 : 6 = 300; BOC = 5. 300 = 1500 AOB = DOC = 1 BOC = 750. b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên BOD 2

và góc DOC là hai góc kề bù nên: DOA + DOC =1800 Vì góc DOA 6

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

=1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 Do đó DOA

c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4 tia đó tạo với n+4 - 1= n+3 tia còn lại thành n+3

tất cả

FI CI A

góc. Có n+4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần . Vậy có

( n + 4)( n + 3) góc 2

Bài tập 3: Cho hai góc kề bù

xOy

và

yOz

. Biết

= 620 xOy

. Om là tia phân giác của góc

xOm

b/ Tính số đo các góc c/ Tính số đo góc

và

mOz

mOn

mOy và

;

yOn

và

nOz

xOn

Rồi rút ra nhận xét

ƠN

a/ Tính số đo góc

xOy; On là tia phân giác của góc yOz

Hướng dẫn

nên ta có Vì Om là phân giác của xOy

620 xOy xOm = mOy = = = 310 2 2

+ = 180 0 − 62 0 = 1180 yOz = 1800 ( kề bù )  yOz = 180 0 − xOy a/ Ta có : xOy

QU Y

yOz nên ta có Vì On là phân giác của

yOz 1180 yOn = nOz = = = 590 2 2

và yOz là hai góc kề bù và Om là phân giác của xOy b/ Vì xOy

On là phân giác của yOz nên tia Oy nằm gữa các tia Om và Oz ; Ox và On ; Om và On

KÈ

+ Oy Nằm giữa Om và Oz . Ta có

+  mOz = 310 + 1180 = 1490 mOy yOz = mOz + Oy nằm giữa Ox và On . Ta có

+  xOn = 620 + 590 = 1210 xOy yOn = xOn

DẠ

c/ Vì Oy nằm giữa Om và On nên ta có

+  mOn = 310 + 590 = 900 mOy yOn = mOn

Nhận xét : Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì tạo thành một góc vuông

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Bài tập 4: Cho góc AOB = 1100 , tia OC nằm trong góc đó. Gọi OM , ON theo thứ tự là các tia

? phân giác của các góc AOC , BOC . Tính MON

FI CI A

Hướng dẫn

0 = MOC + CON = AOC + COB = AOC + COB = AOB = 110 = 550 MON 2 2 2 2 2

Bài tập 5: Cho góc AOB = 1000 và OC là tia phân giác của góc đó. Trong góc AOB vẽ các tia = 200 . Chứng tỏ rằng tia OC là tia phân giác của góc DOE . OA, OE sao cho AOD = BOE

Hướng dẫn = COE = 300 . Chứng tỏ rằng COD

Bài tập 6: Cho góc tù xOy . Bên trong góc xOy , vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia

ƠN

On sao cho góc yOn bằng 900 . a) Chứng minh góc xOn bằng góc yOm .

b) Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy . Chứng minh Ot cũng là

tia phân giác của góc mOn .

Hướng dẫn a) Lập luận được:

+ mOy = xOy hay 900 + mOy = xOy xOm

b) Lập luận được:

= tOy xOt

= xOn + nOt xOt

= tOy yOm + mOt = mOt ⇒ nOt

QU Y

= xOy hay 900 + nOx = xOy ⇒ xOn = yOn + nOx yOm

⇒ Ot là tia phân giác của góc mOn .

KÈ

Bài tập 7: Trên đường thẳng xx ′ lấy một điểm O . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

xx ′ vẽ 3 tia Oy, Ot , Oz sao cho góc x ′Oy = 400 ; xOt = 97 0 ; xOz = 540 . a) Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz .

b) Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy .

DẠ

Hướng dẫn

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Theo đề bài ta có x ′Ox = 1800 mà góc x ′Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x ′Oy = 400 ⇒ góc

yOx = 1800 − 400 = 1400 . Suy ra góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy . Lại

có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox . Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy .

b) Theo câu a) ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy .

ƠN

Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy

Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot => Góc xOz + góc zOt = góc xOt

Hay góc tOy = 430 (vì góc xOt = 97 0 và góc xOy = 540 ).

Hay góc zOt = 430 (vì góc xOt = 97 0 và xOy = 540 )

QU Y

Suy ra góc tOy = góc zOt = 430 . Vậy tia Ot là tia phân giác của góc zOy .

Bài tập 8: Cho tia Ox . Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox . Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bằng 1200 . Chứng minh rằng: a) Góc xOy = góc xOz = góc yOz .

KÈ

Hướng dẫn

b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại.

a) Ta có: góc x ′Oy = 600 , góc x ′Oz = 600 và tia Ox ′ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên góc

yOz = yOx ′ + x ′Oz = 1200 .

Vậy góc xOy = góc xOz = góc yOz b) Do tia Ox ′ nằm giữa hai tia Oy, Oz và góc x ′Oy = góc x ′Oz nên Ox ′ là tia phân giác của góc

DẠ

hợp bởi hai tia Oy, Oz . Tương tự tia Oy ′ (tia đối của Oy ) và tia Oz ′ (tia đối của tia Oz ) là phân

giác của góc xOz và xOy .

Bài tập 9: Cho góc AOB = 1350 , C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 .

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Tính góc AOC .

b) Gọi OD là tia đối của tia OC . So sánh hai góc AOD và BOD .

a) Theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OA ⇒ góc AOC + góc BOC = góc AOB ⇒ góc AOC = góc AOB − góc BOC ⇒ góc

AOC = 1350 − 900 = 450

DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù). ⇒ góc AOD = 1800 − góc AOC = 1800 − 450 = 1350

ƠN

Góc BOD = 1800 − 900 = 900

b) Vì OD là tia đối của tia OC nên C , O, D thẳng hàng. Do đó góc

FI CI A

Hướng dẫn

Vậy góc AOD > góc BOD .

Bài tập 10: Cho tam giác ABC và BC = 5cm . Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

b) Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 . Tính góc CAM . c) Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy .

Hướng dẫn

QU Y

d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1cm . Tính độ dài BK .

a) M , B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM ⇒ C nằm giữa B và M

⇒ BM = BC + CM = 8(cm)

b) C nằm giữa B, M => Tia AC nằm giữa tia AB, AM

KÈ

= BAM − BAC = 200 ⇒ CAM = xAC + CAy = 1 BAC + 1 CAM = 1 ( BAC + CAM ) = 1 BAM = 1 .800 = 400 . c) Có xAy 2 2 2 2 2

DẠ

- Nếu K ∈ tia CM ⇒ C nằm giữa B và K1 ⇒ BK1 = BC + CK1 = 6(cm) - Nếu K ∈ tia CB ⇒ K 2 nằm giữa B và C ⇒ BK 2 = BC = CK 2 = 4(cm) .

Bài tập 11: Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm

M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. 10

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

tOy = 1300, zOy = 300. Tính số đo tOz. b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho t

FI CI A

Hướng dẫn z

a) Trên tia Oy ta có OM = 1 cm < OB = 4 cm Vậy M là điểm nằm giữa O và B x

Do M nằm giữa O và B ta có OM + MB = OB

=> MB = OB – OM = 4 – 1 = 3 Do A thuộc tia Ox M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M => OM + OA = MA => MA = 2 + 1 = 3 cm

=> M nằm giữa A và B Vậy M là trung điểm của AB b)

TH1: Tia Ot và tia Oz trên cùng một nữa mặt phẳng

ƠN

Mặt khác do A, B nằm trên hai tia đối nhau, M lại nằm giữa O và B

= 1030 , yOz = 300 suy ra tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy. Do yOt = tOy – yOz = 1300 – 300 = 1000 Ta có tOz

TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là xy

QU Y

=> tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Oz

= tOy + yOz = 1300 + 300 = 1600 Ta có tOz

Bài tập 12: Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.

a) Tính BD.

= 850 , BCA = 500. TínhACD . b) Biết BCD

KÈ

c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK.

DẠ

Hướng dẫn

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

a) Tính BD

Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

 A nằm giữa D và B  BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm)

ƠN

= 850, BCA = 500. Tính ACD b) Biết BCD Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

+ BCA = BCD => ACD

= BCD - BCA = 850 - 500 = 350 => ACD c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

QU Y

- Suy ra: AK + KB = AB  KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm)

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

- Suy ra: KB = KA + AB  KB = 5 + 1 = 6 (cm)

KÈ

* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm

Bài tập 13: Cho góc xBy = 550.Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C (A ≠ B, C ≠ B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm

b/ Tính số đo góc DBC

DẠ

c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900. Tính số đo ABz.

TH1

Hướng dẫn x

TH2 x

D B

12 D

C y

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C: AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm b) Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

= ABD + DBC => DBC = ABC − ABD = 55o − 30o = 25o ABC c) Xét hai trường hợp:

Ta có đẳng thức:

- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa

ƠN

hai tiaBz và BD

= 90o − ABD = 90o − 30o = 60o Tính được ABz

- Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai

tia Bz và BA

= 90o + ABD = 90o + 30o = 120o Tính được ABz

Bài tập 14: Trên đường thẳng x ' x lấy điểm O tuỳ ý. Vẽ hai tia Oy và Oz nằm trên cùng một

QU Y

. = 400, x nửa mặt phẳng có bờ x ' x sao cho: xOz ' Oy = 3.xOz a) Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?

zOz ' ? b) Gọi Oz ' là tia phân giác của góc x ' Oy . Tính góc Hướng dẫn

y z

KÈ

400

nên: x a) Theo bài ra: x ' Oy = 3. xOz ' Oy = 3.400 = 1200

và x Hai góc xOy ' Oy là 2 góc kề bù nên

DẠ

= 1800 - x xOy ' Oy = 1800 -1200 = 600

Hai tia Oy, Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia x’x

nhỏ hơn xOy nên tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy lại có xOz

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= xOy + zOy Ta có: xOz

zOz ' = yOz ' + yOz = 600 + 200 = 800 Vậy:

FI CI A

1 1 Mà yOz ' = . x ' Oy = . 1200 = 600 (Oz, là tia phân giác x ' Oy ) 2 2

= xOy - ∠ xOz = 600 - 400 = 200 Hay zOy

Bài tập 15: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD bằng 3cm. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính độ dài đoạn thẳng BM.

a) Tính độ dài đoạn thẳng CD.

c) Biết góc DAC = 120O. Vẽ Ax và Ay lần lượt là các tia phân giác của góc BAC và góc BAD. Tính số đo góc xAy.

ƠN

d) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với các tia AB, AC, Ax thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A được tạo thành?

Hướng dẫn hai điểm C và D, ta có: CD = BC+ BD = 6+3 = 9 (cm) b) Vì M là trung điểm của đoạn CD nên

a) Vì điểm D thuộc tia đối của tia BC nên điểm B nằm giữa

QU Y

CM = MD = CD: 2= 4,5 (cm)

CM < CB nên điểm M nằm giữa hai điểm C và B Ta có: BC= BM + CM  BM = BC- CM= 6 – 4,5 =1,5 (cm) = 1 BAC c) Vì Ax là tia phân giác của góc BAC nên xAB 2

1 Vì Ay là tia phân giác của góc BAD nên yAB = BAD 2

KÈ

Vì điểm B nằm giữa hai điểm C và D nên tia AB nằm giữa hai tia AC và AD

+ BAD =1200. = DAC  BAC Vì Ax là tia phân giác của góc BAC, Ay là tia phân giác của góc BAD => tia AB nằm giữa hai tia Ax, Ay

DẠ

= xAB + BAy = 1 BAC + 1 BAD = = 1 ( BAC + BAD ) = 1 DAC = 600  xAy 2 2 2 2

d) Ta có n + 3 tia gốc A phân biệt (kể cả các tia AB, AC, Ax)

Mỗi tia trong n + 3 tia hợp với n + 2 tia còn lại một góc. Có n + 3 tia như vậy nên có tất cả (n + 3)(n

+ 2) góc. Tính như thế mỗi góc đã được tính hai lần nên có tất cả (n + 3)(n + 2): 2 góc đỉnh A 14

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Bài tập 16: Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các

góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om.

FI CI A

a) Tính số đo góc mOn

b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m 'Oz = 300 Hướng dẫn

kề bù với zOy nên: xOy + zOy = 1800 a) Vì xOy nên: Vì tia Om là tia phân giác của xOy

= 1 xOy mOy 2

nên: Vì tia On là tia phân giác của zOy = 1 zOy nOy 2

ƠN

kề bù với zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của xOy Vì xOy

+ yOn = mOn mOy 1 1 xOy + zOy = mOn 2 2

⇔

1 xOy + zOy = mOn 2

⇔

1 .1800 = mOn 2

(

)

= 900 ⇔ mOn

QU Y

⇔

nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó: và tia On là tia phân giác của zOy

b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m 'Oz kề bù với zOm

⇔

= 1800 + zOm

KÈ

⇔ 300

= 1800  m 'Oz + zOm

= 1500 zOm

kề bù với mOx Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm

+ mOx = 1800  zOm

DẠ

= 1800 ⇔ 1500 + mOx ⇔

= 300 mOx

nên: mOy = mOx = 300 Vì tia Om là tia phân giác của xOy

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

kề bù với yOm ' Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm

+ yOm ' = 1800  yOm

FI CI A

' = 1800 ⇔ 300 + yOm ' = 1500 yOm

⇔

Bài tập 17: Cho góc xOy . Vẽ tia Oz là tia phân giác của góc xOy . Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOz . Vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOt . a) Giả sử góc xOm = 120 . Hãy tính số đo góc xOy ?

b) Tính giá trị lớn nhất của góc xOm ?

Hướng dẫn a) Tính được: xOy = 8.xOm = 8.120 = 960 b)Vì xOy = 8.xOm , nên xOm có giá trị lớn nhất khi

ƠN

xOy = 1800  xOm = 22,50

Bài tập 18: Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho a) Tính BC.

= 80o , tính OAC . b) Giả sử cho OAB

AB = 6cm, AC= 2cm.

c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao nhiêu góc có đỉnh

Hướng dẫn

2 cm

QU Y

O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d.

2 cm

6 cm

6 cm Hình 2

KÈ

Hình 1

a) Tính BC.

Vì A, B, C thuộc đường thẳng d và AB > AC nên xảy ra 2 trường hợp

TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)

DẠ

 AB = AC + CB  BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)

 BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

b) Tính

. OAC

TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)

= OAB = 80 Tia AC và tia AB trùng nhau  OAC

FI CI A

TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)

OAB là hai góc kề bù  OAC + OAB =180o Tia AC và tia AB đối nhau  OAC;

=180o − OAB =180o − 80o =100o Suy ra: OAC Vậy

= 80o hoặc OAC =100o OAC

c) +) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt

+) Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được một góc đỉnh O.

ƠN

Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O. Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là : (góc)

Vậy có 2035153 góc đỉnh O

2018.2017 = 2035153 2

Bài tập 19: Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho

= 1200 , AOC = 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC . AOB

QU Y

. a) Tính AOM

. b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON Hướng dẫn

< AOB (800 < 1200) a) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOC

⇒ Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

+ BOC = AOB  800 + BOC = 1200  BOC = 400 ⇒ AOC

KÈ

 BOM = COM = BOC = 40 = 200 Vì OM là tia phân giác của BOC 2 2

< BOA Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có BOM

(200< 1200) nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB

DẠ

+ MOA = AOB  BOM = 1200  MOA = 1000 => 200 + MOA và AON là hai góc kề bù. b) Vì OM và ON là hai tia đối nhau nên hai góc AOM + AON = 1800  AOM

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 1800  AON = 800  1000 + AON = AON ( vì cùng bằng 800) Suy ra AOC

(1)

tia OM và ON

FI CI A

Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia OA nằm giữa hai (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON

Bài tập 20: Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm.

= 400 , BAy = 1100 . Tính yAx, NAy . BAx c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn

Hướng dẫn a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB

⇒ AM + 2 = 5  AM = 3 cm Có AN = AM  AN = 3 cm

ƠN

thẳng BN có độ dài lớn nhất.

b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho

400

)

Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm

QU Y

< BAy (400 < 1100 ) b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: BAx + xAy = BAy ⇒ Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: BAx = 1100 ⇒ xAy = 1100 − 400 = 700 hay 400 + xAy

và NAy là hai góc kề bù . + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có BAy

+ NAy = 1800 ⇒ BAy

KÈ

= 1800 ⇒ NAy = 1800 −1100 = 700 hay 1100 + NAy c) Vì BN = AB + AN = 5 + AN Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất Mà AN = AM  BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất

Có AM ≤ AB  AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B.

DẠ

Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

PHẦN II.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

Bài 1.

và ; On là tia phân giác của Cho xOy yOz là hai góc kề bù. Om là tia phân giác của xOy yOz a) Tính mOn

b) Kẻ tia Om ' là tia đối của tia Om. Nếu zOm ' = 300 thì m ' Oy có số đo bằng bao nhiêu độ

c) Vẽ đường thẳng d không đi qua O. Trên đường thẳng d lấy 2015 điểm phân biệt. Tính số các góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm bất kỳ trên đường thẳng d.

Lời giải

n y

3 4

ƠN

O = 1 xOy ; On là tia phân giác =1 a) Om là tia phân giác xOy yOz  O yOz 2 3 2 2

(

QU Y

1800 =O +O = 1 xOy +  mOn yOz = = 900 2 3 2 2

)

' = 1800 b) Om và Om’ là hai tia đối nhau  mOm '  Oz nằm giữa Om và Om '  m = 1800 +) m ' Oz < mOm ' Oz + zOm

(2)

+ mOz = 1800 Mặt khác xOm

(1)

Từ (1) và (2)  m ' Oz = xOm

KÈ

+) m ' Oy + yOm = 1800

= 300 (vì Om là tia phân giác của xOy ) Mà yOm = xOm

m ' Oy = 1800 − yOm = 1800 − 300 = 1500 c) Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được 1 góc đỉnh O

DẠ

 có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O  Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kỳ trên đường thẳng d là:

2015.2014 = 4058210 (góc). Vậy có 4058210 góc. 2

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

, zOy . Vẽ tia Om và On theo thứ tự là tia phân giác của các góc Bài 2.Vẽ hai góc kề bù xOy

FI CI A

, zOy . Vẽ tia Om ' là tia đối của tia Om xOy a) Tính số đo mOn b) Tính số đo của góc kề bù với yOn , biết zOm ' = 250

c) Trên cùng một nửa mặt chứa tia Oy, có bờ chứa tia Ox. Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành 630 góc đỉnh O (chỉ tính các góc thuộc

nửa mặt phẳng nói trên).

Lời giải n

ƠN

= 900 a )mOn

1 = 2.250 = 500  b) xOy yOz = 1300  yOn = yOz = 650 2

QU Y

Vậy góc kề bù với yOn có số đo bằng: 1800 − 650 = 1150 c) Với n tia chung gốc O vẽ được:

n ( n − 1) 2

góc đỉnh O

ta phải có: n ( n − 1) = 1260 = 36.35  n = 36

Vậy phải vẽ thêm : 36 − 5 = 31 tia gốc O như yêu cầu đề bài.

KÈ

Bài 3.Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù. Góc yOz bằng 300

= 750 ; tia On nằm trong góc yOz sao cho a) Vẽ tia Om nằm trong góc xOy sao cho xOm yOn = 150 b) Hình vẽ trên có mấy góc?

Lời giải

DẠ

c) Nếu có n tia chung gốc thì sẽ tạo nên bao nhiêu góc ?

a) Vẽ được góc xOy và góc yOz kề bù và yOz = 300

Vẽ được tia Om thỏa mãn điều kiện Vẽ được tia On thỏa mãn điều kiện 20

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

m n O

b) Hình vẽ trên có 10 góc

FI CI A

c) Lập luận : từ hình vẽ trên ta có mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 4 tia còn lại tạo thành 4 góc. Làm như vậy với 5 tia ta được 5.4 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần, do đó có tất cả là

ƠN

5.4 = 10 góc 2

 n −1  Từ đó suy ra tổng quát: với n tia chung gốc có n.   (góc)  2 

, zOy . Vẽ tia Om, On theo thứ tự là tia phân giác của xOy , zOy . Vẽ tia Bài 4.Vẽ hai góc kề bù xOy Om ' là tia đối của tia Om a) Tính số đo mOn

QU Y

b) Tính số đo của góc kề bù với yOm , biết: m ' Oz = 300

c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.

