66 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2021 SOẠN THEO HƯỚNG MINH HỌA BGD (PHẦN 4) by DẠY KÈM QUY NHƠN OLYMPIC

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT KHỐI 12 MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

66 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2021 SOẠN THEO HƯỚNG MINH HỌA BGD (GIẢI CHI TIẾT) WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Ma trận đề minh họa 2021 môn Toán

3 , 30

Cực trị của HS 4, 5,39,46 Đạo hàm và ứng dụng

Min, Max của hàm số

Đường tiệm cận

2 1

18,20,34,42,49

Phép toàn

KÈ DẠ Y

3 2

5 1

PT bậc hai theo hệ số thực

Khối đa diện

ƠN 1

Định nghĩa và tính chất

Nguyên hàm

14, 15

Tích phân

16,17,33,41

Nguyên Hàm Ứng dụng TP - Tích Phân tính diện tích

4 1

Số phức

32,40

BPT Mũ Logarit

12, 13, 47

Logarit

9, 11

HS Mũ Hàm số mũ - Logarit Logarit PT Mũ -

Khảo sát và vẽ 7,8 đồ thị Lũy thừa - mũ - Logarit

Đơn điệu của HS

Dạng bài

Tổng Tổng dạng Chương NB TH VD VDC bài Mức độ

OF FI

Lớp Chương

Trích dẫn đề Minh Họa

44, 48

2 2 1

4 1

Ứng dụng TP tính thể tích

Đa diện lồi Đa diện đều

0 1

21, 22, 43

Khối nón

Khối trụ

Phương pháp tạo độ

Phương trình mặt cầu

26, 37, 50

Phương trình mặt phẳng

Phương trình đường thẳng

28, 38, 45

1 1

Hình học không gian

Góc

Khoảng cách

OF FI

ƠN 1

1 1

KÈ DẠ Y

Tổng

Xác suất

Tổ hợp - xác suất Cấp số cộng ( cấp số nhân)

Hoán vị Chỉnh hợp - Tổ 1 hợp

Khối cầu

Giải tích trong không gian

Khối tròn xoay

Thể tích khối đa diện

ĐỀ NÂNG CAO SỐ 57 (NÂNG CAO) – SANG

cộng. A. 185 . B. 255 . C. 480 . Câu 3. [ Mức độ 1] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới.

OF FI

D. 250 .

Câu 1. [ Mức độ 1] Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 5 học sinh theo hàng ngang? A. 20 . B. 10 . C. 5 . D. 120 . Câu 2. [ Mức độ 1] Cho cấp số cộng  un  có u1  3 và công sai d  5 . Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số

ƠN

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.  2;   . B.  3;1 . C.  0; 2  . D.  ; 2  . Câu 4. [ Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới y

-1

-2

Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x = -1 . B. x = 1 . C. x = 2 . Câu 5. [ Mức độ 2] Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau -2

∞

x f '( x)

D. x = -2 .

3 +

+∞

KÈ

Hàm số f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? C. 3 . 3x +1 Câu 6. [ Mức độ 2] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là 1- x A. y = 1 . B. y = -1 . C. y = 3 . B. 2 .

DẠ Y

A. 1 .

D. 4 .

D. y = -3 .

Câu 7. [ Mức độ 1] Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong sau ?

AL CI

B. y   x 3  3 x 2  1 . C. y  x3  3 x  1 . D. y  x 3  3 x 2  1 . x2 Câu 8. [ Mức độ 1] Đồ thị hàm số y  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x2 A. 0 . B.  1 . C. 2 . D. 2 .  a3  Câu 9. [ Mức độ 2] Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log a  x, log b  y . Tính P  log  5  . b 

x3 . B. P  x3  y 5 . C. 15xy . 5 y Câu 10. [ Mức độ 1] Đạo hàm của hàm số y  a x (a  0, a  1) là A. P 

B. y  a x .

C. y 

Câu 11. [ Mức độ 1] Với a là số thực dương tùy ý, 2

ax . ln a

D. y  x.a x 1 .

a 2 bằng

C. a 6 .

B. a 2 .

D. a 6 .

A. a 3 .

D. 3x  5 y .

ƠN

A. y  a x .ln a .

OF FI

A. y  x3  3 x  1 .

Câu 12. [ Mức độ 1] Nghiệm của phương trình 34 x 2  81 là 1 3 1 A. x  . B. x  . C. x   . 2 2 2

D. x  

3 . 2

27 . 2

B. x 

81 . 2

C. x  32 .

A. x 

Câu 13. [ Mức độ 1] Nghiệm của phương trình log 3  2 x   4 D. x  3 .

Câu 14. [ Mức độ 1] Cho hàm số f  x   2 x 2  3 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

 f  x  dx  3 x

 3x  C .

 3x  C .

 f  x  dx  3 x

3C . C .

 f  x  dx  3cos 3x  C .



1 f  x  dx   cos 3 x  C . 3

DẠ Y

KÈ

Câu 15. [ Mức độ 1] Cho hàm số f  x   sin 3 x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 16. [Mức độ 1] Nếu

 f  x  dx  3 cos 3x  C .

 f  x  dx  3cos 3x  C .

 f  x  dx  5 và  g  x  dx  3 thì   f  x   3g  x  dx bằng B. 4 .

A. 14 .

C. 8 .

 4

Câu 17. [Mức độ 1] Tích phân  cos xdx bằng 0

D. 2 .

2 1 . 2

2 . 2

C. 

2 . 2

D. 1 

Câu 18. [Mức độ 1] Cho số phức z  4  3i . Môđun của số phức z bằng A. 5 . B. 25 . C. 7 . D. 1 . Câu 19. [Mức độ 1] Cho số phức z  1  2i . Phần ảo của số phức liên hợp với z là A. 2 . B. 2i . C. 2i . D.  2 . Câu 20. [Mức độ 1] Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  i . Trên mặt phẳng tọa độ, giả sử A là điểm biểu diễn của số phức z1 , B là điểm biểu diễn của số phức z2 . Gọi I là trung điểm AB . Khi đó, I biểu diễn cho số phức

3 i. 2

3 2

C. z3    2i .

D. z3  3  2i .

OF FI

B. z3 

A. z3  3  2i .

A. 20 cm 2 .

B. 40 cm 2 .

ƠN

Câu 21. [Mức độ 1] Một hình nón có diện tích đáy bằng 16 (đvdt) có chiều cao h  3 . Thể tích hình nón bằng 16 16  (đvtt). A. 16 (đvtt). B. (đvtt). C. D. 8 (đvtt). 3 3 Câu 22. [ Mức độ 1] Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh a  3 bằng A. 27 . B. 9 . C. 6 . D. 16 . Câu 23. [ Mức độ 1] Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là: 1 1 A. V   rh . B. V   r 2 h . C. V   rh . D. V   r 2 h . 3 3 Câu 24. [ Mức độ 1] Một hình nón có bán kính đáy r  4 cm và độ dài đường sinh l  5 cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng D. 10 cm 2 .

C. 80 cm 2 .

Câu 25. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz cho ABC , biết A 1;  4; 2  , B  2;1;  3 , C  3;0;  2  . Trọng tâm G của ABC có tọa độ là

B. G  0;  1;  1 .

C. G  6;  3;  3 .

A. G  0;  3;  3 .

D. G  2;  1;  1 .

Câu 26. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  :  x  2    y  4    z  6   25 có tọa độ tâm I

là A. I  2;  4;6  .

B. I  2; 4;  6  .

C. I 1;  2;3 .

D. I  1; 2;  3 .

Câu 27. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   :3 x  2 y  z  11  0 . Điểm nào sau đây

thuộc mặt phẳng   ?

B. M  2;  3;  1 .

C. P  0;  5;  1 .

KÈ

A. N  4;  1;1 .

D. Q  2;3;11 .

Câu 28. [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;1 và B  0; 2;1   A. u1  1; 4;0  . B. u2   4; 2;1 .

 C. u3   2; 2;1 .

 D. u4  1; 4;0  .

DẠ Y

Câu 29. [ Mức độ 2] Chọn ngẫu nhiên hai số bất kì trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là số lẻ? 7 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 18 18 9 9 3 2 Câu 30. [ Mức độ 2] Cho hàm số y  x  3mx   m  2  x  3m  1 . Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên  là A. 2 . B. 1 .

C. 1. 5

D. 2 .

Câu 31. [Mức độ 2] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x3  9 x  2 trên đoạn  1; 2 . Tính giá trị biểu thức P  M  m . C. 8  6 3 .

B. 2 .

Câu 32. [Mức độ 2] Tập nghiệm của bất phương trình log 3  2 x 2  7 x   2 là

9  B. T   ;    1;    2   9  D. T    ;1 .  2 

 5  3 f  x  dx  3 thì

1

A. 5

 f  x  dx

bằng

1

B. 4

C. 6 .

OF FI

Câu 33. [Mức độ 2] Nếu

7  A. T   ;    1;    2   9 7  C. T   ;    0;1 . 2 2 

D. 8  6 3 .

A. 18 .

D. 3 .

bằng A.

3 .

Câu 36. [Mức độ 2]

15 . 5

D. 1.

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng

3a . 2

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) bằng A.

ƠN

Câu 34. [Mức độ 2] Cho số phức z  3  2i . Phần thực của số phức w  iz  z là A. i . B. 1. C. 1 . D. 4 . Câu 35. [Mức độ 2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tan góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD 

B. a .

3a .

D. 2a .

Câu 37. [Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I  2;  3;1 và đi qua điểm A  6;1;3 có phương trình là

B. x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .

C. x 2  y 2  z 2  12 x  2 y  6 z  10  0 .

D. x 2  y 2  z 2  12 x  2 y  6 z  10  0 .

A. x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .

Câu 38. [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua A  1;1;3 và vuông góc với mặt phẳng có phương trình tham số là

 P  : 6 x  3 y  2 z  18  0

DẠ Y

KÈ

 x  1  6t  x  1  6t x  6  t  x  6  t     A.  y  1  3t . B.  y  1  3t . C.  y  3  t . D.  y  3  t .  z  3  2t  z  3  2t  z  2  3t  z  2  3t     Câu 39. [Mức độ 2] Cho hàm số f  x , đồ thị của hàm số y  f   x  là đường cong trong hình bên dưới

 

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số g  x  f x2  2x2 trên đoạn   1; 2  lần lượt là 6

A. f  0 và f  4   8 .

B. f  0  và f   1  2

C. f  4  8 và f 1  2 .

D. f 16  32 và f   1  2 .

Câu 40. [Mức độ 3] Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên  x ; y  thoả

9y  x mãn 0  x  m và log 3  3 x  6   2 y  . 2 A. m  310  2 . B. m  35  2 . C. m  315  2 .

D. m  320  2 .

OF FI

3 x 2  6 x khi x  2 e2 f (ln 2 x)  dx bằng Câu 41. [ Mức độ 3] Cho hàm số f  x    2 . Tích phân I   x ln x khi x  2 e   2x  5 1 1 1 1 A. 15  ln 6 . B. 15  ln 6 . C. 15  ln 6 . D. 15  ln 6 . 2 5 5 2

1   Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z | 2021 và  z  2021i   z   là số thuần ảo? 2021   A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 4.

Câu 43. [ Mức độ 3] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA   ABC  . Mặt phẳng  SBC 

ƠN

cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng  ABC  một góc 30 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng

3a 3 8a 3 8a 3 4a 3 . B. . C. . D. . 12 9 3 9 Câu 44. [ Mức độ 3] Mặt tiền nhà ông An có chiều ngang AB  4m , ông An muốn thiết kế lan can nhô ra có

dạng là một phần của đường tròn  C  (hình vẽ). Vì phía trước vướng cây tại vị trí F nên để an toàn,

  600 và ông An cho xây đường cong cách 1m tính từ trung điểm D của AB . Biết AF  2m , DAF

lan can cao 1m làm bằng inox với giá 2, 2 triệu/m2. Tính số tiền ông An phải trả (làm tròn đến hàng ngàn).

1m E

A. 7,568,000 .

(C)

B. 10, 405,000 .

C. 9,977,000 .

KÈ

Câu 45. [ Mức độ 3] Trong không gian, cho mặt phẳng

D. 8,124,000 .

P : x  3y  2z  2  0

và đường thẳng

x 1 y 1 z  4   . Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A 1; 2 ; 1 , cắt mặt phẳng  P  và 2 1 1 đường thẳng d lần lượt tại B và C sao cho C là trung điểm AB là  x  1  18t  x  17  18t  x  1  18t  x  17  18t     A.  y  2  3t . B.  y  5  3t . C.  y  2  3t . D.  y  5  3t .  z  1  t z  t  z  1  t z   t    

DẠ Y

Câu 46. [ Mức độ 4] Cho hàm số f  x  biết hàm số y  f ( x) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ.

1  Đặt g ( x)  2 f  x 2   f   x 2  6  , biết rằng g (0)  0 và g  2   0 . Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 

A. 3 . Câu

47.

B. 5 .

[

Mức

độ

OF FI

y  g  x .

C. 7 .

Có

bao

nhiêu

số

D. 6 .

nguyên

log a log  log 3 x   3  log a  log 3 x  3   có nghiệm x  81 .

 a  3

để

phương

trình

ƠN

A. 12 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Câu 48. [ Mức độ 4] Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số

f  x  đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  2 ; f  x1   f  x2   0 và

 x  x1 

x  x1

f  x  2

5  f  x  dx  4 .

Tính L  lim

x1 1

A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Câu 49. [ Mức độ 4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  2 và z1  z2  10 . Tìm giá trị lớn nhất của





A. 6 .

KÈ

P   2 z1  z2  1  3i  1  3i C. 18 .

B. 10 .

D. 34 .

Câu 50. [Mức độ 3] Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;3;0  , B  0; 3;0  . Mặt cầu  S  nhận AB là đường kính. Hình trụ  H  là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có

DẠ Y

thể tích lớn nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây? A.





3;0;0 .





3; 3;0 .





3; 2;1 .





3; 2; 3 .

Câu 2.

3.A 13.B 23.B 33.B 43.A

4.A 14.A 24.A 34.C 44.C

8.C 18.A 28.A 38.A 48.C

9.D 19.A 29.C 39.A 49.B

B. 255 .

C. 480 . Lời giải

D. 250 .

10.9 d  255 . 2 [ Mức độ 1] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới.

ƠN

Ta có S10  10u1 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.  2;   . B.   3;1 . C.  0; 2  . D.   ; 2  . Lời giải Từ đồ thị hàm số ta có hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  2;   . [ Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

DẠ Y

KÈ

Câu 4.

y 2

-1

-2

Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. x = -1 . B. x = 1 .

Câu 5.

10.A 20.B 30.C 40.A 50.B

LỜI GIẢI CHI TIẾT [ Mức độ 1] Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 5 học sinh theo hàng ngang? A. 20 . B. 10 . C. 5 . D. 120 . Lời giải Sắp xếp thứ tự 5 học sinh theo hàng ngang có 5!  120 cách. [ Mức độ 1] Cho cấp số cộng  u n  có u1  3 và công sai d  5 . Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng. A. 185 .

Câu 3.

7.D 17.B 27.B 37.B 47.B

OF FI

Câu 1.

2.B 12.B 22.A 32.C 42.C

1.D 11.A 21.A 31.D 41.B

BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.D 15.C 16.A 25.D 26.A 35.B 36.C 45.D 46.C

C. x = 2 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -1 . [ Mức độ 2] Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau 9

D. x = -2 .

-2

∞

f '( x)

3 +

+∞

Hàm số f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

C. 3 . D. 4 . Lời giải Dựa vào bảng xét dấu f ¢ ( x ) ta thấy f ¢ ( x ) đổi dấu 4 lần khi đi qua các giá trị -2,1, 2,3 nên hàm số f ( x ) có 4 cực trị.

Câu 6.

3x +1 là 1- x C. y = 3 .

[ Mức độ 2] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = A. y = 1 .

B. y = -1 .

Lời giải

B. 2 .

OF FI

A. 1 .

D. y = -3 .

ƠN

1 3+ 3x +1 x = -3 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là = lim Ta có: lim y = lim x®±¥ x®±¥ 1- x x®±¥ 1 -1 x đường thẳng y = -3 .

A. y  x3  3x  1 .

Câu 7. [ Mức độ 1] Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong sau ?

C. y  x3  3x  1 . D. y  x 3  3 x 2  1 . Lời giải + Từ đồ thị ta thấy, đây là đồ thị hàm bậc ba với hệ số a  0  loại B B. y   x 3  3 x 2  1 .

+ Đồ thị đi qua điểm A  2; 3 nên chọn đáp án D.

x2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x2 B.  1 . C. 2 . D. 2 . Lời giải

A. 0 .

KÈ

Câu 8. [ Mức độ 1] Đồ thị hàm số y 

Cho y  0 suy ra x  2 . Chọn đáp án C.

DẠ Y

 a3  Câu 9. [ Mức độ 2] Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log a  x, log b  y . Tính P  log  5  . b  A. P 

x3 . y5

B. P  x3  y5 .

C. 15xy . Lời giải

 a3  Ta có: P  log  5   log a 3  log b5  3log a  5log b  3 x  5 y . b  10

D. 3x  5 y .

Câu 10. [ Mức độ 1] Đạo hàm của hàm số y  a x (a  0, a  1) là B. y  a x .

C. y 

ax . ln a

D. y  x.a x 1 .

Lời giải Ta có y  a .ln a . x

Câu 11. [ Mức độ 1] Với a là số thực dương tùy ý,

a 2 bằng

A. a 3 .

C. a6 .

B. a 2 .

D. a 6 .

2 3

a2  a .

Câu 12. [ Mức độ 1] Nghiệm của phương trình 34 x2  81 là 1 3 1 A. x  . B. x  . C. x   . 2 2 2 Lời giải

3 D. x   . 2

ƠN

Ta có 34 x  2  81  34 x  2

3  34  x  . 2

OF FI

Lời giải Ta có

A. y  a x .ln a .

Câu 13. [ Mức độ 1] Nghiệm của phương trình log 3  2 x   4 A. x 

27 . 2

B. x 

81 . 2

C. x  32 .

D. x  3 .

Lời giải

Điềukiện: x  0 .

Ta có: log 3  2 x   4  2 x  34  2 x  81  x 

81 . 2

 3x  C .

 3x  C .

 f  x  dx  3 x

Câu 14. [ Mức độ 1] Cho hàm số f  x   2 x 2  3 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:

 f  x  dx  3 x

3C . C .

Lời giải

 f  x  dx    2 x

2  3 dx  2  x 2 dx  3 dx  x3  3 x  C . 3

KÈ

Câu 15. [ Mức độ 1] Cho hàm số f  x   sin 3 x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

 f  x  dx  3cos 3x  C .

 f  x  dx   3 cos 3x  C .

DẠ Y



f  x  dx  5 và

A. 14 .

 f  x  dx  3 cos 3x  C .

 f  x  dx  3cos 3x  C .

Lời giải

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:

Câu 16. [Mức độ 1] Nếu

 f  x  dx   sin 3xdx  3  sin 3xd  3x    3 cos 3x  C .

 g  x  dx  3 thì   f  x   3g  x  dx bằng

B. 4 .

C. 8 . 11

D. 2 .

Lờigiải Ta có

  f  x   3g  x  dx   f  x  dx  3 g  x  dx  5  9  14 . 4

Câu 17. [Mức độ 1] Tích phân  cos xdx bằng 0

2 1 . 2

2 . 2

C. 

2 . 2

D. 1 

Lờigiải  

2 . 2

OF FI

Ta có  cos xdx  sin x 04 

2 . 2



Câu 18. [Mức độ 1] Cho số phức z  4  3i . Môđun của số phức z bằng A. 5 . B. 25 . C. 7 . Lờigiải Ta có z  42   3  5 .

ƠN

D. 1 .

Câu 19. [Mức độ 1] Cho số phức z  1  2i . Phần ảo của số phức liên hợp với z là A. 2 . B. 2i . C. 2i . D.  2 . Lời giải

Ta có z  1  2i  1  2i . Phần ảo của z là 2 . Câu 20. [Mức độ 1] Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  i . Trên mặt phẳng tọa độ, giả sử A là điểm biểu diễn của số phức z1 , B là điểm biểu diễn của số phức z2 . Gọi I là trung điểm AB . Khi đó, I biểu

diễn cho số phức

B. z3 

3 i. 2

A. z3  3  2i .

3 2

C. z3    2i .

   Vì I là trung điểm AB nên 2OI  OA  OB .

Lời giải

z1  z2 1  i  2  i 3   i . 2 2 2

Dẫn đến z3 

D. z3  3  2i .

KÈ

Câu 21. [Mức độ 1] Một hình nón có diện tích đáy bằng 16 (đvdt) có chiều cao h  3 . Thể tích hình nón bằng 16 16  (đvtt). A. 16 (đvtt). B. (đvtt). C. D. 8 (đvtt). 3 3 Lời giải

DẠ Y

2 Vì diện tích đáy bằng 16 nên ta có  R  16 .

1 3

2 Vậy thể tích khối nón là: V   R h  16 .3  16 (đvtt).

Câu 22. [ Mức độ 1] Thể tích của khối lập phương có độ dài cạnh a  3 bằng A. 27 . B. 9 . C. 6 . D. 16 . Lời giải 3 Ta có V  a  27 . Câu 23. [ Mức độ 1] Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là: 12

B. V   r 2 h .

A. 20 cm 2 .

B. 40 cm 2 .

1 1 C. V   rh . D. V   r 2 h . 3 3 Lời giải Thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là V   r 2 h . Câu 24. [ Mức độ 1] Một hình nón có bán kính đáy r  4 cm và độ dài đường sinh l  5 cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. V   rh .

D. 10 cm 2 .

C. 80 cm 2 .

Lời giải Diện tích xung quanh của hình nón S xq  rl  20 cm 2 .

OF FI

Câu 25. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz cho ABC , biết A 1;  4; 2  , B  2;1;  3 , C  3;0;  2  . Trọng tâm G của ABC có tọa độ là A. G  0;  3;  3 .

B. G  0;  1;  1 .

C. G  6;  3;  3 .

D. G  2;  1;  1 .

ƠN

Lời giải x A  xB  xC 1 2  3   xG  2   xG  3 3   y A  yB  yC 4  1  0   Vì G là trọng tâm của ABC nên ta có:  yG  .   yG   1 3 3   z A  z B  zC   2   3   2  zG   1  zG   3  3  Vậy G  2;  1;  1 .

Câu 26. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  :  x  2    y  4    z  6   25 có tọa độ tâm I là A. I  2;  4;6  .

B. I  2; 4;  6  .

C. I 1;  2;3 .

D. I  1; 2;  3 .

Lời giải

Mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c   R có tọa độ tâm là I  a ; b ; c  . 2

Vậy mặt cầu  S  :  x  2    y  4    z  6   25 có tọa độ tâm là I  2;  4;6  . 2

Câu 27. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   :3 x  2 y  z  11  0 . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng   ?

B. M  2;  3;  1 .

C. P  0;  5;  1 .

D. Q  2;3;11 .

A. N  4;  1;1 .

KÈ

Lời giải Thay lần lượt 4 điểm M , N , P , Q vào phương trình   :3 x  2 y  z  11  0 ta được: Với M  2;  3;  1 , ta có   :3.2  2.  3   1  11  0  0  0 (thỏa mãn). Với N  4;  1;1 , ta có   :3.4  2.  1  1  11  0  4  0 (không thỏa mãn). Với P  0;  5;  1 , ta có   :3.0  2.  5    1  11  0  2  0 (không thỏa mãn).

DẠ Y

Với Q  2;3;11 , ta có   :3.  2   2.3  11  11  0  12  0 (không thỏa mãn). Vậy điểm M  2;  3;  1    .

 C. u3   2; 2;1 . Lời giải 13

 D. u4  1; 4;0  .

  Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là u  BA  1; 4;0  .

Câu 29. [ Mức độ 2] Chọn ngẫu nhiên hai số bất kì trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là số lẻ? 7 5 5 7 A. . B. . C. . D. . 18 18 9 9 Lời giải 2 Ta có n     C10 .

n  A  25 5   . n    45 9

OF FI

 P  A 

Gọi A là biến cố “ Chọn ngẫu nhiên hai số có tổng là số lẻ”.  n  A   C51.C51  25 .

Câu 30. [ Mức độ 2] Cho hàm số y  x 3  3mx 2   m  2  x  3m  1 . Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên  là A. 2 . B. 1 .

C. 1. Lời giải

Ta có y '  3 x 2  6mx  m  2 .

D. 2 .

ƠN

Hàm số đã cho đồng biến trên  khi y '  0, x  R .

3  0  Ðúng  a  0 .   2 9 m  3 m  2  0    '  0   9m 2  3m  6  0 . 2   m 1 . 3

Vì m  Z nên m  0;1 .

 3 x 2  6mx  m  2  0, x  R .

Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 1 .

Câu 31. [Mức độ 2] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x3  9 x  2 trên đoạn  1; 2 . Tính giá trị biểu thức P  M  m . C. 8  6 3 . Lời giải 3 Xét hàm số f  x   x  9 x  2 trên đoạn  1; 2 ta có: B. 2 .

D. 8  6 3 .

A. 18 .

KÈ

 x  3   1; 2 + f   x   3 x 2  9; f   x   0  3 x 2  9  0   .  x   3   1; 2

+ f  1  10; f

 3  2  6

3; f  2   8 .

DẠ Y

Vậy M  10; m  2  6 3 . Suy ra P  M  m  8  6 3 .

Câu 32. [Mức độ 2] Tập nghiệm của bất phương trình log 3  2 x 2  7 x   2 là 7  A. T   ;    1;    2   9 7  C. T   ;    0;1 . 2 2 

9  B. T   ;    1;    2   9  D. T    ;1 .  2  Lời giải 14

7  x  +) Điều kiện xác định 2 x  7 x  0  2 (*)  x  0 2

9  x  1. 2  9 7  +) Giao với điều kiện (*) ta được tập nghiệm của BPT đã cho là T   ;    0;1 . 2 2 

1

 5  3 f  x  dx  3 thì  f  x  dx

A. 5

B. 4

bằng

C. 6 . Lời giải

D. 3 .

OF FI

Câu 33. [Mức độ 2] Nếu

* Ta có 2

1

 5  3 f  x  dx  3   5dx  3  f  x  dx  3 2

 15  3  f  x  dx  3  1

+) Ta có log 3  2 x 2  7 x   2  2 x 2  7 x  32  2 x 2  7 x  9  0 

 f  x  dx  4 .

1

ƠN

Câu 34. [Mức độ 2] Cho số phức z  3  2i . Phần thực của số phức w  iz  z là A. i . B. 1. C. 1 . D. 4 . Lời giải

Ta có: z  3  2i  w  iz  z  i  3  2i    3  2i   1  i .

Vậy số phức w  iz  z có phần thực là 1 . Câu 35. [Mức độ 2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tan góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD 

A. 3 .

15 . 5

D. 1.

Lời giải

KÈ

bằng

DẠ Y

+) IC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng  ABCD 

.  góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  là SCI 2

a 3 a I là trung điểm AB của tam giác đều SAB nên SI  SB  IB  a     . 2 2 2

a 5 a Tam giác BIC vuông tại B nên IC  BC  IB  a     . 2 2 2

SI 3 15 .   IC 5 5

 Tam giác SIC vuông tại I nên tan SCI

Câu 36. [Mức độ 2] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , chiều cao bằng

3a . 2

B. a .

3a .

D. 2a .

Lời giải S

H A

ƠN

OI .OS

OI 2 + OS 2

Ta có: d ( B; ( SCD )) = 2d (O; ( SCD )) = 2.OH = 2. Mà OI =

OF FI

cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) bằng

3a . Khoảng

2a = a ; OS = a 3. 2

Do đó: d ( B; ( SCD )) = a 3.

Câu 37. [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I  2;  3;1 và đi qua điểm A  6;1;3 có phương trình là

B. x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .

C. x 2  y 2  z 2  12 x  2 y  6 z  10  0 .

D. x 2  y 2  z 2  12 x  2 y  6 z  10  0 .

A. x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 .

Lời giải

Mặt cầu tâm I và đi qua A có bán kính R  IA 

 6  2   1  3   3  1 2

6.

Phương trình mặt cầu:  x  2    y  3   z  1  36  x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z  22  0 . 2

KÈ

Câu 38. [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua A  1;1;3 và vuông góc với mặt phẳng

 P  : 6 x  3 y  2 z  18  0

DẠ Y

 x  1  6t  A.  y  1  3t .  z  3  2t 

có phương trình tham số là

 x  1  6t  B.  y  1  3t .  z  3  2t 

x  6  t  C.  y  3  t .  z  2  3t  Lời giải

 x  6  t  D.  y  3  t .  z  2  3t 

 Đường thẳng cần tìm đi qua A  1;1;3 và nhận vectơ pháp tuyến của  P  là n P    6;3;  2  làm vectơ chỉ phương.

 x  1  6t  Phương trình đường thẳng là  y  1  3t .  z  3  2t 

 

nhất và giá trị lớn nhất của hàm số g  x  f x2  2x2 trên đoạn   1; 2  lần lượt là B. f  0  và f   1  2 .

C. f  4  8 và f 1  2 .

D. f 16  32 và f   1  2 .

Lời giải

 

OF FI

A. f  0 và f  4   8 .

 

ƠN

Xét hàm số g  x  f x2  2x2 với x    1; 2   x 2  [0; 4]

 

Ta có: g  x  2 x. f  x2  4 x  2 x  f  x2  2 . x2 0 x  0 x  0  2 g  x  0   f  x  2  x  0  x  2  1;2 .  x2  4 x  2 Với x2 [0;4] thì f  x2  2  f  x2  2  0 .

Bảng biến thiên của g  x 

KÈ

So sánh: f 1  2 với f 4  8

DẠ Y

Hình phẳng  H  giới hạn bởi: y  f  x , y  2 , x  1 , x  4 có diện tích là S . 4

S   f ' x  2.dx    f  x  2.dx   f  x  2 x14  f 4  8   f 1  2 .

S  0  f 4  8   f 1  2  0  f 4  8  f 1  2 .

Vậy: min g  x   f  0  và max g  x   f  4   8 . [ 1;2]

Câu 39. [Mức độ 3] Cho hàm số f  x , đồ thị của hàm số y  f   x  là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ

[ 1;2]

Câu 40. [Mức độ 3] Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên  x ; y  9y  x thoả mãn 0  x  m và log 3  3 x  6   2 y  . 2 A. m  310  2 . B. m  35  2 . C. m  315  2 . Lời giải

log 3  x  2 

 x  2  2 log 3  x  2   9 y  4 y  3

 2 log 3  x  2   32 y  2.2 y 1

 Xét hàm số f  t   3t  2t trên  .

OF FI

Ta có f   t   3t ln 3  2  0 t   , suy ra f  t  đồng biến trên  .

9y  x  2 log 3  x  2   1  4 y  32 y  x 2

 Ta có: log 3  3 x  6   2 y 

D. m  320  2 .

Từ 1 ta có: f  log 3  x  2    f  2 y  , suy ra log 3  x  2   2 y .

 Vì 0  x  m nên log 3 2  log 3  x  2   log 3  m  2   log 3 2  2 y  log 3  m  2  .



1 1 log 3 2  y  log 3  m  2  . 2 2

1 log 3  m  2  . 2 1 Để có đúng 5 cặp số nguyên  x ; y  thì log 3  m  2   5  m  310  2 2 Vậy m  310  2 . 3 x 2  6 x khi x  2 e2 f (ln 2 x)  dx bằng Câu 41. [ Mức độ 3] Cho hàm số f  x    2 . Tích phân I   x ln x khi x  2 e   2x  5

ƠN

Do y nguyên dương nên 1  y 

1 B. 15  ln 6 . 5

Xét I 

 e

f (ln 2 x) dx . x ln x

1 C. 15  ln 6 . 5 Lời giải

1 A. 15  ln 6 . 2

2 ln x 2 ln 2 x 2u dx du dx  dx  dx   . x x ln x x ln x x ln x 2u x  e  u  1 Đổi cận :  . 2 x  e  u  4

KÈ

Đặt u  ln 2 x  du 

Khi đó

I

4 4 2 4 1 f (u ) 1 f ( x) 1  f ( x) f ( x)  du  dx  dx  dx      21 u 21 x 21 x x 2 

DẠ Y

2 4 2 4  1 2 3x 2  6 x  1  2    dx   dx     dx    3 x  6 dx  2  1 x  2 x  5 x 2 2  2  1 x  2 x  5  . 4 2 2 2       1 4  1 1  3x 1 4 1 2x  5     dx    6 x     . ln  30  2  5 1  2x  5 2x  2 2 5 2 2 x   2 1    1 2 1      ln 6   30   15  ln 6 2 5 5 

1 D. 15  ln 6 . 2

1   Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z | 2021 và  z  2021i   z   là số thuần ảo? 2021   B. 0.

C. 2. Lời giải Gọi số phức z  a  bi  a, b     z  a  bi

D. 4.

A. 1.

Theo đề bài, | z | 2021  a 2  b 2  2021 1

 z  2021i   z  

Xét:

1 1  1 z  2021i z  i  2021   a  bi   2021i  a  bi   i zz  2021 2021  2021

Thế a  20212  b  1 vào phương trình 1 , ta được:

OF FI

1 1       2021  a  2021b    2021a  b  1 i 2021 2021     1  1 a  2021b  0  a  20212  b  1  z  2021i   z   là số thuần ảo  2021  2021  2021 

20214  b  1  b 2  2021   20214  1 b 2  2.20214 b  20214  2021  0 2

ƠN

Phương trình này có hai nghiệm.. Vậy có 2 số phức thỏa mãn. Câu 43. [ Mức độ 3] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA   ABC  . Mặt phẳng  SBC  S . ABC bằng

8a 3 A. . 9

8a 3 B. . 3

cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng  ABC  một góc 30 . Thể tích của khối chóp

3a 3 C. . 12 Lời giải

4a 3 D. . 9

30°

KÈ

DẠ Y

  30 . Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mp  SBC  và mp  ABC  là SIA

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra d  A,  SBC    AH  a .

AH  2a . sin 30 2a Xét tam giác SAI vuông tại A có: SA  AI .tan 30  . 3 Xét tam giác AHI vuông tại H có: AI 

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao nên: 2a  x

3 4a x . 2 3

Diện tích tam giác đều ABC là S ABC

 4a  3 4a 2 3   .  . 3  3 4

1 1 4a 2 3 2a 8a 3 Vậy VS . ABC  .S ABC .SA  . . .  3 3 3 9 3 Câu 44. [ Mức độ 3] Mặt tiền nhà ông An có chiều ngang AB  4m , ông An muốn thiết kế lan can nhô ra có dạng là một phần của đường tròn  C  (hình vẽ). Vì phía trước vướng cây tại vị trí F nên để an toàn,

OF FI

  600 và ông An cho xây đường cong cách 1m tính từ trung điểm D của AB . Biết AF  2m , DAF lan can cao 1m làm bằng inox với giá 2, 2 triệu/m2. Tính số tiền ông An phải trả (làm tròn đến hàng ngàn). F 1m E

(C)

B. 10, 405,000 .

A. 7,568,000 .

ƠN

C. 9,977,000 .

D. 8,124,000 .

Lời giải

  300 và EDB   1200 . Theo giả thiết, ta có AFD đều nên FD  2m suy ra ED  1m , EAD Trong tam giác EDB có EB 2  DE 2  DB 2  2 DE.DB.cos1200  7 . Gọi R là bán kính của đường tròn  C  tâm O , áp dụng định lý sin trong tam giác AEB ta có

EB  2R , suy ra R  7 .  sin EAD

F 1m E

(C)

KÈ

Xét tam giác OAB có R  OA  OB  7 , AB  4 , suy ra cos  AOB 

AOB  98, 20 , suy ra độ dài dây cung  C  xấp xỉ 4,54m . Khi đó 

OA2  OB 2  AB 2 1  . 2OA.OB 7

DẠ Y

Vì chiều cao của lan can là 1m và giá kính là 2,2 triệu/m2 nên số tiền ông An phải trả xấp xỉ 9,977,000 đ.

Câu 45. [ Mức độ 3] Trong không gian, cho mặt phẳng

P : x  3y  2z  2  0

và đường thẳng

x 1 y 1 z  4   . Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A 1; 2 ; 1 , cắt mặt phẳng  P  và 2 1 1 đường thẳng d lần lượt tại B và C sao cho C là trung điểm AB là d:

 x  1  18t  A.  y  2  3t .  z  1  t 

 x  17  18t  B.  y  5  3t . z  t 

 x  1  18t  C.  y  2  3t .  z  1  t 

 x  17  18t  D.  y  5  3t . z   t 

Từ giả thiết ta có: C  d  C 1  2t ;  1  t ; 4  t  . Do C là trung điểm của AB  B  4t  1;  2t  4 ; 2t  9  .

OF FI

Lời giải

ƠN

9 Ta có :    P   B  B   P   4t  1  3  2t  4   2  2t  9   2  0  t   . 2 Suy ra B   17; 5; 0  . Đường thẳng  đi qua hai điểm B và A .  Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng  là BA  18;  3;  1 .

 x  17  18t  Vậy phương trình tham số của  :  y  5  3t .  z  t 

Câu 46. [ Mức độ 4] Cho hàm số f  x  biết hàm số y  f ( x) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ.

KÈ

1  Đặt g ( x)  2 f  x 2   f   x 2  6  , biết rằng g (0)  0 và g  2   0 . Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 

y  g  x .

B. 5 .

C. 7 . Lời giải

DẠ Y

A. 3 .

D. 6 .

Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta có f ( x)  0, x    Hàm số y  f   x  đồng biến trên  .

 1   1  g ( x)  2 x. f   x 2   2 x. f    x 2  6   2 x  f   x 2   f    x 2  6   . 2   2  

x  0 2 x  0 x  0  g ( x)  0   1 2   x  2 . 2  f   1 x 2   f    x 2  6   x  x  6  x  2   2  2

( do hàm số y  f   x  đồng biến trên  )

OF FI

 x  0   1 x2   x2  6 x  2  1    2  Xét g '( x)  0  2 x  f   x 2   f    x 2  6    0   . 2  x  0 x  0   2      1 2 2  x   x  6  2   x  2 Suy ra g ( x)  0   . 0  x  2

Nên ta có g  2   g  2   a  0, g (0)  b  0 .

Bảng biến thiên của hàm số g  x  :

ƠN

1  Vì g ( x)  2 f  x 2   f   x 2  6  là hàm số chẵn trên  và có g  2   0 2 

Vậy hàm số y  g ( x) có 7 điểm cực trị. 47.

[

Mức

độ

Câu

Có

bao

nhiêu

số

nguyên

 a  3

để

KÈ

log a log  log 3 x   3  log a  log 3 x  3   có nghiệm x  81 .

A. 12 .

DẠ Y

Xét log  log 3 x  

log a

B. 6 .

C. 7 . Lời giải

 3  log a  log 3 x  3 

(1)

log a   log 3 x   3  0 + Với x  81 , suy ra log 3 x  4   . log x  3  0   3

+ Ta có (1)  log a.log a  log 3 x    log a

 log

3 x

log a

3



log a

 3  log a  log 3 x  3 

 log a  log 3 x  3 22

D. 8 .

phương

trình



 log

x

log a

3



log a

 log 3 x  3 .

+ Đặt y  log 3 x  y  4 .

y

 3  y  3 (2). m

Đặt m  log a  0 . Ta có phương trình

t m  y  3  + Đặt t  y  3  0 ta được hệ phương trình   y m  y  t m  t (3). m t  y  3  

+ Xét hàm f  t   t m  t với m  0, t  0 có f  t   m.t m 1  1  0, t  0 . Suy ra f  t   t m  t đồng biến trên khoảng  0;    .

Với y  4 ta được: 0 

log  y  3 log y

OF FI

+ Do đó (3)  y  t  y  y m  3  y m  y  3  m.log y  log  y  3  m  log  y  3 1. log y

Do đó: 0  m  log a  1  1  a  10 . Do a nguyên và a  3 nên a  4;5;6;7;8;9 .

ƠN

Câu 48. [ Mức độ 4] Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số

f  x  đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  2 ; f  x1   f  x2   0 và

 x  x1 

x  x1

f  x  2

5  f  x  dx  4 .

Tính L  lim

x1 1

A. 1 .

C. 3 . Lời giải

B. 2 .

D. 4 .

Giả sử f  x   ax3  bx 2  cx  d  a  0  .