Lời giải

KÈ

m z

O m'

kề bù với zOy nên: xOy + zOy = 1800 a) Vì xOy

DẠ

nên: mOy = 1 xOy Vì tia Om là tia phân giác của xOy 2 nên: nOy = 1 zOy Vì tia On là tia phân giác của zOy 2

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

kề bù với zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz mà tia Om là tia phân giác của xOy và tia Vì xOy

(

FI CI A

+ ⇔ 1 xOy + 1 zOy = mOn mOy yOn = mOn 2 2 1 ⇔ mOn = 1 .1800 = 900 ⇔ xOy + zOy = mOn 2 2

)

b) Vì hai tia Om, Om ' đối nhau, khi đó m ' Oz kề bù với zOm

+ mOx = 1800  1500 + mOx = 1800  mOx = 300  zOm

nên: mOy = mOx = 300 Vì tia Om là tia phân giác của xOy

= 1800  300 + zOm = 1800  zOm = 1500 m ' Oz + zOm kề bù với mOx Vì hai tia Ox, Oz đối nhau, khi đó zOm

nên tia Oy nằm giữa hai tia Om, On , khi đó: On là tia phân giác của zOy

ƠN

Vì hai tia Om, Om ' đối nhau, khi đó yOm kề bù với yOm '

 yOm + yOm ' = 1800  300 + yOm ' = 1800  yOm ' = 1500

c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành:

( n + 5)( n + 6 ) góc

QU Y

Vì tia này tạo với tia kia và ngược lại nên mỗi góc được tính 2 lần, suy ra số góc tạo thành:

( n + 5)( n + 6 ) góc. Vì có 300 góc nên ta có: 2

( n + 5)( n + 6 ) = 300  2

( n + 5)( n + 6 ) = 600 = 24.25  n = 19

KÈ

yOn = 900.

= 900 và vẽ tia On sao cho Bài 5.Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho xOm

= a) Chứng minh xOn yOm . Chứng minh rằng Ot là tia phân giác của góc mOn b) Gọi Ot là tia phân giác của xOy

DẠ

Lời giải

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

+ mOy = xOy hay 900 + mOy = xOy a) Lập luận được xOm

= xOy hay 900 + nOx = xOy yOn + nOx

FI CI A

=  xOn yOm

= tOy ; xOt = xOn + nOt  tOy = b) Lập luận được xOt yOm + mOt

ƠN

= mOt  Ot là tia phân giác của mOn  nOt

Bài 6.Cho góc xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4cm.

a) Tính BD

b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD = 800 , BCA = 450 . Tính góc ACD c) Biết AK = 2cm (K thuộc BD). Tính BK .

QU Y

Lời giải

y C

x D

KÈ

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax  A nằm giữa D và B  BD = BA + AD = 6 + 4 = 10(cm)

b) Vì A nằm giữa D và B  tia CA nằm giữa hai tia CB, CD.

 −  ACD + ACB = BCD ACD = BCD ACB = 800 − 450 = 350

DẠ

c) Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

A K

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Suy ra AK + KB = AB  KB = AB − AK = 6 − 2 = 4(cm)

Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

K A

Suy ra KB = KA + AB  KB = 6 + 2 = 8(cm) Kết luận : Vậy KB = 4cm hoặc KB = 8cm.

FI CI A

Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

a) Tính độ dài AC , biết AD = 4cm, CD = 3cm

biết b) Tính số đo DBC ABD = 300 = 900. Tính số đo c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx ABx

Bài 7.Cho tam giác ABC có ABC = 550 , trên cạnh AC lấy điểm D ( D không trùng với A và C)

ƠN

d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau.

A E

D C

QU Y

Lời giải

a) D nằm giữa A và C  AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC

=  DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 250 c) Xét hai trường hợp:

KÈ

Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được: ABx = 900 − ABD Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên 00 < ABD < 550

 900 − 550 < ABx < 900 − 00 ⇔ 350 < ABx < 900

DẠ

Trường hợp 2: Tia Bx, BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được: ABx = 900 + ABD

Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 900 < ABx < 1450

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Vậy 350 < ABx < 1450 , ABx ≠ 900

d) Xét đường thẳng BD

FI CI A

Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa

điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A  tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A  E , C ở hai nửa mặt phẳng bờ BD  đường thẳng BD cắt đoạn EC

Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng EC , BD cắt nhau

ƠN

Bài 8.Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng xy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa đường

= 1300 , thẳng xy, kẻ tia Oz, Ot sao cho zOt yOt = 1000 a) Tia Oz có là phân giác của yOt không ? Tại sao ?

, On là tia đối của tia Ot. Tính số đo mOn b) Gọi Om là phân giác của zOt c) Lấy thêm 19 điểm phân biệt trên đường thẳng xy (các điểm này không trùng với điểm O) và một

điểm A nằm ngoài đường thẳng xy . Hỏi vẽ được bao nhiêu tam giác nhận 3 trong các điểm trên

QU Y

làm đỉnh.

Lời giải

KÈ

m t

a) Vì điểm O nằm trên đường thẳng xy nên hai tia Ox, Oy là hai tia đối nhau

DẠ

, + Nên xOy yOz là hai góc kề bù  xOy yOz = 1800  yOz = 500 < Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: xOy yOz ( 500 < 1000 ) nên tia Oz nằm giữa

+ tOz = = 500 (2) tia Oy, Ot (1)  zOy yOt  zOy

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Từ (1) và (2) suy ra Oz là phân giác của yOt

FI CI A

 zOm + tOm = 1 .500 = 250 b) Vì Om là phân giác của zOt 2 & tOm là hai góc kề bù Vì On là tia đối của tia Ot. Nên nOm + tOm = 1800  nOm = 1800 − 250 = 1550  nOm c) Xét 20 điểm trên đường thẳng xy

Chọn một điểm nối điểm đó với lần lượt 19 điểm còn lại ta vẽ được 19 đoạn thẳng. Làm như vậy với 20 điểm ta được 19.20 đường thẳng.

Như vậy mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần, do đó chỉ có 19.20 : 2 đoạn thẳng Vì qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một tam giác

Nên cứ nối hai điểm đầu của một đoạn thẳng nằm trên đường thẳng xy với điểm A nằm ngoài

ƠN

đường thẳng xy ta sẽ vẽ được một tam giác. Vậy số tam giác vẽ được bằng số đoạn thẳng nằm trên đường thẳng xy . Như vậy ta có 190 tam giác.

Bài 9.Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa mặt phẳng

= 1150 , BOC = 700. Trên nửa mặt phẳng đôi diện dựng tia bờ AM vẽ các tia OB, OC sao cho MOC OD ( D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B, C qua bờ là AM ) sao cho AOD = 450 .

, b) Tính MOB AOC

QU Y

a) Tia OB nằm giữa hai tia OM , OC không ? Vì sao ?

c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.

Lời giải

KÈ

DẠ

+ COB = MOB = 1850 (vô lý) a) Nếu OB nằm giữa hai tia OA, OC thì MOC

Vậy OB nằm giữa hai tia OM , OC

+ BOC = MOC b) Do tia OB nằm giữa hai tia OM, OC nên: MOB

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= MOC − BOC = 1150 − 700 = 450  MOB

là hai góc kề bù nên = 1800 Hai góc AOC ,COM AOC + COM

FI CI A

= 1800 − 1150 = 650  AOC = 1800 − COM

là hai góc kề bù  = 1800 c) AOB, BOM AOB + BOM  AOB = 1800 − 450 = 1350

, Hai góc DOA AOB là 2 góc có cạnh chung OA. Còn 2 cạnh OD, OB nằm 2 nửa mặt phẳng đối nhau

+ DOA AOB = 450 + 1350 = 1800  OD, OB là hai tia đối nhau  D, O, B thẳng hàng.

bờ AM nên:

= 1200. Điểm E nằm giữa B và C sao cho BAE = 300. Trên mặt Bài 10.Cho tam giác ABC có BAC

ƠN

= 300 , tia Ax cắt BC ở F phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho CAx a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của EAF

. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của EAF b) Gọi AI là tia phân giác của BAC Lời giải

QU Y

F I

KÈ

a) Theo bài ra ta có: E nằm giữa hai điểm B và C Nên tia AE nằm giữa hai tia AB, AC

+ EAC = BAC Ta có: BAE

= 1200  EAC = 1200 − 300 = 900 Hay 300 + EAC

DẠ

Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B = 300 , CAE = 900  CAF < CAE ( 300 < 900 ) , do đó tia AF nằm giữa hai tia AC , AE , Ta có: CAF

vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

+ FAE = CAE  300 + FAE = 900  FAE = 600  CAF

b) Ta có AI là tia phân giác của BAC

FI CI A

0 = CAI = BAC = 120 = 600 Nên BAI 2 2

*)Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B < CAI ( 300 < 600 ) suy ra AF nằm giữa hai tia AC , AI CAF

*)Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B

= 1 FAE  AI là phân giác của FAE Hơn nữa, FAI 2

ƠN

< FAE ( 300 < 600 )  Tia AI nằm giữa hai tia AF , AE Ta có: FAI

+ FAI = CAI  CAF = 600  FAI = 300  300 + FAI

Bài 11.Cho góc xBy = 550. Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A ≠ B, B ≠ C ) . Trên

đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300 a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b) Tính số đo góc DBC

= 900. Tính số đo c) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz ABz

QU Y

Lời giải

KÈ

TH1:

x A D

DẠ

TH2:

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6 z

B C

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm b) Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

 DBC = Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC ABC − ABD = 250

FI CI A

c) Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa

Tính được ABz = 900 − ABD = 900 − 300 = 600

ƠN

hai tia Bz và BD

Trường hợp 2: Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai

tia Bz và BA. Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

Bài 12.

1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho

QU Y

AOB = 1200 , AOC = 800. Gọi OM là tia phân giác của BOC a) Tính

b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc CON 2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1 , Ox2 , Ox3 ,...., Oxn sao cho góc

xOx2 = 2 xOx1 ; xOx3 = 3 xOx; xOx4 = 4 xOx1 ;....; xOxn = nxOx1. Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã

DẠ

KÈ

vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.

Lời giải

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

M C

FI CI A

A N

 Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

= = 1200  BOC = 400  AOC + BOC AOB  800 + BOC

a) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOC < AOB(800 < 1200 )

ƠN

0  BOM = COM = BOC = 40 = 200 Vì OM là tia phân giác của BOC 2 2

< BOA ( 200 < 1200 ) nên tia OM nằm giữa Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có BOM

hai tia OA và OB

+ MOA = = 1200  MOA = 1000  BOM AOB hay 200 + MOA b) Vì OM , ON là hai tia đối nhau nên hai góc AOM và AON là hai góc kề bù

QU Y

 AOM + AON = 1800  1000 + AON = 1800  AON = 800

Suy ra AOC = AON ( = 800 ) (1)

Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON c)Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1 , Ox2 , Ox3 ,...., Oxn sao cho

KÈ

xOx2 = 2 xOx1; xOx3 = 3 xOx1 ; xOx4 = 4 xOx1;.....; xOxn = nxOx1  xOx1 = x1Ox2 = x2Ox3 = ..... = xn −1Oxn

Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox2017 là tia phân giác chung của 2017 góc:

xOx4034 = x1Ox4033 = x2Ox4032 = ..... = x2016Ox2018

DẠ

Bài 13.Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc tia đối của tia BA.M là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Chứng tỏ rằng: CM =

CA + CB 2

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 300 , b) Gọi O là một điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết AOC = 1200 , BOC AOM = 600. Hỏi

Lời giải

FI CI A

không ? Vì sao ? OB có phải là tia phân giác của MOC

Do M là trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C. (1)

Ta có B nằm giữa M và C nên CB = CM − MB

(2)

Ta có: CA = MA + MC

Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM − MB  CA + CB = 2CM ( Do MA = MB)  MC =

CA + CB 2

ƠN

QU Y

Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có:

= MOC AOC − AOM = 1200 − 600 = 600

= 1 MOC nên OB là tia phân giác MOC Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và BOC 2

Bài 14.Cho góc bẹt xOy , trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và

B sao cho OM = 1cm, OB = 4cm

KÈ

a) Chứng tỏ điểm M nằm giữa hai điểm O và B. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB

DẠ

= 1300 , zOy = 300 . Tính số đo tOz b) Từ O kẻ hai tia Ot , Oz sao cho tOy Lời giải

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Trên tia Oy có OM < OB(1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B

 MO + MB = OB  MB = OB − MO = 3cm

Vì Ox, Oy đối nhau , A ∈ Ox, M ∈ Oy nên O nằm giữa A và M  AM = AO − OM = 3cm

(2)

Từ (1) và (2) suy ra MB = MA = 3cm ⇔ M là trung điểm của AB

ƠN

b) Ta có 2 trường hợp

(1)

FI CI A

= 1000 +Ot , Oz cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ xy : tOz

= 1600 +Ot , Oz không nằm trên nửa mặt phẳng bờ xy : tOz Bài 15.

a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.

QU Y

Lời giải

a,Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lại tạo thành 5 góc. Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần do đó có tất cả là

5.6 = 15 góc 2

 n −1  b, Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có n   (góc).  2 

KÈ

Bài 16.

= 100° .Vẽ tia Oz sao cho góc zOy = 35° Tính xOz trong từng trường hợp. a. Cho xOy b. Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau.

Lời giải

a, Có 2 cách vẽ tia Oz (có hình vẽ)

DẠ

= 650 hoặc 1350 xOz

b, Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau

 MA = MB AB M là trung điểm của AB ⇔  ⇔ MA = MB = 2  MA + MB = AB 32

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

và yOz là hai góc kề bù thoả mãn xOy = 5 yOz . Bài 17.Cho xOy 4

FI CI A

và yOz a) Tính số đo các góc xOy = 800 .Tia Oy có là tia phân giác của tOz không ? Tại sao ? b) Kẻ tia Ot sao cho tOy

c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng nữa sao cho các đường thẳng này đều không chứa các

tia Ox, Oy, Oz . Vẽ đường tròn tâm O bán kính r . Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ, tính số tam giác mà các đỉnh của nó đều thuộc tập hợp Lời giải z

= 5 yOz => 5 yOz + yOz = 1800 mà xOy 4 4

ƠN

+ yOz = 1800 Lập luận xOy

A. (Cho biết 3 điểm cùng nằm trên một đường tròn thì không thẳng hàng).

QU Y

9 = 800 => xOy = 1000 yOz = 1800 => yOz 4

= 800 .Tia Oy có là tia phân giác của tOz không ? Tại sao ? b) Kẻ tia Ot sao cho tOy Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Ot

= yOz = 800 ) nên tia Oy không là tia phân giác của tOz . trùng với tia Oz ( do tOy

Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Oy nằm

KÈ

= yOz ( = 800 ) nên tia Oy là tia phân giác của tOz giữa 2 tia Oz và Ot mà tOy Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng nữa sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz . Vẽ đường tròn tâm O bán kính r . Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ, tính số tam giác mà các đỉnh của nó đều thuộc tập hợp

A. (Cho biết 3 điểm cùng nằm trên một đường tròn thì không thẳng hàng).

DẠ

Lập luận có 50.2 + 4 = 104 tia gốc O => A có 104 điểm Lập luận để có 104.103 / 2 = 5356 đoạn thẳng nối 2 trong 104 điểm của A

Nối 2 đầu của mỗi đoạn thẳng với 1 điểm thuộc 102 điểm còn lại (không phải là các mút của đoạn

thẳng đó) được 102 tam giác.

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Vậy có 5356.102 tam giác. Nhưng như thế thì mỗi tam giác được tính 3 lân, vậy ta

có 5356.102 : 3 = 182104 tam giác.

FI CI A

bằng 400, BOy Bài 18.Cho điểm O thuộc đường thẳng xy . Vẽ các tia OA, OB sao cho AOx bằng 600. Tính số đo góc AOB . Lời giải

A O

x O

ƠN

Xét 2 trường hợp:

yOA = 1800 − AOx = 1800 − 400 = 1400

a)Các tia OA, OB nằm cùng phía đối với xy

= Tia OB nằm giữa hai tia Oy và OA nên: AOB + BOy AOy hay AOB + 600 = 1400 = 1800 − 600 = 1200 Vậy AOB = 800 ; xOB = 1800 − BOy

QU Y

b) Các tia OA, OB nằm khác phía đối với xy

= 1800 − 600 = 1200 xOB = 1800 − BOy

= 400 + 1200 = 1600 Tia Ox nằm giữa hai tia OA và OB nên: AOB = AOx + xOB Bài 19.Cho tam giác ABC và BC = 5cm . Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm .

a. Tình độ dài BM

= 800 , BAC = 600 . Tính CAM . b. Cho biết BAM

KÈ

và CAM . Tính xAy . c. Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của BAC d. Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tính độ dài BK .

DẠ

Lời giải

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

K y

FI CI A

a. M , B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM  C nằm giữa M , B  BM = BC + CM = 8 ( cm )

ƠN

b. Vì C nằm giữa M , B  Tia AC nằm giữa hai tia AB, AM

= BAM − BAC = 200  CAM

= xAC + CAy = 1 BAC + 1 CAM c. Ta có xAy 2 2

1 1 1 = ( BAC + CAM ) = BAM = .80 = 400 2 2 2

QU Y

d. Nếu K ∈ tia CM  C nằm giữa K, B  BK = BC + CK = 5 + 1 = 6 ( cm ) Nếu K ∈ tia CB  K nằm giữa C, B

 BK = BC − CK = 5 − 1 = 4 ( cm )

và góc BOC là hai góc kề bù. Biết BOC bằng năm lần AOB . Bài 20.Cho AOB a) Tính số đo mỗi góc.

. Tính số đo b) Gọi OD là tia phân giác của BOC AOD .

KÈ

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD , vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA; OB; OC ; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?

DẠ

Lời giải

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 5. mà BOC AOB nên 6 AOB = 1800 = 5. 300 = 1500 Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC nên BOD = DOC = 1 BOC = 750 b)Vì OD là tia phân giác của BOC 2

là hai góc kề bù nên: = 1800 Vì AOD và góc DOC AOD + DOC

FI CI A

là hai góc kề bù nên: = 1800 a)Vì AOB và góc BOC AOB + BOC

=1800 − 750 = 1050 Do đó AOD = 1800 − DOC

c)Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n + 4 tia đó tạo với n + 3 tia còn lại thành n + 3 góc.

( n + 4 )( n + 3)

góc,

ƠN

Có n+4 tia nên tạo thành

Nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .Vậy có tất cả

( n + 4)( n + 3) góc 2

= 1200. Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: Bài 21.Cho góc xOy AOy = 750. Điểm B nằm mà ngoài góc xOy xOB = 1350. Hỏi 3 điểm A , O , B có thẳng hàng không? Vì sao?

QU Y

Lời giải

KÈ

= 1200 , nên tia OA nằm giữa hai tia Ox và Vì : xOy AOy = 750 , điểm A nằm trong góc xOy Oy .

= xOy - AOy = 1200 - 750 = 450 xOA

Ta có :

DẠ

Điểm B có thể ở hai vị trí : B và B′ .

+ Tại B thì tia OB nằm ngoài hai tia Ox , OA + xOA = 1350 + 450 = 1800 . nên BOx

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Do đó

+ xOA = 180o . BOA = BOx

FI CI A

' = 1350 < 1800 , ' - xOA = 1350 - 450 = 900 . + Còn tại B′ thì : xOB AOB ' = xOB

Nên 3 điểm A , O , B thẳng hàng.

Nên 3 điểm A , O , B không thẳng hàng.

, COD , DO Bài 22.Cho bốn tia OA , OB , OC , OD , tạo thành các góc AOB , BOC A không có = 3 = 5 = 6 điểm chung. Tính số đo của mổi góc ấy biết rằng: BOC AOB ; COD AOB ; DOA AOB . Lời giải

vì nếu trái lại thì DO A có điểm trong chung với ba góc kia. Đặt AOB = α

ƠN

+ = 3600 Ta có: AOB + BOC AOD + COD

+ Ta thấy : AOB + BOC AOD > 1800

 α +3α +5α +6α =3600  α = 240

= 720 ; COD = 1200 ; DOA = 1440 Vậy: AOB = 240 ; BOC . Bài 23.

= 35° . Tính góc xOz trong từng a) Cho góc xOy có số đo 100° . Vẽ tia Oz sao cho góc zOy trường hợp.

QU Y

b) Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau. Lời giải

a) Có 2 cách vẽ tia Oz (có hình vẽ)

= 65° hoặc 135° Góc xOz

b) Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau

Cách 1 : M là trung điểm đoạn thẳng AB và

MA = MB = AB / 2

KÈ

Cách 2 : MA + MB = AB Cách 3 : MA = MB

Bài 24.Cho tam giác ABC và BC = 5cm . Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm .

a) Tính độ dài BM

b) Cho biết góc BAM = 80 , góc BAC = 60 .Tính góc CAM .

DẠ

c) Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1cm . Tính độ dài BK . Lời giải

FI CI A

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) M , B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM

 C nằm giữa B và M .

 BM = BC + CM = 8 ( cm )

= BAM − BAC = 20° b) C nằm giữa B, M  Tia AC nằm giữa tia AB, AM suy ra CAM

d) Nếu K thuộc tia CM  C nằm giữa B và K1

 BK1 = BC + CK1 = 6 ( cm )

+ Nếu K thuộc tia CB  K 2 nằm giữa B và C

ƠN

= xAC +CAy = 1 BAC + 1 CAM = 1 ( BAC + CAM ) = 1 BAM = 1 .80 = 40° c) xAy 2 2 2 2 2

 BK 2 = BC = CK 2 = 4 ( cm )

Bài 25.Trên đường thẳng AM lấy một điểm O . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ các tia

QU Y

= 1150 ; BOC = 700 . Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD ( D không OB, OC sao cho: MOC cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B, C qua bờ là AM ) sao cho AOD = 450 . a)Tia OB nằm giữa hai tia OM , OC không? Vì sao?

. b)Tính góc AOC ; MOB

DẠ

KÈ

c)Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.

Lời giải B

a)Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thì ta có :

+ COB = MOB MOC

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 1850 > 1800 (vô lý)  MOB

Vậy OB nằm giữa 2 tia OM , OC .

FI CI A

b)Do tia OB nằm giữa 2 tia OM , OC nên :

+ BOC = MOC MOB = MOC − BOC = 1500 − 700 = 450  MOB

là 2 góc kề bù nên : Hai góc AOC , COM

là 2 góc kề bù  = 1800 c)Hai góc AOB và BOM AOB + BOM AOB = 1800 − 450 = 1350

= 1800  = 1800 − 1150 = 650 AOC + COM AOC = 1800 − COM

và Hai góc DOA AOB là góc có cạnh chung OA . Còn 2 cạnh OD, OB nằm trong 2 nửa mặt

 OD, OB là 2 tia đối nhau  D, O, B thẳng hàng.

ƠN

+ AOB = 450 + 1350 = 1800 phẳng đối nhau bờ AM nên : DOA

Bài 26.Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB

a) Tính số đo mỗi góc

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD c) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC , OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc ?

QU Y

Lời giải

KÈ

= 1800 mà BOC = 5 a) Vì góc AOB và BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC AOB nên

= 1500 6. AOB = 1800  AOB = 300 , BOC

nên BOD = DOC = 1 BOC = 750 b) Vì OD là tia phân giác của BOC 2

DẠ

= 1800 Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC = 1800 − 750 = 1050 Do đó: AOD = 1800 − DOC

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

c) Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc.

Có 2010 tia tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi góc tính 2 lần. Vậy có tất cả

FI CI A

2010.2009 = 2019045 góc 2

Bài 27.Cho tam giác ABC có ABC = 550 , trên cạnh AC lấy điểm D ( D không trùng với A và C)

a) Tính độ dài AC , biết AD = 4cm, CD = 3cm

biết b) Tính số đo DBC ABD = 300 = 900. Tính số đo c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx ABx

d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau. Lời giải

ƠN

A E

a) D nằm giữa A và C  AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

QU Y

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC =  DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 250 c) Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được: ABx = 900 − ABD

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên 00 < ABD < 550

KÈ

 900 − 550 < ABx < 900 − 00 ⇔ 350 < ABx < 900 Trường hợp 2: Tia Bx, BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được: ABx = 900 + ABD

Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 900 < ABx < 1450

DẠ

Vậy 350 < ABx < 1450 , ABx ≠ 900 d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa

điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

 tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

FI CI A

 E , C ở hai nửa mặt phẳng bờ BD  đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng EC , BD cắt nhau

= 1120. Biết rằng AOx và BOx không kề nhau Bài 28.Cho hai góc AOx = 380 và BOx

b) Tính số đo góc AOB c) Vẽ tia phân giác OM của góc AOB. Tính số đo góc MOx

a) Trong 3 tia OA, OB, Ox tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ?

ƠN

d) Nếu AOx = α ; BOx = β , trong đó 00 < α + β < 1800 và α ≠ β . Tìm điều kiện liên hệ giữa α và β

theo α và β để tia OA nằm giữa hai tia OB và Ox. Tính số đo MOx

QU Y

Lời giải

a) Do AOx và BOx là hai góc không kể nhau mà có chung cạnh Ox nên hai tia OA và OB cùng nằm

trong một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox

(vì 380 < 1120 ) nên tia OA nằm giữa hai tia OB và Ox Mà AOx < BOx

KÈ

b) Do OA nằm giữa hai tia OB và Ox nên ta có:

 380 + AOx + AOB = BOx AOB = 1120  AOB = 740

c) Do OM là phân giác của góc AOB nên: AOM =

1 1 AOB = .740 = 37 0 2 2

DẠ

Do tia OA nằm giữa hai tia OB và Ox; tia Om nằm giữa hai tia OA và OB (OM là tia phân giác của

AOB) nên tia OA nằm giữa hai tia OM và Ox

=  MOx AOM + AOx = 37 0 + 380 = 750

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

d) Có OA và OB nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox nên để tia OA nằm giữa hai tia

OB và Ox thì α < β

FI CI A

 tia OB nằm giữa hai tia OA và Ox Thật vậy, nếu α > β thì AOx > BOx  tia OB trùng với tia OA Nếu α = β thì AOx = BOx Với α < β ta có:

 AOx + AOB = BOx AOB + α = β  AOB = β − α  AOM =

1 1 AOB = ( β − α ) 2 2

1 1 = Vậy MOx AOM + AOx = ( β − α ) + α = (α + β ) 2 2

, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao Bài 29.Cho xAy

ƠN

cho AD = 3cm, C là một điểm trên tia Ay a) Tính BD

c) Biết AK = 1cm ( K ∈ BD ) . Tính BK .

= 850 , BCA = 500. Tính b) Biết BCD ACD

Lời giải

KÈ

QU Y

a) Vì B ∈ Ax, D ∈ tia đối tia Ax  A nằm giữa D và B

 BD = BA + AD = 5 + 3 = 8cm

b) Vì A nằm giữa D và B nên tia CA nằm giữa hai tia CB, CD

DẠ

 −  ACD + ACB = BCD ACD = BCD ACB = 850 − 500 = 350

c) *Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Chứng minh được K nằm giữa A và B

 AK + KB = AB  KB = AB − AK = 5 − 1 = 4(cm) 42

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

A K

D *Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

FI CI A

-Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B Suy ra : KB = KA + AB  KB = 5 + 1 = 6cm

K A

D Vậy KB = 4cm hoặc KB = 6cm

Bài 30.Cho tam giác ABC có ABC = 550 , trên cạnh AC lấy điểm D (D không trùng với A và C)

a) Tính độ dài AC , biết AD = 4cm, CD = 3cm.

, biết b) Tính số đo của DBC ABD = 300

ƠN

= 900. Tính số đo c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx ABx

d) Trên cạnh AB lấy điểm E ( E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD, CE cắt nhau.

Lời giải

QU Y

KÈ

a) D nằm giữa A và C  AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên ABC = ABD + DBC

=  DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 250

DẠ

c) Xét hai trường hợp: -

Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB . Tính được

ABx = 900 − ABD

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên 00 < ABD < 550

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

 900 − 550 < ABx < 900 − 00 ⇔ 350 < ABx < 900

Trường hợp 2: Tia Bx, BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB

FI CI A

Tính được ABx = 900 + ABD Lập luận tương tự trường hợp 1, chỉ ra được 900 < ABx < 1450 Vậy 350 < ABx < 1450 , ABx ≠ 900 d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa

điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A  tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A  E và C ở 2 nửa mặt phẳng bờ BD  đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE

ƠN

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau Xét hình vẽ bên: a) Có những tam giác nào có cạnh NC

Bài 31.

b) Có tất cả bao nhiêu góc có đỉnh là N, hãy kể ra

= 600 , c) Nếu biết MPB NPC = 500 thì PN có là phân

QU Y

hay không ? Vì sao ? giác của MPC

K I P

Lời giải

a) Những tam giác có cạnh NC : ∆NCI , ∆NCP, ∆NCK , ∆NCB

; BNC ; PNC b) Những góc có đỉnh N : ANC ; ANB; ANP; BNP c) Ta có tia PM và PN nằm giữa hai tia PB, PC

KÈ

+ MPN + NPC = BPC = 1800 Nên : BPM

= 600 , MPC = 500 Mà BPM

= 1800 − 600 − 500 = 700  MPN ≠ NPC Ta thấy: MPN

DẠ

Nên PN không phải là phân giác của MPC nhỏ Bài 32.Cho điểm O trên đường thẳng xy. Trên nửa mặt phẳng có bờ là xy vẽ tia Oz sao cho xOz

hơn 900 44

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

, zOy a) Vẽ tia Om, On lần lượt là phân giác của xOz

= 300 b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo mOz

FI CI A

Lời giải

a) Vẽ hình đúng

ƠN

= mOz = 1 xOz mà mOz = 300 b) Vì Om là phân giác của xOz nên xOm 2

= 300 , xOz = 600  xOm

nên Vì On là phân giác của zOy

= 300 Vậy xOm

= nOy = 600 xOz

QU Y

= 1 zOy = 1 .1200 = 600 zOn = nOy 2 2

và zOy kề bù nên xOz + zOy = 1800  zOy = 1800 − xOz = 1800 − 600 = 1200 Vì góc xOz

Bài 33.Cho góc xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm

a) Tính BD

D sao cho AD = 4cm.

b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD = 800 , BCA = 450 . Tính góc ACD

DẠ

KÈ

c) Biết AK = 2cm (K thuộc BD). Tính BK . Lời giải

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

x D

 BD = BA + AD = 6 + 4 = 10(cm) b) Vì A nằm giữa D và B  tia CA nằm giữa hai tia CB, CD.

c) Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

A K

ƠN

 ACD + ACB = BCD  ACD = BCD − ACB = 800 − 450 = 350

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax  A nằm giữa D và B

FI CI A

Suy ra AK + KB = AB  KB = AB − AK = 6 − 2 = 4(cm) Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

QU Y

Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

K A

Suy ra KB = KA + AB  KB = 6 + 2 = 8(cm) Kết luận : Vậy KB = 4cm hoặc KB = 8cm.

Bài 34.Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB 0

KÈ

a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng a 0 , vẽ tia OD tạo với tia OC một góc bằng ( a + 10 ) và 0

với tia OB một góc ( a + 20 ) . Tính a

= 480 b) Tính góc xOy , biết AOx = 220 và BOy

Lời giải

DẠ

c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi AOC bằng a 0

Học sinh tự vẽ hình

> COA (a + 10 > a ) nên tia OC a) Do OC , OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và COD nằm giữa hai tia OA và OD 46

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

+ DOB =  AOC + COD AOB 0

 a 0 + ( a + 10 ) + ( a + 20 ) = 1800

FI CI A

 3a + 300 = 1800  a = 500

= 1800 − 480 = 1320  b) Ta có: AOy = 1800 − BOy AOx = 220 Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

= = 1320  xOy = 1100  AOx + xOy AOy  220 + xOy c) Vì tia OC nằm giữa hai tia OA, OD nên:

Vì AOx < AOD ( 220 < 1100 ) nên tia Ox nằm giữa hai tia OA, OD

0 = AOC + COD AOD  AOD = a 0 + ( a + 10 ) = 2a + 100 = 2.500 + 100 = 1100

= = 1100  xOD = 1100 − 220 = 880  AOx + xOD AOD  220 + xOD

ƠN

có số đo là: 1800 − 880 = 920 Vậy số đo góc kề bù với góc xOD

Bài 35.Cho góc xBy = 550. Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A ≠ B, B ≠ C ) . Trên

đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300

a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b) Tính số đo góc DBC

= 900. Tính số đo c) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz ABz

QU Y

Lời giải

TH1:

KÈ

A D C

M DẠ

Th2:

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

z x

FI CI A

B C

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C

AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm b) Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

 DBC = Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC ABC − ABD = 250

c) Xét hai trường hợp:

ƠN

- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD Tính được ABz = 900 − ABD = 900 − 300 = 600

- Trường hợp 2: Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA.

Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

cho góc BOM = 350.

a) Tính góc MOC

QU Y

Bài 36.Cho góc AOB = 1440. Tia OC là phân giác của góc AOB, vẽ tia OM ở trong góc AOB sao

b) Gọi OB ' là tia đối của tia OB, ON là tia phân giác của góc AOC. Chứng minh OA là phân giác

Lời giải

DẠ

KÈ

của góc NOB '

A M

0 = AOB = 144 = 720 a) Vì OC là tia phân giác của AOB nên AOC = BOC 2 2

Lập luận để có tia OM nằm giữa hai tia OB, OC 48

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 720 − 350 = 37 0 Từ đó MOC

Tia OA nằm giữa hai tia ON và OB '. Vậy tia OA là tia phân giác của NOB '

FI CI A

AOC 720 b) Ta có: AON = = = 360 AOB ' = 1800 − 1440 = 360 , 2 2

. Vẽ hai góc nhọn kề nhau là zOm và Bài 37.Gọi tia Oz là tia phân giác của góc bẹt xOy zOn sao = zOn cho hai tia Om, Ox cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz và zOm a) Tia Oz có phải là tia phân giác của mOn

không ? Vì sao ?

Lời giải

ƠN

b) Vẽ tia Ot là tia đối của tia On. Vì sao có thể khẳng định tia Ox là tia phân giác của mOt

= zOn a) Vì zOm

QU Y

, zOn là hai góc nhọn nên zOm + zOn < 1800 (1), mà zOm

 tia Oz nằm giữa hai tia Om, On (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia Oz là tia phân giác của mOn

+ mOz = 900 (do Oz là phân giác của góc bẹt) b) xOm

KÈ

= 900 (do Oz là phân giác của góc bẹt) yOn + nOz = zOn  xOm = Mà zOm yOn

(3)

+ tOy = 1800 = xOy +) xOt

= 1800 (On, Ot đối nhau)  xOt = yOn + tOy yOn (4)

DẠ

= xOt (5) Từ (3) và (4)  xOm

, Om, On thuộc nửa mặt phẳng +) Do Oz là tia phân giác của góc bẹt xOy, Oz là phân giác của mOn

bờ xy

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

< xOn < xOy  xOn là góc tù. Do đó xOm < xOn Nên xOz

< nOx < nOt  Ox nằm giữa hai tia Om, Ot (6) Vậy tia Om nằm giữa hai tia Ox, On suy ra nOm

FI CI A

Từ (5) và (6) suy ra Ox là tia phân giác của mOt

Bài 38.Cho tia Oc nằm giữa hai tia Oa, Ob , tia Om nằm giữa hai tia Oa, Oc , tia On nằm giữa hai

tia Oc, Ob. Chứng tỏ rằng tia Oc nằm giữa hai tia Om, On

ƠN

Lời giải

Gọi nửa mặt phẳng bờ Oc chứa tia Oa là P, nửa mặt phẳng đối của nó là Q, như vậy tia Ob thuộc Q. Tia Om nằm giữa hai tia Oa, Oc nên các tia Om, Oa thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ Oc, do đó tia Om thuộc Q

QU Y

Các tia Om, On thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Oc (1)

< cOa (vì tia Om nằm giữa hai tia Oc và Oa ) Ta lại có: cOm < cOb (vì tia On nằm giữa hai tia Oc và Ob) cOn + cOn < cOa + cOb = aOb ≤ 1800 , tức là cOm + cOn ≤ 1800 (2) Nên cOm

Từ (1) và (2) suy ra tia Oc nằm giữa hai tia Om, On

KÈ

Bài 39.Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia

= 300 , xOz = 700 , xOt = 1100. xOy

a) Tính yOz, zOt

b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ?

DẠ

c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của yOt Lời giải

Oy, Oz, Ot sao cho

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6 z

FI CI A

< xOz ( 300 < 700 )  Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz a) xOy  yOz = 700 − 300 = 400

ƠN

< xOt ( 700 < 1100 )  Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot  zOt = 1100 − 700 = 400 xOz

0 0 0 0 0 b) xOy < xOt ( 30 < 110 )  Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Ot  yOt = 110 − 30 = 80

Theo trên, yOz = 400  yOz < yOt ( 400 < 800 )  Oz nằm giữa hai tia Oy, Ot

= 400  Oz là tia phân giác của c) Theo trên, tia Oz nằm giữa hai tia Oy, Ot và yOz = 400 , zOt yOt Bài 40.Trên đường thẳng x ' x lấy điểm O tùy ý. Vẽ hai tia Oy và Oz nằm trên cùng một nửa mặt

= 400 , x phẳng có bờ x ' x sao cho: xOz ' Oy = 3.xOz

QU Y

a) Trong 3 tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? b) Gọi Oz ' là tia phân giác của x ' Oy . Tính góc zOz ' Lời giải

KÈ

DẠ

nên x a) Theo bài ra : x ' Oy = 3.xOz ' Oy = 3.400 = 1200

và x = 1800 − x Hai góc xOy ' Oy là hai góc kề bù nên xOy ' Oy = 1800 − 1200 = 600

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

nhỏ hơn Hai tia Oy, Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng x ' x lại có xOz

nên tia Oz nằm giữa 2 tia Ox, Oy xOy

FI CI A

+ zOy = xOy hay zOy = xOy − xOz = 600 − 400 = 200 b) Ta có: xOz 1 1 Mà yOz ' = .x ' Oy = .1200 = 600 (Oz ' là tia phân giác của x ' Oy ) 2 2

' = Vậy zOz yOz ' + yOz = 600 + 200 = 800

= 1000. Vẽ tia phân giác Oz của xOy ; vẽ tia Ot sao cho Bài 41.Cho xOy yOt = 250

, xOt a) Tính số đo các góc : zOt không ? Vì sao ? b) Ot có phải là tia phân giác của zOy

ƠN

Lời giải

a) Tia Oz là phân giác góc xOy nên yOz = 500

*Trường hợp 1: Ot nằm giữa Oz và Oy

Xét hai trường hợp:

QU Y

= 250 Mà yOt = 250 và Ot nằm giữa Oz , Oy nên zOt = 750 Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Ot nằm giữa Oy, Oz nên Oz nằm giữa Ox, Ot  xOt

z x

DẠ

KÈ

*Trường hợp 2: Oy nằm giữa Oz, Ot

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

b) Trường hợp Oy nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của zOy

FI CI A

= 1250 Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Oy nằm giữa Ot , Oz nên Oz , Oy nằm giữa Ox, Ot  xOt

= 750 Tia Oy nằm giữa Oz, Ot nên zOt

= 250 nên Ot là phân giác của zOy Trường hợp Ot nằm giữa Oz , Oy ta có: yOt = 250 và zOt Bài 42.Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB

a) Tính số đo mỗi góc b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD

c) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC , OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc ? Lời giải

ƠN

QU Y

= 1800 mà BOC = 5 a) Vì góc AOB và BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC AOB nên

= 1500 6. AOB = 1800  AOB = 300 , BOC

nên BOD = DOC = 1 BOC = 750 b) Vì OD là tia phân giác của BOC 2

= 1800 Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC

= 1800 − 750 = 1050 Do đó: AOD = 1800 − DOC

KÈ

c) Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc. Có 2010 tia tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi góc tính 2 lần. Vậy có tất cả

2010.2009 = 2019045 góc 2

Bài 43.Cho tam giác ABC có ABC = 550 , trên cạnh AC lấy điểm D ( D không trùng với A và C)

DẠ

a) Tính độ dài AC , biết AD = 4cm, CD = 3cm

biết b) Tính số đo DBC ABD = 300

= 900. Tính số đo c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx ABx

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và

CE cắt nhau.