KÈ

 x  x1 Có f   x   3ax 2  2bx  c  0   .  x  x2  x1  2 Suy ra: f   x   3a  x  x1  x  x2 

 f   x   3a  x  x1  x  x1  2   f   x   3a  x  x1   6a  x  x1  .

DẠ Y

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: f  x   a  x  x1   3a  x  x1   C . 3

Khi đó f  x1   C và

f  x2   a  x2  x1   3a  x2  x1   C  8a  12a  C  C  4a . 3

Mà f  x1   f  x2   0 , nên C  C  4a  0  C  2a . Suy ra f  x   a  x  x1   3a  x  x1   2a . 3



f  x  dx 

5  4

x1 1



 a  x  x1 3  3a  x  x1 2  2a  dx  5   4

4 3 a     x  x1   a  x  x1   2ax  4 

x1 1

 x1

5 5 a     a  2a  x1  1   2ax1  4 4 4 

 a  1.

x1 1

Mặt khác

Do đó: f  x    x  x1   3  x  x1   2 . Vậy

f  x  2

 x  x1   3  x  x1  L  lim  lim 2 2 x x  x  x1  x x  x  x1  3

 lim  x  x1   3   3 . x  x1





P   2 z1  z2  1  3i  1  3i A. 6 .

C. 18 . Lời giải

B. 10 .

Đặt z1  a  bi, z2  c  di với a, b, c, d  . 2

Vì z1  z2  2  z1  z2  4  a 2  b 2  c 2  d 2  4 .

D. 34 .

ƠN

Mặt khác (a  c) 2  (b  d ) 2  10

OF FI

Câu 49. [ Mức độ 4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  2 và z1  z2  10 . Tìm giá trị lớn nhất của

 a 2  2ac  c 2  b 2  2bd  d 2  10  ac  bd  1 . Ta có 2 z1  z2  (2a  c)  (2b  d )i nên 2

2 z1  z2  (2a  c) 2  (2b  d ) 2  4(a 2  b 2 )  (c 2  d 2 )  4(ac  bd )  16  2 z1  z2  4 .

Áp dụng bất đẳng thức z  z   z  z  , ta có









P   2 z1  z2  1  3i  1  3i   2 z1  z2  1  3i  1  3i  4.2  2  10 Vậy max P  10 .

Câu 50. [Mức độ 3] Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;3;0  , B  0; 3;0  . Mặt cầu  S 

nhận AB là đường kính. Hình trụ  H  là hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu và có thể tích lớn nhất. Khi đó mặt phẳng chứa đáy của hình trụ đi qua điểm nào sau đây?





3;0;0 .





3; 3;0 .





3; 2;1 .





3; 2; 3 .

Lời giải

DẠ Y

KÈ

Bán kính của mặt cầu là R 

AB  3. 2

Gọi chiều cao của hình trụ là 2h , h  0 . Do đó bán kính của hình trụ là r  R 2  h 2  9  h 2 . 24

Thể tích khối trụ là V   .r 2 .2h   .  9  h 2  .2h   2

 9  h  9  h  .2h 2

Khi đó hình trụ có thể tích lớn nhất là 12 3 .

DẠ Y

KÈ

ƠN

OF FI

Vậy hai mặt đáy của trụ có phương trình tương ứng là y  3; y   3 .

Dấu đẳng thức xảy ra  9  h 2  2h 2  h  3 .

 9  h 2  9  h 2  2h 2  V   2.     2.6 6  12 3 . 3  

Cực trị 4, 5,39,46 của HS

NH Ơ

Khảo sát và vẽ đồ thị

7,8

Lũy thừa 9, 11 mũ Logarit

KÈ

DẠ Y

Đường tiệm 6 cận

Hàm số mũ Logarit

Tổng Tổng dạng Chương NB TH VD VDC bài

Đơn điệu 3 , 30 của HS

Min, Max 31 của hàm số

Đạo hàm và ứng dụng

Mức độ

Trích dẫn đề Minh Họa

Dạng Lớp Chương bài

Ma trận đề minh họa 2021 môn Toán

HS Mũ 10 Logarit

PT Mũ 12, 13, 47

Định nghĩa và tính chất

18,20,34,42,49 2

Phép toàn

PT bậc hai theo hệ số thực

Nguyên 14, 15 hàm Tích phân

KÈ

DẠ Y

16,17,33,41

Ứng dụng TP tính 44, 48 diện tích

Nguyên Hàm Tích Phân

Ứng dụng TP tính thể tích

BPT Mũ 32,40 Logarit

NH Ơ

Số phức

Logarit

AL CI 3

Khối nón

Khối trụ

Khối cầu Phương pháp 25 tạo độ

Thể tích 21, 22, 43 khối đa diện

Khối tròn xoay

NH Ơ

Khối đa diện

Đa diện lồi - Đa diện đều

Phương trình 26, 37, 50 Giải tích mặt cầu trong không Phương gian trình 27 mặt phẳng

KÈ

DẠ Y

Phương 28, 38, 45 trình đường

Hoán vị - Chỉnh 1 hợp Tổ hợp

Hình học không gian

Góc

Khoảng 36 cách

KÈ

Tổng

DẠ Y

Xác suất

Tổ hợp - Cấp số xác suất cộng 2 ( cấp số nhân)

NH Ơ

thẳng

1 2

1 10

1 5

ĐỀ NÂNG CAO SỐ 58 – SANG

C. 35 .

[Mức độ 1] Cho cấp số nhân  un  có u1  3 , q  A. u5 

27 . 16

B. u5 

16 . 27

2 . Tính u5 . 3

C. u5 

16 . 27

D. u5 

27 16

[Mức độ 1] Hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau đây đồng biến trên khoảng

Câu 3.

D. 55 .

Câu 2.

B. 90 .

A. 45 .

Câu 1. [Mức độ 1] Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để làm trực nhật.

C.  ;   .

D.  ;0 

[Mức độ 1] Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:

KÈ

Câu 4.

B.  2;   .

A.  0; 2  .

NH Ơ

nào?

DẠ Y

Số điểm cực trị của hàm số f  x  là

A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Câu 5.

[Mức độ 2] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  . Biết rằng hàm số

y  f '  x  có đồ thị như hình dưới. Đặt g  x   f  x   x . Hỏi hàm số g  x  có

[Mức độ 1] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  A. y 

Câu 7.

C. 1 .

1 . 2

NH Ơ

Câu 6.

B. 3 .

D. 0 .

A. 1 .

bao nhiêu điểm cực trị?

B. x  1 .

x 1 là 2  2x

C. y 

1 . 2

D. x  1 .

[ Mức độ 1] Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và có đồ thị như hình vẽ. Kết

quả nào sau đây đúng?

B. y  x3  3 x  2 .

C. y  x 3  x  2 .

KÈ

A. y  x 4  3 x 2  2 .

y   x  x 2 . 3

Câu 8.

[Mức độ 2] Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 3  2 x 2  3 x  1 và đường thẳng

DẠ Y

y  2 x  1 là

A. 2 .

Câu 9.

B. 1 .

C. 3 .

 a3  [Mức độ 1 ] Cho a là số thực dương khác 5 . Tính I  log a  . 125   5

D. 0 .

B. I  3 .

D. I 

C. I  3 .

Câu 10. [ Mức độ 1] Tập xác định của hàm số y  log 5  x  2  là B.  2;   .

D.  ; 2 

C.  .

A.  2;   . .

 a

A. 23 .

:a  a

p q

với p, q   và

phân số tối giản. Giá trị của p  q bằng

Câu 11. [ Mức độ 2] Với a là số thực dương tùy ý,

B. 7 .

1 . 3

1 A. I   . 3

p là q

D. 19 .

C. 8 .

A. 22 .

B. 4 .

Câu 12. [ Mức độ 1] Nghiệm của phương trình log 3  2 x  5   3 là C. 11 .

D. 2 .

NH Ơ

Câu 13. [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình log 3  4 x   2 là 1 B. x  . 9

A. x  9 .

Câu 14. [Mức độ 1] Cho hàm số f  x  

 f  x  dx  x

D. x 

 2x  C .

 f  x  dx  16 x

 xC .

 f  x  dx  16 x

9 . 2

9 . 4

1 3 x  2 . Trong các khẳng định sau, khẳng định 4

nào đúng?

C. x 

 2x  C .  xC .

KÈ

đúng?

Câu 15. [Mức độ 2] Cho hàm số f  x   sin 3 x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào

 f  x  dx  cos 3x  C .

 f  x  dx 

DẠ Y

1 cos 3 x  C . 3

Câu 16. [Mức độ 1] Cho A. I = 3.

ò 1

 f  x  dx  3cos 3x  C .

 f  x  dx  3 cos 3x  C .

f ( x)dx = 3. Tính I = ò 3 f ( x)dx. 1

B. I = 9.

C. I = 1

D. I = 2

B. I = 3.

1 D. I = . 3

C. I = 1.

1 A. I = . 2

Câu 17. [Mức độ 2] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên  và f ¢( x) = x2 . Tính I = f (1) - f (0).

A. b = 3.

B. b = 4.

C. b = -3.

Câu 19. [Mức độ 1] Số phức 3  4i có phần thực bằng B. 3 .

A. 2 .

D. b = -4.

Câu 18. [Mức độ 1] Tìm phần ảo b của số phức z biết z = 3 + 4i.

C. 4 .

D. 5 .

Câu 20. [Mức độ 1] Trong tập số phức  , phương trình nào dưới đây nhận hai số phức B. z 2  2 z  3  0 .

C. z 2  2 z  3  0 .

NH Ơ

A. z 2  2 z  3  0 . z2  2z  3  0 .

1  2i và 1  2i là nghiệm?

Câu 21. [Mức độ 1] Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 21a . A. V 

21 3a 3 . 2

C. V 

21 2a 3 . 2

[Mức độ 2] Cho tứ diện MNPQ . Biết rằng mặt phẳng  MNP  vuông góc với mặt

Câu 22.

21 2a 3 . 4

21 3a 3 V . 4

B. V 

phẳng  NPQ  , đồng thời MNP và NPQ là hai tam giác đều có cạnh bằng 8a . Tính theo a thể tích V của khối tứ diện MNPQ .

A. V  64a 3 .

B. V  128a 3 .

C. V  64 3a 3 .

KÈ

V  192a 3 .

Câu 23.

[Mức độ 1] Cho khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng 2 , chiều cao bằng 12 . Tính thể tích của khối nón tròn xoay đã cho. A. 16 .

C. 48 .

D. 24 .

[Mức độ 1] Một khối trụ có bán kính đáy r  3 cm và độ dài đường cao h  5 cm .

DẠ Y

Câu 24.

B. 32 .

Thể tích của khối trụ đó bằng A. V  45 cm3 .

V  34 cm3 .

B. V  15 cm3 .

C. V  75 cm3 .

Câu 25.

[Mức

độ

Trong

không

gian

Oxyz , cho

tam

giác ABC có

3 9  C. G  ; ;3  . 2 2 

B. G  3;9;2  .

G  3;1;3 .

B. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  3 .

C. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9 .

D. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  3 .

[Mức độ 2] Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2;1) và song song với hai   giá của hai vectơ a  (1; 2; 1) , b  (1;3; 4) là B. 11x  3 y  5 z  22  0 .

NH Ơ

A. 11x  3 y  5 z  10  0 . C. 11x  3 y  5 z  0 . Câu 28.

A. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9 .

Câu 27.

[Mức độ 1] Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2;  1) và bán kính r  3 là

Câu 26.

A. G 1;3;2 .

A 1;3;0  , B  2; 4;3 , C  0; 2;3 . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

D. 11x  3 y  5 z  12  0 .

[Mức độ 1] Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tam giác ABC có

A  1;3; 2  , B  2;0;5  và C  0; 2;1 . Phương trình đường trung tuyến AM của

tam giác ABC là

x 1 y  3 z  2   . 2 2 4

x 1 y  3 z  2   . 2 4 1

x  2 y  4 z 1   . 1 3 2

x 1 y  3 z  2 .   2 4 1

KÈ

Câu 29. [Mức độ 2] Bạn Nam có một hộp bi gồm 2 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu trắng. Bạn Định cũng có một hộp bi giống như của bạn Nam. Từ hộp của mình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau là A.

2 . 5

3 . 5

1 . 25

[Mức độ 2] Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

DẠ Y

Câu 30.

9 . 25

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  . khoảng  2;   .

B. Hàm số nghịch biến trên

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

m2 x  1 trên đoạn 1;3 bằng 1 . x2

A. m   2 . . Câu 32.

B. m   3 .

C. m  4 .

[Mức độ 2] Tập nghiệm của bất phương trình log 1

biểu thức a  2b bằng B. 0 .

C.  1 .

D.  2 .

[Mức độ 2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  10  0,

 x  2  2t  và đường thẳng d :  y  1  t . Tìm z  1 t 

NH Ơ

Câu 33.

4x  6  0 là  a; b  . Giá trị x

A. 1 .

D. m  2

y

[Mức độ 2] Tìm giá trị âm của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

Câu 31.

 2;   .

điểm A 1;3; 2 

phương trình đường thẳng  cắt  P  và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho

A là trung điểm cạnh MN .

x  6 y 1 z  3   . 7 4 1

x  6 y 1 z  3   . 7 4 1

Câu 34.

x  6 y 1 z  3   . 7 4 1

x  6 y 1 z  3   . 7 4 1

[Mức độ 2] Cho các số phức z1  2  3i , z2  4  5i . Số phức liên hợp của số phức

w  2  z1  z2  là

B. w  12  8i .

C. w  12  16i .

D. w  28i

KÈ

A. w  8  10i . .

Câu 35. [Mức độ 2] Trong không gian với Oxyz , cho các điểm A 1;0;3 , B  2;3; 4  , C  3;1; 2  . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

DẠ Y

A. D  4; 2;9  . D  6; 2; 3 .

B. D  2; 4; 5  .

C. D  4; 2;9  .

Câu 36. [Mức độ 3] Cho hình chóp tam giác đều SABC có đáy ABC với cạnh đáy bằng a . G là trọng tâm  ABC . Góc giữa mặt bên với đáy bằng 60 . Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng  SBC  bằng

3a . 4

a . 2

3a . 2

a . 4

Câu 37. [Mức độ 3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a . Góc giữa mặt phẳng ( SCD) và mặt

B. tan  

A. tan   2 .

phẳng ( ABCD) là  , khi đó tan  nhận giá trị nào trong các giá trị sau:

2 . 2

C. tan   3

tan   1 .

f ( x) liên tục trên  và có các tích phân





f (tan x)dx  1 và

A. 3 . Câu 39.

x 2 f ( x) 0 x 2  1  2 . Tính tích phân I  0 f ( x)dx .

NH Ơ

Câu 38. [Mức độ 3] Cho hàm số

B. 2.

C. 4.

D. 6.

[Mức độ 3] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số

y  f '  x  là một hàm bậc 3, như hình vẽ sau:

KÈ

1 Số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f  x   x 2  2 x  2021 là 2

A. 3 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

DẠ Y

Câu 40. [Mức độ 3] Tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình: 27 x  8 x  3.4 x  2.3x  5.2 x  3  0 là A. 12 .

B. 13 .

C. 15 .

D. 19 .

độ

Cho

hàm

số

 x2  1 f ( x)   2 x  3

khi x  1 . khi x  1

I    2 x  4  . f '  x  dx bằng

Câu 42.

23 . 3

[Mức độ 3] Cho số phức z 



3  5i



2021

22 . 3

. Gọi A là phần ảo của số phức z .

A . 15

A . 3

A . 5

[Mức độ 3] Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a . B. 4a 3 3 .

C. 6a 3 3 .

D. 8a 3 3 .

NH Ơ

A. 2a 3 3 .

Câu 43.

A . 3 5

Phép toán nào sau đây cho kết quả là một số nguyên? A.

8 . 3

8 A.  . 3

phân

Tích

Câu 41. [Mức

Câu 44. [Mức độ 3] Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm và một hình tròn có bán kính 5cm được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ bên. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục XY .

260p 3 cm . 3 520p 3 V= cm . 3

B. V =

290p 3 cm . 3

C. V =

580p 3 cm . 3

KÈ

A. V =

Câu 45. [Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y  2 z  3   1 1 2

x 1 y  4 z  2 và điểm M  0; 1;2  . Phương trình đường thẳng đi qua   2 1 4 điểm M và cắt cả d1 và d 2 là

DẠ Y

, d2 :

x y 1 z  3 .   9 9 16 x y 1 z  2 .   9 9 16

x y 1 z  2 .   3 3 4

x y 1 z  2 .   9 9 16

8 và 3

Câu 46. [Mức độ 4] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  1  

đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực đại của hàm số 3

x g  x   f  x  1   2 x 2  4 x là 3

B. 3 .

thỏa mãn:

3.x log2 3 + log 2 x + sin 2 ( A. 2021 .

æ 1

cos2 çç x +m÷÷÷ 1 ç x + m ) = 3 è ln 2 ø ? ln 2

B. 4041 .

C. 2020 .

D. 4040 .

 1;   

[Mức độ 4] Cho hàm số f  x  xác định, liên tục, có đạo hàm cấp hai trên khoảng đồng thời thỏa mãn các điều kiện f   0   1 và  f   x    f   x  , 2

Câu 48.

D. 1 .

[Mức độ 4] Có bao nhiêu số nguyên m   2021; 2021 sao cho tồn tại số thực x

NH Ơ

Câu 47.

C. 2 .

A. 4 .

f (3) =- ln 4 . Khi đó diện tích giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) và các

đường thẳng x = 2, x = 3 bằng bao nhiêu?

A. 8ln 2  ln 3  1 . 8ln 2  3ln 3  1 .

B. 8ln 2  3ln 3  1 .

C. 4 ln 2  3ln 3  1 .

KÈ

Câu 49. [Mức độ 4] Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  1  i  z2  7  4i  5 ,

z3  m , m là tham số. Khi z1  z2 đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

DẠ Y

thức P  z1  z3  z2  z3 là A. 2 5 .

Câu 50.

B. 5 .

26 .

29 .

[Mức độ 4] Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz cho mặt cầu  S  có phương trình

 x  2    y  1   z  3 2

 3 . Xét khối trụ T  có trục song song với trục Ox

và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  . Khi T  có thể tích lớn nhất, giả

T 

sử phương trình các mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của

C. 6 .

B. 2 .

D. 3 .

A. 1.

x  by  cz  d  0 và x  by  cz  d '  0  d  d   . Giá trị của 2d  d  bằng

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

----------HẾT----------

là

10 A

11 B

12 C

16 B

17 D

18 D

19 B

20 C

21 D

22 A

23 A

24 A

25 A

26 A

27 A

31 A

32 A

33 B

34 C

35 A

36 D

37 D

38 A

39 D

40 C

41 A

46 D

47 A

48 B

49 D

50 A

13 D

14 B

15 C

28 D

29 B

30 D

43 A

44 D

45 C

42 D

Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để làm trực nhật. A. 45 .

NH Ơ

Câu 1.

BẢNG ĐÁP ÁN

B. 90 .

C. 35 .

D. 55 .

Lời giải

Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 10 .

Cho cấp số nhân  un  có u1  3 , q  A. u5 

27 . 16

B. u5 

Câu 2.

Vậy ta có: C102  45 (cách).

2 . Tính u5 . 3

16 . 27

C. u5 

16 . 27

D. u5 

Lời giải 4

Hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau đây đồng biến trên khoảng nào?

DẠ Y

Câu 3.

KÈ

16 2 Ta có: u5  u1.q   3     . 27 3 4

27 16

AL C.  ;   .

B.  2;   .

D.  ;0 

A.  0; 2  .

. Lời giải

Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau:

NH Ơ

Câu 4.

Dựa vào bảng biến thiên ta có f '  x   0  x   0; 2  .

Số điểm cực trị của hàm số f  x  là

C. 1 .

B. 2 .

A. 3 .

D. 0 .

Lời giải

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số f  x  có 3 điểm cực trị. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  . Biết rằng hàm số y  f '  x  có đồ thị

Câu 5.

DẠ Y

KÈ

như hình dưới. Đặt g  x   f  x   x . Hỏi hàm số g  x  có bao nhiêu điểm cực trị?

C. 1 .

B. 3 .

D. 0 .

A. 1 .

Lời giải

Hàm số f  x  có đạo hàm trên  nên g  x   f  x   x cũng có đạo hàm trên  Ta có: g '  x   f '  x   1

NH Ơ

g ' x   0  f ' x   1

 x  x1   1;0   Dựa vào đồ thị f '  x  ta có f '  x   1   x  x2  1;2  , suy ra x1; x2 ; x3 là ba   x  x3   2;3 nghiệm phân biệt và x1  x2  x3

KÈ

Bảng biến thiên của hàm g  x 

DẠ Y

Vậy hàm số g  x   f  x   1 có 3 điểm cực trị.

Câu 6.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  A. y 

1 . 2

B. x  1 .

x 1 là 2  2x

C. y 

1 . 2

D. x   1 .

x 

x 1 1 x 1 1 ; lim   x  2  2x 2 2  2x 2

Vậy đồ thị hàm số y 

Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và có đồ thị như hình vẽ. Kết quả nào sau

Câu 7.

x 1 1 có tiệm cận ngang là y  . 2  2x 2

Ta có: lim

Lời giải

NH Ơ

đây đúng?

A. y  x 4  3 x 2  2 .

B. y  x3  3 x  2 .

y   x  x 2 . 2

C. y  x3  x  2 .

Lời giải

Nhìn đồ thị suy ra y  f  x  là hàm số bậc ba có hệ số a  0 nên chọn B hoặc C . Đồ thị cắt trục Oy tại điểm  0; 2  nên chọn B . Câu 8.

Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x3  2 x 2  3 x  1 và đường thẳng y  2x 1 là B. 1.

C. 3.

D. 0 .

Lời giải

KÈ

A. 2 .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x3  2 x 2  3 x  1 và đường thẳng y  2x 1 là:

DẠ Y

x3  2x2  3x 1  2x 1 x  0 x  1

 x3  2x2  x  0  x  x 1  0   2

Vậy số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là 2 .

 a3  .  125 

Cho a là số thực dương khác 5 . Tính I  log a  5

1 A. I   . 3

D. I 

C. I  3 .

Lời giải

 a3  a I  log a    log a    3 . 125  5 5  5   Câu 10. Tập xác định của hàm số y  log 5  x  2  là B.  2;   .

C.  .

D.  ; 2  .

A.  2;   .

1 . 3

B. I   3 .

Câu 9.

NH Ơ

Lời giải

Hàm số y  log 5  x  2  xác định khi x  2  0  x  2 . Vậy tập xác định của hàm số là  2;   .

Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý,

 a

:a  a

p q

với p, q và

p là phân số tối q

giản. Giá trị của p  q bằng B. 7 .

A. 2 3 .

Áp dụng tính chất của lũy thừa:

 a 3

KÈ

Ta được

:a 

10 a3

:a 

C. 8.

D. 19 .

Lời giải n

10 2 a3

m  an



4 a3

và a m : a n  a m n . . Vậy p  q  7 .

Câu 12. Nghiệm của phương trình log 3  2 x  5   3 là

DẠ Y

A. 2 2 .

B. 4 .

C. 11 . Lời giải

Phương trình log3  2x  5  3  2x  5  3  27  x  11.

Câu 13. Nghiệm của phương trình log 3  4 x   2 là

D. 2 .

1 . 9

C. x 

9 . 2

D. x 

Lời giải

 f  x dx  x

 2x  C .

 x C .

1 3 x  2 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 4 1

 f  x  dx  16 x

Câu 14. Cho hàm số f  x  

9 . 4

Ta có log 3  4 x   2  4 x  9  x 

9 . 4

B. x 

A. x  9 .

 f  x  dx  16 x

 2x  C .  xC .

1   2  dx  x 4  2 x  C . 16 

NH Ơ

1

 f  x  dx    4 x

Ta có

Lời giải

Câu 15. Cho hàm số f  x   sin 3 x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A.

 f  x dx  cos3x  C .

 f  x  dx 

 f  x  dx   sin 3xdx 

Ta có 2

ò 1

 f  x dx  3cos3x  C .

 f  x  dx  3 cos 3x  C .

Lời giải 1 cos 3 x  C . 3 2

f ( x)dx = 3. Tính I = ò 3 f ( x ) dx.

Câu 16. Cho

1 cos 3 x  C . 3

KÈ

A. I = 3 .

C. I = 1

B. I = 9 .

D. I = 2

Lời giải

DẠ Y

Ta có I = ò 3 f ( x ) dx = 3 ò f ( x ) dx = 9 .

Câu 17. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên  và f ¢ ( x ) = x 2 . Tính I = f (1) - f (0). A. I =

1 . 2

B. I = 3 .

C. I = 1 .

D. I =

1 . 3

Lời giải 1 3

Câu 18. Tìm phần ảo b của số phức z biết z = 3 + 4 i . B. b = 4 .

b = - 4.

C. b = - 3 .

Lời giải Ta có z = 3 - 4i Þ b =-4. Câu 19. Số phức 3  4i có phần thực bằng B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

A. 2 .

A. b = 3 .

Ta có I = f (1) - f (0) = ò f ¢ ( x ) dx = ò x 2 dx = .

NH Ơ

Lời giải

Theo định nghĩa số phức z  a  bi có phần thực là a nên số phức 3  4i có phần thực bằng 3 . Chọn đáp án B

Câu 20. Trong tập số phức  , phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1  2i và A. z  2z  3  0 .

B. z  2z  3  0 .

1  2i là nghiệm?

C. z  2z  3  0 . 2

z 2  2z  3  0 .

Lời giải

 z  1  2i z  z  2 Ta có  1  1 2  z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình  z2  1  2i  z1.z2  3

KÈ

z 2  2z  3  0 .

Chọn đáp án C

DẠ Y

Câu 21. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 1a .

21 2a3 . 4

B. V 

C. V 

21 2a3 . 2

21 3a3 . 4 Lời giải

a2 3 , chiều cao h  2 1 a . 4

Diện tích đáy S 

V

21 3a3 . 2

A. V 

V  S .h 

Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 1a là

21 3a 3 Chọn đáp án D 4

 NPQ  , đồng thời

Câu 22. Cho tứ diện MNPQ . Biết rằng mặt phẳng  M N P  vuông góc với mặt phẳng

NPQ là hai tam giác đều có cạnh bằng

 M NP và

NH Ơ

theo a thể tích V của khối tứ diện MNPQ . A. V  64a .

B. V 128a .

V  192a . 3

C. V  64 3a 3 .

8 a . Tính

Lời giải

Q H

KÈ

Gọi H là trung điểm cạnh NP .

DẠ Y

Do tam giác M N P đều nên M H  N P 1 

 MNP    NPQ  Mà   2  MNP    NPQ   NP Từ 1  và  2  suy ra MH   NPQ  hay MH là đường cao của hình chóp

1  8a  3 8a 3 . 3 4 2

 64a . 3

Chọn đáp án A.

1 Vậy thể tích của khối tứ diện MNPQ là V  S NPQ .MH  .

A. 1 6  .

B. 3 2  .

C. 4 8 .

D. 24 .

Lời giải

Câu 23. Cho khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng 2 , chiều cao bằng 12 . Tính thể tích của khối nón tròn xoay đã cho.

1 1 Ta có công thức tính thể tích V của khối nón là V   r 2 h   .4.12  16 . 3 3

Chọn đáp án A.

A. V  45 cm3 .

NH Ơ

Câu 24. Một khối trụ có bán kính đáy r  3cm và độ dài đường cao h  5 cm . Thể tích của khối trụ đó bằng C. V  75 cm3 .

B. V  15 cm3 .

V  34 cm3 .

Lời giải

 

Chọn đáp án A.

2 2 3 Thể tích khối trụ là: V   r h   .3 .5  45 cm .

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho tam giác A B C có A 1; 3; 0  , B  2; 4; 3  , C  0; 2; 3  . Tọa độ trọng tâm G của tam giác A B C là

A. G 1;3;2  .

B. G  3; 9; 2  .

3 9  2 2 

C. G  ; ;3  .

KÈ

G  3;1;3  .

Lời giải

Tọa độ trọng tâm của tam giác A B C là: G 1;3; 2  .

DẠ Y

Chọn đáp án A.

Câu 26. Phương trình mặt cầu tâm I (1;2; 1) và bán kính r  3 là A. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9 .

B. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  3 .

D. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  3 .

C. ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9 . Lời giải

Do đó, phương trình mặt cầu đã cho là

( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9

( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  r 2 .

Nếu mặt cầu có tâm I (a ; b ; c) và bán kính r thì phương trình măt cầu là

Vì vậy, chọn đáp án A.

Câu 27. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;2;1) và song song với hai giá của hai



vectơ a  (1;2; 1) , b  (1;3; 4) là

NH Ơ

A. 11x  3y  5z 10  0 .B. 11x  3 y  5z  22  0 . C. 11x  3y  5z  0 .

D. 11x  3y  5z 12  0 .

Lời giải



 

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n  [a ; b ]  (11; 3;5). Do đó, phương trình mặt phẳng là

11(x 1)  3( y  2)  5(z 1)  0 hay 11x  3y  5z 10  0 Vì vậy, chọn đáp án A.

Câu 28. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tam giác A B C có A   1; 3; 2  , B  2; 0; 5  và C  0;  2;1 . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác A B C là

x 1 y  3 z  2 .   2 2 4

KÈ

A. C.

x  2 y  4 z 1 .   1 3 2

x 1 y  3 z  2 .   2 4 1

x 1 y  3 z  2 .   2 4 1

Lời giải



DẠ Y

x 1 y  3 z  2 Ta có: M 1;  1; 3  ; AM   2; 4;1 . Phương trình AM :   2 4 1 Chọn đáp án D. Câu 29. Bạn Nam có một hộp bi gồm 2 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu trắng. Bạn Định cũng có một hộp bi giống như của bạn Nam. Từ hộp của mình, mỗi bạn chọn ngẫu

9 . 25

2 . 5

3 . 5

1 . 25

nhiên 3 viên bi. Xác suất để trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau là

Lời giải

Ta có: n     C 63 .C 63  400 .

Gọi A là biến cố trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau. Khi đó, có các trường hợp xảy ra như sau: TH1: Mỗi bạn chọn được 1 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu trắng. Khi đó số cách chọn có thể xảy ra là C21 .C42 .C21 .C42  144 .

Do đó P  A  

160 2  400 5

Chọn đáp án B.

NH Ơ

Vậy n  A   144  16  160 .

TH2: Mỗi bạn chọn được 2 viên bi màu đỏ và 1 viên bi màu trắng. Khi đó số cách chọn có thể xảy ra là C22 .C41 .C22 .C41  16 .

Câu 30. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

khoảng  2;    .

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 0  .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 0  .

Lời giải

 2;    .

KÈ

Tập xác định: D   . Đạo hàm: y  4 x 3  4 x .

DẠ Y

x  1 y  1 Xét y  0  4x  4x  0   x  0  y  2 .   x  1  y  1

Bảng biến thiên:

B. Hàm số nghịch biến trên

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

AL CI

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng  2;    .

m2 x 1 Câu 31. Tìm giá trị âm của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  trên đoạn x2

A. m   2 .

B. m   3 .

1; 3 bằng 1.

C. m   4 .

Lời giải

2m2  1

 x  2

NH Ơ

Ta có: y 

Tập xác định: D   \  2 .

D. m   2 .

 0, x  2 .

3m2 1 1  m   2 Hàm số đồng biến trên đoạn 1; 3 nên max y  y  3  1;3 5

(vì m  0 ).

a  2 b bằng

4x  6  0 là  a ; b  . Giá trị biểu thức x

C.  1 .

B. 0 . Lời giải

A. 1.

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình log 1

KÈ

 x  0  4x  6  0   x 4x  6    x  3 0   Ta có: log 1  0  2 x 5  4x  6   1   4x  6    x  1  0 5 

DẠ Y

 x  0  x  0    3  3  3   x  2   x   2  x   . 2 2   3x  6 2  x  0  0  x

D.  2 .

3  3   a  2; b    a  2b  1. 2 2

 

Tập nghiệm của bất phương trình S  2;

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  10  0,

 x   2  2t điểm A 1; 3; 2  và đường thẳng d :  y  1  t . Tìm phương trình đường thẳng z  1 t   cắt  P  và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm cạnh

x  6 y 1 z  3 .   7 4 1

x  6 y 1 z  3 .   7 4 1

x  6 y 1 z  3 .   7 4 1 x  6 y 1 z  3 .   7 4 1

MN .

NH Ơ

Lời giải

Ta có M   d       M   d  . Giả sử M   2  2 t ,1  t ,1  t  , t   Do A là trung điểm M N nên N  4  2t ; 5  t ; t  3  . Mà N   P  nên ta có phương trình 2  4  2t    5  t    3  t   10  0  t   2 .

Do đó, M   6;  1; 3  .

 AM    7;  4;1  là vectơ chỉ phương của đường thẳng  .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

x  6 y 1 z  3 .   7 4 1

Câu 34. Cho các số phức z1  2  3i , z2  4  5i . Số phức liên hợp của số phức

w  2  z1  z 2  là

KÈ

A. w  8  10 i . w  2 8i .

B. w  12  8 i .

C. w  12  16 i .

Lời giải

DẠ Y

Ta có w  2  6  8i   12  16 i  w  12  16 i .

Câu 35. Trong không gian với Oxyz , cho các điểm A 1; 0; 3  , B  2; 3;  4  , C   3;1; 2  . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABC D là hình bình hành.

A. D   4;  2; 9  .

B. D   2; 4;  5  .

C. D  4; 2; 9  .

D  6; 2;  3  .



Ta có BA    1;  3; 7  , gọi D  x ; y ; z  , C D   x  3; y  1; z  2  .

Lời giải

z  9 

z  2  7 

 x  3  1  x  4     ABC D là hình bình hành khi BA  CD   y  1  3   y   2  D   4;  2; 9 

3a . 4

a . 2

NH Ơ

Câu 36. Cho hình chóp tam giác đều S A B C có đáy A B C với cạnh đáy bằng a . G là trọng tâm  A B C . Góc giữa mặt bên với đáy bằng 60 . Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng  SBC  bằng 3a . 2

a . 4

Lời giải

Gọi I là trung điểm của BC .

Trong mặt phẳng  SAI  , kẻ G H  SI (1)

KÈ

 BC  AI Ta có   BC  ( SAI )  BC  GH (2)  BC  SI

DẠ Y

Từ (1) và (2)  GH  (SBC)  d(G;(SBC))  GH . ( SBC )  ( ABC )  BC   SIG   60 . Có  SI  BC  (( SBC ); ( ABC ))  ( SI ; AI )  SIA  AI  BC 

a 3 a 3 3 a  GH  GI sin 60    . 6 6 2 4

1 3

Ta có GI  AI 

Câu 37. Cho hình chóp S . A B C D có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng S A vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a . Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng

( ABCD) là  , khi đó tan  nhận giá trị nào trong các giá trị sau: B. tan  

2 . 2

C. tan   3

A. tan   2 .

NH Ơ

Lời giải

tan   1 .

Ta có: SA  ( ABCD)  SA  CD

CD  AD   Khi đó: CD  SA   CD  (SAD)  CD  SD SA, AD  (SAD)

Ta có: ( ABCD)  (SCD)  CD

KÈ

Trong mp ( ABCD) AD  CD

Trong mp (SCD)

DẠ Y

SD  C D

Nên    ADS Theo bài ra  S A D vuông cân tại A nên    ADS  45

Và tan   1 . Chọn đáp án D. 

Câu 38. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  và có các tích phân

 f (tan x)dx  1

C. 4. Lời giải

Đặt t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  dx 

dt 1 t2

 4

 t 1

NH Ơ

x

Khi x  0  t  0

Theo giả thiết ta có:  4

 0

D. 6.

B. 2.

x 2 f ( x) 0 x 2  1  2 . Tính tích phân I  0 f (x)dx . A. 3 .

và

1 f t  f  x dt  dx  1 . 2  1 t 1  x2 0 0

f (tan x)dx  1  

1 1 1 f  x x 2 f ( x) 1   0 x 2  1  0 1  x 2  1  f  x  dx  0 f  x  dx 0 x 2  1 dx 2

  f  x  dx   0

1 x2 f  x  f  x dx  dx  2  1  3 2  x 1 x2  1 0

Suy ra : Đáp án A.

Câu 39. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f '  x  là

DẠ Y

KÈ

một hàm bậc 3, như hình vẽ sau:

AL CI FI B. 0 .

1 2 x  2 x  2021 là 2

C. 1 .

A. 3 .

Số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f  x  

NH Ơ

Lời giải

x  0 Ta có: g   x   f   x   x  2 ; g   x   0  f   x   x  2   .  x  2

DẠ Y

KÈ

Bảng biến thiên hàm số g  x  :

Số điểm cực tiểu của hàm số g  x  là 2.

D. 2 .

Câu 40. Tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình:

A. 12 .

B. 13 .

27 x  8 x  3.4 x  2.3x  5.2 x  3  0 là C. 15 .

D. 19 .

Lời giải

27 x  8 x  3.4 x  2.3x  5.2 x  3  0

có

  3x   2.3x   2 x  1  2  2 x  1

1

 27x  2.3x   8x  3.4x  3.2x 1  2  2x 1

Xét hàm số f  t   t 3  2t trên  ta có

f   t   3t 2  2  0,  t   vậy hàm số f  t   t 3  2t luôn đồng biến trên  x

NH Ơ

 2 1 Mà 1  f  3   f  2  1  3  2  1        1  3 3 x

 2

 2 1 2  2 1 1 Xét hàm số g  x        có g   x     .ln      .ln    0, x    3 3 3  3 3 3 x

 2 1 Vậy hàm số g  x        nghịch biến trên  .  3 3

Mà  2   g  x   g 1   x  1

Vậy tập hợp các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình là 1, 2, 3, 4, 5 .

Tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình: 1  2  3  4  5  15 .  x2  1

KÈ

Câu 41. Cho hàm số f ( x)  

DẠ Y

8 A.  . 3

2 x  3

khi x  1 . Tích phân I    2 x  4  . f '  x  dx bằng khi x  1 0

23 . 3

22 . 3

Lời giải

u  2x  4 du  2dx  dv  f '  x  dx v  f  x 

Đặt 

Nên I    2 x  4  . f '  x  dx   2 x  4  . f  x  0  2  f  x dx ; ta có f (0)  3 0

8 . 3

2 1  I  4. f  0   2  f ( x)dx  12  2   f ( x)dx   f ( x)dx  0 1 0 

Suy

Câu 42. Cho số phức z 



3  5i



2021

. Gọi A là phần ảo của số phức

A . 15

C. Lời giải

Ta có:

3  5i



2021

k   C2021 k 0

Phần ảo của số phức 1010

2 m1 A   C2021 m0

Vậy

 3

z là

2021 2 m1

 5

A  . 5

2021k

 5 i k

2 m1

A . 5



NH Ơ

z

A . 3

A . 3 5

z . Phép toán nào

sau đây cho kết quả là một số nguyên?

2 1  8  12  2    2 x  3  d x    x 2  1 d x    3 1 0 

 1

1010

2 m1   C2021  1 .31010m.5m. 5 . m

m0

B. 4a 3 3 .

DẠ Y

KÈ

A. 2a 3 3 .

Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều S . A B C D , O là giao điểm của A C và BD . Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S . A B C D theo a .

Gọi M là trung điểm của CD ,

C. 6a 3 3 . Lời giải

D. 8a 3 3 .

trong  SOM kẻ đường cao O H .

 OH   SCD   d  O ;  SCD    OH  a .

Đặt C M  x . Khi đó O M  x , SM  x 3 ,

Ta có: SM .OH  SO .OM  x 3.a  x 2.x  x 

a 6 2

 CD  a 6, SO  a 3

SM 2  x 2  x 2 .

SO 

B. V =

290 p cm 3 . 3

C. V =

Lời giải

KÈ

260 p cm 3 . 3 520 p V= cm 3 . 3

A. V =

NH Ơ

1 1 1 VS . ABCD  .S ABCD .SO  .CD 2 .SO  .6a 2 .a 3  2a 3 3 . 3 3 3 Câu 44. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm và một hình tròn có bán kính 5cm được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ bên. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục X Y .