A x D

ƠN

FI CI A

Lời giải

a) D nằm giữa A và C  AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC

c) Xét hai trường hợp: -

=  DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 250

Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB

QU Y

Tính được: ABx = 900 − ABD

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên 00 < ABD < 550  900 − 550 < ABx < 900 − 00 ⇔ 350 < ABx < 900 -

Trường hợp 2: Tia Bx, BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được: ABx = 900 + ABD

Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 900 < ABx < 1450

KÈ

Vậy 350 < ABx < 1450 , ABx ≠ 900 d) Xét đường thẳng BD Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa

điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A  tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

DẠ

E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A  E , C ở hai nửa mặt phẳng bờ BD  đường thẳng BD cắt đoạn EC

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Xét đường thẳng CE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD

FI CI A

Vậy 2 đoạn thẳng EC , BD cắt nhau

Bài 44.Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

= 800 , BAC = 600. Tính CAM b) Cho biết BAM c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm. Tính độ dài BK Lời giải

ƠN

a) Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nên diểm C nằm giữa hai điểm B và M Do đó: BM = BC + CM = 5 + 3 = 8(cm)

QU Y

b) Do C nằm giữa hai điểm B và M nên tia AC nằm giữa hai tia AB, AM .

= BAM − BAC = 800 − 600 = 200 Do đó CAM c) Nếu K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K trong hình vẽ) Khi đó BK = BC + CK = 5 + 1 = 6cm

Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K’ trong hình vẽ)

Khi đó BK = BC − CK = 5 − 1 = 4(cm) Bài 45.Cho tia Ox. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy, Oz sao cho

KÈ

, xOz bằng 1200.Chứng minh rằng: xOy = xOz = a) xOy yOz

b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân số của góc hợp bởi hai tia còn lại. Lời giải

DẠ

Ta có x ' Oy = 600 , x ' Oz = 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên yOz = yOx ' + x ' Oz = 1200 .

= Vậy xOy yOz = zOx

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Do tia Ox ' nằm giữa hai tia Oy, Oz và x ' Oy = x ' Oz nên Ox ' là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia

Oy, Oz

FI CI A

, xOy Tương tự tia Oy ' (tia đối của tia Oy ) và tia Oz ' (tia đối của tia Oz) là phân giác của xOz

Bài 47.Cho góc xOy có số đo bằng 1200. Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: AOy = 750. Điểm B

= 1350. Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng không ? Vì sao ? nằm ngoài góc xOy mà BOx Lời giải

- Vẽ hình:

− - Ta có: AOx = xOy AOy = 1200 − 750 = 450

1200

1350

= 450 + 1350 = 1800 AOB = AOx + BOx AOB = 1800

750

ƠN

Góc AOB là góc bẹt nên 3 điểm A, O, B là 3 điểm thẳng hàng.

, Mt là tia phân Bài 48.Cho góc AMC = 600.Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của CMx

a) Tính AMy b) Chứng minh MC ⊥ Mt

giác của xMy

Lời giải

QU Y

a) Tia Mx là tia đối của tia MA , AMx là góc bẹt

 MC nằm giữa MA và Mx.

= = 1800  CMx = 1200 Nên AMC + CMx AMx hay 600 + CMx nên : My nằm giữa hai tia MC , Mx My là tia phân giác của CMx

600

1 1 = xMy yMC = xMC = .1200 = 600 2 2

Tia Mx là tia đối của tia MA góc AMx là góc bẹt nên My nằm giữa MA, Mx

KÈ

Nên AMy + yMx = AMx hay 600 + yMx = 1800  yMx = 1800 − 600 = 1200 b) Do My là tia phân giác của góc CMx nên Mx và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia My. Mt là phân giác của yMx nên Mt nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa tia My. Vậy Mt

và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia My hay My nằm giữa MC và Mt nên

DẠ

+ CMy yMt = CMt

(*)

nên: = 1 xMy = 1 .600 = 300 , thay vào Lai có tia Mt là phân giác của xMy xMt = tMy 2 2

= 600 + 300 = 900  MC ⊥ Mt (*)  CMt 56

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Bài 49.Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia Oz, Ot sao cho

a) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot

b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của yOz

. Tính nOt c) Vẽ tia phân giác On của xOz

FI CI A

= 700 , xOz yOt = 550

Lời giải

là góc bẹt  trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy có xOt và tOy là hai góc kề bù. a) Vì xOy

ƠN

+ tOy = 1800  xOt = 1800 − 550 = 1250  xOt

< xOt (700 < 1250 )  Oz nằm giữa hai tia Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOz Ox, Ot

và zOy là hai góc kề b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có xOz

+ zOy = 1800 hay 700 + zOy = 1800  zOy = 1100 bù  xOz Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: yOt < yOz ( 550 < 1100 )  Tia Ot nằm giữa hai

QU Y

= = 1100  tOz = 550  (2) tia Oy, Oz (1) nên ta có: yOt + tOz yOz hay 550 + tOz yOt = tOz Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của yOz

là góc bẹt nên suy ra Ox, Oy là hai tia đối nhau  2 tia Ox, Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng c) Vì xOy đối nhau có bờ chứa tia Oz (1)

KÈ

chứa tia Oz (2)

nên nOz = xOz = 350 và hai tia On, Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ Vì On là tia phân giác xOz 2

Ta lại có tia Ot là tia phân giác yOz (theo câu b)  Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3)

Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz  Oz nằm

DẠ

giữa 2 tia On, Ot nên ta có:

+ zOt = nOt hay nOt = 350 + 550 = 900. Vậy nOt = 900 nOz

Bài 50.Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB

a) Tính số đo mỗi góc

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD , vẽ thêm 2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC , OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc.

FI CI A

Lời giải B

là hai góc kề bù nên: a) Vì AOB và BOC

= 1800 mà BOC = 5 AOB + BOC AOB nên 6 AOB = 1800

= 5.300 = 1500 Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 , BOC

nên BOD = DOC = 1 BOC = 750 b) Vì OD là tia phân giác của BOC 2

= 1800 Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên AOD + DOC = 1800 − 750 = 1050 Do đó AOD = 1800 − DOC

ƠN

c) Tất cả có 2010 tia phân biệt. cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc. Có 2010 tia nên tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần. Vậy có tất cả

2010.2009 = 2019045 (góc) 2

Bài 51.Cho tam giác ABC có ABC = 550 , trên cạnh AC lấy điểm D ( D không trùng với A và C)

a) Tính độ dài AC , biết AD = 4cm, CD = 3cm

QU Y

biết b) Tính số đo DBC ABD = 300

= 900. Tính số đo c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx ABx d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau.

Lời giải

a) D nằm giữa A và C  AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

KÈ

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

nên ABC = ABD + DBC =  DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 250

c) Xét hai trường hợp:

DẠ

- Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được: ABx = 900 − ABD

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên 00 < ABD < 550

 90 − 55 < ABx < 900 − 00 ⇔ 350 < ABx < 900 0

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

- Trường hợp 2: Tia Bx, BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được: ABx = 900 + ABD

FI CI A

Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 900 < ABx < 1450 Vậy 350 < ABx < 1450 , ABx ≠ 900 d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa

điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A  E , C ở hai nửa mặt phẳng bờ BD  đường thẳng BD cắt đoạn EC

ƠN

Xét đường thẳng CE

 tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng EC , BD cắt nhau

Bài 52.Trên đường thẳng xx ' lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx ' vẽ

= 97 0 , xOz = 540 ba tia Oy, Ot , Oz sao cho x ' Oy = 400 , xOt a) Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy, Oz

QU Y

b) Chứng minh tia Ot là tia phân giác zOy Lời giải

a) Theo đề bài ta có x ' Ox = 1800 mà x ' Oy và yOx kề bù. Mà

t y

< xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy x ' Oy − yOx = 1800 − 400 = 1400  xOt

KÈ

< xOt  tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox. Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz, Oy Lại có xOz b) Theo câu a ta có Ot nằm giữa hai tia Oz, Oy

+ tOy = xOy hay 97 0 + tOy = 1400  tOy = 430  xOt

Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot

DẠ

+ zOt = xOt hay 540 + zOt = 97 0  zOt = 430  xOz

= zOt = 430. Vậy tia Ot là tia phân giác của zOy Suy ra tOy

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Bài 53.Cho Cho tam giác ABC có ACB = 600 , AB = 6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D(D khác

A, B), sao cho AD = 2cm

FI CI A

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD

biết b) Tính số đo của DCB ACD = 200 = 900. Tính c) Dựng tia Cx sao cho DCx ACx

A E

D C

ƠN

Trường hợp 2

Trường hợp 1

Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A, C ) . Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau. Lời giải

a) D nằm giữa A và B suy ra AD + BD = AB  BD = 6 − 2 = 4cm

c) Xét hai trường hợp: -

QU Y

= = 400 b) Tia CD nằm giữa hai tia CA, CB  ACD + DCB ACB  DCB

Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phía so với đường thẳng CB

Tính được góc ACx = 900 − ACD = 700 -

Trường hợp 2: Hai tia CD, Cx nằm về hai phía so với đường thẳng CB

Tính được : ACx = 900 + ACD = 1100

KÈ

d) Xét đường thẳng CD

Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ CD chứa

điểm B và nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A  tia CA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A E thuộc đoạn AC  E thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A

 E và B ở hai nửa mặt phẳng bờ CD  đường thẳng CD cắt đoạn EB

DẠ

Xét đường thẳng BE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau.

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 1000 , vẽ tia Oz sao cho xOz = 600 Bài 54.Cho xOy

a) Tính yOz

FI CI A

biết Om là tia phân giác của b) Tính xOm Lời giải

Trường hợp 1: Nếu hai tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox thì:

+ zOy = xOy  − xOz = 1000 − 600 = 400 a ) xOz yOz = xOy

+ mOy = xOy Ta có: Tia Om nằm giữa hai tia Ox, Oy  xOm = xOy − mOy = 1000 − 200 = 800 Suy ra: xOm

b) Do Om là phân giác của yOz nên: yOm = 200.

600

a) yOz = 1600

ƠN

Trường hợp 2: Nếu 2 tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Ox ta có kết quả:

= 200 b) xOm

1000 600

QU Y

Bài 55.Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Vẽ các tia Om, On trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ

= 2.nOy . Tìm số đo góc nOy để cho nOx = 3mOx là đường thẳng xy. Cho biết mOy

Lời giải

Học sinh tự vẽ hình

KÈ

= a  mOy = 2a Gọi số đo nOy = 1800 − a và mOx = 1800 − 2a Nên số đo xOn = 3.mOx Theo đề bài: nOx

Suy ra: 1800 − a = 3. (1800 − 2a )  a = 720

DẠ

= 2a = 2.720 = 1440 Khi đó nOy

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Bài 56.Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy vẽ các tia Oa, Ob sao cho

FI CI A

xOa = 300 , yOb = 500 a) Chứng tỏ tia Oa nằm giữa hai tia Ox và Ob, hãy tính aOb

b) Nếu xOa = m 0 , yOb = n 0 , biết m 0 + n 0 > 1800 . Chứng tỏ tia Ob nằm giữa hai tia Ox, Oa và

hãy tính aOb

Lời giải

ƠN

+ nên: xOb = 1800 − 500 = 1300 a) Ta có: xOb yOb = xOy

QU Y

nên tia Oa nằm giữa hai tia Ox, Ob xOa < xOb

= xOb  aOb = xOb − Từ đó ta có xOa + aOb xOa = 1300 − 300 = 1000

KÈ

DẠ

+ = 1800 − n 0 b) Ta có: xOb yOb = 1800  xOb

= m0 − (1800 − n 0 ) = m 0 + n 0 − 1800 > 0 Vậy xOa − xOb

< xOa  Ob nằm giữa hai tia Ox, Oa Nên xOb

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= aOb = m0 + n 0 − 1800 Mà xOa − xOb

mOz Lời giải

*Trường hợp tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy = 1 xOy = 300  xOz > xOm +)Om là tia phân giác của góc xOy nên xOm 2

+ mOz = xOz  mOz = xOz − xOm = 450 − 300 = 150 Suy ra xOm *Trường hợp tia Ox nằm giữa hai tia Oz, Oy

= 450 + 300 = 750 Tính được: mOz

Vì vậy tia Om nằm giữa hai tia Ox, Oz

FI CI A

= 600 và Om là tia phân giác của xOy . Vẽ tia Oz sao cho xOz = 450 . Tính số đo Bài 57.Cho xOy

ƠN

Bài 58.Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

= 380 , AB, vẽ ba tia OC , OD, OE sao cho BOC AOD = 980 , AOE = 540 ; BOE a) Tính số đo các góc BOD

b) Chứng tỏ OD là tia phân giác của COE

Lời giải

QU Y

là hai góc kề bù nên : a) Vì AOD; BOD

= 1800  980 + BOD = 1800  BOD = 820 AOD + BOD

KÈ

là hai góc kề bù Vì AOE , BOE = 1800  540 + BOE = 1800  BOE = 1260 Nên AOE + BOE < BOD b) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, có BOC

DẠ

Nên tia OC nằm giữa hai tia OB, OD (1) ta có:

+ COD = BOD  380 + COD = 820  COD = 440 BOC

(2)

Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB có AOE < AOD nên tia OE nằm giữa hai tia OA, OD (3) ta có:

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= = 980  EOD = 440 AOE + EOD AOD  540 + EOD

= COD (5) Từ (2) và (4) suy ra : EOD

FI CI A

Từ (1) và (3) mà 2 góc AOD, BOD kề bù nên tia OD nằm giữa hai tia OE, OC (6)

( 4)

Từ (5) và (6) suy ra OD là tia phân giác của COE

Bài 59.Trên đường thẳng xy lấy điểm A. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy lấy

= xAN = 1200 M , N sao cho MAx a) Tính số đo MAN

Lời giải

ƠN

b) Gọi AP là tia đối của tia AM . Chứng minh rằng AP là tia phân giác của xAN

và MAy kề bù  MAy = 600 , tương tự a) xAM yAN = 600

QU Y

Mà AM , AN nằm ở 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ay  Ay nằm giữa hai tia AM và

= MAy + AN .  MAN yAN = 1200

b) AP là tia đối của tia AM  Ax nằm giữa hai tia AM và AP

= 1800 − 1200 = 600  xAP

 AP nằm giữa Ax và AN Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax có xAP < xAN = 600  xAP = PAN  AP là phân giác của xAN Từ đó tính được PAN

KÈ

Bài 60.Cho góc xBy = 550. Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A ≠ B, B ≠ C ) . Trên

đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300 a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm

b) Tính số đo góc DBC

DẠ

= 900. Tính số đo c) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz ABz Lời giải

TH1:

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

A D

z Th2:

ƠN

QU Y

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

b) Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC  DBC = Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC ABC − ABD = 250

c) Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia

KÈ

BA nằm giữa hai tia Bz và BD

Tính được ABz = 900 − ABD = 900 − 300 = 600 -

Trường hợp 2: Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm

DẠ

giữa hai tia Bz và BA.

Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ là đường Bài 61.Cho tia Ox là phân giác của MON > MON . Chứng tỏ rằng: xOy = MOy + NOy thẳng chứa tia OM , vẽ tia Oy sao cho MOy 2

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Lời giải

FI CI A

x M

1 nên > MON ( gt ) nên tia ON nằm giữa Do Ox là tia phân giác của MON . Do MOy xON = MON 2 hai tia OM và Oy nên:

ƠN

+ NOM = MOy  NOy = MOy − MON NOy

= = MOy − MON + 1 MON = MOy − 1 MON = 2 MOy − MON xOy yON + NOx 2 2 2 + MOy − MON MOy + NOy MOy = = 2 2 Bài 62.Cho tam giác ABC , BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

QU Y

= 800 , BAC = 600. Tính CAM b) Cho biết: BAM và CAM . Tính xAy c) Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của BAC Lời giải

KÈ

DẠ

a) Do M, B thuộc 2 tia đối nhau CB, CM  C nằm giữa B và M Ta có : BC + CM = BM  BM = 5 + 3 = 8(cm)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

b) Do điểm C nằm giữa hai điểm B, M  Tia AC nằm giữa hai tia AB và AM

+ CAM = BAM  600 + CAM = 800  CAM = 200 nên BAC

FI CI A

= xAC + CAy = 1 BAC + 1 CAM c) Có xAy 2 2

1 1 1 0 BAC + CAM = BAM = .80 = 400 2 2 2

(

)

= 500. Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa tia Ot vẽ Bài 63.Cho hai góc kề bù xOt , yOt sao cho xOt

a) Tia Oz có nằm giữa hai tia Oy, Ot không ? Vì sao ?

b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của xOz Lời giải

QU Y

ƠN

tia Oz sao cho yOz = 800

a) Tính được yOt = 1300

Trên nửa mặt phẳng bờ Oy có yOz < yOt ( 800 < 1300 )  Tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy

= 1000 , tOz = 500 b) Tính xOz

= tOz = 1 xOz  Tia Ot là phân giác của xOz Suy ra xOt 2

KÈ

= 400. Tính số đo góc yOz Bài 64.Cho góc xOy = 700. Vẽ tia Oz sao cho xOz Lời giải

TH1:Tia Ox, Oy cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox Vì tia Ox, Oy cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox

> xOz ( 700 > 400 ) nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy Mà xOy

DẠ

+ zOy = xOy , thay số tính được: zOy = 300  xOz

Th2: Tia Oz , Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Ox nên tia Ox nằm giữa hai tia Oz , Oy

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

+ xOy = zOy , thay số tính được zOy = 1100 Ta có: xOz

= 1000. Vẽ tia Oz sao cho zOy = 350. Tính xOz Bài 65.Cho xOy

FI CI A

Lời giải

Trường hợp 1: Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy

ƠN

= 650 Tính được: xOz Trường hợp 2: Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz

QU Y

= 1350 Tính được xOz

là hai góc kề bù. Biết BOC = 5 Bài 65.Cho góc AOB và BOC AOB

a) Tính số đo mỗi góc

KÈ

b) Gọi OD là tia phân giác của BOC Lời giải

DẠ

C 68

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

là hai góc kề bù nên: = 1800 mà BOC = 5. a) Vì AOB và BOC AOB + BOC AOB nên

là hai góc kề bù nên: = 1800 Vì AOD, DOC AOD + DOC = 1800 − 750 = 1050 AOD = 1800 − DOC Do đó c) Tất cả có 2010 tia phân biệt Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia còn lại thành 2009 góc

FI CI A

nên BOD = DOC = 1 BOC = 750 b) Vì OD là tia phân giác của BOC 2

= 1500 6 AOB = 1800  AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC

Vậy có tất cả

Cứ 2010 tia tạo nên 2010.2009 góc, nhưng như thế, mỗi góc tính 2 lần

2010.2009 = 2019045 góc 2

ƠN

Bài 66.Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia On sao

cho góc yOn bằng 900 = a) Chứng minh xOn yOm

. Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn b) Gọi Ot là tia phân giác của xOy Lời giải

QU Y

m y

+ mOy = xOy hay 900 + mOy = xOy a) Lập luận được: xOm

KÈ

= xOy hay 900 + nOx = xOy  xOn = yOn + nOx yOm

= tOy  xOt = xOn + nOt  tOy =  nOt = mOt b) Lập luận được: xOt yOm + mOt

 Ot là tia phân giác của mOn

Bài 67.Cho góc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx, Mt là

DẠ

phân giác của góc xMy a) Tính góc AMy

b) Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt.

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Lời giải

FI CI A

x O

Góc AMx = 1800  MC nằm giữa MA và Mx

a) Tia Mx là tia đối của tia MA, góc AMx là góc bẹt

Nên: AMC + CMx = AMx thay số: 600 + CMx = 1800  CMx = 1800 − 600 = 1200 là

phân

xMy = yMC =

giác

của

CMx

nên:

nằm

1 1 xMC = .1200 = 600 2 2

Tia Mx là tia đối của tia MA, góc AMx là góc bẹt:

và

góc

AMx = 1800  My nằm giữa hai tia MA và Mx

giữa

ƠN

Nên: AMy + yMx = AMx thay số 600 + yMx = 1800  yMx = 1800 − 600 = 1200 b) Do My là phân giác của CMx nên Mx và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ

QU Y

là tia My. Mt là phân giác của góc yMx nên Mt nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia My. Vậy Mt và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia My hay My nằm giữa MC và Mt nên CMy + yMt = CMt

(*)

Lại có tia Mt là phân giác của góc xMy nên:

1 1 xMy = .600 = 300 thay số vào (*) ta có: 2 2

Góc xMt = tMy =

Góc CMt = 600 + 300 = 900 hay MC ⊥ Mt

(dfcm)

KÈ

Bài 68.Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Oy lấy hai điểm M và B

sao cho OM = 1cm, OB = 4cm. a) Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB

DẠ

= 1300 , zOy = 300. Tính số đo tOz b) Từ O kẻ hai tia Ot , Oz sao cho tOy

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Lời giải

M x

FI CI A

a) Trên tia Oy ta có: OM = 1cm < OB = 4cm  M là điểm nằm giữa O và B

OM + MB = OB  MB = OB − OM = 4 − 1 = 3 ( cm )

ƠN

Do M nằm giữa O và B ta có:

Do A thuộc tia Ox, M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M suy ra: OM + OA = MA = 2 + 1 = 3(cm)

Mặt khác do A, B nằm trên hai tia đối nhau , M lại nằm giữa O và B nên suy ra M nằm giữa A và B, Vậy M là trung điểm của AB.

b) TH1: Tia Ot , Oz trên cùng một nửa mặt phẳng

QU Y

Do yOt = 1300 , yOz = 300  tia Oz nằm giữa hai tia Ot , Oy.

= tOy − Ta có: tOz yOz = 1300 − 300 = 1000

TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là xy Suy ra tia Oy nằm giữa 2 tia Ot , Oz

= tOy + Ta có: tOz yOz = 1300 + 300 = 1600

= 1200 , xOz = 500. Tính xOm biết Om là tia phân giác góc yOz Bài 69.Cho xOy

KÈ

a) Trường hợp 1: 2 tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox

DẠ

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 500 < 1200 = xOy  Oz nằm giữa Ox và Oy xOz

− xOz = 1200 − 500 = 700 yOz = xOy

FI CI A

= yOz = 350 ; xOm = xOz + zOm = 500 + 350 = 850 zOm 2

b) Trường hợp 2: 2 tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox

z Từ đầu bài  Ox nằm giữa hai tia Oy, Oz 0

ƠN

= 850 − 500 = 350  xOm

= 170 = 850  yOz = 1200 + 500 = 1700  zOm 2

QU Y

= 1500 kẻ tia Oz sao cho xOz = 400 Tính số đo Bài 70.Cho xOy yOz ? Lời giải

Trường hợp 1: Oz nằm trong xOy

= 400  xOz   xOz < xOy  Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy  xOz + zOy = xOy 0 xOy = 150 

= 1500  zOy = 1100 Hay 400 + zOy

KÈ

; xOy kề với góc xOz Trường hợp 2:Oz nằm giữa xOy

DẠ

+ xOy = 400 + 1500 > 1800  xOz

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

(

)

+ xOy = 1700  yOz = 3600 − xOz

a) Tính số đo AOB; BOC . Tính số đo b) Gọi OD là tia phân giác của BOC AOD

FI CI A

là hai góc kề bù. Biết BOC = 5. Bài 71.Cho AOB và BOC AOB

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA; OB; OC ; OD ) . Trên hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc

= 1800 (hai góc kề bù) mà a) Ta có: AOB + BOC

ƠN

= 5 BOC AOB = 1500  6 AOB = 1800  AOB = 300 ; BOC

Lời giải

= DOC = 1 BOC = 750 (tính chất tia phân b) Ta có: BOD 2 = 1800 (tính chất kề bù) Mà AOD + DOC

giác)

= 1800 − 750 = 1050  AOD = 1800 − DOC

QU Y

c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n + 4 tia đó tạo với n + 4 − 1 = n + 3 còn lại tạo thành

n + 3 góc. Có n + 4 tia tạo nên thành ( n + 4 )( n + 3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần Vậy có tất cả

( n + 4 )( n + 3) góc. 2

Bài 72.Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB

a) Tính số đo mỗi góc

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD

KÈ

DẠ

D B

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 1800 mà BOC = 5 a) Vì góc AOB và BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC AOB nên

= 1800 Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC = 1800 − 750 = 1050 Do đó: AOD = 1800 − DOC

FI CI A

nên BOD = DOC = 1 BOC = 750 b) Vì OD là tia phân giác của BOC 2

= 1500 6. AOB = 1800  AOB = 300 , BOC

2010.2009 = 2019045 góc 2

= 1000. Vẽ tia phân giác Oz của xOy ; vẽ tia Ot sao cho Bài 73.Cho xOy yOt = 250

ƠN

, xOt a) Tính số đo các góc : zOt

không ? Vì sao ? b) Ot có phải là tia phân giác của zOy Lời giải

Xét hai trường hợp:

z t

QU Y

*Trường hợp 1: Ot nằm giữa Oz và Oy

a) Tia Oz là phân giác góc xOy nên yOz = 500

= 250 Mà yOt = 250 và Ot nằm giữa Oz , Oy nên zOt

Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Ot nằm giữa Oy, Oz nên Oz nằm giữa

= 750 Ox, Ot  xOt

*Trường hợp 2: Oy nằm giữa Oz, Ot

= 750 Tia Oy nằm giữa Oz, Ot nên zOt

KÈ

Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Oy nằm giữa Ot , Oz nên

= 1250 Oz , Oy nằm giữa Ox, Ot  xOt t

b) Trường hợp Oy nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của

zOy

DẠ

= 250 nên Ot là phân giác của zOy -Trường hợp Ot nằm giữa Oz , Oy ta có: yOt = 250 và zOt Bài 74.Cho tam giác ABC có ABC = 550 , trên cạnh AC lấy điểm D ( D không trùng với A

và C)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Tính độ dài AC , biết AD = 4cm, CD = 3cm

biết b) Tính số đo DBC ABD = 300

FI CI A

= 900. Tính số đo c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx ABx

d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và

CE cắt nhau. Lời giải

a) D nằm giữa A và C  AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

300

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC

=  DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 250

c) Xét hai trường hợp:

Tính được: ABx = 900 − ABD

ƠN

Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BC nên 00 < ABD < 550

 900 − 550 < ABx < 900 − 00 ⇔ 350 < ABx < 900

Trường hợp 2: Tia Bx, BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được: ABx = 900 + ABD

QU Y

Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 900 < ABx < 1450 Vậy 350 < ABx < 1450 , ABx ≠ 900 d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ BD chứa

điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

 tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

KÈ

 E , C ở hai nửa mặt phẳng bờ BD  đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD

DẠ

Vậy 2 đoạn thẳng EC , BD cắt nhau Bài 75.Cho tia Ox. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy, Oz sao cho

, xOz bằng 1200.Chứng minh rằng: xOy

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= xOz = a) xOy yOz

b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân số của góc hợp bởi hai tia còn lại.

FI CI A

Lời giải

a) Ta có x ' Oy = 600 , x ' Oz = 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên yOz = yOx ' + x ' Ozy = 1200 .

= Vậy xOy yOz = zOx b) Do tia Ox ' nằm giữa hai tia Oy, Oz và x ' Oy = x ' Oz

, xOy là phân giác của xOz

nên Ox ' là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz Tương tự tia Oy ' (tia đối của tia Oy ) và tia Oz ' (tia đối của tia Oz)

ƠN

Bài 76.Trên tia Ox, xác định các điểm A và B sao cho OA = a (cm), OB = b(cm)

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a

1 ( a + b) 2

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =

Lời giải

a) Vì OB < OA ( b < a ) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa hai

OM =

1 (a + b) 2

QU Y

b) Vì M nằm trên tia Ox, OM =

điểm O và A. Do đó: OB + BA = OA  AB = a − b

1 a + b 2b + a − b a−b OA − OB 1 = =b+ = OB + = OB + AB ( a + b) = 2 2 2 2 2 2

 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = MB Bài 77.Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia Oz, Ot sao cho

KÈ

= 700 ; xOz yOt = 550

a) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của yOz

DẠ

. Tính nOt c)Vẽ tia phân giác On của xOz Lời giải

là góc bẹt  trên cùng một nửa mặt phẳng a) Vì xOy t

và tOy là hai góc kề bù. có bờ xy có xOt

76 x

y O

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

+ tOy = 1800  xOt = 1800 − 550 = 1250  xOt

Ox, Ot

và zOy là hai góc kề b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có xOz

+ zOy = 1800 hay 700 + zOy = 1800  zOy = 1100 bù  xOz

FI CI A

< xOt (700 < 1250 )  Oz nằm giữa hai tia Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOz

yOt < yOz ( 550 < 1100 )  Tia Ot nằm giữa hai Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có:

= = 1100  tOz = 550  (2) tia Oy, Oz (1) nên ta có: yOt + tOz yOz hay 550 + tOz yOt = tOz Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của yOz

là góc bẹt nên suy ra Ox, Oy là hai tia đối nhau  2 tia Ox, Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng c) Vì xOy

ƠN

đối nhau có bờ chứa tia Oz (1)

nên nOz = xOz = 350 và hai tia On, Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ Vì On là tia phân giác xOz 2 chứa tia Oz (2)

Ta lại có tia Ot là tia phân giác yOz (theo câu b)  Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3)

Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz  Oz nằm

QU Y

giữa 2 tia On, Ot nên ta có:

+ zOt = nOt hay nOt = 350 + 550 = 900. Vậy nOt = 900 nOz Bài 78.Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia Oz, Ot sao cho

= 700 ; xOz yOt = 550

a) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot

b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của yOz

KÈ

. Tính nOt c)Vẽ tia phân giác On của xOz Lời giải

là góc bẹt  trên cùng một nửa mặt phẳng a) Vì xOy t

DẠ

và tOy là hai góc kề bù. có bờ xy có xOt

y O

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

+ tOy = 1800  xOt = 1800 − 550 = 1250  xOt

Ox, Ot

và zOy là hai góc kề b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có xOz

+ zOy = 1800 hay 700 + zOy = 1800  zOy = 1100 bù  xOz

FI CI A

< xOt (700 < 1250 )  Oz nằm giữa hai tia Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOz

yOt < yOz ( 550 < 1100 )  Tia Ot nằm giữa hai Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có:

= = 1100  tOz = 550  (2) tia Oy, Oz (1) nên ta có: yOt + tOz yOz hay 550 + tOz yOt = tOz Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của yOz

là góc bẹt nên suy ra Ox, Oy là hai tia đối nhau  2 tia Ox, Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng c) Vì xOy

ƠN

đối nhau có bờ chứa tia Oz (1)

nên nOz = xOz = 350 và hai tia On, Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ Vì On là tia phân giác xOz 2 chứa tia Oz (2)

Ta lại có tia Ot là tia phân giác yOz (theo câu b)  Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3)

Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz  Oz nằm

QU Y

giữa 2 tia On, Ot nên ta có:

+ zOt = nOt hay nOt = 350 + 550 = 900. Vậy nOt = 900 nOz Bài 79.Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

= 800 , BAC = 600. Tính CAM b) Cho biết BAM c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm. Tính độ dài BK

KÈ

Lời giải A

a) Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB

nên diểm C nằm giữa hai điểm B và M Do đó: BM = BC + CM = 5 + 3 = 8(cm)

b) Do C nằm giữa hai điểm B và M nên tia AC nằm

DẠ

giữa hai tia AB, AM .

= BAM − BAC = 800 − 600 = 200 Do đó CAM

c) Nếu K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hình vẽ)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Khi đó BK = BC + CK = 5 + 1 = 6cm

Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K 2 trong hình vẽ)

FI CI A

Khi đó BK = BC − CK = 5 − 1 = 4(cm) Bài 80.Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung

điểm của OA, OB. a)Chứng tỏ rằng OA < OB b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối

của tia AB) Lời giải

hai điểm O và B, suy ra: OA < OB b) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên

OA OB ; ON = 2 2

Vì OA < OB nên OM < ON

 OM =

ƠN

a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa

Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm

M nằm giữa hai điểm O và N

N A

QU Y

c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm và N, nên ta có: Vì có độ dài không đổi nên có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm O thuộc tia đối của tia

Bài 81.Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung

điểm của OA, OB.

a)Chứng tỏ rằng OA < OB

b) Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

KÈ

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)

Lời giải

a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa

DẠ

hai điểm O và B, suy ra: OA < OB

b) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên

 OM =

OA OB ; ON = 2 2

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

Vì OA < OB nên OM < ON

c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm và N, nên ta có:

Vì có độ dài không đổi nên có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm O thuộc tia đối của tia

Bài 82.Cho tam giác ABC có BC = 5, 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm

a. Tính độ dài BM

= 800 , BAC = 600. Tính CAM b. Biết BAM c. Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm

ƠN

Lời giải

QU Y

a. C nằm giữa B và M  BC + CM = BM  BM = 3 + 5, 5 = 8,5 b. C nằm giữa B và M nên AC là tia nằm giữa 2 tia AB, AM

+ CAM = BAM  BAC = BAM − BAC = 800 − 600 = 200  CAM

c. Xét 2 trường hợp:

+Nếu K nằm giữa C và M ta tính được: BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5(cm)

KÈ

+Nếu K nằm giữa C và B  BK = 4,5cm Bài 83.Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm

a. Trong 3 điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Vì sao ?

b. Tính độ dài đoạn thẳng AB

DẠ

c. Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không ? Vì sao ? d. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2 BA . Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn

thẳng OD

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

Lời giải

a. Ta có OA = 2cm, OB = 4cm. Vì 2cm < 4cm  OA < OB nên A nằm giữa O và B

b. Vì A nằm giữa O và B nên OA + AB = OB ⇔ 2 + AB = 4  AB = 4 − 2 = 2(cm) c. Vì OA + AB = OB và OA = AB = 2cm nên A là trung điểm của OB d. Ta có : BD = 2 BA = 2.2 = 4cm  BD = BO = 4cm

(1)

Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D

 OB + BD = OD (2) Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD.

= 400 , x phẳng có bờ x ' x sao cho: xOz ' Oy = 3.xOz

ƠN

Bài 84.Trên đường thẳng x ' x lấy điểm O tùy ý. Vẽ hai tia Oy và Oz nằm trên cùng một nửa mặt

a. Trong 3 tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?

b. Gọi Oz ' là tia phân giác của x ' Oy . Tính góc zOz '

Lời giải

QU Y

KÈ

nên x a. Theo bài ra : x ' Oy = 3.xOz ' Oy = 3.400 = 1200 và x = 1800 − x Hai góc xOy ' Oy là hai góc kề bù nên xOy ' Oy = 1800 − 1200 = 600

nhỏ hơn Hai tia Oy, Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng x ' x lại có xOz

nên tia Oz nằm giữa 2 tia Ox, Oy xOy

DẠ

+ zOy = xOy hay zOy = xOy − xOz = 600 − 400 = 200 b. Ta có: xOz 1 1 Mà yOz ' = .x ' Oy = .1200 = 600 (Oz ' là tia phân giác của x ' Oy ) 2 2

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

và = 400. Gọi Om là tia phân giác của Bài 85.Cho hai góc kề bù xOy yOt , trong đó xOy yOt

' = Vậy zOz yOz ' + yOz = 600 + 200 = 800

a. Tính mOx

b. Trên nửa mặt phẳng không chứa tia Oy và có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On sao cho

= 700. Chứng tỏ tia Om và On là hai tia đối nhau xOn Lời giải

ƠN

+ a) Ta có xOy yOt = 1800  400 + yOt = 1800  yOt = 1400 nên tOm = 1 tOy = 1 .1400 = 700 Ta có Om là tia phân giác của tOy 2 2

QU Y

Vì hai góc xOy và yOt kề bù nên Ox, Ot là hai tia đối nhau

+ mOx = 1800 ( Ke bu )  tOm = 1800  mOx = 1100 700 + mOx

+ xOn = 1100 + 700 = 1800  mOx , xOn là hai góc kề bù (1) b) Ta có: mOx

Do Om, Oy cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là tia Ox; On và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ

là

tia

KÈ

và nên Om, On nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox suy ra mOx là hai góc kề nhau (2) xOn & xOn là hai góc kề bù Từ (1) , (2) suy ra mOx

Bài 86.Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC + BD = 9cm

DẠ

a. Chứng tỏ D nằm giữa A và C b. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Lời giải

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB = AB hay AD + DB = 6cm Lại có AC + DB = 9cm  AD + DB < AC + DB hay AD < AC (1) Mà D và C cùng nằm giữa A và B hay D, C cùng thuộc tia AB (2) Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C b) Vì D nằm giữa A và C suy ra: AD + DC = AC mà AC + BD = 9

FI CI A

Nên AD + DC + BD = 9 ⇔ ( AD + DB) + DC = 9  6 + DC = 9  DC = 3cm

Bài 87.Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, Vẽ các tia OC, OD sao cho

a. Chứng minh OD là tia phân giác của BOC

ƠN

= 550 AOC = 700 , BOD

b. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia OC, OD vẽ tia OE sao cho góc DOE là góc vuông,

gọi OK là tia đối của tia OC. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của BOK

QU Y

Lời giải.

a. Trên cùn một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, có AOC = 700 , AOB = 1800 (700 < 1800 ) nên

KÈ

AOC < AOB , vậy tia OC nằm giữa hai tia OA, OB = = 1100 Suy ra AOC + COB AOB . Từ đó tính được COB

= 500 , COB = 1100 ( 500 < 1100 ) nên Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có BOD

DẠ

< BOC . Vậy tia OD nằm giữa hai tia OB, OC BOD

(1)

+ COD = COB . Từ đó tính được: COD = 500 Suy ra BOD

= 500 , COD = 500  BOD = COD Ta có: BOD

Từ (1), (2) suy ra tia OD là tia phân giác của BOC

(2)

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 550 , DOE = 900 ( 550 < 900 ) nên b. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OD có DOB

< COB . Vậy tia OD nằm giữa 2 tia OB, OC ….. BOD

FI CI A

Bài 88.Cho góc xBy = 550. Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A ≠ B, B ≠ C ) . Trên

đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300 a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b. Tính số đo góc DBC

Lời giải TH1:

ƠN

D C

QU Y

TH2:

= 900. Tính số đo c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz ABz

a. Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C

AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

b. Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

 DBC = Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC ABC − ABD = 250

c. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia

KÈ

BA nằm giữa hai tia Bz và BD

Tính được ABz = 900 − ABD = 900 − 300 = 600 Trường hợp 2: Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm

DẠ

giữa hai tia Bz và BA.

Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Bài 89.Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của

FI CI A

OA, OB. a. Chứng tỏ rằng OA < OB b. Trong ba điểm O, M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

c. Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)

Lời giải

ƠN

a. Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra:

 OA < OB

Vì OA < OB nên OM < ON

OA OB ; ON = 2 2

b. Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA, OB nên  OM =

Hai điểm M , N thuộc tia OB, mà OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N c. Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có:

QU Y

 OM + MN = ON  MN = ON − OM  MN =

OB − OA AB = 2 2

Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB) Bài 90.

a) Cho đoạn thẳng AB = 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4cm. Trên tia BA lấy điểm K sao

cho BK = 2cm . Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. Tính IK

KÈ

b) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C , D. biết rằng A nằm B và C, B nằm giữa C và D;

DẠ

OA = 5cm, OD = 2cm, BC = 4cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tính độ dài các đoạn BD, AC. Lời giải A

a. Trên tia BA ta có BK=2cm, BA=7cm nên BK < BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra :

AK + KB = AB  AK = 7 − 2 = 5cm

Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK ( 4 < 5 ) nên điểm I nằm giữa A và K

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK  4 + IK = 5  IK = 1(cm) B

b) Vì A nằm giữa B và C nên BA + AC = BC  BA + AC = 4

(1)

Lập luận  B nằm giữa A và D Theo giả thiết OD < OA  D nằm giữa O và A Mà OD + DA = OA  2 + DA = 5  DA = 3cm Ta có DB + BA = DA  DB + BA = 3(2)

Lấy (1) − ( 2 ) : AC − DB = 1 (3)

FI CI A

Theo đề ra : AC = 2 BD thay vào (3) Ta có: 2 BD − BD = 1  BD = 1(cm)  AC = 2 BD = 2(cm)

ƠN

Bài 92.Trên tia Ax, lấy các điểm B, C , D sao cho AB = 5cm, AC = 1cm, AD = 3cm. Chứng minh rằng

điểm D nằm giữa hai điểm C và B. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho CM = 3cm. Chứng minh rằng điểm C nằm giữa hai điểm A và M

Lời giải

trên cùng nữa mặt phẳng có bờ chứa tia Ax , ta có AC< AD( vì 1 <3) nên điểm C nằm giữa hai

QU Y

điểm A và D => CD = AD –AC = 3 -1 = 2

trên cùng nữa mặt phẳng có bờ chứa tia Ax , ta có AC< AB( vì 1 <5) nên điểm C nằm giữa hai

điểm A và B => CB = AB –AC = 5 -1 =4

trên cùng nữa mặt phẳng có bờ chứa tia Cx , ta có CD< CB( vì 2 <4) nên điểm D nằm giữa hai

điểm C và B.

tương tự chứng minh được điểm C nằm giữa hai điểm A và M

Bài 93.Cho hai điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa

KÈ

A và B. Biết AB = 5cm, AM = 3cm, BN = 1cm. Chứng tỏ rằng: a) Bốn điểm A, B, M , N thẳng hàng b) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB. c) Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C. Tính chu vi

DẠ

∆CAN

Lời giải

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

a) Bốn điểm A, B, M , N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN b) BM = AB − AM

MN = BM − BN = 1cm = BN  N là trung điểm của BM c) Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1cm Chu vi ∆CAN : AC + CN = NA = 4 + 4 + 1 = 9cm

ƠN

Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4cm

M , N ∈ tia AB mà BM > BN (2 > 1)  N nằm giữa B và M

Bài 94.Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

= 800 , BAC = 600. Tính CAM b) Cho biết BAM

c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm. Tính độ dài BK

QU Y

Lời giải

a) Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nên diểm C nằm giữa hai điểm B và M

KÈ

Do đó: BM = BC + CM = 5 + 3 = 8(cm) b) Do C nằm giữa hai điểm B và M nên tia AC nằm giữa hai tia AB, AM . = BAM − BAC = 800 − 600 = 200 Do đó CAM

c) Nếu K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hình vẽ)

DẠ

Khi đó BK = BC + CK = 5 + 1 = 6cm

Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K 2 trong hình vẽ) Khi đó BK = BC − CK = 5 − 1 = 4(cm)

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Bài 95. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho

và zOt a) Tính yOz b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao? c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt. Lời giải

< xOz (300 < 700) a). xOy  Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz

= 700 - 300 = 400  yOz

< xOt (700 < 1100) xOz

ƠN

 Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot

= 1100 - 700 = 400  zOt

300

< xOt (30 < 110 ) b) xOy 0

FI CI A

= 30 ; xOz = 70 ; xOt = 110 xOy

 Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot

= 1100 - 300 = 800  yOt = 400 Theo trên, yOz

QU Y

< yOt (400 < 800)  yOz  Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot

= 400; zOt = 400 c). Theo trên: Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có: yOz  Oz là tia phân giác của góc yOt.

, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D Bài 96. Cho xAy

KÈ

a) Tính BD.

sao cho AD = 4 cm.

= 800, BCA = 450. Tính ACD . b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD c) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK C y

DẠ

Lời giải

B 88

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

 A nằm giữa D và B  BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm)

FI CI A

KL:….. b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD  ACD + ACB = BCD −  ACD = BCD ACB = 800 − 450 = 350

KL:…. -

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

Suy ra: AK + KB = AB

c) * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax

ƠN

 KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)

* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax - Suy ra: KB = KA + AB

 KB = 6 + 2 = 8 (cm)

QU Y

- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

KÈ

* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm Bài 97 . Cho góc xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB=5cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D

sao cho AD = 3cm, C là một điểm trên tia Ay.

a/ Tính độ dài đoạn thẳng BD.

DẠ

= 850 , BCA = 500 . Tính số đo góc ACD. b/ Biết BCD c/ K là điểm trên đoạn thẳng BD sao cho AK = 1cm. Tính BK.

Lời giải

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

a) Vì điểm D thuộc tia đối của tia Ax nên điểm A nằm giữa hai điểm B và D

 BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 ( cm ) Vậy BD=8cm

b) Vì điểm A nằm giữa hai điểm B và D nên tia AC nằm giữa 2 tia CB và CD.

ƠN

+ BCA = BCD  ACD + 500 = 850  ACD = 350  ACD

= 350 Vậy ACD

c) Vì Điểm K thuộc đoạn thẳng BD và AK = 1cm nên ta xét 2 trường hợp. TH1: Điểm K thuộc đoạn thẳng AB

QU Y

Vì K thuộc đoạn thẳng AB

 AK + KB = AB

 1 + BK = 5  BK = 4 ( cm )

TH2:Điểm K thuộc đoạn thẳng AD

KÈ

Vì K thuộc đoạn thẳng AD nên điểm A nằm giữa 2 điểm K và B

 BK = BA + AK = 5 + 1 = 6 ( cm ) Vậy BK= 4cm , BK=6cm

DẠ

Bài 98 . Cho góc xBy = 550 .Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A ≠ B, C ≠ B ). Trên

đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC 90

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900 . Tính số đo ABz.

TH1

TH2 x

FI CI A

Lời giải

a) Vẽ hình đúng Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C : AC = AD + CD = 4+3 = 7 cm

ƠN

b) Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

Ta có đẳng thức : ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC  ∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD =550 – 300 = 250 c) Xét hai trường hợp:

QU Y

- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD

Tính được ∠ ABz = 900 - ∠ ABD = 900- 300 = 600 - Trường hợp 2 :Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

Tính được ∠ ABz = 900 + ∠ ABD = 900 + 300 = 1200 Bài 99 . Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc tia đối của tia BA. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

KÈ

a) Chứng tỏ rằng: CM =

CA + CB 2

= 1200 ; BOC = 300 ; AOM = 600 . b) Gọi O là một điểm nằm ngoài đoạn thẳng AB. Biết AOC

không? Vì sao? Hỏi OB có phải là tia phân giác của MOC

DẠ

Lời giải A

a) Do M là trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C.

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Ta có: CA = MA + MC(1)

Ta có B nằm giữa M và C Ta có CB = CM – MB(2)

FI CI A

Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM – MB

 CA + CB = 2CM(Do MA = MB)  MC =

CA + CB 2

ƠN

- Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có:

= MOC AOC − AOM = 1200 − 600 = 600 = 1 MOC Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và BOC 2

. Nên OB là tia phân giác của MOC

QU Y

= 600 , AB=6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A,B) sao Bài 100. Cho tam giác ABC có ACB cho AD=2cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD.

biết ACD = 200 . b) Tính số đo của DCB = 900 . Tính ACx . c) Dựng tia Cx sao cho DCx

DẠ

KÈ

Lời giải

d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A,C). Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau.

a) D nằm giữa A và B => AD+BD =AB =>BD=6-2=4cm KL...

ƠN

b) Tia CD nằm giữa hai tia CA và tia CB

FI CI A

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= ACB => ACD + DCB =400 => DCB c) Xét hai trường hợp:

KL...

- Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phía so với đường thẳng CB

K.L...

QU Y

Tính được góc ACx = 900- ACD = 700

- Trường hợp 2: Hai tia CD và Cx nằm về hai phía so với đường thẳng CB Tính được góc ACx = 900 + ACD = 1100 K.L ...

- Xét đường thẳng CD.

Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa MP có bờ CD chứa điểm B và nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A.

KÈ

E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A => E và B ở 2 nửa MP bờ CD => đường thẳng CD cắt đoạn EB

- Xét đường thẳng BE. Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD.

DẠ

Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau.

Bài 101 . Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.

a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o

và với tia OB một góc bằng (a + 20)o. Tính ao

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao Lời giải

FI CI A

Vẽ đúng hình

y (a+20)o

(a+10)o

22o

48o

ƠN

Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao

a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và

> COA (a + 10 > a) . Nên tia OC nằm Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và COD giữa hai tia OA v à OD

QU Y

+ DOB = => AOC + COD AOB

=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o

b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB

= 180o − 48o = 132o > AOy = 180o − BOy AOx = 22o Ta có :

KÈ

Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

= = 132o => xOy = 132o − 22o = 110o => AOx + xOy AOy => 22o + xOy c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao

V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên

DẠ

o = AOC + COD AOD => AOD = a o + ( a + 10 ) = 2a o + 10o = 2.50o + 10o = 110o

< AOD(22o < 110o ) nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD Vì AOx + xOD = = 110o => xOD = 110o − 22o = 88o => AOx AOD => 22o + xOD

Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o 94

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 550, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho Bài 102. Cho tam giác ABC có ABC

= 300. ABD . b) Tính số đo của DBC

= 900. Tính số đo ABx . c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx

FI CI A

a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.

d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE A

cắt nhau. Lời giải

ƠN

a) Ta có:

D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm b) Ta có:

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC

c) Ta có: Xét hai trường hợp:

QU Y

= => DBC ABC − ABD = 550 – 300 = 250

- Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được ABx = 900 − ABD = 90 0 − 30 0 = 60 0

- Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được ABD = 90 0 + 30 0 = 120 0 ABx = 900 +

KÈ

d) Ta có:

- Xét đường thẳng BD.

Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa mp có bờ BD chứa điểm C và

nửa mp bờ BD chứa điểm A => tia BA thuộc nửa mp chứa điểm A.

DẠ

E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa mp bờ BD chứa điểm A => E và C ở 2 nửa mp bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE.

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD.

Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau. góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. a) Tính số đo góc mOn

b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m 'Oz = 300

FI CI A

Bài 103 . Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các

c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.

Lời giải y

ƠN

kề bù với zOy nên: xOy + zOy = 1800 a) Vì xOy

QU Y

nên: Vì tia Om là tia phân giác của xOy = 1 xOy mOy 2

nên: Vì tia On là tia phân giác của zOy

= 1 zOy nOy 2

KÈ

kề bù với zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác Vì xOy

và tia On là tia phân giác của zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó: của xOy + yOn = mOn mOy

1 1 = mOn xOy + zOy 2 2

⇔

1 xOy + zOy = mOn 2

⇔

1 .1800 = mOn 2

DẠ

⇔

(

)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 900 ⇔ mOn

⇔

300

= 1800 + zOm = 1500 zOm

⇔

kề bù với mOx Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm + mOx = 1800  zOm

⇔

= 1800 ⇔ 1500 + mOx

FI CI A

= 1800  m 'Oz + zOm

b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m 'Oz kề bù với zOm

= 300 mOx

nên: mOy = mOx = 300 Vì tia Om là tia phân giác của xOy

ƠN

kề bù với yOm ' Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm + yOm ' = 1800  yOm

⇔

' = 1500 yOm

' = 1800 ⇔ 300 + yOm

c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.

QU Y

Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc

Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:

+ 5)( n + 6 ) góc 2

KÈ

Vì có 300 góc được tạo thành nên:

+ 5 )( n + 6 ) = 300 ⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25 2

⇔ n + 5 = 24 ⇔ n = 19

Bài 104 . Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa mặt

phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OC sao cho: góc MOC = 1150; góc BOC = 700. Trên nửa mặt phẳng

đối diện dựng tia OD (D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho góc

DẠ

AOD = 450.

a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? vì sao? b) Tính góc MOB và góc AOC ? c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Lời giải

a) Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thì ta có :

Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC.

A O

+ BOC = MOC b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nên : MOB D

= MOC − BOC = 1150 - 700 = 450  MOB

FI CI A

= 1850 > 1800 (vô lý)  MOB

+ COB = MOB MOC

là 2 góc kề bù nên : AOC + COM = 1800 Hai góc AOC , COM

ƠN

= 180 0 − COM = 1800 − 1150 = 650  AOC

và BOM là 2 góc kề bù  AOB + BOM = 1800 c) Hai góc AOB

=1800- 450 = 1350  AOB

và AOB là góc có cạnh chung OA. Còn 2 cạnh OD, OB nằm trong 2 nửa mặt Hai góc DOA phẳng đối nhau bờ AM nên :

+ AOB = 450 + 1350 = 1800  OD, OB là 2 tia đối nhau.  D, O, B thẳng hàng. DOA

QU Y

, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D Bài 105 . Cho xAy sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a) Tính BD.

= 850, BCA = 500. Tính ACD . b) Biết BCD c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK

KÈ

Lời giải

DẠ

B 98

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho Cho xAy

AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.

FI CI A

a) Tính BD Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

 A nằm giữa D và B  BD = BA + AD = 5,5 + 3 = 8,5 (cm)

= 850, BCA = 500. Tính b) Biết BCD ACD . - Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

 ACD + ACB = BCD −  ACD = BCD ACB = 850 − 600 = 250 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

Suy ra: AK + KB = AB

 KB = AB – AK = 5,5 – 1 = 4,5 (cm)

QU Y

ƠN

Xét 2 trường hợp

* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB

KÈ

 KB = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)

* Kết luận: Vậy KB = 4,5cm hoặc KB = 6,5cm

Bài 106. Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia Oz, Ot sao cho

DẠ

= 700 , yOt = 550 xOz

a) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot

b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của yOz

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Tính nOt c) Vẽ tia phân giác On của xOz.

z t

FI CI A

Lời giải

là góc bẹt  trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy có xOt là hai góc kề bù. và tOy a) Vì xOy

ƠN

+ tOy = 1800  xOt = 1800 − 550 = 1250  xOt

< xOt(70 0 < 1250 )  Oz nằm giữa hai tia Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOz Ox, Ot

là hai góc kề và zOy b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có xOz + zOy = 1800 hay 700 + zOy = 1800  zOy = 1100 bù  xOz

< yOz 550 < 1100  Tia Ot nằm giữa hai Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: yOt

(

)

QU Y

+ tOz = yOz hay 550 + tOz = 1100  tOz = 550  yOt = tOz(2) tia Oy, Oz (1) nên ta có: yOt Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của yOz là góc bẹt nên suy ra Ox, Oy là hai tia đối nhau  2 tia Ox, Oy nằm trên hai nửa mặt c) Vì xOy phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz (1)

KÈ

chứa tia Oz (2)

nên nOz = xOz = 350 và hai tia On, Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ Vì On là tia phân giác xOz 2

(theo câu b)  Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt phẳng Ta lại có tia Ot là tia phân giác yOz có bờ chứa tia Oz (3)

Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz  Oz nằm

DẠ

giữa 2 tia On, Ot nên ta có:

+ zOt = nOt hay nOt = 350 + 550 = 900. Vậy nOt = 900 nOz

100

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Bài 107.Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia

On sao cho góc yOn bằng 900

FI CI A

= yOm a) Chứng minh xOn

. Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn b) Gọi Ot là tia phân giác của xOy Lời giải

ƠN

+ mOy = xOy hay 900 + mOy = xOy a) Lập luận được: xOm

+ nOx = xOy hay 900 + nOx = xOy  xOn = yOm yOn

= tOy  xOt = xOn + nOt  tOy = yOm + mOt  nOt = mOt b) Lập luận được: xOt  Ot là tia phân giác của mOn

QU Y

Bài 108.Cho bốn tia OA, OB, OC, OD tạo thành các góc AOB, BOC, COD, DOA không có điểm

= 3AOB,COD = 5AOB, DOA = 6.AOB chung. Tính số đo của mỗi góc ấy biết rằng: BOC Lời giải

Học sinh tự vẽ hình

+ BOC + AOD > 1800 Ta thấy AOB

có điểm chung với ba góc kia. Đặt AOB =a Vì nếu trái lại thì AOD

KÈ

+ BOC + AOD + COD = 3600 Ta có: AOB  a + 3a + 5a + 6a = 3600  a = 240

= 240 ; BOC = 720 ;COD = 1200 , DOA = 1440 Vậy AOB

Bài 109.Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa mặt

DẠ

= 1150 , BOC = 700. Trên nửa mặt phẳng đôi diện phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OC sao cho MOC

= 450 . dựng tia OD(D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B, C qua bờ là AM) sao cho AOD a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không ? Vì sao ?

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

AOC b)Tính MOB,

c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.

FI CI A

Lời giải

C B

+ COB = MOB = 1850 (vô lý) a) Nếu OB nằm giữa hai tia OA, OC thì MOC Vậy OB nằm giữa hai tia OM, OC

ƠN

+ BOC = MOC b) Do tia OB nằm giữa hai tia OM, OC nên: MOB = MOC − BOC = 1150 − 700 = 450  MOB

là hai góc kề bù nên AOC + COM = 1800 Hai góc AOC,COM = 1800 − COM = 1800 − 1150 = 650  AOC

BOM là hai góc kề bù  AOB + BOM = 1800 c) Hai góc AOB,

QU Y

= 1800 − 450 = 1350  AOB

AOB là 2 góc có cạnh chung OA. Còn 2 cạnh OD, OB nằm 2 nửa mặt phẳng đối Hai góc DOA, nhau bờ AM nên:

+ AOB = 450 + 1350 = 1800  OD, OB là hai tia đối nhau DOA  D, O, B thẳng hàng

= 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx , MT là tia Bài 110.Cho AMC

KÈ

phân giác của xMy a) Tính AMy

Lời giải

DẠ

= 900 b) Chứng minh rằng: CMT

102

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

và CMA là hai góc kề bù nên xMC = 1800 − 600 = 1200 a) Vì xMC

= 600 mà xMy kề bù với AMy , do đó: xMy Vì My là tia phân giác của xMC = 1800 − 600 = 1200 Nên AMy

, MT là tia phân giác của yMx b) Do MC là tia phân giác của AMy

ƠN

và yMx kề bù  My nằm giữa hai tia MC, MT Mà góc AMy

= CMy + yMT = 1 AMy + 1 yMx = 1 .1200 + 1 .600 = 900 CMT 2 2 2 2

a) Chứng tỏ rằng: CM =

CA + CB 2

Bài 111.Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc tia đối của tia BA.M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

= 600. Hỏi = 1200 , BOC = 300 , AOM b) Gọi O là một điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết AOC

QU Y

không ? Vì sao ? OB có phải là tia phân giác của MOC Lời giải

Do M là trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C.