DẠ Y

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 4 4 500p • Thể tích khối cầu V1 = p R 3 = p53 = . 3 3 3

580 p cm 3 . 3

• Gọi V2 là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( H ) (phần tô màu) được

Vậy thể tích cần tính: V = V1 + 2V2 =

520p 3 cm . 3

Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x  1  y  2  z  3 ,

Câu 45. Trong không gian

10p . 3

¾¾ ®V2 = p ò 42 - (25 - x 2 ) dx =

giới hạn bởi đường thẳng y = 4, đường tròn y 2 = 25 - x 2 và x = 4 quanh trục hoành

1

x 1 y  4 z  2 và điểm M  0;  1; 2  . Phương trình đường thẳng đi qua   2 1 4 điểm M và cắt cả d1 và d2 là x y 1 z  3 .   9 9 16

x y 1 z  2 .   9 9 16

NH Ơ

d2 :

x y 1 z  2 .   3 3 4 x y 1 z  2 .   9 9 16

Lời giải

Gọi  là đường thẳng cần tìm và A, B lần lượt là giao điểm của  với d1 và d2 .



Khi đó A 1  a ;  2  a ; 3  2 a  và B   1  2b; 4  b; 2  4b  .



Suy ra MA   a 1; a 1;2a 1 và MB   2b 1; b  5;4b .

A, B, M

Vì

thẳng

hàng

nên

KÈ

7  a  2 a  1  k  2b  1 7      1  a  . k : MA  k MB  a  1  k  b  5   k     2 2    b  4 2a  1  k  4b  kb  2  



DẠ Y

Do đó MB   9;9; 16 là một véc-tơ chỉ phương của  .



Đường thẳng  đi qua M và có một véc-tơ chỉ phương u   9; 9;16 nên có phương trình chính tắc là

x y 1 z  2 .   9 9 16

8 và đồ thị của 3

Câu 46. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  . Biết f  1  

hàm số y  f   x  như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực đại của hàm số

x3  2 x 2  4 x là 3

A. 4 .

B. 3 .

g  x   f  x  1 

C. 2 .

D. 1.

Đặt h  x  f  x 1 

NH Ơ

Lời giải

x3  2 x2  4 x 3

 h   x   f   x  1   x 2  2 x  1  2  x  1  1 .

2  h   x   0  f   x  1   x  1  2  x  1  1

Đặt t  x  1  f   t    t  12 1

DẠ Y

KÈ

Dựa vào đồ thị ta có:

t  1 Phương trình 1  f   t    t  12     t  a  a   1

BBT:

 x  2 x  a 1 . 

AL CI FI

8 Ta có h  2   f  1   h  2   0 3

Vậy hàm số g  x   h  x  có 1 cực đại.

æ 1

cos2 çç x +m÷÷÷ 1 ç + log 2 x + sin ( x + m ) = 3 è ln 2 ø ? ln 2 2

A. 2 0 2 1 .

3.x

log 2 3

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên m    2021; 2021 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:

B. 4 0 4 1 .

C. 2 0 2 0 .

D. 4 0 4 0 .

NH Ơ

Lời giải

+) Điều kiện: x > 0 +) Phương trình 3.x

1 cos2 çç x +m÷÷÷ æ 1 ö÷ èç ln 2 ø ç + (log 2 x + 1) = 1 - sin ç x + m÷÷ + 3 çè ln 2 ø 2

Û3

log 2 x +1

æ 1

cos2 çç x +m÷÷÷ 1 ç + log 2 x + sin ( x + m ) = 3 è ln 2 ø ln 2 2

æ 1 ö cos2 çç x +m÷÷÷ èç ln 2 ø

Û3

log 2 x +1

log 2 3

+ (log 2 x + 1) = 3

æ 1 ö + cos 2 çç x + m÷÷÷ (*) çè ln 2 ø

Xét hàm số f (t ) = 3t + t

t Ta có: f ¢ (t ) = 3 .ln3 +1 > 0, "t

KÈ

Suy ra phương trình (*) Û log 2 x + 1 =

DẠ Y

Đặt g ( x ) = log 2 x g¢ (x ) =

1 1 x + m Û log 2 x x = m -1 ln 2 ln 2

1 x , "x > 0 ln 2

1 1 ; x . ln 2 ln 2

BBT cho hàm y = g ( x )

g¢ (x ) = 0 Û x = 1

AL FI

CI mà m   , m    2020; 2020  Þ m Î [- 2021; - 1]

1 1 Û m £ 1ln 2 ln 2

Từ bảng biến thiên phương trình có nghiệm Û m -1 £ -

Vậy có tất cả 2 0 2 1 giá trị m thỏa mãn điều kiện bài.

Câu 48. Cho hàm số f  x  xác định, liên tục, có đạo hàm cấp hai trên khoảng   1;   

NH Ơ

đồng thời thỏa mãn các điều kiện f   0    1 và  f   x    f   x  , f (3) =- ln4 . 2

Khi đó diện tích giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) và các đường thẳng

x = 2, x = 3 bằng bao nhiêu?

C. 4 ln 2  3 ln 3  1 .

B. 8 ln 2  3 ln 3  1 .

A. 8 ln 2  ln 3  1 .

D. 8 ln 2  3 ln 3  1 . Lời giải

 1  1  1   Ta có:  f   x    f   x   1     x  c  2 f  x  f   x    f   x  2

1 . x  c

KÈ

 f  x 

f   x 

Mà f   0    1 nên c   1 .

DẠ Y

 f ¢ ( x) =

1 1 Þ f ( x) = ò dx =-ln x +1 +C -x -1 -x -1

Có : f (3) =- ln4 Þ-ln(4) + C =-ln(4) Þ C = 0 Vậy : f ( x) =- ln( x +1) .

Khi đó : S = ò - ln( x + 1) dx = -ò ln( x + 1) dx = ò ln( x + 1) dx = 8ln2 - 3ln3-1 .

Chon đáp án B.

Câu 49. Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 1 i  z2  7  4i  5 , z3  m , m là đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  z1  z 3  z 2  z 3 là

B. 5 .

C. Lời giải

26 .

A. 2 5 .

tham số. Khi z1  z 2

29 .

Gọi F, E lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 . Khi đó F là điểm nằm

NH Ơ

B  7; 4  bán kính R2  5 .

trên đường tròn tâm A 1;1 bán kính R1  5 , E là điểm nằm trên đường tròn tâm

KÈ

z1  z2  FE đạt giá trị nhỏ nhất khi F , E nằm trên đoạn thẳng AB .

DẠ Y

Khi đó A, B, E , F thẳng hàng và AF  FE  EB  5 .

Suy ra F  3; 2  , E  5;3 .

 1    AF  x  1; y  1 ; AF  AB   1 1  3     1   Đặt F  x1 ; y1  , E  x2 ; y2  . Ta có:  EB   7  x2 ; 4  y2  ; EB  AB 3    AB   6;3  

Gọi G là điểm biểu diễn của số phức z 3 thì G  m;0  nằm trên trục hoành và

P  z1  z3  z2  z3  FG  EG .

Gọi E ' là điểm đối xứng với E qua trục hoành thì EG  FG  E G  FG  E F .

Dấu “=” xảy ra khi F , G, E ' thẳng hàng và F  3; 2  , E   5; 3 nên E F  29 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P  z1  z3  z2  z3 là

NH Ơ

Câu 50. Trong mặt phẳng toạ độ

 x  2    y  1   z  3 2

29 .

Oxyz

cho mặt cầu

S 

có phương trình

 3 . Xét khối trụ T  có trục song song với trục Ox

và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  . Khi T  có thể tích lớn nhất, giả sử phương trình các mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của

T 

là

x  by  cz  d  0 và x  by  cz  d '  0  d  d   . Giá trị của 2d  d  bằng A. 1.

C. 6 .

D. 3 .

Lời giải

DẠ Y

KÈ

B. 2 .

Mặt cầu  S  có tâm I (2; 1;3) và bán kính R  3 . Giả sử khối trụ T  có bán kính đáy r và chiều cao h ( 0  r  R, 0  h  2 R ), ta có R2 

h2  r2 . 4



đó



   h2  h3  h3  Thể tích khối trụ T  là V   r 2 h    R 2   h    R 2 h      3h   , 4 4 4     h3  f  h     3h   , 0  h  2 3 , Đặt khi 4 

 3  f   h     3  h2  , f   h   0  h  2 .  4  Ta có bảng biến thiên

Vậy khối trụ T  có thể tích lớn nhất khi h  2 .

NH Ơ

Giả sử khối trụ có tâm hai đáy là O1 và O2 khi đó O1O2  2 . Vì tâm mặt cầu là trung   điểm O1O2 nên IO1  IO2  1 . Theo giả thiết ta có O1O2 / / Ox nên IO1  i , ta có thể     giả sử IO1  i  1;0;0  khi đó IO2  i   1;0;0  . Mà I (2; 1;3) nên O1   3; 1;3 và O2  1; 1;3 .

 Ta có hai mặt phẳng đáy của khối trụ có véctơ pháp tuyến i  1;0;0  và lần lượt đi qua O1 và O2 nên có phương trình lần lượt là x  3  0 và x  1  0 do đó

2d  d   2.  1   3  1 . Chọn đáp án A.

DẠ Y

KÈ

-----------HẾT-----------

Ma trận đề minh họa 2021 môn Toán

Đơn điệu của HS

3 , 30

Cực trị của HS

4, 5,39,46

Đạo hàm và Min, Max của 31 hàm số ứng dụng Đường tiệm cận

Khảo sát và vẽ đồ thị

7,8

FI 1

Lũy thừa - mũ 9, 11 - Logarit

HS Mũ Logarit

1 8

PT Mũ Logarit

12, 13, 47

BPT Mũ Logarit

32,40

Phép toàn

5 1

PT bậc hai theo hệ số thực Nguyên hàm

N NH Ơ

KÈ DẠ Y Nguyên

Định nghĩa và 18,20,34,42,49 2 tính chất

Số phức

Hàm số mũ - Logarit

Dạng bài

Lớp Chương

Tổng Tổng dạng Chương NB TH VD VDC bài Mức độ

Trích dẫn đề Minh Họa

14, 15

1 1

16,17,33,41

Ứng dụng TP 44, 48 tính diện tích

Đa diện lồi Đa diện đều

21, 22, 43

Khối nón

Khối trụ

KÈ

Phương trình đường thẳng Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp

DẠ Y 11

26, 37, 50

Hình học

1 3

Cấp số cộng ( 2 cấp số nhân)

Góc

28, 38, 45

Xác suất

Giải tích trong không Phương trình gian mặt phẳng

Phương trình mặt cầu

Thể tích khối đa diện

Phương pháp tạo độ

Ứng dụng TP tính thể tích

Khối cầu

Tổ hợp xác suất

Khối tròn xoay

NH Ơ

Khối đa diện

Tích phân

Hàm - Tích Phân

1 1

Khoảng cách

1 20

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

Tổng

không gian

A. 420 .

C. C204 .

B. 204 .

Câu 1. Lớp 12A có 20 học sinh. Số cách chọn 4 học sinh từ lớp 12A đi lao động là

D. A204 .

1 . 2

C. -3 .

D. 2 .

A. 3 .

Câu 2. Cho cấp số nhân  un  có u2  3 và u3  6 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

Khẳng định nào sau đây sai?

NH Ơ

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên dưới.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;  1 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;    .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;    .

Câu 4. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

KÈ

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là A. 2 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . 2 Câu 5. Cho hàm số f  x  có f   x   x  x  1 x  2  . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

DẠ Y

A. 4 .

Câu 6. Cho hàm số y  A. 0 .

C. 1.

B. 3 .

D. 2 .

2021 có đồ thị  H  . Số đường tiệm cận của  H  là? x  2020 B. 2 . C. 3 . D. 1 .

Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong như hình bên? A. y  x3  3 x  1 . 4

B. y   x3  3 x  1 . C. y   x3  x  1 . D. y   x3  2 x 2  x  2 .

Câu 8. Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c  a  0  có đồ thị như hình bên. Xác định dấu của a , b , c .

Với a , b là hai số thực dương tuỳ ý, log  ab 2  bằng

1 B. log a  log b . 2

A. 2  log a  log b .

Câu 9.

a  0, b  0, c  0 . a  0, b  0, c  0 . a  0, b  0, c  0 . a  0, b  0, c  0 .

A. B. C. D.

C. 2log a  log b .

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y  e 2 x 3 là

1 B. y  e 2 x 3 . 2

C. y   2 x  3 e 2 x 3 . D. y  2 xe 2 x 3 .

NH Ơ

A. y  2e 2 x 3 .

D. log a  2log b .

Câu 11. Với x  0 . Biểu thức P  x 5 x bằng 7 5

6 5

A. x .

B. x .

1 5

C. x .

Câu 12. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x B. 2 .

x

D. x .

 1 bằng : D. 1 .

C. 0 .

A. 1 .

4 5

Câu 13. Tập nghiệm S của phương trình log 5  3 x  1  2 là:

 26  B. S    . 3

A. S  3 .

 31  D. S    . 3

C. S  8 .

Câu 14. Cho hàm số f  x   e3 x  2 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.

 f  x  dx  3 e

 f  x  dx  3e

 2x  C .

 f  x  dx  e

 2x  C .

 f  x  dx  3 e

KÈ

Câu 15. Họ các nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

DẠ Y

A. F  x   x  ln  x  1  C . C. F  x   x  2 ln  x  1  C .

Câu 16. Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;4 với A.  2 .

B. 3 .

 2x  C . 3x

 2x  C .

x3 là x 1 B. F  x   x  ln x  1  C .

D. F  x   x  2 ln x  1  C . 4



f  x  dx  3 . Tính

 1  2 f  x  dx . 1

C. 0 .

D. 9 .

 1  x 

dx  2 ln b 

A. 7 .

a , biết a, b   . Tính a  b 3

B. 6 .

C. 7 .

D. 6 .

Câu 17. Tích phân

Câu 18. Xác định phần thực và phần ảo của số phức z  5  7i . A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7i .

B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7 . C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7.

D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7i . Câu 19. Cho số phức z  3  4i . Số phức w= z  4  2i bằng A w  1 2i .

D. 1  6i .

C. 1  2i .

B. w  7  6i .

Câu 20. Cho số phức z  (1  i ) 2  3  2i được biểu diễn biểu điểm M , M ' là điểm đối xứng với M qua trục Oy . Độ dài đoạn MM ' là: B. 6 .

C .6

D. 8 .

A. 2 2 .

Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  a, AC  a 5 .

NH Ơ

SA  ( ABCD) và SA  2a .

Thể tích khối chóp S .BCD là:

B. VS .BCD 

A. VS .BCD  4a 3 .

D. VS .BCD

4a 3 . 3

D C

Câu 22. Cho tứ diện ABCD biết

2a 3  3

C. VS .BCD  2a

AB  2 , AC  3 , AD  4

và AB, AC , AD đôi một vuông góc.

A. V  24 .

KÈ

C. V  6 .

Tính thể tích V của khối tứ diện.

B. V  12 . D. V  4 .

Câu 23. Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là 1 A. V   r 2 h . 3

B. V   rh .

C. V  2 rh .

D. V   r 2 h .

DẠ Y

Câu 24. Một hình trụ có đường kính đáy 6 cm và độ dài đường cao h  5 cm . Thể tích của khối trụ đó bằng A. 60 cm3 . B. 180 cm3 . C. 30 cm3 . D. 45 cm3 .

















Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A(1;1; 2) , B(0;1; 2) và C (5;1;3) . Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là A. (4; 2; 2) .

B. (2;0; 2) .

C. (2;1;1) . 6

D. (1;0; 1) .

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  2    y  1   z  3  25 . Tâm của mặt cầu 2

 S  có tọa độ là B.  2;1; 3 .

Câu 27. Trong không gian

D.  2;1;3 .

C.  1; 2; 3 .

Oxyz , cho mặt phẳng

 P  : 2 x  y  3z  5  0

A.  2; 1;3 .

và các điểm

M  2; 3;1 , N 1;0;1 , P  1; 1; 2  . Có bao nhiêu điểm đã cho thuộc mặt phẳng ( P ) ?

A. B. 2 . C. 3 . D. 1. 0.   Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho u 1;3; 2  . Đường thẳng nào sau đây nhận véc tơ u làm véc tơ chỉ phương:

x  t  B.  2 :  y  3  t .  z  2t 

x  2  t  C.  2 :  y  1  3t .  z  2  2t 

x  2  t  D.  4 :  y  1  3t .  z  2  2t 

NH Ơ

 x  1  2t  A. 1 :  y  3  t . z  2  t 

Câu 29. Một hộp đựng 9 cây bút chì được đánh số từ 1 đến 9. Xác suất để chọn được 2 cây bút có số ghi lẻ bằng 1 2 5 5 A. . B. . C. . D. . 9 9 8 18 Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên  ? B. f  x  

2x 1 . x 1

D. f  x   x 2  4 x  1 .

C. f  x   x 3  3 x 2  3 x  4 .

A. f  x   x 4  2 x 2  4 .

2021 trên đoạn  1;1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2 A. Hàm số có cực trị trên khoảng  1;1 .

Câu 31. Xét hàm số y  x  2020 

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn  1;1 .

KÈ

C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  1 và đạt giá trị lớn nhất tại x  1 . D. Hàm số nghịch biến trên đoạn  1;1 .

DẠ Y

3 Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình   4

1  A.  ; 2  . 2 

B.  ; 2 .

2 x 2 5 x



16 là: 9

1  C.  ;    2;   . 2 

1  D.  ;   . 2 

Câu 33. Cho

hàm

f  x

số

liên

tục



trên

và

thỏa

 f  x  dx  2 .

mãn

Tính

1

I    f  2 x  1  2 x  1 dx . 0

A. I  11 .

C. I  14 .

B. I  3 .

D. I  6 .

D. 1 .

C. 6 .

B. 1 .

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  biết

A. 0 .

Câu 34. Cho số phức z có điểm biểu diễn hình học là M (2; 3) . Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w  zi  5i .

a 3 . 2

Gọi I là trung điểm của AB . Tính góc giữa đường thẳng CI và mặt phẳng  ABC  .

tam giác ABC vuông tại B, AB  a, BC  a 2, AA 

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

NH Ơ

A. 30 .

Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A¢ B¢C ¢

3a 6 . 2 Gọi M là trung điểm A¢ C ¢ , N là điểm thỏa mãn    AN + 2CN = 0 . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( A¢ BN ) bằng

a 3 . 2 3a 3 C. . 4

có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , AA¢ =

a 3 . 4 3a 3 D. . 2

N A

C B

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm: A 1;3;0 , B  1;1;2 , C 1; 1;2 . Mặt cầu  S  có tâm I

là trung điểm đoạn thẳng AB và  S  đi qua điểm C . Phương trình mặt cầu  S  là: A.  x  1   y  1   z  1  5 .

B. x 2   y  2    z  1  11 .

C. x 2   y  2    z  1  11

D. x 2   y  2    z  1  11 .

KÈ

Câu 38. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  2  0 và điểm M  2;0;1 . Phương

DẠ Y

trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng  P  là  x  2  2t  A.  y  t . z  1 t 

 x  2  2t  B.  y  t . z  1 t 

 x  2  2t  C.  y  1 . z  1 t 

 x  2  2t  D.  y  t . z  1 t 

Câu 39. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên  có đạo hàm y = f ¢ ( x) = ( x 2 - 4 x - 5)( x 2 -1) . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x 3 - 3 x 2 ) là 8

B. 7 .

A. 2 .

C. 6 .

D. 4 .

52 x 1  5 y  5 x  5 x 1 y  0 có không quá 2021 nghiệm nguyên? A. 2021 . B. 2010 . C. 2022 .

x 1

. Tích phân x 1

 1 e

D. 2019 .

f  ln x  1 dx bằng x

17 19 . B. . C. 4 . 2 2 Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2 và z 2  z  2.

D. 15,84

C. 0.

D. 2.

B. 1.

A. 3.

3 x 2  1, Câu 41. Cho hàm số f  x    5 x  1,

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y thì bất phương trình

Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C .

Biết góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 60 .

3a 3 . 12

3a 3 6

3a 3 8

3a 3 4

NH Ơ

Tính thể tích khối chóp S . ABC theo a .

B A

B. 61,32cm3 .

C. 59,78cm3 .

D. 58,79cm3 .

KÈ

A. 60,67 cm3 .

Câu 44. Một ống thủy tinh hình trụ có chiều cao 15, 7 cm và bán kính đáy 2, 02 cm đang chứa dung dịch H 2 SO4 . Khi đặt ống thủy tinh nằm ngang thì bề mặt dung dịch trên thành ống chiếm 39, 63% diện tích xung quanh ống. Tính thể tích dung dịch H 2 SO4 trong ống.

DẠ Y

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  4  0 và đường thẳng

x 1 y z  2   . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  , đồng thời 2 1 3 cắt và vuông góc với đường thẳng d . d:

x 1 y 1 z 1   . 5 1 3

x 1 y 1 z 1   . 5 1 3

x 1 y 1 z 1   . 5 1 2

x 1 y  3 z 1   . 5 1 3

Câu 46. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (0)  0 và hàm số y  f   x 

NH Ơ

2 Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x 2   x3 . 3 A. 3 . B. 7 . C. 6 .

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

D. 5 .

Câu 47. Cho phương trình: m x   x 2  1 m  x  x3  2 x  x 2 x 2  1 (1). Biết S   a; b  là tập các số thực dương m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Giá trị a  b gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 2,1 .

B. 3, 7 .

C. 6, 4 .

D. 5, 4 .

KÈ

Câu 48. Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Biết đồ thị hàm số f  x  đạt cực trị tại ba điểm C  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  , A  x3 ; y3   x1  x2  x3  thỏa:

DẠ Y

x1  x3  2 và hình vuông BFAD có diện tích bằng 1. Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch trên hình vẽ bên. Tính tỉ số

1 . 15

S1 S2

2 . 2

2 . 15

1 . Gọi m, M lần 2 lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  z1  2iz2 . Khi đó, m  M bằng

B. 2 34  65 .

19 13  65 . 13

19 13  34 . 13

A. 34  65 .

Câu 49. Cho z1 , z2 là 2 số phức thỏa mãn z1  2  i  z1  1  i  13 và z2  1  3i 

Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A(2;0;0), B  0;0; 1 và mặt cầu

( S ) : x 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  9 . Mặt phẳng  P  : x  ay  bz  c  0  a  0  đi qua A , B cắt ( S ) tròn  C  có thể tích lớn nhất. Khi đó 2a  b  3c bằng A. 4  3 2 .

C. 7 .

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

B. 4 .

theo giao tuyến là đường tròn  C  sao cho hình nón  N  đỉnh là tâm của  S  và đáy là đường

D. 4  3 2 .

4D 14D 24D 34A 44A

5C 15D 25C 35A 45A

6B 16B 26B 36C 46D

7B 17C 27B 37C 47B

8B 18B 28C 38A 48C

9D 19A 29D 39D 49A

3D 13C 23D 33B 43A

10A 20C 30C 40D 50D

[ Mức độ 1] Lớp 12A có 20 học sinh. Số cách chọn 4 học sinh từ lớp 12A đi lao động là A. 420 .

C. C204 .

B. 204 .

Lời giải

Câu 1.

2D 12D 22D 32A 42A

1C 11B 21D 31C 41A

HƯỚNG DẪN GIẢI

D. A204 .

Số cách chọn 4 học sinh trong số 20 học sinh để đi lao động là C204 .

A. 3 .

1 . 2

[ Mức độ 1] Cho cấp số nhân  un  có u2  3 và u3  6 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

NH Ơ

Câu 2.

C. -3 .

D. 2 .

Lời giải

Công bội của cấp số nhân đã cho là q  u3 : u2  6 : 3  2 . [ Mức độ 1] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên dưới.

Câu 3.

Khẳng định nào sau đây sai?

KÈ

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;  1 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;    .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;    .

DẠ Y

Lời giải Từ bảng biến thiên suy ra: Khẳng định hàm số đồng biến trên khoảng  2;   là sai. Câu 4.

[Mức độ 1] Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

AL CI

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là A. 2 . B. 1 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải

Từ BBT của hàm số f  x  suy ra hàm số đạt giá trị cực đại bằng 3 khi x  1 . Câu 5.

[Mức độ 2] Cho hàm số f  x  có f   x   x 2  x  1 x  2  . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là C. 1.

B. 3 .

A. 4 .

D. 2 .

NH Ơ

Lời giải

 x0 Xét phương trình f   x   0   x  1  x  2

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu. Câu 6.

2021 có đồ thị  H  . Số đường tiệm cận của  H  là? x  2020 B. 2 . C. 3 . D. 1 .

[ Mức độ 1] Cho hàm số y 

A. 0 .

Lời giải

2021  0   H  có tiệm cận ngang là y  0. x  x  2020

KÈ

Ta có lim y  lim x 

và lim  y  lim  x  2020

x  2020

2021     H  có tiệm cận đứng là x  2020. x  2020

DẠ Y

Vậy số đường tiệm cận của  H  là 2

Câu 7.

[Mức độ 1] Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong như hình bên?

B. y   x3  3 x  1 . D. y   x3  2 x 2  x  2 . Lời giải Từ đồ thị ta có hàm số đạt cực trị tại hai điểm x  1 và có hệ số a  0 . Trong các hàm số trên, ta có thể nhìn nhanh hàm số y   x3  3 x  1 có đạo hàm y  3 x 2  3 nên y  0 có hai nghiệm là x  1 và có hệ số a  0 .

[Mức độ 2] Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c  a  0  có đồ thị như hình bên. Xác định dấu của

Câu 8.

A. y  x3  3 x  1 . C. y   x3  x  1 .

NH Ơ

a ,b,c .

A. a  0, b  0, c  0 . C. a  0, b  0, c  0 .

B. a  0, b  0, c  0 . D. a  0, b  0, c  0 . Lời giải

Dựa vào hình dáng đồ thị ta có a  0 . Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị suy ra a, b trái dấu, mà a  0 suy ra b  0 . Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, suy ra c  0 .

[Mức độ 1] Với a , b là hai số thực dương tuỳ ý, log  ab 2  bằng

Câu 9.

A. 2  log a  log b .

1 B. log a  log b . 2

C. 2log a  log b .

D. log a  2log b .

Lời giải

[Mức độ 1] Đạo hàm của hàm số y  e 2 x 3 là

KÈ

Câu 10.

Ta có: log  ab 2   log a  log b 2  log a  2 log b.

A. y  2e 2 x 3 .

1 B. y  e 2 x 3 . 2

C. y   2 x  3 e 2 x 3 . D. y  2 xe 2 x 3 .

Lời giải

DẠ Y

Ta có: y  e 2 x 3    2 x  3 .e 2 x 3  2e 2 x 3

Câu 11.





[Mức độ 1] Với x  0 . Biểu thức P  x 5 x bằng 7 5

A. x .

6 5

1 5

B. x .

C. x . Lời giải 14

4 5

D. x .

1

Câu 12.

1 5

 x5 .

[Mức độ 1] Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x A. 1 .

x

 1 bằng : D. 1 .

C. 0 .

B. 2 . Lời giải 2

x

 1  x 2  x  0   x  1  x  0

Ta có: 2 x

Với x  0 ta có: P  x 5 x  x.x 5  x

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x  1, x  0 . Khi đó tổng hai nghiệm của phương trình bằng 1

 26  B. S    . 3

A. S  3 .

Câu 13. [ Mức độ 2] Tập nghiệm S của phương trình log 5  3 x  1  2 là:

Lời giải

NH Ơ

1 ĐKXĐ: x   . 3

Ta có: log 5  3 x  1  2  3 x  1  52  x 

25  1  x  8 (Thoả mãn ĐKXĐ). Vậy S  8 3

 f  x dx  3 e

 f  x dx  3e

 2x  C .

[ Mức độ 1] Cho hàm số f  x   e3 x  2 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.

Câu 14.

 f  x dx  e

 f  x  dx  3 e

 2x  C . 3x

 2x  C .

 e

1  2  dx  e3 x  2 x  C . 3

A. F  x   x  ln  x  1  C .

x3 là x 1 B. F  x   x  ln x  1  C .

C. F  x   x  2 ln  x  1  C .

D. F  x   x  2 ln x  1  C .

KÈ

[ Mức độ 2] Họ các nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

Lời giải

DẠ Y

Ta có: F  x    f  x dx   Câu 16.

Lời giải

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản ta có: Câu 15.

 31  D. S    . 3

C. S  8 .

x3 2   dx   1  dx  x  2 ln x  1  C . x 1  x 1 

[Mức độ 1] Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;4 với

A.  2 .

B. 3 .

C. 0 . Lời giải 15

 f  x  dx  3 . Tính  1  2 f  x  dx . D. 9 .

 1  2 f  x dx   dx  2 f  x  dx  3  6  3 Câu 17 [Mức độ 2] Tích phân

 1  x  dx  2 ln b  3 , biết a, b   . Tính 2

ab

B. 6 .

C. 7 .

D. 6 .

Lời giải

 2 4 2  2 4 4 d x   d x  2 ln 1  x   2 ln 3    2 1  x 2 2  1  x 1  x 2  2 1 x 2 3   4

a  4; b  3  a  b  7 .

Câu 18.

A. 7 .

Xác định phần thực và phần ảo của số phức z  5  7i .

[ Mức độ 1]

A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7i .

B. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7 .

NH Ơ

C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7. D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7i .

Lời giải

Số phức z  5  7i có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng -7. Câu 19.

[ Mức độ 1] Cho số phức z  3  4i . Số phức w= z  4  2i bằng A w  1 2i .

Lời giải

D. 1  6i .

C. 1  2i .

B. w  7  6i .

Ta có : w  3  4i  4  2i   1  2i

B. 6 .

C .6

D. 8 .

Lờigiải

KÈ

A. 2 2 .

Câu 20. [ Mức độ 1] Cho số phức z  (1  i ) 2  3  2i được biểu diễn biểu điểm M , M ' là điểm đối xứng với M qua trục Oy . Độ dài đoạn MM ' là:

Ta có: z  (1  i ) 2  3  2i  3  4i nên có tọa độ điểm biểu diễn là M (3; 4) M '(3; 4) là điểm đối xứng của M qua trục Oy . Suy ra: MM '  6

DẠ Y

Câu 21. [Mứcđộ 1] Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AC  a 5 . SA  ( ABCD) và SA  2a . Thể tích khối chóp S .BCD là: 4a 3  . 3

A. VS .BCD  4a .

B. VS .BCD

C. VS .BCD  2a 3

D. VS .BCD 

2a 3 3

Lờigiải

1 1 2a 3 VS .BCD  SA.S BCD  .2a.a 2  3 3 3

AB  a, AC  a 5  AD  2a 1 S BCD  S ABCD  a 2 2

B. V  12 .

A. V  24 .

Câu 22. [Mức độ 2] Cho tứ diện ABCD biết AB  2 , AC  3 , AD  4 và AB, AC , AD đôi một vuông góc. Tính thể tích V của khối tứ diện. D. V  4 .

C. V  6 . Lời giải

1 1 Ta có V  . AB. AC. AD  .2.3.4  4 . 6 6

1 A. V   r 2 h . 3

NH Ơ

Câu 23. [Mức độ 1] Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là B. V   rh .

D. V   r 2 h .

C. V  2 rh .

Lời giải

Ta có V  B.h   r 2 h .

[ Mức độ 1] Một hình trụ có đường kính đáy 6 cm và độ dài đường cao h  5 cm . Thể tích của khối trụ đó bằng A. 60 cm3 . B. 180 cm3 . C. 30 cm3 . D. 45 cm3 .









Câu 24.







Lời giải

Ta có bán kính đáy bằng R  3cm .





Thể tích của khối trụ đó bằng V   R 2 h   .32.5  45 cm3 . [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A(1;1; 2) , B(0;1; 2) và C (5;1;3) . Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là

KÈ

A. (4; 2; 2) .

Câu 25.

B. (2;0; 2) .

D. (1;0; 1) .

C. (2;1;1) . Lời giải

DẠ Y

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là 1+ 0 + 5 1 +1 +1 -2 + 2 + 3 xG = = 2, yG = = 1, zG = = 1. 3 3 3

Câu 26. [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  2    y  1   z  3  25 . Tâm 2

của mặt cầu  S  có tọa độ là A.  2; 1;3 .

B.  2;1; 3 .

C.  1; 2; 3 . Lời giải 17

D.  2;1;3 .

Gọi I là tâm mặt cầu  S   I  2;1; 3 . Câu 27. [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  3 z  5  0 và các điểm

C. 3 . D. 1.

B. 2 . Lời giải

M  2; 3;1 , N 1;0;1 , P  1; 1; 2  . Có bao nhiêu điểm đã cho thuộc mặt phẳng ( P ) ?

Ta có 1;0;1 ,  1; 1; 2  là nghiệm của phương trình: 2 x  y  3 z  5  0 . Nên có hai điểm

N , P thuộc mặt phẳng ( P ) .

  Câu 28. [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho u 1;3; 2  . Đường thẳng nào sau đây nhận véc tơ u

làm véc tơ chỉ phương:

 x  1  2t  A. 1 :  y  3  t . z  2  t 

x  t  B.  2 :  y  3  t  z  2t 

x  2  t  C.  2 :  y  1  3t .  z  2  2t 

x  2  t  D.  4 :  y  1  3t .  z  2  2t 

NH Ơ

Lời giải

Chọn C.

[ Mức độ 2] Một hộp đựng 9 cây bút chì được đánh số từ 1 đến 9. Xác suất để chọn được 2 cây bút có số ghi lẻ bằng 1 2 5 5 A. . B. . C. . D. . 9 9 8 18 Lời giải

Câu 29.

Chọn ngẫu nhiên 2 cây bút: n     C92  36 Biến cố A: “2 cây bút chọn được có ghi số lẻ” n  A   C52  10 n  A  10 5   . n    36 18

Vậy P  A  

KÈ

[ Mức độ 2] Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên  ?

2x 1 . x 1

A. f  x   x 4  2 x 2  4 .

B. f  x  

C. f  x   x 3  3 x 2  3 x  4 .

D. f  x   x 2  4 x  1 .

DẠ Y

Câu 30.

Lời giải

Xét hàm số f  x   x 3  3 x 2  3 x  4 Ta có f   x   3 x 2  6 x  3  3  x  1  0 với x   2

 f  x   x 3  3 x 2  3 x  4 đồng biến trên  . 18

[ Mức độ 2] Xét hàm số y  x  2020  A. Hàm số có cực trị trên khoảng  1;1 .

2021 trên đoạn  1;1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2

Câu 31.

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn  1;1 . C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  1 và đạt giá trị lớn nhất tại x  1 .

D. Hàm số nghịch biến trên đoạn  1;1 . Lời giải 2021

 x  2

 0x   1;1 suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng  1;1 .

y  1 

1  A.  ; 2  . 2 

2 x 2 5 x



16 là: 9

1  C.  ;    2;   . 2 

B.  ; 2 .

1  D.  ;   . 2 

Câu 32.

3 [ Mức độ 2] Tập nghiệm của bất phương trình   4

Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  1 và đạt giá trị lớn nhất tại x  1 .

3 Ta có:   4

2 x 2 5 x

16 3    9 4

2 x 2 5 x

NH Ơ

Lời giải 3   4

2

 2 x 2  5 x  2 (Vì 0 

 2 x2  5x  2  0 

[ Mức độ 2] 1

I    f  2 x  1  2 x  1 dx . 0

A. I  11 .

C. I  14 .

B. I  3 .

1  x  2. 2

Cho hàm số f  x  liên tục trên  và thỏa mãn

Câu 33.

3  1 ). 4

 f  x  dx  2 .

Tính

1

D. I  6 .

Lời giải 1

Ta có I    f  2 x  1  2 x  1 dx   f  2 x  1 dx    2 x  1 dx 1

KÈ

  f  2 x  1 dx   x 2  x    f  2 x  1 dx  2 . 0

DẠ Y

1 Đặt t  2 x  1  dx  dt . 2

Với x  0  t  1 ; x  1  t  1 . 1

1 1 1  I   f  t  dt  2   f  x  dx  2  .2  2  3 . 2 1 2 1 2

Câu 34. [ Mức độ 2] Cho số phức z có điểm biểu diễn hình học là M (2; 3) . Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức w  zi  5i . 19

A. 0 .

D. 1 .

C. 6 .

B. 1 .

Lời giải

Ta có : z  2  3i w  zi  5i  (2  3i )i  5i  3  3i

Vậy tổng phần thực và phần ảo của w bằng 0 .

[Mức độ 3] Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  biết tam giác ABC vuông tại B, AB  a, BC  a 2, AA  CI và mặt phẳng  ABC  .

a 3 . Gọi I là trung điểm của AB . Tính góc giữa đường thẳng 2

Câu 35.

NH Ơ

B. 45 .

A. 30 .

D. 90 .

C. 60 . Lời giải

DẠ Y

KÈ

C H B

Gọi  là góc giữa đường thẳng CI và mặt phẳng  ABC 

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng  ABC  , suy ra H là trung điểm của AB . . Khi đó    CH , CI   ICH 20

Xét tam giác IHC vuông tại H , có:







3a 2

a 3 a IH  AA  , CH  BH 2  BC 2     a 2 2 2

[Mức độ 3] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A¢ B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a ,    3a 6 . Gọi M là trung điểm A¢ C ¢ , N là điểm thỏa mãn AN + 2CN = 0 . Khoảng cách AA¢ = 2 từ điểm M đến mặt phẳng ( A¢ BN ) bằng A.

a 3 . 2

a 3 . 4

Câu 36.

3 a IH 1 2   30 . tan ICH    . Vậy    CH , CI   ICH 3 CH 3 a 2

3a 3 . 4

3a 3 . 2

NH Ơ

Lời giải

Ta có

Gọi E = AM Ç A¢ N . DA¢ ME  DNAE Þ

d ( M , ( A¢ BN )) d ( A, ( A¢ BN ))

ME A¢ M 3 = = . AE AN 4

ME 3 3 = Þ d ( M , ( A¢ BN )) = d ( A, ( A¢ BN )) . AE 4 4

Kẻ AH ^ BN ( H Î BN ); AK ^ A¢ H ( K Î A¢ H ) . Khi đó d ( A, ( A¢ BN )) = AK .

DẠ Y

KÈ

 = 9a 2 + 4a 2 - 2.3a.2a. 1 = 7 a 2 Þ BN = a 7 . Ta có BN 2 = AB 2 + AN 2 - 2 AB. AN .cos BAN 2 2 1 1  = 1 .3a.2a. 3 = 3a 3 . SDABN = AH .BN = AB. AN .sin BAN 2 2 2 2 2 2 2 3a 3 3a 3 3a 21 Suy ra AH = . = = BN 7 a 7 1 1 1 7 2 1 = + = + = 2 Þ AK = a 3 . Ta có 2 2 2 2 2 AK AH AA¢ 27 a 27 a 3a 3 3 3a 3 Vậy d ( M , ( A¢ BN )) = d ( A, ( A¢ BN )) = AK = . 4 4 4

[ Mức độ 3] Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm: A 1;3;0 , B  1;1;2 , C 1; 1;2 . Mặt cầu

 S  có tâm

I là trung điểm đoạn thẳng AB và  S  đi qua điểm C . Phương trình mặt cầu  S 

là:

Câu 37.

A.  x  1   y  1   z  1  5 .

B. x 2   y  2    z  1  11 .

C. x 2   y  2    z  1  11

D. x 2   y  2    z  1  11 .

Lời giải

Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm I  0; 2;1

 mặt cầu  S  có bán kính R  IC 

1  0 

Mặt cầu  S  tâm I  0; 2;1 , đi qua điểm C 1; 1;2

  1  2    2  1  11 2

Vậy phương trình mặt cầu  S  : x 2   y  2    z  1  11

[ Mức độ 3] Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  2  0 và điểm M  2;0;1 . Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng  P  là  x  2  2t  A.  y  t . z  1 t 

NH Ơ

Câu 38.

 x  2  2t  B.  y  t . z  1 t 

 Mặt phẳng  P  có vtpt n (2; 1;1)

 x  2  2t  C.  y  1 . z  1 t 

 x  2  2t  D.  y  t . z  1 t 

Lời giải

 Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  nên nhận n (2; 1;1) làm một vectơ chỉ phương.  x  2  2t  d qua M  2;0;1 nên có phương trình tham số là:  y  t . z  1 t 

Câu 39. [ Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x) xác định trên  có đạo hàm

KÈ

y = f ¢ ( x ) = ( x 2 - 4 x - 5)( x 2 -1) . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x 3 - 3 x 2 ) là

A. 2 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 4 .

Lời giải

DẠ Y

é x = -1 ê Giải phương trình f ¢ ( x) = 0 Û ê x = 1 , trong đó x = -1 là nghiệm bội chẵn. ê êx = 5 ë

Xét hàm số y = f ( x3 - 3 x 2 ) Þ y ¢ = (3 x 2 - 6 x) f ¢ ( x3 - 3 x 2 )

é êx = 0 ê êx = 2 2 é3 x - 6 x = 0 ê 3 ê x - 3 x 2 = -1 (1). y ¢ = 0 Û êê Û 3 2 ê ¢ f x 3 x = 0 ) êë ( ê x 3 - 3 x 2 = 1 ( 2). ê ê 3 êë x - 3 x 2 = 5 (3).