Ta có: CA = MA + MC

(1)

KÈ

Ta có B nằm giữa M và C nên CB = CM − MB

(2)

Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM − MB  CA + CB = 2CM(Do MA = MB)  MC =

DẠ

CA + CB 2

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có:

= AOC − AOM = 1200 − 600 = 600 MOC

FI CI A

= 1 MOC nên OB là tia phân giác MOC Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và BOC 2

Bài 112.Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm

ƠN

a) Tính độ dài BM

= 800 , BAC = 600. Tính CAM b) Cho biết BAM

. Tính xAy c) Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của BAC,CAM

d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1cm. Tính độ dài BK Lời giải

QU Y

KÈ

a) M, B thuộc 2 tia đối nhau CB, CM

 C nằm giữa B và M  BM = BC + CM = 8cm = BAM − BAC = 200 b) C nằm giữa B, M  Tia AC nằm giữa hai tia AB, AM  CAM

= xAC + CAy = 1 BAC + 1 CAM = 1 BAC + CAM = 1 BAM = 1 .800 = 400 c) Có xAy 2 2 2 2 2

(

DẠ

d) +)Nếu K ∈ tia CM  C nằm giữa B và K1  BK1 = BC + CK1 = 6cm

+nếu K ∈ tia CB  K 2 nằm giữa B và C

104

)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

 BK 2 = BC = CK 2 = 4cm

a) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia

FI CI A

= 700 , xOz yOt = 550

Oz , Ot sao cho

Bài 113. Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia

Ox, Ot

yOz b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của . Tính nOt c) Vẽ tia phân giác On của xOz

Lời giải

ƠN

là góc bẹt  trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy có xOt là hai góc kề bù. và tOy a) Vì xOy + tOy = 1800  xOt = 1800 − 550 = 1250  xOt

< xOt (700 < 1250 )  Oz nằm giữa hai Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOz

QU Y

tia Ox, Ot

và zOy là hai góc kề bù b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có xOz + zOy = 1800 hay 700 + zOy = 1800  zOy = 1100  xOz Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: yOt < yOz 550 < 1100  TiaOt nằm giữa

)

(

= = 1100  tOz = 550  (2) hai tia Oy, Oz (1) nên ta có: yOt + tOz yOz hay 550 + tOz yOt = tOz

KÈ

Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của yOz

là góc bẹt nên suy ra Ox, Oy là hai tia đối nhau  2 tia Ox, Oy nằm trên hai nửa mặt c) Vì xOy

phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz (1)

DẠ

nên nOz = xOz = 350 và hai tia On, Ox cùng nằm trên mặt phẳng có bờ Vì On là tia phân giác xOz 2 chứa tia Oz (2)

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Ta lại có tia Ot là tia phân giác yOz (theo câu b)  Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt

phẳng có bờ chứa tia Oz (3)

FI CI A

Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz  Oz nằm giữa 2 tia On, Ot nên ta có:

+ zOt = nOt hay nOt = 900 = 350 + 550 = 900. Vậy nOt nOz Bài 114.Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng xy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa đường

yOt không ? Tại sao ? a) Tia Oz có là phân giác của

= 1300 , thẳng xy , kẻ tia Oz , Ot sao cho zOt yOt = 1000

, On là tia đối của tia Ot. Tính số đo mOn b) Gọi Om là phân giác của zOt

ƠN

Lời giải

QU Y

a) Vì điểm O nằm trên đường thẳng xy nên hai tia Ox, Oy là hai tia đối nhau

, + Nên xOy yOz là hai góc kề bù  xOy yOz = 1800  yOz = 500 < Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: xOy yOz 500 < 1000 nên tia Oz nằm

(

KÈ

+ tOz = = 500 (2) giữa tia Oy, Ot (1)  zOy yOt  zOy Từ (1) và (2) suy ra Oz là phân giác của yOt

 zOm + tOm = 1 .500 = 250 b) Vì Om là phân giác của zOt 2

DẠ

& tOm là hai góc kề bù Vì On là tia đối của tia Ot. Nên nOm + tOm = 1800  nOm = 1800 − 250 = 1550  nOm

106

)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

và a) So sánh xOn yOm

FI CI A

. Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn b) Vẽ tia Ot là tia phân giác của xOy

= 1200. Trong góc xOy, vẽ hai tia Om, On sao cho xOm = 900 , Bài 115.Cho xOy yOn = 900

> xOy . Chứng c) Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Oz sao cho xOz + xOz yOz 2

= minh rằng: tOz

Lời giải

ƠN

a) Tia Om và On nằm giữa hai tia Ox, Oy (vì cùng nằm trong góc xOy )

QU Y

0  xOm + mOy = xOy  mOy = 30  + nOy = xOy  xOn = 300  xOn =  xOn yOm

b) Tia Ot là tia phân giác của xOy xOy = 600 2

=  xOt yOt =

KÈ

− xOn = = mOt xOt yOt − yOm  nOt  tia Ot là tia phân giác của mOn

< xOz  Tia Oy c) Vì hai tia Oy, Oz thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, mà xOy

nằm giữa hai tia Ox, Oz

DẠ

+  xOy = xOz −  xOy yOz = xOz yOz

Tia Oy nằm giữa hai tia Oz, Ot

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

(

)

+ xOz yOz 2

FI CI A

1 1 xOy + yOz = xOz − yOz + yOz 2 2

=  tOz yOt + yOz =

= xOz + yOz Vậy tOz 2

Bài 116.Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB. Vẽ các tia OC , OD sao cho

= 550 AOC = 700 , BOD

a) Chứng minh OD là tia phân giác của BOC

là góc vuông, b) Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia OC , OD vẽ tia OE sao cho DOE

ƠN

gọi OK là tia đối của tia OC. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của BOK Lời giải

OC nằm giữa hai tia OA, OB

a) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA có AOC < AOB 700 < 1800 nên tia

(

)

= = 1100  AOC + COB AOB  COB

< COB 500 < 1100  tia OD nằm Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có BOD

)

(1)

QU Y

giữa hai tia OB, OC

(

+ COD = COB  COD = 500  BOD = COD (2)  BOD

Từ (1) và (2) suy ra OD là tia phân giác của BOC < DOE 550 < 900 nên Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OD, có BOD

(

)

= 1000 OD nằm giữa 2 tia OB, OC nên BOK

KÈ

= 1200 , xOz = 500. Gọi Om là tia phân giác của Bài 117.Cho xOy yOz. Tính xOm Lời giải

DẠ

*Trường hợp 1: 2 tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là Ox

108

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 500 < 1200 = xOy nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy xOz

FI CI A

ƠN

− xOz = 1200 − 500 = 700  yOz = xOy = yOz = 350  xOm = 350 + 500 = 850 zOm 2 *Trường hợp 2: 2 tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox y

QU Y

Từ đầu bài ta có Ox nằm giữa hai tia Oy, Oz

 yOz = 1200 + 500 = 1700

KÈ

= 170 = 850 zOm 2 xOm = 850 − 500 = 350

Bài 118.Cho hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox. Biết

DẠ

= 300 , xOz = 1200 xOy yOz a) Tính số đo ? b) Tia Om là tia đối của tia Ox, tính mOz Lời giải

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

FI CI A

a) Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz

= zOx − = 1200 , = 1200 − 300 = 900 Ta có: zOy yOx , mà zOx yOx = 300  zOy

b) Tia Om là tia đối của tia Ox

= 1800 − zOx mà zOx = 1200  zOm = 1800 − 1200 = 600 Ta có: zOm

Bài 119.Cho tam giác ABC có ABC = 550 , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ABD = 300

ƠN

a) Tính độ dài AC , biết AD = 4cm, CD = 3cm

b) Tính số đo của DBC

= 900. Tính số đo ABx c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx

d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau.

Lời giải

QU Y

KÈ

a) D nằm giữa A và C  AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

= b) Tia BD nằm giữa hai tia BA, BC  ABC ABD + DBC

=  DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 250

DẠ

c) Xét hai trường hợp: -

Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB

ABx = 900 − ABD = 900 − 300 = 600 Tính được: 110

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được: ABx = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

FI CI A

d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa;1 nửa mp có bờ BD chứa

điểm C và nửa mp bờ BD chứa điểm A  tia BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A E thuộc đoạn AB  E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

 E , C ở hai nửa mặt phẳng bở BD Suy ra đường thẳng BD cắt đoạn EC Xét đường thẳng CE

Lập luận tương tự ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau.

ƠN

= 700 , gọi tia Ot là tia = 1200 , vẽ tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy sao cho xOz Bài 120.Cho xOy

, gọi tia Om là tia đối của tia Oy. Tính số đo góc mOt phân giác của xOz

Lời giải

QU Y

= 600  xOt = 350 , mOt = 950 Tính được mOx

= 550. Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C sao cho A ≠ B, C ≠ B. Bài 21.Cho xBy

KÈ

Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300 a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm

b) Tính số đo DBC

DẠ

= 900 . Tính số đo c) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz ABz Lời giải

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Vì D thuộc đoạn AC nên D nằm giữa A và C

 AC = AD + CD = 4 + 3 = 7(cm)  AC = 7cm

Ta có đẳng thức : ABC

= ABD + DBC

ƠN

b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA, BC

FI CI A

=  DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 250

c) Xét hai trường hợp (học sinh vẽ hình trong 2 trường hợp)

Trường hơp 1:Tia Bz và BA nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là BD

Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD

− Tính được: ABz = DBz ABD = 900

Trường hợp 2: Tia Bz ' và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD

QU Y

− 300 = 600

Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

+ Tính được: ABz = DBz ABD = 900

+ 300 = 1200

sao cho: Bài 122.Cho góc xOy có số đo bằng 1200. Điểm A nằm trong góc xOy AOy = 750. Điểm B

Lời giải

DẠ

KÈ

mà BOx = 1350. Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng không ? Vì sao ? nằm ngoài góc xOy

112

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6 A x

FI CI A

y O

= 1200 , Vì xOy AOy = 750 , điểm A nằm trong góc xOy nên tia OA nằm giữa hai tia Ox, Oy = xOy − Ta có: xOA AOy = 1200 − 750 = 450

ƠN

Điểm B có thể ở 2 vị trí: B và B’

+ xOA = 1350 + 450 = 1800. Do đó +Tại B thì tia OB nằm ngoài hai tia Ox, OA nên BOx

= BOx + xOA = 1800  3 điểm A, O, B thẳng hàng. BOA

' = 1350 < 1800  ' − xOA = 1350 − 450 = 900. Nên ba điểm A, O, +Còn tại B’ thì: xOB AOB ' = xOB

B ' không thẳng hàng.

. Vẽ Bài 123. Cho tia Oz nằm trong góc vuông xOy. Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phân giác của tOz

QU Y

tia Om sao cho tia Oy là phân giác của zOm

a) Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau

b) Gọi Ox ' là tia đối của tia Ox, biết rằng x ' Om = 300. Tính tOz c) Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox, Oz , Oy, Om, Ox ' và Ot ). Hỏi trong

DẠ

KÈ

hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ? Lời giải y

+ zOy = xOy = 900 a)Tia Oz nằm trong góc xOy nên: xOz

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 1 tOz ; zOy = 1 zOm Theo giả thiết ta có các tia phân giác nên xOz 2 2

1 1 + zOm = 1800 tOz + zOm = 900 ⇔ tOz 2 2

FI CI A

Từ đó suy ra :

; zOm là hai góc kề nhau  tOz = mOx ' = 300 (cùng kề bù với mOx ) b) Chứng minh tOz = xOz = 300  tOz = 600  tOx

hình vẽ có n + 6 tia phân biệt Cứ 1 tia trong n + 6 tia đó tạo với n + 5 thi còn lai thành n + 5 góc

c) Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox, Oy, Oz , Ot Om, Ox '. Tất cả trong

Có n + 6 tia tạo thành ( n + 5)( n + 6 ) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần

( n + 5)( n + 6 ) góc

ƠN

Vậy có tất cả là

Thay = 2014 ta được số góc là: ( 2014 + 6 )( 2014 + 5) : 2 = 2 039190 (góc)

trong các trường hợp sau: Bài 124.Cho 2 góc xOy, xOz , Om là tia phân giác của yOz . Tính xOm

= 1000 ; xOz = 600 a) Góc xOy = α ; xOz = β (α > β ) b) xOy

QU Y

Lời giải

m x

KÈ

a) Xét 2 trường hợp: -

Nếu

hai

tia

Oy,

thuộc

cùng

n ửa

m ặt

phẳng

có

bờ

Ox thì:

Nếu

hai

tia

Oy, Oz thuộc

hai

n ửa

m ặt

DẠ

= 200 , xOm = 800 yOz = 1000 − 600 = 400  zOm

= 800 , xOm = 200 yOz = 1000 + 600 = 1600  zOm

b) Xét 2 trường hợp

114

phẳng

đối

nhau

có

bờ

thì:

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

=α +β - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là Ox thì ta tính được: xOm 2

FI CI A

- Nếu hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox thì:

= α − β nếu α + β ≤ 1800 xOm 2 = 1800 − α − β xOm 2

nếu

α + β > 1800

Bài 125.Cho tam giác ABC có ACB = 600 , AB = 6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D(D khác

A, B ), sao cho AD = 2cm

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD biết b) Tính số đo của DCB ACD = 200

= 900. Tính ACx c) Dựng tia Cx sao cho DCx

ƠN

d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A, C ) . Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau. Lời giải

QU Y

D B

Trường hợp 1

Trường hợp 2

a) D nằm giữa A và B suy ra AD + BD = AB  BD = 6 − 2 = 4cm

KÈ

= = 400 b) Tia CD nằm giữa hai tia CA, CB  ACD + DCB ACB  DCB c) Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phía so với đường thẳng CB Tính được góc ACx = 900 − ACD = 700

- Trường hợp 2: Hai tia CD, Cx nằm về hai phía so với đường thẳng CB

DẠ

Tính được : ACx = 900 + ACD = 1100

Xét đường thẳng CD Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ CD chứa

điểm B và nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A  tia CA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

E thuộc đoạn AC  E thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A

 E và B ở hai nửa mặt phẳng bờ CD  đường thẳng CD cắt đoạn EB Xét đường thẳng BE

FI CI A

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau.

= 1400 ; và tia Oc nằm giữa hai tia Bài 126.Cho 3 tia chung gốc O : Oa, Ob, Oc sao cho aOb

; Oy là phân giác của cOb ; Om là phân giác của aOb Oa, Ob. Vẽ Ox là tia phân giác của aOc

a) Tính số đo xOy = mOy b) Chứng minh: aOx

Lời giải

ƠN

(

QU Y

= xOc + cOy = 1 aOc + cOb = 1 .aOb = 1 .1400 = 700 a ) xOy 2 2 2

)

: aOm = 1 aOb (1) b) Om là phân giác aOb 2

: xOc = 1 aOc Ox là phân giác của aOc 2

KÈ

: cOy = 1 cOb Oy là phân giác cOb 2 = xOc + cOy = 1 aOc + cOb = 1 aOb (2) Do xOy 2 2

(

)

Từ (1) và (2) suy ra:

DẠ

= xOy  aOx + xOm = aOm  mOy + xOm = xOy aOm = mOy  aOx

= 1200 , xOz = 1 xOy . Kẻ tia Om là tia phân giác của xOy . Tính số đo mOz Bài 127.Cho xOy 3 Lời giải 116

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

= 400 Tính xOz

2 trường hợp:

FI CI A

a) Trường hợp 1: 2 tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox

m y

O = 600 Lý luận để tính xOm

ƠN

Chứng minh tia Oz nằm giữa Ox và Oy

= 200 Tính đúng zOm

a) Trường hợp 2: 2 tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox

QU Y

O z

Chỉ được Ox nằm giữa Om và Oz

= 1000 Tính đúng zOm

giác của xMy

KÈ

a) Tính AMy

, Mt là tia phân Bài 128.Cho góc AMC = 600.Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của CMx

DẠ

b) Chứng minh MC ⊥ Mt Lời giải C

y t

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

a) Tia Mx là tia đối của tia MA , AMx là góc bẹt  MC nằm giữa MA và Mx

nên : My nằm giữa hai tia MC , Mx My là tia phân giác của CMx

1 1 = xMy yMC = xMC = .1200 = 600 2 2

FI CI A

= = 1800  CMx = 1200 Nên AMC + CMx AMx hay 600 + CMx

Tia Mx là tia đối của tia MA góc AMx là góc bẹt nên My nằm giữa MA, Mx Nên AMy + yMx = AMx hay 600 + yMx = 1800  yMx = 1800 − 600 = 1200

b)Do My là tia phân giác của góc CMx nên Mx và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ

là tia My. Mt là phân giác của yMx nên Mt nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa tia My. Vậy Mt và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia My hay My nằm giữa MC và Mt nên

+ CMy yMt = CMt

ƠN

(*)

nên: = 1 xMy = 1 .600 = 300 , Lại có tia Mt là phân giác của xMy xMt = tMy 2 2 = 600 + 300 = 900  MC ⊥ Mt Thay vào (*)  CMt

= 1100. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = a cm; điểm B nằm giữa O và A, M Bài 129.Cho xOy là trung điểm OB, N là trung điểm của BA. a) Tính MN

QU Y

= 500. Tính b) Vẽ xOz yOz

Lời giải

KÈ

a) Vì M nằm giữa O và A nên OB + BA = OA M là trung điểm của OB nên MB = MO =

N là trung điểm BA nên NB = NA =

OB 2

BA 2

DẠ

Vì M là trung điểm OB, N là trung điểm BA nên B nằm giữa M và N nên MN = MB + BN =

OB BA OA + BA OA a + = = = 2 2 2 2 2

b) *Nếu Oz nằm cùng phía với Oy bờ Ox ta tính được: yOz = 1100 − 500 = 600 118

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

*Nếu Oz nằm khác phía với Oy bờ Ox ta tính được: yOz = 1100 + 500 = 1600

x 50

FI CI A

Bài 130.Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB

a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng a 0 , vẽ tia OD tạo với tia OC một góc bằng ( a + 10 ) và 0

với tia OB một góc ( a + 20 ) . Tính a

= 480 b) Tính góc xOy , biết AOx = 220 và BOy

ƠN

c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi AOC bằng a 0 Lời giải

Học sinh tự vẽ hình

> COA (a + 10 > a) nên tia OC nằm a)Do OC , OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và COD giữa hai tia OA và OD

+ DOB =  AOC + COD AOB 0

QU Y

 a 0 + ( a + 10 ) + ( a + 20 ) = 1800

 3a + 300 = 1800  a = 500

= 1800 − 480 = 1320  b) Ta có: AOy = 1800 − BOy AOx = 220 Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

= = 1320  xOy = 1100  AOx + xOy AOy  220 + xOy c) Vì tia OC nằm giữa hai tia OA, OD nên:

KÈ

0 = AOC + COD AOD  AOD = a 0 + ( a + 10 ) = 2a + 100 = 2.500 + 100 = 1100

Vì AOx < AOD ( 220 < 1100 ) nên tia Ox nằm giữa hai tia OA, OD

= = 1100  xOD = 1100 − 220 = 880  AOx + xOD AOD  220 + xOD

DẠ

có số đo là: 1800 − 880 = 920 Vậy số đo góc kề bù với góc xOD

= 550. Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A ≠ B, C ≠ B ) . Trên đoạn Bài 131.Cho xBy thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300. a) Tính độ dài AC , biết AD = 4cm, CD = 3cm

HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6

b) Tính số đo DBC

= 900. Tính số đo c) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz ABz

FI CI A

Lời giải

x A

B C

D y

ƠN

z' a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C  AC = AD + CD = 4 + 3 = 7cm

b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức

 DBC = ABC = ABD + DBC ABC − ABD = 550 − 300 = 600 c) Xét hai trường hợp:

- Trường hơp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai

QU Y

tia Bz, BD

- Tính được: ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200

DẠ

KÈ

--------------------------HẾT---------------------

120

FI CI A

CHỦ ĐỀ 1: GÓC, SỐ ĐO GÓC PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Góc * Khái niệm góc:

ƠN

- Góc là hình gồm hai tia chung gốc. y

HH6.CHUYÊN ĐỀ 4-GÓC VÀ CÁC VẪN ĐỀ LIÊN QUAN

- Hai tia chung gốc Ox và Oy tạo nên một góc xOy .

(hoặc + Góc xOy (hoặc góc yOx ) được kí hiệu là xOy yOx )

QU Y

+ Điểm O gọi là đỉnh của góc xOy

+ Hai tia Ox và Oy gọi là hai cạnh của góc xOy . - Khi Ox và Oy là hai tia đối nhau thì góc xOy là một góc bẹt.

KÈ

2. Điểm trong của góc

DẠ

M O

- Điểm M như trong hình vẽ (không thuộc hai tia Ox và Oy ) được gọi là điểm nằm trong góc xOy hay

M là điểm trong của góc xOy . Trang 1

3. Số đo của một góc - Mỗi góc có một số đo (đơn vị là độ). - Góc bẹt có số đo bằng 180° - Hai tia trùng nhau được gọi là góc có số đo 0° . * Chú ý:

- Chúng ta chỉ xét các góc có số đo không vượt quá 180° . 4. So sánh hai góc: y

= n° hoặc - Nếu số đo của góc xOy là n° thì ta kí hiệu xOy yOx = n° .

FI CI A

- Các điểm như điểm N và các điểm nằm trên cạnh của góc xOy không phải là điểm trong của góc xOy .

ƠN

Ta có thể so sánh hai góc dựa vào số đo của chúng

QU Y

- Nếu số đo của góc xOy bằng số đo của góc mIn thì góc xOy bằng góc mIn và được kí hiệu là = mIn . xOy

- Nếu số đo của góc xOy nhỏ hơn số đo của góc uPv thì góc xOy nhỏ hơn góc uPv và được kí hiệu là < uPv xOy

- Nếu số đo của góc uPv lớn hơn số đo của góc mIn thì góc uPv lớn hơn góc mIn và được kí hiệu là

KÈ

> mIn uPv

5. Các góc đặc biệt:

- Góc có số đo bằng 90° là góc vuông.

- Góc có số đo lớn hơn 0° nhưng nhỏ hơn 90° là góc nhọn. - Góc có số đo lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180° là góc tù.

DẠ

- Góc có số đo bằng 180° là góc tù.

Trang 2

L FI CI A OF

PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Nhận biết góc, cạnh, đỉnh của góc, điểm nằm trong góc.

ƠN

I.Phương pháp giải -Dựa vào khái niệm góc để chỉ ra chính xác tên góc, đỉnh, cạnh của góc, điểm nằm bên trong góc. II.Bài toán

Bài 1: Cho hình vẽ

QU Y

a) Hãy gọi tên các góc có đỉnh B trong hình và chỉ rõ các cạnh của góc.

Lời giải:

KÈ

b) Dùng ê ke hoặc thước đo góc kiểm tra và gọi tên góc vuông, góc tù có trong hình vẽ.

; MBN ; MBC ; NBC a) Các góc có đỉnh B trong hình vẽ là ABM ; ABN ; ABC

Góc ABM có hai cạnh là hai tia BA, BM .

DẠ

Góc ABN có hai cạnh là hai tia BA; BN . ABC có hai cạnh là hai tia BA; BC . Góc có hai cạnh là hai tia BM; BN . Góc MBN

Trang 3

có hai cạnh là hai tia BM ; BC . Góc MBC

FI CI A

có hai cạnh là hai tia BN ; BC . Góc NBC b) Góc vuông trong hình vẽ là BMC . Góc tù trong hình vẽ là BNC

Bài 2: Vẽ hai đường thẳng xx ' và yy ' cắt nhau tại điểm M sao cho góc xMy có số đo bằng 60° .

a) Kể tên tất cả 8 góc có đỉnh M hoặc N , không kể các góc bẹt.

Trên tia My ' lấy một điểm N khác M rồi vẽ đường thẳng aa ' đi qua N và song song với xx ' .

ƠN

b) Dùng thước đo góc để đo 8 góc đã nêu trong câu a rồi sắp chúng thành hai nhóm, mỗi nhóm gồm các góc bằng nhau. Lời giải:

QU Y

60°

; x '; x a) Các góc có đỉnh M là xMy ' My '; xMy ' My ' .

KÈ

b) Ta có :

; a Các góc có đỉnh N là : a ' Ny '; aNy ' Ny; aNy

= aNy = x xMy ' My ' = a ' Ny ' = 60°

' = a'N y = aNy ' = 120° x ' My = xMy

DẠ

Bài 3. Quan sát hình vẽ rồi điền vào các ô còn thiếu bảng sau các góc có trong hình vẽ

Trang 4

(cách viết thông thường) Góc BAC

Tên cạnh

đỉnh

, CAB , A ɵ BAC

AB, AC

, BCA ACB

BA, BM

MA, MC

Góc MCB Góc BMC

ƠN

Lời giải:

Tên góc (cách viết thông thường)

Tên đỉnh

Tên cạnh

, CAB BAC

AB, AC

, BCA ACB

CA, CB

MBA

BA, BM

Góc AMC , Góc CMA

AMC , CMA

MA, MC

Góc MCB

, MCB BCM

CM , CB

BMC

MC, MB

Kí hiệu

Góc BAC , góc CAB

Góc ABM

Góc BMC

QU Y

Góc ACB , góc BCA

DẠ

KÈ

Bài 4. Cho hình vẽ sau

M x

a) Kể tên các góc trong hình vẽ. Trang 5

Tên

Kí hiệu

FI CI A

Tên góc

b) Điểm M nằm trong các góc nào

FI CI A

Lời giải: z t

M O

ƠN

, xOt , xOy , zOy , zOt , tOy a) Các góc có trong hình vẽ là: xOz

b) Nối O với M , dựng đường thẳng đi qua M ta có

do điểm M luôn nằm trong góc bẹt Điểm M nằm trong xOy , tOy do M nằm giữa A và C , M nằm giữa B và C Điểm M nằm trong zOy a

QU Y

Bài 5. Cho hình vẽ sau:

a) Nêu tên các góc đỉnh B trong hình? Trong các góc đó góc nào là góc bẹt? b) Kể tên các góc đỉnh A mà điểm C nằm trong. c) Kể tên bốn cặp góc có chung cạnh.

KÈ

Lời giải:

, ABa , zBb , tBb , aBb , aBt a) Các góc đỉnh B : ABt

, b) Các góc đỉnh A mà điểm C nằm trong các góc đó là yAB , zAB yAx

DẠ

và yAB và tBb ; BAy ; zAy ; aBt và BAx và yAt c) 4 cặp góc chung cạnh: xAB

Dạng 2: So sánh, tính tổng các góc I.Phương pháp giải -Dựa vào số đo góc để so sánh và tính tổng của các góc theo yêu cầu bài toán. Trang 6

II.Bài toán

FI CI A

Bài 1: Cho hình vẽ sau

ƠN

. b) Tính tổng số đo ba góc ABC; ACB; BAC

QU Y

Lời giải:

của tam giác ABC rồi sắp xếp các góc đó theo thứ tự từ lớn đến bé. ABC; ACB; BAC a) Đo các góc

= 73° a) ABC = 67°; ACB = 40°; BAC

; Sắp xếp các góc đó theo thứ tự từ lớn đến bé: BAC ABC ; ACB.

= 73° b) Có ABC = 67°; ACB = 40°; BAC

= 67° + 40° + 73° = 180° Nên ABC + ACB + BAC

KÈ

Bài 2: Cho hình bên

= 30°, EDC = 20° Biết ABCD là hình vuông, BAE

, EAD , EDA , EAx , EDy Tính rồi so sánh các góc sau: xAD

DẠ

y D

Lời giải:

= ADC = 90° ABCD là hình vuông  BAD Trang 7

+ BAD = xAB Có xAD

FI CI A

 xAD = 180° − 90° = 90° + EAD = BAD Có BAE

= 90° − 30° = 60°  EAD

+ Có BAE xAE = BAx = 180° − 30° = 150°  xAE = 70°, EDy = 160° Tương tự có EDA

ƠN

< EDA < < EDy Vậy ta có EAD xAD < EAx

Bài 3: Cho hình vẽ :

a) Đo và tính tổng số đo các góc của hình thoi OBCD . b) Đo và tính tổng số đo các góc của tam giác AHB .

Lời giải:

QU Y

= 60° ; a) Số đo các góc của hình thoi OBCD là CBO = 120° ; ODC = 60° ; DCB = 120° . BOD

D O

Tổng số đo các góc của hình thoi OBCD là: 60° + 120° + 60° + 120° = 360° . = 60° ; = 90° . b) Số đo các góc của tam giác AHB là BAH ABH = 30° ; BHA Tổng số đo các góc của tam giác AHB là 60° + 30° + 90° = 180° .

Dạng 3: Nhận biết các góc đặc biệt (góc vuông, góc nhọn, góc tù, góc bẹt)

KÈ

I.Phương pháp giải * Dựa vào khái niệm góc vuông, góc nhọn, góc tù, góc bẹt: - Góc có số đo bằng 90° là góc vuông. - Góc có số đo lớn hơn 0° nhưng nhỏ hơn 90° là góc nhọn.

- Góc có số đo lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180° là góc tù.

DẠ

- Góc có số đo bằng 180° là góc tù.

II.Bài toán

Bài 1: Đo các góc có trong hình vẽ sau và chỉ ra các góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt

Trang 8

n z

y O

FI CI A

Lời giải: Đo các góc ta được

ƠN

= xOm = mOy = 90° nên là góc vuông zOn = mOn = 50°, zOm = nOy = 40° nên là góc nhọn Các góc zOx

= 140°, zOy = 130° nên là góc tù Góc xOn = 180° là góc bẹt Góc xOy

Bài 2:

QU Y

, là góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc Cho hình vẽ, dựa vào tính toán em hãy xem các góc CAD ABD, xBA

bẹt

50°

Lời giải:

KÈ

60°

50°

= CAB + DAB = 60° + 50° = 110° > 90° . Vậy ta có CAD là góc tù Có CAD

DẠ

= 90° . Ta có Góc CBD + DBA = DBC CBA = 90° − 50° = 40° < 90°  DBA Trang 9

là góc nhọn. Vậy DBA

FI CI A

+ = 180° ABx = CBx Có CBA

 ABx = 180° − 50° = 130° Nên ABx à góc tù.

bẹt.

ƠN

QU Y

Lời giải:

Bài 3: Trong hình vẽ sau, cho tam giác DEG đều, Ex là tia đối tia ED và góc yED bằng 110° , góc HEx , bằng 160° .Dựa vào tính toán, em hãy xem các góc G Ex, xEy yEH là góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc

= 60° Ta có tam giác DEG đều nên GED

xED = 180° Ex là tia đối tia ED nên

+ Có xEy yED = xED

= 180° − 110° = 70° < 90° nên xEy là góc nhọn.  xEy

KÈ

+ GED = xED Có xEG

= 180° − 60° = 120° > 90° nên xEG là góc tù.  xEG

+ Có xEy yEH = xEH

DẠ

 yEH = 160° − 70° = 90° nên yEH là góc vuông.

PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG. Bài 1: Quan sát hình vẽ rồi điền vào bảng sau các góc có trong hình vẽ: Trang 10

Tên đỉnh

Kí hiệu

Tên cạnh

FI CI A

Tên góc (cách viết thông thường)

ƠN

1 2 O

Kí hiệu

Tên đỉnh

Tên cạnh

, zOx ,O xOz 1

Ox, Oz

, O yOz , zOy 2

Oy, Oz

, xOy yOx

Ox, Oy

Kí hiệu

Tên đỉnh

Tên cạnh

, bQa aQb

Qa, Qb

QU Y

Tên góc (cách viết thông thường) góc xOz, góc zOx, góc O1 góc yOz, góc zOy, góc O2 góc xOy,

Lời giải

KÈ

góc yOx

DẠ

Tên góc (cách viết thông thường) góc aQb, góc bQa

Trang 11

, bDc cDb

Db, Dc

FI CI A

góc cDb, góc bD c

Bài 2: Hãy kể tên các góc có chung đỉnh P và các góc bẹt trong hình vẽ dưới đây: P

ƠN

Lời giải

QU Y

, NPE , NPQ , HPK , HPE , HPQ , KPE , KPQ , E - Các góc có chung đỉnh P là: N P H , NPK PQ . , MEQ . - Các góc bẹt là: N H K , HKM

Bài 3:

a) Có bao nhiêu góc tạo thành từ 2 0 tia chung gốc?

KÈ

b) Có bao nhiêu góc tạo thành từ 10 tia chung gốc?

Lời giải

a) Số góc tạo thành từ 2 0 tia chung gốc là:

DẠ

b) Số góc tạo thành từ 10 tia chung gốc là:

20 ( 20 −1) = 190 (góc). 2

10 (10 −1) = 45 (góc). 2

Bài 4: Cho 15 đường thẳng cùng cắt nhau tại một điểm. Chúng tạo thành bao nhiêu góc? Lời giải

Trang 12

30 ( 30 −1) = 435 (góc). 2

FI CI A

Số góc tạo thành từ 3 0 tia chung gốc là:

Bài 5: a) Vẽ n tia chung gốc, chúng tạo ra 190 góc. Tìm giá trị của n .

b) Vẽ m tia chung gốc, chúng tạo ra 4 5 góc. Tìm giá trị của m .

Lời giải n (n -1) = 190 2

ƠN

a) Ta có:

 n ( n − 1) = 380

 n ( n − 1 ) = 20 ⋅ 19  n = 20

m(m -1) = 45 2

 m ( m − 1) = 90  m ( m − 1 ) = 10 ⋅ 9

 m = 10

QU Y

Vậy vẽ 2 0 tia chung gốc sẽ tạo thành 190 góc. b) Ta có:

Vậy vẽ 10 tia chung gốc sẽ tạo thành 4 5 góc.

KÈ

Bài 6: Hãy cho biết hình dưới đây có tất cả bao nhiêu góc:

DẠ

O D

Lời giải Trang 13

- Từ 15 đường thẳng cùng cắt nhau tại một điểm sẽ tạo thành 3 0 tia chung gốc.

3⋅2 = 3 góc. 2

- Tại đỉnh C có tất cả 3 tia nên có

3⋅2 = 3 góc. 2

- Tại đỉnh D có tất cả 3 tia nên có

3⋅2 = 3 góc. 2

- Tại đỉnh O có tất cả 4 tia nên có

4 ⋅3 = 6 góc. 2

ƠN

Vậy có tất cả 3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 18 góc.

- Tại đỉnh B có tất cả 3 tia nên có

FI CI A

3⋅2 = 3 góc. 2

- Tại đỉnh A có tất cả 3 tia nên có

Bài 7: Trên tia O x lấy hai điểm A, B sao cho O A < O B . Điểm M nằm ngoài đường thẳng AB . Vẽ tia

MO, MA, M B .

a) Hỏi điểm A có nằm bên trong góc O M B hay không? Vì sao?

QU Y

b) Lấy điểm E thuộc tia đối của tia O x . Vẽ tia M E . Hỏi điểm E có nằm bên trong góc O M B hay không? Vì sao?

Lời giải

KÈ

a) Vì 3 điểm O , A, B cùng nằm trên tia O x và O A < O B nên điểm A nằm giữa O và B Vậy điểm A có nằm trong góc O M B .

b) Vì điểm E thuộc tia đối của tia O x nên điểm E nằm khác phía với điểm B đối với điểm O

DẠ

Do đó điểm E không nằm giữa O và B Vậy điểm E không nằm bên trong góc O M B

Bài 8: Vẽ ba đường thẳng cắt nhau tại ba điểm A, B , C . Lấy một điểm O nằm trong góc A B C và nằm trong góc A C B . Hãy chứng tỏ rằng điểm O cũng nằm trong góc B A C . Trang 14

O C

FI CI A

Lời giải

- Vì điểm O nằm trong góc A C B nên tia CO cắt tia AB tại điểm E nằm giữa A và B .

ƠN

- Ta có điểm E thuộc cạnh BA, điểm C thuộc cạnh BC của góc A B C Mà điểm O nằm trong góc A B C nên tia OB cắt tia CE tại điểm O nằm giữa E và C .

- Ta có điểm E thuộc cạnh AB, điểm C thuộc cạnh A C của góc B A C Mà tia A O cắt tia CE tại điểm O nằm giữa E và C Nên điểm O nằm trong góc B A C .

QU Y

Vậy điểm O nằm trong cả ba góc ABC, ACB, B A C .

Bài 9: Cho góc xOy khác góc bẹt, tia O z nằm trong góc đó, tia O t nằm trong góc xOz . Chứng tỏ rằng: a) Tia O t nằm trong góc xOy ;

Lời giải

DẠ

KÈ

b) Tia O z nằm trong góc yOt .

Trang 15

FI CI A

x z

ƠN

a) Lấy M ∈Ox, K ∈ Oy

Vì tia O z nằm trong góc xOy nên tia O z cắt đường thẳng M K tại điểm H và H nằm giữa 2 điểm M, K.

Vì tia O t nằm trong góc xO z nên tia O t cắt đường thẳng MH tại điểm N và N nằm giữa 2 điểm M, H. Ta có H nằm giữa 2 điểm M, K và N nằm giữa 2 điểm M, H nên N nằm giữa 2 điểm M, K

QU Y

Mà N ∈ Ot , M ∈Ox, K ∈ Oy

Do đó tia O t nằm trong góc xOy .

b) Vì N nằm giữa 2 điểm M, H nên N và M nằm cùng phía đối với điểm H (1 )

Vì H nằm giữa 2 điểm M, K nên M và K nằm khác phía đối với điểm H ( 2 )

KÈ

Từ (1 ) , ( 2 ) suy ra N và K nằm khác phía đối với điểm H hay H nằm giữa N , K Mà H ∈Oz, N ∈ Ot , K ∈ Oy

Do đó tia O z nằm trong góc yOt

DẠ

= 30 0 . Tính số đo góc y = 60 0 và xOz Bài 10. Vẽ ba tia O x , Oy , O z biết xO yOz

Lời giải.

Bài toán có hai trường hợp

Trang 16

FI CI A

TH1: Tia O x ; Oy và O z thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia O x

Ta có

ƠN

+ xOz yOz = xOy 30 0 + yOz = 60 0 yOz = 60 0 − 30 0 = 30 0

QU Y

TH2: Tia O x ; Oy và O z không thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia O x

Ta có

+ xOz = xOy yOz  60 0 + 30 0 = 90 0 = yOz

KÈ

> xO y ; m y = 29 0 ; Bài 11. Cho các góc xOy , m In , pAq biết: mIn In < pAq ; xO pAq = 32 0 . Tìm số đo góc m In biết số đo góc ấy là số tự nhiên lẻ.

Lời giải

Ta có số đo góc mIn là số tự nhiên lẻ

> xOy ; xOy = 29 0 nên số đo góc mIn có thể là 310; 330; 350;… Do mIn

DẠ

< Và do mIn pAq ; pAq = 32 0 nên số đo góc mIn có thể là 310; 290; 270;…

= 310 Suy ra mIn

Trang 17

FI CI A

Bài 12. Cho 5 điểm A, B, C, D, E theo thứ tự đó trên đường thẳng a và điểm O nằm ngoài đường thẳng = 5 BOC và DOE − ; 5COD = 4 BOC ; 6 DOE a sao cho: 4 AOB = 50 . Tính số đo các góc AOB = 3 BOC AO B ; BO C;C OD ; D OE

Lời giải. − Vì DOE AOB = 5

(

)

− Nên 12 DOE AOB = 60 0

− 12 AOB = 600 Hay 12 DOE nên 12 Vì 4 AOB = 3BOC AOB = 9 BOC

ƠN

= 5 BOC nên 12 DOE = 10 BOC 6 DOE − 12 − 9 BOC  12 DOE AOB = 10 BOC − 12 12 DOE AOB = BOC

= 60 0 Vậy BOC

AOB = 3.600 : 4 = 450 = 4.600 : 5 = 480 COD = 50 + 450 = 500 DOE

QU Y

Do đó:

DẠ

KÈ

Bài 13. Bạn Ngọc mua chiếc đồng hồ hình tam giác. Hãy đo và cho biết số đo các góc hình tam giác và góc tạo bởi kim giờ và kim phút của đồng hồ như hình vẽ?

Lời giải

Các góc hình tam giác bằng nhau và bằng 60°

Góc tạo bởi kim giờ và kim phút của đồng hồ là 115° Trang 18

Lời giải

ƠN

Bạn Sang đúng, bạn Giàu sai.

FI CI A

Bài 14. Giờ học toán, thầy giáo vẽ góc AOB lên bảng (như hình bên), rồi gọi hai bạn Sang và Giàu lần lượt đo. Bạn Sang đọc được số đo 75° , bạn Giàu đọc được số đo 105° . Em hãy giải thích vì sao. Biết rằng cả hai bạn đều đặt thước đúng.

Bạn Sang thấy tia OA trùng với vạch 0° của thước và tia OB trùng với vạch đo 75° của thước.

Bạn Giàu thấy tia OA trùng với vạch đo 180° và tia OB trùng với vạch đo 105° của thước.

KÈ

QU Y

, , CMB , BMA , MCD và MDC trong hình vẽ AMD , BCM Bài 15. Hãy đo rồi so sánh các góc CMD sau, biết rằng ABCD là hình vuông và MA = MB = AB.

Lời giải

= 150° , CMB = 75° , BMA = 60° , = 75° , MCD = 15° , MDC = 15° CMD AMD = 75° , BCM

DẠ

> CMB =  CMD AMD = > BMA > MCD = MDC = BCM

Bài 16. Ta có thể xem kim phút và kim giờ của đồng hồ là hai tia chung gốc (Gốc trùng với trục quay của hai kim). Tại mỗi thời điểm hai kim tạo thành một góc. Tìm số đo của góc đó lúc 2 giờ, 3 giờ, 5 giờ, 10 giờ. Trang 19

Lời giải

FI CI A

Vào lúc 6 giờ đúng, kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 6 , kim giờ và kim phút thẳng hàng với nhau, chúng tạo thành góc 180° . Do góc giữa hai số liền nhau 180° : 6 = 30° Lúc 2 giờ đúng kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 2 góc giữa hai kim là: 30°.2 = 60° Lúc 3 giờ đúng kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 3 góc giữa hai kim là: 30°.3 = 90°

Lúc 5 giờ đúng kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 5 góc giữa hai kim là: 30°.5 = 150°

Lúc 10 giờ đúng kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 10 góc giữa hai kim là: 30°.2 = 60°

Bài 17. Hỏi lúc mấy giờ đúng thì kim phút và kim giờ của đồng hồ tạo thành góc 0°;60°;90°;150°;180° .

ƠN

Lời giải:

- Kim phút và kim giờ tạo thành một góc bằng 0° khi 2 kim đó trùng nhau. Lúc đó là 12 giờ.

- Kim phút và kim giờ tạo thành một góc bằng 60° khi kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 2 hoặc số 10 . Lúc đó là 10 giờ hoặc 2 giờ. - Kim phút và kim giờ tạo thành một góc bằng 90° khi kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 3 hoặc số 9 . Lúc đó là 3 giờ hoặc 9 giờ.

QU Y

- Kim phút và kim giờ tạo thành một góc bằng 150° khi kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 5 hoặc số 7 . Lúc đó là 5 giờ hoặc 7 giờ. - Kim phút và kim giờ tạo thành một góc bằng 180° khi kim phút chỉ số 12 và kim giờ chỉ số 6 . Lúc đó 6 giờ.

DẠ

KÈ

 HẾT 

Trang 20