Xét hàm số y = x3 - 3 x 2 , ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên của hàm số y = x3 - 3 x 2 suy ra phương trình (2); (3) có nghiệm duy nhất.

NH Ơ

Và vì x = -1 là nghiệm kép của phương trình f ¢ ( x) = 0 nên các nghiệm ở phương trình (1) đều là nghiệm bội chẵn. Suy ra đồ thị hàm số y = f ( x 3 - 3 x 2 ) có 4 điểm cực trị. Câu 40.

[ Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y thì bất phương

trình 52 x 1  5 y  5 x  5 x 1 y  0 có không quá 2021 nghiệm nguyên? A. 2021 . B. 2010 . C. 2022 . Lời giải

D. 2019 .

52 x 1  5 y  5 x  5 x 1 y  0   5 x  5 y  5 x1  1  0

3 x 2  1, [Mức độ 3] Cho hàm số f  x    5 x  1, A.

17 . 2

DẠ Y

Câu 41.

KÈ

 5 x  5 y  0  x  y   x 1 VN   x  1  0  y  x  1 L   5  1  0   .   x y  x  y  1  x  y  5  5  0      5 x 1  1  0   x  1  0  Yêu cầu bài toán  0  y  2019 .

x 1 . Tích phân x 1

19 . 2

 1 e

f  ln x  1 dx bằng x

C. 4 . Lời giải

Ta có lim f  x   4  lim f  x   f 1  hàm số liên tục tại x  1. x 1

x 1

Đặt t  ln x  1  dt 

1 dx x 23

D. 15,84

1  t  0; x  e  t  2. e e

Khi đó I   1 e

2 1 2 1 2 f  ln x  1 17 dx   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt    3t 2  1 dt    5t  1 dt  . x 2 0 0 1 0 1

Với x 

B. 1.

C. 0.

Lời giải Ta có: z  z  2 và z  z  z  z  2  2  2. 2

D. 2.

Do đó dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi z 2  k z với k  0. Từ: z 2  k z  z 2  k .z  k . z  4  k .2  k  2  k  2.

A. 3.

Câu 42. [ Mức độ 3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2 và z 2  z  2.

Suy ra: z 2  2.z  z 3  2.z.z  2. z  2.4  8  z 3  8  0.

[ Mức độ 3] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng 60 .

NH Ơ

Câu 43.

 z  2 Giải: z 3  8  0   z  2   z 2  2 z  4   0   . Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu  z  1  3i bài toán.

Tính thể tích khối chóp S . ABC theo a .

3a 3 . 12

3a 3 8

QU M

3a 3 4

DẠ Y

KÈ

3a 3 6

Lời giải

A Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  , suy ra SD   ABC  .

Ta có SD  AB và SB  AB ( gt ) , suy ra AB   SBD   BA  BD . Tương tự có AC  DC hay tam giác ACD vuông ở C . Dễ thấy SBA  SCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB  SC . Từ đó ta chứng minh được SBD  SCD nên cũng có DB  DC . 24

. Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc BAC   30 , suy ra DC  a . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  là Ta có DAC 3   SD  SD  BD tan SBD  a . 3a.   60 , suy ra tan SBD SBD BD 3

B. 61,32cm3 .

C. 59,78cm3 .

D. 58,79cm3 .

NH Ơ

A. 60,67 cm3 .

1 1 a2 3 a3 3 .a  Vậy VS . ABC  .S ABC .SD  . . 3 3 4 12 Câu 44. [Mức độ 3] Một ống thủy tinh hình trụ có chiều cao 15, 7 cm và bán kính đáy 2, 02 cm đang chứa dung dịch H 2 SO4 . Khi đặt ống thủy tinh nằm ngang thì bề mặt dung dịch trên thành ống chiếm 39, 63% diện tích xung quanh ống. Tính thể tích dung dịch H 2 SO4 trong ống.

Lời giải

Gọi S1 là diện tích xung quanh ống thủy tinh.

S2  39, 63%  0,3963  S 2  0,3963S1  0,3963.2 .r.l  0,3963.2 .2, 02.15, 7  78,97. S1

Mặt khác: S 2 

r

Ta có:

S 2 là diện tích bề mặt dung dịch trên thành ống khi đặt nằm ngang.

180

  .h    143.

Diện tích mặt nước ở đáy ống thủy tinh là S 

 r2 360



1 2

  r.r.sin   3,86cm 2 .

KÈ

Khi đó, thể tích dung dịch H 2SO4 trong ống là: V  S .h  60, 67cm3 . Câu 45. [ Mức độ 3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  4  0 và

x 1 y z  2   . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  2 1 3 , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d .

DẠ Y

đường thẳng d :

x 1 y 1 z 1   . 5 1 3

x 1 y 1 z 1   . 5 1 3

x 1 y 1 z 1   . 5 1 2

x 1 y  3 z 1   . 5 1 3

Lời giải 25

 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là n P   1; 2; 1 .  Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud   2; 1 ; 3 .

 x  1  2t  Phương trình tham số của đường thẳng d :  y  t .  z  2  3t 

Câu 46.

Có I   .    Vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u   n P  , ud    5;  1;  3 . x 1 y 1 z 1   Phương trình chính tắc của đường thẳng  : . 5 1 3

Gọi I  ()  (d )  I  (d )  ( P) , suy ra tọa độ của I ứng với t là nghiệm của phương trình: 1  2t  2t  2  3t  4  0  7t  7  0  t  1  I 1;1;1

[Mức độ 4]Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (0)  0 và hàm số

NH Ơ

y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới

2 Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x 2   x3 . 3 A. 3 . B. 7 . C. 6 .

D. 5 .

Lời giải

2 3 2 Đặt h  x   f x  x liên tục trên R . Ta có: h  x   f   x 2  .2 x  2 x 2  2 x  f   x 2   x  . 3

 

KÈ

x  0 h( x)  0   2  f ( x )  x  0 * + Nếu x  0 thì x 2  0 . Ta có: f ( x 2 )  0 ;  x  0 . Suy ra * vô nghiệm.

DẠ Y

+ Nếu x  0 thì *  f   t   t ( đặt t  x 2 với t  0 ) Xét đồ thị hàm số y  f   t  ; y  t

AL a; 2.

Ta có: lim h  x    , h  0   f (0)  0  0 .

NH Ơ

x 

Do đó h( x) có 3 nghiệm phân biệt (đổi dấu) là 0; a ; 2 .

CI Suy ra * có 2 nghiệm dương phân biệt

Ta thấy: f   t   t có 2 nghiệm dương phân biệt là a và 4 .

Nhìn vào lưới ô vuông và đồ thị hàm số y  f   x  ta thấy: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f   x  , trục Ox , Oy và đường thẳng x  4 nhỏ hơn 4. Do đó ta có: 4

 f ( x)dx  4  f (4)  f (0)  4  f (4)  4 . Suy ra h  2   f (4) 

16  0. 3

KÈ

Ta có bảng biến thiên của hàm số y  h  x  như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy y  h  x  có 3 điểm cực trị và phương trình h  x   0 có 2 nghiệmbội

DẠ Y

lẻ nênhàm số g  x   h  x  có 5 điểm cực trị.

Câu 47. [ Mức độ 4]Cho phương trình: m x   x 2  1 m  x  x3  2 x  x 2 x 2  1 (1). Biết S   a; b  là tập các số thực dương m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Giá trị a  b gần nhất với kết quả nào sau đây? A. 2,1 .

B. 3, 7 .

C. 6, 4 . 27

D. 5, 4 .

Lời giải

m x   x 2  1 m  x  x3  2 x  x 2 x 2  1









 m x  x  x 2  1   x 2  1 m  x  x  x 2  1  0



 



mx x  x2  1

 x2  1   m  x  x  1 1  x 2  m x  x 1 





 mx  x  x2  1



 

 x ln m  ln x  x  1  ln m  2

f  x 

x 1



 ln x  x 2  1

x 1 2

KÈ

Xét hàm số g  x  

g x 



Xét phương trình

x2  1 

x2  1



 trên  ;   \ 0

x 2



ln x  x 2  1

Xét hàm số: f  x  

ln x  x 2  1



 0   

NH Ơ

  x



 0





 2 .

 ln x  x 2  1  0

x 1 2





 ln x  x 2  1 trên  .

x2  1 

1 x2  1





 x2 x2  1



DẠ Y

 g   x   0, x  

Suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  . Do đó, phương trình  2  có nghiệm duy nhất x  0 .



 

mx  x  x2  1

 m  x  x  1   x  1 2

 1  1  m x  x  x 2  1   x 2  1  x  0 x  x2  1  m x

 m x   x 2  1 m  x  x  x 2  1  x   x 2  1 x 2  1  x 2  1

AL CI

Phương trình (1) có hai nghiệm khác 0 khi 0  ln m  1  1  m  e

NH Ơ

Câu 48. [ Mức độ 4] Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Biết đồ thị hàm số f  x  đạt cực trị tại ba điểm C  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  , A  x3 ; y3   x1  x2  x3  thỏa:

x1  x3  2 và hình vuông BFAD có diện tích bằng 1. Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích của hai

1 . 15

S1 S2

2 . 2

2 . 15

Lời giải

DẠ Y

KÈ

hình phẳng được gạch trên hình vẽ bên. Tính tỉ số

S BFAD  1  BD 2  1  BD  1  x3  x2  1 29

(1)

Ta lại có: x1  x3  2  x1  1  x3  1

(2)

Từ 1 ,  2   x1  1  x2  x3  1 Tịnh tiến đồ thị sang bên phải trục hoành sao cho B  O  0;0 

Khi đó: đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lần lượt là M  1; 1 ; O  0;0  ; N 1; 1 * Phương trình f  x  có dạng: f  x   a.  x 4  2 x 2   a  0 

* S1   a  x 4  2 x 2  1 dx  0

S 2    a  x 4  2 x 2  dx  2

8a 2 15

S1 2  S2 2

NH Ơ

Và

8a 15

x  0  Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành: a  x 4  2 x 2   0   x  2 x   2 

Câu 49. [Mức độ4] Cho z1 , z2 là 2 số phức thỏa mãn z1  2  i  z1  1  i  13 và z2  1  3i 

1 . Gọi 2

m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  z1  2iz2 . Khi đó, m  M

19 13  65 . 13

B. 2 34  65 . D. Lời giải

DẠ Y

KÈ

A. 34  65 .

bằng

19 13  34 . 13

Gọi H , A  2;1 , B 1; 1 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 ,  2  i  , 1  i  .

Ta có: z1  2  i  z1  1  i  13  HA  HB  13  AB  H thuộc đoạn thẳng AB Gọi V là điểm biểu diễn số phức w  2iz2

1 1  2i . z2  1  3i  2i .  2iz2  6  2i  1  w  6  2i  1 2 2

Ta có: z2  1  3i 

 Tập hợp điểm V là đường tròn tâm I  6; 2  , bán kính R  1 .

Ta có: P  z1  2iz2  z1  w  HV

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với AB  d : 3 x  2 y  14  0

Vì  3 x A  2 y A  14  3 xB  2 yB  14   0 nên A, B nằm cùng phía so với d . Do đó: min  IA; IB  IH  max  IA; IB  34  IH  65

(1)

Theo quy tắc 3 điểm, ta có: HI  IV  HV  HI  IV

Từ (1) và (2) suy ra:

(2)

NH Ơ

Dựa vào hình vẽ, ta suy ra: HI  IV  HV  HI  IV  HI  1  HV  HI  1

34  1  HV  65  1

 m  34  1; M  65  1  m  M  34  65 .

Câu 50.

[Mức độ 4].Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A(2;0;0), B  0;0; 1 và mặt cầu ( S ) : x 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  9 . Mặt phẳng  P  : x  ay  bz  c  0  a  0  đi qua A , B cắt

( S ) theo giao tuyến là đường tròn  C  sao cho hình nón  N  đỉnh là tâm của  S  và đáy là

A. 4  3 2 .

đường tròn  C  có thể tích lớn nhất. Khi đó 2a  b  3c bằng D. 4  3 2 .

C. 7 .

B. 4 .

Lời giải

Mặt cầu  S  có tâm I  0;1;1 , bán kính R  3 .

Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy hình nón  N  , H là tâm đường tròn đáy của  N 

KÈ

Điều kiện mặt phẳng  P  cắt mặt cầu ( S ) khi 0  h  R  0  h  3 . Ta có: r 2  R 2  IH 2  9  h 2

DẠ Y

1 1 1 Thể tích khối nón  N  : V  h. r 2  h. . 9  h 2   9h  h3 3 3 3









1 Xét hàm số f  h    9h  h3 với 0  h  3 ta suy ra V đạt giá trị lớn nhất khi h  3 . 3





Hay V đạt giá trị lớn nhất khi d  I ,  P    3 

a bc a2  b2 1

 3

1 .

2  c  0 b  2 Mặt khác  P  : x  ay  bz  c  0 đi qua A , B nên ta có   b  c  0 c  2

 2 .

4  3 2 . Vậy 2a  b  3c  4  3 2 . 2

Do a  0  a 

 4  3 2 a  2 Thay  2  vào 1 ta được a  4  3. a 2  5  2a 2  8a  1  0    4  3 2 a   2

Câu 50.1 [ Mứcđộ 4]Trong không gian Oxyz cho điểm A 1;0; 7  và B  5; 4;9  . Xét khối nón  N  có

đỉnh là A , đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB và có diện tích toàn phần bằng Stp  64 . Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N  có dạng

mx  ny  4 z  p  0 . Tính giá trị biểu thức T  m 2  n 2  p . A. T  20

B. T  20

C. T  23

D. T  19

NH Ơ

Lời giải

Gọi r , l , h lần lượt là bán kính đáy, đường sinh và chiều cao của khối nón  N  Ta có

Stp  rl  r  l  2

Stp  r 2

Thểtíchkhốinón

r

1 1 1 V  r 2 h  r 2 l 2  r 2  r 2 3 3 3

S

 r 2 

 r2 

r

2 2

1 Stp  Stp r 2  2r 4  3

2 2 1 1 1 1 2r   Stp  2r  Stp Stp .2 2 2 V  . Stp . 2r  Stp  2r   . Stp .  3 3 2 12 2 2

KÈ

Dấu bằng xảy ra khi 2r 2  Stp  2r 2  r 

l  3r  12 4 2 2 4 h  l  r  8 2

Stp

Ta có đường kính của mặt cầu bằng AB  12 2

DẠ Y

Gọi giao điểm giữa AB và mặt phẳng đáy của khối nón là H  a; b; c  Ta có

11   8   11  4  x    4  y    16  z    0 3  3 3   11 8 44  x   y   4z  0 3 3 3  x  y  4 z  21  0

Vậy phương trình mặt phẳng chứa mặt đáy của khối nón là

 AH  AH  . AB AB  8 2   AH  . AB 12 2  2   AH  . AB 3  11 8 11  H ; ;  3 3 3

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

Vậy T  m 2  n 2  p  12  12  21  23 .

Ma trận đề minh họa 2021 môn Toán

Cực trị của HS 4, 5,39,46 Min, Max của hàm số

Đường tiệm cận

Nguyên Hàm - Tích

4 1

NH Ơ

Lũy thừa - mũ 9, 11 - Logarit

HS Mũ Logarit

PT Mũ Logarit

12, 13, 47

BPT Mũ Logarit

32,40

Định nghĩa và tính chất

18,20,34,42,49 2

Phép toàn

5 1

PT bậc hai theo hệ số thực Nguyên hàm

KÈ

DẠ Y

Số phức

Hàm số mũ Logarit

Khảo sát và vẽ 7,8 đồ thị

Đạo hàm và ứng dụng

3 , 30

Đơn điệu của HS

Tổng Tổng dạng Chương NB TH VD VDC bài

Dạng bài

Mức độ

Lớp Chương

Trích dẫn đề Minh Họa

0 14, 15

2 8

Tích phân

16,17,33,41 1

Ứng dụng TP tính thể tích

Đa diện lồi Đa diện đều

21, 22, 43

Khối nón

Khối trụ

Phương pháp tạo độ

Phương trình mặt cầu

26, 37, 50

Phương trình mặt phẳng

Phương trình đường thẳng

KÈ

Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp

DẠ Y

Tổ hợp - xác Cấp số cộng ( suất cấp số nhân)

Hình học không gian

1 1

3 8

Giải tích trong không gian

NH Ơ

Khối cầu

Thể tích khối đa diện

Khối đa diện

Khối tròn xoay

44, 48

Ứng dụng TP tính diện tích

Phân

28, 38, 45

1 3

Xác suất

Góc

1 1

1 2

Khoảng cách

1 2

DẠ Y

KÈ

M Y

QU N

NH Ơ

Tổng 20 15 10 5

Đề 60 (Nâng cao)

Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh từ một nhóm học sinh có 8 nam và 10 nữ? A. A184 . B. 4! . C. C104 . D. C184 .

Câu 2.

Cho một cấp số nhân có u1  5, u6  160 . Tìm công bội của cấp số nhân? D. 2 .

C. 4 .

Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ; 1 .

C.  2;1 .

B.  0;1 .

Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là: A. y  2 . B. y  2 .

C. y  17 .

D. y   15 .

Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm f ¢ ( x) như sau:

Câu 5.

D.  ;0  .

NH Ơ

Câu 4.

Câu 3.

B. 2 .

A. 3 .

Câu 1.

A. 1.

A. x  2

B. y  2

C. 3 . 2 x -1 là đường thẳng x-2 1 C. x  2

D. 4 .

D. y 

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

DẠ Y

Câu 7.

B. 2 .

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

KÈ

Câu 6.

Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?

1 2

C. y  x 4  2 x 2  1 .

D. y  x4  2x2 1.

Số giao điểm của đồ thị hàm số y   x 4  5 x 2  4 với trục hoành là: A. 1.

C. 3 .

D. 4 .

C. 3log 3 a 3 .

D. 9 log 3 a .

Với a là số thực dương tùy ý, log 27  a 3  bằng A. log 3 a .

B. 3log 3 a .

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y  log 2 x là x . ln 2

B. y  

1 . x

Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý, 2 3

C. y 

a 2 bằng

1 6

B. a .

1 là: 9

1 B. x  . 3

A. x  3 .

Câu 13. Giải phương trình log 4 ( x  1)  3. A. x  65

B. x  80

3 x1  Câu 12. Nghiệm của phương trình 3

C. a .

D. y   x ln 2 .

1 3

D. a .

C. x  1 .

D. x  1 .

C. x  82

D. x  63

C. x 3  x  C

D. x 4  x 2  C

NH Ơ

A. a .

4 3

1 . x ln 2

A. y 

Câu 9.

B. 2 .

B. y  x 3  3 x  2 .

Câu 8.

A. y  x2  2x 1.

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x là 1 4 1 2 x  x C 4 2

B. 3 x 2  1  C

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3 x

sin 3 x C 3 sin 3 x C D.  cos 3 xdx   3 B.  cos 3 xdx 

A.  cos 3 xdx  3 sin 3 x  C

f  x  dx  1

KÈ

Câu 16. Nếu



C.  cos 3 xdx  sin 3 x  C

và

  3  f  x   dx  11 0

thì

 f  x  dx bằng 1

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 7 .

C. I  2 .

D. I  4 .

C. 1.

D. 1 .



DẠ Y

Câu 17. Tính tích phân I  (2 x  1) dx A. I  5 .

B. I  6 .

Câu 18. Tìm phần ảo của số phức z , biết 1  i  z  3  i . A. 2 .

B. 2 .

Câu 19. Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun của z1  z2 . 5

A. z1  z 2  5 .

B. z1  z2  13 .

C. z1  z 2  5 .

D. z1  z 2  1 .

C. 2 .

Câu 20. Môđun của số phức z  3  5i là

34 .

B. 5 .

A. 3 .

Câu 21. Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 và có chiều cao bằng 3 . Thể tích của khối chóp bằng: A. 6 . B. 12 . C. 3 . D. 4 . Câu 22. Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 4; 4;5 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng? C. 12 .

B. 20 .

D. 80 .

A. 10 .

Câu 23. Cho hình nón có đường kính đáy d  4 và độ dài đường sinh l  7 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 21 14 A. 10 . B. C. 14 . D. . 3 3

Câu 24. Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh 2l và bán kính đáy r bằng 1 A. 4 rl . B.  rl . C.  rl . D. 2 rl . 3

NH Ơ

Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A  1;1;1 , B  0;3;5  và C  2; 3; 4  . Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ là A.  1; 1; 2  .

 1 1 2  C.  ; ;  .  3 3 3

B. 1;1; 2  .

1 1 2 D.  ; ;  . 3 3 3

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  3   y  1   z  1  64 . Tìm tọa độ tâm I 2

của mặt cầu  S  .

B. I  3; 1; 1 .

A. I  3;1;1 .

C. I  3;1;1 .

D. I  3; 1; 1 .

Câu 27. Mặt phẳng nào đi qua trung điểm của AB , biết A 1; 3; 4  , B 1; 1; 2  . A.  P1  : x  2 y  z  0. B.  P2  : x  y  z  1  0 . C.  P3  : x  2 y  z  1  0 .

D.  P4  : x  y  z  0.

Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  1  0 . Đường thẳng  d  qua gốc toạ độ O và vuông góc với mặt phẳng  P  có vectơ chỉ phương là

KÈ

A.  2;3;1 .

B.  2;3; 1 .

C.   2;  3;1 .

D.  2;  3;  1 .

DẠ Y

Câu 29. Một tổ học sinh có 5 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một người nữ. 2 7 5 9 A. . B. . C. . D. . 14 14 14 14 Câu 30. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ? A. y  x 4  x 2 .

B. y  x 3  3 x .

C. y 

2x 1 . x3

D. y   x3  x .

Câu 31. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  3 x 2  1 trên đoạn

1; 3 . Tính M  m . D.  2 .

C. 2 .

B. 0 .

A. 5 .

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình log 2  2  x   0 là: B. 1; 2  .

C.  ;1 .

D.  2;   .

A. 1;   .

Câu 33. Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 4 2a 3 3

8a3 3



8 2a 3 3

2 2a 3 3



A. 13 .

C. 13 .

B. 5 .

Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z  4 z  i  8  19i . Môđun của z bằng

Câu 35. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a , BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  15a (tham khảo hình bên).

NH Ơ

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 .

D. 90 .

Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A lên mặt đáy trùng với trung điểm M của đoạn BC , góc giữa đường thẳng AA và mặt đáy là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC . 3a . 4

4a . 3

4 3a . 3

a 3 . 2

KÈ

Câu 37. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I 1; 5;3 và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  2 z  7  0 có phương trình là

A. ( S ) :  x  1   y  5    z  3  4 .

B. ( S ) :  x  1   y  5    z  3  2 .

C. ( S ) :  x  1   y  5    z  3  2 .

D. ( S ) :  x  1   y  5    z  3  4 .

DẠ Y

2 2

Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2; 4; 2  , B  1;1;3 . Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm A, B . Phương trình tham số của đường thẳng  là

 x  1  3t  A.  y  1  3t .  z  3  5t 

 x  3  t  B.  y  3  t .  z  5  3t 

 x  3  2t  C.  y  3  4t .  z  5  2t  7

 x  2  3t  D.  y  4  3t .  z  2  5t 

Câu 39. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  đồng thời có đồ thị hàm số y  f   x 

như hình vẽ bên. Tìm tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g  x   f  x 2  trên

B. f 1  f  2 

C. f 1  f  4 

D. f  0   f  4 

A. f  0   f 1

 2; 2 .

Câu 40. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log m  2 x 2  x  3  log m  3 x 2  x  , với m là một

1  D. S   1;0    ;3 . 3 

NH Ơ

C. S   1;0   1;3 .

tham số thực dương khác 1, biết x  1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho. 1  1  A. S   2;0    ;3 . B. S   1;0   ;3 . 3  3 

x2  6x  5 a 5 a dx   c ln  a, b, c    với Câu 41. Cho  2 là phân số tối giản. Giá trị của a  b  c x  4x  4 b 3 b 1 bằng A. 15 .

B. 12 .

C. 13 .

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa z  1  2i  z  3  4i và A. 0 .

C. 1.

B. Vô số.

D. 7 .

z  2i là một số thuần ảo z i D. 2 .

Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC  a. Cạnh bên SA vuông

  450 , mặt phẳng  SAC  tạo với mặt phẳng  SBC  một góc 600. Thể góc với đáy, góc BSC

a3 . 3

tích khối chóp S . ABC bằng B.

a3 5 . 2

a3 6 . 30

a3 5 . 6

DẠ Y

KÈ

Câu 44. Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,1 m. Trong số các cây đó có 2 cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 80 cm, 6 cây cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 58 cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng loại sơn giả đá, biết giá thuê là 960.000 / m 2 (kể cả vật liệu sơn và phần thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy   3,14159 ) A.  94.224.000 . B.  15.642.000 . C.  31.408.000 . D.  62.816.000 .

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng a :

x y z x 1 y z 1   ; b:   1 1 2 2 1 1

và b lần lượt tại M và N sao cho MN  2. 4 4 8 4 4 8 x y z x y z 7 7 7. 7 7 7. A. d : B. d : 3 8 5 3 8 5 4 4 8 4 4 8 x y z x y z 7 7 7. 7 7 7. C. d : D. d : 3 8 5 3 8 5

và mặt phẳng  P  : x  y  z  0. Viết phương trình đường thẳng d song song với  P  , cắt a

Câu 46. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có f  0   2021 và đồ thị của đạo hàm f '  x  như hình bên

NH Ơ

dưới.

Hỏi hàm số y  f  x 2   2 x  2021 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên m   10;10  để phương trình

ln  m  2 x  ln  m  3 x    x có nghiệm thuộc  0; 2 . A. 1.

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Câu 48. Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục

bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm

KÈ

tròn đến phần trăm).

DẠ Y

A. V  1,52m3 .

B. V  1,31m3 .

C. V  1, 27m3 .

D. V  1,19m3 .

Câu 49. Xét hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  2 và 2 z1  3 z2  2 7 . Giá trị lớn nhất của

2 z1  z2  2  3i bằng

A. 12  3 .

B. 12  6 .

C. 13  12 .

D. 13  12 .

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  1  6 và 2

z x y   . Giả sử  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt  S  theo 1 1 1 giao tuyến là đường tròn  C  . Gọi    là khối trụ nội tiếp trong mặt cầu  S  và có một đáy là

C  .

Khi

 

có thể tích lớn nhất thì phương trình mặt phẳng

ax  by  cz  d  0 , với b   , b  10 . Tính a  b  c  d . A. 7 .

C. 6 .

D. 8 .

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

B. 4 .

đường tròn

đường thẳng d :

P

là

BẢNG ĐÁP ÁN 4.D 14.A 24.A 34.C 44.D

5.B 15.B 25.D 35.C 45.B

6.B 16.B 26.C 36.A 46.C

7.C 17.B 27.D 37.A 47.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

9.A 19.B 29.D 39.C 49.D

10.C 20.D 30.B 40.D 50.C

[1D2-2.1-1] Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh từ một nhóm học sinh có 8 nam và 10 nữ? A. A184 . B. 4! . C. C104 . D. C184 . Lời giải

Câu 1.

8.D 18.B 28.B 38.D 48.A

3.B 13.A 23.C 33.A 43.C

2.B 12.D 22.D 32.B 42.C

1.D 11.D 21.D 31.D 41.A

Mỗi cách chọn 4 học sinh từ một nhóm học sinh có 8 nam và 10 nữ là một tổ hợp chập của phần tử 18 .

Câu 2.

NH Ơ

Vậy số cách chọn 4 học sinh từ một nhóm học sinh có 8 nam và 10 nữ là C184 . [1D3-4.2-1] Cho một cấp số nhân có u1  5, u6  160 . Tìm công bội của cấp số nhân? B. 2 .

A. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

Lời giải

[2D1-1.2-1] Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau.

Câu 3.

Ta có u6  u1q 5  5q 5  160  q 5  32  q  2 .

KÈ

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ; 1 . B.  0;1 . C.  2;1 .

D.  ;0  .

Lời giải

DẠ Y

Từ bảng biến thiên của hàm số f  x  ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1; 2  và có  0;1   1; 2  . Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  0;1 .

Câu 4.

[2D1-2.2-1] Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

A. y  2 .

AL CI

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là:

D. y   15 .

C. y  17 .

B. y  2 .

Lời giải Hàm số đã cho có điểm cực tiểu x = 2 và giá trị cực tiểu y = - 15 .

[2D1-2.2-1] Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm f ¢ ( x) như sau:

Câu 5.

B. 2 .

C. 3 .

NH Ơ

A. 1.

Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?

D. 4 .

Lời giải

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị tại x = -2 và x = 2 . Câu 6.

[2D1-4.1-1] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

C. x 

A. x  2

B. y  2

2 x -1 là đường thẳng x-2 1 2

D. y 

1 2

Lời giải

Tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = 2 . [2D1-5.1-1] Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

KÈ

Câu 7.

B. y  x 3  3 x  2 .

C. y  x 4  2 x 2  1 .

D. y  x4  2x2 1.

DẠ Y

A. y  x2  2x 1.

Lời giải

a  0 ,  a  0  và  suy ra chỉ có đáp án y  x 4  2 x 2  1 thỏa mãn. a.b  0

[2D1-5.4-1] Số giao điểm của đồ thị hàm số y   x 4  5 x 2  4 với trục hoành là: A. 1.

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox là:  x2  1  x  1   x 4  5x 2  4  0   2 .  x  2 x  4

Câu 8.

Qua hình dáng đồ thị dễ thấy hàm số cần chọn là hàm bậc bốn trùng phương y  ax 4  bx 2  c

Câu 9.

Vậy số điểm chung của đồ thị hàm số y   x 4  5 x 2  4 với trục hoành là 4. [2D2-3.2-1] Với a là số thực dương tùy ý, log 27  a 3  bằng A. log 3 a .

B. 3log 3 a .

C. 3log 3 a 3 .

D. 9 log 3 a .

Lời giải

NH Ơ

1 Vì a  0 nên log 27  a 3   3log 27 a  3log 33 a  3   log 3 a  log 3 a. 3

Câu 10. [2D2-4.2-1] Đạo hàm của hàm số y  log 2 x là A. y 

x . ln 2

B. y  

1 . x

C. y 

1 . x ln 2

D. y   x ln 2 .

Lời giải.

1 x ln 2

Ta có y ' 

a 2 bằng

Câu 11. [2D2-1.2-1] Với a là số thực dương tùy ý, 1

A. a 3 .

B. a 6 .

C. a 3 .

D. a 3 .

Lời giải

KÈ

Với a là số thực dương tùy ý,

2 3

a = a =a 2

3 x1  Câu 12. [2D2-5.2-1] Nghiệm của phương trình 3

DẠ Y

A. x  3 .

33 x 1 

2 :2 3

1 3

= a . Chọn D

1 là: 9

1 B. x  . 3

C. x  1 .

D. x  1 .

Lời giải

1  33 x 1  32  3x  1  2  3x  3  x  1 9

Câu 13. [2D2-5.1-1] Giải phương trình log 4 ( x  1)  3. A. x  65

B. x  80

C. x  82 13

D. x  63

Lời giải ĐK:  x  1  0  x  1

Phương trình log 4  x  1  3  x  1  4 3  x  65 .

1 4 1 2 x  x C 4 2

B. 3 x 2  1  C

Câu 14. [2D3-1.1-1] Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x là

D. x 4  x 2  C

C. x 3  x  C

 x  dx 

1 4 1 2 x  x C . 4 2

Câu 15. [2D3-1.1-1] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3 x

sin 3 x C 3 sin 3 x C D.  cos 3 xdx   3 Lời giải B.  cos 3 xdx 

A.  cos 3 xdx  3 sin 3 x  C



sin 3 x C 3 f  x  dx  1 và

NH Ơ

Câu 16. [2D3-2.1-2] Nếu

C.  cos 3 xdx  sin 3 x  C

Ta có:  cos 3 xdx 

  3  f  x   dx  11 thì 0

A. 2 .

Y Ta có

D. 7 .

3 0

  f  x dx  9   f  x dx  11

 f  x dx  9  11  2 .

KÈ

Ta có

  3  f  x   dx   3dx   f  x dx  3x 0

Do đó

 f  x  dx bằng

Lời giải

C. 1 .

B. 3 .

Chọn B

x

Lời giải

 0

f  x dx   f  x  dx   f  x  dx

DẠ Y

  f  x  dx   f  x dx   f  x  dx  2  1  3 . 1



Câu 17. [2D3-2.1-1] Tính tích phân I  (2 x  1) dx A. I  5 .

C. I  2 .

B. I  6 .

Lời giải 14

D. I  4 .





Ta có I  (2 x  1) dx  x  x 2



2 0

 4 2  6.

Câu 18. [2D4-2.2-1] Tìm phần ảo của số phức z , biết 1  i  z  3  i . D. 1 .

C. 1. Lời giải

 3  i 1  i   z  1  2i . 3i z 1 i 1  i 1  i 

Ta có: 1  i  z  3  i  z 

B. 2 .

A. 2 .

Vậy phần ảo của số phức z bằng 2 .

Câu 19. [2D4-2.1-1] Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun của z1  z2 . A. z1  z 2  5 .

C. z1  z 2  5 .

B. z1  z2  13 .

D. z1  z 2  1 .

Lời giải

NH Ơ

z1  z2  3  2i  32  22  13 .

Câu 20. [2D4-1.1-1] Môđun của số phức z  3  5i là B. 5 .

A. 3 .

C. 2 .

34 .

Lời giải

32   5   34 . 2

Môđun của số phức z  3  5i là:

Câu 21. [2H1-3.2-1] Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 và có chiều cao bằng 3 . Thể tích của khối chóp bằng: A. 6 . B. 12 . C. 3 . D. 4 . Lời giải

1 1 Ta có V  S .h  .22.3  4 3 3

KÈ

Câu 22. [2H1-3.2-1] Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 4; 4;5 . Thể tích của khối hộp đã cho bằng? A. 10 .

C. 12 .

B. 20 .

D. 80 .

Lời giải

Ta có V  B.h  4.4.5  80

DẠ Y

Câu 23. [2H2-1.2-1] Cho hình nón có đường kính đáy d  4 và độ dài đường sinh l  7 . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 10 .

21 3

C. 14 .

14 . 3

Lời giải

Ta có diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: Sxq   rl   .2.7  14 . 15

Câu 24. [2H2-1.2-1] Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh 2l và bán kính đáy r bằng B.  rl .

1  rl . 3

D. 2 rl .

A. 4 rl .

Lời giải Diện tích xung quanh của hình trụ S  2 r 2l  4 rl .

Câu 25. [2H3-1.1-1] Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A  1;1;1 , B  0;3;5  và

 1 1 2  C.  ; ;  .  3 3 3

B. 1;1; 2  .

1 1 2 D.  ; ;  . 3 3 3

A.  1; 1; 2  .

C  2; 3; 4  . Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ là

Lời giải

NH Ơ

1  0  2 1    xG  3 3  1  3   3 1  Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là  yG   . 3 3   1  5   4  2   zG  3 3 

Câu 26. [2H3-1.3-1] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  3   y  1   z  1  64 . Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu  S  .

B. I  3; 1; 1 .

A. I  3;1;1 .

C. I  3;1;1 .

D. I  3; 1; 1 .

Lời giải

Áp dụng công thức:  S  :  x  a    y  b    z  c   R 2 .

Câu 27. [2H3-2.4-1] Mặt phẳng nào đi qua trung điểm của AB , biết A 1; 3; 4  , B 1; 1; 2  . B.  P2  : x  y  z  1  0 .

C.  P3  : x  2 y  z  1  0 .

D.  P4  : x  y  z  0.

A.  P1  : x  2 y  z  0.

KÈ

Lời giải

Trung điểm M của AB có tọa độ M 1; 2;1 . Thay tọa độ điểm M vào ta thấy mặt phẳng  P4  thỏa mãn.

DẠ Y

Câu 28. [2H3-3.1-2] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  1  0 . Đường thẳng

 d  qua gốc toạ độ O

A.  2;3;1 .

và vuông góc với mặt phẳng  P  có vectơ chỉ phương là B.  2;3; 1 .

C.   2;  3;1 . Lời giải

D.  2;  3;  1 .

Ta có: Đường thẳng  d  vuông góc với mặt phẳng  P  nên vectơ chỉ phương của  d  cùng phương với vectơ pháp tuyến của  P  nên chọn B.

2 . 14

7 . 14

5 . 14

Số phần tử của không gian mẫu là: n     C82 .

Gọi biến cố A : “Hai người được chọn có ít nhất một người nữ”.

Lời giải

 

9 . 14

Câu 29. [1D2-5.2-2] Một tổ học sinh có 5 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một người nữ .

 A :“Hai người được chọn không có nữ”  n A  C52 .

 

   1 C

n A

n 

NH Ơ

Câu 30. [2D1-1.1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ? A. y  x 4  x 2 .

B. y  x 3  3 x .

C. y 

2 5 2 8

Vậy xác suất cần tìm là: P  A   1  P A  1 



9 . 14

2x 1 . x3

D. y   x3  x .

Lời giải

y  x 4  x 2 có a.b  0 nên có 1 cực trị (loại)

2x 1 có TXĐ D   \ 3 (loại) x3

y

y   x3  x có y  3 x 2  1  0, x (loại) y  x 3  3 x , TXĐ D  

Có y /  3 x 2  3  0, x   . Suy ra y  x 3  3 x luôn đồng biến trên  Câu 31. [2D1-3.1-2] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  3 x 2  1

KÈ

trên đoạn 1; 3  . Tính M  m . A. 5 .

C. 2 .

B. 0 .

Lời giải

DẠ Y

TXĐ: D    hàm số liên tục trên 1; 3  .

y  3x 2  6 x .  x  0  1;3 . y  0    x  2  1;3

Ta có: y 1  1 , y  2    3 , y  3   1 . 17

D.  2 .

Vậy M  max y  y  3  1 , m  min y  y  2   3 . 1;3

1;3

Vậy M  m  2 . Câu 32. [2D2-6.1-2] Tập nghiệm của bất phương trình log 2  2  x   0 là: B. 1; 2  .

C.  ;1 .

D.  2;   .

A. 1;   .

Lời giải

Điều kiện: x  2 . Bất phương trình trở thành: 2  x  2 0  x  1 .

So với điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình là: S  1; 2  .

NH Ơ

Câu 33. [2H1-3.2-2] Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 8a3 4 2a 3 2 2a 3 8 2a 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 Lời giải

KÈ

Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a là S . ABCD và I tâm của đáy ta có: SA  SC  BA  BC  DA  DC  SAC  BAC  DBC  SAC ; BAC ; DAC lần lượt vuông tại S , B, D . 1 1 I là trung điểm của AC suy ra SI  AC  2a. 2  a 2 2 2 3 1 1 4 2a 2 . VS . ABCD  S ABCD .SI   2a  .a 2  3 3 3





Câu 34. [2D4-2.3-2] Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z  4 z  i  8  19i . Môđun của z bằng

DẠ Y

A. 13 .

C. 13 .

B. 5 .

Lời giải

Gọi z  a  bi ; z  a  bi  a, b    . Ta có:

 2  i  z  4  z  i   8  19i   2  i  a  bi   4  a  bi  i   8  19i  2a  b   a  6b  4   8  19i

2a  b  8 a  3   a  6b  4  19 b  2 Vậy z  3  2i  z  13 .

Câu 35. [1H3-3.2-2] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a , BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  15a (tham khảo hình bên).

NH Ơ

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45 .

B. 30 .

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải

Do SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng   . ; ( ABC ) = SC ; AC = SCA đáy. Từ đó suy ra: SC

) (

(

)

Trong tam giác ABC vuông tại B có: AC  AB 2  BC 2  a 2  4a 2  5a .

= Trong tam giác SAC vuông tại A có: tan SCA

)

(

SA 15a  = 60° . = = 3 Þ SCA AC 5a

KÈ

 ; ( ABC ) = 60° . Vậy SC

DẠ Y

Câu 36. [1H3-5.4-3] Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A lên mặt đáy trùng với trung điểm M của đoạn BC , góc giữa đường thẳng AA và mặt đáy là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC .

3a . 4

4a . 3

C. Lời giải

4 3a . 3

a 3 . 2

AL CI FI OF

Ta có tam giác ABC đều nên AM  BC và AM  BC  CB   AAM  , kẻ MK  AA

Lại có MK  BC  d  AA, BC   MK .

NH Ơ

Góc giữa đường thẳng AA và mặt đáy là 600 nên  AAM  600. Xét tam giác vuông AAM ta có AM  AM .tan 600  Vậy d  AA, BC   MK 

a 3 3a . 3 . 2 2

MA2 .MA2 3a  2 2 MA  MA 4

Câu 37. [2H3-2.7-2] Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I 1; 5;3 và tiếp xúc với mặt phẳng

( P ) : 2 x  y  2 z  7  0 có phương trình là

A. ( S ) :  x  1   y  5    z  3  4 .

B. ( S ) :  x  1   y  5    z  3  2 .

C. ( S ) :  x  1   y  5    z  3  2 .

D. ( S ) :  x  1   y  5    z  3  4 .

Lời giải

KÈ

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên bán kính mặt cầu là: 2.1  (5)  2.3  7 R   I ,  P    2. 4 1 4 Vậy phương trình mặt cầu là: ( S ) :  x  1   y  5    z  3  4 . 2

DẠ Y

Câu 38. [2H3-3.2-2] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2; 4; 2  , B  1;1;3 . Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm A, B . Phương trình tham số của đường thẳng  là

 x  1  3t  A.  y  1  3t .  z  3  5t 

 x  3  t  B.  y  3  t .  z  5  3t 

 x  3  2t  C.  y  3  4t .  z  5  2t 

Lời giải 20

 x  2  3t  D.  y  4  3t .  z  2  5t 

 Ta có AB   3; 3;5  là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nên phương trình đường thẳng

 x  2  3t   là:  y  4  3t .  z  2  5t 

Câu 39. [2D1-3.7-3] Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  đồng thời có đồ thị hàm số

y  f   x  như hình vẽ bên. Tìm tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

NH Ơ

g  x   f  x 2  trên  2; 2 .

A. f  0   f 1

B. f 1  f  2 

C. f 1  f  4 

Lời giải

Ta có

DẠ Y

KÈ

 x  0  2   x  0  1  x  4  2 1  x  2  x  0   f   x   0 2 g   x   2 xf   x   0     2   x  2  x  4   x  0  1  x  0    2 x  0 f x  0        2  1  x  1 Suy ra bảng biến thiên như sau:

Vậy giá trị nhỏ nhất là g  1  g 1  f 1 . Giá trị lớn nhất là g  2   g  2   f  4  hoặc g  0   f  0  . 21

D. f  0   f  4 

Lại có:

   f   x   dx   f   x  dx  f  0   f 1  f  4   f 1 .

 

 2;2

2 2 Vậy max f x  f  4  ; min f x  f 1 .

Câu 40. [2D2-5.5-3] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log m  2 x 2  x  3  log m  3 x 2  x  , với

m là một tham số thực dương khác 1, biết x  1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho. 1  B. S   1;0   ;3 . 3 

C. S   1;0   1;3 .

1  D. S   1;0    ;3 . 3  Lời giải

1  A. S   2;0    ;3 . 3 

Do x  1 là một nghiệm của bất phương trình log m  2 x 2  x  3  log m  3 x 2  x  nên ta có

log m  2.12  1  3  log m  3.12  1  log m 6  log m 2 , suy ra 0  m  1 .

NH Ơ

 x2  2x  3  0  2 2   x0 2 x  x  3  3x  x Từ đó ta có log m  2 x 2  x  3  log m  3 x 2  x    2      x  1 3 x  x  0   3

Câu 41. [2D3-2.1-3] Cho  1

a  b  c bằng A. 15 .

x2  6x  5 a 5 a dx   c ln  a, b, c    với là phân số tối giản. Giá trị của 2 x  4x  4 b 3 b

1  x  3  1  x  0   x  0 1  . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   1;0    ;3 .    1   x3 3   x  1 3    3

C. 13 .

B. 12 .

D. 7 .

Lời giải

3 3 3 x2  6x  5 2x 1  2 3  3   1 x 2  4 x  4 dx 1 1   x  2 2  dx 1 1  x  2   x  2 2  dx   x  2 ln x  2  x  2  1    

KÈ

3 8 5  2  2 ln 5  2 ln 3   1   2 ln . 5 5 3

DẠ Y

 a  8, b  5, c  2. Vậy a  b  c  15.

Câu 42. [2D4-1.1-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa z  1  2i  z  3  4i và A. 0 .

C. 1.

B. Vô số. Lời giải 22

z  2i là một số thuần ảo z i

D. 2 .

Đặt z  x  yi ( x, y  ) Theo bài ra ta có

x  1   y  2 i  x  3   4  y  i   x  1   y  2    x  3   y  4   y  x  5 2

z  2i x   y  2  i x 2   y  2  y  1  x  2 y  3 i  Số phức w   2 x  1  y  i z i x 2   y  1

Vậy z  

12 23  i . Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn. 7 7

12  x 2   y  2  y  1  0  x   2   7 w là một số ảo khi và chỉ khi  x 2   y  1  0  y  x 5  y  23   7  

Câu 43. [2H1-3.2-3] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC  a. Cạnh bên

  450 , mặt phẳng  SAC  tạo với mặt phẳng  SBC  một góc SA vuông góc với đáy, góc BSC

a3 . 3

a3 5 . 2

NH Ơ

600. Thể tích khối chóp S . ABC bằng

a3 6 . 30

a3 5 . 6

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng  SAC  . Suy ra H  AC và BH  AC.

KÈ

Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên SC. Suy ra BE  SC và  . Tam giác SBC vuông cân tại B suy ra E là trung điểm SC. 600   SAC  ,  SBC   HEB Ta có SC  BC 2  a 2, suy ra BE 

1 a 2 SC  . 2 2

DẠ Y

  a 6. Tam giác BHE có BH  BE sin HEB 4 Từ đó tính được AB 

a 15 2a 10 a 10 , AC  , SA  . 5 5 5

1 a3 6 . Vậy VS . ABC  S ABC .SA  3 30

Câu 44. [2H2-1.6-3] Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,1 m. Trong số các cây đó có 2 cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 80 cm, 6 cây 23

cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 58 cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng loại sơn giả đá, biết giá thuê là 960.000 / m 2 (kể cả vật liệu

sơn và phần thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy   3,14159 ) B.  15.642.000 .

C.  31.408.000 .

Lời giải

D.  62.816.000 .

A.  94.224.000 .

Các cây cột có chiều cao là h  4,1 m.

2 cây cột trước đại sảnh bán kính bằng R  0, 4 m.

6 cây cột ở hai bên đại sảnh có bán kính bằng r  0, 29 m.

Diện tích xung quanh của 8 cây cột là: S  4 Rh  12 rh  4 h  R  3r   65.43309179 .

Số tiền ít nhất phải chi để sơn hết các cây cột là: S .960000  62815768,12 .

NH Ơ

Vậy số tiền cần chi là  62.816.000 đồng.

Câu 45. [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng a : b:

x y z   ; 1 1 2

x 1 y z 1 và mặt phẳng  P  : x  y  z  0. Viết phương trình đường thẳng d song   2 1 1

song với  P  , cắt a và b lần lượt tại M và N sao cho MN  2.

C. d :

B. d :

4 4 8 y z 7 7 7. 3 8 5

x

4 4 8 y z 7 7 7. 3 8 5

x

4 4 8 y z 7 7 7. A. d : 3 8 5 x

4 4 8 y z 7 7 7. D. d : 3 8 5 x

Lời giải.  Gọi M  t ; t ; 2t  và N  1  2t ', t ', 1  t ' . Suy ra MN   1  2t ' t ; t ' t ; 1  t ' 2t  .

KÈ

  Do d song song với  P  nên MN .nP  0  1  2t ' t  t ' t  1  t ' 2t  0  t  t ' .

DẠ Y

 Khi đó MN   1  t ; 2t ; 1  3t   MN  14t 2  8t  2 . Ta có MN  2  14t 2  8t  2  2  t  0  t 

4 . 7

Với t  0 thì M  0;0;0  , N  1;0; 1 ( loại do M và N đều nằm trên  P  ). Với t 

  3 8 5  1 4 4 4 8 thì MN    ;  ;     3;8; 5  và M  ; ;   (thỏa mãn). 7 7  7 7 7 7 7 7 24

4 4 8 y z 7 7 7. 3 8 5

x

Vậy d :

Câu 46. [2D1-2.2-3] Cho hàm số bậc ba y  f  x  có f  0   2021 và đồ thị của đạo hàm f '  x  như

hình bên dưới.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

NH Ơ

A. 3.

Hỏi hàm số y  f  x 2   2 x  2021 có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

 

2 Đặt g  x   f x  2 x  2021 với x  0

 

2 Ta có g   x   2 xf  x  2

1 , (*) x

g ¢ ( x) = 0 Û f ¢ ( x 2 ) =

Đặt t  x 2 , do x  0  x  x 2  t 1

Do đó (*) trở thành f ¢ (t ) =

DẠ Y

KÈ

Vẽ đồ thị hàm số y  f (t ) và đồ thị hàm số y 

1 trên cùng 1 hệ trục tọa độ. t

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 1 nghiệm dương duy nhất t  c . Từ đó (*) có nghiệm dương duy nhất x  c

 

2 Bảng biến thiên của hàm số g  x   f x  2 x  2021 với x  0

 

NH Ơ

2 Do đó hàm số y  g  x   f x  2 x  2021 có bảng biến thiên :

Vậy hàm số y  f  x 2   2 x  2021  g  x  có 5 điểm cực trị.

Câu 47. [2D2-5.3-3] Có bao nhiêu số nguyên m   10;10  để phương trình

ln  m  2 x  ln  m  3 x    x có nghiệm thuộc  0; 2 . A. 1.

C. 3 . Lời giải

B. 2 .

Đặt ln  m  3 x   t  m  3 x  et .

Từ phương trình đã cho, suy ra ln  et  x  t   x  et  x  t  e x

KÈ

 e t  t  e x  x  t  x ( do hàm số y  e x  x đồng biến trên  ).

Do đó ta được e x  3 x  m .

DẠ Y

Xét hàm số f  x   e x  3 x , với x   0;2 . Ta có f   x   e x  3 , suy ra f   x   0  x  ln 3 . Ta có bảng biến thiên

D. 4 .

AL CI

Từ bảng, suy ra phương trình có nghiệm khi 3  3 ln 3  m  e 2  6 , mà m nguyên nên m  0;1 .

A. V  1,52m3 .

B. V  1,31m3 .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

NH Ơ

Câu 48. [2D3-3.2-4] Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm).

C. V  1, 27m3 . Lời giải

D. V  1,19m3 .

A

x O

DẠ Y

KÈ

B x2 y 2 Theo đề bài ta có phương trình của Elip là   1. 1 4 4 25 Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip. 1 2  S1   ab   .  S1 2 5 5. Gọi là diện tích của Elip ta có Gọi S 2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN . Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên 1 ta có phương trình của đường thẳng MN là y  . 5 2 2 4 1 x y  x2 . Mặt khác từ phương trình   1 ta có y  1 4 5 4 4 25 27

Do đường thẳng y 

3 3 1 cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là  và nên 4 4 5

3 4

Đổi cận: Khi x 

 3 3   thì t   ; Khi x  thì t  . 4 4 3 3

 3

Khi đó I 







1 1 1 . cos 2 tdt  2 2 8

 1  cos 2t  dt  



1  2 3   . 8 3 2 



1 1 1  x 2 dx . Đặt x  sin t  dx  cos tdt . 4 2 2



Tính I 

3 4

4 1 1 4 4 1 3 . S 2     x 2   dx    x 2 dx  5 4 5 5 3 4 10 3  

4 1  2 3 3  3 .       5 8 3 2  10 15 20   3 Thể tích của dầu trong thùng là V     .  5 15 20  .3  1,52   Câu 49. [2D4-5.1-3] Xét hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  2 và 2 z1  3 z2  2 7 . Giá trị lớn nhất

NH Ơ

Vậy S 2 

của 2 z1  z2  2  3i bằng A. 12  3 .

B. 12  6 .

C. 13  12 .

D. 13  12 .

Lời giải

KÈ

    Gọi điểm biểu diễn hình học của z 1 , z 2 lần lượt là A, B . Đặt: OA '  2OA, OB '  3OB .

DẠ Y

  Khi đó, từ giả thiết ta có: OA  OB  2, 2OA  3OB  A ' B '  2 7 cos  A ' OB ' 

A ' B '2  OA '2  OB '2 1  . Vậy tam giác OAB là tam giác đều cạnh bằng 2 . 2.OA '.OB ' 2

      Ta lại có: 2 z1  z2  2OA  OB  OI  OI ,với I thỏa mãn 2IA  IB  0  OI  12 . Vậy I thuộc đường tròn  C  tâm O , và R  12 .

không

gian

với

hệ

tọa

độ

  y  2    z  1  6 và đường thẳng d : 2

phẳng chứa đường thẳng d

Oxyz

cho

z x y   . Giả sử 1 1 1

và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn

 S  :  x  1

Trong

Câu 50. [2H3-2.8-4]

Vậy giá trị lớn nhất 2 z1  z2  2  3i bằng IM  R  13  12

  Khi đó: 2 z1  z2  2  3i  OI  OM  MI , với M  2;3 ngoài  C  .

mặt

P

cầu

là mặt

 C  . Gọi    là khối

trụ nội tiếp trong mặt cầu  S  và có một đáy là đường tròn  C  . Khi    có thể tích lớn nhất thì phương trình mặt phẳng

P

ax  by  cz  d  0 , với b   , b  10 . Tính

là

B. 4 .

C. 6 .

NH Ơ

A. 7 .

abcd .

D. 8 .

Lời giải

Ta xét bài toán:

Cho khối cầu  S  tâm O , bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao 2x và

bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tìm x theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.

x R

KÈ

2 2 2 Ta có r  R  x .





DẠ Y

2 2 2 Thể tích của khối trụ V  2 x.r   2 x R  x  V  x  .





2 2 Ta có V   x   2 R  3 x  0  x 

R 3 . 3

Lập bảng biến thiên ta được thể tích V lớn nhất khi x  Vận dụng kết quả bài toán cho câu hỏi. 29

R 3 . 3

AL CI OF

Gọi h là khoảng cách từ I tâm đến mặt phẳng  P  .

Mặt cầu  S  có tâm I  ; 2;1 , bán kính R  6 .

Vì  P  chứa d nên +  P  đi qua điểm O  0;0;0  . Suy ra d  0 .

Mặt khác h  d  I ;  P    2 

NH Ơ

  + n P  ud  a  b  c  0  c  a  b .

a  2b  c

a 2  b2  c2

R 3  3

Theo kết quả bài toán, khối trụ    có thể tích lớn nhất khi h 

 2

b  0 2  2a  3b  2 a 2  b 2   a  b   5b 2  8ab  0   . 5b  8a

Vì b   , b  10 nên chọn b  8  a  5  c  3 . Phương trình  P  :  5 x  8 y  3 z  0 .

DẠ Y

KÈ

Vậy a  b  c  d  6 .

Ma trận đề minh họa 2021 môn Toán

Đơn điệu của HS

3 , 30

Cực trị của HS

4, 5,39,46

Đạo hàm và Min, Max của 31 hàm số ứng dụng Đường tiệm cận

Khảo sát và vẽ đồ thị

7,8

FI 1

Lũy thừa - mũ 9, 11 - Logarit

HS Mũ Logarit

1 8

PT Mũ Logarit

12, 13, 47

BPT Mũ Logarit

32,40

Phép toàn

5 1

PT bậc hai theo hệ số thực Nguyên hàm

N NH Ơ

KÈ DẠ Y Nguyên

Định nghĩa và 18,20,34,42,49 2 tính chất

Số phức

Hàm số mũ - Logarit

Dạng bài

Lớp Chương

Tổng Tổng dạng Chương NB TH VD VDC bài Mức độ

Trích dẫn đề Minh Họa

14, 15

1 1

16,17,33,41

Ứng dụng TP 44, 48 tính diện tích

Đa diện lồi Đa diện đều

21, 22, 43

Khối nón

Khối trụ

KÈ

Phương trình đường thẳng Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp

DẠ Y 11

26, 37, 50

Hình học

1 3

Cấp số cộng ( 2 cấp số nhân)

Góc

28, 38, 45

Xác suất

Giải tích trong không Phương trình gian mặt phẳng

Phương trình mặt cầu

Thể tích khối đa diện

Phương pháp tạo độ

Ứng dụng TP tính thể tích

Khối cầu

Tổ hợp xác suất

Khối tròn xoay

NH Ơ

Khối đa diện

Tích phân

Hàm - Tích Phân

1 1

Khoảng cách

1 20

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

Tổng

không gian

A. 25 . Câu 2.

B. C52 .

B. 12 .

C. 18 .

Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

D. 3 .

NH Ơ

Câu 3.

D. A52 .

C. 5! .

Cho cấp số nhân  un  có u1  2 và u2  6 . Giá trị của u3 bằng A. 8 .

ĐỀ BÀI Có bao nhiêu cách chọn 1 bạn làm lớp trưởng và 1 bạn làm lớp phó từ một nhóm 5 ứng cử viên?

Câu 1.

Đề 61 (Nâng cao)

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng  ; 4  . B. Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng  2; 2  .

C. Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng  4;1 . Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

KÈ

Câu 4.

D. Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng  5;  .

Mệnh đề nào sau đây đúng? B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm B 1;1 .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x  1 .

DẠ Y

A. Hàm số đạt cực đại tại x  1 .

Câu 5.

Cho hàm số y  f  x  xác định trên  \ 0; 2 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

AL CI

Đồ thị hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị? B. 3 .

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  A. y  2 .

2x  3 là đường thẳng x2  1

B. x  0 .

C. y  0 .

D. y   3 .

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y  x 4  2 x 2  4 . Câu 8.

B. y  x3  3 x  4 .

a 5 bằng 2

Với a là số thực dương tùy ý,

B. a 2 .

C. a 2 .

D. a 5 .

Với x  0 , đạo hàm của hàm số y  ln 2 x là A.

1 . x

1 . 2x

2 . x

x . 2

1  log a b . 3

 a3  Với a  0 , a  1 và b  0 . Biểu thức log a   bằng b 

KÈ

Câu 11.

D. y   x 4  3 x 2  4 . D. 2 .

C. 3 .

B. 1 .

A. a 5 . Câu 10.

C. y   x3  3 x  4 .

Đồ thị của hàm số y  x 4  2021x 2 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? A. 0 .

Câu 9.

NH Ơ

Câu 7.

D. 1 .

Câu 6.

C. 2 .

A. 4 .

A. 3  loga b .

B. 3  loga b .

1  log a b . 3

Câu 12. Số nghiệm nguyên của phương trình 2021x  4084441 là

DẠ Y Câu 13.

D. 3 .

Tổng các nghiệm của phương trình log 5  x  2  .log 2 5  2 bằng 2

A. 4 .

Câu 14.

C. 0 .

B. 1.

A. 2 .

D. 0 .

C. 1.

B. 2 .

Cho hàm số f  x   2 x  3 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

 f  x  dx  4 x

 3x  C .

B. 5

 f  x  dx  2 x

 3x  C .

 f  x  dx  2 x

 f  x  dx   cos 2 x  C .

 f  x  dx  cos 2 x  C .

 f  x  dx  2 cos 2 x  C .

 f  x  dx  1 và  f  x  dx  5 thì  f  x  dx bằng B. 4.

Tích phân

x

B. z  2  5i .

1 C.  . 2

D.  ln 4 .

1 . B. ln 4 2 Câu 18. Số phức liên hợp của số phức z  2  5i là A.

A. z  2  5i .

D.  6 .

C. 6 .

dx bằng

Nếu

 f  x  dx   2 cos 2 x  C .

C. z  2  5i .

D. z  5  2i .

B. 14 .

NH Ơ

Cho hai số phức z  10  3i và w  4  5i . Tính z  w . A. 100 .

Câu 20.

C.

Câu 19.

Cho hàm số f  x   2sin 2 x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. 4. Câu 17.

Câu 16.

Câu 15.

 f  x  dx  2x

D. 10 2 .

C. 10 .

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z  3  2i có tọa độ là A. M  3; 2  .

B. N  2;3 .

C. P  2;  3 .

D. Q  3; 2  .

Câu 21. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều biết đáy là hình vuông có độ dài đường chéo bằng 2 và chiều cao hình chóp bằng 6 . B. 4 .

A. 8 .

D. 12 .

C. 6 .

Câu 22. Cho khối lập phương có độ dài đường chéo là 6 . Hãy tính thể tích khối lập phương đó. B. 24 3 .

A. 36 .

C. 54 2 .

D. 216 .

Câu 23. Chiều cao của khối nón có thể tích V và bán kính đáy r là

3V V 3V V . B. h  . C. h  . D. h  2 . 2 r r r r Câu 24. Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r  5cm và độ dài đường sinh

A. h 

KÈ

l  6 cm bằng A. 55 cm 2 .

B. 80 cm 2 .

D. 70 cm2 .

C. 110 cm 2 .

Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  2; 2; 2  , B  3;5;1 , C 1; 1; 2  . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .

DẠ Y

A. G  2;5; 2  .

C. G (0; 2; 1) .

B. G (0; 2;3) .

D. G (0; 2; 1) .

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  3   z  2   4 . Tọa độ tâm và bán 2

kính của mặt cầu  S  là A. I 1; 3; 2  , R  4 . B. I  1;3; 2  , R  2 . C. I  1;3; 2  , R  2 . D. I  1;3; 2  , R  4 . 6

Câu 27. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d :

x 1 y z  2 và vuông góc   1 2 1

với mặt phẳng Oxy có phương trình là C. 2 x  y  2  0 .

D. 2 x  y  2  0 .

Trong không gian Oxyz , đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  : x  3 z  2  0 có một véctơ chỉ phương là  A. u  1; 3; 2  .

 B. u   3;1;0  .

 C. u  1;1; 3 .

 D. u  1;0; 3 .

Câu 28.

B. x  2 y  1  0 .

A. 2 x  y  2  0 .

Câu 29. Cho tập X  4; 3; 2; 1;1;2;3;4 . Chọn 2 số phân biệt từ tập X . Tính xác suất để tổng 2 số được chọn là một số dương. 1 . 7

2 . 7

3 . 7

5 . 7

Câu 30. Cho hàm số y  f  x   2 x3  3  2m  1 x 2  6  m 2  m  x  2021 với m là tham số. Có tất cả

A. 2.

1 2 bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ;  ? 3 3

B. 1.

C. 3.

D. Vô số.

NH Ơ

Câu 31. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x3  3 x 2  12 x  10 trên đoạn  2;1 . Giá trị của biểu thức M  2m bằng A. 40 . Câu 32.

1 Tập nghiệm của bất phương trình   5 B. 1; 2 .

  f  x   2 g  x  dx  5 và

1

A. 8 . Câu 34.

C.  ;1   2;   .

  f  x   g  x  dx  1 thì C. 7 .

B. 10 .

C. 20 .

1

B. 5 .

D.  0;   .

 2 f  x   3g  x   1 dx bằng

1

D. 11 .

Cho số phức z  1  3i . Môđun của số phức 1  i  z bằng D. 5 2 .

A. 2 5 . Câu 35.

 25 là

Câu 33. Nếu

x 2 3 x

A. 1; 2  .

D. 26 .

C. 43 .

B. 32 .

Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình bình hành và tam giác ACD

KÈ

vuông cân tại A , AC  2a . Biết AC tạo với đáy một góc  thỏa mãn tan  

DẠ Y

trung điểm CD . Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  ACD  bằng

2 . Gọi I 2

AL CI C. 30 .

B. 45 .

D. 90 .

A. 60 .

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  1 . Các cạnh bên có độ dài bằng 2 và SA tạo với mặt đáy góc 60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  bằng 33 . 6

2 . 2

3 . 2

Trong không gian Oxyz , cho A 1;1;3 , B  1;3; 2  ; C  1; 2;3 . Phương trình mặt cầu có tâm

NH Ơ

Câu 37.

A. 1.

O và tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) là

A. x 2  y 2  z 2  9 .

B. x 2  y 2  z 2  3 . C. x 2  y 2  z 2  3 .

D. x 2  y 2  z 2 

5 . 3

Câu 38. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm A  5; 1;3 và vuông góc với mặt phẳng có phương trình tham số là

Câu 39.

 x  1  5t  B.  y  t , t   .  z  3t 

x  5  A.  y  1  t , t   . z  3  t 

 Oyz 

x  5  t  C.  y  1 , t   . z  3 

x  0  D.  y  1  t , t   . z  3  t 

Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f   x  là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị lớn

DẠ Y

KÈ

1 1  nhất của hàm số g  x   f  x 2  1  x 4  x 2 trên đoạn  ; 2  bằng 2 2 

1 2

A. f  0   .

 y  3   0 ? x

A. 79 .

B. 80 .

Cho hàm số

  x f  x   cos x 

C. 81 . khi x  khi x 

D. 82 .

 2



. Biết tích phân I   f  x .cosx dx  0

Tính S  a  b . B. S  3 .



 b (với

a, b  , a  0 ).

A. S  3 .



Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 5 số nguyên x thỏa mãn 3x  2  3

Câu 41.

5 9 D. f    .  4  32

1 C. f  1  . 2

63 . 2

Câu 40.

B. f  3  

C. S  5 .

D. S  5 .

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  3i  2 và z  4  2i  z  5  i ? C. 2 .

B. 1.

D. 4 .

A. 0 .

Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh C , AB  2a , cạnh bên SA vuông

NH Ơ

góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng  SAB  bằng 30 (tham khảo hình bên).

Câu 44.

a3 . 3

KÈ

Thể tích của khối chóp S . ABC bằng

6a 3 . 3

2a 3 . 3

6a 3 .

Gọi S1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d : y  mx (với 0  m  4 ) và parabol

S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và trục hoành. Khi

2 S 2 thì giá trị tham số m thuộc khoảng nào dưới đây? 5

DẠ Y

S1 

 P  : y  4x  x2 ;

A.  0;1 .

B.  3; 4  .

C.  2;3 .

D. 1; 2  .

Câu 45.

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y 1 z  3 và đường thẳng   1 1 2

AM  AN bằng A. 6 .

B. 9 .

 x  1  3t  d 2 :  y  4 . Đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2; 1 và cắt d1 tại M , cắt d 2 tại N . Khi đó z  4  t  D. 15 .

C. 12 .

NH Ơ

Câu 46. Cho f  x  là hàm số bậc bốn thỏa f b  2020 . Hàm số f   x  có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số g  x   f  sin x  cos x   sin 2 x  2021 có bao nhiêu điểm cực trị trên 0; 2p ? C. 4 .

D. 6 .

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log x  m log 2 x  m  2  0 có 2 nghiệm 2 2

Câu 47.

B. 5 .

A. 3 .

x1 ; x2 thỏa x1 . x2  128 ?

B. m  7 .

A. m  1 .

C. m  4 .

D. m  4 .

Câu 48. Cho y  f  x  , y  g  x  lần lượt là các hàm số bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ. Biết

 f  x dx . 0

DẠ Y

KÈ

diện tích S1  S 2  32 . Tính

AL CI FI OF B.

25 . 3

Câu 49. Xét hai số phức z1 , z2 thoả mãn

Câu 50.

57 1 .

C. 2 57  1 .

25 . 4

 z 1  z1  2  2i  2 , log 1  2 1  2 z  8  , z2  z1  21 . Giá trị z1  1  i 2 3  

lớn nhất của 2z1  z2  i bằng A.

25 . 12

25 . 2

NH Ơ

B. 2 57  1 .

57  1 .

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  đường kính AB , với điểm A  2;1;3 và B  6;5;5  .

Xét khối trụ T  có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  và có trục nằm trên đường thẳng

AB . Khi T  có thể tích lớn nhất thì hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của T  có phương trình dạng 2 x  by  cz  d1  0 và 2 x  by  cz  d 2  0 , (d1  d 2 ) . Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng  d1 ; d 2  ?

B. 11 .

A. 13 .

C. 15 .

D. 17 .

KÈ

HẾT

2.C 12.C 22.B 32.B 42.B

DẠ Y

1.D 11.B 21.B 31.C 41.C

3.C 13.A 23.A 33.B 43.C

BẢNG ĐÁP ÁN 4.D 14.B 24.C 34.A 44.D

5.C 15.B 25.C 35.C 45.C

6.C 16.A 26.C 36.D 46.B

7.B 17.A 27.C 37.A 47.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 11

8.C 18.A 28.D 38.C 48.D

9.C 19.C 29.C 39.A 49.D

10.A 20.D 30.B 40.C 50.B

Có bao nhiêu cách chọn 1 bạn làm lớp trưởng và 1 bạn làm lớp phó từ một nhóm 5 ứng cử viên? A. 25 .

B. C52 .

D. A52 .

C. 5! .

Câu 1.

Lời giải

Vậy chọn phương án D. Cho cấp số nhân  un  có u1  2 và u2  6 . Giá trị của u3 bằng B. 12 .

A. 8 .

C. 18 . Lời giải u2 6   3. u1 2

Vậy u3  u2 .q  6.3  18 . Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?

NH Ơ

Câu 3.

Công bội của cấp số nhân là q 

D. 3 .

Câu 2.

Số cách chọn là A52 .

Mỗi cách chọn ra 2 học sinh trong số 5 ứng cử viên theo yêu cầu đề bài là một chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử.

A. Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng  ; 4  . B. Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng  2; 2  . C. Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng  4;1 .

D. Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng  5;  . Lời giải

KÈ

Từ bảng biến thiên ta có hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng  4; 3 và đồng biến trên khoảng  3;1 .

Vậy chọn phương án C. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

DẠ Y

Câu 4.

AL CI

Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm B 1;1 .

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x  1 .

A. Hàm số đạt cực đại tại x  1 .

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  ta có: đồ thị hàm số có điểm cực đại là A  1;3 và điểm cực tiểu là B 1;1 . Vậy chọn phương án D.

biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Cho hàm số y  f  x  xác định trên  \ 0; 2 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng

NH Ơ

Câu 5.

Đồ thị hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị? B. 3 .

A. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải

Tập xác định: D   \ 0; 2 .

KÈ

Ta có:

+) y  0  x  1 , y đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x  1  x  1 là một cực trị của hàm số.

DẠ Y

+) Tại x  1  D , y đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x  1  x  1 là một cực trị của hàm số. +) Tại x  2  D  x  2 không phải là điểm cực trị của hàm số. Hàm số y  f  x  có 2 điểm cực trị nên đồ thị hàm số y  f  x  có 2 điểm cực trị. Vậy chọn phương án C.

Câu 6.

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  13

2x  3 là đường thẳng x2  1

A. y  2 .

B. x  0 .

C. y  0 .

D. y   3 .

Lời giải

+) Tập xác định: D   .

2 3  2 2x  3 x x  0. +) Ta có lim y  lim 2  lim x  x  1 x 1 x  1 2 x

2 3  2 2x  3 x x  0. lim y  lim 2  lim x  x  1 x  1 x  1 2 x

Do đó đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng y  0 . Vậy chọn phương án C.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y  x 4  2 x 2  4 .

NH Ơ

Câu 7.

B. y  x3  3 x  4 .

C. y   x3  3 x  4 .

D. y   x 4  3 x 2  4 .

Lời giải

Từ đồ thị hàm số và căn cứ vào 4 phương án, ta thấy đây là đồ thị hàm số của hàm số bậc 3 có

hệ số a  0 .

Vậy chọn phương án B. Câu 8.

Đồ thị của hàm số y  x 4  2021x 2 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? B. 1 .

A. 0 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải

KÈ

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 4  2021x 2 và trục hoành:

x  0 x 4  2021x 2  0  x 2  x 2  2021  0   .  x   2021

DẠ Y

Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số

y  x 4  2021x 2 với trục hoành.

Vậy đồ thị của hàm số y  x 4  2021x 2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Câu 9.

Với a là số thực dương tùy ý, 5

A. a .

a 5 bằng 5 2

B. a .

C. a . 14

2 5

D. a .

Lời giải

Câu 10. Với x  0 , đạo hàm của hàm số y  ln 2 x là 1 . x

1 . 2x

2 . x

Lời giải

 2 x   1 . Với x  0 , ta có :  ln 2 x   2x x  a3  Câu 11. Với a  0 , a  1 và b  0 . Biểu thức log a   bằng b 

Vậy chọn đáp án A.

1  log a b . 3 Lời giải

B. 3  loga b .

NH Ơ

 a3  Ta có: log a    log a a 3  log a b  3  loga b .  b  Vậy chọn đáp án B.

A. 3  loga b .

x . 2

1  log a b . 3

Câu 12. Số nghiệm nguyên của phương trình 2021x  4084441 là B. 1.

A. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

Lời giải

x  2 2 Ta có: 2021x  4084441  x 2  log 2021 4084441  2   .  x   2 Mà x    Không có nghiệm nguyên thỏa mãn phương trình. Vậy chọn đáp án C.

KÈ

Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình log 5  x  2  .log 2 5  2 bằng A. 4 .

Với a  0 ta có: a 5  a 2 . Vậy chọn đáp án C.

C. 1.

B. 2 .

D. 0 .

Lời giải

Điều kiện:  x  2   0  x  2 . 2

Ta có: log 5  x  2  .log 2 5  2  log 2 5.log 5  x  2   2 2

DẠ Y

x  4 2 2 .  log 2  x  2   2   x  2   22  4   x  0

So sánh điều kiện, cả hai nghiệm x  0 và x  4 đều thỏa mãn. Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 4  0  4 .

Câu 14. Cho hàm số f  x   2 x3  3 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

 f  x  dx  4 x

 f  x  dx  2x

 3x  C .

 f  x  dx  2 x

 3x  C .

 f  x  dx  2 x

 3x  C . C.

Ta có:

 f  x  dx    2 x

1 1  3 dx  2. x 4  3 x  C  x 4  3 x  C . 4 2

Lời giải

Câu 15. Cho hàm số f  x   2sin 2 x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A.

 f  x  dx   2 cos 2 x  C .

 f  x  dx   cos 2 x  C .

 f  x  dx  cos 2 x  C .

 f  x  dx  2 cos 2 x  C .

 f  x  dx    2sin 2 x  dx  2. 2 cos 2 x  C   cos 2 x  C .

Ta có:

Vậy chọn phương án B.



f  x  dx  1 và



f  x  dx  5 thì

 f  x  dx bằng 2

B. 4.

A. 4.

NH Ơ

Câu 16. Nếu

Lời giải

D.  6 .

C. 6 .

Lời giải

Ta có 4

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  5  1  4.

Vậy chọn phương án A. 2

Câu 17. Tích phân

x

dx bằng

1 . 2

KÈ

Ta có

1 C.  . 2

B. ln 4

D.  ln 4 .

Lời giải

1 1 1 1 1 x 2 dx   x 1   2  1  2 .

Vậy chọn phương án A.

DẠ Y

Câu 18. Số phức liên hợp của số phức z  2  5i là A. z  2  5i .

B. z  2  5i .

C. z  2  5i . Lời giải

Số phức liên hợp của số phức z  a  bi là z  a  bi . Vậy z  2  5i .

Câu 19. Cho hai số phức z  10  3i và w  4  5i . Tính z  w . 16

D. z  5  2i .

B. 14 .

A. 100 .

D. 10 2 .

C. 10 . Lời giải

Ta có z  w  6  8i  z  w  62  82  10 . Vậy chọn phương án C. Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z  3  2i có tọa độ là B. N  2;3 .

C. P  2;  3 .

D. Q  3; 2  .

A. M  3; 2  .

Lời giải

Vì z  3  2i có phần thực bằng  3 và phần ảo là 2 , nên được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm Q  3; 2  .

B. 4 .

A. 8 .

Câu 21. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều biết đáy là hình vuông có độ dài đường chéo bằng 2 và chiều cao hình chóp bằng 6 . D. 12 .

C. 6 . Lời giải

NH Ơ

Theo giả thiết, đáy là hình vuông có độ dài đường chéo bằng 2 nên diện tích đáy là 1 B  .2.2  2 2 1 1 Vậy thể tích khối chóp cần tìm là V  .B.h  .2.6  4 . 3 3

Câu 22. Cho khối lập phương có độ dài đường chéo là 6 . Hãy tính thể tích khối lập phương đó. B. 24 3 .

A. 36 .

C. 54 2 .

D. 216 .

Lời giải

Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là x . Vì độ dài đường chéo của khối lập phương là 6 nên x 

6 2 3. 3

Vậy thể tích khối lập phương là V  x 3  24 3 . Câu 23. Chiều cao của khối nón có thể tích V và bán kính đáy r là

3V .  r2

B. h 

V . r

C. h 

3V . r

D. h 

V .  r2

Lời giải

KÈ

A. h 

1 3V Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là V   r 2 h  h  2 . 3 r

Vậy chọn phương án A.

DẠ Y

Câu 24. Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r  5cm và độ dài đường sinh l  6 cm bằng A. 55 cm 2 .

B. 80 cm 2 .

C. 110 cm 2 . Lời giải

D. 70 cm2 .

Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và đường sinh l Stp  2 rl  2 r 2  2 r  r  l   2 .5.11  110  cm 2  .

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là 110 cm 2 .

Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  2; 2; 2  , B  3;5;1 , C 1; 1; 2  . Tìm tọa độ trọng A. G  2;5;  2  .

tâm G của tam giác ABC . C. G (0; 2;  1) .

B. G (0; 2;3) .

D. G (0;  2;  1) .

Lời giải

Gọi G ( xG ; yG ; zG ) là trọng tâm của tam giác ABC . Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:

NH Ơ

Vậy tọa độ trọng tâm G  0; 2;  1 .

x A  xB  xC 2  3  1   0  xG  3 3  y A  yB  yC 2  5  1   2 .  yG  3 3  z A  z B  zC 2  1  2    1  zG  3 3 

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  3   z  2   4 . Tọa độ tâm và bán 2

kính của mặt cầu  S  là A. I 1; 3; 2  , R  4 .

B. I  1;3; 2  , R  2 .

D. I  1;3; 2  , R  4 .

C. I  1;3; 2  , R  2 .

Lời giải

Mặt cầu  S  :  x  1   y  3   z  2   4 có tâm I (1;3; 2), bán kính R  4  2 . Vậy chọn phương án C.

Câu 27. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d :

x 1 y z  2 và vuông góc   1 2 1

với mặt phẳng Oxy có phương trình là B. x  2 y  1  0 .

C. 2 x  y  2  0 .

D. 2 x  y  2  0 .

KÈ

A. 2 x  y  2  0 .

DẠ Y

Lời giải  Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương u  1; 2;  1 .  Mặt phẳng Oxy có một véctơ pháp tuyến k   0;0;1 .    Ta có: n  u , k    2; 1;0  . Mặt phẳng  P  chứa d và vuông góc với Oxy  mặt phẳng  P  có một véctơ pháp tuyến là  n   2;  1;0  . Mặt khác mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d nên  P  đi qua điểm A 1;0; 2  . 18

Vậy phương trình của mặt phẳng  P  :2  x  1   y  0   0  2 x  y  2  0 . véctơ chỉ phương là  A. u  1; 3; 2  .

 B. u   3;1;0  .

 C. u  1;1; 3 .

Câu 28. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  : x  3 z  2  0 có một

 D. u  1;0; 3 .

 Mặt phẳng  P  : x  3 z  2  0 có một véctơ pháp tuyến là n  1;0; 3 .

Lời giải

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  nên nhận một véctơ pháp tuyến của  P  làm  véctơ chỉ phương. Vậy đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là u  1;0;  3 .

số được chọn là một số dương. A.

1 . 7

2 . 7

3 . 7

Câu 29. Cho tập X  4; 3; 2; 1;1; 2;3; 4 . Chọn 2 số phân biệt từ tập X . Tính xác suất để tổng 2

5 . 7

Lời giải

NH Ơ

Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập X ta có C82  28 (cách). Suy ra số phần tử không gian mẫu là: n     28 .

Gọi A là biến cố “Tổng 2 số được chọn là một số dương”. Cách 1:

Ta có A   3; 4  ;  2; 4  ;  2;3 ;  1; 4  ;  1;3 ;  1; 2  ; 1; 4  ; 1;3 ; 1; 2  ;  2; 4  ;  2;3 ;  3; 4 

 n  A   12

Do đó xác suất của biến cố A là: p  A  

n  A  12 3   . n    28 7

Vậy chọn phương án C. Cách 2:

Ta biết rằng mỗi cách chọn ra 2 số bất kỳ từ tập X luôn có tổng hoặc là một số dương hoặc là một số âm hoặc bằng 0 . Mà ta có tập X đối xứng nên xác suất để lấy được hai số có tổng dương sẽ luôn bằng xác suất lấy được hai số có tổng âm.

KÈ

Gọi B là biến cố “Hai số lấy được có tổng bằng 0 ”. Ta có B   1;1 ;  2; 2  ;  3;3 ;  4; 4   n  B   4 .

DẠ Y

Xác suất của biến cố B là: p  B  

n  B 4 1   . n    28 7

Suy ra xác suất của biến cố A là: p  A  

1 p  B 3  . 2 7

Vậy chọn phương án C.

Câu 30. Cho hàm số y  f  x   2 x3  3  2m  1 x 2  6  m 2  m  x  2021 với m là tham số. Có tất cả 1 2 bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ;  ? 3 3 19

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. Vô số.

Lời giải

Ta có: y  f  x   2 x3  3  2m  1 x 2  6  m 2  m  x  2021 . y  6 x 2  6  2m  1 x  6  m 2  m  .

x  m . y  0  6 x 2  6  2m  1 x  6  m 2  m   0  x 2   2m  1 x  m 2  m  0   x  m 1

Ta có bảng biến thiên:

1 2 1 1   m 1  m . 3 3 3 3

NH Ơ

m

1 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  khi và chỉ khi: 3 3

Vì m Î  nên m Î {0} .

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 31. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x3  3 x 2  12 x  10 trên

đoạn  2;1 . Giá trị của biểu thức M  2m bằng

C. 43 .

B. 32 .

D. 26 .

Lời giải

A. 40 .

+) Hàm số đã cho liên tục trên đoạn  2;1 . +) Ta có: y  6 x 2  6 x  12 .

 x  1   2;1 y  0   .  x  2   2;1

KÈ

y  2   14; y  1  3; y 1  23 . Do đó M  max y  3; m  min y  23 .  2;1

 2;1

DẠ Y

Vậy M  2m  3  2  23  43 .

1 Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình   5 A. 1; 2  .

x 2 3 x

 25 là

B. 1; 2 .

C.  ;1   2;   . Lời giải 20

D.  0;   .

1 Ta có   5

x 2 3 x

 25  x 2  3 x  log 1 25  x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  0  1  x  2 . 5

1

  f  x   2 g  x  dx  5 và   f  x   g  x  dx  1 thì  2 f  x   3g  x   1 dx bằng

A. 8 .

B. 5 .

Câu 33. Nếu

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  1; 2 .

C. 7 .

D. 11 .

Lời giải

Ta có

1

 2 f  x   3g  x   1 dx  2  f  x  dx  3  g  x  dx  x 1  2.1  3.2  (2  1)  5.

NH Ơ

Vậy chọn phương án B.

Suy ra

2 2 2 2    f  x   2 g  x   dx  5   f  x  dx  2  g  x  dx  5   f  x  dx  1  1   1   1 2   21 . 2 2    f x  g x  dx  1  f x dx  g x dx  1  g x dx  2                  1  1 1  1

Câu 34. Cho số phức z  1  3i . Môđun của số phức 1  i  z bằng A. 2 5 .

B. 10 .

C. 20 .

D. 5 2 .

Lời giải

Cách

 2  4i 

 2    4  2

1  i  z

Cách 1: Ta có 1  i  z  1  i z  2. 12  33  2 5 .

1  i  z  1  i 1  3i   2  4i .

Vậy

 20  2 5 .

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình bình hành và tam giác ACD vuông cân tại A , AC  2a . Biết AC tạo với đáy một góc  thỏa mãn tan  

2 . Góc giữa 2

DẠ Y

KÈ

đường thẳng AC và mặt phẳng  ACD  bằng

A. 60 .

B. 45 .

C. 30 . 21

D. 90 .

Lời giải

Gọi I trung điểm CD .

+ Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC lên  ABCD  .





NH Ơ

AC ,  ABCD    AC , AC    ACA   (vì ACA vuông tại A ). Suy ra  + Xét ACA vuông tại A , ta có tan  

AA 2 2   AA  AC. a 2. AC 2 2

+ Vì ACD vuông cân tại A nên ta có : CD  AC 2  AD2  2a 2

1 Suy ra AI  CD  a 2  AA  AAI vuông cân tại A . 2

+ Gọi H là trung điểm AI  AH  AI 1 và AH 

CD  AI Lại có   CD   AAI   CD  AH CD  AA

1 1 1 AI  AA2  AI 2  .2a  a . 2 2 2

 2 .

Từ 1 ,  2   AH   ACD  .



+ Ta có HC là hình chiếu vuông góc của AC lên  ACD  .



KÈ

AC ,  ACD    AC , HC    ACH (vì ACH vuông tại H ). Suy ra  ACH  + Xét AHC vuông tại H , sin 

AH a 1    ACH  30 . AC 2a 2

Vậy góc tạo với AC và mặt phẳng  ACD  bằng 30 .

DẠ Y

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  1 . Các cạnh bên có độ dài bằng 2 và SA tạo với mặt đáy góc 60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  bằng A. 1.

33 . 6

C. Lời giải 22

2 . 2

3 . 2

AL CI FI

Gọi O  AC  BD .

Ta có: SA  SB  SC  SD nên SAC và SBD là hai tam giác cân tại S

 SO  AC Do đó:   SO   ABCD  .  SO  BD

  60 . Suy ra góc giữa SA với mặt đáy là SAO

Vì SO   ABCD  nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên  ABCD  .

Suy ra BC  AC 2  AB2  3 .

NH Ơ

Khi đó, tam giác SAC là tam giác đều nên AC  SA  2 .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC , ta có

 BH  AC  BH   SAC   d  B,  SAC    BH .   BH  SO  Do SO   ABCD  

Mà BH là đường cao của tam giác ABC vuông tại B nên

1 1 1 1 1 4 3 .       BH  2 2 2 BH AB BC 1 3 3 2

Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  bằng

3 . 2

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho A 1;1;3 , B  1;3; 2  ; C  1; 2;3 . Phương trình mặt cầu có tâm O

và tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) là B. x 2  y 2  z 2  3 . C. x 2  y 2  z 2  3 .

KÈ

A. x 2  y 2  z 2  9 .

  Ta có AB   2; 2;  1 , AC   2;1;0  .

D. x 2  y 2  z 2 

5 . 3

Lời giải

DẠ Y

  Mặt phẳng ( ABC ) qua A 1;1;3 và có một vectơ pháp tuyến là n   AB, AC   (1; 2; 2). Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là:  x  1  2  y  1  2  z  3  0  x  2 y  2 z  9  0 . Vì mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) nên bán kính của mặt cầu là R  d  O,  ABC   

9  3. 3 23

Vậy phương trình mặt cầu là: x 2  y 2  z 2  9 . Câu 38. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm A  5; 1;3 và vuông góc với mặt phẳng

x  5  A.  y  1  t , t   . z  3  t 

 x  1  5t  B.  y  t , t   .  z  3t 

x  5  t  C.  y  1 , t   . z  3 

Lời giải

có phương trình tham số là

x  0  D.  y  1  t , t   . z  3  t 

 Oyz 

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  Oyz  nên đường thẳng d có một vectơ chỉ  phương là i  1;0;0  . Mặt khác đường thẳng d đi qua điểm A  5; 1;3 nên phương trình tham số của đường thẳng

x  5  t  d là  y  1 , t   . z  3 

NH Ơ

Câu 39. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f   x  là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị lớn

KÈ

1 2

1 1  nhất của hàm số g  x   f  x 2  1  x 4  x 2 trên đoạn  ; 2  bằng 2 2 

A. f  0   .

B. f  3  

1 C. f  1  . 2

63 . 2

5 9 D. f    .  4  32

Lời giải

DẠ Y

+ Ta có g   x   2 x. f   x 2  1  2 x 3  2 x  2 x  f   x 2  1   x 2  1 

x  0 x  0 g   x   0  2 x  f   x 2  1   x 2  1   0     2 2 2 2  f   x  1   x  1  0  f   x  1  x  11 . + Vẽ đồ thị hàm số y  x trên cùng hệ trục với đồ thị hàm số y  f   x  24

AL CI FI OF

Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  và y  x ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm

A  4; 4  , O  0;0  , B  3;3 .

NH Ơ

x  1  x 2  1  4  x  1  2 Ta có 1   x  1  0   . x  2  x2 1  3    x  2

+ Bảng biến thiên

Từ bảng trên ta suy ra max g  x   g 1  f  0   1   2 ;2   

1 . 2

Vậy chọn phương án A. Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 5 số nguyên x thỏa



 y  3   0 ?

KÈ

mãn 3x  2  3 A. 79 .

B. 80 .

C. 81 . Lời giải

DẠ Y

Đặt t  3x ,  t  0  , bất phương trình đã cho trở thành:



9t  3   y  t   0   t  

3   t  y   0 1 . 9 

D. 82 .

3 3 3 , do đó bất phương trình 1  t  y   3x  y 9 9 9

Vì y    nên y 

 y  nên 

Vậy y  1; 2;3; 4;...;81 nên có 81 giá trị nguyên dương của y .

 3 Do mỗi y    có không quá 5 số nguyên x    ;log 3  2 1 1 1  log 3 y  4   y  34   y  81 . 3 3

3  x  log 3 y . 2



  khi x    x  2 Câu 41. Cho hàm số f  x    . Biết tích phân I   f  x .cosx dx   b (với a 0 cos x khi x    2 a, b  , a  0 ). Tính S  a  b . C. S  5 .

D. S  5 .

B. S  3 .

A. S  3 .

Lời giải 



NH Ơ



Ta có I   f  x  .cosx dx   cos 2 x dx   x.cosx dx . 0



12 1 1 2  +) Tính A   cos x dx   1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x   . 20 2 2 0 4 0 2



+) Tính B   x.cos x dx   x d  sin x   x.sin x    sin x dx



           .sin   sin   cos x      cos   cos     1 . 2 2 2  2 2 2  

Suy ra I   f  x .cosx dx  A  B  

Mặc khác I   f  x .cosx dx 

KÈ

 a



        1    1 . 4  2  4

 b . Ta có a  4, b  1 .

Vậy S  a  b  5 . Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2  3i  2 và z  4  2i  z  5  i ?

DẠ Y

A. 0 .

C. 2 .

B. 1.

D. 4 .

Lời giải

Giả sử số phức z  x  yi  x ; y    có điểm biểu diễn là M  x ; y  . Ta có: +) z  2  3i  2   x  2    y  3  2 . Suy ra M thuộc đường tròn  C  có tâm 2

I  2;  3 và bán kính R  2 1 . 26

+) z  4  2i  z  5  i   x  4    y  2    x  5     y  1  2 x  2 y  6  0 2

Ta thấy d  I ;   

233 2

 x  y  3  0 . Suy ra M thuộc đường thẳng  : x  y  3  0  2  .  2  R nên đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C   3  .

Từ 1 ,  2  và  3  suy ra có duy nhất một điểm M thỏa mãn. Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn đề bài.

Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh C , AB  2a , cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng  SAB  bằng 30 (tham khảo hình bên).

a3 . 3

6a 3 . 3

2a 3 . 3

D. 6a 3 .

Lời giải

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

Thể tích của khối chóp S . ABC bằng

+) Gọi I là trung điểm của AB , ta có SA   ABC   SA  CI . +) Tam giác ABC vuông cân đỉnh C nên CI  AB và CI  27

1 AB  a . 2

+) Xét SIC vuông tại I , ta có SI  IC.cot 30  a 3 . +) Xét SAI vuông tại A , ta có SA  SI 2  AI 2 

a 3

 a2  a 2 .

1 1 1 2a 3 Vậy thể tích của khối chóp S . ABC là V  SA.S ABC  .a 2. .2a.a  . 3 3 2 3

 CI  SA   30 . +) Có  SC ,  SAB     SC , SI   CSI  CI   SAB    CI  AB

Câu 44. Gọi S1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d : y  mx (với 0  m  4 ) và parabol  P  : y  4 x  x 2 ; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  và trục hoành. Khi 2 S 2 thì giá trị tham số m thuộc khoảng nào dưới đây? 5

A.  0;1 .

B.  3; 4  .

S1 

C.  2;3 .

y=mx

NH Ơ

Lời giải

D. 1; 2  .

+ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường d : y  mx và  P  : y  4 x  x 2 là:

x  0 4 x  x 2  mx  x 2   m  4  x  0   . x  4  m Với 0  m  4 thì đường thẳng d và parabol  P  luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và

4m  0 4 m



KÈ

Ta có: S1  

4 m

 x3  4  m  x 2  2  x   4  m  x  dx         3  2  0





1 1  4  m 3   4  m  4  m 2 3 2

1  4  m 3 . 6

DẠ Y

x  0 + Phương trình hoành độ giao điểm của  P  : y  4 x  x 2 và trục Ox là: 4 x  x 2  0   . x  4 4

S2   0



 x3  32 4 x  x dx   2 x 2    . 3  3  0 2



+ Theo đề bài: S1 

4 3 50 2 1 2 32 128 3 3  m  4  1; 2  . S2   4  m   .   4  m  5 5 6 5 3 5 28

Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y 1 z  3 và đường thẳng   1 1 2

 x  1  3t  d 2 :  y  4 . Đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2; 1 và cắt d1 tại M , cắt d 2 tại N . Khi đó z  4  t  A. 6 .

B. 9 .

AM  AN bằng D. 15 .

C. 12 . Lời giải

Dễ kiểm tra A không thuộc d1 , d 2 .

Ta có M  d1  M 1  m; 1  m;3  2m  ; N  d 2  N 1  3n; 4; 4  n  ;  m; n    .    AM   m; 3  m; 4  2m  , AN   3n; 6;5  n  .   Do d đi qua A nên A, M , N thẳng hàng  k   sao cho AM  k AN * .

1  AN  3 AM  9 . 3

Vậy AM  AN  12 .

Do k 

NH Ơ

  m  1 m  k .3n m  1 m  3kn  0    1   Ta có *  3  m  k  6   m  6k  3  kn   n  1 . 3  2m  kn  5k  4   1 4  2 m  k 5  n     1  k  3  k  3  Với m  1  AM  1; 2; 2   AM  3 .

DẠ Y

KÈ

Câu 46. Cho f  x  là hàm số bậc bốn thỏa f b  2020 . Hàm số f   x  có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số g  x   f  sin x  cos x   sin 2 x  2021 có bao nhiêu điểm cực trị trên 0; 2p ? A. 3 .

B. 5 .

C. 4 .

D. 6 .

Lời giải

+) Số cực trị của hàm số g  x   f  sin x  cos x   sin 2 x  2021 bằng số cực trị của hàm số trình f  sin x  cos x   sin 2 x  2021  0

h  x   f  sin x  cos x   sin 2 x  2021 cộng với số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương

I  .

+) Xét hàm số h  x   f  sin x  cos x   sin 2 x  2021 .   cos x  sin x   f   sin x  cos x   2  sin x  cos x   .

cos x  sin x  0 1 h  x   0   .  f   sin x  cos x   2  sin x  cos x   0  2 

Ta có: h  x    cos x  sin x  . f   sin x  cos x   2 cos 2 x

NH Ơ

 p x     4 Giải 1 : cos x  sin x  0  cos  x    0  x   k ; k   . Do x  0; 2p   .  5 p 4 4  x    4

Giải  2  : f   sin x  cos x   2  sin x  cos x   0 .

  Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x    t    2; 2  . 4 

Phương trình  2  trở thành: f   t   2t  3 . Vẽ đồ thị của 2 hàm số y  f   x  và y  2 x trên

DẠ Y

KÈ

cùng hệ trục

Dựa vào hình vẽ ta thấy  3 có 3 nghiệm t  0 hoặc t  1 hoặc t  2 .

 So sánh điều kiện t     2; 2  suy ra  3 có 2 nghiệm t  0 hoặc t  1 .

   +) t  0  sin x  cos x  0  sin  x    0  x    k , k   . 4 4  30

 3p x  4 Do x  0; 2p    7p . x    4

p . 2

Do x  0; 2p  x 

 x  k 2   2    ,k  . +) t  1  2 sin  x    1  sin  x     x    k 2 4 4 2    2

Suy ra h  x   0 có 5 nghiệm đơn trên trên 0; 2p  trên 0; 2p hàm số

h  x  f sin x  cos x  sin 2 x  2021 có 5 điểm cực trị. II 

+) Xét phương trình h  x  0  f sin x  cos x  sin 2 x  2021 .

Đặt t  sin x  cos x; t   2; 2  khi đó t 2  1  sin 2 x  sin 2 x  t 2  1 , phương trình trở

thành: f t   t 2  2020 .

NH Ơ

Dựa vào đồ thị hàm số f  x ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x ; trục Ox và hai đường x  0; x  a nhỏ hơn diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị a

hàm số y  f  x ; trục Ox và hai đường x  a; x  b . Suy ra  f  xdx  f  xdx

  f a  f 0  f b  f a  f 0  f b* .

Cũng dựa vào đồ thị hàm số f  x ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, giả thiết f b  2020 và *  f t   2020, t   .

KÈ

Lại có: t 2  2020  2020,  t   . Do đó ta suy ra phương trình f t   t 2  2020 vô nghiệm

 phương trình h  x  0 vô nghiệm III  .

DẠ Y

Từ I  ; II  ; III   hàm số g  x   f  sin x  cos x   sin 2 x  2021 có 5 cực trị trên 0; 2p .

Vậy chọn phương án B.

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 22 x  m log 2 x  m  2  0 có 2 nghiệm

x1 ; x2 thỏa mãn x1 . x2  128 ?

A. m  1 .

B. m  7 .

C. m  4 . Lời giải 31

D. m  4 .

Điều kiện: x  0 . Ta có x1 . x2  128  log2  x1 x2   7  log2 ( x1 )  log2 ( x2 )  7 .

Đặt t  log 2 x , phương trình đã cho trở thành t 2  mt  m  2  0 * .

Phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa x1.x2  128 khi và chỉ khi phương trình (*) có 2

m 2  4(m  2)  0   0 t ; t t  t  7    m  7. nghiệm 1 2 thỏa mãn 1 2 S  7 m  7 Vậy m  7 là giá trị cần tìm. 1

 f  x dx .

diện tích S1  S 2  32 . Tính

Câu 48. Cho y  f  x  , y  g  x  lần lượt là các hàm số bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ. Biết

25 . 2

25 . 3

25 . 12

25 . 4

Lời giải

NH Ơ

+) Đồ thị hàm số y  g  x  đi qua hai điểm B 1;1 , C  2; 2  nên ta có y  g  x   x .

KÈ

+) Dễ thấy hoành độ điểm A bằng 2 . +) Đồ thị hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba điểm như hình vẽ nên ta có

f  x   g  x   a  x  2  x  1 x  2   a  x3  x 2  4 x  4  với a  0 .

DẠ Y

+) Khi đó: S1  S 2  32  a



 x

 x  4 x  4  dx  a 2

2

x

 x 2  4 x  4  dx  32

45a 7 a 32a   32   32  a  3 . 4 12 3





+) Suy ra f  x   3 x 3  x 2  4 x  4  g  x   3 x 3  3 x 2  11x  12 . 32

 0

f  x dx    3 x 3  3 x 2  11x  12  dx  0

Câu 49. Xét hai số phức z1 , z2 thoả mãn

25 . 4

 z 1  z1  2  2i  2 , log 1  2 1  2 z  8  , z2  z1  21 . Giá trị z1  1  i 2 3  

Vậy

57 1 .

B. 2 57  1 .

lớn nhất của 2z1  z2  i bằng C. 2 57  1 .

Lời giải

57  1 .

z1  2  2i  2   x  2    y  2  i  2  x  1   y  1 i z1  1  i



  x  2    y  2   2  x  1   y  1 2

x

+ Ta có

 + Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z1 , suy ra OM là véc tơ biểu diễn z1 .  + N  x; y  là điểm biểu diễn cho số phức z2 , véc tơ ON là véc tơ biểu diễn z2 .  + P là điểm biểu diễn cho số phức 2z1 , véc tơ OP là véc tơ biểu diễn 2z1 .

 y2  4 .

NH Ơ

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn của z1 là đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R  2    OM  2 , OP  4 .

 z 1  x  yi  1 1 + log 1  2   3 x  yi  3  2 x  yi  8  x  yi  5   1  2 x  yi  8 3 3  2 z2  8   x2  y2  25 .

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn của z2 là đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R  5   ON  5 .

DẠ Y

KÈ

+ Từ giả thiết z2  z1  21  MN  21  tam giác OMN vuông tại M .

Dựng hình bình hành OPQN với Q là điểm biểu diễn của số phức 2z1  z2 .

. + Trong ONQ ta có: OQ 2  ON 2  NQ 2  2ON .NQ.cos ONQ OM 2    cos MON  2.   cos ONQ ON 5 5

 + Xét tam giác vuông OMN ta có : cos MON

 2 Suy ra OQ 2  25  16  2.5.4.     57  OQ  57 .  5

 + Gọi A là điểm biểu diễn cho số phức z  i  véc tơ OA là véc tơ biểu diễn cho z .    + Đặt T  2 z1  z2  i  OQ  OA  AQ , khi đó T đạt giá trị lớn nhất khi AQ đạt giá trị lớn

57  1 .

Vậy giá trị lớn nhất của 2z1  z2  i bằng

AOQ  180  T  57  1 . nhất  

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  đường kính AB , với điểm A  2;1;3 và B  6;5;5  . Xét khối trụ T  có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  và có trục nằm trên đường thẳng

AB . Khi T  có thể tích lớn nhất thì hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của T  có phương trình dạng 2 x  by  cz  d1  0 và 2 x  by  cz  d 2  0 , (d1  d 2 ) . Có bao nhiêu số nguyên

NH Ơ

thuộc khoảng  d1 ; d 2  ? B. 11 .

A. 13 .

C. 15 .

D. 17 .

Lời giải

KÈ

Mặt cầu  S  tâm I  4;3; 4  , bán kính R 

AB 1  16  16  4  3 . 2 2

Đặt chiều cao của khối trụ T  là h  EF , 0  h  6 ; E , F lần lượt là hai tâm của hai đường

DẠ Y

tròn đáy.

Bán kính của khối trụ T  là: r  R 2  Thể tích của khối trụ T  là:

h2 h2 .  9 4 4

 h2   V   r 2 h    9   h   36h  h3  . 4 4 

h  2 3 Xét hàm f  h   36h  h3 với h   0;6  có f   h   36  3h 2  0   .  h  2 3

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có thể tích khối trụ T  lớn nhất khi chiều cao h  2 3 .   Ta có AB   4; 4; 2   n   2; 2;1 là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đáy của hình trụ. Suy ra phương trình mặt phẳng   chứa đáy của hình trụ có dạng 2 x  2 y  z  d  0 .

2.4  2.3  4  d h   3  d  18  3 3  d  18  3 3 2 4  4 1

Khi đó d  I ,    

NH Ơ

d  18  3 3 .  1 d 2  18  3 3

Vậy số các số nguyên thuộc khoảng  d1 ; d 2  là 11 số.

DẠ Y

KÈ

HẾT

Ma trận đề minh họa 2021 môn Toán

Đơn điệu của HS

3 , 30

Cực trị của HS

4, 5,39,46

Đạo hàm và Min, Max của 31 hàm số ứng dụng Đường tiệm cận

Khảo sát và vẽ đồ thị

7,8

FI 1

Lũy thừa - mũ 9, 11 - Logarit

HS Mũ Logarit

1 8

PT Mũ Logarit

12, 13, 47

BPT Mũ Logarit

32,40

Phép toàn

5 1

PT bậc hai theo hệ số thực Nguyên hàm

N NH Ơ

KÈ DẠ Y Nguyên

Định nghĩa và 18,20,34,42,49 2 tính chất

Số phức

Hàm số mũ - Logarit

Dạng bài

Lớp Chương

Tổng Tổng dạng Chương NB TH VD VDC bài Mức độ

Trích dẫn đề Minh Họa

14, 15

1 1

16,17,33,41

Ứng dụng TP 44, 48 tính diện tích

Đa diện lồi Đa diện đều

21, 22, 43

Khối nón

Khối trụ

KÈ

Phương trình đường thẳng Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp

DẠ Y 11

26, 37, 50

Hình học

1 3

Cấp số cộng ( 2 cấp số nhân)

Góc

28, 38, 45

Xác suất

Giải tích trong không Phương trình gian mặt phẳng

Phương trình mặt cầu

Thể tích khối đa diện

Phương pháp tạo độ

Ứng dụng TP tính thể tích

Khối cầu

Tổ hợp xác suất

Khối tròn xoay

NH Ơ

Khối đa diện

Tích phân

Hàm - Tích Phân

1 1

Khoảng cách

1 20

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

Tổng

không gian

Cho cấp số nhân  un  với u1  2 và công bội q  3 . Tính u3 . B. 6 .

A. 54 . Câu 3.

Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng nào sau đây?

C.  ; 1 .

D.  1;   .

C. 1 .

D.  .

Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau

Câu 4.

B.   1; 0  .

NH Ơ

A.  0;1 .

C. 18 . D. 12 .

Câu 2.

C. C55 .D. 5!.

B. 5 .

A. 55 .

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng ngang?

Câu 1.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 0 .

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

KÈ

Câu 5.

B. 2 .

DẠ Y

Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 6.

A. 2 .

B. 1.

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau .

C. 3 . D. 0 .

A. 1.

C. 2 . D. 3 .

B. 4 .

Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ sau?

Câu 7.

Hỏi đồ thị hàm số đó có mấy tiệm cận?

Câu 8.

y  x3  3 x  2.

NH Ơ

D. y  x 3  3 x 2  2.

B. y  x3  3 x 2  1.

A. y   x3  3 x 2  1.

Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

C. a  0, b  0, c  0, d  0 .

D. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .

Giá trị của P  ln(9e) là

KÈ

Câu 9.

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .

A. P  3ln 3  1 .

B. P  3ln 3 .

C. P  9e .

D. P  2 ln 3  1 .

DẠ Y

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y  2021x là A. y  2021x .

B. y  2021x.ln 2021 . C. y 

Câu 11. Cho a là một số dương tùy ý, biểu thức a

2 3

B. a 6 . 5

D. y  2020.2021x .

a bằng 5

A. a 3 .

2021x . ln 2021

C. a 6 . D. a 7 .

Câu 12. Nghiệm của phương trình 3x 2  27 là: A. x  3 .

B. x  4 .

C. x  5 .

Câu 13. Nghiệm của phương trình log

x  3 .

 x  1  log 1  x  1  1 nằm trong khoảng nào sau đây? 2

B.  0;1 .

C.  2;3

A.  1;0  .

x2  e x  C thì f ( x ) bằng: 2 x3  ex . 6 x D. f  x    e x . 2

B. f  x   x  e x .

f  x 

A. f  x  



f  x  dx 

 4;5 Câu 14. Nếu

 f  x  dx  e

 f  x  dx  3e

C . 3 x

C .

 f  x  dx  e

 f  x  dx   3 e

3x

C . 3 x

C .

A. 6.

x 0

x dx bằng 3

1 7 log . 2 3

C. 8.

Câu 17. Tích phân

B. -2. 2

B. ln

 f  x  dx  2 và  f  x  dx  4 thì  f  x  dx bằng:

Câu 16. Nếu

3x

NH Ơ

Câu 15. Cho hàm số f  x   e 3x . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

7 . 3

1 3 ln . 2 7

D. 2.

1 7 ln . 2 3

Câu 18. Mo-đun của số phức z  2  i bằng

KÈ

A. 2 .

B. 5 .

C. 3 .

Câu 19. Cho số phức z1  2  i và z2  3  3i . Số phức w  3 z1 z2 bằng: A. w  9  27i .

B. w  27  9i .

C. w  9  3i .

DẠ Y

Câu 20. Điểm M trong hình vẽ biễu diễn cho số phức z .

D. w  27  9i .

x3  ex . 3

AL CI FI

Môđun của số phức z là: C. 5 .

B. 17 .

A. 17 .

Câu 21. Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 8 và chiều cao bằng 3. Thể tích của khối lăng trụ đó là: A. 11.

B. 64.

C. 24.

D. 8.

Câu 22. Một hình lập phương có diện tích toàn phần bằng 12. Thể tích của khối lập phương đó là: B. 2 2 .

C. 4 2 .

NH Ơ

A. 4.

D. 8.

Câu 23. Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: A. Sxq   rl .

C. Sxq   r  l  r  .

B. Sxq  2 r l .

D. Sxq   r 2 l .

Câu 24. Thể tích khối trụ có bán kính đáy r = 4cm và chiều cao h = 9cm là: A. V  144 cm3 .

C. V  48 cm3 .

B. V  144 cm3 .



D. V  36 cm3 .  



A. AB  14 .

thẳng AB là

Câu 25. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A, B . Biết A  2; 1;3 , OB  2i  j  k . Độ dài đoạn

B. AB  2 .

C. AB  2 2 .

D. AB  4 .

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây không là phương trình mặt cầu: B. x 2 + y 2 + z 2 - 2 xy + 2 x - 2 y -12 = 0 .

C. ( x + 3) + ( y - 2) + ( z + 5) = 4 .

D. x 2 + y 2 + z 2 = 25 .

KÈ

A. ( x - 3) + ( y + 2) + ( z - 5) = 1 . 2

Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và mặt phẳng  P  : 2 x  my   2m  1 z  3  0 .

DẠ Y

Tìm giá trị của tham số m để điểm A thuộc mặt phẳng  P  ? A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  0 .

D. m  2 .

Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  P  : Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  .    A. u   2;3;6  . B. u   3; 2;1 . C. u  1; 2;3 . 7

x y z   1. 2 3 6

 D. u   6;3; 2  .

Câu 29. Một nhóm có 7 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11, 4 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ nhóm trên. Xác suất để 4 học sinh được chọn thuộc đúng 2 trong 3 khối bằng

951 . 1820

1 . 2

46 . 91

869 . 1820

Câu 30. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  ? B. y  x 4  x 2  5 .

C. y   x3  2 x 2  4 x  3 .

D. y   x3  2 x 2  3x  2021 .

Câu 31. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. y  x3  3x  4 .

A. 8090 .

f  x    x3  2 x 2  x  2 trên đoạn  1;3 . Khi đó 2020 M  2021m bằng B. 16160 .

C. 8090 .

D. 16160 .

Câu 32. Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình log 1  4 x  9   log 1  x  10  . A. 6 .

C. 5 .

B. 4 .

  f ( x)  2g( x)  dx  5 và 0

C. 2 .

D. 3 .

Câu 34. Cho số phức z  2 - 3i . Số phức liên hợp của số phức w 

7 4  i. 5 5

7 4  i. 5 5

B. w 

C. w 

z bằng 2i

4 7  i. 5 5

D. w 

4 7  i. 5 5

A. w 

D. Vô số.

 f ( x)dx  1 thì  g( x)dx bằng

B. 1 .

A. 0 .

NH Ơ

Câu 33. Nếu

DẠ Y

KÈ

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB  AA  a (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC  và mặt phẳng  ABBA  .

2 . 2

6 . 3

C. 2 .D.

3 . 3

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông, các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a . Góc tạo bởi hình SC và mặt phẳng  SAB  bằng 300 . Khoảng cách giữa CD và  SAB  bằng: A.

a 3 . 2

a 2 . 2

C. 8

a . 2

D. a .

Câu 37. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I  2;1; 3 và tiếp xúc với mặt phẳng

 x  2    y  1   z  3 2



16 . 21

C.  x  1   y  2    z  3   2

  y  1   z  3  2

16 . 441

Câu 38. Trong không gian Oxyz , đường thẳng

 d  qua

x 1 y  3 z  5   . 1 3 6

x 1 z  3 y  5   . 1 3 6

M 1;3;5  và song song với đường thẳng

x 1 y  3 z  5   . 1 2 3

x  1 y  3 z 17   . 1 3 6

NH Ơ

x  1 t    :  y  2  3t có phương trình chính tắc là:  z  3  6t 

16 . 441

 x  2

A.  x  2    y  1   z  3 

 P  : 4 x  y  2 z  5  0 có phương trình là

KÈ

Câu 39. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f '  x  là đường cong trong hình bên.

DẠ Y

Xét hàm số g  x   f  2 x  1  2 x 2 trên đoạn  2;5 . Khẳng định nào sau đây đúng. 3 A. g  5   g    g  2  . 2

3 1 B. g    g    g  2  . 2 2

1 C. g    g  2   g  5  . 2

3 D. g  2   g    g  5  . 2

Câu 40. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm là I 1;1; 2  và tiếp xúc với đường thẳng x y 1 z  4 có phương trình là:   2 3 1

d  :

A. x 2   y  2    z  3  27

B.  x  1   y  1   z  2   27

C.  x  1   y  1   z  2   7

D.  x  1   y  1   z  2   27

Câu 41. Cho hàm số f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên

 5;5 .

Biết rằng



f (2 x)dx  3 và



ln 3

f (e x )e x dx  1 . Tính tích phân I   f ( x)dx . 0

A. I  7 .

B. I  7 .

ln 5

3 2

C. I  5 . 2

D. I  5 .

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1  z  z  i   iz  1 và z có phần thực dương.

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

NH Ơ

Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết rằng mặt phẳng  SBC  tạo với mặt phẳng đáy một góc 30.

3a 3 . 2

B. 2 3a 3 .

2 3a 3 . 3

4 3a 3 . 3

Câu 44. Một biển cảnh báo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như hình vẽ dưới phần tô đậm được sơn màu đỏ chi phí là 150.000 đồng trên một mét vuông, phần còn lại sơn màu trắng chi phí là 100.000 đồng trên một mét vuông. Hỏi số tiền ( tính theo đồng) để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2  10m, B1 B2  8m , và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

DẠ Y

KÈ

có MQ  4m ?

A. 9.243.000 .

C. 7.330.000

B. 9.620.000 .

D. 8.756.000 .

Câu 45. Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y  3 z  6  0 và đường thẳng

 :

x  2 y  3 z 1   . Xét 2 đường thẳng  d  đi qua M 1;  2;1 , nằm trong  P  và hợp 2 1 1 10

với đường thẳng    góc 30 . Biết rằng các đường thẳng  d  đó lần lượt có các VTCP là và  29; c; d  . Tính a  b  c  d

A. 8 .

B. 7 .

D. 4 .

C. 5 .

 9; a; b 

5 Câu 46. Cho f  x  là một hàm số bậc bốn thỏa mãn f 1   . Hàm số f   x  có đồ thị như sau: 3

x3  x 2  x  2 có bao nhiêu điểm cực trị? 3

A. 2 .

NH Ơ

Hàm số g  x   f  x  

B. 3 .

C. 4 . D. 5 .

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình e x  1  m.ln(mx  1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 10 . A. 2200 .

B. 2020 .

C. 2021 .

D. 2201 .

Câu 48. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x  3 , trục tung và trục hoành. Gọi k1 ,

 k1  k2 

là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A  0;9  và chia  H  làm ba

phần có diện tích bằng nhau. Tính k1  k2 . A.

13 . 2

B. 7 .

25 . 4

27 . 4

Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

KÈ

T  3 z  3  5i  z  1  5i bằng

A. 9.

78 .

C. 10.

603 . 2

DẠ Y

Câu 50. Cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  8 y  12 z  27  0 và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  17  0 . Một khối trụ

N

có một đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng  P  và đường tròn đáy còn lại

nằm trên mặt cầu. Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy đi qua điểm nào sau đây? A. C  0;1;10  .

C. E  8;3;0 .

B. D  0;0;8  . 11

D. F  2;0;8 .

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

-------- HẾT--------

BẢNG ĐÁP ÁN 5.A 15.D 25.C 35.A 45.A

6.D 16.D 26.B 36.D 46.D

7.D 17.D 27.A 37.A 47.D

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng ngang? A. 55 .

9.D 19.B 29.D 39.B 49.C

10.B 20.A 30.C 40.B 50.A

C. C55 .D. 5!.

B. 5 . Lời giải

8.A 18.D 28.B 38.D 48.D

4.B 14.B 24.A 34.B 44.A

3.B 13.D 23.A 33.C 43.B

Câu 1.

2.C 12.C 22.B 32.B 42.C

1.D 11.C 21.C 31.A 41.D

Mỗi cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 5 phần tử.

Cho cấp số nhân  un  với u1  2 và công bội q  3 . Tính u3 . A. 54 .

B. 6 .

NH Ơ

Câu 2.

Vậy có 5! cách xếp.

C. 18 . D. 12 .

Lời giải

Ta có u3  u1 .q 2  2.32  18 . Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Câu 3.

Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng nào sau đây? B.   1; 0  .

A.  0;1 .

C.  ; 1 .

D.  1;   .

Lời giải

KÈ

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết được bảng xét dấu của hàm số. Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta có f   x   0 , x   1; 0 . Do đó hàm số f  x  đồng biến trên khoảng   1; 0  .

Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên

DẠ Y

Câu 4.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 0 .

C. 1 .

B. 2 .

D.  .

Lời giải

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 .

B. 1.

C. 3 . D. 0 .

Lời giải

Câu 5.

Yêu cầu cần đạt: Nhận biết bảng biến thiên của hàm số. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 2 .

Từ bảng xét dấu, ta có f   x  đổi dấu 2 lần  có 2 cực trị.

NH Ơ

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau . Hỏi đồ thị hàm số đó có mấy tiệm cận.

Câu 6.

A. 1.

B. 4 . Lời giải

Từ bảng biến thiên trên x

Ta có lim f  x   2  y  2 là tiệm cận ngang Ta có lim f  x   2  y  2 là tiệm cận ngang

KÈ

x 

Ta có lim f  x     x  2 là tiệm cận đứng x2

Vậy hàm số có 3 tiệm cận. Hàm số nào trong bốn hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ sau?

DẠ Y

Câu 7.

C. 2 . D. 3 .

A. y   x3  3 x 2  1.

B. y  x3  3 x 2  1.

y  x3  3 x  2.

D. y  x 3  3 x 2  2.

Lời giải Xét y  x 3  3 x 2  2.

x  0 Ta có y  3 x 2  6 x ; y  0   . x  2

Khi x  0  y  2; x  2  y  2

Câu 8.

Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ

NH Ơ

Hàm số y  x 3  3 x 2  2 thỏa mãn các tính chất trên bảng biến thiên.

A. a  0, b  0, c  0, d  0 .

D. a  0, b  0, c  0, d  0 .

C. a  0, b  0, c  0, d  0 .

B. a  0, b  0, c  0, d  0 .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Do đồ thị ở nhánh phải đi xuống nên a  0 .

2b  0  ab  0 và a  0  b  0 . 3a

c  0  c  0. 3a

KÈ

x1 x2 

Do hai điểm cực trị dương nên x1  x2  

Đồ thị cắt trục Oy ở phía trên O nên d  0 . Vậy a  0, b  0, c  0, d  0 . Giá trị của P  ln(9e) là

DẠ Y Câu 9.

A. P  3ln 3  1 .

B. P  3ln 3 .

C. P  9e . Lời giải

Ta có: ln(9e)  ln 9  ln e  2 ln 3  1 .

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y  2021x là 15

D. P  2 ln 3  1 .

B. y  2021x.ln 2021 . C. y 

A. y  2021x .

2021x . ln 2021

D. y  2020.2021x .

Lời giải Ta có: y   2021x   2021x.ln 2021 .

Câu 11. Cho a là một số dương tùy ý, biểu thức a 3 a bằng 4 3

5 6

B. a .

Ta có: a

2 3

1 2

a  a .a  a

2 1  3 2

Lời giải 2 3

6 7

C. a . D. a .

A. a .

7 6

a .

Câu 12. Nghiệm của phương trình 3x 2  27 là: A. x  3 .

B. x  4 .

NH Ơ

x  3 .

C. x  5 .

Lời giải

Ta có: 3x  2  27  3x  2  33  x  2  3  x  5 . Câu 13. Nghiệm của phương trình log

 x  1  log 1  x  1  1 nằm trong khoảng nào sau đây? 2

B.  0;1 .

C.  2;3

A.  1;0  .

 4;5

Lời giải

x 1  0  x  1 (*) . Điều kiện  x 1  0

Phương trình  2log2  x 1  log2  x  1  1

KÈ

 2log2  x 1  log2  x 1  log2 2  log 2  x  1  log 2  2  x  1  2

DẠ Y

 x2  2x  1  2x  2 x  2  5  L . Tập nghiệm phương trình là S  2  5  x2  4x 1  0    x  2  5

Câu 14. Nếu



f  x  dx 



x2  e x  C thì f ( x ) bằng: 2 16



x3  ex . 6 x D. f  x    e x . 2

B. f  x   x  e x .

f  x 

Lời giải

 x2  Ta có:   e x  C  '  x  e x .  2 

 f  x  dx  3e

3x

C .

 f  x  dx  e

3 x

 f  x  dx   3 e

C .

Câu 16. Nếu

3 x

C .

NH Ơ

 f  x  dx   3 e

C .

3 x

C .

Lời giải Ta có

3x

 f  x  dx  e

Câu 15. Cho hàm số f  x   e 3x . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A.

 f  x  dx  2 và  f  x  dx  4 thì  f  x  dx bằng: 1

A. 6.

B. -2.

C. 8.

D. 2.

Lời giải

Câu 17. Tích phân

x 0

x dx bằng 3

1 7 log . 2 3

B. ln

7 . 3

Đặt u  x 2  3  du  2 xdx  xdx 

KÈ

1 3 ln . 2 7

1 7 ln . 2 3

Lời giải

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  4   f  x  dx  2 .



Ta có:

1 du . 2

Đổi cận x  0  u  3 ; x  2  u  7 , ta có: 7

1 1 1 du  ln u  23u 2

DẠ Y

I

7 3

1 1 1 7  ln 7  ln 3  ln . 2 2 2 3

Câu 18. Mo-đun của số phức z  2  i bằng A. 2 .

B. 5 .

C. 3 . Lời giải

Mo-đun của số phức z là z  22  12  5 . 17

x3  ex . 3

A. f  x  

Câu 19. Cho số phức z1  2  i và z2  3  3i . Số phức w  3 z1 z2 bằng: A. w  9  27i .

B. w  27  9i .

C. w  9  3i .

D. w  27  9i .

Lời giải

Ta có w  3 z1 z2  3.(2  i ).(3  3i )  3(9  3i )  27  9i .

Câu 20. Điểm M trong hình vẽ biễu diễn cho số phức z . Môđun của số phức z là: C. 5 .

NH Ơ

B. 17 .

A. 17 .

Lời giải

Điểm M trong hình vẽ biễu diễn cho số phức z  1  4i .  z  (1) 2  42  17 .

Câu 21. Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 8 và chiều cao bằng 3. Thể tích của khối lăng trụ đó là: B. 64.

C. 24.

A. 11.

D. 8.

Lời giải

Thể tích của khối lăng trụ là: V  S d .h  8.3  24 .

B. 2 2 .

C. 4 2 .

Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh a là: S tp  6a 2  a  Thể tích khối lập phương là: V  a 3 

DẠ Y

D. 8.

Lời giải

KÈ

A. 4.

Câu 22. Một hình lập phương có diện tích toàn phần bằng 12. Thể tích của khối lập phương đó là:

 2

Stp 6



12  2. 6

2 2.

Câu 23. Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là:

A. Sxq   rl .

C. Sxq   r  l  r  .

B. Sxq  2 r l .

Lời giải 18

D. Sxq   r 2 l .

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón ta có Sxq   rl . Câu 24. Thể tích khối trụ có bán kính đáy r = 4cm và chiều cao h = 9cm là: D. V  36 cm3 .

C. V  48 cm3 .

B. V  144 cm3 .

Lời giải

 





Sử dụng công thức tính thể tích của khối trụ ta có V   r 2h  144  cm3  .

A. V  144 cm3 .

Câu 25. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A, B . Biết A  2; 1;3 , OB  2i  j  k . Độ dài đoạn

B. AB  2 .

A. AB  14 .

thẳng AB là C. AB  2 2 . Lời giải

D. AB  4 .

Ta có B  2;1;1  AB  02  22   2   2 2 . Chọn C

NH Ơ

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây không là phương trình mặt cầu: A. ( x - 3) + ( y + 2) + ( z - 5) = 1 .

B. x 2 + y 2 + z 2 - 2 xy + 2 x - 2 y -12 = 0 .

C. ( x + 3) + ( y - 2) + ( z + 5) = 4 .

D. x 2 + y 2 + z 2 = 25 .

Lời giải

A. ( x - 3) + ( y + 2) + ( z - 5) = 1 là phương trình mặt cầu tâm I (3; - 2;5) , bán kính R =1 B. x 2 + y 2 + z 2 - 2 xy + 2 x - 2 y -12 = 0 không là phương trình mặt cầu vì có tích xy C. ( x + 3) + ( y - 2) + ( z + 5) = 4 là phương trình mặt cầu tâm I (-3; 2; - 5) , bán kính 2

R=2

D. x 2 + y 2 + z 2 = 25 là phương trình mặt cầu tâm 0 (0;0;0) , bán kính R = 5

KÈ

Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và mặt phẳng  P  : 2 x  my   2m  1 z  3  0 . Tìm giá trị của tham số m sao cho điểm A thuộc mặt phẳng  P  ?

DẠ Y

A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  0 . Lời giải

Để A   P   2  2m  3  2m  1  3  0

 8m  8  0  m  1 .

D. m  2 .

 D. u   6;3; 2  .

Lời giải Mặt phẳng  P  có phương trình :

x y z   1. 2 3 6

x y z   1 2 3 6

  P  : 3x  2 y  z  6  0 .

 Nên  P  có một vectơ pháp tuyến là nP   3; 2;1 .

  Vì    P  nên đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u  nP   3; 2;1 .

951 . 1820

1 . 2

46 . 91

NH Ơ

Câu 29. Một nhóm có 7 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11, 4 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ nhóm trên. Xác suất để 4 học sinh được chọn thuộc đúng 2 trong 3 khối bằng D.

869 . 1820

Lời giải

Ta có số phần tử của không gian mẫu: n     C164  1820 Số cách chọn 4 học sinh thuộc đúng 1 khối là: C 74  C54  C 44  41

Số cách chọn 4 học sinh thuộc cả 3 khối là: C 72 .C51 .C 41  C 71 .C52 .C 41  C 71 .C51 .C 42  910

Do đó số cách chọn 4 học sinh thuộc đúng 2 trong 3 khối là: 1820  41  910  869 Vậy xác suất cần tìm bằng

869 . Chọn D. 1820

Câu 30. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  ? B. y  x 4  x 2  5 .

C. y   x3  2 x 2  4 x  3 .

D. y   x3  2 x 2  3x  2021 .

KÈ

A. y  x3  3x  4 .

Lời giải

DẠ Y

Xét hàm số y  x3  3x  4 có hệ số a  1  0 nên hàm số không thể nghịch biến trên   loại đáp án A. Xét hàm số y  x 4  x 2  5 là hàm số bậc 4 trùng phương nên hàm số không thể nghịch biến trên   loại đáp án B. Xét hàm số y   x3  2 x 2  4 x  3 có y  3 x 2  4 x  4  0 , x   ( vì a  3  0,   8  0 )  Hàm số nghịch biến trên   Chọn đáp án C.

Câu 31. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 20

f  x    x3  2 x 2  x  2 trên đoạn  1;3 . Khi đó 2020 M  2021m bằng B. 16160 .

C. 8090 .

D. 16160 .

A. 8090 .

Lời giải

Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  1;3 x 1 f   x   3 x  4 x  1 ; f   x   0  3 x  4 x  1  0   x  1 3  2

 1  50 f  1  6; f    ; f 1  2; f  3  10  3  27

Từ đó: M  max f  x   6; m  min f  x   10  1;3

 1;3

Vậy: 2020.M  2021.m  2020.6  2021. 10   8090 Chọn đáp án A.

A. 6 .

NH Ơ

Câu 32. Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình log 1  4 x  9   log 1  x  10  . 2

C. 5 .

B. 4 .

D. Vô số.

Lời giải

9 . 4

Điều kiện của bất phương trình là x 

Khi đó bất phương trình đã cho thành 4 x  9  x  10  x 

So điều kiện ta được 1

9 19  x  . Do x  nên x  3, 4, 5, 6 . 4 3

Câu 33. Nếu   f ( x)  2g( x)  dx  5 và

KÈ

DẠ Y

A. 0 .

Ta có

19 1 . (Do a   1 ). 3 2

 f ( x)dx  1 thì  g( x)dx bằng C. 2 .

B. 1 .

D. 3 .

Lời giải

  f ( x)  2g( x)  dx  5   f ( x)dx  2 g( x)dx  5  1 2 g( x)dx  5   g( x)dx  2.

Câu 34. Cho số phức z  2 - 3i . Số phức liên hợp của số phức w 

z bằng 2i

A. w 

7 4  i. 5 5

B. w 

7 4  i. 5 5

C. w 

4 7  i. 5 5

D. w 

z 2  3i 7 4    i. 2i 2i 5 5

Số phức liện hợp của w 

Ta có: w 

Lời giải

4 7  i. 5 5

7 4 7 4  i là w   i . 5 5 5 5

2 . 2

NH Ơ

6 . 3

C. 2 .D.

3 . 3

Lời giải

ABC vuông cân tại A  AB  AC  a .

ABA vuông tại A  AB  a 2 .

C A  AB  C A   ABBA  . Ta có  C A  AA

 BA là hình chiếu của BC  lên mặt phẳng  ABBA  .

KÈ

  BC ;  ABBA     BC ; BA  .

AC  2 a  BC    ABC  vuông tại A  tan A  . AB a 2 2

DẠ Y

Chọn A

a 3 . 2

a 2 . 2

a . 2

D. a .

Lời giải

•Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Ta có SO   ABCD  .

•Kẻ ON  AB tại và N , nối NS , kẻ OH  SN tại H ta suy ra OH   SAB 

NH Ơ

• Kẻ OK / / SC ,  K  SA  , nối KH . Ta có KH là hình chiếu của KO lên  SAB 

  300 . =>  SC ,  SAB     OK ,  SAB     OK , KH   OKH

1 1 a SC  a , xét  HOK  OH  OK  2 2 2 • Mặt khác d  CD,  SAB    d  C ,  SAB    2d  O,  SAB    2OH  a . • Xét SAB  OK 

Câu 37. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I  2;1; 3 và tiếp xúc với mặt phẳng

 P  : 4 x  y  2 z  5  0 có phương trình là A.  x  2    y  1   z  3  2

 x  2    y  1   z  3



16 . 21

16 . 441

Lời giải

DẠ Y

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P  nên bán kính mặt cầu là

R  d  I ,  P  

4.2  1  2.  3  5 42   1  22 2

16 . 21

C.  x  1   y  2    z  3  

  y  1   z  3 

KÈ

 x  2



4 21 . 21

Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm I  2;1; 3 , bán kính R   4 21   x  2    y  1   z  3     21  16 2 2 2   x  2    y  1   z  3  21

Câu 38. Trong không gian Oxyz , đường thẳng

 d  qua

M 1;3;5  và song song với đường thẳng

4 21 là 21

x 1 y  3 z  5   . 1 3 6

x 1 z  3 y  5   . 1 3 6

x 1 y  3 z  5   . 1 2 3

x  1 y  3 z 17   . 1 3 6

NH Ơ

x  1 t    :  y  2  3t có phương trình chính tắc là:  z  3  6t 

Lời giải

   Vì  d  //    nên ud cùng phương với u   1;  3;6  .   Ở đáp án B, ud  1;2;3 không cùng phương với u . Do đó loại B.

  Ở đáp án C, ud  1;  6;3 không cùng phương với u . Do đó loại C.

 Thay tọa độ điểm M 1;3;5  vào đáp án A, ta được Do đó M 1;3;5  không thuộc đường thẳng

11 3  3 5  5   (vô lý). 1 3 6

x 1 y  3 z  5   . Loại đáp án A. 1 3 6

DẠ Y

KÈ

Câu 39. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f '  x  là đường cong trong hình bên.

3 1 B. g    g    g  2  . 2 2

1 C. g    g  2   g  5  . 2

3 D. g  2   g    g  5  . 2

3 A. g  5   g    g  2  . 2

Lời giải

Ta có: g '  x   2 f '  2 x  1  4 x g ' x  0  2 f '  2 x  1  4 x  0

1

 f '  2 x  1  2 x

NH Ơ

Đặt t  2 x  1 vì x   2; 2  t   3;5

1 

Xét hàm số g  x   f  2 x  1  2 x 2 trên đoạn  2;5 . Khẳng định nào sau đây đúng.

f 't   t 1

t  2  t   3;5 t  4

KÈ

Bảng biến thiên.

Vậy khẳng định đúng là:

DẠ Y

3 1 g    g    g  2  2 2

Câu 40. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm là I 1;1; 2  và tiếp xúc với đường thẳng

d  :

x y 1 z  4 có phương trình là:   2 3 1

A. x 2   y  2    z  3  27 2

B.  x  1   y  1   z  2   27

C.  x  1   y  1   z  2   7 2

D.  x  1   y  1   z  2   27

Lời giải

Gọi H  2t ;3t  1; t  4    d  là điểm tiếp xúc của mặt cầu và đường thẳng  d 

 x y 1 z  4 có VTCP u  2;3; 1   2 3 1

  Nên IH .u  0  2  2t  1  3  3t  2   (t  6)  0  t  1

 Hay IH  1;1;5   IH  27

Vậy phương trình mặt cầu là 2

 27

 x  1   y  1   z  2 



ln 3

 5;5 .

NH Ơ

Câu 41. Cho hàm số f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên ln 5

Do mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng  d  :

 Khi đó IH   2t  1;3t  2;  t  6 

Biết rằng



f (2 x)dx  3 và

3 2

f (e )e dx  1 . Tính tích phân I   f ( x)dx . x

A. I  7 .

B. I  7 .

C. I  5 .

D. I  5 .

Xét A 



f (2 x)dx  3 . Đặt t  2 x  dt  2dx . Đổi cận:

3 2 0

Khi đó A   f (t )( ln 5

Xét B 



1 1 )dt   f ( x)dx  3   f ( x)dx  6. 2 20 0

f (e  x )e x dx  1. Do f ( x) là hàm lẻ nên f (e x )   f (e x ).

KÈ

ln 3

x  0  t  0  .  3  x  2  t  3

Lời giải

ln 5

Khi đó B    f (e x )e x dx  1. Đặt t  e x  dt  e x dx. ln 3

DẠ Y

5 5 5  x  ln 3  t  3 Đổi cận  . Khi đó B    f (t )dt    f ( x)dx  1   f ( x)dx  1.  x  ln 5  t  5 3 3 3 5

Vậy I   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  6  1  5.

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1  z  z  i   iz  1 và z có phần thực

Câu 42.

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải

Từ giả thiết ta có

1  a  bi  a   b  1 i   b  1  ai  2

1  a  2  b  12  1  a  bi  2  b  1  2a  b  1 i   b  2a  b  1

I 

Từ (I) ta có 1 

Đặt z  a  bi  a, b  , a  0  .

dương.

1 b 2 2  2  b  1  b  1   b  2  2b  1  0  b  2 hoặc b   2 2  b  1

NH Ơ

1 1 Với b    a   (loại). 2 2 Với b  2  a  1  z  1  2i . Vậy có một số phức thỏa mãn. Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết rằng mặt phẳng  SBC  tạo với mặt phẳng đáy một góc 30.

2 3a 3 C. . 3

B. 2 3a .

Lời giải

DẠ Y

KÈ

3a 3 . 2

Gọi H , M lần lượt là trung điểm AD , BC . Khi đó SH là đường cao của hình chóp S . ABCD .

4 3a 3 D. . 3

Ta có HM  BC , SM  BC nên góc giữa mặt phẳng  SBC  tạo với mặt phẳng đáy là

  30 . SMH

 Trong tam giác SHM có tan SMH

SH a 3  MH   3a . MH tan 30

Trong tam giác SHD có SH  SD 2  DH 2  a 3 .

1 1 Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là V  SH .S ABCD  .a 3.2a.3a  2 3a 3 . 3 3

Câu 44. Một biển cảnh báo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 như hình vẽ dưới phần tô đậm

được sơn màu đỏ chi phí là 150.000 đồng trên một mét vuông, phần còn lại sơn màu trắng chi phí là 100.000 đồng trên một mét vuông. Hỏi số tiền ( tính theo đồng) để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2  10m, B1 B2  8m , và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ  4m ? A. 9.243.000 .

C. 7.330.000

D. 8.756.000 .

Lời giải

NH Ơ

B. 9.620.000 .

x2 y 2  1 a 2 b2

Giả sử phương trình elip  E  :

 A1 A2  10 a  5  Theo giả thiết ta có :  . b  4  B1 B2  8

x2 y 2 4  1 y   25  x 2 Suy ra  E  : 25 16 5

KÈ

M  d  ( E ) Diện tích của elip ( E ) là: S E   ab  20  m 2  mà MQ  4   với : N  d  (E) 5 3 5 3 ; 2), N ( ; 2) 2 2

DẠ Y

d : y  2  M (

Khi đó diện tích phần không tô màu là: S  4 5

4 25  x 2  5 3



20    10 3(m 2 ) dx  3 

Vậy diện tích phần tô màu là: S '  S E  S  20  Nên tổng chi phí để sơn biển là 28

20 40   10 3    10 3(m 2 ) 3 3

T  150000  (

40 20   10 3)  100000  (   10 3)  9.243.000 3 3

Câu 45. Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y  3 z  6  0 và đường thẳng

Vậy chọn đáp án A.

x  2 y  3 z 1   . Xét 2 đường thẳng  d  đi qua M 1;  2;1 , nằm trong  P  và hợp 2 1 1 với đường thẳng    góc 30 . Biết rằng các đường thẳng  d  đó lần lượt có các VTCP là

A. 8 .

B. 7 .

và  29; c; d  . Tính a  b  c  d

D. 4 .

C. 5 . Lời giải

 9; a; b 

 :

  Mặt phẳng  P  có VTPT là: n1 1; 1;3 , đường thẳng    có VTCP là: u1  2;1;1  Gọi VTCP của đường thẳng  d  cần tìm u 2  m; n; p  m 2  n 2  p 2  0 .





NH Ơ

  Từ giả thiết ta suy ra hệ điều kiện: u 2  n1 và góc giữa  d  và    bằng 30

m  n  3 p  0 n  m  3 p    | 2m  n  p | 3  2 2  cos 30  2 | 3m  4 p | 3 2 2m  6mp  10 p 1  2 2 2 2  6. m  n  p

p 0 3m  29 p

1  58 p 2  6mp  0  

 + p  0  m  n  m  n  9  u 2  9;9;0   + 3m  29 p  m  29; p  3  n  20  u 2  29; 20;3  a  9; b  0; c  20; d  3  a  b  c  d  8 .

DẠ Y

KÈ

5 Câu 46. Cho f  x  là một hàm số bậc bốn thỏa mãn f 1   . Hàm số f   x  có đồ thị như sau: 3

Hàm số g  x   f  x  

x3  x 2  x  2 có bao nhiêu điểm cực trị? 3 29

B. 3 .

A. 2 .

C. 4 . D. 5 .

Lời giải

x3  x2  x  2 3

Ta có h  x   f   x    x  1

Xét hàm số h  x   f  x  

Chọn D

Điểm cực trị của hàm số y  h  x  là nghiệm của phương trình h  x   0 tức là nghiệm của phương trình f   x    x  1 suy ra điểm cực trị của hàm số y  h  x  cũng là hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y  f   x  ; y  x 2  2 x  1 .

Vẽ đồ thị của các hàm số y  f   x  ; y  x 2  2 x  1 trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ

NH Ơ

KÈ

Dựa vào đồ thị trên ta có BBT của hàm số y  h  x  như sau:

5 nên h  x  cũng là hàm số bậc bốn và 3 h 1  0 , do đó ta có BBT của hàm số y  h  x  chi tiết hơn như sau:

DẠ Y

Hơn nữa, vì f  x  là hàm số bậc bốn và f 1  

AL CI

trong đó a, b là các số âm.

Từ BBT suy ra đồ thị hàm số h  x  cắt trục hoành tại hai điểm, tiếp xúc với trục hoành tại điểm cực đại và hai điểm cực tiểu nằm phía dưới trục hoành nên hàm số g  x   h  x  có 5 điểm cực

trị.

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình e x  1  m.ln(mx  1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 10 .

C. 2021 .

B. 2020 .

D. 2201 .

A. 2200 .

Lời giải

Đặt y  ln(mx  1)  e x  1  my.

NH Ơ

Xét phương trình e x  1  m.ln(mx  1) , điều kiện mx  1  0

 x  ln(my  1) (1) Ta có hệ phương trình   y  ln(mx  1) (2)

Trừ (1) và (2) theo vế ta được: x  y  ln(my  1)  ln(mx  1) hay x  ln(mx  1)  y  ln(my  1)

với m  0 thì hàm số f ( x)  x  ln(mx  1) đồng biến trên tập xác định nên x  ln(mx  1)  y  ln(my  1)  x  y Thay x  y vào (1) ta được x  ln(mx  1) hay e x  mx  1(4)

Rõ ràng x  0 là 1 nghiệm của phương trình (4) . ex 1 x

KÈ

Với x  0 ta có (4)  m 

ex 1 xe x  e x  1  Xét hàm số g ( x)  , ta có : Tập xác định D   \{0} và g ( x)  x x2

g ( x)  0  xe x  e x  1  0

DẠ Y

Hàm số h( x)  xe x  e x  1 có h( x)  xe x nên h( x)  0  x  0 Ta có bảng biến thiên của h( x) như sau :

AL CI

Suy ra h( x)  0 , x do đó g ( x)  0 , x  0

Bảng biến thiên của g ( x) :

Để phương trình e x  1  ln(mx  1) m có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 10 thì phương trình

NH Ơ

m  g ( x) có duy nhất 1 nghiệm bé hơn 10. Ta có g (10) 

e10  1  2202,5 10

0  m  g (10) Dựa vào bảng biến thiên của g ( x) ta có  do m  * nên có 2201 giá trị thỏa m  1  mãn. Vậy ta chọn đáp án D. Câu 48. Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x  3 , trục tung và trục hoành. Gọi k1 ,

 k1  k2 

là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A  0;9  và chia  H  làm ba

13 . 2

B. 7 .

25 . 4

27 . 4

Lời giải

DẠ Y

KÈ

phần có diện tích bằng nhau. Tính k1  k2 .

Gọi d1 : y  k1 x  9 , d 2 : y  k2 x  9  k1  k2  .  9   9   9 9 Gọi M  d1  Ox  M   ;0  ; N  d 2  Ox  N   ;0       k1   k1   k2   k2 32

Giao điểm của  P  : y   x  3 với hai trục tọa độ lần lượt là C  3;0  , A  0;9  . 2

9 18    k2  2k1 . k1 k2

Theo giả thiết ta có S AON  S ANM  OM  2ON   3

27 27  k1  k2  . 4 4

Suy ra k1  

1 243 27 2 Lại có S H   3SAON    x  3 dx  3. .OA.ON  9    k2   . 2 2k 2 2 0

T  3 z  3  5i  z  1  5i bằng

A. 9.

78 .

C. 10.

603 . 2

Lời giải

Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

Trước hết ta chứng minh đẳng thức mô đun sau: Cho các số thực m , n và các số phức z1 , z2 ta 2





NH Ơ

có: mz1  nz2  m 2 z1  n 2 z2  mn z1 z2  z2 z1 Chứng minh :



mz1  nz2   mz1  nz2  mz1  nz2    mz1  nz2  mz1  nz2 2





 m 2 z1  n 2 z2  mn z1 z2  z2 z1 , suy ra ĐPCM.

Nhận thấy: 3 z  3  5i  3  z  1  2i   i Đặt z1  z  1  2i, z2  i  z1  2; z2  1 . 2



3 z  3  5i  3 z1  z2  32 z1  z2  3 z1 z2  z2 z1







 9.4  1  3 z1 z2  z2 z1  37  3 z1 z2  z2 z1



KÈ

Lại có z  1  5i   z  1  2i   3i  z1  3 z2 2



Suy ra z  1  5i  z1  3 z2  z1  9 z2  3 z1 z2  z2 z1







DẠ Y

 4  9  3 z1 z2  z2 z1  13  3 z1 z2  z2 z1 2



Ta được 3 z  3  5i  z  1  5i  37  13  50 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số 1;1  3 z  3  5i ; z  1  5i  ta có

 3z  3  5i  z  1  5i   1 2



 12  . 3 z  3  5i  z  1  5i 2



  3 z  3  5i  z  1  5i   2.50 2

 3 z  3  5i  z  1  5i  10

 z  1  2i  2 Dấu “=” xảy ra khi  . Hệ này có 1 nghiệm z  1 nên Tmax  10 .  3 z  3  5i  z  1  5i

Câu 50. Cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  8 y  12 z  27  0 và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  17  0 .

N

có một đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng  P  và đường tròn đáy còn lại

Một khối trụ

nằm trên mặt cầu. Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy đi qua điểm

A. C  0;1;10  .

nào sau đây? C. E  8;3;0 .

B. D  0;0;8  .

Lời giải

D. F  2;0;8 .

là h  d  I ,  P   

NH Ơ

Mặt cầu  S  có tâm I  0; 4; 6  bán kính R  5 . Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P 

1.0  1.  4   2.6  17 22   1  22 2

 11 .

Giả sử đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu là  M , r  nằm trên mặt phẳng  Q  . Suy ra  P  ||  Q  và

A (S) R

M x

I h

điểm I nằm giữa của hai mặt phẳng đó.

Đặt IM  x,  0  x  5  suy ra r  R 2  x 2  25  x 2

và chiều cao khối trụ là x  h  x  11 . Do đó thể tích khối trụ là 2 3 2 V    25  x   x  11     x  11x  25 x  275  .

f  x    x 3  11x 2  25 x  275 trên  0; 5  ta có f '  x   3 x 2  22 x  25 . Vì

Xét hàm số

(P)

KÈ

x  1 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là f 1  288 tại điểm x0  1 . f ' x  0    x   25 3 

Mặt phẳng

Q 

có dạng 2 x  y  2 z  D  0 . Vì d  I ,  Q    1 

DẠ Y

Vì điểm I nằm giữa

 P  , Q 

nên

D  16 3

 D  13 1   D  19

 2.0  1.  4   2.6  17   2.0  1.  4   2.6  D   0

 33. 16  D   0  D  16

Vậy  Q  : 2 x  y  2 z  19  0 đi qua điểm C  0;1;10  . --------- HẾT-------34

Ma trận đề minh họa 2021 môn Toán

Đơn điệu của HS

3 , 30

Cực trị của HS

4, 5,39,46

Đạo hàm và Min, Max của 31 hàm số ứng dụng Đường tiệm cận

Khảo sát và vẽ đồ thị

7,8

FI 1

Lũy thừa - mũ 9, 11 - Logarit

HS Mũ Logarit

1 8

PT Mũ Logarit

12, 13, 47

BPT Mũ Logarit

32,40

Phép toàn

5 1

PT bậc hai theo hệ số thực Nguyên hàm

N NH Ơ

KÈ DẠ Y Nguyên

Định nghĩa và 18,20,34,42,49 2 tính chất

Số phức

Hàm số mũ - Logarit

Dạng bài

Lớp Chương

Tổng Tổng dạng Chương NB TH VD VDC bài Mức độ

Trích dẫn đề Minh Họa

14, 15

1 1

16,17,33,41

Ứng dụng TP 44, 48 tính diện tích

Đa diện lồi Đa diện đều

21, 22, 43

Khối nón

Khối trụ

KÈ

Phương trình đường thẳng Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp

DẠ Y 11

26, 37, 50

Hình học

1 3

Cấp số cộng ( 2 cấp số nhân)

Góc

28, 38, 45

Xác suất

Giải tích trong không Phương trình gian mặt phẳng

Phương trình mặt cầu

Thể tích khối đa diện

Phương pháp tạo độ

Ứng dụng TP tính thể tích

Khối cầu

Tổ hợp xác suất

Khối tròn xoay

NH Ơ

Khối đa diện

Tích phân

Hàm - Tích Phân

1 1

Khoảng cách

1 20

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

Tổng

không gian

Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một tổ học sinh có 8 nam và 10 nữ để một học sinh làm tổ trưởng và một học sinh làm tổ phó? A. C182 . B. 2! . C. 18!. D. A182 .

Câu 2.

Cho một cấp số cộng có u1  2, u3  10 . Tìm công sai của cấp số cộng. C. 4 .

Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

D. 8 .

NH Ơ

Câu 3.

B. 2 .

A. 3 .

Câu 1.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.   ; 2  . B.  3; 2  . C.  0; 2  . D.   ;  3 . Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Câu 4.

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là A. x  0 . B. x  2 .

số đã cho là A. x = -2 . Câu 6.

B. x = 2 .

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

DẠ Y

A. y  2 .

Câu 7.

D. y  2 .

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x  2  x   x 2  4  , x   . Điểm cực tiểu của hàm

KÈ

Câu 5.

C. y  0 .

B. y  1 .

2 x là x3

C. x  0 .

D. x  4 .

C. x  1 .

D. x  3 .

Đường cong ở hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

AL CI

C. y  x 3  3 x 2  2 .

D. y   x 3  3 x 2  2 .

Bảng biến thiên ở hình dưới là của một trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

Câu 9.

2x  3 . x 1

B. y 

x 1 . x2

C. y 

D. y 

2x 1 . x 1

2 3 3

Cho a là một số thực dương. Viết biểu thức a . a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. 2

A. a .

B. a .

11 a3 .

2 9 a

Tìm tập xác định D của hàm số y   x 2  3 x  2  . 4

Câu 10.

2x  3 . x 1

NH Ơ

A. y 

Câu 8.

B. y  x3  6 x  2 .

A. y  x3  3 x  2 .

B. D   2;    .

A. D   .

D. D   \ 1; 2 .

C. D   ;1   2;    .

ab  6 ab .

KÈ

Câu 11. Xét các số thực a , b sao cho a b > 0 .Khẳng định nào sau đây là sai? B.

 ab 

 ab .

ab  6 a . 6 b .

ab   ab  5 .

Câu 12. Tập nghiệm của phương trình log 3  x  3  log 3  2 x  1 là A. {-2} .

3  A. m   1;  . 2 

Câu 14.

C. {1} .

D. Æ .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 32 x 1  2m 2  m  3  0 có nghiệm.

DẠ Y

Câu 13.

B. {2} .

1  B. m   ;    . 2 

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  

C. m   0;    .

2x 1

 x  1

 3 D. m   1;  .  2

trên khoảng  1;    là

B. 2 ln  x  1 

3 C. x 1

C. 2 ln  x  1 

2 C . x 1

D. 2 ln  x  1 

3 C . x 1

A. x 3  cos x  C .

C. x3  cos x  C .

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b

 a

f1  x  . f 2  x  dx   f1  x  dx. f 2  x  dx .

D. 3 x3  sin x  C .

Câu 16.

B. x3  sin x  C .

Một nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là

2 C. x 1

 dx  1 .

1

 f  x  dx  0 .

C. Nếu f  x  liên tục và không âm trên  a; b  thì

Câu 15.

A. 2 ln  x  1 

NH Ơ

 f  x  dx  0 thì f  x  là hàm lẻ.

D. Nếu

Câu 17.

Giá trị của  dx bằng 0

A. 3 . B. 2 . Câu 18. Số phức liên hợp của số phức z  3i  2 là

C. 0 .

D. 1 . D. z  2  3i .

A. 7  22i .

A. z  2  3i . B. z  2  3i . C. z  2  3i . Câu 19. Cho số phức z  5  4i . Số phức  3  2i  z bằng B. 23  2i .

C. 7  22i .

D. 23  2i .

Câu 20. Cho số phức z  4i  3 . Phần ảo của số phức z là C. 4 .

B.  3 .

A. 3 .

D. 4 .

Một khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a và có chiều cao bằng 3a . Thể tích của khối lăng trụ bằng A. 4 . B. 12 . C. 12a 3 . D. 4a 3 .

Câu 22.

Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng

KÈ

Câu 21.

37 a và biết SA   ABC  SB  a. 2 2

Thể tích của khối khối chóp S . ABC bằng 3 . 16

DẠ Y A. V 

B. V 

3 3 . 16

C. V 

3 3 a . 16

D. V 

3 3 3 a . 16

Câu 23. Mặt tròn xoay được sinh bởi đường thẳng d khi quay quanh đường thẳng  cố định là một mặt nón nếu thỏa mãn điều kiện nào A. d và  là hai đường thẳng chéo nhau. C. d vuông góc với  .

B. d cắt và không vuông góc với  . D. d và  cùng thuộc một mặt phẳng. 6

Câu 24. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là

A.  0;1;1 .

D. 1;1;0  .

Cho phương trình mặt cầu 2 x 2  2 y 2  2 z 2  4 x  4 y  2 z  1  0 . Xác định tâm mặt cầu

 

1 2

B.  4; 4; 2  .

C.  4;  4;  2  .

D.  2; 2;1 .

A. 1;  1;   .

x  1 t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng (d ) :  y  1  t và z  2 

Câu 27.

C.  2;0;0  .

Câu 26.

B.  0;0;0  .

D. Duy nhất một điểm.

A. Hình tròn. B. Hai điểm phân biệt. C. Đường tròn. Câu 25. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Oyz 

x  3 y 1 z   . Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( d ) và song song với 1 2 1 đường thẳng (d ') là

Câu 28.

B. x  y  z  2  0 .

C. x  y  z  2  0 .

NH Ơ

A. x  y  z  2  0 .

(d ') :

D. x  y  z  2  0 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua hai điểm A(3; 2;1) và B (1; 0; 3) .

x 1 y z  3 x  3 y  2 z 1 x  3 y  2 z 1 x 1 y z  3 . B. . C. . D.         2 1 2 2 2 2 4 2 4 1 1 1

Câu 29. Viết 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 lên 6 mảnh bìa như nhau. Rút ngẫu nhiên ra 3 tấm bìa và xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất sao cho 3 tấm bìa đó xếp thành số có 3 chữ số là 5 . 6

1 . 6

7 . 40

33 . 40

Câu 30. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   m  1 x 3  3  m  1 x 2  3 x  2 đồng biến biến trên

?

A. 1  m  2 .

C. 1  m  2 .

KÈ

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ sau đây

DẠ Y

Câu 31.

B. 1  m  2 .

Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số đạt cực đại tại x  1 . 7

D. 1  m  2 .

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 . C. Giá trị lớn nhất nhất của hàm số bằng 3 .

D. A 1; 1 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  f  x  .

B. m £ 3 .

A. m< 3 .

Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 25 x - 2 (m -1)15 x + (m + 1) 9 x ³ 0 thỏa mãn với mọi x  0 .

D. m ³ 3 .

C. m> 3 .



A. 2 .

B.  2 .

C. 1 .

1 .

1  2i 2z  i , khi đó điểm biểu diễn của số phức w  là 1 i iz  1

 1 ; 2

 3 11  ; .  13 13 

A. 

B. 

1 3 ; . 2 2

 3 11  ; .  13 3 

3 . 2

C. 

D. 

Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 2a . Tính góc giữa  ABC ?

NH Ơ

Câu 35.

 cos x. f  sin x  dx 0

Câu 34. Cho z 



f  x  dx  2 , tính

Câu 33. Cho

AA và mặt phẳng

A. 60  . B. 30  . C. 45 . D. 90  . Câu 36. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 2a . Tính khoảng cách từ điểm phẳng  ABC ?

a 2 . 2 Gọi  S  là mặt cầu có tâm I  1; 2;1 và cắt mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  2  0 theo một

A. 2a .

đường tròn có bán kính

r  4. Viết phương trình của  S  .

A.  x  1   y  2    z  1  13 .

B.  x  1   y  2    z  1  16 .

C.  x  1   y  2    z  1  25 .

D.  x  1   y  2    z  1  9 .

Câu 38.

C. 2a 2 .

B. a 2 .

Câu 37.

D đến mặt

Trong không gian Oxyz , đường thẳng d đi qua M  1; 2;1 đồng thời vuông góc với mặt

x 1 y  2 z 1 .   1 1 1

x 1 y 1 z 1 .   1 2 1

x 1 y  2 z 1 .   1 1 1

x 1 y 1 z 1 .   1 2 1

DẠ Y

KÈ

phẳng  P  : x  y  z  1  0 có phương trình là

Câu 39.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f  x   2 x3  6 x 2  m  1 có các giá trị cực trị trái

dấu?

Không tồn tại m .

3 . D. 7 .

Câu 40.

Bất phương trình log 22 x   2m  5  log 2 x  m 2  5m  4  0 nghiệm đúng với mọi x   2; 4  khi và chỉ khi:

A. I 

7e2  1 2e 2

B. I 

x0

D. m   2;0 .

. Tích phân I 

x0

 f  x  dx

có giá trị bằng bao nhiêu?

 x  1 khi  Câu 41. Cho hàm số f  x     e 2 x khi 

C. m   0;1 .

B. m   2;0  .

1

11e 2  11 2e 2

C. I 

3e 2  1 e2



D. I 



9e 2  1 2e 2

A. m   0;1 .

A. 3. Câu 43.

B. 0.

C. 2.

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  i  5 và  z  2i  4  z là số thuần ảo. D. 1.

ABC  600 , cạnh bên SA vuông góc với Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, 

C. 2a 3 .

B. a 3 3 .

D. 3 a 3 3 .

NH Ơ

A. 2 a 3 3 .

mặt phẳng đáy, mặt bên ( SCD) tạo với đáy một góc 60 0 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Câu 44. Một cái phao bơi được bơm từ một cái ruột xe hơi và có kích thước như hình sau:

Câu 45.

Thể tích của cái phao bằng: A. 3000  cm3  . B. 6000  cm 3  .

C. 6000 2  cm 3  .

D. 3000 2  cm3  .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  y  z  3  0 , điểm M  3;1;1

x  1  và đường thẳng d :  y  4  3t . Gọi  là đường thẳng đi qua điểm M  3;1;1 , nằm trong mặt  z  3  2t 

KÈ

phẳng   và tạo với đường thẳng d một góc nhỏ nhất. Lập phương trình của  .

DẠ Y

x  3  A.  :  y  1  t  .  z 1  2t  

Câu 46.

 x  8  5t   B.  :  y  3  4t  .  z  2  t 

 x  3  2t   C.  :  y  1  t  .  z  1  2t  

 x  2  5t   D.  :  y  5  4t  .  z  1  2t  

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm đạo hàm f   x  như hình vẽ. Hàm số

g  x   f 2  x   4 f  x   1 có bao nhiêu điểm cực tiểu. Biết rằng f  b   4 , lim f  x    và x 

lim f  x   1 .

x 

AL CI

B. 3 .

A. 2 .

D. 5 .

C. 4 .

A. 1.

Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị của f   x  trên đoạn  2;6 như hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng?

y 3

(C): y = f(x)

A. f  2   f  1  f  2   f  6  .

NH Ơ

x 6

B. f  2   f  2   f  1  f  6  . D. f  1  f  2   f  6   f  2  .

C. f  2   f  2   f  6   f  1 .

Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và

Câu 49.

D. 0.

C. vô số.

Câu 48.

B. 2.

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên a (a  1) sao cho tồn tại số thực x thỏa (a ln x  5)ln a  x  5 ?

nhỏ nhất của z  2i . Tính tổng M  m A.

5  5 10 5

B. 5  10

2  13

D. 5  2 10

x 1 y 1 z   . Gọi  S  1 7 2 là mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng  tại hai điểm A, B phân biệt sao cho chu vi IAB

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho điểm I  2;3; 2  và đường thẳng  :

KÈ

bằng 10  38 . Mặt trụ T  nội tiếp mặt cầu  S  , khi thể tích khối trụ T  đạt giá trị lớn nhất thì chiều cao khối trụ bằng 14 . 3

B. 4 3 .

DẠ Y

10 . 3

8 . 3

BẢNG ĐÁP ÁN 4.D 14.B 24.C 34.A 44.C

5.A 15.C 25 35.C 45.B

6.B 16.C 26.A 36.B 46.A

7.C 17.A 27.C 37.C 47.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

9.A 19.D 29.A 39.D 49.B

10.D 20.C 30.B 40.B 50.C

Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một tổ học sinh có 8 nam và 10 nữ để một học sinh làm tổ trưởng và một học sinh làm tổ phó? A. C182 . B. 2! . C. 18!. D. A182 . Lời giải

Câu 1.

8.B 18.D 28.D 38.C 48.B

3.D 13 23.B 33.A 43.B

2.C 12.D 22.C 32.B 42.C

1.D 11.C 21.C 31.C 41.D

Mỗi cách chọn 2 học sinh từ một tổ học sinh có 8 nam và 10 nữ để một học sinh làm tổ trưởng và một học sinh làm tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 18 phần tử.

NH Ơ

Vậy số cách chọn 2 học sinh từ một tổ học sinh có 8 nam và 10 nữ thỏa mãn bài toán là A182 . Những sai lầm học sinh dễ mắc phải:

+ Học sinh hiểu sai sang số cách chọn 2 học sinh từ một tổ học sinh có 8 nam và 10 nữ thỏa mãn bài toán là C182 .

+ Học sinh hiểu sai sang số cách chọn 2 học sinh từ một tổ học sinh có 8 nam và 10 nữ thỏa mãn bài toán là số cách sắp xếp 2 học sinh nên chọn 2! .

Câu 2.

+ Học sinh hiểu sai sang số cách chọn 2 học sinh từ một tổ học sinh có 8 nam và 10 nữ thỏa mãn bài toán là số cách sắp xếp 18 học sinh nên chọn 18!. Cho một cấp số cộng có u1  2, u3  10 . Tìm công sai của cấp số cộng. B. 2 .

A. 3 .

C. 4 .

D. 8 .

Lời giải

KÈ

Theo tính chất của cấp số cộng ta có u3  u1  2d  2d  8  d  4 . Những sai lầm học sinh dễ mắc phải: + Học sinh chủ quan tính được u3  u1  2d  2d  8 rồi chọn luôn đáp án D.

DẠ Y

+ Học sinh hiểu sai tính được u3  u1d 3  d 3  8  d  2 rồi chọn luôn đáp án B.

+ Học sinh hiểu sai tính được u3  2  u1  d   2d  6  d  3 rồi chọn luôn đáp án A.

Câu 3.

Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

AL CI

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.   ; 2  . B.  3; 2  . C.  0; 2  . D.   ;  3 .

Lời giải

Ta có hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng   ;  1 và  0;1 nên hàm số đồng biến

trên khoảng   ;  3 .

Lỗi sai thường gặp: 1) Học sinh nhìn bảng biến thiên sai có thể chọn đáp án A hoặc B.

Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

NH Ơ

Câu 4.

2) Không có đáp án là các khoảng   ;  1 và  0;1 nên học sinh có thể chọn sai.

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là A. x  0 . B. x  2 .

C. y  0 .

D. y  2 .

Lời giải

Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x  0 và giá trị cực tiểu y  2 .

Lỗi sai thường gặp: 1) Học sinh có thể chọn đáp án A nếu không đọc kĩ đề bài là giá trị cực tiểu. 2) Học sinh có thể chọn đáp án B nếu ẩu, không đọc kĩ đáp án. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x  2  x   x 2  4  , x   . Điểm cực tiểu của hàm

KÈ

Câu 5.

số đã cho là A. x = -2 .

B. x = 2 .

C. x  0 . Lời giải.

DẠ Y

x  0 Ta có f   x   0   x  2  x  2 Bảng xét dấu của f   x 

D. x  4 .

Xác định dấu của f '  x  sai do không để ý  2  x  .

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  A. y  2 .

B. y  1 .

C. x  1 .

Lời giải.

Tiệm cận ngang y  1 Lỗi sai thường gặp: -

2 x là x3

D. x  3 .

Câu 6.

Không phát hiện ra x  2 là nghiệm bội chẵn.

Lỗi sai thường gặp: -

Vậy hàm số đã cho có điểm cực tiểu là x  2 và điểm cực đại x  0 .

Học sinh nhầm tiệm cận ngang y  2 .

NH Ơ

Đường cong ở hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

Câu 7.

- Học sinh nhầm y  1 thành x  1 . - Học sinh nhầm tiệm cận ngang thành tiệm cận đứng.

KÈ

A. y  x3  3 x  2 .

B. y  x3  6 x  2 .

C. y  x 3  3 x 2  2 .

D. y   x 3  3 x 2  2 . Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số đạt cực đại tại x  0 và y  0   2 , hàm số đạt cực tiểu tại x  2

DẠ Y

và y  2   2 chọn C Sai lầm:Từ đồ thị ta thấy +) y  0   2 , y 1  0 nên chọn A +) y  0   2 , y  2   2 nên chọn B 13

Bảng biến thiên ở hình dưới là của một trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

2x  3 . x 1

B. y 

2x  3 . x 1

C. y 

x 1 . x2

Từ bảng biến thiên ta có : TCĐ: x  1 , TCN: y  2 , y  0 nên chọn B

Sai lầm:

D. y 

Lời giải

2x 1 . x 1

A. y 

Câu 8.

NH Ơ

TCĐ: x  1 , TCN: y  2 , chọn đáp án A không kiểm tra đạo hàm y  0 Đáp án C nhầm lẫn giữa khái niệm TCĐ và TCN 2

Câu 9.

Cho a là một số thực dương. Viết biểu thức a 3 . 3 a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. 11

B. a 2 .

A. a .

C. a 3 .

D. a 9 .

Lời giải

2 1  3

Với điều kiện a  0 đã cho, ta có a 3 . 3 a  a 3

 a.

Lỗi học sinh thường mắc phải:

2 3 3

Học sinh thường hay nhầm Với điều kiện a  0 đã cho, ta có a . a  a Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y   x 2  3 x  2  .

A. D   .

4

B. D   2;    . D. D   \ 1; 2 .

KÈ

C. D   ;1   2;    .

Lời giải

DẠ Y

x  1 Hàm số xác định khi x2  3x  2  0   . x  2 Vậy tập xác định của hàm số là D   \ 1; 2 . Lỗi học sinh thường mắc phải: Học sinh thường hay nhầm là cho x2  3x  2  0  x  ;1   2;  . 14

21 . 33

2 9

a .

Câu 11. Xét các số thực a , b sao cho a b > 0 .Khẳng định nào sau đây là sai? 3

ab  6 ab .

 ab 

 ab .

ab  6 a . 6 b .

Lời giải n m

x  mn x nên đáp án A đúng.

x n  x với n chẵn nên B đúng.

x  x nên đáp án D đúng.

m n

ab   ab  5 .

Với x > 0 : thì

Đáp án C sai, học sinh chủ quan nghĩ a b = a.b > 0 Þ 6 ab  6 a . 6 b mà không nghĩ đến các trường hợp có thể xảy ra là cho biểu thức dưới dấu căn không xác định.

é a > 0, b > 0 a.b > 0 Û ê . êë a < 0, b < 0

Câu 12. Tập nghiệm của phương trình log 3  x  3  log 3  2 x  1 là B. {2} .

C. {1} .

NH Ơ

A. {-2} .

D. Æ .

Lời giải

x  3  0 Điều kiện   x  3. 2 x  1  0

log 3  x  3  log 3  2 x  1  x  3  2 x  1  x  2 (loại).

Lỗi học sinh thường mắc phải:

Học sinh không xét điều kiện của biểu thức dưới dấu log nên xác định nhầm nghiệm của

phương trình: log 3  x  3  log 3  2 x  1  x  3  2 x  1  x  2 . Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 32 x 1  2m 2  m  3  0 có nghiệm.

KÈ

3  A. m   1;  . 2 

1  B. m   ;    . 2 

C. m   0;    . Lời giải

DẠ Y

32 x 1  2m 2  m  3  0  32 x 1  3  m  2m 2

Phương trình có nghiệm khi 3  m  2m 2  0  1  m 

3  Vậy m   1;  . 2 

Lỗi học sinh thường mắc phải: 15

3 . 2

 3 D. m   1;  .  2

Đến bước 32 x 1  3  m  2m 2 học sinh thường làm 2 x  1  log 33 m  2 m dẫn đến khó giải quyết và có thể không tìm ra đáp án.

2x 1

 x  1

trên khoảng  1;    là

2 C. x 1

B. 2 ln  x  1 

3 C. x 1

C. 2 ln  x  1 

2 C . x 1

D. 2 ln  x  1 

3 C . x 1

Ta có



f  x  dx  

2x 1

2  x  1  3

 x  1

dx   2

Lời giải

A. 2 ln  x  1 

Câu 14. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  

 2 3  3 dx     dx  2 ln  x  1   C. 2 x 1  x  1  x  1 

Lỗi học sinh thường mắc phải:

Học sinh không để ý điều kiện  1;    dẫn đến không chọn được đáp án vì quen với ln có

NH Ơ

dấu trị tuyệt đối

Câu 15. Một nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là A. x 3  cos x  C .

B. x3  sin x  C .

C. x3  cos x  C .

Lời giải

Lỗi học sinh thường sai:

Một nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là x3  cos x .

Học sinh chọn ngay họ các nguyên hàm là đáp án A. Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b

 dx  1 .

KÈ

 f  x  . f  x  dx   f  x  dx. f  x  dx .

1

DẠ Y

C. Nếu f  x  liên tục và không âm trên  a; b  thì D. Nếu

 f  x  dx  0 . a

 f  x  dx  0 thì f  x  là hàm lẻ. 0

Lời giải

Theo tính chất của tích phân ta có phương án C đúng. Lỗi học sinh thường sai: Học sinh thường không thuộc lí thuyết. 16

D. 3 x3  sin x  C .

Câu 17. Giá trị của  dx bằng 0

C. 0 .

B. 2 .

D. 1 .

A. 3 .

Lời giải.

 dx  x

3 0

 30  3.

B. z  2  3i .

C. z  2  3i . Lời giải

D. z  2  3i .

A. z  2  3i .

Câu 18. Số phức liên hợp của số phức z  3i  2 là

z  3i  2  2  3i  z  2  3i . Sai lầm là học sinh sẽ chọn B với cách làm là đổi dấu ở giữa

Câu 19. Cho số phức z  5  4i . Số phức  3  2i  z bằng B. 23  2i .

A. 7  22i .

C. 7  22i .

D. 23  2i .

NH Ơ

Lời giải

z  5  4i  z  5  4i .

Vậy  3  2i  z   3  2i  5  4i   23  2i . Phân tích lỗi sai:

A. Nhầm z và số đối của z :  3  2i  z   3  2i  5  4i   7  22i .

B. Nhầm chuyển từ z  5  4i  z  5  4i . Khi đó :  3  2i  z   3  2i  5  4i   23  2i . C. Nhầm  3  2i  z   3  2i  5  4i   7  22i . Câu 20. Cho số phức z  4i  3 . Phần ảo của số phức z là C. 4 .

B.  3 .

A. 3 .

D. 4 .

Lời giải

KÈ

Số phức z  4i  3  z  3  4i . Phần ảo của z là 4 . Phân tích lỗi sai:

DẠ Y

A. Số phức z  4i  3  z  4i  3 , nhầm chuyển từ z sang z và phần thực, phần ảo. B. Đọc không kỹ đề, nhầm phần thực và phần ảo. D. Số phức z  4i  3 , đọc không kỹ đề là tìm phần ảo của z .

Câu 21. Một khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a và có chiều cao bằng 3a . Thể tích của khối lăng trụ bằng A. 4 . B. 12 . C. 12a 3 . D. 4a 3 . 17

Lời giải Ta có V  S .h   2a  .3a  12a 3 .

Phân tích lỗi sai:

Học sinh quên công thức, nhớ công thức tính thể tích khối lăng trụ sang công thức của thể tích khối chóp.

Câu 22. Cho khối chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng

A. V 

3 . 16

B. V 

3 3 . 16

C. V 

37 a và biết SA   ABC  SB  a. 2 2

Thể tích của khối khối chóp S . ABC bằng

Học sinh quên nhân với a 3 khi ghi kết quả do sử dụng máy tính, coi a bằng một giá trị cụ thể, chẳng hạn bằng 1 .

3 3 a . 16

3 3 3 a . 16

NH Ơ

Lời giải

D. V 

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên: SA  SB 2  AB 2  3a . 2

a . 3 1 1  2  3 3 .3a  Vậy thể tích khối chóp S . ABC bằng: V  Sh  . a . 3 3 4 16 Phân tích lỗi sai:

KÈ

Học sinh quên công thức, nhớ công thức tính thể tích khối chóp sang công thức của thể tích khối lăng trụ.

DẠ Y

Học sinh quên nhân với a 3 khi ghi kết quả do sử dụng máy tính, coi a bằng một giá trị cụ thể, chẳng hạn bằng 1 . Câu 23. Mặt tròn xoay được sinh bởi đường thẳng d khi quay quanh đường thẳng  cố định là một mặt nón nếu thỏa mãn điều kiện nào A. B. C. D.

d d d d

và  là hai đường thẳng chéo nhau. cắt và không vuông góc với  . vuông góc với  . và  cùng thuộc một mặt phẳng. 18

Lời giải

Phương án A sai vì hai đường thẳng trên không cắt nhau nên khi d quay quanh đường thẳng  cố định thì không thể tạo ra mặt nón. Phương án B đúng. Phương án C sai vì nếu d vuông góc với  nhưng d và  không đồng phẳng thì d không cắt  do đó cũng không thể tạo mặt nón. Phương án D sai vì trường hơp d song song với  hoặc d trùng với  thì khi d quay quanh  cũng không thể tạo ra mặt nón. Sai lầm học sinh thường mắc phải: Phương án A: Học sinh không phân biệt được sự khác nhau giữa hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng cắt nhau nên dẫn đến chọn sai đáp án. Phương án C: Học sinh xét thiếu trường hợp d vuông góc với  nhưng d và  không cắt nhau. Phương án D: Học sinh xét thiếu trường hợp d song song với  hoặc d trùng với  . Câu 24. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là

NH Ơ

A. Hình tròn. B. Hai điểm phân biệt. C. Đường tròn. D. Duy nhất một điểm.

Lời giải

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn nên chọn đáp án C. Sai lầm học sinh thường mắc phải: Phương án A: Học sinh nhầm lẫn giữa đường tròn và hình tròn hoặc mặt cầu với hình cầu. Phương án B: Học sinh đọc không kĩ đề nên nhầm lẫn với trường hợp đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. Phương án D: Học sinh nhầm lẫn với trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Câu 25. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Oyz  B.  0;0;0  .

C.  2;0;0  .

D. 1;1;0  .

Lời giải

A.  0;1;1 .

KÈ

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Oyz  là  2;0;0  . Học sinh thường không nhớ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Oxy  ;  Oxz  ;  Oyz 

Câu 26. Cho phương trình mặt cầu 2 x 2  2 y 2  2 z 2  4 x  4 y  2 z  1  0 . Xác định tâm mặt cầu

DẠ Y

 

1 2

A. 1;  1;   .

B.  4; 4; 2  .

C.  4;  4;  2  .

D.  2; 2;1 .

Lời giải

Ta có: 2 x 2  2 y 2  2 z 2  4 x  4 y  2 z  1  0  x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  z  19

1 0 2

 

1 2

Vậy tâm mặt cầu là 1;  1;   . Học sinh vội vàng nhìn hệ số của x; y; z mà không để ý đến hệ số của

x2 ; y2 ; z2 , dẫn đến xác định

sai tâm của mặt cầu.

x  1 t  Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng (d ) :  y  1  t và z  2 

x  3 y 1 z   . Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( d ) và song song với 1 2 1 đường thẳng (d ') là

(d ') :

A. x  y  z  2  0 . B. x  y  z  2  0 .

C. x  y  z  2  0 .

NH Ơ

D. x  y  z  2  0 .

Lời giải  Ta có: 1 vectơ chỉ phương của ( d ) là u1  1; 1;0 

 và 1 vectơ chỉ phương của (d ') là u2   1; 2;1

    1 0 0 1 1 1  ( P ) đi qua A(1; 1; 2) và nhận 1 VTPT là n   u1 ; u 2    ; ;    1; 1;1    2 1 1 1 1 2  nên phương trình ( P ) : 1( x  1)  1( y  1)  1( z  2)  0   x  y  z  2  0  x  y  z  2  0

* Lỗi thường gặp ở học sinh:

 Xác định nhầm VTCP của đường thẳng ( d ) là u1  1; 1; 2 



 

Hoặc không biết xác định VTPT của mặt phẳng ( P ) là n  u1; u2  Hoặc làm đến phương trình  x  y  z  2  0 nhầm đáp án khi không biết nhân hai về phương

1.

KÈ

trình ( P ) với

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua hai điểm A(3; 2;1) và B (1; 0; 3) .

x 1 y z  3 x  3 y  2 z 1 x  3 y  2 z 1 x 1 y z  3 . B. . C. . D.         2 1 2 2 2 2 4 2 4 1 1 1

DẠ Y A.

 Ta có : AB   2; 2; 2 

Lời giải

 1  Đường thẳng ( d ) đi qua điểm B (1; 0; 3) và nhận 1 vectơ chỉ phương là u  AB  1; 1; 1 2 x 1 y z  3   1 1 1

có phương trình là:

* Lỗi thường gặp ở học sinh:

 Xác định VTCP của đường thẳng ( d ) là AB   2; 2; 2  mà chưa xét điểm đi qua nên có thể

chọn đáp án B

 1  Hoặc chưa biết xác định u  AB  1; 1; 1 cũng là 1 VTCP của đường thẳng ( d ) . 2

1 B. . 6

5 . 6 7 . 40

33 . 40

NH Ơ

Câu 29. Viết 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 lên 6 mảnh bìa như nhau. Rút ngẫu nhiên ra 3 tấm bìa và xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Xác suất sao cho 3 tấm bìa đó xếp thành số có 3 chữ số là

Lời giải

Số cách chọn 3 tấm bìa trong 6 tấm bìa và xếp thành một hàng ngang là   A63  120 . Số cách xếp 3 tấm bìa để không có được số có ba chữ số tức là vị trí đầu tiên là chữ số 0 là A52 Số cách xếp 3 tấm bìa để tạo được số có ba chữ số là A63  A52  100 .

100 5  . 120 6

Vậy xác suất cần tìm là P  Lỗi sai thường gặp:

Học sinh thường bỏ qua trường hợp số 0 xếp đầu không tạo thành số có 3 chữ số. Câu 30. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   m  1 x 3  3  m  1 x 2  3 x  2 đồng biến biến trên

?

KÈ

A. 1  m  2 .

B. 1  m  2 .

C. 1  m  2 . Lời giải

Ta có y  3  m  1 x 2  6  m  1 x  3 .

DẠ Y

Hàm số đã cho đồng biến trên  khi và chỉ khi y  0, x  

m  1  0 m  1   1  m  2 .   m  1  0   m  1      0  1  m  2

Lỗi sai thường gặp: 21

D. 1  m  2 .

- Học sinh thường quên trường hợp m1  0 , dẫn đến chọn đáp án D. - Học sinh thường tính toán sai bất phương trình  '  0 .

Câu 31. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ sau đây

Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số đạt cực đại tại x  1 . B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 .

C. Giá trị lớn nhất nhất của hàm số bằng 3 .

NH Ơ

D. A 1; 1 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  f  x  . Lời giải

Dựa vào BBT ta nhận xét được hàm số không tồn tại GTLN vì lim y   . Phân tích:

x 

Học sinh sẽ nhầm lẫn giữa GTLN và giá trị cực đại của hàm số. Phần lớn các em sẽ không chú ý đến lim y   .

x 

Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 25 x - 2 (m -1)15 x + (m + 1) 9 x ³ 0 thỏa mãn với mọi x  0 . B. m £ 3 .

A. m< 3 .

C. m> 3 .

D. m ³ 3 .

Lời giải

æ 5ö æ 5ö 25 x - 2 (m -1)15 x + (m + 1) 9 x ³ 0 Û çç ÷÷÷ - 2 (m -1)çç ÷÷÷ + m + 1 ³ 0 , x  0 . èç 3 ø èç 3 ø x

æ 5ö Đặt t = çç ÷÷÷ (t ³ 1) ta được bất phương trình: t 2 - 2 (m -1) t + m + 1 ³ 0 , t  1. çè 3 ø

KÈ

DẠ Y

Û m£

t 2 + 2t + 1 , 2t - 1

Xét hàm số: f (t ) = Ta có: f ¢ (t ) =

t  1 (Do 2t  1  0, t  1 ). t 2 + 2t + 1 ,t ³1. 2t - 1

2t 2 - 2t - 4

(2t -1)

é t = -1 . Cho f ¢ (t ) = 0 Û 2t 2 - 2t - 4 = 0 Û ê . êë t = 2

Bảng biến thiên: 22

AL CI

Yêu cầu bài toán  m £ 3 . Phân tích:

Sai lầm 1: Học sinh sẽ chọn điều kiện cho t là t  0.

Sai lầm 2: Không cô lập được . Vì không khẳng định được 2t 1  0 .

Sai lầm 3: kết luận m sai. Các em sẽ phân vân giữa 2 kết quả: m  3 và m £ 3 . 



f  x  dx  2 , tính

 cos x. f  sin x  dx 0

A. 2 .

Câu 33. Cho

B.  2 .

C. 1 .

D. 1 .

NH Ơ

Lời giải

Đặt: t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận: x  0  t  0, x 

 2

 t  1.

 2

Câu 34. Cho z 

 cos x. f  sin x  dx   f  t  dt   f  x  dx  2 . 0

Nên

1  2i 2z  i , khi đó điểm biểu diễn của số phức w  là 1 i iz  1

 3 11  ; .  13 13 

 1 3  ; .  2 2

 3 11  ; .  13 3 

B. 

A. 

C.  Lời giải

1  2i 1 3 3 11   iw  i. 1 i 2 2 13 13

KÈ

Ta có: z 

1 3 ; . 2 2

D. 

DẠ Y

Câu 35. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 2a . Tính góc giữa  ABC ? A. 60  .

C. 45 .

B. 30  .

Lời giải

AA và mặt phẳng

D. 90  .

AL CI FI

Gọi O là tâm hình vuông A B B A  .

Mà AO  AB nên AO   ABC   . Nên ta có hình chiếu của

AA lên  ABC là AO .



AA, AO    AA, AB   AAB . Vậy  AA,  ABC   

Vì BC  AB và BC  BB nên BC    ABBA  nên BC  AO .

NH Ơ

AAB  45 . Vì tam giác A  A B vuông cân tại A  nên 

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 2a . Tính khoảng cách từ điểm phẳng  ABC ? A. 2a .

C. 2a 2 .

Lời giải

KÈ

B. a 2 .

Ta có: AD / / BC Khi đó: d  D,  ABC     d  A,  ABC   

DẠ Y

Gọi O là tâm hình vuông A B B A  Vì BC  AB và BC  BB nên BC    ABBA  nên BC  AO . Mà AO  AB nên AO   ABC   Vậy d  D,  ABC   d  A,  ABC   AO  24

AB 2a 2  a 2. 2 2

a 2 . 2

D đến mặt

Câu 37. Gọi  S  là mặt cầu có tâm I  1; 2;1 và cắt mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  2  0 theo một đường tròn có bán kính

r  4. Viết phương trình của  S  . B.  x  1   y  2    z  1  16 .

C.  x  1   y  2    z  1  25 .

D.  x  1   y  2    z  1  9 .

Lời giải

d  d  I ,  P   3

Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 và bán kính R  d 2  r 2  5

2 2 2 Mặt cầu  S  có phương trình là:  x  1   y  2    z  1  25

A.  x  1   y  2    z  1  13 .

Câu 38. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d đi qua M  1; 2;1 đồng thời vuông góc với mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 có phương trình là x 1 y  2 z 1 .   1 1 1

x 1 y 1 z 1 .   1 2 1

x 1 y  2 z 1 .   1 1 1

x 1 y 1 z 1 .   1 2 1

NH Ơ

Lời giải  Mặt phẳng  P  có một véctơ pháp tuyến là n  1;1;  1 .



Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  nên d nhận n làm một véctơ chỉ phương.

Lại có d đi qua M  1; 2;1 .

Vậy phương trình đường thẳng d là:

x 1 y  2 z 1 .   1 1 1

Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f  x   2 x3  6 x 2  m  1 có các giá trị cực trị trái dấu?

Lời giải

A. Không tồn tại m .

KÈ

TXĐ: D   .

f   x   6 x 2  12 x  6 x  x  2  .

DẠ Y

 x1  0 f   x  0   . Khi đó: y1  y  0   1  m và y1  y  2   7  m  x2  2

Để hai giá trị cực trị trái dấu cần có: y1. y2  0  1  m  m  7   0  7  m  1 . Mà m    m  6; 5; 4; 3; 2; 1;0 .

Câu 40. Bất phương trình log 22 x   2m  5  log 2 x  m 2  5m  4  0 nghiệm đúng với mọi x   2; 4  khi và chỉ khi: 25

A. m   0;1 .

B. m   2;0  .

C. m   0;1 .

D. m   2;0 .

Lời giải

Đặt t  log2 x , x   2; 4   t  1; 2  .

Yêu cầu bài toán  t 2   2m  5  t  m 2  5m  4  0 , t  1; 2  .

 t  (m  4) t  (m  1)   0 , t  1; 2  .

 t   m  1; m  4  , t  1; 2  .

1  m  1  1; 2    m  1; m  4     m   2;0  . 2  m  4 Phân tích sai lầm: Đáp án A: học sinh không đổi điều kiện của biến số.

NH Ơ

Đáp án C: học sinh không đổi điều kiện của biến số và giải sai bài toán tìm m để  1; 2    m  1; m  4  . Đáp án D: học sinh có đổi điều kiện của biến giải sai bài toán tìm m để  1; 2    m  1; m  4 

 x  1 khi  Câu 41. Cho hàm số f  x     e 2 x khi 

x0

7e2  1 2e 2

11e 2  11 2e 2

. Tích phân I 

Ta có: 2

 f  x  dx

có giá trị bằng bao nhiêu?

1

B. I 

A. I 

x0

C. I 

3e 2  1 e2

D. I 

9e 2  1 2e 2

Lời giải

1 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   e dx    x  1 dx  e 2 x 2 1 1 0 1 0

 x2  9e 2  1   x  2e 2 1  2 0

KÈ

Phân tích sai lầm: 2

+ Lỗi sai 1: I 

 f  x  dx   e

1

DẠ Y

+ Lỗi sai 2:

e

1

dx  e 2 x

1

0 1

dx    x  1 dx . 1

. 2

 x2  + Lỗi sai 3:   x  1 dx    1  2 0 0 2





Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  i  5 và  z  2i  4  z là số thuần ảo. A. 3.

B. 0.

C. 2. 26

D. 1.

Lời giải Đặt z  a  bi với a, b   . Khi đó

 z  2i   4  z    a  bi  2i  4  a  bi 

 a  4  a   b  b  2    ab   b  2  4  a   i

là số thuần ảo khi và chỉ khi a  4  a   b  b  2   0 .

 a  4  a   abi   b  2  4  a  i  b  b  2 

  a   b  2  i    4  a   bi 

 a  1  a   b  1  5 b  1 2 2  Lại có z  i  5  a   b  1  5   .  a  1 a  4  a   b  b  2   0   b  3 2

NH Ơ

Suy ra có 2 số phức z thỏa mãn đề bài. Phân tích một số lỗi sai của học sinh.

- Hiểu sai về z , thay vì hiểu z  a  bi thì học sinh lại hiểu thành z   a  bi . - Thay vì tính ra phần thực như trên, học sinh có thể tính ra phần thực là a  4  a   b  b  2  vì không để ý i 2  1 .

- Học sinh quên không bình phương modun số phức, nên ra được a 2   b  1  5 .

- Học sinh ra được hệ phương trình như trên thử thấy có nghiệm a  b 1 mà quên mất hệ bậc 2 còn có thể có nghiệm khác, nên vội chọn phương án D.

ABC  600 , cạnh bên SA vuông góc với Câu 43. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, 

C. 2a 3 .

B. a 3 3 . Lời giải

DẠ Y

KÈ

A. 2 a 3 3 .

mặt phẳng đáy, mặt bên ( SCD) tạo với đáy một góc 60 0 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

D. 3 a 3 3 .

ABC  600 suy ra hai tam giác ABC và ACD là các tam giác đều Do ABCD là hình thoi có  cạnh 2a . Gọi

I là trung điểm của cạnh CD ta có AI  CD  Góc giữa ( SCD) và mặt đáy

  600 .  ABCD  là góc SIA   a 3. tan 60   3 a . Ta có: AI  2 a . 3  a 3  SA  AI . tan SIA

Diện tích đáy ABC là: S ABC   2a  . 2

3  a 2 3. 4

1 1 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: VS . ABC  SA.S ABC  .3a.a 2 3  a 3 3 . 3 3 Lỗi sai hay gặp của học sinh là:

Đáp án A: Không đọc kĩ đề nên tính thể tích khối chóp S.ABCD .

  600 dẫn đến tính Đáp án C: Xác định sai góc giữa mặt bên ( SCD) tạo với đáy là góc SDA

1 1 2 3 nhầm: S A  A I . tan S D A  2 a . tan 6 0   2 a 3  VS . ABC  SA.S ABC  .2a 3.a 3  2a . 3 3

NH Ơ

Đáp án D: Học sinh nhớ sai công thức tính thể tích khối chóp ( V S . ABC  SA.S ABC )

Câu 44. Một cái phao bơi được bơm từ một cái ruột xe hơi và có kích thước như hình sau:

D. 3000 2  cm3  .

Lời giải y

KÈ

Thể tích của cái phao (không kể đầu van) bằng: A. 3000  cm3  . B. 6000  cm 3  . C. 6000 2  cm 3  .

30 20

(C)

DẠ Y

Từ giả thiết suy ra thiết diện của cái phao là đường tròn bán kính bằng r  10  cm  . 28

I , ta có I cách tâm của cái phao 1 khoảng bằng 30 cm .

Gọi tâm của đường tròn là

Chọn hệ tọa độ có gốc O trùng với tâm của cái phao (như hình vẽ). Gọi  C  là hình tròn tâm

I  0;30  và có bán kính r  10  cm  .

Cái phao chính là hình tròn xoay thu được khi ta quay hình tròn  C  quanh trục Ox

2 2 Ta có phương trình của  C  : x   y  30  100  y   100  x  30 (10  x  10) 2

Phương trình của 2 nửa đường tròn (C ) là: Cung MN trên: y  100  x 2  30 (10  x  10) .

Cung MN dưới: y   100  x 2  30 (10  x  10) . Thể tích của hình tròn xoay sinh ra khi quay hình tròn (C ) quanh trục Ox , cũng là quay hình phẳng giới hạn bởi 2 cung MN có phương trình như trên (10  x  10) quanh trục Ox , thể tích đó bằng: 10



 



2    100  x 2  30  dx    120 100  x 2 dx .  10     Đặt x  10sin t ,   t  ta có: dx  10cos tdt , cận t :  . 2 2 2 2

100  x 2  30





 1  cos 2t  dt  6000  cm  . 2

NH Ơ

V  120  10 cos t.10 cos t dt  6000

V 

 10 





PS: Sai lầm thường là gắn gốc tọa độ chính là tâm của cái phao, khi quay xung quanh Ox không tạo ra được cái phao mà là tạo ra được hai khối cầu giao nhau, thể tích tính được khi đó chính là thể tích khối cầu rỗng giữa (khối cầu to trừ khối cầu nhỏ). Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  y  z  3  0 , điểm M  3;1;1

x  1  và đường thẳng d :  y  4  3t . Gọi  là đường thẳng đi qua điểm M  3;1;1 , nằm trong mặt  z  3  2t  phẳng   và tạo với đường thẳng d một góc nhỏ nhất. Lập phương trình của  .

 x  8  5t   B.  :  y  3  4t  .  z  2  t 

 x  3  2t   C.  :  y  1  t  .  z  1  2t  

Lời giải

DẠ Y

KÈ

x  3  A.  :  y  1  t  .  z 1  2t  

 x  2  5t   D.  :  y  5  4t  .  z  1  2t  

AL N

 Vì u.n  0.1  3.1   2  .  1  5  0 nên d cắt   .

CI  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến là n  1;1;  1 .

 Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u   0; 3;  2  .

NH Ơ

x  3  Gọi d1 là đường thẳng đi qua M và d1 // d , suy ra d1 có phương trình:  y  1  3t .  z  1  2t  Lấy N  3; 4;  1  d1 . Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng   và đường thẳng  .

NH NK d,    NMH và sin  Ta có:  NMH   . MN MN

d ,   nhỏ nhất khi K  H hay  là đường thẳng MK . Do vậy 

x  3  t  Đường thẳng NK có phương trình:  y  4  t .  z  1  t  Tọa độ điểm K ứng với t là nghiệm của phương trình:

KÈ

 3  t    4  t    1  t   3  0  t  

5 4 7 2 . Suy ra K  ; ;  . 3 3 3 3

DẠ Y

  5 4 1  1 Đường thẳng  có vectơ chỉ phương là MK    ; ;      5;  4;1 . 3  3 3 3

 x  3  5t  x  8  5t    Vậy phương trình của  :  y  1  4t hay  :  y  3  4t  . z  1 t  z  2  t  

Câu 46. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm đạo hàm

f   x  như hình vẽ. Hàm số

g  x   f 2  x   4 f  x   1 có bao nhiêu điểm cực tiểu. Biết rằng f  b   4 , lim f  x    và x 

lim f  x   1 .

x 

D. 5 .

NH Ơ

Bảng biến thiên của hàm số y  f  x  :

C. 4 . Lời giải

B. 3 .

A. 2 .

Xét hàm số h  x   f 2  x   4 f  x   1 . Ta có h  x   2 f  x  . f   x   4 f   x  .

 f  x  0  x  a; x  b  . h  x   0   x  c  a  f  x   2

Ta có bảng biến thiên của hàm số h  x   f 2  x   4 f  x   1 :

KÈ

Từ bảng biến thiên của hàm số h  x   f 2  x   4 f  x   1 suy ra bảng biến thiên của hàm số

DẠ Y

g  x  f 2  x  4 f  x 1

Nhìn vào bbt ta thấy hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. Phân tích sai lầm: 31

Học sinh có thể không để ý giả thiết lim f  x   1 hoặc hiểu chưa x 

rõ khái niệm điểm cực tiểu của hàm số dẫn đến chọn đáp án B là 3 điểm cực tiểu.

A. 1.

B. 2.

D. 0.

C. vô số. Lời giải Để phương trình có nghiệm, ta phải có x  5 .

Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên a (a  1) sao cho tồn tại số thực x thỏa (a ln x  5)ln a  x  5 ?

Đặt y  a ln x  5  x ln a  5, y  5 , ta được

ln a  y  x  5 Từ đó ta có hệ  . Suy ra x ln a  x  y ln a  y . ln a  x  y  5

Do a  1 nên ln a  0 , suy ra hàm số f (t )  t ln a  t là đồng biến trên  5;   nên

x ln a  x  y ln a  y  x  y .

Vì thế, ta đưa về xét phương trình x  x ln a  5 với x  5 hay x  x ln a  5 .

NH Ơ

Ta phải có x  5 và x  x ln a  1  ln a  a  e . Do a  1 và a   nên a  2 hoặc a  1 . + Với a  2 thì xét hàm số g ( x)  x  x ln 2  5 liên tục trên  5;   có lim g ( x)   và x 

g (5)  0 nên g ( x) sẽ có nghiệm trên (5; ) .

+ Với a  1 , phương trình có nghiệm x  6 .

Các lỗi sai có thể mắc phải

Vậy hai giá trị của a thỏa mãn đề bài.

+ Phương trình x  x ln a  5 vô nghiệm, chọn đáp án D.

+ Không đánh giá được tham số a , chọn C. + Thay sai a  1 , chọn A.

Câu 48. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị của f   x  trên đoạn  2;6 như hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng?

DẠ Y

KÈ

y 3

(C): y = f(x)

1 2

A. f  2   f  1  f  2   f  6  .

B. f  2   f  2   f  1  f  6  .

C. f  2   f  2   f  6   f  1 .

D. f  1  f  2   f  6   f  2  . 32

Lời giải

Dựa vào đồ thị của hàm f   x  trên đoạn  2;6 ta suy ra bảng biến thiên của hàm số f  x 

NH Ơ

 f  2   f  1  Dựa vào bảng biến thiên ta có  f  2   f  1 nên A, D sai.   f  2  f  6

trên đoạn  2;6 như sau:

Chỉ cần so sánh f  2  và f  2  ; f  1 & f  6 

Gọi S1 , S 2 là diện tích hình phẳng được tô đậm như trên hình vẽ, S3 là diện tích hình phẳng

giới hạn x  2, x  6, y  0, y  f   x  . Ta có: 1

1

2

S2  

f   x  dx    f   x  dx  f  1  f  2  .

KÈ

1

S1   f   x  dx   f   x  dx  f  1  f  2  .

1

S3   f   x  dx  f  6   f  2  2

DẠ Y

Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S 2 nên f  1  f  2   f  1  f  2   f  2   f  2  .

S 2  S3  f  1  f  2   f  6   f  2   f  1  f  6 

Suy ra: f  2   f  2   f  1  f  6  . Sai lầm: Học sinh có thể xác định sai ( nhầm lẫn đồ thị f   x  là đồ thị f  x  ) 33

Tính diện tích hai phần tô đậm trên hình vẽ ( kí hiệu: S1 , S 2 ) không sử dụng đúng côg thức tính diện tích:

1  f  2  f  1 2 2 2 2 S2   f   x  dx  f  x   f  2  f  1 1 1 1

S1   f   x  dx  f  x 

Dựa vào đồ thị ta thấy S1  S 2 nên f  2   f  1  f  2   f  1  f  2   f  2 

Suy ra f  2   f  2  6

So sánh f  1 , f  6  : Gọi S3   f   x  dx  f  2   f  6  2

S 2  S 2  f  2   f  1  f  2   f  6   f  1  f  6 

Nên f  2   f  2   f  6   f  1 .

Câu 49. Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và

NH Ơ

nhỏ nhất của z  2i . Tính tổng M  m 5  5 10

B. 5  10

2  13

D. 5  2 10

Lời giải Đặt z  x  yi  x, y  R  có điểm N ( x; y ) biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Từ giả thiết: z  1  i  z  3  2i  5 

 x  1   y  1



 x  1

 x  3   y  2 

  y  2   3 

 x  3



 5

  y  2   4   5 (1) 2

Số phức z  2i  x  ( y  2)i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là N '( x; y  2) . Đặt A 1;3 , B (3;4) thì từ (1) ta có AN ' BN '  5 (2)



Lại có AB  (2;1)  AB  5 (3)

KÈ

Từ và suy ra AN ' BN '  AB  điểm N ' thuộc đoạn AB . Mặt khác dễ thấy OAB tù tại đỉnh A và điểm

N ' thuộc đoạn AB nên:

 M  z  2i max  OA  5  M  m  5  10  m  z  2i min  OB  10 Trong không gian Oxyz , cho điểm I  2;3; 2  và đường thẳng  :

DẠ Y

Câu 50.

x 1 y 1 z   . Gọi  S  là mặt 1 7 2

cầu có tâm I và cắt đường thẳng  tại hai điểm A, B phân biệt sao cho chu vi IAB bằng 10  38 . Mặt trụ T  nội tiếp mặt cầu  S  , khi thể tích khối trụ T  đạt giá trị lớn nhất thì chiều cao khối trụ bằng A.

14 . 3

B. 4 3 .

C. 34

10 . 3

8 . 3

Lời giải



Chọn C

Gọi bán kính mặt cầu  S  là R .  có vectơ chỉ phương u  1;7; 2  và đi qua điểm A  1; 1;0  .

  u , IA 3 93   62 u , IA   22;8;17  , d  I ;          IH .   2 3 6 u

Do AIH vuông tại H nên AH 

NH Ơ

 Ta có IA   3; 4; 2  ,

IA2  AH 2 

4 R 2  62 , AB  2 AH  4 R 2  62 . 2

Chu vi IAB bằng CIAB  IA  IB  AB  2 R  4 R 2  62  10  38 .

KÈ

Giải phương trình ta được R  5 .

Đặt IH  x  hT  2 x, RT  AH  25  x 2 .









DẠ Y

Thể tích khối trụ VT   25  x 2 .2 x  2  x 3  25 x .

VT  2  3 x 2  25   0  x 

5 . 3

AL CI FI

500 5 10  h  2x  khi x  . 3 3 3 3

DẠ Y

KÈ

NH Ơ

Vậy VT đạt GTLN là